## Persamaan Lorenz untuk Keamanan Nomor Serial Sistem Operasi Window7
Dewanto Harwin Rohan 1 , Nur Hayati 2
Informatika, Fakultas Teknologi Komunikasi dan Informatika Universitas Nasional Jl. Sawo Manila No. 61 RT. 14 RW. 03 Pejaten Pasar Minggu Jakarta Selatan 12520 e-mail : 1 dewanto.hr@gmail.com, 2 nurh4y@gmail.com

## Abstract
Serial number of operating system windows 7 needs to be safeguarded, so can’t be used by the others. Security  of  the  data  can  use  by  modern  cryptography  such  as  Vernam  Cipher  methods  and  classic cryptography such as Caesar Cipher methods. The security level both of this method depends on the keywords used and it will difficult to crack if the random key is used more and more. To get a random key,  we  can  take  from  chaos  of  Lorenz  equations  as  key-generator  for  encryption  and  description. Before  utilizing  chaos  in  the Lorenz  equations,  we have  to  find  the  maximum  t  (time)  for  the  inverse problem  solution  to  fit  with  the  forward  problem  solution.  We  can  use  Runge-Kutta  method  in  the Lorenz equations for forward problem solution and inverse problem solution. The solution of integral that  obtained  by  the  Runge-Kutta  method  can  be  searched  by  Trapezoidal  method.  The  result  of Runge-Kutta solution and Trapezoidal will be used as key-generator for encryption and description. In the simulations performed, the best orde in Runge-Kutta method is 4 and t max is 2. The encryption key is  used  as  the  initial  condition  of  Lorenz  equation,  then  the  result  is  integrable  by  the  Trapezoidal method.  The  result  of  orde  4  from  Runge-Kutta  method  and  Trapezoidal  method  used  as  a  key- generator.    Application  of  Lorenz  equation  as  key-generator  for  encryption  and  decryption,  may change the cryptography algorithms of symmetric to be asymmetric.
Keyword : Lorenz Equation, Runge-Kutta Method, Trapezoidal Method, Vernam Cipher Method, Caesar Cipher Method

## 1. PENDAHULUAN

## 1.1. LATAR BELAKANG
Sistem  operasi  suatu  komputer  sangatlah  mutlak  dibutuhkan,  karena  tanpa  adanya  sistem  operasi  hardware komputer  tidak  dapat  digunakan  secara  maksimal.  Sistem  operasi  ini  mulai  dari  memiliki  fitur  standar  sampai lengkap  dan  mulai  dari  gratis  sampai  berbayar.  Harga  yang  ditawarkan  oleh  vendor  resmi  untuk  sistem  operasi windows  ini  relatif  mahal,  sebagai  contoh  Microsoft  Windows  Proffesional  OEM  7  yang  pada  saat  ini  dihargai sebesar  Rp.  2.100.000  pada  toko  online  www.nanokomputer.com.  Tentu  bukan  harga  yang  murah  bagi  banyak kalangan  apalagi  pelajar  dan  mahasiswa  yang  belum  mempunyai  penghasilan.  Hal  ini  tentu  saja  mengakibatkan tindakan ilegal seperti pencurian nomor serial number kerap seringkali terjadi dan bahkan diperjualbelikan dengan bebas.
Nomor serial windows 7 biasanya dapat dilihat di stiker yang ditempel, jika laptop ditempel di bawah laptop, jika komputer desktop ditempel di casing CPU, biasanya dibagian atas atau belakang.  Pada gambar 1. dapat dilihat bahwa nomor serial windows 7 tidak ada pengamanan, sehingga dapat menimbulkan suatu masalah, dimana nomor serial sistem operasi windows 7 dapat dengan mudah untuk diambil oleh orang yang tidak berhak menggunakannya. Oleh karena itu perlunya suatu keamanan untuk nomor serial sistem operasi windows 7 yang ada di stiker tersebut.
Pengamanan  suatu  data  dapat  menggunakan  kriptografi  baik  kriptografi  modern  maupun  kriptografi  klasik. Kriptografi modern salah satunya adalah dengan metode Vernam cipher sedangkan kriptografi klasik salah satunya dengan  metode  Caesar  cipher.  Tingkat  keamanan  dari  kedua  metode  ini  tergantung  dari  kunci  yang  digunakan, semakin  acak  kunci  yang  digunakan  maka  semakin  sulit  untuk  di  bobol.  Mendapatkan  sebuah  kunci  acak  dapat memanfaatkan  gejala  chaos.  Gejala  chaos  salah  satunya  terdapat  di  persamaan  Lorenz.  Chaos  dari  persamaan Lorenz ini dapat dimanfaatkan sebagai key-generator untuk keamanan nomor serial sistem operasi windows 7.

## 1.2. TUJUAN DAN KONTRIBUSI PENELITIAN
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mencari Runge-Kutta orde terbaik untuk solusi masalah invers pada persamaan Lorenz.
2. Mencari t maksimal solusi masalah invers yang sesuai dengan solusi masalah maju pada persamaan Lorenz.
3. Memanfaatkan chaos pada persamaan Lorenz untuk key-generator enkripsi dan key-generator dekripsi.
4. Merubah kriptografi algoritma simetris menjadi kriptografi algoritma asimetris.
Kontribusi dari penelitian ini adalah:
1. Penggunaan  persamaan  Lorenz  yang  bersifat  chaos  sebagai  kunci  enkripsi  dan  dekripsi  memungkinkan perubahan algoritma kriptografi simetris menjadi asimetris
2. Program  enkripsi  dan  dekripsi  yang  dibuat  dapat  mengamankan  nomor  serial  sistem  operasi  windows  7, sehingga tidak dapat digunakan oleh orang lain yang tidak berhak menggunakannya.

## 1.3. BATASAN MASALAH
Batasan-batasan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Metode untuk mencari solusi persamaan diferensial biasa (persamaan Lorenz) adalah metode numerik Runge- Kutta orde 1, 2, 3, 4 dan orde lebih tinggi ( higher order ) .
2. Metode untuk mencari solusi integral adalah metode numerik trapezoidal.
3. Proses  enkripsi  dan  dekripsi  menggunakan  kriptografi  modern  metode  Vernam cipher dan  kriptografi  klasik metode Caesar cipher .
4. Program yang dibuat adalah enkripsi dan dekripsi untuk keamanan nomor serial sistem operasi windows 7.
5. Perangkat  lunak  yang  digunakan  adalah Scilab  (5.4.0) untuk  simulasi dan Visual  Studio  Express  2012  For Desktop (11.0.51106.1 Update 1) dengan bahasa pemrograman Visual Basic untuk pembuatan program.

## 2. METODE PENELITIAN

## 2.1. PERSAMAAN LORENZ
Persamaan  Lorenz  yang  dinamai  sesuai  penemunya,  Edward  N.  Lorenz,  merupakan  persamaan  diferensial biasa  nonlinier  masalah  nilai  awal.  Persamaan  Lorenz  ini  salah  satu  persamaan  yang  telah  membawa  orang  pada pengetahuan tentang sistem yang chaos . Bentuk persamaan Lorenz adalah sebagai berikut[4]:

## (     )
(2.1)
Dimana dan adalah  parameter  real  positif,  sedangkan  x,  y  dan  z  adalah  modus  dominan  dari  aliran konveksi[1]. Parameter yang digunakan adalah[6]
.
Gambar 2. Solusi perbandingan syarat awal persamaan Lorenz dengan perbedaan 0,0001

## 2.2. MASALAH MAJU DAN MASALAH INVERS
Semua masalah sains dan teknologi yang dihadapi dapat dikategorikan menjadi tiga kelompok, yaitu masalah analisis, masalah pemodelan, dan masalah kendali[9].
Masalah analisis (masalah maju), maksud dari masalah ini adalah untuk mengetahui bagaimana atau hasil apa yang dikeluarkan dari suatu sistem, jika diberikan masukan pada sistem tersebut.
Masalah  pemodelan  (masalah  invers  1),  pada  masalah  ini  adalah  bila  diketahui  masukan  dan  keluaran  pada suatu sistem yang tidak diketahui, maka akan dicari atau dibuat suatu sistem yang saling keterkaitan antara masukan dan keluaran.
Masalah  kendali  (masalah  invers  2),  di  tahap  ini  masalahnya  adalah  dicari  masukan  apa  agar  keluaran  dari suatu  sistem  sesuai,  dimana  sistem  dan  keluaran  diketahui.  Dapat  diartikan  juga  untuk  masalah  invers  ini  dimana akibat dari masalah diketahui tetapi sebabnya tidak diketahui.
Masalah  yang ada pada persamaan diferensial biasa  masalah nilai awal (PDB MNA) adalah  masalah analisis (masalah maju) jika yang diketahui adalah syarat awal, dan masalah kendali (masalah invers 2) jika diketahui adalah syarat akhir. Sedangkan untuk masalah pemodelan (masalah invers 1) tidak ada karena sistem selalu diketahui yaitu persamaan diferensial biasa itu sendiri.
Bentuk umum persamaan diferensial biasa masalah nilai awal sebagai berikut[9]:
(    ) , dengan syarat awal ( )
Jika  syarat  awal ( ) sebagai  masukan  dan  persamaan  diferensial  biasa  dianggap  sebagai  sistem  maka masalah  majunya  adalah  mencari  nilai yang  memenuhi  syarat  awal  sebagai  hasil  keluaran.  Peubah biasanya adalah waktu. Penyelesaian persamaan diferensial biasa secara numerik berarti menghitung nilai di dengan ( ) sebagai masukan dan adalah jarak langkah setiap iterasi.
Masalah invers pada persamaan diferensial biasa adalah jika diketahui nilai keluaran ( ) pada sistem persamaan  diferensial  biasa,  yaitu  nilai pada  titik
.  Masalahnya  adalah  mencari  nilai  penyelesaian
persamaan  diferensial  biasa  secara  numerik di
,  sehingga  bentuk  persamaan  diferensial  biasanya menjadi sebagai berikut[9]:
(    ) , dengan syarat awal ( )
Jadi  jika  nilai ( ) sebagai  syarat  awal  diketahui  dan  persamaan  diferensial  biasa  dianggap  sebagai  sistem juga diketahui, sedangkan ( ) tidak diketahui dan harus dicari, maka kita menghadapi masalah invers.

## 2.3. SOLUSI PDB MNA DENGAN RUNGE-KUTTA
Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode  ini  berusaha  mendapatkan  derajat  ketelitian  yang  lebih  tinggi.  Bentuk  umum  metode  Runge-Kutta  orde-n ialah[8]:
(2.2)
Dengan
adalah tetapan, dan
( )
( ) ( ) ( )
Nilai dipilih sedemikian rupa sehingga menimbulkan galat per langkah.
Metode Runge-Kutta ini selain dapat menyelesaikan masalah maju juga dapat menyelesaikan masalah invers. Untuk masalah invers  diselesaikan dengan dimana delta negatif (  ) , maka persamaan (2.3) menjadi:
(2.3) Dengan adalah tetapan, dan ( ) (
) (
)
(
)

## 2.4. SOLUSI INTEGRAL FUNGSI DENGAN METODE TRAPEZOIDAL
Metode trapezoidal tidak membutuhkan perhitungan yang rumit untuk mencari pendekatan integral dari suatu fungsi. Dasar dari metode ini adalah dengan cara mencari luas trapesium[8].
Gambar 3. Integral dengan metode trapezoidal banyak pias
Berdasarkan gambar (2.10) didapat pendekatan integral dengan banyak pias adalah:
∫  ( ) ( ( )     ∑  ( ) ( )) (2.4)

## 2.5. PENGAMANAN DATA DENGAN KRIPTOGRAFI
Salah satu cara pengamanan suatu informasi adalah dengan metode Vernam cipher . Metode Vernam cipher ini merupakan algoritma simetri dimana kunci enkripsi dan dekripsi sama. Metode ini merubah plainteks menjadi biner. Enkripsi atau menentukan cipherteks pada metode Vernam cipher adalah [7]:
( ) Atau (2.5) (2.6)
Dekripsi atau menentukan plainteks pada metode Vernam cipher adalah [7]:
( ) atau (2.7)
(2.8)
Tabel 1. Daftar perubahan plainteks menjadi real dan menjadi biner Karakter  Real Biner Karakter  Real Biner A 0 000000 g 32 100000 B 1 000001 h 33 100001 C 2 000010 i 34 100010 D 3 000011 j 35 100011 E 4 000100 k 36 100100 F 5 000101 l 37 100101 G 6 000110 m 38 100110 H 7 000111 n 39 100111 I 8 001000 o 40 101000 J 9 001001 p 41 101001 K 10 001010 q 42 101010 L 11 001011 r 43 101011 M 12 001100 s 44 101100 N 13 001101 t 45 101101 O 14 001110 u 46 101110 P 15 001111 v 47 101111 Q 16 010000 w 48 110000 R 17 010001 x 49 110001 S 18 010010 y 50 110010 T 19 010011 z 51 110011 U 20 010100 0 52 110100 V 21 010101 1 53 110101 W 22 010010 2 54 110110 X 23 010111 3 55 110111 Y 24 011000 4 56 111000 Z 25 011001 5 57 111001 a 26 011010 6 58 111010 b 27 011011 7 59 111011 c 28 011100 8 60 111100 d 29 011101 9 61 111101 e 30 011110 # 62 111110 f 31 011111 & 63 111111
Metode  Caesar cipher juga  salah  satu  cara  untuk  mengamankan  data.  Caesar cipher yang  digunakan  kaisar Romawi, Julius Caesar ini adalah algoritma substitusi.  Metode ini mengganti satu huruf plainteks dengan satu huruf cipherteks yang berbeda.
Enkripsi atau menetukan cipherteks pada metode Caesar cipher [7]:
(     ) (2.9)
Dekripsi atau menetukan plainteks pada metode Caesar cipher [7]:
(     ) (2.10)

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penulisan  ini  adalah  studi  literatur  dan  simulasi,  yaitu  memberikan ilustrasi  tentang  alur  dari  proses  enkripsi  dan  proses  dekripsi  untuk  pengamanan  nomor  serial  sistem  operasi windows 7. Untuk mencapai tujuan penelitian ini, penulis melakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Studi literatur:
a. Persamaan Lorenz.
b. Masalah maju dan invers.
i. Masalah maju pada PDB MNA.
ii. Masalah invers pada PDB MNA.
c. Solusi PDB MNA dengan metode Runge-Kutta.
i. Runge-Kutta orde 1.
ii. Runge-Kutta orde 2.
iii. Runge-Kutta orde 3.
iv. Runge-Kutta orde 4.
v. Runge-Kutta orde lebih tinggi.
d. Solusi integral dengan metode trapezoidal.
e. Pengamanan data  dengan kriptografi.
i. Kriptografi metode Vernam cipher . ii. Kriptografi metode Caesar cipher .
2. Studi simulasi:
a. Simulasi  solusi  persamaan  Lorenz  masalah  maju  dan  masalah  invers.  Menggunakan  metode  Runge- Kutta orde 1, 2, 3, 4 dan orde lebih tinggi.
Berikut adalah algoritma simulasi solusi persamaan Lorenz:
i. Langkah 1: Masukkan  syarat  awal  persamaan  Lorenz ( )   ( )   ( ) dan  parameter dan akhir.
ii. Langkah 2: Mencari solusi masalah maju dan solusi masalah invers dengan metode Runge- Kutta orde 1, 2, 3, 4 dan orde lebih tinggi.
iii. Langkah 3: Membandingkan hasil  masalah maju dengan masalah invers.
iv. Langkah 4: Langkah 1, 2 dan 3 dilakukan berulang dengan t yang berbeda.
v. Langkah 5: Menetukan  Runge-Kutta  dengan  orde  berapa  yang  terbaik  untuk  masalah  maju dan invers.
b. Simulasi integral dari solusi persamaan Lorenz. Menggunakan metode trapezoidal. Berikut adalah algoritma simulasi solusi persamaan Lorenz:
i. Langkah 1: Mencari  solusi  masalah  maju  dan  masalah  invers  dengan  Runge-Kutta  orde terbaik pada persamaan Lorenz.
ii. Langkah 2: Masukkan batas bawah dan batas atas intergral.
iii. Langkah 3:
Mencari nilai integral ( t , x ), ( t , y ), dan ( t , z ) dari batas bawah sampai batas atas dengan metode trapezoidal.
3. Pengambilan data nomor serial sistem operasi windows 7.
Data yang digunakan adalah data palsu yang diambil dari 25 x 10 bilangan acak dari 0 sampai 35. Bilangan tersebut dirubah kedalam bentuk karakter.
Berikut adalah algoritma proses enkripsi:
a. Langkah 1: Perulangan i dari 1 sampai dengan 10.
i. Perulangan j dari 1 sampai dengan 25.
i. Membuat bilangan acak dari 0 sampai dengan 35.
ii. Merubah bilangan acak menjadi karakter.
4. Pembuatan program enkripsi nomor serial sistem operasi windows 7. Berikut adalah algoritma proses enkripsi:
a. Langkah 1:  Masukkan  25 nomor serial sistem operasi windows 7, ini sebagai plainteks.
b. Langkah 2:  Mencari solusi persamaan Lorenz masalah maju.
c. Langkah 3:  Mencari integral solusi persamaan Lorenz.
d. Langkah 4:  Enkripsi plainteks dengan metode Vernam cipher .
e. Langkah 5:  Enkripsi kembali dengan metode Caesar cipher .
f. Langkah 6:  Cetak solusi akhir persamaan Lorenz, ini sebagai kunci dekripsi.
g. Langkah 7:  Cetak cipherteks.
5. Pembuatan program dekripsi nomor serial sistem operasi windows 7. Berikut adalah algoritma proses dekripsi:
a. Langkah 1:  Masukkan  25 cipherteks plainteks.
b. Langkah 2:  Masukkan kunci dekripsi.
c. Langkah 3:  Mencari solusi persamaan Lorenz masalah invers.
d. Langkah 4:  Mencari integral solusi persamaan Lorenz.
e. Langkah 5:  Dekripsi cipherteks dengan metode Caesar cipher .
f. Langkah 6:  Dekripsi kembali dengan metode Vernam cipher .
g. Langkah 7:  Cetak plainteks, ini sebagai nomor serial sistem operasi windows 7.
Start Input syarat awal x(0), y(0) dan z(0) σ←10; ρ←28 β← 8/3; t=i*0.5 For  i=1 To  6 i
Mencari solusi persamaan Lorenz masalah maju dengan Runge-Kutta orde 1, 2, 3, 4 dan orde lebih tinggi
Mencari solusi persamaan Lorenz masalah invers dengan Runge-Kutta orde 1, 2, 3, 4 dan orde lebih tinggi
Menentukan Runge-Kutta orde terbaik untuk masalah maju dan invers

## End
Gambar 4. Flowchart simulasi solusi persamaan Lorenz masalah maju dan masalah invers
Input kunci enkripsi syarat awal x(0), y(0) dan z(0) Integral solusi persamaan Lorenz dengan trapezoidal Input plainteks nomor serial sistem operasi windows 7 Solusi persamaan Lorenz dengan Runge-Kutta masalah maju
Enkripsi metode Vernam cipher dengan kunci solusi persamaan Lorenz dan integralnya
Enkripsi metode Caesar cipher dengan kunci solusi akhir persamaan Lorenz
Output kunci dekripsi solusi akhir persamaan Lorenz Output cipherteks Input kunci dekripsi x(n), y(n) dan z(n) Integral solusi persamaan Lorenz dengan trapezoidal Input cipherteks Solusi persamaan Lorenz dengan Runge-Kutta masalah invers Dekripsi dengan metode Caesar cipher dengan kunci dekripsi Dekripsi metode Vernam cipher dengan kunci solusi persamaan Lorenz dan integralnya
Output plainteks nomor serial sistem operasi windows 7 Start Pilihan = Enkripsi Pilihan = Dekripsi Rubah plainteks ke bilangan bulat Rubah plainteks ke bilangan biner Rubah hasil enkripsi metode Vernam cipher ke bilangan bulat Rubah hasil enkripsi metode Caesar cipher ke karakter Input pilihan Rubah cipherteks ke bilangan bulat Rubah hasil dekripsi metode Caesar cipher ke bilangan biner
Rubah hasil dekripsi metode Vernam cipher ke karakter Pilihan = Exit End
Gambar 5. Flowchart enkripsi dan dekripsi nomor serial sistem operasi windows 7

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. SOLUSI DENGAN METODE RUNGE-KUTTA UNTUK PERSAMAAN LORENZ
Persamaan  Lorenz  ini  merupakan  persamaan  diferensial  biasa  orde  satu  sistem  masalah  nilai  awal.  Sehingga perlu  disesuaikan  untuk  menyelesaikan  persamaan  Lorenz,  jadi  setiap  iterasi  delta  ( )  harus  mencari  tiga  solusi (     ) , (     ) dan (     ) untuk masalah maju dan (     ) , (     ) dan (     ) untuk masalah invers.
(          ) (     )
(          )
(          )
(3.1)

## 4.2. MASALAH MAJU DAN INVERS PADA PERSAMAAN LORENZ DENGAN RUNGE-KUTTA
Diperlukannya  penelitian  untuk  simulasi  perbandingan  solusi  masalah  invers  dengan  solusi  masalah  maju, karena  jika  terlalu  jauh solusi  invers  yang  didapat  tidak  akan  sama  dengan  solusi  masalah  maju.  Menggunakan metode Runge-Kutta orde 1, 2, 3, 4 dan orde lebih tinggi, didapat orde 4 yang paling evisien, sedangkan maksimal adalah 2.
Gambar 6. Perbandingan solusi masalah maju dan masalah invers pada persamaan Lorenz ( ) untuk
dan orde 4
Gambar 7. Perbandingan solusi masalah maju dan masalah invers pada persamaan Lorenz ( ) untuk dan orde 4
Gambar 8. Perbandingan solusi masalah maju dan masalah invers pada persamaan Lorenz ( ) untuk dan orde 4
Jika digunakan t>2 maka solusi invers yang didapat tidak akan sama dengan solusi maju, sebagai berikut:
Gambar 9. Perbandingan solusi masalah maju dan masalah invers pada persamaan Lorenz ( ) untuk dan orde 4
Gambar 10. Perbandingan solusi masalah maju dan masalah invers pada persamaan Lorenz ( ) untuk dan orde 4

## 4.3. INTEGRAL FUNGSI DENGAN METODE TRAPEZOIDAL UNTUK PERSAMAAN LORENZ
Integral  fungsi  yang  dicari  adalah  fungsi  dari  solusi  persamaan  Lorenz ( ) , ( ) dan ( ) dengan  metode Runge-Kutta  orde  4.  Mencari  integral  dapat  menggunakan  persamaan  (2.4)  metode  trapezoidal.  Didapat  hasil sebagai berikut:
Tabel 2. Integral masalah maju dan masalah invers Integral Masalah Maju Integral Masalah Invers Kesalahan ( ) - 3,39722650394136 - 3,39502261099620 0,00220389294516 ( ) - 4,88329565911341 - 4,88493313761653 0,00163747850312 ( ) 44,3829035422656 44,3827566028110 0,0001469394546
Dari hasil simulasi yang dilakukan, dapat diambil kesimpulan bahwa integral untuk masalah maju dan masalah invers memiliki perbedaan yang sangat kecil.

## 4.4. ENKRIPSI NOMOR SERIAL SISTEM OPERASI WINDOWS 7 (PLAINTEKS)
Kunci enkripsi diambil dari hasil solusi persamaan Lorenz dan  solusi integralnya. Nomor serial sistem operasi windows 7 ini akan dienkripsi dengan metode Vernam cipher dan Caesar cipher .

## 4.4.1 KUNCI ENKRIPSI
Kunci enkripsi ini adalah syarat awal dari persamaan Lorenz ( ) , ( ) dan ( ) .

## 4.4.2.KEY-GENERATOR ENKRIPSI DARI SOLUSI PERSAMAAN LORENZ
Solusi  persamaan  Lorenz  masalah  maju  yaitu ( ) ( ) dan ( ) ,  dapat  digunakan  untuk key-generator enkripsi.
| ( )| | ( )| | ( )|
Dimana:
, , , , didapat:
Tabel 3. Kunci enkripsi dari solusi persamaan Lorenz i 1 0,08 42 59 39 2 0,16 4 32 17 3 0,24 27 51 39 4 0,32 16 25 58 5 0,40 9 27 45 6 0,48 12 4 51 7 0,56 3 7 39 8 0,64 3 7 32 9 0,72 5 6 28 10 0,80 5 6 25 11 0,88 6 8 23 12 0,96 8 10 23 13 1,04 10 12 26 14 1,12 11 11 30 15 1,20 10 8 31 16 1,28 8 6 30 17 1,36 6 5 27 18 1,44 6 6 24 19 1,52 7 8 22 20 1,60 8 10 23 21 1,68 10 12 26 22 1,76 11 11 30 23 1,84 10 8 31 24 1,92 8 5 29 25 2,00 6 5 26 4.4.3. KEY-GENERATOR ENKRIPSI DARI INTEGRAL SOLUSI PERSAMAAN LORENZ
Integral  dari  solusi  persamaan  Lorenz  yaitu ∫  ( ) ∫  ( ) dan ∫  ( ) ,    dapat  juga  digunakan  agar key-generator enkripsi semakin bervariasi.
|( ∫  ( ) )     | |( ∫  ( ) )     | |( ∫  ( ) )     |
dimana:
didapat:
Tabel 4. Kunci enkripsi dari integral solusi persamaan Lorenz data pertama
i 1 0,00  0,08 54 7 27 2 0,08  0,16 11 34 5 3 0,16  0,24 12 35 2 4 0,24  0,32 21 10 51 5 0,32  0,40 1 24 37 6 0,40  0,48 10 13 40 7 0,48  0,56 6 3 36 8 0,56  0,64 0 6 28 9 0,64  0,72 3 5 24 10 0,72  0,80 4 5 21 11 0,80  0,88 5 6 19 12 0,88  0,96 6 7 18 13 0,96  1,04 7 9 19 14 1,04  1,12 8 9 22 15 1,12  1,20 8 8 25 16 1,20  1,28 7 5 24 17 1,28  1,36 6 4 22 18 1,36  1,44 5 4 20 19 1,44  1,52 5 6 18 20 1,52  1,60 6 7 18 21 1,60  1,68 7 9 20 22 1,68  1,76 9 9 23 23 1,76  1,84 8 7 25 24 1,84  1,92 7 5 24 25 1,92  2,00 6 4 22

## 5. ENKRIPSI METODE VERNAM CIPHER
Sebelum  menggunakan  metode  Vernam cipher ,  plainteks  ( )  harus  dirubah  ke  dalam  bilangan  biner ( ), begitu pula dengan key-generator enkripsi.
Setelah plainteks dan key-generator enkripsi dalam bentuk bilangan biner dilakukan proses enkripsi dengan sebanyak 6 kali dengan kunci yang ada. Berikut proses enkrips:
Enkripsi plainteks pertama: 101100-110000-001010-000111-110101-000111-000001-110101-001000-010000-000000-001010-001111-111100- 000000-000101-010001-110001-110010-000101-001100-011100-001010-000010-010000
Enkripsi plainteks ke-2: 010111-010000-111001-011110-101110-000011-000110-110010-001110-010110-001000-000000-000011-110111- 001000-000011-010100-110111-111010-001111-000000-010111-000010-000111-010101
Enkripsi plainteks ke-3: 110000-000001-011110-100100-000011-110000-100001-010010-010010-001111-011111-010111-011001-101001- 010111-011101-001111-101111-101100-011000-011010-001001-011101-011010-001111
Enkripsi plainteks ke-4: 000110-001010-010010-110001-000010-111010-100111-010010-010001-001011-011010-010001-011110-100001- 011111-011010-001001-101010-101001-011110-011101-000000-010101-011101-001001
Enkripsi plainteks ke-5: 000001-101000-110001-111011-011010-110111-100100-010100-010100-001110-011100-010110-010111-101000- 010111-011111-001101-101110-101111-011001-010100-001001-010010-011000-001101
Enkripsi plainteks ke-6: 011010-101101-110011-001000-111111-011111-000000-001000-001100-011011-001111-000100-000100-111110- 001110-000111-011011-111010-111101-001011-000000-011110-001011-000000-011011

## 6. ENKRIPSI METODE CAESAR CIPHER
Enkripsi  ke-6 dengan  metode Vernam cipher dienkripsi sekali lagi dengan  metode Caesar cipher agar hasil enkripsi  akan  semakin  sulit  untuk  dipecahkan.  Sebelum  dienkripsi  dengan  metode  Caesar cipher ,  hasil  enkripsi Vernam cipher ( ) harus dirubah kembali kedalam bilangan bulat ( ). Kunci enkripsi Caesar cipher diambil dari hasil solusi persamaan Lorenz terakhir.
Proses enkripsi ke-7 menggunakan persamaan (2.9), sehingga didapat hasil pengamanan nomor serial sistem operasi windows 7 dengan penerapan persamaan Lorenz didalamnya adalah:
Cipherteks: &SYtkEltxA0ppjzsAfiwlDwlA Kunci dekripsi 1: 6.18712828282839 Kunci dekripsi 2: 4.90405860937282 Kunci dekripsi 3: 26.1347184876588
Berikut tampilan form enkripsi program yang dibuat:
Gambar 12. Form enkripsi

## 4.5. DEKRIPSI NOMOR SERIAL SISTEM OPERASI WINDOWS 7 (CIPHERTEKS)
Proses dekripsi hampir sama dengan proses enkripsi dimana key-generator dari solusi persamaan Lorenz dan integral solusi persamaan Lorenz. Key-generator yang didapat, dilakukan proses dekripsi cipherteks dengan metode Caesar cipher dan Vernam cipher . Perbedaan hanya pada saat mencari key-generator dari solusi persamaan Lorenz, yaitu  metode  Runge-Kutta  yang  digunakan  adalah  untuk  masalah  invers  dimana  yang  diketahui ( )   ( ) dan ( ) .

## 3.5.1. KUNCI DEKRIPSI
Kunci dekripsi ini adalah syarat akhir dari persamaan Lorenz ( ) , ( ) dan ( ) . Syarat awal ini diambil dari hasil enkripsi sebagai berikut:
Kunci dekripsi 1 ( ) : 6.18712828282839 Kunci dekripsi 2 ( ) : 4.90405860937282 Kunci dekripsi 3 ( ) : 26.1347184876588

## 3.5.2. KEY-GENERATOR DEKRIPSI DARI SOLUSI PERSAMAAN LORENZ
Solusi persamaan  Lorenz  masalah invers  yaitu ( ) ( ) dan ( ) digunakan  untuk key-generator , didapat hasil sebagai berikut:
Tabel 5. Kunci dekripsi dari solusi persamaan Lorenz i 1 0,08 42 59 39 2 0,16 4 32 17 3 0,24 27 51 39 4 0,32 16 25 58 5 0,40 9 27 45 6 0,48 12 4 51 7 0,56 3 7 39 8 0,64 3 7 32 9 0,72 5 6 28 10 0,80 5 6 25 11 0,88 6 8 23 12 0,96 8 10 23 13 1,04 10 12 26 14 1,12 11 11 30 15 1,20 10 8 31 16 1,28 8 6 30 17 1,36 6 5 27 18 1,44 6 6 24 19 1,52 7 8 22 20 1,60 8 10 23 21 1,68 10 12 26 22 1,76 11 11 30 23 1,84 10 8 31 24 1,92 8 5 29 25 2,00 6 5 26

## 3.5.3. KEY-GENERATOR DEKRIPSI DARI INTEGRAL SOLUSI PERSAMAAN LORENZ
Key-generator dari  integral  solusi  persamaan  Lorenz  tidak  ada  perbedaan  antara  enkripsi  dengan  dekripsi, didapat hasil sebagai berikut:
Tabel 6. Kunci enkripsi dari integral solusi persamaan Lorenz data pertama
i 1 0,00  0,08 54 7 27 2 0,08  0,16 11 34 5 3 0,16  0,24 12 35 2 4 0,24  0,32 21 10 51 5 0,32  0,40 1 24 37 6 0,40  0,48 10 13 40 7 0,48  0,56 6 3 36 8 0,56  0,64 0 6 28 9 0,64  0,72 3 5 24 10 0,72  0,80 4 5 21 11 0,80  0,88 5 6 19 12 0,88  0,96 6 7 18 13 0,96  1,04 7 9 19
14 1,04  1,12 8 9 22 15 1,12  1,20 8 8 25 16 1,20  1,28 7 5 24 17 1,28  1,36 6 4 22 18 1,36  1,44 5 4 20 19 1,44  1,52 5 6 18 20 1,52  1,60 6 7 18 21 1,60  1,68 7 9 20 22 1,68  1,76 9 9 23 23 1,76  1,84 8 7 25 24 1,84  1,92 7 5 24 25 1,92  2,00 6 4 22

## 3.5.4. DEKRIPSI METODE CAESAR CIPHER
Sebelum  menggunakan  metode  Caesar cipher untuk  dekripsi,  cipherteks  ( )  harus  dirubah  ke  dalam bilangan bulat atau real ( ). 63-18-24-45-36-4-37-45-49-0-52-41-41-35-51-44-0-31-34-48-37-3-48-37-0
Kunci dekripsi yang digunakan adalah:
Hasil proses dekripsi pertama sebagai berikut: 26-45-51-8-63-31-0-8-12-27-15-4-4-62-14-7-27-58-61-11-0-30-11-0-27

## 3.5.5. DEKRIPSI METODE VERNAM CIPHER
Sebelum  menggunakan  metode  Vernam cipher untuk  dekripsi,  cipherteks  hasil  dekripsi  dengan  metode Caesar cipher ( ) harus dirubah ke dalam bilangan biner ( ), begitu pula dengan key-generator dekripsi.
Setelah  cipherteks  dan key-generator dalam  bentuk  bilangan  biner,  dilakukan  proses  dekripsi  dengan sebanyak 6 kali dengan kunci yang ada.
Berikut proses dekripsi:
Dekripsi cipherteks ke-2: 110000-101001-101000-011000-110110-010011-000011-001011-001001-011110-001001-001100-001110-110101- 000100-001111-011101-111100-111010-000011-001010-010101-000001-001000-011101
Dekripsi cipherteks ke-3: 001011-001001-011011-000001-101101-010111-000100-001100-001111-011000-000001-000110-000010-111110- 001100-001001-011000-111010-110010-001001-000110-011110-001001-001101-011000
Dekripsi cipherteks ke-4: 101100-011000-111100-111011-000000-100100-100011-101100-010011-000001-010110-010001-011000-100000- 010011-010111-000011-100010-100100-011110-011100-000000-010110-010000-000010
Dekripsi cipherteks ke-5: 011010-010011-110000-101110-000001-101110-100101-101100-010000-000101-010011-010111-011111-101000- 011011-010000-000101-100111-100001-011000-011011-001001-011110-010111-000100
Dekripsi cipherteks ke-6: 011101-110001-010011-100100-011001-100011-100110-101010-010101-000000-010101-010000-010110-100001- 010011-010101-000001-100011-100111-011111-010010-000000-011001-010010-000000
Dekripsi cipherteks ke-7: 000110-110100-010001-010111-111100-001011-000010-110110-001101-010101-000110-000010-000101-110111- 001010-001101-010111-110111-110101-001101-000110-010111-000000-001010-010110
Proses dekripsi  ke-7  ini adalah plainteks atau nomor serial  sistem operasi  windows 7 jika dirubah  kedalam karakter, maka nomor serial sistem operasi windows 7 adalah:

## .
Berikut tampilan form dekripsi program yang dibuat:
Gambar 13. Form dekripsi

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pembahasan, dapat diambil kesimpulan:
1. Metode  Runge-Kutta  orde  4  merupakan  orde  terbaik  untuk  mencari  solusi  masalah  invers  pada  persamaan Lorenz.
2. Solusi invers pada persamaan Lorenz hanya dapat dicari dengan maksimal adalah 2.
3. Chaos yang terdapat pada solusi persamaan Lorenz, dapat dimanfaatkan sebagai key-generator untuk enkripsi dan dekripsi.
Penerapan  persamaan  Lorenz  sebagai key-generator untuk  enkripsi  dan  dekripsi,  dapat  merubah  kriptografi algoritma simetris menjadi kriptografi algoritma asimetris.

## Daftar Pustaka
[1] Alatas,  Husin, Buku  Pelengkap  Dinamika  Nonlinier  Edisi  I ,  Depertemen  Fisika,  Fakultas  Matematika  dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor, Bogor.
[2] Ali, Sidik M., Implementasi  Aloritma DES dan Cryptanalysis Pada Kartu ATM Eurocheque Menggunakan Teori  Probabilitas ,  Program  Studi  Matematika,  Fakultas  Teknik  dan  Sains,  Universitas  Nasional,  Jakarta, 2012.
[3] Azizah,  Siti  S., Diskretisasi  Model  Lorenz  dengan  Analogi  Persamaan  Beda ,  Universitas  Islam  Negeri Maulana Malik Ibrahim, Malang, 2012.
[4] Bunjamin, M., Pemodelan, Komputasi, dan Simulasi dalam Sains dan Teknologi .
[5] Chapra,  Steven  C.  dan  Canale,  Raymond  P., Numerical  Methods  for  Engineers  with  Software  and Programing Applications Fourth Edition , McGrawHill, New York, 2002.
[6] Lorenz, Edwar N., Deterministic Nonperiodic Flow , Massachusetts Institute of Technology, 1963.
[7] Munir, Renaldi, Kriptografi , Informatika, Bandung, 2006.
[8] Munir, Renaldi, Metode Numerik Edisi Revisi , Informatika, Bandung, 2006.
[9] Morisson,  Marchi  E., Solusi  Masalah  Invers  untuk  Persamaan  Diferensial  Van  Der  Pol  dan  Laplace , Program Studi Matematika, Fakultas Teknik dan Sains, Universitas Nasional, Jakarta, 2008.
[10] Nasution,  Amrinsyah  dan  Zakaria,  Hasballah ,  Metode  Numerik  Dalam  Ilmu  Rekayasa  Sipil ,  ITB  Bandung, Bandung, 2001.
[11] Nasution,  Amrinsyah  dan  Zakaria,  Hasballah ,  Metode  Numerik  Dalam  Ilmu  Rekayasa  Sipil ,  ITB  Bandung, Bandung, 2001.
[12] Pfleeger, Charles P., Security in Computing Second Edition , Prentice Hall, United States of America, 1997.