## MODEL KISI BERSYARAT BEBAS UNTUK MENDUGA PELUANG SEL PADA TABEL KONTINGENSI TAK LENGKAP
(Model of Free Grading to Guess Cell Probability in Incomplete Contingency Table)

## Yuliani Setia Dewi
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email:  yulidewi.fmipa@unej.ac.id
Abstract: The problem of estimating cell probabilities from incomplete tables, that is when either the row or column variable missing for some of the subjects is very common. This  article  describes  Lattice  Conditional  Independence  Model  to  estimate  cell probabilities in incomplete contingency table.
Keywords: incomplete contingency tables, Lattice Conditional Independence Model, likelihood function, MLE
MSC 2020: 62H17

## 1.  Pendahuluan
Data tak lengkap pada tabel kontingensi sering terjadi dalam praktek. Pada tabel kontingensi dengan data tak lengkap, data diklasifikasikan ke dalam suatu tabel kontingensi multi arah dengan  nilai  dari  semua  variabel  dicatat  untuk  sekumpulan  contoh  tertentu,  sedangkan contoh sisanya mempunyai data hilang untuk satu atau lebih variabel.  Ringkasan data dapat dinyatakan sebagai tabel yang mempunyai kategori penuh dengan beberapa tabel tambahan dengan kategori yang lebih rendah.
Dalam praktek, pendekatan umum untuk data hilang ini adalah :
1. Algoritma EM [4], [6] yaitu merupakan suatu algoritma iteratif.  Metode ini memerlukan beberapa modifikasi dari sofware statistik yang ada untuk mendapatkan MLE.
2. Metode Complete Deletion (CD), yaitu dengan membuang observasi yang mengandung data hilang.  Metode ini kurang efisien, khususnya apabila banyak observasi yang perlu dibuang.  Di samping itu metode ini kemungkinan menghasilkan penduga parameter yang berbias [8].
Lipsitz,  Parzen  dan  Molenberghs  [5]  memperkenalkan  Model  Linear  Tergeneralisasi Poisson yang diaplikasikan untuk analisis tabel kontingensi tak lengkap R x C,  metode ini tidak memerlukan tambahan pemrograman.  Andersson dan Perlman [2] memperkenalkan Model Kisi Bersyarat Bebas  untuk sebaran normal ganda, yang dapat diaplikasikan untuk analisis data hilang dengan pola tidak monoton, dan Model Kisi Bersyarat Bebas  untuk tabel kontingensi tak lengkap [7]. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai Model Kisi Bersyarat Bebas  untuk menduga peluang sel pada tabel kontingensi tak lengkap.

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1.  Penarikan Contoh Poisson dan Multinomial
Misalkan kita mengobservasi jumlah {n i , i=1,...,N}dari N sel pada suatu tabel kontingensi, dalam hal ini bisa observasi untuk N level dari variabel kategorik tunggal atau untuk N = IJ sel pada tabel kontingensi dua arah. Jumlah yang diobservasi ini merupakan peubah acak. Masing-masing n i merupakan bilangan integer tidak negatif dengan nilai harapan m i = E(n i ), nilai ini dinamakan sebagai frekuensi harapan.
Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak n i , yaitu banyaknya hasil percobaan  yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu  daerah tertentu , sering disebut percobaan Poisson.  Bilangan n i yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson [9].  Sebaran Poisson hanya tergantung pada parameter tunggal, yaitu nilai tengah ( m i ).  Fungsi kepekatan peluangnya adalah :
! ) exp( ) ; ( i n i i i i n m m m n p i  
untuk n i = 0,1,2,... (1)
Ragam ( n i ) = E( n i ) = m i .
Model  penarikan  contoh  untuk  jumlah  {n i }  mengasumsikan  bahwa  mereka  merupakan peubah acak Poisson yang bebas.  Fungsi peluang bersama untuk {n i } merupakan perkalian peluang dari persamaan (1) untuk N sel.
Ciri-ciri dari penarikan contoh Poisson adalah bahwa ukuran contoh total       n =  n j adalah acak.  Apabila kita memulai model Poisson tetapi  dengan kondisi  ukuran contoh  total  n, maka  {n i }  tidak  menyebar  menurut  sebaran  Poisson,  karena  masing-masing  n i tidak  bisa lebih  dari  n  .    Apabila  n  diketahui,  maka  {n i }  tidak  bebas  karena  nilai  yang  satu  akan mempengaruhi jumlah yang lain.  Apabila  n j = n, peluang bersyarat dari sekumpulan {n i } memenuhi kondisi berikut :
                             i n i i i n j j i i i i j j i i n n /n! m m ! /n )m (-m n n N i i, n n n N i i, n ! ! exp ] [exp ) p( ) 1,..., - sel pada observasi p( ) | 1,..., - sel pada observasi p( i (2) dengan   ) /( j i i m m    .  Ini merupakan sebaran multinomial  (n, {  i }),  yang dicirikan oleh ukuran contoh n dan peluang sel {  i }.  Sebaran Binomial (n,  i ) dengan indeks n dan peluang sukses  1 merupakan kasus khusus dari Multinomial dengan    N = 2 sel [1].

## 2.2.  Model Kisi Bersyarat Bebas

## 2.2.1.  Pola Data Lengkap dan Tidak Lengkap
Misalkan (X 1 , X 2 , X 3 ) merupakan peubah kategori. Untuk contoh yang berukuan n, masing- masing  observasi  diklasifikasikan  berdasarkan  tiga  kategori  tersebut.    Klasifikasi  ini menghasilkan tabel kontingensi tiga arah jika datanya lengkap (jika  nilai dari semua kategori dicatat untuk masing-masing observasi) (gambar 1(a)). Akan tetapi sering terjadi di dalam praktek, beberapa observasi hanya dapat diklasifikasikan secara parsial karena nilai dari satu atau lebih variabel hilang.  Jadi pola data yang diobservasi mungkin seperti pada gambar 1(b) dan (c).  Pola data pada gambar 1(a), 1(b) dan 1(c) dapat dinyatakan sebagai ʆ a = {123}, ʆ b = { 1, 12, 123} dan ʆ c = {12, 13, 123}. Pola data ʆ a , ʆ b dan ʆ c dinamakan pola data yang diobservasi [7].
Suatu pola data dinamakan monoton jika p kategori dapat dilabelkan kembali sehingga jika peubah  ke- i hilang  pada  vektor  x j, maka  peubah  ke-i+1,…,p  juga  hilang  pada  x j .  Untuk selainnya pola data dinamakan tidak monoton [2].  Pola data tersebut dapat digambarkan sebagai berikut (untuk 3 kategori): 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    2    2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (a) (b) (c) Lengkap Monoton Tidak monoton Gambar 1.

## 2.2.2  Model Kisi Bersyarat Bebas  untuk Tabel Kontingensi I Arah
Misalkan tabel kontingensi I arah dinyatakan sebagai ζ := x(J i | i  I), dengan I merupakan indeks sekumpulan kategori yang terbatas dan J i adalah sekumpulan level pada kategori ke- i. Keluarga sebaran peluang positif pada ζ dinotasikan dengan P(I).
        1 p(x) 0, ζ)p(x) x | (p(x) P :

## P(I)
P(I)  adalah  model  penuh  untuk  tabel  kontingensi ζ ,  yakni  tidak  ada  batasan  untuk  P(I), kecuali peluang sel-selnya adalah positif dan berjumlah 1.  Untuk beberapa sel  x  (x i | i  I)  ζ dan beberapa subset K  I, misalkan x k := (x i | i  K) menotasikan koordinat proyeksi dari x pada tabel marjinal K-arah ζ k := x(J i | i  K).  Untuk beberapa P  P(I) dan beberapa K  I, sebaran peluang marjinal P K  (p(x K ) | x K  ζ K )  P(K) dinyatakan dengan :
    K I K I x K K K x x p x p \ \ , ), ( : ) (   (3)
dengan         1 ) ( 0 ) ( ) ) ( ( ) ( K K K K K K x p , x p ζ |x x p P K P untuk beberapa K  I.
Anggaplah bahwa X ~ P  P(I).  Misalkan K merupakan kisi dari I.  Untuk masing-masing K  J( K ), sebaran  peluang bersyarat dari X [K] dengan      X  K  = x  K  dinyatakan sebagai berikut :
          , ) | ) | ( ( ] [ K P x x x p P K K K K x K K    
dengan
          K K x K K K K K K x p x p x p x p x x p  ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( Untuk P  P(I), keluarga dari peluang bersyarat ( ,
| ] [ K K x K x P K   K  J( K )) dinamakan keluarga K -parameter dari P.
Misal P( K ) menyatakan sub-famili dari P(I) yang diperoleh dengan menetapkan kendala kisi dengan  syarat  bebas  X L  X M |X L  M ,  L,M  K ,  pada  model  penuh  P(I)  .    Maka  P( K ) dinamakan Model Kisi Bersyarat Bebas  untuk tabel kontingensi ζ I arah. Catatan : P(I) = P({Ø,I}). Proposisi 1. : Untuk P  P(I), tiga kondisi berikut ini ekuivalen :
1. P  (p(x)|x  ζ )  P( K );
2. Untuk masing-masing x  ζ,
  ); | ( ) ( ) ( K K J K x x p x p K    (4)
3. Untuk masing-masing L  K dan x L  ζ L , L). K ), ( | ) | ( ( ) ( ] [     K J K x x p x p K K L
Jadi, dengan P( K ) persamaan (4) menyatakan bahwa masing-masing peluang sel dapat difaktorkan sebagai perkalian dari K parameternya.
Proposisi 2. :Faktorisasi ruang parameter.  Pemetaan
(P) : )) ( , | (P P ) ( : )) ( | ]) ([ ( ( : K x [K]               K K K K J K x J K K P P K K K adalah bijektif. (Perlman & Wu, 1999)

## 2.2.3.  Faktorisasi dari Fungsi Kemungkinan dan MLE dalam Model Kisi  Bersyarat
Bebas  P( K ).
Misal x 1 , x 2 ,…,x n merupakan contoh yang bebas dan identik dari ζ , dengan masing-masing ζ I) i | x x j i j    .    Masing-masing  observasi  x j dianggap  diobservasi  secara  penuh, sehingga dapat diklasifikasikan dengan lengkap menurut I kategori.  Contoh ini kemudian menghasilkan tabel kontingensi I arah ζ . Jumlah yang diobservasi dalam sel x pada tabel kontingensi I arah ζ dinotasikan dengan n(x).  Jumlah yang diobservasi pada sel x K pada tabel marjinal K-arah ( ζ K ) kemudian dinyatakan dengan:
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 25 – 30 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
   K I K I x K x n x n \ \ ). ( ) (  (5)
Fungsi kemungkinan bersama untuk model multinomial dapat dinyatakan  sebagai berikut :
) ( 1 ) ( ) ,..., ; ( : ) ( x n x n x p x x P P        (6)
Di  bawah  model  penuh  P(I),  apabila  semua  n(x)>0,  MLE  dari  p(x)  ada  dan  dinyatakan dengan : . , ) ( ) ( ˆ    x n x n x p (7)
Di bawah Model Kisi Bersyarat Bebas P  P( K ), dengan proposisi 1, fungsi kemungkinan dapat difaktorkan sebagai berikut :
                ), ( : ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) ( : ) ( , ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K K \ \ K K K K K K K K K K K I K I K x K x K x J K x n K K x J K x n K K J K x n K K x J K x n K K x J K x n K K J K x x n x P x x p x x p x x p x x p x x p x p P                                                 K K K K K K K K (8) dengan         ) ( , ) | ( : ) ( K K K K K x n K K x x K x K x x p P      (9)
Catatan bahwa untuk K dan x  K  tetap, ) ( , K K x K x K P  mempunyai bentuk fungsi kemungkinan untuk model penuh P([K]) didasarkan pada ukuran contoh n(x  K  ).  Pembatasan-pembatasan yang ditentukan dalam Model Kisi Bersyarat Bebas P( K ) pada K -parameter P(x [K] |x  K  )  yang digunakan dalam memfaktorkan (.) , K x K  adalah sederhana, yaitu :
            K K K K x x x p  K x K , 1 ) | p(x , 0 ) | ( (10)
dan pembatasan (10) adalah bebas untuk masing-masing K  J( K ).  Jadi di bawah Model Kisi  Bersyarat  Bebas  P( K ),  fungsi  kemungkinan  K (P)  adalah  perkalian  dari  fungsi kemungkinan untuk model penuh P([K]) yang berbeda, K  J( K ), yang memiliki peluang- peluang sel K -parameter p(x [K] |x  K  ).  Oleh karena itu  K (P) dapat dimaksimumkan dengan memaksimisasi masing-masing faktor (.) , K x K  secara terpisah, sehingga dengan persamaan (7), MLE dari K parameter dinyatakan dengan :
      ,
, ) ( ) ( ) | ( ˆ K K K K K K x x n x n x x p   
masing-masing n(x K )>0.  Sebagai catatan n(x  ) = n.
MLE dari parameter asal p(x) dinyatakan dengan :
ζ. x x n x n x p K K J K     , ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( K
dalam Model Kisi Bersyarat Bebas  P( K ).  Nilai maksimum dari fungsi kemungkinan  K (P) di bawah P( K ) dinyatakan dengan :
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ˆ ( x n K K J K x x n x x n x n x p P                    K K

## Daftar Pustaka
[1] Agresti, A.  1990. Categorical Data Analysis. Wiley, New York.
[2] Andersson,S.A.  &  Perlman,  M.D.  1991 .    Lattice-ordered  Conditional  Independence Models for Missing Data. Statist.Probab.Lett. 12:465-486.
[3] Andersson,S.A. & Perlman, M.D. 1993 .  Lattice Models for Conditional Independence in a multivariate normal distribution. Ann.Statist. 21:1318-1358 .
[4] Dempster, A.P., Laird, N.M. & Rubin, D.B. 1977.  Maximum Likelihood Estimation from Incomplete Data via The EM Algorithm. J. Roy.Statist. Soc. B, 39,  1-38.
[5] Lipsitz, S.R., Parzen, M. & Molenberghs, G.  1998. Obtaining the Maximum Likelihood Estimates  in  Incomplete  R  x  C  Contingency  Tables  Using  a  Model  LinearTerampat Poisson. J. Comp.& Graph. Statist. 7, 356 – 376.
[6] Little, R.T & Rubin D.B.  1987. Statistical Analysis with Missing Data .  Wiley, New York.
[7] Perlman, M.D. and Wu,L. 1999. Kisi Bebas Bersyarat Models for Contingency Tables with Non-Monoton Missing Data Patterns. J.Statist.Planning and Inference 79, 259-287.
[8] Rubin, D.B.  1974. Characterizing the Estimation of Parameters in Incomplete Data Problems . J. Amer.Statist.Assoc.69,467-474.
[9] Walpole, R.E.  1982. Introduction to Statistics 3 rd edition .  Prentice Hall.