Vol. 17, No. 3,  462-471,  May, 2021 DOI: 10.20956/j.v17i3.13379
1,2 Unversitas Dharma Andalas
Email : 1 nurweni@unidha.ac.id ; ; iswanrina0@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Optimum Complementary Control for Stable Systems of the Positive Linear Time Invariant

## Kontrol Komplemeter Yang Optimal Untuk Sistem-Sistem Stabil dari Invarian Waktu Linier Positif
Nurweni Putri 1* , Iswan Rina 2*

## Abstract
The optimal control problem  is defined as a problem in selecting a controller u (t) in a continuous linear system,  so  that  it  can  provide  the  optimum  value  for  a  given  objective  function.  The u (t)  controller  is expected  to  control  the  system  so  that  it  produces  the  desired  output.  In  this  research,  it  will  be  studied about how to select and construct the optimal controller u (t) in the Linear Time Invariant MIMO system positive stable, so that the given system will remain positive when given constant disturbance.
Keywords: Positive Stable MIMO System, Optimal Complementary  Control, Hurwitz Matrix, Constant Disturbace.

## Abstrak
Masalah kontrol optimal didefinisikan sebagai masalah dalam pemilihan suatu pengontrol u (t) pada sistem linear kontinu, sedemikian sehingga dapat memberikan nilai optimum bagi fungsi objektif yang diberikan. Pengontrol u (t) ini diharapkan bisa mengontrol sistem sehingga menghasilkan output sesuai dengan yang diinginkan. Dalam penelitian ini akan dikaji tentang bagaimana memilih dan  mengkonstruksi pengontrol optimal u (t)  pada sistem MIMO Linear Time Invariant stabil positif, sehingga sistem yang diberikan akan tetap stabil positif saat diberikan disturbance konstan.
Kata kunci: Sistem  MIMO stabil positif,  Kontrol  Komplementer  Optimal, Matriks Hurwitz , Disturbace Konstan.

## 1.  PENDAHULUAN
Masalah  kontrol  optimal  didefinisikan  sebagai  suatu  masalah  memilih  suatu  pengontrol ) ( t u yang bergantung terhadap waktu t , sedemikian sehingga memberikan nilai optimum bagi fungsi objektif [13]. Perhatikan sistem LTI yang didefinisian pada [14] berikut
u x y u x x D C B A      (1)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Nurweni Putri, Iswan Rina
dengan n R  x menyatakan keadaan, r R  y menyatakan output, m R  u menyatakan kontrol (input),
. dan , , , m r n r m n n n D C B A         R R R R Kontrol  komplementer  optimal  merupakan  masalah penentuan  suatu  pengontrol  optimal m R  ) ( t u yang  memenuhi  sistem  (1)  dan  meminimumkan  fungsi objektif
dt Q J T T ) ( ) ( 0 u u x x u     (2)
dimana n n Q   R adalah  matriks simetris [16].
Berdasarkan [9], sistem (1) dikatakan positif jika untuk setiap keadaan awal nonnegatif dan input nonnegatif.  Sehingga  keadaan  dan  output  pada  waktu t adalah  nonnegatif,  yaitu n t   R ) ( x dan      R R t t r , ) ( y .  Selain  itu  berdasarkan  [15],  suatu  syarat  cukup  agar  sistem  (1)  stabil  adalah A matriks Hurwitz ,  yaitu  bagian  riil  dari  semua  nilai  eigen  dari A adalah  negatif  atau       , 0 Re . Dalam [4] dan [6], dinyatakan juga bahwa sistem (1) adalah positif jika dan hanya jika A adalah matriks Metzler dan  matriks-matriks B,  C, dan D adalah  matriks  nonnegatif.  Dengan  demikian,  agar  sistem  (1) stabil positif maka A haruslah matriks Hurwitz Metzler .
Seiring  dengan  perkembangan  dalam  berbagai  bidang,  masalah  kontrol  optimal  telah  mengalami berbagai modifikasi. Pada penelitian ini adanya penambahan faktor gangguang ( disturbance ) pada sistem (1), sebagai berikut :
  F D C E B A       u x y u x x  (3)
dimana q r q n F E     R R , dan  menyatakan vektor gangguan (disturbance).
Pendefinisian  kontrol  komplementer optimal  untuk  sistem  (3)  diperluas,  yaitu: menentukan  kontrol komplementer  optimal m t R  ) ( u yang  memenuhi  sistem  (3)  dan  meminimumkan  fungsi  objektif berikut:
dt Q J T T ) ( ) ( 0 u u ε ε u
      , (4)
dimana n n Q   R adalah matriks simetris.
Dalam  prakteknya, output yang  diperoleh  dari  sistem  tidak  selalu  sesuai  dengan  yang  diinginkan.
Hali  ini  dipengaruhi  oleh  beberapa  faktor,  salah  satunya  muncul error pada  sistem.  Jika r ref R  y menyatakan  vektor  output  yang  diinginkan  dan ε menyatakan error pada  sistem,  maka ref y y ε   . Agar memperoleh ref y yang maksimal, maka diperlukan suatu pengontrol u sedemikian sehingga 0  ε bila t → ∞. Hubungan ini dapat dilihat dalam bentuk diagram berikut

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Nurweni Putri, Iswan Rina

## Gambar 1. Closed-Loop LTI System
Sehingga pada penelitian ini akan mengkaji bagaimana mengkonstruksi pengontrol optimal u (t) yang memenuhi  sistem  (3)  dan  meminimumkan  fungsi  objektif  (4)  sedemikian  sehingga  sistem  tetap  stabil positif saat diberikan gangguan ( disturbance ) konstan. Bersadarkan definisi dan syarat cukup dari sistem stabil positif, maka pengontrol optimal u (t) harus memenuhi kondisi berikut, yaitu:
1. Matriks x K B A  adalah matriks Hurwitz ,
2. Keadaan x (t) dan output y (t) adalah nonnegatif, yaitu , n t   R ) ( x dan 
    R R t t r , ) ( y 3. 0 y y ε    ref bila t → ∞.

## 2. LANDASAN TEORI
Beberapa  teori  dasar  dan  tinjauan  hasil-hasil  penelitian  terdahulu  yang  terkait  dengan  topik bahasan pada penelitian ini.
Definisi  1 [8]  Suatu  matriks  simetris n n A   R dikatakan  definit  positif  jika 0 x x    , n R ,
berlaku . 0  x x A T Selain itu, A dikatakan definit negatif jika 0 x x    , n R , berlaku . 0  x x A T Matriks  A  dikatakan  nonnegatif,  jika j i a ij , , 0   dan 0  ij a untuk  sekurang-kurangnya  satu entri.
Definisi  2 [7]  Matriks   n n ij a A    R dikatakan  matriks Metzler jika  entri-entri  selain  entri diagonal utamanya adalah nonnegatif, yaitu 0  ij a untuk . ,..., 2 , 1 , , n j i j i  
Teorema 3 [4] Suatu matriks n n A   R adalah matriks Metzler jika dan hanya jika . 0 ,      t e n n At R
Teorema 4 [15] Jika A adalah matriks Metzler-Hurwitz , maka 1   A ada dan . 1 n n R A     
Teorema 5 [7] Misalkan ada suatu matriks simetris definit positif P yang memenuhi persamaan aljabar Riccati
   O PB PB Q PA P A T T     dan bagian riil dari semua nilai eigen matriks A-B(B T) adalah negatif, maka
dimana K = −(P B) T , dengan ) ( t  x adalah solusi dari persamaan diferensial
  ), ( ) ( ) ( t PB B A t T     x x  , 0 ), ( ) (     t t K t x u

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Nurweni Putri, Iswan Rina
meminimumkan J( u ) , dan ). 0 ( ) 0 ( ) ( x x u P J T  
Selanjutnya, notasikan pengontrol dalam keadaan steady-state sebagai u s dan pengontrol dalam keadaan optimal sebagai u . Teorema berikut merupakan syarat perlu untuk eksistensi dari u (t).
Teorema  6 [18] Misalkan rank (D – CA -1 B) = r dan K r , K d didefinisikan sebagai berikut K r = (D – C A -1 B) -1 (5)
K d = -K r (F – C A -1 E) -1 (6)
Jika u (t) ada, maka untuk sebarang y ref dan sebarang  , u s memenuhi persamaan berikut
u s = K r y ref + K d  (7)
Bukti : Perhatikan bahwa dalam kondisi steady state berlaku
(9) , - F D C (8) E B A ref s s s s 0 y u x e 0 u x x           
dengan x s adalah keadaan steady state . Berdasarkan Teorema 4, maka persaman (8) dapat ditulis sebagai berikut
x s = -A -1 B u s – A -1 E  (10)
dengan mensubtitusikan bentuk diatas kedalam persamaan (9), diperoleh
        1 1 1 1 1 1     K K E F-CA B
D-C A B
D-C A
- F D E A B -A C d ref r - - - ref - ref - -         y u y u y u u 0 s s s s

## 3. METODE PENELITIAN
Berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini :
1. Melakukan studi literatur dengan mengumpulkan referensi yang relevan berupa buku teks, jurnal, dan artikel terkait di internet.
2. Mengumpulkan berbagai defenisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian.
3. Mengkonstruksi kontrol optimal sehingga tiga konsdisi terpenuhi.
4. Menguji  bentuk  kontrol  optimal  yang  telah  dikonstruksi  pada  contoh  soal  dengan  menggunakan software MATLAB  R201 .  Apakah  memenuhi  ketiga  kondisi  atau  tidak.  Jika  memenuhi,  maka sistem stabil positif.
5. Melakukan interpretasi terhadap hasil-hasil yang diperoleh.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut akan diberikan langkah untuk mengkonstruksi u (t) agar sistem tetap stabil positif saat diberikan gangguan  konstan. Definisikan  variabel baru  , dimana ε     ,  maka sistem (3) dengan ε = y − y ref dapat ditulis sebagai berikut
Nurweni Putri, Iswan Rina
ref F E y u x x                                         r I O D B O C O A    
Perhatikan  bahwa disturbance  dan  output  yang  diinginkan y ref adalah  konstan,  maka  bentuk  diatas dapat diubah menjadi
(11) , u ε x ε x    
          
                  D B O C O A 
Oleh karena sistem (3) adalah stabil, maka kontrol u  yang akan ditemukan harus memenuhi sistem (11) dan meminimumkan
(12) ) ( ) ( 0 dt Q J T T u u ε ε u      
dengan Q  =  K r T K r dan K r didefinisikan  seperti  pada persamaan  (5).  Sistem  (11)  dan  (12)  dapat  ditulis kembali dalam bentuk masalah optimasi baru, sebagai berikut:
  (13) , ˆ ˆ ˆ A ˆ ˆ s.t dt ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ min 0 u x x u u x x u B t t t Q t J T T       
dimana
. u ˆ , Q , , A , ˆ , ˆ  
                                           u ε x x ε x x Q O O O O B B O C O A
Berdasarkan teori dari masalah kontrol komplementer optimal, bentuk kontrol optimal dari (13) adalah
  (14) , ˆ ˆ ˆ * T * x u B P  
dimana P adalah matriks simetris definit positif yang merupakan solusi dari persamaan aljabar Riccati dan * ˆ x adalah keadaan optimal yang terkait dengan kontrol komplementer optimal * ˆ u dari persamaan (13). Perhatikan bahwa
  T B P K ˆ    , maka bentuk kontrol (14) dapat diubah menjadi
Tulis matriks  K sebagai berikut
            ,        η x η x K K K K
K  
dimana . 0   Akibatnya diperoleh
(15) ˆ *
          x u K
Nurweni Putri, Iswan Rina
        22 12 21 11 22 21 12 11 ˆ P D P B P D P B P P P P D B P B K T T T T T T T                
Dari persamaan aljabar Riccati pada diperoleh
             K K K K Q P D P B D P B P T r T r T T 2 22 12 22 21       ini mengakibatkan   K , r K   sehingga
      (16) .      r K K K   x
Selanjutnya dengan mensubtitusikan (3) kedalam (15) maka didapatkan bentuk persamaan sebagai berikut
. F E E B A ref * * * * y u x u x x x x                                          K O K K D K K C K K B A  
Misalkan  pada  kondisi steady-state , x s dan u s tidak  bergantung  kepada  ,  maka  dapat  dilakukan transformasi berikut
(18) (17) * * s u u q x x z    
sehingga diperoleh
(19) B A B A                                     q z q z q z x x x x D K K C K K B A D K K C K K B A r r        
Definisikan   d dt  , maka transformasi sistem menjadi
, B A                          q z q z x x D K K C K K B A r r  
dimana    z z  dan    q q  . Jika  → 0, maka diperoleh
, 1 q z B A   
akibatnya

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Nurweni Putri, Iswan Rina
            , B B A 1 1 1 1 1 1 q q q q q q q q q q x x x x                           B CA D B CA D
B CA D K D K K B CA K B K D K K B A C K K r r r r r dengan solusi       20 , 0 q ε q    
dimana    t dan     . 0 0 * s u u q   Subtitusikan (20) ke persamaan (19) diperoleh
    (21) . 0 * s s u u u ε u q u       t s 
Perhatikan  persamaan  (21),  jika  t  →  ∞  maka s u u  * .  Dengan  kata  lain,  jika  t  →  ∞  maka ε →  0 akibatnya kondisi yang ketiga terpenuhi.
Selanjutnya, kondisi yang kedua sudah terjamin dari sifat kenonnegatifan , * u yaitu keadaan * x dan  output y adalah  nonnegatif  untuk  setiap  t  ≥  0.  Untuk  menunjukan  kondisi  yang  pertama,  maka subtitusikan bentuk dari * u ke dalam sistem (3), sehingga diperoleh
    (22) E K E K B A E B A * * * * * *                      η x η x x x x u x x BK B A K 
Perhatikan  bahwa  A  adalah  matriks Metzler  Hurwitz ,  sehingga  sistem  (22)  stabil  positif.  Akibatnya terdapat n m R   x K sedemikian  sehingga
x K B A  adalah  matriks Metzler  Hurwitz . Dengan terpenuhinya ketiga kondisi oleh pengontrol * u yang memenuhi sistem (3) dan meminimumkan (4),  maka  kontrol  optimal  agar  sistem  tetap  postif  stabil  ketika  diberikan  gangguan  konstan adalah
* u =          * K x η x K .
Contoh 1. Diberikan sistem MIMO LTI stabil positif sebagai berikut
Nurweni Putri, Iswan Rina
  0 5 . 0 1 0 0 5 . 0 1 0 0 1 1 0 0 0.5 0.5 1 0 0 0 0.5 0.5 5 . 0 7 . 0 8 . 0 0 7 . 0 0 0 0 8 . 0                                        
                 u x y u x x 
Pada contoh ini diasumsikan nilai awal     , 8 . 1
4 . 0 2 . 1
0 T  x 0.1   dan output yang diinginkan   . 9 . 0 1 . 0 T ref  y Hitung nilai u dan x dalam keadaan steady-state maka diperoleh :
. 8000 . 0 1071 . 0 0938 . 0 , 22 . 0 05 . 0                   s x u s Selanjutnya hitung nilai dari x K B A  dan nilai eigennya, yaitu:
            0.2867 - 0.7440 1.1029 0.0417 0.6805 - 0.0638 0.0417 0.0195 0.7362
K x B A
dengan  nilai  eigen  adalah  -0.1422,  -0.8294,  dan  -0.7318.  Berdasarkan  Teorema  4,  matriks
x K B A  adalah Metzler-Hurwitz , sehingga sifat (1) terpenuhi.
Perhatikan plot dari keadaan   t x dan output   t y berturut-turut diberikan pada gambar berikut :
Gambar 2 . Plot fungsi x (t) dan y (t) terhadap t

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nurweni Putri, Iswan Rina
Dari  grafik  yang  diperoleh  pada  Gambar  2  diketahui  bahwa  keadaan x (t)  dan output y (t)  adalah nonnegatif,  sehingga  kondisi  (2)  terpenuhi.  Adapun  plot  dari  kontrol  optimal u (t)  diperoleh  sebagai berikut :
Gambar 3 . Plot fungsi u (t) terhadap t
Dari grafik u (t) pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa jika t → ∞ maka s u u  * . Dengan kata lain, jika t → ∞ maka ε → 0 akibatnya  kondisi (3) terpenuhi. Karena semua sifat terpenuhi, maka sistem adalah stabil positif.

## 5. KESIMPULAN
Bentuk kontrol  optimal yang memenuhi sistem (3) dan meminimumkan (4), sedemikian sehingga sistem tetap stabil positif saat diberikan disturbance konstan adalah sebagai berikut
         * ) ( x u K t ,
dengan
            .        r K K K K K n    x x

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Ariyanti Gregoria. 2020. Necessary and Sufficient Conditions for The Solutions of Linear Equations System. Jurnal Matematika, stattistika dan Komputasi, Vol.17 No.1, 82-88.
[2]  Arif  D.,  Adzkiya  D.,  Apriliani  E.,  &  Khasanah  I.  2017. Model  Reduction  of Non-minimal  Discrete- Time Linear-Time-Invariant Systems . MJMS
[3]  Beauthier,  C.  dan  Joseph  J.  Winkin.  2010. LQ-Optimal  Control  of  Positive  Linear  System .    Wiley Online Library.
[4] Farina, L. dan Rinaldi, S. 2000. Positive Linear Systems : Theory and Aplications . Wiley. New York.
[5]  Firman.  2011.  Modifikasi  Kontro  untuk  Sistem  Tak  Linier  Input  Tunggal-Output  Tunggal.  Jurnal Matematika, stattistika dan Komputasi, Vol.7 No.2, 118-123.
[6]  Guo  Zongyi,  David  H.,  Jianguo  G.,  Zheng  W.,  Jarome  &  Jing  C.  2020. Metzler  Matrix-Based Switching Control Scheme For Linear Systems With Prescribed Performance Guarantees . IFAC- PapersOnLine 53-2 (2020) 6428-6433.
[7] Hendricks. Elbert, Ole. Jannerup dan P. H. Sorensen. 2008 . Linear Systems Control . Springer- Verlag Berlin Heidelberg.
[8] Kaczorek, T. 2001. Positive 1D and 2D Systems Metzler Matrices . SpringerVerlag Berlin Heidelberg.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nurweni Putri, Iswan Rina
[9]  Krokavec  D.  &  Filasova  A.  2020. Reduced-Order  Observers  for  Linear  Metzlerian  Systems .  IFAC- PapersOnLine 53-2 (2020) 4553-6558.
[10] Kundu A., Daafouz J., & Heemels. 2017. Stabilization of Discrete-Time Switched Linear Systems: Lyapunov-Metzler  Inequalities  versus  S-procedure  characterizations.  IFAC-PapersOnLine  50-1 (2017) 3412-3417.
[11]  Leenheer,  P.  dan  D.  Aeyels.  2001 .  Stabilization  of  Positive  Linear  Systems .  Systems  and  Control Letters. 44: 259-271.
[12] Meyer. Carl D. 2000. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra . SIAM
[13] Mitkowski. W. 2008. Dynamical Properties of Metzler Systems . Bulletin of The Polish Academy of Sciences Technical Sciences. Vol. 56, No. 4.
[14] Naidu, D.S. 2002. Optimal Control Systems . CRC Press, Idaho.
[15] Rama K. Yedavalli. 2018. Conditions for Hurwitz Stability / Instability of a Real matrix via its Sign Pattern  with  a  Necessary  and  Sufficent  Condition  for  Magnitude  Independent  Stability .  IFAC- PapersOnLine 51-1 (2018) 663-667.
[16]  Richard,  Charles Jhonson.  1982 .  Inverse M-Matrices .  Algebra  Linear  and  Its  Applications  47:195- 216.
[17]  Roszak,  B.  dan  Davidson,  E.  J.  2009. Necessary  and  Sufficient  Conditions  for  Stabilizability  of Positive LTI System . System and Control Letters 58(2009). 474-481.
[18]  Roszak,  B.  dan  Davidson,  E.  J.  2010. The  Multivariable  Servomechanism  controller  for  SISO positive LTI System . IEEE Transactions on Automatic Control, 55(9), 2204-2209.