J. of Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 1, No. 1 (2004), 31–36

## Penerapan Thresholding Bertahap Pada Proses Denoising Sinyal Berbasis Wavelet

## Mahmud Yunus
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
yunusm@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Metode-metode berbasis wavelet menjadi piranti yang sangat efisien dan semakin menarik untuk diteliti. Dalam makalah ini disampaikan prosedur penerapan tresholding secara berta- hap (TSB) pada masalah denoising sinyal. Sebagai contoh kasus, TSB akan diterapkan untuk denoising sinyal (data) satu dimensi.
TSB diterapkan pada sinyal yang diberikan, dengan terlebih dahulu menentukan nilai threshold yang paling sesuai untuk tiap tahap dekomposisi, kemudian proses denoising dilakukan serentak dengan proses rekonstruksi. Hasil penerapan TSB akan dibandingkan dengan dua metode yang telah cukup dikenal. Pertama, cara Donoho dan Johnstone (1995) yang menerapkan threshold global λ ∼ σ √ 2 log n untuk j > j 0 , dengan j 0 resolusi terakhir yang dipilih. Kedua, dibandingkan dengan metode berbasis FDR (False descovery error rate) yang dikemukakan oleh Abramovich dan Benjamini (1998).
Kata kunci : denoising, thresholding bertahap, wavelet

## 1 Pendahuluan
Misal diberikan data
y i = x ( t i ) + ε i , i = 1 , . . . , n (1)
dengan t i = i/n , dan ε i noise normal i.i.d. dengan mean nol dan variansi σ 2 . Selanjutnya akan diduga nilai fungsi x ( · ) yang tidak dike- tahui dari data yang diberikan tersebut dan tanpa adanya asumsi apapun mengenai ben- tuk x . Saat ini, cara-cara yang menggunakan wavelet menjadi semakin menarik dan meru- pakan piranti yang efisien dalam estimasi fungsi sejenis itu.
Dalam penderetan dengan deret Fourier basis yang digunakan adalah fungsi-fungsi sinus dan cosinus dalam berbagai frekuensi, sedangkan dengan deret wavelet digunakan fungsi-fungsi basis ψ jk , yang merupakan hasil
translasi dan dilasi fungsi tunggal ψ yang dise- but wavelet induk , yaitu ψ jk = 2 j/ 2 ψ (2 j t − k ) j, k ∈ Z . Fungsi y di atas didekomposisi menggunakan fungsi-fungsi basis ortonormal ψ k . Dari satu wavelet induk ψ , fungsi ψ jk yang berkaitan membentuk basis ortonormal di L 2 ( R ) (contoh-contoh wavelet induk yang demikian dapat dilihat di buku Daubechies [3]). Dalam hal ini, fungsi x dalam (1)
x ( t ) = X j X k d jk ψ jk
dengan koefisien-koefisien wavelet
d jk = h y, ψ jk i = Z y ( t ) ψ jk ( t ) dt = 2 j/ 2 Z y ( t ) ψ (2 j t − k ) dt
Berlainan dengan sinus dan cosinus, wavelet

## Mahmud Yunus
terlokalisir sekaligus dalam frekuensi (melalui dilasi) dan waktu (melalui translasi). Sifat lokal ini merupakan salah satu sifat istimewa wavelet, sebab hanya diperlukan sedikit fungsi basis untuk menyajikan suatu fungsi pada ham- piran resolusi tertentu.
Misal data diberikan di titik-titik t i = i/n dengan ukuran sampel n = 2 J +1 untuk suatu bilangan bulat positif J . Tanpa kesertaan noise acak pada data, dapat ditemukan m = n − 1 koefisien wavelet d jk untuk fungsi x , j = 0 , . . . , J , k = 0 , . . . , 2 j − 1, dengan mene- rapkan transformasi wavelet diskrit (TWD) dari vektor tanpa noise x = ( x ( t 1 ) , . . . , x ( t n )) 0 . Algoritma TWD yang dapat digunakan untuk memperoleh d jk telah dirumuskan oleh Mallat [6]. Karena dengan hanya sedikit fungsi ba- sis wavelet sudah mencukupi untuk menya- jikan suatu sinyal, maka sangat beralasan apa- bila diasumsikan bahwa hanya sedikit d jk yang memuat informasi tentang sinyal yang sebe- narnya, sedangkan yang lainnya muncul aki- bat adanya noise acak. Untuk hal ini, ek- straksi dapat dilakukan dengan proses thresh- olding pada koefisien-koefisien d jk :
d ∗ jk = ( d jk , | d jk | ≥ λ, 0 , | d jk | < λ.
dengan λ nilai threshold yang dipilih. Perlu di- catat bahwa kebanyakan kasus denoising dalam praktek, orang yang berbeda akan berbeda pula memilih nilai threshold. Hal ini dapat dimungkinkan dari pengamatan dan pengala- man pemakai yang memandang bagian mana dari data yang dapat dikorbankan.
Dalam makalahnya, Donoho dan Johnstone [4] menggunakan threshold global λ ∼ σ √ 2 log n untuk semua j yang lebih besar dari suatu j 0 . Dalam prakteknya, σ selalu tidak diketahui dan biasanya diduga dari koefisien- koefisien resolusi paling halus. Donoho dan Johnstone menyarakan untuk selalu melibatkan koefisien-koefisien pada tahap j 0 yang pertama, walaupun koefisien-koefisien tersebut tidak lo- los tahap thresholding. Dalam makalah terse- but digunakan j 0 = 5. Secara intuitif, pe- milihan j 0 yang tepat seharusnya bergantung pada kemulusan dari fungsi yang diduga dan pada tingkat noise yang ada.
Abramovich dan Benjamini [1] memperke- nalkan cara menentukan nilai threshold yang didasarkan pada prosedur FDR (False Discov- ery error Rate) yang kemudian dinamainya
dengan FDRC (False Discovery Rate of Co- efficients). FDRC menunjukkan perbaikan dibandingkan dengan metode yang menerap- kan threshold global tetap, yang didasarkan pada perbandingan Relative Mean Square Error untuk berbagai fungsi-uji (sinyal-uji) dengan berbagai tingkat noisenya.
Secara singkat prosedur FDRC adalah sebagai berikut:
(i) Untuk setiap ˆ d jk hitung nilai- p dua-sisi yang bersesuaian, p jk , dengan menguji H jk : d jk = 0,
(ii) Urutkan p jk berdasarkan nilainya, p (1) ≤ p (2) ≤ . . . p ( m ) .
(iii) Pilih i 0 nilai terbesar i dimana p ( i ) ≤ ( i/m ) q . Untuk i 0 tersebut tentukan λ i 0 = σ Φ − 1 (1 − p ( i 0 ) / 2).
(iv) Lakukan thresholding untuk semua koe- fisien pada tahap λ i 0 .
Ditunjukkan dalam makalah tersebut, bahwa thresholding yang efektif dapat dikerjakan pada tahap dekomposisi antara λ min =
σ Φ − 1 (1 − q/ 2) dan λ max = σ Φ − 1 (1 − q/ 2 n ).
Makalah ini hanya menyampaikan pene- rapan prosedur TSB pada sinyal (fungsi) pada garis real R , sedangkan untuk perluasannya pada R p yang lebih umum, dan khususnya untuk sinyal atau citra di R 2 dapat diturunkan dengan tahapan yang serupa.

## 2 Prosedur Thresholding Secara Bertahap
Berdasarkan sifat dasar transformasi wavelet, diketahui bahwa tingkat resolusi yang lebih halus (tahap dekomposisi yang lebih tinggi) akan hanya memuat informasi detail dan mem- berikan sinyal rataan dalam resolusi yang lebih kasar. Oleh karena itu, dengan mengha- pus tingkat resolusi yang paling halus, dan merekonstruksinya kembali akan diperoleh pe- ngaruh penghalusan seperti penerapan filter linear yang sangat elementer. Dalam hal ini noise dapat tereduksi, tetapi kemungkinan juga akan mengakibatkan mengaburnya sinyal asal.
Telah diketahui pula bahwa kebanyakan koefisien wavelet adalah sangat kecil. Akan tetapi, masing-masing tahap dekomposisi menghasilkan koefisien-koefisien yang mem- bawa sifat-sifat yang berbeda sesuai dengan
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
tingkat resolusinya. Untuk itu, perlakuan pada koefisien-koefisien pada masing-masing tahap dekomposisi perlu dicermati dan seharusnya diperlakukan berbeda.
Prosedur thresholding secara bertahap (TSB) akan diterapkan untuk koefisien-
koefisien pada tahap dekomposisi yang berbeda. Dengan asumsi noise ε pada (1) merupakan noise acak bebas (i.i.d.) ε i ∼ N (0 , σ 2 ). Dengan TWD yang mempunyai kompleksitas linear O ( N ), perlakuan yang berbeda untuk tiap-tiap tahap dekomposisi tidak menjadi masalah, setidaknya dalam hal komputasinya.
Dengan TWD, persamaan (1) dapat ditulis kembali sebagai
y = x + v (2)
dengan y memuat TWD dari sinyal yang diamati, x vektor TWD dari sinyal tanpa noise (sinyal bersih), dan v vektor TWD dari noise. Dalam permasalahan ini akan di- cari ˆ x dengan menerapkan thresholding pada koefisien-koefisien detail y j tiap tahap dekom- posisi.
Pada dasarnya, penentuan nilai thresh- old yang diterapkan untuk TSB adalah nilai threshold Donoho dan Johnstone, hanya saja sifat global pada seluruh koefisien detail diganti dengan koefisien detail masing-masing tahap dekomposisi. Sedangkan taksiran nilai σ diten- tukan dengan cara Abramovich dan Benjamini, yaitu dengan menduga nilainya sesuai SNR yang diharapkan, yang kemudian nilai tersebut diskala menyesuaikan tingkat noise pada tahap tersebut. Penskalaan didasarkan pada nilai simpangan maksimum absolut dibagi 0.6745, nilai yang cocok untuk penanganan noise acak seperti asumsi yang digunakan di sini. Nilai ini digunakan oleh Hansen dkk. [5].
Secara ringkas, langkah-langkah penerapan prosedur TSB untuk denoising sinyal y dapat dirumuskan sebagai berikut:
(i) Transformasikan y dengan TWD se- hingga diperoleh
koefisien-koefisien TWD: y 1 , y 2 , . . . , y j 0 , dengan y j berse- suaian dengan tahap ke- j .
(ii) Untuk masing-masing y j tentukan nilai threshold λ j yang memenuhi k y j k /σ = δ dengan δ adalah SNR yang diharapkan.
(iii) Lakukan penskalaan pada masing- masing
λ j dengan
menghitung max( | y jk | ) / 0 . 6745.
(iv) Kerjakan thresholding pada koefisien- koefisien detail y j dengan nilai threshoild λ j yang bersesuaian.
(v) Kerjakan invers TWD pada y untuk men- dapatkan ˆ x .
Langkah ke-(iv) dikerjakan dengan ‘soft’ thresholding [2], yaitu dengan menghitung ‘rataan’ y jk ← sign( y jk ) ∗ R ( s j ), dimana R ( s j ) = ( s j + | s j | ) / 2 dan s j = | y jk | − λ j .

## 3 Simulasi Perhitungan Numerik
Dalam perhitungan numerik, diamati hasil nu- merik metode Donoho dan Johnstone (DJ) untuk tiga estimator yang berkaitan dengan tiga nilai tahap awal thresholding j 0 yang berbeda, yaitu j 0 = 1 (DJ1), j 0 = 3 (DJ3), dan j 0 = 5 (DJ5). Sedangkan untuk metode FDRC dihitung untuk q = 0 . 01 (AB01) dan q = 0 . 05 (AB05) sebagaimana dalam makalah Abramovich dan Benjamini.
Prosedur tersebut di atas, sekaligus TSB, diterapkan pada lima sinyal-uji, SU1, SU2, SU3, SU4, dan SU5, berikut ini (lihat lampi- ran Gambar Sinyal Uji):
SU1 : x ( t ) = ( t − 0 . 04) 2 (contoh fungsi kuadratik, [1])
SU2 : x ( t ) = min(2 t, − 2( t − 1) (contoh fungsi segitiga, [1])
SU3 : x ( t ) = d t − 0 . 3 e − d t − 0 . 7 e (contoh fungsi kotak, [1])
SU4 : x ( t ) = P j h j K ( t − t j ), dengan K ( t ) = (1 + sign( t )) / 2 ( t j ) = (0 . 1 , 0.13, 0.15, 0.23, 0.25, 0.40, 0.44, 0.65, 0.76, 0.78, 0.81), ( h j ) = (4 , -5, 3, -4 5, -4.2, 2.1, 4.3, -3.1, 2.1, -4.2) (contoh fungsi kotak, [4])
SU5 : x ( t ) = P j h j K (( t − t j ) /w j , dengan K ( t ) = max((1 − | t | ) 4 , 0) ( t j ) = (0 . 1 , 0.13, 0.15, 0.23, 0.25, 0.40, 0.44, 0.65, 0.76, 0.78, 0.81), ( h j ) = (4 , 5, 3, 4, 5, 4.2, 2.1, 4.3, 3.1, 5.1, 4), ( w j ) = (0 . 005, 0.005, 0.006, 0.01, 0.01, 0.03, 0.01, 0.01, 0.005, 0.008,
0.005)
(contoh fungsi bumps , [4])
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004

## Mahmud Yunus
Untuk masing-masing sinyal-uji simulasikan dengan empat nilai σ yang berbeda yang mem- berikan SNR (signal to noise ratio) berturut- turut δ = 1 , 2 , 4 , 7. Data yang digunakan adalah 1024 titik data yang dipilih pada [0 , 1] dengan jarak sama. Perhitungan dilakukan dengan mengambil 100 kali percobaan untuk masing-masing kombinasi sinyal-uji dan σ dengan menambahkan noise acak bebas ε i ∼ N (0 , σ 2 ) pada x ( t ( i/n )).
Untuk mendapatkan vektor TWD ˆ x digu- nakan algoritma dekomposisi-rekonstruksi dari Mallat [6]. Sedangkan pada tahap dekomposisi, koefisien wavelet ˆ d jk diperoleh menggunakan basis wavelet Daubechies D 4 [3]. Sedangkan komputasinya menggunakan Matlab. Ukuran yang digunakan untuk pembandingan adalah mean square error MSE = n − 1 k x − ˆ x k ` 2 yang diambil dari rataan 100 sinyal uji dengan be- ragam noise acak yang diberikan.
Untuk penerapan TSB digunakan tahap dekomposisi seperti metode DJ, yaitu untuk j 0 = 3 (TSB3), j 0 = 5 (TSB5), dan j 0 tahap maksimal (TSBmax). Untuk tiap sinyal uji, diperoleh TSB ‘terbaik’ di antara keti- ganya, yakni yang mencapai nilai MSE min- imum. Untuk itu digunakan ‘MSE relatif’ yang dihitung dengan (min MSE j ) / MSE i , i = 1 , 2 , 3. Dari Tabel 1 tampak bahwa untuk sinyal dengan noise cukup tinggi TSBmax adalah yang terbaik diterapkan pada sinyal yang cukup mulus (SU1, SU2, SU3), sedang- kan untuk sinyal berosilasi (SU4 dan SU5) TSB5 menyajikan hasil yang lebih baik. Untuk sinyal asal yang cukup halus (tingkat noise cukup rendah), ketiga TSB menunjukkan hasil yang sama pada kasus sinyal yang cukup mulus (SU1).

## 4 Penutup
Berdasarkan Tabel 2, tampak bahwa untuk sinyal dengan noise cukup rendah dan tingkat osilasi tinggi, AB05 menunjukkan hasil ter- baik diantara delapan cara yang ditampilkan. Sedangkan untuk sinyal yang cukup mulus dengan tingkat noise rendah, ketiga TSB mem- berikan hasil terbaiknya. Keistimewaan TSB- max ditunjukkan dengan hasil terbaik untuk
sinyal cukup mulus (SU1, SU3, SU3) dengan noise tinggi.
Tampak pula pada Tabel 2, bahwa nilai MSE relatif terkecil (dicetak tebal) tidak muncul pada kolom-kolom TSB. Hal me- nunjukkan bahwa secara umum, TSB bukan metode yang dapat diabaikan begitu saja. Hasil ini masih secara numerik dan kemungki- nan perbaikan prosedur thresholding bertahap seperti TSB ini masih dapat diperbaiki, salah satunya dengan memeriksa secara analitik pe- milihan σ yang lebih sesuai.
Akhirnya dapat disimpulkan bahwa, TSB dapat diterapkan dengan hasil baik khususnya untuk sinyal yang cukup mulus bahkan untuk tingkat noise yang beragam. Selain itu, ber- dasarkan hasil numerik yang disajikan dalam Tabel 2 secara umum TSB memberikan hasil yang cukup baik, yaitu dengan MSE reatif lebih besar dari 0.8.

## Daftar Pustaka
[1] Abramovich, F., Benjamini, Y., Adap- tive Thresholding of Wavelet Coeficients , J.
Royal Statistics Soc., Ser. B (61), 1998.
[2] Bultheel, A., Wavelets with Applications in Signal and Image Processing , Lecture Notes, Katholieke Universiteit, Leuven, Belgium, 2001.
[3] Daubechies, I., Ten Lectures on Wavelets , SIAM, Philadelphia, 1992.
[4] Donoho, D.L. and Johnstone, I.M., Adapt- ing to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage , Journal of American Statistics Ass., 90, 1200–1244, 1995.
[5] Hansen, M., Malfait, M., Bultheel, A., Generelized Cross Validation for Wavelet Thresholding , Signal Processing, 56, 33–44,
1997.
[6] Mallat, S.G., A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: the Wavelets Repre- sentation , IEEE Transac. on Pattern Anal- ysis and Machine Intell., vol 11 (7), pp. 674– 693, 1989.

## Lampiran
Tabel 1: MSE Relatif untuk TSB; δ = 4
(diambil rataan dari 100 uji) Sinyal TSB3 TSB5 TSBmax SU1 1.000 1.000 1.000 SU2 0.962 1.000 0.981 SU3 0.992 1.000 0.993 SU4 0.928 1.000 0.986 SU5 1.000 0.980 0.886
Tabel 2: MSE Relatif (rataan dari 100 uji) SNR
SU DJ1 DJ3 DJ5 AB01 AB05 TSB3 TSB5 TSBmax 1 SU1 0.670 0.717 0.470 0.805 0.760 0.911 0.953 1.000 SU2 0.697 1.000 0.553 0.687 0.686 0.918 0.926 1.000 SU3 0.718 0.793 0.866 0.694 0.772 0.959 0.862 1.000 SU4 0.737 0.765 1.000 0.773 0.801 0.951 0.960 0.916 SU5 0.845 0.878 0.959 0.857 1.000 0.953 0.977 0.847 2 SU1 0.796 1.000 0.527 0.786 0.761 0.923 0.960 0.955 SU2 0.793 1.000 0.729 0.791 0.767 0.954 0.947 0.971 SU3 0.770 0.867 1.000 0.752 0.816 0.880 0.880 0.843 SU4 0.913 0.922 1.000 0.934 0.992 0.954 0.863 0.968 SU5 0.787 0.793 0.880 0.857 1.000 0.912 0.964 0.899 4 SU1 0.728 1.000 0.676 0.806 0.774 1.000 1.000 1.000 SU2 0.844 1.000 0.885 0.849 0.799 0.962 1.000 0.981 SU3 0.857 0.873 0.956 0.875 1.000 0.992 1.000 0.993 SU4 0.774 0.781 0.849 0.848 1.000 0.928 1.000 0.986 SU5 0.631 0.631 0.719 0.763 1.000 1.000 0.980 0.886 7 SU1 0.878 0.808 0.690 0.692 0.859 1.000 1.000 1.000 SU2 0.687 0.788 0.944 0.682 0.677 0.941 1.000 0.842 SU3 0.899 0.897 0.922 0.910 1.000 0.899 0.979 0.940 SU4 0.621 0.637 0.713 0.784 1.000 0.999 0.923 0.921 SU5 0.600 0.600 0.610 0.727 1.000 0.989 0.915 0.901
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 t SU 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 t SU 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 t SU 3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t SU 4 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t SU 5 Gambar Sinyal Uji
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004