Volume 4 Nomor 2, Desember 2021 e-ISSN : 2614-1574 p-ISSN : 2621-3249

## KOMPUTASI NUMERIK METODE ITERATIF HALF-SWEEP PRECONDITIONED GAUSS-SEIDEL UNTUK MEMECAHKAN PERSAMAAN RESEPAN PECAHAN

## WAKTU

## NUMERICAL COMPUTATION HALF-SWEEP PRECONDITIONED GAUSS-SEIDEL METHOD TO SOLVE PRESCRIPTION EQUATIONS IN FRACTION OF TIME

## Andang Sunarto

## Tadris Matematika, IAIN Bengkulu andang99@gmail.com
In this study, we derive a finite difference approximation equation from the discretization of the one-dimensional linear time-fractional diffusion equations by using the Caputo’s time fractional derivative. A linear system will be generated by the Caputo’s finite difference approximation equation. Then the resulting of the linear system has been solved using Half-Sweep Preconditioned Gauss-Seidel (HSPGS) iterative method in which its effectiveness will  be  compared  with  the  existing  Preconditioned  Gauss-Seidel  (PGS)  method  (known  as  Full-Sweep Preconditioned Gauss-Seidel (FSPGS)) and Gauss-Seidel (GS) Method. An example of the problem is presented to test the effectiveness the proposed method. The findings of this study show that the proposed iterative method is superior compared with the FSPGS and GS method.
Keywords : Caputo’s fractional derivative, Implicit scheme, HSPGS Method

## ABSTRAK
Dalam  penelitian  ini,  peneliti  berusaha  memperoleh  persamaan  aproksimasi  beda  hingga  dari  diskritisasi persamaan resapan pecahan waktu linier satu dimensi dengan menggunakan turunan pecahan waktu Caputo. Suatu sistem persamaan linier akan dibuat dengan menggunakan persamaan aproksimasi beda hingga Caputo. Kemudian hasil  dari  system  persamaan  linier  tersebut  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode  iterasif  numerik  Half- Sweep  Preconditioned  Gauss-Seidel  (HSPGS)  dimana  efektivitasnya  akan  dibandingkan  dengan  metode Preconditioned Gauss-Seidel (PGS), (dikenal juga sebagai Full-Sweep Preconditioned Gauss- Seidel (FSPGS)) dan Gauss-Seidel (GS) sebagai metode kontrol. Contoh masalah juga disajikan untuk menguji efektivitas metode yang diusulkan. Temuan penelitian ini menunjukkan bahwa metode iteratif yang diusulkan yaitu HSPGS lebih unggul dibandingkan dengan metode FSPGS dan GS.
Kata Kunci : Turunan pecahan Caputo; Skema Implisit; Metode HSPGS

## PENDAHULUAN
Menurut  penelitian  sebelumnya  Agrawal,
O.  P.  (2002),  Chaves,  A.  S.  (1998), Diethelm,  K.,  &  Freed,  A.  D.  (1999), Mainardi, F. (1997) & Meerschaert, M. M.,
&  Tadjeran,  C.  (2004)  penggunaan persamaan  turunan    parsial  pecahan  telah menarik banyak peneliti di bidang matematika,  fisika,  teknik,  kimia  untuk mendapatkan  solusi  numerik  dan  /  atau analitis  dari  masalah.  Misalkan,  turunan pecahan  menggantikan  turunan  parsial ruang orde pertama dalam model difusi dan
menyebabkan  difusi  lebih  lambat.  Dengan mempertimbangkan teknik numerik persamaan resapan pecahan waktu, banyak metode  yang  diusulkan  seperti  metode transformasi  (Yuste,  S.  B.,  &  Acedo,  L., 2005),  elemen  hingga  bersama-sama dengan  metode  garis,  metode  beda  hingga eksplisit dan implisit(Yuste, S. B., 2006 &
Zhang, 2009). Konsep metode iteratif telah diteliti oleh banyak peneliti seperti Young, Hackbusch  dan  Saad  yang  telah  telah mengusulkan  dan  membahas  beberapa keluarga metode iteratif. Selain itu, konsep
iterasi  blok  juga  telah  diperkenalkan  oleh Evans, Yousif dan Evans dalam tulisannya juga menunjukkan efisiensi waktu komputasi dari metode iterative tersebut. Di antara  metode  iteratif  yang  ada,  metode iteratif preconditioned (Ghuang-Hui, 2006,
Zhao, 2000, Hoang-hao, 2009,
Gunawardena,  et.al.,  1991,  Saad,  1996) telah diterima secara luas sebagai salah satu metode  yang  efisien  untuk  menyelesaikan sistem linier.
Tujuan  utama  dari  penelitian  ini, adalah  menguji  efektivitas  metode  iteratif Half-Sweep  Preconditioned  Gauss-Seidel (HSPGS)  untuk  menyelesaikan  persamaan beda  parsial  parabola  pecahan  waktu berdasarkan  persamaan  aproksimasi  beda hingga implisit Caputo. Untuk menunjukkan kemampuan metode HSPGS
ini, dalam artikel ini juga mengimplementasikan metode iteratif Full- Sweep Preconditioned Gauss Seidel
(FSPGS) dan Gauss Seidel, sebagai metode kontrol.  Untuk  menunjukkan  efisiensi metode  HSPGS  ini,  dipertimbangkan persamaan  beda  parsial  parabola  pecahan waktu didefinisikan sebagai ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x U x c x t x U x b x t x U x a t x U , , , , 2 2 +   +   =     (1)
dimana  a(x),  b(x)  dan  c(x)  adalah fungsi  atau  konstanta  yang  diketahui, sedangkan  α  adalah  parameter  yang mengacu pada turunan orde pecahan waktu.
Susunan  bagian  dalam  artikel  ini adalah  sebagai  berikut:  dalam  bagian selanjutnya  setelah  pedahuluan  dibahas suatu  aproksimasi  atau  perkiraan  rumus operator  turunan  pecahan  Caputo  dan prosedur  numerik  untuk  menyelesaikan persamaan  resapan  pecahan  waktu  (1) dengan menggunakan metode beda hingga implisit  yang  digunakan.  Dalam  bagian selanjutnya,  perumusan  metode  iteratif HSPGS diperkenalkan. Kemudian dilanjutkan  dengan  contoh-contoh  soalan numerik  yang  akan  di  uji    dan  hasil  serta kesimpulannya,  diberikan  dalam  Bagian terakhir

## APROKSIMASI BEDA HINGGA CAPUTO
Sebelum mengembangkan persamaan diskrit  masalah  (1).  Pada  bagian  ini, beberapa definisi dasar untuk teori turunan pecahan  yang  digunakan  dalam  makalah ini.
Definisi  1.  [8]  Operator  integral  pecahan Riemann-Liouville ,  J orde- 
didefinisikan sebagai
( ) ( ) ( ) ( )  −  = x dt t f t x x f J 0 1    , 0   , 0  x (2)
Definisi  2.[8]  Operator  turunan  parsial pecahan  Caputo,  D orde  -  didefinisikan sebagai
( ) ( ) ( ) ( ) ( )  + − − −  = x m m dt t x t f m x f D 0 1 , 1    0   (3)
dengan , 1 m m   −  m  N, 0  x
Tulisan  ini  mencoba  mengkaji  metode iteratif  Half-Sweep  Preconditioned  Gauss- Seidel (HSPGS) yang dibandingkan dengan metode  iteratif  Full-Sweep  Preconditioned Gauss-Seidel  (FSPGS)  dan  Gauss-Seidel (GS) untuk menyelesaikan Soal (1) dengan variabel  koefisien.  Dalam  menyelesaikan numerik  Soal  (1),  diperoleh  pendekatan numerik  berdasarkan  definisi  turunan Caputo dengan kondisi batas Dirichlet dan mempertimbangkan operator turunan pecahan non-lokal. Persamaan aproksimasi ini  dapat  dikategorikan  sebagai  skema stabil tanpa syarat. Pada kekuatan Soal (1), domain solusi dari masalah telah dibatasi ke domain  ruang  hingga,    x 0 dengan 1 0    ,  sedangkan  parameter  mengacu pada  orde  pecahan  dari  turunan  ruang. Untuk  penyelesaian  Soal  (1),    perhatikan
kondisi  awal  dan  batas  Soal  (1)  diberikan sebagai
( ) ( ) , , 0 0 t g t U = ( ) ( ) , ,
1 t g t U =  dan kondisi awal ( ) ( ) , x f , x U = 0
dimana ( ) ( ) , t g , t g 1 0 dan ( ) , x f adalah suatu fungsi. Pendekatan diskrit terhadap turunan pecahan waktu dalam Persamaan. (1), kami menganggap  turunan  parsial  pecahan Caputo  dari  order-  ,  yang  didefinisikan oleh [8,9]
( ) ( ) ( )( ) 2 1 , 0 , 2 1 , 0 1 2 2    −  −  −  =     −      t ds s t t s x u x t x u (4)
Berdasarkan  Persamaan.  (4),  rumusan turunan parsial pecahan Caputo dari metode aproksimasi orde pertama diberikan sebagai:
( ) ( )  = − + − −  n j j n , i j n , i j k , n , i t U U U D 1 1      (5)
Dan  kemudian  ditetapkan  sebagai  berikut:
( )( )      k k − −  = 1 1 1 , dan ( ) ( ) . 1 1 1     − − − − = j j j
Sebelum  mendiskritisasi  Masalah  (1), domain  solusi  masalah  dipartisi  secara seragam. Untuk melakukan ini,
dipertimbangkan  beberapa  bilangan  bulat positif m dan n di mana ukuran grid dalam arah ruang dan waktu untuk algoritma beda hingga  didefinisikan  sebagai m x h
0 −  =  = dan n T t k =  = .  Berdasarkan  ukuran  grid
ini,  dibangun  jaringan  grid  seragam  dari domain solusi di mana titik-titik grid dalam
interval  ruang    , 0 ditunjukkan  sebagai angka , ih x i = m ,..., , , i 2 1 0 = dan  titik-titik grid dalam interval waktu   T , 0 diberi  label , jk t j = .  Kemudian  nilai-nilai fungsi ( ) t x U , pada titik-titik grid dilambangkan                              sebagai ( ) j i j i t x U U , , = Dengan menggunakan
persamaan. (5) dan skema diskritisasi beda hingga  implisit,  persamaan  aproksimasi beda hingga implisit Caputo dari Soal (1) ke titik  grid  yang  berpusat  di ( ) ( ) nk , ih t , x j i = diberikan
sebagai
( ) ( )  = − + − − n j j n i j n i j k U U 1 , 1 , ,     ( ) ( ) , 4 1 2 4 1 , , 2 , 2 , 2 , , 2 2 n i i n i n i i n i n i n i i U c U U h b U U U h a + − + + − = − + + − (6)
untuk i=1,2...,m-1.
Menurut Persamaan. (6), persamaan aproksimasi ini dikenal sebagai persamaan aproksimasi  beda  hingga  implisit  penuh yang  konsisten  dengan  akurasi  orde  satu dalam waktu dan orde kedua dalam ruang.
Pada dasarnya, persamaan aproksimasi (6) dapat  ditulis  ulang  berdasarkan  tingkat waktu yang ditentukan. Untuk 2  n :
( ) ( ) , 4 4 2 4 4 1 , 2 2 , 2 , 2 2 , 1 , ,  = + − − + −       + +       − +       − = − n j n i i i n i i i n i i i j n i j n i j k U h b h a U h a c U h b h a U U     (7a)
( ) ( )  = + − − + − + + = −  n j n i i n i i n i i j n i j n i j k U r U q U p U U 1 , 2 , , 2 , 1 , , ,    
dimana
, 4 4 2 h b h a p i i i − = , 2 2 h a c q i i i − = h b h a r i i i 4 4 2 + = untuk n = 1,
1 ,..., 2 , 1 , 1 , 1 , 2 1 , 1 , 2 − = = − + − +  − m i f U r U q U p i i i i i i i (7b)
dengan
( ) 1 =   j , , , i k i q q − =    1 , , 1 , i k i U f   = .
Menurut  Persamaan.  (7b),  dapat  dilihat bahwa  sistem  linier  tridiagonal  dapat dibangun  dalam  bentuk  matriks  sebagai berikut
f U A ~ ~ = (8) dengan ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 − − − − − − −                     − − − − − − − − = m x m * m m m * m m * * * q p r q p r q p r q p r q
A      T , m , m ~ U U U U U U 1 1 1 2 31 21 11 − − =    T , m m , m , m ~ U p U U U U U p U f 1 1 1 1 1 2 31 21 01 1 11 − − − + + = 

## PERUMUSAN METODE
HALF-

## SWEEP  PRECONDITIONED  GAUSS- SEIDEL
Seperti  disebutkan  di  atas,  sistem linier  tridiagonal  dalam  Persamaan.  (8), jelas bahwa karakteristik matriks koefisiennya  berskala  besar  dan  jarang. Sebenarnya konsep berbagai metode iteratif telah  dirintis  dan  dilakukan  oleh  banyak peneliti seperti, Young , Hackbusch, Saad, Evans, Yousif and Evans dan Othman dan Abdullah.  Untuk  menyelesaikan  sistem linier  tridiagonal,  Abdullah  memprakarsai metode  Half-Swep  Gauss-Seidel  (HSGS), yang merupakan teknik iteratif yang paling dikenal  dan  banyak  digunakan  untuk menyelesaikan  setiap  sistem  linier.  Selain itu  konsep  iterasi  Half-Sweep  telah dipelajari secara luas oleh banyak peneliti; Seperti  Ibrahim  dan  abdulah,  Othman  dan
Abdullah,  Suliaman  dkk.,  Aruchunan  dan Sulaiman,  Muthuvalu  dan  Sulaiman  dan Yousif  dan  dan  disebutkan  di  bagian  atas, banyak  peneliti  telah  membahas  berbagai metode  preconditioned  seperti  Ghuang- Hui,  Zhao  ,  Hoang-hao,  Gunawardena, Young,  Hackbusch,  Saad,  Yousif  dan Evans. Untuk mendapatkan solusi numerik dari  sistem  linier  tridiagonal  (8),  kami mempertimbangkan  metode  iteratif  Half-
Sweep Preconditioned Gauss-Seidel
(HSPGS) yang paling dikenal dan digunakan secara luas untuk menyelesaikan setiap sistem linier(Kohno, et. al., 1997).
Sebelum  menerapkan  metode  iteratif HSPGS,  perlu mentransformasikan sistem linier  dalam  persamaan  (8)  menjadi preconditioned sistem linier
~ * ~ * f x A = (9)
dengan,
T * PAP A = , ~ ~ * f P f = , ~ T ~ x P U = .
Sebenarnya, matriks P disebut preconditioned  matriks  dan  didefinisikan sebagai [19]
S I P + = dimana ( ) ( ) 1 1 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − − −        

           − − − − = m x m m r r r r S   
dan matriks I adalah matriks identik. Untuk merumuskan  metode  HSPGS,  matriks koefisien * A pada persamaan (8)
dinyatakan sebagai penjumlahan dari ketiga matriks
V L D A * − − = (10)
di  mana  D,  L  dan  V  berturut-turut  adalah matriks  diagonal,  segitiga  bawah,  dan segitiga atas. Dengan menggunakan Persamaan.  (8)  dan  (10),  rumusan  metode iteratif  HSPGS  dapat  didefinisikan  secara umum sebagai [9,16,17,18,19]
( ) ( ) ( ) ( ) * ~ k ~ k ~ f L D x V L D x 1 1 1 − − + − + − = (11)
di  mana ( ) 1 + k ~ x mewakili  vektor yang tidak diketahui  pada (k+1) iterasi.  Implementasi metode  iteratif  HSPGS  dapat  dijelaskan pada Algoritma 1.
Algorithm 1: HSPGS method
i. Set 0 ~  U dan 10 10 −   . ii. Untuk implementasikan
Untuk hitung
Test Konvergen. Jika kriteria konvergen
adalah
terpenuhi, Menuju Step (iii). Jika tidak kembali ke Step (i).
iii  Tampilkan Solusi Aproksimasi
PERHITUNGAN NUMERIK (12Pt,
Bold)
Pada  bagian  t  ini,  salah  dua  contoh persamaan reapan pecahan waktu diberikan
untuk menggambarkan akurasi dan efektivitas  sifat  dari  metode  Gauss-Seidel (GS) dan Full-Sweep Gauss-Seidel
(FSPGS)  dan  Half-Sweep  Preconditioned Gauss-Seidel (HSPGS). Sebagai
perbandingan,  ada  tiga  kriteria  yang dipertimbangkan seperti jumlah iterasi (K), waktu eksekusi (dalam detik) dan kesalahan absolut  maksimum  (Max  Error)  pada  tiga nilai yang berbeda yaitu = 0,25, = 0,50 dan =  0,75.  Untuk  implementasi  tiga  skema iterative tersebut, uji konvergensi menggunakan  kesalahan  toleransi  sebesar
 = 10 10 − .
Soalan 1: [31]
Pertimbangkan  masalah  nilai  batas  awal pecahan waktu diberikan sebagai berikut
( ) ( ) 0 , 0 , 1 0 , , , 2 2        =   t x x t x U t t x U     (12)
di  mana  kondisi  batas  dinyatakan  dalam istilah pecahan
( ) ( ) , 1 2 , 0 +  =   kt t U ( ) ( ) , 1 2 , 2 +  + =   kt t U   (13)
dan kondisi awal
( ) 2 0 x , x U = (14)
Dari  persamaan  (12),  dengan 1 =  dapat direduksi menjadi persamaan difusi standar
( ) ( ) 0 0 2 2       =   t , x , x t , x U t t , x U (15)
dengan kondisi awal
( ) , x , x U 2 0 =
dan kondisi batas
( ) , 2 , 0 kt t U =
( ) kt t U 2 , 2 + =   ,
n , , , j  2 1 = 1 2 1 − = m , , , i  ( ) ( ) ( ) ( ) * ~ k ~ k ~ f L D x V L D x 1 1 1 − − + − + − = ( ) ( ) 1 1 + + = k ~ T k ~ x P U ( ) ( ) 10 1 10 − + =  −  k ~ k ~ U U
Kemudian  solusi  analitik  dari  Persamaan (12) dapat diperoleh sebagai berikut:
( ) . 2 , 2 kt x t x U + =

## Selanjutnya dengan menerapkan seri
( ) ( ) ( ) ( )   − =  = + − = + + + +    +   = 1 0 1 1 0 1 0 , ! 0 , , m n n i n m i i mn i mn n n n i n t t x U n t t x U t x U   dengan ( ) t x U , dan , 1 0    dapat ditunjukkan  bahwa  solusi  analitik  dari
Persamaan  (12)  dapat  deperoleh  sebagai berikut
( ) ( ) 1 2 , 2 +  + =   t k x t x U .
Soalan 2: [31]
Pertimbangkan  masalah  nilai  batas  awal pecahan  waktu yang didefinisikan sebagai:
( ) ( ) 0 , 0 , 1 0 , , 2 1 , 2 2 2        =   t x x t x U x t t x U    
(16)
di  mana  kondisi  batas  diberikan  dalam bentuk pecahan
, 0 ) , 0 ( = t U , ) , 1 ( t e t U = (17a)
dan kondisi awal
( ) 2 0 x , x U = .                                                  (17b)
Dari  Persamaan  (16),  dengan 1 = 
Persamaan.  (16)  dapat  direduksi  menjadi persamaan difusi standar
( ) ( ) 0 , 0 , , 2 1 , 2 2 2      =   t x x t x U x t t x U  (18)
Maka  solusi  analitik  dari  Persamaan  (16) diperoleh sebagai berikut:
t e x t x U 2 ) , ( = .
kemudian dengan menerapkan seri
   − =  = +  − = + + + +     +   = 1 0 1 1 0 1 0 0 m n n i n m i i mn i mn n n n ) i n ( t t ) , x ( U ! n t t ) , x ( U ) t , x ( U
dengan ( ) t x U , dan , 1 0    dapat ditunjukkan  bahwa  solusi  analitik  dari Persamaan  (12)  dapat  deperoleh  sebagai berikut
      + +  + +  + +  + = ... ) 1 3 ( ) 1 2 ( ) 1 ( 1 ) , ( 3 2 2       t t t x t x U
Semua  hasil  komputasi  numerik  untuk Persamaan  (12)  dan  (16),  yang  diperoleh dari  implementasi  metode  iterasi  GS, FSPGS  dan  HSPGS  telah  dicatat  pada Tabel 1 dan Tabel 2 dengan nilai mesh yang berbeda, yaitu m = 128, 256, 512, 1024, dan 2048.

## SIMPULAN
Untuk  solusi  numerik  dari  masalah persamaan  resapan  pecahan  waktu,  artikel ini  menyajikan  turunan  dari  persamaan aproksimasi beda hingga implisit Caputo di mana persamaan aproksimasi ini mengarah pada  sistem  linier  tridiagonal.  Dari pengamatan terhadap semua hasil komputasi  numerik  dengan  menerapkan metode  iteratif  GS,  FSPGS  dan  HSPGS, terlihat  bahwa  jumlah  iterasi  mengalami penurunan  sekitar  71,99-91,07%,  yang berarti  metode  iteratif  HSPGS  lebih  baik dibandingkan  dengan  metode  FSPGS  dan GS.  Kemudian  dalam  hal  waktu  eksekusi, implementasi  metode  HSPGS  jauh  lebih cepat  sekitar  69,78-95,82%  dibandingkan metode  FSPGS  dan  GS.  Artinya  metode HSPGS  membutuhkan  jumlah  iterasi  dan waktu komputasi paling sedikit dibandingkan dengan metode iterasi FSPGS dan GS. Berdasarkan akurasi ketiga metode  iteratif,  dapat  disimpulkan  bahwa solusi  komputasi  numerik  HSPGS  juga yang  paling  baik  dibandingkan  kedua metode lainnya yaitu FSPGS dan GS.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdullah,  A.  R.  (1991).  The  four  point
Explicit  Decoupled  Group  (EDG) method:  A  fast  Poisson  solver. International  Journal  of  Computer Mathematics, 38 (1-2), 61-70. Agrawal,  O.  P.  (2002).  Solution  for  a fractional  diffusion-wave  equation defined  in  a  bounded  domain. Nonlinear Dynamics, 29 (1), 145-155. Chaves, A. S. (1998). A fractional diffusion equation  to  describe  Lévy  flights. Physics Letters A, 239 (1-2), 13-16. Cheng, G. H., Huang, T. Z., & Cheng, X. Y. (2006).  Preconditioned  Gauss-Seidel type iterative method for solving linear systems. Applied  Mathematics  and Mechanics, 27 (9), 1275-1279.
Diethelm, K., & Freed, A. D. (1999). On the solution  of  nonlinear  fractional-order differential  equations  used  in  the modeling of viscoplasticity. In Scientific  computing  in  chemical engineering II (pp. 217-224). Springer, Berlin, Heidelberg.
Evans, D. J. (1985). Group explicit iterative methods  for  solving  large  linear systems. International  Journal  of Computer Mathematics, 17 (1), 81-108. Evans,  D.  J.,  &  Yousif,  W.  S.  (1986). Explicit  Group  Iterative  Methods  for solving  elliptic  partial  differential equations  in  3-space  dimensions. International  journal  of  computer mathematics, 18 (3-4), 323-340.
Gunawardena, A. D., Jain, S. K., & Snyder, L. (1991). Modified iterative methods for  consistent  linear  systems.  Linear Algebra  and  Its  Applications,  154, 123-143.
Hackbusch, W. (1994). Iterative solution of large sparse systems of equations (Vol. 95,  pp.  xxii+-429).  New  York: Springer.
Hhonghao,  H.,  Dongjin,  Y.,  Yi,  H.,  & Jinqiu, X. (2009, May).
Preconditioned  gauss-seidel  iterative
method  for  linear  systems.  In 2009
International  Forum  on  Information Technology and Applications (Vol. 1, pp. 382-385). IEEE.
Kohno,  T.,  Kotakemori,  H.,  Niki,  H.,  & Usui,  M.  (1997).  Improving  the modified Gauss-Seidel method for Z- matrices. Linear  Algebra  and  its Applications, 267 , 113-123.
Mainardi, F. (1997). Fractional calculus. In
Fractals  and  fractional  calculus  in continuum  mechanics (pp.  291-348). Springer, Vienna.
Meerschaert, M. M., & Tadjeran, C. (2004).
Finite  difference  approximations  for fractional  advection–dispersion  flow equations. Journal of computational and applied mathematics, 172 (1), 65-77.
Othman,  M.  B.,  &  Bin  Abdullah,  A.  R.
(1998).  The  Halfsweeps  Multigrid method  as  a  fast  Multigrid  Poisson solver. International journal of computer  mathematics,  69 (3-4),  319- 329.
Saad, Y, (1996). Iterative method for sparse linear  systems .  Boston:  International Thomas Publishing.
Young, D. M. (2014). Iterative solution of large linear systems. Elsevier .
Yuste,  S.  B.,  &  Acedo,  L.  (2005).  An explicit  finite  difference  method  and  a new von Neumann-type stability analysis for fractional diffusion equations. SIAM  Journal  on  Numerical Analysis, 42 (5), 1862-1874.
Yuste,  S.  B.  (2006).  Weighted  average finite  difference  methods  for  fractional diffusion equations. Journal of Computational Physics, 216 (1), 264-274. Zhao, J., Zhang, G., Chang, Y., & Zhang, Y. (2000). A  new  preconditioned  gauss- seidel  method  for  linear  systems, mathematics subject classification . Zhang,  Y.  (2009).  A  finite  difference method for fractional partial differential equation.
Applied Mathematics and Computation,
215 (2), 524-529.