Vol. 20, No. 1, September 2023, pp. 258- 267 DOI: 10.20956/j.v20i1.27747

## Stability Analysis and Numerical Simulation of the COVID-19 SISiR Model
Analisis Kestabilan Dan Simulasi Numerik Model SISiR COVID-19
Berliani Nasran 1* , Arrival Rince Putri 2* , Budi Rudianto 3*
* Universitas Andalas Email : 1 berlianinasran0@gmail.com, 2 arrival@sci.unand.ac.id, 3 budialbarqy@fmipa.unand.ac.id

## Abstract
This  research  discusses  the  SISiR  model  (Susceptible  Infected  Sick  Recovered)  considering individual  immune  parameters  and  lockdown  parameters.  The  consideration  of  these parameters aims to determine whether immunity and lockdown have an impact on the spread of  COVID-19.  The  model's  stability  is  analyzed  around  the  equilibrium  point  to  understand the  dynamics  of  COVID-19  spread  in  a  population.  Furthermore,  the  parameter  R 0 is determined  to  indicate  whether  COVID-19  disappears  or  remains  in  the  population.  From numerical  simulations  with  spesific  parameter  values,  it  is  concluded  that  COVID-19 continues to  spread in  the population  with an  R 0 = of 4.4486. The addition and reduction of immune and lockdown parameters affect the spread of COVID-19.
Keywords: COVID-19, SISiR Model, Lockdown, Stability Analysis

## Abstrak
Penelitian  ini  membahas  model
( Susceptible  Infected  Sick  Recovered )  dengan mempertimbangkan  parameter  kekebalan  tubuh  dari  individu  dan  parameter lockdown . Pertimbangan  parameter  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  apakah  kekebalan  tubuh  dan lockdown berpengaruh  terhadap  penyebaran  COVID-19.  Model  dianalisis  kestabilannya  di sekitar  titik  ekuilibrium  untuk  mengetahui  dinamika  penyebaran  COVID-19  pada  suatu populasi.  Selanjutnya,  ditentukan  parameter  R 0 yang  mengindikasikan  apakah  COVID-19 menghilang  atau  masih  ada  dalam  populasi.  Dari  simulasi  numerik  dengan  nilai  parameter tertentu,  diperoleh  bahwa  COVID-19  masih  menyebar  dalam  populasi  dengan  nilai
.  Dengan  adanya  penambahan  dan  pengurangan  parameter  kekebalan  tubuh  dan lockdown berpengaruh terhadap penyebaran COVID-19.
Kata kunci: COVID-19, Model SISiR, Lockdown , Analisis Kestabilan.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto

## 1. PENDAHULUAN
Corona  virus  pertama  kali  ditemukan  pada  Desember  2019  di  Wuhan,  Ibukota  Provinsi Hubai  China  yang  pada  akhirnya  menyebar  ke  seluruh  dunia.  Virus  Corona  2  (SARS-CoV-2) yang disingkat menjadi COVID-19 teridentifikasi pada tanggal 7 Januari 2020 [2]. Pada tanggal 13  Maret  2020  WHO  mengumumkan  bahwa  telah  terjadinya  pandemi  COVID-19.  Kasus COVID-19 pertama di luar China terjadi di Thailand pada tanggal 13 Januari 2020. Di Indonesia, kasus COVID-19 pertama kali ditemukan pada tanggal 2 Maret 2020. Jumlah kasus COVID-19 di Indonesia terus  meningkat hingga  31.186  kasus terkonfirmasi  dan  1851  kasus  meninggal  dunia, dengan  kasus  tertinggi  di  Indonesia  terjadi  di  DKI  Jakarta,  pada  posisi  Juni  2020  [6].  Setelah kejadian  tersebut  pemerintah  di  Indonesia  mengeluarkan  banyak  kebijakan  untuk  mencegah penularan  virus  tersebut,  seperti  menghimbau  masyarakat  untuk  menjaga  jarak,  selalu  mencuci tangan  dan  menggunakan  masker  jika  keluar  rumah. Lockdown adalah  salah  satu  kebijakan pemerintah  untuk  mengurangi  penyebaran  virus  tersebut.  Kebijakan  ini  melarang  masyarakat untuk melakukan kegiatan diluar rumah yang mengumpulkan banyak orang.
Penyebaran penyakit atau virus dapat dimodelkan secara matematika yang biasa dikenal sebagai  model  epidemi.  Model  epidemi  yang  pertama  dikenal  sebagai  model ( Susceptible Infected Removed ), dikembangkan oleh W. O. Kermack dan A. G McKendrik [5]. Model tersebut adalah model dinamis yang mengklasifikasikan individu kedalam tiga sub populasi, sub populasi yang  rentan  terkena  penyakit  ( susceptible ),  sub  populasi  yang  terinfeksi  ( infected )  dan  sub populasi  yang  telah  sembuh  dari  penyakit  ( recovered ).  Berikut  adalah  model  dasar  dari penyebaran penyakit, yaitu model SIR.
(1.1) dengan nilai awal dan , dan nilai , dimana adalah tingkat penyebaran penyakit dan adalah tingkat kesembuhan. Salah satu modifikasi model yaitu model ( Susceptible Infected Sick Removed ). Model
memuat kompertemen (Sick) , mewakili populasi yang menunjukkan gejala. Pada COVID-19  kompertemen adalah  populasi  yang  telah  terinfeksi  dan  memiliki  gejala  virus tersebut. Mekanisme penyebaran penyakit berkaitan dengan jumlah kontak fisik antara kelompok terinfeksi dengan kelompok rentan, maka penting untuk memperhatikan kelompok individu tanpa gejala atau tidak dilaporkan. Selain itu, pengaruh kekebalan tubuh yang didapat diantara individu juga  perlu  diperhatikan,  jika  kekebalan  bersifat  permanen,  maka  pola  penyebaran  bergantung pada  waktu,  sebaliknya  jika  kekebalan  bersifat  sementara  penting  untuk  memahami  interval waktu setelah individu menjadi rentan lagi.
Banyak  penelitian  yang  membahas  mengenai  penyebaran  COVID-19,  yaitu  tentang dinamika penyebaran penyakit tersebut dalam populasi [8,9,10,11]. Selanjutnya, pada penelitian [7], dibahas tentang penyebaran virus Corona dengan model ( Susceptible Infected Hospital Removed ),  dimana  adanya  kompertemen ( hospital )  yang  merupakan  sub  populasi  individu yang terinfeksi dan masuk rumah sakit. Dan pada penelitian [7] juga membandingkan penyebaran penyakit dengan adanya aktifitas PSBB (Pembatasan Sosial Berskala Besar) dengan new normal . Dalam  [2]  dibahas  mengenai  penyebaran  virus  dengan  model (Susceptible  Infected Removed  Sick) ,  dimana  terdapat  kompertemen ( sick )  yang  merupakan  sub  populasi  individu yang  terinfeksi  virus  dan  memiliki  gejala  terinfeksi.  Pada  penelitian  [7]  individu  yang  sembuh tidak bisa menjadi rentan terkena virus, sedangkan pada penelitian [2] individu yang sembuh bisa menjadi rentan terkena virus kembali.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto
Dalam  penelitian  ini  dibahas  model
yang  merujuk  pada  penelitian  [2].  Model yang  dibahas  dalam  [2]  adalah  model  dengan  mempertimbangkan  adanya lockdown . Sementara,  model yang  dianalis  pada  penelitian  ini  adalah  model  dengan  tidak  adanya lockdown . Tujuan  dari  penelitian  yaitu  menjelaskan  kembali  model dan  menentukan  titik kestabilan  dari  model  tersebut.  Bilangan  reproduksi  dasar (Basic  Reproduction  Number) dilambangkan dengan yang berfungsi untuk melihat tingkatan penyebaran suatu penyakit. Secara  epidemiologi menyatakan  jumlah  kasus  sekunder  yang  akan  dihasilkan  oleh suatu individu terinfeksi dalam suatu populasi yang hanya terdiri dari individu rentan. disebut juga  sebagai  parameter  untuk  menentukan  batas antara  kepunahan  dan  penyebaran  suatu  wabah penyakit [1]. Berdasarkan [4] hubungan dengan kestabilan titik ekuilibrium yaitu:
1. Jika maka titik ekuilibrium bebas penyakit adalah stabil asimtotik, sebaliknya titik ekuilibrium endemik tidak stabil. Artinya bahwa penyakit hilang dari populasi.
2. Jika maka titik ekuilibrium endemik adalah stabil asimtotik, sebaliknya titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil. Artinya penyakit masih tetap berada dalam populasi.
The  next  generation  matrix merupakan  salah  satu  metode  yang  dapat  menentukan  nilai dari ,  metode  ini  hanya  melibatkan  sub  populasi  yang  terinfeksi.  Langkah-langkah  dalam menentukan nilai , yaitu [3]:
1. Didefinisikan merupakan  komponen  pembentuk  matriks  A  yang menyatakan  tingkat  kemunculan  penyebar  baru  dari  penyakit  pada  kelas  ke- , dan t  idak  boleh  negatif.  Selanjutnya,  didefinisikan merupakan komponen pembentuk matriks  yang menyatakan transfer keluar atau masuk pada  kelas ,
. bernilai  positif  untuk  transfer  keluar  dan  negatif  untuk masuk.
2. Bentuk matriks jacobian dan berukuran dengan menurunkan dan secara parsial terhadap dengan
yang menunjukkan jumlah individu pada kelas infeksi.  Selanjutnya  substitusi  titik  ekuilibrium  bebas  penyait ke  matriks    A  dan  B, sehigga matriks
[ ]          [ ]
3. Didefinisikan the next generation matrix sebagai
4. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dari dengan adalah nilai eigen maksimum dari matriks yang didefinisikan sebagai {| |  | |      | |}

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 2.1 Model
Model  SISiR  merupakan  salah  satu  modifikasi  model  SIR  dengan  adanya  penambahan kompertemen  Si,  yang  mewakili  jumlah  individu  terinfeksi  yang  memiliki  gejala  sakit  akibat virus. Diagram dari kompertemen model dapat dilihat pada Gambar 2.1.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto
Gambar 2.1 Diagram kompertemen
Berdasarkan Gambar 2.1.1 dapat diperoleh sistem persamaan diferensial yaitu :
(2.1) Parameter , ,
, , , , dan secara berturut-turut yaitu laju kelahiran alami, laju sub populasi  rentan  menjadi  terinfeksi,  laju  efek  dari lockdown ,  laju  sub  populasi  infeksi  menjadi sembuh, laju sub populasi infeksi menjadi sakit yang memiliki gejala penyakit, laju sub populasi sakit menjadi sembuh, laju sub populasi sembuh menjadi rentan kembali dimana parameter ini mengindikasikan  kekebalan  individu  dalam  populasi,  laju  kematian  akibat  COVID-19,  laju kematian  alami,  konstanta  tersebut  bernilai  positif.  Total  populasi  adalah .
Jika Persamaan (2.1) dijumlahkan diperoleh
dimana total populasi tidak konstan.
Terdapat  dua  macam  titik  ekuilibrium  pada  epidemiologi  yaitu  titik  ekuilibrium  bebas penyakit dimana populasi memiliki kondisi jumlah individu terinfeksi adalah nol ( ) dan titik ekuilibrium endemik dimana jumlah individu terinfeksi tidak sama dengan nol ( ). Analisis kestabilan  model  yang  dibahas  berikut  ini  adalah  analisis  model  (2.1)  dengan  mengasumsikan

## 2.2 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  merupakan  suatu  keadaan  dimana  tidak  terjadi penyebaran  penyakit  atau  virus  dalam  suatu  populasi.  Akibatnya  sub  populasi  yang  terinfeksi
.  Apabila
maka  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit    yang  dinotasikan  dengan dapat ditulis menjadi
, yaitu (2.2)
Kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit ( ), ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobian

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto
[ ] Nilai  eigen  matriks  Jacobian dapat  diperoleh  dengan  menyelesaikan  persamaan karakteristik det . Nilai eigen dari matriks Jacobian yaitu , Dapat  diketahui  bahwa  nilai  eigen , dan .  Dari  hasil  ini  dapat  disimpulkan  bahwa  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit stabil asimtotik jika , yaitu

## 2.3 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik
Titik ekuilibrium endemik merupakan keadaan dimana terjadi infeksi penyakit atau virus di suatu wilayah sehingga
.  Titik ekuilibrium endemik sistem Persamaan (2.1) dapat ditulis sebagai , dimana (2.3) dengan . Matriks Jacobian di titik ekuilibrium endemik yaitu:
[
] dimana , Nilai eigen matriks Jacobian ( ) dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det . Nilai eigen dari matrik Jacobian ( ) yaitu (2.4) dimana
Nilai eigen dari Persamaan (2.4) akan sulit di hitung dengan tepat, karena koefisien dari persamaan  tersebut  kompleks.  Namun  alternatif  lain  untuk  menentukan  solusi  dari  model  yaitu dengan  menganalisis  nilai  parameter dan .  Nilai artinya  bahwa  kekebalan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto
tubuh  setiap  individu  terhadap  penyakit  atau  virus  kuat  sehingga  individu  tidak  terinfeksi kembali,  dan  untuk  nilai artinya  kekebalan  tubuh  terhadap  penyakit  atau  virus  lemah sehingga individu menjadi rentan terinfeksi kembali.
a) Nilai eigen untuk
Nilai eigen dari matriks untuk untuk
dapat diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan karakterstik det
, nilai eigen yaitu :
, [      √ ] , √
dimana
.  Terlihat  bahwa  nilai dan adalah  riil dan negatif yang  menunjukkan stabil asimtotik. Analisis lebih lanjut untuk nilai dan akan stabil asimtotik jika bilangan riil bernilai negatif.
b) Nilai eigen untuk Nilai  eigen  untuk diaproksimasi  dari  nilai  titik  ekuilibrium  endemik , melalui  Persamaan  (2.3.1)  dapat  diperoleh  aproksimasinya  dengan  menggunakan  aturan
L’Hopital, sehingga diperoleh diperoleh titik ekuilibrium endemik yang baru yaitu :
(2.5) dimana . Analisis  kestabilan  untuk dicari  dengan  aproksimasi  pada  Persamaan  (2.5),
sehingga diperoleh bentuk persamaan polinom berderajat empat yaitu :
(2.6)
dimana
Persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi (2.7) Asumsikan nilai , sehingga akan diperoleh (2.8) maka  diperoleh  nilai dengan .  Akar-akar  lainya  dari  Persamaan  (2.8)  dapat
diaproksimasi menjadi :
Selanjutnya bilangan reproduksi dasar dari model diperoleh dengan menggunakan metode the next generations matrix, yaitu

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto

## 2.4 Simulasi Numerik
Nilai  parameter  yang  digunakan  pada  Sistem  (2.1)  merujuk  pada  penelitian  [2].
Diasumsikan  nilai  awal  dari  setiap  sub  populasi  yaitu , , dan . Berikut nilai parameter dari Persamaan (2.1). Tabel 2.1 Nilai Parameter Model Parameter Deskipsi Nilai Sumber Laju kelahiran alami Asumsi Laju kematian alami Asumsi Laju kematian pada sub populasi sakit Asumsi Laju sub populasi terinfeksi menjadi sembuh [2] Laju sub populasi terinfeksi menjadi sakit [2] Laju sub populasi sakit menjadi sembuh [2] Laju sub populasi rentan menjadi terinfeksi [2] Laju sub populasi sembuh menjadi rentan Asumsi Nilai  dari  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  yaitu . Selanjutnya  kestabilan  Sistem  (2.1)  bebas  penyakit  bergantung  pada  nilai-nilai  eigen  berikut: , , , .  Karena  nilai ,  maka  titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil. Titik ekuilibrium endemik terbagi menjadi tiga, yaitu: untuk nilai diperoleh , untuk nilai diperoleh , untuk nilai diperoleh . Kestabilan  titik  ekuilibrium  endemik  bergantung  pada  nilai-nilai  eigen  berikut: , , √ ,  daan
√ Karena dan merupakan  bilangan  kompleks  dengan  bagian  riilnya bernilai negatif, maka dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik.
Ada  dua  simulasi  yang  dilakukan  pada  model
,  yang  pertama  dilakukan  simulasi model dengan adanya parameter lockdown , dan yang kedua dengan menghilangkan parameter lockdown .  Pengaruh  parameter berada  pada  saat  jumlah  individu  rentan  menjadi  infeksi, dimana  nilai  parameter adalah Pada  simulasi  ini  nilai  parameter
[3].
Simulasi yang dilakukan menggunakan aplikasi MATLAB dapat dilihat pada gambar berikut ini.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto
Gambar  2.2 Grafik sub populasi infeksi, , (a) , (b) Gambar  2.3 Grafik sub populasi infeksi, , (a) , (b) dengan Gambar  2.4 Grafik sub populasi infeksi, , (a) , (b) Gambar  2.5 Grafik sub populasi sakit, , (a) , (b)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto
Gambar  2.6 Grafik sub populasi sakit, , (a) , (b)
Gambar  2.7 Grafik sub populasi sakit, , (a) , (b)
Berdasarkan  Gambar  diatas  diketahui  bahwa  dengan  adanya  daya  tahan  tubuh  setiap  individu berpengaruh  terhadap  penyebaran  untuk  sub  populasi  infeksi  dan  sub  populasi  sakit,  dimana semakin besar nilai maka semakin meningkat jumlah sub populasi dari infeksi dan sakit. Dari gambar  tersebut  dengan  adanya  kebijakan  ( lockdown )  akan  menghambat  peningkatan  dari penyebaran  virus tersebut, sehingga  kebijakan tersebut  bisa  dikatakan  efektif  untuk  mengurangi penyebaran  virus.  Selanjutnya,  ditentukan  nilai dari nilai  parameter  yang  diasumsikan,  yaitu
,  dimana  nilai  dari
,  sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  virus  COVID-19 masih menyebar atau tetap berada dalam populasi.

## 3.  KESIMPULAN
Analisis  model  matematika  SISiR  pada  penyebaran  COVID-19  menghasilkan  dua  titik ekuilibrium,  yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit,
,  dan  titik ekuilibrium  endemik,
.  Selanjutnya  diperoleh  nilai yang menyatakan bahwa COVID-19 masih ada di dalam populasi. Populasi infeksi dan populasi sakit pada penyebaran COVID-19 akan meningkat dan menuju ke titik ekuilibrium endemik.  Penambahan  parameter  kekebalan  tubuh  setiap  individu  dan  pengurangan  parameter lockdown akan berpengaruh terhadap penyebaran COVID-19.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Berliani Nasran, Arrival Rince Putri, Budi Rudianto

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Anna,  A.S.,  2020.  Penentuan  Rumus  Bilangan  Reproduksi  Dasar  pada  Model  Matematika COVID-19 dari Model SIR yang Dimodifikasi. EduMatSain , Vol. 5, No. 2, 203-210.
[2]  Bastistela,  C.M.,  Correa,  D.P.F.,  Bueno,  A.M.  &  Piqueira,  J.R.C.,    2021.  SIRSi Compartmental Model for COVID-19 Pandemic with Immunity Loss. Chose, Solitons and Fractals Journal , Vol. 142, No. 110388, 1-12.
[3]  Brauer,  F.  &  Carloz-Chavez,  C.,  2010.  Mathematical  Models  in  Population  Biology  and Epidemiologi Second Edition, New York : Spinger Vancouver B. C.
[4]  Driessche,  P.,  Van  D.  &  Watmough,  J.,  2002.  Reproduction  Numbers  and  Sub-threshold Endemic  Equilibria  for  Compartmental  Models  of  Diasease  Transmission. Mathematical Biosciences , Vol. 180, No. 1-2, 29-48.
[5]  Giordano, F.R., Fox, W.P. & Horton, S.B., 2013. A First Course in Mathematical Modeling Fifth Edition . Cengage Learning, Boston.
[6]  Putri,  R.N.,  2020.  Indonesia  Dalam  Menghadapi  Pendemi  COVID-19. Jurnal  Ilmiah Universitas Batanghari Jambi , Vol. 20, No. 2, 705-709.
[7]  Rifanti,  U.M.,  Dewi,  A.R.,  Nurlaili  &  Hapsari,  S.T.,  2021.  COVID-19  Mathematical Epidemic Model for Impacy Analysis of Large Scale Social Restriction: The Case Study of Indonesia. IOP Conf. Series Materials Science and Engineering , Vol. 1115.
[8]  Mishra, B.K., Keshri, A.K, Rao, Y.S., Mahato, B. & Ayesha S., 2020. COVID-19 Created Chaos  Across  the  Globe:  Three  Novel  Quarantine  Epidemic  Models. Chaos  Solitons Fractals , Vol. 138.
[9]   Li,  R.,  Pei,  S.,  Chen,  B.,  Song,  Y.,  Zhang,  T.,  Yang,  W.  &  Shaman  J.,  2020.  Substantial Undocumented Infection Facilitates the Rapid Dissemination of Novel Coronavirus (SARS- CoV2), Science, Vol. 368, No. 6490, 489–93.
[10] Jajarmi, A., Yusuf, A.,  Baleanu, D. & Inc, M.A., 2020. New Fractional HRSV Model and ts Optimal Control: a Non-Singular Operator Approach. Physica A , Vol. 547.
[11] Godio, A., Pace, F. & Vergnano, A., 2020. SEIR Modeling of the Italian Epidemic of SARS- CoV-2 Using Computational Swarm Intelligence. Int Environ Res Public Health , Vol. 17.