## HUBUNGAN ANTARA NILAI KRITIS DERIVATIF- DENGAN DIMENSI-  DARI SUATU KURVA
Supriyadi Wibowo

## Jurusan Matematika F MIPA UNS Surakarta
Email. supriyadi_w@yahoo.co.id
ABSTRACT. Continue  function  that  defined  on  fractal  set F R  is  a  function  which has  irregular  structure,  that  can  not  be  an  ordinary  differentiable  on  F. In  this  paper will  be  explored  the  correlation  between  critical  point  of  the  derivatif with dimension-  of a curve. By using the properties of the derivative
, Holder’s continue function  in  rank  of and  dimension  ,  has  been  obtained  the  correlation  between critical value of derivative and the dimension   of a curve.
Keywords. Derivate F  order   0,1   , Holder’s continue function in rank of   and dimension
ABSTRAK .  Fungsi  kontinu  yang  terdefinisi  pada  himpunan  fraktal  F R  adalah fungsi yang mempunyai struktur yang tidak teratur, sehingga tidak terdiferensial biasa pada F. Dalam makalah ini akan  diselidiki hubungan antara nilai kritis dari derivatif- dengan  dimensi-   dari  suatu  kurva.  Dengan  menggunakan  sifat-sifat  derivatif- , fungsi  kontinu  Holder  berpangkat-   dan  dimensi-  ,  diperoleh hubungan  antara  nilai kritis derivatif- dengan dimensi-  dari suatu kurva.
Kata  kunci. derivatif- F  berorder   0,1   ,  fungsi  kontinu  Holder  berpangkat- , dimensi- .

## 1. PENDAHULUAN
Kolwankar  dan  Gangal  (1996)  serta  Kolwankar  (1997)  telah  meneliti hubungan antara nilai kritis dari derivatif pecahan ( fractional derivative ) dengan dimensi kotak ( box dimension ) dari suatu kurva. Sedangkan dalam penelitian ini akan  diselidiki  hubungan  antara  nilai  kritis  dari  derivatif- dengan  dimensi- dari suatu kurva.
Diberikan F himpunan  bagian  bilangan  real,  berikut  akan  diberikan komponen (component) , coarse-grained  mass (cgm)  dan fungsi  anak  tangga ( staircase function ) pada himpunan F .
Definisi 1.1 (Parvate.A and Gangal.A.D, 2003) Subdivisi (subdivision)   , a b P (P)
dari interval   , a b , a b 
adalah himpunan titik-titik berhingga
  0 1 1
, ,..., , n i i a x x x b x x     .  Sebarang  interval  yang  berbentuk   1 , i i x x  disebut interval komponen (component interval) atau komponen (component) dari subdivisi  P.  Jika  Q  adalah  sebarang  subdivisi  dari   , a b   dan P Q  ,  maka dikatakan  Q  sebagai  penghalus  dari  P.  Jika a b  ,  maka  himpunan   a adalah hanya subdivisi dari   , a b .
Definisi  1.2  (Parvate  and  Gangal,  2003) Diberikan 0   dan a b  , coarse- grained  mass ( cgm ) dari   , F a b  dituliskan   , , F a b    dan  didefinisikan dengan
              , 1 1 1 0 : 0 , , lim inf , , 1 a b n i i i i P P i x x F a b F x x                  
dengan   1 1 max i i o i n
P x x       dan     1 , , 1 i i F x x    , jika   1 , i i F x x  tidak kosong dan bernilai nol untuk yang lain untuk 0,1,..., 1 i x n   .
Definisi  1.3  (Parvate  and  Gangal,  2003) Misalkan 0 a adalah  sebarang bilangan  real  tetapi  tertentu. Fungsi  integral  anak  tangga ( staircase function )   F S x  dengan order   0,1   untuk himpunan F diberikan oleh
      0 0 , , , 0 , , , 0 F F a x x
S x F x a x              . Fungsi   F
S x  adalah  fungsi  anak  tanggga  ( staircase function )  untuk
himpunan  fraktal F berorder   0,1   ,  merupakan  perumuman  fungsi  anak tangga  Cantor  (fungsi  singular  Cantor-Lebesgue).  Dalam  bagian  ini  akan diberikan  pengertian  limit  fungsi  dan  kekontinuan : f R R  pada  himpunan fraktal F.
Definisi 1.5 (Parvate  and Gangal, 2003) Diberikan F R  , : f R R  dan x F  . Bilangan l dikatakan limit-F untuk y x  , jika diberikan sebarang 0   , terdapat 0   yang memenuhi
y F  dan   y x f y l        .
Jika bilangan tersebut ada, maka dituliskan dengan
  lim y x l F f y    .
Definisi ini tidak termasuk nilai fungsi di y jika y F  , juga limit- F tidak terdefinisi di titik-titik x F  .
Selanjutnya dengan menggunakan limit- F akan diberikan  kekontinuan- F .
Definisi 1.6 (Parvate and Gangal, 2003) Fungsi : f R R  dikatakan kontinu- F  di x F  , jika
    lim y x f x F f y    .
Sebagaimana  turunan  order  satu,  turunan- F  juga  merupakan  limit pembagian,  tetapi  dengan limit- F sedangkan  penyebutnya  adalah  nilai  dari fungsi anak tangga F S  di dua titik anggota himpunan perfek-  (  - perfect ) yaitu himpunan tertutup dan semua titiknya adalah titik limit- F .
Definisi  1.7  (Parvate  and  Gangal,  2003) Jika  F adalah  himpunan    perfek-
 (  - perfect) , maka derivatif- F  dari fungsi f didefinisikan oleh
            lim , 0 , y x F F F f y f x F x F D f x S y S x x F             
 

## Jika limit-F ada.
Sebagai  konsekuensi  dari  Definisi  1.7,  mudah  ditunjukkan  sifat  kelinearan pada derivatif- F  .
Lema 1.8 (Parvate and Gangal, 2005) Derivatif- F  dari fungsi   F S x  adalah
fungsi karakteristik   F x  , yaitu
      F F F
D S x x     .
Teorema 1.9 (Parvate  and Gangal, 2003) Diberikan himpunan F R  perfek-
 dan fungsi kontinu : f F R R   ,     F D f x  ada untuk setiap   , x a b  dan     F F S a S b    . Maka terdapat titik , c d F  yang memenuhi             F F F f b f a D f c
S b S a       dan             F F F f b f a D f d S b S a    
 
Definisi  1.10  (Wibowo,  2009) Fungsi : f F R R   dikatakan  berorder-  dengan   0,1   terhadap derivatif- F  untuk setiap titik x F  , jika             inf :
, 0 1 sup : 0, 0 1 F F D f x D f x  
 
            . Fungsi kontinu : f F R  dikatakan fungsi kontinu Holder berpangkat  , jika  terdapat  konstanta 0 c  yang  memenuhi     f y f x c y x     untuk
semua , x y F  (Ross.B et al ,1994/5). Jika f fungsi kontinu Holder berpangkat satu,  maka f adalah  fungsi  Lipschitz.  Nilai  maksimal  yang  memenuhi fungsi kontinu  Holder  berpangkat  adalah  berhubungan  dengan  keberadaan  derivatif fungsi f pada himpunan F ( Spurrier.K.G, 2004).

## 2. PEMBAHASAN
Sedangkan  dalam  penelitian  ini  akan  diselidiki  hubungan  antara  nilai  kritis dari derivatif- dengan dimensi-  dari suatu kurva.
Teorema  2.1 Diberikan  himpunan perfek-  dan    fungsi  kontinu adalah pemetaan yang memenuhuhi
untuk suatu konstanta dan , maka untuk setiap s berlaku

## .
Bukti
Diberikan partisi
dari F , oleh karena fungsi kontinu adalah pemetaan yang memenuhuhi . Oleh karena
maka diperoleh
Dibentuk partisi
dengan . Partisi dari adalah , untuk diperoleh
Dengan mengambil limit infimum dari kedua pertaksamaan di atas diperoleh
. Teorema  2.2 Diberikan  himpunan perfek-  dan    fungsi  kontinu adalah pemetaan yang memenuhuhi
untuk suatu konstanta dan , maka berlaku .

## Bukti
Untuk dengan Teorema 2.1 diperoleh
berakibat untuk
. Jadi terbukti
Teorema  2.3 Diberikan  himpunan F R  perfek-  ,    fungsi  kontinu
: f R R  dan dengan .  Jika berorder   0,1   , maka berlaku
.
Bukti
Diketahui F f D   berorder   0,1   ,  akan  dibuktikan   f H F   berpangkat   0,1   . Dari Teorema 1.9 diperoleh, jika diberikan himpunan F R  perfek-  dan fungsi kontinu : f F R R   ,     F D f x  ada untuk setiap   , x a b  dan
    F F S a S b
   ,  maka  dengan  Teorema  .....terdapat  titik
yang memenuhi
atau dapat dituliskan
(2.1)
Oleh karena   F S H F    dengan pangkat   0,1   , maka dari (2.1) diperoleh
238                                                                                                                      Supriyadi Wibowo
Dengan mengambil
dan , maka terbukti Teorema 2.4 Diberikan himpunan F R  perfek-  yang berdimensi , fungsi kontinu : f R R  dan dengan .  Jika berorder ,
maka berlaku
.
Bukti
Dengan Teorema 2.3 diperoleh
.                    (2.2) Pembuktian teorema ini dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu untuk dan . Dari (2.2), berlaku pertidaksamaan sehingga dengan Teorema 2.1 diperoleh . (2.3) Dari (2.2), juga berlaku pertidaksamaan diperoleh . (2.4) Dari  (2.3) dan (2.4) terbukti .

## 3. KESIMPULAN
Berdasarkan  pada  pembahasan  di  atas  diperoleh  kesimpulan,    diberikan himpunan F R  perfek -  yang  berdimensi fungsi kontinu : f R R  dan dengan . Jika berorder , maka  berlaku .

## DAFTAR PUSTAKA
Parvate.A  and  Gangal.A.D  (2003)  ” Calculus  on  Fractal  Subset  of  Real  Line-I: Formulation ” http://arxiv.org/PS_cache/mathph/pdf/0310/0310047v1.pdf Parvate.A  and  Gangal.A.D  (2005)”  Fractal  differential  Equations  and  Fractal-
Time  Dynamical  System” Pramana.  Journal  of  Physics.Vol.  64,  no,  3. March 2005. pp. 389-4009 .
http://www.ias.ac.in/pramana/v64/p389/fulltext.pdf
Ross.B, Samko.S.G and Love.E.R (1994/5)” Functions That Have No First Order
Derivative  Migth  Have  Fractional  Derivatives  Of  All  Orders  Less  Than One” Real Analysis Exchange  Vol.20(2), pp. 140-147
Spurrier.K.G  (2004)  ” Continuous  Nowhere  Differentiable  Functions ”  Senior Thesis, University of South.
http://people.virginia.edu/~kgs5c/seniorthesis.pdf
Wibowo.S (2009)” Hubungan antara Derivatif- F  dari Fungsi dengan Dimensi-  dari  Himpunan  Fraktal F ”  Prosiding  Seminar  Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA UNY, 16 Mei 2009
240                                                                                                                     Supriyadi Wibowo