Vol. 20, No. 3, May 2024, pp. 580-595 DOI: 10.20956/j.v20i3.31827
Study Of Fuzzy Groups In ℤ 𝒑 − *𝟎̅+ Group
Kajian Grup Fuzzy Dalam Grup ℤ 𝒑 − *𝟎̅+
Imelda Bo’bo’ Batunna 1* , Harina O.L Monim 2* , Junianto Sesa 3*
* ) Jurusan Matematika dan Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Papua
Email : batunnaimelda13@gmail.com 1 , monim.harina@gmail.com 2 , j.sesa@unipa.ac.id 3
Received:16 November 2023, revised:13 March 2024 , accepted: 13 March 2024

## Abstract
Group theory is a field of abstract algebra that studies the structure of sets. Some concepts that are developments of group theory are fuzzy subgroups. Suppose that G is a group, a fuzzy subset  μ  of  G  is  called  a  fuzzy  subgroup  of  G  if  it  satisfies 𝜇(𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛* 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑦)+ and 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) for each 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 . However, not all groups have fuzzy subgroups. The aim of this research is to show that ℤ 𝑃 − *0̅+ is a classical group with multiplication operations in the group and determine fuzzy subgroups in the group ℤ 𝑃 − *0̅+ . From the research results, it is found that the subset ℤ 𝑃 − *0̅+ with prime modulo integers 5 and 11 is a classical group with  group  multiplication  operations  and  the  fuzzy  subset  in  the  group ℤ 𝑃 − *0̅+ is  a  fuzzy subgroup and in general The properties of the  classical group apply  to the  fuzzy  subgroup, namely  the  singularity of  the identity  and  the  singularity  of  the  inverse.  However,  there  are properties  of  classical  groups  that  do  not  apply  to  fuzzy  subgroups,  namely  the  law  of cancellation.
Keywords: Fuzzy subgroup, Group, Modulo, Subgroup

## Abstrak
Teori  grup  merupakan  salah  satu  bidang  kajian  aljabar  abstrak  yang  mempelajari  struktur himpunan. Beberapa konsep yang merupakan pengembangan dari teori grup adalah subgrup fuzzy.  Misalkan  didefinisikan 𝐺 adalah  grup,  suatu  subhimpunan  fuzzy 𝜇 dari 𝐺 disebut subgrup  fuzzy  dari 𝐺 jika  memenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min* 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑦)+ dan 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 . Namun tidak semua  grup  mempunyai  subgrup fuzzy. Tujuan dari  penelitian ini  adalah  menunjukkan ℤ 𝑃 − *0̅+ merupakan  grup  klasik  dengan  operasi  perkalian  dalam grup  dan  menentukan  subgrup  fuzzy  dalam  grup ℤ 𝑃 − *0̅+ .  Dari  hasil  penelitian  diperoleh subhimpunan ℤ 𝑃 − *0̅+ dengan  bilangan  bulat  modulo  prima 5 dan 11 merupakan  grup klasik  dengan  operasi  perkalian  grup  dan  subhimpunan  fuzzy  dalam  grup ℤ 𝑃 − *0̅+ merupakan subgrup fuzzy dan secara umum sifat pada grup klasik berlaku pada subgrup fuzzy

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
yaitu  ketunggalan  identitas  dan  ketunggalan  invers.  Namun  terdapat  sifat  pada  grup  klasik yang tidak berlaku pada subgrup fuzzy yaitu hukum pencoretan. Kata kunci: Grup, Subgrup, Subgrup Fuzzy, Modulo

## 1. Pendahuluan
Teori  grup  merupakan  suatu  himpunan  tak  kosong 𝐺 yang  dilengkapi  dengan  sebuah operasi yaitu operasi biner. Operasi ini haruslah memenuhi aturan-aturan tertentu yaitu tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan setiap elemennya memiliki invers. Didalam suatu grup terdapat subgrup [5].
Menurut  [11],  subgrup  yaitu  himpunan  bagian  tak  kosong  dari  suatu  grup 𝐺 dan merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan grup 𝐺 . Beberapa konsep yang merupakan pengembangan dari teori grup adalah subgrup fuzzy. Misalkan didefinisikan 𝐺 adalah grup, suatu subhimpunan  fuzzy 𝜇 dari 𝐺 disebut  subgrup  fuzzy  dari 𝐺 jika  memenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min* 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑦)+ dan 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 .  Namun  tidak  semua  grup mempunyai  subgrup  fuzzy.  Contoh  penyangkalnya  diberikan  oleh  [1]  yaitu  grup (ℤ 3 , +) tidak memuat subgrup fuzzy terhadap definisi 𝜇 yang diberikan.
Penelitian  sebelumnya  terkait  subgrup  fuzzy  diantaranya  dalam  penelitian  [2]  suatu subgrup dikatakan subgrup fuzzy jika kardinal suatu grup merupakan pangkat prima dan untuk grup  klasik  dikatakan  subgrup  fuzzy  jika  terdapat  relasi  biner  antar  subgrup  fuzzy.  Dalam penelitian  [7]  membahas  tentang  grup  fuzzy  menjadi  multi  fuzzy  dengan  menggabungkan  tiga cabang matematika untuk mendapatkan struktur besar yang membawa beberapa sifat yang dapat diperoleh dari sifat-sifat hinpunan fuzzy, aljabar dan teori multi fuzzy. Penelitian yang lebih jauh tentang  subgrup  fuzzy  adalah  dalam  penelitian  [3]  yang  membahas  tentang Picture  Fuzzy subgroup atau  pengertian  subgrup  fuzzy  lebih  lanjut.    Dalam  penelitian  [1]  membahas  tentang perkembangan konsep dari grup klasik. Secara umum  karakteristik yang ditemukan dalam grup klasik juga dapat diterapkan pada subgrup fuzzy karena subgrup fuzzy memenuhi sifat- sifat pada grup contoh ℤ grup tak hingga berlaku pada subgrup fuzzy. Namun dalam penelitian lain yaitu penelitian  [4]  membahas  tentang  pembentukan  subgrup  fuzzy  atas  suatu  grup  klasik  dan  sifat terkait  subgrup  fuzzy  yakni  syarat  cukup  dan  perlu  dari  suatu  subhimpunan  fuzzy  merupakan subgrup  fuzzy.  Dengan  memberikan  contoh  grup ℤ 5 − *0̅+ dan  berlaku  pada  subgrup  fuzzy menggunakan definisi order.
Maka dalam  penelitian ini akan  ditunjukkan bahwa order grup prima kecuali elemen nol grup hingga berlaku pada subgrup fuzzy menggunakan teorema-teorema dari hasil penelitian [1] dan menggunakan modifikasi definisi order dari [4].

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Grup
Definisi 2.1 [5] Himpunan 𝐺 yang  tidak  kosong  di  katakan  membentuk  sebuah  grup  jika  dalam 𝐺 terdapat operasi  biner,  yang  disebut  produk  dan  dilambangkan  dengan " ∗ " sedemikian  sehingga memenuhi:
a. 𝑎, 𝑏  ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺 (tertutup).
b. 𝑎, 𝑏, 𝑐  ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 (aturan assosiatif).
c. Terdapat  elemen  identitas 𝑒 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺 (ada elemen identitas di 𝐺 ).
d. Untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺 terdapat 𝑎 −1 ∈ 𝐺 sedemikian  sehingga 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑒 (ada invers di 𝐺 ).

## 2.2 Grup Himpunan Bilangan Bulat Modulo 𝒏 [8]
Himpunan  bilangan  bulat  modulo 𝑛 : ℤ 𝑛 = *0̅, 1̅, … , 𝑛 − 1 ̅̅̅̅̅̅̅+ dengan 𝑛 bilangan  bulat  positif. Selanjutnya mendefinisikan operasi penjumlahan + 𝑛 dengan definisi 𝑎̅+ 𝑛 𝑏̅ = 𝑎 + 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅
untuk setiap 𝑎̅, 𝑏̅ ∈ ℤ 𝑛 dengan 𝑎̅, 𝑏̅ ∈ ℤ . Akan ditunjukkan bahwa + 𝑛 dalam ℤ 𝑛 . Untuk  setiap 𝑎̅, 𝑏̅ ∈ ℤ 𝑛 ,  maka 𝑎̅+ 𝑛 𝑏̅ = 𝑎 + 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℤ 𝑛 .  Selanjutnya  diambil  sebarang 𝑎̅, 𝑏̅, 𝑐̅, 𝑑̅ ∈ ℤ 𝑛 .  Misalkan 𝑎̅ = 𝑐̅ dan 𝑏̅ = 𝑑̅ sehingga 𝑎 ≡ 𝑐(mod 𝑛) dan 𝑏 ≡ 𝑑(mod 𝑛) .  Jadi  ada 𝑠, 𝑡 ∈ ℤ sedemikian sehingga 𝑎 − 𝑐 = 𝑛𝑠 dan 𝑏 − 𝑑 = 𝑛𝑡
Ini berarti 𝑎 + 𝑏 − (𝑐 + 𝑑) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑) = 𝑛𝑠 + 𝑛𝑡 = 𝑛(𝑠 + 𝑡) Dengan demikian, 𝑎 + 𝑏 ≡ (𝑐 + 𝑑)(𝑚𝑜𝑑 𝑛) , jadi 𝑎̅ + 𝑏̅ = 𝑐̅ + 𝑑̅ . Ini juga berati bahwa 𝑎̅+ 𝑛 𝑏̅ = 𝑐̅+ 𝑛 𝑑̅ . Maka + 𝑛 terbukti operasi biner dalam ℤ 𝑛 . Selanjutnya menunjukkan (ℤ 𝑛 , + 𝑛 ) merupakan grup 1. Sifat tertutup
Untuk setiap 𝑎̅, 𝑏̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku 𝑎̅+ 𝑛 𝑏̅ = 𝑎 + 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℤ 𝑛 2. Sifat asosiatif
Untuk setiap 𝑎̅, 𝑏̅, 𝑐̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku (𝑎̅+ 𝑛 𝑏̅)+ 𝑛 𝑐̅ = 𝑎̅+ 𝑛 (𝑏̅+ 𝑛 𝑐̅) . Diambil sebarang 𝑎̅, 𝑏̅, 𝑐̅ ∈ ℤ 𝑛 , berlaku
(𝑎̅+ 𝑛 𝑏̅)+ 𝑛 𝑐̅ = 𝑎 + 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅+ 𝑛 𝑐̅) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= 𝑎̅+ 𝑛 𝑏 + 𝑐 ̅̅̅̅̅̅̅
= 𝑎̅+ 𝑛 (𝑏̅+ 𝑛 𝑐̅)
3. Elemen identitas

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
Terdapat 0̅ ∈ ℤ 𝑛 sehingga untuk setiap 𝑎̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku 0̅+ 𝑛 𝑎̅ = 𝑎̅+ 𝑛 0̅ . Diambil sebarang 𝑎̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku 0̅+ 𝑛 𝑎̅ = 0 + 𝑎 ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑎̅ dan 𝑎̅+ 𝑛 0̅ = 𝑎 + 0
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑎̅
4. Elemen invers
Untuk setiap 𝑎̅ ∈ ℤ 𝑛 terdapat −𝑎 ̅̅̅̅ ∈ ℤ 𝑛 sehingga 𝑎̅+ 𝑛 −𝑎 ̅̅̅̅ = 0̅ = −𝑎 ̅̅̅̅+ 𝑛 𝑎̅ . Berdasarkan (1), (2) dan (3), himpunan ℤ 𝑛 merupakan grup terhadap operasi + 𝑛 . Grup (ℤ 𝑛 , + 𝑛 ) dikenal dengan grup bilangan bulat modulo 𝒏 .
2.3 Sifat-sifat Grup Klasik
Teorema 2.3.1 [5] Jika 𝐺 adalah grup, maka:
a. Elemen  identitas 𝐺 adalah  tunggal (artinya 𝐺 mempunyai  elemen  paling  banyak  satu elemen identitas)
b. Setiap 𝑎 ∈ 𝐺 mempunyai invers tunggal di 𝐺 .
c. Untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺, (𝑎 −1 ) −1 = 𝑎 (sifat  ini  digunakan  dalam  pembuktian  sifat  subgrup klasik)
Teorema 2.3.2 [5] Diberikan 𝑎, 𝑏 dalam grup 𝐺 , maka persamaan 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏 memiliki penyelesaian tunggal untuk 𝑥 dan 𝑦 di 𝐺 . Khususnya dua hukum pencoretan, 𝑎 ∗ 𝑢 = 𝑎 ∗ 𝑤 maka 𝑢 = 𝑤 dan 𝑢 ∗ 𝑎 = 𝑤 ∗ 𝑎 maka 𝑢 = 𝑤 di dalam 𝐺 .
2.4 Subgrup Definisi 2.4.1 [5] Subhimpunan 𝐻 yang tidak kosong dari suatu grup 𝐺 dikatakan sebagai subgrup dari 𝐺 jika 𝐻 membentuk grup terhadap operasi yang sama pada grup 𝐺 .
Teorema 2.4.2 [6] Diketahui 𝐻 tak kosong dari grup 𝐺 adalah subgrup dari 𝐺 jika dan hanya jika 1. 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 maka 𝑎𝑏 ∈ 𝐻
2. 𝑎 ∈ 𝐻 maka 𝑎 −1 ∈ 𝐻
2.5 Order Grup Definisi 2.5.1 [10] Order  grup 𝐺 adalah  banyaknya  elemen  dari  suatu  grup 𝐺 .  Jika  order  suatu  grup  adalah berhingga  maka  grup  tersebut  disebut  grup  berhingga.  Sebaliknya  jika  order  suatu  grup  tak hingga maka grup tersebut disebut grup tak hingga.

## 2.6 Order Elemen Grup
Definisi 2.6.1 [10] Misalkan 𝐺 suatu grup dan 𝑔 ∈ 𝐺 . Order dari 𝑔 dinotasikan |𝑔| yang menyatakan bilangan bulat positif terkecil 𝑛 sehingga memenuhi 𝑔 𝑛 = 𝑒 , dengan 𝑒 adalah elemen identitas.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
2.7 Grup Himpunan bilangan bulat 𝒏 Terhadap Operasi Perkalian [8]
Himpunan bilangan bulat modulo 𝑛 : ℤ 𝑛 = *0̅, 1̅, … , 𝑛 − 1 ̅̅̅̅̅̅̅+ dengan 𝑛 bilangan bulat positif. Selanjutnya mendefinisikan operasi perkalian × 𝑛 dengan definisi
𝛼̅ × 𝑛 𝑏̅ = 𝛼 × 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅
untuk setiap 𝛼̅, 𝑏̅ ∈ ℤ 𝑛 dengan 𝛼̅, 𝑏̅ ∈ ℤ . Selanjutnya menunjukkan (ℤ 𝑛 ,× 𝑛 ) merupakan grup
1. Sifat tertutup
Untuk setiap 𝛼̅, 𝑏̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku 𝛼̅ × 𝑛 𝑏̅ = 𝛼 × 𝑏
̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℤ 𝑛 2. Sifat asosiatif Untuk setiap 𝛼̅, 𝑏̅, 𝑐̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku (𝛼̅ × 𝑛 𝑏̅) × 𝑛 𝑐̅ = 𝛼̅ × 𝑛 (𝑏̅ × 𝑛 𝑐̅) . Diambil sebarang 𝑎̅, 𝑏̅, 𝑐̅ ∈ ℤ 𝑛 , berlaku (𝛼̅ × 𝑛 𝑏̅) × 𝑛 𝑐̅ = 𝛼 × 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅ × 𝑛 𝑐̅)
= (𝛼 × 𝑏) × 𝑐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝛼 × (𝑏 × 𝑐) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝛼̅ × 𝑛 𝑏 × 𝑐 ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝛼̅ × 𝑛 (𝑏̅ × 𝑛 𝑐̅) 3. Elemen identitas Terdapat 1̅ ∈ ℤ 𝑛 sehingga untuk setiap 𝛼̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku 1̅ × 𝑛 𝛼̅ = 𝛼̅ × 𝑛 1̅ . Diambil sebarang 𝛼̅ ∈ ℤ 𝑛 berlaku 1̅ × 𝑛 𝛼̅ = 1 × 𝛼 ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝛼̅ dan 𝛼̅ × 𝑛 1̅ = 𝛼 × 1 ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝛼̅
4. Elemen invers Untuk setiap 𝛼̅ ∈ ℤ 𝑛 dan 𝛼̅ ≠ 0̅ , memiliki invers jika dan hanya jika 𝐹𝑃𝐵(𝛼, 𝑛) = 1 atau bilangan  bulat  prima.  Dengan  demikian  secara  umum,  tidak  semua  anggota  dari ℤ 𝑛 − *0̅+ memiliki  invers.  Sebagai  contoh ℤ 4 − *0̅+ ,  untuk  menunjukkan ℤ 4 − *0̅+ memiliki  invers  akan digunakan tabel Cayley sebagai berikut:
Tabel 4.1 Tabel Cayley ℤ 4 − *0̅+ Terhadap Perkalian × 1̅ 2̅ 3̅ 1̅ 1̅ 2̅ 3̅ 2̅ 2̅ 0̅ 2̅ 3̅ 3̅ 2̅ 1̅
Dari tabel terlihat bahwa elemen yang  memiliki invers adalah 1̅ dan 3̅ . Sehingga,  secara umum (ℤ 𝑛 − *0̅+,  × 𝑛 ) bukanlah suatu grup.

## 2.8 Subgrup Fuzzy
Definisi 2.8.1 [9] Misalkan 𝐺 adalah suatu grup. Suatu subhimpunan fuzzy 𝜇 dari 𝐺 disebut subgrup fuzzy dari 𝐺 jika memenuhi:
1. 𝜇(𝑥𝑦) ≥ 𝜇(𝑥) ∧  𝜇(𝑦)∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan
2. 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐺 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
𝜇 merupakan  fungsi  keanggotaan  yang  memetakan  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 ke  interval ,0,1- .  Nilai dari 𝜇(𝑥) dalam  interval ,0,1- disebut  nilai  keanggotaan  dari  elemen 𝑥 dalam 𝜇 ,  sedangkan interval ,0,1- disebut ruang keanggotaan.
Teorema 2.8.2 [1] Setiap grup fuzzy memenuhi hukum pencoretan
Teorema 2.8.3 [1] Misalkan 𝜇 adalah suatu grup fuzzy dari 𝐺 berlaku 1. Jika 𝑒̀ unsur identitas dari 𝜇 dan 𝑒 unsur identitas di 𝐺 maka 𝑒̀ = 𝑒 2. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜇 dan misalkan 𝑏 invers 𝑎 di 𝜇 dan 𝑐 invers 𝑎 di 𝐺 maka 𝑏 = 𝑐
Teorema 2.8.4 [1] Suatu grup fuzzy 𝜇 dalam grup 𝐺 memiliki identitas tunggal.
Teorema 2.8.5 [1]
Setiap elemen dari grup fuzzy 𝜇 dalam grup 𝐺 memiliki invers tunggal.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan studi literatur. Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:
1. Menunjukkan ℤ 𝑃 − *0̅+, 𝑝 = 5,11 merupakan grup klasik.
2. Menentukan subgrup fuzzy
a. Menentukan order elemen grup pada ℤ 𝑃 − *0̅+ .
b. Menentukan subgrup fuzzy dalam grup ℤ 𝑃 − *0̅+ .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Menunjukkan ℤ 𝑷 − *𝟎 ̅+ Merupakan Grup Dengan Operasi Perkalian Menunjukan ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ Merupakan Grup Terhadap Operasi Perkalian Modulo 5 Tabel 4.2 Tabel Cayley ℤ 5 − *0̅+ Terhadap Perkalian
Berdasarkan  hasil  dari  tabel  di  atas  terbukti  bahwa  sifat-sifat  grup  terpenuhi  tertutup,  asosiatif, terdapat unsur identitas dan memiliki invers, maka ℤ 5 − *0̅+ merupakan grup terhadap perkalian. Menunjukan ℤ 𝟏𝟏 − *𝟎 ̅+ Merupakan Grup Terhadap Operasi Perkalian Modulo 11
× 1̅
2̅ 3̅ 4̅ 1̅ 1 2 3 4 2̅ 2 4 1 3 3̅ 3 1 4 2 4̅ 4 3 2 1

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
Tabel 4.3 Tabel Cayley ℤ 11 − *0̅+ Terhadap Perkalian × 1̅ 2̅ 3̅ 4̅ 5̅ 6̅ 7̅ 8̅ 9̅ 10 ̅̅̅̅ 1̅ 1̅ 2̅ 3̅ 4̅ 5̅ 6̅ 7̅ 8̅ 9̅ 10 ̅̅̅̅ 2̅ 2̅ 4̅ 6̅ 8̅ 10 ̅̅̅̅ 1̅ 3̅ 5̅ 7̅ 9̅ 3̅ 3̅ 6̅ 9̅ 1̅ 4̅ 7̅ 10 ̅̅̅̅ 2̅ 5̅ 8̅ 4̅ 4̅ 8̅ 1̅ 5̅ 9̅ 2̅ 6̅ 10 ̅̅̅̅ 3̅ 7̅ 5̅ 5̅ 10 ̅̅̅̅ 4̅ 9̅ 3̅ 8̅ 2̅ 7̅ 1̅ 6̅ 6̅ 6̅ 1̅ 7̅ 2̅ 8̅ 3̅ 9̅ 4̅ 10 ̅̅̅̅ 5̅ 7̅ 7̅ 3̅ 10 ̅̅̅̅ 6̅ 2̅ 9̅ 5̅ 1̅ 8̅ 4̅ 8̅ 8̅ 5̅ 2̅ 10 ̅̅̅̅ 7̅ 4̅ 1̅ 9̅ 6̅ 3̅ 9̅ 9̅ 7̅ 5̅ 3̅ 1̅ 10 ̅̅̅̅ 8̅ 6̅ 4̅ 2̅ 10 ̅̅̅̅ 10 ̅̅̅̅ 9̅ 8̅ 7̅ 6̅ 5̅ 4̅ 3̅ 2̅ 1̅
Berdasarkan  hasil  dari  tabel  di  atas  terbukti  bahwa  sifat-sifat  grup  terpenuhi  yaitu  tertutup, asosiatif, terdapat unsur identitas dan memiliki invers, maka ℤ 11 − *0̅+ merupakan grup terhadap perkalian
Dari hasil Tabel 4.2 dan Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa subhimpunan ℤ 5 − *0̅+ dan ℤ 11 − *0̅+ adalah  grup  karena  memenuhi  semua  aksioma  grup.  Setelah  menunjukkan ℤ 5 − *0̅+ dan ℤ 11 − *0̅+ adalah grup, selanjutnya menentukan ℤ 5 − *0̅+ dan ℤ 11 − *0̅+ adalah subgrup fuzzy.

## 4.2 Menentukan Subgrup Fuzzy Pada Grup ℤ 𝑷 − *𝟎 ̅+
Dalam menentukan subgrup fuzzy menggunakan definisi 2.7 dan diberikan suatu definisi 𝜇(𝑥) dalam interval ,0,1- yang berarti nilai keanggotaan dari elemen 𝑥 dalam 𝜇 . Definisi 𝜇(𝑥) yang diberikan adalah definisi dari [4] yang telah dimodifikasi yakni 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) .
Menentukan ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ merupakan subgrup fuzzy
Untuk  menentukan ℤ 5 − *0̅+ merupakan  subgrup  fuzzy,  terlebih  dahulu  dicari  order  elemen ℤ 5 − *0̅+ menggunakan sifat pada order elemen grup yaitu 𝑔 𝑛 = 𝑒 . Order  dari ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ adalah  4,  sedangkan  order  setiap  elemen  dari ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ adalah  sebagai berikut:
a. Order dari 1 adalah 1 , karena 1 1 = 1 b. Order dari 2 adalah 4 , karena 2 4 = 1 c. Order dari 3 adalah 4 , karena 3 4 = 1 d. Order dari 4 adalah 2 , karena 4 2 = 1
Diketahui  bahwa ℤ 5 − *0̅+ adalah  grup  terhadap  perkalian.  Didefinisikan 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dengan 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ ℤ 5 − *0̅+ merupakan  subhimpunan  fuzzy  atas  grup ℤ 5 − *0̅+ . Selanjutnya akan diselidiki apakah 𝜇 merupakan subgrup fuzzy atas grup ℤ 5 − *0̅+ .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
Tabel 4.6 Hasil Operasi Subhimpunan Fuzzy 𝜇 𝑥  𝑦  𝑥 × 5 𝑦  𝜇(𝑥 × 5 𝑦)  𝜇(𝑥)  𝜇(𝑦)  𝑚𝑖𝑛* 𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦) 1̅ 1̅ 1̅ 1 2 1 2 1 2 1 2 1̅ 2̅ 2̅ 1 8 1 2 1 8 1 8 1̅ 3̅ 3̅ 1 8 1 2 1 8 1 8 1̅ 4̅ 4̅ 1 4 1 2 1 4 1 4 2̅ 1̅ 2̅ 1 8 1 8 1 2 1 8 2̅ 2̅ 4̅ 1 4 1 8 1 8 1 8 2̅ 3̅ 1̅ 1 2 1 8 1 8 1 8 2̅ 4̅ 3̅ 1 8 1 8 1 4 1 8 3̅ 1̅ 3̅ 1 8 1 8 1 2 1 8 3̅ 2̅ 1̅ 1 2 1 8 1 8 1 8 3̅ 3̅ 4̅ 1 4 1 8 1 8 1 8 3̅ 4̅ 2̅ 1 8 1 8 1 4 1 8 4̅ 1̅ 4̅ 1 4 1 4 1 2 1 4 4̅ 2̅ 3̅ 1 8 1 4 1 8 1 8 4̅ 3̅ 2̅ 1 8 1 4 1 8 1 8 4̅ 4̅ 1̅ 1 2 1 4 1 4 1 4 Tabel 4.7 Invers Subhimpunan Fuzzy 𝜇 𝑥 𝑥 −1 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑥 −1 ) 1̅ 1̅ 1 2 1 2 2̅ 3̅ 1 8 1 8

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
3̅ 2̅ 1 8 1 8 4̅ 4̅ 1 4 1 4
Berdasarkan  hasil  dari Tabel  4.6  diperoleh  bahwa 𝜇(𝑥 × 5 𝑦) ≥ min*𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)+ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan  dari  Tabel  4.7  diperoleh 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 .  Dengan 𝜇 merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup ℤ 5 − *0̅+ .
Menentukan ℤ 𝟏𝟏 − *𝟎 ̅+ merupakan subgrup fuzzy Untuk  menentukan ℤ 11 − *0̅+ merupakan  subgrup  fuzzy,  terlebih  dahulu  dicari  order elemen ℤ 11 − *0̅+ menggunakan sifat pada order elemen grup yaitu 𝑔 𝑛 = 𝑒 . Order dari ℤ 11 − *0̅+ adalah 10, sedangkan order setiap elemen dari ℤ 11 − *0̅+ adalah sebagai berikut:
a. Order dari 1 adalah 1, karena 1 1 = 1
b. Order dari 2 adalah 10, karena 2 10 = 1
c. Order dari 3 adalah 5, karena 3 5 = 1
d. Order dari 4 adalah 5, karena 4 5 = 1
e. Order dari 5 adalah 5, karena 5 5 = 1
f. Order dari 6 adalah 10, karena 6 10 = 1
g. Order dari 7 adalah 10, karena 7 10 = 1
h. Order dari 8 adalah 10, karena 8 10 = 1
i. Order dari 9 adalah 5, karena 9 5 = 1
j. Order dari 10 adalah 10, karena 10 10 = 1
Diketahui bahwa ℤ 11 − *0̅+ adalah grup terhadap perkalian. Didefinisikan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- dengan 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ ℤ 11 − *0̅+ merupakan  subhimpunan  fuzzy  atas grup ℤ 11 − *0̅+ .  Selanjutnya  akan  diselidiki  apakah 𝜇 merupakan  subgrup  fuzzy  atas  grup ℤ 11 − *0̅+ .
Tabel 4.8 Hasil Operasi Subhimpunan Fuzzy 𝜇 𝑥 𝑦 𝑥 × 11 𝑦 𝜇(𝑥 × 11 𝑦) 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑦) 𝑚𝑖𝑛* 𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦) 1̅ 1̅ 1̅ 1 2 1 2 1 2 1 2 1̅ 2̅ 2̅ 1 20 1 2 1 20 1 20 1̅ 3̅ 3̅ 1 10 1 2 1 10 1 10 1̅ 4̅ 4̅ 1 10 1 2 1 10 1 10 1̅ 5̅ 5̅ 1 10 1 2 1 10 1 10 1̅ 6̅ 6̅ 1 20 1 2 1 20 1 20

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
1̅ 7̅ 7̅ 1 20 1 2 1 20 1 20 1̅ 8̅ 8̅ 1 20 1 2 1 20 1 20 1̅ 9̅ 9̅ 1 10 1 2 1 10 1 10 1̅ 10 ̅̅̅̅ 10 ̅̅̅̅ 1 20 1 2 1 20 1 20 10 ̅̅̅̅ 1̅ 10 ̅̅̅̅ 1 20 1 20 1 2 1 20 10 ̅̅̅̅ 2̅ 9̅ 1 10 1 20 1 20 1 20 10 ̅̅̅̅ 3̅ 8̅ 1 20 1 20 1 10 1 20 10 ̅̅̅̅ 4̅ 7̅ 1 20 1 20 1 10 1 20 10 ̅̅̅̅ 5̅ 6̅ 1 10 1 20 1 10 1 20 10 ̅̅̅̅ 6̅ 5̅ 1 10 1 20 1 20 1 20 10 ̅̅̅̅ 7̅ 4̅ 1 10 1 20 1 20 1 20 10 ̅̅̅̅ 8̅ 3̅ 1 10 1 20 1 20 1 20 10 ̅̅̅̅ 9̅ 2̅ 1 20 1 20 1 10 1 20 10 ̅̅̅̅ 10 ̅̅̅̅ 1̅ 1 2 1 20 1 20 1 20 Tabel 4.9 Invers Subhimpunan Fuzzy 𝜇 𝑥 𝑥 −1 𝜇(𝑥) 𝜇(𝑥 −1 ) 1̅ 1̅ 1 2 1 2 2̅ 6̅ 1 20 1 20 3̅ 4̅ 1 10 1 10

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
4̅ 3̅ 1 10 1 10 5̅ 9̅ 1 10 1 10 6̅ 2̅ 1 20 1 20 7̅ 8̅ 1 20 1 20 8̅ 7̅ 1 20 1 20 9̅ 5̅ 1 10 1 10 10 ̅̅̅̅ 10 ̅̅̅̅ 1 20 1 20
Berdasarkan hasil dari Tabel 4.7 diperoleh bahwa 𝜇(𝑥 × 11 𝑦) ≥ min*𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)+ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan  dari  Tabel  4.9  diperoleh 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 .  Dengan 𝜇 merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup ℤ 11 − *0̅+ .
Berdasarkan hasil dalam menentukan subgrup fuzzy, terbukti bahwa grup ℤ 5 − *0̅+ dan ℤ 11 − *0̅+ merupakan  subgrup  fuzzy.  Maka  langkah  selanjutnya  adalah  membuktikan  teorema- teorema  dari  penelitian  [1].  Perbedaan  dari  penelitian  sebelumnya  adalah  penelitian  [1] membuktikan  teorema-teorema  yang  diberikan  secara  langsung  sedangkan  dalam  penelitian  ini teorema-teorema dari [1] akan dibuktikan menggunakan kasus khusus yaitu 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- .
4.3 Pembuktian  Teorema  dari  [1]  Menggunakan  Kasus  Khusus 𝜇: ℤ 𝑝 − *0̅+ → ,0,1-
Pembuktian Teorema  2.8.2 akan dibuktikan berdasarkan kasus khusus pada grup 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- . Berikut adalah pembuktiannya:
a. Membuktikan Hukum Pencoretan Grup Dengan Kasus Khusus  Grup 𝜇: ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
Misalkan ℤ 5 − *0̅+ grup dan 𝜇 grup fuzzy di ℤ 5 − *0̅+ didefinisikan 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dengan 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) . Ambil 1̅, 2̅, 4̅ ∈ ℤ 5 − *0̅+ , perhatikan bahwa 𝑜𝑟𝑑(1̅) = 1, 𝑜𝑟𝑑(2̅) = 4, 𝑜𝑟𝑑(4̅) = 2 maka  derajat  keanggotaan  berturut-turut  adalah 𝜇(1̅) = 1 2 , 𝜇(2̅) = 1 8 , 𝜇(4̅) = 1 4 .  Akan ditunjukkan
i. Jika 𝜇(1̅ ∗ 2̅) = 𝜇(1̅ ∗ 4̅) maka 𝜇(2̅) = 𝜇(4̅) (hukum pencoretan kiri)
ii. Jika 𝜇(2̅ ∗ 1̅) = 𝜇(4̅ ∗ 1̅) maka 𝜇(2̅) = 𝜇(4̅) (hukum pencoretan kanan)
Perhatikan bahwa

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
i. Jika 𝜇(1̅ ∗ 2̅) = 𝜇(1̅ ∗ 4̅) maka 𝜇(2̅) = 𝜇(4̅) . Jelas bahwa 1̅ ∗ 2̅, 1̅ ∗ 4̅ ∈ ℤ 5 − *0̅+ memiliki sifat tertutup dan 1̅ memiliki invers 1̅ maka
𝜇(1̅ ∗ (1̅ ∗ 2̅) = 𝜇(1̅ ∗ (1̅ ∗ 4̅)) ⇒  𝜇((1̅ ∗ 1̅) ∗ 2̅) = 𝜇((1̅ ∗ 1)
̅̅̅ ∗ 4̅)
⇒ 𝜇(1̅ ∗ 2̅) = 𝜇(1̅ ∗ 4̅)
⇒  𝜇(2̅) = 𝜇(4̅) ⇒ . 1 8 / ≠ . 1 2 /
Jadi  diperoleh  jika 𝜇(1̅ ∗ 2̅) = 𝜇(1̅ ∗ 4̅) maka 𝜇(2̅) ≠ 𝜇(4̅) atau  tidak  memenuhi  hukum pencoretan kiri
ii. Jika 𝜇(2̅ ∗ 1̅) = 𝜇(4̅ ∗ 1̅) maka 𝜇(2̅) = 𝜇(4̅) Jelas bahwa 1̅ ∗ 2̅, 1̅ ∗ 4̅ ∈ ℤ 5 − *0̅+ memiliki sifat tertutup dan 1̅ memiliki invers 1̅ maka 𝜇(2̅ ∗ 1̅)) ∗ 1̅) = 𝜇((4̅ ∗ 1̅) ∗ 1̅) ⇒ 𝜇(2̅ ∗ ((1 ∗ 1̅) = 𝜇(4̅ ∗ ((1̅ ∗ 1̅) ⇒ 𝜇(2̅ ∗ 1̅) = 𝜇(4̅ ∗ 1̅) ⇒  𝜇(2̅) = 𝜇(4) ⇒ . 1 8 / ≠ . 1 4 /
Jadi  diperoleh  jika 𝜇(2̅ ∗ 1̅) = 𝜇(4̅ ∗ 1̅) maka 𝜇(2̅) ≠ 𝜇(4̅) atau  tidak  memenuhi  hukum pencoretan kanan.
b. Membuktikan  Hukum  Pencoretan  Grup  Dengan  Kasus  Khusus  Grup 𝜇: ℤ 𝟏𝟏 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
Misalkan ℤ 11 − *0̅+ grup dan 𝜇 grup fuzzy di ℤ 11 − *0̅+ didefinisikan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- dengan 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) .  Ambil 3̅, 6̅, 9̅ ∈ ℤ 11 − *0̅+ , perhatikan  bahwa 𝑜𝑟𝑑(3̅) = 5, 𝑜𝑟𝑑(5̅) = 5, 𝑜𝑟𝑑(1̅) = 5 maka derajat keanggotaan berturut-turut adalah 𝜇(3̅) = 1 10 , 𝜇(6̅) = 1 20 , 𝜇(9̅) = 1 10 .
Akan ditunjukkan
a. Jika 𝜇(3̅ ∗ 6̅) = 𝜇(3̅ ∗ 9̅) maka 𝜇(6̅) = 𝜇(9̅) (hukum pencoretan kiri)
b. Jika 𝜇(6̅ ∗ 3̅) = 𝜇(9̅ ∗ 3̅) maka 𝜇(6̅) = 𝜇(9̅) (hukum pencoretan kanan) Perhatikan bahwa
i. Jika 𝜇(3̅ ∗ 6) = 𝜇(3̅ ∗ 9̅) maka 𝜇(6̅) = 𝜇(9̅) .  Jelas  bahwa 3̅ ∗ 5̅, 3̅ ∗ 9̅ ∈ ℤ 11 − *0̅+ memiliki sifat tertutup dan 3̅ memiliki invers 4̅ maka 𝜇(4̅ ∗ (3̅ ∗ 6̅) = 𝜇(4̅ ∗ (3̅ ∗ 9̅)) ⇒  𝜇((4̅ ∗ 3̅) ∗ 6̅) = 𝜇((4̅ ∗ 3) ̅̅̅ ∗ 9̅)
⇒ 𝜇(1̅ ∗ 6̅) = 𝜇(1̅ ∗ 9̅) ⇒  𝜇(6̅) = 𝜇(9̅) ⇒ . 1 20 / ≠ . 1 10 /
Jadi diperoleh 𝜇(6̅) ≠ 𝜇(9) atau tidak memenuhi hukum pencoretan kiri

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
ii. Jika 𝜇(6̅ ∗ 3̅) = 𝜇(9̅ ∗ 3̅) maka 𝜇(6̅) = 𝜇(9̅) Jelas  bahwa 6̅ ∗ 3̅, 9̅ ∗ 3̅ ∈ ℤ 11 − *0̅+ memiliki sifat tertutup dan 3̅ memiliki invers 4̅ maka 𝜇(6̅ ∗ 3̅)) ∗ 4̅) = 𝜇((9̅ ∗ 3̅) ∗ 4̅) ⇒ 𝜇(6̅ ∗ ((3̅ ∗ 4̅) = 𝜇(9̅ ∗ ((3̅ ∗ 4̅) ⇒ 𝜇(6̅ ∗ 1̅) = 𝜇(9̅ ∗ 1̅) ⇒  𝜇(6̅) = 𝜇(9̅) ⇒ . 1 20 / ≠ . 1 10 /
Jadi diperoleh 𝜇(6̅) ≠ 𝜇(9̅) atau tidak memenuhi hukum pencoretan kanan.
Dari hasil yang diperoleh dalam membuktikan teorema 2.8.2 menggunakan kasus khusus 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- terbukti bahwa teorema 2.8.2 ini tidak berlaku secara umum, karena tidak semua subgrup fuzzy bilangan bulat modulo prima memenuhi hukum pencoretan grup fuzzy.
Selanjutnya  pembuktian  Teorema  2.8.3 akan  dibuktikan  berdasarkan  kasus  khusus  pada grup 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- . Berikut adalah pembuktiannya:
a. Pembuktian Teorema 2.8.3 pada 𝜇: ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
1. Misalkan ℤ 5 − *0̅+ grup  dan 𝜇 grup  fuzzy  di ℤ 5 − *0̅+ didefinisikan 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dengan 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) . Selanjutnya dimisalkan 1 ′ identitas dari 𝜇 dan 1 unsur  identitas  di ℤ 5 − *0̅+ .  Akan  ditunjukkan 1 ′ = 1 .  Ambil 2 ∈ 𝜇 , karena 𝜇 grup  fuzzy  dari ℤ 5 − *0̅+ maka 2 ∈ ℤ 5 − *0̅+ .  Perhatikan  bahwa  jika 2 ∈ ℤ 5 − *0̅+ dan 1 identitas ℤ 5 − *0̅+ maka 2 ∗ 1 = 2 Jika 2 ∈ 𝜇 dan 𝑒̀ identitas dari 𝜇 maka 2 ∗ 1′ = 2 Dengan demikian 2 ∗ 1 = 2 ∗ 1′
⇔ 1 = 1′
2. Misalkan 1 unsur identitas di 𝜇: ℤ 𝟓 − *0̅+ → ,0,1- . Berdasarkan (1) maka 1 juga unsur identitas di ℤ 𝟓 − *0̅+ . Ambil sebarang 3 ∈ 𝜇 , karena 𝜇 subgrup fuzzy dari ℤ 𝟓 − *0̅+ maka 3 ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ .  Misalkan 2′ invers  dari 3 ∈ 𝜇 dan 2 invers  dari
3 ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ . Perhatikan bahwa Jika 2′ invers dari 3 ∈ 𝜇 maka 3 ∗ 2 ′ = 1 Jika 2 invers  dari 3 ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ maka 3 ∗ 2 = 1 .  Dengan  demikian 3 ∗ 2 ′ = 3 ∗ 2 ⇔ 2 ′ = 2 . Jadi 2 ′ = 2
b. Pembuktian Teorema 2.8.3 pada 𝜇: ℤ 𝟏𝟏 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
1. Misalkan ℤ 11 − *0̅+ grup dan 𝜇 grup fuzzy di ℤ 11 − *0̅+ didefinisikan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- dengan 𝜇(𝑥) = 1 2 𝑜𝑟𝑑(𝑥) .  Selanjutnya  dimisalkan 1 ′ identitas  dari 𝜇 dan 1 unsur identitas  di ℤ 11 − *0̅+ dapat  dilihat  pada  Tabel  4.6. Akan  ditunjukkan 1 ′ = 1 . Ambil

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
7 ∈ 𝜇 , karena 𝜇 grup fuzzy dari ℤ 11 − *0̅+ maka 7 ∈ ℤ 11 − *0̅+ . Perhatikan bahwa jika 7 ∈ ℤ 11 − *0̅+ dan 1 identitas ℤ 11 − *0̅+ maka 7 ∗ 1 = 7 Jika 7 ∈ 𝜇 dan 1′ identitas dari 𝜇 maka 7 ∗ 1′ = 7 Dengan demikian 7 ∗ 1 = 7 ∗ 1′ ⇔ 1 = 1′∎
2. Misalkan 1 unsur  identitas  di 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- .  Berdasarkan  (1)  maka 1 juga unsur  identitas  di ℤ 11 − *0̅+ .  Ambil  sebarang 7 ∈ 𝜇 ,  karena 𝜇 subgrup  fuzzy  dari ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ maka 7 ∈ ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ .  Misalkan 8′ invers  dari 7 ∈ 𝜇 dan 8 invers  dari 7 ∈ ℤ 11 − *0̅+ . Perhatikan bahwa Jika 8′ invers dari 7 ∈ 𝜇 maka 7 ∗ 8 ′ = 1 Jika 8 invers dari 7 ∈ ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ maka 7 ∗ 8 = 1 . Dengan demikian 7 ∗ 8 ′ = 7 ∗ 8 ⇔ 8 ′ = 8 . Jadi 8 ′ = 8∎
Pembuktian Teorema  2.8.4 akan  dibuktikan  berdasarkan  kasus  khusus  pada  grup 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- . Berikut adalah pembuktiannya:
a. Pembuktian Teorema 2.8.4 pada 𝝁: ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
Misalkan 𝜇: ℤ 𝟓 − *0̅+ → ,0,1- adalah suatu grup fuzzy dalam grup ℤ 𝟓 − *0̅+ . Misalkan 1 dan 1′ unsur identitas dari 𝜇 , karena 𝜇 subgrup fuzzy di ℤ 𝟓 − *0̅+ maka 1,1′ ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ . Perhatikan bahwa Karena 1 ′ unsur identitas di ℤ 𝟓 − *0̅+ dan 1 ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ , maka 1 ′ ∗ 1 = 1 ′ ∗ 1 = 1 ′ (4.1)
Karena 1 unsur identitas di ℤ 𝟓 − *0̅+ dan 1′ ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ , maka 1 ∗ 1′ = 1 ∗ 1′ = 1 (4.2) Berdasarkan (4.1) dan (4.2) diperoleh 1 = 1′
b. Pembuktian Teorema 2.8.4 pada 𝝁: ℤ 𝟏𝟏 − *𝟎̅+ → ,𝟎, 𝟏- Misalkan : ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ → ,0,1- adalah suatu grup fuzzy dalam grup ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ . Misalkan 1 dan 1′ unsur identitas dari 𝜇 , karena 𝜇 subgrup fuzzy di ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ maka 1,1′ ∈ ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ dapat dilihat pada Tabel 4.6.
Perhatikan bahwa Karena 1 ′ unsur identitas di ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ dan 1 ∈ ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ , maka 1 ′ ∗ 1 = 1 ′ ∗ 1 = 1 ′ (4.3)
Karena 1 unsur identitas di ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ dan 1′ ∈ ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ , maka
1 ∗ 1′ = 1 ∗ 1′ = 1 (4.4)
Berdasarkan (4.3) dan (4.4) diperoleh 1 = 1′∎
Selanjutnya  pembuktian  Teorema  2.8.5  akan  dibuktikan  berdasarkan  kasus  khusus  pada grup 𝜇: ℤ 5 − *0̅+ → ,0,1- dan 𝜇: ℤ 11 − *0̅+ → ,0,1- . Berikut adalah pembuktiannya:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa
a. Pembuktian Teorema 2.8.5 pada 𝝁: ℤ 𝟓 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
Misalkan 𝜇: ℤ 𝟓 − *0̅+ → ,0,1- adalah suatu subgrup fuzzy dalam grup ℤ 𝟓 − *0̅+ . Ambil sebarang 2 ∈ 𝜇 .  Misalkan 3, 3′ invers  dari 2 .  Karena 𝜇 suatu  subgrup  fuzzy  dalam  grup ℤ 𝟓 − *0̅+ maka 2,3, 3′ ∈ ℤ 𝟓 − *0̅+ . Akan ditunjukkan 3 = 3′ . Perhatikan bahwa Karena 3 invers dari 2 , maka 3 ∗ 2 = 2 ∗ 3 = 1 (4.5)
Karena 3′ invers dari 2 , maka 3 ′ ∗ 2 = 2 ∗ 3 ′ = 1 (4.6)
Dari (4.5) dan (4.6) diperoleh 3 ∗ (2 ∗ 3 ′ ) = 3 ∗ 1 = 3
Jadi 3 ∗ (2 ∗ 3 ′ ) = 3 (4.7)
Dari (4.7) diperoleh (3 ∗ 2) ∗ 3 ′ = 1 ∗ 3 ′ = 3
Jadi (3 ∗ 2) ∗ 3 ′ = 3′
(4.8)
Karena grup memenuhi sifat asosiatif, maka dari (4.7) dan (4.8) diperoleh 3 = 3 ∗ (2 ∗ 3 ′ ) = (3 ∗ 2) ∗ 3 ′ = 3′ . Jadi diperoleh 3 = 3′ dengan kata lain invers dari setiap elemen 𝜇 tunggal.
b. Pembuktian Teorema 2.8.5 pada 𝝁: ℤ 𝟏𝟏 − *𝟎 ̅+ → ,𝟎, 𝟏-
Misalkan 𝜇: ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ → ,0,1- adalah  suatu  grup  fuzzy  dalam  grup ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ .  Ambil sebarang 9 ∈ 𝜇 . Misalkan 5, 5′ invers dari 9 . Karena 𝜇 suatu subgrup fuzzy dalam  grup ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ maka 9,5, 5′ ∈ ℤ 𝟏𝟏 − *0̅+ . Akan ditunjukkan 5 = 5′ . Perhatikan bahwa Karena 5 invers dari 9 , maka 5 ∗ 9 = 9 ∗ 5 = 1 (4.9)
Karena 5′ invers dari 9 , maka 5 ′ ∗ 9 = 9 ∗ 5 ′ = 1 (4.10)
Dari (4.9) dan (4.10) diperoleh 5 ∗ (9 ∗ 5 ′ ) = 5 ∗ 1 = 5
Jadi 5 ∗ (9 ∗ 5 ′ ) = 5 (4.11)
Dari (4.11) diperoleh (5 ∗ 9) ∗ 5′ = 1 ∗ 5 ′ = 5′
Jadi (5 ∗ 9) ∗ 5′ = 5′
(4.12)
Karena grup memenuhi sifat asosiatif, maka dari (4.11) dan (4.12) diperoleh 5 = 5 ∗ (9 ∗ 5 ′ ) = (5 ∗ 9) ∗ 5 ′ = 5′ . Jadi diperoleh 5 = 5′ dengan kata lain invers dari setiap elemen 𝜇 tunggal.

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka dapat disimpulkan bahwa subhimpunan ℤ 𝑃 − *0̅+ dengan bilangan bulat modulo prima 5 dan 11 merupakan grup klasik dengan operasi perkalian grup.
Subhimpunan fuzzy dalam grup ℤ 𝑃 − *0̅+ merupakan subgrup fuzzy dan secara umum sifat pada grup klasik berlaku pada subgrup fuzzy yaitu ketunggalan identitas dan ketunggalan invers. Namun  terdapat  sifat  pada  grup  klasik  yang  tidak  berlaku  pada  subgrup  fuzzy  yaitu  hukum pencoretan.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, terdapat saran yang dapat diberikan kepada pembaca  atau  peneliti  berikutnya  yaitu  menunjukkan  grup ℤ 𝑃 − *0̅+ merupakan  grup  fuzzy dengan 𝑝 adalah sebarang bilangan bulat modulo prima.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI Imelda Bo’bo’ Batunna, Harina O.L Monim, Junianto Sesa

## Daftar Pustaka
[1].  Abdy, M., Sukarna, S dan Abubakar, R., 2019. Suatu Kajian Tentang Grup Fuzzy. Journal of Mathematics, Computations, and Statistics , 1(1):78.
[2]. Bejines,  C.,  Chasco,  M.  J.  and  Elorza,  J.,  2021.  Aggregation  of  fuzzy  subgroups. Fuzzy Sets and Systems , 418:170–184.
[3]. Dogra, S. and Pal, M., 2023 Picture Fuzzy Subgroup, Kragujevac Journal of Mathematics , 47(6), pp. 911–933.
[4]. Fatkhur,  R.,  Wardayani,  A  dan  Suroto,  2014.  Subgrup  Fuzzy  Atas  Suatu  Grup. Applied Microbiology and Biotechnology , 6(1):33–44.
[5]. Herstein, I. N., 1964. Topics in Algebra . Edisi Kedua. Penerbit John Wiley & Sons. New York.
[6]. Hungerford, T. W., 1973. Algebra . Penerbit Springer. Washington
[7].   Jaradat, A. and Al-Husban, A.  2021. The  multi-fuzzy  group  spaces  on  multi-fuzzy  space. Journal of Mathematical and Computational Science , 11(6):7535–7552.
[8]. Malik,  D.  S.,  Mordeson,  J.  N.  and  Sen,  M.  K.,  2007. Introduction  to  Abstract  Algebra . Penerbit The McGraw-Hill Companies, Inc. California
[9].   Mordeson, J.  N.,  Bhutani, K.  R.  and  Rosenfeld,  A.,  2005. Fuzzy  Group  Theory .  Penerbit Springer. USA
[10].  Suryanti, S., 2017. Teori Grup . Penerbit UMG Press. Gresik
[11].  Yasir,  A.,  Abdurrahman,  S  dan  Huda,  N., 2016.  Anti  subgrup. Jurnal  Matematika  Murni dan Terapan , 10(2).