## DEPENDENSI DALAM MODEL RESIKO INDIVIDUAL UNTUK ASURANSI JIWA KELOMPOK

## DEPENDENCE IN THE INDIVIDUAL RISK MODEL FOR GROUP LIFE INSURANCE
Getut Pramesti 1 dan Sri Haryatmi Kartiko 2
1 Program Studi Pendidikan Matematika, F PMIPA UNS,
2 Program Studi Matematika, F MIPA UGM

## ABSTRAK
Dependensi  resiko  dalam  suatu  portofolio  asuransi  untuk  jenis  asuransi  jiwa  kelompok  dapat digambarkan sebagai model resiko individual. Dari model inilah dapat diketahui distribusi klaim dari suatu kontrak asuransi yang terjadi selama periode tertentu. Penghitungan distribusi dilakukan dengan menggunakan  metode direct  calculation melalui n konvolusi  distribusi  klaim  individual.  Dibahas pula pengaruh dependensi resiko terhadap batas stop-loss premium dan dependensi resiko dengan tiga faktor resiko.
Kata-kata kunci :  Dependensi resiko, asuransi jiwa kelompok, model resiko individual, klaim, batas stop-loss premium .

## ABSTRACT
The  risk  dependence  of  an  insurance  portfolio  in  a  group  life  insurance  can  be  described  as  the individual risk model. It is used in modeling the claim distribution of insurance contracts over a fixed period  of  time.  The  distribution  computation  is  conducted  with  direct  calculation  throught  n convolution of individual claim distribution. We discuss the impact of the risk dependence on the net value of the stop–loss premium. A third risk factor in the dependence risk model is also introduced. Key words : The risk dependence, group life insurance, individual risk model, claim, the net value of the stop-loss premium.

## PENDAHULUAN
Perusahaan  asuransi  sebagai  penanggung resiko dituntut  untuk dapat menganalisa resiko yang meliputi identifikasi  dan kalkulasi  faktor- faktor  yang mempengaruhinya. Perilaku resiko yang  dihasilkan  oleh n polis  digambarkan dengan  distribusi  klaim  agregasi  dalam  suatu model  resiko  individual.  Umumnya  dalam model diasumsikan resikonya saling
independen.  Masalah  yang  kemudian  muncul adalah  apakah  asumsi  independensi  resiko dalam  model  selalu  sesuai  dalam  semua  jenis asuransi.  Dalam  asuransi  jiwa  kelmpok misalnya,  muncul  masalah  keterkaitan  antar faktor  resiko  yang  sangat  mempengaruhi
distribusi klaim dan batas stop-loss premium nya.
Pada  makalah  ini  dikaji  dependensi  dalam model  resiko  individual  menggunakan  metode direct  calculation dan  hubungannya  dengan independensi    resiko  dalam  asuransi  jiwa kelompok  serta  pengaruhnya  terhadap  batas stop-loss premium .

## DASAR TEORI
Dalam sistem asuransi ketidaktentuan yang melahirkan  kerugian  ( loss )  dari  tertanggung (nasabah  perusahaan  asuransi)  menimbulkan klaim  yang  diajukan  dari  tertanggung  kepada penanggung  (perusahaan  asuransi).  Namun sebelumnya tertanggung dikenakan biaya premi
agar  mendapat  santunan  dari  penanggung.
Adapun  jumlahan  klaim  dalam  suatu  kontrak asuransi  disebut  dengan  klaim  agregasi  dan digambarkan  dalam  suatu  model  resiko individual.  Distribusi  klaim  agregasi  dapat dihitung  melalui  n  konvolusi  klaim  individual,
yaitu dengan menggunakan lemma 2.1.

## Lemma 2.1
Jika X , Y variabel  random  independen  dan
Y X S   maka  konvolusi  dari  pasangan fungsi  distribusi X F dan Y F adalah ) ( ) ( s F F s F Y X S   dengan     s y Y X S y dF y s F s F ) ( ) ( ) ( .
Bukti :
Diketahui Y X S   maka  ruang  sampel S dapat ditunjukkan dalam Gambar 1.
Gambar 1 . Ruang sampel S, Y X S  
Garis s Y X   dan  daerah  yang  diarsir menyatakan kejadian   s Y X S    ,
sedangkan  fungsi  distribusi  kumulatif  dari S
adalah :
Untuk X dan Y variabel random diskrit berlaku :             
  s y S
y Y P y Y s Y X P s S P s F ) (
) ( ) ( ) ( s F F y dF y s F Y X s y Y X      
Untuk X dan Y variabel random kontinu, fungsi distribusi kumulatif S adalah:
    ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 s F F dy y f y s F dy y Y P s Y X P s F Y X s Y X s S          
Jadi  untuk  X  dan  Y  variabel  random independen  diperoleh  konvolusi  pasangan fungsi distribusi X F dan Y F adalah ) ( ) ( s F F s F Y X S  
Dalam asuransi  dikenal  istilah s top-loss asuransi  yaitu  pembayaran  atau  penggantian semua  kerugian  tertanggung  apabila  kerugian yang  terjadi  melebihi  suatu  batas  moneter tertentu  (disebut deductible ) yang  telah disepakati oleh pihak tertanggung dan penanggung  (L.  Xu  dan  D.L  Bricker,  2000). Penetapan  premi  dari  sistem  asuransi  ini disebut dengan stop-loss premium. Harga batas stop-loss premium dinotasikan dengan       d S E (Klugman et  al ,  1990)  dengan S adalah  besar  klaim  agregasi  dan d adalah deductible ) 0 (  d yaitu:                       
(2.4.2)
diskrit. , ) ( 1 (2.4.1) kontinu. , ) ( 1
x x F x dx x F d S E d x S d S

## DEPENDENSI  DALAM  MODEL  RESIKO

## INDIVIDUAL  UNTUK  ASURANSI  JIWA

## KELOMPOK

## Konsep Dasar Model Resiko Individual
Apabila dalam suatu periode asuransi yang berlaku  selama  1  tahun  penanggung  akan membayar santunan sebesar b jika tertanggung mengalami  kerugian  dalam  periode  tersebut dengan  probabilitas  terjadi q maka  variabel random  klaim  yang  dinyatakan  dengan X dapat digambarkan baik dengan ) ( x f X maupun
) ( x F X yaitu:
             lain. , 0 . , . 0 , 1 ) ( x b x q x q x X P x f X
dan,
               . , 1 . 0 , 1 . 0 , 0 ) ( b x b x q x x X P x F X
dengan  rata-rata  dan  variansinya  adalah
  bq X E  dan   qp b X Var 2  .
Apabila I adalah  variabel  random
Bernoulli atau variabel random Binomial untuk kejadian  tunggal  yang  bernilai  1  jika  terjadi klaim  dan  0  jika  tidak  terjadi  klaim  maka X
dapat dinyatakan
      . 0 , 0 . 1 , I I b X
dengan     1 , 1 0 q I P q I P      dan
memiliki harga rata-rata serta variansi :
  q I E  dan   qp I Var  .
Independensi dalam model resiko individual
Jika
i X menyatakan klaim yang
dihasilkan  oleh  polis  ke-
) , , 1 ( n i i   ,  maka
klaim  agregasi S yang  merupakan  jumlahan   n i X i , , 1   didefinisikan : 1    n i i X S (3.2.1)
dengan   n i X i , , 1   merupakan  variabel random bernilai non negatif.
Apabila probabilitas variabel random  Bernoulli   n i I i , , 1   : i i q I P   ) 1 ( (3.2.2)
i i i p q I P     1 ) 0 ( (3.2.3)
Maka   n i X i , , 1   dapat didefinisikan sebagai :
. 0 , 0 . 1 ,       i i i i I I B X (3.2.4)
Jika   n i X i , , 1   diasumsikan saling independen maka distribusi dari klaim agregasi
S dapat  ditentukan  dengan  metode direct calculation yaitu:
          i i tB I i i tX i tX I X p q e E I P I e E I e E E t M i i i i i i      ) ( ) ( t M q p (t) M i i B i i X   (3.2.5)
Dari hubungan :   ) ( ) ( t M P t M i i i B I X  (3.2.6)
Diperoleh ) ( t M S yaitu sebagai berikut :
  ) ( ) ( 1     n i B i i S t M q p t M i (3.2.7)
Dari  (3.2.2),  (3.2.3)  dan  (3.2.4)  diketahui distribusi klaim   n i X i , , 2 , 1   yaitu ) ( ) ( ) ( 0 x F q x p x F i i B i i X    (3.2.8)
dengan   
    0. , 0 . 0 , 1 ) ( 0 x x x
Sedangkan fungsi distribusi dan fungsi densitas probabilitas klaim agregasi S : ) ( ) ( 2 1 x F F F x F n X X X S      (3.2.9) ) ( ) ( 2 1 x f f f x f n X X X S      (3.2.10)
Untuk  dua  variabel  random  diskrit  non negatif,  misalkan 1 X dan 2 X dengan  fungsi distribusi  kumulatif 1 X F dan 2 X F dapat ditentukan distribusi kumulatif klaim agregasinya  dengan menggunakan lemma 2.3.1 yaitu sebagai berikut  :
    ) ( ) ( 2 1 2 2 2 2 2 2 1 s F F x X P x X s X X P s F X X x S        
Dari  (3.2.2),  (3.2.3)  dan  (3.2.4)  diketahui bahwa :
        . 0 , 1 . , ) ( x q p b x q x f i i i i X i Dan n i X S S i i i , , 2 , 1      1 1 awal nilai dengan X S  .  Sehingga  diperoleh hasil
) ( ) ( 1 x f f x f i i i X S S    (3.2.11)
Dengan  metode  konvolusi  persamaan  (3.2.11) dapat ditentukan yaitu sebagai berikut :
(3.2.13) . ), ( ) ( (3.2.12) . ), ( ) ( 1 1 1                i i S i S i i S i S b x b x f q x f p b x x f p x f i i i i
Adapun  rata-rata  dan  variansi  dari  klaim agregasi S yaitu
  1    n i i i q b S E (3.2.14)
    1 1 2     n i i i i q q b S Var (3.2.15)

## Dependensi dalam Model Resiko Individual
Dependensi resiko digambarkan melalui kejadian  variabel  random   n i I i , , 1   yang
menyatakan  terjadinya  klaim  pada  polis  ke- i.   n i I i , , 1   tergantung  pada  dua  variabel random  independen    berdistribusi  Bernoulli   n i J ii , , 1   dan 0 J .   n i J ii , , 1  
menyatakan  klaim  terjadi  karena  faktor  resiko individual  ( individual    risk  factor )  ke- i sedangkan 0 J menyatakan  terjadinya  klaim karena  faktor  resiko  serentak  ( common    risk factor ).  Probabilitas   n i J ii , , 1   dan 0 J
adalah     ii ii ii ii ii p q J P q J P       1 0 , 1
dan   0 0 0 1 0 p q J P       . 1 0 0 q J P  
Dari pengertian di atas,   n i I i , , 1  
didefinisikan sebagai:
  1 , min 0 J J I ii i   (3.3.1)
Dari definisi (3.3.1) vektor random
  n I I I , , , 2 1  merupakan  komponen  yang saling dependen, hal ini berakibat
  n X X X , , , 2 1  juga saling dependen.
Parameter i q pada  persamaan  (3.2.2)
dapat dinyatakan sebagai fungsi ii q dan 0 q , hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
      0 0 0 ) ( 0 q t t q p p J t E E t P ii ii I j I i i     Sehingga   . 1 ) ( 0 0 t p p p p t P ii ii I i    (3.3.2)
Jadi diperoleh hubungan
. 0 ii i p p p  (3.3.3)
   .) 1 1 1 0 ii i q q q     )                      (3.3.4)
Dari  (3.3.3)  dan  (3.3.4)  dapat  diketahui  jika
0 0  q maka diperoleh model resiko individual
dengan resiko independen dimana ii i q q  .
Bila fungsi pembangkit momen
  n X X X , , , 2 1  adalah     n n n x t x t n X X e E t t M       1 1 1 , , 1 , , dan  fungsi
pembangkit  probabilitas   n I I I , , , 2 1  adalah           n i i n i J i n I I t q t E p t t P ii n 1 0 1 0 1 , , , , 1  
maka :     . ) ( ) ( , , 1 0 1 0 1 , , , 2 1       n i i B n i i B J n X X X t M q t M P p t t M
i i ii n   (3.3.5)
Selanjutnya,  dengan  menggunakan  lemma 3.3.1.
Lemma 3.3.1 Apabila ) , , ( 1 , , 1 n Y Y t t M n   adalah fungsi pembangkit  momen multivariat  dari  vektor
  n Y Y , , 1  maka  fungsi  pembangkit  momen
dari n Y Y Y Z      2 1 adalah ) , , ( ) ( , , 1 t t M t M n Y Y Z    (3.3.6)
dapat diperoleh fungsi pembangkit momen dari
S yaitu :
  . ) ( ) ( ) ( 1 0 1 0       n i B B n i J S t M q t M P p t M
i i ii
(3.3.7)
Jika  dimisalkan V dan U adalah  variabel random dengan fungsi pembangkit momen:
  , ) ( ) ( 1 t M P t M
i ii B n i J V    (3.3.8)
. ) ( ) ( 1    n i B U t M t
M
i (3.3.9)
Diperoleh distribusi klaim agregasi S :
0 ), ( ) ( ) ( ) ( 0 0    x x F x q x F p x F U V S (3.3.10)
Bentuk (3.3.10) dapat dinyatakan sebagai:
      0 , ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 0 0         x x F F q x F F q x F n n B B D D S   (3.3.11)
Dengan
  . , , 2 , 1 ), ( ) ( ) ( 0 n i x F q x p x F i i B ii ii D      Fungsi  distribusi V F dan U F pada (3.3.10)  ditentukan  menggunakan  Lemma
2.3.1, persamaan (3.2.12) dan (3.2.13).
Selanjutnya  dari  bentuk  (3.3.10)  distribusi kumulatif klaim agregasi dibentuk dari kombinasi  antara  distribusi  kumulatif  resiko individual dan resiko serentak.
Adapun  harga  rata-rata  dan  variansi  dari  klaim agregasi S adalah :
    , 1    n i i X E S E (3.3.12)
      ) 1 )( 1 ( 1 2 ) ( 1 1 1 0 0 1 k i k n i n i k i n i i q q B E B E q q X Var S Var             
(3.3.13)
Dari  (3.3.13),  apabila  kemungkinan  terjadinya klaim  karena  faktor  resiko  serentak  ( common risk  factor )  membesar  maka  variansi  klaim agregasi semakin besar.

## Stop-loss Premium
Dari  definisi  (2.3.4.1),(2.3.4.2)  dan persamaan (3.3.10) dapat diperoleh harga batas stop-loss premium dengan dua faktor dependensi resiko adalah :
                                   ) 2 . 4 . 3 ( diskrit , ) ( ) ( 1 1 ) 1 . 4 . 3 ( kontinu , ) ( ) ( 1 1 0 0 0 0 x x F q x F q x dx x F q x F q d S E d x U V d U V dengan d ( deductible ) 0  .
Dari  (3.4.1)  dan  (3.4.2)  nampak  bahwa jika  nilai 0 q semakin  besar,  yang  juga mengakibatkan  semakin  kecilnya  nilai 0 p maka batas stop-loss premium nya akan semakin
besar.  Selain  itu  untuk 0
0  q diperoleh  harga
batas stop-loss  premium untuk  model  resiko individual  dengan  resiko  saling  independen.
Beberapa  sifat  yang  berkaitan  dengan  batas stop-loss  premium dijelaskan  Teorema  3.4.1 dan 3.4.2.
Teorema 3.4.1
Jika 
 0    b S a P maka  untuk  suatu
b d a   berlaku :
       
    .   
         b S E a b a d a S E a b d b d S E
(3.4.3)
Teorema 3.4.2 Jika    0,1, , 0 , 0      k h f kh S P k   x x S P setiap untuk 0 dan   maka  untuk
suatu jh d  berlaku :
          ) . 1 0         m S h j m F h d S E
(3.4.4)

## Dependensi Resiko dalam m kelas Portofolio
Asuransi
Apabila  portofolio  asuransi  terbagi dalam m kategori  kelas  dengan m j , , 1   ,
setiap  kelas j terdiri  dari j n resiko, jk X
menyatakan klaim dalam polis ke- k dalam kelas
j dengan j n k , , 2 , 1   dan S dinyatakan dengan :
. 1 1     m j n k jk j X S (3.5.1)
Terjadinya  klaim  tiga  dependensi  faktor  resiko digambarkan oleh variabel random ) , , 2 , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j I     menyatakan terjadinya  klaim  kelas j ,  polis  ke- k .  Apabila
) , , 2 , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j I     variabel  random
Bernoulli  maka ) , , 2 , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j I    
dinyatakan sebagai fungsi 3 faktor resiko saling independen  yaitu ) , , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j J     ,
faktor  resiko  kelas ) , , 1 ( m j J j   dan  faktor resiko serentak
0 J dengan ) , , 2 , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j I     :
  , 1 jk jk q I P   (3.5.2)
  . 1 0 jk jk jk q p I P    
(3.5.3) Dari deskripsi di atas
) , , 2 , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j I     dapat
didefinisikan :
  . 1 , min 0 J J J I j jk jk    (3.5.4)
dimana 0 , , J J J j jk adalah  variabel  random berdistribusi Bernoulli dengan probabilitas:
   
        . 1 0 , 1 , 1 0 , 1 , 1 0 , 1 0 0 0 0 0         
                  q p J P q J P q p J P q J P q p J P q J P j j j j j jk jk jk jk jk Variabel  random jk X dalam  (3.5.1)  dapat
dinyatakan:
) 5 . 5 . 3 ( . 0 , 0 . 1 ,       jk jk jk jk I I B
X
Jika jk B merupakan variabel random
yang menyatakan besar klaim jika polis ke- k   j n k , , 2 , 1   dalam kelas- j   m j , , 1  
terjadi klaim dan fungsi distribusi kumulatif dari jk B adalah jk B F maka fungsi pembangkit
probabilitas dari ) , , 2 , 1 ; , , 1 ( j jk n k m j I    
adalah sebagai berikut :
  . ) ( 0 0 0 0 t q p p q p q p p p t P j jk j j jk I jk             
(3.5.6)
Dapat diketahui pula bahwa :
(3.5.7) , 0     p p p p j jk jk     (3.5.8) 1 1 1 1 0         j jk jk q q q q
Dengan    menggunakan  (3.5.7)  dan  (3.5.8) diperoleh  fungsi  pembangkit  momen dari jk X adalah sebagai berikut:
                       0 0 1 1 1 1 ) ( ) ( p p p q q q t M I e E E t M j jk jk j B jk X t I X jk jk jk jk Jadi   . ) ( 1 ) ( 0 0 t M p p p p p p t M jk jk B jk j jk j X          (3.5.9)
Selanjutnya  diturunkan  fungsi  pembangkit
momen multivariat dari   m mn m n X X X X X , , , , , , , 1 1 22 11 1    yang
didapat  dari  fungsi  pembangkit  momen multivariat   m mn m n I I I I I , , , , , , , 1 1 22 11 1   
yaitu sebagai berikut :
    . , , , , , , , 1 1 0 1 1 1 0 1 1 22 11 , , , , , , , 1 1 1 1 2 2 1 1
                                m j n k jk m j n k jk j n k jk J j mn m n I I I I I j j j jk m m mn m n
t q t q t P p p t t t t t P       (3.5.10)
Dari (3.5.10)   diperoleh :
  ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 1 1 1 0                      
          m j n k B m j n k B j n k B J j S j jk j jk j jk jk t M q t M q t M P p p t M
(3.5.11)
Adapun  rata-rata  dan  variansi S dengan  tiga dependensi  faktor  resiko  adalah  seperti  pada persamaan 3.5.12 dan 3.5.13.
    (3.5.12)
. 1 1     m j n k jk j X E S E                 ) 13 . 5 . 3 ( ) )( ( 1 ' , 1 ' 1 1 ' ' ' ' ' ' ' 0 0 ' ' 1 1 ' , 1 ' ' ' 0 0 0 ' 1 1 '                                    
          m j m j j j n k n k k j jk k j j j jk j j k j jk m j n k n k k k jk jk jk jk j j jk jk m j n k jk j j j j j q q q p q q p q p q B E B E q q q q p p q p q B E B E X Var S Var

## Contoh Aplikasi
Suatu  kontrak  asuransi  jiwa  kelompok berlaku  dengan  jangka  waktu  1  tahun  untuk  3 orang  pekerja.  Misalkan  variabel  tejadinya klaim 3 2 1 , , I I I berdistribusi  Bernoulli  dengan
probabilitas   3 , 2 , 1 05 . 0   i q i ,  sedangkan variabel random besar  klaim
3 2 1 , , B B B
berdistribusi Cauchy dengan 1   dan 0   .
Diketahui  probabilitas  pekerja  pertama,  kedua dan  ketiga  akan  mendapat  santunan  masing- masing  1,  2  dan  3  unit  (unit  dalam  satuan  Rp.
7 10 ,-)  adalah    0.159155,  0.063662,  0.031831 dan data seperti Tabel 1.
Tabel 1. Data ( x dalam satuan Rp. 7 10 ,-) Klaim ( x ) ) ( 1 x f ) ( 2 x f ) ( 3 x f 0 0.31831 0.31831 0.31831 1 0.159155 0.159155 0.159155 2 0.063662 0.063662 0.063662 3 0.031831 0.031831 0.031831 4 0.018724 0.018724 5 0.012243
Dipilih tiga alternatif probabilitas
terjadinya  klaim  karena  faktor  resiko  serentak
0 q adalah  0.00625,  0.003125  dan  0,  aktuaris
perusahaan asuransi tersebut ingin memprediksi distribusi  kumulatif  klaim  agregasi  dan  harga minimum  premi selama  jangka  waktu  1  tahun tersebut.
Nilai distribusi kumulatif klaim agregasi dan  harga  batas stop-loss  premium untuk  nilai klaim 12 , , 1 , 0   x ( x dalam  satuan  Rp 7 10 ,-)
dapat dilihat pada Tabel 2.
Dari  Tabel  2,  distribusi  klaim  agregasi semakin  besar  apabila  nilai 0 q semakin  kecil, jadi  klaim  terbesar  kemungkinan  muncul karena  faktor  resiko  individunya.  Sedangkan batas stop-loss  premium akan  semakin  kecil apabila  nilai 0 q semakin  kecil.  Hal  ini mengakibatkan  harga  premi  dari  asuransi  jiwa kelompok  akan  lebih  mahal  dibanding  dengan asuransi jiwa perseorangan.
Adapun  plot  dari  distribusi  kumulatif klaim  agregasi  dan  harga    batas stop-loss premium dapat di lihat pada Plot 1 dan 2.
Plot 1. Fungsi distribusi kumulatif klaim agregasi
Plot  2. Batas stop-loss premium
Dari  plot  1  dan  2  nampak  bahwa  distribusi kumulatif klaim  agregasi dan harga batas stop- loss  premium dengan  dua  faktor  resiko  saling dependen  dipengaruhi  oleh  faktor  resiko serentak dan faktor resiko individual.

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Dari pembahasan pada bab-bab
sebelumnya, dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu sebagai berikut :
1. Model  resiko  individual  dengan  dependensi
dua faktor resiko :
0 ), ( ) ( ) ( 0 0    x x F q x F p x F U V S . Dari
model  tersebut  dapat  diketahui  bahwa distribusi  klaim  agregasi  tergantung  dari distribusi klaim karena faktor resiko
individual dan distribusi klaim karena faktor
resiko serentak
2. Harga batas batas stop-loss premium sebagai
berikut :
             
   
    
     d x 0 0 0 0 ) ( ) ( p - 1 ) ( ) ( 1 x F q x F dx x F q x F p d S E
U V d U V
Jadi  harga  batas stop-loss  premium dengan dua  faktor  resiko  yang  saling  dependen dipengaruhi oleh faktor resiko individual dan faktor resiko serentak.

## Saran
Penulisan  tesis  ini  dapat  dikembangkan lebih  lanjut  dengan  menggunakan  metode fast fourier transform (FFT) atau metode lain untuk kasus jumlah klaim n yang besar.

## DAFTAR PUSTAKA
Bain,  L.  J.,  and  Engelhard,  M.  (1992) .
Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2n ed.
California : Duxbury Press.
Bauerle,  N.,  and  Muller.  A.  (1998). Modelling
and comparing dependencies in
Tabel 2. Distribusi klaim
x 0 q =0.00625 ) ( 1 x F S 0 q =0.003125 ) ( 2 x F S 0 q =0 ) ( 3 x F S 0 q =0.00625
1 SL 0 q =0.003125 2 SL 0 q =0 3 SL
0 0.757691 0.759973 0.762254 0.242309 0.240027 0.237746 1 0.901371 0.903952 0.906533 0.098629 0.096048 0.093467 2 0.949867 0.952463 0.95506 0.050133 0.047537 0.04494 3 0.983312 0.98591 0.988508 0.016688 0.01409 0.011492 4 0.991085 0.993638 0.99619 0.008915 0.006362 0.00381 5 0.993285 0.995802 0.99832 0.006715 0.004198 0.00168 6 0.994581 0.997081 0.999581 0.005419 0.002919 0.000419 7 0.994881 0.997372 0.999863 0.005119 0.002628 0.000137 8 0.994969 0.997456 0.999943 0.005031 0.002544 5.7E-05 9 0.995014 0.9975 0.999986 0.004986 0.0025 1.4E-05 10 0.995024 0.99751 0.999995 0.004976 0.00249 5E-06 11 0.995028 0.997513 0.999998 0.004972 0.002487 2E-06 12 0.99503 0.997515 1 0.00497 0.002485 0
multivariate  risk  portofolios .  ASTIN
Bulletin 28, 59-76.
Bowers, N., Gerber, H., Hickman, J., Jones, D.,
and  Nesbitt,  C.  (1997) .  Actuarial
Mathematics. Schaumburg,  IL:  Society of Actuaries.
Casella,  G  and  Berger,  R.  L.  (1990).
Statistical Inference. California :
Wadsworth.
De Pril, N. (1986). On the exact computation of
the  aggregate  claims  distribution  in  the individual  life  model.  ASTIN  Bulletin
16, 109-112.
Denuit,  M.,  Genest,  C.,  and  Marceau,  E.
(1999). Stochastic bounds on dependent
risks.  Insurance  :  Mathematics  and
Economics, to appear.
Dhaene,  J.,  and  Goovaerts,  M.  J.  (1996).
Dependency  of  risks  and  stop-loss
order. ASTIN Bulletin 26, 201-212.
Djojosoedarso, S. (1999). Prinsip-prinsip
Manajemen risiko dan Asuransi.
Cetakan  pertama.  Jakarta  :  Salemba
Empat.
Giordano,  R.,  F.,  and  Weir,  D.,  M.  (1991 ).
Differential equation a modeling
approach. Addison Wesley , Canada.
Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G., E.
(1990). Loss  Models  :  from  data  to
decisions. New  York  :  John  Wiley  and
Sons.
L.  Xu,  D.L.  Bricker.  (2000).  Bound  for  stop- loss  premium  under  restrictions  on  the
Chi-Square Statistic.
Insurance:
Mathematics and Economics.
Morton,  R.,  G.  (1995).  Dasar-Dasar  Asuransi Jiwa dan  Asuransi Kesehatan. Jakarta : Yayasan  Dharma  Bumiputera-  AJB Bumiputera 1912.
Rolski,  T.,  Schmidli,  H.,  Scmidt,  V.,  and
Teugels, J. (1999). Stochastic
Processes  for  Insurance  and  Finance.
New York : John Wiley and Sons.
Waldmann,  K.  H.  (1994).    On  the  exact calculation  of  the  aggregate  claims distribution in the individual life model. ASTIN Bulletin 24, 89-96.