J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 2, Nov 2006, 95–108

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah

## Toto Nusantara
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
toto@yahoo.com

## Abstrak
In this paper we consider to dominant factor of multidirectional bichro- matic waves deformation. Third order solution of iKP equation with bichro- matic signal at the boundary is used as a model of bichromatic waves. Due to dispersive and non linearity properties of wave model, bichromatic wave was deformed when propagated. By analysing of wave component, it was found that wave deformation due to first order and third order component side band and free waves.
Kata Kunci: multidirectional waves, one point source, extreme position

## 1. Pendahuluan
Kajian tentang gelombang ekstrim yang dipublikasikan oleh Stansberg [5] cukup mendapat perhatian dari kelompok peneliti kelautan Indonesia maupun kelom- pok penelitian luar negeri. Penelitian tentang gelombang ekstrim telah dan sedang dilakukan oleh kelompok peneliti kelautan yang tergabung di KPP MIT - ITB, MARIN Belanda, dan Universitas Twente Belanda seperti dalam [2, 3, 4, 6, 9, 10, 11, 13]. Perhatian yang besar terhadap penelitian gelom- bang ekstrim ini terkait dengan manfaat dan pentingnya untuk pengembangan

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah
ilmu, khususnya pembangkitan gelombang terskala di laboratorium hidrodinami- ka. Pentingnya kajian ini karena kemanfaatan hasilnya yang dapat diaplikasikan pada industri yang berbasis optik, seperti yang diperlihatkan dalam [1, 12] . Ka- jian gelombang ekstrim yang dilakukan pada paragrap pertama difokuskan pada gelombang satu arah (1D). Toto (2005) dalam [8] mengkaji interaksi gelombang untuk penjalaran gelombang multi arah. Hasil kajian tersebut menghasilkan suatu model penjalaran gelombang multi arah yang lebih baik dari model yang telah ada sebelumnya, model yang dihasilkan memiliki relasi dispersi relasi dispersi ek- sak dalam arah spasial seperti relasi dispersi gelombang permukaan air, lihat [7]. Artikel ini akan membahas tentang interaksi gelombang bikromatik multiarah, khususnya analisis tentang faktor-faktor yang mempengaruhi deformasi gelom- bang. Organisasi artikel ini adalah sebagai berikut, bagian awal akan membahas model matematika yang digunakan, disampaikan ulang dari [8]. Interaksi gelom- bang dimodelkan dari hampiran selesaian order tiga persamaan iKP, dengan syarat batas bergantung model pembangkitan gelombang. Faktor-faktor yang mendom- inasi deformasi gelombang akan menjadi pokok pembahasan dalam artikel ini.

## 2. Model Matematika
Dalam Toto [8], model penjalaran gelombang multi arah yang memiliki relasi dis- persi eksak dinyatakan oleh persamaan iKP sebagai berikut
δ x µ δ t u + δ x ( Ru + 3 4 u 2 ) ¶ + 1 2 δ yy u = 0 (1)
dengan R operator pseudo diferensial dengan simbol b R = p tan k/k . Persamaan iKP bagian linearnya memiliki relasi dispersi
ω = Ω( K ) = √ k tanh k + 1 2 l 2 k , l ∈ k, K = ( k, l ) (2)
Relasi dispersi (2) untuk beberapa nilai frekuensi disajikan pada gambar berikut
Terlihat pada Gambar 1, apabila suatu nilai frekuensi diberikan, penentuan bilangan gelombang pada arah spatial x ; yaitu k , dan bilangan gelombang pada arah spatial y ; yaitu l dapat ditentukan secara fleksibel. Setelah diketahui bilan- gan gelombang, maka arah penjalaran gelombang dapat diketahui. Secara analitis penentuan bilangan dapat dilakukan sebagai berikut: diberikan frekuensi gelom- bang yang akan dibangkitkan w 0 , maka bilangan gelombang dan ditentukan dari relasi dispersi (2). Selanjutnya dengan memisalkan k = rd, l = r √ 1 − d 2 , dimana r menyatakan modulus dari bilangan gelombang dan δ berkaitan dengan sudut
Gambar 1: Profil relasi dispersi (2) untuk beberapa nilai frekuensi
yang dibentuk pada bidang kl . Dengan pemisalan tersebut, maka relasi dispersi (2) akan memenuhi persamaan
√ rδ tanh rδ + 1 2 1 − δ 2 δ − ω 0 (3)
Bila ditetapkan nilai δ , maka bilangan gelombang k, l dicari dengan menyelesaikan persamaan (3). Hubungan antara dua bilangan gelombang dinyatakan oleh
k = rd, l = r p 1 − d 2 r k = l d √ 1 − d 2 (4)
Nilai perbandingan antara dua bilangan tersebut terkait dengan arah penjalaran gelombang apabila dilihat dari sumbu koordinat xy , yang dinytakan oleh
tan α = δ 1 − δ 2 (5)
Arah penjalaran gelombang ini senantiasa tegak lurus dengan garis karakteristik gelombang, yaitu pada garis tersebut gelombang memiliki ketinggian yang sama.
Gambar 2: Profil ketinggian gelombang untuk suatu nilai frekuensi tertentu serta arah penjalarannya

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah
Model penjalaran gelombang multi arah (1) merupakan model tanpa skala, untuk memperoleh representasi gelombang sesungguhnya dilakukan dengan trans- formasi
η = hu, X = hx, Y = √ hy, T = t s h g , ω = Ω s h g (6)
Pada bagian selanjutnya akan dikaji hampiran selesaian untuk Persamaan (1). Seperti diketahui persamaan iKP merupakan persamaan diferensial tak linear, serta melibatkan operator pseudo diferensial.

## 3. Hampiran Selesaian Order Tiga Persamaan iKP
Bagian ini akan menyajikan ulang yang telah diturunkan Toto [8], tentang hampi- ran order tiga persamaan iKP (1). Hampiran orde tiga yang dimaksud berbentuk
u ≈ εu (1) + ε 2 u (2) + ε 3 u (3) (7)
dengan ε menyatakan parameter yang sebanding dengan order amplitudo gelom- bang. Selanjutnya suku-suku u (1) , u (2) dan u (3) menyatakan selesaian order perta- ma, order kedua dan order ketiga. Ekspansi amplitudo yang dilakukan (7) belum cukup untuk menggunakan hampiran order tiga, sebab masih memunculkan suku resonansi pada order tiga. Untuk menghilangkan suku resonansi tersebut, ekspan- si (7) dimodifikasi dengan teknik Poincare-Linstead [2] yaitu dengan mengekspansi bilangan gelombang dalam bentuk
K = K (0) + ε K (1) + ε 2 K (2)
atau
( k, l ) = ( k (0) , l (0) ) + ε ( k (1) , l (1) ) + ε 2 ( k (2) , l (2) )
dengan K (0) = Ω − 1 ( ω 0 ).
Untuk memperoleh selesaian gelombang bikromatik, hampiran selesaian order pertama dinyatakan oleh
u (1) = q (cos θ 1 + cos θ 2 ) = 2 q cos θ cos(∆ θ ) (8)
dengan θ j = k (0) j x + l (0) j y − ω j t . Dengan hampiran selesaian order pertama tersebut, hampiran selesaian order dua dinyatakan oleh
u (2) = 3 2 q 2   2 X j =1 s j cos 2 θ j + s + cos 2 θ + s − cos 2∆ θ   (9)
dengan s j = k (0) j 2 ω j − Ω(2 K (0) j ) , s + = k (0) 2 ω j − Ω(2 K (0) j ) , s + = ∆ k (0) 2∆ ω j − Ω(2∆ K (0) j ) .
Sedangkan hampiran selesaian order tiga dinyatakan oleh
u (3) sb = q 3 ( a 12 cos(2 θ 1 − θ 2 ) + a 21 cos(2 θ 2 − θ 1 )) (10)
dengan
a 12 = 9 4 ( s 1 + s − ) k (0) 1 + 2∆ k ω 1 + 2 v − Ω( K (0) 1 + 2∆ K ) a 21 = ds 9 4 ( s 2 + s − ) k (0) 2 − 2∆ k ω 2 − 2 v − Ω( K (0) 2 − 2∆ K )

## 4. Model Pembangkitan Gelombang dan Free Waves
Berbeda dengan pembangkitan gelombang satu arah yang tidak memper- masalahkan arah penjalaran gelombang, untuk gelombang multiarah gelombang dibangkitkan sesuai arah yang diinginkan. Pada bagian ini akan diuraikan dua model pembangkitan gelombang, yang tentu saja akan memberikan konsekuensi terhadap syarat batas pada hampiran selesaian 7.
a. Model pembangkitan pertama adalah one point source . Model ini mengasum- sikan bahwa sumber pembangkitan gelombang berasal dari satu titik, diasum- sikan pada titik pusat koordinat (0 , 0). Dengan demikian syarat batas hampi- ran 7 berbentuk
u (0 , 0 , t ) = S ( t ) (11)
dengan S ( t ) menyatakan signal gelombang gelombang yang dibangkitkan pada titik (0 , 0). Untuk gelombang bikromatik, signal gelombang dinyatakan oleh S ( t ) = q (cos ω 1 t + cos ω 2 t ). Selanjutnya, agar hampiran selesaian order per- tama, order kedua, dan order ketiga (8) – (10) memenuhi syarat batas (11), dengan demikian muncul konsekuensi gelombang bebas (free waves) untuk kom- pensasi di syarat batas. Gelombang bebas order pertama tidak ada, sebab sig- nal gelombang sama dengan selesaian order pertama. Gelombang bebas order dua dinyatakan oleh
u (2) f ree = − 3 2 q 2   2 X j =1 s j cos Θ(2 ω j ) + s + cos Θ(2 ω ) + s − cos Θ(2∆ ω )   (12)

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah
dengan Θ( ω ) = k ( ω ) x + l ( ω ) x − ωt . Selanjutnya selesaian gelombang bebas order tiga dinyatakan oleh
u (3) f ree = − q 3 ( a 12 cos Θ(2 ω 1 − ω 2 ) + a 21 cos Θ(2 ω 2 − ω 1 )) (13)
Penting untuk dicatat bahwa model one point source terdapat dua kebebasan dalam penentuan parameter bilangan gelombang; yaitu bilangan gelombang arah x dan arah y , yang didasarkan pada satu informasi frekuensi gelombang.
b. Model pembangkitan kedua adalah half plane source . Model ini mengasumsikan bahwa sumber pembangkitan gelombang berasal dari satu bidang, diasumsikan pada bidang y . Dengan demikian syarat batas hampiran (7) berbentuk
u (0 , y, t ) = q (cos( l 1 y − ω 1 t ) + cos( l 2 − ω 2 t )) (14)
dengan l j terkait relasi dispersi ω 1 = Ω( k j , l j ). Seperti uraian model pertama, syarat batas ini memunculkan gelombang bebas order kedua dan order ketiga sebagai berikut:
u (2) f ree = − 3 2 q 2   2 X j =1 s j cos Θ(2 l j , 2 ω j ) + s + cos Θ(2 l, 2 ω ) + s − cos Θ(2∆ l, 2∆ ω )   (15)
dan
u (3) f ree = − q 3 ( a 12 cos Θ(2 l 1 − l 2 , 2 ω 1 − ω 2 ) + a 21 cos Θ(2 l 2 − l 1 , 2 ω 2 − ω 1 )) (16)
Untuk model half plane source hanya terdapat satu kebebasan dalam penentuan parameter bilangan gelombang; yaitu hanya bilangan gelombang arah x , dengan informasi frekuensi gelombang dan bilangan gelombang arah , dengan informasi frekuensi gelombang dan bilangan gelombang arah y .

## 5. Deformasi Gelombang Bikromatik Pada Model Pembangkitan One Point Source
Pada bagian ini disimulasikan gelombang bikromatik 2D dengan data-data sebagai berikut,
Kuantitas Laboratorium Variabel tanpa dimensi Kedalaman kolam 5 m 5 m Frekuensi gelombang Ω 1 = 4 . 7142 ω 1 = 2 . 3571 ,
Ω 2 = 4 . 2714 ω 2 = 2 . 1357 Amplitudo gelombang 8 cm q=0.016
Pada pembangkitan di laboratorium hidrodinamika, ketinggian maksimum gelombang yang dapat dibangkitkan adalah 10% dari kedalaman kolam. Dengan demikian untuk kolam dengan kedalaman 5 m, maka ketinggian gelombang maksi- mum (Hmax) adalah 50 cm. Untuk gelombang bikromatik ketinggian gelombang menjadi 8 × 2 × 2 = 32 cm , atau setara dengan 64% dari H max .
Pada simulasi ini sudut yang dibentuk antara bilangan gelombang arah sumbu x dan arah sumbu y adalah π/ 100. Dengan demikian penjalaran gelombang secara dominan ke arah sumbu x . Profil-profil signal di beberapa lokasi disajikan oleh gambar-gambar berikut ini.
Gambar 3: Profil gelombang bikromatik multiarah untuk beberapa lokasi peng- ukuran
Perubahan profil signal pada posisi (0 , 0) berupa signal bikromatik, pada bebe- rapa posisi mengalami perubahan baik profil dan ketinggiannya. Pada posisi (86 m, 80 m) profil signal mengalami perubahan yang cukup ekstreem. Perbandingan antara ketinggian signal gelombang mula-mula dengan signal gelombang pada po- sisi terakhir adalah 32 cm : 54 cm = 1 : 1.7. Hasil ini sebanding yang diperoleh pada model 1D, dengan model persamaan iKdV, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut
Gambar 4: Profil signal non linear bikromatik pada posisi 57 m dari kolam pem- bangkitan

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah

## 6. Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang
Pada bagian sebelumnya telah disajikan simulasi interaksi gelombang bikromatik yang ditampilkan dalam bentuk profil signal bikromatik untuk beberapa titik pengukuran. Pada pengamatan tersebut, signal bikromatik menunjukkan defor- masi yang ekstrim, baik profil maupun ketinggian gelombang. Pada bagian ini akan dianalisis, suku-suku interaksi mana yang memberikan kontribusi terhadap perubahan ekstrim tersebut. Seperti diketahui bahwa kontribusi order dua tidak memberikan pengaruh terhadap deformasi gelombang. Oleh karena itu fokus ka- jian terhadap interaksi yang memberikan efek ekstrem, hanya difokuskan pada kontribusi orde tiga. Ekspresi masing-masing komponen gelombang diberikan oleh
u (1) = q (cos θ 1 + cos θ 2 ) = 2 q cos θ cos(∆ θ ) u (3) sb = q 3 ¡ B 12 [2 cos 2(∆ θ ) − 1] cos θ cos(∆ θ ) + B 21 [2 cos 2(∆ θ ) + 1] sin θ sin(∆ θ ) ¢ sedangkan free wave (16) dapat dituliskan sebagai
u (3) f ree = − q 3 ( a 12 cos( θ + 3∆ θ + θ 12 ) + a 21 cos( θ − 3∆ θ + θ 21 ) (17)
dengan
θ 12 ( k, l ) = ( K (2 ω 1 − ω 2 ) + k 2 − 2 k 1 ) x + ( L (2 ω 1 − ω 2 ) + l 2 − 2 l 1 ) y θ 21 ( k, l ) = ( K (2 ω 2 − ω 1 ) + k 1 − 2 k 2 ) x + ( L (2 ω 2 − ω 1 ) + l 1 − 2 l 2 ) y
Ekspresi free wave 17 seperti ekspresi order tiga side band 10 dengan tambahan phase θ 12 ( k, l ) dan θ 21 ( k, l ). Selanjutnya free wave 17 dapat dituliskan kembali menjadi
u (3) f ree = − q 3     cos θ cos(∆ θ )[2 cos(2∆ θ ) − 1]( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 )+ sin θ sin(∆ θ )[2 cos(2∆ θ ) + 1]( a 21 cos θ 21 − a 12 cos θ 12 ) − sin θ cos(∆ θ )[2 cos(2∆ θ ) − 1]( a 12 sin θ 12 + a 21 sin θ 21 ) − cos θ sin(∆ θ )[2 cos(2∆ θ ) + 1]( a 12 sin θ 12 − a 21 sin θ 21 )     (18)
Terlihat bahwa masing-masing ekspresi gelombang order satu, order tiga side band dan free wave memuat faktor cos θ cos(∆ θ ), sin θ sin(∆ θ ), sin θ cos(∆ θ ), dan cos θ sin(∆ θ ). Khususnya untuk superposisi u (1) + u (3) s b , signal yang dihasilkan untuk setiap posisi adalah senantiasa simetri. Hal ini karena masing-masing kom- ponen pembentuk memuat faktor gelombang yang bergerak dengan kecepatan yang sama, akibatnya profil signal senantiasa simetris. Selanjutnya apabila diper- hatikan pada ekspresi order tiga free wave, selain memuat faktor-faktor yang telah disebutkan di atas, juga memuat faktor lain yang berbeda dari komponen selesaian sebelumnya. Faktor tersebut adalah kombinasi dari cos θ 12 , cos θ 21 , sin θ 12 , sin θ 21
. Faktor ini memberikan kontribusi perubahan signal secara spatial, sebab phase dari faktor-faktor tersebut tidak bergantung waktu dan merupakan fungsi spatial. Selanjutnya pada ekspresi order tiga free wave (18), faktor-faktor tersebut muncul sebagai kombinasi a cos θ 12 + b cos θ 21 dan a sin θ 12 + b sin θ 21 , yang dihasilkan dari superposisi ae iθ 12 + be iθ 21 + c.c . Dengan alasan tersebut, berikut ini akan diberikan simulasi dari superposisi gelombang dari u dan u (1) + u (3) sb + u (3) f ree , yang kedua u (1) + u (3) sb + u (3) f ree dan u (1) + u (3) sb (1) + u (3) f ree (1) dengan
u (3) sb (1) = q 3 B 12 [2 cos 2(∆ θ ) − 1] cos θ cos(∆ θ )
dan
u (3) f ree (1) = − q 3 cos θ cos(∆ θ )[2 cos(2∆ θ ) − 1]( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 ) yaitu komponen order tiga yang memuat faktor yang sama dengan order satu. Hasil simulasi gelombang, signalnya untuk berberapa lokasi diberikan oleh gambar berikut:
Gambar 5: Perbandingan profil gelombang bikromatik u dan gelombang u 1 + u 3 sb + u 3 f ree
Gambar di atas memperlihatkan, signal gelombang u dan u (1) + u (3) sb + u (3) f ree secara hampiran adalah hampir sama, karena pengaruh order dua belum ditam- bahkan. Berdasarkan hasil ini dapat disimpulkan bahwa order tiga side band dan free wave memberikan kontribusi terhadap perubahan profil signal. Selanjutnya pada gambar kanan, menyajikan profil-profil signal untuk beberapa posisi dari se- bagian komponen order tiga. Point yang ingin disampaikan pada hasil simulasi tersebut adalah, profil signal u (1) + u (3) sb (1) + u (3) f ree (1) pada posisi maksimum secara hampiran adalah hampir sama.
Kesimpulan yang ingin diberikan dari hasil simulasi ini adalah bahwa po- sisi maksimum dapat dianalisis dari superposisi yang jauh lebih sederhana ini. Dengan memperhatikan hasil terakhir ini, kalau diperhatikan masing-masing komponen dari superposisi u (1) + u (3) sb (1) + u (3) f ree (1) memiliki faktor yang sama yaitu cos θ cos(∆ θ ) sedangkan faktor lain [2 cos 2(∆ θ ) − 1] merupakan komponen gelombang amplitudo dari gelombang bikromatik pada suku order satu, dengan demikian juga memiliki karakteristik yang hampir sama dengan amplitudo gelom- bang bikromatik order satu. Faktor yang berbeda dari superposisi ini adalah
( a 31 cos θ 12 + a 32 cos θ 21 ), secara spatial faktor ini akan memberikan pengaruh ter- hadap ketinggian gelombang, khususnya pada u (3) f ree (1) .

## 7. Posisi Deformasi Ekstrim Gelombang
Pada bagian sebelumnya telah dibahas suku-suku yang dominan yang menentukan deformasi gelombang. Suku-suku dominan tersebut, secara hampiran dipengaruhi oleh kontribusi suku order pertama, bagian dari suku order tiga bound wave, dan bagian suku order tiga free waves yang dinyatakan oleh persamaan berikut
u ≈ u (1) + u (3) sb (1) + u (3) f ree (1) (19)
dengan
u (3) sb (1) = q 2 2 B 12 [2 cos 2(∆ θ ) − 1] u (1) , u (3) f ree (1) = − 1 B 12 u (3) sb (1) ( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 ) serta
θ 12 ( k, l ) = K 12 x + λ 12 y, K 12 = ( K (2 ω 1 − ω 2 ) + k 2 − 2 k 1 ) , K 21 = ( K (2 ω 2 − ω
1 ) + k 1 − 2 k 2 ) dan
θ 21 ( k, l ) = K 21 x + λ 21 y, λ 12 = ( L (2 ω 1 − ω 2 ) + l 2 − 2 l 1 ) , λ 21 = ( L (2 ω 2 − ω 1 ) + l 1 − 2 l 2 ) Ekspresi (19) dapat dituliskan
u ≈ u (1) µ 1 + q 2 2 [2 cos 2(∆ θ ) − 1](( a 12 + a 21 ) − ( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 )) ¶ (20)
Ekspresi gelombang (20) memperlihatkan bahwa terdapat tiga phase gelom- bang yang mempengaruhi evolusi gelombang bikromatik, yaitu ∆ θ , θ 12 dan θ 21 . Gelombang dengan phase ∆ θ memiliki kecepatan phase yang sama dengan gelom- bang penyusun u yang memuat phase θ , sehingga perubahan gelombang tidak ditentukan oleh gelombang dengan phase tersebut. Phase gelombang θ 12 dan θ 21 , tidak memuat variabel waktu dan berbeda dengan phase sehingga tidak mengala- mi perubahan dalam waktu. Gelombang u mengalami ekstrim apabila, faktor (( a 12 + a 21 ) − ( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 )) bernilai maksimum, dan ditentukan oleh komponen a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 . Artinya faktor (( a 12 + a 21 ) − ( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 )) bernilai 0 apabila cos θ 12 = cos θ 21 ≈ 1, dan faktor tersebut mak- simum atau bernilai 2( a 12 + a 21 ) apabila cos θ 12 = cos θ 21 ≈ − 1. Pada kondisi maksimum, ekspresi (20) dinyatakan oleh
u ≈ u (1) ¡ 1 + q 2 ( a 12 + a 21 )[2 cos 2(∆ θ ) − 1] ¢
Untuk memperoleh kondisi tersebut, perhatikan bahwa, dengan menuliskan dalam bentuk amplitudo dan phase tunggal dapat diperoleh bahwa
( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 ) = 1 2 ( a ( x, y ) e iϕ + c.c ) a ( x, y ) = q a 2 12 + a 2 21 + 2 a 12 a 21 cos( θ 12 − θ 21 ) (21) ϕ = 1 2 ( θ 12 + θ 21 ) + arctan µ a 12 − a 21 a 12 + a 21 tan 1 2 ( θ 12 − θ 21 ) ¶
Berdasarkan bentuk phase-amplitude (21), terlihat bahwa suku sangat dipen- garuhi oleh perubahan phase θ 12 − θ 21 dan θ 12 + θ 21 . Phase θ 12 − θ 21 mempenga- ruhi gelombang amplitudo a ( x, y ), sedangkan phase θ 12 − θ 21 mempengaruhi phase gelombang komposisi. Oleh karena tanda suku ( a 12 cos θ 12 + a 21 cos θ 21 ) bernilai negatif pada (20), oleh karena itu phase gelombang komposisi harus dikondisikan bernilai negatif, yaitu dengan memberikan nilai
θ 12 ( k, l ) + θ 21 ( k, l ) = 2 π (22)
Selanjutnya gelombang amplitudo (21) dikontrol dengan memberikan nilai phase gelombang
θ 12 ( k, l ) − θ 21 ( k, l ) = µ (23)
Berapa nilai µ yang dapat diberikan? Perhatikan bahwa (23) dapat dituliskan kembali menjadi
y = µ − ( K 12 − K 21 ) x ( λ 12 − λ 21 ) (24)
Substitusi nilai ini ke dalam masing-masing phase θ 12 dan θ 21 , menghasilkan
θ 12 ( k, l ) = ( λ 12 K 12 − λ 21 K 21 ) x + λ 12 µ ( λ 12 − λ 21 ) = λ 12 µ ( λ 12 − λ 21 ) dan (25) θ 21 ( k, l ) = λ 21 µ ( λ 12 − λ 21 )
Catatan: phase θ 12 , θ 21 , dan phase lain dalam µ ; semisal θ, ∆ θ , memiliki kemiringan yang sama di bidang xy . Sehingga apabila terdapat dua garis dengan kemiringan garis sama l 1 : m 1 x + n 1 y = c 1 dan l 2 : m 2 x + n 2 y = c 2 yaitu l 1 k l 2 , maka m 1 n 2 − m 2 n 1 = 0.
Substitusi nilai-nilai phase θ 12 dan θ 21 pada (25) ke dalam (22) akan meng- hasilkan
( λ 12 + λ 21 ) µ ( λ 12 − λ 21 ) = 2 π atau µ = 2 ( λ 12 − λ 21 ) ( λ 12 + λ 21 ) π (26)

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah
Substitusi (26) ke dalam (24), menghasilkan garis ekstrim, yaitu titik-titik yang menghasilkan signal ekstrim gelombang bikromatik:
y e = 2 π ( λ 12 + λ 21 ) − ( K 12 − K 21 ) x e ( λ 12 − λ 21 ) (27)
Posisi ekstrim gelombang terletak pada garis (27) yang memotong sumbu x
pada ³ 2 π ( λ 12 − λ 21 ) ( K 12 − K 21 )( λ 12 + λ 21 ) , 0 ´ dan memotong sumbu y pada ³ 0 , 2 π ( λ 12 + λ 21 ) ´ .
Selanjutnya tinggi maksimum gelombang pada saat posisi ekstrim dapat di- analisis dari ekspresi sebagai berikut
u ≈ 2 q cos θ cos(∆ θ ) ¡ 1 + q 2 ( a 12 + a 21 )[2 cos(2∆ θ ) − 1] ¢ (28)
Profil gelombang cos θ merupakan gelombang pembawa ( carrier ), sedangkan am- plitudo dipengaruhi oleh gelombang
A ( u ) ≈ 2 q cos(∆ θ ) ¡ 1 + q 2 ( a 12 + a 21 )[2 cos(2∆ θ ) − 1] ¢ (29)
Pada ekspresi gelombang amplitudo tersebut, terlihat bahwa komponen gelombang memiliki phase gelombang yang sama yaitu ∆ θ dan kelipatannya. Sekarang kita akan mensubstitusikan kondisi ekstrim yang diperoleh di atas (27) ke dalam (29). Kondisi ekstrim juga terjadi pada
³ 0 , 2 π ( λ 12 + λ 21 ) ´ , sehingga phase amplitude (29) akan menjadi
(∆ θ ) = 2 π (∆ l ) ( λ 12 + λ 21 ) − (∆ ω ) t (30)
Gelombang amplitudo akan mencapai maksimum apabila ∆ θ = 2 nπ , n = 1 , 2 , · · · sehingga kita akan memperoleh waktu ekstrim
t e = 2 π (∆ l ) (∆ ω )( λ 12 + λ 21 ) (31)
Amplitudo gelombang maksimum pada waktu ekstrim ini adalah
A ( u ) max ≈ 2 q ¡ 1 + q 2 ( a 12 + a 21 ) ¢ (32)
Perbandingan antara amplitudo gelombang mula-mula dengan amplitudo saat ekstrim, secara hampiran adalah sebagai berikut:
2 q : 2 q ¡ 1 + q 2 ( a 12 + a 21 ) ¢ = 1 : ¡ 1 + q 2 ( a 12 + a 21 ) ¢ (33)

## 8. Kesimpulan
Telah dibahas interaksi gelombang bikromatik multiarah dengan model penjalaran one point source. Berdasarkan kajian faktor-faktor dominan deformasi gelombang
berhasil dianalisis bahwa deformasi dipengaruhi oleh suku-suku order pertama dan order tiga sideband dan free waves . Selanjutnya dari analisis yang lebih mendalam terhadap ketiga suku tersebut dapat diperoleh posisi deformasi paling ekstrim dari gelombang bikromatik.

## Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terimakasih atas diskusi yang hangat kepada Marwan, ma- hasiswa S3 ITB Bandung. Penulis juga mengucapkan terima kasih atas pendanaan oleh penelitian Hibah Pekerti oleh DP3M, Dirjen Dikti, dengan nomor kontrak: SPP 040/SPPP/PP/DP3M/W/2005.

## Pustaka
[1] Andonowati & E. van Groesen, Optical Pulse Deformation in Second Order Non-Linear Media, Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials, v.12, n.2 (2003) 221-234.
[2] Andonowati, Marwan, E. van Groesen, Maximal temporal amplitude of gen- erated wave groups with two or three frequencies, submitted to Proceeding of 2nd ICPMR&DT.
[3] Andonowati, Wuryansari, M.K, E, van Groesen, Steepness of extreme waves caused by wave focusing in the Benjamin-Feir instability regime, Proceedings of International Symposium on Shallow Flows, TUDelft, June 16-8, 2003.
[4] Marwan & Andonowati, Perubahan bentuk pada perambatan signal bi- chromatik dan pengaruhnya terhadap amplitude maximum, to appear in Journal of Mathematics & Science, FMIPA ITB.
[5] C.T. Stansberg, On the nonlinear behaviour of ocean wave groups, Ocean Wave Measurement and Analysis, Proc. Of the Third International Sympo- sium WAVES 97 Editor: B.L. Edge, J.M. Hemsley, American Society of Civil Engineers (ASCE), Reston, V.A, USA 2 n.2 (1998).
[6] Wuryansari M.K & Andonowati, Dinamika tinggi gelombang maksimum selubung paket gelombang permukaan bikromatik, Proceeding ITB, seri A, v. 34, 2003.
[7] Toto Nusantara. Modifikasi Model Penjalaran Gelombang Multi Arah. J. Matematika. Agustus. 2005.

## Faktor Dominan Pada Deformasi Gelombang Bikromatik Multiarah
[8] Toto Nusantara, Daniel, T.D. Studi Interaksi Gelombang dan Aplikasinya Pada Pembangkitan Gelombang Ekstrim., Laporan Penelitian Hibah Pekerti, Nopember 2005, Dikti. Jakarta.
[9] J. Westhuis, E. van Groesen, R.H.M. Huijsmans, Experiments and Numerics of Bichromatic Wave Groups, J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Engi- neering, 127 (2001) 334-342.
[10] J. Westhuis, R.H.M. Huijsmans, Unstable bichromatics wave groups, MARIN, report No. 15309.152. Wageningen, The Netherlands (2000).
[11] E. van Groesen, Andonowati, E. Soewono, Nonlinear Effects in Bichromatic Surface Waves, Proc. Estonian Acad. Sci., Mathematics and Physics 48 (1999) 206-229.
[12] E. van Groesen, E. Cahyono, & A. Suryanto, Unidirectional Models for Nar- row and Broad Pulse Propagation in Second Order Nonlinear Media, Optical Quantum Optics 34 (2002) 577-595.
[13] E. van Groesen, N. Karyanto, P. Peterson & Andonowati, Wave dislocation and non-linear amplitude amplification for extreme fluid surface waves, sub- mitted