Model Rantai Pasok Pada Sistem Produksi Menggunakan Petri Net dan Aljabar Max Plus
Ahmad Afif 1 , Dian Mustofani 2
1 Institut Ilmu Kesehatan Bhakti Wiyata Kediri, ahmad.afif@iik.ac.id
2 Institut Ilmu Kesehatan Bhakti Wiyata Kediri, dian.mustofani@iik.ac.id
Abstract. Supply chain production system is a process of coordination and integration  of  activities  ranging  from  the  procurement  of  goods  and services, transforming raw materials into semi-finished goods and finished goods, to distribute to the consumers in an efficient manner. Supply chain analysis is used to regulate the supply of the production system so as not to overload  so  that  it  can  reduce  the  costs  of  the  entire  production  system which  includes  the  costs  of  processing,  transportation  and  distribution  of raw  materials,  semi-finished  goods  and  finished  goods.  Petrinet  can describe  the  supply  chain  model  as  a  dynamic  production  systems  with discrete events with max plus algebra approach to help calculate the length of time in the distribution and production in the supply chain.
Keywords: supply chain, production system, petri net, max plus algebra
Abstrak. Rantai pasok pada sistem produksi merupakan proses koordinasi dan  integrasi  kegiatan  mulai  dari  pengadaan  barang  dan  jasa,  mengubah bahan  baku  menjadi  barang  setengah  jadi  dan  barang  jadi,  hingga mendistribusikan  kepada  konsumen  dengan  cara  efisien.  Analisis  rantai pasok  dipakai  untuk  mengatur  pasokan  dari  sistem  produksi  supaya  tidak terjadi overload sehingga  dapat  mengurangi  biaya  dari  keseluruhan  sistem produksi yang meliputi biaya pengolahan, transportasi dan distribusi bahan baku, barang setengah jadi dan barang jadi. Petrinet dapat menggambarkan model rantai pasok sebagai sistem produksi yang dinamis dengan kejadian diskrit  dengan  pendekatan  aljabar  max  plus  untuk  membantu  menghitung lamanya waktu dalam pendistribusian dan produksi dalam rantai pasok.
Kata kunci : rantai pasok, sistem produksi, petri net, aljabar max plus

## 1. Pendahuluan
Persaingan  produksi  dalam  pasar  global  semakin  ketat,  pengenalan  produk kepada pelanggan semakin cepat dan tentu harapan terhadap produk dan jasa juga semakin  tinggi.  Hal  ini  memaksa  semua  perusahaan  untuk  lebih  memfokuskan perhatian  dalam  proses  persediaan  produk  atau  jasa  demi  menunjang kelangsungan  usahanya.  Perkembangan  sistem  transportasi  dan  komunikasi membawa  pengaruh  besar  terhadap  perubahan  rantai  produksi  dan  manajemen distribusinya.
Dalam  (Guritno  &  Harsasi,  n.d.)  suatu  rantai  produksi,  bahan  baku  diperoleh dan  diproduksi  dalam  proses  pengolahan,  kemudian  dikirim  ke  gudang
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
penyimpanan,  hingga  diterima  pengecer  ( retailer )  atau  pelanggan.  Sehingga barang  yang  akan diproduksi harus sesuai  dengan jumlah, waktu  dan tujuan dari rencana awal produksi untuk mencapai biaya minimum. Untuk mengurangi biaya operasional  dan meningkatkan kualitas pelayanan, perlu dilakukan strategi rantai persediaan  yang  efektif  dan  efisien.  Rantai  persediaan  atau  jaringan  logistik, terdiri  dari  penyalur,  manufaktur,  gudang,  distribusi  dan  retailer,  seperti  halnya bahan baku, barang setengah jadi dan barang jadi.
Analisis  rantai  pasok  muncul  sebagai  solusi  untuk  mengefisiensi  biaya seoptimal  mungkin  dari  keseluruhan  sistem  produksi  yang  meliputi  biaya transportasi  dan  distribusi  ke  sentral  bahan  baku,  barang  setengah  jadi  dalam proses  pengolahan  dan  barang  jadi.  (Guritno  &  Harsasi,  n.d.)  Menyebutkan penekanan  biaya  tidak  semata  –  mata  sebagai  upaya  memperkecil  ongkos transportasi  atau  mengurangi  persediaan  yang  ada,  melainkan  sebagai  upaya pengembangan melalui perubahan sistem secara keseluruhan untuk  menyediakan material  sampai  produk  yang  ditunjang  dengan  teknologi  yang  memadai  dalam keseluruhan sistem rantai pasok yang ada.
Dalam  tulisan  ini  akan  dibangun  model  petrinet  yang  menggambarkan  rantai pasok  sebagai  sistem  produksi  yang  dinamis  dengan  kejadian  diskrit  dan menyajikan  petrinet  dengan  pendekatan  pemodelan  aljabar  max  plus  untuk membantu menghitung lamanya waktu dalam pendistribusian dan produksi dalam rantai  pasok.  Sistem  produksi  dalam  penelitian  ini  terdiri  dari  dua  produsen penyedia  bahan  baku  dan  satu  produsen  kemasan  yang  kemudian  berproduksi menjadi  satu  secara  bersama  dalam  memproduksi  barang  siap  pakai  hingga disalurkan  kepada  dua  jenis  konsumen  yang  berbeda,  yaitu  tradisional  dan modern.

## 2. Landasan Teori

## 2.1 Rantai Pasok
Manajemen rantai pasok pertama kali dikenalkan oleh Weber dan Oliver pada tahun  1982.  Manajemen  rantai  pasok merupakan  proses  koordinasi  dan  integrasi kegiatan  yang  dimulai  dari  pengadaan  barang  dan  jasa,  mengubah  bahan  baku menjadi  barang  dalam  proses  dan  barang  jadi,  dan  mengantarkan  barang-barang tersebut kepada para pelanggannya dengan cara efisien. Koordinasi dan integrasi merupakan  elemen  penting  untuk  melakukan  upaya  sinkronisasi  sehingga  bila semuanya  dilakukan  dengan  baik  maka  efisiensi  biaya  akan  diperoleh  dan  dapat digunakan sebagai strategi bersaing terhadap kompetitor lain.
Elemen-elemen yang mempengaruhi rantai pasok diantaranya adalah supplier , pusat  manufaktur,  gudang,  pusat  distribusi,  sistem  transportasi, retail  outlet ,  dan konsumen.  Agar  rantai  pasok  dapat  berjalan  dengan  baik  diperlukan  koordinasi yang bagus antar elemen rantai pasok tersebut. Selain itu kondisi yang baik setiap elemen juga dapat mempengaruhi berjalannya rantai pasokan.
Salah  satu  cara  untuk  dapat  mengkoordinasi  antara  elemen-elemen  sistem rantai  pasok  adalah  dengan  membuat  model  dan  menganalisis  sistem  kompleks dari  rantai  pasok.  Hal  ini  merupakan  hal  yang  penting  agar  dapat  mengevaluasi kinerja dan membuat perbandingan jalanya rantai pasok.

## 2.2 Petri Net
Petri  net  dikembangkan  pertama  kali  oleh  matematikawan  asal  Jerman  yang bernama  Carl  Adam  Petri  pada  tahun  1962.  Petri  net  merupakan  alat  bantu memodelkan system  event  diskrite . System  event  diskrite adalah  suatu  sistem dimana ruang keadaan dijabarkan oleh himpunan diskrit {0, 1, 2, ...} dan transisi keadaan  hanya  diamati  pada  titik  diskrit  dalam  waktu.  Jadi,  perubahan  keadaan pada system  event  diskrite diakibatkan  oleh  terjadinya event (Wattimena,  Freya N., Pentury, 2012) .
Petri  net  merupakan  graf  berarah  yang  memiliki  dua node yang  dinamakan sebagai Place dan Transisi.  Place dilambangkan  sebagai  lingkaran  ( circles )  dan Transisi dilambangkan  sebagai  persegi  panjang  ( bars )  (Wattimena,  Freya  N., Pentury, 2012). Setiap place dapat berisi satu atau lebih token , yang dilambangkan dengan  bulatan  kecil  ( dots ).  Antara place dan transisi dihubungkan  oleh  anak panah ( arc ). Pada petri net graf diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan  dua node atau  lebih  dengan  memberikan  bobot  ke  setiap arc yang menyatakan jumlah arc (Mustofani, Dian., Afif, 2018).
Petri  net  dengan waktu  ( timed petri net ) dikarakterisasi  oleh dan
dimana adalah  himpunan place , adalah  himpunan transisi , adalah himpunan arc , adalah  bobot  masing  –  masing arc , adalah  keadaan  awal token  pada  setiap place dan adalah  vektor  yang  elemen  –  elemennya menunjukkan  waktu  yang  diperlukan  token  berada  dalam place sebelum downstream transisi enabled .
Transisi pada  petri  net  menyatakan event pada system  event  diskrete.  Event dapat terjadi jika terpenuhi terlebih dahulu beberapa keadaan. Keadaan pada petri net  dinyatakan  dengan place . Place dapat  berfungsi  sebagai  masukan  atau keluaran  suatu  transisi. Place sebagai  masukan  menyatakan  keadaan  yang  harus dipenuhi  agar transisi dapat  terjadi.  Setelah  transisi  terjadi  maka  keadaan  akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah keluaran dari transisi.

## 2.3 Ajabar Max-Plus
Aljabar  max-plus  merupakan  perluasan  aljabar  linier  biasa,  dimana  operasi yang  digunakan  adalah  maksimum dan  tambah.  Elemen  dari  aljabar  max-plus adalah  bilangan  real  dan .  Selanjutnya,  himpunan { } ditulis dengan adalah    himpunan  bilangan  real  dan
.  Pada didefinisikan
operasi berikut:
{    } dan dimana operasi dibaca o-plus dan dibaca o-times . Diberikan merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan . Untuk mempermudah penulisan semiring ditulis sebagai . Pemilihan  simbol dan dalam  aljabar  max-plus  masing  –  masing merupakan analogi dari operasi dan . Sehingga proses perkalian dua matriks pada aljabar max-plus dapat juga disamakan dengan aljabar linier biasa. Perkalian dua matriks pada aljabar  linier  biasa menggunakan operasi  “kali” dan  “tambah”, sedangkan  pada  aljabar  max-plus  menggunakan  operasi  “tambah”  dan “maksimum”  sebagai  ganti  dari  operasi  “kali”  dan  “tambah”  yang  digunakan proses perkalian dua matriks pada aljabar biasa.
[     ] { }
dan
[     ] ⨁
{ }
untuk setiap .

## 3. Pembahasan
Untuk  membuat  sebuah  manajeman  rantai  pasok  diperlukan  adanya  urutan pengelolaan  barang  dan  jasa  yang  ada  didalamnya.  Dimana  dalam  urutan pengelolaan  tersebut  harus  diketahui  gambaran  sesungguhnya  dan  lengkap  yang memperlihatkan keseluruhan mata rantai yang ada, dimulai dari awal pengelolaan hingga  akhir.  Rantai  pasok  pada  sistem  produksi  berikut  terdiri  dua  produsen penyedia  bahan  baku  dan  satu  produsen  kemasan  yang  kemudian  berproduksi menjadi  satu  secara  bersama  dalam  memproduksi  barang  siap  pakai  hingga disalurkan  kepada  dua  jenis  konsumen  yang  berbeda,  yaitu  tradisional  dan modern. Secara alur dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2. Rantai pasok pada sistem produksi
Pada  setiap  proses  pengolahan  bahan  baku  dan  produksi  kemasan  hingga produksi  barang  jadi  terdapat  sistem  produksi  sendiri  yang  meliputi  penyediaan bahan  baku,  gudang,  produksi  dan  pengiriman  sehingga  akan  terjadi  beberapa proses  antrian.  Proses  antrian  terjadi  dikarenakan  pada  proses  pengolahan  dan produksi  di  asumsikan  hanya  memiliki  seperangkat  mesin  produksi  dan  pada pengiriman  hanya  mampu  mengangkut  satu  kali  produksi.  Sehingga  proses pengolahan  dan  produksi  berikutnya  akan  selalu  menunggu  produksi  dan pengiriman  selesai  sampai  pada  tahap  berikutnya.  Sedangkan  transportasi  pada distribusi  barang  jadi  ke  konsumen  dilakukan  oleh  2  kendaraan  sejenis  yang saling  bergantian  untuk  melakukan  distribusi  ke  konsumen  tradisional  dan modern.  Konsumen  tradisional  meliputi  retail  dari  pertokoan  kecil  dan  pasar, sedangkan konsumen modern meliputi swalayan dan kebutuhan ekspor.
Input  bahan  baku  dan  kemasan  terdapat  buffer  dengan  kapasitas  yang  cukup besar  untuk  menjamin  bahwa  buffer  tidak  akan  pernah  overflow.  Suatu  unit pemroses hanya bisa mulai bekerja untuk melanjutkan tahap berikutnya jika telah menyelesaikan proses sebelumnya. Diasumsikan juga bahwa setiap unit pemroses sesegera mungkin mulai bekerja bila semua komponen pendukung telah tersedia. Selanjutnya,  rantai  pasok  pada  sistem  produksi  disimulasikan  dengan  petri  net yang dibuat dengan program PIPE sebagai berikut.
Pengolahan bahan baku I Pengolahan bahan
baku II
Produksi jadi konsumen I konsumen II Produksi setengah jadi Produksi kemasan
Gambar 3. Petri net pada rantai pasok pada sistem produksi
Rantai  pasok  pada  sistem  produksi  yang  telah  disimulasikan  dengan  petri net  akan  dimodelkan  menggunakan  aljabar  max-plus  untuk  mengetahui  kinerja dari rantai  pasok pada  sistem produksi,  yaitu mengetahui  lama  waktu  dan waktu berakhirnya proses produksi. Berikut diberikan pendefinisian variabel pada model rantai pasok pada sistem produksi.

## Tabel 1. Pendefinisian Variabel
Var. Definisi Model Rantai Pasok Sistem Produksi Var. Definisi Model Rantai Pasok Sistem Produksi Waktu  pemasok  bahan  baku  I saat ke- Lamanya  memasok  bahan  baku  I saat ke- Waktu pengolahan bahan baku I saat ke- Lamanya  mengolah  bahan  baku  I saat ke- Waktu  mulai  distribusi  hasil pengolahan  bahan  baku  I  saat ke- Lamanya mendistribusi hasil pengolahan bahan baku I saat ke- Waktu  pemasok  bahan  baku  II saat ke- Lamanya  memasok  bahan  baku  II saat ke- Waktu  pengolahan  bahan  baku II saat ke- Lamanya  mengolah  bahan  baku  II saat ke- Waktu  mulai  distribusi  hasil pengolahan  bahan  baku  II  saat ke- Lamanya mendistribusi hasil pengolahan bahan baku II saat ke- Waktu produksi barang setengah jadi saat ke- Lamanya memproduksi barang setengah jadi saat ke- Waktu  mulai  distribusi  barang setengah jadi saat ke- Lamanya mendistribusi barang setengah jadi saat ke- Waktu  pemasok  bahan  kemasan saat ke- Lamanya  memasok  bahan kemasan saat ke- Waktu  produksi  bahan  kemasan saat ke- Lamanya memproduksi bahan kemasan  saat ke- Waktu  mulai  distribusi  produk kemasan saat ke- Lamanya mendistribusi produk kemasan saat ke- Waktu perakitan barang jadi saat ke- Lamanya  merakit  barang  jadi  saat ke-

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Waktu mulai distribusi ke konsumen modern saat ke- Lamanya mendistribusi ke konsumen modern saat ke- Waktu  diterima  di  konsumen modern saat ke- Lamanya  berada  di  konsumen modern saat ke- Waktu mulai distribusi ke konsumen tradisional saat ke- Lamanya mendistribusi ke konsumen tradisional saat ke- Waktu  diterima  di  konsumen tradisional saat ke- Lamanya  berada  di  konsumen tradisional saat ke-
Berdasarkan  Tabel  Pendefinisian  Variabel  dan  model  petri  net  maka  dapat disusun  model  aljabar  max-plus  untuk  rantai  pasok  pada  sistem  produksi  dalam bentuk matriks sebagai berikut.
{
dengan dan sebagai berikut. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[
]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Diberikan  contoh  permasalahan  rantai  pasok  pada  sistem  produksi  jika diberikan  nilai  lamanya  waktu  pada  masing  –  masing  proses  produksi  sebagai berikut.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Tabel 2. Daftar Proses Sistem Produksi
Kode Lama Proses Produksi Waktu (hari) Lamanya memasok bahan baku I saat ke- 2 Lamanya mengolah bahan baku I saat ke- 1 Lamanya  mendistribusi  hasil  pengolahan  bahan  baku  I  saat ke- 2 Lamanya memasok bahan baku II saat ke- 3 Lamanya mengolah bahan baku II saat ke- 2 Lamanya  mendistribusi  hasil  pengolahan  bahan  baku  II  saat ke- 1 Lamanya memproduksi barang setengah jadi saat ke- 2 Lamanya mendistribusi barang setengah jadi saat ke- 3 Lamanya memasok bahan kemasan saat ke- 4 Lamanya memproduksi bahan kemasan  saat ke- 2 Lamanya mendistribusi produk kemasan saat ke- 2 Lamanya merakit barang jadi saat ke- 2 Lamanya mendistribusi ke konsumen modern saat ke- 3 Lamanya mendistribusi ke konsumen tradisional saat ke- 2
Selanjutnya  dari  lamanya  waktu  yang  diberikan  untuk  satu  kali  produksi  jika saat ke-0 adalah tanggal 1 Februari, maka saat mulai produksi ke- bahan baku I akan  tersedia  pada  3  Februari,  bahan  baku  II  akan  tersedia  pada  4  Februari  dan bahan kemasan  akan tersedia pada 5 Februari. Hingga dibutuhkan waktu  16 hari dan  15  hari  untuk  menyelesaikan  sampai  pada  masing  –  masing    konsumen modern  dan  tradisional,  yaitu  tanggal  17  Februari  dan  16  Februari.  Berikut diberikan hasil saat ke . Var. Waktu Proses Produksi Waktu pemasok bahan baku I saat ke- 2 4 6 Waktu  mulai  distribusi  hasil  pengolahan  bahan baku I saat ke- 3 5 7 Waktu pemasok bahan baku II saat ke- 3 6 9 Waktu  mulai  distribusi  hasil  pengolahan  bahan baku II saat ke- 5 8 11 Waktu  mulai  distribusi  barang  setengah  jadi  saat ke- 8 11 14 Waktu pemasok bahan kemasan saat ke- 4 8 12 Waktu mulai distribusi produk kemasan saat ke- 6 10 14 Waktu diterima di swalayan dan ekspor saat ke- 16 19 22 Waktu diterima di pasar dan toko saat ke- 15 18 21

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan model petri net dan aljabar max plus pada rantai pasok sistem produksi  diatas  dapat  diketahui  lamanya  waktu  proses  pendistribusian  dan produksi  dari  bahan  baku  dan  kemasan  hingga  diterima  konsumen  modern  dan
tradisional.  Hasil  lamanya  waktu  tersebut  dapat  dipakai  mengatur  rantai  pasok sistem  produksi  supaya  tidak  terjadi overload sehingga  dapat  mengurangi  biaya dari  keseluruhan  sistem  produksi  yang  meliputi  biaya  pengolahan,  transportasi dan distribusi bahan baku, barang setengah jadi dan barang jadi.

## 5. Daftar Pustaka
B.  Heidergott,  G.  J.  Olsder,  and  J.  van  der  Woude,  2006, Max  Plus  at  Work, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
Baccelli,  F.,  G.  Cohen,  G.J.  Olsder,  and  J.-P.  Quadrat.  ,  1992, Synchronization and Linearity , John Wiley and Sons, New York. Guritno,  A.  D.,  &  Harsasi,  M.  (n.d.). Pengantar  Manajemen  Rantai  Pasok  ( Supply Chain Management ) . 1–35. Mustofani,  Dian.,  Afif,  A.  (2018). Model  Antrian  Pelayanan  Farmasi Menggunakan  Petri  Net  Dan  Aljabar  Max-Plus . 3 (2502–9878),  33–43. Retrieved from https://www.journal.unipdu.ac.id/index.php/jmpm/article/view/1055 Viswanadham,  N.  Raghvan  Srinivasa,  NR.,  2000, Performance  Analysis  and Design of Supply Chains : a Petri net Approach, Journal of The Operational Research Society Vol.51, No.10, 1158-1169.
Wattimena,  Freya  N.,  Pentury,  T.  (2012). The  Application  of  Petri  Net  in Electricity Bill Payment System of . 6 (1), 23–30.