1 Dosen,  Fakultas Teknik dan Informatika, Universitas Multimedia Nusantara,  Jl. Scientia Boulevard, Gading Serpong, Tangerang, Banten 15811    (tlp: 021-5422 0808; e-mail: nabila.husna@umn.ac.id)
2,3 Dosen,  Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung,   Jl. Ganesha No.10, Kota Bandung, Jawa Barat 40132 (tlp : 022-2500935  e-mail: 2 hardi@stei.itb.ac.id, 3 munir@ieee.org)

## Penggunaan Metode FDTD untuk Analisis Gelombang pada Struktur Berbasis Kartesian dan Silinder
Nabila Husna Shabrina 1 , Hardi Nusantara 2 , Achmad Munir 3
Abstract—In this paper, the comparison of wave characteristics between Cartesian and cylindrical coordinate system–based structures was  analyzed using  ﬁnite -difference time-domain (FDTD) method. The use of FDTD method was considered due to its advantage in solving electromagnetics (EM) problems in wide spectrum of frequency and geometry shapes. The  analysis  was  undertaken for three-dimensions (3D) Cartesian and cylindrical coordinate system–based structures with dimension of 𝑥𝑥 = 600 mm, 𝑦𝑦 = 300 mm, 𝑧𝑧 = 1,200 mm, and 𝜌𝜌 = 600  mm, 𝝋 =1 ° , 𝑧𝑧 = 1,200  mm, respectively. A transverse electric (TE) mode excitation of sine wave modulated Gaussian pulse with frequency of 1  GHz  was  applied for exciting both structures with the direction of propagation wave assumed in 𝑧𝑧 – axis. Some scenarios were  applied  for both structures conditioned with free space, dielectric,  and conductive medium. The attenuation rate obtained from three modelling scenarios in Cartesian coordinate system structures were  0.35 Np/m, 0.24 Np/m,  and 0.62 Np/m, respectively. Meanwhile  the  attenuation rates for cylindrical coordinate system structure were 0.35 Np/m, 0.21 Np/m, and 0.40 Np/m.  The  simulation result for resonant frequency in Cartesian  and cylindrical coordinate  system structure  conditioned with free space were  558.706 MHz and 498.466 MHz, respectively.  The  resonant frequency  obtained from simulation result in  Cartesian  and  cylindrical coordinate system structure conditioned with dielectric medium was similar with  the  one  from theoretical calculation  in which the  highest error were 2.03% and 0.73%, respectively.
Intisari—Dalam  makalah  ini,  perbandingan  karakteristik gelombang pada struktur berbasis Kartesian  dan silinder dianalisis  dengan metode FDTD.  Penggunaan  FDTD dipilih karena memiliki keunggulan dalam menyelesaikan persamaan gelombang elektromagnetik pada jangkauan frekuensi dan bentuk bidang simulasi yang cukup beragam. Analisis perbandingan gelombang dilakukan pada bidang tiga dimensi (3D)  dalam koordinat  Kartesian  dan silinder dengan ukuran masing-masing  struktur  sebesar 𝑥𝑥 = 600  mm, 𝑦𝑦 = 300  mm, 𝑧𝑧 = 1.200 mm, dan 𝜌𝜌 = 600 mm, 𝝋 =1 ° , 𝑧𝑧 = 1.200 mm. Eksitasi mode TE berupa sinyal sinusoidal yang dimodulasi pulsa Gaussian dengan frekuensi 1  GHz digunakan sebagai sumber gelombang pada kedua struktur  dengan propagasi gelombang diasumsikan dalam arah sumbu 𝒛 . Analisis  dilakukan dalam beberapa skenario, yaitu analisis struktur dengan medium udara, medium dielektrik, dan medium konduktif.  Besarnya laju atenuasi yang diperoleh  untuk  tiga  skenario pemodelan  dengan medium
konduktif  pada  koordinat  Kartesian yaitu  sebesar  0,35 Np/m, 0,24 Np/m, dan 0,62 Np/m,  sedangkan  untuk  pemodelan dalam koordinat silinder sebesar 0,35 Np/m, 0,21 Np/m, dan 0,40 Np/m. Frekuensi resonansi yang didapatkan pada pemodelan struktur 3D  dalam koordinat  Kartesian dengan medium udara adalah sebesar 558,706 MHz sedangkan pada koordinat silinder sebesar 498,466 MHz.  Perbandingan  frekuensi resonansi hasil  simulasi pada koordinat silinder  dan  koordinat Kartesian  dengan medium dielektrik  memberikan hasil yang sudah cukup mendekati dengan error  terbesar  untuk hasil simulasi pada koordinat Kartesian dan silinder masing-masing sebesar  2,03% dan 0,73%.
Kata Kunci—Metode FDTD, karakteristik gelombang, koordinat Kartesian, koordinat silinder.

## I. P ENDAHULUAN
Gelombang elektromagnetik (EM) memiliki aplikasi yang sangat beragam mulai dari bidang komunikasi, sistem radar, elektronika, bahkan kedokteran. Akan tetapi,  permasalahan gelombang elektromagnetik cukup kompleks untuk dipahami dan ditemukan solusinya. Oleh karena itu, pemecahan masalah gelombang elektromagnetik memerlukan bantuan komputasi numerik. Dengan perkembangan yang cukup pesat pada teknologi komputasi, metode komputasi numerik menjadi semakin mudah untuk dilakukan.
Metode FDTD yang  diperkenalkan  pertama kalinya oleh Yee pada tahun 1965 merupakan metode dengan diskretisasi waktu dan ruang yang mengarah pada algoritme  waktu berbasis rekursif dengan  solusi medan magnet dan medan listrik dari persamaan Maxwell ditentukan oleh langkah sebelumnya [1]-[4].  Pada dasarnya metode FDTD digunakan untuk memperbarui medan listrik dan medan magnet secara bergantian. Oleh karena itu, ada istilah grid, timestep, dan formula  pembaruan dalam metode ini. Dalam setiap grid , terdapat  medan listrik dan medan magnet  dalam ruang dan waktu  yang harus diperbarui sesuai dengan jumlah timestep yang diinginkan.  Beberapa kelemahan dari metode FDTD, seperti metode komputasi lainnya, adalah kebutuhan alokasi memori berkapasitas tinggi untuk melakukan perhitungan. Selain itu, untuk objek geometri dengan bentuk kurva seperti bumbung gelombang sirkular atau permukaan bumi, metode FDTD yang biasanya menggunakan koordinat Kartesian akan memberikan hasil yang kurang akurat,  sehingga metode ini membutuhkan beberapa perlakuan khusus [5]-[8]. Di  antara beberapa sistem koordinat, sistem koordinat Kartesian merupakan sistem koordinat yang cukup sederhana dan sering digunakan dibandingkan  dengan  sistem koordinat lainnya. Dalam sistem koordinat Kartesian, ukuran grid pada  semua sumbu, yaitu 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dan 𝑧𝑧 bersifat  homogen. Akan tetapi, ukuran grid berbeda untuk koordinat silinder atau bola  [9]. Oleh karena itu, beberapa penelitian telah dilakukan untuk
mengembangkan metode FDTD pada koordinat silinder yang diiplementasikan secara intensif untuk beberapa model seperti coaxial cavity dan bumbung gelombang sirkular [10]-[13].
Dalam  makalah  ini, metode FDTD digunakan untuk menganalisis  dan membandingkan  karakteristik gelombang pada bidang Kartesian  dan silinder. Penggunaan dua sistem koordinat yang berbeda dalam makalah  ini adalah untuk membandingkan keakuratan hasil pemodelan  untuk kedua struktur. Pemodelan yang dilakukan untuk struktur 3D menggunakan eksitasi mode gelombang TE dengan arah propagasi diasumsikan dalam sumbu 𝑧𝑧 dan gelombang sumber berupa gelombang sinusoidal  yang dimodulasi dengan pulsa Gaussian.  Analisis  dilakukan dalam beberapa skenario,  yaitu untuk medium udara, medium dielektrik,  dan medium konduktif.  Hasil pemodelan dari kedua bidang dibandingkan satu sama lain dalam hal frekuensi cut-off, frekuensi resonansi, dan amplitude  gelombang  untuk  beberapa  kondisi simulasi yang berbeda.
II. F ORMULASI 3D FDTD
Berdasarkan persamaan diferensial Maxwell [14], medan listrik dan medan magnet di dalam sebuah struktur tanpa sumber arus eksternal dapat ditulis seperti pada (1)  dan  (2), dengan 𝜖𝜖 0 dan 𝜇𝜇 0 adalah permeabilitas dan permitivitas udara. Medan listrik dan medan magnet diasumsikan merambat ke arah 𝑧𝑧 positif  sebagai 𝑒𝑒 ( 𝑗𝑗 ω 𝑡𝑡 - 𝑗𝑗 β 𝑧𝑧 ) .  Dengan  konsep operasi curl , dua pasang medan listrik dan magnet  di  sumbu 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dan 𝑧𝑧 untuk sistem koordinat Kartesian dan sumbu 𝜌𝜌 , 𝜑 , dan 𝑧𝑧 untuk sistem koordinat silinder dapat diperoleh. Kemudian, notasi FDTD diterapkan untuk setiap medan listrik dan medan magnet untuk dimasukkan dalam perhitungan.
𝛻 𝑥𝑥 𝐸 = − 𝜇𝜇 0 𝜕𝐻 𝜕𝑡𝑡 (1) ∇ 𝑥𝑥 𝐻 = 𝜀 0 𝜕𝐸 𝜕𝑡 (2)

## A. Formula Pembaruan FDTD untuk Koordinat Kartesian
Sel satuan  pada metode FDTD 3D untuk koordinat Kartesian  disebut sebagai Yee cell. Penempatan komponen medan listrik ( 𝐸 𝑥 , 𝐸 𝑦 , 𝐸 𝑧 ) dan medan magnet ( 𝐻 𝑥 , 𝐻 𝑦 , 𝐻 𝑧 ) pada bidang Kartesian  mengikuti sistem pengindeksan interleaving , yaitu medan listrik ( 𝑬 ) ditempatkan pada pusat tepi kubus sedangkan medan magnet ( 𝑯 ) berada pada pusat permukaan kubus seperti yang ditunjukkan pada Gbr.  1. Dengan menggunakan pengindeksan tersebut, diperoleh formula  pembaruan FDTD 3D dalam koordinat Kartesian untuk medan magnet  seperti yang ditunjukkan pada (3) sampai (5) dan formula pembaruan untuk medan listrik seperti yang diberikan pada (6) hingga (8).
𝐸 𝑦 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛 −𝐸 𝑦 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛
∆𝑧 − 𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑦 = 𝜇 ∆𝑡 �𝐻 𝑥 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝑥 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛− 1 2 � (3)
𝐸 𝑧 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑥 − 𝐸 𝑥 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛 −𝐸 𝑥 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑧 = 𝜇 ∆𝑡 �𝐻 𝑦 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝑦 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛− 1 2 � (4)
𝐸 𝑥 | 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝑥 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑦 − 𝐸 𝑦 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝑦 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑥 = 𝜇 ∆𝑡 �𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛− 1 2 � (5)
𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑦 − 𝐻 𝑦 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+12 −𝐻 𝑦 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑧 = 𝜀 ∆𝑡 �𝐸 𝑥 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+1 − 𝐸 𝑥 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 � (6)
𝐻 𝑥 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+12 −𝐻 𝑥 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑧 − 𝐻 𝑧 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑥 = 𝜀 ∆𝑡 �𝐸 𝑦 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+1 − 𝐸 𝑦 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛 � (7)
𝐻 𝑦 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝑦 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑥 − 𝐻 𝑥 | 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝑥 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑦 = 𝜀 ∆𝑡 �𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+1 − 𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛 � (8)
Gbr. 1 Penempatan medan listrik ( E ) dan medan magnet ( H ) pada koordinat silinder dengan metode FDTD 3D.
Gbr. 2 Penempatan medan listrik ( E ) dan medan magnet ( H ) pada koordinat silinder dengan metode FDTD 3D.

## B. Formula Pembaruan FDTD untuk Koordinat Silinder
Berbeda dengan sistem koordinat Kartesian 3D, pembaruan medan listrik ( 𝐸 𝜌 , 𝐸 𝜑 , 𝐸 𝑧 ) dan medan magnet ( 𝐻 ρ , 𝐻 𝜑 , 𝐻 𝑧 ) diperoleh dengan penempatan setiap komponen medan seperti yang ditunjukkan pada Gbr. 2. Formula pembaruan FDTD 3D pada koordinat silinder untuk medan magnet ditunjukkan pada (9)  sampai  (11) sedangkan untuk medan listrik ditunjukkan pada (12) sampai (14).
𝐸 𝜑 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛 −𝐸 𝜑 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑧 − 1 𝜌 𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆φ = 𝜇 ∆𝑡 �𝐻 𝜌 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝜌 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛− 1 2 � (9)
𝐸 𝑧 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆ρ − 𝐸 𝜌 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛 −𝐸 𝜌 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ∆𝑧 = 𝜇 ∆𝑡 �𝐻 𝜑 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝜑 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛− 1 2 � (10) 𝐸 𝜌 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛 −𝐸 𝜌 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ρ∆φ − 𝜌 𝑖+1 𝐸 𝜑 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 −𝜌 𝑖 𝐸 𝜑 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 ρ∆ρ = 𝜇 ∆𝑡 �𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛− 1 2 �
(11) 1 𝜌 𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆φ − 𝐻 𝜑 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+12 −𝐻 𝜑 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑧 = 𝜀 ∆𝑡 �𝐸 𝜌 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+1 − 𝐸 𝜌 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛 � (12)
𝐻 𝜌 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+12 −𝐻 𝜌 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆𝑧 − 𝐻 𝑧 | 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆ρ = 𝜀 ∆𝑡 �𝐸 𝜑 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+1 − 𝐸 𝜑 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛 � (13)
𝜌 𝑖+1 𝐻 𝜑 � 𝑖+1 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 −𝜌𝐻 𝜑 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ∆ρ − 𝐻 𝜌 � 𝑖 , 𝑗+1 , 𝑘 𝑛+12 −𝐻 𝜌 � 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 𝑛+12 ρ∆φ = 𝜀 ∆𝑡 �𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛+1 − 𝐸 𝑧 | 𝑖 , 𝑗 , 𝑘+1 𝑛 � (14)

## III. H ASIL DAN A NALISIS
Simulasi dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman C. Secara umum, flowchart untuk simulasi yang dilakukan  ditunjukkan pada Gbr.  3. Sumber gelombang yang digunakan adalah gelombang sinusoidal yang dimodulasi pulsa Gaussian dengan frekuensi sebesar 1  GHz dan  arah rambat  gelombang  diasumsikan pada sumbu z .  Kondisi batas yang digunakan dalam simulasi  pada struktur Kartesian dan silinder adalah Perfect Electric Conductor (PEC) .
Struktur  pemodelan  FDTD 3D untuk koordinat Kartesian dan silinder ditunjukkan pada Gbr.  4. Ukuran struktur  yang digunakan dalam pemodelan FDTD 3D untuk koordinat
Kartesian dan silinder masing-masing sebesar 𝑥𝑥 = 600 mm, 𝑦𝑦 = 300 mm, 𝑧𝑧 = 1.200 mm, dan 𝜌𝜌 = 600 mm, 𝜑 = 1 ° , 𝑧𝑧 = 1.200 mm. Selanjutnya,  struktur  tersebut dibagi menjadi beberapa elemen kecil dengan panjang elemen ∆𝑥𝑥 = ∆𝑦𝑦 = ∆𝑧𝑧 = 10 mm untuk koordinat Kartesian  dan ∆𝜌𝜌 = ∆𝑧𝑧 = 10, ∆𝜑 =  1 ° untuk koordinat silinder.  Dari panjang setiap elemen kecil tersebut didapatkan nilai ∆𝑡𝑡 yang menunjukkan besarnya waktu yang dibutuhkan untuk  menjalankan  satu elemen grid. Nilai ∆𝑡𝑡 yang didapat dari pemodelan ini sebesar 1,928 𝑝𝑠 .
Gbr. 3 Flowchart pemrograman FDTD dalam bahasa C.
Simulasi FDTD 3D  untuk struktur Kartesian dan silinder dilakukan untuk memodelkan kondisi permukaan bumi. Simulasi dilakukan dalam tiga skenario, yaitu struktur dengan satu lapis medium yang dimodelkan sebagai tanah basah, struktur dengan dua lapis medium yang dimodelkan sebagai tanah basah dan air, serta struktur dengan tiga lapis medium yang dimodelkan dengan udara, tanah basah, dan air. Nilai permitivitas ( 𝜀 𝑟 ) dan konduktivitas ( 𝜎𝜎 ) yang digunakan adalah 𝜀 𝑟 = 30 dan 𝜎𝜎 = 0,01 untuk memodelkan tanah basah, 𝜀 𝑟 = 80 dan 𝜎𝜎 = 0,03 untuk memodelkan air, dan 𝜀 𝑟 = 1 dan 𝜎𝜎 = 0 untuk memodelkan udara. Pemodelan struktur Kartesian dan silinder untuk tiga lapis medium ditunjukkan pada Gbr. 5.

## A. Hasil Simulasi FDTD 3D pada Koordinat Kartesian
Gbr.  6  sampai Gbr. 8 menunjukkan hasil simulasi yang dilakukan pada struktur Kartesian. Simulasi dilakukan dengan menambahkan medium konduktif pada struktur pemodelan. Simulasi dilakukan dalam tiga skenario,  yaitu simulasi satu lapis medium konduktif dengan konduktivitas ( 𝜎𝜎 ) sebesar 0,01, simulasi dua lapis medium konduktif dengan
Mulai Inisiasi awal program Pembuatan file eksternal Inisiasi grid Alokasi memori Eksitasi sumber Proses pembaruan Iterasi Makmsimum? Selesai Ya Tidak
konduktivitas ( 𝜎𝜎 ) 0,01 dan 0, serta simulasi tiga lapis medium konduktif dengan konduktivitas ( 𝜎𝜎 ) 0,001, 0,003, dan 0. Hasil dari pemodelan ini ditunjukkan pada Gbr. 6 sampai Gbr. 8.
Gbr.  4  Struktur  pemodelan 3D; Pemodelan untuk koordinat Kartesian (kiri) dan Pemodelan untuk koordinat silinder (kanan).
Gbr.  5  Struktur pemodelan tiga lapis medium; pemodelan untuk koordinat Kartesian (kiri) dan pemodelan untuk koordinat silinder (kanan).
Dari Gbr. 6 sampai Gbr. 8 terlihat bahwa terjadi penurunan amplitude  jika dibandingkan dengan amplitude  propagasi gelombang pada medium bebas. Besarnya atenuasi  yang terjadi untuk masing-masing hasil simulasi berbeda-beda. Atenuasi terbesar terjadi pada hasil simulasi ketiga, yaitu pada pemodelan struktur dengan tiga lapis medium. Hal tersebut terjadi karena besarnya konduktifitas efektif  ( 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 ) dari struktur dengan  tiga lapis medium konduktif lebih besar dibandingkan dengan kedua simulasi lainnya. Pada simulasi  pertama, besarnya 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 sebesar 0,01, sesuai dengan konduktivitas dari medium yang disimulasikan. Pada simulasi kedua dan ketiga, karena struktur dibagi ke dalam dua lapis dan tiga lapis medium dengan volume yang sama untuk setiap lapisnya, maka  setelah dilakukan perhitungan didapatkan 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 masing-masing sebesar 0,005 dan 0,02. Besarnya laju atenuasi (α) untuk struktur satu lapis medium konduktif sebesar 0,35 Np/m. Pada  pemodelan dengan dua lapis medium konduktif dan tiga lapis medium konduktif diperoleh laju atenuasi masing-masing sebesar 0,24 Np/m dan 0,62 Np/m.
Pada simulasi kedua, diaplikasikan Fast Fourier Tranform (FFT)  untuk mengubah pengamatan dari domain waktu ke domain frekuensi. Gbr.  9 menunjukkan hasil simulasi pada struktur Kartesian yang disimulasikan sebagai medium udara. Dari Gbr.  9 dapat dilihat bahwa frekuensi resonasi dari struktur Kartesian yang berisi udara adalah sebesar 558,71 MHz. Hasil perhitungan frekuensi cut-off secara teoretis yaitu sebesar 500  MHz. Hasil tersebut menunjukkan bahwa hasil simulasi sudah sesuai dengan kondisi teoretis yang menyatakan bahwa besarnya frekuensi resonansi akan lebih besar dibandingkan dengan frekuensi cut-off .
Gbr.  6  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk satu lapis medium konduktif.
Gbr.  7  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk dua lapis medium konduktif.
Gbr.  8  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk tiga lapis medium konduktif.
Pada simulasi kedua, dilakukan penambahan medium dielektrik pada struktur Kartesian. Seperti pada simulasi pertama, simulasi dengan medium dielektrik dilakukan dalam tiga skenario,  yaitu simulasi satu lapis medium dielektrik dengan konstanta dielektrik ( 𝜖𝜖𝑟𝑟 ) 30, simulasi dua lapis medium dielektrik yang terbagi dalam volume yang sama untuk setiap lapis dengan nilai permitivitas ( 𝜖𝜖𝑟𝑟 ) 30 dan 1, serta simulasi tiga lapis medium dielektrik untuk volume setiap lapis yang sama dengan nilai permitivitas ( 𝜖𝜖𝑟𝑟 ) 30, 80, dan 1. Hasil simulasi satu lapis, dua lapis,  dan tiga lapis medium dielektrik masing-masing  ditunjukkan  pada Gbr.  10 sampai Gbr. 12.
Gbr.  9  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk medium udara.
Gbr.  10  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk satu lapis medium dielektrik.
Gbr.  11  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk dua lapis medium dielektrik.
Pada simulasi dengan satu lapis medium dielektrik seperti yang ditunjukkan pada Gbr.  10, hasil perhitungan frekuensi cut-off yang didapatkan sebesar 102 MHz sedangkan dari simulasi didapatkan hasil frekuensi resonansi sebesar  203,54 MHz. Walaupun ada perbedaan yang cukup besar antara hasil perhitungan frekuensi cut-off dengan frekuensi resonansi hasil simulasi,  tetapi  hasil tersebut masih memenuhi kondisi yang seharusnya. Adanya perbedaan yang cukup besar menunjukkan bahwa frekuensi resonansi pertama yang muncul bukan pada mode TE 10 tetapi pada mode TE 20 . Error yang diperoleh dari perbandingan frekuensi resonansi hasil simulasi  terhadap  hasil perhitungan teoretis yaitu sebesar 0,87%.
Gbr.  12  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat Kartesian untuk tiga lapis medium dielektrik.
Gbr.  13  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder dengan satu lapis medium konduktif.
Gbr.  14  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder dengan dua lapis medium konduktif.
Pada Gbr. 11, yaitu struktur Kartesian yang berisi dua lapis medium dielektrik, nilai frekuensi cut-off teoretis yang didapat sebesar 141,91 MHz sedangkan frekuensi resonansi yang didapat dari simulasi sebesar 224,31 MHz. Hasil simulasi dengan tiga lapis medium dielektrik yang ditunjukkan pada Gbr.  12 memberikan hasil perhitungan frekuensi cut-off dan frekuensi resonansi dari simulasi masing-masing sebesar 91,85  MHz  dan 178,62 MHz. Sama seperti simulasi pada skenario pertama, dari hasil tersebut terlihat bahwa hasil frekuensi resonansi yang didapat dari simulasi bukan berada pada mode TE 10 akan tetapi berada pada mode TE 20 . Hal tersebut dapat terjadi karena frekuensi sumber eksitasi sebesar 1 GHz sehingga mode gelombang yang mungkin muncul
adalah mode TE 01 , TE 10 , TE 11 , TE 20 , TE 21 , dan TE 31 . Oleh karena itu, hasil yang didapat dari ketiga simulasi ini sudah sesuai dengan teori. Error yang diperoleh dari perbandingan frekuensi resonansi hasil simulasi dan teoretis untuk skenario kedua dan ketiga masing-masing sebesar 2,03% dan 0,96%.
Frekuensi cut-off yang didapat dari struktur Kartesian dengan medium konduktif  memiliki nilai yang sama dengan frekuensi cut-off pada struktur Kartesian dengan medium dielektrik. Besarnya frekuensi resonansi yang didapatkan juga sama seperti pada pemodelan dengan medium dielektrik. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa penambahan medium konduktif tidak berpengaruh terhadap frekuensi resonansi dari bidang yang disimulasikan.
Gbr.  15  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder dengan tiga lapis medium konduktif.
Gbr. 16 Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder untuk medium udara.

## B. Hasil Simulasi FDTD 3D pada Koordinat Silinder
Gbr. 13 sampai Gbr. 15 menunjukkan hasil simulasi untuk struktur  silinder dengan satu lapis medium konduktif, dua lapis medium konduktif,  dan tiga lapis medium konduktif. Dari hasil tersebut terlihat bahwa atenuasi  amplitude  yang terjadi pada struktur dengan tiga lapis medium konduktif lebih besar jika dibandingkan dengan atenuasi pada struktur dengan satu lapis maupun dua lapis medium konduktif. Besarnya konduktivitas efektif ( 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 ) untuk ketiga simulasi masing- masing sebesar 0,01, 0,004,  dan 0,013. Besarnya  atenuasi pada simulasi sebanding dengan besarnya hasil perhitungan 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 . Semakin besar nilai 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 , maka besarnya atenuasi akan semakin besar. Laju atenuasi amplitude untuk struktur  pemodelan  silinder dengan satu lapis, dua lapis,  dan tiga lapis medium konduktif masing-masing sebesar 0,35 Np/m, 0,21 Np/m, dan 0,40 Np/m.
Gbr.  17  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder untuk satu lapis medium dielektrik.
Gbr.  18  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder untuk dua lapis medium dielektrik.
Gbr.  19  Hasil simulasi FDTD 3D pada koordinat silinder untuk tiga lapis medium dielektrik.
Sama halnya dengan simulasi pada struktur Kartesian, simulasi kedua pada struktur silinder diamati pada domain frekuensi dengan mengaplikasikan FFT  pada hasil simulasi. Gbr.  16  menunjukkan hasil simulasi FDTD 3D pada struktur silinder dengan medium udara. Frekuensi cut-off yang diperoleh dari simulasi struktur silinder yang berisi udara sebesar 498,47 MHz.  Frekuensi ini memiliki perbedaan yang cukup besar dibandingkan dengan frekuensi yang didapat pada simulasi struktur Kartesian di medium udara. Hal ini disebabkan oleh bentuk struktur silinder yang tidak  sama persis dengan struktur Kartesian. Pada Gbr.  4  terlihat bahwa
panjang busur pertama sebesar 30 mm, tetapi karena adanya pengaruh dari sudut 𝜑 ,  maka semakin besar jari-jari bidang, busur lingkaran semakin membesar,  sehingga panjang busur lingkaran pada bagian atas bidang menjadi 610 mm. Dimensi struktur yang disimulasikan berpengaruh terhadap besarnya frekuensi cut-off . Dengan demikian, adanya ketidakhomogen- an bentuk struktur silinder inilah yang menyebabkan frekuensi yang diperoleh tidak sama persis dengan frekuensi pada struktur Kartesian.
Simulasi kedua yang dilakukan adalah dengan menambahkan medium dielektrik pada struktur silinder. Hasil simulasi untuk ketiga skenario,  yaitu untuk simulasi dengan satu lapis medium dielektrik, dua lapis medium dielektrik, dan tiga lapis medium dielektrik, ditunjukkan pada Gbr. 17 sampai Gbr. 19. Pada hasil simulasi pertama, yaitu pemodelan dengan satu lapis medium dielektrik,  didapatkan frekuensi resonansi pertama sebesar 91,39 MHz,  sedangkan pada hasil perhitungan didapatkan frekuensi cut-off sebesar 91 MHz. Struktur silinder dengan dua lapis medium dielektrik memiliki nilai frekuensi cut-off teoretis sebesar 138,24 MHz, sedangkan nilai frekuensi resonansi yang didapat dari simulasi sebesar 282,46 MHz. Pada struktur silinder dengan tiga lapis medium dielektrik besarnya frekuensi resonansi yang didapatkan dari hasil simulasi dan frekuensi cut-off hasil perhitungan teoretis masing-masing sebesar  91,85  MHz  dan 84,53  MHz. Hasil ketiga simulasi tersebut telah memenuhi kondisi teoretis bahwa frekuensi resonansi lebih besar dibandingkan frekuensi cut-off. Error perbandingan frekuensi resonansi hasil simulasi terhadap hasil perhitungan teoretis untuk ketiga skenario yaitu sebesar 0,41%, 0,38%, dan 0,73%.

## IV. K ESIMPULAN
Metode FDTD dapat digunakan untuk memodelkan  dan menganalisis propagasi gelombang pada struktur  3D baik dalam koordinat Kartesian  maupun silinder.  Besarnya laju atenuasi untuk ketiga skenario pada pemodelan dengan koordinat Kartesian yaitu sebesar 0,35 Np/m, 0,24 Np/m, dan 0,62 Np/m,  sedangkan pada pemodelan dengan  koordinat silinder  sebesar  0,35 Np/m, 0,21 Np/m, dan 0,40 Np/m. Frekuensi  resonansi  yang didapatkan pada struktur  3D Kartesian dengan medium udara sebesar 558,706  MHz sedangkan pada struktur  silinder  sebesar 498,466  MHz. Perbedaan hasil tersebut disebabkan oleh dimensi silinder yang tidak sama persis dengan dimensi Kartesian  sehingga frekuensi cut-off mengikuti bentuk dari struktur yang dimodelkan.  Pada  hasil simulasi  dengan satu lapis medium, besarnya frekuensi resonansi yang didapatkan sebesar 203,54 MHz untuk struktur Kartesian dan 91,39 MHz untuk struktur silinder. Pada pemodelan  dengan dua lapis medium besarnya frekuensi  resonansi  untuk  struktur  kartesian dan silinder masing-masing sebesar 224,31  MHz dan 282,46  MHz, sedangkan pada pemodelan  dengan tiga lapis medium besarnya frekuensi resonansi yang diperoleh adalah  178,62
MHz untuk struktur Kartesian dan 91,85 MHz untuk struktur silinder.  Perbandingan hasil simulasi pada koordinat silinder dengan koordinat Kartesian memberikan hasil yang sudah cukup mendekati  dengan error terbesar yaitu 2,03% untuk simulasi pada koordinat Kartesian dan 0,73% untuk simulasi pada koordinat silinder .
R EFERENSI
[1] K. S. Yee, “Numerical  solution of initial  boundary  value  problems involving  maxwell’s  equation in isotropic  media,” IEEE Trans.
Antennas Propag. , Vol. 14, No. 3, hal. 302–307, Mei. 1966.
[2] K. S. Yee dan J. S. Chen, “The Finite Difference Time Domain (FDTD) and  the  Finite  Volume  Time  Domain (FVTD)  Methods  in  Solving Maxwell’s  Equations,” IEEE Trans.  Antennas  and Propag ., Vol. 45,
No. 3, hal. 354–363, Mar. 1997.
[3] A. Taﬂove dan  S. C. Hagness, Computational Electrodynamics: The Finite Difference Time Domain Method 3rd ed ., London, UK: Artech House, 2005.
[4] A. F. Chan, “The Finite Difference Time Domain Method for Computational Electromagnetics”, University of Southern Queensland, Project Report, hal. 1-294, 2006.
[5] D. M. Hockanson, J. L. Drewniak, T. H. Hubbing, dan  T. P. Van Doren, “FDTD  Modelling  of  Thin  Wires  for  Simulating  Common- Mode  Radiation  from  Structures  with  Attached  Cables,” Proceeding of IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility,
1995, hal. 168–173.
[6] N.  Dib, T. Weller, dan M.  Scardelltti,  “Analysis of 3-D  Cylindrical Structures  Using the Finite  Difference  Time  Domain  Method,” Proceeding of International Microwave Symposium Digest , 1998, hal. 925–928.
[7] M. F. Hadi,  A.Z. Elsherbeni, “Numerical  Dispersion  and  Stability  for Three-Dimensional  Cylindrical  FDTD  Near  the  Axis  of  Rotation,” Proceeding of 11 th European Conference on Antenna and Propagation (EUCAP) , 2017, hal. 936–938.
[8] N. H. Shabrina, A. Munir, “Analysis of Wave Characteristic Between Cylindrical  and  Cartesian  System-Based  Structure  Using  FDTD Method,” Proceeding of 9 th International Conference on Telecommunication Systems Services and Applications (TSSA) , 2015, hal. 1–6.
[9] U. S. Inan dan  R. A. Marshall, Numerical Electromagnetics: The FDTD Method , NY: Cambridge University Press, 2011.
[10] A. Munir dan  Edwar, “Computational Approach for Resonant Frequency Calculation of Coaxial Cavity Resonator Using Cylindrical Coordinate  System-based FDTD Method,” Proceeding of 14th International Conference on Quality in Research (QiR) , 2015, hal. 73–76.
[11] A. D. Setiawan, H. Nusantara dan  A. Munir, “Resonant Frequency Computation  of Dielectric Material Loaded Circular Waveguide Using Cylindrical Coordinate System-Based  FDTD  Method,” Proceeding of 5th International Conference on Electrical Engineering and Informatics (ICEEI) , 2015, hal. 314–317.
[12] A. Munir dan  B. T. Ranum, “Cylindrical Coordinate System-Based Full Wave FDTD  Computation  for Resonant Frequency Calculation of Circular Cavity Resonator,” Proceeding of 1st International Conference on Wireless and Telematics (ICWT) , 2015, hal. 1–4.
[13] R. Rahmatillah, Chairunisa, dan  A. Munir, “Numerical Analysis  for Wave  Propagation  in  Circular  Waveguide Using Cylindrical Coordinate System-Based FDTD Method,” Proceeding of International Conference of Advance Informatics: Concept, Theory and Application (ICAICTA) , 2014, hal. 209–213.
[14] R. E. Collin, Field Theory of Guided Waves 2nd ed., NY: John Wiley & Sons, 1991.