JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 1, Tahun 2021, Halaman 85 - 93 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PEMODELAN TRANSFORMASI FAST-FOURIER PADA VALUASI OBLIGASI
KORPORASI
(Studi Kasus: PT. Bank Danamon Tbk, PT. Bank CIMB Niaga Tbk, dan PT. Bank UOB Indonesia Tbk)
Ubudia  Hiliaily Chairunnnisa 1* , Abdul Hoyyi 1 , Hasbi Yasin 1
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *email : ubudiahhace@gmail.com

## ABSTRACT
The basic assumption that is often used in bond valuations is the assumption on the Black-Scholes model. The practical assumption of the Black-Scholes model is the return of assets with normal distribution, but in reality there are many conditions where the return of assets of a company is not normally distributed and causing improperly developed bond valuation modeling. The Fast -Fourier Transform model (FFT) was developed as a solution to this problem. The Fast-Fourier Transformation Model is a Fourier transformation technique with high accuracy and is more effective because it uses characteristic functions. In this research, a modeling will be carried out to calculate bond valuations designed to take advantage of the computational power of the FFT. The characteristic function used is the Variance Gamma, which has the advantage of being able  to  capture  data  return behavior that is not normally distributed. The data used in this study are Sustainable Bonds I of Bank Danamon Phase I Year  2019 Series B, Sustainable Bonds II of Bank CIMB Niaga II Phase IV Year 2018  Series C, Sustainable Subordinated Bonds II of Bank UOB Indonesia Phase II 2019. The results obtained are FFT model using the Variance Gamma characteristic function gives more precise results for the return of assets with not normal distribution.
Keywords :  Bonds, Bond Valuation, Black-Scholes, Fast-Fourier Transform, Variance Gamma

## 1. PENDAHULUAN
Pasar  modal  ( capital  market )  merupakan  pasar  untuk  berbagai  instrumen keuangan  jangka  panjang  yang  bisa  diperjualbelikan,  baik  surat  utang  (obligasi),  ekuiti (saham),  reksa  dana,  instrumen  derivatif  maupun  instrumen  lainnya.  Pasar  Modal  memiliki peran  penting  bagi  perekonomian  suatu  negara  karena  pasar  modal  menjalankan  dua fungsi,  yaitu  pertama  sebagai  sarana  bagi  pendanaan  usaha  atau  sebagai  sarana  bagi perusahaan  untuk  mendapatkan  dana  dari  masyarakat  pemodal  (investor).  Obligasi merupakan  salah  satu  dari  berbagai  macam  surat  berharga  yang  dapat  dijadikan  alternatif untuk  melakukan  kegiatan  investasi.  Obligasi  merupakan  surat  utang  jangka  panjang  yang dikeluarkan  oleh  peminjam  ( emiten )  kepada  pemberi  pinjaman  ( investor ).  Emiten  dapat berupa  perusahaan/korporat  atau  pemerintah.  Instrumen  obligasi  merupakan  bagian  dari instrumen investasi berpendapatan tetap  ( fixed income securities ). Obligasi termasuk dalam kelompok  investasi  berpendapatan  tetap  sebab  jenis  pendapatan  keuntungan  yang diberikan  kepada  investor  obligasi  didasarkan  pada  tingkat  suku  bunga  (kupon)  yang  telah ditentukan  sebelumnya  menurut  perhitungan  tertentu (Rahardjo,  2003).
Risiko  kredit  ( credit  risk )  adalah  risiko  kerugian  yang  disebabkan  suatu perusahaan  gagal  membayar  hutangnya  pada  saat  jatuh  tempo  sehingga  dapat  dikatakan bangkrut  ( default )  (Hanafi,  2006). Terdapat dua pendekatan utama  dalam pemodelan risiko kredit,  yaitu  Model  Struktural  ( Structural  Model )  dan  Model  Tereduksi  ( Reduced-Form model ).  perbedaan  utama  dari  model  struktural  dan  model  tereduksi  adalah  pada  jenis informasi  yang  digunakan.  Model  struktural  didasarkan  pada  himpunan  informasi  yang berasal  dari  manajemen  perusahaan,  yaitu  nilai  aset  dan  hutang,  sedangkan  model tereduksi  didasarkan  pada  himpunan  informasi  yang  bersumber  dari  pasar,  yaitu  rating perusahaan.  Untuk  mengetahui  risiko  kredit,  dapat  dilakukan  dengan  membangkitkan skenario  valuasi  harga  obligasi  untuk  mengetahui  kemampuan  perusahaan  dalam
memenuhi  kewajiban  pembayaran  hutangnya  sehingga  investor  diharapkan  dapat  memilih atau mempertimbangkan  obligasi  yang aman untuk  berinvestasi.
Perkembangan  teori  valuasi  obligasi  pertama  kali  diawali  oleh  penelitian  Merton (1974)  yang  mengemukakan  tentang  valuasi  obligasi  dengan  pengukuran  risiko kebangkrutan  sebuah  perusahaan  yang  bersesuaian  dengan  dengan  pengukuran  harga  opsi Black-Scholes  (1973).  Asumsi  praktis  dalam  model  Black-Scholes  adalah  return  aset berdistribusi  normal  dengan  volatilitas  konstan.  Namun,  dalam  kenyataannya  sering  kali ditemui  kondisi  dimana    return  aset  suatu  perusahaan  tidak  berdistribusi  normal  sehingga mengakibatkan  pemodelan  valuasi  obligasi  yang  telah  berkembang  memiliki  hasil  yang kurang tepat.
Model  Trasnformasi Fast-Fourier merupakan  pengembangan  dari  perhitungan harga  opsi Black -Scholes yang  diperkenalkan  oleh  Carr  dan  Madan  pada  tahun  1999. Model  Trasnformasi Fast-Fourier merupakan  model  perhitungan  valuasi  obligasi  dengan kondisi  dimana return data aset tidak berdistribusi  normal.
Pada  penelitian  ini  digunakan  sebuah  pendekatan  untuk  menghitung  valuasi obligasi  dengan  menggunakan  model  Trasformasi Fast-Fourier menggunakan return data aset  perusahaan  yang  tidak  beristribusi  normal. Return data  aset  perusahaan  yang  tidak berdistribusi  normal  dipilih  dalam  penelitian  ini  dikarenakan  sering  kali  ditemui  kondisi dimana return aset  suatu  perusahaan  tidak  berdistribusi  normal  sedangkan  asumsi  praktis dalam  model  Black-Scholes  adalah return aset  berdistribusi  normal  dengan  volatilitas konstan  sehingga  mengakibatkan  pemodelan  valuasi  obligasi  yang  telah  berkembang memiliki  hasil  yang  kurang  tepat.  Pada  proses  perhitungan  valuasi  obligasi  menggunakan model  Trasformasi Fast-Fourier fungsi  karakteristik  yang  digunakan  adalah  fungsi karakteristik Variance Gamma .
2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Obligasi
Obligasi  merupakan  sebuah  surat  pengakuan  utang  yang  diterbitkan  perusahaan atau  juga  pemerintah  atau  juga  lembaga  yang  lain  sebagai  pihak  yang  berutang,  yang mempunyai  nilai  nominal  tertentu  serta  kesanggupan  untuk  dapat  membayar  bunga  secara berkala atas dasar persentase tertentu yang tetap (Yuliana et al ., 2011).
Berdasarkan  penerbit  atau issuer -nya  jenis-jenis  obligasi    dapat  dibedakan menjadi  empat, yaitu:
a. Obligasi  pemerintah  ( government bond )
b. Obligasi  pemerintah  daerah ( municipal bond )
c. Obligasi  perusahaan ( corporate bond )
d. Obligasi  pemerintah  / perusahaan asing ( foreign bond )
Berdasarkan  bunga  atau coupon yang  diberikan  obligasi  dapat  dibedakan  menjadi lima,  yaitu:
a. Obligasi  dengan kupon  tetap ( fixed rated bond )
b. Obligasi  dengan kupon  mengambang  ( floating rate bond )
c. Obligasi  dengan kupon  campuran ( mixed rate bond )
d. Obligasi  tanpa kupon  ( zero coupon bond )
e. Obligasi  dengan kupon  ( coupon bond )
2.2. Return Obligasi
Return adalah  tingkat  pengembalian  atas  hasil  yang  diperoleh  dari  kegiatan investasi.    Analisis sekuritas pada umumnya menggunakan geometric return atau ln return dengan rumus sebagai berikut  :
ln 𝑅 𝑡 = ln( 𝐴 𝑡 𝐴 𝑡−1 ) (1)
dengan 𝑅 𝑡 menyatakan return , 𝐴 𝑡 menyatakan aset perusahaan pada periode 𝑡 ,  dan 𝐴 𝑡−1 menyatakan aset perusahaan pada periode 𝑡 − 1 (Ruppert,  2015).

## 2.3 Volatilitas
Volatilitas  atas  harga  aset  adalah  suatu  ukuran  ketidakpastian  mengenai pergerakan  harga  aset  di  masa  yang  akan  datang.  Volatilitas  sering  digunakan  untuk mengukur  tingkat  risiko  dari  aset  yang  digunakan.  Nilai  volatilitas  tahunan  dapat  dihitung dengan rumus
𝜎 = √𝑘 ∑ (ln 𝑅 𝑡 −ln 𝑅 𝑡 ̅̅̅̅̅̅̅) 2 𝑛 𝑡=1 𝑛−1 (2)
dengan 𝑘 adalah banyaknya  periode dalam  satu tahun. Jika datanya bulanan  maka periode aset juga  bulanan, 𝑘 = 12.

## 2.4 Risiko Kredit
Risiko  kredit  ( credit  risk )  adalah  risiko kerugian yang disebabkan suatu perusahaan gagal  membayar  hutangnya  pada  saat  jatuh  tempo  sehingga  dapat  dikatakan  bangkrut ( default )  (Hanafi,  2006).  Kebangkrutan  perusahaan  terjadi  ketika  perusahaan  gagal  atau tidak  bisa  membayar  hutang  atau  kewajiban  yang  dimiliki.  Hal  ini  dapat  dilihat  ketika  nilai aset  perusahaan  lebih  kecil  dari  pada  hutang  pada  saat  jatuh  tempo.  Menurut  Merton (1974),  waktu  kebangkrutan  berdasarkan  saat  jatuh  tempo  atau default  at  maturity dapat dinotasikan  sebagai berikut:
𝜏 =  { ∞     𝐴 𝑡 ≥ 𝐾 𝑇      𝐴 𝑡 < 𝐾 (3)
Keterangan : 𝜏    ∶ waktu kebangkrutan  berdasarkan default at maturity 𝑇   ∶ jatuh tempo  ( maturity ) 𝐴 𝑡 ∶ nilai  aset pada saat jatuh  tempo 𝐾  ∶ kewajiban  yang harus dibayar  perusahaan ( face value + kupon) 2.5 Proses Stokastik Proses  Stokastik 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} adalah  himpunan  variabel  random 𝑋(𝑡) sehingga  untuk  setiap 𝑡 ∈ 𝑇 , 𝑋(𝑡) adalah  sebuah  variabel  random,  indeks 𝑡 biasa diinterpretasikan  dengan  waktu.  Jika  indeks 𝑇 countable maka  proses  yang  digunakan adalah  proses  stokastik  waktu  diskrit  dan  jika 𝑇 merupakan  himpunan  kontinu  tidak terhitung,  misalnya 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 > 0} maka  proses  tersebut  merupakan  proses  stokastik pada waktu kontinu  (Ross, 1996).
2.6 Proses Wiener
Salah  satu  proses  stokastik  yang  banyak  dikenal  adalah  Gerak  Brown.  Gerak Brown  atau  proses  Wiener  merupakan  proses  stokastik 𝑊(𝑡) yang  bergerak  secara  acak tak  beraturan.  Proses  stokastik 𝑊(𝑡) dikatakan  proses  Wiener jika memenuhi karakteristik sebagai berikut:
1. Perubahan 𝑊(𝑡) selama periode  waktu ∆𝒕 adalah ∆𝑊(𝑡) = 𝜀√∆𝑡
2. Kenaikan  independen,  yaitu 𝑊(𝑡 + 𝑠) − 𝑊(𝑠) tidak  bergantung  pada  keadaan  yang lalu.
Pada  proses  Wiener  nilai drift  rate adalah  0,  artinya  bahwa  nilai  ekspektasi  dari 𝑊(𝑡) untuk  setiap  waktu  yang  akan  datang  nilainya  sama  dengan  nilai  sekarang  dan  nilai variance  rate adalah  1  artinya  bahwa  variansi  rate 𝑊(𝑡) pada  sebuah  interval  waktu sepanjang 𝑇 adalah 𝑇 .
Persamaan  diferensial 𝑑 𝑊(𝑡) = 𝜀√𝑑𝑡 disebut  persamaan  diferensial  stokastik  yang dinyatakan  oleh persamaan berikut  ini

## 𝑑𝑥 = 𝑎(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑏(𝑥, 𝑡)𝑑𝑊 (4)

## 2.7 Lemma Ito
Menurut  Hull  dalam  Syata  (2015)  jika 𝐹(𝑥, 𝑡) merupakan  fungsi  kontinu,  yang dapat  diturunkan  secara  parsial  terhadap 𝑥 dan 𝑡 ,  yaitu 𝜕𝐹 𝜕𝑡 , 𝜕𝐹 𝜕𝑥 , 𝜕 2 𝐹 𝜕𝑋 2 ada.  Didefinisikan persamaan  diferensial  stokastik  dari  variabel 𝑥 dengan drift rate 𝑎(𝑥, 𝑡) dan variansi rate 𝑏 2 (𝑥, 𝑡) .
𝑑𝑥 = 𝑎(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑏(𝑥, 𝑡)𝑑𝑊 (5) dimana 𝑑𝑊 merupakan  gerak  Brownian, 𝑎 dan 𝑏 adalah  fungsi-fungsi  dari 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑡 , maka sebuah fungsi 𝐹 dari 𝑥 dan 𝑡 akan mengikuti  proses 𝐼𝑡𝑜̂
𝑑𝐹 = { 𝜕𝐹 𝜕𝑋 𝑎(𝑥, 𝑡) + 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝐹 𝜕𝑋 2 𝑏 2 (𝑥, 𝑡)  } 𝑑𝑡 + 𝜕𝐹 𝜕𝑋 𝑏(𝑥, 𝑡)𝑑𝑊 (6) 2.8 Valuasi Obligasi Model Transformasi Fast-Fourier

## 2.8.1 Transformasi Fourier
Misalkan 𝑓(𝑥) adalah  suatu  fungsi  real  yang  kontinu  pada  selang  interval (−∞, ∞) yang  memenuhi ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 < ∞ ∞ −∞ ,  maka  transformasi  fourier  dari 𝑓(𝑥) dapat didefinisikan  sebagai :
𝐹(𝑓(𝑥))(𝑣) = 𝑓̃(𝑣) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝑣𝑥 𝑑𝑥 ∞ −∞ (7)
Jika 𝑓(𝑥) adalah  fungsi square  integrable  , maka  inverse  transformasi  Fourier  dari 𝑓̃(𝑣) dapat didefinisikan  sebagai
𝐹 −1 (𝑓̃(𝑣)) = 𝑓(𝑥) = 1 2𝜋 ∫ 𝑓̃(𝑣)𝑒 −𝑖𝑣𝑥 ∞ −∞ 𝑑𝑣 (8) (Fadugba dan Nwozo,2016)
2.9.1 Fungsi Karakteristik Variance Gamma
Menurut  Madan et  al. (1998), Variance  Gamma atau  Gamma  Varians  adalah perubahan  gerak  brown  dengan drift yang didalamnya mengandung proses Gamma dengan mean rate 1 dan variance rate 𝑘 . Variance Gamma memilik tiga parameter yaitu 𝜎, 𝑘, dan 𝜃 . Variance Gamma dapat didefinisikan  dalam persamaan berikut 𝑋 𝑇 𝑉𝐺 (𝜎, 𝑘, 𝜃) = 𝜃𝛾(1,𝑘) + 𝜎𝑊(𝛾(1,𝑘)) (9) Persamaan untuk mengestimasi  parameter Variance Gamma 𝜎̂ = √𝑉𝑎𝑟[𝑋] (10) 𝑘̂ = 𝐾𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠[𝑋] 3 − 1 (11)
𝜃̂ = 𝑠𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠[𝑋]𝜎 3𝑘 (12)
2.9.3 Transformasi Fast-Fourier
Transformasi Fast-Fourier atau Fast Fourier Transform (FFT) merupakan sebuah logaritma  yang  sangat  efisien  untuk  menghitung Discrete  Fourier Transform (DFT)  yang pertama kali  ditemukan  oleh  Cooley  dan Tukey (1960). Persamaan DFT dapat dituliskan  sebagai
𝜔(𝑘) = ∑ 𝑒 −𝑖 2𝜋 𝑁 (𝑗−1)(𝑘−1) 𝑥(𝑗) 𝑁 𝑗=1 ;         𝑘 = 0,1,2,… , 𝑁 (13)
(Carr dan Madan, 1999)
Fungsi  karakteristik  nya dapat didefinisikan  sebagai berikut  :
𝜑 𝑇 (𝑣) = ∫ 𝑒 𝑖𝑣𝑎 𝑓(𝑎)𝑑𝑎 ∞ −∞ (14)
(Fardugba dan Nwozo,  2016)
Nilai  harapan ekuitas perusahaan berhubungan  dengan  risk-neutral  density 𝑓(𝑎) adalah 𝐸 𝑇 (𝐾) = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ (𝑒 𝑎 − 𝑒 𝑘 )𝑓(𝑎) ∞ 𝑘 𝑑𝑎 (15)
lim 𝐾→∞ 𝐸 𝑇 (𝐾) = lim 𝐾→∞ 𝐸 𝑇 (𝑒 𝑘 ) memiliki  nilai  yang  tidak square  integrable .  Untuk menghasilkan  fungsi  yang square  integrable , dapat  dilakukan  dengan  cara  mengalikan mengalikan 𝐸 𝑇 (𝐾) dengan 𝑒 𝛼𝑘 dimana 𝛼 > 0 sehingga  diperoleh  harapan  ekuitas modifikasi  sebagai berikut  :
𝐸 𝑇 𝑚𝑜𝑑(𝑘) = 𝑒 𝛼𝑘 𝐸 𝑇 (𝑘), 𝛼 > 0 (16) Sehingga  diperoleh  model  Trasformasi  Fourier  dari 𝐸 𝑇 𝑚𝑜𝑑(𝑘) yang  didefinisikan  sebagai berikut
𝜑 𝑇 (𝑘)   = ∫ 𝑒 𝑖𝑣𝑘 𝐸 𝑇 𝑚𝑜𝑑(𝑘) ∞ −∞ 𝑑𝑘 = ∫ 𝑒 𝑖𝑣𝑘 𝑒 𝛼𝑘 𝐸 𝑇 (𝑘) ∞ −∞ 𝑑𝑘 (17) Dengan  menginversekan  persamaan  (17)  menggunakan  Transformasi  Fourier  sehingga persamaan menjadi:
𝐸 𝑇 (𝑘)        = 𝑒 −𝛼𝑘 𝜋 ∫ 𝑒 −𝑖𝑣𝑘 ∞ 0 𝜑 𝑇 (𝑣)𝑑𝑣 (18)
Kemudian  persamaan 𝜑 𝑇 (𝑣) diperoleh  dengan  cara  mensubstitusikan  persamaan  (16)  ke persamaan (18)
𝜑 𝑇 (𝑘) = 𝑒 −𝑟𝑇 𝜑 𝑇 (𝑣 −(𝛼+1)𝑖) 𝛼 2 +𝛼−𝑣 2 +𝑖(2𝛼+1)𝑣 (19)
𝜑 𝑇 (𝑣) merupakan  fungsi  karakteristik Variance  Gamma yang  nilainya  dapat dicari dengan cara  memasukkan  nilai-nilai  dari  parameter Variance  Gamma yang  diestimasi menggunakan  persamaan (10), (11),  dan (12).
Dengan menggunakan  Aturan Trapezoid  pada persamaan (19) dan mengatur  selang integralnya  dengan 𝑣 𝑗 = 𝜂(𝑗 − 1) sehingga  diperoleh  nilai  aproksimasi  untuk  ekuitas perusahaan adalah
𝐸 𝑇 (𝑘)  ≈ 𝑒 −𝛼𝑘 𝜋 ∑ 𝑒 −𝑖𝑣 𝑗 𝑘 𝜑 𝑇 𝑁 𝑗=1 (𝑣 𝑗 )𝜂  ;      𝑗 = 1,2,… , 𝑁 (20) Transformasi Fast-Fourier menghasilkan 𝑁 nilai  logaritma  dari  kewajiban 𝐾 ,  dengan selang 𝜆 ,sehingga  diperoleh  nilai  masing-masing 𝑘 bernilai  diskrit  yaitu 𝑘 𝑢 = −𝑏 + 𝜆(𝑢 − 1), untuk 𝑢 = 1,2,… , 𝑁 (21) dimana  batas nilai  logaritma  dari kewajiban  adalah −𝑏 hingga 𝑏 dan nilai 𝑏 = 1 2 𝑁𝜆 . Dengan  mensubstitusikan  persamaan  (21)  dan  selang  integral 𝑣 𝑗 = 𝜂(𝑗 − 1) ke  (20) diperoleh
𝐸 𝑇 (𝑘 𝑢 )   ≈ 𝑒 −𝛼𝑘 𝜋 ∑ 𝑒 −𝑖𝜆𝜂(𝑗−1)(𝑢−1) 𝑒 𝑖𝑣 𝑗 𝑏 𝜑 𝑇 𝑁 𝑗=1 (𝑣 𝑗 )𝜂     ;  𝑢 = 1,2,… , 𝑁 (22)
Berdasarkan persamaan (13) diketahui  bahwa nilai 𝜆𝜂 = 2𝜋 𝑁 , sehingga  persamaan (22) menjadi
𝐸 𝑇 (𝑘 𝑢 )  ≈ 𝑒 − 𝛼𝑘 𝜋 ∑ 𝑒 −𝑖 2𝜋 𝑁 (𝑗−1)(𝑢−1) 𝑒 𝑖𝑣 𝑗 𝑏 𝜑 𝑇 𝑁 𝑗=1 (𝑣 𝑗 )𝜂 (23) dengan  menerapkan  aturan  1/3  simpson  pada  persamaan  (23)  diperoleh  persamaan  nilai ekuitas sebagai berikut
𝐸 𝑇 (𝑘 𝑢 ) ≈ 𝑒 −𝛼𝑘 𝜋 ∑ 𝑒 −𝑖 2𝜋 𝑁 (𝑗−1)(𝑢−1) 𝑒 𝑖𝑣 𝑗 𝑏 𝑁 𝑗=1 𝜑 𝑇 (𝑣 𝑗 ) 𝜂 3 [3 + (−1) 𝑗 − 𝛿 𝑗−1 ] (24)
dengan 𝛿 𝑛 merupakan fungsi  kronecker delta sebagai berikut 𝛿 𝑛 = {1 0 ,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛=0 ,𝑛 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Liabilitas  merepresentasikan  utang  yang  dimiliki  oleh  perusahaan.  Nilai  harapan liabilitas  Model  Transformasi Fast-Fourier saat jatuh tempo adalah 𝐿 𝑇 = 𝐴 0 − 𝐸 𝑇 (𝑘 𝑢 )
= 𝐴 0 − [ 𝑒 −𝛼𝑘 𝜋 ∑ exp( −2𝜋(𝑗−1)(𝑢−1) 𝑁 + 𝑖𝑏𝑣 𝑗 )𝜑 𝑇 (𝑣 𝑗 ) 𝜂 3 (3 + (−1) 𝑗 − 𝛿 𝑗−1 ) 𝑁 𝑗=1 ] (25)
Berdasarkan default  at  maturity perusahaan  diasumsikan  dapat  mengalami kebangkrutan  hanya  pada  saat  jatuh  tempo  pembayaran  obligasi,  sehingga  waktu kebangkrutan 𝜏 adalah variabel  random  diskrit  yang dapat dinyatakan  dengan
𝜏 = { ∞                   𝐴 𝑇 ≥ 𝐾 0                    𝐴 𝑇 < 𝐾 Sesuai proses Variance Gamma ), probabilitas  kebangkrutan  pada saat jatuh tempo adalah 𝑃(𝜏 = 𝑇) = 𝑃(𝐴 𝑇 < 𝐾) = 𝑃(𝐴 0 exp[𝑟𝑇 + 𝑋 𝑇 𝑉𝐺 + 𝑤𝑇] < 𝐾) = 𝑃 (exp[𝑟𝑇 + 𝑋 𝑇 𝑉𝐺 + 𝑤𝑇] < 𝐾 𝐴 0 ) = 𝑃 (𝑋 𝑇 𝑉𝐺 < ln 𝐾 𝐴 0 − (𝑟 + 𝑤)𝑇) = ∫ √2/𝑘 𝜎 (𝑥√2/𝑘/𝜎) (2/𝑘−1)/2 2 (2/𝑘−1)/2 Γ( 1 𝑘 )√𝜋 𝐾 (2/𝑘−1)/2 (𝑥√2/𝑘/𝜎) 𝑑𝑥 ln 𝐾 𝐴0 −(𝑟+𝑤)𝑇 −∞ (26)

## 3. METODE PENELITIAN
Data  obligasi  yang  digunakan  adalah  obligasi  yang  diterbitkan  oleh  PT.  Bank Danamon Tbk dengan rating AAA dengan nama “Obligasi Berkelanjutan I Bank Danamon Tahap  I  Tahun  2019  Seri  B”  yang  diterbitkan  pada  tanggal 24 Mei 2019, PT. Bank CIMB Niaga  Tbk  dengan rating AAA  dengan  nama  “  Obligasi  Berkelanjutan  II  Bank  CIMB Niaga  Tahap IV Tahun 2018 Seri C” yang diterbitkan pada tanggal 20 September 2018 dan PT.  Bank  UOB  Indonesia  Tbk  dengan rating AA  dengan  nama  “Obligasi  Subordinasi Berkelanjutan  II  Bank  UOB  Indonesia  Tahap  II  2019” yang diterbitkan pada tanggal 5 Juli 2019.  Data  lengkap  obligasi  diperoleh  dari website resmi Indonesia Bond Pricing Agency (IBPA)  yaitu www.ibpa.co.id ,  sedangkan  data  aset  perusahaan  diperoleh  dari  laporan keuangan  bulanan PT. Bank Danamon Tbk periode Mei 2016  - Mei 2019, PT. Bank CIMB Niaga  Tbk  periode  September  2013  -  September  2018  dan  PT.  Bank  UOB Indonesia Tbk periode  November  2012  –  November  2019  dari website resmi  Otoritas  Jasa  Keuangan (OJK) yaitu www.ojk.go.id.
Langkah-langkah  yang dilakukan  pada model  Transformasi Fast-Fourier :
1. Mengumpulkan  data harga obligasi  perusahaan.
2. Mengumpulkan  data nilai  aset perusahaan.
3. Menghitung  nilai ln retun data aset masing-masing  perusahaan
4. Melakukan  uji  normalitas Jarque Bera Ln return data aset.
5. Mendefinisikan  fungsi  karakteristik Variance Gamma
6. Menurunkan  empat momen  pertama dari Variance Gamma 7. Melakukan  estimasi  parameter-parameter Variance Gamma (𝜎, 𝑘, 𝜃)
8. Memodelkan  fungsi  karakteristik  logaritma 𝐴 𝑇 .
9. Menghitung  nilai  dari  fungsi  karakteristik  logaritma 𝐴 𝑇 .
10. Menghitung  nilai  ekuitas  perusahaan
11. Menghitung  nilai  liabilitas  perusahaan
12. Menghitung  Peluang Kebangkrutan  perusahaan
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  penelitian  ini  terdapat  tiga  obligasi  yang  digunakan  yaitu  yang  pertama adalah  Obligasi  Berkelanjutan  I  Bank  Danamon  Tahap  I  Tahun  2019  Seri  B,  yang  kedua adalah  Obligasi  Berkelanjutan  II  Bank  CIMB  Niaga  Tahap  IV  Tahun  2018  Seri  C,  dan yang  ketiga  adalah  Obligasi  subordinasi  Berkelanjutan  II  Bank  UOB  Indonesia    Tahap  II Tahun 2019.
Tabel 1. Profil Obligasi Jenis Obligasi  I Obligasi  II Obligasi  III Perusahaan PT. Bank Danamon Indonesia  Tbk PT. Bank CIMB Niaga Tbk PT. Bank UOB Indonesia  Tbk Nama Obligasi Obligasi Berkelanjutan  I Bank Danamon Tahap I Tahun 2019  Seri B Obligasi Berkelanjutan  II Bank CIMB Niaga Tahap IV Tahun 2018  Seri C Obligasi  subordinasi Berkelanjutan  II Bank UOB Indonesia Tahap II Tahun 2019 Face Value  852.000.000.000 118.000.000.000 650.000.000.000 Kupon 8,55% p.a 8,80% p.a 9,25% p.a Terbit 24 Mei 2019 20 September 2018 13 November 2019 Jatuh Tempo 24 Mei 2022 20 September 2023 13 November 2026 Periode 3 Tahun 5 Tahun 7 Tahun Tabel 2. Data Obligasi Data Obligasi  PT. Bank Danamon Tbk Obligasi  PT. Bank CIMB Niaga Tbk Obligasi  PT. Bank UOB Indonesia Tbk 𝐴 0 162.482.031.000.000 259.070.857.000.000 105.588.016.000.000 Face Value  852.000.000.000 118.000.000.000 650.000.000.000 Nilai Kupon 72.846.000.000 10.384.000.000 60.125.000.000 Jangka Waktu 36 Bulan 60 Bulan 84 Bulan Suku Bunga SBI 0,0579 0,0469 0,0571 Kewajiban ( 𝐾 ) 1.083.436.000.000 175.023.909.899 1.150.237.000.000 Tabel 3. Statistik Deskriptif Ln Return Data Aset Data Bank Danamon Bank CIMB Niaga Bank UOB Rata-rata 0,0028096 0,0033766 0,0067713 Variansi 0,0003065 0,0002568 0,0006135 Standar Deviasi 0,0175075 0,0160242 0,0247684 Skewness 1,7180490 0,7500624 0,6142625 Kurtosis 6,9509750 4,8678960 4,4256920

## 4.2 Valuasi Obligasi Model Transformasi Fast-Fourier
Untuk  mengetahui  apakah  ln return data  aset  berdistribusi  normal  atau  tidak, dilakukan  uji  normalitas Jarque-Bera diperoleh  nilai p-value dari  uji Jarque-Bera masing- masing  perusahaan  yaitu    PT.  Bank  Danamon  Tbk  sebesar  1,174  x  10 -9 , PT. Bank CIMB Niaga  Tbk  sebesar  7.661  x  10 -4 dan  PT.  Bank  UOB  Indonesia  Tbk  sebesar  2,033  x  10 -3 . Berdasarkan  nilai p-value dari  masing-masing  perusahaan  dapat  disimpulkan  bahwa  aset ketiga perusahaan tidak berdistribusi  normal.
Setelah  melakukan  uji  normalitas,  selanjutnya  dapat  dilakukan  estimasi  parameter- parameter Variance  Gamma. Estimasi  parameter Variance  Gamma digunakan  untuk menghitung  nilai  dari fungsi  karakteristik  logaritma 𝐴 𝑇 masing-masing  perusahaan.
Tabel 4. Estimasi Parameter Variance Gamma Obligasi Paramaeter Nilai PT. Bank Danamon Tbk Volatility (𝜎) Variance (𝑘) Drift (𝜃) 0,0175075 1,3169920 0,0076130 PT. Bank CIMB Niaga Tbk Volatility (𝜎) Variance (𝑘) Drift (𝜃) 0,0160242 0,6226318 0,0064346 PT. Bank UOB Indonesia  Tbk Volatility (𝜎) Variance (𝑘) Drift (𝜃) 0,0247684 0,4752307 0,0106715 Setelah  parameter Variance  Gamma sudah  diketahui,  maka  dapat  dihitung    nilai harapan (ekspektasi) ekuitas, liabilitas dan peluang kebangkrutan perusahaan menggunakan  model  Transformasi Fast-Fourier sebagai berikut
Tabel 5. Hasil Perhitungan Valuasi Obligasi model Transformasi Fast-Fourier Nilai Obligasi  PT. Bank Danamon Tbk Obligasi  PT. CIMB Niaga Tbk Obligasi  PT.UOB Indonesia   Tbk Ekspektasi  Ekuitas 1,148202  x 10 14 1,793657  x 10 14 6,419082  x 10 13 Ekspektasi Liabilitas 4,766185  x 10 13 7,970514  x 10 13 4,139719  x 10 13 Peluang Kebangkrutan 2,014484  x 10 -84 9,84317  x 10 -95 3,939513  x 10 -48
Berdasarkan  Tabel  5  obligasi  PT.  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  memiliki  peluang kebangkrutan  yang  lebih  kecil  dibandingankan  Obligasi  PT.  Bank  Danamon  Tbk  dan Obligasi  PT.UOB  Indonesia  Tbk. Berdasarkan data obligasi pada  Tabel 2 PT. Bank CIMB Niaga  Tbk  memiliki  nilai  aset  yang  lebih  besar  serta Face  Value yang  lebih  kecil dibandingkan  PT.  Bank  Danamon  Tbk  dan  PT.UOB  Indonesia    Tbk  sehingga  peluang kebangkrutan  perusahaan  PT.  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  menjadi  lebih  kecil  dibandingkan Obligasi  PT. Bank Danamon Tbk dan PT.UOB Indonesia  Tbk.

## 5. KESIMPULAN
Dengan  menerapkan  model  Transformasi Fast-Fourier pada  perhitungan  Valuasi Obligasi  pada  PT  Bank  Danamon  Tbk  diperoleh  nilai  ekspektasi  ekuitas  1.148202  x  10 14 , nilai  ekspektasi  liabilitas  4.766185  x  10 13 dan  nilai  peluang  kebangkrutan  2.014484  x  10 -84 . Perhitungan  Valuasi  Obligasi  pada  PT.  Bank  CIMB  Niaga  Tbk  diperoleh  nilai  ekspektasi ekuitas  1.793657  x  10 14 ,  nilai  ekspektasi  liabilitas  7.970514  x  10 13 dan  nilai  peluang kebangkrutan  9.84317  x  10 -95 dan  perhitungan  Valuasi  Obligasi  pada  PT.  Bank  UOB Indonesia  Tbk  diperoleh  nilai  ekspektasi  ekuitas  6.419082  x  10 13 ,  nilai  ekspektasi  liabilitas 4.139719  x 10 13 dan nilai  peluang  kebangkrutan  3.939513  x 10 -48
Model  Transformasi  Fast-Fourier  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  ekspektasi ekuitas,  liabilitas  dan  peluang  kebangkrutan  untuk  data  return  aset  yang  tidak  berdistribusi normal.  Berdasarkan  studi  kasus,  PT.  Bank  Danamon  Tbk,  PT.  Bank  CIMB  Niaga  Tbk, dan  PT.  Bank  UOB  Indonesia  Tbk  memiliki  peluang  kebangkrutan  kecil  dan  ekspektasi liabilitas  yang  baik  sehingga  cukup  aman  bagi  investor  untuk  menginvestasikan  dananya pada obligasi  tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdurakhman,  dan  Maruddani,  D.A.I.,  2018, Pengaruh  Skewness  Dan  Kurtosis  Dalam Model Valuasi Obligasi, Media Statistika, 11(1), 39-51.
Bain,  L.J.,  dan  Engelhardt,  M.,  1992, Introduction  to  Probability  and  Mathematical Statistics: Second Edition, Brooks/Cole Cengange Learning, USA. Black, F. dan Scholes,  M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy , 81, 637-654. Carr, P., dan Madan, D.B., 1999, Option valuation using the fast Fourier transform,
Journal  of Computational  Finance,  3, 463-520.
Fadugba,  S.E., dan Nwozo,  C.R., 2016, Valuation of European Call Option via the Fast Fourier Transform and the Improved Mellin Transform, Journal of Mathematical Finance,  6, 338-359.
Hanafi,  M.  2006.  Manajemen  Resiko.Unit  Penerbit  dan  Percetakan  Sekolah  Tinggi  Ilmu Manajamen  YKPN. Yogyakarta
Madan, D.B., dan Seneta, E. 1990. The Variance Gamma (V.G) Model for Share Market Returns , The journal  of Bussines,  64(3),  511-524. Madan, D.B., Carr, P.P., dan Chang,  E.C. 1998. The Variance Gamma Process and Option Pricing , European  Finance Review (2), 79-105.
Merton,  R.1974. On the Pricing  of Corporate Debt: The Risk  Structure of Interest Rate. Journal  of Finance,  29,  449–470.
Rahardjo,  S. 2003.  Panduan Investasi Obligasi.  Jakarta: Gramedia  Pustaka Utama Ross, S.M., 1996, Stochastic Processes , John Wiley  & Son, Inc., University  of California,
Berkeley.
Ruppert,  D. 2015. Statistics Data Analysis for Financial Enginering. Second Edition . New York:  Spinger.
Syata, I. 2015. Metode Numerik Untuk Menentukan Nilai Opsi dengan Model Risk Adjusted Pricing Model (RAPM). Tesis. Sekolah  Pasca Sarjana. Institut  Pertanian Bogor.
Yuliana,  Rika.,  Agus  Budiatmanto.,  Muhammad  Agung  Prabowo.,  dan  Taufik  Arifin. 2011. Analisis  Faktor-faktor  yang  Mempengaruhi  Prediksi  Peringkat  Obligasi pada Perusahaan Keuangan yang Terdaftar di Bu rsa Efek Indonesia . Prosiding Simposium  Nasional  Akuntansi  (SNA) XIV.