## ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR)
MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI  MAKSIMISASI  (EM)
Mika Asrini 1 , Winita Sulandari 2 , Santoso Budi Wiyono 3
1 Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNS
2 Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA UNS
3 Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA UNS

## Abstract
Mixture  autoregressive  (MAR)  Model    is  a  mixture  of Gaussian  autoregressive  (AR) components.      The  mixture  model  is  capable  for  modelling    of  nonlinear  time  series  with multimodal conditional distributions.  This paper discusses about the parameters estimation  using EM algorithm. All possible models are then applied to national maize production data.  In this case, the BIC is used for the MAR model selection.
Keywords : Mixture Autoregressive, EM Algorithm, BIC, Maize Production

## 1. Pendahuluan
Peramalan  runtun  waktu  merupakan  suatu  peramalan  yang  didasarkan  pada  data masa  lalu  dalam  variabel  yang  sama.  Dalam  hal  ini,  serangkaian  data  masa  lalu dikumpulkan, dan dianalisis untuk  membangun suatu model  yang dapat  mendeskripsikan hubungan antara data yang berurutan.  Model yang terbentuk selanjutnya digunakan untuk ekstrapolasi  data  yang  akan  datang.  Model  peramalan  yang  paling  populer  dan  relatif sering  digunakan  adalah  model ARIMA ( autoregressive  integrated  moving  average ). Model  yang  dipopulerkan  oleh  Box  and  Jenkins  (1970)  ini,    mampu  mewakili  beberapa model runtun waktu yang lain, seperti AR ( autoregressive ), MA ( moving average ), ARMA , bahkan exponential  smoothing [4] .    Model ARIMA disajikan  sebagai  fungsi  linear  dari beberapa  data  masa  lalu  dan  eror  random.  Oleh  karena  itu,    model  ini    tidak  mampu menangkap  pola  nonlinear  dalam  data.  Sementara  itu,  tidak  semua  data  runtun  waktu bersifat linier terhadap nilai pengamatan yang lalu.
Wong  and  Li  (2000)  memperkenalkan  model mixture  autoregressive ( MAR )  yang merupakan model runtun waktu nonlinier. Model MAR merupakan gabungan dari beberapa komponen  Gaussian autoregressive ( AR ).  Kelebihan  dari  model  ini  yaitu  pada kemampuannya  dalam  mengatasi  sifat  kemiringan  data,  leptokurtik,  platikurtik,  serta multimodal.
Menurut Wei (2006) metode yang dapat digunakan untuk estimasi parameter model AR adalah  metode  maksimum likelihood ,  karena  praktis  digunakan  untuk  mendapatkan nilai  parameter  yang  tak  bias  dan  bervariansi  minimum.  Meskipun  model  Model MAR merupakan model gabungan AR , namun  parameternya tidak bisa diestimasi menggunakan maksimum likelihood secara  langsung.  Menurut  Wong  and  Li  (2000)  parameter  model MAR dapat  diestimasi  menggunakan  algoritma  ekspektasi  maksimisasi  (EM).  Algoritma yang  diperkenalkan  oleh  Dempster,  Laird,  and  Rubin(1977)  ini  digunakan  untuk menentukan nilai estimasi maksimum likelihood data gabungan. Ada dua tahap yang harus dilakukan dalam algoritma EM yaitu tahap ekspektasi dan tahap maksimisasi.
Artikel  ini  menjelaskan  kembali  mengenai  estimasi  parameter  model MAR menggunakan  algoritma  EM  dan  selanjutnya  diterapkan  pada  data  produksi  jagung nasional. Data  ini dipilih karena memiliki pola nonlinier dan multimodal.
2. Model Mixture Autoregressive (MAR)
Model mixture  autoregressive ( MAR )  dengan komponen  dinotasikan  dengan dan  didefinisikan sebagai untuk (1) dengan: : fungsi distribusi kumulatif jika diketahui
: informasi pada waktu
: fungsi densitas probabilitas distribusi normal standar
: distribusi kumulatif normal standar
: deviasi standar masing-masing komponen ke
: proporsi masing-masing komponen gabungan ke
: orde AR komponen ke – k .

## 3. Estimasi Parameter Model MAR
Langkah  pertama  yang  harus  dilakukan  untuk  mengestimasi  parameter  dalam model MAR adalah  menentukan  fungsi  kepadatan  probabilistik  model MAR. Misalkan adalah  data  terobservasi  yang  dibangkitkan  dari  model  MAR  pada persamaan  (2.1),  sedangkan
adalah  variabel  random  tidak
terobeservasi dengan adalah vektor berdimensi K dengan ketentuan sebagai berikut
Jika merupakan  data  lengkap,    fungsi  kepadatan  probabilistik  model MAR untuk data lengkap yaitu
Langkah  selanjutnya  adalah  membentuk  fungsi likelihood dari  persamaan  (2).  Jika adalah  variabel  random  dengan  fungsi  kepadatan  peluang
dengan , maka fungsi likelihood data lengkap adalah
,
sehingga diperoleh fungsi log- likelihood
Turunan pertama (3) terhadap dijelaskan sebagai berikut.
a. Penurunan (3) terhadap parameter
Oleh karena , sehingga diperoleh
b. Penurunan (3) terhadap c. Penurunan (3) terhadap
d. Penurunan (3) terhadap .
Algoritma  EM  digunakan  untuk  mengestimasi  parameter dengan  cara memaksimalkan fungsi log- likelihood (3) melalui tahap ekspektasi dan tahap maksimisasi. Berikut ini adalah prosedur dalam EM.
(4)
(5)
(6)
(7)
a. Tahap ekspektasi. Misal diketahui. Ekspektasi bersyarat komponen  ke– k dari merupakan  probabilitas  bersyarat  bahwa berasal  dari    observasi  berasal  dari komponen  ke- k dari  distribusi  gabungan,  bersyarat  pada dan .  Misalkan menyatakan ekspektasi bersyarat komponen ke- k dari , persamaan adalah b. Tahap  maksimisasi.  Nilai  estimasi  parameter
dapat
ditentukan  dengan  cara  memaksimalkan  fungsi  log- likelihood (3),  dengan  cara menyamadengankan    persamaan  (4)  –  (7)  dengan  nilai  0.  Berdasarkan  persamaan (4), diperoleh
dan dari persamaan (5) dan (6) diperoleh
dan
Berdasarkan persamaan (8) dan (9)  diperoleh
dengan
,
dan
Selanjutnya dapat ditentukan berdasarkan (7), yaitu

## sehingga diperoleh
Parameter dapat diestimasi dengan cara mengulangi kedua tahap di atas hingga diperoleh nilai yang konvergen.
Dalam artikel ini, kriteria informasi yang digunakan untuk menentukan model MAR yang  paling  sesuai  adalah Bayes    Information    Criterion ( BIC ).    Penghitungan  nilai BIC mengacu pada Schwarz (1978), yaitu
dengan adalah orde AR maksimal dari keseluruhan K komponen.

## 4. Contoh Kasus
Model MAR diterapkan  pada  produksi  jagung  nasional  tahun  1970-2012  (dalam ton).  Data  diambil  dari  Basis  Data  Statistik  Pertanian,  Kementerian  Pertanian  Republik Indonesia untuk tahun 1970 – 2009 dan Badan Pusat Statistik untuk tahun 2010 - 2012.
Gambar 1. Grafik (kiri) dan histogram (kanan) data produksi jagung nasional 1970-2000
Berdasarkan  grafik  dan  histogram  pada  Gambar  1  dan  diperkuat  dengan  uji  linearitas Harvey-Collier (Kraemer and Sonnberger, 1986)  menggunakan software R dapat  diambil kesimpulan  bahwa  data  produksi  jagung  memiliki  pola  nonlinear,  nonstasioner,    dan multimodal.  Dengan demikian,  model MAR yang  mungkin adalah MAR (2;1,1) dan MAR (3;1,1,1) tanpa konstanta untuk data terdiferensiasi 1. Model MAR (2;1,1)  dengan
memberikan  nilai BIC 591,9099 dan  model MAR (3;1,1,1)  dengan memberikan  nilai BIC 594,5290, sehingga model MAR (2;1,1)  dianggap sebagai model yang lebih sesuai. Berdasarkan hasil perhitungan  menggunakan software Ms  Excel diperoleh  nilai  estimasi  parameter adalah
.
Nilai  ini  merupakan  estimasi  parameter  untuk  data  terdiferensiasi  1,  untuk  itu  perlu dilakukan transformasi kembali ke dalam data awal (semula)  yaitu
sehingga  diperoleh model MAR untuk dua komponen adalah
Dengan  demikian  nilai  peramalan  produksi  jagung  nasional  satu  periode  ke  depan,  yaitu untuk  tahun  2013  pada  interval  kepercayaan  95%  adalah  antara  17994193,88    hingga 18592912,94 ton.

## 5. Kesimpulan
Model MAR dapat digunakan  untuk memodelkan data runtun waktu yang nonlinier dan  multimodal . Oleh  karena  model MAR adalah  model  gabungan,  maka  estimasi parameter  dilakukan  dengan  menggunakan  algoritma  EM.  Proses  estimasi  parameter model MAR diawali  dengan  identifikasi  model  dan  inisiasi  parameter.  Identifikasi  model merupakan  tahap  penentuan  komponen  dan  orde  pada  setiap  komponennya.  Sedangkan inisiasi  parameter  adalah  penentuan  nilai  awal  parameter  secara  sembarang.  Selanjutnya ditentukan  fungsi  log- likelihood dari  model  gabungan  yang  terdiri  dari  data  terobservasi dan data hilang. Misalkan
adalah data terobservasi,
merupakan  data  hilang,  dan
merupakan  data  lengkap.  Nilai  parameter  dapat dilakukan  dengan  maksimum  log- likelihood, untuk  mendapatkan  nilai  yang  maksimum digunakan  algoritma  EM  yang  memiliki  dua  tahap  inti  yaitu  tahap  ekspektasi  dan maksimisasi

## DAFTAR PUSTAKA
1. Box, G., and Jenkins, G., Time Series Analysis: Forecasting and Control , Holden Day, San Francisco, 1994.
2. Dempster, A. P., Laird, N. M. and Rubin, D. B., Maximum Likelihood from Incomplete Data via the EM Algorithm, J. Royal Statistical Society, Series B , 1977, Vol. 39, No. 1: 1-38.
3. Kraemer, W. and Sonnberger, H. S., The Linear Model Regression Under Test , Physica- Verlag Heideberg Wien, 1986.
4. McKenzie, E. D., General Exponential Smoothing and The Equivalent ARMA process, Journal of Forecasting , 1984, Vol. 3: 333–344.
5. Schwarz, G., Estimating The Dimension of a Model, Ann. Statist ., 1978, Vol. 6, No. 2: 461-464.
6. Wei,  W.  W.  S., Time  Series  Analysis:  Univariate  and  Multivariate  Methods ,  Pearson Addison Wesley, 2006.
7.  Wong,  C.  S  and  Li,  W.  K.,  On  Mixture  Autoregressive  Model, J.  Royal  Statistical Society, Series B , 2000, Vol. 62, No. 1, 95-115.