Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 10 No. 2
e -ISSN 2550-0325

## MODELING LARGE-ANGLE PENDULUM OSCILLATIONS WITH QUADRATIC DAMPING AND DAMPING ON THE STRING

## Defrianto Pratama
Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Bandung, defrianto.pratama@polban.ac.id

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan pendekatan teoritis yang tepat untuk osilasi bandul nyata  dengan    simpangan  sudut  awal  besar  dan  memperhitungkan  faktor  redaman  udara. Rekaman video gerak osilasi bandul nyata dianalisis dengan menggunakan software Tracker, untuk mendapatkan data percobaan. Persamaan gerak osilasi bandul nyata dimodelkan dengan persamaan diferensial nonlinier orde dua dengan memperhitungkan redaman linier, redaman kuadrat dan redaman pada tali bandul. Persamaan gerak bandul diselesaikan dengan metode Runge-Kutta  Orde  4  kemudian  hasilnya  dibandingkan  dengan  data  percobaan.  Pemodelan dengan memperhitungkan redaman  kuadrat dan redaman pada tali lebih mendekati fenomena nyata pada gerak bandul dibandingkan hanya memperhitungkan redaman linier.

## Abstract
This study aims to find the right theoretical approach for real pendulum oscillations with large angles and include the air damping factor. Video of real pendulum oscillations were analyzed using  Tracker  software,  to  obtain  experimental  data.  The  real  pendulum  motion  equation  is modeled  by  a  second  order  nonlinear  differential  equation  by  including  linear  damping, quadratic  damping  and  damping  on  the  pendulum  string.  The  pendulum  motion  equation  is solved  by  the  4th  Order  Runge-Kutta  method  then  the  results  are  compared  with  the experimental data. Modeling by considering quadratic damping and string damping is closer to the real phenomenon of pendulum motion than only considering linear damping.
Kata kunci: Bandul nyata; Osilasi teredam; Redaman kuadrat; Runge Kutta.

## Pendahuluan
Gerak  osilasi  sangat  penting  untuk  dipelajari terutama untuk mahasiswa prodi rekayasa, seperti penerapan  osilasi  teredam  di  sayap  pesawat  pada bidang  rekayasa aoeronautika (Lupi  et  al., 2018), penerapan pada konsep gelombang mekanik pada bidang  rekayasa  mesin  dan  rekayasa  energi (Ganiev  et  al.,  2015)  hingga  penerapan  pada rangkaian  osilasi  listrik  dan  sinyal  pada  bidang rekayasa elektronika (Sawkmie & Mahato, 2019). Maka  untuk  itu  mahasiswa  harus  mempunyai pemahaman yang utuh mengenai gerak osilasi.
Pembelajaran  gerak  osilasi  tidak  cukup  hanya dengan  teori  di  kelas  saja,  tetapi  harus  disertai dengan  melakukan  pengamatan  langsung  pada fenomena  nyata  (Rizki  et  al.,  2021).  Fenomena gerak  osilasi  yang  paling  sederhana  dan  sering dijadikan sebagai bahan pembelajaran yaitu gerak osilasi pada bandul. Sering kali dalam mempelajari gerak osilasi bandul menganggap bandul bergerak osilasi  harmonis,  hal  ini  berdasarkan  perhitungan pendekatan jika bandul diberikan sudut simpangan awal  yang  sangat  kecil  (biasanya  kurang  dari  5 0 )
dan efek redaman yang diabaikan. Gerak harmonis sederhana  pada  bandul  akan  mempunyai  periode tetap (hanya bergantung pada panjang bandul serta percepatan  gravitasi)  dan  amplitudo  yang  tetap. Akan  tetapi,  pada  kenyataanya  osilasi  bandul selalu mengalami redaman, amplitudo bandul akan mengecil  hingga  bandul  akan  berhenti  bergerak. Periode  bandul  jika  disimpangkan  dengan  sudut yang besar akan bergantung pada sudut simpanan awal  bandul  (le  et  al,  2020).  Pendekatan  teoritis yang  tepat  perlu  dicari  untuk  mempelajari  lebih lanjut  bagaimana  gerak  osilasi  bandul  pada fenomena nyata.
Penelitian ini sebagai studi awal dalam merancang kegiatan  praktikum  gerak  osilasi  bandul  nyata dengan  sudut  simpangan  awal  besar  dengan memperhitungkan faktor redaman.
Secara  teori  gaya  gesekan  benda  jika  bergerak pada  fluida  merupakan  fungsi  kecepatan  sesuai dengan deret taylor sekitar v=0 .
𝑓(𝑣) = 𝑐 1 𝑣 + 𝑐 2 𝑣 2 + 𝑐 3 𝑣 2 + ⋯                      (1)
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 10 No. 2
e -ISSN 2550-0325
Kita  dapat  melakukan  pendekatan  gaya  gesek hingga  suku  kuadrat.  Jika  benda  yang  bergerak berbentuk  bola  dan  kita  gunakan  pendekatan hingga  suku  kuadrat,  maka  fungsi  gaya  gesek menjadi. :
𝑓(𝑣) = 6𝜋𝜌𝜇𝑟𝑣 + 1 2 𝐶 𝐷 𝜌𝐴 𝑃 𝑣 2 (2)
Keterangan :
𝜌 =  massa  jenis  fluida  ( 𝜌 udara  pada  suhu  ruang 1.204 kg/m 2 ).
𝜇 =  viskositas  fluida  ( 𝜇 udara  pada  suhu  ruang 1.983 x 10 5 Pa.s)
r = jari-jari bola
𝐶 𝐷 =koefisien drag (pada penelitian ini digunakan sebesar 1.5 (Hafez, 2022))
𝐴 𝑃 = luas proyeksi (bola 𝐴 𝑃 = 𝜋𝑟 2 )
Suku pertama dikenal dengan gaya stokes dan suku kedua  gaya  hambat  ( drag  force ).  Gaya stokes berbanding  lurus  pada  kecepatan  linier  dan  gaya hambat  berbanding  lurus  dengan  kecepatan kuadrat.
Osilasi  teredam  dengan  amplitudo  besar  harus diperhitungkan  gaya  hambat  kuadrat  ( quadratic drag force ) suku ke 2 dari persamaan 2 (Hauko & Repnik, 2019).
Persamaan  gerak  bandul  dengan  simpangan  awal sudut  besar  dan  memperhitungkan  gaya  gesekan udara  seperti  pada  persamaan  2  (Hafez,  2022) adalah sebagai berikut.
𝜃̈ = − 𝑔 𝐿 sin 𝜃 − ( 𝑐 𝑚 )𝜃̇ − 𝐶 𝐷 𝜌𝐴 𝑃 𝐿 2𝑚 |𝜃̇|𝜃̇             (3)
Dimana 𝑐 = 6𝜋𝜌𝜇𝑟 , suku kedua sebelah kiri pada persamaan  adalah  suku  redaman  linier  dan  suku ketiga  sebelah  kiri  pada  persamaan  dan  adalah suku redaman kuadrat.
Persamaan  3  merupakan  persamaan  diferensial nonlinier  orde  dua  untuk  gerak  osilasi  dengan memperhitungkan  suku  redaman  linier  dan  suku redaman kuadrat.
Menurut  Mohazzabi  &  Shankar  (2015),  gaya hambatan  tali  dengan  udara  perlu  diperhitungkan untuk  menganalisis  gerak osilasi  bandul  teredam.
Gaya hambatan tali dapat dihitung dari torsi pada tali  yang menghambat ayunan akibat gesekan tali dengan udara, sesuai persamaan 4.
𝜏 𝑠 = 𝑘𝐿 3 𝐷 3 𝜃̇                                                              (4)
Torsi  hambatan  tali  berbanding  lurus  dengan kecepatan sudut bandul, dengan D adalah diameter tali, L panjang  bandul,  dan k=1.2 merupakan konstanta (Mohazzabi & Shankar, 2015) .
Jika memperhitungkan faktor hambatan tali, maka persamaan 3 menjadi:
𝜃̈ = − 𝑔 𝐿 sin 𝜃 − ( 𝑐 𝑚 + 𝑘𝐿𝐷 3𝑚 ) 𝜃̇ − 𝐶 𝐷 𝜌𝐴 𝑃 𝐿 2𝑚 |𝜃̇|𝜃̇      (5)
Persamaan  3  dan  5  akan  sulit  jika  diselesaikan secara analitik, maka metode numerik Runge Kutta orde-4 menjadi pilihan penulis untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Metode Runge Kutta  orde-4  sangat  baik  dalam  menyelesaikan persamaan  diferensial  nonlinier  (Albalawi  et  al, 2021).
Data  hasil  percobaan  akan  dibandingkan  dengan hasil  penyelesain  persamaan  5  menggunkan metode  Runge  Kutta  orde  4.  Berdasarkan perbandingan tersebut akan ditentukan model yang tepat untuk osilasi bandul nyata.

## Metode
Pada  penelitian  ini  akan  dibandingkan  data  hasil percoban  dengan  perhitungan  numerik  Runge- Kutta  orde  4  (RK-4)  dalam  menyelesaikan persamaan 5.
Kepala  bandul  yang  digunakan  berbentuk  bola dengan  diameter  30,0  mm,  bermassa  110,0  gram dan  terbuat  dari  logam  besi.  Tali  bandul  terbuat dari  bahan  nylon  dengan  diameter  0,5  mm  dan panjang 33,0 cm. Bandul kemudian disimpangkan dengan sudut besar dan dijatuhkan tanpa kecepatan awal. Gerak osilasi bandul direkam menggunakan kamera smartphone dan kemudian rekamannya di analisis  menggunakan software  Tracker untuk mendapatkan  data  simpangan 𝜃 dan  kecepatan sudut 𝜔 selama  bandul  berosilasi  (Hernández, 2019). Tampilan software tracker dalam menganalisis  gerak  bandul  dapat  dilihat  pada gambar 1.
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 10 No. 2
e -ISSN 2550-0325
(b)
Gambar  1.  Tampilan software  Tracker dalam  menganalisis gerak bandul.
Solusi  dari  persamaan  3  dihitung  dengan  metode RK-4. Persamaan 3 terlebih dahulu diubah menjadi :
𝜃̈ = − 𝑔 𝐿 sin 𝜃 − ( 𝑐 𝑚 + 𝑘𝐿𝐷 3𝑚 ) 𝜃̇ − 𝐶 𝐷 𝜌𝐴 𝑃 𝐿 2𝑚 |𝜃̇|𝜃̇       (6)
Kemudian dimisalkan bahwa,
𝑓(𝑡, 𝜃, 𝜔) =   𝜃̇ = 𝜔                                                         (7) 𝑔(𝑡, 𝜃, 𝜔) = − 𝑔 𝐿 sin 𝜃 − ( 𝑐 𝑚 + 𝑘𝐿𝐷 3𝑚 ) 𝜔 − 𝐶 𝐷 𝜌𝐴 𝑃 𝐿 2𝑚 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜔)𝜔 2 (8)
Kemudian  dilakukan  literasi  setiap time  step Δt=0.01s dan  n  =  4000  dengan  metode  RK-4 berikut :
𝜃 𝑛+1 = 𝜃 𝑛 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )∆𝑡                 (9)
𝜔 𝑛+1 = 𝜔 𝑛 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 )∆𝑡                 (10)
𝑘 1 = 𝑓(𝑡 𝑛 , 𝜃 𝑛 , 𝜔 𝑛 )                                                        (11)
𝑘 2 = 𝑓 (𝑡 𝑛 + ∆𝑡 2 , 𝜃 𝑛 + 𝑘 1 ∆𝑡 2 , 𝜔 𝑛 + 𝑙 1 ∆𝑡 2 )             (12)
𝑘 3 = 𝑓 (𝑡 𝑛 + ∆𝑡 2 , 𝜃 𝑛 + 𝑘 2 ∆𝑡 2 , 𝜔 𝑛 + 𝑙 2 ∆𝑡 2 )             (13)
𝑘 4 = 𝑓(𝑡 𝑛 + ∆𝑡, 𝜃 𝑛 + 𝑘 3 ∆𝑡, 𝜔 𝑛 + 𝑙 3 ∆𝑡)                  (14) 𝑙 1 = 𝑔(𝑡 𝑛 , 𝜃 𝑛 , 𝜔 𝑛 )                                                         (15)
𝑙 2 = 𝑔 (𝑡 𝑛 + ∆𝑡 2 , 𝜃 𝑛 + 𝑘 1 ∆𝑡 2 , 𝜔 𝑛 + 𝑙 1 ∆𝑡 2 )              (16)
𝑙 3 = 𝑔 (𝑡 𝑛 + ∆𝑡 2 , 𝜃 𝑛 + 𝑘 2 ∆𝑡 2 , 𝜔 𝑛 + 𝑙 2 ∆𝑡 2 )              (17)
𝑙 4 = 𝑔(𝑡 𝑛 + ∆𝑡, 𝜃 𝑛 + 𝑘 3 ∆𝑡, 𝜔 𝑛 + 𝑙 3 ∆𝑡)                   (18)
Perhitungan  RK-4  digunakan  untuk  tiga  kasus yang  berbeda.  Pertama,  RK-4  digunakan  untuk menghitung solusi jika hanya suku redaman linier yang  diperhitungkan.  Kedua,  RK-4  digunakan untuk menghitung solusi jika suku redaman linier dan  suku  redaman  kuadrat  yang  diperhitungkan tetapi  redaman  tali  diabaikan.  Kedua,  RK-4 digunakan  untuk  menghitung  solusi  jika  suku redaman linier dan suku redaman kuadrat  beserta redaman tali diperhitungkan.
Hasil  perhitungan  simpangan θ dan  kecepatan sudut ω dengan metode RK-4 akan dibandingkan dengan data percobaan  yang dianalisis dari video menggunaka software Tracker.

## Hasil dan Pembahasan
Pada  penelitian  ini  menggunakan  bandul  dengan diameter 30,0 mm, massa 110,0 gram, panjang tali 33,0 cm. Bandul tersebut mula-mula disimpangkan dengan  sudut  26.2 0 ,  kemudian  gerakan  bandul direkam  menggunakan  kamera smartphone dan video  hasil  rekaman  dianalisis  menggunkan software tracker .  Grafik  simpangan  terhadap waktu dan diagram fase dari bandul tersebut dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2. (a) Grafik simpangan bandul terhadap waktu dan (b)  diagram  fase  bandul  dari  data  percobaan  dengan menggunakan software tracker .
(a)
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 10 No. 2
e -ISSN 2550-0325
Gambar  2(a)  menunjukan  bahwa  bandul  yang bergerak  akan  mengalami  penurunan  amplitudo akibat adanya redaman. Gambar 2(b) menunjukan bahwa  simpangan  dan  kecepatan  mengalami penurunan selama bandul berosilasi.
Data hasil percobaan dengan berbantuan software tracker didekati dengan perhitungan numerik RK- 4 dalam menyelesaikan persamaan 5. Perhitungan RK-4  dilakukan  untuk  tiga  macam  pendekatan yaitu;  menganggap  faktor  redamaan  hanya  dari suku linier, faktor redaman dari suku linier beserta suku kuadrat, dan faktor redaman dari suku linier beserta  suku  kuadrat  dengan  memperhitungkan redaman  tali.  Perbandingan  hasil  percobaan dengan  perhitungan  numerik  RK-4  dapat  dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar  3.  Grafik  simpangan  bandul  terhadap  waktu  dari perhitungan  RK-4  dengan  memperhitungkan;  (a)  redaman suku linier,(b) redaman suku linier beserta suku kuadrat, (c) redaman  suku  linier  beserta  kuadrat  dan  redaman  tali, dibandingkan dengan data percobaan.
Gambar  3  menunjukan  bahwa  perhitungan  RK-4 dan  data  percobaan  akan  semakin  mendekati  jika memperhitungkan  suku  redaman  kuadrat  dan redaman  tali  pada  bandul,  hal  ini  menunjukan bahwa pada gerak bandul nyata dengan amplitudo besar,  faktor  redaman  suku  kuadrat  dan  redaman tali  tidak  bisa  diabaikan.Perbandingan  diagram fase  antara  hasil  perhitungan  RK-4  dengan  data percobaan dapat dilihat pada gambar 4.
Gambar  4.  Diagram  fase  dari  perhitungan  RK-4  dengan memperhitungkan; (a) redaman suku linier, (b) redaman suku linier  beserta  suku  kuadrat,  (c)  redaman  suku  linier  beserta kuadrat  dan  redaman  tali,  dibandingkan  dengan  data percobaan.
(a) (b) (c) (b) (a) (c)
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 10 No. 2
e -ISSN 2550-0325
Gambar  4  menunjukan  bahwa  jika  hanya memperhitungkan suku redaman linier, simpangan dan  kecepatan  sudut  dari  bandul  terlihat  hampir tidak mengalami penurunan dibandingkan dengan hasil  percobaan.  Sedangkan,  hasil  perhitungan RK-4 dan data percobaan akan semakin mendekati jika  memperhitungkan suku redaman kuadrat dan redaman  tali  pada  bandul.  Maka  dengan memperhitungkan  suku  redaman  kuadrat  dan redaman  tali  pada  gerak  bandul  akan  semakin mendekati fenomena nyata.
Grafik nilai error atau nilai perbedaan antara hasil perhitungan  RK-4  dengan  data  percobaan  dapat dilihat pada gambar 5.
Gambar  5.  Error  antara  perhitungan  RK-4  dan  data percobaan (a) simpangan dan (b)kecepatan sudut.
Gambar  5  menunjukan  bahwa  nilai  error  antara hasil  perhitungan  RK-4  dengan  data  percobaan (data simpangan dan kecepatan sudut) mengalami kenaikan terhadap waktu. Kenaikan error perhitungan RK-4
dengan hanya memperhitungkan suku redaman linier lebih besar
dibandingkan  dengan  memperhitungkan  suku redaman  kuadrat  dan  redaman  tali.  Hal  ini menujukan bahwa dengan memperhitungkan suku redaman  kuadrat  dan  redaman  tali  pada perhitungan  gerak  bandul  akan  mendekati fenomena nyata. Tetapi, walaupun sudah memperhitungkan  suku  redaman  kuadrat  dan redaman  tali,  nilai  error  semakin  membesar terhadap  waktu,  hal  ini  disebabkan  masih  ada faktor lain yang diabaikan seperti gesekan tali pada poros  rotasi  dan  gerak  berputar  (rotasi)  bola bandul.
Rata-rata  error  perhitungan  RK-4  dengan  data percobaan dapat dilihat pada tabel 1.
Tabel 1. Rata-rata nilai error antara perhitungan RK-4 dan data percobaan.
Perhitungan RK-4 dengan : Rata-rata nilai Error θ (rad) ω (rad/s) Suku redaman linier 0.058 0.303 Suku redaman linier +kuadrat 0.041 0.212 Suku redaman linier +kuadrat + redaman tali 0.032 0.161
Tabel  1  menunjukan  bahwa  rata-rata  nilai  error perhitungan  RK-4  terhadap  data  percobaan semakin  berkurang  jika  memperhitungkan  suku redaman  kuadrat  dan  redaman  tali,  hal  ini menunjukan  bahwa  dengan  memperhitungkan suku redaman kuadrat dan redaman tali pada gerak bandul  akan  semakin  dekat  dengan  fenomena nyata.  Tetapi,  walaupun  sudah  memperhitungkan suku  redaman  kuadrat  dan  redaman  tali,  rata-rata nilai error masih ada sebesar 0.032 rad (1.8 0 ) untuk simpangan  dan  0.161  rad/s  (9.2 0 /s)  untuk kecepatan sudut. Jika memperhitungkan faktor lain yang  diabaikan  seperti  gesekan  tali  pada  poros rotasi  dan  gerak  berputar  (rotasi)  bola  bandul, diharapakan  mendapakan  nilai  error  yang  lebih kecil.
Berdasarkan  seluruh  hasil  dari  perhitungan  RK-4 dan  dibandingkan  dengan  data  percobaan  dapat menunjukan  bahwa  perhitungan  suku  redaman kuadrat dan redaman tali dalam menganalisis gerak osilasi  bandul  dengan  simpangan  sudut  besar sangat penting dilakukan, supaya hasil perhitungan mendekati  fenomena  nyata.  Hal  ini  berdasarkan teori bahwa semakin cepat benda bergerak dalam fluida  maka  faktor  gesekan  akan  semakin
(a)
(b)
Jurnal Pendidikan Fisika Vol. 10 No. 2
e -ISSN 2550-0325
mempengaruhi gerak benda tersebut (Kundu et.al , 2015). Bandul dengan sudut simpangan awal besar akan memilik kecepatan lebih besar dibandindingan  dengan  sudut  simpangan  awal yang kecil sehingga harus memperhitungan faktor redaman kuadrat dan redaman pada tali.

## Kesimpulan
Pemodelan  gerak  osilasi  bandul  nyata  dengan mempertimbangkan  redaman  linier,  redaman kuadrat  dan  redaman  tali  lebih  mendekati fenomena  nyata  jika  dibandingkan  dengan  hanya memperhitungkan  redaman  linier  saja  atau  hanya memperhitungkan redaman linier beserta redaman kuadrat saja.
Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk faktor lain yang diabaikan seperti gesekan tali pada poros rotasi dan gerak beputarnya bola bandul.

## Referensi
Albalawi, W., Salas, A. H., El-Tantawy, S. A., & Youssef, A. A. A. R. (2021). Approximate analytical  and  numerical  solutions  to  the damped  pendulum  oscillator:  Newton–
Raphson
and moving
boundary methods. Journal of Taibah University for
Science , 15 (1), 479-485. https://doi.org/10.1080/16583655.2021.19
89739
Ganiev,  R.  F.,  Ganiev,  S.  R.,  Kasilov,  V.  P.,  & Pustovgar,  A.  P.  (2015). Wave  technology in  mechanical  engineering:  industrial applications  of  wave  and  oscillation phenomena . John Wiley & Sons.
Hafez, Y. (2022). Solving the nonlinear pendulum equation with friction and drag forces using the Finite Element Method. The Romanian Journal  of  Technical  Sciences.  Applied Mechanics. , 67 (2),  145-145. http://rjts- applied-
mechanics.ro/index.php/rjts/article/view/3
44
Hauko,  R.,  &  Repnik,  R.  (2019).  Damped harmonic  oscillation:  Linear  or  quadratic drag
force?. American
Journal of
Physics , 87 (11), 910-914. https://doi.org/10.1119/1.5124978 Hernández,  A.  G.  (2019,  August).  Using  a  large amplitude  pendulum  in  a  learning  cycle strategy. In Journal of Physics: Conference
Series (Vol.  1286, No. 1, p. 012036).  IOP Publishing. https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1286/1/012036
Kundu,  P.  K.,  Cohen,  I.  M.,  &  Dowling,  D.  R.
(2015). Fluid mechanics . Academic press. Li, D., Liu, L., & Zhou, S. (2020). Exploration of large  pendulum  oscillations  and  damping using a smartphone. The Physics
Teacher , 58 (9), 634-636.
https://doi.org/10.1119/10.0002729
Lupi,  F.,  Niemann,  H.  J.,  &  Höffer,  R.  (2018).
Aerodynamic  damping  model  in  vortex- induced  vibrations  for  wind  engineering applications. Journal of Wind Engineering and  Industrial  Aerodynamics , 174 ,  281-
295.
https://doi.org/10.1016/j.jweia.2018.01.00
6
Rizki, I. A., Citra, N. F., Saphira, H. V., Setyarsih, W., & Putri, N. P. (2021). Eksperimen dan Respon  Mahasiswa  Terhadap  Praktikum Fisika  Non-Laboratorium  Menggunakan Aplikasi  Tracker  Video  Analysis  Untuk Percobaan  Kinematika  Gerak. Journal  of Teaching  and  Learning  Physics , 6 (2),  77- 89.
https://doi.org/10.15575/jotalp.v6i2.12640 Sawkmie,  I.  S.,  &  Mahato,  M.  C.  (2019).  Free oscillations of a damped simple pendulum: An  analog  simulation  experiment. The Physics Educator , 1 (04), 1950015(1)- 1950015(10). https://doi.org/10.1142/S266 133951950015X