## PEMODELAN REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON
Rena Muntafiah 1 , Rochdi Wasono 2 , Moh. Yamin Darsyah 3
1,2,3 Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Muhammadiyah Semarang
Alamat e-mail : Rena_fia@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Data dari Kepolisian Republik Indonesia pada tahun 2009 menunjukkan bahwa setiap 9,1 menit sekali terjadi satu kecelakaan di jalan raya. Menurut WHO Saat ini kecelakaan lalu lintas menjadi penyebab pembunuh manusia terbesar di Dunia setelah penyakit jantung dan TBC.Banyaknya  korban  kecelakaan  lalu  lintas  tidak  hanya  mengakibatkan  kerugian materiil  tetapi  juga  kerugian  fisik  dan  psikis.Pada  kenyataannya  faktor  kelalaian  manusia merupakan penyebab utama terjadinya kecelakaan lalu lintas. Selain faktor manusia faktor jalan  seperti  jalan  lurus  (X1),  tikungan  (X2),    persimpangan  perempatan  atau  pertigaan (X3),  jenis  aspal  (X4),  penerangan  gelap  (X5),  bundaran  (X6)  dan  jalan  berlubang  (X7) juga  diduga  menjadi  penyebab  terjadinya  kecelakaan  lalu.  Kecelakaan  lalu  lintas  dapat digambarkan  sebagai  peristiwa  yang  jarang  terjadi,    bersifat  acak  (random)  dan  diskrit, maka  dari  itu  untuk  meneliti  kasus  kecelakaan  lalu  lintas  dapat  digunakan  metode Generalized Linier Model (GLM) dengan sebaran Poisson untuk menghasilkan pemodelan yang lebih baik. Pada penelitian ini digunakan metode Regresi Poisson untuk menganalisa data cacahan dengan variabel respon berdistribusi Poisson atau menyatakan kejadian yang relatif  jarang  terjadi  dan  bersifat  diskrit.Tetapi  pada  kenyataannya,  data  diskrit  seringkali mengalami  overdispersion  (dimana  varians  data  lebih  besar  daripada  mean).  Adanya overdispersion  dalam  model  Poisson  menyebabkan  nilai  deviance  model  menjadi  sangat besar.Metode  Regresi  Binomial  Negatif  dapat  mengatasi  overdispersi  pada  Regresi Poisson  karena  memiliki  parameter  dispersi  ( κ ).  Kemungkinan  fungsi  hubungan  dalam penelitian ini menggunakan pendekatan GLM yaitu; μ =exp( β 0 + β 1 x 1 + … + β k x k ). Hasil dari pemodelan diatas didapatkan pemodelan interaksi antara faktor persimpangan (4/3) dengan bundaran adalah model yang memiliki nilai devians terkecil. Sehingga model terbaik pada penelitian ini adalah μ =exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 )= exp(2.9239+0.0461X 3 +0.0587X 6 ).
Kata Kunci :  Regresi Poisson, Overdispersion, Regresi Binomial Negatif,

## kecelakaan lalu lintas

## PENDAHULUAN
Kecelakaan lalu lintas merupakan suatu peristiwa  di  jalan  yang  tidak  diduga  dan tidak  disengaja  melibatkan  kendaraan dengan  atau  tanpa  pengguna  jalan  lain yang  mengakibatkan  korban  manusia  dan/ kerugian  harta  benda  (Pasal  1  Angka  24 UU  Nomor  22  Tahun  2009).  Menurut WHO  Saat  ini  kecelakaan  lalu  lintas menjadi  penyebab  pembunuh  manusia terbesar  di  Dunia  setelah  penyakit  jantung
dan  TBC.  Hal  ini  di  buktikan  pada  tahun 2013  jumlah  kejadian  kecelakaan  di Kabupaten  Blora  sebesar  394  dengan korban  meninggal  sebesar  51,  luka  berat 206  dan  luka  ringan  sebesar  444  dengan kerugian  materil  sebesar  325.250.000 rupiah [1] .  Sebaran  Poisson  merupakan pilihan yang sesuai dengan sifat kecelakaan lalu lintas yang dapat digambarkan sebagai peristiwa yang sangat jarang terjadi, bersifat acak (random), diskrit dan non-negatif [2] .
Model  regresi  Poisson  berasal  dari distribusi Poisson dengan parameter intensitas µ yang bergantung pada variabel prediktor.  Dalam  model  Regresi  Poisson terdapat  beberapa  asumsi  yang  harus dipenuhi  yakni  equidispersi  yang  berarti nilai  variansi  dari  variabel  respon  Y  yang diberikan  oleh  X  =  x  harus  sama  dengan nilai meannya yaitu  var (Y | x) = E(Y | x) = µ. Tetapi pada kenyataannya, data diskrit seringkali mengalami overdispersion (dimana  varians  data  lebih  besar  daripada mean).  Adanya  overdispersion  dalam model Poisson menyebabkan nilai deviance model menjadi sangat besar.
Pengujian  taksiran  dispersi  ( α )  secara statistik  dapat  dilakukan  dengan  uji  nilai Devians,  hipotesis  yang  digunakan  yaitu: H 0 ∶ =  1  H 1 ∶ >  1.  Statistik  uji  nilai Deviansnya:  =2 ∑ [ y i ln  ( ) –  ( i − )].
Penolakan  terhadap  H 0 jika  > 2 − −1, .Hal ini berarti terjadi overdispersi pada Regresi Poisson.Berdasarkan  teori  tersebut  penulis akan  melakukan  penelitian  menggunakan metode  Regresi  Binomial  Negatif  untuk memodelkan faktor jalan yang berpengaruh pada jumlah kasus kecelakaan di Kabupaten Blora.
Pemilihan model terbaik pada penelitian ini  menggunakan  nilai  Pearson  Chi- Square  dan  Perumusan  hipotesis  pada pengujian dengan Likelihood Ratio sebagai berikut:  H 0 ∶ model  Regresi  Poisson  = model  Regresi  Binomial  Negatif,  H 1 ∶ model Regresi Binomial Negatif lebih baik dari  model  Regresi  Poisson,  uji  statistik Likelihood Ratio T=2( 1 − 0 ). Dengan 1 dan 0 adalah  log-likelihood  masing-masing model  pada  hipotesis.  Penolakan  H 0 pada taraf signifikansi   jika T> 2 (1−2 ,1) [3].

## Tabel 1 Perbandingan Regrsi Poisson dengan Regresi Binomial Negatif

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian ini adalah data sekunder dari SATLANTAS  POLRES  Kabupaten  Blora tahun  2013.Variabel  yang  digunakan  di dalam penelitian ini yaitu;
Y :  Jumlah  korban  kecelakaan  yang ada  di  Kabupaten  Blora  pada tahun 2013.
X1  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jalan  yang  lurus  di  Kabupaten Blora pada tahun 2013.
X2  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jalan  tikungan  di  Kabupaten Blora pada tahun 2013.
X3  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jalan  persimpangan  (4/3)  di Kabupaten  Blora  pada  tahun 2013.
X4  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jenis  aspal  di  Kabupaten  Blora pada tahun 2013. Kriteria Regresi Poisson Regresi Binomial Negatif Peubah respon ~ ( μ ) ~ ( μ , ) Fungsi distribusi peluang ; μ = − μμ ! (Myers et al. [3]) ,,= ! + −1 ! ! −1 .
( " 1+ " ) .
(11+ " )1 Rata-rata dan Ragam # = $%& = μ # = μ $%&
= μ + μ 2 Penaksir parameter Fungsi  Log Likelihood Maximum Likelihood Estimator ' "( ; ) − =1
' "( ; ) −ln ! = 1 =1 Maximum Likelihood Estimator *! −1+ − *! −1 + log
" 1+ " + −1log 11+ " Model Regresi " = ( ′ ) + + " = ( ′ ) + +
X5  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jalan  dengan  penerangan  gelap di  Kabupaten  Blora  pada  tahun 2013.
X6  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jalan  bundaran  di  Kabupaten Blora pada tahun 2013.
X7  :  Jumlah  korban  kecelakaan  pada jalan yang berlubang di
Kabupaten  Blora  pada  tahun 2013.
.
Metode Analisis Langkah  menganalisis  data  dalam penelitian  ini  yaitu  dengan  menggunakan metode Regresi Poisson. Kemudian memeriksa  terjadinya  overdispersi  pada Regresi  Poisson.  Jika  terjadi  overdispersi pada  Regresi  Poisson,  akan  dilanjutkan menganalisis  data  dengan  menggunakan metode Regresi Binomial Negatif.

## HASIL PENELITIAN

## Pembentukan Model Regresi Poisson
Dari  29  kemungkinan  yang  terbentuk dari pendekatan GLM menunjukkan bahwa seluruh kemungkinan model memiliki  nilai  devians  lebih  dari  1.Hal  ini menunjukkan adanya indikasi overdispersion pada Regresi Poisson.Keadaan overdispersion pada model  mengakibatkan  taksiran  parameter menjadi  bias.  Terdapat  8  nilai  devians terkecil dari 29 kemungkinan model diatas salah satunya yaitu model
μ =exp( β 0 + β 1 x 1+ β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 6 x 6 + β 7 x 7 )  dari model  tersebut  dapat  dijelaskan  bahwa konstanta  sebesar  2.7338  artinya  jika kondisi jalan lurus, tikungan, persimpangan  (4/3),  bundaran  dan  jalan berlubang  nilainya  0,  maka  korban kecelakaan lalu lintas pada faktor penyebab jalan nilainya sebesar 2.7338.

## Pengujian  Kesesuaian  Model  Regresi
Poisson
Dari tabel 2 di dibawah dapat diketahui bahwa  seluruh  nilai  devians  lebih  besar dari  nilai  chi-square.  Hal  ini  berarti kedelapan  model  Regresi  Poisson  tidak layak digunakan.

## Pengujian Overdispersion
Dari  tabel  3  didapat  kesimpulan  bahwa delapan  t wald diatas,  memiliki  nilai  yang lebih  besar  dari  Z (1- δ ) =  1.645  sehingga H 0 ditolak,  yang  berarti  bahwa  tidak terpenuhinya  asumsi  equidispersion  pada Regresi Poisson.

## Pengujian  Kesesuaian  Model  Regresi Binomial Negatif
Dari tabel 4 dapat diketahui bahwa nilai devians  dari  model  Regresi  Binomial Negatif    lebih  kecil  dibandingkan  dengan nilai  devians  dengan  menggunakan  model Regresi  Poisson.  Hal  ini  berarti  model Regresi  Binomial  Negatif  lebih  layak digunakan  dibandingkan  dengan  model Regresi  Poisson.  Dari  model  Regresi Binomial  Negatif  pada  tabel  4  juga  dapat dilihat  bahwa  seluruh  nilai  devians  lebih besar  dari  nilai  chi-square,  hal  ini menunjukkan  bahwa  seluruh  model  sesuai dengan model Regresi Binomial Negatif.

## Pengujian  parameter  Regresi  Binomial Negatif
Statistik  uji  yang  digunakan  dalam  uji hipotesis  ini  adalah  Uji  Wald  Chi-Square. Uji  Wald  Chi-square  akan  menolak hipotesis awal (H 0 ) jika W > 2 (1, ) . Nilai α = 0.05pada Uji Wald Chi-Square, didapatkan 2 (1, ) =  2.71.  Dari  tabel  5 terdapat  tiga  model  yang  memenuhi asumsi pengujian parameter Regresi Poisson  yaitu  model μ =  exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 )  dan μ =  exp( β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ).  Pemilihan  model  terbaik  pada Regresi  Binomial  Negatif    adalah  dengan melihat  nilai  devians  yang  terkecil.  Nilai devians  yang  terkecil  dari  ketiga  model diatas  adalah    19.6171  pada  pemodelan
fungsi
μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 )= exp(2.9239+0.0461X 3 +0.0587X 6 ).

## Tabel 2 Pengujian Kesesuaian Model Regresi Poisson
Tabel 3 Pengujian Overdispersion Tabel 4 Pengujian Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif Model ( ) β ˆ D db χ (db,5%) μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 109.1317 14 96.9528 7.7951 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 6 X 6 ) 108.9443     13 96.1921 8.3803 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 106.9947 13 91.6501 8.2304 μ = exp( β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 93.3812 13 78.4516 7.1832 μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 107.9483 13 95.8137 8.3037 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 92.8487 12 79.2488 7.7374 μ = exp( β 0 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 90.0980 12 76.1691 7.5082 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X) 84.9772 11 74.5298 7.7252 Model s.s.e(     ) t wald μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 0.2690 0.1152 2.335 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 6 X 6 ) 0.2403 0.1053 2.282 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 0.2499 0.1089 2.295 μ = exp( β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 0.2097 0.0966 2.171 μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 0.2566 0.1110 2.312 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 0.2092 0.0963 2.172 μ = exp( β 0 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 0.1737 0.0822 2.113 μ =exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X) 0.1621 0.0781 2.075
Model ( ) β ˆ D db χ (db,5%) μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 19.6171 14 13.0118 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 6 X 6 ) 19.6831 13 13.7491 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 19.6852 13 13.0118 μ = exp( β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 20.1070 13 13.6771 μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 19.6435 13 14.4533 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 20.0904 12 13.4521 μ = exp( β 0 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 20.0753 12 14.2722 μ =exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2+ β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X) 20.1235 11 14.8843
α ˆ α ˆ ( ) db / ˆ D β

## Tabel 5 Pengujian Parameter Regresi Binomial Negatif

## KESIMPULAN
Berdasarkan  data  kecelakaan  lalu  lintas di Kabupaten Blora pada tahun 2013  yang diperoleh dari data Laka Lantas SATLANTAS  POLRES  Blora,  yang  telah dianalisis  menggunakan  software  SAS 9.1.3 didapat kesimpulan sebagai berikut;
a. Kriteria jalan yang dapat mempengaruhi jumlah  kecelakaan  di  Kabupaten  Blora pada  tahun  2013  yaitu  interaksi  antara kriteria  jalan  persimpangan  (4/3)  dan jalan bundaran
b. Pemodelan faktor jalan yang mempengaruhi  jumlah  kecelakaan  di
Kabupaten  Blora  pada  tahun  2013 dengan  menggunakan  metode  Regresi
Poisson
adalah μ =exp( β 0 + β 1 x 1+ β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 6 x 6 + β 7 x 7 ) dari  model  tersebut  dapat  dijelaskan bahwa konstanta sebesar 2.7338 artinya jika  kondisi  jalan  lurus,  tikungan, persimpangan (4/3), bundaran dan jalan berlubang  nilainya  0,  maka  korban kecelakaan  lalu  lintas  pada  faktor penyebab jalan nilainya sebesar 2.7338.
c. Pemodelan faktor jalan yang mempengaruhi  jumlah  kecelakaan  di Kabupaten  Blora  pada  tahun  2013 dengan  menggunakan  metode  Regresi Binomial Negatif adalah
μ =exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 )= exp(2.9239+0.0461X 3 +0.0587X 6 ).
Interaksi  antara  variabel  persimpangan (4/3)  dan  variabel  jalan  bundaran merupakan  faktor  penyebab  terjadinya kecelakaan  di  setiap    Kecamatan  di Kabupaten  Blora.  Koefisien  regresi pada kondisi persimpangan (4/3) sebesar  0.0461  artinya  jika  korban kecelakaan  pada  persimpangan  (4/3) mengalami  kenaikan  satu  satuan,  maka korban  kecelakaan  pada  faktor  jalan akan  mengalami  kenaikan  sebesar 0.0461  satuan  dengan  asumsi  variabel prediktor lainnya bernilai tetap. Koefisien regresi variabel jalan bundaran  sebesar  0.0587  artinya  jika korban  kecelakaan  pada  jalan  bundaran mengalami  kenaikan  satu  satuan,  maka korban  kecelakaan  pada  faktor  jalan akan  mengalami  peningkatan  sebesar 0.0587  satuan  dengan  asumsi  variabel prediktor lainnya bernilai tetap.
d. Penggunaan  model  fungsi  hubungan pada  Regresi  Poisson  untuk  kasus kecelakaan  di  Kabupaten  Blora  pada tahu  2013  kurang  layak  di  gunakan  hal ini  di  buktikan  dengan  nilai  devians pada  model  Regresi  Poisson  yang sangat  besar,  penggunaan  Regresi Binomial Negatif lebih layak digunakan untuk  mengatasi  kasus  kecelakaan  di Kabupaten  Blora  dibandingkan  dengan
Model Uji Wald β 0 β 1 β 2 β 3 β 6 β 7 μ =exp( β 0 + β
3 X 3 + β 6 X 6 ) 274.26 5.90 10.22 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 6 X 6 ) 158.29 1.99 1.60 1.23 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 207.23 1.04 1.03  1.36 μ = exp( β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 6 X 6 ) 183.61 3.32  3.59 9.28 μ = exp( β 0 + β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 199.84 6.50 10.94 0.65 μ = exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2X2+ β 3X3+ β 6 X 6 ) 178.17 0.05 2.20  1.62 2.75 μ = exp( β 0 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + β 6 X 6 + β 7 X 7 ) 113.74 5.63  4.20 10.63 2.66 μ =exp( β 0 + β 1 X 1 + β 2X2+ β 3X3+ β 6 X 6 + β 7 X) 109.63 0.89 5.79  4.47 6.28 3.62
Regresi  Poisson,  hal  ini  dibuktikan dengan  nilai  devians  dari  pemodelan Regresi  Binomial  Negatif  yang  lebih mendekati 1.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Satlantas Kabupaten Blora, 2013, Data Kecelakaan Lalu Lintas,  Satuan  Lalu Lintas, Blora.
[2]  Nugroho,  Y.,  2008,  Pengembangan Model  untuk  MemperkirakanKinerja Keselamatan Jalan Tol Menggunakan Model Kombinasi Regresi Linier  dan stimasi Bayes, Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Diponegoro. [3]  Ismail,  N.,  &  Jemain,  A.A.,  2007, Handling Overdispersion with BinomialNegative and Generalized Poisson Regression Models, Casualty Actuarial  Society  Forum  Casualty Actuarial  Society – Arlington, Virginia: Winter, 103  -  158. http://www.casact.org/pubs/forum/07wf orum/07w109.pdf (20 April
2014).