Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 117-122 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.12327

## Syarat Perlu atau Cukup F-bounded di dalam Ruang Metrik- 𝜶𝜶 Fuzzy
Zicky Lukman 1 *, Mahmud Yunus 2 1,2 Departemen Matematika ITS Surabaya Indonesia e-mail: 1 lukmanzicky@gmail.com, 2 yunusm@matematika.its.ac.id
Diajukan: 12 Februari 2022, Diperbaiki: 14 Maret 2022, Diterima: 25 April 2022
Abstrak
Metrik memiliki peran penting dalam matematika, baik dalam analisis maupun aplikasi. Salah satu konsep baru ruang metrik adalah ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy. Ruang metrik ini merupakan perluasan dari ruang metrik fuzzy dengan menambahkan generator 𝛼𝛼 . Dalam penelitian ini, dibahas karakterisasi F-bounded dalam ruang metrik - 𝛼𝛼 fuzzy.  Sifat F-bounded diperoleh dari himpunan bagian kompak dari himpunan semesta tertentu. Karakteristik ini telah dibahas oleh Changqing dan Kedian dalam ruang metrik fuzzy Hausdorff. Dalam penelitian ini, diperoleh syarat perlu atau cukup agar ruang metrik fuzzy memenuhi sifat- sifat F-bounded.
Kata Kunci : ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy, generator 𝛼𝛼 , F-bounded

## Abstract
Metrics have an important role in mathematics, both in analysis as well as applications. One of the new concepts of metric space is fuzzy 𝛼𝛼 -metric space. This metric space is an expansion of the fuzzy metric space by adding 𝛼𝛼 generator. In this paper, we discuss characterization of F- bounded in the fuzzy 𝛼𝛼 -metric space. The property of F- bounded is obtained from the compact subset of a given universe set. This characteristic has been discussed by Changqing and Kedian in Hausdorff fuzzy metric spaces. In this paper, the necessary and sufficient conditions are obtained so that the fuzzy 𝛼𝛼 -metric space satisfies the properties of F-bounded . Keywords : fuzzy 𝛼𝛼 -metric space, 𝛼𝛼 generator, F-bounded

## 1 Pendahuluan
Salah satu cabang dasar matematika yang berkembang adalah teori himpunan. Pada cabang ini, L.A. Zadeh merepresentasikan himpunan fuzzy[10]. Dengan konsep baru ini, muncullah konsep baru yang mencakup himpunan fuzzy, seperti kalkulus fuzzy, aljabar fuzzy, kontrol fuzzy, dan lain-lain[11].
Himpunan fuzzy juga memiliki peran dalam perkembangan matematika analisis, khususnya dalam metrik. Kramosil dan Michalek menggabungkan himpunan fuzzy dan ruang metrik sehingga muncul ruang metrik fuzzy-KM[5]. George dan Veeramani mengembangkan metrik ini dengan mendefinisikan ulang, sehingga muncul dalam ruang yang sama tetapi dengan nama yang berbeda, yaitu ruang metrik fuzzy-GV[3]. Hingga saat ini ruang dan karakternya terus digunakan
oleh peneliti lain, baik untuk aplikasinya maupun untuk dikembangkan kembali. Pada tahun 2007, dalam tesis doktornya, Samuel Gomez merepresentasikan aplikasi ruang metrik ini, seperti new vector median filter , impulsive noise filter, new adaptive vector filter , dan lain-lain[4].
Setelah bertahun-tahun, ruang metrik  fuzzy telah digunakan oleh peneliti lain untuk mempelajari lebih lanjut dan memodifikasi ruang metrik ini. Pada tahun 2017, Changqing dan Kedian membangun ruang metrik fuzzy Hausdorff yang memberikan beberapa sifat topologi[2]. Mereka juga menjelaskan bahwa ruang ini diselidiki untuk beberapa sifat topologi, seperti F- bounded, separabilitas, dan connectedness . Di tahun berikutnya, dalam skripsinya, Zicky Lukman menjelaskan tentang teorema titik tetap pada ruang metrik fuzzy[8]. Pada tahun yang sama, Cuneyt dan Sehla mendefinisikan ruang metrik fuzzy baru, yaitu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy[1]. Mereka menyatakan bahwa ruang metrik ini dihasilkan oleh generator 𝛼𝛼 .
Pada penelitian ini, dibahas konstruksi ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy dan beberapa hal yang terkait, seperti konvergensi, barisan Cauchy, dan kelengkapan. Selain itu, dianalisis salah satu karakteristik topologi, yaitu F-bounded.

## 2 Metode Penelitian
Pada bab ini, diuraikan mengenai beberapa pustaka yang diperlukan untuk penelitian ini dan teknik analisa data serta hal-hal lain yang terkait dengan metode penelitiannya.

## 2.1 Norm-t Kontinu
Diberikan suatu operasi biner  dengan : [0,1] × [0,1] → [0,1] . Operator  disebut norm-t kontinu jika untuk setiap 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 ∈ [0,1] memenuhi sifat komutatif, asosiatif, identitas dan keterturutan.[7]

## 2.2 Ruang Metrik Fuzzy
Diberikan 𝑋𝑋 himpunan tak kosong dan  sebagai norm-t kontinu. Tiga tupel  disebut ruang metrik fuzzy jika 𝑑𝑑 𝑓𝑓 sebagai himpunan fuzzy dari 𝑋𝑋 2 × (0, + ∞ ) dengan sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 serta 𝑡𝑡 , 𝑠𝑠 > 0 memenuhi syarat sebagai berikut[3,8]
FM1. 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) > 0 ,
FM2. 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) = 1 jika dan hanya jika 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ,
FM3. 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) = 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ,
FM4. 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) ∗ 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 , 𝑠𝑠 ) ≤ 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑧𝑧 , 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠 ) ,
FM5. 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , ⋅ ): (0, + ∞ ) → [0,1] kontinu
2.3  Generator 𝛼𝛼
Generator 𝛼𝛼 merupakan suatu pemetaan injektif yang didefinisikan dengan
𝛼𝛼 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 𝛼𝛼 ⊆ 𝑅𝑅
dimana 𝑥𝑥 ↦ 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) [1,9].
Contoh 1 [1] Diberikan pemetaan 𝛼𝛼 dengan
dan didefinisikan
𝑥𝑥 + 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = � −𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 −𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Jika 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ [ − 1,1] , Jika 𝑥𝑥 ∉ [ − 1,1] dan 𝑦𝑦 ∈ [ − 1,1] , Jika 𝑥𝑥 ∈ [ − 1,1] dan 𝑦𝑦 ∉ [ − 1,1] , Jika 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∉ [ − 1,1]

## Ruang Metrik- 𝛼𝛼 Fuzzy
Diberikan 𝑋𝑋 himpunan tak kosong dan  sebagai norm-t kontinu. Tiga tupel  disebut ruang metrik fuzzy jika 𝑀𝑀 𝛼𝛼 sebagai himpunan fuzzy dari 𝑋𝑋 2 × 𝑅𝑅 𝛼𝛼 + dengan sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 serta 𝑡𝑡 , 𝑠𝑠 ∈ 𝑅𝑅 𝛼𝛼 + memenuhi syarat sebagai berikut [1]
1. 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) > 0 ,
2. 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) = 1 jika dan hanya jika 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ,
3. 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) = 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ,
4. 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) ∗ 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 , 𝑠𝑠 ) ≤ 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ,
5. 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , ⋅ ): 𝑅𝑅 𝛼𝛼 +→ [ 0 , 1 ] dikatakan kontinu- 𝛼𝛼
Contoh 2 Diberikan suatu himpunan tak kosong 𝑋𝑋 . Didefinisikan 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 � −𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑡𝑡 � , norm-t kontinu  dengan 𝑥𝑥 ∗ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 × 𝑦𝑦 dan 𝑡𝑡 + 𝛼𝛼 𝑠𝑠 = 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠 untuk 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dan 𝑡𝑡 , 𝑠𝑠 ∈ 𝑅𝑅 𝛼𝛼 + . Pasangan  merupakan ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy.
Definisi 1 [1] Diberikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy . Barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } pada  konvergen ke 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 jika untuk setiap 𝜀𝜀 , 0 < 𝜀𝜀 < 1 dan 𝑡𝑡 ∈ 𝑅𝑅 𝛼𝛼 + , terdapat 𝑛𝑛 0 ( 𝜀𝜀 ) ∈ 𝑁𝑁 sehingga 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) > 1 − 𝜀𝜀 untuk 𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛 0 ( 𝜀𝜀 ) atau
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛→+∞ 𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) = 1
Definisi 2 [1] Diberikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy . Barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } pada  disebut barisan Cauchy jika untuk setiap 𝜀𝜀 , 0 < 𝜀𝜀 < 1 dan 𝑡𝑡 ∈ 𝑅𝑅 𝛼𝛼 + terdapat 𝑛𝑛 0 ( 𝜀𝜀 ) ∈ 𝑁𝑁 sehingga
𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑡𝑡 ) > 1 − 𝜀𝜀
Definisi  3 [1] Diberikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy .  Tiga tupel  disebut lengkap jika setiap barisan Cauchy di 𝑋𝑋 konvergen .
𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = �−𝑥𝑥 𝑥𝑥 Jika 𝑥𝑥 ∈ [ − 1,1] , untuk 𝑥𝑥 yang lain

## 120

## 3  Diskusi dan Pembahasan
Pada bab ini, diuraikan beberapa hasil dari penelitian yang sudah dilakukan. Sebelum masuk pada pokok pembahasan, diuraikan dahulu definisi F-bounded di ruang metrik fuzzy Definisi 4 [3] Diberikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy . Himpunan 𝐴𝐴 , yang merupakan himpunan bagian tak kosong dari 𝑋𝑋 , bersifat F-bounded jika dan hanya jika untuk 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐴𝐴 , terdapat 𝑡𝑡 > 0 dan dan 𝑟𝑟 dengan 0 < 𝑟𝑟 < 1 sehingga
𝑀𝑀 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) > 1 − 𝑟𝑟
Jika diperhatikan, definisi di atas memiliki penjabaran yang ekuivalen dengan definisi konvergensi barisan pada Definisi 1. Dikatakan ekuivalen karena suku-suku dari barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } yang konvergen ke 𝑥𝑥 bisa dinyatakan sebagai himpunan { 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , . . . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } dan sebagai elemen-elemen dari subhimpunan 𝑋𝑋 . Selain menunjukkan syarat untuk F-bounded seperti pada Definisi 4, George dan Veeramani juga menguraikan bahwa syarat lain agar memenuhi sifat tersebut adalah memiliki subhimpunan yang kompak[3].
Berdasarkan pernyataan di atas, dikonstruksikan suatu proposisi untuk F-bounded agar sesuai di ruang metrik- 𝛼𝛼 sebagai berikut
Proposisi 5 Diberikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy . Jika 𝑃𝑃 , yang merupakan himpunan bagian tak kosong dari 𝑋𝑋 , merupakan himpunan kompak, maka 𝑃𝑃 bersifat F-bounded .

## Bukti:
Jika ada koleksi himpunan 𝐺𝐺 = { 𝐺𝐺 𝑎𝑎 } yang merupakan kover terbuka dari 𝑃𝑃 , maka setiap 𝑒𝑒 𝑖𝑖 berada di himpunan 𝐺𝐺 𝑎𝑎 𝑖𝑖 pada 𝐺𝐺 untuk 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁 . Karena 𝑃𝑃 ⊆ 𝑎𝑎𝐺𝐺 𝑎𝑎 , berakibat 𝑎𝑎𝐺𝐺 𝑎𝑎 merupakan subkover berhingga dari 𝐺𝐺 . Karena berlaku untuk sebarang 𝐺𝐺 , berakibat himpunan berhingga 𝑃𝑃 kompak.
Proposisi 6 Diberikan suatu ruang metrik lengkap ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) dan ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy yang dibangun dari ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) . Jika himpunan 𝑃𝑃 , yang merupakan himpunan bagian tak kosong dari 𝑋𝑋 , terbatas di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) , maka 𝑃𝑃 F-bounded di .

## Bukti:
Karena himpunan 𝑃𝑃 terbatas di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) , berakibat untuk 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑃𝑃 dan sebarang 𝑟𝑟 , 𝑡𝑡 positif dipenuhi 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑡𝑡 < 𝑟𝑟 𝑡𝑡
Jika kedua ruas dieksponensialkan dan dikalikan 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 � −𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑡𝑡 � × 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 � −𝑟𝑟 𝑡𝑡 � , maka diperoleh
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 � −𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑡𝑡 � > 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 � −𝑟𝑟 𝑡𝑡 �
Untuk sebarang 𝑟𝑟 positif,
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑟𝑟→0 +𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒�−𝑑𝑑 ( 𝑒𝑒 , 𝑦𝑦 ) 𝑡𝑡 �>1 1 − 𝑟𝑟
atau
𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑡𝑡 ) > 1 − 𝑟𝑟
Proposisi 7 Diberikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy dan 𝑃𝑃 sebagai himpunan bagian tak kosong dari 𝑋𝑋 . Jika barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } di 𝑃𝑃 yang konvergen ke 𝑥𝑥 di mana 𝑥𝑥 juga berada di 𝑃𝑃 , maka 𝑃𝑃 F-bounded di.
Bukti:
Karena barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } konvergen, berdasarkan Definisi 2, bisa dituliskan dengan
𝑀𝑀 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) > 1 − 𝜀𝜀 atau
𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∈ 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝜀𝜀 , 𝑡𝑡 )
dimana barisan ini berada di suatu bola terbuka dengan pusat 𝑥𝑥 dan jari-jari 𝜀𝜀 . Diketahui juga range dari 𝜀𝜀 sama dengan variabel 𝑟𝑟 di ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy. Karena 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 , 𝜀𝜀 , 𝑡𝑡 ) bisa direpresentasikan sebagai himpunan 𝑃𝑃 , berakibat 𝑃𝑃 akan terdiri dari semua suku-suku dari barisan 𝑥𝑥 𝑛𝑛 dan nilai konvergensinya, yaitu 𝑥𝑥 . Berdasarkan Proposisi 2 dimana keterbatasan tetap dipertahankan di ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy, maka himpunan 𝑃𝑃 F-bounded .

## 4  Simpulan
Dalam penelitian ini, diperoleh syarat perlu atau cukup untuk ruang metrik-α fuzzy  agar memenuhi sifat F-bounded adalah memiliki subhimpunan tak kosong yang kompak atau mendapatkan suatu subhimpunan yang memuat semua suku-suku dari barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } dan nilai konvergensinya. Selain itu, karena ruang metrik-α fuzzy pada makalah ini dibangun dari ruang metrik yang lengkap, jika 𝑃𝑃 terbatas di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) , maka 𝑃𝑃 bersifat F-bounded di .
Ada bagian yang perlu diteliti  dan dikembangkan dari ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy ini, salah satunya yaitu mengonstruksikan contoh lain yang memenuhi ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy namun tidak memenuhi kriteria ruang metrik fuzzy. Selain itu, bisa dikonstruksikan suatu ruang metrik- 𝛼𝛼 fuzzy tanpa dibangun dari metrik 𝑑𝑑 .

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis berterima kasih kepada para pengulas atas komentar, kritik, bantuan dan saran yang berharga untuk perbaikan makalah ini.

## 122

## 6 Daftar Pustaka
[1]. Cevik, C., & Eminoglu, S. (2018). Generated Fuzzy Metric Space and Some Topological Properties. Intelligent & Fuzzy Systems , 877-885.
[2]. Changqing, L., & Kedian, L. (2017). On Topological Properties of the Hausdorff Fuzzy Metric Spaces. Filomat , 1167-1173.
[3]. George, A., & Veeramani, P. (1994). On Some Results in Fuzzy Metric Spaces. Fuzzy Sets and Systems , 395-399.
[4]. Gomez, S. (2007). Fuzzy Metrics and Fuzzy Logic for Colour Image Filtering. Valencia: Universidad de Politecnica.
[5]. Kramosil, I., & Michalek, J. (1975). Fuzzy Metric and Statistical Metric. 326-334.
[6]. Kreyzig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Appliations. Canada: John Wiley & Sons.
[7]. Kumam, P., & Wuthipol, S. (2011). Common Fixed Theorems for a Pair of Weakly Compatible Mapping in Fuzzy Metric Spaces. Hindawi , 1-14.
[8]. Lukman, Z. (2018). Fixed Point Theorem on Fuzzy Metric Spaces. Surabaya: Mathematic department of ITS.
[9]. Missier, S. P., & Rodrigo, P. A. (2014). Strongly alpha Countinuous Functions in Topological Spaces. IOSR Journal of Mathematics , 55-60.
[10]. Zadeh, A. L. (1965). Fuzzy Sets. Inform and Control , 338-353.
[11]. Zimmerman. (1992). Fuzzy Sets and Its Applications. Massachusetts: Kluwer Academic Publisher.