Jurnal Indonesia Sosial Sains http://jiss.publikasiindonesia.id/
Vol. 2 No. 3 Maret 2021 P-ISSN: 2723 - 6692 dan E-ISSN: 2723 - 6595

## PERBANDINGAN ESTIMASI PARAMETER METODE BAYESIAN SELF DENGAN PRIOR VAGUE DAN UNIFORM PADA MODEL SURVIVAL BERDISTRIBUSI RAYLEIGH

## Asri Rahmawati dan Retno Budiarti
Matematika Terapan, Institut Pertanian Bogor, Indonesia Email: asrirahmawati@apps.ipb.ac.id, retno.budiarti@gmail.com
Artikel info
Artikel history: Diterima 15 Januari 2021 Diterima dalam bentuk revisi 05 Maret 2021 Diterima dalam bentuk revisi 17 Maret 2021
Keywords: survival; bayesian self; vague; uniform
Abstract: analysis  Survival  is  an  analysis  that  is  used  to analyze  the  survival  time  (survivaltime).  The  survival (survivaltime)is  one  of  the  studies  used  to  calculate  the  time from  symptom  onset  and  with  the  advent  of  the  incident. Inanalysis,  the  survival  termdata  is  known  survival  ,  which  is data  that  shows  the  time  an  individual  can  survive  until  an event  occurs.  This  study  aims  to  determine  the  parameter estimation  of  themodels  survival  Rayleigh  distribution  ofusing the  Bayesian  SELF  method.  In  addition,  this  study  will  also discuss  the  comparison  of  parameter  estimates  for  themodels survival  Rayleigh  distribution  ofwith  the  Bayesian  SELF method  using  prior  Vague  and  Uniform.  The  result  of parameter  estimation  requires  information  from  thefunction likelihood  and  prior  distribution  which  will  then  form  the posterior distribution. The posterior distribution is the basis for obtaining  a  Bayesian  estimate.  After  the  estimator  on  the Bayesian  SELF  method  is  obtained,  then  the  estimator  will  be applied to the data from the Stanford heart transplant program from October 1967 to February 1980. Based on the MSE value obtained from this study, the Bayesian SELF method with prior vague  is  better  than  the  Bayesian  method.  SELF  with  Prior uniform.
Abstrak: Analisis survival merupakan analisis yang digunakan untuk  menganalisis  data  kelangsungan  waktu  hidup  ( survival time ).  Waktu survival ( survival  time )  merupakan  salah  satu penelitian  yang  digunakan  untuk  menghitung  waktu  dari munculnya  gejala  sampai  dengan  munculnya  kejadian.  Dalam analisis survival dikenal  istilah  data survival yaitu  data  yang menunjukkan  waktu  suatu  individu  dapat  bertahan  hingga terjadinya  suatu  kejadian.  Penelitian  ini  bertujuan  menentukan estimasi  parameter  model survival berdistribusi  Rayleigh menggunakan  metode  Bayesian  SELF.  Selain  itu  penelitian  ini juga  akan  membahas  perbandingan  estimasi  parameter  model survival berdistribusi Rayleigh dengan Metode Bayesian SELF menggunakan    prior Vague dan Uniform .    Hasil    estimasi
Kata Kunci: survival ; bayesian self;
vague ; uniform
parameter  memerlukan  informasi  dari  fungsi likelihood dan distribusi  prior  yang  kemudian  akan  membentuk  distribusi posterior.  Distribusi  posterior  merupakan  dasar  untuk memperoleh  estimasi  Bayesian.  Setelah  estimator  pada  metode Bayesian SELF didapatkan, selanjutnya estimator tersebut akan diterapkan  pada  data  program  transplantasi  jantung  yang dilakukan  Stanford  dari  Oktober  1967  sampai  Februari  1980. Berdasarkan  dari  nilai  MSE  yang  didapat  dari  penelitian  ini, diperoleh metode Bayesian SELF dengan prior vague lebih baik dari metode Bayesian SELF dengan Prior uniform .

## Coresponden author: Asri Rahmawati
Email: asrirahmawati@apps.ipb.ac.id artikel dengan akses terbuka dibawah lisensi CC BY SA 2021

## Pendahuluan
Pada  tahap  kehidupan  manusia  ini,  akan  selalu  ada  bagian  terakhir  yang  disebut kematian.  Kematian  semacam  ini  mungkin  saja  disebabkan  oleh  berbagai  peristiwa (peristiwa) di baliknya. Dengan kemajuan perkembangan ilmu pengetahuan, banyak inovasi terbaru  telah  muncul  di  bidang  ilmu  aktuaria,  teknik  dan  biostatistik.  Salah  satu  inovasi tersebut adalah analisis kelangsungan hidup, yang dapat digunakan untuk memodelkan data kelangsungan  hidup  (life  cycle  data)  (Harlan,  2017)  Beberapa  orang  berpendapat  bahwa analisis  kelangsungan  hidup  adalah  prosedur  statistik  yang  digunakan  untuk  menganalisis data,  dan  waktu  hingga  suatu  peristiwa  terjadi  (waktu  terjadinya  peristiwa)  digunakan sebagai  variabel  respons.  Sedangkan  (Thamrin,  2014)  Dianggap  bahwa  analisis kelangsungan  hidup  merupakan  analisis  yang  digunakan  untuk  menganalisis  data  waktu kelangsungan  hidup.  Survival  time  merupakan  salah  satu  studi  yang  digunakan  untuk menghitung waktu dari munculnya gejala hingga munculnya peristiwa (Fitria, 2016). Dalam analisis  kelangsungan  hidup  dikenal  istilah  “survival  data”,  yaitu  data  yang  menunjukkan berapa lama seseorang dapat bertahan hidup sebelum suatu peristiwa terjadi.
(Andini  et  al.,  2018)  Disarankan  untuk  menggunakan  beberapa  model  untuk menganalisis  data  survival  yaitu  model  parametrik  dan  model  non  parametrik.  Model parametrik  mengasumsikan  bahwa  distribusi  dasar  waktu  bertahan  hidup  mengikuti distribusi  tertentu,  seperti  distribusi  Weibull,  distribusi  eksponensial,  distribusi  lognormal, distribusi logaritmik, dan distribusi gamma. Pada saat yang sama,  jika data yang digunakan tidak  mengikuti  distribusi  yang  ada,  maka  digunakan  model  non-parametrik.  Pada  model non parametrik terdapat dua metode yaitu metode Kaplan-Meier dan metode Nelson-Aalen.
Distribusi Rayleigh adalah bentuk khusus dari distribusi  Weibull, yang pertama kali diusulkan  oleh  Lord  Rayleigh  pada  tahun  1880  (Dey  &  Dey,  2011).  Dari  segi  kesehatan, distribusi  Rayleigh  dapat  digunakan  untuk  memeriksa  data  kelangsungan  hidup  pasien. Distribusi  merupakan  gambaran  yang  jelas  dari  sebaran  seluruh  data,  khususnya  dalam pemodelan data.
Pada Model Survival Berdistribusi Rayleigh
(Guure  &  Ibrahim,  2012)  Diyakini  bahwa  ada  dua  metode  estimasi  parameter  yang dikenal,  yaitu  metode  klasik  dan  metode  Bayesian.  Metode  klasik  yang  digunakan  adalah metode  Estimasi  Kemungkinan  Maksimum  (MLE).  Dalam  metode  Bayesian  terdapat beberapa  metode  yaitu  fungsi  kerugian  eksponensial  linier  (LINEX),  aproksimasi  Lindley, fungsi kerugian square error (SELF) dan fungsi kerugian entropi umum (GELF).
Penelitian  menggunakan  metode  Bayes  diantaranya  (Candra  Siska,  2011) Menggunakan metode Bayesian untuk menggunakan konjugat sebelum menentukan inferensi statistik  proporsi  binomial  berupa  estimasi  titik,  estimasi  interval  dan  pengujian  hipotesis, serta  menggunakan  metode  Bayesian  dan  metode  kemungkinan  maksimum  untuk  kedua parameter  yang  tidak  diketahui  proporsi  tersebut.  distribusi  istilah  dibandingkan.  Penelitian ini  menghasilkan  penduga  Bayesian  yang  merupakan  penduga  bias  dari  parameter  rasio binomial.
(Ni’mah  &  Agoestanto,  2014)  Pada  data  tersensor  tipe  II,  penduga  Bayesian digunakan  untuk  mempelajari  rata-rata  kelangsungan  hidup  dari  distribusi  Rayleigh.  Data yang  digunakan  adalah  sampel  data  tersensor  tipe  II,  yang  diasumsikan  berdistribusi Rayleigh.  Distribusi  prior  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  non-informatif sebelum menggunakan teknik penentuan awal Jeffrey.
(Guure,  2013)  Telah  dilakukan  penelitian  tentang  estimasi  parameter  distribusi Rayleigh dengan menggunakan distribusi gamma sebagai apriori. Dalam penelitian ini Guure menggunakan  metode  yaitu  metode  maximum  likelihood  estimation  (MLE),  metode  square error loss function (SELF) dan metode general entropy loss function (GELF).
Pradhan dan Kundu (2011) menduga parameter distribusi Gamma. Penelitian tersebut membandingkan  kinerja  Bayes  dengan  MLE  serta  metode  momen  menggunakan  simulasi Monte Carlo. Dari hasil simulasi dapat dilihat bahwa penduga Bayes dan penduga MLE lebih baik  dari  penduga  momen.  (Jelda  et  al.,  2019)  telah  melakukan  estimasi  parameter  model survival dan  model hazard berdistribusi  Rayleigh  dengan  metode  Bayesian  GELF menggunakan  prior  Uniform.  (Wahyuni  et  al.,  2019)  telah  melakukan  estimasi  parameter model survival berdistribusi Rayleigh dengan prior Uniform  menggunakan  metode Bayesian SELF.  (Ningrum  et  al.,  2020)  telah  melakukan  estimasi  parameter  model survival berdistribusi Rayleigh dengan prior Vague menggunakan  metode Bayesian SELF pada kasus penderita kanker ovarium.
Penelitian  ini akan  menggunakan  metode Bayesian SELF untuk menentukan estimasi parameter  distribusi  Rayleigh  dari  model  survival.  Selain  itu,  penelitian  ini  akan membandingkan  hasil  estimasi  parameter  model  distribusi  Rayleigh  dengan  metode  prior fuzzy  dan  unified  Bayesian  SELF  dengan  membandingkan  dua  hasil  estimasi  parameter sebelumnya berdasarkan nilai MSE minimum. Studi kasus dalam penelitian ini menggunakan data kasus pasien transplantasi jantung yang diambil dari program R versi 4.0.2.

## Metode Penelitian
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  waktu  kelangsungan  hidup pasien  transplantasi  jantung.  Data  diambil  dari  program  R  yaitu  data  dari  program transplantasi  jantung di Universitas Stanford dari  bulan Oktober 1967 hingga Februari 1980. Data ini merangkum waktu bertahan hidup selama beberapa hari setelah transplantasi.

##  
 2

## Asri Rahmawati dan Retno Budiarti
Langkah  pertama dalam  menentukan estimasi  nilai parameter data survival pada data studi  kasus  pasien  transplantasi  jantung  dimulai  dengan  uji  Kolmogorov-Smirnov  yang merupakan  bagian  dari  model  fit  test  untuk  mengetahui  apakah  datanya  berdistribusi Rayleigh. . Selanjutnya menentukan model survival dari fungsi kumulatif, fungsi survival, dan fungsi  hazard dari distribusi  Rayleigh. Kemudian tentukan fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi kemungkinan dari fungsi kelangsungan hidup. Setelah mendapatkan fungsi likelihood, maka metode estimasi yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Bayesian SELF.
Dalam  metode  DIRI  Bayesian,  langkah  pertama  adalah  menentukan  ambiguitas sebelumnya dan distribusi seragam sebelumnya. Setelah didapatkan distribusi prior, rumuskan distribusi  posterior  dan  fungsi  likelihood  dari  distribusi  sebelumnya.  Kemudian  setelah didapatkan distribusi posterior, langkah terakhir adalah melakukan estimasi metode Bayesian DIRI.  Selain  itu,  dengan  menggunakan  data  apriori  fuzzy  dan  unified  untuk  pasien transplantasi  jantung,  metode  Bayesian  SELF  digunakan  untuk  menginterpretasikan  dan membandingkan hasil estimasi distribusi Rayleigh dari parameter model survival.

## Hasil dan Pembahasan

## 1. Distribusi Rayleigh
Distribusi  Rayleigh  merupakan  bentuk  khusus  dari  distribusi  Weibull  yang pertama  kali  diperkenalkan  pada  tahun  1880  (Wahyuni  et  al.,  2019).  Karakteristik  dari distribusi Rayleigh adalah  fungsi  hazard  yang  naik  secara  linear terhadap waktu (Dey  & Maiti, 2012). Fungsi kepadatan peluang distribusi Rayleigh dinyatakan sebagai berikut:
t  t 2  f  t ;     2 exp   2  2  t  0,   0 (1)
Dimana 𝑡 merupakan data waktu dan  merupakan parameter.
Berdasarkan  fungsi  kepadatan  peluang  dari  distribusi  Rayleigh,  maka  fungsi  distribusi kumulatif untuk distribusi Rayleigh ialah:
𝐹(𝑡; 𝜃) = 1 − 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑡 2 ) (2)
2𝜃 2
Dengan  menggunakan  Persamaan  (2)  diperoleh  fungsi survival dan  fungsi hazard dari distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:
s  t ;    1  F  t ;    exp   t  

 t  0,   0 (3)  2  2  h  t ;    f ( t ;  )  t   t  0,   0 (4) s ( t ;  )  2

## 2. Estimasi Parameter Metode Bayesian SELF
Estimasi parameter  menggunakan  metode Bayesian memerlukan  fungsi likelihood dari distribusi Rayleigh, yaitu:
L  t i ;     i  1 f  t i ;     n t i   t i 2    2  2     i  1  e     (5)  
n
  n n n i BS i

## Perbandingan Estimasi Parameter Metode Bayesian Self dengan Prior Vague dan Uniform
Pada Model Survival Berdistribusi Rayleigh
Kombinasi  fungsi  likelihood  dan  distribusi  prior  akan  menghasilkan  distribusi  baru  yang disebut distribusi posterior, yang merepresentasikan kepercayaan parameter setelah sampel diamati.  Biasanya,  prior  adalah  Pemilihan  didasarkan  pada  pengetahuan  peneliti  dan keyakinan subjektif (Ahmed et al., 2013). Dalam penelitian ini prior yang akan digunakan adalah prior vague dan prior uniform . Prior vague dapat dinyatakan sebagai berikut:
p     1 ,   0
Didapat distribusi posterior dari prior vague sebagai berikut:
    t   (6)
 p    L  t i   d  0   t 2  1  n    1 n   i    t exp    t 2  .   i  1   2 n  1  i   2  2 i   n  n  1  i  1    i  1     t i   2    n    t 2     1 exp    t 2    i  1   i   2  2 i    i  1    i  1  (7)    2 n  1  2  n  1   n 
Sedangkan untuk Prior uniform dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑝(𝜃) = 1 𝑏−𝑎 ; 𝑎 < 𝜃 < ∞ (8)
Sehingga didapat distribusi posterior dari prior uniform sebagai berikut:
𝜋 * (𝜃|𝑡 ) = 𝑝(𝜃)𝐿(𝑡 i ; 𝜃) i ∞ 𝑝(𝜃)𝐿(𝑡  ; 𝜃)𝑑𝜃 ∫ 0 i 1 ∑𝑛  𝑡 i 2 𝜃2𝑛 (exp(− = 1 i=1 )) 2𝜃 3 (9) 𝑛 i=1 𝑡 2 ) 2−𝑛 (2 𝑛− 2 1 )   ( −  ) 2
Setelah menentukan distribusi posterior, dilanjutkan dengan melakukan estimasi parameter dengan metode Bayesian SELF yang disefinisikan sebagai berikut:
L   BS ,      BS    2 , 0    
Dengan  merupakan estimator Bayesian SELF untuk parameter  . Estimasi parameter metode Bayesian SELF dapat diperoleh dengan meminimumkan ekspektasi loss function, yaitu:
  E  L   BS ,        0  
 p    L  t i   −(∑ n n
1 i=1  i (∑ 2 ) (∑ 2 ) 2 i

## Sehingga diperoleh
𝐸(𝜃) = 𝜃̂ 𝐵𝑆 (10)
Berdasarkan  persamaan  (10),  dapat  ditentukan  estimasi  parameter  dari  metode  bayesian SELF dengan prior vague yaitu:
∞
𝜃̂ 𝐵𝑆𝑉 = 𝐸(𝜃) = ∫   𝜃𝜋 * (𝜃|𝑡 i ) 𝑑𝜃 0   n 1 t 2  2  n  1   i   2    i  1     2  2   n  (11)
Berdasarkan persamaan (11), diperoleh estimasi fungsi survival dan fungsi hazard dengan metode  Bayesian  SELF  dari  distribusi  Rayleigh  dengan  prior vague adalah  sebagai berikut:
1 2 𝑡i2 l ((𝑡 i )(2) 2 Г(45)) − ̂ 2 l 𝑠̂ 𝐵𝑆𝑉 (𝑡 i ; 𝜃̂ 𝐵𝑆𝑉 ) = 𝑒 2𝜃𝐵𝑆7 = 𝑒𝑥𝑝 I − I 1 2 II (12)
𝗁  𝗁 1 2((∑ 𝑛 2 𝑡 2 ) 2 Г( 89 )) )) h ̂ (𝑡 ; 𝜃̂ ) = 𝑡 i = (𝑡 i )((2) 2 Г(45))
(13)
𝐵𝑆𝑉  i 𝐵𝑆𝑉 𝜃 ̂ 2 𝐵𝑆7 2 1 𝑛 2 89 ((∑ i=1 𝑡 i )  Г( 2 ))
Sedangkan estimasi parameter dari metode bayesian SELF dengan prior uniform yaitu sebagai berikut: 𝜃̂ = 𝐸(𝜃) = ∞ 𝜃𝜋 * (𝜃|𝑡  ) 𝑑𝜃 𝐵𝑆𝑈 ∫ 0 i
= Г( −1) (14) 1 1 𝑛 2 1 (∑ i=1 𝑡 i ) 2 (2) 2 Г( −  ) 2
Berdasarkan persamaan (14), diperoleh estimasi fungsi survival dan fungsi hazard dengan metode  Bayesian  SELF  dari  distribusi  Rayleigh  dengan  prior uniform adalah  sebagai berikut:
𝑠̂ 𝐵𝑆𝑈 (𝑡 i ; 𝜃̂ 𝐵𝑆𝑈 ) = 𝑒 𝑡  2 − 2𝜃 ̂ 𝐵𝑆𝑈 = exp − 𝑡 i 2 2 l Г ( 𝑛−1 ) 2 (15)
I 1  1 I 𝑛 𝗁 i=1 𝑡i 2 ) 2 ( 2 ) 2Г ( 𝑛− 1 ) h ̂ (𝑡  ; 𝜃̂ ) = 𝑡 i = 𝑡 i (16)
𝐵𝑆𝑈  i 𝐵𝑆𝑈 𝜃 ̂ 𝐵𝑆𝑈 2 l Г ( 𝑛−1 ) I 1  1 I 𝑛 𝗁 i=1 𝑡i 2 ) 2 ( 2 ) 2Г ( 𝑛− 1 ) 2 2
Pada Model Survival Berdistribusi Rayleigh
Untuk  melihat  estimasi  parameter  fungsi survival dan  fungsi hazard mana  yang  paling baik pada metode Bayesian SELF dapat dilihat dari nilai MSE (Sagita et al., 2018). MSE dari suatu estimator untuk fungsi survival dan fungsi hazard didefinisikan sebagai berikut: 𝑛 𝑀𝑆𝐸(𝑆̂) = 1 ∑ *(𝑆̂ − 𝑆) 2 + 𝑛 i=1 𝑛 𝑀𝑆𝐸(ℎ̂) = 1 ∑ *(ℎ̂ − ℎ) 2 + 𝑛 i=1

## 3. Uji Kecocokan Data Pasien Tranplantasi Jantung
Bagian  ini  akan  menguji  penerapan  data  dari  pasien  transplantasi  jantung.  Uji kesesuaian  digunakan  untuk  menentukan  apakah  model  distribusi  hipotetis  cocok (penerapan) atau apakah distribusi dapat digunakan untuk  mendekati variable (Ningrum et al.,  2020).  Taraf  nyata  ( Sig )  yang  digunakan  adalah 𝛼  =  5%  =  0,05 .  Saat  menentukan keputusan  akhir  menolak  atau  menerima  H_0,  berdasarkan  area  kritis  α  dari  nilai  p  tes dengan bentuk peluang, jika p-value≤α, maka H_0 ditolak dan H_1 diterima. Berikut hasil pengolahan data menggunakan distribusi data uji EasyFit.
Tabel 1. Output EasyFit Kolmogorov-Smirnov Rayleigh
Kolmogorov-Smirnov Sample Size 45 P-Value 0.54674
Hal  ini  dapat  dilihat  dari  hasil  pengolahan  data  bahwa  nilai  p  distribusi  Rayleigh pada  uji  Kolmogorov-Smirnov  sebesar  0,54674  yang  berarti  p  value>  0,05  menjadikan H_0  dapat  diterima,  dan  dapat  disimpulkan  bahwa  data  tersebut  adalah  Rayleigh. distribusi.

## 4. Estimasi Parameter Metode Bayesian SELF dengan Prior Vague
Penentuan  nilai  survival  dan  nilai hazard dari  metode  Bayesian  SELF menggunakan   Microsoft   Excel   dengan   nilai   parameter 𝜃̂ 𝐵𝑆𝑉 = 973,4985689 adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Hasil perhitungan fungsi survival dan fungsi hazard dari Metode Bayesian SELF dengan prior vague
Waktu ( t i ) Survival BS ( 𝑠̂ 𝐵𝑆𝑉 ) Hazard BS ( ℎ̂ 𝐵𝑆𝑉 ) 323 0.895756571 0.000340825 550 0.726734536 0.000580353 623 0.663949881 0.000657381 730 0.569891626 0.000770286 836 0.478324522 0.000882136
Nilai  s_BSV  adalah  peluang  kelangsungan  hidup  pasien  transplantasi,  dan  nilai BSV  h  mewakili  kematian  pasien.  Hal  ini  dapat  dilihat  dari  Tabel  2  bahwa  menurut perkiraan fungsi survival dengan metode Bayesian DIRI peluang seseorang bertahan hidup selama 323 hari adalah 89,57%.

## 5. Estimasi Parameter Metode Bayesian SELF dengan Prior Uniform
Penentuan  nilai survival dan  nilai hazard dari  metode  Bayesian  SELF menggunakan  Microsoft  Excel  dengan  nilai  parameter 𝜃̂ 𝐵𝑆𝑈 =  116,7300 adalah  sebagai berikut:
Tabel 3. Hasil perhitungan fungsi survival dan fungsi hazard dari Metode Bayesian SELF dengan prior uniform
Waktu ( t i ) Survival BS ( 𝑠̂ 𝐵𝑆𝑉 ) Hazard BS ( ℎ̂ 𝐵𝑆𝑉 ) 323 0.895756571 0.000340825 550 0.726734536 0.000580353 623 0.663949881 0.000657381 730 0.569891626 0.000770286 836 0.478324522 0.000882136
Nilai  s _BSU  adalah peluang kelangsungan  hidup pasien transplantasi,  dan nilai  h _BSU adalah  mortalitas pasien. Dapat  dilihat dari Tabel 2 bahwa  menurut fungsi survival yang  diperkirakan  dengan  metode  Bayesian  SELF,  survival  chance  323  hari  individu adalah 99%.
Untuk memahami fungsi mana dalam metode DIRI Bayesian yang memiliki fungsi survival  dan  fungsi  hazard  yang  paling  baik,  dapat  dilihat  dari  nilai  MSE.  Berikut  ini adalah nilai MSE yang diperoleh:

## Tabel 4. Hasil Perbandingan Metode Bayesian SELF
Mean Square Error (MSE) Metode Bayesian SELF 𝑆̂(𝑡) ℎ̂(𝑡) Vague 0.0355107 0.000139 uniform 0.3871510 0.000175
Dapat  dilihat  dari  Tabel  4  bahwa  fungsi  survival  dan  fungsi  hazard  pada  metode SELF bayesian apriori  fuzzy  lebih kecil dari  nilai  MSE keseragaman apriori, yang  berarti metode  a  priori  fuzzy  Bayesian  SELF  lebih  sesuai  untuk  estimasi  distribusi  survival Rayleigh. model.

## Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  estimasi  parameter  yang  diperoleh,  dapat  disimpulkan  bahwa metode  Bayesian  SELF  dengan  apriori  fuzzy  lebih  cocok  untuk  mengestimasi  peluang kelangsungan hidup individu. Hal tersebut terlihat dari nilai MSE yang diperoleh. Nilai MSE dari  ambiguity  survival  function  dan  hazard  function  masing-masing  adalah  0,0355107  dan 0,000139.  Nilai  MSE  dari  fungsi  survival  dan  fungsi  berbahaya  dari  seragam  sebelumnya masing-masing  adalah  0,3871510  dan  0,000175.  Untuk  menghasilkan  estimasi  parameter
dengan  hasil  yang  lebih  baik,  distribusi  lain  dapat digunakan  untuk mendapatkan nilai  MSE yang lebih kecil.

## Bibliografi
Ahmed, A., Ahmad, S. P., & Reshi, J. A. (2013). Bayesian analysis of Rayleigh distribution. International Journal of Scientific and Research Publications , 3 (10), 1–9.
Andini,  R.,  Satyahadewi,  N.,  &  Rizki,  S.  W.  (2018).  Perbandingan  Estimasi  Parameter Metode Bayesian Gelf Untuk Prior Gamma Dan Jeffrey Perluasan Pada Model Survival Berdistribusi Weibull Data Tersensor. Bimaster , 7 (4).
Candra  Siska,  A.  (2011). Inferensi  Statistik  Distribusi  Binomial  Dengan  Metode  Bayes Menggunakan Prior Konjugat . Universitas Diponegoro.
Dey, S., & Dey, T. (2011). Rayleigh Distribution Revisited Via Ex-Tension Of Jeffreys Prior Information And A New Loss Function. Revstat–Statistical Journal , 9 (3), 213–226.
Dey, S., & Maiti, S. S. (2012). Bayesian estimation of the parameter of Rayleigh distribution under  the  extended  Jeffrey’s  prior. Electronic  Journal  of  Applied  Statistical  Analysis , 5 (1), 44–59.
Fitria,  T.  N.  (2016).  Kontribusi  Ekonomi  Islam  Dalam  Pembangunan  Ekonomi  Nasional.
Jurnal Ilmiah Ekonomi Islam , 2 (03).
Guure,  C.  B.  (2013). Using  Square-Root  Inverted  Gamma  Distribution  as  Prior  to  Draw Inference on the Rayleigh Distribution .
Guure, C. B., & Ibrahim, N. A. (2012). Bayesian analysis of the survival function and failure rate of Weibull distribution with censored data. Mathematical Problems in Engineering , 2012 .
Harlan, J. (2017). Analisis Survival . Gunadarma.
Jelda,  P.,  Rizki,  S.  W.,  &  Imroâ,  N.  (2019).  Pendekatan  Bayesian  GELF  untuk  Estimasi Parameter Model Survival Rayleigh dengan Prior Uniform. BIMASTER , 8 (3).
Ni’mah,  R.,  &  Agoestanto,  A.  (2014).  Estimator  Bayes  untuk  Rata-Rata  Tahan  Hidup  dari Distribusi Rayleigh pada Data Disensor Tipe II. Unnes Journal of Mathematics , 3 (2).
Ningrum,  A.  F.,  Satyahadewi,  N.,  &  Rizki,  S.  W.  (2020).  Metode  Bayesian  Self  Untuk Estimasi Parameter Model Survival Distribusi Rayleigh. Bimaster , 9 (1).
Thamrin,  S.  A.  (2014).  Simulasi  Penaksiran  Parameter  Distribusi  Weibull  Campuran  Untuk Data  Survival  Heterogen  Dengan  Pendekatan  Bayesian. IndoMS  Journal  on  Statistics. 2:37-46.
Wahyuni,  E.  R.,  Rizki,  S.  W.,  &  Perdana,  H.  (2019).  Estimasi  Parameter  Model  Survival Distribusi Rayleigh Prior Uniform dengan Metode Bayesian SELF. BIMASTER , 8 (2).