p-ISSN   : 2086-7352
Diterima : 30 Juni 2023 | Selesai Direvisi : 05 Juli 2023 | Disetujui : 07 Juli 2023 | Dipublikasikan : Juni 2023 DOI : http://dx.doi.org/10.24853/jk.14.2.175-188 Copyright © 2023 Jurnal Konstruksia This is an open access article under the CC BY-NC licence ( http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ )

## Estimasi Lendutan Pelat Untuk Menghitung Kapasitas Beban Dengan Akurasi Tinggi Menggunakan Uji Getar
Heri Khoeri 1,2 , Sofia W. Alisjahbana 1 , Jack Widjajakusuma 1 dan Najid 1
1 Prodi Teknik Sipil, Universitas Tarumanagara, Jl. Let. Jend S. Parman No.1 Jakarta 11440
2 Prodi Teknik Sipil, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jl. Cempaka Putih Tengah 27, Jakarta, 10510
Email korespondensi: hkhoeri@hesa.co.id

## ABSTRAK
Asesmen  kapasitas  struktur  bangunan  eksisting  dapat  dilakukan  dengan  cara  analitis, dimana mutu dan dimensi elemen struktur dapat diperoleh dari pengujian dan pengukuran. Uji  beban  statik  disarankan  untuk  dilakukan  dalam  beberapa  pedoman  pemeriksaan bangunan eksisting, namun jarang dilakukan karena membutuhkan waktu persiapan dan pelaksanaan pengujian beberapa hari. Hal ini tentunya mengganggu operasional bangunan, selain masalah biaya dan resiko terhadap struktur itu sendiri. Alternatif yang cukup efektif adalah dengan uji getar, dari data percepatan menggunakan Fast Fourier Transformation, frekuensi struktur dapat diketahui. Lendutan dapat diestimasi dengan integrasi ganda data percepatan. Namun dalam banyak kasus mengubah data percepatan menjadi lendutan tidak selalu  akurat  karena  ketidaktahuan  kondisi  awal  dan  noise  yang  tidak  dapat  dihindari dalam proses perekaman. Filtering data percepatan yang diterapkan pada satu kasus belum tentu cocok untuk kasus lainnya, karena proses koreksi memungkinkan menghilangkan/ merubah data. Pada penelitian ini mengusulkan penggunaan Highpass Equripple FIR pada data percepatan pada tiap tahap integrasi numerik dengan optimasi pada Panjang Filter. Interpolasi dilakukan dengan hermite kubik dan integrasi menggunakan metode Simpson 3/8. Dengan algoritma tersebut dihasilkan estimasi lendutan statik dari data percepatan 100.67%  dari  lendutan  hasil  uji  statik  dengan  deviasi  1.86%.%.  Kapasitas  beban  dapat diketahui dengan memasukkan lendutan ijin pada persamaan lendutan.
Kata kunci : percepatan, filter, FIR, lendutan, uji getar

## ABSTRACT
Assessment of the capacity of existing building structures can be done in an analytical way, where the quality and dimensions of structural elements can be obtained from testing and measurement.  Static  load  tests  are  recommended  to  be  carried  out  in  several  existing building inspection guidelines, but are rarely carried out because they require several days of preparation time and test execution. This certainly interferes with building operations, in addition  to  cost  issues  and  risks  to  the  structure  itself.  A  fairly  effective  alternative  is  to vibrate test, from the acceleration data using Fast Fourier Transformation, the frequency of the  structure  can  be  known.  Deflection  can  be  estimated  by  double  integration  of acceleration data. However, in many cases, converting acceleration data into deflection is not always accurate due to ignorance of the initial conditions and unavoidable noise in the recording process. Accelerated data filtering applied to one case is not necessarily suitable for other cases, because the correction process allows removing/changing data. This study proposes the use of Highpass Equripple FIR in acceleration data at each stage of numerical integration with optimization in Filter Length. Interpolation is performed with cubic hermite and  integration  using  the  Simpson  3/8  method.  With  this  algorithm,  static  deflection estimation  is  produced  from  acceleration  data  of  100.67%  of  the  deflection  of  static  test results  with  a  deviation  of  1.86%.%.  The  load  capacity  can  be  determined  by  inserting  a permit deflection in the deflection equation.
Keywords: acceleration, filter, FIR, deflection, vibrating test

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  SNI  2847:2019,  Pasal  27-Evaluasi Kekuatan  Struktur  Eksisting,  27.2.3 dinyatakan,  “bila  pengaruh  penurunan kekuatan tidak diketahui dengan baik atau tidak  memungkinkan  untuk  mengukur dimensi  dan  menentukan  properti material pada komponen yang diperlukan untuk analisis, maka uji beban diperlukan sesuai 27.4” [1]. Uji beban statis pada pelat secara  aktual  menggambarkan  performa pelat  berdasarkan  hubungan  beban  dan lendutan.  Pada  bangunan  eksisting umumnya terkendala operasional bangunan,  karena  membutuhkan  waktu dan  menghentikan  operasional  bangunan setidaknya  pada  modul  pelat  yang  akan diuji  dan  lantai  di  bawahnya.  Metode pengujian  lain  yang  dapat  diterapkan adalah uji getar, yaitu dengan menempatkan  sensor  percepatan  pada pelat  yang  dikenai  beban  impulse.  Dari data  percepatan,  frekuensi  pelat  dapat diketahui
dengan Fast Fourier
Transformation,  FFT.  Jika  frekuensi  dan massa struktur diketahui, maka kekakuan struktur dapat diketahui. Idealnya respon lendutan dapat diperoleh dengan  integrasi  ganda  data  percepatan. Mode  shape  lendutan  dapat  diperoleh dengan  memplotkan  posisi  sensor, Selanjutnya  persamaan  statika  dapat direkonstruksi agar mendekati aktualnya. Masalahnya mengubah
melakukan integrasi  ganda  data  percepatan  menjadi lendutan  tidak  selalu  memberikan  solusi yang  akurat,  karena  beberapa  hal, diantaranya  kondisi  awal  yang  tidak diketahui  dan  noise  yang  tidak  dapat dihindari dalam proses perekaman. Selain itu, proses koreksi yang diterapkan dalam memperkiraan  lendutan  dari  percepatan memungkinkan  menghilangkan  beberapa data  [2].  Untuk  mengatasinya  diusulkan filtering  dengan  Finite  Impulse  Response (FIR) diformulasi dalam domain waktu.

## 2. SIMPLIFIKASI PELAT SATU ARAH
Apabila pelat tertumpu di keempat sisinya, dan  rasio  bentang  panjang  terhadap bentang  pendek  lebih  besar  atau  sama
dengan  2,  maka  hampir  95%  beban  akan dilimpahkan dalam arah bentang pendek, dan  pelat  akan  menjadi sistem  pelat  satu arah.
Dalam  SNI  2847-2019,  dalam  beberapa ketentuan  memberikan  penyederhanaan untuk disain pelat satu arah seperti pada balok, diantaranya:
▪ R7.3.1 Ketentuan  ketebalan  minimum pelat satu arah sama seperti balok.
▪ R7.3.2 Dasar  perhitungan  lendutan untuk pelat satu arah sama seperti pada balok.
▪ R7.4.3.2 Persyaratan penampang geser kritis  dalam  pelat  satu  arah  sama seperti pada balok.
▪ R7.6.3 Dasar  untuk  penulangan  geser minimum  pada  pelat  satu  arah  sama seperti pada balok.
▪ R7.6.3.2 Dasar  evaluasi  kekuatan berdasarkan pengujian untuk pelat satu arah sama seperti balok.
▪ R7.7.3 Persyaratan penyaluran tulangan  pada  pelat  satu  arah  sama dengan balok.

## Statika Pada Balok Euler-Bernoulli
Persamaan Euler-Bernoulli menunjukkan hubungan antara lendutan balok dan beban merata yang bekerja [3].
𝜕 2 𝜕𝑥 2 (𝐸𝐼 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑥 2 ) = 𝑞 (1)
Dengan z ( x ) lendutan vertikal elemen balok sejarak x dari tumpuan kiri, E modulus Young, I momen inersia penampang balok, persamaan (1) dapat dituliskan sebagai:
𝐸𝐼 𝜕 4 𝑧 𝜕𝑥 4 = 𝑞(𝑥) (2)
Turunan lendutan, z adalah sudut rotasi :
𝜃(𝑥) = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 (3)
Momen, M dan geser, V dapat dinyatakan:
𝑀(𝑥) = −𝐸𝐼 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑥 2 (4)
𝑉(𝑥) = 𝜕𝑀(𝑥) 𝜕𝑥 = −𝐸𝐼 𝜕 3 𝑧 𝜕𝑥 3 (5)
Dengan subtitusi kondisi batas, maka pers. (2), (3), (4), (5) dapat diselesaikan.
Tinjau balok dengan tumpuan Pegas Rotasi dan Pegas Vertikal seperti gambar berikut:
Gambar 1. Balok Euler-Bernoulli dengan dua pegas rotasi dan dua pegas vertikal
Kondisi batas balok pada Gambar 1 yang dibebani beban merata q adalah:
𝑀| 𝑥=0 = 𝑘 𝑟1 𝜃| 𝑥=0 𝑀| 𝑥=1 = −𝑘 𝑟1 𝜃| 𝑥=1 𝑉| 𝑥=0 = −𝑘 𝑣1 𝑧| 𝑥=0 𝑉| 𝑥=𝐿 = 𝑘 𝑣2 𝑧| 𝑥=𝐿 (6)
Solusi untuk pers (2), (3), (4), (5), dengan kondisi batas (6) adalah:
𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑘 𝑟1 𝑘 𝑟2 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 4 (𝐿 − 𝑥) 2 𝑥 2 + 144𝐸 3 𝐼 3 𝐿(2𝑘 𝑟1 + 2𝑘 𝑟2 + 𝑘 𝑣2 𝐿(𝐿 − 𝑥) + 𝑘 𝑣1 𝐿𝑥) + 12𝐸 2 𝐼 2 (24𝑘 𝑟1 𝑘 𝑟2 𝐿 2 + (5𝑘 𝑟1 + 3𝑘 𝑟2 )𝑘 𝑣2 𝐿 4 + 𝐿 3 (8𝑘 𝑟2 𝑘 𝑣1 − 4𝑘 𝑟2 𝑘 𝑣2 + 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 2 )𝑥 + 6𝑘 𝑟1 (𝑘 𝑣1 − kv2)𝐿 2 𝑥 2 − 2𝑘 𝑣1 𝐿(2(𝑘 𝑟1 + 𝑘 𝑟2 ) + 𝑘 𝑣2 𝐿 2 )𝑥 3 + ((𝑘 𝑟1 + 𝑘 𝑟2 )(𝑘 𝑣1 + 𝑘 𝑣2 ) + 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 2 )𝑥 4 ) + 2𝐸𝐼𝐿(𝑘 𝑟1 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 2 (3𝐿 − 2𝑥)(𝐿 − 𝑥)𝑥 2 + 𝑘 𝑟2 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 2 (𝐿 − 𝑥) 2 𝑥(𝐿 + 2𝑥) + 6𝑘 𝑟1 𝑘 𝑟2 (𝑘 𝑣1 𝑥 2 (−2𝐿 + 𝑥) 2 + 𝑘 𝑣2 (𝐿 2 − 𝑥 2 ) 2 ))))/
(24𝐸𝐼(𝑘 𝑟1 𝑘 𝑟2 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 4 + 12𝐸 2 𝐼 2 ((𝑘 𝑟1 + 𝑘 𝑟2 )(𝑘 𝑣1 + 𝑘 𝑣2 ) + 𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 2 ) + 4𝐸𝐼𝐿(3𝑘 𝑟1 𝑘 𝑟2 (𝑘 𝑣1 + 𝑘 𝑣2 ) +
(𝑘 𝑟1 + 𝑘 𝑟2 )𝑘 𝑣1 𝑘 𝑣2 𝐿 2 )) (7)
Dinamika pada Balok Euler-Bernoulli Teori balok menjelaskan hubungan antara lendutan, z ( x , t ) dan momen lentur, 𝑀 ( 𝑥 , 𝑡 ):
𝑀(𝑥, 𝑡) = −𝐸𝐼 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑥 2 (8)
Dengan z lendutan vertikal sejarak x dari tumpuan kiri, E modulus Young, I momen inersia, mode  shape getaran  bebas  Balok Euler-Bernoulli dapat dinyatakan [4]: 𝑧(𝑥, 𝑡) = 𝑍(𝑥)𝑇(𝑡)
(9)
𝑍(𝑥) = 𝐶 1 sin(𝑘𝑥) + 𝐶 2 cos(𝑘𝑥) + 𝐶 3 sinh(𝑘𝑥)
+ 𝐶 4 cosh(𝑘𝑥)
(10)
𝑇(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑡) (11) k dan 𝜔 terhubung satu sama lain dengan:
𝜔 𝑖 = (𝑘 𝑖 ) 2 √ 𝐸𝐼 𝜌𝐴 ; (i  = 1,2,3,4,5, ∞)
(12)
k menyatakan frekuensi tanpa dimensi dan 𝜔 adalah  frekuensi  sudut. 𝐶 1  sampai dengan 𝐶 4  ditentukan  berdasarkan kondisi batas.
Fungsi Green
Sebuah  persamaan  diferensial  parsial linear homogen dengan operator diferensial  L  dan  fungsi  sumber 𝑅𝑛 Euclidean  space,  pada  sebuah  titik 𝑥𝑓 , maka fungsi Green G ( x, 𝑥𝑓 ): {G(x, z)} = δ( x - x f ) (13)
di mana δ( x - x f ) fungsi Dirac delta . Fungsi Dirac delta sendiri didefinisikan:
(14)
Fungsi Dirac delta dalam hal ini memiliki fungsi penting, yaitu:
(15)
Getaran Bebas Balok Euler-Bernoulli Kondisi batas balok sebenarnya komplek, jarang ada kondisi yang sepenuhnya jepit, sendi atau bebas sempurna. Tinjau model balok Euler-Bernoulli dengan  tumpuan pegas  rotasi  dan  pegas  vertikal  di  kedua ujungnya seperti pada Gambar 1. Dengan 𝑘 r1 dan 𝑘 r2 konstanta pegas rotasi kiri dan kanan,  dan 𝑘 v1 dan 𝑘 v2 konstanta  pegas vertikal  pada  tumpuan  kiri  dan  kanan, maka Mode  shape getaran  vertikal  dapat dinyatakan sebagai:
𝑍(𝜉) = 𝐶 1 sin(𝑘𝜉) + 𝐶 2 cos(𝑘𝜉) + 𝐶 3 sinh(𝑘𝜉) + 𝐶 4 cosh(𝑘𝜉)
(16)
Dimana 𝜉 (tanpa  dimensi)  menyatakan panjang  dalam x / L .  Kondisi  batas  balok Euler-Bernoulli Gambar 1 dapat dinyakan:
𝑀| 𝜉=0 = 𝑘 𝑟1 𝜃| 𝜉=0 𝑀| 𝜉=1 = −𝑘 𝑟1 𝜃| 𝜉=1 𝑉| 𝜉=0 = −𝑘 𝑣1 𝑧| 𝜉=0 (17)
𝑉| 𝜉=𝐿 = 𝑘 𝑣1 𝑧| 𝜉=𝐿 Momen lentur, M , sudut rotasi, , dan gaya geser, V dapat dihitung sebagai berikut:
𝑀(𝜉) = 𝐸𝐼𝑘 2 𝐿 2 (−𝐶 1 sin(𝑘𝜉) − 𝐶 2 cos(𝑘𝜉) + 𝐶 3 sinh(𝑘𝜉) + 𝐶 4 cosh(𝑘𝜉)) (18)
𝑉(𝜉) = 𝐸𝐼𝑘 3 𝐿 3 (−𝐶 1 cos(𝑘𝜉) + 𝐶 2 sin(𝑘𝜉) + 𝐶 3 cosh(𝑘𝜉) + 𝐶 4 sinh(𝑘𝜉)) (19)
𝜃(𝜉) = 𝐸𝐼𝑘 𝐿 (𝐶 1 cos(𝑘𝜉) − 𝐶 2 sin(𝑘𝜉) + 𝐶 3 cosh(𝑘𝜉) + 𝐶 4 sinh(𝑘𝜉))
(20)
Subtitusi pers.  (18), (19), (20) ke kondisi batas  (17),  kemudian  ditulis  ulang  dalam bentuk  matriks.  Selanjutnya  untuk mencari  solusi  nontrivial 𝐶 1  sampai 𝐶 4, determinan  matiks  harus  nol.  Dengan mathematica  wolfram  persamaan  dapat diselesaikan,  dan  frekuensi  sudut  dapat dihitung dengan:
𝜔 𝑖 = (𝑘 𝑖 ) 2 √ 𝐸𝐼 𝜌𝐴 (i  = 1,2,3,4,5, ∞)
(21)

## Getaran Paksa Balok Euler-Bernoulli
Kurva lendutan akibat getaran paksa pada Balok Euler-Bernoulli dengan gaya eksitasi terdistribusi acak q ( 𝜉 , t ) dapat dinyatakan:
𝐸𝐼𝜕 4 𝑧 𝐿 4 𝜕𝜉 4 + 𝜌𝐴 𝜕 2 𝑧 𝜕𝑡 2 = 𝑞(𝜉, 𝑡) (22)
Aplikasikan transformasi Laplace:
𝐸𝐼 𝐿 4 𝑧′′′′(𝜉, 𝜔) + 𝜌𝐴𝜔 2 𝑧(𝜉, 𝜔) = 𝑞(𝜉, 𝜔) (23)
Kurva lendutan akibat getaran paksa pada Balok Euler-Bernoulli dengan gaya eksitasi terdistribusi acak q ( 𝜉 , t ) dapat dinyatakan dalam steady state:
𝑧(𝜉, 𝑡) = 𝐺(𝜉, 𝜉 𝑓 )𝑒𝑥𝑝(𝑖𝜔𝑡) (24) dengan 𝜉𝑓 adalah  titik  dimana  beban bekerja  Pers.(23)  dapat  dituliskan  ulang menjadi:
𝐸𝐼 𝐿 4 𝐺 ′′′′ (𝜉, 𝜉 𝑓 ) − 𝜌𝐴𝜔 2 𝐺(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝛿(𝜉, 𝜉 𝑓 ) (25)
Jika  redaman  diabaikan,  fungsi  getaran dapat  diturunkan  untuk  frekuensi  tanpa dimensi, b lebuh kecil dari frekuensi cut- off .
√(𝑟 2 − 𝑠 2 ) + 4 𝑏 2 > (𝑟 2 + 𝑠 2 ) Dengan 𝑏 < 1 𝑟 2 𝑠 2 (26)
G ( 𝜉 , 𝜉𝑓 ) adalah penjumlahan dua bagian, solusi homogen dan solusi partikular.
𝐺(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝐺 0 (𝜉) + 𝐺 1 (𝜉, 𝜉 𝑓 )𝐻(𝜉 − 𝜉 𝑓 ) (27)
dimana 𝐻 ( 𝜉−𝜉𝑓 ) adalah step function, yang bernilai 0 jika 𝜉 < 𝜉𝑓 ; dan 1jika 𝜉 > 𝜉𝑓 . 𝐺 0( 𝜉 ) adalah solusi homogen:
𝐺 0 (𝜉) = 𝐶 1 sin(𝑘𝜉) + 𝐶 2 cos(𝑘𝜉) + 𝐶 3 sinh(𝑘𝜉) + 𝐶 4 cosh(𝑘𝜉)
(28)
k adalah frekuensi tanpa satuan:
𝑘 = √ 𝐸𝐼𝜔 2 𝐿 4 𝜌𝐴 4 (29)
𝐺 1( 𝜉 , 𝜉𝑓 ) adalah solusi tidak homogen:
𝐺 1 (𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝑃 1 cosh[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] + 𝑃 2 sinh[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] + 𝑃 3 cos[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] + 𝑃 4 sin[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] (30)
Dari kondisi kontinuitas:
𝐺(𝜉 𝑓 + , 𝜉 𝑓 ) − 𝐺(𝜉 𝑓 − , 𝜉 𝑓 ) = 0 𝜃(𝜉 𝑓 + , 𝜉 𝑓 ) − 𝜃(𝜉 𝑓 − , 𝜉 𝑓 ) = 0 𝑀(𝜉 𝑓 + , 𝜉 𝑓 ) − 𝑀(𝜉 𝑓 − , 𝜉 𝑓 ) = 0 𝑉(𝜉 𝑓 + , 𝜉 𝑓 ) − 𝑉(𝜉 𝑓 − , 𝜉 𝑓 ) = 0 (31)
Sudut rotasi 𝜃 , momen M , dan gaya geser V , dapat dihitung sebagai berikut:
𝜃(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝑑𝐺 𝑑𝑥 = 1 𝐿 𝑑𝐺 𝑑𝜉 (32)
𝑀(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝐸𝐼 𝑑 2 𝐺 𝑑𝑥 2 = 𝐸𝐼 𝐿 2 𝑑 2 𝐺 𝑑𝜉 2 (33)
𝑉(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝐸𝐼 𝑑 3 𝐺 𝑑𝑥 3 = 𝐸𝐼 𝐿 2 𝑑 3 𝐺 𝑑𝜉 3 (34)
Dengan  substitusi  pers.  (30),  (32),  (33), dan (34) ke dalam pers. (31), diperoleh:
𝑃 1 + 𝑃 3 = 0 𝑘 𝐿 (𝑃 2 + 𝑃 4 ) = 0 (35)
2𝐸𝐼𝑘 2
𝐿 2 (𝑃 1 − 𝑃 3 ) = 0 2𝐸𝐼𝑘 3 𝐿 3 (𝑃 2 − 𝑃 4 ) = 0
Pers. (35) dapat diselesaikan, dimana:
𝑃 1 = 0 ; 𝑃 2 = 𝐿 2 2𝐸𝐼𝑘 2 ; 𝑃 3 = 0 ; 𝑃 4 = − 𝐿 2 2𝐸𝐼𝑘 2 (36)
Getaran paksa dalam bentuk tertutup:
𝐺(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝐶 1 sin(𝑘𝜉)
+ 𝐶 2 cos(𝑘𝜉) + 𝐶 3 sinh(𝑘𝜉)
+ 𝐶 4 cosh(𝑘𝜉) + 𝐿 2 2𝐸𝐼𝑘 2 sinh[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] 𝐻[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] − 𝐿 2 2𝐸𝐼𝑘 2 sin[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] 𝐻[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )] (37)
Pada balok dengan pegas rotasi dan pegas verikal Gambar 1, lendutan G seperti pada persamaan (37), Sementara Rotasi sudut , momen M , dan Geser V dapat dituliskan:
𝜃[𝜉, 𝜉 𝑓 ] = 𝑘 𝐿 (𝐶 1 Cos[𝑘𝜉] + C2Sin[𝑘𝜉] + C3Cosh[𝑘𝜉] + C4Sinh[𝑘𝜉] + 𝐿 3 2EI𝑘 3 Cosh[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )]𝐻[𝜉 − 𝜉 𝑓 ] − 𝐿 3 2EI𝑘 3 Cos[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )]𝐻[𝜉 − 𝜉 𝑓 ]) (38)
𝑀[𝜉, 𝜉 𝑓 ] = EI𝑘 2 𝐿 2 (−𝐶 1 Sin[𝑘𝜉] − C2Cos[𝑘𝜉] + C3Sinh[𝑘𝜉] + C4Cosh[𝑘𝜉] + 𝐿 3 2EI𝑘 3 Sinh[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )]𝐻[𝜉 − 𝜉 𝑓 ] + 𝐿 3 2EI𝑘 3 Sin[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )]𝐻[𝜉 − 𝜉 𝑓 ]) (39)
𝑉[𝜉, 𝜉 𝑓 ] = EI𝑘 3 𝐿 3 (−𝐶 1 Cos[𝑘𝜉] + C2Sin[𝑘𝜉] + C3Cosh[𝑘𝜉] + C4Sinh[𝑘𝜉] + 𝐿 3 2EI𝑘 3 Cosh[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )]𝐻[𝜉 − 𝜉 𝑓 ] + 𝐿 3 2EI𝑘 3 Cos[𝑘(𝜉 − 𝜉 𝑓 )]𝐻[𝜉 − 𝜉 𝑓 ]) (40)
Kondisi batas untuk balok ini adalah:
𝑀(0, 𝜉 𝑓 ) = 𝑘 𝑅1 𝜃(0, 𝜉 𝑓 ) 𝑀(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝑘 𝑅2 𝜃(𝜉, 𝜉 𝑓 ) 𝑉(0, 𝜉 𝑓 ) = 𝑘 𝑉1 𝑉(𝜉, 𝜉 𝑓 ) 𝑉(𝜉, 𝜉 𝑓 ) = 𝑘 𝑉2 𝑉(𝜉, 𝜉 𝑓 ) (41)
Dengan subtitusi pers. (37), (38), (39), dan (40)  ke  dalam  kondisi  batas  pers.  (41), persamaan  dapat dituliskan dalam bentuk matriks.  Untuk  mencari  solusi  nontrivial 𝐶 1  sampai 𝐶 4,  determinan  matiks  harus nol.  Dengan  mathematica  wolfram persamaan tersebut dapat diselesaikan.

## 3. METODE  ESTIMASI  LENDUTAN DARI DATA PERCEPATAN Studi terdahulu
Respon  perpindahan  dapat  diperoleh dengan integrasi ganda sinyal percepatan. Namun  dalam  banyak  kasus  mengubah sinyal  percepatan  menjadi  perpindahan melalui  integrasi  ganda  tidak  selalu memberikan  solusi  yang  andal  karena kondisi  awal  yang  tidak  diketahui  dan noise yang  tidak  dapat  dihindari  dalam sinyal  percepatan.  Selain  itu,  proses koreksi  yang  diterapkan  pada  perkiraan perpindahan dari percepatan kemungkinan akan menghilangkan beberapa informasi penting, yang menyebabkan  hilangnya  beberapa  data perpindahan, umumnya komponen frekuensi  rendah  dari  gerakan  struktur [5].
Salah  satu  pendekatan  adalah  estimasi pengukuran sebagai pusat orde kedua dari beda  hingga  ( second-order  central  finite difference ). Lendutan direkonstruksi dengan meminimalkan kesalahan kuadrat terkecil antara percepatan yang
diperkirakan dan percepatan yang diukur. Metode  yang  diusulkan  adalah  metode filter  Finite  Impulse  Response ( FIR )  yang diformulasikan  dalam  domain  waktu. Jendela  pergerakan-waktu  menyebabkan hilangnya  bagian  dari  perpindahan  yang direkonstruksi pada kondisi batas ( boundary )  rekaman  perpindahan  (awal dan  akhir).  Bagian  yang  hilang  bisa  jadi penting,  terutama  bagian  awal  karena dalam  beberapa  peristiwa  perpindahan puncak terjadi di awal [6].
Berg  dan  Housner  (1961)  menerbitkan sebuah  penelitian  membahas  tentang mendapatkan kecepatan dan lendutan dari integrasi  data  percepatan  gerakan  tanah yang  kuat.  Integrasi  percepatan  dengan asumsi  kecepatan  dan  lendutan  awal  nol. Berg  dan  Housner  membandingkan lendutan  hasil  integrasi  dengan  data lendutan,  dan  melihat  hubungan  yang realistis  keduanya,  dan  berpendapat bahwa  penyimpangan  yang  ada  karena keterbatasan instrumen [7]. Trifunac (1971) mengusulkan pendekatan koreksi baseline dengan high pass filtering untuk  data  percepatan  digital  yang  tidak terkoreksi.  Dengan  pendekatan  barunya classical  parabolic  baseline  correction . Berkesimpulann bahwa metode baru yang diusulkan  lebih  akurat  tidak  tergantung dari  catatan  panjangnya.  Sedangkan akurasi koreksi parabola klasik dipengaruhi  oleh  panjang  rekaman  data [8].
Yang  (2006)  mengusulkan  melakukan koreksi baseline dalam  domain  waktu untuk  pengukuran  percepatan  sebelum integrasi  dengan the  least-square  curve , kemudian  melakukan  pemrosesan  lebih lanjut  dalam  domain  frekuensi  dengan window filtering untuk menghapus sumber komponen  frekuensi  rendah  dalam integrasi.  Yang  dkk.  membandingkan pendekatan  mereka  dengan  Trifunac (1971)  dan  lainnya.  Pendekatannya memberikan  hasil  yang  lebih  baik  dalam studi kasus mereka [9]. Filtering umumnya  digunakan  untuk menghilangkan komponen frekuensi tinggi  ( low-pass  filter )  atau  komponen
frekuensi  rendah  ( high-pass  filter ). Filtering telah banyak digunakan baik yang dikombinasi dengan koreksi baseline atau hanya filtering saja  dan  memberikan peningkatan  dalam  akurasi  perkiraan lendutan [10].

## Filter pada sinyal
Dikenal  dua  jenis  filter  yaitu  analog  dan digital.  Dari  cara  kerjanya  dalam  domain frekuensi,  diklasifikasikan  menjadi: Low- Pass , High-Pass , Band-Pass dan Band-Stop .
Gambar 2. Respon ideal Low-Pass, High- Pass, Band-Pass dan Band-Stop
Dalam aplikasinya sulit mewujudkan filter sempurna  seperti  Gambar  2,  semakin tinggi kompleksitas filter akan mendekati ideal.
Menurut  respon impulse nya  filter  digital dibagi  dua,  yaitu Infinite  Impulse  Filter (IIR)  dan Finite  Impulse  Response (FIR). Fungsi transfer dari FIR dan IIR disajikan berturut-turut pada pers. (42) dan (43).
𝐻(𝑧) = ∑ 𝑏 𝑘 𝑧 −𝑘 𝑁 𝑘=0 1 + ∑ 𝑎 𝑘 𝑧 −𝑘 𝑀 𝑘=1 (42)
𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑘)𝑧 −𝑘 𝑁−1 𝑘=0
(43)

## Algoritma Pemrosesan Sinyal Percepatan
Dalam  penelitian  ini  diusulkan  filtering data dua kali untuk memperoleh lendutan dari integrasi percepatan yang mendekati hasil  pengukuran,  dengan  alur  sebagai berikut:

## Gambar 3. Algoritma usulan estimasi
lendutan
Highpass FIR dengan Equiripple Filter FIR  dengan Equiripple  Filter dirancang untuk  memberikan  respons  amplitudo merata di rentang frekuensi tertentu.
Gambar 4. Disain highpass FIR Equiripple

## 4. METODE PENELITIAN
Penelitian  dilakukan  untuk  mendapatkan metode  koreksi  baseline  yang  dapat memperbaiki  estimasi  lendutan  dari  data percepatan  yang  dapat  diaplikasikan secara  konsisten  pada  pelat  1  arah, hasilnya  digunakan  untuk  memperbaiki asumsi  kondisi  batas  tumpuan  sehingga respon  lendutan  analitik  mendekati  hasil uji.
Gambar 5. Alur Penelitian
Uji  statik  dan  uji  dinamik  dilakukan  di lokasi yang dengan denah lokasi pengujian statik seperti pada gambar berikut:
Gambar 6. Lokasi Uji Beban
Gambar 7. Lokasi accelerometer dan LVDT 6 m 3 m Tebal pelat= 12 cm
Pada  uji  statik,  digunakan  beban  air dengan  rencana  maksimum  300  kg/m 2 . Pembebanan  dilakukan  bertahap,  0%, 25%,  50%,  75%,  dan  100%.  Selanjutnya dilakukan unloading dengan tahapan yang sama. Sementara beban
dinamik menggunakan  orang  yang  melompat  dari ketinggian 30 cm.
Gambar 8. Pembebanan uji statik dengan

## air

## 5. HASIL PENELITIAN

## Uji Beban Statik
Hasil  uji  beban  statik  diperlihatkan  pada Gambar  9,  menunjukkan  perbedaan  jika dibandingkan dengan solusi exact dengan asumsi tumpuan sederhana.
Gambar 9. Lendutan hasil uji dan teoritik

## Rekaman Data Percepatan
Percepatan  direkam  selama  60  detik dengan sampling rate 100 Hz, selanjutnya untuk mempercepat proses running data. Data yang digunakan 5 detik (Gambar 10):
Gambar 10. Data Percepatan arah z sensor-1
Gambar 11. Data Percepatan arah z sensor-2
Gambar 12. Data Percepatan arah z
sensor-3 Rekaman Data Lendutan Perekaman dan pemotongan data dilakukan  sama  dengan  data  percepatan. Rekaman data lendutan seperti diberikan pada gambar-gambar berikut: -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 0.75 1.5 2.25 3 Le n d u ta n , m m 75 kg 150 kg 225 kg
300 kg
75 kg 150 kg 225 kg 300 kg Hasil Uji Teoritis
Gambar 13. Data Lendutan arah z sensor-
1
Gambar 14. Data Lendutan arah z sensor-
2
Gambar 15. Data Lendutan arah z sensor-

## 3

## Penerapan Usulan Metode Filtering
FIR  dilakukan  dengan Equiripple  Filter . Equiripple adalah filter FIR yang dirancang untuk  memberikan  respons  amplitudo merata  dengan  gelombang  ganda  pada rentang frekuensi tertentu. H ighpass filter , akan  melewatkan  frekuensi  di  atas  titik potong ( cutoff frequency ) yang ditentukan, secara signifikan mengurangi frekuensi di bawah cutoff frequency . Respons amplitudo  akan  memiliki  serangkaian puncak dan lembah yang sama di rentang frekuensi, sehingga mencapai keseragaman yang diinginkan.

## Penerapan  Filtering  untuk  Estimasi
Lendutan
Gambar 16. Percepatan sensor-1 yang difilter
Gambar 17. Kecepatan dari integrasi Gambar 16
Gambar 18. Lendutan dari integrasi Gambar 17
Gambar 19. Lendutan dari integrasi langsung data sensor-1 dibanding yang difilter 1 tahap dan 2 tahap
Perbandingan lendutan hasil integrasi dan hasil uji sensor-1 dan frekuensi alaminya diberikan pada Gambar 20 dan Gambar 21.
Gambar 20. Perbandingan lendutan dari integrasi dengan data LVDT-1
Gambar 21. Frekuensi data percepatan sensor-1 sebelum dan sesudah difilter
Dengan  cara  yang  sama  dilakukan  pada data  percepatan  sensor-2  dan  sensor-3, diperoleh
Gambar 22. Lendutan dari integrasi langsung data sensor-2 dibanding yang difilter 1 tahap dan 2 tahap
Gambar 23. Perbandingan lendutan hasil integrasi dengan data LVDT-2
Gambar 24. Frekuensi data percepatan sensor-2 sebelum dan sesudah difilter Pemrosesan Data
Gambar 25. Lendutan dari integrasi langsung data sensor-3, difilter 1 tahap dan 2 tahap
Gambar 26. Perbandingan lendutan hasil integrasi dengan data LVDT-3
Gambar 27. Frekuensi data percepatan sensor-3 sebelum dan sesudah difilter
Tabel 1. Lendutan Max/ Min dari Hasil Integrasi Ganda dibanding data (LVDT) Sensor  Max/ Min Lendutan dinamik (mm) Rasio Estimasi terhadap LVDT Estimasi dari integrasi LVDT S1 (L/4) Max 32.04 33 97.09% Min -38.78  -39.3 98.68% S2 (L/2) Max 41.71  42.7 97.68% Min -60.72  -62.8 96.69% S3 (3L/4) Max 32.93 33 99.79% Min -43.11 -45 95.80% Rata-rata  97.62% deviasi 1.43%
Rasio  lendutan  estimasi  dari  integrasi ganda  data  percepatan  menggunakan algoritma  yang  diusulkan  rata-rata 97.62%  dari  data  LVDT  dengan  standar deviasi  1.43%,  nilai  yang  lebih  kecil dibandingkan hasil LVDT disebabkan oleh filtering  dengan FIR  equiripple  highpass dimana  respons  amplitudo  filter  ini  akan membuat serangkaian puncak dan lembah gelombang  yang  sama  pada  rentang frekuensi  tersebut,  sehingga  mencapai keseragaman  yang  diinginkan  dalam mereduksi  frekuensi  rendah.  Namun dengan perbedaan kurang dari 5% dengan standar  deviasi  cukup  kecil  1.43%,  dapat dianggap  akurat  untuk  memprediksi parameter estimasi lendutan statik dengan perbaikan pada kondisi batas tumpuan.

## Perbaikan  Kondisi  Batas  Tumpuan Berdasar Hasil Uji Dinamik
Adanya  perbedaan  solusi  teoritik  dengan data  uji,  perlu  dilakukan  perbaikan  pada kondisi  batas  tumpuan.  Mengingat fokusnya  untuk  memperoleh  metode estimasi  lendutan  dari  uji  getar,  maka perbaikan  dilakukan  mengacu  pada  hasil uji  getar.  Acuan  untuk  merubah  adalah dari frekuensi dan mode shape. Superimpossed  data  lendutan  hasil integrasi  data  sensor-1,  2  dan  3  seperti diperlihatkan pada gambar berikut:
Gambar 28. Superimpossed data lendutan hasil integrasi data sensor-1, 2 dan 3
Gambar 29. Mode Shape lendutan dari percepatan
Dengan  mengodealisasikan  tumpuan balok  sebagai  sendi  dengan  pegas  rotasi, yang nilainya akan dicari dari mode shape yang sudah diketahui (Gambar 29). Model FEM seperti pada Gambar 30.
Gambar 30. Diskritisasi Elemen balok
Le = L /4,  dan  konstanta spring 𝑘 𝑟1 pada tumpuan  kiri  dan 𝑘 𝑟2 kanan,  dengan hubngan:
([𝐾] − 𝜔 2 [𝑀]){∅} 𝑖 = 0 (44)
-6.046 30.037 25.245 -13.428 -32.780 -13.228 19.457 20.625 -5.698 -13.660 -9.343 17.524 16.351 -6.414 -21.569 -5.137 17.216 15.185 -7.464 -18.713 -3.782 15.448 11.442 -7.544 -16.043 -1.878 13.921 -8.402 41.712 36.018 -16.960 -45.115 -17.468 31.291 35.683 -7.236 -34.428 -12.035 24.211 23.904 -9.662 -28.371 -6.995 22.645 20.013 -9.736 -24.439 -4.993 19.993 16.332 -9.473 -20.791 -3.270 17.733 -1.926 29.269 16.374 -23.326 -31.738 -10.973 20.386 11.528 -10.692 -11.137 5.184 21.883 17.082 -7.939 -21.893 -5.748 18.325 16.280 -7.019 -18.761 -3.829 15.446 11.620 -7.392 -16.268 -2.820 13.584 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 2.54 2.59 2.64 2.69 2.74 2.79 Le nd ut an , m m t, detik 1/4 1/2 3/4 0.000 0.700 1.000 0.719 0.000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 L/4 L/2 3L/4 L Mo d e S h a p e -1 Bentang, L 0.000 0.700 1.000 0.719 0.000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 L/4 L/2 3L/4 L Mo d e S h a p e -1 Bentang, L
Konstanta  pegas  rotasi  tumpuan  kiri  dan kanan, 𝑘 𝑟1 = 5,03 x 10 4 kg.m/rad  dan 𝑘 𝑟2 = 9.2x10 4 kg.m/rad.

## Perhitungan Lendutan Dinamik dengan Penambahan Pegas Rotasi Tumpuan
Pengecekan  lendutan  dinamik  secara analitik  dengan  memasukkan  konstanta pegas,  pada  persamaan  getaram.  Impulse dimodelkan sebagai beban segitiga:
𝐹(𝑡)
= { 0 𝑡 < 𝑡 𝑖0 𝐹𝑜 (𝑡 − 𝑡 𝑖1 ) 𝑡 𝑖1 − 𝑡 𝑖0 𝑡 𝑖0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑖1 0 𝑡 > 𝑡 𝑖1 (45)
Gambar 31. Beban impulse
Berikut dapat dilihat perbandingan solusi analitik, estimasi dengan hasil uji. Gambar 32. Lendutan dinamik di ¼ bentang Gambar 33. Lendutan dinamik di ½ bentang Gambar 34. Lendutan dinamik di ¾ bentang Perbandingan  lendutan  teoritik  terhadap data LVDT disajikan dalam tabel berikut:
Tabel 2. Lendutan teoritik dengan modifikasi kondisi tumpuan dibandingkan
data LVDT Sensor Max / Min Lendutan dinamik (mm) Rasio Solusi Teoriti k terhad ap LVDT Teoritik dengan modifik asi tumpua n LVDT S1 (L/4) Max 32.190 33.00  97.5% Min  -44.054 -39.28  112.1% S2 (L/2) Max 45.799 42.70  107.3% Min  -62.680 -62.80  99.8% S3 (3L/4) Max 33.131 33.00  100.4% Min  -45.342 -45.00  100.8% Rata-rata 102.99 % deviasi  5.54%
Tabel  2  menunjukkan  perbedaan  antara solusi  exact  dibandingkan  data  LVDT menunjukkan  nilai  lebih  besar  2.99% dengan standar deviasi 5.54%.

## Lendutan Estimasi dibanding Hasil Uji
Dengan  memasukkan  konstanta  pegas rotasi pada tumpuan sesuai estimasi dari uji  dinamik  pers.  (7),  diperoleh  lendutan statik pada beban 100% sebagai berikut:
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 Le n d u ta n , m m Waktu, t Lendutan dinamik di 1/4 bentang Teoritis asumsi tumpuan sendi Teoritis asumsi tumpuan sendi dan pegas rotasi Estimasi dari data percepatan LVDT -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 Le n d u ta n , m m Waktu, t Lendutan dinamik di 1/2 bentang Teoritis asumsi tumpuan sendi Teoritis asumsi tumpuan sendi dan pegas rotasi Estimasi dari data percepatan LVDT
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 Le n d u ta n , m m Waktu, t Lendutan dinamik di 3/4 bentang Teoritis asumsi tumpuan sendi Teoritis asumsi tumpuan sendi dan pegas rotasi Estimasi dari data percepatan LVDT -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Le n d u ta n , m Bentang, L Asumsi awal tumpuan sendi Teoritis asumsi tumpuan sendi dan pegas rotasi Hasil uji
Gambar 35. Perbandingan lendutan statik asumsi awal, setelah perbaikan kondisi tumpuan dan hasil uji statik
Lendutan hasil estimasi dengan perbaikan kondisi batas tumpuan menggunakan hasil uji  dinamik  dibandingk  dengan  lendutan hasil uji statis seperti pada Tabel 3:
Tabel 3. Lendutan estimasi dibanding hasil uji Posisi Lendutan Statik (mm) Rasio lendutan estimasi terhadap LVDT Estimasi dengan modifikasi tumpuan LVDT S1 (L/4) -0.56 -0.57 98.8% S2 (L/2) -0.81 -0.80 100.7% S3 (3L/4) -0.58 -0.56 102.5% Rata-rata  100.67% deviasi 1.85%
Rasio rata-rata lendutan estimasi terhadap hasil  uji  100.67%  +  1.86%.  Dengan  rasio tersebut,  metode  estimasi  lendutan  dari data  percepatan  yang  diusulkam  dapat diterapkan.

## 6. KESIMPULAN
1. Dengan  FIR  Equiripple  Highpass Filter,  yang  dioptimasi  pada  Panjang filter yang  dilakukan pada dua tahap integrasi  simpson  3/8  menghasilkan nilai  lendutan  dinamik  97.62%  + 1.43% data LVDT.
2. Dari  kesimpulan  1,  mode  shape lendutan  cukup  konfiden  digunakan memprediksi  pegas  rotasi  tumpuan. Dari frekuensi alami dan mode shape- 1  diperoleh,  k_r1=5,03  x  10^4 kg.m/rad dan k_r2=9.2x10^4 kg.m/rad..
3. Dengan mensubtitusi konstanta pegas ke  persamaan  lendutan  dinamik diperoleh lendutan teoritis 102.99% + 5.54% terhadap data LVDT.
4. Dengan mensubtitusi konstanta pegas ke persamaan lendutan statik diperoleh lendutan teoritis 100.67% + 1.86% lendutan hasil uji. Selanjutnya kapasitas  beban  diketahui  dengan memasukkan  lendutan  ijin  pada persamaan lendutan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   SNI  2847:2019, “Persyaratan  beton struktural  untuk  bangunan  gedung dan  penjelasan”,  Pasal  27  Evaluasi Kekuatan Struktur Eksisting , 27.2.3. [2]   S. C. Stiros. (2008). “Errors in velocities and  displacements  deduced  from accelerographs: An approach based on the  theory  of  error  propagation” ,  Soil Dyn.  Earthq.  Eng.,  vol.  28,  no.  5,  pp. 415 – 420.
[3]   Gere, J. M., Timoshenko, S. P., (1997). “ Mechanics  of  Materials ”. HPB- Emerald , Dallas, TX, U.S.A .
[4]   Weaver  Jr,  William,  Stephen  P. Timoshenko,  and  Donovan  Harold Young. (1990). “ Vibration problems in engineering” . John Wiley & Sons, New York City [ 5 ]   Lee,  H.S.,  Y.H.  Hong,  and  H.W.  Park. (2010). “ Design of an FIR filter for the displacement  reconstruction  using measured acceleration in low- frequency dominant structures ”. International  Journal  for  Numerical Methods  in  Engineering.  82(4),  pp. 403-434.
[ 6 ]   F.  Moschas,  D.  Mouzoulas,  and  S. Stiros,  (2015).  “ Phase  errors  in accelerometer  arrays:  An  analysis based on collocated sensors and FEM ”. Soil Dyn. Earthq. Eng., vol. 78, pp. 32 – 45.
[ 7 ]   Berg, G.V., and G.W., Housner. (1961). "Integrated  velocity  and  displacement of  strong  earthquake  ground  motion” . Bulletin of the Seismological Society of America 51.2. pp. 175-189.
[ 8 ] Trifunac,  M.D.  (1971).  “ Zero  baseline correction of strong-motion acc elerograms”. Bulletin  of  the Seismological  Society  of  America. 61(5): pp. 1201-1211.
[ 9 ] Yang,  J.,  J.B.  Li,  dan  G.  Lin  (2006).  “ A simple  approach  to  integration  of acceleration  data  for  dynamic  soil – structure  interaction  analysis ” . Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 26(8): pp. 725-734. [ 1 0] Park,  J.W.,  S.H.  Sim,  and  H.J.  Jung. (1013).  “ Displacement  Estimation Using  Multimetric  Data  Fusion ” .
IEEE/ASME Transactions
on Mechatronics, 18(6): pp. 1675-168.