J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 2, Nopember 2018, 113-126

## Aproksimasi Variasional untuk Soliton Onsite pada Persamaan Schrödinger Nonlinier Diskrit Kubik-Kuintik
Riza Asfa 1 , Azzahro Fitri Azadi 1 , Zita Putri Netris 1 , Mahdhivan Syafwan 1 *
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Padang Indonesia *e-mail: mahdhivan@sci.unand.ac.id

## Abstrak
Persamaan  Schrödinger  nonlinier  diskrit  (SNLD)  kubik-kuintik  merupakan  persamaan  beda- diferensial  yang  memiliki  eksistensi  solusi  soliton.  Pada  artikel  ini  hampiran  solusi  soliton  stasioner dengan  konfigurasi  bertipe  onsite  pada  persamaan  SNLD  kubik-kuintik  untuk  limit anti-continuum ditentukan dengan menggunakan metode aproksimasi variasional (AV).  Fungsi penduga yang diusulkan berbentuk  eksponensial  dengan  tiga  parameter  variasional.  Solusi  AV  yang  diperoleh  selanjutnya diperiksa  validasinya  dan  dibandingkan  dengan  solusi  numerik.  Hasil  yang  diperoleh  menunjukkan bahwa solusi AV valid dan mempunyai kesesuaian yang sangat baik dengan solusi numerik.
Kata  kunci: Persamaan  Schrödinger nonlinier  diskrit  kubik-kuintik,  soliton  onsite,  aproksimasi variasional

## Abstract
A  cubic-quintic  discrete  nonlinear  Schrödinger  (DNLS)  equation  is  a  difference-differential equation which permits the existence of soliton solution. In this paper, the approximation for stationary soliton  solution  with  onsite-typed  configuration  in  the  cubic-quintic  DNLS  equation  for  anti-continuum limit is determined by a variational approximation (AV) method.  The proposed ansatz is of the form an exponential function with three variational parameters. The obtained VA solutions are then examined its validation  and  compared  with  the  corresponding  numerical  solutions.  The  result  shows  that  the  VA solutions are valid and having very good agreement with the numerics.
Keywords :  Cubic-quintic  discrete  nonlinear  Schrödinger  equation,  onsite  soliton,  variational approximation

## 1 Pendahuluan
Persamaan Schrödinger nonliner diskrit (atau disingkat SNLD) merupakan persamaan beda- diferensial (difference-differential) yang secara umum berbentuk [1]
𝑖̇𝜓̇ 𝑛 = −𝐶(𝜓 𝑛+1 − 2𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛−1 ) + 𝐹(𝜓 𝑛+1 , 𝜓 𝑛 , 𝜓 𝑛−1 ) (1)
dimana 𝜓 𝑛 ≡ 𝜓 𝑛 (𝑡) ∈ ℂ adalah  fungsi  gelombang  pada  waktu 𝑡 ∈ ℝ + dan site 𝑛 ∈ ℤ , 𝜓̇ 𝑛 menyatakan  turunan  fungsi 𝜓 𝑛 terhadap t , C menyatakan  konstanta pengikat (coupling  constant )  antara  dua site yang  bersebelahan  dan F merupakan suku nonlinier.

## Aproksimasi Variasional untuk Soliton Onsite
Persamaan  SNLD  memodelkan  berbagai  macam  fenomena  fisis.  Beberapa  diantaranya dapat dijumpai pada masalah dinamika sistem osilator nonharmonik terikat, perambatan berkas optik pada pandu gelombang nonlinier terikat, dan dinamika kondensasi Bose-Einstein [ Bose-Einstein Condentation (BEC) ][1] BEC  merupakan  wujud  materi  kelima  saat  mendekati 0° Kelvin  yang  secara  teori diprediksi  oleh  S.N  Bose  dan  A.  Einstein  pada  tahun  1925  [2].    Eksperimen  pertama  yang berhasil membuktikan keberadaan BEC dilakukan oleh Wolfgang Ketterle, Eric Cornell dan Carl Wiemann.  Atas  prestasi  tersebut,  mereka  dianugrahi  hadiah  Nobel  di  bidang  fisika  pada  tahun 2001[3].
Persamaan  SNLD  (1)  menjadi  menarik  untuk  dikaji  karena  ia  memiliki  solusi spesial  yang  dikenal  dengan  istilah soliton .  Solusi  ini  memiliki  profil  dan  kecepatan yang  tetap  ketika  merambat  [4].  Dalam  konteks  aplikasi  dalam  bidang  optik,  soliton dapat  direkayasa  sebagai  pembawa  informasi  yang  dapat  merambat  pada  media dengan  jarak  tempuh  yang  sangat  jauh  tanpa  mengalami  gangguan  yang  berarti. Kenyataan  ini  dinilai  sangat  penting  dalam  pengembangan  teknologi  informasi  dan komunikasi di masa depan .
Suku  nonlinier 𝐹 pada  persamaan  SNLD  (1)  mempunyai  beberapa  bentuk,  di  antaranya [1]:
1. Kenonlinieran bertipe kubik:
𝐹 𝑐𝑢𝑏 = |𝜓 𝑛 | 2 𝜓 𝑛 (2)
2. Kenonlinieran bertipe kuintik:
𝐹 𝑞𝑢𝑖𝑛 = |𝜓 𝑛 | 4 𝜓 𝑛 (3)
3. Kenonlinieran bertipe Ablowitz-Ladik (AL):
𝐹 𝑐𝑢𝑏 = − 1 2 |𝜓 𝑛 | 2 (𝜓 𝑛+1 + 𝜓 𝑛−1 ) (4)
Persamaan  SNLD  dengan  suku  nonlinear  kubik  (2)  dan  kuintik  (3)  dikenal  sebagai persamaan  yang non-integrable [1].  Pada  tahun  1975-1976,  Ablowitz  dan  Ladik  [5] memperkenalkan  persamaan  SNLD  dengan  suku  nonlinier  (4)  dan  menunjukkan  bahwa persamaan tersebut integrable .
Untuk  menentukan  hampiran  solusi  dari  suatu  persamaan  beda-diferensial  yang non-integrable , salah satu pendekatan analitik yang digunakan adalah metode
aproksimasi variasional (selanjutnya disingkat AV). Metode ini dikembangkan berdasarkan  prinsip  aksi  terkecil  ( least  action )  atau  dikenal  juga  sebagai  prinsip Hamiltonian  yang  menyatakan  bahwa  suatu  persamaan  gerak  ditentukan  oleh  titik-titik kritis  dari  aksi  (yaitu  integral  dari  Lagrangian  terhadap  waktu)  [6].  Keberhasilan  metode  ini sangat bergantung pada fungsi penduga (ansatz) yang digunakan dalam menghampiri solusi yang diinginkan.
Pada  kasus  persamaan  SNLD  kubik,  metode  AV  telah  digunakan  oleh  Aceves  dkk  [7] untuk  mengaproksimasi  solusi  soliton  onsite,  yaitu  solusi  soliton  yang  berpusat  pada  satu site . Kemudian Kaup dkk  [8] dan Cuevas dkk [9] menerapkan metode AV untuk menghampiri solusi soliton  intersite,  yaitu  soliton  yang  berpusat  di  antara  dua site .  Fungsi  ansatz  yang  digunakan dalam referensi [7,8,9] tersebut berlaku untuk kasus 𝐶 ≈ 0 atau dikenal dengan istilah limit anti- continuum .
Lebih lanjut, metode AV juga diterapkan oleh Syafwan [10] untuk menentukan hampiran solusi  soliton  onsite  pada  persamaan  SNLD  kubik dengan  penambahan parametric  driving . Eksistensi  dan  kestabilan  soliton  pada  persamaan  ini  dikaji  pertama  kali  dengan  menggunakan analisis  asimtotik  dalam  referensi  [11,12].  Selanjutnya,  Putra  dkk  [13]  memakai  metode  AV untuk  menentukan  hampiran  solusi  soliton  onsite  pada  persamaan  SNLD  nonlokal  yang menginterpolasi  persamaan  SNLD  kubik  nonlokal  dan  persamaan  SNLD  Ablowitz-Ladik nonlokal.  Baru-baru  ini,  Syafwan  [14]  kembali  menggunakan  metode  AV  untuk  menentukan hampiran solusi soliton twisted , yaitu soliton intersite berbeda fasa, pada persamaan SNLD kubik dengan penambahan parametric driving.
Hasil-hasil  AV  yang  diperoleh  selama  ini  dikonfirmasi  validasinya  melalui  perbandingan numerik untuk beberapa nilai parameter tertentu. Untuk menjustifikasi validasi  AV  secara  umum,  Chong  dkk  [15]  telah  mengembangkan  suatu  teorema  yang dapat  dijadikan  sebagai  ukuran  validasi  hasil  AV  secara  tepat.  Chong  dkk  kemudian mengkonfirmasi  bahwa  fungsi  penduga  untuk  soliton  dengan  jumlah  parameter  yang  lebih banyak memberikan aproksimasi yang lebih akurat.
Pada  artikel  ini  metode  AV  akan  diterapkan  untuk  menentukan  hampiran  solusi  soliton onsite pada  persamaan  SNLD  dengan  kenonlinieran  bertipe  kubik-kuintik,  yaitu  diberikan  oleh [16]
𝑖̇𝜓̇ 𝑛 = −𝐶(𝜓 𝑛+1 − 2𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛−1 ) − 𝐵|𝜓 𝑛 | 2 𝜓 𝑛 + 𝑄|𝜓 𝑛 | 4 𝜓 𝑛 ,                    (5) dimana B dan Q berturut-turut menyatakan koefisien kenonlinieran kubik dan  kuintik.  Persamaan  SNLD  kubik-kuintik  (5)  muncul  berdasarkan  eksperimen

## Aproksimasi Variasional untuk Soliton Onsite
terkini  [17]  yang menunjukkan bahwa efek nonlinier pada beberapa material  pandu gelombang lebih baik  dimodelkan dengan penambahan kenonlinearan kuintik,  yaitu  ketika 𝐵 > 0 dan 𝑄 > 0 . Pada kasus dua dimensi, persamaan SNLD kubik-kuintik telah dibahas dalam referensi [18]. Kajian  pada  penelitian  ini  merupakan  pengembangan  dari  kajian  yang  dilakukan  Chong  dkk [16],  yaitu  menggunakan  fungsi  ansatz  baru  dengan  jumlah  parameter  variasional  yang  lebih banyak.
Artikel ini disusun dengan sistematika sebagai berikut. Pada Bagian 2 dibahas konstruksi aproksimasi variasional. Pada bagian 3 dibahas tentang perbandingan hasil-hasil analitik dengan hasil-hasil  numerik.  Selanjutnya  validasi  aproksimasi  variasional  disajikan  pada  Bagian  4. Terakhir, pada Bagian 5 dikemukakan kesimpulan dari hasil kajian.

## 2   Konstruksi Aproksimasi Variasional
Langkah-langkah sistematis dari metode AV adalah sebagai berikut [19]:
1. Merumuskan Lagrangian dari persamaan yang ingin ditinjau.
2. Memilih  fungsi  ansatz  (penduga)  yang sesuai,  yang memuat  sejumlah hingga parameter (disebut sebagai parameter variasional).
3. Mensubstitusikan  fungsi  ansatz  ke  dalam  Lagrangian  dan  kemudian  menyelesaikan penjumlahannya (untuk sistem diskrit) atau integrasinya (untuk sistem kontinu).
4. Menentukan  titik-titik  kritis  untuk  parameter  variasional  dengan  menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange terkait.
Sebagai langkah pertama, dirumuskan terlebih dahulu Lagrangian dari sistem (5). Hal ini diberikan oleh lema berikut.
Lema 1. Lagrangian dari persamaan (5) diberikan oleh
𝐿  = 𝑖 2 (  𝜓̅ 𝑛 𝜓 𝑛 ̇ − 𝜓 𝑛 𝜓̅̇ 𝑛 ) + 𝐶(𝜓̅ 𝑛 𝜓 𝑛+1 + 𝜓 𝑛 𝜓̅ 𝑛+1 − 2|𝜓 𝑛 | 2 ) + 𝐵 2 |𝜓 𝑛 | 4 − 𝑄 3 |𝜓 𝑛 | 6 ,         (6)
dimana 𝜓̅ 𝑛 menyatakan kompleks konjugat dari 𝜓 𝑛 .
Bukti. Persamaan Euler-Lagrange untuk sistem yang ditinjau adalah
𝜕𝐿 𝜕𝜓 𝑛 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝜓̇ 𝑛 = 0. (7)
Berikut  ini  akan  ditunjukkan  bahwa  (5)  dengan  Lagrangian  (6)  akan  menghasilkan  persamaan (5). Perhatikan bahwa untuk suatu 𝑛 = 𝑚 ∈ ℤ , persamaan (6) dapat ditulis
𝐿 = ⋯ + [ 𝑖 2 (  𝜓̅ 𝑚−1 𝜓̇ 𝑚−1 − 𝜓 𝑚−1 𝜓̅̇ 𝑚−1 ) + 𝐶(𝜓̅ 𝑚−1 𝜓 𝑚 + 𝜓 𝑚−1 𝜓̅ 𝑚 − 2|𝜓 𝑚−1 | 2 ) + 𝐵 2 |𝜓 𝑚−1 | 4 − 𝑄 3 |𝜓 𝑚−1 | 6 ]  + [ 𝑖 2 (  𝜓̅ 𝑚 𝜓̇ 𝑚 − 𝜓 𝑚 𝜓̅̇ 𝑚 ) + 𝐶(𝜓̅ 𝑚 𝜓 𝑚+1 + 𝜓 𝑚 𝜓̅ 𝑚+1 − 2|𝜓 𝑚 | 2 ) + 𝐵 2 |𝜓 𝑚 | 4 − 𝑄 3 |𝜓 𝑚 | 6 ] + ⋯
(8)
Turunan 𝐿 terhadap 𝜓 𝑚 dan terhadap 𝜓̇ 𝑚 berturut-turut diberikan oleh
𝜕𝐿 𝜕𝜓 𝑚 = 𝐶𝜓̅ 𝑚−1 − 𝑖 2 𝜓̅̇ 𝑚 + 𝐶𝜓̅ 𝑚+1 − 2𝐶𝜓̅ 𝑚 + 𝐵𝜓̅ 𝑚 2 − 𝑄(𝜓 𝑚 𝜓̅ 𝑚 ) 2 𝜓̅ 𝑚 ,                    (9)
𝜕𝐿 𝜕𝜓 𝑚 ̇ = 𝑖 2 𝜓̅ 𝑚 ⇒ 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝜓̇ 𝑚 = 𝑖 2 𝜓̅̇ 𝑚 . (10)
Karena 𝜓̅ 𝑚 𝜓 𝑚 = |𝜓 𝑚 | 2 , maka dari persamaan (9) dan (10), persamaan ( 7) menjadi
− 𝑖𝜓̅̇ 𝑚 = −𝐶(𝜓̅ 𝑚+1 − 𝜓 𝑛 2𝐶𝜓̅ 𝑚 − 𝜓̅ 𝑚−1 ) − 𝐵|𝜓 𝑛 | 2 𝜓̅ 𝑚 + 𝑄|𝜓 𝑛 | 4 𝜓̅ 𝑚 .                        (11)
Dengan  mengenakan  konjugat  di  kedua  sisi  persamaan  (11),  kemudian  hasilnya  dikalikan dengan -1 dan indeks 𝑚 diganti dengan 𝑛 , maka diperoleh
𝑖𝜓̅̇ 𝑛 = −𝐶(𝜓 𝑛+1 − 2𝜓 𝑛 − 𝜓 𝑛−1 ) − 𝐵|𝜓 𝑛 | 2 𝜓 𝑛 + 𝑄|𝜓 𝑛 | 4 𝜓 𝑛 (12)
yang merupakan persamaan (5).
∎
Solusi soliton diskrit stasioner dapat diperoleh dengan mensubstitusikan 𝜓 𝑛 (𝑡) = 𝑢 𝑛 𝑒 −𝑖𝜇𝑡 , dimana 𝜇 menyatakan frekuensi osilasi, ke persamaan SNLD (5) sehingga didapatkan
−𝐶(𝑢 𝑛+1 − 2𝑢 𝑛 + 𝑢 𝑛−1 ) − 𝐵|𝑢 𝑛 | 2 𝑢 𝑛 + 𝑄|𝑢 𝑛 | 4 𝑢 𝑛 − 𝜇𝑢 𝑛 = 0 . (13)
Secara  umum  solusi 𝑢 𝑛 bernilai  kompleks,  namun  analisis  persamaan  (13)  untuk soliton diskrit yang memenuhi 𝑢 𝑛 → 0 ketika 𝑛 → ±∞ , dapat disederhanakan tanpa  mengurangi  keumuman  dengan  meninjau  solusi  yang  bernilai  riil  saja  [16].  Dengan demikian persamaan (13) menjadi
−𝐶(𝑢 𝑛+1 − 2𝑢 𝑛 + 𝑢 𝑛−1 ) − 𝐵𝑢 𝑛 3 + 𝑄𝑢 𝑛 5 − 𝜇𝑢 𝑛 = 0. (14)
Dalam  hal  ini,  terdapat  tak  hingga  banyaknya  konfigurasi  untuk  soliton  diskrit yang dimaksud. Namun dalam artikel ini hanya ditinjau solusi soliton onsite , yaitu soliton yang berpusat pada satu site dan memenuhi 𝑢 𝑛 = 𝑢 −𝑛 .
Selanjutnya  sebagai  langkah  kedua,  dipilih  fungsi  ansatz  yang  sesuai,  yang  memuat sejumlah  parameter.  Dalam  mengaproksimasi  soliton onsite stasioner  pada  persamaan  SNLD kubik-kuintik (14), Chong dkk [16] mengusulkan fungsi ansatz berikut:
𝑢 𝑛 = 𝐴𝑒 −𝜂|𝑛| , (15)
dimana 𝐴 dan 𝜂 adalah  parameter  variasional  yang  berturut-turut  menyatakan  amplitudo  dan lebar soliton.
Pada artikel ini dipilih fungsi ansatz berikut:
𝑢 𝑛 = {𝐴𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) , 𝑛 ≠ 0, 𝐸,                    𝑛 = 0. (16)
dimana tambahan parameter 𝐸 yang merepresentasikan amplitudo soliton pada site 𝑛 = 0 dapat mengakomodir  profil  soliton  yang  semakin  menyempit  ke site 𝑛 = 0 ketika 𝐶 → 0 . Dibandingkan  dengan  ansatz  Chong  (15),  ansatz  (16)  yang  diusulkan  ini  diharapkan  dapat meningkatkan akurasi aproksimasi variasional pada kasus limit anti-continuum .
Langkah  ketiga  adalah  mensubstitusi  ansatz  (16)  ke  bagian  stasioner  Lagrangian  (6), kemudian menyelesaikan penjumlahannya. Hasil penjumlahan ini dinamakan Lagrangian efektif. Dengan menggunakan bantuan Maple, diperoleh Lagrangian efektif sebagai berikut:
𝐿 eff = − 1 6 1 ( 𝑒6𝜂−1 )( 𝑒2𝜂+1 ) ( 24𝐶𝐴𝐸 + 4𝑒 6𝜂 𝐴 6 𝑄 + 12𝐶𝐸 2 𝑒 6𝜂 + 48𝐴 2 𝐶𝑒 4𝜂 + 6𝐸 2 𝜇 − 2𝑄𝐸 6 + 3𝐵𝐸 4 − 3𝐵𝐸 4 𝑒 6𝜂 − 48𝐴 2 𝐶𝑒 5𝜂 − 48𝐴 2 𝐶𝑒 3𝜂 + 2𝑄𝐸 6 𝑒 6𝜂 − 12𝐴 2 𝑒 2𝜂 𝜇 − 6𝐸 2 𝜇𝑒 8𝜂 − 24𝐴 2 𝐶𝑒 7𝜂 − 3𝐵𝐸 4 𝑒 8𝜂 − 2𝑄𝐸 6 𝑒 2𝜂 − 24𝐴 2 𝐶𝑒 𝜂 − 6𝐸 2 𝜇𝑒 6𝜂 + 6𝐸 2 𝜇𝑒 2𝜂 + 12𝐶𝐸 2 𝑒 8𝜂 − 24𝐴 2 𝜇𝑒 6𝜂 − 24𝐶𝐴𝐸𝑒 8𝜂 − 12𝐶𝐸 2 𝑒 2𝜂 − 12𝐶𝐸 2 − 12𝑒 8𝜂 𝐴 2 𝜇 + 4𝑒 8𝜂 𝐴 6 𝑄 − 6𝑒 6𝜂 𝐴 4 𝐵 + 3𝐵𝐸 4 𝑒 2𝜂 + 24𝐴 2 𝐶𝑒 2𝜂 + 48𝐴 2 𝐶𝑒 6𝜂 + 24𝑒 8𝜂 𝐴 2 𝐶 − 6𝑒 8𝜂 𝐴 4 𝐵 + 2𝑄𝐸 6 𝑒 8𝜂 + 24𝐶𝐴𝐸𝑒 2𝜂 − 24𝐶𝐴𝑒 6𝜂 − 24𝐴 2 𝜇𝑒 4𝜂 − 6𝐴 2 𝑒 4𝜂 𝐵 ) . ( 17)
Berdasarkan prinsip variasional, Lagrangian efektif mencapai nilai kritis pada persamaan Euler-Lagrange. Untuk kasus stasioner, hal ini mengakibatkan
𝜕𝐿 eff 𝜕𝐴 = 𝜕𝐿 eff 𝜕𝐸 = 𝜕𝐿 eff 𝜕𝜂 = 0. (18)
Dengan  mensubstitusikan  Lagrangian  efektif  (17)  ke  persamaan  (18),  didapatkan    sistem persamaan variasional berikut:
𝒜 1 + 𝒜 2 +𝒜 3 = 0, (19)
ℬ 1 + ℬ 2 +ℬ 3 +ℬ 4 = 0, (20)
𝒞 1 = 0, (21)
dimana
𝒜 1 = −4𝐶𝐸 − 4𝑒 6𝜂 𝐴 5 𝑄 − 16𝐴𝐶𝑒 4𝜂 + 16𝐴𝐶𝑒 5𝜂 + 16𝐴𝑒 3𝜂 + 4𝐴𝑒 2𝜂 + 8𝐴𝐶𝑒 7𝜂 , 𝒜 2 = 8𝐴𝐶𝑒 𝜂 + 8𝐴𝜇𝑒 6𝜂 + 4𝐶𝐸𝑒 8𝜂 + 4𝑒 8𝜂 𝐴𝜇 − 4𝑒 8𝜂 𝐴 5 𝑄 + 4𝑒 6𝜂 𝐴 3 𝐵 − 8𝐴𝐶𝑒 2𝜂 ,
𝒜 3 = −16𝐴𝐶𝑒 6𝜂 − 8𝑒 8𝜂 𝐴𝐶 + 4𝑒 8𝜂 𝐴 3 𝐵 − 4𝐶𝐸𝑒 2𝜂 + 4𝐶𝐸𝑒 6𝜂 + 8𝐴𝜇𝑒 4𝜂 + 4𝐴 3 𝑒 4𝜂 𝐵 , ℬ 1 = 4 𝑒 𝜂 𝐴 2 ( −18𝐶𝑒 8𝜂 − 4 𝜇 𝑒 3𝜂 − 8 𝜇 𝑒 5𝜂 − 18𝐶𝑒 6𝜂 + 16𝑒 5𝜂 − 12𝐶𝑒 4𝜂 + 2𝑒 7𝜂 𝐴 4 𝑄 ) ,
ℬ 2 = 4 𝑒 𝜂 𝐴 2 ( 2𝐶𝑒 13𝜂 − 3𝑒 7𝜂 ) 𝐴 2 𝐵 + 8𝑒 3𝜂 𝐶 + 𝑒 5𝜂 𝐴 4 𝑄 − 𝐶𝑒 14𝜂 − 2𝐴 2 𝑒 9𝜂 𝐵 − 𝐶𝑒 11𝜂 𝐴 2 𝐵,
ℬ 3 = 4 𝑒 𝜂 𝐴 2 (−5𝐶𝑒 2𝜂 + 2𝐶𝑒 𝜂 − 𝐴 2 𝑒 3𝜂 𝐵 − 12𝐶𝑒 10𝜂 + 𝑄𝐴 4 𝑒 9𝜂 − 𝑒 13𝜂 𝜇 − 4𝜇 𝑒 11𝜂 − 10𝑒 7𝜂 𝜇, ℬ 4 = 4 𝑒 𝜂 𝐴 2 ( −𝑒 𝜂 𝜇 + 20𝐶𝑒 7𝜂 − 2𝐴 2 𝑒 5𝜂 𝐵 ) + 8𝐶𝑒 11𝜂 + 16𝐶𝑒 9𝜂 − 8𝑒 9𝜂 𝜇 − 5𝜇 𝑒 9𝜂 − 5𝐶𝑒 12𝜂 ,
𝒞 1 = −2𝑄𝐸 5 + 2𝐸𝜇 − 4𝐶𝐸 + 4𝐶𝐴 + 2𝐵𝐸 3 .
Langkah  terakhir  dari  metode  AV  adalah  menentukan  titik-titik  kritis  untuk  parameter variasional. Karena kompleksitas perhitungan, nilai parameter variasional 𝐴, 𝐸, 𝜂 yang diperoleh sebagai  solusi  dari  sistem  persamaan  (19)-(21)  untuk  nilai 𝐶, 𝐵, 𝑄, 𝜇 yang  diberikan  dapat dihitung secara numerik dengan menggunakan metode Newton-Raphson.

## 3 Perbandingan Hasil Analitik dengan Hasil Numerik
Pada  bagian  ini  hasil-hasil  yang  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  AV  akan dibandingkan  dengan  hasil-hasil  numerik.  Karena  yang  ditinjau  kasus  stasioner,  maka  solusi numerik  untuk  soliton onsite diperoleh  dengan  menyelesaikan  persamaan  (14).  Di  sini  solusi numerik ditentukan dengan menggunakan metode Newton-Raphson yang dihitung pada domain 𝑛  ∈ [−𝑁, 𝑁] ,  dengan 𝑁  ∈ ℤ yang  nilainya  cukup  besar.  Karena  soliton  mempunyai  ekor  yang asimtotik ke nol, maka pada skema numerik digunakan syarat batas 𝑢 ±(𝑁+1) = 𝑢 ±(𝑁) .
Sebagai  contoh  ilustrasi,  pada  Gambar  1  diperlihatkan  perbandingan  antara  solusi  soliton onsite yang  diperoleh  dari  perhitungan  numerik  dengan  yang  dihasilkan  dari  aproksimasi variasional  untuk  nilai-nilai  parameter 𝜇 = 0.5;  𝐵 = 2;  𝑄 = 0.1; 0.8 dan 𝐶 = 0.04;0.09;0.1.  Pada Gambar  1  juga  ditampilkan  solusi  untuk  nilai-nilai  parameter  variasional 𝐴 , 𝐸 ,  dan 𝜂 yang diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan (19)-(21) secara numerik untuk  nilai 𝜇, 𝐶, 𝐵 dan Q yang diberikan. Dapat diamati dari Gambar 1 bahwa hampiran solusi soliton AV memiliki kesesuaian  yang  sangat  bagus  dengan  solusi  numerik, dimana tingkat  keakuratannya  lebih baik untuk nilai 𝐶 yang semakin kecil. Hal ini konsisten dengan kasus yang ditinjau, yaitu untuk limit anti-continuum .

## 4 Validasi Aproksimasi Variasional
Validasi  hasil  aproksimasi  untuk  soliton  diskrit  pada  persamaan  SNLD  (13)  didasarkan pada  justifikasi  yang  dilakukan  oleh  Chong  dkk  [15].  Untuk  mengukur  keakuratan  solusi variasional dari persamaan SNLD (13), definisikan terlebih dahulu
𝑅 𝑛 (𝑢) = −𝐶(𝑢 𝑛+1 − 2𝑢 𝑛 + 𝑢 𝑛−1 ) − 𝐵𝑢 𝑛 3 + 𝑄𝑢 𝑛 5 − 𝜇𝑢 𝑛 . (22)
Perhatikan  bahwa  jika 𝑢 solusi  eksak,  maka 𝑅 𝑛 (𝑢) akan  bernilai  nol  untuk  setiap 𝑛 .  Dengan demikian solusi variasional akan mendekati solusi eksak apabila 𝑅 𝑛 (𝑢) → 0 untuk setiap 𝑛 .
Validasi aproksimasi variasional untuk soliton onsite pada persamaan SNLD kubik-kuintik stasioner (14) diberikan dalam proposisi berikut.
Proposisi 1. Misalkan 𝑢 ∗ adalah solusi variasional soliton onsite dari persamaan SNLD kubik- kuintik stasioner (14) yang dinyatakan dengan ansatz (16) dimana parameter variasional 𝜂, 𝐴,

## Aproksimasi Variasional untuk Soliton Onsite
𝐸 memenuhi  persamaan  (19),  (20),  (21).  Maka  terdapat 𝐶 0 , 𝐾 > 0 sedemikian  sehingga  untuk setiap 𝐶 ∈ (0, 𝐶 0 ) ,  persamaan  SNLD  kubik-kuintik  stasioner  (13) memiliki  solusi  u  yang memenuhi
‖𝑢 − 𝑢 ∗ ‖ 𝑙 2 ≤ 𝐾𝐶 4 . (23)
Gambar 1. Perbandingan solusi soliton onsite yang diperoleh secara numerik (garis-bulat) dan aproksimasi variasional (garis-silang) untuk beberapa nilai 𝐶, 𝐵, 𝑄 , dan 𝜇 .

## Aproksimasi Variasional untuk Soliton Onsite
Bukti .  Perhatikan  bahwa  laju  penurunan  eksponensial  soliton  diskrit  memenuhi  teori  linier persamaan  beda,  sehingga  solusi  untuk  parameter 𝜂 dapat  diperoleh  dengan  mensubstitusikan 𝑢 𝑛 = 𝑝𝑒 −𝜂𝑛 , dimana 𝑝 suatu konstanta tak-nol, ke bagian linier dari persamaan (22), yaitu
−𝐶(𝑢 𝑛+1 − 2𝑢 𝑛 + 𝑢 𝑛−1 ) − 𝜇𝑢 𝑛 = 0, (24)
sehingga didapat
−𝐶(𝑒 −𝜂 + 𝑒 𝜂 ) = 2𝐶 − 𝜇 ⇒ 𝜂 = arccosh ( 2𝐶 − 𝜇 2𝐶 ). (25)
Fungsi 𝑒 𝜂 dapat dijabarkan dalam deret Taylor di 𝐶 ≈ 0 sebagai berikut:
𝑒 𝜂 = 𝐶 𝜇 − 2 𝐶 2 𝜇 2 + 5 𝐶 3 𝜇 3 − 14 𝐶 4 𝜇 4 + 42 𝐶 5 4 + 𝒪(𝐶 6 ). (26)
Misalkan parameter 𝐴 dan 𝐸 dapat ditulis dalam bentuk ekspansi
𝐴 =   𝑎 0 + 𝑎 1 𝐶 + 𝑎 2 𝐶 2 + 𝑎 3 𝐶 3 + 𝒪(𝐶 4 ) , (27)
𝐸 =   𝑏 0 + 𝑏 1 𝐶 + 𝑏 2 𝐶 2 + 𝑏 3 𝐶 3 + 𝒪(𝐶 4 ) , (28)
dimana 𝑎 𝑖 dan 𝑏 𝑖 merupakan  koefisien-koefisien  yang  akan  dicari  nilainya.  Hal  ini  dilakukan dengan  mensubstitusi  persamaan  (26),  (27)  dan  (28)  ke  persamaan  (19)  dan  (20),  kemudian mengelompokkan suku-sukunya berdasarkan pangkat 𝐶 .
Selanjutnya ansatz (16) disubstitusikan ke persamaan (22), sehingga diperoleh
𝑅 𝑛 (𝑢) =
{ 𝐴(−𝐶𝑒 −𝜂(|𝑛+1|−1) + 2𝐶𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) − 𝐶𝑒 −𝜂(|𝑛−1|−1) − 𝐵𝐴 2 𝑒 −3𝜂(|𝑛|−1) + 𝑄𝐴 4 𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) − 𝜇𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) ),                                                                               𝑛 ≤ −2 𝐶𝐸 + 2𝐶𝐴 − 𝐶𝐴𝑒 −𝜂 − 𝐵𝐴 3 + 𝑄𝐴 5 − 𝜇𝐴,                                                                    𝑛 = −1 −2𝐶𝐴 + 2𝐶𝐸 − 𝐵𝐸 3 + 𝑄𝐸 5 − 𝜇𝐸,                                                                                  𝑛 = 0 −𝐶𝐸 + 2𝐶𝐴 − 𝐶𝐴𝑒 −𝜂 − 𝐵𝐴 3 − 𝑄𝐴 5 − 𝜇𝐴,                                                                  𝑛 = 1 𝐴(−𝐶𝑒 −𝜂(|𝑛+1|−1) + 2𝐶𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) − 𝐶𝑒 −𝜂(|𝑛−1|−1) − 𝐵𝐴 2 𝑒 −3𝜂(|𝑛|−1) + 𝑄𝐴 4 𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) − 𝜇𝑒 −𝜂(|𝑛|−1) ),                                                                          𝑛 ≥ 2
( 29 )
Dengan mensubstitusikan ekspansi (26), (27), ( 28) ke persamaan (29),  dihasilkan
𝑅 0 (𝑢) = 0,
𝑅 |𝑛|=1 (𝑢) = 𝒪(𝐶 4 ), ( 30 ) 𝑅 |𝑛|≥2 (𝑢) = 𝒪(𝐶 3|𝑛| ).
Perhatikan bahwa barisan {𝑅 𝑖 (𝑢)} ∞ 𝑖 = 1 konvergen ke 0. Akibatnya |𝑅 1 | 2 + |𝑅 2 | 2 + ⋯ konvergen atau ∑ |𝑅 𝑘 | 2 ∞ 𝑘=1 < ∞. Hal ini menjelaskan bahwa 𝑅 𝑖 (𝑢) ada di ruang 𝑙 2 dengan norm ‖𝑅(𝑢)‖ 𝑙 2 = √|𝑅 1 | 2 + |𝑅 2 | 2 + ⋯ . Lebih lanjut, dari (30) diperoleh
‖𝑅(𝑢)‖ 𝑙 2 = 𝒪(𝐶 4 ) ketika 𝐶 → 0 . (31)
Selanjutnya misalkan 𝑆 = {0} , 𝑒 0 = (… , 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, … ), dan 𝜎 0 = 𝑐 , untuk suatu 𝑐 > 0 . Untuk  kasus  soliton  diskrit onsite, dapat  ditunjukkan  bahwa solusi  variasional 𝑢 ∗ yang dinyatakan oleh ansatz (16) memenuhi
lim 𝐶→0 ‖𝑢 ∗ − 𝜎 0 𝑒 0 ‖ 𝑙 2 = 0. (32)
Berdasarkan justifikasi yang diberikan oleh Chong dkk [15], maka terdapat 𝐶 0 , 𝐾 > 0 dan solusi tunggal u dari  persamaan  SNLD  kubik-kuintik  stasioner  (13)  dengan 𝐶 ∈ (0, 𝐶 0 ) sedemikian sehingga berlaku
‖𝑢 − 𝑢 ∗ ‖ 𝑙 2 ≤ 𝐾𝐶 4 . (33)
Dengan demikian Proposisi 1 terbukti. ∎ Karena  solusi  eksak  tidak  diketahui,  maka  dalam  implementasinya  kuantitas ‖𝑢 − 𝑢 ∗ ‖ 𝑙 2 dapat dihampiri oleh
galat = ‖𝑢 num − 𝑢 ∗ ‖, (34)
dimana 𝑢 num adalah solusi numerik dan 𝑢 ∗ adalah solusi variasional.
Sebagai ilustrasi, misalkan akan diperiksa validasi solusi variasional untuk 𝐵 = 2, 𝜇 = 0.5 dengan  dua  nilai 𝑄 yang  berbeda,  yaitu 𝑄 = 0.1 dan 𝑄 = 0.8 .  Grafik  dari  galat  (40)  terhadap 𝐶 diberikan  pada  Gambar  2.  Dari  gambar  dapat  dilihat  bahwa  nilai  galat  semakin  besar  ketika C membesar.    Untuk  mengetahui  fungsi  dari  kurva  galat  tersebut,  dilakukan  pencocokan  kurva ( best  power  fit) yang  memberikan  hasil 𝑓(𝐶) = 0.65808𝐶 5.7172 (untuk 𝑄 = 0.1 )  dan 𝑓(𝐶) = 0.97495𝐶 5.7818 (untuk 𝑄 = 0.8 ). Perhatikan bahwa hasil-hasil ini memenuhi persamaan (33) pada Proposisi 1. Hal ini mengkonfirmasi bahwa solusi AV untuk soliton onsite dengan menggunakan ansatz (16) adalah valid.
Gambar 2. Nilai galat antara solusi variasional dan solusi numerik terhadap C untuk 𝜇 = 0.5, 𝐵 = 2, dan dua nilai Q, yaitu 𝑄 = 0.1 (kiri) dan 𝑄 = 0.8 (kanan).
Untuk membandingkan  hasil tersebut  dengan hasil AV  yang  diperoleh dari ansatz Chong (15),  maka  dengan  cara  melakukan  perhitungan  yang  sama  dengan  sebelumnya,  dapat  dicari ‖𝑅(𝑢)‖ 𝑙 2 dimana 𝑢 adalah ansatz (15). Selanjutnya dapat diplot galat antara solusi numerik dan variasional  seperti  yang  didefinisikan  pada  persamaan  (34).  Hasil  perhitungan  variasional memberikan
‖𝑅(𝑢)‖ 𝑙 2 = 𝑂(𝐶 3 ) (35)
dan  plot  galat  diberikan  pada  Gambar  3  untuk 𝜇 =  0.5, B =  2  dan Q =  0.1;0.8.  Dengan menggunakan  pencocokan  kurva  ( best  power  fit )  untuk  kurva  galat  pada  Gambar  3,  diperoleh 𝑓(𝐶) = 0,8992 𝐶 3,3399 (untuk 𝑄 = 0.1 )  dan 𝑓(𝐶) = 1.3219 𝐶 3.4045 (untuk 𝑄 = 0.8 ).  Dari persamaan  (35)  dan  Gambar  3  dapat  disimpulkan  bahwa  solusi  variasional  yang  diperoleh  dari ansatz (16) lebih akurat daripada ansatz Chong (15).
Gambar 3. Nilai galat antara solusi variasional dan solusi numerik terhadap 𝐶 untuk 𝜇 = 0.5, 𝐵 = 2, dan dua nilai Q, yaitu 𝑄 = 0.1 (kiri) dan 𝑄 = 0.8 (kanan).

## 5  Simpulan
Pada  artikel  ini  telah  dicari  aproksimasi  variasional  untuk  soliton  onsite  pada  persamaan SNLD  kubik-kuintik  dengan  menggunakan  fungsi  ansatz  baru.  Solusi  AV  yang  diperoleh menunjukkan  kesesuaian  yang  sangat  baik  dengan  solusi  yang  diperoleh  secara  numerik untuk  kasus  limit anti-continuum .  Solusi  AV  tersebut  kemudian  diuji  validasinya  berdasarkan justifikasi yang dilakukan oleh Chong dkk [15], dan diperoleh bahwa solusi AV yang dihasilkan adalah valid. Dibandingkan dengan fungsi ansatz yang digunakan Chong dkk [16] ,fungsi ansatz baru yang diusulkan dalam artikel ini menghasilkan aproksimasi yang lebih baik.

## Daftar Pustaka
[1] P.  G.  Kevrekidis,  “ Discrete  Nonlinear  Schrödinger  Equation:  Mathematical  Analysis, Numerical Computations and Physical Perspectives, ” Springer Tracts in Modern Physics, Volume 54 . Springer, 2009.
[2] J.T.  Mendonça  dan Hugo  Terças,  “Physics  of  Ultra-Cold  Matter:  Atomic  Clouds,  Bose- Einstein Condensates and Rydberg Plasmas,” Springer, New York, 2013.
[3] A.  Nobel,  “The  Nobel  Prize  in  Physics  2001,”  2001.  [Online].  Available: https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2001/advanced-information/.  [Accessed:  10- Feb-2018].
[4] P. G. Drazin dan R. S. Johnson, “ Soliton: An Introduction ,” Cambridge University Press, Cambridge. 1989.
[5] M. J. Ablowitz dan J. F. Ladik, “Nonlinear differential – difference equations and Fourier analysis”, J.Math Phys, vol. 16, pp. 598, 1976.
[6] K.  W.  Cassel, Variational  methods  with  applications  in  science  and  engineering , Cambridge University Press, Cambridge, 2013.
[7] A.  B.  Aceves,  C.  De  Angelis,  T.  Peschel,  R.  Muschall,  F.  Lederer,  S.  Trillo  and  S. Wabnitz,  “Discrete  self-trapping,  soliton  interactions,  and  beam  steering  in  nonlinear waveguide arrays,” Phys. Rev. E , vol. 53, no. 1, pp. 1172–1189, 1996.
[8] D. J. Kaup, “Variational solutions for the discrete nonlinear Schrödinger equation,” Math. Comput. Simul. , vol. 69, no. 3–4, pp. 322–333, 2005.
[9] J.  Cuevas,  G.  James,  P.  G.  Kevrekidis,  B.A.  Malomed  dan  B.  Sánchez-Rey, "Approximation of solitons in the discrete NLS equation," J. Nonlinear Math. Phys , vol. 15, pp. 124, 2008.
[10]  Syafwan, M., "Variational approximations for solitons in a parametrically driven discrete nonlinear  Schrödinger  equation," Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  dan Pendidikan Matematika . 31 Oktober 2012,  Universitas Andalas, Padang,  Indonesia. Hal. 52-58, 2012.
[11]  Susanto, H, Q. E. Hoq dan P. G. Kevrekidis," Stability of discrete solitons in the presence of parametric driving," Phys. Rev. E. 74: 067601, 2006.
[12]  Syafwan,  M,  H.  Susanto  dan  S.  M.  Cox.,"  Discrete  solitons  in  electromechanical resonators," Phys. Rev. E. 81: 026207, 2010.
[13]  P.  S.  Matematika  and  U.  Andalas,  “Aproksimasi  variasional  untuk  solusi  ¨  soliton  pada persamaan schr odinger nonlinier diskrit nonlokal,” vol. 5, no. 3, pp. 40–46.

## Aproksimasi Variasional untuk Soliton Onsite
[14]  Syafwan,  M,  Efendi,  N.  Arifin,  "Variational  approximations  for  twisted  solitons  in  a parametrically driven discrete nonlinear Schrödinger equation". Journal of Physics: Conf. Series 983: 012145, 2018.
[15]  C.  Chong,  D.  E.  Pelinovsky,  and  G.  Schneider,  “On  the  validity  of  the  variational approximation in discrete nonlinear Schrödinger equations,” Phys. D Nonlinear Phenom. , vol. 241, no. 2, pp. 115–124, 2011.
[16]  C.  Chong  and  D.  E.  Pelinovsky,  “Variational  approximations  of  bifurcations  of asymmetric solitons in cubic-quintic nonlinear schrödinger lattices,” Discret. Contin. Dyn. Syst. - Ser. S , vol. 4, no. 5, pp. 1019–1031, 2011.
[17]  G.  Boudebs,  S.  Cherukulappurath,  H.  Leblond,  J.  Troles,  F.  Smektala,  and  F.  Sanchez, “Experimental  and  theoretical  study  of  higher-order  nonlinearities  in  chalcogenide glasses,” Opt. Commun. , vol. 219, no. 1–6, pp. 427–433, 2003.
[18]  C.  Chong,  R.  Carretero-Gonz_alez,  B.  A.  Malomed  dan  P.  G.  Kevrekidis,  "Multistable solitons  in  higher-dimensional  cubic-quintic  nonlinear  Schrödinger  lattices", Physica  D , vol. 238 , 126-136, 2009
[19]  D. J. Kaup dan T. K. Vogel, “Quantitative Measurement of Variational Approximations ” Phys. Lett. A , vol. 362, pp. 53–66, 2007.