Vol.12 No.2 (Desember 2018) Hal. 12-18

## SIFAT KEPRIMAAN MODUL SEDERHANA CHEN UNTUK GRAF 𝐴𝐴 ∞

## Risnawita, Irawati, Intan Muchtadi-Alamsyah
Kelompok Keahlian Aljabar, FMIPA Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha no. 10 Bandung, Indonesia
E-mail: risnawita@yahoo.com

## ABSTRACT
Let 𝐾𝐾 be a field, 𝐸𝐸 is a directed graph. Let 𝐴𝐴 ~ is a directed line graph. Suppose that 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] is a class of  Chen  simple module for the Leavitt  path algebra ( 𝐿𝐿𝐾𝐾 ( 𝐸𝐸 )) , with [p] being equivalent classes containing an infinite path. An infinite path p is an infinite sequence from the sides of a graph. In this paper it will be shown that 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] is not a prime module of   the Leavitt path algebra for graph 𝐴𝐴 ∞ . Keywords : Leavitt path algebra, Graph 𝐴𝐴 ~ , Chen simple modules, Prime modules

## ABSTRAK
Misalkan 𝐾𝐾 suatu lapangan, 𝐸𝐸 suatu graf berarah. Diberikan 𝐴𝐴 ~ suatu graf garis berarah. Misalkan 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] suatu kelas modul sederhana Chen atas aljabar lintasan Leavitt ( 𝐿𝐿𝐾𝐾 ( 𝐸𝐸 )) , dengan [ 𝑝𝑝 ] merupakan kelas-kelas ekivalen yang memuat suatu lintasan tak berhingga. Suatu lintasan tak berhingga 𝑝𝑝 adalah suatu barisan tak berhingga dari sisi-sisi pada graf. Dalam tulisan ini akan ditunjukan bahwa 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] R ] bukan merupakan modul prima atas aljabar lintasan Leavitt untuk graf 𝐴𝐴 ∞ .
Kata kunci: Aljabar lintasan Leavitt, Graf 𝐴𝐴 ~ , Modul sederhana Chen, Modul Prima .

## 1. PENDAHULUAN
Konsep prima dalam struktur aljabar pada awalnya dikembangkan melalui struktur ideal pada gelanggang. Pada tahun 1871 Dedekind mulai memperkenalkan konsep ideal prima [15].  Kemudian konsep ideal prima diperluas menjadi konsep gelang-gang prima. Konsep modul prima yang dikemukakan oleh J.M Dauns pada tahun 1978 berawal dari pendefinisian struktur ideal prima di gelanggang.  Misalkan 𝑅𝑅 gelanggang, 𝐼𝐼 merupakan ideal prima jika untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑏𝑏 di gelanggang R, 𝑎𝑎𝑏𝑏 di 𝐼𝐼 mengakibatkan 𝑎𝑎 di 𝐼𝐼 atau 𝑏𝑏 di 𝐼𝐼 . Kemudian dari pendefinisian ideal prima didefinisikan submodul prima. Misalkan 𝑀𝑀 adalah modul kiri atas gelanggang 𝑅𝑅 (ditulis 𝑀𝑀 𝑅𝑅 -modul ) , submodul 𝑁𝑁 ≠ 𝑀𝑀 dikatakan prima apabila 𝑟𝑟𝑟𝑟 ∈ 𝑁𝑁 dengan 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑟𝑟 ∈ 𝑀𝑀 mengakibatkan 𝑟𝑟𝑟𝑟 di 𝑁𝑁 atau 𝑟𝑟 di ( 𝑁𝑁 ∶ 𝑀𝑀 )  = { 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 : 𝑟𝑟𝑀𝑀 ⊆ 𝑁𝑁 } . Modul 𝑀𝑀 dikatakan modul prima jika submodul 0 merupakan submodul prima pada 𝑀𝑀 yaitu untuk setiap 𝑟𝑟 unsur di 𝑅𝑅 dan 𝑟𝑟 di 𝑀𝑀 sehingga 𝑟𝑟𝑟𝑟 =  0 maka 𝑟𝑟 di 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝑀𝑀 ) atau 𝑟𝑟 =  0 , dengan 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝑀𝑀 ) pembuat nol dari 𝑀𝑀 yaitu himpunan semua 𝑟𝑟 unsur di 𝑅𝑅 yang mengakibatkan 𝑟𝑟𝑀𝑀 =  0 . Di lain pihak pengembangan konsep dari gelanggang herediter Noether prima (HNP) menjadi modul HNP telah dilakukan dalam [10] dan [11]. Lebih lanjut dalam [9] dan [18] telah dilakukan karakterisasi submodul
Vol.12 No.2 (Desember 2018) Hal. 12-18
prima. Lomp dan Pena telah mengkaji tentang himpunan pembuat nol pada suatu modul prima [5]  . Penelitian lainnya tentang modul prima yaitu modul koprima dan komodul prima[14].  Sementara itu konsep prima juga berkembang pada aljabar lintasan.
Aljabar lintasan merupakan suatu aljabar atas suatu lapangan 𝐾𝐾 yang basisnya merupakan himpunan semua lintasan pada kuiver.  Kuiver dalam hal ini dipandang sebagai graf berarah yang terdiri dari himpunan titik 𝐸𝐸 0 , himpunan sisi 𝐸𝐸 1 serta dua pemetaan 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ∶ 𝐸𝐸 1 → 𝐸𝐸 0 yang memetakan setiap sisi 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 ke titik ujungnya 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) dan ke titik sumbernya 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ) [12]. Penelitian tentang aljabar lintasan juga telah banyak dilakukan.  Setiap aljabar berdimensi hingga dapat digambarkan sebagai suatu kuiver dan sebaliknya[12]. Pada tahun 2008 Aranda Pino mengkaji tentang syarat perlu dan cukup suatu aljabar lintasan bersifat semiprima  [2]. Dengan memandang kuiver sebagai suatu graf berarah maka kuiver dapat diperluas dengan memandang arah sebaliknya dari setiap sisi pada kuiver tersebut. Ara, Moreno dan Pardo mende nisikan suatu aljabar lintasan Leavitt merupakan suatu aljabar lintasan pada graf perluasan yang memenuhi relasi Cuntz- Krieger[20].  Kemudian Aranda Pino dan Abrams juga mende nisikan aljabar lintasan Leavitt adalah suatu aljabar yang analog dengan graf 𝐶𝐶 -aljabar [1].
Penelitian tentang aljabar lintasan Leavitt atas suatu lapangan ini juga telah banyak dilakukan. Aranda Pino, dkk pada tahun 2007 telah mengkaji syarat perlu dan cukup suatu graf 𝐸𝐸 sehingga aljabar lintasan Leavitt atas suatu lapangan 𝐾𝐾 merupakan aljabar berdimensi hingga. Penelitian tentang aljabar lintasan Leavitt yang bersifat prima juga telah banyak dilakukan[3]. Ranggaswami mengkaji ten- tang karakterisasi ideal prima dari aljabar lintasan Leavitt dari sebarang graf[16]. Ara dan Rangaswamy juga telah membuktikan bahwa modul sederhana atas aljabar lintasan Leavitt merupakan modul yang disajikan secara hingga [19]. Kemudian jika diberikan aljabar lintasan Leavitt 𝐿𝐿 dan suatu 𝑆𝑆 𝐿𝐿 -modul sederhana, Rangaswamy menghitung kardinalitas himpunan semua 𝐿𝐿 -modul sederhana atas aljabar lintasan Leavitt yang isomorf dengan 𝑆𝑆 [17].  Lebih lanjut dalam  [21]  telah dibuktikan bahwa modul prima atas aljabar lintasan dari graf pohon dan graf 𝐴𝐴̃ hanyalah modul sederhana. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang sifat keprimaan dari modul sederhana Chen tipe 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 ALJABAR  LINTASAN DAN ALJABAR LINTASAN LEAVITT
Dalam bagian ini akan dijelaskan teori dasar mengenai aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt.
Definisi 2.1.1 Suatu graf (berarah) 𝐸𝐸 = ( 𝐸𝐸 0 , 𝐸𝐸 1 , 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) adalah empat terurut yang terdiri atas himpunan 𝐸𝐸 0 yang unsurnya dinamakan titik, himpunan 𝐸𝐸 1 yang unsurnya dinamakan panah, pemetaan 𝑠𝑠 ∶ 𝐸𝐸 1 → 𝐸𝐸 0 dan pemetaan 𝑟𝑟 ∶ 𝐸𝐸 1 → 𝐸𝐸 0 . Untuk setiap 𝛼𝛼 ∈ 𝐸𝐸 1 , titik 𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) ∈ 𝐸𝐸 0 dinamakan titik awal dari 𝛼𝛼 dan 𝑟𝑟 ( 𝛼𝛼 ) dinamakan titik akhir dari 𝛼𝛼 .
Suatu panah 𝛼𝛼 ∈ 𝐸𝐸 1 dengan titik awal 𝑎𝑎 = 𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) dan titik akhir 𝑏𝑏 = 𝑟𝑟 ( 𝛼𝛼 ) dapat dituliskan menjadi 𝛼𝛼 ∶ 𝑎𝑎 → 𝑏𝑏 . Sedangkan suatu graf 𝐸𝐸 = ( 𝐸𝐸 0 , 𝐸𝐸 1 , 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) dapat ditulis secara singkat menjadi 𝐸𝐸 .
Dalam pembahasan ini, graf (berarah) yang dimaksud adalah graf tanpa pembatasan banyaknya panah antara dua titik, dan tanpa pembatasan akan adanya loop atau cycle berarah.
Berikut diberikan definisi aljabar lintasan.
Definisi 2.1.2. Misalkan 𝐾𝐾 suatu lapangan dan 𝐸𝐸 suatu graf. Aljabar lintasan 𝐾𝐾𝐸𝐸 dari 𝐸𝐸 adalah 𝐾𝐾 -aljabar dengan basis ruang vektornya adalah himpunan semua lintasan ( 𝑎𝑎 | 𝛼𝛼 1 , ⋯ , 𝛼𝛼 𝑙𝑙 | 𝑏𝑏 ) dengan panjang 𝑙𝑙 ≥ 0 di 𝐸𝐸 dan perkalian antara dua vektor basis ( 𝑎𝑎 | 𝛼𝛼 1 , ⋯ , 𝛼𝛼 𝑙𝑙 | 𝑏𝑏 ) dan ( 𝑐𝑐 | 𝛽𝛽 1 , ⋯ , 𝛽𝛽 𝑘𝑘 | 𝑑𝑑 ) dari 𝐾𝐾𝐸𝐸 didefinisikan oleh:
( 𝑎𝑎 | 𝛼𝛼 1 , ⋯ , 𝛼𝛼 𝑙𝑙 | 𝑏𝑏 )( 𝑐𝑐 | 𝛽𝛽 1 , ⋯ , 𝛽𝛽 𝑘𝑘 | 𝑑𝑑 ) = 𝛿𝛿 𝑏𝑏𝑏𝑏 ( 𝑎𝑎 | 𝛼𝛼 1 , ⋯ , 𝛼𝛼 𝑙𝑙 , 𝛽𝛽 1 , ⋯ , 𝛽𝛽 𝑘𝑘 | 𝑑𝑑 ) dimana 𝛿𝛿 𝑏𝑏𝑏𝑏 adalah fungsi Kronecker delta. Dengan kata lain hasil perkalian dua lintasan 𝛼𝛼 1 ⋯ 𝛼𝛼 𝑙𝑙 dan 𝛽𝛽 1 ⋯ 𝛽𝛽 𝑘𝑘 sama dengan nol jika 𝑟𝑟 ( 𝛼𝛼 𝑙𝑙 ) ≠ 𝑠𝑠 ( 𝛽𝛽 1 ) dan sama dengan lintasan 𝛼𝛼 1 ⋯ 𝛼𝛼 𝑙𝑙 𝛽𝛽 1 ⋯ 𝛽𝛽 𝑘𝑘 jika 𝑟𝑟 ( 𝛼𝛼 𝑙𝑙 ) = 𝑠𝑠 ( 𝛽𝛽 1 ) .  Perkalian dua unsur basis diperluas untuk sebarang unsur 𝐾𝐾𝐸𝐸 dengan aturan distributif.
Definisi 2.1.3. Suatu lintasan tak berhingga adalah suatu barisan tak berhingga dari sisi-sisi 𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 1 𝑒𝑒 2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑛𝑛 ⋯ , dengan 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 𝑖𝑖 )   = 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 𝑖𝑖+1 ) ; ∀𝑖𝑖 .
Definisi  2.1.4 . Diberikan suatu lintasan tak berhingga 𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 1 𝑒𝑒 2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑛𝑛 ⋯ , ∀𝐴𝐴 ≥ 1 , 𝜏𝜏 ≤𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 ) = 𝑒𝑒 1 𝑒𝑒 2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑛𝑛 dan 𝜏𝜏 >𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 ) = 𝑒𝑒 𝑛𝑛+1 𝑒𝑒 𝑛𝑛+2 ⋯ . Dua lintasan tak berhingga 𝑝𝑝 , 𝑞𝑞 dikatakan ekivalen jika 𝜏𝜏 >𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 ) = 𝜏𝜏 >𝑚𝑚 ( 𝑞𝑞 ) untuk suatu bilangan bulat 𝑟𝑟 , 𝐴𝐴 .
Kelas-kelas ekivalen yang memuat suatu lintasan tak berhingga dinotasikan dengan [ 𝑝𝑝 ] .
Berikutnya akan diperkenalkan aljabar lintasan Leavitt.
Graf 𝐸𝐸 dapat diperluas dengan memandang arah sebaliknya dari sisi-sisi dalam 𝐸𝐸 1 . Sisi dalam 𝐸𝐸 1 disebut sisi nyata dan sisi dengan arah berlawanan dari sisi nyata disebut sisi hantu. Himpunan semua sisi hantu dalam 𝐸𝐸 dinyatakan dengan 𝐸𝐸 1 ∗ . Graf 𝐸𝐸 yang diperluas didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.5 Diberikan graf 𝐸𝐸 = ( 𝐸𝐸 0 , 𝐸𝐸 1 , 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) .  Graf perluasan 𝐸𝐸 adalah graf baru 𝐸𝐸� = ( 𝐸𝐸 0 , 𝐸𝐸 1 ∪ 𝐸𝐸 1 ∗ , 𝑟𝑟 ′ , 𝑠𝑠 ′ ) dengan 𝐸𝐸 1 ∗ = { 𝑒𝑒 1 ∗ | 𝑒𝑒 1 ∈ 𝐸𝐸 1 } dan fungsi 𝑟𝑟 ′ , 𝑠𝑠 ′ didefenisikan sebagai berikut 𝑟𝑟 ′ | 𝐸𝐸 1 = 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ′ | 𝐸𝐸 1 = 𝑠𝑠 , 𝑟𝑟 ′ ( 𝑒𝑒 1 ∗ ) = 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ) dan 𝑠𝑠 ′ ( 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ∗ ) = 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ). Jika 𝑠𝑠 −1 ( 𝑣𝑣 ) adalah himpunan berhingga, ∀𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸 0 , maka graf 𝐸𝐸 disebut graf baris hingga. Berikut ini beberapa istilah dalam graf yang akan digunakan, yaitu:
1. Jika 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ) = 𝑣𝑣 dan 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) = 𝑤𝑤 , maka dikatakan bahwa 𝑣𝑣 memancarkan (emit) 𝑒𝑒 , dan 𝑤𝑤 menerima 𝑒𝑒 atau 𝑒𝑒 menuju 𝑤𝑤 . Titik 𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸 0 disebut sumber jika 𝑣𝑣 tidak menerima setiap sisi, dengan kata lain 𝑣𝑣 sumber jika 𝑣𝑣 ≠ 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) untuk
setiap 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 atau 𝑟𝑟 −1 ( 𝑣𝑣 ) = ∅ . Titik 𝑣𝑣 disebut sink jika 𝑣𝑣 tidak memancarkan sebarang sisi, artinya 𝑣𝑣 ≠ 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ) , ∀𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸 0 .
2. Jika kardinalitas 𝑠𝑠 −1 ( 𝑣𝑣 ) = ∞ maka 𝑣𝑣 disebut infinite emitter.
3. Jika 𝑣𝑣 merupakan sink atau infinite emitter maka 𝑣𝑣 disebut titik singular.
Untuk selanjutnya kita akan bekerja dengan graf baris hingga.
Definisi 2.1.6 . Misalkan 𝐾𝐾 suatu lapangan dan 𝐸𝐸 merupakan graf baris hingga. Aljabar lintasan Leavitt dari 𝐸𝐸 dengan koefisien di 𝐾𝐾 didefinisikan sebagai aljabar lintasan atas graf perluasan 𝐸𝐸� , dengan relasi:
( 𝐶𝐶𝐾𝐾 1) 𝑒𝑒 ∗ 𝑓𝑓 = 𝛿𝛿 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) untuk setiap 𝑒𝑒 , 𝑓𝑓 ∈ 𝐸𝐸 1
( 𝐶𝐶𝐾𝐾 2) 𝑣𝑣 = ∑ { 𝑒𝑒∈𝐸𝐸 1 | 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ) =𝑣𝑣 } 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∗ untuk setiap 𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸 0 bukan sink.
Aljabar ini dinotasikan dengan 𝐿𝐿 𝐾𝐾 ( 𝐸𝐸 ) (cukup disingkat dengan 𝐿𝐿 ( 𝐸𝐸 ) .
Syarat ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 1) dan ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 2) disebut relasi Cuntz-Krieger. Secara khusus syarat ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 2) adalah relasi Cuntz-Krieger di 𝑣𝑣 . Jika 𝑣𝑣 sink maka kita tidak harus memiliki relasi ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 2) di 𝑣𝑣 . Syarat baris-hingga dibutuhkan untuk mende nisikan persamaan ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 2).
Contoh :
Cara lain untuk mende nisikan aljabar Leavitt adalah sebagai berikut.
Definisi 2.1.7 . Diberikan graf 𝐸𝐸 = ( 𝐸𝐸 0 , 𝐸𝐸 1 , 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) , aljabar lintasan Leavitt dari graf 𝐸𝐸 dengan koefisien di 𝐾𝐾 adalah 𝐾𝐾 -aljabar yang dibangun oleh himpunan { 𝑣𝑣 : 𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸 0 } dan himpunan sisi { 𝑒𝑒 , 𝑒𝑒 ∗ : 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 } yang memenuhi kondisi berikut:
1. 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ) 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ), untuk setiap 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 .
2. 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ), untuk setiap 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 .
3. ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 1) 𝑒𝑒 ∗ 𝑓𝑓 = 𝛿𝛿 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) untuk setiap 𝑒𝑒 , 𝑓𝑓 ∈ 𝐸𝐸 1 .
4. ( 𝐶𝐶𝐾𝐾 2) 𝑣𝑣 = ∑ { 𝑒𝑒∈𝐸𝐸 1 | 𝑠𝑠 ( 𝑒𝑒 ) =𝑣𝑣 } 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∗ untuk setiap 𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸 0 bukan sink.
2.2 MODUL PRIMA DAN MODUL SEDERHANA CHEN 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] Berikut ini akan diberikan definisi dari modul prima dan modul sederhana Chen. Dalam [23]  modul sederhana didefenisikan dengan menggunakan lintasan tak berhingga.
Definisi 2.2.1 . Misalkan 𝑀𝑀 adalah modul kiri atas ring 𝑅𝑅 , submodul 𝑁𝑁 ≠ 𝑀𝑀 disebut prima apabila 𝑟𝑟𝑟𝑟 ∈ 𝑁𝑁 dengan 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑟𝑟 ∈ 𝑀𝑀 mengakibatkan 𝑟𝑟 ∈ 𝑁𝑁 atau 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑁𝑁 ∶ 𝑀𝑀 ) = { 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ∶ 𝑟𝑟𝑀𝑀 ⊆ 𝑁𝑁 } .
Definisikan 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝑀𝑀 ) , pembuat nol dari 𝑀𝑀 sebagai:
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝑀𝑀 ): = { 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ∶ 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0 , untuk setiap 𝑟𝑟 ∈ 𝑀𝑀 }
Dari definisi submodul prima di atas maka modul 𝑀𝑀 dikatakan modul prima jika submodul 0 merupakan submodul prima pada 𝑀𝑀 yaitu jika 𝑟𝑟𝑟𝑟 =  0 dengan 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅
dan 𝑟𝑟 ∈ 𝑀𝑀 maka 𝑟𝑟 ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ( 𝑀𝑀 ) 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑟𝑟 =  0.
Teorema 2.2.2 . Misalkan K suatu lapangan dan 𝐴𝐴 ∞ graf
Modul Prima tak terdekomposisi atas aljabar lintasan 𝐾𝐾𝐴𝐴 ∞ hanyalah modul sederhana tak terdekomposisi.
Bukti. lihat[21]
Selanjutnya akan diberikan defenisi dari modul sederhana Chen.
Definisi 2.2.3 . Misalkan 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] merupakan 𝐾𝐾 -ruang vektor dengan basisnya { 𝑞𝑞 : 𝑞𝑞 ∈ [ 𝑝𝑝 ]} , didefinisikan untuk setiap titik 𝑎𝑎 dan sisi 𝑒𝑒 di E. Transformasi linier 𝑃𝑃 𝑢𝑢 , 𝑆𝑆 𝑒𝑒 , 𝑆𝑆 𝑒𝑒 ∗ pada 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] didenisikan sebagai berikut:
𝑃𝑃 𝑢𝑢 ( 𝑝𝑝 ) = �𝑝𝑝 , 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 ) 0, 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑙𝑙𝑎𝑎
𝑆𝑆 𝑒𝑒 ( 𝑝𝑝 ) = �𝑒𝑒𝑝𝑝 , 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 ) = 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 ) 0, 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑙𝑙𝑎𝑎
𝑆𝑆 𝑒𝑒 ∗ ( 𝑝𝑝 ) = �𝑝𝑝 ′ , 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑝𝑝 = 𝑒𝑒𝑝𝑝 ′
0, 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑖𝑖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑙𝑙𝑎𝑎
Endomorfisma { 𝑃𝑃 𝑢𝑢 , 𝑆𝑆 𝑒𝑒 , 𝑆𝑆 𝑒𝑒 ∗ : u ∈ 𝐸𝐸 0 , 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 }memenuhi relasi 1-4 dari aljabar lintasan Leavitt. Berikutnya dapat dibuat suatu homomorfisma aljabar
𝜑𝜑 :L → End 𝐾𝐾 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] .
Untuk setiap titik u ∈ 𝐸𝐸 0 dan sisi 𝑒𝑒 ∈ 𝐸𝐸 1 , maka
𝜑𝜑 : 𝑎𝑎 → 𝑃𝑃 𝑢𝑢 , 𝜑𝜑 : 𝑒𝑒 → 𝑆𝑆 𝑒𝑒 , 𝜑𝜑 : 𝑒𝑒 ∗ → 𝑆𝑆 𝑒𝑒 ∗ .
Sehingga melalui homomorfisma 𝜑𝜑 dapat diperiksa bahwa 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] R ] merupakan modul sederhana.

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Penulisan dilakukan melalui studi literatur. Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah dengan menggunakan teorema pada aljabar lintasan untuk melihat sifat keprimaan dari modul sederhana Chen tipe 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam Teorema 2.2.2 telah dibuktikan bahwa modul sederhana atas aljabar lintasan dari graf 𝐴𝐴 ∞ merupakan modul prima,  namun pada modul sederhana Chen tipe 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] tidak berlaku.
Contoh penyangkal: Ambil 𝑟𝑟 = 𝑝𝑝 1 + 𝑝𝑝 2 , 𝑟𝑟 = 5 𝑣𝑣 1 + 3 𝑣𝑣 2 − 5 𝑒𝑒 1 − 3 𝑒𝑒 1 ∗ , jelas 𝑟𝑟 ≠ 0 . Dengan menggunakan Definisi 2.2.1 dan Definisi 2.2.3 diperoleh 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 5 𝜑𝜑 ( 𝑣𝑣 1 ) + 3 𝜑𝜑 ( 𝑣𝑣 2 ) = � 5 𝑃𝑃 𝑣𝑣 1 + 3 𝑃𝑃 𝑣𝑣 2 − 5 𝑆𝑆 𝑒𝑒 1 − 3 𝑆𝑆 𝑒𝑒 1 ∗ � ( 𝑝𝑝 1 + 𝑝𝑝 2 ) = 5 𝑝𝑝 1 − 3 𝑝𝑝 2 + 3 𝑝𝑝 2 − 5 𝑝𝑝 1 = 0
Tetapi 𝑟𝑟𝑝𝑝 1 = (5 𝑣𝑣 1 + 3 𝑣𝑣 2 − 5 𝑒𝑒 1 − 3 𝑒𝑒 1 ∗ ) 𝑝𝑝 1 = 5 𝑝𝑝 1 − 3 𝑝𝑝 2 ≠ 0.
Dengan demikian terdapat 𝑟𝑟 ∈ 𝐿𝐿 ( 𝐸𝐸 ) , 𝑟𝑟 ∈ 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] R ] dengan 𝑟𝑟𝑟𝑟 =0, namun 𝑟𝑟𝑀𝑀 ≠ 0 .

## 5. KESIMPULAN
Dalam Teorema 2.2.2 telah dibuktikan bahwa modul sederhana atas aljabar lintasan dari graf 𝐴𝐴 ∞ merupakan modul prima,  namun pada modul sederhana Chen tipe 𝑉𝑉 [ 𝑝𝑝 ] bukan merupakan modul prima.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Abrams, G. and Aranda Pino, G. 2005, The Leavitt path algebra of a graph, Journal of Algebra, 293, 319{334.
[2] Aranda Pino, G., Barquero, D. M., Gonzales, C. M. and Siles Molina, M. 2008, The Socle of Leavitt Path Algebra ,  Journal of Pure and Applied Algebra, 3, 500{509.
[3] Aranda Pino, G, E. Pardo, M. S. M. 2009, Prime Spectrum and Primitive Leavitt Path Algebra , Indiana. Univ. Math. Journal, 58, 869{890.
[4] A.P. Santika and I. Muchtadi-Alamsyah, The p-regular subspaces of symmetric Nakayama algebras and algebras of dihedral and semi- dihedral type , JP Journal of Algebra Number Theory and Applications vol 27 No 2 (2012), 131-142.
[5] C Lomp and A. J. Pena, 2000. A Note on Prime Modules , vol 8, 1,31- 42. Divul-gaciones Matematicas.
[6] Dauns, John, Modules and Rings ,1994, cambride university press.
[7] D. Kariman, I.M.Maris, Risnawita, Dual Right Serial Algebras , in Advances in Algebraic Structures, Proceeding International Conference in Algebra, World Scienti c, 2012.
[8] Faisal, I. Muchtadi-Alamsyah, Characterization of Nakayama m- Cluster Tilted Algebra of Type An , accepted in Journal of Indonesian Math. Soc.
[9] I.G.A.W.Wardhana, P.Astuti, I. Muchtadi-Alamsyah, On almost prime submod-ules of a module over a principal ideal domain , JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications vol 38 Issue 2 (2016), 121-128.
[10] Irawati (2004), Struktur Modul di Sekitar Modul Dibangun secara Hingga atas Gelanggang HNP dan Generalisasi Gelanggang HNP , Disertasi, Departemen Matematika ITB.
[11] Irawati, The  generalization of HNP ring and nitely generated modules over HNP ring , International Journal of Algebra vol 5 no 13 (2011), 611-626.
[12] I.Assem, D.Simson, A.Skowronski , Elements of the Representation Theory of Associative Algebras 1, London Mathematical Society Student Texts 65, Cam-bridge University Press, 2006.
[13] I.Muchtadi-Alamsyah, Braid action on derived category of Nakayama algebras, Communication in Algebra vol. 36 Issue 07 (2008) 2455-2569.
[14] I. E. Wijayanti, Coprime Modules and Comodules . Journal of Algebra, 2006, vol  305, number 2,937-948.
[15] Kleiner, I, a History of Abstract Algebra ,2000. Berlin.
[16] Kulumani M.Rangaswamy, The Theory of Prime Ideal of Leavitt Path Algebra over arbitrary Graph(2013) , Journal of Algebra.
[17] Kulumani M.Rangaswamy, On simple modules  over Leavitt path algebras , Journal of Algebra (2015), 239-258.
[18] K. Saleh, P.Astuti, I. Muchtadi-Alamsyah, On the structure of nitely gener-ated primary modules, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications vol 38 Issue 5 (2016), 519-533.
[19] Pere Ara, Kulumani M.Rangaswamy, Finitely presented simple modules over Leavitt path algebras , Journal of Algebra (2014), 333- 352.
[20] P. Ara, M. A. Gonzallez-Barroso 2004, Fractional Skew Monoid Rings, Journal of Algebra, 278, 104{106.
[21] Risnawita, Irawati, I. Muchtadi-Alamsyah, Prime module over path algebra of tree and graph 𝐴𝐴̃ (submitted)
[22] Roman, S., Advance Linier Algebra,2007. In : Graduated Text In Mathematics , vol 135, Birkhauser Boston, New York, 2007.
[23] X.W. Chen, Irreducible representations of Leavitt path  algebras ,
Forum Math. 20 (2012) http://dx.doi.org/10.1515/forum-2012-0020