## Partikel Dirac dalam Sumur Potensial Dinamis
Yuant Tiandho *
Fakultas Rekayasa Industri, Universitas Telkom Jl. Telekomunikasi No. 1, Terusan Buah Batu, Bandung, Indonesia
*e-mail: yuanttiandho@gmail.com

## Abstract
Infinite  square  well  potential  is  one  of  the  most  elementary  quantum  mechanical  system.  The calculation of this case is not too complicated, however, it can show the differences between quantum world  and  classical  world  with  clearly.  In  this  letter,  we  expand  the  discussion  about  the  infinite square  well  potential  for  dynamic  potential  well    by  involving  relativistic  corrections.  The  dynamic potential  is  defined  as  potential  wall  that  depend  on  time  because  the  potential  can  moving  with constant  velocity.  The  Dirac  equation  is  used  to  describe  condition  in  the  potential  well.  By  this consideration,  we  hope  the  result  will  be  useful  in  the  development  of  nanoelectronic  devices.  To obtain solution of probability density of Dirac particles that depend on space and time, we transform the  Dirac  equation  into  hyperbolic  coordinates  and  the  differential  equations  can  be  solved  by separation variables method.
Keywords: quantum relativistic, Dirac equation, time dependent potential

## PENDAHULUAN
Kajian  tentang  partikel  dalam  sumur potensial tak hingga (non-relativistik)
merupakan permasalahan yang umum dipelajari untuk memahami persamaan
Schrodinger.
Pembahasan ini cukup
sederhana dan dapat memberikan
aproksimasi  yang  cukup  baik  dari  beberapa permasalahan  untuk  sistem  kuantum  (Zettili, 2009).  Tetapi  apabila  pembahasan  diperluas untuk  potensial  yang  bergerak  atau  potensial yang bergantung waktu maka hal ini menjadi jauh lebih kompleks dan lebih sulit. Kasus ini pertama  kali  diusulkan  oleh  Fermi  untuk mempelajari  sinar  kosmik  yang  dipercepat (Fermi,  1949).  Beberapa  metode  yang  telah dilakukan untuk menyelesaikan kasus potensial  yang  bergantung  pada  waktu diantaranya  adalah:  path  integral  (Chetouani
& Guechi, 1989), second quantization (Oh, et al.,  1989), representasi  Heisenberg  (Ji,  et  al., 1995),  metode  invarian  (Lewis  Jr.  & Riesenfeld,  1969),  dan  transformasi  Lorentz (Hamil & Chetouani, 2016).
Adapun  untuk  permasalahan  sumur potensial  dinamis  yang  melibatkan  koreksi relativistik    saat  ini  belum  begitu  banyak dipelajari.  Padahal  tinjauan  tersebut  kelak akan  sangat  bermanfaat  dalam  berbagai aplikasi, khususnya dalam divais nanoelektronik  seperti graphene .  Pembawa muatan  dalam graphene mengikuti  dinamika pseudorelativistik dari partikel Dirac (Savel'ev,  et  al.,  2012).  Sehingga  beberapa konsekuensi  dari  hal  ini  misalkan  adalah terjadinya  fenomena Klein  tunneling yang awalnya hanya dikenal dalam teori mekanika kuantum  relativistik  (Katsnelson,  et  al.,
2006).  Berdasarkan  hal  tersebut,  maka dengan  mempelajari  kasus  sumur  potensial dinamis  untuk  partikel  Dirac  (relativistik) diharapkan  dapat  menambah  referensi  untuk proses  rekayasa  material graphene atau
berbagai divais nanoteknologi selanjutnya.
Di  dalam  makalah  ini,  sumur  potensial dinamis  dideskripsikan  sebagai  suatu  sumur potensial  tak  berhingga  yang  salah  satu dindingnya dapat bergerak dan partikel Dirac diasumsikan berada didalamnya. Kami menggunakan transformasi ke dalam koordinat  hiperbolik  agar  persamaan  Dirac dapat diselesaikan secara analitis menggunakan  metode  separasi  variabel. Solusi  yang  diperoleh  dari  kajian  ini  adalah gambaran  rapat  probabilitas  partikel  Dirac
dalam  sumur  potensial  sebagai  fungsi  ruang dan waktu. Di dalam pembahasan selanjutnya makalah  ini  menggunakan  sistem  satuan natural unit dimana ħ = c = 1.

## PARTIKEL  DIRAC  DALAM  SUMUR POTENSIAL STATIS
Sumur  potensial  digambarkan  sebagai suatu daerah yang dibatasi oleh suatu dinding potensial  tak  berhingga  dengan  bagian dalamnya  tidak  terdapat  potensial  eksternal. Di dalam sumur, kondisi partikel Dirac dapat dipandang  berada  pada  keadaan  bebas  ( free particle ).  Karena  dinding  potensial  memiliki nilai  yang  sangat  besar  maka  efek  tunneling tidak  akan  muncul.  Adapun  skema  dari sumur potensial ditunjukkan oleh Gambar 1.
Gambar 1 . Skema sumur potensial statis
Untuk  meninjau  kondisi  partikel  Dirac tak  bermassa  di  dalam  sumur  potensial digunakan persamaan Dirac sebagai berikut,
0       (1)
dimana   adalah  matriks  gamma  yang
memenuhi hubungan   , 2 I        
dengan   adalah invers metrik
Minkowskian dan I adalah matriks identitas.
Terdapat  banyak  variasi  matriks  gamma  dan di sini kami memilih matriks gamma sebagai,
0 1 0 1 0 1 ; 1 0 1 0                  (2)
Untuk  memperoleh  solusi  dari  persamaan tersebut,  maka  dapat  dilakukan  sedikit modifikasi persamaan,
  0           (3)   0           (4)
Pada  ruang-waktu  Minkowskian  perkalian antara  matriks  gamma  dengan  invers-nya akan  menghasilkan  nilai  1  jika    dan akan  bernilai  0  jika    .  Selain  itu, perkalian  antara  turunan  kovarian  dan kontravariannya  memenuhi  sifat  operator d’Alembert,  .
  2 0          (5) 0    (6)
Operator  d’Alembert  merupakan  generalisasi dari  operator  Laplacian  yang  berlaku  tidak hanya  untuk  koordinat  3D,  melainkan  juga untuk koordinat ruang-waktu. Secara
eksplisit  operator  d’Alembert  didefinisikan
sebagai, 2 2 2 2 t x           . Bentuk persamaan
Dirac  untuk  partikel  bebas  dalam  pers.  (6) memiliki  bentuk  yang  identik  dengan persamaan Klein-Gordon  yang berlaku untuk partikel  tak  berspin.  Untuk  tinjauan  non- relativistik  tampak  bahwa  solusi  persamaan Dirac  akan  kembali  pada  bentuk  persamaan Schrodinger.
Secara  ansatz,  fungsi  gelombang 
dapat  dinyatakan  sebagai           .  Tetapi
karena komponen  dan  akan menghasilkan  solusi  yang  analogi  maka
hanya  akan  dikaji  solusi  untuk  komponen  saja. Secara umum fungsi gelombang partikel Dirac  dapat  diuraikan  dalam  komponen waktu dan ruangnya,
    T t X x   (7)
Definisi  ini  dipilih  agar  persamaan  Dirac pada  pers.  (6)  dapat  diselesaikan  secara sederhana  dengan  menggunakan  metode separasi variabel. Melalui substitusi pers. (7) dalam  pers.  (6)  dan  membaginya  dengan TX maka akan diperoleh,
2 2 2 2 1 1 0 T X T t X x       (8)
Kemudian dengan menyatakan,
2 2 2
2 2 1 1 T X m T t X x        (9)
Maka  dapat  diperoleh  solusi  dari  persamaan diferensial untuk fungsi gelombang komponen waktu secara umum adalah,
      1 2 exp exp T t C imt C imt    (10)
Kedua suku pada solusi di atas (eksponensial positif dan  negatif) berkaitan dengan partikel (eksponensial negatif) dan anti-partikel (eksponensial  positif).  Adapun  solusi  untuk komponen ruang dapat dinyatakan sebagai,
      1 2 cos sin X x D mx D mx   (11)
Dengan  menerapkan  syarat  batas  yaitu  pada dinding  potensial 0 x  dan x L  tidak terdapat partikel Dirac, maka solusi komponen  ruang  di  atas  dapat  direduksi sebagai,
  sin X x D mx  (12)
dan  diperoleh n m
L   dimana 1, 2, 3,... n  .
Dengan  demikian,  secara  lengkap  fungsi gelombang  dari  partikel  dan  anti-partikel
Dirac adalah,
        exp sin exp sin n n m n C imt mx C imt mx          (13)
Di  dalam  persamaan  Dirac  persamaan kontinuitas didefinisikan sebagai,
. 0 J t       (14)
Tidak seperti persamaan Schrodinger, dimana
     ,  dalam  persamaan  Dirac  rapat
probabilitas dan rapat arus didefinisikan oleh,
    t t i J i                         (15)
Sehingga dengan asumsi rapat arus J =0 maka rapat probabilitas partikel dan antipartikel,
  2 2 sin n C m mx      (16)
Dengan melakukan normalisasi rapat probabilitas  fungsi  gelombang  di  atas  maka kami  dapat  menyimpulkan  bahwa  konstanta
n C adalah,
2 n C mL   (17)
(a) (b) (c) (d)
Gambar 2 .   Rapat  probabilitas  partikel n   pada  empat  keadaan  terendah  dalam  sumur potensial ( 1) L  .
Sehingga  secara  eksplisit  fungsi  gelombang dalam pers. (13) dapat dituliskan sebagai,
2 exp sin n in t n x
n L L  
                 (18)
Apabila rapat probabilitas yang telah diperoleh dalam persamaan (16) diplot dalam grafik  sebagai  fungsi  ruang  maka  tampak seperti  pada  Gambar  2.  Jika  diperhatikan hasil  yang  telah  diperoleh  ini  memiliki bentuk grafik yang analogi dengan solusi dari
rapat probabilitas untuk persamaan Schrodinger.

## PARTIKEL  DIRAC  DALAM  SUMUR POTENSIAL DINAMIS
Sumur  potensial  tak  berhingga  dinamis yang  ditinjau  dalam  makalah  ini  adalah sumur potensial dengan salah satu dindingnya  bergerak  secara  konstan  dengan kecepatan v. Secara  sederhana  skema  dari kondisi tersebut tampak pada Gambar 3.
Gambar 3 . Skema sumur potensial tak berhingga non-statis dengan kecepatan v .
Agar persamaan Dirac dapat
diselesaikan dengan metode separasi variabel maka dibutuhkan transformasi koordinat ( t , x ) menjadi  koordinat  hiperbolik  ( α , β )  yang didefinisikan sebagai,
2 t x d d dt dx d d t x dt dx     
            
      (19)
Sehingga dengan mengalikan kedua persamaan di atas maka dapat diperoleh,
2 2 2 2 2 2 d d dt dx        (20)
dan interval garis dapat dituliskan sebagai,
2 2 2 2 2 ds d d       (21)
Berdasarkan  definisi  interval  garis  di  atas maka  dapat  disimpulkan  metrik  tensor  dan invers metrik tensornya adalah,
2 2 2 2 1 0 1 0 ; 0 0                               g g (22)
Karena telah dilakukan transformasi ke dalam  koordinat  hiperbolik  maka  untuk menghitung  solusi  partikel  Dirac  (tak bermassa) dalam sumur potensial tak berhingga  non-statis  digunakan  persamaan
Dirac yang berlaku untuk sembarang koordinat yaitu,
0 D       (23)
dimana a a e       dengan a e  adalah  tetrad yang memenuhi hubungan antara metrik g 
dengan  metrik  Minkowski, a b ab g e e      .
Adapun  turunan  kovarian  didefinisikan  oleh
4 ab ab i D         dengan ab   adalah
koneksi  spin  dan   , ab a b     .  Berdasarkan
definisi  metrik  tensor  pada  pers.  (22)  maka tetrad dan inversnya dapat dituliskan sebagai,
1 0 1 0 ; 0 0     

                      a a e e (24)
dan matriks gamma    diberikan oleh,
0 1 0 1 ; 1 0 1 0                        (25)
dimana  matriks  gamma  tersebut  memenuhi syarat   , 2 g I        
Seperti  pada  kasus  sumur  potensial  statis, persamaan  Dirac  pada  pers.  (23)  juga  dapat dituliskan sebagai,
  2 0 0 D D                    (26)
sehingga D D   dapat  didefinisikan  sebagai operator  Laplace-Beltrami  yang  merupakan generalisasi  dari  operator  Laplace  dan didefinisikan oleh,
  2 1 f g g f g          (27)
dengan det g g   .  Dengan  demikian operator  Laplace-Beltrami  koordinat  ( α , β ) adalah,
    2 2 1     
              (28)
Secara  ansatz  fungsi  gelombang  dapat didefinisikan memiliki dua komponen
          sehingga  persamaan  Dirac  di  atas secara eksplisit dapat dituliskan sebagai,
        2 2 1 0 1 0                                   (29)
Tetapi    dalam  makalah  ini  kami  hanya mengkaji komponen  saja karena komponen  memiliki  solusi  yang  analogi.
Dengan mengurai fungsi gelombang sebagai,
    A B     (30)
dikalikan  dengan 2  dan 1 / AB  maka  pers.
(29) dapat dinyatakan sebagai,
    0 a b A B A B             (31)
Dengan  demikian  pers.  (31)  dapat  diperoleh solusinya melalui metode separasi variabel,
    2 A B k A B                (32)
yang memiliki solusi berupa,
            1 2 3 4 exp ln exp ln exp ln exp ln   
         A C ik C ik B C ik C ik (33)
Adapun  pada  syarat  batas  dinding  sumur potensial  maka  fungsi  gelombang  akan lenyap.  Dengan  mengalikan  kedua  pers.  (19) akan  diperoleh 2 t x t x     .  Untuk  dinding sebelah  kiri  yang  statis  pada 0 t t  dan 0 x  maka 2 1 L   sehingga  dipenuhi  kondisi
3 4 C C   dan  solusi  fungsi  gelombang bagian koordinat  adalah,     sin ln B Y k    (34)
Sedangkan dengan menggunakan syarat batas pada  dinding  sebelah  kanan  yang  memenuhi
    0 0 x L t L v t t     maka,
2 1 1 R v v     (35)
dan dapat disimpulkan,
ln n R n k    (36)
Dari  persamaan  di  atas  tampak  bahwa kecepatan  maksimum  dari  dinding  potensial adalah 1. Hal ini berkaitan dengan penggunaan sistem satuan natural unit c = 1.
Sehingga  pada  penggunaan  praktis  perlu dilakukan penskalaan nilai kecepatan dinding potensial v terhadap  nilai c. Dengan  definisi
2 2 2 t x    maka  secara  eksplisit  fungsi gelombang  pada  pers.  (30)  dapat  dituliskan sebagai,
            exp ln sin ln exp ln sin ln n
R X ik n Y ik n               (37)
Apabila dalam kotak potensial yang bergerak tidak  terdapat  arus  probabilitas 0 J  maka dapat dilakukan normalisasi,
3 1 d x    (38)
dimana rapat probabilitas yang berlaku dalam koordinat   ,   adalah,
  R L n m m n mn i d                    (39)
dan fungsi eigennya adalah,
    exp ln sin ln m m m m
X ik k        (40)
Melalui substitusi pers. (40) dengan menyesuaikan  konjugatnya  maka  untuk partikel m   akan diperoleh,
  2 2 2 sin ln 1 R L m m m d k X k         (41)
dan dapat disimpulkan,
1 m X n    (42)
Sedangkan  dengan  cara  yang  sama  fungsi gelombang anti-partikel m   diperoleh,
1 m X n     (43)
Secara eksplisit, rapat probabilitas dari fungsi gelombang  partikel m   pada  pers.  (40)  dapat didefinisikan sebagai,
  2 2 sin ln m m k k m     (44)
Sehingga  apabila  diplot  dalam  grafik  rapat probabilitasnya  tampak  seperti  pada  Gambar
4.  Melalui  skema  tersebut  tampak  bahwa grafik  rapat  probabilitas  akan  memiliki  jarak yang makin rapat pada area yang makin dekat dengan dinding yang bergerak. Adapun untuk nilai  rapat  probabilitasnya  lebih  rendah dibandingkan  dengan  area  yang  berdekatan dengan dengan dinding yang diam. (a) (b) (c) (d)
Gambar 4 . Rapat probabilitas fungsi gelombang partikel m   pada empat keadaan terendah
terhadap fungsi ruang dan waktu ( 0.5) v  .

## KESIMPULAN
Di  dalam  makalah  ini  kami  telah menunjukkan bahwa tinjauan sumur potensial dinamis  untuk  persamaan  Dirac  dapat diselesaikan secara sederhana melalui transformasi  ke  dalam  koordinat  hiperbolik. Implikasi  dari  penggunaan  dinding  potensial
yang  bergantung waktu adalah  menyebabkan rapat  probabilitas  partikel  Dirac  yang diperoleh  juga  turut  bergantung  pada  waktu (selain  bergantung  pada  ruang).  Perubahan rapat  probabilitas  terhadap  waktu  muncul akibat  adanya  perubahan  lebar  sumur potensial.  Semakin  lama  dinding  potensial
bergerak  maka  semakin  lebar  pula  celah sumur potensial sehingga menyebabkan rapat probabilitasnya  pun  akan  semakin  landai.  Di dekat  dinding  yang  dapat  bergerak  rapat probabilitas  partikel  Dirac  lebih  fluktuatif dibandingkan  di  area  dinding  yang  diam.
Melalui  kesimpulan  ini  maka  menarik  untuk memanfaatkan  hasil  perhitungan  teoritis  ini dalam aplikasi nanoteknologi.

## DAFTAR PUSTAKA
Chetouani, L. & Guechi, L. 1989.
Generalized  canonical  transformations and  path  integrals. Physical  Review  A
40(3): 1157-1164.
Fermi,  E.  1949. On  the  origin  of  the  cosmic
radiation .  Physical  Review  75(8):
1169-1174.
Hamil,  B  &  Chetouani,  L.  2016. Moving
potential  for  Dirac  and  Klein-Gordon
equations .  Pramana  Journal  of  Physics
86(4): 737-746.
Ji,  J.  Kim,  J.  &  Kim,  S.  1995. Heisenberg- picture  approach  to  the  exact  quantum motion  of  a  time-dependent  harmonic oscillator .  Physical  Review  A  51(5):
3767-3772.
Katsnelson,  M.,  Novoselov,  K.  &  Geim,  A.
2006. Chiral  tunneling  and  the  Klein paradox  in  graphene .  Nature  Physics
2(9): 620-625.
Lewis  Jr.,  H.  &  Riesenfeld,  W.  1969. An exact  quantum  theory  of  the  time- dependent  harmonic  oscillator  of  a charged  particle  in  a  time-dependent electromagnetic field . Journal of
Mathematical  Physics  10(8)L  1458-
1473.
Oh,  H.  G.,  Lee,  H.  R.,  George,  T.  F.  &  Um,
C.  I.  1989. Exact  wave  functions  and coherent  states  of  a  damped  driven harmonic  oscillator .  Physical  Review
A 39(11): 5515-5522.
Savel’ev, S., Hausler, W. & Hanggi, P. 2012.
Current  resonances  in  graphene  with time-dependent potential barriers .
Physical Review Letters 109: 22602(1)- 226602(5).
Zettili,  N.  2009. Quantum  mechanics: concepts and applications (2nd
edition ).  United  Kingdom:  John  Wiley
& Sons, Ltd.