## DIMENSI METRIK LOKAL PADA GRAF MUSICAL DAN GRAF STACKED PRISM
Elis Dyah Wulancar 1 , Tri Atmojo Kusmayadi 2
1,2 Universitas Sebelas Maret Surakarta
Abstract: For  example  G  is  a  connected  and  nontrivial  graph.  The  distance  between two vertices u and v in G is the shortest path between vertex u and v which is denoted by d (u, v). Suppose that there is a sequential set of 𝑾 =  𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 , ⋯ , 𝒘 𝒏 of vertex n which is different from G, then the representation of vertex v to W is a sequential pair of 𝒗 𝑾  = (𝒅(𝒗, 𝒘 𝟏 ), 𝒅(𝒗, 𝒘 𝟐 ), ⋯ , 𝒅(𝒗, 𝒘 𝒏 )) .  The  set  W  is  called  as  local distinguishing set if 𝒓 𝒖 𝑾  ≠ 𝒓 𝒗 𝑾 for each pair of vertex u and v is adjacent to G.
The local distinguishing set W with minimum cardinality is called as local metric base and its cardinality is called as local metric dimension of graph G denoted by 𝐝𝐢𝐦 𝒍 (𝑮) . In this research, metric local dimension of Musical MGn and stacked prism graphs Ym is  determined.    This  is  literature  study  by  combining  relevant  references.  The  results state  that  local  metric  dimension  in  musical  graphs  is 𝐝𝐢𝐦 𝒍 𝑴𝑮 𝒏 = 𝟓 for  n  and 𝐝𝐢𝐦 𝒍 𝑴𝑮 𝒏 = 𝒏 for  n  >  3.  Local  metric  dimension  in  stacked  prism  graph  is 𝐝𝐢𝐦 𝒍 𝒀 𝒎,𝒏 = 𝟏 for even m and 𝐝𝐢𝐦 𝒍 𝒀 𝒎,𝒏 = 𝟐 for odd m. Keywords: local  metric  dimension,  musical  graph,  stacked  prism  graph,  local distinguishing set .

## PENDAHULUAN
Matematika  dapat  diterapkan  dalam  berbagai  bidang  di  kehidupan  nyata.  Teori graf  adalah  salah  satu  cabang  ilmu  matematika  yang  sering  diterapkan.  Menurut Chartrand et  al .  (2016),  suatu  graf G adalah  himpunan  tak  kosong  berhingga 𝑉 𝐺  = {𝑣 1 , 𝑣 2 , ⋯ , 𝑣 𝑛 } yang  disebut vertex dan 𝐸 𝐺  = {𝑒 1 , 𝑒 2 , ⋯ , 𝑒 𝑛 } merupakan  himpunan pasangan tidak berurutan dari anggota-anggota 𝑉(𝐺) yang disebut edge . Vertex dan edge secara berurutan merupakan representasi dari titik dan garis. Teori graf dapat diterapkan dalam  beberapa  hal,  seperti puzzle  games , transportation  problem , operation  research , dan lain sebagainya. Oleh karena itu, teori graf berkembang sangat pesat.
Seiring  dengan  perkembangannya  yang  pesat, telah muncul  konsep-konsep  baru dalam  teori  graf.  Salah  satu  konsep  dalam  teori  graf  yaitu  dimensi  metrik  lokal  yang merupakan  pengembangan  dari  konsep  dimensi  metrik.  Misal 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , ⋯ , 𝑤 𝑘 } merupakan  himpunan  bagian  dari  himpunan vertex dalam  suatu  graf G .  Representasi suatu vertex  u terhadap W merupakan  pasangan  berurutan dari jarak  antara u dan  setiap vertex di W ,  dimana u adalah vertex pada G dan  jarak  dari  dua vertex didefinisikan sebagai  panjang  lintasan  ( path )  terpendek  antara  dua vertex .  Himpunan W disebut himpunan  pembeda  lokal  apabila  representasi  setiap  dua vertex yang  saling adjacent berbeda  terhadap W .  Himpunan  pembeda  lokal  dengan  jumlah  anggota  minimal  disebut basis metrik lokal dan banyaknya anggota pada basis disebut dimensi metrik lokal.
Okamoto et  al .  (2010)  memperkenalkan  konsep  dimensi  metrik  lokal  sebagai pengembangan  dari  konsep  dimensi  metrik.  Salah  satu  hasilnya  yaitu  suatu  graf terhubung nontrivialG memiliki dimensi metrik lokal 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾 𝑛 . Selain itu, G memiliki dimensi metrik lokal 1 jika dan hanya jika G adalah graf bipartit. Kristina dkk. (2014) menentukan dimensi metrik lokal pada graf hasil operasi comb dari graf siklus dan graf bintang, sedangkan Ningsih dkk. (2014) menentukan dimensi metrik lokal  pada  graf  hasil  kali comb dari  graf  siklus  dan  graf  lintasan.  Penelitian  tentang dimensi  metrik  lokal  hasil  kali  korona  pada  suatu  graf  dilakukan  oleh  Rodríguez- Velázquez et  al .  (2016).  Cahyabudi  dan  Kusmayadi  (2017)  menentukan  dimensi  metrik lokal pada graf lollipop , graf web , dan graf friendship . Budianto dan Kusmayadi (2018) menentukan  dimensi  metrik  lokal  pada  graf starbarbell ,  graf 𝐾 𝑚 ⨀𝑃 𝑛 ,  dan  graf Möbius ladder .
Hasil penelitian tersebut digunakan sebagai acuan untuk meneliti dimensi metrik lokal pada graf musical dan graf stacked prism . Penelitian ini diharapkan dapat menjadi pengembangan  ilmu  matematika  dan  menambah  kajian  ilmu  matematika  khususnya dalam teori graf yang berkaitan dengan dimensi metrik lokal.

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur.  Berikut langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam  menentukan  dimensi  metrik  lokal  pada  graf musical dan graf stacked prism.
1. Menentukan himpunan W pada graf musical dan graf stacked prism .
2. Menghitung jarak setiap vertex terhadap W yang telah dientukan sedemikian sehingga setiap  dua vertex berbeda  yang  saling adjacent pada  graf musical dan  graf stacked prism mempunyai representasi yang berbeda terhadap W .
3. Menentukan  dimensi  metrik  lokal  dan  pola  umum  dimensi  metrik  lokal  pada  graf musical dan graf stacked prism .
4. Membuat  lema  dan/atau  teorema  beserta  pembuktian  berdasarkan  hasil  yang diperoleh.
5. Membuat kesimpulan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bagian ini dibahas mengenai dimensi metrik lokal pada graf musical dan graf stacked prism sehingga diperoleh rumus umum dan pembuktiannya.
A. Dimensi Metrik Lokal pada Graf Musical
Knuth (2008) mendefinisikan graf musical adalah graf dengan order 24 yang disusun berdasarkan tangga nada. Pada umumnya, graf musical 𝑀𝐺 𝑛 ber- order 2𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 . Graf musical terdiri dari cycle 𝐶 𝑛 1 dengan himpunan vertex 𝑉 𝐶 𝑛 1 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 } dan terhubung  dengan cycle 𝐶 𝑛 2 dengan  himpunan vertex 𝑉 𝐶 𝑛 2 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } dimana 𝐶 𝑛 1 adalah cycle pertama  sedangkan 𝐶 𝑛 2 adalah cycle kedua  yang  masing-masing  ber- order n .
Berikut adalah teorema yang diberikan oleh Okamoto et al. (2010) dan dua lema yang digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya.
Teorema  1.1. Diberikan G merupakan sebuah graf terhubung nontrivial ber-order n, maka dim 𝑙 (𝐺) = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾 𝑛 dan dim 𝑙 (𝐺) = 1 jika dan hanya jika G adalah graf bipartit.
Lema 1.1. Untuk setiap bilangan bulat 𝑛 ≥ 3 , jika W adalah himpunan pembeda lokal dari graf musical 𝑀𝐺 𝑛 , maka 𝑊  ≥ 𝑛.
Bukti . Diberikan graf musical dengan himpunan vertex 𝑉 𝑀𝐺 𝑛 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } .  Andaikan 𝑊  < 𝑛 .  Pada 𝑀𝐺 𝑛 ,  setiap vertex 𝑢 𝑖 adjacent dengan vertex 𝑣 𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ,  sehingga  diperoleh 𝑑 𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 = 𝑑 𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 = 1 dengan 𝑖 ≠ 𝑗 .  Jika  diambil 𝑊 ⊂ 𝑉 𝑀𝐺 𝑛 − {𝑢 𝑛 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } ,  maka diperoleh  representasi 𝑟 𝑢 𝑛 𝑊  = 𝑟 𝑣 𝑛 𝑊  = (1,2, … , 𝑛 2 , 𝑛−2 2 , 𝑛−4 2 , … ,1) untuk n genap  dan 𝑟 𝑢 𝑛 𝑊  = 𝑟 𝑣 𝑛 𝑊  = (1,2, … , 𝑛−1 2 , 𝑛−1 2 , 𝑛−3 2 , 𝑛−5 2 , … ,1) untuk n ganjil. 𝑢 𝑛 dan 𝑣 𝑛 merupakan  dua vertex yang  saling adjacent ,  sehingga  kontradiksi  dengan pengandaian. Terbukti bahwa 𝑊  ≥ 𝑛.
Lema  1.2. Untuk  setiap  bilangan  bulat 𝑛 > 3 ,  jika 𝑊 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 } ⊂ 𝑉(𝑀𝐺 𝑛 ) , maka W adalah himpunan pembeda lokal dari graf musical 𝑀𝐺 𝑛 .
Bukti .  Himpunan vertex pada 𝑀𝐺 𝑛 membentuk cycle 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 , 𝑢 1 dan cycle 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 , 𝑣 1 serta  berdasarkan  Lema  1.2  setiap vertex 𝑢 𝑖 adjacent dengan vertex 𝑣 𝑖 . Diperoleh representasi dari setiap vertex pada graf musical terhadap W .
1. Untuk n genap
Untuk n genap diperoleh representasi setiap vertex 𝑉(𝑀𝐺 𝑛 ) terhadap W yaitu
𝑟 𝑢 1 𝑊        =  0,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,2,1 , 𝑟 𝑢 2 𝑊        =  1,0,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,2 , ⋮ 𝑟  𝑢 𝑛 +2 2 𝑊  = 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,2,1,0,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 ,
𝑟  𝑢 𝑛 +4 2 𝑊  = 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,2,1,0,1,2, … , 𝑛 − 4 2 ,
⋮
𝑟 𝑢 𝑛−1 𝑊    =  2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,2,1,0,1 , 𝑟 𝑢 𝑛 𝑊        =  1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,2,1,0 , 𝑟 𝑣 1 𝑊        =  1,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3,2,1 , 𝑟 𝑣 2 𝑊        =  1,1,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3,2 , 𝑟 𝑣 3 𝑊        =  2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3 ,
⋮
𝑟  𝑣 𝑛 +2 2 𝑊  = 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3,2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 ,
𝑟  𝑣 𝑛 +4 2 𝑊  = 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3,2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 4 2 ,
⋮
𝑟 𝑢 𝑛−1 𝑊  =  2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3,2,1,1,1 , 𝑟 𝑢 𝑛 𝑊       =  1,2, … , 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 4 2 , … ,3,2,1,1 . 2. Untuk n ganjil
Untuk n ganjil diperoleh representasi setiap vertex 𝑉(𝑀𝐺 𝑛 ) terhadap W yaitu 𝑟 𝑢 1 𝑊        =  0,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2,1 , 𝑟 𝑢 2 𝑊        =  1,0,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2 ,
⋮
𝑟  𝑢 𝑛 +1 2 𝑊  = 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2,1,0,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑟  𝑢 𝑛 +3 2 𝑊  = 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2,1,0,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 ,
𝑟  𝑢 𝑛 +5 2 𝑊  = 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2,1,0,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , ⋮
𝑟 𝑢 𝑛−1 𝑊    =  2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2,1,0,1 ,
𝑟 𝑢 𝑛 𝑊        =  1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,2,1,0 , 𝑟 𝑣 1 𝑊        =  1,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2,1 , 𝑟 𝑣 2 𝑊        =  1,1,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2 , 𝑟 𝑣 3 𝑊        =  2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3 ,
⋮
𝑟  𝑣 𝑛 +1 2 𝑊  = 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑟  𝑣 𝑛 +3 2 𝑊  = 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑟  𝑣 𝑛 +5 2 𝑊  = 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2,1,1,1,2, … , 𝑛 − 5 2 ,
⋮
𝑟 𝑢 𝑛−1 𝑊  =  2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2,1,1,1 , 𝑟 𝑢 𝑛 𝑊       =  1,2, … , 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 5 2 , … ,3,2,1,1 .
Setiap  pasangan vertex yang  saling adjacent dalam  graf musical 𝑀𝐺 𝑛 memiliki representasi yang berbeda terhadap W , oleh karena itu 𝑊 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 } merupakan himpunan pembeda lokal dari 𝑀𝐺 𝑛 .
Teorema 1.2. Jika 𝑀𝐺 𝑛 adalah graf musical dengan 𝑛 ≥ 3 , maka
dim 𝑙 𝑀𝐺 𝑛 =   5,     𝑛 = 3; 𝑛,     𝑛 > 3. Bukti. Diberikan graf musical dengan himpunan vertex 𝑉 𝑀𝐺 𝑛 =  𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 . Dimensi metrik lokal pada 𝑀𝐺 𝑛 terdiri dari dua kasus, yaitu untuk 𝑛 = 3 dan 𝑛 > 3 .
Kasus 1. 𝑛 = 3
Graf musical 𝑀𝐺 𝑛 dengan 𝑛 = 3 merupakan  graf  lengkap 𝐾 2𝑛 ,  dengan  Teorema  1.1 dapat disimpulkan bahwa dim 𝑙 𝑀𝐺 𝑛 = 2𝑛 − 1 = 5 .
Kasus 2. 𝑛 > 3
Berdasarkan  Lema  1.1  dan  Lema  1.2  terbukti  bahwa  jika 𝑀𝐺 𝑛 adalah  graf musical dengan 𝑛 > 3 , maka dim 𝑙 𝑀𝐺 𝑛 = 𝑛 .

## B. Dimensi Metrik Lokal pada Graf Stacked Prism
Gallian (2007) mendefinisikan graf stacked prism 𝑌 𝑚,𝑛 adalah graf yang diperoleh dari hasil cartesian  product pada  graf cycle 𝐶 𝑚 dan  graf  lintasan 𝑃 𝑛 .  Graf stacked prism 𝑌 𝑚 ,𝑛 merupakan graf dengan 𝑚𝑛 vertex dan 𝑚(2𝑛 − 1) edge .
Teorema 2.1. Jika 𝑌 𝑚,𝑛 adalah graf stacked prism dengan 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 1 maka
dim 𝑙 𝑌 𝑚,𝑛 = 1,     untuk 𝑚 genap; 2,     untuk 𝑚 ganjil. Bukti. Diberikan graf stacked prism dengan himpunan vertex 𝑉 𝑌 𝑚,𝑛 =  𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑚𝑛 .  Dimensi  metrik  lokal  pada 𝑌 𝑚,𝑛 terdiri  dari  dua kasus, yaitu untuk m genap dan m ganjil.
Kasus 1. m genap, 𝑚 ≥ 3
Misalkan himpunan vertex 𝑉(𝑌 𝑚,𝑛 ) dipartisi menjadi dua himpunan vertex .
1. Untuk n genap
𝑉 1 = {𝑣 1 , 𝑣 3 , 𝑣 5 , … , 𝑣 𝑚 −1 , 𝑣 𝑚 +2 , 𝑣 𝑚+4 , … , 𝑣 2𝑚 , 𝑣 2𝑚+1 , 𝑣 2𝑚+3 , … , 𝑣 3𝑚−1 ,
𝑣 3𝑚+2 , 𝑣 3𝑚+4 , … , 𝑣 4𝑚 , … , 𝑣 𝑚𝑛 } ,
𝑉 2 = {𝑣 2 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , … , 𝑣 𝑚 , 𝑣 𝑚+1 , 𝑣 𝑚 +3 , … , 𝑣 2𝑚−1 , 𝑣 2𝑚+2 , 𝑣 2𝑚+4 , … , 𝑣 3𝑚 , 𝑣 3𝑚+1 , 𝑣 3𝑚+3 , … , 𝑣 4𝑚−1 , … , 𝑣 𝑚𝑛 −1 } .
2. Untuk n ganjil
𝑉 1 = {𝑣 1 , 𝑣 3 , 𝑣 5 , … , 𝑣 𝑚 −1 , 𝑣 𝑚 +2 , 𝑣 𝑚+4 , … , 𝑣 2𝑚 , 𝑣 2𝑚+1 , 𝑣 2𝑚+3 , … , 𝑣 3𝑚−1 , 𝑣 3𝑚+2 , 𝑣 3𝑚+4 , … , 𝑣 4𝑚 +1 , 𝑣 4𝑚+3 , … , 𝑣 5𝑚−1 , … , 𝑣 𝑚𝑛 −1 } ,
𝑉 2 = {𝑣 2 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , … , 𝑣 𝑚 , 𝑣 𝑚+1 , 𝑣 𝑚 +3 , … , 𝑣 2𝑚−1 , 𝑣 2𝑚+2 , 𝑣 2𝑚+4 , … , 𝑣 3𝑚 ,
𝑣 3𝑚+1 , 𝑣 3𝑚+3 , … , 𝑣 4𝑚+2 , 𝑣 4𝑚+4 , … , 𝑣 5𝑚 , … , 𝑣 𝑚𝑛 −1 } .
Setiap vertex pada  dua  partisi  tersebut  tidak  saling adjacent ,  artinya 𝑌 𝑚,𝑛 dengan m genap  dan 𝑚 ≥ 3 adalah  graf  bipartit.  Berdasarkan  Teorema  1.1  dapat  disimpulkan bahwa dim 𝑙 𝑌 𝑚,𝑛 = 1 .
Kasus 2. m ganjil, 𝑚 ≥ 3
Jika 𝑊 = {𝑣 1 , 𝑣 2 } ⊂ 𝑉 𝑌 𝑚 ,𝑛 , maka diperolehrepresentasi dari setiap vertex pada graf stacked prism terhadap W .
𝑣 1 = (0,1) , 𝑣 3𝑚 +5 2 = 𝑚 −1 2 , 𝑚 +1 2 , 𝑣 2 =  1,0 , 𝑣 3𝑚 +7 2 = 𝑚 −3 2 , 𝑚 −1 2 ,
𝑣 3 = (2,1) , ⋮ ⋮ 𝑣 2𝑚 = (2,3) , 𝑣 𝑚 +1 2 = ( 𝑚−1 2 , 𝑚−3 2 ) , ⋮
𝑣 𝑚 +3 2 = 𝑚−1 2 , 𝑚 −1 2 , 𝑣 𝑛−1 𝑚 =  𝑛 − 1, 𝑛 ,
𝑣 𝑚 +5
2 = 𝑚−3 2 , 𝑚 −1 2 , 𝑣 𝑛−1 𝑚+1 =  𝑛 − 1, 𝑛 ,
𝑣 𝑚 +7 2 = ( 𝑚−5 2 , 𝑚−3 2 ) , 𝑣 𝑛−1 𝑚+2 =  𝑛, 𝑛 − 1 , ⋮ 𝑣 𝑛−1 𝑚+3 =  𝑛 + 1, 𝑛 , 𝑣 𝑚 =  1,2 , ⋮ 𝑣 𝑚 +1 =  1,2 , 𝑣 2𝑛 −1 𝑚 +1 2 = 𝑚+2𝑛−3 2 , 𝑚 +2𝑛−5 2 , 𝑣 𝑚 +2 =  2,1 , 𝑣 2𝑛 −1 𝑚 +3 2 = 𝑚+2𝑛−3 2 , 𝑚 +2𝑛−3 2 , 𝑣 𝑚 +3 = (3,2) , 𝑣 2𝑛 −1 𝑚 +5 2 = 𝑚+2𝑛−5 2 , 𝑚 +2𝑛−3 2 , ⋮ 𝑣 2𝑛 −1 𝑚 +7 2 = 𝑚+2𝑛−7 2 , 𝑚 +2𝑛−5 2 , 𝑣 3𝑚 +1 2 = 𝑚+1 2 , 𝑚−1 2 , ⋮ 𝑣 3𝑚 +3 2 = 𝑚+1 2 , 𝑚+1 2 , 𝑣 𝑚𝑛 = (𝑛, 𝑛 + 1) .
Setiap pasangan vertex yang saling adjacent dalam graf stacked prism 𝑌 𝑚,𝑛 memiliki representasi  yang  berbeda  terhadap W .  Menurut  Chartrand et  al. (2016),  sebuah  graf nontrivial adalah  graf  bipartit  jika  dan  hanya  jika  graf  tersebut  tidak  memuat cycle ganjil. Graf stacked prism 𝑌 𝑚 ,𝑛 dengan m ganjil dan 𝑚 ≥ 3 bukan graf bipartit. Jadi W merupakan himpunan pembeda lokal 𝑌 𝑚 ,𝑛 , terbukti bahwa 𝑑𝑖𝑚 𝑙 𝑌 𝑚,𝑛 = 2 .

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Dimensi metrik lokal pada graf musical 𝑀𝐺 𝑛 yaitu
dim 𝑙 𝑀𝐺 𝑛 =   5,     𝑛 = 3; 𝑛,     𝑛 > 3.
2. Dimensi metrik lokal pada graf stacked prism 𝑌 𝑚 ,𝑛 yaitu
dim 𝑙 𝑌 𝑚,𝑛 = 1,     untuk 𝑚 genap;
2,     untuk 𝑚 ganjil.
Bagi  pembaca  yang  tertarik  dengan  topik  ini,  dapat  mengembangkan  penelitian  pada kelas-kelas  graf  lain  misal  graf generalized Jahangir  atau  graf generalized Petersen. Selain itu juga dapat diaplikasikan dalam graf hasil operasi, misal operasi join ( 𝐶 𝑚 + 𝑃 𝑛 ) atau operasi edge korona ( 𝐶 𝑚 ⋄ 𝑃 𝑛 ).

## DAFTAR PUSTAKA
„ Budianto,  W.T.,  and  T.A.  Kusmayadi.  (2018). The  Local  Metric  Dimension  of Starbarbell  Graph, 𝐾 𝑚 ⨀𝑃 𝑛 Graph,  and  Möbius  ladder  Graph . Journal  of Physics: Conference Series 1008 012050 .
Cahyabudi,  A.N.,  and  T.A.  Kusmayadi.  (2017).  On  the  Local  Metric  Dimension  of  a Lollipop  Graph,  a  Web  Graph,  and  a  Friendship Graph . Journal  of  Physics: Conference Series 909 012039.
Chartrand.  G.,  L.  Lesniak,  and  P.  Zhang.  (2016). Graphs  and  Digraphs, 6 𝑡𝑕 ed. New York, CRC Press.
Gallian,  J.  A.  (2007). Dynamic  Survey  DS6:  Graph  Labelling.  Electronic  Journal Combinatorics , 3, 1-58.
Knuth, D.E. (2008). The  Art of  Computer  Programming: Introduction  to  Combinatorial Algorithms and Boolean Functions , vol. 4. California, Addison-Wesley.
Kristina, M., N. Estuningsih, dan L. Susilowati. (2014). Dimensi Metrik Lokal pada Graf hasil Kali Comb dari Graf Siklus dan Graf Bintang. Jurnal Matematika, 1(1), 1-9.
Ningsih, E. U. S., N. Estuningsih, dan L. Susilowati. (2014). Dimensi Metrik Lokal pada Graf  Hasil  Kali Comb dari  Graf  Siklus  dan  Graf    Lintasan.  Jurnal  Matematika, 1(1), 24-33.
Okamoto, F., B. Phinezy, and P. Zhang. (2010). The Local Metric Dimension of a Graph. Mathematica Bohemica , 135(3), 239-255.
Rodríguez-Velázquez,  J.  A.,  G.A.  Barragán-Ramírez,  and  C.  G.  Gómez.  (2016). On  the Local  Metric  Dimension  of  Corona  Product  Graphs.  Bull.  Malays.  Math.  Sci.
Soc , 39(2), 157-173.