Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 49-63 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.9218
Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
Yudasril 1 *, Berlian Setiawaty 2 , I Gusti Putu Purnaba 3 1,2,3 Affiliasi; Jl. Raya Dramaga, Babakan, Dramaga, Bogor, Jawa Barat 1,2,3 Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor e-mail: mate2_yudasril@apps.ipb.ac.id
Diajukan: 21 Mei 2021, Diperbaiki: 15 September 2021, Diterima: 27 September 2021

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan menunjukkan sifat-sifat kemonotonan barisan trapezoid sum secara umum dari fungsi-fungsi kontinu bernilai real yang nonkonveks atau nonkonkaf pada interval [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] terhadap partisi-partisi dari [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang diperoleh dengan membagi [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] menjadi subinterval-subinterval yang sama panjang. Sifat monoton turun dari barisan trapezoid sum itu secara umum tidak terjadi pada kelas fungsi yang nonkonkaf. Hal yang sama terjadi bila difokuskan pada fungsi-fungsi nonkonkaf yang monoton, yaitu pada kelas fungsi  yang naik nonkonkaf maupun turun nonkonkaf. Selanjutnya, pada kelas fungsi yang nonkonveks, barisan trapezoid sum itu secara umum tidak monoton naik, begitu juga pada kelas fungsi yang naik nonkonveks maupun turun nonkonveks. Kata Kunci : monoton, nonkonkaf, nonkonveks, trapezoid sum

## Abstract
The objective of this research is  to show the monotonicity properties of the trapezoid sum sequence in  general of nonconvex or nonconcave real valued continuous functions on interval [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] corresponding to partitions of [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] obtained by dividing [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] into equal length subintervals. The decreasing monotony of the trapezoid sum generically does not happen in class of nonconcave functions. The same thing happens when restricted to the monotone nonconcave functions, namely in class of nonconcave increasing or nonconcave decreasing functions.  Furthermore, in class of nonconvex functions, the trapezoid sum sequence generically does not increasing, as well as in class of increasing nonconvex or decreasing nonconvex functions.
Keywords : monotone, nonconcave, nonconvex, trapezoid sum

## 1 Pendahuluan
Integral tentu dapat didefinisikan sebagai luas daerah di bawah kurva dari suatu fungsi real taknegatif pada sebuah interval yang tertutup dan terbatas [1]. Darboux sums dan trapezoid sum merupakan dua dari sekian banyak alternatif yang dapat digunakan untuk menghampiri luas daerah tersebut.
Misalkan  fungsi kontinu 𝑓𝑓 : [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] → ℝ atau dengan kata lain 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] . Untuk setiap partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 yang membagi interval [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] menjadi 𝑛𝑛 subinterval dengan jarak yang sama, dibentuk suatu pendekatan dari nilai integral  tentu 𝑓𝑓 pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yakni, trapezoid sum 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) , lower
50

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
Darboux sum 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) , dan upper Darboux sum 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) . Istilah trapezoid sum pada partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 adalah dengan menghitung 𝑛𝑛 buah luas trapesium pada partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 dan menjumlahkan semua luas trapesium tersebut, sehingga untuk  suatu 𝑘𝑘 ∈ ℕ , luas trapesium pada  subinterval [ 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ] adalah ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 ) +𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) 2 . Secara matematis, hal itu dapat ditulis dalam definisi berikut.
Definisi 1 [2] Didefinisikan partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ pada interval [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dengan ‖𝑃𝑃 𝑛𝑛 ‖ = 𝑏𝑏−𝑎𝑎 𝑛𝑛 , yaitu
𝑃𝑃 𝑛𝑛 = �𝑥𝑥 𝑗𝑗 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � 0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛� .
Trapezoid sum dari fungsi 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang berkorespondensi terhadap partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 adalah
𝑇𝑇 ( 𝑓𝑓 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 ) = � �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) � 2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) � 2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 (1) dengan 𝑇𝑇 ( 𝑓𝑓 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 ) = 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) .
Kemudian, istilah lower Darboux sum dan upper Darboux sum pada partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 itu secara matematis dapat pula ditulis dalam definisi berikut:
Definisi 2 [1] Lower Darboux sum dan upper Darboux sum dari 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang berkorespondensi terhadap partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 berturut-turut didefinisikan sebagai
𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 ) = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � 𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 (2)
dan
𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 ) = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � 𝑀𝑀 𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 (3)
dengan 𝑚𝑚 𝑘𝑘 = inf { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ [ 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ]} dan 𝑀𝑀 𝑘𝑘 = sup { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ [ 𝑥𝑥 𝑘𝑘−1 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ]} untuk 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛 .
Bila diperhatikan untuk  fungsi-fungsi kontinu 𝑓𝑓 yang konveks dan konkaf pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , semakin kecil nilai ‖𝑃𝑃 𝑛𝑛 ‖ (atau 𝑛𝑛 ∈ ℕ semakin besar), maka nilai 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) mengecil untuk fungsi kontinu 𝑓𝑓 yang konveks dan membesar untuk 𝑓𝑓 yang konkaf pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] . Hal ini dapat disajikan secara lengkap dalam teorema berikut:
Teorema  3 [3] Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dan 𝑓𝑓′ dapat berupa  fungsi  konveks atau konkaf. Jika 𝑓𝑓 konveks, maka barisan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} monoton turun. Jika 𝑓𝑓 konkaf, maka barisan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} monoton naik.
Selanjutnya, terdapat pula sifat Darboux sums dari fungsi-fungsi yang monoton di 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] terhadap partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ , yang ditulis dalam lemma berikut.
Lemma 4 [4] Misalkan fungsi monoton 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dan partisi-partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]. Jika 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ), maka 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ).

## 51
Lemma 4 ini  mengindikasikan bahwa jika 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) ≤ 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ), maka 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) ≤ 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) ,  untuk fungsi monoton 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dan partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] .
Sifat kemonotonan pada barisan �𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) � 𝑛𝑛=1 ∞ dan �𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) � 𝑛𝑛=1 ∞ secara umum tidak terjadi dalam ruang metrik lengkap 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] [4]. Oleh karena itu, penulis tertarik pula untuk menyelidiki sifat kemonotonan pada barisan trapezoid sum { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ secara umum dalam ruang metrik lengkap (ruang Banach [5]) dari kelas-kelas fungsi nonkonkaf  dan  nonkonveks.  Hal tersebut tentunya berkaitan dengan ruang metrik lengkap 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dan density pada suatu himpunan, yang dapat disajikan dalam teorema dan definisi berikut.
Teorema 5 [6] Misalkan 𝑭𝑭 adalah himpunan semua fungsi bernilai real yang didefinisikan dan kontinu pada selang tertutup [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ], dengan 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ ℝ . ∀𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ∈ 𝑭𝑭 , didefinisikan metrik ‖∙‖ ∞ sebagai berikut:
𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) = ‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 {| 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 )| ∶ 𝑥𝑥 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]}.
( 𝑭𝑭 , ‖∙‖ ∞ ) adalah ruang metrik yang dinotasikan sebagai ruang 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]. Serta 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] lengkap.
Definisi 6 [6] Suatu himpunan 𝑈𝑈 dikatakan dense pada 𝑋𝑋 dalam ruang metrik ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) jika 𝑋𝑋 = 𝑈𝑈 , dengan 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 (penutup dari suatu himpunan 𝑈𝑈 ) dalam ruang metrik ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) jika dan hanya jika ∀𝛿𝛿 > 0, ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 sedemikian sehingga 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝛿𝛿 .
Selama 𝑈𝑈 dense pada 𝑋𝑋 , maka untuk setiap himpunan buka (yang dapat memuat 𝑓𝑓 ) dalam 𝑋𝑋 memuat setidaknya satu elemen (katakanlah 𝑔𝑔 ) dari 𝑈𝑈 [7]. Himpunan buka tersebut dapat berupa 𝛿𝛿 - neighbourhood dari 𝑓𝑓 dalam ruang metrik ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) , yaitu sebagai  himpunan 𝑆𝑆 𝛿𝛿 ( 𝑓𝑓 ) = { 𝑔𝑔 ∈ 𝑋𝑋 ∶ 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝛿𝛿 , 𝛿𝛿 > 0} [1].
Secara lengkap, penelitian ini bertujuan menunjukkan barisan trapezoid sum { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ tidak memenuhi sifat monoton secara umum, yaitu, tidak monoton turun pada kelas-kelas fungsi 𝑓𝑓 yang nonkonkaf, naik nonkonkaf, dan turun nonkonkaf. Serta barisan itu tidak monoton naik pada kelas-kelas fungsi 𝑓𝑓 yang nonkonveks, naik nonkonveks, dan turun nonkonveks.
Istilah  secara umum pada karakteristik  di bawah  suatu himpunan  dalam penelitian ini adalah generik secara topologi dalam suatu kelas, yakni himpunan tersebut bersifat residual atau memuat 𝐺𝐺 𝛿𝛿 - dense (untuk lebih jelas, lihat [7] dan [8]). Sifat generik ini banyak dibangun dalam suatu kelas untuk melihat sifat yang khas pada kelas tersebut, salah satunya pada masalah pengoptimuman, seperti [9] dan [10]. Selain itu, sifat generik juga banyak digunakan dalam sistem dinamik, salah satunya seperti [11].
Berdasarkan teorema 3, kemonotonan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ pada kelas fungsi konveks atau konkaf sudah teridentifikasi dengan jelas. Sebaliknya pada kelas fungsi nonkonkaf atau nonkonveks, kemonotonan barisan tersebut belum teridentifikasi dengan baik atau suatu ketentuan yang pasti
52

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
mengenai kemonotonan barisan tersebut. Jadi, dengan membangun suatu sifat yang generik pada kelas-kelas fungsi di atas, misal pada kelas fungsi nonkonkaf, maka setiap fungsi 𝑓𝑓 di kelas itu setidaknya dapat didekati oleh suatu fungsi nonkonkaf 𝑔𝑔 yang membuat { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 )} 𝑛𝑛=1 ∞ tidak monoton turun, yang mana bila ditelusuri, ekor barisan dari { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 )} 𝑛𝑛=1 ∞ bersifat monoton naik, dengan 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) ≈ 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) .

## 2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan melakukan kajian pustaka, dengan tahapan sebagai berikut.  Pertama, didefinisikan himpunan-himpunan yang ingin diperiksa density nya terhadap kelas-kelas fungsi yang ditujukan, seperti koleksi fungsi nonkonkaf dan nonkonveks.  Kemudian, dirumuskan lemma-lemma  mengenai kemonotonan trapezoid sum dari hampiran fungsi-fungsi yang dituju, yang berguna untuk menerangkan sifat density himpunan-himpunan yang dimaksud. Terakhir, melalui kategori Baire (untuk lebih jelas, lihat [7]), akan ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan tersebut bertipe 𝑮𝑮 𝜹𝜹 - dense , yaitu himpunan-himpunan tersebut dapat ditulis sebagai irisan terhitung dari subhimpunan- subhimpunan buka yang dense terhadap kelas fungsi yang ditujukan, yang dapat dirumuskan dalam teorema-teorema.  Selain itu, dirumuskan juga teorema-teorema mengenai density bila difokuskan pada fungsi-fungsi yang monoton nonkonkaf dan monoton nonkonveks.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pertama-tama akan didefinisikan himpunan-himpunan atau kelas-kelas fungsi yang akan digunakan pada penelitian ini berdasarkan sifat fungsinya, yaitu
𝑋𝑋 1 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi nonkonkaf }, 𝑋𝑋 2 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi naik nonkonkaf }, 𝑋𝑋 3 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi turun nonkonkaf }, 𝑌𝑌 1 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi nonkonveks }, 𝑌𝑌 2 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi naik nonkonveks }, 𝑌𝑌 3 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi turun nonkonveks }. Kemudian,  didefinisikan pula himpunan-himpunan yang berkaitan dengan ketidakmonotonan barisan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ yang dikategorikan berdasarkan kelas-kelas fungsi 𝑓𝑓 di atas, yaitu
𝐴𝐴 1 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 1 : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 )},
𝐴𝐴 2 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 2 : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 )},
𝐴𝐴 3 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 3 : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 )},
𝐵𝐵 1 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 1 : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )},
𝐵𝐵 2 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 2 : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )},
𝐵𝐵 3 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 3 : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )}.
3.1. Kemonotonan Ekor Barisan Trapezoid Sum dari Hampiran fungsi-fungsi di 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 Setiap fungsi 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 1 dapat dihampiri oleh suatu fungsi 𝑔𝑔 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang nonkonkaf dan linear sesepenggal. Kemudian, trapezoid sum 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) , bersifat monoton naik ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 pada suatu 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Hal ini disajikan secara matematis dan dibuktikan pada lemma berikut.
Lemma 7 Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang nonkonkaf. ∀ 𝜖𝜖 > 0 , ∃ 𝑁𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga ∀ 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 terdapat fungsi nonkonkaf dan linear sesepenggal 𝑔𝑔 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sedemikian sehingga
‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ < 𝜀𝜀 dan 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ).
Bukti: Ambil sebarang 𝜀𝜀 > 0 . Diketahui 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ], maka fungsi 𝑓𝑓 kontinu seragam pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] [1]. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, terdapat 𝛿𝛿 = min � 1 2 , 𝛿𝛿 ( 𝜀𝜀 ) � > 0 sedemikian sehingga ∀𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dengan | 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 | < 𝛿𝛿 , maka | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 )| < 𝜀𝜀 5 [1]. Pilih 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁 ( 𝜀𝜀 ) > ( 𝑏𝑏−𝑎𝑎 ) 𝛿𝛿 , maka ( 𝑏𝑏−𝑎𝑎 ) 𝑁𝑁 < 𝛿𝛿 . Selanjutnya, ambil sebarang 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 dengan 𝑛𝑛 ∈ ℕ . Misalkan partisi-partisi
𝑃𝑃 𝑛𝑛 = �𝑥𝑥 𝑗𝑗 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗 ( 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ) 𝑛𝑛 ∶ 0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛� , (4) 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 = �𝑦𝑦 𝑗𝑗 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗 ( 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ) 𝑛𝑛 + 1 ∶ 0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 + 1 � .
Perlu diperhatikan bahwa 𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 < 𝑦𝑦 𝑗𝑗 < 𝑥𝑥 𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 .  Konstruksi fungsi 𝑔𝑔 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sebagai berikut.
Pertama, definisikan
𝑓𝑓�𝑥𝑥 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗 , 0 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 . (5)
Karena 𝑓𝑓 nonkonkaf, maka terdapat 𝑡𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sehingga 𝑓𝑓� (1 − 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 1 + 𝑡𝑡𝑥𝑥 2 � < (1 − 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) + 𝑡𝑡𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 ) [1] .
Oleh karena itu, 𝑓𝑓 bisa saja berupa fungsi konveks tegas ataupun tidak keduanya ( 𝑓𝑓 nonkonkaf dan nonkonveks)  [1]. Bila 𝑓𝑓 konveks tegas, maka ada  minimum global dari 𝑓𝑓 pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , katakanlah 𝑓𝑓 ( 𝑐𝑐 ), 𝑐𝑐 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] [2]. Selain itu, 𝑓𝑓 turun pada [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 ) dan naik pada ( 𝑐𝑐 , 𝑏𝑏 ] . Selanjutnya, bila 𝑓𝑓 bersifat tidak keduanya, cukup perhatikan pada beberapa titik di [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ], katakanlah 𝑓𝑓 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ), 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ], 𝑘𝑘 = 1, 2, … , 𝑧𝑧 , untuk suatu 𝑧𝑧 ∈ ℕ sedemikian sehingga 𝑓𝑓 turun dan kemudian naik yang selanjutnya disebut lembah (atau sebaliknya yang disebut puncak) pada titik-titik sebelum dan sesudah 𝑐𝑐 𝑘𝑘 , yaitu pada interval [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) , ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ), 𝑘𝑘 = 2, 3, … , 𝑧𝑧 ,  dan ( 𝑐𝑐 𝑧𝑧 , 𝑏𝑏 ]. Akibatnya, pada subinterval-subinterval tersebut, 𝑓𝑓 bersifat monoton. Kondisi-kondisi di atas mengindikasikan bahwa 𝑓𝑓 bisa saja memuat minimum lokal (lembah) maupun maksimum lokal (bukit) (memungkinkan untuk memuat lebih dari satu lembah atau bukit). Selanjutnya, partisi-

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
partisi (4) masing-masing dapat dibentuk menjadi gabungan beberapa subpartisi yaitu 𝑃𝑃 𝑛𝑛 = 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛 2 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛 3 ⋃ … ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧−1 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 , dengan
𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 = �𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 � ,
𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 = �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � , 𝑡𝑡 = 2, 4, … , 2 𝑧𝑧 dan 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 2,
𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 = �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 , … , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘+1 ) −1 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘+1 ) � , 𝑡𝑡 = 3, . . . , 2 𝑧𝑧 − 1 dan 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 − 1 2 ,
𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 = �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , … , 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 � ,
dan 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 = 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 3 ⋃ … ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧−1 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧 ⋃𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 , dengan 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 = �𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 1 , … , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 � ,
𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 = �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � , 𝑡𝑡 = 2, 4, … , 2 𝑧𝑧 dan 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 2,
𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 = �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 , … , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘+1 ) −1 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘+1 ) , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘+1 ) � , 𝑡𝑡 = 3, . . . , 2 𝑧𝑧 − 1 dan 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 − 1 2 ,
𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 = �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , … , 𝑦𝑦 𝑛𝑛−1 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 � ,
di mana 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ∈ �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � ⊂ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 � untuk suatu 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∈ ℕ dengan 𝑙𝑙 𝑘𝑘−1 < 𝑙𝑙 𝑘𝑘 < 𝑛𝑛 , 𝑘𝑘 = 1, 2, … 𝑧𝑧 .
Misalkan 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) , 𝑘𝑘 = 1, 2, … 𝑧𝑧 . Kemudian, didefinisikan fungsi 𝑔𝑔 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sebagai berikut: Jika 𝑓𝑓 turun pada [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) dan kemudian naik pada ( 𝑐𝑐 1 , 𝑐𝑐 2 ) ,
𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 � = 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗−1 , 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑙𝑙 1 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +1 � = 𝑣𝑣 1 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 +1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 ∗ ,
𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 𝑙𝑙 1 + 2, 𝑙𝑙 1 + 3, … , 𝑙𝑙 2 − 1,
dengan 𝑣𝑣 1 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 dan 𝑣𝑣 1 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 ∗ < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +2 , di mana 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ terletak pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +1 , 𝑣𝑣 1 � , dan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 ∗ pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +1 , 𝑣𝑣 1 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +2 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +2 � . Jika 𝑓𝑓 naik pada [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) dan kemudian turun pada ( 𝑐𝑐 1 , 𝑐𝑐 2 ) ,
𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 0, 1, … , 𝑙𝑙 1 − 1, 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +1 � = 𝑣𝑣 1 ,
𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 +1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +2 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 � = 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗−1 , 𝑗𝑗 = 𝑙𝑙 1 + 3, 𝑙𝑙 1 + 4, … , 𝑙𝑙 2 ,
dengan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ < 𝑣𝑣 1 dan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 ∗ < 𝑣𝑣 1 , di mana 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ terletak pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +1 , 𝑣𝑣 1 � , dan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 ∗ pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +1 , 𝑣𝑣 1 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 +2 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 +1 � . Selanjutnya untuk 𝑘𝑘 = 2, 3, … , 𝑧𝑧 , jika 𝑓𝑓 naik pada ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) ,
𝑔𝑔 �𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 2, 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 3, … , 𝑙𝑙 𝑘𝑘 − 1,
𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � = 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ,
dengan 𝑣𝑣 ( 𝑘𝑘−1 ) < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 dan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ < 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , di mana 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ terletak pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 , 𝑣𝑣 ( 𝑘𝑘−1 ) � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � , dan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 � , dan jika 𝑓𝑓 turun pada ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) ,
𝑔𝑔 �𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ , 𝑔𝑔 �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1
𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 � = 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗−1 , 𝑗𝑗 = 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 3, 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 4, … , 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � = 𝑣𝑣 𝑘𝑘 , dengan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ < 𝑣𝑣 ( 𝑘𝑘−1 ) dan 𝑣𝑣 𝑘𝑘 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 , di mana 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ terletak pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 , 𝑣𝑣 ( 𝑘𝑘−1 ) � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 � , dan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 , 𝑣𝑣 𝑘𝑘 � . Terakhir, jika 𝑓𝑓 naik pada ( 𝑐𝑐 𝑧𝑧 , 𝑏𝑏 ] ,
𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 � = 𝑣𝑣 𝑧𝑧 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 2, 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 3, … , 𝑛𝑛 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 𝑛𝑛+1 ) = 𝑠𝑠 𝑛𝑛 ,
dengan 𝑣𝑣 𝑧𝑧 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ < 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , di mana 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ terletak pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 , 𝑣𝑣 𝑧𝑧 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � , dan jika 𝑓𝑓 turun pada ( 𝑐𝑐 𝑧𝑧 , 𝑏𝑏 ] ,
𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 � = 𝑣𝑣 𝑧𝑧 , 𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ , 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � = 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ,
𝑔𝑔�𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 � = 𝑔𝑔�𝑦𝑦 𝑗𝑗 � = 𝑠𝑠 𝑗𝑗−1 , 𝑗𝑗 = 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 3, 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 4, … , 𝑛𝑛 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 𝑛𝑛+1 ) = 𝑠𝑠 𝑛𝑛 ,
dengan 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ < 𝑣𝑣 𝑧𝑧 , di mana 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ terletak pada garis yang melewati titik �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 , 𝑣𝑣 𝑧𝑧 � dan �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 � . Dari semua kondisi di atas, 𝑔𝑔 dibentuk sebagai fungsi linear pada interval 𝐼𝐼 𝑗𝑗 1 = [ 𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 ] dan 𝐼𝐼 𝑗𝑗 2 = [ 𝑦𝑦 𝑗𝑗 , 𝑥𝑥 𝑗𝑗 ] , 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑙𝑙 1 , … , 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , … , 𝑙𝑙 𝑧𝑧 , … , 𝑛𝑛 . Karena [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] = ⋃ ( 𝐼𝐼 𝑗𝑗 1 ⋃ 𝐼𝐼 𝑗𝑗 2 ) 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 , maka 𝑔𝑔 berupa linear sesepenggal pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] (karenanya 𝑔𝑔 juga bersifat nonkonkaf) [1]. Fungsi 𝑔𝑔 dapat diilustrasikan seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Ilustrasi kurva fungsi 𝑔𝑔
56

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
Perhatikan bahwa untuk = 1, 2, … , 𝑛𝑛 , �𝑠𝑠 𝑗𝑗−1 − 𝑠𝑠 𝑗𝑗 � < 𝜀𝜀 5 , sebab �𝑥𝑥 𝑗𝑗 − 𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 � < 𝛿𝛿 . Oleh karena itu, berdasarkan konstruksi di atas, berlaku �𝑠𝑠 𝑗𝑗−1 − 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 𝑗𝑗 ) � < 𝜀𝜀 5 , �𝑠𝑠 𝑗𝑗 − 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 𝑗𝑗 ) � < 𝜀𝜀 5 , �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 � < 𝜀𝜀 5 , dan �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 � < 𝜀𝜀 5 . Pertama akan dibuktikan bahwa ‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ < 𝜖𝜖 .  Ambil sebarang 𝑥𝑥 ∈
[ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] .  Jika 𝑥𝑥 ∈ �𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 � ⊂ [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) ,  sehingga 𝑥𝑥 ∈ �𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 , 𝑥𝑥 𝑗𝑗 � , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑙𝑙 1 − 1 atau 𝑥𝑥 ∈ �𝑥𝑥 𝑙𝑙 1 −1 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 1 � , lalu  pilih 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑗𝑗 bila 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) turun  atau 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 bila 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) naik,  untuk 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑙𝑙 1 .  Jika 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 � , 𝑘𝑘 = 1, 2, … , 𝑧𝑧 ,  sehingga 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � atau 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘+1 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 � ,  lalu pilih 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 𝑘𝑘 , baik  untuk 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) yang  berupa lembah maupun bukit.  Jika 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ), 𝑘𝑘 = 1, 2, … , 𝑧𝑧 , sehingga 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � , 𝑥𝑥 ∈ �𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 , 𝑥𝑥 𝑗𝑗 � , 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 3 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑙𝑙 𝑘𝑘 − 1 , atau 𝑥𝑥 ∈ �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � , lalu pilih 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑗𝑗 bila 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) turun atau 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 bila 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) naik, untuk 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑙𝑙 𝑘𝑘 . Jika 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , 𝑏𝑏� ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑧𝑧 , 𝑏𝑏 ], sehingga 𝑥𝑥 ∈ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 , 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � atau 𝑥𝑥 ∈ �𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 , 𝑥𝑥 𝑗𝑗 � , 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 3 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 , lalu pilih 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑗𝑗 bila 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) turun dan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑗𝑗−1 bila 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) naik,  untuk 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 2 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 . Berdasarkan konstruksi fungsi 𝑔𝑔 dengan kondisi-kondisi di atas, dengan mudah dapat diperiksa bahwa | 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 )| < 2𝜀𝜀 5 dan | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 )| < 2𝜀𝜀 5 . Oleh sebab itu, ∀𝑥𝑥 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , diperoleh
| 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 )| ≤ | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 )| + | 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 )| < 4 𝜀𝜀 5 .
Kesimpulannya, ‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ = sup {| 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 )| ∶ 𝑥𝑥 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]} ≤ 4𝜀𝜀 5 < 𝜀𝜀 .
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ). Sebelum itu,  akan ditentukan  terlebih dahulu batas nilai dari 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 = 1, 2, … , 𝑧𝑧 , … ,2 𝑧𝑧 , 2 𝑧𝑧 + 1. Pertama, untuk 𝑡𝑡 = 1 dengan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 ⊂ [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) . Misalkan 𝑓𝑓 turun pada [ 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) , diperoleh 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 )
= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � ( 𝑙𝑙 1 −1 𝑖𝑖=1 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 ( 𝑠𝑠 0 + 𝑠𝑠 0 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � ( 𝑙𝑙 1 −1 𝑖𝑖=1 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) −𝑙𝑙 1 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 ) < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) � ( 𝑙𝑙 1 −1 𝑖𝑖=1 2 𝑠𝑠 0 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑛𝑛 + 1 − 𝑙𝑙 1 )(2 𝑠𝑠 0 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 (2 𝑠𝑠 0 ) = 0.
Namun, bila 𝑓𝑓 naik pada interval tersebut, didapat 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 ) − 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 ) ≤ 0 , sebab 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 )
= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � ( 𝑙𝑙 1 −1
𝑖𝑖=1 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � ( 𝑙𝑙 1 −1 𝑖𝑖=1 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 � − 𝑙𝑙 1 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) � ( 𝑙𝑙 1 −1 𝑖𝑖=1 2 𝑣𝑣 1 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑛𝑛 + 1 − 𝑙𝑙 1 ) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � 2 �𝑣𝑣 1 − 𝑠𝑠 𝑙𝑙 1 −1 �� < 𝛿𝛿 4 𝜀𝜀
5 .
Selanjutnya, untuk 𝑡𝑡 = 2, 4, … , 2 𝑧𝑧 dan 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 2 , dengan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ⊂ �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 � . Misalkan 𝑓𝑓 berupa bukit pada �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 � sehingga 𝑓𝑓 naik pada �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 � ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) dan turun pada ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 ) ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘+1 ) , diperoleh
𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ) = 1 2 ��𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ��𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 − 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � + �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 ∗ − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ��𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 − 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 �� < 0.
Namun, bila 𝑓𝑓 berupa lembah pada interval tersebut sehingga 𝑓𝑓 turun pada �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 � ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) dan naik pada ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 , 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +2 ) ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘+1 ) , didapat 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ) ≤ 0 , sebab
2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ) = �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ��𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 − 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 � + ( 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 ∗ − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ) �𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 − 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � < 2 𝜀𝜀 5 �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 +1 − 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 � < 2 𝜀𝜀 5 𝛿𝛿 .
Kemudian, untuk 𝑡𝑡 = 3, . . , 2 𝑧𝑧 − 1 dan 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡−1 2 , dengan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ). Misalkan 𝑓𝑓 naik pada ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) , diperoleh 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 )
= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � ( 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 𝑖𝑖=𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) �𝑛𝑛 − 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) − 1 � �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � ( 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 𝑖𝑖=𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 ( 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ) − �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 − 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ��𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ �
58

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
< 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) � ( 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 𝑖𝑖=𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 2) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 ( 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ) − 𝑙𝑙 𝑘𝑘 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � 2 �𝑣𝑣 𝑘𝑘 − 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 �� < 𝛿𝛿 4 𝜀𝜀
5 , sehingga 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 ) ≤ 0 . Begitu juga untuk 𝑓𝑓 yang turun pada ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 , 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) , sebab 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 𝑡𝑡 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 𝑡𝑡 )
= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � ( 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 𝑖𝑖=𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ � −
�𝑦𝑦 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 − 𝑥𝑥 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 � �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 ( 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � ( 𝑙𝑙 𝑘𝑘 𝑖𝑖=𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +4 𝑠𝑠 𝑖𝑖−2 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 ) − �𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑘𝑘 − 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ��𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) � ( 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 𝑖𝑖=𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) + 2) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 � + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑛𝑛 + 1 − 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 −1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑘𝑘 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � 2 �𝑣𝑣 𝑘𝑘−1 − 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ( 𝑘𝑘−1 ) +2 �� < 𝛿𝛿 4 𝜀𝜀 5 .
Terakhir, untuk 𝑡𝑡 = 2 𝑧𝑧 + 1 dengan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 ⊂ ( 𝑐𝑐 𝑧𝑧 , 𝑏𝑏 ] . Misalkan 𝑓𝑓 naik pada ( 𝑐𝑐 𝑧𝑧 , 𝑏𝑏 ] , didapat 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 )
= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � ( 𝑛𝑛 𝑖𝑖=𝑙𝑙 𝑧𝑧 +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑛𝑛 − 𝑙𝑙 𝑧𝑧 − 1) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � ( 𝑛𝑛 𝑖𝑖=𝑙𝑙 𝑧𝑧 +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 ( 𝑠𝑠 𝑛𝑛 + 𝑠𝑠 𝑛𝑛 ) < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑛𝑛 − 𝑙𝑙 𝑧𝑧 − 2)(2 𝑠𝑠 𝑛𝑛 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 2)(2 𝑠𝑠 𝑛𝑛 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 (2 𝑠𝑠 𝑛𝑛 ) = 0.
Namun, bila 𝑓𝑓 turun pada interval tersebut, didapat 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 ) − 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 ) ≤ 0 , sebab 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 ) − 2 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 )
= 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � ( 𝑛𝑛 𝑖𝑖=𝑙𝑙 𝑧𝑧 +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑛𝑛 − 𝑙𝑙 𝑧𝑧 − 1) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � ( 𝑛𝑛+1 𝑖𝑖=𝑙𝑙 𝑧𝑧 +4 𝑠𝑠 𝑖𝑖−2 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 ) − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) � ( 𝑛𝑛 𝑖𝑖=𝑙𝑙 𝑧𝑧 +3 𝑠𝑠 𝑖𝑖−1 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) ( 𝑙𝑙 𝑧𝑧 + 2) �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 ∗ � − 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 �𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +1 + 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 � < 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 1 � 2 �𝑣𝑣 𝑧𝑧 − 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑧𝑧 +2 �� < 𝛿𝛿 4 𝜀𝜀
5 .
Mengacu pada partisi 𝑃𝑃 𝑛𝑛 dan 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 , perhatikan bahwa
𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) = 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 1 ) + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2 ) + ⋯ + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑘𝑘 ) + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑘𝑘+1 ) + ⋯ + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧 ) + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛 2𝑧𝑧+1 ), dan
𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) = 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 1 ) + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2 ) + ⋯ + 𝑇𝑇�𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑘𝑘 � + 𝑇𝑇�𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑘𝑘+1 � + ⋯ + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧 ) + 𝑇𝑇 ( 𝑔𝑔 , 𝑃𝑃 𝑛𝑛+1 2𝑧𝑧+1 )
Oleh karena itu, berdasarkan fakta-fakta dari semua kemungkinan di atas, terbukti bahwa 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ).
∎
Setiap fungsi 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 1 dapat dihampiri oleh suatu fungsi 𝑔𝑔 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang nonkonveks dan linear sesepenggal . Kemudian, trapezoid sum 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) , bersifat monoton turun ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 pada suatu 𝑁𝑁 ∈ ℕ . Hal ini dapat disajikan secara matematis dan dibuktikan pada lemma berikut.
Lemma 8 Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang  nonkonveks. ∀ 𝜖𝜖 > 0 , ∃ 𝑁𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga ∀ 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 terdapat fungsi nonkonveks dan linear sesepenggal 𝑔𝑔 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sedemikian sehingga ‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ < 𝜀𝜀 dan 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ).
Bukti: Diketahui  fungsi 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] yang nonkonveks. Akibatnya, terdapat 𝑡𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sehingga 𝑓𝑓� (1 − 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 1 + 𝑡𝑡𝑥𝑥 2 � > (1 − 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) + 𝑡𝑡𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 ) [1]. Misalkan ℎ = −𝑓𝑓 pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , maka diperoleh ℎ� (1 − 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 1 + 𝑡𝑡𝑥𝑥 2 � < (1 − 𝑡𝑡 ) ℎ ( 𝑥𝑥 1 ) + 𝑡𝑡ℎ ( 𝑥𝑥 2 ). Artinya, ℎ adalah fungsi yang nonkonkaf ( ℎ juga kontinu) pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , berdasarkan definisi dari fungsi konkaf [1]. Oleh karena itu, menurut lemma 7, berlaku bahwa ∀ 𝜖𝜖 > 0 , ∃ 𝑁𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga ∀ 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 terdapat fungsi nonkonkaf  dan linear sesepenggal 𝑔𝑔 1 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] sedemikian sehingga
60

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan Nonkonkaf
‖ℎ − 𝑔𝑔 1 ‖ ∞ < 𝜀𝜀 dan 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 1 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 1 ). Selanjutnya, pilih 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ) = −𝑔𝑔 1 ( 𝑥𝑥 ), ∀𝑥𝑥 ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , diperoleh
‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ = ‖−ℎ + 𝑔𝑔 1 ‖ ∞ = ‖ℎ − 𝑔𝑔 1 ‖ ∞ < 𝜀𝜀 dan 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) − 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) = −𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 1 ) + 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 1 ) < 0. ∎
3.2. Sifat Kemonotonan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ dari fungsi-fungsi 𝑓𝑓 di 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1
Sifat kemonotonan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ dengan sebarang 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 1 , secara umum { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} tidak monoton turun. Artinya, 𝑓𝑓 senantiasa berada di 𝐴𝐴 1 atau ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐴𝐴 1 yang mendekati 𝑓𝑓 itu. Sebaliknya, { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} dengan sebarang 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 1 , secara umum { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} tidak monoton naik, yang artinya 𝑓𝑓 senantiasa berada di 𝐵𝐵 1 atau ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐵𝐵 1 yang mendekati 𝑓𝑓 itu. Kedua pernyataan di atas, merupakan aplikasi dari sifat kepadatan atau density suatu himpunan terhadap himpunan lainnya, yakni 𝐴𝐴 1 dense pada 𝑋𝑋 1 dan 𝐵𝐵 1 dense pada 𝑌𝑌 1 , yang dapat disajikan  dalam teorema  berikut, melalui kategori Baire . Sebelum itu, catat bahwa 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 adalah ruang Banach .
Teorema 9 𝐴𝐴 1 dan 𝐵𝐵 1 masing-masing adalah subhimpunan 𝐺𝐺 𝛿𝛿 -dense dari 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 .
Bukti: Misalkan ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ ,
𝑉𝑉 𝑛𝑛 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 1 : 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 )} dan 𝑊𝑊 𝑛𝑛 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 1 : 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )}.
Selanjutnya, misalkan pula ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ ,
𝐴𝐴 1 , 𝑁𝑁 = � 𝑉𝑉 𝑘𝑘 +∞ 𝑘𝑘=𝑁𝑁 dan 𝐵𝐵 1 , 𝑁𝑁 = � 𝑊𝑊 𝑘𝑘 . +∞ 𝑘𝑘=𝑁𝑁
Oleh karena itu, himpunan 𝐴𝐴 1 dan 𝐵𝐵 1 dapat ditulis sebagai
𝐴𝐴 1 = � 𝐴𝐴 1 , 𝑁𝑁 +∞
𝑁𝑁=1 dan 𝐵𝐵 1 = � 𝐵𝐵 1 , 𝑁𝑁 +∞ 𝑁𝑁=1 . Jadi, 𝐴𝐴 1 dan 𝐵𝐵 1 bertipe 𝐺𝐺 𝛿𝛿 , karena dapat ditulis sebagai irisan terhitung dari himpunan-himpunan buka. Hal ini tentu disebabkan oleh 𝑉𝑉 𝑛𝑛 dan 𝑊𝑊 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ adalah himpunan terbuka,  sehingga 𝐴𝐴 1 , 𝑁𝑁 dan 𝐵𝐵 1 , 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ∈ ℕ masing-masing adalah subhimpunan terbuka dari 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 .
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 𝐴𝐴 1 , 𝑘𝑘 dan 𝐵𝐵 1 , 𝑘𝑘 berturut-turut dense pada 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 . Ambil 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 1 dan 𝜀𝜀 > 0 sebarang, maka dengan  lemma 7, ∃ 𝑁𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga ∀ 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑉𝑉 𝑛𝑛 ⊂ 𝐴𝐴 1 , 𝑘𝑘 yang senantiasa memenuhi 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) = ‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ < 𝜀𝜀 , dengan 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 . Selanjutnya,  ambil 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 1 dan 𝜀𝜀 > 0 sebarang, maka dengan  lemma 8, ∃ 𝑁𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga ∀ 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 , ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑉𝑉 𝑛𝑛 ⊂ 𝐵𝐵 1 , 𝑘𝑘 yang senantiasa memenuhi 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) = ‖𝑓𝑓 − 𝑔𝑔‖ ∞ < 𝜀𝜀 , dengan 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 .  Oleh sebab itu, serta jelas bahwa 𝐴𝐴 1 , 𝑘𝑘 ⊆ 𝑋𝑋 1 dan 𝐵𝐵 1 , 𝑘𝑘 ⊆ 𝑌𝑌 1 , maka dengan definisi 6, terbukti bahwa 𝐴𝐴 1 , 𝑘𝑘 dan 𝐵𝐵 1 , 𝑘𝑘 berturut-turut dense pada 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 . Artinya, secara berturut-turut
𝐴𝐴 1 dan 𝐵𝐵 1 bertipe 𝐺𝐺 𝛿𝛿 - dense dari 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 , 𝑘𝑘 ∈ ℕ . Jadi, dengan kategori Baire , 𝐴𝐴 1 dan 𝐵𝐵 1 berturut-turut dense terhadap 𝑋𝑋 1 dan 𝑌𝑌 1 .
∎
3.3. Sifat Kemonotonan { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ dari fungsi-fungsi 𝑓𝑓 di 𝑋𝑋 2 , 𝑋𝑋 3 , 𝑌𝑌 2 , dan 𝑌𝑌 3
Bila difokuskan pada fungsi-fungsi monoton yang nonkonkaf maupun nonkonveks dari 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ], himpunan 𝐴𝐴 2 , 𝐴𝐴 3 , 𝐵𝐵 2 , dan 𝐵𝐵 3 berturut-turut  juga dense terhadap 𝑋𝑋 2 , 𝑋𝑋 3 , 𝑌𝑌 2 , dan 𝑌𝑌 3 . Artinya, ∀𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 = 2, 3 , maka 𝑓𝑓 ∈ 𝐴𝐴 𝑘𝑘 atau ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐴𝐴 𝑘𝑘 yang mendekati 𝑓𝑓 . Begitu juga jika ∀𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 = 2, 3 , 𝑓𝑓 ∈ 𝐵𝐵 𝑘𝑘 atau ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐵𝐵 𝑘𝑘 yang  mendekati 𝑓𝑓 . Oleh karena itu, sifat monoton dari { 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 )} 𝑛𝑛=1 ∞ secara umum tidak terjadi dalam 𝑋𝑋 2 , 𝑋𝑋 3 , 𝑌𝑌 2 , dan 𝑌𝑌 3 . Catat bahwa 𝑋𝑋 2 , 𝑋𝑋 3 , 𝑌𝑌 2 , dan 𝑌𝑌 3 adalah ruang metrik.
Untuk membuktikan pernyataan di atas, perlu diketahui beberapa sifat kemonotonan barisan Darboux sums terlebih dahulu. Misalkan himpunan
𝑋𝑋 ↑
= { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi naik }, 𝑋𝑋 ↓ = { 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]: 𝑓𝑓 fungsi turun },
𝑈𝑈 ↑ = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 ↑ : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑆𝑆 𝑚𝑚+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑚𝑚 ( 𝑓𝑓 ) dan 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 )}, dan 𝑈𝑈 ↓ = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 ↓ : ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 ≥ 𝑁𝑁 , 𝑆𝑆 𝑚𝑚+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑚𝑚 ( 𝑓𝑓 ) dan 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 )}.
Berlaku, 𝑈𝑈 ↑ dense pada 𝑋𝑋 ↑ dan 𝑈𝑈 ↓ pada 𝑋𝑋 ↓ [4]. Artinya, dengan definisi 4 diperoleh 𝑋𝑋 ↑ = 𝑈𝑈 ↑ ��� dan 𝑋𝑋 ↓ = 𝑈𝑈 ↓ ��� . Selain itu, selama 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] monoton, baik  itu 𝑓𝑓 konveks maupun konkaf, barisan �𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) � 𝑛𝑛=1 ∞ naik dan �𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) � 𝑛𝑛=1 ∞ turun [4]. Hal itu dapat ditulis seperti berikut:
𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) dan 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑓𝑓 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑓𝑓 ), ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ .
Selanjutnya, dengan cara yang serupa seperti lemma 7 hingga teorema 9, juga diperoleh bahwa himpunan 𝐴𝐴 2 , 𝐴𝐴 3 , 𝐵𝐵 2 , dan 𝐵𝐵 3 bersifat 𝐺𝐺 𝛿𝛿 -dense . Namun, dalam artikel ini langsung menjelaskan density 𝐴𝐴 2 , 𝐴𝐴 3 , 𝐵𝐵 2 , dan 𝐵𝐵 3 tanpa melalui kategori Baire , yang dapat disajikan dalam dua teorema di bawah ini.
Teorema 10 𝐴𝐴 2 dan 𝐴𝐴 3 masing-masing adalah subhimpunan dense dari 𝑋𝑋 2 dan 𝑋𝑋 3 .
Bukti: Jelas bahwa 𝐴𝐴 2 ��� ⊆ 𝑋𝑋 2 dan 𝐴𝐴 3 ��� ⊆ 𝑋𝑋 3 , sehingga cukup buktikan bahwa 𝑋𝑋 2 ⊆ 𝐴𝐴 2 ��� dan 𝑋𝑋 3 ⊆ 𝐴𝐴 3 ��� . Pertama, ambil sebarang 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 2 . Karena 𝑋𝑋 2 ⊆ 𝑋𝑋 ↑ = 𝑈𝑈 ↑ ��� , maka 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 ↑ ��� . Oleh sebab itu, ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 ↑ dengan 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Akibatnya ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 sedemikian sehingga 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) ,  maka  berlaku  pula 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) , menurut lemma 4. Oleh karena itu, diperoleh 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) , dengan kata lain ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐴𝐴 2 , 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Kesimpulannya, 𝑓𝑓 ∈ 𝐴𝐴 2 ��� . Selanjutnya,  karena 𝑋𝑋 3 ⊆ 𝑋𝑋 ↓ = 𝑈𝑈 ↓ ��� ,  maka 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 ↓ ��� , ∀𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 3 . Oleh sebab itu, ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 ↓ dengan 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Akibatnya ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 sedemikian sehingga 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) , dan
62

## Sifat Kemonotonan Barisan Trapezoid Sum dari Kelas Fungsi Nonkonveks dan
Nonkonkaf
menurut lemma 4 berlaku juga 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) . Oleh karena itu, diperoleh 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) , dengan kata lain ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐴𝐴 3 , 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Kesimpulannya, 𝑓𝑓 ∈ 𝐴𝐴 3 ��� .
Kedua fakta di atas menjelaskan bahwa 𝑋𝑋 2 ⊆ 𝐴𝐴 2 ��� dan 𝑋𝑋 3 ⊆ 𝐴𝐴 3 ��� , sehingga berdasarkan definisi 6, terbukti bahwa 𝐴𝐴 2 dan 𝐴𝐴 3 berturut-turut dense pada 𝑋𝑋 2 dan 𝑋𝑋 3 .
∎
Teorema 11 𝐵𝐵 2 dan 𝐵𝐵 3 masing-masing adalah subhimpunan dense dari 𝑌𝑌 2 dan 𝑌𝑌 3 .
Bukti: Jelas bahwa 𝐵𝐵 2 ��� ⊆ 𝑌𝑌 2 dan 𝐵𝐵 3 ��� ⊆ 𝑌𝑌 3 , sehingga untuk itu cukup buktikan bahwa 𝑌𝑌 2 ⊆ 𝐵𝐵 2 ��� dan 𝑌𝑌 3 ⊆ 𝐵𝐵 3 ��� . Pertama, ambil sebarang 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 2 . Karena 𝑌𝑌 2 ⊆ 𝑋𝑋 ↑ = 𝑈𝑈 ↑ ��� , maka 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 ↑ ��� . Oleh sebab itu, ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 ↑ , 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Akibatnya ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 (dalam hal ini ambil 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 ) sedemikian sehingga 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) , maka berlaku pula 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) . Oleh karena itu, diperoleh 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) , dengan kata lain ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐵𝐵 2 , 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Kesimpulannya 𝑓𝑓 ∈ 𝐵𝐵 2 ��� .
Selanjutnya,  karena 𝑌𝑌 3 ⊆ 𝑋𝑋 ↓ = 𝑈𝑈 ↓ ��� ,  maka 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 ↓ ��� , ∀𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 3 . Oleh sebab itu, ∃𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 ↓ dengan 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Akibatnya ∀𝑁𝑁 ∈ ℕ , ∃𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 (dalam hal ini ambil 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 ) sedemikian sehingga 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) , dan menurut lemma 4 berlaku juga 𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) . Oleh karena itu, diperoleh 𝑇𝑇 𝑛𝑛+1 ( 𝑔𝑔 ) < 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔 ) , dengan kata lain ∃𝑔𝑔 ∈ 𝐵𝐵 3 , 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ) < 𝜀𝜀 , ∀𝜀𝜀 > 0 . Kesimpulannya 𝑓𝑓 ∈ 𝐵𝐵 3 ��� .
Kedua fakta di atas menjelaskan bahwa 𝑌𝑌 2 ⊆ 𝐵𝐵 2 ��� dan 𝑌𝑌 3 ⊆ 𝐵𝐵 3 ��� , sehingga berdasarkan definisi 6, terbukti bahwa 𝐵𝐵 2 dan 𝐵𝐵 3 berturut-turut dense pada 𝑌𝑌 2 dan 𝑌𝑌 3 .
∎

## 4  Simpulan
Misalkan 𝒇𝒇 berupa fungsi kontinu dan bernilai real pada interval [ 𝒂𝒂 , 𝒃𝒃 ] , atau dengan kata lain 𝒇𝒇 ∈ 𝑪𝑪 [ 𝒂𝒂 , 𝒃𝒃 ] . Berdasarkan pemaparan teori-teori di atas, dapat disimpulkan bahwa:
a. Sifat monoton turun dari barisan trapezoid sum { 𝑻𝑻 𝒏𝒏 ( 𝒇𝒇 )} secara umum tidak terjadi pada kelas fungsi 𝒇𝒇 yang nonkonkaf ( 𝑿𝑿 𝟏𝟏 ) .
b. Barisan trapezoid sum { 𝑻𝑻 𝒏𝒏 ( 𝒇𝒇 )} pada fungsi-fungsi nonkonkaf yang monoton, yaitu pada kelas fungsi 𝒇𝒇 yang naik nonkonkaf ( 𝑿𝑿 𝟐𝟐 ) maupun turun nonkonkaf ( 𝑿𝑿 𝟑𝟑 ) , secara umum juga tidak monoton turun.
c. Pada kelas fungsi 𝒇𝒇 yang nonkonveks ( 𝒀𝒀 𝟏𝟏 ) , sifat monoton naik dari barisan trapezoid sum { 𝑻𝑻 𝒏𝒏 ( 𝒇𝒇 )} secara umum tidak terjadi.
d. Barisan trapezoid sum { 𝑻𝑻 𝒏𝒏 ( 𝒇𝒇 )} pada fungsi-fungsi nonkonveks yang monoton, yaitu pada kelas fungsi 𝒇𝒇 yang naik nonkonveks ( 𝒀𝒀 𝟐𝟐 ) maupun turun nonkonveks ( 𝒀𝒀 𝟑𝟑 ) , secara umum juga tidak monoton naik.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  R. G. Bartle  and  D. R. Shertbert. Introduction to Real Analysis  Fourth Edition. New Jersey, US: J Wiley, 2010.
[2]  W. Cheney and D. Kincaid. Numerical Mathematics And Computing Sixth Edition . Texas, US: Thomson Higher Education, 2008.
[3]  G. Bennet and G. Jameson,  "Monotonic Avarages of Convex Function", Mathematical Analysis and Applications , vol. 252, no. 1, pp. 410-436, 2000.
[4]  I. Kyrezi, “Monotonicity properties of Darboux sums,” Real Anal. Exch. , vol. 35, no.1, pp. 43-64, 2010.
[5]  T.  S. MA. Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations . Singapore: World Scientific Publishing, 2002.
[6]  D. Chatterjee. Topology: General and Algebraic. New Delhi, IN: New Age International Limited, 2007.
[7]  J. C. Oxtoby. Measure and Category. London, UK: Springer-Verlag, 1980.
[8]  M. Hochman, "Genericity in Topological Dynamics", Ergodic Theory and Dynamical Systems , vol. 28, no. 1, pp. 125-165, 2008.
[9]  G. M. Lee and T. S.  Pham, "Generic Properties for Semialgebraic Programs", SIAM Journal on Optimization , vol. 27, no. 3, pp. 2061-2084, 2017.
[10]  G. M. Lee and T. S. Pham, "Stability and Genericity for Semialgebraic Compact Programs", Journal of Optimization Theory and Applications , vol. 169, no. 5, pp. 473- 495, 2016.
[11]  F. Balibrea, J. Smital, and M. Stefankova, "On Generic Properties of Nonautonomous Dynamical Systems", International Journal of Bifurcation and Chaos , vol. 28, no. 8, p. 1850102, 2018.