Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.8 No.2 (2014) Hal. 46-55

## SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS BERSIH

## PADA 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ )

## Rohmalita, Na’imah Hijriati, Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36 Banjarbaru, Kalsel
Email: rohmalita_imuet@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Paper ini menjelaskan kondisi suatu matriks bersih pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) dan menjelaskan syarat perlu dan syarat cukup matriks bersih pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Hasil dari penelitian ini yaitu, 𝑨𝑨 adalah matriks 1 -bersih jika dan hanya jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = 0 atau − 2 . Kemudian 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih  jika dan hanya jika 𝑨𝑨 adalah matriks unit, atau memenuhi salah satu dari persamaan 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , � – 𝑏𝑏�𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ± 1) 𝑤𝑤 = 0 . Serta syarat perlu dan syarat cukup 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih yaitu jika 𝑩𝑩 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 0 0 � ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) adalah matriks 0 -bersih maka 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih .
Kata kunci: ring, ring komutatif, matriks idempoten, matriks unit, matriks bersih.

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu himpunan tak kosong dengan operasi biner yang dipelajari pada struktur aljabar adalah ring. Ring dengan sifat komutatif pada operasi kedua disebut ring komutatif, contohnya adalah ℤ . Matriks persegi dengan entri berupa elemen ring komutatif seperti 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) disebut matriks bersih jika dapat ditulis dalam bentuk 𝑬𝑬 + 𝑼𝑼 ,  dengan 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 𝟐𝟐 dan 𝑼𝑼 adalah  matriks unit. Tidak setiap matriks  unit dan matriks idempoten pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) memenuhi bentuk 𝑬𝑬 + 𝑼𝑼 , sehingga ditentukan syarat perlu dan syarat cukup matriks bersih  pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) sebagai tujuan dari penelitian.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Salah satu himpunan tak kosong dengan operasi biner yang dipelajari pada struktur aljabar adalah ring.  Ring  yang  bersifat komutatif pada  operasi kedua disebut ring komutatif.

## Definisi 2.1 [2]
Suatu himpunan tak kosong 𝑅𝑅 dengan dua operasi biner, yaitu operasi pertama (+) dan operasi kedua ( ⋅ ) disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. 〈𝑅𝑅 , + 〉 adalah grup abelian
a) Bersifat  assosiatif, ∀ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 berlaku ( 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ) + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + ( 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 ) b) Memiliki identitas di 𝑅𝑅 , ∀ 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 ∃ 0 𝑅𝑅 ∈ 𝑅𝑅 sehingga 0 𝑅𝑅 + 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 0 𝑅𝑅 = 𝑎𝑎
c) Memiliki invers di 𝑅𝑅 , ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 ∃ − 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 sehingga 𝑎𝑎 + ( −𝑎𝑎 ) = −𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 =
0 𝑅𝑅 d) Bersifat komutatif, ∀ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 berlaku 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎
2. 〈𝑅𝑅 , ⋅〉 bersifat assosiatif, ∀ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 berlaku ( 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ) ⋅ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 ⋅ ( 𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏 )
3. Untuk ∀ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 , berlaku:
(i) Distributif kiri, 𝑎𝑎 ⋅ ( 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 ) = ( 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ) + ( 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ) dan
(ii) (ii) Distributif kanan, ( 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ) ⋅ 𝑏𝑏 = ( 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ) + ( 𝑏𝑏 ⋅ 𝑏𝑏 ) .
Definisi 2.2 [4] Suatu ring 𝑅𝑅 adalah ring komutatif, jika pada operasi kedua bersifat komutatif yaitu untuk setiap 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 berlaku 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑎𝑎 .
Jika matriks 𝑨𝑨 ∈ 𝕄𝕄 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 ) dapat ditulis dalam bentuk 𝑬𝑬 + 𝑼𝑼 , untuk 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 𝟐𝟐
dan 𝑼𝑼 adalah  matriks unit  maka 𝑨𝑨 disebut  matriks bersih, yang dijelaskan pada definisi berikut.
Definisi 2.3 [3] Suatu matriks persegi 𝑬𝑬 , dengan 𝑬𝑬 2 = 𝑬𝑬 disebut matriks idempoten.

## Definisi 2.4 [3]
Suatu matriks 𝑨𝑨 disebut sebagai matriks unit jika dan hanya jika 𝑨𝑨 memiliki invers.
Definisi 2.5 [5] Diberikan 𝑑𝑑 idempoten di 𝑅𝑅 , dimana 𝑅𝑅 adalah  ring komutatif. Jika matriks 𝑴𝑴 ∈ 𝕄𝕄 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 ) dapat ditulis dalam bentuk 𝑬𝑬 + 𝑼𝑼 maka 𝑴𝑴 adalah  matriks bersih, untuk beberapa 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 2 dan beberapa 𝑼𝑼 ∈ 𝕄𝕄 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 ), dimana 𝑼𝑼 adalah  matriks unit. Dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 𝑑𝑑 , maka 𝑴𝑴 adalah matriks 𝑑𝑑 -bersih.
Berdasarkan  uraian di atas, matriks  bersih  pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) ditentukan dari bentuk matriks idempoten 𝑬𝑬 dan matriks unit 𝑼𝑼 pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) yang memiliki entri bilangan bulat  sehingga  terdapat  persamaan diophantin  yang harus terpenuhi. Tidak  setiap matriks  pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) adalah matriks bersih karena tidak setiap matriks unit dan matriks idempoten pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) memenuhi bentuk 𝑬𝑬 + 𝑼𝑼 , maka ditentukan  syarat perlu dan syarat cukup matriks  bersih  pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) sebagai tujuan penelitian.
Definisi 2.6 [9]
Suatu persamaan dengan penyelesaian berupa bilangan bulat disebut persamaan diophantin.
Teorem 2.7 [1]
Matriks 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� dapat dibalik jika 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 ≠ 0 dimana inversnya dapat diperoleh dengan rumus berikut
𝐴𝐴 −1 = 1 det ( 𝐴𝐴 ) � 𝑑𝑑 −𝑏𝑏 −𝑏𝑏 𝑎𝑎 �

## Rohmalita, Na’imah Hijriati, Saman Abdurrahman - Syarat Perlu dan Syarat Cukup Matriks Bersih pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ )
Lemma 2.8[8]
Diberikan 〈ℤ , +, . 〉 ring komutatif dan 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ
) = ��𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑�
; 𝑎𝑎
, 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 , 𝑑𝑑 𝜖𝜖 ℤ� .  Dengan 𝐸𝐸𝜖𝜖𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) merupakan matriks idempoten jika dan hanya jika E merupakan salah satu dari bentuk berikut
� 0 0 0 0 � , � 1 0 0 0 � , � 0 0 0 1 � , � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 (1 − 𝑤𝑤 ) 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤� 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 �𝑤𝑤 𝑤𝑤 (1 − 𝑤𝑤 ) 𝑤𝑤 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 � , 𝑤𝑤 ≠ 0

## 3. METODOLOGI
Dengan  metode studi literatur yang  bersumber  dari buku, artikel, dan jurnal,  penelitian diawali dari  mengumpulkan materi tentang  ring, ideal, unimodular, matriks, dan persamaan diophantin, kemudian mempelajarinya.
Selanjutnya, menjelaskan kondisi matriks bersih pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) , menjelaskan syarat perlu dan syarat cukup matriks bersih pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) ,  memberikan contoh,  dan membuat kesimpulan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut diberikan lebih dulu lemma yang menjelaskan sifat matriks unit pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Lemma 3.1 Suatu matriks 𝑼𝑼 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) memiliki invers 𝑼𝑼 −𝟏𝟏 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) jika dan hanya jika d 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = ±1 .
Bukti: ( ⟹ ) Diketahui 𝑼𝑼 adalah matriks unit di 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Akan dibuktikan d 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = ±1 . Berdasarkan [1] yaitu jika suatu matriks U memiliki invers maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 −1 ) = 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) .  Misalkan 𝑼𝑼 −𝟏𝟏 = � 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑜𝑜 𝑝𝑝� , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 −1 ) = � 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑜𝑜 𝑝𝑝� = 𝑚𝑚𝑝𝑝 − 𝑛𝑛𝑜𝑜 .  Karena 𝑼𝑼 −𝟏𝟏 ∈ 𝕄𝕄 2
( ℤ ) maka 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 , 𝑜𝑜 , 𝑝𝑝 ∈ ℤ sehingga 𝑚𝑚𝑝𝑝 − 𝑛𝑛𝑜𝑜 ∈ ℤ ,  dengan kata lain 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 −𝟏𝟏 ) ∈ ℤ . Akibatnya 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) |1 sehingga 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = 1 atau 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = − 1 . ( ⟸ ) Diketahui 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = ±1 , dengan 𝑼𝑼 = �𝑡𝑡 𝑠𝑠 𝑑𝑑 𝑎𝑎� ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Akan dibuktikan 𝑼𝑼 −𝟏𝟏 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Berdasarkan Teorema 2.7[1], 𝑼𝑼 −1 = 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) � 𝑎𝑎 −𝑠𝑠 −𝑑𝑑 𝑡𝑡 � (i) Jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = 1 , maka
𝑼𝑼 −1 = 1 1 � 𝑎𝑎 −𝑠𝑠 −𝑑𝑑 𝑡𝑡 � = � 𝑎𝑎 −𝑠𝑠 −𝑑𝑑 𝑡𝑡 � (ii) Jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = − 1 , maka
𝑼𝑼 −1 = 1 − 1 � 𝑎𝑎 −𝑠𝑠 −𝑑𝑑 𝑡𝑡 � = �−𝑎𝑎 𝑠𝑠 𝑑𝑑 −𝑡𝑡�
Berdasarkan dari (i) dan (ii), karena 𝑡𝑡 , 𝑠𝑠 , 𝑑𝑑 , 𝑎𝑎 , −𝑡𝑡 , −𝑠𝑠 , −𝑑𝑑 , −𝑎𝑎 ∈ ℤ maka 𝑼𝑼 −1 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . ∎ Teorema berikut menjelaskan kondisi matriks 1 - bersih pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Teorema 3.2
Diberikan 𝑨𝑨 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ), 𝑨𝑨 merupakan  matriks 1-bersih jika dan hanya jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = 0 atau 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = − 2 .
Bukti:
( ⟹ ) Diketahui 𝑨𝑨 adalah  matriks 1-bersih.  Berdasar Definisi matriks bersih[5], maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 1 . Akan dibuktikan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = 0 atau 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) =
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.8 No.2 (2014) Hal. 46-55
− 2 . Berdasarkan  Lemma  2.8[8],  matriks idempoten 𝑬𝑬 = � 1 0 0 1 � = 𝑰𝑰 sehingga 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 + 𝑼𝑼 , dengan kata lain 𝑨𝑨 − 𝑰𝑰 = 𝑼𝑼 . Berdasar Lemma 3.1, 𝑼𝑼 memiliki invers jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = ±1 , maka berlaku 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑰𝑰 ) = ±1 .
(i) Jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑰𝑰 ) = 1 , maka
�𝑎𝑎 − 1 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑 − 1 � = 1 ⟺ ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 ) − ( 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 ) + 1 = 1 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = 0
(ii) Dengan cara yang sama,  jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑰𝑰 ) = − 1 maka diperoleh 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = − 2 . ( ⟸ ) Akan dibuktikan 𝑨𝑨 adalah matriks 1-bersih, cukup ditunjukkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 1, berdasar Lemma 2.1[8]  maka  matriks idempoten 𝑬𝑬 = � 1 0 0 1 � = 𝑰𝑰 dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 1 .  Berdasar bukti ke kanan terbukti matriks idempoten 𝑬𝑬 = 𝑰𝑰 dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 1 . ∎
Lemma  berikut  menjelaskan  hubungan  beberapa bentuk matriks idempoten dengan matriks unit pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Lemma 3.3 Diberikan 𝑨𝑨 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) dan 𝑬𝑬 adalah matriks idempoten di 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . (i) Jika 𝑬𝑬 = � 0 0 0 0 � , maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika 𝑨𝑨 adalah unit.
(ii) Jika 𝑬𝑬 = � 1 0 𝑏𝑏 0 � , maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 .
(iii) Jika 𝑬𝑬 = � 0 0 𝑏𝑏 1 � , maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 .
(iv) Jika 𝑬𝑬 = � 1 𝑏𝑏 0 0 � , maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 .
(v) Jika 𝑬𝑬 = � 0 𝑏𝑏 0 1 � , maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 . Bukti: Berdasar  Definisi  matriks bersih[5],  maka 𝑨𝑨 = 𝑼𝑼 + 𝑬𝑬 dengan kata lain 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 = 𝑼𝑼 .
(i) Jika 𝑬𝑬 = � 0 0 0 0 � . Akan dibuktikan 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah  unit jika dan hanya jika 𝑨𝑨 adalah unit.
𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� − � 0 0 0 0 � = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� = 𝑨𝑨
Jadi, diperoleh 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 = 𝑨𝑨 maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika 𝑨𝑨 adalah unit.
(ii) Diketahui jika 𝑬𝑬 = � 1 0 𝑏𝑏 0 � .
( ⟹ ) Akan dibuktikan jika 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit maka 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 . 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� − � 1 0 𝑏𝑏 0 � = �𝑎𝑎 − 1 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 𝑑𝑑�
Berdasarkan  Lemma  3.1, 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah  unit di 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) jika  berlaku 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = ±1 .
Rohmalita, Na’imah Hijriati, Saman Abdurrahman - Syarat Perlu dan Syarat Cukup Matriks Bersih pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ )
(a) Jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = 1 , maka
�𝑎𝑎 − 1 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 𝑑𝑑� = 1 ⟺ 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 1
(b) Dengan cara yang sama,  jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = − 1 diperoleh 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = − 1 . ( ⟸ )
Akan dibuktikan jika 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit. Cukup ditunjukkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = ±1 .  Berdasar  (ii)(a) dan (ii)(b) terbukti 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit.
Untuk bukti (iii) ,(iv), dan (v) dapat terbukti dengan cara yang sama dengan (ii). ∎
Teorema berikut menjelaskan kondisi persamaan diophantin berorde dua dengan solusi dua variabel pada matriks bersih.
Teorema 3.4 Diberikan 𝑨𝑨 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) dan matriks idempoten 𝑬𝑬 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) dengan determinan bernilai nol dan 𝑬𝑬 ∉ 𝑋𝑋 .  Sehingga 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit jika dan hanya jika salah satu dari persamaan diophantin berikut mempunyai solusi ( 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 ); 𝑤𝑤 ≠ 0 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑤𝑤 ≠ 1 ; 𝑤𝑤 ≠ 0 dan 𝑤𝑤 | 𝑤𝑤 (1 − 𝑤𝑤 ) .
( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 − 1) 𝑤𝑤 = 0 ... (3.1)
( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 1) 𝑤𝑤 = 0 ... (3.2)
Bukti:
( ⟹ ) Diketahui 𝑬𝑬 adalah  matriks idempoten dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 0 .  Karena 𝑬𝑬 ∉ 𝑋𝑋 , dimana
𝑋𝑋 = �� 0 0 0 0 � , � 1 0 0 1 � , � 0 0 𝑏𝑏 1 � , � 1 0 𝑏𝑏 0 �� maka berdasar Lemma 2.1[8], 𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� dan 𝑬𝑬 = �𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 � . Akan dibuktikan,  jika 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit maka salah satu dari persamaan diophantin  (3.1) atau (3.2) mempunyai solusi.
Dipilih 𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� , misalkan 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 = 𝑼𝑼 , maka 𝑼𝑼 adalah unit di 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . Berdasar Lemma 3.1, 𝑼𝑼 adalah unit di 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) jika dan hanya jika berlaku 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑼𝑼 ) = ±1 . (i) Jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = 1 , maka � 𝑎𝑎 − 𝑤𝑤 𝑏𝑏 − 𝑤𝑤 𝑏𝑏 − 𝑤𝑤−𝑤𝑤 2 𝑥𝑥 𝑑𝑑 − (1 − 𝑤𝑤 ) � = 1 ⟺ 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑤𝑤 − 𝑑𝑑𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 − 𝑤𝑤 2 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑤𝑤 + 𝑏𝑏 � 𝑤𝑤−𝑤𝑤 2 𝑥𝑥 � − 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤 2 = 1 ⟺ 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑤𝑤 + 𝑏𝑏 � 𝑤𝑤−𝑤𝑤 2 𝑥𝑥 � = 1 kedua ruas
dikalikan 𝑤𝑤 ⟺ ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 1) 𝑤𝑤 = 0
(ii) Dengan cara yang sama dengan (i), jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = − 1 diperoleh ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 1) 𝑤𝑤 = 0 .
(iii) Andaikan tidak berlaku 𝑤𝑤 ≠ 0 atau 𝑤𝑤 ≠ 1 , maka berlaku 𝑤𝑤 = 0 dan 𝑤𝑤 = 1 . Jika 𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� , diperoleh 𝑬𝑬 = � 0 𝑤𝑤 0 1 � dan 𝑬𝑬 = � 1 𝑤𝑤 0 0 � .  Jika 𝑬𝑬 = �𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 � , diperoleh 𝑬𝑬 = � 0 0 𝑤𝑤 1 � dan 𝑬𝑬 = � 1 0 𝑤𝑤 0 � , dimana 𝑬𝑬 ∈ 𝑋𝑋 kontradiksi dengan diketahui maka tidak berlaku 𝑤𝑤 = 0 dan 𝑤𝑤 = 1, dengan kata lain berlaku 𝑤𝑤 ≠ 0 atau 𝑤𝑤 ≠ 1 .
(iv) Karena � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� , �𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 � ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) , maka 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 ∈ ℤ sehingga 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 akan terdefinisi jika 𝑤𝑤 ≠ 0 dan 𝑤𝑤 | 𝑤𝑤 (1 − 𝑤𝑤 ) .
Berdasar (i) dan (ii) diperoleh persamaan diophantin (3.1) dan (3.2), berdasar (iii) dan (iv) persamaan diophantin mempunyai solusi ( 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 ); 𝑤𝑤 ≠ 0 dan 𝑤𝑤 ≠ 1 ; 𝑤𝑤 ≠ 0 dan 𝑤𝑤 | 𝑤𝑤 (1 − 𝑤𝑤 ) .
Karena 𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� memiliki transpos 𝑬𝑬 𝑇𝑇 = �𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 � ,  maka 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 𝑇𝑇 terbukti adalah unit dan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 𝑇𝑇 ) menghasilkan persamaan diophantin yang memiliki solusi yang sama dengan persamaan diophantin (3.1) dan (3.2). ( ⟸ ) Diketahui 𝑬𝑬 adalah  matriks idempoten dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑬𝑬 ) = 0 .  Karena 𝑬𝑬 ∉ 𝑋𝑋 , dimana
𝑋𝑋 = �� 0 0 0 0 � , � 1 0 0 1 � , � 0 0 𝑏𝑏 1 � , � 1 0 𝑏𝑏 0 �� , berdasar Lemma 2.1[8],
𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� dan 𝑬𝑬 = �𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 � . Akan dibuktikan 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit cukup ditunjukkan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 ) = ±1 . Berdasarkan (i) dan (ii)  bukti ke kiri 𝑨𝑨 − 𝑬𝑬 adalah unit. ∎
Dari Lemma 3.3 dan Teorema 3.4 diperoleh kondisi dari suatu matriks 0- bersih pada 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) yang dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 3.5 Suatu matriks 𝑨𝑨 ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) adalah matriks 0 -bersih jika dan hanya jika memenuhi salah satu
kondisi berikut:
(i) 𝑨𝑨 adalah matriks unit.
(ii) 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , untuk suatu 𝑏𝑏 ∈ ℤ .
(iii) 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , untuk suatu 𝑏𝑏 ∈ ℤ .
(iv) Persamaan diophantin ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 − 1) 𝑤𝑤 = 0 dengan solusi nontrivial.
(v) Persamaan diophantin ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 +
1) 𝑤𝑤 = 0
dengan solusi nontrivial.
Bukti:

## Rohmalita, Na’imah Hijriati, Saman Abdurrahman - Syarat Perlu dan Syarat Cukup Matriks Bersih pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ )
Untuk bukti Teorema 3.5 (i), (ii), dan (iii) secara berturut-turut telah terbukti pada Lemma 3.3 (i), (ii), dan (iii), kemudian bukti Teorema 3.5 (iv) dan (v) telah terbukti pada Teorema 3.3. ■
Berikut ini diberikan Proposisi 3.6 dan 3.7 yang menjelaskan syarat perlu dan syarat cukup matriks 0 -bersih berdasarkan Teorema 3.5.
Proposisi 3.6
Diberikan 𝑩𝑩 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 0 0 � ∈ 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) . Jika 𝑩𝑩 adalah matriks 0 -bersih maka 𝑩𝑩 adalah matriks bersih dan ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular.
Bukti: Diketahui 𝑩𝑩 adalah matriks 0 -bersih.  Akan dibuktikan 𝑩𝑩 adalah  matriks bersih dan ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular. Karena 𝑩𝑩 adalah matriks 0 -bersih, 𝑩𝑩 pasti matriks bersih.  Selanjutnya  karena 𝑩𝑩 bukan matriks unit maka 𝑩𝑩 = 𝑼𝑼 + 𝑬𝑬 dengan 𝑬𝑬 ≠ � 0 0 0 0 � .  Berdasar Teorema 3.5, 𝑬𝑬 berupa salah satu dari bentuk berikut:
� 1 0 𝑏𝑏 0 � , � 0 0 𝑏𝑏 1 � , � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� . (i) Jika 𝑬𝑬 = � 1 0 𝑏𝑏 0 � , berdasar Lemma 3.3(ii)  dengan 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 = 0 diperoleh 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 sehingga berdasarkan Definisi unimodular[5], ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular.
(ii) Jika 𝑬𝑬 = � 0 0 𝑏𝑏 1 � , berdasar Lemma 3.3(iii)  dengan 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 = 0 diperoleh −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 sehingga berdasarkan Definisi unimodular[5], ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular.
(iii) Jika 𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� , berdasar Teorema 3.4 berlaku persamaan diophantin (3.1) atau (3.2). Karena 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑 = 0 , diperoleh: 1) ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( −𝑎𝑎 + 1) 𝑤𝑤 = 0 …(3.3) ⟺ ( 𝑏𝑏 )( 𝑤𝑤 − 𝑤𝑤 2 ) + ( 𝑎𝑎𝑤𝑤 − 𝑎𝑎 + 1) 𝑤𝑤 = 0 kedua ruas dibagi dengan 𝑤𝑤 ⟺ ( 𝑏𝑏 ) � 𝑤𝑤−𝑤𝑤 2 𝑥𝑥 � + 𝑎𝑎 ( 𝑤𝑤 − 1) + 1 = 0
Misalkan � 𝑤𝑤−𝑤𝑤 2 𝑥𝑥 � = 𝜆𝜆 dan ( 𝑤𝑤 − 1) = 𝜇𝜇 , sehingga diperoleh
𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 + 1 = 0 dengan kata lain 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = − 1
... (3.4) 2) ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( −𝑎𝑎 − 1) 𝑤𝑤 = 0 …(3.5)
Dengan cara yang sama, dari persamaan (3.5) diperoleh 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 − 1 = 0 dengan kata lain 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 1 ...(3.6)
Dari  persamaan (3.4) dan (3.6) diperoleh 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = ±1, sehinggaberdasarkan Definisi  unimodular [5],  maka ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular.  Berdasarkan  bukti  di atas,  jika 𝑩𝑩 matriks 0 -bersih maka 𝑩𝑩 adalah  matriks bersih dan ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular. ■ Proposisi 3.7
Diberikan 𝑨𝑨 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� , 𝑩𝑩 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 0 0 � ∈ 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ ) .  Jika 𝑩𝑩 adalah  matriks bersih dan ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular maka 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih.
Bukti:
Berdasar bukti Proposisi 3.6, jika 𝑩𝑩 matriks bersih dan ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular berlaku 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = ±1 untuk 𝜆𝜆 , 𝜇𝜇 ∈ ℤ . Jika 𝑏𝑏 = 0 , maka 𝑎𝑎𝜇𝜇 = ±1 .  Karena 𝜇𝜇 ∈ ℤ , maka 𝑎𝑎 adalah  unit.  Jika 𝑬𝑬 = � 0 0 𝑏𝑏 1 � diperoleh −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , karena 𝑏𝑏 = 0 dan 𝑎𝑎 adalah  unit,  persamaan 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 terpenuhi, sehingga terbukti 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih. Jika 𝑏𝑏 ≠ 0 , maka terdapat dua kondisi, yaitu:
(i) Jika 𝜆𝜆 = 0 , maka (a) 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 1 ⟺ 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 1 Sehingga
𝑩𝑩 = � 1 𝑏𝑏 0 0 � = � 1 0 0 − 1 � + � 0 𝑏𝑏 0 1 � (b) 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = − 1 ⟺ 𝑎𝑎𝜇𝜇 = − 1 Sehingga 𝑩𝑩 = �− 1 𝑏𝑏 0 0 � = �− 1 0 0 − 1 � + � 0 𝑏𝑏 0 1 �
Diperoleh 𝑬𝑬 = � 0 𝑏𝑏 0 1 � = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑏𝑏 𝑧𝑧� sehingga 𝑤𝑤 = 0 dan 𝑤𝑤 = 𝑏𝑏 solusi nontrivial persamaan diophantin (3.3) atau (3.5) maka terbukti 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih.
(ii) Jika 𝜆𝜆 ≠ 0 ,  berdasar bukti Proposisi 3.6 (iii),  salah satu dari  persamaan diophantin  (3.3) atau (3.5) terpenuhi.  Misalkan 𝑤𝑤 = 𝜇𝜇 + 1 dan 𝑤𝑤 = � 𝑤𝑤−𝑤𝑤 2 𝜆𝜆 � , diperoleh 𝑤𝑤 = − 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 .
Selanjutnya subtitusi ke persamaan (3.3) dan (3.5) sehingga diperoleh:
(a) 𝑏𝑏 [( 𝜇𝜇 + 1) − ( 𝜇𝜇 + 1) 2 ] + [ 𝑎𝑎 ( 𝜇𝜇 + 1) − 𝑎𝑎 + 1] �− 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 � = 𝑏𝑏 ( −𝜇𝜇 − 𝜇𝜇 2 ) + ( 𝑎𝑎𝜇𝜇 + 1) �− 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 � = �− 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 � [ 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 + 1]
Karena 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = − 1 dengan kata lain 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 + 1 = 0, diperoleh  solusi nontrivial persamaan diophantin yaitu 𝑤𝑤 = �− 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 � ≠ 0 . (b) Dengan cara yang sama, dari persamaan (3.5) diperoleh �− 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 � [ 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 − 1] . Karena 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 = 1 dengan kata lain 𝑏𝑏𝜆𝜆 + 𝑎𝑎𝜇𝜇 − 1 = 0, diperoleh  solusi nontrivial persamaan diophantin yaitu 𝑤𝑤 = �− 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+1 ) 𝜆𝜆 � ≠ 0 .
Berdasarkan (a) dan (b) terbukti 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih. Terbukti 𝑨𝑨 adalah  matriks 0 - bersih, jika 𝑩𝑩 matriks bersih dan ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) adalah unimodular . ■
Berdasarkan Proposisi 3.5 dan 3.6, diperoleh syarat perlu dan syarat cukup 𝑨𝑨 adalah  matriks 0 -bersih  yaitu  jika 𝑩𝑩 adalah  matriks 0 -bersih  maka 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih. Contoh 3.8
Diberikan 𝑨𝑨 = � 8 − 3 − 12 6 � dan 𝑩𝑩 = � 8 − 3
0 0 � , akan dibuktikan 𝑨𝑨 adalah matriks 1 - bersih dan 𝑨𝑨 adalah matriks 0 - bersih. 1) Berdasar Teorema 3.2, 𝑨𝑨 adalah matriks 1 - bersih jika dan hanya jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = 0 atau 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = − 2 .
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 )   = 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 = 48 − 36 − 8 − 6 = − 2
Rohmalita, Na’imah Hijriati, Saman Abdurrahman - Syarat Perlu dan Syarat Cukup Matriks Bersih pada 𝕄𝕄 𝟐𝟐 ( ℤ )
Teorema 3.2 terpenuhi sehingga 𝑨𝑨 adalah matriks 1 - bersih.
2) Berdasar Proposisi 3.6  dan  3.7, 𝑨𝑨 adalah matriks 0 - bersih  jika 𝑩𝑩 adalah matriks 0 - bersih dengan memenuhi salah satu kondisi pada bukti Proposisi 3.6.
−𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 ⟺ − 8 − 3 𝑏𝑏 = ±1 ⟺ − 3 𝑏𝑏 = ±1 + 8 𝑏𝑏 = −1+8 −3 = 7 −3 ∉ ℤ , 𝑏𝑏 = 1+8 −3 = 9 −3 = − 3 ∈ ℤ
Karena 𝑏𝑏 = − 3 ∈ ℤ ,  salah satu kondisi bukti Proposisi 3.6  terpenuhi dengan matriks idempoten 𝑬𝑬 = � 0 0 𝑏𝑏 1 � = � 0 0 − 3 1 � , sehingga 𝑨𝑨 adalah matriks 0 - bersih.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian ini dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut, dengan 𝑨𝑨 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑑𝑑� , 𝑩𝑩 = �𝑎𝑎 𝑏𝑏 0 0 � ∈ 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) .
1. Matriks 𝑨𝑨 adalah  matriks 1 -bersih jika dan hanya jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = 0
atau 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑨𝑨 ) − 𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 ) = − 2 , dengan 𝑬𝑬 = � 1 0 0 1 � .
2. Matriks 𝑨𝑨 adalah  matriks 0 -bersih  jika dan hanya jika  memenuhi  salah satu kondisi:
i) 𝑨𝑨 adalah unit, dengan 𝑬𝑬 = � 0 0 0 0 � .
ii) 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , dengan 𝑬𝑬 = � 1 0 𝑏𝑏 0 � ; 𝑏𝑏 ∈ ℤ . iii) 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = ±1 , dengan 𝑬𝑬 = � 0 0 𝑏𝑏 1 � ; 𝑏𝑏 ∈ ℤ .
iv) Persamaan diophantin berikut, dengan
𝑬𝑬 = � 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑤𝑤 ( 1−𝑤𝑤 ) 𝑥𝑥 1 − 𝑤𝑤� ; 𝑤𝑤 ≠ 0; 𝑤𝑤 | 𝑤𝑤 (1 − 𝑤𝑤 ) . ( −𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑎𝑎 − 𝑑𝑑 ) 𝑤𝑤𝑤𝑤 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 2 + ( 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 + ( 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ± 1) 𝑤𝑤 = 0
3. Syarat perlu dan syarat cukup matriks 𝑨𝑨 adalah matriks 0 -bersih adalah jika 𝑩𝑩 adalah  matriks 0 -bersih  maka 𝑨𝑨 adalah  matriks 0 -bersih. Syarat  ini dapat terpenuhi  jika 𝑎𝑎 ≠ 0 dan 𝑏𝑏 ≠ 0 , atau jika 𝑎𝑎 = 0 dan 𝑏𝑏 adalah unit, atau jika 𝑏𝑏 = 0 dan 𝑎𝑎 adalah unit.
.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Anton, H. & C. Rorres. 2004. Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi, edisi ke-8, jilid 1 . Erlangga, Jakarta.
[2] Dummit, D.S. & R.M. Foote. 2004. Abstract Algebra, 3 th ed. John Wiley & Sons, Inc, USA.
[3]  Eves, H. 1968. Elementary Matrix Theory . Allyn and Bacon, Inc, Boston.
[4] Fraleigh, J.B. 2003. A First Course in Abstract Algebra, 7 th ed . Adison- Wesley, USA.
[5]  Khurana, D. & T.Y. Lam. 2004. Clean Matrices and Unit-regular Matrices. Journal of Algebra . 280 : 683-698.
[6]  Lang, S. 2005. Undergraduate Algebra, 3 th ed. Springer. USA.
[7]  Nathanson, M.B. 2000. Elementary Methods in Number Theory . Springer. USA.
[8]  Rajeswari, K.N. & R. Aziz. 2009. A Note on Clean Matrices in 𝕄𝕄 2 ( ℤ ) . International Journal of Algebra . 3 : 241-248.
[9]  Shocley, J.E. 1967. Introduction To Number Theory. Holt, Rinehart And Winston, Inc, USA.
[10]  Sibley, T.Q. 2012. Idempoten á la mod. The College Mathematics Journal. 43 : 401-404.
[11] Waerden, B.L. van der. 1949. Modern Algebra, Vol I. Frederick Ungar, New York.