## Ismi Ratin Nabiyah
Penyelesaian Persamaan
Klein-Gordon Menggunakan Metode Homotopi

## Ismi Ratin Nabiyah
Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika FMIPA USU Email: qu_ismie45@yahoo.co.id
Abstrak . Persamaan Klein-Gordon nonlinear merupakan persamaan yang menggambarkan keadaan suatu partikel  yang  bergerak  periodik  dalam  keadaan  tertentu.  Penurunan  persamaan  Klein-Gordon nonlinear didasarkan  pada  analogi  yang  sama  seperti  pada  penurunan  persamaan  Schrodinger nonlinear .  Melalui analogi  tersebut,  persamaan  Klein-Gordon nonlinear dibangun  dengan  menambahkan  suku  potensial kuantum pada persamaan Klein-Gordon linear . Persamaan Klein-Gordon nonlinear merupakan persamaan diferensial  parsial  yang  bentuknya nonlinear .  Masalah nonlinear biasanya  sulit  diselesaikan  secara analitik,  karena  faktor nonlinear yang  sangat  kuat.  Pada  penelitian  ini  persamaan  tersebut  diselesaikan dengan metode homotopi. Metode homotopi merupakan suatu metode penyelesaian persamaan diferensial yang  berbentuk linear maupun nonlinear ,  penyelesaiannya  berbentuk  deret  yang  yang  diinterpretasikan dengan bantuan software  Mathematica 7. Penyelesaian persamaan Klein-Gordon nonlinear menggunakan metode  homotopi  secara  manual  dihitung  sampai  orde  tiga,  kemudian  untuk  orde  lima  dan  orde  enam dihitung  menggunakan  bantuan software  Mathematica  7. Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh,  penggunaan metode homotopi untuk menyelesaikan persamaan Klein-Gordon akan semakin baik penyelesaiannya jika digunakan orde yang lebih tinggi.
Kata kunci : persamaan Klein-Gordon nonlinear, metode Homotopi, persamaan diferensial nonlinear.

## Pendahuluan
Model  matematika  dapat  digunakan untuk
menggambarkan
atau mendeskripsikan permasalahan yang terjadi  di  alam.  Masalah  yang  dapat dimodelkan banyak melibatkan persamaan diferensial nonlinear .  Model  matematika dalam  bentuk  persamaan nonlinear sering kali muncul di bidang ilmiah, seperti fisika benda  padat,  fisika  plasma,  dinamika fluida, biologi matematika, kinetika kimia, mekanika kuantum dan sebagainya.
Persamaan  Klein-Gordon  merupakan suatu persamaan dalam mekanika kuantum yang  sangat  berguna  untuk  fisika  partikel. Teori  mekanika  kuantum  dirumuskan untuk  mempelajari  sistem  mikroskopik yang  mempunyai  dua  aspek  penting  yang ditunjukkan  melalui  hasil  eksperimen. Einstein dan de Broglie sebagai dua tokoh pencetus  teori  mekanika  kuantum  melalui
postulat  kuantisasi  energi  dan  momentum linear meyakini bahwa mekanika kuantum yang paling fundamental adalah mekanika kuantum nonlinear .  Hal  ini  membuat beberapa fisikawan tertarik untuk merumuskan mekanika kuantum nonlinear . Perumusan mekanika kuantum nonlinear yang  pertama  yaitu  persamaan Schrodinger nonlinear , kemudian dirumuskan persamaan Klein-Gordon nonlinear yang  merupakan  persamaan diferensial  parsial  berdasarkan  konsep penurunan  yang  sama  dengan  persamaan Schrodinger nonlinear .  Kesulitan  dalam persamaan  ini  yaitu  ditemukannya  energi yang  bernilai  positif  dan  negatif  untuk masing-masing partikel tunggal dan partikel bebas.
Masalah nonlinear sulit  diselesaikan secara  analitik,  sehingga  diperlukan  suatu

## Jurnal As-Salam, 1(1) Januari - April 2017
(Print ISSN 2528-1402, Online ISSN 2549-5593)
metode  pendekatan  analitik.  Terdapat beberapa  metode  pendekatan  analitik untuk  menyelesaikan  masalah nonlinear , diantaranya  metode  homotopi.  Beberapa penelitian  sebelumnya  telah  melakukan pendekatan  penyelesaian  analitik  untuk persamaan Klein-Gordon dengan beberapa metode.  Menurut  Alomari,  dkk  (2008), pada  tahun  2005,  Deeba  dan  Khuri menggunakan metode dekomposisi adomian  analitik  (ADM),  kemudian  pada tahun  2006  dibuat  modifikasi  metode dekomposisi  adomian  (MADM)  oleh Wazwaz  untuk  penyelesaian  persamaan Klein-Gordon nonlinear .  Pada  tahun  yang sama  Abbasbandy  menggunakan  metode iterasi variasi (VIM) untuk menyelesaikan persamaan  Klein-Gordon nonlinear dan terakhir  pada  tahun  2007  Chowdhury  dan Hasyim  menggunakan  metode  homotopi perturbasi  (HPM)  untuk  menyelesaikan persamaan tersebut.
Metode  homotopi  merupakan  suatu metode pendekatan analitik untuk penyelesaian  suatu  masalah nonlinear yang pertama kali diperkenalkan oleh Liao pada  tahun  2003.  Metode  homotopi  berisi parameter  tambahan  yang  memberikan sebuah cara sederhana untuk mengatur dan mengendalikan  daerah  konvergensi  atau laju  konvergensi.  Persamaan  diferensial parsial nonlinear dapat diselesaikan menggunakan  metode  homotopi,  dengan menggunakan  metode  homotopi  tidak perlu dilakukan pelinieran ataupun pendiskretan peubah.
Berdasarkan  latar  belakang  tersebut, maka akan dilakukan penelitian
menggunakan  metode  homotopi  untuk memperoleh  penyelesaian  dari  persamaan Klein-Gordon nonlinear .
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah memperoleh penyelesaian Persamaan Klein-Gordon nonlinear menggunakan metode homotopi

## Metode Penelitian
Persamaan  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  merupakan  persamaan  yang diperoleh  dari  penelitian  terdahulu  oleh Prayitno  (2012)  dalam  jurnal  Fisika  dan Aplikasinya dengan judul “ Solusi
Persamaan  Klein  –  Gordon  Nonlinear untuk  Partikel  Bebas”. Persamaan  Klein- Gordon nonlinear tersebut sebagai berikut:
0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 a a t a a c h c m t c
Keterangan : ) , ( t r a  : amplitudo
 : fungsi gelombang
h : konstanta Planck
m : massa diam partikel t : waktu c : kecepatan partikel
bentuk  umum  persamaan  Klein- Gordon nonlinear diubah  ke  bentuk persamaan  diferensial  parsial.  Perubahan bentuk tersebut mengikuti bentuk persamaan Klein-Gordon nonlinear dalam bentuk  persamaan  diferensial  parsial nonlinear sebagai berikut :
    t x f u g b u b u u xx tt , 2 1     Keterangan :
u : fungsi dari x dan t g : fungsi nonlinear f : fungsi yang diketahui
2 1 , b b
: konstanta
Mendefinisikan  operator  turunan parsial yang  bentuknya linear dari persamaan Klein-Gordon
nonlinear . Operator linear tersebut dinyatakan
sebagai berikut :
      t q t x q t x L    ; , ; ,  
Operator  turunan  parsial linear L dengan fungsi   q t x ; ,  yang berarti fungsi

## Ismi Ratin Nabiyah
 bergantung  pada  dua  variabel  bebas, yaitu x dan t .
Mendefinisikan  operator  turunan parsial  yang  bentuknya nonlinear dari persamaan Klein-Gordon. Operator nonlinear tersebut  dinyatakan  sebagai
berikut :
  0 ] , [  t x u N dengan N sebagai operator
nonlinear ,   t x u , sebagai  fungsi  yang akan  ditentukan  dan  bergantung  pada variabel x dan t .
Selanjutnya,   t x u ,  akan diperoleh dari  penyelesaian  persamaan  deformasi orde nol berikut :
            q t x N q t x u q t x L q ; , , ; , 1 0       dengan   1 , 0  q dan   q t x ; ,  adalah  fungsi  yang  merupakan  pemetaan dari   t x u , .   t x u , 0 adalah  penduga  awal
dari   t x u , ,  adalah  parameter  tak  nol, dan L adalah operator linear . Jika q =  0  dan q =  1  ,  maka  akan diperoleh     t x u t x , 0 ; , 0       0 1 ; ,  t x N  Dengan menggunakan teorema Taylor,   q t x ; ,  dapat diuraikan menjadi :
      m m m q t x u t x u q t x      1 0 , , ; ,  dimana     0 ; , ! 1 ,     q m m m q q t x m t x u 
Selanjutnya,  penurunan m kali persamaan  deformasi  orde  nol  terhadap  q, dengan q =  0  dan  dibagi m! akan diperoleh  bentuk  persamaan  orde  ke  – m berikut :       t x R t x u X t x u L m m m m , ] , , [ 1    
Persamaan  deformasi  orde  tinggi, 1  m diperoleh dengan persamaan berikut:         1 1 1 , ,      m m m m m u R L t x u X t x u   ketika 1  q maka            1 0 , , , m m t x u t x u t x u dengan   t x u , 0 adalah  dugaan awal dan   t x u m , diperoleh dari penyelesaian deformasi orde tinggi.
Membentuk  penyelesaian  analitik orde m yang  berupa  deret  Taylor,  yaitu penjumlahan  penyelesaian  orde  nol  dan penyelesaian  orde- m yang  diperoleh  pada tahap  ke-4  dan  tahap  ke-5.  Penyelesaian diperoleh dan dituliskan dalam bentuk
        . ... , , , , 2 1 0     t x u t x u t x u t x u
Penyelesaian  persamaan  Klein- Gordon nonlinear menggunakan  metode homotopi  orde  5  dan  orde  6  akan disimulasikan menggunakan bantuan software Mathematica 7 .

## Hasil dan Pembahasan
Persamaan  Klein-Gordon  di  atas membentuk  sebuah  persamaan  diferensial parsial nonlinear berorde  dua.  Massa diam  partikel m, konstanta  Planck h ,  dan kecepatan  partikel c pada  persaamaan tersebut  merupakan  konstanta.  Simbol  (nabla/del) pada persamaan tersebut merupakan  gradien  vektor,  yaitu  untuk mencari  perubahan  arah  dan  kecepatan dalam bidang skalar yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
              n x f x f x f f ,..., , 2 1 dengan f sebagai  fungsi  yang  dicari  serta x 1 , x 2 , dan x n sebagai variabel bebas. dan
                2 2 2 2 2 2 1 2 2 ,..., , n x f x f x f f
u v u v     . 2 dengan u dan v merupakan  variabel  tak bebas.
Oleh  karena  itu  persamaan  Klein-Gordon nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut : 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                     t t a t a a c h c m x t c
Misalkan setiap konstanta pada persamaan tersebut  berturut  –  turut  dimisalkan sebagai a, b dan c, maka persamaan Klein- Gordon nonlinear menjadi
. 0 2 2 2 2 2 2                     t t a t a c b x t a
Bentuk  umum  persamaan  tersebut mengandung  turunan  kedua  dari  fungsi gelombang,  dapat  diubah  oleh  perubahan variabel  bebas  dalam  bentuk  yang  mirip dengan  difusi,  gelombang,  dan  persamaan Laplace.
Sehingga
persamaan ini sebenarnya merupakan prototipe
persamaan nonlinear orde dua dari bentuk persamaan tersebut.
Menurut  Alomari,  dkk  (2008)  bentuk umum persamaan Klein-Gordon nonlinear dinyatakan sebagai berikut :
    . , 2 1 t x f u g b u b u u xx tt    
Keterangan : u : Fungsi dari x dan t t x ,   : Variabel bebas
g : Fungsi nonlinear
2 1 , b b : Konstanta
f
: Fungsi yang diketahui.
Jika  fungsi  gelombang u   dan amplitudo  sebagai  sebuah  fungsi a =  u maka  persamaan  Klein-Gordon nonlinear dapat ditulis sebagai berikut :
) 7 ( 0 2      u u cu bu u au tt xx tt
dengan b sebagai b 1 dan –c sebagai b 2 , serta x dan t adalah  koordinat  ruang  dan waktu.
Berdasarkan  bentuk  persamaan Klein-Gordon  oleh  Prayitno  (2012)  dapat dilihat  bahwa    ketidaklinieran  persamaan Klein-Gordon  tersebut  dapat  dilihat  dari adanya  perkalian  dua  variabel  tak  bebas dan interaksi nonlinear yang diwakili oleh:
. 0 2    u u cu tt
Hal  pertama  yang  harus  dilakukan yaitu  mendefinisikan  operator  turunan parsial yang berbentuk linear dari persamaan Klein-Gordon sebagai berikut:   , 0  f L karena  fungsi  pada  persamaan  Klein- Gordon  yang  digunakan  bergantung  pada x,t  dan  q,  maka  dapat  ditentukan  operator linear sebagai berikut:
      t q t x q t x L    ; , ; ,  
Selanjutnya mendefinisikan operator  turunan  parsial  yang  berbentuk nonlinear dari  persamaan  Klein-Gordon sebagai berikut :
  0 ] , [  t x u N dengan   t x u ,   fungsi  yang  akan ditentukan  dari  persamaan  Klein-Gordon, maka diperoleh operator nonlinear berikut
:
                ) 9 ( ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , 2 2 2 2 2 2 2 q t x q t x t q t x c q t x b x q t x t q t x a q t x N                   dengan   1 , 0  q merupakan suatu parameter,  kemudian   q t x ; ,  merupakan suatu fungsi yang bergantung pada x dan t .
Pada lampiran 1 persamaan deformasi  orde  nol  diturunkan  terhadap q hingga m kali,  maka  diperoleh  persamaan
sebagai berikut :

## Ismi Ratin Nabiyah
        1 1 , ,     m m m m m u R t x u X t x u L   dengan         0 1 1 1 , ! 1 1
        q m m m m q t x u N m u R  dan       . 1 , 1 , 1 , 0 m m X m
berarti  jika 1  m ,  maka m X bernilai  nol dan bernilai satu untuk m lainnya.
Gunakan  operator linear sepert,  sehingga persamaannya menjadi :
        1 1 , ,       m m m m m u R t x u X t x u t  
Jika  kedua  ruas  pada  persamaan tersebut  diintegralkan  dan  disubstitusikan persamaan  tersebut,  maka  akan  diperoleh persamaan sebagai berikut :
        dt q q t x u N m t x u X t x u q t m m m m m 0 0 1 1 1 ] ; , [ ! 1 1 , ,
          
dengan     0 ; , ! 1 ,     q m m m q q t x m t x u  dan     t x u t x u , 0 ; , 0  ,     t x u t x u , 1 ; , 
Didefinisikan pendekatan awal   t t x u  , 0
Contoh untuk m = 1, maka diperoleh          
  3 2 0 3 2 0 2 1 0 0 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 , ; ! 1 1 , , t t b t bt dt t bt t x u dt q q t u N m t x u X t x u t t q t m m m m m                          
Langkah  tersebut  akan  dilanjutkan sampai  orde  yang  telah  ditentukan. Tahapan  tersebut  akan  menghasilkan penyelesaian  untuk m =  0  sampai  dengan
m yang  ditentukan  untuk   t x u , .  Dengan demikian  penyelesaian  persamaan  Klein- Gordon  dengan  menggunakan  metode homotopi sebagai berikut :
          .... , , , , , 3 2 1 0      t x u t x u t x u t x u t x u
Deret penyelesaian   t x u , konvergen,  konvergensi  deret  homotopi bergantung  kepada  empat  faktor,  yaitu kondisi  awal,  operator linear ,  fungsi   q t x H ; , dan  parameter  bantu  . Meskipun  pemilihan  kondisi  awal  dan operator linear tidak  cukup  baik,  asalkan rasional,  hasilnya  tetap  bisa  konvergen, sebab  konvergensi  pada  metode  homotopi ditentukan  oleh  pemilihan  nilai  parameter bantu  .  Parameter  homotopi  harus dipilih  sesuai  dengan  radius  konvergensi deret  takhingga  yang  telah  diperoleh. Untuk memperoleh penyelesaian menggunakan software  Mathematica  7 sebelumnya  harus  didefinisikan  atau dimisalkan  nilai  dari  masing-masing konstanta  pada  persamaan  Klein-Gordon nonlinear .
Menurut Takeuchi (2008) diberikan nilai konstanta tersebut berturut- turut  dengan  nilai 14286 , 7   c a dan nilai 36 10 522 , 7    b .  Dengan  bantuan software  Mathematica  7 ,  penyelesaian persamaan  (7)  dengan  menggunakan metode homotopi  dengan parameter bantu
1    sebagai berikut:
Homotopi orde 1
-3.6125×10 -36 t 2 -t 3 /3

## Homotopi orde 2
4.43822×10 -35 t+6.14286 t 2 -0.333333 t 3 +1.78045×10 -35 t 4 +0.952381 t 5 - 4.01389×10 -37 t 6 -0.015873 t 7
Homotopi orde 3
-75.4695 t+12.2857 t 2 +179.356 t 3 -58.5035 t 4 -5.64218 t 5 +154.588 t 6 -8.45417 t 7 - 5.29317 t 8 +14.6694 t 9 +0.0195011 t 10 -
0.692033 t 11 -4.77395×10 -17 t 12 +0.00814001 t 13 +0. t 14 -0.0000167968 t 15

## Homotopi orde 4
-226.408 t-9915.82 t 2 -192933. t 3 +126669. t 4 +273202. t 5 -645021. t 6 +100162. t 7 +921270. t 8 -425686. t 9 -50308.5 t 10 +620267. t 11 -97746.5 t 12 -51533.3 t 13 +123079. t 14 -5326.37 t 15 -11462.9 t 16 +6885.61 t 17 +373.237 t 18 -711.619 t 19 - 4.96963 t 20 +28.1642 t 21 +0.0257369 t 22 - 0.518145 t 23 -0.0000498836
t 24 +0.00448642 t 25 +2.51967×10 -8 t 26 -
0.0000165537 t 27 -5.72766×10
-23 t 28 +2.40226×10 -8 t 29 +0. t 30 -9.10109×10 -12 t 31 Homotopi orde 5
121597. t+1.95815×10 7 t 2 +1.08891×10 9 t 3 +2.67059×10 10 t 4 +2.92154×10 11 t 5 - 5.90054×10 11 t 6 -9.99063×10 11 t 7 +4.94612×10 12 t 8 -2.68138×10 12 t 9 - 1.34835×10 13 t 10 +1.85522×10 13 t 11 +6.12372×10 12 t 12 -4.17057×10 13 t 13 +2.4369×10 13 t 14 +3.25849×10 13 t 15 - 5.20578×10 13 t 16 +1.11642×10 13 t 17 +4.37355×10 13 t 18 -3.14769×10 13 t 19 - 1.78591×10 12 t 20 +2.653×10 13 t 21 - 9.83911×10 12 t 22 -3.55433×10 12 t 23 +8.22759×10 12 t 24 -1.46431×10 12 t 25 - 1.35583×10 12 t 26 +1.33003×10 12 t 27 - 4.22847×10 10 t 28 -2.3802×10 11 t 29 +1.03316×10 11 t 30 +1.49309×10 10 t 31 - 1.98559×10 10 t 32 +2.43191×10 9 t 33 +1.76775×10 9 t 34 -6.14133×10 8 t 35 - 9.04323×10 7 t 36 +5.96652×10 7 t 37 +2.8894×10 6 t 38 -3.32867×10
6 t 39 - 59788.9 t 40 +118351. t 41 +810.371 t 42 - 2799.71 t 43 -7.16195 t 44 +44.7968 t 45 +0.0406943 t 46 -0.484839 t 47 - 0.000145932 t 48 +0.00350818 t 49 +3.20531×10 -7 t 50 -0.0000166467 t 51 -
4.08398×10 -10 t 52 +5.06291×10 -8 t 53 +2.74558×10 -13 t 54 -9.53758×10 -11 t 55 -
8.40462×10 -17 t 56 +1.04918×10 -13 t 57 +7.90751×10 -21 t 58 -6.09966×10 -17 t 59 - 1.7376×10 -35 t 60 +1.61884×10 -20 t 61 +0. t 62 -
1.31476×10 -24 t 63 Homotopi orde 6
-2.4033×10 8 t+1.69874×10 13 t 2 +3.71676×10 15 t 3 +3.74182×10 17 t 4 +2.16371×10 19 t 5 +7.7041×10 20 t 6 +1.67905×10 22 t 7 +2.01522×10 23 t 8 +7.92413×10 23 t 9 -6.95159×10 24 t 10 +6.95737×10 23 t 11 +8.6272×10 25 t 12 - 1.73358×10 26 t 13 -3.54854×10 26 t 14 +1.59619×10 27 t 15 -6.07206×10 26 t 16 -
6.15153×10 27 t 17 +1.04057×10 28 t 18 +7.54685×10 27 t 19 -3.96705×10 28 t 20 +2.55392×10 28 t 21 +6.77909×10 28 t 22 - 1.26301×10 29 t 23 -5.98858×10 27 t 24 +2.36427×10 29 t 25 -2.14777×10 29 t 26 -
1.69771×10 29 t 27 +4.57198×10 29 t 28 -
1.74355×10 29 t 29 -4.22419×10 29 t 30 +5.4391×10 29 t 31 +1.61859×10 28 t 32 -
5.60443×10 29 t 33 +4.10271×10 29 t 34 +1.92398×10 29 t 35 -4.71511×10 29 t 36 +1.88194×10 29 t 37 +2.20334×10 29 t 38 - 2.66594×10 29 t 39 +3.87104×10 28 t 40 +1.41549×10 29 t 41 -1.02939×10 29 t 42 - 9.8396×10 27 t 43 +5.96349×10 28 t 44 - 2.65816×10 28 t 45 -1.04624×10 28 t 46 +1.72195×10 28 t 47 -4.14465×10 27 t 48 - 3.96703×10 27 t 49 +3.41921×10 27 t 50 - 2.01888×10 26 t 51 -9.09126×10 26 t 52 +4.50946×10 26 t 53 +6.65947×10 25 t 54 - 1.36001×10 26 t 55 +3.48578×10 25 t 56 +1.78373×10 25 t 57 -1.31056×10 25 t 58 +6.80615×10 23 t 59 +2.16258×10 24 t 60 - 7.30343×10 23 t 61 -1.51424×10 23 t 62 +1.46224×10 23 t 63 -1.29261×10 22 t 64 - 1.62667×10 22 t 65 +4.84718×10 21 t 66 +9.71023×10 20 t 67 -6.77704×10 20 t 68 +6.44987×10 18 t 69 +6.16917×10
19 t 70 - 8.05367×10 18 t 71 -4.09616×10 18 t 72 +9.60579×10 17 t 73 +2.07973×10 17 t 74 - 7.15523×10 16 t 75 -8.28341×10 15 t 76 +3.9116×10 15 t 77 +2.62864×10 14 t 78 -
1.65796×10 14 t 79 -6.71168×10 12

## Ismi Ratin Nabiyah
t 80 +5.59216×10 12 t 81 +1.38715×10 11 t 82 - 1.52257×10 11 t 83 -2.32825×10 9 t 84 +3.374×10 9 t 85 +3.17713×10 7 t 86 - 6.11313×10 7 t 87 -352276. t 88 +907387. t 89 +3167.45 t 90 -11034.4 t 91 -23.0219 t 92 +109.77 t 93 +0.134701 t 94 -0.890821 t 95 - 0.000631197 t 96 +0.00587501 t 97 +2.35394×10 -6 t 98 -0.0000313382 t 99 - 6.9325×10 -9 t 100 +1.34436×10 -7 t 101 +1.59662×10 -11 t 102 -4.6067×10 -10 t 103 - 2.84008×10 -14 t 104 +1.25055×10 -12 t 105 +3.84062×10 -17 t 106 -2.66187×10 -15 t 107 - 3.86985×10 -20 t 108 +4.3856×10 -18 t 109 +2.83259×10 -23 t 110 -5.50213×10 -21 t 111 - 1.45785×10 -26 t 112 +5.14955×10 -24 t 113 +5.04834×10 -30 t 114 -3.50389×10 -27 t 115 - 1.10351×10 -33 t 116 +1.67733×10 -30 t 117 +1.38061×10 -37 t 118 -5.40437×10 -34 t 119 -
8.43824×10 -42 t 120 +1.09913×10 -37 t 121 +1.70434×10 -46 t 122 -1.27861×10 -41 t 123 +5.1685×10 -59 t 124 +7.26364×10 -46 t 125 - 9.99547×10 -64 t 126 -1.3611×10 -50 t 127

## Simpulan dan Saran
Berdasarkan  hasil  penelitian  dapat disimpulkan bahwa :
1. Metode  homotopi  dapat  digunakan untuk menyelesaikan persamaan
Klein-Gordon nonlinear , hal ini ditunjukkan dengan diperolehnya hasil penyelesaian berupa deret matematika.
2. Hasil  perbandingan  antara  metode homotopi  orde  tiga,  empat,  lima  dan enam  menunjukkan  bahwa  semakin tinggi  orde  yang  digunakan  akan memberikan  penyelesaian  yang  lebih baik,  terlihat  dari  daerah  penyelesaian yang semakin luas dan titik belok pada nilai  negatif  yang  semakin  berkurang, maka dapat disimpulkan bahwa penyelesaian  menggunakan  metode homotopi orde enam merupakan penyelesaian yang paling baik.
Adapun  saran  bagi  penelitian selanjutnya adalah sebagai berikut:
1. Hasil  penelitian  ini  dapat  digunakan sebagai  salah  satu  referensi  untuk
menyelesaikan persamaan Klein-
Gordon nonlinear yang  digunakan dalam bidang Fisika.
2. Pada  penelitian  ini  penulis  hanya menyelesaikan persamaan Klein- Gordon nonlinear dalam bentuk umum menggunakan metode homotopi, diharapkan  agar  penelitian  selanjutnya dapat  memberikan  aplikasi  persamaan Klein-Gordon nonlinear dalam
masalah yang terjadi di alam. 3. Seiring berkembangnya ilmu
pengetahuan,  maka  dapat  dilakukan penyelesaian  persamaan  Klein-Gordon nonlinear menggunakan pengembangan metode homotopi, yaitu  metode  homotopi  perturbasi  dan homotopi pade.

## Daftar Rujukan
Alomari,  A.K, Salmi, M., & Roslinda, M. 2008. Approximation Analytical Solutions  Of  The  Klein-Gordon Equation By Means Of The Homotopy Analysis Method. Journal of Quality Measurement and Analysis. 4(1): 45 – 47.
Liao,  SJ.  2004. Beyond  Perturbation: introduction to the Homotopy Analysis  Method. New  York  :  Boca Raton.
Prayitno,  T.B.  2012.  Solusi  Persamaan
Klein-Gordon Non linear untuk Partikel  Bebas. Jurnal  Fisika  dan Aplikasinya. 8:1.
Takeuchi,  Y.  2008. Kelahiran  Mekanika Kuantum. http://www.chem-is- try.org/materi_kimia/kimia_dasar/str uktur_atom1/kelahiran-mekanika- kuantum/.  Diakses  pada  tanggal  01 Maret 2014.
Zauderer,  E.  2006. Partial  Differential Equations  of  Applied  Mathematics 2nd Edition. New York : John Wiley and Sons Inc.