## Volume 6
Januari No 1 2023

## Konstruksi Pola Fraktal Berdasarkan Bentuk Dasar Persegi Menggunakan Transformasi Affine
Erwin Eko Wahyudi 1 , Janoe Hendarto 2 , Nur Rokhman 3 , Andika Rahim Darusalam 4 1,2,3,4 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Departemen Ilmu Komputer dan
Elektronika
Universitas Gadjah Mada erwin.eko.w@ugm.ac.id

## Abstrak
Geometri  fraktal,  juga  dikenal  sebagai  "geometri  alam",  adalah  jenis  geometri  yang mempelajari geometri tidak beraturan. Karakteristik utama dari geometri fraktal adalah self- similarity , yaitu bagian lain dari fraktal memiliki bentuk yang serupa pada skala yang berbeda. Penelitian ini bertujuan untuk membangun pola fraktal berdasarkan bentuk dasar persegi dan menggunakan dua jenis transformasi affine , yaitu dilatasi dan translasi. Parameter yang dapat diubah untuk transformasi adalah skala. Implementasi pembuatan program dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Python. Dengan membandingkan hasil dari enam iterasi untuk skala 0,5 dan 0,45, diperoleh perbedaan secara visual baru terlihat jelas dari iterasi 3. Kata kunci: geometri fraktal, transformasi, persegi

## Abstract
Fractal  geometry,  also  known  as  "natural  geometry",  is  a  type  of  geometry  that  studies irregular geometries. The main characteristic of fractal geometry is self-similarity, i.e. other parts of the fractal have a similar shape at different scales. This study aims to build a fractal pattern based on a basic shape of a square and use two types of affine transformations, which are dilation and translation. The parameter that can vary for the transformation is the scale. The  implementation  of  making  the  program  is  carried  out  using  the  Python  programming language. By comparing the results of the six iterations for a scale of 0.5 and 0.45, the visual differences are only clearly visible from iteration 3.
Keywords: fractal geometry, transformation, square

## PENDAHULUAN
Banyak  bentuk-bentuk  di  alam  yang terbentuk dari unsur-unsur geometri seperti garis,  lingkaran,  poligon,  dan  lainnya. Bentuk-bentuk  tersebut  dapat  dinyatakan dalam persamaan matematika dalam konsep  geometri  klasik.  Namun,  terdapat juga  bentuk-bentuk  yang  tidak  beraturan sehingga  tidak  mudah  untuk  dituliskan dalam  suatu  persamaan  geometri  klasik. Salah satu cara untuk memodelkan bentuk-
bentuk yang tidak beraturan adalah dengan menggunakan geometri fraktal (Garg et al., 2014).  Geometri  fraktal,  juga  dikenal sebagai  "geometri  alam",  adalah  jenis geometri yang mempelajari geometri tidak beraturan. Geometri tidak beraturan mengacu  pada  aturan  yang  terlihat  kacau dan  mengikuti  hukum  internal  tertentu, seperti  garis  pantai  yang  berkelok-kelok dan pegunungan yang bergulir (Tian et al., 2019).
Penelitian  terkait  geometri  fraktal bermula  pada  1918  yang  mana  seorang matematikawan  dari  Prancis  bernama Gaston Maurice Julia, melakukan observasi terkait dengan iterasi dari suatu polinomial pada bilangan kompleks. Dari proses iterasi tersebut  didapatkan  bentuk  visual  dari bilangan  kompleks  yang  terbentuk,  dan bentuk  yang  diperoleh  dari  proses  ini dinamakan Julia Set (Mahanta et al., 2016).
Hal ini selanjutnya dikembangkan menjadi Mandelbrot Set oleh Benoit Mandelbrot.
Geometri fraktal adalah cabang matematika  yang  mempelajari  sifat-sifat dan  perilaku  berbagai  jenis  fraktal. Berbagai  jenis  fraktal  pada  awalnya dipelajari  sebagai  benda-benda  matematis yang  dapat  diukur  dengan  perhitungan matematis  biasa.  Ada  banyak  bentuk matematis yang merupakan bentuk fraktal, misalnya  seperti Sierpinski triangle , Koch snowflake ,  Peano curve , Mandelbrot set , dan Lorenz attractor (Romadiastri, 2017).
Contoh  penggunaan  dari  geometri fraktal  adalah  pembentukan  pola  batik, seperti  yang  dilakukan  oleh  Anggraini (2019).  Pola-pola  geometri  fraktal  yang digunakan  (segitiga  Sierpinski,  kurva Hilbert/Peano, Koch Snowflake , dan himpunan Mandelbrot) yang telah dibangkitkan  sampai  beberapa  iterasi kemudian
ditransformasikan, dan
selanjutnya disatukan dengan menggunakan  aplikasi  sehingga  terbentuk motif  batik  sekar  jagad.  Adapun  contoh lainnya adalah penggunaan geometri fraktal pada bidang arsitektur, seperti pada artikel yang  ditulis  oleh  Yazyeva  et  al.  (2019). Para  arsitek  secara  intuitif  menggunakan prinsip-prinsip  fraktal  dalam  bangunan mereka karena sensasi keindahan diberikan kepada  mereka  pada  tingkat  genetik  dan
mereka merasakan secara spiritual keindahan  alam  di  sekitar  mereka.  Prinsip fraktal  lebih  sering  diwujudkan  dalam permukaan fraktal bangunan yang membentuk fasad dan elemen dekoratifnya, tetapi  fraktal  juga  dapat  diamati  dalam organisasi  spasial  (internal  dan  eksternal) bangunan dan struktur.
Pola fraktal yang dibentuk berdasarkan satu  bentuk  dasar  sangat  menarik  untuk diteliti. Salah satu upaya untuk membentuk pola  fraktal  adalah  mengusulkan  pola berikutnya  atau  aturan  fraktal,  dan  dicari transformasi  yang  memenuhi  aturan  yang diinginkan.  Transformasi  yang  dapat digunakan  adalah  dilatasi,  rotasi,  atau translasi.  Gambar 1 adalah  contoh  pola fraktal yang disusun berdasarkan transformasi rotasi dan dilatasi.
Gambar 1 Fraktal dengan transformasi rotasi dan dilatasi (Purnomo et al., 2022)

## Rumusan Masalah
Permasalahan  yang  dibahas  dalam penelitian ini adalah bagaimana pola fraktal dapat  dibentuk  berdasarkan  bentuk  dasar persegi beserta pencarian transformasi yang sesuai berdasarkan pola yang diusulkan.

## Tujuan Penelitian
Tujuan  dari  penelitian  adalah  untuk membuat  program  yang  dapat  digunakan untuk  proses  konstruksi  pola  fraktal berdasarkan  parameter  yang  diinginkan oleh pengguna. Bentuk geometri dasar yang
akan  digunakan  dalam  membentuk  pola adalah  persegi,  dengan  parameter  yang dapat  diubah  untuk  transformasi  adalah skala.

## Manfaat Penelitian
Manfaat  dari  penelitian  ini  adalah memperkaya  literatur  terkait  konstruksi pola  fraktal  beserta  transformasi  yang digunakan.

## Tinjauan Pustaka
Beberapa  pola  fraktal  yang  populer adalah Koch Snowflake, Segitiga Sierpinski,  dan  Mandelbrot  Set.  Beberapa penelitian  yang  berdasarkan  pola-pola tersebut telah dilakukan.
Purnomo (2014) membuat pola Segitiga  Sierpinski  dengan  menggunakan beberapa macam benda geometris segiempat  sebagai  dasarnya.  Adapun transformasi yang digunakan adalah dilatasi  dan  translasi.  Segitiga  yang dihasilkan  juga  bisa  berupa  segitiga  siku- siku ataupun segitiga sama kaki.
Selain  Segitiga  Sierpinski,  pola  Koch Snowflake  dapat  dimanfaatkan  untuk membuat  desain  batik  (Riwansia,  2016). Pola  Koch  Snowflake  akan  disusun sedemikian  sehingga  membentuk  desain batik,  seperti  ornamen  di  sisi  atas,  bawah, kiri, dan kanan dari Koch Snowflake utama. Desain batik tersebut kemudian akan diberi warna  sesuai  dengan  keinginan  pengguna. Implementasi  dari pembuatan desain  batik menggunakan perangkat lunak Matlab.
Anggraini  (2019)  membangkitkan pola-pola  fraktal  yang  sudah  populer, seperti segitiga Sierpinski, kurva Hilbert/Peano,  Koch  Snowflake,  dan himpunan
Mandelbrot,
dengan menggunakan  beberapa  iterasi.  Hasil  dari pembangkitan  pola  tersebut  disatukan
dengan  menggunakan  aplikasi  sehingga terbentuk pola batik sekar jagad. Implementasi  dari  pembangkitan  pola fraktal  menggunakan  perangkat  lunak Maple.
Purnomo  et  al.  (2022)  membuat  pola pohon fraktal tiga cabang, yang terinspirasi dari  pohon  Pythagoras.  Contoh  dari  hasil dari  penelitian  ini  dapat  dilihat  pada Gambar 1 . Beberapa penelitian tidak menggunakan pola-pola terkenal yang telah disebutkan  pada  paragraf  sebelumnya, seperti  penelitian  yang  dilakukan  oleh Yuan et al. (2019) dan Tian et al. (2019).
Yuan  et  al.  (2019)  membuat  pola fraktal  yang  membentuk kupu-kupu. Elemen dasar bentuk kupu-kupu yang akan dihasilkan didasarkan pada kurva Rhodonea  atau  mawar  yang  merupakan sinusoidal  yang  diplot  dalam  koordinat kutub.
Tian et al. (2019) membuat pola fraktal yang  membentuk  bunga.  Elemen  dasar yang digunakan dibagi berdasarkan bagian yang  terdapat  pada  bunga,  yaitu  daun bunga,  kelopak,  putik,  dan  inti  bunga. Masing-masing elemen memiliki persamaan matematis.
Implementasi  dari  penelitian  Yuan  et al.  (2019)  menggunakan  perangkat  lunak Matlab,  sedangkan  impementasi  dari penelitian Tian et al. (2019) menggunakan bahasa pemrograman Python.

## LANDASAN TEORI Geometri Fraktal
Geometri fraktal adalah jenis geometri yang mempelajari geometri tidak beraturan. Fraktal  dibagi  ke  dalam  dua  jenis,  yaitu fractal  sets (himpunan-himpunan  fraktal) dan natural fractal (fraktal alami) (Hasang
&  Suparjo,  2012).  Selanjutnya,  himpunan fraktal diklasifikan ke dalam dua tipe, yaitu linier dan non-linier (Navarro et al., 2014) Fraktal linier mempunyai bentuk geometris yang sama persis pada skala berapapun dan pada iterasi berapapun (tak-hingga).
Contoh  fraktal  linier  adalah  Segitiga Sierpinski  dan  kurva  Koch.  Sedangkan fraktal  non-linier  dapat  dibangkitkan dengan menggunakan fungsi dinamik non- linier. Himpunan Mandelbrot dan himpunan  Julia  merupakan  beberapa contoh  fraktal  non-linier.  Berbeda  dengan himpunan fraktal, fraktal alami merupakan bentuk yang berada di alam, seperti pohon, daun, pakis, gunung, garis pantai (Purnomo et al., 2022).
Karakteristik  utama  dari  geometri fraktal  adalah self-similarity ,  yaitu  bagian lain  dari  fraktal  memiliki  bentuk  yang serupa pada skala yang berbeda (Riwansia, 2016).  Selain  itu,  Purnomo  et  al.  (2022) menyebutkan  bahwa  sifat  lain  dari  fraktal adalah infinite  detail ,  yang  artinya  apabila objek  diperbesar  maka  detail-detailnya akan terlihat dengan jelas.

## Transformasi Affine
Dalam Byrd (1999), sebuah transformasi affine dinyatakan  dalam Persamaan (1),
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 𝑒 𝑓] (1)
dengan ( x , y ) merupakan titik awal, ( x ’, y ’) merupakan  titik  hasil  transformasi,  dan nilai-nilai a , b , c , d , e ,  dan f merupakan sebarang  bilangan  real  yang  menyusun transformasi affine . Terdapat
beberapa macam transformasi affine ,  di  antaranya  adalah dilatasi  dan  translasi.  Dilatasi  adalah transformasi  yang  mengubah  ukuran bentuk  awal  tanpa  mengubah  bentuk
aslinya, seperti memperbesar atau memperkecil dengan skala tertentu. Sedangkan translasi merupakan transformasi  yang  mengubah  posisi  dari bentuk  awal  tanpa  mengubah  ukuran bentuk aslinya.

## Metode Iterated Function System (IFS)
Metode Iterated  Function  System (IFS)  merupakan  salah  satu  metode  yang paling  umum  digunakan  untuk  membuat pola fraktal. Metode ini dipopulerkan oleh Barsnley et al. (1988).
Terdapat n buah  transformasi  yang digunakan, yaitu w 1 , w 2 , ..., w n , yang mana umumnya  masing-masing w i berbentuk transformasi affine .  Transformasi  ini  akan diaplikasikan pada pola di iterasi ke- i untuk membentuk  pola  di  iterasi  ke-( i +1), sehingga dinamakan metode IFS.
Transformasi  yang  digunakan  merupakan contracting transformation , yaitu transformasi yang menyebabkan jarak dari hasil  transformasi  menjadi  lebih  kecil dibandingkan jarak aslinya (Byrd, 1999).
Terdapat  dua  jenis  metode  IFS,  yaitu deterministik  dan  acak.  Metode  IFS deterministik  yaitu  semua  transformasi akan diterapkan pada setiap titik di gambar awal, tanpa perlu ada pemilihan transformasi  mana  yang  akan  digunakan. Sedangkan metode IFS acak hanya memilih satu  transformasi  yang  akan  diaplikasikan pada satu titik pada gambar awal.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  memiliki  beberapa tahapan.  Tahapan  pertama  dimulai  dari menentukan  pola  fraktal,  dan  dilanjutkan dengan  menentukan  letak  koordinat- koordinat titik ujung dari bentuk awal dan bentuk  akhir.  Setelah  diperoleh  titik-titik koordinat  dari  kedua  bentuk,  akan  dicari
transformasi affine yang sesuai.
Transformasi affine yang  telah  diperoleh akan digunakan dalam penggunaan metode IFS  deterministik.  Gambar 2 menyatakan ringkasan dari tahapan pertama penelitian.
Gambar 2 Tahapan pertama penelitian
Tahapan  kedua  dalam  penelitian  ini adalah pembuatan pola berdasarkan iterasi yang diinputkan pengguna. Koordinat dari titik-titik  awal  sudah  ditentukan  di  awal, dan  juga  transformasi affine sudah diperoleh  dari  tahapan  pertama  penelitian. Gambar 3 menyatakan  ringkasan  dari tahapan kedua penelitian.
Gambar 3 Tahapan kedua penelitian

## ANALISIS DAN PERANCANGAN Pengusulan Pola
Proses penelitian dimulai dari pengusulan  pola  fraktal  yang  akan  dibuat.
Berikut adalah usulan polanya:
• Iterasi 0, bentuk awal
• Iterasi 1, sebuah persegi akan ditransformasikan menjadi empat persegi  baru,  dengan  panjang  sisi  yang baru  berukuran  0,5  kali  panjang  sisi yang  lama,  dan  diletakkan  di  masing- masing  sisi  sehingga  membentuk  mirip gasing. Transformasi ini memanfaatkan dua  jenis  transformasi affine ,  yaitu dilatasi dan translasi.
• Iterasi  2,  masing-masing  persegi  akan ditransformasikan  lagi  menjadi  empat persegi baru.

## Penentuan Koordinat
Diasumsikan bahwa ukuran layar yang digunakan untuk menampilkan pola adalah 600  x  600.  Apabila  digambarkan  dalam bentuk  koordinat,  maka  layar  akan memiliki koordinat (0,0) hingga (600,600). Kemudian,  diasumsikan  pula  ukuran bentuk awal adalah 200 x 200, dan terletak di tengah-tengah layar. Sehingga, koordinat
dari  bentuk  awal  adalah  (200,200)  hingga (400,400).  Ilustrasi  koordinat dapat  dilihat pada  Gambar 4 ,  dengan  persegi  ABCD merupakan bentuk awal.
Gambar 4 Koordinat layar dan bentuk awal

## Perhitungan Transformasi Affine
Berdasarkan  pola  yang  diusulkan, terdapat  empat  transformasi affine yang harus  dihitung.  Dipilih  salah  satu  dari empat  persegi baru  untuk dihitung transformasinya,  misalkan  persegi  atas. Gambar 5 merupakan koordinat  pola pada iterasi 1 untuk persegi atas.
Gambar 5 Koordinat pola pada iterasi 1 untuk persegi atas
Pada  Gambar 5 ,  bentuk  awal  persegi ABCD  akan  ditransformasikan  menjadi persegi  ECFG,  dengan  pemetaan  sebagai berikut:
• titik A(200,200) ke titik E(300,400),
• titik B(400,200) ke titik C(400,400),
• titik C(400,400) ke titik F(400,500), dan
• titik D(200,400) ke titik G(300,500). Setelah  menentukan  koordinat  dari bentuk  awal  ABCD  dan  bentuk  hasil transformasi  ECFG,  keempat  pasangan koordinat  ini  bisa  digunakan  untuk menghitung  nilai-nilai a , b , c , d , e ,  dan f , pada Persamaan (1). Dengan menyelesaikan  sistem  persamaan  linear, diperoleh
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 0,5 0 0 0,5 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 200 300 ] . (2)
Dengan cara  yang sama,  dapat diperoleh  pula  persamaan  untuk  tiga transformasi affine lainnya:
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 0,5 0 0 0,5 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 100 0 ], (3)
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 0,5 0 0 0,5 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 0 200 ], (4)
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 0,5 0 0 0,5 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 300 100 ] . (5)
Persamaan  (2)-(5)  merupakan  empat transformasi affine yang  diperlukan  untuk membuat  pola  pada  iterasi  berikutnya. Keempat persamaan ini merupakan transformasi  yang  memiliki  skala  bernilai tetap, yaitu 0,5.

## Perhitungan Transformasi Affine untuk Skala Bebas
Agar  pembuatan  pola  lebih  dinamis, nilai  skala  dibuat  sebagai  parameter. Persamaan  (2)-(5)  dimodifikasi  agar  skala bisa  bernilai  tidak  hanya  0,5.  Hasil  dari modifikasi Persamaan (2)-(5) dapat dilihat pada Persamaan (6)-(9),
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 𝑠 0 0 𝑠 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 200 − 200𝑠 200 − 400𝑠 ] (6)
[ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 𝑠 0 0 𝑠 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 200 − 400𝑠 400 − 400𝑠 ] (7) [ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 𝑠 0 0 𝑠 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 400 − 200𝑠 200 − 200𝑠 ] (8) [ 𝑥′ 𝑦′ ] = [ 𝑠 0 0 𝑠 ] [ 𝑥 𝑦] + [ 400 − 400𝑠 400 − 200𝑠 ] (9)
dengan s menyatakan nilai skala.

## IMPLEMENTASI  PEMBAHASAN
Bahasa  pemrograman  yang  digunakan dalam penelitian ini adalah Python, dengan bantuan pustaka numpy (Harris et al., 2020) dan  matplotlib  (Hunter,  2007).  Dalam proses  implementasi,  terdapat  beberapa proses yang dimulai dari deklarasi variabel. Kode untuk proses deklarasi variabel dapat dilihat pada Gambar 6 . Variabel layar dan layar_copy merupakan array berukuran 600x600 dan digunakan untuk menyimpan nilai pixel, iter dan max_iter digunakan untuk  melakukan  perulangan,  variabel scale digunakan untuk menyimpan skala, dan variabel a , b , c , d , e , dan f merupakan array dengan  4  elemen  dan  digunakan untuk  menyimpan  nilai  dari  transformasi affine yang digunakan.
Gambar 6 Kode untuk deklarasi variable
Proses  berikutnya  adalah  inisialisasi variabel, yaitu memberikan nilai awal pada variabel.  Kode  untuk  proses  inisialisasi variabel  dapat  dilihat  pada  Gambar 7 . Variabel layar akan  memiliki  nilai  0  di semua  pixel,  kecuali  di  pixel  antara koordinat  (200,200)  hingga  (400,400) memiliki nilai 1.
Gambar 7 Kode untuk inisialisasi variabel Setelah variabel dideklarasi dan diinisialisasi,  nilai  dari max_iter dan scale dibaca  berdasarkan  masukan  dari user .  Nilai  dari  variabel scale akan digunakan  untuk  menentukan  nilai-nilai dari  keempat  transformasi affine .  Kode untuk proses ini dapat dilihat pada Gambar
8 .
Gambar 8 Kode untuk membaca input dan transformasi
Proses  utama  dalam  penelitian  ini adalah pembuatan pola. Kode untuk proses ini dapat dilihat pada Gambar 9 .
import numpy as np layar = np.zeros((600, 600)) layar_copy = np.zeros((600, 600)) iter = 0 max_iter = 2 scale = 0.5 a = [0]*4
b = [0]*4 c = [0]*4
d = [0]*4
e = [0]*4 f = [0]*4
for i in range(600): for j in range(600): if i=200 and i=400 and j=200 and j=400: layar[i,j] = 1 else: layar[i,j] = 0
scale = float(input("Masukkan ukuran skala: ")) max_iter = int(input("Masukkan maksimal perulangan: "))
a[0] = a[1] = a[2] = a[3] = scale b[0] = b[1] = b[2] = b[3] = 0 c[0] = c[1] = c[2] = c[3] = 0 d[0] = d[1] = d[2] = d[3] = scale e[0] = 200 - 200*scale f[0] = 200 - 400*scale e[1] = 200 - 400*scale f[1] = 400 - 400*scale e[2] = 400 - 200*scale f[2] = 200 - 200*scale e[3] = 400 - 400*scale f[3] = 400 - 200*scale
Gambar 9 Kode untuk membuat pola
Setelah  pola  berhasil  dibuat  sesuai dengan  iterasinya,  hal  terakhir  yang dilakukan adalah menampilkan pola. Kode untuk menampikan pola dapat dilihat pada Gambar 10 .
Gambar 10 Kode untuk menampilkan pola
Berikut  adalah  hasil  yang  diperoleh untuk nilai skala 0,5:
• Bentuk awal Bentuk  dasar  yang  digunakan  adalah persegi.
• Iterasi 1
Terdapat  empat  persegi  kecil  di  setiap sisinya,  yang  masing-masing  sisinya memiliki  panjang  0,5  dari  panjang  sisi awal.
• Iterasi 2
Setiap  persegi  akan  memiliki  empat persegi baru  pada masing-masing sisinya,  namun  pada  iterasi  ini  hanya terlihat  tiga  persegi  baru  karena  satu persegi  baru  beririsan  dengan  persegi lama.  Panjang  sisi  dari  persegi  baru adalah 0,5 2 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 3
Sama  seperti  pola  di  iterasi  2,  hanya terlihat  3  persegi  baru  dengan  panjang sisinya 0,5 3 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 4
Sama  seperti  pola  di  iterasi  2  dan  3, hanya  terlihat  3  persegi  baru  dengan panjang  sisinya  0,5 4 dari  panjang  sisi awal.
• Iterasi 5
Panjang  sisi  dari  persegi  baru  semakin kecil, yaitu 0,5 5 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 6
while iter  max_iter: layar_copy = layar.copy() for i in range(600): for j in range(600): if layar[i,j] == 1: for t in range(4): ii = int(a[t]*i + b[t]*j + e[t]) jj = int(c[t]*i + d[t]*j + f[t]) layar_copy[ii,jj] = 1 layar = layar_copy.copy() iter += 1
from matplotlib import pyplot as plt
plt.imshow(layar, cmap='gray_r') plt.show()
Panjang sisi dari persegi baru lebih kecil dibandingkan  pola  pada  iterasi  5,  yaitu 0,5 6 dari panjang sisi awal.
Selanjutnya, hasil untuk skala 0,5 akan dibandingkan  dengan  hasil  untuk  skala 0,45.  Berikut  adalah  hasil  yang  diperoleh untuk nilai skala 0,45:
• Bentuk awal Bentuk  dasar  yang  digunakan  adalah persegi.
• Iterasi 1 Terdapat  empat  persegi  kecil  di  setiap sisinya,  yang  masing-masing  sisinya memiliki panjang 0,45 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 2 Setiap  persegi  akan  memiliki  empat persegi baru  pada masing-masing sisinya,  namun  pada  iterasi  ini  hanya terlihat  tiga  persegi  baru  karena  satu persegi  baru  beririsan  dengan  persegi lama.  Panjang  sisi  dari  persegi  baru adalah 0,45 2 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 3
Sama  seperti  pola  di  iterasi  2,  hanya terlihat  3  persegi  baru  dengan  panjang sisinya 0,45 3 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 4 Sama  seperti  pola  di  iterasi  2  dan  3, hanya  terlihat  3  persegi  baru  dengan panjang  sisinya  0,45 4 dari  panjang  sisi awal.
• Iterasi 5 Panjang  sisi  dari  persegi  baru  semakin kecil, yaitu 0,45 5 dari panjang sisi awal.
• Iterasi 6 Panjang sisi dari persegi baru lebih kecil dibandingkan  pola  pada  iterasi  5,  yaitu 0,45 6 dari panjang sisi awal.
Dengan  menganalisis  pola  secara visual,  pola  di  iterasi  1  dan  iterasi  2  tidak memiliki perbedaan yang mencolok meskipun menggunakan skala yang sedikit berbeda,  yaitu  0,5  dan  0,45.  Namun,  pada iterasi 3 hingga 6, perbedaan pola semakin terlihat  jelas.  Pada  skala  0,45,  pembuatan persegi  baru  menjadi  semakin  kecil  dan daerah putih akan lebih luas, dibandingkan dengan skala 0,5.

## KESIMPULAN
Pola  fraktal  berdasarkan  bentuk  awal persegi  telah  berhasil  dibuat.  Tidak  hanya skala  0,5,  namun  nilai  skala  bisa  dinamis berdasarkan input dari user .  Telah dicontohkan  pola  dari  bentuk  awal  hingga iterasi  6  untuk  skala  0,5  dan  skala  0,45, yang  mana  perbedaan  secara  visual  baru terlihat jelas dari iterasi 3.

## Saran
Pada penelitian ini, jenis  transformasi yang  dibahas  hanyalah  dilatasi  dan translasi. Jenis transformasi yang lain juga dapat  diterapkan  pada  pembuatan  pola fraktal, seperti rotasi dan shear .

## DAFTAR PUSTAKA
Anggraini, L.D.F. (2019). Geometri Fraktal  dan  Transformasi  Geometri Sebagai Dasar Pengembangan Motif Batik  Sekar  Jagad .  Transformasi:
Jurnal  Pendidikan  Matematika  dan Matematika, 3, 1, 1-14.
Barnsley, M.F., Devaney, R.L., Mandelbrot, B.B., Peitgen, H., Saupe, D., Voss, R.F. (1988). The Science of Fractal Images . Berlin: Springer. Byrd,  C.  (1999). Fractals  in  Nature:  An introduction  to  IFS  and  L-System Fractals . https://web.cs.wpi.edu/~matt/courses /cs563/talks/cbyrd/pres1.html, diakses pada 23 November 2022.
Garg, A., Agrawal, A.,  Negi, A. (2014).
A Review on Natural Phenomenon on
Fractal Geometry . International Journal  of  Computer  Applications,
86, 4, 1-7.
Hasang, S.  Suparjo, S. (2012). Geometri Fraktal dalam Rancangan Arsitektur . Media Matrasain, 9, 1, 111-124. Harris, C.R., Millman, K.J., van der Walt,
S.J. et al. (2020). Array programming with NumPy . Nature, 585, 357–362.
Hunter,  J.D.  (2007). Matplotlib:  A  2D Graphics Environment . Computing in Science  Engineering, 9, 3, 90-95. Mahanta,  A.,  Sarmah,  H.,  Paul,  R. Choudhury, G. (2016). Julia Set  and Some  of  Its  Properties .  International Journal  of  Applied  Mathematics Statistical  Sciences  (IJAMSS),  5,  2,
99-124.
Navarro,  C.F.,  Garcia,  J.C.,    Tavares,
M.M.  (2014). Main  Objects  of
Fractal  Geometry  and  Computer Graphical Generation . Research Journal of Computation and
Mathematics, 2, 2, 14-26. Purnomo,  K.D.  (2014). Pembangkitan Segitiga Sierpinski dengan Transformasi Affine . Prosiding Seminar Nasional Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, 365-375.
Purnomo,  K.D.,  Wahyuningtyas,  D., Ubaidillah,  F.  (2022). Pembangkitan Pohon  Fraktal  Tiga  Cabang  dengan Metode  Iterated  Function  System . Jurnal ILMU DASAR, 23, 1, 9-16. Riwansia,  R.R.  (2016). Pengembangan Desain  Batik  melalui  Penggunaan Geometri  Fraktal  Koch  Snowflake . (Skripsi). Universitas Jember, Jember.
Romadiastri,  Y.  (2017). Batik  Fraktal: Perkembangan  Aplikasi  Geometri Fraktal .  Delta:  J.  Ilm.  Pendidik. Matematika, 1, 158–164.
Tian,  G.,  Yuan,  Q.,  Hu,  T.,    Shi,  Y.
(2019). Auto-Generation System Based on Fractal Geometry for Batik
Pattern Design . Applied Sciences, 9, 11, 2383.
Yazyeva, S., Mayatskaya, I., Kashina, I.
Nesterova, A. (2019). The manifestation  of  fractality  in  the architecture of buildings and structures .  IOP  Conference  Series:
Materials  Science  and  Engineering, 698, 033046. Yuan, Q., Lv, J.  Huang, H. (2019). Auto- Generation  Method  of  Butterfly
Pattern  of  Batik  Based  on  Fractal
Geometry .  International  Journal  of Signal  Processing,  Image  Processing and  Pattern  Recognition,  9,  4,  369- 392.