## Expected Value Premium Principle
Pada Data Klaim Reasuransi
Radot MH Siahaan 1 , Dian Anggraini 2 , Andi.fitriawati 3 ,
Dani Al Makhya 4
1 Prodi Sains Aktuaria, Institut Teknologi Sumatera, radot.siahaan@at.itera.ac.id
2 Prodi Sains Aktuaria, Institut Teknologi Sumatera, dian.anggraini@at.itera.ac.id
3 Prodi Sains Aktuaria, Institut Teknologi Sumatera, andi.fitriawati@at.itera.ac.id
4 Prodi Sains Aktuaria, Institut Teknologi Sumatera, dani.almakya@at.itera.ac.id
Abstract.  The  amount  of  stop  loss  cover  reinsurance  using  krone  as  Danish currency. The stop  loss cover  reinsurance scheme with a retention  value of  r =  50 million  krone  from  fire  insurance  data  in  Denmark  from  1980-1990  with  truncate date  at  10  million  krone,  resulting  in  a  conditional  expected  value 𝑷 = 𝑬 [ 𝒀|𝑿 𝒊 > 𝝏 ] that  decreases  in  value  when  the  higher  the  threshold  value.  This  is indicated  by  the  threshold  value  of  1  =  2.976  resulting  in  pure  premium  of  1  = 0.1217, a threshold value of 2 = 10.0539 resulting in pure premium 2 = 0.0867 and a threshold  value of  3 = 26.199 resulting  in  pure premium 3 = 0.0849. The use of expected value premium principle with the loading factor ( 𝜽 = 𝟏𝟎% ) is weighted to the  value  of  the  pure  premium  represented  by (𝟏 + 𝜽) 𝑬 [ 𝒀|𝑿 𝒊 > 𝝏 ] .  This  is indicated by the weight of premium 1 = 0.13387, the weight of the premium 2 = 0.09537 and the weight of premium 3 = 0.09339
Keywords: Stop loss cover, threshold, General Pareto Distributions, Expected value premium principle
Abstrak. Skema  reasuransi stop  loss  cover dengan  nilai  retensi  r  =  50  juta krone  dan  nilai  cover  maksimum  reasuransi  R  =  100  juta  krone  dari  data asuransi  kebakaran  di  Denmark  dari  tahun  1980  –  1990  dengan  krone sebagai  satuan  mata  uang  Denmark.  Pemotongan  ( truncate )  data  di  10  juta krone  menghasilkan  nilai  ekspetasi  bersyarat 𝑷 = 𝑬 [ 𝒀|𝑿 𝒊 > 𝝏 ] yang semakin  menurun  nilainya  ketika  nilai threshold 𝒖 semakin  tinggi.  Hal  ini ditunjukan  dengan  nilai threshold 1  =  2.976  menghasilkan  premi  murni  1  = 0.1217, nilai threshold 2 = 10.0539 menghasilkan premi murni 2 = 0.0867 dan nilai threshold 3 = 26.199 menghasilkan premi murni 3 = 0.0849. Penggunaan expected  value  premium  principle dengan  faktor loading 𝜽 = 𝟏𝟎% dilakukan pembobotan pada nilai premi murni. Hal ini ditunjukan dengan bobot premi 1 = 0.13387, bobot premi 2 = 0.09537 dan bobot premi 3 = 0.09339.
Kata  Kunci: Stop  loss  cover,  Threshold,  General  Pareto  Distribution,  Expected value premium principle

## 1. Pendahuluan
Skema  reasuransi  merupakan  suatu  metode  yang  digunakan perusahaan  asuransi  untuk  melakukan  transfer  risiko  terhadap  klaim  yang memiliki nilai yang besar kepada perusahaan reasuransi. Karakteristik klaim yang direasuransi memiliki frekuensi kejadian yang rendah ( low frequency ) namun  menghasilkan  kerugian  yang  tinggi  ( high  severity )  sehingga

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
menghasilkan  distribusi  klaim  yang  mempunyai  bentuk  ekor  yang  tebal ( heavy  tail ).  Seperti  yang  terjadi  pada  kejadian  bencana  alam  [1].  Untuk mengantisipasi  terjadinya  gagal  bayar  terhadap  klaim-klaim  dengan  nilai besar  tersebut,  perusahaan  asuransi  melakukan  reasuransi  dengan  skema stop loss cover . Melalui skema tersebut akan tercipta sebuah kontrak antara perusahaan  asuransi  dan  reasuransi  yang  mewajibkan  perusahaan  asuransi untuk  membayar  klaim  terjadi  pada  tingkat  harga  tertentu,  sedangkan  sisa dari kelebihan klaim tersebut akan dibayarkan oleh perusahaan reasuransi Transfer  risiko  menggunakan  mekanisme  reasuransi stop  loss  cover mewajibkan perusahaan asuransi untuk membayar premi kepada perusahaan reasuransi.  Besarnya  premi  yang  dibayarkan  dapat  ditentukan  dengan menghitung premi murni ( pure premium ) berdasarkan distribusi klaim yang telah  dilakukan truncate melalui  mekanisme stop  loss  cover .  Apabila 𝑋 𝑖 merepresentasikan suatu peubah acak dari besar klaim yang diasumsikan berdistribusi  identik  dan  saling  bebas  ( iid ),  r  merupakan  retensi ( deductibles ) dan R merupakan batas nilai klaim terbesar yang terjadi maka nilai-nilai  klaim  yang  kan  dibayarkan  oleh  perusahaan  reasuransi  adalah 𝑌 𝑖 = 𝑋 𝑖 − 𝑟 untuk 𝑟 ≤ 𝑋 𝑖 ≤ 𝑅 dan 𝑌 𝑖 = 𝑅 − 𝑟 untuk 𝑋 𝑖 < ∞ . 𝑌 𝑖 dapat dipandang sebagai suatu peubah acak yang mempunyai distribusi tertentu.
Premi  murni  ditentukan  melalui  nilai  ekspektasi 𝐸[𝑌 𝑖 ] ,  namun  tidak tertutup kemungkinan bahwa premi murni tidak cukup untuk menutup klaim yang  dihadapi  oleh  perusahaan  reasuransi  dikarenakan  distribusi  hasil estimasi  data  klaim  masa  lampau  seringkali  tidak  akurat  untuk menggambarkan  karakteristik  klaim  di  masa  yang  akan  datang.  [2] memaparkan  definisi premium  principle yang  merupakan  prinsip  untuk menentukan  premi  asuransi  yang  merupakan  pencerminan  dari  transfer risiko.  Terdapat  tiga  metode premium  principle ,  yaitu: ad  hoc  method , characterization method dan economic method . Premi murni ( net premium ) masuk  ke  dalam  kategori ad  hoc  method bersama  dengan expected  value premium  principle , variance  premium  principle , standard  variance premium  principle , exponential  premium  principle , Esscher  premium principle dan propotional  hazard  premium  principle .  Terdapat  lima  belas aksioma  yang  diharapkan  dipenuhi  oleh premium  principles ,  namun  hanya premi murni yang memenuhi lima belas aksioma tersebut. Namun [3]  menyatakan hanya cukup empat aksioma yang dibutuhkan
agar premium principle memiliki sifat koheren. Ke-empat aksioma tersebut adalah Translational  Invariance  (T/TI),  Subadditivity  (S),  Positive Homogenity  (PH) dan Monotonicity  (M) .  Premi  murni  merupakan  satu- satunya premium  principle  premium yang  koheren.  Namun  perhitungan premi  asuransi  menggunakan  premi  murni  hanya  menghitung 𝐸[𝑌 𝑖 ] , sedangkan premium  principle lainnya  melakukan  pembobotan  ( weighted ) terhadap 𝐸[𝑌 𝑖 ] . Expected  value  premium  principle merupakan premium principle yang  tidak  koheren  dikarenakan  tidak  memenuhi  satu  aksioma, yaitu Transalational  Invariance .  Premi  asuransi  yang  ditentukan menggunakan expected  value  premium  principle lebih  besar  dari  premi murni.  Hal  ini  disebabkan  adanya  pembobotan  ( factor  loading )  yang menambah bobot nilai 𝐸[𝑌 𝑖 ] .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Berdasarkan  pemaparan  di  atas,  penulis  tertarik  untuk  menentukan nilai  premi  menggunakan expected  value  premium  principle pada  data reasuransi  dimana  besarnya  nilai  ekspektasi 𝐸[𝑌 𝑖 ] sangat  dipengaruhi  oleh penentuan  faktor loading .  Faktor loading merupakan  prosentase  dari  nilai ekspetasi 𝐸[𝑌 𝑖 ] . Kemudahan penggunaan expected value premium principle dapat  membantu  perusahaan  reasuransi  dalam  menghitung  estimasi  nilai premi yang akan dikenakan kepada perusahaan asuransi secara ringkas.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Distribution Function of Truncated Data
Data  klaim  perusahaan  asuransi  yang  diobservasi  oleh  perusahaan reasuransi  hanya  data  yang  nilainya  diatas  nilai  tertentu (𝜕) . Setelah  data dipotong ( truncate ), model distribusi kumulatif hasil pemotongan ( truncate ) pada data di suatu nilai tertentu[4]
𝐅 𝐗 𝛛 (𝐱) = 𝐏{𝐗 ≤ 𝐱|𝐗 > 𝛛} = { 𝟎, 𝐱 ≤ 𝛛 𝐅 𝐗 (𝐱) − 𝐅 𝐗 (𝛛) 𝟏 − 𝐅 𝐗 (𝛛) , 𝐱 ≥ 𝛛 (1)
Model  distribusi  kumulatif 𝑋 𝜕 dapat  ditaksir  melalui  data  klaim  masa lalu secara empiris dengan menggunakan empirical distribution function
𝑭 𝒏 (𝒙) = 𝟏 𝒏 ∑ 𝟏 (𝑿 𝒊 ≤𝒙) 𝒏 𝒊=𝟏 (2)
dengan
𝟏 (𝑿 𝒊 ≤𝒙) = { 𝟏 , 𝑿 𝒊 ≤ 𝒙 𝟎 , 𝑿 𝒊 > 𝒙 (3)

## 2.2 Stop Loss Cover
𝑋 𝜕 adalah  suatu  peubah  acak  yang  merupakan  realisasi  dari  data  yang dipotong ( truncated ) di suatu nilai tertentu kemudian perusahaan reasuransi menetapkan  nilai  retensi  (r)  dan  nilai  maksimum  klaim  (R).  Skema reasuransi  dengan  menggunakan stop  loss  cover didefinisikan  sebagai berikut,
𝒀 = { 𝟎, 𝑿 𝝏 < 𝒓 𝒙 − 𝒓, 𝒓 ≤ 𝑿 𝝏 ≤ 𝑹 𝑹 − 𝒓, 𝑿 𝝏 ≥ 𝑹 (4)

## 2.3 Generalized Pareto Distribution (GPD)
Data klaim setelah diberlakukan skema stop loss cover sangat sedikit, taksiran  di  ekor  distribusi  dari 𝑋 𝜕 dapat  ditentukan  melalui  metode peak over  threshold (POT).  Metode  ini  mensyaratkan  pemilihan threshold 𝑢 yang  nilainya  cukup  besar.  Pemilihan  nilai 𝑢 dilakukan  dengan  mencari nilai  presentil  dari  data  klaim.  Pemilihan  nilai threshold 𝑢 akan  membuat

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
suatu  peubah  acak  bersyarat 𝑃(𝑋 𝜕 − 𝑢|𝑋 𝜕 ≥ 𝑢) yang  memiliki  distribusi pendekatan ( limiting distribution ) Generalized Pareto [5]
𝑷{𝑿 𝝏 − 𝒖|𝑿 𝝏 > 𝒖} → 𝒅 𝑮 𝝃,𝝈 (𝒙) (5)
dengan
𝑮 𝝃,𝝈 (𝒙) = 𝟏 − (𝟏 + 𝝃 𝒙−𝒖 𝝈 ) − 𝟏 𝝃 (6)
Dengan 𝜉 ≠ 0 dan 𝜎 > 0

## 2.4 Fitting GPD Pada Ekor Distribusi 𝑿 𝝏
Jika  distribusi  bersyarat 𝑃(𝑋 𝜕 − 𝑢|𝑋 𝜕 ≥ 𝑢) dapat  di fitting dengan distribusi Generalized  Pareto dengan  nilai threshold u  yang  besar  maka ekor  dari  distribusi 𝑋 𝜕 dapat  di fitting dengan  menggunakan  distribusi Generalized  Pareto [6].  Berikut  adalah  model  ekor  distribusi 𝑋 𝜕 dengan 𝑥 ≥ 𝑢
𝑭 𝑿 𝝏 (𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = (𝟏 − 𝑷{𝑿 ≤ 𝒖})𝑭 𝒖 (𝒙 − 𝒖) + 𝑷(𝑿 𝝏 ≤ 𝒖) (7)

## 2.5 Uji Kecocokan Model
Uji  kecocokan  model  perlu  dilakukan  untuk  melihat  apakah  model Generalized  Pareto yang  ditaksir  dengan  nilai threshold 𝑢 tertentu cocok dengan  data.  Uji  kecocokan  model  menggunakan  uji Cramer-Von- Mises dan uji Anderson Darling [7] dengan hipotesa
H 0 =  Data mengikuti distribusi Generalized Pareto distribution
H 1 =  Data tidak mengikuti distribusi Generalized Pareto distribution
Berikut adalah statistik uji Cramer-Von-mises
𝑾 𝟐 = ∑ {𝑭(𝒙 𝒊 ) − 𝟐𝒊 − 𝟏 𝟐𝒏 } 𝟐 + 𝟏 𝟏𝟐𝒏 𝒏 𝒊=𝟏
(8) Berikut adalah statistik uji Anderson-Darling
𝑨 𝟐 = −𝒏 − 𝟏 𝒏 ∑(𝟐𝒊 − 𝟏)[𝒍𝒐𝒈(𝟏 − 𝑭(𝒙 𝒏+𝟏−𝒊 )] 𝒏 𝒊=𝟏
(9)

## 2.6 Expected Value Bersyarat Distribusi Generalized Pareto
Apabila  nilai  retensi  (r)  dan  nilai  maksimum  (R)  ditentukan,  premi murni  ( net  premium )  dapat  dihitung  dengan  mencari  nilai  ekspektasi 𝐸[𝑌|𝑋 𝑖 > 𝜕] , yaitu
𝑷 = ∫ (𝒙 − 𝒓)𝒇 𝑿 𝜹 (𝒙)𝒅𝒙 + (𝑹 − 𝒓)(𝟏 − 𝑭 𝑿 𝜹 (𝑹))
𝑹 𝒓 (10)
Nilai 𝒇 𝑿 𝝏 (𝒙) = 𝒅𝑭 𝑿𝝏 (𝒙) 𝒅𝒙 menyatakan  fungsi  kepadatan  peluang  klaim  yang dipotong  di 𝝏 .  Jika  nilai threshold 𝒖 < 𝒓 dipilih  dan  kemudian  dilakukan fitting

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
dengan  model  distribusi Generalized  Pareto maka  estimasi  dari  fungsi  distribusi kumulatif Genaralized Pareto dengan 𝒙 > 𝒖
𝑭 ̂ 𝑿 𝝏 = (𝟏 − 𝑭 𝒏 (𝒖))𝑮 𝝃̂,𝒖,𝝈 ̂ (𝒙) + 𝑭 𝒏 (𝒖) (11)

## 2.7 Expected Value Premium Principle
Nilai  premi  mengikuti  kaidah expected  value  premium dapat  dihitung dengan menggunakan [8]
𝓗(𝒙) = (𝟏 + 𝜽)𝑷 (12) dimana ℋ(𝑋) merupakan  fungsi premium  principle yang  memetakan anggota  domain  yang  ada  di  model  distribusi 𝑃[𝑌|𝑋 > 𝜕] . 𝜃 merupakan factor loading yang memboboti nilai 𝑃 sehingga akan dihasilkan ℋ(𝑋) ≥ P

## 3. Metode Penelitian
Data  yang  digunakan  pada  penelitian  sebelumnya  menggunakan data  sekunder  yang  merupakan  data  besar  klaim  ( severity )  dari perusahaan  reasuransi  Denmark  sebanyak  2167  data  yang  dicatat  dari tahun  1980  –  1990.  Data  klaim  masih  bersifat ground-up  loss yang berarti data klaim tersebut belum dikurangi oleh nilai 𝜕 yang merupakan nilai  klaim  yang  tidak  dipertimbangkan  oleh  perusahaan  reasuransi. Metode  penelitian  menggunakan  kaidah expected  value  premium principle untuk  menghitung  premi  risiko  dari  skema  asuransi stop  loss cover dengan  nilai  retensi (r)  sebesar  50 juta krone dan  nilai  maksimum klaim (R) yang disepakati sebesar 100 juta krone .

## 4. Pembahasan
4.1 Estimasi Parameter dan Uji Kecocokan Model Generalized Pareto
Data  klaim  dipotong  ( truncated ) dengan  nilai displacement 𝜕 sebesar 10  juta  krone.  Nilai  selang  [r,R]  yang  akan  digunakan  adalah  [50,100], dimana  r  sebesar  50  juta krone merupakan  retensi  yang  ditahan  oleh perusahaan  asuransi,  sedangkan  R  sebesar  100  juta krone nilai  maksimum klaim.
Penentuan  nilai threshold 𝑢 dilakukan  dengan  menghitung  persentil ke-75,  ke-95  dan  ke-99  dari  data  klaim  sebelum  dipotong  ( truncated ).
Setelah  dilakukan  simulasi  untuk  menentukan  taksiran  parameter  distribusi Generalized  Pareto dan  diuji  kecocokan  modelnya  dengan  menggunakan uji Cramer-Von-mises dan  uji Anderson-Darling maka  didapat  hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut
Tabel 1. Hasil estimasi parameter GPD dan Uji kecocokan model GPD
N o P ersentil T hreshold u   W 2 (p-value) A 2 (p-value) 1 7 5% 2 .9726 0 .6687 2 .1667 0.0835 (>0.25) 0.5554 (>0.25) 2 9 5% 1 0.0539 0 .495 5 .0324 0.0336 (>0.5) 0.2762 (>0.5) 3 9 9% 2 6.199 0 .8908 1 0.1613 0.0289 (>0.5) 0.2715 (>0.5)
4.2 Perbandingan Premi Murni dengan Expected Value Premium Principle Dengan  menggunakan  komputasi,  hasil  uji  statistik  menunjukan bahwa distribusi Generalized Pareto dengan masing-masing nilai threshold merupakan  model  distribusi  yang  cocok  untuk  memodelkan  data  klaim. Distribusi Generalized  Pareto cocok  untuk  menjadi  model  dari  distribusi klaim  bersyarat 𝑃(𝑋 𝜕 − 𝑢|𝑋 𝜕 ≥ 𝑢) maka  model  distribusi Generalized Pareto dapat  digunakan  untuk  memodelkan  ekor  distribusi  klaim  yang nilainya  melebihi  dari threshold 𝑢 dimana  taksiran  model  distribusinya ditentukan  oleh  persamaan  ke-11.  Hal  ini  akan  sangat  berguna  untuk menghitung  nilai  ekspektasi  bersyarat 𝑃 = 𝐸[𝑌|𝑋 𝑖 > 𝜕] yang  merupakan nilai premi murni ( net premium ).
Berikut  adalah  perbandingan  antara  nilai  premi  murni  dengan  premi yang  telah  diboboti  dengan  faktor loading 𝜃 sebesar  10%  dari  nilai  premi murni dan selang [r,R] ditentukan sebesar [50,100].
Tabel 2. Nilai premi murni dan premi dengan faktor loading
N o T hreshold u     | i E Y X   ( ) ; H X 
1 2 .9726 0 .6687 2 .1667 0.1217 0.13387 2 1 0.0539 0 .495 5 .0324 0.0867 0.09537 3 2 6.199 0 .8908 1 0.1613 0.0849 0.09339
Dengan  bantuan komputasi,  nilai  premi  murni  dihitung  dengan menggunakan  persamaan  (11)  yang  merupakan  nilai  ekspektasi  bersyarat 𝑃 = 𝐸[𝑌|𝑋 𝑖 > 𝜕] .  Tabel  2  menunjukan  bahwa  semakin  besarnya  nilai threshold 𝑢 akan mengakibatkan nilai premi murni semakin mengecil.
Terdapat  dua  pilihan  solusi  untuk  meningkatkan  premi  murni.  Pilihan pertama  adalah  dengan  menurunkan  nilai threshold 𝑢, namun  pilihan tersebut tidak direkomendasikan dikarenakan semakin tinggi nilai threshold 𝑢 maka ekor distribusi 𝑃[𝑌|𝑋 > 𝜕] dapat dimodelkan dengan menggunakan model distribusi Generalized Pareto .
Pilihan  kedua  adalah  dengan  melakukan  pembobotan  nilai  premi murni  dengan  faktor loading sebesar 𝜃 = 10% dengan  menggunakan persamaan  (12).  dimana  selang  [r,R]  sebesar  [50,100].  Bila  dibandingkan dengan  nilai  premi  murni  terjadi  peningkatan  besar  premi  ketika  dihitung dengan  menggunakan  kaidah expected  value  premium  principle .  Pemilihan nilai 𝜃 = 10% merupakan  asumsi  adanya  peningkatan  nilai 𝑃 = 𝐸[𝑌|𝑋 𝑖 > 𝜕] sebesar  10%  di  periode  mendatang.  Karena  masih  bersifat asumsi makanya nilai 𝜃 bersifat subyektif dan bergantung kepada justifikasi perusahaan.

## 5. Kesimpulan
Penentuan  nilai  premi  murni  untuk  skema  reasuransi  dengan menggunakan stop  loss  cover mensyaratkan  penetapan  nilai threshold 𝑢 yang  tinggi  agar  ekor  distribusi 𝑃[𝑌|𝑋 > 𝜕] dapat  dimodelkan  dengan menggunakan model distribusi Generalized Pareto (GPD). Sebagai langkah
antisipasi  dalam  menghadapi  peningkatan  klaim,  penggunaan expected value  premium  principle dilakukan  untuk  menambah  bobot  dari  premi murni  dengan  menggunakan  faktor loading 𝜃 . Walaupun expected  value premium  principle bukan  merupakan  suatu premium  principle yang koheren, namun kemudahan implementasi dapat digunakan untuk  membuat estimasi premi.
Saran  untuk  penelitian  selanjutnya  adalah  menemukan  metode  yang tepat  untuk  pemilihan  nilai threshold 𝑢 yang  tepat  dan  melakukan perbandingan antara kaidah premium principle lainnya.

## 6. Daftar Pustaka
[1] Anggraini, D., Wijaya, Y. (2016). Obligasi Bencana Alam dengan Suku Bunga Stokastik dan Pendekatan Campuran. Al-Jabar: Jurnal Pendidikan Matematika, Vol.7, No. 1,2016, 49-62
[2] Young,  V.  R.  (2004). Premium  Principles .  Encyclopedia  of  Actuarial Science.
[3] Artzner,  P.,  Delbaen,  F.,  Eber,  J.,  Heath,  D.  (1999), Coherent  Measure of Risk , Mathematical Finance, Vol 9, No. 3, 203-228
[4] Klugman S., Hogg R. (1984). Loss Distributions , Wiley & Sons
[5] McNeil,  J.  (1996), Estimating  the  Tails  of  Loss  Severity  Distribution using Extreme Value Theory , Zurich
[6] Reiss, R and Thomas,  M (1996) Statistical analysis of extremes values , The annals of Statistics 3, 119-131
[7] Klugman, Panjer, Wilmott, Loss Models : from Data to Decisions 4 th
[8] Lestia,  A.  (2011),  “Ukuran  Risiko  untuk  Beberapa  Model  Peluang”, Bandung : Tesis Magister Aktuaria ITB