JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 2, Tahun 2021, Halaman 200-210 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## ANALISIS  METODE BAYESIAN  PADA SISTEM ANTREAN PELAYANAN  LOKET TIKET STASIUN TAWANG  SEMARANG
Aurum Anisa Salsabela 1 , Sugito 2 , Budi Warsito 3 1, 2, 3 Departemen Statistika FSM Universitas  Diponegoro email : aurumuyunaas@gmail.com

## ABSTRACT
Jamming  is one of the serious problem  in  Indonesia  caused by the increase of vehicle.  The government  has made solution  for this situation  for example was public  transportation.  Train is  one of  the suitable  public  transportation  because of the ticket  price  was cheap. Tawang Railway  Stasion  Semarang was the biggest  railway  station  in  Semarang. In the specific  day such  long  holiday  or  celebrating  day,  many  people  have chosen  train  to  bring  them.  This make a queuing  situation  on the counter of station. Queue theory models  provide  the random of arrival  and service time. The Bayesian theory suits  to handle  the problem  of queuing  that has been working  for several times. Based on the analysis  of the queue models  for customer service, self-print  tickets, cancellation  and ordering are (G/G/c):(GD/∞/∞)  from the posterior distribution  with  combination  from  prior  distribution  and  likelihood  sample.  The combination  of  prior  distribution  and  likelihood  sample  used  in  this  research is  Poisson distribution  for all  ticket  counter  except the arrival  for cancellation  counter which  Normal distribution.  The likelihood  sample  used Poissonn  distribution  for all  ticket counter,  except for self-print  tickets which Diskrit  Uniform Distribution.   Queue models can be used to count the  size  of  the  system  performance.  Based  on  the  calculations  and  analysis,  it  can  be concluded  that the queueing  system to the customer service,  self-print  tickets,  cancellation and  ordering  have been  good  because its  steady  state and  busy  probability  is  higher  than jobless  probability.
Keywords : Tawang Railway  Station,  Queue, Bayesian,  size of the system performance

## 1. PENDAHULUAN
Volume  kendaraan yang  semakin  lama semakin  meningkat  dan fasilitas  jalan  yang tidak  dapat  menampung  banyaknya  kendaraan  yang  melintasi  jalan  menimbulkan  sebuah kemacetan.Salah  satu  cara  mengurangi  kemacetaan  adalah  dengan  menggunakan transportasi  umum.  Kereta api  merupakan  salah  satu  alternatif  transportasi  yang  sering digunakan  masyarakat untuk  bepergian,  terutama dengan rute perjalanan  yang  cukup  jauh. Pada era digital  ini   calon  penumpang  diberi  kemudahan  untuk  mendapatkan  tiket  secara online  sebagai  akses  untuk  dapat  bepergian  dengan  kereta.  Meskipun  kemunculan pemesanan tiket  online  sudah tidak  asing lagi,  pemesanan tiket secara manual melalui  loket tiket yang tersedia di  stasiun tidak  lantas berhenti.  Lonjakan  volume  penumpang  yang biasa terjadi  pada  hari-hari  besar  atau  hari  libur  akan  menimbulkan  situasi  menunggu  dalam antrean yang cukup  lama pada pelayanan loket  tiket. Banyak masyarakat yang masih  belum terbiasa  dengan  sistem  pemesanan  online,  sehingga  masih  menggunakan  loket  tiket  di stasiun untuk  pemesanan tiket kereta dan menimbulkan  sebuah fenomena mengantre.
Proses  antrean  sendiri  merupakan  suatu  proses  yang  berhubungan  dengan kedatangan  pelanggan,  menunggu  dalam  baris  antrean jika  belum  dapat  dilayani,  dilayani dan akhirnya  meninggalkan  fasilitas  tersebut (Kakiay,  2004).  Dalam penelitian  sebelumnya
oleh  Yustiti  (2014)  telah  membahas model  yang  tepat  untuk  menggambarkan  antrean dan juga  ukuran  kinerja  sistem  antrean pada bagian customer service , cetak tiket  mandiri,  loket pemesanan  dan    loket  pembatalan  tiket.  Menurut  Armero  dan  Bayarri  (1995),  metode Bayesian  cocok  digunakan  sebagai  salah  satu analisis  sistem  antreaan selain  karena dapat dengan mudah  menggabungkan  informasi  prior  yang menjadi  substansial  di  sistem antrean yang  telah  berjalan  selama beberapa waktu.  Setelah memenuhi  kondisi  steady state, maka dapat  dilakukan  uji  distribusi  untuk  mencari  distribusi  yang  cocok  untuk  kedatangan  dan pelayanan  pada sistem  antrean. Distribusi  yang  memenuhi  memungkinkan  lebih  dari  satu, sehingga  diperlukan  metode  Bayesian  untuk  dapat  mengkombinasikan  kemungkinan- kemungkinan  dari distribusi  yang memenuhi.  Kombinasi  dari  distribusi  prior  dan distribusi sampel  yang  memenuhi  ini  menjadi  distribusi  posterior  yang  parameternya  dapat  dilihat sesuai dengan bentuk  fungsi  densitasnya.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA Gambaran  Umum PT. Kereta Api Indonesia (Persero)
Sejarah perkeretaapian di Indonesia dimulai  ketika pencangkulan   pertama jalur  kereta api  Solo-Vorstenlanden  (Solo-  Yogyakarta) di  Desa Kemijen,  Jumat tanggal  17  Juni  1864 oleh  Gubernur  Jenderal  Hindia  Belanda,  Mr.  L.A.J  Baron  sloet  van  den  Beele.Stasiun Tawang semarang merupakan salah satu stasiun  kereta api terbesar di  Kota Semarang yang menyediakan  beberapa jenis  loket  yaitu  loket customer service , cetak tiket  mandiri  , loket pemesanan dan loket  pembatalan ( www.kai.id ,  2019)

## 2.1. Ukuran Steady State
Menurut   Taha  (1996)   misalnya   λ adalah  rata-rata kedatangan pelanggan  ke tempat pelayanan per satuan waktu,  μ  adalah rata-rata  pelanggan  yang  telah  dilayani   per  satuan waktu,    dan    c    merupakan  banyaknya    fasilitas    tempat    pelayanan    (server),    maka    ρ didefinisikan   sebagai perbandingan   antara  rata-rata  pelanggan   yang  datang  (λ)  dengan rata-rata pelanggan  yang telah dilayani  per satuan waktu (μ), atau  dapat dituliskan  sebagai berikut:
𝜌 = 𝜆 𝑐 µ

## 2.2. Distribusi Poisson dan Eksponensial
Menurut  Praptono  (1986)  proses  Poisson  adalah  proses  cacah  yang  mempunyai batasan tertentu diantaranya  N (t) mengikuti  distribusi  Poisson dengan rata-rata λt dimana  λ suatu konstanta. Beberapa asumsi untuk  proses poisson  diantaranya :
1. Independen
N(t) independen  terhadap banyaknya  kejadian  yang terjadi  didalam  selang waktu yang lalu.  Artinya  N(t) tak tergantung pada kejadian  sebelumnya.
2. Homogenitas  dalam waktu P{lebih  dari  satu  kedatangan  antara  t  dan  t  + ∆t }  adalah  sangat  kecil  atau  bisa dikatakan diabaikan  atau o ( ∆t ). Homogenitas dalam waktu P n (t) hanya tergantung pada panjang  t  atau  panjang  selang  waktu,  tetapi  tidak  tergantung  dimana  selang waktuberada.
3. Regularitas
Regularitas yaitu dalam suatu interval  kecil (∆t), probabilitas  bahwa tepat satu kejadian terjadi  adalah  λ(∆t)+o(∆t)  dan  probabilitas  bahwa  banyaknya  kejadian  terjadi  lebih dari  sekali  adalah  o(∆t)  dalam  interval  ∆t,  sedangkan  simbol  o(∆t)  digunakan  untuk menyatakan fungsi ∆tyang mendekati 0 lebih  cepat dari ∆t sendiri  mendekati  0, artinya
𝑓(∆𝑡) disebut  o(∆t)↔ lim ∆𝑡→0 𝑓(∆𝑡) ∆𝑡 = 0
Jika  proses  kedatangan  mengikuti   proses  Poisson  dengan  parameter  λ, maka  suatu variabel   acak  yang  menyatakan  waktu  antar  kedatangan  berturutan mengikuti  distribusi Eksponensial  dengan parameter λ.

## 2.3. Uji Kolmogorov Smirnov
a. Menentukan  Hipotesis
H 0 :  Distribusi  sampel mengikuti  distribusi  yang ditetapkan H 1 :  Distribusi  sampel tidak  mengikuti  distribusi  yang ditetapkan b. Menentukan  Taraf Signifikansi Taraf signifikansi  yang digunakan  adalah α = 5%
c. Statistik  Uji
D= max(max(|𝑆(𝑥 𝑖 ) − 𝐹0(𝑥 𝑖 )|) , (|𝑆(𝑥 𝑖−1 ) − 𝐹0(𝑥 𝑖 )|)) (13) 1≤i≤r dengan: S(x i )  :   fungsi  peluang  kumulatif  yang dihitung  dari data sampel F 0 (xi)  :  fungsi   distribusi   yang  dihipotesiskan   (fungsi   peluang  kumulatif) r : banyaknya niali  x yang berbeda d.  Kriteria Uji
Tolak   H0jika   pada  taraf  signifikansi   α  jika   nilai   D  ≥  nilai  Dtabel  (1- α) atau jika nilai  sig  <  nilai  α.  Dtabel  (α)  adalah  nilai  kritis  yang  diperoleh  dari  tabel  Kolmogorov- Smirnov.

## 2.4. Distribusi Normal, Uniform Diskrit dan Gamma
Menurut  Bain  dan  Engelhardt  (1992),  sebuah  variabel  random  kontinu  X berdistribusi  Normal  dengan parameter θ dan variansi  σ 2 dapat dilambangkan  dengan  X ~ (θ, σ 2 ), memiliki  fungsi  kepadatan peluang  sebagai berikut  :
𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜎 2 ) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒𝑥𝑝 [− 1 2 ( 𝑥−𝜃 𝜎 ) 2 ] , -∞ < x < ∞, dimana  -∞ < θ < ∞, 0 < σ < ∞.
Menurut Bain dan Engelhart  (1992),  sebuah variabel  random diskrit  X berdistribusi uniform  diskrit  dalam  bilangan  bulat  1,2,…,λ  jika  meiliki  bentuk  pdf sebagai berikut  :
f(x;λ)= 1 𝜆 x = 1,2,…,λ,
dinotasikan  dengan X~DU(λ)
Menurut Bain dan Engelhart  (1992),  sebuah variabel  random kontinu  X berdistribusi gamma dengan parameter k > 0 dan θ > 0 jika  memiliki  bentuk  pdf sebagai berikut  :
f(x;θ;k) = 1 𝜃 𝑘 𝛤(𝑘) 𝑥 𝑘−1 𝑒 −𝑥 𝜃 ⁄ x > 0
dinotasikan  dengan X~GAM(θ;k)

## 2.5. Model antrean (M/M/c): (GD/∞/∞) dan (G/G/c):(GD/∞/∞)
Menurut  Gross  dan  Harris  (1998),  jika  dianggap  bahwa 𝑟 = 𝜆 µ dan 𝜌 = 𝜆 𝑐𝜇 nilai  P 0 ditentukan  dari ∑ 𝑃 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 1 yang memberikan
𝑃 0 = {∑ 𝑟 𝑛 𝑛! + 𝑐−1 𝑛=0 ∑ 𝑟 𝑛 𝑐 𝑛−𝑐 𝑐! ∞ 𝑛=𝑐 } −1
𝑃 0 = {∑ 𝑟 𝑛 𝑛! 𝑐−1 𝑛=0 + 𝑟 𝑐 𝑐! ( 1 1− 𝑟 𝑐 )} −1 , 𝑟 𝑐 = 𝜌 < 1 (16)
Dengan 𝜌 𝑐 < 1 atau 𝜆 𝑐𝜇 < 1 sehingga  ekspresi untul  Lq adalah sebagai berikut  :
𝐿 𝑞 = ∑ (𝑛 − 𝑐) ∞ 𝑛=𝑐+1 𝑃 𝑛 𝐿 𝑞 = ∑ (𝑛 − 𝑐) ∞ 𝑛=𝑐+1 𝑟 𝑛 𝑐 𝑛−𝑐 𝑐! 𝑃 0 𝐿𝑞 = ( 𝜌𝑟 𝑐 𝑐!(1−𝜌) 2 )𝑃 0 (17)
Rumus  untuk  mencari  ukuran-  ukuran  kinerja  pada  model  antrean  (M/M/c):(GD/∞/∞) adalah sebagai berikut  :
𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝜌 (19) 𝑊𝑞 = 𝐿𝑞 𝜆 (20) 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 + 1 𝜇 (21)
Rumus  untuk  mencari  ukuran-ukuran  kinerja  pada  model  (G/G/c):(GD/∞/∞)  adalah sebagai berikut  :
𝐿𝑞 =  ( 𝜌𝑟 𝑐 𝑐!(1−𝜌) 2 ) 𝑃 0 𝜇 2 𝑣(𝑡)+𝑣(𝑡 ′ )𝜆 2 2 (22)
dengan : v(t) = (1/(µ 2 )) 2 v(t’) = (1/(λ 2 )) 2 𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝜌
𝑊𝑞 = 𝐿𝑞 𝜆 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 + 1 𝜇

## 2.6. Deskripsi Bayesian
Menurut  Box  dan  Tiao  (1973),  diketahui  bahwa  x’  =  (x 1,…, x n )  adalah  vector  dari pengamatan sebanyak n dengan distribusi  probabilitas  p(x|λ) adalah probabilitas  bersyarat y jika  diketahui  nilai  dari  k  parameter λ  adalah  λ’=  (λ 1,…., λ k ). Diketahui  bahwa λ  memiliki distribusi  probabilitasnya  sendiri  yaitu  p(λ), dengan p(x|λ)p(λ)  = p(λ|x)p(x)  = p(x,λ)
(23)
sehingga   didapatkan  persamaan :
𝑝(𝜆|𝑥) = 𝑝( 𝑥 | 𝜆 )𝑝(𝜆) 𝑝(𝑥) (24)
Dapat dituliskan, 𝑝(𝜆|𝑥) =  𝑐𝑝(𝑥|𝜆)𝑝(𝜆) (25)

## 2.7. Distribusi Prior
Box  dan  Tiao  (1973)  membagi  prior  menjadi  2  kelompok  berdasarkan  fungsi Likelihoodnya  :
1. Berkaitan dengan bentuk  distribusi  hasil  identifikasi  pola datanya
a. Prior konjugat,  mengacu pada acuan analisis  model terutama dalam pembentukan fungsi  likelihoodnya.
b. Prior non-konjugat,  pemberian  prior  pada model  tidak  mempertimbangkan  pola pembentuk  fungsi  likelihoodnya.
2. Berkaitan dengan penentuan  masing-masing  parameter pada pola distribusi priortersebut.
a. Prior  informatif  mengacu  pada  pemberian  parameter  dari  distribusi  prior  yang telah dipilih  baik distribusi  prior  konjugat  atau tidak.
b. Prior non-informatif,  apabila pemilihan  distribusi  priornya  tidak  didasarkan pada data yang ada sebelumnya  atau distribusi  prior  yang tidak mengandung  informasi tentang parameter λ.
Salah  satu  bentuk  pendekatan  dari  non-informatif  prior  adalah  dengan  menggunakan metode  Jeffrey’s. Metode  ini  menyatakan  bahwa  distribusi  prior 𝑓(𝜆) merupakan  akar kuadrat dari informasi  Fisher yang dinyatakan  dalam
𝑓(𝜆) = [𝐼(𝜆)] 1 2 ⁄ (26)
dengan 𝐼(𝜆) merupakan nilai  harapan informasi  Fisher.
𝐼(𝜆) = −𝐸 𝜆 [ 𝜕 2 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥;𝜆) 𝜕𝜆 2 ] (27)
Jika 𝜆 = (𝜆 1 , … , 𝜆 𝑝 ) ′ adalah vector , digunakan 𝑓(𝜆) = [𝑑𝑒𝑡𝐼(𝜆)] 1 2 ⁄ (28)
dengan 𝐼(𝜆) adalah matriks informasi  Fisher (p x p) dengan indeks  (i, j),  maka 𝐼(𝜃) = −𝐸 𝜗 [ 𝜕 2 𝜕𝜆 𝑖 𝜕𝜆 𝑗 log 𝑓(𝑥; 𝜗)] dengan i = 1,2,….,p;  j = 1,2,…,p (29)

## 2.8. Fungsi Likelihood
Menurut  Bain  dan  Engelhardt  (1992),    fungsi  likelihood  adalah  fungsi  densitas bersamadari  n  variabel  random  X 1 ,  X 2 ,…,  X n dan  dinyatakan  dalam  bentuk 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ;𝜆) . Jika X 1 , X 2 ,…, X n menyatakan suatu sampel random dari 𝑓(𝑥; 𝜃) ., maka 𝐿(𝜆) = 𝑓(𝑥 1 ; 𝜆)𝑓(𝑥 2 ; 𝜆) …𝑓(𝑥 𝑛 ;𝜆)
𝐿(𝜆) = ∏ 𝑓(𝑥 1 ; 𝜆) 𝑛 𝑖=1 (30)

## 2.9. Distribusi Posterior
Distribusi  posterior  adalah  penggabungan  distribusi  sampel  dan distribusi  prior  (Box dan  Tiao,  1973).  Jika  data  x,  p(x|λ)  dalam  persamaan 𝑝(𝜆|𝑥) =  𝑐𝑝(𝑥|𝜆)𝑝(𝜆) dapat dipandang  sebagai fungsi  bukan dari x melainkan  dari λ, maka dapat dituliska n  bahwa fungsi likelihood  dari  λ  denagn  bersyarat  x  dapat  dituliskan L(λ|x). Dapat dituliskan  persamaan bayesiannya  seperti berikut  :
p(λ| x) = L(λ|x) . p(λ)
(31)
dengan kata lain,  teorema bayes menunjukkan  bahwa distribusi  probabilitas  untuk  posterior λ dalam data x sebanding  dengan distribusi  untuk  prior λ dari data dan likelihood  λ bersyarat x. 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟∝𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑𝑥𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟
3. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Sumber Data dan Variabel  Penelitian
Data yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data primer  yang  diambil  dari hasil observasi langsung  yang dilakukan  selama 7 hari dan data prior  penelitian  sebelumnya  yaitu penelitian  Yustiti  (2014).  Variabel penelitian  yang digunakan  sebagai berikut  :
a. Data  jumlah  pelanggan  yang  datang  dan  jumlah  pelanggan  yang  dilayani  di  loket customer  service,  cetak  tiket  mandiri,  pembatalan  dan  pemesanan  di  Stasiun  Tawang Semarang.
b. Data jumlah  pelanggan  yang  datang dan  waktu dilayani  pelanggan  di  loket  pembatalan Stasiun  Tawang Semarang  pada penelitian  sebelumnya  sebagai data prior.
c. Data jumlah  pelanggan  yang  datang  di  loket  customer  service,  cetak tiket  mandiri,  dan pemesanan dan jumlah  pelanggan  yang dilayani  di loket

## 3.2. Langkah-langkah Analisis
Adapun  langkah-langkah  dalam  pelaksanaan  penelitian  dan  analisis  data  adalah sebagai berikut  :
1. Peneliti  melakukan  penelitian  di  loket  Stasiun  Tawang  Semarang  untuk  mendapatkan data  jumlah  pelanggan  yang  datang  dan  jumlah  pelanggan  yang  dilayani  per  satuan waktu.
2. Peneliti  melakukan  uji  kondisi  steady state ( ρ= 𝜆 µ𝑐 < 1 ) .
3. Peneliti  melakukan  uji  kecocokan  distribusi  poisson  untuk  kedatangan  pelanggan  dan pelanggan  yang dilayani  dengan uji  Kolmogorov  Smirnov  dengan software R Gui.
4. Peneliti  mencari  distribusi  yang tepat untuk  kedatangan pelanggan  dan pelanggan  yang dilayani  dengan software easy fit .
5. Peneliti  melakukan  uji  kecocokan distribusi  kolmogorov-smirnov  untuk  distribusi  yang sesuai.
6. Peneliti  menentukan  likelihood  dari distribusi  sampel.
7. Peneliti  memasukkan distribusi  prior  yaitu  pada penelitian  Yustiti  (2014).
8. Peneliti  menentukan  distribusi  posterior  dengan  memasukkan  nilai  distribusi  prior  dari penelitian  sebelumnya.  Distribusi  dari sampel yang baru diambil  sebagai nilai  likelih oo d dan dihitung  probabilitas  posterior  (probabilitas  posterior  = 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑥 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 )
9. Peneliti  menentukan  model  antrean  yang  sesuai.  dilihat  dari  distribusi  kedatangan, distribusi  pelayanan,  banyaknya  jumlah  pelayanan,  disiplin  antrean  yang  digunakan adalah fisrt in first out (FCFS) , kapasitas dalam sistem dan sumber pemanggilan.
10. Peneliti  menentukan  kinerja  sistem,  yaitu  jumlah  pelanggan  yang  diperkirakan  dalam sistem (Ls), jumlah  pelanggan  yang diperkirakan  dalam  antrean (Lq), Waktu menunggu dalam sistem (Ws),dan  waktu menunggu  dalam  antrean (Wq) dengan syntax RGui.
11. Peneliti  membuat kesimpulan  mengenai  pelayanan  loket Stasiun  Tawang Semarang.

## 4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1. Ukuran Steady State
Berikut  adalah tabel ukuran steady state untuk masing-masing  loket : Tabel 1. Ukuran Steady State Loket Lambda Miu c ρ Customer Service 14,0816327 14,0816327 2 0,5 Cetak Tiket Mandiri 66,0408163 66,0408163 5 0,2 Pembatalan 7,44897959 7,44897959 2 0,5 Pemesanan 16,3469388 16,3469388 2 0,5
Nilai  ρ kurang dari 1 artinya bahwa keadaan ini  memenuhi  kondisi  steady state.

## 4.2. Uji Kecocokan Distribusi
Uji  kecocokan distribusi  digunakan  untuk  mengetahui  apakah data laju  kedatangan  dan laju  pelayanan  pada tiap loket  pada  Stasiun  Tawang Semarang berdistribusi  poisson  atau tidak.
Tabel 2. Uji  Kolmogorov  Smirnov  Laju kedatangan Laju  Kedatangan D Hitung D Tabel Keputusan Kesimpulan Customer service 0,14554 0,194014 H 0 Diterima Data berdistribusi  Poisson Cetak Tiket Mandiri 0,38469 0,194014 H 0 Ditolak Data tidak  berdistribusi Poisson Pembatalan 0,17917 0,194014 H 0 Diterima Data berdistribusi  Poisson Pemesanan 0,15725 0,194014 H 0 Diterima Data berdistribusi  Poisson Tabel 3. Uji  Kolmogorov  Smirnov  laju  Pelayanan Laju  Pelayanan D Hitung D Tabel Keputusan Kesimpulan Customer service 0,1562 0,194014 H 0 Diterima Data berdistribusi  Poisson Cetak Tiket Mandiri 0,38659 0,194014 H 0 Ditolak Data  tidak  berdistribusi Poisson Pembatalan 0,18902 0,194014 H 0 Diterima Data berdistribusi  Poisson Pemesanan 0,17766 0,194014 H 0 Diterima
Data berdistribusi  Poisson
Berdasarkan tabel 2 Uji Kolmogorov  Smirnov  Laju Kedatangan dan tabel 3 Uji  Kolmogorov Smirnov  Laju  Pelayanan,  semua  loket  berdistribusi  poisson  kecuaali  loket  cetak  tiket mandiri.  Uji  Lanjutan  untuk  loket  cetak  tiket  mandiri  karena  tidak  memenuhi  distribusi Poisson menggunakan  output  software easy fit
Tabel 4. Uji  Kolmogorov  Smirnov  Cetak Tiket Mandiri Cetak Tiket Mandiri  D
Hitung D Tabel Keputusan Kesimpulan Kedatangan 0,10761 0,19401 H 0 Diterima Data berdistribusi Uniform  Diskrit Pelayanan 0,1042 0,19401 H 0 Diterima Data
berdistribusi Uniform  Diskrit
Berdasarkan  tabel  4  Uji  Kolmogorov  Smirnov  Cetak  Tiket  Mandiri  dapat  disimpu lkan bahwa laju  kedatangan dan pelayanan loket  cetak tiket mandiri  berdistribusi  uniform  diskrit.

## 4.3. Bayesian
Prior
a. Distribusi  Poisson sebagai prior
Dengan  menggunakan  metode  Jeffrey  ditemukan  distribusi  prior  dari  distribusi Poisson sebagai berikut  :
𝑓(𝑥; 𝜆) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥
𝑥!
𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥; 𝜆) = 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! ) = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝜆 − 𝑙𝑜𝑔𝑥! − 𝜆
𝜕𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥; 𝜆) 𝜕𝜆 = 𝑥 𝜆 − 1 𝜕 2 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥; 𝜆) 𝜕𝜆 2 = − 𝑥 𝜆 2 𝐼(𝜆) = −𝐸 𝜆[− 𝑥 𝜆2 ] = 1 𝜆 2 𝐸 𝜆 (𝑥) = 1 𝜆 2 (𝜆) = 1 𝜆 𝑓(𝜆) = √ 1 𝜆 = 1
√𝜆
Berdasarkan analisis  tersebut didapatkan Distribusi Prior 𝑓(𝑥; 𝜆) = 1 √𝜆 b. Distribusi  Normal sebagai prior
Distribusi  prior  dari distribusi  Normal  sebagai berikut  :
𝑓(𝜆) ∝ 1 𝜆
Sedangkan  nilai  non-  informative  prior  untuk 𝑓(𝜃) adalah  konstan  (Box  dan Tiao,  1973), diperoleh
𝑓(𝜗) ∝ 1 𝜆
Likelihood a. Likelihood  Distribusi  Poisson,  Poisson(λ),  0 < λ, x = 0,1,…
𝐿𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 = ∏ 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! = 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑𝑥 ∏ 𝑥! b. Likelihood  Distribusi  Uniform  Diskrit,  DU(λ), λ = 1,2,…  , X = 1,2,…,λ 𝐿𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 =  ∏ ( 1 𝜆 ) = 1 𝜆 𝑛

## Posterior
a. Distribusi  Prior Poisson dan Likelihood  Poisson
Likelihood  dari data sampel  berdistribusi  Poisson(λ),  Posterior ∝ Prior x Likelihood
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1 √𝜆 ( 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑𝑥 ∏ 𝑥! ) = 𝜆 1 2 ⁄ 𝑒 −𝜆𝑛 𝜆 ∑𝑥 ∏ 𝑥!
= 𝑒 −𝜆𝑛 𝜆 ∑𝑥−1 2 ⁄ ∏ 𝑥!
~Gamma ( 1 𝑛 , ∑ 𝑥 + 1 2 ⁄ )
b. Distribusi  Prior Poisson dan Likelihood  Uniform  Diskrit
Likelihood  dari parameter berdistribusi  Uniform  Diskrit  (λ)
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1 √𝜆 ( 1 𝜆 𝑛 ) = 1 𝜆 1 2 ⁄ +𝑛
~Uniform  Diskrit  ( 𝜆 1 2 ⁄ +𝑛 )
c. Distribusi  Prior Normal dan Likelihood  Poisson
Likelihood  dari data sampel  berdistribusi  Poisson(λ)
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1 𝜆 ( 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑𝑥 ∏ 𝑥! ) = 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑𝑥−1 ∏ 𝑥!
~Gamma ( 1 𝑛 , ∑ 𝑥)

## 4.4. Model antrean
Berikut  tabel model  antrean untuk  masing-masing  loket: Tabel 5. Model  Antrean Loket Distribusi Kedatangan Distribusi Pelayanan Model Customer Service Gamma Gamma (G/G/2):(GD/∞/∞) Cetak Tiket Mandiri Uniform Diskrit Uniform Diskrit (G/G/5):(GD/∞/∞) Pembatalan Gamma Gamma G/G/2):(GD/∞/∞) pemesanan Gamma Gamma G/G/2):(GD/∞/∞) Dari tabel 5 Model  Antrean didapatkan  2 model  antrean yaitu  (G/G/2):(GD/∞/∞)  dan (G/G/5):(GD/∞/∞)

## 4.5. Ukuran Kinerja Sistem
Ukuran kinerja sistem antrean dari model antrean masing-masing  loket didapatkan dari output  Gui  R sebagai berikut  :
Tabel 6. Ukuran Kinerja Sistem Loket Lq Ls Wq Ws Customer Service 0,00168 1,00168 0,00012 0,07113 Cetak Tiket Mandiri 2,19621x10 -7 1 3,32554x10 -9 0,01514 Pembatalan 0,00601 1,00601 0,00081 0,13506 Pemesanan 0,00125 1.00125 7,63078.10 -5 0,06125
Berdasarkan  tabel  6  Ukuran  Kinerja  Sistem  didapatkan  jumlah  pelanggan  dalam antrean,  jumlah  pelanggan  dalam  sistem,  waktu  pelanggan  dalam  antrean  dan  waktu pelanggan  dalam  sistem untuk  masing-masing  loket

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian  yang telah dilakukan  di  Stasiun  Tawang Semarang, maka didapatkan  kesimpulan  sebagai berikut  :
 Model  antrean  untuk  loket customer service ,  pembatalan  dan  pemesanan  adalah (GAMM/GAMM/2):(GD/∞/∞),  sedangkan  untuk  loket  cetak tiket  mandiri  adalah (UNIFORM  DISKRIT/UNIFORM  DISKRIT/5):(GD/∞/∞).  Ukuran  kinerja  sistem yang  didapatkan  untuk  jumlah  pelanggan  dalam  antrean  yaitu  1  pelanggan  untuk masing-masing  loket  dan jumlah  pelanggan  dalam  sistem  yaitu  2 pelanggan  untuk masing-masing  loket.  Sedangkan  waktu  yang  dibutuhkan  dalam  sistem  adalah 4,26780  menit  untuk  customer  service,  0,90840  menit  untuk  cetak  tiket  mandiri, 8,10300  menit  untuk  pembatalan  dan 3,67500  menit  untuk  pemesanan. Waktu yang dibutuhkan  dalam  antrean untuk  masing-masing  loket  customer service,   cetak tiket mandiri,  pembatalan  dan  pemesanan  adalah  0,00720;  0,0000002;  0,04860  dan 0,00458  menit.  Probabilitas  sibuk  untuk  loket  customer  service,  pembatalan  dan pemesanan  adalah  66,67%  dengan  probabilitas  menganggur  33,33%  sedangkan untuk  loket  cetak tiket  mandiri  adalah  63,2169%  dengan  probabilitas  menganggur 36,7861%.

## DAFTAR PUSTAKA
Armero, C., & Bayarri, M. (1995).  A Bayesian Analysis  for A Queuing  System With Unlimited  Service. Jurnal of Statistical Planning and Inference , 241-243.
Bain,  L., & Engelhardt,  M. (1992). Introduction To Probability And Mathematical Statistics. University  of Idaho,  California:  Duxbury  Press.
Box,  G., & Tiao,  G. (1973). Bayesian Inference In Statistical Analysis. Philippines: Addision-Wesley  Publishing  Company.inc.
Daniel,  W. (1989). Statistika Non Parametrik Terapan (terjemahan). Jakarta: PT. Gramedia.
Gross,  D., & C.M., H. (1998). fundamental of Queueing Theory Third Edition. New York:  John Wiley  and sons.
Indonesia,  K. A. (n.d.). situs resmi PT KAI . Retrieved Desember 16,  2019,  from KAI.id:  http://www.kai.id
Kakiay,  T. (2004). DasarTeori Antrian Untuk Kehidupan Nyata. Yogyakarta: Andi.
Praptono. (1986). Pengantar Proses Stokhastik I. Jakarta: Karunika.
Soejati,  Z., & Soebanar. (1988). Inferensi Bayesian. Jakarta: Karunika.
Taha, H. (1996). Riset Operasi. Jakarta: Binarupa  Aksara.
Yustiti,  M. (2014). Analisis Sistem Antrian Pelayanan Tiket Kereta Api Stasiun Tawang Semarang. Semarang: Jurusan Statistika  Fakultas  Sains dan Matematika Universitas  Diponegoro.