Rifa’i, dkk./ ROTASI, Vol. 25  No. 3  (Juli  2023) Hal. 16-25

## Komparasi Studi Numerik Dan Analitik Konduktivitas Termal Dua Dimensi Pada Kondisi
Steady-State
Ahmad Imam Rifa’i a, *, Zainuri Anwar a , Baiti Hidayati a , Muhammad Irfan Dzaky a Toni Okviyanto a , Tri Satya Ramadhoni a , Herlin Sumarna a ,
a Jurusan Teknik Mesin, Politeknik Negeri Sriwijaya Jl. Srijaya Negara, Bukit Besar – Palembang 30139 Indonesia *E-mail: imamrf@polsri.ac.id

## Abstract
Applications  for  heat  exchangers,  energy  storage,  and  thermal  management  systems  all  use  thermal conduction.  The  numerical  method  is  very  helpful  for  calculating  temperature  increases  and  for reducing  larger  experimental  processes.  In  this  research,  a  two-dimensional  steady  state  heat conduction  problem  of  a  square  plate  without  generating  heat  or  affecting  temperature distribution  is attempted to be solved using numerical methods. With the help of the Matlab programming language, algorithms were created and used to produce a numerical result utilizing the Finite Difference Methode numerical  approach.  The  outcomes  from  the  two  distinct  approaches  analytical  and  numerical  are compared  next  to  one  another.  The  accuracy  of  the  solution  approach  is  indicated  by  the  agreement between the analytical and numerical outcomes.
Kata kunci: matlab; steady state; thermal conductivity

## Abstrak
Aplikasi  untuk  penukar  panas,  penyimpanan  energi,  dan  sistem  manajemen  termal  semuanya menggunakan  konduksi  termal.  Metode  numerik  sangat  membantu  untuk  menghitung  kenaikan  suhu dan untuk mengurangi proses eksperimental yang lebih besar. Dalam penelitian ini, masalah konduksi panas  tunak  dua  dimensi  pelat  persegi  tanpa  menghasilkan  panas  atau  mempengaruhi  distribusi temperatur dicoba untuk diselesaikan dengan menggunakan metode numerik. Dengan bantuan bahasa pemrograman  Matlab,  algoritma  dibuat  dan  digunakan  untuk  menghasilkan  hasil  numerik  dengan menggunakan pendekatan numerik Metode Perbedaan Hingga. Hasil dari dua pendekatan analitis dan numerik  yang  berbeda  dibandingkan  satu  sama  lain.  Keakuratan  pendekatan  solusi  ditunjukkan  oleh kesepakatan antara hasil analitik dan numerik.
Kata kunci: konduktivitas termal; matlab; tunak

## 1. Pendahuluan
Konduksi  merupakan  perpindahan  kalor  dari  daerah  bersuhu  tinggi  ke  daerah  yang  bersuhu  rendah  dari  suatu benda yang diam.   Konduksi dapat terjadi pada benda padat, cairan maupun gas.  Bentuk umum dari persamaan kalor diperoleh  dari  hukum  kesetimbangan  energi  yaitu  energi  tidak  dapat  diciptakan  dan  tidak  dapat  dimusnahkan  tetapi dapat  dipindahkan  dari  satu  bentuk  ke  bentuk  lainnya.  Konduksi  termal  terdapat  pada  aplikasi  penukar  kalor, penyimpanan  energi  dan  sistem  manajemen  termal  [1,2].    Metode  perpindahan  kalor  konduksi  dipengaruhi  oleh  sifat termal  material,  konduktivitas  termal  dan  panas  spesifik  material  [3].  Metode  elemen  hingga  merupakan  metode numerik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  permasalahan  termal.  Perpindahan  kalor  konduksi  diterapkan  pada semua  bidang  sains  dan  teknik  seperti  pembangkit  listrik,  manufaktur,  kimia,  metalurgi,  pemrosesan  material  hingga pengujian  material  tidak  merusak  [4].  Konduktivitas  termal  dua  dimensi  dengan  kondisi  batas  yang  sederhana  dapat diselesaikan  dengan  bantuan  metode  numerik  seperti  metode  elemen  batas  (BEM),  metode  volume  hingga  (FVM), metode beda hingga (FDM) dan metode elemen hingga (FEM). Kanjanakijkasem, 2015 menggunakan metode elemen hingga  untuk  memprediksi  kondisi  batas  pada  material  dan  kesetabilan  distribusi  suhu  [5].  Roy et  al ,  2017  meneliti tentang  konduktivitas  termal  menggunakan  metode  elemen  hingga  pada  kumparan  pemanas  air.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  metode  FEM  dapat  diterapkan  untuk  menyelesaikan  persamaan  konduksi  panas  dalam  kondisi tunak  [6].  Perpindahan  kalor  2  dimensi  pada  kondisi  tidak  tunak  telah  dilaporkan  oleh  Wang  and  Ni,  2019.  Metode numerik yang digunakan adalah metode beda hingga untuk mengetahui nilai koefisien perpindahan kalor yang terjadi pada  sistem  konduksi  termal  [7].  Kumar  et  al,  2020  melakukan  penelitian  tentang  komparasi  teknik  iterasi  pada konduktivitas  termal  2  dimensi  yang  terdiri  dari Jacobi,   Gauss    Seidel    &    Successive    over-relaxation pada kondisi tunak  dan  tidak  tunak.  Pada  perpindahan  kalor  transien,  metode  SOR  merupakan  metode  yang  paling  efektif  dalam
menyelesaikan  analisis  perpindahan  kalor  [8].  Tadeparti  and  Nandigama,  2022  melakukan  pengembangan  metode numerik menggunakan Distributed Artificial neural network (DANN) [9]. Tawade, 2022 melaporkan adanya kesesuaian antara hasil analitik dan numerik yang merupakan metode penyelesaian yang akurat dalam menyelesaikan permasalahan konduktivitas  kalor  dua  dimensi  dari  pelat  baja  persegi  panjang.  Metode  numerik  sangat  efisien  untuk  menyajikan kesalahan ≤ 3%, untuk kasus tanpa dan dengan pembangkitan sumber kalor [10]. Keterbaruan dari penelitian ini adalah konduktivitas kalor 2 dimensi dianalisis dengan menggunakan studi numerik dan analitik. Solusi numerik menggunakan metode finite  difference  methode (FDM)  sedangkan  studi  analitik  dibangun  dengan  mengembangkan  bahasa pemograman visual  basic  for  application (VBA)  selanjutnya    simulasi  distribusi  kalor  menggunakan  bahasa pemograman Matlab .  Solusi komputasi dan analitik kemudian dibandingkan sehingga metode numerik menjadi lebih akurat dan efisien.

## 2. Material dan metode penelitian
Pada penelitian ini konduktivitas kalor dua dimensi dianalisis pada pelat datar dengan dimensi 100 x 100 x 2 mm. Material  pelat  yang  digunakan  dalam  analisis  perpindahan  kalor  konduksi  2  dimensi  terbuat  dari  material  pelat  baja. Asumsi pada penelitian ini adalah: (1) konduksi kalor 2D dalam kondisi tunak, (2) sifat material yang konstan dan tidak adanya  sumber  kalor  internal  (3)  perpindahan  kalor  konveksi  dan  radiasi  diabaikan.  Dimensi  dari  pelat  datar  yang digunakan dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Dimensi pelat

## 2.1  Data Processing
Untuk menetapkan distribusi kalor pada suatu zat padat, metode numerik sering kali digunaka dalam perhitungan perpindahan  kalor.  Metode  yang  paling  banyak  digunakan  adalah  metode  beda  hingga  dan  metode  elemen  hingga. Metode beda hingga didasarkan  pada persamaan diferensial dari konduktivitas termal yang ditransformasikan menjadi persamaan  numerik.  Nilai  suhu  akan  dihitung  dalam  titik  ( node )  jaringan.  Sedangkan  metode  elemen  hingga berdasarkan pada persamaan integral dari konduktivitas termal. Perpindahan kalor konduksi dua dimensi untuk kondisi tunak dalam koordinat Cartesian dapat ditulis oleh persamaan (1)
0 2 2 2 2 =   +   y T x T (1)
dimana x dan y masing-masing merupakan  koordinat horizontal dan vertikal. T adalah suhu lokal pada posisi  tertentu ( x,y ). k adalah  konduktivitas  termal  dari  pelat.  Persamaan  (1)  merupakan  persamaan  dasar  dari Laplace  Equation . Turunan pada lokasi titik ( node ) interior ( x,y ) pada persamaan (1) dapat didekati dengan persamaan (2) dan (3)
2 , 2 2 ) , ( ) , ( 2 ) , ( x y x x T y x T y x x T x T y x   − + −  + =         (2)
2 , 2 2 ) , ( ) , ( 2 ) , ( y y y x T y x T y y x T y T y x   − + −  + =         (3)
substitusi koordinat spasial pada persamaan  (2) dan (3) sebagai indeks berjalan : ( x,y ) sebagai ( m,n ), ( x+Δx,y ) sebagai ( m+1,n ) dan ( x-Δx,y ) sebagai ( m-1,n ), ( x,y+Δy ) sebagai ( m,n+1 ) dan ( x,y- Δy ) sebagai ( m,n-1 ) merupakan representasi berbasis perbedaan hingga yang dihasilkan dari persamaan (1) seperti yang ditunjukkan pada persamaan (4) di bawah ini. Di sini nilai konduktivitas termal ( k ) diasumsikan konstan di seluruh pelat.
( )
( ) 2 ) 1 , ( ) , ( ) 1 , ( 2 ) , 1 ( ) , ( ) , 1 ( 2 2 y T T x T T T n m T n m n m n m n m n m  + − +  + − − + − + (4)
Jika suhu di Δx= Δy, maka persamaan (4) dapat disubstitusi menjadi persamaan (5) dibawah ini
0 4 , , 1 , 1 1 , 1 , = − + + + − + − + n m n m n m n m n m T T T T T (5)
Pelat datar 2D pada arah horizontal telah di identifikasikan dengan m sedangkan arah vertical di identifikasi dengan n yang  terbagi  menjadi  kisi-kisi  dengan  interval  ( Δx dan Δy) yang  sama.  Arah x dan y terbagi  oleh  1  titik  ( m,n )  yang digunakan  sebagai  node  dalam  perhitungan  iterasi.  Persamaan  (5)  selanjutnya  dimasukkan  kedalam  proses  iterasi dengan nilai  iterasi  maksimum  dan  perubahan  nilai  maksimum  masing-masing  adalah 100  dan  0,001.  Sisi  pelat  datar memiliki  masing-masing  suhu T top =  100 o C, T buttom =  20 o C, T left =  100 o C, T right =  100 o C.  Titik  konfigurasi  persamaan beda-hingga ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 2. Titik konfigurasi persamaan beda-hingga
Solusi analitik dari perpindahan kalor konduksi 2D ditunjukkan pada persamaan (6). Kesalahan maksimum antara persamaan  numerik  dan  analitik  berada  pada  kisaran  kurang  dari  5%.  Setelah  dilakukan  validasi  program Matlab dilakukan, selanjutnya analisis numerik lanjutan juga telah dilakukan.
L y n L x n A T
n n y x   sinh sin 1 ) , (   = = (6)
where A n ’s are constant determined from boundary condition at y = l y .
Untuk
x y l l n T A n A L x T x f   sinh ; 1 ; 0 , sin ) ( 0 1 0 = =  = x x x x l l l y l x y x T T    sinh sinh sin 0 ) , ( = (7)

## 2.2  Visual Basic for Application (VBA)
Visual  Basic  for  Application  (VBA) merupakan  program  berbasis  Windows  mulai  yang  sederhana  sampai pemrograman  yang  lebih  kompleks.  Program Visual  Basic  for  Application  (VBA) digunakan  untuk  memvalidasi perhitungan  data  yang  menggunakan  analisis  numerik.  Selanjutnya  solusi  analitik  pada  persamaan  (8),  (8a-8d) selanjutnya dijadikan bahasa pemograman visual basic .
       
          +       − +                   +       − =   =
b ny b ny D b y a n C a ny a ny B a y b n A T n n n n n y x       sin sinh ) ( sinh sin sinh ) ( sinh 1 ) , ( (8)        = a Buttom n dx a nx x T a bn a A 0 , sin ) ( ) / sinh( 2 
 n = 1, 2, …. (8a)

      = a Top n dx a nx x T a bn a B 0 , sin ) ( ) / sinh( 2   n = 1, 2, …. (8b)
       = b Left n dy b ny x T b bn b C 0 , sin ) ( ) / sinh( 2   n = 1, 2, …. (8c)
       = b Right n dy b ny y T b an b D 0 , sin ) ( ) / sinh( 2   n = 1, 2, …. (8d)
Berdasarkan hasil substitusi solusi analitik pada persamaan (8a-8d) atau yang lebih dikenal dengan VBA Laplace Equation , selanjutnya dikembangkan dengan menambahkan module visual basic pada menu Developer Microsoft excel , sehingga program VBA dapat dijalankan melalui formula Microsoft Excel = laplace ( arah x,m : arah y,n) . Module VBA Laplace Equation yang digunakan pada penelitian ini dapat dilihat pada Tabel 1.

## Tabel 1. Module VBA Laplace Equation

## Program
Public Const PI = 3.14159265358979, Nmax = 25 Public Function laplace(x, y) S = 0 For n = 1 To Nmax An = 40 * (1 - Cos(PI * n)) / (PI * n * WorksheetFunction.Sinh(PI * n)) Bn = 5 * An Cn = 5 * An Dn = 5 * An T1 = An * Sin(PI * n * x) * WorksheetFunction.Sinh(PI * n * (1 - y)) T2 = Bn * Sin(PI * n * x) * WorksheetFunction.Sinh(PI * n * y) T3 = Cn * WorksheetFunction.Sinh(PI * n * (1 - x)) * Sin(PI * n * y) T4 = Dn * WorksheetFunction.Sinh(PI * n * x) * Sin(PI * n * y) S = S + T1 + T2 + T3 + T4
Next n laplace = S

## 2.3.  Matlab
Program Matlab juga  telah  dikembangkan  untuk  mensimulasikan  distribusi  suhu  yang  telah  didapatkan berdasarkan  hasil  perhitungan  numerik  dan  analitik. Editor pada  program Matlab telah  dibuat  berdasarkan  dimensi bangun datar yang berbentuk persegi sehingga nilai y=x . Masukkan program terdiri dari 19 baris perintah. Baris ke 1-6 merupakan  pengaturan  awal  untuk  pembuatan  tabel  iterasi  dan  penentuan  posisi cell batas  distribusi  suhu.  Baris  7-8 merupakan kondisi suhu batas pada pelat datar yang terdiri dari T top = 100 o C, T buttom = 20 o C, T left = 100 o C, T right = 100 o C dengan  besaran  nilai dx=0.01 dengan  tingkat  toleransi  0,001.  Selanjutnya  persamaan  (5)  diterjemahkan  ke  dalam program Matlab pada line 9 – 14 untuk menghasilkan nilai dari perhitungan iterasi. Distribusi suhu dari 4 (empat) sisi pelat diilustrasikan oleh program Matlab line 18-19. Program Matlab yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Program Matlab R2017a
Line Persamaan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
clc clear close dx=0.01; x=0:dx:1;y=x; T0=ones(length(x),length(y)) % Initial value T0(1,:)=100; T0(end,:)=20; T0(:,1)=100; T0(:,end)=100; T=T0; error=1; Tol=0.001; while abs(error)>Tol for m=2:length(y)-1 for n=2:length(x)-1 T(m,n)=(T0(m+1,n)+T0(m-1,n)+T0(m,n+1)+T0(m,n-1))/4; end end error=max(max(T-T0));
16
17
18 19
T0=T; end
pcolor(x,y,flip(T)),shading interp , colormap jet colorbar,xlabel( 'x(m)' ),ylabel( 'y(m)' ),title( 'T(^oC)' )

## 3. Hasil dan Pembahasan
Hasil  penelitian  diambil  berdasarkan  hasil  iterasi  perpindahan  kalor  konduksi  dua  dimensi  untuk  kondisi  tunak dengan menggunakan analisis numerik dan analitik. Perpindahan kalor konduksi dua dimensi terdiri dari arah x dan arah y .  Arah x dan y memiliku  10  titik  konfigurasi  ( node )  masing-masing  yang  terdiri  dari m=0 hingga m=10 dan n=0 hingga n=10. Node m,n=0 merupakan node suhu  untuk  kondisi  batas  kiri  dan  bawah,  sedangkan m,n=10 merupakan suhu  kondisi  batas  bagian  kanan  dan  atas  dari  pelat  datar.  Perhitungan  iterasi  numerik  dilakukan  pada  nodal m,n=1 hingga m,n=9. Hasil perhitungan numerik dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Hasil iterasi numerik
1 n = 10 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 0.90 n = 9 100 99.1 98.3 97.7 97.3 97.2 97.3 97.7 98.3 99.1 100 0.80 n = 8 100 98.1 96.5 95.2 94.3 94.1 94.3 95.2 96.5 98.1 100 0.70 n = 7 100 97.0 94.3 92.2 90.8 90.4 90.8 92.2 94.3 97.0 100 0.60 n = 6 100 95.4 91.4 88.4 86.5 85.8 86.5 88.4 91.4 95.4 100 0.50 n = 5 100 93.4 87.7 83.4 80.9 80.0 80.9 83.4 87.7 93.4 100 0.40 n = 4 100 90.4 82.4 76.8 73.5 72.4 73.5 76.8 82.4 90.4 100 0.30 n = 3 100 85.7 74.9 67.8 64.0 62.8 64.0 67.8 74.9 85.7 100 0.20 n = 2 100 77.5 63.5 55.7 51.8 50.6 51.8 55.7 63.5 77.5 100 0.10 n = 1 100 60.9 46.0 39.7 36.9 36.1 36.9 39.7 46.0 60.9 100 0 n = 0 60 20 20 20 20 20 20 20 20 20 60 y m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 m = 6 m = 7 m = 8 m = 9  m = 10 x 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1
Dalam iterasi perpindahan kalor konduksi dua dimensi untuk kondisi tunak dilakukan dengan bantuan program visual basic for application ( VBA ) dengan node yang digunakan adalah arah x dan y dengan menerakan formula = laplace ( arah x,m : arah y,n) . Iterasi dilakukan pada node m,n=0 hingga m,n=10 . Hasil perhitungan analitik dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil iterasi analitik 1 n = 10 101.5 102 103 98 99 102 99 98 103 102 101.5 0.90 n = 9 102 99.1 98.3 97.7 97.3 97.2 97.3 97.7 98.3 99.1 102 0.80 n = 8 103 98.2 96.5 95.2 94.4 94.1 94.4 95.2 96.5 98.2 103 0.70 n = 7 98 97.0 94.3 92.2 90.9 90.4 90.9 92.2 94.3 97.0 98 0.60 n = 6 99 95.5 91.5 88.4 86.5 85.9 86.5 88.4 91.5 95.5 99 0.50 n = 5 102 93.5 87.8 83.5 80.9 80.0 80.9 83.5 87.8 93.5 102 0.40 n = 4 99 90.6 82.6 76.8 73.5 72.4 73.5 76.8 82.6 90.6 99 0.30 n = 3 98 86.0 75.0 67.8 63.8 62.6 63.8 67.8 75.0 86.0 98 0.20 n = 2 103 78.1 63.5 55.5 51.5 50.3 51.5 55.5 63.5 78.1 103 0.10 n = 1 102 60.9 45.4 39.2 36.6 35.9 36.6 39.2 45.4 60.9 102 0 n = 0 60.9 20 21 20 20 20 20 20 21 20 60.9 y m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 m = 6 m = 7 m = 8 m = 9 m = 10 x 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1
Studi  analitik  digunakan  sebagai  dasar  perhitungan  komputasi  konduktivitas  termal  dengan  metode  beda  hingga harus memiliki kesepakatan yang sama pada nilai perpindahan kalor konduksi yang dihasilkan pada sebuah pelat datar. Dari hasil penelitian di laporkan bahwa studi numerik metode beda hingga yang dilakukan memiliki kesepakatan yang baik dengan studi analitik hasil pengembangan program VBA. Komparasi dilakukan pada semua sisi dari arah y 0 / n=1 hingga y 1 / n=9 dan arah x 0 / m=1 hingga x 1 / m=9 . Hasil penelitian menunjukkan kesesuaian antara nilai perhitungan analitik dan numerik berada pada kisaran kurang dari 3%. Komparasi antara nilai hasil perhitungan numerik dan analitik dapat dilihat pada Gambar 3.
Rifa’i, dkk./ ROTASI, Vol. 25  No. 3  (Juli  2023) Hal. 16-25
Gambar 3. Komparasi antara numerik dan analitik
Gambar 4. Kontur suhu pada pelat
Gambar 4 menunjukkan visualisasi suhu yang terjadi pada pelat datar pada arah sumbu x dan y . Kontur suhu dapat memberikan gambaran yang jelas tentang tegangan termal ( thermal stress ) yang dialami oleh pelat pada kondisi tunak. perpindahan kalor dari daerah bersuhu tinggi ke daerah yang bersuhu rendah dari suatu benda yang diam. Perpindahan kalor konduksi  tersebut  dipengaruhi oleh sifat termal material, konduktivitas termal dan panas spesifik material. Oleh karena  itu  teknisi  dapat  mengembangkan  teknik  yang  tepat  dalam  melaksanakan  pekerjaan  teknik  dengan mempertimbangkan konsentrasi tegangan termal yang dialami oleh pelat.

## 4. Kesimpulan
Konduktivitas  kalor  dua  dimensi  pelat  datar  pada  kondisi steady-state telah  dilakukan  dengan  menggunakan metode  analitik  dan  numerik  sehingga  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  studi  analitik  dapat  digunakan  sebagai  dasar perhitungan  komputasi  konduktivitas  termal  pada  sebuah  pelat  datar.  Selanjutnya  luaran  program Matlab dapat menghasilkan kontur suhu  yang menggambarkan variasi suhu yang terjadi pada setiap sisi pelat. Metode numerik dan analitik memiliki nilai kesesuaian yang sangat baik yaitu ≤ 3%.

## Ucapan Terima Kasih
Penelitian ini di dukung oleh Jurusan Teknik Mesin Politeknik Negeri Sriwijaya.

## Daftar Pustaka
[1]  Yohana E, Suryo MT, Ambari I, Permana R, Indrayani NL. Analisis Perpindahan Panas dan Exergi pada Boiler Wanson I Tipe Fire Tube. Rotasi. 2018;20(2):78.
[2]  Utomo  MTS,  Yohana  E,  Khoiriyah  MA.  Analisis  Distribusi  Temperatur  dan  Aliran  Fluida  pada  Proses Pengeringan  Butiran  Teh  Bentuk  Silinder  Di  Dalam  Fluidized  Bed  Dryer  Menggunakan  Computational  Fluid Dynamic (CFD). Rotasi. 2019;20(4):237.
[3]  Sârbu  I.  Numerical  analysis  of  two  dimensional  heat  conductivity  in  steady  state  regime.  Period  Polytech  Mech Eng. 2005;49(2):149–62.
[4]  Mo  JPT,  Cheung  SCP,  Das  R.  Two-Dimensional  and  Transient  Heat  Conduction.  Demystifying  Numer  Model. 2019;87–107.
[5]  Kanjanakijkasem W. A finite element method for prediction of unknown boundary conditions in two-dimensional steady-state  heat  conduction  problems.  Int  J  Heat  Mass  Transf  [Internet].  2015;88:891–901.  Available  from: http://dx.doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2015.05.019
[6]  Roy D, Kumar A, Kumar P. A mathematical analysis of two dimensional steady state heat conduction in the coil of an induction heater using finite element method. 2017;97(3):214–9.
[7]  Wang  S,  Ni  R.  Solving  of  Two-Dimensional  Unsteady-State  Heat-Transfer  Inverse  Problem  Using  Finite Difference Method and Model Prediction Control Method. Complexity. 2019;2019.
[8]  Kumar R, Kumar V, Sinha A. 2-D Heat Conduction Analysis of a Square Slab for Steady and Transient Behaviour Using Various Iterative Solvers Abstract : 2020;3(6):1218–23.
[9]  Tadeparti  S,  Nandigana  VVR.  Convolutional  neural  networks  for  heat  conduction.  Case  Stud  Therm  Eng [Internet]. 2022;38(September 2021):102089. Available from: https://doi.org/10.1016/j.csite.2022.102089
[10]  Prof. S. V. Tawade. Comparative Analysis of Two-Dimensional Steady State Heat Flow Problem of a Rectangular Plate by Analytical and Numerical Approach. Int J Adv Res Sci Commun Technol. 2022;2(1):405–12.