## MODEL COMPOUNDS DALAM MENGHITUNG AGGREGATE LOSS
Tohap Manurung 1)
1) Program studi Matematika FMIPA Universitas Sam Ratulangi Manado, 95115
Kris_ton79@yahoo.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  taksiran  distribusi aggregate  loss .  Dalam  hal  ini, a ggregate loss merupakan total kerugian dalam periode satu tahun yang dialami oleh pemegang polis  yang  ditanggung  suatu  perusahaan  asuransi.      Dalam  menentukan  taksiran  fungsi  peluang aggregate  loss, akan  dibentuk  model  distribusi compound .  Untuk  menyelesaikan  distribusi compound ,  ada  beberapa  metode  yang  digunakan  antara  lain  metode Panjer  Recursion , Fourier Inversion , dan Fast Fourier Transform.
Kata kunci: Aggregate loss, compound distribution

## COMPOUNDS MODEL TO DETERMINE AGGREGATE LOSS

## ABSTRACT
This study aims to determine the estimated aggregate loss distribution. In this case, the aggregate loss is a total loss within one year period experienced by the policyholder who paid an insurance company.  In  determining  the  estimated  aggregate  loss  function  ,  will  be  established  distribution model  compound.  To  determine  the  compound  distribution,  there  are  several  methods    used, namely, Panjer Recursion , Fourier Inversion , dan Fast Fourier Transform.
Keywords: Aggregate loss, compound distribution

## PENDAHULUAN
Dalam  dunia  asuransi,  khususnya asuransi  kerugian,  akan  ditemukan  istilah aggregate  loss. Distribusi aggregate  loss dalam  hal  ini  merupakan  distribusi  peluang total  besarnya  kerugian  menurut  polis asuransi.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk menentukan  taksiran  distribusi aggregate loss. Distribusi aggregate  loss terdiri  dari distribusi  frekuensi  dan  distribusi severity, sehingga  distribusi  ini  disebut juga  distribusi compound  ( compound  distribution ).  Dalam
hal  ini,  distribusi  frekuensi  yang  dimaksud adalah  distribusi  banyaknya  klaim  ( numbers of  claim )  pada  suatu  periode  tertentu,  dan distribusi severity adalah  distribusi  besar klaim.  Distribusi aggregate  loss S (distribusi total klaim)  merupakan model collective risk
N X X X S     . . . 2 1 .

## METODOLOGI PENELITIAN
Model distribusi aggregate loss pada penelitian  ini  adalah  model  distribusi compound distribusi  banyak  klaim  dan distribusi  besar  klaim.  Dari  model  distribusi compound tersebut ditentukan fungsi kepadatan peluang. Dalam melakukan analisis selanjutnya, dapat digunakan software  MATLAB.  Data  yang  diasumsikan dalam penelitian ini adalah data banyak klaim dan besar klaim asuransi.

## PEMBAHASAN

## Distribusi peluang diskrit
Distribusi peluang  diskrit merupakan jenis  distribusi    suatu  peubah  acak  yang memiliki  ruang  sampel  dimana  elemen- elemennya dapat didaftarkan. Dalam tesis ini, elemen-elemen  ruang  sampel  yang  dimaksud adalah  bilangan  bulat  tak  negatif.  Distribusi peubah  acak  yang  demikian  disebut  juga
distribusi counting .  Dalam  bidang  asuransi, salah  satu  peubah  acak  yang  berdistribusi counting adalah peubah acak yang menyatakan  banyaknya  klaim  yang  diajukan oleh  pemegang  polis  pada  suatu  periode tertentu.  Misalkan N menyatakan  peubah acak  banyak  klaim  yang  didefinisikan  pada kumpulan bilangan bulat tak negatif  0, 1 , 2, 3, . . .. Maka dapat dituliskan fungsi peluang ( k p ) banyak klaim
. . . , 3 , 2 , 1 , 0 , ) Pr(    k k N p k (1)
Fungsi  pembangkit  peluang  peubah  acak diskrit N dengan fungsi peluang p k adalah
      0 ) ( ) ( ) ( k k k N N z p z E z P z P (2)
Seperti  halnya  fungsi  pembangkit momen  yang  dapat  membangkitkan  momen, fungsi  pembangkit  peluang  juga  dapat membangkitkan  momen.  Secara  khusus,
) ( ) 1 ( ' N E P  dan )] 1 ( [ ) 1 ( ' '   N N E P . Fungsi
pembangkit peluang dapat
membangkitkan  peluang,  hal  ini  dapat ditunjukkan seperti berikut.
                    m k k m k m N N m m m p z m k k k z m N N N E z dz d E z P ) 1 ( . . . ) 1 ( ] ) 1 ( . . . ) 1 ( [ ) ( ) (
Untuk z =0 , diperoleh
! ) 0 ( ! ) 0 ( ) ( ) ( m P p atau p m P m m m m   (3)
[Klugman dkk. (2004), halaman 73].

## Distribusi claim frequency
Para  aktuaris  umumnya  menemukan bahwa  dalam  banyak  kasus,  frekuensi  klaim dapat  dimodelkan  meggunakan  distribusi Poisson atau negative  binomial .    Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah
. . . , 3 , 2 , 1 , 0 , !    k k e p k k   (4)
Fungsi  pembangkit  peluang  dari  distribusi Poisson adalah
0 , ) ( ) 1 (      z e z P (5)
Mean dan variansi dapat dihitung dari fungsi pembangkit peluang sebagai berikut,
                   ) ( ) ( )] ( [ ) ( )] 1 ( [ ) ( ) 1 ( )] 1 ( [ ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 '' ' N Var N Var N E N E N N E N Var P N N E P N E
Jadi untuk distribusi Poisson nilai variansi sama dengan nilai mean.
[Klugman dkk. (2004).

## Distribusi Claim severity
Terdapat  berbagai  model  peluang yang  dapat  digunakan  untuk  memodelkan distribusi claim severity , diantaranya: Pareto , lognormal , exponential inverse  Gaussian , inverse  Gaussian , Weibull dan Gamma yang diurutkan berdasarkan ukuran tail (mulai dari distribusi  yang  mempunyai heavier  tail sampai yang mempunyai lighter tail )

## Distribusi Compound
Suatu  kelas  distribusi  yang  lebih besar dapat dibentuk melalui proses compounding dua distribusi. Misalkan ) ( z P N adalah  fungsi  pembangkit  peluang peubah  acak  primer N ( primary  distribution ) dan ) ( z P M adalah fungsi pembangkit peluang peubah acak sekunder M ( secondary distribution ). Maka fungsi pembangkit peluang compound  distribution dari  kedua peubah acak tersebut dapat dituliskan sebagai
, )] ( [ ) ( z P P z P M N  (6)
Distribusi  yang  terbentuk  dinamakan distribusi compound .  Distribusi compound dapat dibentuk dengan cara sebagai berikut.
Misalkan N suatu  peubah  acak berdistribusi counting yang  memiliki  fungsi pembangkit  peluang ) ( z P N .  Misalkan M 1 ,
M 2 ,  …,  peubah  acak  yang  berdistribusi identik  dan  saling  bebas  dengan  fungsi
pembangkit peluang ) ( z P M . Dengan mengasumsikan bahwa peubah acak M j tidak bergantung  pada N ,  fungsi  pembangkit peluang dari jumlah acak S = M 1 + M 2 + … + M N (di  mana N =  0  mengakibatkan S =  0) adalah )] ( [ ) ( z P P z P M N S  . Dapat
ditunjukkan sebagai berikut
)] ( [ )] ( [ ) ( Pr ) | . . . ( Pr ) ( Pr ) ( Pr ) | ( Pr ) ( Pr ) ( 0 0 1 0 0 0 0 z P P z P n N z n N k M M n N z n N n N k S z k S z P M N n M n k k n n k k n k k S                                 (7)
Selanjutnya peluang dari S = k dapat  ditulis sebagai berikut
                         0 1 0 1 0 ) ( Pr ) .. . ( Pr ) ( Pr ) | .. . ( Pr ) ( Pr ) | ( Pr ) ( Pr n n n N n n N k M M n N n N k M M n N n N k S k S (8) Dengan memisalkan
) ( Pr , ) ( Pr n N p n S g n n     da n ) Pr( n M f n  
diperoleh
n k n n k f p g k S * 0 ) ( Pr       (9)
di mana n k f * , k = 0, 1, …,  adalah konvolusi lipatan- n dari k f ,  dengan k =  0,  1,  …,  yaitu peluang dari jumlah n buah peubah acak yang berdistribusi identik dan saling bebas dengan fungsi  peluang k f .  [Klugman  dkk.  (2004), halaman 88- 91].
Untuk setiap distribusi compound ,
) ( 0 0 f P g N  di  mana ) ( z P N merupakan fungsi  pembangkit  peluang  dari  distribusi primary dan f 0 merupakan    peluang  peubah acak distribusi secondary di titik nol.
Bukti:
) 0 ( ) 0 Pr( 0 P S g    )] 0 ( [ 0 M N P P g  )] 0 ( [ 0 f P g N  (10)
[Klugman dkk. (2004), halaman 93].

## Model Aggregate Loss
Aggregate  loss adalah  total  kerugian yang dialami oleh pemegang polis yang harus ditanggung  oleh  perusahaan  asuransi  dalam suatu  periode  waktu  tertentu.  Metode  yang digunakan  untuk  memperoleh aggregate loss adalah  mencatat  masing-masing  besar  klaim ( payments )  dan  menjumlahkan  semua  klaim tersebut. Aggregate  loss dapat  dinyatakan dengan  suatu  peubah  acak S .  Banyak  klaim dalam satu periode dari suatu portofolio dapat dinyatakan  dengan  peubah  acak N .  Besar masing-masing klaim dapat dinyatakan dalam peubah  acak X 1 , X 2 ,....  Dengan  demikian diperoleh suatu model collective risk
S = X 1 + X 2 + …+ X N , N = 0, 1, 2, … ,  (11)
di mana S = 0 jika N = 0.
Asumsi-asumsi yang harus diperhatikan pada aggregate  loss untuk  model collective  risk yaitu :
1. Diberikan N=n, peubah acak X 1 , X 2 , …, X n merupakan  peubah  acak  yang berdistribusi identik dan saling bebas. 2. Diberikan N=n ,  distribusi  bersama  dari peubah  acak X 1 , X 2 ,  …, X n tidak bergantung pada nilai n .
3. Distribusi  dari  peubah  acak N tidak bergantung kepada nilai-nilai dari peubah acak X 1 , X 2 , .  . .
Model Compound for Aggregate Loss
Misalkan  S  menyatakan aggregate loss dengan  model  persamaan  (11)  dan memenuhi  asumsi-asumsi  di  atas.  Peubah acak S memiliki fungsi distribusi:
 
   
      0 * 0 , ) ( . ) | ( Pr ) ( Pr ) ( n n X n n n S x F p p n N x S x S x F
(12) di mana ) ( Pr ) ( x X x F X   adalah common distribution function dari X dan ) ( Pr n N p n   . n X F * adalah  konvolusi lipatan  ke- n dari  fungsi  distribusi X . Konvolusi lipatan- n diperoleh sebagai berikut
      , 0 , 1 , 0 , 0 ) ( 0 * x x x F X dan
) ( ) ( ) ( ) 1 ( * * y F d y x F x F X k X k X        untuk k
=1,2, . . .                 (13)
Jika X adalah  peubah  acak  kontinu  dengan fungsi  kepadatan  peluang  terdefinisi  pada bilangan tak negatif, persamaan (13)  menjadi
dy y f y x F x F X x k X k X ) ( ) ( ) ( 0 ) 1 ( * *     untuk k = 2, 3, . . .              (14)
Untuk k = 1 persamaan ini menghasikan ) ( ) ( 1 * x F x F X X  .  Dengan  cara menurunkan (14), diperoleh fungsi kepadatan peluangnya adalah
dy y f y x f x f X x k X k X ) ( ) ( ) ( 0 ) 1 ( * *     untuk k = 2, 3, . . .               (15)
Dalam  kasus  peubah  acak  diskrit  dengan peluang positif pada 0, 1, 2, . . . , persamaan (13) menjadi
) ( ) ( ) ( 0 ) 1 ( * * y f y x F x F X x y k X k X      untuk x
= 0, 1, . . . , k = 2, 3, . . .    (16) Fungsi kepadatan peluangnya adalah
) ( ) ( ) ( 0 ) 1 ( * * y f y x f x f X x y k X k X      untuk x = 0, 1, . . . , k = 2, 3, . . .      (17) Distribusi S persamaan  (12)  disebut distribusi compound, dan  fungsi  peluang aggregate loss nya adalah
) ( ) ( * 0 x f p x f n X n n S     .                          (18)
[Klugman  dkk.  (2004),  halaman  140  dan 141].
Persamaan  (18)  adalah  formula  untuk menghitung  besar  peluang aggregate  loss . Jika  persamaan  (18)  digunakan  secara langsung  untuk  menghitung  fungsi  peluang aggregate  loss akan  tidak  efisien  dan  sangat rumit  terutama  untuk  ukuran  selang k yang besar.  Perlu  digunakan  metode  yang  lain dalam  menyelesaikannya,  misalnya Fast Fourier Transform.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Dalam  menghitung aggregate  loss distribution  untuk  kasus  asuransi  kerugian, model distribusi Compound sangatlah berperan. Dalam hal ini, distribusi compound merupakan gabungan distribusi banyak klaim ( number of claims) dan besar klaim (amount of  claims).  Distribusi compound tersebut dapat  dianalisis  selanjutnya  dengan  beberapa metode seperti Fast Fourier Transform(FFT).

## DAFTAR PUSTAKA
Klugman,  Stuart  A.,  Panjer,  Harry  H.,  dan Willmot, Gordon E.  2004. Loss Models from Data to Decisions . Second Edition.
John Wiley and Sons, New Jersey.
Sarsono,  A.    2009.    Analisis  Data  Total Klaim untuk Menentukan Risk Premium pada  Asuransi  Mobil.  Tugas  Akhir Sarjana  Program  Studi  Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung.