## Abdurahman Askois

## Observasi Mental Model Penjumlahan Bilangan Bulat Siswa Sekolah Dasar Kota Baubau
Abdurahman Askois 1* 1* Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Dayanu Ikhsanuddin, Jalan Dayanu Ikhsanuddin No. 124 Baubau, Sulawesi Tenggara 93721, Indonesia e-mail: 1* 4skois@gmail.com * Corresponding Author
INFORMASI ARTIKEL

## ABSTRAK
Print ISSN : 2442-9864 Online ISSN  : 2686-3766 Article history
Received  : 12 Agustus 2021 Revised  : 25 October 2021 Accepted  : 1 November 2021
Kata kunci : observasi, bilangan bulat, mental model
Keywords : observation, integer, mental model
Nomor Tlp. Penulis: +6281325739330

## PENERBIT
Universitas Dayanu Ikhsanuddin. Jalan Dayanu Ikhsanuddin No. 124, Kode Pos 93721 Baubau, Sulawesi Tenggara, Indonesia. Email: pendidikanmatematika@unidayan.ac.id
This is an open access article under the CC–BY-SA license.
Keterampilan atas sistem bilangan bulat merupakan kompetensi pokok dalam  mengambangkan  pembelajaran  pada  sitem  bilangan  lainnya  yang lebih  kompleks,  namun masih  banyak  siswa  yang  belum  cukup  cakap  atas kompetensi tersebut. Penelitian ini merupakan penelitian etnografi dengan tujuan untuk mendeskripsikan mental model  dan sifat konsistensi bilangan bulat  yang  menjadi  pengalaman  belajar    siswa  pada  sekolah  dasar  Kota Baubau.  Penelitian  ini  memberikan  informasi  bahwa  mental  model    siswa sekolah dasar Kota Baubau yang terdapat pada pembelajaran bilangan bulat yaitu mental model inisial, mental model sintetis dan mental model formal. Siswa  dalam  mengerjakan  operasi  penjumlahan  bilangan  bulat    masih menunjukkan  ketidakkonsistenanya  saat  menggunakan  media  garis bilangan sebagai alat bantunya.
Skills  on  the  integer  system  are  the  main  competencies  in  developing learning  in  other,  more  complex  number  systems,  but  there  are  still  many students who are not sufficiently proficient in these competencies. This study is an  ethnographic  study with  the  aim  of  describing  the  mental model  and  the nature  of  the  consistency  of  integers  that  become  the  learning  experience  of students at elementary schools in Baubau City. This study provides information that the mental models of elementary school students in Baubau City found in integer learning are initial mental models, synthetic mental models and formal mental models. Students in working on integer addition operations still show inconsistencies when using number line media as a tool.
Cara mengutip : Askois, A. (2021). Observasi Mental Model Penjumlahan Bilangan Bulat Siswa Sekolah Dasar Kota Baubau. Jurnal Akademik Pendidikan Matematika , 7(2) 108-116.

## PENDAHULUAN
Pembelajaran  matematika  sekolah  didominasi oleh  keterampilan  aritmatika.  Berbagai  kegiatan dalam  perolehan  jawaban  siswa  akan  berwujud bilangan-bilangan,  misalnya  meteri  geometri  akan berkaitan dengan luas dan volume, materi statistika akan berwujud peluang, materi analisis yang berupa nilai  sinus  suatu  sudut  tertentu  dan  aljabar  yang selalu melibatkan operasi antar koefisien suku-suku yang  sejenis  (bentuk).  Keseluruhan  materi  di  atas akan  memiliki  muatan  utama  yaitu  keterampilan aritmatika. Keterampilan aritmatika ini akan sangat berkaitan dengan bilangan bulat (Rubin et al., 2014, h.2).  Hal  tersebut  menjadikan  aritmatika  sebagai
ratunya matematika (Bell, 1981, h.27)bahkan dalam benak siswa bahwa matematika itu merupakan ilmu yang berwujud angka-angka.
Aritmatika  non-simbolik  telah  dipelajari  sejak anak-anak, namun keterampilan ini masih saja selalu perlu  mendapatkan  perhatian  karena  konsep bilangan  bulat  yang  dimilikinya  masih  belum berkembang  dengan  baik  (Bolyard  &  Moyer- Packenham,  2012,  h.100).  Pada  usia  awal bersekolah,  anak-anak  dapat  menentukan  jumlah sekumpulan  objek,  dapat  menentukan  kumpulan mana yang lebih banyak, bahkan dapat menentukan jumlah anggota gabungan dua buah kelompok objek tertentu. Keterampilan tersebut tampak menjadi hal yang  lebih  sukar  lagi  pada  saat  pengajaraan  dan

## JURNAL AKADEMIK PENDIDIKAN MATEMATIKA
Volume 7, Nomor 2, November 2021, Halaman 108-116 https://www.ejournal.lppmunidayan.ac.id/index.php/matematika

## Abdurahman Askois
penguasaan kompetensinya membutuhkan penggunaan  simbol  dan  sistem  simbol.  Kesukaran yang  banyak  sekali  dialami  oleh  siswa  (Fuadiah  & Suryadi, 2017,h.24; Retnowati et al., 2018, h.1) yaitu pada  operasi  matematika  yang  melibatkan  bilangan negatif. Kesukaran tersebut bahkan juga dialami oleh mahasiswa.
Landasan  teori  yang  akan  digunakan  pada penelitian  ini  antara  lain  struktur  bilangan  bulat, matematika sekolah, metode pembelajaran bilangan bulat  di  sekolah.  Bilangan  bulat  yang  akan  menjadi muatan  matematika  perlu  mendapat  penyesuaian dengan muatan pada matematika sekolah. penelitian yang  relevan  yang  berkaitan  dengan  pembelajaran bilangan  bulat  di  sekolah  juga  akan  menjadi pelengkap  landasan  teori.  Penelitian  tersebut  akan berupa  kesalahan  siswa  atas  bilangan  bulat  dan mental model siswa atas bilangan bulat.
Himpunan  bilangan  yang  pertama  kali  dikenal oleh  siswa  yaitu  himpunan  bilangan  asli  atau bilangan  cacah.  Sistem  bilangan  bulat  merupakan perluasan  dari  himpunan  bilangan    asli  yang disebutkan  di  atas.  Sistem  bilangan  bulat  ini merupakan  konsep  abstrak  yang  penting  untuk dipelajari  oleh  siswa  (Norton  &  Alibali,  2019,  h.4). Sistem bilangan bulat ini kemudian diorganisasikan menjadi  aritmatika.  Aritmatikamerupakan  ilmu terhadap struktur, relasi dan operasi pada bilangan bulat (Bell, 1981, h. 27).
Setiap  dua  anggota  dari  himpunan  bilangan bulat  tersebut  dapat  direlasikan  satu  sama  lainnya. Relasi  tersebut  misalnya  “lebih  dari”  atau  “kurang dari”.  Relasi  terhadap  dua  anggota  dari  himpunan tersebut  dapat  juga  berupa  operasi  matematik. Operasi  tersebut  dapat  berjuwud  jumlahan,  selisih, perkalian dan pembagian.
Fraleigh  &  Brand  (2021,  h.11)  menyatakan bahwa  “intuitively,  we  may  regard  a  binary operation ∗ on  S  as  assigning,  to  each  ordered  pair (𝑎, 𝑏) of elements of S, an element a ∗ b of S. Operasi biner  bahwa  untuk    setiap  dua  buah  bilangan  bulat bukanlah  pasangan  yang  terurut.  Dengan  kata  lain operasi antara a ∗ b dapat berarti bahwa: 1) bilangan pertama  yang  akan  dioperasikan  tersebut  adalah  a dan  bilangan  keduanya  adalah  b  atau;  2)  bilangan pertama  yang  akan  dioperasikan  tersebut  adalah  b dan bilangan keduanya adalah a.
Operasi selisih menurut Bartle & Shebert (2011, h.25) bahwa “the operation of subtraction is defined by  a  -  b  :=  a  +  (-b)”.    Pernyataan  tersebut  berarti bahwa  pengurangan  b  terhadap  a  dinotasikan dengan  a  –  b.  Pendapat    Fraleigh  &  Brand  serta Bartle & Sherbert di atas menyiratkan bahwa operasi a – b juga merupakan operasi biner yang berwujud penjumlahan.  Penyelesaian  dari  a  –  b  dilakukan dengan  operasi  a  ditambahkan  dengan  lawan  dari atau -b ditambahkan dengan a.
Bofferding  (2014,  h.5)  menyakan  bahwa pemaknaan  tanda  “-“  yaitu:  1)  bilangan  (unary) misalnya,  -108,  -6,  -1  dan  lain-lain;  2)  operasi
(binary)  misalnya  7  –  9.  Pemaknaan  operasi  7  –  9 menurut pendapat Bartle dan Sherbert di atas akan dimaknai  sebagai  operasi    7  +  (-9).  3)  lawan  dari salah satu anggota,  misalnya -(-6) dibaca lawan dari -6. Lawan dari -6 adalah 6. Dengan kata lain –(-6) = 6. Hal tersebut di atas menyebabkan ketidakpastian  dalam  matematika  dan  pengajaran operasi  bilangan  bulat  (Lee,  2014,  h.43). Ketidakpastian  berkaitan  dengan  konsensus  dan pemahamanakan  simbol  operasi  sebagaimana disampaikan
Bofferding di atas.Contoh permasalahan  tersebut  berupa  pemahaman  siswa bahwa operasi penjumlahan selalu akan menghasilkan bilangan yang lebih besar dan operasi pengurangan  selalu  akan  menghasilkan  bilangan yang lebih kecil (Lee, 2014, h. 31).
Materi  bilangan  bulat  telah  dipelajari  siswa sejak duduk di bangku sekolah dasar.  Pada jenjang pendidikan sekolah menengah masih dijumpai siswa yang kurang cakap dalam penyelesaian permasalahan  operasi  bilangan  bulat  (Wulandari  & Damayanti,  2019,  h.38).  Penelitian  Sulastri,  et.al. (2017,  h.287)menyatakan  bahwa  materi  bilangan bulat  masih  sukar  dipelajari  dan  juga  sukar  untuk diajarkan. Kesukaran tersebut dialami oleh guru dan siswa pada kelas 7. Penelitian  Badriyah et al.(2016, h.485)  menyatakan  bahwa  terdapat  tiga  jenis kesalahan  siswa  kelas  7  pada  operasi  hitung bilangan bulat yaitu kecerobohan, kesalahan konsep dan  gabungan  antara  kecerobohan  dan  kesalahan konsep.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  kompetensi bilangan  bulat  siswa  masih  perlu  mendapat perhatian yang serius.
Kesalahan  tersebut  dapat  terjadi  kerena  sifat objek  bilangan  negatif  yaitu  cara  mereprentasikan quantitas  tersebut  secara  nyata.  Kesalahan  juga terjadi karena pengajaran tidak mampu memberikan kejelasan  pada  siswa  mengenai  penanda  minus sebagai  penanda  bilangan  atau  operasi  (Fuadiah  et al., 2019, h.420). Permasalahan tersebut juga tampak dari  adanya  dulisme  pemaknaan  tanda  “-“. Kecakapan  siswa  terhadap  bilangan  bulat  oleh Bofferding  (2014,  h.15-18)  dinyatakan  sebagai mental  model.  Mental  model  tersebut  mulai  dari mantal  model  inisial,  mental  model  sintesis  dan mental model formal.
Mental model inisial adalah mental model yang mempertahankan  bilangan asli  pada  objek  bilangan bulat.  Mental  model  sintetis  adalah  mental  model yang  menyadari  bahwa  terdapat  bilangan  negatif dan positif pada sistem bilangan bulat namun siswa memperlakukan  bilangan  bilangan  tersebut  tidak konsisten. Seseorang yang memiliki mental model ini dapat mengetahui bahwa -6 < 3, 6 <  9, namun sering melakukan  kesalahan  pada  relasi  bilangan  negatif. Seseorang  yang  memiliki  mental  model  ini menyakakan  bahwa  -7  >  -3  berdasarkan  jaraknya dari  nol  pada  garis  bilangan.  Hal  ini  dikonfirmasi juga oleh Schindler et al., (2017, h.482).

## Abdurahman Askois
Matematika  merupakan  ilmu  yang  terstruktur. Pembelajaran  matematika  di  sekolah  perlu disesuaikan  dengan  disiplin  matematika.  Perhatian tersebut  dapat  berfokus  pada  sifat  kekonsistenan matematika. Sistem bilangan bulat merupakan suatu pembicaraan  mengenai  kekonsistenan  sifat-sifat operasi matematika atas anggota-anggota himpunan bilangan  bulat  tersebut.  Bell  (1981,  h.  31) menyatakan bahwa struktur ini umunya membahas kekonsitenan  atau  ketertutupan  operasi,  sifat asosiatif,  sifat  komutatif,  terdapatnya  elemen identitas, dan elemen invers.
Metode pembelajaran bilangan bulat yang telah diterapkan  oleh  guru  pada  pembelajaran  bilangan bulat di kelas antara lain: 1) Metode garis bilangan. Metode  ini  merupakan  metode  umum  yang digunakan oleh kebanyakan guru dalam pembelajaran  bilangan  bulat  di  sekolah.  Metode  ini menggunakan  gambar  garis  bilangan.  Metode  ini dianggap relevan dan memiliki muatan yang lengkap atas  materi  bilangan  bulat,  mulai  dari  pengenalan fakta bilangan bulat, keterurutan, relasi dan operasi. Operasi  pengurangan  pada  metode  ini  dilakukan sebagai  invers  atas  penjumlahan.  Jadi  pengurangan suatu bilangan kedua dari bilangan pertama tertentu itu diartikan sebagai penjumlahan bilangan pertama terhadap  lawan  dari  bilangan  ke  dua.  2)  Metode kartu  berpasangan.  Metode  ini  memanfaatkan pasangan kartu yang menggunakan dua warna yang berbeda.  Sebuah  warna  akan  mewakili  bilangan bertanda negatif dan lainnya akan mewakili bilangan bertanda  positif.  Metode  ini  memiliki  muatan pengenalan fakta bilangan bulat, dan operasi. Jumlah kartu yang tidak memiliki pasangan merupakan hasil dari operasi jumlah yang diselesaikan. Metode kartu berpasangan  ini  dapat  memanfaatkan  hukum kanselasi  (pembataan).  Relasi  antar  dua  bilangan bulat  akan  sukar  dilakukan  pada  metode  ini.  Oleh karena  itu  metode  ini  tidak  dapat  digunakan  untuk menentukan  pengurutan  bilangan  bulat.  3)  Metode maju-mundur.  Metode  ini  mempunyai  muatan pengenalan  fakta  bilangan  bulat  dan  operasi bilangan  bulat.  Metode  maju  mundur  ini  akan membedakanantara  tanda  penjumlahan  dan  selisih (pengurangan)  dengan  tanda  bilangan  positif  dan tanda  bilangan  negatif  pada  operasinya.  Tanda bilangan  positif akan ditunjukan dengan melangkah maju  dan  tanda  bilangan  negatif  akan  ditunjukan dengan  melangkah  mundur,  sedangkan  operasi jumlah  berarti  menghadap  ke  kanan  dan  operasi pengurangan  berarti  menghadap  ke  kiri.Metode maju  mundur  ini  sukar  untuk  menentukan  relasi antara  bilangan  negatif  dan  bilangan  positif.  Oleh karena itu pengurutan bilangan bulat menggunakan metode ini tidak selalu dapat dilakukan.
Jurnal  penelitian  ini  akan  mendeskripsikan hasil  observasi  terhadap  pengalaman  belajar  siswa atas bilangan bulat yang dilaksanakan oleh yaitu: 1) mengorderkan  bilangan  bulat;  2)  konsistensi menjumlahkan  bilangan  bulat  menggunakan  garis
bilangan; 3) mental model siswa pada pembelajaran bilangan bulat.

## METODE PENELITIAN

## Jenis Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  qualitatif yang berwujud ethnografi (Creswell, 2012, h.461).

## Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini berlangsung selama 2 tahun yatiu 2017/2018 dan 2018/2019 pada awal pemberlakuan  k13  pada  4  sekolah  dasar  lingkup Dinas Pendidikan Kota Baubau kota baubau.

## Target/Subjek Penelitian
Penelitian  yang  dilakukan  pada  tahun 2017/2018  yaitu  observasi  pembelajaran  bilangan bulat  kelas  V  (lima)  pada  sekolah  dengan  kategori sekolah  percontohan  yang  menggunakan  K13, sekolah dengan prestasi baik dan sekolah biasa yang menggunakan  kurikulum  2006.  Penelitian  yang dilakukan  pada  tahun  2018/2019  yaitu  observasi pembelajaran  bilangan  bulat  kelas  6  pada  Sekolah dasar  menggunakan  kurikulum  K13    hasil  revisi. Sekolah  tersebut  diklasterisasi  kemudian  dipilih secara  random  satu  dari  klaster  tersebut  untuk menjadi sampel.

## Prosedur
Pembelajaran  terselenggara  secara  alamiah tanpa  adanya  intervensi  pada  guru  dan  siswa  oleh pihak  peneliti.  Peneliti  akan  mengobservasi pembelajaran  dan  mencatat  hasil  observasi menggulanan  lembar  observasi  yang  telah tervalidasi.  Peristiwa  istimewa  yang  tidak  termuat pada  lembar  observasi  akan  dicatat  menggunakan lembar  catatan  lapangan.  Observasi  dilaksanakan setiap  kali  terselenggaranya  kegiatan  pembelajaran bilangan  bulat.  Kegiatan  pembelajaran  bilangan bulat    berlangsung  selama  7  kali  pertemuan  untuk setiap sekolah.

## Data, Intrumen, dan Teknik Pengumpulan Data
Data  penelitian  ini  merupakan  data  qualitatif. Data  hasil  observasi  terdiri  atas  dua  macam  data yaitu  data  kegiatan  yang  dilakukan  pada pembelajaran  dan  data  peristiwa  istimewa.  Data observasi  akan  diperoleh  dari  instrumen  lembar observasi yang berwujud terlaksana atau tidak suatu kegiatan  yang  telah  tercantum  pada  lembar observasi  tersebut.  Jika  terdapat  kejadian-kejadian istimewa dan kejadian tersebut belum termuat pada instrumen lembar observasi maka kejadian tersebut akan  dicatat  pada  instrumen  lembar  catatan lapangan.  Data  cacatan  lapangan  tersebut  akan berupa  cacatan  wawancara  terhadap  subjek penelitian.  Wawancara  tersebut  bersifat  tidak terstruktur.

## Abdurahman Askois

## Teknik Analisis Data
Data  observasi  yang  diperoleh  dari  instrumen lembar  observasi  akan  dianalisis  menggunakan statistik  deskriptif.  Data  catatan  lapangan  yang diperoleh dari instrument cacatan lapangan  selama 7 kali pertemuan akan di kelompokkan bersadarkan karakteristiknya. Tentunya pengelompokkan tersebut  terjadi  setelah  data  tertentu  mengalami pereduksian.  Pereduksian  data  tidaklah  berarti perubahan  data.  Pereduksian  ini  dilakukan  dengan tujuan untuk mempermudah pengelompokkan data.

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pelaksanaan pembelajaran menggunakan kurikulum  K13  di  Kota  Baubau  dimulai  pada  tahun pelajaran  2016/2017  dengan  melibatkan  sebagian kecil  sekolah  yang  ada,  sedangkan  sebagian  besar beberapa  sekolah  lainnya  masih  menggunakan kurikulum  2006.  Sekolah  yang  menggunakan kurikulum  2006,  materi  dan  buku  teksnya  telah dikenal  oleh  guru,  sehingga  pembelajarannya mengikuti  muatan  yang  sersaji  secara  umum  pada buku  teks  tersebut.  Hal  beberbeda  terjadi  pada sekolah yang menggunakan K13. Guru pada sekolah tempat  penelitian  belum  mengenal  dan  mengetahui muatan  materi  yang  seharusnya  diberikan.  Hal tersebut disebabkan oleh penyelenggaraan pembelajarannya berlangsung secara terpadu. Buku teks  memuat  materi  terpadu  tanpa  memberikan kejelasan    muatan  materi.  Hal  yang  lebih mempengaruhi  pembelajaran  tersebut  yaitu  guru juga belum mengetahui silabus K13 tersebut.
Pelaksanaan  pembelajaran  bilangan  bulat  oleh guru  sekolah  yang  belum  mengetahui  muatan kurikulum  k13  yaitu  dengan  melaksanakan pembelajarannya  menggunakan  muatan  kurikulum 2006.  Guru  mengalami  kendala  atas  perluasan pengembangan  materi  yang  menjadi  rujukan kompetensi  yang  diharapkan  oleh  kurikulum  K  13 tersebut. Muatan pelajaran tersebut juga menyesuaiakan  dengan  bahan  bacaan  guru  yang diperolehnya melalui internet.
Tata  urutan  materi  yang  guru  sajikan  kepada siswa pada penelitian ini yaitu pengenalan bilangan bulat,  ordering/mengurutkan  bilangan  bulat  dan operasi  pada  bilangan  bulat.  Operasi  ini  meliputi operasi  penjumlahan,  pengurangan.  Observasi pembelajaran  tersebut  dideskripsikan  sebagai berikut.
Pengenalan  bilangan  bulat  dilakukan  dengan bahasan  lambang  bilangan  bulat.  Pada  bahasan  ini, siswa  mengenal  anggota  himpunan  bilangan  bulat beserta  cara  penyajiannya  menggunakan  garis bilangan.  Guru  mengenalkan  simbol  bilangan  bulat, kemudian  menyebutkanya  (cara  membaca  bilangan tersebut) dan mengenalkan susunannya menggunakan  garis  bilangan.Anggota  himpunan
tersebut terbagi menjadi 3 kelompok yaitu bilangan negatif yang memiliki tanda “-“, bilangan nol (0) dan bilangan positif dengan penandaan seperti bilangan yang  telah  siswa  kenal  terlebih  dahulu.  Anggota bilangan  bulat  tersebut  diurutkan  mulai  dari  kiri berjajar  ke  kanan  dimana  bilangan  yang  bertanda negatif  tetapi  magnitudonya  lebih  kecil  berada  di sebelah  kanannya,  kemudian  berturut-turut  hingga nol  (0)  kemudian  dilanjutkan  dengan  bilangan positif  berajajar  ke  kanan  dimana  bilangan  yang lebih besar modulonya berada di sebelah kanannya. Pegenalan bilangan tersebut menggunakan lambang juga disertai petunjuk verbal cara penyebutannya.
Gambar 1. Pengenalan fakta bilangan bulat
Gambar 2. Penyajian bilangan bulat
Pengenalan bilangan yang bertanda misalnya “- 5”  dikenalkan  dengan  verbal  “minus  lima”  dan  juga “negatif  lima”.  Representasi  bilangan  bulat  positif menggunakan konteks juga dikenalkan kepada siswa melalui penggunaan istilah maju atau  ke kanan atau ke  atas.  Representasi  bilangan  bulat  negatif menggunakan konteks juga dikenalkan kepada siswa melalui  penggunaan  istilah  mundur,  atau  ke  kiri, atau ke bawah.
Gambar  3  merupakan  jawaban  dari  seorang siswa  yang  melengkapi  keterurutan  bilangan  bulat atas  permasalahan  yang  diberikan  guru.  Bilangan yang  akan  dilengkapi  oleh  siswa  tersaji  melalui tanda  garis  bawah.  Garis  bilangan  yang  telah dilengkapi siswa akan tampak melalui bilangan yang memiliki  tanda  garis  bawah  pada gambar  3  di  atas. Jawaban pada soal nomor 1, 2, dan 3 tampak sebagai penyelesaian yang benar, namun pada soal nomor 4, penyelesaian yang salah. Saat dikonfirmasi ke siswa,
terjadi dialog antara siswa (S) dan guru (P) sebagai berikut :
Gambar 3. Lembar jawaban Siswa
P  :  ”coba periksa kembali jawaban yang kamu kerjakan”. S   :  (terdiam beberapa saat) “Iya, sudah benarmi”.
P   :  ”coba periksa pekerjaannmu untuk soal nomor 1”.
S   :  “cocok Pak Guru, sudah terurut. 1, 2, 3, 4, 5 (dimulai dari  nol  ke  kanan)  1,  2,  3,  4,  5  (dimulai  dari  nol  ke kiri). Iya benarmi Pak Guru”.
P   :  ”Bagaimana dengan yang nomor 4?”
S   :  “sudah terurut juga.1, 2, 3, 4, 5”.
P   :  ”yakin begitu jawabamu?” S  :  “kan lengkap semuanya, tidak ada yang terlewatkan, semua dari 1 sampai 5. Begini jawabannya benar”. P   :  ”bagaimana dengan penandaan negatifnya?” S   :  “sudah cocok, di sebelah kiri”.
Dialog  tersebut  menunjukan  bahwa  siswa tersebut  masih  kurang  memahami  penanda  negatif bilangan  bulat.  Jawaban  soal  nomor  1,  2  dan  3 dilakukan  dengan  baik  karena  bilangan  paling  kiri pada  garis  bilangan  telah  ditentukan  oleh  soal, sedangkan  pada  soal  nomor  4,  bilangan  paling  kiri haruslah  dilengkapi  oleh  siswa.    Siswa  melakukan kecerobohan  dan  mental  modelnya  tergolong sebagai sintetis.
Pengenalan  bilangan  secara  ordering  atau keterurutan    membesar/mengecil  telah  dilakukan oleh  siswa  pada  saat  mempelajari  fakta  bilangan bulat,  namun  kesadaran  akan  keterurutan  belum begitu  baik.  Penyajian    keterurutan/naik  monoton bilangan  bulat  menggunakan  garis  bilangan  kurang mendapat  perhatikan  yang  serius  oleh  siswa.  Siswa lebih  melihat  bahwa  penyajian  ordering  bilangan bulat  menggunakan  garis  bilangan  hanya  sebagai pernyataan  melengkapi  isian  saja.  Dengan  kata  lain tugas  melengkapkan  bilangan  pada  garis  bilangan hanyalah  sebagai  pola  bilangan  yang  tidak memberikan  hasil  pembelajaran  yang  diharapkan kepada siswa. Tugas sedemikian itu tampak menjadi tidak  memberikan  pengalaman  belajar  siswa  yang bernilai  bagi  kelangsungan  pembelajarannya  di kemudian hari.
Gambar 4. Relasi bilangan bulat Gambar 4 menyajikan pengalaman siswa dalam melakukan  relasi  bilangan  bulat.  Siswa  yang melakukan kesalahan saat mengerjakan permasalahan  relasi  menggunakan  tanda  “<”  atau “>”  masih  cukup  banyak  yaitu  sebesar  75%. Kesalahan tersebut ditunjukkan oleh gambar 4a dan 4b    dan  4c  di  bawah  ini.  Hasil  konfirmasi  atas kesalahan  tersebut  diperoleh  bahwa  siswa  yang mengerjakan relasi seperti tampak pada gambar 4a dan  4b,  mereka  hanya  melihat  magnitudo  bilangan yang  direlasikan,  dan  mengabaikan  penandaan negatifnya.  Namun  pada  gambar  4c,  siswa  telah memahami  relasi  bilangan  bulat.  Kesalahan  yang diakukannya  adalah  kesalahan  memahami  penanda relasi.  Hasil  konfirmasi  yang  peneliti  lakukan terhadap  siswa  tersebut  diperoleh  bahwa  penanda tersebut  diasosiasikan  seperti  tanda  anak  panah. Dengan  kata  lain,  ujung  runcingnya  menunjukkan arah  pilihan  (bilangan  yang  lebih  besar)  atas  relasi yang  ada.  Siswa  yang  menjawab  seperti  disajikan pada gambar 4a dan 4b, berada pada mental model inisial  sedangkan  siswa  yang  menjawab  seperti sajian gambar 4c berada pada mental model formal. Siswa  yang  memberikan  hasil  seperti  pada  gambar 4c tersebut melakukan kekeliruan dalam penempatan tanda relasi. Siswa tersebut menyatakan  bahwa  tanda  tersebut  dimaksudkan mengarahkan  pilihan.  Informasi  yang  diperoleh melalui  wawancara  bahwa  tanda  relasi  tersebut diasosiasikan  dengan  tanda  anak  panah.  Siswa tersebut  menyatakan  bahwa  138  lebih  besar  dari 135  karena  138  bernilai  positif  sedangkan  135 bernilai  negatif.  Siswa  ini  melakukan  kesalahan dalam pemaknaan tanda relasi, meskipun guru telah mengenalkan  makna  relasi  tersebut  sebelum dilaksanakan latihan mandiri oleh siswa.
Siswa  menggunakan  alat  bantu  garis  bilangan untuk  mengurutkan  bilangan  bulat.  Gambar  5 tersebut  mempertunjukkan  bahwa  penanda  negatif suatu  bilangan-bilangan  tersebut  masih  sangat belum  disadari  siswa.  Dengan  kata  lain  siswa tersebut  memandangnya  sebagai  bilangan-bilangan positif  (magnitudonya  saja).  Siswa  ini  berada  pada mental model inisial. Kesalahan yang dilakukan oleh siswa tersebut tergolong sebagai kesalahan konsep.
Gambar 4. Relasi bilangan bulat a c b

## Gambar 5. Menggurutkan bilangan bulat
Keterampilan  siswa  terhadap  pengoperasian bilangan  bulat  disajikan  sebagaimana  yang  tampak pada  gambar-gambar  hasil  pekerjaan  siswa  atas permasalahan yang diberikan oleh guru di bawah ini.
Gambar 6. Operasi penjumlahan bilangan negatif dan positif
Gambar  6  di  atas  menunjukan  bahwa  siswa yang menjawab tersebut berada pada mental model inisial.  Siswa  ini  sudah  mengenal  bilangan  bulat negatif,  namun  pada  pengoperasian  bilang  bulat tersebut  melakukan  kesalahan  konsep.  Hasil konfirmasi  bagaimana  jawaban  tersebut  memelui wawancara Peneliti (P) dan Siswa (S) yaitu: P   :  “Bagaimana jawaban saudara ini?” S   :  “Soalnya  -4 ditambahkan dengan 3. -4 itu berarti ke kiri dan 3 itu ke kanan”
P   :  “tanda  panah  yang  menunjukkan  3  itu  ke  kiri, mengapa demikian?”
S   :  “3 itu ke kanan”
P   :  “saudara  maksud  ke  kanan,  tetapi  arah  panah  yang tergambar mengarah ke kiri.
S   :  “iya  panah  itu  untuk  jawabannya,  karena  4  maka panahnya  ke  kiri,  jadi  tiga  juga  panahnya  ke  kiri supaya sama.
P  :  “Panah  pada  3  tidak  sampai  pada  bilangan  nol, mengapa demikian?
S   :  “kan  bilangannya  3  jadi  1,  2,  3  (mulai  menghitung pada garis bilangan dengan menunjuk bilangan satu pada saat membilang satu dan seterusnya)”
P  :  “menghitung  pada  garis  bilangan  dimulai  dari mana?”
S   :  “Terdiam  dan  mengatakan  “oh  iya.  Harusnya garisnya  ini  jadi  sambung  (sambil  menunjuk  anak panah    paling  kanan  dan  titik  pangkal  anak  panah paling kiri)”
P  :  “Bagaimana  saudara  menentukan  jawaban  ini (menjuk soal)”
S  :  “1,  2,  3,  4,  5,  6,  7  (menghitung  yang  diawali  dari bilangan  4  di  sebelah  kiri  nol  menuju  ke  kanan hingga ke bilangan 3). Jadi jawabannya 7.
Kesalahan  siswa  tersebut  juga  tampak  saat tidak  melengkapkan  tanda  pada  bilangan  negatif. Saat  dikonfirmasi,  siswa  tersebut  menyatakan bahwa bilangan yang berada di sebelah kiri tersebut merupakan bilangan negatif. Siswa tidak melengkapi bilangan  di  sebelah  kiri  dengan  tanda  “-“  dengan alasan  bahwa ke kiri itu negatif sehingga tidak perlu memberikan  tanda  tersebut.  Hal  ini  menunjukkan bahwa  siswa  pada  pembelajaran  bilangan  bulat masih  saja  mempertahankan  mental  bilangn  asli
atau  mental  modelnya  berjenis  inisial.  Kesalahan siswa  tersebut  tergolong  kesalahan  konsep  atas operasi jumlah.
Gambar 7. Operasi jumlah dua bilangan bulat positif Gambar  7  di    atas  merupakan  proses  operasi penjumlahan  dua  bilangan  bulat  positif.  Pada gambar jelas menunjukkan bahwa siswa mengerjakan operasi dengan memulai pada bilangan yang  paling  kiri  kemudian  diakukan  penjumlahan dengan  bilangan  bilangan  yang  berada  di  sebelah kanan. Siswa tidak menunjukkan hasil penjumlahan dengan  garis  panah  berarah  meskipun  pada pembelajarannya guru melakukannya menggunakan garis panah berarah. Siswa mengkonfirmasi jawaban atas  permasalahan  tersebut  yaitu  dengan  melihat bilangan yang ditunjukkan oleh garis panah terakhir. Pada jawaban siswa terlihat bahwa bilangan terakhir yang  ditunjukan  oleh  garis  panah  teratas  adalah sejajar dengan bilangan 11. Oleh karena itu jawaban pertanyaan  5  +  6  =  11.  Kegiatan  tersebut menampakkan  bahwa  siswa  tersebut  mampu menunjukkan  kecakapan  atas  operasi  bilangan secara  matematika  tidak  lagi  bersifat  kaku,  proses pengerjaannya selalu dimulai dari sebelah kiri. Siswa ini  telah  memiliki  keterampilan  operasi  yang tergolong lancar secara prosedural. Jawaban di atas sukar  untuk  mementukan  jenis  mental  model  yang dimilikioleh  siswa  tersebut.  Namun  hasil  lembar jawaban  siswa  yang  teramati  tampak  bahwa  siswa ini memiliki mental model formal.
Gambar  8  menunjukkan  proses  operasi penjumlahan dua bilangan bulat  yaitu bilangan bulat positif  dan  bilangan  negatif.  Pada  gambar  jelas menunjukkan  bahwa  siswa  mengerjakan  operasi dengan  memulai  pada  bilangan  yang  paling  kiri kemudian  diakukan  penjumlahan  dengan  bilangan bilangan yang berada di sebelah kanan. Siswa tidak menunjukkan hasil penjumlahan dengan garis putus- putus    meskipun  pada  pembelajarannya  guru melakukannya menggunakan garis panah berarah.
Gambar 8. Operasi jumlah dua bilangan bulat
Siswa mengkonfirmasi jawaban atas permasalahan  tersebut  melalui  dialog  peneliti  (P) dan Siswa (S) sebagai berikut:
P   :  “Apakah jawaban yang saudara buat sudah benar?”

## Abdurahman Askois
S  :  “Ya”
P  :  “Bagaimana  saudara  melakukan  penjumlahan tersebut?”
S  :  “ Dari nol ke kiri 4 kemudian dari 4 ke kanan 2. Jadi hasilnya dari nol ke kiri 2”
P  :  “Jika  keduanya  diberikan  garis  panah  berarah, mengapa  jawabannya  tidak  memiliki  garis  panah berarah?”
S   :  “ iya. Ini akan menjadi jawaban.
P  :  “bagaimana  saudara  mengetahui  jawabannya,  -2 padahal  yang  terulis  pada  garis  putus-putusnya  itu bilangan 2?”
S  :  “iya  kan  dua  tapi  arahnya  ke  kiri.  Jadi  jawabannya adalah -2”
Dialog  di  atas  terlihat  bahwa  siswa  dapat menggunakan  garis  bilangan  sebagai  media  alat bantu  perhitungan  operasi  bilangan  bulat  yang diberikan. Siswa  menuliskan  jawaban  yang  nampak berbeda  dengan  hasil  pada  alat  bantu.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  siswa  tersebut  telah  mampu mengenal bilangan bulat dan operasi penjumlahannya.  Model  mental  siswa  ini  telah berada pada model formal.
Gambar  9  menampilkan  jawaban  siswa  bahwa dia  telah  memiliki  mental  model  formal.  Hasil konfirmasi atas jawaban siswa tersebut bahwa  garis putus-putus  tersebut  hanyalah  besarannya  saja, sedangkan  jawabannya  akan  ditentukan  oleh  arah garis putus-putus tersebut dari bilangn nol.
Gambar 9. Operasi jumlah dua bilangan bulat Pada soal  nomor 2, garisnya dari nol ke kanan sehingga  hasilnya  positif.  Pada  soal  nomor  3, garisnya  dari  nol  ke  kiri  sehingga  hasilnya  negatif. Hal ini tampak bahwa siswa tersebut menggunakan garis  bilangan  sebagai  alat  bantu  perhitungan bilangan bulat.
Gambar 10. Konsistensi hasil penjumlahan
Kesalahan  jawaban  siswa  seperti  yang ditunjukkan  pada  gambar  10a  dan  10b  adalah kesalahan  konsitensi.  Gamba  10a  menunjukkan bahwa  yang  ditunjukkan  arah  panah  adalah  -5 manun  di  beri  tanda  (besar)  -2,  sementara  arah panah  adalah  -2  diberi  tanda  (besar)  -5.  Hasil konfirmasi  siswa  diperoleh  sebelum  jawaban  siswa diperiksa  oleh  guru  bahwa  penanda  pada  garis panah  berarah  mengikuti  urutan  soal,  jadi pemberian  tanda  -5  kemudian  -2  dilakukan  oleh siswa  karena  pada  soal  tertulis  -5  +  (-2).  Tampak bahwa ketidak konsistenan siswa yang memberikan penanda  -2    pada  anak    panah  yang  menunjuk  -5. aiswa tersebut tidak menyadari kekeliruan tersebut. Nilai  7  sebagai  jawaban  atas  soal  tersebut  juga disadari  oleh  siswa  sebagai  kekeliruan  sebagai akibat  ketergesa-gesaan.  Kesalahan  yang  dilakukan oleh  siswa  tersebut  terolong  sebagai  kecerobohan. Mental model siswa tergolong sebagai mental model formal.
Gambar  10b  menunjukan  bahwa  siswa  belum memiliki  pemahaman  atas  bilangan  bulat.  Siswa tampak  dengan  sangat  kuatnya  mempertahankan konsep bilangan asli pada mentalnya. Siswa mampu menggambar  garis  bilangan  tersebut  sebagai keterampilan  dril  dari  guru.  Soal  ini  merupakan materi  penjumlahan  bilangan  bulat  negatif    dengan bilangan  bulat  negatif.  Hasil  konfirmasi  peneliti  (P) terhadap siswa (S) diperoleh sebelum jawaban siswa diperiksa oleh guru:
P   :  “Bagaimana  saudara  menggambar  ini  (menunjuk jawaban siswa)”
S   :  “Seperti itu yang dipapan tulis” P   :  “Bagaimana  ini  ada  garis  (pada  bilangan  4  dan bilangan 10 dan bilangan nol).
S   :  “Seperti itu.  Mulai  dari  nol,  kemudian ke  kiri  4,  dan ke kiri lagi 6.”
P   :  “Mengapa  begini  (mennjuk  blangan  yang  berada  di atas tanda anak panah).
S   :  “kan ini (menunjuk pada soal) ditambah  dengan ini. jadi  ini  4  dan  ini  6  (menunjuk  pada  jawaban  garis bilangan)”
P  :  “hasil 10 ini bagaimana” S   :  “iya kan, 4 + 6 hasilnya 10”
P   :  “apakah hasilnya positif atau negatif?”
a
b Gambar 10 Konsistensi hasil penjumlahan

## Abdurahman Askois
S   :  “10” P   :  “10  ini  berada  disebeleh  kiri  atau  disebelah  kanan nol?”
S   :  “sebelah kiri” P  :  “jadi, bagaimana jawaban saudara?” S   :  “Benar 10.”
Siswa  tersebut  melakukan  kesalahan  yang tergolong  kesalahan  konsep  dan  mental  modelnya merupakan mental model inisial.
Penyelesaian  permasalahan  yang  berkaitan dengan  bilangan  bulat  berwujud  soal  kontekstual. Jawaban siswa ditunjukkan oleh gambar 11 berikut. Siswa  tersebut  memiliki  mental  model  inisial. Kesalahan  yang  dilakukannya  adalah  kesalahan konsep.
Gambar 11. Penyelesaian soal cerit
Hasil  wawancara  menunjukkan  bahwa  siswa menyadari  adanya  bilangan  negatif  namun  dalam operasi  bilangan  bulat  siswa  tersebut  masih mempertahankan  sistem  bilangan  asli.  Hal  ini disimpulkan berdasarkan wawancara. Langkah awal penyelidikan dilakukan melalui pembacaan kembali kedua  permasalahan/soal  di  atas.  Siswa  mampu membaca  dengan  tepat  dan  tidak  mengabaikan penanda  negatif  bilangan  yang  ada.  Hasil  operasi yang  ditunjukan  bahwa  operasi  pengurangan bilangan hanya memperhatikan nilai bilangan tanpa penanda  negatifnya.  Informasi  wawancara  siswa menyatakan  bahwa  operasi  selisih  berarti  operasi pengurangan.  Oleh  karena  itu  yang  dilakukannya adalah  mengurankan  89  terhadap  57.  Proses pengurangannya  yang  dilakukan  secara  bersusun menggunakan sifat nilai tempat suatu bilangan. Nilai yang  paling  kiri  pertama-tama  yang  dilakukan pengurangan,  kemudian  nilai  yang  sebelah  kanan. Pengurangan  dilakukan  dengan  mengurangkan mengurangkan nilai yang terbesar kepada nilai yang lebih  kecil  tanpa  memperhatikan  objek  bilangan yang menjadi pengurangnya. Gambar menampakkan bahwa nilai 2 (satuan) diperoleh dari mengurangkan 9  dengan  7,  nilai  3  (puluhan)  diperoleh  dari mengurangkan 8 dengan 5.

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Operasi  bilangan  bulat  atau  aritmatika merupakan  ratunya  matematika.  Keterampilan aritmatika  ini  merupakan  modal  awal  untuk pengembangan  kompetensi  materi  matematika selanjutnya.  Namun  keterampilan  siswa  atas
bilangan bulat masih perlu mendapat perhatian yang serius.
Mental model yang terdapat pada siswa sekolah dasar lingkup Kota Baubau atas bilangan bulat yang belum sesuai harapan yaitu mental model inisial dan mental  model  sintetis.  Namun  demikian  terdapat juga  siswa  yang  memiliki  mental  model  formal. Beberapa  Siswa  masih  mempertahankan  bilangan asli  dalam  mentalnya  saat  mempelajari  sistem bilangan  bulat.  Beberapa  siswa  juga  manampakkan ketidakkonsistenanya dalam mengerjakan permasalahan  yang  diberikan.  Ketidak  konsistenan tersebut  berkaitan  dengan  pengggunaan  tanda negatif. Tanda ini merupakan penanda bilangan yang membedakan  bilangan  negatif  dan  positif.  Hasil penelitan  juga  memperlihatkan  bahwa  beberapa siswa tampak tidak mampu melihat tanda pembeda antar  bilangan  negati  dan  positif.  Hal  ini  berakibat pada keterampilan operasi matematika atas bilangan bulat.

## Saran
Hasil  penelitian  menunjukan  bahwa  beberapa pengalaman  belajar  yang  diperoleh  siswa  pada pembelajaran  bilangan  bulat  antara  lain  mental model  yang  belum  sesuai  harapan,  sebagian  siswa masih  mempertahankan  mental  bilangan  bulat,  dan ketidakkonsistenan  siswa.  Hasil  penelitian  ini memberi  pesan  bahwa  perlu  adanya  strategi  baru dalam  pembelajaran  bilangan  bulat,  terutama starategi pada pembelajaran operasi bilangan bulat.

## DAFTAR REFERENSI
Badriyah, L., Asari, A. R., Malang, U. N., Timur, J., & Susanto, H.  (2016). Profil  Kesalahan  Siswa  SMP  dalam Menyelesaikan  Operasi  Hitung  Bilangan . January 2017 . Bartle,  R.G;Shebert,  D.  .  (2011). Introduction  to  Real Analysis (4th ed.). John Wiley & son.
Bell,  Frederick,  H.  (1981). Teaching  and  learning Mathematics (in swcondary schools) . Wm. C. Brown.
Bofferding, L., & Bofferding, L. (2014). No Title . 45 (2014), 194–245.
Bolyard,  J.,  &  Moyer-Packenham,  P.  (2012).  Making  sense of  integer  arithmetic:  The  effect  of  using  virtual manipulatives on students’ representational fluency.
Journal  of  Computers  in  Mathematics  and  Science Teaching , 31 (2), 93–113. http://www.editlib.org/p/39192/paper_39192.pdf Creswell,  J.  .  (2012). Educational  Resarch (4th  ed.). Pearson.
Fraleigh; J.B;  Brand N.E. (2021). A First Course in Abstract algebra (8th ed.). pearson. Fuadiah,  N.  F.,  &  Suryadi,  D.  (2017). Some  Difficulties  in
Understanding Negative Numbers Faced by Students : A  Qualitative  Study  Applied  at  Secondary  Schools  in Indonesia . 10 (1), 24–38. https://doi.org/10.5539/ies.v10n1p24
Fuadiah,  N.  F.,  Suryadi,  D.,  &  Turmudi.  (2019).  Teaching
and learning activities in classroom and their impact on  student  misunderstanding:  A  case  study  on negative integers. International Journal of Instruction ,
12 (1), 407–424.
https://doi.org/10.29333/iji.2019.12127a
Lee,  J.  (2014). Explanations , illusion of explanations , and resistance :  Pre-service  teachers  ’  thoughts  on  models for  integer  operations  Explanations  ,  Illusion  of Explanations  ,  and  Resistance :  Pre-service  Teachers  ’
Thoughts on Models for Integer Operations . October . Norton,  A.,  &  Alibali,  M.  W.  (2019). Constructing number: Merging perspectives from psychology and mathematics education . 370. http://link.springer.com/10.1007/978-3-030-
00491-0
Retnowati, S., Amin, S. M., & Imah, E. M. (2018). The Role of Refutational  Text  as  a  Conceptual  Change  Effort  to Fix the Misconception on Addition and Subtraction of Integers. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 1108 (1). https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1108/1/012117
Rubin,  R.  J.,  Marcelino,  J.,  Mortel,  R.,  &  Lapinid,  M.  R.  C. (2014). Activity-Based  Teaching  of  Integer  Concepts and its Operations . 1–16. Schindler, M., Hußmann, S., Nilsson, P., & Bakker, A. (2017). Sixth-grade students’ reasoning on the order relation of  integers  as  influenced  by  prior  experience:  an inferentialist  analysis. Mathematics  Education
Research
Journal , 29 (4), 471–492. https://doi.org/10.1007/s13394-017-0202-x
Sulastri,  R.;  Mautia,  H.;  Johar,  R.;  Ikhsan,  M. ;Duskri.  . (2017). Identifikasi  Kendala  dan  Masalah  Dalam Proses Pembelajaran Matematika . 1 , 285–288.
Wulandari,  Y.  O.,  &  Damayanti,  N.  W.  (2019).  Scaffolding Based  on  Telolet  Game  in  Teaching  Integers. Malikussaleh  Journal  of  Mathematics  Learning
(MJML) ,
1 (2),
36–39.
https://doi.org/10.29103/mjml.v1i2.1175