## Pemodelan Tsunami Sederhana dengan Menggunakan Persamaan Differensial Parsial
Indriati Retno Palupi * , Wiji Raharjo, Eko Wibowo, Hafiz Hamdalah Geophysical Engineering, UPN “Veteran” Yogyakarta Jl. SWK 104 Condongcatur Sleman, Yogyakarta 55283
* Email: inder13101986@gmail.com

## ABSTRACT
One  way  to  solve  fluid  dynamics  problem  is  using  partial  differential  equation.  By  using  Taylor expansion,  fluid dynamics can be applied simply.  For the  example is  tsunami  wave. It is include to hyperbolic  partial  differential  equation,  tsunami  wave  propagation  can  describe  in  space  and  time function by using Euler Forward Time Central Space (FTCS) formula.

## Keywords: Differential partial equation, Euler FTCS, Tsunami modelling

## ABSTRAK
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan dinamika fluida adalah menggunakan persamaan differensial parsial. Dengan menggunakan pendekatan deret Taylor, proses dinamika  fluida  dapat  dengan  mudah  diaplikasikan.  Salah  satu  contoh  dari  permasalahan  tersebut adalah  gelombang  tsunami.  Termasuk  kedalam  golongan  persamaan  differensial  parsial  hiperbolik, penyebaran  gelombang  tsunami  dapat  digambarkan  berdasarkan  fungsi  ruang  dan  waktu  dengan menggunakan formula Euler Forward Time Central Space (FTCS).
Kata Kunci: Persamaan differensial parsial, Euler FTCS, modelling tsunami.

## PENDAHULUAN
Letak Indonesia yang berada pada tiga batas lempeng tektonik utama menjadikan Indonesia rawan akan bencana baik itu gempa bumi, letusan gunungapi dan tsunami. Ketiga lempeng tersebut adalah lempang Australia di sebelah selatan yang bergerak ke arah utara, lempeng Samudera Pasifik di sebelah timur yang bergerak ke arah relatif barat laut, Lempeng Eurasia yang relatif diam di sebelah utara dan lempeng Filipina yang bergerak ke arah relatif barat laut seperti ditunjukkan pada Gambar 1 [1] .
Sesuai  dengan  teori  bingkas  elastik,  bahwa  saat  tekanan/gaya  yang  mengenai  batuan melewati daya elastisitas batuan tersebut, maka akan terjadi patahan pada batuan. Patahan tersebut dapat menimbulkan fenomena gempa bumi tektonik. Jika gempa bumi tektonik ini terjadi di laut, maka dapat menyebabkan bencana tsunami.
Tsunami sendiri berasal dari Bahasa Jepang yaitu tsu yang berarti pelabuhan dan nami yang berarti gelombang. Kata ini kemudian diartikan gelombang besar yang menghantam pantai. Pada  umumnya  tsunami  terjadi  akibat  gempa  bumi  tektonik  besar  dengan  pusat  gempa dangkal (< 70 km) [2] . Selain itu, mekanisme sumber gempa merupakan pergerakan lempeng tektonik  secara  vertikal [1] .  Ilustrasi  dari  gempa  bumi  tektonik  penyebab  tsunami  dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 . ( Color Online ) Ilustrasi terjadinya tsunami [2]
Di Indonesia sendiri tercatat 10 bencana tsunami dalam kurun waktu 25 tahun terakhir, yaitu di Flores (12 Desember 1992), Banyuwangi (1994), Biak (1996), Maluku (1998), Banggai, Sulawesi Utara (2000), Ransiki, Papua Barat (2002), Aceh (Desember 2004), Nias (2005), Jawa Barat (2006), Bengkulu (2007) dan Mentawai (2010) [1] .
Gambar 3 . ( Color Online ) Sebaran gempa bumi dan tsunami di Indonesia [1] .

## METODE
Persamaan  differensial  parsial  merupakan  salah  satu  solusi  untuk  memecahkan permasalahan baik yang linier maupun non linier. Pada permsalahan linier, antara variabel bebas  dan  turunannya  berhubungan  secara  linier  dan  dapat  dihasilkan  solusi  tunggal. Sementara  pada  permasalahan  non  linier  dapat  dihasilkan  lebih  dari  satu  solusi [3] . Persamaan  differensial  parsial  dengan  sederhana  dapat  diturunkan  melalui  deret  Taylor yaitu sebagai berikut :
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ∆𝑥 1! + 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 ∆𝑥 2 2! + 𝜕 3 𝑓 𝜕𝑥 3 ∆𝑥 3 3! + ⋯ (1)
𝑓(𝑥 − ∆𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ∆𝑥 1! + 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 ∆𝑥 2 2! − 𝜕 3 𝑓 𝜕𝑥 3 ∆𝑥 3 3! + ⋯ (2)
Aplikasi dari deret Taylor adalah untuk memecahkan permasalahan yang jika digambarkan ke dalam bentuk kurva sebagai berikut :
Gambar 4. ( Color Online ) Sketsa kurva
Berdasarkan  Gambar  4  diketahui  bahwa  x i+1 =x i +  x  dan  f(x i+1 )=f(x i +  x).  Untuk memecahkan  solusi  dari  persamaan  differensial  orde  pertama,  terdapat  tiga  metode  yaitu dengan menggunakan forward space, central space, maupun backward space.
𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 = 𝑓(𝑥 𝑖+1 )−𝑓(𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 (3)
𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥−∆𝑥) 2∆𝑥 = 𝑓(𝑥 𝑖+1 )−𝑓(𝑥 𝑖−1 ) 2∆𝑥 (4)
𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥−∆𝑥) ∆𝑥 = 𝑓(𝑥 𝑖 )−𝑓(𝑥 𝑖−1 ) ∆𝑥 (5)
Persamaan (3), (4) dan (5) berturut-turut adalah bentuk penyelesaian persamaan differensial orde  pertama  dengan  menggunakan  forward  space,  central  space  dan  backward  space. Sedangkan untuk memecahkan solusi persamaan differensial orde kedua digunakan hanya metode central space [3] .
𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 = 𝑓(𝑥+∆𝑥)−2𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−∆𝑥) ∆𝑥 2 = 𝑓(𝑥 𝑖+1 )−2𝑓(𝑥 𝑖 )+𝑓(𝑥 𝑖−1 ) ∆𝑥 2 (6)
Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Shaw dan Chakraverty tahun 2014, pemodelan tsunami  dilakukan  dengan  menggunakan  persamaan  diferensial  hiperbolik  berdasarkan persamaan  Navier  Stokes.  Pemodelan  tsunami  dapat  dilakukan  dengan  dua  metode  yaitu
x i x i+1  x f(x i ) f(x i+1 )
dengan metode beda hingga (finite difference methode, (FDM)) dan metode finite volum (finite volume method, (FVM)). Papper ini hanya fokus pada pemodelan dengan FDM yang menghubungkan fungsi waktu dan spasial [4] .
Persamaan differensial parsial hiperbolik disebut juga sebagai persamaan adveksi. Memiliki persamaan yang simpel sebagai berikut [5] :
𝜕𝑓 𝜕𝑡 + 𝑣 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 0 (7)
Persamaan (7) merupakan contoh persamaan differensial parsial parabolik untuk 1 Dimensi yang  menghubungkan  fungsi  waktu  (t)  dan  spasial  (x)  dengan  v  sebagai  konstanta persamaan.  Metode  paling  mudah  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  (7) adalah Euler FTCS (Forward Time Central Space) [3] :
𝑓 𝑖 𝑛+1 −𝑓 𝑖 𝑛 ∆𝑡 = −𝑣 𝑓 𝑖+1 𝑛 −𝑓 𝑖 𝑛 2∆𝑥 (8)
Selain  dengan  metode  Euler  FTCS,  pemodelan  tsunami  juga  dilakukan  oleh  Imamura dengan menggunakan metode upwind yang hampir mirip dengan metode Euler FTCS [6] .
Dutykh dalam penelitiannya menyebutkan bahwa keberlangsungan tsunami terdiri dari tiga tahap yaitu sumber pembangkit tsunami, penjalaran dan penggenangan. Bagian yang tersulit adalah  penggenangan [7] .  Hal  ini  terutama  pada  saat  memodelkan  bagaimana  gelombang tersebut  hancur  pada  saat  mencapai  batas  pinggir  pantai  karena  berhubungan  dengan bathymetri dan tipe coastline nya. Sedangkan untuk bagian penjalaran hanya berhubungan dengan  permasalahan  gelombang  tsunami  yang  terkadang  melibatkan  berbagai  macam asumsi di dalamnya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan tsunami pada papper ini merupakan pemodelan sederhana dengan menggunakan persamaan differensial parsial hiperbolik metode Euler FTCS dan belum memperhitungkan faktor  bathymetri  dan  tipe  coastline  nya.  Persamaan  gelombang  yang  dipilih  adalah persamaan  gelombang  sinusiodal  hiperbolik  berdasarkan  Shaw  dan  Chakraverty  dengan sedikit  modifikasi [4] .  Pemodelan  dilakukan  dengan  menggunakan  bahasa  pemograman Matlab baik untuk tampilan 1-D maupun 2-D sebagai berikut :
Gambar  5. ( Color  Online ) Model  gelombang  tsunami  1-D  berdasarkan  Shaw  dan  Chakraverty  dengan  sedikit modifikasi [4]
(a) (b) (c)
Gambar 6 . ( Color Online ) Model penyebaran gelombang tsunami dari waktu ke waktu (a) sampai dengan (c) berdasarkan Shaw dan Chakraverty dengan sedikit modifikasi [4]
Warna pada Gambar 5 dan Gambar 6 merupakan tinggi gelombang tsunami dimana warna merah  mempunyai  nilai  tertinggi  dan  biru  mempunyai  nilai  terendah.  Pada  Gambar  6 diasumsikan terjadi tsunami di  selatan Jawa dan  dapat  dilihat bagaimana  persebaran dari gelombang  tsunami  tersebut  sampai  dengan  batas  waktu  yang  telah  ditentukan.  Dengan memperlebar  batasan  spasial  dan  memperpanjang  durasi  waktu,  dapat  dilihat  persebaran gelombang dengan lebih luas lagi.
Berdasarkan Gambar 5 dan Gambar 6 pula, dapat diketahui bahwa salah satu manfaat dari persamaan  differensial  parsial  adalah  dapat  menggambarkan  persebaran  dari  dinamika fluida baik dari segi ruang maupun waktu. Selain dapat bermanfaat untuk menunjang ilmu pengetahuan  yang  berbasis  komputasi,  juga  dapat  diaplikasikan  dalam  dunia  mitigasi bencana.

## KESIMPULAN
Permasalahan yang berhubungan dengan proses dinamika fluida dapat digambarkan dengan mudah  menggunakan  persamaan  differensial  parsial,  salah  satunya  adalah  persamaan differensial parsial hiperbolik. Penyebaran gelombang tsunami secara sederhana baik untuk tampilan  1-D  dan  2-D  dapat  digambarkan  baik  dari  segi  ruang  maupun  waktu.  Hal  ini bermanfaat  dalam  proses  mitigasi  bencana  terlebih  lagi  jika  ditambahkan  dengan  faktor geologi seperti kondisi bathymetri dan tepi coastline nya.

## DAFTAR PUSTAKA
1 InaTEWS  BMKG,  2012. Pedoman  Pelayanan  Peringatan  Dini  Tsunami .  Jakarta: BMKG.
2 Ilyas,  T.  2006.  Mitigasi  Gempa  dan  Tsunami  Daerah  Perkotaan. Seminar  Bidang Kerekayasaan. Fatek-Unsrat, 1-23.
3 Hoffmann, K. A. 1993. Computational Fluid Dynamics for Engineers. The University of Texas at Austria.
4 Shaw,  H.  S.  &  Chakraverty,  S.  2014.  Numerical  Modelling  Tsunami  Wave  Equation . Thesis , Department of Mathematics Nit Rourkela, Rourkela-769 008.
5 Rezolla, L. 2011. Numerical Methods for the Solution of Partial Differential Equation. Albert-Einstei  Institute,  Max-Planck-Institiute  for  Gravitational  Physics,  Postdam, Germany.
6 Imamura, F., Yalciner, A. C. & Ozyurt G. 2006. Tsunami Modelling Manual (Tsunami Model). Tohoku University and Middle East Technical Unviersity
7 Dutykh, D. 2008. Mathematical Modelling of Tsunami Waves. HAL archives-ouvertes. Centre de Math´ematiques et de Leurs Applications ENS CACHAN/CNRS/UMR 8536. France.