JMP : Vol. 9 No. 1, Juni 2017, hal. 1-12                ISSN 2085-1456

## ANALISIS KONSISTENSI MATRIKS KEPUTUSAN : SUATU PERBANDINGAN NUMERIK

## Farikhin
Departemen Matematika FSM UNDIP farikhin.math.undip@gmail.com
ABSTRACT. In this  paper,  we  study  some  algorithms  to  improve  consistency  of resiprocal pairwise matrix. The algorithm is proposed by using relationship with multiplicative  preference  relation  and  fuzzy  preference  relation.  An  example  is presented to evaluate these algorithms.
Keywords :  resiprocal  pairwise  matrix,  multiplicative  preference  relation,  fuzzy preference relation, and consistency.
ABSTRAK. Dalam makalah ini, dibahas beberapa algoritma untuk memperbaiki nilai  konsistensi  matriks keputusan .  Suatu  algoritma  diusulkan  dengan  menggunakan hubungan  antara  relasi  preferensi  multiplikatif  dan  relasi  preferensi  fuzzy,  Satu  contoh diberikan untuk mengevaluasi algoritma-algoritma tersebut.
Kata  Kunci :  matriks  keputusan,  relasi  preferensi  multiplikatif,  relasi  preferensi fuzzy, dan nilai konsistensi.

## 1. PENDAHULUAN
Perencanaan  dan  evaluasi  adalah  kegiatan  yang  sering  dilakukan.  Kedua kegiatan  tersebut  memerlukan  beberapa  pertimbangan  agar  mendapatkan  hasil yang optimal. Metode AHP ( analytic hierarchy process ) adalah salah satu metode yang  sering  digunakan  untuk  aktivitas  perencanaan  dan  evaluasi.  Metode  ini dibuat  dalam  beberapa  tahap,  yakni  tahap  penyusunan  hirarki  masalah,  tahap pembentukan  matriks  keputusan,  tahap  pengujian  nilai  konsistensi,  dan  tahap penentuan  prioritas  alternatif  keputusan  menggunakan  vektor  prioritas.  Ada beberapa problem matematis dalam metode AHP, yaitu problema konsistensi dan problema  penentuan  vektor  prioritas.  Metode  AHP  dikatakan  dapat  diterima  jika nilai  konsistensinya  kurang  dari  atau  sama  dengan  sepersepuluh  (Saaty  dan Vargas,  2012).  Dalam  makalah  ini,  dikaji  perbaikan  nilai  konsistensi  dengan beberapa pendekatan.

## 2 Farikhin
Perbaikan  nilai  konsistensi  matriks  keputusan  dapat  dilakukan  melalui analisis  elemen  dalam  matriks  keputusan  dan  kaitannya  dengan  vektor  prioritas yang  akan  dihasilkan.  Kajian  ini  berdasar  pada  syarat  cukup  dan  syarat  perlu matriks keputusan yang konsisten adalah nilai eigen maksimalnya sama dengan , dengan menyatakan jumlah baris/kolom matriks keputusan. Berdasarkan hal ini, beberapa  algoritma  dihasilkan.  Xu  dan  Cuiping  (1999)  mengusulkan  suatu algoritma  berdasarkan  nilai  eigen  maksimal  yang  mendekati Pendekatan  yang lain  juga  dapat  dikerjakan  melalui  transformasi  logaritmis  yang  menghasilkan problema optimasi. Problem tersebut diselesaikan menggunakan metode Lagrange (Koczkodajdan  Orlowski,  1999).  Matriks  keputusan  dapat  ditinjau  sebagai  suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil dari relasi tertentu. Relasi yang dimaksud  adalah  relasi  preferensi  multiplikatif.  Relasi  preferensi  ini  berkaitan dengan  relasi  preferensi  fuzzy.  Secara  khusus,  sifat  konsisten  dalam  relasi preferensi multiplikatif terkait dengan sifat konsisten aditif dalam relasi preferensi fuzzy. Kajian mengenai hal ini dibahas secara mendalam pada (Xu dan Da, 2003; Herrera dkk., 2004; Fedrizzidan Brunelli, 2010; Tanino, 1984)
Dalam  makalah  ini,  dikaji  algoritma  dari  Xu  dan  Cuiping  (1999)  serta Koczkodaj dan Orlowski (1999). Selain itu, diusulkan algoritma untuk perbaikan nilai  konsistensi  melalui  hubungan  sifat  konsistensi  dan  sifat  konsistensi  aditif. Dengan transformasi tertentu, sifat konsisten dalam relasi preferensi multiplikatif berakibat  konsisten  aditif.  Hal  ini  juga  berlaku  sebaliknya.  Tinjauan  ini  yang menjadi  dasar  menyusunan  algoritma  yang  dihasilkan.  Sebagai  evaluasinya, dibahas suatu contoh penggunaan algortima yang dihasilkan. Selanjutnya, hasil ini dibandingkan  dengan  beberapa  metode  lain  yang  dapat  memperbaiki  nilai konsistensi matriks keputusan.

## 2. METODE PENELITIAN
Dalam bagian ini, dibahas pendekatan  analitik pada dua relasi  preferensi. Relasi  yang  dimaksud  adalah  relasi  preferensi  multiplikatif  dan  relasi  preferensi fuzzy.  Pendekatan  selanjutnya  adalah  kajian  numerik  melalui  penyusuan
algoritma  untuk  meningkatkan  nilai  konsistensi.  Algoritma  ini  disusun berdasarkan hubungan antara sifat konsisten dan konsisten aditif.

## 2.1. Dua Relasi Preferensi
Pada  bagian  ini,  dibahas  secara  ringkas  hubungan  relasi  preferensi  yang bersifat  konsisten  dan  konsisten  aditif.  Selanjutnya,  dibahas  beberapa  algoritma yang digunakan untuk memperbaiki nilai konsistensi matriks keputusan.
Diberikan himpunan alternatif keputusan { } , dan notasi menyatakan  nilai  preferensi  alternatif  keputusan terhadap  alternatif keputusan , untuk . Jika nilai-nilai disajikan dalam matriks [ ] dengan untuk . Untuk selanjutnya, matriks dinamakan
matriks  keputusan .  Berdasarkan  matriks didefinisikan  pengertian-perngertian berikut.
Definisi 1 (Saaty, 1986). Diberikan matriks keputusan
[ ] .
 Matriks disebut  matriks  relasi  preferensi  multiplikatif  ( matriks  RPM )  jika , , dan untuk .
 Matriks RPM dikatakan konsisten jika untuk  setiap
.
Saaty  memberikan  syarat  cukup  dan  perlu  agar  matriks  RPM  bersifat konsisten  melalui  nilai  eigen  maksimal.  Jika nilai  eigen  maksimal  matriks matriks RPM , matriks konsisten jika dan hanya jika
, dengan jumlah baris matriks (Saaty, 1986).
Definisi 2 (Tanino, 1984). Diberikan matriks keputusan
[ ] .
 Matriks disebut matriks relasi preferensi fuzzy ( matriks RPF ) jika , , dan untuk .
 Matriks  RPM dikatakan konsisten  aditif jika untuk setiap .
Teorema  berikut  menjelaskan  syarat  cukup  dan  syarat  perlu  agar  matriks RPF bersifat konsistens aditif. Untuk pembuktian teorema ini dapat dilihat dalam (Herrera dkk., 2004).
Teorema 1 (Herrera dkk., 2004). Diberikan matriks RPF

## [
] .
Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen.
(a) konsisten aditif
(b) untuk setiap
(c) untuk setiap (d) untuk .
Dua teorema berikut memperlihatkan hubungan antara matriks RPM dan matriks RPF.
Teorema 2 (Xu dan Da, 2003). Jika
[
]
matriks RPM, makamatriks
[ ]
merupakanmatriks RPF , dengan
untuk .
Teorema 3 (Xu dan Da, 2003). Jika
[ ] matriks RPF, maka [ ] merupakanmatriks RPM , dengan
( ) untuk .
Teorema 4 (Xu dan Da, 2003; Herrera dkk., 2004). Diberikan  matriks RPM
[ ] dan
[ ]
dengan untuk .Jika  matriks  RPM bersifat konsisten maka matriks merupakan matriks RPF yang konsisten aditif.
Teorema 5 (Xu dan Da, 2003; Herrera dkk., 2004). Diberikan  matriks RPF
[ ] dan
[ ] dengan ( ) untuk .Jika  matriks  RPF bersifat
konsisten aditif maka matriks merupakan matriks RPM yang konsisten.
Teorema  4  dan  Teorema  5  memberikan  jaminan  sifat  konsisten  dari  sifat konsisten  aditif,  juga  sebaliknya.  Dengan  transformasi  seperti  dalam  Teorema  2 dan  Teorema  3,  sifat  konsisten  berhubungan  erat  dengan  sifat  konsisten  aditif. Teorema  berikut  memperlihatkan  syarat  cukup  dan  syarat  perlu  matriks  RPF menjadi matriks RPF yang konsisten aditif.
Teorema 6 (Siti Khabibah dkk., 2015). Diberikan matriks RPF
[ ] dan [ ] dengan
(∑( ) ) untuk  setiap .  Matriks  RPF mempunyai  sifat  konsisten  aditif  jika dan hanya jika .

## 2.2. Nilai Konsistensi
Pada  bagian  ini,  dibahas  beberapa  algoritma  untuk  meningkatkan  nilai konsistensi  matriks  keputusan.  Sebelumnya,  dibahas  secara  ringkas  pengertian nilai konsistensi dan hal-hal yang terkait dengannya.
Nilai  konsistensi  mencerminkan  adanya  konsisten  pembuat  keputusan. Pengukuran  konsistensi  pembuat  keputusan  untuk  menentukan  keputusan  yang dipilih,  dapat  dilakukan  melalui  analisis  elemen-elemen  matriks  keputusan . Kuantitas
diinterpretasikan  sebagai  rata-rata  ketidakpastian  yang  dihasilkan  oleh  pembuat keputusan (Saaty, 1986). Rasio konsistensi dihitung menggunakan rumus
dengan ditentukan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Nilai untuk alternatif keputusan n 3 4 5 6 IR 0,58 0,90 1,12 1,24 n 7 8 9 10 IR 1,32 1,41 1,45 1,49
Matriks RPM dikatakan dapat diterima (konsisten secara numerik) jika nilai kurang dari atau sama dengan 0,1.
Xu  dan  Cuiping  mengusulkan  suatu  algoritma  perbaikan  nilai  konsistensi melalui bentuk tranformasi

## 8 Farikhin
( ) dengan , ̅ vektor  eigen  yang  terkait  dengan , untuk .  Nilai  eigen  maksimal  matriks [ ] lebih  kecil daripada  nilai  eigen  maksimal  matriks .  Berdasarkan  ini,  dibuat  algoritma peningkatan nilai konsistensi sebagai berikut.
Algoritma 1 (Xu& Cuiping, 1999)
Input : Matriks RPM [ ]
jumlah iterasi
Output :  matriks RPM yang dapat diterima. Step 1. Tentukan untuk Step 2. Hitung dan vektor eigennya ̅ ( ) Step 3. Hitung dan . Step 4. Jika , kerjakan step 7. jika tidak, kerjakan step berikut Step 5. Buat matriks RPM baru * + dengan ( ) ( ) Step 6. Pilih dan kembali ke step 2. Step 7. Pilih dan ̅ sebagai vektor prioritasnya.
Step 8. Selesai. 
Koczkodaj  dan  Orlowski  mengusulkan  algoritma  perbaikan  nilai konsistensi  melalui  hubungan  elemen-elemen  matriks  keputusan  dalam  satu baris/kolom yang sama. Algoritma tersebut dituliskan sebagai berikut.
Algoritma 2 (Koczkodaj & Orlowski, 1999)
Input  : matriks RPM [ ]
Output : matriks RPM [ ] yang konsisten Step 1. Hitung matriks [ ] dengan Step 2. Hitung vektor dengan ∑ Setp 3. Hitung vektor dengan ∑ Step 4. Konstruksikan matriks [ ] dengan
(( )   ( ))
Step 5. Konstruksikan matriks [ ] dengan Step 6. Selesai. 
Mengingat  Teorema  6,  penulis  mengusulkan  algoritma  perbaikan  nilai konsistensi  melalui  matriks  RPF.  Matriks  RPM  ditarnsformasikan  ke  bentuk matriks  RPF.  Hasil  transformasi  ini  dan  menginggat  Teorema  6,  dapat dikontruksikan  matriks  RPF  yang  konsisten  aditif.  Dengan  menggunakan Teorema  5,  diperoleh  bentuk  matriks  RPM  yang  konsisten.  Adapun  algoritma yang diusulkan ditulis sebagai berikut.

## Algoritma 3
Input  : matriks RPM [ ]
Output : matriks RPM [ ] yang konsisten Step 1. Kontruksikan matriks [ ] dengan
Step 2. Kontruksikan matriks [ ] dengan (∑ ( ) ) Setp 3. Jika terdapat , maka kontruksikan matriks [ ] dengan
dan {| | } . Jika tidak demikian, kerjakan step 4 Step 4. Konstruksikan matriks [ ] dengan ( )
Step 5. Selesai. 

## 3. CONTOH DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini,  dberikan  suatu  contoh  penggunaan  tiga  algoritma  yang dijelaskan  pada  bagian  sebelumnya.  Contoh  matriks  keputusan  diambil  dari  (Xu dan Cuiping, 1999). Diberikan matriks keputusan
[ ] Matriks  keputusan tidak  konsisten,  sebab .  Jika  Algoritma  1
dikerjakan  pada  matriks ,  dengan maka  nilai  eigen  maksimalnya  sama
dengan 3,002 (Xu & Cuiping, 1999).
Tabel  1  menunjukkan  perbandingan  nilai  eigen  maksimal  dan  vektor eigennya  yang  dihasilkan  oleh  tiga  algoritma  tersebut.  Algoritma  2  dan  3 menghasilkan  nilai  eigen  maksimal  yang  hampir  sama  dengan  tiga.  Hal  ini menunjukkan bahwa dua algoritma ini dapat meningkatkan nilai konsisten matriks keputusan.
Algoritma  1  juga  memberikan  hasil  perbaikan  nilai  konsistensi.  Untuk komputasinya,  Algoritma  1  memerlukan  input yang  berupa  paramter.  Hal  ini berarti pemilihan nilai yang mengoptimalkan nilai eigen maksimal akan menjadi problem  tersendiri.  Oleh  karenanya,  algoritma  ini  baik  secara  analitik  tetapi kurang efisien dari aspek komputasinya.
Algoritma  2  memberikan  hasil  yang  sama  dengan  algoritma  3.  Secara analitik,  algoritma  2  disusun  sebagai  hasil  dari  problem  optimasi.  Seperti diketahui,  suatu  matriks  keputusan  bersifat  konsisten  jika  nilai  elemen merupakan  perbandingan  antara  bobot  keputusan  ke dengan  bobot  keputusan ke . Hanya saja, algoritma 3 ini mengasumsikan bahwa trasnformasi logaritmis sedekat mungkin dengan elemen-elemen dalam vektor prioritas.
Tabel 2. Perbandingan nilai eigen dan vektor eigen Nilai eigen maksimal Vektor eigen Algoritma 1 3,002 ( ) Algoritma 2 3,000 ( ) Algoritma 3 3,000 ( )

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Perbaikan  nilai  konsisten  matriks  keputusan  dapat  dilakukan  melalui kajian elemen baris/kolom matriks keputusan dan relasi preferensi lainnya. Suatu algoritma  diusulkan  untuk  memperbaiki  nilai  konsistensi  matriks  keputusan berdasarkan  relasi  preferensi  fuzzy.  Secara  analitik,  kajian  ini  berdampak  pada
pengembangan  dan  modifikasi  relasi  preferensi  yang  digunakan  dalam  teori pembauatan  keputusan.  Secara  numerik,  kajian  ini  diarahkan  kepada  pembuatan komputasi yang relatif mudah.
Pada  penelitian  yang  akan  datang,  kajian  mengenai  perbaikan    nilai konsisten  dapat  dianggap  sebagai  problem-problem  optimasi.  Hal  ini  dapat membuka ruang baru dalam pendekatan relasi preferensi dan penerapannya.

## DAFTAR PUSTAKA
Fedrizzi,  M.  dan  Brunelli,  M . , On  the  Priority  Vector  associated  with  a Reciprocal Relation and a Pairwise Comparison Matrix , Soft Computing, 14 (2010), 639–645.
Herrera-Viedma,  E.,  Herrera,  F.,    Chiclana,  F.,  dan  Luque,  M., Some  Issues  of Fuzzy Preferency Relation , European Journal of Operational Research , 154 (2004), 98–109.
Saaty, T.L. dan Vargas, L.G., Models, Methods, Concepts and Applications of the Analytic Hierarchy Process , Springer, 2012
Khabibah,  S.,  Farikhin,  dan  Puspita,  N.  K., Pengembangan  Metode  Tipe  AHP berdasarkan  relasi  Preferensi  Fuzzy  Tergeneralisir  untuk  Pembuatan Keputusan Berkelompok , Laporan Penelitian FSM UNDIP, 2015.
Xu,  Z.  dan  Cuipin,  W., A  Consistency  Improving  Method  in  the  Analytic Hierarchy  Process ,  European  Journal  of  Operational  Research, 116 (1999), 443-449.
Xu,  Z.  dan  Da,  Q., An  Approach  to  Improving  Consistency  of  Fuzzy  Preference Matrix, Fuzzy Optimization and Decision Making, 2 (2003), 3–12. Saaty,  T.  L., Axiomatic  Foundation  of  the  Analityc  Hierarchy  Process , Management Science, 32 (7) (1986), 841-855.
Tanino, T.  Fuzzy  Preference  Orderings  in  Group  Decision  Making ,  Fuzzy  Sets and Systems, 12 (1984), 117-131.
Koczkodaj, W., W., and Orlowski, M., Computing a Consistent Approximation to A  Generalized  Pairwise  Comparison ,  Computers  and  Mathematics  with Applications, 37 (1999), 79-85.

## 12 Farikhin