Volume 3, Nomor  1, Agustus 2017, Halaman 41 – 48 ISSN: 2442–4668

## LEVEL ABSTRAKSI REFLEKSI MAHASISWA DALAM PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA
Sikky El Walida 1 , Anies Fuady 2
1,2 Dosen Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Malang Email: 1 sikkywalida@gmail.com , 2 fuadyanies@gmail.com ,

## Abstrak
Abstraksi  berawal  dari  sebuah  himpunan  objek,  kemudian  objek  tersebut dikelompokkan berdasarkan sifat dan hubungan penting, kemudian digugurkan sifat dan  hubungan  yang  tidak  penting.  Pada  penelitian    ini  abstraksi  yang  digunakan adalah  abstraksi  refleksi  yaitu  proses  yang  mengacu  pada  kemampuan  mahasiswa untuk  merekonstruksi  atau  mengungkapkan  kembali  dan  mereorganisasi  struktur yang  diciptakan  dari  aktivitas  dan  interpretasi  siswa  sendiri  kepada  suatu  situasi baru.  Penelitian    ini  bertujuan  ingin  mengetahui  level    proses    abstraksi  refleksi mahasiswa  .    Level-level  abstraksi  refleksi  dalam  penelitian  ini  adalah  :  (1) Interiorisasi , (2) Koordinasi, (3) Enkapsulasi, (4) Generalisasi. Pemecahan masalah matematika  dalam  penelitian  ini  meliputi  :  (a) understanding  the  problem (memahami  masalah),  (b) devising  plan (merencanakan  pemecahan  masalah),  (c) carrying  out  the  plan (melaksanakan  rencana),  dan  (d) looking  back (memeriksa kembali). Metode  penelitian ini tergolong eksploratif dengan pendekatan deskriptif kualitatif.  Penelitian  ini  mengungkap  level  abstraksi  reflektif  mahasiswa  dalam menyelesaikan  masalah  matematika.  Masalah  yang  disajikan  adalah  tugas penyelesaian matematika (TPM). Abstraksi reflektif dilihat dari perilaku mahasiswa dalam  menyelesaikan TPM.  Proses  abstraksi  reflektif  dikaji  menggunakan  langkah Polya  .  Tahapan  penyelesaian  Polya    yaitu  (1)  memahami  masalah,  (2) merencanakan masalah, (3) meyelesaikan masalah, (4) memeriksa kembali..
Kata Kunci : abstraksi reflektif, pemecahan masalah, level abstraksi

## PENDAHULUAN
Berpikir  dapat  didefinisikan  sebagai  proses  menghasilkan  representasi  mental  melalui transformasi  informasi  yang  melibatkan  interaksi  secara  kompleks.  Atribut  mental  yang dimaksud  adalah  penilaian,  abstraksi  dan  pemecahan  masalah.  Dalam  berpikir  untuk pembentukan  konsep  salah  satunya  dengan  menggunakan  abstraksi  ( abstraction ).  Skemp (1982)  mendefinisikan  abstraksi  sebagai  suatu  aktivitas  mental  dimana  seseorang  tertarik memperhatikan  kesamaan-kesamaan  dari  pengalamannya  sehari-hari.  Sejalan  pendapat tersebut,  Soedjadi  (2000)  mengatakan  bahwa,  abstraksi  terjadi  bila  dari  beberapa  objek kemudian  „digugurkan‟  ciri  atau  sifat  objek  itu  yang  dianggap  tidak  penting,  dan  akhirnya
hanya diperhatikan atau diambil sifat penting yang dimiliki bersama. Abstraksi berawal dari sebuah  himpunan  objek,  kemudian  objek  tersebut  dikelompokkan  berdasarkan  sifat  dan hubungan penting, kemudian digugurkan sifat dan hubungan yang tidak penting.
Menurut  Piaget  (dalam  Gray  dan  Tall,  2007;  Ozmantar  dan  Monaghan,  2007) membedakan tiga bentuk abstraksi, yaitu abstraksi empiris (empirical abstraction), abstraksi empiris  semu (psido-empirical  abstraction) ,  dan  abstraksi  reflektif (reflaction  abstraction) . Abstraksi  empiris  adalah  proses  memperoleh  pengetahuan  dari  sifat-sifat  berbagai  macam objek.  Proses  tersebut  berkaitan  pengalaman  seorang  subjek  ketika  melihat  objek  melalui pengalaman langsung dengan melihat sifat-sifat  yang tampak dari luar suatu  objek. Namun, pengetahuan  yang  terbentuk  bersifat  internal  terjadi  di  dalam  diri  subjek.  Menurut  Piaget jenis abstraksai empiris ini dapat mengantarkan kemampuan mengekstraksi sifat-sifat umum objek dan mengantarkan pada generalisasi lanjutan.
Proses  abstraksi  empiris  semu  terjadi  ketika  subjek  dihadapkan  pada  suatu  objek kemudian  menemukan  sifat-sifat  objek  melalui  proses  membayangkan  suatu  tindakan  yang dikenakan  pada  objek  tersebut.  Subjek  berusaha  membuat  konfigurasi  pada  objek  dalam ruang serta mencermati  hubungan-hubungan  yang mungkin  terjadi. Dapat  dikatakan bahwa, abstraksi empiris semu sebagai upaya melepaskan sifat-sifat kebendaan sebuah objek (sesuatu yang  terlihat  berdasar  penampakan  objek).  Sebagai  contoh  dalam  pembelajaran  konsep pecahan  adalah  ketika  siswa  diminta  untuk  membayangkan  bila  sebuah  kertas  berbentuk persegi dilipat agar hasil lipatannya menyatakan bagian setengah dari keseluruhan.
Abstraksi  yang  ketiga  adalah  abstraksi  reflektif  disebut  juga  oleh  Piaget  sebagai koordinasi  umum  dari  tindakan-tindakan  yang  bersumber  pada  diri  subjek  dan keseluruhannya  terjadi  secara  internal.  Proses  ini  mengantarkan  subjek  pada  suatu  jenis generalisasi  yang  berbeda  bersifat  konstruktif  dan  menghasilkan  suatu  bentuk  sintesis  baru diantara aturan khusus dalam memperoleh pengertian baru
Pada  penelitian  ini,  abstraksi  yang  digunakan  adalah  abstraksi  refleksi.  Adapun aktivitas-aktivitas  abstraksi  yang  terlibat  ,  peneliti  menggunakan  level-level  dari  abstraksi menurut Dubinsky (2004) adalah sebagai berikut: (1) Level pertama adalah interiorisasi; (2) level kedua adalah koordinasi; (3) level ketiga adalah enkapsulasi; (4) level ke-empat adalah generalisasi
Kemampuan  abstraksi  siswa  dalam  memecahkan  masalah  sangat  diperlukan,  hal  ini sesuai  dengan  pendapat  Jonansen  (1997)  yang  mengatakan  bahwa  hasil  abstraksi  mental seseorang adalah skema yang digunakan untuk mengerti sesuatu hal, menemukan jalan keluar atau  memecahkan  masalah.  Dalam  aktivitas  pemecahan  masalah  pada  suatu  situasi,  siswa sering  menghubungkan  aktivitas  tersebut  ke  situasi  pemecahan  masalah  berikutnya.  Jika siswa telah mampu menghubungkan secara eksplisit metode penyelesaian masalah yang baru dengan  masalah  semula,  penemuan  seperti  itu  memberikan  kesan  bahwa  konstruksi  dari struktur abstrak dapat memungkinkan problem solver mempunyai antisipasi tentang sifat dan ruang lingkup dari aktivitas pemecahan masalah berikutnya, artinya mereka dapat “melihat” bahwa  pemecahan  masalah  berikutnya  dalam  beberapa  hal  sama  dengan  pemecahan  yang
telah  mereka  miliki.  Ketika  siswa  memecahkan  masalah,  seharusnya  menyadari  akan  apa yang  diabstraksikan.  Disini  perlu  dilihat  apakah  siswa  mamapu  mengeksperikan  atau mendemonstrasikan  kesadarannya  pada  aktivitas  pemecahan  masalah,  dan  memberikan alasan-alasan terhadap keputusan atau kesimpulan yang diperoleh pada pemecahan masalah.
Menurut  Polya  (1973)  pemecahan  masalah  adalah  suatu  usaha  untuk  mencari  jalan keluar dari suatu kesulitan guna mencapai suatu tujuan yang tidak dengan segera bisa dicapai. Fenomena  ini  merupakan  suatu  hal  yang  memerlukan  langkah  atau  strategi  penyelesaian masalah  dengan  melibatkan  proses  berfikir.  Polya  menyusun  prosedur  pemecahan  masalah dalam  empat  langkah  pemecahan  masalah  sebagai  berikut  :  1.  Memahami  masalah (understanding  problem) , 2. Membuat  rencana (devising a plan ), 3. Melaksanakan  rencana (carrying out the plan), 4. Memeriksa kembali (looking back) . Langkah-langkah pemecahan tersebut  hanyalah  suatu  sarana  yang  membantu  untuk  memudahkan  dalam  memyelesaikan masalah  matematika.  Peneliti  berpendapat  bahwa  pemecahan  masalah  Polya  dapat menunjukkan level abstraksi reflektif siswa. Oleh karena itu fokus dalam penelitian ini adalah mengkaji  level  abstraksi  reflektif  siswa  dalam  pemecahan  masalah  matematika,  melalui komponen berfikir abstraksi yang dikaji dari pendapat ahli berfikir abstraksi sebagai pijakan peneliti  dan  juga  kajian  empiris  dari  observasi  dan  studi  pendahuluan  yang  akan  dilakukan oleh peneliti.

## Level-level dalam Abstraksi
Ide  Piaget  dan  von  Glasersfeld  mengenai  abstraksi  reflektif  diaplikasikan  oleh Dubinsky  (2004)  dan  Goodson-Espy  (1988)  dalam  penelitian  yang  lebih  khusus,  aksi pemecahan  masalah  atau  pemahaman  konsep  yang  dapat  diobservasi,  digunakan  untuk mendifinisikan  level-level  dalam  abstraksi  reflektif.  Dubinsky  mendefinisikan  level-level dalam  abstraksi  reflektif  untuk  mendeskripsikan  proses  pemahaman  konsep  (dalam  proses pembelajaran)  ,  dan  dideskripsikan  level-level  yang  dicapai  oleh  mahasiswa  ketika memecahkan  masalah  aljabar.  Goodson-Espy  menggunakan  level-level  tersebut  dan menghubungkannya  dengan  teori  Sfard  dan  Linchecski  (1994),  yaitu  teori  reifikasi (reification) untuk mendeskripsikan transisi mahasiswa ketika menggunakan aritmetika pada aljabar.
Level-level  dalam  aktivitas  abstraksi  menurut  Dubinsky  (2004)  adalah  sebagai berikut: Level pertama adalah interiorisasi, level kedua adalah koordinasi , level ketiga adalah enkapsulasi , dan  level  keempat    adalah  generalisasi  .  Level  pertama  adalah  interiorisasi berarti  merupakan  konstruksi  proses-proses  internal  untuk  memahami  fenomena  yang dirasakan.  Aktivitas  berpikir  dalam  konstruksi  ini  adalah  aktivitas  menggali  informasi- informasi  yang  diperlukan.  Kostruksi  interiorisasi  diawali  dengan  kata  kerja  “membaca  dan mengamati”.
Level  kedua  adalah  koordinasi  yaitu  komposisi  dua  atau  lebih  proses  untuk perekonstruksian  proses  baru  atau  mengkoordinasikan  hasil  interiorisasi.  Konstruksi koordinasi diawali dengan kata kerja “mengkoordinasikan, menghitung”.
Level ketiga adalah enkapsulasi  yaitu konversi dari (dinamis) proses menjadi (statis) objek.  Dalam  konstruksi  ini,  terjadi  perubahan  (konversi)  dari  proses  ke  dalam  objek. Konstruksi enkapsulasi  diawali dengan kata kerja “menetapkan”.
Level keempat adalah generalisasi yaitu menerapkan skema yang ada ke sekumpulan yang  lebih  luas  dari  fenomena,  maka  kita  mengatakan  bahwa  skema  telah  umum. Generalisasi  juga  bisa  terjadi  ketika  proses  dirumuskan  ke  objek.  Konstruksi  koordinasi diawali dengan kata kerja “menggunakan”.
Suatu  keistimewaan  pada  level-level  abstraksi  yang  dikemukakan  oleh  Dubinsky tersebut bahwa level-level ini suatu tahapan untuk mendeskripsikan apakah seorang problem solver sadar  atau  tidak  sadar  pada  konsep-konsep  tertentu  selama  aktivitas  pemecahan masalah  mereka,  dan  membantu  mengidentifikasi  apakah  seorang problem  solver menggunakan  metode  penyelesaian  sebelumnya  atau  apakah  dia  menggunakan  metode pemecahan masalah yang baru (Goodson-Espy,  2005).

## Pemecahan Masalah Matematika
Masalah  matematika  sering  diartikan  sebagai  suatu  pertanyaan  atau  soal  yang memerlukan  solusi  atau  jawaban.  Suatu  pertanyaan  atau  soal  menjadi  masalah  apabila memenuhi dua syarat yaitu :
1. Pertanyaan  yang  dihadapkan  kepada  siswa  haruslah  dapat  dimengerti,  namun pertanyaan  tersebut  harus  merupakan  tantangan  baginya  untuk  menjawab  atau  tidak dijawab secara otomatis.
2. Pertanyaan  tersebut  tidak  dapat  dijawab  dengan  prosedur  rutin  yang  telah  diketahui siswa.
Berdasarkan pada kajian diatas, maka dalam penelitian ini penyelesaian masalah yang digunakan adalah sebagai berikut :
a. Memahami  masalah  ( understanding  the  problem )  adalah  mengidentifikasi  apa  yang diketahui dari soal dan mengidentifikasi apa yang hendak dicari, meliputi : memahami berbagai  hal  yang  ada  pada  masalah  seperti  apa  yang  tidak  diketahui,  apa  saja  data yang tersedia, apa syarat-syaratnya dan sebagainya.
b. Merencanakan  ( devising  a  plan )  yaitu  menyusun  dan  mempresentasikan  data, memilih operasi, menulis kalimat aljabar, menemukan pertanyaan yang tersembunyi, dan memilih strategi penyelesaian.
c. Melaksanakan  rencana  ( carrying  out  the  plan )  mengguanakan  keterampilan berhitung, mengguanakan aljabar dan geometri
Memeriksa  kembali  ( looking  back )  meliputi  mengecek  hasilnya,  apakah  telah menjawab semua pertanyaan, apakah ad acara lain untuk mendapatkan hasil yang sama, dan menguji tahap pemecahan yang dihasilkan.

## METODE
1. Jenis  penelitian  ini  adalah  eksploratif  dengan  pendekatan  kualitatif.  Peneliti  ingin menggali  secara  mendalam  bagaimana  level  abstraksi  reflektif  mahasiswa  dalam
memecahkan  masalah  pada  materi  perbandingan.  Subyek  dalam  penelitian  ini  adalah mahasiswa  semester  4  kelas  A  2016/2017  prodi  pendidikan  matematika.  Prosedur pengumpulan  data  dilakukan  dengan  memberikan  tes  pemecahan  masalah  kepada mahasiswa  kemudian  melakukan  wawancara  tentang  bagaimana  subjek  tersebut menyelesaikan  pemecahan  masalah.  Proses  analisis  data  dimulai  dengan  menelaah seluruh data yang tersedia dari berbagai sumber, yaitu hasil tes belajar tulis, wawancara, catatan lapangan dan rekaman video.  Langkah berikutnya adalah menganalisis jawaban subjek, menguji relevansi dengan membandingkan data dan teori. Langkah terakhir yang dilakukan adalah menyimpulkan tentang abstraksi reflektif subjek yang diteliti.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari soal yang diberikan yaitu 5 orang tukang kayu membuat  sebanyak 20 kursi dan 24 lemari selama 3 hari. Berapa hari dengan 10 orang tukang kayu untuk membuat 30 kursi dan 36 lemari ?
Pada langkah memahami masalah : a. Mahasiswa membaca soal yang diberikan b. Memahami apa yang diketahui dari soal yang diberikan c. Mengetahui apa yang ditanyakan dari soal d. Mengetahui hubungan antara yang diketahui dan ditanyakan dalam soal
Misalnya k kursi dan l lemari. Maka model matematikanya 20k + 24l dan 30k + 36l Langkah merencanakan pemecahan masalah
Informasi apa yang diperoleh dengan mengaitkan informasi sebelumnya 5 orang                20k + 24l               3 hari 10 orang               30k + 36l              x hari Langkah menyelesaikan masalah sesuai rencana Dengan menyamakan jumlah kursi dan lemari maka diperoleh :
orang               10k + 12l              3 hari orang              10k + 12l              x hari
Dengan menggunakan perbandingan berbalik nilai
(3) =
x =
x = 2 hari
Langkah memeriksa kembali
Dengan
mengganti nilai x pada persamaan
, ternyata hasil di ruas kiri sama dengan di ruas kanan.
Pembahasan Hasil Abstraksi Reflektif Mahasiswa dalam Memecahkan Masalah Langkah                       Level                                                 Karakteristik dan Pemecahan                  Abstraksi                                            Aktivitasnya Masalah                       Reflektif
Memahami                   Interiorisasi                 Mahasiswa dapat membaca dan memahami
Masalah soal yang diberikan dengan merupakan masalah perbandingan
Koordinasi                  Mahasiswa mengkomposisikan masalah yang diberikan yaitu kursi dan lemari
Enkapsulasi                 Mahasiswa menentukan penyelesaian masalah dengan menetapkan perbandingan berbalik nilai
Generalisasi                 Mahasiswa menggunakan variabel x sebagai
waktu yang dicari
Merencanakan             Interiorisasi                Mahasiswa memahami soal yang diberikan Pemecahan dengan menuliskan 20k +24l untuk 5 orang Masalah dan 30k + 36l untuk 10 orang Koordinasi                 Mahasiswa mengkoordinasikan dengan membagi 5 untuk orang sehingga diperoleh masing-masing untuk 1 orang Enkapsulasi                Mahasiswa menetapkan untuk 3 hari dan untuk x hari yang akan dicari Generalisasi               Mahasiswa menuliskan 1 orang 3 hari 1 orang x hari
Menyelesaikan Interiorisasi Mahasiswa mencari waktu yang dicari Masalah dengan menuliskan persamaan ( )        ( )
Koordinasi                  Mahasiswa mengkoordinasikan persamaan menjadi x ( 20k + 24l) =
Enkapsulasi Mahasiswa menetapkan x = sebagai waktu yang dicari Generalisasi Mahasiswa menuliskan waktu yang diperlukan selama 2 hari sebagai hasil akhir Memeriksa Interiorisasi Mahasiswa dapat mengamati kembali waktu Kembali yang dibutuhkan untuk membuat 30 kursi dan 36 lemari oleh 10 tukang adalah 2 Koordinasi Mahasiswa mengorganisir struktur matematika dengan menghubungkan soal dengan perbandingan berbalik nilai
Enkapsulasi              Mahasiswa dapat menetapkan hubungan
nilai x  dengan waktu yang dicari Generalisasi Mahasiswa menggunakan hasil konstruksinya untuk menyusun kesimpulan akhir bahwa waktu yang diperlukan selama 2 hari

## KESİMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  analisa  data  dan  kajian  pustaka,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa level  abstraksi  reflektif  mahasiswa    semester  4  kelas  A  2016/2017  prodi  pendidikan matematika Universitas Islam Malang telah menunjukkan aktivitas-aktivitas pada level-level abstraksi  reflektif  berdasarkan  pendapat  Dubinsky  yang  meliputi  interiorisasi,  koordinasi, enkapsulasi dan generalisasi.

## DAFTAR RUJUKAN
Cifarelli,  V.  V.  1988.    “ The  role  of  abstraction  as  a  learning  process  in  mathematical problem solving” Doctoral dissertation . Purdue University. Indiana. USA Creswell,  J.  W.  2010. Research  Design  (Pendekatan  Kualitatif,  Kuantitatif,  dan Mixed). Yogyakarta. Pustakan Pelajar. Drayfus,  T.,  Hershkowitz,  R.,  &  Schwarz,  B.  (2001).  “The  construction    of  abstrac knowledge  in inter-action”. Cognitive  Science Quarterly, I. 307-368. Ferrari,  P.L.  2003. Abstraction  in  Mathematics .  Philosopical  Transtions  of  the  Royal. Society. London. 358, 1225-1230.
Goodson-Espy,  T.  1998.  “The  roles  of  reification  and  reflective  abstraction  in  the
development of abstract thought:
Transitions from arithmetic to
algebra”. Educational Studies in Mathematics. 36, 219-245.
Goodson-Espy,  T.  2008. Why  Reflective  Abstraction  Remains  Relevans  in  Mathematics Education  Research .  In  Lioyd,  G.M.,  Wilson,  M.,  Wilkins,  J.L.  M.  & Behm,  S.L.  (Eds).  Proceedings  of  the  27 th annual  meeting  of  the  North American  Chapter  of  the  International  Group  for  the  Psychology  of Mathematics Education. Applachian State University. Jirotkova, D, Littler, G.H., Classification Leading to Structure, [on-line]. http//cerme4.crm.es/Papers%20definitius/3/JirotkovaLittler.pdf. Diakses 20 April 2015. Krulik, S. Rudnick, J. & Milou, E. 2003. Teaching Mathematics in Middle School A Practical Guide . Boston Milas,  M.B  &  Haberman,  A.M.1994. Qualitative  Data  Analysis,  Second  Edition ,  London. Sage Publication
Mitchelmore,M.  C.,  White,  P.  2007.  Abstraction  in  Mathematics  Learning. Journal  for Research in Mathematics Education ., Vol. 19, No. 2, 1-9 Moleong,  J  Lexy.2013. Metodologi  Penelitian  Kualitatif  Edisi  Revisi .  PT.  Remaja Rosdakarya Bandung
Ozmantar, M.S., & Monaghan, J. 2007. “A dialectical approach to the formation of mathe-