http://e-journal.ikip-veteran.ac.id/index.php/matematika/article/view/526

## PENGEMBANGAN TEOREMA MORLEY PADA SEGIEMPAT
Fabelia Andani Barutu * , Mashadi, Sri Gemawati Program Studi Magister Matematika Universitas Riau *fabeliaandani.b@gmail.com
Diterima: Nopember 2017. Disetujui: Desember 2017. Dipublikasikan: Januari 2018

## ABSTRAK
Pada  umumnya  teorema  Morley  diberlakukan  pada  segitiga,  dalam  tulisan  ini  akan dikembangkan ide teorema Morley untuk bangun datar dengan sisi yang lebih banyak (dalam hal ini segi empat) dan menentukan rumus panjang sisi segiempat Morley tersebut. Segiempat yang  dibahas  yakni  persegi,  persegi  panjang,  belah  ketupat,  layang-layang,  dan  trapesium sama  kaki.  Pembuktian  dalam  tulisan  ini  menggunakan  cara  yang  lebih  sederhana  dengan konsep kesebangunan dan konsep trigonometri.
Kata kunci : Teorema Morley, konsep kekongruenan, trigonometri.

## ABSTRACT
Morley’s  Theorem  generally  applies  in  triangle.  This  paper  applied  Morley’s  Theorem  in quadrilateral to determine the side lenght of Morley’s quadrilateral. Quadrilaterals discussed in this paper are square, rectangle rhombus, kite, and isoscelestrapezium. Simpler way is used to prove by applying congruence and trigonometric concepts.
Keywords: Morley’s Theorem, congruence concept, trigonometry.
How to Cite: Barutu, F.A., Mashadi., & Gemawati, S. (2018). Pengembangan Teorema Morley pada Segiempat. Journal of Medives , 2 (1), 41-50.

## PENDAHULUAN
Menurut  (Oakley  &  Baker,  2014) menyatakan  bahwa  teorema  Morley berkaitan  dengan  tokoh  yang  bernama Frank  Morley  (1899),  yang  merupakan profesor  Matematika di Haverford College. Salah satu artikel yang membahas  tentang  teorema  Morley adalah  (Peters,  1941)  yang  menyatakan bahwa  Morley  menemukan  sebuah teorema  yang  diberi  nama  “Teorema Morley”.  Teorema  tersebut  dinyatakan sebagai berikut.

## Teorema Morley
Diberikan  sebarang ∆ .  Setiap sudut ∆ yakni ∠ , ∠ ,  dan ∠
dibangun trisektor. Trisektor yang berdekatan akan berpotongan di satu titik yakni  titik ,  ,  dan  .  Jika  titik-titik perpotongan  tersebut dihubungkan  maka terbentuk ∆ sama sisi. Segitiga tersebut disebut dengan segitiga Morley.

## Gambar 1. Teorema Morley pada Segitiga Sebarang
Morley  menyatakan  jika ∆ adalah  sebarang  dan  terdapat  trisektor pada ∠ , ∠ , dan ∠ kemudian trisektor yang  berdekatan  bertemu  di  titik ,  ,
dan ,  maka ∆
sama  sisi  (Walls,
2008).  Misalkan  pada ∠ dibentuk trisektor  yang  disebut  garis dan ,
pada ∠ dibentuk  trisektor  yang  disebut garis dan ,  dan  pada ∠ dibentuk trisektor  yang  disebut  garis dan , maka  perpotongan  trisektor  yang  ber- dekatan  itu  ialah  garis dan yang berpotongan  dititik ,  garis dan yang berpotongan dititik  ,  dan garis dan yang  berpotongan  dititik .
Sehingga jika titik  ,  , dan   dihubung- kan, maka akan membentuk ∆ sama sisi (Gambar 1).
Beberapa  bukti  dari  Teorema Morley  dengan  sudut  pandang  yang berbeda  telah  ditemukan  oleh  matema- tikawan seperti (Donolato, 2013), (Stonebridge,  2009),  dan  (Coghetto, 2015). Dalam (Donolato, 2013) dinyatakan  bahwa  panjang  sisi  segitiga Morley adalah
8 sin( ) sin( ) sin( ),
dengan =
∠ , = ∠ , = ∠ , dan = ∠ . Setiap segitiga mempunyai sudut
luar dan sudut jauh  yang masing-masing disebut  dengan  sudut  eksterior  dan remote  interior  (Mashadi,  2015[a]). Selanjutnya (Kuruklis, 2014) dan (McCartin,  2010)  memberikan  kasus yang  berkaitan  dengan  teorema  Morley yang  berbunyi  bahwa  segitiga  Morley dapat  terbentuk  dari  trisektor  sudut eksternal segitiga sebarang.
Tulisan  ini  akan  membahas  pene- rapan  dan  pengembangan  teorema  Mor- ley  pada  segiempat  yang  berlaku  untuk persegi,  persegi  panjang,  belah  ketupat, layang-layang, dan trapesium sama kaki. Ide pembuktiannya adalah dengan menggunakan  konsep  kekongruenan  dan trigonometri yang dibahas dalam (Mashadi,  2015[b];  Mashadi,  2016)  dan materi yang diajarkan di SMP dan SMA.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut  ini  adalah  hasil  dan pembahasan pengembangan teorema
Morley  pada  persegi,  persegi  panjang,
belah ketupat, layang-layang, dan
trapesium sama kaki. Teorema Morley pada Persegi Terdapat persegi , kemudian dibangun trisektor pada keempat sudutnya, pada setiap sudut akan terdapat dua  garis  bagi  yang  membagi  sudut menjadi  tiga  bagian  yang  sama  besar. Garis-garis trisektor tersebut akan berpotongan  dengan  garis  trisektor  yang terdekat,  sehingga  terdapat  empat  titik perpotongan,  jika  keempat  titik  potong tersebut  dihubungkan  maka  terbentuk
segiempat
(Gambar 2).

## Gambar 2. Teorema Morley pada Segiempat Persegi

## Teorema 1
Terdapat segiempat
persegi.
Setiap  sudut  persegi  dibentuk  trisektor yang  membagi  setiap  sudut  menjadi  tiga sudut  yang sama besar. Misalkan  titik E, F,  G, dan H adalah  titik  perpotongan antara  garis  trisektor dan ,  garis
trisektor dan , garis trisektor dan
,  dan  garis  trisektor dan .  Jika
keempat  titik  potong  tersebut  dihubung- kan maka adalah persegi.
Bukti (Kekongruenan) Akan  dibuktikan  bahwa adalah  persegi  dengan  menunjukkan = = =
dan  besar  keem- pat sudutnya adalah 90° . Akan  ditunjuk- kan  dengan  konsep  kekongruenan.  Pada persegi jelas  bahwa  besar ∠ = ∠ = 90° .  Sehingga  dapat ditunjukkan ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ yang  mengakibatkan ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ sehingga = = = . Selanjutnya untuk membuktikan bahwa  keempat  sudut  pada  segiempat adalah 90° . Pada ∆ , terdapat ∠ dan ∠ yang  masing-masing besarnya 30° .  Besar  sudut  pada  segitiga berjumlah 180° , sehingga ∠ = 120°. (1) Pada ∆ terdapat ∠ yang besarnya 30° karena  merupakan  sudut trisektor  pada  persegi dan merupakan segitiga sama kaki, sehingga ∠ = ∠ = 75°. (2) Kemudian  pada ∆ berlaku  hal  yang sama yakni ∠ = 30° , sehingga ∠ = ∠ = 75°. (3) Besar ∠ diperoleh  dengan  cara mensubtitusikan  persamaan  (1),  (2),  dan (3) ke persamaan berikut. ∠ = 360° − ( ∠ + ∠ + ∠ ) = 360° − (120° +  75° +  75°) = 90°.
Selanjutnya,  dengan  cara  yang  sama akan diperoleh ∠ = ∠ = ∠ =  90° .
Berdasarkan  uraian  diatas  diperoleh bahwa  keempat  sudut  pada  segiempat
ialah 90° .  Karena  keempat  sisi
pada segiempat sama panjang dan keempat  sudut  pada  segiempat
90° ,  terbukti  bahwa  segiempat adalah  persegi  yang  disebut  dengan persegi Morley.

## Teorema 2
Panjang sisi persegi Morley adalah
2 − √ 3 ,  dengan merupakan panjang sisi persegi . Bukti (Aturan Cosinus) Misalkan  panjang  sisi = = = = dan ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90° . Berdasarkan  konsep trisektor pada ∠ dan ∠ maka  diperoleh ∆
sama  kaki  dengan  besar  sudut  kakinya 30° dan  panjang = .  Berdasar- kan  dalil  Phytagoras  dapat  diperoleh
= √ 3 .  Terdapat  empat  segitiga
sama  kaki  yakni ∆ , ∆ , ∆ , dan ∆ dengan  semua  panjang  kaki- kaki segitiga tersebut ialah
= = = = = = = = √ 3 (4)
dan ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 30° . Dengan menerapkan aturan cosinus pada segitiga sama kaki , diperoleh = + − 2. . . ∠ 30° , = + − √ 3 . . Oleh karena = = maka = + − √ 3 . , = (2 − √ 3 ),
= 2 − √ 3  .

## Teorema Morley pada Persegi Panjang
Konstruksi  Teorema  Morley  pada persegi  panjang  sama  seperti  konstruksi Teorema Morley pada bangun datar yang lainnya (Gambar 3).

## Teorema 3
Terdapat  segiempat persegi
panjang.  Pada  setiap  sudut  persegi panjang dibentuk trisektor yang membagi setiap sudut menjadi tiga sudut yang sama besar.  Misalkan  titik E,  F,  G, dan H adalah  titik  perpotongan  antara  garis trisektor dan , garis trisektor dan ,  garis  trisektor dan ,  dan  garis trisektor dan .  Jika  keempat  titik potong  tersebut  dihubungkan  maka membentuk belah ketupat .
Gambar 3. Teorema Morley pada

## Persegi Panjang
Bukti (Kekongruenan)
Akan  dibuktikan  bahwa adalah  belah  ketupat  dengan  menunjuk- kan  panjang  sisi
= = = , besar ∠ = ∠ ,  dan ∠ = ∠ .  Besar ∠ = ∠ = 90° ,
maka  besar  sudut  trisektornya  ialah 30° , sehingga dapat  ditunjukkan  bahwa ∆ ≅ ∆ dan ∆ ≅ ∆ .
Dari  hasil  tersebut  dapat  ditunjukkan
∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ yang mengakibatkan = = = . Selanjutnya  untuk  menunjukkan bahwa ∠ = ∠ dan ∠ = ∠ .  Perhatikan ∆ dan ∆ . Diketahui besar ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 30° ,  sehingga  besar ∠ = ∠ .  Perhatikan ∆ dan ∆ ,  berdasarkan  konsep  kekongruen- an sisi-sudut-sisi ∆ ≅ ∆ sehingga ∠ = ∠ .  Perhatikan ∆ dan ∆ ,  berdasarkan  konsep kekongruenan  sisi-sudut-sisi ∆ ≅ ∆ sehingga ∠ = ∠ . Misal- kan besar ∠ = ∠ = , ∠ = ∠ = , dan ∠ = ∠ = sehingga diperoleh ∠ = ∠ + ∠ + ∠ , ∠ =   + + , (5) dan ∠ = ∠ + ∠ + ∠ , ∠ =   + + . (6) Berdasarkan persamaan (5) dan (6) besar ∠ = ∠ . Dengan cara yang sama diperoleh ∠ = ∠ . Karena keempat sisi pada segiempat sama panjang  serta  besar ∠ = ∠ dan ∠ = ∠ terbukti bahwa segiempat adalah  belah  ketupat yang  disebut  dengan  belah  ketupat Morley.

## Teorema 4
Panjang  sisi  belah  ketupat  Morley
adalah + − √ 3 , dengan merupakan  panjang  persegi  panjang dan    merupakan  lebar  persegi panjang .
Bukti (Aturan Cosinus) Misalkan  panjang  sisi = = dan = = .  Terdapat  empat segitiga  sama  kaki  yakni ∆ , ∆ , ∆ dan ∆ . Panjang sisi yang sama panjang pada ∆ dan ∆ adalah = = = = √ 3 . (7) Panjang  sisi  yang  sama  panjang  pada ∆ dan ∆ adalah = = = = √ 3 . (8) Pada  segitiga  sebarang besar ∠ = 30° dengan menggunakan aturan  cosinus  dan  mensubtitusikan persamaan (7) dan (8) maka diperoleh = + − 2. . . cos (30°) = 1 3 √ 3 + 1 3 √ 3 − 2 √ 3 √ 3 √ 3 = + − √ 3 . Panjang sisi belah ketupat EFGH adalah
+ − √ 3 .

## Teorema Morley pada Belah Ketupat
Teorema Morley pada belah ketupat  tentang  trisektor  yang  dibentuk pada  setiap  sudut  belah  ketupat yang saling berpotongan sehingga
membentuk  persegi  panjang (Gambar 4).

## Teorema 5
Terdapat  segiempat belah
ketupat.  Pada  setiap  sudut  belah  ketupat dibentuk  trisektor  yang  membagi  setiap sudut  menjadi  tiga  sudut  yang  sama besar.  Misalkan  titik E,  F,  G, dan H adalah  titik  perpotongan  antara  garis
trisektor dan , garis trisektor , dan ,  garis  trisektor dan ,  dan  garis
trisektor dan .  Jika  keempat  titik potong  tersebut  dihubungkan  maka terbentuk persegi panjang .
Gambar 4. Teorema Morley pada Belah Ketupat
Bukti (Kekongruenan) Akan  dibuktikan  bahwa adalah persegi panjang dengan menunjukkan  panjang  sisi = , = ,  dan  besar ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90° .  Akan  ditunjukkan  dengan konsep  kekongruenan.  Besar ∠
=
∠ dan ∠ = ∠ ,  sehingga dapat  ditunjukkan ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ .  Dari  hasil  itu  juga  akan mudah  ditunjukkan ∆ ≅ ∆ dan ∆ ≅ ∆ yang  mengakibatkan = dan = . Selanjutnya akan ditunjukkan besar sudut pada segiempat adalah 90° .
Besar  keempat  sudut  pada  belah  ketupat berjumlah 360° , sehingga 2 + 2 = 360° + = 180°. (9) Pada ∆
diperoleh
∠ = 180° − 1 3 ( + ).
Subtitusikan persamaan (9) diperoleh
∠ = 180° − (180°), = 120°. (10) Karena ∆ merupakan  segitiga  sama kaki maka ∠ = ∠ , sehingga ∠ = 1 2 180° − 3 = 90° − . (11) Karena ∆ juga  merupakan  segitiga sama kaki maka ∠ = ∠ , sehingga
∠ = 1 2 180° − 3 = 90° − . (12) Diketahui besar ∠ yaitu ∠ = 360° − ∠ −∠ − ∠ . (13) Subtitusikan  persamaan  (10),  (11),  dan (12) persamaan (13), maka diperoleh ∠ = 360° − (120°) − 90° − − 90° − = 360° − 120° − 90° − 90° + ( + ).
Subtitusikan  persamaan  (9)  sehingga diperoleh ∠ = 360° − 120° − 90° − 90° + (180°)
= 90° . Dengan  cara  yang  sama  diperoleh ∠ = ∠ = ∠ = 90° . Karena = , = ,  dan  besar ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90° terbukti
bahwa  segiempat
adalah  persegi
panjang  yang  disebut  dengan  persegi panjang Morley.

## Teorema 6
Jika merupakan  persegi panjang  Morley  pada  belah  ketupat dengan panjang sisi  , maka =
= 2 sin dan = = 2 sin . Bukti (Aturan Sinus) Misalkan  panjang  sisi = = = = . Oleh  karena ∆ sama
kaki, maka diketahui
= √ 3 . (13)
Dengan  menggunakan  aturan  sinus  pada
∆ dan  mensubtitusikan  persamaan (10) dan (13) maka diperoleh
= ( ∠ ) √ = °
√
= √ = 2 sin . Oleh karena ∆ ≅ ∆ maka dengan  cara  yang  sama  diperoleh  juga panjang sisi = 2 sin . Diketahui ∆ sama  kaki,  maka
diperoleh
= √ 3 . (14)
Dengan  menggunakan  aturan  sinus  pada ∆ dan  mensubtitusikan  persamaan (10) dan (14) maka diperoleh
= ( ∠ ) √ = ( ° ) √ = √ = 2 sin( ) .
Karena ∆ ≅ ∆ maka  dengan cara  yang  sama  diperoleh  juga  panjang sisi = 2 sin .

## Teorema Morley pada Layang-layang
Teorema  Morley  pada  segiempat layang-layang  adalah  tentang  trisektor yang  dibentuk  pada  setiap  sudut  layang- layang akan  saling  berpotongan dan  membentuk  trapesium  sama  kaki (Gambar 5).
Gambar 5. Teorema Morley pada Layang-layang

## Teorema 7
Terdapat segiempat layang-
layang.  Pada  setiap  sudut  layang-layang dibentuk  trisektor  yang  membagi  setiap sudut  menjadi  tiga  sudut  yang  sama besar.  Misalkan  titik E,  F,  G, dan H adalah  titik  perpotongan  antara  garis trisektor dan , garis trisektor dan ,  garis  trisektor dan ,  dan  garis trisektor dan .  Jika  keempat  titik potong  tersebut  dihubungkan  maka membentuk trapesium sama kaki . Bukti (Kekongruenan) Akan  dibuktikan adalah trapesium  sama  kaki  dengan  menunjuk- kan  panjang  sisi = dan  besar ∠ = ∠ dengan  menggunakan konsep  kekongruenan.  Diketahui  besar ∠ = ∠ , sehingga dapat
ditunjukkan ∆ ≅ ∆ dan ∆ ≅ ∆ .  Dari  hasil  itu  juga  akan mudah ditunjukkan ∆ ≅ ∆ yang mengakibatkan = . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa besar ∠ = ∠ . Perhatikan ∆ dan ∆ .  Diketahui  besar ∠ = ∠ karena ∆ ≅ ∆ . Pada ∆ dan ∆ ,  diketahui  besar ∠ = ∠ karena ∆ ≅ ∆ . Kemudian ∆ merupakan  segitiga sama  kaki  karena  panjang  sisi =
sehingga  besar  sudut  pada  kaki-kakinya sama besar yakni ∠ = ∠ . Berdasarkan tiga pasang sudut yang sama besar  tersebut  maka  besar ∠ = ∠ .  Karena = ,  dan  besar ∠ = ∠ terbukti  bahwa  segi- empat adalah trapesium sama kaki yang disebut dengan trapesium sama kaki
Morley.

## Teorema 8
Jika merupakan  trapesium sama  kaki  Morley  pada  layang-layang dengan = = , maka
= = ( ) ( ) .
Bukti (Aturan Sinus) Misalkan panjang sisi = = dan = = . Pada ∆ dengan
menggunakan aturan sinus diperoleh
= ( ∠ ) = ° ( ) = ( ) . (15)
Perhatikan ∆ , dengan  menggunakan aturan sinus dan mensubtitusikan persamaan (15) maka diperoleh
= ( ∠ )
= sin 3 sin 1 3 ( + ) ( ) = sin 1 3 ( + ) sin ( ) . Oleh  karena ∆ ≅ ∆ ,  maka
dengan  cara  yang  sama  diperoleh  juga
panjang sisi = sin 3 sin 3 ( ) sin ( ) .

## Teorema  Morley  pada  Trapesium Sama Kaki
Teorema  Morley  pada  segiempat trapesium sama kaki menjelaskan tentang trisektor yang dibentuk pada setiap sudut trapesium akan saling berpotongan  dan  membentuk  segiempat layang-layang (Gambar 6).

## Gambar 6. Teorema Morley pada Trapesium Sama Kaki

## Teorema 9
Diketahui  segiempat adalah
trapesium  sama  kaki.  Pada  setiap  sudut trapesium  sama  kaki  dibentuk  trisektor yang membagi setiap sudut menjadi sama besar.  Misalkan  titik E,  F,  G, dan H
adalah  titik  perpotongan  antara  garis trisektor dan , garis trisektor dan ,  garis  trisektor dan ,  dan  garis
trisektor dan .  Jika  keempat  titik potong  tersebut  dihubungkan  maka membentuk layang-layang . Bukti (Kekongruenan) Akan  dibuktikan adalah layang-layang dengan menunjukkan panjang  sisi = , = dan besar ∠ = ∠ dengan  meng- gunakan  konsep  kekongruenan.  Besar ∠ = ∠ dan ∠ = ∠ , sehingga  dapat  ditunjukkan ∆ ≅ ∆ . Dari hasil itu juga dengan mudah dibuktikan ∆ ≅ ∆ dan ∆ ≅ ∆ yang  mengakibatkan = dan = . Selanjutnya akan ditunjukkan besar ∠ = ∠ .  Berdasarkan  konsep kekongruenan,  karena ∆ ≅ ∆ , maka  besar ∠ = ∠ .  Dimisalkan ∠ = ∠ = .  Karena ∆ ≅ ∆ ,  maka  besar ∠ = ∠ . Dimisalkan  besar ∠ = ∠ = . Karena ∆ ≅ ∆ ,  maka  besar ∠ = ∠ .  Dimisalkan ∠
=
∠ = .  Karena  terdapat 3 pasang
sudut  yang  sama  besar  maka ∠ = ∠ . Karena = , = , dan besar ∠ = ∠ terbukti  bahwa segiempat adalah  layang-layang yang  disebut  dengan  layang-layang
Morley.

## Teorema 10
Jika adalah  layang-layang Morley  yang  diperoleh  dari  trapesium dengan = = , = ∠ , = ∠ , ∠
= ,  dan ∠ = ,
maka = = √ ( ) dan
= = √ ( ) .

## Bukti (Aturan Sinus)
Pada  pembuktian  Teorema  10  ini digunakan  konsep  trigonometri  untuk menunjukkan  panjang  sisi = . Misalkan  panjang  sisi = = .
Besar  keempat  sudut  pada  trapesium sama kaki berjumlah 360° , sehingga
2 + 2 = 360° + = 180°. (16) Pada ∆ dengan menggunakan aturan
sinus  dan  mensubtitusikan  persamaan
(16) diperoleh
= ( ∠ )
=
° ( ) = ( ) = ( ° ) = √ = √ . (17)
Perhatikan ∆ , dengan menggunakan aturan sinus dan mensubtitusikan  persamaan  (17)  maka diperoleh
= ( ∠ ) = 2 √ 3 3 ( ) = √ sin 3 sin 3 3sin ( ) .
Diketahui ∆ ≅ ∆ ,  maka  dengan
cara  yang  sama  diperoleh  juga  panjang
sisi = √ sin 3 sin 3
3sin ( ) . Pada ∆
dengan  menggunakan aturan sinus diperoleh
= ( ∠ ) .
Dengan cara yang sama maka diperoleh
= √ . (18)
Perhatikan ∆
, dengan menggu- nakan  aturan  sinus  dan  mensubtitusikan persamaan (18) maka diperoleh
= ( ∠ ) = 2 √ 3 3 ( ) = √ sin 3 sin 3 3 sin ( ) . Diketahui ∆ ≅ ∆ , maka dengan
cara  yang  sama  diperoleh  juga  panjang
sisi = √ sin 3 sin 3 3 sin ( ) .

## PENUTUP
Dari Teorema Morley pada
segiempat  khusus  terbentuk  segiempat Morley  yang  khusus  juga  yang  dapat dilihat pada Tabel 1.

## Tabel 1. Segiempat Morley yang terbentuk
Segiempat ABCD Segiempat Morley EFGH Persegi Persegi Persegi Panjang Belah Ketupat Belah Ketupat Persegi Panjang Layang-Layang Trapesium Sama Kaki Trapseium Sama Kaki Layang-Layang Teorema  Morley  pada  segiempat khusus ini dapat diterapkan ke
pembelajaran  siswa  SMP  dan  SMA
karena  pembuktian  menggunakan  cara yang simpel dan mudah karena pembuktiannya  menggunakan  prinsip kekongruenan  dan  trigonometri  yang telah diajarkan di sekolah menengah.

## DAFTAR PUSTAKA
Coghetto,  R.  (2015).  Morley’s  trisector theorem. Formalized Mathematics .
23 (2), 75-79.
Donolato,  C.  (2013).  A  vector  based proof of Morley’s trisector theorem. Forum  Geometricorum .
13, 233-235.
Kuruklis,  S.  A.  (2014).  Trisectors  like
Bisectors  with  equilaterals  instead
of  Points. Cubo  A  Mathematical
Journal . 16 (2), 71-110.
Mashadi.  (2015)[a]. Geometri  Edisi Kedua . UR Press. Pekanbaru.
Mashadi.  (2015)[b]. Geometri  Lanjut . UR Press. Pekanbaru. Mashadi. (2016). Pengajaran Matematika . UR Press. Pekanbaru. McCartin, B. J. (2010). Mysteries of The
Equilateral  Triangle .  Hikari  Ltd:
Michigan. Oakley,  C.  O.  &  Baker,  J.  C.  2014.  The Morley Trisector Theorem. Mathematical Association of America . 85 (9), 737-745. Peters,  J.  W.  (1941).  The  Theorem  of Morley. National Mathematics
Magazine . 16 (3), 119-126. Stonebridge,  B.  (2009).  A  simple geometric proof of Morley’s trisector theorem. Applied Probability Trust . 2-4. Walls, N. (2008). An Elementary Proof of Morley’s Trisector Theorem. Edinburgh  Mathematical  Notes . 34, 12-13.