____________________________ *Jurusan Statistika, FMIPA Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh 23111, Indonesia 1 Email: miftah@unsyiah.ac.id 1 , novianawanda8@gmail.com 2
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Modeling of Sea Surface Temperature through Fitting Linear Model with Interaction
Pemodelan Suhu Permukaan Laut melalui Model Linier Fitting dengan Interaksi
Miftahuddin 1* , Wanda Sri Noviana 2

## Abstract
Sea surface temperature (SST) is one of the attributes of the world climate system and global warming. The relationship between SST and other climate parameters can be represented in a linearity approach. Through this approach, SST variability shows monthly and yearly effects. Information  on  these  two  time  effects  is  important  for  knowing  the  period  of  peak  effect  as well  as  other  statistical  measures  in  the  linear  fitting  model.  The  models  used  include transformation  and  without  covariate  transformation,  interaction  and  without  covariate interaction,  and  with  centering  and  with  the  addition  of  time  covariates  in  the  model.  The linear fitting model chosen as the basis for construction is a model with a combination effect of covariate interaction and transformation giving an increase in the magnitude of multiple R2 (56.62%)  and  adjusted  R2  (56.13%)  respectively  0.31%  and  0.43%.  This  indicates  that  the time  covariate  has  a  very  strong  significant  effect  on  the  model  compared  to  the  continuous covariate. In general, the model has a statistical significance of p-value < 2.2e-16, as well as for  the  time  covariate.  However,  because  the  model  has  an  autocorrelation  and  a  large  AIC value,  this  effect  is  removed  by  means  of  an  autoregressive  moving  average.  The  obtained linear fitting model for SST data is the model with AIC 403.2987.
Keywords: Linear  Fitting  Model,  Interaction  and  Transformation  ff  Covariates, R 2 ,  AIC.
Abstrak
Sea  surface  temperature (SST)  merupakan  salah  satu  atribut  dari  sistem  iklim  dunia  dan pemanasan global. Hubungan antara SST dan parameter iklim lainnya dapat direpresentasikan dalam pendekatan linieritas. Melalui pendekatan ini, varibilitas SST menunjukkan adanya efek bulanan  dan  tahunan.  Informasi  kedua  efek  waktu  tersebut  adalah  penting  untuk  mengetahui periode dari puncak efek serta ukuran statistik lainnya dalam model linier fitting. Model yang digunakan meliputi transformasi dan tanpa transformasi kovariat, interaksi dan tanpa interaksi kovariat, dan dengan centering serta dengan penambahan kovariat waktu dalam model. Model linier  fitting terpilih  menjadi dasar konstruksi adalah  model dengan efek  kombinasi interaksi kovariat  dan  transformasi memberikan kenaikan  besaran multiple R 2 (56.62%)  dan adjusted R 2 (56.13%) masing-masing sebesar 0.31% dan 0.43%. Hal ini menunjukkan bahwa kovariat waktu  memiliki  efek  signifikansi  sangat  kuat  pada  model  dibandingkan  dengan  kovariat kontinu. Secara umum, model memiliki siginifikasi statistic p-value < 2.2e-16, demikian pula untuk kovariat waktu. Akan tetapi karena model tersebut memiliki autokorelasi dan nilai AIC yang  besar  maka  dilakukan  penghilangan  efek  ini  melalui autoregressive  moving  average . Diperoleh  model  linier  fitting  yang  sesuai  untuk  data  SST  adalah  model  dengan  AIC 403.2987.
Kata kunci: Model Linier Fitting , Interaksi dan Transformasi Kovariat, R 2 , AIC .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Miftahuddin, Wanda Sri Noviana

## 1.  Pendahuluan
Salah satu parameter penting dalam sistem iklim dunia dan indikator dari pemanasan global adalah  suhu  permukaan  laut  atau  lebih  dikenal  dengan sea  surface  temperature (SST).  Laut merupakan  bagian  bumi  yang  termasuk  dalam  70.9%  dan  sisanya  adalah  daratan.  Dengan  laut terluas adalah samudera Pasifik (64 million square miles) dan samudera Atlantik (41.1 msm) serta Hindia  (28  msm)  yang  masing-masing  kedua  dan  ketiga  laut  terluas.  Data  SST  dapat  menjadi indikator  esensial  untuk  mengetahui  variabilitas  iklim  bumi  [2,3,4,5,9,11].  Indikator  tersebut seperti  adanya  gejala  El  Nino  dan  La  Nina  di  Samudera  Pasifik  yang  berefek  pada  musim kemarau dan penghujan di wilayah sekitarnya termasuk Indonesia.
Data  SST  tergolong  memiliki  struktur  yang  kompleks  seperti  data  hilang  ( missing  value ) yang  direpresentasikan  dengan  adanya  gap,  dimana  panjang  gap  memiliki  keragaman  antar buoys.

## 2. Metode Penelitian
Dalam penelitian ini, data SST dimodelkan sebagai kombinasi linear dari tiga parameter iklim dan  dua  kovariat  waktu.  Parameter-parameter  ini  adalah:  suhu  udara,  kelembaban  relatif,  dan curah hujan dalam efek bulanan dan tahunan. Kompleksitas hubungan antara respon dan kovariat menjadi  tantangan  dalam  memodelkan  data  SST  yang  dinamis.  Perlakuan  terhadap  model  yang dikonstruksi  adalah  tanpa  transformasi  dan  dengan  transformasi  kovariat,  tanpa  interaksi  dan dengan interaksi kovariat, serta campuran kedua perlakuan tersebut.

## 2.1 Fitting model linier
Dalam  pemodelan  awal,  data  SST  observasi  merupakan  data  harian,  dengan mempertimbangkan  asumsi  linear  dari  data ( x i , y i ), i =  1,  2,…, n dimana  sumbu  axis  untuk kovariat x i dan y i merupakan variabel respon kontinu . Hubungan antara variabel X dan Y dapat ditulis sebagai model linier dalam bentuk matriks sebagai : Y = Xβ + ε (1)
dimana Y = (y 1 ,…, y n ) T ϵ  R n adalah  vektor  kolom  dari  variabel respon , β =  (β 0 ,β 1 ,…,β p ) T ϵ R p+1 adalah vector kolom dari parameter yang tidak diketahui , X ϵ R nx(p+1) adalah matriks dengan n baris  dan p +  1  kolom  dari  sebuah  himpuanan  dari p covariates X 0 , X 1 ,…, X p dari  panjang n termasuk intercept dan errors ε yang diasumsikan independent and identically distributed (i.i.d), i.e. normal variabel random ε ~ N ( 0 n , σ 2 I n ), dimana ε = (ε 1 ,…,ε n ) T adalah vektor kolom dari error dan I n adalah matriks identitas.
Kovariat  dapat  diberikan  berupa  nilai-nilai  kuantitatif,  kualitatif,  transformasi,  interaksi antara kovariat, dan variabel yang mewakili faktor nominal [1,6,7,8,10,12]. Ekspektasi bersyarat menggambarkan hubungan linier atau fungsional dari parameter model,
E [Y|X] =  j=0 β j X j (2)
atau
 i = E [Y|X i ] = f (X i ), i = 1,…, n (3)
2.2 Model dengan interaksi
Asumsi additivity dengan model interaksi sebagai:
 ij =  + α i + β j + (α β ) ij (4)
dimana  adalah konstan, α i dan β j adalah efek utama, dan (α β ) ij adalah efek interaksi.

## 2.3 Data SST
Dalam kajian ini digunakan pelampung ( buoy moored ) untuk real-time data SST harian yang berasal dari Tropical Atmosphere Ocean (TAO) yaitu pelampung yang ditambatkan di samudera Hindia pada  posisi  1.5N90E,  kedalaman  1  m,  dari  periode  antara 1 Januari  2006  sampai  8 Juni 2012. Dataset SST  lengkap  terdiri  dari  2066  pengamatan  harian  dengan  variabel  respon    SST

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
( 0 C)  dari  pukul  00.00  sampai  12.00  pm  waktu  GMT,  dan  diberikan  kovariat,  yaitu  suhu  udara ( 0 C),  kelembaban  relatif (%),  kovariat  memiliki  rata-rata  dengan  catatan  waktu  yang  sama  pada pukul 07.00 WIB, 13.00 WIB dan 18.00 WIB, curah hujan (mm) selama tiga-jam periode, faktor musiman dan tahunan.
Untuk menunjukkan pentingnya kovariat waktu dalam model linier kita menggunakan model dari  fungsi f (.)  direpresentasikan  oleh  model  dengan  tiga  kovariat  kontinu  dan  dua  kovariat waktu,  yaitu  bulan  dan  tahun.  Kami  berasumsi  bahwa  tiga  kovariat  kontinu  yang  berhubungan linier  dengan  SST,  yaitu  hubungan  akan  sama  untuk  semua  tingkat  kovariat  waktu  dan  tanpa interaksi antara kovariat adalah sebagai berikut,
SST i = β 0 + β 1 Temp i + β 2 Humd i + β 3 Rain i +  k Month i +  γ l Year i + ε i (5)
untuk k = 1, …, 12; l = 1, 2, …, 6, dan i = 1,…, n , dimana  dan  γ adalah vektor parameter dari kovariat  waktu  untuk  masing-masing month and year .  Sedangkan Temp adalah  variabel temperatur udara (derajat Celcius), Humd adalah variabel kelembaban relatif dalam (persentase), dan Rain adalah  variabel  curah  hujan  dalam  (mm).  Model unrestricted dimana  model  memiliki efek musiman  m dan efek tahunan γ l adalah restricted to 0. Kami mengevaluasi beberapa model dengan urutan yang berbeda termasuk kovariat waktu dalam model.

## 3.  Hasil dan Pembahasan
3.1 Model linier fitting tanpa transformasi kovariat
Model awal (M1) yang dibangun tanpa interaksi dan tanpa transformasi kovariat yaitu, M1: SST = β 0 + β 1 Temp +  k Month + γ l Year + β 2 Humd + β 3 RAIN+ ε
Tabel 3.1. Anova dari model M1 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 581.2248 <2e-16 *** Month 11 236.830 21.530 150.1698 <2e-16 *** Year 6 57.463 9.577 66.7999 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.183 0.183 1.2750 0.2590 Curah hujan 1 0.002 0.002 0.0132 0.9087 Residuals 2045 293.193     0.143
Dari  Tabel  3.1  untuk  model  M1  diketahui  bahwa  untuk  kovariat  kontinu  menunjukkan bahwa  kelembaban  dan  curah  hujan  tidak  memberikan  efek  signifikan.  Model  fitting  mencapai 56,31% (nilai R 2 ).
Gambar 3.1. Efek tahunan ( annual effect ) dari model M1
Gambar 3.1 efek tahunan dari model M1 menunjukkan kenaikan lambat ― slightly increase ‖ efek tahunan terjadi dari tahun 2006 ke 2007,  menurun secara cepat ― rapid decrease ‖ terjadi dari tahun  2007  ke  2008,  dan  naik  secara  cepat  ― rapid  increase ‖  terjadi  dari  2008  ke  2010. Selanjutnya  menurun  tajam  hingga  tahun  2011  dan  menurun  secara  lambat  dari  tahun  2011  ke tahun  2012.  Secara  umum,  dari  2007  ke  2008  memberikan  efek  nonpositif  demikian  pula  dari

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
tahun 2011 ke tahun 2012. Sedangkan dari tahun 2006 ke 2007, dari tahun 2008 ke tahun 2011 memberikan efek positif.
Gambar 3.2. Efek bulanan ( seasonal effect ) dari model M1
Gambar  3.2  efek  bulanan  ( seasonal  effect )  dari model  M1 menunjukkan  trend  naik  terjadi dari bulan Januari hingga Juni dan trend menurun dari bulan Juni hingga September. Selanjutnya, trend terus menaik kembali hingga November dan berikutnya menurun hingga Desember. Puncak efek bulanan tertinggi terjadi pada bulan Juni dan terendah pada bulan September.
Untuk  bulan  Januari  ke  bulan  Februari  terjadi  kenaikan  cepat  ( rapid  increase ),  dan  naik secara lambat ( slightly increase ) dari bulan Februari ke bulan Maret. Selanjutnya, kenaikan cepat terjadi  kembali  dari  bulan  Maret  ke  bulan  Mei.  Naik  secara  lambat  juga  terjadi  lagi  dari  bulan Mei ke bulan Juni. Akan tetapi, penurunan cepat ( rapid decrease ) terjadi dari bulan Juni ke bulan September. Kenaikan secara lambat terjadi pada bulan September ke bulan Oktober dan kenaikan cepat terjadi dari bulan Oktober ke bulan November. Selanjutnya penurunan kembali terjadi dari bulan November hingga Desember.

## 3.2 Model linier fitting dengan transformasi kovariat
Model  kedua  (M2)  dengan  transformasi  yang  digunakan  adalah  Rain  =  log(RAIN+0.01) sedangkan model konstruksi M2: SST = β 0 +β 1 Temp +  k Month + γ l Year + β 2 Humd + β 3 Rain+ ε
Tabel 3.2. Anova dari model M2 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 581.322 <2e-16 *** Month 11 236.830 21.530 150.195 <2e-16 *** Year 6 57.463 9.577 66.811 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.183 0.183 1.275 0.2589 Curah hujan 1 0.051 0.051 0.355 0.5512 Residuals 2045 293.144     0.143
Dari  Tabel  3.2  untuk model  M2 diketahui  kelembaban  dan  curah  hujan  tidak  berefek signifikan.  Pada    transformasi  kovariat  (curah  hujan)  tidak  merubah  besaran  fitting  pada  model untuk multiple R 2 .  Akan  tetapi,  memberi  perubahan  pada adjusted R 2 sebesar  0,01%.  Hal  ini disebabkan  efek  kovariat  kontinu  sangat  kecil  dibandingkan  dengan  efek  kovariat  waktu  dalam model linier fitting (lihat model M1 dan M2).
3.3 Model linier fitting dengan interaksi kovariat, tanpa transformasi Model ketiga (M3) adalah model dengan interaksi kovariat tanpa transformasi, M3:  SST  =  β 0 +β 1 Temp  +  k Month  +  γ l Year  +  β 2 Humd  +  β 3 Rain  +  β 4 Temp*Humd  + β 5 Temp*Rain + β 6 Humd*Rain + ε

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
Tabel 3.3. Anova dari model M3 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 581.211 <2e-16 *** Month 11 236.830 21.530 150.166 <2e-16 *** Year 6 57.463 9.577 66.7984 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.183 0.183 1.2750 0.2590 Curah hujan 1 0.002 0.002 0.0132 0.9087 Temp:Humd 1 0.142 0.142 0.9873 0.3205 Temp:Rainfall 1 0.000 0.000 0.0011 0.9738 Humd:Rainfall 1 0.282 0.282 1.9636 0.1613 Residuals 2042 292.770     0.143
Dari  Tabel  3.3, model  M3 diketahui  bahwa  kelembaban,  curah  hujan  dan  semua  interaksi kontinu  kovariat  tidak  berefek  signifikan.  Efek  interaksi  model  dengan  tanpa  transformasi  pada buoy  memberi  kenaikan multiple R 2 sebesar  0,06%. Meskipun besaran adjusted R 2 adalah tetap 55,88% (lihat nilai R 2 sebelum dan setelah interaksi pada model M2 dan M3).
3.4 Model linier fitting dengan interaksi kovariat dan transformasi Model keempat (M4) adalah model dengan interaksi kovariat dan transformasi M4:  SST  =  β 0 +β 1 Temp  +  k Month  +  γ l Year  +  β 2 Humd  +  β 3 Rain  +  β 4 Temp*Humd  + β 5 Temp*Rain + β 6 Humd*Rain + ε
Tabel 3.4. Anova dari model M4 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 584.5832 <2e-16 *** Month 11 236.830    21.530 151.0375 <2e-16 *** Year 6 57.463 9.577 67.1859 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.183 0.183 1.2824 0.25758 Curah hujan 1 0.051 0.051 0.3574 0.55004 Temp:Humd 1 0.152 0.152 1.0655 0.30208 Temp:Rainfall  1 0.053 0.053 0.3734 0.54122 Humd:Rainfall  1 1.858 1.858 13.0334 0.00031*** Residuals 2042 291.081     0.143
Dari  Tabel  3.4  anova  dari model  M4 menunjukkan  bahwa  kelembaban,  curah  hujan  dan interaksi kontinu kovariat tidak berefek signifikan, kecuali interaksi kelembaban dan curah hujan memberikan efek signifikan sangat kuat seperti temperatur, Month dan Year . Efek kombinasi antara interaksi dan transformasi memberikan perubahan besaran multiple R 2 dan adjusted R 2 masing-masing sebesar 0,31% dan 0,43% (lihat nilai R 2 pada model M1 dan M4).
3.5 Model linier fitting dengan interaksi kovariat, tanpa transformasi, dan centering
Model  kelima  (M5)  adalah  model  dengan  interaksi  kovariat,  tanpa  transformasi  dan centering M5:  SST  =  β 0 +β 1 Temp  +  k Month  +  γ l Year  +  β 2 Humd  +  β 3 Rain  +  β 4 Temp*Humd  + β 5 Temp*Rain + β 6 Humd*Rain + ε
Tabel 3.5. Anova dari M5 model df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 581.2111 <2e-16 *** Month 11 236.830 21.530 150.1663 <2e-16 *** Year 6 57.463 9.577 66.7984 <2e-16 ***

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana Kelembaban 1 0.183 0.183 1.2750 0.2590 Curah hujan 1 0.009 0.009 0.0624 0.8027 Temp:Humd    (TH) 1 0.134 0.134 0.9326 0.3343 Temp:Rainfall (TR) 1 0.001 0.001 0.0065 0.9356 Humd:Rainfall (HR) 1 0.282 0.282 1.9636 0.1613 Residuals 2042 292.770 0.143
Dari  Tabel  3.5 anova dari model  M5 menunjukkan  bahwa  kelembaban,  curah  hujan  dan semua  interaksi  kontinu  kovariat tidak  berefek  signifikan  dari  perlakuan  tanpa transformasi  dan centering . Efek centering dalam interksi model tidak merubah nilai R 2 . Hal ini disebabkan oleh adanya dominasi efek waktu kovariat lebih besar dibandingkan efek kontinu kovariat (lihat nilai R 2 pada model M3 dan M5).
3.6 Model linier fitting dengan interaksi kovariat, dengan transformasi, dan centering Model M6 adalah analog konstruksi model M5, hanya dengan transformasi.
Tabel 3.6. Anova dari model M6 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 582.8757 <2e-16 *** Month 11 236.830 21.530 150.5964 <2e-16 *** Year 6 57.463 9.577 66.9897 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.183 0.183 1.2787 0.2583 Curah hujan 1 0.002 0.002 0.0111 0.9162 Temp:Humidity 1 0.134 0.134 0.9353 0.3336 Temp:Rainfall 1 0.008 0.008 0.0538 0.8166 Humd:Rainfall 1 1.118 1.118 7.8217 0.0052** Residuals 2042 291.934 0.143
Dari  Tabel  3.6 anova dari model  M6 menunjukkan  bahwa  kelembaban,  curah  hujan  dan beberapa  interaksi  kontinu  kovariat  tidak  berefek  signifikan,  kecuali  interaksi  kelembaban  dan curah  hujan  memberikan  efek  signifikan  kuat.  Hal  ini  menunjukkan  pula  bahwa  dari  perlakuan interaksi  dengan  transformasi  lebih  berefek  dibandingan  hanya  dengan centering tanpa transformasi. Perlakuan  interaksi  kovariat,  transformasi  kontinu  kovariat  dan  centering  dalam interksi  model  memberikan  efek  terhadap  nilai  R 2 yaitu multiple R 2 dan adjusted R 2 masing- masing adalah sebesar 0,18% dan 0,12% (lihat besaran nilai R 2 pada M1 dan M6 model).
Tabel 3.7. Statistics inferensi dari model linier fitting untuk data SST
Model Residual SE df Multiple R 2 Adjusted R 2 F-statistic p-value AIC M1 0.3786 2045 56.31% 55.88% 131.8 (df=20 & 2045)  <2.2e-16 1864.176 M2 0.3786 2045 56.31% 55.89% 131.8 (df=20 & 2045)  <2.2e-16 1872.767 M3 0.3786 2042 56.37% 55.88% 114.7 (df=23 & 2042)  <2.2e-16 1876.128 M4 0.3776 2042 56.62% 56.13% 115.9 (df=23 & 2042)  <2.2e-16 1864.176 M5 0.3786 2042 56.37% 55.88% 114.7 (df=23 & 2042)  <2.2e-16 1876.128 M6 0.3781 2042 56.49% 56.00% 115.3 (df=23 & 2042)  <2.2e-16 1870.220 M7 0.3657 1994 60.26% 58.85% 42.59 (df=71 & 1994)  <2.2e-16 1779.054 M8 0.3660 1994 60.20% 58.78% 42.48 (df=71 & 1994)  <2.2e-16 1782.316
Dari Tabel 3.7 statistics inferens menunjukkan model M1-M2 tanpa interaksi dan model M3 -M6 dengan interaksi memiliki nilai residual SE yang serupa, kecuali model M4. Kesemua model (M1-M8) memiliki nilai p-value yang sama <2.2e-16. Akan tetapi, semua model tersebut memilik i       nilai AIC yang besar sehingga perlu dilakukan perbaikan fitting.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
Tabel 3.8. Residuals dari Model yang dikonstruksi Model Min Q1 Median Q3 Max M1 -1.13813 -0.25809 -0.00793 0.25195 1.29845 M2 -1.13401 -0.25838 -0.00665 0.25000 1.30300 M3 -1.14030 -0.25831 -0.01194 0.24930 1.29932 M4 -1.11683 -0.26354 -0.01615 0.24835 1.29569 M5 -1.14030 -0.25831 -0.01194 0.24930 1.29932 M6 -1.14305 -0.25849 -0.01299 0.25037 1.29253 M7 -1.10256 -0.24663 -0.01694 0.24173 1.25497 M8 -1.09797 -0.24288 -0.01264 0.23747 1.29026
Tabel 3.8 residuals di atas menunjukkan bahwa similaritas untuk nilai-nilai residual dari mo del M1-M8 seperti nilai minimum, median, maximum, kuartil ke-1 dan 3.
Gambar 3.3. M4 model linier fitting dari data SST
Selanjutnya interaksi antara kovariat kontinu dengan kovariat faktor dikombinasikan dalam model  linier,  dimana  perlakuan  dengan  dan  tanpa  transformasi.  Dari  perlakuan-perlakuan  ini diketahui  bahwa  terjadi  kenaikan  nilai  R 2 dan ajusted R 2 ,  masing-masing  dari  56,62%  (M4)  ke 60,26%  dan  dari  56,13%  ke  58,85%  (M7).  Akan  tetapi,  efek  kombinasi  perlakuan  ini menyebabkan  perubahan  pola  efek  tahunan  dan  efek  bulanan,  sehingga  kombinasi  interaksi  ini dapat diabaikan dalam model fitting.  Meskipun dengan dan tanpa transformasi sebagaimana pada model M7 dan M8 memberikan signifikansi antara beberapa interaksi faktor dari kovariat waktu dan kovariat kontinu (Tabel 15 dan Tabel 16).
3.7 Dengan transformasi dan interaksi Model konstruksi M7: SST= (Temp+Humd+Rain)*Month + (Temp+Humd+Rain)*Year
Tabel 3.9. Anova dari model M7 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 622.1454 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.031 0.031 0.2306 0.6311 Curah hujan 1 0.564 0.564 4.2182 0.0401 * Month 11 236.681 21.516 160.8995 <2e-16 *** Year 6 57.251 9.542 71.3533 <2e-16 *** Temp:Month 11 2.898 0.263 1.9702 0.0276 * Humd:Month 11 8.580 0.780 5.8326 2.256e-09 *** RAIN:Month 11 3.222 0.293 2.1903 0.0127 * Temp:Year 6 9.263 1.544 11.5448 9.737e-13 *** Humd:Year 6 1.670 0.278 2.0811 0.0525.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
RAIN:Year 6 0.862 0.144 1.0746 0.3754 Residuals 1994 266.650     0.134
Dari  Tabel  3.9 anova dari  model  M7  menunjukkan  bahwa  signifikansi  efek,  kecuali  untuk kelembaban dan interaksi antara variabel curah hujan dan Year.

## 3.8 Tanpa transformasi dan dengan interaksi
Model yang dikonstrksi M8: analog model M7 hanya tanpa transformasi.
Tabel 3. 10. Anova dari model M8 df SS MS F-value Pr(>F) Temperatur 1 83.331 83.331 622.1623 <2e-16 *** Kelembaban 1 0.031 0.031 0.2302 0.63141 Curah hujan 1 0.042 0.042 0.3118 0.57662 Month 11 237.068 21.552 160.9082 <2e-16 *** Year 6 57.337 9.556 71.3483 <2e-16 *** Temp:Month 11 2.918 0.265 1.9809 0.02663 * Humd:Month 11 8.583 0.780 5.8254 2.333e-09 *** RAIN:Month 11 1.422 0.129 0.9653 0.47616 Temp:Year 6 9.333 1.555 11.6135 8.069e-13 *** Humd:Year 6 1.569 0.262 1.9526 0.06918. RAIN:Year 6 2.297 0.383 2.8587 0.00894 ** Residuals 1994  267.071     0.134
Berdasarkan hasil efek kombinasi interaksi antara kovariat kontinu dengan kovariat factor di atas, maka investigasi selanjutnya terhadap autokorelasi dalam model fitting.
Tabel 3. 11. AIC dari Struktur Model yang dikonstruksi Model  Struktur AIC M9 SST = Temp + Month + Year + Humd + Rain -1357.365 M10 SST= Temp + Month + Year + Humd + Temp*Humd + Temp*Rain + Rain + Humd*Rain -1313.447 M11 Analog M10 dengan transformasi -1318.326 M12 Analog M10 tanpa transformasi -755.2367 M13 Analog M10 dengan transformasi -771.0071 M14 Analog M10 dengan transformasi 556.4355 M15 Analog M10 dengan transformasi 403.2987
Residual  pada within dan between  group untuk  kovariat  waktu  menjadi  perhatian  dalam fitting menggunakan model linier melalui struktur autokorelasi. Model 9-10 dikonstruksi melalui korelasi  ARMA(p=1,  q=1)  dan  model  M11  dengan  ARMA(p=2,q=2)  menghasilkan  nilai  AIC negatif  (lihat  Tabel  3.11).  Karena  itu  perbaikan  terhadap  fitting  dilakukan  dengan  konstruksi autokorelasi  melalui  AR(1)  pada  model  M12  dan  M13  masing-masing  tanpa  dan  dengan transformasi.  Hasil  yang  diberikan  adalah  negatif  dari  setengah  dari  nilai  AIC  pada  perlakukan model  sebelumnya.  Selanjutnya,  kembali  melalui  pendekatan  autokorelasi  ARMA  dengan formulasi ~1| Month pada M14 dan M15 dan membeikan nilai AIC positif. Dalam kajian ini tidak ditampilkan matriks korelasi dari model.
Tabel 3. 12. GLS fit by REML dari Model yang Dikonstruksi
Model  AIC BIC Loglik Parameter Est.  Df (total)  Residual M12 -755.2367 -609.0729 403.6184 0.88001 2066 2042 M13 -771.0071 -624.8433 411.5035 0.87993 2066 2042

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
M14 556.4355 702.5993 -252.2178 0.71406 2066 2042 M15 403.2987 549.4625 -175.6493 0.78685 2066 2042
Tabel 3.12 menunjukkan similar estimasi parameter dengan nilai AIC, BIC dan Loglik yang berbeda  dari  model  M12-M15.  Ke  semua  model  memiliki  total deg-rees  of  freedom df dan residual yang sama.
Gambar 3.4. Model M12 linier fitting untuk data SST
Tabel 3. 13. Standardized Residuals dari Model yang Dikonstruksi
Model Min Q1 Median Q3 Max Residual SE M12 -2.90934 -0.65371 -0.04610 0.62098 3.41958 0.40596 M13 -2.89661 -0.65760 -0.04528 0.61766 3.47573 0.40552 M14 -3.50634 -0.82194 -0.03429 0.77083 4.22042 0.32457 M15 -3.53756 -0.84165 -0.03203 0.79993 4.34173 0.31872
Berdasarkan Tabel 3.13 maka model M15 memiliki nilai residual SE terkecil dibandingkan dengan model yang dikonstruksi lainnya.
Dengan menggunakan model M12 dan M13 dan dengan koefisien korelasi antara Rho = 0,5 – 0,9 diperoleh Tabel ANOVA sebagai berikut:
Tabel 3.14. Anova dari model M12 dan M13 M12 M13 Parameter numDF F-value p-value numDF F-value p-value Intercept 1 742758.5    <.0001 1 744814.7    <.0001 Temp 1 20.0 <.0001 1 20.1 <.0001 Month 11 11.2 <.0001 11 11.2 <.0001 Year 6 33.3 <.0001 6 33.4 <.0001 Humd 1 1.2 0.2700 1 1.2 0.2697 RAIN 1 0.0 0.8382 1 0.0 0.8474 Temp:Humd 1 0.7 0.4006 1 0.7 0.4040 Temp:RAIN 1 0.1 0.7158 1 1.0 0.3206 Humd:RAIN  1 0.1 0.7527 1 2.5 0.1127
Dari  Tabel  3.14  menunjukkan  bahwa  signifikansi  efek,  kecuali  untuk  kelembaban,  curah hujan dan interaksi antara kovariat kontinu untuk  model M12 dan M13. Berdasarkan tabel 3.14 diketahui  bahwa  transformasi  memberikan  efek  cukup  signifikan  terhadap  perubahan  besaran

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
nilai  parameter,  seperti  nilai  intersep  berubah  dari  26.890  menjadi  28.181.  Meskipun  beberapa besaran parameter menunjukkan nilai yang dapat dikategorikan serupa.
Gambar 3.5. Model M13 linier fitting untuk data SST
Bila kita mengamati fitting data SST antara model M12 dan M13 menunjukkan bahwa M13 lebih smooth dibandingkan model M12.
Gambar 3.6. Model M14 linier fitting untuk data SST
Dengan menggunakan model M14 dan M15 dengan koefisien korelasi antara Rho = 0.5 – 0.9 diperoleh Tabel ANOVA sebagai berikut:
Tabel 3.15. Anova dari model M14 dan M15 M14 M15 Parameter numDF F-value p-value numDF F-value p-value Intercept 1 8669221  <.0001 1 9114365  <.0001 Temp 1 158 <.0001 1 132 <.0001 Month 11 122 <.0001 11 129 <.0001 Year 6 64 <.0001 6 59 <.0001 Humd 1 0 0.6907 1 0 0.6939 Rain 1 0 0.9956 1 0 0.8369 Temp:Humd  1 1 0.3823 1 2 0.1682 Temp:Rain 1 0 0.8436 1 0 0.9440 Humd:Rain 1 1 0.3699 1 1 0.2526

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
Dari Tabel 3.15 menunjukkan bahwa signifikansi efek, kecuali untuk variabel kelembaban, c urah hujan dan interaksi antara kovariat kontinu untuk model 14 dan M15. Berdasarkan tabel 3.15 diketahui  bahwa  transformasi  memberikan  efek  cukup  signifikan  terhadap  perubahan  besaran nilai  parameter,  seperti  nilai intercept dari  30.1343  menjadi  31.5010.  Meskipun  beberapa parameter  menunjukkan  besaran  yang  dapat  dikategorikan  serupa  atau  tidak  mengalami perubahan berarti secara statistic untuk model M14 dan M15.
Gambar 3.7. Model M15 linier fitting untuk data SST
Gambar  3.7  menunjukkan  M15  model  fitting  yang  lebih  smooth  dibandingkan  M14  model pada  gambar  3.6.  dan  memiliki  nilai  AIC  lebih  kecil  dibandingkan  model  M14.    M15  model fitting ini lebih appropriate dibandingkan  model M4 pada Gambar 3 yang  masih memiliki efek autokorelasi.

## 4. Kesimpulan
Model linier fitting dengan kombinasi interaksi kovariat dan transformasi memberikan nilai R 2 terbesar diantara perlakuan-pelakuan yang diberikan pada model yaitu dengan dan tanpa interksi, dengan  dan  tanpa  transformasi,  dengan  dan  tanpa  centering  kovariat,  dan  kombinasi  antar perlakuan  yang  diberikan.  Meskipun  demikian,  nilai  efek  kombinasi  interaksi  kovariat  dan transformasi pada nilai R 2 tergolong kecil (dibawah 0,5%) yaitu memberikan perubahan besaran multiple R 2 dan adjusted R 2 masing-masing  sebesar  0,31%  dan  0,43%.  Hal  ini  menunjukkan bahwa kovariat waktu memiliki efek signifikan yang kuat pada model linier fitting untuk dataset SST.
Untuk kajian satu buoy diketahui bahwa year effect menunjukkan signifikansi puncak tertinggi terjadi  pada  tahun  2010  dan  terendah  tahun  2008.  Sedangkan  untuk month  effect menunjukkan trend  naik  terjadi  dari  bulan  Januari  hingga  Juni  dan trend menurun  dari  bulan  Juni  hingga September.  Selanjutnya,  trend  terus  menaik  kembali  hingga  November  dan  menurun  pada Desember.  Oleh  karena  itu,  puncak month  effect tertinggi  terjadi  pada  bulan  Juni  dan  terendah pada bulan September.
Untuk  mendapatkan  nilai  optimal  dari multiple R 2 dan adjusted R 2 serta  nilai  terkecil  AIC maka a utokorelasi menjadi perhatian utama pada perlakuan fitting guna mengatasi kompleksitas dataset SST.

## REFERENCES
[1]  Alvin  C.,  &  G.  Bruce  S.,  2008. Linear  Models  in  Statistics .  Second  Edition.  John  Wiley  & Sons Inc., New York.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Miftahuddin, Wanda Sri Noviana
[2]  Clara  D.,  Michael  A.,  Shang  P.,  &  Adam  S.,  2010.  Sea  Surface  Temperature  Variability: Patterns and Mechanisms. The Annual Review of Marine Science , Vol. 2, No. 1, 115–143.
[3] Friedrich A., Shang P., & Julian P., 2009. Indian Ocean Circulation and Climate Variability. Reviews of Geophysics , Vol. 47, No. RG1002, 1–46.
[4] Gerald R., & Mark J., 1998. Detecting Climate Signals in The Surface Temperature Record. Journal of Climate , Vol. 11, No. 4, 563–577.
[5]  Grant  B.,  1985.  Analysis  of  General  Circulation  Model  Sea  Surface  Temperature  Anomaly Simulations  Using  a  Linear  Model,  Part  I:  Forced  Solutions. Journal  of  The  Atmospheric Sciences , Vol. 42, No. 21, 2225—2241.
[6] Hastie T., Tibshirani R., & Friedman J., 2001. The Elements of Statistical Learning . Springer., New York.
[7]  Hastie  T.,  Tibshirani  R.,  &  Friedman  J.,  2008. The  Elements  of  Statistical  Learning:  Data Mining, Inference, and Prediction . Second Edition. Springer., New York.
[8]  James  G.,  Witten  D.,  Hastie  T.,  &  Tibshirani  R.,  2013. An  Introduction  to  Statistical Learning . Springer., New York.
[9] Jan R., Bertrand M., & Chris M., 2011. Global Warming and Local Dimming: The Statistical Evidence. Journal of The American Statistical Association , Vol. 106, No. 494, 452–464.
[10] Raymond H., Douglas C., G. Geoffrey V., & Timothy J., 2010. Generalized Linear Models . Second Edition. John Wiley & Sons Inc., New Jersey.
[11]  Shang  P.,  Clara  D.,  Gabriel  A., Jian  M.,  Haiyan T.,  &  Andrew  T.,  2010.  Global  Warming Pattern Formation: Sea Surface Temperature and Rainfall. Journal of Climate , Vol. 23, No. 4, 966–986.
[12] Weisberg S., 2005. Applied Linear Regression, Third Edition. John Wiley & Sons Inc., New Jersey.