## SKEMA BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENGONSTRUKSI BUKTI FORMAL MATEMATIS MENGGUNAKAN
COGNITIVE MAPPING

## Syamsuri
Mahasiswa Pascasarjana Universitas Negeri Malang
syamsuri@untirta.ac.id

## ABSTRACT
In the thinking process of constructing a formal proof, the student is trying to form a complete cognitive scheme  in  mind.  This  cognitive  schema  can  be  photographed  using  Cognitive  Mapping.  Cognitive Mapping  is  a  mental  model  in  the  form  of  an  image  that  reflects  one's  understanding.  This  study  is descriptive qualitative research, conducted at the 6 students in University of Sultan Ageng  Tirtayasa who have taken courses Number Theory. They worked on the problems by think aloud, followed by interview- based problem. The results showed that students thought the scheme can be categorized and modeled in four quadrants process of thinking in constructing a formal proof.
Keywords : Thinking scheme, Formal Proof, Cognitive Mapping.

## Abstrak
Dalam  melakukan proses berpikir  mengonstruksi bukti  formal  matematis, tentunya  mahasiswa berusaha untuk  membentuk  skema  kognitif  yang  lengkap  dalam  pikirannya.  Skema  kognitif  ini  dapat  dipotret menggunakan Cognitive  Mapping.  Cognitive  Mapping merupakan  model  mental  dalam  bentuk  gambar yang  mencerminkan pemahaman  seseorang.  Penelitian ini termasuk penelitian  kualitatif deskriptif,  yang dilakukan pada 6 mahasiswa Universitas Sultan Ageng Tirtayasa yang telah mengambil mata kuliah Teori Bilangan dengan mengerjakan soal secara think aloud , kemudian dilanjutkan dengan wawancara berbasis soal  tersebut.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  skema  berpikir  mahasiswa  dapat  dikategorikan  dan dimodelkan dalam 4 kuadran proses berpikir mahasiswa dalam mengonstruksi bukti formal matematis.
Kata kunci : Skema Berpikir, Bukti Formal, Cognitive Mapping

## A. PENDAHULUAN
Bukti  dan  pembuktian  matematis merupakan  bagian  yang  penting  dalam matematika,  karena  sebagai  tiang  pada bangunan  matematika.  Oleh  karena  itu, pendidikan  matematika  khususnya  dalam pembelajaran  matematika  di  perguruan tinggi menekankan pada kemampuan pembuktian  matematika.  Mahasiswa  yang masuk pada jenjang perguruan tinggi  harus mengembangkan  pengetahuan  matematika secara  formal.  Bukti  formal  ( formal  proof ) mengacu  pada  bentuk  logika  yang  akurat seperti    yang  dijelaskan  oleh  Hilbert,  atau mengacu pada bentuk bukti yang digunakan oleh matematikawan untuk saling dikomunikasikan  dalam  kegiatan  seminar atau  artikel  ilmiah  (Tall  dkk.,  2010).
Dengan  demikian,  mahasiswa  perlu  dilatih pembuktian  matematika  sehingga  mampu memahami  struktur  bangunan  matematika formal.  Oleh  karena  itu,  mahasiswa diperkenalkan  dengan  bukti  formal  dalam belajar  matematika  murni  di  perguruan tinggi,  bertujuan  untuk  membuat  makna ( sense )  suatu  definisi  formal  sebagai  cara yang  dapat  digunakan  dalam  membangun teorema secara deduksi.
Dalam proses berpikir yang dilakukan  mahasiswa dalam  mengonstruksi bukti,  Pinto  dan  Tall  (1999)  menggunakan istilah 'alami' ( natural ) untuk
menggambarkan  proses  penggalian  makna ( extracting  meaning )  dan  istilah  'formal' untuk  proses  pemberian  makna  ( giving
meaning )  yang  bekerja  secara  formal. Selain  istilah  'alami'  dan  'formal',  Weber (2004)  menambahkan  gagasan  belajar 'prosedural'  bagi  mahasiswa  yang  hanya berusaha  untuk  mengatasi  definisi  formal dan  bukti  dengan  belajar  hafalan.  Adapun Alcock dan Weber (2004) menklasifikasikan respon mahasiswa menjadi 'semantik' ( semantic ) dan 'sintaksis' ( syntactic ),  dengan  mendasarkan  istilah secara bahasa yang pada dasarnya mengacu pada  makna  bahasa  (isi  semantik)  dan struktur  bahasa  (sintaks).  Alcock  dan
Weber menggambarkan pendekatan sintaksis  sebagai  salah  satu  strategi  dalam pembuktian  matematis  dengan  bekerja  dari pembacaan literal dari definisi yang terlibat dan  pendekatan  semantik  sebagai  strategi dalam    memanfaatkan  pemahaman  intuitif suatu  konsep.  Hal  ini  sebenarnya  sejalan dengan istilah ekstraksi ( extracting meaning )  dan  pemberian  makna  ( giving meaning )  dalam  kategori  'formal'  dan 'alami'.
Dalam  teori  pemrosesan  informasi,
proses  pembuktian  matematis  tentunya selalu melibatkan arsitektur kognitif manusia  ( human  cognitive  architecture ).
Arsitektur kognitif manusia diartikan sebagai  suatu  cara  mengorganisasikan struktur  dan  fungsi  yang  diperlukan  dalam proses  kognitif  manusia.  Struktur  kognitif tersebut  terdiri  atas  memori  kerja  dan memori  jangka  panjang  (Sweller  et  al., 2011).  Memori  kerja  merupakan  tempat pemrosesan  informasi,  sedangkan  memori jangka panjang merupakan tempat disimpannya  informasi-informasi  dalam bentuk  skema-skema  (skemata)  (Sweller, 2011).    Skema  merupakan  konstruksi kognitif  yang  bertugas  mengelola  unsur- unsur  informasi  dalam  memori  jangka panjang (Sweller, 1994). Semua pengetahuan yang diperoleh oleh seseorang disimpan  dalam  bentuk  skema  yang dikelola dalam unit-unit. Skema merupakan suatu  sistem  dalam  pikiran  manusia  yang bertugas
memahami pengetahuan,
mempresentasikan pengetahuan, dan menggunakan  pengetahuan  tersebut.  Oleh
karena  itu,  skema  mengandung  semua informasi  dan  hubungan-hubungan  tentang suatu konsep.
Hal yang penting dari skema manusia adalah  bahwasanya  suatu  konsep  yang dikelola  skema berkembang seiring dengan pengalaman  dan  pengetahuan  baru.  Hal tersebut  berarti  bahwa  skema  manusia merupakan  suatu  hal  yang  dinamik,  dapat berubah  dari  waktu  ke  waktu  tergantung pengalaman  dan  informasi  baru  yang diperoleh. Skema dikelola melalui asimilasi dan  akomodasi.  Asimilasi  merupakan proses  menginterpretasikan  pengetahuan dan  pengalaman  baru  dengan  skema  yang ada,  sedangkan  akomodasi  merupakan proses mengganti skema yang lama dengan skema baru yang lebih kompleks. Perolehan skema  yang  baru  harus  diproses  secara sadar  dan  membutuhkan  proses  berpikir (Sweller  &  Sweller,  2006).  Skema  yang lebih  kompleks  hasil  rekonstruksi  skema lama  mengandung  informasi  dalam  skema sebelumnya. Sehingga tingkat kompleksitas skema  dalam  pikiran  manusia  terus berkembang sepanjang waktu.
Penelitian yang ada telah
mengungkapkan  bahwa  kebanyakan  siswa mengalami kesulitan dalam mengkonstruksi bukti  matematis  (Moore,  1994;  Knapp, 2005;  Selden et  al,  2010; Sowder  &  Harel, 2003). Moore (1994) mengungkapkan ada 7 kesulitan  yang  dialami  mahasiswa  dalam mengkonstruksi bukti, yaitu : (1)
mahasiswa  tidak  mengetahui  definisi  objek atau    konsep  matematika  tertentu  yang dibutuhkan dalam pembuktian, (2)
mahasiswa  kurang  memahami  konsep,  (3)
Concept  image mahasiswa  tidak  cukup dalam  mereknstruksi  bukti,  (4)  mahasiswa tidak mampu menggeneralisasi dari beberapa contoh kasus, (5) mahasiswa tidak tahu  bagaimana  mengunakan  definisi  yang ada,  (6)  mahasiswa  mengalami  kesulitan dalam  menggunakan  notasi  dan  bahasa matematis,  dan  (7)  mahasiswa  tidak  tahu bagaimana memulai pembuktian.
Sedangkan  Knapp  (2005)  berpendapat bahwa  apa  yang  dikemukakan  Moore  di atas  merupakan  kesulitan  yang  berkaitan

## Syamsuri
dengan  pemahaman  konsep,  dan  bukan mencakup kekesulitan siswa dalam berlogika  deduktif  dalam  mengonstruksi bukti.  Oleh  karena  itu,  Knapp  (2005) mengajukan  bahwa  kesulitan  mahasiswa dalam  megonstruksi  bukti,  yaitu  :  (1) mahasiswa sulit dalam berlogika, berbahasa matematika  formal,  (2)  mahasiswa  kurang sempurna  dalam  memahami  suatu  definisi atau  teorema  yang  berkaitan  dengan  yang akan dibuktikan, heuristik dan menggeneralisasi suatu contoh. Dalam  melakukan  proses  berpikir mengonstruksi  bukti  formal  matematis, tentunya mahasiswa berusaha untuk membentuk  skema  kognitif  yang  lengkap dalam pikirannya. Skema kognitif ini dapat dipotret  menggunakan Cognitive  Mapping. Cognitive  Mapping merupakan  model
mental dalam bentuk gambar yang mencerminkan pemahaman seseorang,
keyakinan,  dan  pengaturan  suatu  obyek analisis, yang diperoleh dari proses kognitif (Peña,  Sossa  &  Gutiérrez,  2007).  Oleh karena  proses,  kesulitan  mahasiswa  dalam mengonstruksi  bukti  dapat  digambarkan dengan Cognitive Mapping .
Berdasarkan  penjelasan  di  atas, proses  pembuktian  matematis  sangatlah berhubungan  dengan  transformasi  struktur kognitif mahasiswa, yang berupa pengelolaan pengetahuan yang dimiliki dan perubahan skema kognitif dalam
mengonstruksi  bukti  matematis.  Oleh karena    itu,  tujuan  penelitian  ini  ialah  1) untuk  mengetahui  karakteristik  skema berpikir  mahasiswa  dalam  mengonstruksi bukti formal.

## B. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  pada  6 mahasiswa Universitas Sultan Ageng
Tirtayasa  yang  telah  mengambil  mata kuliah  Teori  Bilangan.  Para  mahasiswa diberikan  kesempatan  untuk  mengerjakan tugas  berbentuk  soal  yang  diberikan  secara think  aloud ,  kemudian  dilanjutkan  dengan wawancara  berbasis  tugas.  Transkrip think
aloud dianalisis menurut kerangka asimilasi dan  akomodasi  yang  dikemukan  oleh Piaget.  Analisis  data  menggunakan  teknik perbandingan  tetap,  yaitu  diambil  2 mahasiswa  yang  memiliki  karakteristik kesalahan  yang  sama  dalam  mengonstruksi bukti matematis.

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
Instrumen  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  merupakan  instrumen  yang diadopsi  Selden  &  Selden  (2003).  Soal tersebut  ialah  “Diketahui  n  bilangan  bulat. Buktikan  “  Jika n 2 kelipatan  3  maka n kelipatan  3”.  Pembuktian  pernyataan  di
atas, setidaknya dapat dikonstrusi dengan 2 cara, yaitu : bukti langsung dan bukti tidak- langsung menggunakan kontrapositif. Berikut model skema pembuktian langsung tersebut.
Gambar 1 . Cognitive Mapping Skema Berpikir Untuk Bukti Langsung & Sketsanya

## Kategorisasi Skema Berpikir Mahasiswa Dalam Mengonstruksi Bukti
Berdasarkan  penjelasan  bukti  formal ( formal  proof )  yang  dikemukan  Tall  dkk. (2011) dan Weber (2003), setidaknya ada 2 komponen  yang  harus  ada  dan  dipahami dalam bukti formal, yaitu :  berawal dengan definisi  atau  aksioma  dan  menggunakan logika yang akurat ( rigour ). Demikian pula jika  mengacu  pada  Knapp  (2005)  terkait kesulitan  mahasiswa  dalam  megonstruksi bukti,  yaitu  :  (1)  mahasiswa  sulit  dalam berlogika,  berbahasa  matematika  formal, (2)  mahasiswa  kurang  sempurna  dalam memahami suatu definisi atau teorema yang berkaitan  dengan  yang  akan  dibuktikan, heuristik dan menggeneralisasi suatu contoh.  Oleh  karena  itu,  artikel  ini  akan mengupas  tentang  logika  dan  pemahaman konsep yang digunakan dalam
mengonstruksi bukti.
Moore  (1994)  menyatakan  bahwa ada 2 alur mahasiswa dalam mengonstruksi bukti, yaitu: (1) Concept Image  Concept Definition  Concep  Usage ,  dan  (2) Concept Image  Concept Usage . Concept-image merupakan gambaran kognitif  mahasiswa  terhadap  konsep  yang diberikan, concept-definition merupakan konsep  matematis  yang  dinotasikan  dalam bentuk  formal,  sedangkan concept-usage merupakan konsep yang digunakan mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti. Alur  pertama  identik  dengan  formal sedangkan alur kedua identi dengan natural.
Berdasarkan  pertimbangan  deskripsi tentang  bukti  formal  matematis  yang dikemukan  para  peneliti  sebelumnya  (Tall dkk,  2011;  Weber,  2003;  Knapp  ,  2005), artikel  ini  mengajukan  suatu  model  yang mengadopsi logika dan pemahaman konsep dalam  dalam  mengonstruksi  bukti.  Model ini  mengevaluasi  suatu  bukti  formal berdasarkan pemahaman konsep dan struktur logis.

## Syamsuri

## Gambar 2. Model Skema Pembuktian Mahasiswa Dalam Mengonstruksi Bukti
Cognitive  Mapping Skema  Berpikir Mahasiswa Pada Kuadran II Karakteristik skema berpikir mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti formal pada kuadran ini, yaitu : ada konsep yang kurang tepat digunakan. Pada
penelitian  ini,  terdapat  2  mahasiswa  yang skema  berpikirnya  tergolong  pada  kuadran ini.  Berikut  gambaran  proses  berpikir Mahasiswa-1 yang termasuk dalam kuadran
II.
Tabel 1 . Proses Berpikir Mahasiswa-1 Dalam Mengonstruksi Bukti Matematis Kode Think Out Aloud Sumber Pernyataan Proses Yang Terjadi 1 Diketahui n 2 kelipatan 3 Recalling yang diketahui Asimilasi 2 berarti n 2 = 0 mod 3. Extract-meaning dari n 2 kelipatan 3dengan menghubungkan  dengan  konsep modulo 3 Asimilasi 3 n 2 =3 dikali k Extract-meaning dari n 2 kelipatan 3 3dengan menghubungkan  dengan  konsep perkalian Asimilasi 4 ,  …..  gimana  ya…?  (agak  lama berpikir sekitar 1 menit) Refleksi karena Disequilibrium Disequilibrium 5 n 2 samadengan  3k,  dan  n bilangan positif berarti……mmm……  berarti  n = akar dari 3k Recalling dengan  Modifikasi Aljabar Asimilasi 6 berarti  karena  n  bilangan  bulat positif, maka k haruslah bilangan positif kelipatan 3 yang berpangkat ganjil…. Inferring dengan Mencari Hubungan dengan bilangan pangkat Akomodasi 7 Misalkan  k  sama  dengan  3 pangkat  m  dengan  m  bilangan Inferring dengan Mencari Hubungan dengan bilangan Akomodasi
Conceptual - Understanding Logic Structure

## Kuadran I Konstruksi Bukti Betul
 Konsep
Terhubungkan
 Logis
Kuadran IV Konstruksi Bukti Salah-Berlogika
 Konsep  Bisa
Terhubungakan  Tidak-Logis Kuadran III Konstruksi Bukti Salah-Konsep
 Salah Konsep  Tidak-Logis
Kuadran II Konstruksi Bukti Tidak-Lengkap
 Konsep ada yang kurang  Logis
…. sehingga ganjil pangkat 8 Berarti  n  =  akar  dari  3  kali  3 pangkat  m,  n  =  akar  dari  3 pangkat  m+1,  n=3  pangkat (m+1)/2 Recalling dengan  Modifikasi Aljabar Asimilasi 9 Karena  m  ganjil  maka  m+1 pastilah genap. Inferring dengan Mencari Hubungan dengan bilangan pangkat Akomodasi 10 Sehingga n=3 pangkat m+1….sehingga  n=  0  mod  3, terbukti. Udahan Pak Inferring Akomodasi Berdasarkan  Tabel  1  di  atas  dan Gambar  1  terkait cognitive  mapping pada konstruksi bukti yang benar, skema berpikir pada  kuadran  ini  mengalami  kesalahan dalam  mengkoneksikan  dengan  konsep bilangan  akar  dan  bilangan  bulat.  Hal  ini
terutama  pada  proses inferring dalam mencari bubungan dengan bilangan pangkat. Berikut gamabaran sketsa cognitive  mapping dan  letak  yang  harus diperbaiki  dalam  mengonstruksi  bukti matematis formal.
Gambar 3 . Sketsa Cognitive Mapping Skema Berpikir Mahasiswa-1 Dalam Mengonstruksi Bukti
Cognitive  Mapping Skema  Berpikir Mahasiswa Pada Kuadran III Karakteristik skema berpikir mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti formal  pada  kuadran  ini,  yaitu  :  salah konsep dan tidak-logis. Pada penelitian ini,
terdapat 2 mahasiswa yang skema berpikirnya  tergolong  pada  kuadran  ini. Berikut gambaran proses berpikir Mahasiswa-2 yang termasuk dalam kuadran III. Tabel 2. Proses Berpikir Mahasiswa-2 Dalam Mengonstruksi Bukti Matematis Kode Think Out Aloud Sumber Pernyataan Proses Yang Terjadi 1 Diketahui n bilangan bulat positif, Jika n 2 kelipatan3 maka n kelipatan 3 Recalling yang diketahui (diulangi sebanyak 2 kali) Asimilasi 2 n 2 kelipatan 3, maka n kelipatan 3, n bilangan bulat
positif
Inferring antara n 2 dengan n Akomodasi 3 Buktinya berarti … ehhmmm….. ehmmm… Refleksi karena Disequilibrium Disequilibrium 4 n 2 =n kali 3.. nxn=3n…n=3 Recalling dengan Modifikasi  Asimilasi
ya…. Aljabar 5 n 2 =3n berarti … Udah…. Inferring kesimpulan Akomodasi
Berdasarkan  Tabel  2  di  atas  dan Gambar  1  terkait cognitive  mapping pada konstruksi bukti yang benar, skema berpikir pada  kuadran  ini  mengalami  kesalahan dalam  mengonstruksi  bukti.  Beberapa kesalahan  yang  dilakukan  Mahasiswa-2 dalam  mengonstruksi  bukti  tersebut  ialah  :
1)  Salah  dalam  menuliskan  lambang variabel yang membantu dalam mengonstruksi  bukti,  2)  Salah  dalam melakukan inferring antara  n 2 dengan  n.
Kedua kesalahan tadi menyebabkan kesalahan-kesalahan lainnya dalam konstruksi bukti tersebut. Berikut gamabaran  sketsa cognitive  mapping dan letak yang harus diperbaiki dalam mengonstruksi bukti matematis formal. Gambar 4. Sketsa Cognitive Mapping Skema Berpikir Mahasiswa-2
Dalam Mengonstruksi Bukti Cognitive  Mapping Skema  Berpikir Mahasiswa Pada Kuadran IV Karakteristik skema berpikir mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti formal  pada  kuadran  ini,  yaitu:  struktur pembuktian  yang  tidak-logis  tetapi  konsep
sudah  mencukupi  dalam  mengonstruksi pembuktian.  Pada  penelitian  ini,  terdapat  2 mahasiswa yang skema berpikirnya tergolong  pada  kuadran  ini.  Berikut gambaran  proses  berpikir  Mahasiswa-1 yang termasuk dalam Kuadran IV.
Tabel 3. Proses Berpikir Mahasiswa-3 Dalam Mengonstruksi Bukti Matematis
Kode Think Out Aloud Sumber Pernyataan Proses Yang Terjadi 1 Kita akan mengerjakan apabila diketahui n bilangan bulat positif Recalling yang diketahui Asimilasi 2 buktikan bahwa jika n 2 kelipatan  3 maka n kelipatan 3 Extract-meaning dari n 2 kelipatan 3 Asimilasi 3 Nah kita akan membuktikan dengan pembuktian terbalik atau kita akan buktikan bahwaapabila n kelipatan 3
maka n 2 kelipatan 3
Inferring dalam memutukan cara mengonstruksi bukti Akomodasi 4 Misalkan n kelipatan 3 sehingga n= 3x maka jika n ini 3x maka n 2 =(3x) dikuadratkan sehingga n 2 =9x 2
Extract-meaning dari n 2
kelipatan 3 dengan menghubungkan dengan konsep perkalian Asimilasi 5 Nah….eee……..Nah disini Refleksi karena Disequilibrium
kita lihat bahwa n itu n=3x berarti n kelipatan 3 dan n 2 =9x 2 dimana 9x 2 ini juga merupakan kelipatan 3. Disequilibrium 6 Kelipatan 3 dari 3x, sehingga terbukti jika n kelipatan 3 maka n 2 nya juga kelipatan 3. Inferring kesimpulan Akomodasi Berdasarkan  Tabel  3  di  atas  dan
Gambar  1  terkait cognitive  mapping pada konstruksi bukti yang benar, skema berpikir pada  kuadran  ini  mengalami  kesalahan dalam  mengonstruksi  bukti.  Kesalahan utama  yang  dilakukan  Mahasiswa-3  dalam mengonstruksi  bukti  tersebut  ialah  salah
dalam metode pembuktian dalam
mengonstruksi  bukti.  Kesalahan  tersebut menyebabkan kesalahan-kesalahan  lainnya dalam  konstruksi  bukti  tersebut.  Berikut gamabaran  sketsa cognitive  mapping dan letak yang harus diperbaiki dalam mengonstruksi bukti matematis formal.
Gambar 5 . Sketsa Cognitive Mapping Skema Berpikir Mahasiswa-3 Dalam Mengonstruksi Bukti

## D. KESIMPULAN DAN SARAN
Skema  berpikir  mahasiswa  dalam mengonstruksi bukti matematis dapat dimodelkan  dengan  mengguakan cognitive mapping . Cognitive mapping yang digunakan menggambarkan konsep matematis yang diperlukan, fakta atau hasil dari  operasi  matematik,  hubungan  logika, dan proses berpikir yang dilakukan mahasiswa  pada  setiap  hubungan  konsep ataupun fakta matematis. Dengan
memodelkan  skema  berpikir  seperti  itu, dapat  diidentifikasi  kegagalan  mahasiswa dalam mengonstrksi bukti matematis dengan benar.
Berdasarkan  skema  berpikir  yang dimodelkan,  proses  berpikir  mahasiswa dalam mengonstruksi bukti matematis dapat dikategorikan  dalam  4  kuadran,  yaitu  :  (1) Kuadran  I  yang  mampu  membuat  skema berpikir dengan banar; (2) Kuadran II yang mengalami  ketidak-lengkapan  konsep  yang
disebabkan  mahasiswa  tidak  melakukan refleksi  sehingga  konsep  yang  diperlukan dapat  digunakan  dengan  lengkap;  (3) Kuadran  II  yang  mengalami  salah  konsep yang  dikarenakan  pengetahuan  awal  yang tidak-cukup dan mahasiswa tidak mengenal alur pembuktian yang benar (4) Kuadran IV yang  salah  berlogika  yang  disebabkan penggunaan pengetahuan awal yang dimilikinya  tidak  sesuai  dengan  struktur pembuktian yang diharapkan.
Untuk  lebih  menggali  kedalaman bahasan  terkait  model  kuadran  yang digunakan  pada  artikel  ini,  diharapkan dapat  menggunakan  instrumen  yang  lebih kompleks  sehingga  mampu  memberikan gambaran  yang  lebih  besar.  Disamping  itu pula, pada penelitian berikutnya disarankan dapat  menggali  lebih  dalam  terkait  usaha perbaikan  dalam  mengonstruksi  bukti dengan  benar,  sehingga  setiap  mahasiswa
yang mengalami skema berpikir yang salah dapat  diperlakukan  sesuai  dengan  tipe
kesalahannya.

## DAFTAR PUSTAKA
Alcock,  L.,  &  Weber  K.  (2004).  Semantic and  syntactic  proof  productions. Educational  Studies  in  Mathematics , 56, 209-234.
Knapp, J. (2005). Learning to prove in order to prove to learn. [online] : Retrieved from URL: http://mathpost.asu.edu/~sjgm/issues/ 2005_spring/SJGM_knapp.pdf.
Moore, R.C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational Studies in mathematics , 27,249-266.
Peña, A.; Sossa, H. & Gutiérrez, A. (2007).
Cognitive  Maps:  an  Overview  and their Application for Student Modeling  (Mapas  Cognitivos:  un Perfil  y  su  Aplicación  al  Modelado del  Estudiante). Computación  y Sistemas  Vol.  10  No.  3,  2007,  pp 230-250
Pinto,  M.  M.  F.,  &  Tall,  D.  O.  (1999). Student  constructions  of  formal theory: giving and extracting meaning.  In  O.  Zaslavsky  (Ed.), Proceedings  of  the  23 rd Conference of  the  International  Group  for  the Psychology of Mathematics Education ,  Vol.  4,  (pp.  65–73).
Haifa, Israel.
Selden, A, McKee, K. & Selden, J. (2010). Affect, behavioural schemas and the proving process. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , Vol. 41, No. 2, 15 March 2010, 199–215
Selden, A. & Selden, J. (2003). Validations of Proofs Considered as Texts: Can
Undergraduates Tell Whether an
Argument Proves a Theorem?.
Journal for Research in Mathematics Education 2003, Vol. 34, No. 1,4-36.
Sowder, L. & Harel, G. (2003). Case studies of mathematics majors’ proof
understanding, production, and appreciation . Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education , 3:2, 251-267, DOI:10.1080/14926150309556563
Sweller, J. (1994). Cognitive Load Theory, Learning difficulty, and Instructional Design. Learning and Instruction , 4,
295–312.
Sweller, J. (2011). Cognitive Load Theory. In J. P. Mestre & B. H. Ross (Eds.), The Psychology of Learning and Cognition in Education (pp. 37–74). Waltham: Elsevier. doi:10.1016/B978-0-12-387691- 1.00011-9
Sweller, J., & Sweller, S. (2006). Natural information processing systems. Evolutionary Psychology , 4, 434–
458. Retrieved from http://www.epjournal.net/wp- content/uploads/ep04434458.pdf
Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitive Load Theory:
Explorations in the Learning Sciences , Instructional Systems and
Performance Technologies. London: Springer.
Tall,  D.,  Yevdokimov,  O.,  Koichu,  B.,
Whiteley,  W.,  Kondratieva,  M.,  & Cheng,  Y.H.  (2011).  The  Cognitive Development  of  Proof.  In  In  Hanna, G.  and  De  Villiers,  M.  (Eds).  ICMI 19: Proof and Proving in Mathematics Education , pp.13–49.
Weber, K. (2004). Traditional instruction in advanced  mathematics  courses:  A case study of one professor’s lectures and  proofs  in  an  introductory  real analysis course.
Journal of
Mathematical  Behavior ,  23,  115– 133.