http://dx.doi.org/10.21580/square.2020.2.1.5420

## Struktur dari Garis
Denik Agustito Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa agustito@ustjogja.ac.id

## ABSTRAK
Dalam  tulisan  ini,  sebuah  garis L pertama  kali  dikontruksi  melalui  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ . Pemetaan  bijektif   menjadikan L menjadi sebuah  ruang topologi, memberikan struktur aljabarik padanya  yaitu  berupa  lapangan  dan  memberikan  sebuah  struktur  relasional  urutan  yaitu  berupa urutan.  Kemudian  sifat  geometri  dari  garis  diawali  dengan  mendefinisikan  sebuah  norma  pada L hingga diperoleh  bahwa  garis L tersebut dapat dikonstruksi  melalui sekurang-kurangnya dua  titik yang berbeda padanya.
Kata kunci: aljabarik, bijektif, garis, norma, topologi, urutan.

## ABSTRACT
In this paper, an L line is first constructed through an objective mapping : ⟶ ℝ . The objective mapping f makes L become a topological space, gives it an algebraic structure in the form of a field and  provides  a  sequence  of  relational  structures  in the  form  of  sequences.  Then  the  geometrical nature of the line begins by defining a norm at L until it is obtained that the L line can be constructed through at least two different points on it.
Keywords: algebra, bijective, lines, norms, topology, sequence.

## 1. PENDAHULUAN
Ide dari tulisan ini berawal dari buku (Umble R N, Han Z, 2015) mengenai sifat-sifat dari garis  menurut  aksioma  dari  geometri  bidang  Euclidean.  Dalam  buku  tersebut,  sebuah  garis diberikan secara intuitif (tidak secara formal); artinya dengan mengacu pada Postulat Insidensi dari geometri bidang Euclidean, sebuah garis adalah himpunan dari titik, dan melalui setiap dua titik  yang berbeda  yaitu   dan  , terdapat tepat  satu garis  , dan dinotasikan dengan =⃖ ⃗ . Kemudian  dari  Postulat  Jarak  pada  geometri  bidang  Euclidean  mengatakan  bahwa  jika diberikan dua buah titik   dan   maka terdapat secara tunggal bilangan real yang dinotasikan dengan | | , dan katakan | | ini sebagai jarak antara   dan  .
Selanjutnya gagasan mengenai jarak di antara titik   dan   akan diterapkan pada sebuah garis   yang dikenal dengan Postulat Penggaris yang mengatakan bahwa jika diberikan garis maka terdapat pemetaan bijektif : ⟶ ℝ yang sifatnya | | = | ( ) − ( )| untuk setiap titik    dan    pada  .  Dengan  melihat  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ pada  Postulat  Penggaris, penulis akan mengkaji struktur pada l yang serupa dengan struktur pada ℝ . Karena ℝ memiliki struktur topologis yaitu berupa ruang metrik, memiliki struktur aljabarik berupa lapangan dan struktur  relasional  urutan  berupa  rantai,  maka  dalam  tulisan  ini  akan  dikonstruksi l yang memiliki  struktur  topologis  berupa  ruang  metrik,  struktur  aljabarik  berupa  lapangan  dan struktur relasional urutan berupa rantai serta mengkonstruksi l dari dua buah titik yang berbeda melalui struktur-struktur yang telah dipunyai padanya.

## 2. STRUKTUR TOPOLOGIS, STRUKTUR ALJABARIK, DAN STRUKTUR RELASIONAL URUTAN PADA GARIS
Langkah  pertama pada  bagian  ini  adalah  memandang  himpunan  tak-kosong    sebagai ruang topologi, yaitu secara spesifik sebagai ruang metrik dimana metriknya akan dibangkitkan melalui  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ .  Dengan  mengacu  pada  Hirali  &  Vasudeva  (2006), pengertian ruang metrik akan diberikan sebagai berikut.
Definisi 1.1.
Pada  himpunan  tak-kosong ,  pemetaan : × ⟶ ℝ dikatakan  metrik  pada X jika memenuhi sifat berikut:
(M1). ( , ) ≥ 0 untuk setiap , ∈ . (M2). ( , ) = 0 jika dan hanya jika = . (M3). ( , ) = ( , ) untuk setiap , ∈ . (M4). ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) untuk setiap , , ∈ .
Teorema 1.2.
Diberikan himpunan tak-kosong   dan pemetaan bijekif : ⟶ ℝ . Pemetaan : × ⟶ ℝ
yang  didefinisikan  dengan ( , ) = ℝ ( ), ( ) = | ( ) − ( )| mendefinisikan sebuah metrik pada  .
Bukti :
Karena | ( ) − ( )| didefinisikan  melalui  metrik  pada ℝ yaitu ℝ ( , ) = | − | ,  jelas ( , ) = | ( ) − ( )| mendefinisikan sebuah metrik pada  .
Karena adalah metrik pada  , jelas diperoleh ruang metrik ( , ) . Metrik pada dinamakan  metrik  yang  dibangkitkan  oleh  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ .  Selanjutnya  akan diberikan  suatu  sifat  bahwa  pemetaan  bijektif  membangkitkan  sebuah  homeomoerfisma  di antara ruang metrik ∗ : ( , ) ⟶ (ℝ, ℝ ) . Homeomorfisma adalah sebuah pemetaan bijektif kontinu dan inversnya juga kontinu di antara dua buah ruang topologi (secara khusus di antara ruang  metrik).  Mengacu  dari  [4], pemetaan  kontinu  didefinisikan sebagai berikut:  Pemetaan : ( , ) ⟶ ( , ) dikatakan  kontinu  jika  diberikan  sembarang ∈ dan  sembarang barisan { } ∈ℕ konvergen ke   maka barisan { ( )} ∈ℕ konvergen ke ( ) .
Sifat 1.3.
Pemetaan bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan sebuah homeomorfisma : ( , ) ⟶ (ℝ, ℝ ) . Bukti :
Ambil sembarang barisan { } ∈ℕ dalam   yang konvergen ke ∈ . Jelas ∀ > 0∃ ∈ ℕ ∋ ≥ ⟹ ( , ) = ℝ ( ), ( ) < . Jadi barisan { ( )} ∈ℕ dalam ℝ konvergen di ( ) ∈ ℝ dan  akibatnya : ( , ) ⟶ (ℝ, ℝ ) adalah  kontinu.  Karena : ⟶ ℝ adalah pemetaan  bijektif,  jelas : ℝ ⟶ juga  bijektif  dan  dibuktikan  bahwa
: ℝ ⟶ juga kontinu. Ambil sembarang barisan { } ∈ℕ dalam ℝ yang konvergen ∈ ℝ . Karena   adalah bijektif,  jelas ∀ > 0∃ ∈ ℕ ∋ ≥ ⟹ ℝ ( , ) = ℝ ( ) − ( ) < . Jadi barisan ( ) ∈ℕ dalam   konvergen ke
( ) ∈ dan akibatnya
: ℝ ⟶ adalah kontinu. Dengan demikian : ( , ) ⟶ (ℝ, ℝ ) adalah homoeomorfisma.
Jika  dua  terdapat  sebuah  homeomorfisma  di  antara  dua  ruang topologi  (secara  khusus ruang  metrik),  maka  kedua  ruang  topologi  (secara  khusus  ruang  metrik)  tersebut  dikatakan homeomorfik;  dengan  kata  lain,  ruang X homeomorfik  dengan  ruang Y jika  terdapat homoemorfisma : ⟶ . Dalam tulisan ini, jika ruang topologi (secara khusus ruang metrik) yang homeomorfik dengan (ℝ, ℝ ) dinamakan Ruang Garis.
Contoh 1.4.
Pada Parabola = {( , ) ∶ ∈ ℝ} terdapat pemetaan bijektif : ⟶ ℝ yang didefinisikan dengan ( , ) = . Karena pemetaan bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan homeomorfisma : ( , ) ⟶ (ℝ, ℝ ) ,  jelas homeomorfik  dengan ℝ dan  akibatnya  parabola = {( , ) ∶ ∈ ℝ} adalah Ruang Garis.
Selanjutnya akan didefinisikan sebuah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam Ruang Garis ( , ) dengan maksud untuk memandang Ruang Garis ( , ) memiliki struktur aljabar.
Sifat 1.5.
Diberikan  Ruang  Garis ( , ) .  Pemetaan + : × ⟶ yang  didefinisikan  dengan + ( , ) = ( ) + ( ) dan  pemetaan . : × ⟶ yang  didefinisikan  dengan
. ( , ) = ( ). ( ) mendefinisikan operasi biner  .
Karena + dan . adalah  operasi  biner  pada  ,  selanjutnya  akan  dikonstruksi  bahwa Ruang Garis ( , ) membentuk sebuah lapangan.
Teorema 1.6. ( , +  , . ) membentuk lapangan.
Bukti :
Elemen nol dalam   adalah 0 = (0) , elemen satuan dalam   adalah 1 = (1) , invers dari ∈ terhadap + adalah − ≝ − ( ) dan  invers  dari ∈ dengan ≠ 0 terhadap terhadap . adalah ≝ ( ) . Ini semua memenuhi aksioma lapangan seperti ada pada Fraleigh (1976).
Contoh 1.7. Pandang Ruang Garis berupa parabola = {( , ) ∶ ∈ ℝ} . Parabola = {( , ) ∶ ∈ ℝ}
ini membentuk sebuah lapangan dimana operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan seperti pada Teorema 1.6. Jika (−1,1), (2,4) ∈ maka
(−1,1)+ (2,4) = (−1,1) + (2,4) = (−1 + 2) = (1) = (1,1) . Jadi Ruang Garis berupa Parabola = {( , ) ∶ ∈ ℝ}
berlaku penjumlahan
(−1,1)+ (2,4) = (1,1) .
Lapangan  pada  Teorema  1.6  dinamakan  Lapangan  Garis.  Operasi  pengurangan  pada Lapangan  Garis  didefinisikan  dengan − = + (− ) dan  operasi  pembagian  pada
Lapangan  Garis  didefinisikan  dengan = . untuk ≠ 0 .  Jika  Sifat  1.3  mengatakan pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan  ekuivalensi  topologis  atau  homoemorfisma : ( , ) ⟶ (ℝ, ℝ ) , maka selanjutnya akan diberikan sifat bahwa fungsi bijektif : ⟶ ℝ akan membangkitkan sebuah ekuivalensi aljabarik atau isomorfisma lapangan ∗ : ( , +  , . ) ⟶ (ℝ, +, . ) .

## Sifat 1.8.
Pemetaan bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan sebuah isomorfisma ∗ : ( , +  , . ) ⟶ (ℝ, +, . ) . Bukti :
Definisikan  pemetaan ∗ : ( , +  , . ) ⟶ (ℝ, +, . ) dengan ∗ ( ) = ( ) .  Karena    bijektif, selanjutnya akan dibuktikan bahwa ∗ adalah homomorfisma ring. Sembarang , ∈ berlaku ∗ ( + ) = ( + ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ∗ ( ) + ∗ ( ) dan
∗ ( . ) = ( . ) = ( ). ( ) = ( ). ( ) = ∗ ( ). ∗ ( ) .
Jadi ∗ : ( , +  , . ) ⟶ (ℝ, +, . ) adalah isomorfisma.
Karena terdapat isomorfisma di antara lapangan yaitu ∗ : ( , +  , . ) ⟶ (ℝ, +, . ) , maka Lapangan Garis dikatakan isomorfik dengan Lapangan Bilangan Real. Akibatnya semua sifat- sifat aljabarik pada ( , +  , . ) adalah  sama dengan  sifat-sifat aljabarik pada (ℝ, +, . ) .  Sifat- sifat aljabarik pada (ℝ, +, . ) dapat ditemukan dalam (Bartle. R G, Sherbert. D R, (2001)).
Kemudian akan dikonstruksi struktur relasional terurut pada Ruang Garis ( , ) . Dengan mengacu pada (Gratzer G, (2010)), gagasan mengenai Poset (himpunan terturut sebagian) dan Rantai (himpunan terurut total) akan diberikan sebagai berikut.

## Definisi 1.9.
Diberikan  himpunan  tak-kosong A ,  relasi  urutan ≼ pada A dikatakan  terurut  sebagian  jika diberikan , , ∈ . (P1). ≼ . (P2).  Jika ≼ dan ≼ maka = . (P3).  Jika ≼ dan ≼ maka ≼ .
Pada  Definisi  1.9,  pasangan ( , ≼) dinamakan  Poset  ( Partially  Ordered  Set )  atau himpunan terurut sebagian. Poset ( , ≼) dikatakan rantai jika diberikan , ∈ maka berlaku tepat satu ≼ atau = atau ≽ . Langkah pertama untuk mengkonstruksi urutan pada Ruang  Garis ( , ) dengan  cara  mendefinisikan  sebuah  himpunan  elemen  positif  dimana gagasan tersebut mengikuti dari Bartle & Sherbert (2001) mengenai sifat urutan dari ℝ .

## Lemma 1.10.
Diberikan  Lapangan  Garis ( , + , . ) .  Terdapat  sebuah  himpunan  tak-kosong ⊂ yang memenuhi sifat berikut:
(U1). ∀ , ∈ , + ∈ . (U2). ∀ , ∈ , . ∈ . (U3). ∀ ∈ , ∈  atau  = 0  atau − ∈ . (Hukum Trikotomi pada Garis)
Bukti :
Dengan  memilih  himpunan = { ∈ ∶ ( ) > 0} selanjutnya  dengan  mudah  dibuktikan bahwa   memenuhi sifat U1, U2, dan U3.

## Notasi 1.11.
Diberikan Lapangan Garis ( , + , . ) dan ∈ . (i). Jika ∈ maka akan ditulis > 0 . (ii). Jika ∈ ⋃{0 } maka akan ditulis ≥ 0 . (iii). Jika − ∈ maka akan ditulis < 0 . (iv). Jika − ∈ ⋃{0 } maka akan ditulis ≤ 0 . Dimana ⋃{0 } juga dapat dinyatan sebagai himpunan ⋃{0 } = { ∈ ∶ ( ) ≥ 0} .

## Definisi 1.12.
Diberikan Lapangan Garis ( , + , . ) dan , ∈ .
(i). > − ∈ .
(ii). ≥ − ∈ ⋃{0 } .
Dengan berbekal  Lemma  1.10,  Notasi  1.11,  dan Definisi  1.12,  akan  dibuktikan  bahwa Lapangan Garis ( , + , . ) bersama dengan relasi ≥ membentuk Rantai.
Sifat 1.13.
Diberikan Lapangan Garis ( , + , . ) . (i). ∀ ∈ , ≥ (Relasi ≥ bersifat refleksif) (ii). ∀ , ∈ , ≥ dan  ≥ ⟹ = (Relasi ≥ bersifat anti-simetrik) (iii). ∀ , , ∈ , ≥ dan  ≥ ⟹ ≥ (Relasi ≥ bersifat transitif)
(iv). ∀ , ∈ maka berlaku salah satu ≥ atau = atau ≤ .
Bukti : (i). Setiap ∈ ,jelas berlaku − = 0 ∈ ⋃{0 } . Akibatnya ∀ ∈ , ≥ .
(ii).  (Pembuktian dengan kontraposisi).
Setiap , ∈ yang  sifatnya ≠ ,  jelas  berlaku − ≠ 0 .  Berdasarkan  Hukum Trikotomi pada Garis, jelas − > 0 atau − < 0 .
Karena − > 0 ,  Jelas  berlaku > .  Begitu  juga  jika − < 0 ,  maka
< . Jadi terbukti > atau < . Jadi ∀ , ∈ , ≥ dan  ≥ ⟹ = .
(iii).  Jika ≥ dan  ≥ maka − ∈ ⋃{0 } dan − ∈ ⋃{0 } .  Jelas − =
( − )+ ( − ) ∈ ⋃{0 } . Akibatnya ≥ . Jadi ∀ , , ∈ , ≥ dan
≥ ⟹ ≥ .
(iv).  Karena , ∈ ,  jelas − ∈ ,  jelas  berdasarkan  Hukum  Trikotomi  Garis  berlaku − > 0 atau − = 0 atau − < 0 .  Akibatnya  berlaku − ≥ 0 atau − = 0 atau − ≤ 0 . Karena − ≥ 0 atau − = 0 atau − ≤ 0 , jelas berlaku ≥ atau = atau ≤ . Jadi untuk setiap , ∈ , berlaku ≥ atau = atau ≤ .
Lapangan  garis ( , + , . ) yang dilengkapi dengan relasi ≥ dan memenuhi  sifat pada Sifat 1.13 dinamakan Rantai Garis  kemudian Rantai Garis akan dinotasikan dengan ( , ≥ ) . Jika  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan  homeomorfisma  dan  isomorfisma,  maka pemetaan bijektif tersebut juga akan membangkitkan isomorfism di anatara rantai atau isoton rantai. Isoton rantai adalah isomorfisma poset di antara dua buah rantai.
Definisi 1.14.
Pemetaan : ( , ≼ ) ⟶ ( , ≼ ) di antara poset dikatakan monoton jika untuk setiap , ∈ yang sifatnya ≼ maka ( ) ≼ ( ) . Pemetaan : ( , ≼ ) ⟶ ( , ≼ ) dikatakan isoton jika   monoton dan bijektif serta inversnya juga monoton.
Sifat 1.15.
Pemetaan bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan sebuah isoton ∗ : ( , ≥ ) ⟶ (ℝ, ≥) . Bukti :
Sembarang , ∈ yang  bersifat ≥ mengakibatkan − ∈ ⋃{0} .  Jelas  diperoleh bahwa ( ) − ( ) ≥ 0 dan  akibatnya ( ) ≥ ( ) .  Ini  artinya ∗ adalah  monoton.  Dilain pihak juga ∗ adalah bijektif. Ini mudah untuk membuktikan bahwa invers dari ∗ yaitu ∗ juga monoton. Jadi ∗ : ( , ≥ ) ⟶ (ℝ, ≥) adalah isoton.

## 3. GEOMETRI PADA GARIS
Pada bagian sebelumnya, jelas kita dapat mengatakan bahwa pada sebuah himpunan  , pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ membangkitkan  sebuah  ruang  metrik ( , ) yang  dinamakan dengan Ruang Garis, lapangan ( , + , . ) yang dinamakan dengan Lapangan Garis dan rantai ( , ≥ ) yang dinamakan dengan rantai garis. Bagian ini akan dikaji sifat-sifat geometrik dari Rantai Garis dengan terlebih dahulu memperkenalkan gagasan norma pada Rantai Garis ( , ≥ ) yaitu sebagai berikut.

## Definisi 1.16.
Diberikan  sebuah  Rantai  Garis ( , ≥ ) dan ∈ .  Norma  dari    ditulis  dengan ‖ ‖ dan didefinisikan sebagai ‖ ‖ = | ( )| .
Lemma 1.17. Diberikan sebuah Rantai Garis ( , ≥ ) dan , ∈ . (i). ‖ ‖ = 0 jika dan hanya jika = 0 .
(ii). ‖ . ‖ = ‖ ‖. ‖ ‖ .
(iii). ‖ ‖ = ‖− ‖ . (iv). ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ . Bukti :
(i). Jika ‖ ‖ = 0 maka | ( )| = 0 dan akibatnya ( ) = 0 = (0) . Karena   bijektif, jadi = 0 . Kebalikannya,  jika = 0 ,  maka  diperoleh ‖ ‖ = ‖0 ‖ = | (0 )| = |0| = 0 . Jadi ‖ ‖ = 0 .
(ii). ‖ . ‖ = ( ). ( ) = ( ). ( ) = | ( ). ( )| = | ( )|| ( )| = ‖ ‖. ‖ ‖ . (iii). ‖− ‖ = − ( ) = − ( ) = |− ( )| = | ( )| = ‖ ‖ . (iv). ‖ + ‖ = ( ) + ( ) = | ( ) + ( )| ≤ | ( )| + | ( )| = ‖ ‖ + ‖ ‖ .
Setelah  mendefinisikan  norma  pada  Rantai  Garis,  selanjutnya  adalah  mendefinisikan jarak di antara dua elemen pada Rantai Garis yang dibangkitkan memlalui norma di atas.
Definisi 1.18.
Diberikan sebuah Rantai Garis ( , ≥ ) dan , ∈ . Jarak antara a dan b didefinisikan dengan ( , ) = ‖ − ‖ .
Diberikan  juga  sebuah  sifat  bahwa  jarak  yang  didefinisikan  dalam  Definisi  1.18  juga kompatibel dengan jarak yang didefinisikan pada Teorema 1.2.
Sifat 1.19.
Jarak ( , ) = ‖ − ‖ kompatibel dengan jarak yang diberikan dalam Teorema 1.2.
Bukti : Jelas  bahwa ‖ − ‖ = ( ) − ( ) = | ( ) − ( )| = ( , ) .  Ini  artinya
( , ) = ‖ − ‖ kompatibel dengan jarak yang diberikan dalam Teorema 1.2.
Mengacu  pada  Umble  &  Han  (2015),  gagasan  ke-di  antara-an  titik  di  antara  dua  titik dalam sebuah garis akan dikenakan juga pada sebuah Rantai Garis yaitu sebagai berikut.

## Definisi 1.20.
Diberikan sebuah Rantai Garis ( , ≥ ) dan , ∈ . Elemen ∈ dikatakan elemen di antara a dan b dan ditulis − − jika ( , ) = ( , ) + ( , ) .
Dari  gagasan  mengenai  ke-di  antara-an  memberikan  sebuah  motivasi  untuk mendefinisikan ruas garis, sinar garis, dan garis.

## Definisi 1.21.
Diberikan sebuah Rantai Garis ( , ≥ ) dan , ∈ . (i). Ruas garis yang memuat titik dan adalah himpunan =   { ∈ ∶ − − } .
(ii).  Sinar positif yang memuat titik dan adalah himpunan ⃗ = { ∈ ∶ − − } . (iii).  Sinar negatif yang memuat titik dan adalah himpunan ⃖ = { ∈ ∶ − − } . (iv).  Garis yang memuat titik dan adalah himpunan ⃖ ⃗ = ⃖ ⋃ ⋃ ⃗ ⋃{ , } .
Keterhubungan  garis  yang  memuat  titik dan yang  dinotasikan  dengan ⃖ ⃗ dengan Rantai Garis diberikan pada sifat berikut.

## Sifat 1.22.
Jika diberikan sebuah Rantai Garis ( , ≥ ) dan , ∈ dengan ≤ maka = ⃖ ⃗ . Bukti :
Karena , ∈ jelas ⃖ ⃗ ⊆ . Sembarang ∈ dan dengan Sifat 1.13 (iv) berlaku tepat satu ≤ atau = atau ≥ . Jika ≤ maka berlaku tepat satu ≤ atau = atau ≥ . Jika ≤ maka ∈ ⃗ , jika = maka ∈ { , } dan jika ≥ maka ∈ , akibatnya ∈ ⃖ ⃗ . Jika = maka ∈ { , } dan akibatnya ∈ ⃖ ⃗ . Jika ≥ maka ∈ ⃖ dan akibatnya ∈ ⃖ ⃗ . Jadi jika ∈ maka ∈ ⃖ ⃗ dan akibatnya ⊆ ⃖ ⃗ . Karena ⃖ ⃗ ⊆ dan ⊆ ⃖ ⃗ , jelas = ⃖ ⃗ .
Sifat 1.22 ini mengatakan bahwa Rantai Garis ( , ≥ ) yang memuai titik dan tidak lain adalah garis ⃖ ⃗ dan ditulis dengan = ⃖ ⃗ .

## 4. KESIMPULAN
Kesimpulan  dari  tulisan  ini  adalah  sebuah  Garis    dapat  dibentuk  melalui  sebuah pemetaan bijektif : ⟶ ℝ . Karena ℝ membentuk ruang topologi (secara khusus adalah ruang metrik) maka pemetaan bijektif : ⟶ ℝ menjadikan Garis   menjadi ruang topologi (secara khusus  ruang  metrik)  dan  dinamakan  dengan  Ruang  Garis.  Karena ℝ membentuk  lapangan maka  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ menjadikan  Garis memiliki  struktur  aljabarik  yaitu lapangan dan dinamakan dengan Lapangan Garis. Karena ℝ membentuk rantai terhadap relasi urutan  maka  pemetaan  bijektif : ⟶ ℝ menjadikan  Garis menjadi  rantai  juga  dan dinamakan  dengan  Rantai  Garis.  Jadi  Garis L yang  melalui  titik dan yang  dinotasikan dengan = ⃖ ⃗ dapat  dipandang  sebagai  ruang  topologi  yang  terturut  total  (rantai)  serta memiliki struktur aljabarik berupa lapangan.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Bartle. R G, Sherbert. D R, (2001), Introduction to Real Analysis : Fourt Edition, John Wiley & Spns, Inc.
Fraleigh,  (1976), A  First  Course  in  Abstract  Algebra :  Second  Edition,  Addison-Wesley Publishing Company.
Gratzer G, (2010), Lattice Theory : Foundation , Birkhauser.
Hirali S, Vasudeva H L, (2006), Metric Spaces , Springer-Verlag, London.
Umble R N, Han Z, (2015), Transformational Plane Geometry , CRC Press Taylor & Francis Group.