## Evaluasi Kinerja Bagan Kendali Pada Proses Short-Run
Darmanto
Jurusan Statisika, FMIPA, Universitas Brawijaya, Jln. Veteran 1 – Malang, 65145, Indonesia
DOI: 10.20961/performa.17.1.18740

## Abstrak
Proses produksi manufaktur yang tren saat ini adalah short-run. Proses short-run bersifat job shop (spesifikasi berbeda tiap  proses)  dan  just  in-time  (jumlah  produk  sesuai  pesanan).  Hal  tersebut  menyebabkan  parameter  proses  tidak diketahui  karena  tidak  tersedianya  data  dan  umumnya  jumlah  produk  sedikit.  Bagan  kendali m F   adalah  salah  satu bagan  kendali  yang  dirancang  untuk  proses  short-run.  Cara  kerja  bagan  kendali m F   mengikuti  konsep  succesive difference  dan  di  bawah  asumsi  distribusi  Normal  multivariat.  Tingkat  sensitifitas  suatu  bagan  kendali  dievaluasi berdasarkan  nilai  average  run  length  (ARL).  Pada  penelitian  ini,  nilai  ARL  dihitung  berdasar  simulasi  pergeseran terhadap  vektor  rata-rata  dengan  mencatat  titik  ke-m  pertama  yang  keluar  dari  batas  kendali.  Simulasi  pergeseran vektor  rata-rata  dari  target  ( 0  )  dilakukan  secara  serempak  dengan  sifat  pergeseran  prositif  ( s  = 0  +  δ).  Variasi ukuran  data  dan  banyak  variabel  pada  penelitian  ini  berturut-turut  adalah  m  =  20,  50  and  p  =  2,  4,  8.  Tiap  skema kombinasi dari  δ, m and p diiterasi masing-masing sebanyak 250.000 kali. Hasil simulasi menunjukkan bahwa untuk semua skema ketika kedua parameter diketahui ARL 0 ≈ 370. Adapun nilai ARL 1 , seiring bertambah jauhnya vektor rata- rata digeser menjauh dari target, nilainya semakin kecil. Artinya, sensitifitas bagan kendali m F  meningkat. Kesimpulan ini  juga  berlaku  untuk  bertambahnya  banyaknya  variabel  p,  sedangkan  bertambahnya  ukuran  n  akan  mengurangi sensitifitas bagan kendali m F .
Kata kunci : average run length (ARL),  , job shop, just in-time, short-run, successive difference

## Abstract
The manufacturing production process that is currently trend is short-run. Short-run process is a job shop and a just in- time. These causes the process parameters to be unknown due to unavailability of data and generally a small amount of product.  The m F control  chart  is  one  of  the  control  charts  which    designed  for  the  short  run.  The  procedure  of  the
m F control  chart  follows  the  concept  of  succesive  difference  and  under  the  assumption  of  the  multivariate  Normal distribution. The sensitivity level of a control chart is evaluated based on the average run length (ARL) value. In this study, the ARL value was calculated based on the shift simulation of the average vector by recording the first m-point out  of  the  control  limits.  The  average  vector  shift  simulation  of  the  target  ( 0  )  is  performed  simultaneously  with  the properties of a positive shift ( s  = 0  + δ). Variations of data size and many variables in this study were m = 20, 50 and p = 2, 4, 8, respectively. Each scheme (a combination of δ, m and p) is iterated 250,000 times. The simulation results show that for all schemes when both parameters are known ARL 0 ≈ 370. But, when parameters are unknown, ARL 1 turn to  smaller.  This  conclusion  also  implied  when  the  number  of  p  and  n  are  increased,  it  reduce  the  sensitivity  of  the
m F control chart.
Keywords : average run length (ARL), m F , job shop, just in-time, short-run, successive difference

## 1. Pendahuluan
Saat  ini,  proses  produksi  yang  sedang  tren  adalah  proses  produksi short-run ,  yakni  suatu  proses produksi  dengan  kondisi:  (1)  Proses job  shop yaitu  karakteristik  kualitas  beserta  standar  (spesifikasi)  yang dimonitor  berbeda-beda  tiap  produk,  (2)  Sistem Just-in-Time (JIT)  yaitu  jumlah  produk  yang  diproduksi sedikit ( low volume ) sehingga proses produksi berjalan lebih pendek dari yang konvensional, (3) Parameter proses  tidak  tersedia (Khoo,  dkk.,  2005;  Marques,  dkk.,  2015).  Hal ini dikarenakan  tidak  cukup  atau  tidak tersedia  data  produksi  sebelumnya  ( no  historical  data ).  Dinyatakan  pula  bahwa  secara  umum  proses produksi  s hort-run memproduksi  produk  dengan  kuantitas  kurang  dari  50  (20-50)  (Khoo  dan  Quah,  2002; Elam  dan  Case,  2005;  Fonseca,  dkk.,  2007;  Montgomery,  2009;  Jaupi,  dkk.,  2013).  Dikarenakan  jumlah produk  yang  sedikit,  maka  amatan  yang  paling  banyak  diterapkan  pada  kondisi short-run adalah  amatan individu.
Secara konvensional, bagan kendali multivariat amatan individu didasarkan pada bagan kendali klasik T 2 -Hotelling. Untuk menghitung statistik T 2 bagan kendali T 2 -Hotelling, diperlukan statistik vektor rata-rata
dan matriks kovarians yang diperoleh berdasarkan data produksi sebelumnya ( historical data ). Dikarenakan pada kondisi short-run proses produksi berjalan cepat dan karakteristik kualitas dan spesifikasi berbeda-beda tiap proses produksi, maka data historis relatif sulit diperoleh. Oleh karenanya, hal ini menjadi kendala untuk memonitor proses produksi dengan menggunakan bagan kendali T 2 -Hotelling konvensional.
Untuk  mengatasi  kondisi  (1)  dan  (2)  pada  proses  produksi short-run ,  para  peneliti  telah  mengusulkan beberapa bagan kendali multivariat short-run . Di antaranya adalah Scholz-Tosch (1994) yang mengusulkan bagan  kendali  multivariat X untuk  sampel  berukuran  kecil.  Pada  tahun  2001,  Quesenberry  mengusulkan bagan  kendali  multivariat snapshot Q  yang  merupakan  perluasan  dari  bagan  kendali  univariat  Q  oleh Quesenberry  (1993).  Selanjutnya,  Khoo-Quah  (2002)  mengusulkan  bagan  kendali  multivariat V m .  Statistik V m merupakan  modifikasi  dan  perluasan  dari  statistik T 2 dengan  mentransformasi  ke  dalam  distribusi multivariat normal standar,   . p p N 0, I
Kemudian, pada tahun 2005, Khoo-Gan mengusulkan bagan kendali multivariat CUSUM untuk amatan individu  menggunakan  statistik V m .  Selanjutnya,  pada  tahun  2012,  Zou,  dkk.  mengusulkan  bagan  kendali multivariat short-run EWMA untuk data yang tidak diketahui distribusinya dengan basis rank-spatial . Pada tahun 2013, Jaupi dkk. juga mengusulkan bagan kendali multivariat short-run untuk mengendalikan rata-rata dan  variabilitas  dengan  melibatkan  fungsi  pengaruh ( influence  function ).  Dari  beberapa  bagan  kendali tersebut  terdapat  dua  bagan  kendali  yang  mempunyai  persamaan  yaitu  bagan  kendali  yang  diusulkan  oleh Scholz-Tosch  (1994)  dan  bagan  kendali  yang  diusulkan  oleh  Khoo-Quah  (2002).  Persamaan  dari  kedua bagan  kendali  tersebut  adalah  keduanya  dikembangkan  dari  konsep successive  difference (SD)  untuk menghitung  estimator  parameter  dan  mengasumsikan  bahwa  data  yang  diamati  berdistribusi  normal multivariat. Pada tulisan ini, peneliti mengkaji dan mengevaluasi kinerja bagan kendali m F yang diusulkan oleh  Scholz  dan  Tosch  (1994)  berupa  tingkat  sensitifitas  dalam  mendeteksi  ada  tidaknya  titik  yang  tidak terkendali.

## 2. Metode Penelitian
Evaluasi  kinerja  bagan  kendali  dapat  diketahui  dengan  melihat  nilai ARL 1 yang  diperoleh  dari  hasil simulasi.  Pada  kondisi  kedua  parameter diketahui,  langkah  awal evaluasi  kinerja  bagan  kendali  multivariat short-run m F adalah  inisiasi  awal  kedua  parameter  yang  diketahui  yaitu  0 μ 0 dan p  0 Σ I .  Selanjutnya adalah  membangkitkan  data  secara  random  sebanyak N =  10.000  yang  kemudian  dinyatakan  sebagai f x ( future observation ),   f p p N s x μ ,I untuk p = 2, 4 dan 8. p adalah banyaknya  karakteristik kualitas yang diamati  dan s μ adalah  vektor  rata-rata  yang  telah  mengalami  pergeseran  proses  sebesar  yaitu ,    s 0 μ μ  = 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5.
Selanjutnya  adalah  menghitung  statistik m F sebagaimana  pada  Persamaan  (1).  Kemudian membandingkan  statistik m F dengan 2 , p   untuk    mendeteksi  ada  tidaknya  titik  yang  keluar  pertama  kali ( RL 1 ), 2 , p F    . Jika RL 1 = 0, ulangi langkah-langkah sebelumnya. Namun, jika RL 1 ≠ 0, maka catat sebagai nilai RL 1 . Seluruh proses tersebut diiterasi sebanyak 250.000 kali. Langkah terakhir adalah mencari rata-rata RL 1 ( ARL 1 ).  Nilai ARL 1 didapatkan  dengan  cara  menjumlahkan  seluruh RL 1 yang  diperoleh  dari  tiap-tiap iterasi dibagi dengan banyaknya iterasi.
Sedangkan  untuk  kondisi  kedua  parameter  tidak  diketahui,  proses  simulasi  terbagi  menjadi  dua  fase yakni  Fase  I  dan  Fase  II.  Fase  I  adalah  fase  estimasi  parameter  vektor  rata-rata  dan  matriks  kovarians berdasarkan m titik yang terkendali ( in-control ). Fase II adalah fase menghitung nilai ARL 1 berdasarkan data bangkitan  yang  telah  mengalami  pergeseran  terhadap  statistik  vektor  rata-rata  dan  matriks  kovarians  yang telah diperoleh pada Fase I.
Fase  I  dimulai  dengan  membangkitkan  data  secara  random  sebanyak N =  10.000  yang  berdistribusi normal multivariat   p N 0 0 μ , Σ dengan variasi p = 2, 4 dan 8. Kemudian, mengambil secara random dari N = 10.000  untuk  tiap-tiap p sebanyak m =  20  dan  50.  Selanjutnya,  menghitung  statistik m x dan m S pada Persamaan (3). Langkah berikutnya adalah menghitung statistik m F sebagaimana pada Persamaan (2). Jika ada 1 titik yang tidak terkendali   , , 1 m p d p F F     , maka tahapan awal pada fase ini diulangi hingga semua
titik m terkendali   , , 1 m p d p F F     .  Jika  semua  titik m terkendali,  maka  statistik m x dan m S dari m titik terkendali ini disimpan untuk perhitungan pada Fase II.
Pada Fase II, langkah awalnya adalah membangkitkan data secara random sebanyak N = 10.000 yang kemudian  dinyatakan  sebagai f x ( future  observation ),   f p p N s x μ ,I untuk p =  2,  4  dan  8.  Kemudian, menghitung statistik m F sebagaimana pada Persamaan (2) dengan memanfaatkan statistik m x dan m S yang diperoleh  pada  Fase  I.  Langkah  selanjutnya  adalah  membandingkan  antara  statistik m F dengan , , 1 p d p F   
dan menyatakan tidak terkendali secara statistik jika dan hanya jika
, , 1 m p d p F F     . Kemudian, menghitung nilai ARL 1 dengan cara seperti sebelumnya.
Setelah  memperoleh  nilai ARL 1 masing-masing  untuk  bagan  kendali,  maka  selanjutnya  adalah membandingkan nilai ARL 1 kedua bagan kendali. Semakin kecil nilai ARL 1 , maka dapat dinyatakan bahwa semakin sensitif suatu bagan kendali mendeteksi adanya pergeseran vektor rata-rata proses dari vektor rata- rata yang sebenarnya ( target ). Selanjutnya, menerapkan kedua bagan kendali dengan data numerik.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Adapun  analisis  evaluasi  kinerja  dari  kedua  bagan  kendali  tersebut  adalah  dengan  melihat  nilai ARL 1 hasil simulasi. Semakin kecil nilai ARL 1 , maka akan semakin sensitif suatu bagan kendali dalam mendeteksi adanya titik yang tidak terkendali ( out of control ). Secara praktik, nilai ARL 1 dihitung dengan mencatat titik ke- m pertama yang keluar dari batas bagan kendali.
Pada  penelitian  ini,  simulasi  pergeseran  terhadap  vektor  rata-rata  dilakukan  secara  serempak  dengan sifat pergeseran positif (+). Misal: untuk p = 3, maka
0 0 0 0 s    
      
   
               μ μ
Tabel  1  merupakan  tabel  yang  berisi  nilai ARL bagan  kendali  multivariat short-run m F untuk  kondisi kedua parameter diketahui. Nilai  dimulai dari 0 yang artinya tidak ada pergeseran vektor rata-rata proses, 0,5  artinya  vektor  rata-rata  proses  digeser  menjauh  secara  serempak  sebesar  0,5  dari  vektor  rata-rata  yang sebenarnya   0  μ 0 , 1 artinya vektor rata-rata proses digeser menjauh secara serempak sebesar 1 dari vektor rata-rata yang sebenarnya, dan demikian seterusnya untuk nilai δ = 1,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5.
Berdasarkan Tabel 1, untuk  besar δ = 0 atau tidak ada pergeseran vektor rata-rata, bagan kendali m F berlaku  untuk  setiap p ,  diketahui  nilai ARL 0 berada  di  sekitar  angka  370.  Nilai ARL 0 =  370  artinya,  titik amatan  ke-370  adalah  titik  yang  pertama  kali  keluar  yang  dideteksi  oleh  bagan  kendali.  Atau  dengan  kata lain,  bagan  kendali  membutuhkan  amatan  sebanyak  370  untuk  menyatakan  bahwa  proses  mengalami pergeseran vektor rata-rata.
Tabel 1. Nilai ARL Kondisi Kedua Parameter Diketahui dengan m = 20
 p = 2 p = 4 p = 8 m F m F m F 0 370.52 370.29 370.19 0.5 129.56 101.33 71.86 1 27.74 15.16 7.26 1.5 7.71 3.64 1.77 2 3.07 1.57 1.08 2.5 1.68 1.11 1.00 3 1.21 1.01 1.00 4 1.01 1.00 1.00 5 1.00 1.00 1.00
Berdasarkan  Tabel  1  pula,  jika  besar  pergeseran  vektor  rata-rata  adalah δ =  0,5  dengan  banyak karakterisik  kualitas, p ,  misal: p =  4,  diketahui  nilai ARL 1 bagan  kendali m F adalah  101.  Artinya,  ketika vektor rata-rata digeser sebesar δ = 0,5 dari vektor rata-rata spesifikasi, bagan kendali m F memberikan sinyal bahwa telah terjadi pergeseran vektor rata-rata untuk yang pertama kali adalah pada amatan ke-101.
Gambar 1. Plot Simulasi untuk p = 4, m = 20 dan δ = 1 Pada Kondisi Kedua Parameter Diketahui Gambar  1  adalah  plot  satu  kali  perulangan  simulasi.  Data  pada  Gambar  1  dibangkitkan  secara  random dengan   4 0 4 f N    s x μ μ ,I .  Besar  pergeseran  dari  Gambar  1  adalah δ =  1,  sehingga 0 1    s μ μ 1 . Batas  kendali  atas  dari  bagan  kendali m F adalah 2 0,0027,4 16, 2512 UCL    .  Berdasarkan  Gambar  1,  dapat diketahui bahwa nilai RL 1 untu bagan kendali m F adalah 11. Artinya, titik pertama kali yang terdeteksi ketika telah terjadi pergeseran vektor rata-rata sebesar 1 adalah titik ke-11.
Tabel  2  merupakan  tabel  yang  berisi  nilai ARL bagan  kendali m F untuk  kondisi  kedua  parameter  tidak diketahui.  Berdasarkan Tabel  2, dapat  diketahui  bahwa  untuk p =  2,  tanpa ada  pergeseran  vektor rata-rata, nilai ARL 0 untuk bagan kendali m F adalah 1593. Artinya, ketika vektor rata-rata tidak bergeser dari vektor rata-rata target, bagan kendali ini mendeteksi adanya titik yang keluar batas kendali untuk yang pertama kali ( RL 1 ) adalah pada amatan ke-1593.
Tabel 2. Nilai ARL Kondisi Kedua Parameter Diketahui dengan m = 20
 p = 2 p = 4 p = 8 m F m F m
F 0 1593.59 1577.66 1419.89 0.5 499.78 412.78 256.30 1 82.42 56.60 40.44 1.5 17.76 14.58 10.82 2 5.50 3.45 2.90 2.5 2.41 1.39 1.15 3 1.46 1.25 1.10 4 1.03 1.02 1.00 5 1.00 1.00 1.00
Dibandingkan  dengan  kondisi  parameter  diketahui,  ketika  parameter  tidak  diketahui  sensitifitas  bagan kendali m F menurun. Hal ini ditunjukkan dengan nilai ARL pada parameter tidak diketahui yang jauh lebih besar dibandingkan dengan nilai ARL pada parameter diketahui. Sensitifitas bagan kendali akan sama ketika pergeseran vektor rata-rata pada nilai δ > 2.
Gambar 2 merupakan plot bagan kendali hasil simulasi. Data pada Gambar 2 dibangkitkan secara random dengan   8 0 8 , f N    s x μ μ I . Besar pergeseran dari Gambar 2 adalah δ = 2, sehingga 0 2    s μ μ 2 . Batas kendali atas dari bagan kendali m F adalah
0,0027,8,33 4,1434 UCL F   .
Gambar 2. Plot Simulasi untuk p = 8, m = 50 dan δ = 2 Pada Kondisi Kedua Parameter Tidak Diketahui
Berdasarkan  Gambar  2  dapat  diketahui  bahwa nilai RL 1 dari kedua bagan kendali adalah sama yakni 1. Artinya titik pertama kali yang keluar dari batas kendali dari kedua bagan kendali adalah titik amatan ke-1.
Dapat  diartikan  juga  bahwa  ketika  vektor  rata-rata  digeser  menjauh  sebesar δ =  2,  kedua  bagan  kendali tersebut  dapat  dengan  segera  pada  titik  pertama  mendeteksi  bahwa  proses  memang  benar  telah  terjadi pergeseran.  Gambar  2  juga  menunjukkan  bahwa  sekitar  80%  titik  amatan  yang  keluar  dari  batas  kendali. Artinya, semakin besar pergeseran vektor rata-rata, maka semakin banyak titik amatan yang keluar dari batas kendali.
Sebagai  terapan,  berikut  adalah  hasil  analisis  data  Quesenberry  (2001)  [9].  Data  terdiri  atas  11 karakteristik  kualitas  ( p =  11)  dengan  banyak  amatan m =  30.  Berdasarkan  uji  Mardia,  dinyatakan  bahwa data  tersebut  berdistribusi  normal  multivariat.  Kemudian,  dengan  menggunakan  Persamaan  (2)  diperoleh nilai statistik untuk bagan kendali dan diplotkan sebagaimana pada Gambar 3.
Gambar 3. Bagan Kendali m F Untuk Data Terapan Quesenberry (2001)

## 4. Simpulan
Ada beberapa kesimpulan yang dapat diambil berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan yaitu pada kondisi kedua parameter diketahui, konsep SD pada bagan kendali m F hanya digunakan untuk menghitung m S , m x melibatkan semua titik amatan. Akibat dari penghitungan m x yang  melibatkan semua titik amatan, maka bagan kendali m F tidak dapat segera terbentuk. Adapun pada kondisi kedua parameter diketahui, bagan kendali m F mempunyai  sensitifitas  lebih  tinggi  dibandingkan  dengan  kondisi  kedua  parameter  tidak diketahui. Selain itu, berdasarkan evaluasi kinerja kedua bagan kendali, semakin bertambahnya karakteristik kualitas ( p ) yang diamati, maka semakin kecil nilai ARL 1 , namun semakin banyak titik amatan yang diamati, maka nilai ARL 1 semakin besar. Kesimpulan lain yang dapat diambil adalah semakin jauh pergeseran vektor rata-rata proses, maka kedua bagan kendali ini semakin cepat mendeteksi.
Adapun  saran  yang  dapat  diberikan  adalah  perlu  dikembangkan  rumusan  baru  dengan  menggunakan konsep  SD  untuk  estimasi  kedua  parameter  pada  bagan  kendali m F ,  sehingga  bagan  kendali  dapat  segera terbentuk  setelah  didapat  beberapa  data  amatan.  Pola  pergeseran  vektor  rata-rata  yang  disimulasikan  pada penelitian  ini  bersifat  simultan,  agar  lebih  komprehensif,  perlu  dilakukan  pola  pergeseran  vektor  rata-rata secara  parsial.  Pada  penelitian  ini  yang  dikaji  adalah  hanya  bagan  kendali  pergeseran  rata-rata  proses, sehingga perlu dikaji lebih lanjut bagan kendali untuk dispersi.

## Daftar Pustaka
Elam, M. E., dan Case, K. E. 2005. Two-Stage Short-Run Control Charts. Quality Engineering , 17, hal. 95- 107.
Fonseca,  D.  J.,  M.  E.  Elam,  dan  L.  Tibbs.  2007.    Fuzzy  Short-Run  Control  Charts. Mathware  &  Soft Computing , 14, hal. 81-101.
Jaupi, L., D. E. Herwindiati, Ph. Durand dan D. Ghorbanzadeh. 2013. Short-Run Multivariate Control Charts for Process Mean and Variability. Proceeding of the World Congress on Engineering , London. Khoo, M. B. C., dan S. H. Quah. 2002. Proposed Short Run Multivariate Control Chart for The Proses Mean. Quality Engineering , 14, hal. 603-621.
Khoo, M. B. C., S. H. Quah, H. C. Low, dan C. K. Ch’Ng. 2005. Short Runs Multivariate Control Chart for Process Dispersion. International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering , 12, hal. 127- 147.
Marques,  P.  A.,  Carlos  B.  C.,  Paula  P.,  Sousa  R.,  dan  Helena  G.  2015.  Selection  of  The  Most  Suitable Statistical  Process  Control  Approach  for  Short  Production  Runs:  A  Decision-Model. International Journal of Information and Education Technology , 5, hal. 303-310. Montgomery, D. C. 2009. Introduction to Statistical Quality Control . Edisi ke-5. John Wiley & Sons: New York.
Quesenberry, C. P. 2001. The Multivariate Short-Run Snapshot Q Chart. Quality Engineering , 13, hal. 679- 683.
Scholz,  F.  W.  dan  T.  J.  Tosch.  1994.  Small  Sample  Uni-  and  Multivariate  Control  Charts  for  Means.
Proceedings of The American Statistical Association, Quality and Production Section .
Apendiks

## KEDUA PARAMETER DIKETAHUI
Dimisalkan bahwa   1 2 m x ,x ,…,x ;   i p N x μ, Σ . Jika   i p N x μ, Σ , maka     i p N  x μ 0, Σ .
Definisi 1.
Jika 1 2 , m x x ,…,x berdistribusi  normal  p-variat,  identik  dan  independen,   p N 0, Σ ;  maka 1 m i i i     W x x akan berdistribusi Wishart dengan derajat bebas m . (Seber, 2004)
Berdasarkan Definisi 1,        0 0 0 1 ; m i i p i W m    
  x μ x μ , Σ μ μ .
Jika  CC = Σ ,  di  mana C adalah  matrik  non-singular  berukuran p p  ,  maka     1 0 i p p N   U = C x μ 0,I dan     1 0 0 i i      U U = x μ Σ x μ . Perkalian matriks  U U merupakan jumlah kuadrat dari p variabel saling bebas yang masing-masing berdistribusi   0,1
N , sehingga 2 p   U U . Jika
0 Σ = Σ , maka benar bahwa     1 2 0 0 0 i i i p F       x μ Σ x μ .

## KEDUA PARAMETER TIDAK DIKETAHUI
Dimisalkan  bahwa   1 2 m x ,x ,…,x ;   i p
N x μ, Σ .  Dinyatakan  pula  bahwa
1 i i i    y x x ; 1,..., 1 i m   disebut  vektor selisih lokal ( local difference vector ).
2 3 2 3 4 3 1 2 2 3 3 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 . m m m m m                                                 
       
 
    
                         
 


 
     
    
  1 2 1 1 1 1 y x - x y x - x y x - x
y x - x y x y x y x
y x Y = DX
di mana D disebut sebagai matriks pembeda ( differencing matrix ). Diketahui bahwa 1 2 i i i   S y y dan estimator tak bias gabungan   m S untuk Σ adalah
   
  1 1 1 1 1 1 1 2 1
1 .
2 1 m m m i i i i i m m
m         
     S S y y Y Y
Jika 1 2  A = D D , maka  
1 2 1 1 . 1 m m m
      S Y Y
X AX .
Teorema 1.
Diketahui bahwa   m   1 2 X x , x ,…, x di mana   i p N x 0, Σ dan , v = Xξ    ξ 0 adalah vektor konstan berukuran 1 p  . Jika A adalah suatu matriks berukuran m m  dengan rank r , maka   , p W r  X AX Σ jika dan hanya jika 2 2 r     v Av untuk setiap ξ , di mana 2     ξ Σξ .  (Seber, 2004)
Teorema 2.
Jika
  , p W m W Σ dan C adalah matriks berukuran r p  dengan rank r , maka   , p W m   CWC CΣC .

## Akibat Teorema 2.
Jika ξ adalah  sembarang  vektor  konstan  berukuran 1 p  ,    ξ 0 ,  maka 2 2 m     ξ Wξ di  mana 2 0      ξ Σξ karena  Σ Ο .
Berdasarkan  Teorema  1,  diketahui  bahwa  perkalian  beberapa m S mempunyai  distribusi  yang  dapat didekati dengan distribusi Wishart,   , p W d Σ .
Jika diasumsikan μ = 0 , maka
  2 0, i i v N     x ξ dan   1 2 , , , m v v v   v . Dengan persamaan pendekatan seperti berikut:
2 2 1 d       v Av . Maka ekspektasi dan varians dari kedua sisi adalah
2 1 1 m E              v Av dan   4 2 1 var 3 4 . m   
          v Av   2 2 2 d E d       dan   2 2 4 var 2 . d d      
Selanjutnya menyamakan hasil ekspetasi dan varians untuk masing-masing sisi.
2 2 1 m d      
 dan   4 4 2 3 4 2 m d  
   , sehingga diperoleh   3 4 2 1 m m     dan   2 2 1 . 3 4 m d m    Dikarenakan  dan d tidak tergantung pada ξ , maka dapat dinyatakan bahwa     1 , m m p m d W d     S S Σ .
Dinyatakan  bahwa
1 1 , m m i p i N m n          Σ x x μ independen  terhadap m S .  Lebih  lanjut,  jika   f p N x μ, Σ adalah amatan  selanjutnya  ( future  observation ),  maka   1 , 1 f m p N m                 x x 0 Σ
juga  independen  terhadap m S .  Oleh karena itu, dapat dinyatakan benar bahwa 
   1 1 1 m f m m f m d p m F d p m          x x S x x mengikuti distribusi F dengan
numerator p dan denominator 1 d p   . Dengan demikian dapat ditulis:
    1 , 1 1 1 m f m m f m p d p d p m F
F d p m            x x S x x .