## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler DOI: https://doi.org/10.34312/euler.v11i1.19021 Juni 2023, Vol. 11, No. 1, Hal. 1-7

## Implementasi Struktur Aljabar Besar Pada Reaksi Kimia: Reduksi – Oksidasi
Fakhry Asad Agusfrianto 1 , Yudi Mahatma 2*
1,2 Program Studi Matematika, Universitas Negeri Jakarta, Jakarta, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: yudi_mahatma@unj.ac.id

## Abstrak
Struktur aljabar besar  ( Algebraic Hyperstructures ) adalah perumuman dari konsep struktur aljabar. Salah  satu  konsep  pada  struktur  aljabar  besar  adalah  grup  besar.  Konsep  grup  besar  dapat diperumum menjadi grupoid besar, semigrup besar dan grup 𝐻 𝑣 . Grup besar dan perumumannya memiliki aplikasi dalam bidang sains seperti kimia, biologi, dan fisika. Fokus pembahasan dalam paper ini adalah aplikasi grup besar dan perumumannya di bidang kimia. Dalam kimia dasar, kita mengenal reaksi kimia yang disebut reaksi reduksi dan oksidasi (redoks). Tujuan paper ini adalah menganalisis struktur aljabar besar yang terdapat dalam reaksi redoks.
Kata Kunci: Reaksi Kimia; Reaksi Redoks; Struktur Aljabar Besar

## Abstract
Algebraic  Hyperstructures  is  a  generalization  of  the  concept  of  algebraic  structure.  One  of  the concepts  on  algebraic  hyperstructures  is  hypergroups.  The  concept  of  hypergroups  can  be generalized  into  hypergroupoids,  hypersemigroups  and 𝐻 𝑣 -groups.    Hypergroups  and  their generalization  have  applications  in  science  fields  such  as  chemistry,  biology,  and  physics.  The focus of discussion in this paper is the application of hypergroups and their generalization in the field of chemistry. In basic chemistry, we know chemical reactions called reduction and oxidation (redox) reactions. The purpose of this paper is to analyze the algebraic hyperstructures contained in redox reactions.
Keywords: Chemical Reaction; Redox Reaction; Algebraic Hyperstructures

## 1. Pendahuluan
Konsep  struktur  aljabar  besar  awalnya  dikenalkan  oleh  Marty  tahun  1934  [1]  sebagai perumuman  dari  struktur  aljabar.  Konsep-konsep  pada  struktur  aljabar  besar  antara  lain  adalah grupoid  besar,  semigrup  besar,  grup  besar,  dan  ring  besar  [1],[2].  Pembahasan  dalam  paper  ini berfokus  pada  grup  besar  dan  perumumannya.    Grup  besar  dan  perumumannya  memiliki  aplikasi dalam  bidang  sains  yaitu  pada  bidang  kimia  dan  biologi.  Aplikasi  pada  bidang  kimia  antara  lain adalah untuk menganalisis struktur besar yang terdapat pada reaksi redoks [3], reaksi disproporsionasi [4],  reaksi  kimia  yang  terjadi  pada  Astatin,  Telurium,  Bismut,  Besi,  Indium  dan  unsur  halogen [5],[6],[7].  Hasil  –  hasil  tersebut  dapat  digeneralisasi  menjadi  struktur  aljabar  besar  yang  terdapat dalam  reaksi  redoks  dengan  tiga  dan  empat  bilangan  oksidasi  [8],[9].  Selanjutnya,  aplikasi  dalam biologi salah satunya adalah struktur aljabar besar dalam pewarisan sifat [10],[11]. Dari hasil tersebut, dikaitkan  struktur  aljabar  besar  yang  terdapat  pada  pewarisan  sifat  dengan  himpunan  fuzzy  dan himpunan fuzzy intuitionistik [12],[13],[14]. Pembahasan paper ini berfokus pada aplikasi struktur aljabar besar di bidang kimia.
Selanjutnya,  diingatkan  kembali  konsep  –  konsep  pada  struktur  aljabar  besar.  Misalkan 𝐻 adalah  himpunan  tak  kosong.  Pemetaan ⊙: 𝐻 × 𝐻 → 𝑃 ∗ (𝐻) dengan 𝑃 ∗ (𝐻) adalah  koleksi  dari
semua  subhimpunan  tak  kosong  dari 𝐻 disebut  operasi  besar  di 𝐻 dan  pasangan (𝐻,⊙) disebut grupoid  besar  [1].    Jika 𝑃 dan 𝑄 adalah  subhimpunan  tak  kosong  dari 𝐻 dan 𝑥 ∈ 𝐻 ,  maka 𝑃 dioperasikan dengan 𝑄 dinotasikan dengan:
𝑃 ⊙ 𝑄 = ⋃ 𝑝 ⊙ 𝑞, 𝑝∈𝑃,𝑞∈𝑄 𝑥 ⊙ 𝑃 = {𝑥} ⊙ 𝑃 dan 𝑃 ⊙ 𝑥 = 𝑃 ⊙ {𝑥} (1)
Selanjutnya,  untuk  setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐻 ,  grupoid  besar (𝐻,⊙) dikatakan  semigrup  besar  jika berlaku 𝑥 ⊙ (𝑦 ⊙ 𝑧) = (𝑥 ⊙ 𝑦) ⊙ 𝑧 yang maknanya:
⋃ 𝑥 ⊙ 𝑢 𝑢∈𝑦⊙𝑧 = ⋃ 𝑣 ⊙ 𝑧 𝑣∈𝑥⊙𝑦 (2)
Selanjutnya, Grupoid besar (𝐻,⊙) disebut grup quasi besar jika untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐻 , 𝑎 ⊙ 𝐻 = 𝐻 ⊙ 𝑎 = 𝐻 yang mana kondisi ini disebut aksioma reproduksi. Selanjutnya, (𝐻,⊙) dikatakah grup besar jika (𝐻,⊙) adalah semigrup besar dan grup quasi besar. Di lain sisi, terdapat struktur besar yang  dinamakan  struktur 𝐻 𝑣 .  Diketahui 𝐻 himpunan  tak  kosong  dan ⊙: 𝐻 × 𝐻 → 𝑃(𝐻) adalah operasi besar. Sistem (𝐻,⊙) dikatakan:
1. Semigrup 𝑯 𝒗 jika ⊙ asosiatif lemah atau untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐻 , [𝑎 ⊙ (𝑏 ⊙ 𝑐)] ∩ [(𝑎 ⊙ 𝑏) ⊙ 𝑐] ≠ ∅ .
2. Grup 𝑯 𝒗 jika (𝐻,⊙) semigrup 𝐻 𝑣 dan untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐻 , 𝑎 ⊙ 𝐻 = 𝐻 ⊙ 𝑎 = 𝐻 .
Paper ini bertujuan untuk menganalisis struktur besar yang terdapat pada beberapa reaksi redoks yang  dalam  kasus  ini  adalah  reaksi  redoks  dari  Perak  ( 𝐴𝑔 ),  Amonium  ( 𝐴𝑚 ),  dan  Titanium  ( 𝑇𝑖 ). selanjutnya, dipaparkan juga cara menganalisis jenis struktur besar yang terdapat pada reaksi redoks tersebut.

## 2. Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  kajian  literatur.  Pertama, ditentukan reaksi reduksi dan oksidasi yang terbentuk berdasarkan diagram latimer yang diberikan, selanjutnya  produk  –  produk  reaksi  tersebut  dituliskan  dalam  bentuk  tabel  operasi.  Terakhir, dianalisis  struktur  aljabar  besar  berdasarkan  tabel  operasi  tersebut.  Berikut  adalah  diagram  tahan penelitian ( research – resistant diagram ) untuk memperjelas alur penelitian ini.

## Gambar 1. Diagram Tahan Penelitian

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini, dipaparkan analisis struktur aljabar besar pada beberapa reaksi redoks. Reaksi reduksi – oksidasi atau yang disingkat redoks adalah reaksi kimia yang di dalamnya terjadi penurunan dan kenaikan bilangan oksidasi sekaligus [15]. Contoh reaksi redoks adalah sebagai berikut:
𝐹𝑒 2+ + 𝐶𝑟 2 𝑂 7 2− → 𝐹𝑒 3+ + 𝐶𝑟 3+ (3)
Berdasarkan diagram latimer, tentukan reaksi reduksi dan oksidasi yang terbentuk. Produk – produk hasil reaksi yang paling spontan (paling positif) tuliskan ke dalam bentuk tabel operasi Menganalisis struktur aljabar besar yang terdapat pada tabel tersebut
Pada reaksi di atas, bilangan oksidasi 𝐹𝑒 berubah dari +2 menjadi +3 sehingga 𝐹𝑒 mengalami reaksi oksidasi.  Selanjutnya,  bilangan  oksidasi 𝐶𝑟 berubah  dari +6 menjadi +3 sehingga 𝐶𝑟 mengalami reaksi reduksi.
Selanjutnya,  reaksi  redoks  dapat  dituliskan  dalam  setengah  reaksi.  Reaksi  redoks  yang dituliskan dalam setengah reaksi memiliki potensial sel yang mana potensial sel dirumuskan sebagai 𝐸 𝑠𝑒𝑙 0 = 𝐸 𝑘𝑎𝑡𝑜𝑑𝑎 − 𝐸 𝑎𝑛𝑜𝑑𝑎 .  Jika 𝐸 𝑠𝑒𝑙 0 ≥ 0 ,  maka  reaksi  redoks  tersebut  disebut  reaksi  spontan  atau reaksi tersebut dapat berlangsung. Katoda adalah tempat reaksi kimia yang mengalami reduksi dan anoda adalah tempat reaksi kimia yang mengalami oksidasi [10]. Sebagai contoh, reaksi redoks 𝐴𝑔 2+ dan 𝐴𝑔 :
𝐴𝑔 2+ + 𝐴𝑔 → 𝐴𝑔 + (4)
dapat kita tuliskan menjadi dua buah setengah reaksi sebagai berikut:
1. 𝐴𝑔 2+ + 𝑒 → 𝐴𝑔 + (𝐸 𝑘𝑎𝑡𝑜𝑑𝑎 0 = 1.98 𝑉 )
2. 𝐴𝑔 → 𝐴𝑔 + + 𝑒 (𝐸 𝑎𝑛𝑜𝑑𝑎 0 = 0.799 𝑉)
Dari  sini,  dapat  dilihat  bahwa  reaksi (4) adalah  reaksi  spontan  karena 𝐸 𝑘𝑎𝑡𝑜𝑑𝑎 0 − 𝐸 𝑎𝑛𝑜𝑑𝑎 0 =
1.181 𝑉 ≥ 0 .
Perak (𝐴𝑔) adalah  logam  transisi  yang  memiliki  peranan  dalam  katalis,  konduktor  dan disinfektan. 𝐴𝑔 memiliki tiga buah bilangan oksidasi yaitu 0, +1, dan +2 yang secara berturut-turut dituliskan sebagai 𝐴𝑔, 𝐴𝑔 + dan 𝐴𝑔 2+ . Diagram latimer dari 𝐴𝑔 adalah sebagai berikut:
𝐴𝑔 2+ 1.98 →      𝐴𝑔 + −0.799 →        𝐴𝑔 (5)
Produk yang mungkin dari reaksi redoks 𝐴𝑔 yang spontan ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1 . Reaksi Redoks 𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑔 2+ 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 𝐴𝑔 2+ 𝐴𝑔 2+ 𝐴𝑔 + , 𝐴𝑔 2+ 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 + , 𝐴𝑔 2+ 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔, 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔, 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔
Untuk memperjelas makna Tabel 1, sebagai contoh kita ambil reaksi 𝐴𝑔 + ⊕ 𝐴𝑔 . Reaksi spontan yang terjadi berdasarkan informasi 𝐸 0 pada katoda dan anoda adalah:
𝐴𝑔 + + 𝐴𝑔 → 𝐴𝑔 + 𝐴𝑔 + [𝐸 𝑠𝑒𝑙 0 = 0 𝑉] (6)
Jika kita ambil 𝐴𝑔 + + 𝐴𝑔 → 𝐴𝑔 2+ + 𝐴𝑔 + , reaksi ini tidaklah spontan. Jika melihat diagram latimer dari 𝐴𝑔, kita peroleh 𝐸 𝑠𝑒𝑙 0 = −1.98 + 0.799 = −1.181 𝑉 ≤ 0 . Selanjutnya, kita akan menganalisis struktur aljabar besar yang terdapat pada Tabel 1. Tabel 1 secara umum dapat dituliskan kembali seperti pada Tabel 2:
Tabel 2 . Penulisan Umum Tabel 1 ⊕ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑦, 𝑧 𝑧 𝑦 𝑦, 𝑧 𝑧
Selanjutnya, berdasarkan Tabel di [3] halaman 59, dapat dilihat bahwa ⊕ bersifat asosiatif lemah dan  berlaku 𝑥 ⊕ 𝐻 = 𝐻 ⊕ 𝑥 = 𝐻, 𝑦 ⊕ 𝐻 = 𝐻 ⊕ 𝑦 dan 𝑧 ⊕ 𝐻 = 𝐻 ⊕ 𝑧 = 𝐻 dengan 𝐻 =
{𝑥, 𝑦, 𝑧} . Dengan demikian,  struktur ({𝑥, 𝑦, 𝑧},⊕) merupakan grup 𝐻 𝑣 dan komutatif. Selanjutnya, tinjau struktur (𝐴 = {𝑥, 𝑦},⊕) dan (𝐵 = {𝑦, 𝑧},⊕) . Jelas keduanya bersifat asosiatif terhadap operasi ⊕ . Selanjutnya, kita peroleh hasil berikut:
Tabel 3 . ({𝑥, 𝑦},⊕) ⊕ 𝑥, 𝑦 𝑥 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥, 𝑦 Tabel 4 . ({𝑦, 𝑧},⊕) ⊕ 𝑦, 𝑧 𝑦 𝑦, 𝑧 𝑧 𝑦, 𝑧
Ini menunjukkan bahwa 𝑥 ⊕ 𝐴 = 𝐴 ⊕ 𝑥 = 𝐴 , 𝑦 ⊕ 𝐴 = 𝐴 ⊕ 𝑦 = 𝐴 dan 𝑥 ⊕ 𝐵 = 𝐵 ⊕ 𝑥 = 𝐵 , 𝑦 ⊕ 𝐵 = 𝐵 ⊕ 𝑦 = 𝐵 . Dengan demikian, (𝐴,⊕) dan (𝐵,⊕) merupakan grup besar komutatif.
Americium (𝐴𝑚) adalah  unsur  yang  terletak  pada  golongan  aktinida.  Americium  memiliki empat bilangan oksidasi, yaitu 0, +2, +3 dan +4 . Diketahui diagram latimer dari Americium adalah sebagai berikut:
𝐴𝑚 4+ 2.6𝑉 →      𝐴𝑚 3+ −2.3𝑉 →        𝐴𝑚 2+ −1.9 →      𝐴𝑚 (7)
Potensial dari reaksi 𝐴𝑚 4+ → 𝐴𝑚 2+ , 𝐴𝑚 4+ → 𝐴𝑚 dan 𝐴𝑚 3+ → 𝐴𝑚 berturut – turut adalah sebagai berikut:
𝐸 0 (𝐴𝑚 4+ /𝐴𝑚 2+ ) = 1(2.6)+1(−2.3) 2 = 0.15𝑉 (8)
𝐸 0 (𝐴𝑚 4+ /𝐴𝑚) = 1(2.6)+1(−2.3)+2(−1.9) 4 = −1.45𝑉 (9)
𝐸 0 (𝐴𝑚 3+ /𝐴𝑚) = 1(−2.3)+2(−1.9) 3 = −2.033𝑉 (10)
Selanjutnya, berdasarkan data potensial yang dimiliki, diperoleh produk yang mungkin antara unsur 𝐴𝑚 yang memiliki bilangan oksidasi berbeda yang hasil reaksinya ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Reaksi Redoks 𝐴𝑚 ⊙ 𝐴𝑚 𝐴𝑚 2+ 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚 4+ 𝐴𝑚 𝐴𝑚 𝐴𝑚, 𝐴𝑚 2+ 𝐴𝑚, 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚, 𝐴𝑚 4+ 𝐴𝑚 2+ 𝐴𝑚, 𝐴𝑚 2+ 𝐴𝑚 2+ 𝐴𝑚 2+ , 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚, 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚 2+ , 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚 3+
𝐴𝑚 3+ , 𝐴𝑚 4+
𝐴𝑚 4+ 𝐴𝑚, 𝐴𝑚 4+ 𝐴𝑚 3+ 𝐴𝑚 3+ , 𝐴𝑚 4+ 𝐴𝑚 4+
Sekarang,  akan  ditentukan  struktur  besar  yang  terdapat  pada  reaksi  redoks 𝐴𝑚 .  Pertama, nyatakan Tabel 5 ke dalam bentuk Tabel 6.
Tabel 6. Penulisan Umum Tabel 5 ⊙ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑤 𝑤, 𝑥 𝑤, 𝑦 𝑤, 𝑧 𝑥 𝑤, 𝑥 𝑥 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑦 𝑤, 𝑦 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑦, 𝑧 𝑧 𝑤, 𝑧 𝑦 𝑦, 𝑧 𝑧
Dapat  ditunjukkan  bahwa ⊙ asosiatif  lemah.  Sebagai  contoh, (𝑤 ⊙ 𝑥) ⊙ 𝑦 = {𝑤, 𝑥} ⊙ 𝑦 = {𝑤, 𝑥, 𝑦} dan 𝑤 ⊙ (𝑥 ⊙ 𝑦) = 𝑤 ⊙ {𝑥, 𝑦} = {𝑤, 𝑥, 𝑦} .  Dari  sini  diperoleh {𝑤, 𝑥, 𝑦} ∩ {𝑤, 𝑥, 𝑦} = {𝑤, 𝑥, 𝑦} ≠ ∅ . Dengan demikian, Tabel 4 membentuk struktur semigrup- 𝐻 𝑣 komutatif.
Titanium (𝑇𝑖) merupakan unsur kimia yang memiliki nomor atom 22, terletak di grup 4 dan memiliki periode 4. Titanium merupakan logam transisi kuat berwarna perak keabu-abuan dan tahan terhadap  korosi.  Titanium  memiliki  empat  bilangan  oksidasi,  yaitu +4, +3, +2 dan 0 .  Diagram latimer dari titanium adalah sebagai berikut:
𝑇𝑖 4+ 0.1𝑉 →      𝑇𝑖 3+ −0.37𝑉 →         𝑇𝑖 2+ −1.63 →       𝑇𝑖 (11)
Diketahui juga 𝐸 0 dari reaksi berikut:
𝐸 0 (𝑇𝑖 4+ /𝑇𝑖 2+ ) = −0.135𝑉
(12)
𝐸 0 (𝑇𝑖 4+ /𝑇𝑖) = −0.86𝑉
(13)
𝐸 0 (𝑇𝑖 3+ /𝑇𝑖) = −1.21𝑉
(14)
Dengan demikian, produk reaksi redoks yang mungkin terjadi disajikan pada Tabel 7.
Tabel 7. Reaksi Redoks Titanium ⊙ ∗ 𝑇𝑖 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 4+ 𝑇𝑖 𝑇𝑖 𝑇𝑖, 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖 2+ , 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖, 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖 2+ , 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 2+ 𝑇𝑖 2+ , 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 3+ , 𝑇𝑖 4+
𝑇𝑖 4+ 𝑇𝑖 2+ , 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 3+ 𝑇𝑖 3+ , 𝑇𝑖 4+ 𝑇𝑖 4+
Sekarang, akan ditentukan struktur besar yang terdapat pada reaksi redoks titanium. Pertama, nyatakan Tabel 5 ke dalam bentuk yang lebih umum di Tabel 8.
Tabel 8 . Bentuk Umum Tabel 7 ⊙ ∗ 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑗 𝑗 𝑗, 𝑘 𝑘 𝑘, 𝑙 𝑘 𝑗, 𝑘 𝑘 𝑘, 𝑙 𝑙 𝑙 𝑘 𝑘, 𝑙 𝑙 𝑙, 𝑚 𝑚 𝑘, 𝑙 𝑙 𝑙, 𝑚 𝑚
Dapat ditunjukkan bahwa ⊙ ∗ adalah asosiatif lemah. Sebagai contoh,
(𝑗 ⊙ ∗ 𝑘) ⊙ ∗ 𝑙 = {𝑗, 𝑘} ⊙ ∗ 𝑙 = {𝑘, 𝑙} (15)
𝑗 ⊙ ∗ (𝑘 ⊙ ∗ 𝑙) = 𝑗 ⊙ ∗ {𝑘, 𝑙} = {𝑗, 𝑘} (16)
dan {𝑘, 𝑙} ∩ {𝑗, 𝑘} = {𝑘} ≠ ∅ . Dengan demikian, (𝑋 = {𝑗, 𝑘, 𝑙, 𝑚},⊙ ∗ ) membentuk struktur semigrup 𝐻 𝑣 dan komutatif.
Berdasarkan analisis diatas, dapat dituliskan teorema sebagai berikut.
Teorema 1 . Misalkan 𝑥 = 𝐴𝑔 2+ , 𝑦 = 𝐴𝑔 + , dan 𝑧 = 𝐴𝑔 dan misalkan 𝐺 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} . Maka, (𝐺,⊕) adalah semigrup- 𝐻 𝑣 komutatif.
Bukti . Berdasarkan Tabel 2, jelas bahwa (𝐺,⊕) komutatif. Selanjutnya, untuk menunjukkan secara umum bahwa 𝐺 adalah semigrup- 𝐻 𝑣 , maka harus ditunjukkan bahwa (𝐺,⊕) asosiatif lemah, yakni
untuk  setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 ,  berlaku [𝑎 ⊕ (𝑏 ⊕ 𝑐)] ∩ [(𝑎 ⊕ 𝑏) ⊕ 𝑐] ≠ ∅ adalah  dengan  membagi kasus sebagai berikut.
Kasus  1 :  Untuk 𝑎 = 𝑥 ,  maka [𝑥 ⊕ (𝑥 ⊕ 𝑥)] ∩ [(𝑥 ⊕ 𝑥) ⊕ 𝑥] ≠ ∅ untuk 𝑏 = 𝑐 = 𝑥 dan 𝑦 ∈ [𝑥 ⊕ (𝑏 ⊕ 𝑐)] ∩ [(𝑥 ⊕ 𝑏) ⊕ 𝑐] ≠ ∅ untuk lainnya.
Kasus 2 : Untuk 𝑎 = 𝑦 , maka jelas bahwa 𝑦 ∈ [𝑦 ⊕ (𝑏 ⊕ 𝑐)] ∩ [(𝑦 ⊕ 𝑏) ⊕ 𝑐]
Kasus 3 : Untuk 𝑎 = 𝑧 , maka 𝑧 ∈ [𝑧 ⊕ (𝑧 ⊕ 𝑧)] ∩ [(𝑧 ⊕ 𝑧) ⊕ 𝑧] ≠ ∅ untuk 𝑏 = 𝑐 = 𝑧 dan 𝑦 ∈ [𝑧 ⊕ (𝑏 ⊕ 𝑐)] ∩ [(𝑧 ⊕ 𝑏) ⊕ 𝑐] .
Dengan demikian, terbukti bahwa (𝐺,⊕) adalah semigrup. ∎
Teorema  2 .  Misalkan 𝑤 = 𝐴𝑚, 𝑥 = 𝐴𝑚 2+ , 𝑦 = 𝐴𝑚 3+ , dan 𝑧 = 𝐴𝑚 4+ dan  misalkan 𝐻 = {𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧} . Maka, (𝐻,⊙) adalah semigrup- 𝐻 𝑣 komutatif.
Bukti . Dengan cara yang sama seperti Teorema 1. ∎
Teorema 3 Misalkan 𝑗 = 𝑇𝑖, 𝑘 = 𝑇𝑖 2+ , 𝑙 = 𝑇𝑖 3+ , dan 𝑚 = 𝑇𝑖 4+ dan misalkan 𝐾 = {𝑗, 𝑘, 𝑙, 𝑚} . Maka, (𝐾,⊙ ∗ ) adalah semigrup- 𝐻 𝑣 komutatif.
Bukti . Dengan cara yang sama seperti Teorema 1. ∎

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  pemaparan  di  atas,  telah  dianalisis  struktur  aljabar  besar  yang  terdapat  pada beberapa reaksi redoks. Struktur aljabar besar yang telah dianalisis dalam paper ini adalah struktur aljabar besar dari Perak ( 𝐴𝑔 ), Amonium ( 𝐴𝑚 ), dan Titanium ( 𝑇𝑖 ). Selanjutnya, hasil – hasil analisis ini dapat dituliskan menjadi teorema-teorema yang lebih umum.

## Referensi
[1] B.  Davvaz  and  V.  Leoreanu-Fotea, Hypergroup  Theory .  World  Scientific,  2022.  doi: 10.1142/12645.
[2] B.  Davvaz  and  V.  Leoreanu-Fotea, Hyperring  Theory  and  Applications .  International Academic Press, 2007.
[3] B.  Davvaz,  A.  Dehghan  Nezhad,  and  M.  M.  Ardakani,  “Chemical  Hyperalgebra :  Redox Reaction,” MATCH  Commun. Math. Comput. Chem. , vol. 71, pp. 55–63, 2014.
[4] B.  Davvaz,  A.  Dehghan  Nezhad,  and  A.  Benvidi,  “Chemical  Hyperalgebra:  Dismutation Reactions,” MATCH  Commun. Math. Comput. Chem. , vol. 67, no. 1, pp. 55–63, 2012.
[5] B. Davvaz and A. Dehghan-Nezhad, “Chemical Examples in Hypergroups,” Ratio Mat. , vol. 14, no. 1, pp. 71–74, 2010, [Online]. Available: http://arxiv.org/abs/1008.2438
[6] K.  M.  Chun,  “Chemical  Hyperstructures  of  Chemical  Reactions  for  Iron  and  Indium,” J. Chungcheong Math. Soc. , vol. 27, no. 2, pp. 319–325, 2014.
[7] M.  Al  Tahan  and  B.  Davvaz,  “Chemical  hyperstructures  for  Astatine  ,  Tellurium  and  for Bismuth,” Bull. Comput. Appl. Math. , vol. 7, pp. 9–25, 2019.
[8] S.  C.  Chung et  al. ,  “Chemical  hyperalgebras  for  three  consecutive  oxidation  states  of elements,” MATCH  Commun. Math. Comput. Chem. , vol. 72, no. 2, pp. 389–402, 2014.
[9] M. Al-Tahan and B. Davvaz, “Chemical Hyperstructures for Elements with Four Oxidation States,” Iran. J. Math. Chem. ,  vol. 13, no. 2, pp. 85–97, 2022, doi: 10.22052/IJMC.2022.246174.1615.
[10]  B.  Davvaz,  A.  Dehghan  Nezhad,  and  M.  M.  Heidari,  “Inheritance  Examples  of  Algebraic Hyperstructures,” Inf. Sci. (Ny). , vol. 224, pp. 180–187, 2013, doi: 10.1016/j.ins.2012.10.023.
[11]  M. Al Tahan and B. Davvaz, “Algebraic hyperstructures associated to biological inheritance,” Math. Biosci. , vol. 285, pp. 112–118, 2017, doi: 10.1016/j.mbs.2017.01.002.
[12]  M.  Al-Tahan and  B.  Davvaz,  “Fuzzy  Subsets  Of  The  Phenotypes  Of  F 2 -Offspring,” Facta Univ. , vol. 34, no. 4, pp. 709–727, 2019.
[13]  M.  Al  Tahan  and  B.  Davvaz,  “A  New  Relationship  Between  Intuitionistic  Fuzzy  Sets  and Genetics,” J. Classif. , vol. 36, no. 3, pp. 494–512, 2019, doi: 10.1007/s00357-018-9276-8.
[14]  E. H. Sadrabadi and B. Davvaz, “A new relationship between population genetics and fuzzy sets,” Comput. Appl. Math. , vol. 41, no. 6, pp. 1–13, 2022, doi: 10.1007/s40314-022-01979-z.
[15]  R. Chang, Chemistry . McGraw-Hill Companies, 2010.