PELABELAN P 2 ⊳ C n AJAIB SUPER DARI GRAF C m ⊳ C n
Gita N.A. Ginting*, Jusrry R. Pahnael, Ganesha L. Putra
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana,
Kupang-NTT,  Indonesia
*Penulis Korespondensi: gitanaftaliandiryani@gmail.com

## ABSTRAK
Misalkan 𝐺  =   (𝑉, 𝐸) dikatakan memuat selimut 𝐻 jika untuk setiap sisi dari 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺) termuat dalam suatu subgraf dari 𝐺 yang isomorfik terhadap 𝐻 . Selanjutnya graf 𝐺 yang memuat  selimut- 𝐻 dikatakan 𝐻 -ajaib  jika  terdapat  fungsi  bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪  𝐸(𝐺) → {1, 2, . . . , |𝑉(𝐺)|   +   |𝐸(𝐺)|} sehingga  untuk  setiap  subgraf 𝐻′ dari 𝐺 yang  isomorfik terhadap 𝐻 berlaku 𝑓(𝐻′)   =   ∑ 𝑓(𝑣) (𝑣∈𝑉) +   ∑ 𝑓(𝑒) (e∈E) =  𝑘 , dengan 𝑘 adalah bilangan ajaib. Selanjutnya, graf 𝐺 disebut 𝐻 -ajaib super jika 𝑓(𝑉)   =   {1, 2, . . . , |𝑉 (𝐺)|}. Misalkan graf 𝐺 dan 𝐻 adalah graf terhubung yang memuat 𝑥 sebagai titik dari graf 𝐻 . Hasil kali sisir antara graf 𝐺 dan 𝐻 , dinotasikan 𝐺  ⊳ 𝐻 , merupakan graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan dari graf 𝐺 dan salinan sebanyak │𝑉(𝐺)│ dari graf 𝐻 , kemudian menyatukan  titik 𝑥 pada  graf 𝐻 ke- 𝑖 dengan  titik  ke- 𝑖 pada  graf 𝐺 .  Pada  skripsi  ini diberikan  konstruksi  pelabelan 𝑃 2 ⊳   𝐶 𝑛 ajaib  super  dari  graf 𝐶 𝑚 ⊳   𝐶 𝑛 untuk 𝑚  ≥ 3, 𝑚 ganjil, 𝑛  ≥  3, 𝑚, 𝑛  ∈  𝑁 .
Kata kunci : graf siklus, pelabelan ℎ -ajaib super, operasi hasil kali sisir.

## 1. PENDAHULUAN
Teori  graf  merupakan  cabang  ilmu  yang  dikembangkan  pada  awal  abad  ke delapan belas. Perkembangan cabang ilmu ini sangat pesat. Hal ini disebabkan karena teori graf dapat menyelesaikan berbagai masalah dalam ilmu pengetahuan. Konsep graf dapat  digunakan  dalam  bidang  kedokteran  dan  biologi,  seperti  menjelaskan  kode genetika  makhluk  hidup,  bidang  sejarah  untuk  keperluan  analisis  arkeologi,  bidang manajemen untuk masalah penjadwalan, dan bidang komputer untuk pengembangan jaringan dan pewarnaan peta.
Graf 𝐺 terdiri dari pasangan terurut 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dimana V adalah himpunan tak kosong dari objek yang disebut titik dan E adalah himpunan yang anggotanya dibentuk oleh  dua  titik  yang  disebut  sisi.  Biasanya,  himpunan  titik  dan  sisi  pada  graf  secara berturut-turut  juga  dinotasikan  dengan 𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐺). Adapun │𝑉(𝐺)│ adalah
banyaknya  titik  dan │𝐸(𝐺)│ adalah  banyaknya  sisi  pada  graf 𝐺 .  Graf  lintasan, dinotasikan  dengan 𝑃 𝑛 , 𝑛 ≥ 2 ,  merupakan  graf  dengan 𝑛 titik  dan  diberi  label 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 sehingga  sisi-sisinya  adalah 𝑣 1 𝑣 2 , 𝑣 2 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛−1 𝑣 𝑛 .  Jika 𝑛 = 1 ,  maka  graf 𝑃 1 merupakan graf dengan satu titik. Titik 𝑣 1 dan 𝑣 𝑛 dinamakan titik ujung. Suatu graf dikatakan graf terhubung jika untuk setiap dua titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 , terdapat lintasan dari 𝑢 ke 𝑣 (Chartrand dan Zhang, 2012).
Misalkan graf 𝐺 dan 𝐻 adalah graf terhubung yang memuat 𝑥 sebagai titik dari graf 𝐻 . Hasil kali sisir antara graf 𝐺 dan 𝐻 , dinotasikan 𝐺  ⊳ 𝐻 , artinya mengambil satu salinan dari graf 𝐺 dan salinan sebanyak |𝑉(𝐺)| dari graf 𝐻 dengan cara memasangkan salinan ke −𝑖 dari graf 𝐻 ke titik ke −𝑖 pada graf 𝐺 . Berdasarkan definisi hasil kali sisir pada dua graf, dapat dikatakan bahwa 𝑉 (𝐺  ⊳  𝐻) =   {(𝑎, 𝑣)|𝑎  ∈  𝑉 (𝐺), 𝑣  ∈  𝑉 (𝐻)} dan (𝑎, 𝑣)(𝑏, 𝑤) ∈  𝐸(𝐺  ⊳  𝐻) jika 𝑎 = 𝑏 serta 𝑣𝑤  ∈  𝐸(𝐻) ,  atau 𝑎𝑏  ∈  𝐸(𝐺) dan 𝑣 = 𝑤 = 𝑥 ([4]).
Suatu graf 𝐺  =   (𝑉, 𝐸) dikatakan memuat selimut 𝐻 jika untuk setiap 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺) termuat dalam suatu subgraf dari 𝐺 yang isomorfik terhadap 𝐻 . Selanjutnya graf 𝐺 yang memuat  selimut- 𝐻 dikatakan 𝐻 -ajaib  jika  memuat  fungsi  bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪  𝐸(𝐺) → {1, 2, . . . , |𝑉(𝐺)| +   |𝐸(𝐺)|} sehingga  untuk  setiap  subgraf 𝐻′ dari 𝐺 yang  isomorfik dengan 𝐻 berlaku 𝑓(𝐻′)   =   ∑ 𝑓(𝑣) (𝑣∈𝑉) +   ∑ 𝑓(𝑒) (e∈E) =  𝑘 dengan 𝑘 adalah  bilangan ajaib. Selanjutnya, graf 𝐺 disebut 𝐻 -ajaib super jika 𝑓(𝑉)   =   {1, 2, . . . , |𝑉 (𝐺)|}.
Pada [2], telah dibuktikan bahwa graf 𝑊 𝑛 adalah 𝐶 3 -ajaib super untuk 𝑛  ≥ 5, n ganjil. [2] juga telah membuktikan bahwa jika 𝐺 graf ajaib super bebas (𝐶 4 ) maka 𝐺 × 𝐾 2 adalah 𝐶 4 ajaib super. Selanjutnya, [2] telah membuktikan 𝑃 𝑛 – ajaib super dari graf bintang  dan  graf  pisang. Melanjutkan  dari  hasil  yang  ada,  maka  penelitian  ini memaparkan hasil mengenai pelabelan 𝑃 2 ⊳   𝐶 𝑛 ajaib super dari graf 𝐶 𝑚 ⊳   𝐶 𝑛 .

## Tujuan
Tujuan dari kajian ini adalah untuk mengkonstruksi pelabelan 𝑃 2 ⊳   𝐶 𝑛 ajaib super dari graf 𝐶 𝑚 ⊳   𝐶 𝑛 .

## 2. METODE KAJIAN

## 2.1 Desain Kajian
Penulisan ini menggunakan metode studi literatur, yaitu menghimpun beberapa sumber  referensi  dan  dibuat  suatu  kajian  khusus  mengenai  pelabelan 𝑃 2 ⊳   𝐶 𝑛 ajaib super dari graf 𝐶 𝑚 ⊳   𝐶 𝑛 .

## 2.2 Prosedur Kajian
Adapun langkah-langkah kajian pelabelan graf :
1. Memaparkan definisi dari konsep dasar tentang graf, hasil kali sisir dari suatu graf, pelabelan graf, serta konsep-konsep matematika yang mendukung kajian pelabelan graf.
2. Mendefinisikan dan membuktikan teorema-teorema terkait pelabelan graf.
3. Menentukan pelabelan 𝑃 2 ⊳   𝐶 𝑛 ajaib super dari graf 𝐶 𝑚 ⊳   𝐶 𝑛 .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Multi-himpunan Seimbang
Multi-himpunan merupakan modifikasi dari himpunan yang mengijinkan unsur yang  sama  muncul  lebih  dari  satu  kali.  Misalkan 𝑚 ∈ Ν dan 𝑋 multi-himpunan  dari bilangan bulat positif. 𝑋 dikatakan multi-himpunan 𝑘 -seimbang jika terdapat himpunan bagian 𝑋 ,  ( 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑘 ) sehingga  untuk  setiap ℎ  ∈   [1, 𝑘] , │𝑋 ℎ │ = │𝑋│ 𝑘 , ∑ 𝑋 ℎ = ∑ 𝑋 𝑘 ∈ Ν , dan ⨄ ℎ=1 𝑘 𝑋 ℎ = 𝑋.  𝑋 ℎ disebut subhimpunan seimbang dari 𝑋. Selanjutnya diberikan beberapa lemma terkait multi-himpunan 𝑘 -seimbang.
Lemma  3.1.1  Misalkan 𝒎, 𝒏  ∈  𝜨 dan 𝟏 ≤ 𝒉 ≤ 𝒎 ,  maka  multi-himpunan 𝑿 = 𝟐[𝟏 , 𝟐𝒎𝒏] ⨄  [𝟐𝒎𝒏 + 𝟏 , 𝟐𝒎𝒏 + 𝒎] adalah 𝒎 -seimbang.
Bukti :
Pertama  akan  ditunjukkan  bahwa 𝑋 ℎ adalah  multi-himpunan  yang  seimbang dengan  syarat  bahwa  untuk  setiap ℎ  ∈   [1, 𝑚] , │𝑋 ℎ │ = │𝑋│ 𝑚 , ∑ 𝑋 ℎ = ∑ 𝑋 𝑚 ∈ Ν ,  dan ⨄ ℎ=1 𝑚 𝑋 ℎ = 𝑋. Pembuktian ini terbagi atas dua kasus.
Kasus 1 : 𝑛 ganjil
Bentuk 𝑋 ℎ = {𝑎 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 , 𝑎 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 , 𝑏 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , … , 𝑏 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛−1 , 𝑏 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , …, 𝑏 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛−1 , 𝑐 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , … , 𝑐 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛 , 𝑐 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , … , 𝑐 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛 , 𝑑 ℎ }
dengan,
𝑎 ℎ =   { ℎ + 1 2 ,                    ℎ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈   [1, 𝑚] 𝑚 + 1 2 + ℎ 2 , ℎ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈   [1, 𝑚]
𝑏 ℎ 𝑗 =
{
(𝑗 + 1)𝑚 + 1 − ℎ,
ℎ  ∈ [1, 𝑚] 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑛 − 1] 𝑗𝑚 + ℎ, ℎ  ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈   [1, 𝑛 − 1]
𝑐 ℎ 𝑘 =
{ 𝑚𝑛 + 𝑚𝑘 + 1 − ℎ, ℎ  ∈   [1, 𝑚]
𝑘 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈   [1, 𝑛] 𝑚𝑛 + (𝑘 − 1)𝑚 + ℎ , ℎ  ∈   [1, 𝑚] 𝑘 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈   [1, 𝑛]
𝑑 ℎ = 2𝑚𝑛 + ℎ , ℎ  ∈   [1, 𝑚]
|𝑋 ℎ | = 4𝑛 + 1
∑ 𝑋 ℎ =  𝑛 (4𝑚𝑛 + 𝑚 + 2) + 1 2 (2𝑚𝑛 + 𝑚 + 1)
Kasus 2 : 𝑛 genap
Bentuk 𝑋 ℎ = {𝑎 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 , 𝑎 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 , 𝑏 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , … , 𝑏 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛−1 , 𝑏 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , …, 𝑏 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛−1 , 𝑐 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , … , 𝑐 ℎ 𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛 , 𝑐 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 1 , … , 𝑐 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑∗𝑚 𝑛 , 𝑑 ℎ
dengan,
𝑎 ℎ =   { ℎ + 1 2 ,                    ℎ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈   [1, 𝑚] 𝑚 + 1 2 + ℎ 2 , ℎ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈   [1, 𝑚]
𝑏 ℎ 𝑗 =
{ (𝑗 + 1)𝑚 + 1 − ℎ, ℎ  ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑛 − 1] 𝑗𝑚 + ℎ, ℎ  ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈   [1, 𝑛 − 1]
𝑐 ℎ 𝑘 =
{ (𝑚𝑛 + ℎ) + (𝑘 − 1)𝑚,
ℎ  ∈   [1, 𝑚] 𝑘 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈   [1, 𝑛]
(𝑚𝑛 + 1) − ℎ + 𝑘𝑚 , ℎ  ∈   [1, 𝑚] 𝑘 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈   [1, 𝑛]
𝑑 ℎ = 2𝑚𝑛 + ℎ , ℎ  ∈   [1, 𝑚]
|𝑋 ℎ | = 4𝑛 + 1
∑ 𝑋 ℎ =  𝑛 (4𝑚𝑛 + 𝑚 + 2) + 1 2 (2𝑚𝑛 + 𝑚 + 1)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ∑ 𝑿 𝒎 =  𝑛(4𝑚𝑛 + 𝑚 + 2) + 1 2 (2𝑚𝑛 + 𝑚 + 1) dan |𝑋| 𝑚 = 4𝑛 + 1 dan ⊎ ℎ=1 𝑚 𝑋 ℎ = 𝑋.
 ∑ 𝑿 𝒎 = 𝑛(4𝑚𝑛 + 𝑚 + 2) + 1 2 (2𝑚𝑛 + 𝑚 + 1)
 |𝑿| 𝒎 = 4𝑚𝑛+𝑚 𝑚 = 4𝑛 + 1 =   |𝑋 ℎ |
 ⊎ 𝒉=𝟏 𝒎 𝑿 𝒉 = 2[1,2𝑚𝑛] ⊎ [2𝑚𝑛 + 1,2𝑚𝑛 + 𝑚] = 𝑿
3.2 Pelabelan 𝑷 𝟐 ⊳   𝑪 𝒏 Ajaib Super dari Graf 𝑪 𝒎 ⊳   𝑪 𝒏
Graf 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 merupakan  ajaib  super  dari  graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 dimana 𝑚 dan 𝑛 menyatakan  banyaknya  graf 𝐶 𝑚 dan 𝐶 𝑛 , 𝑃 2 menyatakan  graf  lintasan  dengan  titik sebanyak dua. Banyaknya titik dan sisi secara berturut-turut dari graf 𝐶 𝑚 dan 𝐶 𝑛 adalah 𝑚𝑛 dan 𝑚(𝑛 + 1). Pada Gambar 3.1 diberikan label titik dan sisi dari graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 .
Gambar 3.1 𝑪 𝒎 ⊳ 𝑪 𝒏
𝑉(𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 ) = {𝑣 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚} ∪ {𝑣 ℎ 𝑗 │1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}
𝐸(𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 } = {𝑒 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚} ∪ {𝑒 ℎ 𝑘 │1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}
Dimana 𝑒 ℎ = 𝑣 ℎ 𝑣 (ℎ+1)𝑚𝑜𝑑𝑚 dan 𝑒 ℎ 𝑘 =   { 𝑣 ℎ 𝑣 ℎ 1 ; 𝑘 = 1 𝑣 ℎ 𝑘−1 𝑣 ℎ 𝑘 ; 2 ≤ 𝑘  ≤ 𝑛 − 1 𝑣 ℎ 𝑛−1 𝑣 ℎ ; 𝑘 = 𝑛
Berikut diberikan teorema mengenai pelabelan 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 ajaib super pada graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 .
Teorema 3.2.1  Graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 merupakan 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 ajaib super untuk 𝑚 ≥ 3, 𝑛 ≥ 3, 𝑚, 𝑛  ∈ 𝛮, 𝑚 ganjil.

## Bukti :
Diberikan fungsi pelabelan untuk graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 . Pelabelan ini dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1 : 𝑛 ganjil
𝑓(𝑣 ℎ ) =   { (ℎ + 1)
2 ,                  ℎ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑚]
(𝑚 + 1) 2 + ℎ 2 , ℎ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈ [1, 𝑚]
𝑓(𝑒 ℎ ) =  2𝑚𝑛 + ℎ,                    ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑓(𝑣 ℎ 𝑗 ) = { (𝑗 + 1)𝑚 + 1 − ℎ , ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑛 − 1] 𝑗𝑚 + ℎ, ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈ [1, 𝑛 − 1]
𝑓(𝑒 ℎ 𝑘 ) = { 𝑚𝑛 + 𝑚𝑘 + 1 − ℎ , ℎ ∈ [1, 𝑚] 𝑘 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑛]
𝑚𝑛 + (𝑘 − 1)𝑚 + ℎ, ℎ ∈ [1, 𝑚] 𝑘 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈ [1, 𝑛]
Berdasarkan  Lemma  3.1.1  terlihat  bahwa  jika 𝑓(𝑣 ℎ ) = 𝑎 ℎ , 𝑓(𝑣 𝑗 ℎ ) = 𝑏 ℎ 𝑗 , 𝑓(𝑒 ℎ 𝑘 ) = 𝑐 ℎ 𝑘 , 𝑓(𝑒 ℎ ) = 𝑑 ℎ .  Perhatikan  himpunan 𝑋 ℎ ; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 pada  bukti  Kasus  1  Lemma  3.1.1. Anggota himpunan 𝑋 ℎ merupakan label titik dan sisi dari graf 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 yang merupakan subgraf dari graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 . Kemudian perhatikan juga bahwa jumlah label titik dan sisi dari setiap subgraf 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 pada graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 sama, yaitu 𝑛(4𝑚𝑛 + 𝑚 + 2) + 1 2 (2𝑚𝑛 + 𝑚 + 1) .
Perhatikan partisi fungsi berikut.
1. 𝑓({𝑣 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) = [1, 𝑚] ,
2. 𝑓({𝑒 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) = [2𝑚𝑛 + 1, 2𝑚𝑛 + 𝑚],
3. 𝑓({𝑣 ℎ 𝑗 |1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 }) = [𝑚 + 1, 𝑚𝑛] ,
4. 𝑓({𝑒 ℎ 𝑘 |1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) = [𝑚𝑛 + 1, 2𝑚𝑛]
Masing-masing partisi merupakan fungsi bijektif dan memiliki daerah hasil yang tidak saling beririsan. Kemudian perhatikan bahwa :
|𝑉 ∪ 𝐸| = 2𝑚𝑛 + 𝑚 = | [1, 𝑚] ∪ [𝑚 + 1, 𝑚𝑛] ∪ [𝑚𝑛 + 1,2𝑚𝑛] ∪ [2𝑚𝑛 + 1, 2𝑚𝑛 + 𝑚] | = | | 𝑓({𝑣 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) ∪ 𝑓({𝑣 ℎ 𝑗 |1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 }) ∪ 𝑓({𝑒 ℎ 𝑘 |1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) ∪ 𝑓({𝑒 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) | |
= |𝑓(𝑉 ∪ 𝐸)|
dengan 2𝑚𝑛 + 𝑚 merupakan banyaknya titik dan sisi dari graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 . Akibatnya, 𝑓 merupakan fungsi bijektif.
Kasus 2 : 𝑛 genap
𝑓(𝑣 ℎ ) =   { (ℎ + 1)
2 ,                  ℎ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑚]
(𝑚 + 1) 2 + ℎ 2 , ℎ 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈ [1, 𝑚]
𝑓(𝑒 ℎ ) =  2𝑚𝑛 + ℎ,                    ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑓(𝑣 𝑗 ℎ ) = { (𝑗 + 1)𝑚 + 1 − ℎ , ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑛 − 1] 𝑗𝑚 + ℎ, ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈ [1, 𝑛 − 1]
𝑓(𝑒 ℎ 𝑘 ) = { (𝑚𝑛 + ℎ) + (𝑘 − 1)𝑚 , ℎ ∈ [1, 𝑚] 𝑘 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙  ∈ [1, 𝑛]
(𝑚𝑛 + 1) − ℎ + 𝑚𝑘, ℎ ∈ [1, 𝑚]
𝑘 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝  ∈ [1, 𝑛]
Berdasarkan  Lemma  3.1.1  terlihat  bahwa  jika 𝑓(𝑣 ℎ ) = 𝑎 ℎ , 𝑓(𝑣 𝑗 ℎ ) = 𝑏 ℎ 𝑗 , 𝑓(𝑒 ℎ 𝑘 ) = 𝑐 ℎ 𝑘 , 𝑓(𝑒 ℎ ) = 𝑑 ℎ .  Perhatikan  himpunan 𝑋 ℎ ; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 pada  bukti  Kasus  2  Lemma  3.1.1. Anggota himpunan 𝑋 ℎ merupakan label titik dan sisi dari graf 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 yang merupakan subgraf dari graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 . Kemudian perhatikan juga bahwa jumlah label titik dan sisi dari setiap subgraf 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 pada graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 sama, yaitu 𝑛(4𝑚𝑛 + 𝑚 + 2) + 1 2 (2𝑚𝑛 + 𝑚 + 1) .
Perhatikan partisi fungsi berikut.
1. 𝑓({𝑣 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) = [1, 𝑚] ,
2. 𝑓({𝑒 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) = [2𝑚𝑛 + 1, 2𝑚𝑛 + 𝑚],
3. 𝑓({𝑣 ℎ 𝑗 |1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 }) = [𝑚 + 1, 𝑚𝑛] ,
4. 𝑓({𝑒 ℎ 𝑘 |1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) = [𝑚𝑛 + 1, 2𝑚𝑛]
Masing-masing partisi merupakan fungsi bijektif dan memiliki daerah hasil yang tidak saling beririsan. Kemudian perhatikan bahwa
|𝑉 ∪ 𝐸| = 2𝑚𝑛 + 𝑚 = | [1, 𝑚] ∪ [𝑚 + 1, 𝑚𝑛] ∪ [𝑚𝑛 + 1,2𝑚𝑛] ∪ [2𝑚𝑛 + 1, 2𝑚𝑛 + 𝑚] | = | | 𝑓({𝑣 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) ∪
𝑓({𝑣 ℎ 𝑗 |1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 }) ∪ 𝑓({𝑒 ℎ 𝑘 |1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛; 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) ∪ 𝑓({𝑒 ℎ |1 ≤ ℎ ≤ 𝑚}) | |
= |𝑓(𝑉 ∪ 𝐸)|
dengan 2𝑚𝑛 + 𝑚 merupakan banyaknya titik dan sisi dari graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 . Akibatnya, 𝑓 merupakan fungsi bijektif.

## 4. SIMPULAN
Dari penulisan yang dilaporkan dalam skripsi ini, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Graf 𝐶 𝑚 ⊳ 𝐶 𝑛 merupakan 𝑃 2 ⊳ 𝐶 𝑛 ajaib super untuk 𝑚 ≥ 3, 𝑛 ≥ 3, 𝑚, 𝑛  ∈ Ν, 𝑚 ganjil (Teorema 3.2.1).
2. Misalkan 𝑚, 𝑛  ∈  Ν dan 1 ≤ ℎ ≤ 𝑚 . Maka multi-himpunan 𝑋 = 2[1 , 2𝑚𝑛] ⨄  [2𝑚𝑛 + 1 , 2𝑚𝑛 + 𝑚] adalah 𝑚 -seimbang (Lemma 3.1.1).
Penulisan ini dapat dilanjutkan dengan mencari apakah terdapat konstruksi  pelabelan 𝑃 2 ⊳   𝐶 𝑛 ajaib super dari graf 𝐶 𝑚 ⊳   𝐶 𝑛 untuk 𝑚  ≥ 3, 𝑛  ≥  3, 𝑚, 𝑛  ∈  Ν, 𝑚 genap.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chartrand, G. dan Zhang, P. (2012). A First Course in Graph Theory. New  York: McGraw Hill.
[2] Galian, J. A. (2017). A Dynamic Survey of Graph Labeling (20th ed.). Electronic Journal of Combinatorics, 17#ds6.
[3]  Rosen,  K.  H.  (2007).  Discrete  Mathematics  and  its  Application  (6th  ed.).  New  York: McGraw Hill.
[4] Suhadi, W. S., Novi, M., Ira, A.P. (2017). The Metric Dimension of Comb Product Graphs. MATEMATIK VESNIK 69, 4 , 248-258.