Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61

## MODEL OLIGOPOLI DENGAN FUNGSI HARGA DAN BIAYA YANG LINIER
*1 Muhammad Afief Balya, 2 Yuni Yulida, 3 Aprida Siska Lestia
*1 Alumni Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
2 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
3 Program Studi Statistika, Fakultas MIPAUniversitas Lambung Mangkurat
Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
* Email: afiefbalya574@gmail.com

## ABSTRAK
Pasar  merupakan tulang punggung perekonomian masyarakat, baik masyarakat dikalangan kelas bawah maupun kelas atas . Salah satu jenis pasar yaitu pasar oligopoli. Oligopoli menggambarkan suatu pasar dimana penawaran satu jenis barang dikuasai oleh beberapa perusahaan. Pada teori oligopoli terdapat beberapa model, salah satunya model Cournot. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan terbentuknya model Cournot oligopoli dengan fungsi harga dan biaya yang linier, menentukan best response dari model Cournot oligopoli, menjelaskan terbentuknya model proses penyesuaian dinamis dengan fungsi harga dan biaya yang linier, serta menganalisa kestabilan proses penyesuaian dinamis dengan fungsi harga dan biaya yang linier. Pada penelitian ini digunakan fungsi penerimaan dan fungsi biaya yang diselisihkan untuk membentuk model Cournot oligopoli berupa fungsi keuntungan dan diturunkan satu kali untuk mencari titik kritis yang merupakan best response . Selanjutnya, proses penyesuaian dinamis muncul dengan menggunakan skema penyesuaian Cournot serta analisis kestabilan dengan menggunakan determinan matriks khusus dan polinomial karakteristik. Hasil dari penelitian ini didapatkan model Cournot oligopoli berupa fungsi keuntungan, terdapat tiga best response yang salah satunya menjadi titik ekuilibrium, muncul proses penyesuaian dinamis, dan titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal.
Kata Kunci : Cournot oligopoli, best response , proses penyesuaian, kestabilan.

## 1. PENDAHULUAN
Pasar merupakan tulang punggung perekonomian masyarakat, baik masyarakat dikalangan kelas bawah maupun kelas atas. Salah satu jenis pasar yaitu pasar oligopoli. Pada teori oligopoli terdapat berbagai model, salah satunya model Cournot. Model Cournot klasik juga dikenal sebagai model oligopoli produk tunggal tanpa diferensiasi produk. Asumsi utama dari model ini adalah jika perusahaan telah menentukan kuantitas produk, maka perusahaan tersebut tidak akan mengubahnya. Atas dasar inilah perusahaan pesaingnya juga  akan menentukan  kuantitas produknya [2]. Pada model  Cournot membahas best response dan analisis titik ekuilibrium dari best response itu sendiri, dimana best response terkait pada fungsi keuntungan perusahaan. Best response diperoleh dari fungsi keuntungan perusahaan dimana diasumsikan fungsi harga dan biayanya linier [1]. Oleh karena itu, model yang akan dibahas pada artikel ini merujuk pada penelitian Zhao  –  Szidarovszky (2008)  yang mebahas model oligopoli n – perusahaan dengan biaya penyesuaian produksi dimana best response dan analisis titik ekuilibrium ditentukan [6].
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk
Interaksi fungsi permintaan 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑃𝑃 𝑑𝑑 dan fungsi penawaran 𝑄𝑄 𝑠𝑠𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝑃𝑃 𝑑𝑑 sering disebut keseimbangan pasar satu macam produk. Karena baik fungsi permintaan maupun  fungsi penawaran hanya mempunyai satu variabel bebas.
Keseimbangan pasar ini akan menciptakan harga dan kuantitas keseimbangan di pasar. Syarat untuk mencapai keseimbangan pasar ini adalah kuantitas produk yang diminta oleh konsumen harus sama dengan kuantitas produk yang ditawarkan oleh produsen ( 𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑄𝑄 𝑠𝑠𝑑𝑑 ) . Keseimbangan  pasar secara aljabar dapat diperoleh dengan mengerjakan sistem persamaan linier antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran secara simultan. Sedangkan secara geometri ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva permintaan dan kurva penawaran [3].

## 2.2 Fungsi Utilitas
Utilitas didefinisikan sebagai tingkat kepuasan tertentu yang diperoleh seorang konsumen dari mengkonsumsi sejumlah barang –  barang tertentu. Jika 𝑞𝑞 1 , 𝑞𝑞 2 , ⋯ , 𝑞𝑞 𝑛𝑛 menunjukkan barang –  barang yang dikonsumsi oleh konsumen, maka fungsi utilitas dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑈𝑈 ( 𝑞𝑞 1 , 𝑞𝑞 2 , ⋯ , 𝑞𝑞 𝑛𝑛 ) . Konsumen melakukan konsumsi untuk mendapatkan utilitas. Jika konsumen merasa puas dengan suatu produk maka akan ada kecenderungan untuk mengkonsumsi lebih banyak. Asumsi ini dapat diartikan bahwa marginal utilitas dari konsumsi adalah positif, yaitu menambahkan konsumsi akan meningkatkan utilitas. Asumsi lain adalah bahwa marginal utilitas dari konsumsi sifatnya menurun, yaitu peningkatan utilitas untuk konsumsi yang sama akan semakin lebih kecil dari sebelumnya [3].

## 2.3 Fungsi Surplus Konsumen
Dalam ekonomi, surplus dibagi menjadi dua, yaitu surplus produsen dan surplus konsumen. Surplus konsumen adalah kepuasan tambahan yang diperoleh oleh konsumen dari pembayaran harga suatu produk yang lebih rendah dari harga dimana konsumen bersedia untuk membayarnya. Dengan kata lain, surplus konsumen adalah selisih antara harga maksimum dimana konsumen bersedia untuk membayarnya dengan harga sebenarnya yang harus dibayar. Secara matematis, fungsi surplus konsumen dapat ditulis sebagai berikut:
𝑆𝑆 𝑑𝑑 = 𝐵𝐵 𝑑𝑑 − 𝑃𝑃 𝑑𝑑 . 𝑞𝑞 𝑑𝑑 ...(1)
dimana: 𝑆𝑆 𝑑𝑑 = surplus konsumen untuk produk 𝑥𝑥 𝐵𝐵 𝑑𝑑 = harga dimana konsumen bersedia untuk membayar untuk produk 𝑥𝑥 𝑃𝑃 𝑑𝑑 = harga produk 𝑥𝑥 𝑞𝑞 𝑑𝑑 = kuantitas produk 𝑥𝑥 yang dikonsumsi oleh konsumen

## 2.4 Fungsi Biaya
Semua biaya yang dikeluarkan oleh produsen atau perusahaan untuk menghasilkan barang atau jasa disebut biaya total. Biaya total menurut penggunaan input terdiri dari Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) dan  Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost). Biaya Tetap Total adalah biaya yang tidak berubah  –  ubah nilainya, walau berapapun jumlah barang yang diproduksi,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61
sedangkan  Biaya Variabel Total adalah biaya yang berubah –  ubah jika jumlah yang diproduksi berubah. Secara matematis rumus biaya total dapat ditulis menjadi:
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 + 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 ...(2)
dimana:
𝑇𝑇𝑇𝑇 = Biaya Total (Total Cost)
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost)

## 2.5 Fungsi Penerimaan
Penerimaan hasil penjualan merupakan fungsi dari jumlah produk yang terjual. Penerimaan total ( total revenue ) adalah hasil kali jumlah produk yang terjual dengan harga jual per unit. Penerimaan umumnya bersifat linier, karena tidak ada alasan mengapa penerimaan menurun bila produksi meningkat, kecuali bila harga jual menurun karena produksi meningkat. Secara matematis, penerimaan total dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 ∗ . 𝑄𝑄 ∗ ...(3)
dimana:
𝑇𝑇𝑇𝑇 = penerimaan total
𝑃𝑃 ∗ = harga jual produksi 𝑄𝑄 ∗ = kuantitas produk yang terjual

## 2.6 Titik Kritis
Diberikan teorema turunan sebagai berikut :

## Teorema 2.1 [5]
Misalkan 𝑓𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼𝐼 yang  memuat  titik 𝑐𝑐 . Jika 𝑓𝑓 ( 𝑐𝑐 ) adalah nilai esktrim, maka 𝑐𝑐 haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, 𝑐𝑐 adalah salah satu dari
(i) titik ujung dari 𝐼𝐼 ,
(ii) titik stasioner dari 𝑓𝑓 ; yakni titik dimana 𝑓𝑓′ ( 𝑐𝑐 ) = 0 , atau
(iii) titik singular dari 𝑓𝑓 ; yakni titik dimana 𝑓𝑓′ ( 𝑐𝑐 ) tidak ada.

## 2.7 Sistem Persamaan Diferensial Linier Nonhomogen
Bentuk  sistem persamaan diferensial linier nonhomogen dengan waktu diskrit sebagai berikut :
𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 11 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑎𝑎 12 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 ) + ⋯ + 𝑎𝑎 1𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑏𝑏 1 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 21 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑎𝑎 22 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 ) + ⋯ + 𝑎𝑎 2𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑏𝑏 2 ⋮ ...(4)
𝑥𝑥 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 𝑛𝑛1 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑎𝑎 𝑛𝑛2 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 ) + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑏𝑏 𝑛𝑛 dengan koefisien 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 , ( 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛 ) , merupakan konstanta riil.
Persamaan (4) dapat ditulis menjadi:
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑨𝑨𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) + 𝒃𝒃 ...(5)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61
dengan 𝑨𝑨 = � 𝑎𝑎 11 𝑎𝑎 12 ⋯ 𝑎𝑎 1𝑛𝑛 𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 22 ⋯ 𝑎𝑎 2𝑛𝑛 ⋮ 𝑎𝑎 𝑛𝑛1 ⋮ 𝑎𝑎 𝑛𝑛2 ⋱ ⋯ ⋮ 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 � , 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ) = � 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) � , dan 𝒃𝒃 = � 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 ⋮ 𝑏𝑏 𝑛𝑛 �

## 2.8 Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium 𝒙𝒙� dari persamaan (5) harus memenuhi persamaan berikut : 𝒙𝒙� = 𝑨𝑨𝒙𝒙� + 𝒃𝒃 ...(6)

## 2.9 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan definisi nilai eigen dan vektor eigen sebagai berikut :
Definisi 2.2 [4]
Suatu skalar 𝜆𝜆 disebut nilai eigen dari matriks 𝑨𝑨 berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 jika terdapat vektor 𝒙𝒙 tak nol sedemikian sehingga
𝑨𝑨𝒙𝒙 = 𝜆𝜆𝒙𝒙
...(7)
dimana vektor 𝒙𝒙 yang sesuai dikatakan sebagai vektor eigen dari matriks 𝑨𝑨 . Untuk nilai 𝜆𝜆 yang diberikan, persamaan (7) ekuivalen dengan persamaan linier homogen sebagai berikut:
( 𝑨𝑨 − 𝜆𝜆𝑰𝑰 ) 𝒙𝒙 = 0 ...(8)
dengan 𝑰𝑰 matriks identitas.
Persamaan (8) memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑨𝑨 − 𝜆𝜆𝑰𝑰 ) = 0
...(9)
Persamaan ini disebut dengan persamaan karakteristik dari 𝑨𝑨 . Kemudian diberikan teorema sebagai berikut :
Teorema 2.3 [4] Setiap matriks 𝑨𝑨 berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 setidaknya memiliki satu nilai eigen dan vektor eigen tak nol yang sesuai.

## 2.10 Determinan Matriks Khusus
Determinan matriks khusus digunakan untuk mempermudah dalam memperoleh nilai eigen. Bentuk determinan matriks khusus sebagai berikut: Misalkan diberikan matriks
𝑪𝑪 = � 𝑎𝑎 1 𝑏𝑏 1 ⋯ 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑏𝑏 2 ⋮ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ⋮ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ⋱ ⋯ ⋮ 𝑎𝑎 𝑁𝑁 � ...(10)
Kemudian diberikan persamaan karakteristik dari matriks 𝑪𝑪 sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑪𝑪 − 𝜆𝜆𝑰𝑰 ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝑎𝑎 1 − 𝜆𝜆 𝑏𝑏 1 ⋯ 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎 2 − 𝜆𝜆 ⋯ 𝑏𝑏 2 ⋮ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ⋮ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ⋱ ⋯ ⋮ 𝑎𝑎 𝑁𝑁 − 𝜆𝜆 �
Atau dapat dinyatakan:
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 ( 𝑪𝑪 − 𝜆𝜆𝑰𝑰 ) = ∏ ( 𝑎𝑎 𝑘𝑘 − 𝑏𝑏 𝑘𝑘 − 𝜆𝜆 ). 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 � 1 + ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 −𝑏𝑏 𝑘𝑘 −𝜆𝜆 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 � ...(11)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61

## 2.11 Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan titik ekuilibrium pada sistem dapat dilakukan melalui teorema sebagai berikut :
Teorema 2.4 [4] Syarat perlu dan cukup agar titik ekuilibrium dari sistem (5) menjadi stabil asimtotik adalah nilai – nilai eigen dari 𝑨𝑨 semuanya memiliki nilai mutlak kurang dari satu. Jika terdapat satu nilai eigen yang memiliki nilai mutlak lebih dari satu, maka titik ekuilibrium tidak stabil.

## 3. METODOLOGI
Metode yang digunakan  bersifat  literatur, dengan prosedur penelitian sebagai berikut:
1. Menjelaskan terbentuknya model cournot oligopoli dengan fungsi harga dan biaya yang linier.
2. Menentukan best respons dari model cournot oligopoli.
3. Menjelaskan terbentuknya model proses penyesuaian dinamis dengan fungsi harga dan biaya yang linier.
4. Menganalisa kestabilan proses penyesuaian dinamis dengan fungsi harga dan biaya yang linier.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Model Cournot Klasik Oligopoli
Diberikan suatu industri terdiri atas 𝑁𝑁 buah perusahaan yang memproduksi produk yang homogen. Selanjutnya, asumsi-asumsi yang digunakan untuk model Cournot klasik oligopoli sebagai berikut:
1. 𝑥𝑥 𝑘𝑘 menyatakan kuantitas produk dari perusahaan 𝑘𝑘 ; ( 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑁𝑁 ) , 2. 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓 ( ∑ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 ) menyatakan  fungsi harga  yang  bergantung pada kuantitas produk total dari industri,
3. fungsi utilitas berupa 𝑈𝑈 ( 𝑞𝑞 ) = 𝑎𝑎𝑞𝑞 − 1 2 𝑏𝑏𝑞𝑞 2 ; ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 > 0) ,
4. fungsi surplus konsumen berupa 𝑆𝑆 ( 𝑞𝑞 ) = 𝑎𝑎𝑞𝑞 − 1 2 𝑏𝑏𝑞𝑞 2 − 𝑝𝑝𝑞𝑞 ; ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 > 0) ,
5. 𝑄𝑄 = ∑ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 menyatakan  total  kuantitas produk yang ditawarkan/disediakan oleh 𝑁𝑁 buah perusahaan dalam industri,
6. 𝑄𝑄 𝑘𝑘 = ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 menyatakan total kuantitas produk dari perusahaan pesaing (lain) dalam industri yang sama. Sehingga dapat dinyatakan bahwa 𝑄𝑄 = 𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑄𝑄 𝑘𝑘 , 7. 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) menyatakan  biaya perusahaan 𝑘𝑘 yang  bergantung pada kuantitas produknya sendiri dan juga bergantung pada total  kuantitas produk dari perusahaan pesaing dalam industri yang sama.
Untuk  mencapai 𝑆𝑆 ( 𝑞𝑞 ) yang  maksimum,  maka  akan ditentukan 𝑞𝑞 yang memaksimumkan 𝑆𝑆 ( 𝑞𝑞 ) yaitu diperoleh
𝑞𝑞 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 1 𝑏𝑏 𝑝𝑝 ...(12)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61
Persamaan (12) menunjukkan permintaan konsumen secara individu pada harga 𝑝𝑝 . Jika terdapat 𝑛𝑛 konsumen yang heterogen, maka persamaan (12) menjadi 𝑞𝑞 𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 − 1 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑝𝑝 . Sehingga permintaan total untuk 𝑛𝑛 konsumen menjadi
𝐷𝐷 = ∑ 𝑞𝑞 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 − ∑ 1 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ...(13)
Kemudian jika asumsi (5) dan persamaan (13) sama  maka  menghasilkan fungsi harga berupa
𝑝𝑝 = 𝑓𝑓 ( 𝑄𝑄 ) = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝑄𝑄
...(14)
Berdasarkan asumsi (6) dan (7) dapat diperoleh fungsi keuntungan secara umum berupa
𝜑𝜑 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) − 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) ...(15)
Dari persamaan (15) dapat dibentuk Best response yang  dinyatakan  sebagai berikut
𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = �𝑥𝑥 𝑘𝑘 �𝑥𝑥 𝑘𝑘 = arg max 0≤𝑑𝑑 𝑘𝑘 ≤𝐿𝐿 𝑘𝑘 { 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) − 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑄𝑄 𝑘𝑘 )} � ...(16) dengan 𝐿𝐿 𝑘𝑘 adalah batas kapasitas produk dari perusahaan 𝑘𝑘 .

## 4.2 Model Cournot Klasik Oligopoli Dengan Fungsi Harga dan Biaya yang
Linier
Adapun asumsi yang digunakan pada model ini sebagai berikut
1. fungsi harga memiliki dua kemungkinan nilai yaitu
𝑝𝑝 = 𝑓𝑓 ( 𝑄𝑄 ) = � 0 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝑄𝑄 𝑓𝑓 ( 𝑄𝑄 ) = 0 saat 𝑄𝑄 ≥ 𝐴𝐴 𝐵𝐵 dan 𝑓𝑓 ( 𝑄𝑄 ) = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝑄𝑄 saat 𝑄𝑄 < 𝐴𝐴 𝐵𝐵 , 2. fungsi biaya berupa 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = 𝑑𝑑 𝑘𝑘 + 𝑐𝑐 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ;  1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁 .
Berdasarkan asumsi (1) dan (2), maka fungsi keuntungan dapat diperoleh sebagai berikut
𝜑𝜑 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝑄𝑄 𝑘𝑘 − 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) − ( 𝑑𝑑 𝑘𝑘 + 𝑐𝑐 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘 )   jika 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 𝑘𝑘 < 𝐴𝐴 𝐵𝐵 − ( 𝑑𝑑 𝑘𝑘 + 𝑐𝑐 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘 )                                          jika 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 𝑘𝑘 > 𝐴𝐴 𝐵𝐵 ...(17)
Untuk memaksimumkan fungsi keuntungan pada persamaan (17), digunakan turunan pertama terhadap 𝑥𝑥 𝑘𝑘 menjadi
𝑑𝑑𝜑𝜑 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘 = � 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝑄𝑄 𝑘𝑘 − 2 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑐𝑐 𝑘𝑘 jika 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 𝑘𝑘 < 𝐴𝐴 𝐵𝐵 −𝑐𝑐 𝑘𝑘 jika 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 𝑘𝑘 > 𝐴𝐴 𝐵𝐵 ...(18)
Selanjutnya, best response dapat diperoleh dengan menggunakan Teorema  2.1 sebagai berikut
𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0, jika 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ≥ 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝐿𝐿 𝑘𝑘 , jika 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ≤ 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 −2𝐵𝐵𝐿𝐿 𝑘𝑘 𝐵𝐵 − 1 2 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 2𝐵𝐵 , lainnya
...(19)

## 4.3 Proses Penyesuaian Dinamis
Sistem dinamis terbentuk karena adanya hubungan saling mempengaruhi antara perusahaan satu dengan perusahaan yang lain dalam hal penentuan kuantitas produk yang diproduksi. Dengan kata lain, perubahan kuantitas produk dari satu perusahaan akan diikuti perubahan kuantitas produk oleh perusahaan
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61
lain. Oleh karena itu, tidak akan ada perusahaan yang terus – menerus berada pada kondisi ekuilibrium dan dari sini lah, proses dinamis muncul. Model dari hasil proses dinamis bergantung pada skala waktu dan cara perusahaan dalam menyesuaikan perubahan kuantitas produk.
Adapun asumsi yang digunakan dalam proses penyesuaian dinamis sebagai berikut
1. 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑇𝑇 𝑘𝑘 �𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 + 1) � , dimana 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) menyatakan  kuantitas produk dari perusahaan 𝑘𝑘 untuk periode waktu 𝑡𝑡 + 1 dan 𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 + 1) menyatakan total kuantitas produk dari perusahaan lain dalam industri yang sama  yang diharapkan oleh perusahaan − 𝑘𝑘 untuk periode waktu 𝑡𝑡 + 1 , 2. 𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 + 1) = ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 , dimana ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 menyatakan total kuantitas produk dari perusahaan lain dalam industri yang sama untuk periode waktu 𝑡𝑡 ,
3. terdapat 𝑎𝑎 𝑘𝑘 yang menyatakan laju penyesuaian perusahaan 𝑘𝑘 .
Dengan menggunakan asumsi (3), asumsi (2) dapat berubah menjadi
𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑎𝑎 𝑘𝑘 �∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 − 𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) � ...(20)
Kemudian dengan menggunakan persamaan  (20), maka asumsi (1) berubah menjadi
𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑡𝑡 ) + (1 − 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ) 𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 ) ⟺ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝑘𝑘 �∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) � + (1 − 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ) 𝑇𝑇 𝑘𝑘 �𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) � ...(21)
Berdasarkan asumsi (1), karena 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑇𝑇 𝑘𝑘 �𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 + 1) � maka berlaku pula 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑇𝑇 𝑘𝑘 �𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) � . Sehingga persamaan (21) dapat ditulis kembali menjadi
𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝑘𝑘 �∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) � + (1 − 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) ...(22)
dengan 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ∈ (0,1] .
4.4 Proses Penyesuaian Dinamis Dengan Fungsi Harga dan Biaya yang Linier
Pada best response yang sudah diperoleh, maka yang akan diselidiki dan digunakan  pada proses penyesuaian dinamis yaitu 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = − 1 2 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 2𝐵𝐵 yang juga merupakan titik ekuilibrium. Karena 𝑄𝑄 𝑘𝑘 = ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) , maka 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ( 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = − 1 2 𝑄𝑄 𝑘𝑘 + 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 2𝐵𝐵 dapat disubstitusikan ke persamaan (22) menjadi
𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 𝑘𝑘 �− 1 2 ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 2𝐵𝐵 � + (1 − 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) ...(23)
Dari persamaan (23) dengan 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑁𝑁 , maka berdasarkan persamaan (5) dapat dibentuk
� 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 + 1) 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 + 1) ⋮ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑡𝑡 + 1) � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 − 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 1 2 ⋯ − 𝑎𝑎 1 2 − 𝑎𝑎 2 2 1 − 𝑎𝑎 2 ⋯ − 𝑎𝑎 2 2 ⋮ − 𝑎𝑎 𝑁𝑁 2 ⋮ − 𝑎𝑎 𝑁𝑁 2 ⋱ ⋯ ⋮ 1 − 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ � 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 ) ⋮ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑡𝑡 ) � + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎𝑎 1 � 𝐴𝐴−𝑐𝑐 1 2𝐵𝐵 � 𝑎𝑎 2 � 𝐴𝐴−𝑐𝑐 2 2𝐵𝐵 � ⋮ 𝑎𝑎 𝑁𝑁 � 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑁𝑁 2𝐵𝐵 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ...(24)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61

## 4.5 Analisa Kestabilan
Jika diberikan matriks sebagai berikut
𝑯𝑯 = � 1 − 𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 ⋯ 𝑟𝑟 1 𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 1 − 𝑎𝑎 2 ⋯ 𝑟𝑟 2 𝑎𝑎 2 ⋮ 𝑟𝑟 𝑁𝑁 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ⋮ 𝑟𝑟 𝑁𝑁 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ⋱ ⋯ ⋮ 1 − 𝑎𝑎 𝑁𝑁 � ...(25)
Dengan menggunakan persamaan (11), maka dapat diperoleh determinan matriks diatas yang berupa polinomial karakteristik sebagai berikut
∏ (1 − 𝑎𝑎 𝑘𝑘 (1 + 𝑟𝑟 𝑘𝑘 ) − 𝜆𝜆 ). 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 � 1 + ∑ 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 1−𝑎𝑎 𝑘𝑘 ( 1+𝑟𝑟 𝑘𝑘 ) −𝜆𝜆 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 � = 0 ...(26)
Karena diasumsikan bahwa − 1 < 𝑟𝑟 𝑘𝑘 ≤ 0 dan 𝑎𝑎 𝑘𝑘 > 0 untuk semua 𝑘𝑘 dan setiap perusahaan memiliki nilai –  nilai berbeda dan memenuhi 𝑎𝑎 1 (1 + 𝑟𝑟 1 ) > 𝑎𝑎 2 (1 + 𝑟𝑟 2 ) > ⋯ > 𝑎𝑎 𝑠𝑠 (1 + 𝑟𝑟 𝑠𝑠 ) . Jika nilai 𝑎𝑎 𝑠𝑠+1 (1 + 𝑟𝑟 𝑠𝑠+1 ), 𝑎𝑎 𝑠𝑠+2 (1 + 𝑟𝑟 𝑠𝑠+2 ), … , 𝑎𝑎 𝑁𝑁 (1 + 𝑟𝑟 𝑁𝑁 ) memiliki nilai yang sama dengan nilai diantara 𝑎𝑎 1 (1 + 𝑟𝑟 1 ), 𝑎𝑎 2 (1 + 𝑟𝑟 2 ), … , 𝑎𝑎 𝑠𝑠 (1 + 𝑟𝑟 𝑠𝑠 ) maka nilai 𝑎𝑎 1 (1 + 𝑟𝑟 1 ), 𝑎𝑎 2 (1 + 𝑟𝑟 2 ), … , 𝑎𝑎 𝑠𝑠 (1 + 𝑟𝑟 𝑠𝑠 ) akan berulang 𝑚𝑚 1 , 𝑚𝑚 2 , … , 𝑚𝑚 𝑠𝑠 kali. Selanjutnya, 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 dapat diubah menjadi 𝜃𝜃 𝑖𝑖 , dimana 𝜃𝜃 𝑖𝑖 menyatakan jumlahan yang sama dan sesuai dengan jumlahan 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 . Sehingga persamaan (26) dapat ditulis kembali menjadi
�∏ � 1 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � 1 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 � − 𝜆𝜆� 𝑚𝑚 𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 � . � 1 + ∑ 𝜃𝜃 𝑗𝑗 1−𝑎𝑎 𝑗𝑗 �1+𝑟𝑟 𝑗𝑗 �−𝜆𝜆 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 � = 0 ...(27) �∏ � 1 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � 1 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 � − 𝜆𝜆� 𝑚𝑚 𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 � = 0 atau � 1 + ∑ 𝜃𝜃 𝑗𝑗 1−𝑎𝑎 𝑗𝑗 �1+𝑟𝑟 𝑗𝑗 �−𝜆𝜆 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 � = 0 a. Untuk �∏ � 1 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � 1 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 � − 𝜆𝜆� 𝑚𝑚 𝑗𝑗 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 � = 0
Dengan menggunakan Teorema 2.4, maka diperoleh nilai eigen 1 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � 1 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 � dapat dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika 𝑎𝑎 𝑖𝑖 � 1 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 � < 2 . Dengan kata lain, dapat ditulis kembali 𝑎𝑎 𝑘𝑘 (1 + 𝑟𝑟 𝑘𝑘 ) < 2 .  Karena 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ′ ( 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = 𝑟𝑟 𝑘𝑘 maka didapat 𝑟𝑟 𝑘𝑘 = − 1 2 untuk semua 𝑘𝑘 . Oleh karena itu, diperoleh 𝑎𝑎 𝑘𝑘 < 4.
b. Untuk � 1 + ∑ 𝜃𝜃 𝑗𝑗 1−𝑎𝑎 𝑗𝑗 �1+𝑟𝑟 𝑗𝑗 �−𝜆𝜆 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 � = 0
Andai 𝜆𝜆 = − 1 dengan 𝜃𝜃 𝑖𝑖 ≤ 0 maka berakibat ∑ 𝜃𝜃 𝑗𝑗 2−𝑎𝑎 𝑗𝑗 �1+𝑟𝑟 𝑗𝑗 � 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 > − 1 . Dengan kata lain, dapat ditulis kembali ∑ 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 2−𝑎𝑎 𝑘𝑘 ( 1+𝑟𝑟 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 > − 1 . Karena 𝑇𝑇 𝑘𝑘 ′ ( 𝑄𝑄 𝑘𝑘 ) = 𝑟𝑟 𝑘𝑘 maka didapat 𝑟𝑟 𝑘𝑘 = − 1 2 untuk semua 𝑘𝑘 . Oleh karena itu, diperoleh ∑ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 4−𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 < 1 . Andai setiap perusahaan memilih laju penyesuaian yang sama yaitu 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ≡ 𝑎𝑎 diperoleh 𝑎𝑎 < 4 𝑁𝑁+1 . Jika 𝑎𝑎 ∈ (0,1] , maka kondisi ini akan berlaku untuk 𝑁𝑁 = 2 . Jika 𝑎𝑎 = 1 , maka kondisi ini  tidak akan berlaku untuk 𝑁𝑁 ≥ 3 . Akan tetapi, titik ekuilibrium stabil dengan memilih nilai 𝑎𝑎 yang sangat kecil.

## 5. KESIMPULAN
Dari model cournot dengan fungsi harga dan biaya yang linier, diperoleh model penyesuaian dinamis yaitu 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 + 1) = 𝑎𝑎 𝑘𝑘 �− 1 2 ∑ 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑙𝑙≠𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐴𝐴−𝑐𝑐 𝑘𝑘 2𝐵𝐵 � + (1 − 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) . Dari model ini, titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal pada proses
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 53-61
penyesuaian dengan harga dan biaya yang linier  dengan syarat 𝑎𝑎 𝑘𝑘 < 4 dan ∑ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 4−𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 < 1 .  Jika setiap perusahaan memilih skema penyesuaian dengan laju penyesuaian yang sama yaitu 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ≡ 𝑎𝑎 , maka ∑ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 4−𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑘𝑘=1 < 1 dapat ditulis 𝑎𝑎 < 4 𝑁𝑁+1 dengan syarat nilai 𝑎𝑎 cukup kecil untuk 𝑁𝑁 ≥ 3 .

## DAFTAR PUSTAKA
[ 1]  Bischi, G.I dkk. 2010. Nonlinear Oligopolies: Stability and Bifurcations . Spinger-Verlag. Berlin Heidelberg, Germany.
[2]  Indriastuti. 2007. Pasar Oligopoli. Sinar Grafika. Jakarta, Indonesia.
[3]  Kalangi, Josep Bintang. 2011. Matematika Ekonomi dan Bisnis . Salemba Empat. Jakarta, Indonesia.
[4]  Luenberger, Davis  G. 1979. Introduction to Dynamics Systems . Stanford University. USA.
[5]  Purcell, Varberg, Rigdon. 2010. Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 1 . Erlangga. Ciracas, Indonesia.
[6]  Zao, J & Szidarovszky, F. 2008. N  –  firm Oligopolies with Production Adjusment  Cost:  Best responses and Equilibrium . J Econ Behav Organiz. 2008, no 68, 87-99.