## FARABI Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika

## Optimization Of Holt-Winters Exponential Smoothing Parameters Using The Golden Section And Dichotomous Search Method
Fahrul Rozi Harahap 1 , Open Darnius 2
1,2 Prodi Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara, Medan-Indonesia 20155 Email: 1 fahrulrozi816@gmail.com

## ABSTRAK
Metode Exponential  Smoothing Holt-Winters merupakan  metode  peramalan  yang  memiliki  tiga  parameter, yaitu 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 .  Metode Exponential  Smoothing Holt-Winters  digunakan ketika data  menunjukkan adanya trend dan  musiman.  Metode Exponential  Smoothing Holt-Winters  terbagi  menjadi  dua  yaitu  model Exponential  Smoothing Holt-Winters  Multiplikatif  dan  model Exponential  Smoothing Holt-Winters  Aditif. Tujuan  dari  penulisan  skripsi  ini  adalah  mendapatkan  nilai  parameter  optimal  pada Exponential  Smoothing Holt-Winters menggunakan metode optimasi nonlinear, yaitu metode Golden Section dan metode Pencarian Dikotomi.  Pada  penelitian  ini,  Proses  perhitungan  untuk  mendapatkan  parameter  optimal  dibantu  dengan software  Matlab  R2009a.  Proses  dengan  menggunakan  Metode Golden  Section membutuhkan  17  iterasi, yang  mana  pada  model  Holt-Winters  Multiplikatif  diperoleh  parameter 𝛼 = 0.223085, parameter 𝛽 = 0.000173 ,  parameter 𝛾 = 0.617861 dan  nilai  MAPE  optimal = 12.158570%, untuk  model  Holt-Winters Aditif  diperoleh  parameter 𝛼 = 0.199534, parameter 𝛽 = 0.000173, parameter 𝛾 = 0.471963 dan  nilai MAPE  optimal = 12.242973% .  Sedangkan  metode  Pencarian  Dikotomi  membutuhkan  12  iterasi,  yang mana pada model Holt-Winters Multiplikatif diperoleh parameter 𝛼 = 0.250506, parameter 𝛽 = 0.000244 , parameter 𝛾 = 0.562694 dan  nilai  MAPE  optimal = 12.181562% ,  untuk  model  Holt-Winters  Aditif diperoleh  parameter 𝛼 = 0.199776 ,  parameter 𝛽 = 0.547084, parameter 𝛾 = 0.547538 dan  nilai  MAPE optimal = 12.203543% .
Kata  kunci:  Exponential  Smoothing Holt-Winters,  Metode Golden  Section ,  Metode  Pencarian  Dikotomi, Peramalan

## ABSTRACT
Holt-Winters  Exponential  Smoothing  method  is  a  forecasting  method  that  has  three  parameters,  the parameters is α, β, and γ. Holt-Winters Exponential Smoothing method is used when the data shows a trend and  seasonality.  Holt-Winters  Exponential  Smoothing  method  is  divided  into  two  models,  the  model  is Multiplicative Holt-Winters Exponential Smoothing model and Additive Holt-Winters Exponential Smoothing model.  The  purpose  of  this  thesis  is  to  obtain  optimal  parameter  values  in  the  Holt-Winters  Exponential Smoothing  using  nonlinear  optimization  methods,  the  methods  is  Golden  Section  method  and  the Dichotomous Search method. In this paper, the calculation process to obtain optimal parameters is help by Matlab R2009a software. The process using the Golden Section method requires 17 iterations, in which the Holt-Winters Multiplicative model is obtained α=0.223085, β=0.000173, γ=0.617861 and optimal MAPE = 12.158570%,  for  the  Holt-Winters  Additive  model,  α=0.199534,  β=0.000173,  γ=0.471963  and  optimal MAPE  =  12.242973%.  While  the  Dichotomous  Search  method  requires  12  iterations,  in  which  the  Holt- Winters  Multiplicative  model  is  obtained  α=0.250506,  β=0.000244,  γ=0.562694  and  optimal  MAPE  = 12.181562%,  for  the  Holt-Winters  Additive  model,  α=0.199776,  β=0.000244,  γ=0.547538  and  optimal MAPE = 12.203543%.
Keywords:  Dichotomous  Search  method,  forecasting,  Golden  Section  method,  Holt-Winters  Exponential Smoothing,

## A. Pendahuluan
Optimasi  adalah  suatu  proses  untuk mencapai  kondisi  dimana  fungsi  memperoleh nilai  maksimum  atau  minimum.  Optimasi sering  dihadapkan  pada  persoalan  mencari penyelesaian  yang  optimal  dengan  memenuhi
segala kendala yang ada. Salah satu persoalannya adalah masalah dalam menentukan  nilai  parameter  yang  optimal  pada metode  peramalan  agar  mendapatkan  hasil ramalan yang mendekati data sebenarnya.
Peramalan adalah teknik analisis komputasi  yang  dilakukan  dengan  pendekatan kualitatif  dan  kuantitatif  untuk  memprediksi peristiwa  masa  depan  menggunakan  referensi data  masa  lalu  untuk  meminimalkan  efek ketidakpastian.  Salah  satu  metode  peramalan adalah pemulusan eksponensial.
Menurut Makridakis et al. (1999) metode Exponential  Smoothing terbagi  menjadi  tiga bagian  yaitu Single  Exponential  Smoothing , Double Exponential  Smoothing Holt  dan
Exponential  Smoothing Holt-Winters.  Metode Exponential
Smoothing
Holt-Winters merupakan  metode  yang  digunakan  untuk peramalan  jika  data  memiliki  komponen  trend dan  musiman.  Metode  ini  juga  merupakan penghalusan  eksponensial  dengan  tiga  kali pembobotan  yaitu  α,  β  dan  γ.  Metode Exponential  Smoothing Holt-Winters  terbagi menjadi dua yaitu model Holt-Winter Multiplikatif dan model Holt-Winter Aditif.
Metode Exponential  Smoothing Holt- Winter  membutuhkan  beberapa  parameter untuk  menghasilkan  model  yang  baik.  Solusi yang  baik  untuk  model  tersebut  adalah  model dengan  nilai Mean  Absolut  Persentage  Error (MAPE)  yang  minimum.  Untuk  mendapatkan parameter  yang  optimal  sehingga  nilai  MAPE yang  dihasilkan  serendah  mungkin,  dibutuhkan metode optimasi berupa menggunakan algoritma  optimasi  nonlinear  (Makridakis  et  al, 1999).
Masalah  optimasi  dikatakan  nonlinier jika  fungsi  tujuan  dan  fungsi  kendala  tidak linier  pada  salah  satu  atau  keduanya.  Ada beberapa  metode  yang  dugunakan  dalam menyelesaikan  masalah  optimasi  nonlinear, dalam  penelitian  ini  metode  optimasi  nolinear yang  akan  digunakan  adalah  metode Golden Section dan  metode  Pencarian  Dikotomi ( Dichotomous Search ). Golden Section maupun Pencarian  Dikotomi  pada  dasarnya  adalah teknik  pencarian  bertahap  dimana  pencarian yang  selanjutnya  dipengaruhi  secara  langsung oleh pencarian sebelumnya.
Metode Golden  Section menggunakan prinsip  iteratif  meminimalkan  interval  x-limit, yang  dapat  menghasilkan  fungsi  tujuan  yang optimal  (maksimum  atau  minimum).  Dalam metode Golden Section untuk mendapatkan titik simetris  didasarkan  pada  perbandingan  nilai golden  ratio .  Selanjutnya  algoritma  pencarian
dikotomi,  Algoritma  ini  merupakan  pencarian untuk  meminimumkan  fungsi  unimodal  pada interval  [a, 𝑑 ]  menggunakan  titik  tengah.  Hal ini diasumsikan bahwa jarak minimum dari dua titik  terpisah  dimana  fungsi  ini  akan  dievaluasi pada setiap iterasi.
Akbari  (2018)  meneliti  tentang  Optimasi Parameter Exponential  Smoothing dengan Metode Golden  Section pada  Prediksi  Data Tren  Positif  dan  Negatif  menyimpulkan  bahwa Peramalan  Double Exponential  Smoothing menggunakan  metode  optimasi  parameter menghasilkan  nilai  perkiraan  untuk  data  asli dan  pencarian  nilai  parameter  yang  optimal tidak berulang sehingga menjadi lebih efisien.
Berdasarkan latar belakang tersebut maka dalam  penelitian  ini,  penulis  ingin  membuat penelitian  dengan  judul  “Optimasi  Parameter Exponential  Smoothing Holt-Winters  Dengan Metode Golden Section Dan Pencarian Dikotomi”.
1. Peramalan
Peramalan adalah teknik analisis komputasi  yang  menggunakan  pendekatan kualitatif  dan  kuantitatif  untuk  memprediksi peristiwa  masa  depan  dengan  menggunakan data  referensi  masa  lalu  untuk  meminimalkan efek  ketidakpastian.  Metode  peramalan  dibagi menjadi  dua  kelompok,  yaitu  metode  kualitatif dan  kuantitatif  (Makridakis  et  al.,  1999). Metode kuantitatif dilakukan jika ada informasi historis  yang  tersedia  untuk  membuat  prediksi, informasi  tersebut  dapat  dikuantifikasi  dalam bentuk  data  numerik.  Dalam  metode  kualitatif, pendapat  para  ahli  akan  diperhitungkan  ketika mengambil  keputusan  sesuai  dengan  perkiraan yang  telah  dibuat.  Namun,  jika  data  historis tersedia,  peramalan  menggunakan  metode kuantitatif lebih efektif daripada kualitatif.

## 2. Stasioneritas
Stasioneritas adalah suatu keadaan dimana  tidak  ada  perubahan  mean  dan  varians, atau tidak ada penurunan atau peningkatan nilai yang  tajam.  Menurut  Makridakis et  al .  (1999) data  stasioner  adalah  data  yang  berputar  di sekitar  nilai  rata-rata  konstan  yang  tidak bertambah  atau  berkurang,  tidak  tergantung pada  varians  dan  waktu  fluktuasi  data..  Oleh sebab  itu,  sebuah  deret  waktu  diskrit  y mempunyai rata-rata konstan 𝝁 𝒚 yang didefenisikan sebagai
𝜇 𝑦 = 𝐸(𝑦) = ∑ 𝑦 𝑝(𝑦) ∀𝑦 (1)
dan variansi konstan yang didefenisikan sebagai
𝜎 𝑦 2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑦) = ∑  (𝑦 − ∀𝑦 𝜇 𝑦 ) 2 𝑝(𝑦) (2)
dengan 𝑝(𝑦) adalah  fungsi  probabilitas  diskrit. Nilai rata-rata tersebut dapat diduga dengan
𝑦̅ = 𝜇̂ 𝑦 = 1 𝑇 ∑ 𝑦 𝑡 𝑇 𝑡=1 (3)
dan variansi dapat diduga dengan
𝑠 2 = 𝜎̂ 𝑦 2 = 1 𝑇 ∑(𝑦 𝑡 − 𝑦̅) 2 𝑇 𝑡=1 (4)
dengan  T  adalah  banyaknya  waktu  diskrit (Montgomery, 2008).

## 3. Fungsi Autokorelasi
Fungsi  autokorelasi  atau Autocorrelation Function (ACF)  merupakan  hubungan  atau korelasi  antara  data  pengamatan  satu  dengan data  pengamatan  lainnya  pada  suatu  data  deret waktu.  Fungsi  autokorelasi  sangat  berguna untuk  mendeteksi  awal  sebuah  model  dan kestasioneran data.
Suatu data deret waktu 𝑌 1 , 𝑌 2 , ⋯ , 𝑌 𝑘 maka nilai  fungsi  autokorelasinya  adalah  sebagai berikut:
𝜌 𝑘 = 𝐸[(𝑌 𝑡 − 𝜇)(𝑌 𝑡+𝑘 − 𝜇)] √𝐸[(𝑌 𝑡 − 𝜇) 2 ]𝐸[(𝑌 𝑡+𝑘 − 𝜇) 2 ] = 𝐶𝑜𝑣(𝑌 𝑡 , 𝑌 𝑡+𝑘 ) 𝑉𝑎𝑟(𝑌 𝑡 ) = 𝑌 𝑘 𝑌 0 (5)
Fungsi Autokorelasi merupakan kumpulan nilai dari 𝜌 𝑘 , 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝐾 dengan  catatan 𝜌 𝑘 = 1.
Untuk mengetahui apakah nilai autokorelasi signifikan atau tidak, dilakukan uji statistik berdasarkan standar error (Se).
Koefisien  autokorelasi  data  acak  memiliki distribusi  sampling  yang  mendekati  kurva normal, dengan rata-rata nol dan standar deviasi 1 √𝑛 ,  di  mana  n  adalah  jumlah  atau  ukuran sampel.  Persamaan  berikut  digunakan  untuk menguji signifikansi koefisien autokorelasi:
−𝑍 𝛼 2 (𝑆𝑒 𝑟 𝑘 ) ≤ 𝑟 𝑘 ≤ 𝑍 𝛼 2 (𝑆𝑒 𝑟 𝑘 ) (6)
dimana 𝑆𝑒 𝑟 𝑘 = 1 √𝑛 dan 𝑍 𝛼 2 merupakan merupakan  nilai  distribusi  normal.  Hipotesis dalam pengujian ini adalah:
𝐻 0 : 𝜌 𝑘 = 0 (koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan dengan nol) 𝐻 1 : 𝜌 𝑘 ≠ 0 (koefisien  autokorelasi  berbeda signifikan dengan nol)
Jika 𝜌 𝑘 berada  dalam  interval  persamaan (6),  keputusan  untuk  menolak 𝐻 0 belum tercukupi,  berarti  data  stasioner.  Di  sisi  lain, jika  diluar  interval  (6),  keputusannya  menolak 𝐻 0 dan  menerima  bahwa 𝜌 𝑘 ≠ 0 yang  berarti data tidak stasioner.
4. Mean Absolut Percentage Error (MAPE)
Persentase  kesalahan  rata-rata  absolut atau  MAPE  diperoleh  dengan  mengambil kesalahan  absolut  untuk  setiap  pengamatan dalam  deret  waktu  dibagi  dengan  jumlah pengamatan  dalam  deret  waktu  dan  kemudian menemukan median. Besarnya kesalahan dalam memprediksi  nilai  sebenarnya  dapat  ditentukan dengan  mean  absolute  error.  Di  bawah  ini adalah  persamaan  untuk  mendapatkan  nilai MAPE (Makridakis et al, 1999):
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝑃𝐸 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 𝑛 (7)
dengan 𝑛 adalah  banyaknya  periode/deret waktu  dan 𝑃𝐸 𝑡 adalah  persentase  kesalahannya (percentage error).
𝑃𝐸 𝑡 = ( 𝑋 𝑡 − 𝐹 𝑡 𝑋 𝑡 ) × 100 (8)
dengan:
𝑋 𝑡 = pengamatan pada periode ke-t 𝐹 𝑡 = nilai ramalan pada periode ke-t
Semakin  kecil  nilai  MAPE,  maka semakin  kecil  kesalahaan  hasil  pendugaan,  hal ini  berarti  model  peramalan  yang  digunakan dapat  dikatakan  baik.  Adapun  interpretasi  dari nilai  MAPE  diperlihatkan  pada  tabel  berikut (Lewis, 1982).
Tabel 1. Interpretasi Nilai MAPE
MAPE (%) Interpretasi <10 Peramalan Sangat Akurat 10-20 Peramalan baik 20-50 Peramalan layak >50 Peramalan Tidak akurat
5. Exponential Smoothing Hol-Winters
Metode Exponential  Smoothing Holt- Winters  digunakan  ketika  data  menunjukkan adanya tren dan  musiman.  Menuurut  Kalekar (2004)  dalam  Qarani et  al, (2018)  Metode Exponential Smoothing Holt- merupakan kombinasi  dari  metode  Holt  dan  Winter,
dimana nilai trend pada metode Holt dikombinasikan  dengan  nilai  musiman  pada metode Winter, sehingga memungkinkan metode  Holt-Winter  memuat  faktor  musiman dan  tren  simultan  dalam  data  time  series  yang muncul.
Metode  ini  serupa  dengan  Metode Holt , dengan  suatu  persamaan  tambahan  untuk mengatasi  musiman.  Kekurangan  pada  metode Holt-Winters  yaitu  metode  ini  membutuhkan tiga parameter ( 𝛼, 𝛽, 𝛾 ) pemulusan yang bernilai di  antara  0  dan  1  untuk  meminim  kesalahan, sehingga  banyak kombinasi yang  dapat digunakan.
Metode Exponential  Smoothing Holt- Winters  terbagi  menjadi  dua  yaitu  model Exponential Smoothing Holt-Winters
Multiplikatif dan model Exponential Smoothing Holt-Winters  Aditif.  Menurut  Evalina  (2013) model Exponential  Smoothing Holt-Winters Multiplikatif  digunakan  untuk  data  musiman yang  mengalami  peningkatan  atau  penurunan (fluktuasi),  sedangkan  model Exponential Smoothing Holt-Winters  Aditif  digunakan untuk  variasi  musiman  yang  bersifat  konstan. Menurut  Makridakis et  al. (1999) Exponential Smoothing
Holt-Winters Multiplikatif mempunyai  model  umum  dengan  tahapan peramalan sebagai berikut:
1. Menentukan nilai pemulusan ( 𝑆 𝑡 )
𝑆 𝑡 = 𝛼 𝑋 𝑡 𝐼 𝑡−𝐼 + (1 − 𝛼)(𝑆 𝑡−1 + 𝑏 𝑡−1 ) (9)
2. Menentukan nilai Pemulusan trend (𝑏 𝑡 )
𝑏 𝑡 = 𝛽(𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑡−1 ) + (1 − 𝛽)𝑏 𝑡−1 (10)
3. Menentukan nilai Pemulusan musiman (𝐼 𝑡 )
𝐼 𝑡 = 𝛾 𝑋 𝑡 𝑆 𝑡 + (1 − 𝛾)𝐼 𝑡−𝐼 (11)
4. Menentukan  nilai  peramalan  pada  periode mendatang ( 𝐹 𝑡+𝑚 )
𝐹 𝑡+𝑚 = (S t +  𝑏 𝑡 𝑚)𝐼 𝑡−𝐼+𝑚 (12)
Exponential  Smoothing Holt-Winters Aditif  mempunyai  model  umum  dengan tahapan peramalan sebagai berikut:
1. Menentukan nilai pemulusan ( 𝑆 𝑡 ) 𝑆 𝑡 = 𝛼(𝑋 𝑡 − 𝐼 𝑡−𝐼 ) + (1 − 𝛼)(𝑆 𝑡−1 + 𝑏 𝑡−1 ) (13)
2. Menentukan nilai Pemulusan trend (𝑏 𝑡 )
𝑏 𝑡 = 𝛽(𝑆 𝑡 − 𝑆 𝑡−1 ) + (1 − 𝛽)𝑏 𝑡−1 (14)
3. Menentukan nilai Pemulusan musiman (𝐼 𝑡 )
𝐼 𝑡 = 𝛾(𝑋 𝑡 − 𝑆 𝑡 ) + (1 − 𝛾)𝐼 𝑡−𝐼 (15)
4. Menentukan  nilai  peramalan  pada  periode mendatang ( 𝐹 𝑡+𝑚 )
𝐹 𝑡+𝑚 = S t +  𝑏 𝑡 𝑚 + 𝐼 𝑡−𝐼+𝑚 (16)
dengan:
𝑆 𝑡
= nilai smoothing periode ke-t
𝑆 𝑡−1 = nilai smoothing periode ke- (𝑡 − 1 ) 𝛼 = konstanta smoothing untuk data (0 <
𝛼 < 1)
𝛽
= konstanta smoothing untuk trend (0 < 𝛽 < 1) 𝛾 = konstanta smoothing untuk musiman (0 < 𝛾 < 1)
𝑋 𝑡 = nilai aktual periode ke-t 𝑏 𝑡 = nilai smoothing trend 𝐼 𝑡 = nilai penyesuaian musiman 𝐼 = panjang musim 𝐹 𝑡+𝑚 = nilai peramalan pada periode mendatang
𝑚 = jumlah periode yang akan diramalkan

## 6. Golden Section
Pada  umumnya,  metode Golden  Section digunakan  untuk  menyelesaikan  satu  variabel pemrograman nonlinier. Metode ini menggunakan  prinsip  minimalisasi  secara iteratif  dari  limit  interval  x,  yang  dapat menghasilkan  fungsi  tujuan  yang  optimal (maksimum  atau  minimum).  Pada  metode Golden Section Untuk memperoleh sebuah titik simetris baru, dibutuhkan nilai rasio emas (𝑟) . Menurut Ai (2002) untuk mendapatkan 𝑥 optimum  diperoleh  dari  proses  pengurangan interval  yang  diilustrasikan  oleh  Gambar berikut.
Gambar 1. Pengurangan Interval Pencarian
𝒙 optimal (i) dari [a,d] menjadi [a,c] (ii) dari
[a,d] menjadi [b,d].
Misalnya,  nilai  fungsi  yang  optimal mungkin  berada  dalam  rentang 𝑥[𝑎, 𝑑] untuk tingkat  iterasi.  Kemudian  tentukan  dua  nilai  x yang simetris pada interval tersebut, yaitu b dan c,  dan  interval  probabilitas  dari  fungsi  nilai optimal dikurangi dari [𝑎, 𝑑] menjadi [𝑎, 𝑐] dan [𝑏, 𝑑]. ,  masing-masing.  tergantung  pada  nilai pada 𝑥  =  𝑏 dan  pada 𝑥  =  𝑐 .  secara  grafis ditunjukkan pada Gambar 1.
Untuk  memperoleh  interval  b  dan  c  simetris dalam  interval [𝑎, 𝑑] digunakan  perbandingan nilai r, sehingga:
𝑐 − 𝑎 𝑑 − 𝑎 = 𝑑 − 𝑏 𝑑 − 𝑎 = 𝑟 (17)
Dapat dituliskan: 𝑏 = 𝑑 − 𝑟(𝑑 − 𝑎) = 𝑟𝑎 + (1 − 𝑟)𝑑
(18)
𝑐 = 𝑎 + 𝑟(𝑑 − 𝑎) = 𝑎 + 𝑑 − 𝑏
(19)
Pada  setiap  langkah  iterasi,  ditentukan dua  titik  pada  interval  yang  ada.  Untuk menghemat  langkah  perhitungan,  hanya  satu titik  baru yang  ditentukan untuk  setiap  langkah iterasi.  Titik  berikutnya  adalah  titik  yang ditentukan pada langkah sebelumnya. Misalnya, rentang [𝑎, 𝑑] dapat  dikurangi  menjadi [𝑎, 𝑐]. Rentang [𝑎, 𝑐] adalah  rentang  baru,  sehingga dapat  ditulis  sebagai [𝑎 1 , 𝑑 1 ]. Hanya  satu  titik baru yang didefinisikan, yaitu 𝑏 1 , karena titik 𝑏 digunakan  sebagai  titik 𝑐 1 .  Sehingga  diperoleh hubungan:
𝑏 1 = 𝑟𝑎 1 + (1 − 𝑟)𝑑 1 (20)
𝑟 = 𝑐 1 − 𝑎 1 𝑑 1 − 𝑎 1 = 𝑏 − 𝑎 𝑐 − 𝑎 (21)
Untuk  mendapatkan  nilai 𝑟 diperoleh dengan  cara  menyelesaikan  persamaan  diatas yaitu  dengan  mensubstitusikan  persamaan  (18) dan (19) ke persamaan (21).
𝑟 = 𝑏 − 𝑎 𝑐 − 𝑎
𝑟 = 𝑑 − 𝑟(𝑑 − 𝑎) − 𝑎 𝑎 + 𝑟(𝑑 − 𝑎) − 𝑎
𝑟 = 𝑑 − 𝑎 − 𝑟(𝑑 − 𝑎) 𝑟(𝑑 − 𝑎) 𝑟 2 = 𝑑 − 𝑎 𝑑 − 𝑎 − 𝑟(𝑑 − 𝑎) 𝑑 − 𝑎 𝑟 2 = 1 − 𝑟 𝑟 2 + 𝑟 − 1 = 0 (22)
Dengan menyelesaikan persamaan diatas maka didapat:
𝑟 1 = −1 + √5 2 = 0,618033989 𝑟 2 = −1 − √5 2 = −1,618033989
Agar interval menjadi semakin kecil, diperlukan syarat 0 <  𝑟  <  1 , sehingga nilai yang dipakai adalah 𝑟 1 yaitu 0,618033 (Qarani, 2018).
Algoritma  Metode Golden  Section untuk  3- variabel:
1. Menentukan  batas  bawah  ( 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ), batas  atas  ( 𝑑 1 , 𝑑 2 , 𝑑 3 ),  dan  nilai  toleransi batas berhentinya iterasi ( 𝜀 ).
2. Menghitung nilai Golden Ratio (r).
3. Menentukan  nilai  b  ( 𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) dan  c ( 𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) awal sehingga 𝛼 1 = 𝑟𝑎 1 + (1 − 𝑟)𝑑 1 (23) 𝛼 2 = 𝑎 1 + 𝑑 1 − 𝛼 1 (24) 𝛽 1 = 𝑟𝑎 2 + (1 − 𝑟)𝑑 2 (25) 𝛽 2 = 𝑎 2 + 𝑑 2 − 𝛽 1 (26) 𝛾 1 = 𝑟𝑎 3 + (1 − 𝑟)𝑑 3 (27) 𝛾 2 = 𝑎 3 + 𝑑 3 − 𝛾 1 (28)
4. Mencari 𝑓(𝑥 𝑖 ) minimum  diantara  semua kombinasi 𝑥 𝑖 . 𝑥 000 = (𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) 𝑥 010 = (𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 1 ) 𝑥 001 = (𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) 𝑥 011 = (𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) 𝑥 100 = (𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) 𝑥 110 = (𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 1 ) 𝑥 101 = (𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) 𝑥 111 = (𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) 5. Mengurangi batas interval pencarian dengan  menentukan  nilai 𝑎 dan 𝑑 yang baru  pada  iterasi  selanjutnya  berdasarkan harga 𝑓(𝑥 𝑖 ).
Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap • 𝑎 2 baru nilainya tetap
• 𝑎 3 baru nilainya tetap • 𝑑 1 baru = 𝛼 2
• 𝑑 2 baru = 𝛽 2
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap
• 𝑎 2 baru = 𝛽 1
• 𝑎 3 baru nilainya tetap • 𝑑 1 baru = 𝛼 2
• 𝑑 2 baru nilainya tetap
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap
• 𝑎 2 baru nilainya tetap • 𝑎 3 baru = 𝛾 1 • 𝑑
1 baru = 𝛼
2 • 𝑑 2 baru = 𝛽 2 • 𝑑 3 baru nilainya tetap
Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap
• 𝑎 2 baru = 𝛽 1 • 𝑎 3 baru = 𝛾 1 • 𝑑 1 baru = 𝛼 2
• 𝑑 2 baru nilainya tetap
• 𝑑 3 baru nilainya tetap
Jika 𝑓(𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1 • 𝑎 2 baru nilainya tetap
• 𝑎 3 baru nilainya tetap
• 𝑑 1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru = 𝛽 2
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 2 , 2, 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka: • 𝑎 1 baru = 𝛼 1
• 𝑎 2 baru = 𝛽 1 • 𝑎 3 baru nilainya tetap
• 𝑑 1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru nilainya tetap
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1 • 𝑎 2 baru nilainya tetap
• 𝑎 3 baru = 𝛾 1 • 𝑑 1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru = 𝛽 2 • 𝑑 3 baru nilainya tetap Jika 𝑓(𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1
• 𝑎 2 baru = 𝛽 1
• 𝑎 3 baru = 𝛾 1 • 𝑑 1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru nilainya tetap
• 𝑑 3 baru nilainya tetap
6. Mengulangi  langkah  3  sampai  6  hingga
‖𝐿 𝑖 ‖ < 𝜀, dimana
𝐿 𝑖 = ( 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ) − ( 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 ) .
7. Menentukan  hasil  parameter  ( 𝑥 𝑖 ) optimal dan 𝑓(𝑥 𝑖 ) optimal.

## 7. Pencarian Dikotomi
Metode pencarian dikotomis pada dasarnya  adalah  metode  pencarian  bertahap dimana  pencarian  selanjutnya  dipengaruhi langsung  oleh  pencarian  sebelumnya.  Untuk menjelaskan konsep pencarian dikotomis, maka disajikan  proses  pencarian  yang  diilustrasikan oleh Gambar 2.
Gambar 2. Pencarian Dikotomi
Pada  metode  pencarian  dikotomi  untuk meminimalkan  nilai 𝑓(𝑥) dalam  selang [𝑎, 𝑑] adalah sebagai berikut (Sharma, 2006): Titik 𝑏 dan 𝑐 dipilih sedemikian hingga
𝑐 − 𝑎 = 𝑑 − 𝑏 (29)
dan anggap bahwa 𝛿 = 𝑐 − 𝑏 (30) Dari persamaan (29) diperoleh 𝑏 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑑 (31) 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑑 (32) Dari persamaan (30) diperoleh 𝑏 = 𝑐 − 𝛿 (33) 𝑐 = 𝑏 + 𝛿 (34)
Dengan  menyelesaikan  persamaan  (31)  dan (33) didapatkan
2𝑏 = (𝑎 − 𝑐 + 𝑑) + (𝑐 − 𝛿)
2𝑏 = 𝑎 + 𝑑 − 𝛿
𝑏 = ( 𝑎 + 𝑑 − 𝛿 2 ) (35)
Dengan  menyelesaikan  persamaan  (32)  dan (34) didapatkan
2𝑐 = (𝑎 − 𝑏 + 𝑑) + (𝑏 + 𝛿)
2𝑐 = 𝑎 + 𝑑 + 𝛿
𝑐 = ( 𝑎 + 𝑑 + 𝛿 2 ) (36)
Setelah  mendapatkan  nilai-nilai 𝑓(𝑏) dan 𝑓(𝑐) maka berlaku tiga kasus sebagai berikut:
a) Jika 𝑓(𝑏) < 𝑓(𝑐) maka  nilai  minimum selanjutnya berada pada interval [𝑎, 𝑐]
b) Jika 𝑓(𝑏) > 𝑓(𝑐) maka  nilai  minimum
selanjutnya berada pada interval [𝑏, 𝑑]
c) Jika 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑐) maka  nilai  minimum selanjutnya berada pada interval [𝑏, 𝑐]
Proses  untuk  mencari  titik  yang  optimal yang meminimalkan nilai f(x) merupakan suatu proses  iterasi,  di  mana  proses  akan  berhenti ketika selisih titik 𝑎 dan titik 𝑑 sangat kecil.
Algoritma  Metode  Pencarian  Dikotomi  3- variabel:
1. Menentukan  batas  bawah  ( 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ), batas  atas  ( 𝑑 1 , 𝑑 2 , 𝑑 3 )  dan  nilai  toleransi batas  berhentinya  iterasi  ( 𝜀 )  dan  selisih panjang antara b dan c ( 𝛿) .
2. Menentukan  nilai  b  ( 𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) dan  c ( 𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) awal sehingga
𝛼 1 = ( 𝑎 1 + 𝑑 1 − 𝛿 2 ) (37) 𝛼 2 = ( 𝑎 1 + 𝑑 1 + 𝛿 2 ) (38)
𝛽 1 = ( 𝑎 2 + 𝑑 2 − 𝛿 2 ) (39)
𝛽 2 = ( 𝑎 2 + 𝑑 2 + 𝛿 2 ) (40) 𝛾 1 = ( 𝑎 3 + 𝑑 3 − 𝛿 2 ) (41)
𝛾 2 = ( 𝑎 3 + 𝑑 3 + 𝛿 2 ) (42)
3. Mencari  f( 𝑥 𝑖 )  minimum  diantara  semua kombinasi 𝑥 𝑖 𝑥 000 = (𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) 𝑥 010 = (𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 1 ) 𝑥 001 = (𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) 𝑥 011 = (𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) 𝑥 100 = (𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) 𝑥 110 = (𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 1 ) 𝑥 101 = (𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) 𝑥 111 = (𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) 4. Mengurangi batas interval pencarian dengan  menentukan  nilai 𝑎 dan 𝑑 yang baru  pada  iterasi  selanjutnya  berdasarkan harga 𝑓(𝑥 𝑖 ).
Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap • 𝑎 2 baru nilainya tetap • 𝑎 3 baru nilainya tetap • 𝑑 1 baru = 𝛼 2
• 𝑑 2 baru = 𝛽 2
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru  nilainya tetap • 𝑎 2 baru = 𝛽 1
• 𝑎 3 baru nilainya tetap • 𝑑 1 baru = 𝛼 2
• 𝑑 2 baru nilainya tetap • 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap
• 𝑎 2 baru nilainya tetap • 𝑎 3 baru = 𝛾 1
• 𝑑 1 baru = 𝛼 2
• 𝑑 2 baru = 𝛽 2 • 𝑑 3 baru nilainya tetap Jika 𝑓(𝛼 1 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru nilainya tetap • 𝑎 2 baru = 𝛽 1
• 𝑎 3 baru = 𝛾 1
• 𝑑 1 baru = 𝛼 2 • 𝑑 2 baru nilainya tetap • 𝑑 3 baru nilainya tetap Jika 𝑓(𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1
• 𝑎 2 baru nilainya tetap
• 𝑎 3 baru nilainya tetap
• 𝑑 1 baru nilainya tetap • 𝑑 2 baru = 𝛽 2
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 2 , 2, 𝛾 1 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1
• 𝑎 2 baru = 𝛽 1
• 𝑎 3 baru nilainya tetap
• 𝑑 1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru nilainya tetap
• 𝑑 3 baru = 𝛾 2 Jika 𝑓(𝛼 2 , 𝛽 1 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1 • 𝑎 2 baru nilainya tetap • 𝑎 3 baru = 𝛾 1 • 𝑑
1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru = 𝛽 2 • 𝑑 3 baru nilainya tetap
Jika 𝑓(𝛼 2 , 𝛽 2 , 𝛾 2 ) adalah  nilai  minimum, maka:
• 𝑎 1 baru = 𝛼 1
• 𝑎 2 baru = 𝛽 1
• 𝑎 3 baru = 𝛾 1 • 𝑑 1 baru nilainya tetap
• 𝑑 2 baru nilainya tetap
• 𝑑 3 baru nilainya tetap
5. Menghitung  batas  toleransi  berhentinya iterasi yaitu 𝐿 𝑖 dengan syarat:
a) Jika 𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑢 sama  dengan 𝑎 𝑙𝑎𝑚𝑎 maka didapat nilai 𝐿 𝑖 = |𝑑 𝑏𝑎𝑟𝑢 − 𝑑 𝑙𝑎𝑚𝑎 |
b) Jika 𝑑 𝑏𝑎𝑟𝑢 sama  dengan 𝑑 𝑙𝑎𝑚𝑎 maka didapat nilai
𝐿 𝑖 = |𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑢 − 𝑎 𝑙𝑎𝑚𝑎 |
c) Jika 𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑢 sama  dengan 𝑑 𝑙𝑎𝑚𝑎 maka didapat nilai 𝐿 𝑖 = 0 d) Jika  tidak  memenuhi  ketiga  pengujian maka milai
𝐿 𝑖 = |𝑑 𝑏𝑎𝑟𝑢 − 𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑢 |
Khusus untuk iterasi pertama nilai 𝐿 𝑖 yang dipakai adalah batas atas (𝑑) dikurang
batas bawah (a) yaitu 𝐿 𝑖 =   ( 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ) − ( 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 )
6. Ulangi dari langkah 2 sampai mendapatkan nilai ‖𝐿 𝑖 ‖ < 𝜀.
7. Menentukan  hasil  parameter  ( 𝑥 𝑖 ) optimal dan 𝑓(𝑥 𝑖 ) optimal.

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  dimulai  dengan  studi pendahuluan  yaitu  berupa  studi  kepustakaan dengan mengumpulkan bahan referensi, mempelajari serta menggali informasi baik dari buku,  jurnal,  artikel,  maupun  situs  internet mengenai  Peramalan  (Forecasting),  metode Exponential  Smoothing dan  metode  optimasi nonlinear. Data yang digunakan pada penelitian ini  adalah  data  Wisatawan  Mancanegara  yang datang ke Sumatera Utara menurut pintu masuk (orang)  dari  tahun  2015  sampai  2019.  Data diperoleh  dari  publikasi  Badan  Pusat  Statistik Provinsi Sumatera Utara (BPS Sumut). Selanjutnya data diolah dan dilakukan pengoptimalan Parameter Exponential Smoothing Holt-Winters Dengan Metode Golden  Section Dan    Pencarian  Dikotomi menggunakan  bantuan software MATLAB R2009a.

## C. Hasil dan Pembahasan
1. Optimasi  Parameter  Model  Holt-Winters
Multiplikatif menggunakan Metode

## Golden Section
Proses  perhitungan  parameter  optimal dilakukan  secara  iteratif  sehingga  memenuhi syarat  berentinya  iterasi  yaitu 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝜀 . Perhitungan  dilakukan  dengan  bantuan  bahasa pemrograman MATLAB yang hasilnya disajikan pada tabel berikut:
Tabel 2. Hasil Perhitungan iterasi optimasi Parameter Holt-winters Multiflikatif dengan algoritma
Golden Section Iterasi 𝜶 𝟏 𝜶 𝟐 𝜷 𝟏 𝜷 𝟐 𝜸 𝟏 𝜸 𝟐 MAPE optimal Epsilon 1 0.381966 0.618034 0.381966 0.618034 0.381966 0.618034 15.132745 1.732051 2 0.236068 0.381966 0.236068 0.381966 0.236068 0.381966 13.745268 1.070466 3 0.145898 0.236068 0.145898 0.236068 0.381966 0.472136 13.015693 0.661585 4 0.236068 0.291796 0.090170 0.145898 0.472136 0.527864 12.515735 0.408882 5 0.201626 0.236068 0.055728 0.090170 0.527864 0.562306 12.323708 0.252703 6 0.236068 0.257354 0.034442 0.055728 0.562306 0.583592 12.268410 0.156179 7 0.222912 0.236068 0.021286 0.034442 0.583592 0.596748 12.230930 0.096524 8 0.236068 0.244199 0.013156 0.021286 0.596748 0.604878 12.208666 0.059655 9 0.231043 0.236068 0.008131 0.013156 0.604878 0.609903 12.191812 0.036869 10 0.227937 0.231043 0.005025 0.008131 0.609903 0.613009 12.179820 0.022786 11 0.226018 0.227937 0.003106 0.005025 0.613009 0.614928 12.171785 0.014083 12 0.224832 0.226018 0.001919 0.003106 0.614928 0.616115 12.166577 0.008704 13 0.224099 0.224832 0.001186 0.001919 0.616115 0.616848 12.163265 0.005379 14 0.223645 0.224099 0.000733 0.001186 0.616848 0.617301 12.161182 0.003324
Iterasi 𝜶 𝟏 𝜶 𝟐 𝜷 𝟏 𝜷 𝟐 𝜸 𝟏 𝜸 𝟐 MAPE optimal Epsilon 15 0.223365 0.223645 0.000453 0.000733 0.617301 0.617581 12.159881 0.002055 16 0.223192 0.223365 0.000280 0.000453 0.617581 0.617754 12.159072 0.001270 17 0.223085 0.223192 0.000173 0.000280 0.617754 0.617861 12.158570 0.000785
Berdasarkan  proses  optimasi  di  atas banyaknya  kombinasi 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 yang menghasilkan  nilai  MAPE  optimal  adalah pasangan kombinasi 𝛼 1 , 𝛽 1 , dan 𝛾 2 yaitu dengan nilai 𝛼 =  0.223085, 𝛽 = 0.000173, dan 𝛾 = 0.617861 . Nilai MAPE optimal atau minimumnya  adalah  12.158570%,  berdasarkan tabel  1.  maka  diambil  kesimpulan  bahwa kemampuan model peramalan baik.

## 2. Optimasi  Parameter  Model  Holt-Winters
Aditif  menggunakan  Metode  Golden
Section
Sama  halnya  seperti  Optimasi  Parameter Model Holt-Winters Multiplikatif , proses
perhitungan parameter optimal dilakukan secara iteratif  sehingga  memenuhi  syarat  berentinya iterasi  yaitu 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝜀 .  Perhitungan  dilakukan dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB  yang  hasilnya  disajikan  pada  tabel berikut:
Tabel 3. Hasil Perhitungan iterasi Optimasi Parameter Holt-Winters Aditif dengan Algoritma Golden Section
Iterasi 𝜶 𝟏 𝜶 𝟐 𝜷 𝟏 𝜷 𝟐 𝜸 𝟏 𝜸 𝟐 MAPE optimal Epsilon 1 0.381966 0.618034 0.381966 0.618034 0.381966 0.618034 15.023389 1.732051 2 0.236068 0.381966 0.236068 0.381966 0.236068 0.381966 14.096931 1.070466 3 0.145898 0.236068 0.145898 0.236068 0.381966 0.472136 13.326646 0.661585 4 0.090170 0.145898 0.090170 0.145898 0.472136 0.527864 12.865617 0.408882 5 0.145898 0.180340 0.055728 0.090170 0.437694 0.472136 12.519159 0.252703 6 0.180340 0.201626 0.034442 0.055728 0.416408 0.437694 12.412627 0.156179 7 0.167184 0.180340 0.021286 0.034442 0.437694 0.450850 12.360930 0.096524 8 0.180340 0.188471 0.013156 0.021286 0.450850 0.458980 12.315778 0.059655 9 0.188471 0.193496 0.008131 0.013156 0.458980 0.464005 12.287467 0.036869 10 0.193496 0.196601 0.005025 0.008131 0.464005 0.467111 12.269762 0.022786 11 0.196601 0.198521 0.003106 0.005025 0.467111 0.469030 12.259232 0.014083 12 0.198521 0.199707 0.001919 0.003106 0.469030 0.470217 12.252698 0.008704 13 0.197787 0.198521 0.001186 0.001919 0.470217 0.470950 12.248921 0.005379 14 0.198521 0.198974 0.000733 0.001186 0.470950 0.471403 12.246264 0.003324 15 0.198974 0.199254 0.000453 0.000733 0.471403 0.471683 12.244620 0.002055 16 0.199254 0.199427 0.000280 0.000453 0.471683 0.471856 12.243602 0.001270 17 0.199427 0.199534 0.000173 0.000280 0.471856 0.471963 12.242973 0.000785
Berdasarkan  proses  optimasi  di  atas banyaknya  kombinasi 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 yang menghasilkan  nilai  MAPE  optimal  adalah pasangan kombinasi 𝛼 2 , 𝛽 1 , dan 𝛾 2 yaitu dengan nilai 𝛼 =  0.199534, 𝛽 = 0.000173, dan 𝛾 = 0.471963 . Nilai MAPE optimal atau minimumnya  adalah  12.242973%,  berdasarkan tabel  1.  maka  diambil  kesimpulan  bahwa kemampuan model peramalan baik.
3. Optimasi  Parameter  Model  Holt-Winters
Multiplikatif menggunakan
Metode

## Pencarian Dikotomi
Proses  perhitungan  parameter  optimal dilakukan  secara  iteratif  sehingga  memenuhi syarat berentinya iterasi. Perhitungan dilakukan dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB  yang  hasilnya  disajikan  pada  tabel berikut:
Tabel 4. Hasil Perhitungan Iterasi Optimasi Parameter Holt-Winters Multiflikatif dengan Algoritma
Pencarian Dikotomi Iterasi 𝜶 𝟏 𝜶 𝟐 𝜷 𝟏 𝜷 𝟐 𝜸 𝟏 𝜸 𝟐 MAPE optimal Epsilon 1 0.499500 0.500500 0.499500 0.500500 0.499500 0.500500 17.315178 1.000000 2 0.249750 0.250750 0.249750 0.250750 0.749250 0.750250 13.950077 0.865159 3 0.124875 0.125875 0.124875 0.125875 0.624375 0.625375 13.329307 0.432580 4 0.187312 0.188312 0.062437 0.063437 0.561937 0.562937 12.481432 0.216290 5 0.218531 0.219531 0.031219 0.032219 0.530719 0.531719 12.286013 0.108145 6 0.234141 0.235141 0.015609 0.016609 0.546328 0.547328 12.236717 0.054072 7 0.241945 0.242945 0.007805 0.008805 0.554133 0.555133 12.209849 0.027036 8 0.245848 0.246848 0.003902 0.004902 0.558035 0.559035 12.195568 0.013518 9 0.247799 0.248799 0.001951 0.002951 0.559986 0.560986 12.188178 0.006759 10 0.248774 0.249774 0.000976 0.001976 0.560962 0.561962 12.184415 0.003380 11 0.249262 0.250262 0.000488 0.001488 0.561450 0.562450 12.182516 0.001690 12 0.249506 0.250506 0.000244 0.001244 0.561694 0.562694 12.181562 0.000845
Berdasarkan  proses  optimasi  di  atas banyaknya  kombinasi 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 yang menghasilkan  nilai  MAPE  optimal  adalah pasangan kombinasi 𝛼 2 , 𝛽 1 , dan 𝛾 2 yaitu dengan nilai 𝛼 =  0.250506, 𝛽 = 0.000244, dan 𝛾 = 0.562694 . Nilai MAPE optimal atau minimumnya  adalah  12.181562%,  berdasarkan tabel  1.  maka  diambil  kesimpulan  bahwa kemampuan model peramalan baik.

## 4. Optimasi  Parameter  Model  Holt-Winters Aditif  menggunakan  Metode  Pencarian Dikotomi
Proses  perhitungan  parameter  optimal dilakukan  secara  iteratif  sehingga  memenuhi syarat berentinya iterasi. Perhitungan dilakukan dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB  yang  hasilnya  disajikan  pada  tabel berikut:
Tabel 5. Hasil Perhitungan Iterasi Optimasi Parameter Holt-Winters Aditif dengan Algoritma
Pencarian Dikotomi Iterasi 𝜶 𝟏 𝜶 𝟐 𝜷 𝟏 𝜷 𝟐 𝜸 𝟏 𝜸 𝟐 MAPE optimal Epsilon 1 0.499500 0.500500 0.499500 0.500500 0.499500 0.500500 17.086801 1.000000 2 0.249750 0.250750 0.249750 0.250750 0.749250 0.750250 14.223617 0.865159 3 0.124875 0.125875 0.124875 0.125875 0.624375 0.625375 13.319374 0.432580 4 0.187312 0.188312 0.062437 0.063437 0.561937 0.562937 12.579288 0.216290 5 0.218531 0.219531 0.031219 0.032219 0.530719 0.531719 12.415551 0.108145 6 0.202922 0.203922 0.015609 0.016609 0.546328 0.547328 12.300947 0.054072 7 0.195117 0.196117 0.007805 0.008805 0.538523 0.539523 12.243146 0.027036 8 0.199020 0.200020 0.003902 0.004902 0.542426 0.543426 12.223422 0.013518 9 0.197068 0.198068 0.001951 0.002951 0.544377 0.545377 12.212948 0.006759 10 0.198044 0.199044 0.000976 0.001976 0.545353 0.546353 12.207581 0.003380 11 0.198532 0.199532 0.000488 0.001488 0.545840 0.546840 12.204890 0.001690 12 0.198776 0.199776 0.000244 0.001244 0.546084 0.547084 12.203543 0.000845
Berdasarkan  proses  optimasi  di  atas banyaknya  kombinasi 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 yang menghasilkan  nilai  MAPE  optimal  adalah pasangan kombinasi 𝛼 2 , 𝛽 1 , dan 𝛾 2 yaitu dengan nilai 𝛼 =  0.199776, 𝛽 = 0.000244, dan 𝛾 = 0.547084 . Nilai MAPE optimal atau minimumnya  adalah  12.203543%,  berdasarkan tabel  1.  maka  diambil  kesimpulan  bahwa kemampuan model peramalan baik.
D. Kesimpulan dan Saran
1. Kesimpulan :
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan maka  dapat  diambil  kesimpulan  sebagai berikut:
1. Berdasarkan  perhitungan  dengan Golden Section maka  didapat  parameter  yang optimal  untuk  tiap-tiap  metode,  Holt- Winters  Multiflikatif  dengan  parameter alpha  ( 𝛼 )  sebesar  0.223085 , parameter
beta  ( 𝛽 )  sebesar  0.000173,  parameter gamma  ( 𝛾 )  sebesar  0.617861  dan  nilai MAPE  optimal  sebesar  12.158570%. Untuk Holt-Winters Aditif dengan parameter  alpha  ( 𝛼 )  sebesar  0.199534 , parameter  beta  ( 𝛽 )  sebesar  0.000173 , parameter  gamma  ( 𝛾 )  sebesar 0.471963 dan nilai MAPE optimal sebesar 12.242973%.
2. Berdasarkan perhitungan dengan Pencarian Dikotomi maka didapat parameter  yang  optimal  untuk  tiap-tiap metode, Holt-Winters Multiflikatif
dengan  parameter  alpha  ( 𝛼 )  sebesar 0.250506,  parameter  beta  ( 𝛽 )  sebesar 0.000244,  parameter  gamma  ( 𝛾 )  sebesar 0.562694  dan  nilai  MAPE  optimal sebesar 12.181562%. Untuk Holt- Winters  Aditif  dengan  parameter  alpha ( 𝛼 ) sebesar 0.199776, parameter beta ( 𝛽 ) sebesar  0.000244,  parameter  gamma  ( 𝛾 ) sebesar  0.547084  dan  nilai  MAPE optimal sebesar 12.203543%.
3. Metode  optimisasi  non  linier,  terkhusus
Golden  Section dan  Pencarian  Dikotomi dapat  dipergunakan  untuk  menentukan parameter  optimal  tanpa  harus  mencoba seluruh kemungkinan
kombinasi parameter  yang mungkin,  yang mana  hal ini  akan  menghabiskan  waktu  yang banyak.

## 2. Saran
Penelitian  ini  terbatas  pada  cara mengoptimalkan  parameter  menggunakan metode Golden  Section dan  Pencarian Dikotomi.  Peneliti  selanjutnya  disarankan untuk  menggunakan  metode  lain  untuk mengoptimalkan parameter Exponential
Smoothing  Holt-  Winters ,  seperti  metode Levenberg-marquardt, metode Generalized
Reduced Gradient dan lain sebagainya.

## E. Daftar Pustaka
Ai,  T.J.  (2002). Penyelesaian  NonLinier Programming dengan Kendala Menggunakan  Modifikasi  Golden  Section. Jurnal Teknologi Industri Vol. 6, No. 1.
Akbari,  Fiqih,  Arief  S.,  Ferry  Wahyu  W. (2018). Optimasi  Parameter  Pemulusan
Algoritma  Brown  Menggunakan  Metode Golden  Section  Untuk  Prediksi  Data  Tren Positif dan Negatif. Jurnal RESTI
(Rekayasa Sistem dan Teknologi Informasi) Vol . 2 No. 1 (2018).
C.  D.  Lewis,  (1982). Industrial  And  Business Forcasting Methods: A Practical Guide To Exponential Smoothing And Curve Fitting . Butterworth-Heinemann
Karmaker,  C.  L.,  Halder,  P.  K.,  &  Sarker,  E. (2017). A  Study  of  Time  Series  Model  for Predicting Jute Yarn Demand: International Journal of industrial engineering.,  DOI:10.115/2017/2061260. 1-8.
Kinasih,  Sekar,  Arief  A.,  Sugiman.  (2018).
Optimasi Parameter pada Model Exponential Smoothing Menggunakan
Metode  Golden  Section  untuk  Pemilihan Model  Terbaik  dan  Peramalan  Jumlah Wisatawan Provinsi Jawa Tengah. UNNES Journal of Mathematics 7(1).
Kiusalaas,  Jaan.(  2010). Numerical  Methods  In Engineering  With  MATLAB.  Cambridge University Press.
Luknanto,  Djoko.  (2000). Pengantar  Opitmasi Nonlinier. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.
Makridakis,  S,  Steven  C.  Wheelwright,  dan Victor  E.  Mcgee.  (1999).  Forecasting: Methods  and  Applications.  In  Andriyanto, Untung  Sus,  Abdul  Basith  (eds).  Metode dan Aplikasi Peramalan, Jakarta: Erlangga.
Montgomery,  Douglas  C.,  Cheryl  L.,  Murat  K.
(2008). Introduction  to  Time  Series Analysis and Forecasting. United States of America: John Wiley and Sons.
Novalia,  Dyah,  Sugiman,  Sunarmi.  (2018).
Perbandingan Hasil Optimasi Pada Metode  Brown’s  One-Parameter  Double Exponential Smoothing Menggunakan Algoritma Non-Linear Programming Berbantuan  Matlab.  UNNES  Journal  of Mathematics 7(1).
Sharma, S. (2006). Applied Nonlinear Programming.  New  Age  International  (P)
Ltd., Publishers: New Delhi.
Qarani,  Muhammad  A.  A.,  Rukun  S.  Diah  S. (2018). Pengembangan Estimasi Parameter  Pada  Metode  Exponential Smoothing Holt-Winters Additive Menggunakan  Metode  Optimasi  Golden Section.  Jurnal  Gaussian,  Volume  7,
Nomor 4.