## PENERAPAN GERAK BROWN GEOMETRIK PADA DATA SAHAM PT. ANTM

## THE APPLICATION OF GEOMETRIC BROWNIAN MOTION ON THE STOCK PRICE OF PT. ANTM
Darvi Mailisa Putri 1§ Lilis Harianti Hasibuan 2
1 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: darvimailisa@uinib.ac.id] 2 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: lilisharianti@uinib.ac.id]
§ Corresponding Author
Received September 2020; Accepted November 2020; Published Desember 2020;

## Abstrak
Penelitian ini akan mengkaji aplikasi gerak Brown geometrik pada data harga saham PT. Antm. Data harga saham yang digunakan adalah data harga saham penutupan dari tanggal 02 Januari 2019 sampai dengan 30 Desember 2019 dengan periode harian. Dalam mengaplikasikan data harga saham PT. Antm pada gerak Brown geometrik diperlukan nilai return harga saham yang memenuhi asumsi dari gerak Brown geometrik. Selanjutnya melalui parameter-parameter yang diperoleh dari return harga saham dan membangkitkan data berdistribusi normal atau sebanyak data yang diamati dan harga awal yang telah diketahui maka didapat plot hasil dari data harga saham PT. Antm yang telah memenuhi asumsi gerak Brown geometik. Kata Kunci : gerak Brown geometric, saham, return

## Abstract
This research will examine the application of geometric Brownian motion on the stock price of  PT. Antm. The stock price data used is the closing stock price data from January 02 nd 2019 to December 30 th 2019 with a daily period. In applying the stock price of PT. Antm on geometric Brownian motion requires a stock price return value that satisfies the assumptions of geometric Brownian motion. Futhermore, through the parameters obtained from the stock price return and generate normally distributed data or as much as the observed data and the known intial price, then we get the plot of  PT. Antm has fulfilled the assumption of geometric Brownian motion.
Keywords : geometric Brownian motion, stock, return

## 1. Pendahuluan
Saham  merupakan  surat  berharga  sebagai bukti  penyertaan  atau  kepemilikan  individu maupun  instansi  dalam  suatu  perusahaaan  [5]. Harga  saham  dapat  didefiniskan  sebagai  harga pada  pasar  riil  [1].  Dalam  dunia  investor,  saham masih  menjadi  hal  yang  sangat  menarik  untuk
dibahas.  Keputusan  investor  untuk  berinvestasi saham didasari oleh keinginan untuk memperoleh keuntungan.  Keuntungan  berinvestasi  saham dapat  dilihat  dari  besarnya  return  saham  dimana return adalah tingkat pengembalian atas hasil yang diperoleh  akibat  melakukan  investasi  [9].  Harga
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…
saham yang sulit diprediksi, mengakibatkan tidak pastinya nilai return saham. Sehingga  diperlukan suatu model matematis untuk memodelkan harga saham  agar  para  investor  memiliki  pengetahuan untuk memprediksi hal tersebut.
Salah  satu  pemodelan  yang  dapat digunakan untuk melihat pergerakan harga saham yaitu  dengan  model  gerak  Brown  geometrik. Pemodelan harga saham dimulai dari proses gerak Brown  diskrit  atau  yang  lebih  dikenal  dengan proses  perjalanan  acak.  Bila  proses  perjalanan acak  dilimitkan  terhadap  selang  waktu  yang semakin  sempit  maka  proses  perjalanan  acak menjadi  gerak  Brown.  Selanjutnya  teori  gerak Brown  ini  berkembang  menjadi  gerak  Brown dengan drift dan  gerak  Brown  geometrik.  [8].
Model  pergerakan  harga  saham    diasumsikan mengikuti  gerak  Brown  geometrik  karena  harga tidak mungkin bernilai negatif. Suatu harga dapat dikatakan mengikuti gerak Brown geometrik, jika dapat  dituliskan  menjadi  bentuk  persamaan differential stokastik dan memenuhi asumsi-asumsi  sebagai  syarat  dipenuhi  untuk gerak Brown [8].
Pemodelan  harga  saham  ini  dimodelkan mengikuti  gerak  Brown  geometric,  karena  gerak Brown  geometrik  mampu  mendeteksi  kenaikan harga dengan delta t yang sangat kecil. Misalnya dapat  didilihat  bagaimana  kenaikan  harga  nya setiap  detik,  menit,  jam.  Ini  dapat  didukung  dari asumsi  gerak  brown  yang  dihasilkan  dari perjalanan acak atau random walk. Sesuai dengan namanya,  perjalanan  acak  berarti  gerak  yang random  (acak)  dan  akan  dibuktikan  limit  dari masalah  perjalanan  acak  ini  menghasilkan  gerak
Brown.  Sehingga  proses  perjalanan  acak  akan menghasilkan  proses  gerak  Brown.  Menurut teorema  limit  pusat  jika  terdapat  variabel  acak yang  saling  bebas  dan  berdistribusi  identik  dan dilakukan pengamatan yang semakin lebar, maka distribusinya  akan  mendekati  distribusi  normal.
Konsep  ini  akan  diterapkan  pada  data harga  saham  PT.  Antam    sepanjang  tahun  2019. Didefinisikan delta t  nya setiap lima belas menit dengan selang T nya 5 hari. Pada data asli harga saham  PT.  Antam  dicari  nilai  return,  sehingga diperoleh  drift  untuk  return,  dan  votalitas  data return. Data return diasumsikan normal  sehingga dapat  diaplikasikan  mengikuti  gerak  Brown Geometrik.

## 2. Gerak Brown
Gerak  Brown  atau  yang  dikenal  dengan proses  Wiener  adalah  proses  stokastik  yang bersifat  kontinu.  Gerak  Brown  dibentuk  dari persamaan  random  walk  yang  bersifat  simetri dengan mencari nilai limit dari distribusi random walk  [4].  Gerak  Brown  terdiri  dari  gerak  Brown dengan drift dan gerak Brown geometrik.

## 2.1  Proses Random Walk
Misalkan  terdapat  sebuah  partikel  pada garis bilangan real pada titik asal yaitu titik nol dan hanya dapat melompat ke kanan atau ke kiri sejauh jarak  yang  sama  yaitu  sebesar x  . i X adalah peubah  acak  posisi  partikel  yang  bernilai dan ketika posisi partikel bergerak ke kanan atau ke kiri pada saat ke – dan diasumsikan peluang dari lompatan ke kanan dan ke kiri tidak berubah.
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…
Dengan ,  dan ,  dimana dan saling  bebas
terhadap . Tiap lompatan saling bebas, sehingga
peubah  acak juga  saling  bebas.  Selanjutnya, didefinisikan peubah acak baru:
Yang  menyatakan  posisi  partikel  pada  saat langkah ke- . Nilai ekspektasi dari adalah
∑ ∑ ( )
Karena saling bebas maka diperoleh, ∑ ∑
Sedangkan variansi dari adalah ∑ ( ∑ )
( )
(           )
(
)
(         )

## ∑ ∑
Dengan  mengambil  jarak  perpindahan atau sekecil mungkin maka akan memberikan nilai peluang yang hampir sama. Sehingga proses perjalanan  acak  akan  menghasilkan  proses  gerak Brown.

## 2.2  Proses Gerak Brown
Dalam  perjalanan  acak  simetri,  beberapa
yang perlu diperhatikan adalah 1. dan  variabel  acak saling bebas,  maka disebut  memiliki kenaikan saling bebas 2. memiliki  distribusi  yang  sama. Karena  itu disebut  memiliki kenaikan  stasioner. Definisi  2.1.  Gerak  Brown [8] Proses stokastik dikatakan gerak Brown jika memenuhi syarat berikut: 1. 2. memiliki  kenaikan  stasioner  dan saling bebas 3. untuk setiap saat , maka proses ini disebut gerak Brown baku  yang  dilambangkan  dengan .  Sehingga menjadi seperti berikut: √ 2.3  Gerak Brown dengan Drift Misalkan  suatu  partikel mengambil suatu unit langkah ke kiri ataupun ke kanan secara acak  sebesar  suatu  unit  jarak untuk  setiap selang  waktu .  Misalkan adalah  posisi di
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…
waktu  ke- n .    Jika  dipilih √ dan
√ .  Dengan  pemilihan  tersebut, maka diperoleh hasil sebagai berikut:
⌊ ⌋  √ ( √       )
⌊ ⌋
⌊ ⌋   √ √ ⌊ ⌋ Proses  stokastik dikatakan  mengikuti gerak  Brown  dengan  koefisien drift jika memenuhi syarat:
1. 2. memiliki  kenaikan  stasioner  dan saling bebas 3. berdistribusi  normal  dengan  mean dan variansi untuk setiap . Berdasarkan asumsi-asumsi di atas  dapat
ditulis sebagai berikut:

## 2.4  Return  Harga  Mengikuti  Gerak  Brown

## Geometrik
Misalkan nilai investasi  saat t adalah . Jika  investasi  tersebut  kita  simpan  dalam  waktu yang  cukup  lama,  maka  saat nilai  harga komoditi tersebut akan menjadi :
Dengan adalah  rata-rata  harga.  Jika  investasi langsung dijalankan, maka investasi yang dimiliki akan  mengikuti    harga    yang  cenderung berfluktuatif.  Nilai harga  akan dapat mengalami kenaikan,  penurunan,  maupun  tetap.  Dengan demikian, saat nilai  harga  tersebut akan
menjadi :
aktor acak                    (1)
Faktor acak yang mengikuti gerak Brown
tersebut  adalah faktor  yang  yang dapat  membuat nilai  harga  ber luktuasi.  Karena  “ aktor  acak” mengikuti  gerak  Brown  maka  “ aktor  acak  “ untuk  setiap .    Sehingga persamaan (1)  menjadi : √ (2)
Dengan adalah  volatilitas  harga  ,  dan adalah rataan  dari  harga.  Berdasarkan  persamaan  (2) diperoleh  nilai  ekspekstasi  dan  variansi return harga komoditi sebagai berikut:
[ ] [ ] t t t t S S E t E t Z S        
[ ] [ ] [ ] t t t t S S Var Var t Var t Z S        
Dari asumsi di atas diperoleh :
Yang berarti return harga mengikuti gerak Brown dengan  koefisien  drift dan  parameter  variansi .
2.5  Formula Ito
Formula  Ito  memberikan  generalisasi
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…
terhadap gerak Brown dengan mengawalinya dari formula  Taylor.  Misalkan fungsi  suatu
persamaan differensial , maka deret Taylor untuk yang berpusat di adalah: (3) Misal  perpindahan  dari  titik ke yang  bebas dapat  dipandang  sebagai  perpindahan  dari ke
yang juga bebas dimana masing-masing  merupakan  gerak  Brown  standar yang saling berurutan. Selanjutnya untuk dan maka  bentuk dan tidak memberikan kontribusi pada bentuk differensial , maka diperoleh Karena adalah  gerak  brown  standar, maka: , sehingga

## 2.6  Model Harga Berdistribusi Lognormal
Misalkan  selang  waktu  [0,t]  dibagi n subselang yang sama yaitu dan adalah harga  asset  komoditi  saat ,  dimana , dengan . Perhatikan bahwa persamaan
(2) dapat dituliskan sebagai berikut:

## √
Berdasarkan teorema limit pusat , maka:
(3)
Dari persamaan (3) diperoleh formula untuk harga saat t , dapat dituliskan sebagai berikut:
( )   √ (4)
Persamaan    (6)  merupakan  model  harga  gerak Brown geometrik yang berdistribusi lognormal.

## 3. Gerak  Brown Geometrik  Pada  Data Saham PT. Antm
Pada bagian ini akan dibahas tentang model gerak Brown geometrik pada data harga saham per hari PT. Antm dari tanggal 02 Januari 2019 sampai dengan  30  Desember  2019.  Pertama  akan dilakukan  plot  data  dan  statistika  deskriptif terhadap data saham per hati PT. Antm.
600 700 800 900 1,000 1,100 1,200 25 50 75 100 125 150 175 200 225 SAHAM_ANTM
Gambar 1. Grafik Data Harga Saham Antm
Berdasarkan  plot  data  pada  Gambar  1 diperoleh kesimpulan bahwa data harga saham PT. Antm  selama  satu  tahun  2019  tidak  stabil  dan sebarannya  tidak  terfokus  disekitar  nilai  tengah. Ragam (varians) dari data harga saham PT. Antm juga tidak konstan.
Tabel 1. Statistika Deskriptif Data Harga Saham PT.
Antm Tahun 2019 Sum : 221,610.00 Average : 904.53 Quartile 1 : 820.00 Median : 895.00 Quartile 3 : 990.00 Minimum : 670.00 Maximum : 1170.00 Range : 500.00 Standard Deviation : 110.31 Variance : 12,168.53 Standard Error : 7.05 Skewness : 0.16 Kurtosis : -0.82
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…
Selanjutnya  dari  Tabel  1  di  atas  dapat diperoleh  beberapa  informasi  dan  penjelasan sebagai berikut:
1. Rata-rata yang dimiliki data harga saham PT.
Antm  bernilai  904.53.  Jika  dilihat  dari  nilai mediannya  yaitu  895.00,  nilai  rata-rata  data harga  saham  Antm  bernilai  lebih  besar  dari nilai  mediannya  sehinga  skewness  bernilai positif. Hal ini dapat diartikan bahwa sebagian besar data berada dibawah rata-rata.
2. Standar  deviasi  pada  data  harga  saham  PT.
Antm  bernilai  110.31.  Nilai  standar  deviasi merupakan  akar  positif  dari  variansi.  Hal  ini berarti, jika nilai standar deviasi pada sebuah data  kecil  maka  variabilitas  data  juga  akan kecil dan sebaliknya.
3. Nilai  kurtosis  yang  diperoleh  bernilai  negatif sehingga data memiliki puncak distribusi yang landai dari distribusi normal.
Selain  dilakukan  plot  data  dan  statistika deskriptif,  dilakukan  juga  uji  box-plot  terhadap data  harga  saham  PT.  Antm.  Hal  ini  merupakan salah satu cara untuk melihat data harga saham PT. Antm  tidak  mengandung  data  pencilan  yang terdapat pada Gambar 2.
Gambar 2. Box Plot Data Harga Saham Antm
Harga  saham  PT.  Antm  akan  dibentuk sebuah model yang diasumsikan mengikuti gerak Brown  Geometrik.  Adapun  syarat-syarat  yang harus  dipenuhi  oleh  data  harga  saham  PT.  Antm untuk membentuk model gerak Brown geometrik adalah sebagai berikut:
1. ,  dalam  gerak  Brown  geometrik  nilai awal  diberikan  sesuai  dengan  data  yang dimiliki.
2. Untuk semua variabel  acak saling  bebas,  maka disebut memiliki kenaikan saling bebas. 3. Untuk semua variabel  acak memiliki distribusi normal ( ).
Berdasarkan  ketiga  syarat  di  atas  akan dilakukan uji terhadap data saham PT. Antm untuk melihat  apakah  data  harga  saham  PT.  Antm memenuhi ketiga syarat tersebut. Syarat (1) jelas sudah dipenuhi oleh data saham PT. Antm dengan harga awal 740. Selanjutnya untuk syarat (2) dan (3)  akan  dilakukan  uji  hipotesis,  yaitu  uji Kolmogorov-Smirnov.  Syarat  (2)  dilakukan  uji hipotesis sebagai berikut:
Kriteria  uji  yaitu  tolak  hipotesis  nol  ( )  bila asymptotic signifikan value uji Kolmogorov-Smirnov dan  hipotesis  satu ( )  ditolak  bila asymptotic signifikan  value  uji Kolmogorov  Smirnov .  Diperoleh  nilai asymptotic signifikan value uji
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…

## Kolmogorov-Smirnov  0.021  sehingga  syarat  (2)
belum terpenuhi.
Tabel 2. Uji Kolmogorov-Smirnov Pada Beda Nilai Harga Saham PT. Antm
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Beda_Saham N 244 Normal Parameters a Mean .4098 Std. Deviation 25.13822 Most Extreme Differences Absolute .096 Positive .096 Negative -.057 Kolmogorov-Smirnov Z 1.506 Asymp. Sig. (2-tailed) .021
Selanjutnya  dilihat  syarat  (3)  untuk menguji apakah kenaikan atau beda nilai dari data harga saham PT. Antm  berdistribusi normal atau tidak dengan  uji hipotesis sebagai berikut:
Gambar 3. Histogram Kenaikan atau Beda Nilai Saham PT. Antm
Selain  melakukan  uji  hipotesis  di  atas, untuk syarat (3) dapat juga dilihat dari gambar P-P
plot dari kenaikan atau harga saham PT. Antm sebagai berikut:
Gambar 4. P-Plot Kenaikan atau Beda Nilai Saham PT. Antm
Dari hasil P-P plot kenaikan atau beda nilai saham  PT.  Antm  pada  Gambar  4  terlihat  bahwa sebagian  besar  data  kenaikan  atau  beda  nilai menempel  pada  garis  normal  namun  masih terdapat tiga data pencilan. Nilai p-value diperoleh 0.033,  lebih  kecil  dari  taraf  signifikan 0.05   ,
artinya  Hipotesis  nol  tidak  diterima.  Sehingga dapat disimpulkan kenaikan atau beda nilai saham PT.  Antm  tidak  berdistribusi  normal.  Data pencilan  yang  terdapat  pada  data  kenaikan  atau beda nilai saham PT. Antm dapat juga dipastikan dengan box-plot pada Gambar 5 berikut:
Gambar 5. Box Plot Kenaikan dan Beda Nilai Saham Antm
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…
Setelah  melakukan  beberapa  uji,  data atau  kenaikan  dari  harga  saham  PT.  Antm  tidak memenuhi  syarat  (2)  dan  (3).  Oleh  karena  itu, beberapa data pencilan tersebut dibuang agar data data atau kenaikan dari harga saham PT. Antm dapat  diaplikasikan  pada  model  gerak  Brown Geometrik.  Berikut  dilakukan  uji  ulang  setelah beberapa data pencilan dibuang.
Pertama,  akan  dikaji  ulang  dengan menggunakan  Kriteria  uji  Kolmogorov-Smirnov. Diperoleh  nilai asymptotic signifikan  value  uji Kolmogorov-Smirnov 0.060 pada Tabel 3.  Nilai yang  diperoleh  lebih  besar  dari  taraf  signifikansi
0.05
  artinya  hipotesis  nol  ( )  tidak  ditolak sehingga kenaikan atau dari data harga saham
Antm telah memenuhi syarat ke (2).
Tabel 3. Uji Kolmogorov-Smirnov Pada Beda Nilai Harga Saham PT. Antm2
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test Beda_Nilai_Saham_ Antm2 N 231 Normal Parameters a Mean .4329 Std. Deviation 22.91826 Most Extreme Differences Absolute .087 Positive .087 Negative -.056 Kolmogorov-Smirnov Z 1.325 Asymp. Sig. (2-tailed) .060
Langkah  ke  dua,  dilakukan  uji  hipotesis dengan  histogram  dan  P-P  plot  untuk  melihat apakah  data  kenaikan  atau  beda  nilai  saham  PT. Antam  sudah  memenuhi  syarat  ke  (3).  Berikut diberikan pada Gambar 6 dan Gambar 7.
Gambar 6. Histogram Kenaikan atau Beda Nilai Saham PT. Antm
Gambar 7. P-Plot Kenaikan atau Beda Nilai Saham PT. Antm
Pada  Gambar  6  dapat  dikatakan  bahwa data  kenaikan  atau  beda  nilai  saham  PT.  Antm sudah berdistribusi normal. Hal ini juga diperkuat dengan P-P plot pada Gambar 7 bahwa semua data kenaikan saham PT. Antm sudah menempel pada garis normal. Nilai p-value yang diperoleh sudah lebih besar dari taraf signifikan 0.05   , artinya Hipotesis nol diterima.
Langkah  terakhir  untuk  memastikan apakah  masih  terdapat  data  pencilan  atau  tidak pada  data  kenaikan  saham  PT.  Antm,  dilakukan dengan box-plot  pada Gambar 8.
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…

## Gambar 8. Box Plot Kenaikan dan Beda Nilai Saham PT. Antm
Dari  informasi  yang  diberikan  pada Gambar  8,  tidak  terdapat  lagi  data  pencilan. Sehingga  berdasarkan  penjelasan  Gambar  6  dan Gambar  7  bisa  ditarik  kesimpulan  bahwa  data kenaikan  saham  PT.  Antm  sudah  berdistribusi normal.  Oleh  sebab  itu,  data  harga  harga  saham PT. Antm sudah memenuhi asumsi gerak Brown geometrik.
Selanjutnya,  data  harga  saham  PT.  Antm dicari nilai return majemuknya dengan formula:
Dengan  demikian,  setelah  diperoleh  nilai  return majemuk  data  harga  saham  PT.  Antm  maka diperoleh  juga  parameter-parameter  dari  data return. Parameter ini akan digunakan pada model harga  gerak  Brown  geometrik.  Waktu  yang diamati  selama  lima  hari  dengan  selang  waktu pengamatan setiap lima belas menit. Hal ini berarti satu  hari  dibagi  menjadi  96  titik.  Dengan membangkitkan  data  berdistribusi  normal  atau
yang  dikali √ ,  dan  harga  awal  740.
Berikut adalah plot dari  data return harga saham PT.  Antm  yang  telah  memenuhi  asumsi  gerak Brown:
Gambar 9. Plot Data Return Harga Saham PT. Antm dengan
0005 . 0   dan 0250 . 0  
Parameter  yang  telah  diperoleh  dari  data return  saham  PT.  Antm,  diaplikasikan  untuk memodelkan data harga saham PT. Antm dengan gerak  Brown  geometrik.  Gambar  10  merupakan hasil  plot  data  harga  saham  PT.  Antm  yang memenuhi asumsi gerak Brown geometrik:

## ( ) √
Gambar 10. Plot Data Harga Saham PT. Antm dengan T = 5 hari dan 96 / 1   t dengan parameter 0005 . 0   dan 0250 .

## 0
 
Pada  Gambar  10  di  atas  dapat  dilihat bahwa kenaikan harga saham yang diamati setiap lima belas menit cenderung mengalami fluktuatif.
710 720 730 740 750 760 770 0 100 200 300 400 500 600
Plot dari Gerak Brown Geometrik
Darvi Mailisa Putri, Lilis Harianti Hasibuan                                                                                              Penerapan Gerak Brown Geometrik…

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Berdasarkan  pembahasan  dan  kajian  data harga  saham  harian  PT.  Antm  di  tahun  2019 disimpulkan bahwa:
1. Data harga saham PT. Antm dapat dimodelkan mengikuti  gerak  Brown  geometrik  yang diamati dengan selang waktu yang sangat kecil.
2. Kenaikan harga saham yang diamati setiap lima belas menit cenderung mengalami fluktuatif
Pada  penelitian  ini  dapat  dimanfaatkan oleh  para  investor  untuk  mengetahui  pergerakan harga saham jika ingin dilihat pada selang waktu yang sangat kecil.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terima  kasih kepada  pihak-pihak  yang  telah  terlibat  dalam membantu penulisan artikel ini.

## Daftar Pustaka
[1] Anoraga,  P.,  Pakarti,  P.  2001. Pengantar Pasar Modal . Rineka Cipta, Jakarta.
[2] Bain, L. J., M. Engelhardt. 1992. Introduction to  Probability  and  Mathematical  Statistics Second Edition . Duxbury Press, California.
[3] Brockwell,  P.  J.,  R.  A.  Davis.  2002. Introduction  Time  Series  and  Forecasting . Springer, New York
[4] Dmouj,  A.  2006. Stock  Price  Modelling: Theory and Practice . BMI Paper,
Amsterdam.
[5] Hadi, N. 2013. Pasar Modal; Acuan Teoritis dan Praktis Investasi di Instrumen Keuangan Pasar  Modal  Edisi  Pertama .  Graha  Imu, Yogyakarta.
[6] Makridarkis,  S.,  Wheelwright,  S.  C., Hyndman,  R.  J.  1998. Forecasting  Methods and Applications Third Edition . Jhon Wiley & Sons, Inc., United Stated of America.
[7] Oksendal,  B.  2005. Geometric  Brownian Motion  Model  in  Financial  Market .  David Aldous, Faculty Advisor.
[8] Ross,  S.  1966. Stochastic  Processes  Second Edition .  Wiley  Series  in  Probability  and Mathematical, Canada.
[9] Ruppert, D. 2011. Statistics Data Analysis for Financial Enginering . Springer, New York.