## PENDETEKSIAN OUTLIER PADA REGRESI NONLINIER DENGAN METODE STATISTIK LIKELIHOOD DISPLACEMENT (LD)

## Siti Tabi’atul Hasanah
Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: chib_y@yahoo.com

## ABSTRAK
Outlier merupakan    pengamatan  yang  jauh  berbeda  (ekstrim)  dari  data  pengamatan  lainnya, atau  dapat  diartikan  data  yang  tidak  mengikuti  pola  umum  model.  Adakalanya outlier memberikan informasi yang tidak dapat diberikan oleh data yang lainnya. Karena itulah outlier tidak boleh begitu saja dihilangkan. Outlier dapat  juga  merupakan  pengamatan  berpengaruh.  Banyak  sekali  metode  yang  dapat digunakan  untuk  mendeteki  adanya outlier. Pada  penelitian-penelitian  sebelumnya  pendeteksian outlier dilakukan  pada  regresi  linier.  Selanjutnya  akan  dikembangkan  pendeteksian outlier pada  regresi nonlinier.  Regresi  nonlinier  disini  dikhususkan  pada  regresi  nonlinier  multiplikatif.  Untuk  mendeteksi yaitu  menggunakan  metode    statistik likelihood  displacement .    Metode  statistik likelihood  displacement disingkat (LD) adalah suatu  metode untuk mendeteksi adanya  outlier dengan cara menghilangkan  data yang  diduga outlier .  Untuk  mengestimasi  parameternya  maka  digunakan  metode maximum  likelihood , sehingga  didapatkan  hasil  etimasi  yang  maksimal.  Dengan  metode  LD  diperoleh ,  yaitu likelihood displacement yang  diduga  mengandung outlier .  Selanjutnya  Keakuratan  metode  LD  dalam  mendeteksi adanya outlier ditunjukkan  dengan  cara  membandingkan  MSE  dari  LD  dengan  MSE  dari  regresi  pada umumnya. Statistik uji yang digunakan adalah  . Hipotesis awal ditolak ketika
, sehingga terbukti adalah suatu outlier.
Kata kunci: likelihood displacement, maximum likelihood estimation, outlier, regresi nonlinier multiplikatif.

## ABSTRACT
Outlier  is  an  observation  that  much  different  (extreme)  from  the  other  observational  data,  or data can be interpreted that do not follow the general pattern of the model. Sometimes outliers provide information  that  can  not  be  provided  by  other  data.  That's  why  outliers  should  not  just  be  eliminated. Outliers  can  also  be  an  influential  observation.  There  are  many  methods  that  can  be  used  to  detect  of outliers.  In  previous  studies  done  on  outlier  detection  of  linear  regression.  Next  will  be  developed detection  of  outliers  in  nonlinear  regression.  Nonlinear  regression  here  is  devoted  to  multiplicative nonlinear  regression.  To  detect  is  use  of  statistical  method  likelihood  displacement.  Statistical  methods abbreviated  likelihood  displacement  (LD)  is  a  method  to  detect  outliers  by  removing  the  suspected outlier  data.  To  estimate  the  parameters  are  used  to  the  maximum  likelihood  method,  so  we  get  the estimate of the maximum. By using LD method is obtained
i.e likelihood displacement is thought to contain  outliers.  Further  accuracy  of  LD  method  in  detecting  the  outliers  are  shown  by  comparing  the MSE  of  LD  with  the  MSE  from  the  regression  in  general.  Statistic  test  used  is  Λ.  Initial  hypothesis  was rejected when
, proved so
is an outlier.
Keywords :  likelihood displacement, maximum likelihood estimation, multiplicative nonlinear regression, Outlier

## PENDAHULUAN
Outlier adalah  pengamatan  yang  jauh berbeda (ekstrim) dari data pengamatan lainnya. Salah  satu  penyebab  terjadinya outlier adalah kesalahan  pada  pengambilan  data  sehingga menyebabkan  data  tersebut  menjadi  ekstrim. Adakalanya outlier ini  tidak  boleh  begitu  saja dihilangkan,  namun  dalam  hal  ini  harus  hati-hati karena terkadang outlier itu memberikan informasi  yang  tidak  dapat  diberikan  oleh  titik
pengamatan  lain,  misalnya  karena  adanya kombinasi  keadaan  yang  tidak  biasa  dan  perlu diadakan  penyelidikan  lebih  jauh.  Suatu outlier dapat  dibuang  setelah  ditelusuri  ternyata pengamatan  tersebut  merupakan  akibat  dari kesalahan  pengukuran  atau  kesalahan  dalam menyiapkan  pengukuran. Outlier dapat  juga merupakan  pengamatan  berpengaruh. Outlier yang  bukan  pengamatan  berpengaruh,  tidak memiliki pengaruh yang kuat pada model kecuali outlier tersebut  sangat  besar.  Tetapi  jika outlier
merupakan  data  berpengaruh,  maka  akan memberikan  dampak  pada  model  (Drapper  dan Smith, 1992:146).
Misalkan  saja  pada  suatu  penelitian tentang  sapi  penghasil  susu.  Dari  suatu  data ternyata  diperoleh  ada  beberapa  sapi  yang menghasilkan  hasil  susu  yang  lebih  banyak  dari biasanya atau dari sapi normalnya. Sapi penghasil susu  yang  tidak  sesuai  dengan  normalnya merupakan suatu outlier, namun jika mengahapus  begitu  saja  data  ini  berarti  telah menghilangkan  bibit  sapi  unggul  yang  mampu menghasilkan banyak susu sapi. Oleh sebab itulah penting  untuk  mengidentifikasi  adanya outlier agar  tidak  kehilangan  suatu  data  yang  memiliki kualitas  yang  bagus.  Jika  dengan  adanya outlier itu  kurang  baikmaka  perlu  diidentifikasi  dan kemudian  dihilangkan  data  yang  mengandung outlier.
Banyak sekali metode yang dapat digunakan  untuk  mendeteksi outlier ,  salah satunya  yaitu  pendektesian outlier pada  model linier  univariat  telah  dikemukaan  oleh  Cook dengan  memperkenalkan  Jarak  Cook  ( Cook’s Distance )  sebagai  ukuran  untuk  mendeteksi pengamatan  berpengaruh  dalam  model  linier univariat.  Ukuran  Jarak  Cook  ini  dirumuskan sebagai  kombinasi  dari studential  residual, variansi residual, dan  variansi  nilai  prediksi. Selain  metode  yang  dikemukakan  oleh  Cook, masih banyak lagi metode yang digunakan untuk pendeteksian outlier pada model linier (Makkulau, 2010:95)
Xu, Abraham dan Steiner (2005) mengembangkan  Jarak  Cook  univariat  untuk mendeteksi outlier pada  model  linier  multivariat (model regresi linier multivariat) dengan menggunakan metode statistik likelihood displacement yang  disingkat  LD.  Metode  LD adalah  suatu  metode  untuk  mendeteksi  adanya outlier dengan  cara  menghilangkan  pengamatan yang diduga outlier (Makkulau, 2010:95) . Tujuan  dari  penelitian  ini  adalahuntuk mengetahui cara mendeteksi outlier pada regresi nonlinier  dengan  metode  statistik Likelihood Displacement (LD).
Mafaat  dari  penelitian  ini  adalah  untuk mengembangkan  metode  yang  dapat  digunakan untuk mendeteksi adanya outlier.

## KAJIAN TEORI
1. Outlier
Secara  umum outlier dapat  diartikan  data yang  tidak  mengikuti  pola  umum  pada  model atau  data  yang  keluar  dari  model  dan  tidak berada  dalam  daerah  selang  kepercayaan (Sembiring, 1995:62).
Menurut  Draper  dan  Smith  (1992:146) sisaan  yang  merupakan outlier adalah  yang  nilai mutlaknya  jauh  lebih  besar  dari  pada  sisaan lainnya  dan  terletak  tiga  atau  empat  kali simpangan baku atau lebih jauh lagi dari rata-rata sisaannya. Outlier merupakan  suatu  keganjilan dan  menandakan  suatu  titik  data  yang  sama sekali tidak tipikal dibandingkan data lainnya.
2. Estimasi Parameter
Menurut Yitnosumarto (1990:211) penduga ( estimator ) adalah anggota peubah acak statistik  yang  mungkin  untuk  sebuah  parameter (anggota  peubah  yang  diturunkkan).  Parameter adalah  nilai  yang  mengikuti  acuan  keterangan atau  informasi  yang  dapat  menjelaskan  batas- batas  atau  bagian-bagian  tertentu  dari  suatu sistem persamaan.
Murray dan Larry (1999:166)
menyatakan terdapat dua jenis estimasi parameter,  yaitu:  estimasi  titik  dan  estimasi interval.
Estimasi  titik  adalah  Estimasi  dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh bilangan  tunggal  disebut  sebagai  estimasi  titik dari  parameter  tersebut.  Sebuah  nilai  yang diperoleh  dari  sampel  dan  digunakan  sebagai estimasi  dari  parameter  yang  nilainya  tidak diketahui. Misalkan 1, 2, … , merupakan sampel  acak  berukuran  n  dari  X,  maka  statistik yang berkaitan dengan θ dinamakan estimasi dari θ.  Setelah  sampel  diambil,  nilai-nilai  yang dihitung  dari  sampel  itu  digunakan  sebagai taksiran titik bagi θ.
Estimasi  dari  parameter  populasi  yang dinyatakan dengan dua bilangan. Di antara posisi parameternya  diperkirakan  berbeda,  sehinggga disebut  estimasi  interval.  Estimasi  interval mengindikasikan adanya tingkat kepresisian atau akurasi  dari  sebuah  estimasi  sehingga  estimasi interval  akan  dianggap  semakin  baik  jika mendekati estimasi titik
Adapun  sifat-sifat  estimasi  titik  adalah sebagai berikut:
1. Tak Bias Yusuf Wibisono (2005:362) dalam bukunya menyatakan bahwa estimator tak bias bagi parameter θ, jika
2. Konsisten Damodar N. Gujarati (2007:98)
menerangkan estimator parameter dikatakan konsisten  bila  nilai-nilainya  mendekati  nilai parameter  yang  sebenarnya  meskipun  ukuran sampelnya semakin besar.
3. Efisien Jika distribusi sampling dari dua statistik memiliki mean atau  ekspektasi  yang  sama, maka statistik dengan variansi yang lebih kecil
disebut  sebagai estimator efisien  dari mean ,
sementara statistik yang lain disebut estimator tak efisien. Adapun nilai-nilai yang berkorespondensi  dengan  statistik-statistik  ini masing-masing disebut sebagai estimasi efisien dan estimasi tak efisien.
4. Distribusi
Suatu  peubah  acak berdistribusi normal !"#, $ % bila  untuk  suatu $ 0 dan * ∞ + # + ∞ (Turmudi dan Harini, 2008:204). mempunyai  fungsi  densitas  pada , dengan persamaan:
-",% 1 $√2/ 0 123 415 6 7 8 (2.1) Distribusi  lain  yang  digunakan  yaitu distribusi chi-square. Distribusi chi-square merupakan  distribusi  dengan  variabel  acak kontinue.  Simbol  untuk chi-square adalah . Distribusi chi-square sebenarnya  merupakan jumlah  kuadrat  dari  variabel-variabel  acak  yang bebas dan menyebar normal dengan mean 0 dan ragam  1 9~!;"0,1%. Distribusi  ini  dapat dinyatakan dengan 9 2 = 9 = > = 9 ? @ 9 @ A B * # $ C
merupakan  variabel  acak  yang  tersebar  menurut distribusi chi-square dengan  derajat  bebas sebesar D dan dapat dituliskan E ? dimana ? yaitu  distribusi chi-square dengan derajat bebas D. Suatu  variabel  acak berdistribusi chi- square dengan  derajat  bebas D ,  dinyatakan dengan ? "0% bila  untuk  suatu  bilangan  bulat D  0 . (Turmudi dan Harini, 2008: 210) Distribusi ini mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
- 4 ",%   F 1 2 ? Γ 3D27 , 3?712 0 14 , , G 0
0,                           selainnya M Nilai  tengah  ( mean )  dan  ragam  untuk distribusi adalah #   D dan N 2D . Distribusi chi-square bergantung pada banyaknya simpangan  baku  yang  bebas  antara  satu  dengan yang  lain  atau  dengan  kata lain  bergantung  pada derajat bebasnya.
Jika dan B variabel acak, maka peluang terjadinya dan B secara  serentak  dinyatakan sebagai -",, O% disebut  Distribusi  Peluang Gabungan untuk setiap pasangan ",, O% (Herrhyanto, 2009:5).

## 5. Regresi Nonlinier
Analisis  regresi  merupakan  analisis  yang menyangkut  studi  tentang  hubungan  antara  satu variabel  yang  disebut  variabel  terikat  atau
variabel  yang  dijelaskan  dan  satu  atau  lebih variabel  yang  lain  yang  disebut  variabel  bebas atau variabel penjelas (Gujarati, 2007:115).
Regresi yang variabel-variabelnya berbentuk  tidak  biasa.  Bentuk  grafik  regresi nonlinier  adalah  berupa  lekungan  (Hasan,
2002:297). Model regresi nonlinier
dapat digolongkan  menjadi  dua  yaitu  model linier intrinsik dan  model  nonlinier intrinsik .  Jika  suatu model  dikatakan  model  linier intrinsik ,  maka model  model  ini  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk linier  baku  dengan  mentransformasikan  secara tepat  terhadap  peubahnya.  Jika  suatu  model nonlinier  tidak  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk baku,  berarti  model  ini  secara  intsinsik  adalah nonlinier.  Berikut  ini  adalah  beberapa  model yang dapat dinyatakan dalam linier baku (Draper dan Smith, 1992:213).

## 6. Regresi Multiplikatif
Regresi  Multiplikatif  adalah  salah  satu bentuk dari regresi linier intrinsik . Bentuk umum dari regresi multiplikatif adalah sebagai berikut:
B  P 2 Q R S R T (2.2)
dimana $ , U ,  dan V adalah  parameter  yang  tidak diketahui,  dan T adalah  galat  acak  yang  bersifat multiplikatif.  Dengan  mengalgoritmakan  basis  e pada  pada  persamaan  di  atas,  maka  model persamaan di atas menjadi W  B   W X = U W 2 = Y W = V W S = W T . Model persamaan tersebut menjadi bentuk  linier  sehingga  dapat  ditangani  dengan prosedur  regresi  nonlinier.  Model  tersebut merupakan  model  linier  dalam  bentuk W T . T tidak berdistribusi normal, sebab yang berdistribusi  normal  adalah W T (Draper  dan Smith, 1992:213).

## 7. Regresi dalam Pendekatan Matriks
Model  regresi  yang  paling  sederhana adalah  model  regresi  linier.  Model  regresi    linier sederhana  terdiri  dari  satu  variabel.  Model tersebut  dapat  digeneralisasikan  menjadi  lebih dari satu atau dalam k variabel. Persamaan model regresi  linier    dengan D peubah  adalah  sebagai berikut:
O   U Z = U 2 , 2 = U , = > = U ? , ? = T (2.3) pengamatan  mengenai O, , 2 , , , … , , ? dinyatakan masing-masing  dengan O , , 2 , , , … , , ? dan galatnya T ,  maka  persamaan  (2.3)  dapat dituliskan sebagai:
O U Z = U 2 , 2 = U , = > = U ? , ? = T untuk, ^   1,2, . . , .  Dinotasikan  dalam  bentuk matriks, sehingga menjadi:
_ O 2 O `
O a   _
1 , 22 … , 2? 1 , 2 … , ? ` 1 ` , 2 ` … , ? a _ U Z U 2 ` U a = _ T 2 T ` T a

## Misalkan

## B   _
O 2 O ` O a       _ 1 , 22 … , 2? 1 , 2 … , ? ` 1 ` , 2 ` … , ? a
U   _ U Z U 2 ` U a  T   _ T 2 T ` T a
Persamaan  (2.11)    dapat  dinyatakan sebagai:
B   U = T
(2.4) dengan:
B : vektor respon x 1 :matriks peubah bebas berukuran x "D = 1% U : vektor parameter berukuran "D = 1% x 1
T : vektor galat ukuran x 1
(Sembiring,1995:134-135)

## 8. Maximum likelihood
Statistik inferensia dapat dibagi dalam dua bagian  besar,  estimasi  dan  pengujian  hipotesis. Kedua inferensi tersebut masing-masing bertujuan  untuk  membuat  pendugaan  dan pengujian suatu parameter populasi dan informasi  sampel  yang  diambil  dari  populasi tersebut.  Gujarati  N.  Damodar  (2010:131) menjelaskan  bahwa  metode  dari  estimasi  titik ( point  estimation )  dengan  sifat-sifat  teoritis  yang lebih  kuat  dari  pada  metode  OLS  adalah  metode maximum likelihood (ML).
Fungsi likelihood dari peubah  acak , 2 , , , … , , didefinisikan sebagai fungsi kepadatan  bersama  dari  n  peubah  acak.  Fungsi kepadatan  bersama - 4 c , … 4 d ", 2 , … , , ; % ,  yang mempertimbangkan  fungsi  dari .  Jika , 2 , … , , adalah sampel acak dari fungsi kepadatan -",, % , maka fungsi
likelihood nya adalah
-", 2 ; %-", ; % … -", ; % (Mood,  Graybill  and Boes, 1986:278).
Maximum likelihood dapat diperoleh dengan  menentukan  turunan  dari L terhadap parameternya  dan  menyatakannya  sama  dengan nol.  Dalam  hal  ini,  akan  lebih  mudah  untuk terlebih  dahulu  menghitung  logaritma  kemudian menentukan  turunannya.  Dengan  cara  ini diperoleh:
1 -" 2 , % f-", 2 , % f = > = 1 -" , % f-", , %
f 0
Penyelesaian  dari  persamaan  ini,  untuk dalam  bentuk , ? ,  dikenal  sebagai  estimator maximum likelihood dari .
9. Metode  Statistik Likelihood  Displacement (LD)
Metode  LD  adalah  suatu  metode  yang dikembangkan dengan cara menghilangkan pengamatan  yang  diduga outlier .  Misalkan D adalah pengamatan dikumpulkan pada pengamatan  tertentu,  dengan D diduga  sebagai outlier .  Indeks g ? adalah  kumpulan  dari D yang diduga outlier.
LD  dari  pengamatan  yang  mengandung outlier untuk Uh i dengan variansi σ j adalah:
Uh i k$l 2mW Uh i , $l M * MW  3Uh i n o , $l "Uh i n o %7p                        "2.5% dimana  σ j "Uh i n o adalah  MLE  dari  σ j ketika Uh i diestimasi oleh Uh i n o (Makkulau, dkk, 2010:97).

## PEMBAHASAN
1. Regresi Nonlinier Multiplikatif
Bentuk  umum  dari  regresi  nonlinier multiplikatif adalah dinyatakan sebagai berikut:
O U Z , 2 Q c , Q 8 , S Q r … , ? Q … T (3.1)
Persamaan (3.1) dapat dilinierkan dengan melogaritmanaturalkan  persamaannya,  sehingga modelnya menjadi:
W O W U Z = U 2 W , 2 = U W , = > = U ? W , ? = > = W T (3.2) dengan ^   1,2, … , dan D   1,2, … , Dalam  penelitian  ini  diasumsikan  bahwa variabel  terikat "W O% berdistribusi  normal dengan mean # dan  variansi $ .  Sehingga  dalam persamaan  (3.1) T berdistribusi  log  normal, karena yang berdistribusi normal adalah ln T . Dengan menggunakan pendekatan matriks, diperoleh: B s 2 i s"?t2 % i U "?t2 %s 2 i = T s 2 i (3.3)
2.  Estimasi  parameter  regresi  noninier multiplikatif
Dari  persamaan  (3.3)  diketahui  bahwa B i "W O 2 , W O , … , W O % u adalah variabel random, karena diasumsikan berdistribusi normal, maka
B i ~!" i U i , ;$ % dengan i "W , Z , W , 2 , … , W , 2? % dan U i "W U Z , U 2 , … , U % u dimana ^   1,2, … , dan ; adalah matriks identitas. Sehingga fungsi distribusi peluang gabungannya adalah
-"B i |U i , $ %   A 2 wx6 8 C 0 1 c 8y8 "z i 1{ i Q i % | "z i 1{ i Q i % (3.4)
sehinggga fungsi likelihoodnya adalah:
"U i , $ |B i %   A
2 wx6 8 C 0 1 c 8y8 "z i 1{ i Q i % | "z i 1{ i Q i %
(3.5)
Dengan  menggunakan  metode  maximum likelihood,  estimasi  parameter U i dan $ dari persamaan (3.5) adalah sebagai berikut:
Uh i " iu i % 12 iu B i (3.6) Dan $l 1 "B i * i U i % u "B i * i U i % (3.7)
Estimator Uh i mempunyai sifat-sifat:
Uh i mempunyai sifat unbias. Bukti: Uh i " iu i % 12 iu B i Uh i "" iu i % 12 iu B i % " iu i % 12 iu "B i % " iu i % 12 iu i U i ;U i
U i
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa estimator Uh i adalah  estimator  efisien.  Dikatakan estimator  efisien  apabila  mempunyai  nilai variansi  yang  terkecil.  Sehingga }~ Uh i " iu i % 12 $ harus sekecil mungkin agar estimator Uh i efisien.
Kemudian  sifat  estimator  yang  ketiga yaitu  konsisten.  Dikatakan  estimator  yang konsisten jika W^  ∞  "k * k + T   1 sehingga:
W^  ∞ 3 * 7 W^  ∞ " iu i % 12 $ 0.
Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa Uh i merupakan estimator yang konsisten
Selanjutnya menentukan Fungsi likelihood dari estimator Uh i dan $l adalah sebagai berikut: Uh i , $l 1 "2/% "$ % 0 1 2 6 8 "z i 1{ i Q i % | "z i 1{ i Q i % (3.8)
Fungsi likelihood ini kemudian dilogaritmakan. Sehingga diperoleh:
* 2 ln"2/% * 2 ln"$ % * 2 (3.9)
3. Pendeteksian Outlier
Pendeteksian outlier pada regresi nonlinier  dengan  metode  statistik likelihood displacement (LD) dilakukan dengan cara menghilangkan pengamatan yang diduga mengandung outlier pada  model.  Misalkan  ada D pengamatan  yang  dikumpulkan  dalam  suatu himpunan tertentu, dengan D adalah pengamatan yang  diduga  mengandung outlier .  Dimana D + . Dan  misalkan  indeks g ? adalah  kumpulan  dari D pengamatan yang diduga outlier dengan g ? ^ 2 , ^ , … , ^ ? , dan misalkan indeks ^ ?  1,2, … , . Dengan  mempertimbangkan  pengamatan D dalam  estimasi  parameter,  maka  likelihood displacement untuk Uh i , $l dan n o Uh n o i , $l n o adalah:
? "U i |$ %   2ln Uh i , $l
* ln Uh n o i , $l n o (3.10)
dimana Uh i adalah maximum  likelihood  estimation dari U i dan $l adalah maximum  likelihood estimation pada  keseluruhan  pengamatan  dan Uh n o i dan $l n o adalah MLE dari U i dan $ ketika pengamatan dengan indeks g ? dihilangkan. Pada kasus khusus yaitu 2 "U 2 i , $ 2 % subset  dari "U i , $ % ,  maka  fungsi likelihood displacement dapat dimodifikasi menjadi
""U 2 i , $ 2 %|"U i , $ %%
2mW Uh i , $l M
* Mln "Uh 2 i , $l 2 % n o , Uh i , $l "Uh 2 i , $l 2 % n o  Dengan: "Uh i , $l "Uh 2 i , $l 2 % n o % ~, "Q 8 i ,6 8 8 % 3"Uh 2 i , $l 2 % n o , Uh i , $l 7 adalah  memaksimumkan  fungsi log  likelihood pada  parameter "U i , $ % dengan "U 2 i , $ 2 % "Uh 2 i , $l 2 % n o maka U 2 i Uh 2n o i dan $ 2 $l 2n o adalah maximum  likelihood  estimation dari "U 2 i , $ 2 % ketika pengamatan D dihilangkan.
Selanjutnya  untuk  keseluruhan  data ketika D pengamatan pada  himpunan g ? dihilangkan maka modelnya menjadi:
B n o i n o i U n o i = T n o (3.11)
dengan B n o i ~!"0, ;$ % estimasi parameter U n o i dan $ n o dari persamaan  (3.11)  dengan  maximum  likelihood diperoleh:
Uh n o i Uh i * " iu i % 12 iu ; *  12 T̂ i
estimator Uh n o i adalah estimator tak bias. Dan
$l n o * D $ = 1 * D T̂  u   ; *   12 T̂ dengan:
 i " iu i % 12 iu T̂ i B i * i Uh i
Pada  kasus  khusus  seperti  yang  telah dijelaskan maka estimasi dari $l 3Uh i n o 7 dimana $l 3Uh i n o 7 adalah maximum likelihood estimation dari $l ketika U i diestimasi  dengan Uh i n o .
Dengan mensubtitusikan Uh i n o untuk U i pada $l , sehingga diperoleh:
$l 3Uh i n o 7   $l = 1 T̂ iu ; *  12  x ; *  12 T̂ i
Selanjutnya menentukan Fungsi likelihood dari Uh i n o , $l 3Uh i n o 7 diperoleh:
AUh i n o , $l 3Uh i n o 7C 1 32/ 7 $l 3Uh i n o 7  0 1 2 6j 8 3Q i  7 Az i 1{  i Q  i C | Az i 1{  i Q  i C
Fungsi likelihood ini kemudian dilogaritmakan. Sehingga diperoleh:
* 2 W 2/ * 2 W $l 3Uh i n o 7 * 2 (3.12)
4. Metode  statistik  likelihood  displacemen (LD) Likelihood  Displacement dari U i dan $ yang diberikan pada persamaan (2.5) adalah:
"U i |$ %   2 ln Uh i , $l
* ln  AUh i n o , $l 3Uh i n o 7Cp
Subtitusikan  persamaan  (3.9)  dan  (3.12) ke persamaan (2.5) maka: "U i |$ % 2 3* 2 W"2/% * 2 W"$ %7M * M3* 2 W 2/ * 2 W $l 3Uh i n o 77p 2 * 2 W"2/% * 2 W"$ % = 2 W 2/ = M M 2 W $l 3Uh i n o 7p
2 * 2 W"$ % = 2 W $l 3Uh i n o 7p * W $ =   W $l 3Uh i n o 7
* W $ = W $l 3Uh i n o 7p W $l 3Uh i n o 7 * W $ p
W  $l 3Uh i n o 7 $ 
W  $l = 1T̂ iu ; *  12  ; *  12 T̂ i $ 
misal  ; *  12  ; *  12 , maka:
W  $l = 1T̂ iu  T̂ i
$  W  $l $l = 1 T̂ iu  T̂ i
$l

W 1 = 1 $l T̂ iu  T̂ i  Sehingga Likelihood  Displacement yang  diduga mengandung outlier adalah sebagai berikut:
W 1 = 1 $l T̂ iu  T̂ i 
Untuk menunjukkan keakuratan dari hasil metode  LD  dalam  mendeteksi  adanya outlier , maka  digunakan  uji  statistik.  Uji  statistik  disini dilakukan dengan cara membandingkan MSE dari metode  LD  dengan  MSE  dari  regresi  pada
umumnya  (regresi  tanpa outlier ).  Statistik  uji yang digunakan adalah
Λ      ~  
dimana , ^   1, 2, … , D ,  adalah  nilai  eigen  dari  .  Ketika  nilai    lebih  besar  dari  pada   maka nilai   akan semakin besar.
Dari  hasil  uji  statistik  yang  telah dijelaskan,  maka  diberikan  uji  hipotesis  sebagai berikut:
¡ Z : g ? adalah bukan outlier ¡ 2 : g ? adalah outlier
¡ Z ditolak jika dan ¡ Z diterima jika +
.

## PENUTUP
Berdasarkan
pembahasan yang dipaparkan,  dapat  disimpulkan  bahwa  metode statistik Likelihod  Displacement (LD) mampu mendeteksi adanya outlier pada regresi nonlinier multiplikatif.
Sebelum  menerapkan  metode  LD  terlebih dahulu  harus  melinierkan  model  dengan  asumsi bahwa error berdisrtibusi  normal  kemudian mengestimasi parameter regresi nonlinier multiplikatif  dengan  metode maximum  likelihood estimation . Kemudian menerapkan metode statistik likelihood displacement , sehingga diperoleh  hasil  perumusan likelihood displacement untuk  pengamatan  yang  diduga mengandung outlier .
Keakuratan metode
LD dalam mendeteksi  adanya outlier ditunjukkan  dengan uji  statistik.  Yaitu  dengan  membandingkan  MSE dari LD dengan MSE dari regresi pada umumnya. Statistik  uji  yang  digunakan  adalah  .  Hipotesis awal  ditolak  ketika
,  Sehingga terbukti adalah suatu outlier. .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Abdusysyakir.  2007. Ketika  Kyai  Mengajar Matematika . Malang :  UIN-Malang Press.
[2] Al-Asqolani, I. H. & Al-Imam, A. 2007. Fathul Baari  Penjelas  Kitab  Shahih  Al-Bukhari  (12). Penj. Amiruddin. Jakarta: Pustaka Azzam.
[3] Al-Mahally,  I.  J.  &  As-Suyuthi,  I.  J.  1990. Terjemah  Tafsir  Jalalain  Berikut  Asbaabun Nuzul . Bandung: Sinar Baru.
[4] Al-Maraghi,  A.  M.  1989. Tafsir  Al-Maraghi . Semarang: CV. Thoha Putra.
[5] Amrullah,  A.  A.  1981. Tafsir  Al-Azhar . Surabaya: Yayasan Latimojong
[6] Draper,  N.  &  Harry,  S.  1992. Analsis  Regresi Terapan (edisi kedua) . Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
[7] Ghoffur, A. dkk. 2007. Tafsir Ibnu Katsir (8) . Bogor: Pustaka Imam Syafi’i.
[8] Gujarati, D. N. 2007. Dasar-dasar Ekonometri jilid 1 edisi ke-3 . Jakarta: Penerbit Erlangga.
[9] Hasan,  M.  I.  2002. Pokok-pokok  Materi Metodologi Penelitian dan Aplikasinya . Jakarta:Ghalia Indonesia.
[10] Herrhyanto,  N.  2007. http:  //  www. Herryanto.  blog/  Statistika.  Matematika.  I. html (diunduh  pada  tanggal  26  januari 2012).
[11] Makkulau,  S.  L.  &  Purhadi,  M.  M.  2010. Pendeteksian  Outlier  dan  Penentuan  Faktor- Faktor  yang  Mempengaruhi  Produksi  Gula dan  Tetes  Tebu  dengan  Metode  Likelihood Displacement Statistic-Lagrange. Jurnal
Teknik Industri, Volume 12. No. 2 Desember 2010, 95-100.
[12] Mood,  M  Alexander  dkk.1986. Introduction to  the  Theory  of  Statistics .  McgrawHill  Book Company.Sembiring,  RK.  1995. Analisis Regresi. Bandung: ITB.
[13] Murray  &  Larry.  2007. Statistik  edisi  ke-3 . Jakarta: Erlangga.
[14] Shihab, M. Q. 2003. Tafsir Al-Mishbah Volume 14. Jakarta: Lentera Hati.
[15] Sudjana.  2005. Metoda  Statistika .  Bandung: Transito.
[16] Turmudi & Harini, S. 2008. Metode Statistika Pendekatan  Teoritis  dan  Aplikatif .  Malang: UIN-Press.
[17] Wibisono, Y. 2005. Metode Statistik . Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
[18] Xu,  A.  &  Steiner.  1998.  Outlier  Detection Methods  in  Multivariate  Regression  Models. Journal of Multivariate Analysis , 65, 1998, pp. 195-208.
[19] Yitnosumarto, S. 1990. Dasar-Dasar Statistika . Jakarta: Rajawali.