JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 4,  Tahun 2018, Halaman 408-418 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## HISTORICAL SIMULATION UNTUK MENGHITUNG VALUE AT RISK PADA PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN SINGLE INDEX MODEL MENGGUNAKAN GUI MATLAB
(Studi Kasus: Kelompok Saham JII Periode Juni - November 2017)
Tresno Sayekti Nuryanto 1 , Alan Prahutama 2 , Abdul Hoyyi 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : alan.prahutama@gmail.com

## ABSTRACT
The  essence  of  investment  is  a placement of  a number of  funds  at  one  time  in hope of gaining profits  in  the  future.  One  of  the  most  traded  forms  of  investment  is  stocks.  When  investing  in  stocks, investors often  run the  risk  of  loss.  This  loss  risk  can be overcome  by  forming  a portfolio  consisting of several  shares.  To  form  an  optimal  portfolio, investors must  first  determine  an  efficient  portfolio  that produces a certain level of profit with the lowest risk, or a certain level of risk with the highest level of profit. One  method  for  determining  the  optimal  portfolio  is  to  use  the Single  Index  Model method. Whereas  to calculate Value at Risk (VaR)  using the Historical  Simulation method.  In this study,  researcher used  data from the daily closing price of shares incorporated in the Jakarta Islamic Ind ex (JII) stock group in the period of June - November 2017. The shares which will be used were 9 shares in the JII stock group. According to the research result, there are three stocks that go into an optimal portfolio that is SMGR, UNTR, and KLBF with the value of each of its shares respectively by 48,54%, 46,18%, and 5,28%. While the value of the Value at Risk with  initial  capital  of  Rp100.000.000,  1  day holding period and a  trust  level  of  95%  for optimal portfolio and each stock that goes into optimal portfolio amounted Rp2.090.283, Rp2.258.600, Rp3.403.000, and Rp2.564.200.
Keywords: Share, Portofolio, Single Index Model, Value at Risk, Historical Simulation, JII.

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  pada  hakikatnya  merupakan  penempatan  sejumlah  dana  pada  saat  ini  dengan harapan  untuk  memperoleh  keuntungan  di  masa  mendatang.  Umumnya  investasi  dibedakan menjadi  dua,  yaitu:  investasi  pada  aset-aset  finansial  ( financial  assets )  dan  investasi  pada  aset-aset riil ( real assets ). Selain itu, investasi juga dapat dilakukan di pasar modal. Beberapa instrumen efek yang  diperdagangkan  di  pasar  modal  adalah  saham,  obligasi,  dan  efek  derivatif.   Saham  adalah tanda  penyertaan  atau  kepemilikan  seseorang  atau  badan  dalam  suatu  perusahaan  atau  perseroan terbatas  (Darmadji  &  Fakhruddin,  2001).  Di  pasar  modal  Indonesia, saham  dikelompokkan  dalam beberapa index, seperti kelompok saham syariah yaitu Jakarta  Islamic  Index (JII) yang merupakan kelompok  saham  dari  perusahaan-perusahaan  yang  usahanya  tidak  bertentangan  dengan  syariah Islam.  Saat  ini  para investor membentuk  portofolio  saham  untuk  meminimalisir  risiko  kerugian yang akan diperoleh di masa yang akan datang.
Portofolio  adalah  investasi  dalam  berbagai  instrumen  keuangan  yang  dapat  diperdagangkan di bursa efek dengan tujuan menyebarkan sumber perolehan return dan kemungkinan risiko. Untuk membentuk  portofolio  yang  optimal, investor harus  menentukan  portofolio  yang  efisien  terlebih dahulu  yaitu  portofolio  yang  menghasilkan  tingkat  keuntungan  tertentu  dengan  risiko  terendah, atau  tingkat  risiko  tertentu  dengan  tingkat  keuntungan  tertinggi  (Husnan,  1998).  Pada  proses  ini, metode yang dapat digunakan adalah metode Single Index Model . Model ini dapat digunakan untuk menyederhanakan  perhitungan  di  model  Markowitz  dengan  menyediakan  parameter-parameter input yang dibutuhkan di dalam perhitungan model Markowitz.
Pada single  index  model ,  nantinya  akan  diperoleh  portofolio  optimal  dengan  saham  di dalamnya  memiliki  bobot  tertentu.  Setelah  itu  akan  diukur  risiko  dari  portofolio  optimal  tersebut dengan  metode value at  risk yaitu  metode historical  simulation .  Metode historical  simulation ini merupakan  metode  yang  cukup  sederhana  daripada  metode value  at  risk lainnya,  hal  ini
dikarenakan  metode historical  simulation mengesampingkan  asumsi return yang  berdistribusi normal maupun sifat linier  antara return portofolio terhadap return aset tunggalnya. Terdapat  beberapa  penelitian  tentang  penerapan single  index  model , yaitu  menghitung value at  risk portofolio  optimal single  index  model menggunakan variance-covariance (Oktafiani  et  al, 2017)  dan  penggunaan  GUI  Matlab  untuk  menentukan  portofolio  optimal single  index  model (Addien et al, 2016). Pada penulisan Tugas Akhir ini, terdapat sedikit perbedaan dengan penelitian terdahulu. Perbedaannya adalah penggunaan GUI Matlab dan metode value at risk yang digunakan. Pada  penelitian  ini,  perhitungan value  at  risk portofolio  optimal  berdasarkan single  index  model menggunakan historical simulation dan dipermudah perhitungannya menggunakan GUI Matlab.
2. Tinjauan Pustaka
Data yang digunakan dalam penelitian  ini adalah data sekunder yang diperoleh dari software MOST (Mandiri Sekuritas Online Trading ). Data yang diambil adalah data harga penutupan saham ( closing  price )  setiap  harinya  untuk  9  saham  yang  masuk  ke  dalam  kelompok  saham  JII  periode Juni  - November  2017, IHSG  dan  tingkat  suku  bunga  BI  yang  terhitung  mulai  tanggal  1  Februari 2017  sampai  19  Juni  2017.  Saham-saham  yang  digunakan  yaitu  saham  CTRA,  EXCL,  ICBP, KLBF,  PPRO, SMGR, TPIA, UNTR, dan WIKA.

## 2.1. Analisis Regresi
Menurut  Draper  dan  Smith  (1992),  analisis  regresi  adalah  metode  analisis  statistika  yang digunakan  untuk  memodelkan  hubungan  ketergantungan  yang  mungkin  ada  antara  variabel dependen (y) dengan variabel independen (x). Secara umum, variabel dependen dapat dihubungkan dengan p variabel  independen, sehingga menghasilkan model sebagai berikut:
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ⋯ + β p x p + ε (1)
Model  regresi  dapat  ditulis  dalam  bentuk  matriks,  dengan  mengubah  Persamaan  (1)  menjadi: y = 𝐗𝛃 + 𝛆

## 2.2. Uji  Normalitas Residual
Uji Normalitas adalah sebuah uji yang dilakukan dengan tujuan untuk menilai sebaran data pada  sebuah  kelompok  data  atau  variabel, apakah  sebaran  data  tersebut  berdistribusi  normal  atau tidak.  Pada  penelitian  ini,  uji  normalitas Lilliefors digunakan  untuk  menguji  apakah  residual berdistribusi normal atau tidak. Hipotesis  dari uji Lilliefors adalah sebagai berikut: Hipotesis:
H 0 :  Residual berdistribusi normal
H 1 :  Residual tidak berdistribusi normal
Statistik Uji: D hitung = |F(x)− S(x)| 𝑥 sup
F(x)= Fungsi peluang kumulatif di bawah P(x<x i ) S(x)= Fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data residual Dengan  taraf  signifikansi  sebesar  α,  maka  dapat  diambil  keputusan  dengan  H 0 ditolak  jika  D hitung >  D tabel (α,n),  dimana  D tabel (α,n)  merupakan  nilai  kritis  yang  diperoleh dari tabel Lilliefors .

## 2.3. Uji  Korelasi
Korelas i  merupakan  salah  satu  teknik  analisis  dalam  statistik  yang  digunakan  untuk mencari  hubungan  linier  antara  dua  variabel  yang  bersifat  kuantitatif.  Hubungan  dua  variabel tersebut  dapat  terjadi  karena  adanya  hubungan  sebab  akibat  atau  dapat  pula  terjadi  karena kebetulan saja. Dua variabel dikatakan berkolerasi apabila perubahan pada variabel yang satu akan diikuti  perubahan  pada  variabel  yang  lain  secara teratur  dengan  arah  yang sama (korelasi  positif) atau berlawanan (korelasi negatif). Hipotesis dari uji korelasi adalah  sebagai berikut: Hipotesis:
H 0 :  ρ = 0 (tidak terdapat korelasi antar variabel) H 1 :  ρ ≠ 0 (terdapat korelasi antar variabel)
Statistik uji:
t 0 = 𝑟√𝑛−2 √1−𝑟 2 dengan 𝑟 𝑥 𝑖 ,   𝑥 𝑗 = 𝐶𝑜𝑣 (𝑥 𝑖 ,   𝑥 𝑗 ) √𝑉𝑎𝑟 (𝑥 𝑖 ) ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑥 𝑗 )
Dengan  taraf  signifikansi  sebesar  α,  maka  dapat  diambil  keputusan  dengan  H 0 ditolak  jika  nilai |𝑡 0 | > 𝑡 α 2 ,𝑛−2 .

## 2.4. Return Aset Tunggal
Menurut  Hartono  (2014), return merupakan  hasil  yang  diperoleh  dari  investasi. Return terbagi menjadi dua, yaitu return realisasi dan return ekspektasi. Return realisasi merupakan return yang  telah  terjadi,  sedangkan return ekspektasi  ( expected  return )  merupakan return yang diharapkan  akan  diperoleh  oleh  investor  di  masa  mendatang. Return realisasi  dihitung  berdasarkan data  historis. Secara  matematis  (Jorion,  2001) merumuskan return saham  pada waktu  ke-t sebagai berikut:
𝑅 𝑖,𝑡 = ln [ 𝑃 𝑖 ,𝑡 𝑃 𝑖,𝑡−1 ] (2)
Dimana,
𝑅 𝑖,𝑡 : Return saham ke-i pada waktu ke-t
𝑃 𝑖,𝑡 : Harga saham ke-i pada waktu ke-t 𝑃 𝑖,𝑡−1 : Harga saham ke-i pada waktu ke-t-1 Jika  terdapat  sebanyak  n  buah return saham  yaitu return saham  pada  waktu  t=1  sampai dengan waktu t=n, maka expected return dapat diestimasi dengan rata-rata sampel return , yaitu:
E ( 𝑅 𝑖 ) = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖,𝑡 𝑛 𝑡=1 (3)

## 2.5. Single Index Model (Model Indeks Tunggal)
Wiliam  Sharpe  (1963)  dalam  Hartono  (2014)  mengembangkan  model  yang  disebut  dengan model  indeks  tunggal  ( Single  Index  Model ).  Model  ini  dapat  digunakan  untuk  menyederhanakan perhitungan  pada  model  Markowitz  dengan  menyediakan  parameter-parameter  input  yang dibutuhkan  di  dalam  perhitungan  model  Markowitz.  Disamping  itu, single index  model dapat  juga digunakan untuk menghitung expected return dan risiko portofolio (Hartono, 2014).

## 2.5.1. Asumsi Single Index Model
Single  index  model menggunakan  asumsi-asumsi  yang  merupakan  karakteristik  model  ini sehingga menjadi  berbeda dengan model-model lainnya  (Hartono, 2014).
Asumsi yang harus dipenuhi dalam single index model adalah:
1. Residual  berdistribusi normal atau e i ~ N (0, 𝜎 𝑖 2 )
2. Kovarian  antar residual saham bernilai  nol
Secara matematis asumsi tersebut dapat dinyatakan dengan:
Cov (e i ,e j ) = 0
3. Kovarian  antara residual saham dengan return IHSG bernilai  nol Secara matematis asumsi tersebut dapat dinyatakan dengan:
Cov (e i ,R M ) = 0
2.5.2. Return dan Expected Return Saham Menggunakan Single Index Model Menurut  Hartono  (2014), single  index  model didasarkan  pada  pengamatan  bahwa  harga dari  suatu  saham  berfluktuasi  searah  dengan  indeks  harga  saham  gabungan.  Hal  ini mengindikasikan bahwa return - return dari saham mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum ( common response ) terhadap perubahan-perubahan nilai I HSG. Return dari suatu saham dan return dari IHSG yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:
𝑅 𝑖 = 𝑎 𝑖 + 𝛽 𝑖 * 𝑅 𝑀 (4)
Variabel 𝑎 𝑖 dapat  dipecah menjadi  nilai  yang  diekspektasi  ( expected value ) 𝛼 𝑖 dan  residual 𝑒 𝑖 sebagai berikut: 𝑎 𝑖 = 𝛼 𝑖 + 𝑒 𝑖 (5)
Substitusikan  persamaan  (5)  ke  dalam  persamaan  (4),  maka  akan  didapatkan  persamaan single index model sebagai berikut:
𝑅 𝑖 = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 * 𝑅 𝑀 + 𝑒 𝑖 (6)
Dimana,
𝑅 𝑖 : return saham ke-i 𝑅 𝑀 : return IHSG 𝛽 𝑖 :  koefisien yang mengatur perubahan 𝑅 𝑖 akibat dari perubahan 𝑅 𝑀 𝛼 𝑖 :  nilai  ekspektasi dari return saham yang independen terhadap return IHSG 𝑒 𝑖 : residual yang merupakan variabel acak dengan nilai  E( 𝑒 𝑖 ) = 0 Single  index  model juga  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk return ekspektasi  ( expected return ). Expected return model pada persamaan (6) sebagai berikut: E( 𝑅 𝑖 ) = E( 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 * 𝑅 𝑀 + 𝑒 𝑖 )
Karena nilai ekspektasi dari suatu konstanta bernilai konstanta itu sendiri, maka E( 𝛼 𝑖 ) = 𝛼 𝑖 , E( 𝛽 𝑖 * 𝑅 𝑀 )  = 𝛽 𝑖 *  E( 𝑅 𝑀 )  dan  secara  konstruktif  nilai  E( 𝑒 𝑖 )  =  0,  sehingga expected  return single  index model dapat dinyatakan sebagai berikut:
E( 𝑅 𝑖 ) = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 * E( 𝑅 𝑀 ) (7)
2.5.3. Kovarian Return Saham Menggunakan Single Index Model
Secara  umum,  kovarian return antara  saham  ke-i  dan saham  ke-j  dapat  dituliskan  sebagai (Hartono,2014): 𝜎 𝑖𝑗 = E[(R i – E(R i )) * (R j – E(R j ))] (8)
Dengan  nilai  R i ,  R j ,  E(R i )  dan  E(R j )  dapat  disubstitusikan  menggunakan  persamaan  (6)  dan  (7), sehingga kovarian return menjadi: 𝜎 𝑖𝑗 = E[(( 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 ∗ 𝑅 𝑀 + 𝑒 𝑖 ) – ( 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 *E( 𝑅 𝑀 )))*(( 𝛼 𝑗 + 𝛽 𝑗 * 𝑅 𝑀 + 𝑒 𝑗 )–( 𝛼 𝑗 + 𝛽 𝑗 *E( 𝑅 𝑀 )))] =E[ 𝛽 𝑖 ( 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 ))* 𝛽 𝑗 ( 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 ))+ 𝛽 𝑖 ( 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 ))* 𝑒 𝑗 +( 𝛽 𝑗 ( 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 ))* 𝑒 𝑖 + 𝑒 𝑖 * 𝑒 𝑗 ] = 𝛽 𝑖 * 𝛽 𝑗 * E[ 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 )] 2 + 𝛽 𝑖 * E[( 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 ))* 𝑒 𝑗 ]+ 𝛽 𝑗 * E[ 𝑒 𝑖 *( 𝑅 𝑀 –E( 𝑅 𝑀 ))]+E[ 𝑒 𝑖 ∗ 𝑒 𝑗 ] Berdasarkan asumsi 2 dan 3, maka kovarian return dapat dinyatakan sebagai: 𝜎 𝑖𝑗 = 𝛽 𝑖 * 𝛽 𝑗 * 𝜎 𝑀 2 (9)
2.5.4. Risiko Saham Menggunakan
Single Index Model Selain mempertimbangkan return , dalam berinvestasi investor juga perlu mempertimbangkan  risiko  yang  mungkin  dihadapi.  Menurut  Hartono  (2014)  yang  mengutip  dari Van  Horne  dan  Wachowics,  Jr.  (1992)  risiko  didefinisikan  sebagai  variabilitas return terhadap return yang  diharapkan.Secara  umum,  varian  atau  variabilitas return dari  suatu  saham  dapat dinyatakan sebagai berikut (Hartono, 2014):
𝜎 𝑖 2 = E[R i – E(R i )] 2 (10)
Dengan  R i dan  E(R i )  dapat  dilihat  pada  persamaan  (6)  dan  (7).  Kemudian  substitusikan  ke dalam persamaan (15), sehingga diperoleh:
𝜎 𝑖 2 = E[( 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 * 𝑅 𝑀 + 𝑒 𝑖 ) – ( 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 * E( 𝑅 𝑀 ) ] 2 = E[( 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 * 𝑅 𝑀 + 𝑒 𝑖 – 𝛼 𝑖 – 𝛽 𝑖 * E( 𝑅 𝑀 )] 2 = E[ 𝛽 𝑖 2 *( 𝑅 𝑀 – E( 𝑅 𝑀 )) 2 + 2* 𝛽 𝑖 *( 𝑅 𝑀 – E( 𝑅 𝑀 )) * 𝑒 𝑖 + 𝑒 𝑖 2 ] = 𝛽 𝑖 2 * E[( 𝑅 𝑀 – E( 𝑅 𝑀 )] 2 + 2* 𝛽 𝑖 * E[ 𝑒 𝑖 *( 𝑅 𝑀 – E( 𝑅 𝑀 ))] + E[ 𝑒 𝑖 ] 2
Karena  E[( 𝑅 𝑀 –  E( 𝑅 𝑀 )] 2 merupakan  varian  dari return IHSG  ( 𝜎 𝑀 2 )  dan  E[ 𝑒 𝑖 ( 𝑅 𝑀 – E( 𝑅 𝑀 ))] sama dengan nol sesuai asumsi pada asumsi 3, maka rumus varian pada suatu aset tunggal dapat ditulis  sebagai berikut:
𝜎 𝑖 2 = 𝛽 𝑖 2 * 𝜎 𝑀 2 + 𝜎 𝑒𝑖 2 (11)
Sehingga risiko suatu aset tunggal dapat dinyatakan dengan:
𝜎 𝑖 = √𝛽 𝑖 2 ∗ 𝜎 𝑀 2 +  𝜎 𝑒𝑖 2 (12)
2.5.5. Return dan Expected Return Portofolio Menggunakan Single Index Model Menurut  Hartono (2014), return realisasi  portofolio  ( portfolio  realized  return )  merupakan rata-rata  tertimbang  dari return - return realisasi  masing-masing saham  tunggal  di  dalam  portofolio tersebut. Secara matematis, return portofolio dituliskan sebagai berikut:
𝑅 𝑝 = ∑ (𝑤 𝑖 ∗ 𝑅 𝑖 ) 𝑁 𝑖=1 (13)
Sehingga expected return portofolio secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut: E( 𝑅 𝑝 ) = ∑ (𝑤 𝑖 𝑁 𝑖=1 ∗ 𝐸(𝑅 𝑖 )) (14)
Dimana,
𝑅 𝑝 : return portofolio E( 𝑅 𝑝 ) : expected return portofolio
N       : banyaknya saham dalam portofolio 𝑤 𝑖 : bobot dari saham ke-i 𝑅 𝑖 : return dari saham ke-i 𝐸(𝑅 𝑖 ) : expected return dari saham ke-i

## 2.5.6. Risiko Portofolio Menggunakan Single Index Model
Berdasarkan  rumus  varian  saham  tunggal  pada  persamaan  (11),  risiko  portofolio  pada single index model dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝜎 𝑝 2 = ( ∑ 𝑤 𝑖 𝑁 𝑖=1 * 𝛽 𝑖 ) 2 * 𝜎 𝑀 2 + ∑ (𝑤 𝑖 𝑁 𝑖=1 ∗ 𝜎 𝑒𝑖 ) 2 (15)
Atau dengan menggunakan karakteristik beta, risiko portofolio dapat juga dituliskan  sebagai:
𝜎 𝑝 2 = 𝛽 𝑝 2 * 𝜎 𝑀 2 + ∑ (𝑤 𝑖 𝑁 𝑖=1 ∗ 𝜎 𝑒𝑖 ) 2 (16)

## 2.6. Portofolio Optimal Menggunakan Single Index Model
Pemilihan  portofolio  membahas  tentang  permasalahan  bagaimana  mengalokasikan  modal agar  dapat  membawa  keuntungan  tertentu  dengan  risiko  terkecil.  Perhitungan  untuk  menentukan portofolio  optimal  akan  sangat  dimudahkan  jika  hanya  didasarkan  pada sebuah  angka  yang  dapat menentukan  apakah  suatu  saham  dapat  dimasukkan  ke  dalam  portofolio  optimal  tersebut.  Angka tersebut  adalah  rasio  antara  ekses return dengan  beta  ( excess  return  to  beta  ratio ).  Secara matematis rasio ini  dirumuskan sebagai berikut (Hartono, 2014):
ERB i = 𝐸(𝑅 𝑖 )−𝑅 𝐵𝑅 𝛽 𝑖 (17)
Dengan nilai 𝑅 𝐵𝑅 diperoleh dari:
𝑅 𝐵𝑅 = 𝑅𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠  𝑟𝑖𝑠𝑖𝑘𝑜 𝑛 (18)
Dimana,
ERB i : excess  return to beta saham ke-i 𝐸(𝑅 𝑖 ) : expected return saham ke-i 𝑅 𝐵𝑅 : return aset bebas risiko 𝛽 𝑖 : beta saham ke-i
n : banyaknya data
Untuk menentukan portofolio optimal diperlukan sebuah titik pembatas ( cut-off point ) yang digunakan  untuk  menentukan  batas  nilai  ERB  yang  dapat  dimasukkan  ke  dalam  portofolio. Besarnya nilai cut-off point dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut (Hartono, 2014):
1. Mengurutkan saham-saham berdasarkan  nilai  ERB  terbesar  ke nilai  ERB  terkecil.  Saham dengan nilai  ERB  terbesar merupakan kandidat untuk dimasukkan ke portofolio optimal.
2. Menghitung nilai  A i dan B i masing-masing saham ke-i,
A i = [𝐸(𝑅 𝑖 )−𝑅 𝐵𝑅 ] ∗ 𝛽 𝑖 𝜎 𝑒𝑖 2 (19)
B i = 𝛽 𝑖 2 𝜎 𝑒𝑖 2 (20)
Dengan 𝜎 𝑒𝑖 2 merupakan varian dari residual saham ke-i.
3. Menghitung nilai  C i
C i = 𝜎 𝑀 2 ∗ ∑ 𝐴 𝑗 𝑖 𝑗= 1 1+ 𝜎 𝑀 2 ∗ ∑ 𝐵 𝑗 𝑖 𝑗=1 (21)
Dengan 𝜎 𝑀 2 merupakan varian dari return IHSG.
4. Mencari  nilai cut-off point  dimana besarnya cut-off  point (C*)  adalah  nilai  C i dimana  nilai ERB  terakhir kali  masih lebih  besar dari nilai  C i .
5. Saham  yang  masuk  dalam  portofolio  optimal  adalah  saham  yang  memiliki  nilai  ERB  lebih besar atau sama dengan nilai  ERB  di titik C*.
6. Langkah  selanjutnya  adalah  menentukan  proporsi  (w i )  untuk  masing-masing  saham  yang masuk dalam portofolio optimal.
w i = 𝑍 𝑖 ∑ 𝑍 𝑗 𝑘 𝑗=1 (22)
dengan nilai 𝑍 𝑖 diperoleh  dari:
𝑍 𝑖 = 𝛽 𝑖 𝜎 𝑒𝑖 2 (ERB i – C*)
(23) Dimana, w i : proporsi saham ke-i k : jumlah  saham yang masuk dalam portoflio optimal 𝛽 𝑖 : beta saham ke-i 𝜎 𝑒𝑖 2
: varian dari residual saham ke-i ERB i : excess  return to Beta saham ke-i C* : nilai cut-off point

## 2.7. Value at Risk (VaR)
Menurut  Philip  Best  (1998) Value  at Risk atau  VaR  adalah  suatu  metode  pengukuran  risiko secara  statistik  yang  memperkirakan  kerugian  maksimum  yang  mungkin  terjadi  atas  suatu portofolio  pada  tingkat  kepercayaan  ( level  of  confidence )  tertentu.  VaR  dalam  penggunannya sebagai alat pengukur risiko, banyak menggunakan teknik statistik dalam perhitungannya. Ada tiga metode  utama  untuk  menghitung Value  at  Risk yaitu  metode  varian-kovarian,  metode  simulasi Monte  Carlo  dan  metode  simulasi  historis  ( historical  simulation ).  VaR  dengan historical simulation adalah  metode  yang mengesampingkan  asumsi return berdistribusi  nomal  maupun sifat linier  antara return portofolio terhadap return aset tunggalnya (Maruddani dan Purbowati, 2009).

## 2.7.1. Periode Waktu ( Holding Period )
Periode waktu dalam  perhitungan  VaR  sangat  penting.  Ini  disebabkan karena  risiko  harus dipantau  secara  terus  menerus  selama  melakukan  investasi.  Pemilihan  periode  waktu  saat berinvestasi bersifat subjektif dan tergantung dari jenis investasi yang dilakukan. Sebagai salah satu contoh,  untuk  investasi  di  bidang  keuangan,  periode  w aktu  yang  digunakan  harus  periode  yang bersifat harian karena dinamisnya pergerakan IHSG di  bidang keuangan.

## 2.7.2. Tingkat Kepercayaan
Tingkat  kepercayaan  dalam  perhitungan  VaR  bersifat  subjektif  dan  tergantung  pada penggunaan  VaR.  Tingkat  kepercayaan  dalam  VaR  merupakan  probabilitas  bahwa  nilai  VaR  tidak akan  melebihi  kerugian  maksimum.  Semakin  besar  tingkat  kepercayaan  yang  diambil,  semakin besar  juga  risiko  dan  dana  yang  dialokasikan  sebagai  modal  untuk menutupi  kerugian  (Maruddani dan Purbowati,2009).

## 2.7.3. Persentil ke-α
Pengertian  persentil  dalam  statistika  deskriptif  adalah  ukuran  penyebaran  yang  membagi urutan  data  menjadi  seratus  bagian  yang  sama.  Persentil  dalam  metode  VaR  ini  mencoba menjelaskan  ekspektasi  kerugian  investasi  yang  mungkin  akan  diperoleh  seorang  investor  pada taraf  α.  Penentuan  dimana  letak  persentil  ke-α  dari  data return yang  telah  diurutkan  harus ditentukan terlebih  dahulu dengan rumus berikut:
P α =  α ∗ 𝑛 (24)
2.7.4. Perhitungan Value at Risk dengan Metode Historical Simulation
Perhitungan  VaR  dengan  metode Historical  Simulation terbagi  menjadi  dua,  yaitu perhitungan untuk aset tunggal dan portofolio. Namun cara perhitungannya adalah sama, yaitu data observasi return keseluruhan  yang  diperoleh,  baik  itu  aset  tunggal  ataupun  portofolio,  diurutkan mulai  dari  kerugian  terbesar  sampai  dengan  keuntungan  terbesar,  kemudian  dicari  nilai  persentil ke-α  dari  data return yang  telah  diurutkan.  Untuk  lebih  jelasnya,  jika  dimiliki  modal  awal  sebesar V 0 dan  tingkat  kepercayaan  sebesar  α,  maka  nilai  VaR  untuk  periode  waktu  selama  t  hari  dapat diperoleh dari rumus berikut.
VaR =  −V 0 ∗ P α ∗ √T (25)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Statistika Deskriptif
Pada  penelitian  ini,  data  yang  digunakan  adalah  data  9  saham  yang  tergabung  dalam kelompok saham JII pada periode Juni – November 2017. Saham tersebut adalah sebagai berikut: Tabel 1. Statistika Deskriptif Harga 9 Saham yang Tergabung dalam Kelompok Saham JII Juni -
November 2017 No Kode Saham Minimum Maksimum Rata-rata Varian 1  CTRA 1090 1430 1239,17 8811,376 2  EXCL 2830 3410 3089,11 17907,07 3  ICBP 8100 9100 8493,06 49761,63 4  KLBF 1460 1615 1528,44 1711,04 5  PPRO 224 346 274,22 1223,39 6  SMGR 8650 10150 9200,83 100638,3 7  TPIA 22200 28425 25089,72 2836473 8  UNTR 22300 29150 25877,78 3185989 9  WIKA 2180 2530 2372,11 12551,67
Berdasarkan  tabel 1,  dapat  dilihat  bahwa saham  yang  memiliki  harga  saham  paling  rendah adalah  saham  PPRO,  sedangkan  saham  yang  memiliki  harga  saham  tertinggi  adalah  saham UNTR, dan saham UNTR memiliki  nilai  rata-rata dan varian paling  besar.
3.2. Uji  Asumsi Single Index Model saham-saham  yang  memenuhi  dan  tidak  memenuhi  asumsi-asumsi single  index  model adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Hasil  Pengujian Setiap Saham pada Asumsi-asumsi Single Index Model No Saham Normalitas Korelasi Antar Residual Saham Korelasi Residual Saham dengan Return IHSG 1 CTRA Memenuhi Tidak memenuhi Memenuhi 2 EXCL Memenuhi Tidak memenuhi Memenuhi 3 ICBP Memenuhi Tidak memenuhi Memenuhi 4 KLBF Memenuhi Memenuhi Memenuhi 5 PPRO Tidak memenuhi Tidak memenuhi Memenuhi 6 SMGR Memenuhi Memenuhi Memenuhi 7 TPIA Tidak memenuhi Tidak memenuhi Memenuhi 8 UNTR Memenuhi Memenuhi Memenuhi 9 WIKA Memenuhi Tidak memenuhi Memenuhi
Berdasarkan  tabel  2,  dapat  diketahui  bahwa  yang  memenuhi  ketiga  asumsi single  index model adalah saham KLBF,  SMGR, dan UNTR.

## 3.3. Menentukan Portofolio Optimal
Untuk menentukan portofolio optimal diperlukan sebuah titik pembatas ( cut-off point ) yang digunakan  untuk  menentukan  batas  nilai  ERB  yang  dapat  dimasukkan  ke  dalam  portofolio. Langkah dalam menentukan besarnya cut-off point adalah sebagai berikut:
1. Mengurutkan  nilai  ERB  dari  masing-masing  saham  mulai  dari  yang  terbesar  ke  nilai ERB  saham  terkecil.  Saham-saham  dengan  nilai  ERB  terbesar  merupakan  kandidat untuk dimasukkan ke dalam portofolio optimal.
2. Menghitung  nilai  A i dan  B i masing-masing  saham.  Perhitungan  nilai  A i dan  B i ini bertujuan  untuk  mempermudah  dalam  perhitungan  nilai  dari  C i ,  dimana  nilai  C i ini nantinya  akan  digunakan  untuk  menentukan  nilai  C*  ( Cut-off  point ).  Rumus  untuk menghitung nilai  A i dan B i dapat dilihat  pada persamaan 19 dan persamaan 20. Perhitungan nilai  A i untuk saham SMGR adalah sebagai berikut:
A 6 = [𝐸(𝑅 6 )−𝑅 𝐵𝑅 ] ∗ 𝛽 6 𝜎 𝑒6 2 A 6 = [0,0013 − 0,00052778] ∗ 0,8639 0 ,000274 = 2,5019
Sedangkan perhitungan nilai  Bi  untuk saham SMGR adalah sebagai berikut:
B 6 = 𝛽 6 2 𝜎 𝑒6 2 B 6 = (0,8639) 2 0,000274 = 2728
Keseluruhan  hasil  perhitungan nilai  Ai  dan  Bi  pada software matlab setelah  nilai  ERB diurutkan dari yang terbesar ke nilai  ERB  terkecil adalah  sebagai berikut:
Tabel 3. Hasil  Perhitungan A i dan B i No Saham ERB 𝜎 𝑒𝑖 2 A i B i 1 SMGR 0,00091695 0,000274 2,5019 2728 2 UNTR 0,00068937 0,000456 6,1405 8908 3 KLBF 0,00024954 0,000173 1,3303 5331 3. Menentukan nilai C i berdasarkan persamaan 21. Perhitungan nilai C i dilakukan dengan bantuan software matlab, nilai  varian return IHSG sebesar 0,000031684. Perhitungan nilai  C i untuk saham UNTR adalah
C 2 = 𝜎 𝑀 2 ∗ ∑ 𝐴 𝑗 2 𝑗=1 1+ 𝜎 𝑀 2 ∗ ∑ 𝐵 𝑗 2 𝑗= 1
C 2 = 0,000031684  ∗ (2,5019+6,1405) 1+0,000031684  ∗ (2728+8908) =  0,0002001
Keseluruhan  nilai  C i masing-masing  saham  setelah  nilai  ERB  diurutkan  dari  yang terbesar ke nilai  ERB  terkecil adalah sebagai berikut:
Tabel 4. Hasil Perhitungan C i No Saham ERB C i 1 SMGR 0,00091695 0,0000730 2 UNTR 0,00068937 0,0002001 3 KLBF 0,00024954 0,0002055 4. Menentukan  nilai  C*  ( Cut-off  point )  berdasarkan  nilai  C i dari  masing-masing  saham. Nilai  C* diperoleh dengan mencari nilai  C i dimana nilai ERB terakhir kali masih lebih besar  dari  nilai  C i .  Berdasarkan  tabel  4,  diperoleh  nilai  C*  sebesar  0,0002055,  yaitu nilai  C  dari  saham  KLBF.  Nilai  C*  ini  selanjutnya  digunakan  untuk  pertimbangan dalam memilih  saham yang masuk ke dalam portofolio optimal.
5. Menentukan  saham  yang  masuk dalam  portofolio  optimal.  Saham  yang  masuk  dalam portofolio  optimal  adalah  saham  yang  memiliki  nilai  ERB  lebih  besar  atau  sama dengan  nilai  ERB  di  titik  C*.  Daftar  saham  yang  masuk  dalam  portofolio  optimal adalah sebagai berikut:
Tabel 5. Saham yang Masuk dalam Portofolio Optimal No Saham ERB C* 1 SMGR 0,00091695 0,0002055 2 UNTR 0,00068937 0,0002055 3 KLBF 0,00024954 0,0002055

## 3.4. Menentukan Bobot Saham yang Masuk dalam Portofolio Optimal
Pembobotan  saham  berguna  untuk  mengetahui  proporsi  setiap  saham  dalam  portofolio.
Besarnya  bobot  setiap  saham  dapat  diketahui  dengan  menghitung  nilai  Z i dan  nilai  w i yang dapat  dihitung  menggunakan  rumus  pada  persamaan  23  dan  persamaan  22.  Hasil  perhitungan bobot atau proporsi saham yang masuk dalam portofolio optimal adalah  sebagai berikut:
Tabel 6. Bobot Saham yang Masuk dalam Portofolio Optimal
No Saham Z i w i 1 SMGR 2,2469 0,4854 2 UNTR 2,1378 0,4618 3 KLBF 0,2442 0,0528
Berdasarkan  tabel  6,  dapat  diketahui  bahwa  saham  yang  memiliki  bobot  tertinggi  pada portofolio  optimal  adalah  saham  SMGR dengan nilai  w i sebesar  0,4854  dan saham yang memiliki bobot terendah adalah saham KLBF  dengan nilai  w i sebesar 0,0528.

## 3.5. Menghitung Value at Risk Historical Simulation
3.5.1. Value at Risk Portofolio Optimal
Setelah  mengetahui  saham-saham  apa  saja  yang  masuk  dalam  portofolio  optimal, selanjutnya  adalah  menghitung value  at  risk (VaR)  yang  mungkin  dialami  oleh investor .  Pada penelitian  ini,  perhitungan  VaR  yang  digunakan  adalah historical  simulation .  VaR  dengan historical  simulation adalah  metode  yang  mengesampingkan  asumsi return berdistribusi  nomal maupun sifat linier  antara return portofolio terhadap return aset tunggalnya.
Modal  awal  pada penelitian  ini  sebesar  Rp  100.000.000,  dan  nilai  persentil  portofolio  ( 𝑃 α ) pada α = 5% yang diperoleh dari output matlab adalah sebesar -0,0209 serta holding period selama 1 hari, maka besarnya VaR portofolio optimal  adalah:
VaR =  −V 0 ∗ 𝑃 𝛼 ∗  √T VaR = − Rp 100.000.000  ∗ −0,0209  ∗  √1 = Rp 2.090.283
Nilai  VaR  sebesar  Rp  2.090.283  berarti  bahwa  dengan modal  Rp  100.000.000,  portofolio optimal  yang  terbentuk  berdasarkan single  index  model diperkirakan  akan  mengalami  kerugian sebesar Rp 2.090.283 dengan holding period selama 1 hari.

## 3.5.2. Value at Risk Masing-masing Saham pada Portofolio Optimal
Perhitungan  VaR  untuk  masing-masing saham  ini  tidak  jauh  berbeda  dengan  perhitungan VaR  pada  portofolio  optimal.  Nilai  persentil  masing-masing  saham  yang  masuk  ke  dalam portofolio optimal  adalah sebagai berikut:
Tabel 7. Nilai  Persentil Tiap Saham pada Portofolio Optimal
No Saham Persentil 1 SMGR -0,0226 2 UNTR -0,0340 3 KLBF -0,0256
Nilai  persentil  ini  akan  digunakan  untuk  melakukan  perhitungan  VaR  untuk  masing- masing  saham  dengan  modal  awal  sebesar  Rp100.000.000  dan holding  period 1  hari.  Nilai  VaR untuk masing-masing saham yang masuk ke dalam portofolio optimal  ini  adalah sebagai berikut:
Tabel 8. Value at Risk Tiap Saham pada Portofolio Optimal No Saham Value  at Risk 1 SMGR Rp 2.258.600 2 UNTR Rp 3.403.000 3 KLBF Rp 2.564.200
Berdasarkan tabel 8, dapat diketahui bahwa saham UNTR memiliki nilai VaR paling tinggi sebesar  Rp  3.403.000,  diikuti  saham  KLBF  dengan  nilai  VaR sebesar  Rp  2.564.200,  dan  saham SMGR dengan nilai  VaR  terendah yaitu sebesar Rp 2.258.600
3.6 GUI  Matlab  untuk  Perhitungan  Value  at  Risk  Historical  Simulation  pada  Portofolio Optimal Single Index Model
Komputasi  pemrograman historical  simulation pada  portofolio  optimal single  index  model pada software Matlab  juga  dilakukan  pada  penelitian  ini.  Komputasi  ini  dikembangkan  menjadi sebuah  program  GUI  Matlab. Software Matlab  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yaitu  Matlab R2010a. Pemaparan tampilan GUI Matlab pada penelitian  ini  adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Tampilan GUI Matlab
Pada  Gambar  1  terdapat  beberapa  fungsi  seperti  input  data,  lihat  data,  uji  asumsi,  hitung dan  hitung value  at  risk .  Fungsi-fungsi  ini  berguna  untuk  memproses  perhitungan  optimalisasi portofolio single index model dan value at risk historical simulation . 1.
2. 5.     KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  telah  dilakukan,dapat  diperoleh  kesimpulan  sebagai berikut:
1. Hasil analisis single index model , terdapat 3 saham yang terpilih untuk masuk ke dalam portofolio optimal  yaitu saham SMGR, UNTR, dan KLBF.
2. Bobot  untuk  masing-masing  saham  pada  portofolio  optimal  yang  telah  terbentuk tersebut adalah sebesar 48,54% untuk saham SMGR, 46,18% untuk saham UNTR, dan 5,28% untuk saham KLBF.
3. VaR untuk  portofolio  optimal  menggunakan  metode historical  simulation dengan modal  awal  sebesar  Rp  100.000.000  dengan  tingkat  kepercayaan  95%  dan holding period selama 1 hari adalah sebesar Rp 2.090.283.
4. VaR untuk masing-masing sahamnya  dengan modal,  tingkat  kepercayaan,  dan holding period yang sama dengan portofolio optimal adalah sebesar Rp 2.258.600 untuk saham SMGR, Rp 3.403.000 untuk saham UNTR, dan Rp 2.564.200 untuk saham KLBF.

## DAFTAR  PUSTAKA
Addien,  F.F.,  Rusgiono,  A.,  dan  Prahutama,  A.  2016. Penentuan  Portofolio  Optimal  dengan Metode  Indeks  Tunggal  Menggunakan  GUI  Matlab .  Skripsi:  Departemen  Statistika Universitas Diponegoro.
Anoraga, P., dan Pakarti, P. 2001. Pengantar Pasar Modal. Edisi Revisi. Jakarta: Rineka Cipta. Best, P.W. 1998. Implementing Value at Risk . West Sussex: John Wiley & Sons Inc. Darmadji, T., dan Fakhruddin, H.M. 2001. Pasar Modal di Indonesia . Jakarta: Salemba Empat Draper, N., and Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama. Hartono,  J.  2014. Teori  Portofolio  dan  Manajemen  Investasi .  Edisi  Kesembilan.  Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta
Husnan,  S. 1998. Dasar-dasar  Teori  Portofolio  dan Analisis  Sekuritas .  Edisi  Kedua.  Yogyakarta: UPP-AMP YKPN.
Jorion, P. 2001. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. Second Edition . Boston: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Maruddani,  D.A.I.,  dan  Purbowati,  A.  2009. Pengukuran  Value  at  Risk  pada  Aset  Tunggal  dan Portofolio  dengan  Simulasi  Monte  Carlo . Jurnal  Media  Statistika .  Vol.  2(2):  93-104. Semarang: Universitas Diponegoro.
Oktafiani,  H.E.,  Maruddani,  D.A.I.,  dan  Suparti.  2017. Penerapan  Model  Indeks  Tunggal  untuk Optimalisasi  Portofolio  dan  Pengukuran  Value  at  Risk  dengan  Variance  Covariance . Jurnal Gaussian Vol. 6 No. 1. Semarang: Universitas Diponegoro.
Sharpe, W., “A Simplified Model for Portfolio Analysis,” Management Science 9  (January  1963), hal.277-293.