## Model Stokastik Tipe SIRV Pada Penyebaran COVID-19 dengan Mempertimbangkan Efektivitas Vaksinasi
Sislia Utina 1 , Ismail Djakaria 2 , Isran K. Hasan 3 , Resmawan 4 , Agusyarif Rezka Nuha 5* , Salmun K. Nasib 6
12345*6 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Gorontalo, Jl. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango, Gorontalo 96119, Indonesia
Korespondensi; Agusyarif Rezka Nuha, Email: agusyarif@ung.ac.id

## Abstrak
Model  epidemik  SIRV  merupakan  salah  satu  model  epidemik  yang  merepresentasikan  penyebaran  penyakit  menular pada empat kompartemen susceptible, infected , recovered dan vaccinated . Pada penelitian ini, model SIRV digunakan untuk mempelajari dinamika penyebaran penyakit COVID-19 dengan dua tahapan vaksinasi, yakni vaksinasi tahap 1 dan vaksinasi  tahap  2.  Analisis  model  dilakukan  dengan  menentukan  bilangan  reproduksi  dasar,  selanjutnya  menentukan peluang  transisi  dan  peluang  terjadinya  wabah  dengan  pendekatan  stokastik  C ontinuous-time  Markov  Chain (CTMC). Simulasi dilakukan untuk melihat pengaruh parameter laju vaksinasi tahap 1, laju penurunan efektivitas vaksin tahap 2 dan  laju  efektivitas  pengobatan/treatment  terhadap  dinamika  populasi.  Hasil  simulasi  menunjukkan  dengan  laju vaksinasi  sebesar 𝟎, 𝟎𝟑% dapat  menyebabkan  berkurangnya  jumlah  individu  rentan  dan  terinfeksi.  Adapun  tingkat efektivitas  vaksin  sebesar 𝟔𝟎% efektif  mengurangi  jumlah  individu  yang  terinfeksi.  Selanjutnya  pemberian pengobatan/treatment  diperlukan  sebanyak 𝟖% per  hari  untuk  mencegah  meningkatnya  kembali  kasus  infeksi  agar penyebaran COVID-19 dapat menghilang dari populasi.
Kata Kunci : COVID-19, peluang wabah, stokastik, vaksinasi

## Abstract
The  SIRV  epidemic  model  is  an  epidemic  model  that  represents  the  spread  of  infectious  diseases  in  four  susceptible, infected, recovered, and vaccinated compartments. In this study, the SIRV model was used to study the dynamics of the spread of COVID-19 disease with two vaccination stages, namely, stage 1 vaccination and stage 2 vaccination. Analysis of the model is carried out by determining the basic reproduction number, then determining the probability of transition and the probability of outbreaks using the Continuous-time Markov Chain (CTMC) stochastic approach. Simulations were carried out to see the effect of the rate of 1st stage vaccination rate parameter, the rate of decline in the effectiveness of the 2nd stage vaccination, and the rate of treatment effects on population dynamics. The simulation results show that a large vaccination rate of 0,03% can reduce the number of susceptible and infected individuals. The level of effectiveness of the vaccine is as 60%effective as reducing the number of infected individuals. Furthermore, the provision of treatment is needed as much as 8%per day to prevent the re-infection of cases so that the spread of COVID-19 can disappear from the population.
Keywords : COVID-19, outbreak probability, stochastic, vaccination

## Pendahuluan
Coronavirus Disease-2019 (COVID-19) merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan Severe Acute  Respiratory  Syndrome  Coronavirus-2 (SARS-CoV-2).  Penyebaran  virus  corona  terjadi  secara langsung dari satu individu ke individu lain akibat droplet atau cipratan liur dari seseorang yang terinfeksi [1].  Walaupun  dengan  ukuran  virus  yang  sangat  kecil  yaitu  120  nanometer,  dalam  satu  lingkungan
dengan satu orang saja yang terinfeksi, seseorang tersebut mampu menularkan virus corona dengan cepat. Setahun setelah COVID-19 pertama kali dikonfirmasi di Indonesia, pada tanggal 17 April 2021 tercatat 1.599.763  kasus  terkonfirmasi  positif  COVID-19  dengan  total  pasien  sembuh  1.450.192  dan  terdapat 43.328 orang meninggal dunia [2].
Upaya penerapan protokol kesehatan diterapkan demi menekan lonjaknya kasus yang terjadi. Mulai tanggal  13  Januari  2021  program  vaksinasi  COVID-19  di  Indonesia  dilakukan.  Vaksinasi  dilakukan dalam dua tahapan, karena suntikan vaksin COVID-19 berkaitan langsung dengan pembentukan antibodi dan  mutasi  virus  corona  dalam  tubuh  manusia.  Selain  mengutamakan  penerapan  protokol  kesehatan, dalam  penanganan  pandemi  ini  sejumlah  penelitian  mulai  dikembangkan.  Dalam  bidang  matematika, model matematika dikembangkan untuk mempelajari sifat, dinamika serta efek yang ditimbulkan dari penyebaran  COVID-19  sesuai  dengan  perkembangan  karakteristik  COVID-19  yang  ditemukan dilapangan, baik dari sisi pola penyebarannya maupun cara untuk mengantisipasi penularannya.
Pada  awal  terjadinya  wabah,  beberapa  riset  dilakukan  untuk  membahas  model  matematika penyebaran  penyakit  COVID-19.  Diantaranya  adalah  penggunaan  model  dengan  estimasi  parameter berupa smoothing [3], [4] konstruksi model dan melibatkan intervensi karantina (Resmawan et al., 2021) serta  kajian  dengan  mempertimbangkan  faktor  vaksinasi,  pengobatan,  karantina,  kepatuhan  dalam melaksanakan protokol kesehatan [6], [7]. Selain itu, penelitian yang telah membahas model matematika penyebaran COVID-19 dapat ditemukan pada [8]–[13].
Salah  satu  model  yang  dapat  digunakan  untuk  membahas  penyebaran  COVID-19  adalah  model stokastik.  Model  ini  menggunakan  kaidah  peluang  dalam  merepresentasikan  kondisi  atau  dinamika penyebaran penyakit. Penerapan model stokastik dalam penyebaran penyakit diantaranya dapat dianalisis dengan menggunakan pendekatan  rantai markov.  Penelitian yang telah  membahas penggunaan  model stokastik dengan rantai markov dapat dilihat di [14], [15].
Penelitian ini mengkaji pengembangan model stokastik dengan pendekatan Continuous Time Markov Chain (CTMC)  untuk  mempelajari  dinamika  penyebaran  penyakit  COVID-19.  Model  yang dikembangkan  mengacu  pada  penelitian  [6]  yaitu  dengan  memodifikasi  menambahkan  dua  kelas subpopulasi yang mewakili individu yang telah di vaksin, yaitu vaksinasi tahap 1 ( 𝑉 1 ) dan vaksinasi tahap 2  ( 𝑉 2 ).  Analisis  yang  dilakukan  mencakup  perhituang  peluang  terjadinya  wabah  berdasarkan  tingkat efektivitas vaksinasi COVID-19 dan efektivitas pemberian pengobatan/treatment juga dipertimbangkan dengan tujuan agar model yang di bentuk lebih merepresentasikan keadaan atau fakta yang berlaku di lapangan.  Bagian  akhir  dari  penelitian  ini  adalah  simulasi  numerik  untuk  merepresentasikan  model berdasarkan asumsi-asumsi yang diberikan.

## Metode
Kajian terhadap model diawali dengan menentukan asumsi yang berkaitan dengan masalah penyebaran COVID-19,  kemudian  mengkontruksi  model  berdasarkan  asumsi  yang  ditentukan.  Analisis  model dilakukan dengan menentukan bilangan reproduksi dasar, selanjutnya menentukan peluang transisi dan peluang terjadinya wabah dengan pendekatan stokastik Continuous-time Markov Chain (CTMC).

## Hasil dan Pembahasan
Model  epidemik  SIRV  pada  penelitian  ini  mendeskripsikan  penyebaran  penyakit  COVID-19  pada kelas populasi individu rentan (susceptible), individu terinfeksi (infected), individu sembuh (recovered), individu  vaksinasi  tahap  1,  dan  individu  vaksinasi  tahap  2.  Pada  model  ini,  diasumsikan  bahwa  laju kelahiran tidak sama dengan laju kematian, dengan kata lain ukuran populasi total tidak konstan, Adapun pada kelas individu vaksinasi tahap 1 dilakukan pemberlakuan karantina, sehingga tidak terjadi interaksi antar kelas populasi, Selanjutnya, tingkat efektivitas vaksin sama dengan tingkat kekebalan tubuh, dan populasi  individu  dalam  kelas  vaksinasi  tahap  1  akan  menjadi  rentan  atau  terinfeksi  apabila  tingkat efektivitas  dari  vaksin  menurun.  Kemudian  untuk  populasi  individu  yang  sembuh  akibat  terinfeksi COVID-19 diasumsikan memiliki antibodi terhadap virus dan menjadi kebal terhadap penyakit karena
sudah terdapat sistem imun dalam tubuhnya, Terakhir, total populasi dituliskan dengan 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 + 𝑉 1 + 𝑉 2 .
Berdasarkan  asumsi  yang  diberikan,  maka  skema  model  epidemik  SIRV  diilustrasi  pada  diagram kompartemen berikut.
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model SIRV.

## Peluang Transisi
Peluang  transisi  model  epidemik  SIRV  stokastik  dengan  pendekatan  rantai  Markov  waktu  kontinu (CTMC) didefinisikan dalam bentuk infinitesimal transition probabilities dimana terdapat 𝑜(Δ𝑡) dengan lim 𝑡→∞ 𝑜(Δ𝑡) Δ𝑡 = 0 yang menunjukkan suatu nilai probabilitas yang sangat kecil dan tidak dapat dinyatakan secara pasti. Proses stokastik model epidemik 𝑋⃗(𝑡) = (𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑉 1 (𝑡), 𝑉 2 (𝑡), 𝑅(𝑡)) dimana 𝑡 ∈ [0, ∞) didefinisikan sebagai berikut.
𝑝 𝒂→𝒃 (Δ𝑡) = 𝑃𝑟𝑜𝑏{𝑋⃗(𝑡)(𝑡 + Δ𝑡) = 𝒃 |𝑋⃗(𝑡) = 𝒂} = 𝑃(𝒂, 𝒃)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡).
Berdasarkan perubahan transisi yang terjadi maka untuk model epidemik SIRV dengan CTMC diperoleh peluang transisi sebagai berikut.
𝑃 = { Λ𝑁 Δ𝑡  +  𝑜(Δ𝑡) 𝜇𝑆 Δ𝑡  +  𝑜(Δ𝑡) 𝛽𝑆𝐼 𝑁 Δ𝑡  +  𝑜(Δ𝑡) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠 + 1, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠 − 1, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠 − 1, 𝑖 + 1, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) 𝜏𝑆 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡) 𝜀𝑉 1 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡) 𝜎𝛽𝑉 2 𝐼 𝑁 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠 − 1, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 + 1, 𝑣 2 )
(𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 − 1, 𝑣 2 + 1) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖 + 1, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 − 1) 𝜇𝑉 1 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡) 𝜇𝑉 2 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡) (𝜇 + 𝜉)𝐼 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡) (𝛾 + 𝜃)𝐼 Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡) 1 − 𝐺(𝑡)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)
(𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 − 1, 𝑣 2 ) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 − 1) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖 − 1, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖, 𝑟 + 1, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) =   (𝑠, 𝑖, 𝑟, 𝑣 1 , 𝑣 2 ) (1)
dengan
𝐺(𝑡) = (Λ𝑁 + 𝜇𝑆 + 𝛽𝑆𝐼 𝑁 + 𝜏𝑆 + 𝜀𝑉 1 + 𝜎𝛽𝑉 2 𝐼 𝑁 + 𝜇𝑉 1 + 𝜇𝑉 2 + (𝜉 + 𝜇 + 𝛾 + 𝜃)𝐼).
Menggunakan  sifat  Markov  dan  infinitesimal  transition  probabilities,  peluang  pada  waktu 𝑡 + Δ𝑡 dinyatakan sebagai berikut.
𝑝 (𝑠,𝑖,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 ) (𝑡 + 𝛥𝑡) =   𝑝 (𝑠+1,𝑖,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 ) [Λ𝑁 Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)]  + 𝑝 (𝑠−1,𝑖,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 ) [𝜇 (𝑠 − 1)Δ𝑡  +  𝑜(Δ𝑡)]
+𝑝 (𝑠−1,𝑖+1,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 ) [ 𝛽(𝑠−1)(𝑖+1) 𝑁 Δ𝑡 +  𝑜(Δ𝑡)]
+ 𝑝 (𝑠−1,𝑖,𝑟,𝑣 1 +1,𝑣 2 ) [𝜏(𝑠 − 1)Δ𝑡  + 𝑜(Δ𝑡)] +𝑝 (𝑠,𝑖,𝑟,𝑣 1 −1,𝑣 2 +1) [𝜀 (𝑣 1 − 1)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)]
+𝑝 (𝑠,𝑖+1,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 −1) [ 𝜎𝛽(𝑣 2 −1)(𝑖+1) 𝑁 Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] (2)
+𝑝 (𝑠,𝑖,𝑟,𝑣 1 −1,𝑣 2 ) [𝜇(𝑣 1 − 1)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] +𝑝 (𝑠,𝑖,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 −1) [𝜇(𝑣 2 − 1) Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] +𝑝 (𝑠,𝑖−1,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 ) [(𝜇 + 𝜉)(𝑖 − 1)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)] +𝑝 (𝑠,𝑖−1,𝑟+1,𝑣 1 ,𝑣 2 ) [(𝛾 + 𝜃)(𝑖 − 1)Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)]
+𝑝 (𝑠,𝑖,𝑟,𝑣 1 ,𝑣 2 ) [1 − (Λ𝑛 + (𝜇 + 𝜏)𝑠 + 𝛽𝑠𝑖 𝑛 + 𝜎𝛽𝑣 2 𝑖 𝑛 + (𝜇 + 𝜀)𝑣 1 + 𝜇𝑣 2 + (𝜉 + 𝜇 + 𝛾  + 𝜃)𝑖) Δ𝑡  +  𝑜(Δ𝑡)]

## Peluang Wabah
Wabah akan terjadi jika minimal terdapat satu individu yang terinfeksi atau jumlah individu terinfeksi semakin  meningkat.  Peluang  wabah  diperkirakan  dengan  model  jalan  acak  sederhana.  Misalkan 𝐼(𝑛) variabel acak pada waktu t dalam state 0, 1, 2, … . Jika 𝐼(𝑛) = 𝑖 maka hanya terdapat satu perpindahan pada  interval  waktu  berikutnya.  Perpindahan  state  saat  individu  terinfeksi  bertambah 𝑖 → 𝑖 + 1 dinotasikan  dengan  peluang 𝑝 dan  perpindahan  state  saat  individu  terinfeksi  berkurang 𝑖 → 𝑖 − 1 dinotasikan dengan peluang 𝑞 [16]. Sehingga peluang individu bebas penyakit 𝑃𝑟𝑜𝑏{𝐼(𝑛) = 0} dapat dicari menggunakan persamaan berikut.
lim 𝑡→∞ 𝑃𝑟𝑜𝑏{𝐼(𝑛) = 0} = { 1, 𝑝 ≤ 𝑞 ( 𝑞 𝑝 ) 𝑖 0 𝑝 > 𝑞. (3)
Untuk mengetahui potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi, ditentukan bilangan reproduksi dasar ( ℛ 0 ) model dengan menggunakan the next generation matrix [17]. Berikut diperoleh laju infeksi matriks 𝐹 dan laju transisi matriks 𝑉 .
𝑭 = (𝛽 ( Λ 𝜇+𝜏 + 𝜀Λ𝜎𝜏 𝜇 (𝜀+𝜇)(𝜇+𝜏) ) 0 0 0 ), dan 𝑽 = ( 𝛾 + 𝜃 + 𝜇 + 𝜉 0 −𝛾 − 𝜃 𝜇)
berdasarkan metode [12] diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut.
ℛ 0 = 𝛽Λ(𝜇(𝜀+𝜇)+𝜀𝜎𝜏) 𝜇(𝜀+𝜇)(𝛾+𝜃+𝜇+𝜉)(𝜇+𝜏) (4)
Selanjutnya,  peluang  wabah  ditentukan  dengan  menggunakan  prinsip probability  generating  function (pgf) pada proses bercabang ganda [16]. Pada awal terjadinya penyakit 𝐼(0) = 1 , sehingga diperoleh pgf untuk 𝐼 adalah
𝑓(𝑢) = 𝛽𝑆 𝑁 𝑢 2 + 𝜎𝛽𝑉2 𝑁 𝑢 2 +𝜃+𝛾+𝜇+𝜉 𝛽𝑆 𝑁 + 𝛽𝜎𝑉2 𝑁 +𝜃+𝛾+𝜇+𝜉 (5)
Pada kondisi tertentu untuk nilai pgf 0 < 𝑞 < 1 , terdapat 𝑓(𝑞) = 𝑞, maka berdasarkan persamaan (5) diperoleh
𝑞 = 𝜇(𝜀+𝜇)(𝛾+𝜃+𝜇+𝜉)(𝜇+𝜏) 𝛽Λ(𝜇(𝜀+𝜇)+𝜀𝜎𝜏) (6)
Dari persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝑞 = 1 ℛ 0 .
Sehingga, peluang tidak adanya individu terinfeksi adalah
𝑃𝑟𝑜𝑏{𝐼(𝑛) = 0} = { 1, ℛ 0 ≤ 1 ( 1 ℛ 0 ) 𝑖 0 , ℛ 0 > 1 (7)
Berdasarkan persamaan (7), diperoleh peluang terjadinya wabah adalah
𝒫 0 = 1 − 𝑃{𝐼(𝑛) = 0}
atau
𝒫 0 = { 0, ℛ 0 ≤ 1 (1 − 1 ℛ 0 ) 𝑖 0 , ℛ 0 > 1. (8)

## Estimasi Parameter
Parameter yang diestimasi dalam model adalah laju infektivitas penyakit (𝛽) , laju penyembuhan penyakit (𝛾) , laju vaksinasi tahap pertama (𝜏) dan laju vaksinasi tahap kedua (𝜀) . Berdasarkan peluang transisi persamaan (2) , diperoleh.
𝐼(𝑡 + Δ𝑡) − 𝐼(𝑡) = 𝛽𝑆𝐼Δ𝑡 − 𝛾𝐼Δ𝑡 + 𝑜(Δ𝑡)
Misalkan 𝑜(Δ𝑡) = 0 , maka 𝐼(𝑡+𝛥𝑡)−𝐼(𝑡) 𝛥𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼. (9)
Berdasarkan persamaan (9), diperoleh
lim Δt→0 𝐼(𝑡+𝛥𝑡)−𝐼(𝑡) 𝛥𝑡 = lim Δt→0 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝛾𝐼 (10)
Karena  diawal  waktu  belum  terdapat  individu  yang  terinfeksi,  maka  berdasarkan  persamaan  (10), diperoleh
𝑑𝐼 𝑑𝑡 ≈ (𝛽 − 𝛾)𝐼 (11)
dengan melakukan pengintegralan pada persamaan (11), diperoleh
𝐼 = 𝐼 0 e (β−γ)𝑡 . (12)
Misalkan 𝑚 = 𝛽 − 𝛾 , persamaan (12) menjadi
𝐼 = 𝐼 0 e 𝑚𝑡 (13)
Selanjutnya 𝐼 0 dan 𝑚 dapat dihitung menggunakan regresi eksponensial.

## Simulasi Numerik
Simulasi numerik dilakukan berdasarkan hasil analisis model epidemik SIRV stokastik pada ersamaan (2). Dalam simulasi ditunjukkan dinamika awal populasi, pengaruh setiap parameter terhadap peluang terjadinya  wabah,  pengaruh  jumlah  individu  yang  divaksin,  dan  efektivitas  vaksinasi  serta  pengaruh pemberian pengobatan/treatment dalam pengendalian penyakit COVID-19.
Estimasi  parameter  dengan  menggunakan  data  penyebaran  COVID-19  di  Indonesia  pada  periode Maret  2020  sampai  dengan  Desember  2020  [18].  Metode  regresi  eksponensial  digunakan  untuk menghitung  laju  infektivitas  dan  penyembuhan  penyakit.  Adapun  perhitungan  laju  vaksinasi  tahap pertama didasarkan pada total vaksinasi dosis 1 sampai dengan tanggal 30 Juni 2021. Selanjutnya laju
vaksinasi tahap 2 didasarkan pada rentang waktu pemberian vaksin dengan perhitungan sebagai berikut. Perhitungan dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut:
𝜏 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑜𝑠𝑖𝑠 1 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑟𝑖 × 𝑆𝑎𝑠𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑘𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 dan 𝜀 =
1

## 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
Secara  umum  nilai  parameter  yang  digunakan  dalam  melakukan  simulasi  numerik,  ditunjukkan  pada Tabel 1.

## Tabel 1 Nilai Parameter Model
Parameter Keterangan Nilai Λ Laju Kekahiran 0,021/hari 𝛽 Laju infeksi penyakit 0,057/hari 𝜏 Laju vaksinasi tahap 1 8,4 × 10 −4 /hari 𝜀 Laju vaksinasi tahap 2 4 × 10 −4 /hari 𝜎 Laju penurunan efektivitas vaksin tahap 2 0,6/hari 𝜇 Laju kematian alami 6,25 × 10 −3 /hari 𝜉 Laju kematian akibat COVID-19 2,2 × 10 −4 /hari 𝛾 Laju penyembuhan penyakit 0,039/hari 𝜃 Laju pengobatan 0,06/hari
Nilai  parameter  pada  Tabel  1  digunakan  sebagai  tolak  ukur  awal  dalam  melakukan  simulasi numerik.  Oleh  karena  simulasi  ini  bertujuan  untuk  melihat  dinamika  populasi  pada  sistem  apabila diberikan  beberapa  kondisi  berbeda,  maka  untuk  pemilihan  beberapa  kondisi  tersebut  dilakukan dengan  mempertimbangkan  bahwa  meningkat  atau  menurunnya  nilai  parameter  yang  berpengaruh terhadap sistem. Berdasarkan persamaan (2), berikut merupakan simulasi awal model stokastik.
Berdasarkan  Gambar  2,  dalam  rentang  waktu  200  hari,  jumlah  individu  terinfeksi  dan  jumlah individu  vaksinasi  tahap  1  diawal  waktu  terjadi  peningkatan  drastis  kemudian  semakin  menurun dikarenakan perpindahan individu pada subpopulasi kelas vaksinasi tahap 2 . Sedangkan untuk jumlah individu rentan, jumlah individu vaksinasi tahap 2, dan jumlah individu sembuh pada awal waktu terus mengalami  peningkatan  hingga  akhir.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  pandemi  COVID-19  seiring berjalannya waktu akan terus berkurang dan menghilang dari populasi akibat meningkatnya jumlah individu vaksinasi tahap 2 dan jumlah individu sembuh yang menjadi kebal terhadap penyakit.
Selanjutnya dilakukan perhitungan untuk melihat pengaruh setiap parameter terhadap perubahan nilai peluang terjadinya wabah 𝒫 0 pada persamaan (8). Adapun hasil perhitungan dapat dilihat pada Gambar 3 yang menunjukkan bahwa laju vaksinasi tahap 1, laju penurunan efektivitas vaksin tahap 2 dan  laju  efektivitas  pengobatan/treatment  sangat  berpengaruh  terhadap  dinamika  populasi. Peningkatan laju vaksinasi tahap 1 mengakibatkan menurunnya nilai peluang terjadinya wabah. Hal serupa berlaku pada laju efektivitas pengobatan/treatment. Sementara itu, penurunan efektivitas tahap 2 mengakibatkan meningkatnya nilai peluang terjadinya wabah.
Gambar 3. Pengaruh Parameter Terhadap Perubahan 𝒫 0 .

## Pengaruh Jumlah Individu yang Divaksin
Simulasi dilakukan dengan memberikan beberapa kondisi  berbeda terhadap parameter vaksinasi yakni  laju  vaksinasi  tahap  1 (𝜏) .  Awal  mulanya  hanya  sebanyak 0,084% individu  rentan  yang
divaksinasi  seperti  Gambar  3.  Akan  ditunjukkan  bahwa  perubahan  nilai  parameter  vaksinasi  dapat mengubah dinamika populasi. Adapun dinamika populasi dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4. Pengaruh Parameter 𝜏 terhadap dinamika 𝑆, 𝑉 1 , dan 𝐼 .
Gambar 4 menunjukkan bahwa dengan memberikan perbedaan perlakuan pada individu vaksinasi tahap  1,  mengakibatkan  semakin  tinggi  nilai  proporsi  dan  nilai  parameter  lain  tetap,  maka  jumlah individu vaksinasi tahap 1 terus mengalami peningkatan. Sedangkan jumlah individu terinfeksi dan jumlah  individu  rentan  mengalami  penurunan.  Hal  ini  menunjukkan  dengan  meningkatkan  laju vaksinasi tahap 1 menyebabkan berkurangnya jumlah individu rentan dan terinfeksi. Adapun dengan laju vaksinasi tahap 1 sebesar 0,03% sudah mampu menekan wabah penyebaran COVID-19.

## Efektivitas Vaksinasi
Simulasi dilakukan untuk mengetahui pengaruh dari laju penurunan efektivitas vaksin tahap 2 (𝜎) . Untuk  melihat  pengaruh  dari  penurunan  efektivitas  vaksin  terhadap  dinamika  populasi,  dilakukan beberapa  skenario  dengan  menaikkan  atau  menurunkan  nilai  parameter  laju  penurunan  efektivitas vaksin tahap 2 (𝜎) .
Gambar 5. Pengaruh Parameter 𝜎 terhadap dinamika 𝑉 2 dan 𝐼 .
Berdasarkan Gambar 5, ketika laju penurunan efektivitas vaksin (𝜎) diperbesar menjadi 0,8 serta nilai parameter lain tetap, terlihat pada dinamika populasi jumlah individu vaksinasi tahap 2 menurun dan jumlah individu terinfeksi mengalami peningkatan. Sementara ketika laju penurunan efektivitas vaksin diperkecil menjadi 0,2 dan 0,4 serta nilai parameter lain tetap, terlihat pada dinamika populasi jumlah individu vaksinasi 2 mengalami peningkatan yang secara tidak langsung  menyebabkan jumlah individu  terinfeksi  menurun.  Oleh  karena  itu,  secara  keseluruhan  penurunan  efektivitas  vaksin minimal  sebesar 40% menunjukkan  terdapat  tingkat  efektivitas  vaksin  sebesar 60% yang  cukup efektif mengurangi jumlah individu yang terinfeksi.

## Efektivitas Pengobatan
Perhitungan  kali  ini  dilakukan  berdasarkan  perubahan  nilai  terhadap  parameter  (θ)  untuk mengetahui  efektivitas  pemberian  pengobatan/treatment.  Hasil  perhitungan  sebagaimana  yang terdapat  pada  Gambar  6,  menunjukkan  bahwa  ketika  nilai  parameter 𝜃 diperbesar 8% dan  nilai parameter  lain  tetap,  dinamika  populasi  jumlah  individu  terinfeksi  pengalami  penurunan  dan menyebabkan meningkatnya jumlah individu sembuh.
Gambar 6. Pengaruh Parameter 𝜃 terhadap dinamika 𝐼 dan 𝑅 .
Hal  ini  menunjukkan  bahwa  dengan  memperbesar  tingkat  pengobatan/treatment  dapat  menekan wabah penyebaran COVID-19.

## Kesimpulan
Modifikasi  model  epidemik  SIRV  stokastik  dengan  pendekatan  rantai  markov  waktu  kontinu menghasilkan sebaran peluang transisi dari banyaknya individu yang terinfeksi. Analisis peluang wabah model epidemik SIRV menghasilkan sebaran peluang terjadinya wabah adalah sebesar 0 ketika 𝑅 0 ≤ 1 dan (1 − 1/ℛ 0 ) 𝑖 0 ketika ℛ 0 > 1 .  Simulasi  numerik  menunjukkan  dengan  meningkatkan  vaksinasi sebesar 0,03% dapat menyebabkan berkurangnya jumlah individu rentan dan terinfeksi. Adapun tingkat efektivitas vaksin sebesar 60% cukup efektif mengurangi jumlah individu yang terinfeksi. Selanjutnya pemberian pengobatan/treatment  diperlukan sebanyak 8% per hari agar penyebaran COVID-19 dapat menghilang dari populasi.

## Referensi
[1] L. T. Phan et al. , “Importation and Human-to-Human Transmission of a Novel Coronavirus in Vietnam,” N. Engl. J. Med. , vol. 382, no. 9, pp. 872–874, 2020, doi: 10.1056/nejmc2001272.
[2] Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, “Seputaran Pelaksanaan Vaksinasi COVID-19,” Gerakan Masyarakat Hidup Sehat , 2021.
[3] A. Bastian, D. S. Heriyana, and S. F. Rodiansyah, “Perbandingan Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered), Exponential Moving Aaverage dan Single Exponential Smoothing pada Peramalan Covid-19,” Infotech J. , vol. 7, no. 2, pp. 75–82, 2021.
[4] I. Djakaria and S. E. Saleh, “Covid-19 forecast using Holt-Winters exponential smoothing,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1882, no. 1, 2021, doi: 10.1088/1742-6596/1882/1/012033.
[5] R.  Resmawan,  A.  R.  Nuha,  and  L.  Yahya,  “Analisis  Dinamik  Model  Transmisi  COVID-19  dengan  Melibatkan  Intervensi Karantina,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 1, pp. 66–79, Jan. 2021, doi: 10.34312/jjom.v3i1.8699.
[6] M. Abdy, S. Side, S. Annas, W. Nur, and W. Sanusi, “An SIR epidemic model for COVID-19 spread with fuzzy parameter: the case of Indonesia,” Adv. Differ. Equations , vol. 2021, no. 1, 2021, doi: 10.1186/s13662-021-03263-6.
[7] R. Rustan and L. Handayani, “THE OUTBREAK’S MODELING OF CORONAVIRUS (COVID-19) USING THE MODIFIED SEIR MODEL IN INDONESIA,” 2020 , vol. 5, no. 1, pp. 61–68, 2020.
[8] C. T. Deressa and G. F. Duressa, “Modeling and optimal control analysis of transmission dynamics of COVID-19: The case of Ethiopia,” Alexandria Eng. J. , 2020, doi: 10.1016/j.aej.2020.10.004.
[9] D. Kada, A. Kouidere, O. Balatif, M. Rachik, and E. H. Labriji, “MATHEMATICAL MODELING OF THE SPREAD OF COVID- 19  AMONG  DIFFERENT  AGE  GROUPS  IN  MOROCCO :  Optimal  Control  Approach  for  Intervention  Strategies,” Chaos, Solitons & Fractals , vol. 141, p. 110437, 2020, doi: 10.1016/j.chaos.2020.110437.
[10] X. Liu, “A simple, SIR-like but individual-based epidemic model: Application in comparison of COVID-19 in New York City and Wuhan,” Results Phys. , vol. 20, no. December 2020, p. 103712, 2021, doi: 10.1016/j.rinp.2020.103712.
[11] M. Lounis and D. K. Bagal, “Estimation of SIR model’s parameters of COVID-19 in Algeria,” Bull. Natl. Res. Cent. , vol. 44, no. 1, 2020, doi: 10.1186/s42269-020-00434-5.
[12] A. R. Nuha, N. Achmad, and N. ’Ain Supu, “Analisis Model Matematika Penyebaran Covid-19 Dengan Intervensi Vaksinasi Dan Pengobatan,” J. Mat. UNAND , vol. 10, no. 3, p. 406, 2021, doi: 10.25077/jmu.10.3.406-422.2021.
[13] S. I. Vinitsky, A. A. Gusev, V. L. Derbov, P. M. Krassovitskiy, F. M. Pen’kov, and G. Chuluunbaatar, “Reduced SIR Model of COVID-19 Pandemic,” Comput. Math. Math. Phys. , vol. 61, no. 3, pp. 376–387, 2021, doi: 10.1134/S0965542521030155.
[14] N. Eliska, H. Sumarno, and P. Sianturi, “ANALISIS MODEL EPIDEMIK SVEIR DENGAN CONTINUOUS TIME MARKOV CHAIN ( CTMC ) PADA PENYAKIT RUBELLA Analysis of SVEIR ’ s Epidemic Model with Continuous Time Markov Chain ( CTMC ),” vol. 15, no. 3, pp. 591–600, 2021.
[15] A. R. Nuha, P. Sianturi, and H. Sumarno, “A Stochastic Spatial Model of the Spread of Dengue Hemorrhagic Fever,” no. 5, pp. 98–104, 2017.
[16] L. J. S. Allen and G. E. Lahodny Jr, “Extinction Thresholds In Deterministic and Stochastic Epidemic Models,” J. Biol. Dyn. , vol.
6, no. 2, pp. 590–611, 2012, [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1080/17513758.2012.665502
[17] P.  Van  Den  Driessche  and  J.  Watmough,  “Reproduction  Numbers  and  Sub-threshold  Endemic  Equilibria  for  Compartmental Models of Disease Transmission,” Math. Biosci. , vol. 180, pp. 29–48, 2002.
[18] John Hopkins University dan Medicine, “Coronavirus Resource Center,” 2021. https://coronavirus.jhu.edu/map.html