Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.1 (Juni 2019) Hal. 56-64
PEMBAGI NOL PADA MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Mega Nurhayani 1 , Thresye 2 , Nurul Huda 3
1, 2, 3 Program Studi Matematika, FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jln. A. Yani Km. 35,800 Banjarbaru, Kalimantan Selatan email: duaemeganurhayani@gmail.com

## ABSTRAK
Matriks  atas  ring  komutatif  adalah  matriks  yang  entri-entrinya  dibangun  dari  ring  komutatif. Himpunan  matriks  atas  ring  komutatif  membentuk  struktur  ring  terhadap  operasi  penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks. Struktur yang terbentuk atas matriks yang entri-entri dari ring  komutatif  atau  dapat  disimbolkan 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) merupakan  ring.  Selanjutnya (𝑀 𝑚𝑥𝑛 , +,∗) dikatakan ring dengan pembagi nol jika terdapat dua elemen matriks yang tidak sama dengan nol akan  tetapi  ketika  diberikan  operasi  pergandaan  maka  bernilai  nol.  Tulisan  ini  membahas  sifat- sifat pembagi nol pada matriks atas ring komutatif, yaitu jika 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) , dengan 𝑅 adalah ring komutatif,  maka  matriks 𝐴 merupakan pembagi  nol kiri dalam 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika dan hanya jika matriks 𝐴 merupakan pembagi nol kanan dalam 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) .
Kata kunci : Ring komutatif, pembagi nol, matriks, matriks atas ring komutatif.

## 1. PENDAHULUAN
Secara  umum,  ilmu  aljabar  membahas  tentang  himpunan  beserta kelengkapannya  dari  himpunan  tersebut.  Salah  satu  himpunan  yang  banyak dipelajari  adalah  himpunan  matriks.  Matriks  merupakan  jajaran  bilangan  yang membentuk  persegi  panjang  dan  diapit  oleh  “(  )”  atau  “[  ]”,  dengan  ukuran panjang  dan  lebar  sesuai  dengan  jumlah  kolom  dan  baris.  Ilmu  aljabar  juga mempelajari teori ring. Ring merupakan suatu himpunan yang tidak kosong yang dilengkapi  dua  operasi  biner,  dimana  pada  operasi  pertama  membentuk  grup komutatif,  sedangkan  pada  operasi  kedua  berlaku  sifat  assosiatif  dan  terhadap operasi  pertama  dan  kedua  berlaku  sifat  distributif  kiri  dan  kanan.  Adapun  ring yang  bersifat  komutatif  terhadap  operasi  pergandaan  disebut  ring  komutatif. Kemudian pada ring terdapat  sifat  pembagi  nol,  yaitu suatu  elemen tak nol  pada ring  yang  jika  terdapat  elemen  tak  nol  lainnya  akan  menyebabkan  hasil  operasi kedua  elemen  tersebut  bernilai  nol  [5].  William  C.  Brown  pada  tahun  1992 memperkenalkan konsep matriks atas ring komutatif. Himpunan matriks atas ring komutatif  yang  selanjutnya  dapat  disimbolkan  dengan 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) yang  kemudian dibentuk menjadi struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan  matriks.  Kemudian (𝑀 𝑛𝑥𝑛 , +,∗) dikatakan  ring  dengan  pembagi  nol jika terdapat dua elemen yang tidak sama dengan nol akan tetapi ketika diberikan operasi  pergandaan  maka  hasil  dari  operasi  pergandaan  tersebut  bernilai  nol. Berdasarkan  uraian  di  atas  maka  peneliti  tertarik  untuk  menjelaskan  sifat-sifat pembagi nol pada matriks atas ring komutatif.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1  Ring Suatu  himpunan R yang  dilengkapi  dengan  dua  operasi  biner  disebut  ring, jika dapat memenuhi definisi sebagai berikut dan disimbolkan dengan (R,+,•) :
Definisi 2.1.1 [5] Suatu  himpunan  tak  kosong 𝑅 dengan  dua  operasi  biner,  yaitu  operasi  pertama (+) dan operasi kedua (⋅) disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. (𝑅, +) adalah grup abelian
2. (𝑅,∙) bersifat assosiatif Untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 berlaku (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐)
3. Untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , berlaku:
a) Distributif kiri, 𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎𝑏) + (𝑎𝑐) dan
b) Distributif kanan, (𝑎 + 𝑏)𝑐 = (𝑎𝑐) + (𝑏𝑐) .
Himpunan  tidak  kosong 𝑅 dengan  dua  operasi  biner  yang  memenuhi aksioma-aksioma  pada  Definisi  2.2.1  dan  sifat  komutatif  terhadap  operasi  kedua disebut  juga  dengan  ring  komutatif.  Berikut  akan  didefinisikan  ring  dengan  sifat komutatif terhadap operasi kedua yang disebut ring komutatif.
Definisi 2.1.2 [5] Suatu  ring 𝑅 adalah  ring  komutatif,  jika  terhadap  operasi  kedua  berlaku  sifat komutatif yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 .
Pembagi  nol  pada  ring  adalah  suatu  elemen-elemen  taknol  yang  hasil pergandaannya adalah nol, seperti yang dijelaskan oleh definisi berikut:
Definisi 2.1.3 [6] Diberikan ( R,+, ∙ ) ring  dan 𝑎 ≠ 0 𝑅 ∈ 𝑅 .  Kemudian  a  disebut  pembagi  nol  jika terdapat 𝑏 ≠ 0 𝑅 ∈ 𝑅 sedemikian sehingga 𝑎𝑏 = 0 𝑅 atau 𝑏𝑎 = 0 𝑅 .

## 2.2 Matriks
Matriks  merupakan  jajaran  bilangan  yang  membentuk  persegi  panjang  dan diapit oleh “( )” atau “[ ]”, dengan ukuran panjang dan lebar sesuai dengan jumlah kolom  dan  baris.  Bilangan  yang  terdapat  di  dalam  suatu  matriks  disebut  dengan entri. Berikut ini merupakan definisi dari matriks.

## Definisi 2.2.1 [2]
Suatu  matriks  adalah  jajaran  bilangan-bilangan  membentuk  persegi  panjang. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.
Entri yang terletak pada baris 𝑖 dan kolom 𝑗 di dalam matriks 𝑨 akan dinyatakan sebagai 𝑎 𝑖𝑗 .
Matriks umum berukuran 𝑥 × 𝑦 dinyatakan sebagai berikut
𝑨 = [ 𝛼 11 𝛼 12 𝛼 21 𝛼 22 ⋯ 𝛼 1𝑦 ⋯ 𝛼 2𝑦 ⋮ ⋮ 𝛼 𝑥1 𝛼 𝑥2 ⋮ ⋯ 𝛼 𝑥𝑦 ]
Matriks  juga  memiliki  operasi  seperti  himpunan  bilangan  lainnya  pada aljabar,  dengan  aturan  khusus  pada  matriks.  Berikut  ini  terdapat  pula  beberapa definisi dari operasi pada matriks.
Definisi 2.2.2 [2] Jika 𝑨 dan 𝑩 ialah  matriks-matriks  yang  memiliki  ukuran  yang  sama,  satu dengan  yang  lain,  maka  jumlahan  kedua  matriks  adalah  sebuah  matriks  baru yang  diperoleh  dengan  menjumlahkan  entri-entri  pada  matriks 𝑨 dengan  entri- entri yang bersesuaian pada matriks 𝑩 . Kemudian, selisih kedua matriks adalah matriks  yang  diperoleh  dengan  cara  mengurangkan  entri-entri  pada 𝑨 dengan entri-entri yang bersesuaian pada 𝑩 .

## Definisi 2.2.3 [2]
Jika 𝑨 adalah  matriks 𝑥 × 𝑦 dan B adalah  matriks 𝑦 × 𝑧 maka  hasil  kali  kedua matriks  adalah  matriks 𝑥 × 𝑧 yang  entri-entrinya  ditentukan  dengan  cara memisahkan  baris 𝑖 pada  matriks 𝑨 dan  kolom 𝑗 pada  matriks 𝑩 .  Mengalikan entri-entri  yang  bersesuaian  dari  baris    dan  kolom  tersebut,  kemudian menjumlahkan hasil yang diperoleh.
Pada matriks terdapat fungsi yang disebut fungsi determinan, dimana fungsi tersebut bernilai real. Berikut ini akan didefinisikan fungsi determinan matriks.

## Definisi 2.2.4 [2]
Diberikan 𝑨 ialah  suatu  matriks  persegi.  Fungsi  determinan  dapat  dinyatakan atau  dinotasikan  dengan 𝑑𝑒𝑡 dan  didefinisikan 𝑑𝑒𝑡(𝑨) sebagai  jumlah  dari semua hasil kali elementer bertanda dari  matriks 𝑨 .
Definisi 2.2.5 [2] Jika 𝑨 adalah matriks  berukuran 𝑚 × 𝑛 , maka transpos 𝑨 didefinisikan sebagai matriks 𝑨 𝑇 berukuran 𝑛 × 𝑚 . Dimana 𝑨 𝑇 diperoleh dari mempertukarkan entri- entri  pada  baris  pertama 𝑨 menjadi  entri-entri  pada  kolom  pertama 𝑨 𝑇 ,  entri- entri baris kedua 𝑨 menjadi entri-entri pada kolom kedua 𝑨 𝑇 , dan seterusnya.
Transpose  matriks  memiliki  beberapa  sifat  yang  menjadi  dasar  didala operasi perhitungan matriks, yaitu:
Teorema 2.2.6 [2] a. (𝑨 𝑇 ) 𝑇 = 𝑨 b. (𝑨 + 𝑩) 𝑇 = 𝑨 𝑇 + 𝑩 𝑇
c. 𝑘(𝑨 𝑇 ) = (𝑘𝑨 𝑇 ) dengan 𝑘 suatu scalar d. (𝑨𝑩) 𝑇 = 𝑨 𝑇 𝑩 𝑇

## 2.3 Matriks atas Ring Komutatif
Matriks  yang entri-entrinya merupakan anggota dari suatu ring komutatif, disebut  matriks  atas  ring  komutatif,  yang  didefinisikan  dan  dinotasikan  sebagai berikut:
Definisi 2.3.1 [3] Himpunan  matriks 𝑚 × 𝑛 dengan  entri-entrinya  dari  R  dinotasikan  sebagai 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) , dengan R adalah ring komutatif.
Bentuk umum dari 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) adalah
𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) = {[𝛼 𝑖𝑗 ], ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑥; 𝑗 = 1,2, … , 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝛼 𝑖𝑗 ∈ 𝑅}

## 2.4 Rank Matriks atas Ring Komutatif
Rank dari matriks merupakan banyaknya elemen basis pada ruang baris atau ruang  kolom  matriks  tersebut.  Banyaknya  elemen  pada  basis  ruang  baris  atau ruang  kolom  matriks  tersebut  disebut  sebagai  dimensi  ruang  baris  atau  ruang kolom.  Dimensi  ruang  baris  atau  ruang  kolom  inilah  yang  disebut  dengan  rank matriks,  atau  dinotasikan  dengan 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝑨) .  Vektor-vektor  baris  tak  nol  yang berbentuk eselon dari matriks 𝑨 akan membangun basis untuk ruang baris 𝑨 dan vektor-vektor  kolom  tak  nol  yang  berbentuk  eselon  dari  matriks 𝑨 akan membangun basis untuk ruang kolom 𝑨 .
Jika rank matriks dibangun dengan melihat  minor matriks 𝑨 yang tidak nol, maka  untuk  rank  matriks  atas  ring  komutatif  dapat  dilihat  dari  ideal  yang dibangun oleh semua minor 𝑡 × 𝑡 dari matriks atas ring komutatif.
Definisi 2.4.1 [3] Diberikan 𝑨 ∈ 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) . Himpunan 𝐼 𝑡 (𝑨) didefinisikan sebagai deal didalam 𝑅 yang dibangun oleh minor-minor matriks 𝑨 yang berukuran 𝑡 × 𝑡 dari matriks 𝑨 untuk setiap 𝑡 = 1,2, … , 𝑚𝑖𝑛 {𝑚, 𝑛} .

## 2.6  Teorema  N.  McCoy  dalam  Sistem  Persamaan  Linier  atas  Ring
Komutatif
Sama  seperti  yang  diketahui  sistem  persamaan  linear  homogen  memiliki solusi,  sistem  persamaan  linear  homogeny  pada  matriks  atas  ring  komutatif 𝑨𝑋 = 0 juga selalu konsisten atau memiliki solusi,  yaitu 𝑋 = 0 . Terkait dengan kekonsistenan  sistem  persamaan  linear  homogen  atas  ring  akan  dipaparkan definisi Teorema McCoy
Teorema 2.6.1 [3]
Diberikan 𝑨 ∈ 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) .  Sistem  persamaan  linier  homogenya 𝑨𝑋 = 0 mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika rank ( A ) < n .

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  mempelajari  materi  tentang  grup,  ring, matriks, matriks atas ring komutatif, serta konsep pembagi nol pada matriks atas ring komutatif. Kemudian membuktikan struktur yang terbentuk dari matriks atas ring  komutatif  dan  membuktikan  teorema  yang  berkaitan  sifat-sifat  pembagi  nol pada matrik atas ring komutatif, serta menarik kesimpulan.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Struktur pada Matriks atas Ring komutatif
Berikut  ini  diberikan  lemma  untuk  himpunan  matriks  atas  ring  komutatif yang disertai operasi penjumlahan matriks.
Lemma 4.1.1 [1] Matriks 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) yang  dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  matriks merupakan grup Abelian.
Lemma 4.1.2 [1] Himpunan  matriks 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) yang  dilengkapi  dengan  operasi  perkalian  matriks merupakan semigrup .
Lemma 4.1.3 [1] Untuk  setiap 𝜷, 𝜸, 𝜹 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢, 𝜷 × (𝜸 + 𝜹) = 𝜷 × 𝜸 + 𝜷 × 𝜹 dan (𝜸 + 𝜹) × 𝜷 = 𝜸 × 𝜷 + 𝜹 × 𝜷 .
Teorema 4.1.4 [1] Himpunan  matriks 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) yang  dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  dan perkalian matriks merupakan ring .
Bukti.
Berdasakan  lemma  4.1.1  diperoleh  bahwa (𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅), +) merupakan  grup abelian,  dan  menurut  lemma  4.1.2  sistem  matematika (𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅),×) merupakan semigrup.  Selanjutnya,  menurut  lemma  4.1.3  diperoleh  bahwa  sifat  distributif perkalian terhadap penjumlahan berlaku di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Maka hal ini menunjukkan (𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅), +,×) merupakan ring. ∎

## 4.2 Pembagi Nol pada Matriks atas Ring Komutatif
Berikut  akan  dibuktikan  teorema  mengenai  sifat-sifat  pembagi  nol  pada matriks atas ring komutatif.
Teorema 4.2.1 [3] Diberikan 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) ,dengan 𝑍(𝑅) adalah  himpunan  pembagi  nol  di 𝑅 maka berlaku:
a. Matriks A merupakan pembagi nol kiri pada 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika dan hanya jika 𝑑𝑒𝑡 (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅)
b. Matriks A merupakan pembagi nol  kanan pada 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅).
Bukti.
a. ⟸
Diketahui det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) , dengan 𝑍(𝑅) adalah himpunan pembagi nol di 𝑅 . Akan dibuktikan 𝑨 merupakan pembagi nol kiri di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) ,  menurut  sifat  rank  matriks  atas  ring  komutatif  pada Definisi  2.5.4  point  (e),  jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) maka  berakibat 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨) < 𝑛 . Mengingat    penyelesaian  sistem  persamaan  linier  homogen  dengan  matriks
koefisiennya atas  ring komutatif,  yaitu 𝑨𝑋 = 0 pada Teorema 2.6.2, kondisi tersebut  berakibat  sistem  persamaan  linear  homogennya  mempunyai penyelesaian non trivial. Dengan demikian 𝑨𝑋 = 0 untuk suatu vektor tak nol 𝑋 ∈ 𝑅 𝑛 . Bentuk matriks 𝑩 = (𝑥|𝑥| … |𝑥) elemen dari 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) , maka matriks 𝑩 ≠ 0 𝑑𝑖 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) dan memenuhi 𝑨𝑩 = (𝐴𝑥|𝐴𝑥| … |𝐴𝑥) = (0|0| … |0) = 0 . Jadi matriks 𝑨 merupakan pembagi nol kiri di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . ⟹ Diketahui 𝑨 pembagi nol kiri dalam 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Akan  dibuktikan  bahwa det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) ,  dengan 𝑍(𝑅) adalah  himpunan pembagi nol di 𝑅 .
Karena  diketahui 𝑨 adalah  pembagi  nol  kiri,  maka  dapat  dibentuk 𝑨𝑩 = 0 untuk  suatu  matriks  tak  nol 𝑩 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) .  Andaikan 𝑩 = (𝑥 1 |𝑥 2 | … 𝑥 𝑛 |) dalam  bentuk  partisi  kolom.  Karena 𝑩 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) matriks  tak  nol,  maka terdapat suatu kolom 𝑥 1 yang bukan vektor nol di 𝑅 𝑛 . Dari yang sudah diketahui, 𝑨 adalah pembagi nol kiri, maka dapat diperoleh 0 = 𝑨𝑩 = (𝐴𝑥 1 |𝐴𝑥 2 | … 𝑥 𝑛 |) ,
akibatnya 𝐴𝒙 𝒊 = 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … 𝑛 . Karena terdapat kolom 𝑥 𝑖 yang bukan  vektor  nol  di 𝑅 𝑛 dan 𝐴𝑥 𝑖 = 0 ,  maka  sistem  persamaan  linear homogenya  menjadi 𝑨𝑋 = 0 yang  mana  pada  Teorema  2.6.2  mempunyai penyelesaian  non  trivial.  Akibat  dari  sistem  persamaan  linier  homogennya non  trivial  maka  menurut  Definisi  2.5.4  point  (e) 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) < 𝑛 sehingga 𝑑𝑒𝑡 (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) . b. ⟸
Diketahui 𝑑𝑒𝑡 (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) , dengan 𝑍(𝑅) adalah himpunan pembagi nol di 𝑅 . Akan dibuktikan 𝑨 merupakan pembagi nol kanan di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Jika 𝑑𝑒𝑡 (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) ,  maka  menurut    Definisi  2.3.8  diperoleh 𝑑𝑒𝑡 (𝑨 𝑡 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑨) , Dari  definisi  2.3.8, 𝑑𝑒𝑡 (𝑨 𝑡 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑨) ,  dan  dari  diketahui  bahwa det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) , maka diperoleh 𝑑𝑒𝑡(𝑨 𝒕 ) ∈ 𝑍(𝑅) .
Menurut sifat  pada Definisi 2.5.4, point (b) rank matriks atas ring komutatif 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨 𝒕 ) maka berakibat 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨 𝒕 ) < 𝑛 .
Mengingat  dengan  penyelesaian  sistem  persamaan  linear  homogen  dengan matriks  koefisiennya  atas  ring  komutatif,  yaitu 𝑨 𝒕 𝑋 = 0 ,  kondisi  tersebut berakibat sistem persamaan linear homogennya mempunyai penyelesaian non trivial.
Dengan  demikian 𝑨 𝒕 𝑋 = 0 untuk  suatu  vektor  tak  nol 𝑥 ∈ 𝑅 𝑛 .  Bentuk matriks 𝑩 = (𝑥 1 |𝑥 2 | … 𝑥 𝑛 |) elemen  di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) ,  maka  matriks 𝑩 adalah matriks tak nol di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) dan memenuhi 𝑨 𝒕 𝑩 = (𝐴𝑥 1 |𝐴𝑥 2 | … 𝐴𝑥 𝑛 |) = (0|0| … |0) = 0 . Dari Teorema 2.3.7, maka diperoleh
(𝑩𝑨) 𝑡 = 𝑩 𝑡 𝑨 𝑡 = 0 , karena 𝑑𝑒𝑡 (𝑨 𝑡 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑨) sehingga
𝑩 𝑡 𝑨 𝑡 = 0        𝐵 𝑡 𝑨   = 0 .
Karena 𝑩 ≠ 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑩 𝑡 ≠ 0 .  Dengan  demikian  matriks 𝑨 merupakan pembagi nol kanan pada 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . ⟹
Diketahui 𝑨 pembagi nol kanan dalam 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Akan  dibuktikan  bahwa det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) ,  dengan 𝑍(𝑅) adalah  himpunan pembagi nol di 𝑅 .
Karena  Diketahui 𝑨 pembagi  nol  kanan  dalam 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) ,  maka  dapat dibentuk 𝑩𝑨 = 0 untuk suatu matriks tak nol 𝑩 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Karena 𝑩𝑨 = 0 , menurut Teorema 2.3.8 matriks maka
(𝑩𝑨) 𝑡 = 0          𝑨 𝑡 𝑩 𝑡 = 0 .
Andaikan 𝑩 𝑡 = (𝑥 1 |𝑥 2 | … 𝑥 𝑛 |) dalam  bentuk  partisi  kolom.  Karena 𝑩 𝑡 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) matriks  tak  nol,  maka  terdapat  suatu  kolom 𝑥 𝑖 yang  bukan  vektor tak nol di 𝑅 𝑛 . Dari yang diketahui diperoleh 0 = 𝑨 𝑡 𝑩 𝑡 = (𝐴 𝑡 𝑥 1 |𝐴 𝑡 𝑥 2 | … 𝐴 𝑡 𝑥 𝑛 |) , akibatnya 𝑨 𝑡 𝑥 𝑖 = 0 untuk setiap 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 .  Karena  terdapat  kolom 𝑥 𝑖 yang  bukan  vektor  tak  nol  di 𝑅 𝑛 dan 𝑨 𝑡 𝑥 𝑖 = 0 , maka sistem persalaman linier homogen 𝑨 𝑡 𝑋 = 0 mempunyai penyelesaian non trivial.  Akibatnya, dari Teorema 2.6.2, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨) < 𝑛 . Dan melihat  pada  Definisi  2.5.4  ponit  (b)  sifat  pada  rank  matriks  atas  ring komutatif yakni 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨 𝑡 ) sehingga dapat dituliskan 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨) < 𝑛 = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨 𝑡 ) < 𝑛 . Dengan melihat Definisi 2.5.4 point (e) maka diperoleh bahwa 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑨) < 𝑛 jika  dan  hanya  jika det (𝑨) ∈ Z(R) .  Sesuai  dengan  sifat  pada  Teorema 2.3.8,maka diperoleh det(𝑨) = det (𝑨 𝑡 ) sehingga det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) . ∎
Teorema  4.2.1  mengakibatkan  bahwa  himpunan  semua  pembagi  nol  kiri  di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) sama  dengan  himpunan  semua  pembagi  nol  kanan  di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) ,  yaitu 𝑍(𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅)) .
Teorema 4.2.2 [3] Matriks 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan pembagi nol kiri pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika dan hanya jika matriks 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) pembagi nol kanan pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Bukti . ⟹ Diketahui 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan  pembagi  nol  kiri  pada  ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) .  Akan dibuktikan  jika 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) pembagi  nol  kanan  pada  ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Menurut teorema  4.2.1  point  (a),  maka  diperoleh  matriks 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan pembagi  nol  kiri jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) , dan menurut  teorema 4.2.1 point (b) maka 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan pembagi nol kanan jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) .
Maka  dapat  disimpulkan  matriks 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan  pembagi  nol  kanan pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . ⟸ Diketahui 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) pembagi nol kanan pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Akan dibuktikan 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan pembagi nol kiri pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Menurut teorema 4.2.1 b, maka diperoleh matriks 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan pembagi nol kanan jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) , dan menurut teorema 4.2.1 point (a) maka 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan pembagi nol kiri jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) . Maka  dapat  disimpulkan  bahwa  matriks 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) merupakan  pembagi  nol kiri pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . ∎
Kemudian akan dibuktikan teorema mengenai sifat pembagi nol pada matriks atas  ring  komutatif  yang  berkaitan  dengan  daerah  integral.  Daerah  integral  ialah suatu  ring  dengan  sifat  khusus,  dimana  selain  bersifat  komutatif  dengan  elemen satuan  juga  memiliki  sifat  hanya  memuat  pembagi  nolnya  adalah  nol  saja. Berdasarkan  dari  sifat  tersebut  dan  juga  sebagai  akibat  dari  teorema  4.2.1  maka diperoleh akibat dari pembagi  nol  pada ring 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) terhadapat  daerah integral sebagai berikut:
Akibat 4.2.3 [3] Diberikan R adalah suatu daerah integral dan 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . Maka 𝑨 merupakan pembagi nol kiri dan kanan jika dan hanya jika 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0.
Bukti . ⟹ Diketahui 𝑅 adalah  daerah  integral,  maka 𝑅 adalah  ring  komutatif  dan  matriks 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . 𝑨 merupakan pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) . . Akan dibuktikan jika 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0 Menurut teorema 4.2.2 berlaku, jika 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) , maka 𝐴 merupakan pembagi nol kiri dan kanan jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅).
Karena 𝑅 adalah  daerah  integral,  menurut  definisi  2.2.10  maka  dapat  dituliskan 𝑍(𝑅) = {0} , dimana 𝑍(𝑅) adalah notasi yang menyatakan himpunan pembuat nol di 𝑅 .
Karena  pada  teorema  4.2.2  berlaku  jika det(𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) dan  didapat  bahwa 𝑍(𝑅) = {0} , maka berlaku 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0 . ⟸ Diketahui 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0 .
𝑨 merupakan pembagi nol kiri dan pembagi nol kanan di 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅).
Akan dibuktikan 𝑅 adalah daerah integral.
Karena diketahui 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0 dan menurut Teorema 4.2.2 berlaku bahwa 𝑨 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) , maka 𝑨 merupakan pembagi nol kiri dan kanan jika dan hanya jika det (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅).
Dari  yang  diketahui 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0 ,  dapat  dituliskan  menjadi 0 ∈ 𝑍(𝑅). Dengan 𝑍(𝑅) adalah himpunan pembagi nol di 𝑅 . Menurut definisi daerah integral 2.2.10, maka 𝑍(𝑅) = {0} . Karena 𝑑𝑒𝑡 (𝑨) ∈ 𝑍(𝑅) , dan 𝑍(𝑅) = {0} , diperoleh 𝑑𝑒𝑡(𝑨) = 0 . ∎

## 5. KESIMPULAN (JIKA ADA)
Dari hasil dan pembahasan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Struktur yang terbentuk atas matriks yang entri-entri dari ring komutatif atau dapat  disimbolkan 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) merupakan  ring  atau  dapat  disimbolkan (𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅), +,×)
2. Jika 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) , dengan 𝑅 adalah ring komutatif, maka berlaku
a. Matriks 𝐴 merupakan  pembagi  nol  kiri  dalam 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika  dan  hanya jika 𝑑𝑒 𝑡(𝐴) ∈ 𝑍(𝑅).
b. Matriks 𝐴 merupakan pembagi nol kanan dalam 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika dan hanya jika 𝑑𝑒 𝑡(𝐴) ∈ 𝑍(𝑅).
c. Matriks 𝐴 merupakan  pembagi  nol  kiri  dalam 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) jika  dan  hanya jika matriks 𝐴 merupakan pembagi nol kanan dalam 𝑀 𝑛×𝑛 (𝑅) .

## REFERENSI
[1]  Abdurrazzaq,  A.,  2015. Ring  Matriks  atas  Ring  Komutatif .  JMP:Volume  7 Nomor 1, Juni 2015, hal 11-18
[2]  Anton, H. & C. Rorres. 2004. Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi, edisi ke-8, jilid 1 . Erlangga, Jakarta.
[3]  Brown, W.C. 1992. Matrices Over Commutative Rings . Macrel Dekker, Inc, New York.
[4]  Eves, H. 1968. Elementgary Matix Theory . Allyn and Bacon, In., Boston.
[5]  Frailegh,  J.B.  2002. A  First  Course  in  Abstract  Algebra. 7nd  ed.  Addison- Wasley, Publishing Company, New York.