J. D IFERENSIAL / E -ISSN:2775-9644
Vol.5(1),2023, 29–34
doi: https://doi.org/10.35508/jd.v5i1.9823

## A RTIKEL P ENELITIAN
Pelabelan W n -Ajaib Super pada Graf P m ⊵ e W n
Ci Manu 1 , Ganesha L. Putra 1,* , Keristina Br. Ginting 1
1 Program Studi Matematika, Universitas Nusa Cendana, Kupang-NTT, Indonesia
* Penulis korespondensi: ganesha.lapenangga@staf.undana.ac.id
Diterima: 24 Februari 2023; Direvisi: 25 April 2023; Disetujui: 26 April 2023; Dipublikasi:28 April 2023.
Abstrak :
Misalkan G suatu graf, H sebagai subgraf dari G , maka graf G yang memuat selimut- H dikatakan memiliki pelabelan H -ajaib jika terdapat suatu fungsi bijektif f memetakan V ( G ) ∪ E ( G ) ke himpunan bilangan asli yang tidak lebih dari | V ( G ) | + | E ( G ) | sehingga untuk sebarang ¯ H subgraf dari G yang isomorfik dengan H berlaku jumlahan label titik dan sisi dari ¯ H sama dengan k yang dikenal sebagai bilangan ajaib. Selanjutnya, dikatakan H -ajaib super jika peta dari himpunan titik pada G merupakan himpunan bilangan asli yang tak lebih dari | V ( G ) | . Misalkan e suatu sisi pada graf W n . Graf P m ⊵ e W n merupakan graf yang diperoleh dari satu salinan graf P m dan | E ( P m ) | salinan dari graf W n , lalu tempelkan sisi ke- i pada graf P m dengan sisi e pada salinan ke- i dari graf W n . Pada jurnal ini, dikonstruksi pelabelan W n -ajaib super pada graf P m ⊵ e W n .
Kata Kunci: Graf P m ⊵ e W n , pelabelan H -ajaib super, multi-himpunan seimbang
Abstract : Suppose G graph, H subgraph of G , then graph G admits H -covering having an H -magic labeling if there exist a bijective function mapping V ( G ) ∪ E ( G ) to a set of natural number at most | V ( G ) | + | E ( G ) | such that for any subgraph ¯ H of G isomorphic to H , the sum of vertex and edge label of ¯ H is equal to a fix number k , where k is a magic number. Moreover, such a labeling called H -super magic if the range of vertex set of G is a set positive integer less than or equal to | V ( G ) | . Suppose that e is an edge of W n . Graph P m ⊵ e W n is a graph obtained by taking a copy of graph P m , | E ( P m ) | copies of W n , then identifying i -th edge of P m to an edge e at i -th copy of W n . In this paper, we construct the W n -supermagic labeling of P m ⊵ e W n .
Keywords: P m ⊵ e W n graph, H -supermagic labeling, balanced multi-set

## 1. Pendahuluan
Pengenalan teori graf yang dicetuskan oleh Leonhard Euler kemudian melahirkan teori-teori yang memiliki penerapan pada berbagai bidang ilmu [1] . Seiring berjalannya waktu, teori graf dapat diaplikasikan pada suatu pengaitan antara titik atau sisi ke suatu bilangan yang dikenal dengan pelabelan graf. Himpunan daerah asal pada suatu pelabelan menentukan kategori dari pelabelan tersebut yang dibagi menjadi pelabelan titik, pelabelan sisi, atau pelabelan total [2] . Graf G terdiri dari himpunan tak kosong titik-titik yang dinamakan V ( G ) dan E ( G ) yang dikenal sebagai himpunan sisi dengan E ( G ) ⊆ [ V ( G )] 2 [3] . Misalkan G dan H graf dan e sisi di H . Hasil kali sisir
© Manu, dkk.
sisi antara graf G dan graf H , dinotasikan dengan G ⊵ e H , merupakan graf yang dibentuk dari satu salinan graf G , | E ( G ) | salinan graf H , kemudian dikaitkan sisi ke- i dari graf G pada sisi e dari salinan ke- i graf H [4, 5] .
Selanjutnya, suatu selimut- H pada graf G dengan H subgraf dari G merupakan suatu kondisi dengan setiap sisi e pada G merupakan sisi pada subgraf G yang isomorfik dengan H . Graf G dengan kondisi demikian dikatakan memiliki pelabelan H -ajaib jika terdapat suatu fungsi bijektif f yang memetakan himpunan titik dan sisi di G ke himpunan bilangan asli yang tidak lebih dari | V ( G ) | + | E ( G ) | sehingga untuk sebarang ¯ H subgraf dari G yang isomorfik dengan H berlaku jumlahan label titik dan sisi dari ¯ H sama dengan bilangan konstan k yang dikenal sebagai bilangan ajaib. Selanjutnya, dikatakan H -ajaib super jika himpunan daerah hasil dari V ( G ) merupakan himpunan bilangan asli yang tak lebih dari | V ( G ) | . Jika graf G memiliki pelabelan H -ajaib (super), maka dikatakan graf G merupakan graf H -ajaib (super) [6] . Gita Naftali Adriyani Ginting membuktikan bahwa graf C m ▷ C n merupakan graf P 2 ▷ C n -ajaib super untuk m ganjil [7] . Putra memberikan hasil dari pelabelan P 2 ⊵ G -ajaib super pada beberapa graf hasil kali sisir dengan graf G , yakni C m ⊵ G dan P m ⊵ G [8] . Selanjutnya, Putra, Aryanto, dan Ndii juga memberikan hasil lanjutan dari Pelabelan H -ajaib super pada graf hasil kali sisir [9] . Ngurah dkk. juga memberikan hasil terkait pelabelan C 3 dan C 4 - ajaib super pada graf seperti graf buku, P n × P 2 , P n + K 1 , T L n , dan P m × P n [10] . Pada tahun 2013 , Roswitha dkk. membuktikan bahwa graf Jahangir yang diperumum, graf roda W n , n genap, dan graf bipartit lengkap K 2 ,n secara berturut- turut merupakan graf siklus-ajaib super [11] . Gutiérrez dkk. memberikan pelabelan bintang-ajaib super pada graf bipartit lengkap serta pelabelan P i -ajaib super pada graf lintasan P n dan siklus C n untuk i ≤ n [6] . Lladó dkk. memberikan konstruksi pelabelan C 3 -ajaib super pada graf W n untuk n ≥ 3 , n ganjil [12] .

## 2. Multi-himpunan k -Seimbang
Multi-himpunan yang dikenalkan oleh Maryati dkk. [13] merupakan suatu struktur-serupa himpunan yang memiliki aturan bahwa objek yang sama dapat muncul berulang kali. Diberikan X multi-himpunan dan k bilangan bulat positif. Multi-himpunan X dikatakan k -seimbang iika terdapat k himpunan bagian dari X , namakan X 1 , X 2 , ...X k , sehingga ketiga sifat berikut berlaku, yakni untuk setiap j ∈ { 1 , 2 , 3 , ...k } , Σ X k = Σ X j ∈ N , | X j | = | X | k ∈ N , dan U k j =1 X j = X [13] . Berikut diberikan Lema terkait multi-himpunan k -seimbang.
Lema 2.1. Diberikan m , n suatu bilangan asli dengan m ≥ 2 , n ≥ 3 , dan n ganjil maka multi-himpunan X = [1 , 3 nm − 3 n + 1] U [2 , m − 1] merupakan multi-himpunan m − 1 seimbang.
Bukti . Bentuk X j = { a j , a j +1 , b j, 1 , b j, 2 , ..., b j,n − 1 , c j, 1 , c j, 2 , ..., c j, 2 n − 1 , d j } untuk j ∈ [1 , m − 1] dengan
a i = i, i ∈ [1 , m ] b j,k = ( k + 1)( m − 1) − j + 2; j ∈ [1 , m − 1] , k ∈ [1 , n − 1] , k ganjil m + ( k − 1)( m − 1) + j ; j ∈ [1 , m − 1] , k ∈ [1 , n − 1] , k genap
c j,l = ( n + l )( m − 1) − j + 2; j ∈ [1 , m − 1] , l ∈ [1 , 2 n − 1] , l ganjil ( m − 1)( n + l − 1) + j + 1; j ∈ [1 , m − 1] , l ∈ [1 , 2 n − 1] , l genap
d j = ( m − 1)(3 n ) − j + 2; j ∈ [1 , m − 1]
Perhatikan bahwa | X j | = 3 n + 1 dan
Σ X j = a j + a j +1 + b j, 1 + b j, 2 + · · · + b j,n − 1 + c j, 1 + c j, 2 + · · · + c j, 2 n − 1 + d j = 9 n 2 m − 9 n 2 + 9 n + m 2 .
Perhatikan juga bahwa
Σ X = 1 2 (3 nm − 3 n + 1)(1 + 3 nm − 3 n + 1) + 1 2 ( m − 2)(2 + m − 1) Σ X m − 1 = 9 n 2 m 2 − 18 n 2 m + 9 n 2 + 9 nm − 9 n + m 2 − m 2( m − 1) . = 9 n 2 m − 9 n 2 + 9 n + m 2 =Σ X j | X | =3 nm − 3 n + m − 1 | X | ( m − 1) = 3 nm − 3 n + m − 1 ( m − 1) =3 n + 1 = | X j | .
dan U m − 1 j =1 X j = [1 , 3 nm − 3 n + 1] U [2 , m − 1] = X . Jadi, terbukti bahwa X adalah multi-himpunan m − 1 -seimbang.
Lema 2.2. Untuk suatu bilangan bulat positif m, n dengan m ≥ 2 , n ≥ 3 , n genap, m genap maka multi- himpunan X = [1 , 3 nm − 3 n + 1] U [2 , m − 1] merupakan multi-himpunan m − 1 seimbang.
Bukti . Bentuk X j , b j,k , c j,l sama dengan Lema 2.1 dan
a i = i +1 2 ; i ∈ [1 , m ] , i ganjil
⌈ m 2 ⌉ + i 2 ; i ∈ [1 , m ] , i genap. d j = m + (3 n − 2)( m − 1) + j ; j ∈ [1 , m − 1]
Dengan cara yang sama pada Lema 2.1 , diperoleh Σ X j = Σ X m − 1 = 9 n 2 m − 9 n 2 +9 n + m 2 , | X j | = | X | m − 1 = 3 n + 1 , dan U m − 1 j =1 X j = X . Jadi, terbukti bahwa X merupakan multi-himpunan m − 1 -seimbang.
Lema 2.3. Multi-himpunan X = [1 , 3 nm − 3 n +1] U [2 , m − 1 2 ] U [ m +3 2 , m ] merupakan multi-himpunan m − 1 seimbang untuk bilangan bulat positif m ≥ 2 , n ≥ 3 , n genap, dan m ganjil.
Bukti . Bentuk X j , a i , b j,k , c j,l , d j seperti pada Lema 2.2 . Selanjutnya, perhatikan bahwa | X j | = 3 n + 1
Σ X j = a j + a j +1 + b j, 1 + b j, 2 + · · · + b j,n − 1 + c j, 1 + e j, 2 + · · · + f ( e j, 2 n − 1 ) + f ( e j ) . = 9 n 2 m − 9 n 2 + 9 n + m + 1 2 .
Perhatikan juga bahwa
Σ X = 1 2 (3 nm − 3 n + 1)[3 nm − 3 n + 2] + 1 2 ( m − 1)(2 + m ) − ( m + 1) 2 Σ X m − 1 = 9 n 2 m 2 − 18 n 2 m + 9 n 2 + 9 nm − 9 n + m 2 − 1 2( m − 1) . = 9 n 2 m − 9 n 2 + 9 n + m + 1 2 =Σ X j | X | m − 1 = 3 nm − 3 n + m − 1 m − 1 =3 n + 1 = | X j |
dan juga U m − 1 j =1 X j = [1 , 3 nm − 3 n + 1] U [2 , m − 1 2 ] U [ m +3 2 , m ] = X . Jadi, diperoleh X multi-himpunan m − 1 -seimbang.

## 3. Hasil Utama
Sebelum masuk pada hasil utama, berikut diberikan himpunan titik dan sisi dari graf P m ⊵ e W n pada gambar berikut. Perhatikan bahwa | V ( P m ⊵ e W n ) | = nm − n +1 dan | E ( P m ⊵ e W n ) | = 2 nm − 2 n .
Gambar 3.1: Graf P m ⊵ e W n
Berikut diberikan teorema untuk membuktikan graf P m ⊵ e W n suatu graf W n -ajaib super.
Teorema 3.1. Graf P m ⊵ e W n merupakan graf W n -ajaib super untuk bilangan bulat positif m, n dengan m ≥ 2 , n ≥ 3 .
Bukti . Bukti teorema ini terbagi menjadi tiga kasus, yaitu untuk (1) . n ganjil; (2) . n genap dan m genap; (3) . n genap dan m ganjil. Kasus 1 . n ganjil .
Definisikan fungsi pelabelan titik dan sisi pada graf P m ⊵ e W n sebagai berikut. Untuk f : V ( P m ⊵ e W n ) ∪ E ( P m ⊵ e W n ) → { 1 , 2 , 3 , · · · , 3 mn − 3 n + 1 } , bentuk f ( v i ) = a i , f ( v j,k ) = b j,k , f ( e j,l ) = c j,l dan f ( e j ) = d j dengan a i , b j,k .c j,l , d j seperti pada Lema 2.1 . Kemudian, perhatikan bahwa X j merupakan himpunan label titik dan sisi dari salinan ke- j pada graf W n dengan j ∈ [1 , m − 1] . Kardinalitas dari kemungkinan nilai indeks j bernilai sama dengan banyaknya subgraf W n pada graf P m ⊵ e W n , yakni m − 1 . Pada Lema 2.1 juga telah dibuktikan bahwa Σ X j memiliki nilai yang tidak bergantung pada j , yakni
Σ X j = 9 n 2 m − 9 n 2 + 9 n + m
2
Akibatnya, jika diambil sebarang subgraf W n pada graf P m ⊵ e W n , jumlahan atas label titik- titik dan sisi-sisinya selalu sama. Setelah itu, dibuktikan f : V ( P m ⊵ e W n ) ∪ E ( P m ⊵ e W n ) → { 1 , 2 , 3 , · · · , 3 nm − 3 n + 1 } merupakan fungsi bijektif. Perhatikanlah label titik dan label sisi pada graf P m ⊵ e W n . Berikut diberikan peta f untuk setiap fungsi partisinya sebagai berikut. { f ( v i ) | i ∈ [1 , m ] } = [1 , m ] , { f ( v j,k ) | j ∈ [1 , m − 1] , k ∈ [1 , n − 1] } = [ m + 1 , n ( m − 1) + 1] ; { f ( e j,l ) | j ∈ [1 , m − 1] , l ∈ [1 , 2 n − 1] } = [ n ( m − 1)+2 , (3 n − 1)( m − 1)+1] , { f ( e j ) | j ∈ [1 , m − 1] } = [(3 n − 1)( m − 1)+2 , 3 nm − 3 n +1] Berdasarkan penjabaran di atas, diketahui bahawa R ( f ) = [1 , 3 nm − 3 n + 1] = { 1 , 2 , 3 , · · · , | V ( P m ⊵ e C n )+ | E ( P m ⊵ e C n ) |} . Akibatnya, f fungsi pada. Lebih lanjut, karena | D ( f ) | = | R ( f ) | = 3 nm − 3 n +1 ,
maka f fungsi satu-satu. Jadi, f fungsi bijektif. Untuk syarat super, dibuktikan f ( V ( P m ⊵ e W n )) = { 1 , 2 , · · · , nm − n + 1 } . Perhatikan label titik pada graf P m ⊵ e W n .
f ( V P m ⊵ e W n )) = { f ( v i ) , i ∈ [1 , m ] } ∪ { f ( v j,k | j ∈ [1 , m − 1] , k ∈ [1 , n − 1]) } =[1 , m ] ∪ [ m + 1 , n ( m − 1) + 1] =[1 , n ( m − 1) + 1] = { 1 , 2 , · · · , nm − n + 1 }
Jadi, diperoleh bahwa untuk n ganjil, graf P m ⊵ e W n merupakan graf W n -ajaib super. Kasus 2 . n genap dan m genap
Untuk kasus ini, kita gunakan cara yang sama dengan Kasus 1 dengan fungsi pelabelan titik dan sisi diambil dari Lema 2.2 . Jadi, diperoleh bahwa untuk n genap dan m genap, graf P m ⊵ e W n merupakan graf W n -ajaib super dengan bilangan ajaib yang sama dengan Kasus 1 . Kasus 3 : n genap dan m ganjil Pada Kasus 3 , buktinya juga serupa dengan kasus sebelumnya. Untuk fungsi pelabelan, digunakan Lema 2.3 dan diperoleh bilangan ajaibnya adalah Σ X j = 9 n 2 m − 9 n 2 +9 n + m +1 2 . Bilangan ajaibnya berbeda dengan kedua kasus sebelumnya. Pembuktian fungsi bijektif dan ajaib super serupa dengan kasus sebelumnya.
Jadi, ketiga penjabaran kasus di atas membawa kepada hasil bahwa graf P m ⊵ e C n merupakan graf W n -ajaib super.

## 4. Kesimpulan
Graf P m ⊵ e W n merupakan graf W n -ajaib super untuk m ≥ 2 dan n ≥ 3 . Penulisan ini dapat dilanjutkan dengan mengganti graf W n pada graf P m ⊵ e W n dengan graf lainnya.

## Referensi
[1] G. Chartrand and P. Zhang, A first course in graph theory . Courier Corporation, 2013. View online . [2] J. A. Gallian, “A dynamic survey of graph labeling,” Electronic Journal of combinatorics , vol. 1, no. DynamicSurveys, p. DS6, 2018. View online .
[3] R. Diestel, Graph Theory , vol. 173. Springer Berlin Heidelberg, 5 ed., 2017. View online .
[4] S. S. Sarasvati, I. Halikin, and K. Wijaya, “On odd harmonious labeling of p n ⊵ c 4 and p n ⊵ d 2 ( c 4 ) ,” Indonesian Journal of Combinatorics , vol. 5, no. 2, pp. 94–101, 2021. View online .
[5] M. Baˇca, A. Salman, R. Simanjuntak, and B. H. Susanti, “Rainbow 2-connectivity of edge-comb product of a cycle and a hamiltonian graph,” Proceedings-Mathematical Sciences , vol. 130, pp. 1– 12, 2020. View online .
[6] A. Gutiérrez and A. Lladó, “Magic coverings,” The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing , vol. 55, pp. 43–56, 2005. View online .
[7] G. N. Ginting, J. R. Pahnael, and G. L. Putra, “Pelabelan p 2 ▷ c n ajaib super dari graf c m ▷ c n ,” Jurnal Diferensial , vol. 2, no. 02, pp. 180–187, 2020. View online .
[8] G. L. Putra, “The p 2 ⊵ o g supermagic labeling of comb product of graphs,” Tensor: Pure and Applied Mathematics Journal , vol. 2, no. 1, pp. 13–18, 2021. View online .
[9] G. L. Putra, Ariyanto, and M. Z. Ndii, “Further result of h-supermagic labeling for comb product of graphs,” in International Conference on Mathematics, Geometry, Statistics, and Computation (IC- MaGeStiC 2021) , pp. 32–34, Atlantis Press, 2022. View online .
[10] A. Ngurah, A. Salman, and L. Susilowati, “H-supermagic labelings of graphs,” Discrete Mathematics , vol. 310, no. 8, pp. 1293–1300, 2010. View online .
[11] M. Roswitha, E. T. Baskoro, T. K. Maryati, N. A. Kurdhi, and I. Susanti, “Further results on cycle-supermagic labeling,” AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics , vol. 10, no. 2, pp. 211–220, 2013. View online .
[12] A. Lladó and J. Moragas, “Cycle-magic graphs,” Discrete Mathematics , vol. 307, no. 23, pp. 2925– 2933, 2007. View online .
[13] T. Maryati, A. Salman, E. Baskoro, J. Ryan, and M. Miller, “On h -supermagic labelings for certain shackles and amalgamations of a connected graph,” Utilitas Mathematica , vol. 83, p. 333, 2010. View online .
Format Sitasi IEEE :
C. Manu, G.L. Putra, and K. Br. Ginting, "Pelabelan W n -Ajaib Super pada Graf P m ⊵ e W n " , Jurnal Diferensial , vol. 5(1), pp. 29-34, 2023.
This work is licensed under a Creative Commons “Attribution- ShareAlike 4.0 International” license.