## REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL ADJUSTED

## Novita Eka Chandra
Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan novitaekachandra@gmail.com

## Sri Haryatmi dan Zulaela

## Jurusan Matematika FMIPA UGM
ABSTRACT. Nadaraya  Watson's  kernel  adjusted  regression  estimator  is  an  estimator whose  kernel  is taken  from  the  family  of scale-location  associated  with the  classical  kernel density estimator.  Based on these estimator, it can be obtained optimal bandwith and scale parameter.  This  estimator  gives  a  better  estimation  results  compared  with  Naradaya Watson's classical kernel regression estimator. This is proven by the small grade MSE which is given by this estimator.
Keywords : estimator, Nadaraya Watson kernel, location-scale family .
ABSTRAK. Estimator regresi kernel Nadaraya Watson adjusted merupakan estimator yang kernelnya  diambil  dari  keluarga  skala-lokasi  yang  berkaitan  dengan  estimator  densitas kernel klasik. Berdasarkan estimator tersebut dapat diperoleh nilai bandwidth dan parameter skala  yang  optimal.  Estimator  ini  memberikan  hasil  estimasi  yang  lebih  baik  dibandingkan dengan estimator regresi kernel Nadaraya Watson klasik. Hal ini terlihat berdasarkan nilai MSE yang diberikan estimator ini lebih kecil.
Kata Kunci : estimator, kernel Nadaraya Watson, keluarga skala-lokasi.

## 1. PENDAHULUAN
Hubungan fungsional antara variabel respon dan variabel prediktor dinyatakan ke dalam bentuk model regresi. Pada model regresi terdapat suatu fungsi yang disebut fungsi  regresi.  Untuk  mengestimasi  fungsi  regresi  yang  belum  diketahui  bentuknya digunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik.  Estimasi  fungsi  regresi  nonparametrik menggunakan  metode smoothing tertentu.  Salah  satunya  dengan  estimator  kernel Nadaraya Watson.
Pada  regresi  nonparametrik  kernel  klasik,  pemilihan bandwidth merupakan masalah utama dari estimasi kernel. Sebaliknya, pemilihan kernel tidak memberikan
JMP : Volume 7 Nomor 1, Juni 2015, hal. 1 - 10
pengaruh  yang  nyata  dari  suatu  estimasi.  Berdasarkan  hal  tersebut,  muncullah  suatu gagasan  baru  yaitu  estimasinya  tidak  difokuskan  pada bandwidth saja.  Akan  tetapi, kernel memiliki peran yang jauh lebih besar dari biasanya. Kernel akan diambil dari keluarga  skala-lokasi  yang  berkaitan  dengan  estimator  densitas  kernel  klasik.
Estimasi  ini  dikenal  dengan  estimasi  densitas  kernel adjusted yang  telah  diper\- kenalkan oleh Srihera dan Stute (2011). Selanjutnya, estimasi tersebut diperluas oleh Eichner  dan  Stute  (2012)  dalam  kasus  regresi,  yang  kemudian  disebut  regresi nonparametrik kernel adjusted .
Ukuran  kebaikan  estimator  dapat  dilihat  berdasarkan  tingkat  kesalahannya.
Semakin  kecil  tingkat  kesalahannya  semakin  baik  estimasinya.  Ukuran  kesalahan tersebut  dapat  dilihat  dari  MSE  ( Mean  Square  Error ).  Pada  penelitian  ini  akan dibandingkan kinerja dari  estimator kernel  Nadaraya-Watson adjusted dan estimator kernel  Nadaraya  Watson  klasik  yang  dilihat  berdasarkan  nilai  MSE  masing-masing estimator.

## 2. ESTIMATOR DENSITAS KERNEL ADJUSTED
Menurut Srihera dan Stute (2011) dalam tulisannya, diambil fungsi kernel * K yang  berasal  dari  keluarga  skala-lokasi  yang  berkaitan  dengan  estimator  densitas kernel klasik, yaitu
    * ˆ h K x f x      (1)
dengan   dan 0   merupakan parameter lokasi dan skala.
Berdasarkan  definisi  kernel  yang  diambil  pada  Persamaan  1,  estimator densitas kernel adjusted adalah
  2 2 2 1 1 ˆ n n i j hA j i x X h hX f x K n h h                 
(2)
2                                                                                                                 Novita Eka Candra, dkk
Teorema  2.1. Diberikan  bahwa K merupakan  fungsi  simetris  dan f terdiferensialkan dua kali secara kontinu pada x , serta   2 E X   . Selanjutnya, jika
n   dan 0 h  sedemikian hingga nh  , maka               2 2 2 2 ˆ 2 hA f x h f x h Bias f x f y y dy f y y dy o h    
            
dan         2 ˆ 1 . hA nhVar f x f x f y dy o     
   Kedua persamaan tersebut berlaku untuk   dan 0   .
Bukti:
Dari Persamaan 2, diperoleh
                2 2 2 2 ˆ . 2 hA hf x h f x E f x f x f y y dy f y y dy o h                  
Untuk 0 h  ,   ˆ hA E f x  
  konvergen  ke  nol.  Dengan  demikian,  estimator   ˆ hA f x merupakan  estimator  tak  bias  asimtotik  bila h konvergen  ke  nol.  Selanjutnya,  nilai bias dari Persamaan 2 adalah
              2 2 2 2 ˆ 2 hA hf x h f x Bias f x f y y dy f y y dy o h                 
dan nilai variansi dari Persamaan 2 sebagai berikut:
      2 1 ˆ , 0. hA Var f x f x f y dy o h nh nh    
          
Berdasarkan Teorema 2.1, diperoleh nilai MSE untuk
  ˆ hA f x yaitu
           2 ˆ hA hf x
MSE f x f x f y dy f y y dy nh                 
Regresi Nonparametrik Kernel Adjusted 3
       2 2 2 4 2 1 , 0, .
2 h f x f y y dy o o h h nh nh                   
Untuk 0 h  dan nh  ,  nilai  MSE  dari  estimator   ˆ hA f x konvergen  ke  nol.
Dengan  demikian,  estimator   ˆ hA f x merupakan  estimator  yang  konsisten,  sehingga
dapat ditulis     ˆ p hA f x f x   . Selanjutnya,  diambil
  E X   ,  dengan  begitu  nilai  MSE  dari
  ˆ hA f x
menjadi
          2 2 2 2 ˆ 2 hA h f x MSE f x f x f y dy Var X nh                
dan diperoleh nilai bandwidth optimal dan  optimal dari
  ˆ hA MSE f x
    , yaitu
1/5 1 opt h n             1/5 2 1 2 . opt f x Var X f x f y dy
            

## 3. ESTIMATOR REGRESI KERNEL NADARAYA WATSON ADJUSTED
Estimator regresi kernel Nadaraya Watson adjusted merupakan perluasan dari estimator  regresi  kernel  Nadaraya  Watson  klasik.  Seperti  yang  telah  dijelaskan sebelumnya,  bahwa  kernel  yang  diambil  berdasarkan  keluarga  skala  lokasi  dari estimator  densitas  kernel  klasik.  Dengan  demikian,  untuk  menentukan  estimator regresi  kernel  Nadaraya  Watson adjusted analog  dengan  estimator  regresi  kernel Nadaraya Watson klasik. Berdasarkan estimator Nadaraya Watson, bentuk estimator regresi kernel Nadaraya Watson adjusted yaitu
    2 2 2 1 1 ˆ ˆ n n i j i i j hA hA x X h hX K Y n h h m x
f x    
         
   (3)
4                                                                                                                 Novita Eka Candra, dkk
3
Persamaan 3 dapat ditulis menjadi
    1 1 ˆ n hA ni i i m x W x Y n    (4)
dengan     2 2 1 0 ˆ n i j j ni hA x X h hX
K nh h W x f x        
         dan   1 1 1 n ni i W x n    untuk semua x  .
Berikut ini beberapa kondisi yang diperlukan, yaitu:
1.   2 E Y   dan   2 E X   .
2. X mempunyai  fungsi  densitas f yang  terdiferensial  secara  kontinu  pada x dan   0 f x  .
3. m terdiferensial secara  kontinu  dua  kali  pada x .
4. K merupakan  fungsi  densitas    peluang    yang  memenuhi     K x K x   untuk
setiap x  .    Selanjutnya, K mempunyai  momen  ketiga    berhingga,  yaitu
  3 x K x dx    . Selanjutnya, didefinisikan                   1 1 1 1 ˆ n n hA ni i i ni i i i m x m x W x Y m X W x m X m x n n          1 2 I I   (5)
Teorema 3.1. Berdasarkan kondisi (1) sampai (4), untuk 0 h  dan nh 
      1/2 2 1 0, d nh I N x    dan     2 2 2 , I h B x o h  
Regresi Nonparametrik Kernel Adjusted 5
dengan
        2 2 1 2 x f u du
x f x    
merupakan variansi asimtotik dari   1/ 2 1 nh I dan
                2 2 2 f x m x f x m x Var X B x f x       adalah bias asimtotik dari 1 2 h I  .
Bukti:
Pertama-tama, akan dicari nilai ekspektasi dari 1 I , yaitu
  1 0 E I  .
Selanjutnya, akan dicari variansi dari 1 I , yaitu
              2 2 1 1 1 1 1 n n ni i i ni i i i i Var I E W x Y m X E W x Y m X n n   
                               (6)
Perhatikan persamaan pertama pada Persamaan (6)
          2 2 2 2 1 4 4 2 1 1 2 1 1 ˆ n n i j i n i j ni i i i hA x X h hX
X K n h h W x Y m X n
f x                                
  (7)
Karena     ˆ p hA
f x f x   ,  maka     2 2 ˆ p hA
f x f x   untuk 0 h  dan nh  . Perhatikan pembilang pada Persamaan (7), diperoleh nilai ekspektasinya yaitu
 
      2 2 2 2 1 2 1 4 4 2 1 1 , 0. n n
i j i i j
x f x f u du x X h hX E X K h n h h nh        
                           
6                                                                                                                 Novita Eka Candra, dkk
Dengan demikian, variansi dari 1 I yaitu
        2 2 1 1 x f u du Var I nhf x    .
Berdasarkan Teorema Limit Pusat, diperoleh
      1/2 2 1 0, d nh I N x    dengan         2 2 1 2 x f u du x f x    
.
Selanjutnya,  perhatikan  pembilang  untuk 2 I dalam  Persamaan  (5),  nilai ekspektasinya adalah
      2 2 2 1 1 n n i j i i j x X h hX
E K m X m x n h h                                      2 2 2 2 2 2 f x m x h Var X f x m x h Var X o h         dengan   E X   . Karena     ˆ p hA f x f x
  , maka diperoleh                 2 2 2 2 . 2 f x m x f x m x Var X I o h f x       
Berdasarkan Teorema 3.1, didapatkan nilai MSE dari
  ˆ hA m x , yaitu
 
                    2 2 2 2 2 1 2 2 ˆ 2 hA x f u du h f x m x f x m x Var X
MSE m x nhf x f x                  



dan didapatkan nilai bandwidth optimal dan  optimal dari
  ˆ hA MSE m x
    yaitu 1/5 2 , opt h n                     1/5 2 2 2 2 1 2 . opt f x m x f x m x Var X f x x f u du       
         
Regresi Nonparametrik Kernel Adjusted 7

## 4. STUDI KASUS
Padi  merupakan salah satu  tanaman budidaya  yang digunakan sebagai  bahan makanan pokok penduduk  Indonesia. Salah satu  penyakit pada tanaman  padi  adalah penyakit  tungro.  Virus  tungro  ini  disebarkan  oleh  hama  wereng  hijau.  Semakin banyak  populasi  wereng  hijau,  maka  luas  lahan  serangannya  pun  bertambah.  Selain itu, penyakit tungro dapat menyebabkan gagal panen dan kerugian secara ekonomi.
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder yaitu data serangan virus tungro tanaman padi di provinsi Nusa Tenggara Barat pada tahun 2003 -  2010.  Data  ini  bersumber  dari  Balai  Proteksi  Tanaman  Pangan  dan  Holtikultura (BPTPH)  provinsi  Nusa  Tenggara  Barat  dan  diambil  dari  skripsi  yang  ditulis  oleh Fitasari  (2011).  Dalam  studi  kasus  ini,  variabel  prediktornya X adalah  populasi wereng hijau (ekor per rumpun), sedangkan variabel responnya Y adalah luas tambah serangan (ha). Selanjutnya, data ini digunakan untuk membandingkan nilai MSE dari estimator  regresi  kernel  Nadaraya  Watson  klasik  dengan  estimator  regresi  kernel Nadaraya Watson adjusted .
Pengolahan data menggunakan program R.3.0.3, digunakan pula fungsi kernel Gaussian dan nilai parameter skala-lokasi yang telah ditetapkan yaitu nilai  adalah mean dari populasi wereng hijau dan  adalah standar deviasi dari populasi wereng hijau.  Dari  hasil  pengolahan  data,  diperoleh  beberapa  hasil  estimasi  pada  tabel berikut:
Tabel 1 . Hasil estimasi.
x   ˆ h m x   ˆ hA m x 0,38 1,48 1,46 4,25 3,90 3,86 6,53 7,17 6,96
Berdasarkan  Tabel  1,  baik  dengan  estimator  regresi  kernel  klasik  maupun adjusted diperoleh  hasil  estimasi  yang  tidak  jauh  berbeda.  Disimpulkan  bahwa semakin  banyak  populasi  wereng  hijau,  maka  semakin  besar  luas  tambah
serangannya.  Selain  itu,  diperoleh  pula  kurva  estimasi  regresi  kernel  Nadaraya Watson sebagai berikut:
Gambar 1 . Kurva estimasi regresi kernel Nadaraya Watson
Terlihat  bahwa  kurva  kedua  estimator  tersebut  memiliki  bentuk  kurva  yang hampir  berhimpitan  sehingga  sulit  untuk  menentukan  estimator  mmana  yang memiliki  kinerja  yang  lebih  baik.  Dengan  demikian,  digunakan  nilai  MSE  untuk membandingkan kinerja  kedua  estimator. Berdasarkan nilai output  yang  didapatkan, disimpulkan  bahwa  estimator  regresi  kernel  Nadaraya  Watson adjusted lebih  baik.
Hal ini terlihat berdasarkan nilai MSE yang lebih kecil.

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  pembahasan  yang    telah    dilakukan,  diperoleh  bentuk  estimator regresi  kernel  Nadaraya  Watson adjusted pada  Persamaan  (3).  Dalam  hasil  studi kasus  dengan  data  serangan  virus  tungro  pada  tanaman  padi  di  provinsi  Nusa Tenggara  Barat  diperoleh  bahwa  hasil  estimasi  dengan  kedua  estimator  yaitu  klasik maupun adjusted tidak jauh berbeda. Untuk membandingkan kedua estimator tersebet dilihat  berdasarkan  nilai  MSE  terkecil.  Karena  nilai  MSE  estimator  regresi  kernel Nadaraya  Watson adjusted lebih  kecil,  maka  estimator  regresi  kernel  Nadaraya Watson adjusted memberikan hasil estimasi  yang lebih baik  dibandingkan estimator regresi kernel Nadaraya Watson klasik.
Regresi Nonparametrik Kernel Adjusted 9

## DAFTAR PUSTAKA
Azizah,  Vita,  2008,  Aplikasi  Regresi  Nonparametrik  Kernel  dalam  Data  Finansial,
Skripsi , Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Bain, L. J.  dan Engelhardt, Max, 1992, Introduction to Probability and Mathematcal Statistics , Duxbury Press, California.
Eichner,  Gerrit  dan  Stute,  Winfried,  2012,  Kernel  Adjusted  Nonparametric Regression, Journal  of  Statistical  Planning  and  Inference ,  142,  pp.  2537- 2544.
Fitasari, B. D., 2011, Metode Dekomposisi untuk Peramalan Serangan Virus Tungro pada  Tanaman  Padi  di  Provinsi  Nusa  Tenggara  Barat, Skripsi ,  Universitas Mataram, Mataram.
Hardle, Wolfgang, 1991, Smoothing Techniques with Implementation in S , Springer- Verlag, New York.
Hardle, Wolfgang, 1994, Applied Nonparametric Regression , Berlin.
Hayati,  Laila,  2007,  Regresi  Nonparametrik  untuk  Mengestimasi  Total  Populasi,
Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Holmes, M. H., 2013, Introduction to Pertubation Methods , Springer, New York.
Lael,  O.  A.  F.,  2013,  Estimator  Regresi  Kernel  Nadaraya  Watson  Adaptif, Tesis ,
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Pujiastuti,  C.  E.,  1996,  Deret  Fourier  dan  Kernel  dalam  Regresi  Nonparametrik,
Tesis , Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Purnamasari,  Y.  K.,  2013,  Perbandingan  Model  Regresi  Nonparametrik  Spline  dan Regresi  Nonparametrik  Kernel, Skripsi ,  Universitas  Gadjah  Mada, Yogyakarta.
Roussas, G.G., 1997, A Course in Mathematical Statistics Second Edition , Academic Press, United States of America.
Srihera,  Ramidha  dan  Stute,  Winfried,  2011,  Kernel  Adjusted  Density  Estimation,
Statistics and Probability Letters , 81, pp. 571-579.
Wand, M. P. dan Jones, M. C., 1995, Kernel Smoothing , Chapman and Hall, London.
10                                                                                                                Novita Eka Candra, dkk