Implementasi Sistem Persamaan Linier menggunakan Metode Aturan Cramer

## Rina Candra Noor Santi
Program Studi Teknik Informatika, Universitas Stikubank email: r_candra_ns@yahoo.com

## Abstrak
Matematika  secara  garis  besar  dibedakan  menjadi  dua,  yaitu  matematika  terapan  ( applied mathematics) dan  matematika  murni  ( pure  mathematics ).  Matematika  terapan  mempunyai  pengertian bahwa  matematika  digunakan  diluar  matematika.  Matematika  terapan  berperan  dan  membantu menyelesaikan  masalah-masalah  di  dunia  nyata  yang  akan  diselesaikan  dalam  sistemnya  dan  memenuhi kebutuhan  ilmu-ilmu  dalam  pengembangannya.  Banyak  ilmuwan  yang  mengkaji  matematika  untuk  dapat dimanfaatkan dalam bidang lain. Sedangkan matematika murni berperan  sebagai  ratu  yang mempercantik dirinya melalui rancangan-rancangan definisi, teorema yang terstruktur secara sistematis.
Teori  Aljabar  Linier    merupakan  cabang  dari  matematika  terapan.  Aljabar  Linier  mempunyai penerapan pada berbagai bidang ilmu alam dan ilmu sosial serta teknologi khususnya teknologi Informasi dan  komunikasi  (infokom)  yang  saat  ini  sedang  berkembang  pesat.  Ilmu  yang  dipelajari  pada  materi Aljabar  Linier  salah  satunya  yaitu  Sistem  Persamaan  Linier.  Adapun  salah  satu  metode  yang  dapat digunakan untuk mencari nilai variabel adalah Aturan Cramer
Kata Kunci: Persamaan Linier, Aturan Cramer

## PENDAHULUAN
Ilmu pengetahuan dan teknologi serta seni (IPTEKS)  semakin  meningkat  seiring  dengan perkembangan  zaman.  Hasil  dari  peningkatan kemajuan  IPTEKS  pada  saat  ini,  maka  telah menjadi  bagian  yang  tidak  dapat  dipisahkan dengan  kebutuhan  manusia  itu  sendiri.  Agar ilmu  pengetahuan  terus  berkembang  dan  maju maka  perlu  diadakan  penelitian-penelitian,  baik penelitian  yang  bertujuan  menemukan  dan menyelesaikan masalah-masalah baru, mengembangkan pengetahuan yang ada maupun menguji kebenaran  suatu pengetahuan.
Sistem  Persamaan  Linier  merupakan bagian  dari  ilmu  matematika  yang  mempelajari bagaimana menyelesaikan masalah teknik dengan  menggunakan  aljabar  linier.  Metode  - metode  yang  dipelajari  dalam  mata  kuliah  ini adalah  suatu  algoritma  dari  suatu  penyelesaian berbagai  persoalan  yang  dapat  dipergunakan sehingga  metode-  metode  ini  dapat  diterapkan dalam program komputer.
Pemrograman  Visual  merupakan  salah satu  alat  visual  dalam  komputer  yang  dapat digunakan  untuk  menampilkan  hasil  dari matematika terapan dengan menggunakan aplikasi  komputer.  Banyak  sekali  dari  bidang matematika  yang  telah  diaplikasikan  dengan menggunakan komputer. Contoh aplikasi dengan komputer yaitu matlab, visual basic, delphi, java dan lain sebagainya.
Dari  latar  belakang  diatas,  peneliti  ingin mencoba  membuat  sebuah  aplikasi  dengan pemrograman visual pada teori sistem persamaan linier dengan metode aturan Cramer.

## TINJAUAN PUSTAKA
1.   Sistem Persamaan Linear
Bentuk umum sistem persamaan linier (SPL) yang  terdiri  dari  m  buah  persamaan  linier dan  n  buah  peubah  dituliskaan  sebagai berikut:
2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 ... ... b x a x a x a b x a x a x a n n n n ………........................................... m n mn m m b x a x a x a ... 2 2 1 1 ……...(1)

## a. Dua Variabel
Dengan  x1,  x2,..,xn  merupakan  peubah  dan aij R,  dengan  i  =  1,  2,3,...,m  dan  j=  1,  2,
,3,...,n merupakan koefisien SPL
Contoh:
x  +   y  =  3 3x  –  5y =  1 Sistem persamaan linier dua variabel dengan variabel x dan y secara umum adalah :
n dy cx m by ax
…….................................(2)
dengan a, b, c, d, m dan n    R

## b. Tiga variabel
Sistem persamaan linier tiga variabel dengan variabel x, y  dan z secara umum adalah :
) .......( ) .......( ) ......( iii p iz hy gx ii n fz ey dx i m cz by ax
..... …(3)
dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, m, n dan p    R Penyelesaian  dapat    diperoleh  dengan  cara mereduksi  persamaan  menjadi  persamaan dua  variabel,  dengan  cara    mengalikan persamaan  (i)  dengan  d  dan  persamaan  (ii) dengan a  dan  mengurangkan.

## 2. Metode Aturan Cramer
Aturan  Cramer  adalah  salah  satu  metode pencarian nilai variabel
dengan menggunakan determinan.
C i h g B f e d A c b a
ini merupakan matrik,
kemudian matrik tersebut dipecah.
Menjadi
A matrik sebagai i h g f e d c b a 1 A matrik sebagai i h C f e B c b A 2 A matrik sebagai i C g f B d c A a 3 A matrik sebagai C h g B e d A b a Semua  matrik  A, 1 A , 2 A , 3 A dicari determinannya.
Sehingga X =
A A det det 1 , Y= A A det det 2 Z = A A det det 3 ……..............................................(4)

## 3.    Definisi Determinan
Matriks  A  (n  x  n).  Fungsi  determinan, dinotasikan  det(A),  adalah  jumlah  semua hasil kali elementer bertanda.
Contoh:  A  (3  x  3);  jumlah  semua  hasil  kali elementer  bertanda  adalah  jumlah  dari semua (6) elemen berikut ini:
+ a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31
– a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32
– a 13 a 22 a 31
Bandingkan  dengan  cara  perhitungan  “non- formal”nya:
A= 33 32 31 23 22 21 13 12 11 32 21 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 31 33 32 22 21 23 13 12 11 32 31 13 21 23 12 13 12 11 inversi inversi inversi a a a a a a a a a inversi inversi inversi a a a a a a a a a
Teorema:
1. Bila  A(n  x  n)  matriks  segitiga  atas/bawah, maka  Det(A)  adalah  hasil  kali  dari  elemen- elemen diagonal utama.
Contoh:
A= -36 = 2x(-3)x6 = Det(A) 6 0 0 7 3 0 3 7 2 Bukti: 0 0 3 0 7 2 6 0 0 7 3 0 3 7 2 Secara umum: untuk A(3x3) 33 23 22 13 12 11 33 23 22 13 12 11 0 0 0 0 0 a 0 a a a a a a a a a a a diagonal utama
31 33 32 22 21 23 13 12 11 32 31 13 21 23 12 13 12 11 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a Fungsi Determinan Contoh: A= 10
4 . 4 ) 2 ( 3 ) ( 2 4 1 3 A Det B= 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 - 7 6 5 4 - 3 2 - - - 1 Det(B)=(45+84+96)-(105+(-48)+(-72))=240

## HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Analisa  Permasalahan
Sistem ini digunakan untuk membantu dosen dalam  mengoreksi  jawaban  soal,  karena selama  ini  belum  ada  yang  membuat  sistem aplikasi  untuk  matematika.  Khususnya dalam hal ini adalah materi pencarian sistem persamaan  linier  untuk  mendapatkan  nilai variabel.

## 2. Analisa Sistem
Sistem yang akan dikembangkan menggunakan aplikasi borland delphi. Dengan  memasukkan  rumus-rumus  aturan Cramer ke dalam aplikasi.
Contoh latihan sistem persamaan linier: X + y +2z = 9 2x+ 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Hasil nilai variabel sebagai berikut: X = 1, Y = 2, Z = 3

## 3. Perancangan Sistem

## Gambar 1. Perancangan Tampilan Sistem

## 4.    Implementasi
a.    Aplikasi Sistem
Contoh:  Cari  nilai  variabel  dari  sistem persamaan linier sebagai berikut:
X + y +2z = 9 2x+ 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
Gambar 2. Implementasi Sistem Nilai varibel yang didapat adalah: X = 1,  Y = 2,  Z =3
b. Perhitungan secara manual
X + y +2z = 9 2x+ 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
A = 5 6 3 3 4 2 2 1 1 1 10 18 24 24 ) 9 ( 20 A1 = 5 6 0 3 4 1 2 1 9 1 5 162 0 12 0 180 A2 = 5 0 3 3 1 2 2 9 1 2 90 0 6 0 ) 81 ( 5 A3 = 0 6 3 1 4 2 9 1 1 3 0 6 108 108 3 0 X = 1 1 1 det 1 det A A Y = 2 1 2 det 1 det A A Z = 3 1 3 det 1 det A A

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Hasil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Bahwa  materi  yang  berkaitan  dengan matematika,    perhitungannya  dapat  dibuat dalam  bentuk  aplikasi.  Contohnya  saja materi aljabar linier atau metode numerik.
b. Aplikasi  tersebut  dapat  membantu  dosen dalam  menghasilkan  nilai  jawaban,  dan mempercepat proses perhitungan.
c. Soal  ujian  untuk  masing-masing  mahasiswa bisa  berbeda,  dengan menggunakan  aplikasi tersebut hasil lebih cepat ditemukan

## Saran
Dari  hasil  kesimpulan  diatas    saran  yang bisa diberikan, bahwa ternyata membuat aplikasi matematika  sangat  membantu  bagi  dosen  yang ingin  memberikan  soal  berbeda  untuk  masing- masing mahasiswa, karena biasanya dengan soal yang  sama  akan  lebih  mudah  bagi  mahasiswa untuk  bekerja  sama  dengan  temannya  pada  saat ujian. Ini yang menjadikan mahasiswa tidak mau belajar, karena kita tahu bahwa nilai matematika adalah nilai pasti.
Saran  bagi  pendidik,  supaya  mencoba melakukan cara seperti ini agar mahasiswa lebih termotivasi dalam mendapatkan  nilai yang lebih baik.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton Howard, 1994, Aljabar Linier Elementer , Penertbit Erlangga, Jakarta
Arista, 1996, Aljabar Linier , Jakarta
Jogiyanto,  1999, Aplikasi  Borland  Delphi, Andi Offset, Jakarta