Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 1

## KAJIAN PEMAHAMAN MATEMATIKA MELALUI ETIKA PEMODELAN MATEMATIKA
Yani Ramdani *

## Abstrak
Kepopuleran istilah matematika dalam masyarakat Indonesia ternyata tidak  sejalan  dengan  pemahaman  masyarakat  terhadap  pengertian matematika, hakekat matematika, ruang lingkup matematika, kaidah-kaidah matematika,  serta  peranannya  dalam  ilmu  pengetahuan.  Matematika merupakan    ilmu  deduktif,  ilmu  terstruktur,  dan  ratu  serta  pelayan  ilmu. Adapun  hakekat  utama  matematika  adalah  metode  dalam  penalaran (reasoning),  bahasa  yang  sangat  simbolis.  Hakekat  lain  dari  matematika dapat  didekati  dari  metode  pembuktiannya,  bidang  yang  ditelaahnya,  dan bahasa  yang  dipakainya.  Dalam  matematika  kaidah  itu  adalah,  pengertian dasar  yang  jelas,  anggapan-anggapan  yang  diperlukan,  aksioma  dan teorema  terkait,  penggunaan  aksioma  dan  teorema  secara  berurutan menurut “waktu lahirnya”, dan manipulasi matematika yang sesuai. Berfikir matematika berarti mengikuti kaidah-kaidah matematika untuk memformulasikan persoalan menjadi model matematika. Untuk pengembangan  ilmu  pengetahuan,  teknologi,  dan  industri,  matematika mempunyai  peranan  yang  sangat  penting.  Dalam  sains,  seperti  Fisika, Kimia,  Ekonomi,  dan  sebagainya  matematika  digunakan  sebagai  bahasa dan  alat  bantu.  Sains  modern  hampir  seluruhnya  bertumpu  pada matematika.  Dengan  berkembang  pesatnya  sains  modern  berdampak  pula pada  kemajuan  industri  dan  teknologi.  Hampir  setiap  segi  kehidupan manusia  modern  sekarang  ini  menggunakan  matematika,  baik  secara langsung maupun tidak langsung.
Kata kunci  :  Matematika,  ilmu  terstruktur,  ilmu  deduktif,  dan  model matematika
* Yani Ramdani, Dra., M.Pd , Dosen Tetap Fakultas MIPA UNISBA.

## 1 Pendahuluan

## 1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam  dunia  ilmu  pengetahuan,  matematika  merupakan  dasar  yang kuat,  karena  tidak  ada  satu  cabang  ilmupun  yang  tidak  melibatkan matematika.  Hal  ini  dapat  dipahami  karena  disamping  mengenai pengetahuan  matematika  itu  sendiri,  juga  matematika  memberikan  bahasa, proses,  dan  teori  yang  memberikan  ilmu  menjadi  suatu  bentuk  dan kekuasaan.  Matematika  mempunyai  keunikan  lain  dalam  fungsinya  sebagai lambang yang dipakai dalam berkomunikasi pengetahuan. Seperti diketahui, manusia  berkomunikasi  satu  sama  lain  melalui  lambang-lambang.  Bahasa adalah  lambang  demikian  juga  matematika.  Matematika  sebagai  alat komunikasi  keilmuan  mempunyai beberapa kelebihan  dibandingkan  dengan bahasa yaitu jelas dan tunggal, sedangkan bahasa seringkali mempunyai arti yang samar.
Kelebihan  orang-orang  yang  mempunyai  pola  berfikir  matematis adalah  metode  dalam  penalaran  ( reasoning ),  artinya  orang  mempunyai premis  tertentu  yang  berupa  pernyataan  yang  kebenarannya  telah  diketahui atau dapat diterima. Selain itu mempunyai cara dalam melakukan penarikan kesimpulan  ( inferens ).  Matematika  merupakan  salah  satu  kekuatan  utama dalam  pembentukan  pola  fikir  manusia  untuk  membentuk  konsepsi  tentang alam,  serta  hakekat  dan  tujuan  manusia  dalam  kehidupan.  Menurut  Kline (Tim MKPBM 2001 : 19), matematika itu bukanlah pengetahuan menyendiri yang  dapat  sempurna  karena  dirinya  sendiri,  tetapi  adanya  matematika  itu terutama  untuk  membantu  manusia  dalam  memahami  dan  menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
Namun  demikian,  jika  diperhatikan  ternyata  ilmu  matematika  ini masih  merupakan  suatu  ilmu  yang  senantiasa  ditakuti  oleh  sebagian  besar para  pelajar  di  Indonesia.  Hal  ini  disebabkan  oleh  berbagai  faktor diantaranya  adalah:  metode  penyampaian  matematika  yang  masih  bersifat mekanistik,  materi  matematika  terlalu  padat,  dan  masih  matematika  untuk matematikawan  bukan  matematika  untuk  siswa,  juga  kurangnya  wawasan mengenai ilmu matematika.
Istilah  matematika  sangat  popular  dalam  masyarakat  kita,  namun seringkali pengertiannya memberikan gambaran yang kurang tepat mengenai ruang  lingkup  yang  diistilahkannya.  Bahkan  orang  yang  berhubungan  erat dengan  ilmu  matematikapun  seperti  para  siswa  dan  guru  matematika
Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 3
seringkali  kurang  mempunyai  pengertian  yang  mendalam  mengenai  ruang lingkup ilmu matematika yang sebenarnya.
Kenyataan  ini  lebih  memperburuk  minat  orang  mempelajari matematika.  Tetapi  walaupun  orang  enggan  mempelajari  matematika  atau sering  diabaikan,  namun  sadar  atau  tidak,  tetap  diakui  bahwa  matematika mempunyai pengaruh yang besar dalam pembentukan pola berfikir manusia. Perhitungan  matematika  menjadi  dasar  bagi  disain  ilmu  teknik.  Metode matematika  memberikan  inspirasi  kepada  pemikiran  dibidang  sosial  dan ekonomi.  Serta  pemikiran  matematika  memberikan  warna  kepada  kegiatan seni  lukis,  arsitektur,  dan  musik.  Dengan  demikian,  persoalan-persoalan alam  ini  dapat  diformulasikan  ke  dalam  model  matematika  dengan mengikuti kaidah-kaidah perumusan matematika.

## 1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka permasalahan dapat diidentifikasikan sebagai berikut:
1 Apakah  pengertian  matematika,  hakekat  matematika,  dan  ruang  lingkup ilmu matematika?
2 Kaidah-kaidah  apakah  yang  digunakan  dalam  menghasilkan  rumusan- rumusan matematika?
3 Bagaiman peranan matematika dalam pengembangan ilmu pengetahuan?

## 1.3 Tujuan Penulisan
Penulisan ini bertujuan untuk mengetahui dan menganalisis pengertian ilmu  matematika,  hakekat  matematika,  ruang  lingkup  matematika,  kaidah kaidah  yang  digunakan  untuk  menghasilkan  rumusan-rumusan  matematika, serta peranan matematika dalam pengembangan ilmu pengetahuan.

## 2 Pembahasan

## 2.1 Pengertian Matematika
Abraham S Lunchins  dan Edith N Luchins (Tim MKPBM, 2001: 17) menyatakan “In short, the question what is mathematics? May be answered difficulty depending on when the question is answered, where it is answered,
who  answer  it,  and  what  is  regarded  as  being  included  in  mathematics” . Artinya  apakah  matematika  itu?  dapat  dijawab  secara  berbeda–beda tergantung pada bilamana pertanyaan itu dijawab, dimana dijawabnya, siapa yang  menjawabnya,  dan  siapa  sajakah  yang  dipandang  termasuk  dalam matematika”.
Ini  berarti  untuk  menjawab  pertanyaan  “Apakah  matematika  itu?” tidak dapat dengan mudah dijawab dengan satu atau dua kalimat begitu saja. Berbagai  pendapat  muncul  tentang  pengertian  matematika  tersebut, dipandang  dari  pengetahuan  dan  pengalaman  masing-masing  yang  berbeda. Ada  yang  mengatakan  bahwa  matematika  itu  bahasa  simbol;  matematika adalah  bahasa  numerik;  matematika  adalah  bahasa  yang  dapat menghilangkan  sikap  kabur,  majemuk,  dan  emosional;  matematika  adalah metoda berfikir logis; matematika adalah sarana berfikir; matematika adalah aktifitas  manusia;  matematika  adalah  ratu  sekaligus  pelayan  ilmu; matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif.
Menurut Ruseffendi (1980, h.148) matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran  manusia  yang  berhubungan  dengan  ide,  proses  dan  penalaran. James  dan  James  (Tim  MKPBM,  2001:  18)  dalam  kamus  matematikanya mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri.
Dari  uraian  di  atas,  kita  mempunyai  gambaran  pengertian  tentang matematika  dengan  menggabungkan  pengertian  dari  definisi-definisi tersebut. Semua definisi itu dapat diterima, karena matematika dapat ditinjau dari  berbagai  aspek  atau  sudut  pandang,  dan  matematika  sendiri  dapat memasuki  seluruh  segi  kehidupan  manusia,  dari  yang  paling  sederhana sampai kepada yang paling kompleks.

## 1) Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Seperti  diketahui,  bahwa  baik  isi  maupun  metoda  mencari  kebenaran dalam  matematika  berbeda  dengan  ilmu  pengetahuan  alam  dan  ilmu pengetahuan pada umumnya. Metoda mencari kebenaran dalam  matematika adalah  ilmu  deduktif.  Matematika  tidak  menerima  generalisasi  berdasarkan pengamatan  (induktif),  tetapi  harus  berdasarkan  pembuktian  dedukatif. Meskipun  demikian  untuk  membantu  pemikiran,  pada  tahap-tahap
Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 5
permulaan seringkali diperlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.  Sehingga  dalam  matematika  mencari  kebenaran  itu  bisa  dimulai dengan  cara  induktif,  tetapi  untuk  selanjutnya  generalisasi  untuk  semua keadaan  harus  bisa  dibuktikan  secara  deduktif.  Dengan  demikian, matematika  dikenal  sebagai  ilmu  deduktif.  Sedangkan  Metoda  mencari kebenaran  yang  digunakan  ilmu  pengetahuan  alam  adalah  metoda  induktif atau eksperimen.

## 2) Matematika Sebagai Ilmu Terstruktur
Matematika  mempelajari  tentang  pola  keteraturan,  tentang  struktur yang  terorganisasikan.  Hal  ini  dimulai  dari  unsur-unsur  yang  tidak terdefinisikan  ( undefined  terms,  basic  terms,  primitive  terms ),  kemudian pada  unsur  yang  didefinisikan,  ke  aksioma/postulat,  dan  akhirnya  pada teorema (Ruseffendi, 1980: 50). Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis,  terstruktur,  logis,  dan  sistematis  mulai  dari  konsep  yang  paling sederhana  sampai  pada  konsep  yang  paling  kompleks.  Dalam  matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami konsep berikutnya.  Dengan  kata  lain,  suatu  konsep  matematika  tidak  akan  bisa dimengerti jika tidak memahami konsep prasyaratnya.

## 3) Matematika Sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika  merupakan  sumber  dari  ilmu  yang  lain,  sehingga matematika  disebut  sebagai  ratu  atau  ibunya  ilmu  pengetahuan.  Dengan perkataan  lain,  banyak  ilmu-ilmu  yang  penemuan  dan  pengembangannya bergantung dari matematika. Sebagai contoh, banyak teori-teori dan cabang- cabang  dari  fisika  dan  kimia  modern  yang  ditemukan  dan  dikembangkan melalui  konsep  Kalkulus,  khususnya  tentang  Persamaan  Differensial; Penemuan  dan  pengembangan  Teori  Mendel  dalam  Biologi  melalui  konsep Probabilitas;  Teori  ekonomi  mengenai  Permintaan  dan  Penawaran  yang dikembangkan  melalui  Fungsi  dan  Kalkulus  tentang  Differensial  dan Integral.
Dari  kedudukan  matematika  sebagai  ratu  ilmu  pengetahuan,  tersirat pula  bahwa  matematika  berfungsi  pula  untuk  melayani  ilmu  pengetahuan. Dengan  demikian,  matematika  tumbuh  dan  berkembang  untuk  dirinya sendiri sebagai suatu ilmu, juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan dalam pengembangan dan operasionalnya.

## 4) Hakekat Matematika dan Ruang Lingkupnya
Ciri  utama  matematika  adalah  metode  dalam  penalaran  ( reasoning ). Dengan  jalan  mengukur  besarnya  sudut  sejumlah  segitiga  yang  mempunyai berbagai ukuran dan bentuk, maka dapat ditentukan bahwa jumlah sudut dari setiap segitiga tersebut adalah 180 derajat. Namun disamping itu orang juga bisa berpikir analogi, upamanya karena lingkaran membentuk sebuah bidang yang  mempunyai  luas  terbesar  dibandingkan  dengan  garis-garis  lengkung lainnya,  maka  sebuah  bola  dengan  demikian  akan  mempunyai  isi  yang terbesar pula.
Menalar  secara  induksi  dan  analogi  membutuhkan  pengamatan  dan bahkan  percobaan,  untuk  memperoleh  fakta  yang  dapat  dipakai  sebagai argumentasi.  Tetapi  pancaindera  manusia  adalah  terbatas  dan  tidak  teliti. Disamping  itu,  meskipun  fakta yang  dikumpulkan untuk tujuan  induksi dan analogi  itu  masuk  akal,  namun  metode  ini  tidak  memberikan  suatu kesimpulan  yang  tak  dapat  dibantah  lagi.  Sebagai  contoh,  meskipun  sapi makan rumput dan babi serupa dengan sapi namun adalah tidak benar bahwa babi makan rumput.
Untuk  menghindari  kesalahan  seperti  di  atas,  ahli  matematika mempergunakan keterangan berpikir yang lain, yaitu secara deduktif, artinya kesimpulan yang diambil merupakan konsekuensi logis dari fakta-fakta yang sebelumnya  telah  diketahui.  Dalam  hal  ini,  seperti  juga  fakta-fakta  yang mendasarinya,  maka  kesimpulan  yang  diambil  tidak  usah  diragukan  lagi. Contoh, diketahui fakta bahwa x – 3 = 7 dan bermaksud mencari x tersebut. Jika angka 3 ditambahkan kepada kedua ruas persamaan tersebut maka akan diperoleh  x  =  10.  Pertanyaannya  adalah  bolehkah  langkah  ini  dilakukan? Untuk  menjawab  hal  tersebut  maka  pertama-tama  harus  mengetahui  bahwa sebuah persamaan tidak berubah jika kepada kedua ruas persamaan tersebut ditambahkan  nilai  yang  sama.  Hal  ini  berarti,  bahwa  dengan  menambahkan angka 3 kepada kedua belah persamaan tersebut, tidak akan mengubah harga persamaan tadi. Berdasarkan hal ini maka dapat disimpulkan bahwa langkah yang dilakukan ternyata dapat dipertanggungjawabkan.
Sisi lain dari matematika adalah bahasa yang sangat simbolis. Bahasa matematika tidak mengandung sesuatu yang dalam atau rumit, karena bahasa ini  sebenarnya  hanya  merupakan  semacam  steno,  dan  steno  matematika  ini lebih mudah dipelajari dibandingkan dengan steno biasa.
Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 7
Hakekat  matematika  dapat  didekati  dari  metode  pembuktiannya, bidang  yang  ditelaahnya,  dan  bahasa  yang  dipakainya.  Pengetahuan mengenai  ketiga  hal  tersebut  merupakan  langkah  pertama  dalam  melihat sumber  kekuatan  matematika.  Pembuktian  secara  deduktif  yang  dapat diandalkan merupakan sumber kekuatan kedua dari matematika.
Kekuatan  matematika  juga  terletak  dalam  segi  lain.  Ahli  matematika merupakan seorang pemikir profesional yang memberikan seluruh hidupnya dalam  mempelajari  apa-apa  yang  telah  dicapai  dalam  bidangnya  dan memperluas bidang tersebut dengan pengetahuan baru.

## 2 Kaidah-kaidah Matematika

## 2.1 Pengertian berfikir
Definisi  berfikir  manusia  yang  paling  umum  adalah  idea  dan  konsep (Suriasumantri,  J.S.,  1985,  h.52).  Pemikiran  keilmuan  bukanlah  suatu pemikiran yang biasa. Pemikiran keilmuan adalah pemikiran yang sungguh- sungguh, artinya suatu cara berfikir yang berdisiplin, dimana seseorang yang berfikir  sungguh-sungguh  tidak  akan  membiarkan  idea  dan  konsep  yang sedang  difikirkannya  berkelana  tanpa  arah,  namun  kesemuanya  itu  akan diarahkannya  pada  suatu  tujuan  tertentu,  yaitu  pengetahuan.  Berpikir keilmuan  atau  berpikir  sungguh–sungguh  adalah  cara  berpikir  yang didisiplinkan dan diarahkan kepada pengetahuan. Sedangkan berpikir kreatif adalah  menghubungkan  idea  atau  hal–hal  yang  sebelumnya  tidak berhubungan. Adapun tahap–tahapnya adalah sebagai berikut :
1.    Persiapan
Persiapan adalah tahap mendapatkan fakta mengenai sesuatu khusus dan menentukannya dengan teliti.
2.   Usaha Disinilah  tahap  menerapkan  berpikir  divergen.  Perlu  usaha  yang  sadar untuk  memisahkan  produksi  idea  dari  evaluasi  idea,  dan  harus  diikuti ketentuan menunda penilaian.
3.   Inkubasi Dalam  tahap  ini  kita  meninggalkan  persoalan  dan  memikirkan  hal–hal lain.  Pada  hakekatnya  persoalan  ditekan  ke  bawah  sadar  yang  terus bergulat dengannya, sedangkan kesadaran kita mengerjakan hal–hal lain. Tahap  usaha  berlangsung  terus  dan  ada  kemungkinan  yang  lebih  besar
untuk  berbisosiasi,  sebab  dalam  tingkat  bawah  sadar  hambatan berkurang.
4.   Pengertian Ciri  khas dari tahap ini adalah adanya sinar penerangan atau fajar yang mendadak yang menginsyafkan orang akan ditemukannya jawaban.
5.   Evaluasi Dalam  tahap  ini,  idea  yang  diciptakan  dalam  tahap–tahap  sebelumnya diperiksa dengan kritis dan  disisihkan kalau tidak berguna, tidak sesuai, di luar hukum, tidak susila, atau bahkan terlalu  mahal biayanya. Semua pengalaman  dan  penilaian  sangat  diperlukan.  Tahap  ini  kadang–kadang dikenal dengan nama tahap verivikasi ( J. G. Rawlinson, 1986: 24 – 25 ).

## 2.2 Pola pikir dalam menghasilkan rumusan matematika
Rumusan  matematika  dihasilkan  melalui  suatu  proses  yang  menuruti kaidah  tertentu,  baik  kaidah  dalam  matematikanya  sendiri,  maupun  kaidah proses fisik, rekayasa ataupun sosial, dimana rumusan itu dapat dibentuk.
Dalam  matematika kaidah  itu adalah: (1) pengertian dasar yang jelas, (2)  anggapan-anggapan  yang  diperlukan,  (3)  aksioma  dan  teorema  terkait, (4)  penggunaan  aksioma  dan  teorema  secara  berurutan  menurut  “waktu lahirnya”, dan (5) manipulasi matematika yang sesuai.
Untuk  proses-proses  fisik  atau  rekayasa,  kaidah  yang  perlu  dirujuk adalah sebagai berikut:
1. Deskripsi lengkap dari fenomena.
2. Analisis  proses  itu  sendiri  menurut  hukum-hukum  alam  dan  prinsip- prinsipnya.
3. Identifikasi  variabel-variabel  yang  berinteraksi  dan  menyatakannya dalam simbol-simbol agar dapat dirumuskan secara matematika.
4. Dengan  memperhatikan  satuan  dari  masing-masing  variabel  dilakukan perumusan melalui proses fisik dan rekayasa yang sesuai. Dalam hal ini perlu  diperkenalkan  parameter-parameter  fisik  lain  agar  terjadi kecocokan satuan dalam rumusan tersebut.
Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 9
5. Rumusan-rumusan kecil  yang  terjadi dengan  mempergunakan
manipulasi matematika terkait, kemudian digabungkan untuk menghasilkan rumusan gabungan yang diinginkan.
6. Rumusan  gabungan  ini  akhirnya  perlu  dilihat  kembali  dan  ditafsirkan maknanya secara fisika dan rekayasa.
7. Selanjutnya dapat digunakan dalam percobaan laboratorium.
Ilmu-ilmu  sosial  dapat  ditandai  oleh  kenyataan  bahwa  kebanyakan dari  masalah  yang  dihadapi  tidak  mempunyai  pengukuran  yang mempergunakan  bilangan  dan  pengertian  tentang  ruang  adalah  sama  tidak relevan.  Dalam  proses  sosial,  kaidah-kaidah  yang  harus  dirujuk  adalah sebagai berikut:
1. Pengetahuan lengkap tentang suatu fenomena atau keadaan.
2. Kondisi  awal  atau  latar  belakang  pelaku  atau  kelompok  pelaku  untuk melihat untaian sebab akibat yang teramati atau diperkirakan.
3. Secara  analogi  dilakukan  pemodelan  proses  atau  bagian  proses  dalam bentuk proses-proses fisik, dan jika mungkin dirangkum dalam beberapa alternatif model gabungan.
4. Pola  pikir  fisika  atau  rekayasa  dapat  digunakan  secara  analogi  baik untuk menegaskan kebenaran model tadi atau untuk peramalan perilaku.

## 2.3 Contoh-contoh penerapan
1. Menghasilkan rumusan matriks dari proses penimbangan. Terdapat  tiga  buah  benda  dengan  massa  m 1 ,  m 2 ,  m 3 yang  akan ditentukan  besarnya.  Alat  penimbang  terdiri  dari  sebuah  lengan  neraca dengan  sumbu  penopang  di  tengah-tengah  dan  pada  lengan  terdapat skala dimana beban dapat diletakkan bebas pada sepanjang kedua lengan tersebut.  Selain  itu  terdapat  sebuah  anak  timbangan  yang  massanya diketahui  (p)  yang  kira-kira  seorde  dengan  m 1 ,  m 2 ,  m 3 .  Maka  dengan mencari tiga posisi setimbang yang berlainan dengan meletakkan m 1 , m 2 , m 3 ,  dan  w  akan  diperoleh  tiga  persamaan  linear  simultan  dengan  tiga yang  tak  diketahui  (m 1 ,  m 2 ,  m 3 ).  Terjadilah  rumusan  matriks  dari persamaan tersebut.
2. Marilah  kita  perhatikan  suatu  jaringan  kominikasi.  Dengan  jaringan komunikasi  kita  maksudkan  adalah  suatu  gugus  manusia  yang mempunyai  cara  tertentu  dalam  mengirimkan  pesan  dari  seorang individu kepada individu lainnya. Untuk setiap pasangan manusia i dan j adalah  mungkin  untuk  mengirimkan  berita  dari  i  ke  j,  dan  dari  j  ke  i, dalam kedua arah, atau tidak dalam satu arah.
Kita  mempergunakan  suatu  susunan  persegi  angka-angka  yang  dikenal sebagai suatu matriks, yang memiliki baris dan kolom sebanyak manusia dalam jaringan kita. Sebutlah matriks ini C dan besaran dalam baris ke-i dan  kolom  ke-j,  adalah  C i,j .  C i,j diberi  angka  1  jika  suatu  berita  dapat dikirimkan langsung dari i ke j. Jika hal ini tidak mungkin maka C i,j = 0. Secara khusus, kita menetapkan bahwa C i,j = 0, yang semata-mata adalah suatu  perjanjian,  artinya  sesuai  dengan  definisi,  seseorang  tidak  dapat mengirim berita kepada dirinya sendiri.
            
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 C
Dalam bentuk  matriks di atas melukiskan sebuah  matriks komunikasi C untuk  suatu  jaringan  dari  empat  orang  dimana  1  dapat  berkomunikasi dengan  2,    2    dapat  berkomunikasi  langsung  dengan  ketiga  lainnya,  3 dapat  berkomunikasi  langsung  dengan  4,  dan  4  dapat  berkomunikasi langsung dengan 1 dan 3. Kita juga melukiskan matriks yang sama yaitu C 2 ,  yang  menunjukan  sejumlah  cara  dimana  seseorang  bisa berkomunikasi dengan orang lainnya dalam dua langkah. Umpamanya, 2 dapat  berkomunikasi  dalam  setiap  orang  dalam  dua  langkah  hanya dalam satu cara.
Suatu  teorema  yang  menarik  adalah  menyangkut  jaringan  komunikasi yang lengkap. Dengan ini kita maksudkan bahwa bagi setiap pasangan i dan  j,  adalah  mungkin  untuk  mengirim  suatu  berita  baik  dari  i  ke  j maupun dari j ke i atau dalam kedua arah.
Dalam  suatu  jaringan  komunikasi  lengkap  demikian  terdapat  suatu penafsiran  sederhana  terhadap  jumlah  angka  1  yang  paling  banyak dalam suatu baris tertentu. Sebagai contoh, dalam  matriks  di atas (yang
Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 11
menunjukan  suatu  jaringan  lengkap)  orang  2  memiliki  jumlah  angka  1 dalam baris yang terbesar yakni 3. Dapat dibuktikan bahwa  orang yang memiliki angka 1 yang paling besar dalam barisnya dapat berkomunikasi dengan tiap orang dalam jaringan tersebut dengan satu atau dua langkah. Tentu saja, dalam matriks di atas orang 2 sebenarnya dapat mengerjakan hal ini dalam satu langkah.

## 2.4 Pengaruh matematika terhadap pola berpikir manusia
Tidak diragukan lagi, bahwa matematika mempunyai peranan penting dalam  membentuk  pola  berpikir  manusia.  Hal  ini  tercermin  dalam  profil yang  terbentuk  dari  seseorang  ahli  matematika  yang  memiliki  beberapa dimensi yaitu:
1. Pengetahuan
Di  sini  pengetahuan  (dalam  arti  sempit)  mempunyai  peran  sebagai khasanah dari inventarisasi tentang subjek ilmu.
2. Wawasan
Wawasan  meliputi  pandangan  yang  lebih  menyeluruh  dan  integral tentang suatu hal, dan kaitannya dengan hal lain. Wawasan juga meliputi kematangan  ( maturity )  bukan  sekedar  bersifat  teknis.  Dalam  bidang matematika  wawasan  dapat  meliputi  penghayatan  dari  sejarah matematika,  tentang  kaitannya  dengan  bidang  lain,  dan  juga  keindahan internal  dari  ilmunya,  hakekat  matematika  dan  aspek  mana  dan bagaimana pengaruh matematika dapat mencerdaskan orang.
3. Kemampuan
Kemampuan  menyangkut  bagaimana  melakukan  pendekatan  terhadap suatu  persoalan  atau  masalah,  membuat  strategi,  logika  berfikir, kemampuan untuk membuat pilihan dan sebagainya.
4. Sikap dan pola perilaku Seorang ahli matematika akan mempunyai sikap menghargai, ketelitian, konsistensi,  dan  kurang  menghargai  kecerobohan  dalam  ungkapan, mempunyai sikap disiplin dalam pemikiran dan penalaran.
5. Mampu berfikir kreatif
Artinya  suatu  kemampuan  yang  menakjubkan  untuk  memahami  dua kenyataan yang saling berbeda, tanpa keluar dari bidang pengalamannya dan  menemukan  cahaya  terang  dengan  membanding-bandingkan.  Atau
dengan  kata  lain  dapat  menghubungkan  ide  atau  hal-hal  yang sebelumnya  tidak  berhubungan,  pada  umumnya  dikenal  sebagai kemampuan koneksi matematika.
6. Mampu berpikir kristis dan analitis.

## 2.5 Peranan matematika dalam pengembangan ilmu pengetahuan
Kita  semua  setuju  bahwa  matematika  penting  dalam  kehidupan manusia.  Hal  ini  disebabkan  matematika  merupakan  aktifitas  manusia. Matematika  tumbuh  dan  berkembang  karena  proses  berfikir  manusia. Thurstone  berpendapat  bahwa  kecerdasan  manusia  itu  tersusun  dari  7 kemampuan  mental  yang  pokok  yaitu:  kecepatan  mengamati  ( perceptual speed ),  fasih  dalam  kata  ( word  fluency ),  penalaran  ( reasoning ),  ingatan ( memory ),  kemampuan  tilikan  ruang  ( spatial  ability ),  kemampuan  verbal ( verbal  ability ),  dan  kemampuan  mengenai  bilangan  ( numerical  ability ). Dari pendapat ini,  dapat disimpulkan bahwa dari 7  ciri  kecerdasan  manusia itu,  4  diantaranya  berkaitan  dengan  matematika,  yaitu:  penalaran ( reasoning ),  ingatan  ( memory ),  kemampuan  tilikan  ruang  ( spatial  ability ), dan  kemampuan  mengenai  bilangan  ( numerical  ability ).  Cattel  berpendapat bahwa otak  manusia itu terbagi  menjadi  dua bagian yaitu bagian  kristal dan bagian  cair.  Untuk  menyeimbangkan  kerja  bagian  otak  tersebut  diperlukan latihan  pemecahan  masalah  dan  penemuan  sendiri.  Sedangkan  menurut Hoffer,  matematika  khususnya  geometri  dapat  menyeimbangkan  otak  kiri dan otak kanan. Kansas State University (1999) melaporkan bahwa beberapa tuntutan  dari  pihak  industri  dan  berbagai stakeholder lainnya  mengenai lulusan  sebuah  universitas  yang  akan  menjadi  tenaga  kerjanya  haruslah mempunyai  beberapa  kemampuan  diantaranya  dalam  hal:  kemampuan menulis, kemampuan berkomunikasi, kemampuan matematika , kemampuan komputer, kemampuan bernalar , dan kemampuan pemecahan  masalah .  Kemampuan-kemampuan  yang  bercetak  tebal  secara prinsip  merupakan  produk  dari  pembelajaran  matematika.  Hal  ini menunjukkan  relevansi  matematika  dengan  dunia  kerja  khususnya,  dan perkembangan ilmu pengetahuan secara umum.
Dalam  pengembangan  ilmu  pengetahuan,  teknologi,  dan  industri, matematika  mempunyai  peranan  yang  sangat  penting.  Dalam  sains,  seperti Fisika,  Kimia,  Ekonomi,  dan  sebagainya  matematika  digunakan  sebagai bahasa  dan  alat  bantu.  Sains  modern  hampir  seluruhnya  bertumpu  pada matematika.  Dengan  berkembang  pesatnya  sains  modern  berdampak  pula
Kajian Pemahaman Matematika Melalui Etika Pemodelan Matematika (Yani Ramdani) 13
pada  kemajuan  industri  dan  teknologi.  Hampir  setiap  segi  kehidupan manusia  modern  sekarang  ini  menggunakan  matematika,  baik  secara langsung maupun tidak langsung.

## 3 Penutup
Matematika merupakan  ilmu deduktif, ilmu terstruktur, dan ratu serta pelayan ilmu. Pada hakekatnya ciri utama matematika adalah metode dalam penalaran  ( reasoning ). Sisi  lain  dari  matematika  adalah  bahasa  yang  sangat simbolis.  Bahasa  matematika  tidak  mengandung  sesuatu  yang  dalam  atau rumit,  karena  bahasa  ini  sebenarnya  hanya  merupakan  semacam  steno,  dan steno  matematika  ini  lebih  mudah  dipelajari  dibandingkan  dengan  steno biasa.  Hakekat  lain  dari  matematika  dapat  didekati  dari  metode pembuktiannya, bidang yang ditelaahnya, dan bahasa yang dipakainya.
Dalam  matematika  kaidah  itu  adalah:  pengertian  dasar  yang  jelas, anggapan-anggapan  yang  diperlukan,  aksioma  dan  teorema  terkait, penggunaan aksioma dan teorema secara berurutan menurut waktu lahirnya, dan manipulasi matematika yang sesuai.
Dalam  pengembangan  ilmu  pengetahuan,  teknologi,  dan  industri, matematika  mempunyai  peranan  yang  sangat  penting.  Dalam  sains,  seperti Fisika,  Kimia,  Ekonomi,  dan  sebagainya  matematika  digunakan  sebagai bahasa  dan  alat  bantu.  Sains  modern  hampir  seluruhnya  bertumpu  pada matematika.  Dengan  berkembang  pesatnya  sains  modern  berdampak  pula pada  kemajuan  industri  dan  teknologi.  Hampir  setiap  segi  kehidupan manusia  modern  sekarang  ini  menggunakan  matematika,  baik  secara langsung maupun tidak langsung.
--------------------

## DAFTAR PUSTAKA
Cattel, Raymond B. 1965. The Scientific Analysis of Personality. Baltimore : Penguin Books, Inc.
Hendrajaya,  Lilik.  1993. Menghasilkan  Rumusan  Matematika  dan Menafsirkannya. Bandung : FMIPA Institut Teknologi Bandung.
Kline, Morris. 1973. Why Jonhny Can’t Add: The Failure of The New Math. New York : Vintage Books.
Linson,  J.G.  Raw.  1976. Berfikir  Kreatif  dan  Brainstorming. Jakarta: Erlangga.
Ruseffendi.  1991. Pengantar  Kepada  Membantu  Guru  Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung : Tarsito.
Suriasumantri,  Jujun  S.  1985. Ilmu  dalam  Perspektif. Jakarta  :  PT. Gramedia.
Tim  Kurikulum.  1993. Kurikulum  Pendidikan  Program  Studi  Matematika. Bandung : Jurusan Matematika Institut Teknologi Bandung.
Tim  MKPBM.  2001. Common  Text  Book:  Strategi  Pembelajaran Matematika  Kontemporer. Bandung:  JICA-Universitas  Pendidikan Indonesia.