Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika 23 (1), 2023, 15 – 26 eISSN 2722-9886   pISSN 1411-6669 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index
Modifikasi metode iterasi berorde tiga dengan orde konvergensi optimal
The modification of the third-order iterative method with an optimal order of convergence

## Annisa Agustina, Wartono*
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jalan H.R. Subrantas km 15,5 Pekanbaru
*korespondensi: wartono@uin-suska.ac.id
Received: 12-09-2022, accepted: 06-03-2023

## Abstract
Weerakoon-Fernando’s  and  Homeier’s  methods  are  a  third-order  iterative  method  to  solve nonlinear  equations.  A  new  third-order  iterative  method  is  constructed  by  sum  of  Weerakoon- Fernandon’s  and  Homeier’s  methods.  This  paper  discusses  the  modification  of  the  third-order iterative  method using contra harmonic  mean  with  involving  one real parameter  . The aim  of this  modification  is  to  improve  the  convergence  order  of  the  method  and  keep  the  number  of functional  evaluations. Based on the result  of study shows that the  method has a third-order of convergence  for 𝜃 ≠ 4 and  a  fourth-order  of  convergence  for 𝜃 = 4 with  three  evaluation  of functions. Furthermore, numerical simulation is given  to exam the perfomance of the  methods. The  measurement  of  performance  of  the  methods,  such  as:  number  of  iterations,  number  of functional evaluations, numerical convergence  order, and value  of function, are compared  with Newton’s,  Weerakoon-Fernando’s,  and  Homeier’s  methods.  Generally,  the  result  of  numerical simulation shows that the new method for 𝜃 = 4 has better performance than others.
Keywords: Weerakoon-Fernando’s  method,  Homeier’s  method,  order  of  convergence,  contra harmonic mean, evaluation of function
MSC2020: 41A25, 41A58, 65H05

## 1. Pendahuluan
Persamaan nonlinier merepresentasikan ungkapan matematis yang berasal dari persoalan- persoalan  sains,  teknik  dan  rekayasa.  Sebagian  besar  persamaan  nonlinear  tersebut melibatkan  ungkapan-ungkapan  matematis  yang  rumit  dan  kompleks,  sehingga  sulit ditentukan penyelesaian eksaknya dalam bentuk
𝑓(𝑥) = 0, (1)
dengan 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi skalar di selang buka 𝐷 . Oleh karena itu, alternatif penyelesaian  dapat  dilakukan  menggunakan  komputasi  numeris  yang  dihitung  secara berulang. Teknik penyelesaian persamaan nonlinear seperti ini disebut metode iterasi.
Teknik  yang  paling  umum  digunakan  untuk  mengkonstruksi  metode  iterasi  adalah ekspansi deret Taylor, baik orde satu maupun orde dua. Ekspansi deret Taylor orde satu menghasilkan metode Newton yang ditulis dalam bentuk
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) ,  𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0, 𝑛 = 0,1,2,3, … .. (2)
Metode Newton memiliki orde konvergensi dua dan melibatkan dua evaluasi fungsi pada setiap  iterasinya,  sehingga  indeks  efisiensinya  sebesar  2 1/2 ≈  2,4141  [ 1 ].  Sedangkan ekspansi  deret Taylor orde  dua  menghasilkan  metode  iterasi  berorde  konvergensi  tiga, yaitu: metode Chebyshev, Halley dan Euler (Halley irasional) [ 2 ]. Ketiga Metode iterasi tersebut konvergen secara kubik dan memiliki indeks efisiensi sebesar 3 1/3 ≈ 1,4422.
Menurut  Kung  dan  Traub  [ 3 ],  pada  proses  menghampiri  penyelesaian  eksak,  efisiensi metode  iterasi  sangat  dipengaruhi  oleh  orde  konvergensi.  Metode  iterasi  dengan  orde konvergensi  tinggi,  membutuhkan  sedikit  iterasi  dibandingkan  dengan  metode  iterasi yang  lebih  rendah  orde  konvergensinya.  Selain  itu,  efisiensi  metode  iterasi  juga dipengaruhi banyaknya evaluasi fungsi yang digunakan. Ukuran indeks efisiensi ( I ) dari metode iterasi dengan orde konvergensi p dan melibatkan w evaluasi fungsi pada setiap iterasinya dihitung dengan menggunakan rumusan yang diberikan oleh
𝐼 = 𝑝 1 𝑤 ⁄ . (3)
Sedangkan orde konvergensi optimalnya adalah sebesar 2 w  1 [ 3 ]. Oleh karena itu, usaha- usaha untuk meningkatkan orde konvergensi metode iterasi telah dilakukan oleh peneliti dengan menggunakan berbagai pendekatan, antara lain: mereduksi turunan kedua [ 4 – 7 ], komposit atau gabungan dua metode iterasi [ 8 – 10 ], dan rataan [ 11 , 12 ].
Pada  artikel  ini,  suatu  metode  iterasi  dikonstruksi  dengan  menjumlahkan  dua  metode iterasi  berode  konvergensi  tiga,  yaitu  metode  Weerakoon-Fernando  [ 13 ]  dan  Homeier [ 14 ],  dan  kemudian  memodifikasinya  menggunakan  rataan  kontra  harmonik, sebagaimana  yang  dilakukan  oleh  Kanwar  dkk.  [ 11 ].  Untuk  memperbesar  peluang meningkatnya  orde  konvergensi,  metode  iterasi  baru  diberikan  satu  parameter  real  . Nilai  ditentukan dengan menggunakan analisis konvergensi sehingga orde konvergensi metode  iterasi  menjadi  optimal.  Pada  bagian  akhir,  diberikan  simulasi  numerik  untuk menentukan peformasi metode iterasi baru, dan kemudian dibandingkan dengan beberapa metode iterasi lainnya.

## 2. Metodologi
Kajian pada artikel ini merupakan kajian literatur dengan tahapan-tahapan sebagai berikut. Tahap  pertama,  dipertimbangkan  kembali  metode  iterasi  Weerakoon-Fernando  dan Homeier  yang  berorde  konvergensi  tiga.  Metode  iterasi  baru  dikonstruksi  dengan menggabungkan  atau  menjumlahkan  kedua  metode  iterasi  tersebut  dan  kemudian memodifikasinya  dengan  menggunakan  rataan  kontra  harmonik.  Teknik  modifikasi
metode  iterasi  tersebut  dilakukan  dengan  merujuk  kepada  Kanwar  dkk.  [ 11 ].  Untuk menghindari penggunaan turunan pertama f ′( y n ), maka turunan pertama tersebut ditaksir menggunakan  bentuk  eksplisit  dari  jumlah  dua  metode  iterasi.  Tahapan  kedua, menganalisa  orde  konvergensi  dari  metode  iterasi  baru  dengan  menggunakan  ekspansi deret Taylor. Pada tahapan kedua ini, ditentukan nilai parameter real  agar indeks efisiensi metode  iterasi  optimal.  Pada  tahapan  ini  ditentukan  nilai  parameter  real  untuk mengoptimalisasi  indeks  efisiensi.  Tahapan  terakhir,  diberikan  simulasi  numerik  untuk mengukur  peformasi  metode  iterasi.  Ukuran  performasi  yang  dihitung  meliputi  jumlah iterasi, jumlah evaluasi  fungsi, orde konvergensi numerik, dan nilai  fungsi. Pada  proses menghampiri  akar-akar persamaan  nonlinear,  jumlah  iterasi,  banyaknya  evaluasi  fungsi dan orde konvergensi merupakan ukuran tingkat efisiensi metode iterasi. Semakin tinggi orde  konvergensi  suatu  metode  iterasi,  maka  jumlah  iterasi  yang  digunakan  semakin sedikit. Hal ini menujukkan bahwa metode iterasi semakin efisien. Sedangkan nilai fungsi yang  dihitung  pada  iterasi  tertentu  menunjukkan  tingkat  akurasi  metode  iterasi  saat menghampiri akar-akar persamaan nonlinear.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Modifikasi Metode Iterasi
Pada  bagian  ini  akan  dikembangkan  bentuk  metode  iterasi  yang  dikonstruksi  dari penjumlahan dua metode iterasi berorde tiga. Untuk mengkonstruksi metode iterasi baru, pertimbangkan  kembali  dua  metode  iterasi  berorde  konvergensi  tiga,  yaitu  metode Weerakoon-Fernando dan Homeier yang masing-masing ditulis
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) , (4)
dan
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 ( 1 𝑓′(𝑥 𝑛 ) + 1 𝑓′(𝑦 𝑛 ) ) , (5)
dengan 𝑦 𝑛 diberikan pada Persamaan (2). Penjumlahan dua metode iterasi yang diberikan pada Persamaan (4) dan (5) menghasilkan:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 1 2 ( 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) + 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 ( 1 𝑓′(𝑥 𝑛 ) + 1 𝑓′(𝑦 𝑛 ) )) ,
atau
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 )(16(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 +(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 4 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ))(4𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )+(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 ) . (6)
Berdasarkan teknik yang dilakukan oleh Kanwar dkk. [ 11 ], maka Persamaan (6) diubah dalam bentuk
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) ( 4𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )+(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 2 ) . (7)
Persamaan (7) dimanipulasi untuk memperoleh persamaan yang memuat rataan aritmatik
dalam bentuk
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) ( 𝑎+𝑏 2 ) , (8)
dengan 𝑎 = 4𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) dan 𝑏 = (𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 .  Selanjutnya,  metode  iterasi baru  dikonstruksi  dengan  melakukan  substitusi  bentuk  rataan  aritmetika  dengan  rataan kontra harmonik, sehingga Persamaan (8) dapat ditulis kembali menjadi
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) ( 𝑎 2 +𝑏 2 𝑎+𝑏 ) . (9)
Substitusikan 𝑎 dan 𝑏 ke Persamaan (9) sehingga diperoleh
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 )((4𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 +(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 4 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ))(4𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )+(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )+𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 ) . (10)
Persamaan (10) melibatkan 𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) , dan untuk menghindari penggunaan turunan pertama tersebut, maka  dilakukan reduksi terhadap  turunan  pertama f ′( x )  dalam y n dengan menyetarakan varian Super-Halley [ 2 ] dengan Newton-Steffensen [ 9 ].
Selanjutnya  pandang  kembali  metode  Newton-Steffensen  dan  varian  super-Halley sebagai berikut:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 𝑓′(𝑥 𝑛 )(𝑓(𝑥 𝑛 )−𝑓(𝑦 𝑛 )) , (11)
dan
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 1 2 ( 3𝑓′(𝑥 𝑛 ) 2 +𝑓′(𝑦 𝑛 ) 2 𝑓′(𝑥 𝑛 ) 2 +𝑓′(𝑦 𝑛 ) 2 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) . (12)
Setarakan Persamaan (11) dan (12) dan dengan menyederhanakannya diperoleh
𝑓′(𝑦 𝑛 ) 2 (𝑓(𝑥 𝑛 ) + 𝑓(𝑦 𝑛 )) = 𝑓′(𝑥 𝑛 ) 2 (𝑓(𝑥 𝑛 ) − 3𝑓(𝑦 𝑛 )) . (13)
Penyelesaian eksplisit Persamaan (13) untuk f ′( y n ) diberikan oleh
𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) = ±√1 −
4𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) . (14)
Persamaan (14) memuat bentuk akar kuadratik. Oleh karena itu, aproksimasi bentuk akar kuadratik pada Persamaan (14) dilakukan dengan menggunakan deret Taylor, dan dengan mengambil bentuk akar kuadratik positif diperoleh
√1 − 4𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) = 1 − 2𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) − 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 (𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 )) 2 + ⋯ . (15)
Pemotongan deret Taylor sampai orde satu  dan dengan  mengabaikan orde selanjutnya, maka Persamaan (15) dapat ditulis menjadi
√1 − 4𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) ≈ 𝑓(𝑥 𝑛 )−𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) . (16)
Selanjutnya    dengan  menggunakan aproksimasi  bentuk akar kuadratik  pada Persamaan (16), maka bentuk eksplisit 𝑓′(𝑦 𝑛 ) diberikan oleh
𝑓′(𝑦 𝑛 ) = 𝑓(𝑥 𝑛 )−𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 )+𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) . (17)
Substitusikan  taksiran 𝑓′(𝑦 𝑛 ) pada  Persamaan  (17)  ke  Persamaan  (10),  dan  dengan
menyederhanakannya diperoleh persamaan iterasi
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 4 −2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 +𝑓(𝑦 𝑛 ) 4 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )(2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 −𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 )(𝑓(𝑥 𝑛 )−𝑓(𝑦 𝑛 )) . (18)
Untuk  memberikan  peluang  meningkatnya  orde  konvergensi  suatu  metode  iterasi, beberapa  peneliti  melakukan  modifkasi  suatu  metode  iterasi  dengan  melibatkan parameter  real  [ 4 , 7 , 15 – 18 ].    Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  metode  iterasi  (18) diberikan satu parameter real  sehingga bentuk metode iterasi dapat ditulis
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 4 −2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 +𝑓(𝑦 𝑛 ) 4 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )(2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 −𝜃𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 )(𝑓(𝑥 𝑛 )−𝑓(𝑦 𝑛 )) , (19)
dengan y n adalah  metode  Newton  yang  diberikan oleh  Persamaan  (2).  Persamaan  (19) merupakan  modifikasi  metode  iterasi  Weerakoon-Fernando  dan  Homeier  yang melibatkan tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, yaitu: f ( x n ), f ′( x n ), dan f ( y n ).

## 3.2  Analisis Konvergensi
Pada bagian ini, orde konvergensi metode iterasi yang diberikan pada Persamaan (19) dibahas menggunakan teorema berikut.
Teorema  1. Asumsikan  bahwa 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ 𝑅 → 𝑅 memiliki  akar  sederhana 𝛼  ∈ 𝐷 dan memiliki turunan di interval terbuka D . Jika 𝑥 0 adalah nilai awal yang berada cukup dekat dengan 𝛼 maka  orde  konvergensi  Persamaan  (19)  adalah  empat  untuk 𝜃 = 4 yang memenuhi persamaan galat sebagai berikut
𝑒 𝑛+1 = (3𝑐 2 3 − 𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ), (20)
dengan 𝑐 𝑗 = 𝑓 (𝑗)(𝛼) 𝑗!𝑓 ′ (𝛼) , j = 2, 3, …, k , dan 𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝛼 .
Bukti . Misalkan α adalah akar sederhana dari persamaan nonliner 𝑓(𝑥) , maka 𝑓(𝛼) = 0 dan 𝑓′(𝛼) ≠ 0 . Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar 𝛼 untuk 𝑥 = 𝑥 𝑛 diberikan oleh:
𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑓(𝛼) + 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 + 1 2! 𝑓 ′′ (𝛼)𝑒 𝑛 2 + 1 3! 𝑓 ′′′ (𝛼)𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 ) = 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 + 1 2! 𝑓 ′′ (𝛼)𝑒 𝑛 2 + 1 3! 𝑓 ′′′ (𝛼)𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 ) = 𝑓′(𝛼) (𝑒 𝑛 + 𝑓′′(𝛼) 2!𝑓′(𝛼) 𝑒 𝑛 2 + 𝑓′′′(𝛼) 3!𝑓′(𝛼) 𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )) ,
atau
𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(𝑒 𝑛+ 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + 𝑐 3 𝑒 𝑛 3 + 𝑐 4 𝑒 𝑛 4 + 𝑐 5 𝑒 𝑛 5 + 𝑐 6 𝑒 𝑛 6 +  𝑂(𝑒 𝑛 7 )). (21)
Sedangkan ekspansi  deret  Taylor untuk  turunan   pertama 𝑓′(𝑥 𝑛 ) di sekitar 𝛼 adalah 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) = 𝑓′(𝛼)(1 + 2𝑐 2 𝑒 𝑛 + 3𝑐 3 𝑒 𝑛 2 + 4𝑐 4 𝑒 𝑛 3 + 5𝑐 5 𝑒 𝑛 4 + 6𝑐 6 𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 )) . (22)
Bagikan Persamaan (21) dengan Persamaan (22) sehingga diperoleh
𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) =   𝑒 𝑛 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (−2𝑐 3 + 2𝑐 2 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )). (23)
Substitusikan Persamaan (23) ke Persamaan (2) sehingga diperoleh:
𝑦 𝑛 = 𝛼 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (2𝑐 3 − 2 𝑐 2 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 ). (24)
Ekspansikan deret Taylor terhadap 𝑓(𝑦 𝑛 ) disekitar 𝛼 diberikan oleh:
𝑓(𝑦 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (2𝑐 3 − 2𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )). (25)
Berdasarkan Persamaan (21) dan (25), kuadrat dan pangkat empat dari Persamaan (21) dan (25) masing-masing diberikan oleh:
𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 = 𝑓 ′ (𝛼) 2 (𝑒 𝑛 2 + 2𝑐 2 𝑒 𝑛 3 + (2𝑐 3 + 𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 4 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )), (26) 𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 = 𝑓 ′ (𝛼) 2 (𝑐 2 2 𝑒 𝑛 4 + (4𝑐 2 𝑐 3 − 4𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 5 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )). (27) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 4 = 𝑓 ′ (𝛼) 4 (𝑒 𝑛 4 + 4𝑐 2 𝑒 𝑛 5 + (4𝑐 3 + 6𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 4 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )), (28)
dan
𝑓(𝑦 𝑛 ) 4 = 𝑂(𝑒 𝑛 8 ). (29)
Dengan menggunakan Persamaan (21), dan (25)  (29), maka diperoleh masing-masing 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 4 − 2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 + 𝑓(𝑦 𝑛 ) 4 = 𝑓 ′ (𝛼) 4 (2𝑒 𝑛 4 + 8𝑐 2 𝑒 𝑛 5 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )), (30) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )(2𝑓(𝑥 𝑛 ) 2 − 𝜃𝑓(𝑦 𝑛 ) 2 )(𝑓(𝑥 𝑛 ) − 𝑓(𝑦 𝑛 )) = 𝑓 ′ (𝛼) 4 (2𝑒 𝑛 3 + 8𝑐 2 𝑒 𝑛 4 +((14 − 𝜃)𝑐 2 2 +8𝑐 3 )𝑒 𝑛 5 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )). (31)
Kemudian  substitusikan  Persamaan  (31)  dan  (32)  ke  Persamaan  (19)  dan  dengan menggunakan 𝑥 𝑛 =   𝑒 𝑛 + 𝛼 , maka Persamaan (19) dapat ditulis
𝑥 𝑛+1 = 𝛼 − ( 1 2 𝜃 − 2) 𝑐 2 2 𝑒 𝑛 3 + ((3𝜃 − 9)𝑐 2 3 + (7 − 2𝜃)𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) . (32)
Berdasarkan Persamaan (32) dapat dilihat bahwa  orde konvergensi  metode iterasi (19) meningkat menjadi empat dengan menyelesaikan hubungan 1 2 𝜃 − 2 = 0. Oleh  karena itu  dengan  mengambil 𝜃 = 4 dan 𝑥 𝑛+1 =   𝑒 𝑛+1 + 𝛼 ,  maka  Persamaan  galat  (32) menjadi:
𝑒 𝑛+1 = (−𝑐 2 𝑐 3 + 3𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) . □ . (33)
Persamaan galat (33) menunjukkan bahwa orde konvergensi metode iterasi (19) adalah empat untuk  = 4. Oleh karena metode iterasi (19) melibatkan tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, maka indeks efisiensi yang dihitung berdasarkan Persamaan (3) adalah 4 1/3  1,5874.
Nilai-nilai indeks efisiensi dari beberapa metode iterasi yang dihitung menggunakan (3) diberikan pada Tabel 1.

## Tabel 1 Perbandingan indeks efisiensi
No Metode Iterasi Orde Banyaknya Evaluasi Fungsi Indeks Efisiensi 1 Newton 2 2 2 1/2 ≈ 1,4142 2 Halley 3 3 3 1/3 ≈ 1,4422 3 Homeier 3 3 3 1/3 ≈ 1,4422 4 Persamaan (19), (𝜃 ≠ 4) 3 3 3 1/3 ≈ 1,4422 5 Persamaan (19), (𝜃 = 4) 4 3 4 1/3 ≈ 1,5874
Berdasarkan Tabel 1 dapat ditunjukkan bahwa indeks efisiensi metode iterasi (19) 𝜃 = 4 paling tinggi dibandingkan dengan metode iterasi lainnya. Hal ini berarti bahwa metode iterasi  tersebut  paling  efisien  dibandingkan  metode  iterasi  lainnya  dalam  menghampiri akar-akar persamaan nonlinear.

## 3.3 Simulasi Numerik
Untuk  menguji  performasi  metode  iterasi  yang  telah  dikonstruksi,  maka  diberikan simulasi  numerik  dengan  menggunakan  lima  fungsi  bernilai  real.  Ukuran-ukuran performasi yang dihitung adalah jumlah iterasi, evaluasi fungsi, orde konvergensi yang dihitung  secara  numerik,  baik  menggunakann  galat  mutlak  ( computational  order  of convergence atau COC )  maupun  galat  relatif  ( approximated  computation  of  order ofconvergence atau ACOC ), dan nilai fungsi yang dihitung dengan total evaluasi fungsi sebanyak dua belas dan iterasi ke-4. Ukuran-ukuran performasi dari metode iterasi (19) untuk   4 dengan orde konvergensi tiga (MWFH1) dan  = 4 dengan orde konvergensi empat (MWFH2) dibandingkan dengan metode iterasi lainnya, seperti:  metode Newton (MN), metode Weerakoon-Fernando (MWF), dan metode Homeier (MH).
Akar-akar  hampiran  persamaan  nonlinear  dihitung  secara  komputasi  menggunakan prosesor Intel(R) Core(TM) i5-2430M CPU @2,40GHz dan perangkat lunak Maple 13, serta penghentian komputasi jika memenuhi kriteria
|𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | ≤ 𝜀 , (34)
dengan  toleransi  sebesar  10  95 .  Sedangkan  orde  konvergensi  yang  dihitung  secara numerik,  baik COC maupun ACOC masing-masing  menggunakan  formulasi  yang diberikan oleh
) ( ) ( ln ) ( ) ( ln 1 1 2             n n n n x x x x COC , (35)
dan
) ( ) ( ln ) ( ) ( ln 2 1 2 1 2 2 3 n n n n n n n n x x x x x x x x ACOC     
       , (36)
dengan n = 0, 1, 2, …, k .
Perhitungan  komputasi  metode  iterasi  terhadap  fungsi-fungsi  bernilai  real  dilakukan dengan mengambil nilai tebakan awal x 0 sedekat mungkin dengan akar eksaknya. Pada simulasi ini, tebakan awal x 0 diambil sebanyak dua buah untuk setiap fungsi real, yaitu sebelah kiri dan kanan akar eksak  . Adapun fungsi-fungsi bernilai real yang digunakan pada simulasi ini adalah sebagai berikut.
𝑓 1 (𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥 − 0,1, 𝛼 = 0,111832559158962 , 𝑓 2 (𝑥) = 𝑒 𝑥 − 4𝑥 2 , 𝛼 = 4,306584728220692 ,
𝑓 3 (𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10, 𝛼 = 1,365230034140968 ,
𝑓 4 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 2 +𝑥+2 −cos(𝑥 + 1) + 𝑥 3 + 1, 𝛼 = −1,00000000000000 , 𝑓 5 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) − 𝑥 2 + 1, 𝛼 = 1,404491648215341 .
Ukuran-ukuran  performasi  yang  meliputi  iterasi,  evaluasi  fungsi,  galat  mutlak,  nilai fungsi,  dan  orde  konvergensi  numeris  dari  metode  iterasi  (19)  yang  dihitung menggunakan kriteria Persamaan (34) ditunjukkan oleh Tabel 2 dan 3.
Tabel 2 Ukuran performasi metode MWFH1  dengan ε = 10  95
f ( x ) x 0 Iterasi Evaluasi Fungsi | x n+ 1   | | f ( x n ) | COC ACOC
f 1 ( x )  0,2 0,3 5 5 15 15 1,9119  10  120 3,7157  10  130 1,5184  10  120 2,9510  10  130 3,000000 3,000000 2,999996 3,000001 f 2 ( x ) 4,0 4,5 5 5 15 15 4,2204  10  97
4,2565  10  185 1,6770  10  95
1,6913  10  183 3,000000 3,000000 3,000034 3,000000 f 3 ( x ) 0,1 1,5 5 5 15 15 2,0350  10  137
2,0438  10  131 3,3605  10  136
3,3749  10  130 3,000000 3,000000 3,000001 2,999998 f 4 ( x ) 1,0 2,0 5 5 15 15 1,0182  10  240
1,4595  10  211 6,1091  10  240
8,7571  10  211 3,000000 3,000000 3,000000 3,000000 f 5 ( x )  1,5 0,0
5 5 15 15 1,1059  10  150
2,2405  10  109 2,7454  10  150
5,5619  10  109 3,000000 3,000000 3,000000 2,999985
Tabel 3 Ukuran performasi metode MWFH2 dengan ε = 10  95
f ( x ) x 0 Iterasi Evaluasi Fungsi | x n+ 1   | | f ( x n ) | COC ACOC
f 1 ( x )  0,2 0,3
4 4 12 12 9,9150  10  122
3,6130  10  108 7,8745  10  122
2,8694  10  108 4,000000 4,000000 3,996632 3,993829 f 2 ( x ) 4,0 4,5 5 4 15 12 3,7824  10  223
3,2043  10  187 1,5029  10  221
1,2732  10  185 4,000000 4,000000 3,999951 3,999788 f 3 ( x ) 0,1 1,5 4 4 12 12 3,9648  10  114
5,4418  10  130 6,5473  10  113 8,9862  10  129 4,000000 4,000000 3,994449 3,997247 f 4 ( x ) 1,0 2,0 4 4 12 12 9,3950  10  179
1,0510  10  155 5,6370  10  178
6,3059  10  155 4,000000 4,000000 4,000354 4,000855 f 5 ( x )  1,5 0,0 4 4 12 12 3,9793  10  130 8,1411  10  104 9,8786  10  130 2,0210  10  103 4,000000 4,000000 3,997109 3,990635
Tabel  2  dan  3  memperlihatkan  performasi  metode  MWFH1  dan  MWFH2  dengan ketelitian  sebesar  10  95 .  Berdasarkan  Tabel  2  diperlihatkan  bahwa  orde  konvergensi numerik  metode  MWFH1  untuk  setiap  fungsi  bernilai  real f 1 ( x ),  …, f 5 ( x )  dengan menggunakan tebakan awal x 0 ,  baik  yang dihitung  menggunakan COC maupun ACOC secara umum  cenderung  mendekati tiga ( COC  3, ACOC  3). Sedangkan Tabel  3,
memperlihatkan  bahwa  orde  konvergensi  metode  numerik  MWFH2  cenderung mendekati empat ( COC  4, ACOC  4). Hal ini menunjukkan bahwa orde konvergensi metode  iterasi  (19)  yang  dihitung  menggunakan  ekspansi  deret  Taylor  sejalan  dengan orde konvergensi yang dihitung secara numerik.
Selanjutnya, ukuran performasi  metode iterasi  yang  meliputi  jumlah  iterasi, banyaknya evaluasi fungsi yang digunakan untuk setiap iterasi, dan orde konvergensi numerik dari metode  iterasi  (19)  dan  beberapa  metode  iterasi  lainnya  dengan  ketelitian 𝜀 = 10 −95 diberikan  pada Tabel 4.
Tabel 4 Perbandingan jumlah iterasi, evaluasi fungsi, dan COC untuk 𝜀 = 10 −95 𝑓(𝑥) 𝑥 0 Iterasi/Evaluasi fungsi COC MN MWF MH  MWFH1  MWFH2  MN MWF MH MWFH1  MWFH2 𝑓 1 (𝑥)  0,2  8(16)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000 4,0000 0,3  8(16)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000  4,0000 𝑓 2 (𝑥) 4,0  8(16)  5(15)  4(12) 5(15) 5(15) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000  4,0000 4,5  7(14)  5(15)  5(12) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000  4,0000 𝑓 3 (𝑥) 1,0  8(16)  5(15)  4(12) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000 4,0000 2,0  8(16)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000 4,0000 𝑓 4 (𝑥)  1,5  7(14)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000 4,0000 0,0  7(14)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000  4,0000 𝑓 5 (𝑥) 1,2  6(12)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000  4,0000 2,0  8(16)  5(15)  5(15) 5(15) 4(12) 2,0000  3,0000  3,0000 3,0000  4,0000
Pada  Tabel  4  ditunjukkan  bahwa  secara  umum  metode  MWFH2  menggunakan  lebih sedikit iterasi dan evaluasi fungsi dibandingkan dengan MN, MWF, MH, dan MWFH1. Hal ini dikarenakan  orde konvergensi metode  iterasi MWFH2 lebih tinggi diban-dingkan dengan metode  iterasi lainnya, sehingga penggunaan iterasi dan jumlah evaluasi fungsi setiap iterasinya lebih sedikit.
Tabel 4 juga menunjukkan bahwa orde konvergensi yang dihitung secara komputasi baik untuk  ≠ 4 maupun  = 4 masing-masing adalah 3 dan 4. Hal ini menunjukkan bahwa orde konvergensi  metode MWHF2  lebih tinggi dibandingkan dengan orde konvergensi metode iterasi lainnya.
Selain menggunakan ukuran jumlah iterasi dan evaluasi fungsi, nilai fungsi (| f ( x n )|) juga dapat  digunakan  untuk  mengukur  sejauh  mana  akurasi  metode  iterasi  pada  saat menghampiri  solusi  eksaknya.  Tabel  5  dan  6  menunjukkan  nilai  fungsi  yang  dihitung untuk total dua belas evaluasi fungsi ( total number of functional evalutions atau TNFE = 12) dan iterasi ke-4 (IT = 4). Untuk TNFE = 12, maka nilai fungsi dihitung pada iterasi ke-12/ w . Metode MN yang  melibatkan  dua  evaluasi  fungsi,  maka nilai  fungsi dihitung pada iterasi ke-6, sedangkan metode MWFH2 yang melibatkan tiga evaluasi fungsi, maka nilai fungsi dihitung pada iterasi ke-4. Tabel perbandingan nilai fungsi berdasarkan total
evaluasi fungsi dan iterasi diberikan pada Tabel 5 dan 6.
Tabel 5 Perbandingan nilai |𝑓(𝑥 𝑛 )| dengan total evaluasi fungsi sebesar 12
𝑓(𝑥) 𝑥 0 MN MWF MH MWFH1 MWFH2 𝑓 1 (𝑥)  0,2  3,0851  10  36 1,6190  10  42 1,6813  10  62 8,2675  10  41 7,8744  10  122 0,3  1,0736  10  42 1,0171  10  49 2,3013  10  94 4,7889  10  44 2,8694  10  108 𝑓 2 (𝑥) 4,0  5,0254  10  33 3,8581  10  38 4,5009  10  98 2,9413  10  31 1,5029  10  221 4,5  3,1920  10  52 4,2890  10  63 3,7302  10  87 1,3691  10  60 1,2731  10  185 𝑓 3 (𝑥) 1,0  3,9823  10  43 1,5025  10  52 1,4375  10  99 6,3345  10  45 6,5472  10  113 2,0  1,2362  10  37 4,4372  10  46 1,4165  10  71 6,3436  10  43 8,9862  10  129 𝑓 4 (𝑥)  1,5  5,7390  10  66 5,5544  10  53 1,6307  10  55 1,7411  10  79 5,6369  10  178 0,0  1,9261  10  65 8,9611  10  36 1,7987  10  33 9,1122  10  70 6,3058  10  155 𝑓 5 (𝑥) 1,2  2,0864  10  47 3,2340  10  58 2,0339  10  106 2,6386
 10  50 9,8785  10  130 2,0  2,2623  10  32 1,4945  10  41 1,3726  10  73 1,5497  10  36 2,0210  10  103
Tabel  5  memperlihatkan  nilai-nilai  fungsi  beberapa  metode  iterasi  yang  dihitung berdasarkan  TNFE  =  12.  Perbandingan  dilakukan  untuk  setiap  fungsi  real  yang  diuji, MWFH2 secara umum memiliki nilai fungsi lebih kecil dari 10  103 yang mana nilai-nilai fungsi tersebut jauh lebih kecil dibandingkan dengan nilai fungsi metode iterasi lainnya. Hal  ini  menunjukkan  bahwa  MWFH2  memiliki  akurasi  yang  lebih  baik  dibandingkan dengan metode iterasi lainnya.
Tabel 6 Perbandingan nilai |𝑓(𝑥 𝑛 )| pada iterasi ke-4
𝑓(𝑥) 𝑥 0 MN MWF MH MWFH1 MWFH2 𝑓 1 (𝑥)  0,2  1,0651  10  09 1,6190  10  42 1,6813  10  62 8,2675  10  41 7,8744  10  122
0,3  2,5868  10  11 1,0171  10  49 2,3013  10  94 4,7889
 10  44 2,8694  10  108
𝑓 2 (𝑥) 4,0  1,5284  10  07 3,8581  10  38 4,5009  10  98 2,9413  10  31 8.9429  10  55 4,5  2,4263  10  12 4,2890  10  63 3,7302  10  87 1,3691  10  60 1,2731  10  185
𝑓 3 (𝑥) 1,0  3,5124  10  10 1,5025  10  52 1,4375  10  99 6,3345  10  45 6,5472  10  113 2,0  8,2905  10  09 4,4372  10  46 1,4165  10  71 6,3436  10  43 8,9862  10  129
𝑓 4 (𝑥)  1,5  7,1934  10  16 5,5544  10  53 1,6307  10  55 1,7411  10  79 5,6369  10  178 0,0  9,7364  10  16 8,9611  10  36 1,7987  10  33 9,1122  10  70 6,3058  10  155 𝑓 5 (𝑥) 1,2  5,0752  10  12 3,2340  10  58 2,0339  10  106 2,6386  10  50 9,8785  10  130 2,0  2,9123  10  08 1,4945  10  41 1,3726  10  73 1,5497  10  36 2,0210  10  103
Selanjutnya,  Tabel 6  menunjukkan bahwa secara  umum  metode MWFH2  lebih unggul dibandingkan dengan  metode iterasi  lainnya. Hal ini dilihat dari nilai-nilai  fungsi  yang dihitung  pada  iterasi  ke-4  untuk  setiap  fungsi  real f 1 ( x )  sampai  dengan f 5 ( x ),  metode MWFH2 memiliki  nilai fungsi dengan rata-rata ketelitian lebih kecil dari 10  103 , kecuali untuk f 2 ( x )  dengan  nilai awal 4,0.

## 4 Kesimpulan
Modifikasi  metode  iterasi  Weerakoon-Fernando  dan  Homeier  menggunakan  rataan kontra harmonik dengan satu parameter real  menghasilkan suatu metode iterasi berorde konvergensi tiga untuk   4, dan empat untuk  = 4. Selain itu, metode iterasi tersebut juga  melibatkan  tiga  evaluasi  fungsi  pada  setiap  iterasinya.  Metode  iterasi  mempunyai orde  konvergensi  optimal  untuk  =  4  dengan  indeks  efisiensi  sebesar 4 1/3 ≈ 1,5874 . Simulasi numerik menunjukkan bahwa orde konvergensi dari metode baru yang dihitung secara komputasi baik COC maupun ACOC adalah tiga untuk   4, dan empat untuk  =  4. Selain  itu, secara umum untuk setiap  fungsi  real  yang diuji dengan  menggunakan tebakan awal x 0 , metode  MWFH2  mempunyai performa  yang  lebih  baik dibandingkan dengan metode iterasi lainnya.

## Daftar Pustaka
[1] J.F. Traub, Iterative Methods for The Solution of Equations . New York: Prentice- Hall, Inc, 1964.
[2] A. Melman, “Geometry and convergence of Euler’s and Halley’s methods,” SIAM Rev. , vol. 39, no. 4, pp. 728–735, 1997. [ CrossRef ]
[3] H.T. Kung and J.F. Traub, “Optimal order of one-point and multipoint iteration,” J. Assoc. Comput. Mechinary , vol. 21, no. 4, pp. 643–651, 1974. [ CrossRef ]
[4] M. Kansal, V. Kanwar, and S. Bhatia, “Optimized mean based second derivative- free families of Chebyshev–Halley type methods,” Numer. Anal. Appl. , vol. 9, no. 2, pp. 129–140, 2016. [ CrossRef ]
[5] W. Wartono dan D. Elriska, “Modifikasi metode Householder tanpa turunan kedua dengan orde konvergensi optimal,” J. Mat. UNAND , vol. 10, no. 2, pp.. 218  228,
2021. [ CrossRef ]
[6] X.  Yu  and  X.  Xu,  “A  new  family  of  chebyshev-halley  like  methods  free  from second  derivative,” Fixed  Point  Theory ,  vol.  13,  no.  1,  pp.  319–325,  2012. [ GreenVersion ]
[7] Wartono,  M.  Soleh,  I.  Suryani,  Zulakmal,  and  Muhafzan,  “A  new  variant  of Chebyshev-Halley’s  method  without  second  derivative  with  convergence  of optimal order,” Asian J. Sci. Res. , vol. 11, no. 3, pp. 409–414, 2018. [ CrossRef ]
[8] J. Kou, Y. Li, and X. Wang, “A composite fourth-order iterative method for solving non-linear equations,” Appl. Math. Comput. , vol. 184, no. 2, pp. 471–475, 2007. [ CrossRef ]
[9] R. Ezzati and F. Saleki, “On the construction of new iterative methods with fourth- order convergence by combining previous methods,” Int. Math. Forum , vol. 6, no. 27, pp. 1319–1326, 2011. [ GreenVersion ]
[10]  A. Husni dan W. Wartono, “Modifikasi metode iterasi dua langkah menggunakan kombinasi  linear  tiga  parameter real,” Euclid ,  vol.  6,  no.  2,  pp.  157  166,  2019.
[ CrossRef ]
[11]  V. Kanwar, S. K. Tomar, S. Singh, and S. Kumar, “Note on super-Halley method and  its variants,” Tamsui  Oxford  J.  Inf. Math.  Sci. ,  vol.  28,  no.  2,  pp.  191–216, 2012. [ GreenVersion ]
[12]  M.  Arif  dan  Wartono,  “Orde  konvergensi  modifikasi  metode  Weerakoon- Fernando  dan  Homeier  dengan  parameter  riil  menggunakan  rataan  harmonik,” Jurnal Sains Matematika dan Statistika , vol. 4, no. 2, pp. 74–81, 2018. [ CrossRef ]
[13]  S.  Weerakoon  and  T.G.I.  Fernando,  “A  variant  of  Newton’s  method  with accelerated third-order convergence,” Appl. Math. Lett. , vol. 13, pp. 87–93, 2000. [ CrossRef ]
[14]  H.H.H. Homeier, “On Newton-type methods with cubic convergence,” J. Comput. Appl. Math. , vol. 176, no. 2, pp. 425–432, 2005. [ CrossRef ]
[15]  D. Li, P. Liu, and J. Kou, “An improvement of Chebyshev – Halley methods free from  second  derivative,” Appl.  Math.  Comput. ,  vol.  235,  pp.  221–225,  2014. [ CrossRef ]
[16]  Wartono,  R.  Agustiwari,  and  Rahmawati,  “New  modification  of  Behl’s  method free  from  second  derivative  with  an  optimal  order of  convergence,” Indones.  J. Pure Appl. Math. , vol. 1, no. 2, pp. 10–19, 2019. [ CrossRef ]
[17]  N.  Srisarakham,  “A  familiy  of  modified  Chebyshev-Halley’s  iterative  methods with two parameters for nonlinear equations,” Int. J. Math. Comput. Sci. , vol. 16, no. 1, pp. 553–562, 2021. [ GreenVersion ]
[18]  M.  Kansal,  V.  Kanwar,  and  S.  Bhatia,  “New  modifications  of  Hansen-Patrick’s family  with  optimal  fourth  and  eighth  orders  of  convergence,” Appl.  Math. Comput. , vol. 269, pp. 507–519, 2015. [ CrossRef ]