## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 3, No. 2, 2021, pp. 71-79.

## Polinomial Pembangun dari Ideal dan Dimensi dari Kode Siklik
Tuhfatul Janan 1 , Mohammad Imam Utoyo 2 & Fatmawati 3
1 Sekolah Tinggi Agama Islam Muhammadiyah Probolinggo
2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
1 Corresponding author: tuhfatuljanan4@gmail.com
Abstrak. Dalam  penelitian  ini,  diberikan  hubungan  antara  ideal  dan  kode  siklik  serta  sifat-sifat polinomial  pembangun  dari  ideal  dan  dimensi  dari  kode  siklik.  Sifat-sifat  tersebut  antara  lain hubungan  antara  polinomial  pembangun  dari  ideal  dengan  polinomial  monik  dengan  derajat terkecil  di  ideal,  eksistensi  dan  ketunggalan  dari  polinomial  pembangun  dari  ideal,  hubungan antara polinomial pembangun dari ideal dengan pembagi monik dari 𝑥 𝑛 − 1 , dan hubungan antara derajat dari polinomial pembangun dari ideal dan dimensi dari kode siklik.
Kata kunci: dimensi, ideal, kode siklik, polinomial pembangun.

## 1 Pendahuluan
Teori  pengkodean  pertama  kali  ditemukan  oleh  Shannon  pada  tahun  1948  dalam jurnalnya  yang  berjudul  “ A  Mathematical  Theory  of  Communication ”  [4].  Teori pengkodean  adalah  ilmu  yang  mempelajari  teknik  dan  metode  transmisi  data  atau informasi  melalui  saluran  komunikasi  yang  tidak  bebas  gangguan  secara  efisien  dan akurat.  Teori  pengkodean  telah  berkembang  begitu  pesat  dan  memiliki  aplikasi  yang begitu  luas,  diantaranya  minimalisasi  gangguan  dari  perekaman  CD,  transfer  data  dari memori  ke CPU  komputer atau antar CPU  komputer, transaksi  ATM, dan komunikasi satelit  [1].  Dalam  perkembangannya,  kode  siklik  pertama  kali  ditemukan  oleh  Prange pada  tahun  1957  [3].  Kode  siklik  merupakan  bahasan  penting  dari  teori  pengkodean karena  menjadi  dasar  dari  teori  pengkodean  modern,  seperti  kode  Hamming,  kode Golay, kode BCH, kode Reed-Solomon, dan kode Goppa [2].

## 2 Polinomial dan Ruang Vektor atas Lapangan
Definisi  2.1 Misalkan 𝐹 adalah  lapangan.  Polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 dengan 𝑎 𝑖 ∈ 𝐹 dan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 disebut  polinomial  atas 𝐹 .  Himpunan  semua polinomial atas 𝐹 dinotasikan dengan 𝐹[𝑥] .
Definisi  2.2 Misalkan 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ∈ 𝐹[𝑥] adalah  polinomial  dengan 𝑎 𝑛 ≠ 0 . Bilangan bulat 𝑛 disebut derajat dari 𝑓(𝑥) dan dinotasikan dengan deg (𝑓(𝑥)) .
Definisi 2.3 Polinomial 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ∈ 𝐹[𝑥] disebut monik jika 𝑎 𝑛 = 1 .
Definisi  2.4 Misalkan 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥] dengan  deg (𝑓(𝑥)) ≥ 1 .  Himpunan  sisa  dari pembagian semua polinomial di 𝐹[𝑥] dengan 𝑓(𝑥) dinotasikan dengan 𝐹[𝑥]/𝑓(𝑥) .
Definisi  2.5 Aturan  penjumlahan  dan  perkalian  untuk  polinomial 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥) ∈ 𝐹[𝑥]/𝑓(𝑥) didefinisikan sebagai berikut : 𝑔(𝑥) ⊕ ℎ(𝑥) ≔ 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) mod 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) ⊙ ℎ(𝑥) ≔ 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) mod 𝑓(𝑥) .
Untuk  selanjutnya,  penulisan  tanda " ⊕ " dan " ⊙ " secara  berturut-turut disederhanakan menjadi " + " dan " ⋅ " .
Contoh  2.6 Misalkan 𝑔(𝑥)   =   𝑥 2 + 1, ℎ(𝑥)   =   𝑥 3 + 1  ∈   ℤ 2 [𝑥]/(𝑥 4 − 1) ,  maka 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1 .
Definisi  2.7 Misalkan 𝐹 𝑞 adalah  lapangan  berhingga  dengan 𝑞 elemen.  Ruang vektor 𝐹 𝑞 𝑛 ≔ {(𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛 ) ; 𝑣 𝑖 ∈ 𝐹 𝑞 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} disebut  ruang  vektor  dengan panjang 𝑛 atas 𝐹 𝑞 .  Untuk  selanjutnya,  penulisan  vektor 𝒗 = (𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛 ) ∈ 𝐹 𝑞 𝑛 disederhanakan menjadi 𝒗 = 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 … 𝑣 𝑛 ∈ 𝐹 𝑞 𝑛 .
Contoh  2.8 ℤ 2 2 = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} adalah  ruang  vektor  dengan  panjang 2 atas ℤ 2 dan  penulisannya  disederhanakan  menjadi ℤ 2 2 =   {00, 01, 10, 11} . Sedangkan ℤ 3 2 = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0)(2,1), (2,2)} adalah  ruang vektor  dengan  panjang 2 atas ℤ 3 dan  penulisannya  disederhanakan  menjadi ℤ 3 2 = {00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22} .

## 3       Kode Linier dan Kode Siklik
Definisi 3.1 Ruang  bagian  dari 𝐹 𝑞 𝑛 disebut  kode  linier  dengan  panjang 𝑛 atas 𝐹 𝑞 .
Contoh  3.2 𝐶 = {000, 001, 010, 011} adalah  kode  linier  dengan  panjang 3 atas ℤ 2 karena 𝐶 adalah ruang bagian dari ℤ 2 3 .
Definisi 3.3 Dimensi dari kode linier 𝐶 adalah dimensi dari 𝐶 sebagai ruang vektor atas 𝐹 𝑞 dan dinotasikan dengan dim (𝐶) .
Teorema 3.4 Misalkan 𝐶 adalah kode linier dengan panjang 𝑛 atas 𝐹 𝑞 . Jika dim (𝐶) = 𝑘 , maka |𝐶| = 𝑞 𝑘 . Jadi, dim (𝐶) = 𝑘 = log 𝑞 |𝐶| .
Bukti. Misalkan {𝒄 1 , 𝒄 2 , 𝒄 3 , … , 𝒄 𝑘 } adalah  basis  untuk 𝐶 .  Maka 𝐶 = {𝛼 1 𝒄 1 + 𝛼 2 𝒄 2 + 𝛼 3 𝒄 3 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝒄 𝑘 ∶   𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 , … , 𝛼 𝑘 ∈ 𝐹 𝑞 } .  Karena |𝐹 𝑞 | = 𝑞 ,  maka  terdapat 𝑞 pilihan untuk setiap 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 , … , 𝛼 𝑘 . Oleh karena itu, |𝐶| = 𝑞 𝑘 . Jadi, dim (𝐶) = 𝑘 = log 𝑞 |𝐶| .
Contoh 3.5 Dimensi dari 𝐶 = {000, 001, 010, 011} adalah dim (𝐶) = log 2 4 = 2 .
Definisi 3.6 Kode linier 𝐶 dengan panjang 𝑛 dan dimensi 𝑘 atas 𝐹 𝑞 disebut kode linier 𝑞 -ary [𝑛, 𝑘] .
Contoh  3.7 𝐶 1 = {000, 001, 010, 011} adalah  kode  linier 2 - ary [3, 2] karena 𝐶 1 adalah  kode  linier  dengan  panjang 3 dan  dimensi 2 .  Sedangkan 𝐶 2 = {0000, 0001, 1100, 1101, 1102, 0002, 2200, 2201, 2202} adalah  kode  linier 3 - ary [4, 2] karena 𝐶 2 adalah kode linier dengan panjang 4 dan dimensi 2 .
Definisi  3.8 Kode  linier 𝐶 dengan  panjang 𝑛 atas 𝐹 𝑞 disebut  kode  siklik  jika  untuk setiap (𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 mengakibatkan (𝑐 𝑛−1 , 𝑐 0 , 𝑐 1 , … , 𝑐 𝑛−2 ) ∈ 𝐶 .
Contoh  3.9 𝐶 1 = {000, 110, 011, 101} adalah  kode  siklik 2 - ary [3, 2] karena 𝐶 1 adalah  kode  linier  dengan  panjang 3 atas ℤ 2 dan 000, 110, 011, 101 ∈ 𝐶 1 . Sedangkan 𝐶 2 = {0000, 1010, 0101, 1111} adalah  kode  siklik 2 - ary [4, 2] karena 𝐶 2 adalah kode linier dengan panjang 4 atas ℤ 2 dan 0000, 1010, 0101, 1111 ∈ 𝐶 2 .

## 4 Hubungan antara Ideal dan Kode Siklik
Didefinisikan transformasi  linier  yang memetakan ruang vektor 𝐹 𝑞 𝑛 ke ring  polinomial 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) sebagai berikut : 𝜋 ∶   𝐹 𝑞 𝑛 ⟶ 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) , dengan pengaitan (𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛−1 ) ⟼ 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 (1)
Teorema  4.1 Misalkan 𝜋 adalah  transformasi  linier  yang  didefinisikan  pada  (1). Himpunan  bagian  tak  kosong 𝐶 dari 𝐹 𝑞 𝑛 adalah  kode  siklik  jika  dan  hanya  jika 𝜋(𝐶) adalah ideal dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) .
Bukti. (⟸) Misalkan 𝜋(𝐶) adalah ideal dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) . Ambil  sebarang 𝒂, 𝒃 ∈ 𝐶 dan 𝛼 ∈ 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) .  Akibatnya, 𝜋(𝒂), 𝜋(𝒃) ∈ 𝜋(𝐶) sehingga −𝜋(𝒃)   ∈  𝜋(𝐶) .  Karena 𝜋 adalah  transformasi  linier,  maka 𝜋(𝒂)   − (−𝜋(𝒃)) = 𝜋(𝒂) + 𝜋(𝒃) = 𝜋(𝒂 + 𝒃) ∈ 𝜋(𝐶) dan 𝛼𝜋(𝒂) = 𝜋(𝛼𝒂) ∈ 𝜋(𝐶) sehingga +𝒃, 𝛼𝒂 ∈ 𝐶 .  Oleh  karena  itu, 𝐶 merupakan  kode  linier.  Selanjutnya,  ambil  sebarang 𝒄 = (𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 .  Dari  (1),  diperoleh 𝜋(𝒄) = 𝜋(𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛−1 ) = 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 ∈ 𝜋(𝐶) .  Kemudian, 𝑥𝜋(𝒄) = 𝑐 0 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥 3 + ⋯ +
𝑐 𝑛−1 𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑛−1 + 𝑐 0 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥 3 + ⋯ + 𝑐 𝑛−1 𝑥 𝑛 − 𝑐 𝑛−1 =    𝑐 𝑛−1 + 𝑐 0 𝑥 +   𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥 3 + ⋯ +   𝑐 𝑛−1 (𝑥 𝑛 − 1) . Karena 𝑥 𝑛 − 1  =  0 di 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) , maka diperoleh 𝑥𝜋(𝒄) = 𝑐 𝑛−1 + 𝑐 0 𝑥 + 𝑐 1 𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥 3 + ⋯ + 𝑐 𝑛−2 𝑥 𝑛−1 ∈ 𝜋(𝐶) .  Oleh  karena itu, (𝑐 𝑛−1 , 𝑐 0 , 𝑐 1 , … , 𝑐 𝑛−2 ) ∈ 𝐶 . Jadi, 𝐶 adalah kode siklik.
(⟹) Misalkan 𝐶 adalah kode siklik.
(i) Ambil sebarang 𝜋(𝒅), 𝜋(𝒆) ∈ 𝜋(𝐶) dengan 𝜋(𝒅) = 𝜋(𝑑 0 , 𝑑 1 , 𝑑 2 , … , 𝑑 𝑛−1 ) = 𝑑 0 + 𝑑 1 𝑥 + 𝑑 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑑 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 , 𝜋(𝒆) = 𝜋(𝑒 0 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛−1 ) = 𝑒 0 + 𝑒 1 𝑥 + 𝑒 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑒 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 dan (𝑑 0 , 𝑑 1 , 𝑑 2 , … , 𝑑 𝑛−1 ), (𝑒 0 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 .  Akibatnya, 𝜋(𝒅) − 𝜋(𝒆)   =   (𝑑 0 + 𝑑 1 𝑥 + 𝑑 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑑 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 ) − (𝑒 0 + 𝑒 1 𝑥 + 𝑒 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑒 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 )   =   (𝑑 0 − 𝑒 0 ) + (𝑑 1 − 𝑒 1 )𝑥 + (𝑑 2 − 𝑒 2 )𝑥 2 + ⋯ + (𝑑 𝑛−1 − 𝑒 𝑛−1 )𝑥 𝑛−1 . Karena (𝑒 0 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 , maka −(𝑒 0 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 . Dengan demikian, (𝑑 0 , 𝑑 1 , 𝑑 2 , … , 𝑑 𝑛−1 ) + (−(𝑒 0 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛−1 )) = (𝑑 0 , 𝑑 1 , 𝑑 2 , … , 𝑑 𝑛−1 ) − (𝑒 0 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛−1 )    =    (𝑑 0 − 𝑒 0 , 𝑑 1 − 𝑒 1 , 𝑑 2 − 𝑒 2 , … , 𝑑 𝑛−1 − 𝑒 𝑛−1 )   ∈  𝐶 . Oleh karena itu, 𝜋(𝒅) − 𝜋(𝒆) ∈ 𝜋(𝐶) .
(ii) Ambil  sebarang 𝜋(𝒇) ∈ 𝜋(𝐶) dengan 𝜋(𝒇) = 𝜋(𝑓 0 , 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛−1 ) = 𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 + 𝑓 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑓 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 dan (𝑓 0 , 𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 .  Akibatnya, 𝑥𝜋(𝒇) = 𝑓 𝑛−1 + 𝑓 0 𝑥 + 𝑓 1 𝑥 2 + ⋯ + 𝑓 𝑛−2 𝑥 𝑛−1 =  𝜋(𝑓 𝑛−1 , 𝑓 0 , 𝑓 1 , … , 𝑓 𝑛−2 )   ∈  𝜋(𝐶) dan 𝑥 2 𝜋(𝒇)   = 𝑥(𝑥𝜋(𝒇)) = 𝑓 𝑛−2 + 𝑓 𝑛−1 𝑥 + 𝑓 0 𝑥 2 + ⋯ + 𝑓 𝑛−3 𝑥 𝑛−1 = 𝜋(𝑓 𝑛−2 , 𝑓 𝑛−1 , 𝑓 0 , … , 𝑓 𝑛−3 )   ∈ 𝜋(𝐶) . Dengan demikian, berdasarkan induksi, diperoleh 𝑥 𝑖 𝜋(𝒇) ∈ 𝜋(𝐶) dengan 𝑖 ≥ 0 .  Oleh  karena  itu,  untuk  setiap ℎ(𝑥) = ℎ 0 + ℎ 1 𝑥 + ℎ 2 𝑥 2 + ⋯ + ℎ 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 ∈ 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) , diperoleh ℎ(𝑥)𝜋(𝒇) = ∑ ℎ 𝑖 (𝑥 𝑖 𝜋(𝒇)) 𝑛−1 𝑖=0 ∈ 𝜋(𝐶) dan 𝜋(𝒇)ℎ(𝑥) = ∑ (𝑥 𝑖 𝜋(𝒇)) 𝑛−1 𝑖=0 ℎ 𝑖 ∈ 𝜋(𝐶) .
Jadi, 𝜋(𝐶) adalah ideal dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) . ∎
Contoh  4.2 (i) 𝐶 = {000, 111, 222} adalah  kode  siklik 3 - ary ,  maka 𝜋(𝐶) = {0, 1 + 𝑥 + 𝑥 2 , 2 + 2𝑥 + 2𝑥 2 } adalah ideal dari 𝐹 3 [𝑥]/(𝑥 3 − 1) .
(ii) 𝐼 = {0, 1 + 𝑥 2 , 𝑥 + 𝑥 3 , 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 } adalah  ideal  dari 𝐹 2 [𝑥]/(𝑥 4 − 1) ,  maka 𝜋 −1 (𝐼) = {0000, 1010, 0101, 1111} adalah kode siklik 2 - ary .
5       Sifat-Sifat Polinomial Pembangun dari Ideal dan Dimensi dari Kode Siklik
Teorema  5.1 Misalkan 𝐼 adalah  ideal  tak  nol  di 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) .  Maka 𝑔(𝑥) adalah polinomial  monik  dengan  derajat  terkecil  di 𝐼 jika  dan  hanya  jika 𝑔(𝑥) adalah polinomial pembangun dari 𝐼 .
Bukti. (⟹) Misalkan 𝑔(𝑥) adalah  polinomial  monik  dengan  derajat  terkecil  di 𝐼 . Ambil  sebarang 𝑓 1 (𝑥) ∈ 𝐼 ,  maka  berdasarkan  algoritma  pembagian,  terdapat  dengan tunggal 𝑠(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) sehingga 𝑓 1 (𝑥)   =  𝑠(𝑥)𝑔(𝑥)   +  𝑟(𝑥) dengan deg (𝑟(𝑥))    < deg (𝑔(𝑥)) atau 𝑟(𝑥)   =  0 .  Akibatnya, 𝑟(𝑥) = 𝑓 1 (𝑥)   −  𝑠(𝑥) 𝑔(𝑥)
sehingga 𝑟(𝑥) ∈ 𝐼 . Karena 𝑔(𝑥) adalah polinomial monik dengan derajat terkecil di 𝐼 , maka 𝑟(𝑥) = 0 .  Oleh  karena  itu, 𝑓 1 (𝑥) = 𝑠(𝑥)𝑔(𝑥) .  Jadi, 𝑔(𝑥) adalah  polinomial pembangun dari 𝐼 .
(⟸) Misalkan 𝑔(𝑥) adalah  polinomial  pembangun  dari 𝐼 .  Ambil  sebarang 𝑓 2 (𝑥) ∈ 𝐼 dengan 𝑓 2 (𝑥)   =  ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑥)   ∈   𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) .  Akibatnya,  deg (𝑔(𝑥)) ≤ deg (𝑓 2 (𝑥)) . Jadi, 𝑔(𝑥) adalah polinomial monik dengan derajat terkecil di 𝐼 . ∎
Teorema 5.2 Misalkan 𝐼 adalah ideal tak nol di 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) , maka terdapat dengan tunggal polinomial pembangun dari 𝐼 .
Bukti. Karena 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) adalah  ring  ideal  utama,  maka 𝐼 adalah  ideal  utama, yaitu  terdapat 𝑔(𝑥) ∈ 𝐼 sebagai  polinomial  pembangun  dari 𝐼 .  Selanjutnya, misalkan 𝑔 1 (𝑥) dan 𝑔 2 (𝑥) adalah polinomial pembangun dari 𝐼 dengan 𝑔 1 (𝑥) ≠ 𝑔 2 (𝑥) . Berdasarkan  Teorema  5.1, 𝑔 1 (𝑥) dan 𝑔 2 (𝑥) adalah  polinomial  monik  dengan derajat  terkecil  di 𝐼 sehingga  deg (𝑔 1 (𝑥))   = deg (𝑔 2 (𝑥)) .  Akibatnya,  terdapat 𝛼 ∈ 𝐹 𝑞 sehingga 𝛼(𝑔 1 (𝑥)   −   𝑔 2 (𝑥)) juga  polinomial  monik  di 𝐼 dengan  deg (𝛼(𝑔 1 (𝑥) − 𝑔 2 (𝑥))) < deg (𝑔 1 (𝑥)) = deg (𝑔 2 (𝑥)) .  Hal  ini  menimbulkan  kontradiksi.  Oleh  karena itu, 𝑔 1 (𝑥) = 𝑔 2 (𝑥) . Jadi, terdapat dengan tunggal polinomial pembangun dari 𝐼 . ∎
Teorema  5.3 Misalkan 𝐼 adalah  ideal  tak  nol  di 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) .  Maka 𝑔(𝑥) adalah polinomial pembangun dari 𝐼 jika dan hanya 𝑔(𝑥) adalah pembagi monik dari 𝑥 𝑛 − 1 .
Bukti. (⟹) Misalkan 𝑔(𝑥) adalah  polinomial  pembangun  dari 𝐼 .  Maka  berdasarkan algoritma  pembagian,  terdapat  dengan  tunggal 𝑠 1 (𝑥), 𝑟 1 (𝑥)   ∈   𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) sehingga 𝑥 𝑛 − 1  =   𝑠 1 (𝑥) 𝑔(𝑥)   +  𝑟 1 (𝑥) dengan  deg (𝑟 1 (𝑥))    < deg (𝑔(𝑥)) atau 𝑟 1 (𝑥) = 0 .  Akibatnya, 𝑟 1 (𝑥) = (𝑥 𝑛 − 1) − 𝑠 1 (𝑥)𝑔(𝑥) sehingga 𝑟 1 (𝑥) ∈ 𝐼 . Karena 𝑔(𝑥) adalah polinomial pembangun dari 𝐼 , maka berdasarkan Teorema 5.1, 𝑔(𝑥) adalah polinomial  monik  dengan  derajat  terkecil  di 𝐼 .  Oleh  karena  itu, 𝑟 1 (𝑥) = 0 sehingga 𝑥 𝑛 − 1 = 𝑠 1 (𝑥)𝑔(𝑥) . Jadi, 𝑔(𝑥) adalah pembagi monik dari 𝑥 𝑛 − 1 . (⟸) Misalkan 𝑔(𝑥) adalah  pembagi  monik  dari 𝑥 𝑛 − 1 .  Asumsikan ℎ(𝑥) adalah polinomial  pembangun  dari 𝐼 .  Maka  terdapat 𝑠 2 (𝑥)   ∈   𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) sehingga ℎ(𝑥) ≡ 𝑠 2 (𝑥) 𝑔(𝑥) ( mod 𝑥 𝑛 − 1) .  Akibatnya, 𝑔(𝑥) membagi ℎ(𝑥) .  Selanjutnya, berdasarkan  Teorema  5.1, ℎ(𝑥) adalah  polinomial  monik  dengan  derajat  terkecil  di 𝐼 . Oleh karena itu, 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) .  Jadi, 𝑔(𝑥) adalah polinomial  pembangun dari 𝐼 . ∎
Contoh  5.4 (i) 𝐼 1 = {0, 1 + 𝑥 + 𝑥 2 , 2 + 2𝑥 + 2𝑥 2 } adalah  ideal  dari 𝐹 3 [𝑥]/(𝑥 3 − 1) dan 1 + 𝑥 + 𝑥 2 adalah  polinomial  monik  dengan  derajat  terkecil  di 𝐼 1 ,  maka 1 + 𝑥 + 𝑥 2 adalah polinomial pembangun dari 𝐼 1 dan pembagi monik dari 𝑥 3 − 1 .
(ii) 𝐼 2 = {0, 1 + 𝑥 2 , 𝑥 + 𝑥 3 , 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 } adalah  ideal  dari 𝐹 2 [𝑥]/(𝑥 4 − 1) dan 1 + 𝑥 2 adalah polinomial monik dengan derajat terkecil di 𝐼 2 , maka 1 + 𝑥 2 adalah polinomial pembangun dari 𝐼 2 dan pembagi monik dari 𝑥 4 − 1 .
Teorema  5.5 Misalkan 𝐼 adalah  ideal  di 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) dan 𝑔(𝑥) adalah  polinomial pembangun  dari 𝐼 .  Jika 𝑔(𝑥) berderajat 𝑛 − 𝑘 ,  maka  kode  siklik  yang  bersesuaian berdimensi 𝑘 .
Bukti. Didefinisikan 𝐴 ≔ {𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) ∶  𝑓(𝑥) ∈ 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) ,  deg (𝑓(𝑥)) ≤ 𝑘 − 1} . Diperoleh 𝐴 ⊆ < 𝑔(𝑥) > .  Selanjutnya,  ambil  sebarang 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) ∈ < 𝑔(𝑥) > dengan ℎ(𝑥) ∈ 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) ,  maka  berdasarkan  algoritma  pembagian  terdapat dengan  tunggal 𝑠(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐼 sehingga 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑠(𝑥)(𝑥 𝑛 − 1) + 𝑟(𝑥) dengan deg (𝑟(𝑥)) < 𝑛 .  Kemudian,  diperoleh 𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) − 𝑠(𝑥)(𝑥 𝑛 − 1) .  Karena 𝑥 𝑛 − 1  =  0 di 𝐹 𝑞 [𝑥] / (𝑥 𝑛 − 1) , maka 𝑟(𝑥)   =  𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) . Akibatnya, karena deg (𝑔(𝑥)) = 𝑛 − 𝑘 ,  maka  deg (ℎ(𝑥)) < 𝑘 .  Oleh  karena  itu, 𝑟(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) ∈ 𝐴 .  Hal  ini menunjukkan  bahwa < 𝑔(𝑥) > ⊆ 𝐴 .  Dengan  demikian, 𝐴 = < 𝑔(𝑥) > .  Di  sisi      lain, karena |𝐹 𝑞 | = 𝑞 , maka terdapat 𝑞 pilihan untuk setiap 𝑓(𝑥) dengan deg (𝑓(𝑥)) ≤ 𝑘 − 1 . Akibatnya, |𝐴| = 𝑞 𝑘 .  Jadi,  berdasarkan  Teorema  3.4,  dimensi  dari  kode  siklik  yang bersesuaian adalah log 𝑞 |𝐴| = log 𝑞 𝑞 𝑘 = 𝑘 . ∎
Contoh  5.6 Tabel  1  –  4  berikut  menunjukkan  faktorisasi  dari 𝑥 𝑛 − 1 ,  polinomial pembangun dan derajatnya, kode siklik 𝑞 - ary dengan 𝑞 = 2, 3, 4, 5 beserta dimensinya.
Tabel 1 Kode siklik 2 - ary dengan 𝑛 ≤ 5 .
𝒏 Faktorisasi 𝒙 𝒏 − 𝟏 Polinomial Pembangun (𝒈(𝒙)) deg (𝒈(𝒙)) Kode Siklik (𝑪) dim (𝑪) 1 1 + 𝑥 1 0 ℤ 2 1 1 + 𝑥 1 {0} 0 2 (1 + 𝑥) 2 1 0 ℤ 2 2 2 1 + 𝑥 1 {00, 11} 1 (1 + 𝑥) 2 2 {00} 0
3 (1 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 1 0 ℤ 2 3 3 1 + 𝑥 1 {000, 110, 011, 101} 2 1 + 𝑥 + 𝑥 2 2 {000, 111} 1 (1 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 3 {000} 0
4 (1 + 𝑥) 4 1 0
ℤ 2 4 4 1 + 𝑥 1 {0000, 1100, 0110, 0011, 1001, 1010, 0101, 1111} 3 (1 + 𝑥) 2 2 {0000, 1010, 0101, 1111} 2 (1 + 𝑥) 3 3 {0000, 1111} 1 (1 + 𝑥) 4 4 {0000} 0
5 (1 + 𝑥)
(1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 ) 1 0 ℤ 2 5 5
1 + 𝑥 1 {00000, 11000, 01100, 00110, 00011, 10001, 10100, 01010, 00101, 10010, 01001, 11110, 01111, 10111, 11011, 11101} 4 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 4 {00000, 11111} 1
(1 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 ) 5 {00000} 0
Tabel 2 Kode siklik 3 - ary dengan 𝑛 ≤ 3 .
𝒏 Faktorisasi 𝒙 𝒏 − 𝟏 Polinomial Pembangun (𝒈(𝒙)) deg (𝒈(𝒙)) Kode Siklik (𝑪) dim (𝑪) 1 2 + 𝑥 1 0 ℤ 3 1 2 + 𝑥 1 {0} 0 2 (1 + 𝑥) (2 + 𝑥) 1 0 ℤ 3 2 2 1 + 𝑥 1 {00, 11, 22} 1 2 + 𝑥 1 {00, 21, 12} 1 (1 + 𝑥) (2 + 𝑥) 2 {00} 0 3 (2 + 𝑥) 3 1 0 ℤ 3 3 3 2 + 𝑥 1 {000, 210, 120} 2 (2 + 𝑥) 2 2 {000, 111, 222} 1 (2 + 3) 3 3 {000} 0
Tabel 3 Kode siklik 4 - ary dengan 𝑛 ≤ 3 .
𝒏 Faktorisasi 𝒙 𝒏 − 𝟏 Polinomial Pembangun (𝒈(𝒙)) deg (𝒈(𝒙)) Kode Siklik (𝑪) dim (𝑪) 1 3 + 𝑥 1 0 ℤ 4 1 3 + 𝑥 1 {0} 0 2 (1 + 𝑥) (3 + 𝑥) 1 0 ℤ 4 2 2 1 + 𝑥 1 {00, 11, 22, 33} 1 3 + 𝑥 1 {00, 31, 13, 22} 1 (1 + 𝑥) (3 + 𝑥) 2 {00} 0
3 (3 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 1 0 ℤ 4 3 3 3 + 𝑥 1 {000, 310, 031, 103, 301, 130, 013, 211, 121, 112, 022, 202, 220, 323, 332, 233} 2 1 + 𝑥 + 𝑥 2 2 {000, 111, 222, 333} 1 (3 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 3 {000} 0
Tabel 4 Kode siklik 5 - ary dengan 𝑛 ≤ 3 .
𝒏 Faktorisasi 𝒙 𝒏 − 𝟏 Polinomial Pembangun (𝒈(𝒙)) deg (𝒈(𝒙)) Kode Siklik (𝑪) dim (𝑪) 1 4 + 𝑥 1 0 ℤ 5 1 4 + 𝑥 1 {0} 0 2 (1 + 𝑥) (4 + 𝑥) 1 0 ℤ 5 2 2 1 + 𝑥 1 {00, 11, 22, 33, 44} 1 4 + 𝑥 1 {00, 41, 14, 32, 23} 1 (1 + 𝑥) (4 + 𝑥) 2 {00} 0
3 (4 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 1 0
ℤ 5 3 3 4 + 𝑥 1 {000, 410, 041, 104, 140, 014, 401, 212, 221, 122, 320, 032, 203, 230, 023, 302, 113, 311, 131, 442, 244, 424, 433, 343, 334} 2
1 + 𝑥 + 𝑥 2 2 {000, 111, 222, 333, 444} 1 (4 + 𝑥) (1 + 𝑥 + 𝑥 2 ) 3 {000} 0

## 6       Kesimpulan
Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Hubungan antara ideal dan kode siklik adalah himpunan bagian tak kosong 𝐶 dari 𝐹 𝑞 𝑛 adalah kode siklik jika dan hanya jika 𝜋(𝐶) adalah ideal di 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) .
2. Sifat-sifat polinomial pembangun dari ideal dan dimensi dari kode siklik adalah :
a. Polinomial 𝑔(𝑥) adalah  polinomial  monik  dengan  derajat  terkecil  di  ideal tak  nol 𝐼 dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) jika  dan  hanya  jika 𝑔(𝑥) adalah  polinomial pembangun dari 𝐼 .
b. Terdapat  dengan  tunggal  polinomial  pembangun  dari  ideal  tak  nol 𝐼 dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) . c. Polinomial 𝑔(𝑥) adalah  polinomial  pembangun  dari  ideal  tak  nol 𝐼 dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) jika dan hanya jika 𝑔(𝑥) adalah pembagi monik dari 𝑥 𝑛 − 1 . d. Jika polinomial pembangun dari ideal tak nol 𝐼 dari 𝐹 𝑞 [𝑥]/(𝑥 𝑛 − 1) berderajat 𝑛 − 𝑘 , maka kode siklik yang bersesuaian berdimensi 𝑘 .
7       Daftar Pustaka
[1] Hankerson,  D.R.,  Horman,  D.G.,  Leonard,  D.A.,  Lindner,  C.C.,  Phelps,  K.T., Rodger,  C.A.  &  Wall,  J.R.,  2000, Coding  Theory  and  Cryptography  :  The Essentials Second Edition , Marcel Dekker, Inc.
[2] Ling, S. & Xing, C., 2004, Coding Theory A First Course , Cambridge University Press, hal 133.
[3] Prange,  E.,  1957, Cyclic  Error-Correcting  Codes  in  Two  Symbols ,  AFCRC-TN- 57, hal. 103.
[4] Shannon,  C.E.,  1948, A  Mathematical  Theory  of  Communication ,  Bell  System Technical Journal, Vol. 27, hal. 379-423, 623-656.