A nalytical R adial P art S chrodinger E quation  in D -dimensions  for E ckart  plus M anning R osen P otential as T he Q uantum P hysics L earning

## A NALISIS P ERSAMAAN S CHODINGER D IMENSI-D B AGIAN R ADIAL U NTUK P OTENSIAL

## E CKART P LUS M ANNING R OSEN S EBAGAI B AHAN P EMBELAJARAN F ISIKA K UANTUM
Luqman Hakim 1) , M. Nawir 2)
1,2) Program  Studi  Pendidikan  Fisika,  Fakultas  Keguruan  dan  Ilmu  Pendidikan,  Universitas Palangkaraya,  Jl. Yos Sudarso, Palangkaraya 7311A

## e-mail: luqman_812_h@yahoo.com

## ABSTRACT
The aims of the research are to determine energy spectra and radial wave function of Quantum system in  D-Dimensions  for  Eckart  plus  Manning  Rosen  potential  with  Nikiforov-Uvarov  method. Nikiforov- Uvarov method is method  for  solving a  second-order of  differential equations by  transforming the equation into the hypergeometric equation by the method of separation of intermediate variables by appropriate variable substitution.  The  analytical  results  is energy  spectra  and  radial  wave  function visualization by Microsoft Excel 2010 and Mathematical Laboratory 2013 Programing. The visualization result can be showed that the orbital quantum number increase and the dimension increase causing the bounding  energy  decrease  in  the –n  spectra  energy.  The  probability  visualization  for  ground  state condition result can be showed that the orbital increase, so probability decrease, while the dimension increase for ground state condition is decreasing probability.
Key word: Schrodinger equation in D-dimension, Eckart plus Manning Rosen Potential, Nikiforov-Uvarov method,  Energy spectra, Radial wave function

## ABSTRAK
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  tingkat  energi  dan  fungsi  gelombang  radial  pada  sistem kuantum  berdimensi-D  untuk  potensial  Eckart plus Manning  Rosen  dengan  metode  Nikiforov-Uvarov. Metode Nikiforov-Uvarov merupakan metode penyelesaian persamaan diferensial orde kedua dengan mengubah  persamaan  tersebut  menjadi  persamaan  perantara  hipergeometrik  dengan  metode pemisahan variable melalui substitusi variabel yang sesuai. Hasil analisis yang berupa tigkat energi dan fungsi  gelombang  radial divisualisasikan  dengan  menggunakan  pemrograman Microsoft  Excel  2010 pemrograman Matlab 2013 . Hasil visualisasi menunjukkan semakin besar bilangan kuantum orbital dan semakin  besar  dimensi  secara  fisis  pada  tingkat  energy  ke-n  mengakibatkan  ikatan  makin  melemah. Visualisasi  rapat  probabilitas  menunjukkan  bahwa  pada  kondisi ground  state semakin  besar  bilangan kuantum  orbital  probabilitasnya  semakin  kecil,  sedangkan  pengaruh  dimensi  semakin  besar  dimensi pada kondisi ground state probabilitas ditemukan partikel semakin besar.
Kata kunci: Persamaan Schrodinger Dimensi-D, Potensial Eckart plus Manning Rosen, Metode Nikiforov- Uvarov, Tingkat energy, Fungsi gelombang radial

## I. PENDAHULUAN

## A. Pengantar Kuantum
Fisika  kuantum  merupakan  salah  satu  mata kuliah  wajib  pada  program  studi  pendidikan  fisika. Fisika  kuantum  dipelajari  karena fisika  (konsep- konsep  fisika)  klasik  memerlukan  revisi  atau penyempurnaan.  Hal  ini  disebabkan  semakin banyaknya  hasil-hasil  eksperimen  dan  gejala-gejala
fisika  yang  tidak  bias  dijelaskan  dengan  konsep- konsep  fisika  yang  telah  dikuasai  pada  saat  itu (fisika  klasik),  sekalipun  dengan  pendekatan. Masalah-masalah yang telah berkembang terutama pada obyek-obyek fisis yang berukuran mikroskopik, seperti  partikel-partikel  elementer  dan  atom  serta interaksinya  dengan  radiasi  atau  medan elektromagnetik.  Mekanika  kuantum  merupakan
dasar  untuk  pemahaman  tentang  fenomena  fisik pada  skala  mikroskopik  (Siregar,  2010). Mekanika kuantum  selalu  menggunakan  pendekatan  yang berbeda  untuk  menentukan  besaran  yang  terkait dengan  gerak  partikel  yaitu  menggunakan  fungsi gelombang  untuk  merpresentasikan  dinamika partikel  yang  bergerak  yang  diperoleh  dari penyelesaian  persamaan Schrödinger dari  partikel yang  berkaitan. Persamaan  gerak  partikel  dapat diselesaikan  mengunakan  persamaan  Schrodinger, persamaan  Klein-Gordon  dan  persamaan  Dirac (Rajabi dan Hamzavi,2013).
Pembelajaran  Fisika  kuantum  tidak  terlepas dari pendekatan-pendekatan persmaan  matematis. Salah  satu  persamaan  matematis  yang  digunakan adalah persamaan Schrodinger, dimana persamaan Schrödinger  ini    merupakan  hal  mendasar  dalam mekanika kuantum, yang mendeskripsikan bagaimana  keadaan  kuantum  ( quantum  state ) suatu  sistem  fisika  yang  berubah  terhadap  waktu. Penyelesaian  persamaan  Schrödinger  secara  eksak hanya  mungkin  ketika  bilangan  orbital l =  0, sedangkan  ketika l ≠  0,  persamaan  Schrödinger hanya  bisa  diselesaikan  dengan  pendekatan subtitusi  yang  sesuai  (Cari  dan  Suparmi,  2012). Persamaan  Schroodinger merupakan  persamaan diferensial  parsial  yang  mendeskripsikan  keadaan kuantum dari sistem fisis. Penyelesaian persamaan Schrödinger secara eksak pada beberapa  potensial  dapat  diaplikasikan  dalam sistem  fisika  yang  sangat  penting  karena  dapat digunakan  untuk menentukan  fungsi  gelombang dan  tingkat  energi  suatu  sistem  pertikel (Ikot  dan Akpabio, 2010).
Beberapa  metode  dapat  digunakan  untuk menyelesaikan persamaan Schroodinger, antara lain Super  Simetry  (SUSY), confluence  hypergeometry ,
Romanovsky,  dan  Nikiforov-Uvarov  (Deta et  al, 2013).  Metode  yang  sering  digunakan  saat  ini adalah metode  Nikiforov Uvarov karena cenderung lebih  mudah  dibandingkan  dengan  metode  yang lain.  Potensial  dalam  kuantum  menggambarkan dinamika  partikel  di  mekanika  kuantum. Beberapa contoh  potensial dalam mekanika kuantum antara lain  osilator  harmonic,    potensial  Coloumb,  Rosen
Morse,  Manning-Rosen,  Scarf,  Poschl  Teller  Eckart dan  lain-lain (Suparmi,2011).  Penelitian  ini merupakan penelitian analisis persamaan Schrodinger  dimensi-D  yang  bertujuan  untuk mendeskripsikan  tingkat  energi  dan  fungsi gelombang  radial  dari  potensial  eckart  plus Manning Rosen.

## B. Persamaan Schrodinger Dimensi-D
Persamaan  Schrodinger  dimensi-D  didasari dengan  penggunaan  koordinat  polar  D-dimensi dengan hypersperical  coordinates dan . Hubungan  antara  koordinat  kartesian dengan hypersperical coordinates dan dalam dimensi-D didefinisikan sebagai (Dong, 2011): = cos sin … … … sin , = cos sin … … … sin , = cos sin … … … sin , = cos (1) dimana ∈ [3, − 1]. Penjumlahan masing-masing Persamaan (1) diperoleh :
=
(2)
merupakan  radius  dimensi-D  dengan  komponen koordinat bola. Operator Laplacian dalam koordinat polar didefinisikan sebagai :
∇ = ℎ ℎ (3) Hubungan  antara  koordinat  kartesian dengan hypersperical coordinates dan dalam dimensi-
D.  Persamaan  Schrodinger  untuk  dimensi-D didefinisikan sebagai (Ikhdair and Sever, 2008):
− ℏ 2 ∇ ( , ) + ( , ) = ( , ) (4)
dengan ∇ merupakan  operator  Laplacian  dalam dimensi-D, yaitu : ∇ = 1 − (5) Nilai = Λ (Ω ) merupakan  operator momentum anguler dimensi-D, yaitu: Λ (Ω ) = = = − 1 sin sin − sin (6) Penyelesaian  Persamaan  Schrodinger  dimensi -D dengan  melakukan  separasi  variabel  dengan memisalkan
( , Ω ) = ( ) (Ω ) (7) Dengan adalah bagian radial dari Persamaan (7) dan adalah  bagian  sudutnya.  Persamaan Schrodinger  dimensi-D  bagian  sudut  harus memenuhi Persamaan nilai eigen: Λ (Ω ) = ( + − 2) (Ω ) (8)
Dengan  mensubsitusikan  Persamaan  (8)  ke  dalam Persamaan  (4)  melalui  sparasi  variabel  pada Persamaan (4), maka diperoleh  Persamaan :
( ) + ℏ + ( ) − ( ) = 0 (9) Λ (Ω ) (Ω ) + (Ω ) (Ω ) = ( + − 2) (Ω ) (10)
Persamaan  (9)  dan  Persamaan  (10)  merupakan Persamaan  bagian  radial  dan  Persamaan  bagian sudut untuk dimensi-D.

## C. Potensial Eckart plus Manning Rosen
Simetri  dan  sifat  invarian  adalah  salah  satu karakteristik  dari  setiap  sistem  fisik.  Sifat-sifat tersebut  memberikan  gambaran  sifat  fisik  dari sistem  yang  lebih  baik,  tetapi  juga  memainkan peran  penting  dalam  sudut  pandang  matematika. Beberapa  contoh  dari  potensial shape  invariant adalah Shifted  Oscilator ,  3-D Oscilator ,  Coulomb,
Morse,  Scarf  II  (hiperbolik),  Rosen- Morse  II (hiperbolik),  Eckart,  Scarft  I  (Trigonometri),  Poschl- Teller, dan Rosen- Morse I (Trigonometri).
Potensial  Eckart  sering  digunakan  untuk memperkirakan  koreksi  tunneling  mekanika kuantum  untuk  konstanta  laju  kimia  teoritis  yang ditentukan (Vahidi and Gourdarzi, 2011). Potensial Manning  Rosen  merupakan  model  potensial  yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku getaran molekul antar atom (Hassanabadi et al, 2012).
Kombinasi  potensial  Eckart  dan  potensial Manning  Rosen  secara  matematis  dapat  dituliskan sebagai:
( , Ω ) = ℏ ⁄
⁄
− ⁄ ⁄ +
ℏ
( ) − (11)
dimana 0 < ⁄ < ~ dan < . Nilai maupun lebih  besar  dari  nol,  a  dan  b  adalah  parameter dengan orde fm.

## D. Review Metode Nikiforov Uvarov
Metode Nikiforof-Uvarov (NU) adalah metode yang dikembangkan oleh Nikiforof-Uvarov. Metode NU  ini didasari  pereduksian  Persamaan  diferensial orde  dua  menjadi  Persamaan  umum  diferensial orde  dua  tipe  Hipergeometri.  Persamaan deferensial Hipergeometri, yang dapat diselesaikan dengan  metode  Nikiforov-Uvarov  memiliki  bentuk (Rajabi dan Hamzavi,2013):
( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 (12)
dimana
( ) dan ( ) merupakan  polinomial berderajat  dua,  dan ̅( ) merupakan  polinomial berderajat satu. Persamaan (12)  dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel yaitu :
= ( ) ( ) (13) Persamaan (12) dapat direduksi dengan mensubsitusikan  nilai pada  persamaan  (13), sehingga diperoleh: ( ) ( ) + ⃐( ) ( ) + ( ) = 0 (14) Persamaan (14) yang  ekuivalen dengan Persamaan (12). Parameter-parameter dalam metode NIkivorov  Uvarov,  yaitu dan  parameter didefinisikan sebagai: = ′ − ⃐ 2 ± ( − ⃐ 2 ) − ⃐ +
(15) = + ′( ) (16)
Harga  j  pada  Persamaan  (16)  dapat  diperoleh  dari kondisi  bahwa  pernyataan  kuadrat  dibawah  akar merupakan  kuadrat  sempurna  dari  polinomial derajat  satu,  sehingga  diskriminan  dibawah  akar harus nol.
Eigen nilai dari persamaan (14) dinyatakan sebagai:
= = − − ( − 1) 2 ′′ (17)
Gambar 1. Alur penelitian
dengan     n = 0, 1, 2 …. dan = ⃐ + 2 (18) Untuk  mendapatkan  energi  eigen  nilai  dan  fungsi eigen yang terkait, diperlukan kondisi < 0 . Solusi bagian  pertama  dari  fungsi  gelombang  diperoleh dengan persamaan:
′ = (19) Solusi  bagian  kedua  fungsi  gelombang ( ) yang bersesuaian  dengan  relasi  Rodrigues  ditunjukan oleh persamaan berikut:
( ) = ( ) ( ( ) ( ))
(20)
dimana C n merupakan  konstanta  normalisasi,  dan fungsi bobot ( ) harus tergantung pada kondisi
( ) = ( ) ( )
(21)

## II METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  analitik, dimana  potensial  yang  diuji,  dalam  hal ini  potensial Eckart  plus  Manning  Rosen  dimensi-D.  Alur  penelitian ini sebagai berikut digambarkan dalam diagram berikut:
Keterangan gambar:
a. Memilih  potensial  yang  diujikan,  yaitu  potensial
Eckart plus Manning Rosen
b. Salah satu  kombinasi  potensial  uji  dari  poin  a disubsitusikan  dalam      Persamaan  Schrödinger  D- dimensi,  selanjutnya dipisahkan  bagian  radial dengan bagian sudut, kemudian direduksi menjadi Persamaan  bentuk  Persamaan  diferensial  orde  2 (dua) tipe Hypergeometri c. Masing-masing koefisien dari Persamaan diferensial  orde  (2)  tipe  hipergeometri  hasil penyelesaian  Persamaan  Schrodinger  dimensi –D dibandingkan  dengan  koefisien  Persamaan  (10), sehingga diperoleh nilai , , ̅ dan
d. Nilai ditentukan  berdasarkan  parameter , , ̅ dan yang  diperoleh  dari  langkah  poin  b dengan mensubsitusikan pada Persamaan (14) e. Nilai ditentukan  berdasarkan  parameter ̅ dari langkah  poin  c  dan  nilai dari  langkah  poin  d dengan mensubsitusikan pada Persamaan (18) f. Nilai ditentukan  berdasarkan  nilai yang diperoleh  dari  langkah  poin  d  dan  turunan pertama  dari  nilai dari  langkah poin  d  dengan mensubsitusikan pada Persamaan (16) g. Nilai diperoleh  dari  turunan  pertama dari langkah poin d dan turunan kedua yang diperoleh dari  parameter dari  langkah  poin  c,  dengan mensubsitusikan pada Persamaan (17)
h. Persamaan energi diperoleh dengan menyamakan nilai =
pada  bagian  radial,  sedangkan  pada bagian  sudut  diperoleh  Persamaan  bilangan kuantum orbital l
i. Fungsi gelombang  bagian  radial  maupun  bagian sudut  ditentukan  dengan  persamaan  (19)  dan formula Rodrigues pada Persamaan (20)
j. Tingkat energi  dan  fungsi  gelombang  radial divisualisasikan  dengan  Microsoft  Excel  2010  dan Matlab 2013
k. Melakukan analisis  pengaruh  parameter  terhadap tingkat energi dan fungsi gelombang radial

## III HASIL PENELITIAN
Penyelesaian  persamaan  Schrodinger  dimensi-D dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Nikiforov-Uvarov.  Persamaan Schrodinger  dimensi-D dengan  potensial  Eckart  plus  Manning  Rosen dipisahkan  variable  bagian  radial  dan  bagian  sudut terlebih  dahulu  yang  selanjutnya  masing-masing vaeriabel direduksi menjadi  Persamaan  differensial orde  2  (dua)  tipe  Hipergeometri.  Bagian  pertama  dan kedua  dari  fungsi  gelombang  diselesaikan  dengan menggunakan  Persamaan  (20)  dan  Persamaan  (21). Bentuk  penyelesaian  merupakan    persamaan  tingkat energi dan fungsi gelombang. Pemisahan variable dari potensial Eckart plus Manning Rosen pada persamaan Schrodinger dimensi-D diperoleh bagian radial sebagai :
( ) ( ) −
⁄ ⁄ − 1 1+ − 1− − + 2 2= + −2
(22)
Persamaan (22) dibagi dengan dan dikalikan dengan
( ),
dimana  nilai ( ) =
( ) maka diperoleh
( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) ( ) + −
( )
( ) − ⁄ ⁄ −
⁄
⁄ +
2 − −12 =0 (23)
Persamaan  (23)  jika  dikalikan  dengan
,  dan potensial  Eckart  diubah  dalam  bentuk = − ℎ maka diperoleh :
( ) − ( ) − −
1 ℎ 2 + 2 =0
(24) Untuk ≪ 1 maka = + dimana = Langkah selanjutnya adalah menyelelasikan persamaan
(24) dengan mensubsitusikan ℎ = , sehingga diperoleh  persamaan  diferensial  orde  dua  tipe hypergeometri, yaitu :
( ) − ( ) ( ) − ( ) − + −12 + −321− 21− 22− 0 21− 21− 22 −4 2 1 1− 22 =0 (25) Persamaan (25) merupakan persamaan diferensial yang dapat  diselesaikan  dengan  metode  Nikiforov-Uvarov (NU) yang disajikan oleh persamaan (12), dimana : ̅( ) = −2 (26) ( ) = (1 − ) , maka ( ) = −2 (27) ( ) = − + + + 4 − + −12 + −321− 2− 0 21− 2−4 2 1 (28)
Masing-masing  parameter  pada  persamaan  (26), persamaan  (27)  dan  persamaan  (28)  disubsitusikan

## dalam persamaan (15), sehingga diperoleh nilai
π=± ⎷ ⃓⃓ ⃓⃓ ⃓⃓ ⃓⃓ l+ D-1 2 l+ D-3 2 +V 0 a 2 -k s 2 -4a 2 V 1 s + l+ D-1 2 l+ D-3 2 d 0 +4a 2 ε 2 - l+ D-1 2 l+ D-3 2 +V 0 a 2 -j
(29) Harga pada  Persamaan  (29)  dapat  diperoleh  dari kondisi  bahwa  pernyataan  kuadrat  di  bawah  akar merupakan  kuadrat  sempurna  dari  polinomial  derajat satu  sehingga  determinan  dari  persamaan  dibawah akar sama dengan nol, sehingga:
(4 ) − 4 + + + −
+ −12 + −32 0+4 2 2− + −12 + −32+ 0 2− =0
(30) Dengan memisalkan = +
+ + − ,  maka    nilai pada  persamaan  (29)  dapat diperoleh yaitu suatu kondisi dibawah akar persamaan (30)  merupakan  kuadrat  sempurna  dari  polynomial derajat  satu  sehingga  diskriminan  persamaan  kuadrat dibawah akar harus bernilai nol.
= + + + − (31)
Dengan  mensubsitusikan  persamaan  (31)  ke persamaan (29), maka nilai dapat dituliskan sebagai :
= ± − (32) Secara umum, nilai = dapat dituliskan sebagai : = = = + + + − − (33)
Energi  eigen  nilai  dan  eigen  fungsi  dapat  diperoleh kondisi bahwa < 0 , sehingga nilai diambil negatif. = + ′ (34) = + + + − − (35) Nilai eigen baru = − − ( ) ′′ (36) = 2 ( + 1) + ( + 1) = 2 + + (37) Tingkat Energi dari potensial Eckart plus Manning
Rosen  dimensi  D  diperoleh  dengan  menyamakan  nilai eigen  baru
=
dari  persamaan  (33)  dan persamaan (37) sehingga diperoleh :
= − ℏ
+
2 12 + −12 + −32+ 0 2+122+ +122− + −12 + −32 04 2
(38)
Pada  kondisi  khusus  (D=3),  maka  tingkat  energi  untuk potensial Eckart plus Manning Rosen dimensi D adalah:
= − ℏ ( ) + 2 12 +1+ 0 2+122+ +122− +1 04 2 (39)
Fungsi gelombang radial dari potensial Eckart plus Manning  Rosen,  langkah  pertama  adalah  menentukan fungsi  gelombang bagian pertama yang diperoleh dari persamaan (19), sehingga diperoleh:
= (1 + ) (1 − ) (40)
Persamaan gelombang bagian kedua diperoleh dengan menentukan  fungsi  bobot ,  yang  diperoleh  dengan mensubsitusikan  parameter  persamaan (25)  pada persamaan (19), sehingga diperoleh
= (1 + ) (1 − ) (41) Solusi  bagian  kedua  fungsi  gelombang ( ) yang bersesuaian  dengan  relasi  Rodrigues  ditunjukan  oleh Persamaan (20) dengan fungsi bobot pada Persamaan (21), sehingga diperoleh:
= (1 + ) (1 − ) (1 − 2 1+ 2 2 1 + 1− −2 2 1 + (42)
Persamaan  (42)  merupakan  Polinomial  Jacobi  dalam bentuk :
, = ( )
! (1 − ) (1 + ) (1 − ) (1 + ) (1 − ) (43)
Sehingga  dapat  dituliskan = (−1) 2 ! , ( ) =
, ( ) dengan
= −
+ dan = + (44)
Fungsi  gelombang  radial  secara  lengkap  dapat diperoleh  dari  persamaan  (40)  dan  persamaan  (42),
dimana = ( ) ( ) , = ( ) dan
coth = , maka diperoleh:
= 1 − ℎ
1 + ℎ 2 1 2 1− ℎ 2 − 1 2 , ℎ 2 (45)
Hasil  perhitungan  tingkat  energi  akibat  pengaruh bilangan  kuantum  orbital  untuk  D = 3, = 2, = 5
= 12 dapat dilihat pada tabel 1 dibawah ini:
Tabel  1.  Pengaruh  bilangan  kuantum  orbital terhadap tingkat energi
l
1 0
-33.49 1 -56.29 2
-117.49 2 0 -28.25 1 -44.66
2 -84.09 3 0 -23.09
1 -34.01 2 -57.57
Visualisasi  tingkat  energi  untuk  potensial  Eckart  plus Manning  Rosen  dimensi-D  akibat  pengaruh  bilangan kuantum orbital terlihat pada gambar 2 dibawah ini:
Gambar 2. Pengaruh dimensi terhadap tingkat energi
Berdasarkan tabel 1  dan  Gambar 2 dapat  ditunjukkan bahwa  bilangan  kuantum  semakin  besar  bilangan kuantum  orbital,  maka  tingkat energi ke-n  untuk potensial Eckart plus Manning Rosen akan menuju nilai nol .  Hal  ini  menunjukkan semakin  besar  bilangan kuantum  orbital  pada  tingkat energi ke-n, ikatan semakin lemah.
Hasil  perhitungan  tingkat energi akibat  pengaruh dimensi  untuk    l = 0, = 2, = 5 = 12 dapat dilihat pada tabel 2 dibawah ini:
Tabel  2.  Pengaruh  bilangan  kuantum  orbital terhadap tingkat energi
D 3 0 -37.00 1 -64.56
2 -144.25 5 0 -33.49 1 -56.29 2 -117.49 7 0 -28.25 1 -44.66 2 -84.09
Visualisasi  tingkat  energi  untuk  potensial  Eckart plus  Manning  Rosen  dimensi-D  akibat  pengaruh dimensi terlihat pada gambar 3 dibawah ini:
Gambar 3. Pengaruh dimensi terhadap tingkat energi Berdasarkan tabel 2  dan  Gambar 3 dapat  ditunjukkan bahwa  semakin  besar  dimensi-D,  maka  tingkat energi ke-n  untuk  potensial  Eckart  plus  Manning  Rosen semakin menuju ke nol. Hal  ini menunjukkan semakin besar pengaruh dimensi pada tingkat energi ke-n, maka energi ikatnya semakin melemah.
Fungsi gelombang radial dari potensial Eckart plus
Manning  Rosen  yang diperoleh  menunjukkan
kebolehjadian  ditemukannya  partikel  pada  kondisi tertentu.
Visualisasi  gelombang  radial  dalam  bentuk  rapat probabilitas  untuk  pengaruh  bilangan  kuantum  orbital pada  tingkat  dasar  digambarkan  sebagai  berikut (Gambar 4). -160.0 -140.0 -120.0 -100.0 -80.0 -60.0 -40.0 -20.0 0.0 0 1
2 3 a=2, V0=5, V1=12, D=3 a=2, V0=5, V1=12, D=5
a=2, V0=5, V1=12, D=7
Gambar.4 Rapat probabilitas akibat pengaruh bilangan kuantum orbital pada tingkat dasar
Berdasarkan  Gambar 4,  semakin  besar  bilangan kuantum  orbital,  rapat  probabilitas semakin  bergeser ke  kanan.  Hal ini  menunjukkan  untuk  tingkat  dasar, kemungkinan  ditemukan  partikel  semakin  kecil  jika bilangan kuantum orbitalnya semakin besar.
Visualisasi  gelombang  radial  dalam  bentuk  rapat probabilitas  untuk  pengaruh  dimensi  pada  tingkat dasar  digambarkan  sebagai  berikut  (Gambar 5).
Gambar 5. Rapat probabilitas akibat pengaruh dimensi pada tingkat dasar
Berdasarkan  Gambar 5,  semakin  besar  dimensi,  rapat probabilitas  semakin  bergeser  ke  kiri.  Hal  ini menunjukkan untuk  tingkat  dasar,  kemungkinan ditemukan partikel semakin besar jika dimensi semakin besar.

## III KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  analisis  dan  visualisasi,  maka dapat disimpulkan:
1. Tingkat    energi    dan  fungsi  gelombang  dari potensial Eckart plus Manning Rosen dimensi-
D dapat diselesaikan dengan metode Nikiforov Uvarov
2. Pengaruh  bilangan  kuantum  orbital  terhadap tingkat energi ke-n adalah  semakin  besar bilangan  kuantum  orbital energi ikat  pada potensial Eckart plus Manning Rosen semakin lemah dan  fungsi  gelombang  (rapat probabilitas) semakin kecil.
3. Pengaruh dimensi terhadap tingkat energi ke- n  adalah  semakin  besar  dimensi energi ikat pada  potensial  Eckart  plus  Manning  Rosen semakin  lemah  dan  fungsi  gelombang  (rapat probabilitas) semakin besar.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan- rekan  dosen  program  studi  Pendidikan  Fisika Universitas  Palangka  Raya  atas  motivasi  dan  saran dalam pengembangan keilmuan.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Cari  and  Suparmi.  (2012).  “ Approximate  Solution of Schrodinger Equation for Hulthen Potential plus
Eckart Potential with Centrifugal Term in terms of Finite  Romanovski  Polynomials” . International Journal  of Applied Physics and Mathematics,  Vol.
2, No. 3
2. Deta,  Suparmi  and  Cari.(2013).  ” Approximate Solution of Schrödinger Equation in D-Dimensions for  Scarf  Hyperbolic  Potential  Using  Nikiforov-
Uvarov Method” Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 7,
2013, no. 13, 647 - 656 3. Dong,  S.H.(2011). Wave  Equations  in  Higher Dimensions. Heidelberg  London  New  York  : Springer 4. Hassanabadi, H., Lu, L.L., Zarrinkamar, S., Liu, G.H., Rahimov,  H.  (2012).  “ Approximate  Solutions  of Schrodinger  Equation  under  Manning_Rosen Potential  in  Arbitrary  Dimension  via  SUSYQM”. ACTA PHYSICA POLONICA A Vol.122  no.4 5. Ikhdair, S.M and Sever, R. (2008). “ Approximate l- state  solutions  of  the D-dimensional  Schrodinger equation for Manning-Rosen potential”. Journal of Quantum Physics 08013518 Vol.1
6. Ikot, A. N. and Akpabio, L. E. (2010). “ Approximate Solution  of  the  Schrödinger  Equation  with  Rosen- Morse  Potential Including  the  Centrifugal  Term” . Applied  Physics  Research , Vol.  2  No.  2,  pp.  202-
208 7. Rajabi,  A.A  and  Hamzavi,  M.  (2013).  “ A  new Coulomb  ring-shaped  potential  via  generalized parametric  Nikiforov-Uvarov  method”. Journal  of Theoretical  and  Applied  Physics. Springer  open Journal 8. Siregar,  R.E.
Teori  dan  Aplikasi  Fisika  Kuantum : Widya Padjadjaran, 2010
9. Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum II . Surakarta : FMIPA UNS 10. Vahidi, V, and Gourdarzi, H. (2011).
“ Supersymmetric  Approach  for  Eckart  Potential Using the NU Method”. Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 5, no. 10, 469 – 476