Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.7 No.2 (2013) Hal. 12-19

## PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER MELALUI DIAGONALISASI MATRIKS

## Edy Sarwo Agus Wibowo, Yuni Yulida, Thresye
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani. Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
Email : edydyno@gmail.com

## ABSTRAK
Pada tulisan ini membahas penerapan diagonalisasi matriks untuk menentukan penyelesaian umum sistem persamaan diferensial linier homogen orde satu. Selanjutnya  jika matrik pada sistem tersebut tidak bisa didiagonalisasi maka solusi ditentukan melalui matriks fundamental.
Kata kunci : sistem persaman diferensial, diagonalisasi matriks, matriks fundamental

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial yang terdiri dari dua atau lebih persamaan yang saling terkait dikategorikan sebagai sistem persamaan diferensial. Salah satu cara untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan diferensial  linier adalah melalui diagonalisasi  matrik  dan matriks fundamental.  Suatu matriks A dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 matrik diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A . Karena sistem persamaan diferensial linier dapat ditulis ke dalam bentuk matriks, sehingga penyelesaian dari sistem persamaan diferensial linier dapat dihasilkan melalui diagonalisasi matriks. Akan tetapi bila vektor eigen dari matriks A tidak dapat dibentuk kedalam matriks P maka matriks A tidak dapat didiagonalisasi sehingga penyelesaian dari sistem tersebut dapat ditentukan melalui matriks fundamental. [1].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Diagonalisasi dan Keserupaan Matriks
Salah satu penerapan dari nilai eigen dan vektor eigen adalah menentukan matriks diagonal.Untuk membahas diagonalisasi matriks diawali dengan definisi berikut.

## Edy Sarwo A.W., Yuni Yulida, Thresye - Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Melalui Diagonalisasi Matriks

## Definisi 2.1.1 [1]
Suatu matriks kuadrat A  dapat didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks  P  yang dapat dibalik sehingga 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 diagonal, matriks P  dikatakan mendiagonalisasi A.
Definisi 2.1.2 [1]
Diberikan  A  dan  Dadalah matriks-matriks kuadrat, matriks Ddikatakan serupa dengan matriks A  (Dis similar to A) jika terdapat sebuah matriks P  yang dapat dibalik sedemikian sehingga 𝑫𝑫 = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷

## 2.2 Perubahan Basis
Matriks koordinat v terhadap basis B ([ 𝒗𝒗 ] 𝐵𝐵 ) dari suatu vektor v terkait dengan matriks koordinat v terhadap basis 𝑩𝑩′ ([ 𝒗𝒗 ] 𝐵𝐵′ ) , dari vektor v yang sama dapat dinyatakan sebagai [ 𝒗𝒗 ] 𝐵𝐵 = 𝑷𝑷 [ 𝒗𝒗 ] 𝐵𝐵′ (1)

## Teorema 2.2.1 [2]
Jika P adalah matriks transisi dari sebuah basis 𝑩𝑩′ ke basis B untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, maka :
(a) P dapat dibalik.
(b) 𝑷𝑷 −1 adalah matriks transisi dari B ke 𝑩𝑩′ .

## 2.3  Matriks operator linier
Bila terdapat 𝑇𝑇 : 𝑉𝑉 → 𝑊𝑊 adalah transformasi linier dari V ke W . Jika dipilih basis B untuk ruang vektor V dan basis 𝑩𝑩′ untuk ruang vektor W maka dalam kasus yang sfesifik dimana 𝑉𝑉 = 𝑊𝑊 sehingga 𝑇𝑇 : 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉 adalah sebuah operator linier. Suatu hal yang umum untuk menganggap bahwa 𝑩𝑩 = 𝑩𝑩′ ketika membentuk sebuah matriks untuk T, dalam kasus ini matriks yang dihasilkan disebut matriks untuk T yang berkenaan dengan basis B dan umumnya dinotasikan dengan [ 𝑇𝑇 ] 𝐵𝐵 . Jika 𝑩𝑩 = { 𝒖𝒖 1 , 𝒖𝒖 2 , ⋯ , 𝒖𝒖 𝑛𝑛 } maka [ 𝑇𝑇 ] 𝐵𝐵 = [[ 𝑇𝑇 ( 𝒖𝒖 1 )] 𝐵𝐵 |[ 𝑇𝑇 ( 𝒖𝒖 2 )] 𝐵𝐵 | ⋯ |[ 𝑇𝑇 ( 𝒖𝒖 𝑛𝑛 )] 𝐵𝐵 ] dan [ 𝑇𝑇 ] 𝐵𝐵 [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵 = [ 𝑇𝑇 ( 𝒙𝒙 )] 𝐵𝐵 (2)
[2].

## 2.4 Sistem Persamaan Diferensial Linier
Persamaan  yang terdiri dari dua atau lebih persamaan yang saling terkait maka dikategorikan sebagai sistem persamaan diferensial. Klasifikasi penting sistem persamaan diferensial terbagi dua, yaitu sistem persamaan diferensial linier dan nonlinier  [3].  Berikut bentuk normal sistem persamaan diferensial linier homogen orde-1 dapat disajikan sebagai berikut :
𝑑𝑑𝑑𝑑 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 11 𝑑𝑑 1 + 𝑎𝑎 12 𝑑𝑑 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 1𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 21 𝑑𝑑 1 + 𝑎𝑎 22 𝑑𝑑 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 2𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑛𝑛 (3) ⋮ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛1 𝑑𝑑 1 + 𝑎𝑎 𝑛𝑛2 𝑑𝑑 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑛𝑛
dengan 𝑎𝑎 11 , 𝑎𝑎 12 , ⋯ , 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 bernilai konstan dan 𝑑𝑑 1 , 𝑑𝑑 2 , ⋯ , 𝑑𝑑 𝑛𝑛 merupakan variabel terikat. Persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk : 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 [6].
Definisi 2.4.1[5] Misalkan A matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 , untuk 𝑡𝑡 ∈ 𝑅𝑅
𝒆𝒆 𝑨𝑨𝑨𝑨 = � 𝐴𝐴 𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑘𝑘 ! ∞ 𝑘𝑘=0
untuk  A  matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 , 𝒆𝒆 𝑨𝑨𝑨𝑨 adalah matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 yang dapat dihitung dengan nilai eigen dan vektor eigen dari A.
Teorema 2.4.2[5] Jika A matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 untuk 𝒙𝒙 0 ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛 , maka masalah nilai awal 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 𝒙𝒙 (0) = 𝒙𝒙 𝟎𝟎
memiliki penyelesaian tunggal yaitu 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝒆𝒆 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒙𝒙 𝟎𝟎
2.5 Bentuk Matrik 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 Berdasarkan Nilai Eigen Pada Sistem Persamaan
Diferensial Linier
Nilai eigen atau akar karakteristik  pada sistem persamaan diferensial linier ( 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 ) dapat ditentukan dengan cara mencari determinan dari (λI – A) dari sistem tersebut. Jika det (λI – A) = 0 maka akan didapat akar karakteristik dari persamaan karakteristik. Dari akar karakteristik akan diperoleh bentuk 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 yang dapat dibedakan menjadi tiga yaitu :
1. Akar riil dan berbeda ( 𝜆𝜆 1 ≠ 𝜆𝜆 2 ≠ 𝜆𝜆 3 ≠ ⋯ ≠ 𝜆𝜆 𝑛𝑛 ) Teorema 2.5.1 [5] Jika nilai eigen 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 , ⋯ , 𝜆𝜆 𝑛𝑛 dari matriks 𝑨𝑨 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 adalah riil dan berbeda maka setiap vektor eigen yang sesuai { 𝒗𝒗 1 , 𝒗𝒗 2 , ⋯ , 𝒗𝒗 𝑛𝑛 } terkait basis untuk 𝑅𝑅 𝑛𝑛 , matriks 𝑷𝑷 = [ 𝒗𝒗 1 𝒗𝒗 2 ⋯ 𝒗𝒗 𝑛𝑛 ] dapat dibalik dan 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 [ 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 ⋯ , 𝜆𝜆 𝑛𝑛 ] 2. Akar komplek �𝜆𝜆 1 , 2 = 𝑎𝑎 1 ± 𝑑𝑑𝑏𝑏 1 , 𝜆𝜆 3 , 4 = 𝑎𝑎 2 ± 𝑑𝑑𝑏𝑏 2 , ⋯ , 𝜆𝜆 ( 𝑛𝑛−1 ),( 𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 2 ± 𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑛𝑛 2 � dengan ( 𝑛𝑛 = 2, 3, 4, ⋯ )
Teorema 2.5.2 [5] Jika Matriks 𝑨𝑨 2𝑛𝑛 × 2𝑛𝑛 memiliki nilai eigen komplek berbeda 𝜆𝜆 𝑗𝑗 = 𝑎𝑎 𝑗𝑗 + 𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑗𝑗 dan 𝜆𝜆̅ 𝑗𝑗 = 𝑎𝑎 𝑗𝑗 − 𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑗𝑗 vektor eigen komplek yang sesuai 𝒘𝒘 𝑗𝑗 = 𝒖𝒖 𝑗𝑗 + 𝑑𝑑𝒗𝒗 𝑗𝑗 dan 𝒘𝒘 � 𝑗𝑗 = 𝒖𝒖 𝑗𝑗 − 𝑑𝑑𝒗𝒗 𝑗𝑗 dengan 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 maka { 𝒖𝒖 1 , 𝒗𝒗 1 , ⋯ , 𝒖𝒖 𝑛𝑛 , 𝒗𝒗 𝑛𝑛 } adalah basis untuk 𝑅𝑅 2𝑛𝑛 , matriks 𝑷𝑷 = [ 𝒗𝒗 1 𝒖𝒖 1 𝒗𝒗 2 𝒖𝒖 2 ⋯ 𝒗𝒗 𝑛𝑛 𝒖𝒖 𝑛𝑛 ] dapat dibalik dan
𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 � 𝑎𝑎 𝑗𝑗 −𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑎𝑎 𝑗𝑗 �
matriks 2 𝑛𝑛 × 2 𝑛𝑛 dengan 2 × 2 blok sepanjang diagonal 3. Akar riil dan kembar ( 𝜆𝜆 1 = 𝜆𝜆 2 = 𝜆𝜆 3 = ⋯ = 𝜆𝜆 𝑛𝑛 )
Untuk kasus nilai eigen yang riil dan kembar ( 𝜆𝜆 1 = 𝜆𝜆 2 = 𝜆𝜆 3 = ⋯ = 𝜆𝜆 𝑛𝑛 ) , jika memiliki vektor eigen yang bersesusaian ( 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 , ⋯ , 𝜆𝜆 𝑛𝑛 ) sebanyak n ( 𝒗𝒗 1 𝒗𝒗 2 ⋯ 𝒗𝒗 𝑛𝑛 ) maka matriks A pada sistem persamaan linier 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 dapat didiagonaisasi karena  vektor eigen ( 𝒗𝒗 1 𝒗𝒗 2 ⋯ 𝒗𝒗 𝑛𝑛 ) cukup untuk membangun matriks P . Dimana 𝑷𝑷 = [ 𝒗𝒗 1 𝒗𝒗 2 ⋯ 𝒗𝒗 𝑛𝑛 ] dapat dibalik dan 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨𝑷𝑷 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝜆𝜆 𝑗𝑗 � ⋯ (4)
dengan ( 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 ) [5].

## Edy Sarwo A.W., Yuni Yulida, Thresye -

## 2.6 Solusi Sistem Persamaan Diferensial Linier
Definisi 2.6.1[6]
Di berikan sistem persamaan diferensial linier homogen 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙
dengan x vektor 𝑛𝑛 × 1
1. himpunan n penyelesaian yang bebas linier dari sistem persamaan diferensial linier disebut himpunan fundamental dari sistem persamaan diferensial linier. 2.matriks kolom yang terdiri dari himpunan fundamental dari penyelesaian sistem persamaan diferensial linier disebut matriks fundamental dari sistem persamaan diferensial linier, yaitu jika fungsi vektor 𝒙𝒙 ( 1 ) , 𝒙𝒙 ( 2 ) , ⋯ , 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) yang di definisikan oleh
𝒙𝒙 ( 1 ) = � 𝑑𝑑 11 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 21 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 ( 𝑡𝑡 ) � , 𝒙𝒙 ( 2 ) = � 𝑑𝑑 11 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 21 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 ( 𝑡𝑡 ) � ⋯ , 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) = � 𝑑𝑑 1𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 2𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) �
maka matriks
𝑀𝑀 ( 𝑡𝑡 ) = � 𝑑𝑑 11 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 21 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 11 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 21 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 ( 𝑡𝑡 ) ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝑑𝑑 1𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 2𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) �
disebut matriks fundamental dari sistem persamaan diferensial linier.
Definisi 2.6.2[6]
Diberikan sistem persamaan diferensial linier homogen 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 dengan x vektor 𝑛𝑛 × 1 . Penyelesaian umum dari sistem persamaan diferensial linier adalah 𝑐𝑐 1 𝒙𝒙 ( 1 ) + 𝑐𝑐 2 𝒙𝒙 ( 2 ) + ⋯ + 𝑐𝑐 𝑛𝑛 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 )
dengan 𝑐𝑐 1 , 𝑐𝑐 2 , ⋯ , 𝑐𝑐 𝑛𝑛 adalah n konstanta sebarang dan 𝒙𝒙 ( 1 ) , 𝒙𝒙 ( 2 ) , ⋯ , 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) adalah himpunan fundamental dari solusi sistem persamaan diferensial linier.

## 3. METODE PENELITIAN
Bahan atau materi penelitian yang digunakan bersumber dari literatur, baik dari buku teks, dan referensi pendukung yang ada kaitannya dengan penelitian ini. Pada penelitian ini menjelaskan pembentukan sistem persamaan diferensial menggunakan matriks operator linier. Kemudian menjelaskan langkah-langkah menentukan solusi sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen terhadap matriks  yang  dapat  didiagonalisasi  dan terhadap matriks yang tidak dapat didiagonalsasi melalui matriks fundamental.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pembentukan Sistem Persamaan Diferensial Baru Dengan Menggunakan Matriks Operator Linier
Diberikan 𝑇𝑇 : 𝑉𝑉 → 𝑉𝑉 adalah operator linier, sebelumnya telah diketahui sistem persaman diferensial awal adalah 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 . Misalkan terdapat basis-basis B dan 𝑩𝑩′ untuk ruang vektor V dimana 𝑩𝑩 = { 𝒖𝒖 1 , 𝒖𝒖 2 , ⋯ , 𝒖𝒖 𝑛𝑛 } merupakan basis lama dengan 𝒖𝒖 1 , 𝒖𝒖 2 , ⋯ , 𝒖𝒖 𝑛𝑛 merupakan basis standar dan 𝑩𝑩′ = { 𝒗𝒗 1 , 𝒗𝒗 2 , ⋯ , 𝒗𝒗 𝑛𝑛 } merupakan basis baru dimana 𝒗𝒗 1 , 𝒗𝒗 2 , ⋯ , 𝒗𝒗 𝑛𝑛 merupakan vektor eigen dari matriks
A . Akan dibentuk sistem persaman diferensial baru dengan menggunakan matriks operator linier. Misalkan A adalah matriks untuk T yang berkenaan dengan basis B maka menurut matriks operator linier Persamaan (2) terdapat [ 𝑇𝑇 ( 𝒙𝒙 )] 𝐵𝐵 =
𝑨𝑨 [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵 . Akan dicari sebuah matriks untuk T yang berkenaan dengan basis 𝑩𝑩′ , Menurut  perubahan basis Persamaan (1) terdapat [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵 = 𝑷𝑷 [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵′ dan  dengan menggunaan Teorema  2.2.1 akan didapat [ 𝑇𝑇 ( 𝒙𝒙 )] 𝐵𝐵′ = 𝑷𝑷 −1 [ 𝑇𝑇 ( 𝒙𝒙 )] 𝐵𝐵 dan misalkan D adalah matriks untuk T yang berkenaan dengan basis 𝑩𝑩′ .Berdasarkan keterangan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa [ 𝑇𝑇 ( 𝒙𝒙 )] 𝐵𝐵 ′ = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵′ = 𝑫𝑫 [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵′ (5)
dengan 𝑫𝑫 = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 . Misalkan [ 𝒙𝒙 ] 𝐵𝐵′ dinotasikan sebagai ( 𝒚𝒚 ) dan [ 𝑇𝑇 ( 𝒙𝒙 )] 𝐵𝐵 ′ dinotasikan sebagai ( 𝒚𝒚̇ ) sehingga Persamaan (5) dapat ditulis 𝒚𝒚̇ = 𝑫𝑫𝒚𝒚 . Dengan demikian didapat sistem persamaan yang baru berupa
𝒚𝒚̇ = 𝑫𝑫𝒚𝒚 (6)
Teorema 4.1.1[4]
Misalkan  W(t) adalah penyelesaian untuk sistem 𝒙𝒙̇ = 𝑫𝑫𝒙𝒙 ,  D  dan  A  adalah matriks yang serupa dengan 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑷𝑷 = 𝑫𝑫 maka 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷𝑷𝑷 ( 𝑡𝑡 ) adalah penyelesaian dari 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙

## 4.2   Langkah-Langkah Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial Linier
Homogen Terhadap Mariks Yang Dapat Didiagonalisasi
Persamaan 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 dapat diselesaikan melalui diagonalisasi matriks sebagai berikut :
1. Sistem persamaan diferensial linier homogen dibentuk kedalam bentuk bentuk 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙
2. Menentukan nilai eigen matriks A berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 maka akan digunakan det( 𝜆𝜆𝑰𝑰 − 𝑨𝑨 ) = 0 dan Untuk menentukan vektor eigen dari A maka substitusikan 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ke ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑰𝑰 − 𝑨𝑨 ) 𝒗𝒗 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎 dengan ( 𝑑𝑑 = 1,2, ⋯ , 𝑛𝑛 ) 3. Menentukan matriks P yang kolomnya terdiri dari vektor eigen dari A , yaitu 𝑷𝑷 = [ 𝒗𝒗 1 , 𝒗𝒗 2 , ⋯ , 𝒗𝒗 𝑛𝑛 ]. Kemudian akan dicari invers dari matriks P berupa 𝑷𝑷 −1 dengan demikian dapat ditentukan matriks 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 dengan  nilai eigen 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 , ⋯ , 𝜆𝜆 𝑛𝑛 pada diagonal utamanya.
4. Membentuk sistem persamaan diferensial yang baru. Diketahui sistem persamaan diferensial linier berupa 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 dan dimisalkan sistem ini merupakan sistem awal, dengan menggunakan matriks operator linier  maka berdasarkan Persamaan (6) akan dibentuk sistem baru berupa 𝒚𝒚̇ = 𝑫𝑫𝒚𝒚 dengan 𝑫𝑫 = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 .
5. Menentukan penyelesian dari sistem persamaan diferensial awal.  Berikut akan disajikan penyelesaian untuk sistem persamaan diferensial yang baru dengan beberapa kemungkinan akar karakteristik yang akan terjadi.
a. Akar riil dan berbeda
Jika terdapat nilai eigen dari A berupa 𝜆𝜆 1 ≠ 𝜆𝜆 2 ≠ 𝜆𝜆 3 ≠ ⋯ ≠ 𝜆𝜆 𝑛𝑛 maka berdasarkan Teorema 2.5.1 Persamaan (6) dapat ditulis  menjadi
𝒚𝒚̇ = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 𝒚𝒚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 [ 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 ⋯ , 𝜆𝜆 𝑛𝑛 ] 𝒚𝒚 (7)
sehingga penyelesaian dari Persamaan (7)
𝒚𝒚 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 1 𝑡𝑡 , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 2 𝑡𝑡 , ⋯ , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑛𝑛 𝑡𝑡 �𝒚𝒚 0 (8)

## Edy Sarwo A.W., Yuni Yulida, Thresye -
Dengan demikian Persamaan (8) merupakan penyelesian dari Persamaan (7) dan 𝒚𝒚 (0) = 𝒚𝒚 0 .
Untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan diferensial awal 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 maka dengan menggunakan Teorema 4.1.1 didapat
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷𝒚𝒚 ( 𝑡𝑡 ) ⋯ (9)
substitusi persamaan (8) ke Persamaan (9)
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 1 𝑡𝑡 , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 2 𝑡𝑡 , ⋯ , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑛𝑛 𝑡𝑡 �𝒚𝒚 (0) ⋯ (10)
menurut perubahan basis terdapat 𝒚𝒚 (0) = 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0) sehingga persamaan (10) menjadi 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 1 𝑡𝑡 , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 2 𝑡𝑡 , ⋯ , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑛𝑛 𝑡𝑡 �𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0)
b. Akar komplek
Jika terdapat nilai eigen dari A berupa
𝜆𝜆 1 , 2 = 𝑎𝑎 1 ± 𝑑𝑑𝑏𝑏 1 , 𝜆𝜆 3 , 4 = 𝑎𝑎 2 ± 𝑑𝑑𝑏𝑏 2 , ⋯ , 𝜆𝜆 ( 𝑛𝑛−1 ),( 𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎 𝑛𝑛 2 ± 𝑑𝑑𝑏𝑏 𝑛𝑛 2 maka berdasarkan Teorema 1.5.2 Persamaan (6) dapat ditulis menjadi
𝐲𝐲̇ = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 𝒚𝒚 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 � 𝑎𝑎 𝑗𝑗 −𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑎𝑎 𝑗𝑗 � 𝒚𝒚 ⋯ (11)
sehingga penyelesaian dari Persamaan (11)
𝒚𝒚 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝒆𝒆 𝑎𝑎 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 − sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � 𝒚𝒚 0 ⋯ (12)
Dengan demikian Persamaan (12)  merupakan  penyelesian dari Persamaan (11) dan 𝒚𝒚 (0) = 𝒚𝒚 0 .
Untuk menentukan penyelesaian dari sistem persmaan diferensial awal 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 maka dengan menggunakan Teorema 4.1.1 didapat 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷𝒚𝒚 ( 𝑡𝑡 ) ⋯ (13)
substitusi Persamaan (12) ke Persamaan (13)
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝒆𝒆 𝑎𝑎 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 − sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � 𝒚𝒚 (0) ⋯ (14)
menurut perubahan basis terdapat 𝒚𝒚 (0) = 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0) sehingga persamaan (14) menjadi 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝒆𝒆 𝑎𝑎 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 − sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0)
c. Akar riil dan kembar
Jika terdapat nilai eigen dari A berupa 𝜆𝜆 1 = 𝜆𝜆 2 = 𝜆𝜆 3 = ⋯ = 𝜆𝜆 𝑛𝑛 yang memiliki vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan sebanyak n ( 𝒗𝒗 1 ≠ 𝒗𝒗 2 ≠ ⋯ ≠ 𝒗𝒗 𝑛𝑛 ) maka berdasarkan Persamaan (4) maka Persamaan (6) dapat ditulis  menjadi
𝒚𝒚̇ = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝜆𝜆 𝑗𝑗 �𝒚𝒚 (15)
dengan ( 𝑗𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛𝑛 ) .sehingga penyelesaian dari Persamaan (15)
𝒚𝒚 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑗𝑗 𝑡𝑡 �𝒚𝒚 0 (16)
Dengan demikian Persamaan (18) merupakan penyelesian dari Persamaan (17) dan 𝒚𝒚 (0) = 𝒚𝒚 0 .
Untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan diferensial awal 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 maka dengan menggunakan Teorema 4.1.1 didapat 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷𝒚𝒚 ( 𝑡𝑡 ) (17)
substitusi persamaan (16) ke Persamaan (17)
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑗𝑗 𝑡𝑡 �𝒚𝒚 (0) (18)
menurut perubahan basis terdapat 𝒚𝒚 (0) = 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0) sehingga persamaan (18) menjadi 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑗𝑗 𝑡𝑡 �𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0)

## 4.3  Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Untuk Matriks Yang Tidak Dapat Didiagonalisasi
Sistem persamaan diferensial dikatakan tidak dapat didiagonalisasi jika terdapat sejumlah vektor eigen yang bersesuain dengan nilai eigen yang tidak dapat dibentuk ke dalam matriks P , akibatnya sistem persamaan diferensial baru ( 𝒚𝒚̇ = 𝑫𝑫𝒚𝒚 ) dengan 𝑫𝑫 = 𝑷𝑷 −1 𝑨𝑨𝑷𝑷 tidak dapat dibentuk. Sistem persamaan diferensial  linier  yang matriksnya tidak dapat didiagonalisasi, untuk matriks eksponensial ( 𝑒𝑒 𝑨𝑨𝑡𝑡 ) dapat di bentuk dengan menggunakan matriks fundamental.
Langkah-Langkah Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen terhadap Mariks Yang Tidak Dapat Didiagonalisasi adalah
1. Sistem persamaan diferensial linier homogen dibentuk ke dalam bentuk matriks yaitu 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙
2. Menentukan nilai eigen matriks A yaitu det( 𝜆𝜆𝑰𝑰 − 𝑨𝑨 ) = 0 dan Untuk menentukan vektor eigen dari A maka substitusikan 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ke ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑰𝑰 − 𝑨𝑨 ) 𝒗𝒗 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎
dengan ( 𝑑𝑑 = 1,2, ⋯ , 𝑛𝑛 ) 3. Menentukan penyelesain bagian sistem persamaan diferensial linier yang disimbolkan 𝒙𝒙 ( 1 ) , 𝒙𝒙 ( 2 ) , ⋯ , 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) .
4. Menentukan penyelesian dari sistem persamaan diferensial linier, berdasarkan Definisi  2.6.2  penyelesian umum dari sistem persamaan diferensial 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 adalah sebagai berikut
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑐𝑐 1 𝒙𝒙 ( 1 ) + 𝑐𝑐 2 𝒙𝒙 ( 2 ) + ⋯ + 𝑐𝑐 𝑛𝑛 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) (19)
dengan 𝒙𝒙 ( 1 ) , 𝒙𝒙 ( 2 ) , ⋯ , 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) solusi bebas linier. Berdasarkan  Definisi  2.6.1 Persamaan (19) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = [ 𝒙𝒙 ( 1 ) ( 𝑡𝑡 ) ⋯ 𝒙𝒙 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑡𝑡 )] 𝒄𝒄 = 𝑴𝑴 ( 𝑡𝑡 ) 𝒄𝒄 = 𝑴𝑴 ( 𝑡𝑡 ) 𝑴𝑴 (0) −1 𝒙𝒙 (0)
dengan 𝒄𝒄 = 𝑴𝑴 (0) −1 𝒙𝒙 (0)

## 5. KESIMPULAN
Penyelesaian dari sistem persamaan diferensial linier 𝒙𝒙̇ = 𝑨𝑨𝒙𝒙 dapat diperoleh melalui diagonalisasi matriks adalah sebagai berikut
1. Jika terdapat akar  karakteristik  riil dan berbeda maka penyelesaian adalah 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 1 𝑡𝑡 , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 2 𝑡𝑡 , ⋯ , 𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑛𝑛 𝑡𝑡 �𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0)
2. Jika terdapat akar karakteristik  riil dan kembar maka penyelesaian adalah 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑒𝑒 𝜆𝜆 𝑗𝑗 𝑡𝑡 �𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0)
3. Jika terdapat akar  karakteristik  kompleks maka penyelesaian adalah 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) =
𝑷𝑷 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝒆𝒆 𝑎𝑎 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 − sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 sin 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 cos 𝑏𝑏 𝑗𝑗 𝑡𝑡 � 𝑷𝑷 −𝟏𝟏 𝒙𝒙 (0)
kemudian untuk  penyelesaian sistem persamaan diferensial linier yang matriknya tidak dapat didiagonalisasi dapat melalui alternatif lain yaitu menggunakan matrik fundamental 𝑴𝑴 ( 𝑡𝑡 ) diperoleh penyelesaian 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑴𝑴 ( 𝑡𝑡 ) 𝑴𝑴 (0) −1 𝒙𝒙 (0) .

## Edy Sarwo A.W., Yuni Yulida, Thresye - Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Melalui Diagonalisasi Matriks

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta
[2]  Anton, Howard. 2004. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan. Erlangga. Jakarta
[3]  Farlow, S. J. 1994. Differential Equations and Their Applications. Dover Publications. United States of America.
[4]  Paul, Watman. 2004. A Second Course in Elementary Differential Equation. Dover PUBN Incorporated.
[5] Perko, Lawrence. 1991. Differential Equation and Dynamical System. Springer-Verlag. Berlin.
[6]  Ross, S. L. 1984. Differential Equation-Third Edition. Jhon Wiley & Sons, Inc. New York.