## Penyelesaian Numerik Advection Equation 1 Dimensi dengan EFG-DGM
Kresno Wikan Sadono
Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Diponegoro Jl. Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275 E-mail: kresnowikan@gmail.com

## Abstract
Differential  equation  can  be  used  to  model  various  phenomena  in  science  and  engineering.  Numerical method  is  the  most  common  method  used  in  solving  DE.  Numerical  methods  that  popular  today  are  finite difference method  (FDM), finite element  method  (FEM) dan  discontinuous Galerkin  method  (DGM), which the  method  includes  mesh  based.  Lately,  the  developing  methods,  that  are  not  based  on  a  mesh,  which  the nodes directly spread in domain, called meshfree or meshless. Element free Galerkin method (EFG), Petrov- Galerkin meshless (MLPG), reproducing kernel particle method (RKPM) and radial basis function (RBF) fall into  the  category  meshless  or  meshfree.  Time  integration  generally  use  an  explicit  Runge  Kutta  4th  order, Newmark- 𝛽 , HHT- 𝛼 , Wilson- 𝜃 dll. This research  was carried out numerical simulations DE, by combining the EFG method to solve the domain space and time integration with DGM methods. EFG using the complete order  polynomial  1,  and  DGM  used  polynomial  order  1.  The  equation  used  advection  equation  in  one dimension.  EFG-DGM  comparison  with  analytical  results  also  performed.  The  simulation  results  show  the method EFG-DGM match the one-dimensional advection equations well.
Keywords: Differential  equations,  Numerical  method,  Finite  element  method,  Discontinuous  Galerkin method, Element free Galerkin method, Time integration, Advection equation.

## Abstrak
Persamaan  differensial  atau  differential  equation  DE,  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  berbagai fenomena dalam bidang  sains dan rekayasa. Metode  numerik adalah  metode yang paling umum digunakan dalam  penyelesaian  DE.  Metode  numerik  yang  populer  saat  ini  adalah  metode  beda  hingga  atau  finite difference method (FDM), finite element method (FEM) dan discontinuous Galerkin method (DGM), dimana metode ini termasuk mesh based. Akhir-akhir ini berkembang metode yang tidak berbasis pada mesh, dimana node langsung disebar pada domain, disebut meshfree atau meshless. Metode element free Galerkin method (EFG),  meshless  Petrov-Galerkin  (MLPG),  reproducing  kernel  particle  method  (RKPM)  dan  radial  basis function  (RBF)  masuk  dalam  kategori  meshless.  Integrasi  waktu  atau  time  integration  yang  digunakan umumnya menggunakan explicit Runge Kutta 4th order, Newmark- 𝛽 , HHT- 𝛼 , Wilson- 𝜃 dll. Pada penelitian ini  dilakukan  simulasi  numerik  penyelesaian  DE, dengan  menggabungkan  metode  EFG  untuk  penyelesaian domain ruang dan integrasi  waktu dengan metode DGM. Simulasi EFG menggunakan complete polynomial orde 1 dan DGM digunakan polynomial orde 1. Persamaan yang digunakan adalah advection atau advection equation  pada  satu  dimensi.  Perbandingan  EFG-DGM  dengan  hasil  analitis  atau  exact  dilakukan.  Hasil simulasi menunjukkan metode EFG-DGM dapat mendekati persamaan advection satu dimensi dengan baik.
Kata-kata  kunci: Persamaan differensial, Metode numerik, Finite element method , Discontinuous Galerkin method , Element free Galerkin method , Time integration , Advection equation .

## Pendahuluan
Pada  bidang  sains  dan  rekayasa,  persamaan differensial  atau differential  equation (DE) merupakan persamaan matematika yang digunakan untuk  memodelkan  berbagai  fenomena  dalam
bidang sains dan rekayasa. Penyelesaian DE untuk kepentingan  pemodelan  dengan  menggunakan metode analitis tersedia hanya untuk masalah yang sederhana.  Untuk  aplikasi  dalam  sains  dan rekayasa,  metode  numerik,  merupakan  metode yang  paling  umum  digunakan  menyelesaikan  DE. Metode  numerik  yang  paling  populer  untuk
menyelesaikan  DE  dan  populer  digunakan  untuk berbagai  masalah  adalah  metode  beda  hingga  atau finite  difference  method (FDM),  metode  elemen hingga  atau finite  element  method (FEM)  dan discontinuous  Galerkin  method (DGM).  Metode FDM dan FEM adalah  metode yang berbasis pada mesh pada domain . Dimana domain dibagi menjadi subdomain yang lebih kecil yang disebut elemen.
Metode FDM merupakan metode paling awal yang digunakan  untuk  menyelesaikan  simulasi  DE. Metode FDM masih digunakan untuk simulasi DE hingga  saat  ini  karena  kemudahannya  dan kesederhanaannya.  Terlepas  dari  kemudahannya, metode  FDM  kesulitan  untuk  penyelesaian  DE dengan kondisi domain dan boundary yang rumit.
Metode  FEM  populer  setelah  FDM,  metode  FEM dapat  melakukan  simulasi  pada domain yang rumit.  Metode  FEM  dengan  berbagai  variasinya dapat digunakan untuk simulasi  medium solid dan fluida  pada  bidang  sains  dan  rekayasa.  Salah  satu variasi  dari  metode  FEM  adalah discontinuous Galerkin  method (DGM),  metode  ini  dapat digunakan  untuk  solusi  pada domain yang  tidak kontinyu  (Hesthaven  &  Warburton,  2008)  dan  (Li BQ, 2006).
Untuk  beberapa  kondisi,  metode  numerik  berbasis pada mesh umumnya tidak efisien, lebih rumit dan menyita  waktu,  karena  memerlukan mesh dari domain (Belytschko et al. , 1994). Sehingga akhir- akhir  ini,  metode  numerik  selain  berbasis mesh seperti  FDM  dan  FEM,  dikembangkan  untuk menyelesaikan DE. Metode ini dapat menyelesaikan  DE  tanpa  membagi domain menjadi subdomain . Metode ini memiliki keunggulan  dengan  menyebarkan node pada domain dan boundary ,  metode  ini  disebut  dengan meshfree atau meshless .  Metode  yang  termasuk kategori meshless adalah element  free  Galerkin method (EFG), meshless Petrov-Galerkin (MLPG), reproducing  kernel  particle  method (RKPM)  dan radial basis function (RBF).
Pada  umumnya  penggunaan  metode mesh based maupun meshless memerlukan  kombinasi  dengan integrasi  waktu  atau time  integration .  Integrasi waktu  dilakukan  untuk  melakukan  simulasi  pada
domain waktu,  dimana  simulasi  pada domain waktu  pada  umumnya  menggunakan  metode explicit Runge Kutta 4th order , Newmark- 𝛽 , HHT- 𝛼 , Wilson- 𝜃 dll, (Bathe, 1996).
Pada penelitian kali ini akan dilakukan penyelesaiaan  secara  numerik  pada  persamaan advection pada satu dimensi, dengan penggabungan  metode  EFG  untuk  menyelesaikan domain ruang,  dan  integrasi  waktu  dengan  DGM. Pemilihan  metode  EFG  karena  metode  ini merupakan meshles sehingga  lebih  mudah  tanpa melakukan mesh pada domain dan  hanya menyebar node .  Integrasi  dilakukan  dengan  DGM dengan  alasan  metode  tersebut  termasuk  metode implisit  sehingga  akurat  dan  stabil.    Diharapkan dengan penggabungan metode EFG-DGM, dihasilkan  penyelesaian  numerik  yang  lebih sederhana dan lebih akurat. Pada penelitian kali ini metode  EFG-DGM  diaplikasikan  pada  persamaan advection pada satu dimensi. Persamaan advection digunakan  karena  kesederhanaan  tersedia  solusi analitisnya atau exact nya.

## Metode Penelitian
Persamaan  deferensial  parsial  ( partial  differential equation , PDE) tipe adveksi ( advection equations ) yang diselesaikan secara numerik ditampilkan pada Persamaan 1 (Sara dan Kansa, 2010).
𝜕𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 − 𝜕𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 = 0 ........................................  (1)
𝑥 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 𝑟 , 𝑡 > 0
Dengan boundary  condition (BC)  dan initial condition (IC) dinyatakan pada Persamaan 2, (Sara dan Kansa, 2010).
𝑢(1, 𝑡) = 0  𝑑𝑎𝑛
𝑢(𝑥, 0) = 𝑒𝑥𝑝 (−40(𝑥 − 0.4) 2 ........................... (2)
Solusi  analitik  atau exact  solution dari  Persamaan 1 dan Persamaan 2 dinyatakan dalam Persamaan 3, (Sara dan Kansa, 2010).
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(−40(𝑥 − 0.4 + 𝑡) 2 ) .................  (3)
.
Gambar 1. Sebaran node untuk domain ruang 𝒙 𝒍 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙 𝒓
Persamaan  1  diselesaikan  dengan  element  free Galerkin (EFG) pada domain ruang dan diselesaikan dengan Discontinuous Galerkin Method (DGM)  pada domain waktu,  sehingga solusi  ini  dinamakan  EFG-DGM.  Jika domain ruang pada Persamaan 1 yakni 𝑥 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 𝑟 disebar sesuai node pada  Gambar  1.  Maka  MLS approximant pada  suatu  lokasi 𝑥 dapat  diketahui, dari 𝑢 ℎ dinyatakan dalam Persamaan 4, (Belytschko et al. , 1994).
𝑢 ℎ = ∑ Φ 𝐼 (𝑥)𝑢 𝐼 𝑛 𝐼=1 = 𝚽(𝑥)𝐮 ..........................  (4)
Indeks 𝐼 untuk  tiap node dari 𝑛 jumlah node pada neigborhood dari 𝑥 .  Nilai 𝑢 𝐼 adalah  nilai unknown pada node ke 𝐼 . Sedangkan nilai dari Φ 𝐼 (𝑥) adalah shape function dari MLS approximants dinyatakan pada Persamaan 5, (Belytschko et al. , 1994).
Matrix 𝐀 memiliki komponen (𝑚 + 1) × (𝑚 + 1) , dimana 𝑚 adalah  orde  dari complete  polynomial pada  matrix 𝐩 yang dinyatakan pada Persamaan 9, dimana polynomial order dinyatakan  dengan 𝑟. Matrix 𝐀 pada  Persamaan  8, memiliki elemen 2 × 2 dengan complete  polynomial orde  1  dari matrix 𝐩 dinyatakan  pada  Persamaan  10,  dimana nilai  dari 𝐁 pada  Persamaan  5  dinyatakan  pada Persamaan 11.
Persamaan advection diselesaikan  dengan  EFG, yakni  dengan  mengalikan  persamaan advection dengan test  function yang  sama  dengan shape function Φ 𝐼 dan  melakukan  integrasi  pada domain ruang Ω yakni 𝑥 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 𝑟 . Proses  integrasi dilakukan  dengan  bantuan background  mesh . Background  mesh yakni mesh bantuan  yang digunakan  untuk  melakukan  perhitungan  integrasi numerik.  Pada background  mesh terdapat gauss point dimana  perhitungan  integrasi  dilakukan. Sehingga  perhitungan  integrasi  dilakukan  untuk tiap background mesh.
Sehingga  untuk  persamaan advection maka integrasi  dilakukan  pada background mesh pada Ω 𝑝 , dimana background  mesh berjumlah 𝐿 buah, yang  ditampilkan  pada  Persamaan  14.  Integrasi dilakukan  dengan  menggunakan gauss  point pada background  mesh .  Penjelasan  dari background mesh ditampilkan pada Gambar 2.
Pendekatan  pada  nilai 𝑢(𝑥, 𝑡) menggunakan Persamaan 4. Dengan mensubstitusikan Persamaan 4,  ke  Persamaan  14,  maka  menghasilkan Persamaan  15,  dimana Φ 𝐽 = Φ 1 , Φ 2 , … , Φ 𝑛 atau menghasilkan Persamaan 16.
Φ 𝐼 (𝑥) = ∑ 𝑝 𝑗 (𝑥)(𝐀 −𝟏 (𝑥)𝐁(𝑥)) 𝑗𝐼 𝑚 𝑗=0 = 𝐩 𝑇 𝐀 −𝟏 (𝑥)𝐁 𝐼 (𝑥) ...........................................................................   (5)
Nilai 𝐀 dinyatakan dalam Persamaan 6.
𝐀 = ∑ 𝑤(𝑥 − 𝑥 𝐼 )𝐩(𝑥 𝐼 )𝐩 𝑇 (𝑥 𝐼 ) 𝑛
𝐼=1 .............................................................................................................   (6) 𝐀 = 𝑤(𝑥 − 𝑥 1 ) ( 1 𝑥 1 ) (1 𝑥 1 ) + 𝑤(𝑥 − 𝑥 2 ) ( 1 𝑥 2 ) (1 𝑥 2 ) + ⋯ + 𝑤(𝑥 − 𝑥 𝑛 ) ( 1 𝑥 𝑛 ) (1 𝑥 𝑛 ) ...........................   (7)
𝐀 = 𝑤(𝑥 − 𝑥 1 ) ( 1 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 1 2 ) + 𝑤(𝑥 − 𝑥 2 ) ( 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 2 ) + ⋯ + 𝑤(𝑥 − 𝑥 𝑛 ) ( 1 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛 2 ) .......................................   (8) 𝐩 𝐓 (𝐱) = (𝟏 𝐱 𝐱 𝟐 ⋯ 𝐱 𝐫 ) ................................................................................................................   (9) 𝐩 𝐓 (𝑥) = (1 𝑥  ) ........................................................................................................................................  (10)
B = (w(x − x 1 )p(x 1 ) w(x − x 2 )p(x 2 ) … w(x − x n )p(x n )) ............................................................ (11)
B = (w(x − x 1 ) ( 1 x 1 ) w(x − x 2 ) ( 1 x 2 ) … w(x − x n ) ( 1 x n )) ..........................................................  (12)
B = ( 𝑤(𝑥 − 𝑥 1 ) 𝑥 1 𝑤(𝑥 − 𝑥 1 ) 𝑤(𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑥 2 𝑤(𝑥 − 𝑥 2 ) … 𝑤(𝑥 − 𝑥 𝑛 ) 𝑥 𝑛 𝑤(𝑥 − 𝑥 𝑛 ) ) .........................................................................  (13)
∑ [∫ (Φ I ∂u h ∂t − Φ I ∂u h ∂x ) dx Ω p ] L p=1 = 0 ........................................................................................................  (14)
for   Φ I = Φ 1 , Φ 2 , … , Φ n
∑ [∫ (Φ J (x) ∂ ∂t (∑ Φ I (x)u I n I=1 ) − Φ J (x) ∂ ∂x (∑ Φ I (x)u I n I=1 )) dx
Ω p ] L p=1 = 0 ...................................................  (15)
Gambar 2. Background mesh pada 𝛀 𝒑
∑ [∫ ((∑ Φ 𝐼 Φ 𝐽 𝜕𝑢 𝐼 𝜕𝑡 𝑛 𝐼=1 ) − (∑ Φ 𝐽 𝜕Φ 𝐼 𝜕𝑥 𝑢 𝐼 = 𝑛 𝐼=1 )) d𝑥 Ω 𝑝 ] 𝐿 𝑝=1 = 0 ..................................................................  (16)
Persamaan 16 dapat dinyatakan dalam Persamaan 17.
∑ [ ∫ ( Φ 1 Φ 2 ⋮ Φ 𝑛 ) (Φ 1 Φ 2 ⋯ Φ 𝑛 ) d𝑥 ( 𝜕𝑢 1 𝜕𝑡 𝜕𝑢 2 𝜕𝑡 ⋮ 𝜕𝑢 𝑛 𝜕𝑡 ) Ω 𝑝
] − ∑ [∫ ( Φ 1 Φ 2 ⋮ Φ 𝑛 ) ( 𝜕Φ 1 𝜕𝑥 𝜕Φ 2 𝜕𝑥 ⋯ 𝜕Φ 𝑛 𝜕𝑥 ) d𝑥 ( 𝑢 1 𝑢 2 ⋮ 𝑢 𝑛 ) Ω 𝑝 ] 𝐿 𝑝=1 𝐿 𝑝=1 = 0 (17)
Persamaan 17 dapat dinyatakan dalam bentuk matix sesuai dengan Persamaan 18.
C 𝜕u 𝜕𝑡 − Ku = 0 ..........................................................................................................................................  (18)
dimana
C = ∑ [∫ ( Φ 1 Φ 2 ⋮ Φ 𝑛 ) (Φ 1 Φ 2 ⋯ Φ 𝑛 ) d𝑥 Ω 𝑝
] 𝐿 𝑝=1 =      ∑ [∫ ( Φ 1 Φ 1 Φ 1 Φ 2 … Φ 1 Φ 𝑛 Φ 2 Φ 1 Φ 2 Φ 2 … Φ 2 Φ 𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Φ 𝑛 Φ 1 Φ 𝑛 Φ 2 … Φ 𝑛 Φ 𝑛 ) Ω 𝑝
] 𝐿 𝑝=1 .......... (19) K = ∑ [∫ ( Φ 1 Φ 2 ⋮ Φ 𝑛 ) ( 𝜕Φ 1 𝜕𝑥 𝜕Φ 2 𝜕𝑥 ⋯ 𝜕Φ 𝑛 𝜕𝑥 ) d𝑥
Ω 𝑝 ] 𝐿 𝑝=1 = ∑ [ ∫ ( Φ 1 𝜕Φ 1 𝜕𝑥 Φ 1 𝜕Φ 2 𝜕𝑥 … Φ 1 𝜕Φ 𝑛 𝜕𝑥 Φ 2 𝜕Φ 1 𝜕𝑥 Φ 2 𝜕Φ 2 𝜕𝑥 … Φ 2 𝜕Φ 𝑛 𝜕𝑥 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Φ 𝑛 𝜕Φ 1 𝜕𝑥 Φ 𝑛 𝜕Φ 2 𝜕𝑥 … Φ 𝑛 𝜕Φ 𝑛 𝜕𝑥 ) Ω 𝑝 ] 𝐿 𝑝=1 ..........  (20) 𝜕u ∂t = ( 𝜕𝑢 1 𝜕𝑡 𝜕𝑢 2 𝜕𝑡 ⋮ 𝜕𝑢 𝑛 𝜕𝑡 ) ;      u = ( 𝑢 1 𝑢 2 ⋮ 𝑢 𝑛
) ...........................................................................................................  (21)
Persamaan 18 berupa ordinary differential equation (ODE),  dihasilkan  dari  Persamaan  1 berupa PDE dengan EFG. Setelah berubah menjadi ODE,  diselesaikan  dengan  DGM,  penyelesaian seperti  dengan  mengkonversi  PDE  menjadi  ODE, disebut partial  discretization (Zienkiewicz  & Morgan, 1982). Persamaan 18 diselesaikan dengan integrasi  waktu  dengan  DGM.  Dengan  membagi time  domain menjadi subinterval 𝐼 𝑘 = [𝑡 𝑘 , 𝑡 𝑘+1 ] , dimana 𝑙 = 0,1, . . . , 𝐿 − 1. Dengan  mengalikan Persamaan  18  dengan weight  function 𝑤, dan melakukan  integrasi  pada subinterval 𝐼 𝑘 ,  maka menghasilkan Persamaan 22.
∫ (C du d𝑡 − Ku) 𝑤 𝑙 (𝑡) d𝑡 = 𝑡 𝑘+1 𝑡 𝑘 0 .....................  (22)
Nilai 𝐮(𝑡) didekati 𝐮 ̂(𝑡(𝜉)) dengan Persamaan 23.
𝐮 ̂(𝑡(𝜉)) = 𝐮 𝑘 + 𝜓 1 (𝜉) + 𝐮 𝑘+1 − 𝜓 2 (𝜉) .................  (23)
Dengan shape function 𝜓 1 dan 𝜓 2 dinyatakan pada Persamaan 24, (Zienkiewicz & Morgan, 1982).
𝛙 𝟏 (𝛏) = 𝟏 𝟐 (𝟏 − 𝛏) ; 𝛙 𝟐 (𝛏) = 𝟏 𝟐 (𝟏 + 𝛏) .......  (24)
Persamaan  23  mendekati 𝐮(𝑡) dengan 𝐮 ̂(𝑡(𝜉)) pada Persamaan 23. Dimana memerlukan transformasi  koordinat  ke natural  coordinate ( 𝜉 ), yang dinyatakan pada Persamaan 25.
𝑡(𝜉) = 1 2 (𝑡 𝑛 + 𝑡 𝑛+1 ) + 1 2 𝜉(𝑡 𝑛+1 − 𝑡 𝑛 ) ..........  (25)
Dimana  turunan  Persamaan  25  dinyatakan  pada Persamaan 26.
d𝑡 = ∆𝑡 2 d𝜉 = (𝑡 𝑘+1 −𝑡 𝑘 )
2
d𝜉 ...............................  (26)
𝐂𝐮 + (𝑡 𝑘 )𝜓 𝑙 (𝑡 𝑘 ) − 𝐂𝐮 − (𝑡 𝑘 )𝜓 𝑙 (𝑡 𝑘 ) + ∫ 𝜓 𝑙 𝐂 d𝐮 ̂ d𝑡 − 𝐊𝐮 ̂𝜓 𝑙 d𝑡 = 𝑡 𝑘+1 𝑡 𝑘 0 ............................................................. (27)
𝐂𝐮 + (𝑡 𝑘 )𝜓 1 (𝑡 𝑘 ) − 𝐂𝐮 − (𝑡 𝑘 )𝜓 1 (𝑡 𝑘 ) + ∫ [𝜓 1 𝐂 d d𝑡 (𝐮 𝑘 + 𝜓 1 + 𝐮 𝑘+1 − 𝜓 2 ) − 𝐊(𝐮 𝑘 + 𝜓 1 + 𝐮 𝑘+1 − 𝜓 2 )𝜓 1 (𝑡 𝑘+1 −𝑡 𝑘 )
2 ] d𝜉 = +1 −1 0 ...............................................  (28)
Dengan menyelesaikan Persamaan 28 maka menghasilkan Persamaan 29.
− 𝟏 𝟐 𝐂𝐮 𝐤 + + 𝟏 𝟐 𝐂𝐮 𝐤+𝟏 + − 𝟏 𝟔 ∆𝐭𝐊𝐮 𝐤 + − 𝟏 𝟑 ∆𝐭𝐊𝐮 𝐤+𝟏 − = 𝟎 ......................................................................................  (29)
Dengan  cara  yang  sama  dengan  diatas,  dengan  memasukkan  Persamaan  23,  24  ke  Persamaan  27  dengan 𝜓 𝑙 = 𝜓 2 maka menghasilkan Persamaan 30.
𝐂𝐮 + (𝑡 𝑘 )𝜓 2 (𝑡 𝑘 ) − 𝐂𝐮 − (𝑡 𝑘 )𝜓 2 (𝑡 𝑘 ) + ∫ [𝜓 2 𝐂 d d𝑡 (𝐮 𝑘 + 𝜓 1 + 𝐮 𝑘+1 − 𝜓 2 ) − 𝜓 2 𝐊(𝐮 𝑘 + 𝜓 1 + 𝐮 𝑘+1 − 𝜓 2 ) (𝑡 𝑘+1 −𝑡 𝑘 ) 2 ] d𝜉 = +1 −1 0 ...............................................  (30)
Dengan menyelesaikan Persamaan 30, maka menghasilkan Persamaan 31.
− 1 2 𝐂𝐮 𝑘 + + 1 2 𝐂𝐮 𝑘+1 − − 1 6 ∆𝑡𝐊𝐮 𝑘 + − 1 3 ∆𝑡𝐊𝐮 𝑘+1 − = 0 .......................................................................................  (31)
Persamaan  22  dilakukan integration  by  parts dua kali,  dan  menset test  function atau weigh  function sama  dengan shape  function ,  (BQ  Li,  2006). Dimana 𝑤 𝑙 (𝑡) = 𝜓 𝑙 ,  dimana 𝑙 = 1, 2 sehingga Persamaan 22 menjadi Persamaan 27.
Dengan  memasukkan  Persamaan  23,  24  ke Persamaan  27  dan  menentukan 𝜓 𝑙 = 𝜓 1 maka menghasilkan Persamaan 28.
Dengan  menggabungkan  Persamaan  29  dan Persamaan  31  dapat  dibentuk  matriks  sesuai Persamaan 32.
Persamaan  32  adalah  bentuk  akhir  penyelesaian numerik  dari  EFG-DGM.  Penyelesaian  dilakukan dengan  inversi  sistem  matrik  pada  suku  pertama Persamaan 32, untuk mendapatkan nilai 𝐮 𝑘+1 − .
Pada Persamaan 32, untuk tiap langkah penyelesaian,  sisi  kanan  merupakan  suku  yang diketahui, baik dari initial condition atau diketahui dari perhitungan sebelumnya.

## Pengujian numerik dan hasil
Pengujian  numerik  dilakukan  pada domain 1 dimensi.  Pada  sumbu 𝑥 ,  dengan domain 𝑥 𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 𝑟 dimana 𝑥 𝑙 = −1,2 dan 𝑥 𝑟 = 1,2 , disebar jumlah node tertentu dan time increment ( ∆𝑡 ). Waktu awal 𝑡 0 = 0.0 dan  waktu  akhir 𝑡 𝑓 = 1,0. Simulasi dilakukan  dengan  3  macam  variasi  jumlah node , 25 node ( distance  between  node ∆𝑥 = 0,1) ;  241
node (∆𝑥 = 0,01) dan  481 node (∆𝑥 = 0,005 ). Untuk  integrasi  waktu  dengan  DGM,  digunakan tiga  variasi time  increment ∆𝑡 = 0,1 , ∆𝑡 = 0,01 dan ∆𝑡 = 0,001
Hasil  simulasi  untuk ∆𝑥 = 0,1 dan ∆𝑡 = 0,1 pada 𝑡 𝑓 = 1,0 ditampilkan  pada  Gambar  3,  dan  tampak simulasi  EFG-DGM  dibandingkan  dengan  hasil exact . Untuk meningkatkan akurasi EFG dan DGM dilakukan  simulasi  dengan  memperbanyak  jumlah node dan  mengurangi time  increment ∆𝑡 .  Hasil simulasi EFG-DGM untuk ∆𝑥 = 0,01 dan ∆𝑡 = 0,1 pada 𝑡 𝑓 = 1,0 ditampilkan  pada  Gambar 4. Hasil  simulasi EFG-DGM untuk ∆𝑥 = 0,01 dan ∆𝑡 = 0,01 pada 𝑡 = 𝑡 𝑓 = 1,0 ditampilkan  pada Gambar  5.  Tampak  pada  Gambar  3,  4  dan  5 dengan  semakin  memperbanyak  jumlah node dan semakin  memperkecil time  increment maka menghasilkan hasil numerik EFG-DGM yang lebih akurat.
Perbedaan  antara  hasil exact dan  numerik  EFG- DGM dinyatakan dalam error = 𝑢 exact − 𝑢 EFG−DGM .  Hasil log 10 ‖error‖ 2 = log 10 ‖𝑢 exact − 𝑢 EFG−DGM ‖ 2 untuk ∆𝑥 = 0,1 dan ∆𝑡 = 0,1 pada domain ruang,  pada  akhir  simulasi  ( 𝑡 𝑓 = 𝑡 = 1,0 ) ditampilkan  pada  Gambar  6,  untuk ∆𝑥 = 0,01 dan ∆𝑡 = 0,01 ditampilkan  Gambar  7  dan  untuk ∆𝑥 = 0,01 dan ∆𝑡 = 0,01 .  Dari  Gambar  3,  4  dan 5,  semakin  meningkatnya  jumlah node dan semakin  kecilnya time  increment maka  semakin meningkatnya akurasi EFG-DGM.
( 1 2 𝐂 − 1 3 ∆𝑡𝐇 1 2 𝐂 − 1 6 ∆𝑡𝐇 − 1 2 𝐂 − 1 6 ∆𝑡𝐇 1 2 𝐂 − 1 3 ∆𝑡𝐇 ) ( 𝐮 𝑘 + 𝐮 𝑘+1 − ) = ( 𝐂𝐮 𝑘 −
Gambar 3. Hasil simulasi numerik EFG-DGM terhadap exact untuk ∆𝒙 = 𝟎, 𝟏 , ∆𝒕 = 𝟎, 𝟏 pada 𝒕 = 𝟏, 𝟎
Gambar 4. Hasil simulasi numerik EFG-DGM  terhadap exact untuk ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏 , ∆𝒕 = 𝟎, 𝟏 pada 𝒕 = 𝟏, 𝟎
Gambar 5. Hasil simulasi numerik EFG-DGM terhadap exact untuk ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏 , ∆𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 pada 𝒕 = 𝟏, 𝟎
Gambar 6. Nilai 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ‖𝐞𝐫𝐫𝐨𝐫‖ 𝟐 terhadap domain ruang untuk EFG-DGM dengan ∆𝒙 = 𝟎, 𝟏 , ∆𝒕 = 𝟎, 𝟏 pada 𝒕 = 𝟏, 𝟎
Gambar 7. Nilai 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ‖𝐞𝐫𝐫𝐨𝐫‖ 𝟐 terhadap domain ruang untuk EFG-DGM dengan ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏 , ∆𝒕 = 𝟎, 𝟏 pada 𝒕 = 𝟏, 𝟎
Gambar 8. Nilai 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ‖𝐞𝐫𝐫𝐨𝐫‖ 𝟐 terhadap domain ruang untuk EFG-DGM dengan ∆𝒙 = 𝟎, 𝟏 , ∆𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 pada 𝒕 = 𝟏, 𝟎
Penyelesaian Numerik Advection Equation 1 Dimensi dengan EFG-DGM
Untuk  mengetahui  nilai error dengan  berbagai variasi ∆𝑥 dan ∆𝑡 maka  dilakukan  simulasi  dan hasilnya  ditampilkan  pada  Tabel  1.  Pada  Tabel  1, menunjukkan bahwa untuk jarak antar node ∆𝑥 =  0,1  maka  variasi  pengecilan time increment ∆𝑡 =  0,1,  0,01,  0,005  tidak  signifikan meningkatkan  akurasi  dari  simulasi,  karena max 𝑙𝑜𝑔 10 ‖𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟‖ 2 ,  berkisar  pada  nilai  -0,8  dan  -0,9. Untuk  jarak  antar node ∆𝑥 =  0,01,  variasi time increment ∆𝑡 =  0,1,  0,01,  0,005  meningkatakan akurasi,  karena max 𝑙𝑜𝑔 10 ‖𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟‖ 2 ,  dari  -0,8 untuk ∆𝑡 =  0,1  berubah  menjadi  -3,5  dan  -4,4. untuk ∆𝑡 =  0,01  dan ∆𝑡 =  0,005.  Pada  Tabel  1, ditemui  peningkatan  akurasi  untuk ∆𝑥 =  0,005 dengan variasi ∆𝑡 = 0,1, 0,01, 0,005.
Tabel 1. Hasil 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 ‖𝐞𝐫𝐫𝐨𝐫‖ 𝟐 untuk berbagai variasi ∆𝒙 dan ∆𝒕 Distance between node ∆𝒙 Time increment ∆𝒕 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 ‖𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓‖ 𝟐 0,1 0,1 -0,8887 0,1 0,01 -0,8998 0,1 0,005 -0,9003 0,01 0,1 -0,8844 0,01 0,01 -3,577 0,01 0,005 -4,425 0,005 0,1 -0,8839 0,005 0,01 -3,577 0,005 0,005 -4,478
Simulasi time  history  error untuk ∆𝑥 =  0,1, ditampilkan  Gambar  7,  dimana  untuk  variasi ∆𝑡 =  0,1, 0,01, 0,005 hasil error cenderung sama. Pada  Gambar  7, ∆𝑥 =  0,1 time  history  error pada ∆𝑡 =  0,1,  0,01  berayun  dengan  rata-rata  sama dengan  hasil    pada ∆𝑡 =  0,005.  Pada ∆𝑥 =  0,1 variasi  dari time  increment tidak  mempengaruhi akurasi hasil.
Simulasi time  history  error untuk ∆𝑥 =  0,01, ditampilkan  Gambar  8.  Pada ∆𝑥 =  0,01,  variasi ∆𝑡 mempengaruhi  akurasi  dari error ,  untuk ∆𝑡 yang lebih  kecil  menghasilkan  nilai error yang lebih  kecil.  Untuk  nilai ∆𝑥 =  0,005,  nilai error ditampilkan  pada  Gambar  9  variasi ∆𝑡 yang  lebih kecil  menghasilkan akurasi  yang  lebih  baik. Error yang dihasilkan memiliki kecenderungan mengalami  kenaikan  terhadap  waktu,  namun kenaikannya semakin landai.
Pengujian rate  of  convergence untuk  skema  EFG- DGM  dilakukan  pada  simulasi  ini  dengan menggunakan  dengan complete  polynomial orde 1 pada  EFG  dan  untuk  DGM  menggunakan shape function dengan polynomial orde  1,  dimana  untuk ∆𝑥 = 0,005. Hasil  pengujian  ditampilkan  pada Gambar 12.
Gambar 9. Time history 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 ‖𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓‖ 𝟐 untuk ∆𝒙 = 𝟎, 𝟏 dengan ∆𝒕 = 0,1; 0,01 dan 0,005
Gambar 10. Time history 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 ‖𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓‖ 𝟐 untuk ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏 dengan ∆𝒕 = 0,1; 0,01 dan 0,005
Gambar 11. Time history 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 ‖𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓‖ 𝟐 untuk ∆𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓 dengan ∆𝒕 = 0,1; 0,01 dan 0,005
Gambar 12. Laju konvergensi 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎 ‖𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓‖ 𝟐 EFG menggunakan complete polynomial orde 1 dan DGM menggunakan polynomial orde 1
Penyelesaian Numerik Advection Equation 1 Dimensi dengan EFG-DGM

## Kesimpulan
Dari hasil simulasi numerik EFG-DGM untuk EFG complete polynomial orde 1 dan DGM polynomial orde  1  dapat  mendekati  hasil  exact  dengan  baik. Peningkatan  jumlah  node  atau  pengurangan  jarak antar  node  dan  pengurangan  time  increment ∆𝑡 meningkatkan akurasi dengan baik.

## Daftar Pustaka
Li B., Q., 2006. Discontinuous Finite Element in Fluid Dynamics And Heat Transfer , Springer.
Bathe  K.,  J.,  1996. Finite  Element  Procedures, Prentice Hall.
Hesthaven  J.,  S.,  Warburton  T.,  2008. Nodal Discontinuous  Galerkin  Methods:  Algorithms, Analysis, and Applications, Springer.
Sarra  S.,  A.,  Kansa  E.,  J.,  2010. Multiquadratic Radial  Basis  Function  Approximation  Method  for Numerical Solution of Partial Differential Equations , Tech Science Press.
Belytschko  T.,  Liu  Y.,  Y.,  Gu  L.,  1994.  Element- Free  Galerkin  Method, Int.  J.  Num.  Meth.  Engng .
37 :229-256.
Zienkiewicz  O.,  C.,  Morgan  K.,  1982. Finite Element and Approximation , John Wiley & Sons.