Abstrak  -  Balancing  robot  is  a  mobile  robot  that  has  wheels on its left and right sides which construction is unstable and must be  actively  balanced  to  stay  upright.  Balancing  robot  is  a development  from  the  reverse-pendulum  model  which  is  then  put on  wheels.  To  control  the  balancing  robot’s  system,  Linear Quadratic Regulator (LQR) method is used as a feedback, which is simulated using MATLAB’s simulink program.
The analysis and simulations yields optimum results at weight matrix  values 𝑸 𝟏, 𝟏  = 𝟏𝟎𝟎 , 𝑸 𝟑, 𝟑  = 𝟏𝟎𝟎 ,  and 𝑹 = 𝟏𝟎 . System’s  cart  settling time  is at 3.8  seconds  with stability at  0.063 meter and 4 seconds for the pendulum. Delay time for the cart is at 1.8 seconds.
Keywords:   Balancing Robot, MATLAB, Optimal, Simulink, Time
Abstrak  - Balancing robot  merupakan  suatu  robot mobile yang  memiliki  roda  disisi  kanan  dan  kirinya  yang  tidak  stabil dan  harus  diseimbangkan  secara  aktif  untuk  menjaganya  tetap tegak. Balacing robot  merupakan  pengembangan  dari  model pendulum  terbalik  yang  diletakkan  diatas  kereta  beroda.  Untuk mengontrol  sistem balancing robot  digunakan  metode  kontrol Linear  Quadratic  Regulator  (LQR)  sebagai  umpan  balik  yang disimulasikan menggunakan program simulink MATLAB. Dari  hasil  analisa  dan  simulasi  diperoleh  kesimpulan  hasil yang  paling  optimal  pada  nilai  matriks  bobot 𝑸 𝟏, 𝟏  = 𝟏𝟎𝟎 , 𝑸 𝟑, 𝟑  = 𝟏𝟎𝟎 dan 𝑹 = 𝟏𝟎 .  Respon  sistem  mencapai  keadaan optimal  ( settling  time )  untuk cart 3.8  detik  dengan  kestabilan pada  jarak  0.063  meter  dan  untuk  pendulum  4  detik.  Waktu tunda ( delay time ) untuk cart 1.8 detik.
Kata Kunci: Balancing Robot, MATLAB, Optimal, Simulink , Waktu

## I. PENDAHULUAN
Perkembangan  teknologi  robotika  telah  membuat kualitas  kehidupan  manusia  semakin  tinggi.  Saat  ini perkembangan teknologi robotika telah mampu meningkatkan kualitas  maupun  kuantitas  berbagai  industri.  Teknologi robotika  juga  telah  menjangkau  sisi  hiburan  dan  pendidikan bagi  manusia.  salah  satu  cara  menambah  tingkat  kecerdasan suatu  robot  yaitu  dengan  menambah  metode  kontrol  bahkan memberikan  kecerdasan  buatan  pada  robot  tersebut.  Salah satunya adalah balancing robot.
Balancing robot  (robot  penyeimbang)  merupakan  suatu robot mobile yang  memiliki  roda  di  sisi  kanan  dan  kirinya yang  tidak  akan  seimbang  tanpa  adanya  kontroler. Balancing robot  ini  merupakan  pengembangan  dari  model  pendulum terbalik  ( inverted pendulum)  yang  diletakkan  diatas  kereta beroda.  Menyeimbangkan balancing robot  memerlukan  suatu metode kontrol yang baik untuk mempertahankan posisi robot dalam  keadaan  tegak  lurus.  Bahkan  sekarang  ini,  konsep
balancing robot telah digunakan sebagai alat transportasi yang bernama segway .
Dalam Tugas Akhir ini akan dikaji masalah pengendalian sistem balancing robot dengan  menggunakan kontrol optimal Linear  Qudratic  Regulator (LQR)  yang  kemudian  akan  di simulasikan ke dalam simulik MATLAB.

## II.   LANDASAN TEORI

## A. Dasar Sistem Kendali
Sistem  adalah  kumpulan  objek  yang  saling  berinteraksi dan  bekerja  sama  untuk  mencapai  tujuan  logis  dalam  suatu lingkungan  yang  kompleks.  Sistem  kendali  adalah  kumpulan obSistem  kendali  adalah  kumpulan  komponen  yang  bekerja sama di bawah arahan dari sebuah atau  beberapa mesin cerdas ( machine  intellegence ).  Di  samping  itu,  sistem  kendali  juga dapat  diartikan  sebagai  proses  pengaturan/pengendalian terhadap  satu  atau  beberapa  besaran  (variabel,  parameter) sehingga berada pada suatu harga atau dalam suatu rangkuman harga ( range ) tertentu.
Sistem kendali terdiri dari dua model sistem dasar, yakni sistem  kendali  loop  terbuka  dengan  sistem  kendali  loop tertutup.

## Sistem Kendali Loop Terbuka
Sistem  kendali  loop  terbuka  adalah  sistem  kendali  yang keluarannya  tidak  terpengaruh  pada  aksi  pengendalian.  Jadi pada  sistem  kendali  loop  terbuka,  keluaran  tidak  diukur  atau diumpan-balikkan  untuk  dibandingkan  dengan  masukan. Gambar  1  menunjukkan  hubungan  masukan  dan  keluaran untuk sistem kendali loop terbuka.
Setiap  sistem  kendali  loop  terbuka,  keluaran  tidak dibandingkan  dengan  masukan.  Sehingga  untuk  setiap masukan,  terdapat  satu  kondisi  operasi  yang  tetap.  Jadi, ketelitian  sistem  bergantung  pada  kalibrasi.  Apabila  terjadi gangguan,  sistem  kendali  loop  terbuka  tidak  dapat  bekerja seperti yang diinginkan. Kendali loop terbuka dapat digunakan dalam  praktek  hanya  jika  hubungan  antara  masukan  keluaran diketahui  dan  tidak  terdapat  gangguan  internal  maupun eksternal.

## Sistem Kendali Loop Tertutup
Sistem  kendali  loop  tertutup  adalah  sistem  kendali  yang sinyal  keluarannya  mempunyai  pengaruh  langsung  pada  aksi pengendalian. Jadi, sistem kendali loop tertutup adalah sistem kendalli yang berumpan-balik.
Sinyal  kesalahan  yang  merupahan  selisih  antara  sinyal masukan dan sinyal umpan-balik,  diumpan ke kontroler untuk memperkecil  kesalahan  dan  membuat  agar  keluaran  sistem

## Kontrol Optimal pada Balancing Robot Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator
Juliana. Sumanti,     Arie S. M. Lumenta, ST, MT,        David Pang, ST, MT, Jurusan Teknik Elektro-FT, UNSRAT,  Manado-95115, Email: juliana.sumanti@gmail.com
mendekati  harga  yang  diinginkan.  Gambar  2  menunjukkan hubungan masukan-keluaran dari sistem kendali loop tertutup.

## B Persamaan Ruang Keadaan
Persamaan  ruang  keadaan  ( state-space  equation )  dari sistem  dinamik  mengandung  tiga  hal,  yaitu  variabel  input ( input variable ), variabel output ( output variable ) dan variabel keadaan ( state variable ).
Persamaan  ruang  keadaan  dari  suatu  sistem  dapat bervariasi,  sesuai  dengan  definisi  awal  dari  variabel-variabel dari  suatu  sistem.  Misalkan  suatu  sistem  memiliki state sejumlah n (persamaan  diferensial  biasa  berdimensi n ),  input sebanyak  r,  dan  output  sebanyak m .  Misalkan  pula x = (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) , 𝑢 =   𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑟 . Maka, sistem tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑥 1 =   𝑓 1 𝑥, 𝑢, 𝑡 ,
𝑥 2 =   𝑓 2 𝑥, 𝑢, 𝑡 , ⋮ 𝑥 𝑛 =   𝑓 𝑛 𝑥, 𝑢, 𝑡 (1)
Sedangkan output dari sistem diberikan sebagai berikut:
𝑦 1 =   𝑔 1 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
𝑦 2 =   𝑔 2 (𝑥, 𝑢, 𝑡) ⋮ 𝑦 𝑛 =   𝑔 𝑛 (𝑥, 𝑢, 𝑡) (2)
Persamaan  (1)  dan  (2)  dapat  dituliskan  dalam  notasi  vektor sebagai berikut:
𝑥  𝑡  =  𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (3)
𝑦 𝑡  =  𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) (4) Kontroler Plant Masukan Keluaran Gambar 1. Komponen Sistem Kendali Loop Terbuka Kontroler Plant Masukan Keluaran Gambar 2. Komponen Sistem Kendali Loop Tertutup + B A 1/s C + + u ẋ x y D + Gambar  3. Blok Diagram Persamaan Keadaan ( State Space )
Dengan:
𝑥 = 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 , 𝑦 = 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 , 𝑢 = 𝑢 1 𝑢 2 ⋮ 𝑢 𝑛 𝑓 𝑥, 𝑢, 𝑡  = 𝑓 1 (𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑓 2 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
⋮ 𝑓 𝑛 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑡  = 𝑔 1 (𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑔 2 (𝑥, 𝑢, 𝑡) ⋮ 𝑔 𝑛 (𝑥, 𝑢, 𝑡)
Jika  vektor  fungsi f , g bergantung  kepada  variabel  t, maka persamaan (3) dan (4) disebut sistem time-variying . Jika sistem  tersebut  dilinearkan,  maka  persamaan  linear  ruang keadaan dalam  persamaan outputnya dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑥  𝑡  = 𝐴 𝑡 𝑥 𝑡  +  𝐵 𝑡 𝑢(𝑡) (5) 𝑦 𝑡  =  𝐶 𝑡 𝑥 𝑡  +  𝐷 𝑡 𝑢(𝑡) (6)
Dengan 𝐴(𝑡) disebut matriks keadaan, 𝐵(𝑡) matriks masukan, 𝐶(𝑡) matriks keluaran, dan 𝐷(𝑡) matriks transmisi langsung.
Gambar 4. Grafik Fungsi Step
Bila  fungsi  vektor f dan g tidak  bergantung  terhadap waktu t , maka sistem disebut sistem time-invariant . Dalam hal ini, Persamaan (3) dan (4) dapat disederhanakan menjadi:
𝑥  𝑡  = 𝑓(𝑥, 𝑢) (7) 𝑦 𝑡  = 𝑔(𝑥, 𝑢) (8)
Persamaan (7) dan (8) dapat dilinearkan di sekitar kedudukan operasi sebagai berikut:
𝑥  𝑡  = 𝐴𝑥 𝑡  +  𝐵𝑢(𝑡) (9) 𝑦 𝑡  =  𝐶𝑥 𝑡  +  𝐷𝑢(𝑡) (10)
Diagram  blok  yang  mewakili  persamaan  (9)  dan  (10) ditunjukkan dalam gambar 3.

## C Karakteristik Respon
Karakteristik  respon  adalah  ciri-ciri  khusus  perilaku respon  dinamik  (spesifikasi  performansi)  output  sistem  yang muncul  akibat  diberikannya  suatu  sinyal  masukan  tertentu yang khas bentuknya (disebut sebagai sinyal uji).
Sinyal  uji  merupakan  sinyal  masukan  uji  ( test  input sinyal )  yang  biasa  digunakan  adalah  fungsi  tangga,  fungsi “ ramp ”,  fungsi  percepatan,  fungsi  impuls,  fungsi  sinusoida dan sebagainya. Dengan sinyal uji ini dapat dilakukan analisis matematika  dan  eksperimental  sistem  kontrol  secara  mudah karena  sinyal-sinyal  ini  merupakan  fungsi  waktu yang  sangat sederhana.  Jenis  sinyal  masukan  yang  akan  digunakan  untuk menganalisis  karakteristik  sistem  di  antara  sinyal-sinyal masukan khas ini, dapat ditentukan dari bentuk masukan yang paling  sering  akan  diberikan  ke  sistem  pada  operasi  normal. Jika  masukan  sistem  kontrol  merupakan  fungsi  waktu  yang berangsur-angsur berubah, maka funsi waktu “ ramp ” mungkin merupakan  sinyal  uji  yang  baik.  Demikian  pula  jika  sistem dikenai  gangguan  secara  tiba-tiba,  maka  fungsi  waktu berjenjang  ( step )  mungkin  merupakan  sinyal  uji  yang  baik. Dan  untuk  sistem  yang  dikenai  masukan-masukan  kejut, sinyal  uji  yang  paling  baik  mungkin  adalah  fungsi  impuls. Setelah sistem kontrol di disain berdasarkan sinyal uji, kinerja sistem  dalam  memberikan  respon  terhadap  masukan  yang sebenarnya  biasanya  memuaskan.  Penggunaan  sinyal  uji memungkinkan  kita  untuk  membandingkan  kenerja  semua sistem  dengan  basis  yang  sama.  Gambar  4  dan  Gambar  5 memberikan gambaran contoh sinyal uji fungsi step dan fungsi ramp . Keluaran  yang  dihasilkan  merupakan  ( response )  dari sistem  yang  diberikan  sinyal  uji.  Bila  analisa  yang  dilakukan merupakan  analisa  dalam  lingkup  waktu  dan  masukan  yang diberikan  bukan  merupakan  fungsi  periodik  (mempunyai frekuansi),  maka  analisa  tersebut  merupakan  analisa tanggapan waktu ( time response ).

## Karakteristik Respon Waktu (Time Respons)
Karakteristik  respon  waktu  adalah  karakteristik  respon yang  spesifikasi performansinya didasarkan pada  pengamatan bentuk  respon  output  sistem  terhadap  berubahnya  waktu. Secara  umum  spesifikasi  performasi  respon  waktu  dapat dibagi  atas  dua  tahapan  pengamatan  yaitu  spesifikasi  respon transien dan spesifikasi respon steady state .
Spesifikasi  Respon  TransienSpesifikasi  respon  transien adalah  spesifikasi  respon  sistem  yang  diamati  mulai  saat
terjadinya  perubahan  sinyal  input/gangguan/beban  sampai respon  masuk  dalam  keadaan steady  state .  Tolak  ukur  yang digunakan  untuk  mengukur  kualitas  respon  transien  secara grafik  ditunjukkan  pada  gambar  6  dan  didefinisikan  dalam lima  hal  yaitu  waktu  tunda,  waktu  naik,  waktu  puncak, overshoot maksimum  dan  waktu  turun.  Waktu  tunda  ( 𝑡 𝑑 ) adalah waktu yang diperlukan oleh tanggapan untuk mencapai setengah  nilai  akhir  untuk  waktu  yang  pertama.  Waktu  naik ( 𝑡 𝑟 ) adalah waktu yang diperlukan oleh tanggapan untuk naik dari  10%  menjadi  90%,  5%  menjadi  95%,  atau  0%  menjadi 100% dari nilai akhir yang biasa digunakan. Untuk sistem atas redaman waktu naik yang biasa digunakan 10% menjadi 90%. Waktu  puncak  ( 𝑡 𝑝 )  adalah  waktu  yang  diperlukan  untuk mencapai  puncak  pertama overshoot . Overshoot maksimum ( 𝑀 𝑝 )  adalah  nilai puncak kurva tanggapan diukur dari satuan. Apabila nilai akhir keadaan tunak tanggapannya jauh dari satu, maka  biasa  digunakan  persen Overshoot maksimum,  dan didefinisikan oleh
Maksimum (persen) Overshoot = 𝑐 𝑡 𝑝 −𝑐(∞)
𝑐 (∞) 𝑥 100%
Besarnya persen Overshoot maksimum menunjukkan kestabilan  relatif  dari  sistem.  Waktu  turun  ( 𝑡 𝑠 )  adalah  waktu yang diperlukan untuk menanggapi kurva agar dapat mencapai dan  tetap  berada  dalam  gugus  nilai  akhir  ukuran  yang disederhanakan  dengan  persentase  mutlak  harga  akhir  (2% atau  5%).  Waktu  turun  tadi  dihhubungkan  dengan  tetapan waktu  terbesar  sistem  kontrol.  Apabila  kita  menemukan kriteria  kesalahan  persentase  untuk  sistem  kontrol,  kita  boleh menetapkannya dari tujuan desain sistem dalam pertanyaan.
Spesifikasi respon steady  state adalah spesifikasi  repson sistem  yang  diamati  mulai  saat  respon  masuk  dalam  keadaan steady  state sampai  waktu  tak  terbatas.  Tolak  ukur  yang digunakan  untuk  mengukur  kualitas  respon steady  state ini antara  lain error  steady  state baik  untuk error posisi, error kecepatan maupun error percepatan.
Gambar 6. Penggolongan Tanggapan Transien

## D Pendulum Terbalik (Inverted Pendulum)
Pendulum  terbalik  adalah  sebuah  pendulum  (bandul) dimana  pusat  massanya  berada  di  atas  titik  tumpunya. Seringkali  diimplementasikan  pada  sebuah  kereta  yang  dapat bergerak  secara  horizontal  dan  bias  disebut  sebagai  sebuah kereta-galah. Kebanyakan aplikasi  membatasi pendulum pada satu  derajat  kebebasan  dengan  mengasifikasi  tiang  (galah) pada  sebuah  sumbu  putar.  Dimana  sebuah  pendulum  normal stabil  ketika  digantung  menghadap  ke  bawah,  sebuah pendulum terbalik bersifat tidak stabil dan harus diseimbangkan secara aktif untuk menjaganya tetap tegak. Ini bisa dilakukan dengan mengaplikasikan torsi pada titik tumpu, dengan  menggerakan  titik  tumpu  secara  horizontal  sebagai bagian  dari  sistem  umpan  balik,  merubah  nilai  putaran  dari massa  yang  bertumpu  pada  pendulum  dalam  satu  sumbu parallel  ke  sumbu  tumpuan  lalu  setelah  itu  menciptakan  nilai torsi  pada  pendulum,  atau  dengan  mengosilasi  titik  tumpu secara  vertikal.  Demo  sederhana  dari  menggerakkan  titik tumpu dalam suatu system umpan balik bisa dilakukan dengan menyeimbangkan  sapu  terbalik  pada  ujung  jari.  Pendulum terbalik  merupakan  masalah  yang  klasik  dalam  dinamika  dan teori  control  dan  digunakan  sebagai  standar  untuk  mengukur suatu percobaan strategi kontrol.
Tipe  kedua  dari  pendulum  terbalik  adalah  sebuah pengukur  kemiringan  sebuah  struktur  bangunan  yang  tinggi, terdiri dari sebuah kabel yang ditanamkan pada dasar pondasi kemudian  dikaitkan  pada  sebuah  pelampung  dalam  sebuah kolam  minyak  di  atas  struktur  yang  memiliki  alat  pengukur perpindahan posisi normal pelampung kemudian dibandingkan dengan posisi sebenarnya.

## E Konsep Sistem Kontrol Optimal Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR)
Sistem  optimal  adalah  sistem  yang  mempunyai  unjuk kerja terbaik ( best performance ) terhadap suatu acuan tertentu. Sistem  kontrol  optimal  memerlukan  adanya  suatu  kriteria optimasi yang dapat meminimumkan hasil pengukuran dengan deviasi perilaku sistem terhadap perilaku idealnya.
Pengukuran tersebut dilakukan dengan  menetukan  indek performansi  yang  merupakan  suatu  fungsi  dari  suatu  harga yang  dapat  dianggap  menunjukkan  seberapa  besar  kinerja sistem  yang  sesungguhnya  sesuai  dengan  kinerja  yang diinginkan.  Indeks  performansi  merupakan  tolak  ukur  suatu sistem optimal. Sistem akan optimal bila indek performansinya adalah minimum.
Agar  sistem  tersebut  dapat  dikontrol,  maka  perlu  dibuat model  matematis  yang  menghubungkan  antara  masukan ( input )  dan  keluaran  ( output ).  Pada  sistem  kontrol  optimal, model  yang  banyak  digunakan  adalah  persamaan  keadaan ( state space ).

## Teori Regulator Optimal
Dalam  beberapa  proses,  variabel  yang  dikontrol  akan mengalami  deviasi  karena  adanya  gangguan.  Regulator kontrol  dirancang  untuk  melakukan  kompensasi  terhadap gangguan.
Linear  Quadratic  Control merupakan  salah  satu metode dalam perancangan sistem kontrol optimal. Plant diasumsikan bersifat  sistem  linear,  dalam  bentuk  persamaan  keadaan,  dan
fungsi obyektif adalah fungsi kuadratik dari keadaan plant dan sinyal input kendali.
Kelebihan  penggunaan  formulasi Linear  Quadratic adalah  pada  kemudahan  analisa  dan  pengimplementasiannya. Beberapa  masalah  yang  biasa diselesaikan dengan  metode ini adalah masalah minimasi waktu, dan lain-lain.

## Linear Quadratic Regulator (LQR)
Metode optimasi dengan linear qudratic regulator adalah dengan  menentukan sinyal  masukan  yang akan  memindahkan suatu state sistem  linear  dari  kondisi 𝑥(𝑡 0 ) menuju  ke  suatu kondisi  akhir 𝑥(𝑡) yang  akan  meminimumkan  suatu  indek untuk  kerja  performansi  quadratik. Cost  function yang dimaksud  adalah  waktu  integral  dari  bentuk  kusdratis  pada vektor keadaan ( state ) 𝑥 dan 𝑢 seperti pada persamaan:
𝐽 =   (𝑥 𝑇 𝑄𝑥 + 𝑢 𝑇 𝑢𝑅) ∞ 0 𝑑𝑡 (11)
Dimana Q adalah faktor pembobotan state (matriks semi difinit  positif)  dan  R  adalah  bobot  faktor  variable  kontrol (matriks  definit  positif).  Dengan  persamaan  seperti  diatas, variasi  parameter  dari  masalah  peracangan  LQR  dapat ditentukan,  juga  untuk  kondisi  akhir  yang  mungkin  dapat berpengaruh pada cost finction .
Prinsip  penggunaan  metode  LQR  adalah  memperoleh sinyal kendali optimal sinyal kendali optimal dari umpan balik keadaan ( state feedback ).
𝑢 = −𝐾𝑥 (12)
Matriks  umpan  balik 𝐾 diperoleh  dengan  memecahkan persamaan  Riccati.  Salah  satu  kendala  penggunaan  metode LQR adalah pemecahan persamaan Riccati  yang tidak  mudah jika  diselesaikan  secara  manual,  maka  dibutuhkan  bantuan komputer, dalam hal ini dengan paket program MATLAB.
Controller Algebraic Riccati Equation (CARE) Untuk  sistem  linier, time-invariant ,  dapat  dirutunkan persamaan  Aljabar  Riccati  untuk  mencari  solusi  optimal sebagai berikut:
𝐽 =  (𝑥 𝑇 𝑄𝑥 + 𝑢 𝑇 𝑢𝑅) ∞ 0 𝑑𝑡 B A K 1/s + + - u ẋ x
Gambar 7. Blok Digram LQR
Formulasi  dan  solusi  masalah  LQR  untuk  waktu continuous , dengan umpan balik keadaan dituliskan sebagai berikut:
𝑢 = −𝐾𝑥 𝐾 = 𝑅 −1 𝐵 𝑇 𝑃 (13)
Syarat  cukup  untuk  kontrol  optimal  matriks  P  harus memenuhi:
𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝐴 𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵𝑅 −1 𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 = 0 (14)
Persamaan  (14)  dikenal  sebagai  Persamaan  Riccati ( Riccati  Equation ).  Dengan  syarat  matriks  A  dan  B, controllable dan observable .  Blok  diagram  sistem  kontrol optimal  dengan  umpan  balik  deadaan  dapat  dilihat  pada gambar 7.

## III.   METODE PENELITIAN

## A Rencana Penelitian
Untuk  merealisasikan  tujuan  yang  ingin  dicapai  dalam penulisan  skripsi  ini,  langkah-langkah  yang  akan  dilakukan adalah sebagai berikut:

## Bahan Penelitian
Data yang dikumpulkan diperoleh dari studi literatur dan bentuk real mekanik balancing robot dari skripsi yang disusun oleh
Samuel Yosia Dimpudus
yang berjudul “PERANCANGAN  SISTEM  PENGATURAN BALANCING
ROBOT ” .  Data-data  tersebut  berupa  parameter-parameter, dan kompenen yang menyusun sistem.

## Pemodelan Matematik Sistem
Langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  mendapatkan model  matematis  sistem  antara  lain  menentukan  sistem  yang akan diteliti dan komponen-kompenen yang menyusun sistem tersebut.  Setelah  diketahui  komponen-kompenen  penyusun sistem  beserta  parameter-parameternya,  maka  sistem  dapat dimodelkan  menjadi  sebuah  persamaan  matematis  dalam bentuk persamaan keadaan ( state space ).

## Analisis Sistem
Analisis  optimal  sistem  bertujuan  untuk  mendapatkan gain kontrol untuk pengontrolan optimal.
Untuk  membuat  sistem  dapat  teranalisa,  maka  di  buat beberapa  tahap.  Pertama  sistem  dibuat  dalam  bentuk persamaan  keadaan  dilakukan  pemeriksaan  apakah  sistem memenuhi  syarat  keteramatan  dan  kekontrolan.  Jika  tidak, maka berarti sistem tidak dapat dikontrol. Jika ya, maka proses dapat  dilanjutkan.  Kedua,  tentukan  matriks  bobot  Q  dan  R. Penentuan  matriks  bobot  Q  dan  R  ini  dilakukan  dengan  cara coba-coba ( trial and error ) untuk mendapatkan matriks umpan balik  LQR.  Ketiga,  analisa  hasil  sistem  apakah  sudah memenuhi dua criteria antara yaitu waktu stabil ( settling time ) untuk cart dan pendulum kurang dari 5 detik dan waktu tunda ( delamy time ) untuk cart kurang dari 2 detik. Jika sistem tidak memnuhi  dua  criteria  tersebut,  atur  kembali  matriks  bobot 𝑄 dan 𝑅 . Jika ya, maka proses selesai.

## Simulasi Sistem
Simulasi sistem  dilakukan  dengan menggunakan fasilitas-fasilitas  yang  tersedia  pada  perangkat  lunak  program
MATLAB, antara lain simulink dan m-file . Dari hasil simulasi tersebut, dapat dibandingkan respon sistem terhadap pengaruh pengontrol LQR dalam bentuk sinyal keluaran.

## B Cara Kerja Penelitian
Dalam  usaha  untuk  mencapai  tujuan  dan  menjawab rumusan  masalh  dalam  skripsi  ini,  dilakukan  tiga  tahap pengerjaan  yaitu  studi  literatur  untuk  menganalisa  masalah kontrol  optimal  pada plant ,  dilakukan  dengan  menghimpun informasi  dari  buku-buku  dan  jurnal-jurnal  yang  berkaiatan. Buku  dan  jurnal-jurnal  tersebut  sebagian  diperoleh  dari Laboratorium  Teknik  Kendali,  Jurusan  Teknik  Elektro Universitas  Sam  Ratulangi  dan  beberapa  di  antaranya  di peroleh dari internet. Membuat dan menganalisa hasil simulasi sistem.  Setelah  system  telah  dianalisa,  maka  dapat  ditarik kesimpulan.

## C Alat Penelitian
Penelitian  ini  menggunakan  perangkat  keras  (hardware) berupa  Laptop  dengan  spesifikasi  sebagai  berikut  Processor  : Intel(R)  Core(TM)  i3-2367M  CPU  @  1.40GHz  1.40  GHz. Installed memory (RAM) : 4.00 GB (3.06 GB usable). System type : 32-bit Operating System
Untuk  perangkat  lunak  (software)  yaitu  MATLAB dengan  spesifikasi  sebagai  berikut  Version  7.11.0.584 (R2010b). 32-bit (win32)

## D Model Sistem Balancing Robot
Balancing robot  merupakan  suatu  robot mobile yang memiliki    roda  disisi  kanan  dan  kirinya  yang  tidak  akan seimbang  apabila  tanpa  adanya  pengendali. Balancing robot ini  merupakan  pengembangan  dari  model  pendulum  terbalik yang diletakkan diatas kereta beroda.
Gambar  8  adalah  sebuah  contoh  dari balancing robot. Dalam  kasus  ini,  kereta  yang  dilengkapi  motor  hanya  dapat bergerak  garis  lurus  (horizontal),  dan  pendulum  yang diletakkan  di  atas  kereta  bergerak  (berotasi)  dalam  bidang yang sama. Gaya 𝑢 𝑡 diberikan kepada kereta. Tanda adanya gaya  yang  sesuai,  pendulum  akan  jatuh.  Dengan  adanya umpan  balik,  motor pada kereta akan  memberikan gaya  yang sesuai sehingga pendulum tetap dalam keadaan tegak.
Ө l sin Ө x l cos Ө x y l u M mg Gambar 8. Model Dari Balancing Robot (Tampak Samping)
Dimana: 𝜃 : sudut antara pendulum dengan garis vertikal.
𝑀 : berat kereta (kg). 𝑚 : berat pendulum (kg).
𝜃 : kecepatan sudut 𝑑𝜃 𝑑𝑡 .
𝜃 : percepatan sudut 𝑑 2 𝜃 𝑑𝑡 2 .
𝑥 : kecepatan benda 𝑑𝑥 𝑑𝑡 .
𝑥 : percepatan benda 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 . 𝐼 : momen inersia. 𝑏 : koefisien dari  gaya gesek ( viscount friction) antara kereta dengan lantai.
𝑉 : gaya reaksi vertikal pada pendulum.
𝐻 : gaya reaksi horisontal pada pendulum.
𝑢 : gaya input yang diberikan pada kereta (N).

## Asumsi
Berikut  adalah  asumsi-asumsi  dalam  memodelkan balancing robot  yaitu  pendulum  homogen  (rapat  massa  di setiap titik pada pendulum sama), sehingga 𝐼 (momen inersia) = 1 3 𝑚𝑙 2 dan 𝜃 kecil ( cos 𝜃 ≈ 1 dan sin 𝜃 ≈ 𝜃 ).

## Formulasi model
Berikut  ini  akan  diturunkan  model  matematik  untuk sistem balancing robot.  Setelah  mendapatkan  model matematik  sistem,  akan  dilakukan  pengendalian  terhadap sistem balancing robot.
Penjumlahan gaya dari cart secara horisontal dirumuskan dalam persamaan berikut:
𝐹 𝐻 = 𝑀𝑎
𝑢 − 𝐻 − 𝑏𝑥  = 𝑀𝑥 𝑢 = 𝑀𝑥  + 𝑏𝑥  + 𝐻 [3] (15)
Karena cart bergerak arah horisontal, maka penjumlahan gaya  pada  arah  vertikal  diabaikan.  pada  gambar  8 free  body diagram dapat  dibagi  menjadi  2  yaitu free  body  diagram untuk cart dan free  body  diagram untuk  pendulum.  Dengan menjumlahkan  gaya  pada  arah  horisontal  maka  didapatkan persamaan gaya H.
𝐻 = 𝑚 𝑑 2 𝑑 𝑡 2 (𝑥 + 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝜃)
Dengan memperhatikan bahwa:
𝑑 2 𝑑𝑡 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 = − 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃 2 + (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝜃 [1]

## Maka persamaan menjadi:
𝐻 = 𝑚𝑥  − 𝑚𝑙𝜃 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚𝑙𝜃  𝑐𝑜𝑠 (16)
Dengan  mensubtitusikan  persamaan  (16)  ke  persamaan (15) maka didapatkan persamaan gerak yaitu:
𝑢 = (𝑀 + 𝑚)𝑥  + 𝑏𝑥  − 𝑚𝑙𝜃 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑚𝑙𝜃  𝑐𝑜𝑠𝜃 (17)
Untuk  mendapatkan  persamaan  gerak  selanjutnya,  maka gaya-gaya  yang  tegak  lurus  dengan  batang  pendulum dijumlahkan.
𝑉 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐻 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑙𝜃  + 𝑚𝑥  𝑐𝑜𝑠𝜃
(18)
Untuk  mengeliminasi  V  dan  H  dari  persamaan  (18), jumlahkan momen-momen di sekitar pendulum.
𝜏 𝑝𝑒𝑛𝑑 = 𝐼𝜃 −𝑉𝑙 𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐻𝑙 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐼𝜃 (19)
Subtitusikan  persamaan  (19)  ke  persamaan  (18)  maka didapatkan:
−𝐼𝜃  − 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑙 2 𝜃  + 𝑚𝑙𝑥  𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼 + 𝑚𝑙 2 𝜃  = −𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑚𝑙𝑥  𝑐𝑜𝑠𝜃 (20)
Dapat dilihat bahwa persamaan (16) dan persamaan (20) adalah  persamaan  diferensial  nonlinear.  Untuk  menjaga  agar balancing robot tetap vertikal, maka dapat diasumsikan bahwa 𝜃 yang  dihasilkan  kecil  sehingga cos 𝜃 ≈ 1 , sin 𝜃 ≈ 𝜃 ,  dan 𝜃𝜃 2 ≈ 0 .  Kemudian  persamaan  (17)  dan  (20)  dapat dilinearisasi sebagai berikut:
𝑢 = (𝑀 + 𝑚)𝑥  + 𝑏𝑥  + 𝑚𝑙𝜃 (21) 𝐼 + 𝑚𝑙 2 𝜃  = −𝑚𝑔𝑙𝜃 − 𝑚𝑙𝑥 (22)
Persamaan Keadaan (State Space)
Misalkan vector
𝑥 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 = 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃
Dan
𝑦 = 𝑥 𝜃 sebagai output dari sistem.
Agar  diperoleh  persamaan  state  space  linear  untuk 𝑥 , persamaan  (21)  harus  merupakan  fungsi  dari  turunan  yang lebih  rendah  saja.  Untuk  itu, 𝜃 harus  dieliminasi  dari persamaan (21), dan diperoleh:
𝑀 + 𝑚 𝑥  = 𝑢 − 𝑏𝑥  − 𝑚𝑙 −𝑚𝑔𝑙𝜃 −𝑚𝑙 𝑥 𝐼+𝑚 𝑙 2

## Atau
𝑀 + 𝑚 𝑥  = 𝑢 − 𝑏𝑥  + 𝑚 2 𝑙 2 𝑔 𝐼+𝑚 𝑙 2 𝜃 + 𝑚 2 𝑙 2 𝐼+𝑚 𝑙 2 𝑥 𝑥  = 𝐼+𝑚 𝑙 2 𝑢−𝑏 𝐼+𝑚 𝑙 2 𝑥 +𝑚 2 𝑙 2 𝑔𝜃 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑥  = −𝑏(𝐼+𝑚 𝑙 2 ) 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑥  + 𝑚 2 𝑙 2 𝑔 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝜃 + 𝐼+𝑚 𝑙 2
𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑢 (23) (3.9)
Persamaan  berikut  di  peroleh  dengan  mengeliminasi 𝑥 dari persamaan (22) untuk memperoleh persamaan state space linear untuk 𝜃 .
𝐼 + 𝑚𝑙 2 𝜃  = −𝑚𝑔𝑙𝜃 − 𝑚𝑙 𝑢−𝑏𝑥 −𝑚𝑙 𝜃 𝑀+𝑚
𝐼 + 𝑚𝑙 2 𝜃  = −𝑚𝑔𝑙𝜃 − 𝑚𝑙 𝑀+𝑚 𝑢 + 𝑚𝑙𝑏 𝑀+𝑚 𝑥  + 𝑚 2 𝑙 2 𝑀+𝑚 𝜃 𝜃  = −(𝑀+𝑚 )𝑚𝑔𝑙𝜃 −𝑚𝑙𝑢 +𝑚𝑙𝑏 𝑥 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝜃  = 𝑚𝑙𝑏 𝐼 𝑀 + 𝑚  + 𝑀𝑚𝑙 2 𝑥  − 𝑀 + 𝑚 𝑚𝑔𝑙
𝐼 𝑀 + 𝑚  + 𝑀𝑚𝑙 2 𝜃 − 𝑚𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑢 (24) (3.10)
Berdasarkan  pemisalan  vektor 𝑥 ,  dan  dari  persamaan (23) dan (24), diperoleh:
𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑥 𝑥 2 = 𝑥  = −𝑏(𝐼+𝑚 𝑙 2 ) 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑥  + 𝑚 2 𝑙 2 𝑔 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝜃 +
𝐼+𝑚 𝑙 2 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑢 𝑥 3 = 𝑥 4 = 𝜃 𝑥 4 = 𝜃  = 𝑚𝑙𝑏 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑥  − (𝑀+𝑚 )𝑚𝑔𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝜃 − 𝑚𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑢
Dalam  bentuk state  space ,  persamaan  matematika  dari sistem dibuat ke dalam bentuk persamaan matriks berikut:
𝑥  = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
Dimana, 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 ,  dan 𝐷 adalah  matriks,  sementara 𝑥 adalah state ,  dan 𝑦 adalah output sistem  dan 𝑢 adalah input sistem. Sehingga state space sistem dapat di rumuskan sebagai berikut.
𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 = 0 0 0 0 1 −𝑏(𝐼+𝑚 𝑙 2 ) 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 𝑚𝑙𝑏 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 𝑚 2 𝑙 2 𝑔 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 −(𝑀+𝑚 )𝑚𝑔𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 0 1 0 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 +
0 𝐼+𝑚 𝑙 2 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 − 𝑚𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝑢 (25)
𝑦 = 1 0 0 0 0 0 1 0 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 + 0 0 𝑢 (26)

## E Perancangan Linear Quadratic Regulator (LQR)
Dalam  kasus  ini,  beberapa  parameter  akan  dimisalkan untuk mempermudah perhitungan, yaitu:
𝑀 = 0.74 𝑘𝑔 𝑚 = 0.1 𝑘𝑔 𝑏 = 1 𝑁 𝑚 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 𝑙 = 0.5 𝑚 𝐼 = 0.0083 𝑘𝑔 𝑚 2
Dengan  menggunakan  pemisalan  tersebut,  persamaan (24) dan (25) dapat dituliskan sebagai berikut
𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 = 0 0 0 0 1 −1.3072 0 1.9608 0 0.9608 0 −16.1412 0 0
1 0 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 + 0 1.3072 0 −1.9608 𝑢 (27)
𝑦 = 1 0 0 0 0 0 1 0 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 + 0 0 𝑢 (28)
Uji Keterkontrolan ( Controllability )
Uji kekontrolan dari sistem ini dapat dilihat dari rank dan singularity dari matriks controllability , yaitu:

## [𝐵  𝐴𝐵  …  𝐴 𝑛 −1 𝐵]
Maka  matriks controllability dari  sistem balancing robot  ini berdasarkan state-space pada persamaan (27) dan (28), adalah:
𝐵  𝐴𝐵  𝐴 2 𝐵  𝐴 3 𝐵 = 0 1.3072 0 −1.9608 1.3072 −1.7087 −1.9608 2.5631 −1.7087 0.3498 2.5631 28.2989 0.3498 2.0054 28.2989 −40.6859
Setelah  diperiksa,  matriks  ini  memiliki rank 4.  Sedangkan inversnya adalah:
𝐵  𝐴𝐵  𝐴 2 𝐵  𝐴 3 𝐵 −1 = 1.0000 0.8400 0.0680 0.0520 0.8400 0.0680 0.0520 −0.0000 0.0000 0.0500 0.0454 0.0347 0.0500 0.0454 0.0347 −0.0000
Dengan  demikian  matriks  ini  adalah  matriks  yang  non- singular.
Karena  matriks controllability memiliki rank 4,  sama dengan dimensinya (matriks 4x4), dan sudah diperiksa bahwa matriks  ini  adalah  matriks  yang  non-singular,  maka  dapat disimpulkan bahwa sistem ini completely state controllable .
B A K 1/s + + - u ẋ x C y Gambar 9. Diagram blok sistem loop tertutup

## Uji Keteramatan (Observability)
Uji  keteramatan  dari  sistem  ini  juga  dapat  dilihat  dari rank dan singularity dari matriks observability , yaitu: 𝐶
𝐶𝐴 … 𝐶𝐴 𝑛
Uji  keteramatan  yang  pertama  adalah  untuk  output berupa posisi cart balancing robot, maka dalam hal ini:

## 𝑐 =  1 0 0 0
Matriks observability yang diperoleh adalah:
𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴 2 𝐶𝐴 3 = 1 0 0 0 0 1 −1.3072 1.7087 0 0 0.9608 −1.2559 0 0 0 0.9608
Setelah  diperiksa,  matriks  ini  memiliki rank 4.  Sedangkan inversnya adalah:
𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴 2 𝐶𝐴 3 −1 = 1 0 0 0 0 1
1.3605 0 0 −0 1.0408 1.3605 0 −0 0 1.0408
Karena rank yang  diperoleh  adalah  4,  sama  dengan dimensi  dari  matriks observability (3x3),  kemudian  karena inversnya  ada,  sebagai  indikasi  bahwa  matriks observability ini adalah matriks yang non singular , maka dapat disimpulkan bahwa  sistem  dengan  output  posisi cart ini completely observable .
Uji  keteramatan  selanjutnya  adalah  untuk  output berupa sudut pendulum, maka dalam hal ini:
𝑐 =  0 0 1 0
Matriks onservability yang diperoleh adalah:
𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴 2 𝐶𝐴 3 = 1 0 0 0 0 1
−1.3072 1.7087 0 0 0.9608 −1.2559 0 0 0 0.9608
Setelah diperiksa, invers matriks observability dari sudut pendulum tidak ada karena determinan dari matriks ini adalah 0 yang menandakan matriks ini adalah matriks singular . Maka dapat  disimpulkan  bahwa  sistem  dengan  output  sudut pendulum ini not completely observable .

## Penentuan Matriks Bobot
Matriks  bobot  adalah  matriks 𝑄 dan 𝑅 .  Pemilihan matriks 𝑄 dan 𝑅 dapat dilakukan dengan cara coba-coba ( trial and  error ).  Dengan  syarat,  Matriks 𝑄 adalah  matriks  simetri, semidefinit  positif  dan real 𝑄 ≥ 0 .  Matriks 𝑄 merupakan matriks berorodo 4x4 yang ditulis sebagai persamaan (29).
𝑄 = 𝑞 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑞 0 0 0 (29)
Pada 𝑄 di  dapat  dari 𝑄 = 𝐶 𝑇 𝐶 ,  sehingga  nilai  yang  akan diganti-ganti pada matriks 𝑄 terdapat pada matriks 𝑄(1,1) dan 𝑄(3,3) .
Sedangkan  matriks 𝑅 adalah  matriks  simetri,  definit positif  dan real 𝑅 > 0 .  Matriks 𝑅 merupakan  matriks berordo 1x1 yang ditulis sebagai persamaan (30).
𝑅 = [𝑟]
(30)
Untuk menghitung besarnya nilai penguatan ( gain ) optimal K digunakan  bantuan program MATLAB. Setelak  mendapatkan penguatan  optimal  K,  maka  diperoleh  persamaan  keadaan untuk sistem loop tertutup sebagai berikut:
𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 = 0 0 0 0 1 −𝑏 𝐼+𝑚 𝑙 2 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 𝑚𝑙𝑏 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 𝑚 2 𝑙 2 𝑔 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 − 𝑀+𝑚  𝑚𝑔𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 0 1 0 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 − 0 𝐼+𝑚 𝑙 2
𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 0 − 𝑚𝑙 𝐼 𝑀+𝑚  +𝑀𝑚 𝑙 2 𝐾 (1,1) 𝐾 (1,2) 𝐾 (1,3) 𝐾 (1,4) 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 (31)
𝑦 = 1 0 0 0 0 0 1 0 𝑥 𝑥 𝜃 𝜃 + 0 0 𝑢 (32)
Diagram  blok  yang  mewakili  persamaan  (31)  dan  (32) ditunjukkan dalam gambar 9.

## IV.   ANALISA DAN PEMBAHASAN

## A Hasil Perhitungan Nilai Umpan Balik LQR
Tujuan  dari  optimasi  dengan  menggunakan  LQR  adalah mendapatkan  nilai  balik  K optimal dengan  memenuhi criteria waktu  turun  ( settling  time )  untuk cart dan  pendulum  kurang dari 5 detik dan waktu naik ( rise time ) untuk cart kurang dari 2 detik.
Perhitungan  ini  dilakukan  dengan  jalan  memasukkan persamaan Riccati yang  telah  diturunkan  pada  bab sebelumnya.  Sedangkan  matriks  pembobotan 𝑄 dan 𝑅 ditentukan secara sembarang. Dari persamaan Riccati tersebut, akan dapat diketahui matriks 𝑃 . Matriks 𝑃 adalah  matriks  solusi  dari  persamaan Riccati . Jika  nilai  matriks 𝑃 telah  diketahui,  kemudian  disubtitusikan ke  persamaan 𝐾 = 𝑅 −1 𝐵 𝑇 𝑃 .  Sehingga  dapat  diketahui  nilai matriks  umpan  balik  optimal 𝐾 .  Bobot-bobot  nilai 𝑄 dan 𝑅 yang digunakan terdapat pada tabel I.
TABEL I HASIL PERHITUNGAN NILAI UMPAN BALIK LQR Q(1,1) Q(3,3) R K 0.1 0.1 10  0.1000    0.0808   -0.0068   -0.0001 0.5 0.5 10  0.2236    0.1735   -0.0321   -0.0109 1 1 10  0.3162    0.2390   -0.0602   -0.0231 5 5 10  0.7071    0.4905   -0.2322   -0.0844 10 10 10  1.0000    0.6619   -0.4009   -0.1304 25 25 10  1.5811    0.9792   -0.8084   -0.2116 50 50 10  2.2361    1.3182   -1.3529   -0.2835 75 75 10  2.7386    1.5719   -1.8136   -0.3242 100 100 10  3.1623    1.7833   -2.2224   -0.3494
Gambar 10. Sistem Untuk Open Loop

## B Simulasi Balancing Robot dengan Simulink MATLAB
Untuk  melihat  simulasi  dari balancing robot,  dilakukan dengan  menggunakan  simulink  MATLAB.  Simulasi  diberi sinyal  uji  step  dengan  perpindahan  posisi  dari  kereta  sebesar 0.2 meter ke arah kanan.
Gambar 11. Sistem Untuk 𝑄 1,1  = 100 , 𝑄 3,3  = 100 Dan 𝑅 = 10

## Simulasi Open Loop
Untuk  simulasi open  loop atau  tanpa  umpan-balik,  hasil simulasi  menunjukkan  pbahwa  sistem  tidak  stabil.  Hasil  ini dapat dilihat pada gambar 10.

## Simulasi Close Loop
Simulasi  ini  dilakukan  pada  berbagai  nilai  bobot 𝑄 dengan  nilai 𝑅 yang  tetap,  dengan  menggunakan  MATLAB. Simulasi  diberi  nilai 𝑄 1,1  = 100 , 𝑄 3,3  = 100 ,  dan 𝑅 = 10 .  Sehingga  diperoleh  grafik  respon  sistem  terhadap sinyal uji step seperti pada gambar 11.
Pada  Gambar  11  dapat  diamati,  Sistem  memiliki  waktu stabil  ( settling  time )  untuk cart 3.8  detik  dengan  kestabilan pada  jarak  0.063  dan  untuk  pendulum  4  detik.  Waktu  tunda ( delay time ) untuk cart 1.8 detik. cart Pendulum Cart Pendulum Cart Pendulum

## TABEL II HASIL SIMULASI SISTEM BALANCING ROBOT

## V. KESIMPULAN DAN SARAN

## A Kesimpulan
Berdasarkan dari hasil analisa yang terdapat pada tabel II diperoleh kesimpulan yaitu hasil optimal dengan menggunakan  metode  LQR  memiliki  respon balancing robot yang  paling  optimal  dengan  kriteria  yang  diberikan  terdapat pada  nilai  matriks  bobot 𝑄 1,1  = 100 , 𝑄 3,3  = 100 dan 𝑅 = 1

## B Saran
Pemilihan  matriks  bobot  Q  dan  R  pada  penelitian  ini dilakukan  dengan  cara  coba-coba  ( trial  and  error ),  dengan membutuhkan  waktu  yang  cukup  lama  untuk  mendapatkan hasilnya.  Oleh  sebab  itu  perlu  dikembangkan  metode  yang lebih  baik  untuk  medapatkan  nilai  matriks  Q  dan  R  tersebut. Metode  ini  dapat  dikembangkan  dan  dapat  diterapkan  pada sistem fisik balancing robot.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] F,  Gene.  Feedback  Control  Of  Dynamic  Systems,  Prentice  Hall,
California, Fourth Edition.
[2] K,  Ogata.  Modern  Control  Engineering,  Prentice  Hall,    New Jersey, Third Edition,.
[3] K,  Ogata.    Teknik  Kontrol  Automatik  ,        Penerbit  Erlangga, Jakarta, 1996.
[4] N,  S,  Desineni.  Optimal  Control  Sistems,  CRC  Press,  New  York,
2003.