Vol. 20, No. 1, September 2023, pp. 24- 40 DOI: 10.20956/j.v20i1.27060

## Stability Analysis for the Spread of Mumps Based on SIQR Model

## Analisis Kestabilan untuk Penyebaran Penyakit Gondongan Berdasarkan Model SIQR
Ratna Widayati *1 , Nadzifah *2 , Vika Fatihatul Fiqiyah *3 , Nita Rizkiyani *4
* Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Komputer, Universitas Nahdlatul Ulama Al Ghazali
Email: 1 ratnawidayati1708@gmail.com, 2 naddifa78@gmail.com, 3 vikafatiha32@gmail.com, 4 riskikroya1@gmail.com

## Abstract
Mumps  is  an  infectious  disease  caused  by  a  virus  that  is  quite  dangerous  because  vaccine  strategies often fail. In severe cases, mumps can lead to infection of the covering of the brain (15%), pancreatitis (4%), permanent deafness, and painful swelling of the testes which rarely causes infertility. In addition, genetic mutations that are continuously carried out by the virus and the movement of individuals from one area to another can result in the spread of causing an epidemic in an area. This study discusses the spread of mumps by assuming there is a population of individuals who are quarantined. In addition, it is possible to die from mumps in the presence of complications from other diseases. The purpose of this research  is  to  look  at  the  behavior  of  the  system  solution  analytically  depending  on  the  basic reproduction  number  ( 0 R )  accompanied  by  numerical  simulations  on  initial  values  with  certain parameters.  The  SIQR  model  is  used  by  assumes  that  individuals  who  have  recovered  will  get permanent immunity against Mumps. The analysis was carried out around the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point. It was found that the disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable with conditions 0 1 R  . This means that if the birth rate is less than the natural death rate and the contact rate between individuals infected with mumps and susceptible individuals is less  than  the  sum  of  the  recovery  rate,  death  rate  and  quarantine  rate,  then  the  mumps  outbreak  will eventually disappear from the population. On the other  hand, the local asymptotically stable endemic equilibrium point if 0 1 R  . This  means that if the  mumps disease is about to become epidemic and infected individuals are still in the population. This can be interpreted as if the birth rate is greater than the  natural  death  rate  and  the  contact  rate  between  individuals  infected  with  mumps  and  susceptible individuals is greater than the sum of the recovery rate, death rate and quarantine rate then the  mumps outbreak will still exist in the population. However, if the value of the quarantine rate is increased, the value  will  decrease  and  the  quarantined  individual  population  approaches  the  infected  individual

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
population.  This  means  that  the  proposed  quarantine  scenario  with  the  addition  of  class  Q  makes  the system solution better. Furthermore, a simulation was carried out with the Maple 18 program.
Keywords: Mumps, SIQR, Stability.

## Abstrak
Penyakit  gondongan  merupakan  penyakit  menular  disebabkan  oleh  virus  yang  cukup  berbahaya karena  strategi  vaksin  yang  sering  gagal.  Pada  kasus  penyakit  gondongan  yang    parah  dapat menimbulkan  infeksi  pada  penutup  otak  (15%),  pankreatitis  (4%),  ketulian  permanen,  dan pembengkakan  testis  yang  menyakitkan  yang  jarang  menyebabkan  kemandulan.  Selain  itu,  mutasi genetik yang terus dilakukan oleh virus dan perpindahan individu dari suatu wilayah ke wilayah lain mengakibatkan  penyebaran  dapat  menjadikan  epidemi  pada  suatu  wilayah.  Penelitian  ini  membahas mengenai  penyebaran  penyakit  gondongan  dengan  mengasumsikan  terdapat  populasi  individu  yang dikarantina.  Selain  itu,  memungkinkan  terjadi  kematian  karena  penyakit  gondongan  dengan  adanya komplikasi  penyakit  lain.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  melihat  perilaku  solusi  sistem  secara analitik  bergantung  pada  bilangan  reproduksi  dasar  ( 0 R )  disertai  simulasi  numerik  pada  nilai  awal dengan parameter tertentu.  Model yang digunakan SIQR dengan asumsi individu yang telah sembuh mendapatkan  kekebalan  permanen  terhadap  penyakit  Gondongan.  Analisa  dilakukan  disekitar  titik ekuilibirum  bebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium  endemik  diperoleh  hasil  bahwa  titik  ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal dengan syarat 0 1 R  . Artinya jika laju kelahiran lebih kecil dari laju kematian alami dan laju kontak antara individu yang terinfeksi gondongan dengan individu rentan lebih kecil dari jumlahan laju kesembuhan, laju kematian dan laju karantina maka wabah gondongan semakin lama akan menghilang dari populasi. Dilain pihak, titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal  jika 0 1 R  .  Artinya  jika 0 1 R  penyakit  gondongan  akan  mewabah  dan  individu  yang terinfeksi  masih  ada  dalam  populasi.  Hal  tersebut  dapat  diartikan  sebagai  jika  laju  kelahiran  lebih besar  dari  laju  kematian  alami  dan  laju  kontak  antara  individu  yang  terinfeksi  gondongan  dengan individu  rentan  lebih  besar  dari  jumlahan  laju  kesembuhan,  laju  kematian  dan  laju  karantina  maka wabah gondongan akan tetap ada dalam populasi. Akan tetapi jika nilai dari laju karantina diperbesar, nilai 0 R akan  mengecil  dan  populasi  individu  yang  dikarantina  mendekati  populasi  individu terinfeksi.  Artinya  skenario  karatina  yang  diusulkan  dengan  penambahan  kelas  Q  membuat  solusi sistem menjadi lebih baik. Selanjutnya dilakukan simulasi dengan program Maple 18.
Kata kunci: Gondongan, SIQR, Kestabilan .

## 1. PENDAHULUAN
Gondongan  merupakan  infeksi  pada  kelenjar  ludah  yang  disebabkan  oleh  virus  dari  golongan paramyxovirus.    Virus  ini  merupakan  virus  RNA  dengan  tipe  penyebaran  melalui  kontak  langsung  dan droplet  [7].  Gondongan  umumnya  menyerang  anak-anak  yang  dapat    mengakibatkan  infeksi  saluran pernafasan  akut [7].  Gejala  awal  yang  muncul  diantaranya  demam,  nyeri  otot,  sakit  kepala,  dan  merasa lelah  [9].  Gondongan  biasanya  diikuti  oleh  pembengkakan  yang  menyakitkan  pada  satu  atau  kedua kelenjar parotis. Menurut [9], gejala gondongan pada orang dewasa seringkali lebih parah daripada pada anak-anak.  Gelaja  parah  tersebut  dapat  menimbulkan  komplikasi  seperti  aseptik,  meningitis,  ensefalitis, orkitis,  dan  ooforitis.  Selain  itu,  pada  kasus  yang    parah  dapat  menimbulkan  infeksi  pada  penutup  otak (15%),  pankreatitis  (4%),  ketulian  permanen,  dan  pembengkakan  testis  yang  menyakitkan  yang  jarang menyebabkan  kemandulan  [9].  Akan  tetapi,  individu  yang  dapat  sembuh  dari  infeksi  virus  ini  biasanya kebal seumur hidup dan peluang individu untuk terinfeksi kembali cenderung ringan [10].
Pencegahan  penyebaran  penyakit  Gondongan  dilakukan  melalui  vaksin  MMR  (Measles,  Mumps, Rubella)  yang  diberikan  pada  anak-anak  usia 12-15  bulan  untuk  dosis  pertama  dan  anak  usia  4-6  tahun untuk  dosis  kedua.  Akan  tetapi,  vaksin  MMR  memiliki  efek  yang  terbatas  pada  penyebaran  penyakit Gondongan [7]. Selain itu, mutasi genetik yang terus dilakukan oleh virus dan perpindahan individu dari

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
suatu wilayah ke wilayah lain mengakibatkan penyebaran dapat menjadikan epidemi pada suatu wilayah [3].  Seperti  yang  terjadi  di  kota  Xiamen  dan  provinsi  Fujian  China.  Gondongan  menyerang  sekitar  21 individu dari 100 individu total populasi.  Epidemi Gondongan sering terjadi sepanjang tahun di wilayah sekitar  ekuator    sedangkan  di  wilayah  yang  lebih  utara  dan  selatan  ekuator  lebih  sering  terjadi  pada musim  dingin  dan  musim  semi  [11]  yang  mengakibatkan  sekitar  satu  per  sepuluh  ribu  orang  yang terinfeksi meninggal.
Hal  tersebut  menjadikan  Gondongan  salah  satu  penyakit  berbahaya  yang  dapat  menimbulkan kematian masal jika penyebarannya tidak dikendalikan dengan baik. Oleh karena itu terdapat penelitian- penelitian  yang  membahas  mengenai  penyebaran  Gondongan  diantaranya  [3]  membahas  mengenai pemodelan  matematika  pada  kegagalan  vaksin  gondongan  di  Provinsi  Jiangsu  Cina.  Penelitian  ini  [3] membagi  kelas  populasi  individu  terinfeksi  menjadi  2  subpopulasi  dengan  mengasumsikan  tidak  ada kematian  karena  Gondongan.  Hasil  dari  penelitian  tersebut  memberikan  rekomendasi  pada  perencana program  kesehatan  untuk  menerapkan  intervensi  yang  lebih  preventif  pada  gondongan  selama  periode risiko infeksi yang lebih tinggi. Selain itu, [4] membahas mengenai penyebaran Gondongan musiman di Cina. Pada penelitiannya, [4] mendefinisikan kelas populasi individu yang di vaksin MMR. Hasil analisis dari  penelitian  menunjukkan  bahwa  tingkat  vaksinasi  dan  tingkat  vaksinasi  yang  tidak  valid  berperan penting dalam penyebaran Gondongan. Penelitian [4] menyarankan untuk meningkatkan cakupan vaksin dan  membuat  dua  dosis  vaksin  MMR  (Measles,  Mumps  dan  Rubella)  di  Cina.  Penelitian  lain  dari  [3] mengenai  korelasi  antara  penyakit  gondongan  dengan  faktor  meteorologi  di  Kota  Xiamen  Cina.  Pada penelitiannya, [3] membedakan kelas individu yang menunjukkan gelaja infeksi ringan dan infeksi berat. Kesimpulan yang diperoleh adalah tingkat penularan yang relatif tinggi telah ditemukan di Kota Xiamen menyebabkan  epidemi  gondongan  yang  berkelanjutan.  Faktor  meteorologi,  terutama  suhu  udara  dan kelembaban  relatif,  erat  kaitannya  dengan  gondongan.  Penelitian  ini  [2]  menganalisa  mengenai  akibat yang ditimbulkan saat terinfeksi penyakit gondongan yaitu kehilangan pendengaran menggunakan model fraksional  Caputo–Fabrizio.  Penelitian  [12]  mengusulkan  model  SIR  pada  penyakit  campak  dengan kelompok  usia  berbeda.  Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  data  di  India  untuk  mengevaluasi keefektifan  strategi  vaksinasi  untuk  pengendalian  wabah.  Selain  itu,  penelitian [8]  menggunakan  model SEIR  yang  bergantung  pada  kepadatan  karena  menurut  [8],  kasus  gondongan  meningkat  seiring bertambahnya  ukuran  kota  sehingga  hal  tersebut  menunjukkan  transmisi  yang  bergantung  pada kepadatan.  Data  penelitian  [8]  diambil  di  beberapa  kota  di  Amerika  antara  tahun  1923-1932  dengan kesimpulan jumlah kasus paling sering meningkat pada bulan Maret dengan  transmisi yang lebih tinggi dari rata-rata dari Desember sampai April dan menunjukkan korelasi dengan kelahiran mingguan. Hasil penelitian[8] mengusulkan pentingnya data survey penyakit menular jangka panjang yang akan memberi informasi studi masa depan tentang munculnya kembali penyakit gondongan. Penelitian [5] mengusulkan model  SLR  dengan  L  menyatakan  gangguan  pendengaran  akibat  virus  gondongan.  Model  ini  bertujuan menyelidiki  dampak  kebisingan  pada  pertumbuhan  virus  gondong  dengan  menggunakan  transformasi Fourier.  Kesimpulan  dari  penelitian  ini  adalah  dampak  difusi  pada  sistem  dapat  berpengaruh  pada pengendalian  untuk  tingkat  infeksi,  intensitas,  penyebaran  dan  pengobatan  yang  lebih  baik  untuk meningkatkan  angka  kesembuhan.  Selanjutnya  penelitian  dari  [1]  yang  mengusulkan  model  SIR  pada penyebaran  gondongan  dengan  menggunakan  vaksin.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  bagaimana membagi  vaksin  secara  optimal  pada  setiap  populasi.  Kesimpulan  berdasarkan  simulasi  numerik menyatakan  alokasi  vaksin  yang  optimal  dapat  mengurangi  fungsional  Q  secara  signifikan.  Selain  itu, terdapat  penelitian  [6]  yang  mengusulkan  peningkatan  cakupan  vaksin  dan  membuat  dua  dosis  vaksin MMR  tersedia  secara  gratis  di  Cina.  Pada  penelitiannya  [6]  melakukan  analisis  sensitivitas  terhadap bilangan  reproduksi  dasar  dan  analisis  pada  titik  ekuilibrium  endemik  untuk  mengevaluasi  efektivitas tindakan  pengendalian  gondok.  Penelitian  mengenai  dinamika  penyakit  gondongan  dengan  vaksin  juga dilakukan di Jepang oleh [4] dengan menyertakan faktor ekonomis. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini  adalah  dalam  semua  skenario  analisis  sensitivitas,  vaksinasi  dua  dosis  lebih  baik  daripada  program

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
satu  dosis.  Simulasi  yang  dilakukan  menegaskan  bahwa  program  vaksinasi  rutin  dua  dosis  lebih menghemat biaya.
Berdasarkan  penelitian-penelitian  terdahulu,  belum  ada  penelitian  yang  membahas  mengenai penyebaran  penyakit  gondongan  dengan  menyertakan  populasi  individu  yang  dikarantina.  Pada kenyataannya,  seorang  anak  usia  sekolah  yang  terinfeksi  penyakit  gondongan,  dimungkinkan  untuk dikarantina  di  rumah  dan  tidak  diperbolehkan  masuk  sekolah  terlebih  dahulu  agar  tidak  menularkan penyakit  gondongan  pada  teman-temannya.  Selain  itu,  parameter  kematian  tidak  ditemukan  pada penelitian terdahulu, padahal kematian karena gondongan akibat adanya komplikasi penyakit lain sangat mungkin terjadi. Vaksin yang telah dilakukan oleh pemerintah terbukti masih menimbulkan wabah akibat kurang optimalnya dosis yang diberikan seperti pada negara Jepang,  India dan Cina [3,4,12]. Penelitian [2] membahas mengenai akibat yang ditimbulkan dari serangan virus penyebab gondongan yaitu masalah pendengaran  tanpa  melihat  masalah  utama  yang  ditimbulkan  akibat  virus  ini  yaitu  nyeri  otot  sehingga menimbulkan ketidaknyamanan pada penderitanya. Oleh karena itu, pada penelitian ini lebih difokuskan pada  masalah  utama  pada penderita  yang  akan  menimbulkan  penularan  yang  serius jika  tidak  ditangani dengan  baik.  Kelas  populasi  Q  diharapkan  dapat  berpengaruh  pada  penyebaran  secara  signifikan. Penelitian  ini  akan  membahas  mengenai  penyebaran  penyakit  gondongan  dengan  membagi  4  kelas populasi  dengan  model  SIQR  dengan  asumsi  terdapat  kematian  karena  gondongan  akibat  komplikasi dengan penyakit lain. Selain itu, terdapat kelas karantina untuk individu yang terinfeksi gondongan.

## 2. Metode Penelitian
Berikut ini akan dijelaskan mengenai langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini. Langkah 1. Studi Literatur
Pada  tahap  ini  peneliti  melakukan  kajian  mengenai  pemodelan  penyakit  menular  yang  sering terjadi  di  masyarakat  dengan  mencari  informasi  dari  artikel-artikel  pada  jurnal  intenasional. Kemudian  peneliti  mempelajari  bahaya  yang  mungkin  terjadi  akibat  penyakit  tersebut.  Peneliti memahami bahwa penelitian mengenai penyebaran penyakit godongan belum banyak  dilakukan di  Indonesia.  Padahal  penularan  penyakit  gondongan  sering  terjadi  pada  anak-anak  di  Sekolah Dasar.
Langkah 2. Pemodelan Matematika
Pemodelan  matematika  dilakukan  dengan  menyertakan  asumsi-asumsi  yang  bersesuaian  dengan keadaan  nyata.  Penambahan  kelas  populasi  karantina  didasarkan  pada  kegagalan  vaksin  MMR yang  terjadi  di  beberapa  negara  mengakibatkan  wabah  gondongan  masih  sering  muncul  pada waktu  tertentu.  Oleh  karena  itu,  karantina  yang  dimaksud  adalah  isolasi  mandiri  dirumah  atau perawatan  di  rumah  sakit  bagi  anak  yang  terinfeksi  gondongan.  Selain  itu,  asumis  terdapat kematian  karena  gondongan  diberikan  karena  penyakit  gondongan  dapat  menyebabkan komplikasi dengan penyakit lain yang berakibat kematian [9].
Langkah 3. Analisis Model
Pada tahap ini dilakukan analisis disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik  pada  model  yang  telah terbentuk  dari  asumsi-asumsi  yang  diberikan. Metode Jacobian digunakan untuk mengetahui perilaku solusi sistem secara analitik dibantu dengan Kriteria Routh Hurwitz  untuk  mendapatkan  jenis  nilai  eigen  yang  diperoleh  dari  persamaan  karakteristik  yang terbentuk  dari  determinan  matriks  Jacobian.  Analisis  yang  dilakukan  berdasarkan  bilangan reproduksi dasar yang menjadi syarat cukup kestabilan.
Langkah 4. Simulasi Numerik

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
Simulasi  numerik  dilakukan  dengan  memvisualisasikan  solusi  sistem  secara  numerik  dengan memasukkan nilai-nilai parameter yang diambil dari literatur-literatur pendukung. Nilai awal dari populasi  yang  digunakan  merujuk  pada literatur  karena  pada  kenyataannya  sangat  sulit  mencari nilai awal yang sesuai dengan kondisi nyata.
Langkah 5. Kesimpulan
Berdasarkan analisis model dan simulasi yang dilakukan, diperoleh kesimpulan guna mengetahui upaya yang dapat dilakukan untuk mengendalikan wabah gondongan.

## 3. Formulasi Model
Diasumsikan populasi dibagi menjadi 4 kelas seperti pada tabel berikut ini:
Tabel 3.1. Kelas populasi pada model SIQR
( ) S t Populasi individu rentan Gondongan pada saat t ( ) I t
Populasi individu terinfeksi Gondongan pada saat t   Q t Populasi individu dalam karantina pada saat t   R t
Populasi individu sembuh dari Gondongan pada saat t
Berdasarkan  Tabel  3.1,  parameter-parameter  yang  mempengaruhi  perubahan  populasi  diberikan  pada Tabel 3.2 berikut ini.
Tabel 3.2. Parameter dalam model SIQR  Laju kelahiran  Laju kematian alami  Laju  kontak  antara  individu  terinfeksi  Gondongan  dengan individu rentan  Laju karantina individu yang telah terinfeksi Gondongan  Laju kematian karena Gondongan  Laju kesembuhan individu yang dikarantina  Laju kesembuhan individu yang terinfeksi
Nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  3.2  seluruhnya  bernilai  positif.  Asumsi-asumsi  yang  digunakan  pada model SIQR ini adalah sebagai berikut:
a. Bayi yang lahir masuk ke kelas S sebagai individu yang rentan Gondongan
b. Penularan  Gondongan  hanya  bisa  terjadi  antara  individu  rentan  dan  individu  yang  terinfeksi Gondongan
c. Individu dengan gejala ringan ataupun berat diklasifikasikan ke kelas I.
d. Individu yang terinfeksi bisa sembuh tanpa harus melewati proses karantina
Dari asumsi-asumsi tersebut, diperoleh diagram transfer sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
Gambar 3.1. Diagram transfer model SIQR
Selanjutnya,  berdasarkan  diagram  transfer  pada  Gambar  3.1,  diperoleh  model  matematika  untuk penyebaran Gondongan sebagai berikut:
d S S I S d t d I S I I I I I d t d Q I Q
Q Q
d t d R I Q R d t
                      
   
   dengan  total  populasi dengan , , , 0 S I Q R  dan , , , , , , 0         sehingga diperoleh himpunan invarian positif

 4 , , ,
: 0 S I Q R S I Q R   
           
  .

## 4.  Titik Ekuilibrium
Sistem (1) mencapai titik ekuilibrium jika
0 d S d I d Q d R d t d t d t d t     , sehingga Sistem (1) dapat dinyatakan dengan
0 0 0
0 . S I S S I I
I I I I Q Q Q
I Q R            
                 
Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  diperoleh  jika  disubstitusikan 0 I  pada  Sistem  (2).  Berdasarkan Persamaan (2a) diperoleh
. S   
(1a) (1b) (1c) (1d) (2a) (2b) (2d) (2c)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
Kemudian  berdasarkan  Persamaan  (2c)  diperoleh
0
Q  dan  berdasarkan  Persamaan  (2d)  diperoleh 0 R  . Oleh karena itu, diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit
  1 1 1 1 1 , , , , 0 , 0 , 0 . E S I Q R           Lebih  lanjut,  jika 0 I  dapat  ditemukan  titik  ekuilibrium  endemik.  Berdasarkan  Persamaan  (2b) diperoleh
  0 . S I           Karena 0 I  maka 0 . S S               
   
Kemudian Persamaan (2a) dapat dinyatakan dengan
. S I S S I S           
Lebih lanjut, berdasarkan Persamaan (2c) diperoleh
 
    0 . S Q S S Q S S Q S       
             
                                
Berdasarkan Persamaan (2d) diperoleh
 
      0 . S S R S S
S S R S S S S R S S S R S    
        
 
          
                    
  

                                                                               Jadi, diperoleh titik ekuilibrium endemik   * * , * , * , *
E S I Q R  dengan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
  * * * * *
* * * * * . S S I S S Q S S R S                         
   
 
                            

## 5.  Bilangan Reproduksi Dasar ( Basic Reproduction Number )
Bilangan reproduksi dasar dari infeksi suatu penyakit menular dapat didefinisikan sebagai jumlah kasus yang dihasilkan oleh satu kasus secara rata-rata selama periode menularnya. Fungsi dari Bilangan Reproduksi  Dasar  adalah  membantu  menentukan  apakah  suatu  penyakit  infeksi  dapat  menyebar  dalam suatu populasi atau tidak. Selanjutnya Bilangan Reproduksi Dasar akan dicari menggunakan metode Next Generation Matrices.
Langkah  pertama  linierisasi  terhadap  populasi  individu  terinfeksi  yaitu  kelas I dan Q di  titik ekuilibrium bebas penyakit.
       
    1 0 E S I I I I I S I I I I I
I Q
j
I Q Q Q I Q Q Q I
Q
S                  
        
                                                  
    0 .        
                    
Selanjutnya dekomposisi matriks Jacobi j menjadi matriks F dan V .
    1 0 0 0 0 , E j F V        
                          
sehingga diperoleh matriks
0 0 0 F            
dan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
    0 .
V            
         Langkah selanjutnya menghitung 1 V  .
                          1 0 1 0 0 V                                               

  
                                                         1 0 . 0                                  Kemudian menghitung 1 F V  .
        1 1 0 0 0 0
0
0 . 0 0 F V                        
 
                                       
Bilangan  Reproduksi  Dasar  merupakan  nilai  eigen  terbesar  dari  matriks
1 F V  dengan  simbol 0 R , sehingga diperoleh
  0 . R        
  

## 6. Eksistensi Titik Ekuilibrium Endemik
Pada bagian akan dijelaskan mengenai eksistensi titik ekuilibrium endemik.
Lemma 6.1 Jika 0 1 R  maka * E eksis.
Bukti. Diketahui

 * * , * , * , * E S I Q R  dengan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
  * * * *
* * *
* * * . S S I S S Q S S R S        
                
   
                               Akan dibuktikan * 0 . S             * 0 0 1 . S R R    
    
                          
                                   
Karena 0 1 R  maka  terbukti * 0 . S     Hal  tersebut  berakibat * 0 , * 0 I Q   dan * 0 , R  sehingga titik ekuilibrium * E eksis.

## 7. KESTABILAN TITIK EKUILIBRIUM
Pada bagian ini akan dibahas mengenai analisa kestabilan disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit melalui Lemma berikut ini.
Lemma 7.1. Jika 0 1 R  maka 1 E stabil asimtotik lokal.
Bukti. Matriks Jacobian disekitar titik ekuilibrium 1 E adalah :
1 0 0 0 0 0 0 0 0 E J                                               
Selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik 1
0 E J p I 
 dengan nilai eigen

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
0 0 0
0 0 0 0 0
0 p p p p           
                     
            0 0 0 0 0 0 0 . p p p p p p p
p
p p p p
                              
        
                                                Diperoleh 1 2 p p     dan   3 p
       . Selanjutnya
       
    4 0 0 0 1 p R R R                           

                        
Karena 0 1 R  maka  terbukti 4 0 p  .  Oleh  karena  semua  nilai  eigen  bernilai  negatif,  dapat  diambil kesimpulan titik ekuilibrium babas penyakit stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya  akan  dilakukan  analisa  kestabilan  untuk  titik  ekuilibrium  endemik  melalui  Lemma berikut ini
Lemma 7.2. Jika 0 1 R  maka * E stabil asimtotik lokal.
Bukti. Matriks Jacobian disekitar titik ekuilibrium * E adalah
    * 0 0
. 0 0 0 0 0 0 E J     
                              

                                                               

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
Kemudian persamaan karakteristik * 0 E J h I   dengan h nilai eigen sebagai berikut
                0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h
h
h h h h h h h h       

                                  

               
     
          
   

  
                                                                                               0 . h h      
               
                       
Diperoleh nilai eigen
1 h   
  2 .
h       
Jika dimisalkan   A         , nilai eigen yang lain merupakan akar-akar dari

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
0 0 . A h A A A h A A A h h A A A         
          
                                                 
Kemudian jika dimisalkan
, A B A     
       
diperoleh
  2 0 h B h A B     
yang artinya nilai eigen yang lain merupakan akar-akar dari Persamaan (3). Berdasarkan Kriteria Routh Hurwitz,  pembuat  nol  Persamaan  (3)  akan  bernilai  negatif jika   0 B    dan 0 A B  .  Oleh  karena itu, akan diselidiki nilai dari   B   .       . A B A A A A A A A                                                 

   
Karena semua parameter bernilai positif, terbukti   0 B    . Selanjutnya akan diselidiki nilai A B .
(3)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
     
      .
A B                        
               
                                                Karena   0 , R
           maka
        0 0 1 . A B R R                             
Karena  diketahui 0 1 R  maka  terbukti 0 A B  ,  sehingga  terbukti 3 h dan 4 h bernilai  negatif.  Oleh karena itu, terbukti titik ekuilibrium * E stabil asimtotik lokal.

## 8. SIMULASI NUMERIK
Simulasi  numerik  dari  Sistem  (1)  dibagi  menjadi  2  bagian  yakni  ketika 0 1 R  dan 0 1 R  . Berikut ini diberikan nilai-nilai parameter yang digunakan pada simulasi
Tabel 8.1. Parameter dalam model SIQR Parameter Nilai Sumber 0.5 [2] 0.1 [2] 0.117 [2] 0.0433 [2] 0.3 Diasumsikan 0.2 Diasumsikan 0.371 [9]
Nilai  awal  yang  digunakan  mengacu  pada  [2]  yaitu  R(0)  =  0,  S(0)  =  5  dan  I(0)  =  1.  Jika    diasumsikan Q(0) = 2, diperoleh

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
Gambar 8.1. Simulasi Sistem (1) dengan untuk 0 1 R  Berdasarkan  Gambar  8.1,  solusi  Sistem  (1)  menuju   0 5 , 0 , 0 , 0 E  sesaat  setelah 1 0 t  dengan  nilai
0 0 .3 0 1 9 5 2 5 8 0 2 R  . Artinya jika 0 1 R  , penyakit Gondongan akan menghilang dari populasi seiring berjalannya waktu. Hal tersebut dapat diartikan sebagai jika laju kelahiran lebih kecil dari laju kematian alami dan laju kontak antara individu yang terinfeksi gondongan dengan individu rentan lebih kecil dari jumlahan laju kesembuhan, laju kematian dan laju karantina maka wabah gondongan semakin lama akan menghilang dari populasi. Selain itu, berdasarkan Gambar 8.1, populasi individu yang sembuh bertambah seiring  menurunnya  populasi  individu  yang  terinfeksi  dan  individu  yang  dikarantina.  Artinya,  untuk mempercepat  kesembuhan  individu  yang  terinfeksi  penyakit  Gondongan,  penurunan  populasi  individu yang  terinfeksi  dan  percepatan  pengobatan  pada  individu  yang  dikarantina  akan  menjadi  langkah  yang tepat. Akan tetapi jika nilai
0 .4 3 3   yang berakibat 0 3 .0 1 9 5 2 5 8 0 2
R  , diperoleh gambar berikut ini

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
Gambar 8.2. Simulasi Sistem (1) dengan untuk 0 1 R  Berdasarkan Gambar 8.2, solusi Sistem (1) menuju   1 1 .6 5 5 8 8 9 1 4 5 , 0 .4 6 6 4 0 3 1 8 7 5 ,0 .1 2 0 9 8 6 5 5 9 7 ,0 .9 9 4 5 5 1 8 6 5 8 E  dengan nilai 0 3 .0 1 9 5 2 5 8 0 2
R  .  Hal  tersebut  dapat  diartikan  sebagai  jika  laju  kelahiran  lebih  besar  dari  laju kematian alami dan laju  kontak antara individu yang terinfeksi gondongan dengan individu rentan lebih besar dari jumlahan laju kesembuhan, laju kematian dan laju karantina maka wabah gondongan akan tetap ada  dalam  populasi.  Selain  itu,  berdasarkan  Gambar  8.2,  populasi  individu  yang  terinfeksi  akan  naik karena  adanya  kontak  dengan  individu  yang  rentan.  Skenario  lain  dilaksanakan  jika  memperbesar  laju karantina dengan mengasumsikan nilai 0 .6   .
Gambar 8.3. Simulasi Sistem (1) dengan untuk 0 1 .9 3 8 2 2 7 3 9 5 R 
Berdasarkan  Gambar  8.3,  untuk  nilai  laju  karantina  yang  membesar,  nilai 0 R mengecil  dan  populasi individu  yang  dikarantina  mendekati  populasi  individu  terinfeksi.  Artinya  populasi  individu  dikarantina membesar seiring bertambahnya laju karantina. Hal tersebut menjadikan skenario karatina yang diusulkan dengan penambahan kelas Q membuat model sistem menjadi lebih baik.

## 9. KESIMPULAN
Diberikan  model  matematika  penyebaran  penyakit  gondongan  dengan  adanya  populasi  individu yang dikarantina dan diasumsikan terdapat kematian karena penyakit gondongan seperti pada Sistem (1). Analisa  kestabilan  dilakukan  disekitar  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan  endemik  diperoleh  hasil bahwa  penyakit  gondongan  akan  hilang  jika  dipenuhi  syarat 0 1 R  .  Artinya  jika  laju  kelahiran  lebih kecil dari laju kematian alami dan laju kontak antara individu yang terinfeksi gondongan dengan individu rentan  lebih  kecil  dari  jumlahan  laju  kesembuhan,  laju  kematian  dan  laju  karantina  maka  wabah gondongan  semakin  lama  akan  menghilang  dari  populasi.  Usulan  yang  dapat  diberikan  adalah  untuk mempercepat  kesembuhan  individu  yang  terinfeksi  penyakit  gondongan,  penurunan  populasi  individu yang  terinfeksi  dan  percepatan  pengobatan  pada  individu  yang  dikarantina  akan  menjadi  langkah  yang tepat. Sebaliknya jika 0 1 R  penyakit gondongan akan mewabah dan individu yang terinfeksi masih ada dalam  populasi.  Artinya  jika  laju  kelahiran  lebih  besar  dari  laju  kematian  alami  dan  laju  kontak  antara individu  yang  terinfeksi  gondongan  dengan  individu  rentan lebih  besar  dari jumlahan  laju  kesembuhan,

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Ratna Widayati, Nadzifah, Vika Fatihatul Fiqiyah, Nita Rizkiyani
laju kematian dan laju karantina maka wabah gondongan akan tetap ada dalam populasi. Akan tetapi jika nilai  dari  laju  karantina  diperbesar,  nilai 0 R akan  mengecil  dan  populasi  individu  yang  dikarantina mendekati  populasi  individu  terinfeksi.  Hal  tersebut  dapat  diartikan  populasi  individu  dikarantina membesar  seiring  bertambahnya  laju  karantina.  Artinya  skenario  karatina  yang  diusulkan  dengan penambahan kelas Q membuat solusi sistem menjadi lebih baik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Chernov  A.,  Kelbert  M  &  Shemendyuk  A.,  2020,  Optimal  vaccine  allocation  during  the  mumps outbreak  in two  SIR  centers, Mathematical  Medicine  and  Biology:  A  Journal  of  the  IMA , Vol. 37, Issue 3, 303–312.
[2]   Hakimeh  M.,  Sunil  K.,  Shahram  R.,  Sina  E.,  Side  S.,  2021,  A  theoretical  study  of  the  Caputo– Fabrizio  fractional  modeling  for  hearing  loss  due  to  Mumps  virus  with  optimal  control, Chaos, Solitons and Fractals, Vol 144, 1-13.
[3]  Jie. F. H., Ze. Y. Z., Wen. K. L. dkk., 2022, Correlation between mumps and meteorological factors in Xiamen City, China: A modelling study, Infectious Disease Modelling, Vol. 7, 127-137.
[4]  Kitano  T.,  2019,  Dynamic  transmission  model  of  routine  mumps  vaccination  in  Japan, Epidemiology and Infection, 147, 1–8.
[5]  Nisar K  S.,  Srinivas  M  N.,  Murthy  B  S  N,  Madhusudanan V.,  Gul  N.,  Abdulrehman  J  &  Zeb  A., 2023, Exploring the dynamics of white noise and spatial temporal variations on hearing loss due to mumps virus, Results in Physics, 51, 106584.
[6]  Li  Y.,  Liu  X  &  Wang  L.,  2018,  Modelling  the Transmission  Dynamics  and  Control  of Mumps  in Mainland China, International Journal of Environmental Research and Public Health, 15, 33.
[7]  Nurbek. A., Zhihang. P., Xinzhi. R., Yangjiang. W., Xianning. L., 2022, Vaccine failure, seasonality and  demographic  changes  associate  with  mumps  outbreaks  in  Jiangsu  Province,  China:  Age- structured mathematical modelling study, Journal of Theoretical Biology, Vol. 544.
[8]  Pomeroy  L  W.,  Magsi  S.,  McGill  S  &  Wheeler  C  E.,  2023,  Mumps  epidemic  dynamics  in  the United States before vaccination (1923–1932), Epidemics, 44, 100700.
[9]  Qianqian. Q., Cong. F., Le. Z., Wanru. J., Jie. W., Yong. L., 2017, A mumps model with seasonality in China, Infectious Disease Modelling, Vol. 2, 1-11.
[10]  Senanayake, S. N., 2008, Mumps: A resurgent disease with protean manifestations. Medical Journal of Australia , 189, 456-459.
[11]  Wharton,  I.  P.,  Chaudhry,  A.  H.,  &  French,  M.  E.,  2006,  A  case  of  mumps  epididymitis. Lancet , 367, 702.
[12]  Zhou  L.,  Wang  Y.,  Xiao  Y.,  &  Li  M  Y.,  2019,  Global  dynamics  of  a  discrete  age-structured  SIR epidemic model with applications to measles vaccination strategies, Mathematical Biosciences, 308, 27-37.