Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 21, No. 1, Maret 2024, 43-52 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v21i1.14843
Aplikasi Metode Adams-Bashforth-Moulton Model Verhulst Pada Hasil Panen Padi di Kabupaten Jombang
Lukman Hanafi 1 , Kamiran 2 , Sadjidon 3 , Rizki Eko Prasetyo 4 1,2,3,4 Departemen Matematika ITS Surabaya Indonesia email : lukman@matematika.its.ac.id
Diajukan: 14 Nopember 2022, Diperbaiki: 13 Nopember 2023, Diterima: 20 Maret 2024

## Abstrak
Padi merupakan salah satu tanaman utama hasil komoditas pertanian yang menjadi makanan pokok sebagian  besar  masyarakat  Indonesia.  Ketersediaan  padi  diperlukan  untuk  mengantisipasi  munculnya permasalahan  pada  masa  mendatang  seperti  pertambahan  populasi,  perubahan  musim,  atau  sebagai komoditas  ekspor.  Estimasi  ketersediaan  padi  bisa  dilakukan  dengan  membentuk  model  matematika, dimana  model  matematika  yang  digunakan  adalah  model  logistik  Verhulst.  Model  Verhulst  dapat diselesaikan  pertama  menggunakan  metode  Runge-Kutta  untuk  memperoleh  empat  nilai  awal  yang digunakan  untuk  mendapatkan  nilai  pendekatan  dengan  menggunakan  metode  numerik  banyak  langkah yaitu  Metode Adams-Bashforth-Moulton. Setelah diperoleh solusi numerik pendekatan   maka dilakukan perhitungan akurasi berdasarkan galat yang dihasilkan. Estimasi ketersediaan padi pada tahun tahun 2008- 2021  dengan  menggunakan  ukuran langkah h =1  dan  kapasitas  tampung  ( carrying  capacity )  hasil  panen padi di Kabupaten Jombang dibatasi sebesar 500,000 ton, 600,000 ton, dan 700,000 ton diperoleh  nilai galat rata-rata dari solusi numerik metode Adams-Bashforth-Moulton sebesar 3.35%, 3.39%, dan 3.36%. Kata Kunci : Model Verhulst, Metode Runge-Kutta, Metode Adams-Bashforth-Moulton.

## Abstract
Rice is one of the main crops produced by agricultural commodities which is staple food of most Indonesian people. The availability of rice is needed to anticipate the emergence of problems in the future such as population growth, changes in seasons, or as an export commodity. Estimation of rice availability in the future can be done by forming a mathematical model, where the mathematical model used is the Verhulst logistic model. The differential equations in the Verhulst model are first solved using Runge-Kutta method  to obtain four initial solutions to be used in finding approximate values using the Adams-Bashforth- Moulton method. After obtaining an approximate solution, a comparison of the accuracy based on error is carried out. The aviability estimation rice in 2008-2021 using Verhulst model with a step size ℎ = 1 and carrying capacity rice harvest at Jombang Regency  limited  500,000 tons, 600,000 tons, and 700,000 tons, obtained rate error values from numerical solution of Adams-Bashforth-Moulton method is 3.35%, 3.39%, and 3.36%.
Keywords: Verhulst Model, Runge-Kutta Method, Adams-Bashforth-Moulton Method.

## 1 Pendahuluan
Padi merupakan salah satu tanaman utama hasil komoditas pertanian yang menjadi makanan pokok  bagi  sebagian  besar  masyarakat  Indonesia.  Banyak  faktor  yang  mempengaruhi  jumlah ketersediaan hasil panen padi, seperti contohnya perubahan iklim, lahan yang sempit, keterbatasan modal,  maupun  kurangnya  penguasaan  teknologi  budidaya  padi  [1].  Salah  satu  cara  untuk mengetahui  perkiraan  ketersediaan  hasil  panen  padi  pada  tahun  mendatang  yaitu  dengan
melakukan  pembentukan  model  matematika.  Model  matematika  sangat  penting  untuk menganalisis sebuah masalah pada semua aspek  kehidupan. Model  matematika disusun dengan menggambarkan  keadaan  pada  kehidupan  nyata  dan  dari  keadaan  tersebut  diperoleh  suatu persamaan diferensial [2].
Banyak kejadian  yang dapat  dibuat persamaan diferensialnya seperti model  pegas, model rangkaian  listrik,  model  penyebaran  penyakit,  model  pertumbuhan  populasi  dan  lain-lain.  Ada empat  jenis  model  pertumbuhan  populasi  yaitu  model  diskrit,  model  eksponensial,  model pertumbuhan populasi dengan distribusi umur, dan model logistik. Dari empat jenis model tersebut model  logistik  yang  dikenalkan  oleh  Pierre  Francois  Verhulst  merupakan  model  pertumbuhan populasi yang paling akurat. Model pertumbuhan populasi logistik menurut Verhulst merupakan model matematika dengan persamaan diferensial tak linier.
Pada  bentuk  persamaan  diferensial  tertentu  penyelesaian  secara  analitik  tidak  mudah dilakukan.  Sebaliknya  metode  numerik  dapat  menjadi  penyelesaian  alternatif  ketika  metode analitik tidak dapat dilakukan [3]. Metode numerik pada umumya memiliki dua jenis penyelesaian persamaan diferensial, yaitu metode satu langkah ( single step ) dan metode banyak langkah ( multi- step ). Metode Adams merupakan salah satu contoh metode multi-step yang terbagi menjadi dua jenis  yaitu  metode  terbuka  atau  metode  Adams-Bashforth  dan  metode  tertutup  atau  metode Adams-Moulton  [4].  Metode  satu  langkah  membutuhkan  sebuah  nilai  awal  sedangkan  metode banyak  langkah  membutuhkan  beberapa  nilai  awal.  Metode  banyak  langkah  seringkali  disebut dengan metode prediksi-koreksi karena dalam proses mendapatkan solusi terdapat dua tahap yaitu tahap  pertama  menemukan  nilai  prediksi  dengan  menggunakan  persamaan predictor dan  tahap kedua  menemukan  nilai  koreksi  dengan  menggunakan  persamaan corrector .  Metode  banyak langkah  yang  sering  digunakan  adalah  metode  Adams-Bashforth-Moulton  [5].  Metode  Adams- Bashforth  dapat  digunakan  sebagai  persamaan predictor dan  metode  Adams-Moulton  dapat digunakan sebagai persamaan corrector dalam penyelesaian suatu persamaan diferensial. [6].

## 2 Metode Penelitian

## 2.1 Model Verhulst
Model  logistik  Verhulst  merupakan  sebuah  model  matematika  mengenai  pertumbuhan populasi yang dikenalkan oleh Pierre-Francois-Verhulst pada tahun 1838. Verhulst mengajukan sebuah persamaan diferensial berdasarkan model eksponensial Malthus [7].
Gambar 1. Grafik Model Malthus (kiri) dan Grafik Model Verhulst (kanan) Berikut ini merupakan model logistik Verhulst:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 )
Pada model Verhulst terdapat peubah K yang disebut dengan kapasitas tampung  ( carrying capacity) yang menggambarkan kapasitas lingkungan terhadap batas populasi yang sudah tidak dapat dilampaui [8]. Nilai r (tingkat pertumbuhan populasi) dapat ditentukan dengan melakukan integrasi pada model Verhulst dengan interval [0, t ] sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut [9], [10]:
𝑟 = 1 𝑡 (𝑙𝑛 | 𝑁 𝑡 𝑁 0 | + 𝑙𝑛 | 𝐾−𝑁 0 𝐾−𝑁 𝑡 |)
dengan:
𝑡 : waktu
𝑁 0 : jumlah populasi awal
𝑁 𝑡 : jumlah populasi pada saat t

## 2.2 Metode Numerik
Metode  numerik  merupakan  suatu  metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  model matematika rumit yang sulit atau tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Dengan metode numerik    diperoleh solusi  yang menghampiri solusi  sejatinya sehingga ada selisih  antara solusi pendekatan  dan  solusi  sejati  yang  disebut  dengan  galat  ( error ).  Ada  dua  jenis  galat  yaitu  galat mutlak dan galat  relatif.  Galat mutlak hanya menunjukkan selisih  antara solusi  pendekatan dan solusi  sejatinya  sedangkan  galat  relatif  menunjukkan  tingkat  ketelitian  antara  selisih  solusi pendekatan dan solusi sejatinya. Galat mutlak dan galat relatif didefinisikan [11]:
𝜀 𝑚 = |𝑦 − 𝑦 𝑖 | 𝜀 𝑟 = |𝑦−𝑦 𝑖 | 𝑦 × 100%
dengan:
𝜀 𝑚 : galat mutlak
𝜀 𝑟 : galat relatif
𝑦 : solusi sejati
𝑦 𝑖 : solusi pendekatan
(1) (2)
(3)
Metode  Runge-Kutta  merupakan  salah  satu  metode  dalam  penyelesaian  persamaan diferensial  secara  numerik  dengan  pendekatan  akurasi  dari  deret  Taylor  tanpa  memerlukan perhitungan turunan yang cukup tinggi. Bentuk umum persamaan diferensial
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)   ;    𝑦(𝑥 0 ) = 𝑦 0
Penyelesaian dengan  metode Runge-Kutta orde empat adalah [6]:
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )
dengan:
𝑘 1 = 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑘 2 = 𝑓 (𝑥 𝑖 + ℎ 2 , 𝑦 𝑖 + 𝑘 1 ℎ 2 ) 𝑘 3 = 𝑓 (𝑥 𝑖 + ℎ 2 , 𝑦 𝑖 + 𝑘 2 ℎ 2 ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑥 𝑖 + ℎ, 𝑦 𝑖 + 𝑘 3 ℎ)
Metode  integrasi  Adams-Bashforth  (AB)  merupakan  metode  banyak  langkah  ( multi-step ) yang termasuk dalam metode eksplisit demikian  pula dengan metode integrasi Adams-Moulton (AM)  yang  merupakan  metode  banyak  langkah  namun  termasuk  dalam  metode  implisit. Kombinasi  dari  metode  prediksi  Adams-Bashforth  dan  metode  koreksi  Adams-Moulton  dapat disebut  dengan  metode  Adams-Bashforth-Moulton  (ABM)  [12].  Persamaan predictor Adams- Bashforth adalah sebagai berikut:
𝑦 𝑖+1 (𝑝) = 𝑦 𝑖 + ℎ 24 [55𝑓 𝑖 − 59𝑓 𝑖−1 + 37𝑓 𝑖−2 − 9𝑓 𝑖−3 ] dan persamaan corrector Adams-Moulton adalah sebagai berikut:
𝑦 𝑖+1 (𝑐) = 𝑦 𝑖 + ℎ 24 [9𝑓 𝑖+1 + 19𝑓 𝑖 − 5𝑓 𝑖−1 + 𝑓 𝑖−2 ]

## 4 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Analisis Data
Data yang digunakan yaitu berupa data sekunder yaitu data jumlah hasil panen padi sawah di Kabupaten Jombang pada tahun 2008 sampai 2021. Data tersebut diperoleh dari Dinas Pertanian Kabupaten Jombang.
Tabel 1. Data Hasil Panen Padi Kabupaten Jombang
Nomor Tahun Produksi (ton) 1 2008 409,156 2 2009 428,617 3 2010 463,979 4 2011 380,819 5 2012 462,628
(4) (5) (6)
47
Nomor Tahun Produksi (ton) 6 2013 432,173 7 2014 431,175 8 2015 450,810 9 2016 475,079 10 2017 448,880 11 2018 481,236 12 2019 498,900 13 2020 499,019 14 2021 482,576
Dalam rentang waktu empat belas tahun hasil panen padi tertinggi berada pada tahun 2020 dengan  jumlah  panen  padi  sebanyak  499,019  ton,  sedangkan  hasil  panen  padi  terendah  berada pada tahun 2011 dengan jumlah panen padi sebanyak 380,819 ton.
Gambar 2. Hasil Panen Padi Kabupaten Jombang
Model  Verhulst  pada  Persamaan  (1)  terdapat  variabel K yang  menunjukkan  kapasitas tampung  populasi  dalam  suatu  lingkungan,  karena  jumlah  produksi  panen  padi  di  Kabupaten Jombang  sejak  2008  hingga  2021  berada  di  bawah  500,000  ton  maka  dapat  dibentuk  beberapa skenario model pertumbuhan populasi dimana ada tiga nilai kapasitas tampung hasil panen padi di  Kabupaten  Jombang  yaitu  sebesar  500,000  ton,  600,000  ton,  dan  700,000  ton.  Untuk menentukan  tingkat  pertumbuhan  hasil  panen  padi  dalam  rentang  waktu  empat  belas  tahun digunakan Persamaan (2) sebagai berikut:
Tingkat pertumbuhan hasil panen padi dengan K = 500000:
𝑟 = 0.1297 ≈ 13%
Tingkat pertumbuhan hasil panen padi dengan K = 600000:
𝑟 = 0.0464 ≈ 4.6%
Tingkat pertumbuhan hasil panen padi dengan K = 700000:
𝑟 = 0.0326 ≈ 3.3%
(7) (8) (9)

## Kabupaten Jombang
Diperoleh  tingkat  pertumbuhan  hasil  panen  padi  untuk  kapasitas  tampung  500,000  ton, 600,000 ton, dan 700,000 ton sebesar 13%, 4.6%, dan 3.3% secara berturut-turut. Apabila nilai r pada Persamaan (7), (8), dan (9) disubstituskan pada Persamaan (1) maka diperoleh sebuah model pertumbuhan populasi panen padi di Kabupaten Jombang dengan tiga nilai K sebagai berikut:
Model pertumbuhan populasi dengan K = 500,000:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 0.13𝑁 (1 − 𝑁 500,000 )
Model pertumbuhan populasi dengan K = 600,000:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 0.046𝑁 (1 − 𝑁 600,000 )
Model pertumbuhan populasi dengan K = 700,000:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 0.033𝑁 (1 − 𝑁 700,000 )

## 3.2 Solusi Awal Model Verhulst
Hasil  solusi  awal  model  Verhulst  pada  Persamaan  (10),  Persamaan  (11),  Persamaan  (12) menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde  empat  pada  Persamaan  (4)  dapat  ditabelkan  sebagai berikut:
Tabel 2. Solusi Awal dengan K = 500,000 Tahun 𝒉 𝒊 𝑵 𝒊+𝟏 𝒇 𝒊 2008 1 0 409,156 9,664.0355926 2009 1 418,423.4847109 8,874.7177474 2010 2 426,914.4194588 8,112.3349288 2011 3 434,659.5802826 7,384.2182466 Tabel 3. Solusi Awal dengan Awal K = 600,000 Tahun 𝒉 𝒊 𝑵 𝒊+𝟏 𝒇 𝒊 2008 0 409,156 5,986.5141876 2009 1 1 415,091.7930755 5,884.4640694 2010 2 420,923.7691416 5,778.9372243 2011 3 426,648.6227800 5,670.2763533
Tabel 4. Solusi Awal dengan K = 600,000 Tahun 𝒉 𝒊 𝑵 𝒊+𝟏
𝒇 𝒊 2008 1 0 409,156 5,610.0267613 2009 1 414,749.9188927 5,577.3511202 2010 2 420,309.7939613 5,541.9508354 2011 3 425,832.9365421 5,503.8986704

## 3.3 Solusi Numerik Adams-Bashforth-Moulton
Setelah diperoleh solusi awal maka selanjutnya empat solusi awal tersebut digunakan untuk menentukan  solusi  numerik  menggunakan  Metode  Adams-Bashforth-Moulton  pada  Persamaan (5) dan Persamaan (6), sehingga diperoleh hasil estimasi ketersediaan padi di Kabupaten Jombang sebagai berikut:
(10) (12) ( 11 )
Tabel 5. Solusi Numerik Metode ABM dengan K = 500,000 Tahun 𝒊 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒑)
𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) 2008 0 409,156 2009 1 418,423.4847109 2010 2 426,914.4194588 2011 3 434,659.5802826 2012 4 441,696.7669112 441,695.9839388 2013 5 448,065.8984137 448,065.1880702 2014 6 453,811.9799849 453,811.3736046 2015 7 458,980.5052125 458,979.9963186 2016 8 463,617.0227249 463,616.6124085 2017 9 467,766.2677519 467,765.9492357 2018 10 471,471.4360790 471,471.1995869 2019 11 474,773.6770526 474,773.5113745 2020 12 477,711.7498014 477,711.6433972 2021 13 480,321.8162070 480,321.7579975
Tabel 6. Solusi Numerik Metode ABM dengan K = 600,000 Tahun 𝒊 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒑)
𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) 2008 0 409,156 2009 1 415,091.7930755 2010 2 420,923.7691416 2011 3 426,648.6227800 2012 4 432,263.3913666 432,263.3911726 2013 5 437,765.4535161 437,765.4525795 2014 6 443,152.5246371 443,152.5230037 2015 7 448,422.6532405 448,422.6509622 2016 8 453,574.2135398 453,574.2106708 2017 9 458,605.8971465 458,605.8937441 2018 10 463,516.7034437 463,516.6995668 2019 11 468,305.9287839 468,305.9244921 2020 12 472,973.1546745 472,973.1500272 2021 13 477,518.2351047 477,518.2301606
Tabel 7. Solusi Numerik Metode ABM dengan K = 700,000 Tahun 𝒊 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒑)
𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) 2008 0 409,156 2009 1 414,749.9188927 2010 2 420,309.7939613 2011 3 425,832.9365421 2012 4 431,316.7314660 431,316.7332185 2013 5 436,758.6482986 436,758.6499299 2014 6 442,156.2350344 442,156.2365374 2015 7 447,507.1291375 447,507.1305096 2016 8 452,809.0591529 452,809.0603906 2017 9 458,059.8478057 458,059.8489067 2018 10 463,257.4147454 463,257.4157083 2019 11 468,399.7789181 468,399.7797423 2020 12 473,485.0605714 473,485.0612573 2021 13 478,511.4828928 478,511.4834413
50

## Kabupaten Jombang

## 3.4 Analisis Galat
Setelah  diperoleh  solusi  numerik  dengan  metode  Adams-Bashforth-Moulton  maka dilakukan perhitungan nilai galat relatif antara solusi pendekatan dengan data pada Tabel 1 dengan menggunakan Persamaan (3) diperoleh hasil sebagai berikut:

## 1. Galat dengan K = 500,000
Tabel 8. Galat Metode ABM dengan K = 500,000 Tahun 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) Produksi (ton) Galat(%) 2008 409,156 409,156 2009 418,423.4847109 428,617 2010 426,914.4194588 463,979 2011 434,659.5802826 380,819 2012 441,695.9839388 462,628 4.52 2013 448,065.1880702 432,173 3.68 2014 453,811.3736046 431,175 5.25 2015 458,979.9963186 450,810 1.81 2016 463,616.6124085 475,079 2.41 2017 467,765.9492357 448,880 4.21 2018 471,471.1995869 481,236 2.03 2019 474,773.5113745 498,900 4.84 2020 477,711.6433972 499,019 4.27 2021 480,321.7579975 482,576 0.47 Rata-rata 3.35
2. Galat dengan K = 600,000 Tabel 9. Galat Metode ABM dengan K = 600,000 Tahun 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) Produksi (ton) Galat (%) 2008 409,156 409,156 2009 415,091.7930755 428,617 2010 420,923.7691416 463,979 2011 426,648.6227800 380,819 2012 432,263.3911726 462,628 6.56 2013 437,765.4525795 432,173 1.29 2014 443,152.5230037 431,175 2.78 2015 448,422.6509622 450,810 0.53 2016 453,574.2106708 475,079 4.53 2017 458,605.8937441 448,880 2.17 2018 463,516.6995668 481,236 3.68 2019 468,305.9244921 498,900 6.13 2020 472,973.1500272 499,019 5.22 2021 477,518.2301606 482,576 1.05 Rata-rata 3.39
3. Galat dengan K = 700,000
Tabel 10. Galat Metode ABM dengan K = 700,000
Tahun 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) Produksi (ton) Galat (%) 2008 409,156 409,156 2009 414,749.9188927 428,617 2010 420,309.7939613 463,979 2011 425,832.9365421 380,819 2012 431,316.7332185 462,628 6.77 2013 436,758.6499299 432,173 1.06
Tahun 𝑵 𝒊+𝟏 (𝒄) Produksi (ton) Galat (%) 2014 442,156.2365374 431,175 2.55 2015 447,507.1305096 450,810 0.73 2016 452,809.0603906 475,079 4.69 2017 458,059.8489067 448,880 2.05 2018 463,257.4157083 481,236 3.74 2019 468,399.7797423 498,900 6.11 2020 473,485.0612573 499,019 5.12 2021 478,511.4834413 482,576 0.84 Rata-rata 3.36

## 4 Simpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan diperoleh kesimpulan berikut: Estimasi ketersediaan padi  pada saat nilai carrying capacity sebesar 500,000 ton diperoleh rata-rata galat dari metode Adams-Bashforth-Moulton  sebesar 3.35%. Selanjutnya pada saat nilai carrying capacity sebesar 600,000  ton  diperoleh  rata-rata  galat  dari  metode  Adams-Bashforth-Moulton  sebesar  3.39%. Kemudian  pada  saat  nilai carrying  capacity sebesar  700,000  ton  diperoleh  rata-rata  galat  dari metode Adams-Bashforth-Moulton sebesar 3.36%. Estimasi hasil panen padi berdasarkan model Verhulst  menggunakan  metode  Adams-Bashforth-Moulton  menunjukkan  bahwa  terjadi pertumbuhan hasil panen padi setiap tahunnya untuk setiap nilai K yang digunakan.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Direktorat  Jenderal  Tanaman  Pangan,  “Rencana  Strategis  Direktorat  Jenderal  Tanaman Pangan Tahun 2020-2024,” Jakarta, 2020.
[2] N.  Asiyah  and  S.  Winarko, Buku  Ajar  Persamaan  Diferensial  Biasa .  Surabaya:  Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2012.
[3] I.  K.  A.  Atmika, Diktat  Mata  Kuliah  Metode  Numerik .  Teknik  Mesin,  Fakultas  Teknik, Universitas Udayana, 2016.
[4] K.  E.  Atkinson,  W.  Han,  and  D.  Stewart, Numerical  Solution  of  Ordinary  Differential Equations . Iowa: John Wiley & Sons, Inc., 2009.
[5] S.  Abdullah,  “Penerapan  Metode  Adams-Bashforth-Moulton  pada  Persamaan  Logistik dalam  Memprediksi  Pertumbuhan  Penduduk  di  Provinsi  Sulawesi  Selatan,”  Tugas  Akhir Jurusan  Matematika,  Fakultas  Sains  dan  Teknologi,  Universitas  Islam  Negeri  Alauddin Makassar, 2016.
[6] R. P. Canale and S. C. Chapra, Numerical Methods for Engineers . New York: McGraw-Hill, 2010.
52

## Kabupaten Jombang
[7] A. Tsoularis and J. Wallace, “Analysis of Logistic Growth Models,” Math. Biosci. , vol. 179, no. 1, pp. 23–46, 2002.
[8] J.-M. Ginoux, “The Paradox of Vito Volterra’s Predator-Prey Model,” Lett. Mat. , vol. 5, no.
4, pp. 305–311, 2017.
[9] Uce,  P.  Silvy,  R.  Suhaemi,  and  H.  Kartika,  “Aplikasi  Metode  Eksponensial  dan  Logistik dalam  Meramalkan  Jumlah  Penduduk  Kabupaten  Karawang  pada  Tahun  2020,” Pros. Semin. Nas. Mat. dan Pendidik. Mat. , pp. 6–13, 2017.
[10]  W.  Putri,  “Perbandingan  Model  Malthus  dan  Model  Verhulst  untuk  Estimasi  Jumlah Penduduk  Indonesia Tahun 2000  - 2014,” J. Mat. Univ. Andalas , vol.  4, no. 1, pp. 1–11, 2015.
[11]  S.  Maharani  and  E.  Suprapto, Analisis  Numerik  Berbasis  Group  Investigation  untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis . Magetan: AE Medika Grafika, 2018.
[12]  A.  P.  Hayes,  “The  Adams-Bashforth-Moulton  Integration  Methods  Generalized  to  an Adaptive Grid,” University of Maine, Maine, United State, 2011.