Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 10 No. 2, Desember 2018, hal. 81-92 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PEMBANGKIT GRUP PERSAMAAN SCHRODINGER

## Aloysius Joakim Fernandez
Universitas Katolik Widya Mandira fndz1586@gmail.com
ABSTRACT. In  this  article  contains  the  Group’s  concepts  in  mathematical  analysis namely  self-adjoint  property  and  Stone  Theorem.  This  theorem  talks  about  generator infinitesimal  of  Group.  Moreover,    this  article  will  discuss  the  concepts  of  Group  in Schrodinger equation.
Keyword: group, self-adjoint, generator, dissipative, Schrodinger equation.
ABSTRAK. Artikel  ini  memuat  konsep-konsep  Grup  dalam  matematika  analisi,  yakni sifat self-adjoint dan  Teorema  Stone.  Teorema  Stone  berbicara  tentang  prmbangkit infinitesimal dari Grup. Lebih jauh bahwa artikel ini berbicara tenantang konsep-konsep Grup dalam Persamaan Schrodinger.
Kata Kunci: grup, self-adjoint , pembangkit, dissipatif, persamaan Schrodinger

## 1. PENDAHULUAN
Perkembangan  ilmu  matematika  analisis  semakin  terus  berkembang dengan pesat. Salah satu konsep yang belakangan ini berkembang adalah konsep semigrup.  Suatu  persoalan  persamaan  diferensial  dapat  dibentuk  ke  dalam masalah  Cauchy  abstrak.  Semigrup  didefinisikan  sebagai  sebuah  operator eksponensial,  untuk Dalam  perkembangannya,  semigrup  berkembang menjadi  konsep  grup,  yang  didefinisikan  dengan  suatu  operator  eksponensial, namun dipenuhi untuk
Tujuan  penulisan  ini  adalah  untuk  menelaah  konsep-konsep  dari  grup, sifat-sifat,  dan  juga  Teorema  Stone.  Selanjutnya,  konsep-konsep  yang  ada  pada grup  kemudian  diaplikasikan  pada  Persamaan  Schrodinger.  Persamaan  ini dibentuk ke dalam masalah Cauchy abstrak, kemudian dikaji tentang pembangkit infinitesimalnya.

## 2. GRUP DAN PERSAMAAN SCHRODINGER

## 2.1 Grup
Definisi 2.1.
Sebuah  keluarga ( ( dari  operator  linear  terbatas  pada  ruang  Hilbert disebut grup kontinu kuat (grup ) jika sifat-sifat berikut berlaku :
a. (
b. (          (   ( untuk
c. ( untuk
Definsi 2.2.
Misalkan ( ( merupakan  grup  kontinu  kuat  pada  ruang  Hilbert dan misalkan ( merupakan subruang dari yang didefinisikan sebagai berikut
(      { ( }                                   (
Untuk setiap ( , didefinisikan
( (
Operator ( disebut pembangkit infinitesimal dari grup kontinu kuat ( ( .
Diberikan  grup  kontinu  kuat ( ( dengan  pembangkit (    (  )
Kemudian  definisikan (      ( dan (      ( untuk maka ( (  ) dan ( (  ) merupakan  semigrup  kontinu  kuat  dengan  masing- masing pembangkitnya secara berurutan adalah G dan . Oleh karena itu, jika G pembangkit dari grup , maka dan merupakan pembangkit dari semigrup
kontinu  kuat.  Operator merupakan  pembangkit  dari  grup  kontinu  kuat ( yang didefinisikan sebagai berikut
(     { ( ( ( Misalkan ruang Banach dan merupakan dualnya. Untuk setiap ,
definisikan himpunan dualitas ( sebagai berikut :
(     { 〈 〉   ‖ ‖ ‖ ‖ }                              (
Definisi 2.3.
Suatu  operator  linear ( dissipatif  jika  untuk  setiap ( terdapat ( sedemikian sehingga
〈 〉                                                                      (
Teorema 2.4.
Suatu operator linear ( dissipatif jika dan hanya jika untuk setiap ( dan berlaku
‖ ‖   ‖(        ‖                                                    (
Definisi 2.5.
Misalkan ruang Hilbert dengan hasil kali dalam 〈  〉 . Operator ( dikatakan :
a. Self-adjoint jika
b. Skew-adjoint jika
c. Symetric jika 〈     〉   〈     〉 untuk setiap (
d. Skew-symetric jika 〈     〉    〈     〉 untuk setiap (

## Teorema 2.6
Misalkan (    ( operator rapat pada ruang Hilbert , maka membangkitkan grup  uniter ( ( pada jika  dan  hanya  jika self-adjoint ,  yakni (

## Bukti
Asumsikan (    ( operator  rapat  yang  membangkitkan  suatu  grup  uniter
( ( maka berlaku, untuk setiap ( ,
( (
(( (

## 84 Aloysius Joakim Fernandez

## (( (
Diperoleh  bahwa Sebagai  akibatnya, ( .  Jadi merupakan operator self-adjoint.
Sebaliknya,  asumsikan  operator  pada self-adjoint ,  maka .
Akibatnya,
〈     〉   〈 〉    〈     〉    〈 ̅    〉
untuk  setiap (      ( dan 〈     〉 ,  sehingga 〈     〉 dan operator  G  dissipatif.  Karena ,  maka 〈 〉 untuk ( .
Akibatnya,  operator dissipatif.  Diperoleh  bahwa  operator dan
merupakan pembangkit infinitesimal dari semigrup Jika semigrup kontinu kuat
( dan ( dibangkitkan oleh operator dan , yang didefinisikan oleh
(     { ( (
maka ( (  ) grup uniter pada .
Teorema 2.7.
Misalkan ( ( semigrup dari  operator  terbatas.  Jika  untuk  setiap ( ( ada dan merupakan suatu operator terbatas maka (     ( ( merupakan  semigrup operator  terbatas  yang  memiliki
pembangkit infinitesimal Lebih jauh (     { ( ( (
sehingga ( merupakan grup operator terbatas.

## Bukti
Pertama-tama  akan  ditunjukkan  bahwa ( memenuhi  sifat-sifat  dari  semigrup, yaitu
(      (
(          ( ( (   ( ( ( (   (
Pengbangkit Grup Persamaan Schrodinger                                                                        85
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ( kontinu kuat. Untuk
, daerah hasil ( berada di  dalam . Misalkan dan Terdapat sedemikian sehingga ( . Untuk , diperoleh bahwa
‖ ( ‖   ‖ ( (       (   ‖
‖ ( (   (   ( (   ‖ ‖ ( (   (   (        (   ‖
‖ ( (   (           (   ‖
‖ (           (   ‖
Untuk
, diperoleh bahwa
‖ (           (   ‖
Oleh karena itu, ( kontinu kuat. Untuk ( diperoleh bahwa
( ( (
(
Sehingga operator – merupakan pembangkit infinitesimal.
Teorema 2.8 (Pertubasi).
Misalkan dan adalah  operator  linear  pada sehingga (      ( dan adalah dissipatif untuk jika ‖  ‖    ‖  ‖    ‖ ‖           ( di mana dan untuk suatu [   ] adalah m-dissipatif, maka adalah m-dissipatif untuk semua [   ]
Teorema 2.9 (Stone).
Operator ( pembangkit  infinitesimal  Grup- dari  operator uniter pada Ruang Hilbert H jika dan hanya jika adalah self-adjoint .

## 2.2 Persamaan Schrodinger
Pandang persamaan Schordinger

## (
di  mana V merupakan  Potensial.  Persamaan  ini  dapat  ditulis  ke  dalam  bentuk masalah Cauchy Abstrak
( (

## (
di  mana
Dengan  demikian,  dapat  dibentuk  masalah  Cauchy  abstrak sebagai berikut
(        ( ( (         ( ( Akan  diperlihatkan  bahwa  operator membangkitkan  suatu  grup  uniter ( dalam  ruang  Hilbert ( dengan ,  sehingga  solusi
umum dari masalah Cauchy abstrak tersebut adalah
(         ( (

## Definisi 2.10.
Misalkan (
( di mana ruang ( didefinisikan sebagai
( { ( ∫ (    | | | ̂(  |
( }                        (
dengan  hasil  kali  dalam 〈    〉   ∫ (    | | ̂(   ̂( ̅̅̅̅̅̅ ( Untuk ( , misalkan
Lemma 2.11.
Operator self-adjoint di ( .
Bukti
Perhatikan
〈 〉 〈       〉 〈      〉
∫      ̅ ∫ ̅̅̅̅ 〈      〉
〈       〉 〈 〉 Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  bahwa  operator merupakan  pembangkit
dari grup uniter pada ( . Namun demikian, terlebih dahulu akan ditunjukkan juga  bahwa  operator  ini  memenuhi  sifat-sifat self  adjoint dan  m-dissipatif. Misalkan (
( .
1. Untuk ( , misalkan
Akan  ditunjukkan  bahwa memenuhi  sifat  self-adjoint  di ( Misalkan ( adalah operator adjoint dari , yaitu
〈 〉   〈   ( 〉
Selanjutnya, perhatikan bahwa
〈      〉     ∫      ̅
∫ ̅̅̅̅ 〈      〉

## 88 Aloysius Joakim Fernandez
Dapat  disimpulkan  bahwa 〈 〉   〈 〉 dan ( self
adjoint 2. Akan ditunjukkan bahwa operator
( self adjoint , yaitu
〈( 〉   〈 〉   〈     〉
〈 〉   〈     〉
〈   ( 〉
3. Akan ditunjukkan bahwa operator ( bersifat m-dissipatif. Karena self-adjoint maka
( ( ) ( ( ( ( (
Perhatikan
〈( 〉   〈   ( 〉 〈    ( 〉 〈   ( 〉 〈( 〉
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
sehingga diperoleh bahwa 〈( 〉
4. Akan  ditunjukkan  bahwa m-dissipatif.  Karena self-adjoint ,  maka sehingga
〈 〉   〈 〉
〈 〉 〈 〉 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Akibatnya, diperoleh bahwa 〈 〉
Akibat 2.12.
Operator adalah pembangkit infinitesimal dari grup operator uniter pada

## (
Definisikan sebuah operator di ( dengan
(     { ( ( }                          (
dan untuk (          (   (
Lemma 2.13.
Misalkan ( ( Jika dan maka untuk setiap terdapat
konstanta ( sehingga
‖  ‖    ‖  ‖    (  ‖ ‖ (
di mana norm ‖  ‖ merupakan norm di .

## Bukti
Jika ( maka  dengan  transformasi  Fourier  diperoleh  bahwa (    | | ̂( ( dan  karena maka (    | | ( .  Dengan menggunakan ketaksamaan Holder, identitas Parseval, dan untuk diperoleh bahwa ‖ ̂‖ ( ∫| ̂(  | )
( ∫(    | | (    | | | ̂(  | )
( ∫(    | | ) ( ∫(    | | | ̂(  | ) (‖  ‖   ‖ ‖ Karena dan berdasarkan pertidaksamaan Hausdorff-Young, diperoleh bahwa ‖ ‖ ‖ ̂‖ sehingga ‖ ‖ ‖ ̂‖ (‖  ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ (‖  ‖   ‖ ‖

## 90 Aloysius Joakim Fernandez
Dengan mengganti fungsi ( dengan ( dan memilih sebuah yang tepat, dapat dibuat koefisien dari ‖  ‖ sekecil seperti yang diharapkan. Diberikan
, sehingga diperoleh bahwa
‖ ‖ ‖ ‖ ‖  ‖    (  ‖ ‖
Dengan menggunakan ketaksamaan Holder , diperoleh bahwa
‖  ‖ ∫ ( ∫| | ) ( ∫| | )
sehingga
‖  ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖  ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖  ‖    (  ‖ ‖
Teorema 2.14.
Misalkan ( ( Jika maka
adalah  pembangkit
infinitesimal dari grup operator uniter pada ( Bukti Telah ditunjukkan bahwa operator
self adjoint dan m-dissipatif. Karena adalah  operator  real  dan V simetris,  maka operator  simetris.  Untuk membuktikan  bahwa  bahwa self-adjoint maka  perlu  ditunjukkan range dari ( adalah ( .  Berdasarkan  fakta  bahwa ( adalah
m -dissipatif yang diperoleh dari sifat ke m -dissipatif
, ‖  ‖    ‖ ‖    (  ‖ ‖         ( dan  Teorema  Pertubasi  yang  mengakibatkan self-adjoint serta berdasarkan  Teorema  Stone,  maka
adalah  pembangkit  infinitesimal  dari grup operator uniter pada (

## 3. KESIMPULAN
Persamaan  Schrodinger  ini  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan konsep  Grup.  Persamaan  tersebut  diubah  ke  dalam  bentuk  masalah  Cauchy abstrak
(        ( (
(         (
pada ( .  Selanjutnya,  berdasarkan  Teorema  Stone,  operator
merupakan  pembangkit  dari  Grup  uniter (
karena  operator  tersebut memenuhi sifat self-adjoint .

## DAFTAR PUSTAKA
Pazy. A., Semigroups of Linear Operators and Application to Partial Differential
Equation , Applied Mathematical Sciences, Vol 44, Springer,1983.
I.V. Joan., - Semigroups and Applications , Springer, 2003.
Goldstein,  J.,  E., Semigroups  of  Linear  Operators  and  Application ,  Oxford University Press, 1985.
Kreyszig,  E., Introductory  Functional  Analysis  with  Application ,  John  Wiley  & Sonc, Inc., 1978.
92 Aloysius Joakim Fernandez