Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 12 No. 1, Juni 2020, hal. 25-33 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PERHITUNGAN HARGA OPSI EROPA MENGGUNAKAN MODEL BINOMIAL MULTIPERIODA
(STUDI KASUS SAHAM TELKOM.JK)

## Noor Sofiyati

## Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto
Email : noor.sofiyati@gmail.com
ABSTRACT. Multiperiod binomial model is one of the method to determine option price. In binomial model, it is  assumed that  stock price can  only move  up or down at  each step.  In  this  paper,  we  studys  how  to  find  Europian  option  payoff  from  the  stock  price using   multiperiod binomial model with different strike prices. The smallest option price is obtained when the strike price is higher than the stock price.
Keywords : option , strike price, multiperiod binomial model
ABSTRAK. Model  binomial  multiperioda    merupakan  salah  satu  metode  untuk menentukan  harga  opsi.  Pada  model  binomial  diasumsikan  bahwa  harga  saham  hanya dapat  bergerak  naik  atau  turun  pada  setiap  langkahnya. Jurnal  ini  mengkaji  bagaimana mencari payoff opsi Eropa dari harga saham dengan model binomial multiperioda dengan strike price yang berbeda. Harga opsi terkecil diperoleh pada saat strike price lebih tinggi dari harga saham.
Kata Kunci : opsi, strike price , model binomial multiperioda

## 1. PENDAHULUAN
Opsi  merupakan  suatu  kontrak  yang  memberikan  hak  pada  pemegang kontrak  untuk  membeli  ataupun  menjual  sebuah  aset,  dengan  acuan  harga strike tertentu  pada  waktu  tertentu.  Pihak  yang  mendapatkan  hak  disebut  sebagai pembeli  opsi  ( option  buyer )  atau  disebut  juga  pemegang  opsi  ( option  holder ), sedangkan  pihak  yang  menjual  opsi  dan  harus  bertanggung-jawab  terhadap keputusan  pembeli  opsi  kapan  opsi  tersebut  akan  digunakan  disebut  sebagai penerbit  opsi  ( option  writer ).  Batas  waktu  berlakunya  opsi  dinamakan  dengan waktu  jatuh  tempo  ( expiration  date ),  dan  harga  aset  yang  disepakati  oleh writer dan buyer dinamakan harga pelaksanaan ( strike price atau exercise price ).
Berdasarkan  fungsinya,  opsi  dibedakan  menjadi  dua  yaitu  opsi  beli  ( call option )  dan  opsi  jual  ( put  option ).  Berdasarkan  waktu  pelaksanaannya,  opsi
dikenal  dalam  beberapa  jenis,  antara  lain  Opsi  Eropa  dan  Opsi  Amerika.  Opsi Eropa  lebih  mudah  untuk  dianalisa  dibanding  opsi  Amerika  karena  opsi  Eropa dapat dijalankan hanya pada tanggal jatuh tempo. Sedangkan tipe Amerika dapat dijalankan  sembarang  waktu  sampai  tanggal  jatuh  tempo.  Pada  penelitian  ini dikaji opsi Eropa.
Harga opsi merupakan biaya yang dikeluarkan holder untuk mendapatkan kontrak  opsi,  yang  pembayarannya  dilakukan  pada  saat  kontrak  dibuat  (Suyono, 2008).  Oleh  karena  itu,  pengetahuan  tentang  bagaimana  menentukan  harga  opsi yang  akurat  sangat  diperlukan holder dalam  membuat  dan  memutuskan  strategi perdagangannya.  Model  binomial  pertama  kali  dikembangkan  secara  simultan oleh Cox, Ross, dan Rubinstein (1979) serta Rendlemen dan Barter(1979) dengan mengasumsikan  bahwa  dalam  suatu  interval  waktu,  harga  saham  akan  naik sebesar faktor u ( up ) dan akan turun sebesar faktor d ( down ) karena dipengaruhi oleh faktor suku bunga. Jurnal ini bertujuan mencari kondisi strike price terhadap harga  saham  yang  menghasilkan  harga  opsi  terkecil  dengan  model  binomial multiperioda dengan studi kasus saham Telkom JK.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  dilakukan  adalah  studi  literatur  dari  buku  dan  jurnal  ilmiah terutama  yang  berhubungan  dengan  opsi  dan  model  binomial.  Data  yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  yaitu  data  penutupan  harga saham Telkom pada tanggal 4 Juni 2020 dari http ://finance.yahoo.com. Langkah- langkah untuk menentukan harga opsi dengan model binomial (Seydel, 2002) :
1. Input : harga saham S 0 , strike price K, periode T, suku bunga bebas resiko r, volatilitas  , banyaknya perubahan harga saham n .
2. Hitung
dan p.
3. Hitung harga saham pada
.
4. Hitung keuntungan atau nilai opsi pada V nj = maks ( S jn - K ,0).
5. Hitung nilai opsi pada node i,j untuk .
6. Lakukan langkah backward , sampai diperoleh harga opsi V 0,0 .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Real-World dan Risk-Neutral World
Salah  satu  cara  sederhana  untuk  menentukan  harga  opsi  adalah  model binomial.  Selain  itu,  model  ini  juga  dapat  menunjukkan  perbedaan  antara real- world dan risk-neutral  world dari  penentuan  harga  opsi,  tetapi  harga  opsi  yang diperoleh  akan  sama  dengan  keakuratan  tertentu.  Misal,  saat t 0 =  0  harga  saham adalah S 0 .  Harga  saham  pada  saat t 1 = T adalah S 0 ꭒ dengan  peluang  naik p atau S 0 d dengan  peluang  turun d =1 – p .  Peluang p disini  adalah  peluang  naik  yang sesungguhnya.  Nilai opsi dengan strike price K adalah
V ꭒ = maks ( S 0 ꭒ – K,O )                                                  (1)
V d = maks ( S 0 d – K,O )
I nvestor  dapat  melakukan  strategi  membeli/menjual  saham  dan meminjam/menabung  dana  dari  bank  agar  dapat  replikasi  opsi  untuk  mendapat sifat  perlindungan  dari  opsi.  Misal  Δ  adalah  jumlah  saham  yang  dibeli  dan  B adalah  dana  dari  bank.  Dana  B  dari  bank  ini  dapat  berupa  deposito  yang memberikan  hasil  investasi  dengan  suku  bunga  bebas  resiko r yang  kontinu majemuk. Pada saat akhir tahun, nilai akhir aset adalah
ΔS 0 ꭒ + Be rT = V u (2) ΔS 0 d + Be rT = V d
Dengan demikian, jumlah saham dan besar dana deposito adalah
Δ= – ꭒ – (3)
B = e rT ꭒ ꭒ – (4)
Saat t 0 = 0,
V 0 = ΔS 0 + B = – ꭒ – + e rT ꭒ ꭒ – = e rT – ꭒ ꭒ – = e rT ( – ꭒ – + – ꭒ – ) V 0 = e rT (q V u + (1 q) V d ) . (5)
dengan
q = – ꭒ – . (6)
Parameter q dapat  interpretasikan  sebagai  peluang  harga  saham  naik  karena . Implikasi dari persamaan (5) untuk mencari nilai ekspektasi dari S T sebagai berikut.
E ( S T ) = qS 0 ꭒ + (1 q) S 0 d = S 0 ( qu + (1 p) d ) = S 0 – ꭒ – + – ꭒ – ) = – ( e rT u ud + ud e rT d ) = – e rT ( u d ) = S 0 e rT . (7)
Persamaan  (6)  menyatakan  bahwa  semua  harga  saham  bertumbuh  dengan  laju pengembalian ( rate of return ) α sama dengan risk-free asset r , atau = e αT , α = r .
Hal  ini  bertolak  belakang  dengan  kondisi  di  dunia  nyata  ( real  world) dimana pergerakan  saham  meiliki  resiko  naik  dan  turun  yang  acak.  Parameter q pada persamaan  (5)  disebut  peluang  dari risk-neutral  world .  Misal,  α  adalah  tingkat pengembalian    yang  kontinu  majemuk.  Jika p adalah  peluang  naik  sesunguhnya dari saham, maka p harus konsisten dengan u , d dan α.
pS 0 u + (1 p)S 0 d = e αT , p = – ꭒ – . (8)
Diasumsikan d < e αT < u ,  maka p berada  dalam  selang  [0,1].  Misalkan  γ adalah  laju  pengembalian  kontinu  majemuk  untuk  opsi.  Dalam  hal  ini,  α  <  γ karena investasi opsi lebih berisiko daripada investasi saham. Laju pengembalian dari  opsi  dapat  diperoleh  dari  rata-rata return berbobot  dari  investasi  saham  dan deposito.
e γT = e αT + e rT . (9)
Dengan demikian, penentuan harga opsi menggunakan peluang sesungguhnya dari real world dapat diperoleh dengan
V 0 = e -γT ( pV u + (1 p)V d ) . (10)
Perhitungan  opsi  dengan  asumsi risk-neutral  world hanya  menggunakan tiga  persamaan  (1),  (5)  dan  (6).  Selain  itu,  perhitungan  opsi  dengan  asumsi real world memerlukan  lima  persamaan  (1),  (3),  (4),  (8)  dan  (10)  juga  memerlukan tambahan  informasi  yaitu  laju  pengembalian  opsi  α.  Dengan  demikian, perhitungan  harga  opsi  akan  lebih  efisien  menggunakan  asumsi risk-neutral world .

## 3.2. Model Binomial Multiperioda
Misal, saat t 0 = 0 harga saham adalah S 0 . Menurut model binomial, harga saham pada saat t 1 = Δ t adalah S 0 u atau S 0 d . Selanjutnya pada saat t 2 = 2Δ t , harga saham menjadi salah satu dari S 0 d 2 , S 0 ud atau S 0 u 2 . Dengan meneruskan langkah ini, pada saat t j = j Δ t akan terdapat sebanyak j + 1 harga saham yang mungkin terjadi,
S ij = S 0 u i d j-i ,            i = 0,1, … , j (11)
yang  menyatakan  harga  saham  awal S 0 mengalami  harga  sebanyak i kali  serta penurunan  harga  saham  sebanyak j i kali,  dihitung  dari  saat t 0 =  0.  Pada  saat jatuh  tempo t n = nΔt = T ,  terdapat  sebanyak n +  1  harga  saham  yang  mungkin yaitu  { S in } i= 0,1,  …  , n . Misal  { C in } i= 0,1,  …  , n menyatakan  nilai-nilai payoff (pendapatan) pada saat jatuh tempo untuk opsi call Eropa, maka
C in = maks { S in –K,0}, i = 0,1, … , n. (12)
Sedangkan nilai-nilai payoff pada saat jatuh tempo untuk sebuah opsi put Eropa diberikan oleh
P in = maks { K – S in ,0}, i = 0,1, … , n. (13)
Selanjutnya perhitungan payoff dilakukan dalam arah mundur untuk memperoleh nilai  opsi pada saat t 0 = 0. Misal V ij adalah nilai opsi pada saat t j yang berkaitan dengan  nilai  saham S ij ,  dengan V ij =  C ij untuk call dan V ij = P ij untuk put .  Nilai opsi dihitung sebagai rata-rata dari nilai opsi V i,j + 1 dan V i+1, j+1 pada sat t j+ 1 . Untuk i = 0,1, … , j dan j = n – 1, n – 2   .     ,
V i,j = e -rΔt ( pV i+ 1, j+ 1 + (1 – p) V i,j + 1 ) (14)
dengan p peluang harga saham naik. Formula nilai opsi call Eropa untuk i = 0,1,
… , j, j = n – 1, n– 2         adalah
C i,j = e -rΔt ( pC i+ 1, j+ 1 + (1 – p) C i,j + 1 ). (15)
Formula nilai opsi put Eropa adalah
P i,j = e -rΔt ( pP i+ 1, j+ 1 + (1 – p) P i,j + 1 ). (16)
Dengan demikian, harga opsi call adalah C 00 dan harga opsi put adalah P 00 .

## 3.3. Perhitungan Harga Opsi dengan Model Binomial Multiperioda
Strike  Price merupakan  sebuah  harga  kesepakatan  dari  kontrak  opsi  saat suatu saham atau indeks tertentu mengalami pemindah tanganan . Diketahui h arga s aham  Telkom  pada  tanggal  4  Juni  2020  adalah S 0 =  3300,  suku  bunga  bebas resiko r  = 0,3;  nilai  volatilitas  σ  =  0,25  dan  periode T =  1  tahun.  Berikut  akan ditentukan harga opsi call Eropa menggunakan metode binomial 4 langkah. Nilai parameter yang diperlukan adalah u , d , p dan Δ t dan nilai strike price K . Gambar 1,  Gambar  2  dan  Gambar  3  menunjukkan  harga  saham  yang  dibangkitkan  pada bagian atas kotak,  dan nilai  opsi pada bagian bawah kotak . Payoff dihitung pada tiap  harga  pada  kotak  diujung  kanan  atau  banyaknya  n  =  4  langkah  binomial mengikuti persamaan (15). Beberapa perhitungan opsi call Eropa :
a. Perhitungan opsi call Eropa bila harga saham dan strike price sama ( K = S 0 )
Gambar 1 . Pohon binomial perhitungan opsi call Eropa dengan K = S 0
Gambar  1  menggambarkan  pohon  binomial  dengan  4  periode.  Kotak bagian atas menunjukkan kemungkinan pergerakan harga saham dalam 4 periode.
Pada  waktu  awal t 0 ,  harga  saham  awal S 0 sebesar  3300  dapat  bergerak  naik sebesar u dan  turun  sebesar d ,  sehingga  pada  saat t 1 kemungkinan  harga  saham menjadi S 0 *u dan S 0 *d dan seterusnya sampai t 4 mengikuti persamaan (11). Kotak bagian  bawah  menunjukkan  perhitungan  harga  opsi  menggunakan  metode backward . Pada saat akhir periode t 4 , nilai opsi dihitung menggunakan persamaan (12). Kemudian nilai opsi pada t 3 , t 2 , t 1 , dan t 0 dihitung menggunakan persamaan (15) sehingga diperoleh harga opsi pada saat t 0 sebesar 449,8055 yang terletak di bawah harga saham awal.
b. Perhitungan opsi call bila strike price lebih rendah dari harga saham ( K < S 0 ) Misalkan diketahui strike price K = 3200
Gambar 2 . Pohon binomial perhitungan opsi call Eropa dengan K < S 0
Pada  Gambar  2  harga  opsi  diperoleh  pada  saat C 0,0 yaitu  pada  kotak  bawah  di ujung kiri sebesar 517,0265.
c. Perhitungan  opsi call Eropa  bila strike  price lebih  tinggi  dari  harga  saham ( K > S 0 )
Misalkan diketahui K = 3400
Gambar 3 . Perhitungan opsi call Eropa dengan K > S 0
Pada  Gambar  3  harga  opsi  diperoleh  pada  saat C 0,0 yaitu  pada  kotak  bawah  di ujung kiri sebesar 419,1532.
Tabel 1. Perbandingan hasil Perhitungan Opsi dengan strike price K berbeda
Kondisi Harga Opsi K < S 0 517,0265 K = S 0 449,805 K > S 0 419,1532

## 4. KESIMPULAN
Dari  penjelasan  yang  telah  diberikan,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  harga opsi  terkecil  untuk  saham  Telkom  pada  tanggal  4  Juni  2020  dengan  model binomial multiperioda dihasilkan bila strike price lebih tinggi dari harga saham.

## DAFTAR PUSTAKA
Cox,  J.  C.,  Ross,  S.  A.,  Rubinstein,  M., Option  pricing  A  simplified  approach.
Journal of Financial Economics, 7 (3) (1979), 229-263 .
Higham, D. J., Financial Option Valuation , Cambridge University Press, 2004. Kuncoro,  A.  S.,  Syamsuddin,  M.,  dan  Sumarti,  N., Matematika  Keuangan ,  ITB Press, 2019.
Nosry,  M.,  dkk., Penentuan  Harga  Opsi  Put  dan  Call  Tipe  Eropa  terhadap Saham menggunakan  Model  Black-Scholes , Jurnal  Gaussian, 6 (3)  (2017). 407-417.
Pramuditya,  S.  A., Perbandingan  Metode  Binomial  dan  MetodeBlack-Scholes dalam Penentuan Harga Opsi, Jurnal Sainsmat, V (2016), 1-6.
Rendleman,  R.  J.,  Jr.,  dan  Barter,  B.J., Two-State  Option  Pricing. Journal  of Finance, 24 (1979), 1093-1110.
Seydel, R., Tools for Computational Finance , SpringerVerlag, Berlin, 2002.
Suyono , Pemodelan nilai opsi tipe Eropa, Bogor, Institut Pertanian Bogor, 2008.