Vol. 7, No.1, 13-22,  Juli  2010
Model Deterministik Masalah Kecanduan Narkoba dengan Faktor Kontrol Terhadap Pemakai dan Pengedar Narkoba
Kasbawati, Syamsuddin Toaha 

## Abstrak
Salah  satu  epidemi  yang  sedang  mengancam  saat  ini  adalah  meluasnya  penyalahgunaan narkoba  akibat  adanya  perubahan  gaya  hidup.  Epidemi  narkoba  meskipun  tidak  infeksius, tetapi penyebarannya  sangat  cepat dan dapat  menjangkau  ke berbagai  kalangan  masyarakat. Dalam  paper  ini,  dilakukan  sebuah  pendekatan  deterministik  terhadap  kasus  peredaran narkoba  dan  penanggulangan  para  pecandu  melalui  proses  rehabilitasi.  Hasil  analisis  model menunjukkan  bahwa  terdapat  nilai  ambang  dimana  titik  kesetimbangan  tak  endemik  model eksis  dan  stabil  secara  asimtotik.  Simulasi  numerik  model  yang  dilakukan  menunjukkan bahwa ada saat tertentu dimana jumlah pecandu  narkoba akan berkurang dari dalam sistem, khususnya pada saat rata-rata jumlah pecandu yang direhabilitasi bertambah.
Kata Kunci : Kasus narkoba, model epidemiologi, basic reproduction number.

## 1.   Pendahuluan
Saat  ini  penyalahgunaan  dan  peredaran  gelap  narkoba  masih  menjadi  masalah  penting dan menjadi salah satu perhatian utama dari pemerintah. Hal ini disebabkan karena dampak yang ditimbulkan sebagai akibat penyalahgunaannya yang akan merusak mental dan fisik bagi individu yang  bersangkutan.  Kejahatan  narkoba  di  Indonesia  menunjukkan  perkembangan  yang  cukup signifikan dan telah berada pada ambang yang mengkhawatirkan bila tidak segera ditanggulangi ( Wordpress, 2007).
Trend penyalahgunaan dan peredaran gelap narkoba saat ini, jangkauan permasalahannya semakin rumit dan meluas dengan beberapa fakta yang ditemukan di masyarakat. Beberapa fakta tersebut  antara  lain  kecenderungan  usia  tingkat  pemula  penyalahguna  narkoba  yang  semakin muda, tingginya angka penyalahguna narkoba dan semakin cepatnya penyebaran virus HIV/AIDS oleh  penyalahgunaan  narkoba  suntik.  Beberapa  penyakit  ikutan  dari  efek  penyalahgunaan narkoba,  seperti  Hepatitis  B  &  C  juga  semakin  meluas,  sehingga  pada  tingkat  nasional permasalahan  penyalahgunaan  narkoba  telah  menimbulkan  ancaman  epidemi  ganda,  yaitu penyalahgunaan narkoba dan penyebaran virus ( Wordpress, 2008).
Besarnya perhatian dari pemerintah mengenai hal ini membuat kasus narkotika menjadi menarik untuk dikaji dan ditinjau secara matematis, salah satunya dengan melakukan pendekatan deterministik  terhadap  kasus  peredaran  narkoba  tersebut  yang  semakin  hari  jumlah  pelakunya semakin bertambah, baik sebagai pecandu, bahkan sebagai pengedar.
Makalah  ini  akan  dibagi  dalam  beberapa  bagian.  Pada  bagian  kedua  akan  dijelaskan mengenai  proses  pemodelan  kasus  ini.  Bagian  ketiga  akan  membahas  mengenai  hasil  analisis
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin

## Kasbawati, Syamsuddin Toaha
kualitatif model,  dan hasil simulasi numerik model akan diberikan pada bagian keempat beserta diskusi mengenai hasil yang diperoleh. Kesimpulan penelitian akan diberikan pada akhir bagian makalah ini.

## 2.   Formulasi Model Matematika
Proses  pemodelan  dilakukan  dengan  membagi  populasi  yang  diamati  menjadi  empat kompartemen  yaitu  manusia  sehat  (S),  manusia  yang  kecanduan  narkoba  baik  secara  pasif maupun  aktif  (P),  dimana  para  pecandu  aktif  berpeluang  untuk  menyebabkan  bertambahnya jumlah pecandu, manusia pecandu yang direhabilitasi dengan cara diterapi (T), dan manusia yang sembuh dari kecanduan secara permanen akibat terapi yang sukses dilakukan terhadap pecandu, atau dinotasikan dengan R (Kasbawati, 2010).
Gambar 1. Diagram Skematik Model Kecanduan Narkoba dengan Faktor Rehabilitasi.
Jumlah  populasi  setiap  saat  dianggap  konstan  sehingga  jumlah  populasi  yang  masuk  ke  dalam sistem   N  diasumsikan akan sama dengan jumlah populasi yang keluar dari tiap kompartemen
  R T, P, , S     dengan  1 menyatakan  lamanya  seseorang  akan  berada  dalam  sistem  (lama hidup seseorang). Diasumsikan seseorang akan menjadi pecandu hanya jika berinteraksi dengan para pecandu aktif. Pengaruh tersebut dapat terjadi melalui kontak ( c ) yang didefinisikan sebagai rata-rata  banyaknya  interaksi  secara  acak  berupa  pergaulan  antara  para  pecandu  aktif  dengan manusia sehat yang rentan per satuan waktu dengan peluang berhasilnya pengaruh dari pecandu aktif  sebesar  .  Interaksi  ini  dimodelkan  dalam  bentuk  perkalian  antara  P  dan  S  yaitu N P S  , dengan . c    Jadi  jika  seseorang  yang  sehat  bergaul  dengan  para  pecandu  aktif  maka  orang tersebut akan menjadi pecandu pula dengan peluang tertentu, karena dipicu oleh keinginan untuk mecoba.  Selanjutnya,    jumlah  pecandu  yang  mendapatkan  terapi  kesembuhan  per  satuan  waktu dimodelkan  dalam  bentuk P  dengan  1 menyatakan  lamanya  seseorang  menjadi  pecandu  dan kemudian  direhabilitasi  (diterapi).  Jumlah  pecandu  yang  sembuh  setelah  diterapi,  dimodelkan dalam bentuk T  , dengan  1 adalah lamanya seseorang diterapi dan kemudian sembuh. Pecandu yang  berhasil  sembuh  akibat  terapi  tidak  dimasukkan  dalam  kelas  manusia  sehat  yang  rentan karena  dianggap  bahwa  kesembuhan  tersebut  akan  permanen.  Terdapat  pecandu  yang  telah diterapi tetapi setelah terapi dilakukan, orang tersebut kembali menjadi pecandu per satuan waktu, yang  dimodelkan  dalam  bentuk T  ,  dimana  waktu  rata-rata  yang  dibutuhkan  untuk  kembali

## Kasbawati, Syamsuddin Toaha
menjadi  pecandu  setelah  diterapi  sebesar  1 .  Dari  asumsi-asumsi  di  atas,  Kasbawati  (2010) menyatakan    model  matematika  dari  kasus  narkoba  di  atas  dalam  bentuk  sistem  persamaan differensial non linier sebagai berikut:
        , N t P t S N t S t S       dt d             , t P t P t T N t P t S t P         dt d
(1)
          , t T t T t T t P t T
        dt d       . t R t T t R     dt d
Dalam bentuk yang tak berdimensi model tersebut dapat dituliskan sebagai
, Y X ˆ 1 X
X      d d , Y Y ˆ Z ˆ Y X ˆ Y
        d d (2) , Z Z ˆ Z ˆ Y ˆ Z
        d d . W Z ˆ W     d d dengan N R W , N T Z , N P Y , N S X    
t,        ˆ ,     ˆ ,     ˆ , dan . ˆ    

## 3.   Hasil Analisis Kualitatif Model
Didefinisikan daerah keberadaan sistem, yaitu
    . 0 R T, P, S, R T, P, S, :   D
(3)
Solusi kesetimbangan sistem (2) yang memenuhi (3) salah satunya adalah
    0 , 0 , 0 , 1 W , Z , Y , X
T 1      
yang merupakan titik kesetimbangan yang bebas pecandu (Kasbawati, 2010). Analisis kestabilan titik kesetimbangan tersebut diberikan dalam teorema berikut.

## Teorema 1.
Misalkan T 1 adalah titik kesetimbangan yang bebas pecandu dari persamaan (2). Titik tersebut stabil asimtotik secara lokal jika R 0 < 1, dengan nilai
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0                  R .

## Kasbawati, Syamsuddin Toaha
Pembuktian dari teorema tersebut dapat dilihat di (Kasbawati, 2010).                            Titik kesetimbangan kedua yang diperoleh dari persamaan (3) adalah T 2 = ( X ** , Y ** , Z ** , W ** ), dimana
          ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X         
,
                    ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y    
          
,
          . 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ W 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Z
                             
                                          
Titik kesetimbangan tersebut dapat pula ditulis dalam bentuk lain, yaitu
0 R 1 X    ,    ˆ 1 R Y 0     ,         ˆ 1 ˆ ˆ 1 R ˆ Z 0       ,          ˆ 1 ˆ ˆ 1 R ˆ ˆ W 0       ,
dengan 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0
                 R .  Dari  bentuk  tersebut  terlihat  dengan  jelas  bahwa  titik T 2 akan berada  di D jika  dan  hanya  jika  nilai . 1 0  R Analisis  kestabilan  titik  tersebut  diberikan  dalam teorema berikut.

## Teorema 2.
Misalkan  T 2 adalah  titik  kesetimbangan  endemik  dari  persamaan (3). Titik  tersebut  stabil asimtotik secara lokal jika R 0 > 1, dengan
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : 0                 
R .
Pembuktian dari teorema tersebut dapat dilihat di (Kasbawati 2010).
Tinjau  nilai R 0 yang  diperoleh  melalui  eksistensi T 2 dan  analisis  kestabilan T 1 dan T 2 dalam dua teorema pada bagian sebelumnya, yaitu
      1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 0
              R .
Dalam  masalah  kecanduan  narkoba, R 0 didefinisikan  sebagai  jumlah  rata-rata  kasus  sekunder yang dihasilkan oleh seorang pecandu aktif, pada saat ia berinteraksi dalam sebuah populasi yang sehat  tanpa  pecandu.  Besaran  ini  juga  dapat  didefinisikan  sebagai  rata-rata  pertumbuhan  awal ( multiplication  factor )  dari  kasus  kecanduan  narkoba  sehingga  besaran  ini  mempunyai  nilai ambang  1  ( Brauer et  al., 2000; Diekmann  et  al., 2000).  Kestabilan  titik  kesetimbangan  yang bebas  pecandu  dalam  model  ini  sangat  diharapkan  karena  jika  titik  ini  stabil  maka  solusi  pada akhirnya  akan  bergerak  menuju  titik  tersebut  untuk    .  Ini  berarti  bahwa  pada  akhirnya populasi pecandu, khususnya para pecandu aktif, akan hilang dari dalam sistem sehingga jumlah pecandu  dapat  direduksi  sedikit  demi  sedikit.  Analisis  sebelumnya  menunjukkan  bahwa  untuk

## Kasbawati, Syamsuddin Toaha
membuat  titik  kesetimbangan  tersebut  stabil  maka  nilai R 0 harus  kurang  dari  1.  Dalam  bentuk parameter yang berdimensi, R 0 dapat dituliskan menjadi
      . : 0           
       R
Beberapa parameter yang dapat dikontrol agar nilai R 0 cukup kecil di antaranya adalah parameter rata-rata  lamanya  seseorang  berada  dalam  sistem    ,  rata-rata  kontak    ,  rata-rata  rehabilitasi   ,  rata-rata  kesembuhan  setelah  rehabilitasi   ,  dan  parameter  rata-rata  kegagalan  setelah rehabilitasi    . Akan tetapi parameter yang menarik untuk ditinjau adalah rata-rata kontak dan rata-rata  rehabilitasi,  walaupun  pada  kenyataannya,  kontak  atau  interaksi  antara  pecandu  aktif yang  berperan  ganda  sebagai  pengedar  dengan  manusia  sehat,  sulit  untuk  dideteksi  bahkan dibatasi. Berbeda dengan rata-rata rehabilitasi, hal ini dapat dikontrol dengan cara meningkatkan program rehabilitasi bagi para pecandu dan berusaha meningkatkan keberhasilan terapi tersebut.
Tinjau kembali nilai R 0 yang telah diperoleh sebelumnya. Jika nilai R 0 = 1 (nilai bifurkasi sistem), maka diperoleh persamaan
    .             
Jika  diasumsikan  parameter  lain  tetap,  maka  diperoleh  hubungan  parameter  yang  berbanding lurus dengan  (Gambar 2).
Gambar 2. Grafik Hubungan Antara Rata-rata Kontak,  dengan Rata-rata Banyaknya Terapi,  .
Ini berarti bahwa semakin banyak manusia yang kecanduan narkoba akibat gencarnya peredaran narkoba oleh para pecandu aktif, maka program rehabilitasi juga harus semakin ditingkatkan.

## 4.   Simulasi Numerik Model
Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik terhadap solusi model dalam persamaan (1) untuk mengetahui karateristik solusi model secara geometris. Simulasi akan dilakukan dalam dua keadaan yaitu dengan meninjau keadaan endemik dan keadaan tak endemik model. Misalkan

## Kasbawati, Syamsuddin Toaha
jumlah  populasi  dalam  sistem  (N)  sebesar  1000  orang  dengan  rara-rata  kelahiran  dan  kematian alami  (  )  sebesar  0.1  per  bulan.  Misalkan  diasumsikan  rata-rata  kontak  yang  dilakukan  oleh pecandu  dengan  manusia  sehat  sebesar  =  0.5  per  bulan.  Rata-rata  pecandu  yang  mengikuti rehabilitasi  yaitu  =  0.01  per  bulan.  Rata-rata  orang  yang  direhabilitasi  kembali  menjadi pecandu yaitu  = 0.5 per bulan.  Rata-rata  orang  yang direhabilitasi  menjadi  sehat   yaitu  =  0.5  per  bulan.  Diasumsikan  pula  bahwa  pada  saat  awal,  jumlah  manusia  yang  bebas  narkoba sebesar 500 orang, jumlah pecandu saat awal sebesar 250 orang, jumlah pecandu yang mengikuti rehabilitasi  pada  saat  awal  sebesar  200  orang,  dan  jumlah  manusia  sembuh  dari  rehabilitasi sebesar 50 orang.

## 4.1.   Kasus Endemik model dengan 0.5 β 
Nilai-nilai  parameter  yang  telah  diestimasi  sebelumnya  menghasilkan  nilai R 0 sebesar 4.713 ( R 0 > 1) dan titik kesetimbangan tak endemik yaitu T 1 =(S = 1000, P = 0, T = 0, R = 0), dengan nilai eigen (–0.1, –0.1, –1.1, 0.39); T 2 = (S = 210, P = 748, T = 6, R = 34), dengan nilai eigen  (–0.1,  –0.1,  –0.3,  –1.1).  Hasil  tersebut  menunjukkan  bahwa  kondisi  yang  tercipta  adalah kondisi yang endemik dimana populasi pecandu akan selalu berada dalam sistem dan berpeluang untuk dapat mempengaruhi orang lain untuk menjadi pemakai pula.
Gambar 3. Grafik Hubungan Antara Populasi S, P, T, dan R Terhadap Waktu (Bulan) dengan Nilai  = 0.01 dan 5 . 0   .
Gambar  3  menunjukkan  bahwa  jumlah  pecandu  mengalami  kenaikan  yang  sangat  drastis dibandingkan  dengan  jumlah  pecandu  yang  sembuh  dari  rehabilitasi  yang  hanya  mengalami jumlah  maksimum  pada  saat  awal  dan  kemudian  mengalami  penurunan.    Hal    ini  tentu disebabkan  karena  rata-rata  jumlah  kontak  dengan  pecandu  (  )  lebih  besar  dibandingkan  rata- rata  jumlah  orang  yang  direhabilitasi   .  Ini  berarti  bahwa  pengedaran  narkoba  yang  tidak terkendali  di  lingkungan  masyarakat  akan  berakibat  fatal  jika  tidak  diikuti  dengan  gencarnya program  penyuluhan  dan  rehabilitasi  dari  pemerintah.  Misalkan  rata-rata  pecandu  yang  akan direhabilitasi dinaikkan sebanyak 10% (nilai parameter lain tetap) sehingga nilai  menjadi 0.1 per bulan, maka diperoleh nilai 1. > 3.235 = 0 R Nilai R 0 >1 menunjukkan bahwa sistem belum terbebas dari pengaruh narkoba dan masih terdapat pecandu narkoba yang mendominasi populasi
tersebut  walaupun  jumlah  pecandu  berkurang,  sebagaimana  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  4, jika dibandingkan jumlah sebelumnya (Gambar 3).
Gambar 4. Grafik Hubungan Antara Populasi S, P, T, dan R Terhadap t , dengan Nilai  = 0.1 dan 5 . 0   .
Gambar  4  menunjukkan  bahwa  jumlah  pecandu  mengalami  jumlah  maksimum  pada  saat  awal, namun  kemudian  turun  ke  jumlah  setimbangnya  sebesar  474  orang  pecandu.  Jumlah  ini  lebih kecil  dibanding  jumlah  setimbang  pecandu  pada  saat    nilai  tidak  diturunkan,  namun  hal  ini masih jauh dari harapan yaitu agar jumlah pecandu konvergen ke nol.

## 4.2.    Kasus Tak Endemik Model dengan 0.05 β 
Pada  bagian  ini  akan  dicoba  untuk  melakukan  kontrol  terhadap  jumlah  kontak  dengan pecandu.  Misalkan  dilakukan  isolasi  terhadap  pecandu  sehingga  besar  rata-rata  kontak  yang dilakukan  oleh  para  pecandu  dengan  manusia  sehat  dapat  berkurang  sebesar  10%,  yaitu 05 . 0   per bulan. Jika rata-rata rehabilitasi dan nilai parameter lainnya dibuat tetap seperti di awal, maka diperoleh nilai R 0 =0,4741 < 1 yang berarti bahwa T 1 := (S = 1000, P = 0, T = 0, R = 0) akan stabil secara asimtotik.
Gambar 5. Grafik Hubungan Antara Populasi S, P, T, dan R Terhadap t ,
Kasbawati, Syamsuddin Toaha
dengan Nilai  =0.01 dan 05 . 0   .
Gambar 5 menunjukkan bahwa pecandu mengalami jumlah maksimum pada saat awal, yaitu pada bulan kedua sebesar 283 orang pecandu, dan kemudian mengalami penurunan secara drastis, yang mana untuk   t maka 0 ) (  t P . Kondisi sebaliknya terjadi pada populasi yang sehat dimana jumlahnya  meningkat  secara  drastis  seiring  dengan  berkurangnya  jumlah  pecandu  dari  dalam sistem.  Kondisi  ini  terjadi  pada  saat  isolasi  dilakukan  pada  para  pecandu  sehingga  rata-rata jumlah kontak dapat berkurang.
Misalkan  isolasi  terhadap  para  pecandu  tetap  dilakukan,  dan  program  rehabilitasi  juga ditingkatkan sehingga rata-rata banyaknya pecandu yang direhabilitasi bertambah menjadi 0.1 per bulan. Jika parameter lain dibuat tetap maka nilai parameter tersebut menghasilkan R 0 =0.3235 < 1. Nilai R 0 yang diperoleh lebih kecil dari 1 dan lebih kecil dari nilai R 0 sebelumnya. Ini berarti bahwa sistem akan lebih cepat terbebas dari pengaruh para pecandu narkoba.
Gambar 6. Grafik Hubungan Antara Populasi S, P, T, dan R Terhadap t , dengan Nilai  =0.1 dan 05 . 0   .
Jika  hasil  yang  diperoleh  pada  kondisi  ini  dibandingkan  dengan  kondisi  sebelumnya,  maka terlihat  bahwa  perlakuan  isolasi  terhadap  pecandu  dan  penambahan  jumlah  pecandu  yang direhabilitasi  memberikan  pengaruh  yang  cukup  signifikan  dalam  hal  penurunan  jumlah pengguna  narkoba.  Pada  Gambar  5  terlihat  bahwa  jumlah  pecandu  akan  habis  dalam  jangka waktu 50 bulan atau sekitar 4 tahun lebih, sedangkan pada Gambar 6 terlihat bahwa hanya dalam jangka waktu 30 bulan atau sekitar 2 tahun lebih, jumlah pecandu akan habis dari dalam sistem. Hasil  simulasi  yang  telah  dilakukan  dalam  dua  kasus  di  atas,  dapat  dirangkum  dalam  Tabel  1 berikut.
Tabel 1.   Evaluasi  Hasil  Simulasi  Numerik  Sebagai  Upaya  Pencegahan  Pertambahan  Jumlah Pecandu Narkoba.
Upaya yang Dilakukan *) Nilai R 0 Hasil yang Diperoleh Tantangan Kondisi Awal: 1< 4.713 (R 0 *) Jumlah maksimum pecandu adalah sebesar -
Kasbawati, Syamsuddin Toaha
) ( 01 . 0 *    ) ( 5 . 0 * 
  748 orang yang sekaligus menjadi jumlah setimbangnya
Upaya I: Menambah jumlah pecandu yang di rehabilitasi.
* 1 . 0     , 5 . 0   1< 3.235 < R 0 * Jumlah maksimum pecandu sebesar 474 yang sekaligus menjadi jumlah setimbangnya Membutuhkan biaya yang cukup besar Upaya II: Membatasi interaksi antara pecandu yang berperan ganda sebagai pengedar dengan yang non-pecandu.
01 . 0   , * 05 . 0    
0.473<< R 0 * Jumlah pecandu maksimum sebesar 283
orang pada saat t = 2 bulan dan mulai turun secara drastis pada saat t =50 bulan kemudian, dimana 0 ) (  t P pada saat   t Memerlukan upaya yang keras karena sulitnya membedakan antara pecandu saja dengan pecandu yang berperan ganda sebagai pengedar Upaya III: Menambah jumlah pecandu yang di rehabilitasi dan
membatasi interaksi pecandu yang berperan ganda sebagai pengedar dengan yang non-pecandu.
* 1 . 0     , *
05 . 0 
   0.325<< R 0 * Jumlah pecandu maksimum sebesar 253
orang pada saat t = 2 bulan dan mulai turun secara drastis pada saat
t =30 bulan kemudian,
dimana 0 ) (  t P pada saat   t Memerlukan biaya dan upaya yang cukup besar dari pemerintah untuk mewujudkan strategi ini, tetapi hasil yang diperoleh  akan sangat maksimal
*) Nilai parameter lain diasumsikan tetap.

## 5.   Kesimpulan
Dalam  penelitian  ini,  telah  dimodelkan  masalah  kecanduan  narkoba  dengan  faktor rehabilitasi  bagi  pecandu.  Hasil  analisis  menunjukkan  bahwa  terdapat  suatu  nilai  ambang  yang akan  mengakibatkan  tingkat  pertambahan  jumlah  pecandu  narkoba  dapat  ditekan  sehingga kondisi  endemik  akibat  narkoba  dapat  dihindari.  Hasil  simulasi  numerik  yang  dilakukan  untuk beberapa  kasus  yang  berbeda  memberikan  beberapa policy yang  dapat  ditawarkan  dari  hasil penelitian  ini,  yaitu  isolasi  terhadap  para  pecandu  yang  berperan  ganda  sekaligus  sebagai pengedar dapat dilakukan karena hal tersebut akan berakibat pada penekanan intensitas peredaran narkoba  itu  sendiri.  Selain  itu  penambahan  jumlah  pecandu  yang  direhabilitasi  dapat  dilakukan yang tentunya berimbas pada penambahan jumlah yayasan atau panti-panti rehabilitasi yang juga berimbas pada pernambahan jumlah biaya pengadaan yayasan atau panti tersebut.
Pembuktian secara matematis ini diharapkan dapat dijadikan acuan, khususnya bagi pihak yang  terkait,  untuk  menetapkan  suatu  kebijakan  ( policy )  yang  tepat,  yang  berkaitan  dengan pengadaan  program  rehabilitasi  bagi  para  pecandu  narkoba,  sehingga  kondisi  endemik  akibat bertambahnya para pemakai obat-obatan terlarang yang juga berpeluang menjadi pengedar, dapat dicegah.

## Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Fakultas  MIPA  Universitas  Hasanuddin  yang  telah membiayai  pelaksanaan  penelitian  ini  melalui  Hibah  Penelitian  Fakultas  Tahun  2010,  sesuai dengan  surat  perjanjian  pelaksanaan  pekerjaan  hibah  penelitian  berdasarkan  nomor  kontrak 5755/H4.2/TU.19/2010 tanggal 1 Juni 2010.

## Daftar Pustaka
Brauer ,  F.  dan  Castillo-Chavez,  C.,  2000.  Mathematical  Models  in  Population  Biology  and Epidemiology. Springer, Vancouver, B.C., Canada.
Diekmann , O. dan Heesterbeek, J.A.P., 2000. Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases. John Wiley & Sons Ltd., New York.
Kasbawati ,  2010.  Analisis  model  deterministik  kecanduan  narkoba    dengan  faktor  rehabilitasi. Proceeding  Seminar  Nasional  Matematika  UI-UNPAD,  Vol.1,  479-484,  Universitas Indonesia.
Murray ,  J.D.,  1990.  Mathematical  Biology,  Biomathematics  Texts,  Second  Corrected  Edition. Springer-Verlag, New York.
Verhulst ,  F.,  1996.  Nonlinear  Differential  Equation  and  Dynamical  System.  Springer-Verlag, Jerman.
Wordpress ,  2007.  Jenis-jenis  narkoba.  Sumber:http://antigadis.wordpress.com/,  diakses  pada tanggal 18 Juni 2009.
_________, 2008. Jenis-jenis dan bahaya narkoba. Sumber:
http://michelle180594.wordpress.com,  diakses pada tanggal 7 Maret 2009.