Kajian Beberapa Uji Kenormalan dan Kaitannya dengan Asumsi Kenormalan pada Beberapa Uji Statistika
Agus Santoso e-mail : aguss@mail.ut.ac.id (Jurusan Statistika FMIPA Universitas Terbuka)

## Abstract
T-test  is  proposed  as  a  parametric  test  to  evaluate  mean  of  population(s).    Therefore,  it  is assumed that the data  are normally  distributed.  Recently  simulation  based research reveal that t- test  are  robust  against  non-normality  assumption,  as  long  as  the  distribution  of  the  data  are symmetric.  For  that  reason,  it  is  interesting  to  evaluate  the  normality  test  that  commonly  used before the t-test is applied, particularly on its power and its suitability on symmetrical assumption of t-test on distribution of the data.  On this research, the evaluation on normality test was focused at  several  tests,  which  are  Anderson  Darling,  Kolmogorov-Smirnov,  Ryan-Joiner,  and  normality test based on skewness and kurtosis, wether the t-test was restricted in evaluation of mean of one population. The simulation reveals that, in general, Anderson-Darling has greater power than the other test in evaluating the normality of the distribution of the data, wether the normality test based on  skewness  and  kurtosis  have  greater  suitability  on  symmetrical  assumption  of  t-test  on distribution  of  the  data.  Hence,  it  is  recommended  that  the  normality  test  based  on  skewness  and kurtosis are used to evaluate the symmetrical assumption of t-test on distribution of the data.
Key word: robust,  symmetric.

## PENDAHULUAN
Uji  statistika  merupakan  suatu  prosedur  untuk  menolak  atau  menerima  suatu  hipotesis berdasarkan kriteria tertentu.  Hipotesis yang terlibat dalam uji statistik tersebut merupakan pernya- taan  yang  berkaitan  dengan  populasi  sedangkan  kriteria  untuk  menolak  atau  menerima  hipotesis didasarkan pada informasi data sampel.  Hal ini menyebabkan ketidakpastian pada kesimpulan yang diambil  meskipun  uji-uji  statistik  selain  memberikan  kriteria  untuk  menolak  atau  menerima hipotesis, juga memberikan ukuran ketidakpastian kesimpulan berupa galat jenis I dan galat jenis II. Kedua galat tersebut merupakan peluang kesalahan yang timbul akibat penolakan atau penerimaan hipotesis.  Karena itu, uji-uji statistik mensyaratkan data yang digunakan mengikuti sebaran teoritis tertentu yang seringkali adalah sebaran normal.
Dengan  demikian  sebelum  penggunaan  uji-uji  statistik,  data  harus  diperiksa  terlebih  dahulu untuk  memastikan  apakah  memenuhi  syarat  kenormalan  atau  tidak.    Para  statistisi  telah  me- ngembangkan  uji-uji  untuk  keperluan  tersebut,  diantaranya  uji  Kolmogorov-Smirnov,  Liliefors, Anderson-Darling, Shapiro-Wilk, uji skewness dan kurtosis, dan sebagainya.
Walaupun  uji-uji  statistik  tersebut  mengasumsikan  data  menyebar  normal  namun  beberapa penelitian menunjukkan bahwa pelanggaran asumsi kenormalan dapat ditolerir asalkan data masih tergolong simetris.  Nasoetion (2000) mengemukakan bahwa pada kasus percobaan faktor tunggal dalam  Rancangan  Acak  Lengkap  (RAL),  pelanggaran  asumsi  kenormalan  masih  dapat  ditolerir asalkan  galat  percobaan  masih  simetris.    Sedangkan  Suryabuanaputra  (2001)  menunjukkan  hasil yang senada pada kasus uji nilai tengah satu populasi.  Dari sini dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi kenormalan telah melonggar menjadi asumsi kesimetrisan.
Untuk itu perlu dikaji penggunaan beberapa uji kenormalan yang selama ini digunakan sehingga dapat  diperoleh  gambaran  kuasa  ujinya  dalam  mendeteksi  ketidaknormalan  data.  Selain  itu  perlu pula dikaji gambaran-gambaran data yang walaupun tidak normal masih dapat digunakan untuk uji- uji  statistik  sekaligus  uji  kenormalan  walaupun  dari  segi  kuasa  uji  dalam  mendeteksi ketidaknormalan  tidak  terlalu  besar  namun,  data  hasil  pengujiannya  masih  layak  untuk  meng- gunakan  uji-uji  statistik.  Pada  penelitian  ini,  uji-uji  kenormalan  yang  akan  dikaji  adalah  Uji Kolmogorov-Smirnov, Anderson Darling, Ryan Joiner serta uji skewness, dan kurtosis. Sedangkan uji statistik yang akan dikaji adalah uji t untuk pengujian nilai tengah satu populasi.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengkaji  kuasa  uji  beberapa  uji  kenormalan,  yaitu  Uji Kolmogorov-Smirnov, Anderson Darling, Ryan Joiner, serta uji skewness, dan kurtosis. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk menelusuri lebih jauh uji kenormalan mana yang cocok dengan uji t untuk pengujian nilai tengah satu populasi.  Artinya, data yang dinyatakan normal oleh uji ini dapat  menggunakan  uji  t  walaupun  data  populasinya  tidak  normal  karena  masih  dalam  batas toleransi  uji  t.  Dari  penelitian  ini  diharapkan  didapatkan  rekomendasi  uji  kenormalan  yang  sesuai dengan uji t untuk pengujian nilai tengah satu populasi.

## METODOLOGI
Penelitian  ini  akan  dilakukan  melalui  kajian  simulasi.  Simulasi  akan  dilakukan  dengan melibatkan  tiga  tipe  data.   Tipe  data  pertama  berupa data  yang  dibangkitkan  dari  sebaran  normal, sedangkan tipe data kedua berasal dari sebaran bukan normal tetapi masih dapat ditolerir oleh uji t. Untuk  tipe data ketiga hampir sama dengan tipe data kedua, yaitu dibangkitkan  dari sebaran bukan normal hanya saja tipe data ketiga ini tidak dapat ditolerir oleh uji t.
Suryabuanaputra  (2001)  dalam  kajiannya  mengenai  uji  nilai  tengah  populasi  untuk  populasi yang  tidak  normal  dan  populasi  dengan  sebaran  data  yang  menjulur  mendapatkan  hasil  bahwa sebaran  Beta  (1,1)  dan  Beta  (5,5),  kedua-duanya  memiliki  sebaran  yang  simetris,  dapat  ditolerir oleh  uji  t.    Suryabuanaputra  juga  mendapatkan  hasil  bahwa  sebaran-sebaran  yang  hampir  normal, yaitu Beta(4,5), Beta(5,4), Gamma(200,1) dan Chi-square(350), juga masih dapat ditolerir oleh uji t. Sebaran-sebaran ini nantinya akan dijadikan sebagai tipe data kedua pada simulasi penelitian ini.
Sedangkan  sebaran-sebaran  lain  yang  dicobakannya,  yaitu  Beta(1,5),  Beta(2,5),  Beta(3,5), Beta(5,3),  Beta(5,2),  Beta(5,1),  Gamma(2.5,1),  Gamma(13,1)  Gamma(35,1),  Chi-square(5),  Chi- square(25), dan Chi-square(70) tidak dapat ditolerir oleh uji t di mana semua sebaran tersebut tidak simetris.  Sebaran-sebaran ini nantinya akan dijadikan tipe data ketiga pada simulasi penelitian ini.
Selain  faktor  tipe  sebaran  data,  simulasi  ini  juga  akan  mengkaji  pengaruh  banyaknya  data. Banyaknya  data  yang  akan  dicobakan  yaitu  10,  15,  25,  40,  50,  dan  100.    Gambar  1  berikut  ini menyajikan diagram langkah-langkah dalam simulasi.
Tahapan pertama dalam simulasi yang dilakukan adalah pembangkitan ketiga tipe data populasi. Pada  masing-masing  populasi  akan  dibangkitkan  data  sebanyak  N  =  10000.    Tahapan  berikutnya adalah penarikan sampel berukuran n dari data populasi yang dilakukan sebanyak 10000 kali. Pada setiap data  sampel  yang didapatkan, akan diterapkan ketiga tipe uji t dan kelima uji kenormalan.
Penerapan ketiga uji t terhadap data sampel ini untuk menelusuri performa uji t pada berbagai tipe sebaran yang dibangkitkan. Performa uji t tersebut diukur dengan proporsi penolakan H0 dari 10000  kali  penarikan  sampel  yang  dilakukan.    Uji  t  dikatakan  masih  cukup  bagus  performanya apabila proporsi penolakan H0 ini tidak jauh berbeda dengan taraf nyata  yang dalam penelitian ini ditetapkan sebesar 5%. Selanjutnya akan ditelusuri kuasa uji kelima uji kenormalan yang dicobakan yang  diukur  dengan  proporsi  banyaknya  penolakan  H0  dari  10000  penarikan  data  sampel  yang dilakukan dan kelima uji tersebut dilakukan pada taraf nyata  yang sama yaitu 5%.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Deskripsi Data Populasi
Pada  Lampiran  disajikan  histogram  data  populasi  hasil  simulasi  beserta  kurva  normalnya. Gambar 2 adalah histogram dari data populasi sebaran normal (tipe pertama), Gambar 3 - 7 adalah histogram dari data populasi tipe kedua sedangkan histogram dari data populasi tipe ketiga disajikan pada Gambar 8 - 20.  Dari gambar tersebut terlihat terdapat beberapa data populasi yang walaupun tidak  menyebar  normal  namun  dapat  didekati  dengan  cukup  baik  oleh  kurva  sebaran  normal. Beberapa  populasi  tersebut  adalah  populasi  tipe  kedua  dari  diagram  simulasi  yang  telah dikemukakan  sebelumnya.    Beberapa  populasi  tersebut  yaitu  populasi  yang  menyebar  Beta(1,1), Beta(5,5),  Beta  (4,5),  Beta(5,4),  Gamma(200,1)  dan  Chi-square  (350).  Sedangkan  untuk  populasi non-normal lainnya yang termasuk ke dalam populasi tipe ketiga pada diagram simulasi, tidak dapat didekati dengan cukup baik oleh sebaran normal.
Apabila  diamati  bentuk  sebaran  data  populasi  tipe  kedua  tersebut,  terlihat  bahwa  semua sebaran  tersebut  berbentuk  simetris.  Dapat  disimpulkan  bahwa  asumsi  kenormalan  data  yang menggunakan uji t telah melonggar menjadi asumsi kesimetrisan.
Gambar.1.  Langkah-langkah simulasi
Tipe 1
Normal(5,25)
Uji kenormalan Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Anderson-Darling Uji Ryan-Joiner Uji skewness dan kurtosis
Uji t H 1 :  <  0 H 1 :  >  0 H 1 :    0
Pembangkitan data populasi Tipe 2
Beta(1,1) Beta(5,5) Beta(4,5) Beta(5,4) Gamma(200,1) Chi-square(350) Tipe 3 Beta(1,5) Gamma(2.5,1) Beta(2,5) Gamma(13,1) Beta(3,5) Gamma(35,1) Beta(5,3) Chi-square(5) Beta(5,2) Chi-square(25) Beta(5,1) Chi-square(70)
Penarikan sampel berukuran n Kuasa Uji Performa Uji t

## Evaluasi Taraf Nyata Uji t
Sebagaimana  dikemukakan  pada  bagian  sebelumnya  uji  t  dikatakan  tegar  terhadap  asumsi kenormalan  apabila  sebaran  dari  statistik  t  tetap  dapat  didekati  dengan  cukup  baik  oleh  sebaran  t dengan db = n – 1 walaupun X atau data yang diuji tidak menyebar normal.  Evaluasi terhadap hal ini dilakukan dengan cara membandingkan proporsi penolakan H 0 dari Uji t dengan besarnya taraf nyata  pada berbagai sebaran data populasi pada kondisi H 0 benar.  Sebaran dari statistik t dapat didekati dengan cukup baik oleh sebaran t apabila proporsi penolakan H 0 tersebut dapat dikatakan sama dengan taraf nyata  yang ditetapkan.
Tabel  1  menyajikan  proporsi  tolak  H 0 dari  10000  kali  iterasi  pada  ketiga  tipe  H 1 uji  t  pada populasi sebaran normal  untuk setiap n yang dicobakan.
Tabel 1.  Proporsi Tolak H 0 untuk Ketiga Tipe Uji t untuk Populasi Sebaran Normal.
n µ < µ 0 µ > µ 0 µ ≠ µ 0 10 0.0513 0.0514 0.0519 15 0.0491 0.0527 0.0522 25 0.0465 0.0518 0.0504 40 0.0479 0.0498 0.0479 50 0.0484 0.0512 0.0516 100 0.0514 0.0495 0.0525
Tabel  1  menunjukkan  performa  ketiga  tipe  uji  t  pada  kondisi  data  populasi  menyebar  normal memperlihatkan bahwa proporsi penolakan H0 dapat dikatakan sama dengan taraf pengujian yang ditentukan yaitu 5%.  Hasil yang sama juga  terjadi untuk data populasi tipe kedua. Sedangkan pada kondisi  data  populasi  tipe  ketiga  proporsi  penolakan  H0  untuk  tiga  tipe  uji  t  diperoleh  bahwa proporsi  penolakan  H0-nya  berbeda  dengan  taraf  nyata  pengujian  sebesar  5%  yang  ditentukan. Pengaruh  ukuran  sampel  pada  ketiga  tipe  populasi  tersebut  secara  umum  adalah  bahwa  dengan semakin  meningkatnya  ukuran  sampel  proporsi  penolakan  H0  pada  ketiga  tipe  uji  t  semakin menurun.

## Evaluasi Kuasa Uji Kenormalan
Berikut ini disajikan kuasa uji kelima uji kenormalan yang dicobakan pada ketiga tipe populasi. Untuk  populasi    yang  menyebar  normal,  sebagaimana  terlihat  pada  Tabel  2,  pada  ukuran  sampel yang relatif kecil (kurang dari 50), uji kenormalan dari sisi skewness dan kurtosis memiliki kuasa uji yang  lebih  baik  dibandingkan  uji  kenormalan  lainnya.    Hanya  saja,  untuk  ukuran  sampel  yang relatif  besar  (di  atas  50)  uji  Kolmogorov-Smirnov  yang  lebih  baik  kuasa  ujinya  dibandingkan  uji kenormalan lainnya.
Tabel 2.  Kuasa Uji Kenormalan untuk Populasi Sebaran normal
N Anderson- Darling Ryan- Joiner Kolmogorov- Smirnov Skewness Kurtosis 10 0.0527 0.0522 0.0510 0.0345 0.0368 15 0.0576 0.0560 0.0549 0.0432 0.0431 25 0.0529 0.0559 0.0497 0.0493 0.0434 40 0.0577 0.0629 0.0557 0.0585 0.0535 50 0.0515 0.0616 0.0510 0.0568 0.0545 100 0.0543 0.0675 0.0535 0.0630 0.0627
Untuk  populasi  tipe  kedua  hasil  kuasa  ujinya  disajikan  pada  Lampiran    Tabel  3,  dari  tabel tersebut  terlihat  bahwa  untuk  sebaran  Beta,  Uji  Kolmogorov-Smirnov  secara  umum  lebih  baik kuasa  ujinya  pada  ukuran  sampel  yang  relatif  kecil  (kurang  dari  50),  sedangkan  untuk  ukuran sampel yang relatif besar (di atas 50), Uji Anderson-Darling menunjukkan kuasa uji yang lebih baik dibandingkan  uji  lainnya.    Untuk  dua  sebaran  lainnya,  yaitu  Gamma(200,1)  dan  Chi-square(350), Uji  Anderson-Darling  dan  Ryan  Joiner  menunjukkan  kuasa  uji  yang  lebih  baik  dibandingkan  uji lainnya  pada  ukuran  sampel  yang  relatif  kecil  (kurang  dari  50),  sedangkan  untuk  ukuran  sampel yang  relatif  besar  (di  atas  50)  uji  kenormalan  dari  sisi skewness menunjukkan  performa  kuasa  uji yang lebih baik.
Untuk  populasi  tipe  ketiga,  terutama  untuk  sebaran  Beta,  Uji  Anderson-Darling  memiliki performa  kuasa  uji  yang  paling  baik  dibandingkan  uji  lainnya  pada  berbagai  ukuran  sampel  yang dicobakan.  Untuk sebaran Gamma serta Chi-square pada ukuran sampel yang relatif kecil (kurang dari 50), secara umum Uji Ryan Joiner memiliki performa kuasa uji yang paling baik, namun untuk ukuran  sampel  yang  relatif  besar  (di  atas  50),  uji  kenormalan  dari  sisi skewness menunjukkan performa kuasa uji yang paling baik.
Evaluasi Performa Uji Kenormalan pada Ketiga Tipe H 1 Uji-t Apabila status penolakan H 0 uji kenormalan tersebut dikaitkan dengan status penolakan H 0 uji t yang dilakukan maka didapat hasil seperti yang dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel  4.  Tabulasi silang status penolak-an H 0 antara  uji  kenormalan dengan uji t
Uji t Uji kenormalan Total Terima H 0 Tolak H 0 Terima H 0 A B B1 Tolak H 0 C D B2 Total K1 K2 10000
Pada  Tabel  4,  nilai  a  dan  d  dapat  dipandang  sebagai  frekuensi  kecocokan  uji  kenormalan dengan  uji-t,  dalam  arti  bahwa  sampel  yang  dianggap  bersebaran  normal  oleh  uji  kenormalan setelah  dilakukan  uji  t  menunjukkan  bahwa  sampel  tersebut  mendukung  H 0 dalam  uji-t  dan sebaliknya.    Dengan  demikian,  nilai  b  dan  c  merupakan  frekuensi  ketidakcocokan  uji  kenormalan dengan  uji  t.    Apabila  kedua  nilai  ini  dijumlahkan  dan  dibagi  dengan  banyaknya  elemen  sampel yang  ditarik  dari  populasi  (yaitu  sebanyak  10000)  dan  dikalikan  100%  dapat  dipandang  sebagai persentase  ketidakcocokan  uji  kenormalan  dengan  uji-t.    Dengan  demikian,  persentase  ketidak- cocokan ini diharapkan kecil untuk ketiga tipe populasi yang dibangkitkan.  Persentase ketidakco- cokan  antara  uji  kenormalan  dengan  uji-t  pada  tipe  populasi  sebaran  normal  dan  beberapa  tipe populasi kedua dan beberapa sebaran tipe populasi ketiga disajikan pada Lampiran Tabel 5 - 9.
Pada  Tabel  5  dapat  dilihat  bahwa  untuk  populasi  yang  menyebar  normal  dan  pada  ukuran sampel yang relatif kecil (kurang dari 50), uji kenormalan dari sisi skewness dan kurtosis memiliki ketidakcocokan yang paling rendah (atau kecocokan yang paling tinggi) dengan uji yang dilakukan, sedangkan untuk ukuran sampel yang relatif besar (di atas 50) Uji Kolmogorov-Smirnov memiliki kecocokan yang paling tinggi.
Pada Tabel  6  -  7  menyajikan  presentase  ketidakcocokan  uji  kenormalan  dengan  uji    t  pada populasi    tipe  kedua  dengan  mengambil  contoh  hanya  2  sebaran  (sebaran  Beta(5,4)  dan Gamma(200,1)), Pada Tabel tersebut terlihat bahwa uji kenormalan dari sisi skewness dan kurtosis memiliki kecocokan yang paling tinggi dengan uji-t pada berbagai ukuran sampel yang dicobakan . Hasil yang serupa dengan populasi tipe kedua ini terlihat juga untuk populasi tipe ketiga (sebaran Beta(1,5) dan Chi-square(70)), di mana uji kenormalan dari sisi skewness dan kurtosis memiliki ke-
cocokan  yang  paling  tinggi  dengan  uji-t  yang  dilakukan  pada  berbagai  ukuran  sampel  yang dicobakan (lihat Tabel 8 - 9).  Dari hasil ini, Secara umum untuk pengujian asumsi kenormalan uji t bagi  pengujian  nilai  tengah  satu  populasi  direkomendasikan  untuk  menggunakan  uji  kenormalan dari sisi skewness dan kurtosis.

## KESIMPULAN
Evaluasi  Uji  t  terhadap  asumsi  kenormalan  menunjukkan  bahwa  Uji  t  tegar  terhadap  asumsi kenormalan selama sebaran populasi simetris.  Di antara kelima uji kenormalan yang dicobakan, Uji Anderson  Darling  menunjukkan  performa  kuasa  uji  yang  paling  baik.    Hanya  saja,  apabila dihubungkan dengan Uji t, Uji kenormalan dari sisi skewness dan kurtosis menunjukkan kecocokan yang  paling  tinggi  di  antara  kelima  uji  kenormalan  yang  dicobakan.  Sehingga  uji  ini direkomendasikan  untuk  digunakan  dalam  pemeriksaan  asumsi  kenormalan  untuk  Uji  t  untuk pengujian nilai tengah satu populasi. Selanjutnya disarankan untuk mengevaluasi keterkaitan uji ke- normalan dengan uji t bagi pengujian nilai tengah dua populasi atau lebih.

## DAFTAR PUSTAKA
Hair,  J.F.,  Anderson,  R.E.,  Tatham,  R.L.,  Black,  W.C.  1995. Multivariate  data  analysis  with readings. 4 th ed. .. New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.
Nasoetion, M. 2000. Pemeriksaan uji F di bawah H 0 ketika asumsi dilepaskan, Forum Statistika dan Komputasi ,  Edisi  Khusus,  53-54.  Bogor:  Jurusan  Statistika  Fakultas  Matematika  Ilmu Pengetahuan dan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Suryabuanaputra,  D.  2001.  Centrality  test  for    non-normal  and  skewed  population, Skripsi  yang tidak  dipublikasikan ,  Jurusan  Statistika  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan,  Institut Pertanian Bogor.

## LAMPIRAN
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 100 200 300 400 NORMAL(5,25) F re q u e n c y Histogram of NORMAL(5,25), with Normal Curve 0.0 0.5 1.0 0 100 200 300 400 500 600 BETA(5,5) F re q u e n c y Histogram of BETA(5,5), with Normal Curve
Gambar 2. Histogram Sebaran Normal(5,25)      Gambar 3. Histogram Sebaran Beta(5,5)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 100 200 300 400 BETA(4,5) F re q u e n c y Histogram of BETA(4,5), with Normal Curve 0.0 0.5 1.0 0 100 200 BETA(1,1) F re q u e n c y Histogram of BETA(1,1), with Normal Curve
Gambar 4. Histogram Sebaran Beta(4,5)             Gambar 5. Histogram Sebaran Beta(1,1)
0.0 0.5 1.0 0 100 200 300 400 500 BETA(5,4) F re q u e n c y Histogram of BETA(5,4), with Normal Curve 140 190 240 290 0 100 200 300 400 500 600 GAMMA(200,1) F re q u e n c y Histogram of GAMMA(200,1), with Normal Curve
Gambar 6. Histogram Sebaran Beta(5,4)    Gambar 7. Histogram Sebaran Gamma(200,1)
250 350 450 0 100 200 300 400 CHISQUARE(350) F re q u e n c y Histogram of CHISQUARE(350), with Normal Curve 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 100 200 300 400 500 600 700 BETA(1,5) F re q u e n c y Histogram of BETA(1,5), with Normal Curve
Gambar 8.  Histogram Sebaran                            Gambar 9. Histogram Sebaran Beta(1,5) Chi-square(350)
0.0 0.5 1.0 0 100 200 300 400 500 BETA(2,5) F re q u e n c y Histogram of BETA(2,5), with Normal Curve 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 100 200 300 400 BETA35 F re q u e n c y Histogram of BETA35, with Normal Curve
Gambar 10. Histogram Sebaran Beta(2,5)         Gambar 11. Histogram Sebaran Beta(3,5)
0.0 0.5 1.0 0 100 200 300 400 500 BETA(5,3) F re q u e n c y Histogram of BETA(5,3), with Normal Curve 0.0 0.5 1.0 0 100 200 300 400 500 BETA(5,2) F re q u e n c y Histogram of BETA(5,2), with Normal Curve
Gambar 12. Histogram Sebaran Beta(5,3)         Gambar 13. Histogram Sebaran Beta(5,2)
0.0 0.5 1.0 0 500 1000 BETA(5,1) F re q u e n c y Histogram of BETA(5,1), with Normal Curve 0 5 10 0 100 200 300 400 500 600 700 GAMMA(25,1) F re q u e n c y Histogram of GAMMA(25,1), with Normal Curve
Gambar 14. Histogram Sebaran
Gambar 15. Histogram Sebaran Beta(5,1) Gamma(2.5,1)
0 10 20 30 0 100 200 300 400 500 600 GAMMA(13,1) F re q u e n c y Histogram of GAMMA(13,1), with Normal Curve 20 30 40 50 60 0 100 200 300 400 GAMMA(35,1) F re q u e n c y Histogram of GAMMA(35,1), with Normal Curve
Gambar 16. Histogram Sebaran Gambar 17. Histogram Sebaran Gamma(13,1) Gamma(35,1)
0 10 20 30 0 100 200 300 400 500 600 700 800 CHISQUARE(5) F re q u e n c y Histogram of CHISQUARE(5), with Normal Curve 0 10 20 30 40 50 60 0 100 200 300 400 500 600 CHISQUARE(25) F re q u e n c y Curve Histogram of CHISQUARE(25), with Normal
Gambar 18. Histogram Sebaran
Gambar 19.  Histogram Sebaran
Chi-Square(5)
Chi-square(25)
40 90 140 0 100 200 300 400 500 600 700 CHISQUARE(70) F re q u e n c y
Histogram of CHISQUARE(70), with Normal Curve
Gambar 20.  Histogram Sebaran Chi-square(70)
Tabel 3.  Kuasa Uji Kenormalan untuk Populasi Tipe Kedua
Populasi n Anderson- Darling Ryan- Joiner Kolmogorov- Smirnov Skewness Kurtosis Beta(4,5) 10 0.0420 0.0343 0.0458 0.0200 0.0209 15 0.0440 0.0306 0.0460 0.0198 0.0156 25 0.0448 0.0259 0.0474 0.0176 0.0068
Populasi n Anderson- Darling Ryan- Joiner Kolmogorov- Smirnov Skewness Kurtosis 40 0.0536 0.0222 0.0532 0.0183 0.0043 50 0.0582 0.0256 0.0531 0.0190 0.0023 100 0.0888 0.0387 0.0693 0.0236 0.0109 Beta(5,5) 10 0.0392 0.0342 0.0411 0.0204 0.0230 15 0.0387 0.0267 0.0403 0.0181 0.0122 25 0.0433 0.0227 0.0430 0.0140 0.0104 40 0.0471 0.0184 0.0488 0.0110 0.0037 50 0.0463 0.0155 0.0432 0.0092 0.0020 100 0.0640 0.0223 0.0542 0.0089 0.0112 Beta(1,1) 10 0.0738 0.0400 0.0598 0.0082 0.0063 15 0.1148 0.0550 0.0760 0.0066 0.0010 25 0.2275 0.1120 0.1210 0.0040 0.0002 40 0.4365 0.2865 0.1972 0.0025 0.0225 50 0.5706 0.4439 0.2554 0.0024 0.1256 100 0.9452 0.9615 0.5840 0.0011 0.9349 Beta(5,4) 10 0.0420 0.0340 0.0449 0.0171 0.0172 15 0.0431 0.0291 0.0443 0.0160 0.0128 25 0.0491 0.0238 0.0501 0.0136 0.0058 40 0.0561 0.0218 0.0524 0.0117 0.0023 50 0.0662 0.0239 0.0554 0.0124 0.0014 100 0.1095 0.0493 0.0771 0.0184 0.0186 Gamma(200,1) 10 0.0520 0.0524 0.0521 0.0333 0.0353 15 0.0556 0.0560 0.0538 0.0453 0.0417 25 0.0599 0.0555 0.0541 0.0500 0.0393 40 0.0635 0.0587 0.0578 0.0590 0.0419 50 0.0664 0.0638 0.0599 0.0653 0.0472 100 0.0802 0.0768 0.0753 0.0866 0.0466 Chi- Square(350) 10 0.0536 0.0512 0.0530 0.0323 0.0349 15 0.0526 0.0550 0.0523 0.0422 0.0404 25 0.0633 0.0690 0.0537 0.0610 0.0515 40 0.0605 0.0695 0.0563 0.0709 0.0538 50 0.0683 0.0755 0.0617 0.0782 0.0571 100 0.0762 0.0947 0.0686 0.1057 0.0682
Tabel 5.  Persentase Ketidakcocokan Uji kenormalan dengan Uji-t pada Populasi Sebaran Normal
Hipotesis H 1 Uji Kenormalan n 10 15 25 40 50 100
µ < µ 0 Anderson-Darling 10.00 10.07 9.50 10.14 9.39 9.81 Ryan-Joiner 9.89 9.83 9.80 10.58 10.28 10.71 Kolmogorov- Smirnov 9.65 9.80 9.18 10.02 9.16 9.77 Skewness 8.34 8.75 9.24 10.10 9.84 10.50 Kurtosis 8.55 8.70 8.67 9.74 9.67 10.45
µ > µ 0 Anderson-Darling 9.85 10.43 9.89 10.19 9.85 9.92 Ryan-Joiner 9.82 10.29 10.31 10.83 10.76 11.10 Kolmogorov- Smirnov 9.66 10.06 9.61 10.01 9.78 9.64 Skewness 8.31 9.17 9.65 10.45 10.30 10.69 Kurtosis 8.48 9.16 9.22 9.95 10.21 10.72 µ ≠ µ 0 Anderson-Darling 9.88 10.38 9.93 10.12 9.85 10.20 Ryan-Joiner 9.79 10.12 10.25 10.68 10.72 11.28 Kolmogorov- Smirnov 9.51 10.03 9.57 9.94 9.58 10.00 Skewness 8.32 9.04 9.61 10.14 10.18 10.79 Kurtosis 8.49 9.05 9.08 9.84 10.15 10.82
Tabel 6. Persentase Ketidakcocokan Uji Kenormalan dengan Uji-t pada Populasi Sebaran Beta(4,5) (Populasi Tipe Kedua)
Hipotesis H 1 Uji Kenormalan n 10 15 25 40 50 100 µ < µ 0 Anderson-Darling 8.97 9.04 9.19 9.82 10.04 12.85 Ryan-Joiner 8.34 7.84 7.56 7.04 6.86 8.24 Kolmogorov- Smirnov 9.35 9.36 9.45 9.94 9.61 11.14 Skewness 7.01 6.98 6.73 6.63 6.08 6.59 Kurtosis 7.18 6.58 5.93 5.53 4.95 6.08 µ > µ 0 Anderson-Darling 8.42 8.39 8.65 9.42 10.23 13.23 Ryan-Joiner 7.59 7.19 6.84 6.46 7.15 8.64 Kolmogorov- Smirnov 8.76 8.49 8.83 9.32 9.66 11.32 Skewness 6.18 6.17 6.11 6.17 6.55 7.25 Kurtosis 6.29 5.83 5.13 4.83 5.08 5.98 µ ≠ µ 0 Anderson-Darling 8.62 8.81 8.71 9.44 9.91 13.16 Ryan-Joiner 8.03 7.75 6.96 6.58 6.85 8.49 Kolmogorov- Smirnov 9.08 8.91 8.83 9.44 9.40 11.23 Skewness 6.80 6.71 6.17 6.27 6.15 6.98 Kurtosis 6.89 6.39 5.37 5.03 4.78 6.11
Tabel  7.    Persentase  Ketidakcocokan  Uji  kenormalan  dengan  Uji-t  pada  Populasi  Sebaran Gamma(200,1) (Populasi Tipe Kedua)
Hipotesis H 1 Uji Kenormalan n 10 15 25 40 50 100 µ < µ 0 Anderson-Darling 10.72 10.34 10.44 11.19 11.16  12.15 Ryan-Joiner 10.66 10.22 10.06 10.79 10.92  11.65
Kolmogorov- Smirnov 10.57 10.16 9.86 10.68 10.47  11.66 Skewness 8.91 9.33 9.55 10.86 11.11  12.47 Kurtosis 9.13 8.99 8.54 9.13 9.52 9.09 µ > µ 0 Anderson-Darling 9.48 9.53 10.00 10.28 10.86  11.81 Ryan-Joiner 9.60 9.65 9.60 9.88 10.56  11.53 Kolmogorov- Smirnov 9.59 9.37 9.42 9.75 10.35  11.42 Skewness 7.87 8.68 9.09 9.93 10.63  12.41 Kurtosis 7.97 8.30 8.06 8.34 9.06 8.69 µ ≠ µ 0 Anderson-Darling 10.08 10.04 10.12 10.89 10.94  11.91 Ryan-Joiner 10.04 9.96 9.80 10.47 10.74  11.63 Kolmogorov- Smirnov 10.09 9.82 9.54 10.32 10.25  11.38 Skewness 8.31 9.07 9.33 10.54 10.91  12.51 Kurtosis 8.45 8.69 8.30 8.83 9.20 8.93
Tabel 8. Persentase Ketidakcocokan Uji kenormalan dengan Uji-t pada Populasi Sebaran Beta(1,5) (Populasi Tipe Ketiga)
Hipotesis H 1 Uji Kenormalan N 10 15 25 40 50 100 µ < µ 0 Anderson-Darling 31.47 42.56 65.99 84.66 90.17 93.49 Ryan-Joiner 30.90 42.63 67.27 86.07 91.42 93.51 Kolmogorov- Smirnov 25.49 32.12 46.57 65.88 76.82 93.03 Skewness 23.47 33.08 53.49 75.61 85.10 93.39 Kurtosis 19.58 21.31 24.78 29.84 33.33 47.21 µ > µ 0 Anderson-Darling 27.92 43.30 70.24 89.96 94.67 96.49 Ryan-Joiner 27.37 43.65 71.92 91.75 95.76 96.51 Kolmogorov- Smirnov 20.86 30.42 47.64 70.54 81.64 96.23 Skewness 18.24 31.70 56.88 81.69 90.32 96.45 Kurtosis 13.55 17.55 23.61 30.96 34.99 50.93 µ ≠ µ 0 Anderson-Darling 30.87 43.09 67.89 86.88 91.82 94.57 Ryan-Joiner 30.30 43.42 69.31 88.43 92.95 94.59 Kolmogorov- Smirnov 24.21 31.95 47.35 67.88 78.53 94.25 Skewness 22.19 33.11 55.07 78.19 86.97 94.53 Kurtosis 17.98 20.52 24.62 30.56 34.06 48.93
Tabel  9.  Persentase  Ketidakcocokan  Uji  kenormalan  dengan  Uji-t  pada  Populasi  Sebaran  Chi- square(70) (Populasi Tipe Ketiga)
Hipotesis Uji Kenormalan
n
H 1 10 15 25 40 50 100 µ < µ 0 Anderson-Darling 11.61 12.22 13.33 14.72 15.19 22.66 Ryan-Joiner 12.02 12.62 14.06 16.16 17.08 25.70 Kolmogorov- Smirnov 11.46 11.72 12.43 13.32 13.79 18.56 Skewness 10.11 11.44 13.73 17.14 19.17 29.93 Kurtosis 10.25 10.58 11.73 12.20 12.34 13.34 µ > µ 0 Anderson-Darling 9.42 10.62 11.58 13.99 14.64 21.65 Ryan-Joiner 9.83 11.02 12.37 15.65 16.67 25.21 Kolmogorov- Smirnov 9.19 10.04 10.40 12.51 13.08 17.81 Skewness 7.96 9.80 12.00 16.43 18.80 29.48 Kurtosis 7.96 9.00 9.84 11.61 11.79 12.95 µ ≠ µ 0 Anderson-Darling 10.45 11.67 12.40 14.32 15.02 22.02 Ryan-Joiner 10.88 12.21 13.03 15.82 16.89 25.42 Kolmogorov- Smirnov 10.14 11.31 11.54 12.88 13.50 17.94 Skewness 8.99 10.85 12.66 16.74 18.82 29.71 Kurtosis 9.05 10.11 10.66 11.78 12.01 13.08