## Generalisasi Ketaksamaan Sinus pada Segitiga

## Generalization of the Sine Inequality in Triangles
Nur Hidayatin 1 , Frida Murtinasari 2 hidayatin1990@gmail.com

## Universitas PGRI Argopuro Jember
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menemukan generalisasi dari ketaksamaan sinus yang berlaku pada segitiga. Generalisasi ini berupa bentuk umum dari ketaksamaan sinus pada  segitiga  apabila  sudut-sudut  yang  diberikan  bukan  merupakan  sudut-sudut segitiga,  yakni  ketika  jumlahan  ketiga  sudut  tersebut  tidak  sama  dengan  . Ketaksamaan  sinus  yang  akan  dikaji  terfokus  pada  ketaksamaan  jumlahan  dan perkalian  sinus  pada  segitiga.  Dalam  pengerjaannya  dilakukan  dengan  metode penelitian kualitatif berupa kaji pustaka, yaitu mengkaji ketaksamaan jumlahan dan perkalian  sinus  pada  segitiga  yang  selanjutnya  akan  dikembangkan  dan  diperoleh generalisasi baru dari ketaksamaan sebelumnya, yaitu generalisasi ketaksamaan sinus pada  segitiga.  Generalisasi  ini  meliputi  generalisasi  ketaksamaan  jumlahan  sinus pada  segitiga  dan  generalisasi  ketaksamaan  perkalian  sinus  pada  segitiga.  Untuk mengkajinya,  terlebih  dahulu  perlu  dipelajari  konsep-konsep  trigonometri,  yakni definisi sinus dan cosinus, aturan-aturan sinus dan cosinus; hubungan sinus cosinus dengan sisi segitiga; hubungan jari-jari lingkaran luar segitiga dengan sisi dan sudut segitiga;  serta  ketaksamaan  rata-rata  aritmatika  dan  geometri.  Dari  hasil  penelitian didapat generalisasi ketaksamaan sinus yang berlaku pada sebarang segitiga.
Kata kunci: ketaksamaan, sinus, segitiga

## Abstract
This  study  aims  to  find  a  generalization  of  the  sine  inequality  of  any  triangles.  This generalization is the general form of the sine inequality in a triangle when the angles given are not  angles  of  the  triangle,  i.e.  when  the  sum  of  the  three  angles  is  not  equal  to .  The  sine inequality that will be studied focuses on the inequalities of the sum and multiplication of sine in triangles. In the process, qualitative research methods are carried out in the form of literature review, namely studying the sum and the multiplication inequalities of sine in triangles which will then be developed and obtained new generalizations from the previous inequalities, namely generalizations of sine inequalities in triangles. These generalizations include generalizing the inequalities  of  the  sum  of  sine  in  triangles  and generalizing the  inequalities  of  multiplication sine in triangles. To study this, it is necessary to first study the concepts of trigonometry, namely the definition of sine and cosine, the rules of sine and cosine; the relationship of the sine cosine to the sides of the triangle; the relationship of the radius of the circumcircle of the triangle to the sides and angles of the triangle; and arithmetic and geometric mean inequalities.The results of this study obtained the generalization of the sine inequality of any triangles.
Keywords : inequality, sine, triangle

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  ilmu  yang  mempelajari  tentang  stuktur  yang terorganisasikan,  membahas  berbagai  fakta  dan  hubungan  serta  membahas ruang dan bentuk (Nur’aini et al., 2017). Salah satu cabang ilmu Matematika yang  mempelajari  tentang  ruang  dan  bentuk  adalah  Geometri. Pengembangan  Geometri  selama  2021  banyak  membahas  tentang  media belajar  dan  cara  penyampaian  ilmu  Geometri,  sedangkan  untuk pengembangan  ilmu  Geometrinya  hanya  beberapa  saja  yang  mengangkat dalam  penelitian  ilmiah.  Sebelumnya  peneliti  pernah  mengkaji pengembangan ilmu Geometri mengenai ketaksamaan cosinus pada segitiga. Sehingga  dari  ketaksamaan  cosinus  sudut-sudut  segitiga  kita  memperoleh generalisasi  ketaksamaan  jumlahan  cosinus  dan  ketaksamaan  perkalian cosinus yang berlaku bagi sebarang segitiga (Hidayatin, 2021). Pada artikel ini penulis  mengembangkan  ketaksamaan  sinus  sebagai  bentuk  perluasan  dari ketaksamaan  trigonometri.  Ketaksamaan  sinus  pada  segitiga  yang  terdapat pada  beberapa  teorema  akan  digeneralisasi  menjadi  ketaksamaan  jumlahan sinus dan ketaksamaan perkalian sinus pada sebarang segitiga.
Diketahui segitiga siku-siku di  , dan merupakan sisi-sisi segitiga serta merupakan sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi
pada segitiga, seperti yang tampak pada gambar berikut.
Gambar 1. Segitiga ABC dengan siku-siku di C
Berdasarkan  gambar  diatas,  didefinisikan dan
(Janson,  2015).  Pada  sebarang  segitiga,  dapat  ditemukan  beberapa ketaksamaan  trigonometri,  yaitu  ketaksamaan  sinus,  ketaksamaan  cosinus, dan ketaksamaan tangen seperti yang telah diteliti oleh (Bottema, 1969). Dari ketaksamaan-ketaksamaan tersebut, dapat dikembangkan apabila sudut-sudut yang  diberikan  bukan  merupakan  sudut-sudut  segitiga,  yaitu  jumlahan  dari ketiga  sudutnya  tidak  sama  dengan  .  Pada  (Hidayatin,  2021)  telah  diteliti pengembangan  dari  ketaksamaan  cosinus  yang  berlaku  pada  segitiga.
Selanjutnya akan diteliti pengembangan dari ketaksamaan sinus yang berlaku pada sebarang segitiga.

## METODE
Pada  penelitian  ini  menggunakan  metode  penelitian  kualitatif  berupa mengkaji  sebuah  teori  kemudian  dikembangkan  dan  diperoleh  generalisasi baru dari teori sebelumnya. Dalam hal ini diperoleh generalisasi ketaksamaan sinus  pada  segitiga.  Untuk  mendapatkan  generalisasi  ini,  terlebih  dahulu mengkaji  ketaksamaan  jumlahan  dan  perkalian  sinus  pada  segitiga.  Untuk mengkaji hal tersebut, sebelumnya perlu dipelajari konsep trigonometri, yakni definisi  sinus  dan  cosinus,  aturan-aturan  sinus  dan  cosinus;  hubungan trigonometri dengan sisi-sisi segitiga; hubungan jari-jari lingkaran luar segitiga dengan  sisi  dan  sudut  segitiga;  serta  ketaksamaan  rata-rata  aritmatika  dan geometri. Selanjutnya setelah mengkaji ketaksamaan jumlahan dan perkalian sinus pada segitiga dapat dikembangkan dengan menemukan generalisasi dari ketaksamaan jumlahan dan perkalian sinus pada segitiga tersebut.
Gambar 2. Bagan Diagram Alir Ketaksamaan Sinus Segitiga

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema 1. Diketahui
dan , berlaku (Bottema, 1969)
Bukti.
Dengan memanfaatkan hubungan jari-jari lingkaran luar segitiga dengan sisi- sisi dan sudut-sudut segitiga dan aturan cosinus, didapat
Konsep Trigonometri Hubungan Trigonometri Dengan sisi segitiga
Ketaksamaan sinus pada segitiga Generalisasi Ketaksamaan sinus pada segitiga
dengan menyatakan  sisi-sisi  segitiga,    menyatakan  jari-jari  lingkaran luar segitiga dan menyatakan sudut-sudut segitiga. Berdasarkan syarat awal bahwa , maka diperoleh (Co ghetto, 2014). Selanjutnya dengan menggunakan aturan trigonometri(Gresham et al., 2019), maka diperoleh
Dengan kata lain,
Selanjutnya  dengan  memanfaatkan  ketaksamaan  kuadrat  jumlahan  sisi-sisi segitiga (Mineno et al., 2012), diperoleh
Berdasarkan (Hidayatin, 2021) diperoleh
Diperhatikan bahwa (Gonz, 2012), maka
Dengan demikian,
Selanjutnya karena , maka . Jadi,
Berdasarkan Teorema 1, dapat diperoleh pula ketaksamaan perkalian sinus  sudut  segitiga  dengan  memanfaatkan ketaksamaan rata-rata aritmatika dan  geometri(Zou  &  Jiang,  2015)  sebagaimana  yang  tertulis  pada  teorema berikut.
Teorema 2. Diketahui dan , berlaku (Bottema, 1969)
Dari teorema-teorema  diatas, dapat  digeneralisasikan  lebih luas  seperti pada teorema-teorema berikut.
Jurnal Axioma : Jurnal Matematika dan Pembelajaran Volume 7 No 1 Januari 2022 E ISSN 2615-0697 dan P ISSN 2622-8149 72 – 78
Teorema 3. Diketahui dan , berlaku i. untuk  setiap    bilangan gasal atau . ii. untuk  setiap    bilangan genap . Bukti. Misalkan , dengan   bilangan gasal pada bagian (i.) dan , dengan   bilangan genap pada bagian (ii.), dengan   bilangan asli.
a. Untuk , diperoleh . b. Untuk , dengan   bilangan asli, pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi matematika.
1. Misalkan , diperoleh 2. Diasumsikan benar untuk , bahwa 3. Dibuktikan benar untuk , berlaku Diketahui bahwa , maka diperoleh Dengan menggunakan definisi sinus dan cosinus dua sudut(Beveridge, 2014), diperoleh
Selanjutnya  dengan  menggunakan  ketaksamaan  rata-rata  aritmatika dan geometri(Zou & Jiang, 2015), diperoleh
Dengan kata lain,
c. Untuk ,  dengan    bilangan  asli  cara  pembuktian  menggunakan metode yang sama pada (b)
Seperti  halnya  pada  Teorema  2,  dari  Teorema  3  ini  juga  dapat dikembangkan  dengan  memanfaatkan  ketaksamaan  rata-rata  aritmatika  dan geometri (Zou & Jiang, 2015)sebagaimana pada teorema berikut.
Teorema 4. Diketahui dan , berlaku i. untuk setiap   bilangan gasal atau . ii. untuk  setiap bilangan genap .

## KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  penelitian  yang  sudah  dilakukan,  dapat  diperoleh  kesimpulan bahwa  pada  sebarang  segitiga,  dapat  diperoleh  ketaksamaan  sinus,  meliputi ketaksamaan  jumlahan  sinus  dan ketaksamaan perkalian  sinus  yang  berlaku pada  sebarang  segitiga,  yaitu  sebagai  berikut.  Untuk  setiap
dan
diperoleh
1.
2.
Dari  kedua  ketaksamaan  diatas,  apabila  sudut-sudut  yang  diberikan  bukan sudut-sudut  segitiga,  yaitu  ketika  jumlahan  sudutnya  tidak  sama  dengan  , maka diperoleh Generalisasi dari ketaksamaan sinus tersebut. Generalisasi ini meliputi  Generalisasi  ketaksamaan  jumlahan  sinus  dan  Generalisasi ketaksamaan perkalian sinus pada segitiga, yaitu sebagai berikut:
i. untuk  setiap    bilangan gasal atau , ii. untuk  setiap    bilangan genap , iii. untuk setiap   bilangan gasal atau , i. untuk  setiap bilangan genap ,untuk setiap dan .

## DAFTAR PUSTAKA
Beveridge, R. W. (2014). Trigonometry . Creative Commons. Bottema, O. (1969). Geometric Inequalities . Wolters Noordhoff Publishing.
Coghetto, R. (2014). Some Facts about Trigonometry, and Euclidean Geometry. Formalized Mathematics , 22 (4), 313–319.
Gonz, L. (2012). On the Intersections of the Incircle, and the Cevian Circumcircle of the Incenter. Forum Geometricorum , 12 , 141–148.
Gresham, J., Wyatt, B., & Crawford, J. (2019). Essential trigonometry without geometry. Texas J. of Sci , 71 (1). Hidayatin, N. (2021). Generalisasi Ketaksamaan Cosinus pada Sebarang
Segitiga . 5 (2), 579–588. Janson, S. (2015). Euclidean, spherical and hyperbolic trigonometry . 1–53. Mineno, K., Nakamura, Y., & Ohwada, T. (2012). Characterization of the intermediate values of the triangle inequality. Mathematical Inequalities and Applications , 15 (4), 1019–1035.
Nur’aini, I. L., Harahap, E., Badruzzaman, F. H., & Darmawan, D. (2017). Pembelajaran Matematika Geometri Secara Realistis Dengan GeoGebra. Matematika , 16 (2), 1–6.
Zou, L., & Jiang, Y. (2015). Improved arithmetic-geometric mean inequality, and its application. Journal of Mathematical Inequalities , 9 (1), 107–111.