## PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

## Siswanto
Jurusan Matematika FMIPA UNS sis.mipauns@yahoo.co.id

## Abstrak
Misalkan ℜ himpunan  bilangan  real.  Aljabar  Max-Plus  adalah  himpunan ℜ = ℜ ∪ { − ∞ } dilengkapi  dengan  operasi  maksimum ( ⊕ ) dan  penjumlahan  ( ⊗ ) .  Setiap  matriks  persegi  atas aljabar Max-Plus dapat dikaitkan dengan perrmanen dan dominan. Dari aljabar Max-Plus dapat dibentuk aljabar  Max-Plus  interval  yaitu  himpunan  yang  anggotanya  merupakan  interval-interval  tertutup  dalam ℜ atau ( ℜ ) dilengkapi dengan operasi maksimum ⊕ dan penjumlahan ⊗ . Dapat dibentuk himpunan  matriks  persegi  atas  aljabar  Max-Plus  interval.  Dalam  penelitian  ini,  akan  dikaji  tentang permanen dan dominan matriks atas aljabar Max-Plus interval, hubungan antara permanen dan dominan, serta  bideterminan  matriks  atas  aljabar  Max-Plus  interval.  Dari  hasil  penelitian  diperoleh  formula permanen  dan  dominan,  dominan  selalu  lebih  kecil  atau  sama  dengan  permanen  dan  formula bideterminan.
Kata kunci : Permanen, dominan, matriks, aljabar Max-Plus interval.

## PENDAHULUAN
Aljabar Max-Plus
telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis  secara  aljabar  masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga,  komputasi  parallel,  dan  lalu lintas.  (Bacelli, et.al ,  2001).  Aljabar Max-Plus  adalah  himpunan ℜ = ℜ ∪ { } dilengkapi  operasi  maksimum ( ⨁ )  dan  plus  ( ⨂ ) dengan ℜ himpunan  bilangan  real  dan = − ∞ .
Elemen  identitas  terhadap  maksimum dan  plus  berturut-turut  adalah − ∞ dan 0.  Dapat  dibentuk  himpunan  matriks berukuran × yang elemen-
elemennya  merupakan  elemen  dalam ℜ ,  ditulis ℜ × .  Himpunan ℜ × selanjutnya  disebut  himpunan  matriks
atas  aljabar  Max-Plus.  Himpunan ℜ × dilengkapi    dengan  operasi  maksimum dan plus merupakan dioid yaitu semiring yang  idempoten  (Akian, et . al ,  1994;
Bacelli, et al , 2001; Farlow, 2009)
Dalam aljabar konvensional, telah  dibahas  mengenai  determinan matriks  beserta  sifat-sifatnya  (Hefferon, 2001;  Meyer,  2000).  Sejalan  dengan pembahasan tersebut yaitu tentang determinan  suatu  matriks  di  dalam aljabar konvensional beserta sifat- sifatnya,  Farlow  (2009)  telah  membahas determinan  matriks  di  dalam  aljabar Max-Plus.  Namun,  terdapat  perbedaan antara  pengertian  determinan  matriks  di dalam  aljabar  konvensional  dan  di aljabar  Max-Plus.  Hal  ini  disebabkan tidak adanya invers terhadap
penjumlahan di dalam aljabar Max-Plus. Istilah  determinan  matriks  di  dalam aljabar Max-Plus digantikan oleh permanen dan dominan suatu matriks.
Untuk  menyelesaikan  masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur  seperti  penjadwalan  kabur  dan sistem  antrian  kabur,  aljabar  Max-Plus telah  digeneralisasi  menjadi  aljabar Max-Plus  interval.  Aljabar  Max-Plus interval yaitu max ( ) I  dilengkapi
dengan  operasi ⊕ dan ⊗ .  Dari generalisasi ini muncul himpunan matriks  atas  aljabar  Max-Plus  interval yaitu ( ℜ ) × merupakan  himpunan matriks berukuran × yang elemen- elemennya  dalam ( ℜ ) (Rudhito,
2011).  Jika m = n diperoleh  himpunan matriks persegi, yaitu ( ℜ ) × . Selanjutnya, dengan adanya matriks  atas  aljabar  Max-Plus  interval dan  penelitian  yang  dilakukan  oleh Farlow  (2009)  yaitu  tentang  permanen dan  dominan  matriks  atas  aljabar  Max- Plus,  hubungan  antara  permanen  dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar  Max-Plus  memungkinkan  untuk diteliti  konsep-konsep  tersebut  di  dalam aljabar  Max-Plus  interval.  Oleh  karena itu,  dalam  penelitian  ini  penulis  ingin mengkaji tentang permanen dan dominan  matriks  atas  aljabar  Max-Plus
interval,  hubungan  antara  permanen  dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus interval.
Sebelum dibahas hasil penelitian, diberikan  hal-hal  yang  diperlukan  untuk penelitian  ini.  Adapun  hal-hal  yang diperlukan  yaitu  definisi,  lema,  dan teorema tentang aljabar Max-Plus, matriks atas aljabar Max-Plus, permanen dan  dominan  matriks  atas  aljabar  Max- Plus,  aljabar  Max-Plus  interval  serta matriks atas aljabar Max-Plus interval.
Berikut  adalah  definisi  tentang aljabar  Max-Plus  dan  matriks  dalam aljabar  Max-Plus  beserta  operasinya (Bacelli, et  al ,  2001; Cuninghame-
Green, 2004; Farlow, 2009; Konigsberg, 2009).
Definisi  1.1. Misalkan  himpunan bilangan  real,  didefinisikan  himpunan ℜ = ℜ ∪ { } dengan    dan e =  0.  Struktur  aljabar  dari ℜ yang dilengkapi  dengan  operasi ⊕ yaitu ”maksimum”  dan ⊗ yaitu    ”plus” merupakan semifield idempoten, selanjutnya disebut aljabar Max-Plus dan dinotasikan  dengan ℝ = ( ℜ ; ⊕ , ⊗ ) .
Definisi  1.2. Himpunan matriks berukuran n m  dengan  elemen-elemen dalam ℜ dinotasikan  dengan ℜ × yaitu ℜ × = ∈ ℜ ; =
1, 2, … , ; = 1, 2, … ,
.  Elemen  baris ke- i dan  kolom  ke- j dari  matriks
∈ ℜ × dinyatakan  oleh ij a atau
[ ] ij A .
Definisi  1.3. Berikut  beberapa  operasi matriks dalam Aljabar Max-Plus :
a. Untuk  matriks , A B  ℜ × ,
didefinisikan ⊕ dengan
[ ⊕ ] = ⊕ = max [ , ] . b. Untuk ∈ ℜ × ,
∈ ℜ × , didefinisikan ⊗ dengan
[ ⊗ ] = ⊗ = max ∈ { , ,… } [ , ]
c. Tranpose  dari  matrik  ditulis T A
dan  didefinisikan  seperti  dalam
aljabar konvensional
[ ] [ ] T ij ji A A  d. Matriks identitas Max-Plus ditulis ,  dengan
∈ ℜ ×
didefinisikan :
[ ] = , jika = , jika ≠ .
e. Matriks  netral  Max-Plus  ditulis
ℰ , dengan ℰ ∈ ℜ ×
didefinisikan [ ℰ ] = . f. Untuk  suatu  matriks ∈ ℜ ×
dan  bilangan  bulat  positif k , pangkat k dari A ditulis ⊗
didefinisikan oleh ⊗ =
⊗ ⊗ … ⊗ .  Untuk k =  0, ⊗ = .
g. Untuk  sebarang  matriks
∈
ℜ × dan ∈ℜ , ⊗ didefinisikan  oleh [ ⊗ ] = ⊗ [ ] .
Himpunan ℜ × dilengkapi dengan  operasi ⊕ dan ⊗ ditulis ℝ × = ( ℜ × ; ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring  idempoten  dengan  elemen netral  dan  elemen  identitas  masing- masing adalah ℰ dan .
Berikut  definisi  dan  lema  yang berkaitan  dengan  fungi  eksponensial, serta  permanen  dan  dominan  matriks atas  aljabar  Max-Plus  disajikan  sebagai berikut (Farlow, 2009) :
Definisi  1.4. Jika ∶ (0, ∞ ) → (0, ∞ ) dan ∈ [ −∞ , ∞ ) , didefinisikan ≍ jika  dan  hanya  jika lim → ln ( ) =
.
Lema  1.5. Jika ≍ dan  g ≍ maka + = ( ⊕ ) dan = ( ⊕ ) . Untuk membuktikan Lema 1.5
digunakan Definisi 1.4.
Dalam aljabar konvensional,
misalkan
= ( ) ∈ ℜ ×
yaitu matriks  berukuran × ,  determinan matriks A adalah det ( ) = ∑ ( ) ∏ ( ) ∈
dimana
menyatakan  himpunan  semua  permutasi dari { 1, 2, … , } dan
( ) adalah
tanda dari permutasi  . Jika   permutasi
genap  maka
( ) adalah    ”  +  ”, sedangkan  jika    permutasi  ganjil  maka
( ) adalah ” – ”.
Misalkan
=
∈ ℜ × , permanen  dari  matriks A didefinisikan hampir sama dengan determinan  matriks
∈ ℜ × tetapi ( ) dihilangkan.
Untuk  tetap  mempertahankan
( )
didefinisikan  bideterminan  dari  matriks
∈ ℜ × .
Definisi  1.6. Untuk  matriks = ( ) ∈ ℜ × permanen  dari A didefinisikan perm ( ) = ⊕ ∈ ⊗ ( ) ,
dengan adalah  himpunan  semua permutasi dari { 1, 2, … , } .
Berikut  adalah  definisi  dari dominan.  Untuk  merumuskan  dominan matriks ∈ ℜ × digunakan  matriks dengan z adalah variabel. Matriks adalah  matriks  berukuran × dengan elemen .
Definisi 1.7. Dominan dari matriks A didefinisikan :
dom( ) = pangkat tertinggi dalam det ( ), jika det ( ) ≠ 0 , jika det ( ) = 0
Dengan  mengingat  lema  1.5  jika z diganti  dengan s e diperoleh  definisi tentang matriks dan definisi dom ( A ) yang merupakan bentuk lain dari definisi dom  ( A ) pada  Definisi  1.7  sebagai berikut :
Definisi  1.8. Diberikan  matriks =
( ) ∈ ℜ × ,  matriks mempunyai elemen dimana ∈ ℜ
adalah elemen  dari A atau  dapat  ditulis,
[ ] = .
Definisi 1.9. Misalkan ∈ ℜ × ,
dom( ) = lim → ln |det( )| , jika det( ) ≠ 0 , jika det( ) = 0
Menurut  Definisi  1.4,  dikatakan  bahwa
|det (e )| ≍
( ) . Hubungan
serupa  dipenuhi  untuk  permanen  yaitu perm ( ) ≍ ( ) .
Karena perm ( A ) adalah maksimum  dari  nilai  diagonal  untuk semua  permutasi  kolom  pada  matriks A maka  dom  ( A )  perm  ( A ).  Sifat  ini disajikan pada lema berikut : Lema  1.10. Misalkan ∈ ℜ × maka dom ( A )  perm ( A ).
Definisi 1.11. Untuk ∈ ℜ × , misalkan bahwa ( ) = ( ) ⊗ ( ) ⊗ … ⊗ ( ) , himpunan
permutasi  genap  dan permutasi
ganjil  dari { 1, 2, … , } .  Bideterminan dari A adalah Bidet ( ) = △ ( ) △ ( )
dengan △ ( ) = ⊕ ∈ ( ) dan △ ( ) = ⊕ ∈ ( ) .
Dengan  memperhatikan  definisi dari  bideterminan  dan  permanen  suatu matriks ∈ ℜ × ,  diperoleh  bahwa permanen dari matriks A adalah perm ( ) = △ ( ) ⊕ △ ( ) .
Selanjutnya,  disajikan  konsep aljabar Max-Plus  interval dan  matriks di dalamnya (Rudhito, 2011).
Interval  tertutup  x  dalam ℜ adalah suatu himpunan bagian dari ℜ yang berbentuk x = x, x = ∈ ℜ x ≼ ≼ x .  Interval  x dalam ℜ disebut  interval  Max-Plus.
Suatu bilangan x ∈ ℜ dapat dinyatakan sebagai interval [ x , x ].
Definisi  1.12. Dibentuk ( ℜ ) = x = x, x x, x ∈ ℜ , ≺ x ≼ x ∪ ε , dengan ε = [ , ] . Pada  himpunan ( ℜ ) didefinisikan operasi " ⊕ " dan " ⊗ " dengan x ⊕ y = [ x ⊕ , x ⊕ ] dan x ⊗ y = [ x ⊗ , x ⊗ ] untuk setiap x, y ∈ ( ℜ ) .  Himpunan ( ℜ )
dilengkapi  dengan  operasi ⊕ dan ⊗ merupakan semiring idempoten komutatif  dengan  elemen  netral ε = [ , ] dan  elemen  satuan 0 = [0,0] . Selanjutnya  disebut  aljabar  Max-Plus interval dan dinotasikan dengan ( ℝ ) = ( ℜ ) ; ⊕ , ⊗ .
Definisi  1.13. Untuk x = [ x, x ], y = [ y, y ] ∈ ( ℜ ) didefinisikan x ≼ y ⟺ x ⊕ y = y ⟺ x ≼ y dan x ≼ y .
Definisi 1.14. Himpunan matriks berukuran × dengan elemen-elemen
dalam ( ℜ ) yaitu ( ℜ ) × = A = A A ∈ ( ℜ ) ; = 1,  2,  …, ,    =1,  2,  …, .  Matriks anggota ( ℜ ) × disebut matriks interval  Max-Plus.  Selanjutnya  matriks interval Max-Plus cukup disebut dengan matriks interval.
Definisi  1.15. Struktur  aljabar  dari ( ℜ ) × yang dilengkapi dengan operasi
⊕ dan ⊗ dinotasikan  dengan ( ℝ ) × = ( ℜ ) × ; ⊕ , ⊗ merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan ( ℜ ) × merupakan semimodul atas ( ℜ ) .
Definisi  1.16. Untuk A ∈ ( ℜ ) ×
didefinisikan  matriks A = [A ] ∈ ℜ × dan A = [A ] ∈ ℜ × masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A.
Definisi 1.17. Diberikan matriks interval A ∈ ( ℜ ) × ,  dengan A dan A masing- masing  adalah  matriks  batas  bawah  dan matriks  batas  atas  dari  matriks  A. Didefinisikan  interval  matriks  dari  A yaitu
A, A = ∈ ℜ × A ≼ ≼ A dan
( ℜ × ) = A, A | A ∈ ( ℜ ) × ,
dimana A ≼ ⟺ A ⊕ = . Definisi 1.18.
1. Untuk α ∈ ( ℜ ) , A, A , B, B ∈ ( ℜ × ) didefinisikan i. α ⊗ A, A = α   ⊗ A, α   ⊗ A ii. A, A ⊕ B, B = A ⊕ A, B ⊕ B
2. Untuk A, A ∈ ( ℜ × ) , B, B ∈ ( ℜ × ) didefinisikan
A, A ⊗ B, B = A ⊗ A, B ⊗ B .
Teorema  1.19. Struktur  aljabar  dari ( ℜ × ) yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗ dinotasikan  dengan
( ℝ × ) = ( ( ℜ × ) ; ⊕ , ⊗ )
merupakan dioid (semiring yang idempoten),      sedangkan ( ℜ × ) merupakan semimodul atas ( ℜ ) .
Semiring ( ℝ ) × = ( ℜ ) × ; ⊕ , ⊗ ) isomorfis dengan semiring
( ℜ × ) = ( ( ℜ × ) ; ⊕ , ⊗ )
dengan pemetaan : ( ℜ ) × → ( ℜ × ) (A) = A, A , ∀ A ∈ ( ℜ ) × .    Semimodul ( ℜ ) × atas ( ℜ ) isomorfis  dengan  semimodul ( ℜ × ) atas ( ℜ ) .  Dengan demikian untuk setiap matriks interval A selalu  dapat  ditentukan  interval  matriks A, A dan  sebaliknya  untuk  setiap interval matriks A, A ∈ ( ℜ × )
dengan A, A ∈   ℜ × dapat  ditentukan matriks  interval A ∈ ( ℜ ) × dimana A , A ∈ ( ℜ ) untuk setiap i dan j . Dengan demikian matriks interval A ∈ ( ℜ ) × dapat  dipandang  sebagai interval  matriks A, A ∈ ( ℜ × ) .
Interval  matriks A, A ∈ ( ℜ × ) disebut interval matriks yang bersesuaian  dengan  matriks  interval A ∈ ( ℜ ) × dan  dilambangkan  dengan A ≈ A, A .  Akibat  isomorfisme  di  atas
maka  berlaku  : α  ⊗ A ≈ α   ⊗ A, α   ⊗
A , A ⊕ B ≈ A ⊕ B, A ⊕ B dan A ⊗ B ≈ A ⊗ B, A ⊗ B .

## PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas hasil  penelitian  ini.  Hasil  penelitian meliputi    permanen  dan  dominan  dari suatu  matriks  atas  aljabar  Max-Plus interval,  hubungan antara permanen dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus interval.
Misalkan A ∈ ( ℜ ) × dengan A ≈ A, A dan A = a , A = a ∈ ℜ × .  Karena A ≈ A, A maka a ≼ a untuk setiap . ∈ {1, 2, … , } . Oleh
karena itu,
perm A = ⊕ ∈ ⊗ a ( ) ≤ perm (A) = ⊕ ∈ ⊗ a ( ) dengan adalah  himpunan  semua  permutasi dari {1, 2, … , } .  Permanen  matriks
A ∈ ( ℜ ) × didefinisikan sebagai berikut :
Definisi  2.1. Diberikan  matriks A ∈ ( ℜ ) × dengan A ≈ A, A .  Permanen matriks  A didefinisikan perm (A) = perm A , perm A .
Untuk  mendefinisikan  dominan suatu  matriks A ∈ ( ℜ ) × digunakan matriks dengan    adalah  variabel.
Matriks adalah  matriks  berukuran
× dengan elemen [ , ] = [ , ] .
Definisi  2.2. Dominan  matriks A ∈ ( ℜ ) × dengan A ≈ A, A , didefinisikan dom (A) = min dom A , dom A , dom A , dengan
dom A = pangkat tertinggi dalam det ( ), jika det ( ) ≠ 0 , jika det ( ) = 0
dan dom A =
pangkat tertinggi dalam det , jika det ≠ 0 , jika det = 0
Dengan  mengingat  lemma  1.5 jika z diganti  dengan s e diperoleh definisi berikut :
Definisi  2.3. Diberikan  matriks A ∈ ( ℜ ) × dengan A ≈ A, A , matriks mempunyai elemen
[ , ] = [ , ]    dimana a ∈ ℜ adalah
elemen  dari A dan a ∈ ℜ adalah elemen dari A .
Dengan  memperhatikan  Definisi 1.7  dan  Definisi  1.9,  bahwa  definisi dominan  matriks A ∈ ( ℜ ) × pada Definisi  2.2  ekuivalen  dengan  definisi dominan pada definisi sebagai berikut :
Definisi 2.4. Misalkan  matriks A ∈ ( ℜ ) × dengan A ≈ A, A ,
dom (A) = min dom A , dom A , dom A , dengan dom A = lim → ln det( ) , jika det( ) ≠ 0 , jika det( ) = 0 dan dom A = lim → ln det( ) , jika det ≠ 0
, jika det = 0 .
Menurut  Definisi  1.4,  dapat
dikatakan bahwa det( ) ≍ ( )
dan det( ) ≍
( ) .  Hubungan serupa  dipenuhi  untuk  permanen  yaitu perm ( ) ≍ ( ) dan perm ≍ ( ) .
Karena  perm  ( A )  dan  perm  ( A ) adalah  maksimum  dari  nilai  diagonal untuk  semua  permutasi  kolom  dalam matriks A dan A maka  diperoleh  lema berikut :
Lema  2.5. Misalkan A ∈ ( ℜ ) ×
dengan A ≈ A, A maka  dom  (A) ≼
perm (A).
Bukti  :  Perhatikan  bahwa, dom (A) =
min dom A , dom A , dom A dan
perm (A) = perm A , perm A . Menurut lema 1.10 , jika ∈ ℜ × maka dom  ( A )  perm  ( A ).  Dalam  hal  ini, dapat  ditulis  bahwa,  jika ∈ ℜ × maka dom ( ) ≼ perm ( ) .  Oleh karena  itu,  karena A , A ∈  ℜ × maka dom A ≼ perm A dan dom A
≼ perm A .
Terdapat 2 kemungkinan :
a. dom (A) = dom A , dom A ≼ perm A , perm A = perm (A) ,
b. dom (A) = dom A , dom A ≼ dom A , dom A ≼ perm A , perm A = perm (A) .
Oleh karena itu,  dom (A) = min dom A , dom A , dom A
≼ perm A , perm A
= perm (A) .
Selanjutnya, sejalan dengan pembahasan pada aljabar Max-Plus dapat
didefinisikan bideterminan matriks
A ∈ ( ℜ ) × sebagai berikut :
Definisi 2.6. Untuk A = a ∈ ℜ × dengan A ≈ A , A ,  misalkan
bahwa ( ) = a ( ) ⊗ a ( ) ⊗ … ⊗ a ( ) dan ( ) = a ( ) ⊗ a ( ) ⊗ … ⊗ a ( ) , himpunan
permutasi  genap  dan permutasi
ganjil  dari { 1, 2, … , } .  Bideterminan matriks A adalah Bidet (A) =
△ A , △ A △ A , △ A dengan △ A = ⊕ ∈ ( ), △ A = ⊕ ∈ ( ), △ A = ⊕ ∈ ( ) dan △ A = ⊕ ∈ ( ) . Berdasarkan
definisi dari bideterminan dan permanen suatu
matriks A = a ∈ ( ℜ ) × , diperoleh teorema berikut :
Teorema  2.7. Misalkan A = a ∈ ( ℜ ) × dengan A ≈ A, A . Jika bideterminan
matriks A adalah
Bidet (A) = △ A , △ A △ A , △ A dengan △ A = ⊕ ∈ ( ), △ A = ⊕ ∈ ( ), △ A = ⊕ ∈ ( ) dan △ A =
⊕ ∈ ( ) himpunan  permutasi genap  dan permutasi  ganjil  dari
{ 1, 2, … , } maka  permanen  matriks  A adalah
perm (A) = perm A , perm A dengan perm A = △ A ⨁  △ A dan perm A = △ A ⨁  △ A .
Bukti  :  Misalkan A = a ∈ ( ℜ ) ×
dengan A ≈ A, A dan A = a , A = a ∈ ℜ × . Karena Bidet (A) = △ A , △ A △ A , △ A maka Bidet (A) = △ A , △ A △ A , △ A ≈ △ A △ A , △ A △ A =
Bidet A , Bidet A .  Oleh  karena  itu,
Bidet A = △ A △ A dan Bidet A = △ A △ A .  Dengan  demikian  permanen matriks A adalah perm (A) =
perm A , perm A dengan perm A = △ A ⨁  △ A dan perm A = △ A ⨁  △ A .

## KESIMPULAN
Dari  hasil  penelitian  diperoleh formula  permanen  dan  dominan  matriks A ∈ ( ℜ ) × , dominan matriks A selalu
lebih  kecil  atau  sama  dengan  permanen matriks  A  dan  formula  bideterminan matriks A.
Setelah  dikaji  matriks  yang mempunyai  invers,  selanjutnya  dapat dikaji  lebih  lanjut  kaitan  permanen  dan dominan matriks A dengan matriks yang mempunyai invers.

## DAFTAR PUSTAKA
Akian,  M.,  Cohen,  G.,  Gaubert,  S., Quadrat, J. P., and Viot, M. (1994). Max-Plus  Algebra  and  Applications to  System  Theory  and  Optimal Control . Proceedings of the International Congress of Mathematicians . Zurich,
Switzerland.
Bacelli,  F.,  Cohen,  G.,  Olsder,  G.  J., Quadrat, J. P. (2001).
Synchronization and Linearity , New York : Joh Wiley & Sons.
Cuninghame-Green,  R.A.  Butkovi’c,  P.
(2004)  Bases  in  Max-Algebra.
Linear Algebra and its Applications .
389. 107–120
Farlow, K. G. (2009). Max-Plus
Algebra ,  Master's  Thesis  submitted
to  the  Faculty  of  the  Virginia Polytechnic  Institute  and  State University  in  partial      fulfillment  of
the  requirements  for  the  degree  of Masters in Mathematics.
Hefferon,  J.  (2001). Linear  Algebra , Vermont USA 05439 : Mathematics, Saint Michael’s College Colchester. Konigsberg Z. R. (2009). A Generalized
Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices over the Max-Plus Algebra. International
Mathematical Forum , 4. 24. 1157  –
1171.
Meyer,  C.  D.  (2000). Matrix  Analysis and  Applied  Linear  Algebra ,  New York  :  The  Mac  millan  Publishing Company.
Rudhito,  Andy.  (2011). Aljabar  Max-
Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah
Penjadwalan  dan  Jaringan  Antrian .
Disertasi  :  Program  Studi  S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta.