Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 9 No. 2, Desember 2017, hal. 1-10 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422; https://jmpunsoed.com/

## PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED

## DI RUANG METRIK PARSIAL

## Sagita Charolina Sihombing
Fakultas MIPA, Universitas PGRI Palembang Jl. Jend. A. Yani Lrg. Gotong Royong 9/10 Ulu Palembang Sagita.Charolina@yahoo.com

## Ety Septiati
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Palembang Jl. Jend. A. Yani Lrg. Gotong Royong 9/10 Ulu Palembang
Abstract. In this paper, we study the existence of fixed point of  the φ-weak contraction mapping  in  the  complete  partial  metric  space  for  multivalued  mapping.  Distance calculations  are  performed  using  Hausdorff  metric.  The  result  obtained in this paper  is an extension of similar result for single valued mapping.
Keywords: Complete partial metric space, fixed point, weakly contractive mapping,
Hausdorff metric.
Abstrak. Pada  makalah  ini  akan  dikaji  eksistensi  titik  tetap  dari  pemetaan  kontraktif lemah di  ruang  metrik  parsial  lengkap  untuk  pemetaan multivalued .  Perhitungan jarak  dilakukan  menggunakan  metrik  Hausdorff.  Hasil  yang  diperoleh  pada  makalah  ini merupakan perluasan dari hasil serupa untuk pemetaan single valued.
Kata Kunci: Ruang metrik parsial lengkap, titik tetap, Pemetaan Kontraktif Lemah – , metrik Hausdorff

## 1. PENDAHULUAN
Pemetaan  kontraktif adalah  pemetaan  yang  memenuhi ketaksaman
)     ))          )
pada  teorema  titik  tetap  Banach,  dengan x dan y adalah  elemen  di  ruang  metrik ) ,  dan adalah  konstanta  yang  mempunyai  nilai  antara  0  dan  1.  Teorema titik tetap Banach memberikan suatu syarat cukup untuk eksistensi titik tetap dari suatu  pemetaan  yang  didefinisikan  pada  ruang  metrik ) .  Dalam  hal  ini  titik merupakan titik tetap dari apabila )
Pengembangan  sifat  pemetaan  kontraktif  telah  dilakukan  oleh  para  peneliti untuk  menunjukkan  eksistensi  titik  tetap  di  ruang  metrik  parsial ) ,  yaitu himpunan tak kosong yang disertai fungsi metrik parsial
dengan memenuhi kondisi berikut:
(p1). )         )
(p2). jika dan hanya jika )          )          )
(p3). )         )
(p4). )         )         )         )
Definisi  ruang  metrik  parsial  tersebut  dapat  dilihat  pada  (Gangopadhyay,  dkk., 2013).  Bukatin,  dkk.  (2009)  menyebutkan  bahwa  ruang  metrik  parsial,  yang diperkenalkan pertama kali oleh Matthews (1992), merupakan pengembangan dari ruang  metrik.  Pengembangan  ini  didasari  oleh  permasalahan  yang  ditemukan dalam  ilmu  komputer,  yaitu  dua  barisan  tak  hingga  yang  sama  belum  tentu memiliki jarak nol.  Bukatin, dkk. juga membuktikan bahwa pemetaan kontraktif pada ruang metrik parsial masih menjamin eksistensi titik tetap . Hubungan antara ruang metrik  dengan ruang metrik parsial diberikan dalam lemma berikut.
Lemma  1 . [Masiha,  dkk.,  2013] Jika ) adalah  ruang  metrik  parsial  dan fungsi ) didefinisikan oleh
)          )         )         ) ,
maka adalah sebuah metrik.
Sementara  itu,  syarat  agar  suatu  ruang  metrik  parsial  merupakan  ruang metrik parsial lengkap diberikan dalam lemma berikut.
Lemma  2.  [Kir  dan  Kiziltunc,  2016] Misalkan ) adalah  ruang  metrik parsial.
a. Barisan { } adalah  barisan  Cauchy  di ) jika  dan  hanya  jika  barisan tersebut adalah barisan Cauchy di
) .
b. Ruang metrik ) merupakan ruang metrik parsial  lengkap jika dan hanya jika ) merupakan ruang metrik parsial lengkap.
Selanjutnya,  Altun,  dkk.  (2010)  membuktikan  sifat  titik  tetap  dalam pemetaan kontraktif lemah untuk pemetaan single valued.
Teorema  3. Misalkan ) adalah  suatu  ruang  metrik  parsial  lengkap  dan )         ) adalah fungsi kontinu tak turun dengan ) untuk setiap Jika adalah suatu pemetaan sedemikian sehingga )     (    {      )         )         ) )          )]}) untuk semua maka mempunyai titik tetap tunggal.
Selain  itu,  Masiha,  dkk.  (2013)  mengembangkan  pemetaan  kontraktif lemah pada  pemetaan single  valued di  ruang  metrik  parsial  terurut  dengan mendefinisikan fungsi sebagai berikut.
Definisi 4. Jika )         ) memenuhi
(i) dan ) untuk setiap
(ii) adalah semi kontinu menurun dari kanan yaitu untuk sebarang barisan tak menaik  dan  tak  negatif { } )      ) menghasilkan
(iii) Untuk sebarang barisan { } dengan
terdapat ) dan sedemikian sehingga ) untuk setiap Didefinisikan { : memenuhi kondisi (i)-(iii) pada Definisi 4}.
Teorema  5  [Masiha,  dkk.  2013] Misalkan ) adalah  himpunan  terurut parsial dan andaikan terdapat suatu metrik parsial pada sedemikian sehingga ) adalah  suatu  ruang  metrik  parsial  lengkap.  Andaikan adalah pemetaan kontinu dan tak menurun sedemikian sehingga
)         )    (      ))
untuk  semua dan Jika  terdapat  suatu  bilangan dengan maka  terdapat sedemikian  sehingga Selanjutnya
)
Berdasarkan hasil pada Teorema 3 dan Teorema 5, pada makalah ini akan dikaji  tentang  eksistensi  titik  tetap  pada  pemetaan multivalued di  ruang  metrik parsial lengkap yang merupakan pemetaan kontraktif lemah.

## 2. JARAK HAUSDORFF
Misalkan ) adalah  suatu  ruang  metrik.  Menurut  (Widder,  2009), pemetaan multivalued didefinisikan sebagai pemetaan dari ke ) dan ditulis )
dengan )   {               } . Selanjutnya, (Istr ̆ escu, 1981 dalam Widder,
2009) memberikan definisi untuk titik tetap dari pemetaan multivalued. Suatu titik disebut titik tetap dari pemetaan multivalued ) jika
)
Pada makalah ini, eksistensi titik tetap pada pemetaan kontraktif lemah – di  ruang  metrik  parsial  lengkap  untuk  pemetaan multivalued akan  dibuktikan menggunakan  metrik  atau  fungsi  jarak  Hausdorff  dalam  penentuan  jarak  antar himpunan bagian di ) . Jarak Hausdorff didefinisikan sebagai berikut.
Definisi  6.  [Ahmad,  dkk.  2013] Misalkan ) adalah  sebuah  ruang  metrik. Untuk ) dan ,    jarak  Hausdorff  untuk  setiap  dua  himpunan bagian dan didefinisikan sebagai berikut:
 Jika , jarak dari ke adalah
) )
 Jarak dari ke adalah
) )
 Jarak Hausdorff antar himpunan bagian ke adalah
)        {      )        )}       { ) )}
Selain  itu,  eksistensi  titik  tetap  pada  makalah  ini  juga  akan  dibuktikan menggunakan proposisi berikut.
Proposisi  7.  [Ahmad,  dkk.  2013] Jika dan adalah  himpunan  bagian  tak kosong,  tertutup  dan  terbatas ) dari  ruang  metrik  partial ) dan maka untuk  setiap terdapat sedemikian  sehingga )

## )
Pada  Proposisi  7,  pemetaan ) )         ) adalah  metrik parsial Hausdorff yang diinduksi oleh

## 3. HASIL PENELITIAN
Eksistensi  titik  tetap  pada  pemetaan  kontraktif  lemah – di  ruang  metrik parsial lengkap untuk pemetaan multivalued disajikan pada teorema berikut.
Teorema  7. Misalkan ) adalah  suatu  ruang  metrik  parsial  lengkap  dan )         ) adalah  fungsi  kontinu  tak  turun  yang  memenuhi ) untuk  setiap Jika ) adalah  suatu  pemetaan  sedemikian sehingga
)     (    {      )         )         ) )          )]}) (1)
untuk semua maka mempunyai titik tetap tunggal.
Bukti. Dari  kondisi  pada ,  jelaslah  bahwa ) untuk Misalkan adalah  sebarang  titik.  Didefinisikan  sebuah  barisan { } di dengan untuk Andaikan untuk maka  jelas  bahwa adalah  suatu  titik  tetap  dari Sekarang, asumsikan untuk semua Langkah 1 . Akan ditunjukkan bahwa )
Dari pertidaksamaan (1) dan Proposisi 6, diperoleh
) )
(    { ) ) ) ) )}) (    { ) ) ) )}) { ) )}) ( )) (2) Andaikan ) ) maka )    ( )) Ini  mengakibatkan ) Karena ) ) , maka hal ini adalah kontradikasi. Dengan demikian, haruslah { ) )} ) Jadi, ketaksaman (2) menjadi )    ( )) (3) untuk semua Jika persamaan (3) dilanjutkan, maka diperoleh ) ( )) (4) Dengan kata lain, karena { ) )} ) maka dari (4) diperoleh { ) )} ( ))
Jadi,
) ) ) ) ) ) ) ( )) Ini menunjukkan bahwa )
Langkah 2. Akan ditunjukkan bahwa { } adalah barisan Cauchy
Diketahui bahwa, ) ) ) ( )) ( ))
Ini menunjukkan { } adalah barisan Cauchy pada ruang metrik
) Karena ) adalah ruang metrik parsial lengkap, maka berdasarkan  Lemma 2,
) juga merupakan ruang metrik lengkap dan barisan { } konvergen di ruang metrik
) katakan ) Juga dari Lemma 2, didapat ) ) ) (5) Lebih jauh, karena { } adalah barisan Cauchy pada ruang metrik ) maka diperoleh ) dan  dari  (5)  diperoleh ) Definisi selanjutnya memberikan ) Oleh karena itu, dari (5) didapatkan ) )
)
Langkah 3. Akan ditunjukkan mempunyai titik tetap.
Sekarang  akan  ditunjukkan  bahwa ) Asumsikan  hal  ini  tidak  benar.
Jadi, berdasarkan sifat metrik dan juga dari (1) didapatkan ) ) ) ) ) ) )     (    { )         ) ) )          ) }) )     (    { )         ) ) ) )          )         ) }) )     (    { )         ) ) ) )          ) }) Untuk dengan m enggunakan sifat kontinuitas dari diperoleh
) ( ))
Hal  ini  merupakan  kontradiksi.  Oleh  karena  itu,
) Karena ) maka  didapat Jadi, merupakan  titik  tetap  dari  pemetaan multivalued di ruang metrik )
Selanjutnya,  akan ditunjukkan titik  tetap
adalah  tunggal. Asumsikan adalah titik tetap yang lain dari maka
. Dari (1), diperoleh
)
)
(    {      )         )         ) )          )})
(    {      ) )         )})
(      ))
Hal ini merupakan kontradiksi terhadap sifat fungsi yaitu (      ))         ) . Dengan demikian, diperoleh ) , yang mengakibatkan . Ini memberikan kesimpulan bahwa titik tetapnya bersifat tunggal.

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN

## 4.1 Kesimpulan
Sifat ketunggalan titik tetap pada pemetaan kontraktif lemah juga berlaku pada pemetaan multivalued di ruang metrik parsial lengkap. Dalam membuktikan hal  ini,  perhitungan  jarak  antar  dua  himpunan  dilakukan  dengan  menggunakan metrik  Hausdorff  karena  metrik  Hausdorff  pada  himpunan  tertutup  dan  terbatas memenuhi sifat metrik parsial.

## 4.2 Saran
Pada  pemetaan  kontraktif  lemah  untuk singlevalued terdapat  keterkaitan antara  kondisi  kontraktif  lemah  dengan  kondisi  kontraktif  Matthew.  Oleh  karena itu, penelitian lanjut dapat dilakukan untuk mengetahui keterkaitan antara kondisi kontraktif lemah dan kondisi kontraktif Matthew untuk pemetaan multivalued .

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad,  J.,  Azam,  A.  dan  Arshad,  M., Fixed  Points  of  Multivalued  Mappings  in Partial Metric Spaces , Fixed Point Theory and Applications, 2013, 316. Altun,  I.,  Sola,  F.  dan  Simsek,  H., Generalized  contraction  on  Partial  Metric Space , Topology and its Applications, 157 (18) (2010), 2778-2785.
Bukatin, M. dan Matthews, S., Partial Metric Space , Publ. Int. Math,, 2009, 708- 718.
Gangopadhyay, M.,  Saha, M. dan Baisnab, A.P., Some Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces , TWMS Journal. App. Eng. Math, 3 (2) (2013), 206- 213.
Kir,  M.  dan  Kiziltunc,  H., Generalized  Fixed  Point  Theorems  in  Partial  Metric Spaces , European Journal of Pure and Applied Mathematics, 9 (4) (2016), 443-451.
Masiha, H.P., Sabetghadam, F. dan Shahzad, N., Fixed Point Theorems in Partial Metric  Spaces  with  an  Application ,  Faculty  of  Science  and  Mathematics, University of Nis, Serbia, 2013.
Widder, A., Fixed Point Theorems For Set-Valued Map , Institute for Analysis and Scientific of Technology, 2009.