## Analisis Bifurkasi Terhadap Model Penyakit Kanker Serviks
Ifadatul Ulfah 1 , Kuzairi 2
1,2) Jurusan Matematika FMIPA Universitas Islam Madura (UIM) Jl. Bettet No. 04, Pamekasan, Madura 60111 Indonesia Email: ifaulfa2@gmail.com

## ABSTRAK
Salah satu penyebab utama terjangkitnya penyakit kanker seviks adalah HPV (Human Papilloma Virus). Virus ini sangat mudah berpindah dan menyebar sehingga banyak menimbulkan kerugian pada masyarakat. Maka perlu adanya upaya pencegahan penyebaran penyakit tersebut, salah satunya dengan menggunakan model maetmatika pada penyakit kanker serviks. pemodelan tersebut dianalisa dengan mencari titik kesetimbangan dan kestabilan dari model penyakit kanker serviks untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar sebagai parameter terjangkit kanker atau bebas penyakit. Pada model kanker serviks dilakukan analisa bifurkasi. Dari hasil analisis didapat bilangan reproduksi dasar yang menyatakan rata-rata terjadinya penularan penyakit. Kestabilan titik ekuilibrium pada  saat
dan dengan dan berdasarkan
parameter  dijurnal Mathematical  Model  of  Human  Papilloma  Virus  in  the  United  States  and  its  Impac  on trankritikal.
Kata kunci: Bifurkasi, Bilangan Reproduksi Dasar, Model Kanker Serviks

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  penyakit  yang  menjadi penyebab utama  kematian  di  dunia  adalah  kanker.  Kanker merupakan  salah  satu  jenis  masalah  yang  sangat penting  dalam  dunia  medis  karena  kanker  muncul akibat  pertumbuhan  sel  abnormal  di  dalam  tubuh manusia yang dapat membelah secara terus-menerus. Pembelahan  secara  terus-menerus  tersebut  menjadi tidak terkendali dan membentuk sel-sel tumor. Sel-sel tumor  kemudian  menginvasi  bagian  di  sekitarnya atau menyebar ke jaringan dan organ-organ lain yang ada  di  dalam  tubuh  dengan  cara  memasuki  aliran darah atau sistem limfatik. Tumor dibagi menjadi dua golongan besar yaitu tumor jinak ( benign ) dan tumor ganas (malignant). Kanker merupakan istilah umum dari tumor ganas (Pertamawati, 2013).
Beberapa tipe kanker meliputi kanker payudara, kanker  serviks,  kanker  otak,  kanker  paru-paru  dan kanker tulang. Kanker serviks adalah salah satu jenis kanker yang menjadi penyebab kematian terbesar di negara  berkembang  dibandingkan  dengan  kanker yang  lain.  Menurut  organisasi  kesehatan  dunia (WHO), menyebutkan bahwa saat ini penyakit kanker serviks  menempati  peringkat  teratas  diantara berbagai  jenis  kanker  yang  menyebabkan  kematian pada perempuan di dunia (Murtiningsih, 2015).
Salah satu penyebab utama terjadinya penyakit kanker servik adalah HPV ( Human Papilloma Virus ). Virus  HPV  ini  sangat  mudah  berpindah  dan menyebar, tidak hanya melalui hubungan seksual dan pertukaran  cairan  tubuh,  tapi  juga  bisa  berpindah melalui sentuhan  kulit. Untuk  menganalisa penyakit kanker  serviks  pada  seseorang  dapat  digunakan
metode  matematis  dengan  model  matematika  pada penyakit kanker serviks (Murtiningsih, 2015).
Berkaitan dengan permasalahan tersebut, maka perlu  dilakukan  penelitian  dalam  mencari  titik kesetimbangan  dan  kestabilan  dari  model  penyakit kanker serviks untuk memperoleh basic reproduction number ( ) sebagai parameter terjangkit kanker atau bebas  penyakit. Analisa  bifurkasi  diperlukan  untuk mengetahui  perubahan  stabilitas  dan  perubahan banyaknya  titik  tetap  akibat  perubahan  nilai parameter (Hidayati, 2013).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penelitian Sebelumnya
Beberapa  penelitian  yang  berkaitan  dengan bifurkasi  diantaranya  adalah  penelitian  yang dilakukan oleh Nazilatul Layliyah 2014, yaitu tentang bifurkasi  pada  model susceptible  infected recovered (SIR)  dengan  waktu  tunda  dan  laju  penularan bi linear .  Adapun  penelitian  yang  dilakukan  oleh Mohammad Djasuli 2009, yaitu mengenai eksistensi bifurkasi  mundur  pada  model  penyebaran  penyakit makroparasitis, menyatakan bahwa penyakit menular yang menimbulkan fenomena bifurkasi mundur lebih berbahaya  daripada  penyakit  menular  yang  tidak menyebabkan  terjadinya  bifurkasi  mundur  ditinjau dari sisi kesembuhan dan bebasnya penderita awal.

## 2.2 Kanker Serviks
Kanker  serviks  adalah penyakit  kanker  yang terjadi  pada  daerah  leher  rahim,  yaitu  daerah  pada organ  reproduksi  wanita  yang  merupakan  pintu
masuk ke arah rahim. Letaknya antara rahim (uterus) dengan  liang  senggama  wanita  (vagina).  Kanker serviks bisa menyebar ke organ-organ lain di seluruh tubuh  penderita.  Kanker  ini  99,7%  disebabkan  oleh human  papilloma  virus  (HPV) onkogenik  yang menyerang leher rahim. Penularan virus HPV ini bisa terjadi  melalui  hubungan  seksual,  pertukaran  cairan tubuh  bahkan  menular  dengan  cara  sentuhan  kulit (Murtiningsih 2015).

## 2.3 Model Matematika
a. Jumlah  populasi  yang  rentan  terinfeksi  kanker serviks
(1)
b. Jumlah sel yang terinfeksi HPV yang menerima perawatan
(2)
c. Jumlah sel yang terinfeksi HPV tanpa menerima perawatan
(3)
d. Jumlah sel yang terinfeksi kanker serviks dengan perawatan
(4)
e. Jumlah sel  yang terinfeksi  kanker serviks tanpa perawatan
(5)
Dari persamaan (1) sampai persamaan (5) maka dibentuk diagram transfer model kanker serviks sebagai berikut:
Gambar 2 Diagram Transfer Model Penyakit Kanker Serviks
2.4 Basic Reproduction Number
Basic  reproduction  number adalah bilangan  yang  menunjukkan  jumlah  individu  rentan yang dapat menderita penyakit disebabkan oleh satu individu infeksi.
Model kompartemen untuk penularan penyakit,  suatu  kompartemen  (kelas)  disebut kompartemen penyakit jika individu-individu didalamnya terinfeksi penyakit. Misalkan terdapat kelas  terinfeksi  dan kelas  yang  tidak  terinfeksi. Model  kompartemen  dapat  ditulis  dalam  bentuk berikut:
(6)
dengan: adalah kelas terinfeksi penyakit ke- adalah kelas yang tidak terinfeksi penyakit ke- adalah matriks dari rata-rata jumlah individu baru yang terinfeksi penyakit ke-
adalah  matriks  dari  rata-rata  penurunan  jumlah individu yang terinfeksi ke-
Perhitungan basic  reproduction  number berdasarkan linear isasi  persamaan  (6)  pada  titik ekuilibrium  bebas  penyakit.  Hasil linear isasi  dari kelas terinfeksi pada titik ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut:
(7) dengan dan matrik  berukuran maka  dari persaman (7) dapat ditulis: dan dengan adalah tiik ekuilibrium bebas penyakit Selanjutnya untuk mencari
basic reproduction  number didefinisikan  matriks yang  disebut  sebagai next  generation  matrix (matriks  generasi  berikutnya). Basic  reproduction number dari  model  kompartemen  adalah yaitu nilai eigen terbesar dari matriks  . 2.5 Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan diperoleh jika , , , , .  Titik kesetimbangan  bebas  penyakit  ( diseases  free equilibrium ) diperoleh jika
sehinggga diperoleh suatu keadaan bahwa semua individu tidak ada yang terinfeksi  penyakit  karena  penyakit  tersebut  sudah hilang.
Sedangkan  titik  kesetimbangan  endemik adalah keadaan saat penyakit menyebar dalam suatu populasi. Hal ini terjadi saat .

## 2.6 Analisa Kestabilan
Kestabilan model matematika ini ditentukan oleh nilai eigen dari matriks Jacobian pada persamaan (8) sebagai berikut:
I I I I
(8) Kemudian dicari nilai eigen pada persamaan (8):

## 2.7  Penerapan  Bifurkasi  Terhadap  Model Penyakit Kanker Serviks
Penerapan  bifurkasi  pada  model  penyakit kanker  serviks  yaitu  dengan  cara  mengaplikasikan software MATLAB R2009a.

## 3. METODE PENELITIAN
Pada subbab ini akan dijelaskan tentang metode yang digunakan dalam penelitian ini disertai dengan pustaka  yang  mendasari  teori  dalam  penelitian  ini, seperti  model  kanker  serviks,  Bilangan  Reproduksi Dasar, dan Bifurkasi.  Adapun untuk langkah-langkah dalam penelitian ini dapat dilihat dalam Gambar 1.
Gambar 1. Flowchart Penelitian

## 4. ANALISIS HASIL DAN PEMBAHASAN
Dengan menggunakan metode matematis pada model  matematika  pada  penyakit  kanker  serviks maka  diperoleh  bilangan  reproduksi  dasar  sebagai berikut:
Titik  setimbang  bebas  penyakit  adalah (
Sedangkan  titik  kesetimbangan endemik adalah keadaan saat penyakit menyebar dalam suatu populasi.  Hal  ini  terjadi  saat .  Sehingga  titik kesetimbangan endemik diperoleh:
(9)
Dengan
,
, , , ,
.
Kestabilan model matematika ini ditentukan oleh nilai  eigen  dari  matriks  Jacobian model  kanker serviks, diperoleh:
= 0 (10)
Dari  persamaan  (10)  akan  dicari  nilai  eigen dengan menggunakan software MATLAB diperoleh:
Berdasarkan hasil nilai eigen yang didapatkan maka  di  titik  ekuilibrium stabil asimtotik. Berdasarkan  titik  kesetimbangan  ketika pada persamaan (9)  dengan  memisalkan dengan Maka diperoleh: (11)
Dari  persamaan  (11)  maka  dimisalkan  sebagai berikut: (12) Dari  persamaan  (12) maka  dilakukan Bifurkasi dengan mengaplikasikan software
MATLAB dengan  memasukkan  nilai parameter yang terdapat pada jurnal A Mathematical
Model of Human Papilloma Virus in the United States and its Impac on Cervial sehingga diperoleh Gambar  3 dalam  bentuk  Bifurkasi  Transkritikal sebagai berikut:
Gambar 3 Analisis Bifurkasi Terhadap Model Penyakit Kanker Serviks
Berdasarkan Gambar 3  maka menggambarkan grafik pada kondisi stabil asimtotik ketika titik setimbangnya dan dengan
dan
berdasarkan  parameter  dijurnal A  Mathematical Model of Human Papilloma Virus in the United States

## 5. KESIMPULAN
Dari hasil penelitian di atas diperoleh kesimpulan bahwa pada model kanker serviks adalah: Kestabilan titik ekuilibrium pada saat dan dengan dan berdasarkan  parameter  dijurnal
A  Mathematical Model of Human Papilloma Virus in  the  United  States  and  its  Impac  on  Cervial berada  dalam  kondisi  stabil  asimtotik sehingga  bisa  digambarkan  dalam  bentuk  bifurkasi trankritikal

## DAFTAR PUSTAKA
Chen,  G.,  &  Moiola,  J.  L.  (1999).  Bifurcation
Control: Theories, Methods, And
Applications. International  Journal  of Bifurcation and Chaos , 511-548.
Hidayati, K. (2013). Kestabilan dan Bifurkasi Model
Epidermik SEIR dengan  Laju  Kesembuhan
Tipe  Jenuh. Skripsi. Surabaya:  Institut
Teknologi Sepuluh Nopember.
Layliyah,  N.  (2014).  Bifurkasi  pada  Model
Susceptible  Infected  Recovered (SIR) dengan  Waktu  Tunda  dan  Laju  Penularan Bi linear . Skripsi. Yogyakarta:  Universitas Negri Yogyakarta.
Murtiningsih,  D.  (2015).  Analisis  Kestabilan  dan
Solusi  Numerik  dengan  Metode Adam Moulton pada  Model  Matematika  Kanker Serviks. Skripsi. Yogyakarta:  Universitas
Islam Negri Sunan Kalijaga.
Pertamawati,  L.  (2013).  Aplikasi  Kendali  Optimum pada Kemoterapi Kanker. Skripsi. Yogyakarta: Universitas Islam Negri Sunan
Kalijaga.