## ANALISIS KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS PADA MATAKULIAH TEORI BILANGAN
Arfatin Nurrahmah 1 , Abdul Karim 2
1) Fakultas Matematika dan IPA,Universitas Indraprasta PGRI Jakarta email:arfatinnurrahmah@gmail.com
2) Fakultas Matematika dan IPA, Universitas Indraprasta PGRI Jakarta email: Abdul.depok@gmail.com

## Abstract
The  number  theory  course  focuses  on  the  activities  of  reasoning,  reviewing, analyzing, and proving, which is a high level of cognitive ability. Especially for of a lot of proof errors are done by students. The purpose of this research is to analyze the  students'  of  ability  in  the  number  theory  course.  The  research  method  used  is qualitative  deductive  research  with  research  subjects  amounted  to 30 students semester  three  academic  year 2017/2018 .  Data  collection  techniques  use  data triangulations. The results of mathematical proofing ability found that most of the students still have difficulty in solving the problem of proof. As many as 60% of the research sample has  not understood how  to  solve the problem of  proof.  Based on these  data,  it  can  be  concluded  that  the  student  has  not  be  able  to  optimize  all capabilities, especially the proof of mathematics in working on the number theory that tends to give up in working on problems when experiencing difficulties.
Keywords: the ability, proof of mathematics, number theory

## Abstract
Teori  bilangan  berfokus  pada  kegiatan  penalaran,  peninjauan,  analisis,  dan  pembuktian, yang  merupakan  kemampuan  kognitif  tingkat  tinggi.  Terutama  untuk  banyak  bukti kesalahan yang dilakukan oleh siswa. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis kemampuan  siswa  dalam  teori  bilangan.  Metode  penelitian  yang  digunakan  adalah penelitian  deduktif  kualitatif  dengan  subjek  penelitian  berjumlah  30  siswa  semester  tiga tahun  akademik  2017/2018.  Teknik  pengumpulan  data  menggunakan  triangulasi  data. Hasil kemampuan pemeriksaan matematis menemukan bahwa sebagian besar siswa masih mengalami  kesulitan  dalam  menyelesaikan  masalah  pembuktian.  Sebanyak  60%  dari sampel  penelitian  belum  memahami  bagaimana  menyelesaikan  masalah  pembuktian. Berdasarkan data tersebut, dapat disimpulkan bahwa siswa belum dapat mengoptimalkan semua  kemampuan,  terutama  pembuktian  matematika  dalam  mengerjakan  teori  bilangan yang cenderung menyerah dalam mengerjakan soal ketika mengalami kesulitan.
Kata kunci : kemampuan, bukti matematika, teori bilangan

## 1. PENDAHULUAN
Pembelajaran  matematika  untuk  level perguruan  tinggi  sulit  untuk  dipelajari karena materi yang disajikan lebih bersifat
abstrak.  Dalam  mempelajari  matematika, mahasiswa  membutuhkan  kemampuan- kemampuan matematis, diantaranya adalah pembuktian. Pembuktian
mempunyai  tingkat  kedalaman  arti  yang berbeda-beda.  Bukti  adalah  serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Solow (1990)  menyatakan  bahwa  matematika adalah  bahasa  para  matematikawan, sementara pembuktian adalah suatu metode penyampaian kebenaran matematik  kepada  orang  lain  yang  juga “berbicara” dengan bahasa yang sama.
Selain  itu,  pembelajaran  matematika yang  dilakukan  selama  ini  umumya bersifat prosedural, artinya hanya mengikuti  atau  mengerjakan  soal  sesuai dengan rumus yang tertulis di buku acuan atau  berdasarkan  rumus  yang  diberikan oleh  dosen  tanpa  memahami  betul  dari mana  asalnya  rumus  tersebut.  Dengan kata  lain  pemahaman  konseptualnya diabaikan.  Padahal  dalam  menyelesaikan soal kita perlu pemahaman prosedural dan konseptual secara terpadu.
Belajar  konsep  berguna  dalam  rangka mendidik  mahasiswa  atau  paling  tidak mempunyai  pengaruh  tertentu,  yaitu:  1) Konsep mengurangi kerumitan lingkungan,  2)  konsep-konsep  membantu kita  untuk  mengidentifikasi  objek-objek yang  ada  di  sekitar  kita,  3)  konsep membantu kita untuk mempelajari sesuatu yang  baru,  lebih  luas  dan  lebih  maju,  4) konsep mengarahkan kegiatan
instrumental,  5)  konsep  memungkinkan pelaksanaan  pengajaran  6)  Konsep  dapat digunakan  untuk  mempelajari  dua  hal yang  berbeda  dalam  kelas  yang  sama (Hamalik, 2010).
Di  dalam  matematika,  sebuah  konsep kadang  perlu  dibuktikan  kebenaranya. Memang  tidak  semua  konsep  matematika yang  dipelajari  harus  dipahami  buktinya. Faktor kepadatan materi dan keterbatasan waktu  masih  merupakan  kendala  klasik yang  dihadapi  oleh  dosen  maupun pengajar  matematika.  Namun  beberapa konsep  sederhana  pun  sering  diabaikan pembuktiannya. Suatu ilustrasi ketika kita mengajar  tentang  himpunan  bilangan  real kita pasti menyampaikan bahwa himpunan bilangan real yang disimbolkan dengan R terpecah menjadi dua himpunan bagian  yang saling asing,  yaitu himpunan bilangan  rasional  Q  dan  himpunan bilangan irrasional R/Q.
Pembuktian Matematika adalah sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas rumus, teorema itu benar, dengan bantuan logika  dan  matematika.  Pembuatan  bukti telah  lama  mendapatkan  perhatian  besar dalam  matematika  teoretis.  Menurut Hernandi  (2008)  pembuktian  terbagi menjadi  dua  yaitu  pembuktian  langsung dan tidak langsung. Pembuktikan langsung  lebih  menggunakan  silogisme,
modus ponens dan modus tollens. Dimana logika  pembuktian  q  benar  secara langsung atau ekuivalen dengan pembuktian  bahwa  penyataan  q  benar dimana  diketahui  p  benar.  Pembuktian tidak langsung menggunakan kontaraposisi untuk membuktikan kebenaran implikasi.
Melalui  tugas  pembuktian,  dosen dapat melihat: (1) bagaimana kemampuan mahasiswa  dalam  beragumentasi  secara logis, (2) bagaimana mahasiswa menggunakan  contoh  dan  lawan  contoh untuk  mendukung  argumentasinya,  (3) kelemahan-kelemahan  apa  saja  yang dialami  mahasiswa  dalam  bernalar,  dan (4)  miskonsepsi  apa  yang  sering  dialami mahasiswa.
Berdasarkan uraian mengenai sejumlah  para  ahli  mengenai  pembuktian matematis  di  atas,  dapat  dirangkum bahwa kemampuan pembuktian matematis  merupakan  kemampuan  yang dimiliki  seseorang  dalam  berargumentasi secara logis dan dapat menggunakan nalar dalam mempertahakan argumennya sehingga didapatkan hasil yang valid.
Indikator  kemampuan  pembuktian matematis  meurut  Lestari  (2015)  antara lain: (1) Membaca pembuktian matematis. (2)  Melakukan  pembuktian  matematis, secara langsung, tak langsung atau dengan
induksi matematis (3) Menkritik pembuktian dengan menambah, mengurangi atau menyusun kembali suatu pembuktian  matematis.  Dalam  penelitian ini,  indikator    kemampuan  pembuktian matematis  yang  akan  diukur  adalah memahami penyataan atau simbol matematika  serta  dapat  menyusun  bukti kebenaran suatu pernyataan secara matematis  berdasarkan  definisi,  prinsip dan teorema.
Teori  Bilangan  merupakan  mata kuliah  wajib  ditempuh  oleh  mahasiswa Program  Studi  Pendidikan  Matematika  di Universitas  Indraprasta  PGRI  Jakarta. Teori Bilangan merupakan materi perkuliahan  yang  tersturuktur  secara hierarkis,  maksudnya  bahwa  matakuliah teori bilangan merupakan dasar bagi mata kuliah  selanjutnya.  Mata  kuliah  ini dibahas  mengenai  beberapa  konsep  dasar dan  penting  dalam  teori  bilangan.  Mata kuliah  ini  juga  memberikan  wahana kepada mahasiswa untuk berlatih berpikir kreatif dalam menyelesaikan suatu permasalahan dalam teori bilangan dengan  mengacu  sasaran  di  atas.  Mata kuliah  ini  diberikan  dengan  menekankan pada pemberian waktu yang relatif banyak kepada  mahasiswa  untuk  melakukan problem  solving  mulai  dari  permasalahan sederhana hingga yang cukup rumit.
Teori  bilangan  adalah  cabang  dari matematika  murni  yang  mempelajari sifat-sifat dan keterkaitan antara sejumlah bilangan serta mengandung sebuah permasalahan terbuka yang dapat dimengerti walaupuan bukan ahli matematika.  Didalam  perkulihan  teori bilangan  terdapat  beberapa  bagian  yang dapat dipelajari yang berhubungan dengan bilangan  bulat  yaitu  aritmatika  jam, aritmatika  modulo,  bilangan  prima,  uji keprimaan, kongruensi. Setelah mengikuti perkuliahan  teori  bilangan  diharapkan mahasiswa dapat meningkatkan kemampuan bereksplorasi, berargumentasi, melakukan koneksi, berkomunikasi  dan  kemampuan problem solving melalui  pemahaman  konsep  teori bilangan.
Berdasarkan hasil pengamatan, khususnya  selama  mengajarkan  mata kuliah Teori bilangan, umumnya mahasiswa  mengalami  kesulitan  karena: 1)  kurangnya  pemahaman  mahasiswa terhadap  konsep  yang  akan  dibuktikan, mereka masih mengalami kesulitan dalam mengidentifikasi  apa  yang  diketahui,  apa yang  akan  dibuktikan;  (2)  kurangnya pemahaman tentang metode-metode pembuktian  yang  akan  digunakan;  (3) kurangnya kemampuan dalam menggunakan maupun memanipulasi
fakta-fakta yang diketahui dan mengkaitkannya dengan yang akan ditunjukkan serta; (4) kurangnya
kemampuan dalam menyusun alur/sistematika bukti tersebut.
Melihat rendahnya kemampuan pembuktian  matematis  mahasiswa,  maka perlu dianalisis terkait kemampuan pembuktian  matematisnya.  Karena  itu perlu  diperoleh  data  akurat  penyebab kesulitan  mahasiswa  dalam  pembuktian matematika.  Hal  ini  penting  untuk merancang perkuliahan dengan menggunakan  pembuktian  matematika secara  efektif.  Dalam  penelitian  ini peneliti mengambil materi pokok bahasan bilangan  bulat,  dikarenakan  didalam bilangan  bulat  terdapat  sifat,  dan  teorema yang  berlaku  dan  tidak  berlaku  di bilangan  asli  dan  bilangan  cacah.    Dari permasalahan  di  atas  peneliti  akan melakukan penelitian dengan judul: analisis kemampuan pembuktian matematis pada mata kuliah teori bilangan.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilaksanakan di Universitas  Indraprasta  PGRI  Jakarta pada  matakuliah  teori  bilangan  yang diajarkan  di  semester  3  tahun  akademik 2017/2018.  Penelitian  ini  dilaksanakan
selama  empat  bulan  terhitung  dari  bulan Oktober  2017  sampai  dengan  Januari 2018.  Subjek  penelitian  yang  digunakan dalam penelitian ini adalah 30 mahasiswa.
Metode  penelitian  yang  digunakan dalam penelitian adalah metode penelitain deduktif  kualitatif.  Menurut  Nazil  (  dalm Karim,  2017)  penelitian  deduktif  yaitu suatu  metode  dalam  meneliti  status kelompok  manusia,  suatu  objek,  suatu kondisi,  suatu  sistem  pemikiran  ataupun suatu kelas peristiwa pada masa sekarang yang  bertujuan  untuk  membuat  deskripsi, gambaran  atau  lukisan  secara  sistematis, faktual  dan  akurat  mengenai  fakta-fakta, sifat-sifat  serta  hubungan  antar  fenomena yang diselidiki. Dalam penelitian ini ingin diungkapkan  kemampuan  pembuktian matematis  mahasiswa  dalam  matakuliah teori bilangan. Penelitian kualitatif merupakan  penelitian  yang  digunakan untuk menyelidiki, menemukan, menggambarkan, dan menjelasakan kualitas  atau  keistimewaan  dari  pengaruh social yang tidak dapat dijelaskan, diukur, atau  digambarkan  melalui  pendekatan kuantitatif (Saryono, dalam Syarifah:2017). Penelitian kualitatif digunakan  untuk  mendapatkan  analisis data  yang  mendalam  dan  bermakna. Mendeskripsikan  fenomena  dilakukan dengan  maksud  adalah  peneliti  ingin
mengungkapkan  kemampuan  pemahaman dan  pembuktian  matematis  mahasiswa dalam mata kuliah teori bilangan.
Teknik pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan  triagulasi  data  yaitu,  (1) Studi pustaka dalam penelitian ini peneliti mengumpulkan  informasi  diantarannya dari  berbagai  sumber  seperti:,  Indikator kemampuan pembuktian matematis., buku referensi, data dari internet, artikel Ilmiah. (2)  Dokumentasi,  Berikut  adalah  daftar dokumentasi yang digunakan oleh peneliti:  soal  dan  Jawaban  teori  bilangan mahasiswa  pada  Ujian  Tengah  Semester tahun  akademik  2017/2018,  penelitian yang  relevan  seperti  skripsi,  jurnal,  tesis dan  disertasi.  (3)  Wawancara,  dalam penelitian  ini  yang  menjadi  narasumber adalah  para  ahli.  Topik  yang  akan ditanyakan adalah mengenai teknik menentukan indikator dalam penelitian.
Teknik  analisis  data  pembuktian matematis yaitu dengan cara menyesuaikan soal dengan indikator. Soal dan  jawaban  ujian  tengah  semester mahasiswa pada matakuliah teori bilangan diperiksa  apakah  pengerjaan  mahasiswa sudah  benar  dan  juga  sesuai  dengan indikator  yang  ada.  Berikut  ini  adalah Tabel 1. Indikator Pembuktian Matematis, yaitu:
Tabel  1. Kisi-kisi  Kemampuan  Pembuktian
Matematis
Sumber: Lestari (2015) dengan Modifikasi
Setelah dikategorisasikan peneliti menghitung  persentase  pada  masing- masing  analisis  diatas.  Dengan  demikian dapat  ditulis  persentase  menurut  Sudjana dan  Ibrahim  (Karim,  2018)  di  setiap tingkatan melalui rumus sebagai berikut:
Keterangan :
P  = Nilai persen F  = Jumlah skor yang diperoleh N = Jumlah skor maksimal

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis  kemampuan    pembuktian matematis pada mata kuliah teori bilangan disajikan  pada  Gambar  1.  persentase tingkat kemampuan pembuktian
matematis mahasiswa.
Diagram  1. Persentase  Kemampuan Pembuktian Matematis.
Pada  Gambar.  1  tersebut,  sebanyak 60%  dari  sampel  penelitian  belum mengerti cara menyelesaiakan soal pembuktian.  Berdasarkan  data  tersebut maka dapat disimpulkan bahwa mahasiswa  belum  dapat  mengoptimalkan seluruh kemampuan terutama kemampuan pembuktian matematisnya dalam mengerjakan  soal  teori  bilangan  sehingga cenderung  menyerah  dalam  mengerjakan soal ketika mengalamikesulitan.
Sebanyak  40%  sampel  sudah  mengerti cara menyelesaikan namun masih beberapa  yang  kurang  tepat  dalam langkah penyelesaiannya. Berikut diberikan soal dan cara penyelesaian serta beberapa hasil jawaban tes dari mahasiswa yang terkait dengan
kemampuan  pembuktian  matematis  pada mata  kuliah  teori  bilangan.  Soal  dan jawaban dari tes yang diberikan adalah:
Indikator Butir Soal
memahami pernyataan
atau symbol
matematika serta menyusun bukti kebenaran suatu pernyataan secara matematis berdasarkan definisi, perinsip dan teorema .
Buktikan: Jika a | (b 2 –  2b)  dan  a  | (b 2 –  2b  +  c,
maka a |c
Adapun indikator kemampuan
pembuktian  matematis  yang  akan  diukur sesuai  dengan  pendapat  tersebut  adalah  : memahami peryataan atau simbol matematika  serta  dapat  menyusun  bukti kebenaran suatu pernyataan secara matematis  berdasarkan  definisi,  prinsip dan teorema.
Berdasarkan indikator tersebut,
didapatkan hasil penelitian sebagai berikut: Hasil menunjukkan bahwa kemampuan pembuktian matematis dapat pada  indikator  memahami  pernyataan atau  simbol  matematika  serta  dapat menyusun bukti kebenaran suatu pernyataan secara matematis berdasarkan definisi, prinsip, dan teorema, didapatkan bahwa  hanya  sebesar  26,67%  sampel yang  mengaitkan  definisi  dan  teorema untuk menyelesaikan soal yang diberikan.  Selebihnya  masih  belum  bisa melakukan  pembuktian  dengan  baik,
yaitu dengan menggunakan definisi  yang ada,  bahkan  masih  ada  dari  beberapa mahasiswa  yang  menggunakan  angka dalam  melakukan  pembuktian.  Seperti pada Gambar.1 berikut:
Gambar 1. Jawaban Mahasiswa 1
Gambar 2. Jawaban Mahasiswa 2
Pada gambar 2 jawaban tes mahasiswa sudah sesuai dengan indikator. Jawaban dari mahasiswa menunjukkan  bahwa  mahasiswa  tersebut sudah  memahami  penyataan  atau  simbol matematika  serta  dapat  menyusun  bukti kebenaran suatu pernyataan secara matematis  berdasarkan  definisi,  prinsip dan teorema.
Namun,  jika  dilihat  kembali  dari persentase kemampuan pembuktian matematis  pada  diagram  1,  masih didapatkan  hasil  yang  belum  optimal. Terlihat bahwa sebagian besar mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam menyelesaikan  soal  pembuktian.  Hal  ini disebabkan  oleh  beberapa  faktor,  salah satunya adalah lemahnya konsep mengenai  bilangan  bulat  beserta  definisi dan  sifat-sifatmya  (materi  prasyarat). Banyaknya sifat-sifat  pada teori  bilangan kadang  membuat  mahasiswa  bingung, sifat  atau  teorema  mana  yang  harus digunakan  sesuai  dengan  soal  yang ditanyakan. Hal ini dikarenakan
keterbatasan pemahaman mahasiswa terhadap  materi  tersebut.  Berdasarkan uraian di atas terlihat bahwa kemampuan pembuktian  matematis  mahasiswa  pada Mata  Kuliah  Teori  Bilangan  secara umum masih kurang baik.

## 4.  KESIMPULAN
Sebagian  besar  mahasiswa  masih
mengalami
kesulitan dalam menyelesaikan soal pembuktian.
Sebanyak  60%  dari  sampel  penelitian belum  mengerti  cara  menyelesaikan  soal pembuktian.  Berdasarkan  data  tersebut maka dapat disimpulkan bahwa mahasiswa belum dapat  mengoptimalkan
seluruh kemampuan terutama kemampuan  pembuktian  matematisnya dalam  mengerjakan  soal  teori  bilangan sehingga  cenderung  menyerah  dalam mengerjakan  soal  ketika  mengalami kesulitan.    Sebanyak  40%  sampel  sudah mengerti  cara  menyelesaikan  namun masih beberapa  yang kurang tepat  dalam langkah penyelesaiannya. Hal ini disebabkan  oleh  beberapa  faktor,  salah satunya adalah lemahnya konsep mengenai  bilangan  bulat  beserta  definisi dan sifat-sifatmya (materi prasyarat).

## 5.  DAFTAR PUSTAKA
Hamalik,  Oemar.  2010. Proses  Belajar Mengajar. Jakarta: PT Bumi Aksara.
Solow,  Daniel  (1990). How  to  Read  dan Do  Proofs:  An  Introduction  to Mathematical  Thought  Processes . Kanada: John Wiley & Sons, Inc.
Hernadi,  Julan.  2008. Metoda  Pembuktian Dalam Matematika . Jurnal pendidikan  Matematika.  Volume  2 No. 1 Januari.
Lestari,  Kurunia  Eka.  2015. Analisis
Kemampuan  Pembuktian  Matematis Mahasiswa
Menggunakan
Pendekatan  Induktif-Deduktif  Pada Mata  Kuliah  Analisis  Real. Jurnal
Mendidik No.2 Volume 1 Oktober.
Karim, Abdul. (2017). Analisis
Pendekatan Pembelajaran CTL
(Contextual Teaching And Learning) Di  SMPN  2  Teluk  Jambe  Timur,
Karawang .  Jurnal  Formatif  7(2): 144-152.
Karim,  Abdul.  (2018). Analisis  Kualitas Soal Perlombaan
Matematika
Tingkat  SMA .  Titian  Ilmu:  Jurnal Ilmiah  Multi  Sciences.  Vol  10  (1)  : 1-8. Januari 2018.