Limits:  Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN:  2579-8936 P-ISSN:  1829-605X Vol.  16, No. 2, Desember 2019,  135-146 DOI:  http://dx.doi.org/10.12962/limits.v16i2.5940

## Bilangan Dominasi Graf Hasil Operasi Korona Sisi
Yayuk Wahyuni 1 *, Mohammad Imam Utoyo 2 , Slamin 3 1,2 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,  Kampus C Universitas Airlangga, Jl. Mulyorejo,  Surabaya
3 Program Studi  Informatika Universitas Jember; Jl Kalimantan 37 Jember *e-mail:  yayuk-w@fst.unair.ac.id
Abstrak
Diberikan dua graf G dan H . Misalkan graf G mempunyai n titik  dan m sisi. Operasi korona sisi ( edge corona ) dari dua graf G dan H , didefinisikan  sebagai graf yang diperoleh  dari satu salinan  graf G dan m salinan graf H dan menghubungkan  dua titik  dari sisi ke- i pada graf G ke setiap titik  dari salinan  ke- i dari graf H . Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  bilangan  dominasi  dari  graf hasil  operasi  korona sisi antara graf-graf  tertentu dengan sebarang graf dan menentukan karakter graf yang bilangan dominasi hasil korona sisinya  bernilai  sama dengan bilangan  dominasi  graf induknya.  Selain itu,  pada penelitian  ini  juga dikaji  nilai  bilangan  dominasi  jarak-2 graf hasil operasi korona sisi  beserta karakter graf yang mempunyai bilangan  dominasi  jarak-2 sama antara graf hasil operasi korona sisinya  dengan graf induknya.
Kata Kunci : Bilangan dominasi,  bilangan  dominasi  jarak-2, korona sisi,  himpunan  dominasi.

## Abstract
Given two graphs G and H. Let G be a graph with n vertices and m edges. The edge corona of two graphs G and H is defined as a graph obtained by taking one copy of G and m copies of H and then joining two end-vertices of the i-th edge of G to every vertex of the i-th copy of H. The aims of this research were to determine the dominating number of the edge corona of a particular class of graph and any graph, and to determine the property of graph which its dominating number equal to the dominating number of its edge corona. This research also invetigated the distance-2 dominating number of the edge corona and its property when its distance-2 dominating number equal to the distance-2 dominating number of its edge corona.
Keywords :Dominating number, distance-2 dominating number, edge corona, dominating set.

## 1 Pendahuluan
Kajian  tentang  bilangan  dominasi  terkait  operasi  pada graf  telah  dilakukan  oleh  beberapa peneliti.  Pavlic  & Zerovnik  ([1]) telah  menyusun  algoritma  untuk  menentukan  bilangan  dominasi hasil  kali  Cartesian  graf  sikel  dan graf  lintasan  yaitu  graf 𝑃 𝑛 □𝐶 𝑘 untuk 𝑘 ≤ 11 , graf 𝐶 𝑛 □𝑃 𝑘 untuk 𝑘 ≤ 7 dan  graf 𝐶 𝑛 □𝐶 𝑘 untuk 𝑘 ≤ 7 . Selanjutnya  Go & Canoy  Jr. ([2])  juga  telah  menentukan beberapa bilangan  dominasi  pada operasi  korona  antara  lain  dominasi  biasa,  dominasi  total,  dan

## 136
dominasi  Roman.  Juga  ada Klobucar  ([3])  yang  menentukan  bilangan  dominasi  pada cardinal product untuk  graf  lintasan 𝑃 𝑘 × 𝑃 𝑛 untuk 2 ≤ 𝑘 ≤ 5 dan 𝑛 > 1 . Sementara  itu  Kuziak et al. ([4]) juga  telah  menentukan  beberapa  bilangan  dominasi  untuk rooted product antara  lain  dominasi biasa,  dominasi  Roman,  dominasi  independen,  dan dominasi  terhubung.  Sebagai  pengembangan konsep  bilangan  dominasi,  telah  dikaji  pula  konsep  dominasi  jarak- k yang  penelitiannya  antara lain  telah  dilakukan  oleh  Vaidya  ([5]) untuk splitting graf yang  dibentuk  dari  graf  lintasan  serta Prathibha  ([6]) yang  menulis  tentang  algoritma  untuk  menentukan  himpunan  dominasi  jarak- k dari graf  bintang  diperumum  ( extended star graph ). Terinspirasi  dari kajian-kajian  tersebut,  penelitian ini  mengkaji  pengembangan  bilangan  dominasi  (biasa  dan  jarak-2)  pada  operasi  korona  sisi sebagai  pengembangan  dari  operasi  korona  sebagaimana  dibahas  oleh  Go  &  Canoy  di  atas. Penelitian  difokuskan  untuk  menentukan  nilai  bilangan  dominasi  (biasa)  dan bilangan  dominasi jarak-2  dari  graf  hasil  operasi  korona  sisi  pada  graf-graf  tertentu  serta  menentukan  hubungan bilangan  dominasi  tersebut dengan  bilangan  dominasi  graf induknya.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian  dilaksanakan  dengan  terlebih  dahulu  mengkonstruksi  dan menghitung  bilangan dominasi  graf  hasil  operasi  korona sisi  dari  graf-graf  tertentu  yaitu  graf  lintasan,  graf  sikel,  graf lengkap,  graf  bipartit  lengkap,  graf  multipartit  lengkap,  graf  tangga,  graf  kembang  api,  dan graf pohon  pisang  dengan  berbagai  graf.  Berikutnya  merumuskan  hasil  yang  telah  diperoleh  dan menyusun  hipotesis  untuk  langkah  pembuktian.  Langkah  selanjutnya  menyusun  dugaan  tentang hubungan  bilangan  dominasi  graf  hasil  operasi  korona  sisi  dengan  bilangan  dominasi  graf induknya  yang  diakhiri  dengan  pembuktian  dugaan  tersebut.  Semua  langkah  tersebut  diulang untuk  bilangan  dominasi  jarak-2.
Berikut  definisi  bilangan  dominasi  yang  memegang  peranan  penting  dalam  tulisan  ini.
Definisi 1 [7] Suatu titik v dalam G dikatakan mendominasi (dominate) titik itu sendiri dan setiap titik yang bertetangga dengannya. Himpunan S  V(G) disebut himpunan dominasi (dominating set) dari G jika setiap titik dari G didominasi oleh paling sedikit satu titik dalam S. Kardinalitas minimum  di  antara  himpunan  dominasi  dari  G  dinamakan  bilangan  dominasi  (dominating number)  dari  G, dinotasikan  (G).  Himpunan  dominasi  dengan  kardinalitas  (G)  dinamakan himpunan dominasi minimum atau himpunan–  (G).
Dengan  memperumum  ketetanggaan  pada  definisi  bilangan  dominasi  menjadi ketetanggaan  jarak-2, diperoleh  definisi  bilangan  dominasi  jarak-2

## Yayuk  Wahyuni,  Mohammad  Imam  Utoyo, Slamin
Definisi  2 [8] Diberikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan 𝑆 ⊆ 𝑉 .  Himpunan 𝑆 dinamakan himpunan  dominasi jarak–2 (distance–2 dominating set) jika setiap titik elemen 𝑉\𝑆 berada dalam jarak 2 dari paling sedikit satu titik dalam 𝑆 . Kardinalitas minimum diantara himpunan dominasi  jarak-2 pada 𝐺 dinamakan bilangan dominasi jarak–2, dinotasikan 𝛾 ≤2 (𝐺) .
Sebagai  pengembangan  lebih  lanjut  dari operasi  korona, didefinisikan  operasi  korona sisi yaitu  mengganti  peran titik  pada graf  pertama dengan  sisi  pada graf  tersebut.
Definisi 3 [9] Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah dua graf dengan titik-titik yang saling asing, berturut- turut mempunyai 𝑛 1 dan 𝑛 2 titik serta 𝑚 1 dan 𝑚 2 sisi. Korona sisi (edge corona) dari 𝐺 dan 𝐻 , dinotasikan dengan 𝐺  𝐻 , didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dari satu salinan graf 𝐺 dan 𝑚 1 salinan graf H  dan menghubungkan dua titik dari  sisi ke-i pada graf 𝐺 ke setiap titik dari salinan ke-i  dari graf H.
Definisi  3 di atas secara jelas  menyatatakan  bahwa 𝐸(𝐺) ≠ ∅ . Banyaknya  titik  dan sisi  pada graf  hasil  operasi  korona  sisi  berturut-turut  adalah |𝑉(𝐺  𝐻)| = 𝑛 1 + 𝑚 1 𝑛 2 dan |𝐸(𝐺  𝐻)| = 𝑚 1 + 2𝑚 1 𝑛 2 + 𝑚 1 𝑚 2 . Contoh graf hasil  operasi korona sisi dari graf 𝐶 3 dan 𝑃 4 (𝐶 3  𝑃 4 ) disajikan pada Gambar  1 berikut.

## Gambar  1. Graf hasil  operasi  korona sisi 𝐶 3  𝑃 4
Untuk  keperluan  lebih  lanjut,  salinan  ke- i graf H yang  dihubungkan  dengan  sisi  ke- i (menghubungkan  titik 𝑣 dan 𝑤 )  pada  graf G ,  dinotasikan  dengan 𝐻 𝑒 𝑖 atau 𝐻 𝑣𝑤 .  Selanjutnya subgraf  yang  diperoleh  dengan  menghubungkan  sisi 𝑒 𝑖 = 𝑣𝑤 dengan 𝐻 𝑒 𝑖 atau 𝐻 𝑣𝑤 dinotasikan dengan 〈𝑣〉 + 〈𝑤〉 + 𝐻 𝑣𝑤 atau 〈𝑣〉 + 〈𝑤〉 + 𝐻 𝑒 𝑖 . Penulisan  ini  juga disajikan  secara singkat  sebagai 𝑣 + 𝑤 + 𝐻 𝑣𝑤 atau 𝑣 + 𝑤 + 𝐻 𝑒 𝑡 . Titik 𝑣 yang  bertetangga  dengan  titik 𝑤 ditulis  sebagai 𝑣~𝑤 .
Beberapa  graf  tertentu  yang  dirujuk  pada tulisan  ini  adalah  graf  lintasan  ( 𝑃 𝑛 ), graf  sikel ( 𝐶 𝑛 ) , graf  lengkap  ( 𝐾 𝑛 ), graf  bipartit  lengkap (𝐾 𝑚,𝑛 ) , graf  multipartit  lengkap  ( 𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘 ) , graf tangga  ( 𝐿 𝑛 ) ,  graf  kembang  api ( 𝐹 𝑛,𝑘 ) , dan graf  pohon pisang  ( 𝐵 𝑛,𝑘 ) .
Proposisi  1 [3] 𝛾(𝑃 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 3 ⌉ dan 𝛾(𝐶 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 3 ⌉  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3 .
Proposisi  2 [8] Jika G graf dengan n titik maka ⌈ 𝑛 1+∆(𝐺) ⌉ ≤ 𝛾(𝐺) ≤ 𝑛 − ∆(𝐺) .
Proposisi  3 [10] Untuk 𝑛 ≥ 3 berlaku 𝛾 ≤2 (𝑃 𝑛 ) = 𝛾 ≤2 (𝐶 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 5 ⌉

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada  operasi  korona  sisi 𝐺  𝐻 ,  pada  subgraf 𝑣 + 𝑤 + 𝐻 𝑣𝑤 ,  titik 𝑣 atau  titik 𝑤 yang merupakan  titik  pada graf  induk 𝐺 mendominasi  titik  elemen 𝑉(𝐺) yang  bertetangga  dengannya dan  semua  titik  elemen  dari 𝑉(𝐻 𝑣𝑤 ) . Sementara  itu  untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣𝑤 ) , titik 𝑥 hanya mendominasi  titik-titik  elemen 𝑉(𝐻 𝑣𝑤 ) lain  yang  bertetangga  dengan 𝑥 serta titik 𝑣 dan 𝑤 pada graf  induk 𝐺 . Hal tersebut  dapat diilustrasikan  pada gambar  di bawah ini.
Gambar  2. Dominasi  pada subgraf  dari 𝐺  𝐻
Dengan  gambaran  itu,  ketika  menentukan  himpunan  dominasi  dengan  kardinalitas minimum,  titik  elemen 𝑉(𝐺) lebih  dipilih  karena  mendominasi  lebih  banyak  titik  dibanding  titik elemen 𝑉(𝐻 𝑣𝑤 ) . Oleh karena itu  himpunan- 𝛾(𝐺  𝐻) hanya  berasal dari elemen 𝑉(𝐺) saja. Lebih lanjut  operasi korona sisi  antara graf 𝐺 dan 𝐻 dapat terjadi  untuk  sebarang  graf 𝐻 . Dalam  arti, jika 𝐺 graf  terhubung  sedang 𝐻 graf  terhubung  ataupun  tidak  terhubung  akan  diperoleh  graf 𝐺  𝐻 yang  merupakan  graf  terhubung.
Melengkapi  hasil  yang  telah  diperoleh  pada Proposisi  1 – Proposisi  3, berikut  beberapa hasil  yang  telah  diperoleh.
Proposisi  4 𝛾(𝐾 𝑛 ) = 1 , 𝛾(𝐾 𝑚,𝑛 ) = 𝛾(𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘 ) = 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚, 𝑛, 𝑛 𝑖 > 1 , 𝛾(𝐿 𝑛 ) = ⌈ 𝑛+1 2 ⌉ , 𝛾(𝐹 𝑛,𝑘 ) = 𝑛 , dan 𝛾(𝐵 𝑛,𝑘 ) = {        𝑛, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 2 𝑛 + 1,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘  𝑘 > 2 .
Proposisi  5 Untuk G graf berordo n, 𝛾(𝐺) = 1 jika hanya jika terdapat graf H sehingga 𝐺 = 𝐾 1 + 𝐻 .
𝐺 𝐻 𝑣𝑤 𝑥 𝑤 𝑣

## Yayuk  Wahyuni,  Mohammad  Imam  Utoyo, Slamin
Proposisi  6 𝛾 ≤2 (𝐾 𝑛 ) = 𝛾 ≤2 (𝐾 𝑚,𝑛 ) = 𝛾 ≤2 (𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘 ) = 1 , 𝛾 ≤2 (𝐿 𝑛 ) = ⌈ 𝑛+1 4 ⌉ , 𝛾 ≤2 (𝐹 𝑛,𝑘 ) = {⌈ 𝑛 3 ⌉ , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 2 𝑛, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 > 2 , dan 𝛾 ≤2 (𝐵 𝑛,𝑘 ) = { 1,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 2 𝑛,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘  𝑘 > 2

## 3.1 Bilangan  Dominasi  Hasil  Operasi Korona Sisi
Beberapa bilangan  dominasi  hasil  operasi graf-graf  tertentu  dengan  sebarang graf disajikan pada subbab ini.
Teorema  1 Jika P n adalah  graf lintasan dan  H  adalah  graf sebarang  maka 𝛾(𝑃 𝑛  𝐻) = ⌊ 𝑛 2 ⌋ , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 1 .
Bukti:   Misalkan P n untuk 𝑛 > 1 merupakan  sebuah graf lintasan  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝑃 𝑛 ) = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } dan himpunan  sisi 𝐸(𝑃 𝑛 ) = {𝑒 𝑖 = 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+1 ; 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1} dan H merupakan  graf sebarang.  Diambil 𝑆 = {𝑣 2𝑡 ;𝑡 = 1, … , 𝑘 = ⌊ 𝑛 2 ⌋} . Untuk  sebarang x ∈ 𝑉(𝑃 𝑛  𝐻)\𝑆 :
- Jika n genap maka 𝑥 = 𝑣 2𝑡−1 atau 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑒 𝑖 ) untuk 𝑖 = 2𝑡 − 1, 2𝑡.
- Jika n gasal  maka 𝑥 = 𝑣 2𝑡 −1 atau 𝑥 = 𝑣 2𝑘+1 atau 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑒 𝑖 ) untuk 𝑖 = 2𝑡 − 1, 2𝑡.
Dalam 𝑃 𝑛 , jelas bahwa 𝑣 2𝑡−1 ~𝑣 2𝑡 dan 𝑣 2𝑘 +1 ~𝑣 2𝑘 . Sementara itu,  untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑒 2𝑡 −1 ) atau 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑒 2𝑡 ) maka 𝑥~𝑣 2𝑡 . Jadi 𝑆 merupakan  himpunan  dominasi.  Andaikan  ada 𝑇 ⊆ 𝑉(𝑃 𝑛 ) dengan |𝑇| < 𝑘 = ⌊ 𝑛 2 ⌋ . Tanpa mengurangi  keumuman  bukti, jika 𝑇 = {𝑣 2𝑡 ;𝑡 = 1, … , 𝑘 − 1} maka untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑒 2𝑘 −1 ) , 𝑥~𝑣 2𝑘−1 tetapi 𝑥 ≁ 𝑣 2(𝑘−1) . Jika 𝑇 ≠ {𝑣 2𝑡 ; 𝑡 = 1, … , 𝑘 − 1} maka terdapat 𝐻 𝑒 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ,  dengan 𝑣 𝑖 ,𝑣 𝑖+1 ∉ 𝑇 sehingga  setiap  titik  elemen 𝐻 𝑒 𝑖 tidak bertetangga  dengan  titik  elemen T . Ini  berarti 𝑇 bukan  himpunan  dominasi.  Dengan  demikian 𝑆 merupakan  himpunan  dominasi  dengan kardinalitas  minimum  sehingga 𝛾(𝑃 𝑛  𝐻) = |𝑆| = ⌊ 𝑛 2 ⌋ . ∎ Dengan  cara yang  sama diperoleh  pula  hasil  untuk graf sikel  dan graf lengkap  sebagaimana dijabarkan  dalam  teorema berikut.
Teorema 2. Jika C n adalah graf sikel, K n adalah graf lengkap dan H adalah graf sebarang maka (i) 𝛾(𝐶 𝑛  𝐻) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ , 𝑛 ≥ 3

## (ii) (𝐾 𝑛  𝐻) = 𝑛 − 1
Gambar  3  memperlihatkan  bilangan  dominasi  graf  hasil  operasi  korona  sisi  dari  graf lintasan 𝑃 5 dan  graf  sikel 𝐶 5 dengan  sebarang  graf 𝐻 .  Dalam  hal  ini 𝛾(𝑃 5  𝐻) = 2 sedang 𝛾(𝐶 5  𝐻) = 3 .
Gambar  3. Himpunan  dominasi  graf 𝑃 5  𝐻 dan 𝐶 5  𝐻
Teorema  3. Jika 𝐾 𝑚,𝑛 adalah  graf  bipartit  lengkap  dengan 1 < 𝑚 ≤ 𝑛 dan  H  graf  adalah sebarang maka 𝛾(𝐾 𝑚,𝑛  𝐻) = 𝑚 .
Bukti:  Misalkan 𝐾 𝑚,𝑛 merupakan  graf  bipartit  lengkap  dimana 𝑉(𝐾 𝑚,𝑛 ) = 𝑉 1 ∪ 𝑉 2 dengan 𝑉 1 = {𝑣 1,𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} dan 𝑉 2 = {𝑣 2,𝑗 ;  𝑗 = 1,2,… , 𝑛} sementara 𝐸(𝐾 𝑚,𝑛 ) = {𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑗 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛} .  Diambil 𝑆 = 𝑉 1 .  Untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝑉(𝐾 𝑚,𝑛  𝐻)\𝑆 maka 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑗 ) atau 𝑥 ∈ 𝑉 2 . Jika 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑗 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚  dan  1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 maka 𝑥~𝑣 1,𝑖 . Jika 𝑥 ∈ 𝑉 2 maka 𝑥~𝑣 1,𝑖 untuk  suatu 𝑖 . Andaikan  ada 𝑖 sehingga 𝑣 1,𝑖 ∉ 𝑆 maka setiap 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑗 ) tidak bertetangga  dengan  titik  anggota 𝑆 lainnya  sehingga 𝑆 bukan  himpunan  dominasi. ∎ Secara  sama,  diperoleh  bilangan  dominasi  hasil  operasi  korona  sisi  dari  graf  tripartit lengkap 𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,𝑛 3 dengan  sebarang  graf 𝐻 dimana 1 < 𝑛 1 ≤ 𝑛 2 ≤ 𝑛 3 yaitu 𝛾(𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,𝑛 3  𝐻) = 𝑛 1 + 𝑛 2 . Hasil  ini  dapat diperumum  untuk  graf multipartit  lengkap.
Teorema  4. Jika 𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘 adalah graf multipartit lengkap dengan 1 < 𝑛 1 ≤ ⋯ ≤ 𝑛 𝑘 dan H adalah graf sebarang maka 𝛾(𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘  𝐻) = ∑ 𝑛 𝑖 𝑘 −1 𝑖=1 .
Teorema 5. Jika L n adalah graf tangga dan H adalah graf sebarang maka 𝛾(𝐿 𝑛  𝐻) = 𝑛 dengan n > 1.
Bukti:  Misalkan L n dengan n > 1 merupakan  sebuah  graf  tangga  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐿 𝑛 ) = {𝑣 1,𝑖 , 𝑣 2,𝑖 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} dan  himpunan  sisi 𝐸(𝐿 𝑛 ) = {𝑣 1,𝑖 𝑣 1,𝑖+1 , 𝑣 2,𝑖 𝑣 2,𝑖+1 ; 𝑖 = 1, … ,𝑛 − 1} ∪ {𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑖 ;𝑖 = 1,… , 𝑛} dan H adalah  graf  sebarang.  Misalkan 𝑆 himpunan  dominasi  pada 𝐿 𝑛  𝐻 . Untuk setiap dua titik  pada graf induk 𝐿 𝑛 sebagai  calon himpunan- 𝛾(𝐿 𝑛  𝐻) ,  terdapat dua kondisi yang  tidak boleh  terjadi,  karena berakibat 𝑆 bukan himpunan  dominasi,  yaitu:
𝑣 5 𝑣 1 𝐻 𝑣4𝑣5 𝐻 𝑣1𝑣2 𝑣 1 𝑣 4 𝐻 𝑣3𝑣4 𝐻 𝑣1𝑣2

## 141
Yayuk  Wahyuni,  Mohammad  Imam  Utoyo, Slamin
(i) Jika  titik 𝑣 1,𝑖 , 𝑣 2,𝑖 ∉ 𝑆 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 maka  titik-titik  elemen 𝑉(𝐻 𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑖 ) tidak bertetangga  dengan  titik  elemen 𝑆 .
(ii) Jika  titik 𝑣 𝑗,𝑖 , 𝑣 𝑗,𝑖+1 ∉ 𝑆 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 dan 𝑗 = 1,2 maka  titik-titik  elemen 𝑉(𝐻 𝑣 𝑗,𝑖 𝑣 𝑗,𝑖+1 ) tidak bertetangga  dengan  titik  elemen 𝑆 .
Agar kedua kondisi  di atas tidak terjadi  maka dipilih  sebagai  himpunan  dominasi  adalah
𝑆 = {𝑣 1,2𝑡−1 ;𝑡 = 1,2, … , ⌈ 𝑛 2 ⌉} ∪ {𝑣 2,2𝑡 ;  𝑡 = 1,2, … , ⌊ 𝑛 2 ⌋} dengan |𝑆| = ⌈ 𝑛 2 ⌉ + ⌊ 𝑛 2 ⌋ = 𝑛 . ∎
Teorema 6. Jika F n,k adalah graf kembang api dan H adalah graf sebarang maka
𝛾(𝐹 𝑛,𝑘  𝐻) = { 𝑛, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 2 𝑛 + ⌊ 𝑛 2 ⌋ , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 > 2 .
Bukti:  Misalkan F n,k merupakan  sebuah  graf  kembang  api  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐹 𝑛,𝑘 ) = {𝑣 𝑖,𝑗 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛 dan 𝑗 = 1,2,… 𝑘} dan H merupakan  sebuah  graf  sebarang.  Dalam  hal  ini 𝑣 1,1 dan 𝑣 𝑛,1 adalah  penamaan  untuk  titik  berderajat  2, 𝑣 2,1 , … , 𝑣 𝑛−1,1 untuk  titik  berderajat  3, 𝑣 𝑖,2 untuk  titik  berderajat 𝑘 − 1 , dan 𝑣 𝑖,𝑗 dengan 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 untuk  titik  berderajat  1. Misalkan  pula 𝐸(𝐹 𝑛,𝑘 ) = {𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖,2 ;  𝑖 = 1,… , 𝑛} ∪ {𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖+1,1 ; 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1} ∪ {𝑣 𝑖,2 𝑣 𝑖,𝑗 ; 𝑖 =
1, … ,𝑛 dan 𝑗 = 3,4,, … 𝑘 } .  Diambil 𝑆 = {𝑣 𝑖,2 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} ∪ {𝑣 2𝑡,1 ; 𝑡 = 1, 2, … ⌊ 𝑛 2 ⌋} .  Untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑉(𝐹 𝑛,𝑘  𝐻)\𝑆 maka:
- 𝑥 = 𝑣 𝑖,𝑗 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 . Dalam  hal  ini 𝑥~𝑣 𝑖,2 .
- 𝑥 = 𝑣 𝑖,1 dengan 𝑖 = 2𝑡 − 1 ,𝑡 = 1, 2, … ⌊ 𝑛 2 ⌋ untuk 𝑛 genap atau 𝑖 = 2𝑡 + 1 ,𝑡 = 0,1, … ⌊ 𝑛 2 ⌋ untuk 𝑛 gasal.  Dalam  hal  ini 𝑥~𝑣 2𝑡 ,1 .
- 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 𝑖,2 𝑣 𝑖,𝑗 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 . Dalam  hal  ini 𝑥~𝑣 𝑖,2 .
- 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖+1,1 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 . Dalam  hal  ini 𝑥~𝑣 2𝑡,1 .
Jadi 𝑆 himpunan  dominasi  dengan |𝑆| = 𝑛 + ⌊ 𝑛 2 ⌋ . Andaikan  ada 𝑇 ⊆ 𝑉(𝐹 𝑛,𝑘 ) dengan |𝑇| < 𝑛 + ⌊ 𝑛 2 ⌋ . Jika  ada 𝑖 sehingga 𝑣 𝑖,2 ∉ 𝑇 maka setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 𝑖,2 𝑣 𝑖,𝑗 ) untuk 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 tidak  bertetangga dengan  elemen 𝑇 .  Jika  ada 𝑖 sehingga 𝑣 𝑖,1 , 𝑣 𝑖+1,1 ∉ 𝑇 maka  setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖+1,1 ) tidak bertetangga  dengan  elemen 𝑇 . Keduanya  menyebabkan 𝑇 bukan himpunan  dominasi.
Untuk 𝑘 = 2 nilai  bilangan  dominasinya  adalah 𝛾(𝐹 𝑛 ,2  𝐻) = 𝑛 dengan  himpunan- 𝛾(𝐹 𝑛 ,2  𝐻) adalah {𝑣 𝑖,1 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} . ∎
Teorema 7. Jika B n,k adalah graf pohon pisang dan H adalah graf sembarang maka
𝛾(𝐵 𝑛,𝑘  𝐻) = {      𝑛,    𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 2 𝑛 + 1,   𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 > 2.
Bukti:  Misalkan B n,k merupakan  sebuah  graf  pohon  pisang  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐵 𝑛,𝑘 ) = {𝑣 𝑝 } ∪ {𝑣 𝑖,𝑗 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛 dan 𝑗 = 1,2,… 𝑘} dan H merupakan  sebuah graf sebarang. Dalam  hal  ini 𝑣 𝑝 adalah  titik  berderajat 𝑛 , 𝑣 𝑖,1 adalah  titik  berderajat 𝑘 − 1 , 𝑣 𝑖,2 untuk  titik  berderajat 2 dan 𝑣 𝑖,𝑗 dengan 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 untuk  titik  berderajat  1.  Misalkan  pula 𝐸(𝐵 𝑛,𝑘 ) = {𝑣 𝑝 𝑣 𝑖,2 ; 𝑖 = 1, … , 𝑛} ∪ {𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖,𝑗 ;  𝑖 = 1,… , 𝑛 dan 𝑗 = 2,3, … , 𝑘} . Pada graf 𝐵 𝑛,𝑘  𝐻 berlaku:
(i) pada subgraf 𝑣 𝑖,1 + 𝑣 𝑖,𝑗 + 𝐻 𝑣 𝑖,1 ,𝑣 𝑖,𝑗 untuk  semua 𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 , titik 𝑣 𝑖,1 mendominasi  semua titik  lain  pada subgraf  tersebut.
(ii) titik 𝑣 𝑝 mendominasi  titik-titik  pada subgraf 𝑣 𝑝 + 𝑣 𝑖,2 + 𝐻 𝑣 𝑝 ,𝑣 𝑖,2 untuk  semua 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 . Memperhatikan  dua  kondisi  tersebut,  diambil  himpunan 𝑆 = {𝑣 𝑝 } ∪ {𝑣 𝑖,1 ; 𝑖 = 1, 2,… 𝑛} sebagai himpunan  dominasi.  Dalam  hal ini  pengambilan  titik 𝑣 𝑝 dapat diganti  dengan  salah  satu titik 𝑣 𝑖,2 . Jelas |𝑆| = 𝑛 + 1 .  Jika  ada  himpunan  dominasi 𝑇 dengan |𝑇| < |𝑆| ,  misalkan |𝑇| = 𝑛 ,  maka berlaku:
- jika  terdapat 𝑖 sehingga 𝑣 𝑖,1 ∉ 𝑇 maka  semua  titik 𝑥 ∈ 𝐻 𝑣 𝑖,1 ,𝑣 𝑖,𝑗 dan semua  titik 𝑣 𝑖,𝑗 untuk 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 tidak bertetangga  dengan  titik  elemen 𝑇 yang  lain.
- jika 𝑣 𝑝 atau salah  satu  titik 𝑣 𝑖,2 bukan  elemen 𝑇 maka  titik 𝑣 𝑝 tidak  bertetangga  dengan titik  elemen 𝑇 yang  lain.
Jadi 𝑆 adalah  himpunan- 𝛾(𝐵 𝑛,𝑘  𝐻) .  Untuk 𝑘 = 2 diambil 𝑆 = {𝑣 𝑖,1 ;𝑖 = 1, 2, … 𝑛} . ∎
Hasil-hasil  di atas, jika dibandingkan  dengan  Proposisi  1 dan Proposisi  4, memperlihatkan untuk  sebarang  graf 𝐻 , jika 𝐺 graf  terhubung  maka 𝛾(𝐺) ≤ 𝛾(𝐺  𝐻) . Syarat  perlu  dan  cukup berlaku  kesamaan  disajikan  berikut.
Teorema 8. Diberikan graf terhubung 𝐺 dan sebarang graf 𝐻 . Misalkan 𝑆 merupakan himpunan- 𝛾(𝐺) , berlaku 𝛾(𝐺) = 𝛾(𝐺  𝐻) jika hanya jika untuk setiap 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) , 𝑥 ∈ 𝑆 atau 𝑦 ∈ 𝑆.
Bukti:  Diketahui 𝛾(𝐺) = 𝛾(𝐺  𝐻) dan 𝑆 juga  merupakan  himpunan- 𝛾(𝐺  𝐻) ,  maka  berlaku 𝑉(𝐺  𝐻) − 𝑆 ⊆ ⋃ 𝑁(𝑣) 𝑣∈𝑆 .  Andaikan  ada 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑥 ∉ 𝑆 dan 𝑦 ∉ 𝑆 ,  maka 𝐻 𝑥𝑦 ⋂(⋃ 𝑁(𝑣) 𝑣∈𝑆 ) = ∅ sehingga 𝑉(𝑥 + 𝑦 + 𝐻 𝑥𝑦 )  ⊈ ⋃ 𝑁(𝑣) 𝑣∈𝑆 yang  mengakibatkan 𝑉(𝐺  𝐻) − 𝑆 ⊈ ⋃ 𝑁(𝑣) 𝑣∈𝑆 sehingga  timbul  kontradiksi.
Sebaliknya  jika  untuk  setiap 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku 𝑥 ∈ 𝑆 atau 𝑦 ∈ 𝑆 maka  untuk  setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝑥 + 𝑦 + 𝐻 𝑥𝑦 ) menyebabkan 𝑣~𝑥 atau 𝑣~𝑦 .  Akibatnya 𝑉(𝐺  𝐻) = ⋃ 𝑉(𝑥 + 𝑣 + 𝑥𝑦∈𝐸(𝐺)
𝐻 𝑥𝑣 ) = ⋃ 𝑁[𝑥] 𝑥 ∈𝑆 .  Ini  berarti 𝑆 merupakan  himpunan- 𝛾(𝐺  𝐻) sehingga 𝛾(𝐺) = 𝛾(𝐺  𝐻) . ∎

## 143 Yayuk  Wahyuni,  Mohammad  Imam  Utoyo, Slamin
Dari  teorema  di  atas, diperoleh  ekuivalensinya  yaitu: Misalkan 𝑆 merupakan himpunan- 𝛾(𝐺) dari graf terhubung 𝐺 . Untuk sebarang graf 𝐻 berlaku 𝛾(𝐺) < 𝛾(𝐺  𝐻) jika hanya jika terdapat 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑥 ∉ 𝑆 dan 𝑦 ∉ 𝑆.
Contoh untuk  Teorema  8 adalah graf 𝐶 4  𝐻 untuk  sebarang  graf 𝐻 , dengan 𝛾(𝐶 4 ) = 𝛾(𝐶 4  𝐻) = 2 sedang untuk  ekuivalensinya  adalah  graf 𝐶 5  𝐻 dengan 𝛾(𝐶 5 ) = 2 tetapi 𝛾(𝐶 5  𝐻) = 3.
Dengan  memperhatikan  Proposisi  5, diperoleh  teorema  berikut.
Teorema  9. Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung dan 𝐻 adalah graf sebarang. Jika 𝐺 = 𝐾 1 + 𝑃 untuk suatu graf 𝑃 maka
(𝐺  𝐻) = { 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 𝑔𝑟𝑎𝑓 𝑘𝑜𝑠𝑜𝑛𝑔 1 + 𝛾(𝑃  𝐻), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 .
Bukti:  Misalkan 𝐾 1 = {𝑣} maka 𝑣𝑥 ∈ 𝐸(𝐺) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐸(𝑃) . Akibatnya 𝑣 mendominasi ⋃ (𝑥 + 𝑣 + 𝐻 𝑥𝑣 ) 𝑥∈𝑃 . Jika 𝑃 graf  kosong  maka 𝑉(𝐺  𝐻) = ⋃ 𝑉(𝑥 + 𝑣 + 𝐻 𝑥𝑣 ) 𝑥∈𝑃 sehingga 𝑣 mendominasi 𝐺  𝐻 . Jika 𝑃 bukan graf  kosong,  misalkan 𝑆 adalah  himpunan- 𝛾(𝑃  𝐻) sehingga 𝑉(𝑃  𝐻) − 𝑆 ⊆ ⋃ 𝑁(𝑣) 𝑣∈𝑆 .  Di  sisi  lain 𝑉(𝐺  𝐻) = 𝑉(𝑃  𝐻)⋃(⋃ (𝑥 + 𝑣 + 𝐻 𝑥𝑣 ) 𝑥∈𝑃 ). Oleh karena 𝑣 mendominasi ⋃ (𝑥 + 𝑣 + 𝐻 𝑥𝑣 ) 𝑥∈𝑃 maka 𝑉(𝐺  𝐻) − (𝑆 ⋃  {𝑣}) ⊆ ⋃ 𝑁(𝑣) 𝑣∈𝑆 ⋃ 𝑁(𝑣) . Ini  berarti 𝑆 ⋃{𝑣} merupakan  himpunan- 𝛾(𝐺  𝐻) . ∎
Akibat  10. Misalkan G adalah graf terhubung dan 𝐻 adalah graf sebarang. 𝛾(𝐺  𝐻) = 1 jika hanya jika 𝐺 = 𝑆 𝑛 .
3.2 Bilangan  Dominasi  Jarak-2 Hasil  Operasi Korona Sisi
Jika konsep bilangan  dominasi  bertumpu  pada ketetanggaan  antara dua titik,  maka konsep terebut diperluas  menjadi  bilangan  dominasi  jarak-2 dimana  konsep ketentanggaan  antara dua titik diperluas  menjadi  berjarak maksimum  2.
Teorema  11. Jika P n adalah  graf lintasan  dan  H  adalah  graf sebarang  maka 𝛾 ≤2 (𝑃 𝑛  𝐻) = ⌈ 𝑛−1 4 ⌉  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 1 dan 𝛾 ≤2 (𝐶 𝑛  𝐻) = ⌈ 𝑛 4 ⌉  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 3
Bukti:  Misalkan  penamaan  titik  dan  sisi  graf  lintasan  seperti  pada  Teorema  1.  Diambil 𝑆 = {𝑣 4𝑡−1 ;𝑡 = 1, … , 𝑘 = ⌈ 𝑛−1 4 ⌉} .  Untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑(4) ,  titik  terakhir  dari 𝑆 diambil 𝑣 4𝑡−2 bukan 𝑣 4𝑡−1 . Untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝑉(𝑃 𝑛  𝐻)\𝑆 berlaku: 𝑥 = 𝑣 4𝑡−3 atau 𝑥 = 𝑣 4𝑡−2 atau 𝑥 = 𝑣 4𝑡 atau 𝑥 ∈ 𝐻 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+1 . Jelas  bahwa  ketiga  jenis  titik  tersebut  berjarak 1 atau  2 terhadap  titik 𝑣 4𝑡−1 sehingga 𝑆
merupakan  himpunan  dominasi  jarak-2. Andaikan  ada 𝑇 ⊆ 𝑉(𝑃 𝑛 ) dengan |𝑇| < 𝑘 = ⌈ 𝑛−1 4 ⌉ maka terdapat 𝑣 𝑖 ,𝑣 𝑖+1 ∈ 𝑉(𝑃 𝑛 ) sehingga 𝑑(𝑣 𝑖 ,𝑇) ≥ 2 dan 𝑑(𝑣 𝑖+1 , 𝑇) ≥ 2 . Akibatnya  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐻 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+1 berlaku 𝑑(𝑥,𝑇) > 2.
Bukti  sejalan  untuk  graf 𝐶 𝑛  𝐻 dengan  mengambil 𝑆 = {𝑣 4𝑡+1 ;𝑡 = 0,1, … , ⌈ 𝑛 4 ⌉ − 1} sebagai himpunan  dominasi  jarak-2. ∎
Teorema  12. Jika  H  adalah  graf  sebarang  maka 𝛾 ≤2 (𝐾 𝑛  𝐻) = 𝛾 ≤2 (𝐾 𝑚,𝑛  𝐻) = 𝛾 ≤2 (𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘  𝐻) = 1 .
Bukti:  Diambil  salah  satu titik  dari graf 𝐾 𝑛 semua titik  lain  pada graf 𝐾 𝑛  𝐻 berjarak satu atau dua dari titik  tersebut. Hal yang  sama berlaku  juga  pada graf 𝐾 𝑚,𝑛  𝐻 ataupun 𝐾 𝑛 1 ,𝑛 2 ,…,𝑛 𝑘  𝐻 . ∎
Teorema  13. Jika  L n adalah  graf  tangga dan  H  adalah  graf sebarang  maka 𝛾 ≤2 (𝐿 𝑛  𝐻) = ⌈ 𝑛 3 ⌉  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 1 .
Bukti:  Misalkan  penamaan  titik  dan  sisi  seperti  pada  Teorema  5.  Untuk  sebarang  titik 𝑣 1,𝑡 ∈ 𝑉(𝐿 𝑛 ) ,  titik  tersebut  mendominasi  jarak-2  titik-titik 𝑣 1,𝑡−2 , 𝑣 1,𝑡−1 , 𝑣 1,𝑡+1 , 𝑣 1,𝑡+2 ,  juga  titik 𝑣 2,𝑡−1 , 𝑣 2,𝑡 ,𝑣 2 ,𝑡+1 . Selain  itu  juga  mendominasi  jarak-2 semua  titik-titik  elemen  dari 𝐻 𝑣 1,𝑖 𝑣 1,𝑖+1 untuk 𝑡 − 2 ≤ 𝑖 ≤, 𝑡 + 1 , 𝐻 𝑣 2,𝑖 𝑣 2,𝑖+1 untuk 𝑡 − 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 , dan 𝐻 𝑣 1,𝑖 𝑣 2,𝑖 untuk 𝑡 − 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 + 1 . Dipilih  himpunan  dominasi  jarak-2  sebagai  berikut.  Misalkan 𝐼 = {1,2, … , ⌈ 𝑛 3 ⌉} .  Dibentuk 𝐴 =
{𝑣 1,3𝑡−1 ;𝑡 ∈ 𝐼, 𝑡 gasal} dan 𝐵 = {𝑣 2,3𝑡−1 ;𝑡 ∈ 𝐼, 𝑡 genap} . Selanjutnya  diambil 𝑆 = 𝐴 ∪ 𝐵 . Semua titik  elemen 𝑉(𝐿 𝑛  𝐻)\𝑆 didominasi  jarak-2 oleh  satu  titik  elemen 𝑆 , kecuali  titik  –titik  elemen 𝑉(𝐿 𝑛 ) yang  berjarak 2 dari titik  elemen 𝑆 didominasi  jarak-2 oleh dua titik,  satu dari elemen 𝐴 dan yang  lain  dari elemen 𝐵 terdekat. Pengambilan  titik  akhir 𝑣 𝑖,3𝑡−1 untuk 𝑡 = ⌈ 𝑛 3 ⌉ berlaku untuk 𝑛 ≢ 1 𝑚𝑜𝑑(3) sedang untuk 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(3) titik  akhir  yang  diambil  adalah 𝑣 𝑖,𝑛 . ∎
Teorema 14. Jika F n,k adalah graf kembang api, B n,k adalah graf pohon pisang dan H adalah graf sebarang maka
𝛾 ≤2 (𝐹 𝑛,𝑘  𝐻) = {⌈ n 3 ⌉ , untuk 𝑘 = 2 𝑛, untuk 𝑘 > 2 dan 𝛾 ≤2 (𝐵 𝑛,𝑘  𝐻) = {1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 2 𝑛, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 > 2 .
Bukti:  Misalkan  penamaan  titik  dan sisi  pada graf 𝐹 𝑛,𝑘 sama seperti pada Teorema  6. Diambil 𝑆 = {𝑣 𝑖,1 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} maka  untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝑉(𝐹 𝑛,𝑘  𝐻)\𝑆 tentu 𝑥 berjarak  satu  atau  dua
Yayuk  Wahyuni,  Mohammad  Imam  Utoyo, Slamin
terhadap  titik 𝑣 𝑖,1 untuk  suatu 𝑖 . Andaikan  ada 𝑇 ⊆ 𝑉(𝐹 𝑛,𝑘 ) dengan |𝑇| < 𝑛 maka   terdapat 𝑖 sehingga    semua  titik 𝑣 𝑖,𝑗 ∉ 𝑇 untuk 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 .  Akibatnya  setiap  titik 𝑣 𝑖,𝑗 untuk 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 memenuhi 𝑑(𝑣 𝑖,𝑗 , 𝑇) > 2 . Untuk 𝑘 = 2 nilai 𝛾 ≤2 (𝐹 𝑛,2  𝐻) = ⌈ 𝑛 3 ⌉ dengan  himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐹 𝑛,2  𝐻)
adalah {𝑣 3𝑡−1,1 ;  𝑡 = 1, 2,… ⌈ 𝑛 3 ⌉} . Khusus  untuk 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑(3) , titik  akhir  diambil 𝑣 𝑛,1 .
Bukti  sejalan  untuk  graf 𝐵 𝑛,𝑘  𝐻 dengan  himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐵 𝑛,𝑘  𝐻) adalah {𝑣 𝑖,2 ; 𝑖 = 1, 2, … 𝑛} , khususnya  untuk 𝑘 = 2 himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐵 𝑛,2  𝐻) adalah {𝑣 𝑝 } . ∎
Hasil-hasil  Teorema  11 sampai  Teorema  14 dibandingkan  dengan  Proposisi  3 dan  Proposisi  6 menunjukkan  bahwa 𝛾 ≤2 (𝐺) ≤ 𝛾 ≤2 (𝐺  𝐻) , untuk  sebarang  graf 𝐻 . Kesamaan  berlaku  seperti  di bawah ini.
Teorema  15. Diberikan 𝐺 graf terhubung dan 𝑆 merupakan himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐺) . Untuk sebarang graf  H, 𝛾 ≤2 (𝐺) = 𝛾 ≤2 (𝐺  𝐻) jika  hanya  jika  untuk  setiap 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku 𝑥~𝑢 atau 𝑦~𝑢 untuk 𝑢 ∈ 𝑆 .
Bukti:  Misalkan 𝑆 juga merupakan  himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐺  𝐻) .  Andaikan  ada 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑥 ≁ 𝑢 dan 𝑦 ≁ 𝑢 untuk 𝑢 ∈ 𝑆 maka 𝑑(𝑥, 𝑢) ≥ 2 dan 𝑑(𝑦, 𝑢) ≥ 2 .  Akibatnya,  untuk  sebarang 𝑣 ∈ 𝐻 𝑥𝑦 berlaku 𝑑(𝑣, 𝑢) ≥ 3 sehingga 𝑆 bukan himpunan  dominasi  jarak-2 dari 𝐺  𝐻 .
Sebaliknya  jika  untuk  setiap 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) berlaku 𝑥~𝑢 atau 𝑦~𝑢 untuk 𝑢 ∈ 𝑆 maka  untuk setiap 𝑣 ∈ 𝐻 𝑥𝑦 berlaku 𝑑(𝑣, 𝑢) ≤ 2 .  Akibatnya  untuk  sebarang 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺  𝐻)\𝑆 berlaku 𝑑(𝑣, 𝑆) ≤ 2 yang  berarti 𝑆 merupakan  himpunan  dominasi  jarak-2 dari 𝐺  𝐻 . ∎
Dari  Teorema  15 di atas, diperoleh  ekuivalensinya  yaitu:  untuk 𝐺 graf  terhubung, 𝐻 graf sebarang,  dan 𝑆 suatu  himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐺) berlaku: 𝛾 ≤2 (𝐺) < 𝛾 ≤2 (𝐺  𝐻) jika hanya jika terdapat 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑥 ≁ 𝑢 dan 𝑦 ≁ 𝑢 untuk 𝑢 ∈ 𝑆. Teorema  15  dan  ekuivalensinya  dapat digunakan  untuk  melihat  apakah  sebuah  graf  hasil  operasi  korona  sisi  mempunyai  bilangan dominasi  jarak-2 yang  sama atau berbeda dengan  bilangan  dominasi  jarak-2 dari graf induknya.
Teorema  16 . Untuk sebarang graf 𝐻 , jika graf terhubung 𝐺 sehingga 𝐺 = 𝐾 1 + 𝑃 untuk suatu graf 𝑃 maka 𝛾 ≤2 (𝐺  𝐻) = 1 .
Bukti: Misalkan
𝐾 1 = {𝑣} . 𝑉(𝐺  𝐻) = 𝑉((𝐾 1 + 𝑃)  𝐻) = (⋃ (𝑤 + 𝑣 + 𝑤∈𝑃 𝐻 𝑤𝑣 )) ⋃ 𝑉(𝑃  𝐻) = (⋃ (𝑤 + 𝑣 + 𝐻 𝑤𝑣 ) 𝑤∈𝑃 ) ⋃(⋃ (𝑥 + 𝑦 + 𝐻 𝑥𝑦 ))
𝑥𝑦∈𝐸(𝑃) .  Selanjutnya  untuk setiap 𝑤 ∈ 𝑃 berlaku 𝑑(𝑣,𝑤 + 𝑣 + 𝐻 𝑤𝑣 ) = 1 sedang  untuk  setiap 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝑃) berlaku 𝑑(𝑣, 𝑥 + 𝑦 + 𝐻 𝑥𝑦 ) = 𝑑(𝑣, 𝑥) + 𝑑(𝑥, 𝑥 + 𝑦 + 𝐻 𝑥𝑦 ) = 1 + 1 = 2. Akibatnya 𝑑(𝑣, 𝑉(𝐺  𝐻)) ≤ 2 sehingga {𝑣} merupakan  himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐺  𝐻) . ∎

## 146

## 4 Simpulan
Dari  pembahasan  di  atas  disimpulkan  bahwa  bilangan  dominasi  graf  hasil  korona  sisi mempunyai  nilai  yang  tidak  kurang  dari  bilangan  dominasi  graf  induknya.  Hal  yang  sama  juga berlaku untuk  bilangan  dominasi  jarak-2. Nilai  bilangan  dominasi  graf  hasil  korona sisi 𝐺  𝐻 akan sama dengan  nilai  bilangan  dominasi  graf induk 𝐺 jika hanya jika pada setiap sisi  graf  induk,  salah satu titiknya  menjadi  elemen  himpunan- 𝛾(𝐺) . Disamping  itu,  nilai  bilangan  dominasi  jarak-2 graf hasil  korona sisi 𝐺  𝐻 akan sama dengan  nilai  bilangan  dominasi  jarak-2 graf  induk 𝐺 jika  hanya jika pada setiap sisi  graf induk,  salah  satu titiknya  bertetangga  dengan  elemen  himpunan- 𝛾 ≤2 (𝐺) .

## 5 Daftar Pustaka
[1]  P. Pavlič  and J. Žerovnik,  “A note on the domination  number  of the cartesian  products of paths and cycles,” Kragujev. J. Math. , vol.  37, no. 2, pp. 275–285, 2013.
[2]  C. E. Go and S. R. jun. Canoy, “Domination  in the corona and join  of graphs.,” Int. Math. Forum , vol. 6, no. 13–16, pp. 763–771, 2011.
[3]  A. Klobucar, “Domination  numbers  of cardinal  product,” Math. Slovaca , vol.  49, no. 4, pp. 387–402, 1999.
[4]  D. Kuziak,  M. Lemanska,  and I. G. Yero, “Domination  related  parameters  in  rooted product graphs,”  pp. 1–18, 2012.
[5]  S. K. Vaidya  and N. J. Kothari,  “Distance  $k$-domination  in some cycle  related graphs,” Miskolc Math. Notes , vol. 19, no. 2, p. 1223, 2018.
[6]  E. Prathibha,  S. P. Missier,  and A. A. Kinsley,  “Algorithms  to determine  the distance-t dominating  sets of ES(n, k),” Procedia Comput. Sci. , vol. 47, no. C, pp. 342–350, 2015.
[7]  G. Chartrand  and L. Lesniak,  “Graphs  & Digraphs,”  p. 429, 2000.
[8]  T. W. Haynes,  S. T. Hedetniemi,  and P. J. Slater, Fundamental of Domination in Grpahs . 1998.
[9]  Y. Hou and W. C. Shiu,  “The  Spectrum  of The Edge Corona of Two Graphs,” Electron. J. Linear Algebr. , vol.  20, pp. 586–594, 2010.
[10]  R. Davila,  C. Fast, M. A. Henning,  and F. Kenter, “Lower  bounds on the distance domination  number  of a graph,” Contrib. to Discret. Math. , vol. 12, no. 2, pp. 11–21, 2017.