CADANGAN ZILLMER DENGAN DISTRIBUSI PARETO DAN TINGKAT BUNGA COX-INGERSOLL-ROSS
Hasriati 1) Ihda Hasbiyati 2)
Audia Kirana 3)
Agung Prabowo
4*)
1,2,3) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau
4) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Jendral Soedirman E-mail: agung.prabowo@unsoed.ac.id

## ABSTRACT
This article discusses Zillmer's reserves for endowment life insurance. Zillmer reserves are a type of modification of premium reserves which are calculated using prospective reserves and the Zillmer rate. In Zillmer reserves, loading which is the difference between gross premium and net premium in the first policy year is greater than standard loading, so the purpose of this research is to find a way to make the loading smaller. To achieve this goal, this article uses the Pareto distribution and the Cox-Ingersoll-Ross (CIR) interest rate model. Based on the illustration, even though in the first policy year there was still a negative loading, however, Zillmer's reserves have been increasing from time to time since the second policy year.
Keywords: dwiguna life insurance, zillmer reserves, pareto distribution, cox-ingersoll-ross interest rate.

## ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang cadangan Zillmer pada asuransi jiwa dwiguna. Cadangan Zillmer merupakan salah satu  jenis  modifikasi  cadangan  premi  yang  perhitungannya  menggunakan  cadangan  prospektif  dan  tingkat Zillmer. Pada cadangan Zillmer, loading yang merupakan selisih dari premi kotor dan premi bersih pada tahun polis pertama nilainya lebih besar dibanding dengan standard loading , sehingga tujuan penelitian ini adalah menemukan cara agar loading tersebut menjadi lebih kecil. Untuk mencapai tujuan tersebut, dalam artikel ini digunakan  distribusi  Pareto  dan  model  tingkat  bunga  Cox-Ingersoll-Ross  (CIR).  Berdasarkan  ilustrasi  yang dilakukan,  meksipun  pada  tahun  polis  pertama  masih  diperoleh loading yang  bernilai  negatif  namun  besar cadangan Zillmer bergerak semakin meningkat dari waktu ke waktu sejak tahun polis kedua.
Kata Kunci: asuransi jiwa dwiguna, cadangan zillmer, distribusi pareto, tingkat bunga cox-ingersoll-ross.
Pada  asuransi  jiwa  dwiguna  masa  pertanggungan  berlangsung  sampai  dengan  masa berakhirnya  polis  asuransi.  Uang  pertanggungan  diberikan  kepada  peserta  jika  selama  masa pertanggungan  tersebut  peserta  meninggal  dunia  maupun  masih  bertahan  hidup  (Rotar,  2015); (Olivieri & Pitacco, 2015). Pada perusahaan asuransi, saat seseorang menjadi peserta asuransi maka terdapat kewajiban membayarkan premi kepada perusahaan asuransi. Dari pembayaran premi akan diperoleh sejumlah pendapatan yang dihasilkan dari bunga selama jangka waktu pembayaran premi. Pendapatan dari premi tersebut nantinya akan digunakan untuk membayarkan sejumlah keperluan
dari  perusahaan  asuransi,  seperti  pembayaran  klaim.  Pendapatan  atas  premi  beserta  bunganya dihimpun sebagai cadangan ( reserve ).
Cadangan  adalah  besar  dana  yang  dimiliki  perusahaan  asuransi  selama  jangka  waktu pertanggungan para pemegang polisnya. Cadangan yang dimiliki perusahaan akan digunakan untuk pembayaran uang pertanggungan kepada para peserta asuransi. Dalam perhitungan besar cadangan diperlukan  informasi  tentang  besar  premi  yang  diprediksikan  akan  diterima  dan  anuitas  hidup. Sedangkan perhitungan besar premi dan anuitas hidup dipengaruhi oleh peluang hidup dan peluang meninggal dari peserta asuransi.
Berdasarkan waktu yang menjadi dasar perhitungannya, cadangan premi dibagi menjadi dua yaitu  cadangan  retrospektif  dan  cadangan  prospektif.  Cadangan  premi  yang  dihitung  berdasarkan waktu yang telah lalu dinamakan cadangan retrospektif (Olivieri & Pitacco, 2015); (Kamil et al. , 2021). Sedangkan cadangan prospektif adalah cadangan premi yang dihitung berdasarkan waktu yang akan datang  (Olivieri  &  Pitacco,  2015);  (Kamil et  al. ,  2021) . Pada  cadangan  prospektif,  perhitungan cadangan berdasarkan nilai sekarang dari semua pengeluaran di waktu yang akan datang dikurangi dengan nilai sekarang dari total pendapatan di waktu yang akan datang untuk tiap pemegang polis.
Pada awal tahun polis dibutuhkan biaya-biaya untuk membayar berbagai macam keperluan, misalnya biaya provisi yang dibayarkan sebagai imbalan kepada para petugas pengumpul premi. Biaya awal tahun polis ini biasanya sangat besar. Oleh karena itu diperlukan suatu cara agar perusahaan asuransi tidak mengalami kerugian di awal-awal waktu berdirinya. Hal ini menjadi permasalahan yang diangkat pada penelitian ini, yaitu bagaimana cara yang dapat dilakukan agar cadangan premi tidak bernilai negatif pada tahun polis pertama, atau seandainya masih bernilai negatif maka angkanya tidak terlalu besar. Cadangan premi negatif akan memberikan peluang yang lebih besar pada kebangkrutan perusahaan asuransi.
Untuk membangun cadangan, maka sebagian dari premi harus dialokasikan menjadi cadangan premi  yang  dasar  perhitungannya  adalah  premi  netto  dan  dilakukan  dengan  metode  cadangan prospektif atau retrospektif (Oktavian et al. , 2014). Untuk menghindari kerugian di tahun-tahun awal operasional  perusahaan,  maka  pengelolaan  cadangan  perlu  mempertimbangkan  penyertaan  biaya operasional perusahaan. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menangani masalah  tersebut adalah  dengan  melakukan  pengumpulan  dana  dalam  bentuk  cadangan  premi  yang  dimodifikasi menjadi cadangan premi Zillmer. Penelitian-penelitian terkait pembentukan cadangan dan cadangan Zillmer  telah  dilakukan  oleh  banyak  peneliti.  Berikut  ini  beberapa  penelitian  terkait  pembentukan cadangan Zillmer yang dihitung atas dasar premi bruto sebagai modifikasi dari cadangan yang dihitung atas dasar premi netto. Penelitian-penelitian tersebut dikutip dari (Kamil et al. , 2021); (Dewi et al. , 2013); (Oktavian et al. , 2014); (Utami et al. , 2015); (Iriana et al. , 2020), dan (Hasriati et al. , 2020). Pada  (Kamil et  al. ,  2021),  dijelaskan  dalam  penelitiannya  sampai  pada  kesimpulan  bahwa metode  Zillmer  dapat  digunakan  untuk  membangun  cadangan  premi  perusahaan  asuransi  jiwa sebagai upaya untuk mengatasi kerugian pendapatan pada tahun-tahun awal perusahaan berdiri, atau untuk perusahaan yang sudah cukup lama beroperasi namun pendapatan preminya relatif masih kecil.
Pada  penelitian  (Dewi et  al. ,  2013),  telah  menggunakan  metode  Zillmer  untuk  perhitungan cadangan prospektif pada asuransi jiwa dengan dasar perhitungan adalah premi kotor karena telah menambahkan biaya operasional perusahaan dalam perhitungan cadangannya. Dalam penelitiannya tersebut, dilakukan perhitungan dengan suku bunga yang berbeda dan disimpulkan bahwa nilai premi tahunan  akan  semakin  besar  jika  suku  bunganya  diperkecil.  Penggunaan  tabel  mortalitas  yang berbeda  juga  memberikan  hasil  yang  berbeda.  Nilai  premi  tahunan  yang  dihitung  dengan  Tabel
Mortalitas CSO 1958 memberikan hasil premi tahunan yang lebih besar dibanding Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 1999.
Penelitian  (Oktavian et  al. ,  2014)  menggunakan  tiga  metode  yaitu  metode  Zillmer, full preliminary term , dan premium sufficiency . Hasil penelitian menunjukkan bahwa besar cadangan pada akhir masa pertanggungan yang dihitung dengan ketiga metode tersebut adalah sama, tetapi terdapat perbedaan  signifikan  pada  awal  masa  pertanggungan.  Pada  penelitian  (Utami et  al. ,  2015) menggunakan  asumsi  Balducci  pada  perhitungan  cadangan  Zillmer  untuk  asuransi  jiwa  dwiguna gabungan dengan status joint life . Penggunaan asumsi Balducci memberikan nilai cadangan Zillmer yang lebih tinggi dibandingkan jika dihitung tanpa asumsi. Penelitian (Iriana et al. , 2020) menghitung cadangan Zilmer pada asuransi jiwa seumur hidup dengan menggunakan Tabel Mortalitas Indonesia 1999 dan 2011 dan perbedaan jenis kelamin. Simulasi dilakukan pada nasabah berusia 25-35 tahun. Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  cadangan  Zillmer  lebih  besar  jika  dihitung  dengan  TMI  1999 dibandingkan dengan TMI 2011. Jika ditinjau dari jenis kelamin, cadangan Zillmer untuk nasabah laki- laki  lebih  besar  dibanding  nasabah  perempuan.  Pada  (Hasriati et  al. ,  2020)  dibahas  penentuan cadangan  prospektif  pada  asuransi  jiwa  dwiguna.  Sedangkan,  pada  (Hasriati  &  Nababan,  2019) dimodelkan cadangan premi prospektif pada asuransi jiwa dwiguna untuk peserta yang berumur x tahun dengan t adalah waktu perhitungan cadangan, m adalah masa pembayaran premi, dan n adalah jangka waktu pertanggungan.
Asumsi  lain  yang  dapat  digunakan  pada  perhitungan  cadangan  Zillmer  adalah  asumsi Makeham.  Perhitungan  faktor  diskonto  dilakukan  dengan  model  tingkat  bunga  Rendleman-Bartter untuk  jenis  asuransi  jiwa  berjangka.  Berdasarkan  telaah  terhadap  pustaka-pustaka  terdahulu, perhitungan  cadangan  Zillmer  dilakukan dengan  menimbang  (1)  jenis  distribusi,  asumsi  atau  tabel mortalitas yang digunakan, (2) model tingkat bunga yang digunakan, dan (3) jenis asuransi jiwa.
Berdasarkan latar belakang yang telah dibangun dan rujukan-rujukan yang dikutip, maka tujuan penelitian ini adalah menentukan cara agar cadangan premi pada tahun polis pertama tidak bernilai negatif. Salah satu cara yang dapat membantu dan digunakan sebagai penyelesaian dalam penelitian ini  adalah  penggunaan  cadangan  Zillmer  dengan  ketahanan  hidup  mengikuti  distribusi  Pareto  dan tingkat bunga menggunakan model tingkat bunga CIR. Sedangkan manfaat dari penelitian ini adalah memberikan solusi untuk perusahaan asuransi dalam mengelola premi sehingga cadangan premi pada tahun  polis  pertama  tidak  menjadi  masalah  untuk  operasional  perusahaan  di  waktu-waktu  ke depannya.  Pada  penyelesaiannya  akan  digunakan  distribusi  Pareto,  model  tingkat  bunga  Cox- Ingersoll-Ross (CIR) dan diaplikasikan pada asuransi jiwa dwiguna.

## METODE
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kualitatif yang dilakukan dengan studi literatur dan jurnal-jurnal yang relevan. Penelitian ini tidak menyertakan data sehingga tidak ada studi kasus yang dibahas. Namun, pada penelitian ini diberikan satu buah contoh sebagai ilustrasi dari penggunaan distribusi Pareto dan tingkat bunga CIR pada perhitungan besar cadangan Zillmer. Pada  bagian  metode  dijelaskan  mengenai  teori-teori  statistika  dan  aktuaria  yang  digunakan untuk  menganalisis  permasalahan  yang  dibahas.  Teori-teori  tersebut  mencakup  fungsi  survival, peluang hidup, peluang meninggal, dan distribusi Pareto.

## Fungsi Survival, Peluang Meninggal dan Peluang Hidup
Berikut ini diberikan definisi variabel random yang akan digunakan untuk membangun fungsi survival dan menentukan besarnya peluang meninggal dan peluang hidup.
Definisi 1 (Bijma et al. , 2017), (Gupta & Kapoor, 2020) Variabel random 𝑋 dikatakan variabel random kontinu jika terdapat fungsi 𝑓(𝑥) sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dinyatakan sebagai
𝐹(𝑥) = Pr(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑥 −∞ . Fungsi survival dinotasikan dengan 𝑆(𝑥) , dinyatakan sebagai 𝑆(𝑥) = Pr(𝑋 > 𝑥). Hubungan antara fungsi survival 𝑆(𝑥) dengan fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) adalah 𝑆(𝑥) = Pr(𝑋 > 𝑥) = 1 − Pr(𝑋 ≤ 𝑥), 𝑆(𝑥) = 1 − 𝐹(𝑥). (1) Dalam bidang ilmu aktuaria, fungsi survival 𝑆(𝑥) menyatakan peluang seseorang akan tetap hidup setelah mencapai usia 𝑥 tahun, dengan 𝑋 merupakan suatu variabel random kontinu yang menyatakan  waktu  bertahan  hidup  setiap  individu.  Fungsi  survival  dari  peserta  asuransi  jiwa bergantung kepada sisa usia yang masih akan dijalani oleh setiap individu peserta sehingga funsgi survival berkaitan dengan waktu.
Misalkan 𝑇(𝑥) adalah variabel random kontinu yang menyatakan sisa waktu hidup yang masih akan dijalani oleh seseorang yang berusia 𝑥 dan 𝑡 menyatakan jangka waktu, maka fungsi distribusi untuk variabel random 𝑇(𝑥) dinyatakan sebagai 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) = Pr[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡]  ,       𝑡 ≥ 0 Dalam  hal  ini  fungsi 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) menyatakan  peluang  seseorang  yang  berusia 𝑥 tahun  akan meninggal dalam jangka waktu 𝑡 tahun kemudian, dan selanjutnya 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) dinotasikan dengan 𝑞 𝑥 𝑡 (Dickson et al. , 2020); (Tsao, 2019). Berdasarkan persamaan (1), maka fungsi survival juga dapat dinyatakan sebagai
𝑆 𝑇(𝑥) (𝑡) = 1 − 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡), 𝑆 𝑇(𝑥) (𝑡) = 1 − 𝑞 𝑥 𝑡 .
Hubungan  antara  peluang  hidup ( 𝑝 𝑥 ) 𝑡 dengan  peluang  meninggal ( 𝑞 𝑥 ) 𝑡 untuk  seorang peserta  asuransi  yang  saat  ini  berusia 𝑥 tahun  dan  akan  dapat  bertahan  hidup  hingga 𝑡 tahun kemudian dinyatakan sebagai
𝑝 𝑥 = 1 − 𝑞 𝑥 𝑡 𝑡 .
Penentuan  besar  premi  tunggal  selain  menggunakan  faktor  diskon,  juga  dengan  peluang meninggal tertunda. Misalkan peserta asuransi yang berusia 𝑥 tahun akan bertahan hidup hingga 𝑡 tahun dan akan meninggal pada 𝑢 tahun berikutnya, artinya 𝑥 meninggal diantara usia (𝑥 + 𝑡 ) dan ( 𝑥 + 𝑡 + 𝑢 )  tahun. Peluang meninggal tertunda dinyatakan sebagai berikut:
𝑞 𝑥 = Pr [𝑡 < 𝑇(𝑋) ≤ 𝑡 + 𝑢] 𝑡|𝑢 𝑞 𝑥 = 𝑡|𝑢 𝑝 𝑥 𝑡 – 𝑝 𝑥 𝑡+𝑢 Jika 𝑢 = 1 , maka individu yang berumur 𝑥 tahun dan akan bertahan hidup hingga 𝑡 tahun kemudian serta akan meninggal hingga 1 tahun berikutnya adalah
𝑞 𝑥 𝑡|1 = 𝑝 𝑥 𝑡 − 𝑝 𝑥 𝑡+1 .

## Distribusi Pareto pada Peluang Hidup
Menurut  (Dalpatadu & Singh, 2015); (Warsono et al. , 2019) dan (Sharpe & Juárez, 2021), misalkan 𝑥 merupakan variabel random dari distribusi Pareto dengan parameter 𝜃 dan 𝑝 , maka fungsi kepadatan peluang dari distribusi Pareto  adalah
𝑓(𝑥, 𝜃, 𝑝) = 𝜃𝑝 𝜃 𝑥 𝜃+1 ,       𝑥 > 𝑝,       𝜃 > 0,       𝑝 > 0,
dengan parameter 𝜃 merupakan parameter bentuk dan 𝑝 adalah parameter skala. Berdasarkan  fungsi distribusi kumulatif 𝐹 (𝑥) dari ditribusi Pareto yaitu
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑝 = ∫ 𝜃𝑝 𝜃 𝑡 𝜃+1 𝑑𝑡 𝑥 𝑝
= 𝜃𝑝 𝜃 ∫ 𝑡 −(𝜃+1) 𝑑𝑡 𝑥 𝑝 = 𝜃𝑝 𝜃 [− 1 𝜃 𝑡 −𝜃 ] 𝑝 𝑥 = 𝜃𝑝 𝜃 [(− 1 𝜃 𝑥 −𝜃 ) − (− 1 𝜃 𝑝 −𝜃 )] = 1 − ( 𝑝 𝑥 ) 𝜃 (2)
Berdasarkan persamaan (2) diperoleh fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥  +  𝑡) sebagai berikut:
𝐹(𝑥 + 𝑡) = 1 − ( 𝑝 𝑥+𝑡 ) 𝜃 (3)
Berdasarkan (1) dan (3), fungsi survival dari distribusi Pareto yaitu
𝑆(𝑥) = ( 𝑝 𝑥 ) 𝜃
Selanjutnya,
𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) = 𝐹(𝑥 + 𝑡) − 𝐹(𝑥) 𝑆(𝑥)
= [1 − ( 𝑝 𝑥 + 𝑡) 𝜃 ] − [1 − ( 𝑝 𝑥) 𝜃 ] [( 𝑝 𝑥) 𝜃 ] = − ( 𝑝 𝑥 + 𝑡 ) 𝜃 + ( 𝑝 𝑥 ) 𝜃 ( 𝑝 𝑥) 𝜃 = 1 − ( 𝑥 𝑥 + 𝑡 ) 𝜃
Sehingga diperoleh,
𝑞 𝑥 𝑡 = 1 − ( 𝑥 𝑥 + 𝑡 ) 𝜃

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian Hasil dan Pembahasan diulas mengenai anuitas hidup, premi asuransi jiwa dwiguna, cadangan  prospektif,  dan  cadangan  Zillmer.  Semua  pembahasan  tersebut  dilakukan  dengan menggunakan distribusi Pareto dan model tingkat bunga Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Pada bagian akhir diberikan satu contoh perhitungan cadangan Zillmer disertai ilustrasi grafisnya .
Pada penelitian ini digunakan cadangan Zillmer  yang  merupakan  modifikasi dari cadangan premi prospektif dengan perhitungan menggunakan tingkat Zillmer sebesar  (Olivieri & Pitacco, 2015), (Kamil et  al. ,  2021). Selanjutnya,  penentuan  cadangan  Zillmer  mensyaratkan  digunakannya  suatu distribusi  tertentu  pada  perhitungan  premi  tunggal  dan  nilai  tunai anuitas, dan  dalam  penelitian  ini digunakan distribusi Pareto (Dalpatadu & Singh, 2015), (Warsono et al. , 2019), (Sharpe & Juárez, 2021).
Perhitungan cadangan premi juga melibatkan tingkat bunga, dan pada perhitungan cadangan premi untuk jangka waktu yang panjang perlu diperhatikan pola fluktuasi pergerakan tingkat bunga yang memiliki kecenderungan untuk kembali menuju tingkat bunga rata-rata. Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan model tingkat bunga CIR yang memenuhi kecenderungan tersebut. Menurut (Chan & Tse, 2022), faktor diskon pada model tingkat bunga CIR dipengaruhi rata-rata dan variansi tingkat bunga CIR. Dengan kecenderungan rata-rata tingkat bunga yang kembali bergerak menuju rata-rata dalam  jangka  panjang,  maka  faktor  diskonto  yang  dihitung  dengan  model  tingkat  bunga  CIR diharapkan akan menghasilkan peningkatan besar cadangan Zillmer yang semakin meningkat.
Anuitas Hidup Awal Berjangka dengan Distribusi Pareto dan Tingkat Bunga CIR Pada anuitas hidup awal, menurut (Chan & Tse, 2022) dan (Sidarto et al. , 2019), pembayaran mulai dilakukan mulai awal tahun periode hingga tahun ke (𝑛 − 1) dan akan berhenti bila peserta asuransi meninggal dunia sebelum mencapai periode ke (𝑛 − 1) . Menurut (Dickson et al. , 2020), nilai tunai anuitas hidup awal berjangka untuk peserta berusia 𝑥 tahun dengan jangka waktu pertanggungan selama 𝑛 tahun diilustrasikan dengan garis waktu pada Gambar 1.
Waktu 0 1 2 3 1 − n ... Besar Pembayaran 1
1 1 1 1 Faktor Diskon 1 v 2 v 3 v 1 − n v Peluang 1 x p x p 2 x p 3 x n p 1 −
Gambar 1. Garis Waktu Nilai Tunai Anuitas Hidup Awal Berjangka Sumber: (Chan & Tse, 2022)
Dari ilustrasi pada Gambar 1 diketahui bahwa nilai tunai anuitas hidup awal berjangka dari peserta berumur 𝑥 tahun  dengan  masa pertanggungan 𝑛 tahun dapat dinyatakan dengan 𝑎̈ 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = 1 + 𝑣𝑝 𝑥 + 𝑣 2 𝑝 𝑥 2 + 𝑣 3 𝑝 𝑥 3 + ⋯ + 𝑣 𝑛−1 𝑝 𝑥 𝑛−1
𝑎̈ 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = ∑ 𝑣 𝑡 𝑝 𝑥 𝑡 𝑛−1
𝑡=0 Model CIR ditemukan pada tahun 1985 oleh tiga orang yaitu Jhon C. Cox, Jonathan E. Ingersoll Jr. dan Stephen A. Ross. Model CIR bersifat mean reversion , artinya tingkat bunga dari model tingkat bunga  CIR  memiliki  kecenderungan untuk  kembali  menuju  rata-rata  jangka  panjang  (Chan  &  Tse, 2022).
Definisi 2: Bentuk model tingkat bunga CIR dinyatakan dengan (Chan & Tse, 2022) :
𝑑𝑟 𝑠 = 𝛽(𝛼 − 𝑟 𝑠 )𝑑𝑠 + θ√ 𝑟 𝑠 𝑑𝑊 𝑠
Model  tingkat  bunga  CIR  dipengaruhi  oleh  rata-rata  dari  tingkat  bunganya.  Berdasarkan  sifat ekspektasi dari proses Wiener diperoleh:
𝐸(𝑟 𝑠 )   = 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +  𝛼 (1− 𝑒 −𝛽𝑠 ) (4)
Definisi 3: Besar  faktor  diskon  untuk 𝑡 tahun  yang  akan  datang  yaitu 𝑣 𝑡 menggunakan  tingkat  bunga 𝑟 𝑠 dinyatakan dengan (Rotar, 2015); (Olivieri & Pitacco, 2015).
𝑣 𝑡 = ∏ 1 1 + 𝐸(𝑟 𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 Dengan menggunakan tingkat bunga CIR dengan nilai ekspektasinya diberikan pada (4), diperoleh
𝑣 𝑡 = ∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1
Dengan menggunakan Ddstribusi Pareto dan tingkat bunga CIR diperoleh besar anuitas:
𝑎̈ 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑛−1 𝑡=0 (5)
Selanjutnya,  diperoleh  nilai  anuitas  hidup  awal  berjangka  untuk  usia 𝑥 tahun  dengan  masa pertanggungan 𝑚 tahun untuk 𝑚 < 𝑛 dengan menggunakan distribusi Pareto dan tingkat bunga CIR yaitu
𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅ = ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0
(6)
Nilai anuitas hidup awal berjangka untuk  usia (𝑥 + 𝑡) tahun dengan   masa pertanggungan (𝑚 − 𝑡) tahun dikonstruksi menurut (6), yaitu
𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑚−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅ = ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥+𝑡+𝑘 ) 𝜃 𝑚−𝑡−1 𝑘=0
(7)
Berdasarkan Gambar 1 dengan jangka waktu pertanggungan ℎ tahun dengan ℎ < 𝑚 < 𝑛 dan merujuk pada (6) diperoleh nilai anuitas hidup awal
𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ = ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 ℎ−1 𝑡=0 (8)
Untuk peserta asuransi yang berumur (𝑥 + 𝑡) tahun dengan jangka waktu pertanggungan (ℎ + 𝑡) tahun dibangun dengan mengacu pada (8) dan diperoleh hasil
𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ = ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥+𝑡+𝑘 ) 𝜃 ℎ−𝑡−1 𝑘=0
(9)

## Premi Asuransi Jiwa Dwiguna dengan Distribusi Pareto dan Tingkat Bunga CIR
Asuransi jiwa berjangka adalah suatu asuransi dimana uang pertanggungan akan diterima jika tertanggung meninggal dunia saat masa kontrak berlangsung.  Premi tunggal asuransi jiwa berjangka untuk status perorangan dengan kontrak polis selama 𝑛 tahun dan uang pertanggungan senilai 𝑅 satuan pembayaran yang dibayarkan di akhir tahun polis  dinyatakan sebagai berikut:
(𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 = 𝑅 ∑ 𝑣 𝑡+1 𝑞 𝑥 𝑡| 𝑛−1 𝑡=0
Premi  tunggal  asuransi  jiwa  berjangka  dengan  kontrak  polis  selama 𝑛 tahun  dan  uang pertanggungan senilai 𝑅 satuan pembayaran menggunakan distribusi Pareto dan tingkat bunga CIR yaitu
(𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 = 𝑅 ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡+1 𝑠=1 ) (( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 − ( 𝑥 𝑥+𝑡+1 ) 𝜃 ) 𝑛−1 𝑡=0 (10)
Pada penelitian (Olivieri & Pitacco, 2015); (Kamil et al. , 2021) dinyatakan bahwa asuransi jiwa dwiguna murni merupakan kebalikan dari asuransi jiwa berjangka. Pada asuransi jiwa dwiguna murni jika  pemegang  polis  tetap hidup  sejak  saat  kontrak  asuransi  dimulai  sampai  dengan  jangka waktu tertentu, maka pemegang polis akan menerima sejumlah uang pertanggungan. Premi tunggal asuransi jiwa dwiguna murni untuk peserta berusia 𝑥 tahun dengan jangka waktu pertanggungan 𝑛 tahun dan uang pertanggungan senilai 𝑅 satuan pembayaran dinyatakan dengan
(𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 = 𝑅(𝑣 𝑛 𝑝 𝑥 𝑛 ) (11) Besar premi tunggal untuk asuransi jiwa dwiguna murni yang dihitung dengan distribusi Pareto dan model tingkat bunga CIR adalah
(𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 = 𝑅 (∏
1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑛 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥+𝑛 ) 𝜃 (12)
Penelitian (Dickson et al. , 2020) menjelaskan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dari peserta berusia 𝑥 tahun dengan masa pertanggungan selama 𝑛 tahun senilai 1 dinotasikan dengan 𝐴 𝑥:𝑛| ̅̅̅ dan dinyatakan dengan
𝐴 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = 𝐴 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 + 𝐴 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 1 ,
Sehingga diperoleh premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan model tingkat bunga CIR dari peserta berumur 𝑥 dan dengan masa pertanggungan selama 𝑛 tahun senilai 𝑅 yaitu
(𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = 𝑅 ∑ 𝑣 𝑡+1 𝑞 𝑥 𝑡| 𝑛−1 𝑡=0 + 𝑅(𝑣 𝑛 𝑝 𝑥 𝑛 ) (𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = 𝑅 ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡+1 𝑠=1 ) (( 𝑥 𝑥 + 𝑡 ) 𝜃 − ( 𝑥 𝑥 + 𝑡 + 1 ) 𝜃 )
𝑛−1 𝑡=0 + 𝑅 (∏
1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0
+𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑛 𝑠=1 ) (( 𝑥 𝑥+𝑛 ) 𝜃 ) (13)
Sedangkan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna untuk peserta berusia (𝑥 + 𝑡) tahun dan masa pertanggungan selama (𝑛 − 𝑡) tahun adalah sebagai berikut:
(𝑅𝐴) 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑅 ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘+1 𝑠=1 ) (( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+𝑘 ) 𝜃 − ( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+1+𝑘 ) 𝜃 )
𝑛−𝑡−1 𝑘=0 +
𝑅 (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0
+𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑛−𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑙 𝑥+𝑡+𝑛−𝑡 𝑙 𝑥 +𝑡 ). (14)
Misalkan ( 𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ menyatakan premi tunggal asuransi jiwa dwiguna dan (𝑅𝑎̈) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ menyatakan anuitas hidup awal berjangka masing-masing senilai 𝑅 , maka besar premi tahunan pada asuransi jiwa dwiguna untuk  peserta berusia 𝑥 tahun  dan  mengikuti  asuransi  selama 𝑛 tahun  yang  dinotasikan dengan (𝑅𝑃) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ dan dapat dinyatakan  dengan
(𝑅𝑃) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = (𝑅𝐴) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (𝑅𝑎̈) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ . (15)
Dengan  mensubsitasikan  persamaan  (13)  dan  persamaan  (4)  ke  persamaan  (15)  diperoleh  premi tahunan asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan tingkat bunga CIR yaitu
(𝑅𝑃) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = 𝑅 ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡+1 𝑠=1 ) (( 𝑥 𝑥 + 𝑡) 𝜃 − ( 𝑥 𝑥 + 𝑡 + 1) 𝜃 ) 𝑛−1 𝑡=0
∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥 + 𝑡) 𝜃 𝑛−1 𝑡=0 + 𝑅(∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑛 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑛 ) 𝜃 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑛−1 𝑡=0 .                                                          (16)
Berdasarkan  persamaan  (15)  diperoleh  premi  tahunan  untuk  peserta  berusia 𝑥 tahun  yang mengikuti asuransi selama 𝑛 tahun dan masa pembayaran selama 𝑚 tahun
(𝑅𝑃 𝑚 ) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = 𝑅 ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡+1 𝑠=1 ) (( 𝑥 𝑥 + 𝑡) 𝜃 − ( 𝑥 𝑥 + 𝑡 + 1) 𝜃 ) 𝑛−1 𝑡=0
∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥 + 𝑡) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0 + 𝑅(∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑛 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑛 ) 𝜃 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0
.                                                          (17)

## Cadangan Prospektif dengan Distribusi Pareto dan Tingkat Bunga CIR
Cadangan premi prospektif pada asuransi jiwa dwiguna untuk seseorang yang berusia 𝑥 tahun dengan uang pertanggungan senilai 1 dibayarkan pada akhir tahun polis adalah
𝑉 𝑡 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = { 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ +   𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑚−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅, , 𝑡 < 𝑚 < 𝑛 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑚 ≤ 𝑡 < 𝑛 , (18) dengan 𝑡 < 𝑚 < 𝑛 𝑡 : waktu perhitungan cadangan
𝑚 : masa pembayaran premi
𝑛 : jangka waktu pertanggungan Dengan  mensubstitusikan  persamaan  (14)  dan  persamaan  (17)  ke  persamaan  (18)  diperoleh cadangan prospektif asuransi jiwa dwiguna untuk jangka waktu 𝑡 < 𝑚 < 𝑛 yaitu
(𝑅𝑉) 𝑡 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = (𝑅 ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘+1 𝑠=1 ) (( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+𝑘 ) 𝜃 − ( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+1+𝑘 ) 𝜃 ) 𝑛−𝑡−1 𝑘=0
+ 𝑅 (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑛−𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+(𝑛−𝑡) ) 𝜃 )
+ ( 𝑅 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡+1 𝑠=1 )(( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 −( 𝑥 𝑥+𝑡+1 ) 𝜃 ) 𝑛−1 𝑡=0 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0 + 𝑅(∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑛 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑛 ) 𝜃 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0 ) × (∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘 𝑠=1 ) ( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+𝑘 ) 𝜃 𝑚−𝑡−1 𝑘=0
) (19)
Cadangan Zillmer dengan Distribusi Pareto dan Tingkat Bunga CIR Cadangan Zillmer merupakan modifikasi cadangan premi dengan perhitungan  menggunakan cadangan prospektif dan tingkat Zillmer senilai 𝛼 . Dalam cadangan Zillmer, loading merupakan selisih antara  premi  kotor  dan  premi  bersih  pada  tahun  polis  ke-1  bernilai  lebih  besar  dibanding loading standard ,  sehingga  perlu  dicari  cara  agar loading tersebut  menjadi  lebih  kecil.  Tingkat  Zillmer 𝛼 dimisalkan sebesar 0,025 (Olivieri & Pitacco, 2015).
Dengan  pembayaran  premi  selama m tahun,  maka  premi  yang  akan  dibayarkan  peserta asuransi yang berusia x tahun dapat diilustrasikan dengan garis waktu pada Gambar 2.
Periode ke 1 2 3  1 − h h 1 + h  m  n Premi Bersih 1 P 2 P 2 P  2 P
2 P P  P
Anuitas awal 1
2 : x a   3 : x a    1 : − h x a   h x a :   1 : + h x a    m x a :  
Gambar 2. Garis Waktu Premi Modifikasi Sumber: (Chan & Tse, 2022).
Dari garis waktu pada Gambar 2, diperoleh nilai tunai premi modifikasi total pendapatan premi selama jangka waktu pertanggungan adalah tetap, dan yang berubah hanyalah proses pengumpulan premi bersih, sehingga untuk nilai 𝑃 1 dan 𝑃 2 dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅ =   𝑃 1 +   𝑃 2 (𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ − 1) + 𝑃(𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅ − 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ ) − (𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ − 1) = 𝑃 1 + 𝑃 𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅ − 𝑃 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ − 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅
−𝑃 2 = 𝑃 1 +𝑃 𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅ −𝑃 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ − 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥:𝑚| ̅̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ −1 (20)
Sehingga diperoleh:
𝑃 1 =   𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ − 𝛼 + 𝛼 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ (21) 𝑃 2 = 𝛼 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ + 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (22) Selanjutnya cadangan Zillmer untuk seseorang yang berusia 𝑥 tahun dengan waktu zillmer ℎ tahun, masa pembayaran selama 𝑚 tahun, dan masa pertanggungan selama 𝑛 untuk (ℎ < 𝑚 < 𝑛) , dinotasikan dengan 𝑉 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (ℎ𝑧) 𝑡 𝑚 untuk 1 ≤ 𝑡 ≤ ℎ dinyatakan sebagai berikut:
𝑉 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (ℎ𝑧) 𝑡 𝑚 = 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ − {𝑃 2 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑚−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ )} . (23)
Dengan mensubsitusikan persamaan (2.21) ke dalam persamaan (2.22) diperoleh
𝑉 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (ℎ𝑧) 𝑡 𝑚 = 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ − {( 𝛼 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ + 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ ) 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑚−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ )} . = 𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ − 𝛼 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑚−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑉 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (ℎ𝑧) 𝑡 𝑚 = (𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑃 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑚−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅ ) − 𝛼 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ (24)
Dengan mensubsitusikan persamaan (18) ke persamaan (24) diperoleh:
𝑉 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (ℎ𝑧) 𝑡 𝑚 = 𝑉 𝑡 𝑚 𝑥:𝑛| ̅̅̅ − 𝛼 𝑎̈ 𝑥:ℎ| ̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥+𝑡:ℎ−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅ (25)
Cadangan Zillmer dari peserta asuransi yang berusia 𝑥 tahun dengan jangka pertanggungan sebesar 𝑅 selama 𝑛 tahun dan masa pembayaran selama 𝑚 tahun dengan nilai Zillmer 𝛼 = 𝛾 dan menggunakan tingkat bunga CIR yaitu:
(𝑅𝑉) 𝑥:𝑛| ̅̅̅ (ℎ𝑧) 𝑡 𝑚 = (𝑅 ∑ (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘+1 𝑠=1 ) (( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+𝑘 ) 𝜃 − ( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+1+𝑘 ) 𝜃 )
𝑛−𝑡−1 𝑘=0
+ 𝑅 (∏ 1 1+𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 +𝛼(1−𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑛−𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥+𝑡 𝑥+𝑡+(𝑛−𝑡) ) 𝜃 ) + ( 𝑅 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡+1 𝑠=1 )(( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 −( 𝑥 𝑥+𝑡+1 ) 𝜃 ) 𝑛−1 𝑡=0 ∑ (∏ 1 1+𝑒−𝛽𝑠𝑟0+𝛼(1−𝑒−𝛽𝑠) 𝑡 𝑠=1 )( 𝑥 𝑥+𝑡 ) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0
+ 𝑅 (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑛 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥 + 𝑛) 𝜃 ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥 + 𝑡 ) 𝜃 𝑚−1 𝑡=0 )
× ( ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼( 1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘 𝑠=1 ) ( 𝑥 + 𝑡 𝑥 + 𝑡 + 𝑘 ) 𝜃 𝑚−𝑡−1 𝑘=0 ) − ( 𝛾 ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑡 𝑠=1 ) ( 𝑥 𝑥 + 𝑡) 𝜃 ℎ−1 𝑡=0 × ( ∑ (∏ 1 1 + 𝑒 −𝛽𝑠 𝑟 0 + 𝛼(1 − 𝑒 −𝛽𝑠 ) 𝑘 𝑠=1 ) ( 𝑙 𝑥+𝑡+𝑘 𝑙 𝑥+𝑡 ) ℎ−𝑡−1 𝑘=0 ) ).

## Contoh 1.
Seorang pria berumur 35 tahun mengikuti asuransi jiwa dwiguna perorangan dengan jangka waktu 20 tahun,  masa  pembayaran  premi  selama  18  tahun,  dan  waktu  Zillmer  selama  8  tahun.  Jika  uang pertanggungan yang diterima oleh ahli waris sebesar Rp100.000.000,00 dan digunakan tingkat bunga Indonesia dari tahun 2010 sampai 2019 maka akan ditentukan cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan menggunakan distribusi Pareto dan tingkat bunga CIR.
Perhitungan lengkap cadangan Zillmer asuransi jiwa dwiguna dengan tingkat bunga CIR dari seorang pria berusia 35 tahun dengan waktu Zillmer selama ℎ = 8 tahun pada tahun ke −𝑡 , untuk kedua kasus diatas disajikan dalam Tabel 1 dan Gambar 3.
Berdasarkan Tabel 1 dan Gambar 3, ilustrasi pada Contoh 1 ini memberikan hasil yang baik karena surplus negatif pada cadangan premi hanya terjadi pada tahun polis pertama.
Tabel 1. Cadangan Zillmer untuk Contoh 1 t
Premi Tunggal (Rp) 𝑨 𝟑𝟓+𝒕:𝟐𝟎−𝒕| ̅̅̅̅̅̅̅̅
Cadangan Zillmer (Rp) 𝑽 𝟑𝟓:𝟐𝟎| ̅̅̅̅̅ (𝟖𝒛) 𝒕 𝟏𝟖 0
34.614.495,31 -0,025 1 36.206.212,90 2.616.775,253 2 37.917.619,94 5.428.847,708 3 39.755.386,83 8.447.163,736 4 41.726.664,13 11.683.452,560 5 43.839.106,26 15.150.265,100

## Gambar 3. Besar Cadangan Zillmer untuk Contoh 1
SIMPULAN
Cadangan Zillmer merupakan suatu cara alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan besar  cadangan  yang diperoleh  dari  premi  bersih  dengan  nilai 𝛼 yang  merupakan  tingkat  Zillmer. Dalam  hal  perhitungan  cadangan  Zillmer  menggunakan  distribusi  Pareto  sebagai  modifikasi  pada cadangan prospektif, maka dengan menggunakan tingkat bunga CIR yang dinyatakan dalam bentuk faktor  diskon  dan  tingkat  Zillmer 𝛼 sebesar  0,025,  diperoleh  cadangan  Zillmer  yang  semakin meningkat. Tentunya, hal ini akan sangat berguna untuk perusahaan asuransi dalam memprediksi cadangan yang harus dimiliki oleh perusahaan asuransi tersebut.

## REFERENSI
Bijma,  F.,  Jonker,  M.,  &  van  der  Vaart,  A.  W.  (2017). An  Introduction  to  Mathematical  Statistics . Amsterdam University Press.
Chan, W. S., & Tse, Y. K. (2022). Financial Mathemtics for Actuaries . World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
Dalpatadu, R. J., & Singh, A. K. (2015). Estimation of Parameters of the Pareto Distribution Using a Minimization Technique. International Journal of Applied Science and Technology , 5 (4), 8 – 10. Dewi, L., Satyahadewi, N., & Sulistianingsih, E. (2013). Penentuan Cadangan Premi pada Asuransi Jiwa Dwiguna dengan Metode Zillmer. Buletin Ilmiah Matematika, Statistika Dan Terapannya ,
2 (3), 155 – 162. http://dx.doi.org/10.26418/bbimst.v2i03.3858. Dickson, C. D. M., Hardy, M. H., & Waters, H. R. (2020). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (3rd ed.). Cambridge University Press.
Gupta, S. C., & Kapoor, V. K. (2020). Fundamental of Mathematical Statistics. (12th ed.). Sultan Chand and Son.
Hasriati,  &  Nababan,  T.  P.  (2019).  Private  Premium  of  Endowment  Last  Survivor  and  Joint  Life Insurance  with  Pareto  Distribution. International  Journal  of  Statistical  Distribution  and Applications , 4 (5), 76 – 81. https://doi.org/10.11648/j.ijsd.20190504.11 Hasriati, Nababan, T. P., & Hasbiyati, I. (2020). Reserve of Life Insurance Prospective Dwiguna Joint Life  and  Last  Survivor  with  Gompertz  Law. Proceedings  of  the  2nd  African  International Conference on Industrial Engineering and Operations Management , 1567 – 1573.
Iriana,  N.,  Purnamasari,  I.,  &  Nasution,  Y.  N.  (2020).  Penentuan  Cadangan  Premi  Asuransi  Jiwa Seumur Hidup Menggunakan Metode Zillmer. Jurnal Matematika, Statistika Dan Komputasi ,
16 (2), 219 – 225. https://doi.org/10.20956/jmsk.v16i2.8312
Kamil,  I.,  Suherman,  &  Murni,  D.  (2021).  Modifikasi  Cadangan  Premi  Tahunan  Retrospektif  pada Asuransi Jiwa Berjangka Kasus Joint Life dengan Metode Zillmer. UNPjoMath , 4 (2), 12 – 17. http://dx.doi.org/10.24036/unpjomath.v6i2.11553
Oktavian, M. R., Novinto, D., & Yanuar, F. (2014). Kajian Metode Zillmer, Full Preliminary Term, dan Premium  Sufficiency  dalam  Menentukan  Cadangan  Premi  pada  Asuransi  Jiwa  Dwiguna. Jurnal Matematika UNAND , 3 (4), 160 – 167. https://doi.org/10.25077/jmu.3.4.160-167.2014 Olivieri,  A.,  &  Pitacco,  E.  (2015). Introduction  to  Insurance  Mathematics.  Technical  and  Financial Features of Risk Transfer (2nd ed.). In International Publishing.
Rotar, V. I. (2015). Actuarial Models. The Mathematics of Insurance (2nd ed.). A Chapman & Hall Book. Sharpe, J., & Juárez, M. A. (2021). Estimation of the Pareto and Related Distributions – A Reference- Intrinsic  Approach. Communications  in  Statistics:  Theory  and  Method , 50 (23),  1 – 20. https://doi.org/10.1080/03610926.2021.1916826 Sidarto, K. A., Syamsuddin, M., & Sumarti, N. (2019). Matematika Keuangan . ITB Press.
Tsao,  H.  P.  (2019).  Evolutionary  Mathematics  And  Science  For  Life  Contingency  Investigation.  In Evolutionary Progress in Science, Technology, Engineering, Arts, and Mathematics (STEAM) (Vol. 1).
Utami, R. M., Hasriati, & Aziskhan. (2015). Cadangan Zillmer Status Hidup Gabungan dengan Asumsi Balducci. JOM FMIPA , 2 (1), 321 – 331.
Warsono,  Gustavia,  E.,  Kurniasari,  D.,  Amanto,  &  Antonio,  Y.  (2019).  On  the  Comparison  of  the Methods of Parameter Estimation for Pareto Distribution. IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series , 1338. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1338/1/012042