Pengaruh Matematika Stokastik Pada Model Lingkungan.

## Wahyu Fistia D

## Jurusan Matematika FMIPA ITS

## Abstrak
Dua  jenis  yang  berbeda  dari  model  lingkungan  memainkan  sebuah  aturan  pusat  di antaranya  sebuah  model  transportasi  tiga  dimensi. Pada  jenis  model lingkungan  yang  berbeda didapatkan pengaruh dari matematika stokastik.
Pada  penelitian  ini  dikembangkan  model  transportasi  tiga  dimensi dengan tujuan pendekatan  numerik  menggunakan  persamaan  diferensial  stokastik.  Gerakan  partikel memperlihatkan arah horizontal maupun vertikal yang mengartikan konvergen lemah dan kuat.
Kata kunci : Model transportasi,persamaan differensial stokastik,konvergen.

## 1..Pendahuluan.
Pada tahun 1989 terjadi bencana alam yaitu kecelakaan dengan kapal pengangkut Exxon Vladez  di  pantai  pesisir  Alaska.Lebih  dari  42  juta  liter  minyak  oli  mentah  kebocoran  diteluk Alaska.Sampai  berhari-hari,kira-kira  700  kilometer  dari  garis  pantai  berminyak,akhirnya  dapat ditemukan  tumpahan  minyak  berjarak  1000  kilometer  dari  kecelakaan.Pengaruh  oli  pada tumbuhan  laut  dan  binatang  masih  dirasakan  sampai  hari  ini  dengan  perlahan-lahan,  alam menguatkan diri dari serangan itu.
Pada  penelitian ini  akan  dibahas  tentang  pengaruh  yang  bermacam-macam  dari matematika  stokastik  pada  jenis  model  lingkungan  yang berbeda.Dua  jenis  yang  berbeda  dari model  lingkungan  mempunyai  peranan  penting.  Pada  penelitian  ini model  transportasi dikembangkan pada partikel dimensi tiga.

## 2.Persamaan Diferensial Stokastik.
Menurut  Kloeden  dan  Platen  teori  persamaan  diferensial  stokastik  dapat  diperoleh  dari persamaan diferensial terurut:
= ( , ) … … … … … … … … … … … … … … . . (2.1)
sebagai  sebuah  bentuk  degenerate  dari  sebuah  persamaan  diferensial  stokastik.Dapat  pula persamaan ditulis dalam bentuk simbolis sebagai:
= ( , ) … … … … … … … … … … … … … . . (2.2)
Menurut Ito persamaan (2.2) penyelesaiannya adalah :
= 1 2 + = 1 … … … … . . (2.3) = 1

## Yang mempunyai penyelesaiaan eksak
= ……………………………………….(2.4)
Menurut Euler penyelesaian secara stokastik adalah
= + ∆ + ∆ ……………….(2.5)
= 1
dimana ∆ adalah  waktu  diskrit  untuk  hitungan  numerik,  dan ∆ adalah  gerakan  Brownian. Secara umum penyelesaiannya adalah membagi interval [0,1] dalam 10 langkah, dan hitungan proses  gerakan  Brownian  untuk  langkah  waktu  (dt). Menghitung  penyelesaian  eksak  dengan persamaan  (2.4)  diperoleh  jika  dt mendekati  nol. Pada  persamaan  (2.5)  digunakan  bilangan random  untuk  menghitung  langkah  waktu ∆ = 10 .  Sebuah  penyelesaian  eksak  adalah pendekatan numerik seperti yang dijelaskan oleh Euler sebagai berikut
= + ∆ + ∆ …………………..(2.6) = + 1 2 1 2 + 1 2 ∆ + 1 2 ( + )∆
= 1

## Menurut teorema Taylor
( + ) = ( ) + ( ) + (| − |) …..(2. 7)
Suku-suku order lebih tinggi tidak termasuk limit sebagai dt      0 .
Jika  persamaan  diferensial  stokastik(SDE)  Ito  sebagai  sebuah  Stratanovich  yang mempunyai SDE sama, tetapi dengan sebuah himpunan yang berbeda, diperoleh
+ ……………………..(2.8)

## = 1
Yang mempunyai penyelesaian eksak:
= ……………………..   (2.9)
Persamaan Ito yang sesuai dengan Heun yang bukan persamaan(2.3).
+ ……………………….(2.10)

## = 1

## 3. Pandangan secara numerik
Ada  empat  jenis  yang  berbeda  yang  diberikan  meliputi  ,  ekspansi  Taylor  stokastik,secara eksplisit, secara implisit dan ekstrapolasi.

## 3.1 Ekspansi Taylor Stokastik.
Ada beberapa cara pandangan numerik dengan  order  yang lebih tinggi ,yang digunakan adalah pendekatan dengan SDE(Stokastik Differensial Equation) pada ekspansi Taylor Stokastik. Sebuah  persamaan  differensial  deterministik adalah  sebuah  persamaan  yang  mempunyai  suku- suku  yang  lebih  dari  deret  Taylor  dengan  order  yang  lebih  tinggi secara  konvergen .Perbedaan pada  persamaan  diferensial  yang  normal  terletak  pada  deret Taylor  yang  stokasik  ,  yang diferensiasinya  berbeda.  Anggap  persamaan  differensial  stokastik  pada  suku  sisa  dinyatakan secara umum pada SDE satu dimensi:
= ( , ) + ( , ) …………(3.1)

## =
3.2 Bagan Eksplisit.
Turunan  dari  koefisien  diffusi harus  dihitung  pada  setiap  langkah  waktu,  pada penjumlahan ke koefisien waktu. Untuk mendapatkan sebuah order konvergen yang lebih tinggi seharusnya menghindari turunan. Sebuah contoh dari Heun :
= 1 = + ( , )∆ + ( , )∆ = + 1 2 ( ( , ) + ( , )∆ +
( , ) + ( , ) ∆ …………..(3.2)
dimana adalah prediktor Euler , dan = ∆ . Persamaan(3.2) adalah konvergen rata-rata kuadrat pada penyelesaian Ito dari
= ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) …………………….(3.3)
dimana  tidak  sama  sebagai  transformasi  Ito-Stratonovich  dari  persamaan.Menurut  Rumelin, dengan  mengembangkan bagan  Heun  dalam  sebuah  deret  Taylor,  dapat  direduksi  ke  bentuk bagan  Milstein,  dan  mempunyai  tingkat  ketelitian  yang  sama.Ini  berarti  bahwa  order  dengan = 1 dan  ,  secara  logika  menyelesaikan  sebuah  SDE  Ito(Euler,Milstein),  dan  menyelesaikan sebuah  SDE  Stratonovich  dengan  menggunakan  sebuah  bagan  Stratanovich  ,seperti  Heun  atau Runge-Kutta.
Metode  eksplisit  dengan  order  lebih  tinggi  dapat  menjadi  bagan  Runge-Kutta  ,  seperti persamaan differensial berikut
= ( , ) = ( , ) ( ) = + 1 2 ∆ + 1 2 ∆ = ( ) , + ∆
= ( ) , + ∆
( ) = + 1 2 ∆ + 1 2 ∆ = ( ) , + ∆ = ( ) , + ∆ ( ) = + ∆ + ∆ = ( ) , + ∆ = ( ) , + ∆ = + 1 6 ( + 2 + 2 + )∆ + 1 6 ( + 2 + 2 + )∆
3.3 Bagan Implisit.
Sebuah bagan implisit adalah bagian implisit Euler dimana errornya diakumulasi :
= 1
= + ( , )∆ + ( , )∆ ……………….(3.3)
Sebuah interpolasi linier dibentuk diantara jenis eksplisit dan implisit dari bagian yang sama dengan memilih sebuah parameter tertentu 0 ≤ ≤ 1 :
= 1 = + [ ( , ) + (1 − ) ( , )] ∆ + ( , )∆ …(3.4)
dimana = 0 memerikan bagan eksplisit Euler, α = 0.5 memberikan hasil bagan trapezoidal, dan deng an α = 1 memberikan bagan implis it Euler. Pada kejadian sebuah SDE linier :
= ( ) + ( ) + ( ) + ( ) …..(3.5)
Adalah sebuah rumus eksplisit yang diperoleh melalui manipulasi aljabar. Pada kejadian lain,sebuah persamaan aljabar harus diselesaikan pada setiap langkah,untuk sebuah metode numerik seperti Newton-Raphson. Konvergen dari metode implisit (bagan trapezoidal dan bagan implisit Euler) adalah sama sebagai bagan Eksplisit Euler : = dan = 1 (Kloden) yang juga konvergen ke penyelesaian sebagai bagan Eksplisit Euler.
Kejadian yang sama juga dikerjakan oleh bagan Euler yang mungkin untuk bagan Milstein. Bagian penting dari bagan implicit Milstein()mempunyai versi Ito :
= 1
= + ( , )∆ + ( , )∆ + ( , ){(∆ ) − ∆ } ….(3.6)
Pada kejadian ini,konvergen diperoleh untuk bagan eksplisit Milstein.

## 3.4. Bagan Ekstrapolasi
Sebuah pilihan dan mungkin cara yang lebih mudah untuk mendapatkan konvergen yang lebih cepat dengan menggunakan metoda ekstrapolasi.Metoda ini menggunakan bagan dengan order yang lebih rendah untuk mendapatkan sebuah metoda dengan order yang lebih tinggi.
Pada kejadian  deterministik oleh Kloeden untuk sebuah konsep umum.Misalkan menggunakan bagan Euler terhadap interval waktu 0 ≤ ≤ dengan N langkah sama ke ∆ = .Misal ( ) adalah sebuah nilai yang benar pada waktu T dan ( ) sesuai ke pendekatan numerik dari bagan Euler.Untuk error truncation keseluruhan dapat ditulis
(∆ ) − ( ) = ( )∆ + (∆ )
Jika digunakan dua kali sebagai beberapa langkah, error berubah ke
1 2 ∆ − ( ) = 1 2 ( )∆ + (∆ )
Selanjutnya, ( ) dapat dieliminasi  , dan hasilnya
( ) = 2 1
2 ∆ −
(∆ ) + (∆ )
Sebuah pendekatan order kedua dapat dirumuskan dari bagan Eueler,  yang disebut ekstrapolasi Richardson atau Romberg:
(∆ ) = 2 1 2 ∆ − (∆ )
Sebuah perbaikan untuk teknik bagan Euler harus dievaluasi  dua kali: satu kali dengan langkah waktu ∆ ,  dan  satu  kali  dengan  langkah  waktu ∆ .Pada  kejadian  persamaan  differensial lengkap, mungkin lebih murah daripada menggunakan bagan order dua.Metoda ini diterapkan ke sebuah jenis yang lebar dari bagan lain untuk mendapatkan sebuah konvergen yang lebih tinggi.
4.Kesimpulan.
Dari pembahasan sebelumnya diperoleh kesimpulan bahwa didapatkan tingkatan konvergen dengan hasil akurat dari pendekatan numerik pada arahvertikal dan horizontal.
Untuk  penelitian  selanjutnya  dapat  diterapkan  pada  model  stokastik yang berkualitas pada sungai dengan metode numerik order lebih tinggi.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Arnold, L “Stochastic Differential Equations”,Willey, New York, 1974.
2. Einstein, A, “Investigation on Theory of the Brownian Movement”, Dover Publications, 180 Varick Street, New York,N.Y.10014, 1926.
3. Fischer,H.B, List, E.J, Koh,R,C, Y, Imberger,J and Brooks , N. H, “ Mixing in Inland and Coastal Waters, “Academic Press, San Diego, 1979.
4. Gardiner, C.W, “Handbook of Stochastic Methods for physics ,Chemistry and Natural Sciences, “ , Springer -Verlag ,  Berlin, 1983.
5. Ito,K , “On Stochastic Differential Equations, “ ,Memoirs Amer. Math.Soc.4, 1951.
6. Ito,K, “Lectures on Stochastic Processes”, memographed notes, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay,India, 1961.
7. Jazwinsky, AH, “Stochastic Processes and Filtering Theory, “ Academic Press, New York, 1970.
8. Kloeden, P.E and Platen, E, “Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, “ Springer-Verlag,New York, 1995.
9. Pristley, M.B, “ Spec tral Anal ysis and Time Series“ , Academic Press Limited, 24 -28 Oval Road, London NW1 7DX, 1996.
10. Rumelin,W, “Numerical Treatment of Stochastic Differential Equations, “ SiamJ. Numer Anmal, 19. 3 (June 1982), pp604-613.
11. Stratonovich, R,L , “ Topics in the Teory of  Random Noise”, vol 2,translated from Russian by R.A Solverman, “ Gordon Breach, New York, 1967.
12. Taylor, G.I, “Diffusion by Continous Movements”, Proc.London. Math. Soc. Ser. A20 .1921, 196-211.
13. Van Kampen, N.G,”Stochastic Processes in Physics and Chemistry”,Noth -Holland Publishing Company,1981.