## TEORI APOS DAN IMPLEMENTASINYA DALAM PEMBELAJARAN

## Mulyono
Jurusan Matematika FMIPA UNNES Jl. Sekaran Gunungpati Semarang 50229, email: arifahsaptari@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Belajar  merupakan  kerja  mental  secara  aktif.  Teori  APOS  merupakan  teori  yang  mempelajari bagaimana  individu  belajar  konsep  matematika.  Teori  ini  mengemukakan  bahwa  dalam membangun  sebuah  konsep  matematika,  individu  melalui  tahap-tahap  aksi,  proses,  objek,  dan skema.  Untuk  mengetahui  bagaimana  individu  bekerja  dan  berpikir  ketika  berada  pada  tahap- tahap  itu  perlu  dilakukan  wawancara  yang  mendalam.  Seseorang  mungkin  bisa  berhasil  melalui semua  tahap  tersebut,  bisa  juga  gagal.  Meskipun  sama-sama  berhasil  atau  sama-sama  gagal, antara  individu  satu  dengan  yang  lainnya,  mungkin  berbeda  aktivitas  mental  yang  dilakukan. Dengan teori  ini  pengembang pendidikan dapat  membuat  model pembelajaran  yang berorientasi pada  teori  ini.  Teori  ini  menyediakan  langkah-langkah  konstruksi  konsep  matematika,  model pembelajaran yang dikembangkan dapat memasukkan langkah-langkah ini ke dalam model yang dibuat pada langkah-langkah pembelajarannya.
Kata kunci: Teori APOS, konsep matematika, model pembelajaran

## PENDAHULUAN
Belajar  merupakan  suatu  proses  yang bersifat  internal  pada  individu  dalam  usaha memperoleh  berbagai  hubungan  baru.  Pada dasarnya ketika seseorang belajar terjadi proses berpikir,  sebab  pada  saat  belajar  ia  melakukan kegiatan  mental.  Dalam  berpikir  itu  seseorang menghubungkan antara bagian-bagian informasi  yang  telah  ada  dalam  pikiran. Pengetahuan  yang  diperoleh  melalui  informasi kemudian  dihubungkan  dengan  pengetahuan yang sudah ada, membentuk pengertian baru.
Pembelajaran  matematika  di  sekolah banyak dipengaruhi oleh filsafat konstruktivisme.  Konstruktivisme  saat  ini sangat  populer  tidak  hanya  dalam  bidang pendidikan,  tetapi  juga  dalam  bidang  psikologi perkembangan,  ilmu  sosial, psychology  of gender , dan teknologi komputer.
Konstruktivisme  lahir  dari  gagasan  Piaget  dan Vygotsky.  Keduanya  menekankan  bahwa
perubahan kognitif hanya terjadi jika konsepsi- konsepsi  yang  telah  dipahami  sebelumnya diolah  melalui  suatu  proses  disequilibrium dalam  upaya  memahami  informasi-informasi baru.  Konstruktivisme  memandang  bahwa pengetahuan merupakan hasil konstruksi kognitif  melalui  aktivitas  seseorang.  Menurut pandangan  konstruktivisme,  pengetahuan  perlu dikonstruk  atau  dibangun  sendiri  oleh  individu yang ingin tahu atau perlu memahaminya.
Bagaimana individu mengkonstruk sebuah  konsep  matematika?  Teori  APOS muncul  sebagai  upaya  untuk  mempelajari  hal ini.  Teori  ini  memperluas  ide  Piaget  tentang abstraksi  reflektif.    Teori  ini  mengemukakan bahwa individu mengkonstruksi konsep matematika  melalui  empat  tahap,  yaitu:  aksi, proses, objek, dan skema. Bagaimana mengimplementasikan teori ini untuk membantu  proses  pembelajaran?  Tulisan  ini akan  memaparkan  kedua  hal  ini,  yaitu
konstruksi  konsep  matematika  dan  pendekatan pembelajaran.

## PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  tentang  (1) pembentukan  dan  perkembangan  pengetahuan, (2)  konstruksi  konsep  matematika  menurut Teori APOS, dan (3) Implementasi Teori APOS dalam pembelajaran matematika.
Pembentukan
dan

## Perkembangan Pengetahuan
Pengetahuan  manusia  itu  pada  dasarnya adalah  aktif.  Mengetahui  adalah  mengasimilasi realitas  dalam  sistem-sistem  transformasi. Mengetahui  adalah  mentransformasi  realitas agar  dapat  dimengerti  bagaimana  realitas tertentu  itu  terbentuk,  sehingga  pengetahuan bukanlah  tiruan  pasif  atas  realitas.  Mengetahui sesuatu  adalah  bertindak  atas  sesuatu  itu,  yaitu membentuk  sistem  transformasi  yang  dapat menjelaskan  hal  tersebut.  Mengerti  realitas adalah  membentuk  sistem  transformasi  yang berkaitan dengan realitas tersebut.
Menurut  Piaget  (dalam  Suparno,  1997) semua  pengetahuan  adalah  suatu  konstruksi (bentukan) kegiatan/tindakan seseorang.
Pengetahuan ilmiah itu berevolusi, berubah dari waktu  ke  waktu.  Pemikiran  ilmiah  bersifat sementara,  tidak  statis,  dan  merupakan  proses. Pemikiran  ilmiah  merupakan  proses  konstruksi dan reorganisasi yang terus menerus.
Pengetahuan bukanlah sesuatu yang ada di luar, melainkan  ada  di  dalam  diri  seseorang  yang membentuknya. Dalam pembentukan pengetahuan,  Piaget  membedakan  tiga  macam
pengetahuan, yakni: pengetahuan fisis, matematis-logis, dan sosial.
Menurut  Piaget  (dalam  Suparno,  2001) pengetahuan  seseorang  merupakan  abstraksi atas  suatu  objek  atau  hal.  Piaget  membedakan adanya  dua  macam  abstraksi,  yaitu:  abstraksi sederhana dan abstraksi reflektif.
Abstraksi  sederhana adalah  abstraksi  yang didasarkan  pada  objek  itu  sendiri.  Dalam abstraksi  ini,  orang  menemukan  pengertian sifat-sifat objek itu sendiri secara langsung. Pengetahuan  tersebut  merupakan  abstraksi langsung  atas  objek  itu.  Inilah  yang  juga disebut  pengetahuan  eksperimental  atau empiris.
Abstraksi  reflektif adalah  abstraksi  yang didasarkan  pada  koordinasi,  relasi,  operasi, dan penggunaan yang tidak langsung keluar dari  sifat-sifat  dari  objek  itu  sendiri,  tetapi dari  tindakan  terhadap  objek  itu.  Inilah yang disebut abstraksi logis atau matematis. Misalnya,  berhadapan  dengan  7  kelereng, seorang  anak  menghitung  kelereng  itu sampai 7. Ia menjajarkannya dan menghitungnya, tetap sama 7. Ia meletakkan  kelereng  di  dalam  kaleng, dihitung lagi, hasilnya tetap 7. Ia mengubah-ubah  susunan  kelereng  dan dihitung,  hasilnya  tetap  7.  Anak  itu menemukan prinsip komutatif bahwa jumlah  kelereng  tetap  sama  meskipun susunannya diubah-ubah. Ia juga menemukan  pengertian  tentang  angka  7. Sifat  tersebut  tidak  terdapat  pada  kelereng, tetapi pada aksi terhadap kelereng.
Pengetahuan ini adalah pengetahuan matematis, bukan fisis.

## Konstruksi  Konsep  Matematika  Menurut Teori APOS
Teori  perkembangan  kognitif  dan  teori pengetahuan Piaget cukup banyak mempengaruhi  bidang  pendidikan,  terutama perkembangan  pengetahuan  pebelajar  dan  juga bagaimana  pebelajar  belajar  serta  bagaimana pengajar membimbing pebelajar belajar. Piaget adalah seorang peneliti yang sangat berpengaruh dalam bidang psikologi perkembangan  selama  abad  ke-20.  Menurut Piaget,  teori  psikologi  dapat  menggunakan konsep biologi,  bahwa intelegensi  dapat  dilihat sebagai  suatu  adaptasi  organisme  terhadap lingkungannya. Tingkah laku untuk beradaptasi dengan  lingkungan  selalu  dikontrol  oleh organisasi mental yang disebut skema. Seorang individu  akan  mengkonstruk  skema  baru dengan menggunakan abstraksi reflektif.
Dubinsky,  dkk  (2000)  mengadaptasi  ide  Piaget menjadi  teori  perkembangan  skema  seseorang yang  berpusat  pada  berpikir  secara  matematis, berupa  kerangka  APOS  (Aksi-Proses-Objek- Skema).
Teori  APOS  hadir  diawali  dengan hipotesis  bahwa  pengetahuan  matematika terkandung  dalam  kecenderungan  individu berkaitan dengan situasi permasalahan
matematika yang dihadapi dengan mengkonstruk aksi , proses ,  dan objek  mental dan  mengorganisasikan  mereka  ini  dalam skema untuk  memahami  situasi  itu  dan
memecahkan  masalah  tersebut.  Konstruksi- konstruksi  mental  ini  disebut  Teori  APOS.  Ide ini  muncul  dari  usaha  untuk  mengembangkan karya  Piaget  pada  abstraksi  reflektif  dalam pembelajaran  anak-anak  ke  level  pembelajaran matematika  perguruan  tinggi.  Teori  APOS  ini muncul  sebagai  usaha  untuk  memahami mekanisme  dari  abstraksi  reflektif  yang diperkenalkan oleh Piaget untuk menggambarkan  perkembangan  berpikir  logis pada anak-anak, dan mengembangkan ide ini ke konsep matematika yang lebih lanjut.
Menurut  Dubinsky  (2000)  karakteristik- karakteristik  yang  harus  dimiliki  oleh  suatu teori pembelajaran adalah sebagai berikut.
1) Mendukung prediksi.
2) Memiliki kemampuan untuk menjelaskan .
3) Dapat diterapkan pada jangkauan fenomena yang luas.
4) Membantu  mengorganisaskani  pemikiran tentang fenomena-fenomena belajar.
5) Sebagai alat untuk menganalisis data.
6) Menyediakan
bahasa
untuk mengkomunikasikan tentang pembelajaran.
Dubinsky,  dkk  (2000)  mengemukakan bahwa  teori  APOS  adalah  teori  konstruktivis yang  mempelajari  bagaimana  belajar  konsep matematika. Teori ini didasarkan pada hipotesis tentang  sifat  pengetahuan  matematika  dan bagaimana  pengetahuan  matematika  yang berikut ini.
An individual’s mathematical knowledge is her or his tendency to respond to perceived mathematical  problem  situations  and  their solutions  by  reflecting  on  them  in  a  social context  and constructing or reconstructing mathematical actions, processes and
objects  and organising  these in  schemas to use in dealing with the situations .
Teori  APOS  adalah  elaborasi  tentang konstruksi  mental  dari  aksi,  proses,  objek,  dan skema. Menurut Dubinsky, kerangka kerja teori APOS dalam mengkonstruk konsep matematika adalah sebagai berikut.
An action is  transformation  of  an  object which  is  perceived  by  the  individual  as being  external.  The  transformation  is carried out by reacting to external cues that give  precise  details  on  what  steps  to  take . When  an  action  is  repeated,  and  the individual  reflects  upon  it,  it  may  be interiorized  into a  process . That  is,  an internal construction is made that performs the  same  action,  but  now  not  necessarily directed  by  external  stimuli . When  an individual  reflects  on  actions  applied  to  a particular  process,  became  aware  of  the process  as  a  totality,  realizes  that transformations ( whether they be actions or process ) can  act  on  it , and  is  able  to actually  construct  such  transformations , then we say the individual has reconstructed  this  process  as  a  cognitive object .  A schema for  a  certain  piece  of mathematics is an individual’s collection of actions , processes , objects , and  other schema  which  are  linked  consciously  on unconsciously  in  a  coherent  framework  in the  individual’s  mind  and  may  be  brought to  bear upon a problem  situation involving that area of mathematics .
Menurut  teori  APOS, aksi merupakan suatu  aktivitas  berupa  pengulangan  fisik  atau manipulasi  mental  yang  mendasarkan  pada beberapa  algoritma  secara  eksplisit.  Aksi  ini merupakan  reaksi  dari  rangsangan  yang  subjek terima  dari  eksternal.  Aksi  dapat  dimaksudkan sebagai  transformasi  fisik  atau  mental  dari objek  untuk  memperoleh  objek  lain.  Apabila aksi  dilakukan  secara  berulang,  dan  dilakukan
refleksi  atas  aksi  itu,  maka  aksi-aksi  tersebut diinteriorisasi  menjadi proses ,  yaitu  suatu konstruksi  internal  yang  dilakukan  pada  aksi yang sama tetapi sekarang tidak perlu langsung dari  rangsangan  eksternal.  Individu  dapat mengkonstruk  objek  kognitif  dengan  dua  cara. Pertama,  jika  seorang  individu  merefleksi  aksi yang  diterapkan  untuk  proses  tertentu,  dan sadar  bahwa  proses  sebagai  totalitas,  ternyata bahwa  transformasi  (apakah  aksi  atau  proses) dapat  dilakukan  dan  dapat  dikonstruk  secara aktual  sebagai  transformasi,  maka  individu tersebut  melakukan  rekonstruksi  proses  ini sebagai  objek  kognitif.  Pada  kasus  ini, dikatakan bahwa proses di-enkapsulasi ( encapsulated )  menjadi objek .  Kedua,  untuk mengkonstruk  suatu  objek  kognitif,  seorang individu  melakukan  refleksi  pada  suatu  skema tertentu  dan  sadar  bahwa  skema  tersebut sebagai  totalitas  serta  dapat  melakukan  aksi padanya.  Pada  kasus  ini,  dikatakan  bahwa individu  men- tematisasi ( thematized )  skema menjadi objek. Skema untuk potongan matematika  tertentu  adalah  koleksi  individu atas  aksi,  proses,  objek,  dan  skema  lain  yang dikaitkan  dalam  kerangka  kerja  pada  pikiran individu  dalam  menghadapi  suatu  problem matematika.
Karakteristik-karakteristik teori pembelajaran  yang  telah  disebutkan  di  atas dikembangkan pada  Teori APOS. Teori APOS memenuhi enam karakteristik dari  teori pembelajaran yang dikemukakan oleh Dubinsky di atas, yaitu:
1) Mendukung prediksi . Kemampuan prediktif  dari  teori  APOS    berada  pada pernyataan  yang  tegas,  yaitu  bila  siswa membuat  konstruksi  mental  tertentu, maka  ia  akan  belajar  topik  matematika tertentu.
2) Memiliki
kemampuan untuk menjelaskan . Teori APOS dapat
digunakan untuk mendiskripsikan transkrip  interview  dalam  rincian  yang sangat  baik.  Teori  APOS  dapat  juga digunakan  untuk  mencoba  menemukan ide-ide  matematika  dan  kemungkinan yang  ada  berupa  performa  siswa. Kemudian mencoba menemukan penjelasan dari perbedaan dalam pengertian  mengkonstruksi  atau  tidak mengkonstruksi  aksi  tertentu,  proses, objek  dan/  atau  skema.  Teori  APOS
berupaya menjelaskan tentang keberhasilan dan kegagalan siswa.
3) Dapat  diterapkan  pada  jangkauan fenomena yang luas. Teori APOS dapat diterapkan  oleh  pengembangnya  dan juga  oleh  orang  lain,  untuk  sejumlah topik matematika.
4) Membantu
mengorganisasikan
pemikiran  tentang  fenomena-fenomena belajar. Teori  APOS  dapat  digunakan
untuk mengembangkan suatu dekomposisi  genetik  dari  suatu  konsep matematika sebagai satu cara
mengorganisasikan  pikiran  seseorang tentang  bagaimana  ia  dapat  belajar tentang konsep tertentu.
5) Sebagai  alat  untuk  menganalisis  data.
Suatu metode yang sangat khusus dalam menggunakan teori APOS untuk menganalisis  data  seperti  yang  telah disebutkan pada no. 2 di atas.
6) Menyediakan bahasa untuk mengkomunikasikan tentang
pembelajaran. Istilah-istilah  seperti aksi,  proses,  objek,  skema,  interiorisasi dan  enkapsulasi  sekarang  secara  umum digunakan dalam pembelajaran
matematika. Implementasi Teori APOS dalam

## Pembelajaran Matematika
Dalam  tulisan  ini  akan  dipaparkan implementasi  teori  APOS  dalam  pembelajaran matematika. Penulis melihat dari dua hal, yaitu: (a)  perkembangan  skema  individu  dan  (b) pendekatan  pembelajaran  berdasarkan  Teori APOS.

## Perkembangan Skema Individu
Menurut  Dubinsky  (2000),  pemahaman terhadap  suatu  konsep  matematika  merupakan hasil  konstruksi  atau  rekonstruksi  terhadap objek-objek matematika. Konstruksi atau rekonstruksi  itu  dilakukan  melalui  aktivitas aksi-aksi, proses-proses, dan objek-objek matematika  yang  diorganisasikan  dalam  suatu skema untuk memecahkan masalah matematika.  Hal  ini  dapat  dianalisis  melalui suatu  analisis  dekomposisi  genetik  ( genetic decomposition )  sebagai  operasionalisasi  dari Teori  APOS  ( Action , Process , Object ,  dan Schema ).  Hasil    analisis  dekomposisi  genetik
ini  adalah  suatu  penjelasan  dari  aksi,  objek, proses,  skema,  dan  relasi-relasinya  yang individu  miliki  untuk  konsep  ini.  Dari  sini dapat  diketahui  pemahaman  individu  yang berusaha  membangun  pemahamannya  tentang konsep-konsep matematika. Teori APOS merupakan teori konstruktivis tentang bagaimana  terjadinya/berlangsungnya  belajar suatu  konsep  atau  prinsip  matematika,  yang dapat digunakan sebagai suatu elaborasi tentang konstruksi  mental  dari  aksi,  proses,  objek,  dan skema.  Teori  ini  dapat  digunakan  sebagai  alat analisis  untuk  mendeskripsikan  perkembangan skema  seseorang  pada  suatu  topik  matematika yang  merupakan  totalitas  dari  pengetahuan yang terkait terhadap objek tersebut.
Perkembangan  skema  merupakan  suatu  proses yang dinamis dan selalu berubah.
Untuk  melihat  perkembangan  skema individu  berdasarkan  teori  APOS  terhadap konsep  matematika  yang  dipelajari  perlu diturunkan karakteristik dari definisi konstruksi-konstruksi mental yang dikemukakan  oleh  Dubinsky  di  atas.  Di  sini penulis  menurunkan  karakteristik  dari  aksi, proses, objek, dan skema sebagai berikut.
(i). Berdasarkan definisi Aksi , penulis menurunkan  karakteristik  dari Aksi adalah sebagai berikut.
1) Hanya menerapkan rumus atau langsung  menggunakan  rumus  yang diberikan.
2) Hanya  menerapkan  algoritma  yang sudah ada.
3) Hanya  mengikuti  contoh  yang  sudah ada sebelumnya.
4) Memerlukan langkah-langkah yang rinci untuk melakukan transformasi.
5) Kinerja  dalam  aksi  berupa  kegiatan prosedural.
(ii).  Berdasarkan  definisi Proses ,  penulis menurunkan  karakteristik  dari Proses adalah sebagai berikut.
1) Untuk  melakukan  transformasi  tidak perlu diarahkan dari rangsangan eksternal.
2) Bisa merefleksikan langkah-langkah transformasi  tanpa  melakukan  langkah- langkah itu secara nyata.
3) Bisa menjelaskan langkah-langkah transformasi  tanpa  melakukan  langkah- langkah itu secara nyata.
4) Bisa membalik langkah-langkah transformasi  tanpa  melakukan  langkah- langkah itu secara nyata.
5) Sebuah  proses  dirasakan  oleh  individu sebagai hal  yang internal, dan di bawah kontrol individu tersebut.
6) Proses  itu  merupakan  pemahaman prosedural.
7) Belum paham secara konseptual.
(iii).  Berdasarkan  definisi Objek ,  penulis menurunkan  karakteristik  dari Objek adalah sebagai berikut.
1) Dapat melakukan aksi-aksi pada objek.
2) Dapat  men-dekapsulasi  suatu  objek kembali menjadi proses dari mana objek itu berasal atau mengurai sebuah skema
yang  ditematisasi  menjadi  berbagai komponennya.
3) Objek  merupakan  suatu  pemahaman konseptual.
4) Dapat  menentukan  sifat-sifat  suatu konsep.
(iv).  Berdasarkan  definisi Skema ,  penulis menurunkan  karakteristik  dari Skema adalah sebagai berikut.
1) Dapat menghubungkan aksi, proses, dan objek  suatu  konsep  dengan  konsep lainnya.
2) Dapat menghubungkan (menginter- koneksikan)  objek-objek  dan  proses- proses dengan bermacam-macam cara.
3) Memahami  hubungan-hubungan  antara antara aksi, proses, objek, dan sifat-sifat lain yang telah dipahaminya.
4) Memahami  berbagai  aturan/rumus  yang perlu dilibatkan/digunakan.
Berdasarkan karakteristik yang diturunkan  penulis  ini,  perkembangan  skema individu dapat dieksplorasi. Bagaimana individu  bekerja  ketika  berada  dalam  tahap- tahap konstruksi yang dikemukakan dalam teori APOS dapat ditelusuri. Seseorang  yang sedang belajar  sebuah  konsep  matematika  mungkin bisa berhasil melewati semua tahap, atau gagal. Dan  yang  tak  kalah  penting  untuk  diungkap adalah  bagaimana  individu  berpikir  ketika berada  dalam  tahap-tahap  tersebut.  Mungkin saja  individu  yang  satu  dengan  yang  lainnya berbeda  cara  berpikirnya  dalam  tahap-tahap dari  APOS  tersebut.  Untuk  bisa  mengungkap
hal ini perlu dilakukan penggalian data dengan wawancara yang mendalam.
Pendekatan Pembelajaran Berdasarkan Teori APOS
Dubinsky,  dkk  (dalam  DeVries,  2001) mengemukakan suatu pendekatan pembelajaran berdasarkan  teori  APOS  yang  dinamakan  sikel pembelajaran  ACE.  Sikel  pembelajaran  ini meliputi:  (1) Activity (A),  yang  melibatkan kerja dengan komputer dengan bahasa pemrograman  yang  interaktif;  (2) Class discussion (C),  yang  memerlukan  adanya belajar kooperatif, dan (3) Exercise (E), adanya latihan  untuk  mengokohkan  atau  memperkuat konsep-konsep yang dikonstruksi.
Walaupun  Dubinsky  telah  memberikan suatu  pendekatan  pembejalaran  berdasarkan teori  APOS  ini,  penulis  berpendapat  masih terbuka  bagi  para  pengembang  pendidikan untuk  mengembangkan  model  pembelajaran yang  melibatkan  teori  APOS  ini.  Model pembelajaran yang dikembangkan bisa menggunakan  langkah-langkah  APOS  ketika siswa/mahasiswa  mengkonstruk sebuah konsep matematika.
Ada  dua  hal  yang  dipandang  sebagai karakteristik  pembelajaran  berdasarkan  teori APOS,  yaitu  pembelajarannya  meliputi:  (i) konstruksi-konstruksi mental dalam memahami suatu konsep matematika dan (ii) menggunakan  siklus  ACE.  Berikut  ini  adalah deskripsi  untuk  siklus  pembelajaran  ACE tersebut.
(1) Aktivitas ( activity )
Kegiatan  mahasiswa  di  laboratorium komputer  menggunakan  pemrograman  yang interaktif. Dubinsky dan kawan-kawan menggunakan
ISETL ( interactive SET language )  yaitu  bahasa  pemrograman  yang dirancang  untuk  pembelajaran  matematika dalam  mengerjakan  tugas-tugas  pemrograman secara  berkelompok.  Kegiatan  ini  bertujuan untuk  membantu  konstruksi  mental:  aksi, proses,  objek,  dan  skema.  Kegiatan  ini  lebih ditekankan  pada  upaya  untuk  memberikan mahasiswa suatu pengalaman daripada meminta  mereka  untuk  memberikan  jawaban yang  benar.  Melalui  kegiatan  ini  mahasiswa memperoleh  pengalaman  yang  berhubungan dengan isu-isu matematika yang akan dikembangkan di dalam perkuliahan.
Pengalaman yang mahasiswa peroleh selama di laboratorium  komputer  akan  merupakan  bekal bagi  mahasiswa  yang  bersangkutan  agar  dapat berperan  aktif  dalam  diskusi  kelas.  Dengan berbekal pengalaman dari laboratorium
komputer,  konsep-konsep  abstrak  yang  akan didiskusikan  di  kelas  tidak  sepenuhnya  asing bagi  mahasiswa,  melainkan  dianggap  sebagai suatu  elaborasi  terhadap  pengalaman  yang sudah dimiliki sebelumnya.
(2) Diskusi Kelas ( class discussion )
Kegiatan  di  dalam  kelas  di  mana  mereka bekerja  berkelompok  diisi  dengan  kegiatan berupa  pengerjaan  tugas-tugas  yang  masih berhubungan  dengan  kegiatan  yang  telah diberikan di laboratorium komputer. Keterlibatan dosen dalam diskusi pada masing- masing kelompok dimaksudkan untuk memberi
kesempatan kepada mahasiswa untuk melakukan  refleksi  pada  apa  yang  sudah mereka  kerjakan  di  laboratorium  dan  pada tugas  yang  sedang  mereka  kerjakan.  Dalam diskusi  kelas,  dosen  memberikan  definisi, penjelasan,  dan  tinjauan  untuk  mengaitkan dengan apa-apa yang mahasiswa telah pikirkan.
(3) Latihan ( exercise )
Pada  siklus  ini  mahasiswa  diberikan latihan-latihan  soal  untuk  dikerjakan  secara berkelompok.  Latihan-latihan  ini  diharapkan dikerjakan di luar kegiatan kelas dan laboratorium  dan  dapat  berupa  pekerjaan rumah.  Tujuan  dari  latihan-latihan  ini  adalah untuk mengokohkan/memberi penguatan konsep-konsep matematika yang telah dikonstruksi,  menerapkan  konsep-konsep  yang sudah  dipelajari,  dan  mengajak  mahasiswa berpikir  tentang  hal-hal  yang  akan  dipelajari pada pertemuan berikutnya.

## PENUTUP
Perkembangan  skema  individu  dalam konstruksi  mental  aksi,  proses,  objek,  dan skema dapat ditelusuri melalui wawancara yang mendalam.  Berdasarkan  hasil  analisis  data  dari wawancara  yang  mendalam  dapat  diketahui bagaimana individu berpikir ketika berada pada tahap-tahap  konstruksi  menurut  teori  APOS. Untuk  membantu  proses  pembelajaran  untuk mencapai konstruksi-konstruksi itu dan memperkokoh konstruksi yang sudah dibangun, diberikan  suatu  pendekatan  pembelajaran  yang disebut  sikel  pembelajaran  ACE.    Sikel pembelajaran  ACE  ini  melibatkan  belajar
kelompok,  penggunaan  komputer  dengan bahasa  pemrograman  yang  interaktif,  dan latihan.  Teori  APOS  dapat  dijadikan  dasar dalam pengembangan sebuah model pembelajaran matematika.

## DAFTAR PUSTAKA
DeVries, David J. 2001. RUMEC/APOS Theory Glossary . http: //www.cs.gsu.edu/
~rumec/glossary. Didownload pada tanggal
16 Juni 2009.
Dubinsky. 2000. Using a Theory of Learning in
College Mathematics Courses . http:
//ltsn.mathstore.ac.uk/newsletter/may2001/
pdf/learning.pdf. Didownload pada tanggal
16 Juni 2009.
Dubinsky,  dan  Fauvel,  J.    2000. Teaching  and
Learning  Undergraduate  Mathematics .
http://www.bham.ac.uk/ctimath/talum12.ht
m. Didownload pada tanggal 16 Juni 2009.
Soedjadi, R. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di  Indonesia:  Konstatasi  Keadaan  Masa Kini  Menuju  Harapan  Masa  Depan . Jakarta: Dirjen Dikti.
Soedjadi,  R.  2007. Masalah  Kontekstual Sebagai  Batu  Sendi  Matematika  Sekolah . Surabaya:  Pusat  Sains  dan  Matematika Sekolah (PSMS) Unesa.
Suparno,  Paul.  1997. Filsafat  Konstruktivisme dalam Pendidikan . Yogyakarta: Kanisius. Suparno,  Paul.  2001. Teori  Perkembangan Kognitif Jean Piaget . Yogyakarta:
Kanisius.