Statistika, Vol. 22 No. 1, 1 – 11
Mei 2022

## Kode R dan Selang Kepercayaan Korelasi Berdasarkan Empirical Likelihood serta Implementasinya pada Korelasi PDRB dengan Jumlah Kasus Covid-19 di Indonesia

## Suliadi
Program Studi Statistika Fakultas MIPA Universitas Islam Bandung, Indonesia e-mail: suliadi@gmail.com; suliadi@unisba.ac.id

## ABSTRAK
Korelasi merupakan suatu ukuran untuk melihat kekuatan hubungan linier di antara dua variabel. Ada beberapa metode yang biasa digunakan untuk mengukur korelasi, di antaranya adalah korelasi pearson,  peringkat  spearman  dan  kendall  tau.  Metode  yang  biasa  digunakan  untuk  mengukur korelasi  untuk  variabel  bertipe  numerik  adalah  korelasi  pearson.  Metode  ini  mensyaratkan  bahwa kedua  variabel  tersebut  berdistribusi  normal  bivariat.  Oleh  karena  itu  inferensia  korelasi  pearson hasilnya  akan  valid  jika  asumsi  tersebut  terpenuhi.  Dalam  praktik,  sering  kali  kenormalan  data tersebut  tidak  dapat  dipenuhi.  Satu  pendekatan  telah  diajukan  dalam  pembuatan  selang kepercayaan  berdasarkan empirical likelihood .  Metode  ini  adalah  metode  bebas  distribusi  yang artinya tidak ada asumsi bahwa data harus berdistribusi tertentu. Dalam artikel ini kami membahas penyusunan selang kepercayaan korelasi pearson berdasarkan metode empirical likelihood dan juga menyediakan  kode  perintah  R  Language  untuk  pembuatan  selang  kepercayaan  tersebut.  Kami menerapkan  metode  tersebut  pada  kasus  hubungan  antara  PDRB  dan  jumlah  kasus  Covid-19 berdasarkan  data  provinsi  di  Indonesia  Tahun  2020.  Kami  mendapatkan  adanya  hubungan  yang sangat  kuat  antara  PDRB  dan  jumlah  kasus  Covid-19  di  Indonesia  dengan  korelasi  sebesar  0.939 dan dengan metode tersebut diperoleh batas bawah selang kepercayaan 99% adalah 0.872 dan batas atasnya adalah 0.962.
Kata Kunci: Empirical likelihood , Koefisien korelasi pearson, Kode R, PDRB, Covid-19

## ABSTRACT
Correlation is  a measure  to see the  strength  of the  linear relationship between two variables. There are  several  methods  commonly  used  to  measure  correlation,  including  Pearson's  correlation, Spearman's rank and Kendall tau. The method commonly used to measure correlations for numeric type  variables  is  Pearson  correlation.  This  method  requires  that  the  two  variables  have  a  bivariate normal  distribution.  Therefore,  the  Pearson  correlation  inferential  results  will  be  valid  if  these assumptions are met. In practice, often the normality of the data cannot be met.  One approach has been  proposed  in  constructing  confidence  intervals  based  on  empirical  likelihood.  This  method  is  a distribution-free method, which means that there is no assumption that the data must have a certain distribution. In this article, we discuss the construction of the Pearson correlation confidence interval based  on  the  empirical  likelihood  method  and  also  provide  the  R  Language  command  code  for constructing  the  confidence  interval.  We  apply  this  method  to  the  case  of  the  relationship  between GRDP and the number of Covid-19 cases based on provincial data in Indonesia in 2020. We found a very  strong  relationship  between  GRDP  and  the  number  of  Covid-19  cases  in  Indonesia  with  a correlation of 0.939 and  with this  method the  lower limit of the  99% confidence  interval was 0.872 and the upper limit was 0.962.
Keywords: Empirical likelihood, Pearson correlation coefficient, R Code, GRDP, Covid-19.

## Suliadi

## 2

## 1.  PENDAHULUAN
Korelasi adalah suatu ukuran untuk melihat kekuatan hubungan linier di antara dua variabel. Ukuran  ini  banyak  sekali  digunakan  pada  berbagai  bidang  seperti  sosial,  ekonomi,  biologi, maupun di bidang ilmu lainya. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mengukur besarnya  korelasi  baik  yang  bersifat  parametrik  maupun  nonparametrik,  seperti  korelasi pearson, peringkat spearman dan kendall tau.
Korelasi  pearson  merupakan  metode  yang  paling  sering  digunakan  sebagai  ukuran  korelasi untuk  data  bertipe  numerik.  Metode  ini  diperkenalkan  oleh  Karl  Pearson  pada  tahun  1895. Metode ini mempersayaratkan bahwa data berasal dari distribusi nomal bivariat. Jika asumsi ini  terpenuhi,  maka  korelasi  pearson  merupakan  penduga  korelasi  yang  paling  baik,  serta memberikan  selang  kepercayaan  dan  juga  pengujian  hipotesis  yang  valid.  Metode  yang  biasa digunakan  untuk  membuat  selang  kepercayaan  adalah  modifikasi  transformasi-z  dari  Fisher yang  diajukan oleh Hotelling  (1953).  Beberapa  penelitian  telah  dilakukan  untuk  memperbaiki kinerja  dari  modifikasi  transformasi-z  dari  Fisher  seperti  yang  dilakukan  oleh  Weerakkody  & Givaruangsawat (1995), Sun & Wong (2007) dan Tian & Wilding (2008). Metode yang diajukan pada  penelitian  tersebut  di  atas  didasarkan  pada  distribusi  normal  bivariat.  Oleh  karena  itu metode tersebut tidak lagi valid jika asumsi kenormalan data tidak terpenuhi.
Hu  et  al.  (2018)  mengajukan  metoe  untuk  membangun  selang  kepercayaan  untuk  koefisien korelasi  berdasarkan empirical likelihood . Metode  ini bersifat  bebas  distribusi,  sehingga  dapat diterapkan  untuk  sembarang  distribusi.  Hu  et  al.  (2018)  melaporkan  bahwa  metode  ini kinerjanya  setara  dengan  metode  modifikasi  transformasi-z  dari  Fisher  untuk  data berdistribusi  normal  bivariat  dalam  hal  cakupan  peluangnya. Untuk  data  nonnormal, metode ini lebih unggul dibandingkan metode lain.
Artikel  ini  membahas  bagaimana  menyusun  selang  kepercayaan  untuk  koefisien  korelasi berdasarkan empirical  likelihood yang  diusulkan  oleh  Hu  et  al.  (2018),  serta  implementasinya dalam  bentuk  kode  program  dalam  R.  Metode  tersebut  diterapkan  pada  kasus  hubungan antara PDRB dan jumlah kasus Covid-19 di Indonesia untuk data Tahun 2020.

## 2.  METODE PENELITIAN
Misalkan (X,Y)  adalah vektor acak bivariat dengan nilai tengah  dan ragam  di mana
;    = , x xx xy y xy yy                      ... (1)
Koefisien korelasi didefinisikan oleh
2 2 ( )( )
,
( ) ( ) x y xy x y x y E X Y E X E Y    
       
 
di mana -1.0    1.0. Penduga koefisien korelasi pearson adalah
1 2 2 1 1 ( )( ) . ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y           
... (2)
Fisher  (1915)  dan  Hotelling  (1953)  mengajukan  distribusi  sampling  untuk  r,  akan  tetapi bentuknya  sangat  komplek.  Beberapa  penelitian  juga  telah  dilakukan  untuk  mendapatkan distribusi sampling yang lebih sederhana seperti yang dilakukan oleh Sun & Wong (2007) dan Nie et al.  (2011).  Meskipun  demikian,  pendekatan tranformasi  yang  digunakan  oleh Hotteling adalah  yang  paling  sederhana  dan  paling  banyak  digunakan.    Jika  (X,Y)  adalah  vektor  acak dari  bivariat  normal,  maka  (1/2)ln[(1+r)/(1-r)]  secara  aproksimai  akan  berdistribusi  normal dengan nilai tengah (1/2)ln[(1+  )/(1-  )] dan ragam 1/(n-3). Oleh karena itu
3 1 1 3 (1 )(1 ) ln ln ln 2 1 1 2 (1 )(1 ) n r n r
z r r    
                                  


secara aproksimasi, z akan berdistribusi normal (0,1). Berdasarkan distribusi z tersebut maka dapat disusun selang kepercayaan untuk  .
3
Distribusi  sampling  dari  (1/2)ln[(1+r)/(1-r)]  di  atas  disusun  berdasarkan  asumsi  bahwa  (X,Y) berdistribusi  normal  bivariat.  Oleh  karena  itu  selang  tersebut  valid  jika  asumsi  kenormalan data terpenuhi. Dalam praktik, sangat sering asumsi tersebut tidak dapat dipenuhi. Hu et al. (2018)  mengajukan  suatu  pendekatan  lain  untuk  menyusun  selang  kepercayaan  tanpa memerlukan  asumsi  distribusi  data.  Dengan  kata  lain  metode  ini  bersifat  bebas  distribusi. Metode  yang  diajukan  oleh  Hu,  et  al  ini  didasarkan  pada  metode empirical likelihood (Owen, 1988; Owen, 2001). Empirical likelihood merupakan  metode  untuk  menyusun  selang  kepercayaan  berdasarkan distribusi  empiris  data  tanpa  mengasumsikan  distribusi  tertentu.    Kelebihan  dari empirical likelihood adalah  bahwa  meskipun  data  tidak  diasumsikan  dari  distribusi  tertentu  ( free distribution ),  akan  tetapi  selang  kepercayaan  dibentuk  dengan  menggunakan  pendekatan fungsi likelihood, dalam hal ini menggunakan pendekatan likelihood ratio test . Misalkan w 1 ,w 2 ,...,  w n adalah  sampel  acak  berukuran n ,  di  mana w i bisa  berupa  vektor  atau skalar  dari  suatu  distribusi  dengan  parameter  .  Misalkan  juga p 1 ,  p 2 ,  ...,  p n adalah  satu  set bobot peluang untuk pengamatan ke-1, 2, ..., n, di mana 0 < p i < 1.0 dan  p i = 1.0. Empirical likelihood untuk  didefinisikan  sebagai  (Owen,1988;  Owen,  1991;  Owen,  2001;  Chen  &  Van Keilegom, 2009)
1 ( ) max . n n i i L p    
... (3)
Jika tidak ada konstrain apa-apa, maka L(  ) akan maksimum jika 1 2 ˆ ˆ ˆ 1 / n p p p n 
   . Pada kondisi ini
1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ( , , , ) ( , , , ) n n L p p p L p p p  
 .
Dengan kata lain bahwa solusi yang memaksimumkan L(  ) pada (3) akan diperoleh jika setiap sampel  diberi  bobot  yang  sama  yaitu  1/n,  yang  tidak  lain  adalah  peluang  dari  distribusi uniform diskrit.
Misalkan g(w i ,  ) adalah  suatu  fungsi  dari  sampel  dan  parameter,  yang  memenuhi g(w i ,  )=0 . Sebagai  contoh  jika  =  E(W i )  =  ,  maka g(w i ,  )  =  w i -  .  Parameter  diperoleh  dengan memaksimumkan fungsi L(  ) dengan kendala
1 1 1.0   dan ( , ) 0. n n i i i i i
p p g w       
Untuk pengujian hipotesis H 0 :  =  0 maka kendala di atas menjadi
0 1 1
1.0   dan ( , ) 0. n n i i i i i p p g w        ... (4)
Ratio likelihood untuk hipotesis di atas adalah
0 0 ( ) ( ) ( ) 1/ i i n L p R np L n         ... (5)
atau dalam bentuk log
1 log log( ) n i i R np    . Bobot peluang di bawah H 0 , yaitu p 1 , p 2 , ..., p n dapat diperoleh dari
  1 2 0 0 , , , 1 1 1 max log( ) 0, 1,
( , ) 0 n n n n i i i i i p p p i i i G np p p
p g w         
    . ... (6)
Dengan pengganda lagrange, maka fungsi tujuan di atas dapat dituliskan sebagai
  0 1 1 1 log( ) 1 ( , ) n n n i i i i i i i G np p n p g w           
  .
Solusi dari p 1 , p 2 , ..., p n diperoleh melalui
  1 ( , ) 0;
( , ) 0; 1 0. i i i i i i G G G n g w p g w p p p n   
                    ... (7)
Karena  p i [  G/  p i ]=0, maka akan diperoleh (Owen, 2001)  = -n dan 1 / [ (1 ( , ))]
i i p n g w     . ... (8)
Suliadi
4
Berdasarkan hasil tersebut, maka  dapat diperoleh sebagai solusi dari
1 ( , ) 0 ( , ) n i i i g w n n g w     
  . ... (9)
Pada kondisi H 0 , maka  harus dipilih sehingga memenuhi
0
1 0 ( , ) 0 ( , ) n i i i g w n n g w        . ... (10)
Jika kondisi tersebut terpenuhi, maka akan diperoleh 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , n p p p  yang juga memenuhi H 0 dan konstrain pada (4). Selang kepercayaan untuk parameter  berdasarkan empirical likelihood pertama kali diajukan oleh  Owen  (1988)  berdasarkan  teorema  yang  dibangunnya,  bahwa  untuk  n   maka  -2log R(  0 ), untuk R(  0 ) pada persamaan (5) akan konvergen dalam distribusi ke 2 p  . Berdasarkan hal tersebut,  maka  pengujian  hipotesis  dan  pendugaan  selang  kepercayaan  dapat  dilakukan berdasarkan distribusi chi-square.

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## SK untuk Koefisien Korelasi Berdasarkan Empirical Likelihood
Hu et al. (2018) telah mengajukan metode untuk membangun selang kepercayaan berdasarkan empirical  likelihood .  Metode  tersebut  memanfaatkan influence  function untuk  korelasi  dalam penyusunan  selang  kepercayaan.  Metode  ini  mempunyai  kinerja  yang  bagus  untuk  data normal  dan  kinerjanya  setara  dengan  metode  transformasi  dari  Hotelling  (1953)  dalam  hal coverage probability dan  taraf  signifikansi.  Berikut  ini  penurunan  metode  tersebut  yang disampaikan oleh Hu et al. (2018).
Misalkan (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), ..., (x n ,y n ) adalah sampel acak dari distribusi bivariat (X,Y) dengan nilai tengah dan matriks kovarians diberikan oleh (1). Berdasarkan hal tersebut, maka
0. y x x y Y X E                  
Oleh karena itu log empirical likelihood untuk  diberikan oleh
1 1 1 ( ) ; 0, 1, ( ( ) ) 0. n n n i i i i i i i i L p p p
p g w              ... (11)
di  mana ( ) i y i x i x y y x g w         .  Sebagaimana  pada  persamaan  (5),  ratio  likelihood  diberikan oleh
( ) i R np   
Karena , , , x y x y     biasanya  tidak  diketahui,  maka  dapat  diganti  oleh  penduganya  yaitu
, , , x y x y S S , di mana S x dan S y , masing-masing adalah simpangan baku sampel untuk X dan Y . Sebagaimana pada persamaan (5) dan (6) maka log ratio likelihood untuk (11) diberikan
  1 2 0 , , , 1 1 1 max log( ) 0, 1, ( ) 0, ( ) n n n n i i i i i p p p i i i G np p p p g w
             
sehingga berdasarkan hasil pada (7)-(10) maka penduga bagi p i diperoleh melalui 1 / [ {1
[ ( ] ) ]} i i p n g w     
... (12)
di mana  diperoleh sebagai solusi dari
1 ( ) [ ] 0. ( ) n i i i g w n n g w         
Hu  et  al.  (2018)  menyatakan  bahwa  diperlukan  perhitungan  yang  agak  komplek  dari  A  agar supaya  dari  [-2A  log  R(  )]  secara  aproksimasi  berdistribusi  chi-square.  Mereka  menyarankan menggunakan influence function untuk  yang didefinisikan sebagai pengganti g(w i )-  , yaitu
2 2
( ) . (1 / 2) 1 1 . i y i y i x i x I i x y x y y y x x
g w   
     
  
 
                                                       ... (13)
Nilai , , , x y x y     dapat  diganti  oleh  penduganya  yaitu
, , , x y x y S S seperti  sebelumnya, sedangkan  pada  (13)  diambil  seperti  pada  H 0 .  Empirical  likelihood  untuk  rho  berdasarkan influence function di atas diberikan oleh
  1 2 , , 1 1 1 ( ) ; 0, 1, ( , ) 0 n n n n I i i i i I i p p p i i i L sup
p p p p g w    
      

## 
Dengan cara yang sama sebagaimana pada (7), maka solusi bagi p i diperoleh seperti pada (12), yaitu
1 / [ {1 ( , )}] i I i p n g w  
 
... (14)
sedangkan  diperoleh sebagai solusi dari
1 ( , ) 0. ( , ) n I i i I i g w n n g w        ... (15)
Hu et al. (2018) menunjukkan bahwa
2 (1) ( ) 2  log   ( ) . d I l
R 
     
Oleh karena itu selang kepercayaan bagi  diperoleh melalui 2 (1 ;1) { : ( ) }. I l       ... (16)

## Implementasi pada R
Implementasi metode di atas memerlukan alur pemikiran yang jelas agar dapat diimplementasi ke dalam suatu kode perintah atau program komputer. Rasionalisasi kode perintah di R adalah sebagai berikut.
Untuk  mencari  batas  bawah  dan  batas  atas  selang,  maka  harus  dicari  suatu  *  yang memenuhi  persamaan Error!  Reference  source  not  found. .  Kami  menggunakan  metode bisection  dengan mencoba  ke  arah  kanan  dan  kiri  nilai  yang  memenuhi  persamaan tersebut. Beberapa  hal  yang  perlu  diperhatikan  adalah  bahwa  -1.0    1.0  dan  nilai l I (  )  minimum pada  = r, di mana r adalah penduga bagi koefisien korelasi pearson pada persamaan (2). Oleh karena itu pencarian  * dilakukan ke arah kiri menuju -1.0 untuk mendapatkan batas bawah selang  dan  ke  arah  kanan  menuju  1.0  untuk  mendapatkan  batas  atas  selang.  Untuk mendapatkan  solusi  bagi  kami  menggunakan  package  nleqslv  dari  Hasselman  (2018). Algoritma  untuk  mendapatkan  selang  kepercayaan  untuk  berdasarkan empirical  likelihood adalah sebagai berikut.
A. Penentuan batas bawah
1) Tentukan  =0.1dan r 0 = r dari persamaan (2)
2) r 0 = r 0 -  dan cari  , solusi bagi (15) dan hitung p i menggunakan (14).
3) Hitung likelihood ratio
0 0 ( ) 2  log   ( ) I l r R r   . 4) Jika 2 0 (1 ;1) ( ) I l r     , kembali  A.2.
5) Jika ketelitian sudah cukup, stop . Selainnya set: r 0 = r 0 +  ;  = 0.1*  dan kembali ke A.2.
B. Penentuan batas atas
1) Tentukan  =0.1dan r 0 = r dari persamaan (2) 2) r 0 = r 0 +  dan cari  , solusi bagi (15) dan hitung p i menggunakan (14).

## Suliadi
6
3) Hitung likelihood ratio 0 0 ( ) 2  log   ( ) I l r R r   . 4) Jika 2 0 (1 ;1) ( ) I l r     , kembali  B.2.
5) Jika ketelitian sudah cukup, stop . Selainnya set: r 0 = r 0 -  ;  =  0.1*  dan kembali ke B.2.
Kode R dari algoritma di atas dapat dilihat pada lampiran. Perintah untuk mendapatkan selang kepercayaan adalah bisec.CI(xx=x,yy=y,alpha1=0.95)
di  mana xx dan yy adalah  vektor  data  dan alpha1 adalah  (1-  )  untuk  taraf  signifikansi  untuk membuat selang kepercayaan dengan lebar  (1-  )x100%.  Output dari fungsi ini bertipe list yang berisi
Korelasi : koefisien korelasi pearson alpha1 : nilai (1-  ) Lower
: batas bawah selang kepercayaan
Upper
: batas atas selang kepercayaan
LL.Upper : nilai -2log R(  ) untuk rho = Lower LL.Lower : nilai -2log R(  ) untuk rho = Upper
Berikut  ini  contoh  berdasarkan  data  dari  distribusi  normal  bivariat  dengan  korelasi  =  -0.3 dan 0.9 dan n = 100. Sebagai catatan bahwa
2
( 0.95;1) 3.841459.
 
> library(mvtnorm) > ## rho=-0.3 > d<-rmvnorm(100,sigma=matrix(c(1,-0.3,-0.3,1),ncol=2,nrow=2)) > x=d[,1] > y=d[,2] > > bisec.CI(xx=x,yy=y) $Korelasi [1] -0.3419467 $alpha1 [1] 0.95 $Lower [1] -0.5146661 $Upper [1] -0.1420663 $LL.Upper [1] 3.841459 $LL.Lower [1] 3.841459
Nilai  dugaan  korelasi  pearsonnya  adalah  -0.3419467  dengan  batas  bawah  dan  batas  atas selang  kepercayaan  95%  berdasarkan  metode empirical  likelihood masing-masing  adalah  - 0.5146661 dan -0.1420663.
> ## rho=0.9 > d<-rmvnorm(100,sigma=matrix(c(1,0.9,0.9,1),ncol=2,nrow=2)) > x=d[,1] > y=d[,2] > > bisec.CI(xx=x,yy=y) $Korelasi [1] 0.9052214 $alpha1 [1] 0.95 $Lower [1] 0.8622063 $Upper [1] 0.9358708 $LL.Upper [1] 3.841458 $LL.Lower
[1] 3.841459
Nilai dugaan korelasi pearsonnya adalah 0.9052214 dengan batas bawah dan batas atas selang kepercayaan  95%  berdasarkan  metode empirical  likelihood masing-masing  adalah  0.8622063 dan 0.9358708.
Gambar 1 Pola hubungan antara PDRB dan jumlah terkonfirmasi positif Covid-19 dari 34 provinsi di Indonesia.

## Korelasi antara PDRB dan Kasus Positif Covid-19
Covid-19  adalah  suatu  istilah  yang  merujuk  pada  Coronavirus  Disease  2019,  yaitu  suatu penyakit  yang  disebabkan  oleh  virus  SARS-Cov-2.  Penyakit  ini  telah  menjadi  pandemi  yang mematikan  di  seluruh  dunia.  Virus  ini  mulai  terdeteksi  di  Indonesia  pada  bulan  Maret  2020 dan  semenjak  itu  kasus  positif  terinfeksi  Covid-19  terus  meningkat.  Pemerintah  telah mengeluarkan  berbagai  aturan  untuk  meredam  laju  penularan  virus  tersebut  seperti Keputusan  Presiden  No.  12  Tahun  2020  tentang  Penetapan  Bencana  Nonalam  Penyebaran Coronavirus  Disease  2019  (COVID-19)  Sebagai  Bencana  Nasional  dan  juga  Peraturan  Meteri Kesehatan  No.9  Tahun  2020  tentang  Pedoman  Pembatasan  Sosial  berskala  Besar  dalam Rangka Percepatan Penanganan Coronavirus Disease 2019. Inti dari kebijakan tersebut adalah mengurangi  kegiatan  yang  dilakukan  secara  bersama-sama,  di  mana  hal  tersebut  akan berimbas  kepada  kegiatan  ekonomi.  Salah  satu  tolok  ukur  dari  aktivitas  ekonomi  adalah produk  domestik  regional  bruto  (PDRB).  PDRB  merupakan  jumlah  transaksi  yang  terjadi  di masyarakat berupa nilai tambah yang dihasilkan dari seluruh kegiatan ekonomi. Berdasarkan hal  tersebut,  maka  penting  untuk  mengetahui  bagaimana  hubungan  antara  kasus terkonfirmasi  positif  Covid-19  dan  PDRB  sebagia  tolok  ukur  kegiatan  ekonomi.  Data  yang digunakan  adalah  banyaknya  kasus  positif  Covid-19  pada  tahun  2020  per  provinsi (https://covid19.go.id)  dan  data  PDRB  per  provinsi  berdasarkan  harga  berlaku  2020  (BPS, 2021).
Gambar 2 Plot kuantil-kuantil normal untuk PDRB (kiri) dan jumlah terkonfirmasi positif Covid-19 dari 34 provinsi di Indonesia

## Suliadi

## 8
Pola  hubungan  antara  jumlah  kasus  terkonfirmasi  Covid-19  dan  PDRB  ditunjukkan  oleh Gambar  1.  Dari  gambar  tersebut  tampak  sekali  ada  hubungan  linier  antara  kedua  variabel. Gambar  2  menyajikan  plot  kuantil-kuantil  (qq-plot).  Dari  plot  tersebut  tampak  bahwa  kedua variabel  tidak  berdistribusi  normal.  Untuk  memastikan  kenormalan  data,  dilakukan  uji menggunakan metode shapiro wilks. Untuk pengujian bivariat normal,  digunakan generalisasi dari  shapiro-wilks  test  untuk  normal  multivariat  yang  ada  pada  package mvShapiroTest (Gonzalez-Estrada & Villasenor-Alva, 2013). Hasil pengujian disajikan pada Tabel 1. Dari tabel diperoleh bahwa masing-masing variabel PDRB dan jumlah terkonfirmasi positif Covid-19 tidak berdistribusi  normal.  Demikian  juga  kedua  variabel  tersebut  juga  tidak  berdistribusi  normal bivariat.
Tabel 1 Hasil pengujian kenormalan data dengan H 0 : data berdistribusi normal
Variabel P-value Kesimpulan Covid-19 4.235e-08 Tidak berdistribusi normal PDRB 4.877e-09 Tidak berdistribusi normal Covid-19 dan PDB 1.005e-09 Tidak berdistribusi normal bivariat
Karena asumsi kenormalan data tidak terpenuhi, maka diterapkan metode empirical likelihood dan  kode  perintah  R  di  atas  untuk  menduga  selang  kepercayaan  koefisien  korelasi  antara PDRB  dan  jumlah  terkonfirmasi  positif  Covid-19  pada  provinsi-provinsi  di  Indonesia  dengan tingkat kepercayaan 99%. Berikut ini perintah dan hasilnya:
> bisec.CI(xx=PDRB,yy=Covid,alpha1=0.99) $Korelasi [1] 0.9388992 $alpha1 [1] 0.99 $Lower [1] 0.8717677 $Upper [1] 0.9615555 $LL.Upper [1] 6.634894 $LL.Lower [1] 6.634897
Dari output di atas diperoleh nilai dugaan koefisien korelasi pearson antara PDRB dan jumlah terkonfirmasi  positif  Covid-19  pada  provinsi-provinsi  di  Indonesa  adalah  0.939  dengan  batas bawah  selang  kepercayaan  99%  adalah  0.872  dan  batas  atasnya  adalah  0.962.  Dari  hasil  ini tampak  adanya  hubungan  yang  sangat  kuat  antara  PDRB  sebagai  representasi  aktivitas ekonomi dan jumlah terinfeksi Covid-19.

## 4.  SIMPULAN DAN SARAN
Metode  yang  diajukan  oleh  Hu  et  al.  (2018)  sangat  fleksibel  diterapkan  dalam  praktik keseharian  karena  tidak  memerlukan  asumsi  distribusi  tertentu.  Metode  ini  valid  diterapkan untuk  data-data  bertipe  numerik.  Selain  itu  dengan kode  program R  yang  disertakan,  hal  itu akan mempermudah penerapannya dalam praktik.
Dari  analisis  terhadap  data  PDRB  dan  data  jumlah  positif  Covid-19  disimpulkan  adanya hubungan  yang  sangat  kuat  antara  PDRB  dan  jumlah  kasus  Covid-19  di  Indonesia. Berdasarkan  hasil  tersebut  maka  kebijakan  pemerintah  dengan  menerapkan  pembatasan sosial  berskala  besar  (PSBB)  dan  kebijakan  Pemberlakuan  Pembatasan  Kegiatan  Masyarakat (PPKM)  untuk  menurunkan  tingkat  penularan  sudah  tepat.  Dengan  menerapkan  kebijakan tersebut diharapkan akan menurunkan jumlah kasus positif terinfeksi Covid-19, meskipun hal tersebut  juga  akan  menurunkan  akitivitas  ekonomi  yang  pada  akhirnya  akan  menurunkan PDRB.

## DAFTAR PUSTAKA
BPS.  (2021).  Produk  Domestik  Regional  Bruto  Provinsi-Provinsi  di  Indonesia  Menurut  Pengeluaran 2016-2020. Badan Pusat Statistik, Indoesia.
Chen, S.X., I. Van Keilegom. (2009). A review on empirical likelihood methods for Regression. TEST Vol. 18, p415–447.
Fisher,  R.A.  (1915).  Frequency  Distribution  of  the  Values  of  the  Correlation  Coefficient  in  Samples from an Indefinitely Large Population. Biometrika, Vl. 10, 507–521.
Gonzalez-Estrada, E. and J.A. Villasenor-Alva. (2013). mvShapiroTest: Generalized Shapiro-Wilk test for multivariate normality. R package version 1.0. https://CRAN.R-project.org/package=mvShapiroTest. Hasselman, B. (2018). nleqslv: Solve Systems of Nonlinear  Equations. R package version 3.3.2. https://CRAN.R-project.org/package=nleqslv.
Hotelling, H. (1953). New Light on the Correlation Coefficient and its Transform. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 15,p193–232.
Hu, H., A. Jung & G. Qin. (2018). Interval Estimation for the  Correlation Coefficient. The  American Statistician, DOI: 10.1080/00031305.2018.1437077.
Nie, L., Y. Chen, and H. Chu. (2011). Asymptotic Variance of Maximum Likelihood Estimator for the Correlation  Coefficient  from  a  BVN  Distribution  withOne  Variable  Subject  to  Censoring. Journal of Statistical Planning and Inference, Vol. 141, p392–401.
Owen,  A.B.  (1988).  Empirical  Likelihood  Ratio  Confidence  Intervals  for  a  Single  Functional. Biometrika, Vol. 75, p237-249.
Owen, A.B.  (1991). Empirical Likelihood for Linear Models. The Annals of Statistics. Vol. 19, p1725- 1747.
Owen, A. B. (2001). Empirical likelihood. Chapman & Hall/CRC. New York, USA. Sun, Y. and A.C.M. Wong. (2007). Interval Estimation for the Normal Correlation Coefficient. Statistic & Probability Letters, Vol. 77, p1652–1661.
Tian,  L.  and  G.E.  Wilding.  (2008).  Confidence  Interval  Estimation  of  a  Common  Correlation Coefficient. Computational Statistics and Data Analysis, Vol. 52, p4872–4877.
Weerakkody,  G.J.,  and  S.  Givaruangsawat.  (1995).  Estimating  the  Correlation  Coefficient  in  the Presence of Correlated Observations from a Bivariate Normal Population. Communication in Statistics—Theory and Methods, Vol. 24, p1705–1719.

## LAMPIRAN
Kode program R untuk pembuatan selang kepercayaan berdasarkan empirical likelihood.
##mencari batas atas dan batas bawah## library(nleqslv) flambda<-function(x,rho=rho,vi=vi){ n<-length(vi) temp=sum(vi/(1+x*vi)) temp<-temp/n return(temp) } ## end function cari.lambda<-function(rho=rho,vi=vi){ n<-length(vi) min<-((1/n)-1)/min(vi) max<-((1/n)-1)/max(vi) ave<-(min+max)/2
Suliadi
l0<-(nleqslv(0,flambda,rho=rho,vi=vi))$x lmin<-(nleqslv(min,flambda,rho=rho,vi=vi))$x lmax<-(nleqslv(max,flambda,rho=rho,vi=vi))$x lave<-(nleqslv(ave,flambda,rho=rho,vi=vi))$x pi0<-(1/n)*(1/(1+l0*vi)) pimin<-(1/n)*(1/(1+lmin*vi)) pimax<-(1/n)*(1/(1+lmax*vi)) piave<-(1/n)*(1/(1+lave*vi)) if ((min(pi0)>=0)&(max(pi0)<=1)){ lambda=l0 pi=pi0  } else if ((min(pimin)>=0)&(max(pimin)<=1)){ lambda=lmin pi=pimin  } else if ((min(pimax)>=0)&(max(pimax)<=1)){ lambda=lmax pi=pimax  } else if ((min(piave)>=0)&(max(piave)<=1)){ lambda=lave pi=piave  } else{ lambda<-NA pi<-rep(NA,n) } return(lambda) } ## end function cari.pi<-function(lambda,rho=rho,vi=vi){ n<-length(vi) pi<-(1/n)*(1/(1+lambda*vi)) return(pi) }## end function #prob<-cari.pi(lambda,rho=rho,vi=vi) cari.2ll<-function(rho,vi){ lambda<-cari.lambda(rho=rho,vi) prob<-cari.pi(lambda,rho=rho,vi) n<-length(vi) ll<-2*sum(log(1+lambda*vi)) return(ll) } ## end function bisec.CI<-function(xx,yy,alpha1=0.95){ chisquare=qchisq(alpha1,1) zx=scale(xx) zy=scale(yy) min<--1 max<-1 rata<-cor(xx,yy) delta<-10e-10
##Cari batas atas a<-rata b<-(rata+max)/2 c<-max
Delta=1 i<-1 while (Delta>delta & i<100){ binit<-b rho=b vi=(zx*zy-rho)-(1/2)*rho*((zx^2-1)+(zy^2-1)) llb<-cari.2ll(rho=b,vi=vi) data<-c(i,a,b,c,llb) i<-i+1 if (llb<chisquare){ a<-b b<-(a+c)/2 } else {c=b b<-(a+c)/2 } Delta<-abs(binit-b)/abs(b) } upper<-b llupper<-llb ##Cari batas bawah### a<-min b<-(rata+min)/2 c<-rata Delta=1 i=1 while (Delta>delta & i<100){ binit<-b rho=b vi=(zx*zy-rho)-(1/2)*rho*((zx^2-1)+(zy^2-1)) llb<-cari.2ll(rho=b,vi=vi) data<-c(i,a,b,c,llb) i<-i+1 if (llb<chisquare){ c<-b b<-(a+c)/2 } else {a=b b<-(a+c)/2 } Delta<-abs(binit-b)/abs(b) } lower<-b lllower<-llb return(list(Korelasi=cor(xx,yy),alpha1=alpha1,Lower=lower,Upper=upper,LL.Upper=llupper,L L.Lower=lllower)) } ## end function