http://ejournal.uki.ac.id/index.php/edumatsains

## KEAKURASIAN METODE SHOOTING UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH KONDISI BATAS PADA PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
Ummu Habibah * , Nielda Alifah Mulyanti
Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Brawijaya
Diterima: 19 November 2022 Direvisi: 17 Januari 2023 Diterbitkan: 31 Januari 2023

## ABSTRACT
Pada penelitian ini dibahas keakurasian metode shooting /tembakan untuk menyelesaikan masalah kondisi batas Dirichlet pada persamaan Sturm-Liouville yang berbentuk persamaan diferensial orde dua, dengan kondisi batas Dirichlet. Persamaan Sturm-Liouville diselesaikan  numerik menggunakan  metode shooting .  Simulasi  numerik dilakukan  dengan  beberapa  nilai 𝒉 (ukuran  langkah).  Keakurasian  metode shooting diperoleh  dengan  cara dibandingkan solusi numeriknya terhadap solusi eksak, serta dibandingkan dengan solusi numerik menggunakan metode  beda  hingga.  Hasil  simulasi  menunjukkan  bahwa  metode  tembakan  ( shooting )  menghasilkan  solusi numerik  yang  lebih  baik  untuk  mengaproksimasi  masalah  kondisi  batas  pada  persamaan Sturm-Liouville dibandingkan metode beda hingga karena menghasilkan kesalahan numerik yang lebih kecil.
Keywords : Masalah kondisi batas, Metode shooting /tembakan, Metode beda hingga, Syarat batas Dirichlet.

## PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah persamaan  yang  memuat  hubungan  antara turunan  dari  satu  variabel  atau  beberapa fungsi  tak  diketahui  yang  disebut  sebagai variabel  tak  bebas  terhadap  satu  atau  lebih variabel  bebas  (Suryanto,  2017).  Salah  satu persamaan  diferensial  yang  biasa  digunakan untuk  memodelkan  beberapa  proses  di  alam adalah  persamaan Sturm-Liouville .  Untuk mengetahui  beberapa  proses  alamiah,  perlu menyelesaikan  persamaan Sturm-Liouville dengan  kondisi  batas  tertentu  (Kreyszig, 2011). Masalah kondisi batas pada persamaan diferensial adakalanya sulit untuk diselesaikan secara analitik. Metode numerik adalah cara lain untuk mendapatkan penyelesaian hampiran dari suatu persamaan
diferensial.  Ada  berbagai  macam  metode numerik  yang  dapat  digunakan  untuk menyelesaian permalahan tersebut berdasarkan  jenis  permasalahannya.  Untuk masalah  nilai  awal,  metode  Euler,  metode Runge-Kutta  ataupun  metode  prediktor korektor dapat digunakan untuk mendapatkan solusi numerik dari persamaan diferensial, sedangkan untuk masalah kondisi batas, metode beda hingga, metode tembakan ( shooting )  ataupun  metode  kolokasi  dapat digunakan. Metode beda hingga lebih banyak dipakai dalam  menyelesaikan  masalah kondisi  batas.  Persamaan Sturm-Liouville diselesaikan  secara  numerik  menggunakan metode  beda  hingga  (Mukhatarov,  2019). Masalah  pertubasi  singular  pada  persamaan diferensial orde dua diselesaikan
menggunakan  beda  hingga  (Amodio  &
Settanni,  2012).  Permasalahan  kondisi  batas diselesaikan  secara  numerik  menggunakan metode beda hingga dan diselesaikan secara eksak  menggunakan  metode  transformasi Laplace  (Opanuga,  Owoloko,  Okagbue,  & Agboola,  2017).  Permasalahan  pertubasi singular pada persamaan diferensial orde dua diselesaikan menggunakan metode Septic B- spline (Lodhi & Mishra, 2018). Metode beda hingga juga digunakan untuk untuk menyelesaikan masalah kondisi batas nonlinear  dimana  skema  beda  hingganya diaplikasikan untuk metode shooting (Filipov,
Gospodinov,  &  Faragó,  2019).  Masalah kondisi  batas  Robin  pada  persamaan diferensial
Cauchy-Euler diselesaikan
menggunakan  metode  beda  hingga  dan
shooting (Habibah,  Tuloli,  Rimanada,  &
Ferreira, 2020)
Pada penelitian ini persamaan diferensial Sturm-Liouville akan diselesaikan secara numerik dengan memberikan masalah syarat  batas  (BVP)  Dirichlet  menggunakan metode  tembakan  ( shooting ).  Penelitian  ini merupakan  pengembangan  dari  artikel Mukhtarov  (2019)  yang  membahas  tentang solusi  numerik  dari  persamaan  diferensial
Sturm-Liouville menggunakan  metode  beda hingga.  Solusi  numerik  yang  diperoleh menggunakan metode shooting akan dibandingkan dengan solusi numerik dengan metode  beda  hingga.  Keakurasian  solusi
numerik metode shooting akan dibandingkan dengan solusi eksaknya.

## PERMASALAHAN
Masalah
kondisi batas yang diselesaikan  adalah  persamaan  diferensial orde-2 yang diambil dari artikel (Mukhatarov, 2019).  Artikel  tersebut  membahas  tentang solusi  numerik  dari  persamaan  diferensial Sturm-Liouville menggunakan  metode  beda hingga sebagai berikut
𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦𝑒 −2𝑥 = 0 , (1)
dengan  kondisi  batas 𝑦(−1) = 0 dan 𝑦(1) = 1. Solusi  eksak  persamaan  di  atas adalah
𝑦(𝑥) = − csc( 1 𝑒 − 𝑒) sin(𝑒 − 𝑒 −𝑥 ) . (2)

## METODE BEDA HINGGA DAN METODE SHOOTING/TEMBAKAN

## Metode beda hingga
Perhatikan  bentuk  umum  persamaan diferensial biasa orde dua berikut
𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
Beberapa  kondisi  batas  dalam  persamaan diferensial biasa orde dua adalah:
(i) Kondisi batas Dirichlet,
𝑦(𝑎) = 𝑦 𝑎 , 𝑦(𝑏) = 𝑦 𝑏 .
(ii) Kondisi batas Neumann
𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦′ 𝑎 , 𝑦′(𝑏) = 𝑦′ 𝑏 .
(iii) Kondisi batas campuran / Robin,
𝛼𝑦(𝑎) + 𝛽 = 𝑐 .
Untuk  menyelesaikan  masalah  kondisi batas, mula-mula kita membagi interval 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 menjadi subinterval-subinterval seperti tampak pada gambar berikut.
𝑥 𝑗 = 𝑥 0 + 𝑗ℎ , 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑛 dengan ℎ =
𝑥 𝑗+1 − 𝑥 𝑗 , 𝑛 adalah  banyaknya  subinterval ditentukan dengan rumus 𝑛 = 𝑏−𝑎 ℎ , dengan 𝑎
adalah  batas  bawah, 𝑏 ada  batas  atas, 𝑁 adalah  jumlah  subinterval,  dan ℎ adalah ukuran langkah.
Pendekatan turunan pertama dan kedua.
(i) Beda maju
𝑦′ 𝑗 = 𝑦 𝑗+1 −𝑦 𝑗 ℎ , 𝑦′′ 𝑗 = 𝑦 𝑗+2 −2𝑦 𝑗+1 +𝑦 𝑗 ℎ 2 . (ii) Beda mundur
𝑦′ 𝑗 = 𝑦 𝑗 −𝑦 𝑗−1 ℎ , 𝑦′′ 𝑗 = 𝑦 𝑗 −2𝑦 𝑗−1 +𝑦 𝑗−2 ℎ 2 .
(iii) Beda pusat
𝑦′ 𝑗 = 𝑦 𝑗+1 −𝑦 𝑗−1 2ℎ , 𝑦′′ 𝑗 = 𝑦 𝑗+1 −2𝑦 𝑗 +𝑦 𝑗−1 ℎ 2 .

## Metode Shooting
Bentuk  umum  masalah  kondisi  batas persamaan diferensial biasa orde dua adalah
𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
dengan  kondisi  batas  Dirichlet 𝑦(𝑎) = 𝑦 𝑎 dan 𝑦(𝑏) = 𝑦 𝑏 .
Penyelesaian  masalah  kondisi  batas tersebut  menggunakan  metode shooting , terlebih dahulu masalah kondisi batas diubah menjadi  masalah  nilai  awal.  Untuk  itu dimisalkan
𝑦 1 = 𝑦, 𝑦 2 = 𝑦′ 1 = 𝑦′ ,
sehingga
𝑦" = (𝑦′)′ = 𝑦′ 2 ,
dan diperoleh sistem persamaan diferensial
𝑦′ 1 = 𝑦 2 , 𝑦 ′ 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦 1 , 𝑦 2 ) .
Syarat  awal  bagi  persamaan 𝑦′ 1 = 𝑦 2 diperoleh  dari  kondisi  batas,  yaitu 𝑦(𝑎) = 𝑦 1 (𝑎) = 𝑦 𝑎 ,  sedangkan  syarat  awal  bagi persamaan  kedua,  yaitu 𝑦 ′ 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦 1 , 𝑦 2 ) tidak  diketahui  dari  masalah  kondisi  batas, sehingga kita harus menebak syarat awal bagi 𝑦 ′ 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦 1 , 𝑦 2 ) , misalkan 𝑦 1 (𝑎) = 𝑠
Jadi  diperoleh  sistem  persamaan  diferensial orde satu, yaitu:
𝑦′ 1 = 𝑦 2 , dengan 𝑦 1 (𝑎) = 𝑦 𝑎 , 𝑦′ 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦 1 , 𝑦 2 ) , dengan 𝑦 2 (𝑎) = 𝑠 .
Kemudian  masalah  nilai  awal  tersebut diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode  yang  dipelajari,  diantaranya  adalah metode  Euler,  metode  Runge-Kutta,  dan metode Adam Basforth Moulton (Mathews & Fink, 1999).
Dengan  menebak  syarat  awal 𝑦′ 2 = 𝑓(𝑡, 𝑦 1 , 𝑦 2 ) dengan 𝑦 2 (𝑎) = 𝑠 ,  solusi numerik  yang  dihasilkan  belum  tentu  tepat pada titik batas akhir, yaitu 𝑡 = 𝑏 . Oleh karena itu,  pada  metode shooting ini  tujuan  kita
adalah menentukan 𝑠 yang tepat sedemikian sehingga solusi numerik pada titik 𝑡 = 𝑏 , yaitu 𝑦 2 (𝑏; 𝑠) harus sama dengan masalah kondisi batas  di  titik 𝑡 = 𝑏 ,  yaitu 𝑦(𝑏) = 𝑦 𝑏 .
Kemudian, nilai 𝑠 dicari sehingga 𝑦 1 (𝑏; 𝑠) =
𝑦 𝑏 , atau dapat ditulis 𝑦 1 (𝑏; 𝑠) − 𝑦 𝑏 = 0 .
Jika  dimisalkan 𝑔(𝑠) = 𝑦 1 (𝑏; 𝑠) − 𝑦 𝑏 ,
maka diperoleh 𝑔(𝑠) = 0 . Dengan kata lain,
nilai 𝑠 dicari sedemikian sehingga 𝑔(𝑠) = 0.
Pencarian  akar  persamaan  nonlinear  dapat dihitung  secara  numerik  menggunakan metode bagi dua, metode posisi palsu, metode Newton  Raphson,  metode  Secant,  dan metode iterasi titik tetap. Dengan menggunakan  salah  satu  metode-metode pencarian  akar  tersebut,  diperoleh s yang tepat, sehingga diperoleh pula solusi numerik yang sesuai dengan masalah kondisi batasnya.

## SKEMA NUMERIK PERSAMAAN

## DIFERENSIAL STURM LIOUVILLE
Pada artikel  ini, metode numerik  yang akan  diimplementasikan  pada  permasalahan kondisi  batas  Persamaan  (1)  adalah  metode beda hingga dan shooting /tembakan. Berikut adalah skema numerik metode yang diimplementasikan pada Persamaan (1).

## Implementasi Metode Beda Hingga
Persamaan (1) dapat kita ubah menjadi
𝑦" + 𝑦′ + 𝑦𝑒 −2𝑥 𝑖 = 0 , (3)
dengan  kondisi  batas 𝑦(−1) = 0 dan 𝑦(1) = 1 , 𝑖 =0,  1,  2, ⋯ , 𝑁 .  Dengan
menggunakan  pendekatan  beda  pusat  untuk turunan  pertama  maupun  turunan  kedua, diperoleh
( 𝑦 𝑖−1 −2𝑦 𝑖 +𝑦 𝑖+1 ℎ 2 ) + ( 𝑦 𝑖+1 −𝑦 𝑖−1 2ℎ ) + 𝑦 𝑖 𝑒 −2𝑥 𝑖 = 0, (4)
kemudian  persamaan  (4)  disederhanakan dengan dikalikan dengan 2ℎ 2
2(𝑦 𝑖−1 − 2𝑦 𝑖 + 𝑦 𝑖+1 ) + ℎ(𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖−1 ) + 2ℎ 2 𝑦 𝑖 𝑒 −2𝑥 𝑖 = 0, (5)
dengan mengumpulkan suku yang bersesuaian, diperoleh
(2 − ℎ)𝑦 𝑖−1 + (−4 + 2ℎ 2 𝑒 −2𝑥 𝑖 )𝑦 𝑖 + (2 + ℎ)𝑦 𝑖+1 = 0 . (6)
Persamaan  (6)  dapat  ditulis  menjadi  sistem persamaan  linear 𝑃𝑈 = 𝑄 ,  dengan P adalah matriks tridiagonal berukuran ( 𝑁 −1)×( 𝑁 −1)
P = [ 𝑏 1 𝑐 1 0 0 ⋯ 0 0 0 𝑎 1 𝑏 2 𝑐 2 0 ⋯ 0 0 0 0 𝑎 2 𝑏 3 𝑐 3 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑎 3 ⋱ ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 𝑏 𝑁−3 𝑐 𝑁−3 0 0 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑁−3 𝑏 𝑁−2 𝑐 𝑁−2 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑁−2 𝑏 𝑁−1 ] 𝑼 = [ 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 𝑦 4 ⋮ 𝑦 𝑁−3 𝑦 𝑁−2 𝑦 𝑁−1 ] , dan 𝑸 = [ 0 0 0 0 ⋮ 0 0 −2 − ℎ] , dengan 𝑎 𝑖 = 2 − ℎ , 𝑏 𝑖 = −4 + 2ℎ 2 𝑒 −2𝑥 𝑖 , 𝑐 𝑖 = 2 + ℎ .

## Implementasi Metode Shooting
Masalah kondisi batas pada Persamaan (1)  diselesaikan  menggunakan  metode shooting/tembakan yaitu dengan cara
menyatakan persamaaan dferensial ke dalam masalah  nilai  awal.  Persamaan  (1)  di  tulis kembali, yaitu
𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦𝑒 −2𝑥 = 0 , ( 7)
dengan  kondisi  batas 𝑦(−1) = 0 dan 𝑦(1) = 1 .
Dimisalkan 𝑢 1 = 𝑦 dan 𝑢 2 = 𝑦′ , sehingga persamaan (7) dapat ditulis sebagai sistem  persamaan  diferensial  orde  satu berikut
𝑢 1 ′ = 𝑦 ′ = 𝑢 2 , 𝑢 2 ′ = 𝑦" = −𝑢 2 − 𝑢 1 𝑒 −2𝑥 ,
syarat  batas  pada  Persamaan  (7)  berubah menjadi 𝑢 1 (−1) = 0 dan 𝑢 1 (1) = 1 .  Jika diberikan  tebakan  awal 𝑢 2 (−1) = 𝑠 maka diperoleh masalah nilai awal sebagai berikut:
𝒛 ′ = 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑢 1 𝑢 2 ) = [ 𝑢 2 −𝑢 2 − 𝑢 1 𝑒 −2𝑥 ] , (8)
dengan nilai awal
𝒛(0) = [ 𝑢 1 (0) 𝑢 2 (0) ] = [ 0 𝑠 ] .
Masalah nilai awal Persamaan (8) dapat diselesaikan  dengan  menggunakan  metode Runge-Kutta orde empat. Solusi 𝒛(𝑢 𝑖 ) untuk semua 𝑖 dapat  ditemukan  termasuk 𝑧(𝑢 𝑖 ) pada batas, yaitu 𝑢 2 (−1) = 𝑠 . Jika 𝑧(1) = 𝑠
maka masalah kondisi batas sudah terselesaikan.  Tetapi,  secara  umum  tebakan nilai 𝑠 memberikan solusi 𝑧(1) ≠ 𝑠,
sehingga  perlu  dipilih  nilai 𝑠 yang  lain,  dan
masalah nilai awal dengan tebakan baru perlu diselesaikan  kembali.  Proses  tersebut  perlu diulang-ulang hingga memeroleh 𝑧(1) = 𝑠 .

## SIMULASI NUMERIK
Bagian ini membahas mengenai analisis  hasil  penyelesaian  secara  numerik dengan  metode  beda  hingga  dan  metode shooting , dengan jumlah subinterval 𝑁 = 10 ,
𝑁 = 50 dan 𝑁 = 100 pada interval [−1,1]. Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan solusi eksak, kemudian dihitung error pada masing-masing metode.
Solusi  numerik  menggunakan  metode

## beda hingga
Solusi numerik saat 𝑵 = 𝟏𝟎 (𝒉 = 𝟎. 𝟐)
Berikut  disajikan  tabel  dan plot solusi numerik  dari  metode  beda  hingga  ketika ukuran tiap langkah ℎ = 0.2 .
Tabel 1 . Solusi numerik dengan metode beda hingga (ℎ = 0.2) 𝑖 𝑥 𝑖 𝑦 𝑛𝑢𝑚 𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 Error 2 -0.60 1.130 1.098 0.032 3 -0.40 1.353 1.324 0.030 4 -0.20 1.427 1.402 0.025 5 0.00 1.410 1.391 0.019 6 0.20 1.344 1.331 0.013 7 0.40 1.258 1.249 0.009 …
Gambar 1. Solusi numerik dengan metode beda hingga (ℎ = 0.2)
Solusi numerik saat 𝑵 = 𝟓𝟎 (𝒉 = 𝟎. 𝟎𝟒)
Berikut  disajikan  tabel  dan plot solusi numerik  dari  metode  beda  hingga  ketika
ukuran tiap langkah ℎ = 0.04 .
Tabel 2 . Solusi numerik dengan metode beda hingga (ℎ = 0.04)
𝑖 𝑥 𝑖 𝑦 𝑛𝑢𝑚 𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 Error 22  -0.12 1.407 1.406 0.001 23  -0.08 1.404 1.403 0.001 24  -0.04 1.399 1.398 0.001 25  0.00 1.392 1.391 0.001 26  0.04 1.382 1.382 0.001 27  0.08 1.372 1.371 0.001 …
Gambar 2. Solusi numerik dengan metode beda hingga (ℎ = 0.04)

## Solusi numerik saat 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 (𝟎. 𝟎𝟐)
Berikut  disajikan  tabel  dan plot solusi numerik  dari  metode  beda  hingga  ketika ukuran tiap langkah ℎ = 0.02 .
Tabel 3 . Solusi numerik dengan metode beda hingga (ℎ = 0.02) 𝑖 𝑥 𝑖 𝑦 𝑛𝑢𝑚 𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 Error 47  -0.06 1.401 1.401 0.000 48  -0.04 1.398 1.398 0.000 49  -0.02 1.395 1.395 0.000 50 0.00 1.391 1.391 0.000 51 0.02 1.387 1.386 0.001 51 0.04 1.382 1.382 0.000 …
Gambar 3. Solusi numerik dengan metode beda hingga (ℎ = 0.02)
Berdasarkan Tabel 1 – 3 dan Gambar 1- 3  terlihat  bahwa  semakian  banyak  jumlah subinterval  N  akan  menghasilkan  ukuran langkah ℎ yang  lebih  kecil  dan error yang kecil  juga.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa keakurasian metode beda hingga cukup baik.

## Solusi numerik dengan metode shooting
Solusi numerik saat 𝑵 = 𝟏𝟎 (𝒉 = 𝟎. 𝟐)
Berikut  disajikan  tabel  dan plot solusi numerik dari metode shooting ketika ukuran tiap langkah ℎ = 0.2 .
Tabel 4 . Solusi numerik dengan metode shooting (ℎ = 0.2) 𝑖 𝑥 𝑖 𝑦 𝑛𝑢𝑚 𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 Error 2   -0.6 1.098 1.098 0.000 3   -0.4 1.323 1.324 0.001 4   -0.2 1.402 1.402 0.000 5 0.0 1.391 1.391 0.000 6 0.2 1.331 1.331 0.000 7 0.4 1.249 1.249 0.000
…
Gambar 4. Solusi numerik dengan metode shooting (ℎ = 0.2)
Solusi numerik saat 𝑵 = 𝟓𝟎 (𝒉 = 𝟎. 𝟎𝟒)
Berikut  disajikan  tabel  dan plot solusi numerik dari metode shooting ketika ukuran tiap langkah ℎ = 0.04 .
Tabel 5 . Solusi numerik dengan metode
shooting (ℎ = 0.04 ) 𝑖 𝑥 𝑖 𝑦 𝑛𝑢𝑚 𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 Error 22 -0.12 1.406 1.406 0.000 23 -0.08 1.403 1.403 0.000 24 -0.04 1.398 1.398 0.000 25 0.00 1.391 1.391 0.000 26 0.04 1.382 1.382 0.000 27 0.08 1.371 1.371 0.000 …
Gambar 5 . Solusi numerik dengan metode
shooting (ℎ = 0.04) Solusi numerik saat N=100 (𝒉 = 𝟎. 𝟎𝟐)
Berikut  disajikan  tabel  dan plot solusi numerik dari metode shooting saat N =100.
Tabel 6 . Solusi numerik dengan metode shooting (ℎ = 0.04 ) 𝑖 𝑥𝑖 𝑦 _ 𝑛𝑢𝑚 𝑦 _ 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 47 -0.06 1.401 1.401 0.000 48 -0.04 1.398 1.398 0.000 49 -0.02 1.395 1.395 0.000 50 0.00 1.391 1.391 0.000 51 0.02 1.386 1.386 0.000 52 0.04 1.382 1.382 0.000 …
Gambar 6. Solusi numerik dengan metode shooting (ℎ = 0.02)
Tabel  4–6  menyajikan  5  iterasi  ( i )
terakhir  dari  solusi  numerik  dari  persamaan (1) menggunakan metode shooting dengan N yang berbeda-beda. Gambar 4–6 merupakan kurva  solusi  numerik  dari  persamaan  (1) dengan  nilai N yang  berbeda.  Dapat  dilihat bahwa  nilai N berbanding  terbalik  dengan
error ,  yaitu  semakin  banyak  iterasi  atau N yang  dipilih  maka  semakin  kecil  juga error nya  sehingga  solusi  yang  dihasilkan lebih baik.

## KESIMPULAN
Hasil simulasi numerik masalah
kondisi batas pada persamaan Sturm-Louville
diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Pertama,  jumlah  subinterval  (N)  yang diambil  berbanding  terbalik  dengan error ,
artinya semakin besar nilai N maka semakin kecil  juga error nya.  Hal  ini  menunjukkan solusi yang diperoleh semakin baik.
Kedua,  metode shooting merupakan metode  terbaik  karena  memilik error yang
lebih kecil dibandingkan metode beda hingga.
Metode shooting memiliki  keakurasian sampai  tiga  desimal  dengan  ukuran  langkah ℎ = 0.02 .

## DAFTAR PUSTAKA
Amodio, P., & Settanni, G. (2012). A finite differences  MATLAB  code  for  the numerical  solution  of  second  order singular perturbation problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 236 (16), 3869-3879.
https://doi.org/10.1016/j.cam.2012.04.0 11
Filipov, S. M., Gospodinov, I. D., & Faragó, I. (2019). Replacing the finite difference methods for nonlinear two-point boundary value problems by successive application  of  the  linear  shooting method. Journal  of  Computational  and Applied  Mathematics,  358 ,  46-60. https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.03.0 04
Habibah, U., Tuloli, M. H., Rimanada, V., &
Ferreira,  T.  G.  (2020).  Penyelesaian Numerik  Masalah  Syarat  Batas  Robin pada  Persamaan  Diferensial  Cauchy- Euler. MAJAMATH: Jurnal Matematika dan  Pendidikan  Matematika,  3 (1),  32- 40.
https://doi.org/10.36815/majamath.v3i1
.615
Kreyszig,  E.  (2011). Advanced  Engineering Mathematics . John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd.
Lodhi, R. K., & Mishra, H. K. (2018). Septic B-spline  method  for  second  order  self- adjoint  singularly  perturbed  boundary- value problems. Ain Shams Engineering
Journal, 9 (4), 2153-2161. https://doi.org/10.1016/j.asej.2016.09.0 16
Mathews,  J.  H.,  &  Fink,  K.  D.  (1999).
Numerical  methods  using  Matlab . Fullerton.
Mukhtarov,  O.,  Çavuşoğlu,  S.,  &  Olğar,  H. (2019).  Numerical  solution  of  one boundary  value  problem  using  finite difference  method. Turkish  Journal  of Mathematics and Computer Science, 11 , 85-89.
Opanuga,  A.  A.,  Owoloko,  E.  A.,  Okagbue, H.  I.,  &  Agboola,  O.  O.  (2017).  Finite Difference Method and Laplace Transform for Boundary Value
Problems.  In Proceedings of  the World
Congress  on  Engineering (Vol.  1),  pp. 65-69. Suryanto,  A.  (2017). Metode  numerik  untuk persamaan diferensial biasa dan aplikasinya dengan MATLAB . UM Press.