Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 203-216 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.10652

## Penerapan Teori Residu dalam Penentuan Nilai Eksak dari Deret Tak Hingga
Yusuf Ramadana 1 dan Dwi Fitriani Rosali 2
1 Institut Teknologi Bandung, 2 Universitas Pendidikan Indonesia, Bandung Indonesia email: 1 yusuf.ramadana20021996@gmail.com, 2 dewirosali@upi.edu
Diajukan: 28 Juli 2021, Diperbaiki: 27 Juni 2022, Diterima: 7 Nopember 2022

## Abstrak
Teorema Residu memiliki penerapan yang menarik pada berbagai bidang matematika. Penerapan tersebut seperti pada evaluasi transformasi Fourier, transformasi Mellin, dan penentuan nilai integral tak wajar yang melibatkan fungsi yang  tergolong relatif  rumit  seperti pada integral Dirichlet  dan integral Fresnel. Selain penerapan-penerapan tersebut  dalam penentuan nilai eksak integral, teori residu juga mempunyai penerapan pada penentuan nilai eksak dari suatu deret tak hingga  yang konvergen. Pada penelitian ini, diturunkan kemudian dibuktikan sebuah aturan untuk menentukan nilai eksak dari suatu deret tak hingga yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Metode penelitian yang digunakan berupa kajian literatur. Peneliti mengumpulkan sumber-sumber ilmiah baik berupa artikel ilmiah maupun buku-buku yang kemudian dianalisis untuk mencapai tujuan penelitian. Hasil penelitian memberikan syarat cukup terkait dengan penggunaan rumus yang diperoleh sekaligus memberikan bukti dengan pendekatan yang berbeda dari sebelumnya. Dari hasil yang diperoleh tersebut, juga dilakukan perhitungan mengenai nilai eksak dari fungsi Zeta-Riemann di bilangan genap positif sebagai salah satu aplikasi dari aturan tersebut. Kata kunci : Analisis kompleks, deret tak hingga, residu.

## Abstract
The residue theorem has interesting applications to various fields of mathematics. The applications are like in the evaluation of the Fourier transform, Mellin transform, and the evaluaion of the exact value of improper integral involving functions that are relatively complex such as Dirichlet integral and Fresnel integrals. Besides these applications in evaluation of the exact value of integral, residue theory also has an application to the evaluation of the exact value of a convergent infinite series. In this research, we derive and prove a rule to evaluate the exact value of a convergent infinite series that satisfy certain conditions. The research method that was in this study is literature review. The researchers collect scientific resources either scientific paper or books to be analyzed in order to achieve the research objective. The research results give sufficient condition related to the use of the formula/rule that was obtained and give proofs with an approach that is different from the previous one. From the obtained results, the researchers also do calculation to evaluate the exact value of Zeta-Riemann function at the even positive number as one of the applications of the obtained formula/rule.
Keywords : Complex analysis, infinite series, residue.

## 1 Pendahuluan
Teorema residu memiliki aplikasi yang sangat menarik pada berbagai bidang matematika. Salah satu penerapan tersebut  adalah  pada transformasi Fourier  dan  transformasi Mellin.
Penerapan lainnya terletak pada evaluasi nilai integral tak wajar yang melibatkan fungsi yang rumit, seperti integral berikut.
� sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ + , � cos 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ℝ + � sin 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ + , � 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 2 4 + 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ , � 𝑒𝑒 1 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 4 ℝ 𝑑𝑑𝑥𝑥 .
Integral pertama merupakan integral Dirichlet , sedangkan integral kedua dan ketiga merupakan  integral  Fresnel.  Dengan penerapan residu, dimungkinkan untuk menentukan nilai integral tak wajar tersebut  lebih mudah dibandingkan dengan cara yang biasa sepert teknik subtitusi dan teknik integral parsial.  Salah satu penerapan teori residu lainnya adalah dalam mengevaluasi nilai eksak dari suatu deret tak hingga dari bilangan-bilangan real yang konvergen.
Salah satu masalah deret tak hingga yang terkenal adalah deret pada masalah Bassel, variasi dan perumumannya. Masalah tersebut adalah menentukan nilai dari deret tak hingga
� 1 𝑛𝑛 2 ∞ 𝑛𝑛=1 , � 1 𝑛𝑛 4 ∞ 𝑛𝑛=1 , � 1 𝑛𝑛 6 ∞ 𝑛𝑛=1 , …
Deret  pertama (masalah Bessel)  memiliki  nilai  eksak 𝜋𝜋 /6 [1].  Nilai tersebut dapat pula diperoleh secara langsung menggunakan pendekatan bilangan Bernoulli sebagaimana dijelaskan oleh Maulidi dkk  [2],  Dwilewicz dkk [3],  dan juga nantinya akan dibahas pada bagian akhir menggunakan aturan yang kemudian akan diturunkan.
Masalah penentuan nilai eksak deret-deret sebelumnya  kemudian diperluas menjadi penentuan nilai dari deret
� 1 𝑛𝑛 𝑥𝑥 ∞ 𝑛𝑛=1
dengan 𝑥𝑥 > 0. Deret tersebut akan konvergen ketika 𝑥𝑥 > 1 . Deret tersebut kemudian diperluas dan didefinisikan sebagai fungsi Zeta-Riemann sebagaimana pada [4] dan [5], yaitu fungsi pada bidang kompleks 𝜁𝜁 : ℂ → ℂ dengan
𝜁𝜁 ( 𝑧𝑧 ) ∶ = � 1 𝑛𝑛 𝑧𝑧 ∞ 𝑛𝑛=1 .
Euler memberikan bentuk lain dari fungsi tersebut dalam bentuk hasil kali tak hingga dengan melibatkan bilangan-bilangan prima. Hasil kali tersebut berupa
𝜁𝜁 ( 𝑧𝑧 ) = � 1 1 − 𝑝𝑝 𝑘𝑘 −𝑧𝑧 ∞ 𝑘𝑘=1
dengan 𝑝𝑝 𝑘𝑘 adalah bilangan prima ke −𝑘𝑘 dan ℜ ( 𝑧𝑧 ) > 1 sebagaimana pada [6], [7], [8], [9], dan [10].
Melalui tulisan ini, akan dideskripsikan cara menentukan nilai eksak dari suatu deret tak hingga dalam bentuk teorema dan buktinya. Teknik tersebut pada dasarnya telah dijelaskan dalam Marsden dkk [11]  dan  pada pembuktiannya  digunakan persegi. Tulisan ini akan memberikan teknik pembuktikan yang berbeda dengan terlebih dahulu memaparkan lema dan teorema yang menunjang. Proses pembuktian di tulisan ini menggunakan lingkaran. Dengan kata lain, melalui tulisan ini, diberikan bukti lain dari aturan tersebut. Perbedaan bukti menggunakan lingkaran dan persegi terletak pada proses estimasi, yaitu pada penggunaan Teorema 8. Dengan menggunakan lingkaran, diberikan proses estimasi yang berbeda. Pada praktiknya secara umum, penggunaan lingkaran juga lebih memudahkan dalam menentukan modulus atau nilai mutlak dalam proses estimasi nilai integral. Lebih lanjut, hasil yang diperoleh kemudian digunakan untuk menentukan nilai eksak dari fungsi Zeta-Riemann di titik berupa bilangan genap positif.
Berikut ini dipaparkan mengenai definisi yang digunakan dan beberapa teorema serta lema yang digunakan dalam penelitian ini.
Definisi 1 [12] Misalkan 𝑓𝑓 adalah fungsi pada bidang kompleks dengan ekspansi deret Laurent
𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = � 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=−∞ ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑛𝑛 .
Residu dari 𝑓𝑓 di 𝑧𝑧 0 didefinisikan sebagai koefisien dari 1 𝑧𝑧−𝑧𝑧 0 , yaitu 𝑎𝑎 −1 dan ditulis dengan 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 0 𝑓𝑓 .
Sebelum  melangkah lebih lanjut,  kita  mengulas kembali secara singkat tentang winding number . Winding number dari suatu kurva 𝛾𝛾 terhadap titik asal, dinotasikan 𝑊𝑊 ( 𝛾𝛾 , 0) adalah banyaknya putaran keseluruhan kurva 𝛾𝛾 mengelilingi titik asal [13]. Kita perluas winding number dari suatu kurva 𝛾𝛾 terhadap titik 𝛼𝛼 sebagai banyaknya keseluruhan putaran dari kurva tersebut mengelilingi 𝛼𝛼 . Dalam [14], ditunjukkan bahwa winding number dapat dinyatakan dalam bentuk integral
𝑊𝑊 ( 𝛾𝛾 , 𝛼𝛼 ) = � 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑧𝑧 − 𝛼𝛼 𝛾𝛾 .
Dengan definisi-definisi tersebut, kita peroleh dua teorema berikut ini.
Teorema 2 (Rumus Residu Lokal) [14] Misalkan 𝑧𝑧 0 adalah singularitas yang terasing dari 𝑓𝑓 dan misalkan 𝐶𝐶 𝑅𝑅 adalah lingkaran berpusat di 𝑧𝑧 0 berjari-jari 𝑅𝑅 > 0 dan berorientasi berlawanan arah jarum jam sedemikian sehingga 𝑓𝑓 analitik pada 𝐶𝐶 𝑅𝑅 dan interiornya, kecuali mungkin di 𝑧𝑧 0 . Maka,
� 𝑓𝑓 ( 𝜁𝜁 ) 𝑑𝑑𝜁𝜁 𝐶𝐶 𝑅𝑅 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋𝑎𝑎 −1
Selanjutnya, dengan teorema Residu lokal tersebut, diperoleh rumus residu berikut yang dapat dipandang sebagai perluasan dari rumus residu lokal pada Teorema 2.
Teorema 3 (Rumus Residu) [14] Misalkan 𝑈𝑈 adalah himpunan buka di ℂ dan 𝛾𝛾 adalah rantai tertutup di 𝑈𝑈 yang homologus ke 0 di 𝑈𝑈 . Misalkan bahwa 𝑓𝑓 analitik pada 𝑈𝑈 kecuali berhingga banyaknya titik 𝑧𝑧 1 , 𝑧𝑧 2 , … , 𝑧𝑧 𝑛𝑛 . Misalkan 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = 𝑊𝑊 ( 𝛾𝛾 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ). Maka �𝑓𝑓 𝛾𝛾 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 ⋅ 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑓𝑓
Untuk keperluan teknis agar memberi kemudahan dalam melakukan perhitungan, kita turunkan akibat berikut.
Akibat 4 Misalkan 𝑓𝑓 analitik pada cakram tutup 𝐷𝐷 (dengan batas berupa lingkaran 𝐶𝐶 𝑅𝑅 dengan orientasi positif) kecuali mungkin di berhingga banyaknya titik-titik 𝑧𝑧 1 , … , 𝑧𝑧 𝑛𝑛 yang tidak terletak di 𝐶𝐶 𝑅𝑅 . Maka,
� 𝑓𝑓 𝐶𝐶 𝑅𝑅 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 .
Bukti. Karena 𝐶𝐶 𝑅𝑅 adalah lingkaran dengan 𝑧𝑧 1 , … , 𝑧𝑧 𝑛𝑛 terletak di dalam interiornya, maka winding number dari 𝐶𝐶 𝑅𝑅 terhadap masing-masing titik tersebut adalah 1. Dari sini, dengan teorema 3, kita peroleh bahwa
� 𝑓𝑓 𝐶𝐶 𝑅𝑅 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 ⋅ Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑓𝑓 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1
yang melengkapi bukti Akibat 4 ∎
Akibat tersebut mengatakan bahwa integral suatu fungsi analitik pada suatu lingkaran adalah kelipatan 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 dari jumlah residu-residunya di  dalam lingkaran tersebut.  Teorema berikut memberikan aturan mengenai cara menentukan residu dari perkalian antara suatu fungsi meromorfik 𝑓𝑓 dan fungsi 𝑧𝑧 ↦ ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 dengan 𝑧𝑧 0 adalah pole dari fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑚𝑚 adalah derajat dari 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑓𝑓 di 𝑧𝑧 0 .
Teorema 5 Misalkan 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) mempunyai pole berderajat 𝑚𝑚 di 𝑧𝑧 0 . Maka,
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 0 𝑓𝑓 = 1 ( 𝑚𝑚 − 1)! ⋅ lim 𝑧𝑧→𝑧𝑧 0 𝑑𝑑 𝑚𝑚−1 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑚𝑚−1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )
Bukti. Karena 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) mempunyai pole berderajat 𝑚𝑚 di 𝑧𝑧 0 , maka dapat ditulis bahwa
𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑎𝑎 −𝑚𝑚 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 + 𝑎𝑎 −𝑚𝑚+1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑎 −1 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 + 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) + ⋯
dengan deret tersebut merupakan deret konvergen. Kalikan kedua ruas dengan ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 , diperoleh
( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑎𝑎 −𝑚𝑚 + 𝑎𝑎 −𝑚𝑚+1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) + ⋯ + 𝑎𝑎 −1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚−1 + ⋯
(1)
Perhatikan bahwa ruas kanan  pada  Persamaan (1)  merupakan deret yang konvergen. Sehingga, pemetaan 𝑧𝑧 ↦ ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) merupakan fungsi analitik di 𝑧𝑧 0 . Akibatnya, dengan mengunakan rumus ekspansi deret Taylor untuk ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) , diperoleh bahwa jika 𝑏𝑏 𝑛𝑛 adalah koefisien dari ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑛𝑛 pada suku ke −𝑛𝑛 dari ekpansi deret Taylor dari ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) , maka
𝑏𝑏 𝑛𝑛 = 1 𝑛𝑛 ! ⋅ 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑛𝑛 � ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) � | 𝑧𝑧=𝑧𝑧 0 .
Oleh karena itu, dari Persamaan (1) diperoleh bahwa
𝑎𝑎 −1 = 𝑏𝑏 𝑚𝑚−1 = 1 ( 𝑚𝑚 − 1)! ⋅ 𝑑𝑑 𝑚𝑚−1 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑚𝑚−1 � ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) � | 𝑧𝑧=𝑧𝑧 0 = 1 ( 𝑚𝑚 − 1)! ⋅ lim 𝑧𝑧→𝑧𝑧 0 𝑑𝑑 𝑚𝑚−1 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑚𝑚−1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ).

## Ini membuktikan Teorema 5 ∎

## 2 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian berupa kajian literatur. Peneliti mengumpulkan sumber-sumber ilmiah baik berupa artikel ilmiah maupun buku-buku yang kemudian dianalisis untuk menjawab tujuan penelitian. Defnisi-definisi yang digunakan berasal dari sumber-sumber ilmiah maupun dari buku. Sedangkan, beberapa teorema, lemma, akibat dan bukti diambil dari sumber-sumber artikel.

## 3 Hasil
Hasil-hasil pada pendahuluan akan digunakan untuk membuktikan hasil utama yang disajikan pada bagian ini. Hasil utama akan disajikan pada teorema 8,9 dan akibat 10. Untuk tujuan tersebut, kita terlebih dahulu akan menyajikan dan membuktikan dua lema berikut ini.
Lema 6 Misalkan 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) adalah fungsi meromorfik dan misalkan 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) adalah fungsi meromorfik dengan semua pole-nya adalah sederhana di 𝑧𝑧 ∈ ℤ , yaitu semua pole-nya berderajat 1,  dan asumsikan juga bahwa bahwa semua residunya adalah 1. Maka, residu dari 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) adalah 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) di setiap bilangan bulat 𝑛𝑛 yang bukan merupakan pole dari 𝑓𝑓 .
Bukti. Misalkan 𝑧𝑧 0 = 𝑛𝑛 ∈ ℤ adalah pole sederhana dari 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) dengan residu 1 yang bukan merupakan pole dari 𝑓𝑓 . Tuliskan 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) dalam bentuk ekspansi deret Laurent di 𝑧𝑧 0 sebagai berikut.
𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) = 1 𝑧𝑧−𝑧𝑧 0 + 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) + ⋯ (2)
Kemudian, karena 𝑓𝑓 meromorfik dengan 𝑧𝑧 0 bukan merupakan pole dari 𝑓𝑓 , maka 𝑓𝑓 analitik di 𝑧𝑧 0 dan dapat ditulis
𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 ( 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 ) + ⋯ (3)
dengan 𝑏𝑏 0 = 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 0 ) . Kalikan Persamaan (2) dan (3) pada masing-masing ruas maka akan diperoleh
𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑏𝑏 0 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 0 + 𝑎𝑎 0 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 + 𝐻𝐻 ( 𝑧𝑧 )
dengan 𝐻𝐻 ( 𝑧𝑧 ) adalah fungsi analitik di 𝑧𝑧 0 . Oleh karena itu, dari persamaan terakhir, diperoleh bahwa residu dari 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) di 𝑧𝑧 0 = 𝑛𝑛 adalah 𝑏𝑏 0 = 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 0 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) . Jadi, residu dari 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) adalah 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) di setiap bilangan bulat 𝑛𝑛 yang bukan merupakan pole dari 𝑓𝑓 ∎ Pole akan digunakan secara berulang pada pembahasan berikutnya. Untuk alasan kemudahan, jika 𝑓𝑓 adalah fungsi pada 𝑈𝑈 , didefinisikan 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )) sebagai himpunan semua pole dari 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) . Selain itu, untuk 𝑈𝑈 kontur (tutup) pada ℂ dinotasikan 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼 ( 𝑈𝑈 ) sebagai interior dari 𝑈𝑈 .

## Gambar 1. Lingkaran 𝐶𝐶 𝑁𝑁
Akibat  7 Misalkan 𝑁𝑁 ∈ ℕ dan 𝑓𝑓 adalah fungsi dengan berhingga banyaknya pole. Misalkan pula 𝐶𝐶 𝑁𝑁 adalah lingkaran yang berpusat di titik asal dengan jari-jari 𝑁𝑁 + 1 2 sedemikian sehingga semua pole dari 𝑓𝑓 terletak pada interior 𝐶𝐶 𝑁𝑁 . Selanjutnya, tinjau fungsi 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) sebagaimana dimaksud pada Lema 6. Maka,
� 𝐺𝐺𝑓𝑓
𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ .

## *Catatan: 𝐶𝐶 𝑁𝑁 diperlihatkan pada Gambar 1.
Bukti. Misalkan 𝑓𝑓 adalah fungsi dengan berhingga banyaknya pole . Selanjutnya, tinjau fungsi 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) pada lingkaran 𝐶𝐶 𝑁𝑁 . Dengan Akibat 4, diperoleh
� 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∩ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼 ( 𝐶𝐶 𝑁𝑁 ) .
Perhatikan bahwa jika 𝑧𝑧 𝑘𝑘 pole dari 𝐺𝐺𝑓𝑓 di interior 𝐶𝐶 𝑁𝑁 , maka terdapat dua kemungkinan dari 𝑧𝑧 𝑘𝑘 , yaitu 𝑧𝑧 𝑘𝑘 merupakan pole dari 𝑓𝑓 atau bukan merupakan pole dari 𝑓𝑓 . Oleh karena itu,
� 𝐺𝐺𝑓𝑓
𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∩ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼 ( 𝐶𝐶 𝑁𝑁 ) ∩𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∩ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼 ( 𝐶𝐶 𝑁𝑁 ) ∖𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) .
Misalkan 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∖ 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) . Maka, 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) dan 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∉ 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) . Berdasarkan sifat 𝐺𝐺 , 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ ℤ . Kemudian, dengan Lema 6 diperoleh bahwa Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ) untuk tiap 𝑧𝑧 𝑘𝑘 yang berada di 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∖ 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) dengan 𝑧𝑧 𝑘𝑘 adalah bilangan bulat. Oleh karena itu,
� 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∩ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼 ( 𝐶𝐶 𝑁𝑁 ) ∩𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ .
Selanjutnya, jika 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) dan merupakan bilangan bulat, maka dengan sifat 𝐺𝐺 , diperoleh bahwa 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) . Di lain pihak, jika 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) dan bukan bilangan bulat, maka jelas bahwa 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈ 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) . Oleh karena itu, 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) ⊆ 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) dan 𝑷𝑷 ( 𝐺𝐺𝑓𝑓 ) ∩ 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) = 𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) yang berakibat bahwa
� 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) ∩ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼 ( 𝐶𝐶 𝑁𝑁 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ .
Karena semua pole dari 𝑓𝑓 berada pada interior 𝐶𝐶 𝑁𝑁 , maka 𝑃𝑃 ( 𝑓𝑓 ) ⊂ 𝐶𝐶 𝑁𝑁 dan � 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝐺𝐺𝑓𝑓 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ yang melengkapi bukti Akibat 7 ∎
Oleh karena itu, cukup menentukan fungsi 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) yang memenuhi sifat bahwa 𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) adalah fungsi meromorfik dengan semua pole nya adalah sederhana di 𝑧𝑧 ∈ ℤ dan semua residunya adalah 1 . Perhatikan bahwa fungsi yang memenuhinya syarat-syarat tersebut adalah
𝐺𝐺 ( 𝑧𝑧 ) = 𝜋𝜋 cot( 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) = 𝜋𝜋 cos 𝜋𝜋𝑧𝑧 sin 𝜋𝜋𝑧𝑧 .
Melalui fungsi tersebut, diperoleh rumus untuk menentukan nilai eksak dari suatu deret tak hingga. Tetapi, suku-suku pada deret tersebut harus memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebelum sampai pada teorema terkait rumus tersebut, terlebih dahulu akan dibuktikan sifat yang menjadi salah satu hasil utama di tulisan ini sebagai berikut.
Teorema  8 Misalkan 𝐶𝐶 𝑁𝑁 adalah lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari 𝑁𝑁 + 1 2 . Maka, ada 𝑀𝑀 > 0 sedemikian sehingga lim 𝑁𝑁→∞ sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 𝑀𝑀 dengan 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 .
Bukti . Perhatikan bahwa 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = ��𝑁𝑁 + 1 2 � 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝑖𝑖𝜋𝜋 : 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 2 𝜋𝜋� . Perhatikan bahwa secara umum,
|cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 | = � 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 + 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 � = � 1 + 2 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 � = � 1 + 2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑧𝑧 − 1 � = � 1 + 2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+12�𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 1 �
Misalkan 𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶 𝑁𝑁 . Dari bentuk tersebut, kita dapat mengambil 𝑁𝑁 → ∞ , tetapi akan terjadi sedikit kendala pada nilai dari �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 � . Untuk itu, kita akan membaginya menjadi 3 kasus sebagai berikut.

## Kasus 1
Asumsikan bahwa 0 < �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 � < 1 . Maka, dengan mengambil 𝑁𝑁 → ∞ , kita peroleh 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 → 0 yang berakibat bahwa
lim 𝑁𝑁→∞ � 1 + 2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+12�𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 1 � = 1 + 2 0 − 1 = − 1
Ini berakibat bahwa
lim 𝑁𝑁→∞ � 1 + 2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+12�𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 1 � = 1

## Kasus 2
Asumsikan bahwa �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 � > 1. Maka,
lim 𝑁𝑁→∞ � 1 + 2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+12�𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 1 � = 1 + 0 = 1
dan
lim 𝑁𝑁→∞ � 1 + 2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+12�𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 1 � = 1

## Kasus 3
Asumsikan bahwa �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 � = 1 .  Maka, �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 � = 1 .  Tulis 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜋𝜋 = cos 𝜃𝜃 + 𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 .
Dari sini,
1 = �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 � = �𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖 ( cos 𝜋𝜋+𝑖𝑖 sin 𝜋𝜋 ) � = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋 sin 𝜋𝜋
Akibatnya, sin 𝜃𝜃 = 0 dan 𝜃𝜃 = 0, 𝜋𝜋 , 2 𝜋𝜋 . Kemudian, dari ketiga kemungkinan tersebut, 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 akan bernilai 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 � atau 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 � . Karena 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 � = −𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝜋𝜋𝑖𝑖 = − 1, dan 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 � = 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑖𝑖 = − 1, maka 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+ 1 2 �𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋 = − 1 . Kemudian, untuk setiap bilangan asli 𝑁𝑁 ,
� 1 +
2 𝑒𝑒 2𝜋𝜋𝑖𝑖�𝑁𝑁+12�𝑒𝑒 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 − 1 � = 0
Dari ketiga kasus tersebut, diperoleh bahwa jika 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 , maka barisan � sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| � konvergen dan lim 𝑁𝑁→∞ sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 1 . Oleh karena itu, terdapat bilangan asli 𝑁𝑁 (1) > 1 sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli 𝑁𝑁 ≥ 𝑁𝑁 (1) > 1 , berlaku
� sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| − 1 � < 1
yang berakibat bahwa
0 ≤ sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| < 2, 𝑁𝑁 ≥ 𝑁𝑁 (1).
Dari sini, untuk setiap 𝑁𝑁 ≥ 𝑁𝑁 (1) , berlaku | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| < 2 untuk 𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶 𝑁𝑁 . Dengan kata lain,
0 ≤ sup N≥N ( 1 ) sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| < 2.
Karena 𝑓𝑓 analitik pada 𝐶𝐶 𝑁𝑁 untuk setiap bilangan asli 𝑁𝑁 , maka 𝑓𝑓 terbatas pada lingkaran tersebut dan terdapat 𝑀𝑀 𝑁𝑁 > 0 sedemikian sehingga | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 𝑀𝑀 𝑁𝑁 untuk setiap 𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶 𝑁𝑁 . Misalkan
𝑀𝑀 ≔ max 1≤𝑁𝑁<𝑁𝑁 ( 1 ) 𝑀𝑀 𝑁𝑁 .
Maka, | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 𝑀𝑀 untuk setiap 𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶 𝑁𝑁 dan 1 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑁𝑁 (1) . Oleh karena itu, | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ max{2, 𝑀𝑀 } untuk setiap 𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Perhatikan bahwa berdasarkan kontruksi tersebut, 𝑀𝑀 tidak bergantung pada 𝑁𝑁 . Jadi, lim 𝑁𝑁→∞ sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) ≤ 𝑀𝑀 < ∞ yang membuktikan Teorema 8 ∎
Berikut ini adalah implikasi dari Teorema 8 yang berupa teorema-teorema terkait dengan rumus yang sangat berguna dalam menentukan nilai eksak dari suatu deret tak hingga dengan syarat-syarat tertentu.
Teorema 9 Misalkan 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) analitik kecuali untuk berhingga banyaknya pole. Misalkan pula bahwa terdapat bilangan asli 𝑘𝑘 > 1 dan konstanta 𝐴𝐴 > 0 sedemikian sehingga | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 𝐴𝐴 | 𝑧𝑧 | 𝑘𝑘 pada 𝐶𝐶 𝑁𝑁 untuk setiap 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Maka,
� 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛∈ℤ 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) ∈ℂ = − � { 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ): 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝜋𝜋 𝑓𝑓 }.
Bukti . Misalkan 𝑁𝑁 besar sedemikian sehingga semua pole dari 𝑓𝑓 ada di interior 𝐶𝐶 𝑁𝑁 . Berdasarkan Akibat 7, diperoleh
� 𝜋𝜋 (cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 (cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ .
Akibatnya,
�� 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 (cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ �� ≤ � 𝜋𝜋 (cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐶𝐶 𝑁𝑁 .
Kemudian, dengan sifat dasar integral kompleks atas kontur tertutup, maka
� 1 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐶𝐶 𝑁𝑁 � ≤ 1 2 𝜋𝜋 sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 | �𝑁𝑁 + 12 � 𝑘𝑘 2 𝜋𝜋𝐴𝐴 �𝑁𝑁 + 1 2 � = 𝐴𝐴 sup 𝑧𝑧∈𝐶𝐶 𝑁𝑁 | 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 |
�𝑁𝑁 + 12 � 𝑘𝑘−1 .
Catat bahwa 𝐴𝐴 tidak bergantung pada 𝑁𝑁 . Kemudian, dengan mengambil 𝑁𝑁 → ∞ pada kedua ruas di ketaksamaan tersebut, maka dengan Teorema 8 dan fakta bahwa 𝑘𝑘 > 1 ,
lim 𝑁𝑁→∞ 1 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 0.
Dari sini, diperoleh bahwa
lim 𝑁𝑁→∞ �� 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 (cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 ) + 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ �� = � lim 𝑁𝑁→∞ 1 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 � 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝐶𝐶 𝑁𝑁 � = 0 yang berakibat
lim 𝑁𝑁→∞ � 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=−𝑁𝑁 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ = − � Res 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 (cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∈𝑷𝑷 ( 𝑓𝑓 )
dan
� 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) 𝑘𝑘∈ℤ 𝑓𝑓 ( 𝑘𝑘 ) ∈ℂ = − ��𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ): 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝜋𝜋 𝑓𝑓�
yang membuktikan Teorema 9 ∎
Jika 𝑓𝑓 memiliki berhingga banyaknya pole dan bukan merupakan bilangan bulat, diperoleh akibat berikut.
Akibat 10 Misalkan 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) analitik kecuali untuk berhingga banyaknya pole dan bukan merupakan bilangan bulat. Misalkan pula bahwa terdapat bilangan asli 𝑘𝑘 > 1 dan konstanta 𝑀𝑀 > 0 sedemikian sehingga | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 𝑀𝑀 | 𝑧𝑧 | 𝑘𝑘 pada 𝐶𝐶 𝑁𝑁 untuk setiap 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Maka,
� 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛∈ℤ = − � { 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ): 𝑧𝑧 𝑘𝑘 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑𝜋𝜋 𝑓𝑓 }.
Sebagai contoh dari penerapan Teorema 7, tinjau 𝑓𝑓 dengan 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑒𝑒 −𝑧𝑧2 cos 𝑧𝑧 𝑧𝑧 2 +1 dan juga tinjau bentuk deret berikut.
� 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 2 cos 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 + 1 ∞ 𝑘𝑘=1 .
Dapat dilihat bahwa | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 1/ 𝑧𝑧 2 pada ℂ . Kemudian, pole dari 𝑓𝑓 adalah ± 𝜋𝜋 . Karena
𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑒𝑒 −𝑧𝑧 2 cos 𝑧𝑧 𝑧𝑧 2 + 1 = 𝑒𝑒 −𝑧𝑧 2 cos 𝑧𝑧 ( 𝑧𝑧 − 𝜋𝜋 )( 𝑧𝑧 + 𝜋𝜋 ) ,
maka
𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑒𝑒 −𝑧𝑧 2 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 cos 𝑧𝑧 ( 𝑧𝑧 − 𝜋𝜋 )( 𝑧𝑧 + 𝜋𝜋 ) .
Dari sini,
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧=𝑖𝑖 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑒𝑒 −𝑖𝑖 2 𝜋𝜋 cot( 𝜋𝜋𝜋𝜋 ) cos 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 = 𝜋𝜋 4 𝑒𝑒 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 + 𝑒𝑒 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 𝜋𝜋 ( 𝑒𝑒 −1 + 𝑒𝑒 ),
dan
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅 𝑧𝑧=−𝑖𝑖 𝜋𝜋 cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑒𝑒 − ( −𝑖𝑖 ) 2 𝜋𝜋 cot( −𝜋𝜋𝜋𝜋 ) cos ( −𝜋𝜋 ) − 2 𝜋𝜋 = 𝜋𝜋𝑒𝑒 4 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 + 𝑒𝑒 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 𝜋𝜋 ( 𝑒𝑒 −1 + 𝑒𝑒 ),
sehingga dengan Teorema 9 diperoleh bahwa
� 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 2 cos 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 + 1 ∞ 𝑘𝑘=1 = 1 2 � 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 2 cos 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 + 1 ∞ 𝑘𝑘=−∞ − 1 2 ⋅ 1 = 1 2 �− 𝜋𝜋 4 � 1 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒� 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 + 𝑒𝑒 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 𝜋𝜋 ( 𝑒𝑒 −1 + 𝑒𝑒 ) � − 1 2 = 𝜋𝜋 8 � 1 𝑒𝑒 + 𝑒𝑒� 2 𝑒𝑒 𝜋𝜋 + 𝑒𝑒 − 𝜋𝜋 𝑒𝑒 𝜋𝜋 − 𝑒𝑒 −𝜋𝜋 − 1
2.
Kemudian, dengan Teorema 9, dilakukan perhitungan mengenai nilai eksak dari fungsi Zeta- Riemann di titik berupa bilangan genap positif. Hasil tersebut dinyatakan dalam akibat berikut.
Akibat 11 (Nilai Eksak Fungsi Zeta-Riemann di titik genap) Misalkan 𝜁𝜁 : ℂ → ℂ merupakan fungsi zeta-riemann, maka
𝜁𝜁 (2 𝑘𝑘 ) = ( − 1) 𝑘𝑘+1 2 ⋅ (2 𝜋𝜋 ) 2𝑘𝑘 𝐵𝐵 2𝑘𝑘
(2 𝑘𝑘 )!
untuk setiap bilangan asli 𝑘𝑘 .
Bukti. Berdasarkan definisi,
𝜁𝜁 (2 𝑘𝑘 ) = � 1 𝑛𝑛 2𝑘𝑘 ∞ 𝑛𝑛=1 .
Pandang fungsi 𝑓𝑓 : 𝑧𝑧 ↦ 1/ 𝑧𝑧 2𝑘𝑘 . Maka, | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 1/ 𝑧𝑧 2𝑘𝑘 pada 𝐶𝐶 𝑁𝑁 untuk setiap 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Selain itu, satu-satunya pole dari 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) adalah 0 . Dari sini, 𝑓𝑓 memenuhi asumsi pada Teorema 9. Oleh karena itu, cukup ditentukan nilai residu dari ( 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 ) 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) = 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑧𝑧 2𝑘𝑘 di 0 . Perhatikan bahwa ekpansi deret Laurent dari 𝑧𝑧 ↦ 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 di 0 adalah
cot 𝜋𝜋𝑧𝑧 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 2 2𝑛𝑛 𝐵𝐵 2𝑛𝑛 (2 𝑛𝑛 )! 𝜋𝜋 2𝑛𝑛−1 𝑧𝑧 2𝑛𝑛−1
yang berakibat bahwa
𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑧𝑧 2𝑘𝑘 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 2 2𝑛𝑛 𝐵𝐵 2𝑛𝑛 (2 𝑛𝑛 )! 𝜋𝜋 2𝑛𝑛 𝑧𝑧 ( 2𝑛𝑛−1 ) −2𝑘𝑘 .
Oleh karena itu, residu dari 𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐𝐼𝐼 𝜋𝜋𝑧𝑧 𝑧𝑧 2𝑘𝑘 di 0 adalah ( − 1) 𝑘𝑘 2 2𝑘𝑘 𝐵𝐵 2𝑘𝑘 ( 2𝑘𝑘 )! 𝜋𝜋 2𝑘𝑘 . Jadi, untuk setiap bilangan asli 𝑘𝑘 ,
𝜁𝜁 (2 𝑘𝑘 ) = � 1 𝑛𝑛 2𝑘𝑘 ∞ 𝑛𝑛=1 = 1 2 � 1 𝑛𝑛 2𝑘𝑘 ∞ 𝑛𝑛=−∞ , 𝑛𝑛≠0 = �− 1 2 � ( − 1) 𝑘𝑘 2 2𝑘𝑘 𝐵𝐵 2𝑘𝑘 (2 𝑘𝑘 )! 𝜋𝜋 2𝑘𝑘 = ( − 1) 𝑘𝑘+1 2 ⋅ (2 𝜋𝜋 ) 2𝑘𝑘 𝐵𝐵 2𝑘𝑘 (2 𝑘𝑘 )!
dengan 𝐵𝐵 𝑘𝑘 adalah bilangan Bernoulli ke −𝑘𝑘 ∎
Sebagai tambahan, bilangan Bernoulli secara eksplisit dituliskan sebagai
𝐵𝐵 𝑛𝑛+1 = ( − 1) 𝑛𝑛+1 ( 𝑛𝑛 + 1) 2 𝑛𝑛+1 − 1 � 1 2 𝑘𝑘 𝑛𝑛+1 𝑘𝑘=1 � ( − 1) 𝑗𝑗 � 𝑘𝑘 − 1 𝑗𝑗 � 𝑘𝑘−1 𝑗𝑗=0 ( 𝑗𝑗 + 1) 𝑛𝑛
sebagaimana pada [15]. Salah satu implikasi penting dari akibat tersebut adalah bahwa
� 1 𝑛𝑛 2 ∞ 𝑛𝑛=1 = 𝜋𝜋 2 6
yang memberikan solusi atas masalah Bessel.

## 4 Kesimpulan
Dari pemaparan sebelumnya, diperoleh cara bagaimana menentukan nilai eksak dari suatu deret tak hingga ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛∈ℤ : 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) ∈ℂ dengan catatan bahwa 𝑓𝑓 analitik kecuali pada berhingga banyaknya pole dan  terdapat bilangan asli 𝑘𝑘 > 1 dan konstanta 𝐴𝐴 > 0 sedemikian sehingga | 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 )| ≤ 𝐴𝐴 | 𝑧𝑧 | 𝑘𝑘 pada 𝐶𝐶 𝑁𝑁 untuk setiap 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Selain itu, diperoleh juga terkait nilai eksak dari fungsi Zeta-Riemann di titik berupa bilangan genap positif dengan  menggunakan aturan/teknik yang dipaparkan.
Aturan/teknik tersebut masih belum dinyatakan dalam pernyataan ekuivalen. Oleh karena itu, menarik depannya untuk diselidiki syarat perlu dan cukup agar pernyataan tersebut menjadi pernyataan ekuivalen.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak/Ibu reviewer yang telah memberikan komentar dan saran yang sangat bermanfaat agar makalah ini menjadi lebih baik.

## 6 Daftar Pustaka
[1]  J. Choi, “Evaluation of certain alternating series,” Honam Math. J. , vol. 36, no. 2, pp. 263–273, 2014.
[2]  I. Maulidi, V. Apriliani, and M. Syazali, “Fungsi Zeta Riemann Genap Menggunakan Bilangan Bernoulli,” Desimal J. Mat. , vol. 2, no. 1, pp. 43–47, 2019, doi: 10.24042/djm.v2i1.3589.
[3]  A. Dil, K. N. Boyadzhie, and I. A. Aliev, “No Title,” Lith. Math. J. , vol. 60, no. 1, pp. 9– 24, 2020.
[4]  E. C. Titchmarsh, D. R. Heath-Brown, and E. C. T. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function . Oxford University Press, 1986.
[5]  J.-M. Coranson-Beaudu and L. Lamentin, “Proof of the Riemann hypothesis,” African J. Math. Comput. Sci. Res. , 2020.
[6]  V. Moros, “The Zeta Function and the Riemann Hypothesis,” 2014 .
[7]  P. Moree, I. Petrykiewicz, and A. Sedunova, “A computational history of prime numbers and Riemann zeros,” arXiv Prepr. arXiv1810.05244 , 2018.
[8]  M. Wolf, “Will a physicist prove the Riemann hypothesis?,” Reports Prog. Phys. , vol. 83, no. 3, 2020.
[9]  A. Le Mehaute, P. Riot, and D. Tayurskii, “From Riemann Hypothesis Approach via the Theory of Category to Modern Monetary Theory,” Hyperion Int. J. Econophysics New Econ. , vol. 8, no. 2, pp. 263–292, 2015.
[10]  A. Le Mehaute and P. Riot, “A Trail Between Riemann Hypothesis and the Founts of Currency,” Hyperion Int. J. Econophysics New Econ. , vol. 9, no. 1, 2016.
[11]  J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic complex analysis , Third. New York: W. H. Freeman and Company, 1999.
[12]  R. Churchull and J. Brown, Complex variables and applications eighth edition . McGraw Hill Book Company, 2014.
[13]  G. N. Kumar and M. Bangi, “An extension to winding number and point-in-polygon algorithm,” IFAC-PapersOnLine , vol. 51, no. 1, pp. 548–553, 2018.
[14]  S. Lang, Complex Analysis . Springer Science & Business Media, 2013.
[15]  G. Rzadkowski, “A Short Proof of the Explicit Formula for Bernoulli Numbers,” Am. Math. Mon. , vol. 111, no. 5, pp. 432–434, 2004.