## METODE ADI (ALTERNATING DIRECT IMPLICIT) PADA PENYELESAIAN MODEL ALIRAN AIR TANAH
Mohammad Syaiful Pradana 1 , Lutvia Muniroh 2
1 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, gomasyai@gmail.com
2 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, lutviamuniroh@gmail.com
Abstract. The flow of water beneath the earth's surface flows through the pores like rocks and other porous media that can be flooded by water. In the soil, water flows due to the difference in hydraulic height that is the difference from ground water  level.  Groundwater  movement,  generally  moving  water  with  relatively slow  flow  can  be  modeled  using  Darcy  law  and  mass  conservation  laws.  The model is approximated numerically using the Finite Difference Method with the ADI (Alternating Direct Implicit) scheme. The ADI method has an advantage in the  accuracy  or  accuracy  of  the  results  and  the  speed  of  completion.  The  ADI method  can  be  applied  to  two  or  three  dimensional  systems  to  obtain  the tridiagonal coefficient matrix.
Key Words : Groundwater Flow, Alternating Direct Implicit
Abstrak. Aliran air di bawah permukaan bumi mengalir melalui pori-pori seperti batuan  dan  media  berpori  lain  yang  dapat  dialiri  oleh  air.  Di  dalam  tanah,  air mengalir  dikarenakan  adanya  perbedaan  tinggi  hidraulik  yaitu  perbedaan  dari elevasi muka air tanah.  Pergerakan air dalam tanah, pada umumnya air bergerak dengan  aliran  relatif  lambat  dapat  dimodelkan  dengan  menggunakan  hukum Darcy dan hukum konservasi massa. Selanjutnya model didekati secara numerik menggunakan metode beda hingga ( finite difference method ) dengan skema ADI ( Alternating  Direct  Implicit ).  Metode  ADI  mempunyai  keunggulan  dalam akurasi  atau  ketepatan  hasil  dan  kecepatan  penyelesaian.  Metode ADI dapat diterapkan  untuk  sistem  dua  atau  tiga  dimensi  untuk  mendapatkan  matriks koefisien tridiagonal.
Kata Kunci : Aliran Air tanah, Alternating Direct Implicit

## 1      Pendahuluan
Seluruh makhluk hidup di dunia sangat bergantung terhadap air. Setiap hari manusia  menggunakan  air  untuk  berbagai  keperluan,  seperti  kebutuhan  rumah tangga,  pertanian,  peternakan,  industri  dan  keperluan  lainnya.  Pertumbuhan populasi  manusia  yang  semakin  meningkat  memberikan  dampak  kepada persediaan air bersih yang bersifat terbatas. Sebagai salah satu sumber air bersih, air tanah dapat  menjadi  alternatif manusia untuk  memenuhi  kebutuhan air dalam kehidupannya.  Terdapat  sejumlah  air  di  bawah  permukaan  bumi  yang  dapat dikumpulkan  dengan  sumur-sumur  atau  pemompaan  yang  dikenal  dengan  air tanah.
Aliran  air  dibawah  permukaan  bumi  tersebut  mengalir  melalui  pori-pori seperti batuan dan media berpori lain yang dapat dialiri oleh air. Air dalam tanah mengalir  dikarenakan  adanya  perbedaan  tinggi  hidraulik  yaitu  perbedaan  dari elevasi muka air tanah.  Pergerakan air dalam tanah merupakan bagian dari siklus hidrologi. Pergerakan air dalam tanah, pada umumnya air bergerak dengan aliran relatif  lambat  atau  dalam  kondisi  laminer  dapat  dianalisa  dengan  menggunakan hukum Darcy. Pemodelan  matematika  untuk  aliran  air  dalam  tanah  diperoleh dengan  menggabungkan  persamaan  dari Darcy’s  Law dengan  hukum-hukum konservasi massa dan momentum.
Untuk  menentukan  potensi  sumber  daya  dan  dampak  dimasa  depan  akibat perubahan kondisi lingkungan melalui parameter-parameter akuifer dapat didekati secara  numerik  menggunakan  metode  beda  hingga  dengan  skema ADI ( Alternating Direct Implicit ). Metode ADI mempunyai keunggulan dalam akurasi atau  ketepatan  hasil  dan  kecepatan  penyelesaian.  Sistem  persamaan  untuk  kasus satu  dimensi  selalu  memiliki  matriks  koefisien  tridiagonal  yang  secara  efisien dapat  menggunakan  algoritma  Thomas.  Metode ADI dapat  diterapkan  untuk sistem dua atau tiga dimensi untuk mendapatkan matriks koefisien tridiagonal.

## 2 Kajian Teori

## 2.1 Aliran Air Tanah
Aliran air dalam tanah secara umum bergerak dari daerah imbuh ( recharge area )  ke  daerah  luah  ( discharge  area )  dan  dapat  muncul  ke  permukaan  secara alami  maupun  buatan  (Usmar  dan  Hakin,  2006).  Pergerakan    air  tanah  terjadi mulai dari masuknya air dalam tanah ( recharge area ), bergerak menuju keluarnya air tanah dalam bentuk  mata air, rembesan atau limpasan pada sumur ( discharge area ).
Data  yang  didapatkan  pada  paper  ini  berasal  dari  aliran  air  tanah  tanpa discharge. Aliran air tanah pada aliran ini adalah air tanah mengalir satu arah ke arah 𝑥 dan tidak ada aliran ke arah 𝑦 , seperti yang terlihat pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1. Aliran Air Tanah Tanpa Discharge .
Pada akuifer ini tinggi air tanah dapat di hitung dengan :
ℎ 2 = 𝐻 0 2 + (𝐻 1 2 − 𝐻 0 2 )𝑥 𝐿 (1)
Dengan 𝐻 0 merupakan  tinggi  permukaan  air  tertinggi, 𝐻 1 merupakan  tinggi permukaan air terendah, ℎ merupakan tinggi air tanah yang ditinjau, 𝑥 merupakan jarak dari titik yang ditinjau terhadap 𝐻 0 dan 𝐿 merupakan jarak 𝐻 1 dan 𝐻 0 .
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan

## 2.2  Hukum Darcy
Hukum Darcy merupakan  persamaan  yang  mendefinisikan  kemampuan suatu fluida mengalir melalui media berpori seperti batu.  Jumlah aliran antara dua titik  secara  langsung  berkaitan  dengan  perbedaan  tekanan  antara  titik-titik,  jarak antara  titik-titik,  dan  interkonektivitas  jalur  aliran  dalam  batuan  antara  titik-titik. Pengukuran interkonektivitas disebut permeabilitas. Hukum Darcy ditulis sebagai:
𝑄 = −𝐾𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑙
(2)
Dengan 𝑄 merupakan laju aliran air (volume per waktu), 𝐾 merupakan koefisien tak berdimensi, 𝑑ℎ 𝑑𝑙 merupakan gradien hidrolik dan 𝐴 merupakan luas penampang lintang. Gambaran Hukum Darcy ditunjukkan pada Gambar 2 berikut.
Gambar 2. Hukum Darcy
Hukum Darcy direferensikan  untuk  campuran  sistem  unit.  Sebuah  medium dengan  permeabilitas  1 Darcy memungkinkan  aliran  1cm³/s  dari  cairan  dengan viskositas 1 cP (1 Mpa·s) di bawah gradien tekanan 1atm/cm di seluruh luas 1cm².

## 2.3  Hukum Kekekalan Massa
Menurut Apsley (2005) hukum kekekalan massa adalah perubahan rata-rata massa di  dalam  volume  kendali  ditambah  dengan  arus  massa  yang  keluar  melalui permukaan  kendali  sama  dengan  banyaknya  massa  yang  diciptakan  dari sumbernya atau yang hilang, dapat dituliskan pada persamaan (3) berikut.
𝑑 𝑑𝑡 (Massa) + aliran massa keluar = sumber massa (3)
Maka persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk
𝑑 𝑑𝑡 (𝜌∀) + ∑ 𝜌𝑢𝐴 𝐹𝑎𝑐𝑒𝑠 = 𝑆 (4)
dengan 𝜌∀ merupakan massa, 𝜌𝑢𝐴 merupakan aliran massa yang keluar melalui permukaan  kendali, 𝜌 merupakan  massa  jenis, ∀ merupakan  volume, 𝑢 merupakan  kecepatan  dan 𝐴 merupakan  luas  permukaan.  Menurut  teorema pengangkutan  Reynold  (Apsley,  2005),  persamaan  (4)  dapat  dinyatakan  dalam bentuk
𝑑 𝑑𝑡 (𝜌∀) + (𝜌𝑢𝐴) 𝑜𝑢𝑡 − (𝜌𝑢𝐴) 𝑖𝑛 = 𝑆 (5)

## 3 Hasil dan Pembahasan
Model aliran air tanah didapatkan dengan menurunkan persamaan kekekalan massa  yang  meliputi  aliran  masuk  ( inflow ),  keluar  ( outflow )  dan  perubahan penampungan  air  tanah.  Menurut  prinsip  kontinum  hukum  kekekalan  massa disebutkan  bahwa  aliran  massa  yang  masuk  dikurangi  dengan  aliran  massa  yang keluar sama dengan jumlah massa yang disimpan.
Gambar 3. Volume kendali aliran massa
Jika  volume  kendali  pada  Gambar  3  diperbesar  dan  digambarkan  arah  aliran massanya  dari  permukaan  yang  berjarak ∆𝑥 dari  pusat  elemen  dinyatakan berturut-turut  sebagai 𝜌(𝑥)𝑢(𝑥)𝐴(𝑥) dan 𝜌(𝑥 + ∆𝑥)𝑢(𝑥 + ∆𝑥)𝐴(𝑥 + ∆𝑥) ,  maka dari hukum kekekalan massa  dapat dijabarkan menjadi ((𝜌(𝑥)𝑢(𝑥)𝐴(𝑥)) 𝑒 − (𝜌(𝑥 + ∆𝑥)𝑢(𝑥 + ∆𝑥)𝐴(𝑥 + ∆𝑥)) 𝑤 )∆𝑡 + ((𝜌(𝑦)𝑣(𝑦)𝐴(𝑦)) 𝑛 − (𝜌(𝑦 + ∆𝑦)𝑣(𝑦 + ∆𝑦)𝐴(𝑦 + ∆𝑦)) 𝑠 )∆𝑡 + ((𝜌(𝑧)𝑤(𝑧)𝐴(𝑧)) 𝑡 − (𝜌(𝑧 + ∆𝑧)𝑤(𝑧 + ∆𝑧)𝐴(𝑧 + ∆𝑧)) 𝑏 )∆𝑡 = −(𝑚(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑚(𝑡)) . (8) Karena 𝐴(𝑥) 𝑒 = 𝐴(𝑥 + ∆𝑥) 𝑤 = ∆𝑦∆𝑧, 𝐴(𝑦) 𝑛 = 𝐴(𝑦 + ∆𝑦) 𝑠 = ∆𝑥∆𝑧, dan 𝐴(𝑧) 𝑡 = 𝐴(𝑧 + ∆ 㠴 ) 𝑏 = ∆𝑥∆𝑦 ,  dan  membagi  persamaan  dengan ∆𝑡 ,  maka Persamaan (8) dapat ditulis (𝜌𝑢(𝑥) − 𝜌𝑢(𝑥 + ∆𝑥)) ∆𝑦∆𝑧 + (𝜌𝑣(𝑦) − 𝜌𝑣(𝑦 + ∆𝑦))∆𝑥∆𝑧 + (𝜌𝑤(𝑧) −
𝜌𝑤(𝑧 + ∆𝑧))∆𝑥∆𝑦 = − ( 𝑚(𝑡+∆𝑡)−𝑚(𝑡) ∆𝑡 ) . (9)
Dengan mengambil limit ∆𝑡 → 0 di ruas kanan, maka Persamaan (9) menjadi (𝜌𝑢(𝑥) − 𝜌𝑢(𝑥 + ∆𝑥)) ∆𝑦∆𝑧 + (𝜌𝑣(𝑦) − 𝜌𝑣(𝑦 + ∆𝑦))∆𝑥∆𝑧 + (𝜌𝑤(𝑧) − 𝜌𝑤(𝑧 + ∆𝑧))∆𝑥∆𝑦 = − 𝜕𝑚 𝜕𝑡 . (10)
Karena 𝑚 = 𝜌𝑉 𝑝 , dan 𝑉 𝑝 = 𝑛𝑉 adalah volume pori yang terdapat pada irisan ∆𝑥 , ∆𝑦 , dan ∆𝑧 , maka: 𝑚 = 𝜌𝑉 𝑝 = 𝜌𝑛𝑉 = 𝜌𝑛∆𝑥∆𝑦∆𝑧 . Dengan demikian, Persamaan (10) ditulis menjadi:
(𝜌𝑢(𝑥) − 𝜌𝑢(𝑥 + ∆𝑥)) ∆𝑦∆𝑧 + (𝜌𝑣(𝑦) − 𝜌𝑣(𝑦 + ∆𝑦))∆𝑥∆𝑧 + (𝜌𝑤(𝑧) − 𝜌𝑤(𝑧 + ∆𝑧))∆𝑥∆𝑦 = − 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌𝑛)∆𝑥∆𝑦∆𝑧 . (11) Δ x Δ y Δ z ñ(𝑥 + ∆𝑥)𝑢(𝑥 + ∆𝑥)𝐴(𝑥 + ∆𝑥) ñ(𝑥)𝑢(𝑥)𝐴(𝑥) ñ(𝑧)𝑤(𝑧)𝐴(𝑧) ñ(𝑧 + ∆𝑧)𝑤(𝑧 + ∆𝑧)𝐴(𝑧 + ∆𝑧) ñ(𝑦)𝑣(𝑦)𝐴(𝑦) ñ(𝑦 + ∆𝑦)𝑣(𝑦 + ∆𝑦)𝐴(𝑦 + ∆𝑦)
Jika Persamaan (11) dibagi dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 , maka di peroleh
− (𝜌𝑢(𝑥+∆𝑥)−𝜌𝑢(𝑥)) ∆𝑥 − (𝜌𝑣(𝑦+∆𝑦)−𝜌𝑣(𝑦)) ∆𝑦 − (𝜌𝑤(𝑧+∆𝑧)−𝜌𝑤(𝑧)) ∆𝑧 = − 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌𝑛) . (12)
Dengan  mengambil  limit ∆𝑥 → 0, ∆𝑦 → 0, ∆𝑧 → 0 pada  ruas  kiri,  maka persamaan (12) dapat ditulis menjadi
𝜕 𝜕𝑥 (𝜌𝑢) + 𝜕 𝜕𝑦 (𝜌𝑣) + 捯 𝜕𝑧 (𝜌𝑤) = 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌𝑛) . (13)
dengan 𝜌 merupakan  massa  jenis  fluida, 𝑢 merupakan  laju  aliran  fluida  arah longitudinal, 𝑣 merupakan  laju  aliran  fluida  arah  lateral  dan 𝑤 merupakan  laju aliran  fluida  arah  vertikal  dan 𝑛 porositas  dari  medium.  Karena 𝜌 konstan  dan akan  dilihat  dalam  arah  longitudinal  dan  lateral,  maka  diperoleh  persamaan  (14) berikut.
𝜕 𝜕𝑥 𝑢 + 𝜕 𝜕𝑦 𝑣 = 𝜕 𝜕𝑡 𝑛 (14)
Dengan mensubtitusikan persamaan Darcy, maka persamaan pengatur (14) aliran air tanah menjadi:
𝜕 𝜕 㡊 (𝑘 𝑥 𝜕ℎ 𝜕𝑥 ) 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 (𝑘 𝑦 𝜕ℎ 𝜕𝑦 ) 𝜕𝑦 = 𝑆 𝑠 ( 𝜕ℎ 𝜕𝑡 ) (15)
Dengan 𝑘 𝑥 merupakan  konduktivitas  hidrolik  pada  arah  longitudinal, 𝑘 𝑦 merupakan konduktivitas hidrolik pada arah lateral, ℎ merupakan tinggi muka air tanah,  dan 𝑆 𝑠 merupakan specific  storage .  Pada  akuifer  tertekan  yang  homogen dan  isotropis,  yaitu  nilai 𝑘 bukan  sebagai  fungsi  dari  arah  aliran  didapatkan persamaan (16) berikut.
𝜕ℎ 𝜕𝑡 = 𝑘 𝑆 𝑠 ( 𝜕 2 ℎ 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 ℎ 𝜕𝑦 2 ) (16)
Agar  dapat  disimulasikan  tanpa  bergantung  dengan  dimensi/satuan,  maka persamaan  tersebut  harus  dibentuk  ke  dalam  persamaan  tanpa  dimensi.  Adapun variabel tanpa dimensi yang diperkenalkan dijelaskan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Variabel tanpa dimensi
Dengan 𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , ℎ ∗ , 𝑡 ∗ , 𝑆 𝑠 ∗ dan 𝑘 ∗ adalah  variabel  tanpa  dimensi, 𝐿 0 , 𝑈 0 adalah parameter-parameter  variabel  tanpa  dimensi  dan  mensubtitusikan 𝐶 = 𝐿 0 𝑈 0 𝑘 𝑆 𝑠 didapatkan bentuk persamaan tanpa dimensi ( non-dimensional equation ) berikut
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
𝜕ℎ 𝜕𝑡 = 𝐶 ( 𝜕 2 ℎ 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 ℎ 𝜕𝑦 2 ) (17)
Persamaan  (17)  selanjutnya  diselesaikan  menggunakan  metode  beda  hingga dengan skema ADI ( alternating direct Implicit ) diperoleh persamaan (18) berikut.
ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+1 − ℎ 𝑖, 慜 𝑛
∆𝑡 = 𝐶 ( ℎ 𝑖+1,𝑗 𝑛 − 2ℎ 𝑖𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖−1,𝑗 𝑛 ∆𝑥 2 + ℎ 𝑖,𝑗+1 𝑛 − 2ℎ 𝑖,𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖,𝑗−1 𝑛 ∆𝑦 2 ) (18)
Karena ∆𝑥 = ∆𝑦 = 𝑑 dan dengan mensubtitusikan 𝑟 = 𝐶∆𝑡 𝑑 2 maka persamaan (18) ditulis menjadi ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+1 − ℎ 𝑖,𝑗 𝑛 = 𝑟(ℎ 𝑖+1,𝑗 𝑛 − 2ℎ 𝑖𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖−1,𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖,𝑗+1 𝑛 − 2ℎ 𝑖,𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖,𝑗−1 𝑛 ) (19)
Setiap  iterasi  memiliki  prosedur  dua  langkah,  dengan  langkah  pertama  maju  ke tingkat (𝑛 + 1 2 ) dan langkah kedua dengan tingkat (𝑛 + 1) . Langkah pertama dari persamaan (19) yang dibentuk menjadi
ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+ 1 2 − ℎ 𝑖,𝑗 𝑛 = 𝑟 (ℎ 𝑖+1,𝑗 𝑛 − 2ℎ 𝑖𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖−1,𝑗 𝑛 + ℎ 𝑖,𝑗+1 𝑛+ 1 2 − 2ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+ 1 2 + ℎ 𝑖,𝑗−1 𝑛+ 1 2 ) (20)
Sedangkan langkah kedua dari persamaan (19) dibentuk menjadi
ℎ 𝑖,𝑗 ㄰ +1 − ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+ 1 2 = 𝑟 (ℎ 𝑖+1,𝑗 𝑛+1 − 2ℎ 𝑖𝑗 𝑛+1 + ℎ 𝑖−1,𝑗 𝑛+1 + ℎ 𝑖,𝑗+1 𝑛+ 1 2 − 2ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+ 1 2 + ℎ 𝑖,𝑗−1 𝑛+ 1 2 ) (21)
Metode  ADI  menghasilkan  satu  set  tridiagonal  persamaan  di  tingkat (𝑛 + 1 2 ) . Persamaan dapat diselesaikan bersama baris dari grid, satu baris pada satu waktu. Pertama,  semua  node  telah  diangkat  ke  tingkat (𝑛 + 1 2 ) ,  prosedur  yang  sama diterapkan  untuk  kolom  dari  node.  Selanjutnya,  iterasi  dikatakan  selesai  ketika nilai-nilai baru ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+1 telah dihitung.
Pengamatan  langsung  dilakukan  untuk  mendapatkan  data  ketinggian  akuifer  air tanah berada pada 3 lokasi pengamatan yang berbeda di desa primpen kecamatan bluluk kabupaten Lamongan didapatkan data sebagai berikut.
Tabel 2. Ketinggian akuifer
Lokasi Titik Ketinggian Akuifer (m) 1 ℎ 1,3 5 2 ℎ 2,2 10 3 ℎ 3,1 8
Gambaran dari peta  google maps dengan skala 1:10.000 didapatkan detail  lokasi sebagai berikut.
Gambar 4. Lokasi pengambilan data
Dari  gambar  diatas  diketahui  luas  area  pengamatan 157.345,56 m 2 , total  keliling 1,6  km dengan  panjang  lintasan  setiap  sisi  adalah  400  m  .  Diasumsikan  bahwa jarak antara titik pada grid sama, maka akan dibuat grid dengan panjang sisi setiap grid adalah 100 m Seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 5. Grid dengan titik
Berdasarkan  tabel  2  bahwa  titik  akuifer  yang  diketahui  adalah ℎ 1,3 , ℎ 2,2 ,  dan ℎ 3,1 maka  untuk  titik  akuifer  yang  lain  sebagai initial  guess diprediksi  dengan menggunakan  persamaan  (1)    karena  aliran  air  yang  diamati  adalah  aliran  air  tanah tanpa discharge. Sehingga  didapatkan  hasil  prediksi initial  guess titik  akuifer  selain titik pengamatan sebagai berikut.
Tabel 3. Ketinggian akuifer seluruh titik grid
Lokasi Hasil pengukuran berdasarkan aliran tanpa discharge Kondisi batas ℎ 1,3 = 5 ℎ 1,1 = 6,03 ℎ 1,2 = 5,53 ℎ 0,1 − ℎ 0,4 = 6,03 ℎ 2,2 = 10 ℎ 2,1 = 8,63 ℎ 2,3 = 6,85 ℎ 1,0 − ℎ 4,0 = 8,63 ℎ 3,1 = 8 ℎ 3,3 = 6,03 ℎ 3,2 = 7,08 ℎ 1,4 − ℎ 4,4 = 6,85

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
ℎ 4,1 − ℎ 44 = 8 Selanjutnya  dengan  menggunakan  skema  ADI  pada  langkah  pertama  didapatkan nilai untuk ℎ 1,1 𝑛+ 1 2 sampai ℎ 3,3 𝑛+ 1 2 ditunjukkan pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Hasil langkah pertama untuk ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+ 1 2 ℎ 1,1 𝑛+ 1 2 = 6,81 ℎ 1,2 𝑛+ 1 2 = 3,18 ℎ 1,3 𝑛+ 1 2 = 5,85
ℎ 2,1 𝑛+ 1 2 = 4,71 ℎ 2,2 𝑛+ 1 2 = 6,25 ℎ 2,3 𝑛+ 1 2 = 5,27
ℎ 3,1 𝑛+ 1 2 = 7,03 ℎ 3,2 𝑛+ 1 2 = 3,82 ℎ 3,3 𝑛+ 1 2 = 6,49
Setelah 𝑛 iterasi  pada  langkah  kedua  didapatkan  nilai  perubahan  ketinggian akuifer air tanah untuk ℎ 1,1 𝑛+1 sampai ℎ 3,3 𝑛+1 yang ditunjukkan pada Tabel 5 berikut.
Tabel 5. Hasil langkah kedua untuk ℎ 𝑖,𝑗 𝑛+1
ℎ 1,1 𝑛+1 = 6,77 ℎ 1,2 𝑛+1 = 7,28 ℎ 1,3 𝑛+1 = 5,59 ℎ 2,1 𝑛+1 = 8,03 ℎ 2,2 𝑛+1 = 6,34 ℎ 2,3 𝑛+1 = 6,55 ℎ 3,1 𝑛+1 = 7,15 ℎ 3,2 𝑛+1 = 8,01 ℎ 3,3 𝑛+1 = 6,24

## 4. Kesimpulan
Model aliran air tanah didapatkan 𝜕ℎ 𝜕𝑡 = 𝐶 ( 𝜕 2 ℎ 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 ℎ 𝜕𝑦 2 ) dengan ℎ adalah ketinggian akuifer  nilai  awal  pada  titik  grid  (1,3)  =  5,  (2,2)  =  10  dan  (3,1)  =  8  dan  dengan nilai batas ℎ 0,1 − ℎ 0,4 = 6,03 ; ℎ 1,0 − ℎ 4,0 = 8,63 ; ℎ 1,4 − ℎ 4,4 = 6,85 dan ℎ 4,1 − ℎ 44 = 8 setelah 𝑛 iterasi didapatkan hasil perubahan ketinggian akuifer untuk titik grid ℎ 1,1 = 6,77 ; ℎ 2,1 = 8,03 ; ℎ 3,1 = 7,15 ; ℎ 1,2 = 7,28 ; ℎ 2,2 = 6,34 ; ℎ 3,2 = 8,01 ; ℎ 1,3 = 5,59 ; ℎ 2,3 = 6,55 ; dan ℎ 3,3 = 6,24 .

## Daftar Pustaka
[1] Usmar,  H.  dan  Hakim  R.T.  2006. Pemanfaatan  Air  Tanah  untuk  Keperluan  Air Baku Industri di Wilayah Kota Semarang Bawah. Undip. Semarang.
[2] Darcy H. (1856). “Les fontaines publiques de la ville de Dijon”. Dalmont. Paris
[3]  Apsley, D. (2005). “Computional Fluid Dynamic”. Springer. New York.