ISSN(p): 2338-8323  | ISSN(e): 2459-9638 | Vol. 8 | No. 3 | Halaman 657 - 671
DOI : http://dx.doi.org/10.26760/elkomika.v8i3.657

## Pemodelan Arus Stator Motor Induksi Tiga Fasa dengan Metode Gear

## NANANG MULYONO, DWI SEPTIYANTO, SUYANTO
Teknik Elektro Politeknik Negeri Bandung, Indonesia Email : nanang.mulyono@polban.ac.id
Received 1 April 2020 | Revised 27 April 2020 | Accepted 1 Juni 2020

## ABSTRAK
Penelitian ini mendiskusikan proses dan hasil implementasi pemodelan arus stator motor  induksi  tiga  fasa  dengan  metode  Gear.  Tujuan  penelitian  ini  adalah menghasilkan  program  simulasi  motor  listrik    yang  mampu  menampilkan karakteristik dinamik  arus stator motor induksi tiga fasa. Metodologi penyelesaian penelitian ini dimulai dari ide dasar, studi literature, perancangan, pembuatan dan pengujian software. Penerapan metode Gear dibuat dengan bahasa Python. Hasil simulasi  arus  stator  yang  diamati  pada  kondisi  transien  dan  tunak,  yaitu  nilai maksimum,  nilai  minimum,  waktu transisi  dan  nilai  peak-to-peak.  Hasil  simulasi tersebut dibandingkan dengan hasil simulasi menggunakan modul solver ODE15 yang tersedia pada Matlab. Simulator yang dibuat dapat mensimulasikan perilaku dinamik  motor  induksi  tiga  fasa  dengan  perbedaan  1,5  %,  0,93  %  dan  1,5  % secara berturut-turut untuk arus stator fasa-a, arus stator fasa-b dan arus stator fasa-c.
Kata kunci : model dinamik, motor induksi, metode Gear, ODE15

## ABSTRACT
This study discusses the process and results of implementing the stator current modeling of the three-phase induction motor using the Gear method. This study aims to produce an electric motor simulation program that can display the dynamic characteristics  of  the  stator  current  of  a  three-phase  induction  motor.  The methodology of completing this research is the basic idea, literature study, design, creation, and software testing. The application of the Gear method is made with the Python programming language. Stator current simulation results are observed in transient and steady conditions, namely the maximum value, minimum value, transition time, and peak-to-peak value. The simulation results are compared with the  simulation  results  using  the  ODE15  solver  module  available  in  Matlab.  The simulator  created  can  simulate  the  dynamic  behavior of the  stator  current  of  a three-phase  induction  motor  with  a  difference  of  1.5%,  0.93%,  and  1.5% respectively for phase-a, phase-b, and phase-c.
Keywords : dynamic model, induction motor, Gear method, ODE15

## 1. PENDAHULUAN
Karakteristik  dinamik  motor  listrik  merupakan  salah  satu  pertimbangan  dalam  pengujian sistem  kendali  motor  listrik.  Pengujian-pengujian  eksprimental  awal  yang  dilakukan  secara konvensional  dengan  menggunakan  motor  secara  real  pada  umumnya  akan  menimbulkan sejumlah kendala uji yang kurang menguntungkan. Cara konvensional tersebut membutuhkan biaya  yang  mahal,  terutama  untuk  mesin  berkecepatan  tinggi  atau  besar (Boldea,  dkk, 2001) .    Simulasi  dinamis  pada  proses  perancangan  sistem  penggerak  motor  memainkan peran penting dalam pra-pengujian sistem penggerak, menemukan kemungkinan kesalahan desain, atau mencegah kemungkinan bug/cacat yang dapat dipenuhi setelah pembuatan. Hal tersebut tergantung pada model dinamis dari motor induksi yang diperlukan dan digunakan (Kocabas, dkk, 2011) (Aleck, 2017) (Phukon, dkk, 2015) .
Bélanger (Bélanger, dkk, 2010) telah melakukan penelitian dan mengklasifikasikan digital simulator seperti Rapid Control Prototyping (RCP), Hardware-in-the-Loop (HIL) dan Software in  the  Loop  (SIL).  HIL memungkinkan  untuk  digunakan  sebagai  alat  uji  berbagai  kontroler ketika  objek  fisik  motor  tidak  tersedia.  Mulyono (Mulyono,  dkk,  2018) telah mengimplementasikan model dinamik motor induksi tiga fasa berbasis metode Runge-Kutta orde empat dan raspberry pi. Simulator tersebut mampu menghasilkan data arus stator dan putaran rotor dengan pola grafiknya relatif sama dengan hasil simulasi menggunakan Matlab. Tetapi memiliki perbedaan lebih kecil dari 11% dan 14% untuk masing-masing besaran arus stator dan putaran rotor. Selain itu, terjadi juga kegagalan mendapatkan solusi ketika interval waktu yang diterapkan pada solver Runge-Kutta orde empat sebesar 0,1 detik. Tetapi ketika interval waktu yang diberikan  0,0001  detik, solver yang dibuat  mampu  memberikan  solusi. Oleh karena itu terindikasi model dinamik motor induksi yang digunakan merupakan sistem persamaan diferensial stiff.
Persamaan diferensial stiff sering terjadi pada studi kinetik kimia, sirkuit listrik, vibrasi, sistem kendali  dan  lain-lain (Omale,  dkk,  2014) .  Persamaan  diferensial stiff  merupakan permasalahan  metode  eksplisit  tidak  dapat  bekerja  dan  tidak  stabil  secara  numerik  kecuali pada interval yang sangat kecil (Esfandiari, 2017) (Omale, dkk, 2014) . Jenis persamaan diferensial tersebut sifatnya tidak unik dan relatif sulit diidentifikasi sejak dini. Permasalahan stiff    numeric  tidak  dapat  diselesaikan  dengan  solver  konvensional (Rath,  dkk,  2017) . Metode  Runge-Kutta  orde  empat  merupakan  metode  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial non-stiff (Kulikov,  2013)  (Shampine,  dkk,  1979) .  Jika  metode non-stiff digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial stiff (permasalahan nilai awal), maka solver  tersebut  membutuhkan waktu sangat  lama  untuk  menyediakan  solusi /  memberikan solusi  yang  tidak  akurat  / solver  gagal  menyediakan  solusi (Omale,  dkk, 2014) .  Metode multi-step  yang  popular  untuk  permasalahan  stiff  yaitu  BDF  (Backward  Differentiation Formulae). Metode BDF dikenal juga sebagai metode Gear. BDF merupakan metode implisit yang melibatkan berbagai formula interpolasi (Rahmouni, dkk, 2017) .
Rahmouni (Rahmouni, dkk, 2017) telah melakukan kajian kestabilan transien pada jaringan sistem  tenaga  39- bus.  Kajian  terebut  menggunakan  metode  Gear  dan  Block  untuk menyelesaikan persamaan deferensial dari model jaringan sistem tenaga 39- bus. Hasil simulasi dari  kedua  metode  tersebut  dibandingkan  dengan  metode  Runge-Kutta  orde  empat.  Hasil simulasi menggunakan metode Gear dan Block menunjukkan hasil yang akurat. Metode Gear membutuhkan  28%  dari  waktu  komputasi  metode  Runge-Kutta,  sedangkan  metode Block membutuhkan  waktu  25%  dari  waktu  komputasi  metode  Runge-Kutta.  Penelitian  yang membahas  pemodelan  dan  simulasi  motor  induksi  telah  banyak  dilakukan  seperti  yang dilakukan oleh  Bora  dan  timnya (Boora, dkk, 2013) ,  Dorjsuren  dan timnya (Dorjsuren, dkk, 2015) , Mengha dan timnya (Menghal, dkk, 2014) dan lain lain.
Tujuan  penelitian  ini  adalah  menghasilkan  program  simulasi  motor  listrik    yang  mampu menampilkan karakteristik dinamik  arus stator motor induksi 3 fasa berbasiskan metode Gear dan bahasa Python sesuai dengan hasil simulasi berbasis modul solver ODE15 pada Matlab.
2. METODE GEAR DAN MODEL DINAMIK MOTOR INDUKSI TIGA FASA

## 2.1 Metode Gear
Metode multi-step yang popular untuk permasalahan stiff yaitu BDF (Backward Differentiation Formulae). Rumus BDF merupakan fungsi implisit dan biasanya diimplementasikan bersama dengan metode Newton yang dimodifikasi untuk menyelesaikan sistem nonlinear pada setiap langkah waktu. Metode backward differentiation memiliki bentuk umum seperti Persamaan (1) (Rahmouni, dkk, 2017) .
𝛼 𝑦 𝑛−𝑖 = ℎ𝛽𝑓(𝑡 , 𝑦 ) (1)
Dengan α i , β merupakan koefisien untuk formula BDF p-step, nilainya seperti Tabel 1. Metode diferensiasi mundur harus digunakan bersama-sama dengan prediktor karena metode tersebut implisit. Metode Gear merupakan metode one-step yang diperoleh dari resultan pasanga multi- step yaitu prediktor dan korektor. Metode tersebut memungkinkan terjadinya perubahan lokal dari urutan metode dan ukuran mesh. Metode Gear dirumuskan seperti Persamaan (2).
𝑦 = 𝛼 𝑗 𝑦 𝑝−1 𝑖=0 + ℎ𝛽𝑓(𝑡 , 𝑥 ) (2)
Metode Gear orde empat dirumuskan seperti pada Persamaan (3).
𝑦 = ℎ 𝑓 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 (3)
Tabel 1. Koefisien Metode P-step BDF P β α 0 α 1 α 2 α 3 α 4 1 1
1
2 2 3 4 3 − 1 3
3 6 11 18 11 − 9 11 2 11 4 12 25 48 25 − 36 25
16 25 − 3 25 5 60 137 300 137 − 300 137
200 137 − 75 137 − 12 137
Ketika ukuran langkahnya konstan h, berorde k, dan langkahnya dari (t n , y n ) ke (t n+1 , y n+1 ) maka BDF k dirumuskan seperti Persamaan (4).
1 𝑚 ∇ 𝑚 𝑦 𝑛+1 − ℎ𝐹 𝑡 𝑛+1 , 𝑦 𝑛+1 = 0 (4)
BDF  merupakan  implicit  integrator    oleh  karena  itu    Algebraic  equation    y n+1 diselesaikan dengan iterasi. Nilai awal untuk iterasi direkomendasikan seperti Persamaan (5) (Shampine, dkk, 1997) (Griffiths, 2016).
𝑦 ( ) = ∇ 𝑦 𝑘 𝑖=0 (5)

## Gambar 1. Motor Induksi 3 Fasa Simetris (Mulyono, dkk, 2018)

## 2.2 Model Dinamik Motor Induksi Tiga fasa
Lyshevski  dan  Mulyono (Lyshevski,  2008)  (Mulyono,  dkk,  2018) menjelaskan  model dinamik motor induksi 3 fasa berbasis pada sirkuit elektromagnetik seperti Gambar 1 dengan belitan  stator  dan  rotornya  dikonfigurasi  bintang.  Berbasis  pada  Gambar  1,  persamaan tegangan pada belitan stator dan rotor, arus stator dan rotor serta flux linkage dapat diperoleh dengan menggunakan hukum tegangan Kirchhoff serta dengan menerapkan hukum Newton dan prinsip co-energy untuk memperoleh persamaan torka, maka persaman model dinamik motor induksi diperoleh dalam bentuk persamaan diferensial Cauchy seperti Persamaan (6) sampai dengan Persamaan (35). Parameter-parameternya, yaitu :
P jumlah kutub [-] r s resistansi belitan Stator [Ω]
r r resistansi belitan Rotor [Ω]
L ms induktansi bersama/mutual Stator-Rotor [H]
𝐿 induktansi bocor [H] B m
viscous Friction Coefficient [-]
J momen inersia motor [kg m²] T L torsi beban [N-m]
Freq  frekuensi dari tegangan yang di terapkan [Hz]
u as tegangan fasa pada belitan stator-as [V] u bs tegangan fasa pada belitan stator-bs [V] u cs tegangan fasa pada belitan stator-cs [V]
u ar tegangan fasa pada belitan rotor-ar  [V] u br tegangan fasa pada belitan rotor-br  [V]
u cr
tegangan fasa pada belitan rotor-cr  [V] i as arus pada belitan stator-as  [A]
i bs
arus pada belitan stator-bs   [A]
i cs arus pada belitan stator-cs   [A]
𝑖 arus pada belitan rotor-ar   [A]
𝑖 arus pada belitan rotor-br   [A]
𝑖 arus pada belitan rotor-cr   [A]
 r kecepatan sudut [rad/detik]
 r sudut fasa [rad] T e torsi rotor [N-m]
𝒀 = (𝑨𝑿 + 𝑩𝑿 + 𝑪𝑿 + 𝑫𝑼) (6)
Dengan 𝑌 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑋 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑈 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (7)
A, B, C dan D pada Persamaan (6) merupakan  matriks 6x6 seperti Persamaan (8) - (11).
𝐴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴
𝐴 𝐴 𝐴 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (8) 𝐵 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (9) 𝐶 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶
𝐶 𝐶 𝐶
𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶
𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (10) 𝐷 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷
𝐷 𝐷
𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷
𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷
𝐷 𝐷 𝐷 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (11)
Dengan elemen-elemen matrik A, B, C dan D sebagai berikut:
a. A 45 , A 46 , A 54 , A 56 , A 64 , A 65 , A 14 , A 15 , A 16 , A 24 , A 25 , A 26 , A 3 4, A 35 , A 36 , A 41 , A 42 , A 43 , A 51 , A 52 , A 53 , A 61 , A 62 , A 63 bernilai nol
b. B 11 , B 12 , B 13 , B 21 , B 22 , B 23 , B 31 , B 32 , B 33 , B 44 , B 45 , B 46 , B 54 , B 55 , B 56 , B 64 , B 65 , B 66 bernilai nol c. C 11 , C 22 , C 33 , C 44 , C 55 , C 66 bernilai nol
Elemen-elemen matrik A, B, C dan D yang tidak sama dengan nol seperti Persamaan (12) – (32).
A = A = A = A = A = A = −𝑟 𝐿 (12) A , A , A , A , A , dan A = − 𝑟 𝐿 (13) B = B = B = 𝑟 𝐿 cos 𝜃 (14) B = B = B = 𝑟 𝐿 cos 𝜃 (15) B = B = B = 𝑟 𝐿 cos 𝜃 + 𝜋 (16) B = B = B = 𝑟 𝐿 cos 𝜃 − 𝜋 (17) B = B = B = 𝑟 𝐿 cos 𝜃 + 𝜋 (18) B = B = B = 𝑟 𝐿 cos 𝜃 − 𝜋 (19) C = C = C = C = C = 1.299𝐿 𝜔 (20) C = C = C = C = C = C = −1.299𝐿 𝜔 (21) C = C = C = C = C = C = 𝐿 Σ 𝜔 sin 𝜃 (22)
C = C = C = C = C = C = 𝐿 Σ 𝜔 sin 𝜃 − 𝜋 (23)
C = C = C = C = C = C = 𝐿 Σ 𝜔 sin 𝜃 + 𝜋 (24)
D = D = D = D = D = D = 2𝐿 + 𝐿 ′ (25)
D = D = D21 = D = D = D = D = D = D = D = D = D = 𝐿 (26)
D = D = D = D = D = D = −𝐿 cos 𝜃 (27) D = D = D = D = D = D = −𝐿 cos 𝜃 − 𝜋 (28)
D = D = D = D = D = D = −𝐿 cos 𝜃 + 𝜋 (29)
Dengan nilai 𝐿 , 𝐿 , dan 𝐿 seperti Persamaan (30) - (32)
𝐿 = (3𝐿 + 𝐿 )𝐿 (30) 𝐿 = 2𝐿 + 𝐿 (31) 𝐿 = 𝐿 + 𝐿 𝐿 (32)
Putaran rotor dihitung menggunakan Persamaan (33) dan Persamaan (34)
= (𝑇 − 𝑇 ) − 𝜔 (33)

## Dengan
= 𝜔 (34)
Torsi rotor dihitung menggunakan Persamaan (35)
𝑇 = − 𝐿 (𝑖 𝑖 + 𝑖 𝑖 + 𝑖 𝑖 ) sin 𝜃 + (𝑖 𝑖 + 𝑖 𝑖 + 𝑖 𝑖 ) sin 𝜃 − 𝜋 + (𝑖 𝑖 + 𝑖 𝑖 + 𝑖 𝑖 ) sin 𝜃 + 𝜋 (35)

## 3. METODOLOGI PENYELESAIAN
Secara umum, langkah-langkah penelitian dimulai dari ide dasar, studi literatur, perancangan, pembuatan  dan  pengujian software.  Tahapan  tersebut  dijelaskan  secara  singkat  sebagai berikut:
1. Gagasan/ide  penelitian  ini  adalah  mengimplementasikan  metode  penyelesaian persamaan model dinamik pada simulator motor induksi.
2. Studi pustaka, tahapan ini dilakukan melalui telaah literatur terhadap karya-karya yang dilakukan  oleh  peneliti  sebelumnya  khususnya  berkaitan  dengan  simulator  motor induksi, model dinamik motor induksi tiga fasa dan penyelesaian persaman diferensial secara numerik.
3. Perancangan software, merupakan tahapan pembuatan algoritma software ke dalam bentuk flowchart yang terdiri dari program simulasi motor listrik berbasis modul ODE15 dan metode Gear.
4. Realisasi software, merupakan tahapan pengkodean kedalam bentuk skrip Matlab dan skrip Phyton.
5. Pengujian software, tahapan ini terdiri dari dua tahap pengujian yaitu :
a. Tahapan  pengujian software  secara  individual,  tahapan  ini  dilakukan  untuk meyakinkan  algoritma  Gear  yang  telah  dibuat  dapat  menghasilkan  solusi  dari permasalahan  persamaan  deferensial.  Algoritma  tersebut  diuji  dengan menggunakan fungsi yang sederhana  yang terdiri dari satu variabel bebas dan satu variabel terikat.
b. Tahapan pengujian software secara keseluruhan. Tahapan ini merupakan proses validasi software simulator motor induksi tiga fasa berbasis metode Gear dengan cara  membandingkannya  dengan  hasil  simulasi  dengan  Matlab  berbasis  ODE15. Parameter-parameter  motor  induksi  yang  dibandingkan  adalah  arus  stator. Parameter-parameter tersebut akan diamati pada nilai maksimum, nilai minimum, waktu transisisi dan nilai peak-to-peak pada kondisi tunak.
3.1 Program Simulasi Motor Listrik Berbasis ODE15 ODE15 merupakan salah satu modul solver penyelesaian persamaan diferensial yang tersedia pada Matlab dan metode yang digunakan adalah Numerical Differentiation Formulas (NDF). Metode tersebut merupakan salah satu jenis metode BDF. Simulator motor induksi tiga fasa berbasis  ODE15  dibuat  dalam  bentuk M-File  dengan  flowchart  seperti  pada  Gambar  2  dan dijelaskan sebagai berikut:
1. Tetapkan nilai parameter-parameter motor seperti jumlah kutub (P), resistansi belitan stator (R s ), resistansi belitan rotor (R r ), induktansi bersama stator-rotor(L ms ), viscous Friction Coefficient  (Bm), momen inersia motor (J), Torsi beban (T L ), Tegangan stator (U as , U bs , U sc ) , frekuensi (freq), tegangan rotor fasa-a (u ar ), tegangan rotor fasa-b (u br ), tegangan rotor fasa-c (u cr ).
2. Tetapkan nilai lama simulasi (t s ), langkah simulasi (h) dan awal simulasi (t 0 ).
3. Hitung banyak data simulasi m =  (t s + t 0 )/h.
4. Tetapkan nilai awal atau kondisi awal untuk arus, torsi beban, kecepatan dan sudut fasa (ias 0 , ibs 0 , ics 0 ,iar 0 , ibr 0 , icr 0 , θ 0 , w 0 ).
5. Selesaikan  persamaan  deferensial  (Persamaan  (5)    dan  Persamaan  (6)  -  (34)) menggunakan modul ODE15 yang tersedia pada Matlab.
6. Hitung torsi rotor Te menggunakan Persamaan (35).
7. Tampilkan hasilnya kedalam bentuk grafik.

## 3.2 Program Simulasi Motor Listrik Berbasis Metode Gear
Metode  penelitian  dititikberatkan  pada  pembuatan  simulator  motor  induksi  tiga  fasa  yang meliputi  metode  Gear/ BDF,  Runge-Kutta  orde  empat,  iterasi  Gaus-Jacobi  dan  ODE15. Algoritma simulator berbasis metode Gear/ BDF dibuat seperti pada Gambar 3 hingga 5 dengan bahasa pemograman Python. Model dinamik motor induksi yang digunakan seperti Persamaan (6) - (35). Penelitian ini menggunakan  metode Gear/ BDF orde empat seperti Persamaan (1)- (5) dan konstanta-konstantanya dapat dilhat pada Tabel 1. Metode Gear merupakan metode penyelesain persamaan deferensial yang tidak dapat self-starting. Oleh karena itu diperlukan suatu metode untuk membangkitkan data awal. Banyaknya data awal relatif terhadap jenis metode Gear yang digunakan. Penelitian ini memerlukan empat data awal dan metode  yang digunakan  untuk  membangitkan  data  awal  yaitu  metode  Runge-Kutta  orde  empat.  Gear merupakan integrator implisit oleh karena itu penelitian ini menggunakan metode iterasi Gaus- Jacobi untuk menyelesaikan fungsi implisit pada metode Gear. Urutan proses pada Gambar 3 dan 4 dijelaskan sebagai berikut:
1. Tetapkan nilai parameter-parameter motor seperti jumlah kutub (P), resistansi belitan stator (R s ), resistansi belitan rotor (R r ), induktansi bersama stator-rotor(L ms ), viscous Friction Coefficient  (Bm), momen inersia motor (J), Torsi beban (T L ), Tegangan stator (U as , U bs , U sc ) , frekuensi (freq), tegangan rotor fasa-a (u ar ), tegangan rotor fasa-b (u br ), tegangan rotor fasa-c (u cr ). 2. Tetapkan nilai lama simulasi (ts), langkah simulasi (h) dan awal simulasi (t 0 ).
Gambar 2. Flowchart Simulator Motor Induksi Tiga Fasa Berbasis ODE15
Gambar 3. Flowchart Penetapan Data awal Simulator Motor Induksi Tiga Fasa Berbasis Metode Gear
3. Hitung banyak data simulasi m =  (t s + t 0 )/h.
4. Tetapkan nilai n sama dengan nol (n adalah nomor/indeks data, indeks data dimulai dari nol).
5. Tetapkan nilai awal atau kondisi awal untuk arus, torsi dan kecepatan dan sudut fasa (ias 0 , ibs 0 , ics 0 ,iar 0 , ibr 0 , icr 0 , θ 0 , w 0 ).
6. Selanjutnya  menghitung/membangkitkan  empat  data  awal  menggunakan  metode Runge-Kutta  orde empat  untuk  parameter ias n ,  ibs n ,  ics n ,iar n , ibr n ,  icr n ,w n θ n , (untuk n=0 sampai dengan n=3). Proses ini bekerja jika n<4.
7. Jika n >=4, maka hitung data menggunakan metode Gear untuk parameter ias n , ibs n , ics n , iar n , ibr n , icr n ,w n θ n . (n merupakan nomor/indek data).
8. Hitung torsi rotor Te menggunakan Persamaan (35).
9. Hitung variabel waktu t n dalam detik, t n = t n +h (t n adalah waktu pada data ke n). 10. Simpan nilai ias n , ibs n , ics n ,iar n , ibr n , icr n ,w n θ n ,Te n dan t n .
11. Hitung n=n+1, tahapan ini bertugas untuk menaikan nomor/indek data.
12. Kembali ke langkah 7, jika batas simulasi belum tercapai (n<m).
Urutan proses pada Gambar 5 dijelaskan sebagai berikut :
1. Tetapkan/menghitung  nilai/data  awal  dari  ias n ,  ibs n ,  ics n ,iar n ,  ibr n ,  icr n ,w n ,  dan  θ n . mengunakan Persamaan (5)  dan Persamaan (6) sampai dengan Persamaan (34). Data awal ini merupakan nilai/data prediksi dari nilai/data ke-n dan dihitung berdasarkan empat data sebelumnya.
2. Simpan nilai/data ias n , ibs n , ics n ,iar n , ibr n , icr n , w n , dan θ n ke variabel sementara.
3. Selanjutnya menghitung data/nilai korektor dari iasn, ibs n , ics n ,iar n , ibr n , icr n ,w n dan θ n menggunakan Persamaan (3) dan Persamaan (6) sampai dengan Persamaan (34).
4. Hitung norm error dari iasn, ibs n , ics n ,iar n , ibr n , icr n ,w n , dan θ n . proses ini merupakan menghitung selisih absolut antara nilai sebulumnya dengan nilai saat ini.
Gambar 4. Flowchart Pemrosesan Data Simulator Motor Induksi Tiga Fasa Berbasis Metode Gear Gambar 5. Flowchart Menghitung ias n , ibs n , ics n , iar n , ibr n , icrn,w n dan θ n menggunakan Metode Gear pada Gambar 4
5. Ambil nilai norm error terbesar atau error = error terbesar dari ias n , ibs n , ics n , iarn, ibr n , icr n ,w n , dan θ nv .
6. Jika error lebih besar dari batas  error maka langkah ke 2 sampai dengan 5 diulang terus. Proses ini merupakan proses iterasi Gaus-Jacobi.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini memaparkan hasil simulasi motor induksi dengan menggunakan metode Gear dan ODE15. Waktu simulasi yang diterapkan nol sampai dengan dua detik dengan interval waktu 0,0001 detik dan kriteria error pada iterasi Gaus-Jacobi sebesar 0,00001. Motor mulai dibebani ketika waktu lebih dari satu detik. Kondisi tersebut dianggap cukup untuk membandingkan hasil simulasi metode Gear dan ODE15, karena pada saat satu detik motor dapat mencapai keadaan tunak. Kondisi transien yang diamati adalah arus sesaat terbesar dan terkecil serta lama waktu transien.  Sedangkan pada  kondisi  tunak  yang  diamati adalah arus peak-to-peak. P arameter- parameter motor yang digunakan sebagai berikut:
1. Jumlah kutub 2
2. Resistansi belitan Stator 0,3 Ω
3. Resistansi belitan Rotor  0,2 Ω
4. Induktansi bersama/mutual Stator-Rotor 0,035 H
5. Induktansi bocor 0,003 H
6. Viscous Friction Coefficient 0,001
7. Momen inersia 0,02 kg m²
8. Torsi beban 40 N-m
9. Tegangan 220 volt (rms)
10. Frekuensi dari tegangan yang diterapkan 60 Hz

## 4.1 Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-a
Berdasarkan Gambar  6 dan  7  pada kondisi motor tidak berbeban  menunjukkan  pola grafik yang relatif identik untuk simulasi menggunakan metode Gear dan ODE15. Hasil perbandingan arus  stator  fasa-a  dengan  kondisi  motor  tidak  berbeban  dapat  dilihat  Tabel  2  dengan perbandingan arus sesaatnya sebagai berikut :
1. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat tertinggi 150,22139 amper  pada  saat  0,0536  detik.  Sedangakan  ODE15  menghasilkan  arus  sesaat 150,25926 amper pada saat 0,0536 detik.
2. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat terkecil -155,47341 amper pada saat 0,1286 detik. Sedangkan simulasi menggunakan ODE15 -155,64565 amper pada saat 0,0536 detik.
3. Ditinjau dari besarnya arus peak-to-peak pada kondisi tunak, simulasi menggunakan metode Gear sebesar 29,77505 amper dan 29,77323 amper untuk ODE15.
Perbandingan hasil simulasi arus stator fasa-a dengan kondisi motor berbeban,  menunjukkan pola grafik yang relatif identik. Hasil perbandingan arus stator fasa-a dengan kondisi motor berbeban  dapat  dilihat  juga  pada  Tabel 3  dengan  perbandingan  arus  sesaatnya  sebagai berikut:
1. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat tertinggi 56,43329 amper pada saat 1,0346 detik. Sedangakn simulasi menggunakan ODE15 56,40591 amper pada saat 1,03460 detik.
2. Simulasi  menggunakan  metode Gear menghasilkan  arus  sesaat  terkecil -56,72026 amper  pada  saat  1,043  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat terkecil -55,88495 amper pada waktu 1,03460 detik.
3. Ditinjau dari besarnya arus peak-to-peak pada kondisi tunak, simulasi menggunakan metode  Gear  sebesar  85,86374  amper  dan  85,35201  amper  untuk  simulasi mengunakan ODE15.
Tabel 2. Perbandingan Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-a Kondisi Motor Tidak Berbeban
No Variabel Metode yang digunakan  selisih absolut [%] Gear ODE15 1  Arus sesaat terbesar [A] 150,22139 150,25926 0,0252 2  Arus sesaat terkecil [A] -155,47341 -155,64565 0,1107 3  Lama waktu transien [detik] 0,50000 0,50000 0,0000 4  Arus peak-to-peak pada kondisi tunak [A]  29,77505 29,77323 0,0061 Tabel 3. Perbandingan Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-a Kondisi Motor Berbeban No Variabel Metode yang digunakan selisih absolut [%] Gear ODE15 1  Arus sesaat terbesar [A] 56,43329 56,40591 0,0485 2  Arus sesaat terkecil [A] -56,72026 -55,88495 1,4947 3  Lama waktu transien [detik] 1,25000 1,25000 0,0000 4  Arus peak-to-peak pada kondisi tunak [A]  85,86374 85,35201 0,5996

## 4.2 Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-b
Hasil  simulasi  dapat  dilihat  pada  Gambar  8  dan  9, ditinjau  secara  visual  kedua  grafik tersebut dapat dikatakan polanya relatif mirip baik dalam kondisi berbeban maupun kondisi tidak  berbeban.  Perbandingan  hasil  simulasi  menggunakn  metode  Gear  dan  ODE15  untuk kondisi motor tidak berbeban seperti Tabel 4 dan dijelaskan sebagai berikut:
1. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat terbesar 200,79026 amper  pada  waktu  0,0089  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat terbesar 200,78155 amper pada waktu 0,0089 detik.
2. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat terkecil 147,29156 amper  pada  waktu  0,1674  detik.  Sedangakn  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat tertinggi -148,08988 pada waktu 0,1674 detik.
3. Ditinjau dari besarnya arus peak-to-peak pada kondisi tunak, simulasi menggunakan metode  Gear  memiliki  arus peak-to-peak  sebesar  29,77516  amper  dan  29,77328 amper untuk simulasi mengunakan ODE15.
Gambar 7. Grafik Arus Stator Fasa-a
Berbasis ODE15
Gambar 6. Grafik Arus Stator Fasa-a Berbasis Metode Gear
Tabel 4. Perbandingan Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-b Kondisi Motor Tidak Berbeban
No Variabel Metode yang digunakan selisih absolut [%] Gear ODE15 1  Arus sesaat terbesar [A] 200,79026 200,78155 0,0043 2  Arus sesaat terkecil [A] -147,29156 -148,08988 0,5391 3  Lama waktu transien [detik] 0,50000 0,50000 0,0000 4  Arus peak-to-peak pada kondisi tunak [A] 29,77516 29,77328 0,0063
Perbandingan hasil simulasi arus stator fasa-b dengan kondisi motor berbeban dapat dilihat pada Tabel 5 dengan uraian sebagai berikut :
1. Simulasi  menggunakan metode  Gear  menghasilkan arus  sesaat  terbesar 57, 5314 amper  pada  waktu  1,0402  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat terbesar 57,00639 amper pada waktu 1,0402 detik.
2. Simulasi  menggunakan metode  Gear  menghasilkan arus  sesaat  terkecil  -54,36661 amper  pada  waktu  1,0318  detik.  Sedangakn  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat tertinggi  -54,38813 amper pada waktu 1,0318 detik.
3. Ditinjau dari besarnya arus peak-to-peak pada kondisi tunak, simulasi menggunakan metode  Gear  memiliki  arus peak-to-peak  sebesar  85,86116  amper  dan  85,35796 amper untuk simulasi mengunakan ODE15.
Tabel 5. Perbandingan Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-b Kondisi Motor Berbeban
No Variabel Metode yang digunakan selisih absolut [%] Gear ODE15 1  Arus sesaat terbesar [A] 57,53140 57,00639 0,9210 2  Arus sesaat terkecil [A] -54,36661 -54,38813 0,0396 3  Lama waktu transien [detik] 1,25000 1,25000 0,0000 4  Arus peak-to-peak pada kondisi tunak [A] 85,86116 85,35796 0,5895

## 4.3 Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-c
Tabel  6  merupakan  hasil  perbandingan  pada  kondisi  motor  tidak  berbeban  berdasarkan Gambar 10 dan 11. Ditinjau dari besaraan arus sesaatnya dijelaskan sebagai berikut:
1. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat tertinggi 151,60294 amper  pada  waktu  0,148  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat terbesar 151,39062 amper pada waktu 0,148 detik.
Gambar 9. Grafik Arus Stator Fasa-b Berbasis ODE15
Gambar 8. Grafik Arus Stator Fasa-b Berbasis Metode Gear
2. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat terkecil -199,48249 amper  pada  waktu  0,00610  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat tertinggi -199,47845 amper pada waktu 0,0061 detik.
3. Ditinjau dari besarnya arus peak-to-peak pada kondisi tunak, simulasi menggunakan metode  Gear  memiliki  arus peak-to-peak  sebesar  29,77473  amper  dan  29,77293 amper untuk simulasi mengunakan ODE15.
Tabel 7 merupakan hasil perbandingan pada kondisi motor berbeban berdasarkan Gambar 10 dan 11. Ditinjau dari besaraan arus sesaatnya dijelaskan sebagai berikut:
1. Simulasi menggunakan metode Gear menghasilkan arus sesaat tertinggi 55,21390 amper  pada  saat  1,0458  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat terbesar 54,43978 amper pada saat 1,0458 detik
2. Simulasi  menggunakan metode  Gear  menghasilkan arus  sesaat  terkecil  -57,47451 amper  pada  saat  1,0374  detik.  Sedangakan  simulasi  menggunakan  ODE15 menghasilkan arus sesaat tertinggi -57,27368 amper pada waktu 1,0374 detik.
3. Ditinjau dari besarnya arus peak-to-peak pada kondisi tunak, simulasi menggunakan metode  Gear  memiliki  arus peak-to-peak  sebesar  85,86336  amper  dan  85,33914 amper untuk simulasi mengunakan ODE15.
Tabel 6. Perbandingan Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-c Kondisi Motor Tidak Berbeban No Variabel Metode yang digunakan  selisih absolut [%] Gear ODE15 1  Arus sesaat terbesar [A] 151,60294 151,39062 0,1402 2  Arus sesaat terkecil [A] -199,48249 -199,47845 0,0020 3  Lama waktu transien (detik) 0,50000 0,50000 0,0000 4  Arus peak-to-peak pada kondisi tunak [A] 29,77473 29,77293 0,0060 Tabel 7. Perbandingan Hasil Simulasi Arus Stator Fasa-c Kondisi Motor Berbeban No Variabel Metode yang digunakan selisih absolut [%] Gear ODE15 1  Arus sesaat terbesar [A] 55,21390 54,43978 1,4220 2  Arus sesaat terkecil [A] -57,47451 -57,27368 0,3506 3  Lama waktu transien [detik] 1,25000 1,25000 0,0000 4  Arus peak-to-peak pada kondisi tunak [A] 85,86336 85,33914 0,6143

## 4.4 Diskusi Hasil Simulasi Arus Stator
Berdasarkan  Tabel  2  sampai  dengan  7,  diperoleh  perbedaan  terbesar  yaitu  berturut-turut 1,4947 % , 0,9210 % dan 1,4220 % masing-masing untuk arus stator fasa-a, fasa-b dan fasa-
Gambar 11. Grafik Arus Stator Fasa-c
Berbasis ODE15
Gambar 10. Grafik Arus Stator Fasa-c
Berbasis Metode Gear
c. Selain itu, perbedaan hasil simulasi arus stator antara metode Gear dan ODE15 dapat dilihat seperti Tabel 8. Terjadinya perbedaan hasil simulasi tersebut disebabkan adanya perbedaan nilai  data  awal  yang  dibangkitkan  dan  perbedaan  orde  dari  metode  Gear  yang  digunakan. Perbedaan  nilai  data  awal  tersebut  dipengaruhi  oleh  metode  penyelesaian  persamaan diferensial  yang  digunakan  sehingga  menyebabkan  nilai truncation-error  yang  berbeda. Berdasarkan Gambar 6 sampai dengan 11,  perbedaan rata-rata nilai data awal antara metode ODE15 dan Gear yaitu 0,0016%.
Tabel 8. Perbedaan Hasil Simulasi Arus Stator antara Metode Gear dan ODE15
No Variabel Perbedaan Rata-rata [%] Perbedaan terbesar semua fasa dan kondisi [%] Kondisi motor tidak berbeban Kondisi motor berbeban Semua fasa dan kondisi 1 Arus sesaat terbesar 0,0566 0,7972 0,4269 1,4220 2 Arus sesaat terkecil 0,2173 0,6283 0,4228 1,4947 3 Lama waktu transien 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 4 Arus peak-to-peak pada kondisi tunak 0,0061 0,6011 0,3036 0,6143

## 5. KESIMPULAN
Simulator motor induksi tiga fasa yang dibuat dapat menyimulasikan perilaku dinamik motor induksi  tiga  fasa  dengan  baik,  sesuai    hasil  simulasi  menggunakan  modul  ODE15  dengan perbedaan 1,5 %, 0,93 % dan 1,5 % secara berturut-turut untuk arus stator fasa-a, arus stator fasa-b dan arus stator fasa-c.

## DAFTAR RUJUKAN
Aleck, W. L. (2017). Simulink/MATLAB Dynamic Induction Motor Model For Use As A Teaching And Research Tool. International Journal Of Soft Computing And Engineering (IJSCE),
3(4), 102-107.
Bélanger,  J.,  &  Paquin,  J.-N.  (2010).  The  What,  Where  And  Why  of  Real-Time  Simulation. Planet Rt, 1(1), 25-29.
Boldea,  I.,  Tutelea,  L., &  Klumpner,  C.  (2001).  Artificial  Loading  Of  Induction  Machines:  A
Review. In Workshop On Electrical Machines Parameters, 9-14.
Boora,  S.,  Agarwal,  S.,  &  Sandhu,  K.  (2013).  Dynamic  Dq  Axis  Modeling  Of  Three-Phase
Asynchronous Machine Using Matlab. International Journal Of Advanced Research In Electrical, Electronics And Instrumentation Engineering, 2(8), 3942-3951.
Dorjsuren,  Y.,  Tumenbayar,  L.,  &  J.Tsevegmid.  (2015).  Three-Axis  Dynamic  Modeling  Of Induction Motor. International Journal Of Mathematical Models and Methods In Applied Sciences, 9, 527-536.
Esfandiari, R. S. (2017). Numerical Methods For Engineers And Scientists Using MATLAB®.
Florida: Crc Press.
Griffiths, G. W. (2016). Numerical Analysis Using R. United Kingdom: Cambridge University Press.
Kocabas, D. A., Salman, E., & Atalay, A. K. (2011). Analysis Using DQ Transformation Of A Drive  System  Including  Load  And  Two  Identical  Induction  Motors. In  2011  IEEE International Electric Machines & Drives Conference (IEMDC) (ppl. 1575-1578).
Kulikov, G. Y. (2013). Cheap Global Error Estimation In Some Runge–Kutta Pairs. IMA Journal of Numerical Analysis, 33(1), 136-163.
Lyshevski, S. E. (2008). Ectromechanical Systems And Devices. Florida: CRC Press.
Menghal, P. M., & Laxmi, A. J. (2014). Dynamic Modeling, Simulation & Analysis Of Induction Motor  Drives. International  Conference  on  Science  Engineering  and  Management Research (ICSEMR) (pp. 1-7).
Mulyono,  N.,  &  Septiyanto,  D.  (2018).  Implementasi  Pemodelan  Arus  Dan  Putaran  Motor Induksi  Tiga  Fasa  Dengan  Metode  Runge-Kutta  Orde  Empat  Berbasis  Rashberry  PI. Industrial Research Workshop And National Seminar, 9, hal. 386-395. Bandung.
Omale, D., Ojih, P. B., & Ogwo, M. O. (2014). Mathematical Analysis Of Stiff And Non-Stiff Initial  Value  Problems  Of  Ordinary  Differential  Equation  Using  Matlab. International Journal Of Scientific & Engineering Research, 49-59.
Phukon,  L.  J.,  &  Baruah,  N.  (2015).  Generalized  Matlab  Simulink  Model  Of  A  Three  Phase Induction Motor. International Journal Of Innovative Research In Science, Engineering And Technology, 4(5), 2926-2934.
Rahmouni, W., & Benasla, L. (2017). Transient Stability Analysis Of The IEEE 39-Bus Power System  Using  Gear  And  Block  Methods. In  2017  5th  International  Conference  On Electrical Engineering-Boumerdes (ICEE-B) (pp. 1-6).
Rath, G., Harker, M., & Zaev, E. (2017). Direct Numerical Solution Of Stiff ODE Systems In Optimal  Control. In  2017  6th  Mediterranean  Conference  On  Embedded  Computing (MECO) (pp. 1-5).
Shampine, L. F., & Reichhel, M. W. (1997). The Matlab Ode Suite. SIAM Journal On Scientific Computing, 18(1), 1-22.
Shampine, L. F., Watfs, H. A., & Davenport, S. M. (1979). Solving Nonstiff Ordinary Differential Equations—The State of The Art. SIAM Journal On Scientific Computing, 18(3), 376- 411.