## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 2, No. 1, 2020, pp. 1-12.

## Ketaksamaan Hadamard pada Fungsi Konveks
Rivanxander Irawan 1 , Eridani 2 & Abdulloh Jaelani 3
1,2,3 Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Universitas Airlangga
2 Corresponding author: eridani.dinadewi@gmail.com
Abstract. Pada  penelitian  ini,  akan  dibahas  sifat-sifat  fungsi  gamma  dan  hubungannya  dengan fungsi  konveks.  Selanjutnya  akan  ditinjau  bentuk  ketaksamaan  Hadamard  pada  fungsi  konveks. Fungsi konveks adalah fungsi dengan sifat garis yang menghubungkan dua titik di kurvanya akan selalu di atas kurva tersebut. Berdasarkan hasil pembahasan, didapatkan fakta bahwa fungsi gamma merupakan  fungsi  yang  bersifat  log  konveks.  Selain  itu,  diperoleh  bentuk  umum  ketaksamaan Hadamard untuk fungsi p -konveks dengan p >0.
Keywords: fungsi konveks, fungsi p-konveks, fungsi Gamma, ketaksamaan hadamard.

## 1 Pendahuluan
Fungsi  Konveks  adalah  salah  satu  topik  dalam  matematika  yang  penerapannya  dalam bidang analisis dan statistika cukup luas.  Salah satunya adalah untuk menjamin bahwa turunan kedua suatu fungsi bernilai nonnegatif jika fungsi tersebut adalah fungsi konveks dan mempunyai turunan kedua.  Fungsi konveks pertama kali diperkenalkan oleh Holder, Stolz dan Hadamard pada tahun 1889-1893 dan terus menerus mengalami perkembangan setelah munculnya penelitian Jensen pada tahun 1905 yang berjudul “Sur les functions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes”.  Banyak teorema yang merupakan aplikasi  dari  fungsi  konveks  muncul  setelah  penelitian  yang  dilakukan  Jensen  tersebut [1].  Secara umum, sebuah fungsi disebut fungsi konveks jika berlaku :
f((1 − t)x 1 + tx 2 ) ≤ (1 − t)f(x 1 ) + tf(x 2 )
dengan t ∈ [0,1] dan x 1 , x 2 sebarang anggota domain f .  Adapun fungsi f dikatakan fungsi konkaf jika fungsi – f adalah fungsi konveks.  Secara geometris, fungsi konveks adalah fungsi dengan sifat garis yang menghubungkan (x 1 , f(x 1 )) dan (x 2 , f(x 2 )) selalu berada diatas grafik fungsi f .  Sebuah fungsi konveks tidak selalu mempunyai turunan di setiap titik.    Sebagai  contoh, f(x) = |x| merupakan  fungsi  konveks  pada ℝ tetapi  tidak mempunyai turunan di 0 [2].
Salah  satu  contoh  aplikasi  dari  fungsi  konveks  adalah  ketaksamaan  Hadamard.    Pada 1893,  J.Hadamard  menemukan  ketaksamaan  dasar  integral  pada  fungsi  konveks  yaitu nilai f di median domainnya kurang dari atau sama dengan nilai rerata f , serta nilai rerata
f kurang dari atau sama dengan nilai median f .  Hadamard membuktikan ketaksamaannya pada  fungsi  konveks  yang  kemudian  mengalami  perkembangan  pada  tahun-tahun berikutnya.  Ketaksamaan Hadamard berperan penting pada suatu fungsi karena secara tak  langsung  ketaksamaan  Hadamard  dapat  menaksir  nilai  rerata  suatu  fungsi,  salah satunya  adalah  fungsi  gamma  [1].   Fungsi  gamma  adalah  fungsi  yang  cukup  istimewa karena  sering  terdapat  pada  persamaan-persamaan  peluang  dan  statistika.    Selain  itu, fungsi gamma juga banyak digunakan untuk menyelesaikan integral-integral khusus yang tidak dapat diselesaikan secara analitik dan beberapa permasalahan di bidang fisika atau teknik.  L.Euler (1707-1783) mendefinisikan fungsi gamma sebagai :
Γ(n) = ∫ e −t t n−1 dt ∞ 0 ,
dengan n > 0 .  Adapun fungsi digamma adalah hasil turunan pertama dari fungsi gamma yaitu :
ψ(z) = d[ln Γ(z)] dz = Γ′(z) Γ(z) ,
dengan z > 0 [3].
Pada  tahun  2007,  Zhang  dan  Wan  melakukan  kajian  tentang  fungsi  konveks  dan memperkenalkan  notasi  p-konveks  yang  kemudian  didefinisikan  kembali  dan dikembangkan oleh Iscan.  Iscan mendefinisikan fungsi p -konveks sebagai fungsi yang bersifat :
𝑓 ([𝑡𝑥 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑦 𝑝 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑡𝑓(𝑥) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑦) ,
dengan t ∈ [0,1], p > 0 dan x, y sebarang anggota domain f .  Untuk p = 1 maka fungsi 1-konveks  yang dimaksud adalah fungsi konveks klasik.  Untuk p = 2 maka fungsi 2- konveks yang dimaksud adalah fungsi yang bersifat
𝑓 ([𝑡𝑥 2 + (1 − 𝑡)𝑦 2 ] 1 2 ) ≤ 𝑡𝑓(𝑥) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑦) [4].
Definisi[1] Misalkan I ⊆  ℝ dan f: I ⟶ ℝ . Fungsi f dikatakan konveks  jika :
𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦) , dengan x, y  ∈ I dan λ  ∈ [0,1] .    Lebih  jauh  jika −f: I ⟶ ℝ konveks  maka f: I ⟶ ℝ adalah fungsi konkaf.
Untuk λ = 1 2 maka  akan  diperoleh f ( x+y 2 ) ≤ f(x)+f(y) 2 .  Selanjutnya  jika f memenuhi ketaksamaan tersebut maka f disebut sebagai fungsi J-Konveks.
Teorema[1] Misalkan f Konveks di I = [a, b] ⊆ ℝ. untuk sebarang titik x 1 , … , x n ∈ I dan sebarang bilangan r 1 , … , r n ∈ Q + yang bersifat r 1 + ⋯ + r n = 1 maka
𝑓 (∑ 𝑟 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )   ≤   ∑ 𝑟 𝑖 𝑓(𝑥 𝑖 )
𝑛 𝑖=1
Ketaksamaan ini yang kemudian dikenal sebagai ketaksamaan umum Jensen.
Teorema[5] Fungsi f: I = [a, b] ⊆ ℝ ⟶ ℝ dikatakan konveks jika dan hanya jika untuk sebarang x, w, y ∈ I yang bersifat x < w < y berlaku
𝑓(𝑤) − 𝑓(𝑥) 𝑤 − 𝑥 ≤ 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥) 𝑦 − 𝑥 ≤ 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑤) 𝑦 − 𝑤
Teorema[5] Sebarang fungsi konveks adalah fungsi kontinu.
Definisi[4] Misal f adalah fungsi yang bernilai positif, f dikatakan log konveks jika fungsi log f(x) adalah konveks di daerah asal.
Definisi[6] Fungsi f: I  ⊂ (0, ∞) → ℝ dikatakan p -konveks, dengan p > 0 , jika berlaku
𝑓 ([𝑡𝑥 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑦 𝑝 ] 1 𝑝 ⁄ ) ≤ 𝑡𝑓(𝑥) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑦)
Definisi[7] Untuk 0 < x < ∞, didefinisikan fungsi gamma sebagai :
Γ(𝑥) = ∫ 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 Nilai integral konvergen untuk setiap x .
Teorema[8] Misalkan f, g ∶ [a, b] → ℝ terintegralkan di [a, b] , dan p, q > 1 bersifat 1 p + 1 q = 1 maka berlaku : ∫ |𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝒃 𝒂 ≤ (∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑏 𝑎 ) 1 𝑝 (∫ |𝑔(𝑥)| 𝑞 𝑏 𝑎 ) 1 𝑞

## 2 Hasil dan Pembahasan
Teorema. Misalkan Γ(x) = ∫ t x−1 e −t dt, 0 < x < ∞ ∞ 0 , maka Γ memiliki sifat berikut : i. 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥), 0 < 𝑥 < ∞ ii. 𝛤(1) = 1 iii. 𝑙𝑜𝑔 𝛤 konveks di (0, ∞)
Bukti :
i. 𝛤(𝑥 + 1) = ∫ 𝑡 (𝑥+1)−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 = lim 𝑎→∞ ∫ 𝑡 𝑥 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑎 0 = lim 𝑎→∞ ∫ 𝑡 𝑥 𝑑(𝑒 −𝑡 ) −1 𝑎 0 = lim 𝑎→∞ [−𝑡 𝑥 𝑒 −𝑡 | 𝑡=0 𝑡=𝑎 − ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑(−𝑡 𝑥 ) 𝑎 0 ] = lim 𝑎→∞ [(−𝑎 𝑥 𝑒 −𝑎 − 0) − ∫ 𝑒 −𝑡 (−𝑥)𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 𝑎
0 ] = lim 𝑎→∞ ∫ 𝑥𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑎 0 = 𝑥𝛤(𝑥) ii. 𝛤(1) = lim 𝑎→∞ ∫ 𝑡 1−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑎 0 = lim a→∞ ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑎 0 = lim 𝑎→∞ −𝑒 −𝑡 | 𝑡=0 𝑡=𝑎 = 1 iii.
Dengan ketaksamaan Holder, akan diperoleh
|∫ 𝑓(𝑠)𝑔(𝑠)ℎ(𝑠)𝑑𝑠 ∞ 0 | ≤ (∫ |𝑓(𝑠)| 𝑝 ℎ(𝑠)𝑑𝑠 ∞ 0 ) 1 𝑝 (∫ |𝑔(𝑠)| 𝑞 ℎ(𝑠)𝑑𝑠 ∞ 0 ) 1 𝑞 dengan , 𝑞 > 1 , 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 , ℎ ≥ 0 di (0, ∞) ,  dan 𝑓, 𝑔, ℎ terintegralkan  di
(0, ∞) .
Misalkan 𝑓(𝑠) = 𝑠 𝑎(𝑥−1) , 𝑔(𝑠) = 𝑠 𝑏(𝑦−1) , ℎ(𝑠) = 𝑒 −𝑠 dengan 𝑠 ∈ (0, ∞), 𝑥, 𝑦 > 0, 𝑎, 𝑏 ≥ 0  dan  𝑎 + 𝑏 = 1 . Dengan demikian didapat
|∫ 𝑠 𝑎(𝑥−1) 𝑠 𝑏(𝑦−1) 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 | ≤ (∫ |𝑠 𝑎(𝑥−1) | 1 𝑎 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) 𝑎 (∫ |𝑠 𝑏(𝑦−1) | 1 𝑏 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) 𝑏
= (∫ 𝑠 𝑥−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) 𝑎 (∫ 𝑠 𝑦−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) 𝑏 ⇒ ∫ 𝑠 𝑎𝑥+𝑏𝑦−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠  ≤   (∫ 𝑠 𝑥−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) 𝑎 (∫ 𝑠 𝑦−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) 𝑏 ∞
0 ⇒ 𝛤(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) ≤   (∫ 𝑠 𝑥−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) 𝑎 (∫ 𝑠 𝑦−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) 𝑏 Dari sini diperoleh
log 𝛤(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = log (∫ 𝑠 𝑎𝑥+𝑏𝑦−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) ≤ log ((∫ 𝑠 𝑥−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) 𝑎 (∫ 𝑠 𝑦−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) 𝑏 ) = log ((∫ 𝑠 𝑥−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) 𝑎 ) + log ((∫ 𝑠 𝑦−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∞ 0 ) 𝑏 ) = 𝑎 log (∫ 𝑠 𝑥−1 𝑒 −𝑠 ∞
0 𝑑𝑠)  +  𝑏 log (∫ 𝑠 𝑦−1 𝑒 −𝑠 ∞ 0 𝑑𝑠) = 𝑎𝛤(𝑥) + 𝑏𝛤(𝑦). ∎
Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi gamma adalah fungsi yang bersifat (i),(ii) dan (iii).
Teorema. Misalkan f: (0, ∞) → (0, ∞) adalah fungsi yang bersifat sebagai berikut :
i. 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < ∞
ii. 𝑓(1) = 1 iii. 𝑙𝑜𝑔 𝑓 konveks di (0, ∞)
maka 𝑓(𝑥) =   lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑥 𝑛! (𝑥+𝑛)(𝑥+𝑛−1)…(𝑥+1)𝑥 , ∀𝑥 ∈ (0, ∞)
Bukti  : Karena (x + 1) = xf(x) , maka untuk sebarang n ∈ ℕ didapatkan
f(x + n) = (x + n − 1)(x + n − 2)(x + n − 3) … (x + 1)xf(x)    ,   0 < x < ∞.
Karena f(1) = 1 maka  dengan  mudah  akan  terlihat  bahwa f(n) = (n − 1)!  , ∀n ∈ ℕ . Selanjutnya  akan  ditinjau  nilai f(x) saat 0 < x < 1 .  Perhatikan  bahwa ∀n ∈ ℕ berlaku n − 1 < n < n + x < n + 1   , 0 < x < 1 .
Karena log f  konveks maka berdasarkan Teorema diperoleh ketaksamaan berikut
log(𝑓(𝑛)) − log(𝑓(𝑛 − 1)) 𝑛 − (𝑛 − 1) ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) − log(𝑓(𝑛)) 𝑛 + 𝑥 − 𝑛 ≤ log(𝑓(𝑛 + 1)) − log(𝑓(𝑛)) (𝑛 + 1) − 𝑛 log((𝑛 − 1)!) − log((𝑛 − 2)!) 1 ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) − log((𝑛 − 1)!) 𝑥
≤ log(𝑛!) − log((𝑛 − 1)!) 1 log ( (𝑛 − 1)! (𝑛 − 2)! ) ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) − log((𝑛 − 1)!) 𝑥 ≤ log ( 𝑛! (𝑛 − 1)! ) log(𝑛 − 1) ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) − log((𝑛 − 1)!) 𝑥 ≤ log(𝑛)
𝑥 log(𝑛 − 1) ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) − log((𝑛 − 1)!) ≤ 𝑥 log(𝑛)
𝑥 log(𝑛 − 1) + log((𝑛 − 1)!) ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) ≤ 𝑥 log(𝑛) + log((𝑛 − 1)!)
log((𝑛 − 1) 𝑥 (𝑛 − 1)!) ≤ log(𝑓(𝑛 + 𝑥)) ≤ log(𝑛 𝑥 (𝑛 − 1)!)
(𝑛 − 1) 𝑥 (𝑛 − 1)! ≤ 𝑓(𝑛 + 𝑥) ≤ 𝑛 𝑥 (𝑛 − 1)!
(𝑛 − 1) 𝑥 (𝑛 − 1)! ≤ (𝑥 + 𝑛 − 1)(𝑥 + 𝑛 − 2)(𝑥 + 𝑛 − 3) … (𝑥 + 1)𝑥𝑓(𝑥) ≤ 𝑛 𝑥 (𝑛 − 1)!
(𝑛 − 1) 𝑥 (𝑛 − 1)!
(𝑥 + 𝑛 − 1)(𝑥 + 𝑛 − 2) … (𝑥 + 1)𝑥 ≤ 𝑓(𝑥)   ≤ 𝑛 𝑥 (𝑛 − 1)!
(𝑥 + 𝑛 − 1)(𝑥 + 𝑛 − 2) … (𝑥 + 1)𝑥 (𝑛 − 1) 𝑥 (𝑛 − 1)! (𝑥 + 𝑛 − 1)(𝑥 + 𝑛 − 2) … (𝑥 + 1)𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑛 𝑥 𝑛! (𝑥 + 𝑛)(𝑥 + 𝑛 − 1) … (𝑥 + 1)𝑥 ( 𝑥 + 𝑛 𝑛 )
Ketaksamaan ini berlaku ∀n ∈ ℕ , sehingga dengan memilih n + 1 pada ruas kiri didapat:
𝑛 𝑥 𝑛!
(𝑥 + 𝑛)(𝑥 + 𝑛 − 1) … (𝑥 + 1)𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑛 𝑥 𝑛! (𝑥 + 𝑛)(𝑥 + 𝑛 − 1) … (𝑥 + 1)𝑥 ( 𝑥 + 𝑛 𝑛 ) . ∎
Karena ketaksamaan ini berlaku ∀n ∈ ℕ , maka dengan mengambil nilai n yang sangat besar sehingga lim n→∞ ( x+n n ) = 1 berakibat ruas kanan dan ruas kiri ketaksamaan tersebut memiliki nilai yang sama. Sehingga diperoleh nilai f(x) yaitu
𝑓(𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑥 𝑛!
(𝑥 + 𝑛)(𝑥 + 𝑛 − 1) … (𝑥 + 1)𝑥
Teorema. Misalkan f(x) = lim n→∞ n x n! (x+n)(x+n−1)…(x+1)x dengan 0 < x < ∞ maka f(x) = Γ(𝑥) .
Bukti :
Misalkan Γ m (x) = m x m! (x+m)(x+m−1)…(x+1)x ,    akan  dibuktikan  bahwa Γ m (x) ekivalent dengan :
∫ 𝑚 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑚 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 Untuk membuktikan hal tersebut, akan digunakan induksi matematika
Untuk m = 1 didapat
∫ 1 𝑥 (1 − 𝑡) 1 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 = ∫ (1 − 𝑡)𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 = ∫ 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 −   ∫ 𝑡 𝑥 𝑑𝑡 1 0 1 0
= [ 𝑡 𝑥 𝑥 − 𝑡 𝑥+1 𝑥 + 1 ] 1 0 = 1 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 1 𝑥(𝑥 + 1) = Γ 1 (𝑥)
Misalkan untuk m = k benar yaitu
∫ 𝑘 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑘 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 =   Γ 𝑘 (𝑥)
Untuk m = k + 1 diperoleh
∫ (𝑘 + 1) 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑘+1 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 = (𝑘 + 1) 𝑥 [∫ (1 − 𝑡) 𝑘+1 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 ]
Misalkan u = (1 − t) k+1 dan v = t x x , maka dengan metode integral parsial diperoleh
∫ (𝑘 + 1) 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑘+1 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0
= (𝑘 + 1) 𝑥 [∫ (1 − 𝑡) 𝑘+1 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 ] = (𝑘 + 1) 𝑥 [𝑢𝑣| 1 0 −   ∫ 𝑣 𝑑𝑢 1 0 ]
= (𝑘 + 1) 𝑥 [(1 − 𝑡) 𝑘+1 𝑡 𝑥 𝑥 | 1 0 −   ∫ 𝑡 𝑥 𝑥 1 0 (−(𝑘 + 1))(1 − 𝑡) 𝑘 𝑑𝑡] = (𝑘 + 1) 𝑥+1 𝑥 ∫ 𝑡 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑘 1 0 𝑑𝑡 = (𝑘 + 1) 𝑥+1 𝑥 Γ 𝑘 (𝑥 + 1) 𝑘 𝑥+1 = (𝑘 + 1) 𝑥+1 𝑥 𝑘 𝑥+1 𝑘!
(𝑥 + 𝑘 + 1)(𝑥 + 𝑘) … (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)𝑘 𝑥+1 = (𝑘 + 1) 𝑥+1 𝑘!
(𝑥 + 𝑘 + 1)(𝑥 + 𝑘) … (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)𝑥
= (𝑘 + 1) 𝑥 (𝑘 + 1)!
(𝑥 + 𝑘 + 1)(𝑥 + 𝑘) … (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)𝑥 =  Γ 𝑘+1 (𝑥)
Dengan demikian terbukti bahwa
𝑚 𝑥 𝑚! (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑚 − 1) … (𝑥 + 1)𝑥 = ∫ 𝑚 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑚 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 ,
Dengan subtitusi t = s m mengakibatkan
𝑑𝑠 = 𝑚 𝑑𝑡 , (1 − 𝑡) 𝑚 = (1 − 𝑠 𝑚 ) 𝑚 , 𝑚 𝑥−1 𝑡 𝑥−1 = 𝑠 𝑥−1 ∫ 𝑚 𝑥 (1 − 𝑡) 𝑚 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 1 0 = ∫ (1 − 𝑠 𝑚 ) 𝑚 𝑚 0 𝑠 𝑥−1 𝑑𝑠
Dari sini diperoleh
Γ 𝑚 (𝑥) = ∫ (1 − 𝑠 𝑚 ) 𝑚 𝑚 0 𝑠 𝑥−1 𝑑𝑠
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk m ≥ 2 dan 0 ≤ t ≤ m berlaku
0 ≤ 𝑒 −𝑡 − (1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚 ≤ 𝑒 −𝑡 𝑡 2 𝑛
Untuk m yang sangat besar, akan dipunyai (1 − t m ) m ≤ e −t dan (1 + t m ) m ≤ e t
Berdasarkan hal tersebut diperoleh
𝑒 𝑡 (1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚 ≤ 𝑒 𝑡 𝑒 −𝑡 = 1 dan (1 − 𝑡 2 𝑚 ) ≤ (1 − 𝑡 2 𝑚 2 ) 𝑚 ≤ (1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚 (1 + 𝑡 𝑚 ) 𝑚 ≤ 𝑒 𝑡 (1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚
Akibatnya  didapat (1 − t 2 m ) ≤ e t (1 − t m ) m ≤ 1 yang  ekivalent  dengan 0 ≤ 𝑒 −𝑡 − (1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚 ≤ 𝑒 −𝑡 𝑡 2 𝑚 .
Dari sini diperoleh
0 ≤ Γ(𝑥) − Γ 𝑚 (𝑥) = lim 𝑚→∞ {∫ 𝑒 −𝑡 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡 𝑚 0 − ∫ (1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚 𝑚 0 𝑡 𝑥−1 𝑑𝑡} = lim 𝑚→∞ {∫ 𝑡 𝑥−1 (𝑒 −𝑡 − ((1 − 𝑡 𝑚 ) 𝑚 )) 𝑚 0 𝑑𝑡}
≤ lim 𝑚→∞ ∫ 𝑡 𝑥−1 𝑚 0 𝑒 −𝑡 𝑡 2 𝑚 𝑑𝑡 ≤ lim 𝑚→∞ Γ(𝑥 + 2) 𝑚 = 0. ∎ Γ(𝑥) = Γ 𝑚 (𝑥)
Berdasarkan teorema-teorema di atas, terlihat bahwa fungsi gamma adalah satu-satunya fungsi di bilangan positif yang bersifat (i), (ii) dan (iii) .
Teorema. Misalkan f: I ⊂ (0, ∞) → ℝ adalah fungsi p -konveks dengan p > 0 dan a, b  ∈ I . Maka ketaksamaan berikut berlaku pada f
𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 1 0 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2
Bukti :
Berdasarkan  definisi,  maka f: I  ⊂ (0, ∞) → ℝ dan p > 0 dikatakan p -konveks  jika berlaku
𝑓 ([𝑡𝑥 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑦 𝑝 ] 1 𝑝 ⁄ ) ≤ 𝑡𝑓(𝑥) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑦),
𝑡 ∈ [0,1], 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼
Misalkan f: I = [a, b] ⊂ (0, ∞) → ℝ adalah  fungsi p -konveks  dengan a, b ∈ (0, ∞) dan p > 0 , maka dengan mengambil t = 1 2 didapat
𝑓 ([ 𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 2 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼
Pilih x = [ta p + (1 − t)b p ] 1 p dan y = [tb p + (1 − t)a p ] 1 p , untuk suatu t ∈ [0,1] . Jelas bahwa , y ∈ I . Sehingga didapat
𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑓 ([𝑡𝑎 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑏 𝑝 ] 1 𝑝 ) + 𝑓 ([𝑡𝑏 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑎 𝑝 ] 1 𝑝 ) 2
Dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap t dengan interval [0,1] didapat
∫ 𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) 1 0 𝑑𝑡 ≤ ∫ [ 𝑓 ([𝑡𝑎 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑏 𝑝 ] 1 𝑝 ) + 𝑓 ([𝑡𝑏 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑎 𝑝 ] 1 𝑝 ) 2 ] 1 0 𝑑𝑡
𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ ∫ 𝑓 ([𝑡𝑎 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑏 𝑝 ] 1 𝑝 ) 1 0 𝑑𝑡 +   ∫ 𝑓 ([𝑡𝑏 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑎 𝑝 ] 1 𝑝 ) 1 0 𝑑𝑡 2
Dengan metode subtitusi, akan didapat
𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑝 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 + 𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 2 = 𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 𝑏 𝑎 𝑑𝑥
Disisi lain, kita punyai
𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 ([𝑡𝑎 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑏 𝑝 ] 1 𝑝 ) 1 0
𝑑𝑡 +   ∫ 𝑓 ([𝑡𝑏 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑎 𝑝 ] 1 𝑝 ) 1 0 𝑑𝑡 2
Karena f adalah fungsi p -konveks maka berlaku
𝑓 ([𝑡𝑎 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑏 𝑝 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏) 𝑓 ([𝑡𝑏 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑎 𝑝 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑡𝑓(𝑏) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑎)
Dari sini diperoleh
𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 ([𝑡𝑎 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑏 𝑝 ] 1 𝑝 ) 1 0 𝑑𝑡 +   ∫ 𝑓 ([𝑡𝑏 𝑝 + (1 − 𝑡)𝑎 𝑝 ] 1 𝑝 ) 1 0 𝑑𝑡 2 ≤ ∫ [𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)] 1 0 𝑑𝑡 +   ∫ [𝑡𝑓(𝑏) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑎)] 1 0 𝑑𝑡 2
= ∫ [𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏) + 𝑡𝑓(𝑏) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑎) ] 2 1 0 = ∫ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 1 0 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 ∎ 𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 1 0 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
2

## 3 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Fungsi gamma adalah satu-satunya fungsi di bilangan positif yang memiliki sifat sifat yaitu
i. 𝛤(𝑥 + 1) = 𝑥𝛤(𝑥), 0 < 𝑥 < ∞ ii. 𝛤(1) = 1 iii. 𝑙𝑜𝑔 𝛤 konveks di (0, ∞)
2. Untuk 𝑝 > 0 dan 𝑓: 𝐼  ⊂ (0, ∞) → ℝ maka  ketaksamaan  Hadamard  pada  f adalah
𝑓 ([ 𝑎 𝑝 + 𝑏 𝑝 2 ] 1 𝑝 ) ≤ 𝑝 𝑏 𝑝 − 𝑎 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑥 1−𝑝 1 0 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
2

## 4 Referensi
[1]   Pachpatte, 2005, Mathematical Inequalities, Elsevier, Inc., USA.
[2] Gunawan,  H.,  2016,  Pengantar  Analisis  Real,  Institut  Teknologi  Bandung, Bandung.
[3] Abramowitz,  M.,  dan  Stegun,  I.A.,  1972,  Handbook  of  Mathematical  Functions with  Formulas,  Graph,  and  Mathematical  Tables,  United  States  Department  of Commerce, USA.
[4] Iscan,  I.,  dan  Kunt,  M.,2016,  Hermite-Hadamard-Fejer  type  Inequalities  for  p- convex Functions, International Journal Analisis Applications Vol.23 Hal 215-230, Turkey.
[5] Artin, E., 1964, The Gamma Function, Holt Rinehart and Winston, Inc., New York.
[6] Rudin,  W.,  1976,  Principles  of  Mathematical  Analysis,  McGraw-Hill,  Inc.,  New York.
[7] Kreyszig,  E.,  1978,  Introductory  Functional  Analysis  with  Applications,  John Wiley and Sons, Inc., Canada.
[8] Bartle,  R.G.,  dan    Sherbert,  D.R.,  2011,  Introduction  To  Real  Analysis  Fourth Edition, John Wiley and Sons, Inc., Illinois.
[9] Noor, M.I., dkk , 2016, Hermite-Hadamard Inequalities for Differentiable p-convex Functions  using  Hypergeometric  Functions,  Publications  de  l  Institut Mathematique Vol.100 Hal.251-257.
[10]  Stewart,  J.,  2008,  Calculus  Early  Transcendentals  Sixth  Edition,  Thomson Learning, Inc., USA.
[11]  Wu,  S.,  dan  Chen,  F.,  2014,  Fejer  and  Hermite-Hadamard  type  Inequalities  for Harmonically  Convex  Functions,  Journal  Applications  Mathematic  Vol  2014 Article id : 386806.