## PERHITUNGAN TINGKAT ENERGI SUMUR POTENSIAL KEADAAN TERIKAT MELALUI PERSAMAAN SCHRODINGER MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
Hanifah Rahmayani *) , Hidayati **) dan Pakhrur Razi **)
*)Mahasiswa Jurusan Fisika FMIPA UNP, email: hanifah_rahmayani@yahoo.com

## **)Staf Pengajar Jurusan Fisika FMIPA UNP

## ABSTRACT
Schrodinger equations are widely used in solving a variety of problems, one of them is particles in a box in especially of potential  wells  bound  state.  Particle  in  a  box  is  a  discrete  circumstances,  so  we  must  examined  whether  or  not  the degeneration  of  these  particles.  The  Schrodinger  equation  analysed  to  get  a  form  of  modeling  of  energy  levels  and  wave functions in potential wells of the circumstance used numerical method. We also can show energy level of each state from the model. The numerical approaches is finnite difference method using  Matlab R2010 software. Numerical calculation shows k value. k 1 and k 3 gets from solution of cos equation, whereas k 2 and k 4 gets from solution of sin equation. The k value is used to know the energy level in potential wells. energy level model show wave fucntion. In potential well bound state, Energy level and  wave  functions  be  smaller  when  potential  energy is  high  and  it  is  high  when  potential  when  potential  energy is  small. When wide of potential well is smaller, energy level and wave function be smaller too. But  there isn’t show energy level and wave function when wide of potential well is high. The shape of energy level and and wave function of particle in box.
Keywords: potential well, level energy, schrodinger equation.

## PENDAHULUAN
Persamaan Schrodinger merupakan salah satu persamaan  yang  penting  dalam  mekanika  kuantum,  untuk menggambarkan  keadaan  yang  tidak  bisa  dijelaskan  pada mekanika klasik. Persamaan Schrodinger dapat menyelesaikan berbagai permasalahan mikro, salah satunya partikel  dalam  kotak  khususnya  partikel  pada  sumur potensial  keadaan  terikat.  Partikel  pada  sumur  potensial merupakan  partikel  yang  datang  pada  dinding  penghalang sejauh  L  dan  setinggi  V 0 .  Model  potensial  sumur  keadaan terikat  ini  dapat  digunakan  untuk  membahas  beberapa permasalahan  fisika  salah  satunya  sistem  atom  H.  Fungsi gelombang  pada  sumur  potensial  ditentukan  oleh  besar energi  partikel  yang  datang  dan  tinggi  dinding  potensial kotak.  Perhitungan  fungsi  gelombang  dan  tingkat  energi pada potensial sumur sulit diperoleh secara analitik. Untuk itu  perlu  dibuat  pemodelan  fungsi  gelombang  yang diselesaikan  menggunakan  metode  numerik.  Salah  satu metode  yang  digunakan  adalah  metode  beda  hingga. Metode  beda  hingga  lebih  mudah  digunakan  dari  segi pemograman.  Perancangan  program  simulasi  yang  sesuai dengan kerangka teorinya akan lebih dimengerti gejala apa saja  yang  terdapat  pada  sumur  potensial.  Berdasarkan masalah  ini,  diterapkan  metode  beda  hingga  untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger Bebas Waktu untuk sumur potensial.
Sifat gelombang sebagai partikel ditunjukkan oleh suatu radiasi  yang  dikemukakan  oleh  Max  Planck.  Max  Planck mencoba menerangkan radiasi karakteristik yang dipancarkan oleh benda mampat. Radiasi yang dipancarkan oleh  setiap  benda  terjadi  secara  diskrit  yang  dipancarkan
dalam  satuan  kecil,  disebut  kuanta  (energi  kuantum). Planck berpendapat bahwa kuanta berbanding lurus dengan frekuensi  tertentu  dari  cahaya  yang  berbanding  terbalik dengan  energi.  Planck  menganggap  bahwa  energi elektromagnetik yang timbul secara  terputus-putus meskipun penjalarannya melalui ruang merupakan gelombang elektromagnetik yang kontinu. Gagasan Planck berkembang menjadi teori baru yang disebut teori kuantum. [5]
Tahun  1924,  Louis  de  Broglie  mengajukan  hipotesis bahwa  “watak  ganda  yang  dimiliki  cahaya  juga  dimiliki oleh  partikel  material”.  Artinya  sifat  gelombang  dapat ditunjukkan oleh partikel material seperti yang ditunjukkan oleh  foton.  Sehingga gelombang  materi harus  berupa  grup gelombang.  Fungsi  gelombang  pada  gelombang  materi tidak memiliki arti fisis secara langsung, tetapi dari fungsi gelombang  dapat  diketahui  berbagai  informasi  tentang keadaan partikel secara probablistik. [1]
Hipotesis  de  Broglie  mengatakan,  gelombang  materi semestinya  berbentuk  gelombang  monokromatis  dengan panjang gelombang dan frekuensi . Dapat disimpulkan  bahwa  gelombang  materi  tidak  mungkin berupa  gelombang  monokromatis  karena  gelombang monokromatis  menyebar  ke  seluruh  ruangan  sedangkan gelombang  materi  harus  dapat  mendeskripsikan  partikel. Sehingga  gelombang  materi  tersebut  harus  berupa  grup gelombang. [1]
Fungsi  gelombang  bagi  gelombang  materi  tidak memiliki  arti  fisis  secara  langsung.  Artinya,  tidak  ada besaran  fisis  yang  mengikuti  cara  fungsi  gelombang  itu. Oleh  karena  itu  perlu  cara  tertentu  untuk  menafsirkan fungsi  gelombang  secara  fisik.  Berdasarkan  fungsi
gelombang  tersebut  kita  dapat  mengetahui  keberadaan (posisi) partikel dan besarnya momentum yang dimilikinya secara probabilistik.
Fungsi gelombang tidak bergantung waktu disimbolkan dengan . merupakan rapat peluang keberadan partikel di x. adalah fungsi gelombang dengan pengertian bahwa:
(1)
P adalah probabilitas keberadaan partikel dalam volume dx dy  dz  disekitar  titik  (x,y,z); adalah  konjugat  dari . Probabilitas  suatu  gelombang  memberikan  arti  bahwa partikel akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak  dapat  mengatakan  secara  pasti  bagaimana  partikel bergerak  sebagai  fungsi  waktu  karena  posisi  dan momentum  partikel  dibatasi  oleh  prinsip  ketakpastian Heisenberg. [1]
Rapat  probabilitas  P(x)  terhadap berdasarkan persamaan Schrodinger ditentukan oleh:
(2) Keberadaan partikel tidak dapat dipastikan, jika menghitung  probabilitas  yang  berkaitan  setiap  koordinat, maka harus melakukan pengukuran berkali-kali. [ 7]
Persamaan
Schrodinger merupakan persamaan differensial parsial. Persamaan differensial parsial dapat di ubah  menjadi  sistem  persamaan  biasa  dengan  teknik pemisahan variabel. Persamaan Schrodinger yang digunakan  dalam  penyelesaian  sumur  potensial  keadaan terikat  ini  adalah  Persamaan  Schrodinger  Bebas  Waktu (PSBW).  PSBW  hanya  dapat  digunakan  jika  potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu. PSBW dapat dirumuskan sebagai berikut:
(3)
Tinjau  daerah  pada  kotak  potensial  setinggi  V 0 dan lebar L, dengan energi potensialnya terbagi menjadi:
di x lainnya
Keadaan ini dapat digambarkan sebagai berikut:
V(x)
x
I                      II                                       III

## -V 0
Gambar 1. Sumur Potensial Keadaaan Terikat dengan Lebar L dan Tinggi V 0.
Potensial  pada  Gambar  1.  Bernilai  nol  untuk  daerah
dan
dan  bernilai  –V 0 untuk  daerah .  Pada  sumur  potensial  partikel  yang datang dari sebelah kiri yaitu
(daerah I) menuju
(daerah  II)  dan  keluar  ke  kanan  yaitu
(daerah  III).  Berdasarkan  Gambar  1.  Keadaan terikat  terjadi  jika  energi  total  partikel  memenuhi ketaksamaan .  Jika  energi  partikel  lebih  dari nol,  maka  partikel  dapat  bergerak  dari sampai .
Energi  potensial  V  dari  partikel  berhingga  di  kedua  sisi kotak, sedangkan V berubah di dalam kotak. Karena energi partikel  berhingga  di  kedua  sisi  kotak,  partikel  mungkin ditemukan di luar kotak.
PSBW  pada  daerah  I  dan  daerah  III  dapat  dinyatakan sebagai berikut:
dengan (4)
dan PSBW untuk daerah II menjadi:
dengan (5)
sehingga:
(6)
PSBW  daerah  I,  II  dan  III  digabung  sehingga  didapat hubungan:
(7)
Persamaan (7) memiliki dua penyelesaian (akar) yaitu:
dan (8)
Persamaan  (8)  dapat  diubah  bentuk  dengan  menggunakan identitas trigonometri, sehingga diperoleh penyelesaian:
(9) (10)
Persamaan  (9)  dan  persamaan  (10)  tidak  dapat diselesaikan secara  analitik. Persamaan  ini dapat diselesaikan  secara  grafik  atau  dengan  program  numerik. Penyelesaian  persamaan  ini  akan  diperoleh  nilai  k. Selanjutnya  dapat  ditentukan  bentuk  fungsi  gelombang  di dalam  kotak  dan  juga    nilai  energinya.  Sehingga  dapat dilukiskan  berbagai  tingkat  energi  dan  fungsi  gelombang yang  mungkin  dari  beberapa  keadaan.  Keadaan  energi terendah  yaitu  pada  n=1,  keadaan  ini  dikenal  sebagai keadaan  dasar.  Keadaan  dengan  energi  yang  lebih  tinggi disebut dengan keadaan eksitasi.
Perhitungan  numerik  sumur  potensial  keadaan  terikat ini  selanjutnya  digunakan  metode  beda  hingga.  Metode beda  hingga  merupakan  metode  yang  digunakan  dalam penyelesaian  persamaan  differensial  biasa  nilai  batas  dari sebuah problem kalkulus menjadi sebuah aljabar. [2]
Metode  beda  hingga  yang  digunakan  dalam  penentuan fungsi  gelombang  yang    menggunakan    metode  beda hingga  tipe central  finite  difference dengan  aproksimasi beda hingga: [2]
(14) (15)
Bentuk  umum  persamaan  differensial  biasa  (PDB)  dengan nilai batas adalah:
dengan (16)
Selanjutnya  persamaan  (3)  dikonversi  ke  persamaan (16) sehingga diperoleh koefisien:
p(x)=0, dan f(x)=0          (17)
Aproksimasi menggunakan metode beda hingga,  diperoleh solusi akhir:
(18)
Persamaan  (18)  merupakan  persamaan  sumur  potensial keadaan terikat dalam bentuk numerik dengan menggunakan metode beda hingga.

## METODOLOGI PENELITIAN
Jenis  penelitian  yang  dilakukan  untuk  menyelesaikan penelitian  ini  adalah  penelitian  deskriptif.  Penelitian  ini dilakukan  di  Laboratorium  Fisika  Komputasi  Jurusan Fisika  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Negeri Padang.
Pelaksanaan  penelitian  dibagi  menjadi  beberapa  tahap, yaitu:  Tahap  Persiapan, hal-hal  yang  dilakukan  antara lain menelusuri  kepustakaan,  kajian  teori,  dan  analisis kebutuhan,  serta flowchart untuk  program  yang  dibuat. Tahap Pelaksanaan, berupa pembuatan program yang telah dibuat  dan  menguji  kelayakan  program.  Pembuatan program  yang  telah  dibuat  diharapkan  dapat  memberikan simulasi  atau  pemodelan  fungsi  gelombang  partikel  dalam kotak.  Solusi  yang  didapatkan  dirancang  dengan  program yang sesuai melalui pendekatan metode beda hingga. Untuk merancang  sebuah  program,  digunakan flowchart sebagai pola  untuk  selanjutnya  diterjemahkan  kedalam  bahasa pemograman  komputer. Software yang  digunakan  adalah program  Matlab  untuk  memperoleh  tingkat  energi  dan fungsi gelombang.
Kebenaran  hasil  program  di  uji  dengan  melakukan analisis  data  dengan  cara  membandingkan  hasil  yang didapat  dari  program  aplikasi  dengan  hasil  yang  ada  pada referensi,  seperti  yang  tertera  pada  kutipan  pada  bagian kajian  teori.  Teknik  analisis  data  dilakukan  secara  grafik dan  secara  statistik.  Grafik  berguna  untuk  memberikan hasil  secara  visual  dalam  melukiskan  hubungan  dua variabel  yang  diperoleh  dari  pengukuran  dan  perhitungan. Tahap  Penyusunan  Laporan  Akhir,  hal  yang  dilakukan berupa pembuatan draft laporan perbaikan, laporan akhir.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan  persamaan  (9)  dan  persamaan  (10) diperoleh solusi numerik untuk mendapatkan beberapa nilai k.  Nilai  k  dari  penyelesaian  ini  digunakan  untuk menentukan  energi  pada  sumur  potensial  keadaan  terikat. Untuk  mendapatkan  solusi  numerik  energi  pada  sumur potensial  ini  digunakan  persamaan  (6),  sehingga  dapat diketahui  tingkat  energi  pada  sumur  potensial  keadaan terikat.  Setelah  diperoleh  nilai  energi,  selanjutnya digunakan  persamaan  gelombang  menggunakan  metode beda  hingga untuk  mendapatkan  bentuk  fungsi  gelombang tersebut dalam sumur potensial.
Nilai  k  sangat  mempengaruhi  dalam  memperoleh  nilai energi  pada  persamaan  gelombang  sumur  potensial  ini. Untuk  memperoleh  nilai  k  digunakan  salah  satu  metode numerik  yaitu  metode bisection .  Metode bisection merupakan metode untuk menentukan akar persamaan yang tidak  bisa  diperoleh  melalui  metode  analisis.  Metode bisection diperoleh  nilai  k  berdasarkan  persamaan  (9)  dan persamaan (10).
Analisis  numerik  solusi  tingkat  energi  pada  sumur potensial  memperlihatkan  tingkat  energi  secara  umum dengan  dipengaruhi  oleh  energi  potensial  (V 0 )  dan  lebar sumur  potensial  (L)  menggunakan  metode  beda  hingga dengan  program  MATLAB  R  10.  Tampilan  analisis numerik  pada  penelitian  ini  yaitu  tampilan  fungsi gelombang  dalam  kotak  pada  tingkat  energi  tertentu, dimana  massa  elektron  (m),konstanta dan  energi potensial  (V 0 )  telah  ditetapkan.  Untuk  keadaan  awal  yang mengacu  kepada  referensi,  maka  energi  potensial  (V 0 ) digunakan sebagai ketetapan. Selanjutnya agar mengetahui apabila  energi  potensialnya  dirubah  terhadap  nilai  energi, maka  energi  potensial  (V 0 )  digunakan  sebagai  variasi variabel  sehingga  dapat  dibuat  gafik  fungsi  gelombang pada sumur potensial keadaan terikat.
1. Tingkat Energi  pada Energi  Potensial Tetap  dan  Lebar Sumur Tetap
Gambar 2. Tingkat Energi secara Umum
Gambar  2.  Menunjukkan  tampilan  tingkat  energi secara umum, dimana energi potensial konstan  (V 0 )= – 400 eV dan lebar sumur (L)= 0.1 nm.  Tingkat energi diperoleh  berdasarkan  perhitungan  numerik  nilai  k sehingga diperoleh 4 tingkat energi.
Berdasarkan  nilai  k  dan  E  yang  diperoleh,  dapat dibuat program untuk melihat fungsi gelombang. Untuk masing-masing  nilai  k  dihasilkan  visualisasi  fungsi gelombang seperti berikut:
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 3. Fungsi gelombang saat V 0 =-400 dan L=0.1 nm untuk (a) n=1, (b) n=2, (c) n=3 dan (d) n=4
Gambar  3.  memperlihatkan  fungsi  gelombang dalam  berbagai  keadaan  energi  dari n=1  sampai n=4. Saat  n=1yaitu  pada  Gambar  3.(a)  diperoleh  setengah gelombang  dan  energi  yang  diperoleh  -373.84  eV. n=2  yaitu  pada  Gambar3.(b)  terlihat  satu  gelombang dan  energi  yang  diperoleh  -296.63  eV.  Untuk    n=3 yaitu  pada  Gambar  3.(c)  terlihat  1.5  gelombang  dan energi  yang  diperoleh  -173.5  eV.  Untuk  n=4  pada Gambar 3.(d) terlihat dua gelombang dan energi yang diperoleh -21 eV.
Hasil  yang  diperoleh  ini  sama  dengan  hasil  yang ada  pada  referensi. [3] Karena  program  yang  dibuat telah  sesuai  dengan  teori  maka  program  dapat dikatakan benar.
2.     Tingkat Energi untuk Energi Potensial Bervariasi dan Lebar Sumur Tetap
Pada  bagian  ini  akan  ditampilkan  hasil  program dari  potensial  sumur  saat  lebar  sumur  tetap  yaitu  0.1 nm  dan  energi  potensialnya  V 0 bervariasi  yaitu  -200 eV dan -450 eV.
a. V 0 =-200 eV
Berdasarkan  nilai  k  dan  energi  yang  diperoleh, dapat di buat program untuk melihat fungsi gelombang,
masing-masing  nilai  k  dihasilkan  visualisasi  fungsi gelombang seperti berikut:
(a)
(b)
(c)
Gambar 4. Fungsi gelombang saat V 0 =-200 dan L=0.1nm (a) n=1, (b) n=2, (c) n=3.
Gambar  4.  memperlihatkan  fungsi  gelombang dalam  berbagai  keadaan  energi  dari n=1  sampai n=3. Saat  n=1yaitu  pada  Gambar  4.(a)  diperoleh  setengah gelombang  dan  energi  yang  didapatkan  -177.09  eV.
Untuk n=2 pada Gambar 4.(b) terlihat satu gelombang dan  energi  yang  didapatkan  -111.09  eV.  Untuk    n=3 yaitu  pada  Gambar  4.(d)  terlihat  1.5  gelombang  dan energi yang didapatkan -13.96 eV.
Gambar  4.  memperlihatkan  nilai  k,  energi  dan keadaan  fungsi  gelombang  saa  t  V 0 =-200  eV  dan L=0.1  nm.  Berdasarkan  nilai  k  yang  diperoleh didapatkan  hubungan,  semakin  besar  nilai  k  maka semakin  besar  pula  energi  yang  diperoleh.  Semakin besar  energi  maka  gelombang  yang  dihasilkan semakin banyak.
b. V 0 =-450 eV
Apabila nilai energi potensial (V 0 ) diubah menjadi lebih  kecil  yaitu  -450  eV  dan  lebar  sumur  (L)=  0.1 nm, maka fungsi gelombang dalam kotak pada sumur potensial keadaan terikat menjadi:
(a) (b)
(c)
(d)
Gambar 5. Fungsi gelombang saat V 0 =-450 dan L=0.1 nm untuk (a)  n=1, (b) n=2, (c) n=3dan (d) n=4.
Gambar  5.  terlihat  fungsi  gelombang  dalam berbagai  keadaan  energi  dari  n=1  sampai  n=4.  Saat n=1  yaitu  pada  Gambar  5.(a)  diperoleh  setengah gelombang  dan  energi  yang  didapatkan  -423.28  eV. Untuk  n=2  yaitu  pada  Gambar  5.(b)  terlihat  satu gelombang  dan  energi  yang  didapatkan  -344.28  eV. Untuk  n=3  yaitu  pada  Gambar  5.(c)    terlihat  1.5 gelombang  dan  energi  yang  didapatkan  -217.25  eV. Untuk  n=4  yaitu  pada  Gambar  5.(d)  terlihat  dua gelombang dan energi yang didapatkan -56.13 eV. Gambar  5.  memperlihatkan  nilai  k,  energi  dan keadaan fungsi gelombang saat V 0 =-450 eV dan L=0.1 nm.  Berdasarkan  nilai  k  yang  diperoleh  didapatkan hubungan,  semakin  besar  nilai  k  maka  semakin  besar pula  energi  yang  diperoleh.  Semakin  besar  energi maka gelombang yang dihasilkan semakin banyak.
3.   Tingkat Energi untuk Energi Potensial Tetap  dan Lebar Sumur Bervariasi
Apabila lebar sumur potensial diberi variasi sebesar L=0.05 nm dan L=1 nm sedangkan  energi potensialnya tetap (V 0 )= -400 eV.
a. L=0.05 nm
Berdasarkan  nilai  k  dan  energi  yang  diperoleh, dapat di buat program untuk melihat fungsi gelombang, masing-masing  nilai  k  dihasilkan  visualisasi  fungsi gelombang seperti berikut:
(a)
(b)
Gambar 6. Fungsi gelombang saat V 0 =-400 dan L=0.1 nm untuk (a)  n=1 dan (b) n=2.
Gambar  6.  Memperlihatkan  fungsi  gelombang dalam  keadaan  energi n=1  sampai n=3.  Saat n=1  yaitu pada  Gambar  6.(a)  diperoleh  setengah  gelombang  dan energi yang didapatkan -323 eV. Untuk n=2 yaitu pada Gambar  6.(b)  terlihat  satu  gelombang  dan  energi  yang didapatkan 108.76 eV.
Gambar  6.  memperlihatkan  nilai  k,  energi  dan keadaan  fungsi  gelombang  saa  t  V 0 =-400  eV  dan L=0.05  nm.  Berdasarkan  nilai  k  yang  diperoleh
didapatkan  hubungan,  semakin  besar  nilai  k  maka semakin  besar  pula  energi  yang  diperoleh.  Semakin besar energi maka gelombang yang dihasilkan semakin banyak.

## b. L=1 nm
Lebar  sumur  potensial  diubah  menjadi  1  nm  dan enrgi potensialnya tetap yaitu -400 eV tidak ditemukan tingkat  energi  dan  fungsi  gelombangnya  seperti  yang ditunjukkan oleh gambar berikut:
Gambar 7. Fungsi gelombang saat V 0 =-400 eV dan L=1 nm
Gambar  7.  memperlihatkan  fungsi  gelombang  saat L=1  nm.  Terlihat  tidak  ada  fungsi  gelombang  dan keadaan  energi  yang  diperoleh.  Ini  menunjukkan apabila variasi lebar sumur diperbesar, maka gelombang tidak  terlihat  tetapi  hanya  melewati  dinding  potensial seperti garis lurus.
Partikel pada sumur potensial keadaan terikat memiliki solusi yang tidak dapat diselesaikan secara analisis, karena tidak  dapat  dipecahkan  secara  analisi  digunakan  metode numerik.  Dari  solusi  akhir  persamaan  Schrodinger  pada sumur  potensial  keadaan  terikat  terdapat  dua  solusi  untuk mendapatkan  nilai  k.  Nilai  k 1 dan  k 3 diperoleh  dari persamaan  cos,  sedangkan  nilai  k 2 dan  k 4 diperoleh  dari persamaan  sin.  Nilai  k  ini  diperoleh  melalui  metode bisection yang  selanjutnya  digunakan  untuk  mrndapatkan energi tiap tingkat energi.
Berdasarkan  referensi  yang  berpatokan  dengan  energi potensial  konstan  yaitu  -400  eV  dan  Lebar  sumur  0.1  nm didapatkan  4  tingkat  energi  yang  memiliki  fungsi gelombang  berbeda-beda.  Banyaknya  tingkat  energi  pada sumur  potensial  bergantung  dari  hasil  nilai  k  yang diperoleh  dan  juga  banyak  gelombang  yang  terjadi  pada partikel dalam kotak.
Setengah  gelombang  menunjukkan  tingkat  energi pertama,  begitu  juga  seterusnya,  kenaikan  tiap  gelombang
memperlihatkan  kenaikan  tingkat  energi  pula.  Hasil program  dirancang  menggunakan  variasi  energi  potensial (V 0 )  dan  lebar  sumur  (L).    Dimana  saat  variasi  energi potensialnya  yaitu  -200  eV  dan  -450  eV  dengan  lebar sumur  tetap  0.1  nm.  Saat  V 0 diperbesar  menjadi  -200  eV diperoleh  3  tingkat  energi  dengan  fungsi  gelombang  yang terlihat  pada  Gambar  4.  Sedangkan  saat  V 0 diperkecil menjadi  -450  eV  terdapat  4  tingkat  energi.  Tapi  setiap kenaikan  tingkat  energi  memiliki  energi  total  yang bervariasi,  tidak  sama  saat  V 0 dovariasikan  pula.  Nilai energi  dapat  ditentukan  melalui  metode  numerik  untuk mendapatkan nilai k.
Variasi lebar sumur saat L diperkecil menjadi  0.05 nm dan energi potensialnya  -400 eV, terdapat 2 tingkat energi dan fungsi gelombang seperti yang terlihat pada Gambar 7. Sedangkan  saat  lebar  sumur  diperbesar  menjadi  1  nm dengan V 0 -400 eV,tidak terlihat tingkat energi dan fungsi gelombangnya.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil  pengujian  solusi analitik  dan analisa terhadap nilai besaran yang telah ditetapkan pada potensial sumur  keadaan  terikat  dapat  dikemukakan  beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Dihasilkan  pemodelan  tingkat  energi  dan  fungsi gelombang  dengan  menggunakan  metode  beda  hingga. Energi  menunjukkan  banyaknya  gelombang    yang terjadi  pada  tingkat  tertentu.  Kenaikan  setengah gelombang  menunjukkan  kenaikan  tingkat  energi  pada potensial  sumur.  Program  yang  dibuat  sesuai  dengan teori.
2. Pengaruh  variasi  energi  potensial  dan  lebar  sumur terhadap  tingkat  energi  dan  fungsi  gelombang  adalah sebagai berikut:
a. Pada  model  potensial  sumur  keadaan  terikat diberikan  energi  potensial  V 0 besar  maka  akan diperoleh  tingkat  energi  dan  fungsi  gelombang yang  kecil,  begitu  juga  sebaliknya  jika  diberikan nilai  energi  potensial  V 0 kecil  diperoleh  tingkat energi dan fungsi gelombang besar.
b. Saat  variasi  lebar  sumur  diperkecil  dengan  energi potensial tetap diperoleh tingkat energi dan fungsi gelombang  2  keadaan,  jika  diberikan  lebar  sumur besar  tidak  terlihat  tingkat  energi  ataupun  fungsi gelombang.

## DAFTAR PUSTAKA
[1  ]  Beiser  Arthur.  1999. Konsep  Fisika  Modern .Edisi Keempat.
Erlangga, Jakarta. [2]    Basaruddin.  1991. Metode  Beda  Hingga  Untuk Persamaan differensial . Jakarta:Gramedia.
[3]    Coper,Ian. Quantum  Mechanic  Schrodinger  Equation Time Independent Bound  States .University of Sydney.
diakses tanggal 3 Februari 2013.
[4]  Eisberg, R dan Resnick, R.1970. Quantum Physics . Jhon wiley & Sons.
NewYork:California.
[5]  Krane  Kenneth.    1992. Fisika  Modern. Jakarta:UI Press.
[6] Raymond, D.2006. Particle in a Box. http://id.www.physics.nmt.edu/raymond/classes /ph13xbook/node99,html .diakses 23 juni 2012. [7] Sutopo. 2003. Pengantar Fisika Kuantum .Malang:JICA.