## KAJIAN PENERAPAN PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF FUZZY INTERAKTIF PADA KEPUTUSAN PERENCANAAN TRANSPORTASI
Suroso 1) , Widodo 2)
1) Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Semarang Jln. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang, Semarang 50275 Telepon 02476480569 Email : jwahana_tspolines@Yahoo.com
2) Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Jl. Kaliurang km. 4,5 Sekip Yogyakarta

## Abstract
In  this  paper,  we  discusses  the  problem  that  involving  the  conflict  fuzzy  multi- objective in transportation planning which is one of special case in multi-objective linear programming. To find the simultaneously optimal solution of the problem, we use the Interactive Fuzzy Multi-Objective Linear Programming  (IFMOLP) method. This method can reduce the fuzzy multi-objective linear programming problem into deterministic  single  objective  linear  programming  which  can  be  solved  using simplex  method.  Beside  that  ,  with  IFMOLP  method,  decision  maker  (DM)  can establish  interactively the  goal  from the objective function to produce the pareto optimal solution so that ( .
Kata  kunci: m ulti  objective  transportation,  IFMOLP  method,  Pareto  optimal solution

## PENDAHULUAN
Dalam  dunia  industri  untuk  membuat keputusan tentang perencanaan transportasi multi objektif fuzzy sesuai dengan kondisi atau kebutuhan perusahaan  tidaklah  mudah.Hal  ini disebabkan  adanya  kendala-kendala dan  parameter  yang  berkaitan  dengan masalah  tranportasi  tersebut  tidak diketahui  dengan  pasti  atau  dalam keadaan  fuzzy.  Solusi  yang  diberikan juga  harus  disesuaikan  dengan  kondisi atau  kebutuhan  perusahaan,  misalnya sumber  daya  yang  ada,  barang  yang diproduksi atau yang akan didistribusikan.  Barang  yang  tahan lama  dan  yang  cepat  rusak  tentu membutuhkan  solusi  yang  berbeda- beda.  Disamping  itu  dengan  fungsi-
fungsi  tujuan  yang  saling  konflik menyebabkan DM mengalami kesulitan  dalam  membuat  keputusan perencanaan transportasi
yang meminimalkan secara simultan fungsi- fungsi  tujuan  yang  saling  konflik tersebut.
Untuk menjawab atau membuat keputusan tentang masalah perencanaan transportasi tersebut,
tidak  bisa  diselesaikan  dengan  metode PL yang biasa karena permasalahannya multi objektif dan solusi atau penyelesaiannya juga harus disesuaikan dengan kondisi atau
kebutuhan perusahaan. Berkaitan
dengan  hal  tersebut,  masalah  yang akan  dibahas  dalam  paper  ini  adalah menentukan  solusi  kompromi  atau
solusi  optimal  Pareto  dari  masalah transportasi  tersebut  sesuai  dengan kebutuhan  perusahaan  atau  keinginan pembuat  keputusan  (DM)  dengan menggunakan  metode  Program  Linear Multi  Objektif  Fuzzy  Interaktif  atau PLMOFI.

## METODOLOGI PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan dalam  penulisan  tesis  ini  adalah  studi literatur.  Langkah  awal  dari  penelitian ini  adalah  membentuk  formula  atau model  dari  masalah  transportasi  multi objektif fuzzy dengan  kendala-kendala yang  ada ke dalam formula matematik dan  tabel-tabel  transportasi,  kemudian menghitung  nilai  optimal  dari  masing- masing  fungsi  objektif.  Selanjutnya membentuk fuzzy goal  dan fuzzy kendala,  kemudian  membuat  fungsi keanggotaan linear dari masing-masing fungsi  objektif.  Langkah  selanjutnya adalah  membuat  keputusan fuzzy dan maksimum  keputusan fuzzy .  Langkah terakhir  adalah  mentransformasikan fungsi-fungsi  objektif  yang  sudah difuzzykan dari  bentuk  maksimum keputusan  fuzzy  menjadi  masalah program linear single objektif deterministik sehingga dapat
diselesaikan  dengan  metode  yang sudah  ada  atau  dengan  bantuan software  komputer.  Penelitian  dalam paper  ini    mengkaji  kembali  jurnal yang  ditulis  oleh  Tien-Fu  Liang (2006).  Kontribusi  penulis  adalah melengkapi  algoritma  agar  solusi optimal  Pareto  yang  diperoleh  sesuai dengan kondisi perusahaan atau keinginan DM. Dalam rangka menjelaskan algoritma, penulis
membuat
contoh-contoh dan menambahkan teorema.
Untuk  mencari  solusi  optimal Pareto  dari  masalah  program  linear multi  objektif,  dibutuhkan  teori-teori yang mendasarinya. Teori-teori tersebut  meliputi  himpunan fuzzy , keputusan fuzzy , dan maksimum keputusan fuzzy. Himpunan fuzzy yang dikemukakan oleh Zadeh dalam Sakawa  (1993)  didefinisikan  sebagai berikut:
Definisi  1.  Diberikan  X  himpunan semesta.  Himpunan  bagian  fuzzy  A dari X adalah himpunan bagian dari X yang  keanggotaannya  didefinisikan melalui fungsi
keanggotaan
(membership function) berikut :
µ A : X  [0,1].
yang  menghubungkan  setiap  x  X kebilangan real µ A (x) didalam interval [0,1]  dengan  nilai  µ A (x)  menunjukkan derajat keanggotaan x dalam A.
Dalam Sakawa (1993) dan Zimmermann  (1992),  Bellman  dan Zadeh  memperkenalkan  tiga  konsep dasar dalam proses pengambilan keputusan  pada  masalah fuzzy ,  yaitu fuzzy goal,  kendala fuzzy dan fuzzy decision atau  keputusan fuzzy yang didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2. Misalkan X adalah himpunan  yang  memuat  alternatif solusi  dari  pengambil  keputusan. Fuzzy  goal  G  adalah  himpunan  fuzzy pada  X  yang  didefinisikan  melalui fungsi keanggotaan µ G : X  [0,1].
Fuzzy  Contraint  C  adalah  himpunan fuzzy  pada  X  yang  didefinisikan
melalui  fungsi  keanggotaan  µ C :  X  [0,1].
Definisi  3.  Diberikan  X  himpunan solusi  yang  mungkin  dari  suatu masalah pengambilan keputusan. Diberikan  fuzzy  goal  G  dan  kendala fuzzy  C.Keputusan  fuzzy  D  adalah himpunan  fuzzy  D  yang  didefinisikan sebagai    D  =  G  C  dengan  fungsi keanggotaan (x)  =  min  { (x),
µ C (x)}.
Untuk  mendapatkan  keputusan yang  sama  seperti  keputusan  pada lingkungan non-fuzzy ,  Zimmermann (1992)  mengusulkan  untuk  memilih x  X yang memiliki derajat keanggotaan  terbesar  dalam  himpunan keputusan fuzzy D. Dari sini digunakan keputusan maksimum yang didefinisikan  dengan  maks    µ D (x)  = maks  min { (x), µ C (x)}.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
a.Transportasi dengan multi

## objektif fuzzy saling konflik
Pandang  masalah  transportasi  yang mendistribusikan  suatu  komoditi  dari m  sumber  ke  n  tujuan  dengan  multi objektif  fuzzy  dengan  formula  model matematika sebagai berikut :
Mencari  x ij ≥  0,  i  =  1,2,...,m,  j  =
1,2,...,n  yang  meminimalkan  fungsi objektif Z k ,
k = 1, 2, ….., p                  (1) dengan kendala-kendala :
= b i , i = 1, 2, ….., m = a j ,   j = 1, 2, ….., n
Tanda  “ ”  menunjukkan dalam
keadaan fuzzy. Pada  umumnya  solusi  yang secara  simultan  meminimalkan  semua fungsi  objektif ,  k=1,    2,  3,….,  p (solusi  optimal  lengkap)  tidak  selalu dapat ditemukan, terutama bila fungsi- fungsi  objektifnya  saling  konflik. Fungsi-fungsi objektif dikatakan saling konflik  apabila  solusi  optimal  masing- masing  fungsi  objektif  yang  diperoleh secara  individu  ternyata  bukan  solusi optimal  untuk  fungsi  objektif  yang lainnya.  Pembahasan  yang  dilakukan di  sini  adalah  masalah  transportasi keadaan  setimbang  dengan  fungsi objektif  saling  konflik  antara dan
. adalah  biaya  transportasi  total dan adalah  waktu  total  pengiriman barang  dari  sumber  (pabrik)  ke  tujuan (gudang). Perhatikan Gambar 1.
Hubungan antara dan berikut ini. Gambar 1. Hubungan antara dan B D Z 1 min Z 2 min A C Z 1 Z 2
A = Z 1 (x * )=  Z 1min ,  B = Z 1 (x ** ) C = Z 2 (x ** )=  Z 2min ,  D = Z 2 (x * ) dengan  x * dan  x ** adalah  variabel keputusan atau variabel pola pendistribusian  komoditi  dari  sumber ke tujuan. Dari  gambar  1  terlihat  bahwa
ketika pola pendistribusian x * menghasilkan beaya minimun  yaitu  Z 1 min,  ternyata  membutuhkan  total waktu  pengiriman  yang  lama  D  (D  = tidak  minimum).  Sebaliknya  pola pendistribusian x ** yang menghasilkan Z 2 minimum  ternyata  memerlukan
biaya  yang  besar  B  (  B  =  tidak minimum). Karena saling konflik maka jika  A  bergerak  menuju  B  maka  D bergerak menuju C dan sebaliknya jika C  bergerak  menuju    D  maka  B bergerak  menuju  A.  Permasalahan disini  adalah  bagaimana  jika  DM  atau perusahaan  menginginkan  total  beaya transportasi  tertentu  sebesar  a,  A<  a  < B  dan  total  waktu  pengiriman  tertentu sebesar d, C < d < D dengan syarat a – A < d – C atau d – C < a – A, atau a – A = d – C seperti gambar 2 berikut ini.
Gambar 2. Hubungan antara a dan d.
Atau  dengan  kata  lain  bagaimana  DM mendapatkan solusi kompromi
minimal  secara  simultan  atau  yang
dikenal  dengan  solusi  optimal  Pareto dengan syarat seperti di atas?
d – C =  a – A A a B C d D 1 d – C < a – A A a B C d D a – A < d – C A a B C d D 1

## b.  Metode PLMOFI
Adapun langkah-langkah metode PLMOFI adalah sebagai berikut : Langkah 1 : Dibentuk  Fuzzy  Goal  G,  Fuzzy Constraint  C  dan  Fuzzy  Decision  D dari  fungsi  objektif  dengan  D  =  G C.
sebagai  Fuzzy  Goal  G  dan sebagai  Fuzzy  constraint  C  atau sebaliknya, tergantung keinginan DM. Langkah 2 : Mengitung  nilai  optimal  (maksimum dan  minimum)  dari  masing-masing fungsi  objektif  masalah  transportasi dengan  metode  yang  sudah  dikenal seperti  metode  sudut  Barat  Laut,
Metode Steping Stone, Metode Ongkos  terkecil  atau  dengan  Software komputer seperti POM for WINDOWS, WINQS dan lainnya. Langkah 3 : Merumuskan fungsi keanggotaan linear  dari  masing-masing  fungsi objektif.
, Z k (x)
Dengan dan
masing-masing menyatakan  nilai  dari  fungsi  objektif (x)  sedemikian  sehingga  derajat keanggotaan 0 dan 1. Gambar 3 berikut mengilustrasikan  bentuk  dari  fungsi keanggotaan linear dari masing-masing fungsi objektif.
Gambar 3. Fungsi keanggotaan linear untuk (x) Langkah 4 : Dengan menggunakan fungsi keanggotaan linear , k = 1, 2,…,p,dan keputusan fuzzy dari Bellman  dan  Zadeh  (1970),  masalah program linear multi objektif asli dapat diformulasikan sebagai:
Maksimize min k = 1, 2,…,p                   (2) dengan kendala-kendala : =   , i = 1, 2, …., m =   , j = 1, 2, …., n
1 Z k ((( 0  ,  Z k (x) ,  Z k (x) 1
Dengan  variabel  bantu  ,  masalah  di atas  dapat  direduksi  menjadi  masalah program  linear  konvensional  sebagai berikut:
Maksimize                        (3) dengan kendala-kendala :
k ( ),k= 1, 2,…,p.
=   , i = 1, 2, …., m
=   , j = 1, 2, …., n 0
Langkah 5 : Menyelesaikan  masalah  LP  pada langkah  4  untuk  memperoleh  solusi kompromi awal. Dengan menggunakan software  komputer  akan  diperoleh solusi optimal Pareto.
Langkah 6 : Jika  pengambil  keputusan  atau  DM merasa  puas  dengan  solusi  kompromi awal  yang  diperoleh,  proses  berhenti. Jika tidak, kembali ke langkah 3.
Tidak selamanya dari langkah 3 akan  menghasilkan  solusi  optimal Pareto  ( )  sesuai  dengan  goal  yang diinginkan  DM  dari  masing-masing fungsi  objektif.  Ada  3  kemungkinan solusi  optimal  Pareto  ( )  yang dihasilkan dari langkah 3 ini.
1) ( ) berada di dalam interval
(x) (x) yaitu (x)
( ) (x) , k=1,2,…,p. Atau
dengan kata lain solusi optimal pareto sesuai dengan goal yang
diinginkan DM.
2) ( ) sebagian berada didalam interval (x) (x) (x) dan sebagian yang lain berada diluar interval (x) (x)
(x) , k=1,2,…,p.
3) ( )  semua berada diluar interval (x) (x) , k=1,2. Jika yang terjadi seperti kemungkinan  2)  dan  3)    maka  solusi optimal  pareto  yang  diperoleh  tidak sesuai  dengan  goal  yang  diinginkan DM.  Supaya  diperoleh  solusi  optimal Pareto  sesuai  dengan  goal  yang diinginkan  DM    harus  memenuhi teorema berikut:
Teorema 1. Jika terdapat
( ( )) ( ( )),  k l  ,  k,l =1,2…,p, dan  0 ( ( )) 1  untuk  semua  k.
maka adalah  solusi  optimal  pareto
sesuai  dengan  goal  yang  diinginkan
DM  dari  masalah  program  linear multi objektif (1).
Selanjutnya akan diberikan contoh  dalam  membuat  goal  atau interval dalam menyusun fungsi keanggotaan linear dari masing-masing fungsi objektif pada masalah transportasi seperti yang dibahas dalam paper  ini  agar  solusi  optimal  Pareto yang  diperoleh  sesuai  dengan  goal yang  diinginkan  DM. Perhatikan kembali Gambar 1. Untuk mendapatkan  solusi  kompromi  pada kasus    a-A  <  d-C,  dibuat  interval sebagai berikut: A E F-n G-n A= , E= F=D-1 , =F-n , =G-n E-A=G-F , E-A=100 atau yang lainnya dengan min maks, min maks. Kemudian diiterasikan  mulai n =1,2,3,…,[F-C], dengan  [F-C]  bilangan  bulat  yang
diperoleh dengan
membulatkan kebawah  untuk  F  dan  C  bilangan  real sebarang, akan diperoleh solusi kompromi  -A  <  -C  sesuai  dengan goal yang
diinginkan
DM. Pengambilan besarnya nilai disesuaikan dengan kondisi perusahaan atau keinginan DM. Untuk  kasus  d-C  <  a-A  ,  intervalnya sebagai berikut: H-n P-n C Q H=B-1  , = H-n , = P-n , = C , =Q,  P-H  =  Q-C  ,  P-H  =  100  atau yang  lainnya  dengan min maks, min maks. Kemudian diiterasikan mulai n =1,2,3,…,[H-A], dengan [H-A]
bilangan  bulat  yang  diperoleh  dengan membulatkan kebawah untuk H dan A bilangan  real  sebarang,  akan  diperoleh solusi  kompromi d -C  < a -A  sesuai dengan  goal  yang  diinginkan  DM. Pengambilan besarnya nilai n disesuaikan dengan kondisi perusahaan atau keinginan DM.
Untuk  kasus    d-C  =  a-A  ,  intervalnya sebagai berikut :
A R C S = A , =R , = C , = S R-A  =  S-C  ,  R-A  =  100  atau  yang lainnya  dengan min maks, min maks. Kemudian diiterasikan    akan  diperoleh  solusi kompromi d -C  = a -A  sesuai  dengan goal yang diinginkan DM.
Untuk  menunjukkan  bahwa  langkah  4 memberi  jaminan  akan  menghasilkan solusi  optimal  pareto  dari  masalah program  linear  multi  objektif  (1)
,diberikan teorema (2) dan teorema (3) berikut :
Teorema    2. adalah  solusi  optimal tunggal  dari  masalah  maksimize    (2) jika  dan  hanya  jika adalah  solusi optimal  pareto  masalah  program linear multi objektif  (1) .
Teorema  3. adalah  solusi  optimal tunggal  masalah  (3)  jika  dan  hanya jika adalah  solusi  optimal  pareto dari  masalah  program  linear  multi objektif (1).

## Implementasi Metode PLMOFI
Untuk  membahas  masalah  transportasi dengan  multiobjektif  Fuzzy  di  atas, diberikan  contoh  kasus  dalam  suatu industri  sebagai  berikut  :  perusahaan Makmur  Jaya  memproduksi  sejumlah barang.
Perusahaan
tersebut mempunyai 3 pabrik dan mempunyai 5 pusat  distribusi.  Tabel  1.  merangkum data pokok dari permasalahan perusahaan tersebut. Tiap sel menunjukkan  biaya  transportasi  dan waktu  pengiriman persatu unit melalui rute  tertentu.  Biaya  produksi  per  unit adalah  $15  di  pabrik  pertama,  $  10  di pabrik  kedua dan di  pabrik ketiga $  8. Masalah  TPD  untuk  kasus  industri yang ditunjukkan disini adalah berkonsentrasi pada penyusunan metode PLMOFI untuk mengoptimalkan  rencana  transportasi dalam  keadaan  Fuzzy.  Tujuan  yang diharapkan  dari  penyelesaian  masalah TPD tersebut adalah untuk meminimalkan  secara  simultan  biaya produksi  dan  transportasi  total  serta waktu pengiriman total.
Tabel 1. Data pokok masalah transportasi perusahaan Makmur Jaya
SUMBER TUJUAN Supply (dalam ribuan unit) Pusat distribusi 1 Pusat distribusi 2 Pusat distribusi 3 Pusat distribusi 4 Pusat distribusi 5 Pabrik pertama $ 10 / 6 jam $ 12 / 8 jam $ 16 / 12 jam $ 20 / 16 jam $ 30 / 40 jam 18 Pabrik kedua $ 12 / 10 jam $ 7 / 10 jam $ 13 / 15 jam $ 24 / 22 jam $ 36 / 32 jam 24 Pabrik ketiga $ 14 / 12 jam $ 16 / 16 jam $ 20 / 18 jam $ 10 / 10 jam $ 32 / 30 jam 10 Demand (dalam ribuan unit) 10 8 12 16 6 52 Berdasarkan  permasalahan  perusahaan Makmur  Jaya  diatas,  maka  formulasi model matematika masalah transportasi adalah sebagai berikut : Mencari 0 , i = 1, 2,3, j = 1, 2, 3, 4, 5 Yang meminimalkan : Ongkos produksi dan transportasi total x ij
Waktu pengiriman total t ij x ij
Dengan kendala-kendala : =     , i = 1, 2, 3 =     , j = 1, 2, 3, 4, 5 Dimana :
Z 1 =biaya  produski  dan  transportasi total ($)
Z 2 =waktu pengiriman total (jam) x ij =unit  barang  yang  dikirim  dari sumber i ke tujuan j ( unit) p ij =biaya produksi per unit dari sumber i ke tujuan j ($/unit) c ij =biaya  transportasi  per  unit  dari sumber i ke tujuan j ($/unit) t ij =waktu  transportasi  per  unit  dari sumber i ke tujuan j  (jam / unit)
Dari masalah transportasi di atas kedua fungsi objektif tersebut saling berlawanan atau saling konflik. Perhatikan kembali Gb 1., untuk kasus ini diperoleh :
A = $ 1310 , B = $ 1.344
C = 702 jam  . D = 772 jam
Sesuai  permasalahan  yang  sudah disebutkan  dimuka  (lihat  Gambar.2), DM  harus  mencari  solusi  kompromi yang  meliputi  :  mencari  a,  1310  <  a  < 1344  dan  mencari  d,  702  <  d  <  772, dengan syarat :
1) a – 1310 < d – 702
2) d – 702 < a – 1310
3) d – 702 = a – 1310
Contoh  1.  Mencari  solusi  kompromi untuk    a  –  1310  <  d  –  702  dilakukan sebagai berikut :
Langkah 3 : Merumuskan fungsi keanggotaan linear  dari  masing-masing  fungsi objektif Diambil :
A E , A = = 1310 , E =
= 1410
F – n G – n
F = D – 1 = 772 – 1 = 771 , G = 871
Dipilih n = 63 ,sehingga didapat:
= 771 – 63 = 708 , = 871 – 63 = 808 Setelah  diselesaikan  diperoleh  solusi optimal pareto : x 11 = 10   x 14 = 6   x 15 = 2 x 22 = 8 x 23 = 12   x 25 = 4   x 34 = 10 a = Z 1 = $ 1.326 , d = Z 2 = 724 jam Hasil ini sesuai dengan kasus 1, yaitu : a – A < d – C atau 1326 – 1310 < 724 – 702 16 < 22
Contoh  2.  Mencari  solusi  kompromi untuk    d  -  702  <  a  –  1310    dilakukan sebagai berikut :
Langkah 3 :
Merumuskan fungsi keanggotaan linear  dari  masing-masing  fungsi objektif Diambil : H – n P – n , H = B – 1 = 1344 – 1 = 1343 , P = 1543 Dipilih n = 19 , sehingga didapat: =  1343  –  19  =  1324  , =  1543  –
19 = 1524 C Q , C = = 702 , Q = = 902
Setelah  diselesaikan  diperoleh  solusi optimal pareto :
x 11 = 10  x 13 = 1 x 14 = 6  x 15 = 1  x 22 = 8 x 23 = 11 x 25 = 5  x 34 = 10 a = Z 1 = $ 1.335 , d = Z 2 = 713 jam Hasil ini sesuai dengan kasus 2, yaitu : d – C < a – A atau 713 – 702 < 1335 – 1310 11 < 25
Contoh  3.  Mencari  solusi  kompromi untuk    d  –  702  =  a  –  1310    dilakukan sebagai berikut:
Langkah 3 :
Merumuskan fungsi keanggotaan linear  dari  masing-masing  fungsi objektif. Diambil : A R , A = = 1310 , R = = 1460 C S , C = =702 , S = = 852
Setelah  diselesaikan  diperoleh  solusi optimal pareto : x 11 = 10  x 13 = 0,3   x 14 =  6    x 15 =  1,7 x 22 = 8x 23 = 11,7  x 25 = 4,3 x 34 = 10 a = Z 1 = $ 1328,7 , d = Z 2 = 720,7
Hasil ini sesuai dengan kasus 3) yaitu : a  –  A  =  d  –  C  atau  1328,7  –  1310  = 720,7 – 702
18,7 = 18,7

## SIMPULAN
Metode PLMOFI dapat dipakai sebagai  alat  untuk  mencari  solusi optimal pareto pada masalah transportasi  multi  objektif  fuzzy  yang saling  konflik.  Tidak  selamanya  solusi optimal  pareto  ( )  yang  dihasilkan dari  metode  PLMOFI  sesuai  dengan goal yang diinginkan DM dari masing- masing fungsi objektif. Ada 3
kemungkinan  solusi  optimal  pereto
( ) yang dihasilkan yaitu:
1) ( ) berada di dalam interval
(x) (x) (x) yaitu (x) ( ) ,
k=1,2,3,…,p. Atau dengan kata lain solusi optimal pareto sesuai dengan goal yang diinginkan DM.
2) ( ) sebagian berada didalam interval (x) (x) dan sebagian yang lain berada diluar interval (x) (x) , k=1,2,…,p. 3) ( )  semua berada diluar interval (x) (x) ,
k=1,2,…,p.
Solusi  optimal  pareto  yang  dihasilkan dari  metode  PLMOFI  sesuai  dengan goal  yang  diinginkan  DM  bila  derajat keanggotaannya  dari  masing-masing fungsi  objektif  adalah  sama  yaitu
( ( )) ( ( )),  k ,  k,l =1,2,…,p    dan  0 ( ( )) 1
untuk  semua  k.  Supaya  solusi  optimal pareto  sesuai  dengan  goal  yang diinginkan  DM  ,  sangat  ditentukan oleh  pemilihan (x)  dan (x)  dari masing-masing fungsi objektif, k=1,2,…,p.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Tulisan  ini  disarikan  dari  sebagian laporan  tesis  penulis  di  Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Gadjah  Mada  Yogyakarta  (Suroso, 2012).  Penulis  mengucapkan  terima kasih  yang  sebesar-besarnya  kepada Bp. Prof.  Dr. Widodo,  M.S  yang telah memberikan  bimbingan  dan  arahan kepada  penulis  dalam  menyelesaikan tesis ini.

## DAFTAR PUSTAKA
D.  Chanas,  1989,  Fuzzy  programming
in multiobjctive linear programming  a    parametric approach, Fuzzy  Sets  and Systems 29 ,303-313.
G.M.  Appa,  1973,  The  transportation problems  with  its  variants,
Operation  Research  Quarterly 24 ,79-99. M.Oheigeartaigh,1982, a fuzzy
transportation  algorithm ,  Fuzzy Sets and Systems 8 , 235-243. M.Sakawa, and H.Yano,1985, Interactive decision making for multi-objective  linear  frational programming  problems  with fuzzy  parameters, Cybernetics Systems 16 ,377-394.
R.E.Bellman  and  L.A.  Zadeh,1970, Decision  making  in  a  fuzzy environment, Management
Science 17 ,B141-B164. R.N.Gasimov  and  K.Yenilmez,2002, Solving fuzzy linear programming with linear membership  fungtions, Turk  J Math 26 ,375-396. S.K.Das,A.Goswami, and S.S.Alam,1999,  Multiobjective transportation  problem  with interval; cost, source and destination parameters, European Journal of Operation Research 117,100-112.
Sakawa,  Masatoshi,  1993, Fuzzy  sets and  interactive  multiobjective optimization ,  Plenum  Press, New York. Tien-Fu Liang, 2006, Applying interactive fuzzy multi- objective  linear  programming to transportation planning decision , Journal of Information  &  Optimization Sciences , 27,107-126. Winston,  W.  L,  1994, Operations Research Applications and
algorithms ,edisi ketiga, International Thomson Publishing, California. Zimmermenn, H.J.,1978, Fuzzy programming and linear programming with several objective  functions, Fuzzy  Sets
And Systems 1 ,45-55.