## METODE PUC DAN ILP UNTUK PERHITUNGAN AKTUARIA DAN ASET PASAR PROGRAM  PENSIUN

## Noor Baitirahmah,  Dewi Sri Susanti, Aprida Siska Lestia
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jln. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan Email: noorbaitirahmah@gmail.com

## ABSTRACT
The Pension plan is a legal entity that manages and operates a program that promises pension benefits for participants. Pension benefits are periodic payments paid to participants in retirement. The amount and manner of funding of a pension plan can be determined using actuarial cost method at determining the normal cost ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 ) and actuarial liability ( 𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 ). Purposes of this study is to explain the formula and actuarial cost, and explain the process of calculating market assets with PUC and ILP methods. The actuarial calculation formula of the PUC and ILP methods, for normal cost, is derived from the translation of definitions in the method, while the actuarial liability formula is derived from the initial equation of actuarial liabilities. Market assets represent the total assets held by a pension plan. The process of calculating assets at time 𝑡𝑡 is done by calculating unfunded liability,supplementary contribution, and contribution at time 𝑡𝑡 − 1 . From the value of market assets obtained loss, the value of loss indicates the funding of the pension program to lose or not. If the loss is positive then the pension program loses.
Keywords: Pension Plan Program, Definite Benefit, Actuarial Calculation, Market Assets, Projected Unit Credit and Individual Level Premium.

## ABSTRAK
Program dana pensiun merupakan  badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan manfaat pensiun bagi pesertanya. Manfaat pensiun merupakan pembayaran berkala yang dibayarkan kepada peserta di waktu pensiun. Besar dan cara pendanaan suatu program pensiun dapat ditentukan dengan menggunakan metode perhitungan aktuaria dengan tujuan  menentukan iuran normal ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 ) dan kewajiban aktuaria ( 𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 ) .  Penelitian  ini  bertujuan  menjelaskan rumus dan perhitungan aktuaria , serta  proses perhitungan aset pasar dengan metode PUC dan ILP . Formula perhitungan aktuaria metode 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐶𝐶 dan 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑃𝑃 , untuk iuran normal didapatkan dari penjabaran definisi dalam metodenya, sedangkan formula kewajiban aktuarianya didapatkan dari persamaan awal kerajiban aktuaria . Aset pasar merupakan total aset yang dimiliki suatu program pensiun. Proses perhitungan aset pada waktu t dilakukan dengan menghitung unfunded liability,  supplementary contribution, dan contribution pada waktu 𝑡𝑡 − 1 . Dari nilai aset pasar didapatkan loss, dimana nilai loss mengindikasikan pendanaan program pensiun mengalami kerugian atau tidak. Jika 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 bernilai positif maka program pensiun mengalami kerugian
Kata kunci :  Program Dana Pensiun, Santunan Definit, Perhitungan Aktuaria, Aset Pasar, PCU dan ILP

## 1. PENDAHULUAN
Program  dana  pensiun merupakan  badan hukum yang mengelola dan menjalankan program yang menjanjikan manfaat pensiun bagi pesertanya. Manfaat pensiun bermakna pembayaran berkala yang dibayarkan kepada peserta pada waktu pensiun dan dengan cara yang ditetapkan dalam peraturan dana pensiun. (UU No. 11
tahun 1992). Winklevoss (1993) menyebutkan  penyebab manfaat pensiun dikeluarkan oleh suatu program pensiun adalah karena usia yang mencapai usia pensiun menurut ketentuan yang disebut dengan pensiun normal, memilih berhenti sebelum usia pensiun atau withdrawal, terjadi kecacatan pada saat aktif bekerja sehingga tidak  bisa bekerja lagi atau disability dan meninggal dunia pada saat masih aktif bekerja sehingga dibayarkan uang pensiun janda/dudanya. Besar dan cara pendanaan suatu program pensiun dapat ditentukan dengan menggunakan berbagai metode perhitungan aktuaria, berapa diantaranya Projected Unit Credit dan Individual Level Premium . Penelitian  bertujuan menjelaskan rumus dan perhitungan aktuaria , serta proses perhitungan aset pasar dengan metode PUC dan ILP.
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Anuitas
Definisi 2.1.1 [4]
Anuitas  merupakan  suatu pembayaran dengan  jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu secara berkelanjutan.

## 1. Anuitas Tentu
Definisi 2.1.2 [8]
Anuitas tentu merupakan serangkaian pembayaran berkala yang dilakukan selama jangka waktu tertentu.
Anuitas awal sebesar 1 dibayarkan selama 𝑛𝑛 tahun, dengan tingkat bunga tahunan 𝑖𝑖 dan dibayarkan setiap awal tahun, apabila total pembayaran anuitas tersebut dihitung pada awal mulainya anuitas disebut nilai sekarang dari anuitas tersebut, dan dinotasikan dengan 𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛 | . 𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛 | = 1 + 𝑣𝑣 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛−1 = 1−𝑣𝑣 𝑛𝑛 1−𝑣𝑣 … (1) 2. Anuitas Hidup Definisi 2.1.3 [8]
Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dikaitkan dengan hidup matinya seseorang.
Menurut Futami (1993)  para ahli aktuaria membuat simbol komutasi atau simbol perantara untuk menyederhanakan perhitungan anuitas hidup dan perhitungan lain yang berhubungan dengan premi. Beberapa simbol tersebut yaitu:
𝐷𝐷 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑥𝑥 …(2) 𝑁𝑁 𝑥𝑥 = ∑ 𝐷𝐷 𝑥𝑥+𝑘𝑘 𝑘𝑘=0 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥+1 + ⋯ + 𝐷𝐷 𝑤𝑤 …(3)

## 3. Anuitas Seumur Hidup
Pembayaran berkala  yang pembayarannya dilakukan selama tertanggung masih hidup disebut anuitas seumur hidup. Maka nilai sekarang anuitas awal seumur hidup adalah
𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 = 1 + 𝑣𝑣𝑝𝑝 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑤𝑤−𝑥𝑥−1 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑤𝑤−𝑥𝑥−1 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝐷𝐷 𝑥𝑥 …(4)
[4].
Sedangkan persamaan untuk nilai sekarang anuitas awal seumur hidup dengan probabilitasnya, yaitu jika variabel acak nilai sekarang dari 𝑌𝑌 untuk setiap anuitas,
yaitu 𝑌𝑌
= 𝑎𝑎̈ 𝑊𝑊+1 ������� | , dengan 𝑊𝑊 adalah variabel acak sisa usia bulat dari seseorang yang berusia 𝑥𝑥 tahun.
𝑌𝑌 = 𝑎𝑎̈ 𝑊𝑊+1 ������� | , 𝑊𝑊 ≥ 0 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 [ 𝑌𝑌 ] = 𝐸𝐸�𝑎𝑎̈ 𝑊𝑊+1 ������� | � 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 = ∑ 𝑎𝑎̈ 𝑊𝑊+1 ������� | ∞ 𝑤𝑤=0 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞 𝑥𝑥+𝑤𝑤 𝑤𝑤 ) …(5)
[7].

## 4. Anuitas Hidup Berjangka
Definisi 2.1.4 [4]
Anuitas hidup berjangka adalah anuitas yang dikaitkan dengan hidup matinya seseorang dimana pembayarannya dilakukan pada suatu jangka waktu tertentu. Misal 𝑌𝑌 merupakan variabel acak dengan pembayaran sebesar 1 setiap tahun dari anuitas hidup berjangka, maka dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑌𝑌 = � 𝑎𝑎̈ 𝐾𝐾+1 | , 0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑛𝑛 𝑎𝑎̈ 𝑛𝑛 | , 𝐾𝐾 ≥ 𝑛𝑛 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | = 𝐸𝐸 [ 𝑌𝑌 ] = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=0 …(6)
[2].
2.2 Curtate-Expectation-Of-Life Misal 𝑇𝑇 ( 𝑥𝑥 ) sisa usia hidup dari ( 𝑥𝑥 ) dengan asumsi 𝑇𝑇 ( 𝑥𝑥 ) adalah suatu variabel acak kontinu, peluang seseorang berusia ( 𝑥𝑥 ) akan meninggal sebelum mencapai usia 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 atau bisa dinotasikan dengan 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 [ 𝑇𝑇 ( 𝑥𝑥
) > 𝑘𝑘 ] , dan 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) merupakan variabel acak diskrit yang dihubungkan dengan sisa usia bulat, yang sering disebut dengan sisa usia diskrit (curtate-future-lifetime). Fungsi probabilitas dari 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) dapat ditulis sebagai berikut:
𝑃𝑃𝑃𝑃 [ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑘𝑘 ] = 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑥𝑥+𝑘𝑘 …(7)
Nilai ekspektasi dari 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) merupakan rata-rata dari variabel acak 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) , biasanya dinotasikan dengan 𝐸𝐸 ( 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 )). Formula untuk nilai ekspektasi suatu variabel acak diskrit 𝐾𝐾 adalah
𝐸𝐸 [ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 )] = 𝜇𝜇 𝑘𝑘 = ) ) ( Pr( 1 k x K k i i = ∑ = ω …(8)
dengan 𝑘𝑘 𝑖𝑖 adalah nilai variabel acak untuk outcome ke 𝑖𝑖 , 𝜇𝜇 𝑘𝑘 adalah rata-rata dari variabel acak 𝐾𝐾 , dan Pr ( 𝐾𝐾 ( 𝑘𝑘 ) = 𝑘𝑘 𝑖𝑖 ) adalah probabilitas variabel acak 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) bernilai 𝑘𝑘 𝑖𝑖 [7]. Harapan hidup usia bulat juga merupakan nilai harapan dari variabel acak 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) , yang dinotasikan dengan 𝑒𝑒 𝑥𝑥 dan bisa dituliskan sebagai berikut:
𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘�− 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑘𝑘 �� 0 𝑥𝑥 + ∑ 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 ∞ 𝑘𝑘=0 …(9)
[2].

## 2.3 Fungsi 3 skala gaji
Program pensiun pada penelitian ini menggunakan program pensiun manfaat pasti, dimana perhitungan manfaat  menggunakan skala  gaji.  Gaji peserta pada usia 𝑥𝑥 dinyatakan dengan 𝑙𝑙 𝑥𝑥 dan 𝑆𝑆 𝑥𝑥 menyatakan jumlah gaji dari usia 𝑒𝑒 hingga 𝑥𝑥 − 1 . dengan 𝑒𝑒 sebagai usia masuk menjadi peserta, 𝑥𝑥 sebagai usia saat ini, dan 𝑃𝑃 sebagai usia pensiun normal, dengan 𝑥𝑥 > 𝑒𝑒 , dapat dinyatakan dengan persamaan:
𝑆𝑆 𝑥𝑥 = ∑ 𝑙𝑙 𝑡𝑡 𝑥𝑥−1 𝑡𝑡=𝑒𝑒 …(10)
[10].
Menurut I Gusti Ayu Komang Kusuma dkk (2014) bentuk skala gaji (dengan tingkat kenaikan gaji dinyatakan dengan 𝑙𝑙 ), yaitu:
1. Asumsi Gaji Terakhir 𝑙𝑙 𝑟𝑟−1 = (1 + 𝑙𝑙 ) 𝑟𝑟−1−𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑥𝑥 …(11)
2. Asumsi rata-rata gaji selama 𝑛𝑛 tahun terakhir 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑆𝑆 = 1 𝑛𝑛 (1 + 𝑙𝑙 ) 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 [(1 + 𝑙𝑙 ) 1−𝑛𝑛 + ⋯ + 1] 𝑙𝑙 𝑥𝑥 …(12)
3. Asumsi rata-rata gaji selama bekerja
𝑙𝑙̅ = 1 𝑟𝑟−𝑒𝑒 [ 𝑙𝑙 𝑒𝑒 + ⋯ + 𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙 𝑥𝑥+1 + ⋯ + 𝑙𝑙 𝑟𝑟−1 ] …(13)

## 2.4 Fungsi Manfaat
𝐵𝐵 𝑟𝑟 menotasikan manfaat pensiun yang didapatkan peserta, dari bekerja mulai usia 𝑒𝑒 sampai usia 𝑃𝑃 . Notasi 𝑏𝑏 𝑥𝑥 adalah bagian dari manfaat pensiun yang didapatkan di setiap tahun pada usia 𝑥𝑥 , dimana 𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑃𝑃 . 𝐵𝐵 𝑟𝑟 merupakan jumlahan dari bagian manfaat pensiun yang disebut dengan accrued benefit function 𝐵𝐵 𝑟𝑟 = ∑ 𝑏𝑏 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑒𝑒 …(14)
Jika besarnya bagian manfaat pensiun  setiap tahun  dari usia masuk bekerja hingga usia 𝑃𝑃 − 1 konstan, bagian manfaat pensiun dapat menjadi 𝑏𝑏 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏
𝐵𝐵 𝑟𝑟 = ( 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 ) 𝑏𝑏 …(15)
1. Gaji terakhir Manfaat pensiun dengan asumsi gaji terakhir adalah 𝐵𝐵 𝑟𝑟 = 𝑘𝑘𝑆𝑆 𝑟𝑟−1 ( 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 )
…(16)
2. Rata-rata gaji selama n tahun terakhir
Besar manfaat pensiun dengan  asumsi rata-rata gaji selama n tahun terakhir adalah
𝐵𝐵 𝑟𝑟 = 𝑘𝑘 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑆𝑆 ( 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 ) …(17)
3. Rata-rata gaji selama bekerja
Manfaat pensiun dengan asumsi rata-rata gaji selama bekerja adalah
𝐵𝐵 𝑟𝑟 = 𝑘𝑘 1 𝑟𝑟−𝑒𝑒 𝑙𝑙 𝑥𝑥 (1 + 𝑙𝑙 ) 𝑒𝑒−𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑟𝑟−𝑒𝑒 ������ | 𝑠𝑠 ( 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 ) …(18)
[1].
2.5 Iuran Normal
Iuran normal merupakan pembayaran  yang dibayarkan pada tiap tahun masa kerja  oleh  peserta aktif. Pada prinsipnya, iuran normal digunakan untuk mencicil present value of future benefit ( 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 ) masing-masing peserta [10].

## 2.6 Kewajiban Aktuaria
Kewajiban aktuaria ( 𝐴𝐴𝐿𝐿 ) suatu program pensiun pada saat 𝑥𝑥 adalah besarnya dana program yang seharusnya telah terkumpul pada saat 𝑥𝑥 untuk pembayaran manfaat pensiun yang akan datang, atau dapat dituliskan menjadi:
( 𝐴𝐴𝐿𝐿 ) 𝑥𝑥 = ( 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 ) 𝑥𝑥 − ( 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 ) 𝑥𝑥 …(19) [10].

## 2.7 Unfunded Liability
Unfunded Liability pada waktu t ( 𝑃𝑃𝐿𝐿 𝑡𝑡 ) adalah  selisih antara nilai actuarial liability pada waktu t dengan aset aktual yang dimiliki program pensiun pada periode tersebut. Persamaan dapat ditulis:
𝑃𝑃𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐴𝐴𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) …(20)
dengan 𝐴𝐴𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) : kewajiban aktuaria pada tahun 𝑡𝑡 , 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) : aset aktual pada tahun 𝑡𝑡
2.8 Supplementary Contribution
Supplementary Contribution merupakan kontribusi tambahan yang dibayarkan oleh peserta pensiun untuk menutupi kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga aktuaria dengan tigkat bunga investasi.  Persamaan untuk supplementary contribution didefinisikan  sebagai berikut:
𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) = ℎ �𝐴𝐴𝐿𝐿 − 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) � …(21)
Dengan menotasikan ℎ = 1 𝑎𝑎̈ 𝑚𝑚 | ���� [10].

## 2.9 Contribution
Contribution merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program pensiun. Nilai kontribusi ini diperoleh dari besarnya iuran normal 𝑁𝑁𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) ditambah dengan supplementary contribution 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) yang nilainya juga dapat berubah setiap waktu.
𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑁𝑁𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) …(22)

## 2.10 Aset Pasar
Aset pasar pada program pensiun pada saat t atau 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) merupakan nilai total aset yang  dimiliki pada suatu program pensiun pada saat t. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:
Persamaan untuk nilai aset aktual didefiisikan sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 + 1) = (1  + 𝑖𝑖′ ( 𝑡𝑡 + 1))[ 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) − 𝐵𝐵 ] …(23)
Persamaan untuk nilai aset atas asumsi aktuaria didefinisikan sebagai berikut:
𝑓𝑓 𝑎𝑎 ( 𝑡𝑡 ) = (1 + 𝑖𝑖 ) ��𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 − 1) � + 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 − 1) − 𝐵𝐵� ...(24)
Dengan 𝐵𝐵 merupakan manfaat pensiun yang dikeluarkan program dana pensiun untuk peserta pada saat  itu, yang dapat dinyatakan dengan:
𝐵𝐵 = � 0, 𝑥𝑥 < 𝑃𝑃 𝐵𝐵 𝑟𝑟 , 𝑥𝑥 ≥ 𝑃𝑃 …(25)
[6].

## 2.11 Loss
Kerugian ( loss ) terjadi karena adanya penyimpangan antara asumsi aktuaria dengan kejadian yang sebenarnya. Pendanaan program pensiun dikatakan terjadi kerugian apabila loss yang diperoleh bernilai positif, dan jika loss bernilai negatif, maka pendanaan program pensiun dikatakan tidak mengalami kerugian. Perhitungan loss dapat menggunakan persamaan: 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ( 𝑡𝑡 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) …(26)
[6].

## 3. METODE PENELITIAN
Prosedur yang digunakan pada penelitian ini sebagai berikut:
1. Menjelaskan proses terbentuknya rumus iuran normal dan rumus kewajiban aktuaria
a. Menjelaskan proses terbentuknya rumus PVFB
b. Menjelaskan proses terbentuknya rumus PVFNC
c. Menjelaskan proses terbentuknya iuran normal dan kewajiban aktuaria dengan metode Projected Unit Credit dan Individual Level Premium.
2. Menghitung besar manfaat pensiun, iuran normal, kewajiban aktuaria pada suatu kasus peserta berusia x,
3. Menarik kesimpulan

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Perhitungan aktuaria pada program pensiun manfaat pasti bertujuan untuk menentukan  iuran  normal, manfaat pensiun, dan kewajiban aktuaria yang harus dipersiapkan oleh perusahaan. Gambar 1.  menjelaskan diagram usia yang diperhitungkan dalam program pensiun yaitu, usia dimana seseorang masuk bekerja dinotasikan dengan 𝑎𝑎 , usia saat masuk sebagai peserta program pensiun dinotasikan dengan 𝑒𝑒 , usia sekarang dinotasikan dengan 𝑥𝑥 , dan usia pensiun normal atau dinotasikan dengan 𝑃𝑃 .
Asumsi umum yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu usia peserta masuk bekerja ( 𝑎𝑎 ) sama dengan usia  peserta masuk sebagai peserta program pensiun ( 𝑒𝑒 ) , besarnya tingkat kenaikan gaji peserta pertahun atau 𝑙𝑙 adalah tetap, dan tingkat bunga majemuk ( 𝑖𝑖 ) yang digunakan bernilai tetap.

## 4.1 Present Value of Future Benefit
Variabel acak 𝑊𝑊 menyatakan jumlah  tahun di masa yang akan dijalani oleh seorang beusia 𝑥𝑥 , sebelum meninggal dunia.
𝑒𝑒 𝑒𝑒 + 1 … 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 1 𝑃𝑃 − 1 𝑃𝑃 + 1 … 𝑃𝑃 …
Gambar 1. diagram usia dalam program pensiun
( 𝑖𝑖 ) dilihat sebelum usia pensiun normal 𝑃𝑃 ( 𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑃𝑃 ) 𝑍𝑍 dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
𝑍𝑍 = � 0 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑤𝑤+1− ( 𝑟𝑟−𝑥𝑥 )| ������������������
𝑤𝑤 =  0,   1,   2,    … , 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 − 1 𝑤𝑤 = 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 , 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 + 1, 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 + 2 ,    … Nilai ekspektasi dari variabel acak 𝑍𝑍 dinotasikan dengan 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 [ 𝑍𝑍 ] = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 …(27)
( 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) Dilihat setelah usia pensiun normal ( 𝑥𝑥 ≥ 𝑃𝑃 )
𝑍𝑍 dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
𝑍𝑍 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑤𝑤+1 | �������� , 𝑤𝑤 = 0, 1, 2, … , 𝜔𝜔 − 1
Nilai harapan dari 𝑍𝑍 dinotasikan 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 , 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 ( 𝑍𝑍 ) = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 … (28)
Dari persamaan (4.2) dan (4.1) dapat disimpulkan 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 = �𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 19T 𝑒𝑒 < 𝑥𝑥 < 𝑃𝑃 𝑥𝑥 ≥ 𝑃𝑃 … (29)

## 4.2 Present Value Future Normal Cost
Misal Y variabel acak yang menyatakan present value dari iuran normal seorang peserta  yang  pensiun usia 𝑃𝑃 sebesar 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 yang diterima pada tiap  awal periode berjangka ( 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 ) tahun. Akan ada dua kejadian pembayaran iuran normal (NC), yaitu:
1. Pembayaran tidak lengkap, jika peserta meninggal sebelum memasuki usia pensiun
2. Pembayaran lengkap, jika peserta meninggal setelah pensiun.
Variabel acak 𝑌𝑌 menyatakan sisa usia diskrit, 𝑌𝑌 dapat ditulis sebagai berikut. Pembayaran tidak lengkap, 𝑌𝑌 dapat ditulis 𝑌𝑌 = ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑊𝑊 𝑗𝑗=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑊𝑊 = 0,   1,   2, … , 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 − 1 …(30)
Pembayaran lengkap 𝑌𝑌 dapat dinyatakan sebagai
𝑌𝑌 = ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑊𝑊 𝑗𝑗=0 𝑊𝑊 = 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 , 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 + 1, … …(31)
Dari persamaan (30) dan (31), maka 𝑌𝑌 dapat ditulis sebagai
𝑌𝑌 = � ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑤𝑤 𝐽𝐽=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 , 𝑊𝑊 = 0,   1,   2, … , 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 − 1 ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑗𝑗=0 , 𝑊𝑊 = 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 , 𝑃𝑃 − 𝑥𝑥 + 1, … …(32)
Nilai ekspektasi dari peubah acak 𝑌𝑌 dapat dinotasikan  dengan
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 ,  dan dapat dirumuskan sebagai:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 [ 𝑌𝑌 ]
= �∑ �∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑤𝑤 𝐽𝐽=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 � 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0 + ∑ �∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+ ( 𝑤𝑤+1 ) 𝑣𝑣 𝑤𝑤+1 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0 � ∞ 𝑤𝑤=𝑟𝑟−𝑥𝑥 � Pr( 𝑊𝑊 = 𝑤𝑤 ) ( 𝑖𝑖 ) suku pertama ruas kanan pada persamaan (4.8) dengan menggunakan persamaan (2.10) dapat dituliskan dengan,
∑ �∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑤𝑤 𝐽𝐽=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 � Pr( 𝑊𝑊 = 𝑤𝑤 ) 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0 = ∑ �∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑤𝑤 𝑗𝑗=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑤𝑤 𝑞𝑞 𝑥𝑥+𝑤𝑤 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0
= − ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑗𝑗=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 + ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑛𝑛=0 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑛𝑛 …(33)
( 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) suku kedua dari ruas kanan pada persamaan (4.8) adalah ∑ ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑗𝑗=0 Pr( 𝑊𝑊 = 𝑤𝑤 ) ∞ 𝑤𝑤=𝑟𝑟−𝑥𝑥 = ∑ ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0 � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑤𝑤 − 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑤𝑤+1 � ∞ 𝑤𝑤=𝑟𝑟−𝑥𝑥 = �∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0 � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 …(34)
Dari ( 𝑖𝑖 ) dan ( 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) , maka 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 dapat dinyatakan sebagai,
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = − ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑗𝑗=0 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 + ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑛𝑛=0 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑛𝑛 +
∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑗𝑗 𝑣𝑣 𝑗𝑗 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑤𝑤=0 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 = ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑛𝑛=0 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑛𝑛 Misal 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 + 𝑥𝑥 maka 𝑛𝑛 = 𝑡𝑡 − 𝑥𝑥 maka, 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥−1 𝑡𝑡−𝑥𝑥=0 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡−𝑥𝑥 = ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡−𝑥𝑥 Jika dihitung dari usia 𝑒𝑒 maka
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑒𝑒 = � 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑒𝑒 𝑝𝑝 𝑒𝑒 𝑡𝑡−𝑒𝑒 … (35)

## 4.3 Metode Projected Unit Credit
Iuran normal dari seorang peserta yang berusia 𝑥𝑥 tahun  dan usia  pensiun 𝑃𝑃 didefiniskan sebagai present value dari manfaat pensiun  yang akan datang dan menyebar secara merata untuk tiap masa kerja ( 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 ) . Dari definisi di atas iuran normal pada metode projected unit credit dirumuskan dengan 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 1 𝑟𝑟−𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 = 1 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 = 1 𝑃𝑃 − 𝑒𝑒 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑟𝑟 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 1 𝑟𝑟−𝑒𝑒 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 …(36)
Sedangkan kewajiban aktuaria (actuarial liability) dalam metode projected unit credit dapat dirumuskan dengan,
𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 − ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡−𝑥𝑥 …(37)
Dari persamaan (36)  didapatkan bahwa nilai dari 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 𝑏𝑏 𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑡𝑡 𝑟𝑟−𝑡𝑡 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 , nilai tersebut disubtitusikan ke dalam persamaan, maka
𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 − ∑ �𝑏𝑏 𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑡𝑡 𝑟𝑟−𝑡𝑡 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 �𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑥𝑥 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 − 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 ∑ ( 𝑏𝑏 𝑥𝑥 ) 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑡𝑡+𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑡𝑡 𝑟𝑟−𝑡𝑡 𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = ( 𝑥𝑥−𝑒𝑒 ) ( 𝑟𝑟−𝑒𝑒 ) 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 … (38)

## 4.4 Metode Individual Level Premium
Perhitungan aktuaria yang mengalokasikan nilai sekarang manfaat pensiun secara merata pada setiap tahun masa kerja  merupakan metode Individual Level Premium (ILP) adalah  Besar iuran normal dengan menggunakan metode individual level premium dirumuskan sebagai berikut:

## 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑎𝑎 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑎𝑎
𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑎𝑎 𝑟𝑟−𝑎𝑎 = � 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑎𝑎 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑎𝑎 𝑡𝑡−𝑎𝑎
𝑁𝑁𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 � 𝐷𝐷 𝑟𝑟 𝑁𝑁 𝑎𝑎 − 𝑁𝑁 𝑟𝑟 � … (39)
Kewajiban aktuaria dapat dirumuskan sebagai berikut: 𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 − � 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡−𝑥𝑥
Dari persamaan (39) didapatkan nilai 𝐵𝐵 𝑟𝑟 = 𝑁𝑁𝐶𝐶 � 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝑁𝑁 𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 � maka persamaan di atas menjadi
𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = 𝑁𝑁𝐶𝐶 �𝑁𝑁 𝑎𝑎 − 𝑁𝑁 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝑟𝑟 � 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 𝐷𝐷 𝑟𝑟 − 𝑁𝑁𝐶𝐶 ( 𝑁𝑁 𝑥𝑥 − 𝑁𝑁 𝑟𝑟 ) 𝐷𝐷 𝑥𝑥
Dengan asumsi  usia peserta pada  saat masuk bekerja ( 𝑎𝑎 ) sama dengan usia peserta terdaftar sebagai peserta program pensiun ( 𝑒𝑒 ) diperoleh,
𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = 𝑁𝑁𝐶𝐶 ( 𝑁𝑁 𝑒𝑒 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 ) 𝐷𝐷 𝑥𝑥 … (40)

## 4.5 Ilustrasi Kasus
Seorang pegawai negeri sipil berusia 29  tahun berjenis kelamin laki-laki dengan golongan III/a mulai terdaftar sebagai peserta program pensiun pada usia 24 tahun ( 𝑒𝑒 = 24) berdasarkan peraturan,  PNS ini akan memasuki masa pensiun pada usia 60 tahun ( 𝑃𝑃 = 60) dengan salary (gaji) pokok setahun terakhir yang diterima peserta tersebut adalah 𝑅𝑅𝑝𝑝 31.758.763,00 ( 𝑙𝑙 29 = 𝑅𝑅𝑝𝑝 31.758.763,35) . Salary tersebut diasumsikan mengalami kenaikan setiap tahunnya sebesar 1,5%.
Tabel 1. Hasil perhitungan  iuran normal dan kewajiban aktuaria
Asumsi 𝑙𝑙 𝑟𝑟−1 Asumsi 𝐹𝐹𝐴𝐴𝑆𝑆 Asumsi 𝑙𝑙̅ 𝑆𝑆 49.641.494,82 48.195.782,06 38.714.291,1 𝐵𝐵 𝑟𝑟 35.741.876,27 34.700.963,09 27.874.289,65 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 29 19.587.109,0467 19.016.670,6942 15.275.546,8410 𝑁𝑁𝐶𝐶 29 PUC 544.086,3624 528.240,8526 424.320,7456 𝐴𝐴𝐿𝐿 29 PUC 2.720.431,8120 2.641.204,2631 2.121.603,7279 𝑁𝑁𝐶𝐶 29 ILP 1.109.576,7514 1.077.262,3791 865.334,0112 𝐴𝐴𝐿𝐿 29 ILP 7.256.476,1780 7.045.144,7198 5.659.162,9471
Tabel 2. Hasil perhitungan aset metode ILP dengan asumsi gaji terakhir
𝑡𝑡 𝑁𝑁𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) 𝐴𝐴𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) 0 1.109.576,7514 0 0 0 0 0 1109576.7514
1 1.109.576,7514 1.210.443,3269  1.209.993,4474  1.209.438,6590 − 554,7884 106,1512 1109682.9026
2 1.109.576,7514 2.530.973,2126  2.528.447,2216  2.528.447,2216 0,0000 596,0197 1110172.7711 3 1.109.576,7514 3.971.495,8023  3.969.843,5706  3.966.095,7920 − 3747,7786  389,8520 1109966.6034 4 1.109.576,7514 5.542.747,8545  5.534.656,3770  5.536.993,0897  2336,7127  1909,2229  1111485.9743
5 1.109.576,7514 7.256.476,1780  7.246.289,0056  7.244.295,1629 − 1993,8427  2403,7121  1111980.4635 Tabel 3. Hasil perhitungan aset pasar metode PUC dengan asumsi gaji terakhir 𝑡𝑡 𝑁𝑁𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) 𝐴𝐴𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 𝑎𝑎 ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) 0 462064.9882 0 0 0 0 0 462064.9882 1 503232.807 503232.807 503881.8696 503650.8371 -231.0324941 -153.1494446 503079.6575 2 548057.5144 1096115.029 1097588.065 1097588.065 0 -347.5698505 547709.9446 3 596886.8631 1790660.589 1795069.487 1793374.83 -1694.656949 -1040.300536 595846.5626 4 650092.7015 2600370.806 2604998.673 2606098.494 1099.821383 -1091.967332 649000.7341 5 708069.5938 3540347.969 3547835.553 3546859.353 -976.199822 -1766.731381 706302.8624
Berdasarkan kasus di atas apabila nilai aset aktual lebih besar dari aset atas asumsi aktuaria maka pendanaan program pensiun tidak mengalami kerugian, namun ketika aset aktual lebih kecil dari  aset atas asumsi aktuaria maka,  pendanaan program pensiun 𝑡𝑡 tahun mengalami kerugian, sehingga perlu adanya penambahan iuran dari peserta sebesar 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) . Hal ini bersangkutan dengan asumsi tingkat  bunga investasi pada program pensiun, jika tingkat investasi aktual 𝑖𝑖 ′ ( 𝑡𝑡 ) lebih besar dari pada tingkat investasi atas asumsi aktuaria 𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖 ′ ( 𝑡𝑡 ) > 𝑖𝑖 ) , maka akan terjadi keuntungan, sebaliknya jika tingkat investasi aktual lebih kecil dari pada tingkat investasi atas asumsi aktuaria ( 𝑖𝑖 ′ ( 𝑡𝑡 ) < 𝑖𝑖 ) , maka program dana pensiun mengalami kerugian, dan jika tingkat investasi aktual sama dengan tingkat investasi atas asumsi aktuaria ( 𝑖𝑖 ′ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑖𝑖 ) , maka tidak terjadi kerugian maupun keuntungan..

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan  yang dapat diambil dai penelitian ini adalah  perhitungan aktuaria untuk pendanaan program pensiun dengan metode PUC dan ILP diperlukan rumusan dari present value future benefit dan present value of future normal cost program pensiun manfaat pasti yang mana dapat menggunakan persamaan:
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝐵𝐵 𝑥𝑥 = �𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ̈ 𝑒𝑒 < 𝑥𝑥 < 𝑃𝑃 𝑥𝑥 ≥ 𝑃𝑃 dan 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐹𝐹𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑒𝑒 = ∑ 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝑟𝑟−1 𝑡𝑡=𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑡𝑡−𝑒𝑒 𝑝𝑝 𝑒𝑒 𝑡𝑡−𝑒𝑒
Perhitungan aktuaria memiliki  cara perhitungan yang berbeda di setiap metodenya, dan itu berrtujuan untuk menghitung iuran normal dan kewajiban aktuarianya, dengan metode PUC dan ILP,dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
a. Metode Projected Unit Credit dapat menggunakan rumus iuran normal 𝑁𝑁𝐶𝐶 𝑥𝑥 = 1 𝑟𝑟−𝑒𝑒 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝑟𝑟 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 dan kewajiban aktuaria 𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = ( 𝑥𝑥−𝑒𝑒 ) ( 𝑟𝑟−𝑒𝑒 ) 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑣𝑣 𝑟𝑟−𝑥𝑥 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑟𝑟−𝑥𝑥
b. Metode Individual Level Premium dapat menggunakan rumus iuran normal
𝑁𝑁𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 𝑟𝑟 𝑎𝑎̈ 𝑟𝑟 � 𝐷𝐷 𝑟𝑟 𝑁𝑁 𝑎𝑎 −𝑁𝑁 𝑟𝑟 � dan kewajiban aktuaria 𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑥𝑥 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝑁𝑁 𝑥𝑥 ) 𝐷𝐷 𝑥𝑥
Nilai aset pasar dapat digunakan untuk mengetahui besarnya loss, yang mengindikasikan apakah pendanaan program pensiun mengalami kerugian atau tidak. Perhitungan aset pasar pada program pensiun dimulai dari penentukan manfaat pensiun yang akan diterima peserta jika bekerja hingga usia pensiun normal, melakukan perhitungan aktuaria dengan menggunakan rumus yang disebutkan di atas lalu mengasumsikan bahwa nilai 𝐴𝐴𝐿𝐿 (0) = 0 sehingga didapatkan 𝑓𝑓 (0) = 0 , 𝑓𝑓 𝑎𝑎 (0) = 0 , 𝑆𝑆 (0) = 0 , dan nilai dari 𝐶𝐶 (0) = 𝑁𝑁𝐶𝐶 (0) , dari nilai awal tersebut dapat ditentukan nilai-nilai aset di setiap 𝑡𝑡 . Kerugian dalam suatu program pensiun manfaat pasti dengan metode 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐶𝐶 dan 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑃𝑃 tergantung pada tingkat investasi asumsi aktuaria dan tingkat investasi aktualnya.

## 6. DAFTAR PUSTA KA
[1]  Aitken, WH. 1994. A Problem Solving Approach to Pension Funding and Valuation . Edisi ke-2. Actex Publicattions, Winsted.
[2]  Bowers, NL., dkk.1997. Actuarial Mathematics Hasca III . Edisi ke-2. IPC Publishing, Schaumburg.
[3]  Farrimond, William &  Duane L. M. 1999. Actuarial Cost Methods A Review . Edisi ke-3. American Society of Pension Actuaries. Arlington.
[4] Futami T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa . Bagian I, diterjemahkan oleh Gatoto Herliyanto. Oriental Life Insurance Cultural Development Center, Tokyo.
[5]  Komisi Standar Praktik Aktuaria Dana Pensiun. Standar Praktik Aktuaria Dana Pensiun . 1998. Persatuan Aktuaria Indonesia.
[6]  Owadally, M. Iqbal & Steven Haberman. 2000. Asset Valuation and the Dynamics of Pension Funding with Random Investment Returns . City University. London.
[7]  Rakhman, A. & A. R. Effendie. 2013. Matematika Aktuaria . Universitas Terbuka.Tanggerang Selatan.
[8] Robert, E.L. & E, A. Gaumnitz. 1951. Life Insurance Mathemat ics . John wiley and Sons Inc, New York.
[9] Wardhani, I Gusti Ayu Komang Kusuma, dkk. 2014. Perhitungan Dana Pensiun Dengan Metode Projected Unit Credit Dan Individual Level Premium. Universitas Udayana, Bali.
[10] Winklevoss HE. 1993. Pension Mathematics with Numerical Illustration . Edisi ke-2. University of Pennsylvanua Press, Philadelphia (US).