## PEMAHAMAN MAHASISWA TERHADAP PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BERDASARKAN TEORI APOS
Yunika Lestaria Ningsih 1) , Rohana 2)
Pendidikan Matematika FKIP Universitas PGRI Palembang
yunika.pgri@gmail.com

## ABSTRACT
Differential equations is used to make the mathematical modeling which is describes the phenomenon in real life problems. It is one of the important concepts to learning the applied mathematics. It is become the main subject for students in mathematics, physics, and engineering field. This study aim to describe how students learn and understand the concept of ordinary differential equations based on APOS theory. The subject  of  this  study  was  33  students  of  semester  5B  mathematics  educations  of  private  University  in Palembang,  South  Sumatera.  Data  were  collective  through  test  and  interview.  The  result  showed  that students’ understanding of ordinary differential equations only in action phase. Most of students’ couldn’t understand the next phase in APOS theory because the lack of the derivative and integral concept in form of exponential and logarithm function.

## Keywords:Exponential Function, Ordinary Differential Equations, APOS Theory

## ABSTRAK
Persamaan diferensial sering digunakan dalam model matematika yang mencoba untuk menggambarkan suatu fenomena kehidupan nyata.  Persamaan diferensial merupakan konsep penting dalam mempelajari matematika terapan.  Oleh  karena  itu,  persamaan  diferensial  menjadi  mata  kuliah  wajib  pada  setiap  perguruan  tinggi matematika  dan  teknik.  Proses  pembelajaran  persamaan  diferensial  dianggap  sulit,  hal  ini  disebabkan  oleh banyak faktor.  Salah satunya yaitu karena persamaan diferensial melibatkan banyak prosedur dari turunan dan pengintegralan. Tulisan ini memberikan penjelasan tentang bagaimana  mahasiswa  menerima dan  memahami konsep persamaan diferensial biasa. Subjek dari penelitian ini adalah 33 mahasiswa semester 5B Program Studi Pendidikan  Matematika  tahun  akademik  2017/2018  pada  salah  satu  Universitas  Swasta  di  kota  Palembang, Sumatera  Selatan.  Data  dikumpulkan  melalui  tes  dan  wawancara.  Pemahaman  konsep  mahasiswa  tentang persamaan diferensial biasa ini dianalisis berdasarkan teori APOS. Hasil analisis yang dilakukan memperlihatkan bahwa sebagian besar mahasiswa hanya mampu memahami konsep persamaan diferensial pada biasa pada tahap aksi.  Mahasiswa  mampu  menyelesaikan  persamaan  diferensial  biasa  orde  satu    homogen  yang  sederhana, kesalahan terbanyak terletak pada penggunaan prinsip turunan dan pengintegralan dari suatu fungsi eksponen dan logaritma.
Kata kunci: Fungsi Eksponen, Persamaan Diferensial Biasa, Teori APOS

## A. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial seringkali muncul  dalam  model  matematika  yang mencoba
menggambarkan keadaan kehidupan  nyata,  seperti  dalam  perhitungan luas dan volum daerah yang tidak beraturan. Menurut Finizio & Ladas (1988) persamaan diferensial  adalah  persamaan  yang  memuat satu  (atau  beberapa)  fungsi  yang  tak diketahui.  Istilah  persamaan  diferensial diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1676. Banyak  hukum-hukum  alam  dan  hipotesa- hipotesa yang dapat diterjemahkan ke dalam persamaan  yang  mengandung  turunan melalui bahasa matematik.
Sejalan  dengan  pendapat  Finizio  & Ladas  (1988)  tersebut  Mallet  (2008)  juga
menambahkan bahwa persamaan diferensial memfokuskan  pada  teknik  algoritma  untuk menentukan  solusi  dari  beberapa  tipe spesifik  persamaan  diferensial.  Oleh  karena itu,  persamaan  diferensial  banyak  dijumpai dalam matematika terapan, dan menjadi mata kuliah  wajib  pada  perguruan  tinggi  MIPA dan teknik.
Mahasiswa  dalam  mengaplikasikan persamaan  diferensial  banyak  mengalami kesulitan,  antara  lain  yaitu  kesulitan  untuk menerapkan rumus atau algoritma yang telah diajarkan.  Hal  ini  didukung  oleh  Czocher, Tague  &  Baker  (2013)  yang  menyatakan bahwa belajar persamaan diferensial merupakan  hal  yang  sulit.  Pernyataan  yang
sama  juga  dikemukakan  oleh  Valcarce  & Diaz  (2013)  yang  menyebutkan  bahwa kesulitan  terbanyak  adalah  terletak  pada pemahaman  konsep  persamaan,  konsep fungsi  dan  turunan  suatu  fungsi.  Sehingga untuk  merencanakan  suatu  pembelajaran persamaan  diferensial  yang  baik,  maka  hal yang paling esensial adalah dengan mengetahui  konsepsi  mahasiswa  tentang elemen-elemen  matematika  yang  dapat membangun persamaan diferensial.
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang dilakukan  oleh  Valcarce  &  Diaz  (2013) terhadap  mahasiswa  yang  mengambil  mata kuliah  persamaan  diferensial  diperoleh bahwa mahasiswa tidak dapat
mengaplikasikan  konsep  turunan  fungsi dengan benar. Padahal konsep turunan fungsi merupakan  elemen  dasar  dari  persamaan diferensial.  Karena  itu,  untuk  memahami konsep  persamaan  diferensial,  mahasiswa diharapkan  mempunyai  konstruksi  skema yang  jelas  tentang  konsep  turunan  suatu fungsi.
Oleh karena itu, untuk dapat memahami  konsep  persamaan  diferensial biasa ini, mahasiswa harus menghubungkan konsep-konsep dasar yang telah dimilikinya dengan  konsep  persamaan  diferensial  biasa yang  baru  dipelajari.  Namun,  fakta  di lapangan  menunjukkan  bahwa  “secara umum kemampuan mahasiswa untuk menghubungkan  atau  mengaitkan  materi matematika  dengan  pengetahuan  yang dimilikinya masih rendah” (Suhandri, 2016).
Konsep matematika, termasuk konsep persamaan
diferensial biasa dapat dikonstruksi  dengan  menggunakan  teori APOS.  Menurut  Dubinsky  &  McDonald
(2001)  teori  APOS  dapat  digunakan  secara langsung oleh peneliti untuk
membandingkan keberhasilan dan kegagalan mahasiswa  dalam  kontruksi  mental  yang telah  terbentuk  untuk  mengetahui  suatu konsep  matematika.  Hal  ini  dapat  terjadi karena  menurut  Asiala et.  al (Helma  & Yerizon, 2012) Teori APOS mengasumsikan bahwa pengetahuan matematika yang dimiliki  oleh  seseorang  merupakan  hasil interaksi  dengan  orang  lain  dan  hasil konstruksi-konstruksi  mental  orang  tersebut dalam memahami ide-ide matematika.
Banyak  kajian  yang  telah  dilakukan oleh  para  peneliti  untuk  menganalisis pemahaman konsep matematika berdasarkan
teori APOS. Antara lain yaitu: Dubinsky, et al  (1995)  yang  mengeksplorasi  pemahaman mahasiswa  tentang  konsep  limit,  Weber (2002)  yang  menganalisis  pemahaman konsep mahasiwa tentang fungsi eksponensial  dan  logaritma,  Stewart  & Thomas (2009) yang menganalisis pemahaman  konsep  mahasiswa pada  mata kuliah aljabar linier, dan Tossavainen (2009) yang menganalisis tentang konsep persamaan linier. APOS  adalah  singkatan  dari Action (Aksi) – Process (Proses) – Object (Objek) dan Schema (Skema). Teori APOS dikemukakan oleh Ed Dubinsky pada tahun 1991  dalam  tulisannya  yang  berjudul “ Reflective Abstraction in Advanced
Mathematical  Thinking .”  Teori  APOS dikembangkan  dari  teori  perkembangan intelektual  Piaget,  yaitu  kemampuan  untuk berpikir  abstrak.  Dubinsky  &  McDonald (1991)  menyebutkan bahwa  menurut ia  dan koleganya  berpikir  abstrak  adalah  suatu konstruksi  mental  tentang  objek  dan  aksi mental terhadap objek tersebut.
Dubinsky & McDonald (2001) berpendapat  bahwa  “pemahaman  terhadap suatu  konsep  matematika  merupakan  hasil konstruksi atau rekonstruksi dari objek-objek matematika. Proses konstruksi atau rekonstruksi  konsep  matematika  tersebut terjadi  melalui  tahapan  aksi,  proses  dan objek,  yang  tergabung  membentuk  suatu skema  dalam  menyelesaikan  permasalahan matematika”.
Kajian  pemahaman  konsep  dasar persamaan diferensial biasa sebagai aksi dan proses, dapat dilihat dari definisi APOS yang dikemukakan  Asiala et.  al (Helma  & Yerizon, 2012), yaitu sebagai berikut :
(1) Persamaan diferensial biasa sebagai  suatu  aksi.  “Aksi  a dalah  suatu transformasi  yang  diterima  oleh  individu sebagai  hal  yang  eksternal.  Transformasi dilakukan dengan bereaksi terhadap petunjuk-petunjuk eksternal yang memberikan  rincian  yang  tepat  mengenai langkah-langkah  apa  saja  yang  harus diambil”.
Misalkan diajukan  suatu  persoalan “ Tentukanlah  persamaan  diferensial  dari primitif:
=
“.  Aksi  mahasiswa terhadap  soal  tersebut  adalah  dengan mencoba  menurunkan  persamaan  tersebut. Mahasiswa  yang  aksi  pemahaman  tentang
konsep dasar turunannya  rendah  hanya  bisa menyelesaikan  turunan  dari  suatu  fungsi. Mahasiswa  seperti  ini,  akan  tidak  bisa berbuat  banyak  ketika  dihadapkan  pada turunan dari perkalian dua fungsi.
(2)  Persamaan  diferensial  biasa sebagai  suatu  proses.  “Ketika  suatu  aksi dilakukan  secara  berulang  dan  dilakukan refleksi  atas  aksi  itu,  maka  aksi  tersebut diinteriosasikan menjadi proses, yaitu konstruksi internal dibuat dengan melakukan aksi  yang  sama,  tetapi  sekarang  tidak diarahkan oleh  stimulus  dari  luar.  Individu yang  sudah  mengkonstruksi  konsep  proses dapat menguraikan atau bahkan membalikkan langkah-langkah dari transformasi tanpa benar-benar melakukannya. Berbeda dengan aksi, proses dirasakan  oleh  individu  sebagai  hal  yang internal  dan  di  bawah  kontrol  individu tersebut”.
Misalkan, “Tentukanlah  persamaan diferensial dari primitif : = ”. Dalam menginteriosasikan  penentuan  persamaan diferensial  tersebut,  siswa  tidak  melakukan aksi,  tetapi  melakukannya  dalam  imajinasi dan dapat  menjelaskan  proses  penentuan persamaan  diferensial.  Bahkan  mereka  juga bisa  membayangkan  pembalikkan  proses, yaitu untuk menentukan penyelesaian
persamaan diferensial, maka dapat digunakan pengintegralan.
(3)  Persamaan  diferensial  sebagai hasil  dar i  suatu  objek.  “Ketika  individu berefleksi pada operasi yang diterapkan pada proses  tertentu,  dan  benar-benar  dapat menngkonstruksi  transformasi  itu,  maka proses  telah  dienkapsulisasikan  menjadi objek”.
Dalam  hal  ini,  enkapsulisasi  proses dari  penentuan  persamaan  diferensial  dari primitif = diindikasikan  ketika mahasiswa  mampu  menunjukkan  bahwa persamaan  diferensial  yang  akan  dibentuk merupakan  persamaan  diferensial  biasa dengan  karakteristik  tertentu.  Mahasiswa yang telah mengenkapsulisasikan persamaan diferensial  biasa  sebagai  objek,  dapat menjelaskan  bahwa  cara  untuk  menentukan persamaan  diferensial  biasa  adalah  dengan menurunkan  persamaan  primitif  sebanyak jumlah  konstanta  sembarang  yang  ada,  dan menghilangkan konstanta sembarang dengan mensubstitusikan  persamaan  turunan  yang telah  didapatkan  ke  persamaan  awal  yang
diketahui.
(4)    Persamaan  diferensial  sebagai skema.  “Skema  merupakan  kumpulan  dari aksi,  proses,  objek  lainnya  yang  terhubung secara padu dan diorganisasi secara terstruktur dalam pikiran individu”. Sebagai contoh  dalam  pikiran  mahasiswa  akan terbangun  struktur  pengetahuan  tentang konsep  persamaan  diferensial  biasa  yang merupakan  jalinan  antara  aksi,  proses  dan objek konsep persamaan diferensial. Sehingga  dalam  penyelesaian  persamaan diferensial  nantinya  diperlukan  skema turunan  skema  integral,  skema  metode pemisahan peubah, skema fungsi linear.
Kemampuan pemahaman konsep merupakan kemampuan pertama yang harus tercapai dalam tujuan pembelajaran matematika. Menurut Nizarwati, Hartono & Aisyah  (2009),  dalam  memahami  konsep matematika diperlukan kamampuan
generalisasi  serta  abstraksi  yang  cukup tinggi.  Hal  inilah  yang  mengakibatkan penguasaan  mahasiswa  terhadap  konsep- konsep matematika masih lemah.
Adapun indikator permahaman konsep  yang  dijelaskan  oleh  Depdiknas, (Kesumawati,  2008)  antara  lain  yaitu  :  (1) menyatakan  ulang  sebuah  konsep,  (2) mengklasifikasi  objek-objek  menurut  sifat- sifat tertentu (sesuai dengan konsepnya), (3) memberikan  contoh  dan  non-contoh  dari konsep,  (4)  menyajikan konsep  dalam berbagai  bentuk  representasi  matematis,  (5) mengembangkan  syarat  perlu  atau  syarat cukup  suatu  konsep,  (6)  menggunakan, memanfaatkan,  dan  memilih  prosedur  atau operasi  tertentu,  dan  (7)  mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penulis tertarik  untuk  melakukan  kajian  terhadap pemahaman  mahasiswa  tentang  persamaan diferensial  biasa  berdasarkan  teori  APOS. Topik  persamaan  diferensial  yang  dibahas disini  adalah  konsep  dasar  dari  persamaan diferensial biasa, yaitu bagaimana membentuk  suatu  persamaan  diferensial biasa dari persamaan primitif yang diketahui dan  menyelesaikan  persamaan  diferensial biasa orde satu dengan menggunakan metode pemisahan peubah.
Kajian  ini  bertujuan  untuk  melihat bagaimana kemampuan pemahaman konsep mahasiswa  tentang  persamaan  diferensial
biasa  berdasarkan  teori  APOS.  Sehingga, berdasarkan hasil kajian ini, diperoleh suatu langkah yang dapat diambil oleh dosen untuk
meningkatkan  proses pembelajaran  pada mata kuliah persamaan diferensial.

## B. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian deskriptif. Subjek penelitian adalah mahasiswa  semester  5B  Program  Studi Pendidikan  Matematika  Tahun  Akademik 2017/2018 yang berjumlah 33 orang di salah satu  Universitas  swasta  di  kota  Palembang, Sumatera  Selatan.  Data  diperoleh  dengan
mengadakan tes tertulis yang berupa 2 (dua) soal  essay  mengenai  persamaan  diferensial biasa  dan  wawancara  secara  lisan  kepada subjek  penelitian.  Data  dianalisis  dengan deskriptif untuk menggambarkan pemahaman  mahasiswa  tentang  konsep persamaan  diferensial  biasa  berdasarkan teori APOS.

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil temuan dalam kajian ini adalah pemahaman  konsep  persamaan  diferensial dari  sebagian  besar  mahasiswa  hanya  pada tahap pemahaman konsep persamaan diferensial  sebagai  suatu  aksi,  dan  tidak dapat  memahami  persamaan  diferensial sebagai  suatu  proses.  Pernyataan  tersebut didapat dari hasil analisis jawaban pertanyaan yang
diajukan kepada
mahasiswa sebagai berikut :
1. Bentuklah persamaan diferensial dari
primitif = Sebagian besar mahasiswa menjawab bahwa  secara  prosedur  untuk  membentuk persamaan diferensial adalah dengan menurunkan persamaan
primitifnya.
Sehingga  mereka  langsung  menurunkan persamaan  primitif  tersebut.  Akan  tetapi hanya  beberapa  mahasiswa  yang  dapat mengetahui  bahwa  persamaan  primitif tersebut merupakan hasil perkalian dari dua fungsi, yaitu MM, TW dan AH. Jadi untuk mendapatkan turunan dari persamaan primitif tersebut mahasiswa harus menguasai pemahaman konsep turunan dari perkalian dua fungsi.
Berikut ini jawaban yang benar : diketahui  persamaan  primitif  : =
ditanya  :  bagaimanakah  bentuk persamaan diferensial dari primitif tersebut. penyelesaian :
(tahap aksi)
mahasiswa  memahami  bahwa  untuk membentuk suatu persamaan diferensial,  persamaan  primitif  harus diturunkan sebanyak jumlah konstanta sembarang yang ada. Karena  pada  persamaan  primitif hanya  ada  satu  konstanta  sembarang
yaitu  A,  maka  persamaan  primitif tersebut diturunkan sebanyak satu kali yaitu :
(tahap proses) = , misalkan ( ) = , ( ) = dan ( ) = , ( ) = Sehingga diperoleh: = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = + Langkah selanjutnya adalah menghilangkan  A  dan  mendapatkan persamaan diferensial yang dikehendaki, yaitu : (tahap objek) dari  turunan  di  atas  diperoleh persamaan : = + = ( + )
didapatkan nilai A yaitu :
= ( ) = ( )
jika  nilai  A  disubstitusikan  pada persamaan primitif, maka diperoleh :
= = ′ (1 + )
=
′ (1 + )
Sehingga diperoleh persamaan
diferensial  biasa  orde  satu  yaitu  :
=
(1 + )
Gabungan  dari  tahap  aksi-proses- objek  membentuk  skema  tentang  konsep pembentukan  persamaan  diferensial  biasa dari  persamaan  primitif  yang  diketahui.
Hasil jawaban mahasiswa pada permasalahan  ini,  yaitu  mahasiswa  yang melakukan  tahap  prosedur  dengan  hanya menurunkan  persamaan  primitif,  tanpa memperhatikan
bagaimana bentuk
persamaan  yang  akan  diturunkan,  maka pemahaman  mahasiswa  tentang  persamaan diferensial biasa berada pada tahap aksi. Indikator dari kemampuan pemahaman konsep matematis pada
permasalahan  pertama  ini  yang  tidak  dapat dikuasai  dengan  benar  oleh  sebagian  besar mahasiswa  ada  tiga  yaitu  :  (1)  mahasiswa kurang  mampu  dalam  mengklasifikasikan objek  menurut  sifat-sifat  tertentu  sesuai dengan  konsep,  (2)  mahasiswa  kurang mampu dalam menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu, dan (3) mahasiswa kurang mampu mengaplikasikan konsep/algoritma
ke
pemecahan matematika. Dari hasil wawancara dengan seorang mahasiswa, kelemahan kemampuan pemahaman konsep mereka disebabkan oleh banyak hal, salah satunya adalah kebiasaan mahasiswa yang mengerjakan soal
matematika hanya sebatas kegiatan prosedural yang digunakan untuk
menemukan  solusi,  bukan  pada  berusaha untuk memahami suatu konsep dan mampu mengaplikasikan  konsep  tersebut  dengan benar.  Pernyataan  ini  senada  dengan  Tall (2002) dan  Ningsih (2016).
1. Tentukan  penyelesaian  dari  suatu persamaan diferensial :

## = 2
Pada  soal  yang  kedua  ini,  sebagian besar  mahasiswa  juga  hanya  mengetahui prosedur dari langkah untuk menyelesaikan persamaan  diferensial  biasa.  Prosedurnya adalah  dengan  metode  pemisahan  peubah dengan mengintegralkan persamaan diferensial sehingga diperoleh suatu persamaan solusi. Akan tetapi untuk memahami konsep penyelesaian  persamaan  diferensial  biasa lebih lanjut mahasiswa seharusnya mengetahui  terlebih  dahulu  bentuk  umum dari persamaaan diferensial dan mengetahui metode  mana  yang  dapat  digunakan  untuk menyelesaikan  persamaan  tersebut.  Karena itu  banyak  mahasiswa  yang  mengalami
kesulitan  dalam  menyelesaikan  persamaan pada  soal  kedua.  Pemahaman  mahasiswa yang hanya sampai pada tahap prosedur ini,
menunjukkan bahwa pemahaman mahasiswa  tentang  konsep  persamaan diferensial hanya berada pada tahap aksi. Berikut jawaban yang benar: diketahui persamaan persamaan diferensial:
′ = 2 ditanya : penyelesaian dari persamaan diferensial. penyelesaian :
(tahap aksi)
persamaan ′ = 2 dapat ditulis menjadi = 2 Langkah pertama harus dipisahkan dulu peubah dan .
(tahap proses dan objek) Untuk memisahkan peubah persamaan tersebut dikali dengan
Maka diperoleh :
. = 2 .

## = 2
Dapat dilihat dari persamaan yang baru bahwa  peubah dan telah terpisah.
Langkah kedua digunakan untuk menentukan solusi dari persamaan diferensial biasa tersebut. Untuk mencari solusi, integralkan kedua ruas, yaitu :
∫ = ∫ 2 → ln + = + → ln =
+ −
Jika − = ,
maka hasil integralnya akan menjadi :
ln = +
Jika persamaan di atas dieksponensialkan dan dengan aturan = , maka persamaan menjadi: e =
Sehingga diperoleh:
= .
jika = , maka didapat
: =
Jadi solusi dari persamaan diferensial ′ = 2 adalah =
Seperti  yang  dijelaskan  pada  soal pertama,  kelemahan  pemahaman  konsep mahasiswa  tentang  persamaan  diferensial biasa  ini  terlihat  dari  beberapa  indikator yang tidak bisa dikuasai dengan benar oleh
mahasiswa. Gambar 1 menyajikan jawaban mahasiswa  yang  salah. Mahasiswa  tidak dapat  memisahkan  peubah  pada  persamaan diferensial,  sehingga  tahap  aksi  pada permasalahan  ini  tidak  tercapai. Untuk jawaban benar tahap aksi dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 1. Jawaban mahasiswa yang salah pada tahap aksi
Gambar 2. Jawaban mahasiswa yang benar pada tahap aksi
Andaikan kemampuan
mengklasifikasikan objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsep bisa dikuasai,
maka mahasiswa dapat melihat dengan jelas bahwa  persamaan  diferensial  yang  terdapat pada  soal  nomor  2  tersebut  merupakan persamaan  diferensial  biasa  orde  satu, dengan  dua  peubah  (x  dan  y)  yang  masih terletak  berdampingan,  maka  mahasiswa sudah dapat membayangkan bahwa metode yang  dapat  digunakan  adalah  dengan
memisahkan peubah terlebih dahulu kemudian baru diintegralkan.
Pada  gambar  2  terlihat  bahwa mahasiswa  dapat  memisahkan  peubah namun, teknik pengintegralan pada langkah selanjutnya  tidak  tepat,  suku  pertama memuat peubah y namun mahasiswa masih menuliskan operator integral terhadap x (dx).
Tahap  proses  dan  objek  ditunjukkan oleh jawaban mahasiswa pada Gambar 3.
Gambar 3. Jawaban mahasiswa yang benar pada tahap proses
Pada  Gambar  3, terlihat  mahasiswa sudah  bisa  memisahkan  peubah  dan  teknik integral  yang  digunakan  sudah  benar. Pada tahap  ini,  pemahaman  mahasiswa  sudah berada  pada  tahap  proses.  Mahasiswa  yang pemahamannya berada pada tahap ini hanya ada satu orang yaitu : MM. Pemahaman MM bahkan  sudah  pada  tahap objek,  karena dia berhasil  menuliskan  dengan  benar  cara menyelesaikan  persamaan diferensial,  yaitu dengan  menggunakan  metode  pemisahan peubah.
Selanjutnya,  dua  indikator  terakhir dari kemampuan pemahaman konsep berhasil  dikuasai  oleh  MM.  MM  mampu untuk  menggunakan,  memanfaatkan  dan memilih  prosedur  tertentu  dengan  jalan menyelesaikan soal dengan langkah-langkah yang  tepat,  dan  MM  juga  mampu mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan  matematika.  Oleh  karena  itu, MM  berhasil  menjawab  soal  kedua  dengan tepat,  sehingga  MM  mampu  memahami persamaan diferensial sebagai skema, skema turunan  dan  integral  juga  telah  dikuasai dengan baik oleh MM. Menurut Dubinsky & McDonald  (2001)  skema  merupakan  tahap yang paling sulit, karena melibatkan banyak konsep.  Oleh  karena  itu,  hanya  sedikit mahasiswa yang pemahamannya bisa sampai pada tahap ini. Kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan yang kedua ini
banyak  terletak  pada  kurang  pahamnya mahasiswa pada konsep turunan, diferensial dan integral. Hal ini sejalan dengan pendapat Syarifah  (2017)  yang  menyatakan  bahwa “umumnya mahasiswa mengalami kesulitan dalam  memilih  prosedur  atau  operasi  apa yang akan diselesaikan terlebih dulu”.
Pembelajaran  tentang  topik  turunan yang  biasa  dilakukan oleh  mahasiswa terpaku pada penekanan untuk menghafalkan rumus-rumus turunan. Seperti pendapat Fahinu (Rohana & Ningsih, 2016) yang menyatakan bahwa “proses
pembelajaran  di  perguruan  tinggi  terlalu berfokus  pada  aspek doing,  tetapi  kurang memperhatikan aspek thinking .”
Berdasarkan  analisis  data  dari  dua permasalahan  tersebut,  diketahui  bahwa pemahaman  mahasiswa  tentang  konsep persamaan  diferensial  biasa  hanya  berada pada tahap aksi, mahasiswa kesulitan untuk dapat  mencapai  tahap  proses,  objek  dan skema. Selain  itu,  indikator  kemampuan pemahaman  konsep  matematis  yang  tidak dapat  tercapai  dalam  penelitian  ini  adalah mahasiswa  tidak  dapat  mengklasifikasikan objek matematika dengan benar, mahasiswa kurang mampu dalam menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu,  dan    mahasiswa  kurang  mampu mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan matematika.

## D. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil analisis yang telah penulis dapatkan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : (1) Kemampuan pemahaman  konsep  mahasiswa  tentang persamaan  diferensial  biasa  berdasarkan teori  APOS hanya  berada pada tahap aksi, (2)  Kemampuan  pemahaman  konsep  yang masih lemah ini, sebagian besar disebabkan oleh  pembelajaran  persamaan  diferensial biasa  yang  hanya  terpaku  pada  rumus  dan prosedur penyelesaian, bukan pada
pemahaman konseptual.
Oleh  karena  itu,  melihat  dari  hasil kajian  yang  didapatkan,  penulis merasa perlu untuk menyampaikan beberapa saran sebagai  berikut  :  kemampuan  pemahaman konsep mahasiswa agar dapat diketahui dan dianalisis, sehingga dosen secara langsung bisa  mengadakan  refleksi  terhadap  proses pembelajaran  untuk  memperbaiki  konsep yang  kurang  dipahami,  terutama  konsep turunan dan integral.

## DAFTAR PUSTAKA
Czocher, J.A., Tague, J., & Baker, G. (2013).
Coherence from Calculus to Diferential Equations. Tersedia : http://pzacad.pitzer.edu/~dbachman/R UME_XVI_Linked_Schedule/rume1 6_submission_94.pdf.
Dubinsky,  E. (1991). Reflective Abstraction
in  Advanced  Mathematical  Thinking. Tersedia : http://www.math.kent.edu/~edd/RAM T.pdf. Dubinsky,  E.,  et  al.  (1995). Understanding the  Limit  Concept:  Beginning  with  a Coordinated Process Schema. Tersedia : http://homepages.ohiodominican.edu/ ~cottrilj/concept-limit.pdf. Dubinsky,  E.,  &  McDonald,  M.A.  (2001). APOS:    A  Constructivist  Theory  of Learning in Undergraduate Mathematics  Education  Research. Tersedia : http://www.math.kent.edu/~edd/ICMI Paper.pdf.
Finizio, N., & Ladas, G. (1988). Persamaan Diferensial  Biasa  dengan  Penerapan Modern. Jakarta : Erlangga.
Helma  &  Yerizon.  (2012). Peningkatan Pemahaman dan Penalaran Matematis  Mahasiswa  Calon  Guru dengan  Konstruksi  Mental  APOS. Tersedia : http://repository.unp.ac.id/1433/1/HE LMA_11_12.pdf Kesumawati, N. (2008). Pemahaman Konsep Matematik dalam Pembelajaran Matematika. Tersedia : http://eprints.uny.ac.id/6928/1/P- 18%20Pendidikan%28Nila%20K%2 9.pdf. Mallet,  D.G.,  &  McCue,  S.W.  (2009). Constructive  development  of  the solutions  of  linear  equations  in introductory ordinary differential equation.  International  Journal  of Mathematical  Education  in  Science and Technology, 40(5), pp. 587-595. Ningsih, Y.L. (2016). Kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa melalui penerapan lembar aktivitas  mahasiswa  (LAM)  berbasis teori  APOS  pada  materi  turunan. Edumatica, 6(1), hal.1-8. Nizarwati, Hartono, Y., & Aisyah, N. (2009). Pengembangan perangkat pembelajaran berorientasi konstruktivisme  untuk  mengajarkan konsep  perbandingan  trigonometri siswa kelas X SMA. Jurnal Pendidikan Matematika, 3(2), hal. 57- 72. Rohana    &  Ningsih,  Y.L.  (2016).  Model pembelajaran reflektif untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah matematis mahasiswa calon guru. Jurnal Penelitian dan Pembelajaran Matematika, Volume 9(2),  hal.  145- 158. Tersedia pada: http://jurnal.untirta.ac.id/index.php/JP PM/article/view/992/793. Syarifah,  L.L.  (2017).  Analisis  kemampuan pemahaman  matematis  pada  mata kuliah pembelajaran matematika SMA
II. Jurnal Penelitian dan Pembelajaran  Matematika, Volume 10(2),  hal.58-71. Tersedia  pada: http://jurnal.untirta.ac.id/index.php/JP PM/article/view/2031/1573 Stewart,  S.,  &  Thomas,  M.  (2009). Linear Algebra Snapshots through APOS and Embodied,  Symbolic  and  Formal Words  of  Mathematical  Thinking. Tersedia : http://www.merga.net.au/documents/ Stewart_RP09.pdf
Suhandri. (2016). Meningkatkan kemampuan  pemahaman  matematis siswa SMP/MTs dengan menggunakan strategi konflik kognitif. Jurnal Penelitian dan Pembelajaran  Matematika, Volume
9(2),  hal.  240-249. Tersedia  pada: http://jurnal.untirta.ac.id/index.php/JP PM/article/view/1003/801.
Tall,  D.  (1992). Students’  difficulties  in calculus. Tersedia : http://homepages.warwick.ac.uk/staff/
David.Tall/pdf5/dot1993k-calculus- wg3-icme.pdf.
Tossavainen,  T.  (2009).  Who  can  solve 2x=1? – an analysis of cognitive load related  to  learning  linear  equation solving. The  Montana  Mathematics
Enthusiast, 6(3), pp. 435-448.
Valcare, M.C,  & Diaz, J. P.  (2013). Initial
Diagnostic  Assessment  to  Support Learning. Tersedia :http://cerme8.metu.edu.tr/wgpapers/ WG14/WG14_Codes_Valcarce.pdf. Weber, K.  (2002). Students’  Understanding of  Exponential  and  Logarithmic Functions. Tersedia : http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proce edings/pap145.pdf