## Kestabilan Global Endemik Model Epidemi SEIR
Global Stability Endemic of SEIR Epidemic Model
Roni Tri Putra 1) , Sukatik 2) , Sri Nita 3) & Yandraini Yunida 4)
1),2) Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang, Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576 Email: putra_tryronny@yahoo.co.id dan atik_wiryosentono@yahoo.co.id
3),4) Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang, Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576 Email : srinita0610@gmail.com dan yandraini_ec@yahoo.co.id

## ABSTRACT
In this paper, it will be studied global stability endemic of equilibrium points of  a SEIR model with infectious force in latent, infected and immune period. From the model it will be found investigated the existence and its stability of points its equilibrium. The global stability of equilibrium points is depending on the value of the basic reproduction  number If there is  a  unique  endemic equilibrium  which  is  globally asymptotically stable.
Keywords : a basic reproduction number, stability, equilibrium points

## PENDAHULUAN
Penerapan model matematika  dan teknik matematika untuk mendalami masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences . Salah satu cabang mathematical  biosciences adalah mathematical epidemiology , yang mempelajari tentang penyebaran dan pengendalian  penyakit.  Mempelajari  model epidemi yang didalamnya termasuk penyakit  penyebab  kematian  pada  suatu populasi total  yang  berubah  merupakan  hal penting dalam mathematical epidemiology .
Epidemiology merupakan  suatu  cabang ilmu  yang  mempelajari  bagaimana  terjadi epidemic  dalam  suatu  populasi  makhluk hidup.  Dengan  menggunakan  pemodelan matematika  yang  didasarkan  pada  asumsi- asumsi  tertentu,  diharapkan  dari  model yang  disusun  dapat  menjelaskan  fenomena dan  mengambil  tindakan  apa  yang  harus dilakukan jika terjadi epidemi.
Ada    berbagai  model  matematika epidemi  yang  dikenal    berdasarkan    sifat atau ciri – ciri penyakitnya. Misalnya dan berturut  –  turut  menunjukkan Susceptible (kelas populasi yang rentan),
Exposed (kelas populasi yang laten), Infectious (kelas  populasi  yang terinfeksi)  dan Recovered (kelas  populasi yang sembuh).
Dengan berbagai asumsi, dikenal berbagai  model  epidemi,  diantaranya  SIR, SIRS,  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS.  Dalam model SIR, individu yang sembuh mempunyai  kekebalan  sehingga  tidak  lagi menjadi  rentan,  sedangkan  untuk  model SIRS  individu  yang  sudah  sembuh  tidak memiliki  kekebalan  terhadap  penyakit tersebut sehingga dapat menjadi rentan lagi. Dalam  model  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS individu  yang  rentan  melalui  masa  laten setelah terinfeksi sebelum menjadi terjangkit.
Beberapa  penyakit  seperti  cacar  air ( measles ),  gondong  ( mumps ), tubercoluses , Human  Immunodeficiency  Virus (HIV) mempunyai  periode  laten  ( laten  period ). Periode  laten  adalah  selang  waktu  dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit.  Adanya periode  laten  ini  menjadi alas an pembentukan  model  epidemi SEIR, yakni  munculnya  kelas exposed .  Dalam tulisan  ini  hanya  akan  dibahas  model epidemi SEIR.
Dari  berbagai  literatur  belum  banyak yang  mengkaji  model  matematika  epidemi SEIR  secara  sistematis.  Sejalan  dengan masalah  yang  akan  dibahas,  penelitian  ini mempunyai tujuan sebagai berikut :
1. Membentuk model matematika epidemi SEIR pada populasi manusia
2. Menentukan titik – titik ekuilibrium model tersebut
3. Menyelidiki  kestabilan  titik  –  titik ekuilibrium model tersebut
4. Mengaplikasikan  kriteria  kestabilan matriks pada model epidemi SEIR.
Hasil penelitian ini diharapkan dapat :
1. Secara  umum  diharapkan  dapat memberikan manfaat dan sumbangan terhadap ilmu pengetahuan, serta untuk menambah wawasan  khususnya  dalam  bidang matematika terapan.
2. Secara  khusus  diharapkan  dapat memberikan gambaran tentang
model epidemi SEIR dengan kemampuan  infeksi  pada  kelas laten, infeksi dan sembuh.
Kermack  dan  McKendrick  (1927)  telah memperkenalkan  model  epidemi.  Dalam penelitian  ini    dipertimbangkan    4  kelas populasi    yaitu (rentan), (laten), (infeksi) dan   (sembuh). Anderson (1979) mempertimbangkan  masalah  ini  dalam suatu  tikus  –  tikus  percobaan.  Pearl  dan Reed (1920) memperkenalkan model pertumbuhan logistik. Perko (1991) menjelaskan  pengertian  titik  ekuilibrium pada  sistem  persamaan  diferensial  dan menjelaskan  definisi  nilai  eigen  dan  vektor eigen.  Arrowsmith  (1992)  menjelaskan transformasi  dengan  matriks  Jordan  dan sistem  persamaan  diferensial  linear  dengan matriks berukuran .
Salah  satu  masalah  klasik  yang  sering dihadapi dalam  matematika epidemi adalah menganalisis kestabilan global titik ekuilibrium. Kestabilan itu sendiri ada yang bersifat  lokal  dan  ada  yang  bersifat  global. Kestabilan  lokal  mudah  ditentukan  dengan
pendekatan  linier,  sedangkan  kestabilan global cukup sulit ditentukan.

## METODOLOGI
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah  dengan  mempelajari  jurnal  –  jurnal dan  buku  –  buku    yang  berhubungan dengan penyakit epidemi, khususnya model SEIR.  Oleh  karenanya  materi  yang  diteliti sebagian  besar  bersumber  dari  hasil  karya ilmiah para pakar matematika dalam bentuk buku.  Prosedur  penelitian  diawali  dengan pemisalan, menentukan asumsi dan mendefinisikan  parameter  yang  digunakan pada  model.  Setelah  itu  dibentuk  model matematika epidemi SEIR tersebut.
Selanjutnya, menentukan titik – titik ekuilibrium model tersebut dengan menggunakan  definisi  titik  ekuilibrium suatu sistem persamaan diferensial. Setelah menentukan  titik  –  titik  ekuilibrium  model tersebut,  langkah  selanjutnya  menyelidiki sifat kestabilan lokal titik – titik ekuilibrium model tersebut. Untuk menyelidiki kestabilan  lokal  dilakukan  linearisasi  pada sistem dengan menentukan matriks Jacobian  di  titik  ekuilibrium.  Selanjutnya menentukan  nilai  eigen  dari  matriks Jacobian  tersebut  dengan  menggunakan definisi  polinomial  karakteristik  suatu matriks.  Salah  satu  alternatif  menentukan nilai  eigen  dari  polinomial  karakteristik suatu  matriks  digunakan  juga  Teorema Routh – Hurwitz.
Selain itu, sifat kestabilan lokal titik ekuilibrium  pada  sistem  dapat  ditentukan dengan fungsi Lyapunov dan menggunakan teorema  himpunan  invarian.  Selanjutnya, dengan  menggunakan  teorema  himpunan invarian,  jika  dapat  diperluas  sehingga berlaku  untuk  seluruh  domain  sistem  maka berlaku sifat kestabilan global.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model SEIR diterapkan pada penyakit  yang  memiliki  masa  inkubasi cukup  lama.  Pada  umumnya  selama  masa laten tersebut individu tidak bisa menularkan  penyakit,  tetapi  pada  beberapa
penyakit  seperti  malaria,  individu  yang berada  dalam  masa  laten,  infeksi  dan sembuh  mempunyai  kemungkinan  untuk menularkan  penyakit.  Pada  model  SEIR populasi dibagi menjadi 4 kelas (subpopulasi) yaitu
a. Kelas   (Susceptible)   menyatakan
kelas individu yang rentan b. Kelas (Exposed)  menyatakan kelas  individu  yang  telah  terinfeksi tapi belum sakit (laten) c. Kelas (Infectious)  menyatakan kelas individu yang sudah terjangkit penyakit
d. Kelas (Recovered)  menyatakan kelas  individu  yang  telah  sembuh dari penyakit.
Pada  pemodelan  yang  akan  dibentuk, digunakan asumsi – asumsi sebagai berikut
a. Populasi terbuka
b. Individu  yang  berada  dalam  kelas laten, infeksi dan sembuh mempunyai  kemungkinan  untuk menularkan penyakit
c. Penyakit  menyebabkan  kematian (fatal)
d. Masa inkubasi cukup lama.
Definisi  dari  parameter  –  parameter  yang digunakan pada model adalah menyatakan konstanta rekruitmen dari menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode laten menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode infeksi menyatakan  laju  dari  kontak  efektif pada periode sembuh menyatakan laju kematian alami menyatakan  laju  kematian  karena penyakit pada kelas
menyatakan  laju  kematian  karena penyakit pada kelas
menyatakan laju dari kelas   ke kelas
menyatakan laju kesembuhan.
Formulasi modelnya adalah :
(1) (2) (3) (4) Diberikan menyatakan ukuran populasi pada saat  , maka . Untuk  menyederhanakan Sistem (1) s.d (4) dimisalkan atau maka Sistem (1) s.d (4) menjadi : (5) (6) (7) (8) dengan Jika disubstitusikan  ke
dalam Sistem (5) s.d (8) diperoleh
(9)
(10)

## (11)
(12) dengan dan .

## Titik Ekuilibrium
Titik  ekuilibrium  Sistem  (5)  s.d  (8) diperoleh  dengan  menjadikan  ruas  kanan masing  –  masing  persamaan  sama  dengan nol, dan diperoleh :
(13)
(14)
(15)
(16)
Berikut  diberikan  teorema  sifat kestabilan  titik  ekuilibrium  endemik  pada Sistem (9) s.d (12).
Teorema 1. Jika
maka
a. Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit pada  Sistem  (9)  s.d
(12) tidak stabil,
b. Titik ekuilibrium endemik pada  Sistem
(9)  s.d  (12)  merupakan  stabil asimtotik lokal.

## Bukti
a. Matriks Jacobian dari Sistem (9) s.d (12) pada titik ekuilibrium adalah
, dengan . Perhatikan bahwa (17) Dengan cara yang sama diperoleh (18) (19) Dari  persamaan  (17),  (18)  dan  (19) diperoleh Matriks  Jacobian  pada  titik  ekuilibrium bebas penyakit adalah . Polinomial karakteristik dari adalah
dengan    adalah  matriks  identitas  ukuran
Persamaan karakteristiknya adalah

## (20)
Persamaan (20) dapat ditulis menjadi
(21)
dengan
Karena maka Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz  maka
titik ekuilibrium tidak stabil. b. Matriks Jacobian pada titik ekuilibrium endemik adalah . Jika , maka polinomial karakteristik dari adalah det ,
dengan    adalah  matriks  identitas  ukuran
.
Persamaan karakteristiknya adalah
det
(22)
Persamaan (22) dapat ditulis menjadi
(23)
dengan
. Salah  satu  nilai  eigen  dari  persamaan  (23) adalah ,  nilai  –  nilai  eigen  yang  lain
merupakan  akar  –  akar  dari  polinomial berikut
(24)
Perhatikan bahwa
(25) Selanjutnya (26) Selanjutnya (27) Selanjutnya (28) Dari  Persamaan  (25),  (26),  (27)  dan  (28) diperoleh bahwa dan .
Berdasarkan  nilai  koefisien  polinomial Q pada Persamaan (24) diperoleh
. Dari  nilai  diatas,  dapat  disusun  matriks Hurwitz sebagai berikut .
Berdasarkan  matriks  Hurwitz  diatas  dapat ditentukan determinan Hurwitz yaitu Berdasarkan  nilai
dan  C,  maka  dapat
ditentukan bahwa 1. Karena nilai maka 2. Karena nilai dan
, maka
3. Karena nilai dan , maka . Karena  nilai dan maka  polinomial  Q mempunyai pembuat  nol  yang  bagian  realnya  negatif. Hal  ini  berakibat  semua  bagian  real  nilai eigen  pada  matriks bernilai  negatif untuk .  Jadi  titik  ekuilibrium stabil asimtotik lokal. Selanjutnya akan diselidiki
kestabilan  global  titik  ekuilibrium  endemik pada Sistem berikut :
(29)
(30)
(31) (32) (33) jika .

## Teorema 2 Perhatikan sistem berikut
(34) Jika syarat – syarat  berikut dipenuhi (1) Sistem  (34)  ada  untuk  suatu himpunan compact absorbing dan  mempunyai  suatu  titik
ekuilibrium tunggal   di  ;
(2) stabil asimtotik lokal;
(3) Sistem  (34)  memenuhi  kriteria Poincare – Bendixson;
(4) Suatu  orbit  periodik  pada  Sistem (34) adalah stabil asimtotik orbital,
maka  hanya  titik  ekuilibrium    yang  stabil asimtotik global di  .
Bukti :
Cukup  dibuktikan  bahwa    menarik  semua titik  di  .  Misalkan basin  of  attraction dari ,  yaitu  himpunan  dari  semua sedemikian sehingga konvergen ke . Jadi   merupakan himpunan terbuka tak kosong  yang  stabil  asimtotik  pada . Teorema akan terbukti dengan menunjukkan . Pembuktian dilakukan  dengan  kontradiksi,  maka  batas pada    mempunyai  irisan tak kosong dengan  .  Karena    dan    invarian  dan terbuka,
juga  invariant,  maka
merupakan  invarian  positif.  Oleh  karena itu    memuat  suatu  himpunan  omega  limit kompak    yang tak kosong. Karena sistem
(18)  ada  untuk  suatu  himpunan compact absorbing , maka haruslah
.  Karena    tidak  memuat  titik ekuilibrium,  berdasarkan  sifat  Poincare-
Bendixson  maka
merupakan  orbit tertutup,  dan  berdasarkan  asumsi  (4)  maka stabil  asimtotik  orbit.  Ini  kontradiksi,
karena   anggota himpunan
pada
suatu orbit dalam  .
Titik  ekuilibrium  Sistem  (29)  s.d (33)  diperoleh  dengan  menjadikan  ruas kanan  masing  –  masing  persamaan  sama dengan nol, yaitu :
(35)
(36)
(37)
(38)
(39) Dari Persamaan (37) diperoleh
(40) Dari Persamaan (40) diperoleh
(41) Jika  Persamaan  (40)  dan  (41)  disubstitusi ke dalam Persamaan (36) diperoleh
Jika maka
Perhatikan bahwa Dari Persamaan (41) diperoleh
Dari persamaan (40) diperoleh
Jadi  titik  ekuilibrium  endemik  Sistem  (29) s.d (33) jika adalah Teorema 3 Jika dan maka Sistem (5) s.d (8) adalah kooperatif. Bukti Misalkan maka
Sistem (5) s.d (8) dapat dinyatakan dengan
Selanjutnya,  sistem  ini  dapat  dinyatakan dalam bentuk
atau dapat ditulis dalam bentuk Dengan , menyatakan  matriks  identitas  pada  matriks , adalah fungsi vektor, dan
Elemen  –  elemen  dari  off-diagonal  matriks ini non-negative, sistem secara keseluruhan quasimonotone ,  maka  Sistem  (5)  s.d  (8) kooperatif berkaitan dengan partial ordering yang didefinisikan pada orthant

## SIMPULAN
Adapun  kesimpulan  dari  penelitian  ini adalah
1.Model  matematika  epidemi  SEIR  dengan adanya  kemampuan  infeksi  pada  periode laten, infeksi dan sembuh adalah :
2.Titik  –  titik  ekuilibrium  model  tersebut adalah  :  Jika maka  model  (1) mempunyai dua titik ekuilibrium yaitu  titik
ekuilibrium  bebas  penyakit dan titik ekuilibrium endemik tunggal yaitu
dengan 3.Kestabilan  titik  –  titik  ekuilibrium  model tersebut  adalah  :  Jika maka  titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik global. Hal ini
menunjukkan  bahwa  dalam  jangka  waktu yang  panjang  individu  yang  ada  di  sekitar titik  ekuilibrium masih
terdapat  individu  yang  terjangkit  penyakit atau tetap terjadi penyebaran penyakit.

## SARAN
Karena berbagai keterbatasan, penulis menyadari penelitian dan tulisan ini masih  banyak  kekurangannya.  Banyak  hal yang  belum  tercakup  dalam  penelitan  ini. Perlu  dikaji  lebih  lanjut  generalisasi  untuk kestabilan  model  epidemi  lainnya  dan simulasi numeriknya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton  H,  dan  Rorres,C.,2004. Aljabar Linear  Elementer  Versi  Aplikasi , Edisi  Kedelapan,  alih  bahasa  oleh Indriasari,R dan Harmaen,I., Erlangga, Jakarta. Arrowsmith,  D.R.  dan  Place,  C.M.,  1992, Dynamical System Differential Equation,    Maps  and  Chaotic Behaviour , Chapman & Hall Mathematic, London. Bazaraa,  M.S.,  Sheraly,  H.D,  and  Shetty, C.M., Nonlinear Programming Theory and  Algorithms , John Wiley & Sons, Inc, New York, 1993.
Becerra,  M.V.,  2008. La  Salle’s  Invariant Set Theory , http://www.personal.rdg.ac.uk/~shs 99vmb/notes/anc/lecture3.pdf
Boyd,  Stephen,  2008, Basic  Lyapunov Theory , Stanford University, http://www.stanford.edu/class/ee363 /lyap.pdf
Capazzo,  V., Mathematical  Structures  of Epidemic  Systems ,  Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.
Chong,  K.P  and  Stainslow,  H.Z., An Introduction  to  Optimization ,  John Wiley & Sons,  University  of New Hampshire, 1984. Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of Matrices , Chelsea Publishing Company, New York.
Hanh, Wolfgang, 1967, Stability of Motion ,
Springer – Verlag, New York.
Hirsch,  M.W.,  dan  Smith, Monotone Dynamical  Systems ,  University  of California, Berkeley, 2004.
Iwami. S, Takeuchi, Y., dan Liu, X., 2007.
Avian  –  human  Influenza  Epidemic Model ,  Mathematical  Biosciences
2007, hal 1-25.
Feng  J.,  dan  Hadeler,K.P., Qualitative Behaviour of Some Simple Networks ,  Mathematical  Gen.  1996,
hal 5019-5033.
Kocak,  H.  dan  Hole,  J.K.,  1991, Dynamic and  Bifurcation ,  Springer  –  Verlag, New  York.
Leon, J.S., Aljabar Linear dan Aplikasinya , Edisi Kelima, Alih bahasa olehBondan,A.  Erlangga,  Jakarta,
1998.
Luenberger,  G.D.,  1979, Introduction  to Dynamic  System  Theory ,  Models  &
Aplication,  John  Wiley  &  Sons, New York.
Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  System Theory , Delftse Uitgevers
Maatschappij,  Netherlands.
Perko  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical  Systems ,  Springer  – Verlag,  New York.
Ross,  S.L., Differential  Equations ,
edition,  John  Wiley  &  Sons, University  of    New  Hampshire, 1984.
Verhultz,  Ferdinand,  1990, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems ,    Springer –
Verlag, Berlin.
Wiggins  S,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  Systems  and Chaos ,    Springer  –  Verlag,  New York.