ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 30-37

## SIFAT-SIFAT FUNGSI PHI EULER DAN BATAS PRAPETA FUNGSI PHI EULER

## Rizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email: asrizkun@gmail.com

## ABSTRAK
Teori little Fermat berhasil digeneralisasi oleh Euler menggunakan fungsi phi Euler, Fungsi  phi Euler 𝝓𝝓 ( 𝒉𝒉 ) didefinisikan  sebagai  banyaknya  bilangan  asli  tidak  lebih  dari 𝒉𝒉 dan  saling  prima dengan 𝒉𝒉 . Gupta (1981) mengatakan tidak semua bilangan asli merupakan elemen range 𝝓𝝓 .Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan sifat-sifat fungsi phi Euler dan menentukan batas bawah dan batas atas prapeta suatu bilangan di bawah fungsi phi Euler. Penelitian ini bersifat studi literatur yaitu dengan mengumpulkan dan mempelajari berbagai referensi yang berkaitan dengan topik penelitian. Hasil yang diperoleh adalah hubungan bilangan asli dengan peta bilangan tersebut ketika dikenakan fungsi phi Euler dan batas prapeta fungsi phi Euler, baik batas bawah maupun batas atas. Batas tersebut dapat digunakan untuk menentukan himpunanprapeta sebuah bilangan di bawah fungsi phi Euler .
Kata kunci : Fungsi Phi Euler, Prapeta Phi Euler.

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu  teori tentang  bilangan  prima  pada  teori bilangan  yang terkenal adalah  teori  little  Fermat.  Namun,  teori  tersebut  hanya  berlaku  untuk  bilangan prima. [3] mengatakan pada tahun 1760, Euler mampu membuat generalisasi dari teori  little  Fermat  untuk  semua  bilangan  asli.  Untuk  membuat  generalisasi tersebut,  Euler menggunakan bantuan  sebuah  fungsi  yang kemudian  diberi nama fungsi phi Euler dan dinotasikan 𝜙𝜙 . Fungsi phi Euler 𝜙𝜙 ( ℎ ) didefinisikan sebagai banyaknya bilangan asli tidak lebih dari ℎ dan saling prima dengan ℎ . Untuk menghitung nilai 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) tanpa harus mendaftarkan  bilangan  yang  memenuhi  syarat,  diperlukan  sebuah  formula 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) yang  diperoleh  berdasarkan  sifat-sifat  dari  fungsi 𝜙𝜙 .  Formula 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) juga  dapat digunakan untuk memperoleh sifat-sifat lainnya dari fungsi 𝜙𝜙 [3]. Sebagai sebuah fungsi, 𝜙𝜙 tentu  memiliki  himpunan  domain  dan  range.  Menurut  [5]  tidak  semua bilangan asli merupakan elemen range 𝜙𝜙 . Salah satu langkah untuk memudahkan mencari  nilai  prapeta  dari 𝑚𝑚 adalah  menentukan  batas  bawah  dan  batas  atas, sehingga dapat mempersempit ruang pencarian. Berdasarkan analisa masalah yang dikaji,  maka  dibahas  sifat-sifat  dari  fungsi  phi  Euler  dan  batas  bawah  dan  batas atas prapeta suatu bilangan di bawah fungsi  phi Euler.
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Keterbagian
Definisi 2.1.1 [3]
Sebuah  bilangan bulat 𝑚𝑚 bisa dibagi habis dengan bilangan bulat 𝑘𝑘 ≠ 0 , disimbolkan 𝑘𝑘 | 𝑚𝑚 , jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 . Ditulis 𝑘𝑘 ∤ 𝑚𝑚 untuk menunjukkan bahwa m tidak habis dibagi dengan 𝑘𝑘 . Teorema 2.1.2 [3] Untuk semua bilangan bulat 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 , 𝑚𝑚 , memenuhi ∶
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 30-37
1. Jika 𝑘𝑘 | 𝑙𝑙 dan 𝑚𝑚 | 𝑑𝑑 , maka 𝑘𝑘𝑚𝑚 | 𝑙𝑙𝑑𝑑 .
2. Jika 𝑘𝑘 |l dan 𝑙𝑙 | 𝑚𝑚 , maka 𝑘𝑘 | 𝑚𝑚 .
3.  Jika 𝑘𝑘 | 𝑙𝑙 dan 𝑘𝑘 | 𝑚𝑚 , maka 𝑘𝑘 |( 𝑙𝑙𝑙𝑙 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 ) untuk sembarang bilangan bulat 𝑙𝑙 dan 𝑚𝑚 .
2.2 Faktor Persekutuan Terbesar Definisi 2.2.1 [3]
Diberikan 𝑘𝑘 dan 𝑙𝑙 bilangan bulat, dimana paling tidak salah satu dari keduanya bukan nol. Faktor  persekutuan terbesar dari 𝑘𝑘 dan 𝑙𝑙 , ditulis dengan ( 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 ) , adalah bilangan bulat positif 𝑤𝑤 memenuhi pernyataan berikut : 1. 𝑤𝑤 | 𝑘𝑘 dan 𝑤𝑤 | 𝑙𝑙 2  jika 𝑘𝑘 | 𝑘𝑘 dan 𝑘𝑘 | 𝑙𝑙 , maka 𝑘𝑘 ≤ 𝑤𝑤
2.3 Bilangan Prima Definisi 2.3.1 [6]
Bilangan prima ialah  bilangan  asli  yang lebih besar dari 1 yang hanya bisa dibagi dengan  bilangan  1 dan bilangan itu  sendiri. Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan merupakan bilangan prima.
Teorema 2.3.2 [1]
Jika 𝑛𝑛 = ∏ 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 adalah faktorisasi prima dari 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 pembagi positif dari 𝑛𝑛 maka 𝑑𝑑 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑑𝑑 = ∏ 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑐𝑐 𝑖𝑖 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 , dimana 0 ≤ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑟𝑟 .
2.4 Kelipatan Persekutuan Terkecil Definisi 2.4.1 [3]
Diberikan 𝑘𝑘 dan 𝑙𝑙 bilangan bulat, dengan paling tidak salah satu dari keduanya bukan nol. Kelipatan persekutuan terkecil dari 𝑘𝑘 dan 𝑙𝑙 , ditulis dengan [ 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 ] , adalah bilangan bulat positif 𝑣𝑣 memenuhi pernyataan berikut : 1. 𝑘𝑘 | 𝑣𝑣 dan 𝑙𝑙 | 𝑣𝑣 2.  jika 𝑘𝑘 | 𝑘𝑘 dan 𝑙𝑙 | 𝑘𝑘 , maka 𝑣𝑣 ≤ 𝑘𝑘 . Teorema 2.4.2 [3]
Pada bilangan asli 𝑏𝑏 dan 𝑑𝑑 berlaku [ 𝑏𝑏 , 𝑑𝑑 ]( 𝑏𝑏 , 𝑑𝑑 ) = 𝑏𝑏𝑑𝑑 .
2.5 Fungsi Multiplikatif Definisi 2.5.1 [6]
Sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap bilangan bulat positif disebut fungsi multiplikatif jika 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠𝑠𝑠 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) dimana 𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑠𝑠 bilangan  asli  yang  saling prima.
Teorema 2.5.2 [6]
Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi multiplikatif dan misal 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 ∙∙∙ 𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑠𝑠 adalah faktorisasi prima dari n, maka 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 ) 𝑓𝑓 ( 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 ) ∙∙∙ 𝑓𝑓 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝑠𝑠 ) .

## 2.6 Fungsi phi Euler
Definisi 2.6.1 [6]
Misal ℎ bilangan bulat positif. Fungsi phi Euler 𝜙𝜙 ( ℎ ) didefinisikan  sebagai banyaknya bilangan asli tidak lebih dari ℎ yang saling prima dengan ℎ . Teorema 2.6.2 [6]
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 30-37
Jika 𝑠𝑠 dan 𝑠𝑠 adalah  bilangan  bulat  positif  yang  saling  prima  maka 𝜙𝜙 ( 𝑠𝑠𝑠𝑠 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑠𝑠 ) 𝜙𝜙 ( 𝑠𝑠 ) .

## 2.7 Himpunan Terbatas
Definisi 2.7.1 [2]
Misal 𝑆𝑆 adalah himpunan tak kosong yang merupakan subset ℝ .
(a) himpunan  bilangan 𝑆𝑆 disebut  terbatas ke atas jika terdapat bilangan 𝑠𝑠 ∈ ℝ sedemikian hingga 𝑠𝑠 ≤ 𝑠𝑠 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 . Semua bilangan yang memenuhi syarat 𝑠𝑠 dikatakan batas atas 𝑆𝑆 .
(b) himpunan bilangan 𝑆𝑆 disebut terbatas ke bawah jika terdapat bilangan 𝑣𝑣 ∈ ℝ sedemikian hingga 𝑣𝑣 ≤ 𝑠𝑠 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 . Semua bilangan yang memenuhi syarat 𝑣𝑣 disebut batas bawah 𝑆𝑆 .
(c) sebuah himpunan dikatakan himpunan terbatas jika himpunan tersebut terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Sebuah himpunan dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak terbatas.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan cara mengumpulkan referensi pendukung yang berhubungan  dengan  fungsi phi Euler khususnya sifat-sifat fungsi phi Euler. Referensi tersebut dipahami, dibahas dan diuraikan sehingga diperoleh sifat-sifat fungsi phi euler dan batas prapeta fungsi phi euler.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema 4.1.1 [6] Jika 𝑝𝑝 adalah bilangan prima dan 𝑘𝑘 adalah bilangan bulat positif, maka 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ) = ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 )( 𝑝𝑝 − 1)
Bukti Bilangan kelipatan 𝑝𝑝 dan tidak lebih dari 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ada sebanyak 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 buah, yaitu 𝑝𝑝 , 2 𝑝𝑝 , 3 𝑝𝑝 , … , ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 ) 𝑝𝑝 41T . Sehingga ada sebanyak 𝑝𝑝 𝑘𝑘 − 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 yang tidak lebih dari 𝑝𝑝 𝑘𝑘 dan relatif prima dengan 𝑝𝑝 𝑘𝑘 , dengan kata lain 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ) = 𝑝𝑝 𝑘𝑘 − 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 = ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 )( 𝑝𝑝 − 1) . ∎ Teorema 4.1.2 [3]
Jika 𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 adalah faktorisasi prima dari bilangan asli ℎ , maka 𝜙𝜙 ( ℎ ) bisa dinyatakan dalam satu bentuk berikut ( 𝑖𝑖 ). �𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 −1 ��𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 −1 � … �𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 −1 � ( 𝑟𝑟 1 − 1)( 𝑟𝑟 2 − 1) … ( 𝑟𝑟 𝑘𝑘 − 1)
( 𝑖𝑖𝑖𝑖 ). ℎ � 1 − 1 𝑟𝑟 1 � � 1 − 1 𝑟𝑟 2 � ⋯ � 1 − 1 𝑟𝑟 𝑘𝑘 � ( 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ). ℎ � ( 𝑟𝑟 − 1
𝑟𝑟 𝑟𝑟 | ℎ )
Bukti Karena 𝜙𝜙 adalah fungsi multiplikatif maka 𝜙𝜙 ( ℎ ) = 𝜙𝜙�𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 �𝜙𝜙�𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 � = �𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 −1 � ( 𝑟𝑟 − 1) �𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 −1 � ( 𝑟𝑟 2 − 1) … �𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 −1 � ( 𝑟𝑟 𝑘𝑘 − 1) = �𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 −1 ��𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 −1 � … �𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 −1 � ( 𝑟𝑟 1 − 1)( 𝑟𝑟 2 − 1) … ( 𝑟𝑟 𝑘𝑘 − 1) = �𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 ��𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 � … �𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 � (1 − 𝑟𝑟 1 −1 )(1 − 𝑟𝑟 2 −1 ) ⋯ (1 − 𝑟𝑟 𝑘𝑘 −1 )
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal.
30-37
= ℎ � 1 − 1 𝑟𝑟 1 � � 1 − 1 𝑟𝑟 2 � ⋯ � 1 − 1 𝑟𝑟 𝑘𝑘 � = ℎ � 𝑟𝑟 1 −1 𝑟𝑟 1 � � 𝑟𝑟 2 −1 𝑟𝑟 � ⋯ � 𝑟𝑟 𝑘𝑘 −1 𝑟𝑟 𝑘𝑘 � = ℎ ∏ ( 𝑟𝑟−1 𝑟𝑟 𝑟𝑟 | ℎ ) . ∎
Teorema 4.1.3 [6] Jika 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat positif, maka ∑ 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) = 𝑛𝑛 𝑑𝑑 | 𝑛𝑛 Bukti Bilangan dari 1 sampai 𝑛𝑛 dibagi ke dalam kelas-kelas. Bilangan 𝑚𝑚 dimasukkan ke dalam kelas 𝐶𝐶 𝑑𝑑 jika dan hanya jika ( 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) = 𝑑𝑑 . Karena ( 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) = 𝑑𝑑 jika dan hanya jika � 𝑚𝑚 𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 𝑑𝑑 � = 1 . Sehingga Bilangan bulat 𝑚𝑚 dimasukkan ke kelas 𝐶𝐶 𝑑𝑑 jika dan hanya jika � 𝑚𝑚 𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 𝑑𝑑 � = 1 . Jadi diperoleh Banyaknya bilangan di dalam kelas 𝐶𝐶 𝑑𝑑 adalah sebanyak bilangan bulat positif tidak lebih dari 𝑛𝑛 𝑑𝑑 dan relatif prima dengan 𝑛𝑛 𝑑𝑑 .  Berdasarkan definisi 2.6.1 maka terdapat 𝜙𝜙 � 𝑛𝑛 𝑑𝑑 � buah bilangan dalam kelas 𝐶𝐶 𝑑𝑑 . Karena bilangan 1 sampai 𝑛𝑛 dibagi ke dalam ke dalam kelas yang saling disjoin dan setiap bilangan hanya dimasukkan ke dalam tepat 1 kelas, maka jumlah elemen dari kelas-kelas yang berbeda adalah 𝑛𝑛 . akibatnya ∑ 𝜙𝜙 � 𝑛𝑛 𝑑𝑑 � = 𝑛𝑛 𝑑𝑑 | 𝑛𝑛 .
Karena 𝑑𝑑 adalah sebarang bilangan yang membagi 𝑛𝑛 , bilangan 𝑛𝑛 𝑑𝑑 juga yang membagi 𝑛𝑛 , maka ∑ 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) = 𝑑𝑑 | 𝑛𝑛 ∑ 𝜙𝜙 � 𝑛𝑛 𝑑𝑑 � 𝑑𝑑 | 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 . ∎ Teorema 4.1.4 [3] Jika 𝑛𝑛 bilangan bulat positif lebih besar dari 1 ,  maka jumlah bilangan bulat positif tidak lebih dari 𝑛𝑛 dan relatif prima dengan 𝑛𝑛 adalah 1 2 𝑛𝑛 ∙𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) .
Bukti Misalkan 𝑑𝑑 1 , 𝑑𝑑 2 , … , 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) adalah bilangan-bilangan bulat positif tidak lebih dari 𝑛𝑛 dan relatif prima dengan 𝑛𝑛 . Karena ( 𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 ) = 1 jika dan hanya jika ( 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 , 𝑛𝑛 ) = 1 , maka bilangan-bilangan 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 1 , 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 2 , … , 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) sama dengan bilangan- bilangan 𝑑𝑑 1 , 𝑑𝑑 2 , … , 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) . sehingga
𝑑𝑑 1 + 𝑑𝑑 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = ( 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 1 ) + ( 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 2 ) + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) ) = 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) ∙ 𝑛𝑛 − ( 𝑑𝑑 1 + 𝑑𝑑 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) ) sehingga �𝑑𝑑 1 + 𝑑𝑑 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) � = 1 2 𝑛𝑛𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) . ∎
Teorema 4.1.5 [5] Jika 𝑛𝑛 ≥ 3 , maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) adalah bilangan genap.
Bukti
Misal 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 adalah  faktorisasi  prima  dari 𝑛𝑛 .  Karena  fungsi 𝜙𝜙 adalah fungsi  multiplikatif  maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝜙𝜙�𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 �𝜙𝜙�𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 � = ∏ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � . 𝑘𝑘 𝑖𝑖=1
Berdasarkan  teorema  4.1.1  diketahui  bahwa 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � = 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) .  Karena diberikan 𝑛𝑛 ≥ 3 maka pasti memenuhi 1 dari 2 kondisi berikut. Kondisi 1, jika 𝑛𝑛 memiliki  faktor  prima  ganjil.  Misal 𝑝𝑝 𝑖𝑖 adalah  bilangan  prima  ganjil  maka 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � = 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) adalah  bilangan  genap  karena ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) genap,  sehingga 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) juga adalah bilangan genap. Kondisi 2,  Jika 𝑛𝑛 tidak memiliki faktor prima ganjil  maka 𝑛𝑛 = 2 𝑗𝑗 dengan 𝑗𝑗 ≥ 2. Sehingga 𝜙𝜙� 2 𝑗𝑗 � = 2 𝑗𝑗−1 (2 − 1) = 2 𝑗𝑗−1 juga bilangan genap. Akibatnya 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) adalah bilangan genap untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 . ∎
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 30-37
Akibat 4.1.6 [5] Jika 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat positif, maka peta dari 𝑛𝑛 dibawah fungsi phi Euler adalah 1 atau bilangan genap, sehingga dipastikan tidak ada bilangan bulat 𝑙𝑙 yang memenuhi 𝜙𝜙 ( 𝑙𝑙 ) = 2 𝑠𝑠 + 1, 𝑠𝑠 ≥ 1 . Bukti Diketahui 𝜙𝜙 (1) = 𝜙𝜙 (2) = 1 dan berdasarkan teorema 4.1.5 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) adalah bilangan genap untuk 𝑛𝑛 ≥ 3 . Sehingga peta dari 𝑛𝑛 dibawah fungsi phi Euler adalah 1 atau bilangan genap. ∎ Teorema 4.1.7 [5] Jika 𝑝𝑝 adalah bilangan prima dengan 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑚𝑚 , maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = ( 𝑝𝑝 − 1) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) untuk
( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) = 1 , dan 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝑝𝑝𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) untuk ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) ≠ 1 .
Bukti Jika ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) = 1 maka berdasarkan teorema 2.6.2 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 ) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) =
( 𝑝𝑝 − 1) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) .  Jika ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) ≠ 1 , maka ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) = 𝑝𝑝 . Karena ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) = 𝑝𝑝 maka berdasarkan definisi 2.2.1 𝑝𝑝 | 𝑚𝑚 . Sehingga 𝑚𝑚 dapat ditulis sebagai 𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑑𝑑 , dengan 𝑎𝑎 ≥ 1 dan ( 𝑝𝑝 , 𝑑𝑑 ) = 1 . Karena ( 𝑝𝑝 , 𝑑𝑑 ) = 1 maka ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) = ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎+1 , 𝑑𝑑 ) = 1 . Karena ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) = 1 maka berdasarkan teorema 2.6.2 dan teorema 4.1.1 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑑𝑑 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) . Jadi 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎−1 )( 𝑝𝑝−1 ) . Bilangan 𝑛𝑛 dapat dijabarkan menjadi 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑚𝑚 = 𝑝𝑝 ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑑𝑑 ) = 𝑝𝑝 𝑎𝑎+1 𝑑𝑑 . Karena ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎+1 , 𝑑𝑑 ) = 1 dengan 𝑝𝑝 bilangan prima maka berdasarkan teorema 2.6.2, teorema 4.1.1  dan 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎−1 )( 𝑝𝑝−1 ) diperoleh
𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎+1 𝑑𝑑 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎+1 ) 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) = ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎 )( 𝑝𝑝 − 1) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) ( 𝑝𝑝 𝑎𝑎−1 )( 𝑝𝑝 − 1) = 𝑝𝑝𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ). ∎
Akibat 4.1.8 [5] Jika 𝑚𝑚 adalah bilangan bulat  positif, 𝑚𝑚 adalah  bilangan  ganjil  jika  dan  hanya jika 𝜙𝜙 (2 𝑚𝑚 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) .
Bukti ( ⟹ ) diketahui 𝑚𝑚 adalah bilangan ganjil Akan ditunjukkan 𝜙𝜙 (2 𝑚𝑚 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 )
Karena 𝑚𝑚 adalah  bilangan  ganjil  maka (2, 𝑚𝑚 ) = 1 .  Sehingga 𝜙𝜙 (2 𝑚𝑚 )  = 𝜙𝜙 (2) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) = 1 ∙ 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) ( ⟸ ) R diketahui 𝜙𝜙 (2 𝑚𝑚 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) Akan ditunjukkan 𝑚𝑚 adalah bilangan ganjil Andaikan 𝑚𝑚 adalah  bilangan  genap  maka 𝑚𝑚 = 2 𝑠𝑠 .  Sehingga (2, 𝑚𝑚 ) = 2 ≠ 1 . Berdasarkan  teorema  4.1.7, 𝜙𝜙 (2 𝑚𝑚 ) = 2 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) ≠ 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) .  Hal  ini  kontradiksi dengan yang diketahui, seharusnya 𝑚𝑚 adalah bilangan ganjil. ∎ Teorema 4.1.9 [6] Jika 𝑛𝑛 memiliki faktor prima ganjil sebanyak 𝑘𝑘 buah, maka 2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) . Bukti Karena 𝑛𝑛 memiliki 𝑘𝑘 faktor  prima  ganjil,  maka 𝑛𝑛 dapat  ditulis  sebagai 2 𝑎𝑎 𝑝𝑝 1 𝑏𝑏 1 𝑝𝑝 2 𝑏𝑏 2 ⋯ 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 dengan 𝑎𝑎 ≥ 0 dan 𝑏𝑏 𝑖𝑖 ≥ 1 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑘𝑘 .  Karena  fungsi 𝜙𝜙 adalah  fungsi  multiplikatif  maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝜙𝜙 (2 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙�𝑝𝑝 1 𝑏𝑏 1 �𝜙𝜙�𝑝𝑝 2 𝑏𝑏 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 � . Berdasarkan  teorema  4.1.5  maka 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 � adalah  bilangan  genap  untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑘𝑘 ,  sehingga 2| 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 � .  Karena 2| 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 � untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑘𝑘 ,  berdasarkan
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 30-37
teorema 2.1.2(1) maka 2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙�𝑝𝑝 1 𝑏𝑏 1 �𝜙𝜙�𝑝𝑝 2 𝑏𝑏 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 � . Karena 2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙�𝑝𝑝 1 𝑏𝑏 1 �𝜙𝜙�𝑝𝑝 2 𝑏𝑏 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 � , 2 𝑘𝑘 |0 dan 𝜙𝜙 (2 𝑎𝑎 ) adalah  bilangan  bulat  maka berdasarkan teorema 2.1.2 (3)
2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙 (2 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙�𝑝𝑝 1 𝑏𝑏 1 �𝜙𝜙�𝑝𝑝 2 𝑏𝑏 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 � + 𝜙𝜙 (2 𝑎𝑎 ) ∙ 0 ⟹ 2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙 (2 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙�𝑝𝑝 1 𝑏𝑏 1 �𝜙𝜙�𝑝𝑝 2 𝑏𝑏 2 � ⋯ 𝜙𝜙�𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑘𝑘 � ⟹ 2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) . ∎
Teorema 4.1.10 [6] Jika 𝑚𝑚 | 𝑛𝑛 dengan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 adalah bilangan positif maka 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 )| 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) .
Bukti Misal 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑟𝑟 , karena 𝑚𝑚 | 𝑛𝑛 maka berdasarkan teorema 2.3.2 𝑚𝑚 = 𝑝𝑝 1 𝑐𝑐 1 𝑝𝑝 2 𝑐𝑐 2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑐𝑐 𝑟𝑟 dimana 0 ≤ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, . . , 𝑟𝑟 . Misal 𝑘𝑘 𝑖𝑖 = 0 untuk
𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑗𝑗 dan 𝑘𝑘 𝑖𝑖 ≥ 1 untuk 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 + 1, 𝑗𝑗 + 2, … , 𝑟𝑟 maka 𝑚𝑚 = 𝑝𝑝 1 𝑐𝑐 1 𝑝𝑝 2 𝑐𝑐 2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑗𝑗 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗+1 𝑐𝑐 𝑗𝑗+1 𝑝𝑝 𝑗𝑗+2 𝑐𝑐 𝑗𝑗+2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑐𝑐 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝 1 0 𝑝𝑝 2 0 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑗𝑗 0 𝑝𝑝 𝑗𝑗+1 𝑐𝑐 𝑗𝑗+1 𝑝𝑝 𝑗𝑗+2 𝑐𝑐 𝑗𝑗+2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑐𝑐 𝑟𝑟 = 1 ∙ 1 ∙ … ∙ 1 ∙ 𝑝𝑝 𝑗𝑗+1 𝑐𝑐 𝑗𝑗+1 𝑝𝑝 𝑗𝑗+2 𝑐𝑐 𝑗𝑗+2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑐𝑐 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝 𝑗𝑗+1 𝑐𝑐 𝑗𝑗+1 𝑝𝑝 𝑗𝑗+2 𝑐𝑐 𝑗𝑗+2 ∙ … ∙ 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑐𝑐 𝑟𝑟
Berdasarkan teorema 4.1.2
𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = �𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 −1 � … �𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑟𝑟 −1 � ( 𝑝𝑝 1 − 1) … ( 𝑝𝑝 𝑟𝑟 − 1) = ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 dan
𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) = �𝑝𝑝 𝑗𝑗+1 𝑐𝑐 𝑗𝑗+1 −1 � … �𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑐𝑐 𝑟𝑟 −1 ��𝑝𝑝 𝑗𝑗+1 − 1 � … ( 𝑝𝑝 𝑟𝑟 − 1) = � ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑐𝑐 𝑖𝑖 −1 ) � ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 Maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) = ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑖𝑖−1 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 −1 ) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 𝑟𝑟 𝑖𝑖=1 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖−1 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 −1 ) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 = ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 ( 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ) − ( 𝑐𝑐 𝑖𝑖 −1 ) ) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 = ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 ( 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −𝑐𝑐 𝑖𝑖 ) ) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 Karena 0 ≤ 𝑘𝑘 𝑖𝑖 ≤ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, . . , 𝑗𝑗 + 1, 𝑗𝑗 + 2, … , 𝑟𝑟 maka 𝑎𝑎 𝑖𝑖 − 𝑘𝑘 𝑖𝑖 ≥ 0 . Sehingga ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −1 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 ( 𝑎𝑎 𝑖𝑖 −𝑐𝑐 𝑖𝑖 ) ) 𝑟𝑟 𝑖𝑖=𝑗𝑗+1 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑖𝑖 − 1) = 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 bilangan  bulat.
Karena 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) bilangan bulat maka berdasarkan definisi 2.1.1 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 )| 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) . ∎
Teorema 4.1.11 [6] Jika ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 dan [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] = 𝑘𝑘 maka 𝜙𝜙 ( 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙 ( 𝑏𝑏 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) 𝜙𝜙 ( 𝑘𝑘 )
Bukti Misalkan 𝑃𝑃 𝑗𝑗 adalah  himpunan  bilangan  prima  yang  membagi 𝑎𝑎 ,  dan 𝑃𝑃 𝑘𝑘 adalah himpunan  bilangan  prima  yang  membagi 𝑏𝑏 .  Jika 𝑝𝑝 𝑑𝑑 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∩ 𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) dan 𝑝𝑝 𝑐𝑐 ∈ �𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∪ 𝑃𝑃 𝑘𝑘 � maka 𝑝𝑝 𝑑𝑑 | 𝑑𝑑 dan 𝑝𝑝 𝑐𝑐 | 𝑘𝑘 .  Karena 𝑛𝑛�𝑃𝑃 𝑗𝑗 � + 𝑛𝑛 ( 𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) = 𝑛𝑛�𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∪ 𝑃𝑃 𝑘𝑘 � + 𝑛𝑛�𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∩ 𝑃𝑃 𝑘𝑘 � dan juga elemen pada himpunan tersebut saling identik maka
∏ ( 𝑝𝑝 𝑗𝑗 −1 𝑝𝑝 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗 ∈𝑃𝑃 𝑗𝑗 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 −1 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ∈𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) = ∏ ( 𝑝𝑝 𝑑𝑑 −1 𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑝𝑝 𝑑𝑑 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∩𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑐𝑐 −1 𝑝𝑝 𝑐𝑐 𝑝𝑝 𝑐𝑐 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∪𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) )
Berdasarkan teorema 2.4.2 𝑎𝑎𝑏𝑏 = ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 )[ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] = 𝑑𝑑𝑘𝑘 , jadi
𝜙𝜙 ( 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙 ( 𝑏𝑏 ) = 𝑎𝑎 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑗𝑗 −1 𝑝𝑝 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗 ∈𝑃𝑃 𝑗𝑗 ) 𝑏𝑏 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 −1 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ∈𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) = 𝑎𝑎𝑏𝑏 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑗𝑗 −1 𝑝𝑝 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗 ∈𝑃𝑃 𝑗𝑗 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 −1 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ∈𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) = 𝑑𝑑𝑘𝑘 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑑𝑑 −1 𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑝𝑝 𝑑𝑑 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∩𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑐𝑐 −1 𝑝𝑝 𝑐𝑐 𝑝𝑝 𝑐𝑐 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∪𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) ) = 𝑑𝑑 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑑𝑑 −1 𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑝𝑝 𝑑𝑑 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∩𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) ) 𝑘𝑘 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑐𝑐 −1 𝑝𝑝 𝑐𝑐 𝑝𝑝 𝑐𝑐 ∈ ( 𝑃𝑃 𝑗𝑗 ∪𝑃𝑃 𝑘𝑘 ) ) = 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) 𝜙𝜙 ( 𝑘𝑘 ) . ∎
Teorema 4.2.1 [5]
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal.
30-37
Setiap himpunan tak kosong 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) ,maka 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) terbatas ke atas dan terbatas ke bawah
Bukti
Misalkan untuk sebarang 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 ∈ 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) , maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝑚𝑚 . Berdasarkan  definisi  2.6.1 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) tidak  lebih  dari 𝑛𝑛 .  Sehingga 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) ≤ 𝑛𝑛 ⟹ 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛 .  Karena 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛 maka  berdasarkan  definisi  2.7.1 𝑚𝑚 adalah  batas  bawah  dari 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) . Karena 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 maka berdasarkan teorema 4.1.2
𝑚𝑚 = 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝑝𝑝 1 𝑎𝑎 1 −1 𝑝𝑝 2 𝑎𝑎 2 −1 ⋯ 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 −1 ( 𝑝𝑝 1 − 1)( 𝑝𝑝 2 − 1) ⋯ ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 − 1)
Sehingga jika diberikan 𝑛𝑛 dan 𝑝𝑝 | 𝑛𝑛 maka ( 𝑝𝑝 − 1)| 𝑚𝑚 . Namun jika diberikan 𝑚𝑚 dan ( 𝑝𝑝 − 1)| 𝑚𝑚 belum dapat dipastikan 𝑝𝑝 | 𝑛𝑛 . contohnya 𝜙𝜙 (7) = 6 , diketahui (3 − 1)|6
namun 3 ∤ 7 . Akibatnya ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 𝑝𝑝 | 𝑛𝑛 ) ≤ ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 ) . 𝑛𝑛 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 1 ∏ ( 𝑝𝑝−1 𝑝𝑝 𝑝𝑝 | 𝑛𝑛 ) = ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 𝑝𝑝 | 𝑛𝑛 ) ≤ ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 )
Sehingga 𝑛𝑛 ≤ 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 ) = 𝑚𝑚 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 ) Karena 𝑛𝑛 ≤ 𝑚𝑚 ∏
( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 ) maka  berdasarkan  definisi  2.7.1 𝑚𝑚 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 )
adalah  batas  atas  dari 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ). Jadi 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. ∎ Akibat 4.2.2 [5]
Jika 𝑞𝑞 adalah elemen ganjil terbesar dari himpunan 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) , maka 𝑞𝑞 ≤ 𝑚𝑚
2 � ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 )
Bukti Karena 𝑞𝑞 ∈ 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) maka 𝜙𝜙 ( 𝑞𝑞 ) = 𝑚𝑚 . Berdasarkan akibat 4.8 jika 𝑞𝑞 ganjil maka 𝜙𝜙 (2 𝑞𝑞 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑞𝑞 ) = 𝑚𝑚 .  Sehingga 2 𝑞𝑞 ∈ 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ). Berdasarkan teorema 4.12, 2 𝑞𝑞 ≤𝑚𝑚 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ) ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 . Sehingga 𝑞𝑞 ≤ 𝑚𝑚 2 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 ) . ∎

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari penilitian ini adalah
1. Sifat-sifat fungsi phi Euler terkandung dalam teorema berikut:
a. Jika 𝑝𝑝 bilangan prima, 𝑘𝑘 bilangan bulat positif maka
𝜙𝜙 ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘 ) = ( 𝑝𝑝 𝑘𝑘−1 )( 𝑝𝑝 − 1)
b. Jika 𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 adalah faktorisasi prima dari bilangan bulat positif ℎ . maka 𝜙𝜙 ( ℎ ) = �𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 −1 ��𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 −1 � … �𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 −1 � ( 𝑟𝑟 1 − 1)( 𝑟𝑟 2 − 1) … ( 𝑟𝑟 𝑘𝑘 − 1) = ℎ � 1 − 1 𝑟𝑟 1 � � 1 − 1 𝑟𝑟 2 � ⋯ � 1 − 1 𝑟𝑟 𝑘𝑘 � = ℎ ∏ ( 𝑟𝑟−1 𝑟𝑟 𝑟𝑟 | ℎ )
c. Jika 𝑛𝑛 bilangan bulat positif dan 𝑑𝑑 faktor positif 𝑛𝑛 maka ∑ 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) = 𝑛𝑛 𝑑𝑑 | 𝑛𝑛 d. Jika 𝑛𝑛 bilangan bulat positif lebih besar dari 1 , maka jumlah bilangan bulat positif tidak lebih dari 𝑛𝑛 dan relatif prima dengan 𝑛𝑛 adalah 1 2 𝑛𝑛 ∙𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 )
e. Jika 𝑛𝑛 ≥ 3 maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) adalah bilangan genap
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 30-37
f.  Jika 𝑛𝑛 adalah  suatu  bilangan  bulat  positif  maka  peta  dari 𝑛𝑛 dibawah  fungsi phi Euler adalah 1 atau bilangan genap
g. Jika 𝑝𝑝 adalah bilangan prima dengan 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝𝑚𝑚 , maka 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = ( 𝑝𝑝 − 1) 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) untuk ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) = 1 ,  dan 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 ) = 𝑝𝑝𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 ) untuk ( 𝑝𝑝 , 𝑚𝑚 ) ≠ 1 h. Jika 𝑚𝑚 bilangan bulat positif, maka 𝑚𝑚 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 𝜙𝜙 (2 𝑚𝑚 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 )
i. Jika 𝑛𝑛 memiliki faktor prima ganjil sebanyak 𝑘𝑘 buah, maka 2 𝑘𝑘 | 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 )
j. Jika 𝑚𝑚 | 𝑛𝑛 dengan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 adalah bilangan positif maka 𝜙𝜙 ( 𝑚𝑚 )| 𝜙𝜙 ( 𝑛𝑛 )
k. Jika FPB ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = 𝑑𝑑 dan KPK [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] = 𝑘𝑘 maka 𝜙𝜙 ( 𝑎𝑎 ) 𝜙𝜙 ( 𝑏𝑏 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑑𝑑 ) 𝜙𝜙 ( 𝑘𝑘 )
2.  Batas bawah dan batas atas prapeta bilangan positif 𝑚𝑚 di bawah fungsi phi Euler adalah sebagai berikut:
a. 𝑚𝑚 adalah batas bawah dari 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) b. 𝑚𝑚 ∏ ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝−1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 ) adalah  batas  atas  dari 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) dengan 𝑝𝑝 adalah bilangan prima
c. Jika 𝑞𝑞 adalah elemen ganjil terbesar dari himpunan 𝜙𝜙 −1 ( 𝑚𝑚 ) , maka
𝑞𝑞 ≤ 𝑚𝑚 2 � ( 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 1 ( 𝑝𝑝−1 )| 𝑚𝑚 )

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Apostol, T.M. Introduction to analytic Number Theory. California Institu of Tecnology. United States of America.
[2]  Bartle & Sherbet. 2000. Introduction to Real Analysis Third  Edition . Hamilton: United State of America.
[3]  Burton, D. M. 2011. Elementary Number Theory Seventh Edition . McGraw Hill: New York.
[4]  Coppel, W. R. 2006. Number theory An Introduction To Mathematics: Part A. New York: United Stated of America.
[5]  Gupta, H. 1981. Euler’s totient function and its inverse. Indian J. Pure appl. Math., 12(1): 22-30.
[6]  Rosen. K. H. 2005. Elementary Number Theory And Its Aplication Fifth Edition . AT&T Laboratories: United States of America.