## Analisis Keterkontrolan Model Penyebaran Virus Polio Tipe Vaccine-Derived Polio Virus (VDPV) dan Wild Polio Virus (WPV)
Sari Cahyaningtias 1* , Rani Kurnia Putri 2
1,2 Universitas PGRI Adi Buana Surabaya , sari@unipasby.ac.id
Abstract , Administering vaccines is important as an effort to eradicate polio which is  spread  by  polio  virus  through  physical  contact  from  person  to  person  and exacerbated  by  an  unhealthy  sanitation  environment.  Giving  this  vaccine  does  not mean  without  side  effects,  administering  an  oral  vaccine  (OPV)  without  proper calculation causes the person given the vaccine to be contract the virus, the truth is, vaccine  contains  a  weakened  virus.  Therefore,  control  in  administering  vaccines  is important to do.The polio virus is transmitted to people with weak immune systems and  poor  sanitation  environment,  called  WPV  (Wild  Polio  Virus).  Another  impact that  is  feared  from  giving  OPV  is  the  occurrence  of  Vaccine  Derrived  Polio  Virus (VDPV),  a  condition  in  which  the  polio  virus  mutates  to  become  malignant  and gives rise to a new type of polio virus. In this study, the mathematical model of the polio  virus  distribution  was  formed  into  a  system  of  non-linear  dynamic  equations which then carried out a control analysis of the dynamic system of distribution polio by establishing the vaccination rate as the control of the system. The results of the control  analysis  show  that  the  system  can  be  controlled  with  the  control  variables given,  namely  (1)  the  level  of  vaccination  of  vulnerable  children;  (2)  vaccination rates of vulnerable children without vaccines.
Keywords: equilibrium point, control, vaccination level, polio type VDPV and WPV
Abstrak, Pemberian  vaksin  penting  dilakukan  sebagai  upaya  pemberantasan penyakit polio yang disebarkan oleh virus polio  melalui kontak fisik  dari orang ke orang dan diperparah dengan lingkungan sanitasi yang tidak sehat. Pemberian vaksin ini  bukan  berarti  tanpa  efek  samping,  pemberian  dosis  vaksin  oral  (OPV)  tanpa perhitungan yang tepat menyebabkan orang yang diberi vaksin dapat terjangkit virus tersebut, karena sejatinya, vaksin berisikan virus yang telah dilemahkan. Oleh sebab itu,  kontrol  dalam  pemberian  vaksin,  penting  untuk  dilakukan.  Virus  polio  yang menular  ke  orang    dengan  daya  tahan  tubuh  lemah  dan  lingkungan  sanitasi  yang buruk,  disebut  dengan  WPV  (Wild  Polio  Virus).  Dampak  lain  yang  dikhawatirkan dari pemberian OPV adalah terjadinya Vaccine Derrived Polio Virus (VDPV) yaitu suatu keadaan dimana virus polio bermutasi menjadi ganas dan menimbulkan virus polio tipe baru. Pada penelitian ini, model matematika dari persebaran virus polio ini dibentuk  kedalam  system  persamaan  dinamik  tak  linier  yang  kemudian  dilakukan analisis  keterkontrolan  dari  sistem  dinamik  persebaran  polio  tersebut  dengan menetapkan  tingkat  vaksinasi  sebagai  control  dari  sistem.  Hasil  analisis keterkontrolan menunjukkan bahwa system dapat dikontrol dengan  variabel kendali yang  diberikan,  yaitu  (1)  tingkat  vaksinasi  anak-anak  rentan;  (2)  tingkat  vaksinasi anak-anak rentan tanpa vaksin.
Keywords: titik kesetimbangan, keterkontrolan, tingkat vaksinasi, polio tipe VDPV dan WPV
1. Pendahuluan
Polio  merupakan  penyakit  menular  yang  menyerang  otak,  melumpuhkan sistem  syaraf  dan  berpotensi  menyebabkan  kematian.  Penyebaran  virus  polio terjadi  melalui  kontak  fisik  orang  ke  orang  yang  diperburuk  dengan  lingkungan yang  memiliki  sanitasi  yang  buruk.  Sampai  saat  ini  penyakit  polio  belum ditemukan obatnya, akan tetapi ada vaksin yang aman dan efektif. Oleh sebab itu strategi  pemberantasan  polio  didasarkan  pada  pencegahan  infeksi  dengan memberikan  imunisasi  untuk  setiap  batita  (Balita  dibawah  tiga  tahun)  secara bertahap untuk menghentikan penularan. Terdapat dua tipe vaksin yang diberikan, yaitu OPV ( Oral Polio Vaksin ) atau vaksin yang diberikan melalui tetes mulut dan IPV ( Injection Polio Vaksin ) atau vaksin yang diberikan melalu suntikan. Sampai saat  ini,  di  beberapa  daerah  di  Indonesia,  pencegahan  penyakit  polio  dilakukan dengan  melaksanakan  imunisasi  polio  menggunakan Oral  Vaksin  Polio (OPV) yang  berisi  poliovirus  yang  sudah  dilemahkan.  Selain  sebagai  tindakan pencegahan  tertular  virus  polio  dari  penderita  yang  tanpa  gejala,  OPV  juga berguna  untuk  membersihkan  virus  polio  liar  yang  ada  didalam  usus  secara serempak. Kewaspadaan terhadap penyebaran polio ini harus tetap dijaga, karena orang  yang  sudah  terjangkit,  namun  tidak  terlihat  gejala  penyakitnya  dapat menularkan virus ke orang yang sehat.
Berdasarkan pada permasalahan diatas, pemberian vaksin sangat penting untuk dilakukan,  namun  bukan  berarti  hal  tersebut  tidak  memiliki  efek  samping. Sehingga  kontrol  pada  pemberian  vaksin  polio  perlu  diperhatikan  dengan  jelas, karena pemberian OPV pada batita yang memiliki daya tahan tubuh lemah justru dapat terinfeksi oleh virus yang telah dilemahkan tersebut, karena pada prinsipnya virus  tersebut  hanya  dilemahkan  dan  tidak  dimatikan,  maka  virus  dapat  keluar melalui  feses.  Sehingga  ada  kemungkinan  virus  tersebut  menular  ke  orang  lain yang juga memiliki daya tahan tubuh lemah dan lingkungan sanitasi  yang buruk, hal  ini  disebut  juga  dengan  WPV  ( Wild  Polio  Virus ).  Dampak  lain  yang dikhawatirkan  dari  pemberian  OPV  adalah  terjadinya Vaccine  Derrived  Polio Virus (VDPV)  yaitu  suatu  keadaan  dimana  virus  polio  bermutasi  menjadi  ganas dan menimbulkan virus polio tipe baru.
Pada  penelitian  kali  ini,  akan  dilakukan  kontrol  terhadap  terjadinya  transmisi virus  polio  akibat  dari  pemberian  vaksin  melalui  oral  (OPV)  yaitu  terjadinya WPV dan VDPV, dengan cara melakukan analisis  stabilitas transmisi virus polio akibat  dari  pemberian  OPV.  Selanjutnya  dilakukan    pengendalian  penyebaran virus  melalui  pemberian  vaksin  secara  bertahap  untuk  setiap  klasifikasi  umur menggunakan  pontryagin’s  minimum  principle  Dan  hasil  perhitungan  akan disimulasikan menggunakan software Matlab 2012.

## 2. Metode Penelitian
Pembentukan  model  matematika  dari  transimi  virus  polio  membentuk  sistem dinamik tak linear. Dasar dari pembentukan model ini adalah mengklasifikasikan total  populasi  individu  menjadi  beberapa  kelompok  utama.  Total  populasi  anak- anak  pada  saat  ke dinotasikan  sebagai .  Populasi  ini  terbagi  menjadi beberapa kategori, yaitu: adalah anak-anak rentan tanpa vaksin; adalah anak-anak  rentan  penyakit  yang  menerima  vaksin  OVP; anak-anak  rentan penyakit  tanpa  vaksin  (tidak  menerima  vaksin)    OVP; anak-anak  yang
terpapar  virus  WPV; anak-anak  yang  terpapar  virus  VDPV; anak- anak yang terinfeksi virus WPV; anak-anak yang terinfeksi virus VDPV;
adalah  anak-anak  yang  telah  sembuh;
anak-anak  yang  mengalami kelumpuhan  akibat  virus  WPV;
anak-anak  yang  mengalami  kelumpuhan akibat virus VDPV; secara matematis dapat ditulis sebagai
Model  matematika  dari  persebaran  virus  polio  tipe  WPV  dan  VDPV  pada anak-anak dapat diformulasikan sebagai berikut (Okuonghae dkk, 2015)
( ) ( )
Tabel 1. Deskripsi Variabel dan Parameter Model
Variabel Interpretasi
Populasi anak-anak rentan virus tanpa vaksinasi
Populasi anak-anak rentan polio dengan tervaksin
Populasi anak-anak rentan yang tidak diberi OPV vaksin
Populasi anak-anak yang terinfeksi virus tipe WPV (VDPV)
Populasi anak-anak terinfeksi
Populasi anak-anak sembuh dari virus polio
Populasi anak-anak lumpuh karena infeksi WPV (VDPV)
Tingkat vaksinasi dari orang tua anak rentan
Tingkat vaksinasi untuk anak-anak rentan tidak divaksin Tingkat pulih setelah divaksin Parameter Interpretasi

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Tingkat kematian alami
Tingkat penularan
Perbandingan bayi baru lahir yang rentan terhadap OPV Tingkat penularan Tingkat pertumbuhan dari ke Tingkat kesembuhan dari infeksi WPV (VDPV) Tingkat kematian akibat infeksi WPV (VDPV)
Tingkat kelumpuhan karena infeksi WPV (VDPV)
Parameter modifikasi
Perbandingan dari
Tabel 2. Nilai Koefisien dan Parameter Parameter Nominal values Dimension 0.00001119 441 0.56 [0,1] [5,60] 1/(2 x 360)[1/360,1/(5 x 360)] (1/360)[1/360.1/(3/360),1/(3x360)] (1/7) 0.6 [0,1] (1/7) [1/16 , 1/35] 0,00003/360 1/200 1.5 0.00001

## Matriks keterkontrolan diberikan sebagai berikut
[
]

## 3. Hasil dan Pembahasan
Suatu  sistem  dikatakan  terkontrol  bila  sebarang  keadaan  awal dan sebarang  keadaan  akhir akan  selalu  ada  pengontrol yang  mentransfer keadaan  awal ke  keadaan  akhir dalam  waktu  yang  berhingga .
Sebarang  keadaan  awal  dan  sebarang  keadaan  akhir  ini  terdiri  dari komponen
dan  jika  semua  komponen  dari  keadaan  awal  ini  bisa  dikontrol  ke komponen yang sesuai keadaan akhir, maka system bisa dikontrol.
Keberadaan  dari  pengontrol
yang  tak  dibatasi  tidak  memiliki  syarat
kecuali  hanya  untuk  mentransfer  sebarang  keadaan  awal  yang  diberikan  ke sebarang keadaan akhir yang diinginkan dalam waktu berhingga. Dengan kata lain suatu  sistem  dikatakan  terkontrol  ketika  jumlah  rank  dari  matriks keterkontrolannya sama dengan jumlah keadaan sistem tersebut.
Sebelumnya  dilakukan  uji  keterkontrolan  dengan  menghitung  jumlah  rank pada sistem. Suatu sistem dikatakan terkontrol jika jumlah rank dari sistem sama dengan jumlah keadaan yang ada.
Matriks  pada  persamaan  (1)  merupakan  matriks  keterkontrolan  dari  sistem dinamik  (2.1),  suatu  sistem  dikatakan  terkontrol  ketika  jumlah  rank  dari  matriks keterkontrolannya sama  dengan jumlah keadaan  sistem tersebut  (subiono, 2013). Dapat diketahui bahwa rank (Mc)=10 dengan jumlah keadaan adalah sepuluh.
Hal ini menunjukkan bahwa sistem dinamik dari dua tipe vaksinasi polio ini dapat dikontrol dengan variabel kendali yang diberikan yaitu (1) tingkat vaksinasi anak-anak  rentan;  (2)  tingkat  vaksinasi  anak-anak  rentan  tanpa  vaksin. Selanjutnya  akan  dilakukan  pengendalian  sistem  tersebut  dengan  menerapkan pontryagin  minimum  principle  (PMP)  untuk  mengetahui  tingkat  vaksinasi  yang tepat pada populasi anak-anak sehingga dapat mengurangi tingkat terdampak dari kedua virus tersebut.

## 4. Kesimpulan
Hal ini menunjukkan bahwa sistem dinamik dari dua tipe vaksinasi polio ini dapat dikontrol dengan variabel kendali yang diberikan yaitu (1) tingkat vaksinasi anak-anak  rentan;  (2)  tingkat  vaksinasi  anak-anak  rentan  tanpa  vaksin. Selanjutnya  akan  dilakukan  pengendalian  sistem  tersebut  dengan  menerapkan pontryagin  minimum  principle  (PMP)  untuk  mengetahui  tingkat  vaksinasi  yang tepat pada populasi anak-anak sehingga dapat mengurangi tingkat terdampak dari kedua virus tersebut.

## 5. Daftar Pustaka
[1]    Brewster,  J.F.  dkk.  2006.  Sensitivity  and  Uncertainty  Analysis  for  SARS Model  with  Time  Varying  Inputs  and  Outputs,  Mathematical  Biosciences and Engineering, 3:3.
[2]   Jennings, L.S., Fisher, M.E., Teo, K.L. dan  Goh, C.J. 2002. Miser3 Optimal Control Software. Australia: The University of Western Australia.
[3]    Naidu, D. S. 2002. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LLC.
[4]    Okuonghae, D. dkk. “Dynamics of a two-strain vacconation model for polio”. Nonlinear Analysis: Real World Applications 25 (2015) 167-189.
[5]   Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. Computational Optimal Control : Tools and Practice. UK: John Wiley & Sons Ltd.
[6]    Subiono,  2013,  Sistem  Linier  dan  Kontrol  Optimal,  Diktat  Kuliah  Jurusan Matematika ITS, Surabaya.
[7]   Wiggins, S. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. New York: Springer-Verlag.