## Analisis Kecepatan dan Percepatan Gerak Robot Joules Menggunakan Metode Bilangan Kompleks

## Novri Tanti, Ahmad Su’udi, Harry Gusty Nugroho
Jurusan Teknik Mesin-Universitas Lampung E-mail: novri_t@unila.ac.id

## Abstract
In  general,  kinematics  analysis  is  done  using  graphics  methods.  But  this  method  requires  a  substantial time in analyzing the kinematics of a mechanical system. With the development of technology, especially in the field of computers and informatics can facilitate the engineer in analyzing the kinematics. One method used with the aid of a computer program is the method of complex numbers. This study aims to analyze and compare the position,  velocity,  and  acceleration  results  of  the  calculation  method  of  complex  numbers  and  methods  of polygon graphics. The study was conducted on a robotic mechanical system, i.e. electric tandem bicycle partner named  Robot  Joules.  Necessary  data  were  analyzed  using  the  method  of  complex  numbers  with  the  help  of MATLAB program. Results of analysis using the method of complex numbers were compared with the results of analysis  using  the  method  of  polygon  graphics.  For  comparison,  data  input  were  made  equal  to  the  angular velocity  rod  2  (ω 2 )  of  10  rad/s  and  angular  acceleration  of  rod  2  (α 2 )  at  0  rad/s 2 when  bar  2  was  at  position angle 90 ° from the positive x-axis.
Key words : kinematics, robot joules, complex numbers

## PENDAHULUAN
Analisis kinematika diperlukan dalam merancang  suatu  sistem  mekanik.    Hal  ini dikarenakan  kinematika  merupakan  salah  satu  faktor penting  dalam  perancangan  dan  pengoperasian  suatu komponen  mesin.    Kecepatan  dan  percepatan  suatu mekanisme  akan  mengalami  perubahan,  jika  posisi mekanisme  tersebut  berubah.  Oleh  sebab  itu  sangat penting  untuk  mengetahui  kecepatan  dan  percepatan suatu  komponen  dari  suatu    mekanisme  untuk berbagai kedudukan dalam operasinya[1].
Robot  Joules  merupakan  suatu  sistem  mekanik- elektrik  yang  ditujukan  untuk  mengayuh  pedal sepeda  berjenis tandem .    Dalam  penelitian  ini dilakukan  penyelesaian  secara  analisis  teoritik dengan  menggunakan  metode  bilangan  kompleks untuk menganalisis posisi, kecepatan, dan percepatan mekanisme tersebut [2].
Metode  bilangan  kompleks  adalah  salah  satu metode  pada  analisis  numerik  dalam  penyelesaian persamaan  diferensial.  Metode  bilangan  kompleks merupakan salah satu cara analitis untuk menyatakan vektor  posisi,  kecepatan  dan  percepatan  dalam bentuk  bilangan  kompleks  [2,3].  Langkah  pertama yang  perlu  dilakukan  adalah  menentukan  vektor posisi  dari  titik-titik  yang  akan  dianalisis,  kemudian menentukan vektor kecepatan dan percepatan dengan cara  diferensiasi  terhadap  waktu.    Setelah  itu dilakukan,  maka  dapat  dibuat  algoritma  dan kemudian  persamaan  matematika  yang  dihasilkan dimasukan dalam program komputer.

## TINJAUAN PUSTAKA
1. Kecepatan dan Percepatan Linier
Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan  perpindahan,  atau  jika  perpindahan dipandang  sebagai  sebuah  besaran  vektor,  maka kecepatan didefinisikan sebagai vektor laju perubahan perbandingan. Dengan bentuk yang sama, percepatan didefinisikan sebagai laju sesaat perubahan  kecepatan,  yang  dapat  dinyatakan  dengan dv / dt ,  [4]  yang  dapat  juga  diinterpretasikan  sebagai kemiringan kurva kecepatan – waktu. Karena ds/dt = v ,  dan dv/dt  =  a ,  maka  bentuk  yang  ketiga  dapat diturunkan untuk percepatan :
a = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = = 𝑑 2 𝑠 𝑑𝑡 2 (1)

## 2. Kecepatan Sudut Dan Percepatan Sudut
Kecepatan  sudut  adalah  laju  perubahan  sudut. Kecepatan  sudut  sering  dikatakan  sebagai  kecepatan rotasi  dan  besaran  skalarnya  adalah  laju  rotasi. Kecepatan  sudut  biasanya  dinyatakan  oleh  simbol omega (Ω atau ω ), dinyatakan dengan [5].
ω = dθ/dt (2)
Percepatan  sudut  adalah  laju  perubahan  kecepatan sudut terhadap waktu. Di dalam satuan SI, percepatan sudut diukur dalam  radian per  detik  kuadrat (rad/s 2 ), dan  biasanya  dilambangkan  oleh  abjad  Yunani  Alfa ( α ).  Percepatan sudut dinyatakan dengan
α =  dω/dt (3).

## 3. Kecepatan Relatif

## Kecepatan satu titik yang bergerak melingkar terhadap satu titik tetap
Kecepatan suatu titik yang bergerak melingkar dengan  kecepatan  sudut  konstan  terhadap  suatu  titik tetap dapat dinyatakan dengan persamaan [6]:
V B = Rω sin θ  +  Rω cos θ = [(R ω sin θ) 2 + (Rω cos θ) 2 ] ½
=  Rω (4)
Kecepatan titik B dalam arah-arah x dan y diberikan oleh
V B x =   – Rω  sin θ (5) V B y = Rω  cos θ (6)
Diferensiasi persamaan terhadap waktu, dan mengingat bahwa R adalah konstanta, memberikan : 𝑑𝑉 𝐵 𝑥 𝑑𝑡 =   −𝑅  𝜔(cos 𝜃) 𝑑𝜃 𝑑𝑡 +  (sin 𝜃 ) 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑉 𝐵 𝑦 𝑑𝑡 = 𝑅   𝜔 (− sin 𝜃) 𝑑𝜃 𝑑𝑡 +  (cos 𝜃) 𝑑𝜔 𝑑𝑡
Sehingga persamaan di atas menjadi :
𝐴 𝐵 𝑥 =   −𝑅𝜔 2 cos 𝜃 − 𝑅𝛼  sin 𝜃 (7) 𝐴 𝐵 𝑦 =   −𝑅𝜔 2 sin 𝜃 + 𝑅𝛼  cos 𝜃 (8)
Percepatan total titik B dapat dinyatakan dengan
A B = Rω 2 + Rα (9) Di  mana Rω 2 disebut  komponen  percepatan  normal atau  radial  dan Rα disebut  komponen  percepatan tangensial.  Karena  komponen  komponen  persamaan (9)  saling  tegak  lurus  satu  dengan  lainnya,  maka A B dapat dinyatakan sebagai [7].
𝐴 𝐵 =    (𝑅𝜔 2 ) 2 +   (𝑅𝛼) 2 1/2 (10)
Percepatan relatif dua titik pada satu penghubung kaku
Kecepatan  titik  B  dalam  arah-arah x dan y , pada Gambar 1, adalah:
V B x = V A x – Rω sin θ V B y = V A y + Rω cos θ (11)
Karena dV B x /dt didenfinisikan  sebagai  percepatan titik B dalam  arah x ,  yakni A B x ; dV A x /dt adalah percepatan  titik A dalam  arah x , A A x demikian  pula,
dV B y /dt adalah A B y ;  dan dV A y /dt adalah A A y .    Maka persamaan dapat dituliskan kembali menjadi
𝐴 𝐵 𝑥 =   𝐴 𝐴 𝑥 −  𝑅𝜔 2 cos 𝜃 − 𝑅𝛼  sin 𝜃 (12) 𝐴 𝐵 𝑦 =   𝐴 𝐴 𝑦 −  𝑅𝜔 2 sin 𝜃 + 𝑅𝛼  cos 𝜃 (13)
Percepatan total B , A B , diperoleh dengan penjumlahan kedua komponen tegak lurus:
A B = A B x + A B y A B = ( A A x + A A y ) + ( Rω 2 cos θ + Rω 2
sinθ ) + ( Rα cos θ + Rα sin θ )    (14)
Sehingga, percepatan titik B dapat dinyatakan dengan
A B = A A + Rω 2 + Rα (15)
Gambar  1 c memperlihatkan  vektor-vektor  dalam posisinya.  Dengan mencatat bahwa:
ω = V BA /BA     dan Rω 2 = (BA) ( V BA /BA) 2 = V BA 2 /BA
dapat  dinyatakan  persamaan A B dalam  cara  yang berbeda:
𝐴 𝐵 =   𝐴 𝐴 + 𝑉𝐵𝐴 2 𝐁𝐀 +  𝐁𝐀 α (16)
Gambar 1. Percepatan satu titik pada satu penghubung dalam gerak bidang [5]

## METODOLOGI
Mekanisme  yang  akan  dianalisis  dalam penelitian  ini  adalah  sistem  mekanik  batang-batang pada  robot electric  tandem  bicycle  partner ,  seperti yang terlihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Robot Joules [5]
Secara  dasar,  mekanisme  pada  robot  Joules menggunakan  prinsip  mekanisme  empat  batang penghubung.   Gabungan batang penghubung 1, 2, 3, dan  4  membentuk  suatu    mekanisme  empat penghubung I (pertama), dapat dilihat pada Gambar 2 yang  diberi  garis  merah.    Gabungan  batang penghubung  4,  8,  9,  dan  10  membentuk  mekanisme empat  penghubung  II  (kedua),  yang  ditunjukkan dengan  garis  berwarna  putih.    Sedangkan  untuk batang  yang  diberi  garis  berwarna  hijau  dan  biru merupakan batang pelengkap pada mekanisme robot tersebut

## Mekanisme Kinematis Robot Joules
Berikut  ini  adalah  mekanisme  kinematis  dari mekanisme Robot Joules.
Gambar 3. Mekanisme Kinematis Robot Joules [5]

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Jendela Utama
Jendela  utama  program  ini  diberi  nama simulation (Gambar  4).      Jendela  utama  ini  terdiri dari 3 bagian, yaitu input data, hasil dan grafik.
Gambar 4. Jendela utama program [5]
Input  data merupakan  bagian  dari  jendela utama  program  yang  sangat  penting.  Agar  program dapat  berjalan  sebagaimana  mestinya,  dibutuhkan data  masukan  yang  diperoleh  dari input  data ini. Apabila  semua input sudah  lengkap,  penghitungan dapat dilakukan dengan menekan tombol Proceed . Hasil
Setelah  tombol  Proceed  di- click maka  data hasil  penghitungan  oleh  program  ditampilkan  pada bagian  kedua  ini.   Informasi  yang ditampilan berupa
tabel  yang  mencakup  tiga  hal  penting  dalam  analisis kinematika, yaitu sudut atau posisi,  kecepatan linear, dan percepatan linear.  Ketiga data yang ditampilkan tersebut  merupakan  nilai  yang  dihasilkan  pada berbagai  posisi  dari  batang  2  saat  melakukan  satu putaran penuh atau 360 derajat

## Graphic of transition
Bagian  yang  terakhir  ini  menampilkan  data dari  hasil  keluaran  pada output  data  table dalam bentuk grafik. Grafik yang ditampilkan yaitu grafik
perubahan  kecepatan  dan  grafik  perubahan percepatan  pada  berbagai  sudut  batang  2  saat melakukan satu putaran penuh.
Dilihat  dari  bentuk  grafiknya,  ada  kesamaan  bentuk grafik antara batang 3, batang 6, dan batang 8, seperti terlihat pada Gambar 5.
Gambar 5. Grafik kecepatan dan percepatan batang 3, batang 6, dan batang 8 [5]
Pada Gambar 5, bentuk grafik kecepatan linier dan  percepatan  linier  untuk  batang  3,batang  6,  dan batang  8  menyerupai  satu  sama  lainnya.  Yang membedakannya  hanyalah  interval  angka  pada sumbu  y-nya  yang  dikarenakan  panjang  masing- masing batang berbeda.  Kecepatan  maksimum pada batang  3,  6,  dan  8  dicapai  pada  saat  batang  2  pada posisi  sudut  10 o dan  230 o ,  dan  untuk    percepatan
maksimalnya dicapai pada saat batang 2 berada pada posisi 280 o [8,9]
Selain  itu,  ada  juga  tiga  batang  lain  yang memiliki  bentuk  grafik  yang  sama,  yaitu  batang  4, batang  5,  dan  batang  7.  Berikut  ini  adalah  bentuk grafik  masing-masing  batang  yang  ditampilkan  pada program.
Gambar 6. Grafik kecepatan dan percepatan batang 4, batang 5, dan batang 7 [5]
Adanya  kesamaan  bentuk  grafik  dari  batang- batang  tersebut  dikarenakan  ketiganya  memiliki kecepatan  sudut  dan  percepatan  sudut  yang  sama. Nilai  kecepatan  sudut  dan  percepatan  sudut  yang sama  pada  beberapa  batang  dikarenakan  ukuran  dan posisi batang dirancang agar menghasilkan perubahan  sudut  yang  sama  pula.  Batang-batang tersebut  dirancang  berukuran  sama  dengan  batang yang  berada  didepannya  dan  sudut  yang  berhadapan juga  dibuat  sama.  Dengan  demikian,  nilai  kecepatan sudut  dan  percepatan  sudutnya  pun  akan  sama  pula dalam  setiap  posisi  gerakannya  pada  batang-batang tersebut [10].
Batang 9 merupakan satu-satunya batang yang melakukan  satu  putaran  penuh  atau  360 o selain
batang  2  pada  mekanisme  robot  joules  ini.  Dari analisis yang dilakukan, nilai kecepatan sudut batang 9 sama dengan besarnya kecepatan sudut dari batang 2  yaitu  10  rad/s.    Begitu  juga  dengan  percepatan sudutnya yang sama besar yaitu 0. Dari hasil analisis secara grafis maupun komputasi, besarnya percepatan sudut  batang  dua  amat  sangat  kecil,sehingga  bisa dikatakan  tidak  ada  percepatan  sudut  untuk  setiap perubahan posisinya [11, 12].
Animasi  gerak  sederhana  dari  robot  ini  juga dapat  dilihat  dengan  meng- click tombol show animation .    Tampilan  animasinya  dapat  dilihat  pada Gambar 7 berikut ini.
Gambar 7. Tampilan jendela animation [5]
Dalam  tampilan  ini  dimasukkan  beberapa  input sebelum  menjalankan  animasi.  Data  masukan
tersebut  yaitu  kecepatan  sudut  batang  2  (ω 2 ), percepatan  sudut  batang  2  (α 2 ),  dan  waktu  durasi
selama  animasi  berjalan.  Sebagai  pilihan,  pada animasi juga ditambahkan tampilan lintasan persendian  antar  batang  dengan  memberi  tanda  “v”
pada check  box “join  path”,  sehingga  tampilannya akan terlihat seperti pada Gambar 8.
Gambar 8. Tampilan animasi dengan join path [5].

## KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  penelitian  yang  telah  dilakukan,  maka diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. Analisis  Kecepatan  dan  Percepatan  pada mekanisme  robot  Joules  secara  komputasi dengan  menggunakan  metode  bilangan kompleks,  dapat  diketahui  kecepatan  dan percepatan  batang-batang  yang  lainnya untuk setiap perubahan posisi batang dua.
2. Perhitungan  secara  komputasi  lebih  cepat dan  efisien  dibandingkan  dengan  metode grafis,  karena  dengan  metode  komputasi dapat  langsung  diketahui  analisis  untuk setiap  posisi,  sedangkan pada  metode  grafis atau  poligon vektor harus  dilakukan berulang kali untuk posisi yang berbeda.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Gunadi A., 2006, The shortcut of MATLAB Programming , INFORMATIKA. Bandung.
[2]   Holowenko,1955, Dynamics of Machinery , John Wiley & Sons Inc. USA.
[3]   Kimbrell, J.T., 1991, Kinematics analysis and synthesis ,  McGraw-Hill Book Co. Singapore.
[4]   Marghitu, D.B.,  2009, Mechanisms and Robots Analysis with MATLAB, Springer Dordrecht Heidelberg. London.
[5]   Morgan, C., 2009, Joules The Robot . http://www.rainyisland.org/joules/ Joules_Home_Page.html.
[6]   Pinem, M.D., 2008, AutoCAD 2 Dimensi & 3 Dimens, . INFORMATIKA, Bandung
[7]   Prapto, C., 1985, Dinamika Permesinan ,
Erlangga. Jakarta.
[8]   Soegiharjo, O.,  2002, “ Analisis Perpindahan (displacement) dan kecepatan sudut (angular velocity) Mekanisme Empat Batang Secara Analitik dengan Bantuan Komputer”, Jurnal Teknik Mesin Universitas Kristen Petra, Surabaya
[9]   Suharto, Djoko dan Kemas, R., 2000, Analisis Kinematika dengan Bantuan Komputer, Jurusan Teknik Mesin-ITB. Bandung
[10]  Sulityo, Erwin dan Endi, S.,  2003, Diktat Kinematika Program Semi Que IV , Fakultas Teknik Jurusan Mesin Universitas Brawijaya, Malang.
[11]  Waldron, Kenneth J.and Gary L. K.., 1999, Kinematics, dynamics, and design of machinery, John Wley & Sons Inc. USA
[12]  Waldron, Kenneth J.and Gary L. K..,  1999, MATLAB Programs for Textbook: Kinematics, dynamics, and design of machinery , John Wley
& Sons Inc. USA.