MEDIA STATISTIKA 13(1) 2020: 13-24 http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika

## PENGELOMPOKAN RUMAH TANGGA DI INDONESIA BERDASARKAN PENDAPATAN PER KAPITA DENGAN MODEL FINITE MIXTURE

## Irwan Susanto, Sri Sulistijowati Handajani
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta
e-mail : irwansusanto@staff.uns.ac.id
DOI: 10.14710/medstat.13.1.13-24
Keywords: Finite Mixture, Income Distribution, EM Algorithm, AIC, BIC.
.
Abstract: In the statistical modeling framework, the form of  the  income distribution can be approaching  based on certain statistical distributions.  The use of the finite mixture model is relatively flexible in the modeling of the income distribution  that has  a multimodal pattern. The multimodal pattern  can be indicated as the existence of different cluster on the data. The different clusters which can reflect  the  economic homogeneity of income  are represented by the  mixture  components  of  the  finite mixture model.  In this paper, the finite mixture  model  is implemented for modeling  the distribution of household income per capita in Indonesia based on The Fifth Wave of the Indonesia Family Life Survey (IFLS5) 2014 - 2015. The mixture components of the finite mixture model have been  build based on the  heavy-tailed  statistical distributions,  i.e.,  gamma, lognormal,  and Weibull distributions.  The estimation of the fitting finite mixture model was conducted using the maximum-likelihood estimation method  through  the expectation-maximization (EM) algorithm. The suitable finite mixture models were verified  with  the  bootstrap likelihood ratio statistics  test, Akaike Information Criterion  (AIC) and Bayesian Information  Criterion  (BIC). Based on the results, the distribution of household  income  per capita  in  Indonesia can be modeled by the  four components-lognormal mixture model.

## 1. PENDAHULUAN
Pemodelan distribusi pendapatan dengan pendekatan parametrik menggunakan distribusi probabilitas untuk mengestimasi model distribusi pendapatan pada suatu populasi. Estimasi model distribusi pendapatan tersebut dipergunakan sebagai bagian dari proses analisis terhadap distribusi pendapatan di suatu daerah yang berkaitan dengan ketimpangan ekonomi dan kemiskinan yang terjadi di daerah tersebut (Chotikapanich dan Griffiths, 2008).  Distribusi finite mixture relatif fleksibel dalam memodelkan  distribusi pendapatan yang mempunyai sub-sub populasi berbeda, dimana sub-sub populasi tersebut

## Article Info:
Received: 26 April 2019 Accepted: 22 June 2020
Available Online: 26 June 2020
dapat merefleksikan kelompok dengan homogenitas secara ekonomi  (Pittau et al. , 2016). Kelompok atau sub - sub  populasi  tersebut direpresentasikan dalam model finite mixture sebagai suatu komponen mixture .
Distribusi pendapatan mempunyai karakteristik data bertipe kontinu, positif dan heavy-tailed . Sehingga dalam penyusunan model finite mixture ,  penggunaan distribusi probabilitas yang berkarakteristik heavy-tailed , dalam hal ini termasuk distribusi gamma, lognormal  dan Weibull, lebih tepat untuk digunakan sebagai komponen mixture (Cowell dan Flachaire, 2015).  Beberapa penelitian telah menerapkan model finite mixture untuk pemodelan distribusi pendapatan, diantaranya model finite mixture dengan distribusi Weibull untuk merepresentasikan kelompok negara kaya dan negara miskin  yang diestimasi melalui metode estimasi maksimum likelihood  (Paap dan van Dijk, 1998)  dan model finite mixture dengan distribusi lognormal  dan gamma  sebagai komponennya melalui metode estimasi GMM (Griffiths dan Hajargasht, 2012).
Griffiths dan Hajargasht (2012) meneliti pemodelan finite mixture untuk distribusi pendapatan  di negara-negara China, India, Pakistan, Rusia,  Afrika Selatan, Brazil, dan Indonesia.  Model finite mixture dengan semua komponen berdistribusi gamma dan lognormal  diestimasi melalui pendekatan Generalized  Method of Moments (GMM). Khusus untuk Indonesia, penelitian  dari  Griffiths dan Hajargasht tersebut  menggunakan data pengeluaran rumah tangga sebagai proxy untuk data pendapatan rumah tangga. Data pendapatan rumah tangga mulai digunakan pada penelitian oleh  Susanto et al. (2018). Melalui pendekatan Bayesian, distribusi pendapatan rumah tangga dapat dimodelkan melalui model finite mixture dengan dua atau tiga komponen berdistribusi gamma (Susanto et al. , 2019).  Namun demikian dalam dua penelitian terdahulu tersebut, data pendapatan rumah tangga diukur secara total keseluruhan dalam tiap rumah tangga. Hal tersebut  dapat memberikan kesimpulan yang keliru berkaitan dengan kesejahteraan ekonomi, karena tidak mempertimbangkan banyaknya anggota rumah tangga yang menjadi tanggungan dalam rumah tangga tersebut.
Artikel penelitian ini membahas pemodelan distribusi pendapatan rumah tangga per kapita di Indonesia dengan model finite mixture menggunakan metode estimasi maksimum likelihood melalui algoritma Expectation-Maximization (EM).  Tiga distribusi probabilitas statistika  yaitu  gamma, lognormal,  dan Weibull yang mempunyai karakteristik kontinu, positif dan heavy-tailed menjadi materi utama kajian penelitian sebagai komponen mixture dari model finite mixture .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Model Finite Mixture
Suatu  vektor  variabel random
1 2 [ , ,  ..., ] T n x x x = x yang bertipe diskrit atau kontinu dikatakan berasal dari suatu distribusi finite mixture ( ) i g x , jika fungsi densitas probabilitas ( ) i g x dapat didefinisikan sebagai
1 1 ( ) ( ) ... ( ) i i K K i g x w f x w f x = + + (1)
yang berlaku untuk semua  , 1, 2,  ...,
i x i n = dengan ( ) k i f x adalah fungsi densitas probabilitas untuk semua 1, 2,  , k K = … . ( ) k i f x disebut sebagai komponen mixture dan k merupakan banyaknya komponen mixture . Parameter 1 ,  ..., K w w disebut sebagai parameter
Irwan Susanto (Pengelompokan Rumah Tangga di Indonesia)
weight atau bobot dan vektor 1 [ ,  ..., ] T K w w = w disebut sebagai vektor parameter bobot dari distribusi finite mixture . Nilai–nilai dalam w harus memenuhi
0 1 k w ≤ ≤ dan 1 ... 1 K w w + + =
Pada beberapa kasus penerapan, jika diasumsikan semua komponen dari distribusi finite mixture berasal dari suatu distribusi probabilitas yang mempunyai  vektor  parameter θ , maka
1 1 1 ( | ) ( | ) ... ( | ) ( | ) K i i K K i k k i k k g x w f x w f x w f x = = + + = ∑ 1 K ψ θ θ θ (2)
dengan [ ] , T = ψ w θ , [ ,... , ] T = 1 K θ θ θ (Frühwirth-Schnatter, 2006).  Model statistika yang mengimplementasikan konsep distribusi finite mixture dalam pemodelannya biasa disebut sebagai model finite mixture .

## 2.2. Metode Estimasi Maksimum Likelihood
Jika diberikan observasi , 1, 2,  ..., i x i n = saling independen dan [ ] , T = ψ w θ , maka fungsi likelihood dari model finite mixture (2) didefinisikan dengan
1 1 ( ) ( | ) n K k k i k k i L w f x = =   =     ∑ ∏ ψ θ (3)
Pada  pendekatan metode estimasi  maksimum likelihood untuk estimasi parameter model finite mixture , penduga maksimum likelihood  ˆ ψ merupakan penyelesaian dari persamaan
( ) 0 ∂ = ∂ ψ ψ 
(4)
dengan 1 1 ( ) ln ( ) ln ( | ) n K k k i k i k L w f x = =   = =     ∑ ∑ ψ ψ θ 
merupakan fungsi log-likelihood observasi.  Proses penyelesaian persamaan  (4)  tidak mudah dilakukan, baik secara analitik maupun secara pendekatan numerik melalui metode Newton Raphson, hal ini disebabkan karena fungsi likelihood (3)  tidak dalam  bentuk closed-form . Salah satu langkah untuk mengatasi masalah adalah dengan menggunakan algoritma Expectation-Maximization (EM) yang diterapkan pertama kali untuk pemodelan finite mixture oleh Dempster, et al. (1977).
Penerapan konsep EM untuk model finite mixture memandang bahwa observasi i x dianggap sebagai data yang tidak lengkap  dan  suatu  variabel alokasi-komponen i z merupakan bagian dari pelengkap  data yang tidak terobservasi atau data hilang  tersebut. Nilai 1 ik z = , jika i x masuk dalam komponen mixture k dan 0 ik z = , jika i x tidak masuk dalam komponen mixture k tersebut.  Hal ini berarti setiap observasi i x berasal dari salah satu komponen dari model finite mixture . Sehingga fungsi log-likehood untuk data lengkap diberikan oleh
[ ] 1 1 ( ) ln ( | ) n K c ik k k i k i k z w f x = = = ∑∑ ψ θ  (5)
Prosedur algoritma EM berjalan dalam dua tahap yaitu  tahap Expectation (E) dan tahap Maximization (M).  Diberikan nilai awal (0) ψ , algoritma EM untuk  estimasi  model finite mixture secara umum dapat disusun sebagai berikut,
1. Tahap E.
Pada tahap expectation ,  saat  iterasi ke- s , dihitung nilai  harapan fungsi log-likelihood untuk data lengkap yang didefinisikan sebagai
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ; ) ( ( ) | , )
= ln( ) ln( ( | )  . s s c i n K s s s ik k k i k i k Q E x z w f x = = = + ∑∑ ψ ψ ψ ψ θ  ( ) s ik
z merupakan probabilitas observasi i x 1, 2,  ..., i n = untuk  menjadi anggota atau bagian  dalam komponen mixture k , 1,  2,  ..., k K = ,  pada saat iterasi ke- s . Sehingga pada tahap ini penduga  ˆ ik z diproses melalui
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( | ) ˆ ( | ) s s s k k i k ik k s s h h i h h w f x z w f x = = ∑ θ θ (6)
dengan 1, 2,  ..., i n = dan 1,  2,  ..., k K = . Penduga ( ) ˆ s ik z dari tahap E selanjutnya digunakan untuk tahap M pada saat iterasi ke-( s+1 ) .
2. Tahap M
Pada iterasi ke-( s+1 ), parameter bobot k w diduga dengan
( ) ( 1) 1 ˆ ˆ n s ik s i k z w n + = = ∑ (7)
dan penduga ( 1) ˆ s k + θ merupakan penyelesaian dari
( ) 1 1 ˆ ln ( | ) 0 n K s ik k i k i k z f x = = ∂   =   ∂   ∑∑ θ θ (8)
Tahap E dan tahap M dilakukan bergantian secara iteratif. Prosedur akan  berhenti pada saat fungsi likelihood, ( ) L ψ , pada persamaan (3) bernilai tidak turun setelah proses iterasi dari algoritma EM. Hal ini berarti setelah proses iterasi ke-( s+1 ) berlaku
( 1) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) s s L L + ≥ ψ ψ (9)
untuk 0,1, 2,... s = dengan ˆ ˆ ˆ [ , ] T = ψ w θ (Dempster dkk, 1977).
Algoritma EM diterapkan untuk estimasi parameter dari tiga model finite  mixture yaitu model finite mixture gamma, model finite mixture lognormal dan model finite mixture Weibull. Pada estimasi parameter model finite mixture gamma, ( | ) i k f x θ pada persamaan (2) adalah distribusi gamma yang didefinisikan sebagai
Irwan Susanto (Pengelompokan Rumah Tangga di Indonesia)
( ) 1 1 ( | ) ( | , ) ( ) k k k i x i k i k k k k i f x f x x e α α β α β β α − − − = = Γ θ dengan [ , ] T k k k α β = θ , 0 k α > , 0 k β > , dan  ( | ) ( , ) i k k k f x Gam α β ∼ θ .  Sementara pada estimasi parameter model finite mixture lognormal, ( | ) i k f x θ merupakan distribusi lognormal, 2 ( | ) ( , ) i k k k f x Logn µ σ θ  , 2 2 ln 1 1 ( | ) ( | , ) exp 2 2 i k i k i k k k i k x f x f x x µ µ σ σ σ π     −   = =
−         θ dengan 2 [ , ] T k k k µ σ = θ , 0 k µ > , dan 0 k σ > .  Sedangkan estimasi parameter model finite mixture Weibull,  ( | ) i k f x θ berdistribusi Weibull,  ( | ) ( , ) i k k k f x Wei δ λ ∼ θ , ( ) 1 ( | ) ( | , ) exp / k k k i i k i k k i k k k x f x f x x δ δ δ δ λ λ λ λ −   = = −     θ
dengan [ , ] T k k k δ λ = θ , 0 k δ ≥ , dan 0 k λ ≥ .

## 2.3. Uji Identifikasi Distribusi Data
Uji Anderson Darling digunakan untuk mengidentifikasi distribusi probabilitas dari suatu data. Penerapan uji Anderson Darling diperlukan terutama  saat ekor dari distribusi data  menjadi bagian yang penting (Ang dan Tang, 2007).  Oleh karenanya, uji ini lebih sesuai diterapkan untuk distribusi data yang mempunyai karakteristik heavy-tailed . Langkah-langkah pengujian dilakukan sebagai berikut:
1. Menentukan pernyataan uji hipotesis.
H 0 : data terdistribusi probabilitas unimodal tertentu H 1 : data tidak terdistribusi probabilitas unimodal tertentu
2. Menentukan tingkat signifikansi α .
3. Menghitung statistik uji Anderson Darling
[ ] ( ) ( ) 1 1 1 2 1 ln ( ln 1 ( ) ) n i n i i AD n i F x F x n + − = = − − − + −     ∑ dengan ( ) i F x merupakan fungsi distribusi kumulatif  untuk i x Dihitung nilai kritis c α pada tingkat signifikansi α
2 1 c b d a n n α α α α   = − −    
dengan , , a b d α α α ditunjukan dalam tabel nilai kritis Anderson-Darling.
4. Menentukan daerah kritis
𝐻 0 ditolak pada tingkat signifikansi α , apabila * A c α > atau p-value < α .
5. Menentukan kesimpulan
2.4. Uji Signifikansi Model Finite Mixture
Uji signifikansi untuk model finite mixture digunakan untuk mengetahui model finite mixture yang sesuai untuk memodelkan data. Uji disusun berbasis bootstrap likelihood ratio statistics (Feng dan McCulloch, 1996). Pernyataan hipotesis dalam proses
pengujian  menggunakan  banyaknya komponen mixture K yang  sesuai untuk  model. Langkah-langkah  uji hipotesis diberikan sebagai berikut (Yu, 2018) 1. Menentukan pernyataan uji hipotesis
0 0 1 1 0 : : 1. H K K H K K K = = = +
Hipotesis null ( 0 H ) menyatakan  model finite mixture mempunyai 0 K komponen mixture sedangkan pada hipotesis alternatif ( 1 H ) banyaknya komponen mixture dalam model ditambahkan satu komponen dari banyaknya komponen mixture dalam hipotesis null, 1 0 1 K K = + .
2. Menentukan tingkat signifikansi α
3. Menghitung statistik uji
(i) Diberikan vektor observasi x , penduga parameter 0 ˆ ψ untuk model finite mixture dari hipotesis null dan penduga parameter  ˆ 1 ψ untuk model finite mixture dari hipotesis alternatif.  Selanjutnya dihitung fungsi log-likelihood observasi berdasar penduga parameter 0 ˆ ψ , ˆ ( ) 0 ψ  dan  berdasar penduga parameter  ˆ 1 ψ , 1 ˆ ( ) ψ  yang digunakan untuk membentuk likelihood ratio statistic ( 0 lrs ) berikut
0 1 ˆ ˆ 2( ( ) ( )) lrs = − − 0 ψ ψ   (ii) Dengan menggunakan penduga parameter 0 ˆ ψ untuk model finite mixture dari hipotesis null, dibangkitkan data sampel observasi baru * x berdasar model finite mixture tersebut. Selanjutnya * x digunakan untuk membentuk likelihood ratio statistic ( lrs ), 1 lrs , * * 1 1 ˆ ˆ 2( ( ; ) ( ; )) lrs = − − 0 ψ x ψ x  
(iii) Dilakukan proses bootstrap sebanyak B kali untuk membentuk vektor (1)
( ) 1 1 ,  ..., B lrs lrs yang diperlukan untuk proses penghitungan p-value secara empirik,
( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 B b empirik b p value I lrs lrs B = − = > ∑ dengan I fungsi indikator.
4. Menentukan daerah kritis
0 H ditolak pada tingkat signifikansi α , apabila ( ) empirik p value α − < .
5. Menentukan kesimpulan.

## 2.5. Pemilihan Model
Pemilihan model finite mixture berkaitan dengan penentuan  banyaknya  komponen mixture yang sesuai untuk mewakili pola pengelompokkan dalam distribusi data. Metode berbasis kriteria informasi, Akaike Information Criterion (AIC) dan Bayesian Information Criterion (BIC)  merupakan dua ukuran yang sering digunakan untuk menentukan banyaknya komponen mixture dalam model (Celeux et al. , 2018).
Proses seleksi model finite mixture berdasar AIC, model dipilih sedemikian sehingga meminimumkan nilai
Irwan Susanto (Pengelompokan Rumah Tangga di Indonesia)
ˆ = 2 ln ( ) 2
AIC L p − + ψ (10)
dengan ˆ ( ) L ψ merupakan fungsi likelihood dari penduga maksimum likelihood  ˆ ψ pada persamaan (3) dan p banyaknya parameter dalam model finite mixture . Sedangkan berdasar ukuran BIC yang didefinisikan sebagai
ˆ 2 ln ( ) ln( )
BIC L p n = − + ψ (11)
dengan n banyaknya data observasi, model finite mixture yang dipilih model yang mempunyai nilai BIC terkecil.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data
Data pendapatan rumah tangga per kapita diolah berdasar data survei dari The Fifth Wave of the Indonesia  Family Life Survey (IFLS5) 2014 - 2015 yang meneliti tentang kehidupan rumah tangga di Indonesia  (Strauss et al. , 2016). Berdasar data IFLS5,  diteliti sumber-sumber pendapatan yang menentukan pendapatan dari setiap anggota rumah tangga dalam tiap rumah tangga. Selanjutnya dengan membagi besarnya total  pendapatan pada setiap rumah tangga dengan banyaknya anggota rumah tangga  yang menjadi tanggungan, dapat dihitung pendapatan rumah tangga  per kapita  per tahun.  Penelitian ini menggunakan jumlah sampel 10.680 rumah tangga.

## 3.2. Pemodelan Finite Mixture
Pemodelan finite mixture yang dilakukan  dalam penelitian ini meliputi  tahapan - tahapan berikut:
1. Identifikasi distribusi pendapatan rumah tangga per kapita dengan memperhatikan pola bentuk distribusi dan melalui uji Anderson Darling.
2. Estimasi parameter model finite mixture dengan metode estimasi maksimum likelihood melalui algoritma Expectation-Maximization .
3. Uji signifikansi model finite mixture dengan bootstrap likelihood ratio statistics test .
4. Seleksi  banyaknya komponen mixture dalam  model finite  mixture berdasarkan  ukuran AIC dan BIC.
Komputasi dari proses estimasi memanfaatkan perangkat lunak R (R Core Team, 2018).

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Identifikasi Distribusi Pendapatan
Diberikan observasi i x sebagai pendapatan rumah tangga per kapita per tahun, selanjutnya distribusi pendapatan diteliti pola distribusinya untuk identifikasi adanya pola multimodal .  Adanya multimodal dalam distribusi pendapatan  memberikan arti terjadinya pengelompokkan data yang konvergen secara lokal  dan hal ini dapat dianalisis melalui pendekatan pemodelan finite mixture (Pittau et al. , 2016). Terdapat keterkaitan antara suatu distribusi pendapatan yang mempunyai karaketristik multimodal dengan banyaknya komponen dalam distribusi finite mixture .  Penentuan  banyaknya  kelompok pendapatan dapat ditentukan  dengan mengidentifikasi banyaknya komponen mixture dalam model finite mixture (Vollmer et al. , 2013). Identifikasi pola distribusi pendapatan rumah tangga per kapita per tahun dilakukan  melalui  plot kernel histogram yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 Plot Kernel Histogram Distribusi Pendapatan Rumah Tangga Per Kapita Per Tahun Di Indonesia
Grafik distribusi pendapatan rumah tangga per kapita pada Gambar 1 menunjukkan adanya beberapa puncak dari distribusi atau bersifat multimodal dan disamping itu bersifat heavy-tailed . Mengingat karakteristik data pendapatan rumah tangga yang  bernilai positif dan cenderung heavy-tailed , maka distribusi  yang sesuai adalah distribusi Lognormal, Gamma,  ataupun Weibull. Kemudian  berdasarkan  uji Anderson Darling  yang dipaparkan pada Tabel 1, terlihat bahwa data tidak mengikuti distribusi unimodal lognormal, gamma dan  Weibull.  Hasil uji ini menjadi salah satu indikasi bahwa data terdistribusi finite mixture .
Tabel 1 Uji Hipotesis Anderson Darling Distribusi Probabilitas pada H 0 AD p-value Keputusan * Gamma Lognormal Weibull 222,963 16,380 213,396 0,005 0,005 0,010 H 0 ditolak H 0 ditolak
H 0 ditolak
Catatan: *pada tingkat signifikansi 0,05 α =
Pada tahapan berikutnya  dilakukan  uji signifikansi berbasis bootstrap likelihood ratio statistics untuk menguji lebih lanjut penerapan model finite mixture untuk distribusi data tersebut.

## 4.2. Uji Signifikansi Model
Hipotesis null pada uji signifikansi berbasis bootstrap likelihood ratio statistics menyatakan bahwa data tidak mengikuti model finite mixture ,  dalam hal ini berarti data mengikuti distribusi probabilitas unimodal . Sedangkan hipotesis alternatif menyatakan bahwa data mengikuti model finite mixture , dimana dalam hal ini banyaknya komponen mixture terkecil yaitu dua komponen mixture . Sehingga dalam hipotesis null nilai 1 K = , sedangkan hipotesis alternatif nilai 2 K = yang berarti model finite mixture dengan dua komponen. Pernyataan uji hipotesis diberikan sebagai berikut
0 1 : 1 : 2
H K
H K = =
Irwan Susanto (Pengelompokan Rumah Tangga di Indonesia)
Proses pengujian diberlakukan untuk setiap model finite mixture gamma, lognormal dan Weibull. Hasil komputasi uji signifikansi model dipaparkan dalam Tabel 2. Pada tabel tersebut nilai p-value < α yang berarti data lebih sesuai dimodelkan dengan model finite mixture dengan  komponen mixture yang berdistribusi  Gamma, Lognormal,  ataupun Weibull.
Tabel 2 Uji Hipotesis Signifikansi Model Finite Mixture Distribusi Komponen Mixture p-value Keputusan * Kesimpulan Gamma Lognormal Weibull 0,00 0,00 0,00 H 0 ditolak H 0 ditolak H 0 ditolak mixture mixture mixture Catatan: *pada tingkat signifikansi 0,05

## α =
Selanjutnya dilakukan proses seleksi model melalui ukuran AIC dan BIC untuk mengetahui distribusi probabilitas yang sesuai untuk data pada tiap komponen mixture dan banyaknya komponen mixture yang sesuai untuk model.

## 4.3. Seleksi Model
Hasil perhitungan AIC dan BIC berdasar persamaan (10)  dan  (11)  untuk setiap distribusi  probabilitas  dan banyaknya komponen disajikan dalam Tabel 2. Banyaknya komponen  yang dihitung maksimal  hingga  sebanyak 6 komponen mixture .  Hal ini disebabkan karena pada banyaknya komponen sebanyak 7 dan komponen yang lebih besar dari 7, perhitungan ukuran AIC dan BIC tidak konvergen, sehingga tidak memberikan hasil perhitungan.
Tabel 3 Nilai AIC dan BIC dari Estimasi Model Finite Mixture Distribusi Banyak Komponen AIC BIC Gamma 2 3 4 5 6 368024 367553 367520 367288 367464 368061 367611 367600 367389 367588 Lognormal 2 3 4 5 6 367321 367314 367185 * 367188 367304 367358 367372 367265 * 367290 367427 Weibull 2 3 4 5 6 368395 367867 367555 367438 367310 368432 367925 367635 367540 367434
Berdasarkan Tabel 3, nilai AIC dan BIC terendah terjadi untuk model finite mixture lognormal dengan empat komponen, dimana AIC = 367185 dan BIC = 367265. Sehingga dapat disimpulkan bahwa  estimasi  model finite mixture yang sesuai untuk distribusi pendapatan  rumah tangga per kapita di Indonesia adalah model finite mixture lognormal dengan empat komponen. Hasil komputasi estimasi model finite mixture diberikan oleh
𝑔 ( 𝑥 𝑖 | Ψ ) = 𝑤� 1 𝐿𝑜𝑔𝑛�𝜇̂ 1 , 𝜎� 1 2 � + 𝑤� 2 𝐿𝑜𝑔𝑛�𝜇̂ 2 , 𝜎� 2 2 � + 𝑤� 3 𝐿𝑜𝑔𝑛�𝜇̂ 3 , 𝜎� 3 2 � + 𝑤� 4 𝐿𝑜𝑔𝑛�𝜇̂ 4 , 𝜎� 4 2 � (12)
dengan parameter bobot 1 0,1020 ˆ w = , 2 0, 4694 ˆ w = , 3 0, 4280 ˆ w = dan 4 0, 0001 ˆ w = .
Sedangkan  parameter-parameter  dari distribusi lognormal  pada  komponen pertama
1 2015487
ˆ µ = dan 1 ˆ 683854 σ = ,  pada  komponen kedua 2 6676115 ˆ µ = dan 2 4561228 ˆ σ = , pada  komponen ketiga 3 20947417 ˆ µ = dan 3 22505321 ˆ σ = , dan pada komponen keempat
4 508009924
ˆ µ = dan 4 8001307 ˆ σ = .
Model  (12)  memberikan arti terdapat empat kelompok pendapatan yang masing- masing berdistribusi lognormal dengan parameter bobot 0,1020 untuk kelompok pertama, 0,4694 untuk kelompok kedua, 0,4280 untuk kelompok ketiga dan 0,0001 untuk kelompok keempat. Parameter bobot pada model tersebut dapat  diinterpretasikan  sebagai  besarnya prosentase kelompok pendapatan tersebut dalam populasi.
Dengan memperhatikan parameter untuk distribusi lognormal pada masing-masing komponen mixture , maka dapat diketahui  deskripsi dari masing-masing kelompok pendapatan. Kelompok pertama dengan prosentase 10,2 %  dari populasi atau 1.088 rumah tangga mempunyai rata-rata pendapatan rumah tangga per kapita sebesar Rp. 2.015.487 per tahun.  Kelompok kedua dengan prosentase 46,94 % dari populasi mempunyai  rata-rata pendapatan rumah tangga per kapita Rp. 6.676.115 per tahun. Terdapat 5.012 rumah pada kelompok kedua.  Kelompok ketiga  mempunyai rata-rata pendapatan rumah tangga  per kapita Rp. 20.947.417 per tahun. Sebanyak 4.570 rumah tangga atau 42,8 % dari populasi yang termasuk dalam kelompok ketiga.  Sedangkan kelompok keempat  hanya terdapat 10 rumah tangga atau 0,01 % dari populasi yang  mempunyai  rata-rata  pendapatan  rumah tangga per kapita sebesar Rp. 508.009.924 per tahun.
Hasil penelitian  yang menunjukan kesesuaian model finite mixture lognormal  ini selaras  dengan  hasil  penelitian  sebelumnya yang telah  dilakukan  oleh  Griffiths dan Hajargasht (2012). Meskipun demikian terdapat perbedaan pada jumlah komponen mixture dari model,  Griffiths dan Hajargasht menemukan tiga komponen mixture sementara pada penelitian ini menggunakan  empat  komponen mixture .  Hal ini dapat terjadi mengingat Griffiths dan Hajargasht memanfaatkan  data pengeluaran rumah tangga  berdasar tahun 2008 sebagai proxy untuk data pendapatan rumah tangga, sehingga dimungkinkan kondisi ekonomi rumah tangga saat ini telah mengalami perubahan. Apabila dibandingkan dengan hasil  penelitian  sebelumnya oleh  Susanto et al. ,  (2018)  dan  Susanto et al. ,  (2019), maka terdapat perbedaan pada distribusi yang digunakan sebagai komponen mixture . Pada kedua penelitian tersebut ditemukan  bahwa model finite mixture gamma sesuai untuk memodelkan distribusi pendapatan rumah tangga. Namun demikian  dalam penelitian tersebut  data pendapatan rumah tangga tidak mempertimbangkan banyaknya anggota rumah tangga, sehingga hal tesebut dapat menyebabkan pengambilan kesimpulan yang tidak tepat berkaitan dengan kondisi ekonomi suatu rumah tangga.

## 5. KESIMPULAN
Distribusi pendapatan rumah tangga per kapita di Indonesia mempunyai pola distribusi multimodal dan heavy-tailed . Hasil penelitian menunjukan bahwa  model finite mixture lebih tepat untuk merepresentasikan distribusi pendapatan tersebut, sementara distribusi probabilitas yang berkarakteristik unimodal tidak sesuai  untuk digunakan. Estimasi  model  melalui metode EM memperlihatkan bahwa model finite mixture dengan komponen mixture yang  berdistribusi lognormal, gamma atau  Weibull  sesuai untuk diimplementasikan. Berdasarkan proses seleksi model dengan ukuran AIC dan BIC dapat
Irwan Susanto (Pengelompokan Rumah Tangga di Indonesia)
disimpulkan bahwa model finite mixture lognormal dengan empat komponen mixture merupakan model yang terbaik. Empat komponen mixture dalam model finite mixture lognormal  tersebut mendeskripsikan sebagai  empat kelompok pendapatan. Kelompok pertama dengan rata-rata pendapatan rumah tangga per kapita sebesar Rp. 2.015.487 per tahun.  Kelompok  kedua mempunyai rata-rata pendapatan rumah tangga per kapita Rp. 6.676.115 per tahun. Kelompok ketiga dengan rata-rata pendapatan rumah tangga per kapita Rp. 20.947.417 per tahun dan kelompok keempat rata-rata pendapatan rumah tangga per kapita sebesar Rp. 508.009.924 per tahun.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Artikel ini merupakan bagian dari program kegiatan Penelitian Mandiri Aktif UNS tahun 2019. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian  Kepada  Masyarakat  (LPPM) Universitas Sebelas Maret atas dukungannya terhadap keberlangsungan program kegiatan penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Ang, A. H. - S. dan Tang, W. H. 2007. Probability ConceptsiIn Engineering : Emphasis on Applications in Civil & Environmental Engineering . Wiley.
Celeux, G., Fruewirth-Schnatter, S., dan Robert, C. P. 2018. Model Selection for Mixture Models - Perspectives and Strategies, Handbook of Mixture Analysis . CRC  Press, <hal-01961077>.
Chotikapanich, D. dan Griffiths, W.  E. 2008. Estimating Income Distributions Using a Mixture of Gamma Densities, Modeling Income Distributions and Lorenz Curves . New York, NY: Springer New York, hal 285 - 302.
Cowell, F.  A. dan Flachaire, E. 2015. Statistical Methods for Distributional Analysis, Handbook of Income Distribution . Elsevier, hal 359 - 465.
Dempster, A.  P., Laird, N.  M.,  dan Rubin, D.  B. 1977. Maximum Likelihood from Incomplete Data Via the EM Algorithm. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological) , Vol. 39, No. 1, hal 1 - 22.
Feng, Z.  D. dan McCulloch, C.  E. 1996. Using Bootstrap Likelihood Ratios in Finite Mixture Models. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological) , Vol. 58, No. 3, hal 609 - 617.
Frühwirth-Schnatter, S. 2006. Finite Mixture and Markov Switching Models . New York: Springer.
Griffiths, W.  E. dan Hajargasht, G. 2012. GMM Estimation of Mixtures from Grouped Data :  An  Application  to  Income  Distributions .  Vol.  1148.  Department of Economics Working Papers.
Paap, R. dan van Dijk, H.  K. 1998. Distribution and Mobility  of Wealth of Nations. European Economic Review . Vol. 42, No. 7, hal 1269 - 1293.
Pittau, M.  G., Zelli, R. dan Massari, R. 2016. Evidence of Convergence Clubs Using Mixture Models. Econometric Reviews , Vol. 35, No. 7, hal 1317 - 1342.
R Core Team 2018. R: A Language and Environment for Statistical Computing . Vienna,
Austria: R Foundation for Statistical Computing.
Strauss, J., Witoelar, F. dan Sikoki, B. 2016. The Fifth Wave of the Indonesia Family Life Survey: Overview and Field Report: Volume 1 . RAND Corporation.
Susanto, I., Iriawan, N., Kuswanto, H.,  dan Suhartono 2019. Bayesian  Inference for the Finite Gamma Mixture  Model of Income Distribution. Journal of Physics: Conference Series , Vol. 1217, hal 012077.
Susanto, I., Iriawan, N., Kuswanto, H., Suhartono, Fithriasari, K., Ulama, B.  S.  S., Suryaningtyas, W.,  dan Pravitasari, A.  A. 2018. On The Markov Chain Monte Carlo Convergence Diagnostic of Bayesian Finite Mixture Model for Income Distribution. Journal of Physics: Conference Series , Vol. 1090, hal 012014.
Vollmer, S., Holzmann, H.,  dan Schwaiger, F. 2013. Peaks vs Components. Review of Development Economics , Vol. 17, No. 2, hal 352 - 364.
Yu, Y. 2018. mixR: Finite Mixture Modeling for Raw and Binned Data [Daring]. R Package Version 0.1.1. Available from: https://cran.r-project.org/package=mixR.