## ARGUMENTASITASI MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU PADA SUATU KONJEKTUR MATEMATIKA
Sukirwan
Pendidikan Matematika FKIP Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
skbtn309528@yahoo.com

## ABSTRACT
Mathematical  argument  is  a  capability  that  is  associated  with  reasoning  and  mathematical  proof. Mathematical  arguments  characterizing  the  quality  of  mathematical  reasoning,  how  to  explore  and communicate  mathematical  reasoning.  Arguments  set  of  the  student's  ability  to  give  reasons  for  a mathematical  reasoning,  and  construct  mathematical  proof  according  with  the  stages  of  abstraction student achievement. In this context, proof is seen as a process and human activities are not only rely on formal deduction system. Achievement of students at a level of abstraction is the interpretation given to the mathematical representation.

## Keywords: mathematical arguments, mathematical proof, mathematical reasoning

## ABSTRAK
Argumentasi  matematis  merupakan  kemampuan  yang  sangat  terkait  dengan  penalaran  dan  bukti matematis.  Argumentasi  matematis  mencirikan  kualitas  penalaran  matematis,  bagaimana  mengeksplorasi dan  mengkomunikasikan  penalaran  matematis.  Argumentasi  berangkat  dari  kemamp uan  siswa  dalam memberikan  alasan  terhadap  suatu  penalaran  matematis,  dan  mengkonstruksi  bukti  matematis  sesuai dengan tahapan pencapaian abstraksi siswa. Dalam konteks ini, bukti dipandang sebagai suatu proses dan aktivitas manusia ( human activity ) yang tidak hanya bertumpu pada sistem deduksi formal. Capaian siswa pada suatu level abstraksi merupakan interpretasi terhadap representasi matematis yang diberikan.
Kata  kunci: argumentasi  matematis,  bukti matematis,  penalaran  matematis

## A. PENDAHULUAN
Pembelajaran  pembuktian  merupakan kegiatan  yang  sangat  penting  dalam pembelajaran  matematika.  Pembelajaran ini begitu identik dengan kemampuan
penalaran matematik siswa yang merupakan salah  satu  tujuan  dari  matematika  di sekolah.  Seperti  yang  tercantum  dalam permendiknas No. 22 tahun 2006 (Depdiknas,  2006)  bahwa  salah  tujuan matematika  disekolah  diarahkan agar siswa mampu  m enggunakan  penalaran  pada  pola dan sifat, melakukan manipulasi
matematika dalam  membuat  generalisasi, menyusun  bukti,  atau  menjelaskan  gagasan dan  pernyataan  matematika.  Begitu  juga dalam  kurikulum  2013,  walaupun  tidak dinyatakan  secara  eksplisit,  tetapi  tuntutan pendekatan saintifik  seperti  mengurai, menyaji, dan merangkai menyiratkan
bahwa  siswa  harus  mampu berargumentasi dan menyusun bukti  matematik.
Kendatipun begitu, kemampuan siswa  dalam  menyusun  bukti  matematik selalu banyak mengalami kendala. Hal yang nampaknya masuk akal mengingat pembuktian  ini  memerlukan  penalaran matematik tingkat tinggi terutama pada saat siswa  diminta  untuk  menyusun argumentasi secara  logis.  Selain  itu  pembuktian  dalam matematika biasanya mengacu pada algoritma  yang  sifatnya  kaku  bersumber pada  teorema  tertentu  ataupun  pada aksioma  atau  postulat yang telah dibuktikan sebelumnya.  Pandangan  seperti  inilah  yang kemudian menjadikan pembelajaran
pembuktian  tidak  disukai  oleh  siswa  dan banyak  diabaikan  oleh  guru,  baik  di Indonesia  maupun  di  negara-negara  yang sudah maju.
Meskipun pembuktian matematik secara  formal  telah  mempengaruhi  para matematikawan dan memajukan pemahaman  komunitas  matematika,  namun tidak sedikit para ahli  pembelajaran matematika  seperti  Freudenthal,  Lakatos, Schoenfeld  dan  Tall  (Liu,  2013:3)  yang mengkritik kekakuan bukti matematik dalam  konteks  formal.  Para  sarjana  ini melihat  dampak  kekakuan  bukti  matematik pada  bidang  pendidikan bahwa bukti formal yang  mengacu  pada  prinsip  deduktif  hanya cocok  untuk  kalangan  tertentu.  Padahal belajar  pembuktian  tidak  hanya  terbatas pada  verifikasi  dan  sistematika  bukti,  tetapi pembuktian  dapat  dijadikan  sebagai  bahan untuk komunikasi dan tantangan intelektual.  Seperti  yang  diungkapkan  de Villiers  (Liu,  2013:4)  yang  menawarkan kerangka  kerja  untuk  menggambarkan enam fungsi pembuktian dalam matematika,  yaitu:  verifikasi,  penjelasan, sistematisasi,  penemuan,  komunikasi  dan tantangan intelektual. Mencermati kekakuan dan pentingnya pembelajaran pembuktian, beberapa ahli seperti Balacheff (1988); Bell (1976)  dan  Harel  &  Sowder  (1998) termasuk van Hiele (1986) telah mengusulkan  apa  yang  mereka  sebut taksonomi  skema  bukti  yang  menjelaskan bahwa kecenderungan siswa dalam menguraikan  (memberikan  argumentasi) pada suatu pembuktian sangat beragam dan dapat  dibuat  menjadi  level-level  tertentu (Liu,  2013).  Balacheff  (1988)  membagi skema  bukti  menjadi  4  level,  yaitu naive empiricism,  the  crucial  experiment,  the generic example, dan the  thought experiment .  Bell  (1976)  membagi  skema bukti  menjadi  2  bagian,  yaitu: empirical dan deductive . Sedangkan Harel & Sowder (1998)  membagi  skema  bukti  menjadi  tiga bagian,  yaitu: external,  empirical dan analytical . van Hiele (1986) secara khusus membuat  skema  bukti  berdasarkan  pada pembelajaran geometri mencakup taksonomi: visual,  analytic,  informal deductive, formal deductive, dan rigor.
Kendatipun para ahli  ini  telah berhasil  membuat  skema  pembuktian  yang secara  empiris  muncul  dari  beragam kemampuan  siswa,  namun  hal  yang  tak kalah  penting  adalah  bagaimana  siswa dapat memunculkan argumentasi- argumentasi  tersebut.  Hal  yang  menjadi menarik adalah bagaimana siswa memverifikasi argumentasi-argumentasi
yang  ia  berikan.  Patut  diduga  bahwa kecenderungan  siswa  pada  level  tertentu akan  berubah  seiring dengan bertambahnya pengetahuan yang ia peroleh termasuk pada saat ia dapat memilih argumentasi lain yang menurutnya  lebih  logis.  Liu  (2013)  sendiri telah  membuktikan bahwa siswa cenderung tidak dapat
mempertahankan argumentasinya  manakala  ia  memperoleh argumentasi  lain  yang  menurutnya  lebih benar.  Selain  itu,  kecenderungan  siswa dalam  pembuktian  lebih  suka  pada  cara- cara aljabar.  Bergqvist  (2005)  telah membuktinya  dengan  mengkaji  bagaimana siswa  melakukan  verifikasi  terhadap  suatu konjektur.
Ia menemukan bahwa kebanyakan  siswa  lebih  suka  bekerja  pada aljabar.  Padahal  berdasarkan  taksonomi skema bukti dari Balacheff (1988) pengerjaan dengan cara aljabar ini termasuk kategori  penalaran  matematis  tingkat  tinggi yang notabene dianggap oleh siswa sebagai kategori yang sulit.
Hasil  penelitian  kedua  praktisi  inilah yang  kemudian  mengilhami  penulis  untuk mencoba  menyelidiki  bagaimana  seseorang melakukan verifikasi terhadap suatu konjektur.  Penyelidikan  dilakukan  melalui tes dan wawancara pada seorang mahasiswa jurusan  pendidikan  matematika  semester  2. Materi  dipilih  berkaitan  dengan  fungsi kuadrat.  Penulis  menganggap  materi  ini telah  dikuasasi  oleh  responden  mengingat responden  sebelumnya  telah  mengenal materi  ini  saat  belajar  kalkulus  dan  saat  ia duduk di bangku SMA.
Agar  hasil  dari  penyelidikan  ini terarah,
pertanyaan-pertanyaan penyelidikan  diajukan  sebagai berikut.
1. Pada level manakah responden memberikan  argumentasi  pada  suatu

## Sukirwan
konjektur berdasarkan taksonomi skema bukti dari Balacheff? 2. Apakah responden akan mempertahankan  argumentasinya  pada saat  ditunjukkan  argumentasi  yang lain? 3. Berdasarkan  pada  taksonomi  skema bukti  dari  Balacheff,  cara  mananakah yang lebih disukai responden?

## B. METODE PENELITIAN
Metode yang dipilih dalam penyelidikan  ini adalah tes dan wawancara. Kedua  metode  ini  dapat  dijelaskan  sebagai berikut.
1. Tes
Tes dilakukan untuk melihat sejauhmana responden memberikan argumentasi pada suatu konjektur
matematika.  Responden  dipilih  seorang mahasiswa  Jurusan Pendidikan Matematika semester  2.  Dalam  tes  ini,  responden diminta  untuk  menjawab  sebuah  konjektur berkenaan  dengan  materi  fungsi  kuadrat. Konjektur  diambil  dari  penelitian  Bergqvist (2005)  yang  telah  diujikan  dan  dibuat taksonomi  skema  buktinya  berdasarkan pada  Balacheff.  Responden  kemudian diberi  waktu  sekitar  20  menit  untuk menjawab  soal.  Agar  tidak  terjadi  persepsi yang salah mengenai soal, peneliti
sebelumnya memberikan penjelasan
maksud  dari  soal  tersebut  tanpa  memberi arahan pada jawaban.
Berikut  konjektur  yang  digunakan dalam penyelidikan  ini:
Jika  grafik  fungsi  kuadrat  memotong sumbu-x  di  dua  titik,  maka  ada  sebuah titik di antara kedua titik potong tersebut sedemikian sehingga  garis singgung pada kurva berbentuk horizontal
Sedangkan  hasil  penelitian  Bergqvist (2005)  pada  tiap  level  skema  bukti Balacheff adalah sebagai berikut.
Level 1 :   Saya  gambar  grafik 3 2   x y . Saya  langsung  mengerti  bahwa saya  bisa  menggambar  sebuah garis  singung  horizontal  pada kurva. Saya juga bisa melakukannya  terhadap  grafik
2 2    x y .
Level 2: Jika anda melihat kurva x x y 0001 , 0 2   ,  anda  bisa mengerti bahwa grafik memotong  sumbu- x di  dua  titik yang sangat berdekatan sehingga menyebabkan garis singgung hampir horizontal di  antara kedua perpotongannya.  Saya akan  memeriksa.  Tidak,  jika saya  memperbesar  perpotongan, maka  saya  bisa  mengerti  bahwa konjektur  itu  benar  untuk  fungsi ini. Hal tersebut bisa menunjukkan kemungkinan benar untuk semua fungsi kuadrat. Level 3 :   Fungsi kuadrat c bx ax y    2 memiliki
sebuah  garis  singgung  horizontal
untuk a b x 2   .  Fungsi  tersebut memotong  sumbu- x di  kedua sisi  pada  titik  ini  pada  saat 0  y .  Fungsi  kuadrat  memiliki penyelesaian x=-
a c a b a b         2 2 2 .  Dengan
demikian  konjektur  itu benar.
Level 4: Fungsi  kuadrat  yang  memotong sumbu-x memiliki turunan positif dalam salah satu perpotongan  dan  hasil  negatif pada perpotongan lainnya. Karena  turunan  dari  fungsi tersebut  adalah  kontinyu,  hal  itu akan  mengasumsikan  nilai  nol diantara perpotongan.
2. Wawancara Wawancara dilaksanakan setelah tes.
Tujuan  dari  wawancara  ini  adalah  untuk menggali  sejauhmana responden melakukan

## Argumentasi  Matematis  Mahasiswa  Calon  Guru  Matematika
verifikasi terhadap argumentasi yang diberikan.  Wawancara  dilakukan  secara mendalam  untuk  menggali  hal-hal  yang tidak  terduga  dan  muncul  dari  persepsi responden. Kendatipun begitu,  semua materi  dalam  wawancara  diarahkan  untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan penyelidikan  yang  diajukan.  Hasil  dari wawancara  ini  kemudian  ditranskip  melalui dialog,  seperti  yang  ditunjukkan  pada  hasil penyelidikan di bawah.

## C. HASIL  DAN PEMBAHASAN
Tes  dan  wawancara  dilaksanakan secara  serempak  pada  hari  Minggu,  1  Juni 2014  pukul  06.00.  Kegiatan  diawali dengan tes  sekitar  20  menit,  kemudian  dilanjutkan dengan  wawancara.  Hasil  tes  ditampilkan pada gambar di bawah ini.

## Gambar  1. Hasil Tes Konjektur
Gambar  di  atas  menunjukkan  bahwa responden memberikan argumentasi tentang bukti dari konjektur dengan cara merepresentasikannya melalui gambar.
Penjelasan  gambar  dimulai  dari  gambar yang  letaknya  dibagian  kanan  atas.  Ia membuat  sebuah  titik  yang  dekat  dengan titik  potong  parabola  sebelah  kanan  lalu menggambar  garis  singgung  pada  titik  itu. Gambar  berlanjut  pada  sebelah  kiri  atas. Pada gambar kedua ini, responden menggeser  titik  ke  sebelah  kiri,  lalu menggambar  sebuah  garis  singgung  pada titik  itu.  Gambar  selanjutnya  berada  di sebelah  kiri  bawah.  Ia  menggambar  titik
pada  kurva  yang  dekat  ke  titik  puncak, kemudian menggambar garis singgung pada titik  itu.  Pada  gambar  keempat,  ia gambarkan  titik  pada  puncak  parabola. Selanjutnya  ia  menggambar garis horizontal pada  titik  itu.  Sebagai  kesimpulan  dari uraiannya, ia menyatakan bahwa “pernyataan  tersebut  benar  dengan catatan titik  di  antara  kedua  titik  potong  berada pada titik  puncak”.
Sedangkan, petikan dari hasil wawancara  ditampilkan  sebagai  berikut  (P menunjukkan  peneliti,  dan  R  menunjukkan responden)
P  :  Apakah Anda paham dengan soal tersebut?
R  :  Gak  tahu,  susah...  Kayaknya  soal  tersebut  tidak  mungkin,  salah  ya...  ( sambil memandang ke Peneliti )
P  :  Terserah Anda? Yang penting alasannya ditulis?
R  :  Tapi...  sebentar,  saya  tahu...  ( ia  kemudian  mengambil  soal  dan  mulai mengerjakan )
Responden  kemudian  mengerjakan  soal  tersebut,  kira -kira 20 menit. Setelah itu kemudian berlanjut dengan wawancara.
P  :  Bagaimana menurut Anda?
R  :  Susah, saya tidak yakin dengan jawaban saya.
P  :  Kenapa jawabannya seperti itu? Bisa dijelaskan
R  :  Karena  memotong  di  dua titik, saya gambarkan seperti ini? ( sambil menunjuk pada gambar )
P  :  Lalu...
R  :  Jika titiknya  di sini  ( sambil menunjuk gambar sebelah kana atas? ) maka garis singgungnya  akan  seperti  ini.  Jika  titiknya  di  sini  ( sambil  menunjuk  gambar sebelah  kiri  atas ),  garis  singgungnya  akan  seperti  ini.  Jika  titiknya  di  sini
( sambil menunjuk gambar sebelah kiri bawah ), garis singgungnya seperti ini.
Jika  titiknya  di  sini (sambil  menunjuk  titik  puncak  parabola  pada  gambar sebelah kanan bawah ) garis singgungnya seperti ini.
P  :  Jadi, kesimpulannya...
R  :  Pernyataan itu benar, tapi dengan syarat...
P  :  Apa syaratnya?
R  :  Titiknya  ada di  puncak ini  ( sambil menunjuk puncak salah satu parabola yang ia gambar ), makanya saya tulis pernyataan seperti itu... ( sambil menunjuk pada pernyataan yang ia buat pada bagian bawah gambar )
P  :  Apakah Anda yakin dengan jawaban Anda?
R  :  Saya yakin benar, tapi dengan syarat tadi...
P  :  Bagaimana dengan ini? ( Peneliti mengambil jawaban dari penelitian Bergqvist (2005) yang sudah dibuat levelisasi berdasarkan taksonomi skema bukti dari Balacheff ). Menurut Anda mana yang lebih mirip dengan pekerjaan yang Anda buat?
R  :  Mirip  1 dan 2
P  :  Di antara 1 dan 2 mana yang lebih mirip?

## R  :  1
P  :  Mana yang lebih Anda sukai, jawaban Anda atau jawaban orang? ( maksudnya jawaban yang ada pada hasil penelitian Bergqvist )
R  :  Jawaban yang di sini. (Sambil mengacungkan kertas jawaban dari Bergqvist ).
P  :  Alasannya...

## Sukirwan
R  :  Kayaknya lebih matematik.
P  :  Jika  Anda  disuruh  memilih  di  antara  level  1  sampai  level  4,  mana  yang  lebih disukai?
R  :  Ke-1 dan ke-3, yang lain ribet... ( maksudnya level 1 dan level 3 )
P  :  Kenapa ke-1 lebih suka?
R  :  Ga tahu, gimana ya...
P  :  Menurut  Anda,  kenapa  orang  lain mengerjakan seperti cara ke-1 ( maksudnya level 1 ).
R  :  Sebenarnya dia paham, garis horizontal  itu ada di puncak.
P  :  Apakah Anda suka cara ngerjain orang seperti itu?
R  :  Ya, jawaban yang ada di sana lebih meyakinkan,  sebab lebih matematik
P  :  Jika antara 1 dan 3, mana yang lebih Anda suka?
R  :  Lebih suka yang 3
P  :  Kenapa?
R  :  Kalau  cara  ke-1,  dia  seperti  sudah  lebih  paham,  maka  dia  langsung menentukan; kalau cara 3 dia nyari dengan proses dulu...
................................................................................................................................
Mencermati  hasil tes di atas, nampak bahwa responden memiliki persepsi tersendiri terhadap konjektur yang diberikan.  Sebelum  ia  melihat  bukti  lain,  ia meyakini argumentasinya dengan menujukkannya melalui
representasi gambar.  Ia  yakin  bahwa  jika  pada  suatu fungsi  kuadrat  dapat  digambarkan  sebuah garis  horizontal,  maka  hal  tersebut  akan berlaku untuk semua fungsi kuadrat. Secara tidak
langsung, responden telah menunjukkan  bahwa  garis  horizontal  yang dimaksud  adalah  garis  yang  melalui  titik puncak parabola. Ia mempertegas argumentasinya  dengan  menuliskan  bahwa pernyataan tersebut benar dengan catatan titik di antara kedua titik potong berada pada titik puncak.
Bila  ditelusuri  lebih  lanjut  pada  hasil tes,  responden  ternyata  lebih  menyukai
menunjukkan suatu konjektur dengan contoh kasus. Menurut Balacheff, cara yang digunakan  oleh  responden  seperti  itu termasuk pada kategori naive empiricism . Berbeda  dengan  hasil  tes,  hasil wawancara nampaknya mempengaruhi persepsi  responden  pada  argumentasi  yang ia berikan. Pada saat ditunjukkan argumentasi  lain,  responden  mulai  ragu dengan  argumentasinya.  Ternyata  ia  lebih meyakini argumentasi
lain yang dianggapnya  lebih  meyakinkan  dan  lebih matematik.  Hal  yang  menarik  untuk dicermati karena sesuai dengan  temuan Liu (2013) bahwa subyek cenderung tidak dapat mempertahankan argumentasinya manakala ia  memperoleh  argumentasi  lain  yang menurutnya  lebih  benar.  Keraguan  ini sangat nampak manakala responden kemudian  diminta  untuk  memilih  mana
diantara  cara-cara  pada  level  1,  level  2, level  3  dan  level  4  yang  lebih  disukai. Responden  ternyata  lebih  menyukai  cara pembuktian  yang  ditunjukkan  pada  level  3 (cara  aljabar).  Sangat  kontras  dengan  apa yang ia lakukan sebelumnya, yang membuktikan suatu konjektur dengan merepresentasikan pada suatu contoh kasus melalui  representasi geometris. Kecenderungan responden lebih menyukai  cara-cara  aljabar  menunjukkan bahwa  responden  lebih  menyukai  berkerja pada  level  bernalar  tingkat  tinggi.  Seperti apa  yang  diungkapkan  oleh  Bergqvist (2005)  dalam  studinya,  ia  menemukan kebanyakan  siswa  lebih  suka  bekerja  pada aljabar  yang  menurut  taksonomi  dari
Balacheff (1988) termasuk kategori penalaran matematis tingkat tinggi. Hasil  temuan  semacam  ini,  tentu belum bisa
digeneralisasi menjadi
kesimpulan  yang  berlaku  umum,  mengingat sampel  yang  diambil  hanya  satu  sampel saja.  Namun  demikian,  hal  menarik  yang bisa  diungkapkan  dari  hasil  penyelidikan ini,  memunculkan  fenomena  yang  seragam seperti  apa  yang  diungkapkan  oleh Liu dan Bergqvist.  Akan  tetapi,  karena  tes  dan wawancara  dilakukan  secara  spontan, mungkin  saja  ada  faktor-faktor  lain  yang diabaikan.
Penelusuran  lebih  lanjut  sebenarnya bisa  dilakukan  dengan  memperbanyak responden  dan  juga  mengaitkannya  dengan kemampuan  awal  yang  dimiliki  responden. Dalam hal ini sangat dimungkinkan treatment diberikan,  sehingga  patut  diduga bahwa  dalam  kondisi  tertentu  responden cenderung akan mempertahankan argumentasi yang ia berikan.

## D. KESIMPULAN DAN SARAN
Dengan mengacu pada hasil penyelidikan dan pembahasan di atas, dapat diungkapkan  simpulan  sebagai berikut.
1. Berdasarkan  taksonomi  skema  bukti
Balacheff, responden berada pada level naive  empiricism .  Pembuktian  suatu konjektur ditunjukkan dengan merepresentasikan  suatu  kasus  yang disimpulkan menjadi kasus yang umum. 2. Sesuai  dengan  temuan  Liu  (2013), responden  cenderung  tidak  bertahan pada  argumentasinya.  Responden  lebih memilih argumentasi lain yang menurutnya  lebih  meyakinkan  dan lebih  matematis.
3. Berdasarkan  pada  taksonomi  skema bukti  dari  Balacheff,  responden  lebih menyukai cara-cara aljabar yang menurut  Balacheff  termasuk  kategori penalaran  matematis  tingkat  tinggi.

## DAFTAR PUSTAKA
Balacheff,  N.  (1988). Aspects  of proof in pupils’ practice of school mathematics .  In  D.  Pimm  (Ed.),
Mathematics,  teachers  and  children (pp.  216–235).  London:  Hodder  and Stoughton.
Bell,  A.W. (1976). A study of pupils’ proof-
explanations in Mathematical situations .  Educational  Studies  in Mathematics, 7 (1-2), 23-40 Bergqvist.  2005. How  Students  Verify
Conjectures: Teachers’ Expectation .
Journal  of  Mathematics  Teacher Education (2005) 8:171–191.
Depdiknas.  2006. Standar  Isi  Kurikulum
Tingkat Satuan Pendidikan . Jakarta:
Depdiknas
Harel,  G.,  &  Sowder, L. (1998). Students’
proof schemes: Results from exploratory  studies .  In  A.  H. Schoenfeld,  Kaput,  J.,  &  Dubinsky,
E.  (Eds.),  Research  in  Collegiate Mathematics  Education III (pp. 234- 283). American Mathematical Society Liu,  Yating. 2013. Aspects of Mathematical Argumentasits that Influence Eighth Grade Students’ Judgment of Their Validity .  Dissertation  at  The  Ohio
University,  Ohio. van  Hiele,  P.M.  (1986). Structure  and insight:  A  theory  of  mathematics education .  New  York:  Academic Press.