Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 193 of 208

## REPRESENTASI SISWA SEKOLAH DASAR DALAM PEMAHAMAN KONSEP PECAHAN
Ajeng Gelora Mastuti* *Jurusan Pendidikan Matematika IAIN Ambon HP. 081220060857, email: ajeng.gelora.mastuti@iainambon.ac.id

## Abstrak
Representasi  terjadi  melalui  dua  tahapan,  yaitu  representasi  internal  dan representasi  eksternal.  Berpikir  tentang  ide  matematika  yang  memungkinkan pikiran seseorang bekerja atas dasar ide tersebut merupakan representasi internal. Representasi  internal  dari  seseorang  sulit  untuk  diamati  secara  langsung  karena merupakan  aktivitas    mental  dari  seseorang  dalam  pikirannya  ( minds-on ).  Tetapi representasi  internal  seseorang  itu  dapat    disimpulkan  atau  diduga  berdasarkan representasi eksternalnya dalam berbagai kondisi, misalnya dari pengungkapannya  melalui  kata-kata  (lisan),  melalui  tulisan  berupa  simbol, gambar,  grafik,  tabel  ataupun  melalui  alat    peraga  ( hand-on ).  Dengan  kata  lain terjadi  hubungan  timbal  balik  antara  representasi  internal  dan  eksternal  dari seseorang ketika berhadapan dengan sesuatu masalah. Artikel ini merupakan hasil penelitian  yang  dilaksanakan  di  SD  Islam  Surya  Buana.  Pada  hasil  penelitian  di SD  Islam  Surya  Buana,  representasi  yang  digunakan  adalah  representasi  Bruner yang meliputi enaktif (enactive), ikonik (iconic) dan simbolik (symbolic), dimana masing-masing  tahapan  akan  disajikan  dua  model  representasi  pecahan  dengan konsep  bagian  dari  keseluruhan  ( part-two-whole  concept )    dan    model  bagian suatu himpunan yang bagian-bagiannya kongruen ( part-group, congruent parts ).
Kata Kunci: abstraksi, representasi, dan pecahan
Sitasi: Mastuti, A. G. 2017. Representasi Siswa Sekolah Dasar dalam Pemahaman Konsep Pecahan. Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 193-208.

## A. PENDAHULUAN
Standar  representasi  (NCTM)  menetapkan  bahwa  program  pembelajaran mulai  pra-Taman  Kanak-kanak  sampai  kelas  XII  harus  memungkinkan  siswa untuk:  (1)  menciptakan  dan  menggunakan  representasi  untuk  mengorganisir, mencatat,  dan  mengkomunikasikan  ide-ide  matematis,  (2)  memilih,  menerapkan, dan  menerjemahkan  representasi  matematis  untuk  memecahkan  masalah,  (3) menggunakan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena
ISSN 2303-0992 Jurnal Matematika dan Pembelajaran
Volume 5, No. 2, Desember 2017, h. 193-208
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 194 of 208
fisik,  sosial,  dan  fenomena  matematis 1 .  Pencantuman  representasi    sebagai komponen  standar  proses  dalam Principles  and  Standarts  for  School Mathematics , selain kemampuan pemecahan masalah, penalaran, komunikasi, dan koneksi cukup beralasan karena untuk berpikir matematis dan mengkomunikasikan  ide-ide  matematis  seseorang  perlu  merepresentasikannya dalam  berbagai  bentuk  representasi  matematis.  Selain  itu  tidak  dapat  dipungkiri bahwa objek dalam matematika itu semuanya abstrak sehingga untuk mempelajari dan memahami ide-ide abstrak itu tentunya memerlukan representasi.
Representasi  yang  dimunculkan  oleh  siswa  merupakan  ungkapan- ungkapan  dari  gagasan-gagasan  atau  ide-ide  matematis  yang  ditampilkan  siswa dalam suatu upaya untuk mencari suatu solusi masalah yang sedang dihadapinya. Dengan demikian, diharapkan bahwa bilamana siswa memiliki akses representasi- representasi dan gagasan-gagasan yang mereka tampilkan, maka mereka memiliki sekumpulan  alat  yang  siap  secara  signifikan  akan  memperluas  kapasitas  mereka dalam  berpikir  matematis 2 .  Salah  satu  konsep  matematika  yang  menjadi  fokus penelitian  dewasa  ini  adalah  pecahan.  Pantazi,  dkk. 3 meneliti  mengenai representasi internal pecahan siswa sekolah dasar yang berumur 8–11 tahun yang memilikikemampuan  matematika  beragam.  Penelitiannya  dilatarbelakangi  oleh kenyataan  bahwa  siswa-siswa  di  daerah  Midland,  Inggris  mengalami  kesulitan dalam mengabstraksi konsep pecahan. Ketika siswa ditanya “Apa yang dimaksud dengan  pecahan?”,    siswa-siswa  cenderung  menjawab  “sesuatu  yang  sangat kecil”, “lingkaran  yang  dipotong kecil-kecil”, atau “suatu  bentuk dengan banyak garis-garis”.

## B. KAJIAN TEORI
Pecahan  merupakan  salah  satu  konsep  yang  sulit  dipahami  dalam matematika  sekolah  dasar  (SD).  Hal  ini  disebabkan  karena  keabstrakan  konsep
1 NCTMa. 2009. Representation . ( http://nctm.org/rep.html , diakses tanggal 25 Maret 2015)
2 Ibid.
3 Pantazi,  dkk.  2009.    Elementary  School  Students’  Mental  Representations    0SSractions.
( http://www.emis.de/proceedings/PME28/RR/RR216_  Pitta-Pantazi.pdf ,  diakses  tanggal 26 Maret 2015)
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 195 of 208
tersebut,  sedangkan  siswa  sekolah  dasar  kelas  III  yang  mulai  mempelajarinya, menurut  Piaget,  masih  berada  pada  tahap  operasi  konkrit  (umur  7–11  tahun). Dimana  pada  tahap  tersebut,  ide  anak  masih  dilandasi  oleh  observasi  dan pengamatan  pada    obyek-obyek  nyata,  tetetapi  ia  sudah  mulai  menggeneralisasi atau  membagi-bagi  (memecah)  dengan  memanipulasi  obyek-obyek  sebagai  cara untuk mengetahui 4 . Lebih lanjut, Clarke, et al. mengatakan bahwa konsep pecahan bukan merupakan konsep yang sederhana. Keunikan dari bilangan pecahan, yang berbeda  dengan  bilangan  asli  dan  bilangan  bulat,  terkadang  menjadikannya  sulit untuk  dipahami  siswa    Pitkethly  &  Hunting 5 dan  menjadikan  sulit  untuk dikenalkan  kepada siswa 6 .
Beberapa  penelitian  telah  dilakukan  untuk  menginvestigasi  kesulitan- kesulitan  dalam  memahami  dan  membelajarkan  materi  pecahan.  Vale 7 menemukan  bahwa  siswa  akan  lebih  banyak  berpeluang  untuk  melakukan kesalahan  pada  operasi  pecahan  jika  pembelajaran  materi  pecahan  hanya menitikberatkan pada menghafal rumus dan prosedur operasi tanpa ada perhatian yang  cukup  pada  makna  pecahan.  Selain  itu,  kekomplekan  karakteristik  dan konsep pecahan membutuhkan tahapan pemahaman yang membuatnya tidak bisa dipahami  dalam  waktu  yang  relatif  singkat 8 .  Lebih  lanjut  penelitian  yang dilakukan  Clarke,  et  al. 9 menemukan  bahwa  metode  dan  strategi  pembelajaran yang kurang  tepat juga dapat memberikan kontribusi pada miskonsepsi siswa.
Proses  perpindahan  dari  level  ikonik  menuju  simbolik  perlu  mendapat perhatian  dalam  pembentukan  konsep  matematika.  Apabila  tidak  hati-hati,  maka
4 Hudojo, Herman. 2005. Kapita selekta Pembelajaran Matematika . Malang: IMSTEP. H. 4 5 Pitkethly,  A.,  &  Hunting,  R.  (1996).  A  review  of  recent  research  in  the  area  of  initial  fraction concepts. Educational Studies in Mathematics , 30, 5-38
6 Clarke, D.  J., & Xu, L. H.  2007. Examining Asian mathematics classrooms through the lens of the  distribution  of  responsibility  for  knowledge  generation. Proceedings  of  EARCOME4 (the 4 th East-Asian Research Conference on Mathematics Education, pp. 518-524), June 18- 22, 2007. Penang: University of Malaysia
7 Vale, C. 2007. Using number sense when adding fractions. Prime Number , 22(2), 5-10
8 Yusof, J. & Malone, J. 2003. Mathematical Errors in Fractions: A Case of Bruneian Primary 5 Pupils . [online].. Available at: http://www.merga.net.au/documents/RR_yusof.pdf Download 15 Februari 2015
9 Clarke,  D.  J.,  Mesiti,  C.,  O’Keefe,  C.,  Xu,  L.  H.,  Jablonka,  E.,  Mok,  I.  A.  C.,  &  Shimizu,  Y. (2007).  Addressing  the  challenge  of  legitimate  international  comparisons  of  classroom practice. International Journal of Educational Research , 46(5), 280-293
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 196 of 208
proses ini akan menjadi tidak bermakna karena simbol memiliki sifat abstrak dan kosong  dari  arti 10 .  Menurut  prinsip  notasi,  pencapaian  suatu  konsep  dan penggunaan  simbol  matematika  harus  secara  bertahap,  dari  sederhana  secara kognitif  dapat  dipahami  siswa  kemudian  perlahan-lahan  meningkat  ke  lebih komplek.  Bruner  lebih  menekankan  agar  setiap  siswa  mengalami  dan  mengenal peristiwa    atau  benda  nyata  di  sekitar  lingkungannya,  kemudian  menemukan dengan  sendiri  untuk  merepresentasikan  peristiwa  atau  benda  tersebut  dalam pikirannya.  Ini  sering  dikenal  sebagai  model  mental  tentang  peristiwa  yang dialami  atau  benda  yang  diamati  dan  dikenali  oleh  siswa.  Proses  sampai  pada model mental tersebut ialah suatu proses abstraksi.

## C. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  pada  pada  siswa  kelas  IV  SDIT  Surya  buana. Penelitian ini mengamati 6 orang siswa dalam satu kelompok kerja. Penelitian ini termasuk  jenis  penelitian  kualitatif  dengan  pedekatan  fenomenologi.  Creswell 11 menyatakan bahwa penelitian kualitatif adalah suatu proses penelitian ilmiah yang lebih  dimaksudkan  untuk  memahami  masalah-masalah  manusia  dalam  konteks sosial  dengan  menciptakan  gambaran  menyeluruh  dan  kompleks  yang  disajikan, melaporkan  pandangan  terperinci  dari  para  sumber  informasi,  serta  dilakukan dalam setting yang alamiah tanpa adanya intervensi apa pun dari peneliti.

## D. HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Representasi Dalam Matematika
Tinjauan secara umum  representasi dapat  diklasifikasi menjadi dua,  yaitu representasi  internal  dan representasi eksternal 12 , 13 . Menurut  para peneliti  bidang pendidikan  matematika,  ahli  kognitif,  dan  ahli  psikologi  kognitif,  representasi
10 Soedjadi.  2000. Kiat  Pendidikan  Matematika  di  Indonesia .  Jakarta:  Direktorat  Jendral Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.
11 Creswell,  J.  W.  2013. Research  Design:  Qualitative,  Quantitative,  and  Mixed  Methods Approaches . 3rd Edition. Los Angeles: Sage Publications, Inc.
12 Hudojo, Herman. 2005. Kapita selekta Pembelajaran Matematika . Malang: IMSTEP
13 Izsák,  A.  2003.  “We  Want  a  Statement  That  Is    Always  True”:  Criteria  for  Good  Algebraic Representations  and  the  Development  of  Modelling  Knowledge. Journal  for  Research  in Mathematics Education . Volume 34, Number 3, 2003, 191 – 227.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 197 of 208
internal  merujuk  pada  istilah    struktur  pengetahuan  untuk  menjelaskan  struktur- struktur  mental  dimana  seseorang  melakukan  pengkodean  ( encoding ), penyimpanan  ( storing ),  pemanggilan  ( retrieving ),  atau  transformsi  informasi ( transforming  information ) 14 .  Sejalan  dengan  itu,  Hudojo 15 mengungkapkan berpikir  tentang  ide  matematika  yang  memungkinkan  pikiran  seseorang  bekerja atas  dasar  ide  tersebut  merupakan  representasi  internal.  Representasi  tersebut tidak dapat diamati karena ada di dalam mental (pikiran) eksternal yang berbentuk verbal, gambar dan benda konkrit. Izsák, Andrew 16 mengungkapkan representasi eksternal  merujuk  pada  benda  ( artifact )  yang  dihasilkan  manusia  untuk  berpikir atau  menyampaikan  informasi  mengenai  beberapa  konteks  yang  berbeda  dari karya-karya  tersebut.  Contoh  representasi  eksternal  adalah  simbol-simbol matematika,  tanda-tanda,  karakter,  dan  signal 17 .  Dengan  kata  lain,  representasi internal  merujuk  pada  konstruksi  mental  ( mental  constructs ),  sedangkan representasi eksternal pada notasi-notasi material ( material-notations ).
Pendapat tersebut sejalan dengan definisi  yang dikemukakan oleh Luitel, Bal Chandra 18 bahwa ada empat ide mengenai konsep  representasi,  yaitu: (a) Dalam domain matematika, representasi  dapat diartikan  sebagai “ internal-abstraction of mathematical  ideas  or  cognitive  schemata  that  are  developed  by  the  learner through  experience ”.  Hal  ini  berarti  representasi  merupakan  proses  mencari kesamaan-kesamaan dengan mereduksi perbedaan-perbedaan (abstraksi) terhadap ide-ide  matematika  atau  skemata  kognitif  yang  terjadi  dalam  pikiran  (internal) pembelajar yang dikembangkannya melalui pengalaman atau pengetahuansebelumnya.  (b)  Representasi  didefinisikan  sebagai  “ mental reproduction  of  a  former  mental  sate ”.Ini  berarti  representasi  merupakan pembuatan kembali (reproduksi) gambar-gambar secara internal berdasarkan pada pemaknaan mental sebelumnya. (c) Representasi diartikan sebagai “ a structurally equivalent  presentation  through  pictures,  symbols  and  signs ”.  Jadi,  representasi
14 Ibid .
15 Hudojo, Herman. Op. cit. 16 Izsák, Andrew. Op. cit.
17 Luitel, Bal Chandra. 2009. Representation: Revisited . ( http://au.geocities.com/ bcluitel/Representation-revisited )
18 Ibid .
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 198 of 208
berarti  penghadiran  konsep-konsep  melalui  gambar-gambar,  simbol-simbol,  dan tanda-tanda  abstrak  yang  ekuivalen  secara  struktural.  (d)  Representasi  dikenal juga  sebagai  “ something  in  place  of  something ”,  yang  berarti  sesuatu  sebagai ‘wakil’ dari sesuatu.
Pengertian  lain  diungkapkan  oleh  Hwang,  dkk 19 .  yang  menyatakan representasi merupakan proses pemodelan benda-bendakonkrit dalam dunia nyata kedalam  konsep-konsep  abstrak  atau  simbol-simbol.  Sebagai  contoh,  dalam pengamatan/  observasi  pada  SD  Islam  Surya  Buana,  seorang  guru  memberikan masalah pada siswanya kelas 4 SD, bahwa jika seseorang memiliki lingkaran yang dibagi menjadi delapan sama panjang, dan lima bagian diambil atau diberi warna, maka  yang  diberi  warna  tersebut  adalah  lima  perdelapan,  atau  dapat direpresentasikan atau diwakili oleh suatu notasi yaitu  .

## 2. Representasi Dalam Pandangan Brunner
Bruner yang memiliki nama lengkap Jerome S. Bruner seorang ahli psikologi (1951)  dari  Universitas  Harvard-Amerika  Serikat,  telah  mempelopori  aliran psikologi kognitif yang memberi dorongan agar pendidikan memberikan perhatian pada pentingnya pengembangan berpikir. Bruner banyak memberikan pandangan megenai  perkembangan  kognitif  manusia,  bagaimana  manusia  belajar  atau memperoleh  pengetahuan,  menyimpan  pengetahuan  dan  menstransformasi pengetahuan.  Dasar  pemikiran  teorinya  memandang  bahwa  manusia  sebagai pemeroses,  pemikir  dan  pencipta  informasi.  Bruner  menyatakan  belajar merupakan  suatu  proses  aktif  yang  memungkinkan  manusia  untuk  menemukan hal-hal baru di luar informasi yang diberikan kepada dirinya.
Menurut Bruner 20 belajar matematika adalah belajar mengenai konsep-konsep dan struktur-struktur matematika yangterdapat dalam materi yang dipelajari, serta mencari  hubungan  antara  konsep-konsep  dan  struktur-struktur  matematika  itu. Siswa  harus  dapat  menemukan  keteraturan  dengan  cara  mengotak-atik  bahan-
19 Hwang,  dkk.  2009. Multiple  Representation  Skills  and  Creativity  Effects  on  Mathematical Problem Solving
using a Multimedia Whiteboard System . ( www.ifets.info/journals/10_2/17.pdf , diakses tanggal 25 Maret 2015)
20 Hudojo,  Herman.  1988. Mengajar  Belajar  Matematika ,  Jakarta:  Direktorat  Pendidikan  dan Kebudayaan.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 199 of 208
bahan  yang  berhubungan  dengan  keteraturan  intuitif  yang  sudah  dimiliki  siswa. Dengan demikian siswa dalam belajar, haruslah terlibat aktif mentalnya agar dapat mengenal  konsep  dan  struktur  yang  tercakup  dalam  bahan  yang  sedang dibicarakan,  anak  akan  memahami  materi  yang  harus  dikuasainya  itu.  Ini menunjukkan  bahwa  materi  yang  mempunyai  suatu  pola  atau  struktur  tertentu akan lebih mudah dipahami dan diingat anak.
Bruner 21 , membedakan tiga jenis model mental representasi, (1) Representasi Enaktif  ( enactive )  adalah  representasi  sensorImotor  yang  dibentuk  melalui  aksi atau  gerakan.  Pada  tahap  ini  penyajian  yang  dilakukan  melalui  tindakan  anak secara  langsung  terlibat  dalam  memanipulasi  (mengotak-atik)  objek.  Pada  tahap ini anak belajar sesuatu pengetahuan dimana pengetahuanitu dipelajari secara aktif dengan menggunakan benda-benda  konkret  atau  menggunakan situasi nyata, dan anak tanpa menggunakan imajinasinya atau kata-kata. Ia akan memahami sesuatu dari berbuat atau melakukan sesuatu. (2) Representasi  Ikonik  ( iconic ) berkaitan dengan image atau persepsi, yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan di  mana  pengetahuan  itu  direpresentasikan/diwujudkan  dalam  bentuk  bayangan visual  ( visual  imagery ),gambar,  atau  diagram  yang  menggambarkan  kegiatan konkrit  atau  situasi  konkrit  yang  terdapat  pada  tahap  enaktif.  Bahasa  menjadi lebih  penting  sebagai  suatu  media  berpikir.  (3)  Representasi    Simbolik (symbolic)berkaitan  dengan  bahasa  matematika  dan  simbol-simbol.  Anak  tidak lagi  terkait  dengan  objek-objek    seperti  pada  tahap  sebelumnya.  Anak  sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan terhadap objek reil. Pada tahap simbolik ini, pembelajaran direpresentasikan dalam bentuk simbol-simbol abstrak ( abstrac  symbols ),  yaitu  simbol-simbol  arbiter  yang  dipakai  berdasarkan kesepakatan  dalam  bidang  yang  bersangkutan,  baik  simbol-simbol  verbal (misalnya huruf-huruf, kata-kata, kalimat-kalimat), lambang-lambang matematika maupun lambang-lambang abstrak yang lain.
Dalam  pandangan  Bruner  ( enactive,  iconic, dan symbolic )  berhubungan dengan  perkembangan  mental  seseorang,  dan  setiap  perkembangan  representasi
21 Luitel, Bal Chandra. 2009. Representation: Revisited . ( http://au.geocities.com/ bcluitel/Representation-revisited )
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 200 of 208
yang  lebih  tinggi  dipengaruhi  oleh  representasi  lainnya.  Sebagai  contoh,  untuk sampai  pada  pemahaman  konsep  pecahan  untuk  siswa  SD,  dapat  diperoleh melalui  beberapa  pengalaman  terkait,  misalnya  diawali  dengan  memanipulasi benda  kongkrit  seperti  buah  jeruk,  apel,  roti  tar  sebagai  bentuk  representasi enactive.  Kemudian  aktivitas  tersebut  diingatnya  dan  menghasilkan  serta memperkaya melalui gambar-gambar (seperti gambar jeruk, gambar apel, gambar bangun  bidang  datar  persegi,  persegi  panjang,  segitiga  dan  lingkaran)  atau persepsi  statis  dalam    pikiran  anak  yang  dikenal  sebagai  representasi    iconic. Dengan  mengembangkan  berbagai  persepsinya,  symbol  yang  dikenalnya dimanipulasi untuk menyelesaikan suatu masalah sebagai perwujudan representasi symbolic 22 .
Gambar 1. contoh representasi dalam pandangan brunner
3. Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika
Ada  dua  tipe  representasi  yang  mempengaruhi  pemahaman  matematika siswa  dan  pemecahan  masalah  yaitu  representasi  instruksional    dan  representasi kognitif.  Representasi  instruksional  digunakan  guru  untuk  membantu  siswa memahami matematika, misal definisi, contoh dan model matematika. Sedangkan representasi  kognitif  dikonstruksi  oleh  siswa  sendiri  dalam  rangka  memahami konsep  atau  mencari  solusi  dari  permasalahan  matematika.  Representasi  yang pertama  berperan  penting  dalam  mengembangkan  sistem  representasi  shared. Sebagai  contoh,  dalam  rangka  merepresentasikan  pecahan = 1 ,  maka  guru memberikan representasi visual dalam bentuk
22 Resnick, L.B., & Ford, W.W. 1981. The Psychology of Mathematics for Instruction . Hillsdale: Lawrence Erlbaum Asso
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 201 of 208

## ⇒  = 1
Aktivitas  tersebut  membangun  representasi  shared.  Di  lain  pihak,  aktivitas- aktivitas seperti menggambar persegi panjang yang diarsir pada setiap daerahnya untuk  memahami  konsep.  Berdasarkan  kondisi  tersebut,  nampak  peranan representasi dalam pembelajaran matematika. Luitel, Bal Chandra 23 mengungkapkan tujuh peranan representasi sebagai berikut.
1) Representasi sebagai alat komunikasi.
Komunikasi  merupakan  standar  proses  dari  pembelajaran  matematika  di sekolah. Siswa harus dapat mengkomunikasikan dengan baik kepada teman-teman sekelasnya mengenai solusi yang mereka peroleh dan matematika  yang dipelajari. Kemampuan  untuk  mengkomunikasikan  ini  dapat  menambah  pemahaman  siswa terhadap  matematika 24 .  Dengan  kata  lain,  komunikasi    merupakan  hal  penting dalam keberhasilan matematika. Komunikasi seringkali disebut sebagai salah satu peranan  penting  representasi  dalam  pembelajaran  matematika 25 .  Sebagai  alat komunikasi,  representasi  membantu  mengkomukasikan  ide-ide  matematika,  dan membantu komunikasi diantara individu-individu. Sebagai contoh, kata “pecahan” merupakan wakil dari suatu ide dalam matematika yaitu pecahan. Ini berarti kata tersebut  mengkomunikasikan  suatu  ide  yaitu  konsep  pecahan.  Kata  itu  dapat digunakan  guru  untuk  membicarakan  konsep  pecahan  pada  siswa  dalam  ruang kelas.  Selain  itu,  siswa  juga  dapat  menggunakan  kata  tersebut  ketika mengkomunikasikan bilangan-bilanganyang senilai dengan  .
23 Luitel, Bal Chandra. 2009. Representation: Revisited . ( http://au.geocities.com/ bcluitel/Representation-revisited )
24 Krulik,  S.  &  Rudnick,  J.  A.  1999. Innovative  Tasks  To  Improve  Critical  and  Creative Thinking  Skills .  p.138-145.  from  Developing  Mathematical  reasoning  in  Grades K-12.  1999  Year  book.  Stiff,  Lee  V.  Curcio,  Frances  R.  Reston,  Virginia:  The National Council of teachers of Mathematics, Inc
25 Skemp,  Richard  R.  1982. The  Psychology  of  Learning  Mathematics .  Harmonsworth: Pinguin Books Ltd.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 202 of 208

## 2) Representasi sebagai Indikator Sikap siswa terhadap Matematika.
Representasi  internal  suatu  konsep  merupakan  wakil  konsep  tersebut dalam  pikiran  siswa.  Wakil  ini  dibutuhkan  terutama  ketika  siswa  ingin membicarakan atau mempelajari suatu konsep matematika. Tentu saja, siswa akan mengalami  kesulitan  dalam  belajar  atau  menyelesaikan  masalah-masalah,  jika tidak memiliki wakil konsep. Sebagai contoh, siswa akan sulit menjawab kenapa lebih besar dari  , jika ia tidak dapat merepresentasikan pecahan-pecahan tersebut dalam bentuk gambar-gambar.
Gambar 2. Contoh representasi sebagai indikator sikap siswa terhadap

## matematika
Dengan  demikian,  ada  tidaknya  wakil  suatu  konsep  dalam  pikiran  siswa menjadi  salah  satu  indikator  apakah  siswa  paham  konsep  tersebut  atau  tidak? Apakah  siswa  dapat  menyelesaikan  masalah-masalah  yang  berkaitan    dengan konsep  tersebut  atau  tidak?  Siswa  yang  merasa  “tidak  paham”  atau  “tidak  bisa” lambat  laun  akan  mempunyai  sikap  tidak  menyukai  matematika.  Sebaliknya, siswa  yang  bisa  akan  termotivasi  untuk  terus  belajar  matematika.  Ada  tidaknya representasi  internal  (wakil  konsep)  menjadi  indikator  sikap  siswa  terhadap matematika.
3) Representasi sebagai Bukti Pemahaman Matematika Siswa.
Representasi  eksternal  mengambarkan  apa  yang  ada  dalam  pikiran seseorang  (representasi  internal).  Misalkan  seorang  siswa  merepresentasikan pecahan    dengan  gambar  atau  wakil  yang  tidak  sesuai  dan  ditulis  sebaliknya dengan   (membaca gambar yang diarsir secara terbalik). Ini berarti siswa belum
paham mengenai konsep pecahan. Sebaliknya, siswa yang mampu merepresentasikan  suatu  konsep  baik  dalam  bentuk  benda  konkrit,  gambar  atau simbolik  menunjukkan  pemahaman  terhadap  suatu  konsep  tersebut.  Dengan demikian, representasi menjadi bukti dari pemahaman matematika siswa.
Gambar 3. Contoh representasi sebagai bukti pemahaman matematika siswa
4) Representasi sebagai Penghubung antar Konsep-konsep.
Representasi  bukanlah  entitas  sesuatu,  tetapi  merupakan  ide-ide  beragam dari  pernyataan-pernyataan  hubungan-hubungan,  konsep-konsep  dan  prinsip- prinsip. Lebih lanjut, representasi membantu memvisualisasi hubungan-hubungan antara  konsep-konsep.  Representasi  dari  perbandingan  pecahan  membutuhkan hubungan antara konsep perkalian, decimal dan garis bilangan.
5) Reperesentasi  Merupakan  Proses  Pengembangan  yang  Berada  Dalam Kontinum Prosedural – Konseptual.
Menurut  Karmiloff–Smith,  informasi  implisit  yang  tersimpan  dalam  otak berbentuk representasi internal. Informasi tersebut disimpan  melalui suatu proses berulang  (iteratif)  yang  disebut  proses  redeskripsi.  Berikut  tabel  yang menggambarkan proses Representasi Redeskripsi (RR).
Tabel 1. Model RR 3- phase (Luitel 26 )
Fase Menyatakan Berhubungan  dengan Tujuan Procedural Kinerja Algoritmik,  mnemonic, fakta-fakta, rumus Orientasi sukses Metaprosedural   Pengetahuan internal Jaringan fakta-fakta, rumus,  dan  pengalaman sebelumnya Orientasi perilaku organisasi Konseptual Pengaturan pengetahuan dengan jaringan mental Pengetahuan  relasional dan konseptuan Membuat  control  pada kontinum eksternal- internal 26 Luitel, Bal Chandra. 2009. Representation: Revisited . ( http://au.geocities.com/ bcluitel/Representation-revisited )
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 204 of 208

## internal
Menurut  model RR, pada fase prosedural,  siswa  lebihberorientasi pada hasil  dan menunjukkan  kinerja  algoritma  mereka.  Pada  fase  meta  prosedural,  sifat representasi  berbeda  dengan  fase  sebelumnya.  Siswa  menunjukkan  konstruksi meta  prosedural,  sebagai  contoh  interpretasi  dari  algoritma  dan  rasionalisasi  dari prosedur  tersebut.  Pada  tingkat  3,  mereka  menunjukkan  kontrol  atas  kontinum eksternal-internal  dimana  re-presentasi  diatur  dalam  jaringan  mental  siswa. Sebagai contoh, siswa dapat menyatakan situasi masalah dalam bentuk-bentuk apa yang  ditanyakan,  proses  apa  yang  digunakan,  dan  apa  kemungkinan  solusi  yang melibatkan konsep-konsep dalam masalah.
Gambar 4. Contoh reperesentasi merupakan proses pengembangan yang berada dalam kontinum prosedural – konseptual
6) Sistem Representasi dapat Mengatasi Penghalang-penghalang Kognitif.
“Penghalang kognitif” adalah suatu potongan pengetahuan dari siswa yang telah memuaskan pada waktu menyelesaikan masalah-masalah  tertentu, dan telah tersimpan  dalam  pikirannya  tetapi  menjadi  tidak  kemudian  ketika  menghadapi masalah-masalah  baru,  pengetahuan  siswa  tersebut  tidak  cukup  dan  kesulitan untuk  beradaptasi.  Penghalang-penghalang  tersebut  dapat  diatasi  melalui meningkatkan  kekuatan  sistem  representasional.  Pada  umumnya,  penghalang dapat  diatasi  karena  sistem-sistem  representasional  dihubungkan  satu  sama  lain. Sebagai  contoh,  representasi  aturan  perkalian  akan  mudah  dipahami  jika dihubungkan  dengan  konsep  penjumlahan.  Demikian  juga,  jika  representasi dikembangkan  melalui  perspektif  yang  lebih  luas  maka  akan  membantu  dalam pembelajaran  selanjutnya.  Jika  sistem  perkalian  bilangan  bulat  didiskusikan  dan
direpresentasikan sebagai perubahan “skala”, maka siswa akan lebih mudah ketika memahami perkalian dari pecahan.
7) Representasi bukanlah metode tetetapi bagian dari proses mengkonstruksi ide-ide matematika.
Representasi  bukanlah  metode  atau  teori  pembelajaran.  Dengan representasi,  siswa  mengkonsolidasi  ide-ide  mereka  dalam  suatu  cara  yang simetrik.  Lebih  lanjut,  sistem  representasi  dapat  membantu  mengembangkan kategori-kategori dan sub-sub kategori.
Representasi  yang  dimunculkan  oleh  siswa  merupakan  ungkapan- ungkapan  dari  gagasan-gagasan  atau  ide-ide  matematis  yang  ditampilkan  siswa dalam suatu upaya untuk mencari suatu solusi masalah yang sedang dihadapinya. Menurut  para  peneliti  bidang  pendidikan  matematika,ahli  kognitif,  dan  ahli psikologi kognitif, representasi internal merujuk pada istilah  struktur pengetahuan untuk  menjelaskan  struktur-struktur  mental  dimana  seseorang  melakukan pengkodean  ( encoding ),  penyimpanan  ( storing ),  pemanggilan  ( retrieving ),  atau transformsi  informasi  ( transforming  information ) 27 .  Bruner 28 ,  membedakan  tiga jenis  model  mental  representasi,  (1)  Representasi  Enaktif  ( enactive )  adalah representasi  sensorImotor  yang  dibentuk  melalui  aksi  atau  gerakan.  (2) Representasi    Ikonik    ( iconic )  berkaitan  dengan  image  atau  persepsi,  yaitu  suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan di mana pengetahuan itu direpresentasikan/diwujudkan  dalam bentuk bayangan visual (visual imagery),gambar,  atau  diagram  yang  menggambarkan  kegiatan  konkrit  atau situasi  konkrit  yang  terdapat  pada  tahap  enaktif.  Bahasa  menjadi  lebih  penting sebagai  suatu  media  berpikir.  (3)  Representasi    Simbolik    ( symbolic )berkaitan dengan bahasa matematika dan simbol-simbol.
Peranan  representasi  dalam  pembelajaran  matematika.  Luitel,  Bal  Chandra 29 mengungkapkan  tujuh  peranan  representasi  sebagai  berikut:  1)  sebagai  alat
27 Izsák,  A.  2003.  “We  Want  a  Statement  That  Is    Always  True”:  Criteria  for  Good  Algebraic Representations  and  the  Development  of  Modelling  Knowledge. Journal  for  Research  in Mathematics Education . Volume 34, Number 3, 2003, 191 – 227.
28 Luitel, Bal Chandra. 2009. Representation: Revisited . ( http://au.geocities.com/ bcluitel/Representation-revisited )
29 Ibid.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 206 of 208
komunikasi,  2)  sebagai  indikator  sikap  siswa  terhadap  matematika,  3)  sebagai bukti pemahaman matematika siswa, 4) sebagai penghubung antar konsep-konsep, 5)  merupakan  proses  pengembangan  yang  berada  dalam  kontinum  prosedural  – konseptual,  6)  sistem  representasi  dapat  mengatasi  penghalang-penghalang kognitif. 7) representasi bukanlah metode tetapi bagian dari proses mengonstruksi ide-ide matematika.

## E. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  pada  penelitian  di  SD  Islam  Surya Buana,  representasi  yang  digunakan  adalah  representasi  Bruner  yang  meliputi enaktif  ( enactive ),  ikonik  ( iconic )  dan  simbolik  ( symbolic ),  dimana  masing- masing  tahapan  akan  disajikan  dua  model  representasi  pecahan  dengan  konsep bagian  dari  keseluruhan    ( part-two-whole  concept )    dan    model  bagian  suatu himpunan yang bagian-bagiannya kongruen ( part-group, congruent parts ).

## REFERENSI
Bennet,  A.B.  &  L.T.  Nelson.  2004. Mathematics  for  Elementary Teacher . Edisi Keenam. New York: McGraw Hill.
Clarke,  D.  J.,  &  Xu,  L.  H.  (2007).  Examining  Asian  mathematics  classrooms through  the  lens  of  the  distribution  of  responsibility  for  knowledge generation. Proceedings  of  EARCOME4 (the  4 th East-Asian  Research Conference  on  Mathematics  Education,  pp.  518-524),  June  18-22,  2007. Penang: University of Malaysia.
Clarke, D. J., Mesiti, C., O’Keefe, C.,  Xu, L. H., Jablonka, E., Mok,  I. A. C., & Shimizu,  Y.  (2007).  Addressing  the  challenge  of  legitimate  international comparisons  of  classroom  practice. International  Journal  of  Educational Research , 46(5), 280-293. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijer.2007.10.009
Creswell,  J.  W.  2013. Research  Design:  Qualitative,  Quantitative,  and  Mixed Methods Approaches . 3rd Edition. Los Angeles: Sage Publications, Inc.
Goldin,  G.,  &  Shteingold,  N.  2008.  Systems  of  representations  and  the development of mathematical concepts. In A. Cuoco & S. R. Curcio (Eds.), The roles of representation in school mathematics (hal. 1-23). Reston: The National Council of Teachers of Mathematics.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 207 of 208
Gray,  E.  &  Tall,  D.  2007.  Abstraction  as  a  Natural    Process  of  Mental Compression. Mathematicx Education Research Journal . Vol. 19, No.2, 23- 40
Hudojo, Herman. 2005. Kapita selekta Pembelajaran Matematika . Malang: IMSTEP.
Hudojo, Herman. 1988. Mengajar Belajar Matematika , Jakarta: Direktorat
Pendidikan dan Kebudayaan.
Hwang,  dkk.  2009. Multiple  Representation  Skills  and  Creativity  Effects  on Mathematical  Problem  Solving  using  a  Multimedia  Whiteboard  System . ( www.ifets.info/journals/10_2/17.pdf , diakses tanggal 25 Maret 2015)
Izsák, A. 2003. “We Want a Statement That Is  Always True”: Criteria for Good Algebraic  Representations  and  the  Development  of  Modelling  Knowledge. Journal  for  Research  in  Mathematics  Education .  Volume  34,  Number  3, 2003, 191 – 227.
NCTMa. 2009. Representation . ( http://nctm.org/rep.html , diakses tanggal 25 Maret 2015).
NCTMb.  2009. Representation—Show  Me  the  Math !  ( http://www.nctm.org/ about/content.aspx?id=224&blogid=68 , diakses tanggal 25 Maret 2015).
Krulik,  S.  &  Rudnick,  J.  A.  1999. Innovative  Tasks  To  Improve  Critical  and Creative Thinking  Skills .  p.138-145.  from  Developing  Mathematical  reasoning  in Grades K-12.  1999  Year  book.  Stiff,  Lee  V.  Curcio,  Frances  R.  Reston,  Virginia: The National Council of teachers of Mathematics, Inc.
Lamon,  S.J.  2001.  Presenting  and  representing:  From  fractions  to  rational numbers. In A. Cuoco & F.R. Curcio (Eds.). The roles of representation in shool mathematics (pp. 146-165). Reston: The National Council of Teacher of Mathematics.
Lamon,S.J.  2006. Teaching  fractions  and  rations  for  understanding , Secondedition. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Luitel,  Bal  Chandra.  2009. Representation:  Revisited .  ( http://au.geocities.com/ bcluitel/Representation-revisited )
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 208 of 208
Mallet, Dan G. 2009. Multiple Representations for Systems of Linear Equations Via the Computer Algebra System Maple . ( www.iejme.com/022015 /d2.pdf )
Pantazi,  dkk.  2009.    Elementary  School  Students’  Mental  Representations 0SSractions.  ( http://www.emis.de/proceedings/PME28/RR/RR216_  Pitta- Pantazi.pdf , diakses tanggal 26 Maret 2015)
Pitkethly,  A.,  &  Hunting,  R.  (1996).  A  review  of  recent  research  in  the  area  of initial  fraction  concepts. Educational  Studies  in  Mathematics ,  30,  5-38. http://dx.doi.org/10.1007/BF00163751
Pyke, Curtis L. 2003. he Use of Symbols, Words, and Diagrams as Indicators of Mathematical  Cognition:  A  Causal  Model. Journal  for  Research  in Mathematics Education . Volume 34, Number 5, 2003, 406 – 432.
Resnick,  L.B.,  &  Ford,  W.W.  1981. The  Psychology  of  Mathematics  for Instruction . Hillsdale: Lawrence Erlbaum Associates.
Skemp,  Richard  R.  1982. The  Psychology  of  Learning  Mathematics . Harmonsworth:
Pinguin Books Ltd.
Soedjadi.  2000. Kiat  Pendidikan  Matematika  di  Indonesia .  Jakarta:  Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.
Vale, C. 2007. Using number sense when adding fractions. Prime Number , 22(2), 5-10.
Yusof,  J.  &  Malone,  J.  2003. Mathematical  Errors  in  Fractions:  A  Case  of Bruneian Primary 5 Pupils . [online].. Available at: http://www.merga.net.au/documents/RR_yusof.pdf Download  15  Februari 2015.