Abstrak —Diberikan graf terhubung 𝑮𝑮 dengan himpunan simpul 𝑽𝑽 ( 𝑮𝑮 ) , dan simpul 𝒖𝒖 , 𝒗𝒗 ∈ 𝑽𝑽 ( 𝑮𝑮 ) . Jarak antara 𝒖𝒖 dan 𝒗𝒗 , dinotasikan 𝒅𝒅 ( 𝒖𝒖 , 𝒗𝒗 ) , didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari 𝒖𝒖 ke 𝒗𝒗 pada 𝑮𝑮 . Jika 𝑾𝑾 = { 𝒘𝒘 𝟏𝟏 , 𝒘𝒘 𝟐𝟐 , 𝒘𝒘 𝟑𝟑 , … , 𝒘𝒘 𝒌𝒌 } himpunan terurut dari simpul-simpul  dalam graf terhubung 𝑮𝑮 dan 𝒗𝒗 ∈ 𝑽𝑽 ( 𝑮𝑮 ) , maka representasi dari 𝒗𝒗 terhadap 𝑾𝑾 adalah 𝒓𝒓 ( 𝒗𝒗 | 𝑾𝑾 ) = ( 𝒅𝒅 ( 𝒗𝒗 , 𝒘𝒘 𝟏𝟏 ), 𝒅𝒅 ( 𝒗𝒗 , 𝒘𝒘 𝟐𝟐 ), … , 𝒅𝒅 ( 𝒗𝒗 , 𝒘𝒘 𝒌𝒌 )) . Jika 𝒓𝒓 ( 𝒗𝒗 | 𝑾𝑾 ) untuk setiap 𝒗𝒗 ∈ 𝑽𝑽 ( 𝑮𝑮 ) berbeda, maka 𝑾𝑾 dikatakan sebagai himpunan pembeda dari 𝑮𝑮 . Himpunan pembeda dengan banyak anggota minimum disebut dimensi metrik dan dinotasikan 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 ( 𝑮𝑮 ) . Apabila representasi untuk setiap dua simpul yang bertetangga di 𝑽𝑽 ( 𝑮𝑮 ) berbeda terhadap 𝑾𝑾 , maka W  dikatakan sebagai himpunan pembeda lokal dari 𝑮𝑮 . Himpunan pembeda lokal dari 𝑮𝑮 dengan banyak anggota minimum disebut dimensi metrik lokal  dari 𝑮𝑮 yang dinotasikan dengan 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒍𝒍 ( 𝑮𝑮 ) . Pada penelitian ini diperoleh dimensi metrik lokal dari graf hasil operasi amalgamasi pada graf lengkap dengan graf roda dan graf kincir.
Kata Kunci —Dimensi Metrik, Dimensi Metrik Lokal, Amalgamasi Graf.
I. PENDAHULUAN UATU graf 𝐺𝐺 terdiri atas dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) yang unsur-unsurnya disebut simpul dan himpunan (mungkin kosong) 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) yang unsur-unsurnya disebut sisi, sedemikian hingga setiap sisi 𝑒𝑒 dalam 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) merupakan pasangan dari simpul-simpul di ( 𝐺𝐺 ) , yang dinotasikan 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) [1]. Diberikan suatu himpunan terurut 𝑊𝑊 = { 𝑤𝑤 1 , 𝑤𝑤 2 , 𝑤𝑤 3 , … , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 } dari simpul-simpul  dalam graf terhubung 𝐺𝐺 dan simpul 𝑣𝑣 di 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) , maka representasi dari simpul 𝑣𝑣 terhadap 𝑊𝑊 adalah 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) = ( 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 1 ), 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 2 ), … , 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 )) . Jika 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) untuk setiap simpul 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) berbeda, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda dari 𝐺𝐺 . Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tersebut dinamakan dimensi metrik dari 𝐺𝐺 , yang dinotasikan dim ( 𝐺𝐺 ) . Apabila 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 | 𝑊𝑊 ) untuk setiap dua simpul yang bertetangga di 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) dengan 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) adalah berbeda, maka 𝑊𝑊 dikatakan sebagai himpunan pembeda lokal dari 𝐺𝐺 . Himpunan pembeda lokal dengan kardinalitas minimum disebut dimensi metrik lokal dari 𝐺𝐺 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐺𝐺 ) [2].

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Amalgamasi
Dalam membentuk sebuah graf baru, salah satu cara yang dapat dilakukan yaitu dengan menggunakan operasi
amalgamasi. Amalgamasi simpul dari pasangan simpul graf ( 𝐺𝐺 , 𝑢𝑢 ) bersama ( 𝐻𝐻 , 𝑣𝑣 ) adalah graf yang diperoleh dengan menggabungkan simpul dan menjadi satu simpul . Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi amalgamasi adalah “ * ” (apabila hanya diambil satu simpul dari masingmasing graf) atau “ ∗ 2 ” (apabila diambil dua simpul dari masing –masing graf) [3]. Dalam pengerjaan  studi  ini akan digunakan dua jenis amalgamasi,yaitu amalgamasi pusat dan amalgamasi tepi.

## B. Amalgamsi Pusat
Amalgamasi pusat dari 𝐾𝐾 𝑛𝑛 & 𝑊𝑊 𝑚𝑚 atau 𝐾𝐾 𝑛𝑛 & 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 adalah operasi pada graf dengan menghimpitkan sebarang simpul di 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dengan simpul pusat di 𝑊𝑊 𝑚𝑚 atau 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 . Simpul Pusat graf roda 𝑊𝑊 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ≥ 5 adalah simpul pada graf roda yang bertetangga dengan semua simpul lain di 𝑊𝑊 𝑚𝑚 . Simpul Pusat graf kincir 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ≥ 2 adalah simpul di graf kincir yang bertetangga dengan semua simpul lain di 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 . Amalgamasi pusat pada sebarang graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan 𝑊𝑊 𝑚𝑚 atau 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dinotasikan dengan 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑣𝑣 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑢𝑢 )) . Contoh dari graf hasil amalgamasi pusat ditunjukkan pada Gambar 1.

## C. Amalgamsi Tepi
Amalgamasi tepi dari 𝐾𝐾 𝑛𝑛 & 𝑊𝑊 𝑚𝑚 atau 𝐾𝐾 𝑛𝑛 & 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 adalah operasi pada graf dengan menghimpitkan sebarang simpul di 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dengan simpul tepi di 𝑊𝑊 𝑚𝑚 atau 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 .Simpul tepi graf roda 𝑊𝑊 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ≥ 5 adalah simpul di graf roda yang berderajat tiga. Simpul tepi graf kincir 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 , 𝑑𝑑 ≥ 2 adalah simpul pada graf kincir yang berderajat dua. Amalgamasi tepi pada sebarang graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan 𝑊𝑊 𝑚𝑚 atau 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dinotasikan dengan 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑣𝑣 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑢𝑢 )) . Contoh dari graf hasil amalgamasi tepi ditunjukkan pada Gambar 2.

## III. PEMBAHASAN
A. Dimensi Metrik Lokal Hasil Amalgamasi Pusat Graf Roda dan Graf Lengkap
1) Teorema 4.1 Jika amalgamasi pusat dari sebuah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf roda 𝑊𝑊 𝑚𝑚 dinotasikan sebagai 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � , 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑛𝑛 ∈ ℤ
dan, 𝑑𝑑 > 5 , 𝑑𝑑 ∈ ℤ , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 . Bukti: Misalkan 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � adalah graf dengan 𝑛𝑛 ≥ 1 dan > 5 . Pertama akan dicari batas atas dari dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � . Simpul-simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 yang

## Dimensi Metrik Lokal pada Amalgamasi Graf Lengkap dengan Graf Roda dan Graf Kincir
Seagel Levin dan Darmaji Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : seagellevin@gmail.com
S
menjadi elemen 𝑊𝑊 adalah semua simpul pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 kecuali simpul bersama dan satu sebarang simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Sedangkan simpul 𝑊𝑊 𝑚𝑚 yang merupakan elemen 𝑊𝑊 adalah simpul tepi pada 𝑊𝑊 𝑚𝑚 berjumlah � 𝑚𝑚−1 4 � dengan syarat tidak ada 4 simpul tepi pada 𝑊𝑊 𝑚𝑚 yang bukan anggota 𝑊𝑊 yang berurutan. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan 𝑊𝑊 = { 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 , … 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 5 , … ) . Maka representasi dari semua simpul graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � adalah sebagai berikut 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1, … ,1,1,1, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = (0,1,1, … ,2,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,0,1, … ,2,2,2, … );
• •
• 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 1 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,0,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … 1,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 3 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … 2,2,2, … );
• •
•
Semua simpul anggota 𝑉𝑉 ( 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � ) memiliki representasi yang berbeda terhadap 𝑊𝑊 dengan anggota himpunan 𝑊𝑊 adalah | 𝑊𝑊 | = ( 𝑛𝑛 − 2) + � ( ( 𝑚𝑚−1 ) 4 ) � , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 . Selanjutnya akan di tunjukkan bahwa batas bawah dari dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) �� ≥ 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 . Di asumsikan 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal pada graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 . Ada 2 kemungkinan yang mungkin terjadi untuk pemilihan simpul pada 𝑊𝑊 . (1) Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ), | 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 )| < 𝑛𝑛 − 2 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama dan bertetangga.tanpa mengurangi keumuman, diambil dua simpul 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 dimana 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) dan 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 bukan merupakan simpul Bersama. Simpul bersama adalah simpul yang dilekatkan pada operasi amalgamasi graf . Maka 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,1, … ,2,2,2, … ).
(2)  Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ), | 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 )| < ( 𝑚𝑚−1 ) 4 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama dan bertetangga. Misal 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) dan 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 bukan merupakan simpul bersama. Maka 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2, … ,1,1,1, … ) Dari kemungkinan yang ditunjukkan pada Gambar 3 engan pemilihan simpul anggota 𝑊𝑊 dimana setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama dan bertetangga, jadi 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Ini bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal dari 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � . Karena telah ditunjukan bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 maka terbukti. □ Untuk kasus khusus yaitu 𝑛𝑛 = 2 , dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 ( 𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ))) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) , yang demikian dapat ditunjukkan dengan penjelasan berikut , misal 𝑎𝑎 1 merupakan satu-satunya simpul pada 𝐾𝐾 2 di 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) � yang bukan simpul bersama, oleh karena itu 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 2 . Jika 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 𝑛𝑛 , maka untuk sebarang 𝑊𝑊 representasi simpul 𝐾𝐾 2 adalah 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 1 ) ≠ 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 2 ) . Untuk kasus lain, 𝑊𝑊 𝑚𝑚 dengan 𝑑𝑑 = 5 , dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 5 ( 𝑏𝑏 ) � . 𝑊𝑊 𝑚𝑚 memiliki dimensi metrik lokal 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 5 ) = 2 , jadi dimensi metrik lokal untuk graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 5 ( 𝑏𝑏 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 5 ( 𝑏𝑏 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 2 − 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 1 .
B.  Dimensi Metrik Lokal Hasil Amalgamasi Tepi Graf Roda dan Graf Lengkap
1) Teorema 4.2 Jika amalgamasi tepi dari sebuah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf roda 𝑊𝑊 𝑚𝑚 dinotasikan sebagai 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚 ) � , 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑑𝑑 > 5 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 . Bukti: Misalkan 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � adalah graf dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 dan > 5 . Pertama akan dicari batas atas dari dimensi
Gambar 1. 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 ( 𝐾𝐾 6 ( 𝑎𝑎 6 ), 𝑊𝑊 2 3 ( 𝑐𝑐 )) . Gambar 2. 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 ( 𝐾𝐾 6 ( 𝑎𝑎 5 ), 𝑊𝑊 2 3 ( 𝑣𝑣 2 )) .
metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � . simpul-simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 yang menjadi elemen 𝑊𝑊 adalah semua simpul pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 kecuali simpul bersama dan satu sebarang simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Sedangkan simpul 𝑊𝑊 𝑚𝑚 yang merupakan elemen 𝑊𝑊 adalah simpul tepi pada 𝑊𝑊 𝑚𝑚 berjumlah � 𝑚𝑚−1 4 � − 1 dengan syarat tidak ada 4 simpul tepi pada 𝑊𝑊 𝑚𝑚 yang bukan anggota 𝑊𝑊 dan juga bukan merupakan simpul bersama yang berurutan. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan 𝑊𝑊 = { 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 , … , 𝑎𝑎 𝑛𝑛−2 , 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 5 , … ) .  Representasi  dari semua simpul graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � adalah sebagai berikut 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = (0,1,1, … ,2,3,3, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,0,1, … ,2,3,3, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,0, … ,2,3,3, … );
• • • 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 1 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,0,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 2 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … 1,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 3 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … 2,2,2, … );
• • •
𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,1,1,1, … ); Semua simpul anggota 𝑉𝑉 ( 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � ) memiliki representasi yang berbeda terhadap 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | = ( 𝑛𝑛 − 2) + � 𝑚𝑚−1 4 � − 1 , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa batas bawah dari dimensi metrik graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) �� ≥ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 . Di asumsikan 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal pada graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 . Ada 2 kemungkinan yang mungkin terjadi untuk pemilihan simpul pada 𝑊𝑊 . (1) Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ), | 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 )| < 𝑛𝑛 − 2 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama.tanpa mengurangi keumuman, diambil dua simpul 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 dimana 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) dan 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 bukan merupakan simpul bersama.. Maka 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1 … ,3,3,3, … ).
(2) Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ), | 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 )| < � 𝑚𝑚−1 4 � − 1 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama, karena satu dari simpul tepi graf 𝑊𝑊 𝑚𝑚 merupakan simpul bersama. Misal 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) dan 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑏𝑏 1 dan 𝑏𝑏 2 bukan merupakan simpul bersama, maka 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑏𝑏 2 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … ,1,1,1, … ) Dari kemungkinan yang ditunjukkan pada Gambar 4  dengan pemilihan simpul anggota 𝑊𝑊 dimana setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama, jadi 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Ini bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal dari 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � . Karena telah ditunjukan bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 maka terbukti. □ Untuk kasus khusus yaitu 𝑛𝑛 = 2 , dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) ,yang demikian dapat ditunjukkan dengan penjelasan berikut , misal 𝑎𝑎 1 , merupakan satu-satunya simpul pada 𝐾𝐾 2 di 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 ) � yang bukan simpul bersama, oleh karena itu 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 2 . Jika 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 𝑛𝑛 , maka untuk sebarang 𝑊𝑊 , representasi simpul 𝐾𝐾 2 adalah 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 1 ) ≠ 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 2 ) . Untuk kasus lain, 𝑊𝑊 𝑚𝑚 dengan 𝑑𝑑 = 5 , dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 5 ( 𝑏𝑏 4 ) � . 𝑊𝑊 5 memiliki dimensi metrik lokal 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 5 ) = 2 , jadi dimensi metrik lokal untuk graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 5 ( 𝑏𝑏 4 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 5 ( 𝑏𝑏 4 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 2 − 2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) .
C. Dimensi Metrik Lokal Hasil Amalgamasi Pusat Graf Kincir dan Graf Lengkap
1) Teorema 4.3
Jika amalgamasi pusat dari sebuah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf roda 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dinotasikan sebagai 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � , 𝑛𝑛 ≥ 3 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑑𝑑 ≥ 2 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ . Maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 1 . Bukti
Gambar 3. 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 )) . Gambar 4. 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 )) .
Misalkan 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � adalah graf dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 dan 𝑑𝑑 > 2 . diketahui bahwa dimensi metrik lokal dari graf lengkap adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) = 𝑛𝑛 − 1 dan dimensi metrik dari graf roda adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) = 𝑑𝑑 . Pertama akan dicari batas atas dari dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � . Misalkan Simpul-simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 yang menjadi elemen 𝑊𝑊 adalah semua simpul pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 kecuali simpul bersama dan satu sebarang simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Sedangkan simpul 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 yang merupakan elemen 𝑊𝑊 adalah simpul tepi pada 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 berjumlah 𝑑𝑑 dengan satu simpul tiap bilah pada 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 . Tanpa mengurangi keumuman, misalkan 𝑊𝑊 = { 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 , … , 𝑎𝑎 𝑛𝑛−2 , 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , … 𝑢𝑢 𝑚𝑚 ) . representasi dari semua simpul graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � adalah sebagai berikut
𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = (0,1,1, … ,2,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,0,1. … ,2,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 3 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,0, … ,2,2,2, … ); • • • 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 1 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,0,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,1,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,2,0,2, … ); • • • 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1, … ,1,1,1, … ); Semua simpul anggota 𝑉𝑉 ( 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � ) memiliki representasi yang berbeda terhadap 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | = ( 𝑛𝑛 − 2) + 𝑑𝑑 , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 1 . Selanjutnya akan di tunjukkan bahwa batas bawah dari dimensi metrik graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) �� ≥ 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 1 . Di asumsikan 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal pada graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 1 . Ada 2 kemungkinan yang mungkin terjadi untuk pemilihan simpul pada 𝑊𝑊 . (1) Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) < 𝑛𝑛 − 2 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama.tanpa mengurangi keumuman, diambil dua simpul 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 dimana 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) dan 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 bukan merupakan simpul Bersama.. Maka
𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,1 … ,2,2,2). (2) Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ), | 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 )| < 𝑑𝑑 − 1 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama, karena satu dari simpul tepi graf 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 merupakan simpul bersama. Misal 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) dan 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑢𝑢 1 dan 𝑣𝑣 1 bukan merupakan simpul bersama. Maka 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 2 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,… ,1,1,1) Dari kemungkinan yang ditunjukkan pada Gambar 5  dengan pemilihan simpul anggota 𝑊𝑊 dimana setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama, jadi 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Ini bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal dari 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � . Karena telah ditunjukan bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 maka pembuktian teorema ini telah selesai. □ Untuk kasus khusus yaitu 𝑛𝑛 = 2 , dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) , yang demikian dapat ditunjukkan dengan penjelasan berikut, misal 𝑎𝑎 1 , merupakan satu-satunya simpul pada 𝐾𝐾 2 di 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) � yang bukan simpul bersama, oleh karena itu 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 2 . Jika 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 𝑛𝑛 , maka untuk sebarang 𝑊𝑊 , representasi simpul 𝐾𝐾 2 adalah 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 1 ) ≠ 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 2 ) . Untuk kasus lain, ketika 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dengan 𝑑𝑑 = 1 , graf 𝑊𝑊 2 1 isomorfis dengan 𝐾𝐾 3 , dengan kata lain graf 𝑊𝑊 2 1 tidak memiliki simpul pusat maupun simpul tepi, oleh karena itu dimensi metrik lokal dari 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 1 ( 𝑐𝑐 ) � tidak dapat dicari.
D. Dimensi Metrik Lokal Hasil Amalgamasi Tepi Graf Kincir dan Graf Lengkap 1) Teorema 4.4 Jika amalgamasi tepi dari sebuah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf kincir 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dinotasikan sebagai 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � , 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑑𝑑 ≥ 2 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ . maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 . Bukti : Misalkan 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � adalah graf dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 dan 𝑑𝑑 ≥ 2 .diketahui bahwa dimensi metrik lokal dari graf lengkap adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) = 𝑛𝑛 − 1 dan dimensi metrik dari graf roda adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) = 𝑑𝑑 . Pertama akan dic ari batas atas dari dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � .
Gambar 5. 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 )) . Gambar 6. 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 )) .
Misalkan Simpul-simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 yang menjadi elemen 𝑊𝑊 adalah semua simpul pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 kecuali simpul bersama dan satu sebarang simpul 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Sedangkan simpul 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 yang merupakan elemen 𝑊𝑊 adalah simpul tepi pada 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 berjumlah 𝑑𝑑 − 1 dengan 1 simpul pada tiap bilah, kecuali bilah dari simpul bersama . Tanpa mengurangi keumuman, misalkan 𝑊𝑊 = { 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 , … , 𝑎𝑎 𝑛𝑛−2 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , … 𝑢𝑢 𝑚𝑚−1 ) .  representasi dari semua simpul graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � adalah sebagai berikut 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = (0,1,1, … ,3,3,3, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,0,1. … ,3,3,3, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 3 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,0, … ,3,3,3, … );
• •
• 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1, … ,2,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 1 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … ,0,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … ,1,2,2, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 2 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … ,2,0,2, … );
• •
• 𝑟𝑟 ( 𝑐𝑐 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,1,1,1, … ); 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 𝑚𝑚 | 𝑊𝑊 ) = (2,2,2, … ,2,2,2, … ); Semua simpul anggota 𝑉𝑉 ( 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � ) memiliki representasi yang berbeda terhadap 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | = ( 𝑛𝑛 − 2) + 𝑑𝑑 − 1 , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 . Selanjutnya akan di tunjukkan bahwa batas bawah dari dimensi metrik graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) �� ≥ 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 . Di asumsikan 𝑊𝑊 adalah himpunan pembeda lokal pada graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 . Ada 2 kemungkinan yang mungkin terjadi untuk pemilihan simpul pada 𝑊𝑊 . a. Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ),| 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 )| < 𝑛𝑛 − 2 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama.tanpa mengurangi keumuman, diambil dua simpul 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 dimana 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) dan 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑎𝑎 1 dan 𝑎𝑎 2 bukan merupakan simpul Bersama.. Maka 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑎𝑎 2 | 𝑊𝑊 ) = (1,1,1 … ,3,3,3). b, Jika simpul anggota 𝑊𝑊 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ), | 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 )| < 𝑑𝑑 − 1 maka setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama, karena satu dari simpul tepi graf 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 merupakan simpul bersama. Misal 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) dan 𝑢𝑢 1 , 𝑣𝑣 1 ∉ 𝑊𝑊 , serta 𝑢𝑢 1 dan 𝑣𝑣 1 bukan merupakan simpul bersama. Maka 𝑟𝑟 ( 𝑢𝑢 1 | 𝑊𝑊 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑣𝑣 1 | 𝑊𝑊 ) = (3,3,3, … ,2,2,2) Dari kemungkinan yang ditunjukkan pada Gambar 6  dengan pemilihan simpul anggota 𝑊𝑊 dimana setidaknya ada dua simpul yang memiliki representasi yang sama, jadi 𝑊𝑊 dengan | 𝑊𝑊 | < 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Ini bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑊𝑊
adalah himpunan pembeda lokal dari 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � . Karena telah ditunjukan bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) �� ≤ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 maka pembuktian teorema ini telah selesai. □ Untuk kasus khusus yaitu 𝑛𝑛 = 2 , dimensi metrik lokal graf 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) , yang demikian dapat ditunjukkan dengan penjelasan berikut, Misal 𝑎𝑎 1 , merupakan satu-satunya simpul pada 𝐾𝐾 2 di 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 2 ( 𝑎𝑎 2 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � yang bukan simpul bersama, oleh karena itu 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 2 . Jika 𝑎𝑎 1 hanya bertetangga dengan 𝑎𝑎 𝑛𝑛 , maka untuk sebarang 𝑊𝑊 , representasi simpul 𝐾𝐾 2 adalah 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 1 ) ≠ 𝑟𝑟 ( 𝑊𝑊 | 𝑎𝑎 2 ) . Untuk kasus lain, ketika 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dengan 𝑑𝑑 = 1 , graf 𝑊𝑊 2 1 isomprfis dengan 𝐾𝐾 3 , dengan kata lain graf 𝑊𝑊 2 1 tidak memiliki simpul pusat maupun simpul tepi, oleh karena itu dimensi metrik lokal dari 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 1 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) � tidak dapat cari.

## IV. KESIMPULAN
1. Dimensi metrik lokal dari graf hasil amagamasi pusat dari graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf roda 𝑊𝑊 𝑚𝑚 dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑛𝑛 ∈ ℤ dan, 𝑑𝑑 > 5 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 1 . 2. Dimensi metrik lokal dari graf hasil amagamasi tepi dari graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf roda 𝑊𝑊 𝑚𝑚 dengan 𝑛𝑛 ≥ 3 , 𝑛𝑛 ∈ ℤ dan, 𝑑𝑑 > 5 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ( 𝑏𝑏 𝑚𝑚 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 𝑚𝑚 ) − 2 . 3. Dimensi metrik lokal dari graf hasil amalgamasi pusat dari graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf kincir 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dengan ≥ 3 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑑𝑑 ≥ 2 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 1 . 4. Dimensi metrik lokal dari graf hasil amalgamasi tepi dari graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dan graf kincir 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 dengan ≥ 3 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑑𝑑 ≥ 2 , dan 𝑑𝑑 ∈ ℤ adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 �𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 �𝐾𝐾 𝑛𝑛 ( 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ), 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 𝑚𝑚 ) �� = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙 ( 𝑊𝑊 2 𝑚𝑚 ) − 2 .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] N. Ibrahim, Pengantar Kombinatorika & Teori Graf . Yogyakarta: Graha Ilmu, 2013.
[2] F. Okamoto, B. Phinezy, and P. Zhang, “The Local Metric Dimension of a Graph,” Math. Bohem. , vol. 135, no. 3, pp. 239–255, 2010.
[3] R. Ardiyansah and Darmaji, “Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf,” J. Sains dan Seni POMITS , vol. 2, no. 1, p. 2, 2013.