## Penerapan Formalisme Euler-Lagrange dan Solusi Persamaan Geraknya dalam Perancangan Pompa Air dengan Kincir Sebagai Tenaga Penggerak
Jamrud Aminuddin* 1 , Mukhtar Effendi 1,2 , Nurhayati 3 , Agustina Widiyani 4 , dan Sunardi 1
1 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman, Jl. dr. Suparno 61 Karangwangkal-Purwokerto, Jawa Tengah, 53123, Indonesia.
2 Pusat Penelitian dan Pengembangan Energi Baru dan Terbarukan, Lembaga Penelitian dan Pengabdian Masyarakat, Universitas Jenderal Soedirman, Jl. dr. Suparno, Karangwangkal-Purwokerto,
Jawa Tengah, 53123, Indonesia
3 Department of Educational Physics, Faculty of Education and Teacher Training, Univ. Islam Negeri Ar- Raniry, Jl. Syekh Abdur Rauf Kopelma Darussalam, Banda Aceh, 23111, Indonesia.
4 Department of Physics, Faculty of Science, Institut Technology Sumatera, Jl. Terusan Ryacudu, Way Hui, Jati Agung-Lampung Selatan, 35365, Indonesia.
*e-mail : jamrud.aminuddin@unsoed.ac.id
Abstrak – Sebagian besar pompa air untuk mengalirkan air dari posisi yang rendah ke posisi yang lebih tinggi menggunakan mesin sebagai tenaga penggerak. Roda kecil pada bagian pompa air digerakkan melalui hubungan antara beberapa roda ke mesin. Berdasarkan mekanisme tersebut, maka dalam studi ini dilakukan perancangan pompa  air  dengan  kincir  sebagai  tenaga  penggerak.  Perancangan  tersebut  dilakukan  dengan  menerapkan formalisme  Euler-Lagrange  untuk  menentukan  persamaan  gerak  turbin  dan  roda  lainnya  untuk  memutar  roda kecil yang terhubung secara seporos dengan pompa. Solusi persamaan gerak tersebut ditentukan dengan metode Runge-Kutta orde empat untuk mengetahui konfigurasi dan dimensi roda-roda yang digunakan dilibatkan dalam sistem  tersebut.  Hasil  perhitungan  dengan  metode  Runge-Kutta  dalam  MATLAB  menunjukkan  bahwa konfigurasi  yang  optimal  berdasarkan  jari-jari  roda  adalah r 1 > r 2 > r 3 .  Parameter r 1 , r 2 ,  dan r 3 adalah  jari-jari turbin  (roda  pertama),  roda  kedua,  dan  roda  pada  pompa  (roda  ketiga).  Konfigurasi  tersebut  dapat dikembangkan dalam berbagai ukuran dengan perbandingan r 1 =5: r 2 =0,5: r 3 =0,1.
Kata kunci: pompa air, kincir, Euler-Lagrange, Runge-Kutta, MATLAB
Abstract – Almost of hydrolic pump for lifting  water from the lower to  higher positions utilize a machine as a driving  force.  The  small  wheel  on  the  hydrolic  pump  is  rotated  thought  wheels  connection  to  machine.  From that  mechanism,  we  design  a  hidrolic  pump  with  a  turbine  as  a  driving  force  in  this  study.  The  designing  is carried  out  by  applying  Euler-Lagrange  formalism  to  determine  equation  of  motion  for  turbine  and  other wheels for rotating a small wheel which is connected axially with pump. A numerical solution for the equation of motion is solved by means of the fourth order of Runge-Kutta method to retrieve configuration and dimension of some wheels which is employed on that system.The results of computational proces in MATLAB show that the optimal configuration based on wheels’ radius is r 1 >r 2 >r 3 . Here, r 1, r 2, and r 3 are radius of turbin (first wheel), second  wheel,  and  wheel’s  pump  (third  wheel).  The  configuration  is  possible  to  develop  in  several  size  with ratio r 1 =5:r 2 =0.5:r 3 =0.1..
Key words: hydrolic pump, turbine, Euler-Lagrange, Runge-Kutta, MATLAB

## PENDAHULUAN
Pompa  merupakan  peralatan  yang  sangat penting  untuk  mengalirkan  air  dari  posisi  yang lebih  rendah  ke  posisi  yang  lebih  tinggi. Pemamfaatan  pompa  pada  sumur  yang  sangat dalam  mutlak  menggunakan  tenaga  mesin karena  dibutuhkan  putaran  dengan  kecepatan sangat  besar.  Untuk  itu,  dalam  studi  ini  hanya terbatas  pada  perancangan  pompa  untuk mengangkat  air  dari  posisi  yang  tidak  terlalu dalam.  Salah  satu  fenomena  yang  sering
ditemukan  adalah  proses  pengangkatan  aliran sungai  ke  posisi  yang  lebih  tinggi  untuk pengairan area sawah [1,2].
Pemanfaatan  pompa  air  bertenaga  mesin pada  prinsipnya  dapat  dimodifikasi  dengan pemanfaatan kincir air sebagai tenaga penggerak. Pompa ini merupakan hasil modifikasi  pompa  air  yang  digerakkan  dengan tenaga  mesin.  Selain  itu,  pompa  air  ini  juga dikembangkan berdasarkan prinsip kerja pompa yang  memanfaatkan  tekanan  air  dalam  pipa untuk  mengangkat  air  dari  posisi  lebih  rendah
ke  posisi  yang  lebih  tinggi.  Pompa  yang memanfaatkan  prinsip  tekanan  fluida  untuk mengalirkan air dikenal dengan pompa hydram. Pompa  hydram  mampu  bekerja  dengan  baik pada  aliran  air  bertekanan  tinggi  sedangkan pada  aliran  bertekanan  rendah  tidak  bekerja secara maksimal [3,4,5].
Dalam  studi  ini  dikembangkan  sebuah design  pompa  dengan  kincir  air  sebagai  tenaga penggerak  berdasarkan  kerja  turbin  air  untuk memutar  generator  listrik  pada  pembangkit listrik  tenaga  air  (PLTA)  mikrohidro  dan picohidro  [6].  Kecepatan  putaran  kincir  dan beberapa  roda  untuk  memutar  pompa  air dianalisis  berdasarkan  kecepatan  radial  semua roda yang digunakan dalam sistem [2,6].
Konfigurasi roda  dalam sistem ini, selanjutnya  dianalisis  dengan  menentukan persamaan  gerak  radial  melalui  formalisme Euler-Lagrange dalam bentuk persamaan diferensial  [7,8].  Sebuah  persamaan  diferensial dapat  diselesaikan  dengan  metode  numerik untuk  mengetahui  kondisi  fisis  yang  paling mendekati keadaan sebenarnya [9,10].
Dalam  studi  ini,  metode  Runge-Kutta digunakan  untuk  menentukan  solusi  numerik persamaan  gerak  radial  kincir  dan  roda  untuk memutar  pompa  air.  Secara  teknik,  metode  ini diterapkan  dengan  metode  yang  sama  dalam referensi  [9,10,11].  Hasil  perhitungan  dengan metode Runge-Kutta dalam MATLAB digunakan  untuk  menentukan  konfigurasi  dan dimensi  pompa  air  yang  digerakkan  dengan kincir kecepatan rendah.

## METODE
Perancangan pompa air yang digerakkan dengan kincir dimulai dari penentuan konfigurasi 3 roda utama.  Roda  pertama  (kincir)  terhubung  satu sumbu  dengan  roda  kedua,  sedangkan  roda kedua  dihubungkan  dengan  roda  ketiga  (roda pemutar pompa) menggunakan sabuk.
Konfigurasi  ini  kemudian  dinyatakan  dalam bentuk  Lagrangian  ( L )  dengan  energi  totalnya hanya  terdiri  atas  energi  kinetik  ( T ).  Dengan pertimbangan  bahwa  jari-jari  roda  tetap  selama perputarannya,  maka  energi  potensial  dianggap nol  ( V =0).  Selanjutnya,  bentuk  non  konservatif persamaan  Euler-Lagrange  dinyatakan  dalam bentuk:
− = . (1)
Pada  persamaan  (1),  ada  tiga  parameter  yang dilibatkan,  yaitu  koordinat  umum  ( q n ),  waktu ( t ),  dan  gaya  eksternal  ( Q n ).  Dalam  kasus  ini gaya eksternal dianggap sebagai gaya penggerak roda [7]. Prinsip ini merupakan hasil modifikasi dari sistem penggerak roda pada sepeda [8].
Roda  pertama  sebagai  representasi  kincir digerakkan dorongan air dalam arah tegak lurus, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk torka,
= . (2)
Total gaya external dalam sistem ini merupakan selisih  antara  gaya  dorong  dan  gaya  kendala yang  bergantung  pada  koefisien  gesek  kinetis dan nilai kecepatan angularnya dalam bentuk:
= − ̇ (3)
Selanjutnya energi kinetik setiap roda dinyatakan secara umum dalam bentuk:
= ̇ (4)
Di mana  indeks- i merupakan urutan roda dari 1 sampai 3.
Fungsi  Lagrange  dapat  diturunkan  dengan menggunakan energi kinetik pada persamaan (4) dan  energi  potensial  yang  dianggap  nol  ( V =0). Kondisi  ini  menghasilkan  Lagrangian  dalam bentuk:
L = I θ̇ + I θ̇ + I θ̇ (6)
Rotasi pada setiap roda dinyatakan sebagai:
̇ = ̇ = ̇ (7)
Persamaan gerak sistem  ini dirumuskan dengan menggunakan  fungsi  Lagrange  pada  persamaan (6)  dan  (7)  pada  persamaan  (1)  dengan mengasumsikan  bahwa  gaya  external  yang digunakan  adalah Q n pada  persamaan  (3). Prosedur ini menghasilkan
̇ = ̇ (8)
dengan I adalah momen inersia roda-roda yang dilibatkan dalam perumusan, yaitu:
= + + (9)
Solusi  numerik  persamaan  (8)  ditentukan dengan  metode  Runge-Kutta  orda  4  dengan terlebih  dahulu  menamakan  persamaan  solusi umum dalam bentuk:
̇ ( ) = ̇ ( ) + ( + 2 + 2 + ) (10)
Pada  persamaan  (10),  konstanta k yang  terdiri atas  empat  orde  ditentukan  dengan  formula berikut:
= ℎ ( ) , ̇ ( ) , (11)
= ℎ ( ) + , ̇ ( ) + , (12)
= ℎ ( ) + , ̇ ( ) + , (13)
= ℎ ( ) , ̇ ( ) + . (14)
Parameter h merupakan  hasil  pembagian panjang  terhadap    jumlah  interval  waktu  ( N ) dalam bentuk:
ℎ = ( ) ( ) (15)
Panjang interval waktu merupakan selisih antara waktu  awal  ( t ( i ) )  dan  waktu  akhir  ( t ( n ) ). Algortima metode Runge-Kutta tersebut diimplementasikan  dalam  MATLAB  dengan menginput  nilai  tertentu  untuk  mendapatkan konfigurasi dan dimesi yang ideal [10].

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil  perhitungan  laju  angular  roda  pertama, kedua,  dan  ketiga  yang  telah  dilakukan  dalam MATLAB  dinyatakan  dalam  bentuk  grafik antara  ketiganya.  Program  dijalankan  dengan menginput gaya dorong air terhadap kincir (roda pertama),  gaya  kendala  dalam  bentuk  koefisien gesek  kinetis,  jari-jari  semua  roda,  momen inersia  semua roda, dan  koefisien  gesek  kinetik sistem.  Nilai-nilai parameter yang telah dicobakan  didasarkan  pada  tingginya  laju angular  roda  yang  memutar  pompa  meskipun kincir  mendapatkan  mendapatkan  gaya  dorong yang rendah.
Dari  perhitungan  dalam  MATLAB  yang telah dilakukan dengan mencoba beberapa nilai secara  acak  berdasarkan  konfigurasi  pada referensi  [2,6],  diketahui  bahwa  sistem  akan bekerja  secara  optimal  dimensi  masing-masing roda  pertama,  kedua,  dan  ketiga  adalah r 1 =0,5, r 2 =0,05 , dan r 3 =0.01  m.  Selanjutnya,  inersia masing-masing roda pertama, kedua, dan ketiga adalah I 1 =0,05, I 2 =0,04,  dan I 3 =0,03  kgm 2 dengan  nilai  koefisien  gesek  kinetis  sebagai representasi  gaya  kendala  adalah  0,05  N.  Hasil perhitungan  menujukkan  bahwa  nilai-nilai tersebut  mampu  memutar  roda  yang  terhubung dengan  pompa  dengan  laju  anglar  yang  lebih
tinggi dari yang lain meskipun didorong dengan gaya 10 N.
Perubahan  laju  angular  semua  roda  yang dilibatkan dalam sistem penggerak diperlihatkan pada  Gambar  1  dan  2.  Pada  saat  gaya  dorong sebesar  10  N,  roda  pertama  dan  kedua mempunyai  laju  angular  sekitar  100  rad/s sedangkan  roda  ketiga  yang  menggerakkan pompa rata-rata antara 700-800 rad/s. Jika gaya dorong  yang  diberikan  sebesar  10  N  dengan dimensi  semua  roda  sama  dengan  parameter pada  Gambar  1,  maka  laju  angular  akan meningkat  menjadi  dua  kali  lipat  sebagaimana yang terlihat pada Gambar 2.
Gambar  1. Perubahan  laju  angular  setiap  waktu dengan dimensi masing-masing roda pertama, kedua, dan  ketiga  adalah r 1 =0,5, r 2 =0,05 , dan r 3 =0.01  m yang didorong dengan gaya 10 N.
Gambar  2. Perubahan  laju  angular  setiap  waktu dengan dimensi masing-masing roda pertama, kedua, dan  ketiga  adalah r 1 =0,5, r 2 =0,05 , dan r 3 =0.01  m yang didorong dengan gaya 20 N.
Gambar  3. Konfigurasi  dan  dimesi  roda  penggerak pompa air dengan perbandingan r 1 =5: r 2 =0,5 :r 3 =0,1.
Berdasarkan  analisis  numerik  dengan dimensi  roda  untuk  menghasilkan  perubahan laju  angular  pada  Gambar  1  dan  2,  maka diperoleh  konfigurasi  roda  dalam  bentuk Gambar  3.  Pompa  dengan  konfigurasi  seperti pada  Gambar  3  digerakkan  gaya  dorong  air untuk  memutar  kincir  air.  Putaran  kincir  air (roda  pertama)  yang  terhubung  secara  eporos dengan  roda  kedua  selanjutnya  akan  memutar roda  ketiga  yang  terhubung  secara  serantai menggunakan  belt.  Putaran  roda  ketiga  yang terhubung  secara  seporos  dengan  komponen bagian  dalam  pompa  yang  berputar  untuk mengisap  dan  membuang  air.  Konfigurasi tersebut  dapat dikembangkan  dalam  berbagai ukuran dengan perbandingan r 1 =5: r 2 =0,5 :r 3 =0,1 . Besaran lainnya yang memerlukan analisis lebih lanjut adalah momen inersia  yang  terkait  dengan  massa  dan kepadatan semua roda.

## KESIMPULAN
Penerapan  formalisme  Euler-Lagrange  dan metode Runge-Kutta dalam perancangan pompa air  menghasilkan  konfigurasi  dan  dimensi sistem  penggeraknya.  Hasil  perhitungan  dalam MATLAB  menunjukkan  bahwa  konfigurasi yang  optimal  berdasarkan  jari-jari  roda  adalah r 1 >r 2 >r 3 . Parameter r 1 , r 2, dan r 3 adalah jari-jari turbin  (roda  pertama),  roda  kedua,  dan  roda pada  pompa  (roda  ketiga).  Konfigurasi  tersebut dapat  dikembangkan  dalam  berbagai  ukuran dengan perbandingan r 1 =5: r 2 =0,5 :r 3 =0,1.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Kami  mengucapkan  terima  kasih  atas  dana kegiatan  dari  LPPM  UNSOED  pada  skim audiovisualisasi  IPTEKS,  Tahun  Anggaran 2013 dengan Nomor Kontrak:
Kept.2267/UN23.10/PM/2013  Tanggal  6  Mei 2013.

## PUSTAKA
[1]  Y.A.  Cahyanta  dan  A.W.  Mandagi,  The Effect  of  Waste  Valve  Stroke  Length  on The  Hydraulic  Ram  Pump  Performance, International  Journal  of  Engineering  and
Science 2(4) (2011) 56-60. [2]  J. Aminuddin Nurhayati, and Agustina W., Modifikasi  Pompa  Air  dengan  Kincir Kecepatan Rendah sebagai Tenaga Penggerak,  Elkawnie,  Journal  of  Islamic Science and Technology 1(2) (2019). [3]  Suyatno, Rancang Bangun Pompa Hidraulik Ram (HYDRAM), Jurnal DINAMIS  2(12) (2008) 5-10.
[4]  A.  Suryawan,  Adhi  A.,  dan  Suarda  I.M., Kajian  Eksperimen  Pengaruh  Akselerasi Terhadap  Performansi  Pompa  Hydram, Jurnal  Ilmiah  Teknik  Mesin  CAKRAM 3(2)  (2009) 10-15.
[5]  I.M. Suarda,  Perancangan  dan    Pengujian Model  Sistem  Hydram  Penggerak    Pompa Torak  dengan  Dua  Sumber  Aliran:  Air Kotor  dan  Air  Bersih.  Makalah  Utama. Disampaikan  pada  Seminar  Nasional Tahunan  Teknik  Mesin  (SNTTM)  Ke-9, Palembang, 13-15 Oktober 2010.
[6]  H. Soekarno, Anggono T. dan A. Heriansyah,  A  Basic  Component  in
Designing  of  Micro  Hydropower,  Journal of P3TEK  1(1) (2002) 8-12.
[7]  J.R.  Taylor,  Classical  Mechanics.  4th Eddition,  University  Science  Books,  USA, 2005.
[8]  J.P. Meijaard,  J.M.  Papadopoulus,  A. Ruina,  and  A.L.  Schwab,  Linearized Dynamics  Equation  for  the  Balance  and Steer  of  a  Bicycle,  Proc.  R.  Soc.  A.  463 (2007) 1-63.
[9]  J. Naber,    A  Runge-Kutta  discontinuous- Galerkin  Level-Set  Method  for  Unsteady Compressible  Two-Fluid  Flow,  REPORT MAS-E0601,  Centrumvoor  Wiskundeen Informatica, Amsterdam, 2006.
[10] J. Aminuddin, Dasar-dasar Fisika Komputasi  Menggunakan  Matlab,  Gaya Media, Yogyakarta, 2008.
[11] K.V. Alexander, and E.P. Giddens, Optimum  Penstocks  for  Low  Head  Micro
Hydro  Schemes,  Renewable  Energi  33(3)
(2008) 507-519.