Jambura Journal of Mathematics Volume 1 Nomor 2, Juli 2019
Journal Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom , p-ISSN: 2654-5616, e-ISSN: 2656-1344

## Peramalan Pendapatan Asli Daerah Provinsi Kalimantan Timur Menggunakan Model Grey-Markov (1,1)
Latipah 1* , Sri Wahyuningsih 2 , Syaripuddin 3
1 Laboratorium Statistika Ekonomi dan Bisnis, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Mulawarman, Jl. Barong Tongkok No.04 Gunung Kelua, Kota Samarinda 75119, Kalimantan Timur, Indonesia
2 Program Studi Statistika, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Mulawarman,
Jl. Barong Tongkok No.04 Gunung Kelua, Kota Samarinda 75119, Kalimantan Timur, Indonesia
3 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Mulawarman, Jl. Barong Tongkok No.04 Gunung Kelua, Kota Samarinda 75119, Kalimantan Timur, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: Latifah1512@gmail.com

## ABSTRAK
Model grey (1,1) adalah model peramalan yang digunakan ketika jumlah data yang tersedia sedikit atau terbatas. Model tersebut menggunakan persamaan differensial orde satu dengan satu  variabel  penelitian.  Pada  penelitian  ini  dibahas  model  grey-Markov  (1,1)  yang merupakan  pengembangan  dari  model  grey  (1,1)  dan  diaplikasikan  pada  data  tahunan realisasi  pendapatan  asli  daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur.  Tujuan  penelitian  ini  adalah memperoleh hasil dan akurasi peramalan pendapatan asli daerah Provinsi Kalimantan Timur Tahun 2009-2018 yang terdiri dari pajak daerah, retribusi daerah, hasil pengelolaan kekayaan daerah yang dipisahkan, dan lain-lain pendapatan asli daerah yang sah menggunakan model grey-Markov (1,1). Tahap awal dalam penelitian ini yaitu bentuk barisan data aktual, tahap kedua  hitung  AGO,  tahap  ketiga  hitung  MGO,  tahap  keempat  tentukan  nilai  parameter model grey (1,1), tahap kelima hitung nilai prediksi model grey (1,1), tahap selanjutnya hasil peramalan  model  grey  (1,1)  dimodifikasi  dengan  rantai  Markov,  sehingga  diperoleh  hasil peramalan  model  grey-Markov  (1,1).  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  model  grey- Markov  (1,1)  memberikan  hasil  peramalan  yang  cenderung  mengikuti  pola  data.  Nilai akurasi  peramalan  menunjukkan  bahwa  tingkat  akurasi  model  grey-Markov  (1,1)  untuk peramalan  data  hasil  pengelolaan  kekayaan  daerah  yang  dipisahkan  dan  data  lain-lain pendapatan asli daerah yang sah adalah sangat akurat, sedangkan untuk data pajak daerah dan data retribusi daerah adalah akurat.
Kata Kunci: Model Grey (1,1); Model Grey-Markov (1,1); Peramalan
Diterima: 24-05-2019 Disetujui: 09-07-2019 Online: 30-07-2019

## ABSTRACT
Model grey (1,1) is a forecasting model used when the number of data available was limited. The model use first order differential equations with one research variable. In this study discussed grey-Markov model (1,1) which is the development of grey model (1,1) and applied to the annual data actual of local original  revenues  of  Kalimantan  Timur  Province.  The  purpose  of  this  study  is  to  get  results  and accuracy  of  forecasting  local  original  revenues  of  Kalimantan  Timur  Province  from  2009  to  2018 consisting of local tax, retribution, management of separated regional government wealth, and other original local government revenue using grey-Markov model (1,1). The first step in this study is form of actual data lines, second step calculated AGO, third step calculated MGO, fourth step determined parameter of the grey model (1,1), fifth step calculated predictive value of the grey model (1,1), the next step results forecasting of grey model (1,1) was modified with Markov chain, so that the forecasting
results of grey-Markov model (1,1) were obtained. The results showed that grey-Markov model (1,1) provided  forecasting  results  tend  to  follow  the  data  pattern.  The  forecasting  accuracy  value  showed that  level  accurate  of  grey-Markov  model (1,1) for  forecasting  management  of  separated  regional government wealth and other original local government revenue is high accurate, while for forecasting local tax and retribution is accurate.
Keywords: Grey Model (1,1); Grey-Markov Model (1,1); Forecasting
Received: 2019-05-24 Accepted: 2019-07-09 Online: 2019-07-30 DOI: http://dx.doi.org/10.34312%2Fjjom.v1i2.2347

## 1.  Pendahuluan
Peramalan merupakan suatu teknik untuk memperkirakan suatu nilai pada masa yang akan  datang  dengan  memperhatikan  data  masa  lalu  maupun  data  masa  kini.  Pada umumnya,  metode  peramalan  dibagi  dalam  dua  kategori  utama  yaitu  metode kualitatif dan kuantitatif [1].  Salah satu metode kuantitatif adalah model deret waktu. Beberapa  model  deret  waktu  antara  lain: Autoregressive  Integrated  Moving  Average (ARIMA), Moving  Average ,  dan Exponential  Smoothing .  Model  deret  waktu  tersebut dapat  disebut  sebagai  model  deret  waktu  klasik  [2].  Model  deret  waktu  klasik  akan memberikan  akurasi  yang  baik  jika  jumlah  data  yang  tersedia  banyak,  akan  tetapi beberapa  data  yang  tersedia  di  lapangan  jumlahnya  kecil  (terbatas).  Penggunaan model deret waktu klasik pada data yang terbatas akan menyebabkan keakuratannya berkurang.  Oleh  karena  itu  dikembangkan  model  peramalan  lainnya  yaitu grey forecasting model .
Grey  forecasting  model atau  model  grey  (1,1)  adalah  model  peramalan  yang menggunakan persamaan diferensial orde satu dengan satu variabel penelitian. Model grey  (1,1)  memiliki  keunggulan  dibandingkan  model  deret  waktu  klasik,  yaitu  tidak ada asumsi yang harus dipenuhi dan peramalan dapat dilakukan meskipun data yang dimiliki  terbatas,  namun  model  grey  (1,1)  memiliki  kelemahan  yaitu  kurang  efektif untuk  data  yang  berfluktuasi  [3].  Pada  perkembangannya,  model  grey  (1,1) dimodifikasi dengan analisis rantai Markov dan disebut dengan model grey-Markov. Model  tersebut  menggunakan  konsep  transisi  keadaan  dimana  perubahan  keadaan dari  waktu  ke  waktu  pada  suatu  data  bersifat  tidak  pasti,  sifat  ketidakpastian  inilah yang mendukung disertakannya analisis rantai Markov pada model grey [4].
Terdapat beberapa penelitian yang telah dilakukan dengan menggunakan model grey (1,1)  dan  model  grey-Markov  (1,1).  Penelitian-penelitian  tersebut  diantaranya  adalah penelitian  mengenai  peramalan  persediaan  energi  terbarukan  di  Taiwan  dengan menggunakan  tiga  model  yaitu exponential  smoothing ,  model  grey  (1,1),  dan  model grey-Markov.  Penelitian  tersebut  menunjukkan  bahwa  model  grey-Markov memberikan hasil akurasi yang lebih baik untuk data persediaan energi terbarukan di Taiwan dibandingkan model grey (1,1) dan exponential smoothing [5]. Penelitian lainnya mengenai  peramalan  realisasi  penerimaan  negara  dengan  menggunakan  model  grey (1,1)  dan  model  grey-Markov  (1,1).  Penelitian  tersebut  menunjukkan  bahwa  model grey (1,1) dan model grey-Markov (1,1) dapat digunakan untuk data yang tidak terlalu berfluktuasi,  namun  model  grey-Markov  memberikan  hasil  akurasi  yang  lebih  baik untuk data yang cukup berfluktuasi dibandingkan dengan model grey (1,1) [4].
Pada penelitian ini model grey-Markov (1,1) akan diaplikasikan pada data pendapatan asli  daerah,  karena  data  pendapatan  asli  daerah  yang  tersedia  dan  dapat  diakses memiliki  jumlah  yang  terbatas.  Pendapatan  asli  daerah  adalah  pendapatan  daerah yang  dipungut  berdasarkan  peraturan  daerah  sesuai  dengan  peraturan  perundang- undangan.  Pendapatan  asli  daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur  dari  tahun  ke  tahun mengalami  perubahaan  yang  sifatnya  tidak  pasti  dan  berfluktuasi.  Oleh  karena  itu, perlu  adanya  peramalan  pendapatan  asli  daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur  untuk memperkirakan keuangan daerah pada tahun-tahun berikutnya, sehingga diharapkan pendapatan asli daerah Provinsi Kalimantan Timur dapat dikelola secara optimal.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penelitian  ini  bertujuan  untuk  memperoleh  hasil  dan akurasi  peramalan  pendapatan  asli  daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur  yang  terdiri dari  pajak  daerah,  retribusi  daerah,  hasil  pengelolaan  kekayaan  daerah  yang dipisahkan, dan lain-lain pendapatan asli daerah yang sah menggunakan model grey- Markov (1,1).

## 2.  Metode
Data  dalam  penelitian  ini  menggunakan  data  sekunder  yang  diperoleh  dari  Badan Pendapatan  Daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur.  Sampel  dalam  penelitian  ini  adalah realisasi  pendapatan  asli  daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur  dari  Tahun  2009-2018 yang  terdiri  dari  pajak  daerah,  retribusi  daerah,  hasil  pengelolaan  kekayaan  daerah yang dipisahkan, dan lain-lain pendapatan asli daerah yang sah. Teknik analisis data menggunakan model grey-Markov (1,1).

## 2.1  Model Grey (1,1)
Model  grey  (1,1)  merupakan  model  peramalan  yang  menggunakan  persamaan diferensial  orde  satu  dengan  satu  variabel  penelitian.  Adapun  langkah-langkah peramalan menggunakan model grey (1,1) adalah sebagai berikut [6]:
1. Membentuk data aktual atau data historis ke dalam bentuk 𝑋 (0) yang ditampilkan pada Persamaan (1),
𝑋 (0) = {𝑥 (0) (1), 𝑥 (0) (2), . . . , 𝑥 (0) (𝑛)} (1)
2. Membentuk  barisan  baru  yaitu  barisan Accumulated  Generating  Operation (AGO). Barisan AGO dinotasikan sebagai 𝑋 (1) yang ditampilkan pada Persamaan (2),
𝑋 (1) = {𝑥 (1) (1), 𝑥 (1) (2), . . . , 𝑥 (1) (𝑛)} (2)
dengan
𝑥 (1) (𝑘) = ∑ 𝑥 (0) (𝑖) 𝑘 𝑖=1 , k = 1, 2, …, n dan 𝑥 (1) (1) = 𝑥 (0) (1). (3)
3. Membentuk  barisan Mean  Generating  Operation (MGO)  yang  merupakan  rataan atau  nilai  tengah  dari  dua  data 𝑥 (1) (𝑘) yang  berdekatan,  dinotasikan  sebagai 𝑍 (1) yang ditampilkan pada Persamaan (4),
𝑍 (1) = {𝑧 (1) (2), 𝑧 (1) (3), . . . , 𝑧 (1) (𝑛)} (4)
dengan
𝑧 (1) (𝑘) = 𝑥 (1) (𝑘) + 𝑥 (1) (𝑘 − 1)
2 (5)
dimana, 𝑘 = 2,3, . . . , 𝑛.
4. Setiap pasangan nilai 𝑥 (0) (𝑘) dan 𝑧 (1) (𝑘) dibentuk menjadi persamaan model grey (1,1) yang ditampilkan pada Persamaan (6),
𝑥 (0) (𝑘) + 𝑎𝑧 (1) (𝑘) = 𝑏
(6)
dimana a adalah development  coefficient dan b adalah input grey.  Persamaan  (6)
adalah whitening  equation dari  persamaan  differensial  orde  pertama  model  grey yaitu
𝑑𝑥 (1) (𝑘) 𝑑𝑘 + 𝑎𝑥 (1) (𝑘) = 𝑏                                                                                 (7)
Nilai a dan b ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil.
𝜶 = [ 𝑎 𝑏 ] = (𝑩 𝑻 𝑩) −𝟏 𝑩 𝑻 𝒀 (8)
dengan
𝒀 = [ 𝑥 (0) (2) 𝑥 (0) (3) ⋮ 𝑥 (0) (𝑛)] , 𝑩 = [ −𝑧 (1) (2) 1 −𝑧 (1) (3) 1 ⋮ ⋮ −𝑧 (1) (𝑛) 1]
5. Menghitung nilai prediksi AGO yang diperoleh dengan menyelesaikan Persamaan (7) menggunakan transformasi Laplace, dengan tahapan sebagai berikut,
𝐿 { 𝑑𝑥 (1) (𝑘) 𝑑𝑘 } + 𝐿{𝑎𝑥 (1) (𝑘)} = 𝐿{𝑏}
𝐿{𝑥 (1) (𝑘)} = 𝑥 (1) (0) + 𝑏 𝑠 𝑠 + 𝑎 (9)
dimana kondisi awal yaitu 𝑥 (1) (1) = 𝑥 (0) (1) maka 𝑥 (1) (0) = 𝑥 (0) (1) , sehingga
𝐿{𝑥 (1) (𝑘)} = 𝑥 (0) (1) + 𝑏 𝑠 𝑠 + 𝑎 (10)
dengan menggunakan invers transformasi Laplace diperoleh,
𝑥 (1) (𝑘) = 𝐿 −1 { (𝑥 (0) (1)) − 𝑏 𝑎 (𝑠 + 𝑎) + 𝑏 𝑎 𝑠 } 𝑥 (1) (𝑘) = (𝑥 (0) (1) − 𝑏 𝑎 ) 𝑒 −𝑎𝑘 + 𝑏 𝑎 (11)
dengan k > 0, sehingga diperoleh rumus untuk nilai prediksi AGO adalah
𝑥̂ (1) (𝑘 + 1) = (𝑥 (0) (1) − 𝑏 𝑎 ) 𝑒 −𝑎𝑘 + 𝑏 𝑎 ,     𝑘 = 1,2, . . . , 𝑛. (12)
6. Menghitung nilai prediksi model grey (1,1) menggunakan Persamaan (13),
𝑥̂ (0) (𝑘 + 1) = 𝑥̂ (1) (𝑘 + 1) − 𝑥̂ (1) (𝑘) (13)
dengan
𝑥̂ (0) (1) = 𝑥 (0) (1) dan k = 1, 2, …, n .

## 2.2  Model Grey-Markov (1,1)
Pada model ini, hasil prediksi dari model grey (1,1) dimodifikasi dengan analisis rantai Markov.  Adapun  langkah-langkah  peramalan  dengan  menggunakan  model  grey- Markov (1,1) adalah sebagai berikut [4]:
1. Membentuk barisan data baru yang terdiri dari nilai prediksi model grey (1,1) yang ditampilkan pada Persamaan (14),
𝑥̂ (0) (𝑘) = {𝑥̂ (0) (1), 𝑥̂ (0) (2), . . . , 𝑥̂ (0) (𝑛)},
(14)
dengan
𝑥̂ (0) (1) = 𝑥 (0) (1).
2. Menghitung nilai error relatif ( er ) menggunakan Persamaan (15).
𝑒𝑟 (𝑘)    = 𝑥 (0) (𝑘) − 𝑥̂ (0) (𝑘) 𝑥 (0) (𝑘) × 100                                                                  (15)
3. Menentukan  jumlah  keadaan,  kemudian  tentukan  batas  dari  setiap  keadaan berdasarkan nilai error relatif [7],
⊗ (𝑗) = [ ⊗ (𝑗 − ) , ⊗ (𝑗 + ) ], j = 1, 2, …, r . (16)
dengan
⊗ (𝑗 − ) = 𝐿 + 𝑗−1 𝑟 (𝐻 − 𝐿) (17)
dan
⊗ (𝑗 + ) = 𝐿 + 𝑗 𝑟 (𝐻 − 𝐿) (18)
keterangan:
⊗ (𝑗) = batas keadaan ke- j ⊗ (𝑗 − ) = batas bawah dari keadaan ke- j ⊗ (𝑗 + ) = batas atas dari keadaan ke- j
L = nilai error relatif terkecil H
= nilai error relatif terbesar
r = jumlah keadaan.
4. Mendefinisikan keadaan dari setiap data berdasarkan dengan batas-batas keadaan yang telah ditentukan.
5. Menentukan nilai peluang transisinya dengan menggunakan sifat Markovian yang ditampilkan pada Persamaan (19).
𝑃 𝑖𝑗 (𝑘) = 𝑃(𝑋 𝑘 = 𝑗|𝑋 0 = 𝑖) = 𝑛 𝑖𝑗 (𝑘) 𝑛 𝑖 , 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛. (19)
dimana 𝑃 𝑖𝑗 (𝑘) adalah peluang transisi k langkah yang berpindah dari keadaan- i ke keadaan- j , n i menyatakan  banyaknya  data  yang  berada  pada  keadaan- i dan n ij menyatakan banyaknya data yang berpindah dari keadaan- i ke keadaan- j . Peluang transisi 𝑃 𝑖𝑗 (𝑘) dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks stokastik P :
𝑷(𝒌) = [ 𝑃 11 (𝑘) 𝑃 12 (𝑘) ⋯ 𝑃 1𝑛 (𝑘) 𝑃 21 (𝑘) 𝑃 22 (𝑘) ⋯ 𝑃 2𝑛 (𝑘) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑃 𝑛1 (𝑘) 𝑃 𝑛2 (𝑘) ⋯ 𝑃 𝑛𝑛 (𝑘) ]
6. Memilih  perpindahan  keadaan  yang  memiliki  nilai  jumlahan  terbesar  untuk menentukan pada keadaan mana tahun prediksi memiliki kemungkinan.
7. Menghitung  nilai  prediksi  dari  model  grey-Markov  dengan  menggunakan Persamaan (20).
𝑥̂(𝑘) = 𝑥̂ (0) (𝑘) (1 + ⊗ (𝑗 − ) +⊗ (𝑗 + ) 2 × 1 100 )                             (20)
dengan, k = 1, 2,…, n .

## 2.3  Tingkat Akurasi
Terdapat  beberapa  uji  keakuratan  model  diantaranya  yaitu Mean  Absolute  Percentage Error (MAPE) dan posterior error ratio ( C ). Adapun perhitungan akurasi menggunakan MAPE ditunjukkan pada Persamaan (21),
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝜀(𝑘)| 𝑥 (0) (𝑘) 𝑛 𝑘=1 𝑛 × 100%                                                               (21)
dengan
𝜀(𝑘) = { 𝑥 (0) (𝑘) − 𝑥̂ (0) (𝑘),    untuk model grey (1,1)
𝑥 (0) (𝑘) − 𝑥̂(𝑘),
untuk model grey − Markov (1,1)
Adapun  perhitungan  akurasi  menggunakan posterior  error  ratio ( C )  ditunjukkan  pada Persamaan  (22). Posterior  error  ratio ( C )  adalah  rasio  dari  standar  deviasi error dan standar deviasi data.
𝐶 = 𝑆 2 𝑆 1 (22)
dengan
𝑆 1 = √ 1 𝑛 ∑[𝑥 (0) (𝑘) − 𝑥̅] 2 𝑛 𝑘=1 dan  𝑆 2 = √ 1 𝑛 ∑[𝜀(𝑘) − 𝜀̅] 2 𝑛 𝑘=1
Tingkat akurasi peramalan menggunakan MAPE dan C ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Akurasi grey forecasting menggunakan posterior error ratio ( C ) C Tingkat Akurasi MAPE (%) Tingkat Akurasi 𝐶 ≤ 0,35 Sangat akurat < 10 Sangat akurat 0,35 < 𝐶 ≤ 0,50 Akurat 10 – 20 Akurat 0,5 < 𝐶 ≤ 0,65 Cukup akurat 20 – 50 Kurang akurat 𝐶 > 0,65 Kurang akurat > 50 Tidak akurat Sumber: [8]

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Penelitian  ini  menggunakan  data  tahunan  realisasi  pendapatan  asli  daerah  Provinsi Kalimantan  Timur  dari  tahun  2009  sampai  dengan  tahun  2018.  Data  tersebut  terdiri dari  pajak  daerah  (pajak),  retribusi  daerah  (retribusi),  hasil  pengelolaaan  kekayaan daerah  yang  dipisahkan  (hpk),  dan  lain-lain  pendapatan  asli  daerah  yang  sah (lainlain).

## 3.1  Grafik Runtun Waktu
Grafik  runtun  waktu  digunakan  untuk  melihat  variasi  data  atau  fluktuasi  data.  KV adalah koefisien variasi, semakin besar nilai KV maka data semakin bervariasi. Grafik runtun waktu ditunjukkan pada Gambar 1.
(a) retribusi
(b) pajak (c) hpk (d) lain lain
Gambar 1. Grafik runtun waktu 2010 2012 2014 2016 2018 0 1 2 3 4 5 6 7 Tahun Tr il iu n 2010 2012 2014 2016 2018 0 10 20 30 40 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 100 200 300 400 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 400 600 800 1000 1200 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 0 1 2 3 4 5 6 7 Tahun Tr il iu n 2010 2012 2014 2016 2018 0 10 20 30 40 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 100 200 300 400 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 400 600 800 1000 1200 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 0 1 2 3 4 5 6 7 Tahun Tr il iu n 2010 2012 2014 2016 2018 0 10 20 30 40 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 100 200 300 400 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 400 600 800 1000 1200 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 0 1 2 3 4 5 6 7 Tahun Tr il iu n 2010 2012 2014 2016 2018 0 10 20 30 40 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 100 200 300 400 Tahun M il ia r 2010 2012 2014 2016 2018 400 600 800 1000 1200 Tahun M il ia r
KV=46%
KV=35%
KV=29%
KV=24%
Ilustrasi yang ditunjukkan pada Gambar 1 poin a), b), c), dan d) menunjukkan bahwa semua data penelitian berfluktuasi.

## 3.2  Peramalan Menggunakan Model Grey (1,1)
Peramalan masing-masing sumber pendapatan asli daerah Provinsi Kalimantan Timur menggunakan model grey (1,1) dilakukan mengikuti tahapan-tahapan berikut:
1. Membentuk barisan data aktual mengikuti Persamaan (1).
2. Menghitung  AGO  sesuai  Persamaan  (3)  dan  menghitung  MGO  sesuai  Persamaan (5). Hasil perhitungan AGO dan MGO ditampilkan pada Tabel 3.

## Tabel 3. Hasil perhitungan AGO dan MGO
AGO (𝑥 (1) (𝑘)) k Retribusi Pajak Hpk Lainlain 1 5621,68 1539702,68 121104,22 541880,55 2 13541,70 3197056,90 258552,46 969661,27 3 27240,73 6876423,78 474205,05 1564181,59 4 49736,36 11362828,36 681998,85 2256936,96 5 83413,07 16292619,96 973682,92 2887046,59 6 98907,32 21721745,96 1283282,85 3795939,68 7 113630,11 25475464,90 1513398,91 4747542,52 8 133065,90 28602715,82 1680784,28 5462835,26 9 149724,91 32108293,90 1889591,78 6320542,41 10 169909,85 36824977,06 2086090,76 7137602,82 MGO (𝑥 (1) (𝑘)) k Retribusi Pajak Hpk Lainlain 2 9581,69 2368379,79 189828,34 755770,91 3 20391,21 5036740,34 366378,76 1266921,43 4 38488,54 9119626,07 578101,95 1910559,28 5 66574,71 13827724,16 827840,89 2571991,77 6 91160,19 19007182,96 1128482,89 3341493,14 7 106268,71 23598605,43 1398340,89 4271741,10 8 123348,00 27039090,36 1597091,60 5105188,89 9 141395,41 30355504,86 1785188,03 5891688,84 10 159817,38 34466635,48 1987841,27 6729072,62 3. Menentukan nilai parameter a dan b dengan menggunakan metode kuadrat terkecil sesuai Persamaan (8), hasil perhitungan nilai a dan b untuk masing-masing variabel ditampilkan pada Tabel 4.
Tabel 4. Nilai parameter a dan b Variabel a b Retribusi -0,026 16.070 Pajak -0,029 3.383.000 Hpk -0,005 21.300 Lainlain -0,056 53.320
4. Menghitung  nilai  prediksi  AGO  menggunakan  Persamaan  (12),  kemudian dilanjutkan  dengan  menghitung  nilai  prediksi  model  grey  (1,1)  menggunakan Persamaan  (13).  Adapun  hasil  peramalan  masing-masing  sumber  pendapatan  asli daerah  Provinsi  Kalimantan  Timur  dengan  menggunakan  model  grey  (1,1)  yang ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil peramalan model grey (1,1)
k Tahun 𝑥̂ 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 (0) (𝑘) 𝑥̂ 𝑝𝑎𝑗𝑎𝑘 (0) (𝑘) 𝑥̂ ℎ 𝑝𝑘 (0) (𝑘) 𝑥̂ 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑙𝑎𝑖𝑛 (0) (𝑘) 1 2009 5.621,68 1.539.702,68  121.104,212 541.880,55 2 2010 16.427,83 3.479.448,97 214.136,01 579.978,42 3 2011 16.860,13 3.582.999,42 215.174,38 613.648,45 4 2012 17.303,82 3.689.631,58 216.217,79 649.273,16 5 2013 17.759,17 3.799.437,18 217.266,26 686.966,02 6 2014 18.226,51 3.912.510,66 218.319,82 726.847,10 7 2015 18.706,15 4.028.949,28 219.378,48 769.043,44 8 2016 19.198,41 4.148.853,16 220.442,28 813.689,44 9 2017 19.703,62 4.272.325,46 221.511,24 860.927,32 10 2018 20.222,13 4.399.472,37 222.585,38 910.907,54 11 2019 20.754,28 4.530.403,25 223.664,73 963.789,32

## 3.3  Peramalan Menggunakan Model Grey-Markov (1,1)
Peramalan masing-masing sumber pendapatan asli daerah Provinsi Kalimantan Timur menggunakan  model  grey-Markov  (1,1)  dilakukan  melalui  tahapan-tahapan  sebagai berikut:
1. Membentuk barisan data baru, yaitu barisan yang terdiri dari hasil prediksi model grey (1,1) drbsgsimana ditampilkan pada Tabel 5.
2. Menghitung  nilai error relatif  ( er )  mengikuti  Persamaan  (16)  dan  menentukan jumlah keadaan. Pada penelitian ini error relatif dibagi menjadi 3, 4, dan 5 keadaan. Berdasarkan trial  and  error yang  telah  dilakukan,  diperoleh  jumlah  keadaan  yang paling optimum adalah 4 keadaan. Adapun batas-batas keadaan ditampilkan pada Tabel 6.
Tabel 6. Batas-batas keadaan setiap variabel Retribusi Hpk j Keadaan ⊗ (𝑗 − ) ⊗ (𝑗 + ) j Keadaan ⊗ (𝑗 − ) ⊗ (𝑗 + ) 1 Keadaan 1 -107,42 -68,75  1 Keadaan 1 -55,79 -34,47 2 Keadaan 2 -68,75 -30,08  2 Keadaan 2 -34,47 -13,15 3 Keadaan 3 -30,08 8,59  3 Keadaan 3 -13,15 8,16 4 Keadaan 4 8,59 47,27  4 Keadaan 4 8,16 29,48 Pajak Lainlain j Keadaan ⊗ (𝑗 − ) ⊗ (𝑗 + ) j Keadaan ⊗ (𝑗 − ) ⊗ (𝑗 + ) 1 Keadaan 1 -109,93 -75,47  1 Keadaan 1 -35,58 -21,68 2 Keadaan 2 -75,47 -41,00  2 Keadaan 2 -21,68 -7,77 3 Keadaan 3 -41,00 -6,53  3 Keadaan 3 -7,77 6,13 4 Keadaan 4 -6,53 27,93  4 Keadaan 4 6,13 20,03
3. Mendefinisikan  keadaan  setiap  data  berdasarkan  batas-batas  keadaan  yang  telah ditentukan pada Tabel 6. Keadaan setiap data ditampilkan pada Tabel 7.
Tabel 7 . Keadaan setiap data k Tahun Retribusi Pajak 𝑥 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 (0) (𝑘) 𝑒𝑟(𝑘) Keadaan 𝑥 𝑝𝑎𝑗𝑎𝑘 (0) (𝑘) 𝑒𝑟(𝑘) Keadaan 1 2009 5.621,68        0,00  Keadaan 3  1.539.702,68 0,00  keadaan 4 2 2010 7.920,02  -107,42  Keadaan 1  1.657.354,22 -109,94  keadaan 1 3 2011 13.699,03    -23,07  Keadaan 3  3.679.366,87 2,62  keadaan 4 4 2012 22.495,63      23,08  Keadaan 4  4.486.404,59 17,76  keadaan 4 5 2013 33.676,71      47,27  Keadaan 4  4.929.791,60 22,93  keadaan 4 6 2014 15.494,25    -17,63  Keadaan 3  5.429.126,00 27,93  keadaan 4 7 2015 14.722,79 -27,06  Keadaan 3  3.753.718,94 -7,33  keadaan 3 8 2016 19.435,79 1,22  Keadaan 3  3.127.250,93 -32,67  keadaan 3 9 2017 16.659,01 -18,28  Keadaan 3  3.505.578,07 -21,87  keadaan 3 10 2018 20.184,94 -0,18  Keadaan 3  4.716.683,16 6,72  keadaan 4 k Tahun Hpk Lainlain
𝑥 ℎ 𝑝𝑘 (0) (𝑘) 𝑒𝑟(𝑘) Keadaan 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑙𝑎𝑖𝑛 (0) (𝑘) 𝑒𝑟(𝑘) Keadaan 1 2009 121.104,22 0,00  Keadaan 3 541.880,55 0,00  Keadaan 3 2 2010 137.448,25 -55,79  Keadaan 1 427.780,71 -35,58  Keadaan 1 3 2011 215.652,59 0,22  Keadaan 3 594.520,33 -3,22  Keadaan 3 4 2012 208.647,80 -4,05  Keadaan 3 692.755,37 6,28  Keadaan 4 5 2013 292.814,03 25,51  Keadaan 4 630.109,63 -9,02  Keadaan 2 6 2014 309.599,92 29,48  Keadaan 4 908.893,10 20,03  Keadaan 4 7 2015 230.116,06 4,67  Keadaan 3 951.602,83 19,18  Keadaan 4 8 2016 167.385,38 -31,70  Keadaan 2 715.292,75 -13,76  Keadaan 2 9 2017 208.807,50 -6,08  Keadaan 3 857.707,15 -0,37  Keadaan 3 10 2018 196.498,97 -13,28  Keadaan 2 817.060,41 -11,49  Keadaan 2
4. Menghitung  nilai  peluang  transisi  menggunakan  Persamaan  (19),  kemudian membentuk  matriks  peluang  transisinya.  Data  yang  akan  diprediksi  adalah  data pada tahun 2019, karena data aktual yang digunakan mulai dari tahun 2009 sampai dengan tahun 2018, maka ada sembilan jenis transisi yang diperlukan oleh masing- masing tahun untuk dapat berpindah ke keadaan pada tahun 2019. Matriks peluang transisi ditampilkan sebagai berikut:
a) Matriks peluang transisi untuk retribusi
𝑷(𝟏) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0,17 0 0,66 0,17 0 0 0,50 0,50 ]   𝑷(𝟐) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,80 0,20 0 0 1 0 ]
𝑷(𝟑) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,75 0,25 0 0 1 0 ]         𝑷(𝟒) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0,67 0,33 0 0 1 0 ]
𝑷(𝟓) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ]              𝑷(𝟔) = [ 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ]             𝑷(𝟕) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 ] 𝑷(𝟖) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 ]              𝑷(𝟗) = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 ]
b) Matriks peluang transisi untuk pajak
𝑷(𝟏) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,67 0,33 0,20 0 0,20 0,60 ]    𝑷(𝟐) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,50 0,50 0 0 0,40 0,60 ] 𝑷(𝟑) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0,60 0,40 ]          𝑷(𝟒) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,60 0,40 ] 𝑷(𝟓) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,50 0,50 ]          𝑷(𝟔) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,67 0,33 ] 𝑷(𝟕) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,50 0,50 ]          𝑷(𝟖) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ]
𝑷(𝟗) = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ]

## c) Matriks peluang transisi untuk hpk
𝑷(𝟏) = [ 0 0 1 0 0 0 1 0 0,20 0,40 0,20 0,20 0 0 0,50 0,50 ]   𝑷(𝟐) = [ 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0,50 0,50 0,50 0 0,50 0 ] 𝑷(𝟑) = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0,25 0,50 0,25 0 0,50 0,50 0 ]         𝑷(𝟒) = [ 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0,33 0,33 0,33 0 0,50 0,50 0 ]
𝑷(𝟓) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,33 0,33 0,33 0 1 0 0 ]         𝑷(𝟔) = [ 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0,33 0,67 0 0 0 0 0 ] 𝑷(𝟕) = [ 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ]          𝑷(𝟖) = [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ]            𝑷(𝟗) = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ]
Jambura Journal of Mathematics. 1(2): 89-103

## d) Matriks peluang transisi untuk lainlain
𝑷(𝟏) = [ 0 0 1 0 0 0 0,50 0,50 0,33 0,33 0 0,33 0 0,67 0 0,33 ]    𝑷(𝟐) = [ 0 0 0 1 0 0,50 0 0,50 0 0,50 0,50 0 0 0,33 0,33 0,33 ] 𝑷(𝟑) = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0,33 0,33 0,33 ]          𝑷(𝟒) = [ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0,50 0 0,50 0 1 0 0 ] 𝑷(𝟓) = [ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0,50 0 0,50 0 0 1 0 ]                𝑷(𝟔) = [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,50 0,50 0 1 0 0 ] 𝑷(𝟕) = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ]           𝑷(𝟖) = [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ]           𝑷(𝟗) = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ]
5. Memilih  peluang  transisi  keadaan  yang  memiliki  jumlahan  terbesar  untuk menentukan  pada  keadaan  mana  tahun  prediksi  memiliki  kemungkinan.    Tabel 8 menampilkan  informasi  peluang  transisi  keadaan  dari  setiap  tahun  untuk  dapat berpindah ke keadaan pada tahun 2019 (prediksi keadaan tahun 2019). Berdasarkan Tabel  8  diperoleh  informasi  bahwa  prediksi  keadaan  untuk  retribusi  pada  tahun 2019 adalah keadaan 3 dengan jumlahan sebesar 5,88, prediksi keadaan untuk pajak pada tahun 2019 adalah keadaan 4 dengan jumlahan sebesar 3,43, prediksi keadaan untuk hpk pada tahun 2019 adalah keadaan 3 dengan jumlahan sebesar 2,83, dan prediksi  keadaan  untuk  lainlain  pada  tahun  2019  adalah  keadaan  3  dengan jumlahan sebesar 3.
Tabel 8. Prediksi keadaan setiap variabel tahun 2019 Tahun Keadaan awal Transisi Retribusi Pajak Peluang Transisi ke keadaan Peluang Transisi ke keadaan 1 2 3 4 1 2 3 4 2010 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 2011 3 8 0 0 1 0 0 0 1 0 2012 4 7 0 0 0 0 0 0 0,50 0,50 2013 4 6 0 0 1 0 0 0 0,67 0,33 2014 3 5 0 0 1 0 0 0 0,50 0,50 2015 3 4 0 0 0,67 0,33 0 0 0 0 2016 3 3 0 0 0,75 0,25 0 0 0 1 2017 3 2 0 0 0,80 0,20 0 0 0,50 0,50 2018 3 1 0,17 0 0,66 0,17 0,20 0 0,20 0,60 Jumlah 0,17 0 5,88 0,95 0,20 0 3,37 3,43
Tahun Keadaan awal Transisi Hpk Lain lain Peluang Transisi ke keadaan Peluang Transisi ke keadaan 1 2 3 4 1 2 3 4 2010 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 2011 3 8 0 0 1 0 0 0 1 0 2012 3 7 0 1 0 0 0 0 0 0 2013 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 2014 4 5 0 1 0 0 0 0 1 0 2015 3 4 0 0,33 0,33 0,33 0 1 0 0 2016 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 2017 3 2 0 0 0,50 0,50 0 0,50 0,50 0 2018 2 1 0 0 1 0 0 0 0,50 0,50 Jumlah 0 2,33 2,83 0,83 0 2,50 3 0,50
6. Menghitung nilai prediksi model grey-Markov (1,1) menggunakan Persamaan (20). Hasil perhitungan ditampilkan pada Tabel 9.
Berdasarkan hasil peramalan masing-masing sumber pendapatan asli daerah Provinsi Kalimantan Timur menggunakan model grey (1,1) dan model grey-Markov (1,1), maka dapat  dibuat  grafik  runtun  waktu  antara  data  aktual  dan  hasil  peramalan.  Adapun perbandingan pola data ditampilkan pada Gambar 2.
(a) Retribusi (b) Pajak (c) Hpk (d) Lainlain
Gambar 2. Grafik runtun waktu data aktual dan hasil peramalan
2010 2012 2014 2016 2018 0 10 20 30 40 Tahun M ili ar Data_aktual Model_grey Model_grey-Markov 2010 2012 2014 2016 2018 0 1 2 3 4 5 6 7 Tahun Tr ili un Data_aktual Model_grey Model_grey-Markov 2010 2012 2014 2016 2018 100 150 200 250 300 350 400 Tahun M ili ar Data_aktual Model_grey Model_grey-Markov 2010 2012 2014 2016 2018 400 600 800 1000 1200 Tahun M ili ar Data_aktual Model_grey Model_grey-Markov
Gambar  2  menunjukkan  bahwa  hasil  peramalan  menggunakan  model  grey  (1,1) cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke tahun (mengalami tren naik), sedangkan hasil  peramalan  menggunakan  model  grey-Markov  (1,1)  cenderung  mengikuti  pola data.
Tabel 9. Hasil peramalan model grey-Markov (1,1)
k Tahun 𝒙 ̂ 𝒓𝒆𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒔𝒊 (𝒌) 𝑥̂ 𝑝𝑎𝑗𝑎𝑘 (𝑘) 𝑥̂ ℎ 𝑝𝑘 (𝑘) 𝒙 ̂ 𝒍𝒂𝒊𝒏𝒍𝒂𝒊𝒏 (𝒌) 1 2009 5.017,80  1.704.457,81  118.081,83 537.418,01 2 2010 1.957,26 253.804,05  117.487,28 413.945,34 3 2011 15.049,01  3.966.396,52  209.804,29 608.594,87 4 2012 22.136,74  4.084.438,81  210.821,67 734.187,93 5 2013 22.719,27  4.205.994,10  258.163,60 585.806,89 6 2014 16.268,61  4.331.166,95  259.415,47 821.907,33 7 2015 16.696,73  3.071.338,90  213.903,48 869.622,29 8 2016 17.136,11  3.162.743,74  167.943,99 693.869,66 9 2017 17.587,05  3.256.868,85  215.983,00 853.837,34 10 2018 18.049,86  4.870.235,77  169.576,71 776.771,92 11 2019 18.524,85  5.015.176,84  218.082,75 955.852,23

## 3.4  Perhitungan Akurasi
Hasil  perhitungan  akurasi  model  grey-Markov  (1,1)  berdasarkan  MAPE  dan C ditampilkan pada Tabel 10.
Tabel 10. Akurasi model grey-Markov (1,1) menggunakan MAPE dan C Variabel penelitian KV MAPE C Retribusi 46% 17,64% 0,50 Pajak 35% 17,67% 0,44 Hpk 29% 7,34% 0,31 Lainlain 24% 4,60% 0,24
Berdasarkan Tabel 10 diperoleh informasi bahwa variabel retribusi dan variabel pajak memiliki nilai MAPE ≤ 20% dan C ≤ 0,50, yang berarti bahwa hasil peramalan akurat. Variabel hpk dan variabel lain lain memiliki nilai MAPE ≤ 10% dan C ≤ 0,35, artinya hasil  peramalan  sangat  akurat.  Berdasarkan  hasil  perhitungan  akurasi  dapat disimpulkan  bahwa  secara  umum  peramalan  pendapatan  asli  daerah  Provinsi Kalimantan  Timur  menggunakan  model  grey-Markov  (1,1)  memiliki  akurasi peramalan yang akurat. Berdasarkan Tabel 10 dapat dilihat bahwa semakin besar nilai KV  maka  akurasi  peramalan  semakin  berkurang,  sebaliknya  semakin  kecil  nilai  KV maka akurasi peramalan semakin baik.

## 4.  Kesimpulan
Peramalan masing-masing sumber pendapatan asli daerah provinsi Kalimantan timur menggunakan model grey-Markov (1,1) cenderung mengikuti pola data aktual. Hasil akurasi  peramalan  model  grey-Markov  (1,1)  untuk  data  hasil  pengelolaan  kekayaan daerah  yang  dipisahkan  dan  data  lain-lain  pendapatan  asli  daerah  yang  sah  adalah
sangat  akurat,  sedangkan  untuk  data  pajak  daerah  dan  data  retribusi  daerah  adalah akurat.  Berdasarkan  nilai  KV,  semakin  besar  nilai  KV  maka  akurasi  peramalan semakin  berkurang,  sebaliknya  semakin  kecil  nilai  KV  maka  akurasi  peramalan semakin baik.

## Referensi
[1]   Aswi  &  Sukarna.,  2006,  Analisis  Deret  Waktu:  Teori  dan  Aplikasi,  Makassar: Andira Publisher
[2]  Makridakis,  S.C.,  Steven,  C.W.,  &  Victor,  E.M.,  1999,  Metode  dan  Aplikasi Peramalan Jilid Satu Edisi Kedua, Jakarta: Binarupa Aksara
[3]    Zhan-li, M., & Jin-hua, S., 2011, Application of grey-Markov model in forecasting fire accidents, Journal Procedia Engineering, 11: 314-318
[4]  Ahdika,  A.,  2018,  Model  grey  (1,1)  dan  grey-Markov  pada  peramalan  realisasi penerimaan negara, Jurnal Fourier, 7(1): 1-12
[5]    Sun, C.C., 2013, Improvement of renewable energy supply forecasts: The case of Taiwan  renewable  industry,  African  Journal  of  Business  Management,  7(16): 1436-1444
[6]   Muqtadir,  A.,  Suryono.,  &  Vincensius,  G.,  2016,  The  implementation  of  grey forecasting model for forecast result’s food crop a gricultural, Scientific Journal of Informatics, 3(2): 159-166
[7]   Immawan,  L.D.,  &  Atina,  A.,  2018,  Comparison  of  grey-Markov  (1,1),  grey- Markov (2,1), and moving average methods in forecasting small sized data of the unit price of materials in Batam, AIP Conf. Proc. 2021: 060019-1-060019-10
[8]   Hu,  S.,  2017,  Prediction  of  city  traffic  accidents  based  on  grey-Markov  chain model, Jurnal Revista de la Faculated de Ingeniea U.C.V, 32(4): 144-151