_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.

## MODEL MANGSA PEMANGSA ANTARA PHYTOPLANKTON DAN ZOOPLANKTON DIMANA PHYTOPLANKTON BERADA DI LINGKUNGAN YANG BERACUN PADA EKOSISTEM LAUTAN
Fahrudin Muhtarulloh 1 , Fuad Nasir 2 , dan Herri Sulaiman 3 1,2,3 Universitas Swadaya Gunung Jati (UGJ) Cirebon email: herrimsc@gmail.com

## ABSTRAK
Penulisan  artikel  ini  berawal  dari  permasalahan  populasi phytoplankton terinfeksi  yang  hidup bersama  dengan  populasi zooplankton dalam  suatu  lingkungan  yang  beracun  pada  ekosistem lautan. Perbedaan artikel ini dengan penelitian yang sudah dilakukan yaitu objek penelitian yang dikaji  adalah phytoplankton dan zooplankton yang  memiliki  karakteristik  berbeda  dengan mikroorganisme  lain  sehingga  variabel  dari  model  matematika  yang  dikonstruksi  berbeda  pula. Selain itu langkah-langkah pembuktian teorema dan lemma terkait solusi dari sistem model yang telah dibuat memiliki perbedaan dengan penelitian lain yang telah dilakukan. Tujuan dari artikel ini adalah mengetahui punah atau tidaknya masing-masing populasi tersebut dan hilang atau tidaknya konsentrasi racun dalam jangka waktu yang lama. Pada artikel ini, metode penelitian dimulai dari mengkonstruksi  satu  model,  yaitu  model  mangsa  pemangsa  dengan phytoplankton terinfeksi  di lingkungan  yang  beracun.  Setelah  itu  mencari  titik  ekuilibrium  dari  model  yang  telah  dibentuk, melakukan  linearisasi  pada  model  yang  telah  dibentuk,  menentukan  nilai  eigen  dari  matriks Jacobian  untuk  menganalisa  sifat  kestabilan  lokal  masing-masing  titik  ekuilibirium,  menganalisa kestabilan  global  dari  titik  ekuilibrium  yang  dikaitkan  dengan  pembentukan  fungsi  Lyapunov  dan Teorema LaSalle dan  mengidentifikasi  punah  atau  tidaknya  masing-masing  populasi  dan  hilang tidaknya konsentrasi racun pada organisme dan lingkungan. Rekomendasi dari artikel ini sebagai penambah wawasan keilmuan matematika khususnya bidang terapan dengan kajian matematika ekologi  dan  kelautan.  Selain  itu,  artikel  ini  juga  dijadikan  sebagai  dasar  pertimbangan  untuk menghasilkan suatu kebijakan bagi pihak yang berwenang untuk lebih memperhatikan ekosistem di lautan yang terkena racun baik yang dihasilkan dari limbah pabrik ataupun kapal laut.
Kata Kunci: Model  Mangsa  Pemangsa, Phytoplankton dan Zooplankton ,  Titik  Ekuilibrium, Konsentrasi Racun, Punah, Eksis.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.

## PENDAHULUAN
Makhluk  hidup  bersel  satu  dari  jenis plankton dapat  diketahui  bentuk  kompetisinya  dan dinamika  model  mangsa-pemangsa  dari  rantai  makanan phytoplankton dan zooplankton .  Suatu organisme hidup akan selalu membutuhkan organisme lain di lingkungan hidupnya, organisme yang memakan  organisme  lain  dinamakan  predator  atau  pemangsa (zooplankton) ,  sedangkan  yang dimakannya  disebut  mangsa (phytoplankton) (Sumarni,  2011).  Salah  satunya  dapat  diketahui melalui  pertumbuhan  dua  mikroorganisme  di  suatu  media  pertumbuhan  seperti  media  kemostat. Media kemostat merupakan suatu media pertumbuhan yang ditanam dua bakteri untuk berkompetisi mengonsumsi nutrien yang sejenis (Sulaiman, 2017). Hubungan yang terjadi antara individu sangat kompleks  dan  bersifat  saling  mempengaruhi  satu  sama  lain  (timbal  balik).  Hubungan  timbal  balik antara unsur-unsur hayati membentuk sistem ekologi yang disebut ekosistem. Di dalam ekosistem terjadi  rantai  makanan,  aliran  energi  dan  siklus  biogeokimia.  Rantai  makanan  adalah  pengalihan energi  dalam  sumbernya  pada  tumbuhan  melalui  sederetan  organisme  yang  makan  dan  yang dimakan. Fungsi rantai makanan untuk menjaga jumlah makhluk hidup di dalamnya. Jangan sampai jumlah  pemangsa  lebih  banyak  daripada  mangsanya  karena  akan  mengakibatkan  kepunahan makhluk hidup (Lorca & Hetchote, 1991).
Rantai makanan yang terjadi pada ekosistem laut berupa phytoplankton sebagai  produsen primer dianggap sebagai tingkat trofik I, zooplankton pemakan phytoplankton sebagai tingkat trofik II,  karnivor  pemakan zooplankton sebagai  tingkat  trofik  III,  dan  seterusnya.  Proses  pertumbuhan phytoplankton dipengaruhi  oleh  ketersediaan  nutrisi,  sedangkan zooplankton yang  merupakan predator  tingkat  tinggi  yang  pertumbuhannya  dipengaruhi  oleh  ketersediaan phytoplankton . Selanjutnya  dari phytoplankton dan zooplankton akan  terjadi  kematian  secara  alami  yang  akan menjadi decomposer (Dubey & Hussain, 1998). Dekomposer adalah pengurai jasad makhluk hidup yang  telah  mati  (Sumarni,  2011).  Dekomposer  ini  akan  mengurai  bangkai  atau  sisa-sisa  makhluk hidup  menjadi  komponen  yang  lebih  kecil  lagi  agar  dapat  digunakan  kembali  oleh phytoplankton sebagai  sumber  nutrisi  untuk  membuat  makanan.  Peranan  dekomposer  sangat  penting  di  dalam menjaga keseimbangan rantai makanan di laut. Siklus rantai makanan ini dapat dilihat pada Gambar 1.  Siklus  ini  dikenal  sebagai  siklus  NPZD (Nutrient,  Phytoplankton,  Zooplankton,  Detritus) seperti yang ada pada gambar di bawah ini.
Gambar 1. Rantai Makanan Phytoplankton dan Zooplankton (Sumber: Sumarni, 2011)
Lingkungan  yang  berpolusi  merupakan  permasalahan  yang  sangat  seruis  karena  dapat mengancam  kehidupan  makhluk  hidup  di  sekitarnya.  Hal  tersebut  dapat  dilihat  dengan  adanya perkembangan  yang  cukup  cepat  dari  agrikultura  dan  industri  modern,  sejumlah  racun mengontaminasi  suatu  ekosistem  yang  satu  dan  yang  lainnya.  Hal  yang  sangat  penting  untuk dipertanyakan  adalah  musnah  atau  tidaknya  suatu  populasi  pada  lingkungan  yang  berpolusi.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
Oleh karena itu cara penentuan nilai threshold untuk mengetahui punah tidaknya suatu populasi dari interaksi dua spesies atau lebih sehubungan dengan racun pada lingkungan yang berpolusi perlu dipelajari (Purisha, 2011). Dampak dari racun adalah menurunkan laju pertumbuhan suatu spesies. Oleh  karena  itu,  sangatlah  penting  bagi  para  peneliti  untuk  mempelajari  dampak  racun  pada populasi dan punah tidaknya suatu populasi dengan suatu nilai threshold . Suatu spesies tidak akan bertahan hidup sendiri di alam. Spesies tersebut perlu berinteraksi dengan spesies yang lain untuk dapat bertahan hidup. Pada suatu ekologi terdapat interaksi biologi yaitu interaksi dua spesies atau lebih pada ekosistem.
METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan hasil pengembangan dari beberapa penelitian yang berhubungan dengan pemodelan suatu populasi pada lingkungan yang beracun. Pada penulisan artikel ini juga dibahas mengenai penyebaran penyakit pada suatu populasi. Model dinamik suatu populasi dengan adanya  penyebaran  penyakit  dibahas  oleh  Mena-Lorca  dan  Hetchote  (1991).  Dalam  penelitian tersebut dibahas mengenai punah tidaknya populasi tersebut dan terjadi penyebaran penyakit atau tidak. Beberapa penelitian tersebut dikembangkan menjadi pemodelan mangsa pemangsa dengan populasi  mangsa  yang  terinfeksi  di  lingkungan  yang  berpolusi.  Teori-teori  yang  digunakan  pada penelitian  ini  meliputi  kestabilan  lokal  dan  global  dari  titik  ekuilibrium,  linearisasi  dan  penentuan batas-batas dari solusi. Selanjutnya rangkaian penelitian dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Membentuk  model  mangsa  pemangsa  dengan  mangsa  yang  terinfeksi  di  lingkungan  yang beracun. Dalam hal ini phytoplankton sebagai mangsa dan zooplankton sebagai pemangsa.
2. Mencari titik ekuilibrium dari model yang telah dibentuk.
3. Melakukan linearisasi pada model yang telah dibentuk.
4. Menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian untuk menganalisa sifat kestabilan lokal masing- masing titik ekuilibirium.
5. Menganalisa kestabilan global dari titik ekuilibrium yang dikaitkan dengan pembentukan fungsi Lyapunov dan Teorema LaSalle.
6. Mengidentifikasi punah atau tidaknya masing-masing populasi dan hilang tidaknya konsentrasi racun pada organisme dan lingkungan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  sistem  mangsa  pemangsa  antara phytoplankton dan zooplankton yang mana phytoplankton terkena penyakit tidak fatal, namun terdapat konsentrasi racun pada lingkungan populasinya. Populasi phytoplankton dapat menyerap racun dari lingkungan karena  terjadi  laju  kontak  antara  keduanya.  Populasi  yang  berada  di  dalam  ekosistem  juga  tidak padat.  Jumlah  populasi phytoplankton yang  rentan  ditulis  dengan ,  jumlah  populasi phytoplankton yang terinfeksi ditulis dengan
dan jumlah populasi zooplankton ditulis dengan .  Kemudian  diasumsikan  bahwa  laju  rekruitmen  populasi phytoplankton yang  rentan  bernilai konstan dan dinyatakan dengan . Pada kedua populasi phytoplankton tersebut dapat terjadi kontak dengan  laju  sebesar yang  menyebabkan  terjadinya  penularan  penyakit  dari  populasi phytoplankton terinfeksi ke populasi phytoplankton rentan. Jenis penyakit yang menyerang populasi phytoplankton tersebut dapat menyebabkan kematian dengan laju sebesar . Pada sistem, terdapat populasi zooplankton yang  dapat  memangsa  populasi phytoplankton yang  rentan  maupun  yang terinfeksi. Populasi phytoplankton yang terinfeksi tidak akan menyebabkan kematian bagi populasi zooplankton sehingga penurunan  populasi zooplankton hanya  bergantung  pada  kematian  alami dengan laju sebesar . Pemangsaan yang dilakukan oleh populasi zooplankton terhadap populasi phytoplankton menyebabkan pertumbuhan populasi zooplankton semakin tinggi. Pemangsaan oleh
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
populasi zooplankton menyebabkan penurunan populasi phytoplankton yang  rentan  dan  terinfeksi denngan  laju  berturut-turut  sebesar dan .  Penurunan  pada  populasi phytoplankton yang rentan  juga  dikarenakan  kematian  alami  dengan  laju  sebesar .  Kematian  alami  tersebut merupakan  kematian  yang  bukan  karena  penyakit.  Pada  populasi phytoplankton yang  terinfeksi, selain penurunan karena pemangsaan dan penyakit, kematian alami juga menyebabkan penurunan dengan  laju  sebesar .  Jumlah  laju  kematian  alami  dan  laju  kematian  karena  penyakit  pada populasi phytoplankton yang  terinfeksi  dinyatakan  dengan .  Semua  parameter bernilai positif. Konsentrasi racun pada populasi phytoplankton yang rentan dan terinfeksi dinyatakan dengan .  Selain  konsentrasi  racun  pada  populasi phytoplankton tersebut,  terdapat  juga konsentrasi  racun  pada  lingkungan  yang  dinyatakan  dengan
.  Adanya  racun  tersebut menyebabkan  penurunan  jumlah  populasi phytoplankton yang  rentan  dan  terinfeksi  dengan  laju berturu-turut  sebesar dan . Adanya  konsentrasi  racun  tidak  menyebabkan  penurunan  jumlah populasi zooplankton.
Kenaikan atau pemasukan konsentrasi racun pada lingkungan bernilai konstan yaitu dengan laju sebesar . Penurunan konsentrasi racun pada lingkungan diserap oleh populasi phytoplankton dengan laju sebesar dan konsentrasi racun pada lingkungan yang hilang secara alami dengan laju sebesar . Konsentrasi racun yang hilang secara alami adalah hilangnya konsentrasi racun yang bukan karena diserap oleh populasi phytoplankton . Konsentrasi racun pada lingkungan yang diserap oleh  populasi phytoplankton menyebabkan  konsentrasi  racun  pada  populasi phytoplankton meningkat.  Laju  hilangnya  racun  secara  alami  ditulis  dengan ,  menyebabkan  penurunan konsentrasi racun pada populasi phytoplankton rentan maupun terinfeksi. Hilangnya racun secara alami pada populasi phytoplankton maupun terinfeksi disebabkan adanya sistem kekebalan tubuh masing-masing organisme pada populasi yang dapat menghilangkan atau menetralisir racun.
Untuk mempermudah dalam membentuk model dari sistem dengan asumsi-asumsi tersebut, berikut ini diberikan diagram transfer dari sistem permasalahan tersebut.
Gambar 2. Diagram Transfer dari Model Mangsa Pemangsa antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di lingkungan yang Beracun
Dari  Gambar  2  terlihat  diagram  transfer  dari  model  mangsa  pemangsa  antara phytoplankton dan zooplankton dimana phytoplankton berada  di  lingkungan  yang  beracun.  Pada  awalnya  terdapat populasi phytoplankton yang rentan dan terinfeksi . Konsentrasi racun pada lingkungan akan mengenai phytoplankton yang rentan dan terinfeksi dengan kenaikan laju sebesar .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
Namun konsentrasi racun ini tidak akan menyebabkan kematian bagi populasi zooplankton sehingga penurunan populasi zooplankton hanya bergantung pada kematian alami dengan laju sebesar . Selain  itu  konsentrasi  racun  di  lingkungan  ekosistem  lautan  juga  mengancam  kelestarian phytoplankton sebesar . Berdasarkan  asumsi-asumsi  dan  diagram  transfer  yang  telah  dibentuk,  didapat  model matematika sebagai berikut.
,
,
,
,
(1)
Diberikan kondisi awal sebagai berikut :
,
,
, , .
Dari penjelasan di atas, telah diketahui hasil penelitian yaitu diagram transfer dan model matematika mangsa  pemangsa  antara phytoplankton dan zooplankton dimana phytoplankton berada  di lingkungan  yang  beracun.  Lebih  lanjut  dari  model  yang  telah  dibuat  akan  dianalisis  dan  dibahas solusi  pembuktian  yang  akan  dijabarkan  dalam  bentuk  teorema  dan  lemma.  Berikut  ini  diberikan lemma yang membahas bahwa saat menuju tak hingga, solusi sistem (1) akan berada di dalam , dengan { |
} .
Lemma 1 (Luenberger, 1979)
Pada saat
, semua solusi dari sistem (1) akan berada pada :
{ | } , dengan : , , , , , , . Bukti : Diambil . Kemudian dari Sistem, (1) didapat : ̇ ̇ ̇        ̇ . Jadi : ̇ . (2) Jika { } , maka pertidaksamaan (2) menjadi : ̇ .
Selanjutnya diberikan sebagai solusi dari persamaan diferensial berikut:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
̇ , sehingga  didapat .  Fungsi kontinu dan memenuhi kondisi Lipschitz secara lokal. Maka berlaku . Untuk didapat : , dengan: atau .  Untuk penjabaran dan analog seperti penjabaran pada fungsi .Dari persamaan (1)  didapat ,  sehingga  untuk didapat: dengan .  Diperhatikan  persamaan  (1) .  Sehingga  menjadi .  Sehingga  untuk didapat: atau dengan .  Dari persamaan  (1)  didapat maka  untuk didapat: atau dengan .  Dengan  cara  analog  untuk didapat: , , dan . Jadi terbukti bahwa pada saat , semua solusi dari sistem (1) akan
berada pada:
{
| } .
Berikut  akan  dicari  titik-titik  ekuilibrium  sistem  (1).  Titik-titik  ekuilibrium  memenuhi  persamaan- persamaan berikut :
,
, , , (2) Dari  persamaan  (2)  didapat atau .  Dari  persamaan  (2)  juga didapat atau . 1. Jika dan
maka  didapat  titik  ekulibrium ̅̅̅ ( ) .
2. Jika dan maka  didapat  titik  ekulibrium ̅̅̅ ( ̅ ̅ ̅) dengan
̅ ( ) √( )
.
3. Jika
dan maka didapat titik ekuilibrium ̅̅̅ ( ̅̅̅ ̅ ) .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
4. Jika
maka  didapat  titik  ekuilibrium ̅̅̅ ( ̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂) dengan ̂ √ dan ̂ ̂ ̂ .
Dimisalkan:
̃
, ̃ , ̃ ̃ ̃ , ̃ ̃ ̃
̃ ( ̃ ̃ ) ̃ ̃ , ̃          ̃ ̃ ̃ ̃
̃
̃ ̃ , ̃           ̃ ̃ ̃ .
Teorema 2 :
Jika ̃ ̃ , ̃ , | ̃ ̃ ̃ | dan | ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ | ,  maka  titik  ekuilibrium
̅̅̅ (
) stabila asimtotik lokal. Teorema 3 : Jika ̅ ̅ , ̅ ̅ dan | ̅ ̅ ̅ | ,  maka  titik  ekuilibrium
̅̅̅ ( ̅ ̅ ̅) stabil asimtotik lokal dengan ̅ ( ) √( ) .
Teorema 4 :
Jika , | | , dan | | maka titik ekuilibrium ̅̅̅ ( ̅̅̅ ̅ ) stabil asimtotik lokal.
Teorema 5 : Jika ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ dan ̂ ,  maka  titik ekuilibrium ̅̅̅ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂) stabil  asimtotik  global  dengan
̂ ̂ (
) ⁄ ̂ , ̂   ( ̂ ̂ ) ( ( )) ⁄
̂ ̂ (( ) ⁄ ̂) , ̂ ( ) , dan ̂   ̂ ̂ ̂ diberikan pada pembuktian.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
Berdasarkan Teorema 5 , jika:
1. Laju  rekruitmen  populasi phytoplankton kurang  dari ̂ ,  laju  pemangsaan zooplankton pada populasi yang rentan kurang dari ̂ , laju pemangsaan zooplankton pada populasi yang rentan kurang dari ̂ , laju penurunan konsentrasi racun pada lingkungan yang diserap oleh populasi phytoplankton kurang dari ̂ , laju penurunan jumlah populasi phytoplankton yang rentan akibat racun kurang dari ̂ , laju penurunan jumlah populasi phytoplankton yang rentan akibat racun kurang dari ̂ , laju kenaikan atau pemasukan konsentrasi racun pada lingkungan kurang dari ̂ dan laju hilangnya racun secara alami lebih besar dari ̂ ,
2. Pada  awal  waktu,  berapapun  jumlah  populasi phytoplankton rentan,  jumlah  populasi phytoplankton terinfeksi,  jumlah  populasi zooplankton ,  jumlah  konsentrasi  racun  pada lingkungan, dan jumlah konsentrasi racun pada populasi maka untuk waktu yang cukup lama, jumlah  populasi phytoplankton rentan  mendekati ̂ ,  jumlah  populasi phytoplankton terinfeksi  mendekati ̂ ,  jumlah  populasi  zooplankton  mendekati ̂ ̂
,  jumlah konsentrasi racun pada lingkungan mendekati
̂ ̂ ̂ .

## KESIMPULAN
Diberikan model mangsa pemangsa phytoplankton dan zooplankton dengan phytoplankton terinfeksi di lingkungan yang beracun pada ekosistem lautan sebagai berikut. Jika semua parameter memenuhi  kondisi  tertentu  untuk  menjamin  eksistensi  dari ̅̅̅ (
) , ̅̅̅ ( ̅ ̅ ̅) , ̅̅̅ ( ̅̅̅ ̅ ) dan semua parameter memenuhi semua kondisi tertentu sehubungan dengan kriteria Routh Hurwitz , maka titik ekuilibrium tersebut stabil asimtotik lokal.
Kemudian  jika , , , ̂ , ̂ , ̂ ,
̂ , ̂ , ̂ , ̂ dan ̂ ,  maka  titik  ekuilibrium ̅̅̅ ( ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂) stabil asimtotik global.

## REKOMENDASI
Pada  masing-masing  sistem (1) dan (2) ,  penulis  hanya  menyelidiki  kestabilan  global  dari satu titik ekuilibrium. Untuk titik ekuilibrium yang lain, kestabilan hanya diselidiki di sekitar ekuilibrium atau kestabilan lokal. Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menyelidiki kestabilan global dari titik ekuilibrium tersebut.

## TERIMA KASIH
Artikel  dari  penelitian  ini  terselanggara  atas  dukungan  dari  dana  hibah  internal  Lembaga Penelitian (Lemlit) Universitas Swadaya Gunung Jati (UGJ) untuk anggaran tahun 2018-2019. Kami berterimakasih  sedalam-dalamnya  atas  dukungan  selama  ini  dan  juga  dukungan  pihak  lain  yang tidak dapat disebutkan satu-persatu.

## DAFTAR PUSTAKA
Dubey, B. dan Hussain, J,. (1998). Modelling the Intercation Of Two Biological Species in a Polluted Environment. Journal Of Mathematical Analysis and Application. Vol. 246 No 1:  58-79.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.
Luenberger, D.C. (1979). Intruduction to Dynamic Systems . John Willey and Sons, Inc United States.
Mena-Lorca, J. dan Hethcote, W. (1991). Dynamic Models of Infectious Diseases as Regulators of Population Sizes. J-math Biol.Vol. 30 No 7: 693-716.
Sulaiman,  H.  (2017).  Analisis  Stabilitas  Sistem  Dinamik  Untuk  Model  Pertumbuhan  Dua Mikroorganisme di Medium Kemostat. Jurnal Euclid. Vol 3 No.1: 447.
Sumarni.  (2011). Analisis  Kestabilan  Model  Kompetisi  dua  Fitoplankton  Dalam  Suatu  Rantai Makanan Pada Ekosisistem Laut . Tesis. UNHAS Makassar: Tidak dipublikasikan.
Purisha,  Z.  (2011). Model  Mangsa Pemangsa dengan  Mangsa  Terinfeksi  di  Lingkungan Beracun . Tesis. UGM Yogyakarta: Tidak dipublikasikan.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dikirim: 5 Februari 2019; Direvisi: 22 Maret 2019; Diterima: 26 Maret 2019 Cara  sitasi:  Muhtarulloh,  F.,  Nasir,  F.,  dan  Sulaiman,  H.  2019.  Model  Mangsa  Pemangsa  antara Phytoplankton dan Zooplankton dimana Phytoplankton Berada di Lingkungan yang Beracun pada Ekosistem Lautan. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 31-40, Maret 2019.