## Syarat Derivasi Pada Near-Ring Prima Untuk Ring Komutatif
Derivation Requirements on Prime Near-Rings for Commutative Rings
Dian Winda Setyawati *) , Mochammad Reza Habibi, Komar Baihaqi Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya *Email: dian_ws_math@matematika.its.ac.id

## ABSTRACT
Near-ring is an extension of ring without having to fulfill a commutative of the addition operations and left distributive of the addition and multiplication operations. It has been found that some theorems related to a prime near-rings are commutative rings involving the derivation of the Lie products and the derivation of the Jordan product. The contribution of this paper is developing the previous theorem by inserting derivations to the Lie products and the Jordan product.
Keywords : Derivation, Prime Near-Ring, Lie Products and Jordan Products

## PENDAHULUAN
Suatu  himpunan dengan operasi  biner penjumlahan  dan  perkalian  berlaku  distributif kanan  belum  tentu  berlaku  distributif  kiri. Himpunan  bilangan  bulat ℤ dengan  operasi penjumlahan  dan  perkalian  biasa  berlaku distributif kiri dan distributif kanan sedangkan himpunan  bilangan  bulat ℤ dengan  operasi penjumlahan biasa dan operasi perkalian  yang didefinisikan . = untuk  setiap , ∈ ℤ berlaku  distributif  kanan  tetapi  tidak  berlaku distributif kiri. Near-ring
merupakan generalisasi  dari ring tanpa  harus  memenuhi komutatif terhadap penjumlahan dan distributif kiri  terhadap operasi  penjumlahan  dan perkalian.  Suatu  himpunan  tak-kosong dengan  dua  operasi  biner " + " dan ". " biasa dinotasikan dengan ( , +, . ) dinamakan near- ring jika memenuhi: ( , +) adalah grup, ( , . ) adalah semigrup  dan ( , +, . ) memenuhi distributif kanan (Pilz, 1983). Suatu near-ring dinamakan prima jika untuk setiap , ∈ berlaku
= {0}, maka berakibat = 0 atau
= 0 (Bell & Mason,  1987). Suatu homomorpisma  grup  pada near-ring
yaitu
: → dinamakan suatu derivasi bila untuk setiap , ∈ memenuhi ( ) = ( ) + ( ) atau ( ) = ( ) + ( ) ( Bell & Mason, 1997). Suatu hasil kali Lie dan hasil kali Jordan  pada near-ring masing – masing didefinisikan  sebagai [ , ] = − dan ⋄ = + , dengan , ∈ (Shang,
2011). Penelitian  yang  berhubungan  dengan derivasi  pada near-ring terus  mengalami perkembangan,  yaitu  mengenai  sifat  derivasi pada near-ring ,  eksistensi  derivasi  pada near- ring serta  syarat  derivasi near-ring agar
membentuk ring komutatif (Argac & Bell, 2001 ; Gotmare,  2016; Kamal & Al-Shaalan, 2013; Kamal & Al-Shaalan,  2014;  Shang, 2011). Pada  paper  Shang telah  diperoleh beberapa teorema  yang terkait suatu near-ring prima  merupakan ring komutatif  dengan melibatkan  derivasi  dari  hasil  kali  Lie dan derivasi dari hasil kali Jordan. Pada penelitian ini  akan  dikembangkan  teorema  pada  paper Shang  sehingga  terbentuk  teorema  baru mengenai  suatu near-ring prima  merupakan ring komutatif  dengan  melibatkan  derivasinya dengan  cara  memasukkan  derivasi  pada hasil kali Lie dan hasil kali Jordan

## METODE
Pada bagian ini  akan  diberikan  beberapa  teorema yang  mendukung  teorema  pada  paper Shang serta pada  bagian  hasil  dan  pembahasan. Pada near-ring secara umum tidak disyaratkan berlaku distributif kiri tetapi dengan kondisi tertentu berlaku distributif kiri sebagian seperti pada lemma berikut:
Lemma 1 (Bell & Mason, 1987) Misalkan adalah suatu  derivasi  pada near-ring maka  untuk  setiap , , ∈ berlaku : (i) ( ( ) + ( ) ) = ( ) + ( ) untuk setiap , , ∈ (ii) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) untuk setiap , , ∈
Sifat pada Lemma 1 dinamakan sifat distributif kiri sebagian. Suatu near-ring disebut simetri nol jika  setiap ∈
berlaku . 0 = 0 .  Himpunan bilangan  bulat ℤ dengan  operasi  penjumlahan  dan operasi  perkalian  biasa  maka (ℤ , +,∙) merupakan near ring simetri nol sedangkan himpunan bilangan bulat ℤ dengan  operasi  penjumlahan  biasa  dan perkalian yang didefinisikan: setiap , ∈ ℤ berlaku
. = maka (ℤ , +,∙) merupakan near  ring tetapi bukan  simetri  nol.  Teorema  berikut  menunjukkan eksistensi derivasi pada near –ring.
Teorema 1 (Kamal & Al-Shaalan, 2014) Suatu near- ring memuat suatu derivasi jika dan hanya jika adalah near-ring simetri nol
Pada  penelitian  ini  menggunakan  derivasi  pada near-ring sehingga near-ring yang  digunakan merupakan near-ring simetri nol. Misalkan near- ring maka ( ) didefinisikan  sebagai ( ) =
{ ∈ | = , ∀ ∈ }
Lemma 2 (Bell & Mason, 1997) Misalkan adalah suatu near-ring prima yang simetri nol . Jika terdapat suatu  derivasi  tak-nol
yang  memenuhi ( ) ⊂ ( ) , maka adalah suatu ring komutatif .
Akibat dari definisi ( ) dan definisi derivasi pada near-ring diperoleh lemma berikut:
Lemma 3 Misalkan adalah suatu near-ring simetri nol dan adalah  suatu  derivasi  pada . Jika ∈ ( ), maka ( ) ∈ ( ).
Dengan menggunakan definisi dari hasil kali Lie atau  hasil  kali  Jordan serta  menggunakan  sifat distributif  kanan  pada  operasi  penjumlahan  dan perkalian pada near-ring berlaku lemma berikut:
Lemma 4 Misalkan adalah suatu near-ring maka untuk setiap , ∈ dan ∈ ℕ berlaku :
(i) [ , ] = [ , ] (ii) ( ⋄ ) = ( ⋄ ) (iii) [ , ] = [ , ]
(iv) ( ⋄ ) = ( ⋄ )
Dengan menggunakan Teorema 1 dan teorema yang diperoleh paper Shang maka terbentuk teorema berikut ini:
Teorema 2 (Shang, 2011) Misalkan adalah suatu near-ring prima yang simetri nol. Jika terdapat suatu derivasi  tak-nol pada
dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi:
(i) ([ , ]) = [ , ] untuk setiap
, ∈
atau
(ii) ([ , ]) = − [ , ] untuk setiap , ∈ . maka adalah ring komutatif .
Teorema 3 (Shang, 2011) Misalkan adalah suatu near-ring prima yang simetri nol. Jika terdapat suatu derivasi  tak-nol pada
dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi:
(i) ( ⋄ ) = ( ⋄ ) untuk setiap , ∈
atau
(ii) ( ⋄ ) = − ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ maka adalah ring komutatif.
Terlihat  bahwa  syarat  derivasi  pada  Teorema  2 mengkaitkan derivasi dari hasil kali Lie dengan hasil kali  Lie  sedangkan  syarat  derivasi  pada  Teorema  3
mengkaitkan  derivasi  dari  hasil  kali  Jordan  dengan hasil kali Jordan .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema – teorema pada hasil dan pembahasan ini merupakan hasil pengembangan dari paper
Shang dengan memasukkan derivasi pada hasil kali Lie dan hasil kali Jordan. Dari definisi hasil kali Lie dan derivasi pada near-ring N yaitu derivasi : → maka ([ , ]) = ( ) + ( ) − ( ) − ( ) sedangkan [ , ( )] = ( ) − ( ) dan [ ( ), ] = ( ) − ( ) . Karena near-ring prima tidak harus memenuhi komutatif terhadap operasi penjumlahan maupun operasi perkalian  sehingga belum  tentu  berlaku ([ , ]) = [ , ( )] dan ([ , ]) = [ ( ), ] .  Terlihat  bahwa [ , ( )] dan
[ ( ), ] lebih sederhana dibandingkan dengan ([ , ]) . Dari Teorema 2 dapat dikembangkan teorema berikut:
Teorema 4 Misalkan
adalah suatu near -ring prima  yang  simetri  nol.  Jika  terdapat  suatu derivasi  tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi : (i) [ , ( )] = [ , ] untuk setiap , ∈ atau (ii) [ , ( )] = − [ , ] untuk  setiap
, ∈ . maka adalah ring komutatif.
Bukti:
(i) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi [ , ( )] = [ , ] untuk setiap , ∈ maka akan  dibuktikan ring  komutatif menggunakan Lemma 2 dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk k = 1, menurut Lemma 4, didapat [ , ] = [ , ] . Substitusi oleh diperoleh [ , ( )] = [ , ] [ , ( )] = [ , ] [ , ( )] = [ , ( )] (1) ( ) − ( ) = ( ( ) − ( ) ) (hasil kali Lie ) ( ) − ( ) = ( ) − ( ) (distributif kanan) ( ) + ( ) − ( ) + ( ) = ( ) − ( ) (definisi derivasi)
Memakai  Lemma 1 dan  sifat −( + ) =
− − maka
( ) + ( ) − ( ) − ( ) = ( ) − ( )
( ) − ( ) = 0 ( ) = ( ) (2) Untuk sebarang ∈ berlaku z ( ) = ( )
Substitusi oleh pada  persamaan  (2) diperoleh ( ) = ( ) sehingga diperoleh z ( ) = ( ) ( ) − z ( ) = 0 ( − ) ( ) = 0
(distributif kanan) [ , ] ( ) = 0 (hasil kali Lie) Karena  berlaku  untuk  setiap ∈ maka [ , ] ( ) = 0 untuk setiap , ∈ (3) Karena prima  maka  berlaku [ , ] = 0 atau
( ) = 0 .  Tetapi, adalah  derivasi tak-nol, maka  yang  memenuhi  adalah [ , ] = 0 atau
= untuk setiap , ∈ . Dengan kata lain
∈ ( ) untuk  setiap ∈ maka  menurut Lemma  3 diperoleh ( ) ∈ ( ) berakibat ( ) ⊂ ( ) sehingga  menurut Lemma  2 maka N adalah ring komutatif ∎ (ii) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi [ , ( )] = − [ , ] untuk setiap , ∈ maka  akan  dibuktikan
ring komutatif menggunakan  Lemma 2 dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk  k = 1, menurut  Lemma  4,  didapat [ , ] = [ , ] .
Substitusi oleh , diperoleh [ , ( )] = − [ , ] [ , ( )] = − [ , ] [ , ( )] = [ , ( )]
Selanjutnya  pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (1) ∎
Teorema 5 Misalkan adalah suatu near-ring prima  yang  simetri  nol.  Jika  terdapat  suatu derivasi  tak-nol pada
dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi: (i) [ ( ), ] = [ , ] untuk setiap
, ∈ atau
(ii) [ ( ), ] = − [ , ] untuk  setiap
, ∈ . maka adalah ring komutatif.
Bukti: (i) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi [ ( ), ] = [ , ] untuk  setiap , ∈
maka  akan  dibuktikan ring komutatif menggunakan  Lemma 2 dengan  kata  lain akan ditunjukkan bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk k  =  1,  menurut Lemma 4, didapat [ , ] = [ , ] . Substitusi oleh diperoleh [ ( ), ] = [ , ] [ ( ), ] = [ , ] [ ( ), ] = [ ( ), ] (4) ( ) − ( ) = ( ) − ( ) (hasil kali Lie) ( ) − ( ) = ( ) − ( ) (distributif kanan) ( ) + ( ) − ( ) + ( ) = ( ) − ( ) (definisi derivasi) Memakai Lemma 1 dan sifat −( + ) = − − maka ( ) + ( ) − ( ) − ( ) = ( ) − ( )
( ) − ( ) = 0 ( ) = ( ) (5) ( ) = ( ) Substitusi oleh pada persamaan (5) diperoleh ( ) = ( ) sehingga diperoleh ( ) = ( ) ( ) − ( ) = 0 ( − ) ( ) = 0 [ , ] ( ) = 0 Karena  berlaku  untuk  setiap ∈
maka [ , ] ( ) = 0 untuk setiap , ∈ Selanjutnya pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (3) Teorema 4 ∎ (ii) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang  memenuhi [ ( ), ] = − [ , ] untuk setiap , ∈ maka  akan  dibuktikan ring  komutatif menggunakan Lemma 2 dengan kata lain akan ditunjukkan  bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk k  =  1,  menurut  Lemma 4 didapat [ , ] =
[ , ] . Substitusi oleh , diperoleh [ ( ), ] = − [ , ] [ ( ), ] = − [ , ] [ ( ), ] = [ ( ), ] (6) Selanjutnya pembuktian mengikuti bukti pada persamaan (4) ∎
Dari  definisi  hasil  kali  Jordan  dan derivasi pada near- ring N yaitu derivasi
: → maka ( ⋄ ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) sedangkan ⋄ ( ) = ( ) + ( ) dan ( ) ⋄ = ( ) + ( ). Terlihat  bahwa ⋄ ( ) dan ( ) ⋄ lebih  sederhana
dibandingkan dengan ( ⋄ ) . Pada Teorema 3 dapat dikembangkan teorema berikut:
Teorema 6 Misalkan
adalah suatu near-ring prima  yang  simetri  nol.  Jika  terdapat  suatu derivasi  tak-nol pada
dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi : (i) ⋄ ( ) = ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈ atau
(ii) ⋄ ( ) = − ( ⋄ )
untuk  setiap
, ∈ .
maka adalah ring komutatif.

## Bukti :
(i) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang  memenuhi ⋄ ( ) = ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ maka  akan  dibuktikan ring  komutatif menggunakan Lemma 2 dengan kata lain akan ditunjukkan  bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk k = 1, menurut  Lemma 4 didapat ( ⋄ ) =
( ⋄ ) . Substitusi oleh diperoleh ⋄ ( ) = ( ⋄ )
⋄ ( ) = ( ⋄ ) ⋄ ( ) = ( ⋄ ( )) (7) ( ) + ( ) = ( ( ) + ( ) ) (hasil kali Jordan) ( ) + ( ) = ( ) + ( )
(distributif kanan) ( ) + ( ) + ( ( ) + ( ) ) = ( ) + ( )
(definisi derivasi) Memakai  Lemma 1 dan  distributif  kanan maka diperoleh ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) =0 ( ) = − ( ) (8) Substitusi oleh pada persamaan (8) dan untuk setiap ∈
( ) = − ( ) ( ) = (− ) ( ) ( ) = (− )(− ( )) (dari (8)) ( ) = (− )(− ) ( ) Substitusi oleh − pada persamaan
− (− ) = (− ) (− ) − (− ) + (− ) =0
(− ) = (− ) (− ) −
(− ) = 0 ( − ) (− ) = 0 (distributif  kanan) [ , ] (− ) = 0 ( hasil kali Lie )
Karena berlaku untuk setiap ∈ maka [ , ] (− ) = 0 untuk setiap , ∈ Selanjutnya  pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (3) Teorema 4 ∎ (ii) Misalkan  terdapat  derivasi  tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang  memenuhi ⋄ ( ) = − ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ maka  akan  dibuktikan ring komutatif menggunakan Lemma 2 dengan kata lain  akan  ditunjukkan  bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk  k  =  1,  menurut  Lemma  4,  didapat ( ⋄ ) = ( ⋄ ) . Substitusi oleh
diperoleh
⋄ ( ) = − ( ⋄ ) ⋄ ( ) = − ( ⋄ ) ⋄ ( ) = ( ⋄ ( ))
Selanjutnya  pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (7) ∎
Teorema 7 Misalkan adalah suatu near-ring prima  yang  simetri  nol.  Jika  terdapat  suatu derivasi  tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang memenuhi: (i) ( ) ⋄ = ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈ atau
(ii) ( ) ⋄ = − ( ⋄ )
untuk  setiap
, ∈ . maka N adalah ring komutatif.
Bukti:
(i) Misalkan  terdapat  derivasi  tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang  memenuhi ( ) ⋄ = ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈ maka  akan  dibuktikan ring  komutatif menggunakan Lemma 2 dengan kata lain akan ditunjukkan  bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk k  =  1,  menurut  Lemma 4,  didapat ( ⋄ ) = ( ⋄ ) . Substitusi oleh diperoleh
( ) ⋄ = ( ⋄ ) ( ) ⋄ = ( ⋄ ) ( ) ⋄ = ( ( ) ⋄ ) (9) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) (hasil kali Jordan) ( ) + ( ) = ( ) + ( )
(distributif kanan)
( ) + ( ) + ( ( ) + ( ) ) = ( ) + ( )
(definisi derivasi)
Memakai Lemma 1 dan distributif kanan maka
( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = 0 ( ) = − ( ) (10) Substitusi oleh dan oleh – pada persamaan diatas (− )(− ) + (− ) (− ) = 0 (− ) + (− ) (− ) = 0 (dari (10))
( − ) (− ) =0 (distributif  kanan)
[ , ] (− ) =0
Karena berlaku untuk setiap ∈ maka [ , ] (− ) = 0 untuk setiap , ∈ Selanjutnya  pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (3) Teorema 4 ∎ (ii) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang  memenuhi ( ) ⋄ = − ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ maka  akan  dibuktikan ring komutatif menggunakan Lemma 2 dengan kata lain  akan  ditunjukkan  bahwa ( ) ⊂ ( ). Untuk k  =  1,  menurut  Lemma  4,  didapat ( ⋄ ) = ( ⋄ ) . Substitusi oleh diperoleh ( ) ⋄ = − ( ⋄ ) ( ) ⋄ = − ( ⋄ ) ( ) ⋄ = ( ( ) ⋄ )
Selanjutnya  pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (9) ∎ Pada  contoh  berikut  ini  menunjukkan bahwa near-ring prima yang simetri nol dengan derivasi yang memenuhi syarat pada  Teorema 4 membentuk ring komutatif.

## Contoh 1
Diberikan  himpunan  polinomial ℤ[ ] disertai dengan  operasi  penjumlahan  dan  perkalian polinomial  biasa  maka (ℤ[ ], +,∙) merupakan near  ring prima  yang  simetri  nol.  Pemetaan ∶ ℤ[ ] → ℤ[ ] yang didefinisikan ( ) = ( ) merupakan  pemetaan  derivasi dan memenuhi [ ( ), ( ( ))] = [ ( ), ( )]
sehingga menurut Teorema 4 maka (ℤ[ ], +,∙)
ring komutatif. Selanjutnya  diberikan  definisi  2-torsion free dan sifat khusus yang dipunyai jika near - ring adalah 2-torsion free. Suatu near-ring disebut  2-torsion  free  jika  setiap ∈
yang memenuhi 2 = 0 maka = 0 . Pada himpunan bilangan bulat ℤ terhadap operasi penjumlahan dan operasi  perkalian  biasa  merupakan near- ring yang  2-torsion  free  sedangan himpunan polinomial ℤ [ ] disertai  dengan  operasi penjumlahan  dan  perkalian  polinomial  biasa merupakan near-ring yang bukan 2-torsion free.
Teorema  berikut  akan  diberikan  suatu  kondisi pada  derivasi  apabila  near-ring  merupakan 2-torsian free.
Teorema 8 Misalkan adalah suatu near-ring prima yang simetri nol dan 2-torsion free maka untuk  setiap , ∈ ℕ ∪ {0} , tidak    terdapat derivasi tak-nol pada yang memenuhi (i) ⋄ ( ) = ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈ (ii) ⋄ ( ) = − ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈
Bukti :
(i) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada N yang memenuhi ⋄ ( ) = ( ⋄ ) untuk setiap
, ∈ maka  menurut  Teorema  6 N
adalah ring komutatif.  Dari  Teorema 6 persamaan (8) diperoleh ( ) = − ( ) (11) ( ) + ( ) =0 2 ( ) = 0
Karena N merupakan  2-torsion  free  maka ( ) = 0 ,  untuk  setiap , ∈ akibatnya ( ) = 0, untuk setiap ∈
Karena  N  prima  maka  berlaku = 0 atau ( ) = 0. Tetapi, d adalah  derivasi  tak-nol maka  yang  memenuhi  adalah = 0 untuk setiap ∈ . Jika = 0 untuk setiap ∈ maka  kontradiksi dengan  adanya  derivasi  tak- nol . Jadi tidak  terdapat  derivasi  yang demikian. ∎ (ii) Analog dengan pembuktian pada Teorema 8 (i) dan Teorema 6 (ii) maka terbukti ∎ Teorema 9 Misalkan adalah suatu near-ring prima yang simetri nol dan 2-torsion free maka untuk  setiap
, ∈ ℕ ∪ {0} , tidak  terdapat derivasi tak-nol d pada yang memenuhi (i) ( ) ⋄ = ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈
(ii) ( ) ⋄ = − ( ⋄ ) untuk  setiap
, ∈ .
Bukti:
(i) Misalkan terdapat derivasi tak-nol pada N yang memenuhi ( ) ⋄ = ( ⋄ ) untuk setiap
, ∈ .  Maka  menurut  Teorema  7 N adalah ring komutatif.  Dari  Teorema 7 persamaan (10) diperoleh ( ) = − ( ) Substitusikan
oleh dan oleh sehingga diperoleh
( ) = − ( )
Selanjutnya  pembuktian  mengikuti  bukti  pada persamaan (11) Teorema 8 ∎
(ii) Analog dengan pembuktian pada Teorema 9
(i) dan Teorema 7 (ii) maka terbukti. ∎ Dari Teorema 8 dan Teorema 9, apabila adalah suatu near-ring prima yang simetri nol dan  2-torsion  free  maka  untuk  menunjukkan bahwa merupakan ring komutatif tidak dapat menggunakan Teorema 6 dan Teorema 7 tetapi dapat menggunakan Teorema 4 dan Teorema 5.

## KESIMPULAN
Pada  bagian  hasil  dan  pembahasan  telah diperoleh teorema baru sebagai berikut:
(1) Misalkan adalah suatu near-ring prima yang  simetri  nol.  Jika  terdapat  suatu derivasi tak-nol pada dan , ∈ ℕ ∪ {0} yang  memenuhi  salah  satu  dari persamaan berikut :
(i) [ , ( )] = [ , ] untuk  setiap
, ∈
(ii) [ , ( )] = − [ , ]
untuk
setiap , ∈
(iii) [ ( ), ] = [ , ] untuk  setiap
, ∈ atau
(iv) [ ( ), ] = − [ , ] untuk setiap , ∈
(v) ⋄ ( ) = ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ atau (vi) ⋄ ( ) = − ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ . (vii) ( ) ⋄ = ( ⋄ ) untuk setiap
, ∈ atau
(viii) ( ) ⋄ = − ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ .
maka N adalah ring komutatif .
(2) Misalkan adalah suatu near-ring prima yang simetri nol dan 2-torsion free maka untuk setiap , ∈ ℕ ∪ {0} , tidak  terdapat derivasi tak-nol pada yang memenuhi (i) ⋄ ( ) = ( ⋄ ) untuk  setiap , ∈ (ii) ⋄ ( ) = − ( ⋄ ) untuk setiap , ∈ (iii) ( ) ⋄ = ( ⋄ ) untuk  setiap
, ∈
(iv) ( ) ⋄ = − ( ⋄ ) untuk
setiap
, ∈
.

## DAFTAR PUSTAKA
Argac, N & Bell. H. E. 2001. Some Results on Derivations  in  Nearrings. Near-Rings  and Near-Fields : 42–46. Bell, H. E. & Mason, G. 1987. On Derivations in  Near-Rings North-Holland  Math.  Stud.
37:31–35.
Bell, H. E. & Mason, G. 1997. On Derivations in  Near-Rings,  II. Nearrings,  Nearfields and K-Loops : 191–197 Gotmare, A. R. 2016. Derivations in Prime Near Rings. Int. J. Pure Engg. Math. 4:101-105. Kamal, A.  A.  M & Al-Shaalan, K.  H.  2013. Existence  of Derivations  on  Near-Rings. Math. Slovaca . 63:431-448
Kamal,  A.  A.  M & Al-Shaalan,  K.  H.  2014. Commutativity  of  Near-rings  with Derivations. Algebr. Colloq. 21:215-230 Pilz, G.  1983. Near-Rings  the  Theory  and  its Applications .  Amsterdam:  North-Holland Publishing Company Shang,  Y.  2011.  A  Study  of  Derivations  in Prime Near-Rings. Math. Balk. 25 :413-417