## KALIBRASI MODEL HARGA OPSI CALL EROPA

## Ilham Falani
Program Studi Teknik Industri, Universitas Indraprasta PGRI Email : ilham.falani@sci.ui.ac.id

## Abstrak
Investor  perlu  memiliki  strategi  dalam  menentukan  harga  wajar  untuk  sebuah  opsi.  Salah satu strategi yang dapat digunakan adalah mempelajari model harga opsi Heston. Pada model harga  opsi  diperlukan  beberapa  nilai  parameter  yang  harus  ditentukan  terlebih  dahulu melalui  kalibrasi.  Kalibrasi  dapat  dipandang  sebagai  masalah  optimasi  nonlinear,  yakni dengan meminimumkan nilai suatu  fungsi objektif. Algoritma Particle Swarm Optimization merupakan  salah  satu  metode  iteratif    yang  dapat  digunakan  dalam  menentukan  solusi masalah optimasi nonlinear. Selanjutnya hasil kalibrasi digunakan untuk menentukan harga wajar opsi. Data yang digunakan dalam makalah ini adalah data 50 harga opsi pasar saham Apple  Inc .  Berdasarkan  hasil  implementasi  yang  dilakukan,    algoritma Particle  Swarm Optimization menunjukan kinerja yang  cukup baik.
Kata kunci : Particle swarm optimization , kalibrasi, model harga opsi Heston

## Pendahuluan
Opsi  adalah  salah  satu  jenis  kontrak  yang  populer  diperdagangkan  di  pasar  derivatif.  Opsi merupakan kontrak yang berisi hak untuk membeli atau menjual suatu aset dengan harga dan waktu  tertentu  yang  telah  menjadi  kesepakatan  antara  penjual  dan  pembeli  opsi.Penentuan harga  opsi  merupakan  hal  yang  penting  untuk  diketahui.  Investor  perlu  memiliki  strategi dalam  menentukan  harga  opsi.Melalui  strategi  tersebut  investor  diharapkan  dapat mengetahui harga wajar ( fair ) opsi. Salah satu strategi untuk menentukan harga opsi adalah menggunakan  model  harga  opsi  Heston.  Model  harga  opsi  Heston  memiliki limaparameterbebasyangdapat ditentukan melalui kalibrasi. Kalibrasi merupakan hal penting yang  perlu  diperhatikan  dalam  mempelajari  penentuan  harga  opsi,  karena  nilai  parameter yang  diperoleh  melalui  kalibrasi  sangat  mempengaruhi  keakuratan  model.  Menurut  Kavin Sin  (2010),  algoritma Particle  Swarm  Optimization (PSO)  merupakan  algoritma  yang memiliki  kinerja  yang  baik  dalam  mencari  solusi  masalah  optimasi.  Berdasarkan  informasi tersebut  penulis  tertarik  untuk  meneliti  lebih  lanjut  implementasi  algoritma  PSO  pada kalibrasi model harga opsi Heston.

## Tinjauan Pustaka

## Opsi
Menurut Hull (2003), Opsi merupakan sebuah kontrak yang berisi hak bagi pemegang opsi ( holder )  untuk  menjual  atau  membeli  aset  sekuritas  yang  mendasarinya  ( underlying  asset ) pada  waktu  dan  harga  tertentu.  Aset  yang  mendasari  sebuah  opsi  dapat  berupa:  Saham, indeks saham, kurs, komoditas, dan lain-lain. Pemegang opsi perlu membayar sejumlah uang atas hak yang diperolehnya kepada penerbit opsi ( writter ) yang disebut harga opsi. Pada tesis ini  aset  sekuritas  dasar  yang  digunakan  adalah  saham,  sehingga  pembahasan  selanjutnya akan difokuskan pada opsi saham.
Berdasarkan transaksinya, opsi dibagi menjadi dua jenis yaitu (Hull, 2003):
1. Opsi Call, kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli saham pada waktu dan harga tertentu.
2. Opsi Put ,kontrak yang memberikan hak kepada pemegang opsi untuk menjual saham pada waktu dan harga tertentu.
Berdasarkan waktu pelaksanaannya, opsi dibagi menjadi dua jenis yaitu (Hull, 2003):
1. Opsi Eropa, opsi yang hanya dapat dilaksanakan pada saat jatuh tempo.
2. Opsi  Amerika,  opsi  yang  dapat  dilaksanakan  kapan  saja  sampai  dengan  tanggal  jatuh
tempo.
Pemegang opsi harus membayar sejumlah uang atas hak yang diperolehnya kepada penerbit opsi. Pemegang opsi perlu memiliki strategi dalam menentukan besarnya harga yang  wajar untuk opsi. Salah satu strategi yang dapat digunakan oleh pemegang opsi dalam menentukan harga  opsi  yang  wajar  adalah  dengan  menggunakan  model  harga  opsi  Heston.  Sebelum membahas  model  harga  opsi  Heston,  terlebih  dulu  dibahas  persamaan  diferensial  stokastik yang menjadi dasar model pergerakan harga saham.

## Persamaan Diferensial Stokastik
Pada subbab ini dibahas mengenai persamaan diferensial stokastik yang akan diawali dengan pembahasan tentang proses Wiener standar.
Proses Wiener standar pada interval
didefinisikan sebagai sebuah variabel acak
,
dan memenuhi kondisi berikut ini,
(Higham,2010) 1. (probabilitas 1). 2. Untuk , variabel acak yang  ditentukan oleh perubahan ( increment ), berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi 3. Untuk ,  perubahan dan
saling  bebas.
Proses  Wiener  juga  dikenal  sebagai  proses  gerak  Brown  ( Brownian  motion  process ).  Pada tahun  1982,  Robert  Brown  melakukan  penelitian  terhadap  gerakan  sejumlah  partikel  yang tidak  beraturan  yang  dikenal  dengan  gerak  Brown,  kemudian  hasil  penelitian  tersebut dipergunakan dalam memodelkan pergerakan harga saham (Ross, 2010).
Model  pergerakan  harga  saham  dinyatakan  dalam  persamaan  diferensial  stokastik. Pergerakan  harga  saham  merupakan  sebuah  proses  stokastik  karena  harga  saham  dapat berubah secara acak pada selang waktu tertentu dengan pola yang tidak terduga.
Definisi Misalkan
merupakan  sebuah  proses  Wiener  dan merupakan sebuah proses stokastik, maka persamaan
disebut  persamaan  diferensial  stokastik,  suku dan berturut-turut
merepresentasikan koefisien drift dan diffusion . (Klebaner, 2005) Untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferensial stokastik dibutuhkan formula Ito.
Lema (formula Ito). Misalkan proses stokastik dengan persamaan diferensial stokastik
dan adalah fungsi kontinu yang memiliki turunan yang  kontinu.  Maka adalah  proses  diferensial stokastik dengan
Persamaan di atas dikenal dengan formula Ito (pembahasan secara detail dapat dilihat pada Papanicolaou, 2013).
Gauss Lobatto Integration Gauss Lobatto integration adalah salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk aproksimasi intergral secara adaptive. Bentuk umum Gauss Lobatto integration sebagai berikut (Weisstein, 2013):
dimana   untuk merupakan akar-akar dari polinomial , dengan adalah polinomial Legendre. , untuk adalah fungsi bobot  untuk   , dengan persamaan sebagai berikut,
dan titik-titik akhirnya adalah
Himpunan polinomial
Legendre
didefinisikan sebagai sebuah himpunan dengan sifat-sifat sebagai berikut (Burden dan Faires, 2010) 1. Untuk setiap  , adalah polinomial berderajat  . 2. dimana adalah sebuah polinomial berderajat .
Berikut adalah beberapa polinomial Legendre pertama,

## dan
Error yang dihasilkan Gauss Lobatto integration adalah,
Pada perangkat lunak MATLAB terdapat  fungsi quad1(fun,a,b) yang mengimplementasikan Gauss Lobatto integration untuk integral suatu fungsi pada selang .

## Model Harga Opsi Heston
Pada tahun 1993, Heston mengusulkan sebuah model volatilitas stokastik saham, yaitu
,
,
dimana menyatakan  harga  saham  pada  waktu  ke   dan
dengan menyatakan
proses  volatilitas  harga  saham  dengan yang  memenuhi  persamaan  (2).  menyatakan ekspektasi  tingkat  imbal  hasil  saham.
merupakan  parameter-parameter  bernilai positif  yang  secara  berturut-turut  menyatakan  laju  dari  pengembalian  rata-rata ,  tingkat
rata-rata  jangka  panjang  dari   ,  dan  volatilitas  dari  .  Dua  buah  gerak  Brown dan yang saling berkorelasi, dimana   adalah korelasi antara aset  dan volatilitas  .
Berdasarkan  model  volatilitas  stokastik tersebut  Heston  mengemukakan Closed  Form Solution sebagai berikut (Poon, 2011):
dengan . Untuk
dimana
,
merupakan  harga  opsi call saham  . berturut-turut  adalah strike  price
dan maturity  date yang  disepakati  antara  penjual  dan  pembeli  opsi.  adalah  tingkat suku bunga bebas resiko.

## Metodologi Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  adalah  studi  pustaka  untuk  lebih memahami  tentang  kalibrasi  model  harga  opsi call Eropa  Heston,  serta  mempelajari algoritma  PSO  sebagai  teknik  dalam  melakukan  kalibrasi.  Dilanjutkan  dengan penyusunan algoritma PSO dan mengimplementasikannya dalam kalibrasi model harga opsi call Eropa  Heston.  Implementasi  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  bantuan perangkat lunak Matlab R2013.

## Masalah Optimasi pada Kalibrasi Model Harga Opsi Heston
Untuk menentukan harga opsi call Eropa dengan model harga opsi Heston, diperlukan nilai  parameter Nilai  parameter  model  harga  opsi  Heston  tidak  dapat
diperoleh  secara  langsung  dari  harga  pasar  opsi  yang  diamati,  tetapi  melalui  kalibrasi. Kalibrasi  dipandang  sebagai  masalah  optimasi  kuadrat  terkecil  nonlinear,  dengan meminimumkan fungsi objektif sebagai berikut(Seungg, Hyejin, dan Lee, 2010)
dengan adalah  banyaknya  data  harga  opsi  pasar  yang  digunakan, adalah harga  opsi  ke   berdasarkan  model  harga  opsi  Heston.
adalah  harga  opsi  ke berdasarkan  harga  opsi  pasar.  Harga  opsi  pasar  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah  data  harga  opsi  saham Apple  Inc (AAPL)  yang  diunduh  pada  tanggal  20  April 2014 dan diakses melalui www.nasdaq.com . Data yang digunakan terdiri dari 50 harga opsi  saham  dengan    harga  saham  awal =  $112.21,  tingkat  bunga  bebas  resiko
, harga kesepakatan dan waktu pelaksanaan  yang berbeda-beda untuk setiap harga opsi pasar.
Pada  masalah  optimasi  ini  terdapat  fungsi-fungsi  kendala  yang  harus  dipenuhi  untuk menjamin proses variansi pada persamaan bernilai positif. Kendala tersebut adalah (Mikhailov dan Nogel, 2012)
Pencarian solusi masalah optimasi pada kalibrasi model harga opsi Heston ini  dilakukan dengan algoritma PSO.
Algoritma PSO pada Kalibrasi Model Harga Opsi Heston Algoritma Particel Swarm Optimization merupakan salah satu teknik numerik untuk menyelesaikan masalah optimasi fungsi nonlinear. Teknik ini dikemukakan oleh Eberhart dan Kennedy pada tahun 1995. Konsep dasar algoritma PSO diinspirasi dari perilaku sosial hewan, contohnya perilaku burung  terbang secara berkelompok (Brownlee, 2011).
Pada  algoritma  PSO  tiap  objek  burung  dipandang  sebagai  sebuah  partikel.  Sebuah partikel  dalam  ruang  memiliki  posisi  yang  dinyatakan  sebagai  vektor  koordinat  yang disebut vektor posisi. Vektor posisi ini dianggap sebagai keadaan yang sedang ditempati oleh partikel di ruang pencarian. Setiap posisi dalam ruang pencarian merupakan solusi potensial  yang  dapat  dievaluasi  menggunakan  fungsi  objektif.  Setiap  partikel  bergerak dengan kecepatan tertentu. Konsep tersebut disimulasikan dalam ruang  dimensi tertentu menggunakan  sejumlah  iterasi  dan  pada  setiap  iterasi  posisi  partikel  akan  semakin mengarah ke target yang dituju. Simulasi ini dilakukan hingga maksimum iterasi dicapai atau dapat juga digunakan kriteria penghentian iterasi yang lain (Eberhart dan Kennedy, 1995).  Beberapa  notasi  dan  istilah  dalam  PSO  yang  digunakan  adalah  (Englebrecth, 2007):
 Kelompok ( Swarm ) adalah kumpulan dari objek (partikel)
 Particle adalahsolusi potensial ke   dalam kelompok pada iterasi ke  . dalam kelompok dinyatakan sebagai vektor posisi berdimensi   yang dapat ditulis sebagai
 Ukuran kelompok merepresentasikan banyaknya partikel yang ada dalam kelompok.
 Jumlah iterasi merepresentasikan jumlah maksimal iterasi yang dilakukan, dengan .  ( Particlebest ) adalah posisi terbaik berdasarkan nilai evaluasi fungsi objektif terbaik .  adalah nilai evaluasi fungsi objektif terkecil dari .  ( Global Best ) adalah posisi terbaik diantara seluruh dalam kelompok, dan  adalah nilai evaluasi fungsi objektif terkecil dari diantara seluruh .  Komponen kecepatan ( inertia ) adalah kecepatan dari
, yang dapat ditulis
sebagai  Bobot Inertia adalah fungsi bobot untuk kecepatan partikel sebelumnya,
 Koefisien akselerasi   dan  berturut-turut merupakan koefisien bobot untuk komponen kognitif dan komponen sosial, Nilai   dan   yang digunakan (Talukder, 2010).
Kecepatan  dari  tiap  partikel  akan  terus  diperbaharui  selama  proses  optimasi  dengan menggunakan persamaan di bawah ini (Eberhart dan Kenedy, 1995),
Menurut  Englebrecth  (2007),  bobot inertia yang  berubah  secara  dinamis  lebih sering digunakan pada masalah  optimasi. Pengurangan bobot inertia secara linear pada setiap iterasi berdasarkan persamaan berikut:
(7) dengan dan berturut-turut  adalah  nilai  awal  dan  akhir  bobot inertia Nilai yang  banyak  digunakan  dalam  berbagai  penelitian  adalah dan (Talukder, 2011). Pada algoritma PSO,  nilai-nilai parameter dinyatakan sebagai vektor posisi
berdimensi lima dari sebuah partikel,
dengan  partikel dengan
,  merupakan  solusi  potensial  ke   dalam kelompok  pada  iterasi  ke  .  Dalam  satu  kelompok  terdapat  sebanyak partikel  yang akan digunakan dalam ruang pencarian,
Setiap  partikel  akan  terus  menerus  bergerak  mencari  solusi  masalah  optimasi  kuadrat terkecil  nonlinear    hingga  kriteria  penghentian  algoritma  dicapai.  Kriteria  penghentian yang digunakan dalam makalah ini adalah jika jumlah maksimum iterasi telah dicapai. Hasil akhir dari algoritma PSO adalah:
yang  merupakan global  best, yakni  posisi  terbaik  diantara  seluruh  partikel  yang menghasilkan  nilai  evaluasi  fungsi  objektif    yang  paling  optimal  untuk  masalah optimasi  pada  kalibrasi  model  harga  opsi  Heston.  Kelima  elemen  dalam  vektor  posisi tersebut  merepresentasikan  nilai  parameter  optimal  model  berdasarkan  satu  kali simulasi  implementasi  algoritma  PSO.Satu  simulasi  didefinisikan  sebagai  satu  kali implementasi algoritma PSO pada kalibrasi model harga opsi Heston hingga dihasilkan nilai parameter model Heston ( .
Penghitungan nilai eror simulasi menggunakan metode mean squared error
Komponen kognitif Komponen sosial
Berikut  adalah  langkah-langkah  implementasi  algoritma  PSO  pada  Kalibrasi  model Heston (Seungho, Hyejin, dan Lee, 2010):
1. Tentukan parameter dan yang digunakan. 2. Inisialisasi posisi dan kecepatan
partikel awal secara acak.
3. Evaluasi nilai fungsi objektif( untuk setiap partikel 4. Tentukan berdasarkan nilai evaluasi fungsi objektif  . Jika , maka adalah posisi sekarang 5. Tentukan Jika , maka  tersebut  merupakan . 6. Perbaharui 7. Perbaharui selanjutnya  lakukan loop kembali  menuju  langkah nomor 3. Loop berakhir jika dicapai dan diperoleh
8. Analisis kinerja algoritma PSO untuk satu simulasi
Implementasi Algoritma Particle Swarm Optimization pada Kalibrasi Alur kerja kalibrasi model harga opsi Heston dengan menggunakan algoritma PSO telah dijelaskan seperti pada gambar di bawah ini,

## Gambar 2. Alur Kerja Kalibrasi Model Harga Opsi Heston dengan Algoritma PSO

## Model Harga Opsi Heston
Implementasi algoritma PSO pada kalibrasi model harga opsi Heston dalam makalah ini menggunakan nilai dan yang berbeda-beda, seperti pada tabel di berikut:
Tabel 1.  Kombinasi dan No 1 20 50 2 20 100 3 20 200 4 40 50 5 40 100 6 40 200 7 60
50
8 60 100 Menentukan data harga opsi pasar yang akan digunakan. Analisis kinerja algoritma PSO Kalibrasi model harga opsi
Heston melalui
implementasi algoritma PSO
sampai diperoleh nilai parameter model harga opsi Heston
Berdasarkan kombinasi nilai dan pada Tabel 1, simulasi dilakukan sejumlah 500 untuk setiap kombinasi sesuai pada skema di bawah ini:
Gambar 1.  Alur Simulasi untuk Tiap  Kombinasi dan
Dari 500 simulasi yang dilakukan, dihasilkan  500 posisi partikel terbaik untuk masing- masing  simulasi  berupa dengan yang  berisi  kelima  nilai parameter  ( .  Selanjutnya  kinerja  algoritma  PSO  pada  setiap simulasidianalisis  menggunakan  metode mean  squared  eror dengan  mensubtitusikan kelima nilai parameter yang diperoleh sehingga dihasilkan , sedangkan
adalah  50  data  harga  pasar  opsi  saham  yang  digunakan.  Selanjutnya  dihitung  jumlah kuadrat  selisih  antara dan ,  kemudian  dibagi  dengan  banyaknya  data
yang  digunakan.  Sehingga  diperoleh  500  nilai  eror  berdasarkan  500  simulasi.  Untuk mengetahui  nilai  eror  terkecil  yang  dihasilkan  oleh  500  simulasi  dapat  ditentukan denganmenghitung , Nilai  minimum  dari  minimum
eror    merepresentasikan  kinerja  algoritma  paling  optimal  yang  dapat  diperoleh kombinasi nilai dan pada Tabel 1.

## Hasil dan Pembahasan
Hasil simulasi sembilan kombinasi nilai dan pada Tabel 1adalah sebagai berikut,
Tabel 2.  Hasil Implementasi Algoritma PSO
9 60 200
500 simulasi :
: : : Mean squared error : : :
Nilai eror Terkecil
Pada  kolom  ke  11  Tabel  2  dapat  dilihat  nilai  minimum  eror  dari  500  simulasi  yang dilakukan  untuk  setiap  kombinasi dan .  Nilai  terkecil  dari  minimum  eror  adalah 0.0767. Hal ini berarti berdasarkan 500 simulasi yang dilakukan implementasi algoritma PSO  menggunakan    kombinasi dan menghasilkan  kinerja  yang lebih  baik  dibandingkan  dengan  hasil  implementasi  kombinasi  yang  lain.  Dengan demikian Particle best dengan dan pada
baris  kesembilan  kolom  kelima  sampai  dengan  sembilan  yang  menghasilkan cost value terkecil  merepresentaikan kelima nilai parameter yang paling optimal berdasarkan simulasi  yang  telah  dilakukan.  Selanjutnya  nilai  parameter  tersebut  dapat  digunakan dalam model harga opsi Heston untuk memprediksi harga opsi pasar yang diamati. Nilai minimum  eror  merepresentasikan  prediksi  rata-rata  selisih  harga  opsi  yang  dihasilkan oleh  model  harga  opsi  Heston  dan  harga  opsi  pasar  adalah  sebesar  $0.0767.  Hal  ini menunjukan  bahwa  implementasi  algoritma  PSO  pada  kalibrasi  model  harga  opsi Heston menunjukan kinerja yang cukup baik.

## Simpulan dan Saran
Kalibrasi  model  harga  opsi  Heston  terdiri  dari  beberapa  tahapan  yakni  :  Menentukan data  harga  opsi  pasar  yang  digunakan,  kalibrasi  model  harga  opsi  Heston  dengan menggunakan  algoritma  PSO  untuk  mencari  solusi  minimum  dari  masalah  optimasi kuadrat  terkecil  nonlinear  hingga  diperoleh  nilai-nilai  parameter  model  harga  opsi Heston, dan analisis kinerja algoritma PSO dengan menggunakan  metode least squared error sehingga  diperoleh  nilai  eror  yang  merepresentasikan  kinerja  algoritma  PSO. Berdasarkan  hasil  implementasi  yang  telah  dilakukan,  algoritma  PSO  menunjukan kinerja  yang  cukup  baik  dalam  mengaproksimasi  nilai  parameter  model  harga  opsi Heston.  Perlu  dilakukan  penelitian  tentang  kalibrasi  dengan  menggunakan  algoritma yang  lain  untuk  dapat  terus  meningkatkan  performa  model  Heston  dalam  menentukan harga opsi.

## Daftar Pustaka
Brownlee, J. (2011). Clever Algorithms: Nature-Inspired Programming Recipes . Melbourn: Creative common.
Eberhart, R., & Kennedy, J. (1995). Particle Swarm Optimization. Proceedings  IEEE  International  Conference  on  Neural  Networks,  Perth,  Australia . 1995, pp. 1942–1948.
Engelbrecht,  A.P.  (2007). Computational  Intelligence:  An  Introduction (2nd.  Ed). England: John Wiley and Sons Ltd.
Heston, S.L. (1993). A Closed-Form Solution for Option with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options . Review of Financial Study , vol. 6, pp. 337-343.
No Simulasi Particle best Cost value Minimum eror 1 20 50 500 49.266 0.0786      2.7784 -0.2012      0.0929 5.2757e+00 0.1055 2 20 100 500 9.2711      0.0754 0.2526     -0.7930 0.0828 5.1435e+00 0.1029 3 20 200 500 47.947 0.0766      1.2099 -0.4436      0.0836 4.9795e+00 0.0996 4 40 50 500 31.809 0.0766      0.9861 -0.3338      0.0861 5.1764e+00 0.1035 5 40 100 500 9.0427      0.0755      0.2098 -0.8906      0.0827 5.1483e+00 0.1030 6 40 200 500 48.111      0.0805         1.3860        -0.6122         0.0692 4.5421e+00 0.0908 7 60 50 500 49.631 0.0770      0.6517 -0.7922      0.0711 5.1574e+00 0.1030 8 60 100 500 46.016 0.0791      1.8994 -0.5033      0.0936 4.7682e+00 0.0954 9 60 200 500 48.672      0.0961      2.9952 -0.3909      0.0413 3.8355e+00 0.0767
Kao,  Chih-Cheng.  (2009). Application  of  Partticle  Swarm  Optimization  in  Mechanical Design. Taiwan: Kao Yuan University.
Mikhailov,  S.  dan  Nogel,  U. Heston's  Stochastic  Volatiliy  Model  Implementation, Calibration  and  Some  Extension .  Fraunhofer  Institute  for  Industrial  Mathematic, Germany. WILMOTT Magazine.
Poon, S.H. (2011). The Heston Option Pricing. America : Michigan University.
Seungho, Y., Park, H., dan Lee, J. (2010). Robust Calibration of the Stochastic Volatility Model . Journal of Mathematical Finance, 1, 50-57.
Sin,  K.(2010). Theses:  Numerical  Methods  for  Derivative  Pricing  with  Applications  to Barrier Options . Canada: University of Waterloo.
Talukder,  S.  (2010). Theses:  Mathematical  modelling  and  Applications  of  Particle Swarm Optimization. Sweden : Blekinge Institute of Technology.