## MODEL MATEMATIKA KERUSAKAN HUTAN DENGAN MEMPERHATIKAN FAKTOR INDUSTRI DAN KEBAKARAN
Regina Mohamad 1 *, Moh.Dody Afandi Rauf 2 , Narti Lakisa 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: egymohamad.rm@gmail.com

## Abstrak
Kerusakan sumber daya hutan merupakan masalah lingkungan yang terjadi hampir diseluruh dunia termasuk Indonesia.  Untuk  melihat  dinamika  kerusakan  hutan  di  Indonesia,  kami  melakukan  penelitian  dengan memperhatikan  faktor  kepadatan  populasi,  kegiatan  industri,  dan  kebakaran  hutan  sebagai  penyebab kerusakan  hutan.  Hal  ini  dilakukan  dengan  memodelkan  dalam  bentuk  model  matematika  berupa  sistem persamaan  diferensial.  Dari  model  tersebut  diperoleh  dua  jenis  titik  tetap  yaitu  titik  tetap  bebas  gangguan (E 1 )  yang  merupakan  kondisi  dimana  hutan  belum  dipengaruhi  oleh  faktor  apapun  dan  titik  tetap  ada gangguan (E 2 , E 3 dan E 4 ) yang merupakan kondisi dimana hutan telah dipengaruhi oleh kepadatan populasi, industrialisasi  dan  kebakaran  hutan.  Dari  titik-titik  tetap  tersebut  akan  diketahui  kestabilan  setiap  kondisi yang  ada.  Selanjutnya  untuk  melihat  pengaruh  dari  faktor-faktor  tersebut  terhadap  hutan  Indonesia, dilakukan  simulasi  model  dan  diperoleh  hasil  bahwa  kondisi  hutan  Indonesia  sangatlah  tergantung  dari keempat faktor tersebut.
Kata  Kunci: Model  Matematika;  Kerusakan  Hutan;  Populasi  Penduduk;  Industrialisasi;  Kebakaran Hutan

## 1. Pendahuluan
Hutan  merupakan  sumber  daya  alam  yang  dapat  dimanfaatkan  untuk  kesejahteraan  manusia  karena dapat  memberikan  sumbangan  hasil  alam  yang  cukup  besar  bagi  Negara.  Hutan  dipandang  sebagai  suatu ekosistem  mengingat  hutan  dibentuk  atau  disusun  oleh  banyak  komponen  yang  masing-masing  komponen tidak  bisa  berdiri  sendiri,  tidak  dapat  dipisahkan,  bahkan  saling  mempengaruhi  dan  saling  bergantung [1][2][3].
Indonesia  termasuk  salah  satu  negara  tropis  yang  memiliki  luas  hutan  alam  yang  terluas  di  dunia diikuti dengan pertumbuhan penduduk yang tinggi. Tingkat kepadatan penduduk yang tinggi menyebabkan kebutuhan  akan  lahan  untuk  pembangunan  pemukiman  penduduk  maupun  areal  industri  juga  tinggi  serta sebagian besar masyarakat Indonesia menggantungkan hidupnya pada sumber daya hutan untuk pemenuhan kebutuhan  hidupnya.  Penduduk  yang  terlalu  padat  mengakibatkan  banyak  hutan  akan  hilang  digantikan dengan  lingkungan  pemukiman,  perkotaan,  dan  lain-lainnya  [4].  Kegiatan-kegiatan  ini  mengakibatkan adanya tekanan terhadap sumber daya hutan. Jika pertumbuhan populasi penduduk akan semakin tinggi dan tak terkendali maka hutan akan habis [5].
Berdasarkan  catatan  Kementrian  Kehutanan  Republik  Indonesia,  sedikitnya  1,1  juta  hektar  atau  2% dari  hutan  Indonesia  menyusut  tiap  tahunnya.  Data  Kementerian  Kehutanan  menyebutkan  dari  sekitar  130 juta hektar hutan yang tersisa di Indonesia, 42 juta hektar diantaranya sudah habis ditebang. Kerusakan atau ancaman  yang  paling  besar  terhadap  hutan  alam  di  Indonesia  adalah  penebangan  liar,  alih  fungsi  hutan menjadi  perkebunan,  kebakaran  hutan  dan  eksploitasi  hutan  secara  tidak  lestari  baik  untuk  pengembangan pemukiman,  industri,  maupun  akibat  perambahan.  Kerusakan  hutan  yang  semakin  parah  menyebabkan terganggunya keseimbangan ekosistem hutan dan lingkungan disekitarnya [6].
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  di  bidang  matematika  turut  memberikan  peranan  penting  dalam memodelkan permasalahan kehidupan, salah satunya masalah ekologi [7]. Masalah kerusakan hutan dengan faktor  industri  dan  kebakaran  hutan  di  Indonesia  juga  dapat  diatasi  dengan  memodelkannya  dalam  model matematika. Model matematika pada penelitian ini menggunakan model kompartemen dengan pertumbuhan logistik yang mengasumsikan bahwa setiap populasi akan tumbuh dengan daya dukung lingkungannya [8].
Beberapa  peneliti  telah  mempelajari  dinamika  kerusakan  hutan.  Pada  penelitian  sebelumnya  Dubey dkk  [9]  telah  menganalilis  model  matematika  nonlinear  untuk  mempelajari  penipisan  sumber  daya  hutan yang disebabkan oleh populasi, tekanan populasi serta industrialisasi. Pada tahun 2010 Dubey dan Narayana [10] menambahkan faktor polusi sebagai penyebab penipisan sumber daya hutan. Menganut dari penelitian Dubey  dkk,  Vivi  dkk  [11]  telah  melakukan  penelitian  terbaru  dengan  memperhatikan  faktor  industrialisasi serta  menambahkan  kontrol  terhadap  kepadatan  industri.  Sementara  itu  Suci  dkk  [7]  telah  menjelaskan model matematika kerusakan hutan dengan memperhatikan faktor kepadatan populasi dan kegiatan industri. Suci dkk [7] membagi variabel faktor kerusakan hutan menjadi tiga yaitu, kepadatan sumber daya hutan (H), kepadatan populasi penduduk (P) dan kepadatan industrialisasi (I).
Berdasarkan  penelitian  yang  dilakukan  Suci  dkk  [7], kami  melakukan  pengembangan  model  dengan menambahkan faktor  kebakaran  hutan  sebagai  pemicu  terjadinya  kerusakan  hutan.  Hal  ini  bertujuan  untuk melihat  bagaimana  dinamika  kerusakan  hutan  yang  dipengaruhi  oleh  faktor  yang  lebih  kompleks dibandingkan faktor-faktor pada penelitian sebelumnya.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode penelitian studi literature (library research) yaitu dengan mengkaji buku, text book, jurnal, dan artikel-artikel ilmiah mengenai model matematika kerusakan hutan.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan dan memodifikasi masalah kedalam model matematika,
2. Menentukan titik tetap,
3. Menentukan matriks jacobian,
4. Menganalisis kestabilan titik tetap, dan
5. Simulasi.

## 3. Pembahasan

## 3.1.  Model Matematika
Model  yang  akan  dibahas  dalam  penelitian  ini  adalah  model  kompartemen.  Dalam  model  ini diasumsikan  ada  faktor  kepadatan  populasi  penduduk  (P),  kegiatan  industri(I),  serta  kebakaran  hutan  (B) yang mempengaruhi kerusakan hutan di Indonesia dengan asumsi
1. Pertumbuhan sumber daya hutan dan populasi penduduk dibatasi oleh daya dukung lingkungan
2. Pertumbuhan populasi konstan.
3. Kepadatan  sumber  daya  hutan  berbanding  terbalik  dengan  kepadatan  penduduk  dan  industri, semakin tinggi kepadatan penduduk dan kepadatan industri maka semakin rendah kepadatan sumber daya hutan.
4. Perkembangan  industri  meningkat  karena  adanya  sumber  daya  hutan  yang  mendukungnya  baik berupa lahan untuk mendirikan industri maupun hasil hutan yaitu kayu sebagai bahan baku industri.
5. Kepadatan  populasi  penduduk  meningkat  karena  adanya  sumber  daya  hutan  yang  mendukung kehidupannnya.
Berdasarkan  asumsi  diatas  maka  model  kerusakan  hutan  dengan  memperhatikan  faktor  industri  dan kebakaran dapat digambarkan pada Gambar 1 berikut:
𝜃 1 𝐵 𝑠 (1 − 𝐻 𝐿 ) 𝐻
𝜃 0 𝐼 𝑞 0 𝑃 𝑟 (1 − 𝑃 𝐾 ) 𝑃
H H uta n I P B 𝛾𝛽𝐼𝐻 𝜀ℎ𝐵 𝛼𝛼 1 𝑃𝐻
Gambar 1. Model  Matematika kerusakan hutan dengan memperhatikan faktor industri dan  kebakaran hutan
Berdasarkan diagram kompartmen pada Gambar 1, diperoleh model matematika dalam bentuk system persamaan diferensial sebagai berikut:
{ 𝑑 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑠 (1 − ℎ 𝐿 ) ℎ − 𝛼𝑝 ℎ − 𝛽𝑖 ℎ − 𝜀 ℎ 𝑏 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑟 (1 − 𝑝 𝐾 ) 𝑝 − 𝛼𝛼 1 𝑝 ℎ − 𝑞 0 𝑝                                                                                     (1)
𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝛾𝛽𝑖 ℎ − 𝜃 0 𝑖
𝑑𝑏 𝑑𝑡 = 𝜀 ℎ 𝑏 − 𝜃 1 𝑏
Keterangan variable dan parameter disajikan pada Tabel 1.
Table 1. Parameter model Variabel Keterangan s Laju pertumbuhan alami sumber daya hutan r r Laju pertumbuhan populasi penduduk
α Laju  kerusakan  sumber  daya  hutan  yang  disebabkan  karena meningkatnya kepadatan populasi penduduk α 1
Rata-rata  populasi  yang  menggunakan  sumber  daya  hutan  untuk kebutuhan hidupnya.
β Laju  kerusakan  sumber  daya  hutan  yang  disebakan  oleh perkembangan industri q 0 Laju kematian populasi penduduk secara alami γ Laju  pertumbuhan  industri  karena  tersedianya  sumber  daya  hutan yang memadai θ 0
Rata-rata pengendalian industrialisasi oleh pemerintah
ε Laju kebakaran hutan akibat proses alam dan ulah manusia θ 1
Rata-rata pengendalian kebakaran hutan oleh pemerintah
𝐾 Daya dukung lingkungan terhadap populasi penduduk
𝐿 Daya dukung lingkungan terhadap sumber daya hutan

## 3.2. Analisis Kestabilan

## 3.2.1. Penentuan Titik Tetap
Kestabilan  dari  populasi  dapat  ditentukan  dengan  mencari  suatu  titik  tetap  untuk  kerusakan  hutan. Dalam  menentukan  titik  tetap  pada  persamaan  diferensial  (1),  titik  tetap  diperoleh  dengan  menyelesaikan persamaan
𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝑏 𝑑𝑡 = 0

## Maka diperoleh dua titik tetap yaitu

## 1. Titik tetap bebas gangguan ( 𝐸 1 )
Titik  tetap  bebas  gangguan 𝐸 1 =   ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) terjadi  jika 𝑝 = 0, 𝑖 = 0 dan 𝑏 = 0 .  Titik  tetap  ini diperoleh dengan cara subtitusi nilai 𝑝 , 𝑖 , dan 𝑏 ke persamaan (1). Maka untuk nilai ℎ = 𝐿 diperoleh 𝐸 1 = ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) =   (𝐿, 0,0,0).
2. Titik tetap ada gangguan
Titik tetap ada gangguan diperoleh dengan cara eliminasi subtitusi persamaan (1) dan diperoleh
➢ Titik tetap kedua
Titik tetap kedua 𝐸 2 =   ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) terjadi jika 𝑖 = 0 dan 𝑏 = 0 . Maka
𝐸 2 = ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) = ( 𝐿(𝑠𝑟 − 𝑎𝐾𝑟 + 𝛼𝑞 0 𝐾) 𝑠𝑟 + 𝑎 2 𝛼 1 𝐾𝐿 , 𝐾𝑠(𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝐿 − 𝑞 0 ) 𝑟𝑠 − 𝛼 2 𝛼 1 𝐾𝐿 , 0,0)
➢ Titik tetap ketiga
Titik tetap ketiga 𝐸 3 = ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) terjadi jika 𝑏 = 0 . Maka
𝐸 3 = ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) = ( 𝜃 0 𝛾𝛽 , 𝐾(𝛾𝛽𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝜃 0 − 𝑞 0 𝛾𝛽) 𝛾𝛽𝑟 , 𝛾𝛽𝑟𝑠𝐿 − 𝑟𝜃 0 𝑠 − 𝛼𝐾𝛾𝛽𝑟𝐿 − 𝛼 2 𝛼 1 𝐾𝜃 0 𝐿 + 𝛼𝐾𝑞 0 𝛾𝛽𝐿 𝛾𝛽 2 𝑟𝐿 , 0)
➢ Titik tetap keempat
Titik tetap keempat 𝐸 4 = ( ℎ , 𝑝, 𝑖, 𝑏) . Maka
𝐸 4 = (ℎ, 𝑝, 𝑖, 𝑏) = ( 𝜃 1 𝜀 , 𝐾(𝜀𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝜃 1 − 𝜀𝑞 0 ) 𝜀𝑟 , 0, 𝑠𝜀𝑟𝐿 − 𝑠𝜃 1 𝑟 − 𝛼𝐾𝜀𝑟𝐿 − 𝛼 2 𝛼 1 𝜃 1 𝐾𝐿 + 𝛼𝜀𝑞 0 𝐾𝐿 𝜀 2 𝑟𝐿 )

## 3.2.2.  Kriteria Titik Tetap
1. Titik  tetap  pertama  yaitu  keadaaan  dimana  sumber  daya  hutan  selalu  ada  sebanyak  daya  dukung lingkungannya  yakni  sebesar  L,  sedangkan  populasi,  industrialisasi  dan  kebakaran  belum  ada  pada sistem.
2. Titik  tetap  kedua  menunjukkan  saat  sumber  daya  hutan  dan  populasi  penduduk  ada  pada  sistem, namun  industrialisasi  dan  kebakaran  belum  ada  pada  sistem.  Titik  E 2 akan  ada  jika  salah  satu  dari kondisi berikut terpenuhi, yaitu
• 𝑟(𝑠 − 𝑎𝐾) + 𝛼𝑞 0 𝐾 > 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑠 > 𝑎𝐾
• 𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝐿 > 𝑞 0
3. Titik  tetap  ketiga  menunjukkan  saat  sumber  daya  hutan,  populasi  penduduk  serta  industrialisasi  ada pada sistem , namun kebakaran belum ada pada sistem. Titik 𝐸 3 akan ada jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi, yaitu
• 𝛾𝛽(𝑟 − 𝑞 0 ) + 𝛼𝛼 1 𝜃 0 > 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 > 𝑞 0 • 𝛾𝛽𝐿 < 𝜃 0
4. Titik tetap keempat menunjukkan saat sumber daya hutan, populasi penduduk serta kebakaran hutan ada pada sistem , namun industrialisasi tidak ada. Titik 𝐸 4 akan ada jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi, yaitu • 𝜀(𝑟 − 𝑞 0 ) + 𝛼𝛼 1 𝜃 1 > 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 > 𝑞 0 • 𝜀𝐿 < 𝜃 1

## 3.2.3.  Menentukan Matriks Jacobian
Untuk menentukan matriks jacobian, dilakukan dengan bantuan program maple dan diperoleh
𝐴 = [ 𝑠 − 2𝑠 ℎ 𝐿 − 𝛼𝑝 − 𝛽𝑖 − 𝜀𝑏 −𝛼 ℎ −𝛽 ℎ −𝜀 ℎ
𝛼𝛼 1 𝑝 𝛾𝛽𝑖 𝜀𝑏 𝑟 − 2𝑟𝑝 𝐾 − 𝛼𝛼 1 ℎ − 𝑞 0 0 0 0 𝛾𝛽 ℎ − 𝜃 0 0 0 0 𝜀 ℎ − 𝜃 1 ]
1. Jacobian dari titik tetap pertama (𝐽𝐸 1 )
Untuk  menentukan  matriks  jacobian  titik  tetap  pertama,  dilakukan  dengan  bantuan  program maple, sehingga diperoleh:
𝐽(𝐸 1 ) = [ −𝑠 −𝛼𝐿             −𝛽𝐿          −𝜀𝐿 0 0 0 𝛼𝛼 1 𝐿 + 𝑟 − 𝑞 0 0 0 0 𝛾𝛽𝐿 − 𝜃 0 0 0 0 𝜀𝐿 − 𝜃 1 ]
2. Jacobian dari titik tetap kedua (𝐽𝐸 2 )
Untuk  menentukan  matriks  jacobian  titik  tetap  kedua,  dilakukan  dengan  bantuan  program maple, sehingga diperoleh
𝐽(𝐸 2 ) = [ 𝑠 − 2𝑠𝐻 1 𝐿 − 𝛼𝑃 1 −𝛼𝐻 1 −𝛽𝐻 1 −𝜀𝐻 1
𝛼𝛼 1 𝑃 1 0 0 𝑟 − 2𝑟𝑃 1 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 1 − 𝑞 0
0 0 0 𝛾𝛽𝐻 1 − 𝜃 0 0 0 0 𝜀𝐻 1 − 𝜃 1 ] dengan
𝐻 1 = 𝐿(𝑠𝑟 − 𝑎𝐾𝑟 + 𝛼𝑞 0 𝐾) 𝑠𝑟 + 𝑎 2 𝛼 1 𝐾𝐿 , 𝑃 1 = 𝐾𝑠(𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝐿 − 𝑞 0 ) 𝑟𝑠 − 𝛼 2 𝛼 1 𝐾𝐿
3. Jacobian dari titik tetap ketiga (𝐽𝐸 3 ) :
Untuk  menentukan  matriks  jacobian  titik  tetap  ketiga,  dilakukan  dengan  bantuan  program maple, s ehingga diperoleh
𝐽(𝐸 3 ) = [ 𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 −𝛼𝐻 2 −𝛽𝐻 2 −𝜀𝐻 2
𝛼𝛼 1 𝑃 2 𝛾𝛽𝐽 2 0 𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 0 0 0 𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 0 0 0 𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ] dengan
𝐻 2 = 𝜃 0 𝛾𝛽 , 𝑃 2 = 𝐾(𝛾𝛽𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝜃 0 − 𝑞 0 𝛾𝛽) 𝛾𝛽𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝐽 2 = 𝛾𝛽𝑟𝑠𝐿 − 𝑟𝜃 0 𝑠 − 𝛼𝐾𝛾𝛽𝑟𝐿 − 𝛼 2 𝛼 1 𝐾𝜃 0 𝐿 + 𝛼𝐾𝑞 0 𝛾𝛽𝐿 𝛾𝛽 2 𝑟𝐿

## 4. Jacobian dari titik tetap keempat (𝐽𝐸 4 )
Untuk  menentukan  matriks  jacobian  titik  tetap  keempat,  dilakukan  dengan  bantuan  program maple . Sehingga diperoleh
𝐽(𝐸 4 ) = [ 𝑠 − 2𝑠𝐻 3 𝐿 − 𝛼𝑃 3 − 𝜀𝐵 3 −𝛼𝐻 3 −𝛽𝐻 3 −𝜀𝐻 3 𝛼𝛼 1 𝑃 3 0 𝜀𝐵 3 𝑟 − 2𝑟𝑃 3 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 3 − 𝑞 0 0 0 0 𝛾𝛽𝐻 3 − 𝜃 0 0 0 0 𝜀𝐻 3 − 𝜃 1 ] dengan
𝐻 3 = 𝜃 1 𝜀 , 𝑃 3 = 𝐾(𝜀𝑟 + 𝛼𝛼 1 𝜃 1 − 𝜀𝑞 0 ) 𝜀𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝐵 3 = 𝑠𝜀𝑟𝐿 − 𝑠𝜃 1 𝑟 − 𝛼𝐾𝜀𝑟𝐿 − 𝛼 2 𝛼 1 𝜃 1 𝐾𝐿 + 𝛼𝜀𝑞 0 𝐾𝐿 𝜀 2 𝑟𝐿

## 3.2.4.  Nilai Eigen
1. Nilai eigen dari titik tetap pertama (𝜆 1 ) :
Untuk  menentukan  nilai  eigen  dari  titik  tetap  pertama,  dilakukan  dengan  bantuan  program maple, s ehingga diperoleh:
𝜆 1 =   −𝑠, 𝛼𝛼 1 𝐿 + 𝑟 − 𝑞 0 , 𝛾𝛽𝐿 − 𝜃 0 , 𝜀𝐿 − 𝜃 1
2. Nilai eigen dari titik tetap kedua (𝜆 2 ) :
Untuk menentukan nilai eigen dari titik tetap kedua, dilakukan dengan cara menyelesaikan persamaan karakteristik, maka akan didapatkan nilai-nilai eigen dari matriks 𝐽𝐸 2 , yaitu:
𝜆 1 =  𝑠 − 2𝑠𝐻 1 𝐿 − 𝛼𝑃 1 𝜆 2 =  𝑟 − 2𝑟𝑃 1 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 1 − 𝑞 0 𝜆 3 =  𝛾𝛽𝐻 1 − 𝜃 0
𝜆 4 =  𝜀𝐻 1 − 𝜃 1
3. Nilai eigen dari titik tetap ketiga ( 𝜆 3 ):
Untuk menentukan nilai eigen dari titik tetap ketiga, dilakukan dengan cara menyelesaikan persamaan karakteristik menggunakan kriteria Routh Hurwitz [12] dapat ditulis sebagai berikut:
𝜆 4 + 𝑎 1 𝜆 3 + 𝑎 2 𝜆 2 + 𝑎 3 𝜆 + 𝑎 4 = 0 dengan
𝑎 1 =   − ((𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) + (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) + (𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 ) + (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ))
𝑎 2 = (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) + (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) (𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 ) + (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ) + (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ) + (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 ) + (𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 )(𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 )(𝛾𝛽𝐽 2 )(𝛽𝐻 2 ) + (𝛾𝛽𝐽 2 )(𝛽𝐻 2 ) 𝑎 3 =   − ((𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) (𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 ) + (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ) + (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 )(𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 ) + (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 )(𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 ) + (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝛾𝛽𝐽 2 )(𝛽𝐻 2 ) + (𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 )(𝛾𝛽𝐽 2 )(𝛽𝐻 2 ))
𝑎 4 =   ((𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝑠 − 2𝑠𝐻 2 𝐿 − 𝛼𝑃 2 − 𝛽𝐽 2 ) (𝛾𝛽𝐻 2 − 𝜃 0 )(𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ) + (𝑟 − 2𝑟𝑃 2 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 2 − 𝑞 0 ) (𝛾𝛽𝐽 2 )(𝛽𝐻 2 )(𝜀𝐻 2 − 𝜃 1 ))
4. Nilai eigen dari titik tetap keempat ( 𝜆 4 ):
Untuk  menentukan  nilai  eigen  dari  titik  tetap  keempat,  dilakukan  dengan  cara  menyelesaikan persamaan karakteristik 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽𝐸 4 ) [13], maka diperoleh nilai-nilai eigen dari matriks 𝐽𝐸 4 , yaitu:
𝜆 1 = 𝑠 − 2𝑠𝐻 3 𝐿 − 𝛼𝑃 3 − 𝜀𝐵 3 𝜆 2 = 𝑟 − 2𝑟𝑃 3 𝐾 − 𝛼𝛼 1 𝐻 3 − 𝑞 0 𝜆 3 = 𝛾𝛽𝐻 3 − 𝜃 0 𝜆 4 = 𝜀𝐻 3 − 𝜃 1
3.2.5.  Menganalisis Kestabilan Nilai Eigen
1. Kestabilan Titik Tetap Pertama
Nilai λ 1 < 0 ,  agar  titik  tetap E 1 bersifat  stabil  haruslah λ 2 < 0, λ 3 < 0 dan λ 4 < 0 sehingga αα 1 L + r < q 0 , γβL < θ 0 dan εL < θ 1 . Jika 𝛼𝛼 1 𝐿 + 𝑟 > 𝑞 0 , 𝛾𝛽𝐿 > 𝜃 0 𝑑𝑎𝑛 𝜀𝐿 > 𝜃 1 maka 𝐸 1 bersifat tidak stabil. 2. Kestabilan Titik Tetap Kedua
Nilai 𝜆 1 < 0 yakni 𝑠 < 2𝑠𝐻 1 𝐿 + 𝛼𝑃 1 , agar titik tetap 𝐸 2 bersifat stabil haruslah 𝜆 2 < 0, 𝜆 3 < 0 dan 𝜆 4 < 0 sehingga 𝑟 < 2𝑟𝑃 1 𝐾 + 𝛼𝛼 1 𝐻 1 + 𝑞 0 , 𝛾𝛽𝐻 1 < 𝜃 0 dan 𝜀𝐻 1 < 𝜃 1 .  Jika 𝑟 > 2𝑟𝑃 1 𝐾 𝛼𝛼 1 𝐻 1 + 𝑞 0 , 𝛾𝛽𝐻 1 > 𝜃 0 dan 𝜀𝐻 1 > 𝜃 1 maka 𝐸 2 bersifat tidak stabil.
3. Kestabilan Titik Tetap Ketiga
Titik tetap 𝐸 3 akan stabil jika dan hanya jika semua nilai eigen adalah real negatif. Hal ini terjadi jika memenuhi syaratsebagaiberikut:
𝑎 1 > 0 , 𝑎 3 > 0 ,  𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 > 0 ,  𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑎 4 > 0,  𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝛼 1 2 𝑎 4 − 𝛼 3 2 > 0
Karena  kondisi 𝑎 1 > 0 , 𝑎 3 > 0 , 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 > 0 ,  𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑎 4 > 0, dan 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝛼 1 2 𝑎 4 − 𝛼 3 2 > 0 terpenuhi, maka titik tetap E 3 bersifat stabil jika 𝑟 > 𝑞 0 yaitu saat laju pertumbuhan populasi penduduk lebih besar  dari  laju  kematian  alami  populasi  penduduk  dan 𝛾𝛽𝐿 < 0, yaitu  pada  saat  rata-rata  pengendalian industrialisasi  oleh  pemerintah  lebih  besar  dari  hasil  kali  dari  tingkat  pertumbuhan  industri  dengan  tingkat kerusakan sumber daya hutan oleh industrialisasi dan daya dukung lingkungan sumber daya hutan.
4. Kestabilan Titik Tetap Keempat
Nilai 𝜆 1 < 0 ,  yakni 𝑠 < 2𝑠𝐻 3 𝐿 + 𝛼𝑃 3 + 𝜀𝐵 3 agar  titik  tetap 𝐸 2 bersifat  stabil  haruslah 𝜆 2 < 0, 𝜆 3 < 0 dan 𝜆 4 < 0 sehingga 𝑟 < 2𝑟𝑃 3 𝐾 + 𝛼𝛼 1 𝐻 3 + 𝑞 0 , 𝛾𝛽𝐻 3 < 𝜃 0 dan 𝜀𝐻 3 < 𝜃 1 .  Jika 𝑟 > 2𝑟𝑃 3 𝐾 + 𝛼𝛼 1 𝐻 3 + 𝑞 0 , 𝛾𝛽𝐻 3 > 𝜃 0 dan 𝜀𝐻 3 > 𝜃 1 maka E 2 bersifat tidak stabil.

## 3.3.  Simulasi dan Interpretasi Model
Simulasi ini menggunakan populasi awal ℎ (0) = 20, 𝑝(0) = 11.5, 𝑖(0) = 7.5 dan 𝑏(0) = 6.2 . Untuk simulasi pertama nilai-nilai parameternya berdasarkan asumsi mengikuti syarat kestabilan titik tetap sebagai berikut
Table 2. Nilai-nilai parameter saat titik tetap stabil Variabel Keterangan Nilai s Laju pertumbuhan alami sumber daya hutan 1 r r Laju pertumbuhan populasi penduduk 0.3 α Laju  kerusakan  sumber  daya  hutan  yang  disebabkan  karena meningkatnya kepadatan populasi penduduk 0.17 α 1 Rata-rata  populasi  yang  menggunakan  sumber  daya  hutan  untuk kebutuhan hidupnya. 1.04 β Laju  kerusakan  sumber  daya  hutan  yang  disebakan  oleh perkembangan industri 0.2 q 0 Laju kematian populasi penduduk secara alami 0.2 γ Laju  pertumbuhan  industri  karena  tersedianya  sumber  daya  hutan yang memadai 0.21 θ 0 Rata-rata pengendalian industrialisasi oleh pemerintah 0.6 ε Laju kebakaran hutan akibat proses alam dan ulah manusia 0.04 θ 1 Rata-rata pengendalian kebakaran hutan oleh pemerintah 0.5 𝐾 Daya dukung lingkungan terhadap populasi penduduk 5 𝐿 Daya dukung lingkungan terhadap sumber daya hutan 6
Berdasarkan  nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  2  maka  diperoleh  grafik  dinamika  kerusakan  hutan dengan menggunakan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.
Pada  kondisi  ini,  berdasarkan  nilai-nilai  parameter  yang  mengikuti  syarat  kestabilannya  populasi penduduk  (biru)  terkendali  dalam  artian  tidak  akan  mengalami  kepunahan,  industrialisasi  (kuning)  dan kebakaran  hutan  (hijau)  akan  terus  berkurang  karena  besarnya  pengendalian  dan  penanganan  oleh pemerintah. Hal ini menyebabkan kerusakan sumber daya hutan (merah) dapat dikendalikan dan hutan tidak akan punah.
Selanjutnya,  simulasi  kedua  menggunakan  parameter  yang  berbeda  yaitu  pada  saat  titik  tetap  tidak stabil. Nilai-nilai parameter yang digunakan disajikan pada Tabel 3. Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 3 maka diperoleh grafik dinamika kerusakan hutan dengan menggunakan software maple ditampilkan pada Gambar 3.
Gambar 2. Dinamika kerusakan hutan saat titik tetap stabil
Gambar 3. Dinamika kerusakan hutan saat titik tetap tidak stabil
Pada  kondisi  ini,  nilai-nilai  parameter  tidak  mengikuti  syarat  kestabilan  titik  tetap  menyebabkan populasi  penduduk  (biru)  akan  terus  berkurang  dan  mengalami  kepunahan  akibatnya  sumber  daya  hutan meningkat,  namun  industrialisasi  (kuning)  tidak  terkendali  menyebabkan  hutan  akan  habis  dan  pada  saat kebakaran  hutan  (hijau)  tidak  terkendali  hutan  mengalami  penurunan  tapi  akan  naik  saat  kebakaran  mulai menurun.
Table 3. Nilai-nilai parameter saat titik tetap tidak stabil
Variabel Keterangan Nilai s Laju pertumbuhan alami sumber daya hutan 0.4 r Laju pertumbuhan populasi penduduk 0.3 α Laju  kerusakan  sumber  daya  hutan  yang  disebabkan  karena meningkatnya kepadatan populasi penduduk 0.17 α 1 Rata-rata  populasi  yang  menggunakan  sumber  daya  hutan  untuk kebutuhan hidupnya. 1.04 β Laju kerusakan sumber daya hutan yang disebakan oleh perkembangan industri 0.2 q 0 Laju kematian populasi penduduk secara alami 1.5 γ Laju pertumbuhan industri karena tersedianya sumber daya hutan yang memadai 0.21 θ 0 Rata-rata pengendalian industrialisasi oleh pemerintah 0.1 ε Laju kebakaran hutan akibat proses alam dan ulah manusia 0.04 θ 1 Rata-rata pengendalian kebakaran hutan oleh pemerintah 0.1 𝐾 Daya dukung lingkungan terhadap populasi penduduk 5 𝐿 Daya dukung lingkungan terhadap sumber daya hutan 6

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis dan simulasi model dapat disimpulkan bahwa apabila kestabilan titik tetap terpenuhi  maka  setiap  faktor  penyebab  kerusakan  hutan  akan  stabil  dan  terkendali,  akibatnya  kerusakan sumber  daya  hutan  terus  berkurang  dan  teratasi.  Setiap  penduduk  yang  menggunakan  sumber  daya  hutan harus memperlakukannya secara bijak dan pengendalian kebakaran hutan harus mampu mengatasi kebakaran hutan  yang  terjadi.  Tindakan  tegas  untuk  orang-orang  yang  melakukan  hal-hal  yang  memicu  kebakaran hutan sangatlah perlu agar hutan akan selalu ada dan tidak akan punah.

## Referensi
[1] A. Arief, Hutan Hakikat dan Pengaruh terhadap Lingkungan . Jakarta: Yayasan Obor Indonesia, 1994.
[2] Kadri. W, dkk, Manual Kehutanan . Jakarta: Departemen Kehutanan Republik Indonesia, 1992.
[3] I.  Soerianegara  and  I.  A., Ekologi  Hutan  Indonesia .  Bogor:  Departemen  Manajemen  Hutan  Fakultas Kehutanan Institut Pertanian Bogor, 1982.
[4] Kristanto and Philip, Ekologi Industri . Yogyakarta: ANDI Yogyakarta, 2002.
[5] Soegianto  dan  Agoes, Ilmu  Lingkungan  Sarana  Menuju  Masyarakat  Berkelanjutan .  Surabaya:  Airlangga University Press, 2005.
[6] World Wide Fund for Nature, “Kehutanan,” 2018. [Online]. Available:
https://www.wwf.or.id/tentang_wwf/upaya_kami/forest_spesies/tentang_forest_spesies/kehutanan/.
[7] N. Suci, Arnelis, and M. Rosha, “Model Kerusakan Sumber Daya Hutan di Indonesia,” UNP J. Math. , vol. 12, pp. 1–6, 2014.
[8] H. S. Panigoro, Sistem Dinamik untuk Pemula . Kota Gorontalo: Ideas Publishishing, 2015.
[9] B. Dubey, “Modelling the Depletion of Forestry Resources by Population and Population Pressure Augmented Industrialization,” Appl. Math. Model. , vol. 33, pp. 3002–3014, 2009.
[10] B.  Dubey  and  A.  S.  Narayanan,  “Modelling  effects  of  industrialization,  population  and  pollution  on  a renewable resource,” Nonlinear Anal. Real World Appl. , vol. 11, pp. 2833–2848, 2010.
[11] Ramdhani and Vivi, “Dynamical System of Modelling the Depletion of Forestry Resources Due to Crowding by Industrialization,” Appl. Math. Sci. , vol. 9, pp. 4067–4079, 2015.
[12] L. Keshet, Mathematical Models in Biology . New York: Random House, 1998.
[13] H. Anton, Elementary Linear Algebra Eighth Edition . USA: Lehigh Press Inc, 2000.
[14] F. Verhults, Nonlinear Diffrential Equations and Dynamical System . Berlin: Springer-Verlag, 1990.
[15] S. Farlow, An Introduction to Differential Equation and Their Applications . New York: McGraw Hill, 1994.