## PENERAPAN TEORI KENDALI PADA MASALAH  PROGRAM DINAMIK

## Pardi Affandi, Dewi A, Nur Salam
Program Studi Matematika
Universitas Lambung Mangkurat
Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru Email: pardi_affandi@yahoo.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  mengkaji  tentang  penerapan  Teori  Kendali  pada  masalah  Program  Dinamik. Program  dinamik  merupakan  rancangan  analisis  dalam  matematika  untuk  menentukan  sederet keputusan  yang  berhubungan  dengan  proses  pengambilan  keputusan  secara  bertahap  ganda  untuk mengoptimalkan  penyelesaian  masalah  secara  efektif.  Permasalahan  klasik  dalam  program  dinamik adalah  konsep  tentang  tahap,  keadaan  dan  perolehan.  Penyelesaian  permasalahan  akan  menggunakan Teori Kontrol.
Kata Kunci: Teori Kendali, Program Dinamik.

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  kehidupan  sehari-hari  banyak    permasalahan  yang  melibatkan  teori sistem,  teorikendali    dan  beberapa  aplikasinya.  Salah  satunya  adalah    masalah program  dinamik,  masalahnya  adalah  bagaimana  mengoptimalkan  proses pengambilan  keputusan  yang  multi  tahap.  Dasar  tehnik  ini  adalah  membagi  suatu persoalan    atas  beberapa  bagian  persoalan  yang  dalam  program  dinamik  disebut tahap, kemudian memecahkan tiap tahap dengan mengoptimalkan keputusan atas tiap tahap  sampai  seluruh  persoalan  dapat  terpecahkan.  Masalah  ini  dapat  dimodelkan dengan menggunakan teknik kontrol optimal matematika, pemrograman dinamis dan optimasi jaringan.
Permasalahan  klasik  dalam  program  dinamik  adalah  konsep  tentang  tahap, keadaan  dan  perolehan.  Permasalahan  ini    salah  satunya    diselesaikan  dengan menggunakan  teknik  kontrol  optimal.  Teori  kontrol  optimal,  merupakan perpanjangan  dari  kalkulus  variasi,  merupakan  metode  optimasi  matematika  untuk menurunkan kebijakan pengendalian. Metode ini  sebagian besar diilhami oleh karya Lev Pontryagin dan rekan-rekannya di  Uni Soviet  dan Richard  Bellman di  Amerika Serikat.  Salah  satu  karya  besar  Lev  Pontryagin  adalah  Pontragyn’S  maximum principle. Prinsip ini memiliki titik tekan pada syarat perlu untuk optimalitas.
Program  dinamik  merupakan  rancangan  analisis  dalam  matematika  untuk menentukan  sederet    keputusan  yang  berhubungan  dengan  proses  pengambilan keputusan secara bertahap ganda untuk mengoptimalkan penyelesaian masalah secara efektif. Dalam hal  pengambilan keputusan terdapat  beberapa teknik  yang  digunakan karena  setiap  masalah  akan  diformulasikan  dalam  sebuah  rumusan  berbeda  antara satu  masalah  dengan  masalah  yang  lainnya.  Program  dinamik  ini  banyak
menyelesaikan masalah dalam pengambilan keputusan, diantaranya alokasi dana dan juga perluasan pabrik.
2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Program Dinamik
Tehnik  program  dinamik  adalah  terutama  didasarkan  pada  prinsip  optimisasi recursive  (bersifat  pengulangan)  yang  diketahui  sebagai  prinsip  optimalisasi (prinsiple of optimality). Prinsip ini mengandung arti yaitu apabila dibuat keputusan multi stage mulai dari tahap tertentu, kebijakan optimal untuk tahap-tahap selanjutnya tergantung  pada  ketetapan  tahap  permulaan    tanpa  menghiraukan  bagaimana diperoleh suatu ketetapan tertentu tersebut.
Tujuan  utama  dari  program  dinamik  ini  adalah  untuk    mempermudah penyelesaian  persoalan  optimisasi  yang  dapat  dibagi  ke  dalam  tahap-tahap.  Hal  ini sesuai  dengan  ide  dasar  dari  program  dinamik  yaitu  membagi  suatu  persoalan menjadi persoalan yang lebih kecil sehingga mempermudah penyelesaiannya.
Hal ini dapat kita lihat pada gambar gambar  1, yaitu dengan mengambil tahap I sebagai problema satu tahap maka problema satu tahap dapat diperlihatkan sebagai berikut :
Gambar 1. Rangkaian keputusan satu tahap
Fungsi  hasil pada problema satu  tahap ini adalah R 1 = r 1 (x 1 ,z 1 ) . Keputusan optimal pada problema satu  tahap ini diperoleh dengan memeriksa semua   variabel- variabel yang keadaan input z 1 dan variabel keputusan  x 1 . Oleh karena itu keputusan optimal pada problema satu tahap ini adalah :
f 1 *(x 1 ,z 1 ) = optimal  {R 1 } x 1 atau f 1 *(x 1 ,z 1 ) = optimal  {R 1 ( x 1 ,z 1 )}
Selanjutnya  untuk  menentukan  keputusan  optimal    untuk  dua  tahap  dapat dilihat  pada gambar berikut ini:
z 1 x 1 x 1 * R 1
z 2 z 1
x 2 x 2* x 1 x 1* 2 1 R 2 R 1
Gambar 2.  Rangkaian keputusan dua tahap
Apabila  hubungan  rekursif  ini  dilanjutkan  hingga  problema  n  tahap,  maka keputusan optimal pada problema n tahap dapat ditulis sebagai berikut :
f n *(x n ,z n ) = optimal {(r 1 (x 1 ,z 1 ) + r 2 (x 2 ,z 2 ) +…+ r j { (x j ,z j ) +…+ r n (x n ,z n )} x n Dan bentuk ini biasa dituliskan dalam bentuk :
f n *(x n ,z n ) = optimal { (r n-1 (x n-1 .z n-1 ) + r n (x n ,z n ) } x n

## 2.2 Teori Kendali optimal
Pada bagian ini akan, akan dibahas masalah kendali optimal khususnya pada kasus  dengan  state  akhir  dan  waktu  akhir  diketahui.  Untuk  permasalahan  ini, penyelesaian menggunakan prinsip maksimum pontryagin.
2.1 Perumusan masalah Kendali Optimal Diberikan sebuah sistem 𝑥  𝑡  = 𝑓[𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡] ,  t ϵ (T 1 ,T 2 )
dengan  x(t)  vektor  state yang berukuran nx1  yaitu 𝑥 𝑡  = [𝑥 1 𝑡 , 𝑥 2 𝑡 , … , 𝑥 𝑛 𝑡 ]  , 𝑢 𝑡  = [𝑢 1 𝑡 , 𝑢 2 𝑡 , … , 𝑢 𝑛 𝑡 ] berukuran  mx1,  f  sebuah fungsi  bernilai  vektor    berukuran  nx1    yaitu 𝑓 = [𝑓 1 𝑡 , 𝑓 2 𝑡 , … , 𝑓 𝑛 𝑡 dan  (T 1 ,T 2 )С  R domain dari sistem awal. Pada sistem ini diasumsikan    0 < m ≤ n. Diberikan juga L suatu fungsi berharga real pada R n xR m x(T 1 ,T 2 )    berbentuk 𝐿 = [𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 , 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚 , 𝑡] dan  k  fungsi  berharga  real  R n x(T 1 ,T 2 )    berbentuk 𝐾 = [𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 , 𝑡] .  Himpunan  S  C  R n x(T 1 ,T 2 )    dengan  elemen-elemen  berupa pasangan titik (x,t) dengan x state dan t dalam domain sistem disebut target. Diasumsikan  untuk  setiap  t  dalam  domain  (T 1 ,T 2 )  dari  sistem  awal,  terdapat himpunan bagian U t dalam R m . Misalkan koleksi semua U t dilambangkan dengan Ώ
yaitu  Ώ  =  {  U t :  t ϵ (T 1 ,T 2 )    },  U t disebut  kendala  (constraint)  pada  waktu  t  dan  Ώ disebut kendala. Jika U merupakan himpunan semua u(t) untuk setiap t dalam (T 1 ,T 2 ) sehingga  :  U(t) ϵ U t :  untuk  setiap  t ϵ (T 1 ,T 2 ).  Maka  u  disebut  himpunan  semua kendali yang memenuhi kendala Ώ atau himpunan semua admissible kontrol.
Diberikan  t 0 ϵ (T 1 ,T 2 )  dan  x 0 ellemen  di  R n maka  u ϵ U(admissible  kontrol  u), misal  notasi  : 𝜑 𝑡; 𝑈 (𝑡0,𝑡] , 𝑥 0 ,  dengan 𝑈 (𝑡0,𝑡] menyatakan  kendali  pada  selang  waktu (𝑡 0, 𝑡] ,  adalah  penyelesaian  tunggal  dari  sistem  (3.1)  yang  memenuhi  syarat  awal x (𝑡 0, )= x 0 . Kendali U dikatakan membawa x 0 ke target set S  (atau (𝑥 0, 𝑡 0 ] ke S). Jika himpunan (𝜑 𝑡; 𝑈 (𝑡0,𝑡] , 𝑥 0 , 𝑡 ≥ 𝑡 0 ) beririsan dengan S. Jika t 1 waktu pertama kali x(t) = 𝜑 𝑡; 𝑈 (𝑡0,𝑡] , 𝑥 0 masuk    di  dalam  S,  maka  notasi  x 1 =  x(t 1 )  = 𝜑 𝑡; 𝑈 (𝑡0,𝑡] , 𝑥 0 menyatakan kondisi akhir sistem.
Pada  sistem  kendali  optimal,  masalah  yang  dihadapi  adalah  memaksimumkan fungsi berharga real pada R n x(T 1 ,T 2 )  xUxR n , yang didefenisikan dengan
𝐽  𝑥 0, 𝑡 0, 𝑢, 𝑥, 𝑡  = 𝐾 𝑥, 𝑡  +   𝐿(𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡) 𝑡1 𝑡0 𝑑𝑡
dengan K dan L fungsi-fungsi yang telah diperkenalkan di awal. Dengan kondisiawal x (𝑡 0, )=  x 0 dan  kondisi  akhir  awal 𝑥 1 = 𝑥(𝑡 1 ) fungsi 𝐽  𝑥 0, 𝑡 0, 𝑢, 𝑥 1 , 𝑡 1 ditulis  dengan 𝐽  𝑥 0, 𝑡 0, 𝑢 , yaitu
𝐽  𝑥 0, 𝑡 0, 𝑢  = 𝐾 𝑥 1 , 𝑡 1 +   𝐿(𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡) 𝑡1 𝑡0 𝑑𝑡 =   𝐾 𝜑 𝑡 1 ; 𝑈 (𝑡0,𝑡] , 𝑥 0 , 𝑡 1 +   𝐿(𝜑 𝑡; 𝑈 (𝑡0,𝑡] , 𝑥 0 , 𝑢 𝑡 , 𝑡) 𝑡1 𝑡0 𝑑𝑡 Maka 𝐽 𝑥 0, 𝑡 0, 𝑢 dapat  dinyatakan  sebagai  J(u)  saja.  Dari  keterangan  tersebut  di  atas, masalah kendali optimal dapat dinyatakan dalam defenisi sebagai berikut:

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Diberikan sebuah sistem dalam bentuk persamaan
dengan  x(t)  vektor  state berukuran
, u(t) vektor input   berukuran , f sebuah
fungsi bernilai vektor  berukuran . Dibrikan state awalnya adalah  X 0 dan pada waktu awalnya  adalah t 0 .  Target  set  S  berupa  titik dengan diketahui nilainya dan . Masalah  kendali optimal adalah mencari  admissible kontrol u(t) dengan  nilai  awal dan nilai akhir yang memaksimalkan fungsi tujuan
Untuk  menyelesaikan  permasalahan  kendali  optimal  tersebut  di  atas,  terlebih dahulu  ditentukan  syarat  perlu  agar  kendali  optimal  terpenuhi.  Syarat  perlu  ini diturunkan dengan menggunakan pendekatan Lagrange sebagai berikut :
1. Diberikan masalah maksimasi J(u) dengan state tertentu, misalkan state awal adalah  x( ) = X 0 dan state akhir misalkan x( ) = x 1 .
2. Didefenisikan fungsi skalar  £
dengan 3. 3.   Didefenisikan fungsi skalar dengan ]  fungsi H
disebut fungsi Hamiltonian (secara singkat disebut Hamiltonian) dari sistem.
Dari defenisi fungsi H ini maka Lagrangian dapat dituliskan ke dalam fungsi Hamiltonian,   prosesnya sebagai berikut :
.
Diketahui bahwa . dapat ditulis . Kemudian kedua sisi diintegralkan dari sampai diperoleh
=
Dari sini, dapat dituliskembali Lagrangian sebagai berikut .
Persamaan terakhir ini dapat dituliskan ke dalam fungsi Hamiltonian
3. Diasumsikan bahwa pada waktu optimal, variabel kendali dan variabel state
masing-masing adalah dan . Diberikan fungsi Dengan sebarang fungsi kontinu sepotong-sepotong pada ( ), sedangkan  fungsi disebut deviasi dari disebut variasi dari . Jika trayektori yang bersesuaian dengan kendali u(t) , maka variasi pada kontrol u(t) mengakibatkan variasi pada trayektori sehingga
dengan sebarang fungsi kontinu sepotong-sepotong pada ( ). Hal ini
berkorespondensi terhadap state akhir optimal
Berdasarkan persamaan di atas  maka  dapat dituliskan sebagai berikut
dengan
4. Pada proses sebelumnya, jika pada kenyataannya
optimal, maka deviasinya
sangat kecil sehingga tidak mempengaruhi nilai fungsi Lagrange  yaitu
.
Hasil  ini  lebih  lanjut  digunakan  untuk  menghitung  syarat  perlu  maksimum principle.  Derivatif  parsial  terhadap  ,  ketika  dievaluasi  pada  nilai  optimal  dari variabel kontrol dan variabel state, meliputi beberapa komponen. Derivatif parsial akan  sama  dengan  nol  jika  masing-masing  komponen  sama  dengan  nol,  dapat dijelaskan sebagai berikut
Persamaan ruas kiri dapat ditulis
Misalkan
dengan telah diperkenalkan di
awal. Karena
sehingga
Dan berdasarkan teorema (3.1) berikut akan diperoleh
Teorema 3.1  (Athans dkk 1966) Jika h(t) fungsi kontinu sepotong-sepotong pada dan Untuk setiap fungsi kontinu sepotong-sepotong pada maka Sehingga berdasarkan persamaan di atas  dan teorema 3.1  maka dengan menganggap , untuk yaitu fungsi kontinu sepotong-sepotong pada akan diperoleh
,
, dan
Sehingga berakibat adanya beberapa kondisi berikut kondisi 1:
kondisi 2 :
dan atau
Dari keseluruhan proses dan beberapa kondisi tersebut di atas, didapatkan syarat perlu optimalitas sebagai berikut Jika dan memaksimumkan dengan persamaan state maka  untuk fungsi Hamiltonian . Nilai optimal dan harus memenuhi beberapa kondisi berikut  .    .
Dan salah satu dari kondisi berikut harus ada yaitu
 Jika nilai akhir dari variabel state sama dengan maka .
 Jika nilai akhir dari variabel state tidak diberikan maka
 Kondisi inilah yang disebut dengan Prinsip Maksimum Pontryagin.
Masalah  minimisasi  dengan  fungsi  tujuan  berbentuk dapat  diselesaikan dengan  menggunakan  metode  prinsip  maksimum  Pontryagin  yaitu  terlebih  dahulu masalah  diubah  kedalam  bentuk  masalah  memaksimalkan dengan .  Dengan  kata  lain,  meminimalkan
sama  saja  dengan
memaksimalkan
3.1 Masalah rute perjalanan dalam Program Dinamik
Program  dinamik  merupakan  tehnik  solusi  yang  fleksibel  yang  dapat diaplikasikan  terhadap  berbagai  jenis  masalah.  Banyak  masalah  yang  dapat diselesaikan  dengan  menggunakan  program  dinamik.  Pendekatan  solusi  dengan mengubah  masalah  menjadi  sub-masalah  yang  lebih  kecil  yang  disebut  tahap  dan memecahkan  tahap-tahap  ini  secara  berurutan.  Kemungkinan  timbulnya  solusi  atas masalah yang lebih kompleks dapat dipecahkan dengan lebih mudah.
Pada dasarnya karakteristik utama masalah program dinamik adalah dapat dinyatakan sebagai suatu persoalan yang dapat dibagi menjadi beberapa tahap.

## Gambar 3. Diagram  jaringan rute perjalanan

## 3.2 Solusi Menggunakan Kendali Optimal
Dalam masalah ini akan digunakan kendali optimal dengan menggunakan konsep Euler. Diberikan masalah minimum sebuah fungsi :
dengan  x(0)  =  α  dan  x(T)  =  β,
inotasikan  dengan  fungsi  yang  bebas  dalam interval x(T),  0 ≤ t ≤ T  yang nilainya diantara (α,0)  dan (β,T) dalam wilayah x-t. Program dinamik didefinisikan untuk menentukan nilai optimal dari interval waktu t
hingga T  yaitu :   S(t,x) = , y(t) = x dan y(T) = β. Dengan kata lain jika sebuah titik dalam posisi x waktu t,  nilai minimumnya adalah intergral
. Nilai ahirnya dengan x(T) = β adalah diberikan khusus interval y( ) dan nilainya S(t,x). Ini dapat diberikan  dalam gambar berikut
Gambar 4 A 7 7 4 1 4 6 2 4 5 8 4 5 3 6 2 B C D E F G H t T x β Titik Akhir Titik awal Wakt uu A
Pada  gambar  di  atas  terdapat  beberapa  lintasan  yang  mungkin  dari  (t,x)    menuju (T,β).  Sekarang  dapat  diperoleh  S(t,x)  hingga  diperoleh  bagian  dari  x  pada  waktu  t menuju x + δx hingga menuju waktu t+δt dan kemudian x+δx hingga waktu ahir T. Hal ini  dapat dilihat dalam gambar berikut
Gambar 5 Hal ini dapat dicari dengan menggunakan
S(t,x) =
Sehingga S (t + δt, x+δx) dijadikan nilai minimum integral dari (t+δt, x+δx)  hingga (T,β). Kita dapat aproximasi nilainya dengan menggunakan.

## Hal ini digunakan dengan cara
, dengan interval
sangat kecil. Juga dapat
ditentukan nilainya dengan menggunakan deret Taylor
Sehingga akan diperoleh Nilai minimumnya  dengan merubah dengan berarti   akan diperoleh Karena akan diperoleh nilai akan diperoleh nilai dan karena nilai adalah bebas linier dengan
maka akan diperoleh
Ini adalah persamaan Bellman’s, yang ekivalen dengan persamaan Euler . Selain itu  Program Dinamik dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik dan juga masalah kalkulus variasi.
x t T β Titik Akhir Titik awal Waktu Lintasan    optimal t+δ t x+ δx
Dalam  tahap  (n,i)  terdapat  beberapa  langkah  yang  mungkin  dilakukan. Andaikan K n,i dinotasikan sebagai langkah dalam tahap (n,i), dan langkah k = 1,2,.... k n,i dimana k n,i = .
Contoh :   k 2,1 = {1,2,3} dimana Langkah 1 dinotasikan langkah dari (2,1) ke (1,1) Langkah 2 dinotasikan langkah dari (2,1) ke (1,2) Langkah 3 dinotasikan langkah dari (2,1) ke (1,3) Secara umum, tahap dapat dibuat (n-1,j) dari tahap (n,i) diperoleh dari langkah sebelumnya, sehingga dapat dikenalkan fungsi transisi t, dan dituliskan j = t(n,i,k). Sehingga dari contoh di atas dapat kita peroleh j = k.  Sehingga akan diperoleh Langkah 1 dinotasikan langkah dari (2,1) ke (1,1), Langkah 2 dinotasikan langkah dari (2,1) ke (1,2), langkah 3 dinotasikan langkah dari (2,1) ke (1,3) dan seterusnya. Kemudian juga dapat didefenisikan langkah (n,i) dengan langkah k sebagai r(n,i,k) yang disebut fungsi return. Sehingga dari contoh diperoleh (2,1) — (1,1)  =  r(2,1,1) = 4.
(2,1) — (1,2)  =  r(2,1,2) = 6. (2,1) — (1,3)  =  r(2,1,3) = 2. Niai dari v(2,1) = (2,1) — (0,1) = 2+2 = 4 v(2,2) = (2,2) — (0,1) = 4+3 = 7 v(2,3) = (2,3) — (0,1) = 5+2 = 7
Dengan menggunakan notasi yang dikenalkan di atas maka dapat ditentukan solusi dari masalah di atas. Berarti v(0,1)  = 0.  Dalam tahap 1 adalah  (1,1),(1,2),(1,3) hanya terdapat satu langkah k = 1, yaitu (1,1) — (0,1)  dan v(1,1) = 3 (1,2) — (0,1)  dan v(1,2) = 6 (1,3) — (0,1)  dan v(1,3) = 2 Dilanjutkan tahap 2 adalah  untuk (2,1). Terdapat tiga nilai k = 1,2,3 yang memberikan nilai r(2,1,1) + v(1,1) = 4 + 3 = 7. r(2,1,2) + v(1,2) = 6 + 6 = 12. r(2,1,3) + v(1,3) = 2 + 2 = 4. Pemilihan nilai di bawah nilai optimal adalah 4 untuk v(2,1). Kita dapat kan metode untuk nilai optimal untuk langkah (2,1) dengan   v(2,1) = min [r(2,1,k) + v(1,k)]. k Є K 21 = {1,2,3}.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan pada pembahasan hasil-hasil yang diperoleh pada penelitian ini, maka diperoleh  kesimpulan bahwa selain dengan konsep rekursif maju dan rekursif mundur  masalah  program  dinamik  juga  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan konsep teori kendali. Bagi para peneliti selanjutnya, disarankan agar meneliti aplikasi
opt opt opt D
Teori  Kendali  ke  bidang  operasi  riset  yang  lain.  Selain  itu  juga  dapat  mengamati sifat-sifat  dalam  model  matematika  tersebut  yaitu  sifat  keterkendalian,  keteramatan dan juga  sifat-sifat lainnya.

## 5.DAFTAR PUSTAKA
Hamdy, A. Taha, Riset Operasi , Departement of industrial Engineering university of Arkans.
Wayne L. Winston 1982, Operations Research, Indiana university. Burghes, D.N Introduction to Control Theory Including Optimal Control .John Wiley & Sons. New York.
Chi-Tsong  Chen,  1984. Linear  System  Theory  and  Design, Madison  AvenueNew York.
Edwin K.P Chong, 1996. An introduction to Optimization , John Wiley & Sons. New York.
Frank L.Lewis, Applied Optimal Control  & Estimation . The University of  Texas at Arlington. New York.
Hamdy  A.Taha.1998. Operations  Research  an  Introduction .Prentice  Hall International, Inc.Philippines.
Katsuhiko  Ogata.1995. Discrete-Time  Control  Systems ,  2  editions,  Prentice-Hall International, INC.
Murray  R.  Spiegel  Statistic  Schaum,  2  edition    Renselaer.  Polytechnic  Institut Hartford.
Olsder,    G.J.,    1994. Mathematical    System    Theory ,    1  .    Delft    University    of Technlogy. Netherlands.
Perko,  L.,  1991. Differential    Equation    and    Dynamical    System .    Springer-Verlag, New York.
Shepley  L.Ross.1984. Differential    Equation. 3  Editions,  John  Wiley  &  Sons.  New York.
S hety  S.P  and  Thompson  G.L  1985. Optimal  Control  Theory  :  Applied  to Management science and economics . 2 editions. Stephen  F.Love.1979. Inventory  Control .  McGraw-Hill  International  Book Company.Tokyo.