Model Matematika Fermentasi Alkohol dari Buah Anggur
Budi Nurwahyu †

## Abstrak
Paper  ini  berusaha  untuk  memodelkan  secara  matematika  terhadap  fermentasi perasan  buah  anggur  menjadi  alkohol.  Model  matematikanya  didasarkan  pada karakteristik  proses  fermentasi  gula  dengan  menggunakan  ragi Saccharomyces cerevisiae .  Fermentasi  alkohol  adalah  proses  kimia  dimana  ragi  merubah  gula (glukosa  dan  fruktosa)  menjadi  alkohol.  Secara  komersil  proses  tersebut digunakan untuk membuat anggur  yang gulanya berasal dari buah anggur segar.
Awalnya  Ragi  ( Saccharomyces  cerevisiae )  ditambahkan  kedalam  perasan  buah anggur, kemudian gula akan diserap oleh ragi dan akan diubah menjadi  alkohol. Ragi berkembang dan dalam waktu yang bersamaan akan menghasilkan juga gas Carbon  Dioksida  (CO 2 ).  Untuk  memaksimalkan  produksi  alkohol,  maka  proses peragian  harus  dijauhkan  dari  kontak  gas  oksigen  (O 2 )  atau  dalam  kondisi anaerob. Pada  model  ini  diperlihatkan  juga  bahwa  dengan  habisnya  kadar  gula dalam  perasan  buah  anggur,  maka  pertumbuhan  ragi  semakin  mengecil  dan akhirnya  ragi  akan  mati.  Visualisasi  model  juga  diperlihatkan  dengan menggunakan  program  MAPLE  9.5.  Setelah  ragi  habis  selama  dalam  perasan buah anggur, maka cairan tersebut dinamakan minuman anggur yang beralkohol
Kata kunci: Model Matematika, fermentasi alkohol.

## 1. Pendahuluan
Ragi di dalam jus anggur merubah gula ( glukosa dan fruktosa - C 6 H 12 O 6 ) menjadi alkokol. Proses ini disebut fermentasi/peragian. Proses peragian selain menghasilkan alkohol (ethanol-C 2 H 5 OH),  juga  akan  menghasilkan  gas  Carbon  Dioksida(O 2 ),  dimana  gas  tersebut berbentuk gelembung-gelembung dalam minuman anggur. Apabila semua gula dalam perasan anggur  telah  diubah  menjadi  alkohol,  maka  ragi  lambat  laun  akan    mati  dan  hilang  dari minuman anggur sebelum minuman tersebut dikemas dalam botol/dikonsumsi.
Di  dalam  jus  buah  anggur  termuat  ratusan  komponen  aktif  dan  komponen  kimia. Perasan buah anggur memuat  biji anggur, stalk , air dan komponen kimia lainnya. Sedangkan komponen  aktif  yang  berhubungan  dengan  produksi  alkohol  adalah  gula  glukosa  dan fruktosa, ragi Saccharomyces cerevisiae, Ensim Glicolitik, Etanol, dan gas karbon dioksida.

## 2. Proses Fermentasi Alkohol
Awalnya  perasan  buah  anggur  dan  ragi  disimpan  dalam  sebuah  kontainer.  Proses fermentasi  harus  dijauhkan  dari  oksigen,  sebab  jika  tidak,  maka  ragi  tidak  akan  mampu merubah  gula  menjadi  alkohol.  Proses  fermentasi  alkohol  merupakan  proses  reaksi  kimia berikut:
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
Untuk  mencegah  terjadinya  oksidasi,  kadang-kadang  ditambahkan  Sulfat  dioksida (SO 2 ),  sebab  jika  terjadi  oksidasi  maka  produksi  alkohol  akan  berkurang.  Perubahan  gula menjadi  alkohol  merupakan  proses  yang  kompleks.  Ini  terjadi  didalam  sel-sel  ragi  dan memproduksi  energi  untuk  tumbuhnya  ragi  yang  bersamaan  akan  merubah  gula  menjadi alkohol.  Secara  rinci  rantai  perubahan  Glukosa  menjadi  Alkohol  dalam  proses  fermentasi disajikan  dalam  tabel  dan  gambar  berikut  (Sumber  : Boulton  R.B.    et  al. (1996), pp :135– 141).
No Senyawa Enzim yang bekerja  Menjadi senyawa 1 Glucose Hexokinase glucokinase Glucose 6- Phosphate 2 Glucose 6-Phosphate Glucose phosphate isomerase Fructose 6-Phosphate 3 Fructose 6-Phosphate Phospho fructokinase Fructose 1,6-bisphosphate 4 Fructose 1,6-bisphosphate Aldolase Glyeraldehyde 3- phosphate 5 Glyeraldehyde 3-phosphate Phosphoglutinate kinase 1,3 Biphosphoric Acid 6 1,3 Biphosphoric Acid - 3-Phosphoglyceric Acid 7 3-Phosphoglyceric Acid Phosphoglycerate mutase 2 Phosphoglyceric Acid 8 2-Phosphoglyvceric Acid Enolase Phosphoenolpyruvic Acid 9 Phosphoenolpyruvic Acid Pyruvate Kinase Pyruvic Acid 10 Pyruvic Acid - Acetaldehyde 11 Acetaldehyde Alcohol dehydrogenase Ethanol C 6 H 12 O 6  2 (CH 3 CH 2 OH)   +   2 (CO 2 ) (Gula)               ( Ethanol)          (Karbon dioksida)
CO2
alkohol
Glucose +Fructose Suhu : 10 C- 35 C pH   : 2.8 - 3.8
Anaerob/ Tanpa ada oksigen
Gambar 1.  Skema Fermentasi Alkohol
Jus Anggur ragi

## 2. Model Matematika
Paper ini berusaha untuk memodelkan fermentasi alkohol dari perasan buah anggur dengan asumsi sebagai berikut:
1. Perkembangan  kadar gula pada setiap saat tergantung pada pertumbuhan ragi dan banyaknya  gula  (glukosa) yang  dikonsumsi  oleh satu  sel ragi,  semakin  meningkat pertumbuhan ragi maka semakin turun kadar gula.
2. Di dalam gula dianggap masih terdapat gula lain dengan  kadar yang konstan yaitu K gram/ L , misalkan gula fruktosa.
3. Hasil  senyawa  lain  selain  Etanol  pada  saat t yang  mendukung  pertumbuhan  ragi dianggap konstan yaitu M gram/ L.
4. Perkembangan  pertumbuhan  ragi  tergantung  pada  jumlah  sel  ragi,  besarnya  kadar gula, dan kadar etanol.
5. Perkembangan kadar alkohol tergantung pada kadar gula, massa  alkohol dan massa gula.
6. r adalah  banyaknya  gula  yang  dibutuhkan  untuk  perkembangan  biakan  1  sel  ragi untuk setiap waktu t.
7. m adalah banyaknya gula yang dikonsumsi untuk setiap satu sel ragi.
8. p adalah peluang satu sel ragi dapat hidup dalam larutan gula dan alcohol.
9. K adalah banyaknya kadar gula selain glukosa dalam perasan buah anggur.
10. M adalah  senyawa/enzim  yang  dihasilkan  dalam  proses  fermentasi  yang mendukung perkembangan sel-sel ragi.
11. M A adalah massa atom Alkohol dan M G adalah massa atom gula glukosa.

## Pembuatan Model
A.   Diagram Kompartemen:
Jus Anggur gula Ragi

## B.   Konstruksi Model
1. Perkembangan biakan 1 sel ragi membutuhkan gula sebanyak r gram dan setiap sel ragi  dalam  hidupnya  membutuhkan  gula  sebanyak  m  gram,  maka  penurunan banyaknya kadar gula dalam jus buah anggur pada saat t adalah sebesar: ( ) ( ) ( ) d d S t r X t m X t dt dt    dimana ) ( t X dt d adalah laju perkembangan semua sel ragi pada saat t .
2. Peluang Setiap satu sel ragi berada dalam gula glukosa adalah K t S t S  ) ( ) ( , dimana K
adalah  gula  selain  glukosa dan  peluang  satu sel  ragi  berada  dalam  senyawa selain etanol atau enzim yang akan merubah gula adalah
) ( t E M M  , sehingga jika M
mengecil  maka  gula  akan  lama  habis,  sedangkan  laju  pertumbuhan  satu  sel  ragi adalah p , berarti laju perkembangan sel-sel ragi pada saat t adalah:
( ) ( ) ( )
( ( ) )( ( )) d MS t X t p X t dt S t K M E t    3. Dalam reaksi kimia perubahan gula menjadi alkohol adalah sebagai berikut:
Berarti 1 mol Gula akan terpecah menjadi 2 mol Etanol, maka jika M A adalah massa alkohol dan M G masa gula, maka besarnya perkembagan Etanol pada saat t adalah:
2 ( ) ( ) A G M d dS t E t dt M dt  
Dengan demikian model yang diperoleh adalah: ( ) ( ) ( )
d d S t r X t m X t dt dt    (1)
( )
( ) ( )
( ( ) )( ( )) d
MS t X t p X t dt S t K M E t    (2) 2 ( ) ( ) A G M d d E t
S t dt M dt   (3)
S ( t )  adalah  konsentrasi  gula  dalam  perasan  buah  anggur  (gram/ L )  pada  saat t , X ( t )  adalah konsentrasi  Ragi  pada  saat t , E ( t )  adalah  konsentrasi  alkohol  pada  saat t .  Dari  sistem persamaan tersebut diperoleh persamaan bidang phase untuk S dan X sebagai berikut:
( ) ( ( ) ) ( ) (1 ) ( ) ( ) dS t m S t K E t r dX t pS t M      (4) C 6 H 12 O 6  2 (CH 3 CH 2 OH)   +   2 (CO 2 ) (Gula)                          (Ethanol)       (Karbon dioksida)
Sedangkan dari persamaan (3) dapat diperoleh
( ) ( ( ) (0)) E t a S t S a S       (5)
dengan
2 A G M a M 
Dengan memasukkan persamaan (5) ke persamaan (4), maka persamaan (4) dapat ditulis menjadi
( ) ( ( ) ) (1 ( ( ) (0)) ( ) ( ) dS t m S t K a r S t S dX t pS t M       (6)
sehingga  persamaan 6) dapat dimanipulasi menjadi:
( ) 1 1 1 (0) ( ) ( ) ( ) dS t Q a m a S B S t dX t B S t M p M    
             (7)
dengan
)) ) 0 ( ( 1 ( ( K S M a mL p r p B     dan B p mK Q  .
Dari persamaan (7) dapat diperoleh:
( ) d X t B =
2 ( ) ( ) (1 (0)) ( ) ( )
S t dS t a aB
Q S S t S t M KM
   
(8)
= 1
2
2 1 1 2 (0) ( ) ( ) S S S dS t c S S S S S S           (9) dengan KM aQS c ) 0 (  serta S 1 dan S 2 adalah akar dari persamaan kwadrat:
  0 ) ( ) 0 ( ) ( 2     t S S c t S cK Q
Karena S 2  S 1 = S (0)/ c , maka persamaan (9) menjadi
( ) d X t B = 1 2 1 2 ( ) S S dS t S S S S    
     (10)
Maka dengan dengan mengintegralkan persamaan (10) diperoleh:
X ( t )  X (0)  = 1 2
1 2 1 2 ( ) ( ) ln ln (0) (0) S t S S t S
B S S S S S S           
= 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ( ) ) ( (0) ) ln ( ( ) ) ( (0) ) S S S S S t S S S
B S t S S S                  
sehingga persamaan bidang phase X ( t ) dan S ( t ) diperoleh sebagai berikut:
       
            1 2 2 1 ) ) 0 ( ( ) ) ( ( ) ) 0 ( ( ) ) ( ( ln ) 0 ( ) ( 1 2 2 1 S S S S S S S t S S S S t S B X t X
Gambar  2.   Grafik Bidang fase antara konsentrasi gula ( S ( t )) dan banyaknya sel ragi ( X ( t )), dengan X (0)  =  2  gram/ L , S (0)  =  200  gram/ L untuk  waktu t maksimum  1000 jam.
Gambar  3.   Grafik Bidang fase antara konsentrasi gula ( S ( t )) dan banyaknya sel ragi ( X ( t )), dengan X (0) = 2 gram/ L , S (0) = 200 gram/ L untuk waktu t maksimum 120 jam.
Gambar  4.   Kurva bidang phase terhadap Ragi ( X ( t ) ) dan Kadar alkohol ( E ( t )) untuk maktu t maksimum 1000 jam dan untuk X (0) =2 gram/ L , S (0) = 200 gram/ L .
Gambar  5.   Kurva bidang phase terhadap Ragi ( X ( t ) ) dan Kadar alkohol ( E ( t )) untuk waktu t maksimum 120 jam dan untuk X (0) =2 gram/ L , S (0)= 200 gram/ L.
Gambar  6.   Kurva bidang phase terhadap Gula ( S ( t )) dan Kadar alkohol ( E ( t )) untuk waktu t maksimum 1000 jam dan untuk S (0)=200 gram/ L , E (0)= 0 gram/ L .
Gambar  7.   Kurva bidang phase terhadap Gula ( S ( t )) dan Kadar alkohol ( E ( t )) untuk waktu t maksimum 120 jam dan untuk S (0) = 200 gram/ L , E (0) = 0 gram/ L .
Gambar  8.   Grafik solusi model matematika terhadap perkembangan kadar gula (biru), ragi (merah), alkohol (hijau) dan Karbon dioksida (hitam), dengan kadar gula cepat berkurang.
Gambar  9.   Gula (garis biru), Alkohol ( garis hijau), CO 2 (garis hitam) , Ragi (garis merah) untuk nilai r = 4, p = 0.2, K = 112, M = 5.
Gambar  10.   Gula (garis biru), Alkohol ( garis hijau), CO 2 (garis hitam) , Ragi (garis merah) untuk r = 4, p = 0.2, K = 112, M = 40.
Gambar  11.   Gula (garis biru), Alkohol ( garis hijau), CO 2 (garis hitam) , Ragi (garis merah) untuk r = 2, p = 0.2, K = 112, M = 40.
Gambar  12.   Gula (garis biru), Alkohol ( garis hijau), CO 2 (garis hitam) , Ragi (garis merah) untuk r = 2, p = 0.2, K = 112, M = 5.

## 3. Kesimpulan
1. Pada  model di atas tampak bahwa jika laju kebutuhan gula  yang dibutuhkan untuk perkembangan biakan 1 sel ragi ( r ) mengecil, maka  pertumbuhan ragi akan pernah mengalami pertumbuhan yang pesat kemudian akan mati pelan-pelan. Tapi jika laju kebutuhan  gula  yang  dibutuhkan  untuk  perkembangan  biakan  1  sel  ragi  ( r ) diperbesar,  maka  pertumbuhan  ragi  sangat  lamban,  dan  kadar  alkohol  akan  lebih rendah.  Namun    kadar  gula  akan  habis  dalam  waktu  yang  hampir  bersamaan (Gambar 8, 9, 10 dan 11).
2. Pada model di atas tampak juga bahwa jika kandungan enzim ( M ) meningkat, maka tampak  dalam  waktu  pendek  kadar  Alkohol  sudah  mencapai  maksimum.  Pada Gambar  8  dan  Gambar  11,  tampak  kadar  alkohol  lambat  mencapai  maksimum.
Sedangkan  pada  Gambar  9  dan  Gambar  10,  kadar  alkohol  cepat  mencapai maksimum

## Daftar Pustaka
[1] Boulton,  R.B.  ,  Singelton,  V.L.,  Bison,  L.F.,  &  Kunkee,  R.E.,  1996,  ” Principles  and Practice of Winemaking ”. Chapman and Hall Enology Library, New York.
[2] Bouville, M., 2001, “ Mathematical Model Fermentation of Alcohol ”.
[3] Brown, G., 1984, “ Lecturing and Explaining ”. Methuen, London.
[4] Webb, A.D., 1974, “Chemistry of winemaking”, Advances in Chemistry Series 137 , American Chemical Society, Washington DC.