MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL

## PADA MODUL ATAS GAUSSIAN INTEGERS

## Ari Wardayani
Universitas Jenderal Soedirman ariwardayani@yahoo.co.id
ABSTRACT . We prove that ℝ 2 is module over Gaussian Intergers and the set of all  coset  of  submodule in  module ℝ 2 over  Gaussian  Integers  is  a  quotient module.  We  find  the  proof  by  showing  that ℝ 2 is  both  a  right  module  and  a  left module over Gaussian Integers and showing that the set of all coset of submodule in module ℝ 2 is both a right module and a left module over Gaussian Integers.
Key word : module, submodule, coset, quotient module
ABSTRAK. Pada makalah ini dibuktikan bahwa ℝ 2 adalah modul atas Gaussian Integers  dan  himpunan  semua  koset  dari  submodul ℤ 2 pada  modul ℝ 2 atas Gaussian Integers merupakan modul faktor. Bukti diperoleh dengan menunjukkan bahwa ℝ 2 adalah  modul  kiri  sekaligus  modul  kanan  atas  Gaussian  Integers  dan menunjukkan  bahwa  himpunan  semua  koset  dari  submodul ℤ 2 pada ℝ 2 merupakan modul kanan sekaligus modul kiri atas Gaussian Integers.
Kata kunci : modul, submodul, koset, modul faktor

## 1. PENDAHULUAN
Modul  merupakan  suatu  struktur  yang  dibentuk  dari  suatu  grup  abel  dan suatu ring dengan elemen satuan.  Misalkan  M adalah grup abel  terhadap  operasi penjumlahan  dan  R  adalah  ring  dengan  elemen  satuan, modul  kiri  M  atas  ring  R adalah struktur  yang dibentuk oleh M dan R yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar
   R M , M r m r m  
  
dan memenuhi aksioma: 1.
     1 2 1 2 1 2 R , M , r m m r m m rm rm       
2.
     1 2 1 2 1 2 , R M , r r m r r m r m r m
      
JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 279 - 288
3.
       1 2 1 2 1 2 , R M , r r m r r m r r m      4.   M ,  1 m m m
   dengan 1 adalah elemen satuan R.
Definisi  modul  kanan  M  atas  ring  R  analog  dengan  modul  kiri,  tetapi  pada  operasi pergandaan skalarnya, elemen-elemen  r  di R dituliskan disebelah kanan (Hartley, dkk., 1970). Himpunan  bagian  tak  kosong  dari  suatu  modul  disebut  submodul  jika himpunan  bagian  tersebut    dilengkapi  dengan  operasi  yang  sama  dengan  operasi di modulnya, juga membentuk modul (Adkins, 1972). Sementara itu modul faktor adalah  suatu  modul  yang  dihasilkan  oleh  suatu  submodul  dari  modul  yang diberikan (Lang, 1995).
Gaussian  Integers merupakan  himpunan  bagian  dari  himpunan  bilangan kompleks (Muchlisah, 2008) dan dinotasikan dengan
( )   {                           √   }
Menurut Fraleigh (2000), Gaussian Integers ℤ ( i ) merupakan daerah integral, yaitu ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memuat pembagi nol.
Himpunan ℝ 2 adalah himpunan dari semua elemen yang berbentuk 2-tupel dengan  setiap  tupelnya  merupakan  bilangan  riil  (Anton,  1993).  Himpunan ℝ 2 dinotasikan dengan
,* +          - .
Menurut  Jacob  (1990), merupakan  ruang  vektor  atas  lapangan  himpunan bilangan  riil ℝ .  Hal  ini  mengakibatkan  bahwa adalah  grup  abel  terhadap operasi penjumlahannya.
2. PEMBENTUKAN MODUL ℝ 2 ATAS GAUSSIAN INTEGERS ℤ ( i )
Sebelum  membuktikan ℝ 2 adalah  modul  atas Gaussian  Integers ℤ ( i ), terlebih dahulu didefinisikan operasi pergandaan skalar antara ℤ ( i ) dan ℝ 2 yakni:
280                                                                                                                             Ari Wardayani
(      ) * +   [ ] dan * + (      )   [ ] ,
untuk  setiap (      )    ( ) , * + .  Selanjutnya  ditunjukkan  bahwa  dengan operasi  pergandaan  skalar  yang  didefinisikan  tersebut, ℝ 2 memenuhi  aksioma- aksioma modul kiri dan modul kanan atas Gaussian Integers ℤ ( i ).
Proposisi  1. Himpunan ℝ 2 adalah  modul  atas Gaussian  Integers ℤ ( i )  dengan operasi pergandaan skalar
(      ) * +   [ ] dan * + (      )   [ ] ,
untuk setiap (      )    ( ) , * + .
Bukti . Pembuktian  diawali  dengan  menunjukkan    bahwa  operasi  yang didefinisikan tersebut adalah well-defined . Ambil sembarang (      )  (      ) ( ) dengan (      )   (      ) , dan * +   * + dengan * +   * + . Jika (      )   (      ) dan * +   * + maka
(      ) * +   [ ]   [ ]   (      ) * + dan
* + (      )   [ ]   [ ]   * + (      ) .
Jadi  operasi  pergandaan  skalar  yang  didefinisikan  tersebut well-defined . Selanjutnya ditunjukkan bahwa aksioma-aksioma modul kiri dipenuhi:
(i). ((      )   (      )) * +   ((     )   (     ) ) * +
[ (     ) (     ) (     ) (     ) ]
[ ]   [ ]
(      ) * +   (      ) * + .
(ii). (      ) (* +   * +)   (      ) * +   [ (
)    ( ) ( )    ( ) ] = [ ] + [ ] (      ) * +   (      ) * +
(iii). ((      )(      )) * +   ((       )   (       ) ) * +
[ (       ) (       ) (       ) (       ) ] [ ( )   ( ) ( )   ( ) ] [ ( )    ( ) ( )    ( ) ] (      ) [ ]
(      ) .(      ) * +/
(iv). 1 * +   (      ) * +   * +
Karena ℝ 2 memenuhi  aksioma-aksioma  modul  kiri  atas Gaussian  Integers ℤ ( i ), maka ℝ 2 adalah modul kiri  atas Gaussian  Integers ℤ ( i ). Secara analog diperoleh bahwa ℝ 2 adalah modul kanan atas Gaussian Integers ℤ ( i ). Kemudian karena ℝ 2 adalah  modul  kiri  sekaligus modul kanan atas Gaussian Integers ℤ ( i ) maka ℝ 2 adalah modul atas Gaussian Integers ℤ ( i ). ■
282                                                                                                                              Ari Wardayani
Selanjutnya,  struktur  modul ℝ 2 atas Gaussian  Integer ℤ ( i )  ini  akan  digunakan untuk  membentuk  submodul,  koset,  dan  pada  akhirnya  digunakan  untuk membentuk modul faktor yang diinginkan.
3. PEMBENTUKAN MODUL FAKTOR DARI SUBMODUL ℤ 2
Pada  makalah  ini,  pembentukan  modul  faktor    menggunakan yaitu himpunan  bagian  dari ℝ 2 .  Pembentukan  modul  faktor    diawali  dengan menunjukkan  bahwa ℤ 2 adalah  submodul  dari ℝ 2 .  Hal  ini  dapat  dibuktikan sebagai berikut. Dengan pendefinisian
,* + -
jelas  bahwa adalah  himpunan  bagian  dari
yang  tak  kosong,  sebab  dengan mengambil  z 1 ,  z 2 sembarang  elemen  di ℤ selalu  dapat  ditentukan * + . Kemudian, juga merupakan submodul  dari modul atas ℤ ( i ) karena   untuk setiap * + , * + dan ( ) berlaku:
* +   * +   * + dan (      ) * +   [ ] .
Selanjutnya  didefinisikan  himpunan ⁄ ,* + * + - yaitu  himpunan  semua  koset  submodul pada  modul atas ℤ ( i ).  Untuk penyederhanaan penulisan, selanjutnya * + ⁄ ditulis dengan * + ̅̅̅̅̅
.
Proposisi 2. Himpunan ⁄ merupakan modul faktor yang dihasilkan oleh pada  modul atas  Gaussian  Integer ( ) dengan  operasi  penjumlahan  dan pergandaan skalar yang didefinisikan sebagai berikut :
untuk setiap * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ ⁄ dan ( ) berlaku * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ * +   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ,
Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul                                                                         283
(      ) * + ̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ dan * + ̅̅̅̅̅ (      )   * + (      ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
.
Bukti . Terlebih  dahulu  ditunjukkan  bahwa  operasi  penjumlahan  koset  yang didefinisikan tersebut adalah well-defined . Ambil
sembarang
* + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ [ ] ̅̅̅̅̅̅ [ ] ̅̅̅̅̅̅ ⁄ dengan * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ dan [ ] ̅̅̅̅̅̅ [ ] ̅̅̅̅̅̅ .  Jika
* + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ maka * + * + .  Menurut  sifat  koset,  jika * + ̅̅̅̅̅
* + ̅̅̅̅̅ mengakibatkan * +   * + .  Kemudian,  jika [ ] ̅̅̅̅̅̅ [ ] ̅̅̅̅̅̅ maka
[ ] [ ] . Dengan demikian juga diperoleh [ ]   [ ] .
Kemudian, (* +   [ ])   (* +   [ ])   (* +   * +)   ([ ]   [ ])
. Sebagai akibatnya (* +   [ ]) (* +   [ ]) , yang
mengimplikasikan bahwa * +   [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * +   [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Dengan kata lain, * + ̅̅̅̅̅ [ ] ̅̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ [ ] ̅̅̅̅̅̅ .
Berikut ini ditunjukkan bahwa operasi pergandaan skalar yang didefinisikan tersebut juga well-defined .
(      ) (* +   * +)   (      ) * +   [ ( )    ( ) ( )    ( ) ] [ ]   [ ] (      ) * +   (      ) * + .
Hal ini mengakibatkan (      ) * + (      ) * + , yakni
284                                                                                                                              Ari Wardayani
(      ) * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Dengan kata lain, (      ) * + ̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅ . Secara analog diperoleh bahwa
* + ̅̅̅̅̅ (      )   * + ̅̅̅̅̅ (      ) .
Jadi  operasi  penjumlahan  dan  pergandaan  skalar  yang  didefinisikan  tersebut adalah well defined .
Berikutnya  ditunjukkan  bahwa ⁄ dengan  operasi  penjumlahan  dan pergandaan skalar yang didefinisikan di atas merupakan modul atas ℤ ( i ). Langkah pertama  adalah  menunjukkan  bahwa ⁄ terhadap  operasi  penjumlahannya merupakan  grup  abel.  Untuk  setiap * +
̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅
⁄ ,  berlaku * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅
⁄ .  Hal  ini  berarti  operasi  penjumlahannya  tertutup  pada
⁄ .  Selain  itu,
untuk setiap * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ ⁄ berlaku (* + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ )   * + ̅̅̅̅̅ (* +   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )   * + ̅̅̅̅̅ (* +   * +)   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * +   (* +   * +) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ (* +   * +) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ (* + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ ) .
Selanjutnya,
* + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ * +   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * +   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ .
Jadi operasi penjumlahan pada ⁄ bersifat assosiatif dan komutatif.  Eksistensi elemen netral pada ⁄ juga dipenuhi, karena terdapat * + ̅̅̅̅ sedemikian sehingga
Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul                                                                         285
untuk setiap * + ̅̅̅̅̅ ⁄ berlaku * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅ * +   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ .  Selanjutnya,
eksistensi  invers  dari  setiap  elemen  di ⁄ dipenuhi,  karena  untuk  setiap
* +
̅̅̅̅̅ ⁄ mempunyai  invers  yaitu * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅̅̅̅ sedemikian  sehingga
* + ̅̅̅̅̅ + * + ̅̅̅̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅ .  Karena ⁄ terhadap  operasi  penjumlahannya  memenuhi aksioma-aksioma grup dan bersifat komutatif, maka ⁄ adalah grup abel.
Untuk  membuktikan  bahwa ⁄ adalah  modul  kiri  atas ℤ ( i ),  haruslah dibuktikan  bahwa  dengan  operasi  pergandaan  skalar  yang  didefinisikan, ⁄ memenuhi aksioma-aksioma modul. Ambil sembarang ( ) dan * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ ⁄ . Kemudian (i) ((      )   (      )) * + ̅̅̅̅̅ ((     )   (     ) ) * + ̅̅̅̅̅ ((     )   (     ) ) * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ [ (     ) (     ) (     ) (     ) ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ [ ]   [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (      ) * +   (      ) * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅ (ii) (      ) (* + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅ )   (      ) (* +   * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )   (      ) (* + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )
286                                                                                                                              Ari Wardayani
[ ( )    ( ) ( )    ( ) ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ [ ]   [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(      ) * + ̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅ . (iii) ((      )  (      )) * + ̅̅̅̅̅ ((       )   (       ) ) * + ̅̅̅̅̅ [ (       ) (       ) (       ) (       ) ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (      ) [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (      ) [ ] ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (      )(      ) * + ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(iv)  1 * + ̅̅̅̅̅ (      ) * + ̅̅̅̅̅ * + ̅̅̅̅̅
Karena ⁄ memenuhi  aksioma-aksioma  modul  kiri  atas ℤ ( i ),  maka ⁄
adalah  modul  kiri  atas Gaussian  Integers ℤ ( i ).  Secara  analog  diperoleh  bahwa ⁄ adalah  modul  kanan  atas Gaussian  Integesr ℤ ( i ).  Karena ⁄ adalah modul  kiri  dan  modul  kanan  atas Gaussian  Integers ℤ ( i ),  maka ⁄ adalah modul  atas Gaussian  Integers ℤ ( i ).  Untuk  selanjutnya ⁄ dinamakan  modul faktor atas Gaussian Integers ℤ ( i ). ■
Modul Faktor yang Dibentuk dari Submodul                                                                         287

## 4. KESIMPULAN
Himpunan ⁄ dengan  operasi  penjumlahan  dan  pergandaan  skalar yang  didefinisikan  tersebut  memenuhi  aksioma-aksioma  modul  atas Gaussian Integers ℤ ( i ). Modul ⁄ atas Gaussian Integers ℤ ( i ) adalah modul faktor yang dihasilkan oleh pada modul atas Gaussian Integers ℤ ( i ).

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. (1993). Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Adkins,  W.  (1972). Algebra : an  Approach  Via  Module  Theory .  New  York:
Springer-Velberg.
Fraleigh, J.B.  (2000). A First Course in Abstract Algebra . New York: Addison- Wesley Publising Company, Inc.
Hartley,  B.  dan  Hawkes,  T.O.  (1970). Rings,  Modules  and  Linear  Algebra. London: Chapman and Hall, Ltd.
Jacob, B. (1990). Linear Algebra . New York: W. H. Freeman and Company.
Lang, S. (1995). Algebra . New York: Addison-Wesley Publishing Company.
Muchlisah, N. (2008). Teori Gelanggang dan Lapangan . Surakarta: LPP UNS.
288                                                                                                                              Ari Wardayani