Abstrak — Sebuah  sistem  pengendalian  kapal  dituntut  untuk memiliki  akurasi  yang  tinggi.  Hal  ini  dituntut  dengan  adanya sistem  pengendalian  otomatis  yang  dibuat  dengan  menjadikan feedback dari  alat  ukur  sebagai  nilai  yang  mempengaruhi pengendali.  Dengan  alat  ukur  yang  memiliki noise dan  sistem yang  memiliki noise sehingga  tidak  sesuai  dengan  perancangan sistem  tersebut  menjadi  penyebab  ketidaktepatan  dalam pengendalian kapal. Meskipun noise bernilai kecil namun dalam waktu  yang  lama  dan  terus  menerus  terakumulasi  sehingga pengendalian tidak berjalan dengan baik. Tujuan dari penelitian ini  adalah  untuk  merancang  sebuah  estimator  Kalman  Filter pada  kondisi noise dari  alat  ukur, noise dari  sistem  kapal  dan ketidaktepatan  dalam  pemodelan.  Metode  Kalman  Filter  yang digunakan  adalah  metode  Kalman  Filter  diskrit  linier  karena model dinamika kapal telah dilinierisai dan didiskritisasi terlebih dahulu. Variabel dinamik kapal yang diestimasi untuk keperluan steering  adalah  dinamika  sway-yaw  dengan  variabel  kecepatan sudut,  posisi  sudut  dan  kecepatan  arah  sway.  Perancangan sistem  berdasarkan  spesifikasi  kapal  perang  kelas  SIGMA Extended. Berdasarkan hasil simulasi, estimator yang dirancang mampu  memberikan  nilai  estimasi  pada  ketiga  variabel dinamika  kapal  dengan  persentase  integral  absolute  error  dari sistem dengan noise sistem dan noise pengukuran sebesar 0,41% untuk  variabel  yaw,  4,30%  untuk  yaw-rate  dan  6,78%  untuk sway-rate.
Kata  Kunci —Kalman  Filter,  sistem  pengendalian, noise , Christensen dan Blanke, Kapal Perang Kelas SIGMA Extended.

## I. PENDAHULUAN
EBUAH kapal  laut  dalam  melakukan  pelayarannya membutuhkan suatu sistem pengendali gerak. Pengendalian ini digunakan untuk menjaga suatu kapal dalam lintasan  tertentu.Dalam  waktu  30  tahun  terakhir  ini  terdapat suatu  peningkatan  dari  permintaan  terhadap  akurasi  dan keandalan yang lebih baik dari suatu sistem pengendali gerak. Pada  kapal  laut  modern  biasanya  dilengkapi  dengan  sistem pengendali gerak yang baik. Sistem pengendali gerak tersebut memiliki  tugas  yang  berbeda  berdasarkan  dari  operasi  yang dilakukan.Beberapa  variabel  yang  dikendalikan  meliputi posisi, kecepatan dan arah gerak kapal [1].
Dalam  pelayaran  dan  pengendalian  kapal  terdapat  banyak kesulitan yang perlu diatasi sebelum kapal dapat dikendalikan sesuai  keinginan,  yaitu noise . Noise tersebut  dapat  berupa noise internal dan eksternal. Noise alat ukur misalnya berasal dari interaksi  kompas dengan  medan  magnet  yang dihasilkan oleh  motor.  Sementara noise sistem  dihasilkan  dari  arus  dan gelombang  laut,cuaca,  angin  yang  mengganggu  posisi  kapal. Noise - noise tersebut  dapat  menyebabkan  tidak  terkendalinya kapal  dengan  tepat  khususnya  pada  waktu  cuaca  laut  yang
ekstrem  [2].  Dengan  adanya noise tersebut  maka  perlu dilakukan suatu tindakan untuk membuang noise tersebut. Hal paling sederhana dalam melakukan mengurangi noise tersebut adalah  mengambil  rata-rata  dari  beberapa  sampel  konsekuen, namun  pendekatan  sederhana  tersebut  tidak  bekerja  untuk sebagian besar masalah di kehidupan nyata. Maka diperlukan suatu pendekatan yang lebih canggih.
Untuk  mengatasi noise dalam  pelayaran  suatu  kapal  dapat diatasi  dengan  sistem  pengendalian  yang  dilengkapi  dengan suatu  estimator.  Estimator  digunakan  untuk  memberikan prediksi  terhadap  variabel-variabel  pada  kapal  akibat noise yang  terjadi.  Prediksi  tersebut  dapat  menjadi  suatu  acuan dalam  sistem  pengendalian  modern  sebagai  masukkan  dari sebuah  pengendali.Salah  satu  algoritma  untuk  melakukan estimasi  pada  suatu  sistem  keadaan  dari  model  dinamik diperkenalkan  oleh  [3].  Algoritma  ini  disebut  sebagai  filter kalman,  yaitu  suatu  algoritma  yang  dapat  diimplementasikan pada suatu model dinamik linier. Dengan menggunakan Filter Kalman dapat dilakukan estimasi terhadap variabel posisi dan kecepatan  kapal  sebagai  variabel  yang  dapat  dijadikan  acuan terhadap  keterkendalian  kapal.  Keunggulan  Filter  Kalman adalah  kemampuan  mengestimasi  suatu  keadaan  berdasarkan data yang minim [4].
Dengan adanya suatu estimasi terhadap variabel dinamik dari  kapal  dapat  dilakukan  pengendalian  yang  lebih  baik sehingga kapal dapat melakukan fungsinya dengan lebih baik dalam  menghindari  permasalahan  umum  berupa noise yang tidak dapat dihindari.

## II. DASAR TEORI

## A. Model Dinamika Kapal
Model  dinamik  kapal  merupakan  suatu  hasil  dari  ilmu statika  dan  dinamika.  Dimana  statika  digunakan  saat  kapal mempertahankan  posisinya  dan  bergerak  dengan  kecepatan konstan  dan  dinamika  saat  kapal  melakukan  akselerasi.  Model matematika ini diawali dengan penemuan Archimedes terhadap gerakan  hidrostatik  yang  menjadi  dasar  statika  pada  suatu kendaraan  laut.  Secara  dinamika  dirumuskan  oleh  Newton mengenai dinamika gerak yang terbagi menjadi kinematika dan kinetika.  Pada  model  dinamik  kapal  dirumuskan  sebagai  suatu rigid body dengan 6 derajat kebebasan. Derajat kebebasan kapal ini terdiri dari 3 derajat kebebasan terhadap sumbu x,y,z dan 3 derajat  kebebasan  lainnya  mengacu  kepada  arah  rotasi  dan orientasi  dari  kapal.  Keenam  derajat  kebebasan  dari  kapal  laut biasa  disebut  sebagai  : Surge,  Sway,  Heave,  Roll,  Pitch,  Yaw . Derajat  kebebasan  ini  juga  biasa  disebut  sebagai  komponen gerak.  Komponen  gerak  dari  kapal  dengan  6  komponen  gerak dapat dilihat pada Tabel 1.

## Estimasi Variabel Dinamik Kapal Menggunakan Metode Kalman Filter
Nathanael Leon Gozali 1) , Aulia Siti Aisjah 1) , dan Erna Apriliani 2)
1) Jurusan Teknik Fisika, Fakultas Teknologi Industri , Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
2) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : auliasa@ep.its.ac.id, april@matematika.its.ac.id
S
Tabel 1. Derajat Kebebasan Kapal [5] DOF Gerakan Gaya dan Momen Kecepatan linear dan Anguler Posisi dan Sudut Euler 1 Gerak arah-x (surge) X U X 2 Gerak arah-y (sway) Y V Y 3 Gerak arah-z (heave) Z W Z 4 Rotasi sumbu-x (roll) K P Ф 5 Rotasi sumbu-y (pitch) M Q ϴ 6 Rotasi sumbu-z (yaw) N r Ψ

## Gambar.1. Notasi dan gerakan standart pada kapal
Model  dinamika    kapal  didapatkan  dari  pendekatan    yang dilakukan    oleh    Christensen  dan  Blanke  adalah    persamaan berikut: [6]

## (1)

## B. Algoritma Kalman Filter
Kalman  Filter  adalah  suatu  metode  yang  membantu dalam  melakukan  estimasi  terhadap  suatu  keadaan  dari  suatu hasil  pengukuran  yang  terdapat noise. [7] Langkah  dalam algoritma  Kalman  Filter  dimulai  dari  tahap  prediksi  dan dilanjutkan dengan tahap koreksi. Tahap prediksi adalah suatu tahapan  untuk  mengubah  suatu  keadaan  menjadi  keadaan berikutnya  dengan  mengabaikan error yang  ada.  Algoritma Kalman Filter dimulai dengan pemodelan dinamika kapal :
(2) (3)
Dilanjutkan  dengan  tahap  prediksi.    Pada  tahap  ini dilakukan  prediksi  terhadap  variabel  dinamik  kapal  dengan pendekatan terhadap model dinamika kapal:
(4) (5)
Tahap  selanjutnya  dilakukan  koreksi  terhadap  prediksi yang telah dilakukan dengan nilai keluaran dari model sistem pengukuran:
(6) (7) = ) (8)

## III. METODE PENELITIAN
Berikut  ini  adalah  langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam penelitian ini :

## A. Pemodelan Dinamika Kapal
Model dinamika kapal didapatkan dari pendekatan  yang dilakukan    oleh    Christensen  dan  Blanke,  berikut  ini persamaan  ruang  keadaan  dari  kapal  perang  kelas  SIGMA Extended:
Untuk diterapkan pada metode Kalman Filter, persamaan di  atas  perlu  dilakukan  proses    diskritisasi.  Sehingga persamaan di atas menjadi persamaan :
Dengan model sistem pengukuran sebagai berikut :
Pararmeter  w  dan  v  merupakan noise pada  model  sistem  dan  model pengukuran sistem :

## B. Pemodelan  Estimator
Pemodelan dapat dimulai dengan melakukan inisialisasi pada  masukkan  estimator  berupa  kovariansi  awal  dan  nilai estimasi mula-mula: [8]
Dilanjutkan  dengan  melakukan  pemodelan  tahap prediksi yang berasal dari hasil linierisasi dari model dinamika kapal:
Hasil  tahap  prediksi  perlu  dibandingkan  dengan  hasil sistem pengukuran agar menjadi suatu nilai residu pengukuran yang  merupakan  koreksi  dari  nilai  terprediksi.  Persamaan koreksi telah ditulis dalam persamaan (6), (7) dan (8). Nilai P dapat  diberikan  nilai  yang  kecil  jika  estimasi  awal  yang diberikan  dipercaya,  namun  jika  estimasi  awal  tidak  pasti maka  diberikan  kovariansi  yang  besar.  Nilai  Q  dan  R ditentukan dari membandingkan nilai noise yang pantas untuk keluaran dari model dinamika sebesar 10 -6 .

## IV. ANALISA DATA DAN PEMBAHASAN

## A. Kondisi I
Pada  pengujian  ini  diberikan  suatu  simulasi  dari  dina- mika sway-yaw kapal  tanpa  ada noise pengukuran  dan noise pada sistem dengan sudut rudder 2 derajat sebagai masukkan dari model kapal dan pemodelan estimator. Dengan demikian diperoleh  grafik  dari  posisi  sudut, sway-rate dan yaw-rate hasil estimasi, pengukuran dan aktual membentuk grafik yang sama.  Kondisi  I  disimulasikan  untuk  memberikan  gambaran dari  respon  sistem  dan  parameter  yang  sama  akan  digunakan
pada  kondisi  berikutnya  dengan  beberapa  penggantian parameter tertentu.

## B. Kondisi II
Kondisi  II  dimuati noise pengukuran  dengan  R  =  10 -6 . Dengan  adanya noise pengukuran  mengakibatkan  terjadinya simpangan  pada  grafik  estimasi  dan  grafik  pengukuran terhadap nilai aktual pada ketiga variabel.
Pada  kondisi  2  dapat  terlihat  adanya  osilasi  di  awal estimasi  pada  gambar  3.  Dengan  adanya noise pada  sistem pengukuran  dari  model  Kalman  Filter  tetap  dapat  melakukan estimasi seperti terlihat pada gambar. Hal ini terjadi pula pada variabel v dan ψ.

## C. Kondisi III
Dimuati noise alat  ukur  dan  juga noise sistem.  Dengan adanya noise pada sistem mengakibatkan grafik lebih banyak mengalami  osilasi  karena noise sistem  menyebabkan  peruba- han nilai aktual bukan hanya nilai yang terukur. Pada kondisi 3  dimuati noise sistem  yang  sama  besarnya  dengan noise pengukuran Q = R = 10 -6 .  Meskipun dimuati noise pada sis- tem dan pengukuran Kalman Filter tetap dapat melakukan es- timasi  meskipun  waktu  osilasi  lebih  panjang  sampai  men- dapatkan estimasi yang baik.

## D. Kondisi IV
Kondisi  IV  dimuati noise pengukuran  dengan  R  =  10 -6 disertai  dengan  inisialisasi  estimasi  awal  yang  tidak  tepat sebesar [0,05 0,05 0,05] T . Meskipun dimuati noise pengukuran disertai inisialisai yang tidak tepat Kalman Filter tetap mampu memberikan  estimasi  meskipun  disertai  dengan  osilasi  yang besar  pada  waktu  awal  yang  disebabkan  oleh  adanya inisialisasi  yang  lebih  tinggi  disbanding  dengan  nilai  aktual. Meskipun demikian  hasil estimasi  menjadi konvergen  seiring dengan perubahan nilai Kalman Gain.
E. Kondisi V
Kondisi  V  dimuati noise pengukuran, noise sistem dengan Q = R = 10 -6 disertai dengan inisialisasi estimasi awal yang tidak tepat sebesar [0,05 0,05 0,05] T . Hasil dari estimasi yang  diperoleh  adalah  adanya  osilasi  yang  besar  pada  awal estimasi  yang  lebih  besar  dibandingkan  dengan  kondisi  IV. Hal ini disebabkan karena adanya perubahan pada nilai aktual yang  menyebabkan  perubahan  nilai  terukur  yang  menjadi faktor  koreksi  pada  saat  Kalman  Filter  melakukan mea- surement update. Dengan adanya perubahan ini Kalman Filter tidak  dapat  mengikuti  dengan  baik  pada  awal  estimasi sehingga  terjadi  osilasi  besar  akibat  kesalahan  inisialisasi ditambah dengan faktor noise dari sistem.

## F. Kondisi VI
Kondisi  VI  dimuati noise pengukuran, noise sistem dengan Q = R = 10 -6 dan diasumsikan suatu pemodelan sistem yang tidak sama dengan sistem aslinya dengan parameter A + ΔA dan  b + Δb dengan perbedaan yang  kecil. Dengan adanya model yang tidak sesuai Kalman Filter tetap dapat melakukan estimasi yang baik pada variabel ψ namun tidak pada variabel v dan r. Hal ini disebabkan variabel v dan r tidak mendapatkan nilai  koreksi  dari  alat  ukur  karena  pada  model  telah diasumsikan  bahwa  hanya  variabel  ψ  yang  terukur  oleh  alat ukur.
Gambar.2. Grafik respon ψ,v dan r pada kondisi I
Gambar.3. Grafik respon r pada kondisi II
Gambar.4. Grafik respon v pada kondisi II
Gambar.5. Grafik respon r pada kondisi III
0 50 100 150 200 250 300 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 Waktu(1/4 detik) po si si s ud ut (d eg ) aktual estimasi pengukuran 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Waktu(1/4detik) v( m /s ) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Waktu(1/4detik) v( m /s ) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi
Gambar.6. Grafik respon v pada kondisi III
Gambar.7. Grafik respon r pada kondisi IV
Gambar.8. Grafik respon v pada kondisi IV
Gambar.9. Grafik respon r pada kondisi V
Gambar.10. Grafik respon v pada kondisi V ‘
Gambar.11. Grafik respon r pada kondisi VI
Gambar.12. Grafik respon v pada kondisi VI

## G. Pemberian inisialisasi kovariansi awal optimal
Pada  algoritma  Kalman  Filter  terjadi update secara rekursif  pada  nilai  Kalman  Gain  melalui update pada  nilai kovariansi dari estimator. Nilai Kalman Gain akan statis pada saat  tercapai  nilai  kovariansi  yang  optimal  pada  estimator. Nilai  kovariansi  tersebut  mempengaruhi  seberapa  cepat  Kal- man  Filter  memberikan  estimasi  yang  baik  yang  ditandai dengan  sedikitnya  jumlah  osilasi  yang  terjadi  pada  hasil estimasi. Pada bagian ini akan diberikan nilai kovariansi yang optimal hasil iterasi pada kondisi II dan III sebagai nilai inisial dari  kovariansi  estimator  maka  diperoleh  grafik  sebagai berikut [9]:
0 50 100 150 200 250 300 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Waktu(1/4detik) v( m /s ) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Waktu(1/4detik) v( m /s ) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Waktu(1/4detik) v( m /s ) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Waktu(1/4detik) v( m /s ) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -1 0 1 2 3 4 5 6 Waktu(1/4 detik) v( m /s ) aktual estimasi
Gambar.13.   Grafik respon r sebelum (kir i) dan sesudah (kanan) pemberian nilai kovariansi optimal   pada kondisi II
Gambar.14.   Grafik  respon  r  sebelum  (kiri) dan  sesudah  (kanan)  pemberian nilai kovariansi optimal   pada kondisi III
Tabel 2. Persentase Integral Time Absolute Error Ketiga Variabel Kondisi ITAE ψ ITAE v ITAE r I II 0% 0,1% 0% 2,93% 0% 1,02% III 0,31% 8,96%  2,06% IV 0,41% 6,78%  4,30% V 0,44% 47,03%  14,90% VI 0,39% 14,57%  9,82%
Dari  kedua  gambar  di  atas  dapat  dilihat  bahwa  waktu yang  dibutuhkan  oleh  estimator  dengan  memberikan  nilai inisialisasi  kovariansi  awal  optimal  akan  memberikan  waktu yang lebih singkat untuk mendapatkan estimasi yang optimal.

## H. Kinerja Estimator Kalman Filter
Untuk  menilai  kinerja  dari  Kalman  Filter  maka  akan dinyatakan  dalam  persentase  rata-rata  dari  nilai  IAE.  Nilai IAE  dicari  secara  rata-rata  karena noise yang  dibangkitkan merupakan noise yang bersifat acak.
Dari  table  di  atas  dapat  dinyatakan  bahwa  Kalman  Filter memberikan  estimasi  terbaik  pada  kondisi  II  di  saat  hanya dimuati noise pengukuran  dan  memberikan  estimasi  dengan IAE terbesar pada kondisi V yaitu pada saat diberikan inisia- lisasi  awal  secara  sembarang  dan  ditambah  dengan  adanya noise sistem.

## V. K ESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang dilakukan dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut:
 Metode  Kalman  Filter  dapat  digunakan  untuk  sebagai suatu  observer  yang  mampu  memberikan  estimasi  3 variabel  dinamik  kapal  meskipun  terdapat noise system, noise pengukuran,  kesalahan  inisialisasi  estimasi  dan ketidaktepatan pemodelan.
 Kalman  Filter  dapat  melakukan  estimasi  pada  dinamika Sway-Yaw  kapal  dengan  sistem  yang  memuat noise pengukuran  maupun noise pada  sistem  itu  sendiri  dengan persentase  IAE  rata-rata  sebesar  0,41%  untuk  variabel yaw, untuk  variabel yaw-rate 4,30% sebesar  dan  6,78% untuk variabel sway-rate .
 Nilai  terestimasi  sebagai  keluaran  dari  Kalman  Filter dengan  parameter  kovariansi  pengukuran  sama  dengan kovariansi dari noise sistem selalu menghasilkan nilai yang lebih  baik  dibandingkan  dengan  hasil  pengukuran  dapat ditunjukan dari perbandingan  persentase IAE antara nilai terestimasi dan nilai terukur
 Kalman  Filter  dapat  melakukan  estimasi  dengan  keadaan inisialisasi tidak tepat meskipun terdapat osilasi pada awal estimasi  dan  disertai  persentase  IAE  yang  besar  akibat osilasi tersebut sebesar  0,44%  untuk variabel yaw , untuk variabel yaw-rate sebesar  14,9%  dan  47,03%  untuk variabel sway-rate .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Thor  I.  Fossen dan Tristan Perez “ Kalman Filtering for Positioning and Heading Control of Ships and Offshore Rigs ”, Control System Magazine (2009).PP.32-46
[2]  Achmad  Ichwan,    Apriliani,  E.  2010 “Estimasi  Posisi  dan  Kecepatan Kapal Selam Menggunakan Metode Exteded Kalman Filter” (2010). ITS Surabaya.
[3]  Kalman, R. E. 1960. “ A New Approach to Linier Filtering And Prediction Problems ”. Journal of Basic Engineering, 82 (Series D): 35-45. ASME
[4]  Masduki, A. dan Apriliani, E. 2008, “ Estimation of Surabaya River Water Quality Using Kalman Filter Algorithm ”, The Journal for Technology and Science, Vol. 19, No. 3, pp. 87 – 91
[5]  Fossen, T.I., Guidance and Control of Ocean Vehicles , USA: John Willey & Sons,Inc, 1994,pp. 1-292
[6]  Lewis, E.V, Principles of Naval Architecture Second Revision Volume III . Jersey City:  The Society of Naval  Architects and Marine Engineers 601 Pavonia Avenue, 1989,pp.14-40.
[7]  Grewal,  Mohinder  S.  Weill,  Lawrence  R.  Andrews,  Angus  P.  2008. Kalman  Filtering  Theory  and  Practice  Using  MATLAB ,  USA:  John Willey & Sons,Inc. pp 210 – 288.
[8]  Greg  Welch,  Bishop,  G.  2006.” An  Introduction  to  the  Kalman  Filter ”, University of North Carolina, UNC-Chapel Hill, TR 95-041
[9]  Lewis,  F.L.  2008.“ Optimal  and  Robust Estimation  With  an  Introduction to Stochastic Control Theory” Taylor & Francis Group pp.59-149
0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi 0 50 100 150 200 250 300 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Waktu(1/4detik) r( de g/ s) aktual estimasi