## Sistem Fungsi Iterasi dan Dimensi Fraktal Pada Himpunan Serupa Diri
Sri Wahyuningsih 1 , Julan Hernadi 2
1 Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika; 2 Dosen Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jl. Budi Utomo No. 10 Ponorogo, Indonesia.
Korespondensi;  Sri  Wahyuningsih,  Email:  sriwahyuningsih7597@gmail.com;  Julan  Hernadi,  Email: julanhernadi@umpo.ac.id

## Abstrak
Fraktal merupakan bentuk geometri yang dihasilkan dengan memulai sebuah pola yang sangat sederhana. Beberapa sifat  dari  fraktal  diantaranya  yaitu  pengulangan,  penskalaan,  dan  keserupaan  diri.  Ada  beberapa  cara  untuk mengkonstruksi bangun fraktal, salah satunya adalah dengan menggunakan sistem fungsi iterasi (SFI). Penelitian ini bertujuan  untuk:  (1)  menjelaskan  sistem  fungsi  iterasi,  (2)  mengetahui  cara  mengkonstruksi  fraktal,  dan  (3) menghitung dimensi fraktal melalui sistem fungsi iterasi. Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif kualitatif dengan  bentuk  studi  pustaka  dimana  sumber  informasi  diperoleh  dari  buku,  jurnal  ilmiah,  dan  bahan  pustaka lainnya yang berkaitan dengan sistem fungsi iterasi, dimensi fraktal, dan himpunan-himpunan serupa-diri. Referensi utama  dari  penelitian  ini  adalah  buku Fraktal  Geometry  Mathematical  Foundations  and  Applications karangan Kenneth  Falconer  (2003).  Penelitian  ini  dilakukan  dengan  mengkaji  dan  menganalisis  secara  mendalam  materi penelitian  dari  referesi  yang  digunakan,  kemudian  menyusun  seluruh  materi  tersebut  secara  runtut  agar memudahkan  pembaca  dalam  memahaminya.  Hasil  dari  penelitian  ini  menjelaskan  bahwa  sistem  fungsi  iterasi merupakan  koleksi  pemetaan  kontraksi  berhingga {𝑺 𝟏 , 𝑺 𝟐 , … , 𝑺 𝒎 } dengan 𝒎 ≥ 𝟐 .  Cara  mengkonstruksi  fraktal dengan sistem fungsi iterasi yaitu dengan menemukan atraktornya, maka atraktor itulah yang merupakan bentuk fraktal.  Untuk  menghitung  dimensi  fraktal  adalah  dengan  mencari  skala/  faktor  kontraksi 𝒄 dari  pemetaanya, kemudian dimensi fraktal adalah 𝒔 , yaitu 𝒔 yang memenuhi persamaan ∑ 𝒄 𝒊 𝒔 𝒎 𝒊=𝟏 = 𝟏 .
Kata Kunci Sistem fungsi iterasi; Fraktal; Dimensi fraktal; Himpunan serupa-diri.

## Abstract
Fractals is the geometric shapes which are produced by starting a very simple pattern. Some of the properties of fractals are repetition, scaling, and self similarity. There were several ways to construct fractal structures, one of them is through the use of iterated function system. This research aims are to: (1) explain the iterated function systems, (2) knowing how to construct and finding the dimensions of fractal objects used iterated function systems. This research was a qualitive descritive with a literature study where the source of information obtained from text books,  scientific  journals,  and  other  library  materials  which  related  to  the  iterated  function  systems,  fractal dimension,  and  self-similar  sets.    The  main  reference  of  this  research  was  from  the  book  of Fractal  Geometry Mathematical Foundations and Applications by Kenneth Falconer (2003). This research conducted by reviewed and analyzed  in  deep  the  materials  of  research  from  the  references,  then  prepare  all  the  materials  in  coherence  to facilitate the reader in understanding it. The result of this research were to explain that the iterated function system is a finite family of contractions {𝑺 𝟏 , 𝑺 𝟐 , … , 𝑺 𝒎 } with 𝒎 ≥ 𝟐 . The way to construct a fractal with an iterated function system is to find the attractor, then the attractor was a fractal. To calculate the fractal dimension we have to find the scale or contraction factor 𝒄 from the mapping, then the fractal dimension is equal to the value of s that was satisfying ∑ 𝒄 𝒊 𝒔 𝒎 𝒊=𝟏 = 𝟏 .
Keywords Iterated function systems;, Fractal; Fractal dimension; self-similar set.

## Pendahuluan
Geometri adalah cabang matematika yang berkaitan dengan titik, garis, kurva dan permukaan. Selama abad  ke-3  SM,  dengan  mengasumsikan  kumpulan  kecil  dari  aksioma-aksioma  yang  secara  intuitif menarik dan menyimpulkan banyak proposisi lain dari aksioma-aksioma tersebut, Euclid menempatkan Geometri  ke  dalam  bentuk  aksiomatik  yang  umumnya  dikenal  sebagai  Geometri  Euclid.  Selama berabad-abad, Geometri Euclid berfungsi sebagai alat penting untuk memecahkan masalah geometri dan  astronomi.  Namun,  Geometri  Euclid  tidak  mampu  mempelajari  pola  yang  tidak  teratur  dan terfragmentasi di  sekitar  kita.  Mandelbrot  (1983)  menjelaskan bahwa  Geometri  Euclid  tidak  mampu untuk  menggambarkan  bentuk  awan,  gunung,  garis  pantai  atau  pohon.  Awan  bukan  bola,  gunung bukan kerucut, garis pantai bukan lingkaran, dan kulit tidak halus, kilat juga tidak bergerak dalam garis lurus.
Mandelbrot  mengatakan  bahwa  studi  tentang  pola-pola  tidak  beraturan  ini  muncul  dari  bidang geometri klasik, dan ini dikesampingkan oleh Euclid sebagai suatu pola yang tidak berbentuk. Pada abad  ke-20,  Benoit  B.  Mandelbrot  yang  dikenal  sebagai  bapak  geometri  fraktal  memperkenalkan geometri  baru  yang  mampu  menggambarkan  bentuk  pola  yang  tidak  teratur  dan  terfragmentasi  di sekitar kita, yang dikenal sebagai Geometri Fraktal. Geometri Fraktal menyatukan kelas besar objek di bawah satu atap, dan itu memisahkan matematika klasik abad ke-19 dari matematika modern abad ke-20.  Matematika  klasik  berakar  pada  struktur  beraturan  geometri  Euclid  dan  dinamika  Newton, sedangkan  matematika  modern  dimulai  dengan  teori  himpunan  Cantor  dan  kurva  pengisian-ruang Paeno.
Geometri  Fraktal  adalah  studi  formal  tentang  struktur  yang  mirip  dengan  dirinya  sendiri  dan merupakan inti konseptual  dari pemahaman kompleksitas alam. Beberapa  sifat dari geometri fraktal diantaranya  yaitu  pengulangan,  penskalaan,  dan  keserupaan  diri.  Serupa  diri  merupakan  sifat  yang sangat penting dari geometri fraktal, sehingga jika suatu bagian dari objek fraktal diperbesar dalam skala  tertentu,  maka  bagian  objek  fraktal  yang  diperbesar  tersebut  akan  mirip  dengan  bentuk keseluruhannya.
Fraktal  merupakan  bentuk  geometri  yang  dihasilkan  dengan  memulai  sebuah  pola  yang  sangat sederhana. Bentuk tersebut kemudian berkembang dengan menerapkan suatu  aturan tertentu. Dalam banyak  kasus,  aturan  untuk  membuat  sebuah  bentuk  menjadi  berkembang  dapat  dilakukan  dengan melibatkan pengambilan bentuk asli dan memodifikasinya atau menambahkannya kemudian diterapkan berulang dari satu tahap ke tahap berikutnya.
Ada beberapa cara untuk mengkonstruksi bangun fraktal, salah satunya adalah dengan menggunakan sistem  fungsi  iterasi  (SFI).  Pembangunan  fraktal  dengan  SFI  dilakukan  dengan  cara  mentransformasi bentuk awal dari sebuah fraktal, sehingga dari transformasi tersebut diperoleh bentuk baru yang terdiri dari beberapa  bagian. Bagian-bagian tersebut tidak lain adalah bentuk  awal  fraktal yang  diperkecil dengan skala tertentu. Setiap bagian dari bentuk baru tersebut kemudian ditransformasi lagi dengan transformasi  yang  sama  seperti  sebelumnya  sehingga  setiap  transformasi  akan  membentuk  sebuah iterasi. Setelah terjadi iterasi tak berhingga banyaknya, maka akan diperoleh sebuah fraktal.
Transformasi yang diterapkan dalam pembentukan fraktal dengan menggunakan SFI dapat dilakukan dengan pengambilan skala yang berbeda-beda. Berapapun skala yang digunakan untuk mengkonstruksi sebuah fraktal, sifat yang  melekat pada  fraktal adalah keserupaan diri. Untuk dapat  mencerna sifat serupa diri dari fraktal, perlu diketahui bagaimana  cara menghitung dimensi fraktal. Dimensi fraktal akan  memberikan  perbandingan  kompleksitas  pola  fraktal  yang  berubah  ketika  diambil  skala  yang berbeda.
Dalam  matematika,  dimensi  umumnya  didefinisikan  sebagai  jumlah  minimum  koordinat  yang diperlukan untuk menentukan setiap titik dalam ruang atau objek. Dimensi memuat banyak informasi tentang sifat-sifat geometri suatu himpunan. Dalam geometri Euclid dimensi akan selalu berupa bilangan bulat, seperti geometri datar berdimensi 2 dan geometri ruang berdimensi 3. Sedangkan dimensi fraktal tidak harus berupa bilangan bulat, karena fraktal terdiri dari objek-objek yang memiliki bentuk tidak teratur. Dalam pembahasan ini digunakan sistem fungsi iterasi untuk mengkonstruksi fraktal dengan cara yang terpadu dan menggunakan cara yang sederhana untuk menemukan dimensi fraktal.

## Landasan Teori
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  konsep  dasar  dan  notasi  yang  akan  digunakan  pada pembahasan berikutnya.
Definisi 2.1 (Barnsley, 1988: 11) Ruang metrik (𝑿, 𝑑) adalah ruang 𝑿 yang dilengkapi dengan fungsi 𝑑: 𝑿 × 𝑿 → ℝ , yang mengukur jarak  antara  pasangan  titik 𝑥 dan 𝑦 dalam 𝑿 .  Sedemikian  hingga 𝑑 memenuhi  aksioma-aksioma berikut:
i. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑿
ii. 0 < 𝑑(𝑥, 𝑦) < ∞ ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑿, 𝑥 ≠ 𝑦
iii. 𝑑(𝑥, 𝑥) = 0  ∀ 𝑥 ∈ 𝑿
iv. 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧  ∈ 𝑿
fungsi 𝑑 disebut sebagai metrik.
Definisi 2.2 (Barnsley, 1988: 17) Barisan {𝑥 𝑛 } 𝑛=1 ∞ dari titik-titik pada ruang metrik (𝑿, 𝑑) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap 𝜀 > 0 , terdapat bilangan bulat 𝑁 > 0 sedemikian sehingga, 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) < 𝜀 , ∀ 𝑛, 𝑚 > 𝑁 .
Definisi 2.3 Limit Superior dan Limit Inferior (Shirali, 2006: 7) Misalkan {𝑥 𝑛 } 𝑛≥1 adalah suatu barisan terbatas, didefinisikan limit superior sebagai berikut lim 𝑥 𝑛 = inf 𝑛 sup 𝑘≥𝑛 𝑥 𝑘 dan didefinisikan limit inferior sebagai berikut
lim 𝑥 𝑛 = sup 𝑛 𝑖𝑛𝑓 𝑘≥𝑛 𝑥 𝑘 .
Definisi 2.4 (Shirali, 2006: 72) Misalkan 𝑆 adalah  himpunan  bagian  dari  ruang  metrik (𝑿, 𝑑) .  Penutup  himpunan  ( closure) 𝑆 dinotasikan dengan 𝑆̅ dan didefinisikan sebagai 𝑆̅ = 𝑆 ∪ 𝑆′ . Dimana 𝑆′ adalah himpunan titik-titik limit dari 𝑆 .
Definisi 2.5 Bola Terbuka & Tertutup (Shirali, 2006: 64) Misalkan (𝑿, 𝑑) adalah ruang metrik. Suatu himpunan
𝐵(𝑐, 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑿: 𝑑(𝑐, 𝑥) < 𝑟} disebut bola terbuka dengan pusat 𝑐 dan jari-jari 𝑟 di 𝑿 . Dimana 𝑐 ∈ 𝑿 dan 𝑟 > 0 untuk 𝑟 ∈ ℝ . Dan
𝐵̅(𝑐, 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑿: 𝑑(𝑐, 𝑥) ≤ 𝑟}
disebut bola tertutup dengan pusat 𝑐 dan jari-jari 𝑟 di 𝑿 . Dimana 𝑐 ∈ 𝑿 dan 𝑟 > 0 untuk 𝑟 ∈ ℝ .
Definisi 2.6 (Falconer, 2003: 124) Diberikan himpunan tertutup 𝐷 dan 𝐴, 𝐵 ∈ 𝐷 . Jarak antara himpunan 𝐴 dan 𝐵 didefinisikan sebagai 𝛿 terkecil sedemikian sehingga pesekitaran- 𝛿 dari 𝐴 memuat 𝐵 dan juga sebaliknya, 𝑑(𝐴, 𝐵) = inf {𝛿: 𝐴 ⊂ 𝐵 𝛿 dan 𝐵 ⊂ 𝐴 𝛿 }.
Definisi 2.7 Titik Batas (Shirali, 2006: 70) Misalkan 𝑆 himpunan bagian dari ruang metrik (𝑿, 𝑑) . Titik 𝑥 ∈ 𝑿 dikatakan titik batas dari 𝑆 , jika untuk setiap bola terbuka dengan pusat 𝑥 memuat setidaknya satu titik elemen 𝑆 yang berbeda dari 𝑥 , yaitu
(𝐵(𝑥, 𝑟) − {𝑥}) ∩ 𝑆 ≠ ∅.

## Definisi 2.8 Himpunan Terbuka & Tertutup
Misalkan 𝑆 himpunan  bagian  dari  ruang  metrik (𝑿, 𝑑) .  Himpunan 𝑆 dikatakan  terbuka  jika  tidak memuat titik batasnya dan dikatakan tertutup jika memuat semua titik batasnya.
Definisi 2.9 (Hernadi, 2015: 79) Misalkan 𝑆 himpunan pada sebuah ruang metrik 𝑿 . Liput terbuka (open cover) adalah koleksi himpunan terbuka 𝒢 = {𝐺 𝛼 } pada 𝑿 sehingga gabungannya menyelimuti 𝐸 , yaitu
𝐸 ⊆ ⋃ 𝐺 𝛼 𝛼 .
Bila 𝒢′ ⊆ 𝒢 dan gabungan himpunan-himpunan di dalamnya masih memuat 𝐸 maka 𝒢′ disebut liput bagian (subcover) dari 𝒢. jika 𝒢′ memuat berhingga banyak himpunan maka ia disebut liput bagian berhingga (finite subcover).

## Definisi 2.10 (Himpunan Kompak)
Sebuah himpunan 𝑆 pada ruang metrik 𝑿 dikatakan kompak jika setiap liput terbuka 𝑆 memuat liput bagian  berhingga.  Secara  eksplisit  jika 𝒢 = {𝐺 𝛼 } liput  terbuka 𝑆 maka  terdapat  berhingga  banyak indeks 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 sehingga
𝑆 ⊂ 𝐺 𝛼 1 ∪ 𝐺 𝛼 2 ∪ … ∪ 𝐺 𝛼 𝑛 .
Definisi 2.11 (Falconer, 2003: 27) Misalkan 𝑈 adalah himpunan bagian tak kosong dari ℝ n . Diameter 𝑈 didefinisikan sebagai |𝑈| ≔ 𝑠𝑢𝑝 {|𝑥 − 𝑦|: 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑈} , yaitu jarak terjauh dari sebarang pasangan titik dalam 𝑈.

## Definisi 2.12
Misalkan 𝐹 adalah  himpunan  bagian  tak  kososng  dari ℝ n .  Jika {𝑈 i } adalah  kumpulan  himpunan terbilang  dengan  diameter  paling  besar 𝛿 dan {𝑈 i } menutupi 𝐹 ,  yaitu 𝐹 ⊂ ⋃ 𝑈 𝑖 , dengan 0 ≤ |𝑈 𝑖 | ≤ 𝛿 ∞ 𝑖=1 , ∀ 𝑖 , maka {𝑈 i } disebut 𝛿 - 𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟 dari 𝐹 .
Definisi 2.13 Diberikan 𝐹 adalah himpunan bagian tak kosong dari ℝ n dan 𝑠 adalah bilangan tak negatif. Untuk setiap 𝛿 > 0 , didefinisikan
ℋ 𝛿 𝑠 (𝐹) ≔ inf {∑|𝑈 𝑖 | 𝑠 ∶   {𝑈 𝑖 } adalah 𝛿 - 𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟 dari 𝐹 ∞ 𝑖=1 }
Teorema 2.1 (Yohanes, 2014: 49) Untuk 𝐹 ⊆ ℝ 𝑛 dan bilangan tak negatif 𝑠 , berlaku, jika 𝛿 1 < 𝛿 2 , maka ℋ 𝛿 2 𝑠 (𝐹) ≤ ℋ 𝛿 1 𝑠 (𝐹) . Bukti:
Misal 0 < 𝛿 1 < 𝛿 2 ≤ ∞ , maka setiap 𝛿 1 - cover dari 𝐹 adalah 𝛿 2 - cover dari 𝐹 . Oleh karena itu, koleksi semua 𝛿 1 - cover dari 𝐹 termuat di dalam koeksi 𝛿 2 - cover dari 𝐹 . Akibatnya, inf {∑ |𝑈 𝑖 | 𝑠 ∞ 𝑖=1 |𝐹 ⊆ ⋃ 𝑈 𝑖 ∞ 𝑖=1 , |𝑈 𝑖 | < 𝛿 2 } ≤ inf {∑ |𝑈 𝑖 | 𝑠 ∞ 𝑖=1 |𝐹 ⊆ ⋃ 𝑈 𝑖 ∞ 𝑖=1 , |𝑈 𝑖 | < 𝛿 1 } ↔ ℋ 𝛿 2 𝑠 (𝐹) ≤ ℋ 𝛿 1 𝑠 (𝐹).
∎
Definisi 2.14 (Falconer, 2003: 27) Diberikan 𝐹 ⊂ ℝ n dan 𝑠 adalah bilangan tak negatif, didefinisikan
ℋ 𝑠 (𝐹) = lim 𝛿→0 ℋ 𝛿 𝑠 (𝐹)
ℋ 𝑠 (𝐹) disebut ukuran Hausdorff dimensi 𝑠 dari 𝐹 .

## Teorema 2.2 Sifat Penskalaan (Falconer, 2003: 29)
Misalkan 𝑆 adalah transformasi kesamaan dengan faktor skala 𝜆 > 0 . Jika 𝐹 ⊂ ℝ 𝑛 , maka
ℋ 𝑠 (𝑆(𝐹)) = 𝜆 𝑠 ℋ 𝑠 (𝐹).
Bukti:
Jika {𝑈 𝑖 } adalah 𝛿 -cover dari 𝐹 maka {𝑆(𝑈 𝑖 )} adalah 𝜆𝛿 - cover dari 𝑆(𝐹) , jadi
∑ |𝑆(𝑈 𝑖 )| 𝑠 = ∑ |𝜆𝑈 𝑖 | 𝑠 = ∑|𝜆| 𝑠 |𝑈 𝑖 | 𝑠 = ∑ 𝜆 𝑠 |𝑈 𝑖 | 𝑠 = 𝜆 𝑠 ∑ |𝑈 𝑖 | 𝑠
diperoleh,
inf ∑ |𝑆(𝑈 𝑖 | 𝑠 ≤ 𝜆 𝑠 inf ∑ |𝑈 𝑖 | 𝑠 ℋ 𝜆𝛿 𝑠 (𝑆(𝐹)) ≤ 𝜆 𝑠 ℋ 𝛿 𝑠 (𝐹)
ketika 𝛿 → 0 diperoleh,
ℋ 𝑠 (𝑆(𝐹)) ≤ 𝜆 𝑠 ℋ 𝑠 (𝐹).
Kemudian ganti 𝑆 dengan 𝑆 −1 , 𝜆 dengan 1 𝜆 , dan 𝐹 dengan 𝑆(𝐹) , sehingga diperoleh
ℋ 𝑠 (𝑆(𝐹)) = 𝜆 𝑠 ℋ 𝑠 (𝐹). ∎
Definisi 2.15 (Falconer, 2003: 31) Untuk setiap 𝐹 ⊂ ℝ 𝑛 , dimensi Hausdorff dari 𝐹 dinotasikan dengan dim H (𝐹) , sedemikian sehingga ℋ 𝑠 (𝐹) = { ∞, untuk 0 ≤ 𝑠 < dim H 𝐹
0, untuk 𝑠 > dim H 𝐹.
Jika 𝑠 = dim H 𝐹 , maka ℋ 𝑠 (𝐹) mungkin 0 , tak berhingga, atau memenuhi
0 < ℋ 𝑠 (𝐹) < ∞ .
Gambar 1. Grafik ℋ 𝑠 terhadap 𝑠 untuk himpunan 𝐹 .
Definisi dimensi hausdorff ini secara formal dapat ditulis:
dim H 𝐹 = inf {𝑠 ≥ 0: ℋ 𝑠 (𝐹) = 0} = sup {𝑠 ≥ 0: ℋ 𝑠 (𝐹) = ∞}. ∎
ℋ 𝑠 (𝐹)

## Definisi 2.16 (Falconer, 2003: 41)
Diberikan 𝐹 himpunan  bagian  terbatas  tak  kososng  dari ℝ 𝑛 dan 𝑁 𝛿 (𝐹) adalah  jumlah  minimum himpunan-himpunan yang berdiameter tidak lebih dari 𝛿 yang dapat menyelimuti 𝐹 . Dimensi hitung kotak bawah dan atas dari 𝐹 secara berturut-turut adalah
dim B 𝐹 = lim 𝛿→0 log 𝑁 𝛿 (𝐹) − log 𝛿 dim B 𝐹 = lim 𝛿→0 log 𝑁 𝛿 (𝐹) − log 𝛿
Jika dim B 𝐹 = dim B 𝐹 , maka dimensi hitung kotak dari 𝐹 adalah
dim B 𝐹 = lim 𝛿→0 log 𝑁 𝛿 (𝐹) − log 𝛿 .
Proposisi 2.1 Prinsip Distribusi Massa (Falconer, 2003: 60) Misalkan 𝜇 adalah distribusi massa dari 𝐹 dan untuk suatu 𝑠 terdapat 𝑐 > 0 dan 𝜀 > 0 , sedemikian hingga
𝜇(𝑈) ≤ 𝑐|𝑈| 𝑠
untuk semua himpunan 𝑈 , dengan |𝑈| ≤ 𝜀 . Kemudian ℋ 𝑠 (𝐹) ≥ 𝜇(𝐹)/𝑐 dan
𝑠 ≤ dim H 𝐹 ≤ dim 𝐵 𝐹 ≤ dim B 𝐹.

## Metode
Metode  kajian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode  kajian  pustaka  yaitu  dengan mengkaji  referensi-referensi  mengenai  geometri  fraktal  yang  mengacu  pada  buku Fraktal  Geometry Mathematical Foundations and Applications karangan Kenneth Falconer (2003).
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian adalah:
1. Mengumpulkan  sumber  pustaka  yang  digunakan  sebagai  referensi  dengan  cara  membaca, memahami, mencatat, dan mempelajari literatur yang terkait dengan ukuran dan dimensi fraktal.
2. Mengkaji berbagai referensi mengenai topik geometri fraktal.
3. Menyajikan kembali definisi-definisi serta teorema-teorema yang menjadi dasar dalam mempelajari geometri fraktal.
4. Menyusun seluruh materi yang telah dikumpulkan secara runtut agar memudahkan pembaca dalam memahaminya.

## Hasil dan Pembahasan
Sistem Fungsi Iterasi
Banyak fraktal yang terbentuk dari bagian-bagian yang mirip dengan bentuk keseluruhannya. Himpunan pertiga  tengah  Cantor  adalah  contoh  fraktal  yang  bagian-bagian  kecilnya  mirip  dengan  bagian keseluruhan himpunan tersebut. Himpunan pertiga tengah Cantor merupakan gabungan dari dua salinan yang sama dari dirinya sendiri. Begitu juga dengan kurva von Koch yang terdiri dari empat salinan yang sama. Serupa diri ( self-similar) bukan hanya sifat dari fraktal, namun sifat ini dapat digunakan untuk  mendefinisikan  fraktal.  Sistem  fungsi  iterasi  mengkonstruksi  fraktal  dengan  cara  yang  terpadu dan menggunakan cara yang sederhana untuk menemukan dimensi.
Definisi 4.1 (Iterasi) Diberikan himpunan kompak tak kosong 𝐴 . Untuk 𝑘 ∈ ℕ , iterasi dari 𝑆 yaitu 𝑆 𝑘 : 𝐴 → 𝐴 didefinisikan dengan
𝑆 0 (𝐸) = 𝐸, 𝑆 1 = 𝑆(𝐸), 𝑆 2 = 𝑆 ∘ 𝑆(𝐸), … , 𝑆 𝑘 (𝐸) = 𝑆 ∘ 𝑆 𝑘−1 (𝐸) = 𝑆(𝑆 𝑘−1 (𝐸)) Untuk semua 𝐸 ∈ 𝐴 .

## Definisi 4.2 (Pemetaan Kontraksi)
Diberikan himpunan tertutup 𝐷 , dimana 𝐷 ⊂ ℝ 𝑛 . Pemetaan 𝑆: 𝐷 → 𝐷 disebut pemetaan kontraksi jika terdapat konstanta 𝑐 dengan 0 < 𝑐 < 1 sehingga |𝑆(𝑥) − 𝑆(𝑦)| ≤ 𝑐 |𝑥 − 𝑦|,   ∀ 𝑥, 𝑦  ∈ 𝐷 Konstanta 𝑐 dinamakan faktor kontraksi.
Setiap pemetaan kontraksi adalah fungsi yang kontinu. Ketika berlaku sama dengan dalam pemetaan kontraksi, yaitu jika |𝑆(𝑥) − 𝑆(𝑦)| = 𝑐 |𝑥 − 𝑦| , maka 𝑆 mentransformasi himpunan menjadi himpunan- himpunan yang serupa secara geometri. Pemetaan kontraksi |𝑆(𝑥) − 𝑆(𝑦)| = 𝑐 |𝑥 − 𝑦| disebut pemetaan kontraksi serupa (contracting similarity).
Definisi 4.3 (Sistem Fungsi Iterasi) Diberikan pemetaan-pemetaan kontraksi {𝑆 1 , … , 𝑆 𝑚 } pada 𝐷 ∈ ℝ 𝑛 sehingga |𝑆 𝑖 (𝑥) − 𝑆 𝑖 (𝑦)| ≤ 𝑐 𝑖 |𝑥 − 𝑦|,         (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 pemetaan-pemetaan kontraksi berhingga {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑚 } dengan 𝑚 ≥ 2 disebut Sistem Fungsi Iterasi (SFI).
Definisi 4.4 Diberikan himpunan kompak tak kosong 𝐹 , dimana 𝐹 ⊂ 𝐷 . 𝐹 disebut atraktor dari SFI jika
𝐹 = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐹) 𝑚
𝑖=1
Sifat dasar SFI adalah memiliki atraktor tunggal, dimana atraktor tersebut biasanya adalah sebuah fraktal.
Teorema 4.1 Diberikan Sistem Fungsi Iterasi {𝑆 1 , … , 𝑆 𝑚 } pada 𝐷 ∈ ℝ 𝑛 sehingga |𝑆 𝑖 (𝑥) − 𝑆 𝑖 (𝑦)| ≤ 𝑐 𝑖 |𝑥 − 𝑦|,         (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 (1)
dengan 𝑐 𝑖 < 1, ∀𝑖 .  Maka  terdapat  dengan  tunggal  atraktor  F,  yaitu  himpunan  kompak  tak  kosong sehingga
𝐹 = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐹) 𝑚 𝑖=1 (2)
Selain itu, jika didefinisikan sebuah transformasi 𝑆 pada kelas 𝒮 himpunan kompak tak kosong dengan 𝑆(𝐸) = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐸) 𝑚 𝑖=1 (3)
Untuk 𝐸 ∈ 𝒮 , dan 𝑆 𝑘 adalah iterasi ke- 𝑘 dari 𝑆 , maka
𝐹 = ⋂ 𝑆 𝑘 (𝐸) ∞ 𝑘=0 (4)
Untuk setiap himpunan 𝐸 ∈  𝒮 sedemikian hingga 𝑆 𝑖 (𝐸) ⊂ 𝐸, ∀𝑖 . Bukti:
Perhatikan bahwa 𝑆 ditransformasikan menjadi himpunan-himpunan dalam 𝒮 . Jika 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒮 maka 𝑑(𝑆(𝐴), 𝑆(𝐵)) = 𝑑 (⋃ 𝑆 𝑖 (𝐴) 𝑚 𝑖=1 , ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐵) 𝑚 𝑖=1 ) ≤ max 1≤𝑖≤𝑚 𝑑(𝑆 𝑖 (𝐴), 𝑆 𝑖 (𝐵))
Menggunakan definisi metrik 𝑑 dan jika (𝑆 𝑖 (𝐴)) 𝛿 memuat 𝑆 𝑖 (𝐵) untuk semua 𝑖, maka (⋃ 𝑆 𝑖 (𝐴)) 𝑚 𝑖=1 𝛿
memuat ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐵) 𝑚 𝑖=1 dan sebaliknya. Berdasarkan (3.1) diperoleh, 𝑑(𝑆(𝐴), 𝑆(𝐵)) ≤ (max
1≤𝑖≤𝑚 𝑐 𝑖 )𝑑(𝐴, 𝐵) (5)
Dapat ditunjukkan bahwa 𝑑 adalah metrik lengkap pada 𝒮 , yaitu setiap barisan Cauchy dari himpunan- himpunan  dalam 𝒮 konvergen  ke  sebuah  himpunan  dalam 𝒮 .  Karena 0 < max 1≤𝑖≤𝑚 𝑐 𝑖 < 1, maka persamaan (5) menyatakan bahwa 𝑆 adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap (𝒮, 𝑑). Berdasarkan  teorema  pemetaan  kontraksi  banach, 𝑆 mempunyai  titik  tetap  tunggal,  yaitu  terdapat himpunan tunggal 𝐹 ∈ 𝒮 , sedemikian hingga 𝑆(𝐹) = 𝐹 , yaitu
𝐹 = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐹) 𝑚 𝑖=1
Dan
lim 𝑘→∞ 𝑆 𝑘 (𝐸) = 𝐹
Secara khusus, jika 𝑆 𝑖 (𝐸) ⊂ 𝐸, ∀𝑖 maka 𝑆(𝐸)   ⊂ 𝐸 , sehingga 𝑆 𝑘 (𝐸) adalah urutan menurun himpunan kompak tak kosong dengan ⋂ 𝑆 𝑘 (𝐸) ∞ 𝑘=0 harus sama dengan 𝐹 . ∎
Dimensi Himpunan Serupa Diri (Self-Similar)
Salah  satu  keuntungan  menggunakan  SFI  untuk  menghitung  dimensi  atraktor  yaitu  dimensi  atraktor seringkali  relatif  mudah  untuk  dihitung  dalam  istilah  pendefinisian  kontraksi.  Pada  bagian  ini  akan dibahas ketika pemetaan-pemetaan kontaksi {𝑆 1 , … , 𝑆 𝑚 } serupa, yaitu 𝑆 1 , … , 𝑆 𝑚 : ℝ 𝑛 → ℝ 𝑛 , dengan |𝑆 𝑖 (𝑥) − 𝑆 𝑖 (𝑦)| = 𝑐 𝑖 |𝑥 − 𝑦|          (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 𝑛 ) (6)
Dimana 0 < 𝑐 𝑖 < 1, 𝑐 𝑖 disebut ratio dari 𝑆 𝑖 . Jadi setiap 𝑆 𝑖 mentransformasi himpunan bagian dari ℝ 𝑛 menjadi  himpunan-himpunan  yang  serupa  secara  geometris.  Atraktor  dari  kumpulan  himpunan- himpunan yang serupa tersebut dinamakan himpunan serupa-diri (Self-Similar), yaitu himpunan yang terbentuk  dari  gabungan  sejumlah  salinan  serupa  yang  lebih  kecil  dari  dirinya  sendiri.  Perhatikan ilustrasi dari transformasi himpunan berikut
Gambar 2. Transformasi himpunan menjadi himpunan-himpunan serupa-diri.
Dalam kondisi tertentu himpunan self-similar 𝐹 mempunyai dimensi Hausdorf dan dimensi box yang sama, yaitu dengan nilai 𝑠 yang memenuhi
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 𝑚 𝑖=1 = 1 (7)
dimana 𝑠 adalah bilangan tak negatif dan lebih lanjut 𝐹 mempunyai ukuran ℋ 𝑠 positif dan terbatas. Jika 𝐹 = ⋃ (𝑆 𝑖 (𝐹)) 𝑚 𝑖=1 adalah gabungan yang mendekati disjoint, maka diperoleh
ℋ 𝑠 (𝐹) = ∑ ℋ 𝑠 (𝑆 𝑖 (𝐹)) 𝑚 𝑖=1 = ∑ 𝑐 𝑖 𝑠 ℋ 𝑠 (𝐹) 𝑚 𝑖=1 (8)
Menggunakan persamaan 6, sifat skala, dan asumsi bahwa 0 < ℋ 𝑠 (𝐹) < ∞ pada nilai 𝑠 = dim H 𝐹 , diperoleh bahwa 𝑠 memenuhi persamaan 7.
Agar argument ini benar, diperlukan kondisi yang memastikan bahwa bagian-bagian 𝑆 𝑖 (𝐹) dari 𝐹 tidak  tumpang  tindih  terlalu  banyak. {𝑆 𝑖 ∶ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚} dikatakan  sebagai  himpunan  terbuka  jika terdapat himpunan terbuka terbatas tak kosong 𝑉 sedemikian hingga 𝑉 ⊃ ⋃ 𝑆 𝑖 (𝑉) 𝑚 𝑖=1 (9)
dengan  gabungan  yang disjoint.  Jika  keserupaan {𝑆 𝑖 ∶ 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚} memenuhi  syarat  himpunan terbuka, maka dimensi Hausdorf atraktornya adalah ∑ 𝑐 𝑖 𝑠 𝑚 𝑖=1 = 1 .
Lemma 4.1 Diberikan {𝑉 𝑖 } adalah kumpulan subset disjoint terbuka dari ℝ 𝑛 sedemikian hingga setiap 𝑉 𝑖 berisi bola  dengan  jari-jari 𝑎 1 𝑟 dan  termuat  dalam  bola  dengan  jari-jari 𝑎 2 𝑟 .  Kemudian  setiap  bola 𝐵 dengan jari-jari 𝑟 beririsan dengan himpunan penutup 𝑉 𝑖 ̅ paling banyak ( 1+2𝑎 2 𝑎 1 ) 𝑛 .
Bukti:
Jika 𝑉 𝑖 ̅ memenuhi 𝐵 , maka 𝑉 𝑖 ̅ berada dalam bola dengan pusat yang sama dengan 𝐵 dengan jari-jari (1 + 2𝑎 2 )𝑟 . Misalkan 𝑞 ∈ 𝑉 𝑖 ̅ beririsan dengan 𝐵 . Kemudian, menjumlahkan volume interior bola yang berjari-jari 𝑎 1 𝑟 , berarti bahwa 𝑞(𝑎 1 𝑟) 𝑛 ≤ (1 + 𝑎 2 𝑟) 𝑛 𝑟 𝑛 menyatakan batas untuk 𝑞 . ∎
Teorema 3.2 Misalkan kondisi himpunan terbuka pada persamaan 9 berlaku untuk keserupaan 𝑆 𝑖 pada ℝ 𝑛 dengan rasio 0 < 𝑐 𝑖 < 1 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 . Jika 𝐹 adalah atraktor dari SFI {𝑆 1 , … , 𝑆 𝑚 } , yaitu
𝐹 = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐹) 𝑚 𝑖=1 , (10)
maka dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = 𝑠 , dimana 𝑠 harus memenuhi
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 𝑚 𝑖=1 = 1. (11)
Selain itu, untuk nilai 𝑠 ini, 0 < ℋ 𝑠 (𝐹) < ∞. Bukti:
Misalkan 𝑠 memenuhi  persamaan  11.  Diberikan ℐ 𝑘 himpunan  dari  semua  barisan  dengan  panjang 𝑘, (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) dengan 1 ≤ 𝑖 𝑗 ≤ 𝑚 .  Untuk  sebarang  himpunan 𝐴 dan (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ ℐ 𝑘 ,  didefinisikan 𝐴 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 = 𝑆 𝑖 1 ∘ … ∘ 𝑆 𝑖 𝑘 (𝐴) . Dengan menggunakan persamaan 10 secara berulang kali, maka diperoleh,
𝐹 = ⋃ 𝐹 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ℐ 𝑘 .
Akan dibuktikan bahwa cover 𝐹 memberikan estimasi atas yang sesuai untuk ukuran Hausdorff. Karena pemetaan 𝑆 𝑖 1 ∘ … ∘ 𝑆 𝑖 𝑘 adalah pemetaan yang serupa dengan rasio 𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 , maka
∑|𝐹 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 | 𝑠 ℐ 𝑘 = ∑(𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 ) 𝑠 ℐ 𝑘 |𝐹| 𝑠 = (∑ 𝑐 𝑖 1 𝑠 𝑖 1 ) … (∑ 𝑐 𝑖 𝑘 𝑠 𝑖 1 ) |𝐹| 𝑠 = |𝐹| 𝑠
Untuk  sebarang 𝛿 > 0 ,  dapat  diambil 𝑘 sedemikian  sehingga |𝐹 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 | ≤ ( max 𝑖 𝑐 𝑖 ) 𝑘 |𝐹| ≤ 𝛿 ,  jadi ℋ 𝛿 𝑠 (𝐹) ≤ |𝐹| 𝑠 dan oleh karena itu ℋ 𝑠 (𝐹) ≤ |𝐹| 𝑠 . Selanjutnya akan ditunjukkan batas bawah. Misalkan ℐ adalah himpunan semua barisan tak terbatas, ℐ = {(𝑖 1 , 𝑖 2 , … ): 1 ≤ 𝑖 𝑗 ≤ 𝑚} dan misalkan 𝐼 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 = {(𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 , 𝑞 𝑘+1 , … ): 1 ≤ 𝑞 𝑗 ≤ 𝑚} adalah silinder yang  terdiri  dari  barisan-barisan  dalam ℐ dengan  istilah  awal (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) .  Kita  dapat  menempatkan distribusi  massa 𝜇 pada ℐ sedemikian  hingga 𝜇(𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) = (𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 ) 𝑠 .  Karena (𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 ) 𝑠 = ∑ (𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 𝑐 𝑖 ) 𝑠 𝑚 𝑖=1 ,  yaitu 𝜇(𝐼 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ) = ∑ 𝜇(𝐼 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ,𝑖 ) 𝑚 𝑖=1 ,  ini  menunjukkan  bahwa 𝜇 adalah  distribusi massa pada  himpunan bagian ℐ dengan 𝜇(ℐ) = 1 . Selanjutnya ubah 𝜇 menjadi 𝜇̃ pada 𝐹 dengan mendefinisikan 𝜇̃(𝐴) = 𝜇{(𝑖 1 , 𝑖 2 , … ): 𝑥 𝑖 1 ,𝑖 2 ,… ∈ 𝐴} untuk  himpunan  bagian 𝐴 dari 𝐹 .  (Ingat  kembali
bahwa 𝑥 𝑖 1 ,𝑖 2 ,… = ⋂ 𝐹 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ∞ 𝑘=1 ). Jadi 𝜇̃ massa dari sebuah himpunan adalah 𝜇 massa dari barisan yang sesuai. Mudah dibuktikan bahwa 𝜇̃(𝐹) = 1 . Akan ditunjukkan bahwa 𝜇̃ memenuhi prinsip distribusi massa. Diberikan 𝑉 himpunan terbuka yang memenuhi persamaan 9. Karena 𝑉̅ ⊃ 𝑆(𝑉̅) = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝑉̅) 𝑚 𝑖=1 , urutan menurun dari iterasi 𝑆 𝑘 (𝑉̅) konvergen ke 𝐹 . Secara khusus 𝑉̅ ⊃ 𝐹 dan 𝑉̅ 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ⊃ 𝐹 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 untuk setiap barisan terbatas (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) . Diberikan 𝐵 sebarang bola degan jari-jari 𝑟 < 1 . Estimasikan 𝜇̃(𝐵) dengan himpunan 𝑉 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 yang berdiameter sebanding dengan 𝐵 dan penutup yang beririsan 𝐹 ∩ 𝐵 . Batasi setiap barisan tak terbatas (𝑖 1 , 𝑖 2 , … ) ∈  ℐ setelah istilah pertama 𝑖 𝑘 dimana
( min 1≤𝑖≤𝑚 𝑐 𝑖 ) 𝑟 ≤ 𝑐 𝑖 1 𝑐 𝑖 2 … 𝑐 𝑖 𝑘 ≤ 𝑟 (12)
dan  diberikan 𝒬 himpunan  terbatas  dari  semua  berisan  (terbatas)  yang  diperoleh  dengan  cara  ini. Kemudian  untuk  setiap  barisan  tak  terbatas (𝑖 1 , 𝑖 2 , … ) ∈  ℐ terdapat  tepat  satu  nilai 𝑘 dengan (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ 𝒬 .  Karena 𝑉 1 , … , 𝑉 𝑚 saling  terpisah  ( disjoint)  begitu  juga  dengan 𝑉 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ,1 , … , 𝑉 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ,𝑚 untuk setiap (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) . Dengan menggunakan cara ini secara berulang, berarti kumpulan himpunan terbuka {𝑉 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 : (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ 𝒬} saling terpisah, demikian pula 𝐹 ⊂ ⋃ 𝐹 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 𝒬 ⊂ ⋃ 𝑉̅ 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 𝒬 . Ambil 𝑎 1 dan 𝑎 2 sehingga 𝑉 memuat sebuah bola dengan jari-jari 𝑎 1 dan termuat dalam sebuah bola dngan jari-jari 𝑎 2 . Kemudian untuk setiap (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ 𝒬 , himpunan 𝑉 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 memuat sebuah bola dengan jari-jari 𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 𝑎 1 , oleh karena itu salah satunya berjari-jari (min 𝑖 𝑐 𝑖 ) 𝑎 1 𝑟 dan termuat dalam bola dengan jari-jari 𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 𝑎 2 dan karenanya dalam bola dengan jari-jari 𝑎 2 𝑟 . Diberikan 𝒬 1 barisan (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) dalam 𝒬 sedemikian hingga 𝐵 beririsan dengan 𝑉̅ 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 . Berdasarkan lemma 4.1 terdapat paling banyak 𝑞 = (1 + 2𝑎 2 ) 𝑛 𝑎 1 −𝑛 (min 𝑖 𝑐 𝑖 ) −𝑛 barisan dalam 𝒬 1 . Kemudian
𝜇̃(𝐵) = 𝜇̃(𝐹 ∩ 𝐵) = 𝜇{(𝑖 1 , 𝑖 2 , … ): 𝑥 𝑖 1 ,𝑖 2 ,… ∈ 𝐹 ∩ 𝐵} ≤ 𝜇 {⋃ 𝐼 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 𝒬 1 }
karena  jika 𝑥 𝑖 1 ,𝑖 2 ,… ∈ 𝐹 ∩ 𝐵 ⊂ ⋃ 𝑉̅ 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 𝒬 1 ,  maka  terdapat  bilangan  bulat 𝑘 sedemikian  hingga (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ 𝒬 1 , sehingga
𝜇̃(𝐵) ≤ ∑ 𝜇(𝐼 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 ) 𝒬 1 = ∑(𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 ) 𝑠 𝒬 1 ≤ ∑ 𝑟 𝑠 𝒬 1 ≤ 𝑟 𝑠 𝑞.
Karena untuk sebarang himpunan 𝑈 termuat dalam bola dengan jari-jari |𝑈| , maka 𝜇̃(𝑈) ≤ |𝑈| 𝑠 𝑞 , sehingga berdasarkan prinsip distribusi massa diperoleh ℋ 𝑠 (𝐹) ≥ 𝑞 −1 > 0 , dan dim H 𝐹 = 𝑠 Jika 𝒬 adalah sebarang himpunan dari barisan terbatas sehingga untuk setiap (𝑖 1 , 𝑖 2 , … ) ∈ ℐ terdapat tepat  satu  bilangan  bulat 𝑘 dengan (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ 𝒬 ,  secara  induktif  berdasarkan  12  diperoleh ∑ (𝑐 𝑖 1 𝑐 𝑖 2 … 𝑐 𝑖 𝑘 ) 𝑠 = 1 𝒬 .  Jadi,  jika 𝒬 dipilih  seperti  pada (3.12) , 𝒬 memuat  paling  banyak (min 𝑖 𝑐 𝑖 ) −𝑠 𝑟 −𝑠 barisan. Untuk setiap barisan (𝑖 1 , … , 𝑖 𝑘 ) ∈ 𝒬 diperoleh |𝑉̅ 𝑖 1 ,…,𝑖 𝑘 | = 𝑐 𝑖 1 … 𝑐 𝑖 𝑘 |𝑉̅| ≤ 𝑟|𝑉̅| , sehingga 𝐹 mungkin ditutup oleh (min 𝑖 𝑐 𝑖 ) −𝑠 𝑟 −𝑠 himpunan-himpunan dengan diameter 𝑟|𝑉̅| , ∀ 𝑟 <
1 . Berdassarkan definisi ekuivalen diperoleh dim B 𝐹 ≤ 𝑠 . Diperhatikan bahwa 𝑠 = dim H 𝐹 ≤ dim B 𝐹 ≤ dim B 𝐹 ≤ 𝑠 . ∎
Jika  kondisi  himpunan  terbuka  tidak  diasumsikan  pada  teorema  4.2,  dapat  ditunjukkan  bahwa dim H 𝐹 = dim B 𝐹 walaupun  nilai  dimensinya  mungkin  kurang  dari 𝑠 .  Dengan  teorema  4.2  dapat ditemukan dimensi dari banyak fraktal pada himpunan serupa-diri ( self-similar).

## Contoh 4.1 (Himpunan Cantor)
Himpunan Cantor adalah salah satu contoh fraktal yang paling dikenal dan paling mudah dikonstruksi serta  menampilkan  banyak  karakteristik  fraktal  yang  khas.  Himpunan  ini  dikonstruksi  dari  interval satuan dengan serangkaian operasi penghapusan. Misalkan 𝐸 0 interval [0, 1] . 𝐸 1 merupakan himpunan yang diperoleh dengan menghapus 1 3 bagian tengah dari 𝐸 0 , sehingga 𝐸 1 terdiri dari 2 interval, yaitu [0, 1 3 ] dan [ 2 3 , 1] .  Pengahapusan 1 3 bagian  tengah  dari  masing-masing  kedua  interval  ini  akan menghasilkan 𝐸 2 , sehingga 𝐸 2 terdiri dari 4 interval, yaitu [0, 1 9 ] , [ 2 9 , 1 3 ] , [ 2 3 , 7 9 ] , [ 8 9 , 1]. Cara ini terus dilanjutkan sehingga 𝐸 k diperoleh dengan menghapus 1 3 bagian tengah dari setiap interval pada 𝐸 k-1 . Dengan demikian 𝐸 k terdiri dari 2 k interval dengan panjang masing-masing interval 3 -k = 1 3 𝑘 . Penghitungan: Dalam konstruksi himpunan Cantor, 𝐹 merupakan atraktor dari 2 keserupaan dengan SFI yang diberikan oleh himpunan-himpunan 𝑆 1 (𝑥) = ( 1 3 𝑥) dan 𝑆 2 (𝑥) = ( 1 3 𝑥 + 2 3 ) . Diperhatikan bahwa,
|𝑆 1 (𝑥) − 𝑆 1 (𝑦)| = | 1 3 𝑥 − 1 3 𝑦| = 1 3 |𝑥 − 𝑦|
dan
|𝑆 2 (𝑥) − 𝑆 2 (𝑦)| = |( 1 3 𝑥 + 2 3 ) − ( 1 3 𝑦 + 2 3 )| = 1 3 |𝑥 − 𝑦|
Sehingga  diperoleh  rasio  masing-masing  pemetaaan  adalah 1 3 yang  memetakkan 𝐸 0 ke 𝐸 1 .  Ambil 𝑉 interval satuan [0, 1] yang tidak lain adalah 𝐸 0 , sehingga berlaku kondisi himpunan terbuka. Dengan demikian diperoleh,
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 2 𝑖=1 = 1
( 1 3 ) 𝑠 + ( 1 3 ) 𝑠 = 1 2 ( 1 3 ) 𝑠 = 1 ( 1 3 ) 𝑠 = 1 2 𝑠 = log 1 2 log 1 3 𝑠 = 0,63
Jadi, berdasarkan teorema 3.2 diperoleh dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = log 2 log 3 = 0,63.
Gambar 3. Konstruksi himpunan Cantor.

## Contoh 4.2. Segitiga Sierpinski
Segitiga  Sierpinski  atau  gasket 𝐹 dikonstruksi  dari  segitiga  sama  sisi  dengan  berulang  kali menghilangkan segitiga sama sisi terbalik (gambar 4). Dimensi dari Segitiga Sierpinski atau gasket 𝐹 ini yaitu dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = log 3 log 2 .
Penghitungan:
Dalam  konstruksi  segitiga  Sierpinski, 𝐹 merupakan  atraktor  dari 3 keserupaan  dengan  SFI  yang diberikan  oleh  himpunan-himpunan 𝑆 1 (𝑥, 𝑦) = ( 1 2 𝑥, 1 2 𝑦) , 𝑆 2 (𝑥, 𝑦) = ( 1 2 𝑥 + 1 2 , 1 2 𝑦) ,  dan 𝑆 3 (𝑥, 𝑦) = ( 1 2 𝑥 + 1 4 , 1 2 𝑦 + 1 2 ) .  Dengan  rasio  masing-masing  pemetaaan  adalah 1 2 yang  memetakkan 𝐸 0 ke 𝐸 1 . Ambil 𝑉 interior dari 𝐸 0 , sehingga berlaku kondisi himpunan terbuka. Dengan demikian diperoleh,
∑ ( 1 2 ) 𝑠 3 1 = 1 3 ( 1 2 ) 𝑠 = 1 ( 1 2 ) 𝑠 = 1 3 𝑠 = log 1 3 log 1 2 𝑠 = 1,58
Berdasarkan teorema 3.2 diperoleh dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = log 3 log 2 = 1,58.
Gambar 4. Konstruksi segitiga Sierpinski.

## Contoh 4.3 (Kurva Von Koch)
Kurva Von Koch juga merupakan bentuk unik dari fraktal, yang dibentuk dari sebuah segmen. Misalkan 𝐸 0 merupakan sebuah segmen dari satuan panjang. Himpunan 𝐸 1 terdiri dari 4 segmen yang diperoleh dengan menghapus 1 3 bagian tengah dari 𝐸 0 dan menggantinya dengan 2 sisi lain dari segitiga sama sisi  berdasarkan  segmen  yang  dihapus.  Kemudian 𝐸 2 diperoleh  dengan  menerapkan  langkah  sama untuk  setiap  segmen  pada 𝐸 1 ,  dan  seterusnya  sehingga 𝐸 𝑘 diperoleh  dengan  mengganti 1 3 bagian tengah dari setiap segmen garis lurus 𝐸 𝑘−1 dengan 2 sisi lain dari segitiga sama sisi (gambar 5). Penghitungan:
Dalam  konstruksi  kurva  von  Koch, 𝐹 merupakan  atraktor  dari 4 keserupaan  dengan  rasio  masing- masing pemetaaan adalah 1 3 yang memetakkan 𝐸 0 ke 𝐸 1 . Kondisi himpunan terbuka terpenuhi, yaitu ambil 𝑉 interior dari segitiga sama kaki dengan alas 1 dan tinggi 1 6 √3 . Dengan demikian diperoleh,
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 4 𝑖=1 = 1
4 ( 1 3 ) 𝑠 = 1 𝑠 = log 1 4 log 1 3 𝑠 = 1,26
Berdasarkan teorema 4.2 diperoleh dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = log 4 log 3 = 1,26.
Gambar 5. Konstruksi kurva von Koch.
Contoh 4.5.
Kurva fraktal ini dikonstruksi dari interval satuan [0, 1] , kemudian ambil 1 3 bagian tengah dari interval satuan [0, 1] dan digantikan dengan sebuah persegi panjang dengan panjang 1 3 bagian dan lebar 1 4 bagian dari interval awal. Proses ini diulangi pada setiap interval-interval baru yang terbentuk (gambar 6).

## Penghitungan:
Kurva 𝐹 merupakan  atraktor  dari  5  keserupaan  dengan  rasio  masing-masing  pemetaaan  adalah 1 3 , 1 4 , 1 3 , 1 4 , 1 3 yang memetakkan 𝐸 0 ke 𝐸 1 . Kondisi himpunan terbuka terpenuhi, yaitu ambil 𝑉 interior dari persegi panjang dengan panjang 1 dan lebar 25 36 . Sehingga diperoleh,
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 5 𝑖=1 = 1 ( 1 3 ) 𝑠 + ( 1 4 ) 𝑠 + ( 1 3 ) 𝑠 + ( 1 4 ) 𝑠 + ( 1 3 ) 𝑠 = 1 3 ( 1 3 ) 𝑠 + 2 ( 1 4 ) 𝑠 = 1
Jadi, dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = 𝑠 , dimana 𝑠 adalah solusi dari 3 ( 1 3 ) 𝑠 + 2 ( 1 4 ) 𝑠 = 1 , yaitu 𝑠 = 1,34.
Gambar 6. Tahapan pembuatan kurva fraktal dari sebuah generator.

## Contoh 4.6
Sebuah fraktal yang dikonstruksi dari interval satuan [0, 1] dengan kurva fraktal seperti terlihat pada gambar  7  merupakan  atraktor  dari  8  keserupaan  dengan  rasio  masing-masing  pemetaaan  adalah 1 4 yang memetakkan 𝐸 0 ke 𝐸 1 . Kondisi himpunan terbuka terpenuhi, yaitu ambil 𝑉 interior dari persegi panjang dengan panjang 1 dan lebar 1 3 . Dimensi dari kurva fraktal ini adalah
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 8 𝑖=1 = 1
8 ( 1 4 ) 𝑠 = 1 𝑠 = log 8 log 4 =    1 1 2 =    1,5
Berdasarkan teorema 3.2 diperoleh dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = 1,5.
Gambar 7. Kurva fraktal dan generatornya.

## Contoh 4.7. (Pohon seperti fraktal)
Pohon seperti fraktal dikonstruksi dari interval unit dengan kurva fraktal seperti terlihat pada gambar 7  merupakan  atraktor  dari  5  keserupaan  dengan  rasio  masing-masing  pemetaaan  adalah 1 3 yang memetakkan 𝐸 0 ke 𝐸 1 .  Kondisi  himpunan  terbuka  terpenuhi,  yaitu  ambil 𝑉 interior  dari  persegi panjang dengan panjang 1 dan lebar 2 3 . Dimensi dari kurva fraktal ini adalah
∑ 𝑐 𝑖 𝑠 5 𝑖=1 = 1 5 ( 1 3 ) 𝑠 = 1 𝑠 = 1, 46
Berdasarkan teorema 3.2 diperoleh dim H 𝐹 = dim B 𝐹 = log 5 log 3 = 1, 46.
Gambar 8. Pohon seperti fraktal dan generatornya.

## Kesimpulan
Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa sistem fungsi  iterasi  adalah  pemetaan-pemetaan  kontraksi  berhingga,  yaitu  diberikan  pemetaan-pemetaan kontraksi {𝑆 1 , … , 𝑆 𝑚 } pada 𝐷 ∈ ℝ 𝑛 sehingga |𝑆 𝑖 (𝑥) − 𝑆 𝑖 (𝑦)| ≤ 𝑐 𝑖 |𝑥 − 𝑦|,         (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 pemetaan-pemetaan  kontraksi  berhingga {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑚 } dengan 𝑚 ≥ 2 .  Cara  mengkonstruksi  fraktal dengan sistem fungsi iterasi yaitu dengan menemukan atraktornya, maka atraktor itulah yang merupakan bentuk fraktal. Sifat dasar SFI adalah memiliki atraktor tunggal, yaitu diberikan himpunan kompak tak kosong 𝐹 , dimana 𝐹 ⊂ 𝐷 . 𝐹 disebut atraktor dari SFI jika 𝐹 = ⋃ 𝑆 𝑖 (𝐹) 𝑚 𝑖=1 . Kemudian untuk menghitung dimensi fraktal adalah dengan mencari skala/ faktor kontraksi 𝑐 𝑖 dari pemetaanya, kemudian dimensi fraktal adalah 𝑠 , yaitu 𝑠 yang memenuhi persamaan ∑ 𝑐 𝑖 𝑠 𝑚 𝑖=1 = 1 .

## Referensi
[1] Barnsley, M.F. 1988. Fraktals Everywhere. London: Academic Press.
[2] Bovill, Carl. 2000. Fraktal Geometry as Design Aid . Journal for Geometry and Graphics , Vol. 2, No. 1, pp. 71-78.
[3] Falconer, K. 2003. Fraktal Geometry Mathematical Foundations and Applications. England: John Wiley.
[4] Frantz, Marc & Annalisa, C. 2011. Viewpoints: Mathematical Perspective and Fraktal Geometry in Art. New Jersey: Princeton University Press.
[5] Hernadi, Julan. 2015. Analisis Real Elementer dengan Ilustrasi Grafis & Numeris. Jakarta: Erlangga.
[6] Lertchoosakul, Poj. 2012. Introduction to Hausdorff Measure and Dimension . Dalam: Dynamics Learning Seminar di Liverpool, 28 September.
[7] Mandelbrot, Benoit B. (1983). The Fractal Geometry of Nature . New York: W. H. Freeman and Company.
[8] Muslikh, Mohamad. 2013. Ukuran dan Integral Lebesgue. Malang: UB Press.
[9] Pant, Vyomesh & Poonam, P. 2013. Fraktal Geometry: An Introduction . Journal of Indian Research , Vol. 1, No. 2, pp. 66-70.
[10] Pearse, Erin. An Introduction to Dimension Theory and Fraktal Geometry: Fraktal Dimensions and Measures.
[11] Shirali, Satish & Vasudeva, H.L. 2006. Metric Space . United States of Amerika: Springer Science + Business Media.
[12] Yohanes, D. 2014. Dimensi Hausdorff dari Beberapa Bangun Fraktal. Skripsi. Tidak diterbitkan. Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas Sanata Dharma: Yogyakarta.