Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 1, Mei 2021, 23-36 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i1.8207

## Model Matematika COVID-19 dengan Sumber Daya Pengobatan yang Terbatas
Utti Marina Rifanti 1 *, Atika Ratna Dewi 2 , Nurlaili 1 1,2 Institut Teknologi Telkom Purwokerto (ITTP) Jalan D.I. Panjaitan No. 128 Purwokerto, Jawa Tengah 1 Fakultas Teknik Telekomunikasi dan Elektro ITTP 2 Fakultas Informatika ITTP e-mail: marina@ittelkom-pwt.ac.id
Diajukan: 16 Desember 2020,  Diperbaiki: 4 Februari 2021, Diterima: 31 Maret 2021

## Abstrak
Coronavirus 2019 (COVID-19) merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2. Hingga Desember 2020, terdapat 617 ribu kasus terkonfirmasi positif COVID-19 dengan total 18 ribu kematian karena COVID-19  di Indonesia.  Pada  penelitian  ini, kami menggunakan model kompartemen Susceptible-Exposed-Infected-Recovered (SEIR) untuk analisis dampak sumber daya pengobatan  yang  terbatas dan memprediksi dinamika penyebaran  COVID-19 di Indonesia. Metode yang digunakan adalah penurunan angka rasio reproduksi dasar dan titik ekuilibrium menggunakan analisis sistem dinamik dalam bentuk persamaan diferensial non linier yang diperoleh dari model awal. Kemudian, kami menganalisis angka rasio reproduksi dasar dan titik ekuilibrium, serta memprediksi kondisi pandemi COVID-19 menggunakan kasus nyata di Indonesia sejak 2 Maret hingga 30 Nopember 2020.  Dari hasil penelitian ini, diperoleh bahwa jika perubahan kasus terinfeksi 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) terhadap waktu 𝑡𝑡 kurang dari 2640 kasus, maka angka rasio reproduksi dasar menjadi kurang dari nol dan nilai 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) semakin mendekati nol saat mulai memasuki bulan Maret 2021. Hal tersebut berarti, jika rata- rata kasus positif terkonfirmasi harian masih di bawah kapasitas maksimal sumber daya pengobatan, yaitu 2640 kasus, maka dari hasil analisis model diprediksikan bahwa penyakit akan mulai menghilang pada bulan  Maret 2021. Sebaliknya, jika kasus positif terkonfirmasi  harian di atas 2640 kasus, maka diperkirakan penyakit akan mulai menghilang pada Juni 2021.
Kata Kunci : COVID-19, model kompartemen SEIR , pengobatan

## Abstract
Coronavirus disease 2019 (COVID-19) is an infectious disease caused by Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2. There have been 617 thousand confirmed cases of COVID-19, including 18 thousand deaths in Indonesia, till December 2020. This article proposes the Susceptible- Exposed-Infected-Recovered (SEIR) compartmental  model for impact analysis of limited resources for treatment and predicts the long-term dynamic of COVID-19 in Indonesia. The method of deriving the basic reproduction ratio and the equilibrium points  using dynamic systems analysis of the non-linear differential equations of the model is used in this study.  Finally, we analyze our mathematical model results and predict the disease by considering the real Indonesian cases from March 2 to November 30, 2020. From the results of this study, it was found that if the change in infected cases 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) against time t was less than 2640 cases, then the basic reproduction ratio was less than zero and the value of I (t) was getting closer to zero at the beginning of March 2021. This means that if the case average daily confirmed positive is still below the maximum capacity of treatment resources, namely 2640 cases, it is predicted that the disease will begin to disappear in March 2021. Conversely, if the daily positive cases are above 2640 cases, the disease will begin to disappear in June 2021.
Keywords : COVID-19, SEIR compartmental model , treatment

## 24

## 1 Pendahuluan
Coronavirus 2019 (COVID-19) yang berasal dari Wuhan, China, merupakan penyakit yang disebabkan oleh  Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2 (SARS-CoV-2)  [1]. Seorang individu dapat terkena virus ini dari individu lainnya yang telah positif terinfeksi COVID-19 terlebih dahulu. Penyebaran virus ini dapat terjadi  melalui tetesan  air liur yang berasal dari batuk atau bersin dari seseorang yang sedang terinfeksi COVID-19. Seseorang yang menyentuh tetesan  air liur  milik individu lainnya yang terinfeksi tersebut dapat menjadi terinfeksi  COVID-19  apabila ia menghirup tetesan tersebut ataupun menyentuh bagian mata, hidung atau mulutnya tanpa mencuci tangannya terlebih dahulu [2]. Masa inkubasi COVID-19, yaitu waktu antara terpapar virus atau terinfeksi hingga timbulnya gejala, rata-rata 5 hingga 6 hari. Periode ini juga dikenal sebagai periode presymptomatic . Periode tersebut dapat menjadi petunjuk adanya gejala awal klinis yang terjadi dalam kurun waktu karantina selama 14 hari [3].
Berdasarkan data WHO pada Desember 2020, di Indonesia terdapat  617 ribu kasus terkonfirmasi positif COVID-19 dengan total 18 ribu kematian karena COVID-19  [4].  Kasus COVID-19 pertama di Indonesia terjadi pada 2 Maret 2020 [5]. Dalam hal ini pengobatan memainkan peran penting untuk mengontrol atau mengurangi penyebaran COVID-19, khususnya di Indonesia.  Menurut data Kemkes RI,  hingga saat ini  terdapat 100  rumah sakit rujukan yang dapat melakukan perawatan terhadap pasien COVID-19  [6].  Sayangnya, jika pasien terkonfirmasi positif COVID-19 terus bertambah maka ruang perawatan pun akan semakin terbatas. Dalam model epidemi klasik, tingkat pengobatan diasumsikan sebanding dengan jumlah individu yang terinfeksi. Namun hal ini mustahil, karena dalam perspektif nyata sumber daya untuk pengobatan relatif terbatas jika dibandingkan dengan total populasi dalam suatu wilayah tertentu. Seperti yang terjadi pada awal bulan Nopember 2020, beberapa rumah sakit di Indonesia mengalami kekurangan ruang isolasi dan tenaga medis karena jumlah pasien COVID-19 yang mengalami peningkatan  dalam beberapa waktu terakhir [7][8].  Setiap negara harus memiliki kapasitas yang sesuai untuk pengobatan. Jika terlalu besar, negara akan mengeluarkan biaya yang tidak perlu. Jika terlalu kecil, negara memiliki resiko terjadinya wabah penyakit. Jenis fungsi pengobatan dengan sumber daya pengobatan yang terbatas ( limited treatment resource ) lebih realistis karena di setiap negara ataupun wilayah jumlah tempat pengobatan, tenaga medis, maupun obat-obatan juga sangat terbatas. Oleh karena itu, pada penelitian ini diterapkan laju kesembuhan individu terinfeksi dengan pengobatan yang konstan untuk mensimulasikan sumber daya pengobatan yang terbatas.
Beberapa penelitian telah dilakukan untuk memodelkan penyebaran COVID-19. Model matematika digunakan pada beberapa penelitian di beberapa negara, seperti Cina  [9][10][11],

## 25
India [12][13], Italia [14], Meksiko [15], dan Indonesia [16][17]. Terdapat beberapa penelitian yang menggunakan kelompok individu laten sesuai dengan konsep masa inkubasi pada COVID- 19,  yaitu model SEIR [18][19].  Model epidemi SEIR merupakan perluasan dari model SIR dengan menambahkan kelas laten ( susceptible-exposed-infected-recovered ).  Berdasarkan pemaparan masalah tersebut, maka dalam penelitian ini penulis akan membahas masalah model penyebaran COVID-19 menggunakan model epidemi SEIR dengan sumber daya pengobatan yang terbatas.

## 2 Metode Penelitian
Model matematika yang akan digunakan untuk menggambarkan model penyebaran COVID-19  di Indonesia dalam penelitian ini adalah model  epidemi SEIR . Populasi individu dibagi menjadi empat kelas, yaitu kelas Susceptible yang disimbolkan dengan S , kelas Exposed atau laten yang disimbolkan dengan E , kelas Infected yang disimbolkan dengan I , dan kelas Recovered yang disimbolkan dengan R .  Individu rentan yang mengalami interaksi  dengan individu  yang telah positif terinfeksi  COVID-19 akan  menjadi  individu laten. Setelah kurun waktu tertentu, individu laten tersebut mengalami peningkatan level infeksi COVID-19 sehingga individu  tersebut masuk ke dalam kelompok  individu yang positif  terinfeksi dan  dapat menularkan.  Beberapa individu  terinfeksi yang sudah  mengalami  pengobatan sesuai dengan prosedur akan  sembuh dari COVID-19  dan masuk ke dalam  kelompok individu sembuh. Selanjutnya diberikan asumsi-asumsi pada model SEIR dengan  sumber daya pengobatan  yang terbatas sebagai berikut.
a) Pertambahan individu dalam populasi disebabkan oleh dua faktor, yaitu kelahiran dan imigrasi. Pertambahan individu tersebut diasumsikan konstan.
b) Setiap individu yang masuk ke dalam populasi, baik karena faktor kelahiran  maupun imigrasi, akan menjadi individu yang rentan terhadap COVID-19.
c) Setiap individu dapat mengalami kematian secara alami (bukan karena COVID-19) dengan tingkat kematian natural sebesar 𝜇𝜇 .
d) Tingkat kematian karena COVID-19 sebesar d .
e) Individu pada kelas rentan yang melakukan kontak dengan individu yang positif terinfeksi COVID-19  dan  menularkan akan masuk ke dalam kelas laten dengan tingkat  keefektifan infeksi sebesar 𝛽𝛽 .
f) Individu pada kelas laten akan berpindah ke dalam kelas terinfeksi karena  adanya penambahan gejala COVID-19 dengan tingkat penambahan gejala sebesar 𝜖𝜖 .
26 Model Matematika COVID-19 dengan Sumber Daya Pengobatan yang Terbatas
g) Individu yang terinfeksi dapat sembuh karena dua faktor, yaitu karena adanya pengobatan ( treatment ) dengan tingkat kesembuhan karena pengobatan sebesar c ataupun karena faktor kesembuhan alami karena daya tahan  tubuh  (imunitas)  yang tinggi dengan tingkat kesembuhan r .
h) Adanya keterbatasan kapasitas sumber daya pengobatan. Kapasitas total individu terinfeksi ( 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) menunjukkan jumlah maksimal individu terinfeksi yang masih dapat ditampung oleh sumber daya pengobatan yang tersedia. Dengan kata lain ( 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) sebanding dengan kapasitas total sumber daya pengobatan. Apabila jumlah individu terinfeksi kurang dari atau sama dengan ( 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ) ,  maka  individu yang dapat sembuh karena pengobatan sejumlah cI . Namun, apabila jumlah individu terinfeksi melebihi 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 , maka individu yang dapat sembuh karena pengobatan menjadi konstan sejumlah 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 .
i) Individu yang sembuh mempunyai kekebalan ( immune ) terhadap COVID-19 atau tidak bisa menjadi rentan kembali.
Adapun parameter dari model ini didefinisikan sebagai berikut.
Tabel 1. Parameter Model SEIR Notasi Definisi Kondisi Satuan 𝐴𝐴 Jumlah kelahiran dan imigrasi 𝐴𝐴 ≥ 1 Orang per hari 𝛽𝛽 Tingkat keefektifan infeksi COVID-19 0 < 𝛽𝛽 < 1 Per hari 𝜇𝜇 Tingkat kematian alami 0 < 𝜇𝜇 < 1 Per hari 𝜖𝜖 Tingkat penambahan gejala COVID-19 0 < 𝜖𝜖 < 1 Per hari 𝑐𝑐 Tingkat kesembuhan  dari COVID-19 karena faktor pengobatan 0 < 𝑐𝑐 < 1 Per hari 𝑟𝑟 Tingkat kesembuhan dari COVID-19 secara alami 0 < 𝑟𝑟 < 1 Per hari 𝑑𝑑 Tingkat kematian karena dari COVID-19 0 < 𝑑𝑑 < 1 Per hari
Berikut ini adalah diagram kompartemen yang menggambarkan model  penyebaran penyakit COVID-19 menggunakan model epidemi SEIR dengan sumber daya pengobatan yang terbatas sesuai dengan asumsi model.
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model
(2)
(1)
Berdasarkan uraian penjelasan tersebut diperoleh sistem persamaan diferensial untuk model SEIR dengan sumber daya pengobatan yang terbatas adalah sebagai berikut
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 − 𝛽𝛽𝑑𝑑𝐼𝐼 − 𝜇𝜇𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽𝑑𝑑𝐼𝐼 − ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜖𝜖𝑑𝑑 − ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) 𝐼𝐼 − 𝑇𝑇 ( 𝐼𝐼 ) 𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝐼𝐼 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 + 𝑇𝑇 ( 𝐼𝐼 )
Adapun fungsi pengobatan 𝑇𝑇 ( 𝐼𝐼 ) didefinisikan sebagai berikut.
𝑇𝑇 ( 𝐼𝐼 ) = �𝑐𝑐𝐼𝐼 ,      jika   0 < 𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 , jika 𝐼𝐼 > 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 dengan 𝑐𝑐𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑘𝑘 .  Pada proses perhitungan titik ekuilibrium selanjutnya, karena R tidak berpengaruh pada persamaan pertama hingga ketiga pada Sistem (1) dan variabel R dapat diperoleh dari variabel I , maka untuk sementara variabel R dapat diabaikan. Langkah selanjutnya adalah menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit dan analisis kestabilannya menggunakan beberapa teorema berikut.
Teorema  1 [20] Diberikan matriks Jacobian 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 ) dari  sistem  persamaan Diferensial Nonlinear.
1. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 ) bernilai negatif, maka titik ekuilibrium 𝑋𝑋 stabil asimtotik lokal.
2. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dari matriks 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 ) yang bagian realnya bernilai positif, maka titik ekuilibrium 𝑋𝑋 tidak stabil
Teorema 2 [21] Misal M matriks berukuran 3 × 3 dengan entri-entri bilangan real. Jika Tr ( M ) , det ( M ) , dan det(M [2] ) semuanya bernilai kurang dari nol, maka semua nilai eigen dari matriks M mempunyai bagian real yang negatif.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini akan dibahas terlebih dahulu mengenai eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dari Sistem (1). Titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (1) diperoleh dengan menentukan 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, dan 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 dengan nilai 𝐼𝐼 = 0 , yaitu
𝑋𝑋 0 = ( 𝑑𝑑 0 , 𝑑𝑑 0 , 𝐼𝐼 0 ) = � 𝐴𝐴 𝜇𝜇 , 0,0 �
(5)
(4)
(6)
Berdasarkan Sistem (1) dan Persamaan (3)  diperoleh  angka rasio reproduksi dasar sebagai berikut.
𝑅𝑅 0 = 𝜖𝜖𝛽𝛽𝐴𝐴 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 )( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 )
Selanjutnya untuk menentukan titik ekuilibrium  endemik, kondisi endemik  akan dibagi menjadi dua kasus sesuai dengan definisi fungsi pengobatan, yaitu 0 < 𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 dan 𝐼𝐼 > 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 .

## 3.1. Kasus Endemik 1
Kasus endemik yang pertama yaitu ketika nilai jumlah individu terinfeksi dan menularkan masih kurang dari atau sama dengan kapasitas total individu terinfeksi,  atau dapat dituliskan 0 < 𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 , maka Sistem (1) menjadi
𝐴𝐴 − 𝛽𝛽𝑑𝑑𝐼𝐼 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 = 0 𝛽𝛽𝑑𝑑𝐼𝐼 − ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 𝑑𝑑 = 0 𝜖𝜖𝑑𝑑 − ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 ) 𝐼𝐼 = 0
Dari  Sistem (5)  dengan kondisi 0 < 𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 diperoleh  titik ekuilibrium endemik  yang pertama adalah 𝑋𝑋 1 = ( 𝑑𝑑 1 , 𝑑𝑑 1 , 𝐼𝐼 1 ) dengan
𝑑𝑑 1 = 𝐴𝐴 𝜇𝜇𝑅𝑅 0 , 𝑑𝑑 1 = 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑+𝑐𝑐 ) 𝜖𝜖𝜖𝜖 ( 𝑅𝑅 0 − 1) , dan
𝐼𝐼 1 = 𝜇𝜇 𝜖𝜖 ( 𝑅𝑅 0 − 1) .
Titik ekuilibrium 𝑋𝑋 1 = ( 𝑑𝑑 1 , 𝑑𝑑 1 , 𝐼𝐼 1 ) ada dan bernilai positif jika 1 < 𝑅𝑅 0 < 𝑝𝑝 0 , dengan 𝑝𝑝 0 = 1 + 𝜖𝜖 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 .

## 3.2. Kasus Endemik 2
Selanjutnya, Sistem (1) akan diuraikan sesuai dengan kasus kedua pada definisi fungsi pengobatan yaitu apabila 𝐼𝐼 > 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 sehingga menjadi Sistem (6) sebagai berikut.
𝐴𝐴 − 𝛽𝛽𝑑𝑑𝐼𝐼 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 = 0 𝛽𝛽𝑑𝑑𝐼𝐼 − ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 𝑑𝑑 = 0 𝜖𝜖𝑑𝑑 − ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) 𝐼𝐼 − 𝑘𝑘 = 0
Dari Sistem (6) dengan kondisi 𝐼𝐼 > 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 diperoleh titik ekuilibrium endemik yang pertama adalah 𝑋𝑋 2 = ( 𝑑𝑑 2 , 𝑑𝑑 2 , 𝐼𝐼 2 ) dengan
𝑑𝑑 2 = 𝐴𝐴 𝜖𝜖𝑑𝑑 2 +𝜇𝜇 ,
𝑑𝑑 2 = ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑 ) 𝑑𝑑 2 +𝑘𝑘 𝜖𝜖 , dan
𝐼𝐼 2 = −𝑏𝑏 1 ± �∆ 1 2𝜖𝜖 ( 𝜇𝜇+𝜖𝜖 )( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑 ) .
(7)

## dimana
𝑏𝑏 1 = ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 )( 𝛽𝛽𝑘𝑘 + 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) − 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 ) 𝑅𝑅 0) , dan
∆ 1 = ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 2 [( 𝛽𝛽𝑘𝑘 + 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) − 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 ) 𝑅𝑅 0) 2 − 4 𝛽𝛽𝑘𝑘𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 )] .
Titik ekuilibrium 𝑋𝑋 2 = ( 𝑑𝑑 2 , 𝑑𝑑 2 , 𝐼𝐼 2 ) ada dan bernilai positif jika 𝑅𝑅 0 > 𝑝𝑝 2 dan 𝑅𝑅 0 > 𝑝𝑝 3 , dengan
𝑝𝑝 2 = 1 + 𝜖𝜖𝑘𝑘−𝜇𝜇𝑐𝑐 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑+𝑐𝑐 ) + 2�𝜇𝜇𝜖𝜖𝑘𝑘 ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑 ) 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑+𝑐𝑐 ) , dan
𝑝𝑝 3 = 1 + 𝜖𝜖𝑘𝑘−𝜇𝜇𝑐𝑐+2𝜖𝜖 ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑 ) 𝑑𝑑 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑+𝑐𝑐 ) .

## 3.3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai kestabilan lokal titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (1). Persamaan karakteristik dari Sistem (1) yang terlinearisasi di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit 𝑋𝑋 0 dinyatakan dalam Persamaan (7) sebagai berikut.
� � − ( 𝜇𝜇 + 𝜆𝜆 ) 0 − 𝛽𝛽𝐴𝐴 𝜇𝜇
0 − ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝜆𝜆 ) 𝛽𝛽𝐴𝐴 𝜇𝜇 0 𝜖𝜖 − ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 + 𝜆𝜆 ) � � = 0
⇔ ( 𝜇𝜇 + 𝜆𝜆 ) �− ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝜆𝜆 )( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 + 𝜆𝜆 ) + 𝜖𝜖𝛽𝛽𝐴𝐴 𝜇𝜇 � = 0
Dari Persamaan (7) diperoleh 𝜆𝜆 1 = −𝜇𝜇 , 𝜆𝜆 2 , 3 = − 1 2𝜇𝜇 �𝑚𝑚 ± √𝑛𝑛� dengan
𝑚𝑚 = 𝜇𝜇 (2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 ) dan
𝑛𝑛 = 𝜇𝜇 2 �𝜖𝜖 2 + 𝑟𝑟 2 + 𝑑𝑑 2 + 𝑐𝑐 2 − 2( 𝜖𝜖𝑟𝑟 + 𝜖𝜖𝑑𝑑 + 𝜖𝜖𝑐𝑐 − 𝑟𝑟𝑑𝑑 − 𝑟𝑟𝑐𝑐 − 𝑑𝑑𝑐𝑐 ) � + 4 𝜇𝜇𝜖𝜖𝛽𝛽𝐴𝐴 .
Oleh karena di titik ekuilibrium bebas penyakit 𝑋𝑋 0 nilai 𝑅𝑅 0 < 1 , maka 𝑚𝑚 > √𝑛𝑛 . Sehingga nilai eigen 𝜆𝜆 𝑖𝑖 < 0 untuk setiap 𝑖𝑖 = 1,2,3 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika 𝑅𝑅 0 < 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (1) stabil asimtotik lokal.
Hal ini berarti apabila angka rasio reproduksi dasar bernilai lebih kecil dari 1, dengan jumlah individu mula-mula di dalam populasi untuk masing-masing sub populasi individu cukup dekat dengan jumlah individu pada titik ekuilibrium bebas penyakit 𝑋𝑋 0 , maka dalam jangka waktu yang cukup lama penyakit akan menghilang dari populasi. Dengan kata lain, jika angka rasio reproduksi dasar bernilai  kurang dari 1, maka jumlah individu yang terinfeksi penyakit akan mendekati jumlah individu pada titik ekuilibrium Hal ini menunjukkan bahwa saat angka reproduksi dasar kurang dari atau sama dengan 1, maka jumlah individu terinfeksi dan  menularkan  dalam populasi akan berkurang menuju 0, sehingga lama kelamaan penyakit akan menghilang dari populasi.
(8)
(9)

## 3.4. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai kestabilan lokal titik ekuilibrium endemik Sistem (1). Persamaan karakteristik dari Sistem (1) yang terlinearisasi di sekitar titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 1 dinyatakan dalam Persamaan (8) sebagai berikut.
� � − ( 𝜇𝜇𝑅𝑅 0 + 𝜆𝜆 ) 0 − 𝛽𝛽𝐴𝐴 𝜇𝜇𝑅𝑅 0 𝜇𝜇 ( 𝑅𝑅 0 − 1) − ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝜆𝜆 ) 𝛽𝛽𝐴𝐴 𝜇𝜇𝑅𝑅 0 0 𝜖𝜖 − ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 + 𝜆𝜆 ) � � = 0
⇔ 𝜆𝜆 3 + 𝑎𝑎 2 𝜆𝜆 2 + 𝑏𝑏 2 𝜆𝜆 + 𝑐𝑐 2 = 0 dengan
𝑎𝑎 2 = 𝜇𝜇 (1 + 𝑅𝑅 0 ) + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 > 0 ,
𝑏𝑏 2 = 𝜇𝜇𝑅𝑅 0 (2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 ) > 0 , dan 𝑐𝑐 2 = 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 )( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 )( 𝑅𝑅 0 − 1) .
Pada kasus titik ekuilibrium endemik  berlaku nilai 𝑅𝑅 0 > 1 , sehingga nilai 𝑐𝑐 2 > 0. Dengan demikian nilai 𝑎𝑎 2 > 0, 𝑏𝑏 2 > 0, 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 2 − 𝑐𝑐 2 > 0 , dan 𝑐𝑐 2 > 0 jika memenuhi nilai 𝑅𝑅 0 > 1 . Dengan demikian, setiap nilai eigen dari Persamaan (…) bernilai kurang dari nol. Dengan kata lain, jika 𝑅𝑅 0 > 1 maka titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 1 Sistem (1) stabil asimtotik lokal.
Artinya jika angka rasio reproduksi dasar bernilai lebih besar dari 1, dengan jumlah individu  awal  dalam populasi untuk masing-masing sub populasi individu cukup dekat dengan jumlah individu pada titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 1 , maka dalam jangka waktu yang cukup lama penyakit akan tetap ada  dalam populasi. Dengan kata lain, jika angka rasio reproduksi dasar bernilai lebih besar dari 1, maka jumlah individu yang terinfeksi penyakit akan mendekati jumlah individu pada titik ekuilibrium 𝑋𝑋 1 .
3.5. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai kestabilan lokal titik ekuilibrium endemik
𝑋𝑋 2 Sistem (1) menggunakan matriks second additive compound . Sebelumnya, ditentukan terlebih dahulu Matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 2 sebagai berikut.
𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) = � − ( 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 + 𝜇𝜇 ) 0 −𝛽𝛽𝑑𝑑 2 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 − ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 𝛽𝛽𝑑𝑑 2 0 𝜖𝜖 − ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 ) �
Matriks second additive compund dari hasil linearisasi Sistem (1) di sekitar titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 2 dinyatakan dalam
(10) (11) 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) [ 2 ] = � − ( 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 + 2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 𝛽𝛽𝑑𝑑 2 𝛽𝛽𝑑𝑑 2 𝜖𝜖 − ( 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 + 2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) 0 0 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 − (2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) �
Dari matriks 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) dan 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) [ 2 ] diperoleh bahwa
𝑇𝑇𝑟𝑟� 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) � = − ( 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 + 3 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) ,
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡�𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) � = −�𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 ) + 𝜖𝜖𝛽𝛽𝐼𝐼 2 − 𝜇𝜇𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 2 ( 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) − 𝜖𝜖𝑑𝑑 2 ) � , dan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡�𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) [ 2 ] � = − (2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 )( 𝛽𝛽𝐼𝐼 2 + 2 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 )(2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) − 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 ( 𝐼𝐼 2 (2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) − 𝜖𝜖𝑑𝑑 2 ) − 𝛽𝛽 (2 𝜇𝜇 + 𝜖𝜖 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 )( 𝐼𝐼 2 (2 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 ) − 𝜖𝜖𝑑𝑑 2 )
Selanjutnya diketahui bahwa
𝑑𝑑 2 𝐼𝐼 2 < 𝜇𝜇 + 𝑟𝑟 + 𝑑𝑑 𝜖𝜖 .
Jika berlaku Pertidaksamaan (11), maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡�𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) � < 0 dan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡�𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) [ 2 ] � < 0 . Selanjutnya, menurut Teorema  (2) diperoleh bahwa semua bagian real dari nilai  eigen matriks 𝐽𝐽𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋 2 ) bernilai kurang dari nol. Dengan kata lain, jika berlaku Pertidaksamaan (11), maka titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 2 dari Sistem (1) stabil asimtotik lokal.
Hal ini berarti, apabila perbandingan jumlah individu rentan dengan individu terinfeksi dan menularkan lebih kecil daripada 𝜇𝜇+𝑟𝑟+𝑑𝑑 𝜖𝜖 dengan jumlah individu mula mula di dalam populasi untuk masing-masing sub populasi individu cukup dekat dengan jumlah individu pada titik ekuilibrium endemik 𝑋𝑋 2 , maka dalam jangka waktu yang cukup lama penyakit akan tetap ada dalam populasi. Dengan kata lain, jika jumlah individu rentan lebih kecil daripada jumlah individu terinfeksi dan menularkan, maka jumlah individu yang terinfeksi penyakit akan mendekati jumlah individu pada titik ekuilibrium 𝑋𝑋 2 .

## 3.6. Simulasi Model
Simulasi model dilakukan dengan menggunakan Software Matlab  yang bertujuan untuk melengkapi hasil-hasil yang telah diperoleh secara analisis pada bagian sebelumnya. Pada bagian ini dilakukan simulasi untuk mengetahui perilaku dinamik penyelesaian Sistem (1). Simulasi model pada Sistem (1) menggunakan data COVID-19 di Indonesia yang diambil sejak 2 Maret hingga 30 Nopember 2020 [22].  Berikut adalah grafik yang menunjukan jumlah kasus terkonfirmasi harian COVID-19.
Gambar 2. Kasus Infeksi Harian COVID-19
Adapun nilai-nilai parameter yang digunakan adalah sebagai berikut.
Tabel 2. Nilai Parameter Simulasi Model SEIR Notasi Definisi Nilai Satuan Sumber 𝐴𝐴 Jumlah kelahiran dan imigrasi 1095 Orang per hari [23] 𝜇𝜇 Tingkat kematian alami 3.78 × 10 −5 Per hari [23] 𝜖𝜖 Tingkat penambahan gejala COVID-19 0.2 Per hari [3] 𝑐𝑐 Tingkat kesembuhan  dari COVID-19 karena faktor pengobatan 5 × 10 −3 Per hari [22] 𝑟𝑟 Tingkat kesembuhan dari COVID-19 secara alami 2 × 10 −3 Per hari diasumsikan 𝑑𝑑 Tingkat kematian karena dari COVID-19 3.4 × 10 −2 Per hari [22] 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Kapasitas maksimal individu terinfeksi yang masih dapat ditampung oleh sumber daya pengobatan yang tersedia 2640 Orang per hari [24]
Adapun nilai parameter tingkat keefektifan infeksi COVID-19, 𝛽𝛽 = 2.74 × 10 −7 , diperoleh dengan mensubstitusikan nilai parameter lainnya ke dalam persamaan pertama dari Sistem (1). Sedangkan nilai 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2640 berasal dari jumlah rumah sakit rujukan COVID-19, yaitu 132 RS, dengan asumsi bahwa setiap rumah sakit dapat menampung 20 pasien COVID-19 setiap harinya . Selanjutnya simulasi model dilakukan dengan menampilkan grafik kelas individu yang positif terinfeksi COVID-19 dan kelas individu yang telah sembuh dari COVID-19.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 2-Mar 2-Apr 2-May 2-Jun 2-Jul 2-Aug 2-Sep 2-Oct 2-Nov Dai ly In fe ct ed Date
Gambar 3. Simulasi Model Kasus Endemik 1
Pada Gambar 3 terlihat bahwa pada kondisi endemik pertama, dimana 0 < 𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 , dapat diprediksikan bahwa penyebaran COVID-19 akan mulai menghilang setelah Maret 2021. Dengan kata lain, jika jumlah rata-rata kasus terkonfirmasi positif COVID-19 harian masih di bawah 2640 orang, maka diprediksikan bahwa penyebaran COVID-19 akan mulai menghilang setelah Maret 2021. Pada kasus ini, jumlah sumber daya pengobatan diasumsikan masih mencukupi dan masih mampu menampung seluruh pasien yang terkonfirmasi positif COVID-19.
Gambar 4. Simulasi Model Kasus Endemik 2
Sebaliknya, pada kasus endemik  kedua, dimana 𝐼𝐼 > 𝐼𝐼 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 , dapat diprediksikan bahwa penyebaran COVID-19 akan mulai menghilang setelah Juni 2021 seperti yang terlihat pada Gambar  4.  Pada kasus ini diasumsikan bahwa rata-rata kapasitas maksimal pada rumah sakit rujukan COVID-19 di Indonesia adalah 2640 pasien. Jika dibandingkan dengan Gambar 3, pada kasus  endemik  kedua ini jumlah individu yang mengalami kesembuhan tidak lebih tinggi dibandingkan dengan kasus endemik  yang pertama.  Hal tersebut dikarenakan adanya keterbatasan sumber daya pengobatan yang terjadi, sehingga  terdapat beberapa  kasus terkonfirmasi positif COVID-19 yang tidak tertangani dan pada akhirnya tingkat kematian karena COVID-19 menjadi lebih tinggi jika dibandingkan dengan kasus endemik 1.

## 4  Simpulan
Dalam penelitian ini, diselidiki tentang perilaku penyebaran COVID-19 serta kaitannya dengan kapasitas sumber daya pengobatan yang ada di Indonesia. Model dirumuskan untuk memahami mekanisme penyebaran COVID-19 dengan mempertimbangkan faktor inkubasi dan kapasitas sumber daya pengobatan. Hingga Desember 2020, kasus terkonfirmasi COVID-19 di Indonesia masih terus terjadi dan cenderung meningkat dari hari ke hari. Berdasarkan hasil penelitian, sumber daya pengobatan memainkan peran yang sangat penting dalam menekan laju penyebaran COVID-19. Dari hasil penelitian ini diperkirakan penyakit akan mulai menghilang pada bulan Maret 2021  jika  rata-rata kasus positif harian masih di bawah kapasitas maksimal sumber daya pengobatan, yaitu 2640 kasus. Sebaliknya, jika kasus positif harian di atas 2640 kasus, maka diperkirakan penyakit baru akan mulai menghilang pada Juni 2021.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Artikel ini merupakan salah satu hasil penelitian internal kami di Institut Teknologi Telkom Purwokerto (ITTP). Kami mengucapkan terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat (LPPM) ITTP atas dukungan spiritual dan materilnya sehingga penelitian ini dapat berjalan dengan lancar. Terima kasih juga kepada semua rekan yang telah membantu penelitian ini, termasuk departemen dan kelompok ahli penelitian masing-masing. Semoga di kemudian hari kita dapat berkolaborasi dalam penelitian lain yang lebih baik lagi.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  T. Hu, Y. Liu, M. Zhao, Q. Zhuang, L. Xu, and Q. He, “A comparison of COVID-19, SARS and MERS,” PeerJ , vol. 8, no. e9725, pp. 1–30, 2020.
[2]  World Health Organization, “QA for public,” 2020. [Online]. Available: https://www.who.int/indonesia/news/novel-coronavirus/qa-for-public. [Accessed: 15-Sep- 2020].
[3]  World Health Organization, “Coronavirus disease 2019 (COVID-19) Situation Report – 73,” Geneva, 2020.
[4]  World Health Organization, “WHO Coronavirus Disease (COVID-19) Dashboard,” 2020. [Online]. Available: https://covid19.who.int/table. [Accessed: 15-Sep-2020].
[5]  R. Nuraini, “Kasus Covid-19 Pertama, Masyarakat Jangan Panik,” Portal Informasi Indonesia , 2020. [Online]. Available: https://indonesia.go.id/narasi/indonesia-dalam- angka/ekonomi/kasus-covid-19-pertama-masyarakat-jangan-panik. [Accessed: 11-Sep- 2020].
[6]  K. K. RI, “Daftar Rumah Sakit Rujukan COVID-19 Di Indonesia,” 2020. [Online]. Available: https://infeksiemerging.kemkes.go.id/.
[7]  A. Bebey, “Ruang Isolasi Covid-19 Penuh, RSUD Oper Pasien Baru ke Rumah Sakit Lain,” Merdeka.com , 2020. [Online]. Available:
https://www.merdeka.com/peristiwa/ruang-isolasi-covid-19-penuh-rsud-oper-pasien-baru- ke-rumah-sakit-lain.html.
[8]  M. Gusti, “Kasus Corona Bertambah, Ruang Isolasi RS Rujukan Penuh,” Kompas TV , 2020. [Online]. Available: https://www.kompas.tv/article/130793/kasus-corona- bertambah-ruang-isolasi-rs-rujukan-penuh.
[9]  Q. Lin et al. , “A conceptual model for the coronavirus disease 2019 ( COVID-19 ) outbreak in Wuhan , China with individual reaction and governmental action,” Int. J. Infect. Dis. , vol. 93, no. 2020, pp. 211–216, 2020.
[10]  S. Yang et al. , “Early estimation of the case fatality rate of COVID- 19 in mainland China : a data-driven analysis,” Ann. Transl. Med. , vol. 8, no. 4, pp. 6–11, 2020.
[11]  N. Chen et al. , “Epidemiological and clinical characteristics of 99 cases of 2019 novel coronavirus pneumonia in Wuhan , China : a descriptive study,” Lancet , vol. 6736, no. 20, pp. 30211–30217, 2020.
[12]  B. Kumar and B. K. Sapra, “A data driven epidemic model to analyse the lockdown effect and predict the course of COVID-19 progress in India,” Chaos, Solitons and Fractals , vol. 139, no. 2020, pp. 1–9, 2020.
[13]  A. Mahajan, N. A. Sivadas, and R. Solanki, “An epidemic model SIPHERD and its application for prediction of the spread of COVID-19 infection in India,” Chaos , Solitons Fractals , vol. 140, no. 2020, pp. 1–6, 2020.
[14]  Y. Ding and L. Gao, “An evaluation of COVID- 19 in Italy : A data -driven modeling analysis,” Infect. Dis. Model. , vol. 5, no. 2020, pp. 495–501, 2020.
[15]  U. A. De León, Á. G. C. Pérez, and E. Avila-vales, “An SEIARD epidemic model for COVID- 19 in Mexico : Math ematical analysis and state-level forecast,” Chaos , Solitons Fractals , vol. 140, no. 2020, pp. 1–23, 2020.
[16]  S. Setiati and M. K. Azwar, “COVID-19 and Indonesia,” Acta Medica Indones. – Indones. J. Intern. Med. , vol. 52, no. 1, pp. 84–89, 2020.
[17]  D. Aldila et al. , “A mathematical study on the spread of COVID-19 considering social distancing and rapid assessment : The case of Jakarta , Indonesia,” Chaos, Solitons and Fractals , vol. 139, no. 2020, pp. 1–14, 2020.
[18]  E. Soewono, “On the analysis of Covid-19 transmission in Wuhan , Diamond Princess and Jakarta-cluster,” Commun. Biomath. Sci. , vol. 3, no. 1, pp. 9–18, 2020.
[19]  Z. A. Putra and S. A. Z. Abidin, “Application of SEIR Model in COVID-19 and The Effect of Lockdown on Reducing The Number of Active Cases,” Indones. J. Sci. Technol. , vol. 5, no. 2, pp. 185–192, 2020.
[20]  W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems , 10th Editi. New Jersey: Prentice-Hall, 2012.
[21]  S. A. Al-Sheikh, “Modeling and Analysis of an SEIR Epidemic Model with a Limited Resource for Treatment,” Glob. J. Sci. Front. Res. Math. Decis. Sci. , vol. 12, no. 14, pp. 57–66, 2012.
[22]  S. COVID-19, “Peta Sebaran COVID-19,” https://covid19.go.id/ , 2020. [Online]. Available: https://covid19.go.id/peta-sebaran-covid19.
[23]  Bappenas and BPS, “Proyeksi Penduduk Indonesia (Indonesia Population Projection),” Jakarta, 2013.
[24]  K. K. RI, “Daftar Rumah Sakit Rujukan COVID-19 Di Indonesia,” kemkes.go.id , 2020.
[Online]. Available:
https://infeksiemerging.kemkes.go.id/download/Daftar_RS_rujukan_COVID-19.pdf.