Jurnal Fisika Indonesia — Huda dan Rosyid Vol. 19 ( 2015 ) No. 57 p.1-5

## ARTIKEL RISET

## Menuju Mekanika Kuantum Modular
Didik Nur Huda 1 dan M. Farchani Rosyid 2*

## Abstrak
Telaah mekanika kuantum selama ini dibangun di atas ruang Hilbert, yakni ruang vektor kompleks dengan produk skalar hji : ( ·|· ) : V × V → C dengan V ruang vektor atas bilangan kompleks C . Modul Hilbert merupakan perumuman dari ruang Hilbert, dengan mengganti himpunan skalar menjadi gelanggang R dengan syarat tertentu sehingga merupakan modul Hilbert. Gelanggang R yang dimaksud adalah gelanggang bilangan. Modul Hilbert inilah yang akan digunakan untuk membangun fondasi mekanika kuantum modular ini.
kata kunci: skalar; gelanggang; modul Hilbert; mekanika kuantum

## Abstract
The study of quantum mechanics has been built on a Hilbert space, the complex vector space with inner product ( ·|· ) : V × V → C with V is a complex vector space dan C is complex numbers. Hilbert module is a generalization of Hilbert space, by changing the scalar set become ring R with certain conditions so that a Hilbert module. This ring is called the number ring. Hilbert modules that will be used to build the modular foundations of quantum mechanics.
keywords: scalar; Ring; Hilbert module; quantum mechanics

## 1. Pendahuluan
Perumusan mekanika kuantum yang secara luas dike- nal saat ini dibangun dalam ruang Hilbert sebagai ru- ang keadaan. Ruang Hilbert merupakan ruang vektor kompleks karena skalar yang dipilih adalah bilangan- bilangan kompleks. Ruang vektor merupakan objek matematika yang dibangun di atas skalar-skalar yang disebut lapangan (field) [1]. Perluasan konsep ruang vektor adalah modul, yakni dengan mengganti lapang- an dengan konsep yang lebih umum yakni gelang- gang. Mekanika kuantum juga telah dirumuskan de- ngan menggunakan kuaternion sebagai gelanggang ba- gi modul Hilbert [2, 3, 4]. Sebelumnya De Leo pada tahun 1998 juga berupaya membangun mekanika ku- antum di atas oktonion. Dalam mekanika kuantum ku- aternion gelanggang yang digunakan adalah bilangan kuaternion, sedangkan mekanika kuantum biasa yang digunakan adalah bilangan kompleks. Dalam mekani- ka kuantum oktonion, oktonion bukanlah gelanggang karena sifat tak asosiatifnya. Bilangan-bilangan terse- but digunakan untuk melabeli ruang vektor sebagai keadaan kuantum. [5, 6, 7]
* Korespondensi: farchani@ugm.ac.id
2 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Sekip Utara PO BOX BLS 21, 55281 Yogyakarta, Indonesia Informasi lengkap tentang penulis dapat dilihat pada akhir artikel

## 2. Kuaternion
Kuaternion didefinisikan sebagai
q = a + ib + jc + kd a, b, c, d ∈ C , (1)
dengan
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = − 1 (2)
Konjugasi kuaternion diberikan oleh
¯ q = a − ib − jc − kd a, b, c, d ∈ C . (3)
Ruang kuaternion selanjutnya disimbolkan H . Norma pada kuaternion dideskripsikan pada persamaan (4) berikut
k q k 2 = k q ¯ q k = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . (4)
Setiap kuaternion yang tak nol mempunyai invers tunggal yaitu
q − 1 = 1 q = ¯ q | q | (5)
[8, 9, 10].

## 2.1 Mekanika Kuantum Kuaternionik
Keadaan dalam mekanika kuantum kuaternion dapat dideskripsikan sebagai vektor | ψ i dalam ruang Hilbert kuaternionik V H [4]. Vektor | ψ i dapat dinyatakan de- ngan vektor lain anggota dari V H , yaitu
| ψ i = | ϕ i q, (6)
dengan | ψ i ∈ V H dan q ∈ H . Operator pada mekanika kuantum kuaternionik didefinisikan sebagai O H yang bekerja pada keadaan kuaternionik menurut persama- an berikut,
O H ( | ψ i q ) = ( O H | ψ i ) q q ∈ H (7)
[8, 11, 12].

## 2.2 Permasalahan Swanilai Kompleks Kanan dalam Mekanika Kuantum Kuaternionik
Persamaan swanilai kanan untuk operator O H sebagai berikut
O H | ψ i = | ψ i q, (8)
dengan | ψ i ∈ V H yang merupakan swavektor opera- tor O H dan q ∈ H . Terdapat korespondensi satu-satu antara keadaan dengan unit spektrum dalam bentuk
| r i = | ψ i u. (9)
Keadaan | ψ i u berkorespondensi dengan keadaan yang sama | ψ i yang mempunyai swavektor O H dengan swa- nilai ¯ uqu ,
O H | ψ i u = | ψ i ¯ uqu. (10)
Selanjutnya terdapat himpunan spektrum swanilai q, ¯ u 1 qu 1 , ..., ¯ u 1 qu l , ... dengan u l kuaternion uniter. Himpunan swanilai tersebut terkait dengan himpunan swavektor | ψ i , | ψ i u 1 , ..., | ψ i u l , ... . Kemudian dipilih wakilan dari spektrum
| Ψ i = | ψ i u λ , (11)
dengan | ψ i ∈ V H dan λ ∈ C .
Pembuktian masalah swanilai kompleks ini dapat di- lihat di artikel [7].

## 3. Gelanggang Bilangan
Gelanggang bilangan R ini merupakan perumuman dari R , C , H . Gelanggang R ini adalah suatu gelang- gang yang padanya terdapat involusi, bernorma, dan unital. Involusi adalah pemetaan ∗ : R → R sedemiki- an rupa sehingga sifat berikut terpenuhi:
1 ( a ∗ ) ∗ = a 2 ( ab ) ∗ = b ∗ a ∗ dan 3 ( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ , untuk semua a, b ∈ R . Unsur a ∈ R dikatakan riil jika a = a ∗ , untuk setiap a ∈ R . Unsur a anggota gelanggang R dikatakan positif apabila terdapat un- sur b yang juga anggota R + sedemikian rupa sehingga berlaku a = b ∗ b . Norma yang dimaksud adalah
k·k M : → R + (12)
yang memiliki sifat a ∗ a = aa ∗ = k a k 2 , untuk se- tiap a ∈ R . Selain itu norma ini mempunyai sifat k ab k ≤ k a k k b k , untuk setiap a, b ∈ R . Gelanggang unital adalah gelanggang yang memiliki elemen 1 ∈ R . Unsur c ∈ R dikatakan lebih besar atau sama dengan unsur a ∈ R , ditulis a ≤ c , jika c − a positif. De- ngan demikian interval [0,1] dapat didefinisikan me- nurut [0 , 1] = a ∈ R + | a ≤ 1 Selanjutnya gelanggang bilangan inilah yang akan digunakan dalam mekanika kuantum modular ini [13, 14, 1].

## 4. Mekanika Kuantum Modular
Mekanika kuantum modular dibangun di dalam mo- dul Hilbert di atas gelanggang bilangan R bahwa me- kanika kuantum biasa dan kuaternion tercakup di da- lamnya. Berikut akan disajikan aksioma-aksioma yang menggambarkan mekanika kuantum tersebut [15] :
Postulat 1:
Suatu sistem kuantum berpadanan dengan sebuah modul Hilbert M bebas kanan di atas gelanggang bi- langan R. Setiap keadaan sistem kuantum tersebut di- wakili oleh sekumpulan anggota-anggota modul M.
Setiap anggota modul M mewakili secara tunggal se- buah keadaan. Dalam mekanika kuantum biasa, vek- tor | ψ i dan vektor | ψ 0 i yang dapat dituliskan sebagai perkalian antara | ψ i dengan skalar α , yakni | ψ 0 i = | ψ i = α | ψ i mewakili keadaan yang sama. Dalam hal ini, vektor | ψ i dan | ψ 0 i dapat dikatakan berada dalam satu kelas ekivalen sebagaimana pengertian relasi eki- valen yakni refleksif, simetris, dan transitif. Dua buah vektor dari kelas yang sama oleh karena itu mewakili keadaan yang sama. Dalam mekanika kuantum mo- dular kenyataan semacam itu tidak harus berlaku.
Kesulitan terkait dengan sifat gelanggang yang di- pakai:
1 Relasi seperti yang didefinisikan dalam mekani- ka kuantum biasa bahwa | ψ 0 i dan α | ψ i mewakili keadaan yang sama tidak berlaku sebagai relasi ekivalen dalam mekanika kuantum modular, kare- na melanggar sifat simetris dalam relasi ekivalen meskipun sifat refleksif dan transitif berlaku.
Bukti: Jika | ψ 0 i = | ψ i α maka tidak harus ada α 0 sedemikian rupa sehingga berlaku | ψ i = | ψ 0 i α 0 , sebab belum tentu α 0 invertibel.
Jalan keluar dari masalah ini adalah mendefini- sikan ekivalensi dua buah vektor dalam modul M dengan cara yang sedikit berbeda: vektor | ψ i di- katakan ekivalen dengan | ψ 0 i jika ditemukan se- buah skalar α ∈ R yang invertibel sedemikian ru- pa sehingga | ψ 0 i = | ψ i α . Dapat dibuktikan relasi ekivalen semacam ini well defined . Perlu diingat bahwa dua buah vektor yang ekivalen tidak seja- jar satu dengan yang lain.
2 Jika relasi ekivalen didefinisikan seperti di atas maka tidak setiap kelas ekivalen memuat vektor satuan. Oleh karena itu tidak setiap kelas ekivalen mewakili keadaan. Hal ini dapat dijelaskan seba- gai berikut:
Andaikan R in subhimpunan R yang memuat anggota-anggota yang invertibel. Untuk vektor | ψ i dengan k ψ k ∈ R in , terlihat dengan jelas bah- wa vektor ˆ ψ E yang didefinisikan oleh ˆ ψ E = | ψ i k ψ k − 1 merupakan vektor yang panjangnya sa- tu satuan. Jadi, vektor | ψ i dengan k ψ k ∈ R in ekivalen dengan vektor satuan. Sebaliknya jika, vektor | ψ i sedemikian rupa sehingga k ψ k buk- an anggota R in maka vektor | ψ i tidak ekivalen dengan vektor satuan. Pembuktiannya adalah se- bagai berikut :
Jika | ψ i ∼ ˆ ψ E maka terdapat β ∈ R in sedemi- kian rupa sehingga ˆ ψ E = ˆ ψ E β . Selanjutnya, ji-
ka ˆ ψ E = ˆ ψ E β maka ˆ ψβ = ψβ − 1 sehingga k ψ k = β .
Andaikan kelas vektor-vektor yang memuat vek- tor satuan disebut kelas bersatuan, sedangkan kelas vektor-vektor yang tidak memuat vektor bersatuan disebut kelas tak bersatuan. Kelas bersatuan kemung- kinan terkait dengan keadaan murni, sedangkan yang tak bersatuan kemungkinan terkait dengan keadaan tak murni. Andaikan | ψ i dan | ϕ i berada di dua kelas bersatuan yang berbeda. Vektor | ψ i α | | ϕ i β tidak ha- rus memiliki norma yang invertibel. Oleh karena itu | ψ i α | | ϕ i β tidak harus menjadi anggota kelas bersa- tuan.
Postulat 2 : Besar-besaran fisis diwakili oleh operator-operator yang selfadjoint dan kompak yang bekerja dalam mo- dul M.
Pengukuran dalam mekanika kuantum adalah pe- ngundian, maka hasil ukur merupakan anggota suatu ruang sampel. Jadi, setiap besaran fisis memiliki sebu- ah ruang sampel. Karena besaran-besaran fisis diwaki- li oleh operator-operator yang selfadjoint maka ruang sampel bagi sebuah observabel diperoleh dari operator yang mewakili observabel itu. Ruang sampel ini me- rupakan spektrum operator tersebut yakni himpunan
yang beranggotakan swanilai operator yang bersang- kutan.
Selanjutnya ditinjau sebuah operator Ω yang self- adjoint dan mewakili besaran fisis O . Ruang sampel bagi O tidak lain adalah himpunan Σ (Ω) yang berang- gotakan semua skalar ω yang memenuhi persamaan swanilai berikut
ˆ Ω | ψ i = | ψ i ω (13)
Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa swanilai ope- rator self-adjoint tidak harus riil. Berikut adalah pem- buktiannya:
ˆ Ω | ψ i = | ψ i ω (14)
D ψ | ˆ Ω ψ E = h ψ | ψ i ω (15)
D ψ | ˆ Ω ψ E − h ψ | ψ i ω = 0 (16)
D ˆ Ω ∗ ψ = ω ∗ h ψ | (17)
D ˆ Ω ∗ ψ | ψ E = ω ∗ h ψ | ψ i (18)
D ˆ Ω ∗ ψ | ψ E − ω ∗ h ψ | ψ i = 0 (19)
Karena sifat self-adjont ˆ Ω = ˆ Ω ∗ maka dari persamaan (16) dan (19) jika dikurangkan menjadi
h ψ | ψ i ω − ω ∗ h ψ | ψ i = 0 (20)
Persamaan (20) dapat dituliskan
ω = k ψ k − 2 ω ∗ k ψ k 2 (21)
Jika | ψ i vektor satuan atau dapat dikatakan k ψ k = 1, maka persamaan 21 menjadi
ω = ω ∗ (22)
yang berarti swanilai tersebut riil.
Selanjutnya jika dalam persamaan (13), k ψ i ditulis- kan k ψ i = | ˆ ψ i k ψ i dan disubstitusikan ke persamaan (20).
D ˆ ψ k ψ k| ˆ ψ k ψ k E ω − ω ∗ D ˆ ψ k ψ k| ˆ ψ k ψ k E = 0 (23)
k ψ kh ˆ ψ | ˆ ψ ik ψ k ω − ω ∗ k ψ kh ˆ ψ | ˆ ψ ik ψ k = 0 (24)
k ψ k 2 ω − ω ∗ k ψ k 2 = 0 (25)
Persamaan (25) tersebut sama dengan persamaan (21).
Pada persamaan swanilai (13), ω disebut swanilai operator Ω milik swavektor | ψ i . Jika | ψ i adalah swa- vektor milik ω maka | ψ i β bukanlah swavektor milik ω . Berikut ini adalah pembuktiannya.
ˆ Ω | ψ i = | ψ i ω (26)
ˆ Ω | ψ i β = | ψ i ωβ
(27)
Jika β invertibel, maka persamaan (27) dapat ditulis- kan menjadi
ˆ Ω | ψ i β = | ψ i ββ − 1 ωβ (28)
Jika ωβ = βω pada persamaan swavektor (27) maka swavektor | ψ i β memiliki swanilai ω . Dalam persama- an (28) terlihat jelas bahwa | ψ i β memiliki swanilai β − 1 ωβ dan | ψ i β sekelas dengan | ψ i . Sebelumnya te- lah disepakati bahwa | ψ i dan | ψ i β dalam satu kelas ekivalen tetapi dengan swanilai yang berbeda. Dapat dibuktikan bahwa relasi
ω ∼ β − 1 ωβ (29)
dengan β invertibel merupakan relasi ekivalen. Mi- salkan ˜ Σ = Σ (Ω) / ∼ himpunan yang berangotakan semua kelas ekivalen berhubung relasi ekivalen di atas.
Postulat 3
Ruang sampel bagi pengukuran besaran fisis O ada- lah himpunan ˜ Σ (Ω) yang beranggotakan semua kelas ekivalen swanilai-swanilai.
Ensemble adalah kumpulan suatu sistem yang pada suatu keadaan dan persiapan ini selalu dapat diulang setiap kali selesai mengukur suatu besaran fisis. Si- tuasi ini dapat diganti dengan beberapa sistem fisis identik yang dipersiapkan berada pada keadaan yang sama. Sistem-sistem inilah yang merupa- kan sistem kuantum (ensembel kuantum).
Ensembel kuantum berisi keadaan-keadaan kuan- tum. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa keadaan- keadaan kuantum dalam satu kelas ekivalen. Misal- nya sistem kuantum dipersiapkan pada keadaan ku- antum yang diwakili oleh | ψ i = | ˆ ψ i β yang merupakan swavektor milik operator selfadjoint ˆ Ω yang memiliki swanilai ω . Hasil pengukuran besaran O pada keadaan | ψ i = | ˆ ψ i β merupakan swanilai-swanilai dari operator
ˆ Ω yakni ω dan β − 1 ωβ . Hal ini menunjukkan bahwa ha- sil pengukuran besaran fisis O bukan merupakan salah satu swanilai, melainkan merupakan kelas ekivalen.
Andaikan keadaan kuantum diwakili oleh swavek- tor | ψ i ω terkait operator ˆ Ω maka berlaku ˆ Ω( | ψ i ω ) = ( | ψ i ω ) ω . Secara umum, ini menunjukkan bahwa | ψ i ω merupakan keadaan lain, kecuali jika ω invertibel ma- ka | ψ i ω dapat mewakili keadaan yang sama.

## Postulat 4
Misalkan besaran fisis O diwakili oleh operator ˆ Ω de- ngan swanilai ω dan swavektor | ψ i = | ˆ ψ i β . Besaran fisis O diukur pada keadaan yang telah dipersiapkan yang diwakili oleh | ψ i . Peluang untuk mendapatkan hasil ukur ω jika sistem berada pada keadaan | ψ i ada- lah
P ( | ϕ i , ω ) = kh ˆ ψ | ϕ ik 2 ∈ [0 , 1] (30)
dengan [0,1] adalah subhimpunan di R yang beranggo- takan unsur a ∈ R yang lebih dari atau sama dengan 0 dan kurang dari atau sama dengan 1.

## 5. Kemungkinan Perumusan Dinamika Kuantum Modular
Perumusan dinamika kuantum modular ini terkendala pada peubah t untuk waktu. Peubah t pada mekani- ka kuantum biasa merupakan bilangan riil anggota R dengan watak yang telah biasa dipahami. Untuk mem- perumum konsep waktu diandaikan peubah waktu me- rupakan anggota suatu gelanggang waktu R t yang di- sebut gelanggang waktu. Gelanggang waktu ini meru- pakan gelanggang bernorma dan terurut secara linear (totally ordered) .
Gagasan pendefinisian turunan untuk fungsi yang didefinisikan pada gelanggang waktu melalui perumus- an konsep turunan fungsi f : U ⊂ R → R di u 0 ∈ U yang merupakan slope grafik f di titik u 0 . Perumuman turunan tersebut diperoleh melalui konsep generator linear sebagai Df ( u 0 ) = f 0 ( u 0 ) yakni pemetaan linear yang bekerja pada vektor ( u − u 0 ). Dengan kata lain g : U → R u 7→ g ( u ) = f ( u 0 ) + Df ( u 0 ) . ( u − u 0 ) menyinggung f di titik u 0 . Berikut ini definisi untuk perumuman tersebut melalui turunan Fr´ echet:

## Definisi
Andaikan E, F dua modul bertopologi dan U terbuka di E serta dengan pemetaan
f, g : U ⊂ E → F f dan g dikatakan tangent di u 0 ∈ U jika dan hanya jika lim u → u 0 k f ( u ) − g ( u ) || k u − u 0 k = 0 dengan || . || norma pada mo- dul tersebut.
Teorema: Untuk f : U ⊂ E → F dan u 0 ∈ E dan terdapat paling tidak satu L ∈ L ( E, F ) sedemikian ru- pa sehingga pemetaan g L : U ⊂ E → F yang diberik- an oleh g L ( u ) = f ( u 0 ) + L ( u − u 0 ) merupakan tangent
f di u 0 . Definisi Jika terdapat sebuah L ∈ L ( E, F ), f dapat dikatakan dapat diturunkan (differentiable) di u 0 dan definisi turunan f di u 0 sebagai Df ( u 0 ) = L . Jika f dapat diturunkan untuk setiap titik u 0 ∈ U , pemetaan Df : u → L ( E, F ) u 7→ Df ( u ) merupakan turunan f . Jika Df pemetaan kontinyu dapat dikatakan f merupakan kelas C 1 dapat ditu- runkan secara kontinyu (continously differentiable) . Berdasarkan definisi di atas E = R t dan F = M . Dalam kasus ini dimensi R t dan M tidak harus sama. Dimensi R t adalah satu, sedangkan dimensi M dapat berhingga atau tak berhingga.
Andaikan terdapat L ∈ L ( R t , M ) turunan di t dan terdapat pemetaan f : R t ⊂ R t → M . Turunan di t didefinisikan sebagai Df ( t ) = A . Selanjutnya untuk menuju persamaan Schr¨ odinger didefinisikan operator yang uniter. Dalam mekanika kuantum biasa opera- tor translasi waktu U ( t, t 0 ) = U ( t − t 0 ) merupakan operator yang uniter.
Andaikan pada saat t0 keadaan kuantum diwakili oleh | ψ ( t 0 ) i . Andaikan keadaan pada saat t mengalami perubahan yang diwakili | ψ ( t ) i maka hubungannya
ˆ U ( t − t 0 | ψ ( t 0 i = | ψ ( t ) i (31)
dengan U ( t, t 0 ) adalah operator uniter. Dalam meka- nika kuantum biasa dinamika sistem kuantum dapat diperoleh melalui operator uniter. Kemungkinan besar dari operator uniter inilah dinamika sistem kuantum modular dapat diturunkan. Dalam penelitian ini dina- mika mekanika kuantum modular belum dapat disele- saikan karena membutuhkan pemahaman yang lebih mendalam.

## Kesimpulan
1 Ruang keadaan kuantum dinyatakan dalam mo- dul Hilbert kanan M di atas gelanggang R yang disertai dengan fitur-fitur yang mungkin untuk membangun mekanika kuantum modular ini: in- volusi, bernorma, dan unital, serta invertibel.
2 Besaran-besaran fisis diwakili oleh operator- ope- rator yang self-adjoint dan kompak yang bekerja pada modul M
3 Ruang sampel bagi pengukuran besaran fisis O merupakan himpunan ˜ Σ(Ω) yang beranggotakan semua kelas ekivalen swanilai-swanilai.
4 Besaran fisis O diwakili oleh operator Ω dengan swanilai ω dan swavektor | ψ i = | ˆ ψβ . Besaran fisis O diukur pada keadaan yang telah dipersiapkan
yang diwakili oleh | ϕ i . Peluang untuk mendapatk- an hasil ukur ω jika sistem berada pada keadaan | ϕ i adalah P ( | ψ i , ω ) = ||h ˆ ψ | ϕ i|| 2 ∈ [0 , 1] 5 Dinamika kuantum modular dimulai dengan men- definisikan gelanggang waktu R t dan turunannya. Dalam penelitian ini belum dapat diselesaikan ka- rena membutuhkan pemahaman yang lebih men- dalam.

## Informasi penulis
1 Jurusan Pendidikan Fisika, Fakultas Teknik Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indraprasta PGRI, Jalan Nangka No. 58 C, Tanjung Barat, Jagakarsa, 12530 Jakarta Selatan, Indonesia. 2 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Sekip Utara PO BOX BLS 21, 55281 Yogyakarta, Indonesia.

## Pustaka
1. Rosyid, M.F.: Mekanika Kuantum Model Matematis Gejala Alam Mikroskopis-Tinjauan Takrelativistik. Jurusan FMIPA UGM, Yogyakarta (2006)
2. Leo, S.D., Abdel-Khalek, K.: Toward an Octonionic World. International Journal of Theoretical Physics 37 (37), 1945–1985 (1998)
3. Leo, S.D., Rotelli, P.: Translation between Quaternion and Complex Quantum Mechanics. Progress of Theoritical Physics 92 (5), 917–926 (1994). DOI 10.1143/ptp/92.5.917
4. Leo, S.D., Scolarici, G.: Right eigenvalue equation in quaternionic quantum mechanics. J. Phys. A : Math. Gen 33 , 2971–2995 (2000)
5. Baez, J.C.: The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society 39 (2)
6. Abraham, R., Marsden, J.E.: Foundation of Mechanics, 2nd edn. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Redwood City, California, ??? (1987)
7. Dray, T., Manogue, C.A.: The octonionic eigenvalue problem. Advances in Applied Cliord Algebras 8 (2), 341–364 (1998)
8. Arbab, A.I.: The Quaternionic Quantum Mechanics. Applied Physics Research 3 (2), 160–170 (2011)
9. Horn, M.E.: Quaternions in University-Level Physics Considering Special Relativity. In: German Physical Society Spring Conference, Leipzig, Germany (2002)
10. Rastall, P.: Quaternions in relativity. Rev. Mod. Phys. 36 (3), 820–832 (1964)
11. Baker, A.: Right eigenvalues for quaternionic matrice: A topological approach. Linear Algebra and Its Application 289 , 303–309 (1999)
12. Leo, S.D., Ducati, G.: Quaternionic eigenvalue problem. Journal of Mathematical Physics 43 , 5815–5829 (2001) 13. Landsman, N.P.: Lecture Note on C*- Algebras, Hilbert C*- Modules, and Quantum Mechanics. Korteweg-de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam, Plantage Muidergracht 24 (1998). Korteweg-de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam
14. Lane, S.M., Birkhoff, G.: Algebra, 2nd edn. Macmillan Publishing Co. Inc., USA (1979)
15. Tannoudi, C., B.Diu, Lalo¨ e, F.: Quantum Mechanics Volume I. John Wiley and Sons Inc., New York (1977)