## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10379
f q -Derivasi di BM -aljabar
Egytia Yattaqi 1 , Sri Gemawati 2* , Ihda Hasbiyati 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Riau, Jl. HR Soebrantas Km 12,5 Kel. Simpang Baru Kec. Tampan, Pekanbaru 28293, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: gemawati.sri@gmail.com

## ABSTRAK 1
B -aljabar  adalah  suatu  himpunan  tak  kosong X dengan  operasi  biner " ∗ " dan  konstanta  0 yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Suatu bentuk khusus dari B -aljabar adalah BM - aljabar.  Adapun  hubungan  kedua  aljabar  tersebut,  setiap BM -aljabar  adalah B -aljabar  dan setiap B -aljabar 0-komutatif adalah BM -aljabar. Konsep f q -derivasi telah dibahas di B -aljabar. Pada  artikel  ini,  dibahas  konsep f q -derivasi  di BM -aljabar.  Hasil  penelitian  yang  diperoleh adalah  mendefinisikan inside dan outside f q -derivasi  di BM -aljabar  dan  menentukan  sifat- sifatnya. Adapun definisi f q -derivasi di BM -aljabar ekuivalen dengan f q -derivasi di B -aljabar, namun pada sifat-sifatnya terdapat perbedaan, yaitu terdapat sifat f q -derivasi yang berlaku di BM -aljabar tetapi secara umum tidak berlaku di B -aljabar.
Kata Kunci: BM -aljabar; Inside f q -derivasi; Outside f q -derivasi; f q -derivasi

## ABSTRACT
B-algebra is a non-empty set X with a constant 0 and binary operation " ∗ " satisfying certain axioms. A special form of B-algebra is a BM-algebra. Their relationship are every BM-algebra is a B-algebra and  every  0-commutative  B-algebra  is  a  BM-algebra.    The  concept  of  f q -derivation  in  B-algebra  is discussed. The results define an inside and an outside f q -derivations in BM-algebra and obtain related properties. Moreover, the definition of f q -derivation in BM-algebra is equivalent to f q -derivation in B- algebra, but there are differences in their properties, which is there are some properties of f q -derivation in BM- algebra, but generally don’t hold in B -algebra. Keywords: BM-algebra; Inside f q -derivation; Outside f q -derivation; f q -derivation
Format Sitasi:
E. Yattaqi, S. Gemawati, and I. Hasbiyati, “ f q -Derivasi di BM -aljabar ,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 2, pp.155-166, 2021

## 1.  Pendahuluan
Neggers  dan  Kim  [1]  memperkenalkan  struktur  aljabar  baru  yang  dinamakan B - aljabar.  Suatu B -aljabar  adalah  himpunan  tak  kosong X dengan  operasi  biner ∗ dan konstanta 0 yang dinotasikan dengan (𝑋; ∗, 0) , serta memenuhi aksioma ( 𝐵 1) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0, ( 𝐵 2) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥 , dan ( 𝐵 3) ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ ( 𝑧 ∗ (0 ∗ 𝑦 )) untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 . Kemudian, Kim  dan  Park  [2]  memperkenalkan  bentuk  khusus  dari B -aljabar,  yaitu B -aljabar  0- komutatif (𝑋; ∗, 0) yang merupakan suatu B -aljabar yang memenuhi sifat 𝑥 ∗ (0 ∗ 𝑦) = 𝑦 ∗ (0 ∗ 𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 . Beberapa aljabar lainnya ada yang berkaitan dengan
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 E. Yattaqi, S. Gemawati, I. Hasbiyati | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 16 April 2021 | Accepted: 31 May 2021 | Online: 2 June 2021
B -aljabar  0-komutatif,  diantaranya  adalah BM -aljabar.  Kim  dan  Kim  [3]  membahas tentang BM -aljabar, yaitu suatu himpunan tak kosong X dengan operasi biner ∗ dan konstanta 0 yang memenuhi aksioma ( B 2) dan ( A 2) (z ∗ 𝑥 ) ∗ (z ∗ 𝑦 ) = 𝑦 ∗ 𝑥 untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , z ∈ 𝑋 . Adapun hubungan antara BM -aljabar dengan B -aljabar telah dibahas dalam [3],  yaitu  setiap BM -aljabar  adalah B -aljabar,  tetapi  tidak  berlaku  sebaliknya,  karena ada B -aljabar yang bukan merupakan BM -aljabar. Namun, setiap B -aljabar 0-komutatif adalah BM -aljabar.
Berbagai  konsep  penting  dalam  aljabar  abstrak  telah  dibahas,  diantaranya  konsep derivasi yang pertama kali diperkenalkan dalam kajian ring [4]. Suatu pemetaan d dari ring (𝑅; +, ∙) ke  dirinya  sendiri  dikatakan  derivasi  di 𝑅 jika  memenuhi 𝑑(𝑎 ∙ 𝑏) = 𝑑(𝑎) ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑑(𝑏) untuk  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 .  Kemudian,  Al-Shehrie  [5]  memperumum konsep  derivasi  di  ring  untuk  mendefinisikan  konsep  derivasi  di B -aljabar.  Suatu pemetaan d dari B -aljabar (𝑋; ∗, 0) ke dirinya sendiri dikatakan left-right derivasi (( l, r )- derivasi) di X jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 memenuhi 𝑑 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = ( 𝑑 ( 𝑥 ) ∗ 𝑦 ) ∧ ( 𝑥 ∗ 𝑑 ( 𝑦 )) dan d dikatakan right-left derivasi (( r, l )-derivasi) di X jika memenuhi 𝑑 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) =( 𝑥 ∗ 𝑑 ( 𝑦 )) ∧ ( 𝑑 ( 𝑥 ) ∗ 𝑦 ).  Jika d merupakan  ( l,  r )-derivasi  sekaligus  ( r,  l )-derivasi  maka d dikatakan derivasi di X .
Konsep derivasi juga dibahas di struktur aljabar lainnya, seperti generalisasi derivasi di BM -aljabar  yang  dibahas  oleh  Sugianti  dan  Gemawati  [6].  Pada  pembahasan tersebut diberikan sifat-sifat derivasi di BM -aljabar yang memiliki perbedaan dengan sifat-sifat  derivasi  di B -aljabar.  Kemudian,  pendefinisian  konsep  generalisasi  derivasi di BM -aljabar menghasilkan jenis derivasi baru yang berbeda dengan konsep derivasi biasa. Adapun konsep f q -derivasi juga merupakan jenis lain dari suatu derivasi, seperti yang dibahas oleh Al-Kadi [7] tentang f q -derivasi di G -aljabar. Selanjutnya, Muangkarn et  al.  [8]  membahas  konsep f q -derivasi  di B -aljabar  dengan  mendefinisikan  suatu pemetaan  yang  melibatkan  endomorfisma.  Namun,  pada  artikel  tersebut  belum dibahas  tentang  sifat-sifat f q -derivasi  di B -aljabar  khusus,  seperti  di BM -aljabar. Padahal  konsep f q -derivasi  di BM -aljabar  sangat  urgen  untuk  menemukan  sifat-sifat khusus  dari  suatu f q -derivasi  yang  secara  umum  tidak  berlaku  di B -aljabar,  namun berlaku di BM -aljabar. Adapun jenis  derivasi  lainnya juga telah banyak dibahas oleh peneliti lain seperti yang dapat ditemukan pada [9]-[14].
Berdasarkan  uraian  di  atas,  pada  artikel  ini  didefinisikan inside f q -derivasi  di BM - aljabar beserta sifat-sifatnya dan outside f q -derivasi di BM -aljabar beserta sifat-sifat yang dimilikinya. Kemudian, juga dibahas sifat-sifat f q -derivasi dan f q -derivasi yang regular di BM -aljabar.

## 2.  Teori Dasar
Pada  bagian ini,  diberikan  beberapa  definisi  yang  diperlukan  untuk  mengkonstruksi hasil  utama  dari  penelitian.  Dimulai  dengan  beberapa  definisi  dan  teori  tentang B- aljabar  dan BM -aljabar,  kemudian,  juga  diberikan  konsep f q - derivasi  di B- aljabar. Konsep-konsep yang diberikan tersebut telah dibahas dalam [1], [2], [3], [5], [6] dan [8].
Berikut  ini  diberikan  konsep B -aljabar  dan  sifat-sifatnya  yang  diperkenalkan  oleh Neggers dan Kim [1] dan konsep B -aljabar 0-komutatif beserta sifat-sifatnya.
Definisi  2.1. [1] B -aljabar  adalah  suatu  himpunan  tak  kosong X dengan  konstanta  0 dan operasi biner ∗ yang memenuhi aksioma berikut:
( B1 ) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0,
( B2 ) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥 ,
( B3 ) ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ ( 𝑧 ∗ (0 ∗ 𝑦 )),
untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 .
Contoh  2.1. Misalkan 𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} suatu  himpunan  yang  didefinisikan  pada Tabel 1.
Tabel 1. Tabel Cayley untuk ( X ; ∗, 0) ∗ 0 1 2 3 4 5 0 0 2 1 3 4 5 1 1 0 2 4 5 3 2 2 1 0 5 3 4 3 3 4 5 0 2 1 4 4 5 3 1 0 2 5 5 3 4 2 1 0
Dapat dilihat pada Tabel 1 bahwa diagonal utamanya bernilai 0, sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 berlaku x ∗ x =  0  (aksioma B1 terpenuhi)  dan  nilai  pada  kolom  kedua menyatakan  bahwa  hasil  operasi  suatu  elemen  dengan  0  adalah  elemen  itu  sendiri, sehingga berlaku x ∗ 0 = x (aksioma B2 terpenuhi). Kemudian, misalkan 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 , dari Tabel  1  dapat  dibuktikan  bahwa  ( x ∗ y ) ∗ 𝑧 = x ∗ ( 𝑧 ∗ (0 ∗ y ))  sehingga  aksioma B3 terpenuhi. Oleh karena itu, terbukti bahwa ( X ; ∗ , 0) adalah B -aljabar.
Lema 2.2. [1] Jika ( X ; ∗, 0) suatu B -aljabar, maka
(i) 0 ∗ (0 ∗ 𝑥 ) = 𝑥 ,
(ii) (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ (0 ∗ 𝑦) = 𝑥 ,
(iii) 𝑦 ∗ 𝑧 = 𝑦 ∗ (0 ∗ (0 ∗ 𝑧)) ,
(iv) 𝑥 ∗ ( 𝑦 ∗ 𝑧 ) = ( 𝑥 ∗ (0 ∗ 𝑧 )) ∗ 𝑦 ,
(v) Jika 𝑥 ∗ 𝑧 = 𝑦 ∗ 𝑧 ,  maka 𝑥 = 𝑦 ,
(vi) Jika 𝑥 ∗ 𝑦 = 0, maka 𝑥 = 𝑦 , untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 .
Bukti . Pembuktian Lema 2.2 telah diberikan pada [1]. ∎
Definisi 2.3. [3] BM -aljabar adalah suatu himpunan tak kosong X dengan konstanta 0 dan operasi biner ∗ yang memenuhi aksioma berikut:
( A1 ) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥 ,
( A2 ) ( 𝑧 ∗ 𝑥 ) ∗ ( 𝑧 ∗ 𝑦 ) = 𝑦 ∗ 𝑥 ,
untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 .

## E. Yattaqi, et.al
Contoh 2.2. Misalkan X = {0, 1, 2} suatu himpunan yang didefinisikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Tabel Cayley untuk ( X ; ∗, 0) * 0  1  2 0 0  2  1 1 1  0  2 2 2  1  0
Berdasarkan  Tabel  2  diketahui  bahwa  nilai  pada  kolom  kedua  menyatakan  hasil operasi suatu elemen dengan 0 adalah elemen itu sendiri, sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 berlaku x ∗ 0 = x (aksioma A1 terpenuhi). Kemudian, misalkan 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 , dari Tabel 2 juga dapat dibuktikan bahwa ( 𝑧 ∗ 𝑥 ) ∗ ( 𝑧 ∗ 𝑦 ) = 𝑦 ∗ 𝑥 sehingga aksioma A 2 terpenuhi. Oleh karena itu, terbukti bahwa ( X ; ∗ , 0) adalah BM - aljabar.
Lema 2.4. [3] Misalkan ( X ; ∗ , 0) adalah BM -aljabar, maka
(i) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0,
(ii) 0 ∗ (0 ∗ 𝑥 ) = 𝑥 ,
(iii) 0 ∗ ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = 𝑦 ∗ 𝑥 ,
(iv) ( 𝑥 ∗ 𝑧 ) ∗ ( 𝑦 ∗ 𝑧 ) = 𝑥 ∗ 𝑦 ,
(v) 𝑥 ∗ 𝑦 = 0 jika dan hanya jika 𝑦 ∗ 𝑥 = 0,
untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 .
Bukti. Pembuktian Lema 2.4 telah diberikan pada [3]. ∎
Teorema 2.5. [3] Setiap BM -aljabar adalah B -aljabar.
Bukti. Pembuktian Teorema 2.5 telah diberikan pada [3]. ∎
Kebalikan  dari  Teorema  2.5  tidak  berlaku,  karena  ada B -aljabar  yang  bukan BM - aljabar.  Seperti  pada  Contoh  2.1,  ( X ; ∗ ,  0) adalah B -aljabar  tetapi  bukan BM -aljabar, karena (5 ∗ 1) ∗ (5 ∗ 4) = 4 ≠ 5 = 4 ∗ 1.
Teorema  2.6. [3] Misalkan ( X ; ∗ , 0) adalah BM -aljabar, maka ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) ∗ 𝑧 =  ( 𝑥 ∗ 𝑧 ) ∗ 𝑦 untuk setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 .
Bukti. Pembuktian Teorema 2.6 telah diberikan pada [3].
∎
Definisi  2.7. [15] Coxeter aljabar  adalah  suatu  himpunan  tak  kosong X dengan konstanta 0 dan operasi biner ∗ yang memenuhi aksioma berikut:
( C1 ) 𝑥 ∗ 𝑥 = 0,
( C2 ) 𝑥 ∗ 0 = 𝑥 ,
( C3 ) ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ ( 𝑦 ∗ 𝑧 ),
untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈𝑋 .
Teorema  2.8. [3] Jika ( X ; ∗ , 0) adalah BM -aljabar dengan 0 ∗𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , maka ( X ; ∗ , 0) adalah Coxeter aljabar.
Bukti. Pembuktian Teorema 2.8 telah diberikan pada [3].
∎
Akibat 2.9. [3] ( X ; ∗ , 0) adalah Coxeter aljabar jika dan hanya jika ( X ; ∗ , 0) adalah BM - aljabar dengan 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
Bukti. Pembuktian Akibat 2.9 telah diberikan pada [3]. ∎
Dari Akibat 2.9 dapat disimpulkan bahwa coxeter aljabar ekuivalen dengan BM -aljabar X dengan 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
Konsep derivasi di B -aljabar telah dibahas dalam [5]. Misalkan ( X ; ∗ , 0) suatu B -aljabar, maka didefinisikan 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∗ ( 𝑦 ∗ 𝑥 ) untuk setiap x, y ∈ X .
Definisi  2.10. [5] Misalkan  ( X ; ∗ ,  0)  adalah B -aljabar.  Suatu  pemetaan 𝑑 dari X ke dirinya sendiri disebut ( 𝑙 ,)-derivasi di X jika memenuhi 𝑑 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = ( 𝑑 ( 𝑥 ) ∗ 𝑦 ) ∧ ( 𝑥 ∗ 𝑑 ( 𝑦 )) untuk setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 dan disebut ( 𝑟 , 𝑙 )-derivasi di X jika memenuhi 𝑑 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = ( 𝑥 ∗ 𝑑 ( 𝑦 )) ∧ ( 𝑑 ( 𝑥 ) ∗ 𝑦 ). Pemetaan d disebut derivasi di X jika d merupakan ( 𝑙 , r )-derivasi sekaligus ( 𝑟 , l )-derivasi di X .
Definisi 2.11. [5] Misalkan ( X ; ∗ , 0) suatu B -aljabar. Pemetaan dari X ke dirinya sendiri dikatakan regular jika memenuhi 𝑑(0) = 0 .
Misalkan 𝑓 adalah suatu pemetaan dari B -aljabar ( X ; ∗ , 0) ke dirinya sendiri. 𝑓 adalah endomorfisma  dari X jika  memenuhi 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦) untuk  setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 . Kemudian, didefinisikan suatu pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 dari X ke dirinya sendiri dengan 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑞 untuk setiap 𝑥 , 𝑞 ∈ 𝑋 .
Definisi 2.12. [8] Misalkan ( X ; ∗ , 0) adalah B -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X .  Suatu  pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 dari X ke  dirinya sendiri  dikatakan inside f q -derivasi  di X jika memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ∗ 𝑦 )  = 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ) ∗ 𝑓(𝑦) untuk  setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 dan  dikatakan outside f q - derivasi di X jika memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑦 ). Pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 disebut f q -derivasi di X jika 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan inside sekaligus outside f q -derivasi di X .

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  diberikan  hasil  utama  penelitian,  yaitu  mendefinisikan inside f q - derivasi  dan outside f q -derivasi  di BM -aljabar  dengan  menggunakan  cara  yang  sama pada pendefinisian inside f q -derivasi dan outside f q -derivasi di B -aljabar oleh Muangkarn et al. [15]. Kemudian, juga diberikan sifat-sifat inside f q -derivasi dan outside f q -derivasi di BM -aljabar.
Misalkan ( X ; ∗ , 0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah suatu pemetaan dari X ke dirinya sendiri. 𝑓 adalah  endomorfisma  dari X jika  memenuhi 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 . Kemudian, didefinisikan suatu pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 dari X ke dirinya sendiri dengan 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑞 untuk setiap 𝑥 , 𝑞 ∈ 𝑋 .
Definisi 3.1. Misalkan ( X ; ∗ , 0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X . Suatu  pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 dari X ke  dirinya  sendiri  dikatakan inside f q -derivasi  di X jika memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ∗ 𝑦 )  = 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ) ∗ 𝑓(𝑦) untuk  setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 dan  dikatakan outside f q - derivasi di X jika memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑦 ). Pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 disebut f q -derivasi di X jika 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan inside sekaligus outside f q -derivasi di X .
Contoh  3.1. Diketahui (ℤ; −,0) adalah BM -aljabar.  Didefinisikan  pemetaan 𝑓 dan 𝑑 𝑞 𝑓 dari ℤ ke  dirinya  sendiri  dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑞 untuk  setiap 𝑥 ∈ ℤ . Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa 𝑓 adalah suatu endomorfisma dari ℤ . Akan diperiksa apakah 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan inside f q -derivasi di ℤ . Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ diperoleh 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥 − 𝑦) − 𝑞 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑞 dan 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑞 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑞 sehingga  memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 − 𝑦) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑦) .  Jadi,  terbukti  bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan inside f q -derivasi di ℤ .  Selanjutnya, diperiksa  apakah 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan outside f q -derivasi di ℤ .  Untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ diperoleh 𝑓(𝑥) − 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) = 𝑥 − (𝑓(𝑦) − 𝑞) = 𝑥 − 𝑦 + 𝑞 ≠ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 − 𝑦) sehingga 𝑑 𝑞 𝑓 bukan merupakan outside f q -derivasi di ℤ .
Pada Teorema 3.2 berikut ini, dinyatakan eksistensi dari f q -derivasi di BM -aljabar, yaitu selalu  terdapat 𝑑 0 𝑓 yang  merupakan f q -derivasi  di BM -aljabar.  Motivasi  dari pengkonstruksian sifat ini adalah karena setiap BM -aljabar selalu memuat elemen 0.
Teorema 3.2. Jika (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X, maka 𝑑 0 𝑓 adalah f q -derivasi di X.
Bukti. Akan  dibuktikan  bahwa 𝑑 0 𝑓 merupakan inside f q -derivasi  sekaligus outside f q - derivasi di X . Berdasarkan aksioma A 1 di BM -aljabar diperoleh
𝑑 0 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 0 = 𝑓(𝑥), sehingga
𝑑 0 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 0 = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦) 𝑑 0 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑑 0 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦), untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ X . Jadi, terbukti bahwa 𝑑 0 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X. Kemudian, juga dari aksioma A 1 di BM -aljabar diperoleh
𝑑 0 𝑓 (𝑦) = 𝑓(𝑦) ∗ 0 = 𝑓(𝑦), sehingga
𝑑 0 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 0 = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦) 𝑑 0 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 0 𝑓 (𝑦),
untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ X .  Jadi,  terbukti  bahwa 𝑑 0 𝑓 adalah outside f q -derivasi  di X. Oleh karena itu, terbukti bahwa 𝑑 0 𝑓 adalah f q -derivasi di X. ∎
Pada BM -aljabar diperoleh sifat bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 selalu merupakan inside f q -derivasi, namun belum  tentu  merupakan outside f q -derivasi.  Oleh  karena  itu  diberikan syarat  cukup untuk menjadikan 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan outside f q -derivasi di BM -aljabar yang diberikan pada Teorema 3.3.
Teorema 3.3. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X, maka
(i) 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X ,
(ii) Jika 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 ,  maka 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X .
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X .
(i) Berdasarkan Teorema 2.6 diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑞 = (𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗ 𝑞 = (𝑓(𝑥) ∗ 𝑞) ∗ 𝑓(𝑦) 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦),
untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑞 ∈ X . Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X.
(ii) Berdasarkan  Akibat  2.9  diperoleh  bahwa X juga  merupakan Coxeter aljabar sehingga memenuhi aksioma C 3 pada Coxeter aljabar. Dengan demikian diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑞 = (𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗ 𝑞 = 𝑓(𝑥) ∗ (𝑓(𝑦) ∗ 𝑞) 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦),
untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑞 ∈ X . Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X. ∎
Berdasarkan Teorema 3.3 diperoleh Akibat 3.4.
Akibat 3.4. Jika (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar yang memenuhi 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 ,  maka 𝑑 𝑞 𝑓 adalah f q -derivasi di X .
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X . Dari Teorema  3.3  (i)  diperoleh  bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi  di X .  Karena  pada X berlaku 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , maka dari  Teorema 3.3 (ii) diperoleh bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X. Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah f q -derivasi di X . ∎ Pada Akibat 2.9 diketahui bahwa suatu BM -aljabar X yang memenuhi 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 merupakan coxeter aljabar. Jadi, Akibat 3.4 di atas juga menyatakan bahwa pada coxeter aljabar, 𝑑 𝑞 𝑓 selalu merupakan f q -derivasi.
Selanjutnya, diperoleh Lema 3.5 tentang sifat inside f q -derivasi di BM -aljabar dan Lema 3.6  tentang  sifat outside f q -derivasi  di BM -aljabar  yang  diperlukan  untuk  pembuktian teorema berikutnya.
Lema 3.5. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X. Jika 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X , maka
(i) 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋,
(ii) 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) ∗ 𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X .
(i) Karena 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi  di X ,  maka 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .  Dengan  mengganti 𝑦 menjadi 𝑥 dan  berdasarkan  Lema  2.4  (i) diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑥) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥).
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 . (ii) Dari (i) diperoleh 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) dan juga dapat ditulis 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) ∗ 𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , sehingga diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (0) 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) ∗ 𝑓(𝑦)
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) ∗ 𝑓(𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. ∎
Lema  3.6. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar  dan 𝑓 adalah  endomorfisma  dari X. Jika 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X , maka
(i) 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋,
(ii) 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑦) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X .
(i) Karena 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi  di X ,  maka 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .  Dengan  mengganti 𝑦 menjadi 𝑥 dan  berdasarkan  Lema  2.4  (i) diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ 𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥).
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
(ii) Dari  (i)  diperoleh 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) dan  juga  dapat  ditulis 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑓(𝑦) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , sehingga diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (0)
𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑦) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦)
Jadi, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑦) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. ∎
Berdasarkan sifat-sifat yang diperoleh dari Lema 3.5 dan Lema 3.6 dapat dikonstruksi sifat inside dan outside f q -derivasi di BM -aljabar yang diberikan pada Teorema 3.7.
Teorema 3.7. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X.
(i) Jika 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X , maka 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 0 ∗ 𝑞 untuk setiap 𝑞 ∈ 𝑋,
(ii) Jika 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X , maka 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑞 untuk setiap 𝑞 ∈ 𝑋.
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X .
(i) Misalkan 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X , maka berdasarkan Lema 3.5 (i), aksioma A 1 dan aksioma A 2 diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑥)
= (𝑓(𝑥) ∗ 𝑞) ∗ 𝑓(𝑥)
= (𝑓(𝑥) ∗ 𝑞) ∗ (𝑓(𝑥) ∗ 0)
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 0 ∗ 𝑞.
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 0 ∗ 𝑞 untuk setiap 𝑞 ∈ 𝑋 .
(ii) Misalkan 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi  di X ,  maka  berdasarkan  Lema  3.6  (i), aksioma A 1 dan aksioma A 2 diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥)
= 𝑓(𝑥) ∗ (𝑓(𝑥) ∗ 𝑞) = (𝑓(𝑥) ∗ 0) ∗ (𝑓(𝑥) ∗ 𝑞) = 𝑞 ∗ 0 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑞
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑞 untuk setiap 𝑞 ∈ 𝑋 . ∎
Berdasarkan  Teorema  3.7  dapat  dikonstruksi  sifat f q -derivasi  di BM -aljabar  yang diberikan pada Teorema 3.8.
Teorema 3.8. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X. 𝑑 𝑞 𝑓 adalah f q -derivasi di X jika dan hanya jika 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
Bukti. Karena 𝑑 𝑞 𝑓 adalah f q -derivasi  di X, maka 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan inside  f q -derivasi sekaligus outside f q -derivasi di X, sehingga dari Teorema 3.7 (i) dan (ii) diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 𝑑 𝑞 𝑓 (0)
0 ∗ 𝑞 = 𝑞
Jadi,  terbukti  bahwa 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋. Sebaliknya,  jika 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , maka dari Akibat 3.4 terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah f q -derivasi di X. ∎
Berikut ini diberikan sifat 𝑑 0 𝑓 yang diperoleh jika 𝑓 adalah endomorfisma identitas dari suatu BM -aljabar.
Teorema 3.9. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X.
Jika 𝑓 adalah fungsi identitas, maka 𝑑 0 𝑓 juga merupakan fungsi identitas.
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X . Karena 𝑓 adalah  fungsi  identitas,  maka 𝑓(𝑥) = 𝑥 untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga  berdasarkan aksioma A 1 diperoleh
𝑑 0 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 0 = 𝑓(𝑥) = 𝑥.
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 0 𝑓 juga merupakan fungsi identitas.
∎
Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X. Untuk setiap x, y ∈ X didefinisikan 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑦 ∗ ( 𝑦 ∗ 𝑥 ). Suatu pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 dari X ke dirinya sendiri disebut ( 𝑙 , 𝑟 )- f q -derivasi di X jika memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∧ (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y)) untuk setiap 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 dan disebut ( r,l ) -f q -derivasi di X jika memenuhi 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑥 ∗ 𝑦 ) = (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 ( 𝑦 )) ∧ (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) . Pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 disebut f q -derivasi di X jika 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan ( 𝑙 , r )- f q - derivasi sekaligus ( r, l ) -f q -derivasi di X .
Berdasarkan pendefinisian tersebut diperoleh Teorema 3.10.
Teorema 3.10. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X.
(i) Jika 𝑑 𝑞 𝑓 adalah ( 𝑙 , 𝑟 )- f q -derivasi di X, maka 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X ,
(ii) Jika 𝑑 𝑞 𝑓 adalah ( 𝑟 , l )- f q -derivasi di X, maka 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X .
(i) Karena 𝑑 𝑞 𝑓 adalah ( 𝑙 , 𝑟 )- f q -derivasi di X, maka dari aksioma A 1 dan A 2 diperoleh 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ y)   =   (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∧ (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y))
=   (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y)) ∗ [(𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y)) ∗   (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦))] = [(𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y)) ∗ 0] ∗ [(𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y)) ∗   (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦))]
= (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗ 0
𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ y)   = 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦).
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah inside f q -derivasi di X.
(ii) Karena 𝑑 𝑞 𝑓 adalah ( r , 𝑙 )- f q -derivasi di X, maka dari aksioma A 1 dan A 2 diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ y)   = (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y))   ∧   (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦))
=   (𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗ [(𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗   (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y))]
= [(𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗ 0] ∗ [(𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑓(𝑦)) ∗   (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y))] = (𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y)) ∗ 0 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥 ∗ y)   = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 𝑞 𝑓 (y).
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 adalah outside f q -derivasi di X. ∎
Dengan  mudah  dapat  dibuktikan  bahwa  Teorema  3.10  juga  berlaku  sebaliknya, sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  pada BM -aljabar  konsep  ( 𝑙 ,)- f q -derivasi  sama dengan  konsep inside f q -derivasi  dan  konsep  ( 𝑟 , l )- f q -derivasi  sama  dengan  konsep outside f q -derivasi. Selanjutnya, diberikan definisi 𝑑 𝑞 𝑓 yang regular beserta sifatnya.
Definisi 3.11. Misalkan ( X ; ∗ , 0) suatu BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X . Suatu pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 dari X ke dirinya sendiri dikatakan regular jika 𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 0 .
Teorema 3.12. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X. Jika 𝑑 𝑞 𝑓 regular , maka 𝑑 𝑞 𝑓 = 𝑓 .
Bukti. Misalkan (𝑋; ∗ ,0) adalah BM -aljabar dan 𝑓 adalah endomorfisma dari X . Karena 𝑑 𝑞 𝑓 regular diperoleh
𝑑 𝑞 𝑓 (0) = 0 𝑓(0) ∗ 𝑞 = 0
0 ∗ 𝑞 = 0.
Karena 0 ∗ 𝑞 = 0 , maka berdasarkan Lema 2.4 (v) diperoleh 𝑞 ∗ 0 = 0 dan berdasarkan aksioma A 1 diperoleh 𝑞 = 0 . Kemudian, karena 𝑞 = 0 dan dari aksioma A 1 diperoleh 𝑑 𝑞 𝑓 (𝑥) = 𝑑 0 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 0 = 𝑓(𝑥).
Jadi, terbukti bahwa 𝑑 𝑞 𝑓 = 𝑓. ∎

## 4.  Kesimpulan
Pada  artikel  ini,  dapat  disimpulkan  bahwa  secara  umum  sifat-sifat inside f q -derivasi berbeda  dengan outside f q -derivasi  di BM -aljabar.  Namun,  ada  satu  sifat  yang  sama, yaitu  jika f endomorfisma  identitas  dari  suatu BM -aljabar  maka 𝑑 𝑞 𝑓 juga  merupakan fungsi  identitas  dan  tidak  disyaratkan 𝑑 𝑞 𝑓 itu  merupakan inside ataupun outside f q - derivasi  di BM- aljabar.  Demikian  halnya  untuk  suatu  pemetaan 𝑑 𝑞 𝑓 yang regular diperoleh satu sifat , yaitu 𝑑 𝑞 𝑓 = 𝑓 dan juga tidak disyaratkan 𝑑 𝑞 𝑓 itu merupakan inside ataupun outside f q -derivasi di BM- aljabar. Namun, tentunya setiap 𝑑 𝑞 𝑓 merupakan inside f q -derivasi,  tetapi  belum  tentu  merupakan outside f q -derivasi  di BM -aljabar.  Adapun sifat-sifat f q -derivasi di BM -aljabar berbeda dengan di B -aljabar dan sifat-sifat tersebut tidak  berlaku  secara  umum  di B -aljabar.  Walaupun  demikian,  juga  ada  beberapa sifatnya yang sama.

## Referensi
[1] J. Neggers and H. S Kim, “On B -algebra s,” Mat. Vesn. , vol. 54, no. 1 – 2, pp. 21 – 29,
2002.
[2] H. S. Kim and H. G. Park, “On 0 -commutative B- algebras,” Sci. Math. Jpn. , vol. 62, no. 1, pp. 31 – 36, 2005.
[3] C. B. Kim and H. S. Kim, “On BM - algebras,” Sci. Math. Jpn. , vol. 63, no. 3, pp. 421 – 428, 2006.
[4] M.  Ashraf,  S.  Ali,  and  C.  Haetinger,  “On  derivations  in  rings  and  their applications,” Aligarh Bull Math , vol. 25, no. 2, pp. 79 – 107, 2006.
[5] N. Alshehri, “Derivations of B - algebras,” Science (80-. ). , vol. 22, no. 1, 2010.

## E. Yattaqi, et.al
[6] K. Sugianti and S . Gemawati, “Generalized Derivations of BM - Algebras,” Int. J. Contemp. Math. Sci. , vol. 15, no. 4, pp. 225 – 233, 2020.
[7] D. Al- Kadi, “fq -Derivations of G- Algebra,” 2016.
[8] P. Muangkarn, C. Suanoom, P. Pengyim, and A. Iampan, “fq -Derivations of B- algebra s,” J. Math. Comput. Sci. , vol. 11, no. 2, pp. 2047 – 2057, 2021.
[9] C.  Ramadhona,  S.  Gemawati,  and  Syamsudhuha,  “Generalized  f -derivation  of BP- algebras,” Int. J. Math. Trends Technol. , vol. 66, no. 11, pp. 80 – 86, 2020.
[10] N. Kandaraj and A. Devi A, “f -derivations on BP- algebras,” Int. J. Sci. Res. Publ. , vol. 6, no. 10, pp. 8 – 18, 2016.
[11] W. Aziz, S. Gemawati,  and L. Deswita,  “On (f, g) -derivations in BG- algebras,” Int. Organ. Sci. Res. J. Math. , vol. 16, pp. 14 – 20, 2020.
[12]  Kamaludin,  S.  Gemawati,  a nd  Kartini,  “Derivations  in  BG - algebras,” Int.  J. Algebr. , vol. 13, no. 5, pp. 249 – 257, 2019.
[13] T.  Ganeshkumar  and  M.  Chandramouleeswaran,  “t -derivations  on  TM- algebras,” Int. J. Pure Appl. Math. , vol. 85, no. 1, pp. 95 – 107, 2013.
[14]  R. Soleimani and S. Jahangiri, “A Note on t -derivations of B- algebras.”
[15] H.  S.  Kim,  Y.  H.  Kim,  and  J.  Neggers,  “Coxeters  and  pre -Coxeter  algebras  in Smarandache setting,” Honam Math. J. , vol. 26, no. 4, pp. 471 – 481, 2004.
This  article  is  an  open-access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics,  Universitas  Negeri  Gorontalo,  Jln.  Prof.  Dr.  Ing.  B.J.  Habibie, Moutong,  Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.