Abstrak—Performance  mesin  merupakan  salah  satu  penentu besarnya  kapasitas  suatu  sistem  produksi.  Sebuah  riset menyatakan  kebutuhan  terhadap  bahan  bangunan akan mengalami  peningkatan  hingga  tahun  2016  dikarenakan tingginya  pembangunan  di  Indonesia.  Peningkatan  kebutuhan bahan  bangunan  membentuk  persaingan antar  produsen  bahan bangunan.  PT.  “X”  mendirikan  pabrik  baru  untuk meningkatkan  kapasitas produksi yakni  Pabrik  4  (P4). P4  telah dilengkapi  dengan  peralatan  terbaru  dan  tercanggih. Namun dengan  komposisi  mesin  baru  dan  canggih,  P4  masih  memiliki kapasitas  produksi  yang  rendah. Hal  ini  disebabkan  oleh availabilitas dan reliabilitas mesin yang masih rendah. Selain itu, total biaya maintenance yang dikeluarkan untuk P4 paling tinggi dibandingkan  plant  lainnya. Sebagai  bentuk  evaluasi  dan peningkatan  performance  mesin,  dapat  dilakukan  penelitian menggunakan pendekatan persamaan diferensial yang diperoleh melalui diagram transisi Markov sebab kondisi subsistem saling dependen. Hasil  penelitian  menunjukkan  interval  perawatan setiap  55  jam  (3 hari)  sekali  sebagai  waktu  optimal  yang  dapat meminimumkan  biaya  perawatan  sistem. Selain  itu  agar performance sistem meningkat, subsistem Rollermill dan Rawmill 4  harus  diberi  prioritas  utama  dalam  hal  maintenance. Sebab perubahan  laju  kerusakan  kedua  subsistem  memberikan perubahan yang signifikan terhadap availabilitas dan reliabilitas sistem.
Kata  Kunci—Analisis  Markov,  Availabilitas, Persamaan Diferensial , Reliabilitas, Runge-Kutta.

## I. PENDAHULUAN
emasuki  tahun  2014,  perekonomian  global  masih dibayangi  oleh  krisis  Uni  Eropa  serta  belum  pulihnya ekonomi Amerika Serikat. Kondisi ini mendorong pemerintah Indonesia  untuk  menahan  laju  ekonomi  dan  pembangunan yang  berdampak  bagi  sebagian  besar  industri  di  Indonesia seperti  industri  semen [1].Meskipun  demikian,  berdasarkan data  Asosiasi  Semen  Indonesia  (2013)  kebutuhan  terhadap semen  tetap  mengalami  peningkatan  dari  tahun  2012  hingga tahun 2014. Kenaikan kebutuhan semen diprediksi akan tetap naik  hingga  tahun  2016  dikarenakan  tingginya  pembangunan di  Indonesia.  Peningkatan  kebutuhan  semen  membuat produsen  semen  di  Indonesia  bersaing  dalam  meningkatkan kapasitas produksi maupun kualitas produk.
Di tengah persaingan yang kian ketat, Pabrik 4  milik PT. “X”  mengalami  permasalahan  dalam  memenuhi  target produksi  serta  pengeluaran  biaya  perawatan.  Mesin-mesin produksi  yang terdapat  di  Pabrik  4  merupakan  mesin  dengan spesifikasi  terbaru  dan  tercanggih  apabila  dibandingkan dengan  mesin-mesin  di plant lainnya .Namun  dengan
komposisi  mesin  baru  dan  canggih,  Pabrik  4  masih  memiliki kapasitas  produksi  yang rendah dibandingkan  pabrik  lainnya. Hal  ini  disebabkan  oleh  availabilitas  dan  reliabilitas  mesin yang  masih  rendah. Mesin-mesin  pada  Pabrik  4  sering mengalami  kerusakan  dengan  selang  waktu  singkat  setelah mendapat perbaikan. Kebijakan maintenance yang diterapkan di  PT.  “X”  adalah corrective  maintenance .  Total  biaya maintenance yang  dikeluarkan  untuk  Pabrik  4  paling  tinggi dibandingkan pabrik lainnya.  Sebagai  bentuk  evaluasi  dan peningkatan performance mesin,  dapat  dilakukan  penelitian menggunakan  pendekatan  persamaan  diferensial  yang diperoleh  melalui  diagram  transisi  Markov  sebab  kondisi subsistem saling dependen.
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  mengevaluasi kondisi sistem  menggunakan analisis  availabilitas,  reliabilitas,  dan dengan  menentukan  probabilitas  sistem  berada  pada  suatu state proses  produksi di  PT. “X”,  mengidentifikasi  subsistem yang  memberi  pengaruh  besar  terhadap  kondisi  sistem,  serta menganalisis  reliabilitas  sistem  proses  produksi  di  PT.  “X” untuk  menentukan  penjadwalan maintenance yang  dapat meminimumkan  biaya sebagai  tindak  lanjut  penyelesaian masalah.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Proses Produksi Semen di Pabrik 4 PT. “X”
Proses  pembuatan  semen  secara  garis  besar  melalui  5 tahapan yakni sebagai berikut.
1. Penambangan dan penyimpanan bahan mentah
2. Penggilingan dan pencampuran bahan mentah 3. Homogenisasi hasil penggilingan bahan mentah
4. Pembakaran
5. Penggilingan akhir hasil pembakaran
Produksi  semen  dilakukan  di  empat  area  utama  yakni Crusher , Rawmill , Kiln dan Finishmill . Crusher merupakan area  produksi  awal  (pencampuran).  Tahap  awal  pembuatan semen dimulai dengan menambang batu kapur serta tanah liat, yang dilanjutkan  dengan pencampuran kedua  material  utama. Penambahan  bahan  tambahan  seperti  pasir  silika  dan copper slag dilakukan sesuai spesifikasi produk.
Rawmill merupakan area produksi tahap kedua. Campuran batu  kapur  serta  tanah  liat,  pasir  silika,  dan copper  slag digiling  di  mesin  penggilingan  bahan  baku  ( Rawmill )  hingga mencapai kehalusan 90 mikron. Kiln merupakan area produksi ketiga yakni tahap pembakaran. Hasil pembakaran pada mesin Kiln berupa  butiran-butiran    yang  dinamakan terak atau clinker . Wujud  akhir  terak  adalah  berupa  butiran  berwarna

## Analisis Reliabilitas dan Availabilitas  pada Mesin Produksi dengan Sistem Seri Menggunakan Pendekatan Analisis Markov di PT. “X”
Luh Ade Arista Dwi Astarini dan Haryono Jurusan Statistika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : haryono@statistika.its.ac.id
M
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.1, (2015) 2337-3520 (2301-928X Print)
hitam. Finishmill merupakan  area  terakhir  pada  proses produksi  semen. Hasil  dari  penggilingan  akhir  berupa  semen disimpan di dalam silo penyimpanan semen.

## B. Goodness of Fit Anderson-Darling
Uji  Anderson-Darling  merupakan  salah  satu  tes  yang digunakan  untuk  menguji  distribusi  dari  suatu  sampel data.Hipotesis  dari  uji  Anderson-Darling  adalah  sebagai berikut.
H 0 : Data mengikuti distribusi tertentu H 1 : Data tidak mengikuti distribusi tertentu Statistik  uji  Anderson-Darling  dinyatakan  dalam persamaan berikut.
            2 1 1 1 2 1 ln ln 1 N i N i i N i F F t t A N
              (1)
Keputusan    diambil  dengan  membandingkan  statistik  uji terhadap  nilai  kritis  (CV).  Ketika  nilai  statistik  uji  lebih  dari CV maka hipotesis awal (H 0 ) ditolak [2].

## C. Analisis Reliabilitas dan Availabilitas
Analisis reliabilitas dan availabilitas merupakan alat untuk meningkatkan  kualitas  dan  mengurangi  timbulnya  kerusakan pada suatu sistem [3].Terdapat beberapa istilah penting dalam analisis reliabilitas, yakni sebagai berikut. 1. Laju Kerusakan
Laju  kerusakan  adalah  kecepatan  suatu  mesin  atau komponen  mencapai  kondisi  tidak  beroperasi  atau  rusak yang dinyatakan dalam persamaan berikut.
      f t t R t   (2)
f ( t ) merupakan  distribusi  dari  suatu  kumpulan  data, sedangkan R ( t ) merupakan fungsi reliabilitas [4].
2. Mean  Time  to  Failure (MTTF) dan Mean  Time  to  Repair (MTTR)
Rata-rata waktu antar kerusakan (MTTF) merupakan rata- rata  waktu  suatu  komponen  mengalami  kerusakan  setelah dilakukan  perbaikan.  Sedangkan  Rata-rata  waktu  antar perbaikan (MTTR)  merupakan  rata-rata  waktu  suatu komponen mengalami perbaikan. MTTF dan MTTR untuk data  berdistribusi  Eksponensial  dinyatakan  dalam persamaan berikut [4].
    1 1 , MTTF MTTR t t     (3)
Dengan   t  merupakan  laju  kerusakan  dan   t  merupakan  laju  perbaikan.  MTTF  dan  MTTR data berdistribusi  Normal  dinyatakan  sebagai  rata-rata  atau disimbolkan  . MTTF dan MTTR dari data berdistribusi Lognormal adalah sebagai berikut.
2 exp 2 MTTF MTTR            (4)
MTTF dan  MTTR data  yang  memiliki  distribusi  Weibull adalah sebagai berikut.
1 1 MTTF MTTR             (5)
3. Availabilitas
Availabilitas  merupakan  probabilitas  suatu  sistem beroperasi  pada  suatu  waktu  atau  dalam  selang  waktu
tertentu.  Availabilitas  sistem  dapat  diukur  menggunakan persamaan berikut [5].
  MTTF MTTF A t MTBF MTTF MTTR    (6)

## 4. Fungsi Reliabilitas
Fungsi  reliabilitas  merupakan  sebuah  fungsi  yang menggambarkan  komponen  berjalan  dengan  baik  dalam suatu  satuan  waktu t [6].Ketika  suatu  data  berasal  dari distribusi  Normal,  makafungsi  reliabilitas  data  yang berasal dari distribusi Normal adalah sebagai berikut.
    1 1 t R t F t               (7)
Apabila  data  berdistribusi  Log-Normal,  maka  fungsi reliabilitas adalah sebagai berikut.
    ln 1 N N t R t               (8)
dengan  Φ  merupakan  fungsi  kepadatan  kumulatif  dari distribusi  Normal.  Data  yang  berasal  dari  distribusi Weibull, memiliki fungsi reliabilitas sebagai berikut.
  exp t R t                   (9)
Pada  kondisi  data  berasal  dari  distribusi  Eksponensial, maka fungsi reliabilitas dinyatakan sebagai berikut [7].
  t R t e    (10)

## D. Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Maximum  Likelihood  Estimation (MLE)  merupakan metode  penaksiran  parameter  dengan  cara  memaksimumkan fungsi  likelihood  pada  suatu  persamaan.  Fungsi  likelihood disimbolkan  dengan  huruf  L  yang  dinyatakan  dalam persamaan berikut.
        1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ; , , ..., ...
, ,..., ; , ,...,
; , ,..., ; , ,..., k n n n k n L f t t t t f f t t      
          (11)
Sebagai  langkah  kedua,  persamaan  (11) dirubah  ke  dalam bentuk logaritma natural sebagai berikut.
   
    1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ; , , ..., ... ln , ,..., ln ; , , ..., ln ; , , ..., ln ; , , ..., k n n n k n L f t t t t f f t t                 (12)
Selanjutnya persamaan (12) diturunkan terhadap i  sehingga dinyatakan sebagai berikut.
  1 2 1 2 ln , ,..., ; , ,..., 0 k n i L t t t        (13)
Dengan i =  1,  2,  3,  ..., n .  Untuk  mengecek  fungsi  telah mencapai kondisi  optimum, maka persamaan (13) diturunkan kembali  terhadap i  dan  dinyatakan  dalam  persamaan berikut.
  2 1 2 1 2 2 ln , ,..., ; , ,..., 0 k n i L t t t        (14)
Apabila  turunan  kedua  bernilai  negatif  atau  kurang  dari nol, maka fungsi dinyatakan mencapai kondisi optimum [6].

## E. Analisis Markov terhadap Sistem Seri
Diagram transisi  Markov  secara  umum digambarkan pada gambar 1.
Gambar 1. Diagram Transisi Markov
Berikut  dijelaskan  pengertian  dari  simbol-simbol  yang digunakan dalam diagram transisi.
a. A,  B,  C,  dan  D  merupakan  simbol  yang  menyatakan subsistem dari proses produksi dalam kondisi baik.
b. a,  b,  c,  dan  d  merupakan  simbol  yang  menyatakan subsistem dari proses produksi dalam kondisi rusak.
c. i  dengan i =  1,  2,  3,  dan  4  merupakan  simbol  yang menyatakan laju kerusakan subsistem A, B, C, dan D. d. i  dengan i =  1,  2,  3,  dan  4  merupakan  simbol  yang menyatakan laju perbaikan subsistem A, B, C, dan D. e.   j t P dengan j =  1,  2,  3,  dan  4  merupakan  simbol  yang menyatakan  probabilitas  sistem  berada  pada state ke- j di waktu ke- t .
Berdasarkan  pada  gambar  1,  diperoleh  persamaan diferensial pada state 1 hingga state 5 sebagai berikut.
            1 1 2 3 1 2 4 1 2 5 4 ' t t t t P P P P t P                  (15)
      2 1 2 1 1 ' t t t P P P     (16)       3 1 3 2 2 ' t t t P P P     (17)       4 1 4 3 3 ' t t t P P P     (18)       5 1 5 4 4 ' t t t P P P    
(19)         1 2 3 5 1 t t t t P P P P       (20)
Persamaan  (15) hingga  (20) memiliki  kondisi  awal   0 1 j P  untuk j =1  dan   0 0 j P  untuk j lainnya..
Reliabilitas sistem dinyatakan dalam persamaan berikut [8].
    1 R t t P  (21)

## F. Metode Runge-Kutta
Bentuk  umum  metode  Runge-Kutta  dijabarkan  sebagai berikut.
0 y   dan,
  1 , i i i i hF y y y x    Dengan i =0, 1, 2, .... Fungsi F disebut sebagai fungsi kenaikan yang dapat ditulis dalam persamaan berikut.
1 1 2 2 ... m m F k k k
    
 
di  mana m merupakan  orde  dari  metode  Runge-Kutta, i k adalah konstanta yang dijabarkan sebagai berikut.
    1 2 1 1 11 1 2 1 1,1 1,2 1 1, 1 , , , , , . i i i i i m m m i m m m m f y k x
h y f h p q k x k
h y h h p q q x k k f k h q k                           (22)
Nilai-nilai , ,  dan i i ij p q  untuk  suatu  orde m dinyatakan  dengan  cara  menyamakan  persamaan  dengan ekspansi deret Taylor orde m [9]. Metode Runge-Kutta orde 4
  1 2 3 4 1 1 2 2 6 r r y y k k k k       (23)
dengan 1 k diperoleh dari persamaan (23), dan 2 3 4 , ,  dan k k k sebagai berikut [10].   2 1 3 2 4 3 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 , r r r r r r hf h y k x k
hf h y k x k hf h y k x k                      (24)

## G. Penentuan  Waktu  Perawatan Optimal  dan  Perhitungan Total Biaya Pemeliharaan
Penentuan  interval  waktu  penggantian  optimal  untuk meminimumkan ekspektasi total biaya penggantian per satuan waktu  dalam  jangka  panjang  mengikuti  model  stokastik. Ekspektasi  biaya  total  per  satuan  waktu  untuk  waktu pengamatan t p ditulis dengan C(t p ) sebagai berikut.
 
 
Ekspektasi Total Biaya dalam Interval Waktu  0,
Panjang Interval p p t C t  (25)
Di mana,
   
Ekspektasi Total Biaya dalam Interval Waktu  0, p p f p H t C C t   dengan,
C p = Biaya penggantian terencana C f = Ekspektasi biaya penggantian kerusakan H(t p ) = Ekspektasi banyak kerusakan dalam interval (0,t p ) Nilai C p dan C f dihitung dengan formulasi berikut. banyak tenaga kerja x biaya tenaga kerja x jumlah mesin x lama kegiatan preventif p C       
1 rata-rata downtime x banyak tenaga kerja x biaya tenaga kerja n f i C lost production        
 

## H. Maintenance
Maintenance atau  perawatan  merupakan  segala  kegiatan yang  dilakukan  untuk  mempertahankan  mesin  dalam  kondisi beroperasi.  Terdapat  empat  jenis  sistem  pemeliharaan  yakni corrective  maintenance , preventive  maintenance , predictive maintenance ,  dan repairs  maintenance [11]. Corrective maintenance atau  pemeliharaan  perbaikan  merupakan  semua kegiatan yang dilakukan untuk mengembalikan kondisi mesin dari  status  rusak  menjadi  status  beroperasi  [7]. Preventive maintenance merupakan  pemeliharaan  terjadwal  yang
  1 t P   2 t P   3 t P   4 t P   5 t P 4  3  1 ABCD 2  1  1  2  4  3  : Kondisi Rusak Ket : Kondisi Baik 4 ABcD 2 aBCD 3 AbCD 5  ABCd
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.1, (2015) 2337-3520 (2301-928X Print)
dilakukan  secara  periodik  [4]. Predictive  maintenance merupakan  sebuah  cara  perawatan  yang  menggunakan berbagai  alat  ukur  spesifik  untuk  menilai  sebuah  perubahan pada  suatu  benda  atau  keadaan. Repairs  maintenance merupakan  suatu  metode  yang  hanya  melakukan  perawatan ketika dibutuhkan atau terjadi kerusakan. [11].

## I. Penelitian Terdahulu
Analisis availabilitas  mesin  pernah  diterapkan oleh  Gupta dan  kawan-kawan  (2004)  pada  proses  pembuatan butter-oil dan  oleh  Agustina  (2013)  di  sebuah  perusahaan  manufaktur yang memproduksi
BOPP ( Biaxially Oriented Polypropylene )..

## III. METODOLOGI PENELITIAN
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  adalah  data sekunder yang diperoleh dari PT. “X”. Data meliputi data usia pakai  dan  data  lama  waktu  perbaikan  yang  terjadi  di  mesin Lime  Stone  Crusher  7,  Rawmill  4 , Kiln, dan Rollermill .  Data yang  digunakan  dimulai  dari  bulan  Juli  2012  sampai  dengan bulan  Desember  2013. Pengambilan  data  dilakukan  oleh operator  yang  bertugas  di  masing-masing  area  produksi dengan bantuan komputer.
Variabel  yang  digunakan  dalam  penelitian  adalah  usia pakai  mesin Lime  Stone  Crusher  7,  Rawmill  4,  Kiln, serta Rollermill dan  lama  waktu  perbaikan Lime  Stone  Crusher  7, Rawmill  4,  Kiln, serta Rollermill. Usia  pakai  dimulai  dari mesin  mulai  beroperasi  hingga  berhenti beroperasi  karena mati, mendapatkan perbaikan atau pemeliharaan. Lama waktu perbaikan  dihitung  mulai dari  mesin  mulai diperbaiki sampai dengan selesai diperbaiki.
Langkah  analisis  yang  dilakukan  untuk  mencapai  tujuan penelitian adalah sebagai berikut.
1. Melakukan  pendugaan  dan  pengujian  kesesuaian  distribusi untuk  data  usia  pakai  dan  lama  waktu  perbaikan  setiap subsistem dengan uji Anderson-Darling.
2. Menghitung nilai Mean Time to Failure (MTTF) dan Mean Time to Repair (MTTR) untuk masing-masing mesin.
3. Menghitung  reliabilitas  dan  availabilitas  masing-masing subsistem
4. Membentuk  diagam  transisi  dan  membuat  persamaan diferensial berdasarkan diagram transisi.
5. Menghitung nilai probabilitas sistem berada pada state ke- j untuk kondisi steady state dan transient state .
6. Menghitung  efek  perubahan  laju  kerusakan  atau  laju perbaikan terhadap availabilitas dan reliabilitas sistem.
7. Menentukan waktu perbaikan optimum sistem.
8. Membandingkan  hasil  analisis  dengan  kondisi  kebijakan yang sedang diterapkan di PT. “X”.

## IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Analisis  Reliabilitas  dan  Availabilitas  di  Masing-masing Subsistem
Pengujian  distribusi  data  usia  pakai  dan  lama  waktu perbaikan  dilakukan  dengan Goodness-of-fit Anderson- Darling Test .  Penentuan  distribusi  ditinjau  dari  nilai  statistik uji  Anderson-Darling  terkecil  yang  signifikan  jika dibandingkan dengan critical value . Nilai statistik uji dihitung
dengan  formulasi  yang  di  paparkan  pada  persamaan  (1). Berdasarkan  perhitungan  diketahui data  usia  pakai  subsistem Lime  Stone  Crusher  7 dan Rollermill mengikuti  distribusi Weibull. Sedangkan data usia pakai subsistem Rawmill 4 dan Kiln mengikuti  distribusi  Lognormal. Data  lama  waktu perbaikan  subsistem Lime  Stone  Crusher  7 mengikuti distribusi  Lognormal.Sedangkan  data  lama  waktu  perbaikan subsistem Rawmill  4 dan Rollermill mengikuti  distribusi Weibull.Data lama waktu perbaikan subsistem Kiln dinyatakan mengikuti distribusi Normal.
Berdasarkan  hasil  pengujian  distribusi  dapat  ditentukan nilai  MTTF  dan  MTTR  dari  data  usia  pakai  dan  lama  waktu perbaikan  subsistem. Berikut  disajikan  hasil  perhitungan MTTF  dan  MTTR yang  didasarkan  pada  Persamaan  (3) hingga (5) untuk masing-masing subsistem.
Tabel 1. MTTF dan MTTR Tiap Subsistem Subsistem MTTF (jam) MTTR (jam) 234CR1 296,572 0,497 344RM1 61,502 7,764 444KL1 653,981 2,186 547BE1 344,431 5,201
Tabel 1 menunjukkan bahwa subsistem Kiln memiliki rata- rata  kerusakan  tertinggi  yakni  sebesar  653,981  jam,  yang berarti  subsistem Kiln mengalami  kerusakan  setiap  653,981 jam  sekali. Perhitungan  availabilitas  didasarkan  pada  Tabel 4.1  dengan  menggunakan  formula  pada  persamaan  (6). Berdasarkan  hasil  perhitungan  availabilitas  untuk  masing- masing  subsistem,  diketahui  bahwa  availabilitas  terbesar dimiliki  oleh  subsistem Lime  Stone  Crusher  7 yakni  sebesar 0,99833.  Sedangkan  subsistem Rawmill  4 memiliki availabilitas  paling  rendah  yakni  0,88791.  Nilai  availabilitas masing-masing  subsistem  tergolong  tinggi,  namun terdapat satu subsistem yakni Rawmill 4 yang memiliki availabilitas di bawah  target  perusahaan  yaitu  95%.  Reliabilitas  subsistem dihitung berdasarkan persamaan (7) hingga (10) dengan hasil tertera pada tabel 2 berikut.
Tabel 2.
Nilai Reliabilitas Masing-masing Subsistem Mesin Waktu (Jam) t=30 t=60 t=90 t=120 234CR1 0,78053 0,671313 0,590829 0,526788 344RM1 0,630619 0,334335 0,191222 0,117133 444KL1 0,999936 0,998057 0,990224 0,973987 547BE1 0,623212 0,520445 0,454376 0,40578
Tabel  2 menunjukkan  kondisi  reliabilitas  masing-masing subsistem  ketika  telah  dioperasikan  selama  waktu  ke- t . Berdasarkan  hasil  perhitungan,  terlihat  bahwa  seluruh subsistem  mengalami  penurunan  nilai  reliabilitas  dari  waktu ke  waktu.Subsistem Kiln tergolong  mesin  yang  memiliki reliabilitas  tinggi,  sebab  nilai  reliabilitas  subsistem  masih berada  di  atas  angka  95%  setelah  dioperasikan  selama  120 jam. Hal  ini  menunjukkan  laju  kerusakan  subsistem Kiln rendah. Namun  kondisi  tersebut  berkebalikan  dengan subsistem Rawmill yang  memiliki  nilai  reliabilitas  rendah 63,06%  setelah  dioperasikan  selama  30  jam.  Hampir  seluruh subsistem  penyusun  sistem  memiliki  nilai  reliabilitas  rendah dan  berada  di  bawah  target  perusahaan  yakni  95%.  Kondisi
subsistem  yang  memiliki  reliabilitas  rendah  mengindikasikan perawatan ( maintenance ) tidak optimal.

## B. Pemodelan Markov terhadap Sistem Produksi di PT. “X”
Pembentukan  model  Markov  didasarkan  pada  kondisi sistem produksi di PT. “X” seperti gambar 2.
Gambar 2.  Diagram Transisi Proses Produksi di PT. “X”
Mengacu  diagram  transisi  pada  gambar  2,  terlihat  bahwa Rawmill  4 merupakan  subsistem  yang  paling  sering mengalami  kerusakan  jika  dibandingkan  dengan  subsistem lainnya.  Sebab,  laju  kerusakan  subsistem Rawmill  4 paling tinggi  yakni  sebesar  0,01626  kerusakan/jam  atau  subsistem akan  mengalami  kerusakan  setelah  dioperasikan  selama  62 jam. Berdasarkan Gambar 4.1 dibentuk persamaan diferensial untuk  setiap state yang  disesuaikan dengan  formula  pada persamaan (15) hingga (20) sebagai berikut.
            1 1 2 3 4 5 0.024064 2.01361 0.1288 ' 0.04574 0.1923 t t t t P P P P t t P P             2 1 2
0.003372 2.01361 ' t t t P P P         3 1 3
0.01626 0.12879 ' t t t P P P         4 1 4
0.00153 0.45738 ' t t t P P P         5 1 5
0.002903 0.19228 ' t t t P P P             1 2 3 4 5 1 t t t t t P P P P P     
Probabilitas  sistem  saat  kondisi steady  state atau  pada waktu t   digunakan sebagai  dasar  perhitungan  nilai availabilitas jangka panjang. Berdasarkan Tabel 4.4, diketahui bahwa nilai availabilitas sistem jangka panjang adalah sebesar 0,8723,  yang  berarti  probabilitas  sistem  beroperasi  dengan baik  pada  kondisi steady adalah  87%.  Availabilitas  sistem masih  dikategorikan  rendah  sebab  berada  di  bawah  target perusahaan  yakni  95%.  Probabilitas  subsistem Rawmill 4 mengalami  kerusakan  lebih  tinggi  dibandingkan  lainnya karena  kerja  subsistem  paling  berat  dan  sering  terjadi kerusakan akibat batu mengganjal pada proses penggilingan.
Tabel 3.
Nilai Probabilitas Setiap State pada Kondisi Steady State State ke- Peluang 1 0,872324 2 0,001461 3 0,110128 4 0,002916 5 0,013172
Probabilitas  sistem  saat  kondisi transient  state atau  pada kondisi probabilitas dipengaruhi oleh waktu, diperlukan untuk mengetahui  dugaan  nilai  reliabilitas  sistem  jangka  panjang. Berdasarkan persamaan diferensial yang diuraikan pada uraian sebelumnya dapat digambarkan kondisi nilai reliabilitas sistem seperti gambar 3 berikut.
40 30 20 10 0 1.0 0.9 0.8 0.7
0.6
0.5 0.4 0.3 Waktu (jam) P 1 (t )
Gambar 3.  Nilai Reliabilitas Sistem
Gambar  3 menunjukkan  nilai  reliabilitas  sistem  terlihat menurun  dari  waktu  ke  waktu  secara  drastis.Sehingga,  dapat dinyatakan  kondisi  mesin  turun  dan maintenance yang dilakukan tidak maksimal.
Perubahan  laju  kerusakan  maupun  laju  perbaikan  akan memberikan  efek  kenaikan  atau  penurunan  terhadap availabilitas  dan  reliabilitas  sistem.  Berdasarkan  perhitungan ketika  laju  kerusakan  subsistem Rollermill sebesar  0,003 dengan  laju  perbaikan  0,05  diperoleh  probabilitas  sistem beroperasi  dengan  baik  sebesar  84%.  Setiap  kenaikan 50% laju  kerusakan  subsistem Rollermill terjadi penurunan availabiltas  mencapai  58,3  persen.  Nilai  penurunan availabilitas  akibat  kenaikan  laju  kerusakan  subsistem Rollermill merupakan  penurunan  tertinggi  dibandingkan subsistem  lainnya.Oleh  karena  itu  dinyatakan  bahwa subsistem Rollermill merupakan  subsistem  penting  dan  harus mendapat prioritas utama dalam perawatan.
Nilai  reliabilitas  sistem  diketahui  bahwa,  ketika  laju kerusakan  subsistem Rawmill meningkat  sebesar  50%  yakni sebesar 0,036 maka probabilitas sistem beroperasi dengan baik setelah  dioperasikan  selama  36  jam  adalah  21%.  Diketahui bahwa  terjadi  penurunan  reliabilitas  sistem  mencapai  angka 71,7  persen.  Kondisi  ini menunjukkan  mesin Rawmill  4 sebagai subsistem yang memberi efek kenaikan dan penurunan tertinggi pada nilai reliabilitas sistem.Oleh karena itu, Rawmill 4 harus  diprioritaskan  juga  dalam maintenance agar  laju kerusakan subsistem menurun dan memberikan efek kenaikan nilai bagi reliabilitas sistem.

## C. Penentuan Waktu Penggantian Optimal
Nilai  fungsi  laju  kerusakan  sistem  dapat digunakan  untuk menghitung  waktu  perawatan  optimal  yang  meminimumkan
  1 t P   2 t P   3 t P   4 t P   5 t P 4 0,19228   3 0,00153   1 ABCD 2 0, 01626   1 2,013612   1 0, 003372   2 0,12879   4 0,002903   3 0,45738   : Kondisi Rusak Ket : Kondisi Baik 4 ABcD 2 aBCD 3 AbCD 5  ABCd
biaya  pemeliharaan.Berdasarkan  persamaan  (25) diperoleh fungsi biaya perawatan optimal subsistem sebagai berikut.
    8.064.000 564.624.000 p p p H t C t t   dengan,     0 2 3 2 0
0.0000043095 0.00053614 0.0239 0.0000014365 0.00026807 0.0239 0.9996 t p t H h t dt t t t dt t t t        

## 
Hasil analisis yang didasarkan pada fungsi biaya menunjukkan t=55  sebagai  waktu  perawatan  optimal  yang  meminimumkan biaya  perawatan.  Jadi,  interval  waktu  perawatan  sistem dilakukan  setiap  55  jam  sekali  (3  hari)  dengan  biaya perawatan Rp 1.078.761 per jam..
Informasi  yang  diperoleh  dari  perusahaan  menyatakan setiap tahun sistem mengalami downtime mencapai 3.617 kali dengan  jumlah  waktu  3078  jam.Biaya  perawatan  yang dikeluarkan  perusahaan adalah  sebesar  Rp  6.472.994  per jam perawatan.  Besaran  biaya  dihitung  berdasarkan loss production dan  biaya  tenaga  kerja maintenance sistem.  Jadi, apabila  perawatan  sistem  dilakukan  setiap  55  jam  sekali perusahaan akan menghemat biaya perawatan sebesar 83%..

## V. KESIMPULAN
Availabilitas subsistem Lime  Stone Crusher 7, Rawmill 4, Kiln, dan Rollermill secara  berturut-turut  adalah  0,9983, 0,8879,  0,9967,  dan  0,9851.  Terdapat  satu  subsistem  yakni Rawmill  4 yang  memiliki  nilai  availabilitas  di  bawah  target perusahaan yakni 95%. Nilai reliabilitas, subsistem Lime Stone Crusher  7,  Rawmill  4, dan Rollermill dikategorikan  rendah. Sebab  nilai  reliabilitas  ketiga  subsistem  turun  dari  waktu  ke waktu  secara  drastis.  Kondisi  berbeda  ditunjukkan  oleh subsistem Kiln yang  memiliki  nilai  reliabilitas  tinggi  dan mengalami penurunan ketahanan rendah dari waktu ke waktu.
Pada kondisi steady state , probabilitas sistem berada pada state 1 adalah 87.23%, pada state 2 sebesar 0.15%, pada state 3 sebesar 11,01%, pada state 4 sebesar 0.29%, dan pada state 5 sebesar 1.32%. Sehingga availabilitas sistem jangka panjang adalah  87.23%.  Availabilitas  sistem  tergolong  tinggi  namun masih  berada  di  bawah  target  perusahaan  yakni  95%.  Pada kondisi transient state , diketahui terjadi penurunan reliabilitas sistem  dari  waktu  ke  waktu  yang  menunjukkan  ketahanan sistem  rendah. Subsistem Rawmill  4 dinyatakan  sebagai subsistem  yang  paling  memberi  pengaruh  terhadap  nilai availabilitas  dan  reliabilitas  sistem  ditinjau  dari  efek perubahan laju kerusakan dan laju perbaikan subsistem.
Analisis  terhadap  fungsi  biaya  menunjukkan  55  jam  (3 hari)  sebagai  interval  waktu  optimal  perawatan  mesin  yang mampu meminimumkan biaya.
Oleh  karena  penurunan  dan  kenaikan  availabilitas  serta reliabilitas  sistem  tertinggi  dipengaruhi  oleh  laju  kerusakan subsistem Rawmill  4 ,  sebaiknya  subsistem Rawmill  4 diberi prioritas  lebih  dalam  hal maintenance .  Dengan  demikian, diharapkan  laju  kerusakan  subsistem  menurun  dan memberikan  efek  kenaikan  pada  nilai  availabilitas  dan
reliabilitas  sistem.Untuk  meminimumkan  biaya maintenance , sebaiknya  perawatan  dilakukan  setelah  subsistem  beroperasi selama  55  jam  atau  setiap  3  hari  sekali.  Perawatan  yang dilakukan  secara  terjadwal  dapat  menurunkan maintenance cost dibandingkan  memberikan  perbaikan  atau  perawatan ketika  mesin  telah  mengalami  kerusakan  atau  gejala kerusakan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] PT. Semen Indonesia (Persero), T. (2014, April 30). Rapat Umum Pemegang Saham. Dipetik September 9, 2014, dari Semen Indonesia Web Site: http://www.semenindonesia.com
[2]  Anderson, T.W, & Darling, D. (1954). A Test of Goodness-of-Fit. Journal of The America , 765-769.
[3]  ASI. (2013, Februari 13). Perkembangan Industri Semen di Indonesia Tahun 2012-2016 . Dipetik September 9, 2014, dari Asosiasi Semen Indonesia: http://www.asi.or.id
[4]  Ebeling, C. (1997). An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering. Singapore: McGraw Hill.
[5]  Kumar, U., & Tim. (2006). Reliability and Six Sigma. USA: Springer [6]  Dhillon, B. (1985). Quality Control, Reliability, and Engineering Design. New York: MARCEL DEKKER, INC.
[7]  O'Connor, P. (2004). Practical Reliability Engineering. New York: John Wiley & Sons.
[8] Lewis,  E.  (1987). Introduction  to  Reliability  Engineering. USA:  John Wiley & Sons, Inc.
[9] Munir,  R.  (2005). Metode  Numerik  (Edisi  Revisi  ke-2). Bandung: Informatika.
[10]Chapra, S., & Canale, R. (1991). Metode Numerik untuk Teknik. Jakarta: UI-Press.
[11]Higgins,  L.,  Mobley,  R.,  & Smith, R.  (2002). Maintenance  Engineering Handbook. New York: McGraw Hill.