Abstrak — Kayu  bundar  banyak  ditemukan  sebagai  bahan  dasar dalam  pembuatan furniture misalnya  meja,  kursi,  garasi,  dan sebagainya.  Produksi  kayu  bundardiperlukan  suatu  model matematika untuk menghitung prediksi pada periode yang akan mendatang  untuk  mempermudah  pemerintah  dan  perusahaan kayu  dalam  mengambil  setiap  kebijakannya  terkait  manajemen hasil  produksi  kayu  bundar.  Metode  Markov  Chains  dapat digunakan  sebagai  salah  satu  metode  untuk  memprediksikan hasil  produksi  kayu  bundar  di  Kabupaten  Malang  beberapa periode  kedepan  dengan  menggunakan  data-data  yang  sudah ada. Data-data yang digunakan adalah data hasil produksi kayu yang tercatat oleh Perum Perhutani Divisi Regional Jawa Timur pada  Januari  2010  sampai  dengan  Mei  2017.  Dalam  hal  ini, produksi kayu bundar di Kabupaten Malang akan mengambil 4 sampel  pohon  yang  meghasilkan  kayu  rimba  yaitu  Pinus, Mahoni,  Sengon,  dan  Damar.  Dari  simulasi  didapat  prediksi beberapa  periode  kedepan  dengan  menggunakan  pembagian  3 state,  4  state,  dan  5  state,  dan  juga  mendapatkan  peluang  dari periode  keberapa  mengalami  steady  state  dari  4  sampel    kayu dari  pohon  rimba  diatas.  Pembagi  3  state  yang  paling  cocok digunakan  untuk  keempat  jenis  kayu,  karena  memiliki kesesuaian hasil prediksi dengan data aktual yang cukup tinggi.
Kata  Kunci — Hutan  Produksi,  Kayu  Bundar,  Markov  Chains, Prediksi.

## I. PENDAHULUAN
UTAN  merupakan  salah  satu  sumber  daya  alam  yang sangat bermanfaat pagi  kehidupan  manusia. Pengelolaan hutan  pula  merupakan  sebuah  usaha  yang  dilakukan  untuk memperoleh  manfaat  dari  adanya  hutan  tanpa  mengabaikan dari  sisi  kelestariannya.Indonesia  memiliki  berbagai  macam kayu  yang  sebagian  besar  digunakan  dalam  bidang pembangunan.Dimana  Indonesia  adalah  negara  yang  dapat dikatakan  memiliki  pengelolaan  hutan  yang  berskala besar.Salah  satu  yang  dihasilkan  oleh  pengelolaan  hutan produksi  adalah  kayu.Kayu  berperan  penting,  yaitu  sebagai bahan  dasar  dalam  pembuatan  rumah,  dan  kerajianan  ukir kayu juga banyak yang dihasilkan oleh masyarakat Indonesia.
Tercatat  Indonesia  berada  diurutan  ke-9  negara  yang memiliki  hutan  terluas  di  dunia,  dengan  luas  hutan  mencapai 884.950 km 2 [1]. Salah satu produksi hutan yang dikelola oleh BUMN  (Badan  Usaha  Milik  Negara)  adalah  kayu bundar.Perusahaan  pengelola  hutan  BUMN  yang  ada  di Indonesia  adalah  Perum  Perhutani  yang  berada  di  Pulau Jawa.Dengan  memiliki  3  divisi  wilayah  kerja  yaitu  Regional Jawa Barat dan Banten, Regional Jawa Tengah, dan Regional Jawa  Timur.  Jawa  Timur  merupakan  divisi  regional  terluas kawasan hutannya, dengan luas 1.133.836,39 Ha [2].
Jumlah  kayu  milik  Indoneisa  yang  telah  diekspor mengalami naik turun  ke berbagai daerah atau negara tujuan, tercatat  oleh  Badan  Pusat  Statistik  pada  tahun  2000  hingga 2015 [3].
Salah  satu  faktor  yang  menyebabkan  naik  turunnya  jumlah ekspor  kayu  adalah  hasil  produksi  kayu.  Karena  adanya fluktuasi  pada  jumlah  kayu  yang  diekspor,  maka  dibutuhkan prediksi  untuk  menghitung  hasil  kayu  yang  dapat  diproduksi di tahun mendatang.
Karena Malang adalah salah satu kabupaten yang memiliki luas  hutan  terbesar  yang  ada  di  regional  Jawa  Timur,  maka perlu memprediksi hasil produksi kayu di Kabupaten Malang. Maka diperlukan suatu model matematika untuk memprediksi hasil  produksi  kayu  untuk  beberapa  tahun  kedepan.  Telah banyak  penilitian  yang  dilakukan  untuk  prediksi  dalam berbagai  bidang  dengan  menggunakan  metode Markov Chains ,  salah  satunya  adalah  prediksi  pada  tanaman  palawija di Kabupaten Indragiri Hilir. Sehingga metode Markov Chains dapat  digunakan  untuk  membantu  dalam  memperkirakan perubahan  yang  mungkin  terjadi  pada  waktu  yang  akan mendatang  dengan  menggunakan  variabel-variabel  dinamis pada waktu yang lalu. Jenis kayu bundar yang akan dijadikan sampel  yaitu  kayu  rimba  berupa  Pinus,  Mahoni,  Sengon,  dan Damar.  Sehingga  dalam  tugas  akhir  ini  akan  dilakukan prediksi  hasil  produksi  kayu  bundar,  terutama  kayu  rimba dengan  menggunakan  metode Markov  Chains di  Kabupaten Malang.

## II. URAIAN PENELITIAN
A. Landasan Teori
1. Markov Chains
Rantai  markov  merupakan  suatu  teknik  probabilitas  yang dapat  menganalisis  pergerakan  dari  satu  kondisi  ke  kondisi lainnya.Teknik  ini  dapat  digunakan  juga  untuk  menganalisis kejadian-kejadian di waktu-waktu mendatang secara matematis.Dimana  konsep  dasar Marcov  Chains pertama  kali diperkenalkan  oleh  seorang  matematisi  Rusia  Andrei  A. Marcov pada tahun 1907 [4].
2. Matriks Probabilitas Transisi
Keadaan  transisi  merupakan  perubahan  dari  suatu  keadaan (state) ke state lainnya pada periode berikutnya, dimana pada keadaan  transisi  ini  adalah  suatu  proses  random  dan dinyatakan  dalam  bentuk  probabilitas.  Maka  probabilitas  ini dinamakan dengan probabilitas transisi yang digunakan untuk menentukan probabilitas keadaan atau periode berikutnya.

## Prediksi Produksi Kayu Bundar Kabupaten Malang dengan Menggunakan Metode Markov Chains
Ikhtiyari Navila Rizanti dan Soehardjoepri Departemen Matematika, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : djoepri.its@gmail.com
H
𝑃 = [𝑝 ] 𝑁×𝑁 = [ 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 … 𝑝 𝑁 … 𝑝 𝑁
𝑝 𝑁 𝑝 𝑁 … 𝑝 𝑁𝑁 ] (1)
Teorema 2.1 (Sifat Matriks Transisi)
Diberikan 𝑃 = [𝑝 , ] menjadi  probabilitas  matriks  transisi 𝑁 × 𝑁 pada  DTMC {𝑋 , 𝑛 } dengan state  space 𝑆 = { , , … , 𝑁} maka: 1. 𝑝 , , 𝑁
2. ∑ 𝑝 = 𝑁 = ,

## 𝑁
Probabilitas  transisi n-step memenuhi  persamaan  berikut, disebut dengan pesamaan Chapman-Kolmogorov:
𝑝 , + = ∑ 𝑝 , 𝑝 , 𝑁 = (2)
dari  persamaan  diatas  dapat  dinyatakan  menjadi, 𝑃 + = 𝑃 ∗ 𝑃 .
𝑃 + = 𝑃 ∗ 𝑃 . Untuk 𝑛 = didapat persamaan,

## 𝑃 = 𝑃 ∗ 𝑃 𝑃 = 𝑃 ∗ 𝑃 = 𝑃 ∗ 𝑃 ∗ 𝑃 = 𝑃 ∗ 𝑃
𝑃 = 𝑃 − ∗ 𝑃 = = 𝑃 ∗ 𝑃
Dari formula rekursif diatas sehingga didapat persamaan:
𝑃 + = 𝑃 ∗ 𝑃 + (3) Formula  rekursif  tersebut  dapat  dicapai  ramalan  yang berdasarkan interperetasi sistem dinamik [3].

## B. Transient Behaviour of Discrete-Time Markov Chains
Jika  P  merupakan  probabilitas  dan 𝜋 sebagai  titik  acuan, maka nilai 𝜋 bisa didapat dengan rumus: 𝜋 = 𝜋 − 𝑃 𝜋 − = 𝜋 − 𝑃; 𝜋 − = 𝜋 − 𝑃
Karena  terjadi  pengulangan  maka  bisa  dinyatakan  dengan rumus 𝜋 = 𝜋 𝑃 [5].                                 (4) 1. Peluang Steady State
Peluang steady state merupakan peluang peralihan di masa depan  yang  tidak  bergantung  pada  keadaan  awal.  Dimana peluang  ini  adalah  peluang  peralihan  yang  sudah  mencapai keseimbangan  sehingga  tidak  akan  berubah  terhadapt perubahan  waktu  yang  terjadi.  Prinsip  ini  digunakan  untuk mengamati  berapa state untuk  menuju  titik  seimbang. Sehingga  didapat  n-langkah  yang  akan  menjadi steady  state [6].  Syarat-syarat steady  state adalah  distribusi  stasioner, bersifat ergodik, dan interlinked property of state [7] . Berdasarkan metodologi penelitian, langkah-langkah aplikasi rantai Markov antara lain:
1. Dapat  menampilkan  dan  menggunakan  data  awal  (data yang sudah ada).
2. Pembentukan  interval  dan state, menentukan  probabilitas state dan  probabilitas  transisi,  dan  menulis state matriks probabilitas transisi dengan tranfer state . 3. Melakukan simulasi
4. Menganalisis hasil dari simulasi

## III. PEMBAHASAN

## A. Pembagian 3 State
1. Kayu Pinus
Untuk  mencari probilitas state 𝑝 = 𝑆 , n adalah banyaknya data [8]. Dengan 𝑛 = , kemudian mencari selisih dari nilai maksimal dan minimal untuk mendapatkan interval tiap state . Data  yang  termasuk  pada 𝑆 sebanyak  155  data, 𝑆 sebanyak 16  data,  dan  untuk 𝑆 3  data.  Kemudian  dibagi  dalam  3 interval  jumlah  produksi  kayu  dan  didapat  hasil  sebagai berikut:
Tabel 1. Pembagian 3 State dan Probabilitas Kayu Pinus State Interval Probabilitas Nilai 𝑆 𝑋 < . 𝑝 0.8908 𝑆 [671.76,1343.52) 𝑝 0.092 𝑆 𝑋 . 𝑝 0.0172 Probabilitas transisi masing-masing state terhadap banyaknya  setiap state ,  yakni 𝑝 = 𝑆 − 𝑆 .  Sehingga  dapat dibentuk  matriks  probabilitas  transisi.Pada  Maret  2017 produksi  kayu  masuk  pada  interval 𝑆 dan  tidak  ada  transisi state terakhir, maka banyak data yang termasuk 𝑆 adalah 154 data, 𝑆 16  data,  dan 𝑆 3  data.  Berikut  merupakan probabilitas transisi kayu Pinus:
Tabel 2. Probabilitas Transisi 3 State Kayu Pinus Transisi State Banyak transisi Probabilitas Nilai 𝑆 − 147 𝑝 − 0.9545 𝑆 − 7 𝑝 − 0.0455 𝑆 − 0 𝑝 − 0 𝑆 − 6 𝑝 − 0.375 𝑆 − 8 𝑝 − 0.5 𝑆 − 2 𝑝 − 0.125 𝑆 − 1 𝑝 − 0.3333 𝑆 − 1 𝑝 − 0.3333 𝑆 − 1 𝑝 − 0.3333
Dari  Tabel  2,  berikut  ini  diperoleh  matriks  probabilitas transisi state yang berukuran × untuk 3 state :
𝑃 = ( .
.
. .
. . . . ) 𝜋 = 𝜋 ∗ 𝑃 = [ ] ∗ [ . . . . . . . . ] = [ . . ] (1)
Dengan  menggunakan  persamaan  (1),  sehingga  dengan menggunakan software MATLAB didapat
Gambar  1.  Kurva  produksi  kayu  pinus  pada  pembagian  3 state untuk  4 periode berikutnya.
Selanjutnya  didapat  matriks  probabilitas  transisi  n-langkah × pada saat steady state : 𝜋 = 𝜋P
[𝜋  𝜋  𝜋 ] = [𝜋 𝜋 𝜋 ] [ . . . . . . . . ] 𝜋 = . 𝜋 + . 𝜋 + . 𝜋 (3.1)
𝜋 = .
𝜋 + . 𝜋 + . 𝜋 (3.2)
𝜋 = .
𝜋 + .
𝜋 (3.3)
𝜋 + 𝜋 + 𝜋 = (3.4)
Dari  persamaan  (3.3)  didapat .
𝜋 = .
𝜋 maka
𝜋 = .
𝜋
Dari persamaan (3.1) dan (3.2) dieleminasi menjadi
𝜋 = . 𝜋 Subtitusikan pada persamaan (3.4)
𝜋 + 𝜋 + 𝜋 =
. 𝜋 + 𝜋 + .
𝜋 = 𝜋 = . 𝜋 = . 𝜋 = .
Bilangan  terbatas  dimana  n=25  sehingga  setiap state dapat tercapai dari state lainnya dengan n=25
𝑃 = [ . . . . . . . . . ] (2)
Tabel 3.
Prediksi Kayu Pinus Pembagi 3 State No Bulan Prediksi Produksi 1 I April 2017 𝑋 < . 209.72 2 II April 2017 𝑋 < . 309.41 3 I Mei 2017 𝑋 < . 241.64 4 II Mei 2017 𝑋 < . 53.87
Pada Tabel  3  terlihat  bahwa  prediksi  kayu  Pinus  4  periode kedepan  memiliki  kecocokan  dengan  data  100%  saat menggunakan  pembagi  3 state .  Dan  juga  untuk  kayu  Mahoni dan  Sengon,  memiliki  kecocokan  100%  akan  tetapi  untuk kayu Damar 75%.

## B. Pembagian 4 State
1. Kayu Pinus
Pada  pembagian  4 state langkah  penyelesaiannya  sama dengan  pembagi  3 state akan  tetapi  selisihnya  dibagi  4 untuk mendapatkan interval masing-masing state .
Tabel 4. Pembagian 4 State dan Probabilitas Kayu Pinus State Interval Probabilitas Nilai 𝑆 𝑋 < . 𝑝 0.8506 𝑆 [503.82, 1007.64) 𝑝 0.1092 𝑆 [ . , . 𝑝 0.023 𝑆 𝑋 . 𝑝 0.0172 𝑃 = .
.
. . . . . . . . . . 𝜋 = 𝜋 ∗ 𝑃 = [ ] ∗ [ . .
. . . . . . . . . . ] = [ . . . ] (3)
Dengan menggunakan persamaan (1), maka kurva didapat,
Gambar  2.  Kurva  produksi  kayu  pinus  pada  pembagian  4 state untuk  4 periode berikutnya.
Kemudian  didapat  matriks  probabilitas  transisi  n-langkah × pada  saat steady  state dengan  menggunakan  cara yang sama didapat pada n=21:
𝑃 = [ . .
. . . . . . . . . . . . . . ] (4)
Tabel 5
Nilai Prediksi Kayu Pinus April Mei 2017 Pembagi 4 state No Bulan Prediksi Produksi 1 I April 2017 𝑋 < . 209.72 2 II April 2017 𝑋 < . 309.41 3 I Mei 2017 𝑋 < . 241.64 4 II Mei 2017 𝑋 < . 53.87
Dari  Tabel  5  telihat  bahwa  prediksi  kayu  Pinus  4  periode kedepan  bulan  April  sampai  dengan  Mei  2017  berada  di interval  pertama 𝑋 < . ,  sehingga  hasil  prediksi  dengan data yang ada memiliki kecocokan sebesar 100% saat pembagi 4 state .  Dan  juga  untuk  kayu  Mahoni  100%,  Damar  50  %, akan tetapi untuk kayu Sengon tidak memiliki kecocokan.

## C. Pembagian 5 State
Pada  pembagian  5 state langkah  penyelesaiannya  sama dengan  pembagi  3 state akan  tetapi  selisihnya  dibagi  5  untuk mendapatkan interval masing-masing state . Berikut merupakan pembagian interval pada kayu Pinus:
Tabel 6.
Pembagian 5 State dan Probabilitas Kayu Pinus State Interval Probabilitas Nilai 𝑆 𝑋 < . 𝑝 0.7816 𝑆 [403.056, 806.112) 𝑝 0.1437 𝑆 [ . , . 𝑝 0.0517 𝑆 [ . , . 𝑝 0.0057 𝑆 𝑋 . 𝑝 0.0172
𝑃 = ( . . . . . . . . . . . . . . ) 𝜋 = 𝜋 ∗ 𝑃 = [ . . . ] (5)
Dengan  menggunakan 𝜋 + = 𝜋 ∗ 𝑃 ,  didapat  kurva sebagai berikut:
Gambar  3.  Kurva  Produksi  Kayu  Pinus  pada  Pembagian  5 State untuk  4 Periode Berikutnya
Selanjutnya  didapat  matriks  probabilitas  transisi  n-langkah × pada saat steady state di n=28:
𝑃 8 =
[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ]
(6)
Tabel 7.
Nilai Prediksi Kayu Pinus April Mei 2017 Pembagi 5 state No Bulan Prediksi Produksi 1 I April 2017 𝑋 < . 209.72 2 II April 2017 𝑋 < . 309.41 3 I Mei 2017 𝑋 < . 241.64 4 II Mei 2017 𝑋 < . 53.87
Dari Tabel 3.7 telihat bahwa prediksi kayu Pinus 4 periode kedepan  bulan  April  sampai  dengan  Mei  2017  berada  di interval pertama 𝑋 < . , sehingga hasil prediksi dengan data yang ada memiliki kecocokan sebesar 100% saat pembagi 5 state . Kayu Mahoni juga memiliki kecocokan 100%, Damar 50%, dan kayu Sengon tidak memiliki kecocokan.

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan  dari  hasil  analisis  dan  pembahasan  yang  telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut:

## A. Dari hasil simulasi pembagian 3 state
Hasil prediksi untuk periode selanjutnya prosentase tertinggi pada interval 1 sebagai berikut:
Kayu Pinus  : 95% Kayu Mahoni  : 96% Kayu Sengon  : 99% Kayu Damar  : 98% Prediksi pada pembagi 3 state untuk 4 periode kedepan masing-masing kayu memiliki kecocokan 100% terhadap data yang ada, akan tetapi untuk kayu Damar memiliki kecocokan 75% .

## B. Hasil simulasi pembagian 4 state
Pada  prediksi  hasil  simulasi  pembagi  4 state ,  kayu  Pinus dan  Kayu  Mahoni  memiliki  kecocokan  dengan  data  100%, untuk kayu Damar 50%.

## C. Hasil simulasi pembagian 5 state
Dan  untuk  prediksi  hasil  simulasi  pembagi  5 state ,  kayu Pinus  dan  Mahoni  memiliki  kesesuaian  100%  dengan  data aktualnya,  dan  kayu  Damar  memiliki  kesesuain  50%.  Kayu Sengon  tidak  memiliki  kesesuaian  karena  syarat  matriks probabilitas transisinya tidak terpenuhi.
Dengan adanya prediksi hasil produksi kayu bundar tersebut diharapkan  mampu  memberikan  informasi  yang  dapat membantu  pihak  yang  bersangkutan  dalam  membuat keputusan. Terutama untuk pihak Perhutani maupun pengolah kayu agar dapat mempermudah dalam mengambil kebijakan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Ilmugeografi.com, “ Website  Pusat  Studi  Ilmu  Geografi  Indonesia. ” [Online]. Available: www.ilmugeografi.com.
[2]  Perhutani, “ Website BUMN Perhutani. ” [Online]. Available: www.bumn.go.id/perhutani.com .
[3]  Q.  Zhou, “ Application  of  Weighted  Markov  Chain  in  Stock  Price Farecasting of China Sport Industri, ” Int. J. u- e- Serv. Sci. Technol. , vol. 8, no. 2, pp. 219 – 226, 2015.
[4]  Mustakim and E. Saputra, “ Aplikasi Prediksi Hasil Tanaman Palawija di Kabupaten  Indragiri  Hilir  Menggunakan  Metode  Markov  Chains, ” J. Sains, Teknol. dan Ind. , vol. 9, no. 2, pp. 50 – 59, 2012.
[5]  S. Nawangsari and et al, “ Konsep Markov Chains Untuk Menyelesaikan Prediksi  Bencana  Alam  di  Wilayah  Indonesia  dengan  Studi  Kasus Kotamadya Jakarta Utara, ” J. Ilm. Inform. , vol. 5, 2008.
[6]  S.  Syafruddin  and  et  al, “ Aplikasi  Analisis  Rantai  Markov  untuk Memprediksikan  Status  Pasien  Rumah  Sakit  Umum  Daerah  Kabupaten Barru, ” J. Nat. Sci. , vol. 3, no. 3, pp. 313 – 321, 2014.
[7]  S. Halim, “ Penelitian Operasional Rantai Markov, ” J. Tek. Ind. , vol. 2, p. 57, 2013.
[8]  K. Ninggar, “ Peramalan Pergerakan Harga Saham Perusahaan Go Public Menggunakan Rantai Markov, ” Surabaya, 2016.