Vol. 10, No. 1,  6-13,  Juli  2013
Perturbasi Nilai Eigen dalam Mengatasi Multikolinearitas
Andi Yuni Deviyanti 1 , Andi Kresna Jaya 1 , Anisa 1

## Abstrak
Multikolinieritas  adalah  salah  satu  pelanggaran  asumsi  dalam  regresi  linier  berganda. Multikolinieritas  terjadi  ketika  variabel  bebas  memiliki  korelasi  dengan  variabel  bebas  yang lain.  Apabila  dalam    suatu  data  terdapat  multikolinieritas  maka  koefisien  regresi  yang dihasilkan  tidak  dapat  memberikan  hasil  analisis  yang  mewakili  sifat  atau  pengaruh  variabel bebas  terhadap  variabel  terikat,  selain  itu  variansi  yang  dihasilkan  juga  besar.  Jika  terjadi multikolinieritas  maka  rasio  antara  nilai  eigen  terbesar  dan  nilai  eigen  terkecil  akan  melebihi 100 bahkan bisa lebih dari 1000. Untuk itu, dalam penelitian ini ditawarkan suatu solusi untuk mengatasi multikolinearitas yaitu dengan menggunakan perturbasi pada nilai eigen. Perturbasi ( diberikan  dengan  menambahkan  nilai ,  yang  nilainya  berkisar  antara  0  dan  1,  pada diagonal matriks nilai eigen.
Kata Kunci :Multikolinieritas, nilai eigen, regresi ridge, perturbasi, variansi, bias.

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  linier  berganda  digunakan  untuk  mengetahui  hubungan  antara  variabel terikat Y dengan beberapa variabel bebas X i , i =  (1, 2, …, k ). Dari model akan diukur hubungan tersebut menggunakan metode estimasi.
Salah satu metode estimasi yang dapat digunakan dalam mengestimasi parameter adalah metode kuadrat terkecil biasa atau Ordinary Least Square ( OLS ). Parameter yang akan diestimasi adalah . Salah satu asumsi yang harus dipenuhi dalam regresi linier berganda di atas adalah  tidak  ada  hubungan  linier  antara  kolom-kolom  atau  variabel  bebas X, di  mana ( . Namun dalam kenyataannya, hal ini tidak selamanya dipenuhi.
Jika dalam suatu model terjadi multikolinieritas, maka akan mengakibatkan penggunaan metode kuadrat terkecil dalam mengestimasi parameter akan terganggu, dan galat yang dihasilkan akan  menjadi  besar. Montgomery dan Peck (1992)  dalam  [6]  menyatakan  bahwa  adanya multikolinieritas pada variabel bebas X juga  menyebabkan rasio antara nilai eigen terbesar dan nilai eigen terkecil lebih dari 100 atau melebihi 1000.

## 2. Multikolinearitas  dan  Cara  Mengatasinya  Melalui  Perturbasi Nilai Eigen
Multikolinieritas  artinya  adanya  hubungan  linier  antara  variabel-variabel  bebas. Multikolinieritas dapat dideteksi dengan beberapa cara, antara lain menghitung koefisien korelasi sederhana antara sesama variabel bebas, menghitung nilai Variation Inflation  Factor ( VIF ), dan sistem  nilai  eigen  dari
.  Akar-akar  karakteristik  atau  nilai  eigen  dari adalah yang dapat digunakan untuk  mengukur adanya multikolinieritas. Jika ada satu atau
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: andikresna@yahoo.com , nkalondeng@gmail.com

## Andi Yuni Deviyanti, Andi Kresna Jaya, Anisa
lebih hubungan linier di dalam data, maka terdapat nilai eigen yang lebih kecil dibandingkan nilai eigen yang lain Multikolinieritas dapat diukur dalam bentuk rasio dari nilai terbesar dan terkecil dari  nilai  eigen,  yaitu yang  disebut  nilai  kondisi  dari  matriks  korelasi.  Montgomery dan Peck (1992) dalam [6]  memberikan kategori multikolinieritas berdasarkan harga , jika:
- maka disebut multikolinieritas rendah atau tidak ada multikolinieritas - maka disebut multikolinieritas agak kuat - maka disebut multikolinieritas sangat kuat
Apabila  dalam  suatu  data  terdapat  multikolinieritas,  maka  solusi  dari  metode  kuadrat terkecil ̂   ( tidak  akan  menghasilkan  hasil  estimasi  yang  tepat  karena  invers  dari tidak  ada.  Untuk  itu,  dari  metode  kuadrat  tekecil  tersebut  ditambahkan  suatu  nilai  pada diagonal agar  determinannya  tidak  nol  dan  menghasilkan  invers.  Metode  ini  dinamakan metode regresi Ridge, pertama kali diperkenalkan oleh Hoerl dan Kennard pada tahun 1970 ([3] dan [4]).
Berdasarkan persamaan linier
(1)
maka
Dengan  menggunakan  metode  pengali  lagrange  yang  meminimumkan  fungsi ( ( , dengan fungsi kendala . Sehingga didapatkan fungsi baru
( (           (
yang memenuhi syarat
| ̂

## Sehingga
( (           (
(
|
̂
̂      ̂
̂   ( (2)

## Andi Yuni Deviyanti, Andi Kresna Jaya, Anisa
Persamaan (2) merupakan estimator dari regresi ridge.
Jika adalah  matriks  yang  dapat  didiagonalisasi,  maka  terdapat yangmerupakan matriks vektor eigen sehingga . Selanjutnya,
dari dapat diubah menjadi
Maka,
̂ ( ( (3) Karena adalah matriks vektor eigen, maka [ ] , dimana adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan . Maka persamaan (3) menjadi
̂ (
∑( Misalkan maka
̂ ∑( (4)
Persamaan (4) merupakan estimator perturbasi nilai eigen yang diperoleh dengan menambahkan gangguan pada nilai eigen.

## 3. Sifat Estimator Perturbasi Nilai Eigen
Sifat dari perturbasi nilai eigen yaitu
1. Bias
Estimator  perturbasi  nilai  eigen  merupakan  estimator  bias  karena  estimasinya ditambahkan  dengan  gangguan  sebesar pada  matriks  diagonal  nilai  eigen.
Sehingga bias yang dihasilkan oleh estimator perturbasi nilai eigen adalah
( ̂ )      ( (
Jadi, bias pada estimator perturbasi nilai eigen sebesar
(
2. Variansi

## Andi Yuni Deviyanti, Andi Kresna Jaya, Anisa
Variansi dari penaksir perturbasi nilai eigen lebih kecil dibandingkan dengan variansi penaksir OLS.
( ̂ )    {( ̂    ( ̂ )( ̂    ( ̂ ) } ((
Jadi,  entri  diagonal  dari  variansi  penaksir  dari  perturbasi  nilai  eigen ((
lebih kecil dibandingkan ( ) atau bisa ditulis dengan .
((

## 4. Penerapan Metode Perturbasi Nilai Eigen
Dalam  menerapkan  konsep  perturbasi  nilai  eigen,  maka  akan  dijelaskan  dengan  sebuah data  sekunder  dari  Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  MakassartentangPertumbuhan  Ekonomi  di  kota Makassar. Data ini diamati selama 10 tahun dari tahun 2000–2009 dengan empat variabel bebas X, yaitu besarnya  Pendapatan  Regional  dari  Segi  Lapangan  Usaha  Listrik,  Gas,  dan  Air (persen), Besarnya  Pendapatan  Regional  dari  Segi  Lapangan  Usaha  Bangunan  (persen), =  Besarnya  Pendapatan  Regional  dari  Segi  Lapangan  Usaha  Angkutan  dan  Komunikasi (persen), =  Besarnya  Pendapatan  Regional  dari  Segi  Lapangan  Usaha  Keuangan,  Persewaan dan Jasa Perusahaan (persen), dan Y = Pertumbuhan Ekonomi Menurut Harga konstan (persen).
Tabel 1. Data Pertumbuhan Ekonomi di Kota Makassar.
Y 15.37 3.04 7.52 13.38 5.02 7.3 2.35 7.38 14.95 7.1 7.14 2.27 7.51 14.35 7.08 8.6 2.1 7.64 15.29 7.97 10.17 1.82 7.68 15.91 10.18 7.16 2.06 8.02 13.38 10.15 8.09 1.95 7.8 15.92 10.19 8.11 1.93 7.85 16.2 10.47 10.52 1.99 8.34 16.14 10.55 9.2 1.99 8.6 16.17 10.79
Dalam metode perturbasi nilai eigen, dilakukan proses standarisasi terlebih dahulu. Nilai eigen  yang  akan  diganggu  adalah  nilai  eigen  dari  matriks yang  merupakan  hasil transformasi  variabel  bebas  dari  proses  standarisasi.  Transformasi  untuk  variabel  yang distandarisasi adalah
√ ( ̅ ) (5)
√ ( ̅ ) (6)
dimana
√ ∑ ( ̅ (7)
√ ∑ ( ̅ (8)
Dari transformasi diatas bentuk persamaan regresi
menjadi
(9)
Dari  hasil  proses  standarisasi,  maka  dihasilkan  variabel-variabel yang  telah  distandarisasi. Bentuk
yang telah distandarisasi sama dengan bentuk matriks korelasinya.
[ ] [ ]
Dari  matriks maka  dapat  diperoleh  matriks  nilai  eigen  dan  matriks  vektor  eigen  sebagai berikut
[
]
[
]

## Andi Yuni Deviyanti, Andi Kresna Jaya, Anisa
Dari  matriks  nilai  eigen  tersebut,  maka  akan  ditambahkan  dengan  suatu  gangguan  sebesar , dimana adalah matriks identitas.

## Pemilihan Nilai Perturbasi
Dalam  estimasi  melalui  perturbasi  nilai  eigen,  bias  yang  diinginkan  tidak  terlalu  besar dan  dapat  memperkecil  variansi  dari  penaksir.  Jika  dalam  suatu  data  terdapat  multikolinieritas, maka  terdapat  suatu  nilai  eigen  yang  kecil  daripada  nilai  eigen  yang  lainnya  dan  dapat menyebabkan rasio antara nilai eigen terbesar dan nilai eigen terkecil lebih dari 100 atau bahkan lebih  dari  1000.  Maka  nilai  eigennya  ditambahkan  dengan  suatu  gangguan  yang  relatif  kecil antara .
Berdasarkan  penjelasan  sebelumnya,  sifat  dari  penaksir  perturbasi  nilai  eigen  memiliki variansi  yang  minimum,  dan  nilai  dari Variance  Inflation  Factor (VIF)  dapat  dituliskan  dalam bentuk matriks diagonal dari

## (( ∑ (
Dari  nilai  VIF  diatas,  maka  diharapkan  nilai yang  diperoleh  adalah  nilai  yang  relatif kecil  dan  dapat  memperkecil  VIF,  selain  itu  nilai yang  diharapkan  dapat  memperkecil  rasio antara nilai eigen terbesar dan nilai eigen terkecil.
Dalam tulisan ini digunakan metode penentuan nilai menurut Farebrother (1975) dalam [6],  yaitu dengan
̂ ̂
dimana:
( (

## ̂
Dari rumus di atas didapatkan
̂ ̂
Nilai yang didapatkan menurut metode Farebrother  yaitu 0.0832. Setelah  nilai didapatkan,  maka  akan  dilihat  nilai  VIF  dan  rasio  nilai  eigen  untuk beberapa nilai , dan akan dilihat bagaimana nilai VIF dan rasio nilai eigen saat Nilai  VIF  untuk memberikan  nilai  VIF  kurang  dari  10  yaitu ( ̂ )
( ̂ )              ( ̂ )              ( ̂ ) dan  rasio  nilai  eigen  saat yaitu 25.8734
Nilai ̂ berdasarkan estimator perturbasi nilai eigen untuk , yaitu
̂ (
[ ]
Jadi,  persamaan  regresi  yang  diperoleh  melalui  perturbasi  nilai  eigen  pada  saat adalah
̂

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  mengenai  perturbasi  nilai  eigen  dalam  mengatasi multikolinieritas, maka diperoleh beberapa simpulan berikut:
1. Estimator perturbasi nilai eigen didapatkan dengan menambahkan gangguan  sebesar pada matriks diagonal nilai eigen, sehingga estimatornya adalah
̂ (
atau dapat ditulis juga dalam bentuk
̂ ∑(
dimana .
2. Dari  data  dapat  dilihat  entri  diagonal  dari  variansi  perturbasi  nilai  eigen  lebih  kecil daripada variansi OLS.
((
( ̂ )   [ ]
Sedangkan variansi dari OLS, ( ̂)   [ ]
Dapat dilihat bahwa variansi perturbasi nilai eigen lebih kecil dibandingkan variansi dari OLS.

## Andi Yuni Deviyanti, Andi Kresna Jaya, Anisa
Nilai  VIF  dari  perturbasi  nilai  eigen  juga  lebih  kecil  dari  OLS  dan  kurang  dari  10, yaitu ( ̂ ) , ( ̂ ) , ( ̂ ) , ( ̂ ) .Sehingga  dapat  dikatakan  metode  perturbasi  nilai  eigen  dapat  mengatasi mutikolinieritas

## Daftar Pustaka
[1] Anton H., 1987. Aljabar Linier Elementer. Erlangga, Indonesia.
[2] Harville  D.A.,  2008. Matrix  Algebra  from  a  Statistician s  Perspective. Springer Science+Business Media LLC, New York.
[3] Hoerl  A.E.  dan  Kennard  R.W.,  1970.  Ridge  Regression:  Biased  Estimation  for Nonorthogonal Problems. Technometrics , Vol. 12, No. 1. pp. 55-67.
[4] Hoerl  A.E.  dan  Kennard  R.W.,  1970.  Ridge  Regression:  Applications  to  Nonorthogonal Problems. Technometrics, Vol. 12, No. 1. pp. 69-82.
[5] Lancaster P. dan Miron T., 1985. The Theory of Matrices Second Edition with Application. Academic Press Inc., Florida.
[6] Nduka  E.C.  dan  Ijomah  M.A.,  2012.  The  Effects  Of  Perturbing  Eigenvalues  In  The Presence Of Multicollinierity. Electron. J. App. Stat. Anal ., Vol. 5. pp. 304–311.
[7] Pradipta N., 2009. Metode Regresi Ridge untuk Mengatasi Model Regresi Linier Berganda yang Mengandung Multikolinieritas . Universitas Sumatera Utara, Medan.
[8] Putri  A.P.,  2011. Penggunaan  Metode  Ridge  Trace  dan  Variance  Inflation  Factors ( VIF ) pada Regresi Ridge . Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta.
[9] Rawling    J.O.,  1998. Applied  Regression  Analysis:  A  Research  Tool.,  2nd  Ed .  Springer- Verlag Inc., New York.
[10] Singh  R. et  al., 2012.  Solution  of  Multicollinearity  by  Ridge  Regression. International Journal Of Research In Computer Application & Management , Vol. 2, Issue 28.