## KARAKTERISTIK OPERATOR HIPONORMAL- p

## PADA RUANG HILBERT
Gunawan
Universitas Muhammadiyah Purwokerto Email: gun.oge@gmail.com
ABTRACT. This  article  discusses  the  definition  and  properties  of  p-hiponormal operators for p>0. To investigate the properties of p-hiponormal operators, the concept of  positive  operators,  partial  isometry  operators,  decomposition  of  operators,  and existence of partial isometry operators for any operator on a Hilbert space are required.
ABTRAK. Pada  artikel  ini  akan  dibahas  mengenai  definisi  dan  beberapa  sifat-sifat operator  hiponormal-p,  untuk  p>0.  Untuk  menyelidiki  sifat-sifat  operator  hiponormal-p diperlukan  konsep  operator  positif,  operator  isometri  parsial,  dekomposisi  sebarang operator,  dan  eksistensi  operator  isometri  parsial  untuk  sebarang  operator  pada  ruang Hilbert.
Kata  Kunci:  Ruang  Hilbert,  Operator  Positif,  Dekomposisi  Operator,  Operator Hiponormal-p.
1. PENDAHULUAN
a. Latar Belakang dan Permasalahan
Diberikan  ruang  Hilbert H atas  lapangan F ,  himpunan  semua  operator linear  terbatas  dari H ke H ditulis   B H ,  dan ( ) T B H  .  Lapangan F yang dimaksudkan di  tulisan ini  adalah ℂ (himpunan  bilangan  Kompleks). Operator T dapat  didekomposisikan  menjadi T U T  dengan : U H H  operator  isometri parsial  dan T akar  kuadrat  positif  dari * T T .  Selanjutnya,  untuk  bilangan p> 0, operator linear kontinu T yang memiliki sifat    
* * p p T T TT  atau 2 2 * p p T T  ,
dengan 2 * T T T  disebut sebagai operator hiponormal- p . Untuk p=1 , operator T disebut  operator hiponormal dan untuk 1 2 p  , operator T disebut operator semi- hiponormal.  Untuk 0<p<1 ,  operator  hiponormal- p telah  diteliti  oleh  beberapa
JMP : Volume 6 Nomor 2, Desember 2014, hal. 105 - 114
matematikawan,  diantaranya  Aluthge  (1999),  Duggal  (1995),  dan  Xia  (1980). Dalam  Aluthge  (1999),  disebutkan  bahwa  apabila T operator  hiponormal- p dan T U T  dekomposisi dari T dengan U operator isometri parsial, maka operator
1 1 2 2 T T U T  disebut  transformasi  Aluthge.  Selain  itu,  dalam  Aluthge  (1999),
disebutkan  bahwa  untuk p>0, apabila T hiponormal- p maka,  untuk 0 < p < 1 2 ,
1 1 2 2 1 hiponormal- 2 T T U T p         .
Hal  tersebut  kemudian  membawa  pemikiran  untuk  menyelidiki karakteristik  operator T yang  memiliki  sifat    
* * p p T T TT  .  Pembahasan mengenai  karakteristik  operator  hiponormal- p pada  tulisan  ini,  lebih  ditekankan pada memahami definisi dan sifat- sifat operator hiponormal- p pada ruang Hilbert.

## b. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  memberikan  pemahaman  dan pengetahuan mengenai sifat- sifat dan karakteristik operator hiponormal- p ( p > 0 ) pada  ruang  Hilbert.  Pembahasan  mengenai  operator  hiponormal- p pada  ruang Hilbert bermanfaat membantu mengembangkan ilmu matematika dan aplikasinya, khususnya analisis fungsional.

## 2. KARAKTERISTIK OPERATOR HIPONORMAL- p
Pada  bagian  ini  dibahas  mengenai  definisi  dan  sifat-  sifat  operator hiponormal- p pada ruang Hilbert, operator positif, serta dekomposisi operator.
Berikut ini akan dibahas definisi operator hiponormal- p dan konsep dasar operator hiponormal- p pada ruang Hilbert.
Definisi  2.1. Diketahui H ruang  Hilbert  atas F dan ( ) T B H  .  Untuk p>0, operator T dikatakan hiponormal- p jika     * * p p T T TT  .
106                                                                                                                                      Gunawan
Untuk p>0, sifat     * * p p T T TT  ekuivalen  dengan  sifat 2 2 * p p T T  dengan
2 * T T T  dan   * 2 * * * * T T T TT   .
Selanjutnya,  akan  dibahas  mengenai  operator  positif.  Operator  positif  ini akan digunakan untuk membuktikan sifat-sifat operator hiponormal- p .
Definisi  2.2. Diketahui H ruang  Hilbert  atas F dan ( ) T B H  .  Operator T dikatakan  positif  jika ( ), 0 T x x  ,  untuk  setiap x H  .  Selanjutnya  operator positif T dinotasikan dengan 0 T  .
Lemma 2.3 (Kreyszig,  1978) . Diketahui H ruang Hilbert  atas F dan   T B H  .
Jika 0 T  maka * T T  ( self adjoint ).
Setelah  disampaikan  mengenai  operator  positif,  berikut  ini  akan  dibahas mengenai eksistensi akar kuadrat positif dari operator positif.
Diketahui H ruang  Hilbert  atas F dan ( ) T B H  adalah  operator  positif. ( ) S B H  disebut  akar  kuadrat  operator T jika 2 S T  dan  dinotasikan  dengan operator
1 2 S T  .
Teorema 2.4 (Kreyszig, 1978). Diketahui H ruang Hilbert atas F dan ( ) T B H  . Jika T adalah self adjoint maka terdapat secara tunggal operator positif S sehingga 2 T S  .
Selanjutnya,  dipahami  bahwa 0 0 A B A B
     ,  yang  berarti  untuk sebarang x H  ,
  ( ), 0 ( ) ( ), 0 ( ), ( ), 0
( ), ( ), . . A B x x A x B x x A x x B x x
A x x B x x
         
Karakteristik Operator Hiponormal                                                                                          107
Lebih  lanjut,  untuk ( ) T B H  dan T adalah  operator  positif,  definisikan,  untuk   0,1   , 1 i i i T p             
dengan     dan i i p  masing-masing  adalah  barisan  bilangan  kompleks  dan barisan proyeksi ortogonal.
Teorema 2.5 (Ketaksamaan Lowner- Heinz) (Furuta, 2002) . Diketahui H ruang Hilbert  atas F dan , ( ) A B B H  .  Jika 0 A B   maka  untuk  setiap   0,1
  berlaku 0 A B     .
Selanjutnya,  Teorema  2.5  akan  digunakan  untuk  membuktikan  teorema berikut, yang merupakan sifat-sifat operator hiponormal- p .
Teorema  2.6 (Yuan  dan  Yang,  2006). Jika  untuk p  >  0, T adalah  operator hiponormal- p maka, untuk 0 < q ≤ p , T merupakan operator hiponormal- q . Bukti : Perhatikan bahwa
      2 2 * q q p q p T T
T T        
dan
      2 2 * * * q q p p q
TT T T         .
Diketahui T adalah  hiponormal- p , yang  berarti    
* * p P
T T TT  .  Menurut
Teorema 2.5, diperoleh
    2 2 * p p
T T       
       
108                                                                                                                                      Gunawan
untuk  setiap   0,1   dan  jelas  bahwa
2 2 * , T T merupakan  operator  positif.
Selanjutnya, diketahui bahwa 0 < q ≤ p ,  yang berarti 0 < 𝑞 𝑝 < 1 . Ambil q p   .
Jadi   0,1   dan             2 2 * 2 2 * * * . q q p p p p q q q q T T T T T T TT                 
Dengan demikian, T hiponormal- q .
Selanjutnya,  akan  diberikan  definisi  mengenai  operator  isometri  parsial. Konsep  mengenai  isometri  parsial  digunakan  dalam  pendefinisian  dekomposisi operator.  Dalam  definisi  berikut,  dipahami  bahwa  himpunan M  merupakan komplemen ortogonal dari himpunan M .
Definisi  2.7. Diketahui H ruang  Hilbert  atas F .  Operator ( ) T B H  dikatakan isometri  parsial jika  terdapat  ruang  bagian  tertutup M H  sehingga
( ) , T x x x M    dan  ( ) 0, T x x M     .
Selanjutnya, akan diberikan teorema mengenai eksistensi operator isometri parsial untuk sebarang operator. Dalam teorema berikut,  ( ) R T dan  ( ) R S masing- masing menyatakan daerah hasil ( Range ) operator T dan S .
Teorema  2.8 (Furuta,2002) . Diketahui H ruang  Hilbert  dan , ( ) S T B H  .  Jika
* * T T S S  maka terdapat operator isometri parsial U sehingga S UT  .
Bukti : Diketahui * * T T S S  . Untuk setiap x H  :
2 2
* * ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) T x T x T x T T x x S S x x S x S x S x      . Jika 1 2 ( ) ( ) T x T x  untuk setiap 1 2 , x x H  maka :
2 1 2 1 2 1 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T x T x T x x S x x S x S x         .
Karakteristik Operator Hiponormal                                                                                          109
Diperoleh 1 2 ( ) ( ) S x S x  . Definisikan operator : ( ) ( ) V R T R S  dengan ( ( )) ( )
V T x S x  , x H   .
Diperoleh V adalah  linear,  terbatas,  dan ( ) ( ) ( ) VT x S x T x   .  Jadi, V adalah isometri. Selanjutnya, definisikan operator : ( ) ( ) V R T R S  dengan ( ) lim ( ), ( ), ( ) ( ), n n n
V y V y y R T y R T y y      .
Diperoleh V linear  dan  terbatas.  Untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ (himpunan  bilangan  Asli),
( ) n y R T  , yang berarti terdapat ( ) n x D T  sehingga  ( ) n n T x y  . Lebih lanjut,
( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim n n n n n V y V y VT x S x T x y y       .
Diperoleh V isometri.
Definisikan operator : U H H  dengan ( ) ( ), M U x VP x x H   
dan M P adalah proyeksi ortogonal pada M , dengan ( ) M R T  . Jika x M  maka
( ) M P x x  dan ( ) ( ) ( ) M U x VP x V x x    . Jika x M   maka ( ) ( ) (0) 0 M
U x VP x V    . Jadi, U adalah isometri parsial. Karena ( ) ( ) ( ) ( ) M R U U H VP H V M    , maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐻 , ( ) ( ( ))
( ) ( ) M UT x VP T x VT x S x   
Jadi, S UT  .
Teorema  2.9 (Furuta,  2002) . Diketahui H ruang  Hilbert  atas F .  Jika ( ) T B H  maka  terdapat  operator  isometri  parsial U sehingga T U T  dengan
  1 * 2 T T T  .  Lebih  lanjut, T U T  disebut  dekomposisi  dari T pada  ruang
Hilbert H .
Bukti  : Ambil  sebarang x H  .  Karena 2 * ( ), ( ), ( ) ( ) 0 T T x x T x T x T x   
diperoleh   * T T adalah  operator  positif.  Karena 2 * T T T  adalah  positif,  maka
110                                                                                                                                      Gunawan
  1 * 2 T T T  merupakan operator positif. Karena T adalah operator positif, maka
* T T  ( self  adjoint ).    Perhatikan  bahwa 2 * * T T T T T T T    .  Menurut
Teorema 2.8, terdapat operator isometri parsial U sehingga T U T  .
Lemma  2.10 (Furuta,  2002) . Diketahui H ruang  Hilbert  atas F dan ( ) T B H  .
Jika T U T  dekomposisi dari T pada ruang Hilbert H maka * * p p T U T U 
untuk setiap p>0 .
Bukti: Ambil sebarang x H  . Perhatikan bahwa
2 2
* ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) 0. T x x T T x x T x T x T x    
Jadi 2 T adalah  operator  positif.  Akibatnya, T merupakan  operator  positif.
Kemudian, * * * * * ( ) T U T T U T U    , sehingga diperoleh
2 * * * * * * 2 ( )
T TT U T T U U T U U T U U T U     .
Untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ , diperoleh
        2 2 * * * * 2 2 * *
* * *
faktor faktor faktor = ... ... ... . n n n n n n n T U T U U T U U T U U T U U T U U T T U
U T U U T U
    
Selanjutnya akan ditunjukkan * * n n m m T U T U  untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ .
Ambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dan m tetap, diperoleh
1) Untuk n=1 diperoleh 1 1 * * m m T U T U  2) Anggap benar untuk n=k,
* * k k m m T U T U 
3) Akan dibuktikan benar untuk n=k+1 , 1 1 1
1 1
* * * * * k k k k k m m m m m m m m T T T U T U U T U U T I T U U T U      
Jadi * * n n m m T U T U  untuk  setiap 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ .  Selanjutnya,  dengan  sifat kekontinuan, diperoleh
* * * lim n p p m n p m T U T U U T U    .
Karena 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , maka n m merupakan bilangan rasional. Karena n m merupakan bilangan rasional dan 𝑛 𝑚 → 𝑝 , maka p>0 . Jadi * * p p T U T U  untuk setiap p > 0 .
Teorema 2.11 (Furuta, 2008) . Diketahui H ruang Hilbert  atas F dan ( ) T B H  .
Diberikan T U T  adalah  dekomposisi  dari T pada  ruang  Hilbert H .  Jika T adalah hiponormal- p maka untuk 0 < p < 1 2 , 1 1 2 2 1 hiponormal- 2 T T U T p        
Bukti : Diketahui, untuk p > 0 , T hiponormal- p , yang berarti
    2 2 * * * p p p p T T
TT T T    .
Perhatikan bahwa
    * * 2 2 * 2 2 * * * , untuk suatu ( ) isometri parsial. p p p p p p T T TT T T
U T U U T U U B H       Diperoleh 2 2 * .         (1) p p U T U T 
Lebih lanjut,
112                                                                                                                                      Gunawan
2 2 2 * * . p p p T T U T U   (2)
Untuk setiap x H  2 2 * * * ( ), ( ), ( ) 0 p p
U T U x x T U x U x   .     (3) Dari (1), (2), dan (3) diperoleh
2 2 2p * * 0. p p
U T U T U T U    Selanjutnya,     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 * * * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 * * 2 2 2 2 2 2 1 * 2 = . p p p p p p p T T T U T T U T T U T U T
T T T T U T U T T U T T U T TT
                                         
Jadi, 1 hiponormal- 2 T p        .

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN

## 3.1 Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  di  atas,  maka  kesimpulan  yang  dapat  diambil adalah jika diberikan H ruang Hilbert atas F maka, untuk bilangan p> 0, operator linear  kontinu T dikatakan  hiponormal- p apabila  operator T memenuhi  sifat    
* * p p T T TT  .  Lebih  lanjut,  untuk p>0, jika T operator  hiponormal- p maka, untuk 0 < q ≤ p , T merupakan operator hiponormal- q . Selain itu, untuk bilangan p> 0, apabila
T
hiponormal- p maka, untuk 0 < p < 1 2 ,
1 1 2 2 1 hiponormal- 2 T T U T p         .

## 3.2 Saran
Dalam tulisan ini, penulis hanya membahas mengenai beberapa sifat-sifat hiponormal- p pada  ruang  Hilbert.  Untuk  peneliti  selanjutnya,  diharapkan  dapat
Karakteristik Operator Hiponormal                                                                                          113
menentukan sifat lain dari operator hiponormal- p pada ruang Hilbert, diantaranya menyelidiki  hubungan  operator  hiponormal- p dengan  operator  hiponormal- w , operator class (A), dan operator paranormal.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Pada  kesempatan  yang  baik  ini,  tidak  lupa  penulis  mengucapkan  terima kasih  yang  sebesar-  besarnya  kepada  yang  terhormat  Dr.  Ch.  Rini  Indrarti,  M.Si yang telah membimbing penulis dalam penyusunan tulisan ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Aluthge,  A.,  and  Wang,  D.  1999.  An  Operator  Inequality  Which  Implies
Paranormality. Mathematical Inequalities and Applications , 2, 113-119. Berberian,  S.K.1961. Introduction  to  Hilbert  Spaces .  New  York:  Oxford University Press.
Cho, M. and Jin, H. 1995. On p-Hyponormal Operators. Nihonkai Math J , 6, 201- 206.
Furuta, T. 2002. Invitation to Linear Operators . New York: Taylor and Francis.
Furuta,  T.  2008.  Brief  Survey  Of  Recent  Applications  Of  An  Order  Preserving Operator  Inequality. Taiwanese  Journal  of  Mathematics ,  12(8),  2113- 2135.
Horn, R.A and Johnson, C.R.1985. Matrix Analysis . United Kingdom:Cambridge University Press.
Huruya,  T.  1997.  A  Note  On  p-  Hyponormal  Operators. Proceedings  Of  The American Mathematical Society , 125(12), 3617- 3624.
Kreyszig, E.1978. Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley and Sons.
J.Yuan  and  C.Yang.  2006.  Powers  Of  Class  wF(p,r,q)  Operators. Journal  of inequalities in pure and applied mathematics. 32(7).
114                                                                                                                                      Gunawan