Vol.16, No. 1, 33-39, July 2019 doi: 10.20956/jmsk.v16i1.5943
*Program Studi Pascasarjana (S2) Matematika, FMIPA-UNHAS Email address: 1 Susiekawati31@gmail.com, 2 amirkamalamir@yahoo.com,
3 mawardibahri@gmail.com

## Nilai Eigen Matriks Quaternion
1* Susi Ekawati, 2* Amir Kamal Amir, 3* Mawardi Bahri

## Abstract
According to Zhang (2007), if ( ) is a quaternion matrix with and is
the  left  eigenvalue  of ,  then |     ||     |   | || | .  In  this  paper  will  be  shown,  if ( ) is  a  quaternion  matrix  with and is  the  left  eigenvalue  of ,
then |( )   ( )| .
Keywords : Quaternion, Cayley Determinant, Left Eigenvalue

## Abstrak
Menurut Zhang (2007), jika ( ) adalah matriks quaternion dengan dan adalah  nilai  eigen  kiri  dari ,  maka |     ||     |   | || | .  Dalam  penelitian  ini  akan
ditunjukkan tiga hal. Pertama, jika ( ) adalah matriks quaternion dengan dan adalah nilai eigen kiri dari maka |( )   ( )| .
Kata Kunci : Quaternion, Determinan Cayley, Nilai Eigen Kiri

## 1. Pendahuluan
Quaternion  merupakan  perluasan  dari  bilangan-bilangan  kompleks  yang  tidak komutatif  dan  diterapkan  dalam  mekanika  tiga  dimensi.  Sebagai  himpunan,  quaternion dilambangkan  sebagai . memiliki  tiga  jenis  operasi  yaitu  penjumlahan,  perkalian skalar,  dan  perkalian  quaternion.  Elemen-elemen  quaternion  disimbolkan  sebagai dan ( , ,  dan adalah  komponen  imajiner)  dan  dapat  dituliskan  sebagai  kombinasi linier : dimana , dan adalah bilangan riil. Persamaan-persamaan lainnya adalah , , , dan [5] Telah diketahui bahwa jika ( ) adalah matriks bilangan riil dengan ordo , maka determinan dari matriks adalah dan jika ( )
adalah  matriks  bilangan  riil  dengan  ordo
,  maka  determinan  dari  matriks adalah . Sedangkan berdasarkan definisi  determinan  Cayley,  jika ( ) adalah  matriks  bilangan  quaternion dengan  ordo ,  maka  determinan  dari  matriks adalah dan  jika

## Susi Ekawati, Amir Kamal Amir, Mawardi Bahri
( ) adalah  matriks  bilangan  quaternion  dengan  ordo ,  maka determinan  dari  matriks adalah ( ) ( ) ( ) . [1]
[6]  mengatakan  bahwa  misalkan ( ) adalah  matriks  quaternion  dengan
.  Jika adalah  nilai  eigen  kiri  dari ,  maka |     ||     |   | || | .  [3]
mengatakan  bahwa  misalkan ( ) ( ) dengan .  Jika ( )
adalah nilai eigen kiri dari , maka |     |   | | jika dan hanya jika |     |   | |
Misalkan , disebut  nilai  eigen  kiri  dari jika untuk beberapa yang  tak  nol  atau  ekuivalen  dengan  matriks (      ) yang  tidak memiliki  invers,  sehingga (      ) .  Kemudian  jika  misalkan , disebut nilai eigen kanan dari jika untuk beberapa yang tak nol.[6]

## 2. TinjauanPustaka
Di  dalam  [2]  Quaternion  merupakan  kombinasi  linear  skalar  riil  dan  tiga  satuan imaginer  ortogonal  (dilambangkan  dengan dan )  dengan  koefisien  riil  yang  dapat dituliskan sebagai * | +
dimana elemen dan memenuhi aturan perkalian Hamilton berikut ini :
.
Sifat – sifat operasi pada bilangan quaternion :
a. Operasi penjumlahan dan perkalian
Diberikan dua buah quaternion yaitu :
dengan . Penjumlahan dua buah quternion tersebut adalah ( )   ( ) ( )   ( )    ( )    ( ) . dan Perkalian dua buah quaternion adalah ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    ( ) ( )   ( )
Susi Ekawati, Amir Kamal Amir, Mawardi Bahri
( )   ( ) ( )    ( ) . b. Konjugat dari Quaternion Jika , maka konjugat dari adalah ̅
c. Norm dari Quaternion
Norm  dari  quaternion  diperoleh  dari  modulus  perkalian  quaternion  dengan konjugatnya ̅ . | |   √  ̅   √ d. Invers dari Quaternion ̅ | |
Matriks  adalah  susunan  segi  empat  siku-siku  dari  bilangan-bilangan.  Bilangan- bilangan  dalam  susunan  tersebut  dinamakan  entri  dalam  matriks.  Matriks  yang mempunyai baris dan kolom dinyatakan dengan
( )
Matriks  tidak  mempunyai  nilai  tetapi  ukuran.  Ukuran  matriks  disebut  ordo  yang ditentukan  oleh  banyaknya  baris  dan  banyaknya  kolom.  Jika  matriks mempunyai baris dan kolom, maka matriks berordo
.
Jenis-jenis matriks sebagai berikut :
a. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks di mana semua unsurnya nol.
Contoh : * + .

## b. Matriks Bujur Sangkar
Matriks  bujur  sangkar  adalah  suatu  matriks  yang  banyaknya  baris  sama dengan  banyaknya  kolom,  yang  dinyatakan  dengan ,  dimana ,  dapat ditulis dengan ( ) . Matriks berordo disebut juga bujur sangkar ordo .  Dalam  hal  ini  hanya  matriks  bujur  sangkar  yang  mempunyai  elemen diagonal utama dan elemen diagonal kedua.
Contoh : * + [ ] .

## c. Matriks Segitiga
Matriks  segitiga  atas  adalah  matriks  bujur  sangkar  dengan  elemen-elemen yang terletak di bawah elemen diagonal utama semua nol. Bentuk umumnya adalah
( ) dengan
Susi Ekawati, Amir Kamal Amir, Mawardi Bahri
Contoh : [ ] .
Matriks  segitiga  atas  adalah  matriks  bujur  sangkar  dengan  elemen-elemen yang  terletak  di  atas  elemen  diagonal  utama  semua  nol.  Bentuk  umumnya  adalah ( ) dengan
Contoh : [ ] .

## d. Matriks Diagonal
Matriks  diagonal  merupakan  matriks  bujur  sangkar  dengan  semua  elemen- elemen  yang  bukan  elemen  diagonal  utama  adalah  nol.  Dengan  kata  lain  suatu matriks berorde disebut matriks diagonal, jika untuk . Contoh : [ ] .

## e. Matriks Identitas
Matriks  identitas  adalah  matriks  skalar  dengan  elemen-elemen  diagonal utama  semuanya  sama  dengan  satu.  Bentuk  umum  matriks  identitas  dinyatakan dengan ( ) dimana dengan untuk dan untuk . Contoh : * + .
f. Matriks Quaternion
Matriks  quaternion  adalah  matriks  yang  entri-entrinya  adalah  bilangan quaternion.
Contoh : ( ) .
Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur sangkar dan disajikan  di  antara  dua  garis  tegak.  Determinan  sebagai  satu  kesatuan  yang  mewakili suatu  nilai  dari  matriks  yang  diberikan.  Determinan dinotasikan  dengan | | atau ( ) . Jika diketahui matriks adalah bilangan riil yang berordo ( ) , maka determinan matriks didefinisikan sebagai berikut ( )   | | [1]  Definisi  determinan  quaternion  oleh  Cayley  dinotasikan  dengan adalah sebagai berikut  ( )

## Susi Ekawati, Amir Kamal Amir, Mawardi Bahri
 ( ) ( ) ( ) ( ) Contoh : Carilah determinan dari matriks berikut ( ) .
Penyelesaian . Berdasarkan definisi determinan matriks quaternion oleh Cayley diperoleh (          )(     )   (      )(      )
(              )   (      ) .
Misalkan adalah  suatu  matriks . disebut  suatu  nilai  eigen  dari jika terdapat suatu vektor tak nol sehingga . Vektor disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan . Persamaan dapat dituliskan dalam bentuk (      ) . (i) Persamaan  (i)  akan  mempunyai  penyelesaian  tak  trivial  jika  dan  hanya  jika singular atau secara ekuivalen (      ) . (ii)
Jika determinan pada Persamaan (ii) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat dalam peubah ( )       (      ) .
Polinomial  ini  disebut  polinomial  karakteristik  dan  Persamaan  (ii)  disebut  persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari . [4]

## 3. Nilai Eigen Matriks Quaternion

## Diketahui matriks quaternion sebagai berikut
( ) . Nilai Eigen (      ) (( )   ( )) ( )
Berdasarkan definisi determinan matriks quaternion oleh Cayley diperoleh
(                 )(                 )   (                )(             ) ( (             )     (             )    (              ))    (              ) Jika , maka ( )    ( ) ( )     ( )     ( )     (              ) Sehingga diperoleh persamaan  ( )  ( )  ( )
Susi Ekawati, Amir Kamal Amir, Mawardi Bahri
 ( )

## Dari persamaan tersebut diperoleh nilai eigen
(    √ )(             ) (    √ )(             ) .
Vektor Eigen
(      )
( ) ( )   ( )
Untuk (    √ )(             ) , maka
( √ (             )
√ (             ) ) ( )   ( )
( √ (             ) ) ( )   ( )
Diperoleh √ (             ) (             ) √
Maka diperoleh vektor eigen : ( √ ) .
Uji
( ) ( √ )   (    √ )(             ) ( √ )
( (    √ )(             )
(    √ )(             ) )   ( (    √ )(             ) (    √ )(             ) ) .
Untuk (    √ )(             ) , maka
( √ (             )
√ (             ) ) ( )   ( )
(√ (             ) ) ( )   ( )
Diperoleh √ (             ) (             ) √
Maka diperoleh vektor eigen : ( √ ) .
Uji
( ) ( √ )   (    √ )(             ) ( √ )
( (     √ )(             )
(     √ )(             ) )   ( (     √ )(             ) (     √ )(             ) ) .
Kemudian perhatikan bahwa
 ( )   (    √ )(             )   (             )
√ (             )
 ( )   (    √ )(             ) ( )

## Susi Ekawati, Amir Kamal Amir, Mawardi Bahri
√ (             )
Sehingga jelas bahwa |( )   ( )|

## DaftarPustaka
[1]   Aslaksen, H.,1991. Quaternionic Determinants. Mathematics Subject Classification, Singapore.
[2]  Djuddin,  J.,  2015. Bentuk  Pusat  dan  Ideal  Gelanggang  Polinom  Miring  atas Quaternion .  Jurusan  Matematika  Program  Pascasarjana.  Universitas  Hasanuddin Makassar.
[3]   Farid, F.O., Qing-Wen, W., dan Zhang, F., 2011. On the eigenvalues of quaternion matrices. Linear and Multilinier Algebra, 59 : 451 – 473.
[4]   Hermana,  H.,  2016. Penentuan  Nilai  Eigen  dan  Vektor  Eigen  Matriks  Circulant, Circulant  Simetrik,  dan  Block  Circulant .  Departemen  Matematika  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Institute Pertanian  Bogor.
[5]  Wikipedia., 2017. Quaternion . https://id.wikipedia.org/wiki/Kuaternion.
[6]   Zhang, F.,  2007. Gersgorin type theorems for quaternionic matrices . Linear Algebra and its Applications , 424 : 139-153.