Abstrak —Demam berdarah adalah salah satu masalah kesehatan yang utama pada beberapa provinsi di Indonesia, salah satunya adalah provinsi Sulawesi Selatan. Penyebaran penyakit demam berdarah akan meningkat ketika musim hujan dikarenakan nyamuk Aedes Aegypti sebagai vektor penyebaran penyakit utamanya akan bertelur dan menetaskan telurnya pada genangan air sehingga menjadi jentik larva. Sebelumnya telah dilakukan penelitian mengenai model dan analisa penyebaran penyakit demam berdarah di Sulawesi Selatan. Sehingga dilakukan pengendalian penyebaran penyakit demam berdarah dengan pemberian kontrol berupa penyemprotan insektisida dan pengobatan dengan tujuan mengurangi populasi manusia yang terinfeksi. Pada penelitian ini dibahas mengenai model penyebaran penyakit demam berdarah dengan kontrol, titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik,  dan analisa sifat model. Kemudian dilakukan penyelesaian kontrol optimal dengan menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin. Selanjutnya dilakukan penyelesaian solusi numerik dengan metode Runge Kutta orde empat dengan bantuan software MATLAB. Berdasarkan hasil analisis dan hasil simulasi menunjukkan bahwa sistem stabil asimtotik pada titik kesetimbangan endemik dan titik kesetimbangan bebas penyakit, dan didapatkan menurunnya populasi manusia yang terinfeksi penyakit demam berdarah dengan adanya pemberian kontrol berupa penyemprotan insektisida dan pengobatan dengan persentase penurunan sebesar 99% selama 12 bulan.
Kata Kunci —Demam Berdarah, Model Matematika, Kontrol Optimal, Runge Kutta.

## I. PENDAHULUAN
NDONESIA adalah negara yang memiliki iklim tropis dan mempunyai kadar curah hujan yang tinggi. Oleh karena itu, iklim di Indonesia dapat menyebabkan berbagai penyakit tropis yang dapat disebabkan oleh nyamuk dan cukup meresahkan masyarakat, salah satunya merupakan penyakit demam berdarah. Demam berdarah adalah penyakit menular yang diakibatkan oleh virus dengue yang ditularkan melalui nyamuk Aedes Egypti sebagai vektor penyebaran penyakit utamanya. Penyakit ini telah menyerang lebih dari 100 negara termasuk Indonesia  [1]. Penyakit demam berdarah merupakan masalah kesehatan yang serius terutama pada negara  –  negara beriklim tropis seperti Indonesia hal ini dikarenakan penyebaran penyakit demam berdarah dipengaruhi oleh iklim yang berakibat penyebaran penyakit demam berdarah akan meningkat ketika musim hujan. Kasus  demam  berdarah di Indonesia pada tahun 2019 tercatat sebanyak 138.127 kasus. Angka ini mengalami peningkatan dibandingkan tahun 2018 sebanyak 65.602 kasus. Angka kematian akibat penyakit demam berdarah pada tahun  2019 mengalami peningkatan yang signifikan jika dibandingkan dengan tahun 2018 yaitu dari 467 menjadi 919
kematian [2]. Pada provinsi Sulawesi Selatan kasus demam berdarah pada tahun 2019 terdapat sebanyak 3625 kasus hal ini mengalami kenaikan dari tahun – tahun sebelumnya [2]. Provinsi Sulawesi Selatan merupakan daerah endemik untuk penyakit demam berdarah [3].
Mengingat tinggi nya kasus yang ada dan tingkat penyebaran yang tinggi di Sulawesi Selatan maka perlu dilakukan kontrol terhadap penyebaran penyakit demam berdarah. Memberantas nyamuk yang menjadi vektor penyebaran pemyakit demam berdarah merupakan pencegahan utama yang perlu di lakukan agar bisa mengendalikan penyebaran penyakit demam berdarah [4]. Hal ini dapat dilakukan salah satunya dengan penyemprotan insektisida atau fogging ke lingkungan rumah atau pun daerah dimana tempat berkembangnya nyamuk sehingga dapat mengurangi populasi nyamuk terutama nyamuk Aedes Aegypti  [4]. Pengendalian penyebaran penyakit demam berdarah juga dapat dilakukan dengan memberikan pengobatan kepada pasien yang terinfeksi sehingga dapat meningkatkan populasi yang sembuh dari penyakit demam berdarah.  Oleh karena itu berdasarkan permasalahan yang ada diatas, maka pada penelitian  ini akan membahas mengenai kontrol optimal penyebaran penyakit demam berdarah dengan pemberian kontrol berupa penyemprotan insektisida dan pengobatan.

## II. URAIAN MATERI

## A. Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah
Model  matematika  ini dirumuskan pada penularan penyakit demam berdarah dalam bentuk non linier sistem persamaan diferensial biasa. Berikut ini adalah model matematika untuk penyebaran penyakit demam berdarah [3].
I

## Kontrol Optimal Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Penyemprotan Insektisida dan Pengobatan
Sulthon Amar Al Aziim dan Didik Khusnul Arif Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) email : didik@matematika.its.ac.id
Gambar 1. Diagram kompartemen model penyebaran penyakit demam berdarah dengan kendali.
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑆𝑆 ℎ = 𝜇𝜇 ℎ 𝑁𝑁 ℎ − 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ 𝑅𝑅 ℎ (1)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼 ℎ = 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − ( 𝜇𝜇 ℎ + 𝛾𝛾 ℎ ) 𝐼𝐼 ℎ (2)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 ℎ = 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − ( 𝜇𝜇 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ ) 𝑅𝑅 ℎ (3)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑆𝑆 𝑣𝑣 = 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 − 𝑏𝑏𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑆𝑆 𝑣𝑣 (4)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼 𝑣𝑣 = 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝐼𝐼 𝑣𝑣 (5)

## B. Titik Kesetimbangan
Umumnya pada kasus epidemiologi terdapat dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan tanpa penyakit dan titik kesetimbangan endemik. [5].
Definisi 2.2.1 [6] : Diberikan persamaan differensial tingkat satu 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓�𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) � ̇ dengan 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) ∈ ℝ 𝑛𝑛 penyelesaian dengan keadaan awal 𝑥𝑥 (0) = 𝑥𝑥 0 dinotasikan dengan 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 0 ) . 1. Vektor 𝑥𝑥̅ yang memenuhi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥̅ ) = 0 disebut suatu titik setimbang .
C. Kestabilan Jika titik ( 𝑥𝑥 ∗ , 𝑦𝑦 ∗ ) merupakan titik kesetimbangan yang didapatkan dari suatu  sistem persamaan diferensial maka kestabilan dapat diperoleh melalui kajian titik setimbang terhadap nilai eigen 𝜆𝜆 1 ,… , 𝜆𝜆 𝑘𝑘 yaitu sebagai berikut [7]:
1) Stabil apabila jika 𝑅𝑅𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) ≤ 0 untuk semua 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑘𝑘 . Jika didapatkan nilai eigen berupa bilangan kompleks dimana bagian realnya berupa 𝑅𝑅𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) ≤ 0 untuk semua 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑘𝑘 . Dan untuk semua 𝜆𝜆 𝑖𝑖 dengan 𝑅𝑅𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) = 0 dengan multiplisitas aljabarnya sama dengan multiplisitas geometrinya.
2) Stabil asimtotik apabila jika 𝑅𝑅𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) <  0 untuk semua 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑘𝑘 . Jika didapatkan nilai eigen berupa bilangan kompleks dimana bagian realnya berupa 𝑅𝑅𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) < 0 untuk semua 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑘𝑘 .

## D. Keterkontrolan
Keterkontrolan sistem merupakan suatu kondisi dimana sistem dapat dikontrol dari satu keadaan menjadi keadaan lainnya sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Misalkan diberikan sistem linear kontinu
𝑋𝑋 = 𝐴𝐴𝑋𝑋 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 ̇ (7)
Sistem linear dinamik, misalkan 𝐴𝐴 ∈ ℝ 𝑛𝑛 dikatakan terkontrol  apabila terdapat suatu matriks keterkontrolan
𝑀𝑀 =  ( 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴 2 𝐵𝐵 … 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝐵𝐵 ) (8)
mempunyai rank 𝑛𝑛 [8].

## E. Kontrol Optimal
Tujuan dari kontrol optimal adalah untuk memperoleh bentuk  kontrol  yang dapat menyebabkan suatu sistem memenuhi beberapa konstrain fisik sehingga dapat meminimumkan usaha atau memaksimumkan manfaat sesuai dengan tujuan yang diinginkan [9].  Tahapan  yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan kontrol optimal sebagai berikut :
1. Mendeskripsikan secara sistematis suatu model yang secara umum dalam bentuk variabel state.
2. Menentukan fungsi tujuan ( performance index).
3. Menentukan kendala dan kondisi batas yang harus dipenuhi.

## F. Prinsip Minimum Pontryagin
Berikut ini adalah langkah-langkah dalan menyelesaikan permasalahan kontrol optimal dengan prinsip ini [9]: Langkah 1  adalah mendapatkan fungsi Pontryaginnya (Hamiltonian)
𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) = 𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) +
𝜆𝜆 ′ ( 𝑡𝑡 ) 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) (9)
Langkah  2  meminimumkan 𝐻𝐻 terhadap semua variabel kontrol 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) dengan cara :
� 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � = 0 untuk mendapatkan 𝑢𝑢 ∗ = 𝑢𝑢 ∗ ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) Langkah 3 dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah 2 selanjutnya akan diperoleh fungsi Hamiltonian ( 𝐻𝐻 ∗ ) yang optimal yaitu sebagai berikut :
𝐻𝐻 ∗ ( 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), ℎ ( 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) = 𝐻𝐻 ∗ ( 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) Langkah 4 mendapatkan state dan costate
𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗ 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗ Langkah 5  mensubtitusikan hasil 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ) yang telah didapat ke dalam persamaan 𝑢𝑢 ∗ ( 𝑡𝑡 ) pada langkah 2 sehingga dapat diperoleh kontrol optimum.

## G. Runge Kutta Orde Empat
Metode Runge Kutta adalah suatu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal atau masalah nilai batas baik pada persamaan differensial linear ataupun persamaan differensial nonlinear [10]. Misal diberikan persamaan diferensial adalah sebagai berikut
𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) (12)
Dengan  titik awal 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑦𝑦 0 maka secara iterasi penyelesaian Runge Kutta orde empat adalah sebagai berikut [11] :
𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 1 6 ( 𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 + 2 𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 + 2 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 + 𝑘𝑘 4 , 𝜕𝜕 ) (13)
dimana,
𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ) (14)
𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 1 2 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 1 2 � (15)
𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 2 2 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 2 2 � (16)
𝑘𝑘 4 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 𝑛𝑛 + ℎ , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 3 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 3 ) (17)
ℎ = 𝑑𝑑 𝑓𝑓 −𝑑𝑑 0 𝑛𝑛 (18)
(10)
(11)
dimana ℎ adalah panjang interval, 𝑡𝑡 0 dan 𝑡𝑡 𝑓𝑓 adalah waktu awal dan akhir.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan
Kontrol
Model kontrol optimal untuk penyebaran penyakit demam berdarah dengan kontrol berupa pengobatan individu, dan penyemprotan insektisida dapat digambarkan dengan kompartemen model penyebaran penyakit demam berdarah tertera pada Gambar 1.
Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 1, model matematika penyebaran penyakit demam berdarah dengan kontrol dapat disajikan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut :
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑆𝑆 ℎ = 𝜇𝜇 ℎ 𝑁𝑁 ℎ − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ 𝑅𝑅 ℎ (19)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼 ℎ =  (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 𝐼𝐼 ℎ (20)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 ℎ = 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 𝐼𝐼 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝑅𝑅 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ 𝑅𝑅 ℎ (21)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑆𝑆 𝑣𝑣 = 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 𝑆𝑆 𝑣𝑣 (22)
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼 𝑣𝑣 =  (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 𝐼𝐼 𝑣𝑣 (23)
dimana,
𝑆𝑆 ℎ : Jumlah manusia yang rentan terhadap penyakit 𝐼𝐼 ℎ : Jumlah manusia yang terinfeksi demam berdarah 𝑅𝑅 ℎ : Jumlah manusia yang sembuh dari demam berdarah 𝑁𝑁 ℎ : Populasi dari manusia 𝑆𝑆 𝑣𝑣 : Jumlah nyamuk yang rentan terhadap penyakit 𝐼𝐼 𝑣𝑣 : Jumlah nyamuk yang terinfeksi terhadap penyakit 𝑁𝑁 𝑣𝑣 : P opulasi dari nyamuk 𝜇𝜇 ℎ : Rate kematian dari manusia 𝑏𝑏 : jumlah rata-rata gigitan per nyamuk yang terinfeksi 𝛾𝛾 ℎ : Rate kesembuhan dari manusia 𝜇𝜇 𝑣𝑣 : Rate kematian dari nyamuk
𝐴𝐴 : Tingkat perekrutan nyamuk 𝜃𝜃 ℎ : Laju penurunan kekebalan manusia terhadap penyakit 𝑐𝑐 : Rate manusia sembuh karena pengobatan 𝛼𝛼 : Rate insektisida 𝑢𝑢 1 : Kontrol berupa penyemprotan insektisida 𝑢𝑢 2 :  Kontrol berupa pengobatan terhadap manusia yang terinfeksi
𝛽𝛽 ℎ :  Probabilitas penyebaran penyakit dari nyamuk ke manusia
𝛽𝛽 𝑣𝑣 :  Probabilitas penyebaran penyakit dari manusia ke nyamuk
Tabel 1. Nilai parameter model penyebaran penyakit demam berdarah Parameter Nilai Parameter Nilai 𝜇𝜇 ℎ 0.000046 𝑎𝑎 1 0.2 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 0.750000 𝑎𝑎 2 0.1 𝛾𝛾 ℎ 0.328833 𝑚𝑚 1 0.3 𝜇𝜇 𝑣𝑣 0.032300 𝑚𝑚 2 0.3 𝑐𝑐 0.5 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 0.375000 𝛼𝛼 0.25 𝜃𝜃 ℎ 0.575000 Tabel 2. Jumlah populasi manusia yang terinfeksi Populasi Manusia Terinfeksi Persentase Penurunan Tanpa kontrol 157700 Dengan kontrol 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 1583 99%
Gambar 2. Grafik perubahan perbandingan populasi manusia rentan sebelum dan sesudah diberikan kendali .
Gambar 3. Grafik perubahan perbandingan populasi manusia terinfeksi sebelum dan sesudah diberikan kendali.
Gambar 4. Grafik perubahan perbandingan populasi manusia sembuh sebelum dan sesudah diberikan kendali.

## B. Analisa Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Endemik
Untuk menganalisa kestabilan maka akan dicari titik kesetimbanagn  dari model penyebaran penyakit demam berdarah.  Sehingga  didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu 𝐸𝐸 0 ( 𝑆𝑆 ℎ ∗ , 𝐼𝐼 ℎ ∗ , 𝑅𝑅 ℎ ∗ , 𝑆𝑆 𝑣𝑣 ∗ , 𝐼𝐼 𝑣𝑣 ∗ ) = �𝑁𝑁 ℎ ,0, 0, 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 𝜇𝜇 𝑣𝑣 +𝛼𝛼𝜕𝜕 1 , 0 � dan titik kesetimbangan endemik yaitu
𝐸𝐸 1 ( 𝑆𝑆 ℎ ∗∗ , 𝐼𝐼 ℎ ∗∗ , 𝑅𝑅 ℎ ∗∗ , 𝑆𝑆 𝑣𝑣 ∗∗ , 𝐼𝐼 𝑣𝑣 ∗∗ ) . Selanjutnya dilakukan pelinieran terhadap persamaan (19)  –  (23).  Selanjutnya dilakukan analisa kestabilan dengan mencari nilai eigen pada sekitar titik kesetimbangan. Dan didapatkan bahwa sistem stabil asimtotik terhadap titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik.
C. Keterkontrolan Dari  persamaan (19)  –  (23) jika 𝑆𝑆 ℎ = 𝑥𝑥 1 , 𝐼𝐼 ℎ = 𝑥𝑥 2 , 𝑅𝑅 ℎ = 𝑥𝑥 3 , 𝑆𝑆 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 4 , dan 𝐼𝐼 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 5 maka didapatkan state space sebagai berikut:

## ⎣ ⎢ ⎢
⎢ ⎡ 𝑥𝑥 1 ̇ 𝑥𝑥 2 ̇ 𝑥𝑥 3 ̇ 𝑥𝑥 4 ̇ 𝑥𝑥 5 ̇ ⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎤ =
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎𝑎 11 0 𝑎𝑎 13 0 𝑎𝑎 15 𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 22 0 0 𝑎𝑎 25 0 𝑎𝑎 32 𝑎𝑎 33 0 0 0 𝑎𝑎 42 0 𝑎𝑎 44 0
0 𝑎𝑎 52 0 𝑎𝑎 54 𝑎𝑎 55 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 5 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 −𝑐𝑐 0 𝑐𝑐 −𝛼𝛼 0 −𝛼𝛼 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ � 𝑢𝑢 1 𝑢𝑢 2 �
dimana,
𝐴𝐴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎𝑎 11 0 𝑎𝑎 13 0 𝑎𝑎 15 𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 22 0 0 𝑎𝑎 25 0 𝑎𝑎 32 𝑎𝑎 33 0 0 0 𝑎𝑎 42 0 𝑎𝑎 44 0 0 𝑎𝑎 52 0 𝑎𝑎 54 𝑎𝑎 55 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dengan, 𝑎𝑎 11 = − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 ℎ 𝑎𝑎 13 = 𝜃𝜃 ℎ 𝑎𝑎 15 = − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 ℎ 𝑎𝑎 22 =  (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑎𝑎 22 = −𝜇𝜇 ℎ − 𝛾𝛾 ℎ 𝑎𝑎 25 = (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 ℎ 𝑎𝑎 32 = 𝛾𝛾 ℎ 𝑎𝑎 33 = −𝜇𝜇 ℎ − 𝜃𝜃 ℎ
𝑎𝑎 42 = − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝑎𝑎 52 = (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝑎𝑎 44 = − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑎𝑎 54 = (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑎𝑎 55 = −𝜇𝜇 𝑣𝑣 Sehingga didapatkan matriks keterkontrolan, yaitu
𝑀𝑀 𝑐𝑐 =   [ 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴 2 𝐵𝐵 𝐴𝐴 3 𝐵𝐵 𝐴𝐴 4 𝐵𝐵 ]
Dikarenakan matriks 𝑀𝑀 𝑐𝑐 memiliki rank yang sama dengan matriks 𝐴𝐴 sehingga sistem dikatakan terkontrol.

## D. Penyelesaian Masalah Kontrol Optimal
Penyelesaian kontrol optimal dapat diselesaikan dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin dengan langkah – langkah sebagai berikut :
1) Membentuk fungsi Hamiltonian
𝐻𝐻 = 𝑎𝑎 1 𝐼𝐼 ℎ + 𝑎𝑎 2 𝐼𝐼 𝑣𝑣 + � 𝑚𝑚 1 𝜕𝜕 12 2 + 𝑚𝑚 2 𝜕𝜕 22 2 � + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ �𝜇𝜇 ℎ 𝑁𝑁 ℎ − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ 𝑅𝑅 ℎ � + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ � (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 𝐼𝐼 ℎ � + 𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ ( 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 𝐼𝐼 ℎ − ( 𝜇𝜇 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ ) 𝑅𝑅 ℎ ) + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 �𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 − (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 𝑆𝑆 𝑣𝑣 � + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 � (1 − 𝑢𝑢 1 ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 𝐼𝐼 𝑣𝑣 � (25)
2) Menentukan kondisi stasioner dari persamaan (25) Untuk mendapatkan persamaan kontrol optimal. H diturunkan terhadap 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 sehingga didapatkan :
𝑢𝑢 1 ∗ = �𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ � 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ + �𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 � 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 + �𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 �𝛼𝛼𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 2 ∗ = 𝑐𝑐𝐼𝐼 ℎ �𝜕𝜕 𝐼𝐼ℎ −𝜕𝜕 𝑅𝑅ℎ � 𝑚𝑚 2
3) Menentukan 𝐻𝐻 yang optimal
Persamaan kontrol optimal yang diperoleh pada persamaan 𝑢𝑢 1 ∗ , 𝑢𝑢 2 ∗ disubtitusikan ke dalam persamaan 𝐻𝐻 , jadi diperoleh
(24)
Gambar 5.  Grafik perubahan perbandingan populasi nyamuk rentan sebelum dan sesudah diberikan kendali.
Gambar 6. Grafik perubahan perbandingan populasi nyamuk terinfeksi sebelum dan sesudah diberikan kendali.
𝐻𝐻 ∗ = 𝑎𝑎 1 𝐼𝐼 ℎ + 𝑎𝑎 2 𝐼𝐼 𝑣𝑣 + � 𝑚𝑚 1 � 𝑢𝑢 1 ∗ � 2 2 + 𝑚𝑚 2 � 𝑢𝑢 2 ∗ � 2 2 � + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ � 𝜇𝜇 ℎ 𝑁𝑁 ℎ −
(1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ 𝑅𝑅 ℎ � + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ � ( 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 ∗ 𝐼𝐼 ℎ � + 𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ � 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 ∗ 𝐼𝐼 ℎ − ( 𝜇𝜇 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ ) 𝑅𝑅 ℎ � + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 � 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 − ( 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 ∗ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 � + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 � ( 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 ∗ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 �
4) Menyelesaikan persamaan state dan co state untuk memperoleh sistem yang optimal
1) Persamaan state
𝑆𝑆 ℎ ∗ = 𝜕𝜕𝐻𝐻 ∗ 𝜕𝜕𝜆𝜆𝑆𝑆 ℎ = 𝜇𝜇 ℎ 𝑁𝑁 ℎ − (1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ 𝑅𝑅 ℎ
𝐼𝐼 ℎ ∗ = 𝜕𝜕𝐻𝐻 ∗ 𝜕𝜕𝜆𝜆𝐼𝐼 ℎ = ( 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ − 𝜇𝜇 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ − 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 ∗ 𝐼𝐼 ℎ
𝑅𝑅 ℎ ∗ = 𝜕𝜕𝐻𝐻 ∗ 𝜕𝜕𝜆𝜆𝑅𝑅 ℎ = 𝛾𝛾 ℎ 𝐼𝐼 ℎ + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 ∗ 𝐼𝐼 ℎ − ( 𝜇𝜇 ℎ + 𝜃𝜃 ℎ ) 𝑅𝑅 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 ∗ = 𝜕𝜕𝐻𝐻 ∗ 𝜕𝜕𝜆𝜆𝑆𝑆 𝑣𝑣 = 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 − ( 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 ∗ 𝑆𝑆 𝑣𝑣
𝐼𝐼 𝑣𝑣 ∗ = 𝜕𝜕𝐻𝐻 ∗ 𝜕𝜕𝜆𝜆𝐼𝐼 𝑣𝑣 = 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑁𝑁 𝑣𝑣 − ( 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ ) 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 ∗ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 2) Persamaan Costate
𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ ∗ = �𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ �𝑢𝑢 1 ∗ 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 + �𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ − 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ �𝑢𝑢 1 ∗ 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ 𝜇𝜇 ℎ
𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ ∗ = −𝑎𝑎 1 + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ 𝜇𝜇 ℎ + � 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ − 𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ � � 𝛾𝛾 ℎ + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 ∗ � + � 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 � 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 + � 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 � 𝑢𝑢 1 ∗ 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣
𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ ∗ = �𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ − 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ �𝜃𝜃 ℎ + 𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ 𝜇𝜇 ℎ
𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 ∗ = � 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 � 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ + � 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 � 𝑢𝑢 1 ∗ 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝜇𝜇 𝑣𝑣 + 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 ∗
𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 ∗ = −𝑎𝑎 2 + � 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ � 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + � 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ − 𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ � 𝑢𝑢 1 ∗ 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝑆𝑆 ℎ + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝜇𝜇 𝑣𝑣 + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝛼𝛼𝑢𝑢 1 ∗

## E. Hasil dan Analisis Grafik Simulasi
Selanjutnya  dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan  parameter dari model penyebaran penyakit demam berdarah dan akan diselesaikan dengan metode Runge Kutta Orde 4 dengan bantuan software Matlab Berikut ini merupakan parameter yang digunakan dalam simulasi yang ditunjukkan pada Tabel 1 dengan nilai awal yaitu :
𝑆𝑆 ℎ (0) = 8.768.197 𝐼𝐼 ℎ (0) = 1895 𝑅𝑅 ℎ (0) = 1878 𝑆𝑆 𝑣𝑣 (0) = 944000 𝑆𝑆 𝑣𝑣 (0) = 56000 Pada penelitian ini akan dibandingkan hasil simulasi numerik tanpa kontrol dan dengan kontrol dalam waktu akhir
adalah 30 hari. Berikut ini merupakan hasil perbandingan simulasi numerik penyebaran penyakit demam berdarah tanpa kontrol dan dengan kontrol yang didapatkan  :
1) Manusia Susceptible ( 𝑆𝑆 ℎ ) Pada Gambar 2 menunjukkan bahwa terlihat perbedaan manusia yang rentan sebelum dan sesudah diberikan kontrol dimana setelah diberikan kontrol maka populasi manusia yang rentan akan meningkat yang menunjukkan bahwa terjadi penurunan manusia yang akan terinfeksi.
2) Manusia Infected ( 𝐼𝐼 ℎ ) Pada Gambar 3  terlihat bahwa setelah diberikan kontrol terlihat bahwa populasi manusia yang terinfeksi mengalami penurunan yang signifikan dikarenakan adanya pemberian kontrol berupa pengobatan.
3) Manusia Recovered ( 𝑅𝑅 ℎ )
Pada Gambar 4 terlihat perbedaan manusia yang sembuh sebelum dan diberikan  kontrol dimana setelah diberikan kontrol maka populasi manusia yang sembuh juga akan menurun dikarenakan adanya penurunan terhadap populasi manusia yang terinfeksi.
4) Nyamuk Susceptible ( 𝑆𝑆 𝑣𝑣 )
Populasi  nyamuk  yang rentan terhadap penyakit dengan Gambar 5 terlihat perbedaan sebelum dan sesuah diberikan kontrol. Setelah diberikan kontrol, populasi nyamuk yang rentan terhadap penyakit akan mengalami penurunan yang drastis dikarenakan adanya pemberian kontrol berupa penyemprotan insektisida.
5) Nyamuk Infected ( 𝐼𝐼 𝑣𝑣 ) Pada Gambar 6 terlihat perbedaan pada populasi nyamuk yang terinfeksi sebelum dan sesudah diberikan kontrol. Populasi nyamuk yang terinfeksi mengalami penurunan setelah diberi kontrol. Sedangkan sebelum diberikan kontrol, populasi nyamuk yang terinfeksi penyakit akan mengalami peningkatan. Sehingga berdasarkan hasil simulasi didapatkan jumlah populasi manusia yang terinfeksi penyakit demam berdarah di bulan ke-12 seperti pada Tabel 2.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa  berdasarkan analisa kestabilann, didapatkan bahhwa sistem bersifat  stabil asimtotik  terhadap titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbanngan endemik  Dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin, maka didapatkan kontrol optimal berupa 𝑢𝑢 1 yang merupakan penyemprotan insektisida, dan 𝑢𝑢 2 yang merupakan pengobatan individu manusia yang terinfeksi akan optimal jika nilai
𝑢𝑢 1 ∗ = �𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ − 𝜆𝜆 𝑆𝑆 ℎ � 𝛽𝛽 ℎ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑆𝑆 ℎ + �𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 − 𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 � 𝛽𝛽 𝑣𝑣 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ℎ 𝐼𝐼 ℎ 𝑆𝑆 𝑣𝑣 + �𝜆𝜆 𝑆𝑆 𝑣𝑣 + 𝜆𝜆 𝐼𝐼 𝑣𝑣 �𝛼𝛼𝑆𝑆 𝑣𝑣 𝑚𝑚 1 𝑢𝑢 2 ∗ = 𝑐𝑐𝐼𝐼 ℎ �𝜆𝜆 𝐼𝐼 ℎ − 𝜆𝜆 𝑅𝑅 ℎ � 𝑚𝑚 2
Dan berdasarkan hasil simulasi, dengan adanya pemberian kontrol berupa penyemprotan insketisida dan pengobatan dapat menurunkan jumlah individu yang terinfeksi penyakit demam berdarah dengan persentase penurunan sebesar 99% dengan waktu pengamatan selama 12 bulan. Sehingga dengan
pemberian kontrol optimal berupa pengobatan, selain dapat meminimalkan jumlah individu yang terinfeksi demam berdarah, pengeluaran biaya yang dibutuhkan juga dapat diminimukan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  H. Purwanto, E. Noviani, and M. N. Mara, “Analisis dan simulasi model matematika penyakit demam dengue dengan satu serotif virus dengue,” BIMASTER , vol. 3, no. 3, 2014.
[2]  Kemenkes RI, Profil  Kesehatan Indonesia Tahun 2019 . Jakarta: Kementerian Kesehatan RI, 2019.
[3]  W. Sanusi, N. Badwi, A. Zaki, S. Sidjara, and N. Sari, “Analysis and simulation of SIRS model for dengue fever transmission in South Sulawesi, Indonesia,” J. Appl. Math. , 2021, https://doi.org/10.1155/2021/2918080.
[4]  A. Bustamam, D. Aldila, and A. Yuwanda, “Understanding dengue
control for short-  and long-term intervention with a mathematical model approach,” J. Appl. Math. , 2018.
[5]  A. Puspitasari, K. Kamiran, and N. Asiyah, “Analisis kestabilan dan kontrol optimal model penyebaran tuberkulosis (TB) dengan terapi dan vaksinasi menggunakan metode runge kutta,” J. Sains dan Seni ITS , vol. 8, no. 2, pp. A58--A64, 2020.
[6]  Subiono, Sistem Linear dan Kontrol Optimal . Surabaya: ITS Press, 2016.
[7]  J. W. Polderman and J. C. Willems, Introduction to the Mathematical Theory of Systems and Control . New York: IITB, 1998.
[8]  S. Sakirman, T. Bakhtiar, and A. Kusnanto, “Identifikasi kondisi keterkontrolan beberapa sistem pendulum,” J. Math. Its Appl. , vol. 13, no. 2, pp. 63--71, 2014.
[9]  D. S. Naidu, Optimal Control System . New Jersey: Crc Press, 2002.
[10]  H. Wijayanti, S. Setyaningsih, and M. Wati, “Metode runge kutta dalam penyelesaian model radang akut,” Ekologia , vol. 11, no. 2, pp. 46--52, 2017.
[11]  D. V. Griffiths and I. M. Smith, Numerical  Methods for Engineers . New Jersey: Crc Press, 2006.