## Simulasi Numerik Model Vaksinasi Transmisi Virus Influenza dengan Incidence Rate

## Irma Suryani
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau, Jalan HR. Soebrantas km 15,5, Pekanbaru 28291, Indonesia
Korespondensi; Irma Suryani, Email: irma.suryani@uin-suska.ac.id

## Abstrak
Model  Vaksinasi  Transmisi  Virus  Influenza  dengan  Incidence  Rate  ini  merupakan  model  vaksinasi  yang  ditambahkan asumsi laju tingkat jenuh ( Incidence Rate ). Analisis terhadap eksistensi solusi periodik menunjukkan bahwa tidak memuat orbit  periodik  pada  himpunan  positif  kelas  yang  divaksin.  Simulasi  diberikan  dengan  nilai  parameter  yang  berbeda terhadap nilai laju individu yang divaksin terinfeksi dan laju kontak yang berbeda. Kemudian simulasi dan potret phase yang  diperoleh  diinterpretasikan  dan  dibandingkan  dengan  model  sebelumnya.  Hasil  menunjukkan  bahwa  dengan adanya laju tingkat jenuh ( Incidence Rate ), kejadian individu terinfeksi baru sedikit daripada model sebelumnya.
Kata Kunci : Kriteria Bendixson-Dulac, Maple, Model Vaksinasi Transmisi Virus Influenza, Incidence Rate, Nilai Parameter.

## Abstract
This  Influenza  Virus  Transmission  Vaccination  Model  with  Incidence  Rate  is  a  vaccination  model  which  adds  the assumption of a saturation rate (Incidence Rate). Analysis of the existence of the periodic solution shows that it does not contain periodic orbits in the positive set of vaccinated classes. Simulations are given with different parameter values for the rate at which vaccinated individuals become infected and at different contact rates. Then the simulations and phase portraits obtained are interpreted and compared with the previous model. The results show that with the presence of a saturation rate (Incidence Rate), the incidence of new infected individuals is less than in the previous model.
Keywords : Bendixson-Dulac Criteria, Maple, Influenza Virus Transmission Vaccination Model, Incidence Rate, Parameter Values.

## Pendahuluan
Penyakit yang sering menyerang manusia salah satunya adalah influenza atau yang sering disebut flu. Influenza (sering disebut flu) disebabkan oleh virus. Virus influenza dapat menyerang orang sekitar yang terkena  virusnya.  Oleh  sebab  itu,  virus  influenza  mempunyai  dampak  penting  (patogen)  terhadap manusia. Salah satu penyakit pernapasan yang disebabkan oleh keluarga RNA virus Orthomyxoviridae adalah influenza [1]–[3]. Rekonstruksi filogenetik dari virus flu dengan menggunakan sampel -  sampel yang  masih  ada  belakangan  ini  telah  dilakukan.  Pengembangan  penelitian  ini  meluas  diteliti  guna kepentingan kesehatan manusia.
Virus influenza dapat dikatakan telah hidup berdampingan dengan manusia. Manusia dapat terserang influenza kapan dan dimana saja. Di Amerika, virus influenza mempengaruhi 25 hingga 50 juta orang, sekitar  20  hingga  40  ribu  kematian  terkait  influenza  [4]  sehingga  negara  fokus  untuk  melakukan pencegahan  terhadap  virus  influenza.  Pencegahan  terhadap  virus  ini  dapat  dilakukan  dengan  vaksin. Walaupun vaksin  merupakan cara yang efektif untuk melawan infeksi influenza [4], namun vaksin yang terdiri  dari  virus  yang  dilemahkan  tidak  dapat  melindungi  semua  penerima  vaksin.  Dalam  hal  ini,
imunitas  atau  kekebalan  tubuh  sangat  diperlukan  dalam  proses  pencegahan  virus  tersebut.  Karena, perlindungan  yang  diberikan  vaksin  ini  juga  tergantung  kepada  kekebalan  tubuh  si  penerima  vaksin. Biasanya vaksin influenza melindungi 70% - 90% dari penerima diantara orang dewasa muda yang sehat dan serendah 30% - 40% dari lansia dan lainnya dengan sistem kekebalan yang lemah (seperti terinfeksi HIV atau imunosupresi pasien transplantasi) [5].
Lebih lanjut, vaksin influenza ini diharapkan dapat melindungi semua penerima vaksin. Vaksin ini juga  diharapkan  dapat  berhasil  memberantas  infeksi  influenza  dalam  suatu  populasi.  Indonesia merupakan negara tropu serta wabah influenza. Namun, kegagalan dari vaksin influenza ini juga tidak bisa  dihindarkan.  Karena  itu  semua  kembali  kepada  imunitas  dari  penerima  vaksin  dan  lingkungan disekitarnya. Melalui pemodelan matematika, dapat dimodelkan dampak imunisasi/vaksin influenza ini dalam suatu populasi. Dengan melihat sebagian keefektifan vaksin, diharapkan vaksin dapat mengontrol transmisi infeksi influenza.
Model matematika telah banyak digunakan dalam berbagai bidang kesehatan salah satunya dalam hal vaksinasi. Model matematika dapat digunakan untuk menentukan kemampuan vaksin dalam mengontrol infeksi  penyakit  lainnya  dan  beberapa  temuan  telah  dikuatkan  oleh  studi  klinis.  Beberapa  model matematika dimodelkan untuk penularan infeksi influenza [6]–[8].
Alexander [9] telah membahas dinamika transmisi infeksi influenza yang dinormalisasi serta analisis dari  ekuilibrium  NR  ( normalized-reduced )  model  tersebut.  Pada  penelitian  ini  semua  individu  yang direkrut ke dalam populasi sebagai rentan. Untuk mendapatkan persamaan, pada model diklasifikasikan menjadi  beberapa  klas  dari  populasi  (N ̃)  yaitu  klas  populasi  rentan  ( Susceptible ,  S ̃),  klas  populasi vaksinasi ( Vaccine , V ̃), klas populasi terinfeksi ( Infected , I ̃), dan klas populasi sembuh ( Recovered , R ̃). Analisisnya menunjukkan bahwa model yang dibentuk memiliki ekuilibrium endemik yang stabil. Dan dari simulasi yang diberikannya juga memperlihatkan bagaimana terjadinya bifurkasi backward dalam model tersebut.
Lebih  lanjut,  disini  penulis  melanjutkan  penelitian  yang  telah  dilakukan  sebelumnya  dengan menggunakan model normalisasi pada jurnal Alexander et all [9] dengan menambahkan asumsi tingkat kejenuhan ( 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 ) kemudian dibuatkan simulasi numerik. Lebih lanjut, analisis dinamika yang terjadi pada model yang telah dibentuk dan kemudian dibandingkan dengan model pada jurnal Alexander et all [9].

## Landasan Teori
Pada  bagian  ini  akan  di  bahas  mengenai  titik  equilibrium  dan  kestabilannya  serta  salah  satu  fungsi penting yang menjadi dasar dalam penelitian ini yaitu fungsi Dulac.

## Titik Ekulibrium dan Kestabilannya
Secara  umum,  model  penyebaran  penyakit  biasanya  mempunyai  dua  titik  ekuilibrium,  yaitu  titik ekuilibriumbebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium  endemik  penyakit.  Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit artinya tidak ada individu yang terinfeksi penyakit dalam populasi, sedangkan titik ekuilibrium endemik penyakit artinya ada individu yang terinfeksi penyakit dalam populasi. Konsep perilaku sistem pada titik ekuilibrium dikenal sebagai kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan tersebut merupakan informasi untuk menggambarkan perilaku sistem. Berikut diberikan definisi titik ekuilibrium,
Definsi 1. [10]: Vektor 𝒙 ̂   ∈ 𝑅 𝑛 disebut titik ekuilibrium Sistem 𝒙̇ = 𝒇(𝒙) jika 𝒇(𝒙 ̂) = 0 .
Definisi 2. [10]: Titik ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 dari sistem 𝒙̇ = 𝒇(𝒙) dapat dikatakan:
a. Stabil lokal jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi 𝑥(𝑡) yang memenuhi ‖𝒙(𝑡 0 ) − 𝒙 ̂‖ < 𝛿 berlaku ‖𝒙(𝑡) − 𝒙 ̂‖ < 𝜀 untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡 0 .
b. Stabil  asimtotik  lokal  jika  titik  ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 stabil  lokal  dan  terdapat  bilangan 𝛿 0 > 0 sehingga untuk setiap solusi 𝒙(𝑡) yang memenuhi ‖𝒙(𝑡) − 𝒙 ̂‖ < 𝛿 0 maka berlaku lim 𝑡→∞ 𝒙(𝑡) = 𝒙 ̂ .
c. Tidak stabil jika titik ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 tidak memenuhi(a) .
Jika untuk sembarang titik awal, solusi sistem persamaan diferensial 𝒙(𝑡) berada dekat dengan titik ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 maka titik ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 stabil global. Sementara itu jika untuk sembarang titik awal, solusi sistem persamaan diferensial 𝒙(𝑡) berada dekat dengan titik ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 dan untuk 𝑡 membesar menuju  tak hingga 𝒙(𝑡) konvergen ke 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 , maka titik ekuilibrium 𝒙 ̂ ∈ 𝑅 𝑛 stabil asimtotik global.

## Fungsi Dulac
Ada dua tujuan penting dalam studi persamaan diferensial, pertama untuk menggambarkan dinamika di sekitar titik – titik tetap dan kedua adalah analisis lintasan periodic yang ada dalam sistem tertentu. Ada kriteria  yang  memungkinkan  untuk  mengetahui  apakah  suatu  sistem  persamaan  mengandung  solusi periodic atau tidak. Dalam kasus tertentu yang didefinisikan pada bidang, misalnya, kriteria Poincare- Bendixson, Bendixson-Dulac, teori indeks dan sistem khusus sebagai gradient sistem dimana diketahui orbit periodik tidak dapat ada. Untuk membangun fungsi Dulac dari suatu sistem, ingat kembali kriteria Bendixson-Dulac [11].
Teorema 3. (Kriteria Bendixson-Dulac) Misalkan 𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 ) , 𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 ) dan ℎ(𝑥 1 , 𝑥 2 ) merupakan fungsi terhubung  sederhana 𝐶 1 di 𝐷  𝑅 2 sedemikan  sehingga 𝜕(𝑓 1 ℎ) 𝜕𝑥 1 + 𝜕(𝑓 2 ℎ) 𝜕𝑥 2 tidak  berubah  tanda  di 𝐷 dan menghilang pada himpunan nol( 0 ), maka sistem
{ 𝑥′ 1 = 𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 ) 𝑥′ 2 = 𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 ) , (𝑥 1 , 𝑥 2 )  𝐷 (1)
tidak mempunyai orbit periodik di 𝐷 .
Menurut kriteria ini, untuk  mengesampingkan keberadaan orbit periodik Sistem  (1) di  daerah 𝐷 yang terhubung sederhana, perlu dicari fungsi ℎ(𝑥 1 , 𝑥 2 ) yang  memenuhi  kondisi  teorema Bendixson-Dulac sehingga ℎ disebut fungsi Dulac .

## Metode
Penelitian  dilakukan  dengan  tahapan  sebagai  berikut:  1)  Studi  literatur  mengenai  model  vaksinasi transmisi  virus  influenza.  2)  Konstruksi  dan  modifikasi  model  vaksinasi  transmisi  virus  influenza.  3) Analisis model matematika.  Pada tahapan ini analisis eksistensi solusi periodik dengan menggunakan metode  Dulac-Bendixson.  4)  Simulasi  numerik  dan  interpretasi.  Pada  tahap  ini  simulasi  numerik dilakukan  menggunakan  software  maple  dan  kemudian  hasilnya  diinterpretasikan  dan  dibandingkan dengan model sebelumnya.

## Hasil dan Pembahasan
Pembahasan dari penelitian ini terbagi menjadi tiga bagian. Bagian pertama adalah pembahasan mengenai model matematika yang terbentuk, bagian kedua adalah hasil dan analisis dan bagian akhinya kita tutup dengan simulasi numerik.

## Model Matematika
Sebelumnya, diberikan Model vaksinasi transmisi virus influenza dengan incidence rate yang merupakan model baru setelah adanya penambahan asumsi dari Model yang telah dikenalkan oleh Alexander et all [9] yang selanjutnya disebut Sistem persamaan diferensial (2) sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = (1 − 𝜖) − 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 −  𝑆 − 𝑆 + 𝜔𝑉 + 𝛿𝑅
𝑑𝑉 𝑑𝑡 =  𝑆 − (1 − 𝜎)𝛽𝑉𝐼 − (1 + 𝜔)𝑉
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜖 + 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 + (1 − 𝜎)𝛽𝑉𝐼 − (1 + 𝛼)𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 − (1 + 𝛿)

## Hasil dan Analisis
Daerah fisible,
 = {(𝑆, 𝑉, 𝐼, 𝑅) ∶ 𝑆, 𝑉, 𝐼, 𝑅  ≥ 0 ; 𝑆 + 𝑉 + 𝐼 + 𝑅 = 1}
(3)
adalah invariant positif  Model  (2).  Oleh  karena  itu,  daerah  model  berada  dalam  .  Dengan menggunakan 𝑅 = 1 − 𝑆 − 𝑉 − 𝐼 dalam  ,  kita  bisa  mengabaikan 𝑑𝑅 𝑑𝑡 pada  Persamaan  (2).  Dengan demikian diperoleh Model (4) yaitu:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = (1 − 𝜖) − 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 −  𝑆 − 𝑆 + 𝜔𝑉 + 𝛿(1 − 𝑆 − 𝑉 − 𝐼)
𝑑𝑉 𝑑𝑡 =  𝑆 − (1 − 𝜎)𝛽𝑉𝐼 − (1 + 𝜔)𝑉 (4)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜖 + 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 + (1 − 𝜎)𝛽𝑉𝐼 − (1 + 𝛼)𝐼
Titik ekuilibrium bebas  penyakit diperoleh dengan 𝐼 = 𝐼 0 = 0 sehingga diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit model vaksinasi transmisi virus influenza Model (4) yaitu,
𝐸 0 = (𝑆 0 , 𝑉 0 ,  𝐼 0 ) = ( (1+𝜔)+𝛿(1+𝜔) (  +1−𝛿)(1+𝜔)−  (𝜔−𝛿) ,  +𝛿 (  +1−𝛿)(1+𝜔)−  (𝜔−𝛿) , 0) (5)
Karena 𝑆 0 , 𝑉 0 ,  𝐼 0 selalu positif, artinya pada ekuilibrium tersebut sudah tidak ada infeksi dan virus lagi dalam populasi. Dalam hal ini, 𝐸 0 merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (2).
Titik ekuilibrium endemik terjadi pada saat 𝐼 ≠ 0 dan 𝜖 = 0 sehingga dari Sistem (4) diperoleh,
𝑆 ∗ = (1+𝛼)(1+  𝐼 ∗ )[(1−𝜎)𝛽𝐼 ∗ +(1+𝜔)] 𝛽[(1−𝜎)[(1+  𝐼 ∗ )  +𝛽𝐼 ∗ ]+(1+𝜔)] , (6)
𝑉 ∗ = (1+𝛼)−𝛽𝑆 ∗ /(1+  𝐼 ∗ ) (1−𝜎)𝛽 = 1−𝑟 0 𝑆 ∗ (1+  𝐼 ∗ )(1−𝜎)𝑟 0 , (7)
substitusikan Persamaan (6) dan (7) ke 𝑑𝐼 𝑑𝑡 pada Persamaan (2) diperoleh,
𝐸(𝐼 ∗ ) ≡ 𝑎 1 𝐼 ∗2 + 𝑎 2 𝐼 ∗ + 𝑎 𝑒 = 0 , (8)
dengan,
𝑎 1 = [(1 + 𝛼)(  + 𝜔  )] 𝑎 2 = [(1 + 𝛼)(1 + 𝜔)] 𝑎 3 = (1 + 𝜔) Jadi, diperoleh titik ekuilibrium endemik penyakit adalah
𝐸 ∗ = (𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝐼 ∗ ) (9)
dengan 𝑆 ∗ , 𝑉 ∗ , dan 𝐼 ∗ masing – masing Persamaan (6), (7) dan (8). Kemudian diberikan bilangan reproduksi dasar,
ℛ 0 = 𝛽((1+𝜔)+  (1−𝜎)) (1+𝛼)(1+𝜔+  )  (10)
Dengan catatan bahwa ℛ 0 ini merupakan bilangan reproduksi terinfeksi yang diinterpretasikan sebagai jumlahan dari orang terinfeksi dari salah satu individu terinfeksi  yang masuk ke dalam populasi  yang divaksin.
Teorema 4. (Eksistensi Solusi Periodik) Misal 𝑓 1 (𝑆, 𝑉, 𝐼) , 𝑓 2 (𝑆, 𝑉, 𝐼) dan 𝑓 3 (𝑆, 𝑉, 𝐼) dan ℎ(𝑆, 𝑉, 𝐼) menjadi fungsi 𝐶 1 dalam domain terhubung sederhana   𝑅 4 sedemikian sehingga 𝜕(𝑓 1 ℎ) 𝜕𝑆 + 𝜕(𝑓 2 ℎ) 𝜕𝑉 + 𝜕(𝑓 3 ℎ) 𝜕𝐼 tidak berubah tanda di  dan menghilang mendekati nol. Maka Sistem (2) tidak mempunyai orbit periodik di  .
Bukti. Untuk membuktikan eksistensi solusi periodik pada Sistem (2) akan digunakan teorema Dulac- Bendixson [13]. Diberikan 𝜕(𝑓 1 ℎ) 𝜕𝑆 , 𝜕(𝑓 2 ℎ) 𝜕𝑉 , dan 𝜕(𝑓 3 ℎ) 𝜕𝐼 dimana 𝑓 1 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 , 𝑓 2 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 dan 𝑓 2 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 pada Sistem (2). Misalkan ℎ(𝑆, 𝑉, 𝐼) = 1 𝑆𝐼 adalah fungsi yang terdiferensialkan pada kuadran non negatif. Selanjutnya diperoleh,
∇(𝑆, 𝑉) = 𝜕 𝜕𝑆 [((1 − 𝜖) − 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 −  𝑆 − 𝑆 + 𝜔𝑉 + 𝛿(1 − 𝑆 − 𝑉 − 𝐼)) ( 1 𝑉 )] + 𝜕 𝜕𝑉 [(  𝑆 − (1 − 𝜎)𝛽𝑉𝐼 − (1 + 𝜔)𝑉) ( 1 𝑉 )] = 𝜕 𝜕𝑆 [ (1−𝜖) 𝑉 − ( 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 ) 𝑉 −  𝑆 𝑉 − 𝑆 𝑉 + 𝜔𝑉 𝑉 + (𝛿(1−𝑆−𝑉−𝐼)) 𝑉 ] + 𝜕 𝜕𝑉 [  𝑆 𝑉 − (1−𝜎)𝛽𝑉𝐼 𝑉 − (1+𝜔)𝑉 𝑉 ] = 𝜕 𝜕𝑆 [ (1−𝜖) 𝑉 − ( 𝛽𝑆𝐼 1+  𝐼 ) 𝑉 −  𝑆 𝑉 − 𝑆 𝑉 + 𝜔 + 𝛿 𝑉 − 𝛿 − 𝛿𝑆 𝑉 − 𝛿 𝑉 ] + 𝜕 𝜕𝑉 [  𝑆 𝑉 − (1 − 𝜎)𝛽𝐼 − (1 + 𝜔)]
= ( 𝛽𝐼 𝑉(1+  𝐼) ) −  𝑉 − 1 𝑉 − 𝛿 𝑉 −  𝑆 𝑉 2 ≥ 0 dengan syarat ( 𝛽𝐼 𝑉(1+  𝐼) ) ≥  𝑉 + 1 𝑉 + 𝛿 𝑉 +  𝑆 𝑉 2 . Ini berarti bahwa Sistem (2) tidak memuat orbit periodik di himpunan bagian 𝑉 > 0 .

## Simulasi Numerik
Pada subab ini, akan dilakukan simulasi numerik pada Sistem (2). Simulasi ini dibagi menjadi ℛ 0 < 1 dan ℛ 0 > 1 .  Didefinisikan  = {(𝑆, 𝑉, 𝐼, 𝑅) ∶ 𝑆, 𝑉, 𝐼, 𝑅  ≥ 0 ; 𝑆 + 𝑉 + 𝐼 + 𝑅 = 1} merupakan  daerah fisible  model  dengan 𝑆, 𝑉, 𝐼, 𝑅 merepresentasikan  dari  populasi  rentan,  populasi  divaksin,  populasi terinfeksi dan populasi recovery/sembuh, pada simulasi ini waktu t menunjukkan dalam tahun.
Disini,  simulasi  akan  dilakukan  untuk  bebarapa  keadaan,  yakni  :  (i)  keadaan  titik  ekuilibrium 𝐸 0 stabil, (ii) keadaan titik ekuilibrium 𝐸 ∗ stabil. Adapun nilai parameter yang digunakan dalam simulasi ini dapat dilihat pada Tabel 1. Nilai parameter yang ada pada Tabel 1 kolom simulasi 1 dan simulasi 2 memenuhi kondisi yang menjamin kestabilan dari titik ekuilibrium 𝐸 0 . Nilai parameter pada simulasi 3 dan simulasi 4 memenuhi kondisi yang menjamin kestabilan dari titik ekuilibrium 𝐸 ∗ . Nilai awal dari masing-masing  individu  diberikan  sama.  Akan  tetapi,  laju  individu  rentan  yang  telah  divaksin  (  ) diberikan bervariatif.
Tabel 1. Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi numerik
Notasi Deskripsi Nilai Parameter Simulasi 1 Simulasi 2 Simulasi 3 Simulasi 4 𝛿 Laju  imunitas  berkurang  oleh infeksi 0.1 0.1 0.1 0.1 𝛼 Laju recovery infeksi 0.25 0.25 0.1 0.1 𝛽 Laju kontak terinfeksi 0.5 0.5 2 2
𝜖 Fraksi  rekrut  individu  yang terinfeksi 0 0 0 0 𝜎 Efisiensi vaksin 0.8 0.8 0.8 0.8 𝜔 Laju imunitas vaksin berkurang  0.1 0.1 0.1 0.1  Laju individu rentan yang telah divaksin 0.35 0.8 0.35 0.8
Berikut hasil simulasi numerik yang dilakukan menggunakan Maple.
(1.a) Grafik Model dengan Incidence rate
(1.b) Grafik Model Awal
Dari  Gambar  (1.a)  dan  (1.b)  dengan  nilai  parameter  simulasi  1  dan ℛ 0 < 1 menunjukkan  bahwa semua orbit konvergen ke titik ekuilibrium dan memenuhi kondisi kestabilannya. Tetapi Gambar (1.a) menunjukkan bahwa individu terinfeksi lebih sedikit dari pada Gambar (1.b) dengan puncak infeksi yang lebih tinggi.  Pada Model  yang diberikan  Incidence Rate, individu  yang divaksin menurun lambat dan stabil  pada  saat 𝑡 = 4 yaitu 0.32 sedangkan  individu  yang  divaksin  pada  Model  Awal  menurun    dan stabil  pada saat 𝑡 = 0.2 .  Ini  menunjukkan bahwa individu  rentan dan individu  vaksin  dalam populasi akan lambat menjadi terinfeksi sehingga individu terinfeksi lebih cepat hilang di dalam populasi.
(1.c) Grafik Model Incidence Rate
(1.d) Grafik Model Awal
Gambar  (1.c)  dan  (1.d)  dengan  nilai  parameter  simulasi  2  juga  bisa  dilihat  bahwa  menaikkan  laju individu rentan yang telah divaksin maka populasi individu  yang divaksin meningkat dan lebih tinggi dari  pada  individu  terinfeksi  pada  Gambar  (1.c)  dan  model  sebelumnya  Gambar  (1.d),  individu  yang divaksin meningkat tetapi tetap berada dibawah individu terinfeksi sehingga kasus baru terinfeksi virus masih banyak. Pada Gambar (1.c) dan (1.d) dapat dilihat bahwa dengan meningkatkan laju individu yang divaksin (  ) dapat mengurangi individu terinfeksi turun dan meningkatnya jumlah individu yang divaksin
di  dalam  populasi.  Ini  artinya,  vaksinasi  sangat  berpengaruh  menurunkan  transmisi  virus influenza  di dalam populasi.
Berikut diberikan Gambar (1.e), (1.f), (1.g) dan (1.h) yang merupakan grafik dari ekuilibrium endemik dengan ℛ 0 > 1 . Pada Gambar (1.e) dan (1.f) dengan nilai parameter simulasi 3 dan Gambar (1.g) dan (1.h) dengan nilai parameter simulasi 4. Pada gambar terlihat bahwa individu terinfeksi masih berada di dalam populasi sehingga dapat menularkan virus influenza ke individu rentan dan individu yang divaksin.
(1.e)Grafik Model Incidence Rate
(1.f) Grafik Model Awal
(1.g)Grafik Model Incidence Rate
(1.h) Grafik Model Awal
Sementara, model yang diberikan Incidence Rate Gambar (1.e) dan (1.g) menunjukkan bahwa individu yang terinfeksi tidak naik secara signifikan seperti Gambar (1.f) dan (1.h) sehingga individu rentan dan individu yang telah divaksin nantinya juga tidak naik signifikan saat ditular virus dari individu terinfeksi. Itu artinya, kasus baru yang terinfeksi virus influenza akan lebih sedikit dari model sebelumnya. Dengan demikian, dapat dituliskan teorema sebagai berikut,
Teorema 5. Titik ekuilibrium endemik 𝐸 ∗ dari Sistem (2) stabil asimtotik lokal jika ℛ 0 > 1 dan tidak stabil jika ℛ 0 < 1 .
Berikut diberikan potret phase dari Sistem (2).
(m) (n) (o) Gambar 2. Potret Phase 𝑆(𝑡) − 𝐼(𝑡) : (m) Model dengan Incidence Rate simulasi 3, (n) Model dengan Incidence Rate simulasi 4, (o) Model Awal simulasi 4
Selanjutnya, Gambar (m), (n) dan (o) menunjukkan potret phase dari individu rentan 𝑆(𝑡) dan individu terinfeksi 𝐼(𝑡) dengan nilai awal yang berbeda-beda dan nilai parameter simulasi 3 dan simulasi 4. Potret phase  tersebut  menggambarkan  dinamika  individu  rentan  dan  individu  terinfeksi  di  dalam  populasi. Gambar (m) menunjukkan bahwa kontak yang terjadi antara individu rentan dan terinfeksi mulai turun di 𝑆(0) = 1.5 dan 𝐼(0) = 1.5 dan di 𝑆(0) = 1 dan 𝐼(0) = 1 juga turun menuju ekuilibrium di dalam populasi.  Tetapi,  Gambar  (n)  menunjukkan  bahwa  kontak  yang  terjadi  antara  individu  rentan  dan terinfeksi  di 𝑆(0) = 1.5 dan 𝐼(0) = 1.5 turun  melambat  dan  di 𝑆(0) = 1 baru  menunjukkan  kontak menurun  begitu  juga 𝐼(0) = 1 menuju  ekuilibrium  dalam  populasi.  Individu  rentan  dan  individu terinfeksi  pada  Model Incidence  Rate yang  diberikan  peningkatan  pada  laju  individu  rentan  yang divaksin (  ) 0.8, (n), menunjukkan interaksi menurun dan lebih kecil daripada (  ) semula 0.35.
Lebih lanjut, Potret phase (o) memperlihatkan bagaimana Model Awal yang diberikan laju individu rentan yang divaksin (  ) 0.35 menunjukkan bahwa interaksi individu rentan dan indivdiu terinfeksi masih tinggi dan lebih tinggi daripada Model dengan Incidence Rate bila diberikan nilai parameter yang sama.
Ini  berarti  bahwa  Model  yang  diberikan Incidence  Rate akan  memperkecil  kontak  antara  individu rentan dan individu terinfeksi sehingga invidu terinfeksi menurun. Dan Model dengan Incidence Rate yang  diberikan  peningkatan  pada  porsi  laju  rentan  yang  divaksin  (  )  akan  mengurangi  laju  kontak individu rentan dan individu terinfeksi.
(p) (q) (r)
Gambar 3. Potret Phase 𝑉(𝑡) − 𝐼(𝑡) : (p) Model dengan Incidence Rate simulasi 3, (q) Model dengan Incidence Rate simulasi 4, (r) Model Awal simulasi 4
Dari  Gambar  (p),  (q)  dan  (r)  menunjukkan  potret  phase  dari  individu  divaksin 𝑉(𝑡) dan  individu terinfeksi 𝐼(𝑡) dengan  nilai  awal  yang  berbeda-beda  dan  nilai  parameter  simulasi  3  dan  simulasi  4. Gambar (p) menunjukkan bahwa kontak yang terjadi antara individu yang divaksin dan terinfeksi mulai turun di 𝑉(0) = 0.6 dan (0) = 1.9 , 𝑉(0) = 0.6 dan 𝐼(0) = 1.3 juga turun menuju ekuilibrium di dalam
populasi. Tetapi, Gambar (q) menunjukkan bahwa kontak yang terjadi antara individu yang divaksin dan terinfeksi  di 𝑉(0) = 0.8 dan (0) = 1.8 , 𝑉(0) = 0.8 dan 𝐼(0) = 1.2 turun  melambat  dan  kemudian menuju ekuilibrium dalam populasi. Ini menunjukkan bahwa  Kontak yang terjadi antara individu yang divaksin dan individu terinfeksi pada Model yang diberikan Incidence Rate dengan perbedaan perlakuan pada laju individu rentan yang divaksin (  ) mengalami perbedaan yang signifikan. Kontak individu yang divasin dengan individu yang terinfeksi  akan lebih lama terjadi peningkatan kontaknya jika diberikan laju  individu  rentan  yang  divaksin  (  )  lebih  besar,  yaitu  0.8  daripada  Gambar  (p).  Artinya,  dengan memperbesar  laju  vaksin  maka  kontak  yang  terjadi  antara  individu  yang  divaksin  dengan  individu terinfeksi akan semakin lambat di dalam populasi.
Lebih  lanjut,  Gambar  (q)  dan  (r)  dapat  dilihat  dengan  nilai  parameter  simulasi  4.  Gambar  (r) menunjukkan  bahwa  kontak  yang  terjadi  antara  individu  yang  divaksin  dan  terinfeksi  mulai  turun  di 𝑉(0) = 0.6 dan (0) = 2.2 , 𝑉(0) = 0.6 dan 𝐼(0) = 1.5 juga turun menuju ekuilibrium di dalam populasi. Tetapi, Gambar (q) menunjukkan bahwa kontak yang terjadi antara individu yang divaksin dan terinfeksi di 𝑉(0) = 0.8 dan (0) = 1.8 , 𝑉(0) = 0.8 dan 𝐼(0) = 1.2 turun  melambat  dan  kemudian  menuju ekuilibrium  dalam  populasi.  Ini  menunjukkan  bahwa  kontak  antara  individu  yang  telah  divaksin 𝑉(𝑡) dengan  individu  yang  terinfeksi 𝐼(𝑡) pada  Model  dengan Incidence  Rate semakin  lambat  dan terjadinya infeksi semakin sedikit daripada Model Awal. Artinya, Model dengan Incidence Rate lebih memperbesar daya vaksin dan memperkecil infeksi yang terjadi di dalam populasi daripada Model Awal.

## Kesimpulan
Pada penelitian ini telah diberikan simulasi Model Vaksinasi Transmisi Virus Influenza dengan Incidence Rate dan  Model  Vaksinasi  Transmisi  Virus  Influenza.  Simulasi  yang  diberikan  menunjukkan  bahwa dengan nilai parameter yang berbeda akan memberikan keadaan individu di dalam populasi berbeda pula dan  memenuhi  kondisi  kestabilan  Model  yang  diberikan.  Model  yang  diberikan Incidence  Rate akan membuat individu terinfeksi lebih cepat hilang di dalam populasi dan individu rentan dan terinfeksi lebih naik  jumlahnya  di  dalam  populasi  daripada  Model  Awal  tanpa Incidence  Rate .  Hasil  analisis  pada Teorema 4 juga menunjukkan bahwa tidak memuat orbit periodik untuk kelas populasi yang divaksin dengan 𝑉 > 0 . Ini berarti bahwa individu yang divaksin tetap ada tetapi tidak berosilasi secara periodik.

## Referensi
[1] D. J. D. Earn, J. Dushoff, and S. A. Levin, “Ecology and evolution of the flu,” Trends Ecol. Evol. , vol. 17, no. 7, pp. 334 –340, 2002.
[2] R. A. Lamb, “Genes and Proteins of the Influenza Viruses,” Influ. Viruses , pp. 1 –87, 1989, doi: 10.1007/978-1-4613- 0811-9_1.
[3] R.G.  Webster  and  B.R. Murphy,  “Orthomyxoviruses,  in  Fields  Virology,  3rd  ed.,  B.  N.  Fields  D.M.Knipe,  P.  M. Howley,et.al.,eds,” Lippincott-Raven Publ. , pp. 1397 –1445, 1996.
[4] S. F. Regan and C. Fowler, “Influenza. Past, present, and future.,” J. Gerontol. Nurs. , vol. 28, no. 11, pp. 30 –37; quiz 52, 2002.
[5] I. Grotto et al. , “Influenza vaccine efficacy in young, healthy adults,” Clin. Infect. Dis. , vol. 26, no. 4, pp. 913 –917, 1998, doi: 10.1086/513934.
[6] V.  Andreasen,  J.  Lin,  and  S.  A.  Levin,  “The  dynamics  of  cocirculating  influenza  strains  conferring  partial  cross- immunity.,” J. Math. Biol. , vol. 35, no. 7, pp. 825 –842, 1997, doi: 10.1007/s002850050079.
[7] H. W. Hethcote, “The Mathematics of Infectious,” Society , vol. 42, no. 4, pp. 599 –653, 2000.
[8] S. M. Moghadas, “Modelling the effect of imperfect vaccines on disease epidemiology,” Discret. Contin. Dyn. Syst. - Ser. B , vol. 4, no. 4, pp. 999 –1012, 2004, doi: 10.3934/dcdsb.2004.4.999.
[9] M. E. Alexander, C. Bowman, S. M. Moghadas, R. Summers, A. B. Gumel, and B. M. Sah ai, “A vaccination model for transmission  dynamics  of  influenza,” SIAM  J.  Appl.  Dyn.  Syst. ,  vol.  3,  no.  4,  pp.  503 –524,  2004,  doi: 10.1137/030600370.
[10]  G. J. Olsder, Mathematical System Theory . Delftse Uitgevers Maatschappij, CW Delft, Netherlands, 1994.
[11] O. Osuna and G. Villaseñor, “On the Dulac functions,” Qual. Theory Dyn. Syst. , vol. 10, no. 1, pp. 43 –49, 2011, doi: 10.1007/s12346-011-0036-y.
[12] S. Balamuralitharan and M. Radha, “Bifurcation analysis in SIR epidemic model with treatment,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1000, no. 1, 2018, doi: 10.1088/1742-6596/1000/1/012169.
[13] A. D. Anggoro, “Pemodelan SIRPS untuk Penyakit Influenza dengan Vaksinasi pada Populsi Konstan,” Universitas Negeri Semarang, 2013.
[14]  W. Hahn, Stability of Motion . Springer-Verlag, 1967.
[15]  L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems , Third Edit. Springer, 2009.
[16] S. Balamuralitharan and M. Radha, “Bifurcation analysis in SIR epidemic model with treatment,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1000, no. 1, 2018, doi: 10.1088/1742-6596/1000/1/012169.