Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 16, No. 1, Agustus 2019,  63-71
Pengaruh Pasif Kontrol terhadap Koefisien Hambat
Chairul Imron 1 *, Basuki Widodo 2 , Triyogi Yuwono 3
1,2 Departemen Matematika ITS Surabaya Indonesia
3 Departemen Teknik Mesin ITS Surabaya Indonesia e-mail: 1 imron-its@matematika.its.ac.id, 2 b_widodo@matematika.its.ac.id, 3 triyogi@me.its.ac.id

## Abstrak
Salah satu cara untuk mengurangi koefisien hambat adalah dengan menambahkan obyek kecil yang dinamakan  pasif  kontrol.  Tiga  pasif  kontrol,  terdiri  satu  pasif  kontrol  berbentuk  silinder  tipe-I diletakkan di  depan  dan  dua  silinder  sirkular  diletakkan  di  belakang  silinder  sirkular  utama.  Diameter  silinder sirkular  utama  adalah  D  dan  tiga  silinder  pasif  kontrol  berdiameter 𝑑  =  𝐷/8 .  Rasio  jarak  antara  pasif kontrol di depan dengan silinder sirkular utama adalah 𝑆/𝐷 = [0.6,3.0] dan dua pasif kontrol di belakang silinder sirkular yaitu 𝑇/𝐷 = [0.6,2.1] dan besar sudut α= 15 ° , 30 ° , 45 ° dan 60 ° . Bilangan Reynolds yang digunakan  adalah  Re  =  1000.  Konfigurasi  yang  tepat  untuk  menurunkan  koefisien hambat terjadi ketika rasio  jarak 𝑆/𝐷 = 1.8 dan 𝑇/𝐷 = 1.5 dengan 𝛼 = 30° . Koefisien hambat yang diterima silinder sirkular dapat berkurang hingga 42.98%.
Kata Kunci : Pasif Kontrol,  Silinder  Sirkular,  Simulasi  Numerik,  Persamaan Navier-Stokes

## Abstract
One way to reduce the drag coefficient is to add a small object called passive control. Three passive controls, consisting of a type-I cylindrical are placed in front a n d two  circu lar cylinders a re placed  behind the main circular cylinder. The diameter of the main circular cylinder is D and  the diameter of the three passive controls are d = D /8. The distance ratio between th e p assive con tro l in front of the main circular cylinder is S / D = [0.6,3.0] and two passive controls behind the circular cylinder, T / D = [0.6,2.1] with  the angle α = 15 °, 30 °, 45 ° and 60 °. The Reynolds number used is Re = 1000. The best configuration to reduce the drag coefficient occurs when the distance ratio S / D = 1 .8 and T / D = 1.5 with α = 30 °. The drag coefficient received by the circular cylinder can be reduced to 42.98%.
Keywords : Passive Control, Circular Cylinder, Numerical Simulation, Navier-Stokes Equation

## 1 Pendahuluan
Penelitian  tentang  fenomena  aliran  fluida  melintasi  permukaan  luar  suatu  benda  telah berubah  dengan  cepat  setelah  konsep  lapisan  batas  ditemukan.  Konsep  lapisan  batas  berhasil mengungkapkan  beberapa  jawaban  tentang  pengaruh  tegangan  geser  terhadap  karakteristik  aliran fluida  di  sekitar  objek.  Penelitian  aliran  fluida  melintasi  objek  tunggal  berbentuk  silinder  sirkular telah  banyak  dilakukan  [1].  Penelitian  lainnya  antara  lain  modifikasi  objek  silinder  sirkular dalam  bentuk  silinder  tipe-D  atau  tipe-I  [2,3],  aliran  fluida  melalui  lebih  dari  satu  silinder  dengan ukuran  yang  sama atau  berbeda konfigurasi  dalam  posisi  side-by-side  atau  tandem  [3,4,5,6,7].

## Pengaruh Pasif Kontrol Terhadap Koefisien Hambat
Aliran  fluida  yang  melintasi  objek  menimbulkan  gaya  hambat  yang  dapat  menyebabkan kekuatan  objek  berkurang.  Untuk  itu,  koefisien  hambat  yang  diterima  objek  perlu  dikurangi dengan  cara  meletakkan  pasif  kontrol  di  sekitar  objek.  Pasif  kontrol  berbentuk  silinder  sirkular kecil  diletakkan  di  sekitar  silinder  sirkular  utama.  Hasilnya,  penambahan  pasif  kontrol  tersebut dapat  mengurangi  koefisien  hambat  dibandingkan  dengan  tanpa  pasif  kontrol,  dengan  diameter silinder  dan  bilangan  Reynolds  yang  sama  [4].  Pada  beberapa  macam  bilangan  Reynolds  yang berbeda  yaitu 1.5 × 10 4 − 6.2 × 10 4 .  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  variasi  bilangan Reynolds 𝑅𝑒 > 3 × 10 4 menyebabkan  koefisien  tekanan  minimum  [8].  Penelitian  lainnya, dengan  modifikasi  pasif  kontrol  menjadi  silinder  tipe-D,  koefisien  hambat  mampu  berkurang hingga  7%  dibandingkan  tanpa  pasif  control  [6].  Modifikasi  pasif  kontrol  menjadi  silinder  tipe-I dengan  meletakkan  pada  jarak  tertentu  dapat  mengurangi  koefisien  hambat  yang  diterima silinder  sirkular  utama  paling  optimal  [7].  Pada  paper  ini,  aliran  fluida  melalui  silinder  sirkular dan  tiga  pasif  kontrol  pada  bilangan  Reynolds  1000.  Penambahan  pasif  kontrol  bertujuan  untuk mengurangi  koefisien  hambat  lebih  optimal.

## 2 Metode Penelitian
Berikut  ini  diberikan  beberapa tahapan  dalam  pembuatan  paper ini  yaitu  sebagai  berikut
2.1 Persamaan  Matematika
Persamaan  matematika  untuk  aliran  fluida  berdasarkan  persamaan  Navier-Stokes  non- dimensional  untuk  fluida steady dan incompressible .
𝜕𝑢⃗⃗ 𝜕𝑡 + (∇𝑢⃗ )𝑢⃗  + ∇p = 1 Re ∇ 2 𝑢⃗ ∇u⃗  = 0
Dimana 𝑢⃗ adalah  komponen  vektor  kecepatan  aliran  pada  arah  sumbu- 𝑥 dan  sumbu- 𝑦 , 𝑝 adalah  tekanan  fluida  yang  diterima  permukaan  dan 𝑅𝑒 adalah  bilangan  Reynolds.

## 2.2 Penyelesaian  Numerik
Persamaan  Navier-Stokes  diselesaikan  dengan  menerapkan  algoritma  SIMPLE  dan didiskritkan  menggunakan  skema  beda  hingga  [14].  Alur  algoritma  SIMPLE  dimulai  dengan menyelesaikan  persamaan  adveksi-diffusi  untuk  memperoleh  kecepatan  sementara  pada  sumbu- 𝑥 dan sumbu- 𝑦 .
𝑢⃗ 𝑖,𝑗 ′ − 𝑢⃗ 𝑖,𝑗 𝑛 ∆𝑡 = − (𝑢 𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑦 ) + 1 𝑅𝑒 ( 𝜕 2 𝑢⃗ 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢⃗ 𝜕𝑦 2 )
Persamaan  (3) didiskritkan  dengan  skema  beda hingga  sebagai  berikut:
(2)
(3)
(1)
𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑥 = 2𝑢⃗ 𝑖+1,𝑗 𝑛 + 3𝑢⃗ 𝑖,𝑗 𝑛 − 6𝑢⃗ 𝑖−1,𝑗 𝑛 + 𝑢⃗ 𝑖−2,𝑗 𝑛 6∆𝑥 𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑦 = 2𝑢⃗ 𝑖,𝑗+1 𝑛 + 3𝑢⃗ 𝑖,𝑗 𝑛 − 6𝑢⃗ 𝑖,𝑗−1 𝑛 + 𝑢⃗ 𝑖,𝑗−2 𝑛
6∆𝑦 𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑥 = 𝑢⃗ 𝑖+1,𝑗 𝑛 − 2𝑢⃗ 𝑖,𝑗 𝑛 + 𝑢⃗ 𝑖−1,𝑗 𝑛 (∆𝑥) 2 𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑦 = 𝑢⃗ 𝑖+1,𝑗 𝑛 − 2𝑢⃗ 𝑖,𝑗 𝑛 + 𝑢⃗ 𝑖−1,𝑗 𝑛
(∆𝑦) 2
Langkah  selanjutnya  yaitu  menyelesaikan  persamaan  poisson  untuk  memperoleh  tekanan berdasarkan  kecepatan  yang  diperoleh  sebelumnya.
∇𝑢⃗ ′ ∆𝑡 = −∇ 2 𝑝
∇ 2 adalah  operator  laplace.  Persamaan  (4)  didiskritkan  dengan  menerapkan  skema  sebagai berikut
∇ 2 𝑝 = 𝑝 𝑖+1,𝑗 + 𝑝 𝑖−1,𝑗 + 𝑝 𝑖,𝑗+1 + 𝑝 𝑖,𝑗−1 − 4𝑝 𝑖,𝑗 (∆𝑥) 2
Langkah  terakhir  yaitu  melakukan  koreksi  komponen  kecepatan  dengan  persamaan  sebagai berikut
𝜕𝑢⃗ 𝜕𝑡 = −∇𝑝

## 2.3 Domain  dan Syarat  Batas
Simulasi  aliran  fluida  diterapkan  pada  area  domain  ukuran  20Dx10D,  dengan  D  adalah diameter  silinder  sirkular.  Pada  domain  ukuran  tersebut  dibagi  menjadi  800x400  grid  seragam. Silinder  sirkular  diletakkan  pada  posisi  4D,  5D,  pasif  kontrol  diletakkan  di  depan  silinder  dan  di belakang  silinder  pada  jarak  yang  berbeda-beda.  Skema  tersebut  dapat  dilihat  di  hasil  dan pembahasan.  Dalam  simulasi  ini,  diasumsikan  aliran  fluida  mengalir  dengan  kecepatan  yang sama  di  daerah  bebas,  dan  fluida  yang  berada  di  titik  stagnasi  permukaan  silinder  sirkular memiliki  kecepatan  nol.  Dengan  asumsi-asumsi  ini,  kecepatan  aliran  fluida  yang  berada  di sekitar  permukaan  silinder  sirkular  akan melambat.

## 2.4 Validasi
Hasil  penyelesaian  numerik  divalidasi  dengan  membandingkan  hasil  koefisien  hambat yang  diterima  silinder  sirkular  tunggal  tanpa  pasif  kontrol  dengan  hasil  penelitian  lainnya  pada bilangan  Reynolds  100.  Skema  aliran  fluida  yang  melalui  silinder  sirkular  tanpa  pasif  kontrol dapat dilihat  pada Gambar  1.
(4) (5)
Gambar  1 Skema Aliran  Fluida  Melintasi  Silinder  Sirkular  Tunggal
Tabel  1. Perbandingan  Koefisien  Hambat  Pada Bilangan  Reynolds  100 Peneliti Koefisien  Hambat  (Re=100) Koefisien  Hambat  (Re=1000) Penelitian  saat ini 1.358 1.21 Lima,  dkk.[11] 1.39 - Zulhidayat, dkk.[12] 1.4 - Sintu, dkk.[13] 1.431 -
Berdasarkan    Tabel  1, error  relative hasil  koefisien  hambat  yang  diperoleh  penelitian  saat ini  tidak  melebihi  5.2%.  maka,  penyelesian  numerik  persamaan  Navier-Stokes  dengan  algoritma SIMPLE  dan  metode  beda  hingga  dapat  digunakan  untuk  menghitung  koefisien  hambat  yang diterima  silinder  sirkular  dengan  pasif  kontrol.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Tata  letak  pasif  kontrol  yang  tepat  dapat  mempengaruhi  penurunan  koefisien  hambat  yang optimal.  Pasif  kontrol  tunggal  yang  diletakkan  di  depan  silinder  pada  jarak  yang  bervariasi ditunjukkan  pada  Gambar  2.  Bentuk  pasif  kontrol  tersebut  adalah  modifikasi  dari  silinder sirkular  kecil  berdiameter 𝑑 yang  dipotong  bagian  depan  dan  bagian  belakang  dengan  sudut potong 53° . Sehingga,  terbentuk  silinder  tipe-I, dimana 𝑑 = 0.125𝐷 .
Gambar  2 Skema Aliran  Fluida  Melintasi  Silinder  Sirkular  dan Pasif  Kontrol  Tunggal
Variasi  rasio  jarak  silinder  sirkular  dan  pasif  kontrol  adalah 𝑆/𝐷 = [0.6,3.0] dengan increment 0.6 .  Koefisien  hambat  yang  diterima  silinder  sirkular  dengan  pasif  kontrol  tunggal ditunjukkan  pada  Tabel  2.  Posisi  pasif  kontrol  yang  lebih  dekat  dengan  silinder  sirkular  belum
optimal  untuk  menurunkan  koefisien  hambat.  Demikian  juga  pasif  kontrol  yang  terletak  lebih jauh  dari  silinder  sirkular.  Posisi  yang  paling  optimal  untuk  menurunkan  koefisien  hambat  yaitu pada rasio  jarak 2.4, koefisien  hambat  dapat diturunkan  hingga  26.09%.
Tabel  2. Koefisien  Hambat  Dengan  Variasi  S/D Menggunakan  Pasif  Kontrol  Tunggal
S/D 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 Cd 1.114 0.946 0.896 0.894 0.911 % 7.864% 21.814% 25.92% 26.09% 24.698%
Penelitian  dilanjutkan  dengan  menambahkan  satu  pasif  kontrol  berbentuk  silinder  sirkular kecil  yang  diletakkan  di  belakang  silinder  sirkular  utama.  Skema  silinder  sirkular  dan  dua  pasif kontrol  ditunjukkan  pada  Gambar  3.  Rasio  jarak  antara  pasif  kontrol  pertama  dengan  silinder sirkular  yaitu 𝑆/𝐷 = [0.6,3.0] dengan  increment  0.6.  sedangkan,  rasio  jarak  antara  pasif  kontrol kedua dengan  silinder  sirkular  yaitu 𝑇/𝐷 = [0.6,2.1] dengan  increment  0.3.
Gambar  3 Skema Aliran  Fluida  Melintasi  Silinder  Sirkular  dan Dua  Pasif  Kontrol
Koefisien  hambat  yang  diterima  silinder  sirkular  dan  dua  pasif  kontrol  ditunjukkan  pada Tabel  3.  Penurunan  koefisien  hambat  yang  paling  besar  yaitu  saat  pasif  kontrol  pertama diletakkan  di  depan  silinder  sirkular  pada  jarak  S/D=2.4  dan  pasif  kontrol  kedua  di  belakang silinder  sirkular  pada  jarak  T/D=2.1.  Pada  posisi  tersebut,  koefisien  hambat  dapat  berkurang hingga  31.20%.
Penelitian  yang  hampir  sama  yaitu  silinder  sirkular  dengan  dua  pasif  kontrol,  dimana  pasif kontrol  di  belakang  silinder  berbentuk  silinder  tipe  I  pada  posisi  horizontal.  Pada  rasio  jarak  S/D dan  T/D  yang  sama,  koefisien  hambat  yang  diterima  silinder  sirkular  dapat  berkurang  hingga 30.992%  [9].  Bentuk  pasif  kontrol  lainnya  yang  diletakkan  di  belakang  silinder  yaitu  bentuk elips.  Pada  posisi  yang  sama,  koefisien  hambat  yang  diterima  silinder  sirkular  dapat  berkurang
hingga  31.90%  [10].  Berdasarkan  tiga  bentuk  pasif  kontrol  yang  diletakkan  di  belakang  silinder sirkular,  pasif  kontrol  bentuk  elips  dapat menurunkan  koefisien  hambat  secara optimal.
Tabel  3. Koefisien  Hambat  Dengan  Variasi  T/D  dan S/D Menggunaka n  Dua Pasif  Kontrol
T/D,  S/D 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 0.6 1.092 0.925 0.876 0.874 0.891 0.9 1.066 0.901 0.852 0.851 0.868 1.2 1.067 0.902 0.853 0.852 0.869 1.5 1.055 0.891 0.843 0.842 0.859 1.8 1.043 0.882 0.835 0.834 0.851 2.1 1.038 0.878 0.833 0.832 0.849
Silinder  sirkular  dengan  tiga  pasif  kontrol,  dimana  satu  pasif  kontrol  diletakkan  di  depan silinder  sirkular  dan  dua  pasif  kontrol  diletakkan  di  belakang  silinder  sirkular.  Skema  silinder sirkular  dan tiga  pasif  kontrol  ditunjukkan  pada Gambar  4.
Gambar  4 Skema Aliran  Fluida  Melintasi  Silinder  Sirkular  dan Tiga  Pasif  Kontrol
Rasio  jarak  antara  pasif  kontrol  dan  silinder  sirkular  masih  sama  dengan  skema  silinder sirkular  dengan  dua  pasif  kontrol.  Pada  skema  tiga  pasif  kontrol,  besar  sudut  antara  dua  pasif kontrol  di  belakang  silinder  sirkular  adalah 2𝛼 .  Uji  coba  dilakukan  dengan 𝛼 yang  bervariasi yaitu 𝛼 = [15°,90°] .
Tabel  4. Koefisien  Hambat  Pada S/D=1.2, Variasi  T/D dan α Dengan  Tiga  Pasif  Kontrol
°,(S/D,T/D) 1.2-1.5 1.2-1.8 1.2-2.1 15 0.868 0.828 0.785 30 0.721, 40.39% 0.733, 39.42% 0.743, 38.59% 45 0.759 0.782 0.801 60 0.818 0.842 0.869 90 0.938 0.946 0.953
Tabel  5. Koefisien  Hambat  Pada S/D=1.8, Variasi  T/D dan α Dengan  Tiga  Pasif  Kontrol °,(S/D,T/D) 1.8-1.5 1.8-1.8 1.8-2.1 15 0.822 0.783 0.741 30 0.690, 42.98% 0.701, 42.06% 0.710, 41.29% 45 0.728 0.742 0.758 60 0.778 0.799 0.823 90 0.896 0.902 0.908
Tabel  6. Koefisien  Hambat  Pada S/D=2.4, Variasi  T/D dan α Dengan  Tiga  Pasif  Kontrol °,(S/D,T/D) 2.4-1.5 2.4-1.8 2.4-2.1 15 0.822 0.784 0.742 30 0.692, 42.81% 0.711, 41.19% 0.711, 41.19% 45 0.727 0.756 0.756 60 0.774 0.821 0.821 90 0.775 0.905 0.905
Tabel  7. Koefisien  Hambat  Pada S/D=3.0, Variasi  T/D dan α Dengan  Tiga  Pasif  Kontrol °,(S/D,T/D) 3.0-1.5 3.0-1.8 3.0-2.1 15 0.840 0.803 0.760 30 0.707, 41.54% 0.717, 40.74% 0.726, 41.19% 45 0.741 0.756 0.770 60 0.787 0.811 0.835 90 0.902 0.911 0.919
Pada  berbagai  macam  variasi  rasio  jarak  T/D  dan  S/D,  penurunan  koefisien  hambat  yang bagus  terjadi  pada  saat  T/D=1.5  dan  S/D=1.8.  Kemudian,  dengan  memperhatikan  besar  sudut antara  dua  pasif  kontrol  di  belakang  silinder  sirkular, α yang  paling  optimal  untuk  menurunkan koefisien  hambat  yaitu 𝛼 = 30° .  Pada  konfigurasi  tersebut,  koefisien  hambat  dapat  turun  hingga 42.98%.  Dengan  memperhatikan  jumlah  pasif  kontrol  yang  diletakkan  di  sekitar  silinder, konfigurasi  tiga  pasif  kontrol  yang  tepat  adalah  metode  yang  paling  bagus  untuk  menurunkan koefisien  hambat  yang  diterima  silinder  sirkular  dibandingkan  dengan  pasif  kontrol  tunggal  atau dua pasif  kontrol.

## 4 Simpulan
Pasif  kontrol  di  sekitar  silinder  sirkular  yang  dilalui  aliran  fluida  dengan  bilangan  Reynolds 1000  mampu  menurunkan  koefisien  hambat  yang  diterima  silinder  sirkular.  Modifikasi  bentuk, jumlah  dan  konfigurasi  letak  pasif  kontrol  mempengaruhi  efektifitas  penurunan  koefisien
hambat.  Dengan  konfigurasi  tiga  pasif  kontrol  yang  tepat  yaitu  pasif  kontrol  pertama  diletakkan di  depan  silinder  sirkular  pada  rasio  jarak  S/D=1.8  dan  dua  pasif  kontrol  lainnya  diletakkan  di belakang  silinder  sirkular  pada  rasio  jarak  T/D=1.5  dengan 𝛼 = 30° mampu  menurunkan koefisien  hambat  yang  paling  optimal  hingga  mencapai  42.98%.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Ucapan  Terima  Kasih,  kami  sampaikan  kepada  LPPM  ITS  dan  MenRisTekDikTi  yang telah  memberikan  Dana  Penelitian  melalui  PDUPT  tahun  kedua (2018).

## 6 Daftar Pustaka
[1] Ladjedel,  A.O.,  Yahiaoui,  B.T.,  Adjlout,  C.L.  and  Imine,  D.O.,  Experimental  and numerical  studies  of  drag  reduction  on  a  circular  cylinder. World  Academy  of  Science, Engineering and Technology , 77 , pp.357-361, 2011.
[2] Igarashi,  T.  and  Shiba,  Y.,  Drag  Reduction  for  D-Shape  and  I-Shape  Cylinders.  JSME International  Journal  Series  B  Fluids  and  Thermal  Engineering,  49(4),  pp.1036-1042, 2006.
[3] Yuwono,  T.  and  Widodo,  W.A.,  February.  Flow  characteristics  around  a  D-type  cylinder near  a  plane  wall.  In  Proceedings  of  the  Regional  Conferences  on  Mechanical  and Aerospace  Technology,  Bali,  Indonesia.,  pp. 9-10, 2010.
[4] Bouak,  F.  &  Lemay,  J.,  Passive  Control  of  The  Aerodynamic  Forces  Acting  on  a  Circular Cylinder,  Experimental  Thermal  and  Fluid  Science  16, 112-121, 1998.
[5] Lee,  S.  J.,  Lee,  S.  I.,  &  Park,  C.  W.,  Reducing  the  drag  on  a  circular  cylinder  by upstream installation  of a small  control  rod. Fluid dynamics research , 34 (4), 233, 2004.
[6] Triyogi,  Y.,  &  Nuh,  M.,  Using  of  a  Bluff  Body  Cut  from  a  Circular  Cylinder  as  passive Control  to  reduce  Aerodynamics  Forces  on  a  Circular  Cylinder.  In The  International Conference on Fluid and Thermal energy Conversion (pp. 7-11), 2003.
[7] Imron,  C.,  Widodo,  B.,  &  Yuwono,  T.,  Numerical  simulation  of  fluid  flow  around  circular and  I-shape  cylinder  in  a  tandem  configuration. Applied  Mathematical  Sciences , 7 (114), 5657-5666, 2013.
[8] Tsutsui,  T.  &  Igarashi,  T.  Drag  Reduction  of  a  Circular  Sylinder  in  an  Air-Stream,  Journal of Wind  Engineering  and Industrial  Aerodynamics  90, 527-541, 2002.
[9] Widodo,  B.,  Yuwono,  T.  Y.,  &  Imron,  C.  The  Influence  of  distance  between  passive control  and  circular  cylinder  on  wake.  In Journal  of  Physics:  Conference  Series (Vol. 890,
No. 1, p. 012053). IOP Publishing,  2017.
[10]  Hakam,  A.,  Widodo,  B.,  Yuwono,  T.  Y.,  &  Imron,  C.  Numerical  investigation  of  the  flow around  circular  cylinder  with  two  passive  controls.  In Journal  of  Physics:  Conference Series (Vol.  974, No. 1, p. 012011). IOP Publishing,  2018.
[11]  A.L.F.  Lima  E.  Silva,  A.  S.-N.  &  Damasceno,  J.  Numerical  Simulation  of  Two- Dimensional  Flows  Over  a  Circular  Cylinder  Using  the  Immersed  Boundary  Method, Journal  of Computational  Physics  189, 351-370, 2003.
[12]  Zulhidayat,  D.N.,  M.-J.  C.  &  Horng,  T.-L.  An  Immersed  Boundary  Method  to  Solve Fluid-Solid  Interction  Problems,  Computational  Mechanics  44, 447-453, 2009.
[13]  Singha,  S.,  &  Sinhamahapatra,  K.  P.  Flow  past  a  circular  cylinder  between  parallel  walls at low  Reynolds  numbers. Ocean Engineering , 37 (8-9), 757-769, 2010.
[14]  Matyka,  M.,  Solution  to  two-dimensional  incompressible  Navier-Stokes  equations  with simple,  simpler  and  vorticity-stream  function  approaches.  driven-lid  cavity  problem: Solution  and visualization.  arXiv  preprint  physics/0407002,  2004.