ANALISIS PERBANDINGAN BILANGAN REPRODUKSI DASAR COVID-19 PADA BULAN AGUSTUS DAN SEPTEMBER TAHUN 2021 DI KOTA KUPANG
Ariyanto 1*

## 1. Program Studi Matematika, FST, Universitas Nusa Cendana
Penulis Korespondens: aryanto@staf.undana.ac.id

## ABSTRAK
Naskah ini bertujuan untuk mencari nilai bilangan reproduksi dasar ( 𝓡 𝟎 ) berbasiskan data  lapangan pada bulan Agustus dan September tahun 2021 di Kota Kupang. Model yang menjadi referensi kertas kerja ini terdiri dari lima kompartemen yakni kelas rentan (𝑺) , kelas terpapar (𝑬) , kelas terinfeksi tanpa gejala (𝑨) , kelas terinfeksi dengan gejala (𝑰) , dan kelas sudah sembuh atau kebal (𝑹) . Konstruksi estimasi bilangan reproduksi dasar 𝓡 𝟎 adalah mengunakan asumsi bahwa jumlah individu terpapar,jumlah,individu terinfeksi  tanpa  gejala,  dan  jumlah  individu  terinfeksi  dengan  gejala    tumbuh  secara eksponensial. Luaran dari naskah ini diperoleh bahwa  pada bulan Agustus tahun 2021 nilai 𝓡 𝟎 = 𝟏, 𝟏𝟎𝟕 dan  pada  bulan  September   nilai 𝓡 𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖𝟔 .   Jadi,  pada  bulan Agustus tahun 2021 Kota Kupang masuk kategorik endemik kasus covid-19, dan pada bulan September kasus covid-19 berpotensi akan hilang dari populasi.
Kata Kunci : Model Matematika, COVID-19, Estimasi 𝓡 𝟎 .

## 1. PENDAHULUAN
Kasus    covid-19  di  Kota  Kupang  naik    sangat  signifikan  dari  waktu  ke  waktu. Tanggal  10  April  2020  merupakan  kasus  kejadian  pertama  covid-19  di  Kota  Kupang sebanyak satu  kasus, dan sekarang total kasus hingga pengambilan data terakhir dari naskah ini adalah  sebanyak 15.201 kasus . Terdapat dua  fenomena menarik tentang trend    kenaikan  dan  penurunan    kasus  covid-19  di  Kota  Kupang  ,  yaitu  pada  bulan agustus  tahun  2021  terjadi  kenaikan  kasus    dan    bulan  September  tahun  2021  ada penurunan  kasus  covid-19  ( https://kupangkota.go.id/ ).  Tulisan  ini  bertujuan untukmencari  nilai bilangan reproduksi dasar ( ℛ 0 ) kasus covid-19 di  Kota Kupang pada bulan Agustus dan September tahun 2021.
Model matematika penyebaran COVID-19 sudah banyak diformulasi [1], [2]. Model matematika  digunakan  dalam  tulisan  ini  terdiri  dari  lima  kompartemen,  yaitu  kelas rentan (𝑆) , kelas terpapar (𝐸) , kelas terinfeksi tanpa gejala (𝐴) , kelas terinfeksi dengan gejala (𝐼) ,  dan  kelas  sudah  sembuh  atau  kebal (𝑅) .  Beberapa  asumsi    dasar  model matematika  dalam  kertas  kerja ini   antara lain :  (i)   laju  kesembuhan  antara individu
terinfeksi  tanpa  gejala    dengan    individu  terinfeksi  bergejala  adalah  sama,  (ii)  Total populasi adalah konstan. Model matematika menjadi rujukan  dalam tulisan naskah ini merupakan  model pada  [2]. Pada tulisan ini untuk mendapatkan nilai estimasi bilangan reproduksi  dasar  maka  dicari  dahulu    nilai    take-off  rate  dari  data  lapangan  dengan asumsi  bahwa jumlah individu  terpapar,jumlah,individu    terinfeksi  tanpa gejala, dan jumlah individu terinfeksi dengan gejala  tumbuh secara eksponensial pada laju yang sama dengan periode waktu relatif singkat. Rujukan naskah ini untuk mencari  estimasi bilangan reproduksi dasar berdasarkan kertas kerja  pada [3]–[9] .

## 2. METODE

## 2.1. Formulasi Model Matematika
Model  matematika  yang  digunakan  dalam  tulisan  ini  adalah  model  yang  sudah  ada diberbagai literatur. Model menjadi rujukan kami  ada pada referensi [2]. Keaslian dari naskah ini adalah pada perhitungan estimasi bilangan reproduksi dasar berbasis data lapangan.  Model  matematika  terdiri  dari  lima  kompartemen  yaitu    kelas  rentan (𝑆) , kelas terpapar (𝐸) , kelas terinfeksi tanpa gejala (𝐴) , kelas terinfeksi dengan gejala (𝐼) , dan kelas sudah sembuh atau kebal (𝑅) .
Skema dari model tersaji dalam gambar 2.1.  berikut ini.
Gambar 2.1. skema pemodelan transmisi covid-19
Model matematika penyebaran covid-19 berdasarkan gambar 1 disajikan berikut ini.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜌 − 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 − 𝛼𝛽 𝑆𝐴 𝑁 − 𝜇𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 + 𝛼𝛽 𝑆𝐴 𝑁 − 𝜎𝐸 − 𝜇𝐸
𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝑟𝜎𝐸 − 𝛾𝐴 − 𝜇𝐴
(2.1) 𝑆 𝐸 𝐴 𝐼 𝑅 𝛽(𝐼 + 𝛼𝐴) 𝑆 𝑁 𝑟𝜎𝐸 (1 − 𝑟)𝜎𝐸 𝛾𝐴 𝛾𝐼 𝜌 𝜇𝑆 𝜇𝐴 𝜇𝐼 𝜇𝐸 𝜇𝑅
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = (1 − 𝑟) 𝜎𝐸 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐴 + 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅
dengan  : 𝜌  ∶ laju rekrutmen manusia 𝛽  ∶ laju transmisi penyakit 𝜎  ∶ laju inkubasi penyakit 𝛾  ∶ laju kesembuhan penyakit 𝜇  ∶ laju kematian alamiah 𝑟  ∶ proporsi individu terpapar menjadi individu terinfeksi tanpa gejala 𝛼  ∶ proporsi penurunan kecepatan transmisi untuk individu terinfeksi tanpa gejala Model di atas memiliki dua titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit dan  titik tetap endemik. Titik tetap diperoleh dengan  cara membuat ruas kanan persamaan  (2.1) sama dengan  nol, yaitu
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0 , dan 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0 . Titik tetap bebas penyakit adalah (𝑁, 0,0,0,0) (2.2) Nilai ℛ 0 dicari  dengan  menggunakan    next  generation  matrix ( NGM ) ,  dan NGM  dicari  melalui konstruksi vektor transmisi baru 𝐹 dan vektor transisi 𝑉 yakni
𝐹 = [ 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 + 𝛼𝛽 𝑆𝐴 𝑁 0 0 ] dan 𝑉 = [ −(𝜎 + 𝜇)𝐸 𝑟𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐴 (1 − 𝑟)𝜎𝐸 − (𝛾 + 𝜇)𝐼 ] (2.3)
selanjutnya, mencari Jacobian persamaan  (4) dengan cara mengambil derivatif parsial terhadap 𝐸 , 𝐴 , dan 𝐼 sehingga diperoleh matriks transmisi  dan transisi 𝐹 dan 𝑉 kemudian dicari invers dari matriks transsisi 𝑉 maka perkali  dari −𝐹 𝑉 −1 merupakan next generation matrix  yakni
NGM = [ 𝛼𝛽𝑟𝜎𝑆 𝑁(𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) + 𝛽(1−𝑟)𝜎𝑆 𝑁(𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) 𝛼𝛽𝑆 𝑁(𝛾+𝜇) 𝛽𝑆 𝑁(𝛾+𝜇) 0 0 0 0 0 0 ] . (2.4)
Substitusi  persamaan  (2)  ke persamaan (4)  maka diperoleh
NGM = [ 𝛼𝛽𝑟𝜎 (𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) + 𝛽(1−𝑟)𝜎 (𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) 𝛼𝛽 (𝛾+𝜇) 𝛽 (𝛾+𝜇) 0 0 0 0 0 0 ] (2.5)
NGM  pada persamaan (5)  memiliki dua  nilai eigen yaitu
0 dan 𝛼𝛽𝑟𝜎 (𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) + 𝛽(1−𝑟)𝜎 (𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇)
Oleh  karena  itu,  bilangan  reproduksi  dasar    pada  persamaan  (2.1)  adalah  nilai  eigen terbesar yakni
ℛ 0 = 𝛼𝛽𝑟𝜎 (𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) + 𝛽(1−𝑟)𝜎 (𝜎+𝜇)(𝛾+𝜇) (2.6)

## 2.2. Konstruksi estimasi 𝓡 𝟎
Diasumsikan  bahwa  jumlah  populasi  manusia  terpapar,  jumlah  populasi manusia  terinfeksi  tanpa  gejala    dan  jumlah  populasi  terinfeksi  dengan  gejala  akan tumbuh  secara eksponensial dengan  laju pertumbuhan yang sama yakni 𝐸(𝑡) = 𝐸 0 𝑒 𝜆𝑡
𝐴(𝑡) = 𝐴 0 𝑒 𝜆𝑡 (2.7) 𝐼(𝑡) = 𝐼 0 𝑒 𝜆𝑡
dimana 𝐸 0 , 𝐴 0 ,  dan 𝐼 0 adalah konstan  dan 𝜆 adalah  take-off rate pada awal kenaikan dan penurunan infeksi kasus covid-19.
Selanjutnya, dengan  melakukan subtitusi persamaan  (2.7)  ke persamaan (2.1)  maka diperoleh nilai estimasi bilangan reproduksi dasar sebagai berikut.
ℛ 0 = ( 1  + 𝜆 𝛾+𝜇 ) ( 1  + 𝜆 𝜎+𝜇 ) (2.8)
Ndii[5] secara umum nilai bilangan reproduksi dasar memiliki tiga kemungkinan  yaitu : (i)  bila ℛ 0 < 1 maka penyakit akan menghilang, (ii)  bila ℛ 0 = 1 maka penyakit akan menetap, dan (iii)  bila ℛ 0 > 1 maka penyakit akan meningkat menjadi wabah  [10].
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3..1 Analisis Kasus Covid-19 Bulan Agustus Tahun 2021
Kasus  covid-19  di  Kota  Kupang  pada  bulan  Agustus  tahun  2021  mengalami trend   kenaikan.  Oleh  karena itu data  yang  diambil  adalah  data  total kasus kenaikan infeksi yang disajikan dalam tabel berikut ini. Sumber data pada https://kupangkota.go.id/ .
Tabel 2.1. Data COVID-19 Kota Kupang Bulan Agustus 2021
No Total Kasus Infeksi Harian 1 11.284 2 11.358 3 11.496 4 11.682 5 11.894 6 12.074 7 12.274 8 12.418 9 12.453 10 12.626 11 12.761 12 12.852 13 12.982
14 13.073 15 13.181 16 13.209 17 13.332 18 13.440 19 13.597 20 13.713 21 13.806 22 13.885 23 13.930 24 14.014 25 14.082 26 14.267 27 14.354 28 14.395 29 14.411 30 14.465
Berdasarkan data pada  Tabel 2.1.  maka  setelah dianalisis menggunakan  regresi linear dengan software MINITAB versi 18 maka diperoleh model fitting sebagai berikut :
𝐼(𝑡) =  11.453 × 𝑒 0,008539 𝑡
(3.1)
Dengan menggunakan software OriginLab versi 8  maka grafik data total kasus covid- 19 dan fitting adalah
0 5 10 15 20 25 30 11000 11500 12000 12500 13000 13500 14000 14500 15000 to ta l ka su s (o ra n g ) waktu (hari) total kasus fitting
Gambar 3.1.  Grafik total kasus dan fitting
Dengan  menggunakan  software  Minitab  maka  hasil  analisis  menunjukkan bahwa 𝑟 − squared  yang diperoleh adalah 97,25 % dan  nilai take-off rate sebesar 𝜆 = 0,008539 .  Rata-rata  persentase  kesalahan  relatif  antara total kasus  dan  fitting  sebesar 1,06 % .  Hubungan antar parameter bio-epidemiological diberikan oleh Tabel berikut ini.
Tabel 3.1. Deskripsi dan Nilai Parameter
Notasi Definisi Nilai 𝜎 laju inkubasi penyakit 1 5,1 1 hari 𝛾 laju kesembuhan penyakit 0,13978 1 hari 𝜇 laju kematian alamiah 1 70 × 365 1 hari 𝛼 proporsi penurunan kecepatan transmisi untuk individu terinfeksi tanpa gejala 35 % 𝑟 proporsi individu terpapar menjadi individu terinfeksi tanpa gejala 20 %
Nilai  parameter 𝜇 adalah  satu per angka harapan hidup rata-rata penduduk Kota  Kupang,  sedangkan  nilai    parameter 𝜎 dan 𝛾 merujuk  pada  literature    [10], sedangkan    nilai 𝛼 dan 𝑟 merupakan  nilai  estimasi.  Dengan  mengsubstitusi  nilai parameter pada Tabel 2  ke persamaan (8)  maka diperoleh nilai estimasi ℛ 0 yakni ℛ 0 =  1,107 .

## 3.2 Analisis Kasus Covid-19 Bulan September Tahun 2021
Kasus covid-19  pada  bulan September Tahun 2021 di Kota Kupang mengalami trend  penurunan. Oleh karena itu data yang dianalisis adalah data real kasus harian . Data disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 3. 2. Data Kasus Infeksi Harian Bulan September Tahun 2021
No Kasus Infeksi Harian 1 30 2 74 3 40 4 55 5 28 6 33 7 47 8 45
9 35 10 30 11 27 12 - 13 8 14 - 15 13 16 27 17 21 18 25 19 10 20 - 21 21 22 14 23 14 24 19 25 17 26 4 27 2 28 12 29 11 30 8
Data kasus harian tercatat nol maka  tidak diikutkan dalam analisis (diabaikan).
Plot data pada Tabel 3.2.  yakni
0 5 10 15 20 25 30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ka su s co vid -1 9 (o ra ng ) waktu (hari) kasus covid-19
Gambar 3.2.   Plot data kasus infeksi harian
Dari Gambar 3.2.  akan dipilih  data berpola eksponensial turun sebagai berikut.
Berdasarkan  Gambar  3.3.    maka  titik-titik  data  yang  mendekati  kurva eksponensial turun yakni
Tabel 3.3. Data Infeksi Eksponensial Turun No Data Infeksi eksponensial turun 1 74 2 47 3 45 4 27 5 25 6 21 7 19 8 17 9 12 10 11 11 8
Berdasarkan  data  pada    Tabel  3.3.      maka    setelah  dianalisis  menggunakan regresi linear dengan software MINITAB versi 18 maka diperoleh model fitting sebagai berikut :
Gambar 3.3.  Estimasi kurva eksponensial turun
: Kurva
𝐼(𝑡) =  75 × 𝑒 −0,2 𝑡 (11)
Dengan menggunakan software OriginLab versi 8  maka grafik data  kasus covid-19 dan fitting adalah
Dengan  menggunakan  software  Minitab  maka  hasil  analisis  menunjukkan bahwa 𝑟 − squared  yang diperoleh adalah 97,06 % dan  nilai take-off rate sebesar 𝜆 = −0,2 . Rata-rata persentase kesalahan relatif antara data infeksi eksponensial dan fitting sebesar 9,3  % . Dengan mengsubstitusi nilai parameter pada Tabel 2 ke persamaan (8) maka akan diperoleh nilai estimasi ℛ 0 yakni ℛ 0 = 0,0086
Berdasarkan keseluruhan uraian analisis di atas   maka memberikan gambaran jelas    bahwa  penyebaran    kasus  covid-19  pada  bulan  Agustus  Tahun  2021  di  Kota Kupang  masih dalam kategori endemik karena ℛ 0 =  1,107 > 1 . Hal ini berarti satu orang yang terinfeksi covid-19 dapat menularkan 1,107 orang baru  menjadi terinfeksi covid-19,  dan  sebaliknya  pada  bulan  September  kasus  covid-19  di  Kota  akan menghilang dari populasi karena ℛ 0 =  0,0086 < 1 . Tetapi hasil  awal dari naskah ini masih  merupakan  peringatan dini  saja, dan  belum  bisa  dijadikan  acuan  final   karena kasus covid-19 masih sangat dinamis dan fluktuatif secara domestik maupun global.

## 4.   SIMPULAN
Makalah ini membahas nilai estimasi bilangan reproduksi dasar  di Kota Kupang pada bulan  Agustus  dan  September  2021.  Model  yang  digunakan  adalah  model  standar berdasarkan rujukan pada literatur. Hasil penelitian menunjukan bahwa nilai estimasi bilangan reproduksi dasar  pada bulan agustus sebesar ℛ 0 = 1,107 , dan nilai bilangan
0 2 4 6 8 10 12 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ka su s in fe ksi waktu (hari) kasus infeksi data fitting
Gambar 3.4. Grafik data infeksi eksponensial dan fitting
reproduksi  dasar  pada  bulan  September    sebesar ℛ 0 = 0,0086 .  Hasil  ini  memberi gambaran bahwa status covid-19 di Kota Kupang pada bulan Agustus adalah kategorik endemik sedangkan status covid-19 pada bulan September akan berpotensi hilang dari populasi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  D. Aldila, M. Z. Ndii, and B. M. Samiadji, “Optimal control on COVID-19 eradication program  in  Indonesia  under  the  effect  of  community  awareness,”  Mathematical Biosciences  and  Engineering,  vol.  17,  no.  6,  pp.  6355–6389,  2020,  doi: 10.3934/mbe.2020335.
[2]  M.  Z.  Ndii,  P.  Hadisoemarto,  D.  Agustian,  and  A.  K.  Supriatna,  “An  analysis  of Covid-19  transmission  in  Indonesia  and  Saudi  Arabia,”  Communication  In Biomathematical Sciences, vol. 3, pp. 19–27, 2020.
[3]  Jafaruddin,  S.  W.  Indratno,  N.  Nuraini,  A.  K.  Supriatna,  and  E.  Soewono, “Estimation of the Basic Reproductive Ratio for Dengue Fever at the Take-Off Period of Dengue Infection,” Computational and Mathematical Methods in Medicine, vol. 2015, p. 206131, Aug. 2015, doi: 10.1155/2015/206131.
[4]  R. P. Sanches and E. Massad, “A comparative analysis of three different methods for the  estimation  of  the  basic  reproduction  number  of  dengue,”  Infectious  Disease Modelling, vol. 1, no. 1, pp. 88–100, Oct. 2016, doi: 10.1016/j.idm.2016.08.002.
[5]  G.  Chowell  et  al.,  “Estimation  of  the  reproduction  number  of  dengue  fever  from spatial  epidemic  data,”  Mathematical  Biosciences,  vol. 208,  no.  2,  pp. 571–589, Aug. 2007, doi: 10.1016/j.mbs.2006.11.011.
[6]  J.  Ma,  “Estimating  epidemic  exponential  growth  rate  and  basic  reproduction number,”  Infectious  Disease  Modelling,  vol.  5,  pp.  129–141,  Jan.  2020,  doi: 10.1016/j.idm.2019.12.009.
[7]  M. Z. Ndii, N. Anggriani, J. J. Messakh, and B. S. Djahi, “Estimating the reproduction number and designing the integrated strategies against dengue,” Results in Physics, vol. 27, p. 104473, Aug. 2021, doi: 10.1016/j.rinp.2021.104473.
[8]  E.  M.  Banni,  M.  A.  Kleden,  M.  Lobo,  and  M.  Z.  Ndii,  “Estimasi  Reproduction Number  Model  Matematika  Penyebaran  Malaria  di  Sumba  Tengah,  Indonesia,” Jambura Journal of Biomathematics, vol. 2, no. 1, pp. 13–19, 2021.
[9]  A. K. Supriatna, “Estimating the basic reproduction number of dengue transmission during 2002-2007 outbreaks in Bandung, Indonesia,” Dec. 2009, [Online]. Available: https://apps.who.int/iris/handle/10665/170937
[10] M. Z. Ndii, Pemodelan Matematika Dinamika Populasi Dan Penyebaran Penyakit Teori, Aplikasi, Dan Numerik. Deepublish,
2018. [Online]. Available:
https://books.google.co.id/books?id=gaCHDwAAQBAJ