JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 4, Tahun 2023, Halaman 593 - 604 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## OPTIMASI PORTOFOLIO MEAN-VARIANCE DENGAN ANALISIS KLASTER
FUZZY C-MEANS
La Gubu 1* , Edi Cahyono 2 , Arman 3 , Herdi Budiman 4 , Muh. Kabil Djafar 5 1,2,3,4,5 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Penetahuan Alam, Universitas Halu Oleo *e-mail : la.gubu@uho.ac.id
DOI: 10.14710/J.GAUSS.12.4.593-604
Article Info: Received: 2023-09-28 Accepted: 2024-07-10 Available Online: 2024-07-14

## Keywords:
Clustering; Fuzzy C-Means; risk; return; portfolio; Sharpe ratio .
Abstract: Many studies have been carried out to solve and develop the  Markowitz  portfolio  model.  This  was  done  to  correct  existing models in response to the changes in financial market dynamics and the  needs  of  capital  market  practitioners.  In  this  study,  we  provide Mean-Variance (MV) portfolio selection via cluster analysis. Fuzzy C- Means clustering is used to separate stocks into different categories. As  a  comparison,  stocks  categories  were  also  carried  out  using  K- Mean clustering. Based on the Sharpe ratio, a stock from each cluster is chosen as a cluster representative. The stocks chosen for each cluster have  the  greatest  Sharpe  ratio.  The  MV  portfolio  model  is  used  to determine the best portfolio. For the empirical analysis, we examined the  fundamental  data  and  the  daily  return  data  of  stocks  that  were included in the LQ-45 index from August 2022 to January 2023. The fundamental  data  of  stocks  are  used  to  form  clusters  and  the  daily return of stocks are used to construct the best portfolio. The results of this  study  reveal  that,  for  all  given  risk  aversion  values,  portfolio performance  created  by  Fuzzy  C-Means  clustering  outperformed portfolio performance produced by K-Means clustering.

## 1. PENDAHULUAN
Prinsip  dasar  dalam  pembentukan  model  portofolio mean-variance adalah memanfaatkan ukuran-ukuran statistik dari data historis return ,  dalam hal ini adalah mean dan variansi-kovariansi. Pada tahun 1952, Markowitz mengusulkan model portofolio yang menggunakan mean dan  variansi  dari return aset  untuk  mengekspresikan trade-off antara return dan risiko portofolio (Elton dan Gruber, 2014). Model ini dinyatakan sebagai masalah optimisasi dengan dua tujuan yang saling bertentangan. Artinya, keuntungan ( return ) yang diharapkan dari portofolio perlu dimaksimalkan, di sisi lain, risiko portofolio yang diwakili oleh variansi return dari aset yang berbeda, perlu diminimalkan.
Telah banyak studi dilakukan untuk membuat penyelesaian dan pengembangan model portofolio  Markowitz.  Penyelesaian  dan  pengembangan  model  tersebut  dilakukan  untuk mengoreksi model yang ada sebagai respons terhadap perubahan dinamika pasar keuangan dan  kebutuhan  praktisi  pasar  modal  (Gubu,  dkk.,  2019).  Salah  satu  yang  menjadi  fokus penelitian dalam pemilihan portofolio adalah efisiensi waktu pemilihan portofolio optimum. Hal  ini  dapat  dimaklumi  karena  semakin  besar  jumlah  sekuritas  yang  terlibat  dalam pembentukan  portofolio  maka  semakin  banyak  kemungkinan  portofolio  yang  dapat dibentuk. Besarnya jumlah sekuritas yang terlibat dalam pemilihan portofolio dapat diatasi dengan  mengelompokkan  data  saham  dengan  menggunakan  analisis  klaster  (Long,  dkk., 2014).  Analisis  klaster  ( cluster  analysis )  adalah  suatu  analisis  statistik  multivariat  yang bertujuan  mengelompokkan  objek-objek  menjadi  beberapa  kelompok  yang  memiliki karakteristik sama/berbeda antar kelompok yang satu dengan kelompok yang lain. Objek- objek  dalam  sebuah  klaster  akan  memiliki  keterkaitan  yang  lebih  erat  jika  dibandingkan dengan objek-objek dalam klaster lainnya (Jain dan Dubes, 1988).
Dalam beberapa tahun terakhir, banyak penelitian tentang pemilihan portofolio yang telah  menggunakan  analisis  klaster.  Tola,  dkk.  (2008)  mengusulkan  model  optimasi portofolio berdasarkan dua teknik pengklasteran yaitu average linkage dan single linkage . Hasil  eksperimen  menunjukkan  bahwa  penggunaan  algoritma  pengklasteran  dapat meningkatkan keandalan portofolio dalam konteks rasio antara predicted and relized risk .
Penggunaan  analisis  klaster  dan  model  portofolio  Markowitz  dalam  pembentukan portofolio  juga  telah  dilakukan  oleh  Nanda,  dkk.  (2010).  Mereka  menggunakan  analisis klaster K-Means , Fuzzy  C-Means ,  dan Self  Organizing  Maps (SOM)  untuk  memisahkan saham-saham  ke  dalam  kelompok-kelompok  yang  berbeda.  Portofolio  dibangun  dengan memilih  saham  dari  klaster-klaster  yang  telah  terbentuk.  Saham  yang  dipilih  pada  suatu klaster adalah saham yang memiliki performance terbaik dalam klaster tersebut. Portofolio yang dibangun adalah meminimalkan risiko dan membandingkan return portofolio dengan benchmark index , yaitu Sensex.
Pembentukan  portofolio  yang  melibatkan  penggunan  analisis  klaster  juga  telah dilakukan  oleh  Long,  dkk.  (2014).  Mereka  membangun  portofolio  berdasarkan  algoritma pengklasteran Fuzzy  C-Means dan Multi  Objective  Genetic  Algoritm (MOGA).  Pada pendekatan ini, saham-saham dikelompokan menjadi k klaster, kemudian memilih m saham yang  merupakan  perwakilan  dari  setiap  klaster  dan  menggunakan  saham-saham  tersebut untuk  menyusun  portofolio  efisien  dengan  menggunakan  MOGA.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  metode  yang  diusulkan  sangat  efisien  dalam  membangun  portofolio optimum.
Dari literatur  review ,  dapat  simpulkan  bahwa  untuk  efisiensi  waktu  dan  jumlah sekuritas, dalam penentuan portofolio optimum, ada tiga tahap yang harus dilakukan. Tahap pertama  adalah  mengelompokkan  saham-saham  ke  dalam  klaster-klaster  yang  berbeda. Tahap kedua adalah memilih saham-saham yang akan menyusun portofolio optimum. Tahap ketiga  adalah  menghitung  bobot  setiap  saham  penyusun  portofolio  optimum.  Sebagai kontribusi kami pada penelitian ini adalah, pada tahap ke tiga kami menggunakan saham- saham  representasi  klaster  dengan  analisis  klaster Fuzzy  C-Means untuk  membentuk portofolio  optimum  dengan  menggunakan  model  portofolio  Mean-Variance.  Sebagai pembanding  dibentuk  pula  portofolio  dengan  menggunakan  analisis  klaster K-Means dan membandingkan kinerja masing-masing portofolio optimum yang diperoleh.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam dunia keuangan, istilah return merupakan sesuatu yang sangat penting karena dapat  digunakan  untuk  mengenali  keadaan  harga  yang  sesungguhnya  (Sukono,  2011). Pertama, bagi pelaku ekonomi ( investor ), return merupakan gambaran secara real fluktuasi harga.  Kedua,  bagi  praktisi, return secara  teoritis  dan  empiris  dapat  digunakan  untuk menggambarkan  perilaku  statistik,  misalnya  stasioneritas  dan  kejadian-kejadian  yang berhubungan dengan fluktuasi dan perubahan harga.
Misalkan 𝑝 𝑖𝑡 menyatakan  harga  aset  ke- i pada  waktu t dan  diasumsikan  tidak  ada pembagian laba ( deviden ). Return aset ke- i untuk satu periode, yaitu dari dari waktu 𝑡 − 1 sampai dengan 𝑡 adalah:
𝑟 𝑖𝑡 = 𝑝 𝑖𝑡 −𝑝 𝑖(𝑡−1) 𝑝 𝑖(𝑡−1) = 𝑝 𝑖𝑡 𝑝 𝑖(𝑡−1) − 1 (1)
Nilai harapan return aset ke- i adalah
𝑟 𝑖 = 𝐸[𝑟 𝑖𝑡 ] = 1 𝑛 ∑ 𝑟 𝑖𝑡 𝑛 𝑡=1 (2)
dengan 𝑛 adalah periode waktu.
Misalkan investor ingin menanamkan modalnya dalam m aset, return 𝑟 𝑖 adalah return aset ke- i , dengan 𝑖 = 1, … , 𝑚 . Kemudian, 𝒓 ′ = (𝑟 1 , … , 𝑟 𝑚 ) menunjukkan return setiap aset dalam portofolio. Nilai harapan dari r adalah:
𝐸(𝒓) = [ 𝐸(𝑟 1 ) ⋮ 𝐸(𝑟 𝑚 ) ] = [ 𝜇 1 ⋮ 𝜇 𝑚 ] = 𝝁 (3)
dan matriks kovariansinya adalah
Σ = E[(𝒓 − 𝝁)(𝒓 − 𝝁)′]
= 𝐸 ([ (𝑟 1 − 𝜇 1 ) ⋮ (𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 ) ] [(𝑟 1 − 𝜇 1 ) ⋯ (𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 )]) = [ 𝐸(𝑟 1 − 𝜇 1 ) 2 𝐸(𝑟 1 − 𝜇 1 )(𝑟 2 − 𝜇 2 ) … 𝐸(𝑟 1 − 𝜇 1 )(𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 ) 𝐸(𝑟 2 − 𝜇 2 )(𝑟 1 − 𝜇 1 ) 𝐸(𝑟 2 − 𝜇 2 ) 2 … 𝐸(𝑟 2 − 𝜇 2 )(𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 )
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝐸(𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 )(𝑟 1 − 𝜇 1 ) 𝐸(𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 )(𝑟 2 − 𝜇 2 ) … 𝐸(𝑟 𝑚 − 𝜇 𝑚 ) 2 ] = [ 𝜎 11 𝜎 12 … 𝜎 1𝑚 𝜎 21 𝜎 22 … 𝜎 2𝑚 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜎 𝑚1 𝜎 𝑚2 … 𝜎 𝑚𝑚 ] (4)
Return portofolio adalah rata - rata terbobot dari return setiap dalam portofolio tersebut yaitu 𝑅 𝑝 = 𝑤 1 𝑟 1 + ⋯ + 𝑤 𝑚 𝑟 𝑚 = 𝒘′𝒓 (5)
dengan 𝑤 𝑖 menyatakan  proporsi  (bobot)  modal  yang  diinvestasikan  pada  aset  ke- i dan 𝒘 adalah vektor bobot yang dirumuskan berikut ini:
𝒘 ′ = (𝑤 1 , … , 𝑤 𝑚 ) (6)
Dalam  melakukan  investasi  pada  aset  ﬁnansial  para investor diasumsikan menanamkan  seluruh  modalnya  dalam m aset,  sehingga ∑ 𝑤 𝑖 𝑚 𝑖=1 = 1 .  Selain  itu, investor juga dihadapkan pada unsur ketidakpastian, oleh karena itu investor hanya dapat menduga besarnya return yang  diharapkan  ( expected  return )  dan  besarnya  kemungkinan return sesunguhnya  nanti  akan  menyimpang  dari return yang  diharapkan  (risiko). Return yang diharapkan  dari suatu portofolio adalah nilai harapan dari return portofolio yaitu:
𝜇 𝑝 = 𝐸(𝑅 𝑝 ) = 𝐸(𝒘′𝒓 ) = 𝒘 ′ 𝛍 = ∑ 𝑤 𝑖 𝑚 𝑖=1 𝜇 𝑖 (7)
Sedangkan variansi portofolio yang terbentuk adalah:
𝜎 𝑝 2 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑅 𝑝 ) = 𝑉𝑎𝑟 (𝒘′𝒓) = 𝒘 ′ Σ 𝒘 = ∑ ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 𝑚 𝑖=1 𝜎 𝑖𝑗 (8)
dengan 𝜎 𝑖𝑗 adalah kovariansi aset i dengan aset j .
Landasan  utama  dari  model  portofolio  Markowitz  adalah  pendekatan mean dan variance ,  di  mana mean digunakan  untuk  mengukur  tingkat expected  return dan  variansi digunakan untuk mengukur tingkat risiko. Oleh karena itu, teori Portofolio Markowitz ini disebut juga sebagai  model mean-variance (MV).  Model  ini  berupaya  membuat expected return semaksimal mungkin dan risiko (variance) seminimum mungkin untuk membangun portofolio optimal.
Secara  matematis,  formulasi  portofolio mean-variance disajikan  sebagai  masalah optimasi berikut (Supandi, 2017):
max 𝑤 𝒘′𝝁 − 𝛾 2 𝒘′Σ𝒘 (9)
dengan kendala
𝒘 ′ 𝒆 = 1 (10)
di  mana w adalah  bobot  portofolio, 𝝁 menyatakan  vektor mean , Σ merupakan  matriks kovariansi, e ialah matriks kolom dengan semua entrinya 1, dan 𝛾 ≥ 0 merupakan parameter risk aversion yaitu ukuran relatif penghindaran  terhadap  risiko.  Penyelesaian masalah (9) dengan kendala (10) adalah:
𝒘(𝝁, Σ) = 1 𝛾 (Σ −1 − Σ −1 𝒆(𝒆 ′ Σ −1 𝒆) −1 𝒆 ′ Σ −1 )𝝁 +   Σ −1 𝒆(𝒆 ′ Σ −1 𝒆) −1 (11)
Persamaan (11) menunjukan bahwa penyelesaian portofolio optimal ( w ) tergantung pada dua input, yaitu 𝝁 dan Σ .
Sebagaimana  diketahui  bahwa  jumlah  saham  yang  tersedia  di  pasar  modal  cukup besar, sehingga sangat sulit untuk menentukan proporsi investasi setiap saham. Oleh karena itu, perlu untuk menggunakan teknik data mining untuk menangani hal ini. Salah satu teknik data mining yang dapat digunakan adalah analisis klaster. Analisis klaster merupakan suatu analisis  statistik  yang  bertujuan  untuk  mengelompokkan  benda-benda  atau  objek-objek menjadi beberapa kelompok berdasarkan karakterstik yang dimilikinya. Dalam analisis ini masing-masing  kelompok  bersifat  homogen  atau  variasi  objek  dalam  kelompok  yang terbentuk  sekecil  mungkin.  Objek-objek  dalam  sebuah  klaster  akan  memiliki  keterkaitan yang lebih erat jika dibandingkan dengan objek-objek dalam klaster lainnya.
Ada  banyak  teknik  klastering  dalam  literatur.  Analisis  klaster  yang  digunakan  pada penelitian ini adalah analisis klaster Fuzzy C-Means . Sebagai pembanding akan digunakan pula analisis klaster K-Means.
Analisis klaster K-Means mempartisi n objek menjadi k kelompok atau klaster. Nilai k telah ditentukan sebelumnya di mana k < n . Setiap klaster mempunyai mean (rata-rata) dari objek-objek  yang  ada  di  dalam  sebuah  klaster  yang  dinamakan centroid (pusat  klaster). Pengalokasian  objek  ke  dalam  suatu  klaster  berdasarkan  jarak  antara  objek  dengan mean klaster  yang  terdekat.  Metode  klaster k-means berawal  dari  penentuan  nilai k yang diinginkan,  kemudian  membangkitkan k centroid ( mean )  klaster  awal  yang  dipilih  secara acak.  Selanjutnya  objek-objek  dialokasikan  ke  dalam  klaster  dengan centroid terdekat  di mana dalam klaster baru yang terbentuk dihitung centroid yang baru secara iteratif. Menurut Jain dan Dubes (1988), analisis klaster dengan K-Means dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tetapkan k jumlah klaster yang diinginkan.
2. Inisialisasi k centroid awal (𝑐 1 , … , 𝑐 𝑘 ) secara random. 3. Hitung jarak antara setiap objek (𝑥 𝑗 ) dengan setiap centroid (𝑐 𝑖 ) . 4. Kelompokkan objek berdasarkan jarak terdekat dengan centroid (𝑐 𝑖 ) . 5. Hitung titik centroid baru yakni mean tiap klaster yang telah terbentuk.
6. Apabila centroid berubah, kembali ke langkah 3. Iterasi terus dilakukan sampai centroid tidak berubah atau sampai objek-objek tidak berpindah klaster lagi. Diperoleh centroid akhir (𝑐 1 , … , 𝑐 𝑘 ) di  mana  setiap  objek  telah  dikelompokkan  ke  dalam k klaster berdasarkan jarak terdekat dengan centroid tiap klaster.
Analisis  klaster Fuzzy  C-Means merupakan  salah  satu  teknik  pengklasteran  data dimana  keanggotaan  tiap-tiap  titik  data  pada  suatu  klaster  ditentukan  oleh  derajat keanggotaan  (Bezdek,  1981).  James  Bezdek  memperkenalkan  teknik  pengklasteran  ini pertama kali pada tahun 1981.
Dalam pengklasteran dengan menggunakan Fuzzy C-Means , yang dilakukan pertama sekali adalah menetapkan pusat klaster, yang akan menunjukan lokasi rata-rata untuk setiap
klaster.  Pada  keadaan  awal,  pusat  klaster  ini  masih  belum  akurat.  Setiap  titik  data mempunyai derajat keanggotaan pada setiap klaster . Cara memperbaharui pusat klaster dan derajat keanggotaan setiap titik data dikerjakan secara berulang, maka akan dapat diamati bahwa pusat  klaster  akan bergerak menuju lokasi  yang tepat.  Pengulangan  ini didasarkan pada  minimisasi  fungsi  tujuan  yang  menunjukkan  jarak  dari  titik  data  yang  diberikan  ke pusat klaster yang terbobot oleh derajat keanggotaan titik data tersebut. Output dari Fuzzy C-Means merupakan himpunan pusat klaster dan beberapa derajat keanggotaan untuk setiap titik data.
Secara lebih terperinci Bezdek (1981) menguraikan tahapan analisis klaster Fuzzy C- Means sebagai berikut:
1. Masukan data yang akan diklaster 𝑋 berupa matriks orde 𝑛 × 𝑚 , n adalah jumlah sampel data dan m adalah jumlah atribut setiap data.
2. Tentukan input-input yang diperlukan pada perhitungan Fuzzy C-Means , yaitu:
- Jumlah klaster ( c )
- Pangkat ( w ) nilai eksponen.
- Iterasi maksimum (MaxIter).
- Error terkecil (𝜉) , yaitu batasan nilai yang membuat perulangan akan berakhir.
- Fungsi tujuan awal ( 𝑃 0 = 0 ) ialah suatu fungsi yang akan dioptimumkan
- Iterasi awal (t = 1).
3. Membangkitkan  bilangan random 𝜇 𝑖𝑘 , 𝑖 = 1, … 𝑛 ; 𝑘 = 1, … 𝑐 ;  sebagai  elemen-elemen matriks partisi awal U. Hitung jumlah setiap kolom:
𝑄 𝑖 = ∑ 𝜇 𝑖𝑘 𝑐 𝑘=1 (12)
𝑄 𝑖 adalah jumlah setiap kolom dari nilai random sebuah matriks. 4. Hitung pusat klaster ke- k , 𝑉 𝑘𝑗 , dengan 𝑘 = 1, … 𝑐 dan 𝑗 = 1, … 𝑚
𝑉 𝑘𝑗 = ∑ ((𝜇 𝑖𝑘 ) 𝑤 𝑋 𝑖𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 ∑ (𝜇 𝑖𝑘 ) 𝑤 𝑛 𝑗=1 (13)
5. Menghitung fungsi tujuan pada iterasi ke- t , 𝑃 𝑡
𝑃 𝑡 = ∑ ∑ ([∑ (𝑋 𝑖𝑗 − 𝑉 𝑘𝑗 ) 2 𝑚 𝑗=1 ] (𝜇 𝑖𝑘 ) 𝑤 ) 𝑐 𝑘=1 𝑛 𝑖=1
(14)
6. Hitung perubahan matriks partisi.
𝝁 𝑖𝑘(𝑡) = [∑ (𝑋 𝑖𝑗 −𝑉 𝑘𝑗 ) 2 𝑚 𝑗=1 ] − 1 𝑤−1 ∑ [∑ 𝑋 𝑖𝑗 −𝑉 𝑘𝑗 2 𝑚 𝑗=1 ] − 1 𝑤−1 𝑐 𝑘=1 (15)
7. Cek syarat berhenti
- Jika |𝑃 𝑡 − 𝑃 𝑡−1 | < 𝜉 atau 𝑡 > MaxIter maka berhenti;
- Jika tidak, 𝑡 = 𝑡 + 1 , ulangi langkah 4.
Setelah saham-saham dikelompokkan dalam bentuk klaster-klaster, langkah selanjutnya yang  dilakukan  adalah  melakukan  evaluasi  terhadap  kinerja  setiap  saham  dalam  masing- masing  klaster dengan menggunakan  rasio  Sharpe (RS). Rasio  Sharpe adalah ukuran dari excess return (atau risk premium ) perunit risiko dalam saham. Rasio Sharpe digunakan untuk mengetahui seberapa baik return suatu aset dapat mengkompensasi investor atas risiko yang diambil. Perhitungan rasio Sharpe dilakukan dengan membandingkan selisih antara return saham  ( r )  dan  rata-rata return aset  bebas  risiko, risk  return  free  rate (𝑟 𝑓 ) dengan  deviasi standar return saham (𝜎) atau dapat ditulis sebagai berikut (Pav, 2022):
𝑅𝑆 = 𝑟−𝑟 𝑓 𝜎 (16)
Semakin  tinggi  nilai  rasio  Sharpe    suatu  saham,  maka  semakin  baik  kinerja  saham tersebut.  Selain  untuk  mengukur  kinerja  saham,  nilai  rasio  Sharpe  juga  dapat  digunakan untuk  mengukur  kinerja  portofolio  dengan  mengganti return saham r dangan return portofolio 𝑟 𝑝 dan deviasi standar saham (𝜎) dengan risiko portofolio (𝜎 𝑝 ) .

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan tiga macam data. Data pertama adalah data fundamental saham indeks LQ-45 tahun 2022 yang diperoleh melalui website https://indopremier.com . Ada 13 data fundamental untuk setiap saham yang diambil, yaitu:
1. Share Out .
2. Market Capital .
3. Total Aset.
4. Total Equity .
5. Revenue .
6. Net Profit .
7. EBITDA
8. EPS.
9. PER.
10. BVPS.
11. PBV.
12. ROA.
13. ROE.
Data tersebut digunakan untuk klasterisasi saham-saham LQ-45.
Data kedua adalah data daily closing price saham-saham LQ-45 periode Agustus 2022 –  Januari  2023,  diperoleh  melalui  website https://finance.yahoo.com .  Data  ini  digunakan untuk penentuan bobot portofolio.
Data  ketiga  yang  digunakan  adalah  data  Bank  Indonesia  (BI) rate tahun  2022, diperoleh  melalui  website https://www.bi.go.id .  Data  BI rate ini  digunakan  sebagai risk return free rate .
Prosedur penelitian ini dilakukan dengan tahapan sebagai berikut:
1. Mengumpulkan  data  fundamental  saham-saham  indeks  LQ-45  tahun  2022  melalui website https://indopremier.com .
2. Mengumpulkan data daily closing price saham-saham indeks LQ-45 periode Agustus 2022 – Januari 2023 melalui website https://finance.yahoo.com .
3. Mengumpulkan  data  Bank  Indonesia rate tahun  2022  melalui  website https://www.bi.go.id.
Data BI rate ini digunakan sebagai risk return free rate . BI rate yang digunakan dalam penelitian adalah 𝑟 𝑓 =0,0425 (4,25%) pertahun yang merupakan rata-rata BI rate selama 12 bulan pada Tahun 2022.
4. Melakukan  klasterisasi  saham-saham  LQ-45  dengan  menggunakan  analalisis  klaster Fuzzy C-Means dan K-Means berdasarkan data yang diperoleh pada langkah 1. Jumlah klaster dalam penelitian adalah sebanyak 6 klaster untuk masing-masing metode pengklasteran.
5. Menghitung return ,  risiko  dan  rasio  Sharpe  setiap  saham  berdasarkan  data  yang diperoleh pada langkah 2 dan langkah 3.
Return  saham  dihitung  dengan  menggunakan  Persamaan  (2),  risiko  saham direpresentasikan oleh standar deviasi return harian  masing-masing saham,  dan rasio Sharpe dihitung dengan menggunakan Persamaan (16).
6. Memilih saham representasi setiap klaster untuk kedua metode pengklasteran. Representasi  klaster  yang  dipilih  adalah  saham  dengan  rasio  Sharpe  tertinggi  dalam setiap klaster.
7. Menentukan  matriks  kovariansi  saham-saham  penyusun  portofolio  dengan  kedua metode pengklasteran.
8. Menentukan return dan risiko portofolio.
9. Menentukan bobot portofolio yang terbentuk dengan menggunakan Persamaan (11).
10. Menentukan kinerja portofolio yang dikonstruksi dengan menggunakan kedua metode pengklasteran.
Kinerja kedua portofolio yang terbentuk diukur dengan menggunakan rasio Sharpe.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis klaster yang digunakan  pada penelitian ini adalah analisis klaster Fuzzy C- Means .  Sebagai  pembanding  dilakukan  pula  analisis  klaster  dengan  metode K-Means. Dengan mengaplikasikan software R 3.4.1, diperoleh bahwa dengan menggunakan analisis klaster Fuzzy  C-Means dan K-Means ,  saham-saham  LQ-45  terkelompokkan  menjadi  6 klaster sebagaimana diberikan pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1. Pengklasteran Saham LQ-45 dengan Analisis Klaster Fuzzy C-Means Klaster Saham-saham Anggota Klaster dan Rasio Sharpenya 1 ADRO AMRT ANTM ARTO ASII BBCA BBNI -0,04109 0,12326 0,03363 -0,16728  -0,05222 0,05388  0,06000 2 BBRI BBTN BFIN BMRI BRIS BRPT BUKA 0,01216 -0,03833 -0,00388 0,09566 -0,07767 -0,05806  0,00005 3 CPIN EMTK ERAA
EXCL GOTO HMSP HRUM ICBP -0,01462 -0,14425 -0,07739 0,07849 -0,16032 0,01682  -0,03641  0,05471 4 INO INDF INDY
INKP INTP ITMG JPFA KLBF 0,05118 -0,03806 -0,03989 0,02980 0,03167 -0,04329  -0,05796 0,10429 5 MDKA MEDC MIKA
MNCN PGAS PTBA SMGR TBIG 0,04128 0,17017 0,05284 -0,20342  -0,03552  -0,09807  0,04907  -0,14914 6 TINS TLKM TOWR TPIA UNTR UNVR WIKA -0,08420 -0,06384 -0,04500  -0,01254  -0,11844 0,00113 -0,11243 Tabel 2. Pengklasteran Saham LQ-45 dengan Analisis Klaster K-Means Klaster Saham-saham Anggota Klaster dan Rasio Sharpenya 1 BBTN BFIN BMRI BRIS BRPT BUKA CPIN -0,03833 -0,00388 0,09566 -0,07767 -0,05806 0,00005  -0,01462 2 ADRO AMRT ANTM
ARTO
ASII BBCA BBNI BBRI -0,04109 0,12326 0,03363 -0,16728 -0,05222 0,05388  0,06000  0,01216 3 INCO INDF INDY INKP INTP ITMG JPFA 0,05118 -0,03806 -0,03989 0,02980 0,03167 -0,04329  -0,05796 4 EMTK ERAA EXCL GOTO HMSP HRUM ICBP -0,14425 -0,07739 0,07849 -0,16032 0,01682 -0,03641  0,05471 5 TBIG TINS TLKM TOWR TPIA UNTR UNVR WIKA -0,14914 -0,08420 -0,06384 -0,04500 -0,01254  -0,11844 0,00113 -0,11243 6 KLBF MDKA MEDC MIKA MNCN PGAS PTBA SMGR 0,10429 0,04128 0,17017 0,05284 -0,20342  -0,03552  -0,09807  0,04907
Langkah  berikutnya  yang  dilakukan  setelah  klaster-klaster  saham  terbentuk  adalah mengevaluasi kinerja setiap saham pada masing-masing klaster dengan menggunakan rasio Sharpe yang dihasilkan oleh kedua metode pengklasteran. Dalam perhitungan rasio Sharpe ini,  rata-rata return aset  bebas  risiko yang  digunakan  adalah  suku  Bunga  Bank  Indonesia tahun 2022 yaitu 4,25% pertahun.
Penggunaan analisis klaster Fuzzy C-Means , pada klaster 1, saham AMRT memiliki kinerja terbaik dibandingkan dengan kinerja saham-saham lain dalam klaster tersebut yang ditunjukkan dengan rasio Sharpe tertinggi, yaitu sebesar 0,12326. Dengan demikian maka saham AMRT terpilih sebagai representasi kaster 1. Kemudian, pada klaster 2, saham BMRI dengan rasio Sharpe 0,09566 terpilih sebagai representasi klaster 2. Demikian seterusnya, saham  EXCL  dengan  rasio  Sharpe  0,07849,  KLBF  dengan  rasio  Sharpe  0,10429,  saham MEDC dengan rasio Sharpe 0,17017, saham UNVR dengan rasio Sharpe 0.00113 masing- masing terpilih sebagai representasi dari klaster 3, 4, 5, dan 6
Pengklasteran dengan menggunakan K-Means , diperoleh bahwa pada klaster 1, kinerja saham BMRI mengungguli kinerja saham-saham lain dalam klaster, yang ditunjukkan oleh rasio Sharpe tertinggi dalam klaster tersebut, yaitu 0,09566, sehingga saham BMRI terpilih sebagai representasi dari klaster 1. Kemudian, pada klaster 2, saham AMRT terpilih sebagai representasi  klaster  2  dengan  rasio  Sharpe  sebesar  0,12326.  Demikian  seterusnya,  saham INCO dengan rasio Sharpe sebesar 0,05118, EXCL dengan rasio Sharpe sebesar 0,07849, UNVR dengan rasio Sharpe sebesar 0,00113, MEDC dengan rasio Sharpe sebesar 0,17017 masing-masing terpilih sebagai representasi klaster 3, 4, 5, dan 6.
Jika  diperhatikan  lebih  jauh,  ternyata  ada  lima  saham  yang  selain  merupakan representasi  dalam  pengklasteran Fuzzy  C-Means juga  merupakan  reprepsentasi  dalam pengklasteran K-Means . Saham-saham tersebut adalah AMRT, BMRI, EXCL, MEDC, dan UNVR.
Secara lebih terperinci representasi masing-masing klaster pada kedua metode analisis klaster tersebut disajikan pada Tabel 3 dan Tabel 4.
Tabel 3. Saham Representasi Klaster dengan Analisis Klaster Fuzzy C-Means Klaster Representasi Return Risiko Rasio Sharpe 1 AMRT 0,00351 0,02596 0,12326 2 BMRI 0,00184 0,01607 0,09566 3 EXCL 0,06468 0,82019 0,07849 4 KLBF 0,00220 0,01810 0,10429 5 MEDC 0,00698 0,03922 0,17017 6 UNVR 0.00033 0.01690 0.00113 Table 4. Saham Representasi Klaster dengan Analisis Klaster K-Means Klaster Representasi Return Risiko Rasio Sharpe 1 BMRI 0,00184 0,01607 0,09566 2 AMRT 0,00351 0,02596 0,12326 3 INCO 0,00147 0,02263 0,05118 4 EXCL 0,06468 0,82019 0,07849 5 UNVR 0,00033 0,01690 0,00113 6 MEDC 0,00698 0,03922 0,17017
Model  portofolio  MV  digunakan  untuk  menentukan  portofolio  optimum  pada penelitian ini. Langkah pertama yang dilakukan adalah menghitung bobot masing-masing saham  penyusun  portofolio untuk  beberapa  nilai risk aversion 𝛾 . Saham-saham  penyusun portofolio  adalah  saham-saham  yang  merupakan  representasi  setiap  klaster  untuk  kedua
metode pengklasteran sebagaimana disajikan pada Tabel  1  dan  Tabel  2.  Bobot  portofolio yang dihasilkan dengan kedua metode analisis klaster diberikan pada Tabel 5 dan Tabel 6.
Tabel 5. Bobot Portofolio dengan Analisis Klaster Fuzzy C-Means 𝛾 AMRT BMRI EXCL KLBF MEDC UNVR 0.5 5,87372 -5,10442 0,21379 6,32938 5,85464 -12,16710 1 2,98057 -2,40299 0,10746 3,29083 2,96213 -5,93799 2 1,53400 -1,05228 0,05429 1,77155 1,51587 2,82343 5 0,66606 -0,24185 0,02239 0,85998 0,64812 -0,95470 10 0,37674 0,02829 0,01176 0,55613 0,35886 -0,33179 15 0,28030 0,11834 0,00822 0,45484 0,26245 -0,12415 20 0,23208 0,16336 0,00644 0,40420 0,21424 -0,02033 25 0,20315 0,19038 0,00538 0,37382 0,18531 0,04196 30 0,18387 0,20839 0,00467 0,35356 0,16603 0,08349 50 0,14529 0,24441 0,00325 0,31304 0,12746 0,16654 100 0,11636 0,27142 0,00219 0,28266 0,09854 0,22883 1000 0,09032 0,29573 0,00123 0,25531 0,07251 0,28490 → ∞ 0,08772 0,29816 0,00114 0,25258 0,06990 0,29050 Tabel 6. Bobot Portofolio dengan Analisis Klaster K-Means 𝛾 BMRI AMRT INCO EXCL UNVR MEDC 0.5 -1,97841 6,11290 -1,81195 0,17791 -8,04430 6,54386 1 -0,81753 3,10331 -0,84211 0,08891 -3,83737 3,30478 2 -0,23708 1,59852 -0,35720 0,04441 -1,73390 1,68524 5 0,11118 0,69565 -0,06625 0,01771 -0,47181 0,71352 10 0,22727 0,39469 0,03074 0,00881 -0,05112 0,38961 15 0,26597 0,29437 0,06307 0,00585 0,08911 0,28164 20 0,28531 0,24421 0,07923 0,00437 0,15923 0,22766 25 0,29692 0,21411 0,08893 0,00348 0,20130 0,19527 30 0,30466 0,19405 0,09539 0,00288 0,22934 0,17367 50 0,32014 0,15392 0,10832 0,00170 0,28543 0,13048 100 0,33175 0,12382 0,11802 0,00081 0,32750 0,09809 1000 0,34220 0,09674 0,12675 0,00000 0,36537 0,06894 → ∞ 0,34336 0,09373 0,12772 -0,00008 0,36957 0,06570
Pada  pembobotan  portofolio  dengan  menggunakan  hasil  analisis  klaster Fuzzy  C- Means seperti yang disajikan pada Tabel 5 terlihat bahwa untuk risk aversion γ=0.5, bobot saham  dengan  rasio  Sharpe  tertinggi  yaitu  saham  MEDC  dan  AMRT  memiliki  bobot terbesar yaitu masing-masing sebesar 5,85464 dan 5,87372, sedangkan saham dengan rasio Sharpe terendah yaitu saham UNVR memiliki bobot terkecil yaitu -12,16710 ( short selling ). Bobot  setiap  saham  penyusun  portofolio  berubah  seiring  dengan  meningkatnya  nilai risk aversion γ dan bobot seluruh saham penyusun portofolio menjadi positif ketika γ=25. Hal yang  sama  juga  terjadi  pada  pembobotan  portofolio  dengan  menggunakan  hasil  analisis klaster K-Means seperti dapat dilihat pada Tabel 6.
Bobot  portofolio  yang  telah  diperoleh  pada  Tabel  5  dan  Tabel  6,  vektor mean dan matriks  kovariansi  saham-saham  penyusun  portofolio,  selanjutnya  digunakan  untuk menentukan return , risiko dan rasio Sharpe kedua portofolio sebagaimana diberikan pada Tabel 7 dan Tabel 8.
Tabel 7. Return, Risiko dan Rasio Sharpe Portofolio MV dengan Analisis Klaster Fuzzy C-Means 𝛾 Return Risiko Rasio Sharpe 0.5 0,07582 0,38421 0,19655 1 0,03894 0,19230 0,20092 2 0,02050 0,09654 0,20921 5 0,00944 0,03969 0,23013 10 0,00575 0,02165 0,25151 15 0,00452 0,01624 0,25955 20 0,00391 0,01386 0,25980 25 0,00354 0,01261 0,25639 30 0,00329 0,01187 0,25159 50 0,00280 0,01071 0,23296 100 0,00243 0,01018 0,20885 1000 0,00210 0,01000 0,17943 → ∞ 0,00207 0,01000 0,17615 Tabel 8. Return, Risiko dan Rasio Sharpe Portofolio MV dengan Analisis Klaster K-Means 𝛾 Return Risiko Rasio Sharpe 0.5 0,06971 0,36891 0,18814 1 0,03572 0,18469 0,19173 2 0,01872 0,09281 0,19840 5 0,00852 0,03840 0,21391 10 0,00512 0,02133 0,22578 15 0,00399 0,01631 0,22577 20 0,00342 0,01414 0,22037 25 0,00308 0,01301 0,21333 30 0,00286 0,01235 0,20630 50 0,00240 0,01133 0,18488 100 0,00206 0,01087 0,16143 1000 0,00176 0,01072 0,13523 → ∞ 0,00173 0,01072 0,13240
Kinerja portofolio dengan analisis klaster Fuzzy C-Means seperti yang diberikan pada Tabel  7  dapat  dilihat  bahwa  untuk risk  aversion γ=0,5  rasio  Sharpe  adalah  0,19655, kemudian meningkat menjadi 0,20092 untuk γ=1, meningkat menjadi 0,20921 untuk γ=2, terus meningkat sampai mencapai 0,25980 untuk γ =20. Rasio Sharpe mulai menurun untuk γ=25 yaitu menjadi 0,25639, turun lagi menjadi 0,25159 untuk γ=30, turun menjadi 0,23296 untuk  γ=50,  terus  menurun  menjadi  0,20855  untuk  γ=100,  turun  menjadi  0,17943  untuk γ=1000.  Ternyata  kinerja  portofolio  konvergen    ke  0,17615  untuk γ → ∞ ,  artinya  untuk investor  yang  sangat  menghindari  risiko  maka  kinerja  portofolio  yang  terbentuk  adalah 0,17615 dengan bobot portofolio investasi seperti yang diberikan pada Tabel 5, yakni: saham AMRT=  8,77%,  BMRI=29,82%,  EXCL=0,11%,  KLBF=25,26%,  MEDC=6,99%,  dan UNVR=29,05%.
Di sisi lain, kinerja portofolio yang dihasilkan dengan analisis klaster K-Means seperti disajikan  pada  Tabel  8,  untuk  γ=0,5  rasio  Sharpe  adalah  0,18814,  kemudian  meningkat menjadi 0.19173 untuk γ=1, meningkat menjadi 0.19840 untuk γ=2, terus meningkat sampai mencapai  0.22578  untuk  γ  =10.  Rasio  Sharpe  mulai  menurun  untuk  γ=15  yaitu  menjadi 0,22577, turun lagi menjadi 0,22037 untuk γ=20, turun menjadi 0,21333 untuk γ=25, terus menurun  menjadi  0,16146  untuk  γ=100,  turun  menjadi  0,13523  untuk  γ=1000.  Ternyata kinerja portofolio konvergen  ke 0,13240 untuk γ → ∞ , artinya untuk investor yang sangat menghindari risiko maka kinerja portofolio yang terbentuk adalah 0,13240  dengan bobot portofolio  investasi  seperti  yang  diberikan  pada  Tabel  6,  yakni:  saham  BMRI=  34,34%, AMRT=9,37%, INCO=12,77%, EXCL=0,00%, UNVR=36,96%, dan MEDC=6,57%.
Dari Tabel 7 dan Tabel 8 terlihat bahwa rasio Sharpe portofolio yang dibentuk dengan menggunakan analisis klaster Fuzzy C-Means lebih tinggi dari pada rasio Sharpe portofolio yang dibentuk dengan menggunakan  analisis klaster K-Means untuk semua risk aversion . Hal ini menunjukkan bahwa kinerja portofolio dengan analisis klaster Fuzzy C-Means lebih baik daripada kinerja portofolio dengan analisis klaster K-Means .

## 5. KESIMPULAN
Penelitian  ini  menunjukkan  bagaimana  mengintegrasikan  teknik  pengklasteran  ke dalam  pengelolaan  portofolio  dan  membangun  sistem  untuk  memperoleh  portofolio optimum. Hal ini dapat mengefisienkan waktu pemilihan saham penyusun portofolio, karena saham-saham dengan karakteristik yang sama dapat dengan mudah dikumpulkan ke dalam satu  klaster.  Saham  berkinerja  terbaik  dari  setiap  klaster  selanjutnya  dipilih  sebagai representasi dari klaster untuk menyusun portofolio. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan menggunakan analisisi klaster Fuzzy C-Means , 45 saham di Bursa Evek Indonesia yang  termasuk  dalam  indeks  LQ-45  dibagi  menjadi  6  klaster.  Saham-saham  sebagai representasi  setiap  klaster  selajutnya  digunakan  untuk  menyusun  portofolio  dengan menggunakan model portofolio MV. Kinerja portofolio yang dibentuk dengan menggunakan analisis  klaster  tersebut  kemudian  dibandingkan  dengan  kinerja  portofolio  yang  dibentuk dengan  menggunakan  analisis  klaster K-Means .  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa kinerja  portofolio  dengan  analisis  klaster Fuzzy  C-Means lebih  baik  daripada  kinerja portofolio  yang  dibentuk  dengan  menggunakan  analisis  klaster K-Means .  Hal  ini  dapat dilihat dari rasio Sharpe portofolio yang terbentuk.

## DAFTAR PUSTAKA
Bezdek, J. C. 1981. Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms , New York. Plenum Press.
(http://library.lol/main/98C46549B2E9025E9AD06D361F55D4C8)
Elton, E. J. dan Gruber, M. J. 2014. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis , 9th Edition, New York, John Wiley and Sons, Inc.
(http://library.lol/main/EAE29F7EF709A741B0BDAEAE3890EAA0)
Gubu, L., Rosadi, D., dan Abdurakhman. 2019. Classical Portfolio Selection with Cluster Analysis: Comparison Between Hierarchical Complete Linkage and Ward Algorithm, in Proc. The Eighth SEAMS-UGM International Conference on Mathematics and Its Applications , AIP  Conference  Proceedings  2192 ,  Hal:    090004-1–090004-7. (https://sci-hub.ru/10.1063/1.5139174)
Jain, A. dan Dubes, R. 1988. Algorithms for Clustering Data , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. (http://library.lol/main/93E6CF5B2026241A7E4D387F530616C3) d
Long,  N.  C.,  Wisitponghan,  N.,  dan  Meesad,  P.  2014.  Clustering  Stock  Data  for  Multi- Objective Portfolio Optimization. International Journal of Computational Intelligence and Applications , Vol. 13, No. 2, Hal: 1-13.
(https://sci-hub.ru/10.1142/S1469026814500114)
Nanda, R., Mahanty, B., dan Tiwari, M. K. 2010. Clustering Indian Stock Market Data for Portfolio Management. Expert Syst. Appl. Vol. 37, No. 12, Hal: 8793–8798. (https://sci-hub.ru/10.1016/j.eswa.2010.06.026)
Pav,  S.  E.  2022. The  Sharpe  Ratio:  Statistics  and  Applications ,  Taylor &  Francis  Group, CRC Press.
(https://www.routledge.com/The-Sharpe-Ratio-Statistics-and-Applications/Pav/p/ book/9781032019314)
Sukono. 2011. Pengukuran Value-at-Risk dengan Volatilitas Tak Konstan dan Efek Long Memory, Disertasi  Program  Doktor  Matematika  Universitas  Gadjah  Mada, Tidak dipublikasi.
Supandi,  E.  D.  2017.  Pengembangan  Model  Portofolio  Mean-Variance  Melalui  Metode Estimasi  Robust  dan  Optimasi  Robust, Disertasi  Program  Doktor  Matematika Universitas Gadjah Mada, Tidak dipublikasi.
Tola, V., Lillo, F., Gallegati, M., dan Mantegna, R. N. 2008. Cluster Analysis for Portfolio Optimization. J. Econ. Dyn. Control, Vol. 32, No. 1, Hal: 235–258. (https://sci-hub.ru/10.1016/j.jedc.2007.01.034)