## APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN
KOMPLEKS PADA MATRIKS
Novita Eka Chandra 1 dan Wiwin Kusniati 2
1 Universitas Islam Darul ’Ulum Lamongan, novitaekachandra@gmail.com ,
2 Universitas Islam Darul ’Ulum Lamongan, wiwin.kusniati@yahoo.co.id
Abstract. Power method is a method of iterations to find the eigenvalues in the matrix. Based on previous research has been conducted to find of application the power method eigenvalues in the matrix. However, in these studies is limited to real eigenvalues . In this study , power method applied to find the complex eigenvalues of a matrix . With the help of Matlab program in accordance with the results obtained using the results of manual workmanship . From the results, it can be conclusion that the power method can be applied to find the complex eigenvalues in a matrix.
Keywords : matrix , eigenvalues , complex value , the power method.
Abstrak. Metode pangkat merupakan metode iterasi untuk mencari nilai eigen pada sebuah matriks. Berdasarkan penelitian terdahulu telah dilakukan aplikasi metode pangkat untuk mencari nilai eigen pada sebuah matriks. Akan tetapi dalam peneli- tian tersebut terbatas untuk nilai eigen real. Pada penelitian ini, metode pangkat diaplikasikan untuk mencari nilai eigen kompleks pada sebuah matriks. Dengan meng- gunakan bantuan program Matlab didapatkan hasil yang sesuai dengan hasil meng- gunakan pengerjaan manual. Berdasarkan hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa metode pangkat dapat diaplikasikan untuk mencari nilai eigen kompleks pada sebuah matriks.
Kata Kunci : matriks, nilai eigen, bilangan kompleks, metode pangkat.

## 1 Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena real yang dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Dalam banyak ka- sus, tidak semua model matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik [ ? ], sehingga digunakan metode numerik untuk mencari penyelesaiannya. Salah satu metode dalam analisis numerik yang bisa digunakan untuk mencari nilai eigen yaitu metode pangkat.
Dalam mencari nilai eigen menggunakan metode pangkat ( power method ) ini, semakin kecil nilai error yang diberikan menyebabkan semakin banyak iterasi yang terjadi, sehingga semakin baik hasil yang diperoleh. Sebelumnya [3] melakukan penelitian mencari nilai eigen dengan metode pangkat. Akan tetapi, dengan menggunakan metode pangkat tersebut hanya terbatas pada matrik yang semua nilai eigennya bilangan real. Dalam aplikasinya metode numerik sering digunakan untuk mencari solusi permasalahan dengan solusi yang real. Pada penelitian ini, penulis menggunakan metode pangkat untuk mencari nilai eigen pada sebuah matriks yang nilai eigennya merupakan bilangan kompleks.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan

## 2 Kajian Teori

## 2.1 Matriks
Menurut [2], matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilan- gan - bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen dalam matriks. Matriks ditulis sebagai berikut :
A =      a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn      .

## 2.2 Bilangan Kompleks
Secara umum bilangan kompleks ini terdiri dari dua bagian yaitu bilangan real dan imajiner (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikan sebagai i = q ( − 1).

## 2.3 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Definisi 1. Jika A adalah matriks n × n , maka sebuah vektor tak nol x di dalam R n , dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x , yakni
Ax = λx.
Untuk suatu skalar λ yang dinamakan nilai eigen dari A . Dalam hal ini dikatakan x adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ .

## 2.4 Metode Pangkat
Metode pangkat adalah suatu metode iteratif untuk mendapatkan nilai eigen dominan dari suatu matriks dan vektor eigennya [1]. Bentuk dari metode angkat tersebut adalah :
x 1 = Ax 0 x 2 = Ax 1 = A ( Ax 0 ) = A 2 x 0 x k = Ax ( k − 1) = A ( A ( k − 1) x 0 ) = A k x 0 .
Pada tulisan ini menggunakan 4 macam metode, yaitu:
1. Metode pangkat langsung Algoritma dalam metode ini sebagai berikut:
(a) Jika matriks A berukuran n × n , maka tentukanlah sebuah matriks x (0) yang berukuran n × 1 dan bukan matriks nol.
(b) Carilah nilai y (1) yang memenuhi perkalian matriks Ax (0) = y (1)
(c) Bagi matriks y (1) dengan elemen matriks tersebut yang harga mutlaknya terbesar yaitu λ (1) sehingga didapatkan y (1) = λ (1) x (1)

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
(d) Ulangi langkah b dan c dengan x k = x k +1 untuk k = 0 , 1 , 2 , 3 , sampai suatu iterasi yang menunjukkan bahwa nilai λ k ≈ λ k +1 λ k +1 merupakan nilai eigen mutlak terbesar dari matriks tersebut, sedangkan x ( k +1) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ k +1
2. Metode pangkat invers Algoritma dalam metode ini sebagai berikut: (a) Carilah matriks L dan U yang memenuhi persamaan LU = A dengan menggunakan metode Doolittle LU .
(b) Tentukan matriks x (0) yang bukan matriks nol. (c) Carilah x 0 yang memenuhi perkalian Lx 0 = x (0)
(d) Carilah y 0 yang memenuhi perkalian U y (1) = x 0
(e) Bagi y (1) dengan elemen y (1) yang terbesar (dalam harga mutlak) agar diperoleh y (1) = λ (1) inverse x (1) .
(f) Ulangi langkah c sampai e dengan x k = x k +1 untuk k = 0 , 1 , 2 , 3 , .
Iterasi dilakukan sampai nilai x konvergen. Pada saat konvergen, λ = 1 λ inverse adalah nilai eigen yang dicari dan x ( k +1) adalah vektor eigen yang bersesuaian.
3. Metode pangkat yang diubah
Algoritma dalam metode ini, sebagai berikut:
(a) Mencari nilai eigen mutlak terbesar dengan metode pangkat langsung, λ Largest .
(b) Mengurangkan semua elemen diagonal utama matriks A dengan s = λ Largest untuk memperoleh matriks A shif ted . (c) Mencari nilai eigen terbesar ( λ shif ted ) dari matriks A shif ted dengan metode pangkat langsung.
(d) Menghitung nilai eigen tak dominan dari matriks A yaitu λ = λ shif ted + s .
4. Metode pangkat invers yang diubah Algoritma dalam metode ini, sebagai berikut:
(a) Buatlah nilai tebakan awal λ Guess untuk nilai eigen menengah. (b) Kurangi seluruh elemen diagonal utama dari matriks A dengan s = λ Guess untuk memperoleh A shif ted .
(c) Carilah nilai λ ( shif ted,inverse ) dari matriks A shif ted dengan metode pangkat invers.
(d) Hitung nilai λ shif ted = 1 λ ( shif ted,inverse ) (e) Hitung nilai λ Inter = λ shif ted + s .

## 3 Pembahasan
Penulis mengambil contoh sebuah matriks berordo 2 × 2, kemudian dicari nilai eigen mutlak terbesar dan vektor eigen yang bersesuaian dengannya pada ma- triks tersebut menggunakan 4 metode yaitu metode pangkat langsung, metode pangkat invers, metode pangkat yang diubah dan metode pangkat invers yang diubah pada galat 0,1. Berikut ini matriks yang digunakan.
A 2 × 2 = " 3 i 2 − i 2 − i − 2 i # . (1)

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Dari matriks Persamaan 1 dilakukan analisis secara manual dengan meng- gunakan algoritma pada keempat metode pangkat pada sub bab 2.4. Selan- jutnya, disimulasikan dengan menggunakan program Matlab. Untuk validasi keabsahannya akan dilihat dari kesesuaian antara hasil simulasi menggunakan program Matlab dengan pengerjaan manual. Hasil simulasi dari penelltian ini dapat dilihat pada tabel-tabel berikut:
Tabel 1: Hasil Iterasi Metode Pangkat Langsung dengan Matlab
Iterasi ( k ) λ ( k ) x ( k ) 1 x ( k ) 2 0 0 2 + i 2 + i 1 7 + 4 i − 0 , 1538 + 0 , 7692 i 1 2 − 0 , 3077 + 1 , 4615 i 1 0 , 1379 + 0 , 3448 i 3 0 , 6207 − 3 , 5517 i 1 − 0 , 2202 − 0 , 7958 i 4 − 1 , 2361 − 1 , 6286 i 1 − 0 , 3388 + 0 , 0063 i 5 − 0 , 6713 − 3 , 3515 i 1 − 0 , 2081 − 0 , 5588 i 6 − 0 , 9751 − 2 , 0904 i 1 − 0 , 3911 − 0 , 2397 i 7 − 1 , 0218 − 2 , 9117 i 1 − 0 , 2298 − 0 , 4416 i 8 − 0 , 9012 − 2 , 3466 i 1 − 0 , 3600 − 0 , 3377 i 9 − 1 , 0576 − 2 , 6846 i 1 − 0 , 2586 − 0 , 3916 i 10 − 0 , 9087 − 2 , 4754 i 1 − 0 , 3309 − 0 , 3701 i
Berdasarkan Tabel 1 dapat diketahui bahwa nilai eigen terbesar dari matriks A dengan galat 0,1 pada iterasi ke-10 adalah − 0 , 9087 − 2 , 4754 i dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:
x (10) = " 1 − 0 , 3309 − 0 , 3701 i # .
Tabel 2: Hasil Iterasi Metode Pangkat Invers dengan Matlab
Iterasi ( k ) λ ( k ) x ( k ) 1 x ( k ) 2
0 0 2 + i 2 + i 1 − 2 i 0 , 5 i 1 2 − 0 , 26 − 0 , 32 i 0 , 5882 + 0 , 3529 i 1 3 0 , 2776 − 0 , 5906 i 0 , 1381 + 0 , 3757 i 1 4 0 , 3036 − 0 , 3906 i 0 , 4152 + 0 , 4097 i 1 5 0 , 2665 − 0 , 5099 i 0 , 2301 + 0 , 3449 i 1 6 0 , 3099 − 0 , 4337 i 0 , 3416 + 0 , 4075 i 1 7 0 , 2734 − 0 , 4777 i 0 , 2763 + 0 , 3497 i 1
Berdasarkan Tabel 2 dapat diketahui bahwa nilai eigen terbesar dari matriks A dengan galat 0,1 pada iterasi ke-7 adalah 0 , 2734 − 0 , 4777 i dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:
x (7) = " 0 , 2763 + 0 , 3497 i 1 # .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan

## Tabel 3: Hasil Iterasi Metode Pangkat yang Diubah dengan Matlab
Iterasi ( k ) λ ( k ) x ( k ) 1 x ( k ) 2 0 0 2 + i 2 + i 1 1 , 3420 − 11 , 8595 i 1 0 , 2146 − 0 , 5105 i 2 0 , 8273 − 4 , 2399 i 1 − 0 , 2014 − 0 , 6142 i 3 − 0 , 1082 − 4 , 4483 i 1 − 0 , 3831 − 0 , 4648 i 4 − 0 , 3223 − 4 , 9289 i 1 − 0 , 3489 − 0 , 3572 i 5 − 0 , 1462 − 5 , 1100 i 1 − 0 , 3018 − 0 , 3539 i
Berdasarkan Tabel 3 dapat diketahui bahwa nilai eigen terbesar dari matriks A dengan galat 0,1 pada iterasi ke-5 adalah − 0 , 1462 − 5 , 1100 i dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:
x (5) = " 1 − 0 , 3018 − 0 , 3539 i # .
Tabel 4: Hasil Iterasi Metode Pangkat Invers yang Diubah dengan Matlab
Iterasi ( k ) λ ( k ) x ( k ) 1 x ( k ) 2 0 0 2 + i 2 + i 1 1 , 9204 + 1 , 4790 i 0 , 1658 + 0 , 2563 i 1 2 0 , 7824 − 0 , 0314 i 0 , 2684 + 0 , 4215 i 1 3 0 , 7470 − 0 , 0429 i 0 , 3173 + 0 , 3821 i 1
Berdasarkan Tabel 4 dapat diketahui bahwa nilai eigen terbesar dari matriks A dengan galat 0,1 pada iterasi ke-3 adalah 0 , 7470 − 0 , 0429 i dan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut yaitu:
x (3) = " 0 , 3173 + 0 , 3821 i 1 # .

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil kajian dan pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh hasil proses simulasi dengan menggunakan bantuan software Matlab sesuai dengan hasil proses pengerjaan manual. Dengan demikian, metode pangkat dapat di- aplikasikan untuk mencari nilai eigen kompleks.

## Daftar Pustaka
[1] Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer . Erlangga. Jakarta.
[2] Ayres, F. 1984. Matriks . Erlangga. Jakarta.
[3] Farida, N. 2007. Aplikasi Metode Pangkat dan Metode Deflasi Dalam Mengaproksimasi Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Dari Matriks . UIN Malang. Malang.