## SOLUSI EKSAK GELOMBANG SOLITON:

## PERSAMAAN SCHRODINGER NONLINEAR NONLOKAL (NNLS)

## Riski Nur Istiqomah Dinnullah
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Kanjuruhan Malang Email: ky2_zahra@yahoo.com

## ABSTRAK
Pada  penelitian  ini  dimodelkan  perambatan  gelombang  optik  pada  medium  nonlinear  Kerr nonlokal  dengan  menggunakan  persamaan  Schrodinger  nonlinear  nonlokal  (NNLS).  Persamaan  NNLS tersebut  diperoleh  dari  metode  penurunan  persamaan  Helmholtz  nonlinear  dengan  penambahan  suatu parameter  nonlokal.  Dengan  cara  ini  ditentukan  solusi  eksak  dari  persamaan  NNLS  yang  berupa gelombang  soliton.  Solusi  eksak  yang  diperoleh  merupakan  fungsi  implisit.  Selanjutnya  solusi  eksak tersebut diplot dengan menggunakan aplikasi Matlab untuk melihat perambatan gelombang soliton. Hasil plot gambar menunjukkan bahwa lebar soliton dipengaruhi oleh nilai maksimum pada pusat soliton dan parameter nonlokal. Jika nilai maksimum pada pusat atau nilai parameter nonlokalnya diperbesar, maka soliton yang terjadi akan semakin lebar.
Kata  kunci: soliton,  medium  nonlinear  Kerr  nonlokal,  persamaan  Schrodinger  nonlinear  nonlokal, persamaan Helmholtz nonlinear.

## PENDAHULUAN
Di  era  global  saat  ini,  teknologi  serat  optik telah  banyak  dipelajari  dalam  berbagai  bidang ilmu  pengetahuan  terutama  dalam  bidang komunikasi  optik.  Dengan  menggunakan  laser berintensitas  tinggi,  serat  optik  telah  menjadi lahan  penelitian  yang  menarik  dan  memiliki potensi besar untuk dimanfaatkan sebagai media transmisi.
Pada  tahun  1988,  Linn  F.  Mollenauer mempelopori  penggunaan  soliton  untuk  sistem komunikasi  optik.  Soliton  adalah  sebuah gelombang  soliter  atau  gelombang  tunggal  yang memiliki  sifat  terlokalisasi  dan  merambat  tanpa perubahan  bentuk  maupun  kecepatan.  Pada sistem  komunikasi  optik,  informasi  (data)  dapat ditransfer dalam kapasitas yang besar pada jarak yang  sangat  jauh  dan  memiliki  kecepatan transmisi  yang  sangat  tinggi.  Sistem  komunikasi optik yang berbasiskan soliton ini menjadi salah satu  teknologi  penting  dalam  pengembangan serat  optik  yang  mampu  memberikan  peluang besar  untuk  merevolusi  dunia  telekomunikasi dan teknologi komputer. Beberapa desain soliton sangat potensial untuk diaplikasikan sebagai all- optical switching , all-optical logic gates , all-optical processing , dan lain sebagainya [1]. Studi  perambatan  soliton  banyak  sekali dilakukan  pada  medium  nonlinear  Kerr.  Pada medium  ini,  efek  nonlinear  Kerr  dari  medium dapat  muncul  ketika  cahaya  yang  berintensitas tinggi mengenai medium sehingga menyebabkan
adanya  perubahan  indeks  bias.    Pengaruh nonlinearitas  ini  bersifat  lokal.  Namun  pada eksperimen  yang  meneliti  kristal  fotorefraktif sebagai  medium  nonlinear  telah  dibuktikan bahwa  respon  nonlinear  dari  suatu  medium dapat  bersifat  nonlokal  [2].  Pada  medium nonlinear nonlokal, gelombang yang terlokalisasi pada  daerah  yang  sempit  dapat  memberikan respon  yang  sangat  lebar.  Hal  ini  terjadi  karena respon  nonlokal  dari  suatu  medium  tidak  hanya dipengaruhi oleh perubahan intensitas gelombang  pada  suatu  daerah  tertentu,  tetapi juga  dipengaruhi  oleh  intensitas  gelombang  di sekitar daerah tersebut [3]. Perambatan gelombang optik pada medium nonlinear  Kerr  nonlokal  dimodelkan  oleh persamaan  Schrodinger  nonlinear  nonlokal (NNLS). Persamaan NNLS merupakan persamaan diferensial  parsial  nonlinear  yang  solusi eksaknya  secara  umum  sulit  untuk  diperoleh sehingga diperlukan metode pendekatan, misalnya  pendekatan  numerik.  Namun,  pada beberapa  fenomena  gelombang  nonlinear  solusi eksaknya  dapat  dicari  secara  analitik  dalam bentuk fungsi implisit. Pada  penelitian  ini  ditentukan  solusi  eksak gelombang  soliton  pada  medium  nonlinear  Kerr nonlokal  dari  persamaan  NNLS.  Solusi  eksak soliton dapat digunakan untuk mengetahui sifat- sifat perambatan soliton pada medium nonlinear Kerr  nonlokal  [4].  Perubahan  respon  nonlokal pada suatu medium dapat dipengaruhi oleh sifat- sifat  perambatan  soliton.  Dengan  melihat  sifat- sifat perambatan soliton pada medium nonlinear
nonlokal, memungkinkan soliton dapat diaplikasikan  untuk  membuat  desain  peralatan komunikasi  optik  seperti  self-optical  switching ataupun self-optical routing [5]. Oleh karena itu, penelitian ini penting dilakukan untuk memahami  respon  nonlinear  nonlokal  pada gelombang soliton.

## TINJAUAN PUSTAKA

## 1. Persamaan Maxwell
Teori  propagasi  cahaya  pada  medium dielektrik  yang  melibatkan  medan  elektrik  dan medan  magnetik  dikembangkan  pertama  kali oleh  Maxwell  pada  tahun  1860.  Dalam  notasi vektor, persamaan Maxwell dapat ditulis sebagai
∇ ⃗⃗  × 𝐸⃗  = − 𝜕𝐵 ⃗ 𝜕𝑡
∇ ⃗⃗  × 𝐻⃗⃗  = 𝐽  + 𝜕𝐷 ⃗⃗ 𝜕𝑡 (1) ∇ ⃗⃗ . 𝐷 ⃗⃗  = 𝜌 ∇ ⃗⃗ . 𝐵⃗  = 0
dengan 𝐸⃗ ,  𝐻 ⃗⃗⃗  , 𝐷 ⃗⃗  , 𝐵⃗ , 𝐽 dan 𝜌 berturut-turut  adalah medan  elektrik,  medan  magnetik,  rapat  fluks elektrik,  rapat  fluks  magnetik,  rapat  arus,  dan rapat  muatan  elektrik.  Pembahasan  dibatasi untuk  material  nonmagnetik,  tanpa  muatan  dan arus elektrik, yaitu:
J  = 0 dan 𝜌 = 0
D ⃗⃗  = 𝜀 0 𝐸⃗  + 𝑃⃗ (2)
B ⃗⃗  = 𝜇 0 𝐻 ⃗⃗
dengan 𝜀 0 ,  𝜇 0 dan 𝑃⃗ berturut-turut  adalah permitivitas  ruang  hampa,  permeabilitas  ruang hampa,  dan  polarisasi  elektrik.  Persamaan Maxwell  dapat  digunakan  untuk  memperoleh persamaan  Schrodinger  yang  menggambarkan perambatan cahaya dalam medium nonmagnetik [6].
2. Persamaan Helmholtz Nonlinear
Dalam pembahasan ini, diasumsikan bahwa medium perambatan gelombang adalah material nonlinear Kerr, sehingga rapat fluks elektrik akan berbentuk
D ⃗⃗  = 𝜀 0 (1 + 𝜒 (1) + 𝜒 (3) |𝐸⃗ | 2 ) 𝐸⃗ (3)
dengan 𝜒 adalah konstanta.
Dengan  menggunakan  persamaan  (2)  dan  (3), persamaan Maxwell (1) dapat direduksi menjadi
∇ ⃗⃗ (∇⃗⃗ . E⃗⃗ ) − ∇⃗⃗ 2 E ⃗⃗  + 𝜇 0 𝜀 0 𝜕 2 𝜕𝑡 2 (1 + 𝜒 (1) + 𝜒 (3) |𝐸⃗ | 2 ) 𝐸⃗ =0. (4)
Menurut  Suryanto  (2004),  persamaan  (4) merupakan persamaan gelombang elektromagnetik  dimana  persamaan  tersebut melibatkan  vektor  kompleks  dimensi  tiga.
Permasalahan  tersebut  dapat  disederhanakan dengan mengasumsikan bahwa medium berbentuk lempengan ( slab waveguide ), sedemikian  sehingga  ketergantungan  medan elektrik  dan  magnetik  terhadap  salah  satu dimensi  dapat  diabaikan.  Persamaan  gelombang elektromagnetik  tersebut  dapat  disederhanakan dengan mempertimbangkan dua tipe solusi yaitu gelombang transverse  electric  mode  ( TE)  dan gelombang transverse magnetic mode (TM). Pada kasus  ini  pembahasan  hanya  dibatasi  pada gelombang  TE  yaitu  vektor  medan  listrik  tegak lurus dengan arah perambatan. Arah perambatan dipilih  searah  dengan  sumbu z ,  sehingga  vektor medan  listrik  dan  magnetik  berturut-turut adalah
𝐸⃗  = [0, 𝐸 𝑦 (𝑥, 𝑧, 𝑡), 0] (5)
𝐻 ⃗⃗  = [𝐻 𝑥 (𝑥, 𝑧, 𝑡), 0, 𝐻 𝑧 (𝑥, 𝑧, 𝑡)] . (6) Oleh karena itu,
∇ ⃗⃗ . 𝐸⃗  = 𝜕 𝜕𝑦 𝐸 𝑦 (𝑥, 𝑧, 𝑡) = 0 (7)
Dengan  demikian  persamaan  (4)  dapat  ditulis sebagai persamaan skalar yaitu
− ( 𝜕 2 𝜕𝑥 2 𝐸 𝑦 + 𝜕 2 𝜕𝑧 2 𝐸 𝑦 ) + 1 𝑐 2 𝜕 2 𝜕𝑡 2 (1 + 𝜒 (1) + 𝜒 (3) |𝐸⃗ 𝑦 | 2 ) 𝐸⃗ 𝑦 = 0 (8)
dengan 𝑐 = 1 √𝜀 0 𝜇 0 adalah  kecepatan  cahaya  di ruang  hampa.  Berdasarkan  asumsi  bahwa gelombang  yang  dipancarkan  dalam  material Kerr  mempunyai  frekuensi  tunggal  atau gelombang monokromatik, yaitu
𝐸 𝑦 (𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝐸(𝑥, 𝑧)𝑒 𝑖𝜔𝑡 , (9)
Sedemikian  sehingga  persamaan  (9)  menjadi persamaan Helmholtz nonlinear
∇ ⃗⃗ 2 𝐸 + 𝜔 2 𝑐 2 𝑛 2 𝐸 = 0 , (10)
dimana n adalah indeks bias nonlinear Kerr. Berdasarkan  asumsi  bahwa 𝑛 2 ≪ 1 maka 𝑛 2 dapat diaproksimasi menjadi 𝑛 2 ≈ 𝑛 0 2 + 2𝑛 0 𝑛 2 |𝐸⃗ | 2 (11)
dengan 𝑛 0 = √1 + 𝜒 (1) adalah  indeks  bias  linear dan 𝑛 2 = 𝜒 (3) 2𝑛 0 adalah  koefisien  indeks  bias nonlinear  kerr.  Dengan  demikian  perubahan indeks  bias ∆𝑛 akibat  pengaruh  nonlinearitas adalah
-1 , 𝑛 2 < 0 1  , 𝑛 2 ≥ 0 ∆𝑛 = 𝑛 2 |𝐸⃗ | 2
(12)
[6].
3. Persamaan Schrodinger Nonlinear (NLS)
Persamaan  Helmholtz  nonlinear  (10) merupakan  persamaan  diferensial  parsial  yang secara  umum  sangat  sulit  untuk  diselesaikan. Berdasarkan persamaan tersebut akan diturunkan  persamaan  Schrodinger  nonlinear. Sebelumnya, akan dicari terlebih dahulu solusi E dari persamaan (10) yang berbentuk 𝐸(𝑥, 𝑧) = 𝐴(𝑥, 𝑧)𝑒 𝑖𝑘 0 𝑧 , (13)
dengan 𝐴(𝑥, 𝑧) adalah  selubung  gelombang  yang diasumsikan  berubah  secara  lambat  sepanjang arah  perambatan  dan 𝑘 0 adalah  bilangan gelombang yang memenuhi hubungan 𝑘 0 = 𝜔𝑛 0 𝑐 . Berdasarkan  persamaan  (13),  setelah  dibagi dengan 2𝑘 0 2 𝑒 𝑖𝑘 0 𝑧 maka  persamaan  Helmholtz nonlinear dapat dituliskan sebagai
1 𝑘 0 𝜕𝐴 𝜕𝑧 + 1 2𝑘 0 2 𝜕 2 𝐴 𝜕𝑥 2 + 1 2𝑘 0 2 𝜕 2 𝐴 𝜕𝑧 2 + 𝑛 2 𝑛 0 |𝐴| 2 𝐴 = 0 .   (14)
Tergantung pada material Kerr, koefisien indeks bias 𝑛 2 akan  bernilai  positif  pada  material self- focusing dan  bernilai  negatif  pada  material self- defocusing .  Oleh  karena  itu  persamaan  (2.36) ditulis menjadi
1 𝑘 0 𝜕𝐴 𝜕𝑧 + 1 2𝑘 0 2 𝜕 2 𝐴 𝜕𝑥 2 + 1 2𝑘 0 2 𝜕 2 𝐴 𝜕𝑧 2 + 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑛 2 ) 𝑛̃ 2 𝑛 0 |𝐴| 2 𝐴 = 0 , (15)
dengan 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑛 2 ) =
Untuk  menormalkan  bentuk  persamaan maka  didefinisikan  suatu  parameter  kecil 𝜅 , 0 < 𝜅 ≤ 1 .  Kemudian  diasumsikan  bahwa  selubung gelombang  berubah  secara  lambat  sepanjang arah  perambatan z .  Untuk  melihat  perubahan selubung  gelombang  pada  jarak  perambatan yang cukup jauh tetapi masih berhingga jaraknya maka  didefinisikan  variabel  lambat  dan  sangat lambat, yaitu
𝑋 = 𝜅𝑘 0 𝑥 (16) 𝑍 = 𝜅 2 𝑘 0 𝑧 , (17)
Dan menskala Selubung gelombang sebagai
𝐴(𝑋, 𝑍) = 𝜅√ 𝑛 0 𝑛̃ 2 𝐵(𝑋, 𝑍) . (18) Selanjutnya dengan mensubstitusikan
persamaan  (14),  maka  diperoleh  persamaan Schrodinger nonlinear (NLS) sebagai berikut
𝑖 𝜕𝐵 𝜕𝑧 + 1 2 𝜕 2 𝐵 𝜕𝑥 2 + 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑛 2 )|𝐵| 2 𝐵 = 0 (19)
[6].
4. Gelombang Soliton
Gelombang soliton adalah gelombang soliter (gelombang  tunggal)  yang  memiliki  sifat-sifat terlokalisasi  dan  merambat  tanpa  perubahan bentuk  dan  kecepatan.  Gelombang  ini  memiliki sifat seperti partikel, yaitu jika gelombang soliton bertumbukan  dengan  gelombang  soliton  yang lain,  profil  dan  kecepatannya  tidak  mengalami perubahan setelah tumbukan.
Fenomena  soliton  tidak  hanya  diprediksi secara  teori  tetapi  juga  telah  dibuktikan  secara eksperimen.  Pengamatan  pertama  dilakukan pada  tahun  1844  oleh  ilmuwan  Skotlandia,  John Scott-Russel  (1808-1882).  Pada  tahun  1834, Russel  mengamati  fenomena  gelombang  air  di kanal  Eidenberg-Glaslow.  Russel  menyebut  ini sebagai  gelombang  besar  translasi.  Gelombang air  tersebut  menjalar  dengan  bentuk  yang  tidak berubah  sepanjang  kanal  dalam  rentang  waktu yang relatif lama [2].

## METODOLOGI PENELITIAN
Pada penelitian ini, persamaan Schrodinger nonlinear nonlokal (NNLS) diturunkan dari persamaan Helmholtz nonlinear dengan  penambahan  suatu  parameter  nonlokal 𝛾̃ . Selanjutnya, melalui persamaan NNLS tersebut akan  ditentukan  solusi  eksak  dari  gelombang soliton  yang  berupa  fungsi  implisit.  Alur kerangka pemikiran dari penelitian ini diberikan dalam gambar 1, yaitu sebagai berikut:

## HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Metode Penurunan Persamaan Schrodinger Nonlinier Nonlokal (NNLS)

## Persamaan Helmholtz Nonlinear
Diasumsikan  bahwa  medium  perambatan gelombang  adalah  material  nonlinear  bertipe Kerr nonlokal, sehingga rapat fluks elektrik akan berbentuk
D ⃗⃗  = 𝜀 0 (1 + 𝜒 (1) + 𝜒 (3) |𝐸⃗ | 2 + 𝛾 |𝐸⃗ | 2 𝜕𝑥 2 ) 𝐸⃗ (20)
Dengan  menggunakan  penurunan  persamaan Helmholtz nonlinear yang sama, maka diperoleh
∇ ⃗⃗ 2 𝐸 + 𝜔 2 𝑐 2 𝑛 2 𝐸 = 0. (21)
Indeks bias nonlinear Kerr nonlokal dapat ditulis sebagai
𝑛 = 𝑛 0 + 𝑛 2 |𝐸⃗ | 2 + 𝛾 2𝑛 0 |𝐸⃗ | 2 𝜕𝑥 2 (22)
dengan 𝑛 2 = 𝜒 (3) 2𝑛 0 adalah  koefisien  indeks  bias nonlinear  Kerr.  Jika  (22)  dikuadratkan  maka diperoleh
𝑛 2 = (𝑛 0 + 𝑛 2 |𝐸⃗ | 2 + 𝛾 2𝑛 0 |𝐸⃗ | 2 𝜕𝑥 2 ) 2 (23)
Berdasarkan  asumsi  bahwa 𝑛 2 ≪ 1 dan 𝛾 ≪ 1 maka 𝑛 2 dapat diaproksimasi menjadi
𝑛 2 ≈ 𝑛 0 2 + 2𝑛 0 𝑛 2 |𝐸⃗ | 2 + 𝛾 𝜕 2 |𝐸⃗ | 2 𝜕𝑥 2 . (24)
Dengan  demikian  perubahan  indeks  bias ∆𝑛 akibat pengaruh nonlinearitas adalah
∆𝑛 = 𝑛 2 |𝐸⃗ | 2 + 𝛾 𝜕 2 |𝐸⃗ | 2 𝜕𝑥 2 . (25)

## Persamaan  Schrodinger  Nonlinear  Nonlokal (NNLS)
Berdasarkan persamaan Helmholtz
nonlinear  (21)  akan  diturunkan  persamaan Schrodinger  nonlinear  nonlokal.  Dalam  hal  ini dicari  terlebih  dahulu  solusi E dari  persamaan yang berbentuk
𝐸(𝑥, 𝑧) = 𝐴(𝑥, 𝑧)𝑒 𝑖𝑘 0 𝑧 ,                          (26) Pada  pembahasan  ini  diasumsikan  bahwa 𝑛 2 bernilai  positif.  Dengan  menggunakan  langkah yang  sama  untuk  menemukan  persamaan Schrodinger nonlinear.
Selanjutnya  diasumsikan  juga  bahwa  bernilai positif, sehingga diperoleh
𝑖 𝜕𝐵 𝜕𝑍 + 1 2 𝜕 2 𝐵 𝜕𝑋 2 + 𝜅 2 𝜕 2 𝐵 𝜕𝑍 2 + |𝐵| 2 𝐵 + 𝛾̃ 𝜕 2 |𝐵| 2 𝜕𝑋 2 𝐵 = 0. (27) Karena  nilai 𝜅 2 sangat  kecil  maka  nilai 𝜅 2 dan suku  yang  memuat  turunan  kedua  terhadap Z dapat diabaikan, sehingga persamaan (27) dapat ditulis menjadi
𝑖 𝜕𝐵 𝜕𝑍 + 1 2 𝜕 2 𝐵 𝜕𝑋 2 + |𝐵| 2 𝐵 + 𝛾̃ 𝜕 2 |𝐵| 2 𝜕𝑋 2 𝐵 = 0 .          (28)
Persamaan (28) merupakan persamaan Schrodinger nonlinear nonlokal (NNLS).
Latar Belakang: Soliton dengan medium perambatan gelombang adalah material nonlinear bertipe Kerr nonlokal Persamaan Helmholtz Nonlinear dengan penambahan parameter 𝛾̃
Rapat fluks pada media nonlinear bertipe Kerr nonlokal: D ⃗⃗  = 𝜀 0 (1 + 𝜒 (1) + 𝜒 (3) |𝐸⃗ | 2 + 𝛾 |𝐸⃗ | 2 𝜕𝑥 2 ) 𝐸⃗ Persamaan Schrodinger Nonlinear Nonlokal (NNLS)
Solusi Soliton pada Medium Nonlinear Kerr Nonlokal Aplikasi matlab untuk melihat perambatan gelombang soliton
Analisis Hasil dan Pembahasan
Kesimpulan
Gambar 1. Alur Kerangka Pemikiran

## 2. Solusi Soliton pada Medium Nonlinear Kerr Nonlokal
Asumsikan  bahwa  selubung  gelombang berbentuk 𝐵(𝑋, 𝑍) = 𝑈(𝑋)𝑒 𝑖 Γ 𝑧 , (29)
Jika  persamaan  (29)  di  substitusikan  ke persamaan (28), maka diperoleh persamaan
−2𝑈 Γ + 𝜕 2 𝑈 𝜕𝑋 2 + 2𝑈 3 + 2𝛾̃ 𝜕 2 |𝑈| 2 𝜕𝑋 2 𝑈 = 0. (30)
Jika  persamaan  (30)  dikali  dengan 𝜕𝑈 𝜕𝑋 dan diintegralkan terhadap X , maka diperoleh (1 + 4𝛾̃𝑈 2 ) ( 𝜕𝑈 𝜕𝑋 ) 2 + (𝑈 2 − 2 Γ )𝑈 2 = 𝐶 , (31)
dengan C adalah konstanta integrasi.
Kemudian  diasumsikan  bahwa U dan 𝜕𝑈 𝜕𝑋 bernilai 0 pada 𝑋 → ± ∞ sehingga diperoleh nilai konstanta 𝐶 = 0 dan  persamaan  (31)  dapat dituliskan sebagai berikut
(1 + 4𝛾̃𝑈 2 ) ( 𝜕𝑈 𝜕𝑋 ) 2 + (𝑈 2 − 2 Γ )𝑈 2 = 0 . (32)
Selain  itu,  diasumsikan  juga  bahwa  soliton berpusat  di 𝑋 = 0 sehingga 𝜕𝑈 𝜕𝑋 = 0 pada  saat 𝑋 = 0 .  Dengan  menggunakan  asumsi  tersebut  dapat diketahui  bahwa  hubungan  antara  konstanta propagasi  Γ  dan  amplitudo 𝑈 0 adalah  sebagai
berikut 𝑈 0 2 = 2 Γ,                                                      (33) sehingga  persamaan  (32)  dapat  disederhanakan menjadi
( 𝜕𝑈 𝜕𝑋 ) 2 = (𝑈 0 2 −𝑈 2 )𝑈 2 1+4𝛾 ̃𝑈 2 . (34)
Untuk kasus 𝛾̃ < 0 , solusi (35)  ada jika dan hanya  jika  intensitas  puncak 𝑈 0 2 = 𝜌 0 memiliki nilai  lebih  kecil  dari  nilai  kritis (𝑈 𝑐𝑟 ) 2 = 1 |4𝛾 ̃| = 𝜌 𝑐𝑟 .  Nilai  kritis  tersebut  diperoleh  dari 1 + 4𝛾̃𝑈 2 yang  nilainya  selalu  positif,  namun  karena 𝛾̃ < 0 maka
1 + 4𝛾̃𝑈 2 > 0
𝜌 𝑐𝑟 = 1 |4𝛾̃| dengan 𝑈 2 = 𝜌 adalah intensitas soliton. Selanjutnya  persamaan  (34)  diintegralkan terhadap X , sehingga diperoleh
±𝑋 = 1 𝑈 0 𝑡𝑎𝑛ℎ −1 ( 𝜎 𝑈 0 ) + √4𝛾̃𝑡𝑎𝑛 −1 √4𝛾̃ ,        (35)
dengan 𝜎 = √ (𝑈 0 2 −𝑈 2 ) 1+4𝛾 ̃𝑈 2 .
Fungsi  implisit  (35) merupakan  solusi  dari soliton  dalam  medium  Kerr  nonlokal.  Jika 𝛾̃ = 0 maka  diperoleh  profil 𝑈(𝑋) = 𝑈 0 sech (𝑈 0 𝑋) yang merupakan  solusi  perambatan  soliton  pada medium  lokal. Pusat  soliton  memiliki  intensitas yang  tinggi,  sedangkan  di  sekitar  pusat  tersebut intensitasnya sangat rendah (hampir nol).
Plot  soliton  untuk  parameter  nonlokal 𝛾̃ yang berbeda ditunjukkan pada Gambar 2.
Dari Gambar 2 dapat dilihat dengan jelas bahwa perubahan  lebar  dari  gelombang  soliton tergantung pada parameter nonlokal.
Selanjutnya,  soliton  dengan  parameter  nonlokal 𝛾̃ = 0 , 𝛾̃ = 0.25 ,  dan 𝛾̃ = 0.5 pada 𝑈 0 = 1 dan 𝑈 0 = 2 diplot pada gambar 3 .
Gambar 2. Plot Gelombang Soliton untuk 𝑼 𝟎 = 𝟏 dengan 𝜸 ̃ = 𝟎 , 𝜸 ̃ = 𝟎. 𝟐𝟓 dan 𝜸 ̃ = 𝟎. 𝟓
Gambar  3  menunjukkan  bahwa  gelombang soliton ini memiliki nilai maksimum 𝑈 0 pada titik pusat 𝑋 = 0. Perubahan dari nilai 𝑈 0 mempengaruhi perubahan lebar dari soliton.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan  yang  telah diuraikan  pada  hasil  dan  pembahasan,  maka dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  dengan menyelesaikan persamaan
Schrodinger nonlinear  nonlokal  (NNLS)  diperoleh  solusi eksak gelombang soliton pada medium nonlinear Kerr  nonlokal.  Solusi  tersebut  berbentuk  fungsi implisit yaitu
±𝑋 = 1 𝑈 0 𝑡𝑎𝑛ℎ −1 ( 𝜎 𝑈 0 ) + √4𝛾̃𝑡𝑎𝑛 −1 √4𝛾̃
degnan 𝜎 = √ (𝑈 0 2 −𝑈 2 ) 1+4𝛾 ̃𝑈 2 dan 𝛾̃ merupakan parameter nonlokal.
Perubahan  parameter  nonlokal  ~ dapat mempengaruhi lebar soliton. Semakin besar nilai parameter  nonlokal 𝛾̃ ,  soliton  akan  semakin lebar. Sementara itu, gelombang soliton memiliki nilai  maksimum 𝑈 0 pada  titik  pusat 𝑋 = 0 . Perubahan  dari  nilai 𝑈 0 juga  mempengaruhi perubahan  lebar  soliton.  Soliton  akan  semakin lebar seiring dengan semakin besarnya nilai 𝑈 0 .

## BIBLIOGRAPHY
[1] G. P. Agrawal, Application of Nonlinear Fiber Optic, San Diego: Academic Pres Inc., 2001.
[2]  Y. S. Kivshar and G. P. Agrawal, Optical Solution: From Fibers to Photonic Crystal, Amsterdam: Academic Press Inc., 2003.
[3]  M. A. Karpierz, A. D. Boardman and G. I. Stegeman, "Nonlocal Soliton," in Proc. of SPIE , 2005.
[4]  W. Krolikowski and O. Bang, "Soliton in Nonlocal Nonlinear Media: Exact Result,"
Phys. Rev. E., p. 63, 2000.
[5]  F. Garzia, C. Sabilia and M. Bertolotti, "New Phase Modulation Technique Based on Spatial Soliton Switching," IEEE Journal of Lightwave Technology, pp. 337-338, 2001.
[6]  A. Suryanto, Pemodelan Matematika, Malang: FMIPA Universitas Brawijaya, 2004.
Gambar 3. Plot Soliton untuk (a) 𝜸 ̃ = 𝟎 , (b) 𝜸 ̃ = 𝟎. 𝟐𝟓 , dan (c) 𝜸 ̃ = 𝟎. 𝟓 dengan 𝑼 𝟎 = 𝟏 dan 𝑼 𝟎 = 𝟐