## MODEL PERTUMBUHAN POPULASI BERDASARKAN KELOMPOK UMUR
Dwi Lestari

## Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta

## Abstrak
Penelitian  matematika  dalam  bidang  demografi  dan  ekologi  sangatlah  penting. Salah satu penelitian di  bidang tersebut adalah tentang pertumbuhan populasi. Paper ini akan  membahas  tentang  model  pertumbuhan  populasi  berdasarkan  kelompok  umur. Model  populasi  berdasar  kelompok  umur  merupakan  model  untuk  memprediksi  jumlah populasi  di  waktu  yang  akan  datang  berdasarkan  kelompok  umur.  Model  ini  berbentuk kontinu atas waktu dan diskret atas kelompok umur. Model ini dikembangkan dari model pertumbuhan  populasi  berdasarkan  kelompok  umur  dengan  ukuran  waktu  diskret  dan ukuran  umur  diskret.  Dalam  hal  ini  akan  dibahas  model  kontinu  atas  waktu  dan  diskret atas  umur  sehingga  diperoleh  model  berupa  sistem  persamaan  diferensial  serta  model dapat  dituliskan  dalam  bentuk  matriks.  Perubahan  populasi  yang  meliputi increasing, decreasing, dan asyimptoticaly stationary dapat dilihat dari nilai eigen dari matriks yang terbentuk. Selain itu dapat dilihat stable age structure nya.
Kata kunci : model populasi, kelompok umur ( age-structured ), stable age structure .

## PENDAHULUAN
Dalam  kehidupan,  kita  tidak  lepas  dari  ilmu  matematika.  Beberapa  bidang  yang bisa dipelajari di matematika adalah analisis, statistika, aljabar, dan matematika terapan. Matematika terapan merupakan salah satu bidang  yang sangat menarik untuk dipelajari. Dalam  matematika  terapan  dipelajari  konsep-konsep  matematika  dan  penerapannya dalam  kehidupan  nyata.  Salah  satu  contoh  yang  dipelajari  dalam  matematika  terapan adalah pemodelan matematika.
Model matematika merupakan representasi masalah kehidupan nyata yang dibawa ke  dalam  bentuk  simbol-simbol  matematika.  Sedangkan  pemodelan  matematika  adalah proses  membawa  masalah  kehidupan  nyata  ke  dalam  bentuk  simbol-simbol  matematika melalui  langkah-langkah  yang  sistematis.  Masalah  yang  pernah  dijumpai  dalam  bidang kependudukan, yakni masalah pertumbuhan populasi. Terdapat model matematika untuk menyelesaikan  masalah  pertumbuhan  populasi,  sebagai  contoh  yakni  model  logistik. Model  logistik  ditemukan  oleh  Verhulst  pada  tahun  1830.  Model  ini  merupakan  model
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 45-53
populasi  dengan  asumsi  tidak  berdasarkan  usia.  ( Non-Age  Structured  Population Models ).
Dalam  paper  ini  akan  dibahas  model  pertumbuhan  populasi  berdasarkan  usia. Model  yang dibahas di sini merupakan model berbentuk kontinu atas waktu dan diskret atas  kelompok  umur.  Pada  model  yang  berbentuk  diskret,  setiap  kelompok  umur menggambarkan interval waktu yang sama. Interval waktu ini sama dengan interval pada bentuk  sistem  persamaan  diferensi.  Hal  ini  merupakan  suatu  pembatasan  model.  Umur beberapa populasi hewan tidak bisa ditentukan secara pasti, misalnya populasi serangga. Ada  empat  kelompok  perkembangan  populasi  serangga,  yakni  telur,  larva,  pupa,  dan dewasa, dengan interval waktu yang bermacam-macam
Ketika  umur  dapat  ditentukan  dengan  interval  waktu  yang  sama,  maka  untuk ketelitian  yang  lebih  besar  bisa  digunakan  interval  waktu  yang  lebih  kecil.  Oleh  karena itu,  pembentukan  model  kontinu  dengan  persamaan  diferensial  akan  memberikan pendekatan yang lebih baik.
Model  ini  sangat  penting  untuk  dipelajari  karena  untuk  mengetahui  banyaknya populasi  khususnya  berdasarkan  usia  di  beberapa  waktu  yang  akan  datang.  Beberapa faktor  yang  mempengaruhi  perubahan  populasi  adalah  keadaan  geografis,  ketersediaan makanan,  interaksi  antar  populasi  dan  sebagainya.  Pembahasan  model  ini  dimulai  dari asumsi model, nilai eigen, vektor eigen dan stable age structure -nya

## ASUMSI MODEL
Tidak  ada  model  matematika  yang  benar  atau  salah,  yang  ada  adalah  model- model yang dibuat adalah sesuai atau tidak sesuai untuk menggambarkan masalah nyata. Pada  proses  pembentukan  model  perlu  adanya  pembentukan  asumsi-asumsi.  Hal  ini bertujuan  untuk  menyederhanakan  model.  Semakin  sederhana  sebuah  model,  semakin jauh dari keadaan nyata, dan berlaku sebaliknya. Asumsi yang diberikan pada model ini adalah
1. Model berbentuk kontinu atas waktu dan diskret atas kelompok umur.
2. Model  membahas  satu  jenis  populasi  betina.  Karena  kita  hanya  menghitung perubahan  populasi  betina  dan  menganggap  populasi  jantan  tidak  memberi pengaruh secara langsung kecuali inseminasi.
3. Individu dapat bertahan hidup dari tahun pertama ke tahun berikutnya.
4. Model  berbentuk  deterministik  karena  kita  mempertimbangkan  anggota populasi tertentu.
Oleh  karena  itu,  akan  ditentukan x 1 ( t ), x 2 ( t ),  .  .  . x n ( t )  dengan x 1 (0), x 2 (0),  .  . x n (0) diketahui. Model ini berbentuk linear karena semua perubahan diasumsikan proporsional dengan ukuran populasi.

## NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Misalkan  populasi  dibagi  kedalam n kelompok  dan  populasi n kelompok  pada waktu t adalah x 1 ( t ), x 2 ( t ),..., x n ( t ).  Kemudian p adalah  kelompok pre-reproductive , q kelompok  reproductive  dan r kelompok  post-reproductive  sehingga p + q + r  =  n . Misalkan b p+ 1 , b p+ 2 ,  ..., b p+  q adalah  laju  kelahiran  pada q kelompok  umur  reproductive dan d 1 , d 2 , ..., d n adalah laju kematian n kelompok umur. Selanjutnya, m i adalah laju daya tahan hidup menuju kedewasaan dari kelompok umur i ke kelompok umur i + 1, dengan i = 1,2,..., n -1 dan m n = 0.
Laju perubahan populasi kelompok umur pertama ditentukan oleh:
1. laju kelahiran pada q kelompok reproductive
2. laju kematian pada kelompok pertama
3. laju daya tahan hidup dari kelompok pertama ke kelompok berikutnya.
Laju perubahan populasi setiap kelompok umur yang lain ditentukan oleh:
1. laju daya tahan hidup dari kelompok sebelumnya
2. laju kematian pada setiap kelompok
3. laju daya tahan hidup dari setiap kelompok ke kelompok berikutnya.
Berdasarkan uraian di atas, kita peroleh sistem persamaan diferensial untuk model linear kontinu terhadap waktu, sebagai berikut.
1 1 1 1 1 1 ) ( x m d x b x b dt dx q p q p p p + − + + = + + + + L ,
i i i i i i x m d x m dt dx ) ( 1 1 + − = − − , i = 2,3,…, n …(1)
Sistem (1) dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut.
BX dt dX = ...(2)
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 45-53
dengan B adalah matriks n x n yang memuat:
1. elemen diagonal –( d 1 + m 1 ), –( d 2 + m 2 ),..., –( d n + m n ),
2. elemen sub diagonal utama m 1 , m 2 , …, m n-1
3. elemen baris pertama, kolom ke p +1 sampai p+q adalah b p+ 1 , b p+ 2 , …,b p+q 4. nol untuk yang lain.
Oleh karena itu, (2) dapat dituliskan sebagai
X Y Y dt dX 1 − Λ = ...(3)
dimana Λ adalah  matriks  diagonal  dengan  elemen  diagonal  merupakan  nilai  eigen  dari matriks B dan Y adalah matriks dengan kolomnya merupakan vektor eigen dari matriks B . Penyelesaian (3), yakni
) 0 ( ) ( 1 X Y Ye t X t − Λ =
...(4)
Solusi  ini  bergantung  pada  nilai  eigen  dan  vektor  eigen  dari B .  Khususnya  nilai  eigen yang bagian realnya mempunyai nilai paling besar. Nilai eigen terbesar mempunyai peran penting  untuk  menentukan  pertumbuhan  populasi asymptotic saat t mendekati ∞ . Sebanyak r nilai eigen dari B diberikan oleh
–( d j + m j ), j = p+q+1, p+q+2, ..., n ...(5)
dan p+q nilai eigen lainnya adalah akar dari
) ( ) )( ( ) ( 2 2 1 1 λ λ λ λ ψ + + + + + + ≡ + + q p q p m d m d m d L ) ( ) ( { 2 2 1 2 1 λ λ + + + + − + + + + + q p q p p p p p d b m d b m m m L L L L + + + + + + + + + + + + ) ( ) ( 3 3 1 2 λ λ q p q p p p p p m d m d m b 0 } 1 2 1 = + − + + + + q p p p q p m m m b L …(6)
Jika d + m merupakan nilai paling kecil dari d i + m i , untuk i = 1,2,..., p+q maka
( ) [ ] 0 < + − m d ψ , 0 ) ( > ∞ ψ ...(7)
Sehingga  ada  paling  sedikit  satu  nilai  eigen  real  yang  lebih  besar  dari  –( d  +  m ). Selanjutnya kita dapat menuliskan (6) sebagai berikut.
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 λ λ λ λ λ φ + + + + + + + + + ≡ + + + + + + + p p p p p p p m d m d m b m d m d b L L p q p q p q p p q p m m m m d m d m m b L L L L 2 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( = + + + + + + + + − + + + λ λ
...(8)
Jelas bahwa 0 ) ( ' < λ φ untuk λ bertambah dari –(d+m ) menuju ∞ . Jadi, φ merupakan fungsi monoton turun. Oleh karena itu,
p m m m L 2 1 1 ) ( = λ φ ...(9)
hanya  mempunyai  satu  akar  real  yang  lebih  besar  dari  –( d+m ),  (lihat  gambar1)  misal dinotasikan 1 λ .
Semua  akar  yang  lain,  yakni  kompleks  atau  real  negatif  dan  kurang  dari  –( d+m ).  Jika 0 ) ( < λ φ maka 1 λ bernilai positif, yakni jika
) ( ) ( { ) ( ) ( 2 2 1 2 1 1 1 q p q p p p p p q p q p m d m d b m m m m d m d + + + + + + + + + < + + L L L } ) ( ) ( 1 2 1 1 3 3 2 − + + + + + + + + + + + + + q p p p p q p q p p p p m m m b m d m d b L L L
...(10)
Diasumsikan bahwa d + m < d j + m j , untuk j = p+q+1,..., p+q+r . ...(11)
Gambar 1. Grafik ) ( λ φ -( d+m )
m 1 m 2 ...m 3 λ ) ( λ φ

## Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 45-53
Jika  (10)  dipenuhi,  maka  semua  kelompok  umur  dari  populasi  akhirnya  tumbuh  secara eksponensial.
Misalkan u 1 , u 2 , ..., u n adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dari B sehingga diperoleh,
b p +1 u p +1 + ... + b p+q u p+q = ( d 1 + m 1 + λ ) u 1 ,
m i -1 u i -1 = ( d i +m i + λ ) u i , untuk i = 2,3,…, n ...(12)
sehingga
) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 1 2 2 2 1 λ λ λ λ + + + + = + + + + n n n n m d m d m u m d m d u L L 1 2 1 − = n n m m m u L ...(13)
Karena
( d i +m i + i λ ) > 0 untuk i = 1,2,3,…, n ...(14)
maka  vektor  eigen X 1 yang  berkorespondensi  dengan 1 λ mempunyai  elemen  yang semuanya positif, yakni
     
      + + + + + + + + =
− 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n n m m m m d m d m m d m d X L M L L λ λ λ λ ...(15)
Jika  diambil  sebarang  nilai  eigen  lain  yakni  kompleks  atau  real  negatif  maka  akan memberikan vektor eigen yang bersesuaian juga kompleks dan real negatif. Oleh karena itu, hanya nilai eigen 1 λ yang memberikan vektor eigen dengan elemen positif.

## STABLE AGE STRUCTURE
Model pertumbuhan populasi berdasarkan kelompok umur yang diperoleh berupa sistem persamaan diferensial. Sekarang akan dibahas mengenai stable age structure-nya. Populasi dikatakan memiliki stable age structure jika
) 0 ( : : ) 0 ( : ) 0 ( ) ( : : ) ( : ) ( 2 1 2 1 n n x x x t x t x t x L L = ) 0 ( ) ( ) ( i i x t f t x = atau ) 0 ( ) ( ) ( X t f t X = ...(16)
Atau
) 0 ( ) ( ' X t f dt dX = sehingga
) ( ) ( ) ( ' t X t f t f dt dX =
...(17)
Atau
) ( ) ( ) ( ' ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ' ) ( t X t f t f BX X t f t f t BX = ⇔ = ...(18)
Oleh  karena  itu
) ( ) ( ' t f t f harus  merupakan  konstanta  dan  sama  dengan  nilai  eigen  dari B
yang memberikan vektor eigen positif, sehingga
1 ) ( ) ( ' λ = t f t f , X (0) = X 1 …(19)
Dengan  mengintegralkan  persamaan  pertama  (19)  dan  menggunakan  nilai  awal f (0)=1, diperoleh
t e t f 1 ) ( λ = ...(20)
Oleh  karena  itu,  stable  age  structure  hanya  diberikan  oleh X 1 dan  jika  pada  awalnya populasi memiliki stable age structure, ini akan berlanjut untuk setiap waktu. Selain itu, jika 1 λ > 0, populasi setiap kelompok umur akan tumbuh secara eksponensial. Jika 1 λ < 0, populasi berkurang secara eksponensial.
Contoh.
Berikut  diberikan  contoh  tentang  masalah  pertumbuhan  populasi  serangga  dengan  data berikut, nilai p=q=r =1; b 2 =0.02; d 1 =0.015 d 2 =0.010 d 3 =0.020 m 1 =0.03; m 2 = 0.04; x 1 (0) = 10 x 2 (0) = 15 x 3 (0) = 40 maka dapat dibentuk matriks B , yakni
          − − − = 020 . 0 04 . 0 0 0 050 . 0 03 . 0 0 2 . 0 045 . 0
B
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 45-53
Dengan  menggunakan  MATLAB  dihitung  sampai  iterasi  kelima  yakni t =  5,  diperoleh grafik pertumbuhan pada gambar 2.
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Gambar 1. Grafik pertumbuhan populasi Gambar  2  menunjukkan  untuk  nilai t yang  membesar  ternyata  nilai x ( t )  mendekati  nol. artinya populasinya menurun untuk waktu t yang membesar.

## SIMPULAN
Model pertumbuhan populasi berdasarkan kelompok umur merupakan model untk memprediksi  banyaknya  populasi  di  waktu  yang  akan  datang  khususnya  dilihat berdasarkan  kelompok  umur.  Model  yang  dibahas  berbentuk  kontinu  atas  waktu  dan diskret  atas  kelompok  umur.  Model  yang  diperoleh  berupa  sistem  persaman  diferensial yang  bisa  dituliskan  dalam  bentuk  matriks.  Untuk  mengamati  perubahan  populasi  bisa dilihat dari nilai eigen matriks pada bentuk model. Nilai eigen yang dimaksud merupakan nilai  eigen  dominan.  Vektor  eigen  yang  bersesuaian  memiliki  elemen  positif.  Untuk stable age structure-nya, jika 1 λ > 0, populasi setiap kelompok umur akan tumbuh secara eksponensial. Jika 1 λ < 0, populasi berkurang secara eksponensial.
Untuk penerapan lebih lanjut, pembahasan ini bisa digunakan untuk mempelajari model penyebaran penyakit berdasarkan kelompok umur.
x(t )
t

## DAFTAR PUSTAKA
Anton, H and Rorres. 2005. Elementary Linear Algebra, Applications Version,9 th ed . New York: John Wiley & Sons.Inc
Gerald  J.  Porter  and  David  R.  Hill.  1996. Interactive  Linear  Algebra  (A  Laboratory Course Using MathCad). New York: Springer-Verlag.
Goldberg, Jack L. 1991. Matrix Theory with Applications. New York: McGraw-Hill,Inc.
Hogben, Leslie. 2007. Handbook of Linear Algebra . New York: Taylor & Francis Group.
Kapur, J.N. 1985. Mathematical Model in Biology and Medicine . New Delhi: EWP.