Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 16, No. 1, Agustus 2019,  51-61

## Ring Q-Fuzzy Smarandache dan Ideal Q-Fuzzy Smarandache Beserta Sifat-Sifatnya
Fatmawati Hidayat 1 , Marjono 2 , Noor Hidayat 3
1 Mahasiswa S2 Matematika, Fakultas MIPA Universitas Brawijaya 2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA Universitas Brawijaya e-mail: 1 fatmawatihidayat.fifi@gmail.com

## Abstrak
Aljabar  abstrak  adalah  ilmu  aljabar  yang membahas tentang struktur aljabar. Salah satu perluasan konsep  struktur  aljabar  adalah  struktur  aljabar  fuzzy.  Pengembangan  teori  terkait  struktur  aljabar  fuzzy telah  banyak  diteliti,  diantaranya  ring  fuzzy  Smarandache  dan  ideal  fuzzy  Smarandache.  Ring Smarandache  adalah  generalisasi  dari  ring  yang  didefinisikan sebagai suatu ring yang memuat himpunan bagian  sejati 𝐴 ⊂ 𝑅 berbentuk  field  dan  ideal  Smarandache  didefinisikan  sebagai  suatu  ideal 𝐴 dari 𝑅 yang  memuat  himpunan  bagian  sejati 𝑋 ⊂ 𝐴 berbentuk  field.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk mengembangkan  struktur  aljabar  Q-fuzzy  Smarandache  karena  belum  banyak  penelitian  terkait  struktur tersebut.  Permasalahan  tersebut  kemudian  digunakan  untuk  membangun  struktur  baru  tentang  ring  Q- fuzzy  Smarandache  dan  ideal  Q-fuzzy  Smarandache  beserta  sifat-sifatnya.  Struktur  baru  ini  dibentuk berdasarkan  definisi  ring  fuzzy  Smarandache  dan  ideal fuzzy Smarandache serta sifat-sifat semigrup Q- fuzzy  Smarandache.  Selanjutnya,  sifat-sifat  yang telah diperoleh akan dibuktikan.  Hasil dari penelitian ini adalah struktur baru tentang ring dan ideal Q-fuzzy Smarandache beserta sifat-sifatnya.
Kata Kunci : ring fuzzy Smarandache, ideal fuzzy Smarandache, ring Q-fuzzy S ma rand ach e, id eal Q- fuzzy Smarandache.

## Abstract
Abstract algebra is the algebra science discusses the algebraic structure. One of the extensions of the concept of algebraic structure is fuzzy algebra. The development of fuzzy a lgebra h a s b een  wid ely researched, including Smarandache fuzzy ring and Smarandache fuzzy id eal. S ma ran dache ring  is a generalization of the ring that is defined as a ring 𝑅 that has a proper subset 𝐴 ⊂ 𝑅 such th at 𝐴 is f ield and Smarandache ideal is defined as an ideal 𝐴 of 𝑅 that has a proper subset 𝑋 ⊂ 𝐴 such that 𝑋 is f ield. This research aims to develop Smarandache Q-fuzzy algebra because currently there is a few related to these theories. These problems are then used to build new structures on the Smarandache Q-fuzzy rin g, Smarandache  Q-fuzzy  ideal  and their properties. This new structure is formed on the basis of the definition of the  Smarandache fuzzy ring and Smarandache fuzzy ideal. Then, the properties of the concept of Smarandache Q-fuzzy semigroups. Furthermore, properties that have been o bta ined will b e proved. The results of this research is the new structure of Smarandache Q-fuzzy ring, Smara nda che Q - fuzzy ideal and their properties.
Keywords : Smarandache ring, Smarandache fuzzy ring, Smarandache Q-fuzzy ring, Smaranda che f uzzy ideal, Smarandache Q- fuzzy ideal

## 1 Pendahuluan
Aljabar  abstrak  adalah  ilmu  aljabar  yang  membahas  tentang  struktur  aljabar  diantaranya, semigrup,  grup,  ring  dan  masih  banyak  lainnya.  Pengembangan  konsep  struktur  aljabar  telah berkembang  pesat  salah  satunya  adalah  struktur  aljabar  Smarandache  yang  diperkenalkan  oleh

## 52
Ring  Q-Fuzzy  Smarandache  Dan  Ideal  Q-Fuzzy  Smarandache  Beserta  Sifat-Sifatnya
Padilla  [6]  pada  tahun  1998  dengan  mengikuti  sebuah  paper  yang  ditulis  oleh  Smarandache Florentin  dengan  judul Special  Algebraic  Structures .  Pada  tahun  2012  Kandasamy  [2] mengembangkan  teori  tersebut.  Salah  satunya  adalah  ring  Smarandache  yang  didefinisikan sebagai  suatu  ring 𝑅 dengan  himpunan  bagian  sejati 𝐴 ⊂ 𝑅 sedemikian  sehingga 𝐴 adalah  field dan  ideal  Smarandache  yang  didefinisikan  sebagai  suatu  ideal 𝐴 dari 𝑅 dengan  himpunan  bagian sejati 𝑋 ⊂ 𝐴 sedemikian  sehingga 𝐴 adalah  field.  Selanjutnya,  pada  tahun  2009  Srinivas  dan  Rao [11]  memperkenalkan  paper  yang  berjudul  “ On  Smarandache  Rings ”.  Dalam  paper  tersebut Srinivas  dan  Rao  membentuk  struktur  baru  ring  Smarandache  yang  didefinisikan  sebagai  suatu ring 𝑅 dengan  setiap  elemen 𝑥 ∈ 𝑅 terdapat 𝑎 (bilangan  bulat  positif  terkecil) 𝑛(𝑥) > 1 sedemikian  sehingga 𝑥 𝑛(𝑥) = 𝑥 serta  Maysuri  [5]  pada  tahun  2011  membahas Smarandache Ring  Reguler  beserta sifat-sifatnya.
Selain  struktur  aljabar  Smarandache,  para  peneliti  telah  mengembangkan  penelitian terkait  struktur  aljabar  fuzzy.  Pada  tahun  1982,  Liu  [4]  membahas  subgrup  invariant  fuzzy,  ideal fuzzy  di  ring  beserta  sifat-sifatnya.  Selanjutnya,  Sebastian,  dkk  [9]  pada  tahun  2012  membahas ideal  fuzzy  dan  ring  fuzzy  pada general  ring ,  Kandasamy  [3]  pada  tahun  2003  membahas  ring fuzzy  Smarandache  yang  didefinisikan  sebagai  himpunan  bagian  fuzzy 𝜇 pada 𝑅 (ring Smarandache),  dengan  pemetaan 𝜇: 𝑅 → [0,1] sedemikian  sehingga 𝜇 yang  dibatasi  pada 𝐴 memenuhi  aksioma  tertentu.  Ring  fuzzy  Smarandache  dinotasikan  sebagai  (ring  FS).  Begitu  pula dengan  ideal  fuzzy  Smarandache  yang  didefinisikan  sebagai  himpunan  bagian  fuzzy 𝜇 pada 𝑅 (ring),  dengan  pemetaan 𝜇: 𝑅 → [0,1] sedemikian  sehingga 𝜇 yang  dibatasi  pada 𝐴 dan 𝑋 memenuhi  aksioma  tertentu  serta  Utama  dan  Karyati  [12]  pada  tahun  2016  membahas  struktur fuzzy  ring  dengan  memanfaatkan  subhimpunan  level 𝜇 𝑡 .
Pada  tahun  2009  di  dalam  paper  Solairaju  dan  Nagrajan  [10]  dibahas  grup  Q-fuzzy beserta  sifat-sifatnya,  Priya,  dkk  [7]  pada  tahun  2013  membahas  subgrup  Q-fuzzy,  subgrup normal  Q-fuzzy,  koset  kanan  dan  kiri  Q-fuzzy,  homomorfisma  Q-fuzzy  dan  sifat-sifatnya,  Sarala dan  Suganya  [8]  pada  tahun  2015  membahas  Q-fuzzy  soft  ring  beserta  sifat-sifatnya. Selanjutnya,  pada  tahun  2016  Doss  dan  Suganya  [1]  memperkenalkan  suatu  struktur  yang  diberi nama Smarandache  Q-Fuzzy  Semigroups .  Dalam  paper  tersebut  dibahas  mengenai  semigrup  dan semigrup  normal  Q-fuzzy  Smarandache beserta  sifat-sifatnya.  Tujuan  penelitian  ini  untuk mengembangkan  struktur  aljabar  Q-fuzzy  Smarandache  karena  belum  banyak  penelitian  terkait struktur  tersebut.  Salah  satu  pengembangan  yang  penulis  lakukan  adalah  dengan  cara membangun  struktur  baru  tentang  ring  dan  ideal  Q-fuzzy  Smarandache  beserta  sifat-sifatnya berdasarkan  definisi  di  dalam  buku  [3]  dan  sifat-sifat  yang  berlaku  di  dalam  paper  [1]  sebagai
bahan  penelitian.  Selanjutnya,  membuktikan  sifat-sifat  dari  ring  dan  ideal  Q-fuzzy  Smarandache. Sehingga,  hasil  dari  penelitian  ini  adalah  struktur  baru  tentang  ring  dan  ideal  Q-fuzzy Smarandache  beserta  sifat-sifatnya.

## 2 Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur  terhadap berbagai  pustaka  baik  berupa  buku,  paper  maupun  jurnal  ilmiah  yang  berkaitan.  Langkah awal  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  yaitu  dengan  mempelajari  teori  terkait  ring Smarandache,  ideal  Smarandache,  ring  fuzzy  Smarandache  dan  ideal  fuzzy  Smarandache kemudian  membangun  struktur  baru  tentang  ring  dan  ideal  Q-fuzzy  Smarandache  serta membuktikan  beberapa  teorema  yang  terkait.  Berikut  diberikan  beberapa  definisi  dan  teorema yang  mendukung  dalam  penelitian.

## 2.1 Ring  Smarandache  dan Ideal  Smarandache
Pada  subbab  ini  akan  diberikan  definisi  dari  ring  Smarandache  dan  ideal  Smarandache, yang  menjadi  dasar  dalam  pembentukan  struktur  baru  tentang  ring  dan  ideal  Q-fuzzy Smarandache.
Definisi  1 [2] Ring (𝑅, +,. ) disebut  ring  Smaradanche  jika  terdapat  himpunan  bagian  sejati 𝐴 ⊂ 𝑅 sedemikian sehingga 𝐴 adalah field.
Definisi  2 [2] Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  dan (𝐴,+, . ) merupakan  subring  dari 𝑅 .  Ideal Smarandache  didefinisikan  sebagai  ideal 𝐴 yang  memuat  himpunan  bagian  sejati 𝑋 ⊂ 𝐴 dan membentuk field.

## 2.2 Ring  Fuzzy  Smarandache  dan  Ideal  Fuzzy  Smarandache
Dalam  subbab  ini  akan  diberikan  definisi  tentang  teori  ring  fuzzy  Smarandache  dan  ideal fuzzy  Smarandache  sebagai  teori  dasar dalam  hasil  dan pembahasan.
Definisi  3 [3] Misalkan 𝑅 adalah ring Smarandache. Himpunan bagian fuzzy 𝜇 pada 𝑅 disebut ring  fuzzy  Smarandache  jika 𝜇: 𝑅 → [0,1] sedemikian  sehingga 𝜇 yang  dibatasi  pada 𝐴 memenuhi aksioma berikut:
1. 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝐴 (𝑥),𝜇 𝐴 (𝑦)}
2. 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝐴 (𝑥),𝜇 𝐴 (𝑦)}
𝑦 ≠ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 .
Definisi  4 [3] Misalkan 𝑅 adalah  ring  Smarandache.  Himpunan  bagian  fuzzy 𝜇 di 𝑅 disebut ideal fuzzy Smarandache jika 𝜇: 𝑅 → [0,1] sedemikian sehingga 𝜇 memenuhi beberapa kondisi,
Ring  Q-Fuzzy  Smarandache  Dan  Ideal  Q-Fuzzy  Smarandache  Beserta  Sifat-Sifatnya
1. 𝑅 memiliki  himpunan  bagian  sejati 𝐴 ⊂ 𝑅 dan 𝜇 dibatasi  pada 𝐴 yang  memenuhi aksioma berikut,
i. 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝐴 (𝑥), 𝜇 𝐴 (𝑦)}
ii. 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝜇 𝐴 (𝑥), 𝜇 𝐴 (𝑦)}
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴
2. 𝐴 memuat himpunan bagian sejati 𝑃 ⊂ 𝐴 sedemikian sehingga 𝑃 adalah field dan 𝜇 dibatasi pada 𝑃 yang memenuhi aksioma berikut,
i. 𝜇 𝑋 (𝑥 − 𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝑋 (𝑥),𝜇 𝑋 (𝑦)}
ii. 𝜇 𝑋 (𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝜇 𝑋 (𝑥),𝜇 𝑋 (𝑦)}

## ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

## 2.3 Semigrup  Q-Fuzzy  Smarandache
Dalam  subbab  ini  akan  diberikan  teorema-teorema  dalam  paper  [1]  yang  akan  dijadikan bahan  rujukan  terkait  pembentukan  sifat-sifat  (teorema)  dalam  struktur  baru  ring  Q-fuzzy Smarandache  dan ideal  Q-fuzzy  Smarandache.
Proposisi  1 [1] Misalkan 𝐻 adalah  semigrup  Smarandache  dan 𝑄 merupakan himpunan tidak kosong. Jika 𝜇 adalah semigrup QFS maka berlaku,
i. 𝜇 𝐺 (𝑒, 𝑞) ≥ 𝜇 𝐺 (𝑥,𝑞) untuk 𝑒 adalah elemen identitas dari 𝐺
ii. 𝜇 𝐺 (𝑥 −1 ,𝑞) ≥ 𝜇 𝐺 (𝑥, 𝑞) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝑄
Teorema  2  [1] Misalkan 𝐻 adalah  semigrup  Smarandache  dan 𝑄 ≠ ∅ . 𝜇 adalah  semigrup  Q- fuzzy Smarandache. Jika 𝜇 𝐺 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞) = 𝜇 𝐺 (𝑒,𝑞) maka 𝜇 𝐺 (𝑥,𝑞) = 𝜇 𝐺 (𝑦,𝑞) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝑄 .
Teorema  3  [1] Misalkan 𝐻 adalah  semigrup  Smarandache  dan 𝑄 ≠ ∅ . 𝜇 adalah  semigrup  Q- fuzzy  Smarandache. jika 𝜇 𝐺 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) = 1 maka 𝜇 𝐺 (𝑥,𝑞) = 𝜇 𝐺 (𝑦,𝑞) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝑄 .
Teorema  4  [1] Irisan  dari  dua  semigrup  Q-fuzzy  Smarandache  juga  merupakan  semigrup  Q- fuzzy Smarandache.
Teorema  5  [1] Misalkan 𝐻 adalah semigrup Smarandache dan 𝑄 ≠ ∅ . Jika 𝜇 adalah semigrup Q-fuzzy Smarandache maka 𝜇 𝐶 juga merupakan semigrup Q-fuzzy Smarandache.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Dalam  bab  ini  akan  dibangun  struktur  baru  tentang  ring  dan  ideal  Q-fuzzy  Smarandache yang  dirujuk  dalam  buku  [3].  Sedangkan  sifat-sifat  yang  diperoleh  dalam  struktur  baru  tersebut akan dirujuk  berdasarkan  paper [1] sebagaimana  yang  telah  diuraikan  dalam  subbab  2.3.

## 3.1 Ring  Q-Fuzzy  Smarandache
Definisi  5 Misalkan  R  adalah  ring  Smarandache.  Himpunan  bagian  Q-fuzzy 𝜇 dari  R  disebut ring Q-fuzzy Smarandache jika 𝜇: 𝑅 × 𝑄 → [0,1] sedemikian sehingga 𝜇 yang dibatasi pada 𝐴 × 𝑄 memenuhi aksioma berikut,
1. 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
2. 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)} 𝑦 ≠ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
Ring  Q-fuzzy  Smarandache  dinotasikan  sebagai  (ring  QFS)
Contoh  1 Diberikan  himpunan  bilangan  bulat ℤ 6 = {0̂, 1̂, 2̂,3̂, 4̂, 5̂} dengan  operasi  penjumlahan dan  perkalian (ℤ 6 ,+,×) merupakan  ring  dan 𝑄 = {1,2} .  Didefinisikan  pemetaan 𝜇: 𝑍 6 × 𝑄 → [0,1] sebagai  berikut:
𝜇(𝑥, 𝑞) = { 0.5 0.8
1 jika 𝑥 = (1̂, 1)(1̂, 2)(3̂, 2)(5̂, 2) jika 𝑥 = (2̂, 1)(4̂, 1)(2̂, 2)(4̂, 2) jika 𝑥 = (0̂, 1)(3̂, 1)(5̂, 1)(0̂, 2)
Jelas  bahwa ℤ 6 memiliki  himpunan  bagian  sejati 𝐴 = {0 ̂ , 2 ̂ , 4 ̂ } adalah  field  sehingga,  dapat dengan  mudah  diperoleh  bahwa 𝜇 yang  dibatasi  pada (𝐴 × 𝑄) memenuhi  aksioma-aksiomanya. Oleh  karena  itu 𝜇 adalah  ring  Q-fuzzy  Smarandache.
Contoh  2 Diberikan  himpunan  bilangan  kompleks  dengan  operasi  penjumlahan  dan  perkalian (ℂ,+,×) adalah  ring  dan 𝑄 = {1,2} .  Pilih  subset  sejati  dari ℂ yaitu,  bilangan  real ℝ dan didefinisikan  pemetaan 𝜇: ℂ × 𝑄 → [0,1] sebagai  berikut
𝜇(𝑥, 𝑞) = 𝑒 −(𝑥) 2 𝑞
Sedemikian  sehingga 𝜇 yang  dibatasi  pada ℝ × 𝑄 memenuhi  aksioma 𝜇 𝑅 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) ≥ min{𝜇 𝑅 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑅 (𝑦, 𝑞)} dan 𝜇 𝑅 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) ≥ min{𝜇 𝑅 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝑅 (𝑦, 𝑞)}
Akan  ditunjukkan  bahwa 𝜇 adalah  ring  QFS dari ℂ yang  memenuhi,
𝜇 ℝ (𝑥 − 𝑦, 𝑞) ≥ min{𝜇 ℝ (𝑥, 𝑞),𝜇 ℝ (𝑦, 𝑞)}, 𝜇 ℝ (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) ≥ min{𝜇 ℝ (𝑥, 𝑞),𝜇 ℝ (𝑦, 𝑞)} .
Hasil:  Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ dengan 𝑥 ≥ 𝑦 dan 𝑄 = {1,2} .  Akan  ditunjukkan  bahwa 𝜇 adalah  ring  QFS dari ℂ . Sekarang  perhatikan  bahwa,
a. 𝜇 𝑅 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) ≥ min{𝜇 𝑅 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑅 (𝑦, 𝑞)}
𝑒 −((𝑥−𝑦)2) 𝑞 ≥ min { 𝑒 −((𝑥)2) 𝑞 , 𝑒 −((𝑦)2) 𝑞 } . 𝑒 − ((𝑧)2) 𝑞 ≥ min { 𝑒 −((𝑥)2) 𝑞 , 𝑒 −((𝑦)2) 𝑞 } .
b. 𝜇 𝑅 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) ≥ min{𝜇 𝑅 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑅 (𝑦, 𝑞)}
𝑒 − ((𝑥𝑦−1) 2 ) 𝑞
≥ min {𝑒 − ((𝑥)2) 𝑞 ,𝑒 − ((𝑦)2) 𝑞 } . 𝑒 − (𝑧)2 𝑞 ≥ min {𝑒 − ((𝑥)2) 𝑞 ,𝑒 − ((𝑦)2) 𝑞 } .
Karena kondisi  i  dan ii  terpenuhi  maka 𝜇 adalah  ring  QFS dari ℝ
Begitu  pula  jika 𝑥 ≤ 𝑦 akan memenuhi  aksioma-aksioma  dari  ring  QFS dari ℝ .
Proposisi  6 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smarandache  dengan  himpunan  bagian  sejati 𝐴 adalah field. Jika 𝜇 adalah ring QFS dari 𝑅 maka berlaku,
1. 𝜇 𝐴 (0,𝑞) ≥ 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)
2. 𝜇 𝐴 (1,𝑞) ≥ 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)
3. 𝜇 𝐴 (−𝑥, 𝑞) ≥ 𝜇(𝑥, 𝑞)
untuk setiap 0,1, 𝑥, −𝑥 ∈ 𝐴 dengan 0,1 adalah elemen identitas dari 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄 .
Bukti : Diketahui  bahwa 𝑅 adalah  ring  Smarandache  dan 𝜇 merupakan  ring  QFS  dari 𝑅 .  Akan ditunjukkan  bahwa  ketiga  sifat  tersebut  terpenuhi.  Ambil 0,1, 𝑥, −𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄 .
1. 𝜇 𝐴 (0,𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑥 + (−𝑥),𝑞) ≥ min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (−𝑥, 𝑞)} = min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)}
= 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)
2. 𝜇 𝐴 (1,𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑥. 𝑥 −1 ,𝑞)
≥ min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑥 −1 , 𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)}
= 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)
3. 𝜇 𝐴 (−𝑥, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (0 + (−𝑥),𝑞)
≥ min {𝜇 𝐴 (0, 𝑞), 𝜇 𝐴 (−𝑥,𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (0, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞)}

## = 𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞)
Jadi  terbukti  bahwa ketiga  sifat  di atas telah  terpenuhi,  sehingga 𝜇 merupakan  ring  QFS.
Teorema  7 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smarandache  dengan  himpunan  bagian  sejati 𝐴 adalah field dan 𝜇 adalah ring QFS dari 𝑅 .
1. Jika 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (0, 𝑞) maka 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)
2. Jika 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞) = 1 maka 𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄

## Fatmawati  Hidayat,  Marjono  dan Noor Hidayat
Bukti : Diketahui  bahwa 𝑅 adalah  ring  Smarandache  dan 𝜇 merupakan  ring  QFS.  Akan dibuktikan  bahwa 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) pada kedua  sifat  di  atas. Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄 .
1. 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦 + 𝑦, 𝑞) ≥ min {𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (0,𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
= 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) .
Dan
𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦 − 𝑥 + 𝑥, 𝑞)
≥ min {𝜇 𝐴 (𝑦 − 𝑥, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (𝑦 − 𝑥) −1 , 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦),𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞)} = min {𝜇 𝐴 (0,𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)}
= 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)
2. 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 𝑦, 𝑞)
≥ min {𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (1,𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
= 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) .
Dan
𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦 −1 , 𝑞)
= 𝜇 𝐴 (𝑥 −1 𝑥𝑦 −1 , 𝑞)
≥ min {𝜇 𝐴 (𝑥 −1 ,𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞)}
= min {𝜇 𝐴 (𝑥 −1 ,𝑞), 1}
= min {𝜇 𝐴 (𝑥 −1 ,𝑞)}
= 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞)
Terbukti  bahwa 𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) , untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
Teorema  8 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smarandache  dengan  himpunan  bagian  sejati 𝐴 adalah  field  dan 𝜇 adalah  ring  QFS  dari 𝑅 .  Jika 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞) = 𝑒 maka 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞) = 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞) , untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄 .
Bukti: Bukti  analog  dengan  Teorema  2
Teorema  9 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah ring Smarandache dengan himpunan bagian sejati 𝐴 dan 𝐵 berturut-turut adalah field. Dimisalkan pula bahwa 𝜇 dan 𝛽 keduanya merupakan ring QFS. Irisan dari dua ring QFS juga merupakan ring QFS.
Ring  Q-Fuzzy  Smarandache  Dan  Ideal  Q-Fuzzy  Smarandache  Beserta  Sifat-Sifatnya
Bukti: Diketahui (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smaradance  dan 𝜇 dan 𝛽 adalah  dua  ring  QFS.  Akan dibuktikan  bahwa  irisan  dari  keduanya  adalah  ring  QFS.
Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
i. (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥 − 𝑦, 𝑞) = min{𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞)}
≥ min{min{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)} , min{𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= min{min{𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞)}, min{𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}} = min{(𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥,𝑞), (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑦,𝑞)}
ii. (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥𝑦 −1 ,𝑞) = min{𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞)}
≥ min{min{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)} , min{𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= min{min{𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞)}, min{𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= min{(𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥,𝑞), (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑦,𝑞)}
Berdasarkan  (i)  dan (ii)  terpenuhi,  maka  terbukti  bahwa 𝜇 ∩ 𝛽 merupakan  ring  QFS.
Teorema  10 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smarandache  dengan  himpunan  bagian  sejati 𝐴 adalah field. Jika 𝜇 adalah ring QFS maka 𝜇 𝑐 juga merupakan ring QFS.
Bukti: Diketahui (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smaradance  dan 𝜇 adalah  ring  QFS.  Akan  ditunjukkan bahwa 𝜇 𝑐 juga  merupakan  ring  QFS.
Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
a. 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) = 1 − 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞)
≤ 1 − min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞)}
= max{1 − 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 1 − 𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞)}
= max{𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑦, 𝑞)} .
b. 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) = 1 − 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞)
≤ 1 − min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞)}
= max{1 − 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 1 − 𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞)}
= max{𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑦, 𝑞)} .

## 3.2 Ideal  Q-Fuzzy  Smarandache
Definisi 6 Misalkan 𝑅 adalah  ring  Smarandache.  Himpunan  bagian  Q-fuzzy 𝜇 dari 𝑅 disebut ideal  QFS  dari 𝑅 jika 𝜇: 𝑅 × 𝑄 → [0,1] sedemikian  sehingga 𝜇 memenuhi  beberapa  kondisi berikut,
1. 𝑅 memiliki  himpunan  bagian  sejati 𝐴 ⊂ 𝑅 dan 𝜇 dibatasi  pada 𝐴 × 𝑄 yang  memenuhi aksioma berikut,
i. 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
ii. 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦, 𝑞) ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}

## ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
2. 𝐴 memiliki  himpunan  bagian  sejati 𝑋 sedemikian  sehingga 𝑋 adalah  field  dan 𝜇 dibatasi pada 𝑋 × 𝑄 memenuhi aksioma berikut,
i. 𝜇 𝑋 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝑋 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝑋 (𝑦, 𝑞)}
ii. 𝜇 𝑋 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)}
𝑦 ≠ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑞 ∈ 𝑄
Contoh  3 Diberikan  himpunan  bilangan  bulat ℤ 12 = {0̂, 1̂, 2̂, 3̂,4̂, 5̂, … , 10 ̂,11 ̂} dengan  operasi penjumlahan  dan  perkalian (ℤ 12 , +,×) merupakan  ring  dan 𝑄 = {1} .  Didefinisikan  pemetaan 𝜇: 𝑍 12 × 𝑄 → [0,1] sebagai  berikut
𝜇(𝑥,𝑞) = { 0.5 0.1 1
jika 𝑥 = (2̂, 1)(6̂, 1)(10 ̂, 1) jika 𝑥 = (1̂, 1)(3̂, 1)(5̂,1)(7̂,1)(9̂,1)(11 ̂,1)
jika 𝑥 = (0̂, 1)(4̂, 1)(8̂, 1)
Jelas  bahwa ℤ 12 memiliki  ideal  Smarandache  yaitu 𝐴 =   {0̂, 2̂,4̂, 6̂, 8̂, 10 ̂} dan 𝑋 = {0̂,4̂, 8̂} merupakan  field  dari 𝐴 sehingga,  dapat  dengan  mudah  dibuktikan  bahwa 𝜇 yang  dibatasi  pada (𝐴 × 𝑄) dan (𝑋 × 𝑄) memenuhi  aksioma-aksiomanya.  Oleh  karena  itu 𝜇 adalah  ideal  Q-fuzzy Smarandache.
Teorema  11 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smarandache.  Misalkan  pula  bahwa (𝐴, +, . ) merupakan ideal Smarandache dari 𝑅 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 sedemikian sehingga 𝑋 adalah field. Jika 𝜇 dan 𝛽 keduanya  merupakan  ideal  QFS  maka  irisan  dari  dua  ideal QFS juga merupakan ideal QFS.
Bukti: Diketahui (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smaradance  dan (𝐴, +,. ) merupakan  ideal  Smarandache dari 𝑅 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 sedemikian  sehingga 𝑋 adalah  field.  Diketahui  juga  bahwa 𝜇 dan 𝛽 adalah dua ideal  QFS. Akan dibuktikan  bahwa  irisan  dari  keduanya  adalah  ideal  QFS.
a. Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
i. (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥 − 𝑦, 𝑞) = min{𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞)}
≥ min{min{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)} , min{𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞),𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= min{min{𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞)}, min{𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= min{(𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥,𝑞), (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑦,𝑞)}
ii. (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥𝑦,𝑞) = max{𝜇 𝐴 (𝑥𝑦,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥𝑦,𝑞)}
≥ max{max{𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}, max{𝛽 𝐴 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= max{max{𝜇 𝐴 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑥, 𝑞)}, max{𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞), 𝛽 𝐴 (𝑦, 𝑞)}}
= max{(𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑥, 𝑞), (𝜇 𝐴 ∩ 𝛽 𝐴 )(𝑦,𝑞)}
Ring  Q-Fuzzy  Smarandache  Dan  Ideal  Q-Fuzzy  Smarandache  Beserta  Sifat-Sifatnya
b. Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑞 ∈ 𝑄
i. (𝜇 𝑋 ∩ 𝛽 𝑋 )(𝑥 − 𝑦, 𝑞) = min{𝜇 𝑋 (𝑥 − 𝑦, 𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑥 − 𝑦, 𝑞)}
≥ min{min{𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)} ,min{𝛽 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑦, 𝑞)}}
= min{min{𝜇 𝑋 (𝑥, 𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑥,𝑞)} , min{𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑦, 𝑞)}}
= min{(𝜇 𝑋 ∩ 𝛽 𝑋 )(𝑥,𝑞), (𝜇 𝑋 ∩ 𝛽 𝑋 )(𝑦,𝑞)}
ii. (𝜇 𝑋 ∩ 𝛽 𝑋 )(𝑥𝑦 −1 ,𝑞) = min{𝜇 𝑋 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞)}
≥ min{min{𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)} ,min{𝛽 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑦, 𝑞)}}
= min{min{𝜇 𝑋 (𝑥, 𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑥,𝑞)} , min{𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞), 𝛽 𝑋 (𝑦, 𝑞)}}
= min{(𝜇 𝑋 ∩ 𝛽 𝑋 )(𝑥,𝑞), (𝜇 𝑋 ∩ 𝛽 𝑋 )(𝑦,𝑞)}
Berdasarkan  (a) dan (b) terpenuhi,  maka  terbukti  bahwa 𝜇 ∩ 𝛽 merupakan  ideal  QFS.
Teorema  12 Misalkan (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smarandache.  Misalkan  pula  bahwa (𝐴, +, . ) merupakan ideal Smarandache dari 𝑅 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 sedemikian sehingga 𝑋 adalah field. Jika 𝜇 adalah ideal QFS maka 𝜇 𝑐 juga merupakan ideal QFS.
Bukti: Diketahui (𝑅, +, . ) adalah  ring  Smaradance  dan (𝐴, +,. ) merupakan  ideal  Smarandache dari 𝑅 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 sedemikian  sehingga 𝑋 adalah  field.  Akan  ditunjukkan  bahwa 𝜇 𝑐 juga merupakan  ideal  QFS.
Ambil 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dan 𝑞 ∈ 𝑄
a. 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) = 1 − 𝜇 𝐴 (𝑥 − 𝑦, 𝑞)
≤ 1 − min {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞)}
= max{1 − 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 1 − 𝜇 𝐴 (𝑦,𝑞)}
= max{𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑦, 𝑞)} .
b. 𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞) = 1 − 𝜇 𝐴 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞)
≤ 1 − max {𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 𝜇 𝐴 (𝑦, 𝑞)}
= min{1 − 𝜇 𝐴 (𝑥, 𝑞), 1 − 𝜇(𝑦,𝑞)}
= min{𝜇 𝐴 𝑐 (𝑥, 𝑞), 𝜇 𝑐 (𝑦,𝑞)}
Dan  Ambil 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑞 ∈ 𝑄
c. 𝜇 𝑋 𝑐 (𝑥 − 𝑦, 𝑞) = 1 − 𝜇 𝑋 (𝑥 − 𝑦, 𝑞)
≤ 1 − min {𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)}
= max{1 − 𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 1 − 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)}
= max{𝜇 𝑋 𝑐 (𝑥, 𝑞),𝜇 𝑋 𝑐 (𝑦, 𝑞)} .
d. 𝜇 𝑋 𝑐 (𝑥𝑦 −1 ,𝑞) = 1 − 𝜇 𝑋 (𝑥𝑦 −1 , 𝑞)
≤ 1 − max {𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)}
= min{1 − 𝜇 𝑋 (𝑥,𝑞), 1 − 𝜇 𝑋 (𝑦,𝑞)}
= min{𝜇 𝑋 𝑐 (𝑥,𝑞), 𝜇 𝑋 𝑐 (𝑦,𝑞)}
Jadi 𝜇 𝑐 merupakan  ideal  QFS.

## 4 Simpulan
Dalam  penelitian  ini,  telah  dibentuk  struktur  baru  tentang  ring  Q-fuzzy  Smarandache  dan ideal  Q-fuzzy  Smarandache  dengan  contoh-contoh  yang  mendukung  beserta  sifat-sifat  yang  telah dibuktikan.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Doss,  A.R  and  Suganya,  S.,  “Smarandache  Q-Fuzzy  Semigroups". Advances  in  Fuzzy Mathematics, vol.  11, no. 1, pp. 89-97, 2016.
[2] Kandasamy,  W.B., Smarandache Rings .  American  Research  Press Rehoboth,  2002.
[3] Kandasamy,  W.B., Smarandache  Fuzzy  Algebra .  American  Research  Press  Rehoboth, 2003.
[4]      Liu,  J.W.,  "Fuzzy  Invariant  Subgroups  and  Fuzzy  Ideals". Fuzzy  Sets  and  Systems ,  8, pp.133-139, 1982
[5] Maysuri,  N., Smarandache  Ring  Reguler .  Skripsi , Pekanbaru:  Universitas  Islam  Negeri Sultan  Syarif  Kasim  Riau  Pekanbaru.  2011.
[6] Padila,  R.,  "Smarandache  Algebraic  Structure". Bulletin  of  Pure  and  Applied  Sciences, vol.  17E, no. 1, pp. 119-121, 1998.
[7] Priya,  T.,  Ramachandran,  T,  and  Nagalaksmi,  K.T.,  "On  Q-Fuzzy  Normal  Subgroups". International  Journal  of  Computer  &  Organization  Trends, vol.  3,  no.  11,  pp.  574-578, 2013.
[8] Sarala,  N  and  Suganya,  B.,  "Q-Fuzzy  Soft  Ring". International  Journal  of  Engineering Research  & Thecnology (IJERT), vol.  4, no. 2, pp. 879-882, 2015.
[9] Sebastian,  S.,  Jacob,  K.M,  and  Mary,  M.V.,  "Fuzzy  Ideals  and  Rings". J.  Comp  &  Math, vol.  3, no. 1, pp. 115-120, 2012.
[10]  Solairaju,  A  and  Nagarajan,  R.,  "A  New  Structure  and  Contruction  of  Q-Fuzzy  Groups". Advances in Fuzzy Mathematics, vol.  4, no. 1, pp. 23-29, 2009.
[11]  Srinivas,  T  and  Rao,  S.C.,  "Smarandache  Rings". Scientia  Magna, vol.  5,  no.  4,  pp.  117- 124, 2009.
[12]  Utama,  C.R  dan  Karyati.,  "Ring  Fuzzy  dan  Sifat-Sifatnya". J.  Sains  Dasar, vol.  5,  no.  1, pp. 28-39, 2016.