## FORMULA BINET DAN JUMLAH n SUKU PERTAMA PADA
GENERALISASI BILANGAN FIBONACCI DENGAN METODE

## MATRIKS
Purnamayanti 1 Thresye 2
Na’imah Hijriati 3
[1,] Alumni Mahasiswa PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat
[2,3] PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru

## ABSTRAK
Bilangan  Fibonacci  didefinisikan  sebagai  barisan  bilangan  yang  suku- sukunya  merupakan  penjumlahan  2  suku  sebelumnya.  Binet  pada  tahun  1875 mengemukakan  suatu  formula F n yang  mampu  menghitung  suku  ke- n bilangan tersebut  lebih  cepat  tanpa  harus  menghitung  ulang  sebanyak n kali,  yang kemudian  dikenal  dengan  formula  atau  rumus  Binet.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah  mempelajari  terbentuknya  formula  Binet,  membentuk  generalisasi  dari formula  Binet  pada  bilangan  Fibonacci  berderajat- p ,  mencari  jumlah n suku pertama  pada  bilangan  Fibonacci  berderajat- p dengan  pendekatan  aljabar  linear khususnya penggunaan matriks.
Kata kunci : matriks Fibonacci, formula Binet, diagonalisasi, matriks Vandermonde.

## 1. PENDAHULUAN
Bilangan Fibonacci dapat ditunjukkan sebagai barisan bilangan:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
dengan 0 0  F , 1 1  F , …, n n n F F F     1 2 , (1.1)
untuk 0  n .  Berikut  diberikan  formula  Binet  untuk  menghitung  suku  ke- n dari bilangan Fibonacci tersebut:
) ( 5 1 2 1 n n n F     , (1.2)
dengan ... 618 . 1 ) 5 1 ( 2 1 1     dan ... 618 . 0 ) 5 1 ( 2 1 2      .
Pada  penelitian  ini,  penulis  tertarik  untuk  mempelajari  bagaimana terbentuknya  formula  Binet  dengan  pendekatan  aljabar  linier,  khususnya menggunakan  metode  matriks.  Selanjutnya,  akan  dibahas  pula  bagaimana terbentuknya  generalisasi  dari  bilangan  Fibonacci  yang  disebut  bilangan Fibonacci  berderajat- p dan  bagaimana  mencari  jumlah n suku  pertamanya. Berikut diberikan definisi dari Generalisasi tersebut:
) 1 ( ) 1 ( ) (      p n F n F n F p p p , (1.3)
untuk p = 0, 1, 2, 3, … dan 1   p n
dengan kondisi
1 ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 (       p F p F F F p p p p  .

## 2. TINJAUN PUSTAKA 2.1. Matriks Vandermonde
Matriks  Vandermonde  dikenalkan  oleh  matematikawan  Prancis  bernama Alexandre-Théophile  Vandermonde  pada  tahun  1700.  Ia  merupakan  salah  satu orang yang pertama menulis tentang sifat dasar dari determinan.
Dimisalkan d V merupakan matriks Vandermonde n m  yang ditunjukkan sebagai berikut
                        1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 m m n m m m n m n n d x x x x x x x x x x x x
V          , (2.1)
beberapa  penulis  kadang-kadang  mendefinisikan  matriks  Vandermonde  sebagai transpos  dari  persamaan  (2.1).  Matriks  ini  sering  digunakan  untuk  membuktikan beberapa pembuktian yang berkaitan dengan determinan matriks [5].

## 2.2. Bilangan Fibonacci
Bilangan  Fibonacci  berawal  dari  sebuah  kasus  yang  dikemukakan  oleh seorang  matematikawan  Italia,  Fibonacci,  dalam  bukunya  yang  berjudul Liber Abaci .  Kasus  itu  dijelaskan  sebagai  berikut:  sepasang  kelinci  muda  (jantan  dan betina)  ditempatkan  di  suatu  pulau.  Diasumsikan  bahwa  kelinci  tidak  akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan. Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang  kelinci  akan  melahirkan  sepasang  kelinci  setiap  1  bulan.  Pertanyaannya, berapa banyak pasang kelinci  yang ada di sana setelah n bulan, jika diasumsikan bahwa kelinci tidak akan pernah mati.

## Definisi 2.2.1. [3]
Bilangan Fibonacci adalah bilangan yang dapat ditunjukkan oleh barisan: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Didefinisikan  sebagai  barisan  bilangan  yang  suku-sukunya  merupakan penjumlahan 2 suku sebelumnya. Dengan n F menyatakan suku ke-n dari bilangan Fibonacci tersebut.
n n n F F F     1 2 , untuk 0  n , dengan: 0 0  F dan 1 1  F .

## 2.3. Jumlah n Suku Pertama Bilangan Fibonacci
Pada  suatu  barisan,  terdapat  istilah  deret  yaitu  untuk  mencari  jumlah n suku pertama. Berikut diberikan tabel perbandingan antara barisan Fibonacci dan Deret Fibonacci.
Tabel 1. F n (Barisan Fibonacci) pada 10 suku pertama.
F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Tabel 2. S n (Deret Fibonacci) pada 10 suku pertama. S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 0 1 2 4 7 12 20 33 54 88 144 Jumlah n suku  pertama  bilangan  Fibonacci  dapat  ditunjukkan  dengan identitas berikut:         n n n n n F F F F F S 0 2 1 0  .[5]

## 2.4. Matriks Fibonacci
Berikut  diberikan  definisi  dari  matriks  Fibonacci  dan  pangkat n dari matriks Fibonacci tersebut.
Definisi 2.4.1. [6] Matriks Q Fibonacci didefinisikan sebagai:
, 0 1 1 1 0 1 1 2               F F F F Q dengan n F merupakan  bilangan  Fibonacci.  Maka,  pangkat  n  dari  matriks  Q
Fibonacci, .
1 1          n n n n n F F F F Q

## 2.5. Generalisasi Bilangan Fibonacci
Barisan  bilangan  Fibonacci  dapat  digeneralisasi  menjadi  suatu  pola bilangan baru,  yang selanjutnya disebut bilangan  Fibonacci  berderajat- p .  Berikut diberikan definisi dari generalisasi bilangan Fibonacci tersebut.

## Definisi 2.5.1. [5]
Generalisasi  bilangan  Fibonacci  yang  kemudian  disebut  dengan  bilangan Fibonacci berderajat p didefinisikan sebagai:
), 1 ( ) 1 ( ) (      p n F n F n F p p p untuk , 1   p n dengan kondisi
. 1 ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 (       p F p F F F p p p p 
Jika dimisalkan 1  p , maka barisan bilangan fibnacci berderajat- p ini merupakan barisan  Fibonacci  yang  dikenal  sebelumnya.  Berikut  diberikan  tabel  mengenai barisan dari generalisasi bilangan Fibonacci.
Tabel 3. Barisan bilangan Fibonacci berderajat 4 0   p dan . 13  n N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F 0 ( n ) 1 2 4 8 16 32 64 128  256  512  1024  2048  4096 F 1 ( n ) 1 1 2 3 5 8 13 21 34
55 89 144 233 F 2 ( n ) 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 F 3 ( n ) 1 1 1 1 2 3 4 5 7 10 14 19 28 F 4 ( n ) 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 8 11 15

## 2.6. Generalisasi Matriks Fibonacci
Berdasarkan  uraian  yang  telah  dijelaskan  sebelumnya  mengenai  matriks Fibonacci,  maka  matriks  tersebut  dapat  digeneralisasi  berdasarkan  definisi  yang ada. Berikut diberikan definisi dari generalisasi matriks Fibonacci.

## Definisi 2.6.1. [6]
Generalisasi  matriks  dari  generalisasi  bilangan  Fibonacci  berderajat-p (p=0,1,2,3,…)  didefinisikan sebagai matriks Q p berorde (p+1)×(p+1) sebagai:
, 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1                                 p Q dan matriks Q p pangkat n didefinisikan sebagai ] [ ij n p q Q  dan
) ( p i j n F q p ij     untuk 2  j dan ) 2 ( 1 , i n F q p i    untuk 1  j , . ) ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (                                       p n F p n F p n F p n F p n F p n F p n F p n F n F n F p n F n F n F n F p n F n F Q p p p p p p p p p p p p p p p p n p     
  

## 3. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  bersifat  studi  literatur,  yaitu mengumpulkan,  mempelajari  dan  memahami  berbagai  refrensi  yang  berkaitan dengan  aljabar  linier  matriks,  matriks  Fibonacci,  formula  Binet,  dan  generalisasi pada  bilangan  Fibonacci,  dilanjutkan  dengan  membuktikan  beberapa  teorema yang diperlukan dan menyelesaikan contoh soal yang terkait.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Proses Terbentuknya Formula Binet pada Bilangan Fibonacci
Berdasarkan definisi bilangan fibonacci, dapat dibentuk sistem persamaan linier dengan 2 persamaan untuk 0  n , dan mengubahnya ke persamaan matriks sebagai berikut:
                      n n n n F F F F 1 1 2 0 1 1 1
,                      0 1 0 1 1 1 1 n n n F F
,
                                    0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1         n n n F F ,                     n n n n n n F F 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1       , ) ( 1 2 1 2 1 n n n F         , dengan ) 5 1 ( 2 1 1    dan ) 5 1 ( 2 1 2    merupakan nilai eigen dari       0 1 1 1 . Karena 5 2 1     maka ) ( 5 1 2 1 n n n F     ,  formula  inilah  disebut  dengan formula Binet.
4.2 Generalisasi Formula Binet pada Bilangan Fibonacci berderajat- p
Generalisasi  matriks  dari  generalisasi  bilangan  Fibonacci  berderajat- p
  ... , 3 , 2 , 1 , 0  p didefinisikan sebagai matriks Q p berorde ( p +1)×( p +1) sebagai:
, 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1                                 p Q dan matriks Q p pangkat n didefinisikan sebagai ] [ ij n p q Q  dan ) ( p i j n F q p ij     untuk 2  j dan ) 2 ( 1 , i n F q p i    untuk 1  j , . ) ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (                                       p n F p n F p n F p n F p n F p n F p n F p n F n F n F p n F n F n F n F p n F n F Q p p p p p p p p p p p p p p p p n p      
 
Lemma 4.2.1. Persamaan karakteristik dari bilangan Fibonacci berderajat-p 0 1 1     p p x x tidak memiliki akar kembar untuk p merupakan bilangan asli ). 0 (  p Misal ) (  f adalah  karakteristik  polinomial  dari  generalisasi  matriks Fibonacci p Q , maka 1 ) ( 1     p p f    dan persamaan karakteristiknya adalah
0 1 1     p p   . Misalkan 1 2 1 , , ,  p     merupakan nilai eigen dari matriks p Q
, dari  Lemma  3.2.1 dapat  diketahui  bahwa
1 2 1 , , ,  p 
   bukan merupakan akar
kembar  atau  dapat  dikatakan 1 2 1 , , ,  p     berbeda,  sehingga
p Q dapat didiagonalisasi.
Dimisalkan d V merupakan matriks Vandermonde berorde ) 1 ( ) 1 (    p p
yang ditunjukkan sebagai berikut
              
      1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 p p p p p p p p p d V                  .
Selanjutnya diberikan pula
                         i p n p i p n i p n i k d 1 1 1 2 1 1     , dan ) ( i j V merupakan  matriks  yang  diperoleh  dari  matriks d V dengan  mengganti kolom ke-j dengan matriks i k d .
Teorema 4.2.2. Jika ) ( n F p merupakan  suku  ke-n  dari  bilangan  Fibonacci  berderajat  p,  maka
) det( ) det( ) ( d i j ij V V q  ,  dimana ] [ ij n p q Q  dan ) ( p i j n F q p ij     untuk 2  j dan ) 2 ( 1 , i n F q p i    untuk 1  j .
Bukti:
Karena p Q dapat  didiagonalisasi  dan  diasumsikan T d V merupakan  matriks invertibel,  sehingga D V Q V T d p T d   1 ) ( ,  dengan  D  merupakan  matriks  diagonal yang  memuat  nilai-nilai  eigen p Q .  Karena  terbukti D V V Q T d T d p  ,  sehingga benar  bahwa  terdapat  matriks  invertibel T d V sehingga, D V Q V T d p T d   1 ) ( ,  dan berakibat n T d T d n p D V
V Q  .  Dari  hasil  perhitungan n T d T d n p D V
V Q  ,  diperoleh SPL berikut untuk mencari nilai ij q :
i n p p i i p i p q q q          1 1 1 , 2 1 1 1 1     i n p p i i p i p q q q          1 2 1 , 2 1 2 1 2     
i n p p p i i p p i p p q q q             1 1 1 , 2 1 1 1 1    
Jadi, dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh nilai ij q sebagai berikut:
) det( ) det( ) ( d i j ij V V
q  ,
untuk setiap 1 , , 2 , 1   p j  . ■
Akibat langsung dari teorema tersebut, didapatkan suatu kesimpulan, Jika
) ( n
F p merupakan suku ke- n dari bilangan Fibonacci berderajat p , maka:
) det( ) det( ) det( ) det( ) ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 d p d p V V V V n F    , dengan 1 , 2   j i atau 1 , 1    p j i .  Persamaan  inilah  yang  disebut generalisasi dari formula Binet pada bilangan Fibonacci berderajat- p .
4.3.  Jumlah n Suku  Pertama  dari  Generalisasi  Bilangan  Fibonacci Berderajat- p
Definisi 4.3.1.
Untuk 1  p ,  misal ) ( ij t T  menujukkan  matriks  berorde
) 2 ( ) 2 (    p p
dengan 1 2 , 2 22 21 11      p t t t t , 1 , 1   i i t untuk 1 2    p i dan 0 untuk lainnya.
                     0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1           T atau                  0 0 1 0 0 1   p Q T ,
dengan  matriks p Q berukuran ) 1 ( ) 1 (    p p yang  telah  didefinisikan
sebelumnya.
Diperoleh persamaan karakteristik matriks T adalah
0 ) 1 ( ) 1 ( 1          p p , sehingga T dapat didiagonalisasi.
Definisi 4.3.2. Matriks n C berorde ) 2 ( ) 2 (    p p yang ditunjukkan
                   ) ( ) 1 ( ) ( 0 0 1 p n S Q n S n S C
p n p p p n   ,
Dimana matriks n p Q  telah didefinisikan sebelumnya.
Teorema 4.3.3. Jika diberikan matriks T dan n C berukuran, maka untuk ; 1  n n n T C  .
Dimisalkan  matriks R dan 1 D masing-masing  berorde ) 2 ( ) 2 (    p p sebagai berikut                                1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1       
   p p p p p p p p p R          ,                 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 p D          ,
dengan i  merupakan nilai eigen dari matriks p Q untuk 1 1    p i .
Selanjutnya,  dengan  mengunakan  ekspansi  kofaktor  sepanjang  baris pertama,  terlihat  bahwa T d V R det det  ,  dimana d V merupakan  matriks Vandermonde.  Karena T d V merupakan  matriks  invertibel,  sehingga R juga invertibel. Kemudian, karena T dapat didiagonalisasikan maka dapat diasumsikan
1 1 D TR R   ,  dan  terbukti 1 RD TR  maka  pernyataan 1 1 D TR R   benar, berakibat n n RD R T 1  . Pada Teorema 3.3.3 telah terbukti bahwa n n C T  , maka persamaan n n RD R T 1  dapat ditulis sebagai n n RD R C 1  .
Teorema 4.3.4.
Jika ) ( n S p merupakan  jumlah  n  suku  pertama  dari  generalisasi  bilangan Fibonacci berderajat p, maka
1 ) 1 ( ) (     p n F n S p p .
Bukti:
Diketahui  dari  hasil  perkalian  matriks  antara  matriks C n dan R bahwa 1
) ( 1 , 2   R C n , sehingga dapat dibentuk persamaan berikut
1 ) 1 ( ) ( 0              p i p p i n F n S .
Selanjutnya, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
1 ) 1 ( ) (      p n F n S p p .
Jadi 1 ) 1 ( ) ( ) ( 1        p n F i F n S p n i p p . ■

## 5. KESIMPULAN
1. Proses  terbentuknya  formula  Binet  pada  bilangan  Fibonacci  dengan  metode matriks yaitu:
(a). Membentuk dua persamaan linear berdasarkan definisi bilangan Fibonacci dan  mengubahnya  ke  persamaan  matriks,  sehingga  diperoleh  persamaan umum:
              0 1 1 n n n Q F F . (4.1)
(b).  Menghitung n Q dengan  menggunakan  matriks D yang    merupakan matriks  diagonal  yang  memuat  nilai-nilai  eigen  dari  matriks Q dan matriks S yang  merupakan  matriks  yang  kolom-kolomnya  merupakan vektor-vektor eigen dari Q . Sehingga diperoleh:
1   S SD Q n n . (4.2)
(c).  Mensubstitusi  persamaan  (4.2)  ke  persamaan  (4.1)  sehingga  terbentuk formula Binet:
) ( 5 1 2 1 n n n F     , dengan ) 5 1 ( 2 1 1    dan ) 5 1 ( 2 1 2  
 .
2. Berikut generalisasi dari formula Binet pada bilangan Fibonacci berderajat- p :
) det( ) det( ) det( ) det( ) ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 d p d p V V V V n F    ,
dengan 1 , 2   j i atau 1 , 1    p j i dan ) ( i j V merupakan  matriks  yang diperoleh  dari  matriks  Vandermonde,  dengan  mengganti  kolom  ke-j  dengan
matriks
              
          i p n p i p n i p n i k d 1 1 1 2 1 1     .
3. Jumlah n suku  pertama  pada  bilangan  Fibonacci  berderajat- p dinyatakan dengan formula berikut:
1 ) 1 ( ) (     p n F n S p p .

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H. 1994. Aljabar Linier Elementer . Terjemahan  Pantun Silaban dan I Nyoman  Susila. Erlangga, Jakarta.
[2] Ayres, F. 1984. Matriks . Terjemahan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.
[3]  Dunlap,  R.A.  1997. The  Golden  Ratio  and  Fibonacci  Numbers .  Word Scientific, United State of America.
[4] Fraleigh, J.B. 1995. Linier Algebra . Addison-Wesley. United State of America [5] Kilic, E. 2007. European Journal of Combinatorics . The Binet Formula, sums and  representations  of  generalized  Fibonacci  p-numbers.  TOBB  ETU University  of  Economics  and  Technologi,  Mathematics  Departement, 06560 Sogutozu, Ankara, Turkey
[6]  Stakhov,  A.P.  2006. Chaos,  Solitions  &  Fractals .  Fibonacci  Matrices,  A Generalization  of  The  “Cassini  Formula”,  and  A  New  Coding  Theory. Taganrog State University of Radio Engineering, Rusia.