## PERANAN SISTEM MODULO DALAM PENENTUAN HARI DAN PASARAN
Agung  Handayanto a
a Program  Studi  Pendidikan  Matematika  FPMIPA IKIP PGRI Jl.  Dr. Cipto-Lontar  No1  Semarang  Telp.  (024)8316377 Faks (024) 8448217

## Abstrak
Pada paper ini  dik emuk akan berbagai macam rumus guna menentuk an hari dan pasaran dalam k alender jawa dari tanggal yang diinginkan. Dengan menggunak an algoritma yang sesuai dengan rumus -rumus, dapat dibuat program dalam k omputer, sehingga tidak  diperluk an lagi perhitungan secara manual.
Kata k unci :  pasaran, modulo

## A. PENDAHULUAN
Teori  bilangan  merupakan  bagian  dari  matematika  yang  tergolong  sudah  tua  usianya. Namun  demikian,  akhir-akhir  ini  Teori  Bilangan  menjadi  dasar  dari  pengembangan  beberapa cabang  matematika  seperti  cryptografi  (tulisan  rahasia/sandi)  dan  ilmu  pengetahuan  komputer sebagai  salah  satu  pengembangan  dalam  matematika  terapan.  Sistem  modulo  merupakan bagian  yang  cukup  penting  dalam  Teori  Bilangan.
Salah  satu  penggunaan  sistem  modulo  yang  sangat  menarik  adalah  untuk  menentukan hari  dan  pasaran.  Baik  hari  dan  pasaran  yang  telah  lampau  ataupun  yang  akan  datang. Syaratnya  adalah  tanggal,  bulan  dan  tahun  yang  akan  dicari  hari  dan  pasarannya  diketahui dengan  pasti.
Sering  kita  alami  kejadian  untuk  menentukan  hari  dan  pasaran  suatu  tanggal  yang  kita anggap  begitu  bersejarah  bagi  kita  tak  berhasil  kita  ingat  dengan  benar.  Mau  melihat  kalendar sudah  lama  dirobek  atau  bahkan  sudah  tidak  ada  lagi.  Karena  kesulitan  mencari  kalender tahun-tahun  yang  telah  lampau  untuk  menentukan  hari  dan  pasaran  tanggal  yang  penting adalah  suatu  permasalahan  yang  harus  dicari  penyelesaiana  atau  jawabannya  secara  umum dan  matematis.  Oleh  karena  itu,  berikut  ini  akan  disajikan  beberapa  cara  yang  mudah  dan sederhana  untuk  keperluan  itu.
Cara  yang  akan  sajikan  di  bawah  ini  tidak  hanya  dipakai  untuk  mengingat  hari  dan pasaran  yang  telah  lampau,  melainkan  juga  untuk  menentukan  hari  dan  pasaran  yang  akan
datang.  Tidak  usah  bongkar  dokumen  ataupun  menyusun  kalendar  baru,  asal  diketahui dengan  pasti  tanggal,  bulan,  dan tahun  yang  bersangkutan  dan berpikir  sebentar.

## B. TEORI   RELASI  KONGRUENSI
Dalam  himpunan  bilangan  bulat,  kekongruenan  merupakan  metode  atau  cara  lain untuk  menelaah  atau  menjelaskan  tentang  keterbagian  suatu  bilangan  bulat.  Adapun  definisi kekongruenan  adalah  sebagai  berikut.

## Definisi  1.
Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis : a  b  (mod  m))  jika  m  membagi  habis  (a  –  b),  jika  m  tidak  membagi  habis  (a  –  b)  maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis : a  b (mod m)).
Dari  definisi  1. diatas,  muncul  beberapa theorema  sebagai  berikut  :
Theorema  1.
a  b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga a = mk + b.

## Bukti  1.
Dari  definisi  kekongruenan,  dapat  ditulis  kembali  bahwa  :  Jika  m  >  0  maka  m  akan membagi  habis  (a  –  b)  yang  ditulis  m  |  (a  –  b)  jika  dan  hanya  jika a  b (mod m). Jika m | (a – b),  maka  ada  bilangan  bulat  k  sedemikian  sehingga  (a  –  b)  =  mk.    Sehingga  a  b  (mod  m) jika  dan  hanya  jika  a  –  b  =  mk  untuk  suatu  bilangan  bulat  k.  Tetapi  karena  a  –  b  =  mk  sama artinya  dengan  a = mk + b, maka  a  b (mod  m) jika  dan  hanya  jika  a = mk + b.

## Theorema  2.
Setiap  bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, .... , (m – 1).
Bukti  2.
Menurut  algoritma  pembagian,  jika  a  dan  m  adalah  bilangan  bulat  dan  m  >  0,  maka  a dapat  dinyatakan  sebagai  a  =  mq  +  r  dengan  0  ≤  r  <  m.  Hal  ini  berarti  bahwa  :  a  –  r  =  mq, yaitu  a  r  (mod  m).  Karena  0  ≤  r  <  m,  maka  terdapat  m  buah  pilihan untuk r, yaitu 0, 1, 2, 3,
....  ,  (m  –  1).  Jadi  setiap  bilangan  bulat  akan  kongruen  modulo  m  dengan  tepat  satu  di  antara 0, 1, 2, 3, ..... , (m  – 1).
Definisi  2.
Jika  a  r  (mod  m)  dengan  0  ≤  r  <  m,  maka  r  disebut  residu  (sisa)  terkecil  dari  a modulo m. Untuk kekongruenan modulo m ini, {0, 1, 2, 3, ..... , (m – 1)} disebut himpunan residu terkecil modulo m.
Dari  definisi  2. diatas,muncul  theorema  sebagai  berikut.
Theorema  3.
a  b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi oleh m.
Bukti  3.
Pertama  :
Akan  dibuktikan  bahwa  : jika  a  b (mod  m)  maka  a dan b memiliki  sisa  yang  sama jika  dibagi  oleh  m.
Karena  a  b  (mod  m)  maka  a  r  (mod  m)  dan  b  r  (mod  m)  dengan  r  adalah  residu terkecil  modulo  m atau  0 ≤ r < m.
Dari  a  r (mod m)  berarti  a = mq  + r untuk  suatu  bilangan  bulat  q.
Dari  b  r (mod m)  berarti  b = mt  + r untuk  suatu  bilangan  bulat  t.
Jadi  a dan b mempunyai  sisa  yang  sama  yaitu  r jika  dibagi  oleh  m.
Kedua :
Akan  dibuktikan  bahwa  : jika  a dan  b mempunyai  sisa  yang  sama  jika  dibagi  oleh  m, maka  a  b (mod m).
Andaikan  a  mempunyai  sisa  yang  sama  (r)  jika  dibagi  oleh  m,  maka  a  b  (mod  m), hal  ini  berarti  a  =  mq  +  r.  Dan  andaikan  b  mempunyai  sisa  yang  sama  (r)  jika  dibagi  oleh  m, hal  ini  berarti  b  =  mt  +  r.  Dari  kedua  persamaan  tersebut  diperoleh  bahwa  :  a  –  b  =  m  (q  – t), berarti  m | (a – b) atau  a  b (mod  m).

## C. SIFAT   RELASI   KEKONGRUENAN
Kekongruenan  modulo  suatu  bilangan  bulat  positif  adalah  suatu  relasi  atara  bilangan- bilangan  bulat.  Dapat  ditunjukkan  bahwa  relasi  kekongruenan  merupakan  relasi  ekuivalensi. Telah  diketahui  bahwa  suatu  relasi  disebutrelasiekuivalensi  jika  relasi  tersebut  memiliki  sifat refleksi,  simetris  dan transitif.
Jika  m, a, b dan c adalah  bilangan-bilangan  bulat  dengan  m  positif,  maka
1. Sifat  refleksi  :
a  a (mod m)
Bukti  :
Karena a – a = 0 = 0m,  maka  a  a (mod m).
2. Sifat  simetris  :
Jika a  b (mod m), maka b  a (mod m)
Bukti  :
Karena  a  b  (mod  m),  maka  a  –  b  =  km  untuk  suatu  bilanagan    bulat  k,  sehingga b – a = - km yang  berarti  bahwa  b  a (mod m)
3. Sifat  transitif  :
Jika a  b (mod m) dan b  c (mod m), maka a  c (mod m) Bukti  :
Karena a  b (mod  m),  maka a – b = km untuk  suatu  bilanagan   bulat  k.
Karena b  c (mod  m),  maka b – c = hm  untuk  suatu  bilanagan   bulat  h.
Jika  kedua  ruas  dijumlahkan,  maka  akan  diperoleh  :  a  –  c  =  (k  –  h)  m  yang  berarti bahwa  : a  c (mod  m).

## D. SISTEM  MODULO  7
Sekarang  akan  diperkenalkan  sistem  modulo  7  yang  memainkan  peranan  penting  dalam penentuan  hari.  Sistem  ini  hanya  menggunakan  tujuh  lambang  bilangan,  yakni:  0,  1,  2,  3,  4,  5 dan  6.  Jumlahan  di  dalam  sistem  modulo  7  adalah  sama  seperti  jumlah  biasa,  kecuali  jika jumlah  itu  lebih  besar  dari  6,  kita  bagi  jumlah  itu  dengan  7  dan  gunakan  sisa  itu  di  tempat jumlah  biasa.  Oleh  karena  itu  : 1 + 3 = 4, tetapi  5 + 4 = 2 karena  jika  9 dibagi  7 sisanya  2.
Di  bawah  ini  adalah  tabel  penjumlahan  dari  sistem  modulo  7
Tabel 1. Sistem Modulo  7
+ 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5

## E. MENENTUKAN HARI
Pandang  himpunan  H  =  {Minggu,  Senin,  Selasa,  Rabu,  Kamis,  Jum’at,  Sabtu}.  Dengan menggunakan  tiga  pengertian  pokok, yakni:
1. Sistem  modulo  7.
2. Tahun  biasa  = 365 hari.
3. Tahun  kabisat  = 366 hari  (tahun  yang  bilangannya  habis  dibagi  empat).
Maka  akan  muncul  rumus-rumus  yang  dapat  dipakai  untuk  mencari  hari  dari  tanggal,  bulan, dan  tahun  yang  diinginkan.  Pada  prinsipnya  jumlah  semua  hari  dari  Kalendar  Masehi  dimulai dari  tanggal  1  bulan  Januari  tahun  1  sampai  dengan  tanggal  x  bulan  y  tahun  z  yang  akan dicari  harinya,  dihitung  kemudian  hasilnya  dibagi  dengan  7.
Dengan  beberapa  percobaan  yang  nanti  akan  kami  uraikan,  ternyata  apabila  sisanya  nol jatuh  pada  hari  sabtu,  bila  sisanya  1  jatuh  pada  hari  Minggu  dan  seterusnya  akhirnya  bila sisanya  6 jatuh  pada hari  Jum’at,  seperti  pada tabel  berikut  ini.
Tabel 2. Sisa Hari Sisa Hari 0 Sabtu 1 Minggu 2 Senin 3 Selasa 4 Rabu 5 Kamis

## 6 Jum’at
Perlu  diketahui  bahwa  jumlah  hari  tahun  biasa  =  365  hari,  berarti  365  =  1  (modulus  7), sedangkan  jumlah  hari  tahun  kabisat  =  366  hari,  berarti  366  =  2  (modulus  7).  Suatu  tahun tertentu  dapat  dinyatakan  sebagai  jumlahan  tahun  biasa  dan  tahun  kabisat,  sehingga  jumlah harinya  juga  dapat  dihitung.  Misal  A  tahun  =  B  tahun  biasa  +  C  tahun  kabisat.  Jumlah  hari  itu dibagi  dengan  7, misalkan  : A = B + 2 C = D = 7 E + F
dimana  E :  bilangan  asli  hasil  pembagian  D oleh  7.
F : sisa  pembagian.
maka  A tahun  = F hari  (modulus  7).
Dengan  sedikit  gambaran  di  atas  maka  untuk  menentukan  hari  tertentu  dapat  dipergunakan beberapa cara sebagai  berikut.
Cara I :
Menggunakan  rumus  :
U + V – W = S  (modulus  7) .......(1)
dengan,  U : jumlah  tahun
V : bilangan  bulat  terbesar  dari  (U/4)
W :  jumlah  hari  dari  tanggal  (p + l)  sampai  dengan  31 Desember  (lihat  tabel  3).
S : sisa  pembagian  modulo  7 (lihat  tabel  2).
Tabel 3. Jumlah  hari  tiap-tiap  bulan
Bulan Tahun  biasa / kabisat Bulan Tahun  biasa / kabisat Januari 31 Juli 31 Februari 28 / 29 Agustus 31 Maret 31 September 30 April 30 Oktober 31 Mei 31 November 30 Juni 30 Desember 31
Sebagai  ilustrasi  akan  ditentukan  hari  kemerdekaan  RI,  tanggal  17  Agustus  1945  jatuh  pada hari  apa ?
Dengan  menggunakan  rumus  (1) :
U + V – W = S  ( modulus  7 ) , maka  berarti  :
U = 1945
V = (U/4) = (1945/4) = 486.25 = 486
W = jumlah  hari  dari  18 Agustus  – 31 Desember = 14 + 30 + 31 + 30 + 31 = 136
sehingga,  U + V – W = 1945 + 486 – 136 = 2295 = 6 (modulo  7)
Kesimpulan,  karena  S  =  6,  maka  menurut  Tabel  2  :  17  Agustus  1945  jatuh  pada  hari Jum’at.

## Cara II :
Menggunakan  rumus  :
X + Y + Z  = S (modulus  7)                                            .......(2)
dengan,  X : U – 1 (U adalah  jumlah  tahun)
Y : bilangan  bulat  terbesar  dari  (X/4)
Z : jumlah  hari  dari tanggal  l Januari  sampai  tanggal  yang  dicari  (lihat  tabel  3).
S : sisa  pembagian  modulo7  (lihat  tabel  2).
Sebagai  ilustrasi  akan  ditentukan  hari  kemerdekaan  RI,  tanggal  17  Agustus  1945  jatuh  pada hari  apa?
Dengan  menggunakan  rumus  (2) :
X + Y + Z  = S  ( modulus  7 ) , maka  berarti  :
X = U -1 = 1945 -1 = 1944
Y = (X/4) = (1944/4) = 486
Z = jumlah  hari  dari  1 Januari  – 17 Agustus = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 17 = 229 sehingga,  X + Y + Z = 1944 + 486 + 229 = 2659 = 6 (modulo  7)
Kesimpulan,  karena  S  =  6,  maka  menurut  Tabel  2  :  17  Agustus  1945  jatuh  pada  hari Jum’at.

## Cara III :
Untuk  abad ke 20, menggunakana  rumus  :
K + L + M – N = S (modulus  7)                         .......(3)
Untuk  abad ke n menggunakan  rumus  :
K + L + M – N + (20 – n) = S (modulus  7)       .......(4)
dengan:
K : jumlah  tahun  dalam  satu  abad yang  bersangkutan,  untuk  tahun  1945 maka K = 45.
L : jumlah  tahun  kabisat  dalam  satu  abad yang  bersangkutan,  untuk  tahunn  1945 maka (45/4) = 11.25 = 11.
M :  tanggal  yang  akan dicari  harinya.
N : harga  bulan  (angka-angka)  dicari  dari  table  dibawah  ini.
S : sisa  pembagian  (lihat  tabel  2).
Tabel 4. Harga  Bulan  (N) Bulan Tahun  biasa / kabisat Bulan Tahun  biasa / kabisat Januari 6 / 0 Juli 0 Februari 3 / 4 Agustus 4 Maret 3 September 1 April 0 Oktober 6 Mei 5 November 3 Juni 2 Desember 1
Harga  bulan  N  untuk  bulan  Januari  dan  Februari  masing-masing  ada  dua  macam tergantung  pada tahun  biasa  atau  tahun  kabisat.
Sebagai  ilustrasi  akan  ditentukan  hari  kemerdekaan  RI,  tanggal  17  Agustus  1945  jatuh  pada hari  apa ?
Dengan  menggunakan  rumus  (3) :
K + L + M – N = S  ( modulus  7 ) , maka  berarti  :
K = 1945= 45
L = (K/4) = (45/4) = 11.25 = 11
M = tanggal  17 = 17
N = harga  bulan  Agustus  = 4
sehingga,  K + L + M – N = 45 + 11 + 17 – 4 = 69 = 6 (modulo  7)
Kesimpulan,  karena  S  =  6,  maka  menurut  Tabel  2  :  17  Agustus  1945  jatuh  pada  hari Jum’at.

## F. MENENTUKAN PASARAN
Seperti  pada  menentukan  hari  yang  menggunakan  modulo  7,  dalam  mementukan pasaran  menggunakan    modulo  5.  Telah  diketahui  bahwa  nama  pasaran  adalah  Wage, Kliwon,  Legi,  Pahing,  dan  Pon.  Dalam  menentukan  pasaran  juga  masih  tergantung  pada jumlah  hari  tahun  biasa  dan    kabisat,  yaitu  365  hari  dan  366  hari,  sehingga  dalam  menentukan pasaran  diperlukan  nilai/harga  bulan  seperti  pada tabel  5.
Tabel 5. Harga  Bulan  (B) Bulan Tahun  biasa / kabisat Bulan Tahun  biasa / kabisat Januari 0 / 1 Juli 4 Februari 4 / 0 Agustus 3 Maret 1 September 2 April 0 Oktober 2 Mei 0 November 1 Juni 4 Desember 1
Dari  hasil  percobaan diperoleh  tabel  sisa  pasaran  untuk   harga  S sebagai  berikut.
Tabel 6. Sisa Pasaran Sisa Pasaran 0 Legi 1 Pahing 2 Pon 3 Wage 4 Kliwon
Dengan  sedikit  gambaran  di  atas  maka  untuk  menentukan  pasaran  tertentu  dapat dipergunakan  rumus  yang  berlaku  untuk  sembarang  abad sebagai  berikut.
L + M – B = S (modulus  5)                                 .......(5)
dimana,
L : jumlah  tahun  kabisat  dalam  satu  abad yang  bersangkutan
M :  tanggal  yang  akan dicari  pasarannya
B : harga  bulan  untuk  menentukan  pasaran  (lihat  tabel  5).
S : sisa  pembagian   modulo  5 (lihat  tabel  6).
Sebagai  ilustrasi  akan  ditentukan  pasaran  kemerdekaan  RI,  tanggal  17  Agustus  1945  jatuh pada pasaran  apa?
Dengan  menggunakan  rumus  (5) :
L + M – B = S  ( modulus  5 ) , maka  berarti  :
L = (45/4) = 11.25 = 11 M = tanggal  17 =17 B = harga  bulan  pada tabel  5 = 3 sehingga,  L + M – B = 11 + 17 - 3 =  25 = 0 (modulo  5)
Kesimpulan,  karena  S  =  0,  maka  menurut  Tabel  6  :  17  Agustus  1945  jatuh  pada pasaran  LEGI.

## G. PENUTUP
Pada  pembahasan  di  atas  telah  dikemukakan  berbagai  macam  rumus  guna  menentukan hari  dan  pasaran  dari  tanggal  yang  diinginkan.  Dengan  menggunakan  algoritma  yang  sesuai dengan  rumus-rumus,  dapat  dibuat  program  dalam  komputer,  sehingga  tidak  diperlukan  lagi perhitungan  secara manual.
Pembahasan  tersebut  belum  mencakup  tentang  bagaimana  timbulnya  table  4,  5  dan  table 6.  Namun  demikian  diharapkan  semoga  pembahasan  ini  dapat  memberikan  gambaran  untuk maksud  tersebut.  Mudah-mudahan  tulisan  yang  sederhana  dan  singkat  ini  berguna  bagi  kita semua.

## DAFTAR   PUSTAKA
Burton,  D.M. 1980. Elementary Number Theory . Boston:  Allyn  &Bacon.
Niven,  I. dan  H.S. Zuckerman.  1976. Introduction to The Theory of Numbers . New Delhi. Willey  Eastern  Ltd.
Sukirman,  H. 2004. Pengantar Teori Bilangan .  Yogyakarta.UNY.