## Solusi Penyelesaian Persamaan Laplace dengan Menggunakan Metode Random Walk
Gapar 1) , Yudha Arman 1) , Apriansyah 2)
1) Program Studi Fisika Jurusan Fisika Universitas Tanjungpura
2) Program Studi Ilmu Kelautan Jurusan Ilmu Kelautan Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi Pontianak *Email : yudhaarman@gmail.com

## Abstrak
Telah  dilakukan  penentuan  distribusi  suhu  dalam  keadaan  tunak  pada  sebuah  plat  dua  dimensi menggunakan  metode  Random  Walk.  Setiap  sisi  plat  dikondisikan  bersuhu  100  C  dan  0  C  dalam 4(empat)  konfigurasi  dan  dalam  keadaan  steady.  Persamaan  Laplace  yang  mengkarakterisasi permasalahan  ini  dihampiri  dengan  melibatkan  sejumlah  walker  pada  setiap  titik  perhitungan  untuk kemudian  secara  acak  disebar  menuju  ke  setiap  sisi  plat.  Hasil  yang  diperoleh  untuk  setiap  kondisi  plat menunjukkan  kesalahan  relatif  terhadap  solusi  analitik  secara  rata-rata  adalah  5,17%.  Nilai  kesalahan tersebut  diperoleh  dengan  menggunakan  2000  walker.  Penelitian  ini  juga  mendapatkan  bahwa  akurasi hampiran  ditentukan  oleh  banyaknya  walker  yang  digunakan.  Secara  umum,  semakin  banyak  jumlah walker yang digunakan maka akurasi hampiran akan semakin baik.
Kata Kunci : Persamaan Laplace, Distibusi Suhu Keadaan Steady, Random Walk, Walker

## 1. Latar Belakang
Suhu adalah besaran yang menyatakan panas dan  dingin  suatu  bahan.  Kajian  fenomena  laju distribusi  suhu  telah  banyak  dilakukan  dengan menerapkan  model  konvensional  yaitu  model analitik  dan  numerik,  model  yang  digunakan untuk memecahkan langsung persamaan Laplace  yang  merupakan  persamaan  pengatur laju distribusi suhu.
Perkembangan teknologi dewasa ini terutama
dalam
bidang
komputasi
menyebabkan  ditemukannya  beberapa  metode yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan permasalahan  distribusi  suhu.  Tahun  2008 Apriansyah menerapkan metode
Cellular Automata, tahun 2011 Supandiyono
menggunakan  metode  beda  hingga  dan  tahun 2012  Sumarji  menggunakan  metode  elemen hingga.  Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan pemecahan  masalah  distribusi  suhu  dengan menggunakan metode random walk.
Metode  random  walk  didasarkan  pada peluang  pergerakan  acak  partikel  pada  ruang dan  peluang  untuk  menggandakan  ataupun menghilangkan  dirinya  (Anderson,  2002). Pemilihan  metode  random  walk  didasarkan pada  kesederhanaan  operasi  matematis  yang digunakan. Solusinya akan dibandingkan dengan hasil dari perhitungan analitik.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menerapkan persamaan  Laplace  dan  metode  random  walk untuk  menentukan  distribusi  suhu  dalam keadaan  jenuh  pada  sebuah  plat,  serta membandingkan  hasil  perhitungan  distribusi suhu  dari  metode  random  walk  dengan  solusi analitik.  Hasil  penelitian  ini  diharapkan  dapat
memberikan gambaran visual terhadap penyelesaian persamaan Laplace
2. Metodologi
2.1 Persamaan Laplace
Persamaan  gelombang  dapat  dituliskan sebagai berikut :
∇ = (1)
Dengan perpindahan  atau simpangan. Jika tak  bergantung  waktu,  maka  persamaan  (1) menjadi
∇ = 0 (2) Persamaan  (2)  ini  dikenal  sebagai  persamaan Laplace
Persamaan  Laplace  sering  ditemui  dalam fisika, sebagai contoh dalam medan elektrostatik, dimana persamaan Laplace mendeskripsikan  distribusi  potensial  listrik dalam keadaan tunak (steady state) dalam ruang tanpa muatan.
Persamaan  yang  mirip  dengan  persamaan (1)  ditemukan  dalam  termodinamika  dalam bentuk;
∇ = (3)
Dalam  hal  ini  T  merupakan  fungsi  yang mendeskripsikan  distribusi  suhu  T  di  dalam ruang  sebagai  fungsi  dari  ruang  dan  waktu.  D adalah  konstanta  difusi  dan  persamaan  ini dikenal  dengan  persamaan  difusi.  Bila  T  tidak
bergantung  waktu,  persamaan  (3)  menjadi persamaan Laplace
∇ = 0 (4) Dalam sistem koordinat kartesian, persamaan (4) dapat ditulis sebagai;
+ + = 0 (5)
Persamaan  (4)  juga  berlaku  untuk  kasus distribusi suhu di dalam lempeng yang terdapat sumber panas.
∇ ditulis  dalam  koordinat  kartesian  karena domain permasalahan berbentuk persegi panjang.  Selain  itu,  permasalahan  yang  ditinjau dibatasi berdimensi dua.
Secara analitik, untuk menyelesaikan persamaan  (4)  digunakan  teknik  separasi variabel. Dengan menganggap bahwa :
( , ) = ( ) ( ) (6)
adalah  hasil  perkalian  dari  dua  fungsi  saling bebas,  yaitu  X  adalah  fungsi  dengan  peubah bebas  x  sementara  Y  adalah  fungsi  dengan peubah  bebas  y,  substitusi  persamaan  (6)  ke persamaan (5) menghasilkan:
+ = 0 (7) + = 0 (8)
Hasil  pembagian  persamaan  (8)  dengan perkalian dua fungsi tersebut, XY, diperoleh :
+ = 0 (9) = − (10)
Karena ruas kanan dan kiri tidak dapat berubah bila  x  dan  y  berubah,  maka  ke  dua  ruas  harus sama  dengan  sebuah  konstanta  ( − ) . Persamaan  (10)  kemudian  dapat  sdituliskan sebagai :
= − =
= − , (11) ≥ 0 " = − " = (12)
Konstanta ( ) disebut  konstanta  separasi. Solusi dari persamaan (12) adalah:
= sin cos (13)
= (14)
Hasil substitusi persamaan (13) dan persamaan
(14) ke persamaan (12) menghasilkan :
= = sin sin cos cos (15) Jika  konstanta ( − ) ,  diganti  dengan (+ ) . maka persamaan (10) kemudian ditulis sebagai:
= − = = + , (16) ≥ 0
" = " = − (17)
Konstanta ( ) disebut  konstanta  separasi. Solusi dari persamaan (17) dituliskan sebagai:
= (18)
= sin cos (19)
Substitusi  persamaan  (18)  dan  persamaan  (19) ke persamaan (10) menghasilkan
= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ sin sin
cos cos (20)
Kondisi  plat  yang  akan  disimulasikan diperlihatkan pada Gambar (1)

## Gambar 1. Kondisi plat yang diamati
2.2 Metode Random walk
Metode paling sederhana dalam
menyelesaikan suatu permasalahan tanpa harus melibatkan  banyak  operasi  matematika  dan struktur  data  adalah  memanfaatkan  kejadian acak  (random  walk).  Metode  ini  menghasilkan sebuah  penyelesaian  dengan  mencoba-coba serta memanfaatkan bilangan acak (Basuki, dkk, 2004).
Random  walk  pertama  kali  diperkenalkan oleh  Karl  Pearson  pada  tahun  1905.  random walk  merupakan  formalisasi  matematika  dari sebuah  lintasan  yang  terdiri  dari  langkah- langkah  secara  acak  yang  berurutan.  Misalnya, lintasan yang dilewati oleh suatu molekul dalam suatu  zat  cair  atau  gas.  Random  walk  telah digunakan  di  berbagai  bidang  misalnya  Ekologi, Sikologi,  Ilmu  Komputer,  Fisika,  Kimia  dan biologi (Pearson, 1905).
Berdasarkan  pendekatan  dalam  memproses data,  maka  dikenal  dua  tipe  pendekatan,  yaitu tipe  floating  random  walk  merupakan  model yang mengizinkan jumlah walker selalu berubah dalam  simulasi.  Tipe  ini  dapat  menyebabkan simulasi tidak stabil  karena dalam simulasi bisa timbul sedikit walker (kebanyakan hilang  dalam proses)  sehingga  tipe  ini  spesifik  untuk  satu aplikasi.  Sedangkan  tipe  fixed  random  walk merupakan  model  yang  menggunakan  jumlah walker  selalu  tetap  atau    konstan.  Jumlah  akan walker bertahan sampai akhir simulasi sehingga cocok  untuk  beberapa  aplikasi  perhitungan. Tipe  ini  lebih  baik  dari  pada  tipe  floating random walk (Ketut, 2009).
2.3  Penerapan  Metode  Random  Walk  Pada Persamaan Laplace
Solusi  persamaan  Laplace  dua  dimensi  pada titik  (x,y)  dituliskan  dengan  persamaan  sebagai berikut ;
( , ) = 1 4 ∑ ( ) 4 1 (21)
dengan ( ) adalah nilai suhu terdekatnya.
Algoritma  metode  random  walk  untuk menghampiri  solusi  persamaan  Laplace  dapat dituliskan sebagai berikut:
1. Dimulai  dari  titik ( , ) dimana  nilai  suhu yang diinginkan. Walker kemudian dipindahkan dalam arah acak. 2. Selanjutnya walker dijalankan hingga mencapai permukaan. Suhu permukaan yang dicapai kemudian  disimpan  sebagai  suhu pada batas (i)
3. Langkah  1  dan  2  diulang  setiap  waktu  dan suhu  yang  didapat  kemudian  dijumlahkan pada permukaan setiap waktu.
4. Nilai  dari  suhu  pada  titik ( , ) dihasilkan oleh:
( , ) = ∑ ( ) (22)
Dalam  bentuk  lain,  persamaan  (22)  dapat ditulis sebagai :
( , ) = ( , ) ( , ) ⋯ ( , )
(23)
dimana n jumlah walker.
Ilustrasi pergerakan walker dapat dilihat pada Gambar (2).
Gambar 2. Contoh pergerakan walker
Pada  titik  (x,y),  walker  yang  digunakan kemudian diarahkan secara acak untuk bergerak ke  titik  grid  terdekat.  Setiap  satu  titik  grid  yang ditempuh  oleh  walker  memerlukan  satu  proses perhitungan.  Jika  grid  yang  didatangi  oleh walker  bukan  merupakan  daerah  batas  domain, walker  akan  terus  bergerak  secara  acak  ke  grid berikutnya.  Apabila  grid  tersebut  merupakan wilayah  batas  domain,  walker  akan  berhenti
0 ℃ 100 ℃ 0 ℃ (a) (b) (c) (d) 100 ℃ 100 ℃ 0 ℃ 0 ℃ 0 ℃ 100 ℃ 100 ℃ 100 ℃ 100 ℃ 100 ℃ 0 ℃ 0 ℃ 0 ℃
untuk  kemudian  membawa  informasi  nilai syarat batas pada titik tersebut.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Kondisi I
Hasil  plot  distribusi  suhu  pada  plat  untuk kondisi I diberikan oleh Gambar (3)
(a)                                     (b) Gambar 3. Hasil plot solusi distribusi suhu kondisi I secara (a) analitik dan (b) numerik
Pada  Gambar  3a  terlihat  suhu  yang  lebih tinggi  berada  di  daerah  sebelah  kanan  plat dengan  berbagai  variasi  gradasi  suhu.  Hal  ini dimungkinkan  karena  daerah    ini  dapat dianggap  merupakan  sumber  kalor  bagi  daerah sekitarnya.  Gradasi  suhu  terlihat  sedikit  lebih landai  di  bagian  tengah  domain  permasalahan namun cukup curam di daerah  atas dan  bawah. Hal  ini  disebabkan  kontribusi  suhu  rendah  di batas domain atas dan bawah yang menyebabkan kesetimbangan kalor lebih cenderung  menempatkan  daerah  yang  bersuhu lebih  tinggi  berada  di  daerah  tengah.  Gradasi semakin  melandai  ke  arah  kiri  domain permasalahan  dimana  suhu  plat  dibuat  bernilai 0  C.
Hasil  plot  distribusi  suhu  pada  plat  untuk kasus  1  diperlihatkan  pada  Gambar  3b.  Selisih relatif rms antara hasil simulasi numerik dengan simulasi  analitik  sebesar  5,44%.  Selisih  ini didapat  menggunakan  walker  berjumlah  2000. Jumlah  walker  ini  merupakan  hasil  trial  and error.  Telah  dicoba  sebelumnya  jumlah  walker yang  lebih  kecil  dari  jumlah  walker  tersebut  di atas,  namun  hasil  yang  diperoleh  masih menunjukkan  nilai  di  bawah  kualifikasi  yang dibutuhkan.  Kondisi  ini  juga  sesuai  dengan kondisi  persamaan  (23)  dimana  pendekatan random  walk  akan  bernilai  semakin  baik  jika jumlah walker diperbesar. Keterbatasan perangkat lunak yang digunakan serta keterbatasan  perangkat  keras  membuat  jumlah walker yang digunakan hanya sebesar 2000.

## 3.2 Kondisi II
Hasil  plot  solusi  persamaan  Laplace  untuk kondisi  II  menggunakan  metode  analitik  dan numerik  Random  Walk  diperlihatkan  pada Gambar (4)
(a)                                     (b) Gambar 4. Hasil plot solusi distribusi suhu kondisi II secara (a) analitik dan (b) numerik
Dari  gambar  terlihat  gradasi  suhu  seragam berarah  diagonal  plat  yang  ditinjau.  Kondisi  ini berbeda dengan yang ditunjukkan pada kondisi I dimana gradasi suhu besar hanya di bagian tepi plat.  Hal ini  disebabkan  pada  kondisi  II  dua  sisi plat  yang  bersinggungan  diberi  suhu  tinggi sementara  dua  sisi  plat  yang  lain  dikondisikan bersuhu 0  C. Suhu tinggi pada dua sisi plat yang bersinggungan  merupakan  sumber  kalor  bagi bagian dalam plat. Kondisi aliran ini merupakan kondisi yang sudah dalam keadaan jenuh.
Hasil  distribusi  suhu  menggunakan  metode random  walk  menunjukkan  pola  yang  sama. Selisih  relatif  rms  terhadap  solusi  analitik sebesar  3,37%  menggunakan  walker  berjumlah 2000.  Jumlah  walker  ini,  sama  seperti  pada kondisi  I,  diperoleh  melalui  trial  and  error. Keterbatasan  perangkat  lunak  dan  perangkat keras yang digunakan merupakan pertimbangan utama  bagi  jumlah  walker  ini.  Karena  hanya menghitung  nilai  rata-rata  dari  pengumpulan nilai  walker,  metode  ini  mengharuskan  jumlah walker  besar  untuk  mencapai  kualifikasi  yang diinginkan.

## 3.3 Kondisi III
Hasil  plot  solusi  persamaan  Laplace  untuk kondisi  III  menggunakan  metode  analitik  dan numerik  Random  Walk  diperlihatkan  pada Gambar (5)
(a)                                     (b) Gambar 5. Hasil plot solusi distribusi suhu kondisi III secara (a) analitik dan (b) numerik
2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 20 30 40 50 60 ℃ ℃ ℃ ℃ ℃ ℃
Dari  gambar  terlihat  gradasi  suhu  lebih landai pada bagian tengah dari plat. Sisi atas dan bawah  plat  masih  bersuhu  rendah  karena  pada keadaan  jenuh  tercapai,  jumlah  kalor  yang diperlukan  untuk  membuat  bagain  ini  bersuhu lebih  tinggi  lagi  masih  kurang  walaupun kontribusi  suhu  tinggi  didapatkan  dari  dua  sisi plat.
Solusi numerik menggunakan metode random  walk  juga  menampilkan  hasil  yang serupa.  Secara  kualitatif,  solusi  numerik  telah mampu  menghasilkan  solusi  yang  baik  jika dibandingkan  dengan  hasil  solusi  analitiknya. Secara  kuantitatif,  diperoleh  selisih  relatif  rms sebesar  7%.  Jika  dibandingkan  dengan  kondisi sebelumnya,  nilai  ini  lebih  besar.  Hal  ini disebabkan  karena  proses  pembulatan  hasil perhitungan  nilai  rata-rata  suhu  yang  dibawa oleh  walker.  Pembulatan  ini  akan  berpengaruh signifikan  karena  nilai  suhu  yang  digunakan pada batas domain cukup besar.

## 3.4 Kondisi IV
Hasil  plot  solusi  persamaan  Laplace  untuk kondisi  IV  menggunakan  metode  analitik  dan numerik  Random  Walk  diperlihatkan  pada Gambar (6)
(a)                                      (b)
Gambar 6. Hasil plot solusi distribusi suhu kondisi IV secara (a) analitik dan (b) numerik.
Pada  gambar  terlihat  gradasi  suhu  lebih tinggi  berada  di  bagian  bawah  plat  dengan berbagai gradasi temperatur. Gradai temperatur terlihat  lebih  landai  di  bagian  tengah  plat namun  cukup  curam  di  bagian  kanan  dan  kiri plat.  Hal  ini  disebabkan  temperatur  di  bagian atas plat bernilai 0  C. Solusi  numerik menggunakan metode random  walk  juga  menampilkan  hasil  yang serupa.  Secara  kualitatif,  solusi  numerik  telah mampu  menghasilkan  solusi  yang  baik  jika dibandingkan  dengan  hasil  solusi  analitiknya. Secara  kuantitatif,  diperoleh  selisih  relatif  rms sebesar 4,87%. Selisih ini didapat menggunakan walker  berjumlah  2000.  Jumlah  walker  ini merupakan hasil trial and error.
Selisih  kondisi  I  dengan  walker  bervariasi telah  dicoba  dan  didapat  hasil  sesuai  dengan tabel di bawah ini.
Walker Selisih rms 100 37,37 500 13,61 1000 9,44 1500 8,71 2000 5,44 Tabel 1. Walker bervariasi pada kondisi I Dari  tabel  terlihat  peningkatan  akurasi seiring bertambah jumlah walker yang digunakan.  Peningkatan  itu  cukup  signifikan apabila penambahan jumlah walker berkelipatan besar.

## 4. Kesimpulan
Dari penelitian ini dapat disimpulkan bahwa untuk  kasus  distribusi  suhu  dalam  keadaan tunak pada sebuah plat sebagai berikut: Kondisi I  dengan  rms  sebesar  5,44%,  kondisi  II  dengan rms  sebesar  3,37%,  kondisi  III  dengan  rms sebesar  7,00%,  kondisi  IV  dengan  rms  sebesar 4,87%. Metode
Random Walk dapat menghampiri solusi analitik dengan baik.

## Daftar Pustaka
Anderson,  J.B.,  2002,  Diffusion  and  Gren’s Function Quantum Monte Carlo Methods, John von  Neuman  Institute  for  computing,  Jülich, NIC  Series,  Vol.  10, ISBN  3-00-009057-6,  pp. 25-50, 2002.
Apriansyah,  2008,  Simulasi  Distribusi  Suhu Keadaan  Tunak  (steady  state)  Pada  Lempeng 2  Dimensi  Dengan  Menggunakan  Metode Cellular  Automata,  Jurusan  Fisika  FMIPA UNTAN, Pontianak (skripsi S1).
Basuki,  A.,  Santoso,  T.  B.,  dan  Huda,  M.,  2004, Modelling  dan  Simulasi,  IPTAQ  Mulia  Media; Jakarta.
Ketut,  G.,  2009,    Monte  Carlo  Method, http://www.gagus-ketut.blogspot.com/ /2009/05/metode-monte-carlo.html, (14, Februari 2012).
Sumarji, 2012, Simulasi Distribusi Suhu Pada Plat Dua  Dimensi  Menggunakan  Metode  Elemen Hingga  (Finite  Elemen  Method),  Jurusan Fisika FMIPA UNTAN, Pontianak (skripsi S1). Pearson,  K.,  1905,  The  problem  of  the  Random Walk, Nature, 72, 294.
Supardiyono, 2011, Analisis Distribusi Pada Pelat Dua  Dimensi  Dengan  Menggunakan  Metode Beda Hingga, JPFA, Vol.1, No.2
℃ ℃