## Dampak Pendekatan Matriks Enam Sel untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Calon Guru Matematika

## Kimura Patar Tamba
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Pendidikan, Universitas Pelita Harapan Boulevard 1100, Klp. Dua, Kec. Klp. Dua, Tangerang, Banten kimura.tamba@uph.edu

## Abstract
The  six-cell  matrix  is  a  framework  for  understanding  the  logical  structure  of  quantified  mathematical statements. The purpose of this study was to analyze the impact of the use of a six-cell matrix in improving the ability  of  proving  statements  in  the  office  of  prospective  mathematics  teachers.  This  study  used  a  pre- experimental design  with  a  pre-test  and  post-test  in  one  non-randomized  group.  The  research  sample  was 35 mathematics teacher candidates. The pre-test and post-test data collection used test questions consisting of six quantified statement. Data were analyzed using descriptive statistics and the Wilcoxon signed ranks test. The results showed that the use of a six-cell matrix in learning could improve the pre-service mathematics teachers’ mathematical  proof  ability.  In  particular,  pre-service  mathematics  teachers’  mathematical  proof  ability increases significantly in existentially quantified statement.
Keywords: Quantified Statement, Proof, Six Cell Matrix

## Abstrak
Matriks  enam  sel  merupakan  kerangka  dalam  memahami  struktur  logika  dari  pernyataan  matematika berkuantor.  Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  menganalisis  dampak  penggunaan  matriks  enam  sel  dalam meningkatkan  kemampuan  pembuktian  pernyataan  berkuantor  calon  guru  matematika.  Penelitian  ini menggunakan  desain  pre-experimental  dengan pre-test dan post-test pada  satu  kelompok  tidak  acak.  Sampel penelitian ini adalah 35 calon guru matematika. Pengumpulan data pre-test dan post-test menggunakan soal tes yang  terdiri  dari  enam  pernyataan  matematika  berkuantor.  Data  dianalisis  dengan  menggunakan  statistik deskriptif dan uji Wilcoxon signed ranks. Hasil penelitian menunjukkan bahwa  penggunaan matriks enam sel dalam  pembelajaran  dapat  meningkatkan  kemampuan  pembuktian  pernyataan  berkuantor  calon  guru matematika. Secara khusus, kemampuan pembuktian calon guru matematika meningkat secara signifikan pada pernyataan berkuantor eksistensial.
Kata kunci: Pernyataan Berkuantor, Pembuktian, Matriks Enam Sel
Copyright (c) 2021 Kimura Patar Tamba
 Corresponding author: Kimura Patar Tamba Email Address: kimura.tamba@uph.edu (Cluster Permata Karawaci, Curug, Tangerang) Received tanggal bulan tahun, Accepted tanggal bulan tahun, Published tanggal bulan tahun

## PENDAHULUAN
Pembuktian  adalah  bagian  penting  dalam  matematika  dan  tidak  dapat  dipisahkan  dari matematika  (Hanna  &  de  Villiers,  2008;  Miyazaki  et  al.,  2017;  Pablo  et  al.,  2012).  Bahkan pembuktian  merupakan  komponen  esensial  dalam  bermatematika,  mengkomunikasikan  dan memahami  matematika  (Stylianou  et  al.,  2015).  Oleh  karena  itu,  berbagai  komunitas matematikawan dan pendidikan matematika mengusulkan bahwa belajar  pembuktian adalah tujuan  utama  dari  belajar-mengajar  matematika  (NCTM,  2000;  Stylianides  &  Stylianides, 2017;  Stylianou  et  al.,  2015).  Bahkan  pembuktian  disarankan  sudah  dimulai  dari  tingkat pendidikan yang paling rendah (sekolah dasar).
Namun berbagai penelitian menunjukkan siswa dan mahasiswa mengalami kesulitan yang
Dampak Pendekatan Matriks Enam Sel untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Calon Guru Matematika, Kimura Patar Tamba
akhirnya  menghasilkan  kesalahan-kesalahan  dalam  pembuktian,  seperti  kesalahan  logika, kesalahan memilih metode pembuktian bahkan kesalahan memahami struktur pernyataan (De Villiers,  2004;  Herutomo,  2019;  Kristianto  et  al.,  2019;  Sari  et  al.,  2018;  Stavrou,  2014). Salah  satu  bentuk  pernyataan  yang  masih  sulit  untuk  dibuktikan  oleh  siswa  dan  mahasiswa (termasuk  calon  guru  matematika)  adalah  pernyataan  berkuantor.  Hal  ini  ditunjukkan  oleh berbagai  penelitian  yang  mengungkapkan  bahwa  mahasiswa  cenderung  salah  dalam memahami aturan kebergantungan dalam membuktikan pernyataan berkuantor ganda (Piatek- Jimenez,  2010),  kesulitan  memahami  sintaks  dan  semantik  dari  pernyataan  berkuantor (Dawkins,  2017;  Dawkins  &  Roh,  2016,  2020;  Dubinsky  &  Yiparaki,  2001).  Berbagai penelitian  tersebut  mengungkapkan  bahwa  kemampuan  pembuktian  calon  guru  matematika masih rendah.
Fakta terdapatnya kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa (khususnya calon guru  matematika)  dalam  membuktikan  pernyataan  berkuantor  memerlukan  pendekatan tertentu  untuk  menyelesaikannya.  Hal  ini  penting  karena  berbagai  konsep  matematika dinyatakan  dalam  bentuk  pernyataan  berkuantor  (Morgan,  2020;  Ngansop,  2018;  Sellers  et al.,  2017;  Stewart, 2012).  Berbagai  penelitian mengenai  kesalahan pada pembuktian dengan pernyataan  berkuantor  di  atas  memberikan  rekomendasi  pentingnya  pemahaman  mengenai struktur  logika  dari  pernyataan  tersebut  (Dawkins,  2017;  Dawkins  &  Roh,  2016,  2020; Dubinsky  &  Yiparaki,  2001;  Piatek-Jimenez,  2010).  Salah  satu  pendekatan  yang  dapat digunakan  dalam  mendorong  pemahaman  mengenai  struktur  logika  dari  pernyataan berkuantor adalah penggunaan matriks enam sel ( the six-cell matrix ) (Levenson et al., 2012; Tabach et al., 2012; Tamba, 2020). Matriks enam sel diperkenalkan oleh Tabach et al. (2012) untuk  mengeksplorasi  struktur  logika  pernyataan  berkuantor  dalam  konteks  pembuktian. Melalui  matriks  enam  sel  ini,  Tabach  et  al.  (2012)  mengungkapkan  tiga  dimensi  dalam struktur  logika  pernyataan  berkuantor.  Pertama,  kuantifiernya  (universal  atau  eksistensial); kedua, predikatnya (selalu benar, kadang-kadang benar atau tidak pernah benar); dan ketiga, validitasnya  (valid  atau  tidak  valid).  Berdasarkan  komposisi  ketiga  dimensi  ini,  pernyataan berkuantor dapat dinyatakan dalam matriks enam sel seperti tabel 1. Matriks enam sel dapat digunakan sebagai  pendekatan pembelajaran,  alat  mengembangkan interaksi,  sebagai  materi pembelajaran  bermakna  (Levenson  et  al.,  2012),  kerangka  menguji  pengetahuan  (Tabach, Barkai, et al., 2010; Tabach, Levenson, et al., 2010; Tamba, 2020).
Tabel 1. Matriks Enam Sel Kuantor Predikat Selalu Benar Tidak Selalu Benar Tidak Pernah Benar Universal sel 1 Pernyataan benar Bukti general sel 2 Pernyataan salah Bukti counter example sel 3 Pernyataan salah Bukti general, counter example Eksistensial  sel 4 Pernyataan benar Bukti general, example sel 5 Pernyataan benar Bukti example sel 6 Pernyataan salah Bukti general
Dari berbagai penelitian sebelumnya belum ada yang mencoba menggunakan pendekatan matriks  enam  sel  dalam meningkatkan kemampuan  pembuktian pernyataan berkuantor pada calon guru matematika (Dawkins, 2017; Dawkins & Roh, 2016, 2020; Dubinsky & Yiparaki, 2001).  Begitu  juga  dalam  konteks  penggunaan  matriks  enam  sel,  penelitian  sebelumnya belum  melihat  penggunaan  matriks  enam  sel  ini  dalam  meningkatkan  kemampuan pembuktian    pernyataan  berkuantor  pada  calon  guru  matematika  (Levenson  et  al.,  2012; Tabach et al., 2012; Tamba, 2020).
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis dampak penggunaan matriks enam sel dalam meningkatkan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor calon guru matematika. Secara detail,  penelitian  ini  akan  menguji  dan  menganalisis  perbedaan  kemampuan  pembuktian calon guru matematika sebelum dan sesudah penerapan matriks enam sel.

## METODE
Penelitian  ini  adalah  penelitian  kuantitatif  menggunakan pre-experimental  designs dengan pre-test dan post-test pada satu kelompok tidak random ( nonrandomized one group pretest-posttest  design )  (Creswell, 2012) seperti yang terlihat  pada tabel  2. Validasi  internal dan  eksternal  dari  penelitian  eksperimental  ini  mengkonfirmasi  hasil  penelitian  merupakan hasil dari perlakuan penerapan matriks enam sel. Sampel penelitian ini adalah 35 orang calon guru matematika yang mengikuti mata kuliah logika dan teori himpunan. Pre-test dilakukan sebelum  pelaksanaan  pembelajaran  dengan  pendekatan  matriks  enam  sel  dan post-test sesudahnya.
Tabel 2. Design Penelitian Pre-test Perlakuan Post-test 𝒀 𝟏 𝑋 𝑌 2
Keterangan:
𝒀 𝟏 = pre-test kemampuan pembuktian
𝑌 2 = post-test kemampuan pembuktian
𝑋 = perlakuan berupa pendekatan matriks enam sel
Dampak Pendekatan Matriks Enam Sel untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Calon Guru Matematika, Kimura Patar Tamba
Pelaksanaan penerapan matriks enam sel dalam pembelajaran dilakukan dengan pertama- tama  dosen  mengajukan  enam  permasalahan  pembuktian  pernyataan  berkuantor  yang  telah disusun  berdasarkan  matriks  enam  sel  kepada  calon  guru  matematika.  Secara  mandiri kemudian  menyelesaikan  pembuktian  secara  mandiri,  setelah  bekerja  mandiri  calon  guru berdiskusi  dengan  kelompok  berdasarkan  hasil  pekerjaannya.  Setelah  itu,  dosen  memulai diskusi  kelas.  Pada  diskusi  kelas  ini,  hasil  pekerjaan  mandiri  maupun  diskusi  kelompok diminta  untuk  dipresentasikan.  Setelah  itu,  dosen  membawa  diskusi  dengan  menggunakan matriks  enam  sel  sebagai  kerangka  diskusi.  Alur  diskusi  mengikuti  pendekatan  yang dilakukan oleh Levenson et al. (2012), yaitu alur berikut mengamati koneksi logis ( noticing connections ),  diskusi  fokus  pada  validitas  dan  kuantifikasi  ( focusing  on  validity  and quantifiers ),  menguraikan  pernyataan  matematika  berdasarkan  kuantor  dan  predikat ( decomposing a mathematical statement into its quantifier and predicate ) lalu diakhiri pada diskusi  metode  pembuktian  ( methods  of  proofs ) berdasarkan  penguraian  pada  matriks  enam sel didiskusi sebelumnya.
Instumen  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  tes  yang  memuat  permasalahan pembuktian  enam  pernyataan  berkuantor.  Ada  dua  instrument  tes  yang  digunakan  pada penelitian  ini  yaitu pre-test dan post-test .  Baik pre-test maupun post-test masing-masing memuat permasalahan pembuktian untuk enam pernyataan berkuantor (Tabel 3). Pernyataan berkuantor pada pre-test maupun post-test dapat dibagi dalam dua kategori yaitu pernyataan berkuantor  universal  (soal  no  1,  2  dan  3)  dan  berkuantor  eksistensial  (soal  no  4,  5,  dan  6). Konten  yang  digunakan  dalam  setiap  pernyataan  berkuantor  pada pre-test maupun post-test adalah topik teori bilangan. Topik ini dipilih karena partisipan sudah lulus mata kuliah teori bilangan. Untuk pre-test dan post-test diberikan waktu 120 menit untuk penyelesaiannya.
Tabel 3. Instrumen Penelitian Perny. ke- Pre-test Pos-test 1 Jumlah dari lima bilangan asli yang berurutan habis dibagi 5. Semua bilang bulat positif m, jika 𝑎 ≡
𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) 2 Jumlah dari tiga bilangan asli yang berurutan habis dibagi 6. Semua bilang bulat positif m, (𝑎 + 𝑏 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑚 = (𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚) + (𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚) 3 Jumlah dari empat bilangan asli yang berurutan habis dibagi 4 Semua bilangan positif m, 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎 − 𝑐 ≢ 𝑏 − 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)
4 Ada lima bilangan asli berurutan yang jumlahnya habis dibagi 5 Ada bilangan bulat positif m, berlaku jika
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚 ) 5 Ada tiga bilangan asli berurutan yang jumlahnya habis dibagi 6 Ada bilang bulat positif m, (𝑎𝑏 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑚 = (𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚)(𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚)
6 Ada empat bilangan asli berurutan yang jumlahnya habis dibagi 4 Ada bilangan positif m, 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) maka 𝑎 − 𝑐 ≢ 𝑏 − 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Hasil pre-test dan post-test diskor dengan menggunakan kerangka penskoran pembuktian dari  Healy  &  Hoyles  (2000)    dengan  skala  0-3.  Skor  0  berarti  “tidak  ada  dasar  untuk konstruksi  bukti  yang  benar”  artinya  pembuktian  dan  informasi  yang  diberikan  oleh  calon guru  tidak  memiliki  dasar  logika  yang  benar  dan  relevan.  Skor  1  berarti  “tidak  ada  bagian pembuktian  tetapi  menyajikan  informasi  yang  benar  dan  relevan”.  Skor  2  berarti  “terdapat bukti  yang  tidak  lengkap  (sebagian),  beberapa  alasan  dihilangkan”.  Skor  3  berarti  “bukti lengkap”.  Kerangka penskoran ini dilakukan untuk keenam pernyataan pada masing-masing pre-test dan post-test . Dengan demikian skor maksimum untuk pre tes dan pos tes adalah 18.
Analisis data dilakukan dengan menggunakan statistik inferensial dengan metode analisis perbedaan  rata-rata.  Penelitian  ini  menggunakan uji-t sampel  berpasangan  dalam menganalisis  perbedaan  rata-rata.  Namun  jika  data  tidak  memenuhi  uji  asumsi  klasik (normalitas  dan  homogenitas)  maka  analisis  dilakukan  menggunakan  uji Wilcoxon  signed ranks . Analisis dilakukan dengan bantuan software SPSS 20.0.

## HASIL DAN DISKUSI
Hasil  analisis  deskriptif  kemampuan  pembuktian  pernyataan  matematika  berkuantor terlihat pada tabel 4. Rata-rata skor total kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor pada pre-test sebesar 15,00, sementara pada post-test sebesar 16,97. Jika dibandingkan antara skor total pre-test dan post-test terdapat kenaikan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor sebesar 1,97. Sementara berdasarkan butir soal. Rata-rata skor kemampuan pembuktian calon guru  matematika  meningkat  dari pre-test ke post-test untuk  soal  nomor  1  (pernyataan berkuantor universal, predikat selalu benar), soal  nomor 3 (pernyataan berkuantor universal, predikat  selalu  salah),  soal  nomor  4  (pernyataan  berkuantor  eksistensial,  predikat  selalu benar), nomor 5 (pernyataan berkuantor eksistensial, predikat tidak selalu benar) dan nomor 6 (pernyataan  berkuantor  eksistensial,  predikat  selalu  salah).  Sementara  untuk  soal  nomor  2, rata-rata  skor  kemampuan  pembuktian  tidak  mengalami  perubahan.  Artinya  secara  umum baik  untuk  pernyataan  berkuantor  universal  maupun  berkuantor  eksistensial,  rata-rata  skor kemampuan  pembuktian  calon  guru  matematika  mengalami  peningkatan  dari pre-test ke post-test .
Dampak Pendekatan Matriks Enam Sel untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Calon Guru Matematika, Kimura Patar Tamba
Tabel 4. Deskriptif kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor pre-test dan post-test . Min. Max. Mean Std.Dev. Pre Post Pre Post Pre Post Pre Post Skor Total 7,00 11,00  23,00  22,00 15,00 16,97 3,14 2,32 Soal No 1 2,00 2,00 4,00 4,00 3,03 3,20 0,66 0,47 Skor No 2 1,00 2,00 4,00 4,00 2,20 2,20 0,58 0,47 Skor No 3 0,00 0,00 4,00 4,00 2,77 2,89 0,91 0,68 Skor No 4 0,00 0,00 4,00 4,00 2,60 2,91 0,95 0,70 Skor No 5 0,00 2,00 4,00 4,00 2,31 2,86 0,83 0,60 Skor No 6 0,00 2,00 4,00 4,00 2,09 2,91 0,95 0,51
Hasil  uji  asumsi  normalitas  dengan  tes Shapiro-Wilk untuk  skor  kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor baik pre tes maupun pos tes menunjukkan hanya skor total pre  tes  yang  berdistribusi  normal  ( 𝑇3 = 0,97; 𝑝 = 0,51 > 0,05) .  Sementara  data  lainnya tidak  berdistribusi  normal  (nilai 𝑇3 diantara 0,48 − 0,97 ; 𝑝 < 0,05 ).  Oleh  karena  itu,  uji perbedaan  skor pre-test dan post-test dilakukan  dengan  menggunakan  uji Wilcoxon  signed ranks.
Hasil uji Wilcoxon signed ranks terlihat pada Tabel 5. Hasil uji Wilcoxon signed ranks ini  menunjukkan  bahwa  secara  total  terdapat  perbedaan  signifikan  kemampuan  pembuktian pernyataan berkuantor antara pre-test dan post-test ( 𝑍 = −2,69; 𝑝 = 0,007 < 0,05 ). Artinya dapat  diungkapkan  bahwa  terdapat  peningkatan  signifikan  rata-rata  skor  total  kemampuan pre-test dan post-test (Tabel  4).  Dengan  demikian,  penggunaan  matriks  enam  sel  dapat meningkatkan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor calon guru matematika.
Tabel 5. Hasil Uji Wilcoxon Signed Ranks Skor Kemampuan Pembuktian Pernyataan
Berkuantor Total Soal No 1 Soal No 2 Soal No 3 Soal No 4 Soal No 5 Soal No 6 Statistik -2,69 -1,24 0,00 0,66 -1,67 -3,07 -3,72 p-value 0,007 0,216 1,00 0,51 0,09 0,00 0,00
Sementara  jika  dilihat  berdasarkan  soal  (keunikan  pernyataan  berkuantor),  terdapat perbedaan signifikan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor pada soal no 4, 5 dan 6. Karena pernyataan pada soal no 4, 5 dan 6 adalah pernyataan berkuantor eksistensial, maka
dapat  dikatakan  bahwa  calon  guru  matematika  mengalami  peningkatan  kemampuan pembuktian  pernyataan  berkuantor  eksistensial  setelah  mengikuti  pembelajaran  dengan menggunakan matriks enam sel.
Berhasil penelitian di atas, terdapat dua temuan yang menjawab pertanyaan  penelitian. Pertama,  terdapat  perbedaan  signifikan  rata-rata  kemampuan  pembuktian  pernyataan berkuantor  calon  guru  matematika  setelah  mengikuti  pembelajaran  dengan  menggunakan matriks  enam  sel.  Temuan  ini  memberikan  justifikasi  empiris  atas  rekomendasi  penelitian bawha  penggunaan  matriks  enam  sel  dapat  membantu  dalam  memahami  pernyataan berkuantor  (Levenson  et  al.,  2012;  Tabach  et  al.,  2012).  Temuan  penelitian  ini  juga menunjukkan  bahwa  pemahaman  akan  struktur  logika  dari  pernyataan  berkuantor  (yang terdiri dari unsur kuantor, predikat dan nilai kebenaran/validasi) membantu calon guru dalam mengkonstruksi bukti matematika. Hal ini karena pendekatan matriks enam sel memberikan kerangka  dalam  memahami  struktur  logika  dari  pernyataan  berkuantor  (Levenson  et  al., 2012; Tabach et al., 2012; Tamba, 2020).  Temuan ini sejajar dengan penelitian sebelumnya yang  merekomendasi  pentingnya  pemahaman  akan  struktur  logika  dari  pernyataan  dalam mengkonstruksi bukti (Dawkins, 2017; Dawkins & Roh, 2016, 2020; Dubinsky & Yiparaki, 2001; Piatek-Jimenez, 2010).
Kedua, peningkatan signifikan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor dengan pendekatan  matriks  enam  sel  terjadi  pada  pernyataan  berkuantor  eksistensial.  Artinya, meskipun  peningkatan  skor  kemampuan  pembuktian  pada  pernyataan  berkuantor  universal, namun  peningkatan  yang  signifikan  terjadi  pada  kemampuan  pembuktian  pernyataan berkuantor  universal.  Hal  ini  dapat  disebabkan  oleh  fenomena  siswa,  mahasiswa  bahkan calon guru matematika cenderung membuktikan pernyataan matematika dengan memberikan bukti  general/umum  (Tabach,  Barkai,  et  al.,  2010;  Tabach,  Levenson,  et  al.,  2010;  Tamba, 2020).  Calon  guru  matematika  cenderung  melihat  bahwa  bukti  dengan  memberikan  contoh, dengan bilangan atau dengan verbal tidaklah tepat atau tidak mencukupi  (Tabach, Barkai, et al., 2010; Tabach, Levenson, et al., 2010). Padahal tidak semua pernyataan tepat dibuktikan secara  umum.  Misalnya,  pernyataan  pada  soal  no  2  dan  4,  tidak  tepat  dibuktikan  secara umum.  Pembuktian  secara  umum  akan  melahirkan  kesalahan  karena,  predikat  tidak  selalu benar.
Dengan  demikian,  berdasarkan  hasil  penelitian  di  atas,  diperoleh  bahwa  peningkatan kemampuan  pembuktian  pernyataan  berkuantor  dari pre-test ke post-test disebabkan  oleh penerapan matriks enam sel. Dengan kata lain, penerapan matriks enam sel berdampak pada peningkatan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor calon guru matematika.  Hal ini
Dampak Pendekatan Matriks Enam Sel untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Calon Guru Matematika, Kimura Patar Tamba
sesuai  dengan  penelitian  sebelumnya  mengenai  penggunaan  matriks  enam  sel,  dimana pemahaman  guru  dan  calon  guru  mengenai  makna  dan  pendekatan  pembuktian  dari pernyataan  berkuantor  ketika  menggunakan  matriks  enam  sel  berkembang  (Levenson  et  al., 2012; Tabach et al., 2012; Tamba, 2020).

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dan diskusi di atas dapat disimpulkan bahwa  penggunaan matriks  enam  sel  dalam  pembelajaran  dapat  meningkatkan  kemampuan  pembuktian pernyataan berkuantor calon guru matematika. Secara khusus, kemampuan pembuktian calon guru matematika meningkat secara signifikan pada pernyataan berkuantor eksistensial.
Penelitian  ini  memberikan  kontribusi  pada  pengembangan  pengetahuan  dan  penelitian mengenai  pembuktian  pernyataan  berkuantor  dalam  dua  hal.  Pertama,  penelitian  ini memberikan  justifikasi  empiris  kuantitatif  atas  dampak  penggunaan  matriks  enam  sel  pada kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor. Penelitian sebelumnya masih hanya sekadar mengusulkan  dan  memberikan  justifikasi  akan  penggunakan  matriks  enam  sel  (Levenson  et al.,  2012;  Tabach et  al.,  2012). Kedua, penelitian ini menunjukkan bahwa kesalahan karena adanya  kecenderungan  membuktikan  semua  pernyataan  matematika  dengan  memberikan bukti general dapat diatasi dengan pendekatan matriks enam sel. Dengan demikian, penelitian ini  menunjukkan  bahwa  penggunaan  matriks  enam  sel  bermanfaat  dalam  mengembangkan kemampuan pembuktian pernyataan berkuantor.
Meskipun  demikian,  penelitian  ini  membuka  pintu  untuk  penelitian  lanjutan.  Pada penelitian  ini  pernyataan  berkuantor  memuat  konsep  teori  bilangan.  Penggunaan  matriks enam  sel  dalam  memahami  pernyataan  berkuantor  untuk  konten  lain  dapat  menjadi  topik yang perlu diteliti.

## REFERENSI
Creswell, J. . (2012). Educational Research: Planning, Conducting, and Evaluating. Quantitative and Qualitative Research, 4nd edition (4th ed.). Boston: Pearson.
Dawkins, P. C. (2017). On the Importance of Set-Based Meanings for Categories and Connectives in Mathematical  Logic. International  Journal  of  Research  in  Undergraduate  Mathematics Education , 3 (3), 496–522. https://doi.org/10.1007/s40753-017-0055-4
Dawkins, P. C., & Roh, K. H. (2016). Promoting Metalinguistic and Metamathematical Reasoning in Proof-Oriented  Mathematics  Courses:  a  Method  and  a  Framework. International  Journal  of
Research in Undergraduate
Mathematics
Education , 2 (2), 197–222.
https://doi.org/10.1007/s40753-016-0027-0
Dawkins, P. C., & Roh, K. H. (2020). Assessing the Influence of Syntax, Semantics, and Pragmatics in  Student  Interpretation  of  Multiply  Quantified  Statements  in  Mathematics. International Journal  of  Research  in  Undergraduate  Mathematics  Education , 6 (1),  145–145. https://doi.org/10.1007/s40753-019-00105-5
De Villiers, M. (2004). Using dynamic geometry to expand mathematics teachers’ understanding of proof. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 35 (5), 703– 724. https://doi.org/10.1080/0020739042000232556
Dubinsky,  E.,  &  Yiparaki,  O.  (2001).  On  student  understanding  of  AE  and  EA  quantification.
Research in Collegiate
Mathematics
Education , 4 (1), 239–289. https://doi.org/10.1090/cbmath/008/11
Hanna,  G.,  &  de  Villiers,  M.  (2008).  ICMI  Study  19:  Proof  and  proving  in  mathematics  education.
ZDM - International Journal on Mathematics Education , 40 (2), 329–336. https://doi.org/10.1007/s11858-008-0073-4
Healy,  L.,  &  Hoyles,  C.  (2000).  A  study  of  proof  conceptions  in  algebra. Journal  for  Research  in Mathematics Education , 31 (4), 396–428. https://doi.org/10.2307/749651
Herutomo,  R.  A.  (2019).  Kesalahan  Mahasiswa  dalam  Pembuktian  Matematik. Jurnal  Didaktik Matematika , 6 (1), 54–68. https://doi.org/10.24815/jdm.v6i1.13262
Kristianto,  E.,  Mardiyana,  &  Saputro,  D.  R.  S.  (2019).  Analysis  of  Students’  Error  in  Proving Convergent Sequence using Newman Error Analysis Procedure. Journal of Physics: Conference Series , 1180 (1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1180/1/012001
Levenson, E., Tsamir, P., Tirosh, D., Dreyfus, T., Barkai, R., & Tabach, M. (2012). Focusing on the Interactive  Development  of  Secondary  School  Teachers’  Knowledge  of  Mathematical Statements. Investigations in Mathematics
Learning , 5 (2), 44–56. https://doi.org/10.1080/24727466.2012.11790322
Miyazaki, M., Fujita, T., & Jones, K. (2017). Students’ understanding of the structure of deductive proof. Educational Studies in Mathematics , 94 (2), 223–239. https://doi.org/10.1007/s10649-016- 9720-9
Morgan,  M.  E.  (2020). Students’  Quantifications,  Interpretations,  and  Negations  of  Complex Mathematical  Statements  from  Calculus. Unpublish  Doctoral  Thesis.  Arizona.  Arizona  State University
https://www.researchgate.net/publication/343999913_Students’_Quantifications_Interpretations
Dampak Pendekatan Matriks Enam Sel untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Calon Guru Matematika, Kimura Patar Tamba
_and_Negations_of_Complex_Mathematical_Statements_from_Calculus
NCTM. (2000). Principles and Standard for School Mathematics . Reston: NCTM.
Ngansop,  J.  N.  (2018).  Relevance  of  Learning  Logical  Analysis  of  Mathematical  Statements.  In  G. Kaiser, H. Forgasz, M. Graven, A. Kuzniak, & E. S. B. Xu (Eds.), Invited Lectures from the 13th International  Congress  on  Mathematical  Education (pp.  441–462).  Cham:  Springer  Open. https://doi.org/10.1007/978-3-319-72170-5_32
Pablo, J., Fuller, M. E., Weber, K., Rhoads, K., & Samkoff, A. (2012). An assessment model for proof comprehension in undergraduate mathematics. Educational Studies in Mathematics , 79 (1), 3–18. https://doi.org/1 0. 1 007/s 1 0649-0 1 1 -9349-7
Piatek-Jimenez,  K.  (2010).  Students’  interpretations  of  mathematical  statements  involving quantification. Mathematics Education
Research
Journal , 22 (3), 41–56. https://doi.org/10.1007/BF03219777
Sari,  C.  K.,  Waluyo,  M.,  Ainur,  C.  M.,  &  Darmaningsih,  E.  N.  (2018).  Logical  errors  on  proving theorem. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 948 (1).  https://doi.org/10.1088/1742- 6596/948/1/012059
Sellers, M., Hah Roh, K., & David, E. J. (2017). A comparison of Calculus, Transition-to-Proof, and Advanced  Calculus  Student  quantifications  in  complex  mathematical  statements. Conference: 20th  Annual  Conference  on  Research  in  Undergraduate  Mathematics  Education ,  285–297. http://sigmaa.maa.org/rume/RUME20.pdf
Stavrou,  S.  G.  (2014).  Common  Errors  and  Misconceptions  in  Mathematical  Proving  by  Education Undergraduates. Issues in the Undergraduate Mathematics Preparation of School Teachers: The Journal , 1 (1), 1–8. http://www.k-
12prep.math.ttu.edu/journal/1.contentknowledge/stavrou01/article.pdf
Stewart, J. (2012). Calculus: Early Transcendentals (7E ed.). Belmont: Brooks/Cole.
Stylianides, G. J., & Stylianides, A. J. (2017). Research-based interventions in the area of proof: the past,  the  present,  and  the  future. Educational  Studies  in  Mathematics , 96 (2),  119–127. https://doi.org/10.1007/s10649-017-9782-3
Stylianou,  D.  A.,  Blanton,  M.  L.,  &  Rotou,  O.  (2015).  Undergraduate  Students’  Understanding  of Proof:  Relationships  Between  Proof  Conceptions,  Beliefs,  and  Classroom  Experiences  with Learning  Proof. International  Journal  of  Research  in  Undergraduate  Mathematics  Education ,
1 (1), 91–134. https://doi.org/10.1007/s40753-015-0003-0
Tabach,  M.,  Barkai,  R.,  Tsamir,  P.,  Tirosh,  D.,  Dreyfus,  T.,  &  Levenson,  E.  (2010).  Verbal
Justification-is  it  a  Proof?  Secondary  School  Teachers’  Perceptions. International  Journal  of Science  and  Mathematics  Education , 8 (6),  1071–1090.  https://doi.org/10.1007/s10763-010- 9230-7
Tabach, M., Levenson, E., Barkai, R., Tirosh, D., Tsamir, P., & Dreyfus, T. (2010). Secondary school teachers’ awareness of numerical examples as proof. Research in Mathematics Education , 12 (2), 117–131. https://doi.org/10.1080/14794802.2010.496973
Tabach, M., Levenson, E., Barkai, R., Tsamir, P., Tirosh, D., & Dreyfus, T. (2012). An organizer of mathematical  statements  for  teachers:  The  six-cell  matrix. International  Journal  of Mathematical Education in Science and Technology , 43 (6), 765–777. https://doi.org/10.1080/0020739X.2012.662287
Tamba, K. P. (2020). Analisis Kesalahan pada Materi Kuantifikasi Menggunakan Matriks Enam Sel.
Jumlahku: Jurnal Matematika Ilmiah , 6 (2), 1–14. https://doi.org/https://doi.org/10.33222/jumlahku.v6i2.1053