doi: 10.350587/Matrik v23i1.4411
65
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia

## INFO ARTIKEL
doi: 10.350587/Matrik v23i1.4411

## Jejak Artikel :
Upload artikel 17 Agustus 2022 Revisi 29 Agustus 2022 Publish 27 September 2022
Kata Kunci : Persediaan, Integrasi, Pemasok;
Pembeli EPQ

## ABSTRAK
Keunggulan  kompetitif  sebuah  bisnis  banyak  menjadi  bahasan  di  industri dan  akademis.  Salah  satunya  kemampuan  memenuhi  permintaan  dengan jumlah yang tepat, waktu yang tepat dan lokasi yang tepat. Persediaan hadir dalam  peningkatan  keunggulan  kompetitif  tersebut  menjadi  bagian  yang terpenting dalam peningkatan kemampuan pemenuhan permintaan produk. Model perencanaan dan pengendalian persediaan klasik seperti EOQ/ EPQ, telah banyak memberikan kontribusi dalam pemenuhan permintaan. Dengan asumsi-asumsi  yang  membatasi  model-model  klasik  banyak  dikembangkan untuk menyesuaikan dengan kondisi dan lingkungan industri. Salah satunya adalah  model  integrasi  antara  pemasok  dan  pembeli  yang  menghasilkan ukuran lot yang meminimalkan biaya total persediaan. Serta mengarahkan sistem produksi menjadi lebih efisien dengan penerapan konsep-konsep JIT dan  rantai  pasok.    Model  integrasi  single  vendor-single  buyer  dengan alternatif model persediaan pemasok yang berbeda dibahas pada penelitian ini dengan menyajikan model persediaan pemasok pertama dan kedua. Dari hasil contoh numerik dapat dikatakan biaya persediaan pada model pertama lebih kecil dibandingkan model kedua. Persediaan rata-rata pemasok pada model  kedua  lebih  besar  menjadikan  salah  satu penyebab selain  frekuensi pengiriman yang lebih banyak pada model kedua.

## MATRIK

## Jurnal Manajemen dan Teknik Industri-Produksi
Journal homepage: http://www.journal.umg.ac.id/index.php/matriks
Ukuran  Lot  yang  Ekonomis  pada  Model  Persediaan  Integrasi Single vendor dan Single buyer
Said Salim Dahda 1* , Deny Andesta 2
Prodi Teknik Industri, Fakultas Teknik, Universitas Muhammadiyah Gresik Jl. Sumatera No.101, Randuagung, Kec. Kebomas, Kabupaten Gresik, Jawa Timur, Indonesia said_salim@umg.ac.id
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia
1. Pendahuluan
Saat ini banyak industri berusaha meningkatkan  keunggulan  kompetitif  dengan menekan biaya, meningkatkan kualitas produk, pelayanan serta kemampuan pemenuhan permintaan. Kemampuan pemenuhan permintaan  ( service  level )  telah  banyak  dikaji dengan  mengaitkan  penambahan  persediaan, tingkat persediaan. Efisiensi manajemen persediaan  dapat  memberikan  pengaruh  yang signifikan terhadap reduksi biaya dan peningkatan  keunggulan  kompetitif  ekonomis [1]. Industri juga harus mengarahkan perhatiaannya pada kemunculan biaya persediaan seiring dengan timbulnya persediaan.  Sehingga  perlu  dilakukan  model tata  Kelola  yang  baik  dalam  menyelaraskan jumlah produksi, jumlah produk yang tersimpan dan biaya-biaya yang akan tejadi dari produksi dan produk yang tersimpan tersebut. Sejak awal dipublikasikan oleh 1913 oleh FW. Harris [2], Economic  Order  Quantity (EOQ)  menjadi model  penentuan  ukuran  pemesanan  pertama, yang berusaha menyelaraskan jumlah persediaan, kemampuan memenuhi permintaan dengan  biaya  yang  minimal.  Perkembangan lanjutan dilakukan oleh Taft (1918)  [3] dengan menjadikan  tingkat  pemenuhan  persediaan menjadi  terbatas,  yang  disebut  sebagai  tingkat produksi  yang  terbatas.  Dan  model  tersebut dikenal dengan Economic Production Quantity.
Meskipun  banyak  pendapat  negatif  dalam penerapannya  EOQ/EPQ  [4]  penggunaan model  persediaan  dengan  dasar  EOQ/EPQ semakin  banyak  menjadi  perhatian  dan dikembangkan  dengan  banyak  model  yang disesuaikan  dengan  situasi  industri  yang menerapkan  model-model  tersebut.    Dan sampai  saat  ini,  model  tersebut  telah  banyak berkembang diantaranya dengan mengembangkan model-model terintegrasi vendor dan buyer .  Bentuk  rangkaian  sistem vendor dan buyer akan menjadi perhatiaan pada model  terintegrasi  tersebut  selain  kondisi- kondisi lain yang disyaratkan dalam asumsinya. Bentuk  model  yang  banyak  dikembangkan adalah  model  dari  sistem single  vendor-single buyer . Vendor digambarkan sebagai produsen yang memproduksi produk tunggal dan dengan
single  buyer sebagai  pelanggan  atau  produsen tahap lanjutan dalam sistem tersebut.
Kunci rantai pasok yang menguntungkan adalah hubungan vendor dan buyer ,  atau  yang  lebih sering  disebut  hubungan  vertikal  [5].  Ini menunjukkan untuk memaksimalkan keuntungan vendor dan buyer secara bersama- sama,    mereka  harus  bekerja  sama  secara kooperatif [6]. Tujuan model dalam kategori ini adalah untuk menyeimbangkan biaya penyimpanan dan pengaturan  persediaan dengan  menentukan  ukuran  lot  yang  optimal [1]. Muara penentuan ukuran lot produksi atau pengiriman  bersama  yang  ditujukan  untuk meminimalkan  biaya  persediaan  untuk vendor dan buyer secara bersamaan.
Pada  sebagian  besar  model-model  tersebut menjadikan  posisi vendor sebagai  produsen yang  menganut  bentuk  terkait  dengan  EPQ. Diprakarsai  oleh  Goyal  (1977)  [7],  yang merumuskan  pendekatan  dalam  menghadapi permasalahan  persediaan  yang  dihadapi single vendor-single  buyer dengan  bantuan  model terintegrasi dengan mengabaikan tingkat produksi vendor . Dengan  Banerjee (1986) [8] mengemukakan  model joint  economic  lot  size dimana vendor memproduksi lalu mengirimkan pesanan pada waktu yang sama dengan adanya sejumlah lot pesanan dari buyer . Goyal (1988)
[9]  melonggarkan  asumsi  frekuensi  produksi sesuai frekuensi pesanan pada model Banerjee 1986  menjadi ukuran produksi tertentu dengan sejumlah  frekuensi  pengiriman.    Model  yang berbeda  yang  dikembangkan  oleh  Lu  (1995) [10]  dengan  mengirimkan  hasil  produksi  ke buyer bertahap  dengan  frekuensi  tetap  setiap siklus  produksi.  Model  ini  menjadi  dasar pengembangan EPQ dengan pengiriman secara diskrit dalam sistem single vendor-single buyer .
Pada beberapa publikasi terdapat model EPQ yang telah mengadaptasikan dengan bentuk lot produksi dan pengiriman, yang digunakan pada rantai  pasok  antara buyer dan vendor seperti pada  [11][12]  [13].  Dalam  perkembangannya beberapa penelitian yang menggunakan sistem single vendor-single buyer yang menggunakan banyak  pelonggaran  asumsi-asumsi  yang digunakan. Pada Widyadana & Wee (2009) [14] sistem single  vendor-single  buyer dengan
doi: 10.350587/Matrik v23i1.4411
67
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia
pengiriman vendor secara  diskrit  dengan banyak  produk.  Beberapa  penelitian  juga menggunakan asumsi ketidak sempurnaan hasil proses  produksi    menjadikan  model  yang dikembangkan memperhatikan ketidak- sempurnaan hasil produksi [15]–[17].
Jika  diamati  lebih  lanjut  terdapat  dua  model EPQ yang berbeda, dipakai dalam menggambarkan  situasi vendor dalam  sistem persediaan single vendor-single buyer . Perbedaan  yang  terjadi  pada  saat  kapan pengiriman produk pertama kali ke pihak buyer . Model persediaan vendor pertama, pengiriman segera  dilakukan  pada  saat  ukuran  pengiriman tersebut  dapat dipenuhi  oleh  produksi.    Model persediaan vendor kedua,  pengiriman  pertama kali  sesuai  dengan  waktu  siklus  pengiriman. Yang artinya menunggu sampai hasil produksi pada  tingkat  tertentu  untuk  mengirimkan produk  tersebut.  Pada  bentuk  sistem  produksi single  vendor-single  buyer dengan  model vendor seperti diatas banyak dinyatakan sebagai bentuk  sistem  produksi  yang  menganut  JIT [18],  [19].  Dengan  ciri  kuantitas  pembelian jumlah  kecil  ( small  lots )  dengan  frekuensi pembelian  yang  lebih  sering  dan  hubungan jangka  panjang  antara vendor dan buyer sehingga meminimalkan biaya persediaan, yang merupakan ciri utama penerapan JIT[20].  Pada penelitian  ini  akan  dibahas  model  sistem persediaan single  vendor-single  buyer dengan dua  bentuk  model  persediaan vendor tersebut dengan tujuan meminimalkan biaya persediaan total  dan  menentukan  ukuran  produksi  yang optimal  serta  frekuensi  pengiriman  yang optimal.

## 2. Pengembangan Model
Studi pada penelitian ini terkait dengan sistem produksi  dengan  sebuah  mesin  tunggal  yang hasil  produksinya  dikirimkan  ke single  buyer dalam  jumlah  tertentu  dengan  beberapa  kali frekuensi pengiriman. Dengan mengasumsikan pengiriman  tidak  kontinyu,  atau  dilakukan pengiriman  per  lot  dengan  jumlah  yang  tetap tiap  pengiriman.  Pada  penelitian  ini  akan digunakan dua model persediaan vendor dengan bentuk  EPQ  yang  telah  disesuaikan  dengan pengiriman  terbagi  beberapa  lot  dan buyer
digunakan model
EOQ. Dengan
memperhatikan  komponen  biaya  persediaan yang  terkait  dengan  pengembangan  model untuk  dijadikan  parameter  dalam  penentuan variabel  keputusan.    Biaya  yang  timbul  untuk buyer adalah  biaya  simpan  dan  biaya  pesan. Sedangkan  untuk vendor ,  selain  biaya  simpan dan  biaya set-up juga  dibebankan  biaya pengiriman  setiap  lot  hasil  produksi  ke buyer . Tujuan pengembangan model gabungan vendor dan buyer untuk  mendapatkan  total  biaya persediaan yang minimal setiap siklus model
Notasi 𝐷 =  Tingkat Permintaan (unit/ satuan waktu) 𝑃 =  Tingkat Produksi (Unit /satuan waktu) 𝐶ℎ 𝑏 =  Biaya  simpan buyer ($/unit/satuan waktu)
𝐶𝑟 𝑏 =  Biaya Pesan buyer ($/pesan) 𝐶ℎ 𝑣 =  Biaya  simpan vendor ($/unit/satuan waktu)
𝐶𝑟 𝑣 =  Biaya Pesan vendor ($/pesan) 𝐶𝑑 𝑣 =  Biaya Pengiriman ($/pengiriman) 𝑛 =    Frekuensi  pengiriman  ke buyer dalam satu siklus produksi vendor 𝑞 =  Kuantitas setiap pengiriman (unit)
𝑇 1 =  Waktu produksi (satuan waktu) 𝑇 =   Waktu  siklus  (satuan  waktu)  dimana 𝑇 = 𝑇 1 + 𝑇 2 𝑄 =  Kuantitas produksi (unit), dimana 𝑄 = 𝑞. 𝑛
Asumsi
1. Permintaan  produk  diketahui,  konstan  dan kontinyu.
2. Terdapat  hanya  satu buyer dan  dan  satu vendor .
3. Tingkat  produksi  diketahui,  konstan  dan terbatas.
4. Biaya  pesan,  biaya  simpan  dan  biaya pengiriman  untuk vendor dan buyer diketahui dan deterministik
5. Tidak  diperkenankan  terjadi  kekurangan persedian pada vendor dan buyer .
6. Pengiriman dijadwalkan masuk ke persediaan buyer jika  tepat  setalah persediaan  dari  pengiriman  sebelumnya habis.
7. Waktu  pengiriman  tidak  signifikan  dan diabaikan.
8. Hasil produksi vendor tidak terdapat cacat.
9. Horizon waktu tidak terbatas.
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia

## 3. Hasil dan Pembahasan
Penggambaran  sistem  persediaan single vendor-single  buyer pertama  adalah  seperti model  persediaan buyer digambarkan  pada gambar  1,  dan  model  persediaan vendor digambarkan seperti pada gambar 2. Pada awal siklus, vendor akan mengirimkan produk yang telah  selesai  diproduksi  sebanyak  kebutuhan satu  siklus buyer ( 𝑞 ).  Waktu  pengiriman tersebut  tepat  setelah  jumlah  kebutuhan buyer terpenuhi ( 𝑞/𝑃 ). Pada tahap berikutnya vendor akan  mengirimkan  produk  sejumlah  q  sesuai siklus  pemakain buyer atau  tepat  pada  waktu persediaan pada buyer habis ( 𝑞/𝐷 ). Pada model pertama  mempunyai  kelebihan buyer dapat segera  menerima  pesanannya  tanpa  adanya waktu tunggu vendor mencapai jumlah tertentu.
Dengan
Biaya Persediaan pada satu vendor dan satu buyer dengan  model  persediaan buyer seperti gambar  1  dan  model persediaan vendor sesuai dengan gambar 2.  Pada buyer , biaya persediaan dihitung dengan biaya simpan dan biaya pesan. Persamaan biaya pada model EOQ berlaku pada perhitungan ini. Dengan menggunakan  konsep JIT,  dimana buyer dan vendor telah  terjadi hubungan kerja sama jangka panjang sehingga biaya  pesan buyer hanya  dilakukan  satu  kali setiap siklus produksi vendor
𝑇𝐶 𝑏 =   𝐶ℎ 𝑏 . 𝑞 2 + 𝐶𝑟 𝑏 . 𝐷 𝑄
𝑇𝐶 𝑏 (𝑄, 𝑛) =   𝐶ℎ 𝑏 . 𝑄 2. 𝑛 + 𝐶𝑟 𝑏 . 𝐷 𝑄 … … . . (1) q q/D D Gambar  1 Model Persediaan Buyer
Pada Vendor ,  biaya  persediaan  yang  akan diperhitungkan adalah biaya simpan dan biaya set-up. Selain kedua biaya tersebut vendor juga menanggung biaya pengiriman biaya pengiriman.  Penentuan  biaya  simpan  sangat ditentukan oleh persediaan rata-rata, didapatkan dari hasil bagi time-weighted inventory dengan waktu per siklus.  Berdasarkan pola persediaan
pada  gambar  3,  persediaan  rata-rata  pada vendor didapatkan dari
𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑑𝑖𝑎𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 ( 𝐼̅ 𝑣 ) = [𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑡𝑒𝑏𝑎𝑙 − 𝐴𝑟𝑒𝑎  𝑡𝑒𝑟𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟] 𝑇 … (2)
𝐼̅ 𝑣 = { [ 𝑄 2 𝑛. 𝑃 + 𝑄 2 𝑛. 𝐷 (𝑛 − 1) − 𝑄 2 2. 𝑃 ] − [ 𝑄 𝑛. 𝐷 (𝑞 + 2𝑞 + ⋯ (𝑛 − 1)𝑞] } 𝑄 𝐷 ⁄ 𝐼̅ 𝑣 =   { 𝑄 2 𝑛. 𝑃 + 𝑄 2 𝑛. 𝐷 (𝑛 − 1) − 𝑄 2 2. 𝑃 − 𝑄 2 2. 𝑛. 𝐷 (𝑛 − 1)} 𝑄 𝐷 ⁄ 𝐼̅ 𝑣 = 𝑄 2. 𝑛 [(𝑛 − 1) + (2 − 𝑛) ( 𝐷 𝑃 )] … (3)
Adapun biaya persediaan 𝑇𝐶 𝑣 (𝑄, 𝑛) dengan model  persediaan  vendor  pertama  terdiri  dari tiga  komponen  biaya,  biaya  pesan,  biaya pengiriman  dan  biaya  simpan  menggunakan persamaan persediaan rata-rata (3)
𝑇𝐶 𝑣 (𝑄, 𝑛) = 𝐶𝑟 𝑣 . 𝐷 𝑄
+ 𝐶ℎ 𝑣 . 𝑄 2. 𝑛 [(𝑛 − 1) + (2 − 𝑛) ( 𝐷 𝑃 )] + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛. 𝐷 𝑄 … (4)
Total  biaya  gabungan vendor dan buyer dengan  model  persediaan vendor pertama merupakan penjumlahan dari persamaan (1) dan (4)
𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) =   𝑇𝐶 𝑏 (𝑄, 𝑛) + 𝑇𝐶 𝑣 (𝑄, 𝑛)
𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) = (𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛). 𝐷 𝑄 + 𝑄 2. 𝑛 (𝐶ℎ 𝑏 + 𝐶ℎ 𝑣 [ 2. 𝐷 𝑃 − 1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃 )]) … (5)
Nilai  variabel  keputusan  dapat  ditentukan dengan  menggunakan  teknik  optimasi  klasik yang  memberikan  nilai  optimal  global  pada fungsi  tujuan  [16].  Kuantitas  produksi  (Q)
doi: 10.350587/Matrik v23i1.4411
69
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia
adalah  varibel  kontinu  sedangkan  variabel keputusan  n  adalah  variable  diskrit.  Dengan 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) sebagai fungsi persamaan konveks  dan  dengan  menentukan  nilai  n tertentu  nilai  kuantitas  produksi  yang  yang dapat  meminimal  total  biaya 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) , didapat  dari  turunan  pertama 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) terhadap 𝑄 yang  memenuhi 𝜕𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜕𝑄 = 0 .
Dimana,
𝜕𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜕𝑄 = −(𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛). 𝐷 𝑄 2 + (𝐶ℎ 𝑏 + 𝐶ℎ 𝑣 [(𝑛 − 1) + (2 − 𝑛) ( 𝐷 𝑃 )]) 2. 𝑛 ⁄
Nilai 𝑄 ∗ (𝑛) sebagai  nilai  variable  keputusan kuantitas  produksi  pada  nilai  n  tertentu  yang meminimalkan nilai 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) adalah
𝑄 ∗ (𝑛) = √ 2. 𝑛. 𝐷 (𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝑛. 𝐶𝑑 𝑣 ) 𝐶ℎ 𝑏 + 𝐶ℎ 𝑣 [ 2. 𝐷 𝑃 − 1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃)] … (6)
Untuk pengujian konveksitas dilakukan dengan menggunakan  turunan  ke  2  pada  persamaan 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) ,  kondisi  koveks  tercapai  jika 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 > 0 ⁄ dan didapatkan
𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜕𝑄 2 = (𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛). 𝐷 𝑄 3 > 0
Terlihat nilai 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝜕𝑄 2
positif,
𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) mempunyai  nilai  minimal  pada nilai 𝑄 ∗ (𝑛)
q/D q q q q q q q P q/p Gambar  2 Model Persediaan Vendor (Model
Pertama)
Penggambaran sistem persediaan single vendor-single buyer kedua Secara umum model persediaan  vendor  dan buyer yang  kedua hampir sama dengan model persediaan  vendor dan buyer pertama.  Model  persediaan buyer tetap  mengikuti  model  seperti  pada  gambar  1 dengan  persamaan  total  biaya buyer sama dengan  rumusan  (1).  Perbedaan  terdapat  pada model persediaan vendor dan hanya terjadi pada waktu  pengiriman  pertama  (gambar  4).  Pada model  persediaan vendor kedua,  pengiriman awal  dijadwalkan  mengikuti  siklus  pengadaan buyer sehingga  tidak  terjadi  perbedaan  antara waktu  pengiriman  awal  dengan  selanjutnya. Pada  model  persediaan vendor kedua  dapat digunakan  jika  waktu  pengiriman  telah ditetapkan  oleh buyer atau  pemakaian  produk yang terdapat pada kontainer Kanban.
q q/D q/D q/p Gambar  3 Pola Persediaan Vendor (Model Pertama)
q/D T 1 = Q/P T = q.n/D = Q/D q q q q q q q T 2
Gambar  4 Model Persediaan Vendor (Model Kedua)
Q q q/D q/D q Gambar  5 Pola Persediaan Vendor (Model Kedua )
Pada  model  kedua  ini,  biaya  Persediaan pada satu vendor dan satu buyer dengan model persediaan buyer seperti  gambar  1  dan  model persediaan vendor sesuai  dengan  gambar  4.
Pada buyer masih tetap menggunakan
persamaan  (1)  untuk  menentukan  biaya persediaan buyer . Pada vendor , biaya persediaan  yang  akan  diperhitungkan  sama dengan model pertama. Perbedaan hanya pada penentuan  persediaan  rata-rata.  Dengan  tetap menggunakan  persamaan  (2)  hasil  bagi time- weighted inventory dengan waktu per siklus dan pola  persediaan  pada  gambar  5  untuk menentukan  persediaan  rata-rata  pada vendor pada model kedua adalah
𝐼̅ 𝑣 = {[ 𝑄 2 𝐷 − 𝑄 2 2. 𝑃 ] − [ 𝑄 𝑛. 𝐷 (𝑞 + 2𝑞 + ⋯ (𝑛 − 1)𝑞]} 𝑄
𝐷 ⁄
𝐼̅ 𝑣 = 𝑄 2. 𝑛 [1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃 )] … (7)
Dengan persamaan persediaan rata-rata (7) menentukan  biaya  simpan vendor pada  model persediaan vendor kedua. Selain  biaya  simpan biaya pesan dan biaya  pengiriman juga bagian dari  biaya  persediaan  untuk vendor sesuai dengan model persediaan kedua
𝑇𝐶 𝑣 (𝑄, 𝑛) = 𝐶𝑟 𝑣 . 𝐷 𝑄 + 𝐶ℎ 𝑣 . 𝑄 2. 𝑛 [1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃 )] + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛. 𝐷 𝑄 … (8)
Total  biaya  gabungan vendor dan buyer dengan  model  persediaan vendor pertama
merupakan penjumlahan dari persamaan (1) dan (8)
𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) = 𝐶𝑟 𝑣 . 𝐷 𝑄 + 𝐶ℎ 𝑣 . 𝑄 2. 𝑛 [1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃 )] + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛. 𝐷 𝑄 + 𝐶ℎ 𝑏 . 𝑄 2. 𝑛 + 𝐶𝑟 𝑏 . 𝐷 𝑄
𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) = (𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛). 𝐷 𝑄 + 𝑄 2. 𝑛 (𝐶ℎ 𝑏 + 𝐶ℎ 𝑣 [1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃 )]) … (9)
Untuk  mendapat  nilai  kuantitas  produksi ( 𝑄 )  yang  dapat  meminimal  total  biaya dilakukan dengan cara mencari turunan pertama dari 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) terhadap 𝑄
𝜕𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) 𝜕𝑄
= −(𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛). 𝐷 𝑄 2 + (𝐶ℎ 𝑏 + 𝐶ℎ 𝑣 [1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃 )]) 2. 𝑛 ⁄
Untuk  pengujian  konveksitas  dilakukan dengan  menggunakan  turunan  ke  2  pada persamaan 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) ,  kondisi  koveks tercapai  jika 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 > 0 ⁄ dan didapatkan
𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛)
𝜕𝑄 2 = (𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝐶𝑑 𝑣 . 𝑛). 𝐷 𝑄 3 > 0;
Terlihat nilai 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜕𝑄 2 positif, 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛)
mempunyai nilai minimal pada nilai 𝑄 ∗ (𝑛)
Pada  setiap  nilai 𝑛 yang  tetap,  ukuran produksi vendor yang  optimal  dengan  model persediaan vendor kedua  Terlihat nilai 𝜕 2 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜕𝑄 2
doi: 10.350587/Matrik v23i1.4411
71
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia
positif, 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) mempunyai nilai minimal pada nilai 𝑄 ∗ (𝑛)
didapat dari 𝜕𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄,𝑛) 𝜕𝑄 = 0 𝑄 ∗ (𝑛) = √ 2. 𝑛. 𝐷 (𝐶𝑟 𝑣 + 𝐶𝑟 𝑏 + 𝑛. 𝐶𝑑 𝑣 ) 𝐶ℎ 𝑏 + 𝐶ℎ 𝑣 [1 + 𝑛. (1 − 𝐷 𝑃)] … (10)
Pada  persamaan  (5)  dan  (9),  Selain 𝑄 ∗ (𝑛) , frekuensi  pengiriman 𝑛 menjadi  variabel keputusan  dengan  bentuk  nilai  bulat.  Perlu dicari ukuran pengiriman yang optimal sebagai nilai 𝑛 ∗ pada masing-masing model persediaan. Penentuan  nilai  frekuensi  pengiriman  optimal dapat dilakukan dengan menggunakan pengembangan  model  matematika  yang  cukup sulit  seperti  pada  [9],  [15].  Selain  itu,  dapat menggunakan  teknik  iterasi  titik  tetap  dengan membuat algoritma yang sesuai untuk menyelesaikan model. Pada penentuan 𝑛 ∗ disini digunakan algoritma dari [21]
Algoritma
Langkah 1 Menentukan n = 1 Langkah 2 Tentukan 𝑄(𝑛) dengan  (6)  jika menggunakan  model  pertama  dan rumus (10) jika model kedua Langkah 3 Tentukan 𝑇𝐶 (𝑄, 𝑛) dengan  rumus (5) jika menggunakan model pertama dan (9) untuk model kedua. Langkah 4  Menentukan 𝑛  =  𝑛  +  1 dan
ulangi Langkah 2 dan 3 Langkah 5 Jika 𝑇𝐶 (𝑄, 𝑛)   ≤  𝑇𝐶 (𝑄, 𝑛 − 1) menuju  ke  Langkah  4,  jika  tidak lanjut ke Langkah ke 6
Langkah 6  Menentukan 𝑄 ∗ dan 𝑛 ∗ sama dengan nilai (𝑄, 𝑛 − 1) , dimana 𝑄 ∗ dan 𝑛 ∗ adalah solusi dalam penentuan  ukuran  produksi  dan jumlah  pengiriman  per  siklus  yang optimal.
Contoh Numerik
Pada  bagian  ini,  dikembangkan  analisis numerik  untuk  mengilustrasikan  prosedur pengembangan  solusi.  Berikut  parameter  yang digunakan  untuk  analisis  numerik. 𝐷 =  1361 unit/tahun, 𝑃 =  2444  unit/tahun, 𝐶ℎ 𝑏 =  $
5/unit/tahun 𝐶𝑟 𝑏 =  $  47/pesan 𝐶ℎ 𝑣 =  $ 3/unit/tahun 𝐶𝑟 𝑣 =  $  68/set-up 𝐶𝑑 𝑣 =  $ 14/pengiriman.  Dengan  menggunakan  data tersebut, didapatkan nilai 𝑄 ∗ = 494unit dengan frekuensi  pengiriman  sebanyak  6  kali  dengan model persediaan vendor menggunakan model persediaan vendor pertama.  Dan  ukuran produksi  yang  optimal (𝑄 ∗ ) pada  model gabungan vendor dan single  buyer dengan model vendor kedua  sebesar  484  unit  dengan frekuensi pengiriman optimal (𝑛 ∗ ) sebanyak 7 kali.  Pada  tabel  1  menunjukkan  setiap  nilai 𝑛 yang  berbeda  yang  berpengaruh  terhadap 𝑇𝐶 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) untuk  model  persediaan  untuk vendor dan single  buyer dengan  perilaku persediaan vendor menggunakan sesuai gambar 2  (model  persediaan vendor pertama)  dan gambar  4  (model  persediaan vendor kedua)  . Sedangkan  tabel  2  dapat  dilihat  untuk  model persediaan single  vendor  dan  single  buyer dengan model persediaan vendor kedua.
Tabel 1 . Penetuan 𝑛 ∗ Dengan Model Persediaan Vendor Pertama
𝑛 𝑄 𝑇𝐶 𝑏 (𝑄, 𝑛) 𝑇𝐶 𝑣 (𝑄, 𝑛) 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) 1 229 852.3 678.07 1530.46 2 311 594.99 652.80 1247.79 3 370 481.48 671.34 1152.81 4 417 414.27 699.43 1113.69 5 458 368.72 730.08 1098.81 6 494 335.32 761.17 1096.49 7 526 309.52 791.91 1101.43 8 556 288.82 822.01 1110.84 9 584 271.76 851.35 1123.12 10 610 257.39 879.92 1137.31 11 635 245.07 907.73 1152.79 12 658 234.35 934.81 1169.16 13 681 224.92 961.19 1186.12 14 703 216.55 986.92 1203.47 15 724 209.04 1012.0 1221.08
Tabel 2 . Penetuan 𝑛 ∗ Dengan Model Persediaan Vendor Kedua
𝑛 𝑄 𝑇𝐶 𝑏 (𝑄, 𝑛) 𝑇𝐶 𝑣 (𝑄, 𝑛) 𝑇𝐶 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑄, 𝑛) 1 194 814.73 995.21 1809.94 2 270 574.51 865.78 1440.29
3 327 468.12 838.68 1306.80 4 373 404.77 840.10 1244.87 5 414 361.59 852.97 1214.56 6 451 329.75 871.22 1200.97 7 484 305.04 892.19 1197.23 8 515 285.15 914.56 1199.71 9 543 268.69 937.63 1206.31 10  570 254.77 960.97 1215.74 11  596 242.81 984.34 1227.16 12  621 232.39 1007.61 1240.00 13  644 223.20 1030.68 1253.88 14  667 215.02 1053.49 1268.51 15  689 207.68 1076.01 1283.69

## 4. Kesimpulan dan Saran
Pada  penelitian  ini  dibahas  sistem single vendor-single buyer dimana vendor memproduksi produk dengan kapasitas tertentu dan  pengiriman  ke  buyer  secara  diskrit.  Pada penelitian  terdahulu,  banyak  digunakan  dua model  dalam  menjelaskan  perlakuan  dalam penanganan  keputusan  terkait  produksi  dan persediaan  dalam  model  persediaan  pada vendor dengan  menjadikan vendor sebagai produsen. Pada kedua model persediaan vendor, model  persediaan vendor pertama  dan  model persediaan vendor kedua,  hanya  dibedakan pada  waktu  pengiriman  awal.  Pada  penelitian ini  dibandingkan  kedua  model  tersebut  dari variabel  keputusannya (𝑄 ∗ dan 𝑛 ∗ )  serta tujuannya  yaitu  meminimalkan  total  biaya persediaan total yang merupakan gabungan dari biaya  persediaan vendor dan buyer .  Model matematis  penentuan  ukuran  produksi  yang optimal  yang  merupakan  turunan  pertama  dari biaya  persediaan  total  dan  algoritma  iterative digunakan  untuk  menentukan  nilai  masing- masing variabel keputusan.
Contoh  numerik  diberikan  sebagai  aplikasi dari  model  matematis  dan  algoritma  yang digunakan  ,  terdapat  perbedaan  frekuensi pengiriman  dan  biaya  persediaan  total.  Sistem single  vendor-single  buyer dengan  model persediaan vendor pertama  lebih  kecil  biaya persediaan  total.  Dari  hasil  perhitungan  rata- rata  persediaan  yang  tersimpan  pada vendor untuk model persediaan vendor pertama sebesar
114 unit. Pada model persediaan vendor kedua rata-rata persediaan di vendor sebesar 142 unit. Biaya  persediaan total  yang  lebih  besar   dapat dijelaskan  lebih  lanjut    dengan  menghitung waktu  per  siklus  dari  masing-masing  model persediaan vendor .  Waktu  siklus (𝑇) pada model  persedian vendor pertama  lebih  lama tetapi memiliki frekuensi pengiriman yang lebih sedikit dibandingkan dengan model persediaan vendor kedua. Frekuensi pengiriman yang lebih sering  mengakibatkan  rata-rata  produk  yang tersimpan  bagi vendor lebih  besar  yang  dapat meningkatkan  biaya  simpan  produk  dan  biaya pengiriman yang lebih banyak.
Perkembangan  kedua  model  persediaan vendor ini terbuka luas untuk beberapa keadaan yang nyata pada dunia industri. Kelebihan dari kedua model yang adaptif melalui penyesuaian asumsi model terhadap keadaan nyata diantaranya  yang  terkait  dengan  penerapan sistem  JIT  dan  penyesuaian  waktu  pengiriman produk ke buyer . Selain itu kedua model lebih fleksibel jika dilakukan penggabungan tahapan dalam  rantai  pasok    dengan  beberapa  model persediaan  yang  berbeda,  seperti  yang  telah dilakukan pada banyak penelitian.
Membandingkan  dengan  jumlah  pengiriman yang berbeda atau jumlah pengiriman disesuaikan  dengan  kapasitas  transportasi menjadi  bahan  kajian  yang  menarik  sebagai mengembangkan  penelitian ini. Sesuai dengan [1],  jumlah  pengiriman  yang  tidak  sama  akan menghasilkan  biaya  persediaan  yang  lebih rendah  dan  mampu  menyesuaikan  dengan kapasitas transportasi.

## 5. Daftar Pustaka
[1]  C. H. Glock, E. H. Grosse, and J. M. Ries, “The lot sizing problem: A tertiary study,” Int. J. Prod. Econ. , vol. 155, no. 2008, pp.
39–51,
2014, doi: 10.1016/j.ijpe.2013.12.009.
[2]  F. W. Harris, “How many parts to make at once,” Int. J. Prod. Econ. , vol. 155, pp. 8– 11, 2014, doi: 10.1016/j.ijpe.2014.07.003.
[3]  E.  W.  Taft,  “The  most  economical production lot,” Iron Age , vol. 101, no. 18, pp. 1410–1412, 1918.
doi: 10.350587/Matrik v23i1.4411
73
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia
[4]  R. J. Tersine, S. Barman, and J. S. Morris, “A composite EOQ model for situational decomposition,” Comput.  Ind.  Eng. ,  vol. 22,  no.  3,  pp.  283–295,  1992,  doi: 10.1016/0360-8352(92)90006-6.
[5]  H.  Tarhini,  M.  Karam,  and  M.  Y.  Jaber, “An integrated single-vendor multi-buyer production inventory model with transshipments  between  buyers,” Int.  J. Prod.  Econ. ,  vol.  225,  p.  107568,  2020, doi: 10.1016/j.ijpe.2019.107568.
[6]  J.  T.  Hsu  and  L.  F.  Hsu,  “An  integrated vendor-buyer cooperative inventory model for  items  with  imperfect  quality  and shortage  backordering,” Adv.  Decis.  Sci. , vol. 2012, 2012, doi: 10.1155/2012/679083.
[7]  S.  K.  Goyal,  “An  integrated  inventory model  for  a  single  supplier-single customer problem,” Int. J. Prod. Res. , vol. 15, no. 1, pp. 107–111, 1977.
[8]  A. Banerjee, “Economic-lot-size model for purchaser and vendor,” Decis. Sci , vol. 17, pp. 292–311, 1986.
[9]  S.  K.  Goyal,  “‘a  Joint  Economic ‐ Lot ‐
Size Model for Purchaser and Vendor’: a Comment,” Decis. Sci. , vol. 19, no. 1, pp. 236–241,  1988,  doi:  10.1111/j.1540- 5915.1988.tb00264.x.
[10]  L.  Lu,  “A  one-vendor  multi-buyer integrated inventory model,” Eur. J. Oper. Res. ,  vol.  81,  no.  2,  pp.  312–323,  1995, doi: 10.1016/0377-2217(93)E0253-T.
[11]  J. Hsu and L. Hsu, “An Integrated Vendor- Buyer  Cooperative  Inventory  Model  for Items with Imperfect Quality and Shortage Backordering,”  vol.  2012,  2012,  doi: 10.1155/2012/679083.
[12]  S. J. Sadjadi, S. Zokaee, and N. Dabiri, “A single-vendor single-buyer joint economic lot  size  model  subject  to  budget constraints,” Int. J. Adv. Manuf. Technol. , vol.  70,  no.  9–12,  pp.  1699–1707,  2014, doi: 10.1007/s00170-013-5382-2.
[13]  A.  H.  Nobil,  A.  H.  A.  Sedigh,  and  L.  E. Cárdenas-Barrón,  “A  multiproduct  single
machine  economic  production  quantity (EPQ)  inventory  model  with  discrete delivery order, joint production policy and budget constraints,” Ann. Oper. Res. , vol.
286,  no.  1–2,  pp.  265–301,  2020,  doi: 10.1007/s10479-017-2650-9.
[14]  G.  A.  Widyadana  and  H.  M.  Wee,  “A multi-products  EPQ  model  with  discrete delivery  order:  A  lagrangean  solution approach,” Glob.  Perspect.  Compet.
Enterp. Econ. Ecol. - Proc. 16th ISPE Int. Conf. Concurr. Eng. , pp. 601–608, 2009.
[15]  S. K. Goyal, C. K. Huang, and K. C. Chen, “A simple integrated production policy of an  imperfect item  for  vendor  and  buyer,” Prod.  Plan.  Control ,  vol.  14,  no.  7,  pp. 596–602, 2003, doi: 10.1080/09537280310001626188.
[16]  B.  K.  Dey,  B.  Sarkar,  and  S.  Pareek,  “A two-echelon  supply  chain  management with setup time and cost reduction, quality improvement  and  variable  production rate,” Mathematics , vol. 7, no. 4, 2019.
[17]  A.  F.  Rahmanto  and  S.  S.  Dahda, “Integrated  Inventory  Model  for  Single Vendor  Single  Buyer  Considering  the Level of Product Defects Model Persediaan  Terintegrasi  untuk  Produsen Tunggal Single buyer dengan Mempertimbangkan  Tingkat  Cacat  Hasil
Produksi,” no. 101, pp. 151–160, 2022.
[18]  M.  Ben-Daya  and  A.  Al-Nassar,  “An integrated inventory production system in a  three-layer  supply  chain,” Prod.  Plan. Control , vol. 19, no. 2, pp. 97–104, 2008, doi: 10.1080/09537280801895930.
[19]  C.  K.  Huang,  “An  optimal  policy  for  a single-vendor single-buyer integrated production-inventory problem with process unreliability consideration,” Int. J. Prod.  Econ. ,  vol.  91,  no.  1,  pp.  91–98, 2004, doi: 10.1016/S0925- 5273(03)00220-2.
Authors  retain  copyright  and  grant  the  journal  right  of  first  publication  with  the  work  simultaneously  licensed  under  a Creative Commons Attribution 4.0 International License Industrial Engineering Department University of Muhammadiyah Gresik, East Java, Indonesia
[20]  K.  Fu,  Z.  Chen,  and  B.  R.  Sarker,  “An optimal decision policy for a single-vendor single-buyer  production-inventory  system with  leaning  effect,  fuzzy  demand  and imperfect quality,” J. Inf. Optim. Sci. , vol. 40,  no.  3,  pp.  633–658,  2019,  doi: 10.1080/02522667.2018.1427026.
[21]  S. Priyan and R. Uthayakumar, “Mathematical modeling and computational  algorithm  to  solve  multi- echelon
multi-constraint inventory problem with errors in quality inspection,” J. Math. Model. Algorithms , vol. 14, no. 1, pp.  67–89,  2015,  doi:  10.1007/s10852- 014-9258-8.