## PERANCANGAN METODE KONTROL LINEAR QUADRATIC INTEGRAL TRACKING (LQIT)  UNTUK PENGENDALIAN POSISI SISTEM SUSPENSI SEDERHANA (MASS-SPRING-DAMPER)

## Hanum Arrosida* dan Albert Sudaryanto
Program Studi Teknik Komputer Kontrol, Jurusan Teknik, Politeknik Negeri Madiun *Corresponding author, e-mail: hanumarrosida@pnm.ac.id
Abstrak —  Kenyamanan  diperlukan  dalam  berkendara.  Salah  satu  caranya  adalah  dengan  cara meminimalisir  efek  guncangan  terhadap  penumpang/kendaraan.  Sistem  suspensi  dalam  bahasan  kali  ini adalah  model  yang  disederhanakan.  Objektive  kontrolnya  adalah  dapat  mengontrol  kendaraan  melalui sistem suspensinya sedemikian rupa sehingga berada pada posisi yang diinginkan sekalipun terdapat jalan yang tidak rata yang dapat dianggap sebagai gangguan atau tambahan gaya pada sistem. Sistem suspensi sederhana  terdiri  dari  massa  (mass)-pegas(spring)-peredam  (damper).  Metode  kontrol  linear  quadratic integral  tracking  di  rancang  untuk  mengatasi  gangguan  pada  sistem  suspensi  sederhana,  metode  ini merupakan  pengembangan  dari  metode  kontrol  linear  quadratic  regulator  (LQR)  dengan  penambahan kontroler  integral  (Integral  Control)  untuk  mengeliminasi  eror  steady  state  saat  tracking  berlangsung. Berdasarkan hasil pengujian secara simulasi, diperoleh data bahwa metode kontrol LQIT yang diterapkan mampu  menjadikan  tracking  posisi  pada  sistem  memiliki  error  steady  state  minimal  dengan  kriteria  3% dengan rise time 2 detik dan steady state time 3 detik, sehingga ketika terjadi gangguan yang menyebabkan pergeseran/perubahan  posisi  pada  sistem  suspensi,  kontroler  mampu  mengendalikan  sistem  agar  segera kembali pada posisi yang ditentukan sehingga gangguan/guncangan yang terjadi mampu diminimalisir.
Kata Kunci : Suspensi sederhana, LQIT, dan Tracking posisi.
Abstract —  Comfortable  is  needed  in  driving.  One  of  the  way  is  minimize  the  effects  of  shocks  on passengers/vehicles. The suspension system in this discussion is a simplified model. The objective control is to be able to control the vehicle through its suspension system so that it looks at the desired position there is an uneven path which can be regarded as an  disturbance or additional force on the system. Simplified suspension  system  consists  of  mass  -spring-damper.  The  linear  quadratic  integral  tracking  method  is designed to overcome the disturbance of simplified suspension systems, this method is the development of the linear quadratic regulator method (LQR) with Integral Control to eliminate steady state errors during tracking. Based on simulation result, data obtained by LQIT control method that implements being able to track the position on the system and minimize steady state error at 3% with rising time 2 second and steady state time 3 second, so that if there is a disturbance that causes position changes on the suspension system, the controller is able to control the system to immediately return to desired position, So that interference / shock can be minimized.
Keywords : Simplified suspension, LQIT  and Positon Tracking
Copyright © 2017 JNTE. All rights reserved

## 1. PENDAHULUAN
Penerapan  teori  kontrol  optimal  untuk pengaturan  sistem  linear  banyak  digunakan dalam  dunia  industri  dan  dunia  pendidikan. Penggunaan  kontrol  optimal  dengan  cara meminimalkan  fungsi  energi  yang  digunakan, sehingga  akan  diperoleh  indeks  performansi optimal [1].
Sistem  suspensi  pada  kendaraan  digunakan untuk meredam efek guncangan/gangguan pada kondisi jalan yang tidak rata. Pada penelitian [2]
jenis  suspensi  yang  digunakan  adalah  Suspensi aktif  dengan  komponen  massa  dan  damper (peredam).  Metode  yang  digunakan  adalah Linear  Quadratic  Regulator (LQR).  Penerapan metode LQR pada penelitian tersebut menjadikan  sistem  suspensi Active  Mass Damper mampu  kembali  ke  posisi  yang diharapkan  saat  terjadi  perubahan  posisi suspensi akibat adanya gangguan., namun masih terdapat error steady state yang belum diatasi.
Permasalahan error steady state dapat diatasi dengan menambahkan kontroler integral.
Kontroler integral bekerja dengan cara menambahkan  error  integral  output  sebagai tambahan variable state [3].
Tujuan  kontrol  pada  penelitian  ini  adalah dapat  mengontrol  kendaraan  melalui  sistem suspensinya  sedemikian  rupa  sehingga  berada pada  posisi  yang  diinginkan  dengan  nilai  error steady  state  kecil  saat  terjadi  guncangan  atau gangguan.  Kontroler  yang  digunakan  adalah linear quadratic integral tracking (LQIT) dimana kontroler ini merupakan modifikasi dari struktur kontroler  linear  quadratic  tracking  (LQT) dengan penambahan kontroler integral.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Linear Quadratic Tracking (LQT)
Linear  Quadratic  Regulator  adalah  suatu kontrol  optimal  pada  sistem  linear  dengan dengan  kriteria  kuadratik  untuk  menyelesaikan permasalahan  regulator.  Sedangkan  Linear Quadratic  Tracking  merupakan  metode  kontrol optimal  pada  sistem  linear  dengan  kriteria kuadratik  untuk  menyelesaikan  permasalahan tracking  [4].  Bentuk  umum  dari  persamaan keadaan adalah sebagai berikut:
Bu Ax x    (1) Cx y  (2)
dengan,
1 * n x : Keadaan (state) sistem
n m u * : State input
1 * 1 y : State output
A : Matriks sistem
B : Matriks sistem
C : Matriks output
Dengan  meminimalisasi  energy  (cost function/quadratic  function)  melalui  indeks performansi dalam interval [t_0, ∞ ] adalah:
      0 2 1 t T T dt Ru u Qe e J (3)
dengan,
0 t :  waktu awal
 : waktu akhir
Q :  matriks semidefinit positif
R :  matriks definit positif
Persoalan  regulator  dan  tracking  dapat diselesaikan  dengan  menyelesaikan  Persamaan Riccati sebagai berikut:
0 1      Q P B PBR PA P A T T (4)
Gambar 1. Blok Diagram Kontrol Optimal
Untuk  desain  kontroler  LQR  dan  LQT,  di mana  pemilihan  matriks  bobot  Q  dan  R berpedoman pada:
Semakin  besar  harga  Q,  maka  akan  semakin dekat  dengan  titik  minimumnya,  dan  Semakin besar  harga  R,  maka  semakin  kecil/minimum energy yang digunakan. Gambar 1 menunjukkan diagram  blok  dari  kontrol  optimal.  Diusahakan harga  dari  penyelesaian  Persamaan  Riccati merupakan matriks yang bernilai kecil, yaitu:
P B R K T 1   (5) Kx u   (6)

## 3. METODOLOGI

## 3.1. Pemodelan Sistem
Model  suspensi  kendaraan  pada  dasarnya adalah  sistem  mass-spring-damper  dengan kendaraan  yang  berfungsi  sebagai  massa,  coil suspensi  sebagai  pegas,  dan  shock  absorber sebagai damper yang diasumsikan sistem linear, ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Sketsa Sistem

## Persamaan Gaya:
Dengan  mengacu  pada  hukum  Newton  II, menyatakan  bahwa  jika  resultan  gaya  yang bekerja  pada  sebuah  benda  tidak  sama  dengan nol maka benda akan mengalami percepatan [5],
a m F    a m ky bv u     ky bu ma u    (7)
Dimana u adalah  gaya  ke  bawah/sinyal kontrol  (N), m adalah  massa  (kg), a adalah percepatan  (m/s 2 ), b adalah  konstanta  damper (Ns/m), k adalah  konstanta  spring  (N/m),  dan y adalah  jarak  posisi  perpindahan  massa  dari titik awal sampai akhir (m) atau dapat dikatakan output.

## Persamaan Differensial:
Telah  diketahui  sebelumnya  bahwa y merupakan  posisi  dan u adalah  sinyal  kontrol maka  dapat  dikatakan  bahwa x  merupakan kecepatan  dan x   merupakan  percepatan sehingga persamaan (7) di atas menjadi:
ky y b y m u      

## Persamaan State Space:
Agar  persamaan  differensial  mudah  di hitung  maka  persamaan  tersebut  (7)  dijadikan persamaan  orde  1  dalam  bentuk  state  space. Berikut adalah variabel state yang digunakan:
Asumsikan y x y x
   2 1 sehingga  nilai    adalah
turunan pertama dari 2 x  2 x y    
Sehingga apabila persamaan differensial di rubah menjadi persamaan state maka:
m u x m b x m k x kx bx u x m kx bx x m u ky y b y m u    
         2 1 2 1 2 2 1 2 2      
Secara  lengkap  persamaan  state  spacenya adalah sebagai berikut:
2 1 x x   (8)
m u x m b x m k x
    2 1 2  (9)
Persamaan Outputnya adalah:
1 x y 

## 3.2. Pemodelan Kontroler LQIT
Kontroler  LQR  didesain  unuk  membuat state  menuju  ke  zero.  Hal  ini  membuat terbatasnya  kasus  tracking,  di  mana  keluaran sistim  dipaksa  sesuai  dengan  nilai  yang diinginkan.
Sistem  beserta  keluarannya  mempunyai persamaan
Bu Ax x    Cx y  (10)
Ketika  reference  r  merupakan  kombinasi dari 𝑥 ̅ dan 𝑢 ̅ maka nilai 𝑦 = 𝑟 Sehingga Matrix A harus invertible (non-zero-eigen values).
Pendekatan intuitive untuk membuat output y mengikuti referensi  r yang  menggantikan persamaan  state  pada  LQR  Menjadi  persamaan state baru
u B A x u B x A x 1 0         (11)     r B CA u r u B CA u B A C y r x C y 1 1 1 1              (12)
Didefinisikan
u u u dan x x x     ~ ~ (13)
Sehingga didapatkan state
u B x A x ~ ~ ~    (14)

## Dengan index performasi
` (15)
Optimal Feedback Law
         u u u u u u x K u ~ ~ sehingga ~ ~     x x K u u x K u u u u u
        ~ ~ (16)
Dimana nilai K adalah
(17)
Dan S didapatkan dari Solusi Riccati
(18)       0 0 , 0 , ~ ~ ~ ~ R dan Q u R u x Q x J T T S B R K T 1   Q S B SBR SA S A T T      1 0
Dengan  memasukkan  nilai 𝑢 ̅  dan 𝑥 ̅  maka didapatkan hasil
                            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dimana                                                    B CA I B KA F Fr Kx u r B CA I B KA Kx u r B CA r B CA B KA Kx u r B CA r B CA B KA Kx u r B CA u B KA Kx u u B A x K r B CA u x x K u u
Penambahan  aksi  Integral  pada  control klasik berguna untuk mengeliminasi eror steady state saat tracking berlangsung. Kontrol integral dapat dibuat pada permasalahan linear quadratic (LQ) dengan menambahkan error integral output sebagai  tambahan  variable  state.  Eror  Integral output  didapatkan  dari  penurunan  error  antara output dan referensi.
Cx r w y r w    

##  

## Kontrol  Optimal  Tracking  dengan  Aksi Integral
Didefinisikan Augmented state error
u B x A x ~ ~ ~    Cx r w   
Sehingga dihasilkan state matrix
 u B w x C A w x B A ~ 0 ~ 0 0 ~ ˆ ˆ                                 

## Dengan index performasi
      0 0 , 0 , ~ ~ ˆ ˆ R dan Q u R u x Q x J T T
Sinyal Kontrol Optimal
x K u ˆ ~   dengan   w x T K K S B R K    ˆ 1
Dan solusi Riccati
Q S B R B S A S S A T T      ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1   w K x K u u w x K K u u x K u u u u u w x w x                ~ ~ ˆ ~ Karena x x x   ~ Maka   w K x x K u u w x     Diketahui sebelumnya bahwa u B A x 1   

## Sehingga sinyal Kontrolnya adalah
                    r K w K x K u r B CA I B A K w K x K u w K r B CA B A K x K r B CA u w K r B CA B A x K r B CA u r w x x w x w x x w x                                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

## 3.3. Perancangan Simulasi Kontroler Linear Quadratic Integral Tracking
Struktur  kontroler  linear  quadratic  integral tracking  (LQIT)  terdiri  dari  kontroler  linear quadratic tracking dengan penambahan kontroler integral   untuk  meminimalisir  nilai error steady state,  ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3.  Blok  Diagram  Struktur  Kontroler

## LQIT
3.4. Pembuatan Simulasi Kontroler Linear Quadratic Integral Tracking  di Matlab
Kontroler  LQIT  yang  diterapkan  pada sistem,  disimulasikan  melalui  software  matlab menggunakan  simulink  dan  program  melalui m.file. Gambar 4 menunjukkan desain kontroler sistem menggunakan blok simulink
   Fr Kx u r B CA I B KA Kx u           1 1 1        w x x ~ ˆ   r B CA u 1 1    

## Gambar 4. Blok Diagram Struktur Kontroler LQIT
Program pada matlab %Parameter Sistem MSD
m=2; %massa k=8; %Spring b=6; %Damp
%Matrix Pada state A=[0 1;-k/m -b/m]; B=[0;1/m]; C=[1 0]; %Bobot Q=[1 0;0 1]; R=10; [S,eig,G]  =  care(A,B,Q)  %Riccati  0=A'S+SA-
SB(inv R)B'S+Q Kx=inv(R)*B'*S %Fbck Gain Kx
Kr=(Kx*(inv(A))*B-
eye(1))*(inv(C*(inv(A))*B)) Ahat=[0 1 0;-k/m -b/m 0;1 0 0] Bhat=[0;1/m;0] %Bobot hat
Qhat=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; Rhat=6;
[Shat,eighat,Ghat] =
care(Ahat,Bhat,Qhat) %Riccati 0=A'S+SA- SB(inv R)B'S+Q
Khat=inv(Rhat)*Bhat'*Shat
Kw=Khat(:,3)

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Hasil Tracking Respon Keluaran dengan Sinyal Referensi
Pengujian  kontroler  yang  diterapkan  pada sistem  dilakukan  pada  kondisi  yang  berbeda, dengan  asumsi  gangguan/guncangan  pada
sistem  suspensi  berubah-ubah.  Pada  Gambar  5 garis  biru  menyatakan  nilai  referensi  yang ditentukan,  sedangkan  garis  warna  merah menunjukkan  respon  sistem  dengan  kontroler LQIT.
Berdasarkan hasil pengujian diketahui bahwa sistem  dengan  kontroler  LQIT  mampu  tracking posisi  sesuai  dengan  referensi  yang  ditentukan dengan waktu yang cepat yaitu rise time 2 detik dan  waktu  untuk  mencapai  posisi  steady  state adalah  3  detik.  Pada  respon  transien  sistem diketahui  bahwa  nilai  error  steady  state  adalah 3%,  nilai  ini  menunjukkan  kondisi  yang  baik dengan  rata-rata  error  steady  state  3% mengindikasikan  bahwa  saat  terjadi  guncangan pada  kendaran  yang  menyebabkan  perubahan posisi  pada  sistem  suspensi,  kontroler  yang diterapkan  mampu  membawa  sistem  suspensi untuk  tracking  posisi  secara  tepat  sehingga gangguan/guncangan  yang  terjadi  mampu diredam dengan baik.
Gambar 5.  Hasil  Tracking  Respon  Keluaran dengan Sinyal Referensi

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pengujian  secara  simulasi dapat  disimpulkan  bahwa  kontroler  Linear
Quadratic  Integral  Tracking  (LQIT)  yang diterapkan pada sistem suspensi sederhana yang terdiri dari massa (mass)-pegas(spring)-peredam (damper) mampu mengatasi adanya gangguan/guncangan  dengan  respon  tracking yang sesuai dengan referensi dengan waktu yang cepat  yaitu  rise  time 2  detik  dan  waktu  untuk mencapai posisi steady state adalah 3 detik serta memiliki nilai rata-rata error steady state 3%.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Gamayanti, Nurlita. "Diktat Kuliah Dasar
Sistem  Pengaturan."  Teknik  Elektro Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[2] Jalili-Kharaajoo, Mahdi, et al.
"Application of linear quadratic regulator
(LQR)  in  displacement  control  of  an active  mass  damper."  IEEE  Conference on  Control  Applications.  Vol.  30.  No.  8. 2003.
[3] Triwiyatno,  Aris,  et  al.  "Engine  Torque Control  of  SI  Engine  using  Linear
Quadratic  Integral  Tracking  (LQIT) Optimal Control." IPTEK The Journal for
Technology and Science 22.4 (2011).
[4] Arrosida,  Hanum.  "Perancangan  Metode Kontrol LQR (Linear Quadratic Regulator) Sebagai Solusi Optimal Pengendalian Gerak Quadrotor." Seminar MASTER 2016. Vol. 1. No. 1. 2016.
[5] Ogata,  K. Modern  Control  Engineering , 4 th edition,  Prentice-Hall,  New  Jersey (2002).

## Biodata Penulis
Hanum  Arrosida, Dosen  di  Politeknik  Negeri Madiun,  mengajar  pada  Program  Studi  Teknik Komputer  Kontrol  di  Jurusan  Teknik.  Dosen muda  ini  lulus  D4  Teknik  Elektronika  di Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) pada  tahun  2013,  pada  tahun  yang  sama melanjutkan  studi  Magister  S2  Teknik  Sistem Pengaturan  di  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember  (ITS)  dan  berhasil  menyelesaikan studi S2 pada Tahun 2015.
Albert Sudaryanto, Dosen di Politeknik Negeri Madiun,  mengajar  pada  Program  Studi  Teknik Komputer Kontrol di Jurusan Teknik. Lulus D4 Teknik  Elektronika  di  Politeknik  Elektronika Negeri Surabaya (PENS) pada tahun 2013, dan melanjutkan  studi  Magister  S2  Teknik  Sistem Pengaturan  di  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember (ITS) pada tahun 2015.