JURNAL GAUSSIAN, Volume 8, Nomor 4, Tahun 2019, Halaman 543 - 556 Online di: http://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian

## Value At Risk pada Portofolio Saham dengan
Copula Ali-Mikhail-Haq
Delsy Nurutsaniyah 1 , Tatik Widiharih 2 , Di Asih I Maruddani 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro delsysaniyah@gmail.com

## ABSTRACT
Investment is one alternative to increase assets in the future. Investors can invest in a  portfolio  to  reduce  the  level  of  risk.  Value  at  Risk  (VaR)  is  a  measuring  tool  that  can calculate  the  worst  loss  over  a  given  time  period  at  a  given  confidence  level.  GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) is used to model data with high volatility.  The  teory  of  copula  is  a  powerful  tool  for  modeling  joint  distribution  for  any marginal  distributions.  Ali-Mikhail-Haq  copula  from  Archimedean  copula  family  can  be applied  to  data  with  dependencies  τ  between  -0.1817  to  0.3333.  This  research  uses  Ali- Mikhail-Haq copula with a Monte Carlo simulation to calculate a bivariate portfolio VaR from  a  combination  stocks  of  PT  Pembangunan  Perumahan  Tbk.  (PTPP),  PT  Bank Tabungan Negara Tbk. (BBTN), and PT Jasa Marga Tbk. (JSMR) in the period of March 3, 2014 - March 1, 2019. The results of VaR calculation on bivariate portfolio for next 1 day period obtained the lowest VaR is owned by bivariate portfolio between PTPP and JSMR with a weight of 30% and 70% at confidence level of 99%, 95%, and 90% respectively are 4.014%, 2.545%, and 1.876%.
Keywords: Value at Risk, GARCH, Ali-Mikhail-Haq Copula, Monte Carlo

## 1. PENDAHULUAN
Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan pada saat  ini,  dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di  masa datang (Tandelilin,  2010).  Saham  merupakan  tanda  penyertaan  atau  pemilikan  individu  maupun kelompok dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas (Darmadji dan Fakhruddin, 2012). Investor  dapat  melakukan  portofolio  saham  yaitu  dengan  melakukan  investasi  pada  dua saham  atau  lebih  secara  bersamaan.  Seorang  investor  dalam  mengendalikan  risiko  perlu suatu  alat,  salah  satunya  yaitu Value  at  Risk (VaR).  VaR  merupakan  alat  ukur  untuk menghitung  kerugian  terburuk  yang  akan  diderita  selama  periode  waktu  tertentu  dalam kondisi  pasar  normal  pada  tingkat  kepercayaan  tertentu  (Jorion,  2006).  Ada  beberapa pendekatan  untuk  menghitung  VaR  yaitu  metode  varian-kovarian,  simulasi  historis,  dan simulasi Monte Carlo. Menurut Jorion (2006), simulasi Monte Carlo sejauh ini merupakan metode yang paling kuat untuk mengukur VaR karena dapat menjelaskan berbagai eksposur dan  risiko  termasuk  risiko  harga  non-linier,  risiko  volatilitas  dan  bahkan  risiko  model. Penelitian ini akan menggunakan metode simulasi Monte Carlo dengan pendekatan copula.
Copula adalah alat yang sangat ampuh untuk memodelkan distribusi bersama karena tidak memerlukan asumsi normalitas sehingga cukup fleksibel untuk berbagai data terutama data keuangan (Palaro dan Hotta, 2006). Salah satu metode copula yang sering digunakan adalah metode copula-GARCH ( Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ).  GARCH  biasanya  digunakan  untuk  memodelkan  data  yang  memiliki volatilitas  tinggi  seperti  data  saham.  Pada  penelitian  ini  akan  menggunakan  copula  Ali- Mikhail-Haq.  Menurut  Kumar  (2010),  copula  Ali-Mikhail-Haq  merupakan  copula  dari keluarga  copula  Archimedean  yang  parameternya  berada  pada  interval  [-1,1]  dan  dapat
menyatakan  dependensi  baik  negatif  maupun  positif.  Copula  Ali-Mikhail-Haq  dapat diaplikasikan pada data yang memiliki dependensi 𝜏 antara -0,1817 sampai dengan 0,3333. Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan  perhitungan  VaR  portofolio  bivariat  dari kombinasi saham PT Pembangunan Perumahan Tbk. (PTPP), PT Bank Tabungan Negara Tbk. (BBTN), dan PT Jasa Marga Tbk. (JSMR) periode 3 Maret 2014 sampai 1 Maret 2019 menggunakan  metode  copula-GARCH  dengan  simulasi  Monte  Carlo  dan  copula  yang digunakan adalah copula Ali-Mikhail-Haq.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Return Saham
Return saham  yang  disebut  juga  sebagai  pendapatan  saham  merupakan  perubahan nilai harga saham periode 𝑡 dengan 𝑡 -1 (Hanafi dan Halim, 1996). Tsay (2002) menyatakan nilai return dapat dihitung dengan rumus:
𝑟 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 dimana 𝑃 𝑡 adalah  harga  saham  periode  sekarang  dan 𝑃 𝑡−1 adalah  harga  saham  periode sebelumnya.  Rumus return portofolio  dari n aset  pada  waktu  ke- 𝑡 dapat  ditulis  sebagai berikut (Jorion, 2006):
𝑟 𝑝𝑡 = ∑ 𝑤 𝑖 𝑟 𝑖𝑡 𝑛 𝑖=1 dimana 𝑟 𝑖𝑡 adalah return aset ke- i pada waktu ke- t dan 𝑤 𝑖 adalah bobot setiap alokasi dana untuk aset tunggal ke- i .

## 2.2 Analisis Runtun Waktu
Dasar  pemikiran  runtun  waktu  adalah  pengamatan  sekarang  ( 𝑍 𝑡 )  tergantung  pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya ( 𝑍 𝑡−𝑘 ), k = 1,2,…, q . Dengan kata lain, model runtun waktu dibuat karena secara statistik ada korelasi (dependen) antar deret pengamatan (Makridakis et al ., 1999).

## 2.3 Model Box-Jenkins
Model  Box-Jenkins  merupakan  pemodelan  runtun  waktu  yang  diperkenalkan  oleh Box dan Jenkins pada tahun 1970. Model runtun waktu stasioner adalah model AR, MA, dan ARMA sedangkan model runtun waktu tidak stasioner adalah model ARIMA, dengan model sebagai berikut:
a.  Model Autoregressive (AR) 𝑍 𝑡 =   𝜙 1 𝑍 𝑡−1 + 𝜙 2 𝑍 𝑡−2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 b.  Model Moving Average (MA)
𝑍 𝑡 =   𝑎 𝑡 − 𝜃 1 𝑎 𝑡−1 − 𝜃 2 𝑎 𝑡−2 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞 c.  Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
𝑍 𝑡 = 𝜙 1 𝑍 𝑡−1 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 − 𝜃 1 𝑎 𝑡−1 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞 d.  Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) 𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 = 𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡

## 2.4 Tahapan Pemodelan Runtun Waktu
2.4.1 Identifikasi Model
Identifikasi model dapat dilakukan melalui pemeriksaan plot ACF ( Autocorrelation Function ) dan PACF ( Partial Autocorrelation Function ). ACF berfungsi untuk menentukan orde q dalam model MA. ACF didefinisikan sebagai berikut:
𝜌 𝑘 = 𝐶𝑜𝑣 (𝑍 𝑡 , 𝑍 𝑡+𝑘 ) √𝑉𝑎𝑟(𝑍 𝑡 )√𝑉𝑎𝑟(𝑍 𝑡+𝑘 ) = 𝛾 𝑘 𝛾 0
Sedangkan  PACF  berfungsi  untuk  menentukan  orde p dalam  model  AR.  PACF didefinisikan sebagai berikut:
∅ 𝑘𝑘 = | 1 𝜌 1 𝜌 1 1 𝜌 2 … 𝜌 𝑘−2 𝜌 1 𝜌 1 … 𝜌 𝑘−3 𝜌 2 ⋮ ⋮ 𝜌 𝑘−1 𝜌 𝑘−2 ⋮ ⋮     ⋮ 𝜌 𝑘−3 …  𝜌 1 𝜌 𝑘 | | 1 𝜌 1 𝜌 1 1 𝜌 2 … 𝜌 𝑘−2 𝜌 𝑘−1 𝜌 1 … 𝜌 𝑘−3 𝜌 𝑘−2 ⋮ ⋮ 𝜌 𝑘−1 𝜌 𝑘−2 ⋮ ⋮     ⋮ 𝜌 𝑘−3 …  𝜌 1 1 |

## 2.4.2 Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Model
Menurut  Wei  (2006),  estimasi  parameter  dapat  dilakukan  dengan  metode  momen, Maximum  Likelihood ,  dan Least  Squares .  Uji  signifikansi  parameter  dilakukan  dengan prosedur sebagai berikut:
Hipotesis: H 0 : 𝜓 𝑖 = 0 (parameter tidak signifikan terhadap model) H 1 : 𝜓 𝑖 ≠ 0 (parameter signifikan terhadap model) dimana 𝜓 merupakan parameter dalam model Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝜓̂ 𝑖 𝑆𝐸(𝜓̂ 𝑖 )
Kriteria uji:
H 0 ditolak  jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 (𝛼 2 ⁄ ,𝑛−𝑝) atau p-value <  α,  dimana p adalah  banyaknya parameter.
2.4.3 Verifikasi Model

## 2.4.3.1 Uji Independensi Residual
Uji  independensi  residual  digunakan  untuk  mengetahui  ada  tidaknya  korelasi residual antar lag . Uji yang digunakan adalah uji Ljung-Box . Hipotesis:
H 0 : 𝜌 1 = 𝜌 2 = ⋯ = 𝜌 𝐾 = 0 (tidak ada korelasi residual antar lag ) H 1 : paling sedikit ada satu 𝜌 𝑘 ≠ 0 dengan k = 1,2,…, K (ada korelasi residual antar lag ) Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ (𝑛 − 𝑘) −1 𝜌̂ 𝑘 2 𝐾 𝑘=1
dimana n = banyaknya data, K = banyaknya lag yang diuji, dan 𝜌̂ 𝑘 = autokorelasi residual pada lag ke- k . 𝑄 berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas m . Kriteria uji:
H 0 ditolak jika 𝑄 (𝑚) > 𝜒 (𝐾−𝑚) 2 atau p-value < α.

## 2.4.3.2 Uji Normalitas Residual
Uji normalitas digunakan untuk mengetahui apakah residual dari model mengikuti distribusi normal. Uji yang digunakan adalah uji Jarque Bera . Hipotesis:
H 0 : Residual berdistribusi normal H 1 : Residual tidak berdistribusi normal Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝐽𝐵 = 𝑛 6 (𝑆 2 + (𝐾 − 3) 2 4 )
dimana n adalah banyaknya data, S adalah skewness , dan K adalah kurtosis . Kriteria uji:
H 0 ditolak jika 𝐽𝐵 > 𝜒 (2) 2 atau p-value < α.

## 2.4.3.3 Uji Lagrange Multiplier
Uji Lagrange  Multiplier dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  adanya  efek ARCH/GARCH. Hipotesis: H 0 : 𝛼 1 = 𝛼 2 = ⋯ = 𝛼 𝑘 = 0 (tidak ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke-k)
H 1 : paling sedikit ada satu nilai 𝛼 𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 (ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke-k) Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝐿𝑀 = 𝑛𝑅 2
dimana n adalah banyaknya data dan 𝑅 2 adalah nilai koefisien determinasi Kriteria uji:
H 0 ditolak jika nilai 𝐿𝑀 > 𝜒 (𝑘) 2 atau p-value < α.

## 2.5 Model  Autoregressive  Conditional  Heterokedasticity  (ARCH)  dan  Generalized

## Autoregressive Conditional Heterokedasticity (GARCH)
Model ARCH diperkenalkan oleh Engle pada tahun 1982 untuk mengatasi masalah heteroskedastisitas. Bentuk umum model ARCH( m ) yaitu (Tsay, 2002): 𝑎 𝑡 = 𝜎 𝑡 𝜖 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑎 𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼 𝑚 𝑎 𝑡−𝑚 2
dengan 𝛼 0 > 0, dan 𝛼 𝑖 ≥ 0 untuk i = 1, 2,…, m . Pada tahun 1986, Bollerslev mengembangkan model  ARCH  yang  dikenal  sebagai  model  GARCH.  Bentuk  umum  model  GARCH( m,s ) yaitu (Tsay, 2002):
𝑎 𝑡 = 𝜎 𝑡 𝜖 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 𝑖 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑚 𝑖=1 + ∑ 𝛽 𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 2 𝑠 𝑗=1
dengan 𝛼 0 > 0, 𝛼 𝑖 ≥ 0, dan 𝛽 𝑗 ≥ 0, dan ∑ (𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑗 ) max (𝑚,𝑠) 𝑖,𝑗=1 < 1 untuk i = 1, 2,…, m dan j = 1, 2,…, s .

## 2.6 Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan  model  terbaik  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  AIC ( Akaike’s Information Criterion ). Nilai AIC dapat diperoleh dengan rumus (Wei, 2006):
𝐴𝐼𝐶 = 𝑛𝐿𝑛𝜎̂ 𝑎 2 + 2𝑀
dimana n = banyaknya data, M = banyaknya parameter yang diduga dalam model, dan 𝜎̂ 𝑎 2 = estimator maksimum likelihood dari 𝜎 𝑎 2 .

## 2.7 Uji Mutual Dependensi
Uji mutual dependensi dilakukan untuk mengetahui ada tidaknya dependensi antara variabel  dalam  pemodelan  distribusi  bersama.  Joe  (1997)  memperkenalkan  pengukuran dependensi yang digunakan dalam copula yaitu tail dependence , Tau Kendall ( 𝜏 ), dan Rho Spearman  ( 𝜌 ).  Dalam  penelitian  ini,  digunakan  korelasi  Tau  Kendall  yang  didefinisikan sebagai berikut (Nelsen, 2006):
𝜏 = 𝑃 − 𝑄 𝑃 + 𝑄 = 𝑃 − 𝑄 ( 𝑛 2 )
dimana P = jumlah pasangan konkordan dan Q = jumlah pasangan diskordan. Hipotesis:
H 0 : 𝜏 = 0 (tidak ada korelasi antar variabel)
H 1 : 𝜏 ≠ 0 (ada korelasi antar variabel) Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝑍 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = |𝜏|√9𝑛(𝑛 − 1)
√2(2𝑛 + 5)
Kriteria uji: H 0 ditolak jika 𝑍 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 >   𝑍 𝛼 2 ⁄ atau p-value < α.

## 2.8 Copula
Kata copula berasal dari bahasa latin yang berarti mengikat. Menurut Nelsen (2006), copula  merupakan  suatu  fungsi  distribusi  bersama  hasil  dari  penggabungan  marginal- marginalnya  yang  berdistribusi uniform [0,1].  Copula  dibagi  menjadi  beberapa  keluarga, keluarga copula yang paling populer digunakan adalah copula Ellips yang terdiri dari copula Gaussian dan copula Student-t, serta copula Archimedean yang terdiri dari copula Gumbel, copula Frank, copula Clayton, copula Ali-Mikhail-Haq, dan copula Joe.

## 2.8.1 Copula Ali-Mikhail-Haq
Copula  Ali-Mikhail-Haq  merupakan  salah  satu  anggota  dari  keluarga  copula Archimedean.  Fungsi  distribusi  bivariat  copula  Ali-Mikhail-Haq  didefinisikan  (Nelsen, 2006):
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 𝜃(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 ) dimana 𝑢 𝑖 = 𝐹 𝑖 (𝑥 𝑖 ) ∈ [0,1] dan parameter copula 𝜃 ∈ [-1,1].

## 2.8.2 Estimasi Parameter Copula Ali-Mikhail-Haq
Estimasi parameter copula dengan pendekatan Tau Kendall dapat dihitung dengan rumus (Nelsen, 2006):
𝜏̂ = 1 + 4 ∫ 𝜙(𝑢) 𝜙′(𝑢) 1
0 𝑑𝑢
dimana 𝜏̂ adalah nilai korelasi Tau Kendall dan 𝜙(𝑢) adalah fungsi pembangkit copula Ali- Mikhail-Haq  yaitu 𝜙(𝑢) = 𝑙𝑛[1 − 𝜃(1 − 𝑢)]/𝑢 .  Diperoleh  estimasi  parameter 𝜃 copula Ali-Mikhail-Haq dengan pendekatan Tau Kendall sebagai berikut:
𝜏̂ = 3𝜃 − 2 3𝜃 − 2(1 − 𝜃) 2 ln(1 − 𝜃) 3𝜃 2
Persamaan  tersebut  bersifat  nonlinier  sehingga  untuk  mencari  nilai  estimasi parameter 𝜃 digunakan metode numerik, salah satunya dapat menggunakan metode Newton- Raphson.

## 2.9 Value at Risk
Value at Risk (VaR) merupakan alat ukur untuk menghitung kerugian terburuk yang akan  didapat  selama  periode  waktu  tertentu  dalam  kondisi  pasar  normal  pada  tingkat kepercayaan  tertentu  (Jorion,  2006).  Nilai  VaR  pada  tingkat  kepercayaan  (1-  α)  dalam periode waktu t hari pada return tunggal maupun portofolio dapat dihitung dengan rumus:
𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑊 0 𝑅 ∗ √𝑡 dimana 𝑊 0 = dana investasi awal, 𝑅 ∗ = nilai kuantil ke-α dari distribusi return .
Dalam mengestimasi nilai VaR dengan simulasi Monte Carlo mempunyai beberapa jenis  algoritma.  Namun  pada  intinya  adalah  melakukan  simulasi  dengan  membangkitkan bilangan  acak  berdasarkan  karakteristik  dari  data  yang  akan  dibangkitkan,  kemudian digunakan untuk mengestimasi nilai VaR.

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Data  yang  digunakan  adalah  data  harga  penutupan  saham  harian  pada  tiga perusahaan  di  Indonesia  yaitu  PT  Pembangunan  Perumahan  Tbk.  (PTPP),  PT  Bank Tabungan Negara Tbk. (BBTN), dan PT Jasa Marga Tbk. (JSMR) periode 3 Maret 2014 - 1 Maret 2019. Data saham tersebut dapat diakses pada www.finance.yahoo.com .
Langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam  melakukan  perhitungan  VaR  portofolio bivariat dari kombinasi tiga saham menggunakan metode copula-GARCH dengan simulasi Monte Carlo dan copula yang digunakan adalah copula Ali-Mikhail-Haq adalah:
a. Menghitung nilai return saham dari masing-masing saham.
b. Menganalisis secara deskriptif masing-masing return saham.
c. Melakukan  uji  stasioneritas  masing-masing return saham.  Jika return saham  tidak stasioner dalam varian maka dilakukan transformasi Box-Cox. Jika return saham tidak stasioner dalam mean maka dilakukan diferensi.
d. Membentuk  plot  ACF  dan  plot  PACF  dari  masing-masing return saham  yang  telah stasioner dalam mean dan varian.
e. Melakukan identifikasi model ARIMA masing-masing return saham.
f. Melakukan estimasi dan uji signifikansi parameter model masing-masing return saham.
g. Melakukan  verifikasi  model  ARIMA  yang  meliputi  uji  independensi  residual,  uji normalitas residual, dan uji Lagrange Multiplier .
h. Memilih model ARIMA terbaik berdasarkan nilai AIC terkecil.
i. Melakukan identifikasi model ARIMA-GARCH.
j. Melakukan estimasi dan uji signifikansi parameter model ARIMA-GARCH.
k. Melakukan uji normalitas residual model ARIMA-GARCH.
l. Menghitung  korelasi  Tau  Kendall  antar  masing-masing  residual return saham  dan melakukan uji mutual dependensi.
m. Mengestimasi parameter copula Ali-Mikhail-Haq dan membentuk copula Ali-Mikhail- Haq.
n. Menghitung  VaR  dengan  menggunakan  pembangkitan  data  dari  copula  Ali-Mikhail- Haq dengan simulasi Monte Carlo.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Karakteristik Return Saham
-.20 -.16 -.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12 250 500 750 1000 Plot Runtun Waktu Re turn Saham PTPP R et u rn Periode Wak tu (t) (a) -.20 -.15 -.10 -.05 .00 .05 .10 .15 250 500 750 1000 Plot Runtun Waktu Re turn Saham BBTN R et u rn Periode Wak tu (t) (b) -.100 -.075 -.050 -.025 .000 .025 .050 .075 .100 250 500 750 1000 Plot Runtun Waktu Re turn Saham JSMR R et u rn Periode Waktu (t) (c)
Gambar 1. Plot Runtun Waktu Return Saham (a) PTPP (b) BBTN (c) JSMR
Gambar  1  menunjukkan  bahwa  terdapat volatility  clustering yaitu  adanya pengelompokan volatilitas pada periode waktu berdekatan. Selain itu, pada Gambar 1 juga menunjukkan return pada ketiga saham telah stasioner dalam mean secara visual.

## 4.2 Pemodelan Runtun Waktu
Dalam pemodelan runtun waktu, langkah awal adalah memeriksa kestasioneran data. Uji stasioneritas dalam varian digunakan Transformasi Box-Cox dan diperoleh nilai rounded value sebesar 1, artinya semua return saham telah stasioner dalam varian. Uji stasioneritas dalam mean secara  formal  dilakukan  dengan  menggunakan  uji Augmented  Dickey  Fuller dan didapatkan kesimpulan bahwa semua return saham telah stasioner dalam mean . Tabel  1 menunjukkan model  dugaan ARIMA  beserta estimasi dan uji signifikansi parameter model ARIMA dari masing-masing saham.
Tabel 1. Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Model ARIMA
Saham Model Parameter  Estimasi  p-value  Kesimpulan PTPP ARIMA ([1,3],0,0) 𝜙 1 0,072525 0,0103 Signifikan 𝜙 3 -0,074848  0,0080 Signifikan ARIMA (0,0,[1,3]) 𝜃 1 0,078511 0,0055 Signifikan 𝜃 3 -0,070695  0,0123 Signifikan ARIMA ([1],0,[3]) 𝜙 1 0,074427 0,0085 Signifikan 𝜃 3 -0,072676  0,0104 Signifikan ARIMA ([3],0,[1]) 𝜙 3 -0,074729  0,0083 Signifikan 𝜃 1 0,077805 0,0061 Signifikan BBTN ARIMA ([28],0,0) 𝜙 28 -0,081948  0,0036 Signifikan ARIMA (0,0,[12,28]) 𝜃 12 -0,064992  0,0215 Signifikan 𝜃 28 -0,091895  0,0012 Signifikan ARIMA ([28],0,[12]) 𝜙 28 -0,081124  0,0040 Signifikan 𝜃 12 -0,061618  0,0322 Signifikan JSMR ARIMA ([2],0,0) 𝜙 2 -0,085041  0,0027 Signifikan ARIMA (0,0,[2]) 𝜃 2 -0,088366  0,0018 Signifikan
Uji  independensi  residual  dengan  uji Ljung-Box menunjukkan  bahwa p-value dari masing-masing model ARIMA saham PTPP dan JSMR > 0,05 sehingga H 0 diterima, maka disimpulkan  bahwa  tidak  ada  korelasi  residual  antar lag .  Sedangkan  pada  saham  BBTN hanya model ARIMA (0,0,[12,28]) yang tidak ada korelasi residual antar lag . Uji normalitas residual model ARIMA dengan uji Jarque Bera diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Uji Jarque Bera Residual Model ARIMA Saham Model p-value Kesimpulan PTPP ARIMA ([1,3],0,0) 0,0000 Tidak berdistribusi normal ARIMA (0,0,[1,3]) 0,0000 Tidak berdistribusi normal ARIMA ([1],0,[3]) 0,0000 Tidak berdistribusi normal ARIMA ([3],0,[1]) 0,0000  Tidak berdistribusi normal BBTN ARIMA ([28],0,0) 0,0000  Tidak berdistribusi normal ARIMA (0,0,[12,28]) 0,0000  Tidak berdistribusi normal ARIMA ([28],0,[12]) 0,0000  Tidak berdistribusi normal JSMR ARIMA ([2],0,0) 0,0000  Tidak berdistribusi normal ARIMA (0,0,[2]) 0,0000  Tidak berdistribusi normal
Pemilihan  model  ARIMA  terbaik  masing-masing  saham  berdasarkan  nilai  AIC terkecil diperoleh hasil seperti pada Tabel 3.
Tabel 3. Pemilihan Model ARIMA Terbaik Saham Model
Nilai AIC PTPP ARIMA ([1,3],0,0) -4,623351 ARIMA (0,0,[1,3]) -4,619922 ARIMA ([1],0,[3]) -4,624177 ( * ) ARIMA ([3],0,[1]) -4,623713 BBTN ARIMA (0,0,[12,28]) -4,705584 ( * ) JSMR ARIMA ([2],0,0) -5,184137 ARIMA (0,0,[2]) -5,185352 ( * )
Model ARIMA terbaik untuk saham PTPP adalah ARIMA ([1],0,[3]), saham BBTN adalah ARIMA (0,0,[12,28]), dan saham JSMR adalah ARIMA (0,0,[2]).

## 4.3 Uji Lagrange Multiplier
Uji Lagrange  Multiplier digunakan  untuk  mendeteksi  ada  tidaknya  efek ARCH/GARCH pada residual model. Hasil uji Lagrange Multiplier diberikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Uji Lagrange Multiplier Model ARIMA Saham Model p-value Kesimpulan PTPP ARIMA ([1],0,[3]) 0,0000 Ada efek ARCH/GARCH BBTN ARIMA (0,0,[12,28]) 0,0081 Ada efek ARCH/GARCH JSMR ARIMA (0,0,[2]) 0,0000 Ada efek ARCH/GARCH

## 4.4 Pemodelan ARIMA-GARCH
Identifikasi model ARIMA-GARCH awal yang terbentuk untuk saham PTPP adalah ARIMA  ([1],0,[3])  GARCH  (1,1),  ARIMA  ([1],0,[3])  GARCH  (2,1),  dan  ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (1,2), untuk saham BBTN adalah ARIMA (0,0,[12,28]) GARCH (1,1), serta  untuk  saham  JSMR  adalah  ARIMA  (0,0,[2])  GARCH  (1,1).  Tabel  5  menunjukkan model  dugaan  ARIMA  beserta  estimasi  dan  uji  signifikansi  parameter  model  ARIMA- GARCH dari masing-masing saham.
Tabel 5. Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Model ARIMA-GARCH Saham Model Parameter  Estimasi  p-value Kesimpulan PTPP ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (1,1) 𝜙 1 0,069500 0,0148 Signifikan 𝜃 3 -0,095650  0,0004 Signifikan 𝛼 0 0,0000159  0,0000 Signifikan 𝛼 1 0,058541 0,0000 Signifikan 𝛽 1 0,914175 0,0000 Signifikan ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (2,1) 𝜙 1 0,069026 0,0278 Signifikan 𝜃 3 -0,095464  0,0002 Signifikan 𝛼 0 0,00000997  0,0000 Signifikan 𝛼 1 0,120810 0,0001 Signifikan 𝛼 2 -0,077148  0,0145 Signifikan 𝛽 1 0,939182 0,0000 Signifikan ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (1,2) 𝜙 1 0,068524 0,0238 Signifikan 𝜃 3 -0,098680  0,0005 Signifikan 𝛼 0 0,0000242  0,0000 Signifikan 𝛼 1 0,091457 0,0000 Signifikan 𝛽 1 0,243684 0,0252 Signifikan 𝛽 2 0,622886 0,0000 Signifikan BBTN ARIMA (0,0,[12,28]) GARCH (1,1) 𝜃 12 -0,054304  0,0677  Tidak signifikan 𝜃 28 -0,072565  0,0051 Signifikan 𝛼 0 0,0000305  0,0002 Signifikan 𝛼 1 0,061374 0,0000 Signifikan 𝛽 1 0,879524 0,0000 Signifikan JSMR ARIMA (0,0,[2]) GARCH (1,1) 𝜃 2 -0,089174  0,0032 Signifikan 𝛼 0 0,000169 0,0000 Signifikan 𝛼 1 0,245236 0,0000 Signifikan
𝛽 1 0,255412 0,0013 Signifikan
Model  ARIMA-GARCH  saham  BBTN  terdapat  parameter  yang  tidak  signifikan, maka  parameter  yang  tidak  signifikan  dihapus  dari  model  sehingga  model  baru  yang terbentuk adalah ARIMA (0,0,[28]) GARCH (1,1). Tabel 6 menunjukkan estimasi beserta uji signifikansi parameter model ARIMA (0,0,[28]) GARCH (1,1) saham BBTN.
Tabel 6. Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Model ARIMA-GARCH Lanjutan Saham Model Parameter Estimasi p-value Kesimpulan BBTN ARIMA (0,0,[28]) GARCH (1,1) 𝜃 28 -0,072578 0,0054 Signifikan 𝛼 0 0,0000289 0,0001 Signifikan 𝛼 1 0,059719 0,0000 Signifikan 𝛽 1 0,884620 0,0000 Signifikan
Pemilihan model ARIMA-GARCH terbaik masing-masing saham berdasarkan nilai AIC terkecil diperoleh hasil seperti pada Tabel 7.
Tabel 7. Pemilihan Model ARIMA-GARCH Terbaik Saham Model Nilai AIC PTPP ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (1,1) -4,698402 ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (2,1) -4,700441 ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (1,2) -4,701582 ( * ) BBTN ARIMA (0,0,[12,28]) GARCH (1,1) -4,775530 ( * ) JSMR ARIMA (0,0,[2]) GARCH (1,1) -5,242604 ( * )
Persamaan mean dan varian pada model ARIMA-GARCH terbaik yang dihasilkan pada masing-masing saham adalah:
a. PTPP
𝑍 𝑡 = 0,068524𝑍 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 − 0,09868𝑎 𝑡−3 𝜎 𝑡 2 = 0,0000242 + 0,091457𝑎 𝑡−1 2 + 0,243684𝜎 𝑡−1 2 + 0,622886𝜎 𝑡−2 2
b. BBTN
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 − 0,072578𝑎 𝑡−28 𝜎 𝑡 2 = 0,0000289 + 0,059719𝑎 𝑡−1 2 + 0,884620𝜎 𝑡−1 2
c. JSMR
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 − 0,089174𝑎 𝑡−2 𝜎 𝑡 2 = 0,000169 + 0,245236𝑎 𝑡−1 2 + 0,255412𝜎 𝑡−1 2
Uji normalitas residual model ARIMA-GARCH dengan uji Jarque Bera diperoleh hasil seperti pada Tabel 8.
Tabel 8. Uji Jarque Bera Residual Model ARIMA-GARCH Saham Model p-value Kesimpulan PTPP ARIMA ([1],0,[3]) GARCH (1,2) 0,0000 Tidak berdistribusi normal BBTN ARIMA (0,0,[28]) GARCH (1,1) 0,0000 Tidak berdistribusi normal
JSMR ARIMA (0,0,[2]) GARCH (1,1) 0,0000 Tidak berdistribusi normal

## 4.5 Copula
Residual  model  ARIMA-GARCH  yang  tidak  berdistribusi  normal  selanjutnya dilakukan uji mutual dependensi untuk mengetahui apakah ada dependensi antara masing- masing residual. Uji mutual dependensi antar residual diperoleh hasil seperti pada Tabel 9.
Tabel 9. Uji Mutual Dependensi dengan Korelasi Tau Kendall Saham 𝝉 𝒁 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 p-value Kesimpulan PTPP-BBTN  0,2144312 11,338 < 2,2e-16 Ada korelasi PTPP-JSMR 0,1945541 10,287 < 2,2e-16 Ada korelasi BBTN-JSMR  0,1988774 10,515 < 2,2e-16 Ada korelasi
Nilai korelasi Tau Kendall berada di interval -0,1817 sampai dengan 0,3333 sehingga dalam melakukan distribusi gabungan dapat dilanjutkan dengan copula Ali-Mikhail-Haq.
Hasil estimasi parameter copula Ali-Mikhail-Haq dengan pendekatan Tau Kendall diberikan pada Tabel 10.
Tabel 10. Estimasi Parameter Copula Ali-Mikhail-Haq
Saham Parameter (𝜽) PTPP-BBTN 0,7516 PTPP-JSMR 0,6987 BBTN-JSMR 0,7105
Persamaan  model  copula  Ali-Mikhail-Haq  untuk  residual  ARIMA-GARCH  antar masing-masing saham adalah:
a. PTPP dengan BBTN
𝐶 0,7516 𝐴𝑀𝐻 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 0,7516(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 )
b. PTPP dengan JSMR
𝐶 0,6987 𝐴𝑀𝐻 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 0,6987(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 )
c. BBTN dengan JSMR
𝐶 0,7105 𝐴𝑀𝐻 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 0,7105(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 )

## 4.6 Perhitungan Value at Risk
Perhitungan VaR pada portofolio bivariat dari kombinasi saham PTPP, BBTN, dan JSMR akan dilakukan untuk jangka waktu satu hari ke depan pada tingkat kepercayaan 99%, 95%, dan 90% menggunakan simulasi Monte Carlo dengan membangkitkan sebanyak 1246 data dan pengulangan sebanyak 3000 kali. Hasil perhitungan VaR pada portofolio bivariat saham PTPP dan BBTN diberikan pada Tabel 11.
Tabel 11. Perhitungan VaR Portofolio Saham PTPP dan BBTN dengan Beberapa Bobot
Bobot Portofolio Value at Risk PTPP BBTN 99% 95% 90% 0,1 0,9 -0,05788266 -0,03237160 -0,02325519 0,2 0,8 -0,05389178 -0,03087689 -0,02234231 0,3 0,7 -0,05091215 -0,03005227 -0,02183597 0,4 0,6 -0,04880393 -0,02951918 -0,02152057
0,5 0,5 -0,04737677 -0,02943334 -0,02151768 ( * ) 0,6 0,4 -0,04751025 -0,02956204 -0,02176854 0,7 0,3 -0,04855793 -0,03010067 -0, 02226842 0,8 0,2 -0,05090665 -0,03106744 -0,02301714 0,9 0,1 -0,05414691 -0,03246746 -0,02391373
Berdasarkan Tabel 11, diperoleh bobot terbaik untuk investasi pada saham PTPP dan BBTN masing-masing sebesar 50%. Apabila diilustrasikan, seorang investor menanamkan investasi  sebesar  Rp  100  juta  maka  kerugian  maksimal  yang  akan  diderita  pada  tingkat kepercayaan  99%,  95%,  dan  90%  secara  berurutan  mencapai  Rp  4.737.677,00;  Rp 2.943.334,00; dan Rp 2.151.768,00 dalam jangka waktu satu hari.
Hasil perhitungan  VaR  pada  portofolio bivariat  saham  PTPP dan JSMR diberikan pada Tabel 12.
Tabel 12. Perhitungan VaR Portofolio Saham PTPP dan JSMR dengan Beberapa Bobot
Bobot Portofolio Value at Risk PTPP JSMR 99% 95% 90% 0,1 0,9 -0,04185638 -0,02685304 -0,01941579 0,2 0,8 -0,04051153 -0,02589522 -0,01897534 0,3 0,7 -0,04013966 -0,02544737 -0,01875996 ( * ) 0,4 0,6 -0,04027625 -0,02547015 -0,01903727 0,5 0,5 -0,04085995 -0,02596576 -0,01938822 0,6 0,4 -0,04269075 -0,02696337 -0,02011804 0,7 0,3 -0,04564297 -0,02828485 -0,02108478 0,8 0,2 -0,04932624 -0,02992329 -0,02221973 0,9 0,1 -0,05369317 -0,03204774 -0,02358142
Berdasarkan  Tabel  12,  diperoleh  bobot  terbaik  untuk  investasi  pada  saham  PTPP sebesar 30% dan JSMR sebesar 70%. Apabila diilustrasikan, seorang investor menanamkan investasi  sebesar  Rp  100  juta  maka  kerugian  maksimal  yang  akan  diderita  pada  tingkat kepercayaan  99%,  95%,  dan  90%  secara  berurutan  mencapai  Rp  4.013.966,00;  Rp 2.544.737,00; dan Rp 1.875.996,00 dalam jangka waktu satu hari.
Hasil perhitungan  VaR  pada  portofolio bivariat  saham  PTPP dan JSMR diberikan pada Tabel 13.
Tabel 13. Perhitungan VaR Portofolio Saham BBTN dan JSMR dengan Beberapa Bobot
Bobot Portofolio Value at Risk BBTN JSMR 99% 95% 90% 0,1 0,9 -0,04183370 -0,02683034 -0,01937719 0,2 0,8 -0,04065680 -0,02585013 -0,01888409 0,3 0,7 -0,04023787 -0,02550880 -0,01877402 ( * ) 0,4 0,6 -0,04062261 -0,02563509 -0,01888059 0,5 0,5 -0,04187364 -0,02612543 -0,01912612 0,6 0,4 -0,04448918 -0,02696450 -0,01967809 0,7 0,3 -0,04818866 -0,02817551 -0,02049152 0,8 0,2 -0,05261493 -0,02977038 -0,02157329 0,9 0,1 -0,05732815 -0,03191872 -0,02287592
Berdasarkan Tabel  13, diperoleh bobot  terbaik  untuk  investasi  pada saham  BBTN sebesar 30% dan JSMR sebesar 70%. Apabila diilustrasikan, seorang investor menanamkan investasi  sebesar  Rp  100  juta  maka  kerugian  maksimal  yang  akan  diderita  pada  tingkat
kepercayaan  99%,  95%,  dan  90%  secara  berurutan  mencapai  Rp  4.023.787,00;  Rp 2.550.880,00; dan Rp 1.877.402,00 dalam jangka waktu satu hari.
Dari hasil perhitungan VaR portofolio bivariat pada kombinasi saham PTPP, BBTN, dan  JSMR,  diperoleh  VaR  portofolio  terendah  yaitu  VaR  portofolio  pada  saham  PTPP dengan bobot 30% dan JSMR dengan bobot 70%.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Pemodelan ARIMA-GARCH pada data return saham PTPP, BBTN, dan JSMR adalah:
a. PTPP
𝑍 𝑡 = 0,068524𝑍 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 − 0,09868𝑎 𝑡−3 𝜎 𝑡 2 = 0,0000242 + 0,091457𝑎 𝑡−1 2 + 0,243684𝜎 𝑡−1 2 + 0,622886𝜎 𝑡−2 2
b. BBTN
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 − 0,072578𝑎 𝑡−28 𝜎 𝑡 2 = 0,0000289 + 0,059719𝑎 𝑡−1 2 + 0,884620𝜎 𝑡−1 2
c. JSMR
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 − 0,089174𝑎 𝑡−2 𝜎 𝑡 2 = 0,000169 + 0,245236𝑎 𝑡−1 2 + 0,255412𝜎 𝑡−1 2
2. Hasil  estimasi  parameter  copula  Ali-Mikhail-Haq  menggunakan  pendekatan  Tau Kendall antara residual ARIMA-GARCH saham PTPP dengan BBTN yaitu 𝜃 = 0,7516; PTPP  dengan  JSMR  yaitu 𝜃 =  0,6987;  dan  BBTN  dengan  JSMR  yaitu 𝜃 =  0,7105. Sehingga model copula Ali-Mikhail-Haq yang terbentuk adalah:
a. PTPP dengan BBTN
𝐶 0,7516 𝐴𝑀𝐻 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 0,7516(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 )
b. PTPP dengan JSMR
𝐶 0,6987 𝐴𝑀𝐻 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 0,6987(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 )
c. BBTN dengan JSMR
𝐶 0,7105 𝐴𝑀𝐻 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑢 1 𝑢 2 1 − 0,7105(1 − 𝑢 1 )(1 − 𝑢 2 )
3. Hasil perhitungan VaR pada portofolio bivariat untuk jangka waktu satu hari ke depan dengan simulasi Monte Carlo dengan membangkitkan 1246 data dari parameter copula Ali-Mikhail-Haq sebanyak 3000 kali pengulangan yaitu untuk portofolio bivariat saham PTPP dan BBTN dengan bobot masing-masing 50% serta tingkat kepercayaan 99%, 95%, dan 90% secara berurutan adalah sebesar -0,04737677; -0,02943334; dan -0,02151768. Pada portofolio bivariat saham PTPP dengan bobot 30% dan JSMR dengan bobot 70% serta  tingkat  kepercayaan  99%,  95%,  dan  90%  secara  berurutan  adalah  sebesar  - 0,04013966;  -0,02544737;  dan  -0,01875996.  Pada  portofolio  bivariat  saham  BBTN dengan bobot 30% dan JSMR dengan bobot 70% serta tingkat kepercayaan 99%, 95%, dan 90% secara berurutan adalah sebesar -0,04023787; -0,0255088; dan -0,01877402.

## DAFTAR PUSTAKA
Darmadji dan Fakhruddin. 2012. Pasar Modal di Indonesia . Jakarta: Salemba Empat.
Hanafi, H. dan Halim, A. 1996. Analisa Laporan Keuangan . Yogyakarta: UPP STIM YKPN. Joe, H. 1997. Multivariate Models and Dependence Concepts . New York: Chapman & Hall.
Jorion,  P.  2006. Value  at  Risk:  The  New  Benchmark  for  Managing  Financial  Risk  Third Edition . New York: McGraw Hill.
Kumar,  P.  2010.  Probability  Distributions  and  Estimation  of  Ali-Mikhail-Haq  Copula. Applied Mathematical Sciences Vol. 4, No. 14: Hal. 657 – 666.
Makridakis,  S.,  Wheelwright,  S.  C.,  dan  McGee,  V.  E.  1999. Metode  dan  Aplikasi Peralaman .  Edisi  Kedua.  Diterjemahkan  oleh:  Andriyanto  dan  Basith.  Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Forecasting Methods and Applications Second Edition.
Nelsen,  R.  B.  2006. An  Introduction  to  Copulas  Second  Edition .  New  York:  Springer Science+Business Media.
Palaro, H. P. dan Hotta, L. K. 2006. Using Conditional Copula to Estimate Value at Risk. Journal of Data Science , No. 4: Hal. 93-115.
Tandelilin, E. 2010. Portofolio dan Investasi Teori dan Aplikasi . Yogyakarta: Kanisius.
Tsay, R. S. 2002. Analysis of Financial Time Series . Canada: John Willey & Sons.
Wei,  W.W.S.  2006. Time  Series  Analysis:  Univariate  and  Multivariate  Methods  Second Edition . US: Pearson Addison Wesley.