JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 1, Tahun 2023, Halaman 104 - 115 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PERAMALAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI PULAU JAWA MENGGUNAKAN METODE HOLT WINTERS EXPONENTIAL SMOOTHING DAN FUZZY TIME SERIES MARKOV CHAIN
Santa Agata Mendila 1 , Iut Tri Utami 2 , Puspita Kartikasari 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro / *Email: santaagatamendila@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.12.1.104-115
Article Info: Received: 2022-11-29 Accepted: 2023-01-15 Available Online: 2023-05-04

## Keywords:
Multiplicative Holt Winters Exponential Smoothing; Fuzzy
Time Series Markov Chain; Number of Train Passengers;
sMAPE.
Abstract: One of the public transportation  choices by the public is the train. The number of train passengers on the island of Java often increases  and  decreases  in  certain  months.  PT.KAI  can  monitor  the number of train passengers by forecasting. Forecasting aims to predict the number of train passengers so that PT.KAI is ready to provide the best  service.  This  study  uses  monthly  data  on  the  number  of  train passengers on Java Island from January 2015 to February 2020. This study  uses  multiplicative  holt  winters  exponential  smoothing  and fuzzy  time  series  markov  chain.  The  multiplicative  Holt  Winters exponential smoothing method is used on data that contains trend and seasonal  elements  that  experience  data  fluctuations  simultaneously. The  fuzzy  time  series  markov  chain  method  is  a combination  of  the fuzzy  time  series  with  the  markov  chain  which  aims  to  obtain  the greatest  probability using the transition  probability matrix. Based on the  analysis  results,  it  can  be  concluded  that  the  multiplicative  holt winters  exponential  smoothing  method  is  better  at  predicting  the number of train passengers on Java Island because the value of sMAPE multiplicative  holt  winters  exponential  smoothing  is  smaller,  it  is 3,0643%  and  the  sMAPE  fuzzy  time  series  markov  chain  value  is 5,2955%.

## 1 . PENDAHULUAN
Memindahkan barang dan jasa dari titik asal ke titik tujuan dikenal sebagai transportasi (Badan Pusat Statistik, 2020). Transportasi sangat penting dalam mendorong ketahanan sosial, meningkatkan  persatuan  dan  kesatuan,  dan  meningkatkan  kemakmuran  ekonomi  (Undang- Undang  Republik  Indonesia  Nomor  23  Tahun  2007  tentang  Perkeretaapian).  Kereta  api merupakan  salah  satu  moda  transportasi  umum  yang  paling  banyak  diminati  karena  dapat memindahkan  banyak  orang  dan  barang  dalam  waktu  yang  relatif  singkat  (Nurjanah et  al ., 2018).
Sering  terjadi  peningkatan  jumlah  masyarakat  yang  menggunakan  keret api  di  Pulau Jawa  pada  bulan-bulan  tertentu,  terutama  pada  bulan-bulan  yang  termasuk  hari  libur  atau liburan  panjang.  Pada  bulan  tertentu  terjadi  penurunan  jumlah  penumpang  karena  tidak terdapat hari libur atau jumlah hari yang lebih sedikit dibandingkan bulan lain. Perekonomian Indonesia dipengaruhi oleh volume penumpang kereta api yang tinggi dan rendah, sehingga PT KAI harus siap untuk memberikan tingkat layanan tertinggi (Dewi et al ., 2018). Peramalan jumlah penumpang kereta api untuk periode yang akan datang merupakan salah satu metode untuk  menentukan  besarnya  pertambahan  dan  penurunan  jumlah  penumpang.  Metode peramalan  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yaitu  metode holt  winters  exponential smoothing dan fuzzy time series markov chain .
Masalah  aspek  musiman  dan  tren  dalam  data  diselesaikan  dengan  pendekatan Holt Winters Exponential Smoothing . Metode ini menggunakan penghalusan eksponensial dengan tiga  kali  pembobotan.  Metode fuzzy  time  series markov  chain merupakan  penggabungan metode fuzzy time series dan rantai markov untuk mencapai hasil terbaik.
Penelitian ini mengkaji peramalan jumlah penumpang kereta api di pulau Jawa dengan menggunakan fuzzy time series markov chain dan metode holt winters exponential smoothing . pendekatan holt  winters  exponential  smoothing digunakan  dalam  penyelidikan  ini  Karena dapat digunakan pada data dengan komponen tren dan musiman. Penelitian ini menggunakan metode  fuzzy  time  series  markov  chain  karena  dapat  digunakan  dengan  pola  data  apapun. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi hasil peramalan terbaik berdasarkan tingkat kesalahan terendah. Analisis data pada penelitian ini menggunakan bantuan Graphical User Interface (GUI) R.

## 2.      TINJAUAN PUSTAKA
Makridakis et  al .  (1999)  mendefinisikan  peramalan  sebagai  teknik  untuk  membuat prediksi  masa  depan  berdasarkan  data  historis. Multiplicative  Holt  Winters  Exponential Smoothing dan Fuzzy  Time  Series  Markov  Chain merupakan  metode  peramalan  yang digunakan dalam penelitian ini.
a. Holt i Winters i Exponential Smoothing model Multiplicative
Data musiman yang cenderung naik atau turun dikenakan pendekatan model pemulusan eksponensial  Holt  Winters  multiplikatif  (berfluktuasi).  Rumus  peramalan  dalam  model  holt winters exponential smoothing adalah sebagai berikut. Rumus untuk menghitung peramalan periode ke depan
𝐹 𝑡+𝑚 = (𝐿 𝑡 + 𝑚𝑏 𝑡 )𝑆 𝑡−𝑠+𝑚 (1)
Rumus untuk menghitung peramalan data training 𝐹 𝑡 = (𝐿 𝑡−1 + 𝑏 𝑡−1 )𝑆 𝑡−𝑠 (2)
Rumus pada tiap-tiap pemulusan / yang / digunakan / sebagai / berikut / : 1. Pemulusan ? ( smoothing ) ( level / )
𝐿 𝑡 = 𝛼 𝑌 𝑡 𝑆 𝑡−𝑠 + (1 − 𝛼)(𝐿 𝑡−1 + 𝑏 𝑡−1 ) (3)
2. Pemulusan ( smoothing ) pola trend
𝑏 𝑡 = 𝛽(𝐿 𝑡 − 𝐿 𝑡−1 ) + (1 − 𝛽)𝑏 𝑡−1 (4)
3. Pemulusan ( smoothing ) musiman ( seasonal )
𝑆 𝑡 = 𝛾 𝑌 𝑡 𝐿 𝑡 + (1 − 𝛾)𝑆 𝑡−𝑠 (5)
Keterangan: 𝛾 : menyatakan pembobot smoothing musiman (0 ≤  𝛾 ≤ 1) 𝛼 : menyatakan pembobot smoothing level (0 ≤ 𝛼 ≤ 1 ) 𝛽 : menyatakan pembobot smoothing trend (0 ≤ 𝛽 ≤ 1) 𝑌 𝑡 : menyatakan data ke-t 𝐿 𝑡 : menyatakan smoothing level pada periode ke-t 𝑏 𝑡 : menyatakan smoothing trend pada periode ke-t 𝑆 𝑡 : menyatakan smoothing musiman pada periode ke-t
𝑠 : menyatakan panjang musiman
𝐿 𝑡−1 : menyatakan smoothing level pada periode ke t-1 𝑏 𝑡−1 : menyatakan smoothing trend pada periode ke t-1 𝐹 𝑡 : menyatakan periode yang ingin diprediksi
𝑚 : menyatakan jumlah periode ke depan
Penggunaan metode multiplicative holt winters exponential smoothing diperlukan nilai awal. Berikut merupakan proses inisialisasi atau penentuan nilai awal.
1. Penentuan nilai awal pada smoothing level , dapat dilihat pada rumus persamaan berikut:
𝐿 𝑠 = 1 𝑠 (𝑌 1 + 𝑌 2 + ⋯ + 𝑌 𝑘 ) (6)
2. Penentuan nilai awal pada smoothing trend , dapat dilihat pada rumus persamaan berikut:
𝑏 𝑠 = 1 𝑠 ( 𝑌 𝑠+1 − 𝑌 1 𝑠 + 𝑌 𝑠+2 − 𝑌 2 𝑠 + ⋯ 𝑌 𝑠+𝑠 − 𝑌 𝑠 𝑠 ) (7)
3. Penentuan nilai awal pada smoothing musiman, dapat dilihat pada persamaan berikut:
𝑆 𝑘 = 𝑌 𝑘 𝐿 𝑠 (8)
Keterangan : 𝑠 : menyatakan panjang musiman 𝐿 𝑠 : menyatakan nilai awal smoothing level
𝑇 𝑠 : menyatakan nilai awal smoothing trend 𝑆 𝑘 : menyatakan nilai awal smoothing musiman dengan 𝑘 =1,2,… 𝑠 𝑌 𝑘 : menyatakan data ke 1,2,3… 𝑠
b. Fuzzy i Time Series i Markov i Chain i Langkah pertama : Pembentukan universe of discourse (U) 𝑈 = [𝐷 𝑚𝑖𝑛 − 𝑑 1 , 𝐷 𝑚𝑎𝑥 + 𝑑 2 ] (9)
𝐷 𝑚𝑖𝑛 merupaka nilai terendah pada data dan 𝐷 𝑚𝑎𝑥 merupakan nilai tertinggi pada data. 𝐷 1 dan 𝐷 2 adalah  dua  bilangan  bulat  positif  yang  tepat  dimana  bilangan  positifnya  ditentukan  oleh peneliti.
Langkah kedua : Menentukan panjang interval dan nilai tengah 1. Pembentukan  banyaknya  interval  kelas / dengan / menerapkan  rumus / sturges / sebagai berikut.
𝑘 = 1 + 3,322  × log ( 𝑛 ) (10)
𝑘 merupakan jumlah interval dan 𝑛 merupakan jumlah  data 2. Pembentukan panjang interval
𝑙 = [(𝐷 𝑚𝑎𝑥 + 𝑑 2 ) − (𝐷 𝑚𝑖𝑛 − 𝑑 1 )] 𝑘 (11)
𝑙 : panjang interval
𝐷 𝑚𝑖𝑛 : nilai minimum 𝐷 𝑚𝑎𝑥 : nilai maksimum 𝑘 : jumlah interval
3. pembagian semesta pembicaraan 𝑢 𝑘 = [𝐷 𝑚𝑖𝑛 − 𝑑 1 + (𝑘 − 1) 𝑙 ; 𝐷 𝑚𝑖𝑛 − 𝑑 1 + 𝑘𝑙) (12)
4. Penentuan nilai tengah
𝑚 𝑖 = (𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖 + 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖)
2 (13)
𝑖 merupakan banyaknya himpunan fuzzy . Langkah ketiga : Menentukan fuzzy set Aturan-aturan yang dapat diterapkan adalah sebagai berikut.
1. Apabila data (𝑌 𝑡 ) termasuk dalam 𝑢 𝑖 maka derajat keanggotaannya yaitu 1, dan 𝑢 𝑖+1 yaitu 0,5 serta nilai derajat keanggotaan lainnya yaitu 0
2. Apabila  data (𝑌 𝑡 ) termasuk  dalam 𝑢 𝑖 , 1 < 𝑖 < 𝑘 maka  derajat  keanggotaannya  yaitu  1, dan 𝑢 𝑖−1 dan 𝑢 𝑖+1 yaitu 0,5 serta nilai derajat keanggotaan lainnya yaitu 0 3. Apabila data (𝑌 𝑡 ) termasuk dalam 𝑢 𝑘 maka derajat keanggotaannya yaitu 1,dan 𝑢 𝑖−1 yaitu 0,5 serta derajat keanggotaan lainnya yaitu 0
Cara untuk mempermudah menentukan fuzzy set A yaitu pada tiap-tiap himpunan / fuzzy / 𝐴 𝑖 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 (𝑖 = 1,2, … 𝑘) dimasukkan dalam / jumlah / interval / yang telah ditentukan, dimana 𝐴 𝑖 , 𝐴 2 , … 𝐴 𝑛 didefinisikan sebagai berikut:
𝐴 1 = { 1 𝑢 1 , 0,5 𝑢 2 , 0 𝑢 3 , … , 0 𝑢 𝑘 } 𝐴 2 = { 0,5 𝑢 1 , 1 𝑢 2 , 0,5 𝑢 3 , … + 0 𝑢 𝑘 } 𝐴 𝑘 = { 0 𝑢 1 , … , 0,5 𝑢 𝑘−1 , 1 𝑢 𝑘 }
Langkah keempat : Proses fuzzyfikasi pada data Proses  mengklasifikasikan  data  ke  dalam  himpunan  fuzzy  dikenal  sebagai  fuzzyifikasi. Apabila data merupakan interval 𝑢 𝑖 , maka data dapat difuzzifikasi kedalam 𝐴 𝑖 Langkah kelima : Fuzzy Logical Relationship (FLR) FLR  ditentukan  dengan  cara  menghubungkan  fuzzy 𝐴 𝑖 yang  merupakan  data  sebelumnya ( current state ) menuju 𝐴 𝑗 yang merupakan data setelahnya ( next state ).
Langkah keenam : Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG) FLRG diperoleh dari FLR yang telah terbentuk. Apabila 𝐴 𝑖 mempunyai hubungan menuju 𝐴 𝑗1 , 𝐴 𝑗2 sampai dengan 𝐴 𝑗𝑛 , maka dapat dikelompokkan ke dalam FLRG 𝐴 𝑖 → 𝐴 𝑗1 , 𝐴 𝑗2 , 𝐴 𝑗𝑛 Langkah ketujuh : Pembentukan matriks peluang transisi markov .
Matriks transisi markov diperoleh dengan menggunakan FLRG yang telah terbentuk.
𝑃 𝑖𝑗 = 𝑀 𝑖𝑗 𝑀 𝑖 ; 𝑖, 𝑗 = 1,2, … 𝑘 (14)
Keterangan: 𝑀 𝑖𝑗 : satu langkah nilai transisi / dari / state / 𝐴 𝑖 ke / 𝐴 𝑗 𝑀 𝑖 : nilai data / yang / termasuk / dalam / state / 𝐴 𝑖 / Langkah kedelapan : Proses defuzzifikasi nilai peramalan.
Aturan-aturan  yang  dapat  diterapkan  dalam  proses  defuzzifikasi  peramalan  adalah  sebagai berikut.
1. Apabila FLRG tidak memiliki relasi ( 𝐴 𝑖 → ∅) maka nilai hasil peramalan yang diperoleh yaitu menggunakan nilai tengah (𝑚 𝑖 ) dari 𝑢 𝑖 dengan menggunakan rumus berikut.
𝐹 𝑡 = 𝑚 𝑖 (15)
2. Apabila  FLRG  memiliki  relasi  satu  ke  satu (𝐴 𝑖 → 𝐴 𝑘 ) maka  nilai  hasil  peramalan  yang diperoleh  yaitu  menggunakan  nilai  tengah 𝑚 𝑘 dari 𝑢 𝑘 dengan/\  menggunakan  rumus berikut.
𝐹 𝑡 = 𝑚 𝑘 𝑃 𝑖𝑘 = 𝑚 𝑘 (16)
3. Apabila  FLRG  memiliki  relasi  satu  ke  banyak (𝐴 𝑖 → 𝐴 1 , 𝐴 2 , … 𝐴 𝑛 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) ,  maka nilai hasil peramalan dapat diperoleh dengan menggunakan rumus berikut.
𝐹 𝑡 = 𝑚 1 𝑃 𝑗1 + 𝑚 2 𝑃 𝑗2 + ⋯ + 𝑚 𝑗−1 𝑃 𝑗(𝑗−1) + 𝑌 (𝑡−1) 𝑃 𝑗 + 𝑚 𝑗+1 𝑃 𝑗(𝑗−1) + ⋯ + 𝑚 𝑘 𝑃 𝑗𝑘 (17)
Keterangan : 𝑚 1 , … 𝑚 𝑘 : nilai tengah dari 𝑢 1 , … 𝑢 𝑘 𝑌(𝑡 − 1) : data historis pada waktu ke 𝑡 − 1 Langkah kesembilan : Penentuan nilai penyesuaian
Perhitungan  nilai  penyesuaian  pada  hasil  peramalan  dilakukan  untuk  mengamati  kesalahan yang terjadi. Aturan-aturan nilai penyesuaian untuk nilai peramalan adalah sebagai berikut. 1. Apabila 𝐴 𝑖 memiliki komunikasi dengan 𝐴 𝑖 , pada saat 𝑡 − 1 = 𝐴 𝑖 dan terjadi perpindahan naik  menuju 𝐴 𝑗 pada  saat 𝑡, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎  (𝑖 < 𝑗) ,  maka  rumus  nilai  penyesuaian  yang digunakan sebagai berikut.
𝐷 𝑡1 = ( 𝑙 2 ) (18)
Keterangan : 𝑙 : panjang interval 2. Apabila 𝐴 𝑖 memiliki komunikasi dengan 𝐴 𝑖 , pada saat 𝑡 − 1 = 𝐴 𝑖 dan terjadi perpindahan turun  menuju 𝐴 𝑗 pada  saat 𝑡, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 (𝑖 > 𝑗) ,  maka  rumus  nilai  penyesuaian  yang digunakan sebagai berikut.
𝐷 𝑡1 = − ( 𝑙 2 ) (19)
Keterangan : 𝑙 : panjang interval 3. Apabila 𝐴 𝑖 pada saat 𝐹(𝑡 − 1) = 𝐴 𝑖 dan terjadi perpindahan maju menuju 𝐴 𝑖+𝑠 pada saat 𝑡, 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 (1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑘 − 𝑖) ,  maka  rumus  nilai  penyesuaian  yang  digunakan  sebagai berikut:
𝐷 𝑡2 = ( 𝑙 2 ) 𝑠, (1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑘 − 𝑖) (20)
Keterangan: 𝑠 : jumlah perpindahan maju 4. Apabila 𝐴 𝑖 pada  saat 𝐹(𝑡 − 1) = 𝐴 𝑖 dan  terjadi  perpindahan  transisi  mundur  menuju 𝐴 𝑖−𝑣 pada  saat 𝑡, (1 ≤ 𝑣 ≤ 𝑖) ,  maka  rumus  nilai  penyesuaian  yang  digunakan  sebagai berikut:
𝐷 𝑡2 = − ( 𝑙 2 ) 𝑣, (1 ≤ 𝑣 ≤ 𝑖) (21)
Keterangan: 𝑣 : jumlah perpindahan mundur Langkah kesepuluh : Perhitungan hasil ramalan akhir. Peramalan akhir diperoleh dengan menggunakan aturan-aturan sebagai berikut.
1. Apabila FLRG 𝐴 𝑖 memiliki relasi satu menuju ke banyak dan 𝐴 𝑖+1 memiliki akses dari 𝐴 𝑖 dengan 𝐴 𝑖 berkomunikasi dengan 𝐴 𝑖 maka dapat menggunakan rumus persamaan berikut.
𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐷 𝑡1 + 𝐷 𝑡2 = 𝐹 𝑡 + ( 𝑙 2 ) + ( 𝑙 2 ) (22)
2. Apabila FLRG 𝐴 𝑖 memiliki relasi satu menuju ke banyak dan 𝐴 𝑖+1 memiliki akses dari 𝐴 𝑖 tetapi 𝐴 𝑖 tidak  berkomunikasi  dengan 𝐴 𝑖 maka  dapat  menggunakan  rumus  persamaan berikut.
𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐷 𝑡2 = 𝐹 𝑡 + ( 𝑙 2 ) (23)
3. Apabila FLRG 𝐴 𝑖 memiliki relas satu menuju ke banyak dan 𝐴 𝑖−2 memiliki akses dari 𝐴 𝑖 tetapi 𝐴 𝑖 tidak  berkomunikasi  dengan 𝐴 𝑖 maka  dapat  menggunakan  rumus  persamaan berikut.
𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 𝑡 − 𝐷 𝑡2 = 𝐹 𝑡 − 2 ( 𝑙 2 ) = 𝐹 𝑡 − 𝑙 (24)
4. Jika 𝑣 adalah jump step , maka dapat menggunakan rumus persamaan berikut.
𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 𝑡 ±𝐷 𝑡1 ± 𝐷 𝑡2 = 𝐹 𝑡 ± ( 𝑙 2 ) ± ( 𝑙 2 ) 𝑣 (25)
Keterangan:
𝐹 ′ 𝑡 : Nilai peramalan yang disesuaikan 𝐹 𝑡 : Nilai peramalan awal 𝑙 : Panjang interval 𝐷 𝑡1 : Nilai penyesuaian 𝐷 𝑡2
: NIlai Penyesuaian
c. Ukuran Ketepatan Peramalan
1. Mean / Square / Error / (MSE) /
Mean Square Error adalah salah satu ukuran dalam mengevaluasi pentingnya ketepatan hasil  dan  memilih  model  yang  optimal. Pendekatan  terbaik  adalah  yang  menghasilkan  nilai MSE terendah (Makridakis et al., 1999). Berikut ini adalah rumus MSE.
MSE / = / 1 𝑛 ∑ (𝑒 𝑡 ) 2 𝑛 𝑡=1 (26)
Dengan 𝑒 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝐹 𝑡 Keterangan: 𝑒 𝑡 : error 𝑥 𝑡 : data aktual 𝐹 𝑡 : hasil peramalan
2. Symmetric Mean Absolute Percentage Error (sMAPE)
Menurut  Makridakis  dan  Hibon  (2000),  nilai  hasil  peramalan  dapat  dievaluasi  dengan menggunakan  ukuran  sMAPE  (symmetric  Mean  Absolute  Percentage  Error).sMAPE  dapat digunakan  untuk  mengatasi  permasalahan  besarnya  error  ketika  nilai  dari 𝐴 𝑡 ( data  actual ) mendekati nol dan besarnya perbedaan nilai mutlak error ketika nilai 𝐴 𝑡 ( data actual ) lebih besar dari 𝐹 𝑡 (data hasil ramalan) atau sebaliknya. Rumus perhitungan sMAPE adalah sebagai berikut.
sMAPE= 2 𝑛 ∑ |𝐹 𝑡 −𝐴 𝑡 | (|𝐴 𝑡 |+|𝐹 𝑡 |) 𝑥100% 𝑛 𝑡=1 (27)
Semaki  kecil  nilai  sMAPE  yang diperoleh maka ketepatan peramalan yang
diperoleh semakin baik. Kriteria nilai sMAPE disajikan pada Tabel 1.
. n : ukuran sampel
𝐴 𝑡 : data aktual 𝐹 𝑡 : data hasil ramalan
Tabel 1. Kriteria Nilai sMAPE Nilai sMAPE Ketepatan Peramalan <10% Sangat Baik 10%-20% Baik 20%-50% Cukup Baik >50% Buruk

## 3. METODOLOGI PENELITIAN i
Jenis data yang digunakanidalam penelitianiini yaitu data sekunder yang diperoleh dari website resmi BPS yaitu https://bps.go.id . Data penelitian yang digunakan adalah data bulanan jumlah total penumpang kereta api Jabodetabek dan Non Jabodetabek dimulai pada periode Januari 2015 sampai dengan Februari 2020.
Sebanyak 60 data dimulai Januari 2015 sampai Desember 2019 digunakan sebagai data training . Sebanyak 2 data dimulai Januari 2020 sampai Februari 2020 digunakan sebagai data testing . Pengolahan data penelitian ini mengguggunakan Microsoft Excel dan Graphical User Interface R (GUI-R). Berikut adalah bagaimana proses penelitian dilakukan.
1. Menginput data
2. Mengidentifikasi data menggunakan plot data time series
3. Melakukan  pemodelan  dan  peramalan  metode holt i winters i exponential i smoothing I model multiplicative
4. Melakukan pemodelan dan peramalan metode fuzzy i time i series i markov i chain i
5. Menghitung tingkat akurasi i peramalan pada masing-masing metode
6. Membandingkan hasil tingkat akurasi kedua metode
7. Interpretasi / dan / kesimpulan /

## 4.       HASIL DAN PEMBAHASAN /
Identifikasi data dilakukan dengan menganalisis plot / time / series / pada / / Gambar 1
Gambar 1. Plot time series data jumlah penumpang kereta api di Pulau Jawa Berdasarkan Gambar 1 dapat diketahui bahwa data dipengaruhi oleh unsur musiman karena data berulang pada bulan tertentu, yaitu cenderung terjadi kenaikan bulan Desember dan terjadi penurunan  bulan  Februari.  Pada  Gambar  1  dapat  diketahui  bahwa  data  mengalami  unsur musiman multiplikatif atau tejadi peningkatan jumlah penumpang setiap tahun pada bulan yang mengalami musiman. Selain mengalami pola musiman dapat dianalisis bahwa data mengalami unsur trend karena  data  mengalami  peningkatan  dari  bulan  Januari  2015  sampai  Desember 2019 dan dapat dilihat dengan jelas pada garis merah pada Gambar 1 a. Penerapan Metode Multiplicative Holt Winters Exponential Smoothing
Proses inisialisasi dilakukan terlebih untuk menentukan nilai awal pemulusan pada level, trend dan musiman. Nilai musiman yang digunakan pada penelitian ini yaitu 𝑠 = 12 yang dimulai pada data ke-1 sampai data ke-12.

## • Nilai awal pemulusan level
𝐿 12 = 1 12 (𝑌 1 + 𝑌 2 + ⋯ + 𝑌 12 ) = 1 12 (24254 + 26841 … + 29328) = 26718,42
• Nilai awal pemulusan pola trend
𝑏 12 = 1 𝑠 ( 𝑌 13 − 𝑌 1 𝑠 + ⋯ 𝑌 24 − 12 𝑠 ) = 1 12 ( 27886 − 24254 12 + ⋯ + 31530 − 29328 12 ) = 175,125 • Nilai awal pemulusan pola musiman
𝑆 1 = 𝑌 1 𝐿 12 = 24254 26718,42 = 0,9077 , nilai awal pemulusan pola musiman dilakukan dengan rumus yang sama sampai dengan 𝑆 12 = 1,0977 Parameter optimal yang diperoleh dari Rstudio, nilai alpha (𝛼) sebesar 0,3903403 , beta (𝛽) sebesar  0,  dan  gamma (𝛾) sebesar  1.  Nilai  parameter  yang  diperoleh  digunakan  untuk melakukan perhitungan pemulusan / keseluruhan / (level), pemulusan / kecenderungan ( trend ), dan / pemulusan / musiman / (seasonal) Tabel 2. Peramalan Data Training Holt / Winters Exponential Smoothing model / Multiplicative Bulan Jumlah Penumpang Level Trend Seasonal Peramalan Januari 2015 27886 28385,6496 175,125 0,9824 24412,9721 Februari 2015 26058 29547,1558 175,125 0,8819 23938,1694 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ November 2019 35228 35287,8160 175,125 0,9983 35824,5385 Desember 2019 36710 34863,3782 175,125 1,0530 38373,5159
b. Penerapan Metode Fuzzy i Time i Series i Markov i Chain i Tahapan berikut dapat digunakan untuk mengaplikasikan metode fuzzy time series Langkah Pertama: Pembentukan Semesta Pembicaraan U 𝑈 = [𝐷 𝑚𝑖𝑛 − 𝑑 1 , 𝐷 𝑚𝑎𝑥 + 𝑑 2 ]
𝑈 = [22394 − 94 ; 38303 + 97]
𝑈 = [22300 ; 38400]
Langkah Kedua: Pembentukan Interval 1. 𝑘 = 1 + 3,322 𝑥 log(𝑛) = 6,907 ≈ 7 kelas
2. 𝑙 = [(𝐷 𝑚𝑎𝑥 +𝐷 2 )−(𝐷 𝑚𝑖𝑛 −𝐷 1 )] 𝑘 = [(38303+97)−(22394−94)] 7 = 2300 Tabel 3. Pembagian Semesta Pembicaraan Batas atas Batas bawah Nilai tengah 22300 24600 23450 24600 26900 25750 26900 29200 28050 29200 31500 30350 31500 33800 32650 33800 36100 34950 36100 38400 37250 Langkah Ketiga: Menentukan fuzzy set A
𝐴 1 = { 1 𝑢 1 , 0,5 𝑢 2 , 0 𝑢 3 , 0 𝑢 4 , 0 𝑢 5 , 0 𝑢 6 , 0 𝑢 7 } 𝐴 2 = { 0,5 𝑢 1 , 1 𝑢 2 , 0,5 𝑢 3 , 0 𝑢 4 , 0 𝑢 5 , 0 𝑢 6 , 0 𝑢 7 } 𝐴 3 = { 0 𝑢 1 , 0,5 𝑢 2 , 1 𝑢 3 , 0,5 𝑢 4 , 0 𝑢 5 , 0 𝑢 6 , 0 𝑢 7 }
𝐴 4 = { 0 𝑢 1 , 0 𝑢 2 , 0,5 𝑢 3 , 1 𝑢 4 , 0,5 𝑢 5 , 0 𝑢 6 , 0 𝑢 7 } 𝐴 5 = { 0 𝑢 1 , 0 𝑢 2 , 0 𝑢 3 , 0,5 𝑢 4 , 1 𝑢 5 , 0,5 𝑢 6 , 0 𝑢 7 } 𝐴 6 = { 0 𝑢 1 , 0 𝑢 2 , 0 𝑢 3 , 0 𝑢 4 , 0,5 𝑢 5 , 1 𝑢 6 , 0,5 𝑢 7 } 𝐴 7 = { 0 𝑢 1 , 0 𝑢 2 , 0 𝑢 3 , 0 𝑢 4 , 0 𝑢 5 , 0,5 𝑢 6 , 1 𝑢 7 }
Langkah Keempat: Fuzzifikasi Tabel 4. Fuzzifikasi Tahun Bulan Jumlah Penumpang Fuzzifikasi 2015 Januari 24254 𝐴 1 2015 Februari 22394 𝐴 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2019 Desember 36710 𝐴 7 Langkah kelima : Fuzzy Logical Relationship (FLR)
Tabel 5. Fuzzy Logical Relationship (FLR) Tahun Bulan Jumlah Penumpang FLR 2015 Januari 24254 - 2015 Februari 22394 𝐴 1 →   𝐴 1 2015 Maret 26841 𝐴 1 →   𝐴 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2019 Desember 36710 𝐴 6 → 𝐴 7
Langkah keenam : Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG) Tabel 6. Fuzzy Logical Relationship Group (FLRG) Current State Next State FLRG 𝑨 𝟏 1(𝐴 1 ) , 1(𝐴 2 ) 𝐴 1 → 1(𝐴 1 ) , 1(𝐴 2 ) 𝑨 𝟐 1(𝐴 2 ) , 2(𝐴 3 ) , 1(𝐴 5 ) 𝐴 2 → 1(𝐴 2 ) , 2(𝐴 3 ) , 1(𝐴 5 ) 𝑨 𝟑 1(𝐴 2 ) , 10(𝐴 3 ) , 3(𝐴 4 ) , 1(𝐴 5 ) 𝐴 3 → 1(𝐴 2 ) , 10(𝐴 3 ) , 3(𝐴 4 ) , 1(𝐴 5 ) 𝑨 𝟒 1(𝐴 2 ) , 3( 𝐴 3 ) , 2(𝐴 5 ) , 2(𝐴 6 ) 𝐴 4 → 1(𝐴 2 ) , 3( 𝐴 3 ) , 2(𝐴 5 ) , 2(𝐴 6 ) 𝑨 𝟓 3(𝐴 4 ) , 2(𝐴 5 ) , 2(𝐴 6 ) , 1(𝐴 7 ) 𝐴 5 → 3(𝐴 4 ) , 2(𝐴 5 ) , 2(𝐴 6 ) , 1(𝐴 7 ) 𝑨 𝟔 2(𝐴 4 ) , 2(𝐴 5 ) , 12(𝐴 6 ) , 3(𝐴 7 ) 𝐴 6 → 2(𝐴 4 ) , 2(𝐴 5 ) , 12(𝐴 6 ) , 3(𝐴 7 )
𝑨 𝟕 3(𝐴 6 ) 𝐴 7 → 3(𝐴 6 ) Langkah ketujuh : Matriks Probabilitas Transisi
𝑨 𝟏 𝑨 𝟐 𝑨 𝟑 𝑨 𝟒 𝑨 𝟓 𝑨 𝟔 𝑨 𝟕 𝑨 𝟏 1/2 1/2 0 0 0
0 0 𝑨 𝟐 0 1/4 2/4 0 1/4 0 0 𝑨 𝟑 0 1/15 10/15  3/15 1/15 0 0 𝑨 𝟒 0 1/8 3/8 0 2/8 2/8 0 𝑨 𝟓 0 0 0 3/8 2/8 2/8 1/8 𝑨 𝟔 0 0 0 2/19 2/19 12/19  3/19 𝑨 𝟕 0 0 0 0 0 3/3 0
Langkah kedelapan : Peramalan awal
Tabel 7. Peramalan Awal Tahun Bulan Jumlah Penumpang Peramalan Awal 2015 Januari 24254 - 2015 Februari 22394 25002 2015 Maret 26841 24072 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2019 Desember 36710 34762,08 Langkah kesembilan : Menghitung nilai penyesuain pada hasil peramalan Tabel 8. Nilai Penyesuaian Tahun Bulan Jumlah Penumpang Nilai Penyesuaian 2015 2015 2015 Januari 24254 - Februari 22394 0 Maret 26841 2300 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2019 Desember 36710 2300 Langkah kesepuluh : Hasil ramalan disesuaikan Tabel 9. Hasil Ramalan disesuaikan Tahun Bulan Jumlah Penumpang Peramalan Awal Nilai Penyesuaian Ramalan Disesuaikan 2015 2015 2015 Januari 24254 - - - Februari 22394 25002 0 25002 Maret 26841 24072 2300 26372 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2019 Desember 36710 34762,08 2300 31025 c. Peramalan I Data i Jumlah i Penumpang i Kereta i Api i di I Pulau i Jawa i Dua i Periode I ke Depan
Model  yang  dibangun  menggunakan  data training diperiksa  melalui  data testing .  Data testing terdiri dari dua  data, masing-masing untuk Januari 2020 dan Februari 2020.
1. Multiplicative Holt Winters Exponential Smoothing 𝐹 (𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = (𝐿 60 + 1(𝑏 60 ))𝑆 49 = (34863,3782 + 1(175,125)1,0063 = 35258,6702 𝐹 (𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = (𝐿 60 + 2(𝑏 60 ))𝑆 50 = (34863,3782 + 2(175,125)0,9081 = 31975,8079

## 2. Fuzzy Time Series Markov Chain
Perhitungan  jumlah  penumpang  kereta  api  di  Pulau  Jawa  bulan  Januari  2020  dilakukani dengan melihat FLRG pada data sebelumnya yaitu data pada bulan Desember 2019. Fuzzifikasi pada data Desember 2019 adalah 𝐴 7 dan FLRG yang terbentuk adalah 𝐴 7 → 𝐴 6 yang relasinya bersifat satu ke satu maka rumus persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut.
𝐹 𝑡 = 𝑚 𝑘 𝑃 𝑖𝑘 = 𝑚 𝑘 𝐹 (𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 𝑚 6 𝑃 76 = 𝑚 6 𝐹 (𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 34950
Data pada bulan Januari 2020 termasuk ke dalam 𝑢 5 sehingga fuzzifikasi untuk data pada bulan Januari 2020 adalah 𝐴 5 . Nilai penyesuaian peramalan dihitung berdasarkan FLR 𝐴 7 → 𝐴 5 , nilai penyesuaian yang diperoleh adalah sebagai berikut.
𝐷 𝑡1 = − ( 𝑙 2 ) = − ( 2300 2 ) = −1150 𝐷 𝑡2 = − ( 𝑙 2 ) 2 = − ( 2300 2 ) 2 = −2300
Hasil peramalan yang disesuaikan untuk periode Januari 2020 adalah sebagai berikut. 𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 𝑡 − 𝐷 𝑡1 − 𝐷 𝑡2
𝐹 ′ (𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 34950 − 1150 − 2300 𝐹 ′ (𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 31500
Peramalan bulan Februari 2020 dilakukan dengan melihat FLRG pada data sebelumnya yaitu data pada bulan Januari 2020. Fuzzifikasi pada data Desember 2019 adalah 𝐴 5 dan FLRG yang terbentuk  adalah 𝐴 5 → 𝐴 4 , 𝐴 5 , 𝐴 6 , 𝐴 7 yang  relasinya  bersifat  satu  ke  banyak  maka  rumus persamaan yang digunakan yaitu sebagai berikut.
𝐹 (𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 𝑚 4 𝑃 54 + 𝑌 (𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) 𝑃 55 + 𝑚 6 𝑃 56 + 𝑚 7 𝑃 57
𝐹 (𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = (30350𝑥 3 8 ) + (33473𝑥 2 8 ) + (34950𝑥 2 8 ) + (37250𝑥 1 8 )
𝐹 (𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 33143,25
Data pada bulan Januari 2020 termasuk ke dalam 𝑢 5 sehingga fuzzifikasi untuk data pada bulan Januari 2020 adalah 𝐴 5 . Nilai penyesuaian peramalan dihitung berdasarkan FLR 𝐴 5 → 𝐴 5 , nilai penyesuaian yang diperoleh adalah 0. Hasil peramalan yang disesuaikan untuk periode Januari 2020 adalah sebagai berikut.
𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 0 𝐹 ′ (𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2020) = 33143,25
d. Perbandingan Tingkat Akurasi Peramalan Holt Winters Exponential Smoothing dan Fuzzy Time Seris Markov Chain
Tabel 10. Tingkat Akurasi Peramalan Metode MSE(data training ) sMAPE (data testing ) Holt Winters Exponential Smoothing model Multiplicative 1406610,4169 3,0643 % Fuzzy Time Series Markov Chain 1590798,5913 5,2955 %
Dari  Tabel  10  hasil  yang  diperoleh  yaitu  hasil  tingkat  akurasi  sMAPE  metode holtI wintersiexponential  smoothing model multiplicativei diperoleh  sebesar  3,0643%  lebih  kecil dibandingkan  nilai  sMAPE fuzzy  time  series  markov  chain yang  diperoleh yaitu  5,2955%. Kesimpulan  yang  diperoleh  yaitu  metode holt  winters  exponential  smoothing lebih  akurat dibandingkan fuzzyi timei seriesi markovi chaini dalam meramalkani jumlah penumpang kereta di Pulau Jawa.

## 5.       KESIMPULAN
Peramalan  data trainingg metode holt  winters  exponential  smoothing model mutiplicative dan Fuzzy Time Series markov chain pada data jumlah penumpang kereta api di Pulau Jawa menghasilkan nilai peramalan yang mendekati data aktualnya. Hasil tingkat akurasi peramalan  sMAPE  metode holti  wintersi  exponential  smoothing model multiplicativei diperoleh  sebesari  3,0643%  lebih  kecil  dibandingkan fuzzyi  time  series  markov  chain yaitu 5,2955%. Kesimpulan yang diperoleh yaitu metode holt winters exponential smoothing lebih akurat  dibandingkan fuzzy  time  series  markov  chain dalam  melakukan  peramalan  jumlah penumpang kereta di Pulau Jawa.

## DAFTAR PUSTAKA
Badan  Pusat  Statistik.  (2020).  Statistik  Transportasi  Darat  2022.  diakses    03  September 2022,dari https://www.bps.go.id/subject/17/transportasi.html#subjekViewTa b4 Badan  Pusat  Statistik.  (2022).  Jumlah  Penumpang  Kereta  Api,  2006-2022.  Diakses  03
September 2022, dari https://www.bps.go.id/subject/17/transportasi.html #subjekViewTab3
Cheng, C.H., Chen,T.L., Teoh, H.J., and Chiang,C.H. (2008).  Fuzzy Time-Series Based On Adaptive  Expectation  Model  For  TAIEX  Forecasting.  Expert  Systems  with Application, 34(2),1126-1132
Dewi,L.  F.,  &  Darsyah,  M.  Y.  (2018).  Peramalan  Jumlah  Penumpang  Kereta  Api Menggunakan  Metode  Moving  Average  dan  Holt  Winter. Prosiding  Seminar Nasional Mahasiswa Unimus : Vol.1
Elfajar, A.B., Setiawan, B. D., & Dewi, C. (2017). Peramalan Jumlah Kunjungan Wisatawan Kota  Batu  Menggunakan  Metode  Time  Invariant  Fuzzy  Time  Series. Jurnal Pengembangan Teknologi Informasi dan Ilmu Komputer , 1(2), 85-94
Makridakis,  S.,and  Hibon,  M.  (2000).  The  M3-Competition:  Results,  Conclusion  and Implications. International Journal of Forecasting , Vol.16, 451-476. Makridakis,  S.,  Wheelwright,  S.  C.,  and  McGree,  V.  E.  (1999). Metode  dan  Aplikasi Peramalan (edisi ke-2) . Jakarta: Erlangga.
Nurjanah,  I.  S.,  Ruhiat,D.,  dan  Andiani,D.  (2018).  Implementasi  Model  Autogressive Integrated Moving Average (ARIMA) untuk Peramalan Jumlah Penumpang Kereta Api di Pulau Sumatera. Jurnal Teorema , 3(2), 145-156
Tsaur, Ruey-Chyn. (2012). A Fuzzy Time Series-Markov Chain Model With an Application to Forecast  the  Exchange  Rate  Between  the  Taiwan  and  US  Dollar. International Journal of Innovative Computing, Information and Control , Vol.8,No.7(B)
Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 23 Tahun 2007 tentang Perkeretaapian Wajdi, S. (2022). Pemodelan Harga Saham BSI dengan Metode Fuzzy Time Series Markov Chain. Jurnal Pendidikan , Vol.6, No.1 Zadeh,L. 1965. Fuzzy Sets. Journal Information and Control ,Vol.8, 338-353