MENENTUKAN CIRI-CIRI SPESIFIK METODE PENYELESAIAN LIMIT FUNGSI ALJABAR PADA BENTUK TAK TENTU
Try Azisah Nurman*
*) Dosen Pada Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar e-mail: chicha_chirwan@yahoo.com
Abstract : This  paper  discusses  the  methods  of  algebraic  functions  on the  settlement  limit  of  indeterminate  forms.  Limit  is  a  mathematical method used to describe the effect of variable functions move closer to a point  on  a  particular  function.  The  goal  is  to  determine  the  specific characteristics of the methods of algebraic functions on the settlement limit of indeterminate forms. The methods used is a special method that consists  of  factoring  methods,  methods  of  multiplication  herd,  and  the division with the highest rank method, and the method of L' Hopital. By using  the  methods  mentioned  above,  then  we  obtain  the  specific characteristics  of  the  methods  of  algebraic  functions  settlement  limit on  the  indeterminate  form  are  1.  Factoring  methods:  (a)  The numerator  is  the  result  of  squaring  the  binomial  equation  of  the denominator. Where, (i) If the binomial equation using the difference operation,  then  its  points  is  positive.  (ii)  If  the  binomial  equations using  addition  operation,  then  its  points  is  negative.  (b)  the  constant factor  of  each  of  the  numerator  and  denominator  equally.  One  of which is a three tribal equation in the form ax 2 + bx + c , the value of b  it  is  the  sum  of  the  value  of  the  constant  multiplication.  (c)  If  the numerator  and  denominator  are  both  binomial  equations  with difference  operation,  where  the  variables  and  constants  in  the numerator is the square of the variable and constant denominator. Or conversely,  variables  and  constants  in  the  denominator  is  the  square of  the  variable  and  constant  numerator.  (d)  If  the  equation  is  a difference  of  two  fractions  where  the  denominator  is  a  binomial variables and constants in the denominator is the result of one of the squaring  of  the  variables  and  constants  in  the  denominator  of  the other.  (e)  If  the  equation  in  the  form  of  fragments  which  all  contain the  same  variables.  (f)  If  the  equation  is  in  the  form  of  two  parts, where  the  coefficients  and  constants  in  the  numerator  or  the  same multiplication  factor,  so  that  when  the  coefficients  and  constants removed it will  form  one of  the factors that equation equal  to that of the denominator. 2. A herd Multiplication method: (a) If the equation is  the  difference  of  two  roots.  (b)  If  the  equation  in  the  form  of  the difference  or  fractions  containing  amount  root  form.  Both  the
62 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76
numerator  and  the  denominator.  3.  Distribution  by  Top  Rank methods:  (a)  If  the  equation  in  the  form  ∞/∞.  (b)  If  a  polynomial equation  of  degree  3,  4,  5,...  etc.  Which  is  hard  to  be  factored.  4.  L' Hopital  method:  if  the  limit  point  is  substituted  then  produces  the indeterminate  form  0/0,  ∞/∞,  ∞-∞  ,  except  if  the  derivative  of  the function at the root of the denominator in the form similar to the form factor  function  in  the  numerator.  Vice  versa,  the  derivative  of  the function at the root of the numerator shaped form factor similar to the function in the denominator.
Key words: Limit, indeterminate forms, L' Hopital method .

## I. PENDAHULUAN
alkulus  adalah  salah  satu  cabang  dari  matematika  yang  sangat  penting dan  banyak  diterapkan  pada  cabang-cabang  ilmu  pengetahuan  lainnya, seperti: sains dan teknologi, kedokteran, perekonomian, dan sebagainya.
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang  sangat  kecil.  Pada  abad  ke-19,  konsep  kecil  tak  terhingga  ini  ditinggalkan karena  tidak  cukup  cermat,  sebaliknya  ia  digantikan  oleh  konsep  limit.  Limit menjelaskan  nilai  suatu  fungsi  pada  nilai  input  tertentu  dengan  hasil  dari  nilai input  terdekat.  Dari  sudut  pandang  ini  pula,  kalkulus  didefinisikan  sebagai sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.
Pada  umumnya  terdapat  dua  bentuk  persamaan  limit  fungsi  aljabar  yang sering  digunakan,  yaitu  limit  fungsi  aljabar  yang  variabelnya  mendekati  nilai tertentu.  Bentuk  ini  dapat  diselesaikan  dengan  4  cara  yaitu  cara  substitusi, pemfaktoran, merasionalkan penyebut, dan merasionalkan pembilang. Dan bentuk yang kedua adalah limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak terhingga. Bentuk  ini  dapat  diselesaikan  dengan  2  cara  yaitu  membagi  dengan  pangkat tertinggi  dan mengalikan dengan faktor  sekawan atau dengan menggunakan  cara L’Hopital.
Metode substitusi digunakan untuk mencari nilai limit fungsi aljabar yang tidak  mengandung  bentuk  tak  tentu.  Adapun  bentuk-bentuk  tak  tentu  yang dimaksud  adalah  tak  tentu  jenis  ,    dan  ∞  -  ∞.  Untuk  bentuk  tak  tentu  , digunakan  metode  pemfaktoran.  Namun  adakalanya  limit  fungsi  aljabar  yang mengandung bentuk tak tentu  harus dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Bentuk  yang  memerlukan  perlakuan  demikian  yaitu  yang  mengandung  bentuk akar.  Sedangkan  untuk  bentuk  tak  tentu    dapat  diselesaikan  dengan  cara membaginya  dengan  pangkat  tertinggi.  Dan  bentuk  tak  tentu  ∞-∞  diselesaikan dengan cara mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor sekawannya.

## K
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 63
Tetapi  tidak  semua  persoalan  limit  fungsi  dapat  diselesaikan  dengan  cara substitusi,  pemfaktoran,  perkalian  sekawan,  ataupun  pembagian  dengan  pangkat tertinggi.  Ada  cara  lain  untuk  menyelesaikan  persoalan  seperti  ini  yaitu  dengan menggunakan aturan L’Hopital. Aturan L’Hopital adalah cara terakhir yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai limitnya apabila cara substitusi, pemfaktoran, perkalian  sekawan,  ataupun  pembagian  dengan  pangkat  tertinggi  tidak  dapat dilakukan.  Aturan  L’Hopital  adalah  suatu  aturan  dalam  menyelesaikan  masalah limit  agar  nilai  limitnya  ada,  dengan  cara  menurunkan  fungsi  yang  dilimitkan kemudian mensubstitusikan titik limit yang telah ditentukan.
Bentuk-bentuk  tak  tentu  seperti  yang  telah  dijelaskan  sebelumnya  sangat perlu untuk dikaji. Karena bentuk-bentuk tak tentu memiliki cara yang beda dalam penyelesaiannya  dengan  bentuk-bentuk  tentu  yang  bisa  dilakukan  substitusi langsung untuk  mendapatkan nilai  limitnya. Namun,  tidak semua persoalan limit dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan L’Hopital. Ada beberapa contoh soal  yang  sama  sekali  tidak  bisa  diselesaikan  dengan  menggunakan  aturan L’Hopital.
Mempelajari  konsep  limit  fungsi  aljabar  secara  lebih  mendalam  sangat diperlukan. Konsep limit fungsi yang dimaksud adalah tentang nilai suatu fungsi, cara  mensketsa  grafik  fungsi,  pensubstitusian,  pemfaktoran,  dan  bilangan sekawan. Dalam beberapa buku kalkulus, hal ini juga belum banyak dijelaskan.

## II. KAJIAN TEORITIS

## A. Limit Fungsi
Limit adalah suatu metode matematika yang digunakan untuk menjelaskan pengaruh  variabel  fungsi  yang  bergerak  mendekati  suatu  titik  terhadap  fungsi tertentu.
Limit  fungsi  ini  merupakan  salah  satu  konsep  mendasar  dalam  analisis tentang  suatu  fungsi  yang  mendekati  titik  tertentu.  Suatu  fungsi  memetakan f(x) untuk  setiap x dan  fungsi  tersebut  memiliki  limit L pada  titik p .  Bila f(x) mendekati L maka x juga  mendekati p .  Dengan  kata  lain, f(x) menjadi  semakin dekat  kepada L ketika x juga  mendekat  menuju p .  Lebih  jauh  lagi,  bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p , hasilnya adalah keluaran yang  (secara  sembarang)  dekat  dengan L .  Bila  masukan  yang dekat pada p ternyata  dipetakan  pada  keluaran  yang  sangat  berbeda,  fungsi f dikatakan  tidak memiliki limit.
Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus. Dalam hal  ini  pengertian  limit  fungsi  pertama  kali  diberikan  secara  langkah  demi
64 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76
langkah,  yang  membahas  tentang  cara  menghitung  nilai  suatu  fungsi  yang mendekati suatu bilangan yang disajikan secara intuitif dari proses limit. Sebagai contoh, akan dipandang fungsi f yang didefinisikan oleh
f ( x ) =
Kemudian akan diperiksa bahwa f ( x ) terdefinisi untuk setiap x kecuali x = 1. Akan diselidiki nilai fungsi f bilamana mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. Ilustrasi  berikut  ini  menunjukkan  bagaimana  fungsi  yang  didefinisikan  oleh persamaan  di  atas  dapat  dibangun  dan  mengapa  nilai  fungsinya  harus diperhatikan. Untuk fungsi f yang  didefinisikan oleh persamaan di atas, misalkan untuk nilai x diambil 0; 0,25; 0,50; 0,75; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 dan seterusnya. Diambil  nilai x yang  semakin  dekat  ke  1  tetapi  lebih  kecil  dari  1.  Dengan  kata lain,  peubah x mendekati  1  sepanjang  nilai  yang  lebih  kecil  dari  1.  Sekarang misalkan  peubah x mendekati  1  sepanjang  nilai  yang  lebih  besar  dari  1,  yaitu untuk x diambil  nilai  2;  1,75;  1,5;  1,25;  1,1;  1,01;  1,001;  1,0001;  1,00001  dan seterusnya.
Cara  yang  lebih  tepat  untuk  mengerti  tentang  limit  adalah  dengan menggunakan dua lambang untuk menyatakan perbedaan kecil ini. Lambang yang biasanya  digunakan  adalah  huruf Yunani ε  (epsilon)  dan  δ  (delta).  Jadi  dapat dinyatakan  bahwa  untuk  setiap  bilangan  positif  ε  yang  diberikan  terdapat  suatu bilangan  positif  δ  yang  dipilih  yang  sesuai  sehingga  bila  | x –  1|  lebih  kecil daripada δ dan   | x – 1| ≠ 1 (yaitu x ≠ 1), maka | f ( x ) – 5| akan lebih kecil dari ε. Hal penting yang patut disadari adalah bahwa ukuran δ bergantung pada ukuran ε.
Definisi 2.1
Misalkan f suatu  fungsi  yang  terdefinisi  pada  setiap  bilangan  pada  suatu selang terbuka yang memuat a , kecuali mungkin di bilangan a sendiri. Limit f ( x ) untuk x mendekati a adalah L , ditulis
jika pernyataan berikut ini benar:
Diberikan  ε  >  0  yang  bagaimanapun  kecilnya,  terdapat  suatu  δ  >  0 sehingga jika
0 < | x – a | < δ maka | f ( x ) – L | < ε
Dengan  kata  lain,  Definisi  2.1  menyatakan  bahwa  nilai  fungsi f ( x ) mendekati  suatu  limit L untuk  mendekati  suatu  bilangan a jika  nilai  mutlak perbedaan f ( x ) dan L dapat dibuat sekecil yang diinginkan dengan cara mengambil
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 65
x yang cukup dekat ke a tetapi tidak sama dengan a . Hal yang perlu diingat ialah bahwa definisi di atas tidak dikatakan tentang nilai fungsi f bilamana x = a .
Untuk  menafsirkan  | x  –  a |,  bayangkan x dan a sebagai  vektor-vektor. Maka,
| x – a | =
dan  titik-titik  yang  memenuhi  0  <  | x – a |  <  δ  adalah  titik-titik  dalam  suatu lingkaran dengan radius δ terkecuali pusat a.
Secara  umum,  untuk  mencari  nilai-nilai  limit  fungsi  aljabar  yang mengandung  bentuk  tak  tentu    digunakan  metode  pemfaktoran.  Jadi,  jika dilakukan  substitusi  langsung  dan  diperoleh  hasil  limit  dalam  bentuk =  , maka  yang  harus  dilakukan  adalah  mengupayakan  agar  fungsi f(x) dan g(x) memiliki  faktor  yang  sama. Adakalanya  sebuah  limit  fungsi  aljabar  yang mengandung  bentuk  tak  tentu    harus  dikalikan  terlebih  dahulu  dengan  bentuk sekawannya sebelum difaktorkan. Bentuk yang memerlukan perlakuan seperti itu adalah apabila f(x) atau g(x) mengandung bentuk akar.
Adapula  bentuk  limit  fungsi  aljabar  yang  apabila  dilakukan  substitusi secara langsung akan menghasilkan bentuk  . Oleh karena itu, untuk mencari nilai limit  fungsi  aljabarnya  perlu  dilakukan  manipulasi  aljabar.  Manipulasi  aljabar yang  dimaksud  adalah  dengan  membagi  setiap  suku-suku  pada f(x) dan g(x) dengan  pangkat  tertinggi  dari x .  Bentuk  lain  yang  sering  ditemukan  apabila dilakukan  substitusi  langsung  pada  persamaan  limit  fungsi  aljabar  adalah  ∞  -  ∞. Untuk menentukan nilai limitnya dilakukan juga manipulasi aljabar, yaitu dengan mengalikannya  terlebih  dahulu  dengan  faktor  sekawannya  setelah  itu  barulah dilakukan pemfaktoran seperti langkah-langkah sebelumnya.
Setelah menggolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk tak tentu, maka  bentuk  tak  tentu  tersebut  dapat  disimbolkan  dengan  menggunakan  tiga simbol  yakni  , ,  dan  ∞-∞.  Masing-masing  bentuk  melibatkan  persaingan kekuatan yang berlawanan, yang berarti bahwa hasilnya tidak jelas terlihat. Akan tetapi, dengan bantuan aturan L’Hopital,  yang hanya diterapkan secara langsung pada bentuk   dan  , biasanya dapat ditentukan harga limit yang tepat.
Perlu  diingat,  masalah  limit  muncul  pada  bilangan-bilangan  tidak  tentu seperti  ,  ,  dan  ∞-∞.  Disamping  itu  perlu  diketahui  bahwa  gabungan  bilangan tertentu  dan  tidak  tentu  juga  merupakan  bilangan  tidak  tentu.  Salah  satu  metode yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  limit  bentuk  tak  tentu  yaitu  dengan menggunakan dalil L’Hopital berikut:
limit = limit = limit = ................... dan seterusnya
66 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76

## bila
Dari dalil tersebut berarti  yang dapat menggunakan dalil  L’Hopital hanya bentuk    dan  .  Untuk  bentuk-bentuk  yang  lain  harus  diubah  menjadi    atau kalau akan menggunakan aturan L’Hopital.

## B. Bentuk   0
0 Limit  ini  dapat  diselesaikan  dengan memfaktorkan  pembilang dan penyebutnya ,  kemudian “mencoret” faktor  yang  sama,  lalu substitusikan  nilai x = a .
1.  Karena x  a , maka ( x  a )  0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan ( x  a )
2.  Nilai limitnya ada dengan syarat : Q( a )  0
3.  Jika  pembilang  atau  penyebutnya  memuat bentuk  akar ,  maka  sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya .

## C. Limit Bentuk    
Limit  ini  dapat  diselesaikan  dengan membagi  pembilang  dan  penyebut dengan  variabel  pangkat  tertinggi  atau  dengan  menggunakan  dalil  L’Hopital , kemudian digunakan rumus :
lim x a x   0 .

## D. Limit Bentuk  

##   
Limit ini umumnya memuat bentuk akar:
Cara Penyelesaian :
1. Kalikan dengan bentuk sekawannya.
2. Bentuknya berubah menjadi
3. Selesaikan seperti pada limit bentuk
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 67

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Metode Pemfaktoran
1. Hitunglah nilai limit dari
Penyelesaian:

## 2. Tentukan nilai limit dari
Penyelesaian:

## B. Metode Perkalian Sekawan
1. Hitunglah nilai limit dari
Penyelesaian:

## Dikalikan dengan sekawannya, maka diperoleh
68 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76

## 2. Tentukanlah nilai limit dari

## Penyelesaian:
Dengan menggunakan metode perkalian sekawan,  diperoleh
Pembilang  dan  penyebut  dibagi  dengan  pangkat  tertinggi  dari  penyebut yaitu x
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 69
C. Metode Pembagian dengan Pangkat Tertinggi

## 1. Tentukanlah nilai limit dari
Penyelesaian:

## 2. Hitunglah nilai limit dari
Penyelesaian:
Masing-masing dibagi dengan x 3 , maka diperoleh
70 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76

## D. Metode L’Hopital

## 1. Tentukan nilai limit dari
Penyelesaian :

## 2. Hitunglah nilai limit dari
Penyelesaian :
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 71

## 3. Tentukanlah nilai limit dari
Penyelesaian:
dengan menggunakan aturan L’Hopital diperoleh:

## Tidak bisa Menggunakan Metode L’Hopital
- Tentukan nilai limit dari
Penyelesaian :
Dengan menggunakan aturan L’Hopital, diperoleh
di L’Hopitalkan kembali menjadi,
72 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76
Soal  seperti  diatas  tidak  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan  aturan L’Hopital, karena setelah dilakukan aturan L’Hopital maka akan kembali lagi ke bentuk semula.
Untuk menyelesaikan persoalan seperti ini, maka harus dilakukan langkah- langkah sebagai berikut:
Masing-masing pembilang dan penyebutnya diuraikan seperti berikut,

## IV. PEMBAHASAN

## A. Metode Pemfaktoran
Adapun  ciri-ciri  spesifik  untuk  metode  pemfaktoran  yaitu  apabila pembilangnya  merupakan  hasil  pengkuadratan  persamaan  suku  dua  dari penyebutnya  atau  sebaliknya,  dengan  syarat  jika  persamaan  suku  dua  tersebut menggunakan  operasi  selisih,  maka  titik  limitnya  bernilai  positif  dan  jika persamaan  suku  dua  tersebut  menggunakan  operasi  penjumlahan,  maka  titik limitnya  bernilai  negatif.  Kemudian  faktor  dari  konstanta  pada  masing-masing
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 73
pembilang  dan  penyebutnya  sama.  Dimana  salah  satunya  merupakan  persamaan suku tiga berbentuk ax 2 + bx + c , yang nilai b nya adalah hasil penjumlahan dari nilai  perkalian  konstantanya.  Apabila  pembilang  dan  penyebutnya  sama-sama merupakan  persamaan  suku  dua  dengan  operasi  selisih,  dimana  variabel  dan konstanta  pada  pembilangnya  adalah  hasil  kuadrat  dari  variabel  dan  konstanta pada  penyebutnya.  Atau  sebaliknya,  variabel  dan  konstanta  pada  penyebutnya adalah  hasil  kuadrat  dari  variabel  dan  konstanta  pembilangnya.  Apabila persamaannya  berupa  selisih  dua  pecahan  dimana  penyebutnya  merupakan  suku dua  yang  variabel  dan  konstanta  pada  salah  satu  penyebutnya  adalah  hasil pengkuadratan  dari  variabel  dan  konstanta  pada  penyebut  yang  lain.  Apabila persamaannya  berupa  pecahan  suku  dua  yang  semuanya  mengandung  variabel yang  sama.  Apabila  persamaannya  berupa  suku  dua,  dimana  koefisien  dan konstanta pada pembilangnya sama ataupun faktor kelipatannya, sehingga apabila koefisien  dan  konstantanya  dikeluarkan  maka  akan  terbentuk  persamaan  yang salah satu faktornya sama dengan yang ada pada penyebutnya.

## B. Metode Perkalian Sekawan
Adapun  ciri-ciri  spesifik  untuk  metode  perkalian  sekawan  yaitu  apabila persamaannya berupa selisih dua buah akar seperti berikut:
serta  apabila  persamaannya  berbentuk  pecahan  yang  memuat  bentuk  akar.  Baik pada pembilangnya maupun pada penyebutnya.

## C. Metode Pembagian dengan Pangkat Tertinggi
Adapun  ciri-ciri  spesifik  untuk  metode  pembagian  dengan  pangkat tertinggi yaitu apabila persamaannya berbentuk
serta  apabila  pangkat  tertinggi  dari  persamaannya  berderajat  3,  4,  5,  …dst  yang sulit  untuk  difaktorkan.  Meskipun  untuk  persamaan  berderajat  1  dan  2  juga terkadang dapat diselesaikan dengan cara membagi dengan pangkat tertinggi.

## D. Metode L’Hopital
Adapun  ciri-ciri  spesifik  untuk  metode  L’Hopital  yaitu  apabila  titik  limitnya disubstitusi  akan  menghasilkan  bentuk  tak  tentu  yaitu  ,  ,  ∞  -  ∞,  kecuali  jika hasil  turunan  dari  fungsi  pada  penyebutnya  yang  berbentuk  akar  berupa  faktor
74 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76
yang sama dengan fungsi pada pembilangnya.Begitupun sebaliknya, hasil turunan dari  fungsi  pada  pembilangnya  yang  berbentuk  akar  berupa  faktor  yang  sama dengan  fungsi  pada  penyebutnya,  maka  persamaan  seperti  itu  tidak  dapat diselesaikan dengan menggunakan metode L’Hopital.

## V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
1. Metode Pemfaktoran
a. Pembilangnya  merupakan  hasil  pengkuadratan  persamaan  suku  dua  dari penyebutnya atau sebaliknya. Dimana,
1) Jika  persamaan  suku  dua  tersebut  menggunakan  operasi  selisih,  maka titiknya bernilai positif.
2) Jika persamaan suku dua tersebut menggunakan operasi penjumlahan, maka titiknya bernilai negatif.
b. Faktor  dari  konstanta  pada  masing-masing  pembilang  dan  penyebutnya  sama. Dimana salah satunya merupakan persamaan suku tiga berbentuk ax 2 + bx + c, yang nilai b nya adalah hasil penjumlahan dari nilai perkalian konstantanya.
c. Apabila  pembilang  dan  penyebutnya  sama-sama  merupakan  persamaan  suku dua dengan operasi selisih, dimana variabel dan konstanta pada pembilangnya adalah hasil kuadrat dari variabel dan konstanta penyebutnya. Atau sebaliknya, variabel dan konstanta pada penyebutnya adalah hasil kuadrat dari variabel dan konstanta pembilangnya.
d. Apabila  persamaannya  berupa  selisih  dua  pecahan  dimana  penyebutnya merupakan suku dua yang variabel dan konstanta pada salah satu penyebutnya adalah hasil pengkuadratan dari variabel dan konstanta pada penyebut yang lain.
e. Apabila persamaannya berupa pecahan suku dua yang semuanya mengandung variabel yang sama.
f. Apabila persamaannya berupa suku dua, dimana koefisien dan konstanta pada pembilangnya  sama  ataupun  faktor  kelipatannya,  sehingga  apabila  koefisien dan konstantanya dikeluarkan maka akan terbentuk persamaan yang salah satu faktornya sama dengan yang ada pada penyebutnya.
2. Metode Perkalian Sekawan
a. Apabila persamaannya berupa selisih dua buah akar.
1) b q a  2 jika a = p
2)  jika a > p
Tri Azisah Nurman , Menentukan Ciri-ciri Spesifik Metode Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar …_ 75
3) -  jika a < p b. Apabila  persamaannya  berupa  selisih  ataupun  penjumlahan  yang  memuat bentuk akar. Baik pada pembilangnya maupun pada penyebutnya.
3. Metode Pembagian dengan Pangkat Tertinggi
a. Apabila persamaannya berbentuk
b. Apabila persamaannya berupa polynomial berderajat 3, 4, 5, …dst  yang  sulit untuk difaktorkan. Dimana, jika
maka: 1) 2)
3)

## 4. Metode L’Hopital
Adapun  ciri-ciri  spesifik  untuk  metode  L’Hopital  yaitu  apabila  titik limitnya  disubstitusi  maka  menghasilkan  bentuk  tak  tentu  yaitu  ,  ,    ∞  -  ∞, kecuali  jika  hasil  turunan  dari  fungsi  pada  penyebutnya  yang  berbentuk  akar berupa  faktor  yang  sama  dengan  fungsi  pada  pembilangnya.  Begitupun sebaliknya,  hasil  turunan  dari  fungsi  pada  pembilangnya  yang  berbentuk  akar berupa faktor yang sama dengan fungsi pada penyebutnya.

## B. Saran
Pembahasan  yang  dikaji  dalam  skripsi  ini  adalah  bagaimana  menentukan ciri-ciri  spesifik  metode  penyelesaian  limit  fungsi  aljabar  pada  bentuk  tak  tentu. Apabila  dari  pembaca  ingin  membahas  lebih  lanjut  tentang  topik  yang  serupa, maka  disarankan  untuk  menggunakan  fungsi  yang  lain  diantaranya  fungsi trigonometri. Karena disini hanya dibahas penyelesaian limit pada fungsi aljabar.

## DAFTAR RUJUKAN
Artikel  non-personal,  6  April  2013.,  Kalkulus,  Wikipedia  Bahasa  Indonesia, http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus, diakses pada 28 Agustus 2012
76 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 61 – 76
Artikel non-personal, 29 April 2013., Limit Fungsi, Wikipedia Bahasa Indonesia,

## Desember 2012
Baisuni, Hasyim. 2008. Kalkulus. Jakarta: Universitas Indonesia.
Briggs,  L.  William,  dkk.  2011. Calculus:  International  Edition. Boston:  Pearson Education.
Frank  Ayres  dan  Elliot  Mendelson.  2004. Kalkulus:  schaum’s  easy  outlines . Jakarta: Erlangga.
Gazali, Wikaria dan Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus Edisi 2 . Yogyakarta: Graha Ilmu.
Himonas, Alex dan Alan Howard. 2003. Calculus Ideas and Applications, USA:
John Wiley and Sons.
Howard  Anton,  dkk.  2010. Calculus  International  Student  Version,  Late Transcendentals: Ninth Edition. Hoboken: John Wiley and Sons.
Hughes  Hallet,  dkk.  2002. Calculus  Single  Variable:  Third  Edition. New  York: National Science Foundation Grant.
Ida Lydiati. 2010. ” kalkulus1-limit ”, Error! Hyperlink reference not valid. diakses pada 19 Agustus 2004
Irvan  Habibali,”Limit  fungsi”, irvanhabibali.files.wordpress.com/2009/06/limit- fungsi.doc, terakhir diakses pada 7 juni 2009.
Leithold  dan  Hutahaean.  1986. Kalkulus  dan  Ilmu  Ukur  Analitik  Edisi  Kelima: Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Loomis Lynn. 1974. Calculus. Canada: Addison-Wesley Publishing Company.
Pardede, Jasman. 2010. Kalkulus I . Jakarta: Erlangga.
Purcell, J. Edwin dan Dale Varberg. 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
Purcell, J. Edwin dan Dale Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Kelima Jilid 1 . Jakarta: Erlangga.
Salas, dkk. 2003. Calculus  One Variable: Ninth Edition . New York: John Wiley and Sons.
Siti  Rahmatun.  2010.  ”Bab  7  Limit  Fungsi”, http://www.google.com/ sitirahmatun. files. wordpress.com %terakhir-limit2.pdf, terakhir diakses pada 6 februari 2009.
Stewart, James. 2001. Kalkulus Edisi 4: Jilid 1 . Jakarta: Erlangga.