Abstrak —Telah  dilakukan  penyelidikan  pada  keadaan  gugus dua  qubit.  Keadaan  tersebut  memenuhi  tiga  definisi  dari keadaan gugus. Ketiga definisi dari keadaan gugus yaitu tebelit maksimal,  ketahanan tinggi, dan apabila sekumpulan operator dioperasikan  pada  keadaan  gugus tersebut  maka  akan menghasilkan  keadaan  gugus itu  sendiri.  Keadaan  gugus  dua qubit ekuivalen dengan keadaan Bell, keadaan gugus tiga qubit ekuivalen  dengan  keadaan  GHZ,  dan  keadaan  gugus  empat qubit ekuivalen dengan keadaaan | y > 1234 . S elain penyelidikan pada  keadaan-keadaan  gugus,  telah  dilakukan  perumusan teleportasi  kuantum  informasi  satu  qubit  dan  dua  qubit sembarang  melalui  keadaan  gugus empat  qubit.  Diperoleh hasil,  keadaan  satu  qubit  dan  dua  qubit  sembarang  dapat diteleportasikan melalui keadaan gugus empat qubit.
Kata Kunci —Gugus, Qubit, Teleportasi.

## I. PENDAHULUAN
ADA  tahun  1900, Max Planck memperkenalkan kuantisasi energi  kuantum  mengenai  radiasi  benda  hitam  dimana perubahan  energi antara materi dan radiasi  bernilai diskrit. Hal tersebut kemudian menjadi lahirnya fisika kuantum. Kuantisasi energi  kuantum  yang  diskrit  kemudian  dimanfaatkan  dalam mesin panas kuantum [1]. Pada tahun 1926, Erwin Schrodinger memperkenalkan  persamaan  gelombang  mengenai  dualisme dari  partikel-gelombang.  Persamaan  gelombang  tersebut merepresentasikan  keadaan  fisis  dari  sistem  kuantum  dan dianggap sebagai teori yang lengkap. Namun, Albert Einstein, Boris Podolsky, dan Nathan Rosen (yang dikenal sebagai EPR) mempertanyakan kelengkapan teori dari persamaan gelombang tersebut. Mereka menunjukannya melalui Gedank en experiment (eksperimen  pemikiran)  yang  diberi  istilah  EPR paradoks,  menunjukkan  bahwa  persamaan  gelombang  dalam mekanika kuantum tidak memenuhi dua syarat kelengkapan dari suatu  teori  yaitu  syarat  elemen  realitas  dan  syarat  lokalitas . Sehingga EPR menyatakan bahwa persamaan gelombang dalam mekanika kuantum tidak lengkap [2].
Hal yang dikemukakan EPR mengenai persamaan gelombang mekanika  kuantum  yang  mendeskripsikan  dua  partikel  yang telah  dipisahkan  sangat  jauh  seharusnya  sudah  tidak  berada dalam  keadaan  yang lokal menimbulkan gagasan kepada John
Stewart Bell untuk melakukan perumusan dengan menambahkan  sebuah  variabel  tambahan  pada  persamaan gelombang mekanika kuantum untuk membuktikan hal tersebut. Namun,  permasalahan  EPR  mengenai  keadaan  non lokal pada persamaan gelombang mekanika kuantum yang mendeskripsikan  dua  partikel  yang  dipisah  sangat  jauh  tidak terbukti.  Hal  itu  menunjukkan  antara  kedua  partikel  yang dipisahkan  sangat  jauh  yang  disebutkan  dalam  paper  EPR tetap berada dalam keadaan lokal atau terbelit [3].
Keadaan  terbelit  sangat  berguna  dalam  aplikasi  fisika kuantum,  salah  satunya  pada  dalam  teleportasi  kuantum. Teleportasi  kuantum  adalah  mekanisme  pengiriman  informasi dalam  informasi  kuantum.  Teleportasi  kuantum  pertama  kali dikenalkan oleh Charles Henry Bennett dan kawan-kawan pada tahun  1993.  Teleportasi  kuantum  yang  dirumuskan  mereka yaitu  mengenai  pengiriman suatu keadaan atau informasi satu qubit sembarang dari pengirim bernama Alice menuju penerima bernama  Bob  melalui  suatu  saluran.  Saluran  yang  digunakan yaitu keadaan terbelit EPR [4].
Namun  pada  paper  Bennett  dan  kawan-kawan,  saluran (keadaan  terbelit)  yang  digunakan  dalam  pengiriman  keadaan atau  informasi  masih  sangat  sederhana  dikarenakan  keadaan terbelit  EPR  adalah  keadaan  dua  qubit.  Teleportasi  informasi satu  qubit  sembarang  juga  telah  berhasil  dilakukan  melalui keadaan  terbelit  tiga  qubit  yaitu  keadaan  GHZ  [5].  Namun, teleportasi  informasi  dua  qubit  sembarang  tidak  berhasil dilakukan  melalui  keadaan  GHZ  [6].  Lalu,  bagaimana  apabila keadaan  atau  informasi  satu  qubit  dan  dua  qubit  sembarang diteleportasikan  dengan  keadaan  terbelit  lain  dengan  qubit yang  lebih  banyak?  Keadaan  terbelit  dengan  banyak  qubit dikenal  dengan  keadaan  gugus  ( cluster ).  Keadaan  gugus memiliki  kelebihan  dibandingkan  keadaan  terbelit  lainnya karena  keadaan  gugus  merupakan  keadaan  terbelit  maksimal dan sulit untuk dibuat menjadi keadaan yang tidak terb elit atau keadaan  terpisah  [7].  Oleh  karena  itu,  dalam  penelitian dilakukan  teleportasi  kuantum  informasi  satu  qubit  dan  dua qubit sembarang melalui saluran atau protokol keadaan  gugus empat  qubit  dan  dilakukan  penyelidikan  mengenai  sifat  atau definisi dari keadaan gugus.

## Teleportasi Kuantum Informasi Satu Qubit dan Dua Qubit Sembarang Melalui Keadaan Gugus Empat Qubit
Fasya Khuzaimah, Heru Sukamto, dan Agus Purwanto Departemen Fisika, Fakultas Ilmu Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : purwanto@physics.its.ac.id
P

## II. TELEPORTASI KUANTUM
Keadaan  terbelit  adalah  suatu  keadaan  yang  tidak  dapat dipisahkan  ke  dalam  bentuk  keadaan-keadaan  lain  dalam perkalian  langsung.  Sedangkan  keadaan  yang  sebaliknya disebut  dengan  keadaan  terpisah.  Secara  umum  keadaan terbelit qubit-n
1 2 2 0 0 0 1 1 1 n n n n         (15) dengan  tetapan  kompleks 1 2 2 , , , n
   memenuhi  syarat
normalisasi 2 2 2 1 2 2 1 n        (16)
mempunyai
  2 2 1 n  derajat  kebebasan.  Sedangkan keadaan qubit n-plet yang dapat dipisah ke dalam n qubit tunggal [8].
1 2 2 n         (17)
Contoh  dari  keadaan  terbelit  adalah  keadaan  Bell  atau disebut  juga  keadaan  pasangan  EPR,  keadaan  GHZ,  dan keadaan W. Keadaan EPR tersebut adalah sebagai berikut.
  1 00 11 2     (18)   1 00 11 2     (19)   1 01 10 2     (20)
  1 01 10 2     (21)
Untuk keadaan GHZ dan keadaan W adalah sebagai berikut [9].
  1 000 111 2 GHZ   (22)   1 001 010 100 3
W   
(23)

## III. KEADAAN GUGUS

## A. Definisi Keadaan Gugus
Suatu  keadaan  dikatakan  sebagai  keadaan  gugus  jika memenuhi  dua  definisi keadaan gugus, yaitu terbelit maksimal ( maximally entangled ) dan ketahanan tinggi ( high persistency )  [7] . Selain  dua  definisi  tersebut,  keadaan  gugus juga  merupakan  keadaan  yang  apabila  terdapat  sekumpulan operator uniter dikerjakan pada  suatu  keadaan  lalu menghasilkan  keadaan  itu  sendiri  [10].  Definisi-definisi  ini dipenuhi oleh persamaan
  ( 1) / 2 1 1 0 1 2 N a N z N a a a        (24)
dimana (N 1) 1 z 
 

## 1) Terbelit Mak simal
Suatu  keadaan  memenuhi  sifat  terbelit  maksimal  adalah ketika  dalam  keadaan  tersebut  pada  setiap  sukunya  memiliki koefisien  yang  sama  dengan  suku  yang  lainnya d an tiap dua qubit j k  dan j k  keadaan tersebut dapat proyeksikan ke dalam  bentuk  keadaan  Bell  dengan  pengukuran  lokal (transformasi  uniter  lokal). Keadaan Bell  adalah keadaan yang terbelit maksimal dikarenakan memiliki koefisien maksimal untuk keadaan  dua  qubit  yaitu 1 2 pada  masing-masing  sukunya dan  keadaan  Bell tidak dapat dipisahkan menjadi keadaan lain [7].  Misalkan  untuk  keadaan  gugus dengan  N  =  2  qubit sebagai berikut.
  2 1 2 1 2 1 0 1 2      (25)
Dari  dua  qubit  yang  ada, dengan bantuan transformasi uniter lokal I H  ,     2 1 2 1 2 1 0 1 1 0 2 I H     (26)
dapat  dilihat  bahwa  persamaan  (26)  dapat  diproyeksikan  ke dalam keadaan Bell pada persamaan (20).

## 2) Ketahanan Tinggi
Suatu keadaan dikatakan memiliki ketahanan tinggi yaitu jika keadaan tersebut sangat sulit dibuat  menjadi keadaan terpisah dari  keadaan  yang  terbelit  dengan  menggunakan  operator uniter.  Minimal  banyaknya  operator  uniter  yang  dikerjakan pada keadaan gugus adalah sebagai berikut [7].
2 N e N P         (27)
Diberikan  contoh  untuk  keadaan  gugus dengan N  =  2  qubit.
Untuk  keadaan  gugus N  =  2  qubit  dioperasikan  dengan   z I   dan   x I   dari kiri.       2 1 2 1 2 1 0 1 2 z z I I
               1 2 1 2 1 0 1 2         (28)
      2 1 2 1 2 1 0 1 2 x x I
I                  1 2 1 2 1 0 1 2 
    (29)
Berdasarkan  persamaan  (28)  dan  (29)  dapat  dilihat  bahwa keadaan gugus dua qubit masih merupakan keadaan terbelit.
3) Sek umpulan Operator yang Bek erja pada Keadaan Gugus Menghasilk an Keadaan Gugus Tersebut
Definisi  ketiga  dari  keadaan  gugus adalah  keadaan  yang apabila sekumpulan operator dikerjakan pada keadaan tersebut maka akan menghasilkan keadaan itu sendiri.
a N N E    (30)
dengan hubungan operator
tan ( ) a a b b te gga a E X Z   
(31)
dimana
, , x y z X Y i Z       [10].
Kita tinjau kasus untuk keadaan gugus N = 2 qubit.
1 1 2 E X Z   maka 1 2 2 E    (32)
Untuk 2 1 2 E Y Y   maka 2 2 2 E    (33)
Berdasarkan  persamaan  (32)  dan  (33)  dapat  dilihat  bahwa keadaan  gugus  dua  qubit  memenuhi  definisi  ketiga  keadaan gugus.

## B. Keadaan-k eadaan  yang  Ek uivalen  dengan  Keadaan Gugus
Dua  keadaan  yang  dapat  ditransformasikan  dari  satu keadaan ke keadaan yang lainnya dengan operator uniter lokal ( local  unitary  operator )  merupakan  keadaan  yang  sama (ekuivalen). Setiap keadaan ψ tertentu memiliki kelas yang sama dengan semua keadaan yang diperoleh dari keadaan ψ tersebut dengan  melakukan  transformasi  uniter  lokal  pada  keadaan  ψ tersebut [11].
Dengan  melakukan  transformasi  uniter  lokal   Z I  
pada  keadaan  gugus  dua  qubit dan dilakukan pula   I H 
pada  keadaan  Bell  pada  persamaan  (18), + F ,  maka  akan menghasilkan  keadaan  yang  sama.  Sehingga,  keadaan  gugus dua  qubit  memiliki satu kelas yang sama  dengan keadaan Bell dengan melakukan transformasi uniter lokal pada keadaan Bell
+ F . Maka,
  2 Z I H       (34)
Sehingga  keadaan  Bell + F berada  dalam  satu  kelas  yang sama  dengan  keadaan  gugus  dua  qubit 2 f .  Apabila
dilakukan substitusi 0 - « dan
1 + « maka
2 f + = F .
Dengan
melakukan transformasi uniter lokal   Z Z I     pada  keadaan  gugus  tiga  qubit  dan
dilakukan  pula   H I H  
pada  keadaan  GHZ  pada persamaan  (22), GHZ ,  maka  akan  menghasilkan  keadaan yang  sama.  Sehingga,  keadaan gugus tiga qubit memiliki satu kelas  yang  sama  dengan  keadaan  GHZ  dengan  melakukan operator uniter lokal pada keadaan GHZ.
 
3 Z Z H H GHZ       (35)
Sehingga keadaan GHZ GHZ berada dalam satu kelas yang sama  dengan  keadaan  gugus  tiga  qubit 3 f .  Apabila dilakukan substitusi 1 - « dan 0 + « maka 3 GHZ f = . Dengan melakukan transformasi uniter lokal   X Z Z I
      pada keadaan gugus empat qubit dan
dilakukan  pula
  H I I H    pada  suatu  keadaan 1234 y 1234 1234 1 0000 0011 1100 1111 2 y é ù = + + - ê ú ë û (36)
maka  akan  menghasilkan  keadaan  yang  sama.  Sehingga, keadaan  gugus  empat  qubit  memiliki  satu  kelas  yang  sama dengan  keadaan 1234 y dengan  melakukan  operator  uniter
lokal pada keadaan
1234 y .   4 1234 X Z Z H I H          (37)
Berdasarkan persamaan (37), keadaan gugus empat qubit 4 f memiliki  kelas  yang  sama  dengan  keadaan
1234 y dan
merupakan  keadaan  yang  ekuivalen  atau  sama.  Apabila dilakukan substitusi 1 - « dan 0 + « maka 4 1234 f y = .

## C. Teleportasi  Kuantum  Melalui  Keadaan  Gugus  Empat Qubit
1) Teleportasi  Kuantum  Informasi  Keadaan  Satu  Qubit

## Sembarang Melalui Keadaan Gugus Empat Qubit
Diberikan keadaan atau informasi satu qubit sembarang
0 1 a a a c a b = + (38)
dengan 2 2 1 a b + = .
T abel 1.
Pengukuran Alice, Keadaan yang Diterima Bob, dan Operator Uniter Bob untuk T eleportasi Kuantum Keadaan Satu Qubit Sembarang
Pengukura n Keadaan yang diterima Bob Operator Uniter Bob
1 123 a  4 4 1 0 1
2        2 I 2 123 a  4 4 1 0 1 2        2 z  3 123 a  4 4 1 1 0
2        2 x  4 123 a  4 4 1 1 0 2        2 y i 
Informasi partikel satu qubit sembarang tersebut akan dikirim dari  Alice  menuju  Bob  melalui  protokol  dari  persamaan  (36) yang  ekuivalen  dengan  keadaan  gugus  empat  qubit  yang diberikan  pada  Alice  dan  Bob.  Partikel  1,  2,  dan  3  diberikan kepada  Alice  dikarenakan  Alice  akan  melakukan  pengukuran pada partikel a , 1, 2, dan 3 agar keadaan atau informasi a c
dapat  diteleportasikan  dari  Alice  menuju  Bob  dan  partikel  4 diberikan  kepada  Bob  karena  Bob  harus  memiliki  partikel dengan  jumlah  yang  sama  dengan  jumlah  partikel  pada keadaan  yang  dikirim  agar  dapat  menerima  keadaan  yang dikirim oleh Alice. Akibat dari pengukuran Alice, keadaan pada partikel a akan  melebur  pada  keadaan  gugus  empat  qubit. Sehingga keadaan seluruh sistem menjadi sebagai berikut.
( 1 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1 00000 00011 2 01100 01111
10000 10011 a a a a a a a c y a a
a a
b b F = Ä =
+
+ -
+ + ) 1234 1234 11100 11111 a a b b + - (39)
Pengukuran  yang  dilakukan  oleh  Alice  pada  partikel a ,  1, 2, dan 3 secara langsung akan berlaku pada seluruh sistem akibat keadaan  satu  qubit  sembarang a c yang  melebur  pada keadaan gugus empat qubit. Pengukuran yang dilakukan Alice adalah   I   pada keadaan seluruh sistem
1 F dimana pengukuran j adalah sebagai berikut.
1 123 123 1 0000 0110 1001 1111 2 a a j é ù = + + - ê ú ë û (40) 2 123 123 1 0000 0110 1001 1111 2 a a j é ù =
+ - + ê ú ë û (41) 3 123 123
1 0001 0111 1000 1110 2 a a j é ù = - + + ê ú ë û (42) 1 123 123 1 0001 0111 1000 1110 2 a a j é ù = - - - ê ú ë û (43)
Setelah  dilakukan  pengukuran ( ) 1 I j Ä F maka  Alice akan  mendapatkan  hasil  pengukuran.  Hasil  pengukuran  itu merupakan  keadaan  yang  sampai  pada  Bob.  Namun, keadaan atau  informasi  yang  diterima  oleh  Bob  belum  sesuai  dengan keadaan a c yang dikirim oleh Alice. Kemudian, Alice harus memberikan  informasi  melalui  komunikasi  klasik  kepada  Bob mengenai pengukuran atau operasi operator uniter yang harus dilakukan  oleh  Bob  agar  keadaan  yang  diterima  oleh  Bob sesuai  dengan  keadaan  yang  dikirim  oleh  Alice  pada persamaan  (38).  Hasil  pengukuran  Alice  atau  keadaan  yang sampai  pada  Bob  dan  operator  uniter  yang  harus  digunakan Bob agar keadaan yang sampai atau diterima pada Bob sesuai dengan  keadaan  yang  dikirim  oleh Alice pada persamaan (38) dirangkum pada Tabel 1.
Berdasarkan  Tabel  1  dapat  dilihat  bahwa  keadaan  partikel satu  qubit  sembarang
a c dapat  ditelportasikan  melalui keadaan gugus empat qubit
1234 y [12].

## 2) Teleportasi  Kuantum  Informasi  Keadaan  Dua  Qubit Sembarang Melalui Keadaan Gugus Empat Qubit
Diberikan keadaan atau informasi dua qubit sembarang 00 01 10 11 ab ab ab ab ab          (44) dimana 2 2 2 2 1         .  Informasi  partikel  dua qubit  sembarang  tersebut  akan  dikirim  dari Alice menuju Bob melalui  protokol  dari  persamaan  (36)  yang  ekuivalen  dengan keadaan  gugus  empat  qubit  yang  diberikan  pada  Alice  dan Bob. Partikel 1 dan 4 diberikan kepada Alice dikarenakan Alice akan melakukan pengukuran pada partikel a , b , 1, dan 4 agar keadaan atau informasi ab  dapat diteleportasikan dari Alice menuju Bob dan partikel 2 dan 3 diberikan kepada Bob karena Bob  harus  memiliki partikel dengan jumlah yang sama dengan jumlah partikel pada keadaan yang dikirim agar dapat menerima keadaan yang dikirim oleh Alice. Akibat dari pengukuran Alice, keadaan ab  akan melebur pada keadaan gugus empat qubit.
Sehingga keadaan seluruh sistem menjadi sebagai berikut.
2 1234 ab       1
000000 000011 001100 2 001111 010000 010011 011100 011111 100000 100011 101100 101111 110000 110011 111100                                111111   (45)
T abel 2.
Pengukuran Alice, Keadaan yang Diterima Bob, dan Operator Uniter Bob untuk T eleportasi Kuantum Keadaan Dua Qubit Sembarang
Pengukura n Keadaan yang diterima Bob Operator
Uniter Bob 1 14 ab  23 23 23 23 1 00 01 10 11
4            2 2 I I  2 14 ab  23 23 23 23 1 00 01 10 11
4            2 2 z z    3 14 ab  23 23 23 23 1 00 01 10 11
4            2 2 z I   4 14 ab  23 23 23 23 1 00 01 10 11 4            2 2 z I   5 14 ab  23 23 23 23 1 01 00 11 10
4            2 2 x I   6 14 ab  23 23 23 23 1 01 00 11 10
4            2 2 z y i    7 14 ab  23 23 23 23 1 01 00 11 10 4            2 2 y I i   8 14 ab  23 23 23 23 1 01 00 11 10 4            2 2 z x    9 14 ab  23 23 23 23 1 10 11 00 01
4            2 2 x I   10 14 ab  23 23 23 23 1 10 11 00 01
4            2 2 y z i    11 14 ab  23 23 23 23 1 10 11 00 01
4            2 2 x z    12 14 ab  23 23 23 23 1 10 11 00 01 4            2 2 y i I   13 14 ab  23 23 23 23 1 11 10 01 00 4            2 2 x x    14 14 ab  23 23 23 23 1 11 10 01 00 4            2 2 y y i i    15 14 ab  23 23 23 23 1 11 10 01 00 4            2 2 x y i    16 14 ab  23 23 23 23 1 11 10 01 00 4            2 2 y x i   
Pengukuran  yang  dilakukan oleh Alice pada partikel a , b , 1,  dan  4  secara  langsung  akan  berlaku  pada  seluruh  sistem akibat keadaan dua qubit sembarang ab  yang melebur pada keadaan gugus empat qubit. Pengukuran yang dilakukan Alice
adalah   I   pada keadaan seluruh sistem 2 F dimana pengukuran f adalah sebagai berikut.
1 14 14
1 0000 0101 1010 1111 2 ab ab          (46)
2 14
14
1 0000 0101 1010 1111 2 ab ab          (47)
3 14
14 1 0000 0101 1010 1111 2 ab ab          (48)
4 14 14
1 0000 0101 1010 1111 2 ab ab          (49)
5 14 14
1 0001 0100 1011 1110 2 ab ab          (50)
6 14 14
1 0001 0100 1011 1110 2 ab ab          (51)
7 14 14
1 0001 0100 1011 1110 2 ab ab          (52)
8 14
14 1 0001 0100 1011 1110 2 ab ab          (53)
9 14 14
1 0010 0111 1000 1101 2 ab ab          (54)
10 14 14 1 0010 0111 1000 1101
2 ab ab          (55)
11 14 14 1 0010 0111 1000 1101 2 ab ab          (56)
12 14 14 1 0010 0111 1000 1101 2 ab ab          (57)
13 14 14
1 0011 0110 1001 1100 2 ab ab          (58) 14 14 14
1 0011 0110 1001 1100 2 ab ab          (59) 15 14 14
1 0011 0110 1001 1100 2 ab ab          (60)
16 14 14 1 0011 0110 1001 1100 2 ab ab          (61)
Setelah  dilakukan  pengukuran ( ) 2 I f Ä F maka  Alice akan  mendapatkan  hasil  pengukuran.  Hasil  pengukuran  itu merupakan  keadaan  yang  sampai  pada  Bob.  Namun, keadaan atau  informasi  yang  diterima  oleh  Bob  belum  sesuai  dengan keadaan ab  yang dikirim oleh Alice. Kemudian, Alice harus memberikan  informasi  melalui  komunikasi  klasik  kepada  Bob mengenai pengukuran atau operasi operator uniter yang harus dilakukan  oleh  Bob  agar  keadaan  yang  diterima  oleh  Bob sesuai  dengan  keadaan  yang  dikirim  oleh  Alice  pada persamaan  (44).  Hasil  pengukuran  Alice  atau  keadaan  yang sampai  pada  Bob  dan  operator  uniter  yang  harus  digunakan Bob agar keadaan yang sampai atau diterima pada Bob sesuai dengan  keadaan  yang  dikirim  oleh Alice pada persamaan (44) dirangkum pada Tabel 2.
Berdasarkan  Tabel  2  dapat  dilihat  bahwa  keadaan  partikel dua  qubit  sembarang
ab  dapat  dikirim  melalui  keadaan
gugus empat qubit
1234 y [12].

## IV. KESIMPULAN/RINGKASAN
Dari penelitian ini, didapatkan kesimpulan
1. Keadaan  gugus  memiliki  tiga  definisi  yaitu  terbelit maksimal,  ketahanan  tinggi,  dan  apabila  sekumpulan operator dioperasikan pada keadaan gugus tersebut maka akan menghasilkan keadaan gugus itu sendiri.
2. Keadaan gugus dua qubit ekuivalen dengan keadaan Bell, keadaan  gugus  tiga  qubit  ekuivalen  den gan  keadaan GHZ,  dan  keadaan  gugus empat qubit ekuivalen dengan keadaan
1234 y .
3. Keadaan  satu  qubit  dan  dua  qubit  sembarang  dapat diteleportasikan  melalui  saluran  keadaan  gugus empat qubit.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Y.  D.  Saputra  and  A.  Purwanto,  “ Mesin  Carnot  Berbasis Partikel  Dua  T ingkat  di  dalam  Kotak Potensial Satu Dimensi,”
J. Fis. dan Apl. , vol. 6, no. 1, 2010.
[2] A.  Einstein,  B.  Podolsky,  and  N.  Rosen,  “ Can  Quantum Mechanical  Description  of  Physics  Reality  Be  Considered
Complate?,” Phys. Rev. Lett , vol. 47, no. 777, 1935.
[3] J.  S.  Bell, “ On T he Einstein Podolsky Rosen Paradox,” Physics (College. Park. Md). , vol. 1, no. 3, pp. 195–200, 1964.
[4] C.  H.  Bennet, G. Brassard, and et al, “ T eleporting an Unknown Quantum  State  Via  Dual  Clasical  and  Einstein-Podolsky-Rosen
Chanel,” Phys. Rev. Lett , vol. 70, p. 1895, 1993.
[5] V.  .  Gorbachev  and  A.  .  T rubilko,  “ Quantum  teleportation  of an  Einstein-Podolsky-Rosen  Pair  Using  an  Entangled  T hree- Particle  State,” J.  Exp.  Theor.  Phys. ,  vol.  91,  no.  5,  pp. 894– 898, 2000.
[6] I.  Rahayu,  “ T eleportasi  Kuantum  Informasi  Dua Qubit Melalui Keadaan T erbelit T iga Qubit,” Surabaya, 2017.
[7] H.  J.  Briegel  and  R.  Raussendorf,  “ Persistent  Entanglement  in Arrays  of Interacting Particles,” Phys. Rev. Lett , vol. 86, no. 3, 2001.
[8] A. Purwanto, Diktat Mekanika Kuantum . Surabaya, 2014.
[9] M.  Nakahara  and  T .  Ohmi, Quantum   Com puting  from   Linear Algebra  to  Physical  Realizations .  USA:  CRC  P ress  T aylor  & Francis Grup, 2008.
[10] T ang  and  et al, “ General Greenberger-Horne-Zeilinger theorem of cluster states,” 2008.
[11] N.  Linden  and  S.  Popescu,  “ On  multi-particle  entanglement,”
1997.
[12] X.  T an  and  et  al,  “ Perfect  quantum  teleportation  by  four- particle  cluster  state,” Inf.  Process.  Lett. ,  vol.  116,  pp.  347– 350, 2016.