Vol. 15, No. 4, Dec 2022, pp. 234~242 eISSN: 2502-339X, pISSN: 1979-276X, DOI: 10.30998/faktorexacta.vx3ix.xxxx  234

## Model Matematika pada Penyebaran Penyakit Covid-19 dengan Pengaruh Vaksinasi di DKI Jakarta
Rifki Ristiawan 1 , Annisa Ulya Solihah 2
1 Department of Informatic, Universitas Indraprasta PGRI, Indonesia
2 Department of Mathematics, Institut Sains & Teknologi Nasional, Indonesia
Article Info ABSTRACT

## Article history:
Received Aug 28 ,2022 Revised Jan 02 ,2023 Accepted Jan 10 ,2023
Coronavirus Disease 2019 or Covid-19 is a disease caused by a coronavirus that attacks the respiratory tract  causing high fever,  cough, flu, shortness of breath, and sore throat.  In this paper we formulate a mathematical  model of spread of Covid-19 with the effect of vaccination in DKI Jakarta. This model developed  the  SIR  epidemic  model  into  SVIR  by  adding  a  population  of vaccinated individuals to prevent the spread of  Covid-19. The population is divided  into  four  classes:  the  vulnerable  individual  class,  the  vaccinated individual  class,  the  Covid-19  infected  individual  class,  and  the  recovered individual class. Construction of the models starts by making a flow chart of the spread of Covid-19 with the effect of vaccination. This model obtains two equilibrium  points,  namely  the  disease-free  equilibrium (𝐸 0 ) point  and  the endemic equilibrium point (𝐸 ∗ ) . Analysis of the system's stability around the equilibrium  point  gives  the  primary  reproduction  number (𝑅 0 ) .  From  the analysis results, the system around the disease-free equilibrium point is (𝐸 0 ) locally  asymptotically  stable  when 𝑅 0 < 1 .  Then  a  numerical  simulation  is carried out to provide a geometric picture related to the results that have been analyzed. The simulation results show that when conditions 𝑅 0 < 1 occur, the disease will disappear, and under conditions 𝑅 0 > 1 , the disease will become epidemic. In regards to control strategy in field, this result could give a good understanding of means of slowing down the spread of covid-19.

## Keywords:
Mathematical Epidemiology
Spread Covid-19 Treatment and proportion Basic reproduction ratio
Dynamical system
Copyright © 2022 Universitas Indraprasta PGRI.
All rights reserved.
Corresponding Author:
Rifki Ristiawan, Department of Informatic, Universitas Indraprasta PGRI, Jl. Nangka No. 58 C, Tanjung Barat, Jagakarsa, Jakarta Selatan. Email: rifki.ristiawan@unindra.ac.id

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu penyebab utama kematian di Dunia adalah penyakit menular. Penyakit menular bisa terjadi karena  penyakit  baru  ( new  emerging  disease )  dan  munculnya  kembali  penyakit  menular  yang  lama  ( re- emerging  disease ).  Faktor  evolusi  dari microbial  agent seperti  variasi  genetik,  rekombinasi,  mutasi  dan adaptasi, serta  hubungan microbial agent dengan hewan perantara ( zoonotic encounter ) merupakan faktor yang mempengaruhi kemunculan dua masalah tersebut. Selain itu, terdapat beberapa faktor lain, seperti perubahan iklim dan lingkungan, penggunaan pestisida, penggunaan obat antimikrobial yang bisa menyebabkan resistensi dan  penurunan  penggunaan  vaksin,  perkembangan  industri  dan  ekonomi,  perpindahan  masyarakat  secara massal  yang  membawa wabah penyakit tertentu, dan perang seperti ancaman penggunaan bioterorisme atau senjata biologis [1].
Saat  ini,  dunia  dikejutkan  dengan  kemunculan  virus  jenis  baru  yang  belum  pernah  diidentifikasi sebelumnya pada manusia yaitu Coronavirus Disease atau COVID-19. Coronavirus merupakan keluarga besar virus yang menyebabkan penyakit mulai dari gejala ringan sampai berat. Ada setidaknya dua jenis coronavirus yang diketahui menyebabkan penyakit yang dapat menimbulkan gejala berat seperti Middle East Respiratory
235
Syndrome (MERS)  dan Severe  Acute  Respiratory  Syndrome (SARS)[2].  COVID-19  merupakan  virus  jenis baru  yang  belum  pernah  diidentifikasi  sebelumnya  pada  manusia.  Virus  corona  yaitu  zoonosis  (ditularkan antara hewan dan  manusia). Beberapa coronavirus  yang dikenal  beredar pada hewan namun  belum terbukti menginfeksi manusia. Gejala atau dampak secara klinis biasanya muncul dalam 2 hari hingga 14 hari setelah paparan. Berdasarkan informasi yang dipublikasikan oleh WHO ( World Health Organization ) pada tanggal 11 Maret 2020 menyampaikan bahwa wabah penyakit Covid-19 ( Coronavirus Disease 2019) yang pertama kali dilaporkan dari Wuhan, China pada tanggal 31 Desember 2019 [3] .
Hanya dalam waktu singkat, COVID-19 kemudian menyebar ke beberapa negara Asia, seperti Korea, Singapura,  Jepang,  Malaysia,  Hongkong,  Taiwan,  dll.  Selain  di  China,  muncul  beberapa  episentrum  baru tempat di mana COVID-19 kemudian menyebar secara cepat, dalam skala yang luas dan menimbulkan banyak korban  jiwa.  WHO  sudah  menyampaikan  bahwa  Covid-19  dapat  menular  antar  manusia  ( human  to  human transmission ) dan  menjadi wabah di seluruh dunia. Virus  ini dapat menyebabkan  infeksi pernapasan ringan hingga infeksi pernapasan berat. Infeksi tersebut dapat terjadi melalui droplet atau percikan  air  liur  dari  satu orang  ke  orang lain saat batuk atau bersin [2]. Covid-19 memiliki beberapa gejala mulai dari gejala ringan hingga  gejala  berat.  Gejala  ringan  yang  umum  sering  terjadi  yaitu  demam,  batuk  kering  dan  mudah  lelah. Sedangkan gejala berat yang terjadi pada pasien yang terinfeksi Covid-19 yaitu seperti sesak nafas, kehilangan selara  makan, kebingungan, nyeri atau terjadi tekanan pada dada dan demam dengan suhu di atas 38°C [3]. Kelompok resiko tinggi yang terinfeksi Covid-19 yaitu mencakup usia lanjut (lebih dari 60 tahun), anak-anak, wanita hamil dan penderita penyakit kronis (diabetes mellitus, hipertensi, penyakit jantung dan pernafasan, dan defisiensi  immunitas)  [4].  Berdasarkan  data  yang  dipublikasikan  oleh  WHO  pada  tanggal  12  Januari  2022, total  infeksi  Covid-19  secara  global  sudah  mencapai  308.458.509  kasus,  dan  sebanyak  5.429.595  orang meninggal dunia akibat Covid-19 [4].
Indonesia pertama kali mengkonfirmasi kasus Covid-19 pada tanggal 2 Maret 2020. Berdasarkan data dari Satgas Covid-19 pada tanggal 12 Januari 2022, total infeksi Covid-19 di Indonesia mencapai 4.268.097 kasus. Sebanyak 144.150 orang  meninggal dunia akibat  Covid-19  dan 4.166.962 lainnya sembuh dari virus corona.  Dari  34  Provinsi  yang  ada  di  Indonesia,  provinsi  dengan  angka  penyebaran  tertinggi  adalah  DKI Jakarta. Per tanggal 12 Januari 2022, pemerintah melaporkan jumlah kasus terinfeksi Covid-19 di DKI Jakarta mencapai  868.198  atau  20,3%  dari  jumlah  terkonfirmasi  nasional  [5].  Merespon  hal  tersebut  pemerintah dengan sigap mengambil langkah-langkah strategis untuk mencegah terjadinya penyebaran penyakit Covid-19 yang  semakin  meningkat.  Salah  satu  upaya  pencegahan  yang  dapat  dilakukan  pemerintah  adalah  dengan program vaksinasi.
Pemodelan  matematika  merupakan  salah  satu  alat  utama  dalam  perencanaan  epidemik  yang  dapat membantu  mempermudah  penyelesaian  masalah  dalam  kehidupan  nyata,  termasuk  masalah  pandemik COVID-19. Pemodelan matematika dapat membantu memahami dan mengidentifikasi hubungan penyebaran COVID-19  dengan  berbagai  parameter  epidemiologi,  membantu  dalam  perencanaan  masa  depan  dan mempertimbangkan  langkah-langkah  pengendalian  yang  tepat.  Dalam  penelitian  ini  akan  dibahas  sebuah model matematika transmisi Coronavirus Disease (COVID-19). Model dirancang dengan mempertimbangkan faktor-faktor  epidemiologi  pada  penyebaran  COVID-19  hingga  ditetapkannya  kasus  ini  sebagai  kasus pandemik, termasuk dengan mempertimbangkan data-data kasus yang terjadi di DKI Jakarta. Salah satu model matematika  yang  dapat  diterapkan  dalam  simulasi  penyebaran  Covid-19  adalah  model  epidemi  SIR ( Susceptible-Infected-Recovered ).  Model  epidemi  SIR  telah  banyak  diterapkan  untuk  memprediksi  pola perilaku penyakit menyebar pada manusia terhadap waktu dalam suatu daerah. Model SIR juga tersedia dalam bentuk modifikasi yang disesuaikan dengan keadaan yang akan disimulasikan [6].
Telah  banyak  dilakukan  penelitian  penyebaran  penyakit  Covid-19  dengan  model  SIR,  akan  tetapi masih sedikit penelitian yang membahas tentang peran penting vaksinasi guna menangani penyebaran penyakit Covid-19,  maka  dari  itu  dalam  penelitian  ini  akan  dikembangkan  model  matematika  penyebaran  penyakit Covid-19 dengan pengaruh vaksinasi di DKI Jakarta. Model yang digunakan dalam penelitian ini adalah model SVIR.  Model  ini  mengasumsikan  individu  diberikan  vaksin  sampai  dosis  kedua,  individu  yang  telah  di vaksinasi sebanyak dua dosis masih dapat tertular Covid-19 jika berinteraksi dengan individu terinfeksi Covid- 19.  Dari  model  tersebut  akan  dicari  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium  endemik  untuk masing-masing  kompartemen  serta  bilangan  reproduksi  dasar  untuk  mengidentifikasikan  apakah  penyakit menjadi endemik atau tidak. Selanjutnya akan dilakukan  simulasi  model, dengan  nilai-nilai parameter yang diambil dari beberapa sumber.

## 2. METODE
2.1 Formulasi Model
Model  matematika  pada  penyebaran  penyakit  Covid-19  ini  didasari  dari  studi  literatur  mengenai penyebaran penyakit Covid-19 dan dengan asumsi sebagai berikut:
236
Gambar 1. Diagram alur kompartemen penyebaran Covid-19 dengan pengaruh vaksinasi
1. Model  yang digunakan dalam penyebaran penyakit Covid-19 adalah  model SVIR (Susceptible Vaccine Infected Recovered) yang dibagi ke dalam empat kelas, yaitu: Susceptible (S) yaitu individu yang rentan terkena  penyakit, Vaccine (V)  yaitu  individu  yang  sudah  melakukan  vaksinasi  Covid-19  sebanyak  dua kali, Infected (I) yaitu individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit, Recovered (R) yaitu indi- vidu yang telah sembuh dari penyakit.
2. Populasi diasumsikan tertutup, artinya tidak ada individu masuk ke dalam populasi atau keluar dari popu- lasi (tidak ada migrasi). Total populasi diasumsikan konstan.
3. Tidak ada masa inkubasi atau laten.
4. Laju kelahiran dan kematian alami setiap satuan waktu diasumsikan sama.
5. Vaksinasi dilakukan sebanyak dua kali.
6. Individu rentan dapat terinfeksi Covid-19 karena berinteraksi dengan individu terinfeksi.
7. Individu yang telah divaksinasi sebanyak dua kali dapat terinfeksi Covid-19 karena berinteraksi dengan individu terinfeksi.
8. Individu yang terinfeksi dapat sembuh dari penyakit.
9. Individu yang telah sembuh dapat kembali menuju populasi individu rentan.
Secara sederhana, alur penyebaran penyakit Covid-19 digambarkan sebagai berikut:
Variabel  dan  parameter  yang  digunakan  dalam  model  penyebaran  penyakit  Covid-19  dengan  pengaruh vaksinasi disajikan dalam tabel 1 dan 2 berikut:
Tabel 1. Daftar variabel model penyebaran Covid-19
Variabel Deskripsi 𝑁(𝑡) Jumlah populasi individu pada waktu ke-t. 𝑆(𝑡) Jumlah individu rentan terinfeksi pada waktu ke-t. 𝑉(𝑡) Jumlah individu yang telah melakukan vaksinasi sebanyak dua kali pada waktu ke-t. 𝐼(𝑡) Jumlah individu terinfeksi pada waktu ke-t. 𝑅(𝑡) Jumlah individu yang sembuh setelah terinfeksi pada waktu ke-t. Tabel 2. Daftar parameter model penyebaran Covid-19 Parameter Deskripsi 𝜇 Laju kelahiran dan kematian alami. 𝛼
Laju perpindahan dari individu rentan menjadi individu terinfeksi.
𝛽 Laju perpindahan dari individu rentan menjadi individu yang telah melakukan vaksinasi.
𝑘 Proporsi dari individu rentan menjadi individu yang telah melakukan vaksinasi.
𝜃 Laju perpindahan dari individu yang telah melakukan vaksinasi menjadi individu terinfeksi.
𝜔
Laju kesembuhan dari individu terinfeksi menjadi individu sembuh.
𝛾 Laju perpindahan dari individu sembuh menjadi individu rentan.
Model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan pengaruh vaksinasi sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 + 𝛾𝑅 − 𝜇𝑆  − 𝑘𝛽𝑆 − (1 − 𝑘)𝛼𝑆 𝐼 𝑁 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑘𝛽𝑆 − 𝜇𝑉  − 𝜃𝑉 𝐼 𝑁 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = (1 − 𝑘)𝛼𝑆 𝐼 𝑁 + 𝜃𝑉 𝐼 𝑁 − 𝜇𝐼  − 𝜔𝐼 (1)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜔𝐼 − 𝜇𝑅 − 𝛾𝑅
Dengan 𝑁 = 𝑆 + 𝑉 + 𝐼 + 𝑅
Untuk mempermudah proses analisis model, maka terlebih dahulu dilakukan proses penskalaan pada sistem (1). Perhatikan Ṅ = 0 , sehingga 𝑁 konstan. Misalkan 𝑠 = 𝑆 𝑁 , 𝑣 = 𝑉 𝑁 , 𝑖 = 𝐼 𝑁 , 𝑟 = 𝑅 𝑁 . Sistem (1) dapat diskala menjadi:
𝑠̇ = 𝜇 + 𝛾𝑟 − (𝜇 + 𝑘𝛽 + (1 − 𝑘)𝛼𝑖)𝑠 𝑣̇ = 𝑘𝛽𝑠 − (𝜇 + 𝜃𝑖)𝑣 𝑖̇ = ((1 − 𝑘)𝛼𝑠 + 𝜃𝑣 − 𝜇 − 𝜔)𝑖
(2)
𝑟̇ = 𝜔𝑖 − (𝜇 + 𝛾)𝑟

## 2.2 Analisis Model
Dalam bidang epidemiologi matematika, bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung  oleh individu lain yang telah terinfeksi dan masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan [7]. Nilai 𝑅 0 yang diperoleh dapat mengindikasikan keadaan bagaimana suatu  wabah  ( epidemic )  mungkin  terjadi.  bilangan  reproduksi  dasar  ( 𝑅 0 )  pada  model  penyebaran  penyakit Covid-19 dicari dengan menggunakan metode yang dikembangkan oleh Perasso[8]., bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) pada model ini adalah (1−𝑘)𝛼𝜇+𝑘𝛽𝜃 (𝑘𝛽+𝜇)(𝜇+𝜔) .
Selanjutnya dilakukan analisis terhadap  model  matematika pada  sistem (2) untuk menentukan titik ekuilibrium.  Untuk  menentukan  titik  ekuilibriumnya,  masing-masing  persamaan  pada  sistem  (2)  dibuat menjadi nol.
𝑠̇ = 𝜇 + 𝛾𝑟 − (𝜇 + 𝑘𝛽 + (1 − 𝑘)𝛼𝑖)𝑠
= 0 𝑣̇ = 𝑘𝛽𝑠 − (𝜇 + 𝜃𝑖)𝑣 = 0 𝑖̇ = ((1 − 𝑘)𝛼𝑠 + 𝜃𝑣 − 𝜇 − 𝜔)𝑖 = 0 (3) 𝑟̇ = 𝜔𝑖 − (𝜇 + 𝛾)𝑟 = 0
Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  didapat  ketika  tidak  ada  penyakit  dalam  populasi.  Agar  memenuhi  titik ekuilibrium bebas penyakit, maka tidak ada satupun individu yang terinfeksi sehingga 𝑖 = 0 .
Dari persamaan pertama sistem (3) diperoleh
𝜇 + 𝛾𝑟 − (𝜇 + 𝑘𝛽 + (1 − 𝑘)𝛼𝑖)𝑠 = 0 ⇔ 𝜇 + 𝛾𝑟 − (𝜇 + 𝑘𝛽 + (1 − 𝑘)𝛼(0))𝑠 = 0 ⇔ 𝜇 + 𝛾𝑟 − (𝜇 + 𝑘𝛽)𝑠 = 0
⇔ 𝑠 = 𝜇 𝑘𝛽+𝜇 (4)
Dari persamaan kedua sistem (3) diperoleh
𝑘𝛽𝑠 − (𝜇 + 𝜃𝑖)𝑣 = 0
⇔ 𝑘𝛽 ( 𝜇 𝑘𝛽+𝜇 ) − (𝜇 + 𝜃(0))𝑣 = 0
⟺ 𝑣 = 𝑘𝛽( 𝜇 𝑘𝛽+𝜇 ) 𝜇 ⟺ 𝑣 = 𝑘𝛽 𝑘𝛽+𝜇 (5)
Dari persamaan keempat sistem (3) diperoleh
238
𝜔𝑖 − (𝜇 + 𝛾)𝑟 = 0 ⟺ 𝜔(0) − (𝜇 + 𝛾)𝑟 = 0
⟺ 𝑟 = 0
(6)
Dengan demikian diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu:
𝐸 0 (𝑠, 𝑣, 𝑖, 𝑟) = ( 𝜇 𝑘𝛽+𝜇 , 𝑘𝛽 𝑘𝛽+𝜇 , 0,0)
Selanjutnya untuk menentukan titik keseimbangan endemik. Titik ekuilibrium endemik adalah titik ekuilibrium saat 𝑖 ≠ 0 atau saat penyakit menyebar dalam populasi[9]. Titik ekuilibrium endemik artinya di dalam populasi selalu  terdapat  individu  yang  terserang  penyakit,  dengan  menggunakan  program  Wolfram  Mathematica diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit adalah 𝐸 ∗ = (𝑠 ∗ , 𝑣 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑟 ∗ ) , dengan:
𝑠 ∗ = 1 2(−1+𝑘)𝛼((−1+𝑘)𝛼+𝜃)(𝛾+𝜇) (−𝜃(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔) − 𝑘𝛽𝜃(𝛾 + 𝜇 + 𝜔) + (−1 + 𝑘)𝛼((𝜃 − 𝜇)(𝛾 + 𝜇) −
(2𝛾 + 𝜇)𝜔) + √(4(−1 + 𝑘)𝛼((−1 + 𝑘)𝛼 + 𝜃)(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔)(𝜃(𝛾 + 𝜇) − 𝛾𝜔) + (𝜃(𝛾 + 𝜇)(𝜇 +
𝜔) + 𝑘𝛽𝜃(𝛾 + 𝜇 + 𝜔) + (−1 + 𝑘)𝛼(−(𝜃 − 𝜇)(𝛾 + 𝜇) + (2𝛾 + 𝜇)𝜔)) 2 ) 𝑣 ∗ =
1 2𝜃((−1+𝑘)𝛼+𝜃)(𝛾+𝜇) ((−1 + 𝑘)𝛼((𝛾 + 𝜇)(𝜃 + 𝜇) + 𝜇𝜔) + 𝜃((𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔) − 𝑘𝛽(𝛾 + 𝜇 + 𝜔)) +
√(4(−1 + 𝑘)𝛼((−1 + 𝑘)𝛼 + 𝜃)(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔)(𝜃(𝛾 + 𝜇) − 𝛾𝜔) + (𝜃(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔) + 𝑘𝛽𝜃(𝛾 + 𝜇 +
𝜔) + (−1 +          𝑘)𝛼(−(𝜃 − 𝜇)(𝛾 + 𝜇) + (2𝛾 + 𝜇)𝜔)) 2 ))
𝑖 ∗ = 1
2(−1+𝑘)𝛼𝜃(𝛾+𝜇+𝜔) (𝜃(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔) + 𝑘𝛽𝜃(𝛾 + 𝜇 + 𝜔) + (−1 + 𝑘)𝛼((𝜃 − 𝜇)(𝛾 + 𝜇) − 𝜇𝜔) − √(4(−1 +
𝑘)𝛼((−1 + 𝑘)𝛼 + 𝜃)(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔)(𝜃(𝛾 + 𝜇) − 𝛾𝜔) + (𝜃(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔) + 𝑘𝛽𝜃(𝛾 + 𝜇 + 𝜔) + (−1 + 𝑘)𝛼(−(𝜃 − 𝜇)(𝛾 + 𝜇) + (2𝛾 + 𝜇)𝜔)) 2 ))
𝑟 ∗ = 1 2(−1+𝑘)𝛼𝜃(𝛾+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜔) 𝜔 ((𝛾 + 𝜇)((−1 + 𝑘)𝛼(𝜃 − 𝜇) + 𝜃(𝑘𝛽 + 𝜇)) + (𝑘𝛽 + 𝛾)𝜃 + (𝛼 − 𝑘𝛼 + 𝜃)𝜇) 𝜔 − √(4(−1 + 𝑘)𝛼((−1 + 𝑘)𝛼 + 𝜃)(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔)(𝜃(𝛾 + 𝜇) − 𝛾𝜔) + (𝜃(𝛾 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔) + 𝑘𝛽𝜃(𝛾 + 𝜇 + 𝜔) + (−1 + 𝑘)𝛼(−(𝜃 − 𝜇)(𝛾 + 𝜇) + (2𝛾 + 𝜇)𝜔)) 2 ))
Analisis kestabilan ditentukan berdasarkan nilai  eigen dari  matriks Jacobian  yang diperoleh  melalui  metode linearisasi sistem di sekitar titik-titik ekuilibrium dari sistem (2). Jika terdapat nilai eigen dengan bilangan riil positif,  maka titik ekuilibrium tidak stabil dan jika semua nilai eigen  bernilai  negatif, maka titik ekuilibrium stabil [10]. Nilai eigen sendiri didapat dari akar persamaan karakteristik suatu matriks Jacobi.
Teorema 1. Jika 𝑅 0 < 1 , maka titik ekuilibrium bebas penyakit (𝐸 0 ) stabil asimtotik lokal.
Bukti .  Pertama-tama,  ditentukan  matriks  Jacobi 𝐽 dari  sistem  (2).  Berikut  adalah  matriks  Jacobi 𝐽 model matematika tersebut:
𝐽 = [ −𝑖(1 − 𝑘)𝛼 − 𝑘𝛽 − 𝜇 0 −(1 − 𝑘)𝑠𝛼 𝛾 𝑘𝛽 −𝑖𝜃 − 𝜇 −𝑣𝜃 0 𝑖(1 − 𝑘)𝛼 𝑖𝜃 (1 − 𝑘)𝑠𝛼 + 𝑣𝜃 − 𝜇 − 𝜔 0 0 0 𝜔 −𝛾 − 𝜇 ]
dengan mensubtitusikan nilai 𝐸 0 , maka diperoleh 𝐽(𝐸 0 ) sebagai berikut:
𝐽(𝐸 0 ) = [ −𝑘𝛽 − 𝜇 0 − (1 − 𝑘)𝛼𝜇 𝑘𝛽 + 𝜇 𝛾 𝑘𝛽 −𝜇 − 𝑘𝛽𝜃 𝑘𝛽 + 𝜇 0 0 0 −𝜇 + 𝑘𝛽𝜃 𝑘𝛽 + 𝜇 + (1 − 𝑘)𝛼𝜇 𝑘𝛽 + 𝜇 − 𝜔 0 0 0 𝜔 −𝛾 − 𝜇]
239
Untuk mendapatkan nilai eigen λ dari matriks 𝐽(𝐸 0 ) , digunakan persamaan (𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )) = 0 , sehingga dari 𝑑𝑒𝑡[𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )] = 0 diperoleh persamaan karakteristik berikut:
(𝜆 + 𝜇)(𝑘𝛽 + 𝜆 + 𝜇)(𝛾 + 𝜆 + 𝜇) (𝜆 + 𝜇 − 𝑘𝛽𝜃 𝑘𝛽+𝜇 − (1−𝑘)𝛼𝜇 𝑘𝛽+𝜇 + 𝜔) = 0 (7)
dari  persamaan  (7)  didapat  jika 𝑅 0 < 1 maka  semua  akarnya  bernilai  negatif.  Hal  ini  berarti  bahwa  sistem tersebut stabil asimtotik lokal pada titik 𝐸 0 .
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Simulasi Numerik
Kestabilan saat 𝑹 𝟎 < 𝟏
Tabel 3. Nilai-nilai parameter titik ekuilibrium bebas penyakit
Parameter Nilai 𝜇 0.031342 𝑘 0.867007 𝛽 0.002222 𝛼 0.1 𝜃 0.011111 𝜔 0.0006667 𝛾 0.001370
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 3 maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari sistem (2)  adalah 𝑅 0 = 0.411531 .  Karena 𝑅 0 < 1 maka  penyakit  tidak  akan  menyebar,  dengan  kata  lain  untuk menjaga  waktu  tertentu  populasi  akan  bebas  penyakit.  Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  adalah 𝐸 0 = (𝑠, 𝑣, 𝑖, 𝑟) = (0.942093, 0.0579073, 0, 0) . Maka titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal. Hasil simulasi di titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 menggunakan program Wolfram Mathematica 11.3 berdasarkan parameter pada Tabel 3 dan dengan sembarang nilai awal 𝑠(0) = 0.2 , 𝑣(0) = 0.3 , 𝑖(0) = 0.2 , 𝑟(0) = 0.3 , ditampilkan dalam gambar berikut:
Berdasarkan  Gambar  2  terlihat  bahwa  dari  hasil  simulasi  numerik  untuk 𝑅 0 < 1 yang  dilakukan menunjukan adanya kecenderungan dari sistem menuju titik ekuilibrium bebas penyakit. Hal ini sesuai dengan analisis kestabilan yang telah dilakukan bahwa titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal untuk 𝑅 0 < 1 .
Kestabilan saat 𝑹 𝟎 > 𝟏
Jika nilai parameter α diperbesar dari nilai sebelumnya menjadi 𝛼 = 0.57 nilai parameter 𝜃 diperbesar dari nilai sebelumnya menjadi 𝜃 = 0.25 , dengan demikian diperoleh nilai-nilai parameter seperti berikut:
Gambar 2. Simulasi model saat 𝑅 0 < 1
240
Tabel 4. Nilai-nilai parameter titik ekuilibrium endemik Parameter Nilai 𝜇 0.031342 𝑘 0.867007 𝛽 0.002222 𝛼 0.57 𝜃 0.25 𝜔 0.0006667 𝛾 0.001370
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 4 maka diperoleh bilagan reproduksi dasar dari sistem (2)  adalah 𝑅 0 = 2.68343. Karena 𝑅 0 > 1 maka  penyakit  akan  meyebar  atau  dengan  kata  lain  akan  terjadi endemik. Nilai titik ekuilibrium endemik adalah 𝐸 ∗ = (𝑠 ∗ , 𝑣 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑟 ∗ ) = (0.407486 , 0.0044752, 0.576293, 0.0117454) .
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 4 dan dengan sembarang nilai awal 𝑠(0) = 0.2, 𝑣(0) = 0.3, 𝑖(0) = 0.2, 𝑟(0) = 0.3 , maka diperoleh hasil simulasi di titik ekuilibrium endemik 𝐸 ∗ sebagai berikut:
Berdasarkan Gambar 3 terlihat bahwa dari hasil simulasi numerik untuk 𝑅 0 > 1 yang dilakukan menunjukan adanya kecenderungan dari sistem menuju titik ekuilibrium endemik. Hal ini sesuai dengan analisis kestabilan yang telah dilakukan bahwa titik ekuilibrium tidak stabil untuk 𝑅 0 > 1.

## Efektifitas Penggunaan Vaksin
Selanjutnya  akan  dilakukan  simulasi  numerik  untuk  melihat  efektivitas  pada  penggunaan  vaksin. Pengaruh  vaksinasi  akan  dianalisis  rasio  reproduksi  dasar  untuk  tingkat  vaksinasi  lebih  besar  dari 𝑘 = 0.867007 disajikan dalam tabel berikut:
Tabel 5. Pengaruh nilai 𝑘 dengan 𝑘 > 87% terhadap 𝑅 0
𝒌 Rasio Reproduksi Dasar (𝑹 𝟎 ) 0.98 0.840408 0.99 0.678628 1 0.517062
Berikut adalah grafik untuk simulasi efektivitas penggunaan vaksin dengan tingkat vaksinasi 𝑘 > 87%
Gambar 3. Simulasi model saat 𝑅 0 > 1
Gambar 4. (a) Simulasi titik 𝑖 ketika 𝑘 = 0.98 , (b) Simulasi 𝑖 ketika 𝑘 = 0.99 , (c) Simulasi 𝑖 ketika 𝑘 = 1
Selanjutnya  akan  dianalisis  rasio  reproduksi  dasar  untuk  tingkat  vaksinasi  lebih  kecil  dari 𝑘 = 0.867007 disajikan dalam tabel berikut:
Tabel 6. Pengaruh nilai 𝑘 dengan 𝑘 < 87% terhadap 𝑅 0
𝒌 Rasio Reproduksi Dasar (𝑹 𝟎 ) 0.6 7.15111 0.7 5.45899 0.8 3.78958
Berikut adalah grafik untuk simulasi efektivitas penggunaan vaksin dengan tingkat vaksinasi 𝑘 < 87%
Gambar 5. (a) Simulasi titik 𝑖 ketika 𝑘 = 0.6 , (b) Simulasi 𝑖 ketika 𝑘 = 0.7 , (c) Simulasi 𝑖 ketika 𝑘 = 0.8
Berdasarkan gambar 4 dan gambar 5 jika semakin tinggi tingkat vaksinasi maka bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 akan semakin menurun. Namun untuk 𝑘 < 87% vaksinasi yang dilakukan belum berhasil membuat penyakit  menghilang  dari  populasi  karena  nilai 𝑅 0 > 1 .  Agar  penyebaran  penyakit  dapat  dicegah  dengan
242 sukses,  maka 𝑘 > 87% agar 𝑅 0 < 1 sehingga  penyakit  secara  berangsur-angsur  akan  menghilang  dari populasi. Jadi semakin besar tingkat vaksinasi maka akan semakin cepat penyakit menghilang dari populasi.

## 4. PENUTUP
Berdasarkan asumsi yang dimiliki,  Berikut adalah model matematika penyebaran penyakit Covid-19 dengan pengaruh vaksinasi:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 + 𝛾𝑅 − 𝑘𝛽𝑆 − (1 − 𝑘)𝛼𝑆 𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑘𝛽𝑆 − 𝜃𝑉 𝐼 𝑁 − 𝜇𝑉 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = (1 − 𝑘)𝛼𝑆 𝐼 𝑁 + 𝜃𝑉 𝐼 𝑁 − 𝜔𝐼 − 𝜇𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜔𝐼 − 𝛾𝑅 − 𝜇𝑅 dengan 𝑁 = 𝑆 + 𝑉 + 𝐼 + 𝑅
Dari  model  tersebut  diperoleh  dua  titik  ekuilibrium  yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit 𝐸 0 (𝑠, 𝑣, 𝑖, 𝑟) = ( 𝜇 𝑘𝛽+𝜇 , 𝑘𝛽 𝑘𝛽+𝜇 , 0,0) yang  bersifat  stabil  asimtotik  lokal  saat 𝑅 0 < 1 dan  titik  ekuilibrium endemik 𝐸 ∗ = (𝑠 ∗ , 𝑣 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑟 ∗ ) = (0.407486 , 0.0044752, 0.576293, 0.0117454) yang  terindikasi  bersifat stabil asimtotik  lokal saat 𝑅 0 > 1 .  Berdasarkan  hasil  simulasi efektivitas pada penggunaan  vaksin, semakin besar tingkat vaksinasi maka akan semakin cepat penyakit menghilang dari populasi, yang artinya penggunaan vaksin cukup efektif.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Kemenkes RI, “P2PTM_RAK2017.pdf.” pp. 1–37, 2017. [Online]. Available: http://p2p.kemkes.go.id/wp-content/uploads/2017/12/P2PTM_RAK2017.pdf
[2] A. Muntaha and E. S. Anwar, “Penerapan Model Matematika untuk Mencegah Penyebaran Covid-19 di Sektor Pendidikan Indonesia di Era New Normal,” J. Ilm. Pendidik. MAJU , vol. 7, no. 2, pp. 83–88, 2020, [Online]. Available: https://ejournal.stkipbbm.ac.id/index.php/mtk/article/view/492
[3] M.  Manaqib,  I.  Fauziah,  and  E.  Hartati,  “Model  Matematika  Penyebaran  COVID-19  dengan Penggunaan Masker Kesehatan dan Karantina,” Jambura J. Biomath. , vol. 2, no. 2, pp. 68–79, 2021, doi: https://doi.org/10.34312/jjbm.v2i2.10483.
[4] “WHO Coronavirus (COVID-19) Dashboard,” World Health Organization , 2022.
https://covid19.who.int/ (accessed Jan. 12, 2022)
[5] “Data  sebaran  perkembangan  Covid-19,” Satuan  Tugas  Penanganan  Covid-19 ,  2022. https://covid19.go.id/ (accessed Jan. 12, 2022).
[6] L. I. Setiawan and S. Mungkasi, “Penyelesaian  Model Epidemi SIR Menggunakan Metode Runge- Kutta Orde Empat Dan Metode Adams-Bashforth-Moulton,” vol. 18, no. 2, pp. 55–61, 2021.
[7] J.  Giesecke, Modern  Infectious  Disease  Epidemiology  Third  Edition .  New  York:  Taylor  &  Francis Group, 2017.
[8] A. Perasso, “An Introduction to The Basic  Reproduction Number  in  Mathematical Epidemiology,” ESAIM Proc. Surv. , vol. 62, no. September, pp. 123–138, 2018, doi: 10.1051/proc/201862123.
[9] A. D. B. Aez-s, “Tema,” 2020, doi: 10.5540/tema.2020.021.03.0409.
[10] L. Wang, B. K. P. Horn, and G. Strang, “Eigenvalue and Eigenvector Analysis of Stability for a Line of Traffic,” Stud. Appl. Math. , vol. 138, no. 1, pp. 103–132, 2017, doi: 10.1111/sapm.12144.