© 2017 UIN Imam Bonjol Padang. All rights reserved. ISSN: 2580-6726 (print), 2598-2133 (online)

## Titik Setimbang Nash pada Permainan Linear Kuadratik Non-kooperatif dengan Asumsi Keseluruhan Pemain dapat Menstabilkan Sistem

## Ezhari Asfa’ani
(Program Studi Tadris matematika, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, UIN Imam Bonjol Padang) Email: ezhariasfa@gmail.com
Received: 2017; Accepted: 2017; Published: 2017

## Abstrak
Pada  makalah  ini  diperhatikan  titik  setimbang  Nash  pada  permainan  diferensial  linear  kuadratik  non- kooperatif  lingkar  terbuka.  Telah  dibahas  syarat  cukup  dan  perlu  untuk mencari  titik setimbang Nash dengan asumsi  setiap  pemain  dapat  menstabilkan  sistem.  Pada  makalah  ini  dibahas  syarat  cukup  dan  perlu  untuk mencari titik setimbang Nash dengan asumsi semua pemain secara bersama-sama dapat menstabilkan sistem.

## Kata kunci: permainan diferensial linear kuadratik, struktur informasi lingkar terbuka

## Abstract
We discuss about Nash equilibria for the linear quadratic differential game for an infinite planning horizon. We consider an open-loop information structure. In the standard literature this problem is solved under the assumption and provide both necessary and sufficient conditions for existence of Nash equilibria for this game under the assumption that the system as a whole is stabilizable.
Keywords: linear quadratic differential games, open-loop information structure
Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Website: http://ejournal.uinib.ac.id/index.php?journal=mej
Email: mej.uinibpadang@gmail.com
Math Educa Journal 1 (2) (2017): 211-224

## PENDAHULUAN
Dalam  kehidupan  sehari-hari  sering dijumpai  masalah  yang  melibatkan  dua  atau lebih  orang,  instansi,  perusahaan,  daerah,  kota,
propinsi,  negara  dan  lain-lain.  Permasalahan tersebut  dapat  berupa  persaingan  atau  konflik untuk memperoleh kemenangan terhadap orang atau kelompok lain. Masalah ini disebut dengan permainan.  Contoh  permainan  yaitu  monopoli, perdagangan, politik, dan peperangan.
Dalam  makalah  ini  dibahas  permainan diferensial linear kuadratik dengan dua pemain, yaitu  permainan  yang  memberikan  kendali terhadap suatu sistem linear dan setiap pemain berusaha mengoptimalkan fungsi cost berbentuk kuadratik. Permainan diferensial linear kuadratik ini  bertipe  lingkar  terbuka  (open  loop),  yaitu strategi  untuk  mengendalikan  permainan tersebut  diambil  sebelum  permainan  dimulai berdasarkan  pada  persamaan  state  dan  fungsi cost  setiap  pemain  yang  bersangkutan  sehingga tidak terdapat informasi yang diperoleh pemain yang  dapat  membantu  dalam  pengambilan keputusan  dan  keputusan  pemain  dalam  satu periode  yang  telah  diambil  tidak  akan  dapat diubah didalam periode tersebut.
Permainan diferensial linear kuadratik ini merupakan  permainan  non-kooperatif,  yaitu para pemainnya tidak saling bekerjasama untuk mencapai tujuannya. Dalam permainan ini dicari strategi permainan optimal sedemikian sehingga apapun  strategi  yang  diambil  oleh  pemain  lain (lawan),  hasil  permainan  yang  diperoleh  tidak
akan  bernilai  lebih  buruk  (disebut  strategi setimbang Nash). Hal yang menarik untuk dikaji dari  permainan  diferensial  linear  kuadratik adalah titik setimbang Nash.
Diberikan  permainan  diferensial  linear kuadratik yang meminimalkan
0 0 ( , ) lim ( ( ) ( ) ( ) ( )) , 1, 2, T T T i i i i i T J t Q t t R t dt i      x u x x u u (1)
dengan kendala persamaan state dinamis
1 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ), (0) , t A t B t B t     x x u u x x (2)
dimana
1 2 ( , , ) s   u u u dengan s merupakan himpunan fungsi kendali dari para pemain.
Dalam  permainan  diferensial  linear kuadratik  (1,2), ( ) n t  x menyatakan  vektor state  dan ( ) i m i t  u menyatakan  vektor masukan/kendali (strategi) dan semua entri pada matriks , , , i i R Q A dan B adalah konstan. Selain itu, i Q adalah matriks semidefinit positif dan i R adalah matriks definit positif, 1, 2. i 
Dalam  Engwerda  (2005)  telah  mengkaji syarat  cukup  dan  perlu  untuk  mencari  titik setimbang  Nash  untuk  permainan  (1,2)  dengan asumsi bahwa setiap pemain dapat menstabilkan sistem  atau ( , ), 1, 2, i A B i  dapat  distabilkan.
Dalam  makalah  ini  dikaji  kembali  paper  yang ditulis  oleh  Engwerda  (2012)  dan  Engwerda (2014)  yang  membahas  syarat  cukup  dan  perlu untuk  mencari  titik  setimbang  Nash  untuk  (1,2) dengan  asumsi  semua  pemain  secara  bersama- sama dapat menstabilkan sistem atau
    1 2 , A B B dapat distabilkan.

## TINJAUAN PUSTAKA
Paper  pendukung  dalam  makalah  ini ditulis oleh Engwerda (2008) membahas tentang ketunggalan solusi dari masalah kendali optimal linear kuadratik.
Teori-teori  yang  digunakan  dalam makalah ini telah dikemukakan oleh banyak ahli, diantaranya  Mital  (1983)  dan  Boyd  (2009) membahas  optimisasi  fungsi  konveks  yang mencakup himpunan dan fungsi konveks, fungsi berbentuk  kuadratik,  dan  optimisasi  fungsi konveks  tanpa  kendala.  Olsder  (2004)  yang membahas  tentang  sistem  kontinu  LTI, keterkendalian,  ruang  bagian  invarian,  kendali umpan  balik  dan  stabilizability.  Sedangkan
Engwerda  (2005)  membahas  tentang  kendali optimal  linear  kuadratik  dan  teori  permainan dinamis.  Klein  (2002)  membahas  tentang  faktor diskon.

## LANDASAN TEORI
Teori  permainan  mempelajari  masalah yang  didalamnya  terdapat  konflik  kepentingan.
Dalam  teori  permainan  dipelajari  cara-cara penyelesaian  optimal  untuk  berbagai  jenis permainan.  Permainan  non-kooperatif  adalah permainan  (2  pemain  atau N pemain)  dengan para  pemain  tidak  saling  bekerjasama  untuk mencapai  tujuannya.  Dalam  permainan  jenis  ini dicari  strategi  permainan  optimal  sedemikian sehingga  apapun  strategi  yang  diambil  oleh pemain  lain  (lawan),  hasil  permainan  yang diperoleh  tidak  akan  bernilai  lebih  buruk (disebut strategi setimbang Nash).
Teori  permainan  dinamis  merupakan perpaduan  teori  kendali  dan  teori  permainan. Pada  teori  kendali  permasalahannya  adalah meminimalkan  satu  fungsi  cost  dengan dipenuhinya  satu  sistem  persamaan,  sedangkan teori  permainan  dinamis  adalah  masalah N pemain  yang  meminimalkan N fungsi  cost masing-masing  dengan  para  pemain  bersama- sama  memenuhi  satu  sistem  persamaan.  Dalam tesis  ini  dibahas  permainan  dinamis  linear kuadratik  dengan  dua  pemain,  yaitu  permainan yang memberikan kendali terhadap suatu sistem linear dan setiap pemain berusaha mengoptimalkan fungsi cost berbentuk kuadratik.
Definisi  berikut  menjelaskan  tentang stabilizability.
Definisi  2.1.  Sistem  (2)  dapat  distabilkan  jika terdapat  matriks  real F berukuran m n  sedemikian  sehingga ( ) 0 Re   untuk  setiap  nilai eigen  dari . A BF 
Definisi berikut menjelaskan tentang titik setimbang Nash.
Definisi 2.2. Pasangan strategi * *
1 2 ( , ) u u dikatakan titik  setimbang  Nash  atau  solusi  optimal  Nash  jika untuk semua pasangan strategi 1 2 ( , ) u u dengan 1 u dan 2 u adalah  strategi  yang  dapat  dipergunakan oleh pemain pertama dan kedua, berlaku
* * * * * * 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 ( , ) ( , ) dan ( , ) ( , ). J J J J   u u u u u u u u

## METODE PENELITIAN
Cara  penelitian  yang  digunakan  adalah studi  literatur  mengenai  teori-teori  tentang optimisasi  fungsi  konveks,  sistem  kontinu  LTI, keterkendalian,  ruang  bagian  invarian,  kendali
Math Educa Journal Volume 1 No. 1 Edisi April 2017, pp.211-224 214
umpan  balik  dan  stabilizability,  kendali  optimal linear kuadratik dan teori permainan dinamis.
Makalah  ini  membahas  syarat  cukup dan  perlu  untuk  mencari  titik  setimbang  Nash dalam  permainan  diferensial  linear  kuadratik dengan  asumsi  semua  pemain  secara  bersama- sama dapat menstabilkan sistem.

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini dijelaskan syarat cukup dan  perlu  untuk  mencari  titik  setimbang  Nash dengan  asumsi  semua  pemain  secara  bersama- sama dapat menstabilkan sistem dan penerapan permainan  linear  kuadratik.  Pertama  akan dibahas  dahulu  contoh  sistem  dengan keseluruhan pemain dapat menstabilkan sistem.

## Contoh Stabilizability
Diberikan  permainan  diferensial  linear kuadratik  yang  meminimalkan  Persamaan  (1) dengan  kendala  Persamaan  (2).  Pada  bagian  1 diberikan contoh
  , , 1, 2 i A B i  dan
    1 2 , A B B dapat  distabilkan,  yang  artinya setiap  pemain  dapat  menstabilkan  sistem  dan kedua  pemain  secara  bersama-sama  juga  dapat menstabilkan  sistem.  Kemudian  pada  bagian  2 diberikan  contoh   , , 1, 2 i A B i  ,  tidak  dapat
distabilkan  sedangkan     1 2 , A B B dapat distabilkan,  yang  artinya  setiap  pemain  tidak dapat  menstabilkan  sistem  sedangkan  kedua pemain secara bersama-sama dapat menstabilkan sistem.
1. Diberikan
3 0 0 0 2 0 0 0 1 A             dan 1 2 1 1 0 B B             ,
maka untuk 1, 2 i    3 0 0 1 0 2 0 1 . 0 0 1 0 i A I B         
          
Untuk 2   dan 3   ,  matriks  di  atas memiliki rank baris penuh. Jadi (A,B ) i dapat distabilkan.
Misalkan   1 2 : B B B  , maka   3 0 0 1 1 0 2 0 1 1 . 0 0 1 0 0 A I B                    
Untuk 2   dan 3   , matriks di atas memiliki rank baris penuh. Jadi (A,B) dapat distabilkan.
2. Diberikan
1 1 2 2 0 1 0 :
;   : ; : 0 0 1 A B B    
                   , maka   1 1 2 0 1 0 0 A I B               
dan   1 2 2 0 0 . 0 1 A I B               
Untuk
2    , matriks   1 A I B   tidak memiliki rank baris penuh, sehingga   1 , A B
tidak dapat distabilkan.
Untuk 1    , matriks 2 ( ) A I B   tidak memiliki rank baris penuh, sehingga
2 ( , ) A B tidak dapat distabilkan.
Misalkan 1 2 : [ ] B B B  , maka   1 2 0 1 0 0 0 1 A I B   
           
Untuk setiap 1    dan 2    , matriks
  A I B   memiliki rank baris penuh. Jadi
  , A B dapat distabilkan.
Titik Setimbang Nash pada Permainan Linear

## Kuadratik Non-Kooperatif dengan Asumsi

## Keseluruhan Pemain dapat Menstabilkan

## Sistem
Pada  bagian  ini  akan  dijelaskan  syarat cukup  dan  perlu  untuk  mencari  titik  setimbang Nash  untuk  permainan  linear  kuadratik  non- kooperatif dengan asumsi semua pemain secara bersama-sama dapat menstabilkan sistem.
Misalkan i T adalah
matriks transformasi  nonsingular  yang  mengubah
  , i A B ke  bentuk  kanonik  terkendalinya,
1, 2.
i  Misalkan 1 1 1 : 0 0 ;
: 0 ; : 0 . i i T i i T i n i i n i n i i T T T i i i i i n A I T AT I
Q I T Q S B R B T I                       Teorema berikut menjelaskan
hubungan  antara  titik  setimbang  Nash  dengan ruang  bagian  invarian  dan  persamaan  aljabar Riccati, serta mencari titik setimbang Nash pada permainan  diferensial  kuadratik  dengan  asumsi semua  pemain  secara  bersama-sama  dapat menstabilkan sistem.
Teorema  4.1.  Diberikan  permainan  diferensial
linear kuadratik (1,2). Diasumsikan bahwa     1 2 , A B B dapat  distabilkan.  Diberikan matriks
1 2 1 1 2 2 0 . 0 T T A S S M Q A
Q A  
               (3)
Jika  permainan  diferensial  linear  kuadratik  (1,2) memiliki titik setimbang Nash lingkar terbuka untuk setiap state awal, maka
1. M memiliki sedikitnya n nilai eigen stabil.
Selanjutnya,  terdapat  suatu  ruang  bagian
M-invarian S stabil p-dimensional, dengan p n  sedemikian sehingga
1 2 [ ] , T T T n Im I V V S  untuk suatu . i n n i V   2. Dengan
1 1 11 : [ 0] [ 0] T i i T i n i i i n Q I T Q T I    dan
1 : [ 0] [ 0] , i i T T T i n i i i i i n S I T B R B T I  
dua persamaan aljabar Riccati,
11 0, T i i i i i i i i A K K A K S K Q     (4)
memiliki  suatu  solusi  simetris (.) i K
sedemikiann  sehingga i i i A S K  stabil,
1, 2. i 
Sebaliknya,  jika  dua  persamaan  aljabar  Riccati  (4)
memiliki solusi menstabilkan dan 1 2 [ ( ), ( ), ( )] : ( ) T T T T t t t t    x v adalah  solusi  stabil asimtotik dari
0 ( ) ( ),    (0) , t M t   v v x x (5)
maka
* 1 [ 0] ( ), 1, 2, i T T T i i i i n i R B T I t i      u
merupakan  titik  setimbang  Nash  lingkar  terbuka untuk permainan diferensial linear kuadratik (1,2).
Misalkan
  1 1 2 1 2 2 2 0 : ; : ; : 0 A Q A Q B B B A Q                dan 1 2 : . S S S      Diberikan  pasangan  persamaan aljabar Riccati
2 0 . T A P PA PSP Q     (6)
Persamaan  aljabar  Riccati  (6)  berbeda  dengan persamaan  Riccati  (4),  karena  matriks 2 T A
berbeda  dengan A ,  dimensi  kedua  matriks tersebut  juga  berbeda  dan P bukan  matriks kuadrat.  Solusi  dari  persamaan  Riccati  simetris
(4)  stabil jika  matriks i i i A S K  stabil.  Solusi P
ari  persmaan  aljabar  Riccati  nonsimetris  (6) stabil jika semua nilai eigen dari matriks A SP  memiliki bagian real negatif. Dengan transposkan  Persmaan  (6),  solusi P stabil  jika
matriks 2 T T A S P  stabil.  Oleh  karena  itu,
berikut  ini  diberikan  definisi  menstabilkan  dan menstabilkan  kiri-kanan  dari  solusi  persamaan aljabar Riccati (6).
Definisi  4.2.  Solusi
1 2 :[ , ] T T T P P P  dengan , i n n i P   dari  persamaan  aljabar  Riccati  (6)
dikatakan
a) menstabilkan, jika ( ) ; A SP    
b) menstabilkan kiri-kanan (LRS) jika
i. solusi tersebut merupakan solusi
menstabilkan, dan
ii.
2 0 ( )
. T A PS   
  Lemma berikut memberikan solusi dari persamaan
aljabar Riccati non-simetris berdasarkan ruang bagian invarian.
Lemma  4.3.  Misalkan
1 2 n n n V    adalah  ruang bagian  invariant  n-dimensional  dari , M dan
, 0,1, 2 i n n i X i    (dengan 0 n n  )  adalah  tiga matriks real sedemikian sehingga
0 1 2 im[ , , ] . T T T T V X X X  Jika 0 X invertibel, maka
1 0 : , 1, 2 i i P X X i   
merupakan  penyelesaikan  Persamaan  (6)  dan
( ) ( | ). V A SP M     Selanjutnya, 1 2 ( , ) P P bebas dari pemilihan basis . V
Lemma  berikut  menjelaskan  hubungan ruang bagian invarian dari matriks M dan solusi dari  persamaan  aljabar  Riccati  (6)  serta memberikan  syarat  untuk  ketunggalan  solusi tersebut.

## Lemma 4.4.
1. Persamaan  aljabar  Riccati  (6)  memiliki  solusi
LRS 1 2 [ ] T T T P P P  jika  dan  hanya  jika matriks M memiliki ruang bagian graf stabil n- dimensional dan M memiliki 1 2 n n  nilai eigen pada 0 . 

## 2. Jika persamaan aljabar Riccati (6) memiliki solusi
LRS, maka solusi tersubut tunggal.
Akibat  berikut  menjelaskan  hubungan antara  titik  setimbang  Nash  dengan  persamaan aljabar  Riccati  non-simetris  dan  simetris  pada permainan  diferensial  kuadratik  serta  mencari titik setimbang Nash.
Akibat  4.5.  Permainan  diferensial  linear  kuadratik dua  pemain  infinite-planning  horizon  (1,2)  memiliki
strategi  setimbang  Nash * *
1 2 ( , ) u u lingkar  terbuka, untuk setiap state awal jika dan hanya jika
1. terdapat 1 P dan 2 P yang  merupakan  solusi dari pasangan persamaan aljabar Riccati (6) memenuhi penambahan kendala yaitu semua nilai eigen dari
1 1 2 2 : cl A A S P S P   
terletak pada bidang kompleks setengah kiri,
dan
2. dua  persamaan  aljabar  Riccati  (4)  memiliki
solusi  simetris (.) i K sedemikian  sehingga
i i i A S K  stabil, 1, 2. i 
Jika
1 2 ( , ) P P adalah  solusi  menstabilkan  dari pasangan  persamaan  aljabar  Riccati  (6)  ,  maka strategi
* 1 0 ( )
( , 0) , 1, 2, 0 i n T T i i i i i I t R B T P t i            u x (7)
dengan ( , 0) t  memenuhi  persamaan  transisi
( , 0) ( , 0); cl t A t
    (0, 0) , I   merupakan titik  setimbang  Nash  lingkar  terbuka.  Dengan menggunakan  strategi  ini,  fungsi  cost  untuk  setiap pemain adalah
0 0 , 1, 2, T i M i  x x
dengan i M adalah  solusi  tunggal  dari  persamaan Lyapunov
0. T T cl i i cl i i i i A M M A Q P S P    
Akibat  berikut  memberikan  syarat cukup  dan  perlu  untuk  ketunggalan  strategi setimbang Nash.
Akibat  4.5.  Permainan  diferensial  linear  kuadratik (1,2)  memiliki  titik  setimbang  Nash  lingkar terbuka tunggal untuk setiap state awal jika dan hanya jika
1. pasangan  persamaan  aljabar  Riccati  (6)
memiliki solusi LRS, dan
2. dua  persamaan  aljabar  Riccati  (4)  memiliki solusi menstabilkan.
Selain itu, strategi setimbang tunggal diberikan oleh (7).
Hasil  yang  telah  diperoleh  dapat diperumum  untuk  kasus  N-pemain.  Semua  hasil mengenai matriks M dapat disubstitusikan oleh
2 , T A S M Q A           dengan 1 1 [ ], [ ] T T N N S S S Q Q Q   dan 2 ( ). i A diag A  Pada contoh berikut ini akan diilustrasikan untuk permainan 3-pemain.

## Penerapan  Permainan  Linear  Kuadratik  pada Kestabilan Hutang Pemerintah
Selama  tahun  1980,  banyak  negara maju  dan  berkembang  yang  terlilit  hutang  dan mengalami masalah dalam menstabilkan hutang. Oleh  karena  itu,  masalah  hutang  negara  akan dibahas  pada  bagian  ini  sebagai  penerapan permainan  dinamis  dalam  masalah  ekonomi. Model  menstabilkan  hutang  pemerintah  telah diberikan  pada  Tabellini  (1986)  dan  telah dianalisa secara umum pada Engwerda (2013).
Model merupakan permainan diferensial dengan hutang pemerintah dimodelkan  sebagai  persamaan  state  dan  para pemain  adalah  otoritas  fiskal  dan  moneter. Persamaan  state  berikut  menyatakan  akumulasi hutang  pemerintah  merupakan  penjumlahan tingkat  bunga  pembayaran  hutang  dan  defisit fiskal  dikurangi  pembiayaan  moneter  yang dilakukan oleh bank sentral
0 ( ) ( ) ( ) ( ),    (0) , d t rd t f t m t d d     (8)
dengan
d : hutang pemerintah
f : defisit fiskal, dikendalikan oleh otoritas
fiskal
m : keuntungan yang diperoleh bank sentral,
dikendalikan oleh otoritas moneter
  rd t : tingkat bunga pembayaran hutang pemerintah
0 d : stok awal dari sisa hutang pemerintah.
Fungsi  objektif  dari  para  pemain diberikan oleh
2 2 0 1 {( ( ) ) ( ( ) ) } 2 t F F F L e f t f d t d dt          (9)
dan
2 2 0 1
{( ( ) ) ( ( ) ) } . 2 t M M M
L e m t m d t d dt          (10)
Persamaan  (9)  menyatakan  bahwa otoritas  fiskal  meminimalkan  deviasi  defisit fiskal dengan target yang diberikan untuk defisit fiskal  dan  deviasi  hutang  pemerintah  dengan target  yang  diberikan  oleh  otoritas  fiskal  untuk hutang pemerintah.
Sedangkan  Persamaan  (10)  menyatakan bahwa  otoritas  moneter  meminimalkan  deviasi keuntungan  bank  sentral  dengan  target  yang diberikan  untuk  keuntungan  bank  sentral  dan deviasi  hutang  pemerintah  dengan  target  yang diberikan  oleh  otoritas  moneter  untuk  hutang pemerintah.
Di negara-negara Eropa atau European
Union  (EU),  terdapat  sebuah  perserikatan  yang menghimpun  masalah  ekonomi  dan  keuangan.
Perserikatan  tersebut  dikenal  dengan  istilah EMU (European Moneter Union). Di dalam EMU masalah  kebijakan  makro  ekonomi  dibedakan
menjadi dua jenis, yakni kebijakan moneter dan kebijakan  fiskal.  Kebijakan  moneter  dilakukan oleh Eropean Central Bank (ECB), yang terbentuk dari  koalisi  antara  bank  sentral  masing-masing Negara  di  Eropa.  Di  dalam  EU  diasumsikan terbentuk  dua  blok  negara  yang  merupakan perwakilan  dari  seluruh  Negara  yang  ada  di Eropa.  Pemerintah  dari  dua  blok  Negara  inilah yang nantinya akan melakukan sebuah kebijakan fiskal. ECB bertugas mengendalikan perkembangan  perekonomian  EMU  secara keseluruhan  pada  masing-masing  Negara  di EMU.  Kebijakan  fiskal  mempunyai  tujuan  untuk menghindari  defisit  yang  berlebihan  serta menjaga  supaya  tidak  terjadi  kenaikan  dan penurunan harga secara drastis.
Konflik  timbul  antara  pemegang otoritas  fiskal  dan  moneter,  apakah  kebijakan yang  mereka  tetapkan  bisa  menyesuaikan  dan membantu  menstabilkan  hutang  di  dalam  EU. Model  masalah  ini  merupakan  modifikasi  dari model  menstabilkan  hutang  pemerintah  yang telah  diberikan  sebelumnya.  Bedanya  dalam permainan  ini  terdapat  tiga  pemain  ( 3 N  ) yang  terdiri  dari  pihak  pemerintah  dari  blok negara satu sebagai pemain pertama, pemerintah dari blok negara dua sebagai pemain kedua,  dan  bank  sentral  (ECB)  sebagai  pemain ketiga.
Masalah defisit fiskal utama
dipengaruhi  oleh  pembuatan  uang  atau  oleh akumulasi  hutang  pemerintah.  Pengambilan keputusan  mengenai  defisit  fiskal  utama adalah tanggung jawab pemerintah. Ketika kebijaksanaan moneter dan fiskal dipegang oleh institusi  yang  berbeda,  kebijaksanaan  mereka
menjadi  saling  bergantung  satu  sama  lain. Budget  pemerintah  menunjukkan  hubungan antara  defisit  fiskal  utama,  pembuatan  uang, bunga  pembayaran  hutang  pemerintah  dan akumulasi  hutang  pemerintah.  Berdasarkan
persamaan (8) dan memisalkan ( ) ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ) E x t d t r f t u t m t u t     
serta ( ) i E u t  merupakan  keuntungan  yang diperoleh  bank  sentral  untuk  blok  negara i , maka dapat digambarkan model dua persamaan diferensial
0 ( ) ( ) ( ) ( ),
(0) , 1, 2. i i i i i E i i x t x t u t u t x x i        (11)
Fungsi     , i i x t u t dan   E u t digambarkan sebagai  faktor  dari  GDP  (gross  domestic  product).
Jika  defisit  fiskal ( ) ( )
i i i u t x t   melebihi pendapatan  dari  uang  pemegang  otoritas moneter ( ) i E u t  ,  maka  akumulasi  hutang pemerintah  menjadikan  pembuatan  kebijakan untuk  merubah  pengaturan  beban  hutang  yang akan  disesuaikan  dengan  defisit  fiskal  di  masa mendatang.  Untuk  mewujudkan  anggaran pemerintah  yang  baik  diperlukan  diperlukan keterlibatan  pemegang  otoritas  fiskal  dan moneter. Nilai awal dari hutang pemerintah dari blok  negara i adalah   0 i x .  Jika  nilai  awal hutang  pemerintah  besar  dan  tingkat  suku bunganya  tinggi,  maka  untuk  stabilisasi  hutang pemerintah dari blok negara i dibutuhkan usaha yang  lebih  keras  dari  pada  situasi  dengan  nilai awal dan tingkat bunga yang rendah.
Stabilnya hutang
pemerintah didapatkan  dengan  2  jalan  yaitu  dengan menurunkan  defisit  fiskal  utama  atau  dengan
meningkatkan  pembuatan  uang.  Konflik kebijakan  akan  timbul  karena  kebijakan  fiskal dan moneter dikendalikan oleh institusi berbeda yang  mempunyai  tujuan  berlainan  dalam  hal inflasi,  stabilisasi  hutang  pemerintah  dan pengeluaran  publik.  Akan  dibentuk  strategi setimbang  Nash  antara  penguasa  fiskal  kedua blok  negara  dan  moneter  dalam  bentuk permainan.
Berdasarkan  Persamaan  (9)  dan dimisalkan
0 F f d     , maka fungsi kerugian  pemegang  otoritas  fiskal  dari  blok negara i adalah
2 2 0 1 ( (.)) ( ) ( ) 2 i i i i i J u u t x t dt     
Mula-mula  hutang  pemerintah  adalah
  0 x .  Pemegang  kebijakan  fiskal  mengatur defisit  fiskal  utama  untuk  meminimalkan  fungsi kerugiannya  dengan  tujuan  meminimalkan defisit  fiskal  utama,  pertumbuhan  dasar  uang dan hutang pemerintah.
Berdasarkan  Persamaan  (10)  dan dimisalkan 0 M f d     serta dengan
mengasumsikan   d t sebagai  kombinasi  linear dari 1 x dan 2 x ,  maka  fungsi  kerugian  dari pemegang  otoritas  moneter  (ECB)  digambarkan sebagai berikut
2 2 1 2 0 1 ( (.)) ( ) ( ( ) (1 ) ( )) . 2 E E E E
J u u t x t x t dt          (12)
Berdasarkan Persamaan (11)
perkembangan  hutang  kedua  blok  negara tersebut dapat ditulis dalam bentuk state space
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 1 0 ( ) ( ) 0 0 1 ( ). E x x u t u t x x u t    
                                          Misalkan 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 0 1 0
: ;   : ; : ; : 0 0 1 0
: [ ]; : ; 0 0 E E A
B B B B B B B Q  
 
                                      2 2 2 2 0 0 (1 )
: ; : ; 0 (1 ) (1 ) E E Q Q     
  
                
dan : , 1, 2, . T i i i S B B i E 

Sehingga  masalah  dapat  ditulis  sebagai meminimalkan
2 0 1 ( ) ( ) , 1, 2, , 2 T i i i
J t Q t u dt i E      x x
dengan kendala
1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). E E t A B u t B u t B u t     x x
Pasangan   , , 1, 2 i A B i  tidak  dapat distabilkan.  Oleh  karena  itu,  teori  standar  pada permainan  diferensial  linear  kuadratik  untuk menentukan  titik  setimbang  Nash  lingkar terbuka  pada  Engwerda  (2005)  tidak  dapat digunakan secara lansung. Diperhatikan bahwa
  1 1 2 2 0 1 0 . 0 0 1 A I B           
       
Untuk  setiap 1    dan 2
   ,  matriks
  A I B   memiliki  rank  baris  penuh.  Jadi
( , ) A B dapat distabilkan. Dengan
1 2 1 2 0 1 , , , 1 1 0 E T I T T I n n           
dan 2, E n  maka
1 2 3 1 1 2 2 3 3 0 0 , 0 0 0 0 T T T A S S S Q A M Q A Q A                      
 
Dengan
        1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 2 2 , , , 0 , 0 , , 0 , 0 , E E S B S B S B Q Q Q Q A A             dan 3 . A A  Determinan  dari M I   sama dengan 6 5 4 3 2 5 4 3 2 1 0 : , dimana 0. i det                     
Jadi, tanda 2  bebas, polinomial berorde enam ini  memiliki  2  tanda  yang  berubah.  Menurut aturan  Descartes  persamaan  karakteristik matriks M memiliki  dua  atau  tidak  akar  real positif.  Selanjutnya,  dengan  mengganti  dengan   polinomial  yang  bersesuaian memiliki  4  tanda  yang  berubah.  Dengan  aturan Descartes  persamaan  karakteristik  ini  memiliki 4, 2 atau tidak akar-akar real negatif. Jadi, pada kasus  ini  persamaan  karakteristik  matriks M memiliki  enam  akar-akar  real,  2  positif  dan  4 negatif. Oleh karena itu, terdapat paling banyak
4 2       titik setimbang Nash lingkar terbuka.
Dipilih
1 2 1 2 1 2 1 2 (0) 0.7, (0) 1.5, 0.03, 0.08, 1, 0.5, 0.04, 0.08,
x x          
    0.04 E   dan 0.3.   Sehingga  matriks M memiliki  nilai  eigen {0.3123, 0.2158, 0.3103,

0.2204, 0.07 -0.03 53, 21},   dan  dapat  diselidiki
bahwa terdapat 6 strategi setimbang berbeda.
Dengan  memasukkan  faktor  diskon  ke  dalam biaya, masalah menjadi meminimalkan
2 0 1 ( ( ) ( ) ) , 1, 2, , 2 rt T i i i J e t Q t u dt i E       x x dengan kendala
. 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ). E E t A B u t B u t B u t     x x Misalkan 1 2 ( ) : ( ) rt t e t   y x dan 1 2 ( ) : ( ) rt i i v t e u t 
 ,
maka masalah dapat ditulis sebagai
meminimalkan
1 1 1 2 2 2 2 0 2 0 1 ( ( ) ( ) ( 2 ) ) 2 1 ( ( ) ( ) ) , 1, 2, , 2 rt rt rt T i i i T i i J e t Q e t e u dt t Q t v dt i E       
     x x y y
dengan 1 . 2 1 1 2 2 ( ) ( ( )) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2 rt E E d t e t dt A rI t B v t B v t B v t        y x y
Matriks M yang  bersesuaian  dengan masalah ini adalah
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 ( ) 2 1 ( ) 0 0 2 1 0 ( ) 0 2 1 0 0 ( ) 2 T T T A rI S S S Q A rI M Q A rI Q A rI  
                                  Dengan  mensubstitusikan  nilai-nilai
yang  telah  dipilih  di  atas  dan 0,16 r  ,  maka nilai-nilai  eigen  dari  matriks M adalah
{-0.3006,-0.2222,0.3027,0.2184,$ $0.004,0.0478} yang  menyebabkan  sejumlah  titik  setimbang berkurang dan 1 M TJT   dengan
0.4362 0.9843 0.355 0.9668 0.4098 0.0355 0.8654 0.0902 0.8992 0.1005 0.0094 0.1949 0.0498 0.1446 0.0562 0.2297 0.3563 0.6309 0.2303 0.0325 0.2377 0.0368 0.1892 0.3265 0.0252 0.0102 0.0349 0.0157 0.0303 0.6713 0.0686 0 T              .0293 0.0681 0.0282 5.8175 0.0738                    
Oleh  karena  itu,  terdapat  titik  setimbang  yang
tunggal. Misalkan   1 2 3 4 5 6 : T T T T T T T  ,
maka
  1 2 : , W X Im T T Y Z
             
dengan , W Z matriks berukuran 2 2  dan , X Y matriks berukuran 1 2  .
Sehingga,
  1 1 : 59.6144 29.9164 , P XW       1 2 : 104.7003 52.1635 , P YW    
dan 1 :
14.811 7.3986 . 40.6927 20.3292
E P ZW       
    
Jadi strategi setimbang Nash yaitu,
1 1 ( ) ( ), u t P t   x
2 2 ( ) ( ) u t P t   x dan 1 ( ) 1 ( ) 2 E E u t P t        x
dengan
1 1 2 2 0
1 ( ) ( 1 ) ( ),  (0) . 2 E E t A B P B P B P t            x x x x

## Gambar 1. Kestabilan Hutang Fiskal
Gambar  1  menunjukkan  bahwa  state dan strategi setimbang Nash menuju nol. Hal ini menunjukkan  bahwa  strategi  setimbang  Nash tersebut mampu menstabilkan sistem. Ini berarti defisit  fiskal  dan  pembiayaan  moneter  yang dilakukan oleh bank sentral dapat menstabilkan hutang kedua blok negara.

## SIMPULAN DAN SARAN

## Simpulan
Syarat  cukup  dan  perlu  permainan linear  kuadratik  non-kooperatif  memiliki  titik setimbang  Nash  lingkar  terbuka  yang  tunggal adalah  persamaan  aljabar  Riccati  non-simetris
memiliki  solusi  LRS  dan  persamaan  aljabar Riccati simetris memiliki solusi menstabilkan.

## Saran
Penelitian  lanjutan  untuk  topik  terkait dapat  dicoba  untuk  permainan  dinamis  linear kuadratik  non-kooperatif  lingkar  terbuka  untuk sistem deskriptor.

## REFERENSI
Boyd,  S.  dan  L.  Vandenberghe.  (2009).  Convex
Optimization. Cambridge: University Press.
Engwerda, Jacob. (2005). LQ Dynamic
Optimization  and  Differential  Games.  John wiley  and  sons:  Tilburg  University,
Netherlands.
Engwerda, Jacob. (2008). Uniqueness Conditions for the Affine Open-loop Linear Quadratic Differential  Game,  Automatica  44  (2008)
504–511.
Engwerda,  Jacob.  (2012).  Open-Loop  Nash
Equilibria in the Non-cooperative Infinite- planning Horizon LQ Game, Proceedings of the  15th  IFAC  Workshop  on  Control Applications  of  Optimization,  University  of
Bologna,  Rimini,  Italy,  September13–16,
2012.
Engwerda, J., van Aarle, B., Plasmans, J., Weeren,
A. (2012) Debt Stabilization Games in the Presence  of  Risk  Premia,  Journal  of
Economic  Dynamics  and  Control,  37  (2013)
2525–2546.
Engwerda,  Jacob.  (2014)  Open-Loop  Nash Equilibria in the Non-cooperative Infinite-
planning Horizon LQ Game, Journal of The
Franklin Institute, 351 (2014) 2657–2674.
Jacob, B. (1990) Linear Algebra. W.H Freeman and
Company: New York.
Klein,  M.W.  (2002).  Mathematical  Methods  for
Economics,  Second  Edition.  Addison
Wesley.
Mital,  K.V.  (1983).  Optimization  Methods  in
Operations  Research  and  Systems  Analysis,
Wiley Eastern Limited: Canada.
Olsder,  G.  J.  dan  J.  W.  van  der  Woude.  (2004).
Mathematical  Systems  Theory  intermediate third  edition.  Delft  University  of Technology: Netherlands.
Tabellini G. (1986). Money, debt and deficits in
a  dynamic  game,  Journal  of  Economic
Dynamics and Control, Vol.10, pp.427-442.