## MODEL KONTROL OPTIMAL SIR PADA PENYAKIT CAMPAK
Awawin Mustana Rohmah 1 , Siti Alfiatur Rohmaniah 2 , Rifky Ardhana Kisno Saputra 3
1 Universitas Islam Darul Ulum, awawin.emer@unisda.ac.id
2 Universitas Islam Darul Ulum, sitialfiatur@unisda.ac.id
3 Universitas Islam Darul Ulum, rifkyardhana@unisda.ac.id
Abstract. The  SIR  model  is  one  of  the  epidemic  models  to  describe  the  spread  of infectious diseases with healing and without immunity to these infections. Environmental changes  can  affect  changes  in  disease  patterns  that  can  cause  endemic.  One  of  the diseases  that  cause  endemic  is  Measles  (Measles).  Therefore,  it  is  necessary  to  take preventive  measures  to  reduce  the  rate  of  spread  of  the  disease,  the  most  effective measure  to  prevent  the  spread  of  the  disease  is  vaccination.  Measles  transmission prevention events that occur in a population can be modeled in a mathematical form, one of which is the SIR model. The SIR model is divided into four subpopulations, namely the  susceptible  population  or  a  subpopulation  of  susceptible  individuals  to  the  disease, the  infected  subpopulation  or  a  subpopulation  of  infected  individuals  and  can  transmit the disease and the recovary subpopulation or individual subpopulation recovering from the disease. Vaccination in this case is the addition of controls to the SIR model, where before being controlled, Measles was only treated normally without vaccines, so that the disease  is  still  common  in  the  community.  Giving  the  right  vaccine  will  reduce  the number of infected subpopulations, so that the recovery subpopulation will increase. In this study, the SIR model was developed with the addition of controls. The control in this model  is  a  vaccination  given  to  infected  subpopulations,  so  that  the  recovery subpopulation  has  increased,  because  the  number  of  infected  subpopulations  has decreased.
Keywords: SIR Models, Optimal Control Model, Vaccination.
Abstrak. Model  SIR  merupakan  salah  satu  model  epidemik  untuk  menggambarkan penyebaran  penyakit  infeksi  dengan  adanya  penyembuhan  dan  tanpa  adanya  kekebalan terhadap  infeksi  tersebut.  Perubahan  lingkungan  hidup  dapat  mempengaruhi  perubahan pola penyakit yang dapat menimbulkan endemik. Salah satu penyakit yang menyebabkan endemi  yaitu  penyakit  Campak  (Measles).  Oleh  karena  itu  perlu  adanya  tindakan pencegahan untuk  mengurangi  laju  penyebaran  penyakit  tersebut,  tindakan  yang  dinilai paling  efektif  untuk  mencegah  penyebaran  penyakit  adalah  dengan  cara  vaksinasi. Kejadian pencegahan penularan penyakit Campak yang terjadi pada suatu populasi dapat dimodelkan  ke  dalam  bentuk  matematis,  salah  satunya  adalah  model  SIR.  Model  SIR dibagi  menjadi  empat  subpopulasi  yaitu  populasi susceptible  atau  subpopulasi  individu rentan terhadap penyakit, subpopulasi infected atau subpopulasi individu terinfeksi serta dapat menularkan penyakit dan subpopulasi recovary atau subpopulasi individu sembuh dari  penyakit.  Vaksinasi  dalam  hal  ini  adalah  penambahan  kontrol  pada  model  SIR, dimana sebelum dikontrol, penyakit Campak hanya diobati biasa tanpa pemberian vaksin, sehingga  penyakit  tersebut  masih  banyak  dijumpai  di  masyarakat.  Pemberian  vaksin yang  tepat,  akan  menurunkan  jumlah  subpopulasi  terinfeksi,  sehingga  subpopulasi recovery  akan  mengalami  kenaikan.  Pada  penelitian  ini  mengembangkan  model  SIR dengan  penambahan  kontrol.  Kontrol  pada  model  tersebut  merupakan  vaksinasi  yang diberikan  kepada  subpopulasi  infected,  sehingga  subpopulasi  recovery  mengalami kenaikan, kerena jumlah subpopulasi infected menurun.
Kata Kunci: Model SIR, Model Kontrol Optimal, Vaksinasi .

## 1  PENDAHULUAN
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  di  bidang  Matematika  memberikan peranan  penting  dalam  membantu  menganalisa  dan  mengontrol  penyebaran penyakit.  Kejadian  –  kejadian  yang  ada  di  sekitar  dapat  diamati  dan  dianalisa dalam  bentuk  model  Matematika.  Salah  satu  model  matemtika  yaitu  Model  SIR yang  merupakan  salah  satu  model  epidemik  untuk  menggambarkan  penyebaran penyakit  infeksi  dengan  adanya  penyembuhan  dan  tanpa  adanya  kekebalan terhadap  infeksi  tersebut.  Model  matematika  juga  termasuk  salah  satu  alat  yang dapat  membantu  dalam  menyelesaikan  masalah  dikehidupan  nyata.  Masalah- masalah  tersebut  dapat  dibawa  ke  dalam model matematis  dengan menggunakan asumsi  -  asumsi  tertentu.  Selanjutnya  akan  dicari  solusinya  baik  secara  analitis maupun numerik.
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, serta perubahan lingkungan hidup  dapat  mempengaruhi  perubahan  pola  penyakit  yang  dapat  menimbulkan endemi  dan  membahayakan  kesehatan  masyarakat.  Salah  satu  penyakit  yang menyebabkan  endemi  yaitu  penyakit  Campak  (Measles).  Oleh  karena  itu  perlu adanya tindakan pencegahan untuk mengurangi laju penyebaran penyakit tersebut, tindakan yang dinilai paling efektif untuk mencegah penyebaran penyakit adalah dengan  cara  vaksinasi.  Kejadian  pencegahan  penularan  wabah  penyakit  Campak yang  terjadi  pada  suatu  populasi  dapat  dimodelkan  ke  dalam  bentuk  matematis, salah  satunya  adalah  model  SIR  (Susceptible,  Infected,  Recovered).  Pada  model penyebaran  penyakit,  populasi  dibedakan  menjadi  empat  subpopulasi  yaitu populasi  susceptible  atau  subpopulasi  individu  yang  rentan  terhadap  penyakit, subpopulasi  infected  atau  subpopulasi  individu  yang  terinfeksi  serta  dapat menularkan  penyakit  dan  subpopulasi  recovary  atau  subpopulasi  individu  yang sembuh dari penyakit.
Vaksinasi  dalam  hal  ini  adalah  penambahan  kontrol  pada  model  SIR, dimana sebelum dikontrol, penyakit Campak hanya diobati biasa tanpa pemberian vaksin,  sehingga  penyakit  tersebut  masih  banyak  dijumpai  di  masyarakat. Pemberian  vaksin  yang  tepat,  akan  menurunkan  jumlah  subpopulasi  terinfeksi, sehingga subpopulasi recovery akan mengalami kenaikan. [1] melakukan analisa model  SIR  pada  epidemik  penyakit  Campak  berdasarkan  umur  dengan  pengaruh imunisasi. [2] menganalisa model SIR dengan Analisa Persistensi. [3] melakukan analisa pada pengendalian optimal model penyakit.
Pada penelitian ini mengembangkan model SIR dengan penambahan kontrol. Dimana kontrol pada model tersebut merupakan vaksinasi yang diberikan kepada subpopulasi infected, sehingga subpopulasi recovery mengalami kenaikan, kerena jumlah subpopulasi infected menurun.

## 2 METODE
Metode yang digunakan untuk mencapai tujuan dari penelitian ini dilakukan dengan  beberapa  langkah.  Langkah  Pertama  pembentukan  model  SIR  yang kemudian  dibentuk  kedalam  kontrol  optimal  dan  menentukan  fungsi  tujuan. Selanjutnya  dilakukan  penyelesain  masalah  optimal  control,  dimana  untuk penyelesaian  ini  ada  beberapa  tahapan.  Tahapan  pertama  membentuk  fungsi

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Hamiltonian, kemudian menurunkan fungsi Hamiltonian terhadap variabel kontrol, selanjutnya  melakukan  substitusi  nilai  kontrol  optimal  pada  fungsi  Hamiltonian, mencari  state  dan  co-state.  Sedemikian  hingga  diperoleh  model  SIR  yang dikontrol.

## 3 HASIL DAN PEMBAHASAN

## Model Matematika
Jumlah  subpopulasi   akan  bertambah  karena  banyaknya  kelahiran  sebesar ,  namun  berkurang  karena  adanya  kematian  alami  dengan  laju   serta  adanya kontak  antar  individu bertemu  dengan yang  mengkibatkan  jumlah subpopulasi   berkurang dan masuk menjadi subpopulasi   sebesar

## Gambar 1. Diagram Kompartmen Subpopulsi Susceptible
Berdasarkan Gambar 1 dapat dijelaskan bahwa ada perubahan pada jumlah subpopulasi   persatuan waktu, sehingga dapat disebut  .
Jumlah  subpopulasi   bertambah  karena  adanya  kontak  antara  individu bertemu  dengan   yang  mana  mengakibatkan  individu  tersebut  terinfeksi,  serta berkurang  karena  adanya  kematian  alami dan  kematian  karena  terinfeksi campak  sebesar .  Individu  terinfeksi  dilakukan  penyembuhan  sehingga
mengakibatkan  berkurangnya  subpopulasi sebesar yang  masuk  dalam subpopulasi
Gambar 2. Diagram Kompartmen Subpopulsi Infected

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Berdasarkan Gambar 2 dapat dijelaskan bahwa ada perubahan pada jumlah subpopulasi   persatuan waktu, sehingga dapat disebut  .
Jumlah  subpopulasi bertambah  karena  adanya  subpopulasi  terinfeksi yang  disembuhkan,  namun  subpopulasi diasumsikan  pada  penyakit  campak tidak kembali rentan, dan berkurang karena adanya kematian alami sebesar  .
Gambar 3. Diagram Kompartmen Subpopulsi Recovered
Berdasarkan Gambar 3 dapat dijelaskan bahwa ada perubahan pada jumlah subpopulasi   persatuan waktu, sehingga dapat disebut .
Dari Gambar 1, 2, dan 3 dapat digabungkan sehingga menjadi suatu sistem.

## Gambar 4. Diagram Kompartmen Model Matematika SIR
Berdasarkan  uraian  dan  diagram  kompartmen  tersebut,  sehingga  dapat dibentuk sistem sebagai berikut.
Dengan : banyaknya individu rentan ( S) pada waktu t ,
: banyaknya individu terinfeksi ( I) pada waktu ,
: banyaknya individu sembuh (R) pada waktu t,
: angka kelahiran individu rentan,

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
: laju kontak pada klas terinfeksi,
: angka kematian alami,
: angka kematian karena penyakit,
: laju kesembuhan.

## Model Kontrol Optimal
Pada  model  matematika  tersebut,  selanjutnya  dilakukan  kontrol  optimal  dengan menambahakan kontrol yaitu   pada subpopulasi infected (  [4]. Sehingga model matematika tersebut menjadi berikut.
(1)
(2)
(3)
Dengan  meminimumkan  biaya  untuk  mengontrol  populasi  yang  terinfeksi, sehingga dibentuk fungsi objektif sebagai berikut.
(4)
1. Membentuk Persamaan Hamiltonian
Berdasarkan  Persamaan  (1),  (2),  (3),  dan  (4)  dapat  dibentuk  persamaan Hamiltonian berikut.
Menentukan  Kontrol  Optimal  dangan  menurunkan   terhadap  ,  sehingga diperoleh
Kemudian  nilai atau optimal  disubstitusikan  terhadap awal. Sehingga diperoleh Hamiltonian Optimal sebagai berikut.
2. Menentukan State dan Co-State
Setelah  diperoleh ,  selanjutnya  diturunkan  terhadap  SEIR.  Bentuk  State dari sistem tersebut adalah sebagai berikut.
Bentuk  Co-State  dari  sistem  tersebut  diperoleh  dari  turunan terhadap masing – masing  adalah sebagai berikut.
Berdasarkan model SIR yang dilakukan kontrol untuk menurunkan subpopulasi terinfeksi serta kenaikan pada subpopulasi sembuh, yaitu bentuk fungsi state dan co-  state.  Fungsi  tujuan  untuk  kontrol  model  SIR  yaitu  meminimumkan  biaya vaksinasi.

## 4 KESIMPULAN
Berdasarkan  pembentukan  model  SIR  dan  penyelesaian  yang  dilakukan kontrol  (pengendalian  optimal),  dapat  disimpulkan  bahwa  Pengendalian  optimal dari  model  SIR  diperoleh  bentuk  state  dan  co-state.  Dimana  model  tersebut
merupakan  hasil  dari  penurunan  Hamiltonian  untuk  mendapatkan  pengendalian optimal pada  model SIR.

## 5 Daftar Pustaka
[1] A.  Azizah  A  N,  “Model  SIR  pada  epidemi  Penyakit  campak  berdasarkan Umur dengan Pengaruh Imunisasi,” J. Ilm. Mat. UNESA , vol. 3, 2017.
[2] A. M. Rohmah, “Solusi Model SIR,” J. UJMC , vol. 3, pp. 21–28, 2017.
[3] R.  A.  K.  Rohmah,  Awawin  Mustana;  Saputra,  “Pengendalian  Optimal Model Penyakit,” J. Ilm. Tektonis , vol. 5, no. 2, pp. 117–121, 2019.
[4] N. S. D, Optimal Control System . USA: CRC Press LCC, 2002.