J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 1, May 2007, 17–25

## Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real
Bambang Sugandi 1 dan Erna Apriliani 2
1 Jurusan Matematika, FMIPA Unibraw, Malang bamsugan@brawijaya.ac.id
2 Jurusan Matematika, FMIPA ITS, Surabaya april@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Diberikan suatu himpunan bilangan real Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } . Jika ter- dapat matriks nonnegatif simetri A n × n dengan spektrum Λ, maka spektrum dapat direalisasikan oleh matriks A . Pada makalah ini ditunjukkan bahwa eksistensi matriks nonnegatif simetri A ditentukan dengan menggunakan kri- teria realisasi. Selanjutnya, matriks nonnegatif simetri dapat dikonstruksi dengan menggunakan jumlah langsung. Disini diberikan sebuah contoh kon- struksi matriks nonnegatif simetri.
Kata Kunci: konstruksi, realisasi, spektrum, matriks nonnegatif simetri

## 1. Pendahuluan
Konstruksi matriks nonnegatif simetri dengan spektrum bilangan real adalah ta- hapan pembentukan matriks nonnegatif simetri, jika diberikan spektrumnya beru- pa bilangan real. Konstruksi matriks dapat dilakukan jika kriteria realisasi matriks dipenuhi.
Dalam R.Soto [5], dikemukakan tentang realisasi matriks nonnegatif dengan spektrum bilangan real, yang isinya menyangkut syarat cukup untuk keberadaan
matriks nonnegatif dengan spektrum bilangan real. Sedangkan dalam R.Soto [6], dikemukakan tentang realisasi matriks nonnegatif simetri, yang menjelaskan mengenai berlakunya syarat cukup [5] untuk matriks nonnegatif simetri dan kon- struksinya.
Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai kontruksi matriks nonnegatif simetri dengan spektrum bilangan real. Diberikan beberapa lemma dari M.Fiedler [2] yang sangat mendukung dalam penyelesaian konstruksi. Diberikan juga contoh konstruksi matriks nonnegatif dari spektrum bilangan real.

## 2. Beberapa Definisi dan Lemma
Pada bab ini diberikan beberapa definisi dan lemma yang berkaitan dengan kon- struksi suatu matriks, antara lain spektrum matriks, realisasi matriks, jumlah langsung serta beberapa lemma
Definisi 2.1 Spektrum Matriks Misalkan λ 1 , λ 2 , · · · , λ n adalah nilai-nilai eigen matriks A dengan orde n . Maka spektrum dari A yang dinyatakan dengan Λ( A ) adalah himpunan semua nilai- nilai eigen dari A , atau Λ( A ) = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } . Jika A merupakan matriks simetri dengan unsur real, maka nilai-nilai eigennya bilangan real, sehingga Λ( A ) merupakan sebuah himpunan bilangan real [1, 3].
Definisi 2.2 Realisasi Matriks
Misalkan Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } suatu himpunan bilangan real dengan λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ p ≥ λ p +1 ≥ · · · ≥ λ n , akan ditentukan matriks nonnegatif A n × n sedemikian sehingga Λ merupakan spektrum dari A . Jika terdapat matriks nonnegatif A n × n dengan spektrum Λ , maka dikatakan bahwa Λ direalisasikan oleh A [6].
Definisi 2.3 Jumlah Langsung Matriks
Suatu matriks A n × n blok diagonal adalah suatu partisi matriks A = ( A ij ) , dengan: i. setiap A ii merupakan matriks bujur sangkar
ii. Jika i 6 = j , A ij merupakan matriks yang semua elemen-elemennya 0 .
Jika A = ( A ij ) adalah blok diagonal, maka A merupakan jumlah langsung dari A 11 , A 22 , · · · , A tt atau A = A 11 L A 22 L · · · L A tt .[7]
Di bawah ini akan diberikan beberapa lemma penting yang sangat mendukung untuk pembuktian teorema maupun konstruksi matriks nonnegatif simetri.
Lemma 2.4 [2] Misalkan A suatu matriks simetri n × n dengan nilai eigen λ 1 , λ 2 , · · · , λ n . Mi- salkan v , k v k = 1 , merupakan vektor eigen satuan dari A yang berkaitan dengan λ 1 . Misalkan B suatu matriks simetri m × m dengan nilai eigen β 1 , β 2 , · · · , β m . Misalkan u , k u k = 1 merupakan vektor eigen satuan dari B yang berkaitan dengan β 1 , maka untuk sembarang ρ , matriks
C = µ A ρu v T ρu v T B ¶
mempunyai nilai eigen λ 2 , · · · , λ n , β 2 , · · · , β m , γ 1 , γ 2 dimana γ 1 dan γ 2 meru- pakan nilai eigen dari matriks
C = µ α 1 ρ ρ β 1 ¶
Lemma 2.5 [2] Jika { α 1 , α 2 , · · · , α n } ∈ S n , { β 1 , β 2 , · · · , β m } ∈ S m dan ε ≥ max { 0 , β 1 − α 1 } maka { α 1 + ε, β 1 − ε, α 2 , · · · , α n , β 2 , · · · , β m } ∈ S n + m .
Lemma 2.6 [2] Jika Λ = { λ 0 , λ 1 , · · · , λ n − 1 } ∈ S n , dan ε > 0 , maka { α 0 + ε, α 1 , · · · , α n − 1 } ∈ S n .

## 3. Kriteria Realisasi Matriks Nonnegatif Simetri
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa kriteria realisasi pada Teorema 3.1 merupakan syarat cukup untuk keberadaan matriks nonnegatif simetri dengan spektrum Λ.
Teorema 3.1 [6] Misalkan Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } merupakan himpunan bilangan real sedemikan se- hingga λ 1 ≥ λ 1 ≥ · · · λ p ≥ 0 ≥ λ p +1 ≥ · · · ≥ λ n . Jika Λ memenuhi kri- teria realisasi yang diberikan dalam [5], yaitu λ 1 ≥ − λ n − P S k < 0 S k , dengan S k = λ k + λ n − k +1 , k = 2 , 3 , · · · , [ n 2 ] dan S n +1 2 = min { λ n +1 2 , 0 } untuk n ganjil, maka Λ direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri A berorde n × n .

## Bukti:
Misalkan Λ memenuhi kriteria realisasi, yaitu λ 1 ≥ − λ n − P S k < 0 S k dengan S k = λ k + λ n − k +1 , k = 2 , 3 , · · · , [ n 2 ] dan S n +1 2 = min { λ n +1 2 , 0 } untuk n ganjil. Cukup dibuktikan untuk λ 1 = − λ n − P S k < 0 S k , karena, jika λ 1 = − λ n − P S k < 0 S k dengan µ 1 = − λ n − P S k < 0 S k maka dapat diambil Λ = { µ 1 , λ 2 , · · · , λ n } . Jadi,
jika Λ ∈ S n maka dengan menggunakan Lemma 2.6, ε = λ 1 − µ 1 > 0 menunjukkan bahwa Λ ∈ b S n .
Misalkan Λ k = { λ k , λ n − k +1 } ; k = 1 , 2 , · · · , [ n 2 ] dan Λ n +1 2 = { λ n +1 2 } untuk n ganjil. Dengan [ n 2 ] adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan n 2 .
Selanjutnya, bentuk partisi berikut, Λ = S [ n/ 2] k =1 Λ k untuk n genap, dan Λ = S [ n/ 2] k =1 Λ k ∪ Λ n +1 2 untuk n ganjil. Maka ada subset Λ k yang dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri
B k = 1 2 µ λ k + λ n − k +1 λ k − λ n − k +1 λ k − λ n − k +1 λ k + λ n − k +1 ¶
Sehingga subset-subset Λ k di atas dapat dibagi dalam tiga kelompok yaitu:
a. Subset-subset Λ k yang dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri B k , atau S k ≥ 0.
b. Subset Λ 1 = { λ 1 , λ n } yang merupakan subset yang dapat direalisasikan oleh B 1 .
c. Subset-subset Λ k yang tidak dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri B k , atau S k < 0
Masing-masing kelompok dapat dijelaskan sebagai berikut:
a. Susun subset-subset Λ k dengan S k ≥ 0, yang dinyatakan dengan Λ t +1 , · · · , Λ [ n 2 ] adalah subset-subset yang dapat direalisasikan. Selanjutnya, jika terdapat suatu subset Λ k yang dapat direalisasikan oleh matriks B k maka jumlah langsungnya berlaku:
i. untuk n genap, B = L [ n 2 ] k = t +1 B k adalah matriks nonnegatif simetri yang merealisasi Λ = S [ n 2 ] k = t +1 Λ k , atau ii. untuk n ganjil B = L [ n 2 ] k = t +1 B k L B n +1 2 dengan B n +1 2 = ( λ n +1 2 ), ji- ka λ n +1 2 ≥ 0 adalah matriks nonnegatif simetri yang merealisasi Λ = S [ n 2 ] k = t +1 Λ k ∪ Λ n +1 2 .
b. Subset Λ 1 = { λ 1 , λ n } adalah subset yang dapat direalisasikan oleh B 1 ,
B 1 = 1 2 µ λ 1 + λ n λ 1 − λ n λ 1 − λ n λ 1 + λ n ¶
c. Susun subset-subset Λ k dengan S k < 0, yang dinyatakan dengan Λ 2 , Λ 3 , · · · , Λ t , t ≤ [ n 2 ] adalah subset-subset yang tak dapat direalisasikan. Jika terdapat suatu subset Λ k , untuk k = 2 , 3 , · · · , t yang merupakan him- punan yang tak dapat direalisasikan; maka Λ k digabungkan dengan himpunan yang dapat direalisasikan Λ 1 = { λ 1 , λ n } dan susun kembali 2 t anggota dalam S t k =1 Λ k sebagai berikut λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ t ≥ λ t +1 ≥ · · · ≥ λ 2 t − 1 ≥ λ 2 t . Kemudian untuk setiap satu dari himpunan λ k , k = 1 , 2 , · · · , t didefinisikan himpunan yang bersesuaian Γ k = {− λ 2 t − k +1 , λ 2 t − k +1 } yang dapat direalisasi- kan oleh matriks nonnegatif simetri,
A k = µ 0 − λ 2 t − k +1 − λ 2 t − k +1 0 ¶
dengan Γ 2 t +1 2 = { 0 } jika λ 2 T +1 2 < 0 untuk n ganjil , yang dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri A 2 t +1 2 = (0).
Selanjutnya dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Pertama, gabungkan himpunan-himpunan Γ 1 = {− λ 2 t , λ 2 t } ∈ S 2 dan Γ 2 = {− λ 2 t − 1 , λ 2 t − 1 } ∈ S 2 untuk mendapatkan himpunan baru ∆ 2 ∈ S 4 , menurut Lemma 2.5 dengan mengambil ε = − S 2 = − ( λ 2 + λ 2 t − 1 ) > 0, maka diperoleh
− λ 2 t + ε 2 = − λ 2 t − S 2 = − λ 2 − ( λ 2 + λ 2 t − 1 ) − λ 2 t − 1 − ε 2 = − λ 2 t − 1 + S 2 = − λ 2 t − 1 + ( λ 2 + λ 2 t − 1 ) = λ 2 dan
∆ 2 = {− λ 2 t − S 2 , λ 2 , λ 2 t − 1 , λ 2 t } ∈ S 4 Selanjutnya, gabungkan ∆ 2 dengan Γ 3 = {− λ 2 t − 2 , λ 2 t − 2 } . Ambil ε 3 =
− S 3 = − ( λ 3 + λ 2 t − 2 ) > 0, sehingga diperoleh − λ 2 t − S 3 + ε 3 = − λ 2 t − S 2 − S 3 maka − λ 2 t − 2 − ε 3 = − λ 2 t − 2 + S 3 = − λ 2 t − 2 + ( λ 3 + λ 2 t − 2 ) = λ 3 dan menurut Lemma 2.5 didapat ∆ 3 = {− λ 2 t − S 2 − S 3 , λ 3 , ∗ , · · · , ∗} ∈ S 6 . Dalam langkah ke- j dari prosedur ( j ≥ 2), gabungkan himpunan- himpunan ∆ j = {− λ 2 t − S 2 − S 3 , · · · , S j , λ j , ∗ , · · · , ∗} dan Γ j +1 = { λ 2 t − j , λ 2 t − j } dengan mengambil ε j +1 = − S j +1 = − ( λ j +1 + λ 2 t − j ) maka diperoleh − λ 2 t − P j k =2 S k + ε j +1 = − λ 2 t − P j k =2 S k , − λ 2 t − j − ε j +1 = − λ j +1 , sehingga ∆ j +1 = {− λ 2 t − P j +1 k =2 S k , λ j +1 , ∗ , · · · , ∗} ∈ S 2 j +2 dengan ∗ , · · · , ∗ adalah λ j , λ j − 1 , · · · , λ 2 , λ 2 t − j , λ 2 t − j +1 , · · · , λ 2 t .
Dalam langkah terakhir yaitu langkah ( t − 1) gabungkan himpunan ∆ t − 1 = {− λ 2 t − P t − 1 k =2 S k , λ t − 1 , ∗ , · · · , ∗} ∈ S 2 t − 2 dan Γ t = {− λ t +1 , λ t +1 } . Ambil ε t = − S t = − ( λ t + λ t +1 ) Menurut Lemma 2.5 diperoleh,
∆ t = {− λ 2 t − t X k =2 S k , λ t , ∗ , · · · , ∗} = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ t , λ t +1 , · · · , λ 2 t − 1 , λ 2 t } ∈ S 2 t
Selanjutnya, jika n ganjil dengan λ 2 t +1 2
< 0 maka gabungkan ∆ t dengan Γ 2 t +1 2 = { 0 } didapatkan
∆ 0 t = {− λ 2 t − t − 1 X k =2 S k − S 2 t +1 2 , λ 2 t +1 2 , λ t , ∗ , · · · , ∗} ∈ S 2 t +1 ∆ 0 t = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ t , λ 2 t +1 2 , λ t +1 , · · · , λ 2 t − 1 , λ 2 t } ∈ S 2 t +1
Jadi, jika A merupakan matriks nonnegatif simetri yang merealisasi ∆ t = S t k =1 Λ k untuk n genap, dan ∆ 0 t = S t k =1 Λ k Λ n +1 2 untuk n ganjil maka A L B merupakan realisasi dari Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } ∈ S n . ¥

## 4. Konstruksi Matriks Nonnegatif Simetri
Untuk konstruksi matriks nonnegatif simetri dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Misalkan Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } ∈ S n merupakan himpunan bilangan real sedemikan sehingga λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λ p ≥ 0 > λ p +1 ≥ · · · ≥ λ n dengan λ 1 = − λ n − P S k < 0 S k .
2. Selanjutnya, bentuk partisi berikut, Λ = S [ n 2 ] k =1 Λ k , untuk n genap, atau Λ = S [ n 2 ] k =1 Λ k ∪ Λ n +1 2 untuk n ganjil. Dengan Λ k = { λ k , λ n − k +1 ; k = 1 , 2 , · · · , [ n 2 ] dan Λ n +1 2 = { λ n +1 2 } untuk n ganjil.
3. Untuk k = 2 , 3 , · · · , [ n 2 ] diambil A = { Λ k : S k = λ k + λ n − k +1 < 0 , k = 2 , 3 , · · · , t } , B = { Λ k : S k = λ k + λ n − k +1 ≥ 0 , k = t + 1 , t + 2 , · · · , [ n 2 ] } . Dan P = { Λ 1 = { λ 1 , λ n }} . Dengan A atau B dapat merupakan himpunan kosong untuk n ≥ 3.
4. Setiap himpunan Λ k ∈ B dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri B k . Maka jumlah langsungnya adalah
i. untuk n genap, B = L [ n 2 ] k = t +1 B k adalah matriks nonnegatif simetri yang merealisasi Λ = S [ n 2 ] k = t +1 Λ k atau ii. untuk n ganjil, B = L [ n 2 ] k = t +1 B k L B n +1 2 , dengan B n +1 2 = ( λ n +1 2 ), jika λ n +1
2 ≥ 0, adalah matriks nonnegatif simetri yang merealisasi Λ = S [ n 2 ] k = t +1 Λ k ∪ Λ n +1 2 .
5. Berikut tinjau himpunan yang tak dapat direalisasikan Λ k ∈ A dengan urutannya adalah Λ 2 , Λ 3 , · · · , Λ t , t ≤ [ n 2 ] dengan Λ 2 t +1 2 = { λ 2 t +1 2 } , jika λ
2 t +1 2 < 0, untuk n ganjil, gabungkan dengan Λ 1 ∈ P . Untuk setiap Λ k ∈ A didefinisikan himpunan yang bersesuaian Γ k = {− λ 2 t − k +1 , λ 2 t − k +1 } untuk k = 2 , 3 , · · · , t , adalah himpunan yang dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri A k , yaitu
A k = µ 0 − λ 2 t − k +1 − λ 2 t − k +1 0 ¶
dan Γ 1 = {− λ 2 t , λ 2 t } merupakan himpunan yang dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri A 1 , yaitu,
A 1 = µ 0 − λ 2 t − λ 2 t 0 ¶
6. Selanjutnya gabungkan Γ 1 dan Γ 2 untuk mendapatkan ∆ 2 = {− λ 2 t , − S 2 , λ 2 , λ 2 t − 1 , λ 2 t } ∈ S 4 , maka matriks nonnegatif simetri
yang merealisasi ∆ 2 adalah M 4 = µ A 1 ρ 2 v 2 u T 2 ρ
2 v
2 u T 2 A 2 ¶ dengan
v T 2 = u T 2 = ( 1 √ 2 , 1 √ 2 ) dan ρ 2 = p ( λ 2 + λ 2 t )( λ 2 + λ 2 t − 1 ). Ke-
mudian gabungkan Delta 2 dengan Γ 3 untuk mendapatkan: ∆ 3 = {− λ 2 t − S 2 − S 3 , λ 2 , λ 3 , λ 2 t − 2 , λ 2 t − 1 , λ 2 t } dan menurut Lemma 2.4, ∆ 3 direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri M 6 = µ M 4 ρ 3 v 3 u T 3 ρ 3 v 3 u T 3 A 3 ¶ ,
dengan M 4 v 3 = ( − λ 2 t − S 2 ) v 3 , k v 3 k = 1 dan A 4 u 3 = ( − λ 2 t − 2 ) u 3 , k v u k = 1 dan ρ 3 harus sedemikian sehingga C 3 = µ λ 2 t − S 2 ρ 3 ρ 3 λ 2 t ¶ mempunyai nilai eigen λ 2 t − S 2 − S 3 dan λ 3 .
Tahap selanjutnya ditunjukkan bahwa, dalam langkah ke ( k − 1), dapat di- hitung matriks M 2 k = µ M 2 k − 2 ρ k v k u T k ρ k v k u T k A k
¶ , k = 2 , 3 , · · · , t , dengan M 2 k − 2 merupakan matriks nonnegatif simetri dengan spektrum ∆ k − 1 , vektor v k dan u k berturut-turut adalah vektor eigen satuan dari M 2 k − 2 dan A k , masing-masing berkaitan dengan nilai eigen dengan − λ 2 t − P k − 1 j =2 S j dan λ 2 t − k +1 dan ρ k harus sedemikian sehingga bahwa matriks C k = Ã − λ 2 t − P k − 1 j =2 S j ρ k ρ k λ 2 t − k +1 ! mem- punyai nilai eigen − λ 2 t − P k − 1 j =2 S j dan λ k .
Akibat 4.1 Jika Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri A , maka Λ 0 = {− λ 1 , − λ 2 , · · · , − λ n } direalisasikan oleh matriks − A .

## 5. Contoh
Berikut ini akan diberikan satu contoh dalam menentukan matriks real- isasi. Tentukan Matriks Nonnegatif Simetris (MNS) dengan spektrum Λ = { 7 , 5 , 1 , − 3 , − 4 , − 5 } .
P enyelesaian: Λ = { 7 , 5 , 1 , − 3 , − 4 , − 5 } memenuhi kriteria realisasi dari Teorema 3.1.
Partisi Λ = Λ 1 ∪ Λ 2 ∪ Λ 3 dengan Λ 1 = { 7 , − 5 } , Λ 2 = { 5 , − 4 } , Λ 3 = { 1 , − 3 }
dengan S 2 = λ 2 + λ 5 = 1, S 3 = λ 3 + λ 4 = − 2. Susun kembali Λ 1 = { 7 , − 5 } ,
Λ 3 = { 1 , − 3 } sebagai berikut: 7 > 1 > − 3 > − 5.
Kemudian definisikan Γ 1 = { 5 , − 5 } , Γ 2 = { 3 , − 3 } yang masing-masing dapat direalisasi oleh matriks-matriks:
A 1 = µ 0 5 5 0 ¶ , A 2 = µ 0 3 3 0 ¶
Selanjutnya gabung Γ 1 = { 5 , − 5 } , Γ 2 = { 3 , − 3 } untuk mendapatkan ∆ 2 dengan mengambil ε 2 = − S 2 = 2. Maka ∆ 2 = { 7 , 1 , − 3 , − 5 } yang dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri
M 4 = µ A 1 ρ 2 v 2 u T 2 ρ 2 v 2 u T 2 A 2 ¶ =     0 5 √ 2 √ 2 5 0 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 0 3 √ 2 √ 2 3 0    
dengan ρ 2 = p (5 − γ i )(3 − γ i ) = 2 √ 2 untuk γ i = 7 , 1; v 2 = ( 1 2 √ 2 , 1 2 √ 2), u 2 = ( 1 2 √ 2 , 1 2 √ 2), Sedangkan matriks yang merealisasi ∆ 2 = { 5 , − 4 } adalah A 3 = µ 1 2 9 2 1 2 9 2 ¶ . Maka matriks nonnegatif simetri yang merealisasi Λ = { 7 , 5 , 1 , − 3 , − 4 , − 5 } adalah
M 6 =          0 5 √ 2 √ 2 0 0 5 0 √ 2 √ 2 0 0 √ 2 √ 2 0 3 0 0 √ 2
√ 2 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 9 2
0 0 0 0 1 2 9 2          Sedangkan untuk menentukan matriks yang merealisasikan
Λ 0 =
{− 7 , − 5 , − 1 , 3 , 4 , 5 } dapat digunakan Akibat 4.1, yaitu diperoleh matriks − M 6 .

## 6. Kesimpulan
Beberapa hal yang dapat disampaikan dalam kesimpulan ini adalah:
a. Misalkan Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } merupakan sebuah himpunan bilangan real sedemikian sehingga λ 1 ≥ λ 2 · · · ≥ λ p ≥ 0 > λ p +1 ≥ · · · ≥ λ n . Su- paya konstruksi matriks nonnegatif simetri dapat dilakukan, maka haruslah Λ memenuhi kriteria realisasi.
b. Untuk konstruksi matriks nonnegatif simetri dapat dilakukan dengan meng- gunakan jumlah langsung B = L B k atau dan jumlah matriks C .
c. Jika Λ = { λ 1 , λ 2 , · · · , λ n } dapat direalisasikan oleh matriks nonnegatif simetri A , maka Λ 0 = {− λ 1 , − λ 2 , · · · , − λ n } dapat direalisasikan oleh matriks − A .

## Pustaka
[1] Anton H, and Rorres C, 1991, Elementary Linear Algebra Applications Ver- sion, Sixth Edition, John Wiley & Sons. Inc.,New York.
[2] Fiedler.M, 1974, Eigenvalues Of Nonnegative Symmetric Matrices, Linear Al- gebra Appl. 9, pp. 119-142.
[3] Lancaster P., and Tismenetsky M., 1985, The Theory Of Matrices, Akademi Press, New York.
[4] Noble B.,and Daniel J.W.,1988,Applied Linear Algebra,Prentice-
Hall/Englewood Cliffs, New Jersey.
[5] Soto R., 2003, Existence And Construction Of Nonnegative Matrices With Real Prescribed Spectrum, Linear Algebra Appl. 369, pp.169-184
[6] Soto R., 2005, Realizability By Symmetric Nonnegative Matrices, Proyec- ciones, Vol.24, No 1, pp 65-78.
[7] Yacob B., 1990, Linear Algebra, W.H. Freeman And Company, New York
Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri ...
.