Volume I, Nomor 1, Februari 2015, Halaman 15–21

## REPRESENTASI KONSEP DAN PERANANNYA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH

## Mustangin
Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP Universitas Islam Malang must_tangin9@yahoo.co.id

## Abstrak
Representasi  konsep  memiliki  peran  yang  sangat  penting.  Suatu  masalah  yang  rumit  dan kompleks, bisa menjadi lebih sederhana jika strategi dan pemanfaatan representasi konsep yang digunakan  sesuai  dengan  permasalahan  tersebut.  Sebaliknya  suatu  permasalahan  akan  sulit dipecahkan  jika  penggunaan  representasinya  tidak  tepat.  Kesulitan  ini  akan  menjadi  semakin kompleks  jika  siswa  tidak  bisa  merepresentasikan  konsep  yang  tepat  karena  keterbatasan alternatif represenatsi yang dimilikinya. Artikel ini membahas konsep dasar representasi, jenis- jenis representasi dan peranannya dalam pembelajaran matematika.
Kata Kunci : Representasi, Konsep, Pembalajaran, Matematika

## PENDAHULUAN
Representasi  konsep  merupakan  kompetensi  yang  sangat  penting  dimiliki  siswa  dalam pembelajaran matematika. Representasi konsep berkaitan sangat erat dengan pemahaman konsep dan berpikir  matematika.  Kemampuan  dalam  representasi  konsep  menunjukkan  kapasitas  siswa  dalam pemahaman  konsep  dan  pemecahan  masalah  matematika.  Dalam  proses  pemecahan  masalah, representasi merupakan sarana berpikir ( tools of thinking ). Solso (dalam Suharnan, 2005) menyatakan bahwa  berpikir  merupakan  proses  menghasilkan  representasi  mental  yang  baru melalui transformasi informasi  yang  melibatkan  interaksi  secara  kompleks  antara  atribut-atribut  mental  seperti  penilaian, abstraksi, penalaran, imajinasi dan pemecahan masalah.
Pentingnya  representasi  dalam  pembelajaran  matematika,  juga  ditunjukkan  dalam  standar proses yang ditetapkan The National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) . Pada tahun 2000, NCTM  mempublikasikan  dokumen Principles  and  Standards  for  School  Mathematics yang mendeskripsikan  keterkaitan  pemahaman  dan  kompetensi  matematika  yang  harus  dimiliki  siswa. Pengetahuan, pemahaman dan keterampilan yang harus dimiliki siswa tercakup dalam standar proses yang meliputi: problem solving, reasoning and proof, communication, connection, and representation (NCTM, 2000).
Representasi  konsep  matematika  sangat  berperan  dalam  pemecahan  masalah,  khususnya dalam  mentransformasikan  ide-ide  abstrak  matematika    ke  dalam  konsep-konsep  yang  lebih  nyata, misalnya dalam bentuk gambar, simbol, kata-kata, tabel dan lain-lain. Vergnaud (dalam Goldin, 2002) menyatakan representasi merupakan unsur penting  dalam  teori  belajar-mengajar  matematika,  tidak hanya    karena  pemakaian  sistem  simbol  yang  penting  dalam  matematika,    tetapi    juga    karena matematika  mempunyai  peran  sangat  penting  dalam  mengkonseptualisasi  dunia  nyata.  Matematika merupakan  gagasan-gagasan  abstrak,  maka  untuk  mempermudah  dan  memperjelas    dalam penyelesaian    masalah    matematika,    representasi    sangat  berperan,  yaitu  untuk  mengubah  ide  atau gagasan  abstrak  menjadi  konsep  yang  nyata,  misalnya  dengan    gambar,    simbol,    kata-kata,    grafik, tabel  dan  lain-lain.  Dengan  demikian,  jika  siswa memiliki  akses  pada  representasi-representasi
dari    gagasan-gagasan    yang    ditampilkan,  maka  mereka  akan  memiliki  sekumpulan  sarana  yang secara signifikan meningkatkan kapasitasnya dalam berpikir matematis (NCTM, 2000).
Dalam    proses  pemecahan  masalah,  kemampuan  siswa  dalam  representasi  konsep  memiliki peran  yang  sangat  penting.  Suatu  masalah  yang  rumit  dan  kompleks,  bisa  menjadi  lebih  sederhana jika  strategi  dan  pemanfaatan  representasi  konsep  yang  digunakan  sesuai  dengan  permasalahan tersebut. Sebaliknya suatu permasalahan akan sulit dipecahkan jika penggunaan representasinya tidak tepat. Kesulitan ini akan menjadi semakin kompleks jika siswa tidak bisa merepresentasikan konsep yang  tepat  karena  keterbatasan  alternatif  represenatsi  yang  dimilikinya.  Otomatisasi  pemilihan representasi  yang  dimiliki  siswa  sangat  berperan  dalam  pengambilan  keputusan  strategi  pemecahan masalah matematika yang tepat dan akurat.
Dalam  konteks  belajar  dan  pembelajaran  matematika,  representasi  dapat  dipahami  secara terbuka  dan  luas.  Representasi  konsep  matematika  dapat  dipandang  dari  berbagai  perspektif  yang berbeda.  Perbedaan  perspektif  dalam  kajian  representasi,  mengakibatkan  perbedaan  pengertian  dan implikasinya  dalam  belajar  dan  pembelajaran  matematika.  Berikut  ini  dikemukakan  beberapa pengertian dan hal-hal penting yang terkait dengan representasi konsep.

## BEBERAPA PENGERTIAN REPRESENTASI
Istilah  representasi  dapat  dipandang  sebagai  proses  maupun  produk  (NCTM,  2000).  Dari sudut  pandang  proses,  representasi  merupakan  suatu  aksi  penangkapan  ( capturing )  makna  konsep atau  relasi  antar  konsep  dalam  matematika.    Dalam  pengertian  ini,  representasi  merupakan  suatu proses  internal  yang  terjadi  di  dalam  pikiran  siswa.  Dari  sudut  pandang  produk,  representasi  dapat dipandang  sebagai  suatu  alat  yang  dapat  digunakan  oleh  seseorang  untuk  menyatakan  ide-ide matematika. Kaput (1998) memandang representasi sebagai  alat-alat yang digunakan individu untuk mengorganisasikan  dan  menjadikan  situasi-situasi  lebih  bermakna,  sedangkan  Goldin  (1998) berpendapat  bahwa  representasi  merupakan  konfigurasi  atau  bentuk  atau  susunan  yang  dapat menggambarkan,  mewakili  atau  melambangkan  sesuatu  dalam  suatu  cara.  Suatu  ide  atau  konsep matematika  dapat  dinyatakan  dalam  berbagai  model  representasi.  Cai,  Lane  &  Jacabsin  (1996) memandang  bahwa  representasi  merupakan  cara  yang  digunakan  oleh  seseorang  untuk mengemukakan jawaban atau gagasan matematika.
Menurut  Jones  &  Knuth  (1991)  representasi  adalah  model  atau  bentuk  pengganti  dari  suatu situasi masalah atau aspek dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi. Suatu masalah  dapat  direpresentasikan  dengan  obyek,  gambar,  kata-kata,  atau  simbol  matematika.  Dalam Principles and Standards for School Mathematics dinyatakan bahwa representasi yang dimunculkan oleh  siswa  merupakan  ungkapan-ungkapan  dari  gagasan-gagasan  atau  ide-ide  matematika  yang ditampilkan siswa dalam upayanya untuk mencari suatu solusi dari masalah yang sedang dihadapinya (NCTM, 2000).
Dari  beberapa  paparan  tersebut  dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  representasi  adalah ungkapan-ungkapan  dari  ide-ide  atau  konsep-konsep  matematika  yang  ditampilkan  siswa  sebagai model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi dari masalah  yang  sedang  dihadapinya  sebagai  hasil  dari  interpretasi  pikirannya.  Suatu  masalah  dapat direpresentasikan melalui gambar, kata-kata ( verbal ), tabel, benda konkrit, atau simbol matematika. Secara  operasional  Pape  &  Tchoshanov  (2001)  menjelaskan  bahwa  representasi  dapat dideskripsikan  setidaknya  dalam  empat  gagasan  pokok,    yaitu:  1)  representasi  sebagai  abstraksi internal dari ide-ide matematika atau skema kognitif yang dibangun oleh siswa melalui pengalaman; 2)  representasi  sebagai  reproduksi  mental  dari  keadaan  mental  yang  sebelumnya;    3)  representasi sebagai  sajian  ekivalensi  struktur  melalui  gambar,  simbol  ataupun  lambang;  dan  4)  representasi sebagai pengetahuan tentang sesuatu yang mewakili sesuatu yang lain.

## JENIS-JENIS REPRESENTASI DALAM MATEMATIKA
Dalam  berbagai  kajian  literatur  ditemukan  bermacam-macam  tipe,  jenis  atau  katagori representasi.  Jenis-jenis  representasi  tersebut  dikarakterisasi  berdasarkan  perspektif  para  ahli  yang concern melakukan  kajian  dan  penelitian  tentang  representasi  dalam  pembelajaran  matematika. Berikut  ini  dikemukakan  uraian  singkat  tentang  jenis-jenis  representasi  yang  terkait  dengan  tujuan penelitian ini.
Hiebert  dan  Carpenter  (dalam  Hudoyo,  2002)  mengemukakan  bahwa  pada  dasarnya representasi  dapat  dinyatakan  sebagai  representasi  internal  dan  representasi eksternal.  Berpikir tentang  ide  matematis  yang  kemudian  dikomunikasikan, memerlukan representasi eksternal yang wujudnya  antara  lain:  verbal,  gambar,  dan  benda  konkrit.  Berpikir  tentang  ide  matematis  yang memungkinkan  pikiran  seseorang  bekerja  atas  dasar  ide  tersebut  merupakan  representasi  internal. Sejalan  dengan  pendapat  tersebut,  Goldin  (2002)  mengatakan  bahwa  representasi  eksternal  adalah hasil  perwujudan  untuk  menggambarkan  apa-apa  yang  dikerjakan  seseorang  secara  internal  atau dalam representasi internalnya.
Pape dan Tchoshanov (2001) berpendapat bahwa, terdapat hubungan timbal balik yang saling mempengaruhi  antara  representasi  internal  dan  representasi  eksternal.  Hubungan  antara  representasi internal dan eksternal tersebut dapat diilustrasikan seperti dalam Gambar 1.
Gambar 1. Hubungan antara Representasi Internal dan Eksternal dalam Mengembangkan Pemahaman Konsep Siswa tentang Bilangan (Pape dan Tchoshanov, 2001)
Pape dan Tchoshanov (2001) memandang bahwa proses-proses perkembangan representasi berfikir  siswa  terjadi  dalam  dua  sisi,  yaitu:  interaksi  antara  representasi  internal-eksternal,  dan ekternalisasi  bayangan  mental  ( mental  images ).  Tall  dan  Vinner  (dalam  Hitt,  2002)  menggunakan istilah  bayangan  konsep  ( concept  image )  untuk  menyatakan  bayangan  mental  dari  suatu  konsep. Dalam  pandangan  Tall  dan  Vinner  (1981)  setiap  konsep  memiliki  suatu  gambaran  mental  ( mental pictures ) dan bayangan konsep ( concept image ).
Gambaran  mental   individu  terhadap  suatu  konsep  merupakan  himpunan  semua represesntasi  visual  (termasuk  simbol)  yang  berasosiasi  dengan  konsep  tersebut.  Sejalan  dengan pernyataan itu, Tall dan Vinner menjelaskan bahwa “.... the term concept image to describe the total cognitive  structure  that  is  associated  with  the  concept,  which  includes  all  the  mental  pictures  and associated  properties  and  process”. Hal  ini  berarti  bahwa  bayangan  konsep  dipandang  sebagai keseluruhan  struktur  kognitif  yang  berasosiasi  dengan  suatu  konsep,  yang  terdiri  atas  gambaran mental,  sifat  dan  proses  yang  berasosiasi  dengan  konsep  tersebut.  Bayangan  konsep  dalam  pikiran individu, dapat dipandang sebagai gambaran pemahaman individu terhadap suatu konsep. Bayangan konsep dapat juga  memuat suatu definisi konsep (personal) yang direkonstruksi oleh seorang siswa. Rosken  &  Rolka  (2007)  mengilustrasikan  bayangan  konsep,  definisi  konsep,  dan  gagasan  lain  yang terkait seperti dalam Gambar 2.
Representasi    internal    dari    seseorang    sulit    untuk    diamati    secara    langsung  karena merupakan  aktivitas  mental  dari  seseorang  dalam  pikirannya  ( minds-on ).    Tetapi    representasi internal  seseorang  itu  dapat  disimpulkan  atau  diinferensi berdasarkan  representasi  eksternalnya dalam    berbagai    kondisi;    misalnya    dari  pengungkapannya    melalui    kata-kata    (lisan),    melalui tulisan    berupa    simbol,  gambar,  grafik,  tabel  ataupun  melalui  alat  peraga  ( hands-on ).  Dengan  kata lain terjadi  hubungan  timbal  balik  antara  representasi  internal  dan  eksternal  seseorang ketika berhadapan dengan sesuatu masalah.
Mathematical Concept

## FORMAL CONCEPT DEFINITION
Verbal definition, that accurately explains the concept

## CONCEPT IMAGE
Total cognitive structure that is associated with concept, which includes all mental pictures and associated properties and processes
(PERSONAL)

## CONCEPT DEFINITION
The student’s personal reconstruction of the definition
Gambar 2. Bayangan Konsep dan Definisi Konsep
Luitel  (2002)  membedakan  representasi  dalam  3  macam,  yaitu:  eksternal,  bersama  ( shared ) dan  internal.  Representasi  bersama  ( shared )  ada  dan  terjadi  selama  proses  interaksi.  Dalam  hal  ini representasi bersama dimaksudkan sebagai representasi yang dinegosiasikan antara guru dan siswa.
Goldin  dan  Shteingold  (2001)  memberikan  karakterisasi  model  sistem  representasi  internal dalam 5 komponen sistem yang berbeda, yaitu: verbal (syntactic)representational system, imagistic of representational  system,  formal  notational  representation,  strategic  and  heuristic  processes, dan affective system of representation . Sistem representasi verbal (syntactic) menggambarkan kemampuan bahasa alami individual di mana  kosa kata matematis sama halnya dengan  kosa kata  non-matematis yang  menggunakan  tata  bahasa  dan  sintaksis.  Sistem  representasi imagistic memuat  konfigurasi kognitif  visual-spasial, atau  gambaran  mental  ( mental  images ).    Sistem  representasi ini  memberikan sumbangan yang sangat besar terhadap pemahaman matematis.   Sistem imagistc juga memuat kode kinestetik, terkait dengan gerakan nyata atau imajinasi dari tangan dan tubuh, yang seringkali penting dalam menangkap feel (konsep) matematika.
Representasi notasi formal ( formal notational ) juga terjadi secara internal, sebagaimana siswa secara  mental  memanipulasi  bilangan,  melakukan  operasi  aritmetika,  atau  meragakan  tahap-tahap simbolik  dalam  menyelesaikan  suatu  persamaan  aljabar.  Proses strategic  dan  heuristic dalam pemecahan  masalah  matematika  direpresentasikan  sebagai  perkembangan  anak  yang  secara  mental mengorganisasikan metode-metode seperti trial and error ,  menentukan sub-sub  tujuan atau bekerja
Experiences Mental pictures Properties Impression
mundur.    Representasi  ini,  meskipun  berstruktur  tinggi  tapi  kadang-kadang  dapat  bekerja  di  bawah sadar di mana siswa dapat menggunakan suatu strategi dengan efektif, tapi mungkin kesulitan dalam menjelaskan  bagaimana  ia  melakukan  pendekatan  terhadap  masalah.  Sistem  representasi affective diperlukan  tidak  hanya  untuk  memodelkan  pembelajaran  dan  pemecahan  masalah  secara  efektif, tetapi juga untuk membahas tujuan-tujuan pendidikan yang memuat kesenangan dan konsep diri yang positif seperti kompetensi kognitif. Sistem ini juga memuat perubahan emosi siswa, sikap, keyakinan, tata  nilai  tentang  matematika  atau  diri  mereka  sendiri  dalam  kaitan  dengan  matematika.    Sistem afektif ini dapat meningkatkan atau menghalangi pemahaman matematika siswa.
Schnotz    (Gagatsis  et  al,  2004)  membagi    representasi    eksternal    dalam    dua    kelas    yang berbeda  yaitu representasi descriptive dan  representasi d epictive . Representasi descriptive terdiri atas simbol  yang    mempunyai    struktur    sembarang    dan    dihubungkan    dengan    isi    yang  dinyatakan secara  sederhana  dengan  makna  dari  suatu  konvensi,  yakni  teks, sedangkan representasi depictive termasuk  tanda-tanda iconic yang  dihubungkan  dengan  isi  yang  dinyatakan  melalui  ciri  struktural yang umum secara konkret atau pada tingkat yang lebih abstrak, yaitu, visual display .
Cai,  Lane,  dan  Jacabcsin  (1996)  menyatakan  bahwa  ragam  representasi  yang  sering digunakan  dalam  mengkomunikasikan  matematika  antara  lain  berupa  (1)  sajian  visual  seperti  tabel, gambar,  grafik;  (2)    pernyataan  matematika  atau  notasi  matematika;  (3)  teks  tertulis  yang  ditulis dengan bahasa sendiri baik formal maupun informal, ataupun kombinasi semuanya. Sementara Steffe, et  al .  (Hudoyo,  2002)  menggolongkan  representasi  menjadi:  verbal,  gambar,  benda  konkret,  tabel, model-model  manipulatif  atau  kombinasi  dari  semuanya.    Sedangkan  Miura  (2001)  menyatakan bahwa  secara  umum  dalam  pembelajaran  terdapat  2  macam  representasi  yang  mempengaruhi pemahaman siswa dalam memecahkan masalah matematika. Pertama, representasi pembelajaran yang berupa  definisi,  contoh  dan  berbagai  model  yang  digunakan  guru  dalam  memberikan  pengetahuan matematika  kepada  siswanya.  Kedua,  representasi  kognitif  yang  dikonstruksi  siswa    dalam memberikan makna suatu konsep matematika dan usaha memecahkan masalah yang dihadapi.
Friedlander  dan  Tabach  (2001)  mengelompokkan  representasi  dalam  representasi  verbal, representasi numeris, representasi grafis, dan representasi aljabar. Representasi verbal pada umumnya digunakan dalam menyatakan masalah di awal proses dan diperlukan untuk memberikan interpretasi akhir yang diperoleh dalam pemecahan masalah. Representasi numeris merupakan representasi yang diperkenalkan  kepada  siswa  pada  tahap  awal    belajar  aljabar.  Pendekatan  numeris  merupakan representasi yang dapat digunakan untuk memberikan jembatan yang mudah dan efektif dalam aljabar dan  umumnya  menjadi  dasar  representasi-representasi  yang  lain.  Representasi  grafis  merupakan model  representasi  yang  efektif  digunakan  untuk  menggambarkan  nilai  fungsi  dari  variabel  real. Representasi  aljabar  merupakan  representasi  yang  ringkas,  umum  dan  efektif  digunakan  untuk menyatakan pola-pola dan model-model matematika.

## PERANAN REPRESENTASI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Ada  dua  macam  representasi  yang  mempengaruhi  pemahaman  konsep  dan  pemecahan masalah  matematika  siswa,  yaitu representasi  pembelajaran dan representasi  kognitif  (Miura,  2001). Representasi pembelajaran digunakan guru untuk membantu siswa memahami matematika, misalnya definisi-definisi,  contoh-contoh  dan  model-model  matematika.    Sedangkan  representasi  kognitif dikonstruksi  oleh  siswa  sendiri  dalam  rangka  memahami  konsep  atau  mencari  solusi  dari permasalahan matematika.  Luitel (2002) membedakan peranan representasi dalam 7 macam sebagai berikut:
1) Representasi sebagai alat komunikasi ( source of communication )
Komunikasi merupakan  salah satu standar proses dari pembelajaran matematika sekolah.   Dalam perspektif  sosiologis,  representasi  dipandang  sebagai  bagian  dari  komunikasi.  Representasi memiliki  peranan  sangat  penting  dalam  meningkatkan  efektivitas  komunikasi    di  dalam  maupun lintas  sistem  matematika.  Dalam  hal  ini,  komunikasi  yang  efektif  memerlukan  suatu  sistem representasi yang efektif juga. Di dalam matematika, komunikasi merupakan hal yang sangat vital untuk  keberhasilan  pembelajaran.  Secara  umum,  matematika  dapat  dipandang  sebagai  suatu bahasa.  Dalam  hal  ini,  representasi  ide-ide  matematika  merupakan  alat  komunikasii  dalam matematika sebagaimana kata-kata dalam kerja bahasa.
2) Representasi sebagai indikator sikap siswa terhadap matematika ( indicator of students’ attitude ) Sistem  representasi    affective  merupakan  sumber  identifikasi  sikap  siswa  terhadap  matematika. Dalam  hal  ini,  sistem  representasi  internal  sangat  membantu    untuk  meningkatkan  sikap  siswa terhadap matematika.
Siswa yang merasa tidak paham atau tidak bisa lambat laun akan mempunyai sikap tidak menyukai matematika.  Sebaliknya, siswa yang bisa akan termotivasi untuk terus belajar matematika.
3) Representasi sebagai bukti dari pemahaman matematika siswa ( evidence of probing understanding of learning )
Tujuan  dari  pembelajaran  matematika  adalah  mengembangkan  pemahaman  siswa  dalam matematika.  Bagi  guru,  representasi  dapat  berguna  untuk  menilai  pemahaman  siswa  terhadap matematika.  Dalam  hal  ini,  berbagai  model  representasi  seperti  diagram,  verbal  dan  kadang- kadang objek-objek konkrit dapat membantu sebagai alat penilaian pemahaman.
Siswa  yang  mampu  merepresentasikan  suatu  konsep  baik  dalam  bentuk  benda  konkrit,  gambar atau simbolik menunjukkan pemahaman terhadap suatu konsep tersebut.
4) Representasi  sebagai  alat  penghubung  antar  konsep-konsep  ( means  of  establishing  links  between the concept )
Repersentasi  bukanlah  entitas  tunggal  dari  sesuatu,  tapi  merupakan  ide-ide  beragam  dari  relasi- relasi  ekspresi  matematika,  konsep-konsep  dan  prinsip-prinsip.  Lebih  lanjut,  representasi membantu memvisualisasi hubungan-hubungan antara konsep-konsep.
5) Reperesentasi sebagai proses pengembangan yang berada dalam kontinum prosedural–konseptual ( developmental process that exist in procedural-conceptual continum )
Informasi  implisit  yang  tersimpan  dalam  otak  berbentuk  representasi  internal.  Informasi  tersebut disimpan  melalui  suatu  proses  berulang  ( iteratif )  yang  disebut  proses  redeskripsi.    Proses redeskripsi berlangsung dalam tiga fase, yaitu: prosedural, meta prosedural dan konseptual.
P ada  fase  prosedural,  siswa  lebih  berorientasi  pada  hasil  dan  menunjukkan  kinerja  algoritma mereka.    Pada  fase  meta  prosedural,  sifat  representasi  berbeda  dengan  fase  sebelumnya.  Siswa menunjukkan  konstruksi  meta  prosedural,  sebagai  contoh  interpretasi  dari  algoritma  dan rasionalisasi  dari  prosedur  tersebut.    Pada  fase  konseptual,  siswa  menunjukkan  kontrol  atas kontinum eksternal-internal di mana representasi diatur dalam jaringan mental siswa.
6) Representasi sebagai alat mengatasi hambatan kognitif ( means of overcoming cognitive obstacles ) Hambatan kognitif adalah suatu potongan pengetahuan siswa yang secara umum sangat baik untuk menyelesaikan  suatu  masalah  dan  telah  tersimpan  dalam  pikiran,  tetapi  menjadi  tidak  demikian ketika  menghadapi  masalah-masalah  baru,  di  mana  pengetahuan  siswa  tersebut  tidak  cukup  dan sulit untuk diadaptasi.  Hambatan-hambatan tersebut dapat diatasi melalui meningkatkan kekuatan sistem  representasional.  Pada  umumnya,  hambatan  dapat  diatasi  karena  sistem-sistem representasional  dihubungkan  satu  sama  lain.    Demikian  juga,  jika  representasi  dikembangkan melalui perspektif yang lebih luas maka akan membantu dalam pembelajaran selanjutnya.
7) Representasi  sebagai  bagian  dari  proses  atau  alat  mengkonstruksi  ide-ide  matematika  ( part  of process or means of constructing mathematical ideas )
Representasi bukanlah metode  dan bukan teori pembelajaran.  Representasi merupakan alat untuk mengkonstruksi  ide-ide  matematika.  Lebih  lanjut,  sistem  representasi  dapat  membantu mengembangkan kategori-kategori dan sub-sub kategori dari ide-ide yang direpresentasikan siswa. Pada umumnya, representasi membantu dalam penyederhanaan struktur paradigmatik dari belajar pengetahuan matematika.

## DAFTAR RUJUKAN
Cai,  Lane,  Jacabcsin.  1996. Assesing  Students’  Mathematical  Communication.  Official Journal  of Science and Mathematics. 96(5). pp 238-346.
Cuoco, Albert A. 2001. The Roles of Representation in School Mathematics 2001 Year Book. Reston, VA: NCTM
Fiedlander A. & Tabach, M. 2001. Promoting Multiple Representations in Algebra . In Cuoco, Albert A. The  Roles  of  Representation  in  School  Mathematics 2001  Year  Book.  Reston,  VA: NCTM
Gagatsis,  A.  &  Elia,  I.  2004. The  Effects  of  Different  Modes  of  Representation  on  Mathematical Problem Solving . Proceedings of The 28th Conference of The International Group for The PMA. Volume 2. pp 447-454.
Gagatsis,  A.  et  al.  2004. The  Nature  of  Multiple  Representation  in  Developing  Mathematical Relationship . Quardeni di Ricerca in Didattica, n14, 2004
Goldin, G. A. 2002. Representation in Mathematical Learning and Problem Solving . In L. D. English (Ed.), Handbook  of  International  Research  in  Mathematics  Education .pp.  197-218. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers
Goldin, G.A. & Shteingold, N. 2001. System of Representation and the Development of Mathematical Concept .  In  Cuoco,  Albert  A.  (Ed). The  Roles  of  Representation  in  School  Mathematics 2001 Yearbook . Reston, VA: NCTM
Goldin,  G.A.  1998. Representational  System,  Learning,  and  Problem  Solving .  Journal  of Mathematical Behavior, 17(2). pp. 137-165
Hitt,  F.  (Eds).  2002. Representations  and  Mathematics  Visualization .  Mexico:  Departamento Dematemática Educativa, Cinvestav-IPN.
Hudoyo, H. 2002. Representasi Belajar Berbasis Masalah . Jurnal Matematika atau Pembelajarannya. ISSN: 085-7792. Tahun VIII, Edisi Khusus.
Jones, B.F., & Knuth, R.A. 1991. What does Research Say About Mathematics? NCREL, Oak Brook
Kaput,  J.J.  1998. Representations,  Inscriptions,  Descriptions  and    Learning:  A  Kaleidoscope  of Windows. Journal of Mathematical Behaviour, 17(2). pp. 256-281
Luitel, B. C.  2002. Representation of Mathematics Learning: A Short Discourse. Paper presented at the annual Meeting of Western Australia Science Education Association, Canning College, Perth.
Miura, I.T. 2001. The Influence of Language on Mathematical Representations . In Cuoco, Albert A. The Roles of Representation in School Mathematics 2001 Year Book. Reston, VA: NCTM
National  Council  of  Teachers  of  Mathematics.  2000. Principles  and  Standards  for  School Mathematics . Reston, VA: NCTM.
Pape,  S.J.  &  Tchoshanov,  M.A.  2001. The  Role  of  Representation(s)  in  Developing  Mathematical Understanding . Theory into Practice, 40(2). pp. 118-125
Roken,  B.  &  Rolka,  K.  2007. Integrating  Intuition:  The  Role  of  Concept  Image  and  Concept Definition  for  Students’  Learning  Integral  Calculus .  Duisburg,  Jerman:  TMME Monograph3, pp. 181-204
Suharnan. 2005. Psikologi Kognitif . Surabaya: Penerbit Srikandi
Tall, D., & Vinner, S. 1981. Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to Limits and Continuity . Educational Studies in Mathematics, 12(2), pp. 151-169