Vol. 3, No.2, 86-95,  Januari 2007
Parameterisasi Pengontrol Yang Menstabilkan Plant Secara Internal
Kasbawati 

## Abstract
This  handing  out  lifts  the  problem  about  parameterization  of  all  controllers  that  can  internally stabilize  the  given  system.  Controller  parameterization  is  done  as  a  mean  to  show  that  the controller  can  we  shape  in  so  many  kinds  of  parameter.  A  control  problem  in  this  setup  is  to analyze  some  specific  properties  (e.g.,  stability  or  performance)  of  the  closed  loop  system  or  to design  the  feedback  control  K  such  that  the  closed  loop  system  is  stable  in  some  appropriate sense.
Keywords: detectable,  pengontrol suboptimal H  , stabilizable.

## 1. Pendahuluan
Ketegaran  (kerobustan)  suatu  sistem  terhadap  gangguan  ( disturbance )  dan ketidakpastian  ( uncertainty )  selalu  menjadi  topik  pembahasan  utama  dalam  masalah feedback control , khususnya  dalam  komunitas  kontrol  ( control  community )  [Zhou,  1998].  Masalah feedback tidak akan menarik tanpa adanya faktor gangguan dan ketidakpastian didalamnya. Agar suatu sistem dapat robust terhadap gangguan kita dapat mendesain suatu pengontrol yang dapat membuat sistem tersebut tahan terhadap gangguan sesuai dengan keinginan.
Desain  pengontrol  dengan H  kontrol  atau H 2 kontrol  menjamin  kerobustan  suatu sistem.  Desain  pengontrol  dengan H  kontrol,  pada  umumnya  menghasilkan  suatu  pengontrol yang  berorde  tinggi.  Di  sisi  lain  pengontrol  yang  berorde  tinggi  dapat  menyebabkan  beberapa masalah  diantaranya  kesulitan  penghitungan  numerik  dan  biaya  perhitungan  yang  cukup  mahal [Zhou, 1998].
Masalah  tersebut  dapat  diatasi  dengan  melakukan  parameterisasi  terhadap  semua pengontrol  yang  dapat  menstabilkan  plant  secara  internal.  Parameterisasi  dari  himpunan  semua pengontrol  yang  diperkenankan  untuk  suatu  plant  pertama  kali  dikemukakan  oleh  Youla  pada tahun  1976,  dengan  menggunakan  teknik  faktorisasi  koprim  ( coprime  factorization ).  Kemudian dengan  teknik  ruang  keadaan  ( state-space  techniques )  diperoleh  parameterisasi  Q  dari  semua pengontrol  suboptimal  [Zhou,  1998].  Dalam  makalah  ini,  akan  dibahas  bagaimana  menentukan semua pengontrol yang dapat menstabilkan sistem secara internal dan memparameterisasi semua pengontrol yang diperkenankan tersebut.
 Mahasiswa Pascasarjana Matematika pada Institut Teknologi Bandung
Kasbawati

## 2.  Eksistensi Pengontrol
Misalkan  kita  mempunyai  plant  umum  berupa  fungsi  transfer  G(s)  yang  memetakan input w dan kontrol input u ke kontrol output z dan output terukur y, dengan bentuk
( ) z w G s y u             
dimana G(s) mempunyai bentuk realisasi sebagai berikut:
Dalam  bentuk close-loop  system ,  fungsi  transfer  G(s)  yang  diberi  pengontrol  dapat digambarkan dalam bentuk diagram sebagai berikut :
Gambar 1.  Diagram Sistem Umum Terhubung (General System Interconnected)
G merupakan plant yang diperumum, K adalah pengontrol yang akan didesain, w merupakan semua input external yang meliputi disturbances, commands, u merupakan input kontrol, y merupakan sensor output/output terukur dan z berupa regulatedoutput , untuk suatu 1 , , , m p u R w R z R    , q n y R x R   ,
1
1 1 2 1 2 12 21
, , , , , , , . nxn nx nxm pxn qxn pxm qx
A R B R B R C R C R D R D R       
Jika plant G tertutup oleh output feedback y s K u ) (  , seperti pada Gambar 1, maka lup tertutup dari  input  w  ke  z  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk lower  linear  fractional  transformation (LFT) yaitu   21 1 22 12 11 ) , ( G K G I K G G K G F T l zw      .
Tinjau  sistem  umpan  balik  dalam  gambar  1  dengan  plant  G  yang  diasumsikan stabilizable dan detectable dengan bentuk realisasi di atas.
Definisi 1.
Sistem G dikatakan stabilizable jika terdapat pengontrol K yang menstabilkan G secara internal.

## Lemma 1.
Terdapat  pengontrol  K  (yang  proper)  yang  dapat  menstabilkan  G  secara  internal  jika dan hanya jika (A,B 2 ) stabilizable dan (A,C 2 ) detectable. Jika terdapat F dan L sedemikian sehingga A+B 2 F dan A+LC 2 stabil maka pengontrol K dapat dibentuk menjadi
Bukti.
  
        0 ) ( 22 2 2 F L F LD LC F B A s K
Kasbawati
(  )
- Dari asumsi bahwa sistem stabilizable dan detectable maka terdapat K dan L sedemikian sehingga A+B 2 F dan A+LC 2 stabil.
- Misalkan  K(s)  merupakan  pengontrol  yang  dapat  menstabilkan  G  secara  internal,  maka matriks A dari sistem loop tertutup di atas berbentuk
-
-           2 2 2 2 ~ LC F B A LC F B A A - - Matriks di atas mempunyai bentuk yang sama dengan          F B A LC LC A 2 2 2 0 .
- Akibatnya spektrum dari matriks A ~ akan sama dengan gabungan dari spektrum A+B 2 F dan A+LC 2 .
- Ini mengakibatkan A ~ juga stabil karena A+B 2 F dan A+LC 2 stabil.
(  )
- Andaikan (A,B 2 ) tidak stabilizable dan (A,C 2 ) tidak detectable .
- Akibatnya  terdapat  nilai  eigen  dari A ~ yang  real  partnya  positif  sedemikian  sehingga sistem tidak stabil.
- Hal ini kontradiksi dengan adanya pengontrol K yang dapat menstabilkan sistem secara internal (defenisi 1)
Asumsi bahwa (A,B 2 ) stabilizable dan (A,C 2 ) detectable mengakibatkan realisasi G 22 juga stabilizable dan detectable . Hal ini mengakibatkan bahwa sistem lup tertutup dalam Gambar
1 ekuivalen dengan lup tertutup yang diwakili oleh G 22 seperti dalam diagram berikut:
Gambar 2.  Diagram equivalent stabilization
Lemma 2.
Misalkan  realisasi        22 2 2 22 D C B A G yang  merupakan  partisi  dari  G,  stabilizable  dan detectable, maka sistem dalam Gambar 1 akan stabil secara internal jika dan hanya jika sistem dalam gambar 2 stabil secara internal.

## Bukti.
Karena sistem dalam Gambar 1 mempunyai matriks A yang sama dengan sistem dalam Gambar 2 dan  (A,B 2 ), (A,C 2 ) stabilizable dan detectable sehingga jelas bahwa sistem dalam Gambar  1  akan  stabil  secara  internal jika  dan hanya jika  sistem  dalam  Gambar  2 juga  stabil secara internal.

## 3. Parameterisasi Pengontrol (Youla Parameterization)

## Kasbawati
Tinjau  kembali  sistem  lup  tertutup  dalam  gambar  1  dengan  bentuk  realisasi yang  sama.  Salah  satu  bentuk  parameterisasi  dari  pengontrol  yang  dapat  menstabilkan plant G secara internal dapat dilihat dalam teorema berikut.

## Teorema 1.
Misalkan   RH G , maka semua pengontrol yang menstabilkan G dapat ditulis dalam bentuk   1
22    Q G I Q K untuk suatu   RH Q dan   ) ( 22   Q D I nonsingular.
Bukti.
- Karena G 22 stabilizable (dari asumsi awal), maka  terdapat pengontrol yang menstabilkan G 22 secara internal.
- Misalkan pengontrol tersebut adalah K 0 , maka        RH K G I K Q 1 0 22 0 0 : . - Karena     1
0 22 0 22 ) ( ) (       K D I Q D I ,  akibatnya  K 0 dapat  ditulis  dalam  bentuk   1 0 22 0 0    Q G I Q K .

## Teorema 2.
Misalkan terdapat F dan L sedemikian sehingga A+B 2 F dan A+LC 2 stabil maka semua pengontrol  yang  menstabilkan  G  secara  internal  dapat  diparameterisasi  menjadi  matriks transfer T uy dari y ke u (lihat diagram berikut),
Gambar 3: Sistem umum terhubung
dengan bentuk     21 1 22 12 11 , J Q J I Q J J Q J F K l      untuk suatu J yang berbentuk
Hal  ini  mengakibatkan,  himpunan  dari  semua  matriks  transfer  T zw dari  lup  tertutup  yang membawa w ke z (Gambar 1)  dapat dibentuk menjadi
      invertible Q D I RH Q QT T T Q J F l       22 21 12 11 , : ,
untuk suatu T  yang berbentuk
Bukti.
- Misalkan   Q J F K l ,  .  Dengan  menggunakan state  space  star  product diperoleh   21 12 11 , QT T T K G F l   untuk suatu T yang telah didefenisikan di atas.
- Pengontrol   Q J F K l ,  tidak menstabilkan sistem G untuk suatu
  RH Q .
- Misalkan  K  sebarang  pengontrol  yang  menstabilkan  G  secara  internal,  maka     RH K J F l , ˆ dengan
            
0 0 ˆ 2 2 I C I F B L A J - Matriks J ˆ  dapat distabilkan oleh K karena J ˆ mempunyai bentuk G 22 yang sama dengan
G.
- Misalkan
     RH K J F Q l
, ˆ : 0 maka         K J F K J F J F Q J F tmp l l l l , : , ˆ , , 0   dimana  J tmp dapat diperoleh dengan menggunakan state space star product, yaitu
- Akibatnya diperoleh     K K J F Q J F tmp l l   , , 0 .
- Jadi sebarang pengontrol dapat dibentuk menjadi   0 , Q J F l untuk suatu   RH Q 0 .
Secara umum teorema 2 di atas dapat digambarkan dalam diagram berikut:
Gambar 4 :   Perubahan bentuk sistem lup tertutup G dan K menjadi sistem lup tertutup T dan Q akibat parameterisasi   Q J F K l , 
Gambar 5 : Bentuk parameterisasi pengontrol
  Q J F K l , 
Selanjutnya  kita  akan  melihat  parameterisasi  pengontrol  dengan  meggunakan pendekatan coprime factorization .
Teorema 3.
Q y u z w T y u z w Q J G K y u z w G

## Kasbawati
Misalkan N M NM G ˆ ˆ 1 1 22     merupakan  rcf  dan  lcf  of  G 22 dalam  RH ,  maka himpunan dari semua pengontrol yang menstabilkan G secara internal dapat diparameterisasi menjadi
       0 det , 1 0 1 0 0         r r r NQ V I NQ V MQ U K (1)
untuk suatu
  RH Q r .  Atau dalam bentuk
       0 ~ ~ det , ~ ~ ~ ~ 1 0 1 0 0         V N Q I M Q U N Q V K l l l (2)
untuk suatu   RH Q l , dengan   RH V U V U 0 0 0 0 ~ , ~ , , memenuhi Bezout identities:
I U N V M I N U M V     0 0 0 0 ~ ~ , ~ ~ Jika 0 0 0 0 ~ ~ , , V an U V U d dipilih sedemikian sehingga
0 1 0 1 0 0 ~ ~ U V V U    , yaitu
               
     I I V N U M M N U V 0 0 ~ ~ ~ ~ 0 0 0 0 maka          y y l y y y y Q J F M Q U N Q V NQ V MQ U K , ~ ~ ~ ~ 0 1 0 1 0 0
         (3)
dimana
     
     
N V V V V U J y 1 0 1 0 1 0 1 0 0 ~ :
dan   RH Q y ,        y NQ V I 1 0 invertible.

## Bukti.
Pertama, akan dibuktikan parameterisasi dalam persamaan (1).
- Andaikan K terdefenisi.
- Defenisikan
r r NQ V V MQ U U     0 0 : , : . - Akibatnya       I Q M N N M U N V M MQ U N NQ V M U N V M r r r           ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 0 0 0 .
- Dengan  menggunakan  lemma  5.7  (dari  sub  bab  5.4)  dapat  disimpulkan  bahwa  K dapat menstabilkan G secara internal.
- Sebaliknya,  misalkan  K  proper  dan  dapat  menstabilkan  dengan  rcf  dari  K  dalam
 RH adalah 1   UV K .
- Berdasarkan lemma 5.7,
U N V M Z ~ ~ :   invertible.
- Defenisikan r Q melalui persamaan
1 0    UZ MQ U r (4)\
- Akibatnya   0 1 1 U UZ M Q r    
- Dengan menggunakan Bezout identity, diperoleh           1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~                              VZ VZ M M Z U N Z M UZ N I M UZ N U N V M M U UZ N M V U UZ NM V NQ V r (5) - Akibatnya    1 0 0 1  
    r r NQ V MQ U UV K .
- Untuk mengetahui apakah r Q didalam  RH , tinjau persamaan (4)       dan (5). Dari kedua persamaan tersebut dapat dilihat bahwa r MQ dan r NQ di dalam  RH .
- Akibatnya r Q dapat ditulis menjadi             RH NQ U MQ V Q N U M V Q r r r r 0 0 0 0 ~ ~ ~ ~ - Karena V dan Z keduanya invertible maka
r NQ V  0 dan r NQ V I 1 0   juga invertible.
Parameterisasi  pengontrol  dalam  persamaan  (2)  langkah  pembuktiannya  sama  dengan pembuktian yang pertama. Selanjutnya akan dibuktikan parameterisasi dalam persamaan (3).
- Tinjau persamaan berikut:
-
       1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0             V NQ V I Q N V U M V U NQ V MQ U y y y y dan 0 1 0 1 0 0 ~ ~ U V V U   
- Dari kedua persamaan di atas diperoleh
-
      1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~      
    V N U M V V N U V M N V U M dan   1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 ~         V NQ V I Q V V U K y y

## 4.  Penerapan Parameterisasi Pengontrol
Misalkan diberikan sistem dengan bentuk realisasi sebagai berikut :
Dari matriks A dalam realisasi di atas dapat dilihat bahwa sistem yang diberikan tidak stabil.  Masalah  kontrol  yang  akan  kita  lakukan  adalah  mencari  pengontrol  yang  dapat menstabilkan  G  secara  internal  dan  kemudian  memparameterisasi  pengontrol  tersebut.  Dengan menggunakan bahasa pemrograman Matlab 7 diperoleh hasil running sebagai berikut:
 Pengontrol sub optimal K 1 dalam bentuk fungsi transfer sebagai berikut:
                         
0 1 10 1 1 0 0 0 2 0 1 2 0 0 1 0 22 21 2 12 11 1 2 1 D D C D D C B B A G
     
  
9456 . 0 0 0 9728 . 0 N  Fungsi transfer T zw1 yang membawa input w ke output z yang diharapkan, yaitu
Norm infinity dari T zw1 , yaitu                                             .
Selanjutnya  pengontrol  lain  dapat  kita  parameterisasi,  salah  satunya  dengan  menggunakan coprime factorization .  Dengan mendefinisikan M = I diperoleh matriks
yang  memenuhi  syarat  coprime
I YN XM   .  Dengan  menggunakan  bahasa  pemrograman Matlab 7,  diperoleh hasil running sebagai berikut:
 Pengontrol  kedua  (melalui coprime  factorization )  yaitu  K 2 dalam  bentuk  fungsi  transfer sebagai berikut:
 Fungsi transfer T zw2 yang membawa input w ke output z yang diharapkan, yaitu
Norm infinity dari T zw2 , yaitu
Perbandingan antara  hasil kontrol  sistem  oleh  pengontrol K 1 dan  pengontrol K 2 dapat dilihat  dalam  plot  step  respon,  impulse  respon  dan  plot  frekuensi  respon  atau  bode  plot  dalam gambar berikut:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Step respon G dan Tzw1 t sec Sistem Tanpa Kontrol Sistem Dengan Kontrol 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Step respon G dan Tzw2 t sec Sistem Tanpa Kontrol Sistem Dengan Kontrol     2857 . 0 1 zw T 1 ;   1 ;       5283 . 0 2 zw T
Gambar 6 :   Plot step respon antara sistem yang belum dikontrol (G) dan sistem yang telah dikontrol oleh K 1 (T zw1 -kiri) dan K 2 (T zw2 -kanan)
Gambar 7 :   Plot impulse respon antara sistem yang belum dikontrol (G) dan sistem yang telah dikontrol oleh K 1 (T zw1 -kiri) dan K 2 (T zw2 -kanan).
Gambar 8 :   Bode plot antara sistem yang belum  dikontrol (G) dan sistem yang telah dikontrol oleh K 1 (T zw1 -kiri) dan K 2 (T zw2 -kanan)
Dari plot solusi di atas kita dapat membandingkan antara sistem yang dikontrol oleh K 1 dan sistem yang dikontrol oleh K 2 . Jika sistem diberikan diberikan input berupa fungsi step maka sistem yang dikontrol oleh K 1 (gambar 6-kiri) akan lebih cepat mencapai kondisi yang stabil jika dibandingkan sistem yang dikontrol oleh K 2 (gambar 6-kanan). Begitupula jika sistem diberikan diberikan input berupa fungsi impuls (respon yang tiba-tiba) maka sistem yang dikontrol oleh K 1 (gambar  7-kiri)    juga  akan  lebih  cepat  mencapai  kondisi  yang  stabil  jika  dibandingkan  sistem
0 1 2 3 4 5 6 x 10 -6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x 10 5 Impulse respon G dan Tzw1 t sec Sistem Tanpa Kontrol Sistem Dengan Kontrol 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Impulse respon G dan Tzw2 t sec Sistem Tanpa Kontrol Sistem Dengan Kontrol -40 -20 0 From: In(1) T o : O u t( 1 ) -360 -180 0 180 T o : O u t( 1 ) -200 0 200 T o : O u t( 2 ) 10 0 10 5 -360 -270 -180 -90 0 90 T o : O u t( 2 ) From: In(2) 10 0 10 5 Bode diagram G dan Tzw 1 Frequency  (rad/sec) M a g n it u d e ( d B ) ; P h a s e ( d e g ) -40 -20 0 From: In(1) T o : O u t( 1 ) -360 -180 0 180 T o : O u t( 1 ) -20 0 20 T o : O u t( 2 ) 10 -2 10 0 10 2 -360 -270 -180 -90 0 90 T o : O u t( 2 ) From: In(2) 10 -2 10 0 10 2 Bode diagram G dan Tzw 2 Frequency  (rad/sec) M a g n it u d e ( d B ) ; P h a s e ( d e g )
yang dikontrol oleh K 2 (gambar 7-kanan). Perbandingan hasil sistem yang telah dikontrol oleh K1 dan  K2  juga  dapat  dilihat  dari  norm  tak  hingga  dari  tiap  fungsi  transfer  pengontrol  dimana      2 1 zw zw T T .  Hal  ini  disebabkan  karena  pengontrol  K 1 mengalami  optimalisasi  sehingga sistem  yang  dikontrol  oleh  K 1 hasilnya  akan  jauh  lebih  baik  dari  K 2 yang  tidak  melalui optimalisasi.

## 5. Kesimpulan
Desain  kontrol  dengan H  kontrol  menghasilkan  suatu  pengontrol  yang  akan menjamin  kerobustan  sistem.  Disamping  itu  kontrol  yang  dihasilkan  dengan H  kontrol mengalami optimalisasi sehingga norm dari fungsi transfernya dapat diminimumkan. Pada contoh yang  diberikan,  pengontrol  yang  menstabilkan  sistem  dapat  dinyatakan  dalam  berbagai  macam bentuk.  Salah  satu  bentuk  parameterisasi  tersebut  adalah  dengan coprime  factorization .  Tetapi sistem  yang  dikontrol  dengan H  kontrol  hasilnya  jauh  lebih  baik  jika  dibandingkan  dengan kontrol lain yaitu kontrol yang dihasilkan dengan coprime factorization .
Pengontrol  lain  dapat  diparameterisasi  dengan  tujuan  untuk  memperlihatkan  bahwa pengontrol  dapat  dibentuk  dari  berbagai  macam  parameter  dan  dapat  digunakan  untuk mengurangi  orde  pengontrol  walaupun  dalam  aplikasi  di  lapangan,  parameterisasi  pengontrol jarang  dilakukan  karena  kontrol  yang  dihasilkan  oleh H  kontrol  sudah  menjamin  kerobustan sistem sesuai yang diinginkan.

## Daftar Pustaka
[1] A.R.Hakim., 2002, “ Parameterisasi Pengontrol Suboptimal  H  ”, Tesis.
[2] F.L.  Lewis  and  V.L.  Syrmos,  1995,  “ Optimal  Control”,    Second  Edition .  New  York: Wiley.
[3] K. Ogata, 1997, “ Modern Control Engineering”, Third Edition . London: Prentice  Hall.