## Kontrol Tracking Fuzzy

## Menggunakan Model Following untuk Sistem Pendulum Kereta
Jimmy Hennyta Satya Putra, Trihastuti Agustinah Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : trihastuti@elect-eng.its.ac.id, onehopecanhelp@gmail.com
Abstrak —Sistem pendulum kereta memiliki karakteristik yang tidak  stabil dan  nonlinear. Pada  makalah ini  membahas tentang kontrol tracking dengan menggunakan struktur kontrol berbasis model following .  Permasalahan  dalam  desain  struktur  kontrol tracking pada  sistem  pendulum  kereta  ini  adalah  bagaimana membuat  posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal  referensi  dengan tetap mempertahankan batang pendulum pada posisi equilibrium - nya  yaitu  pada  sudut  nol  radian.  Model  nonlinear  dari  sistem pendulum  kereta  direpresentasikan  sebagai  model fuzzy Takagi- Sugeno.  Berdasarkan  model  tersebut,  aturan kontroler disusun menggunakan  konsep Parallel  Distributed  Compensation (PDC) berbasis teknik kontrol optimal. Hasil simulasi dan implementasi menunjukkan  bahwa  posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal referensi  tanpa  adanya  beda  fasa  antara  respon  posisi  kereta terhadap  sinyal  referensi.  Sinyal  referensi sinus memberikan performansi tracking terbaik,  dengan Integral  Absolute  Error (IAE)  terkecil  diantara  sinyal  referensi  lain,  yaitu  pada  simulasi sebesar 0,2622 dan pada implementasi sebesar 0,8477
Kata  Kunci —Sistem  pendulum  kereta ,  fuzzy  Takagi- Sugeno, Tracking

## I. PENDAHULUAN
Dalam  perkembangan  ilmu  pengetahuan  dan  teknologi  di kehidupan  sehari-hari.  Sistem  pendulum  kereta  merupakan suatu  sistem  yang  sangat  penting  dalam  penelitian  di  bidang kontrol.  Berbagai  teori  metode  kontrol  banyak  diuji, dibandingkan  melalui  pengujian  terhadap  sistem  pendulum kereta. Hal ini dikarenakan sistem pendulum kereta merupakan sistem  nonlinear  yang  kompleks  dan  tidak  stabil  serta  dapat dilinearkan  di  sekitar  titik  keseimbangan.  Sistem  seperti  ini dapat  ditemukan  pada  robot humanoid dan  alat  transportasi segway .
Permasalahan  kontrol  yang  biasa  terdapat  pada  sistem pendulum kereta [1], dan [2] adalah swing-up , stabilisasi, dan tracking . Swing-up merupakan  upaya  yang  dilakukan  untuk mengayunkan  batang  pendulum  dari  posisi  menggantung  ke posisi berbalik. Stabilisasi merupakan upaya untuk mempertahankan  kestabilan  batang  pendulum  pada  posisi terbalik.  Sedangkan tracking merupakan  upaya  untuk mengontrol kereta agar bergerak mengikuti sinyal referensi dan tetap melakukan stabilisasi.
Permasalahan  yang  akan  diselesaikan  adalah tracking . Mengacu  pada  yakni  penyelesaian  yang  dilakukan  dengan merancang kontroler berbasis fuzzy .  Penggunaan kontroler fuzzy dipilih  karena  memiliki  perhitungan  matematis  yang
sederhana.  selanjutnya  dilakukan  stabilisasi  sistem  pendulum kereta di sekitar titik equilibriumya.
Perilaku nonlinear sistem pendulum kereta dapat direpresentasikan dengan menggunakan model fuzzy . Langkah awal  yang  perlu  dilakukan  adalah  merepresentasikan plant lokal yang dinamis dari perbedaan daerah titik kerja ke model linear.  Kemudian  dibuat  model  dan  aturan fuzzy yang  sesuai untuk dapat melakukan kontrol tracking pada sistem pendulum kereta dengan metode fuzzy menggunakan model following agar sistem  pendulum  kereta  mampu  bergerak  mengikuti  sinyal referensi  dengan  tetap  mempertahankan  batang  pendulum dalam posisi terbaliknya.
Pada  [1]  struktur  kontrol tracking dengan  LQT  ( Linear Quadratic  Tracking )  menggunakan  model  referensi  untuk memodelkan  sinyal  referensinya.  Dan  pada  riset  tersebut menggunakan  tiga  sinyal  referensi  dalam  pengujian  secara simulasi  dan  implementasi . Dan  pada  [2]  juga  dikembangkan kontrol tracking menggunakan  struktur  kontrol servo tipe  1 tanpa  integrator  dengan  menggunakan  sinyal  referensi step untuk sistem pendulum beroda dua.

## II. MODEL MATEMATIKA
Sistem pendulum kereta terdiri dari dua bagian utama yaitu, kereta  dan  pendulum.  Pemodelan  sistem  dengan  model matematis  diperoleh  berdasarkan  dinamika  dari  dua  bagian utama  sistem  tersebut.  Dengan  melihat  model  dari  sistem pendulum  kereta  pada  Gambar  1,  seorang  perancang  sistem kontrol dapat mengetahui gaya-gaya yang bekerja pada sistem pendulum  kereta.  Karena  dalam  membuat  pemodelan  suatu plant dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan pemodelan secara hukum fisika (Hukum Newton II) dan pemodelan secara matematis  dengan  menggunakan  metode-metode  pemodelan plant yang  statis  contohnya  metode Viteckova , Latzel ,  dan untuk plant yang  dinamis  contohnya  metode  ARMA  ( Auto Regressive  Moving  Average ).  Pada  sistem  pendulum  kereta, kereta    hanya    dapat    bergerak  ke  kiri  atau  ke  kanan  (bidang horizontal),  dan  untuk  pendulum  yang  menempel  pada  kereta bergerak  secara  rotasi  (bidang  vertikal).  Sistem  pendulum kereta  memiliki  empat  state  yaitu x 1 ,  x 2 ,  x 3 dan x 4 .  Dengan x 1 adalah  posisi  kereta  (jarak  terhadap  pusat  lintasan), x 2 adalah jarak  sudut  antara   vertikal   tegak  dengan  jatuhnya  posisi batang pendulum, x 3 adalah  kecepatan  kereta  dan x 4 adalah kecepatan  sudut batang pendulum.
Gambar 1 Diagram Fisik Sistem Pendulum Kereta [3]
Model  matematika  dalam  bentuk  persamaan state dapat dituliskan sebagai berikut:
3 1 x x   4 2 x x   2 2 4 2 2 2 2 4 3 sin ) sin ( cos ) sin ( x l J x f x g x l x x T u a x p c           2 2 4 2 2 2 4 2 4 sin sin ) sin ( cos x l J x f x g x x T u x l x p c           (1)
dengan:
p c m m J l a    2 l m m p c ) (   

## III. KONTROL TRACKING FUZZY MENGGUNAKAN MODEL FOLLOWING
Kontrol tracking  fuzzy dengan  menggunakan  model following dirancang untuk mengontrol posisi keret a dari  sistem  pendulum  kereta  sehingga  dapat  mengikuti sinyal referensi yang diberikan sekaligus menjaga keseimbangan  batang  pendulum  dari  sistem  tersebut  supaya tetap pada posisi terbalik.
Model  matematis  sistem  pendulum  kereta  yang  linear memiliki parameter-parameter pada matriks A dan B pada tiap model plant dengan 3 titik kerja berbeda,
Untuk titik kerja pertama: x = [0  0  0  0] T dan 0  u diperoleh:
               0079 , 0 0 0319 , 15 0 0001 , 0 0 2524 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A ;              2370 , 1 8272 , 0 0 0
1 B (2)
Untuk titik kerja kedua:
x = [0  ±0,3  0  0] T dan 0  u diperoleh:
     
         0079 , 0 0 2640 , 14 0 0001 , 0 0 2068 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 A ;              1791 , 1 8254 , 0 0 0
2 B (3)
Untuk titik kerja ketiga:
x = [0  ±0,5  0  0] T dan 0  u diperoleh:
               0079 , 0 0 9598 , 12 0 0001 , 0 0 1333 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 A ;              0792 , 1 8224 , 0 0 0 3 B (4)
Matriks  keluaran  untuk  ketiga  titik  operasi  tersebut  adalah sebagai berikut:
  0 0 0 1    3 2 1 C C C
Dari  parameter-parameter  matriks A dan B ini,  maka  dapat dibangun model fuzzy T-S untuk plant sistem pendulum kereta dengan rule sebagai berikut. Aturan plant ke-1:
x C B x A x 1 1 1     y u Then M x If  ) radian 0 Sekitar ( 1 2 (5)
Aturan plant ke-2:
x C B x A x 2 2 2 2 2 ) radian 0,3 (      y u Then M x If  (6)
Aturan plant ke-3:
x C B x A x 3 3 3 3 2 ) radian 0,5 (      y u Then M x If  (7)
Model following dirancang  berdasarkan  sinyal  referensi. Dalam  bentuk  persamaan state, model  sinyal  tersebut dinyatakan dalam bentuk:
r r x A x r   r r x C  r y (8)
Jika  dihubungkan  dengan plant yang  dikontrol  dengan menganggap sinyal tracking error e = r  –  y  sebagai  masukan dari model, maka akan diperoleh:
e c c c c B x A x   
c x  r y (9)
dengan
c A =  diagonal  blok      error total } { A ... A A , c B =  diagonal  blok
       error total } { B ... B B
𝑥 2 𝑥 1 𝑙
A adalah matriks polynomial karakteristik dari sinyal referensi, misal,
0 1 1 1 ... ) (            s s s s l l l , sehingga      
     
      1 0 1 1 0 0 l l I      A ,              1 0 0  B
Dari Gambar 2, bila model following seperti pada Persamaan (9) dan persamaan state dari plant
u B Ax x  
 Cx  y (10)
Maka dapat dibuat perluasaan sistem dalam bentuk matriks
r u c                                    c c c c B B x x A C B A x x 0 0 0  
(11)
Dan sinyal kontrol
          c c x x K K u (12)
Dengan K adalah gain  feedback dan c K adalah gain model following.
Gambar 2. Sistem Kontrol Tracking Model Following
Sinyal  referensi  digunakan  untuk  melakukan tracking pada sistem pendulum kereta agar sudut dari pendulum kereta berada pada  titik  equilibriumnya.  Sinyal  referensi  yang  digunakan adalah penjumlahan sinyal step dan sinus . Penjumlahan sinyal referensi  ini  dibutuhkan  agar  memenuhi  matriks  perluasan sistem  ( augmented  system ).    Sinyal  referensi  yang  diberikan adalah berupa penjumlahan sinyal step dan sinyal sinus dengan amplitudo  0,1  m  dan  frekuensi  0,1  Hz.  Dalam  bentuk matematika sinyal referensi dapat dilihat pada Persamaan (13) berikut:
) ( ) ( t u t  r (13) Bentuk persamaan matematis untuk sinyal sinus , yaitu:
) 2 ( sin A ) ( t f t   r (14)
Transformasi Laplace untuk sinyal step dan sinyal sinus adalah:
s s u 1 )] ( [ 

## L (15)
dan
2 2 ] [sin      s t L (16)
Setelah didapatkan bentuk Laplace dari sinyal step dan sinyal sinus maka  akan  diperoleh  persamaan Laplace dari  sinyal referensi pada Persamaan (9) berikut:
s s s 3948 , 0 0628 , 0 )] ( [ 3   r L (17)
Persamaan state model following pada Persamaan (9) dapat dibangun berdasarkan sinyal referensi tersebut dengan
            0 3948 , 0 0 1 0 0 0 1 0 c A ,            0628 , 0 0 0 c B (18)
Dari  bentuk  matriks  perluasan  sistem  ( augmented  system) seperti  pada  Persamaan  (11)  dan  (12)  dapat  dibentuk  tiga subsistem  lup  tertutup  untuk  ketiga  model  linear  sistem pendulum kereta sebagai berikut:
  c1 1 1 c 1 c 1 K K B A C B A               0 0 (19)
  c2 2 2 c 2 c 2 K K B A C B A               0 0 (20)
dan
  c3 3 3 c 3 c 3 K K B A C B A
              0 0 (21)
Ketiga  subsistem  tersebut  terdiri  dari  tujuh state ,  sehingga dibutuhkan  penentuan  tujuh  nilai  pada  diagonal  matriks pembobot Q. Pada  makalah  ini,  matriks Q dan R ditentukan dengan cara trial and error dengan syarat matriks merupakan matriks  simetris  semi  definit  positif  untuk Q dan  matriks simetris  definit  positif  untuk R .  Matriks Q dan R yang digunakan untuk tiga model linear pada makalah ini adalah:
Q 1 = diag ([5000   8000   1   100   9.10 6 9.10 6 9.10 6 ]) 1 1  R (22)
Pada makalah ini, matriks K i dan K ci dihitung menggunakan bantuan program MATLAB dengan syntax lqr dengan nilai Q dan R sesuai dengan Persamaan (22) kemudian didapat:
  139,7173
174,4043 - 541,7836 408,4869 - 1  K   9,2066 5,8591 3000 1  c K x  + y
r
x c x  e - + B - C   c B - - A K + + Ac c x Kc u
  148,8645 178,7976 - 563,1131 414,1344 - 2  K   9,2618 5,8530 3000 2  c K   167,8159
187,5061 - 606,4374 425,1766 - 3  K   9,3684 5,8406 31623 3  c K (23)
Berdasarkan  nilai  dari gain-gain tersebut,  dapat  ditentukan aturan kontroler yang  bersesuaian  dengan  aturan plant pada Persamaan (24) sampai (26) sebagai berikut. Aturan Kontroler ke-1:
If 1 2 M x  (Sekitar 0 radian)
          c c1 1 x x K K u Then (24) Aturan Kontroler ke-2: If 2 2 M x  (±0,3 radian)
          c c2 2 x x K K u Then (25) Aturan Kontroler ke-3: If 3 2 M x  (±0,5 radian)
          c c3 3 x x K K u Then (26)
Model fuzzy T-S  terlihat  lebih  sederhana  pada  proses defuzzifikasi  dengan  menggunakan  metode  rerata  berbobot ( weighted average ), karena metode rerata berbobot merupakan metode khusus yang dapat digunakan untuk model fuzzy T-S. Gambar  4  menunjukan  fungsi  keanggotaan fuzzy yang digunakan pada makalah ini. Fungsi keanggotaan yang dipilih adalah fungsi keanggotaan segitiga dan trapesium.
M1 dan M2 adalah  fungsi  keanggotaan  segitiga  dengan parameter fungsi keanggotaan segitiga{a;b;c}={-0,3;0;0,3} dan {0;0,3;0.5},  sedangkan M3 adalah  fungsi  keanggotaan trapesium  dengan  parameter  fungsi  keanggotaan  trapesium {a;b;c;d}={0,3;0,5;2;1,57}.
Gambar 4 Fungsi Keanggotaan M 1 , M 2 dan M 3

## IV. PENGUJIAN DAN ANALISIS
Setelah  proses  perancangan  sistem  dan kontroler , selanjutnya  dilakukan  proses  simulasi  dan  implementasi.
Simulasi  sistem  kontrol  menggunakan  perangkat  lunak Simulink /MATLAB  R2012.  Model  gaya  gesek  pada  simulasi diabaikan karena nilai nya sangat kecil. Kondisi awal dari posisi pendulum  sebesar  0,2  rad  dan  0,3  rad.  Kondisi  awal  tersebut terletak  pada  blok  integrator  pada  sistem  pendulum  kereta. Sinyal  referensi  yang  diberikan  adalah  sinyal step , sinus ,  dan square-wave .
A. Simulasi
Sinyal step yang digunakan pada simulasi dapat ditemukan pada library  source pada Simulink .  Nilai  kondisi  awal  yang disimulasikan  yaitu  0,2  dan  0,3.  Analisa  yang  dilakukan meliputi  posisi  kereta,  posisi  pendulum,  dan  sinyal  kontrol. Hasil respon posisi kereta menggunakan sinyal referensi sinyal step dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar  5  menunjukan  respon  posisi  kereta  dalam  satuan meter,  dengan  membandingkan  respon  posisi  kereta  pada kondisi  awal  berbeda  terhadap  sinyal  referensi  dengan amplitudo  0,1  m  dan  frekuensi  0,1  Hz.  Dalam  menentukan karakteristik  dari  spesifikasi  respon  posisi  kereta,  posisi pendulum,  dan  sinyal  kontrol  bergantung  pada  kondisi  awal dimana  repon  tersebut  dimulai.  Pada  kondisi  awal  0,2  respon posisi kereta memiliki nilai overshoot -0,16 meter, dan waktu yang  dibutuhkan  posisi  kereta  mampu  mengikuti  sinyal referensi sebesar 6 detik. Nilai overshoot respon posisi kereta lebih  kecil  yaitu  -0,15  meter  dan overshoot 0,19  meter didapatkan  pada  saat  kondisi  awal  0,3  dengan  waktu  posisi kereta  dapat  mengikuti  sinyal  referensi  setelah  6  detik. Performansi tracking pada  struktur  kontrol  hasil  desain  ini dapat  dilihat  bagaimana  posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal referensi  dengan  nilai error sekecil  mungkin,  pada  pengujian dengan  sinyal  referensi step ini,  performansi tracking didapatkan pada daerah steady state dari selisih sinyal referensi dengan  hasil absolute respon output posisi  kereta  ( Integral Absolute Error ). Nilai IAE pada pengujian sinyal referensi step ini  sebesar 0,845.
Hasil  respon  posisi  kereta  menggunakan  sinyal  referensi sinus dapat  dilihat  pada  Gambar  6.  Gambar  6  menunjukan respon  posisi  kereta,  dengan  membandingkan  respon  posisi kereta pada kondisi awal berbeda. Pada kondisi awal 0,2 respon posisi kereta memiliki nilai overshoot -0,14 meter, dan waktu untuk  posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal  referensi  setelah  6 detik.  Nilai overshoot respon  posisi  kereta  lebih  kecil  yaitu  - 0,13 meter didapatkan pada saat kondisi awal 0,3 dengan waktu untuk  posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal  referensi  sama dengan  pada  kondisi  0,2  yaitu  sebesar  6  detik.  Performansi tracking dengan  sinyal  referensi sinus ini  dihitung  dengan Integral Absolute Error sebesar 0,1361.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 D er aj at K ea ng go ta an ( m yu ) M1 M2 M3 M1 M2 M3 M 3 M 2
M 2 M 1 M 3
Gambar 5 Posisi Kereta dengan Sinyal Step
Gambar 6 Posisi Kereta dengan Sinyal Sinus Gambar 7 Posisi Kereta dengan Sinyal Square-wave

## Gambar 8 Hasil Simulasi untuk Posisi Pendulum
Dalam  sinyal square-wave terdapat range dan  amplitudo yang membuat grafik sinyalnya pada posisi positif dan negatif. Hasil respon posisi kereta menggunakan sinyal referensi sinyal square-wave dapat dilihat pada Gambar 7. Respon posisi kereta yang  ditunjukan  membandingkan  respon  posisi  kereta  pada kondisi  awal  berbeda.  Pada  kondisi  awal  0,2  respon  posisi kereta memiliki nilai overshoot -0,16 meter. Kondisi awal 0,3 memiliki  spesifikasi overshoot -0,15  meter.  Performansi tracking dapat  dilihat  dari  nilai  IAE,  pada  pengujian  dengan sinyal referensi square-wave ini, didapatkan nilai IAE sebesar 2,094. Performansi tracking dengan sinyal referensi sinus lebih baik  dibandingkan  dengan  sinyal  referensi step dan square- wave ,  karena  hasil Integral  Absolute  Error tersebut menunjukan  nilai Integral  Absolute  Error dengan  sinyal referensi sinus lebih  kecil  dibandingkan  sinyal  referensi step . Struktur kontrol tracking yang baik adalah bagaimana membuat posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal  referensi  seperti  yang ditunjukan pada Gambar 5, 6, dan 7 dan tetap mempertahankan posisi  pendulum  disekitar  titik equilibrium -nya,  seperti  yang ditunjukan pada Gambar 8.

## B. Implementasi
Pada  tahap  implementasi  ini,  dilakukan  pada plant nyata sistem pendulum kereta “ Feedback Digital Pendulum System ” dengan  bantuan Simulink MATLAB.  Alat real memiliki karakteristik  gesekan  pada  bidang  lintasan  yang  dinamis, sehingga  kecepatan  pendulum  dan  kecepatan  kereta  menjadi dinamis. Untuk meminimalisir terjadinya kerusakan alat pada AO card PCI  1711  atau plant sistem  pendulum  kereta,  demi keamanan  untuk  tahap  implementasi  ini,  sinyal  kontrol  yang dikirim  ke  sistem  pendulum  kereta real dibatasi  ±1,5  Volt. Pemberian  kondisi  awal  pada  sudut  pendulum  ini  dilakukan secara  manual.  Untuk  sinyal  referensi  yang  berikan  berupa sinyal step dan sinus . Diamati  dari  pengujian  simulasi  dan implementasi  dapat  terlihat  bahwa  terdapat  perbedaan  pada hasil  responnya,  ini  disebabkan  saat  implementasi  penentuan kondisi  mula  dari  posisi  pendulum  dilakukan  secara  manual, sehingga  perbandingan  posisi  pendulum  dapat  dipengaruhi oleh noise pengukuran  dari  sensornya.  Selain  itu  pula  pada plant real kecepatan kereta dan kecepatan pendulum juga dapat mempengaruhi posisi kereta dan juga posisi pendulum, karena gesekan bidang  lintasan yang dinamis.
Implementasi  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  dari perancangan  sistem  kontrol  yang  sudah  dibuat  untuk diaplikasikan pada plant nyata sistem pendulum kereta dengan kondisi  awal  yang  berbeda.  Gambar  9  menunjukan  respon posisi kereta dengan sinyal referensi step . Posisi kereta dapat mengikuti  sinyal  referensi,  dengan  nilai overshoot 0,0005 meter. Terlihat pada Gambar 9 respon posisi kereta mulai dapat mempertahankan posisinya di posisi 0,1  meter  membutuhkan waktu  30  detik,  dengan  kisaran  osilasi 07 , 0  meter/detik. Performansi tracking untuk  pengujian  secara  implementasi menggunakan  sinyal  referensi step ini  didapatkan  nilai  IAE sebesar 0,845.
Nilai  referensi  posisi  kereta  pada  implementasi  dengan sinyal sinus sama  seperti  pengujian  sebelumnya    yaitu  0,1 meter.  Gambar  10  menunjukan  respon  posisi  kereta  tidak terdapat overshoot dengan  waktu  untuk  posisi  kereta  dapat mengikuti  sinyal  referensi  sebesar  19  detik.  Performansi tracking untuk  pengujian  secara  implementasi  menggunakan sinyal  referensi sinus ini  menghasilkan  nilai  IAE  sebesar 0,8477.
Respon  posisi  kereta  dengan  sinyal  referensi sinus tanpa gangguan dan dengan gangguan ditunjukan pada Gambar 11. Pada  hasil  respon  posisi  kereta  dengan  gangguan  tersebut terlihat tidak terjadi overshoot dengan waktu yang dibutuhkan untuk posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi sebesar 19 detik. Terlihat jelas pada interval waktu 23 detik  dan 28 detik, terdapat gangguan yang menyebabkan posisi kereta tidak dapat mengikuti  sinyal  referensi  pada  interval  waktu  gangguan tersebut, interval waktu ini sesuai karena masih masuk dalam range dari  sinyal  gangguan  yang  diberikan.  Performansi tracking untuk  posisi  kereta  pada  pengujian  secara implementasi  menggunakan  sinyal  referensi sinus dengan gangguan  ini  didapatkan  nilai  IAE  sebesar  0,9082.  Pada pengujian  secara  implementasi  ini  dibuktikan  bahwa  posisi kereta dapat mengikuti sinyal referensi seperti yang ditunjukan pada Gambar 9, 10, 11 dan 12 dengan tetap mempertahankan posisi  pendulum  disekitar  titik  equilibriumnya  seperti  yang ditunjukan pada Gambar 12.
Gambar 9 Hasil Implementasi Sinyal Step untuk Posisi Kereta
Gambar 10 Hasil Implementasi Sinyal Sinus untuk Posisi Kereta
Gambar  11  Hasil  Implementasi  Sinyal Sinus dengan  Gangguan  untuk  Posisi Kereta
Gambar 12. Hasil Implementasi untuk Posisi Pendulum

## V. KESIMPULAN
Membuat  sesuatu  yang  kompleks  menjadi  sederhana merupakan  salah  satu  cara  berfikir  sistem,  ini  terkait  dengan pemahaman dari pembahasan yang terkait, tentunya jika dapat menguasai  kemampuan  secara  teknis  dipadu  dengan  cara berfikir  sistem  akan  menjadi  sesuatu  yang  lengkap  dalam penelitian  ini.  Pada  hasil  pengujian  dari  simulasi  dan implementasi ini dapat diambil beberapa poin penting tentang
sistem  kontrol tracking  fuzzy menggunakan  model following pada sistem pendulum kereta, kesimpulanya sebagai berikut: 1. Struktur  kontrol tracking  fuzzy menggunakan  model following ini memiliki kelebihan dapat digunakan untuk tiga sinyal  referensi  yaitu  sinyal step , sinus ,  dan square-wave tanpa  adanya  beda  fasa  terjadi  antara  sinyal  referensi terhadap posisi kereta.
2. Dalam  penentuan  nilai  pembobot  matriks Q dan R , didapatkan  dengan trial  and  error .  Terdapat  ketentuan- ketentuan  dalam  pemilihan  pembobot  tersebut,  yaitu  nilai sinyal kontrol yang tidak melebihi 200 N, eigen value yang didapatkan minimal -1.
3. Pada  pengujian  simulasi  dan  implementasi  menunjukan bahwa posisi kereta dapat  mengikuti sinyal referensi  yang diberikan  dengan  tetap  mempertahankan  sudut  pendulum disekitar titik equilibriumnya.
4. Sinyal  referensi sinus memberikan  performansi tracking terbaik,  dengan Integral  Absolute  Error (IAE)  terkecil diantara  sinyal  referensi  lain,  yaitu  pada  simulasi  sebesar 0,2622 dan pada implementasi sebesar 0,8477.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Adenia,  Rahma,  “Kontrol  Tracking  Fuzzy-Optimal  untuk  Sistem Pendulum Kereta”. Tugas Akhir Teknik Elektro ITS , Surabaya, 2013
[2] Luthfi A., “Kontrol Tracking Optimal untuk Robot Pendulum Terbalik Beroda Dua,” Tugas Akhir Teknik Elektro ITS , Surabaya, 2016 [3]
Feedback Instruments Ltd, “ Digital Pendulum: Control in a MATLAB Environment (MATLAB 6.5 Version) ”,., 2004