Vol. 7, No.2,  118-123,  Januari 2011
Modifikasi Kontrol untuk Sistem Tak Linier Input Tunggal-Output Tunggal
Firman 

## Abstrak
Dalam tulisan ini diuraikan sebuah kontrol umpan balik dinamik. Dari kontrol yang diperoleh akan dimodifikasi untuk mendapatkan suatu hukum kontrol dengan cara  menambahkan suatu input artifisial. Modifikasi kontrol tersebut untuk memperoleh suatu sistem yang terbatas.
Kata Kunci: Sistem dengan derajat relatif fungsi Lyapunov, kestabilan sistem .

## 1. Pendahuluan
Dalam  meninjau  masalah  kestabilan  dari  sistem  nonlinear  diperlukan  suatu  hukum kontrol,  seperti  hukum  kontrol  umpan  balik  dinamik.  Dalam  penelitian  Shimizu  et  al.  (1988), dikemukakan  suatu  hukum  kontrol  yang  merupakan  modifikasi  dari  kontrol steepest  ascent , dimana  kontrol  tersebut  dapat  menstabilkan  sistem  dengan  pembentukan  fungsi  objektif  yang tidak melibatkan output. Dalam tulisan ini akan dikemukakan suatu hukum kontrol umpan balik dinamik  didasarkan  pada  sebuah  optimasi  numerik  yang  didasarkan  atas  pemecahan  persamaan diferensial  yang  kontinu  (Naiborhu,  2007).  Dari  hukum  kontrol  umpan  balik  dinamik  yang diperoleh  tersebut  belum  menjamin  kestabilan  suatu  sistem.  Untuk  itu  kontrol  tersebut  akan dimodifikasi.

## 2. Sistem Tak Linier Input Tunggal-Output Tunggal
Pandang sistem tak linier dengan input tunggal-ouput tunggal (SISO) dinyatakan dengan ̇    ( )    ( )
( ) , (1) dimana , dan adalah  fungsi  kontinu  atas , fungsi  bernilai  real  dan u adalah skalar. Sistem diatas dikatakan mempunyai derajat relatif r pada , jika (i) ( ) (ii) ( ) 0 (Isidori, 1995).

## Misalkan
( ) ( ) ( ( ( ))    ( ( )) ( )
( ( )) ( ( )) ( )
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10, Tamalanrea, Makassar, email: firman_unhas@yahoo.co.id.
Misalkan adalah derajat relatif dan , maka ( ( )) dan karena itu ( ) ( ) ( ( )) .
Jadi
( ) ( ) ( ( ( ))    ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Untuk  sistem  yang  mempunyai  derajat  relatif  lebih  dari  dua,  maka ( ( )) ( ) dan ( ) ( ) ( ( )) . Kemudian secara berlanjut, diperoleh
( ) ( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Misalkan sistem di atas mempunyai derajat relatif r, maka dapat ditulis
( ) ( )    ( ) ,
dimana ( ) ( )      ( ) (Isidori, 1995).

## 3.  Desain kontrol
Dalam  menentukan  suatu kontrol  umpan  balik  dinamik  didasarkan  pada  sebuah  metode optimasi numerik yang didasarkan atas pemecahan persamaan diferensial yang kontinu. Pertama- tama perhatikan masalah meminimumkan fungsi objektif ( ) dengan Misalkan
akan memberikan suatu minimum lokal untuk fungsi objektif, maka akan diperoleh
( )      ( ) ,
untuk suatu yang sangat kecil. Dengan Teorema Taylor diperoleh
( )    ( ) ( ) (  ) .
Misalkan | ( )    ( ) aka | ( ) . Dengan membagi persamaan tersebut dengan dan misalkan dan , maka | ( ) .
Berikut  ini  akan  ditentukan  suatu  fungsi ( ) sedemikian  hingga  jika  dipecahkan  persamaan diferensial
̇    ( )
(2)
dengan  syarat  awal ( ) ,  maka  nilai  fungsi  objektif  akan  turun  sepanjang  trajektori  dari persamaan (2). Turunan ( ) terhadap waktu sepanjang trajektori yang dihasilkan oleh solusi (2) untuk adalah
| | ( ) .
Karena  diinginkan  solusi  pada  suatu  trajektori  yang  akan  mendapatkan  suatu  minimum,  maka pada pengamatan di atas dipilih

## Firman
( )     * + . (3)

## Dan persamaan akan berubah menjadi
( ) . (4)
Jadi untuk memecahkan masalah meminimumkan fungsi objektif G (.) dalam suatu ruang kontrol tanpa kendala, diperlukan pemilihan kondisi awal yang layak untuk dan mengintegrasikan
̇     * + .
(5)
Akan  dipertimbangkan  untuk  mendesain  suatu  hukum  kontrol (  ) berdasarkan  atas  sifat-sifat dari persamaan diferensial biasa orde tinggi
( ) ( ) (   ) ( ) ̇( ) ( ) , (6)
dimana r adalah derajat relatif dari sistem (1). Jika polinomial
( ) (7)
adalah  Hurwitz,  maka  solusi  persamaan  differensial   akan  menuju  nol  untuk
.  Konstanta- konstanta c i dapat  dipilih  sedemikian  rupa  sehingga  polinomial  (7)  adalah  Hurwitz  (Barnet  dan Cameron, 1990).
Misalkan sistem (1) mempunyai derajat relatif . Dari (6) diperoleh ( ) ( ( )     ( ) ) (   ) ̇ . (8)
Dari persamaan (8) diperoleh kontrol input u sebagai berikut:
( ) ( )  (∑
( ) ) ( ) ( ) , (9)
dengan ( ) ( ) . Namun dalam kasus hukum kontrol statis sulit untuk diterapkan. Jadi akan dikembangkan suatu hukum kontrol dinamis untuk mengatur output dari sistem yang secara global didasarkan pada sistem dengan derajat relatif terdefinisi dengan baik.

## 4.  Pengembangan Hukum Kontrol Dinamis
Berikut  ini  akan  diturunkan  suatu  hukum  kontrol u (.)  sedemikian  sehingga  fungsi obyektif menjadi minimum dan keadaan ( ) adalah terbatas. Masalah ini dapat diformulasikan sebagai berikut (Naiborhu, 2007). Definisikan fungsi obyektif
(    ̇ )     (∑ ( ) ) . (10)
Pendefinisian fungsi obyektif seperti itu karena
1. Kontrol  input u dapat  di  desain  apabila  ada  suatu  hubungan  yang  eksplisit  antara  input u dengan output y . Jadi fungsi objektif harus merupakan sebuah fungsi dari y ( r ) .
2. Memenuhi  fungsi  definit  positif.  Untuk  memecahkan  masalah  minimisasi  di  atas,  maka seperti telah dibahas sebelumnya, kontrol input u akan ditentukan dari persamaan diferensial berikut:
̇ (∑ ( ) ) ( ) ( ) . (11)
Selanjutnya akan dihitung turunan fungsi objektif terhadap waktu sepanjang trajektori dari sistem yang diperluas, yaitu

## Firman
̇    ( )    ( ) (12) ̇ (∑ ( ) ) ( ) ( ) (13)
Maka ( ̇ ̇ )    (∑ ( ) ) (∑ ( ( ) )) . (14)
Dengan substitusi (11) ke persamaan (14), diperoleh
(̇    ̇ ) 4∑ ( ) 5 6∑ 2 . ( ) ( )/
. ( ) ( )/     . ( ) ( )/  ̇37 4∑ ( ) 5 6∑ { ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))  }7 4∑ ( ) 5 ( ( ) ( ))
8 4∑ ( ) 5 ( ) ( )9
4∑ ( ) 5 6∑ { ( ( ) ( ))
( ( ) ( ))  }7 4∑ ( ) 5 ( ( ) ( ))
Dari  persamaan  tersebut,  terlihat  bahwa  nilai turunan  fungsi  obyektif  terhadap waktu  sepanjang trajektori (12) sampai (13) adalah tidak dapat dijamin akan lebih kecil dari nol untuk semua .  Perhatikan  sistem  yang  diperluas  pada  (12)  dan  (13)  dan  turunan  fungsi  objektif  terhadap waktu, disini tidak ditemukan suatu variabel yang dapat digunakan sedemikian sehingga turunan fungsi obyektif terhadap waktu menjadi lebih kecil dari nol. Jadi akan dimodifikasi kontrol yang dinyatakan  dalam  persamaan  dengan  menambahkan  sebuah  input  artivisial .  Akibatnya  sistem yang diperluas menjadi ̇    ( )    ( ) (15) ̇ (∑ ( ) ) ( ) ( ) . (16)
Dengan  cara  yang  sama,  akan  dihitung  turunan  fungsi  obyektif  terhadap  waktu  sepanjang trajektori (15)-(16), sehingga diperoleh
(̇    ̇ )      4∑ ( ) 5 6∑
{ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))  }7
4∑ ( ) 5 ( ) ( )     8 4∑ ( ) 5 ( ) ( )    9
4∑ ( ) 5 6∑
{ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))  }7
4∑ ( ) 5 ( ( ) ( ))
4∑ ( ) 5 ( ( ) ( )) (17)
Dalam persamaan (17), dapat dipilih input artivisial sedemikian sehingga (̇    ̇ ) dapat dibuat lebih kecil dari nol. Jika dipilih sebagai berikut:
. ( ) ( )/
0∑ 2 . ( ) ( )/
. ( ) ( )/  31 (18) Maka (̇    ̇ )    (∑ ( ) )
. ( ) ( )/ . (19)
Dari persamaan (19) terlihat bahwa nilai turunan fungsi obyektif terhadap waktu (10) sepanjang trajektori  (15)-(16)  dapat  dibuat  lebih  kecil  dari  nol  untuk ∑ ( ) .  Penambahan  input artifisial ke  dalam  kontrol  seperti  pada  persamaan  (11)  digunakan  untuk  menjamin  bahwa fungsi  obyektif  (10)  akan  turun  menjadi  nol.  Dengan  alasan  ini,  maka  cukup  realistis  untuk mengambil nilai menjadi nol, jika ∑ ( )
. Jadi untuk ∑ ( ) diperoleh
( ( )) *∑ , ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))  - + .
dan untuk ∑ ( ) . Pandang  persamaan  (19).  Misal ∑ ( )
Dari  persamaan  (19),
(̇    ̇ ) telah  tercapai.  Jadi  apabila  dipilih
sedemikian  sehingga
polinomial  (6)  adalah  Hurwitz,  maka menuju  0  untuk .  Selanjutnya  dapat  ditunjukkan bahwa  kontrol  input adalah  terbatas.  Dari  penjelasan  di  atas  diketahui  bahwa  fungsi  obyektif turun  hingga
Karena  itu  keadaan dan  kontrol  input adalah  terbatas  untuk  semua
[ ] . Untuk t ∑ ( ) . Jadi
Dari (13) untuk
kontrol input
menjadi konstan. Jadi kontrol input adalah terbatas untuk setiap .
Jadi  dengan  memodifikasi  kontrol  pada  persamaan  (13),  maka  diperoleh  proposisi sebagai berikut. Misalkan sistem tak linear input tunggal-output tunggal
̇ ( )    ( ) ( ) ,
dengan derajat relatif Pilih konstanta sedemikian hingga polynomial
( )
adalah Hurwitz. Dengan menggunakan kontrol umpan balik dinamik
̇ (∑ ( ) ) ( ) ( )
dengan seperti  pada  (15),  maka menuju  nol  dan adalah  terbatas  jika menuju  tak berhingga.

## 5. Kesimpulan
Pada  paper  ini  diperoleh  hasil  bahwa  untuk  memperoleh  suatu  sistem  yang  terbatas, kontrol umpan balik dinamik dimodifikasi dengan cara menambahkan suatu input  artifisial pada sistem yang diperluas.

## Daftar Pustaka
Barnet, S. dan Cameron, R.G., 1990. Introduction to Mathematical Control Theory .          Oxford University Press.
Isidori,  A.  dan  Heidelberg,  1995. Nonlinear  Control  Systems,  Third  Edition .  Springer-Verlag, Berlin.
Naiborhu,  J.,  2007.  Output  tracking  control  of    nonlinear  non-minimum  phase  systems  by gradient  descent  control . Presented  in  SEAMS-Gadjah  Mada  University  International Conference on Mathematics and Its Applications , Yogyakarta, 24 – 27 Juli 2007.
Shimizu, K., Ito, S., dan Suzuki, S., 1988. Tracking control of general nonlinear systems by direct gradient  descent  control . Preprints  of  the  4 th IFAC  Symposium  on  Nonlinear  Control System Design, 98, pp. 185-190.