Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53

## PENENTUAN PREMI TUNGGAL PADA ASURANSI BERJANGKA CONTINGENT

## Wuri Setyana Sari, Yuni Yulida, Aprida Siska Lestia
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 35,800, Banjarbaru 70714, Kalsel
Email : wurisetyana@gmail.com

## ABSTRAK
Asuransi jiwa dapat diartikan sebagai perjanjian dimana tertanggung membayar premi kepada penanggung dan penanggung akan memberikan santunan jika tertanggung meninggal dunia. Dalam asuransi, tertanggung dapat membayarkan sejumlah uang kepada penanggung dengan menggunakan premi tunggal dimana pembayaran tersebut hanya dilakukan selama satu kali di awal perjanjian. Salah satu bagian asuransi jiwa joint life adalah asuransi jiwa contingent ,  yaitu jenis asuransi yang memberikan santunan  dengan mengaitkan urutan kematian. Jika tertanggung mengikuti asuransi selama n tahun dan mengaitkan urutan kematian dalam menerima santunan maka jenis asuransi yang digunakan yaitu asuransi berjangka contingent . Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membentuk rumusan premi tunggal pada asuransi jiwa berjangka contingent. Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur. Hasil penelitian ini adalah  terbentuknya rumusan premi tunggal bersih pada beberapa kasus asuransi berjangka contingent yaitu  untuk dua tertanggung dan  tiga tertanggung. Selanjutkanya diberikan ilustrasi pada kedua kasus.
Kata kunci : Asuransi berjangka, premi tunggal, joint life , asuransi contingent

## 1. PENDAHULUAN
Jordan [4]  menyatakan bahwa suatu asuransi  yang  memberikan  santunan  jika tertanggung meninggal dalam jangka waktu terbatas atau selama 𝑛𝑛 29T tahun dikenal dengan istilah asuransi berjangka. Dalam asuransi tertanggung dapat membayarkan sejumlah uang kepada penanggung dengan menggunakan premi tunggal dimana pembayaran tersebut hanya dilakukan selama satu kali di awal perjanjian  selanjutnya tidak ada pembayaran lagi  [6].  Hidayati [3] telah membahas joint life pada asuransi jiwa berjangka dimana klaim terjadi jika salah satu tertanggung mengalami kematian dalam jangka waktu tertentu dan menentukan uang pertanggungan tidak memperhatikan urutan meninggal. Salah satu bagian asuransi jiwa joint life adalah asuransi jiwa contingent , Futami [2] menjelaskan bahwa asuransi contingent adalah jenis asuransi dimana pembayaran uang pertanggungannya berdasarkan atau dikaitkan dengan urutan yang meninggal. Artinya, meninggalnya tertanggung pada status joint life dengan dua orang atau lebih tertanggung dapat dinyatakan dalam urutan.  Berdasarkan analisa masalah yang dikaji, maka dibahas terbentuknya rumusan premi tunggal bersih pada asuransi jiwa berjangka contingent dengan  diasumsikan tidak ada pemegang polis yang membatalkan kontrak asuransi serta uang pertanggungannya dibayarkan di akhir tahun polis.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Interpolasi
Interpolasi adalah cara pendekatan untuk mencari nilai-nilai antara titik-titik yang diketahui sehingga membentuk suatu kurva. Titik data dapat di interpolasi dengan menggunakan polinom linier, polinom kuadrat, polinom kubik, atau polinom dari derajat yang lebih tinggi bergantung pada jumlah titik data yang tersedia. Berikut ini akan diberikan beberapa penjelasan mengenai interpolasi pada beberapa titik.
a. Interpolasi Linier
Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) dan ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:
𝑃𝑃 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 1 𝑥𝑥 ... (2.1)
b.
Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data, ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ), ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ), 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 ) . Polinom yang menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:
𝑃𝑃 2 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 2 𝑥𝑥 2 ... (2.2)
[1]. Misal untuk selang [0, 1] pendekatan untuk fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan polinom linier yaitu
𝑓𝑓̅ 1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 (0) − { 𝑓𝑓 (0) − 𝑓𝑓 (1)} 𝑡𝑡 ... (2.3) Pada 𝑡𝑡 = 0, 1 diperoleh �𝑓𝑓̅ 1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) � . Apabila terdapat 3 titik yang diketahui maka dapat menggunakan polinomial tingkat 2. Misal untuk 𝑡𝑡 integer diperoleh 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) dan titik-titik yang digunakan adalah �− 1, 𝑓𝑓 ( − 1) � , � 0, 𝑓𝑓 (0) � , � 1, 𝑓𝑓 (1) � maka  untuk melakukan pendekatan pada fungsinya dapat menggunakan interpolasi kuadratik sehingga diperoleh
𝑓𝑓̅ 2 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 (0) − 𝑓𝑓 ( − 1) − 𝑓𝑓 (1) 2 𝑡𝑡 + 𝑓𝑓 ( − 1) − 2 𝑓𝑓 (0) + 𝑓𝑓 (1) 2 𝑡𝑡 2 ... (2.4)
sehingga untuk 𝑡𝑡 = − 1, 0,1 diperoleh 𝑓𝑓̅ 2 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) .  Dengan cara yang sama juga dapat digunakan pada bilangan pecahan, misal diberikan 3 titik yaitu titik yang digunakan adalah � 0, 𝑓𝑓 (0) � , ( 1 2 , 𝑓𝑓 ( 1 2 )) , � 1, 𝑓𝑓 (1) � ,  dengan  menggunakan interpolasi kuadratik sehingga akan didapatkan pendekatan polinomial sebagai berikut
𝑔𝑔̅ 2 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 � 1 2 � − { 𝑓𝑓 (0) − 𝑓𝑓 (1)} �𝑡𝑡 − 1 2 � + 2 �𝑓𝑓 (0) − 2 𝑓𝑓 � 1 2 � + 𝑓𝑓 (1) � �𝑡𝑡 − 1 2 � 2 ... (2.5)
Sehingga untuk 𝑡𝑡 = 0, 1 2 , 1 diperoleh nilai 𝑔𝑔̅ 2 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓̅ 2 ( 𝑡𝑡 ) [2].  Adapula cara yang digunakan untuk melakukan pendekatan polinomial selain polinomial tingkat 2 yaitu misal didefinisikan suatu fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) dan 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) yang selalu berada pada interval [0,1], dengan syarat bahwa pada lingkungan 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) berupa garis lurus dan pada saat 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) dimana 𝑔𝑔 (0) − 𝑔𝑔 (1) memiliki nilai yang sangat kecil, maka dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53
� 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ≒ 𝑓𝑓 � 1 2 � 1 0 � 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 1 0 ... (2.6) 2.2 Percepatan Mortalita
Bentuk percepatan mortalita dapat dituliskan sebagai berikut :
𝜇𝜇 𝑥𝑥 =  lim ∆𝑡𝑡→0 − 1 𝑙𝑙 𝑥𝑥 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+∆𝑡𝑡 − 𝑙𝑙 𝑥𝑥 ∆𝑡𝑡 ... (2.7)
= − 1 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 …(2.8)
= − 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑛𝑛𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 …(2.9)
Dari persamaan (2.8) jika dituliskan kembali untuk usia yang tidak hanya berupa bilangan bulat yaitu 𝑦𝑦 , sehingga diperoleh [2]
𝑑𝑑𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = −𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝜇𝜇 𝑦𝑦 ... (2.10)
Jika persamaan (2.10) diintegrasikan dari 𝑥𝑥 ke batas usia tabel mortalitas, dimisalkan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡 maka
𝑙𝑙 𝑥𝑥 = � 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 ... (2.11) Pandang bahwa 𝑑𝑑 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 𝑙𝑙 𝑥𝑥+1 , sehingga dari persamaan (2.10) akan diperoleh
𝑑𝑑 𝑥𝑥 = � 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 1 0 ... (2.12)
Jika persamaan (2.10) diintegrasikan dari 𝑥𝑥 sampai 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 ,  dimisalkan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡
maka
𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑛𝑛 0 ... (2.13) Jika persamaan (2.10) diintegrasikan dari 𝑥𝑥 sampai 𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 , dimisalkan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡 maka 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑛𝑛 | 𝑚𝑚 = � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑛𝑛+𝑚𝑚 𝑛𝑛 ... (2.14) Untuk t=1 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑛𝑛 | = � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 …(2.15) [5].

## 2.3 Premi Tunggal Asuransi Berjangka
Premi tunggal adalah pembayaran premi asuransi yang hanya dilakukan satu kali  pada waktu  kontrak asuransi disetujui, selanjutnya tidak ada pembayaran  lagi. Jordan [4] menyatakan bahwa 𝐴𝐴 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | 1 yaitu nilai tunai asuransi atau premi tunggal
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53
bersih asuransi sebesar 1 satuan pembayaran pada usia 𝑥𝑥 tahun selama jangka waktu 𝑛𝑛 tahun yang uang pertanggungannya dibayarkan pada akhir tahun polis.  Sehingga 𝐴𝐴 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | 1 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝐴 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | 1 = 𝑣𝑣𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 2 𝑑𝑑 𝑥𝑥+1 𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 3 𝑑𝑑 𝑥𝑥+2 𝑙𝑙 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 𝑙𝑙 𝑥𝑥
... (2.16)
Dengan menggunakan simbol komutasi persamaan (2.16) dapat ditulis menjadi
𝐴𝐴 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | 1 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 ... (2.17) 2.4 Peluang Hidup dan Mati pada Joint Life untuk m Tertanggung
Adapun beberapa nilai-nilai peluang bersama bagi individu yang berusia (x), (y), (z), … sebanyak m orang dirumuskan dalam Futami [2] yaitu
1. Peluang hidup bagi individu yang berusia (x), (y), (z), … sebanyak m orang dalam n tahun adalah
𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ………..( 𝑚𝑚 ) 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 … … … … …
... (2.18)
2. Peluang meninggal paling sedikit 1 orang dari m orang dalam jangka n tahun yaitu
𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ……..( 𝑚𝑚 ) = 1 − 𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ………..( 𝑚𝑚 ) 𝑡𝑡 𝑡𝑡 ... (2.19) = 1 − 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑡𝑡 … … … … …(2.20)
3. Peluang hidup paling sedikit 1 orang bagi bagi individu yang berusia (x), (y), (z), … sebanyak m orang dalam n tahun adalah
𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ………( 𝑚𝑚 ) ������������������ = 1 − 𝑡𝑡 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ………( 𝑚𝑚 ) ������������������ 𝑡𝑡 ... (2.21) = 1 − (1 − 𝑝𝑝 𝑥𝑥 )(1 − 𝑝𝑝 𝑦𝑦 )(1 − 𝑝𝑝 𝑥𝑥 ) … … … 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 …(2.22)

## 3. Metode Penelitian
Metode  penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah  mengumpulkan dan mengkaji bahan- bahan yang berkaitan dengan dengan  asuransi jiwa contingent pada joint life . Kemudian mempelajari tentang peluang hidup dan mati untuk setiap pemegang polis serta untuk gabungan dari beberapa pemegang polis. Selanjutnya mengonstruksi terbentuknya peluang urutan meninggal dari tertanggung pada kondisi peluang contingent , kemudian mengonstruksi rumusan premi tunggal asuransi jiwa berjangka contingent dengan jangka 𝑛𝑛 tahun serta menerapkan kondisi asuransi contingent pada contoh soal.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Simbol Komutasi untuk Asuransi Contingent
Simbol komutasi adalah simbol yang digunakan untuk mempermudah perhitungan dalam asuransi jiwa, sehingga nilai-nilai untuk setiap simbol komutasi disajikan  dalam tabel mortalitas.  Penggunaan simbol komutasi asuransi contingent
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53
yang dirumuskan dalam Futami [2] untuk banyaknya tertanggung sebanyak dua orang, dan masing-masing berusia 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 tahun, yaitu sebagai berikut 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 tahun, yaitu sebagai berikut:
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑣𝑣 𝑥𝑥+𝑦𝑦 2 𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑦𝑦 ... (4.1)
𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 = 𝑣𝑣 𝑥𝑥+𝑦𝑦 2 +1 𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦+12 …(4.2) 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑦𝑦 = � 𝐷𝐷 𝑥𝑥+𝑡𝑡 , 𝑦𝑦+𝑡𝑡 𝜔𝜔 𝑡𝑡=0 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥+1 , 𝑦𝑦+1 + ⋯ + 𝐷𝐷 𝜔𝜔𝜔𝜔 …(4.3) 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 = � 𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑡𝑡 , 𝑦𝑦+𝑡𝑡 1 𝜔𝜔 𝑡𝑡=0 = 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 + 𝐶𝐶 𝑥𝑥+1 , 𝑦𝑦+1 1 + ⋯ + 𝐶𝐶 𝜔𝜔𝜔𝜔 1 …(4.4)
Futami [2] juga merumuskan untuk tertanggung sebanyak tiga orang yang masing-masing berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dan 𝑧𝑧 tahun yang didefinisikan secara analog dengan simbol-simbol komutasi pada tertanggung dua orang, yaitu sebagai berikut:
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 = 𝑣𝑣 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑥𝑥 3 𝑙𝑙 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ... (4.5) 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 = 𝑣𝑣 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑥𝑥 3 +1 𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥+12 …(4.6) 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 = � 𝐷𝐷 𝑥𝑥+𝑡𝑡 , 𝑦𝑦+𝑡𝑡 , 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝜔𝜔 𝑡𝑡=0 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥+1 , 𝑦𝑦+1 , 𝑥𝑥+1 + ⋯ + 𝐷𝐷 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 …(4.7) 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 = � 𝐶𝐶 𝑥𝑥+𝑡𝑡 , 𝑦𝑦+𝑡𝑡 , 𝑥𝑥+𝑡𝑡 1 𝜔𝜔 𝑡𝑡=0 = 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 + 𝐶𝐶 𝑥𝑥+1 , 𝑦𝑦+1 , 𝑥𝑥+1 1 + ⋯ + 𝐶𝐶 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 1 …(4.8) 4.2 Rumusan Peluang Contingent
Pada penelitian ini akan diberikan beberapa kasus peluang contingent untuk dua dan tiga tertanggung yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , dan 𝑧𝑧 tahun dimana kasus-kasus tersebut berdasarkan kondisi urutan ( 𝑥𝑥 ) meninggal adalah sebagai berikut:
1. Peluang bahwa ( 𝑥𝑥 ) akan meninggal pertama sebelum ( 𝑦𝑦 ) dalam jangka waktu [ 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 + 1] tahun dapat dituliskan sebagai berikut, dari persamaan (2.15) diperoleh
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 = � 𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 ... (4.9)
dengan menggunakan pendekatan polinomial pada persamaan (2.6) , misalkan untuk 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 ) = 𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑠𝑠 , 𝑔𝑔 ( 𝑑𝑑 ) = 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠 maka bentuk pendekatan polinomial menjadi
� 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 ) 𝑔𝑔 ( 𝑑𝑑 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ≒ 𝑓𝑓 �𝑡𝑡 + 1 2 �
1 0 � 𝑔𝑔 ( 𝑑𝑑 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 0 ... (4.10)
sehingga dengan menggunakan pendekatan polinomial persamaan (4.9) diperoleh
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 ≒ 𝑡𝑡+12 𝑝𝑝 𝑦𝑦 � 𝑠𝑠 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 ... (4.11) | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 ≒ 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦 …(4.12)
Dengan menggunakan cara yang sama seperti 2 orang tertanggung, untuk 3 orang tertanggung yaitu ( 𝑥𝑥 ), ( 𝑦𝑦 ) dan ( 𝑧𝑧 ) , peluang bahwa ( 𝑥𝑥 ) meninggal lebih dahulu dapat dituliskan yaitu sebagai berikut, dari persamaan (2.15) sehingga diperoleh
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 = � 𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 ... (4.13) | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 ≒ 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑥𝑥 …(4.14) 2. Peluang bahwa ( 𝑥𝑥 ) akan meninggal pada urutan kedua setelah ( 𝑦𝑦 ) dalam jangka waktu [ 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 + 1] tahun dapat dituliskan sebagai berikut,
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 𝑡𝑡 = � 𝑞𝑞 𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 ... (4.15) | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 𝑡𝑡 = � 𝑞𝑞 𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 …(4.16) | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 𝑡𝑡 = | 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 …(4.17) 3. Peluang bahwa ( 𝑥𝑥 ) akan meninggal pertama dalam jangka waktu [ 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 + 1]
tahun sebelum ( 𝑦𝑦 ) , dan ( 𝑧𝑧 ) yang paling akhir hidup dapat dituliskan sebagai berikut, dari persamaan (2.15) diperoleh
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� 1 = � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� 𝑠𝑠 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 ... (4.18)
dengan 𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� 𝑠𝑠 = 1 − 𝑞𝑞 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� = 1 − (1 − 𝑝𝑝 𝑦𝑦 )(1 − 𝑝𝑝 𝑥𝑥 ) 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 𝑦𝑦 + 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑠𝑠 𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑠𝑠 , sehingga persamaan (4.18_) akan didapatkan
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� 1 = 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 + 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑡𝑡 − 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 , . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑥𝑥 ... (4.19)
| 𝑡𝑡 𝑞𝑞 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� 1 = | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 + | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 …(4.20) 4.
Peluang bahwa ( 𝑥𝑥 ) akan meninggal pada urutan kedua dalam jangka waktu [ 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 + 1] tahun dimana ( 𝑧𝑧 ) telah meninggal sebelum waktu itu, dan ( 𝑦𝑦 ) tetap hidup, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut,
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z 2 𝑡𝑡 = � 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑
... (4.21)
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z 2 𝑡𝑡 = 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 − 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝑙𝑙 𝑥𝑥 …(4.22)
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z 2 𝑡𝑡 = | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡
…(4.23)
5. Peluang bahwa ( 𝑥𝑥 ) akan meninggal pada urutan ketiga dalam jangka waktu [ 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 + 1] dimana ( 𝑦𝑦 ) dan ( 𝑧𝑧 ) telah meninggal terlebih dahulu dapat dituliskan sebagai berikut
| 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 3 𝑡𝑡 = � 𝑞𝑞 𝑦𝑦 𝑠𝑠 𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝜇𝜇 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠 𝑠𝑠 ... (4.24) | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 3 𝑡𝑡 = 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 − 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑥𝑥
+ 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑡𝑡 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑡𝑡+12 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥+𝑡𝑡+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 , 𝑙𝑙 𝑥𝑥 …(4.25) | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 3 𝑡𝑡 = | 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 + | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 𝑡𝑡 …(4.26) 4.3 Rumusan Premi Tunggal Bersih Joint Life  Berjangka Asuiransi
Contingent
Adapun rumusan perhitungan premi asuransi berjangka contingent adalah sebagai berikut:
1. Misalnya 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal asuransi contingent berjangka pada tertanggung  yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 tahun selama jangka waktu 𝑛𝑛 tahun yang uang pertanggungannya dibayarkan pada akhir tahun dengan syarat ( 𝑥𝑥 ) meninggal terlebih dahulu sebelum ( 𝑦𝑦 ) . Sehingga 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 = 𝑣𝑣𝑑𝑑 𝑥𝑥 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 + 𝑣𝑣 2 𝑑𝑑 𝑥𝑥+1 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+1+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 . 𝑙𝑙 𝑦𝑦+𝑛𝑛−1+12 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑦𝑦 …(4.27)
Sehingga berdasarkan persamaan (4.12) diperoleh
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 …(4.28) Dengan menggunakan simbol komutasi akan diperoleh sebagai berikut 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 …(4.29)
Untuk nilai tunai premi tunggal asuransi contingent berjangka untuk tertanggung tiga orang yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 dan 𝑧𝑧 tahun, dengan syarat ( 𝑥𝑥 ) meninggal terlebih dahulu maka secara analog dengan menggunakan persamaan (4.14) dan (4.28) yaitu
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 1 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 𝑛𝑛−1
𝑡𝑡=0
…(4.30) Dengan menggunakan simbol komutasi akan diperoleh sebagai berikut
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 43-53
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 1 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥
…(4.31) 2. Misalnya 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal asuransi contingent berjangka untuk tertanggung yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 tahun selama jangka waktu 𝑛𝑛 tahun yang uang pertanggungannya dibayarkan pada akhir tahun dengan syarat ( 𝑥𝑥 ) meninggal setelah ( 𝑦𝑦 ) meninggal. Sehingga bentuk 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 𝑡𝑡 …(4.32) 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 � | 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 � …(4.33) 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 = 𝐴𝐴 𝑥𝑥 : n − 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 …(4.34)
dengan menggunakan simbol komutasi akan diperoleh sebagai berikut
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦
…(4.35)
3. Misalnya 𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n 1 menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal asuransi contingent berjangka untuk tertanggung yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 dan 𝑧𝑧 tahun selama jangka waktu 𝑛𝑛 tahun yang uang pertanggungannya dibayarkan pada akhir tahun dengan syarat ( 𝑥𝑥 ) meninggal urutan pertama sebelum ( 𝑦𝑦 ) meninggal dan ( 𝑧𝑧 ) hidup paling akhir. Sehingga bentuk 𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n
1 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n 1 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 | 𝑞𝑞 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� 1 𝑡𝑡 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 …(4.36) 𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n 1 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 � | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 + | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 � …(4.37)
𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n 1 = 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 + 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑥𝑥 : n 1 − 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 1 …(4.38)
Dengan menggunakan simbol komutasi akan diperoleh sebagai berikut
𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n 1 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 � …(4.39) 4. Misalnya 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n 2 menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal asuransi contingent berjangka untuk tertanggung  yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 dan 𝑧𝑧 tahun selama jangka waktu 𝑛𝑛 tahun yang uang pertanggungannya dibayarkan pada akhir tahun dengan syarat ( 𝑥𝑥 ) meninggal urutan kedua setelah ( 𝑧𝑧 ) meninggal dan ( 𝑦𝑦 ) tetap hidup. Sehingga bentuk 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n
2 dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n 2 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z 2 𝑡𝑡 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 …(4.40)
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n 2 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 � | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 � …(4.41)
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n 2 = 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 − 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 1 …(4.42)
Dengan menggunakan simbol komutasi akan diperoleh sebagai berikut
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n 2 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 …(4.43)
5. Misalnya 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3 menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal asuransi contingent berjangka untuk tertanggung yang berusia 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 dan 𝑧𝑧 tahun selama jangka waktu 𝑛𝑛 tahun yang uang pertanggungannya dibayarkan pada akhir tahun dengan syarat ( 𝑥𝑥 ) meninggal urutan ketiga setelah ( 𝑦𝑦 ) dan ( 𝑧𝑧 ) meninggal.  Bentuk 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3
dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 3 𝑡𝑡 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 …(4.44) 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3 = � 𝑣𝑣 𝑡𝑡+1 𝑛𝑛−1 𝑡𝑡=0 � | 𝑞𝑞 𝑥𝑥 𝑡𝑡 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 𝑡𝑡 + | 𝑞𝑞 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 𝑡𝑡 � …(4.45) 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3 = 𝐴𝐴 𝑥𝑥 : n − 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 − 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑥𝑥 : n 1 + 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 1 …(4.46)
Dengan menggunakan simbol komutasi akan diperoleh sebagai berikut
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ...(4.47)

## 4.3 Penerapan Pada Contoh Soal
Berikut diberikan contoh soal :
“Pak Thomas adalah seorang wiraswasta yang berumur 43 tahun. Ia bersama istrinya yang bernama Hani berumur 38 tahun ingin mengikuti program asuransi jiwa berjangka contingent, dengan jangka waktu perlindungan selama 20 tahun. Jika santunan yang akan diterima oleh ahli waris sebesar Rp 20.000.000,00, maka akan ditentukan premi tunggal yang harus dibayarkan dengan syarat Pak Thomas meninggal terlebih dahulu sebelum Ibu Hani dengan  bunga 2,5% dan menggunakan TMI 1999 untuk perhitungan data mortalitas”.
Misalkan umur Thomas (suami) adalah 𝑥𝑥 = 43 tahun, umur Hani (istri) adalah 𝑦𝑦 = 38 tahun,  jangka waktu mengikuti asuransi adalah 𝑛𝑛 = 20 tahun,  santunan yang diharapkan adalah S = Rp 20.000.000,00.  Dengan menggunakan persamaan (4.29) dan menggunakan data tabel komutasi gabungan untuk dua orang,  dengan usia ( 𝑥𝑥 ) jenis kelamin laki-laki adalah 43 tahun dan usia ( 𝑦𝑦 ) jenis kelamin perempuan adalah 38 tahun,  maka  selisih usia keduanya adalah 5 tahun. Tabel komutasi gabungan untuk dua orang dibuat dengan memperhatikan persamaan-persamaan yang ada pada persamaan (4.1) sampai  persamaan (4.4), sehingga diperoleh data yang telah disajikan sebagai berikut:
Tabel 1 . Tabel Komutasi Indonesia Gabungan (TKIG) 1999 untuk 2 orang  yaitu laki-laki dan perempuan selisih 5 tahun dengan bunga 2,5 %
x y 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝐶𝐶 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 42 37 3456254653,82 71730398211,03 8717921,79 1207715480,52 43 38 3358819336,57 68274143557,21 9152519,01 1198997558,73 44 39 3263208301,30 64915324220,64 9726922,74 1189845039,72 45 40 3169083274,67 61652115919,33 10428779,4 1180118116,98 46 41 3076300198,06 58483032644,67 11374485,3 1169689337,56 47 42 2984508569,29 55406732446,61 12480188,5 1158314852,25 48 43 2893518680,73 52422223877,32 13669719 1145834663,78 49 44 2803282814,57 49528705196,59 14903680,4 1132164944,82 50 45 2713762469,24 46725422382,01 16117455,6 1117261264,39 51 46 2624984413,45 44011659912,77 17168847,7 1101143808,84 52 47 2537089621,26 41386675499,32 18066702,3 1083974961,12 53 48 2450104666,14 38849585878,06 18713103,7 1065908258,86 54 49 2364189929,77 36399481211,92 19356574,3 1047195155,12 55 50 2279262075,34 34035291282,15 20144133,4 1027838580,80 56 51 2195148901,81 31756029206,81 21229631,5 1007694447,37 57 52 2111374180,08 29560880305,00 22605513,9 986464815,91 58 53 2027612501,57 27449506124,92 24239662,3 963859302,01 59 54 1943588851,84 25421893623,35 25878843,8 939619639,75 60 55 1859440900,69 23478304771,52 27233930,1 913740795,97 61 56 1775584309,28 21618863870,83 28574115,1 886506865,88 62 57 1692128606,56 19843279561,55 29912934,5 857932750,75 63 58 1609072110,84 18151150954,99 31260260,3 828019816,21
maka premi tunggal bersih yang harus dibayarkan Thomas  (suami) sebagai pemegang polis adalah
𝐴𝐴 43 : 38 : 20 1 = �𝑆𝑆 𝑀𝑀 43 : 38 1 − 𝑀𝑀 43+20 : 28+20 1 𝐷𝐷 43 : 38 � = � 20.000.000 1198997558,73 − 828019816,21
3358819336,57 �
= 2208977,056

## ≈ 𝑅𝑅𝑝𝑝 2.208.977
Jadi, besarnya premi tunggal bersih yang harus dibayarkan oleh pemegang polis untuk jangka  perlindungan selama 20 tahun jika Thomas (suami) meninggal pada urutan pertama dan Hani (istri) tetap hidup adalah sebesar Rp 2.208.977 kepada perusahaan asuransi.

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah:
1. Premi tunggal bersih asuransi berjangka contingent dalam jangka waktu n tahun untuk dua tertanggung berusia x dan y tahun dengan ketentuan ( 𝑥𝑥 ) meninggal terlebih dahulu yaitu
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 1 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦
2. Premi tunggal bersih asuransi berjangka contingent dalam jangka waktu n tahun untuk dua tertanggung berusia x dan y tahun dengan ketentuan ( 𝑥𝑥 ) meninggal urutan kedua setelah ( 𝑦𝑦 ) meninggal yaitu
𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 : n 2 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦
3. Premi  tunggal bersih asuransi berjangka contingent dalam jangka waktu n tahun untuk tiga tertanggung berusia x , y dan z tahun dengan ketentuan ( x) meninggal urutan pertama sebelum ( 𝑦𝑦 ) , dan ( 𝑧𝑧 ) tetap hidup yaitu 𝐴𝐴 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ���� : n 1 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥
4. Premi tunggal bersih asuransi berjangka contingent dalam jangka waktu n tahun untuk tiga tertanggung berusia x , y dan z tahun dengan ketentuan ( 𝑥𝑥 ) meninggal urutan kedua setelah ( 𝑧𝑧 ) meninggal, dan ( 𝑦𝑦 ) tetap hidup yaitu 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 z : n 2 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 −𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1
𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥
5. Premi tunggal bersih asuransi berjangka contingent dalam jangka waktu n tahun untuk tiga tertanggung berusia x , y dan z dengan ketentuan ( 𝑥𝑥 ) meninggal urutan ketiga setelah ( 𝑦𝑦 ) dan ( 𝑧𝑧 ) meninggal yaitu 𝐴𝐴 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 : n 3 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 1 − 𝑀𝑀 𝑥𝑥+𝑛𝑛 , 𝑦𝑦+𝑛𝑛 , 𝑥𝑥+𝑛𝑛 1 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥
6. Daftar Pustaka
[1] Chapra, Steven. S. 2012. Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientist. McGraw-Hill Companies, New York.
[2] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Bagian I . Rekaprint Utama, Tokyo. --------.1994. Matematika Asuransi Bagian II . Rekaprint Utama, Tokyo.
[3] Hidayati, D. 2011. Joint Life dalam Asuransi Jiwa Berjangka . Skripsi Program Sarjana. Universitas Lambung Mangkurat, Banjarbaru.
[4] Jordan Jr, C.W. 1991. Society of Actuaries’ Textbook on Life Contingencies . Edisi Kedua. The Society of Actuaries, Chicago.
[5] Neill, Alistair. 1977. Life Contingencies . Institute of Actuaries and the Faculty of Actuaries, London.
[6] Sembiring, R.K. 1986. Asuransi III. Universitas Terbuka, Jakarta.