J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l . I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X Vol .   1 2 ,   No.   1 ,   Mei   2 0 1 5 ,  1 3 - 2 2

## SIFAT-SIFAT GENERALISASI DISTRIBUSI BINOMIAL YANG BERTIPE COM-POISSON
Farida Agustini Widjajati 1 , Marselly Dian Saputri 2 , Nur Asiyah 3 1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
1 agustini.farida54@gmail.com

## Abstrak
Distribusi  Binomial  dan  Poisson  digunakan  untuk  menganalisis  data diskrit.  Karena  distribusi  Poisson  berlaku  equidispersi,  sehingga  dilakukan generalisasi  terhadap  distribusi  Poisson  menjadi  distribusi  COM-Poisson untuk  menganalisis  data  diskrit  yang  equidispersi,  overdispersi  dan underdispersi. Generalisasi dari distribusi Binomial yang dapat menganalisis data dengan kejadian overdispersi dan underdispersi adalah distribusi COM- Poisson-Binomial.  Pdf nya  diperoleh dari  distribusi  COM-Poisson  bersyarat dari  penjumlahan  dua  distribusi  COM-Poisson.  Selain  itu,  dalam  kajian  ini juga  dilakukan  estimasi  terhadap  parameter-parameter  dari  COM-Poisson- Binomial  dengan  menggunakan  Maximum  Likelihood  Estimation  (MLE). Selanjutnya  hasil  estimasi  ini  dicoba  pada  data  asosiasi  sekunder  dari kromosom  di  Brassika.    M  L  E  menghasilkan  persamaan  non-linier  yang hasilnya digunakan untuk mencari nilai estimasi parameter θ dan parameter v, persamaan  non-linier  tersebut  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode Newton-Raphson.  Dari  proses  tersebut  didapatkan  nilai  estimasi  parameter 𝜃 = 1.7421 dan nilai estimasi parameter 𝑣 = 1.0328 Kata  Kunci:  Distribusi  Binomial;  Distribusi  COM-Poisson;  Overdispersi, Underdispersi; Maximum Likelihood Estimation

## 1. Pendahuluan
Distribusi  Binomial  dan  Poisson  digunakan  untuk  menganalisis  data diskrit.  Namun,  pada  distribusi  Poisson  berlaku equidispersi (variansi  dan mean bernilai sama). Sehingga distribusi Poisson tidak tepat digunakan untuk menganalisis  data  diskrit  dengan  kejadian overdispersi (nilai  variansi  lebih besar dari  mean) atau kejadian underdispersi (nilai variansi  lebih kecil dari mean).  Untuk  data  diskrit  dengan  kejadian overdispersi dapat  dimodelkan dengan  distribusi  Binomial  Negatif  yang  merupakan  gabungan  distribusi Poisson  dan  Gamma,  disamping  itu  untuk  kasus overdispersi atau underdispersi yang disebabkan frekuensi nol terlalu banyak pada data dapat
dimodelkan  dengan Zero  Inflated  Poisson  (ZIP) [1].  Distribusi  untuk menganalisis  data  diskrit  dengan  kejadian overdispersi atau underdispersi adalah  distribusi  COM-Poisson  (Conway-Maxwell-Poisson)  [1].  Distribusi COM-Poisson  merupakan  generalisasi  dari  distribusi  Poisson  yang dikembangkan oleh Conway dan Maxwell pada tahun 1962.
Distribusi Binomial digeneralisasikan dengan berbagai cara. Dari segala generalisasinya  ada  beberapa  generalisasi  berbentuk  perkalian  dan pertambahan dari distribusi Binomial. Probability density function (pdf) dari distribusi  perkalian  Binomial  adalah  perkalian  dari  pdf  dan  faktornya.  Itu membuat perbedaan variasinya lebih besar atau kurang dari variansi Binomial yang sesuai, hal itu bergantung pada nilai-nilai faktornya. Disisi lain distribusi Binomial  yang  bersifat  pertambahan  itu  adalah  campuran  dari  tiga  model Binomial yang umum dan model korelasi Binomial yang mencakup variabel Bernoulli yang dependent [2].
Banyak literatur yang memperkenalkan generalisasi distribusi Binomial antara  lain,  literatur  yang  membahas  tentang  distribusi  Binomial  yang mempunyai  3  parameter  yang  merupakan  generalisasi  dari  Binomial  yaitu Beta-Binomial,  dan  korelasi  distribusi  Binomial  [3].  Adapun  literatur  yang menjelaskan  generalisasi  lainnya  dari  distribusi  Binomial  yaitu  distribusi COM-Poisson-Binomial [1], tetapi dalam  literatur tersebut tidak  membahas sifat-sifat dari distribusi COM-Poisson-Binomial.
Pada kajian  ini  membahas tentang  sifat-sifat generalisasi dari distribusi Binomial yang bertype COM-Poisson

## 2. Tinjauan Pustaka
2.1. Mean dan Variansi
Mean  atau  nilai  harapan  dari  peubah  acak  diskrit  X  dengan  pdf 𝑓(𝑥) dapat didefinisikan sebagai [5]
𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑥 (1)
Mean dinotasikan dengan 𝜇 atau 𝐸(𝑋) .
Variansi dari peubah acak X  yang dinotasikan dengan 𝜎 2 atau Var(𝑋) dapat didefinisikan sebagai [5]
𝜎 2 = Var(𝑋) =  𝐸[(𝑋 − 𝜇) 2 ]                         (2) dan standar deviasi dari X adalah 𝜎 = √𝜎 2 .

## 2.2. Distribusi COM-Poisson
Distribusi  COM-Poisson  merupakan  pengembangan  dari  distribusi Poisson  yang  ditemukan  oleh  Conway  dan  Maxwell.  Distribusi  COM- Poisson  mampu  memodelkan  data  yang  mengalami equidispersi, underdispersi dan overdispersi . Peubah acak 𝑋 yang berdistribusi COM-Poisson dengan parameter 𝜆 > 0 dan 𝑣 > 0 mempunyai pdf
𝑓(𝑥; 𝜆, 𝑣) = 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 1
𝑍(𝜆, 𝑣) ,             𝑥 = 0,1,2, … … …          (3)
dimana,
𝑍(𝜆, 𝑣) = ∑ 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 ≈ 𝑒 𝑣𝜆 1 𝑣 𝜆 𝑣−1 2𝑣 (2𝜋) 𝑣−1 2 √𝑣 ∞ 𝑥=0 [1] dengan,
𝑒 : 2.71828 𝜆 : parameter lokasi 𝑣
: parameter dispersi
𝑍(𝜆, 𝑣) : konstanta normalisasi
Subtitusi 𝑍(𝜆, 𝑣), Sehingga persamaan (3) menjadi
𝑓(𝑥; 𝜆, 𝑣) = 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 1 𝑒 𝑣𝜆 1/𝑣 𝜆 𝑣−1 2𝑣 (2𝜋) 𝑣−1 2 √𝑣 = 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 𝜆 𝑣−1 2𝑣 (2𝜋) 𝑣−1 2 √𝑣 𝑒 𝑣𝜆 1/𝑣 = 𝜆 𝑥+ 𝑣−1 2𝑣 (2𝜋) 𝑣−1 2 √𝑣 (𝑥!) 𝑣 𝑒 𝑣𝜆 1 𝑣 (4)
Beberapa sifat distribusi COM-Poisson adalah sebagai berikut Mean    : 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝜆 1/𝑣 − 𝑣−1 2𝑣 Variansi : 𝜎 2 =  Var(𝑋) = 1 𝑣 𝜆 1/𝑣

## 2.3. Maximum Likelihood Estimation
Salah  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  dalam  mengestimasi parameter  pada  distribusi  adalah MLE . Maksimum  likelihood merupakan suatu cara yang mengarah pada sifat-sifat estimator yang diinginkan, terutama untuk sampel besar, yaitu dengan menggunakan nilai dalam parameter yang berhubungan dengan kemungkinan terbesar untuk data pengamatan sebagai perkiraan dari parameter yang tidak diketahui.
Untuk  distribusi  bersama  dari  n  variabel 𝑋 1 , … … , 𝑋 𝑛 dengan  nilai 𝑥 1 , … … , 𝑥 𝑛 dan 𝑓(𝑥 1 , … … , 𝑥 𝑛 ; 𝜃) adalah fungsi likelihood .  Untuk 𝑥 1 , … … , 𝑥 𝑛 yang  tetap,  fungsi likelihood nya  adalah  sebuah  fungsi  dari 𝜃 , ditulis dengan L( 𝜃). Jika 𝑋 1 , … … , 𝑋 𝑛 adalah sampel acak dari 𝑓(𝑥; 𝜃) , maka 𝐿(𝜃) = 𝑓(𝑥 1 ; 𝜃) … 𝑓(𝑥 𝑛 ; 𝜃)                        (5) Dalam  penerapan  fungsi likelihood , 𝐿(𝜃) mempresentasikan  distribusi bersama dari sampel acak, walaupun maximum likelihood juga dapat dipakai dalam kasus lain seperti dalam order statistik. Nilai 𝜃 yang memaksimalkan 𝐿(𝜃) juga  akan  memaksimalkan  ln likelihood atau  ditulis ln 𝐿(𝜃), untuk mendapatkan persamaan maximum likelihood yaitu [6]
𝑑
𝑑𝜃 ln 𝐿(𝜃) = 0                                                                   (6)

## 2.4. Metode
Newton-Raphson Metode Newthon-Raphson adalah metode pendekatan untuk
menyelesaikan persamaan nonlinear atau digunakan untuk menentukan titik saat fungsi maksimum. Titik pendekatan ke 𝑡 + 1 dituliskan sebagai [7]
𝛽 𝑡+1 = 𝛽 𝑡 − [𝐻 𝑡 ] −1 𝐺 𝑡 (7)
dengan 𝛽 𝑡+1 : vektor estimasi parameter pada iterasi ke 𝑡 + 1 𝛽 𝑡 : vektor estimasi parameter pada iterasi ke 𝑡 [𝐻 𝑡 ] −1 : invers dari matriks Hessian yang isi dari matriks merupakan turunan kedua dari ln 𝐿(𝛽) . 𝐺 𝑡 : vektor yang berisi turunan pertama dari 𝑙𝑛 𝐿(𝛽) .
Langkah-langkah metode Newton-Raphson:
1. Tentukan nilai awal 𝛽
2. Lakukan iterasi 𝛽 𝑡+1 = 𝛽 𝑡 − [𝐻 𝑡 ] −1 𝐺 𝑡 dimana 𝑡 = 0,1,2,3, ….
3. Iterasi berhenti jika salah satu kriteria dibawah ini terpenuhi:
a. |𝛽 𝑡+1 − 𝛽 𝑡 | ≤ 𝜀 𝑠
b. Banyaknya iterasi terlampaui

## 3. Hasil Penelitian dan Pembahasan

## 3.1.Kajian Distribusi COM-Poisson
Distribusi Distribusi COM-Poisson merupakan generalisasi dari distribusi Poisson.  Dalam  hal  ini  jika 𝑣 = 1 ,  maka  pdf  distribusi  COM-Poisson merupakan pdf dari distribusi Poisson.
Untuk 𝑣 = 1 ,  subtitusi  ke  persamaan  (4)  diperoleh  distribusi  Poisson sebagai berikut:
𝑓(𝑥; 𝜆, 𝑣) = 𝜆 𝑥+ 𝑣−1 2𝑣 (2𝜋) 𝑣−1
2 √𝑣
(𝑥!) 𝑣 𝑒 𝑣𝜆 1 𝑣
𝑓(𝑥; 𝜆, 1) = 𝜆 𝑥+ 1−1 2𝑣 (2𝜋) 1−1 2 √1
(𝑥!) 1 𝑒 1𝜆 1 1 = 𝜆 𝑥+0 (2𝜋) 0 . 1 (𝑥!)𝑒 𝜆 = 𝜆 𝑥 (𝑥!)𝑒 𝜆
Sehingga diperoleh pdf distribusi Poisson (𝑥; 𝜆) = 𝜆 𝑥 𝑥! 𝑒 −𝜆

## 3.2.Pdf Distribusi COM-Poisson-Binomial
Distribusi  Distribusi  COM-Poisson  Binomial  dapat  merepresentasikan overdispersion dan underdispersion relatif kepada distribusi Binomial pada umumnya.  Ketika 𝑣 > 1 mengalami underdispersion dan  ketika 𝑣 < 1 menunjukkan terjadinya overdispersion yang berhubungan dengan distribusi Binomial.  Hal  ini  dikarenakan  distribusi  COM-Poisson-Binomial  di definisikan  dari  distribusi  COM-Poisson  bersyarat  yang  merupakan penjumlahan dari dua variabel COM-Poisson yang independen.
Menggunakan  definisi  distribusi  probabilitas  binomial,  dimisalkan 𝑆 = 𝑋 + 𝑌 merupakan  jumlah  pengamatan.  Sehingga  untuk memperoleh 𝑋 = 𝑥 dan 𝑆 = 𝑠 ,  maka  perlu 𝑋 = 𝑥 dan 𝑌 = 𝑠 − 𝑥 ,  maka  diperoleh  distribusi bersama dari 𝑋 dan 𝑆 𝑓 𝑋,𝑆 (𝑥, 𝑠) = 𝑃[𝑋 = 𝑥, 𝑆 = 𝑠] = 𝑃[𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑠 − 𝑥] = 𝑓 𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑠 − 𝑥)
Karena  variabel 𝑋 dan 𝑌 merupakan  variabel  independen  distribusi bersama dapat ditulis
𝑓 𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑠 − 𝑥)
= 𝜆 𝑥 𝑥 (𝑥!) 𝑣 𝑍(𝜆 𝑥 , 𝑣) 𝜆 𝑦 𝑠−𝑥
((𝑠 − 𝑥)!) 𝑣 𝑍(𝜆 𝑦 , 𝑣) = (𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠 (𝑠!) 𝑣 𝑍(𝜆 𝑥 , 𝑣)𝑍(𝜆 𝑦 , 𝑣) ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 ( 𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑥 ( 𝜆 𝑦 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠−𝑥 (8)
dengan distribusi marginal
𝑓(𝑠) = ∑ 𝑓(𝑥, 𝑠) 𝑠 𝑥=0 = ∑ (𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠 (𝑠!) 𝑣 𝑍(𝜆 𝑥 , 𝑣)𝑍(𝜆 𝑦 , 𝑣) ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 ( 𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑥 ( 𝜆 𝑦 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠−𝑥 𝑠 𝑥=0 = (𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠 (𝑠!) 𝑣 𝑍(𝜆 𝑥 , 𝑣)𝑍(𝜆 𝑦 , 𝑣) × ∑ ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 ( 𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑥 ( 𝜆 𝑦 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠−𝑥 𝑠 𝑥=0 (9)
Sehingga didapatkan distribusi bersyarat dari 𝑋 diketahui 𝑆 = 𝑠 dari distribusi bersama pada Persamaan (8) dan distribusi marginal pada Persamaan (9)
𝑓(𝑥|𝑠) = ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 ( 𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑥 ( 𝜆 𝑦 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠−𝑥 ∑ ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 ( 𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑥 ( 𝜆 𝑦 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 ) 𝑠−𝑥 𝑠 𝑥=0 (10)
dengan 𝑝 = 𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 +𝜆 𝑦 Persamaan (10) menjadi
𝑓(𝑥|𝑠) = ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 (𝑝) 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑠−𝑥 ∑ ( 𝑠 𝑥 ) 𝑣 (𝑝) 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑠−𝑥 𝑠 𝑥=0 (11)
dari Persamaan (11) didapatkan pdf dari distribusi COM-Poisson-Binomial
𝑃(𝑥; 𝑚, 𝑝, 𝑣) = ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 ∑ ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 𝑚 𝑥=0 , 𝑥 = 0,1, . , 𝑚                         (12)
dengan 𝑚 : jumlah pengamatan 𝑝 : peluang sukses Distribusi COM-Poisson-Binomial merupakan generalisasi dari distribusi binomial. Hal ini diperoleh jika v=1 untuk m ∈   ℤ + , 𝑝 ∈ (0,1) dan 𝑣 ∈ ℛ , pdf distribusi COM-Poisson-Binomial adalah pdf dari distribusi binomial.
𝑓(𝑥; 𝑚, 𝑝, 1) = ( 𝑚 𝑥 ) 1 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 ∑ ( 𝑚 𝑥 ) 1 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 𝑚 𝑥=0 = ( 𝑚 𝑥 )𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥
(1 − 𝑝) 𝑚 + ( 𝑚 1 )𝑝(1 − 𝑝) 𝑚−1 + ⋯ + 𝑝 𝑚 = ( 𝑚 𝑥 ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 = 𝑓(𝑥; 𝑚, 𝑝)

## Teorema 2 [1]
Misal  X  adalah  variabel  COM-Poisson-Binomial  dengan  parameter 𝑚, 𝑣, 𝑑𝑎𝑛 𝑝 . Jika 𝑚 → ∞
dan
𝑝 → 0 dengan 𝜆 = 𝑚 𝑣 𝑝
konstan, untuk 𝑣 ≥ 0 maka
lim 𝑚→∞ ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 ∑ ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 𝑚 𝑥=0 = 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 1 ∑ 𝜆 𝑘 (𝑥!) 𝑣 ∞ 𝑥=0 (13)

## Bukti
lim 𝑚→∞ 𝑃[𝑋 = 𝑥|𝑚, 𝑝, 𝑣] = lim 𝑚→∞ ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 ∑ ( 𝑚 𝑘 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 𝑚 𝑥=0 = lim 𝑚→∞ 𝜆 𝑥
(𝑥!) 𝑣 ((𝑚 − 𝑥 + 1) … … 𝑚) 𝑣 (𝑚 𝑣 − 𝜆) 𝑥 ∑ 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 ((𝑚 − 𝑥 + 1) … … 𝑚) 𝑣 (𝑚 𝑣 − 𝜆) 𝑥 𝑚 𝑥=0 = 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 lim 𝑚→∞ 𝑚 𝑥𝑣 (𝑚 𝑣 − 𝜆) 𝑥
∑ 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 lim 𝑚→∞ 𝑚 𝑥𝑣 (𝑚 𝑣 − 𝜆) 𝑥 𝑚 𝑥=0 = 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 1 ∑ 𝜆 𝑥 (𝑥!) 𝑣 ∞ 𝑥=0
∎
Untuk  mendapatkan  struktur  tipe  COM-Poisson  untuk  pdf  distribusi COM-Poisson-Binomial, Persamaan (12) dibagi pembilang dan penyebutnya dengan (1 − 𝑝) 𝑚 (𝑚!) 𝑣 .
𝑃[𝑋 = 𝑥; 𝑚, 𝑝, 𝑣] = ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 ∑ ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑚−𝑥 𝑚 𝑥=0 = 1 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) −𝑥 ∑ 1 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) −𝑥 𝑚 𝑥=0 (14)
Selanjutnya, 𝜃 = 𝑝 1−𝑝 Disubtitusikan ke Persamaan (14) sehingga diperoleh pdf  dari  distribusi  COM-Poisson-Binomial,  yang  dinotasikan  sebagai X~CMPB (𝑚, 𝜃, 𝑣) menjadi 𝑃[𝑋 = 𝑥; 𝑚, 𝜃, 𝑣] = 1 𝑍(𝜃, 𝑣) 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 , 𝑥 = 0,1, , 𝑚                              (15)
dengan 𝑍(𝜃, 𝑣) = ∑ 𝜃 𝑥 (𝑥!(𝑚−𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 𝑚
: jumlah pengamatan
𝜃
: parameter lokasi 𝑣
: parameter dispersi
𝑍(𝜃, 𝑣) : konstanta normalisasi

## 3.3.Mean dan Varians distribusi COM-Poisson-Binomial
Pada bagian ini akan diuraikan cara memperoleh mean dan  varians dari peubah acak X yang berdistribusi COM-Poisson-Binomial.
Dengan  menggunakan  Persamaan  (1)  didapatkan  mean  dari  distribusi COM-Poisson-Binomial
𝐸[𝑥] = ∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 1 𝑍(𝜃, 𝑣) 𝜃 𝑥
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 = 1 𝑍(𝜃, 𝑣) ∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 𝜃 𝑥
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 = 𝜃 1 𝑍(𝜃, 𝑣) ∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 𝜃 𝑥−1
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣
= 𝜃. 𝜕 ln(𝑍(𝜃, 𝑣)) 𝜕𝜃
Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (2) didapatkan varians dari distribusi COM-Poisson-Binomial
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇) 2 ]  = ∑ 𝑥 2 1 𝑍(𝜃, 𝑣) 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 − (∑ 𝑥 1 𝑍(𝜃, 𝑣) 𝑚 𝑥=0 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 ) 2 = 𝜃 ( (∑ 𝑥 2 𝜃 𝑥−1 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 ) (∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 ) (∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 ) 2
) − 𝜃
( (∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 ) (∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 𝜃 𝑥−1
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 )
(∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 ) 2
)
= 𝜃 𝜕𝐸[𝑋] 𝜕𝜃

## 3.4.Estimasi Parameter dari Distribusi COM-Poisson-Binomial
Estimasi  dari  parameter  distribusi  COM-Poisson-Binomial  bertujuan untuk mendapatkan estimator dari COM-Poisson-Binomial. Pada bagian ini akan  dibahas  mengenai  bagaimana  mencari  estimator  distribusi  COM- Poisson-Binomial  dengan  menggunakan Maximum  Likelihood  Estimation. Dimisalkan 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 adalah sampel acak berukuran n yang berdistribusi COM-Poisson-Binomial.  Sehingga,  fungsi likelihood dari  distribusi  COM- Poisson-Binomial didefinisikan oleh
𝐿(𝑥 1,……., 𝑥 𝑛 ;  𝜃, 𝑣) = ( 𝜃 𝑥 1 (𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑣 . 1 𝑍(𝜃, 𝑣) ) . . ( 𝜃 𝑥 𝑛 (𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑣 . 1 𝑍(𝜃, 𝑣) ) = ( 1 𝑍(𝜃, 𝑣) ) 𝑛 . 𝜃 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ (𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑣 𝑛 𝑖=1 (16)
Oleh karena itu, diperoleh fungsi log likelihood sebagai berikut:
ln 𝐿(𝑥 1,……., 𝑥 𝑛 ;  𝜃, 𝑣) = ln (( 1 𝑍(𝜃, 𝑣) ) 𝑛 . 𝜃 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ (𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑣 𝑛 𝑖=1 ) = ln 𝜃 . ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑣. ln ∑(𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑛
𝑖=1 −  𝑛. ln 𝑍(𝜃, 𝑣)                                     (17)
Selanjutnya dicari turunan fungsi log likelihood terhadap masing-masing parameternya.
Untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood terhadap 𝜃 dilakukan proses sebagai berikut : 𝜕 ln 𝐿(𝜃, 𝑣) 𝜕𝜃 = 𝜕 𝜕𝜃 (ln 𝜃 . ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑣. ln ∑(𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑛 𝑖=1 −  𝑛. ln 𝑍(𝜃, 𝑣))
= ( ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜃 ) − ( 𝑛 (∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 . 𝜃 𝑥−1 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 )
∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 )                                                                    (18)
Turunan  pertama  log  likelihood  terhadap 𝑣 ,  dilakukan  proses  sebagai berikut :
𝜕 ln 𝐿(𝜃, 𝑣) 𝜕𝑣 = 𝜕 𝜕𝑣 (ln 𝜃 . ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑣. ∑ ln(𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑛 𝑖=1 − 𝑛. ln 𝑍(𝜃, 𝑣)) = (− ∑ ln(𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑛 𝑖=1 ) + 𝑛 (∑ 𝜃 𝑥 ln(𝑥! (𝑥 − 𝑚)!) (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 )
∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0
(19)
Persamaan  (18)  dan  (19)  selanjutnya  digunakan  untuk  mencari  nilai estimasi  dari  parameter 𝜃 dan 𝑣. Karena  persamaan  yang  diperoleh  adalah persamaan non linier Sehingga, untuk menyelesaikannya harus menggunakan metode  numerik.  Metode  numerik  yang  digunakan  adalah  metode  Newton Raphson.  Penggunaan  metode  Newton  Raphson  dapat  dilakukan  melalui persamaan (7).
Adapun elemen-elemen yang terdapat dalam matriks hessian merupakan turunan kedua fungsi log likelihood adalah
𝐻 =
[ 𝜕 2 ln 𝐿(𝜃, 𝑣) 𝜕𝜃 2 𝜕 2 ln 𝐿(𝜃, 𝑣) 𝜕𝜃𝜕𝑣 𝜕 2 ln 𝐿(𝜃, 𝑣) 𝜕𝑣𝜕𝜃 𝜕 2 ln 𝐿(𝜃, 𝑣) 𝜕𝑣 2 ]
Dan 𝐺 adalah vektor yang elemennya berisi turunan pertama fungsi log likelihood
𝐺 = [ 𝜕 ln 𝐿(𝜃, 𝑣)
𝜕𝜃 𝜕 ln 𝐿(𝜃, 𝑣)
𝜕𝑣 ]

## 3.5.Penerapan Estimasi Parameter Distribusi COM-Poisson- Binomial
Data  dalam  contoh  ini  merujuk  pada  337  pengamatan  pada  asosiasi sekunder  dari  kromosom  di  Brassika  [8]  yang  disajikan  di  dalam  Tabel  1, merupakan  kejadian underdispersi dengan  mean  lebih  besar  daripada variansnya.  Karena  data  dalam  Tabel  1 underdispersi dan  jumlah  pasang bivalennya  merupakan  data  cacah,  sehingga  dimodelkan  dengan  distribusi COM-Poisson-Binomial.
Tabel 1. Data asosiasi sekunder dari kromosom di Brassika
Jumlah pasang bivalen ( 𝑥 ) Jumlah data yang diamati Peluang ( 𝑥) Peluang ( 𝑥 ) berdistribusi CMPB (3, 1.7421 , 1.0328 ) 0 32 0.0949 0.0473 1 103 0.3056 0.2562 2 122 0.3620 0.4464 3 80 0.2374 0.2501 Total 337 0.9999 1
Dengan menggunakan Persamaan (18), dengan nilai awal 𝜃 0 = 𝑥̅ , 𝑣 0 = 1 dan ε = 0.0003 hasilnya , didapatkan nilai estimasi parameter pada iterasi ke  11  yaitu 𝜃 = 1.7421 dan 𝑣 = 1.0328 ,  sehingga  data  jumlah  pasang bivalen (𝑥) dalam  Tabel  1  berdistribusi  CMPB (𝑚, 𝜃, 𝑣) atau  dapat  ditulis CMPB (3, 1.7421 , 1.0328 ) dengan pdf
𝑓(𝑥; 𝑚, 𝜃, 𝑣) = 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 1 ∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 𝑓(𝑥; 3,1.7421 ,1.0328) = 1.7421 (𝑥! (3 − 𝑥)!) 1.0328 1 ∑ 1.7421 𝑥 (𝑥! (3 − 𝑥)!) 1.0328 3 𝑥=0
𝑥 = 0,1,2,3 menyatakan  jumlah  pasang  bivalen.  Dari  pdf  tersebut  didapatkan probabilitas untuk masing-masing nilai 𝑥 seperti pada Tabel 1 kolom ke 4. Dari Tabel 1 didapatkan 2 pasang bivalen memiliki probabilitas tertinggi, sehingga modus data jumlah pasang bivalen tersebut sama dengan modus data berdistribusi  CMPB  (3, 1.7421 , 1.0328 ).  Sedangkan  mean  dari  data berdistribusi CMPB (3, 1.7421 , 1.0328 ) adalah
𝐸(𝑋) = 𝜃. 𝜕 ln(𝑍(𝜃, 𝑣))
𝜕𝜃 𝐸(𝑋) = 𝜃 ∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 𝜃 𝑥−1 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 ∑ 𝜃 𝑥
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 = (1.7421 ) ∑ 𝑥 3 𝑥=0 1.7421 𝑥−1 (𝑥! (3 − 𝑥)!) 1.0328 ∑ 1.7421 𝑥 (𝑥! (3 − 𝑥)!) 1.0328 3 𝑥=0
= (1.7421  ) 3.6225
3.3229
= 1.8992
Mean tersebut hampir sama dengan mean dari data jumlah pasang bivalen ( 𝑥) yaitu 1.7418. karena modus dan mean dari data jumlah pasang bivalen ( 𝑥) hampir sama dengan modus dan mean data berdistribusi CMPB (3, 1.7421 , 1.0328 ) maka nilai estimasi parameter yang diperoleh cocok dengan data.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  keseluruhan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Bentuk  generalisasi  distribusi  Binomial  yang  bertipe  distribusi  COM- Poisson  menjadi  COM-Poisson-Binomial  dengan  menjumlahkan  dua distribusi  COM-Poisson  yang  independen  menghasilkan  pdf  distribusi COM-Poisson-Binomial
𝑓(𝑥; 𝑚, 𝑝, 𝑣) = ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 𝑚−𝑥 ∑ ( 𝑚 𝑥 ) 𝑣 𝑝 𝑥 (1−𝑝) 𝑚−𝑥 𝑚 𝑥=0 , 𝑥 = 0,1, . , 𝑚 .  Sehingga  pdf  COM-Poisson- Binomial  yang  bertipe  COM-Poisson  menjadi  X~CMPB( 𝑚, 𝜃, 𝑣) = 1
𝑍(𝜃,𝑣) 𝜃 𝑥 (𝑥!(𝑚−𝑥)!) 𝑣 , 𝑥 = 0,1, … . , 𝑚. Diperoleh  juga  sifat-sifatnya  yaitu 𝐸[𝑥] = 𝜃. 𝜕 ln(𝑍(𝜃,𝑣)) 𝜕𝜃 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜃 𝜕𝐸[𝑋] 𝜕𝜃 Dari  hasil  estimasi  parameter  dari  distribusi  COM-Poisson-Binomial dengan  menggunakan Maximum  Likelihood  Estimation didapatkan
parameter-parameter dari distribusi COM-Poisson-Binomial yang berupa persamaan-persamaan non linier sebagai berikut:
a. Untuk  nilai  parameter 𝜃 didapatkan  persamaan  non  linier  sebagai berikut:
( ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜃 ) − ( 𝑛 (∑ 𝑥 𝑚 𝑥=0 . 𝜃 𝑥−1
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 ) ∑ 𝜃 𝑥 (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 ) = 0
b. Untuk nilai parameter 𝑣 didapatkan persamaan non linier sebagai berikut:
(− ∑ ln(𝑥 𝑖 ! (𝑚 − 𝑥 𝑖 )!) 𝑛 𝑖=1 ) + 𝑛 (∑ 𝜃 𝑥 ln(𝑥! (𝑥 − 𝑚)!) (𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0 ) ∑ 𝜃 𝑥
(𝑥! (𝑚 − 𝑥)!) 𝑣 𝑚 𝑥=0
= 0
Untuk  menyelesaikan  persamaan  non  linier  tersebut  digunakan  metode Newton-Raphson.  Penerapan  data  asosiasi  sekunder  dari  kromoson  di Brassika pada Maximum Likelihood Estimation COM-Poisson-Binomial didapatkan nilai estimasi parameter 𝜃 = 1.7421 dan 𝑣 = 1.0328 .

## 5. Daftar Pustaka
[1]  Shmueli, G., T. P. Minka, J. B. Kadane, Borle, and P. Boatwright. 2005. “A Useful Ditribution for Fitting Discrete Data: Revival of The Conway- Maxwell-Poisson  Distribution”. Applied  Statistics,  Journal  of  Royal Statistical Society 54 no. 1, hal.127-142.
[2]  Altham,  P.M.E.  1978.  “Two  generalizations  of  the  binomial distribution”. J. Roy. Statist. Soc. Ser . C 27, hal. 162-167.
[3]  Kupper,  L.L.,  Haseman,  J.K.  1978.  “The  use  of  a  correlated  binomial model for the analysis of certain toxicological experiments”. Biometrics 34, hal. 69-76.
[4]  Borges,  P.,  Rodrigues,  J.,  Balakrishnan,  N.,  and  B.  Jorge.  2014.  “A COM-Poisson Type Generalization of the Binomial Distribution and its Properties  and  Applications”. Statistics  and  Probability  Letters 87, hal.158-166.
[5]  Walpole,  R.E. “Pengantar  Statistika  Edisi  ke-3” .  Jakarta:  PT. Gramedia Pustaka Utama.
[6]   Bain,  L.J.,  and  Engelhardt,  Max.  1991. “Introduction  to  Probability and  Mathematical  Statistics  2nd  edition”. Belmont,  California: Duxbury Press.
[7]  Agresti, A. 2002. “Categorical Data Analysis 2nd edition”. John Wiley and Sons, New York.
[8]  Skellam,  J.G.  1948.  “A  probablility  distribution  derived  from  the binomial distribution by regarding the probability of success as variable between the sets of trials”. J.Roy. Statist.Soc.Ser. B 10, hal.257-261.