## DISTRIBUSI FUNGSI PARASTATISTIK : TINJAUAN SIFAT-SIFAT TERMODINAMIKA

## DISTRIBUTION OF PARASTATISTICS FUNCTIONS: AN OVERVIEW OF THERMODYNAMICS PROPERTIES

## R. Yosi Aprian Sari* dan W. S. B. Dwandaru
Jurusan Pendidikan Fisika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta
*email: ryosia@uny.ac.id
diterima 8 September 2015, disetujui 18 September 2015

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  sifat-sifat  termodinamika  dari  sistem  parastatistik  orde  dua.  Sifat-sifat termodinamika  yang  akan  dicari  antara  lain  fungsi  partisi  kanonik  lengkap  Z  dan  rerata  jumlah  partikel  N.  Sistem parastatistik ini merupakan bentuk yang lebih umum dari jenis distribusi statistik kuantum yang telah dikenal sebelumnya, yaitu Fermi-Dirac (FD) dan Bose-Einstein (BE). Berawal dari kaitan rekursi fungsi partisi kanonik lengkap untuk sistem parastatistik  orde  dua  yang  telah  diketahui,  dijabarkan  kaitan-kaitan  rekursi  untuk  beberapa  fungsi  termodinamika sederhana  bagi  sistem  parastatistik  orde  dua.  Kaitan-kaitan  rekursi  tersebut  kemudian  digunakan  untuk  menghitung fungsi-fungsi termodinamika  model sistem partikel identik dengan tingkat energi terbatas yang  mirip osilator harmonik. Dari  hasil  penelitian  ini  diperoleh  kesimpulan  bahwa  dari  fungsi  partisi  kanonik  lengkap,  Z,  sistem  parastatistik (paraboson dan parafermion) orde dua dapat diturunkan fungsi-fungsi termodinamikanya dan memiliki kemiripan bentuk grafik  dengan  sistem  parastatistik  orde  satu  (Boson  dan  Fermion).  Kemiripan  bentuk  grafik  ini  menunjukkan  sifat-sifat termodinamikanya sama.
Kata kunci: parastatistik, sifat-sifat termodinamika

## Abstract
This  study  aims  to  determine  the  thermodynamic  properties  of  the  parastatistics  system  of  order  two.  The thermodynamic  properties  to  be searched  include  the  Grand  Canonical  Partition  Function  (GCPF)  Z, and  the  average number  of  particles  N.  These  parastatistics  systems  is  in  a  more  general  form  compared  to  quantum  statistical distribution  that  has  been  known  previously,  i.e.:  the  Fermi-Dirac  (FD)  and  Bose-Einstein  (BE).  Starting  from  the recursion  relation  of  grand  canonical  partition  function  for  parastatistics  system  of  order  two  that  has  been  known, recuresion  linkages  for  some  simple  thermodynamic  functions  for  parastatistics  system  of  order  two  are  derived.  The recursion linkages are then used to calculate the thermodynamic functions of the model system of identical particles with limited energy levels which is similar to the harmonic oscillator. From these results we concluded that from the Grand Canonical  Partition  Function  (GCPF),  Z,  the  thermodynamics  properties  of  parastatistics  system  of  order  two (paraboson and parafermion) can be derived and have similar shape with parastatistics system of order one (Boson and Fermion). The similarity of the graph shows similar thermodynamic properties.
Keywords: parastatistics, thermodynamic properties

## Pendahuluan
Di  tinjau  dari  kaidah-kaidah  mekanika kuantum,  tidak  ada  keharusan  bahwa  statistik partikel-partikel  yang  ada  harus  memenuhi kaidah  statistika  Bose-Einstein  maupun  Fermi- Dirac. Tetapi kedua jenis statistik tersebut sudah dibuktikan  kebenarannya  melalui  berbagai eksperimen.  Partikel-partikel  yang  memenuhi statistik  Bose-Einstein  disebut  partikel-partikel
boson  yang  memiliki  fungsi  gelombang  yang simetri  terhadap  pertukaran  sebarang  dua partikelnya.  Contohnya  antara  lain  foton, partikel  alfa  dan  atom  Helium.  Sedangkan partikel-partikel fermion adalah partikel-partikel yang  memenuhi  statistik  Fermi-Dirac  dan prinsip  larangan  Pauli,  yaitu  partikel-partikel yang  fungsi  gelombangnya  antisimetri  terhadap
pertukaran  sebarang  dua  partikel.  Contohnya antara lain proton, neutron dan elektron.
Banyak fisikawan berusaha membuat formulasi  statistik  yang  lebih  umum  dari  jenis statistik  yang  telah  ada,  baik  dengan  membuat jenis statistik partikel yang baru, maupun dengan menggeneralisasi  statistik  Bose  dan  Fermi. Beberapa jenis statistik partikel selain Bose dan Fermi  yang  telah  diperkenalkan  antara  lain  null statistics,  “doubly-infinite”  statistics,  orthofermi statistics,  hubbard  statistics  dan  lain-lain  [1]. Jenis  statistik  yang  merupakan  hasilgeneralisasi dari  statistik  yang  telah  ada  antara  lain intermediate  statistics,  parastatistics,  infinite statistics, paronic statistics, anyon statistics dan lain-lain [2].
Khusus  untuk  parastatistik,  yang  pertama kali  diperkenalkan  oleh  Green  [2],  merupakan generalisasi pertama  yang  konsisten dari bentuk kuantum  statistik  Bose-Einstein  (yang  disebut paraboson),  dan  statistik  Fermi-Dirac  (yang disebut parafermi). Parastatistik memenuhi relasi komutasi  trilinear  untuk  operator  kreasi  dan anihilasi  partikel,  serta  memenuhi  kaidah dekomposisi  gugus  (cluster  decomposition)  [3]. Karena  hal  ini,  walaupun  tidak  ada  indikasi bahwa partikel-partikel fundamental yang ada di alam  saat  ini  memenuhi  aturan  parastatistik, tetapi  teori  ini  tetap  menarik  untuk  diselidiki lebih  lanjut.  Banyak  fisikawan  yang  telah mencoba  untuk  mendapatkan  besaran-besaran fisis  yang  terkait  untuk  sistem  parastatistik, khususnya  fungsi  partisi  kanonik  lengkapnya (grand  canonical  partition  function,  GCPF). Dengan mengetahui GCPF akan dapat diketahui sifat-sifat  termodinamika  sistem  parastatistik, sehingga dapat dijadikan dasar untuk mengklarifikasi  apakah  suatu  sistem  fisis memenuhi statistik ini atau tidak.
Parastatistik,  yang  diperkenalkan  oleh  Green [2],  merupakan  generalisasi  pertama  yang konsisten dari bentuk kuantum statistik Bose dan Fermi.  Dalam  formulasinya,  relasi  komutasi komutasi  (Bose)  dan  antikomutasi  (Fermi) bilinear  standar  untuk  operator  kreasi  dan anihilasi partikel yaitu:
(2.1)
dengan
untuk statistik Bose dan untuk  statistik  Fermi,  digantikan  dengan  relasi trilinear sebagai berikut:
(2.2)
dengan p bilangan bulat positif yang merupakan orde parastatistik.
Hartle [3] telah menunjukkan bahwa parastatistik  merupakan  salah  satu  dari  teori- teori  kuantum  statistik  yang  memenuhi  kaidah dekomposisi  gugus  (cluster  decomposition). Kaidah  ini  menyatakan  bahwa  pengukuran besaran-besaran  fisika  dari  partikel-partikel “yang terisolasi” tidak bergantung pada ada atau tidak adanya partikel-partikel lain di tempat lain yang  cukup  jauh.  Meskipun  memenuhi  kaidah dekomposisi  gugus,  tidak  ada  indikasi  bahwa partikel-partikel  fundamental  yang  ada  di  alam saat  ini  memenuhi  aturan  parastatistik.  Tetapi teori  ini  tetap  menarik  untuk  diselidiki  lebih lanjut.  Secara  khusus,  banyak  fisikawan  yang telah  mencoba  untuk  mendapatkan  besaran- besaran  fisis  yang  terkait  untuk  sistem parastatistik,  khususnya  fungsi  partisi  kanonik lengkapnya (Grand Canonical Partition Function, GCPF) [4-8]. Tinjau  suatu  sistem  partikel-partikel  yang tidak saling berinteraksi, dengan Hamiltoniannya diberikan oleh , (2.3) dengan merupakan  energi  keadaan  kuantum partikel tunggal dan merupakan operator yang  mencacah banyaknya partikel yang berada pada ,  sedangkan  m  menunjukkan  jumlah aras  energi  yang  berbeda  (bisa  merosot), dinotasikan  sebagai ,  dengan  m
dapat tak berhingga.
Secara  umum,  GCPF  dapat  ditulis  sebagai [lihat  misalnya:  Huang  [9],  Sears  dan  Sallinger [10] Greiner [11]
(2.4) dengan , ,  T  adalah temperatur mutlak, k adalah konstanta
Boltzmann dan
adalah  potensial  kimia.  Sedangkan  tracenya meliputi  semua  keadaan  yang  ada  pada  sistem yang  ditinjau.  GCPF  untuk  sistem  partikel
identik  yang  invarian  terhadap  permutasi partikel  telah  diformulasikan  secara  terpisah oleh  Polychronakos  [6],  Meljanac  [12]  dan Chaturvedi [4], dalam bentuk jumlahan polinomial-polinomial Schur
(2.5) dengan   bergantung pada jenis statistik partikel yang  ditinjau.  Sedangkan  polinomial  Schur,
merupakan  polinomial  simetris yang didefinisikan sebagai berikut, lihat misalnya Fulton [13],
(2.6) Dengan adalah polinomial  Vandermonde.  Bentuk  polinomial
Schur bergantung pada parameter  , yang adalah partisi  dari  suatu  bilangan  bulat  n,    yaitu dengan , dan .  Untuk  setiap    terkait  suatu  tabel Young yang berupa kotak-kotak rata kiri dengan kotak  pada  baris  ke-i.  Sebagai  contoh  untuk
,  dan
,  tabel  Young-nya
adalah
Gambar 1. Tabel Young untuk
Untuk paraboson orde p,   pada pers. (2.5) terdiri  dari  himpunan  semua yang  tabel Young-nya  maksimum  memiliki  p  baris. Sedangkan untuk parafermi orde p,   terdiri dari himpunan  semua yang  tabel  Young-nya maksimum memiliki p kolom.
(a)
Gambar 2 Tabel Young untuk .
(a) Paraboson (b) Parafermion
GCPF  untuk  parafermi  orde  p,  GCPF  di pers.  (2.5),  telah  dapat  disederhanakan  menjadi rasio dua determinan [4,14]
(2.7)
Sedangkan  untuk  paraboson  orde  p,  GCPF- nya  juga  dapat  dinyatakan  sebagai  rasio  dua determinan [7]
(2.8) dengan adalah  determinan suatu matriks yang elemen-elemennya diberikan oleh
(2.9) Bentuk di  pers.  (2.8) diperoleh  dengan  menyelesaikan  relasi  rekursi yang diturunkan menggunakan rumus simetrisasi polinomial Schur [Satriawan, 2002] (2.10)
Maka diperoleh kaitan rekursif bentuk parastatistik,
p
p
(2.11) (dengan berarti dihilangkan)    untuk sebarang  partisi    dengan .  Persamaan
ini  diperoleh  dari  ekspansi  minor  determinan dalam pers. (2.6).
Kasus  khusus  adalah  ketika
,  yang
sebelumnya telah dapat disederhanakan [5] (2.
12)
Kaitan ini dapat digunakan untuk masukan awal pada rekursi di pers. (2.11).
Dipilihnya  model  aras  energi  yang  mirip osilator  harmonik  adalah  karena  sistem  ini memiliki  aras  energi  yang  berjarak  sama, sehingga  memudahkan  perhitungan  dan  selain itu  banyak  sistem-sistem  fisis  yang  juga memiliki  aras-aras  energi  berjarak  sama  yang mirip osilator harmonik, ,
seperti vibrasi molekul, atom dalam kisi-kisi  kristal  dan  sistem  paramagnetik. Penggeneralisasian  ke  bentuk  aras-aras  energi yang  berbeda  dapat  dengan  mudah  dilakukan dengan  menggunakan  masukan  nilai-nilai , asalkan  sistemnya  berupa  sistem  partikel  yang tidak saling berinteraksi.
Besaran-besaran termodinamika dapat diperoleh dari fungsi partisi kanonik lengkap,  , yaitu  diperoleh  melalui  potensial  kanonik lengkapnya,
(2.13)

## Metode Penelitian
Secara  garis  besar,  aktivitas  penelitian  ini dilakukan  dengan  dua  tahapan  yaitu  (i) formulasi metode komputasi dan (ii) penuangan numerik dalam bahasa pemrograman komputasi.  Pada  tahapan  formulasi  metode komputasi,  aktifitas  penelitian  diawali  dengan
penentuan  syarat  batas.  Kemudian  dilakukan analisis  sifat-sifat  termodinamika  dari  fungsi parastatistik.  Langkah  berikutnya  penuangan metode  komputasi  numerik  dalam  program komputer.  Sebelum  dilakukan  perhitungan secara komputerisasi, metode komputasi numerik diujicobakan kestabilan program terhadap syarat batas-syarat batas yang dimasukan. Hal ini penting dilakukan agar hasil nilai  perhitungan  secara  komputer  bukan merupakan  sekumpulan  data  tanpa  makna  fisis. Selain  itu,  prosedur  ini  juga  menjadi  klarifikasi syarat  batas  berlakunya  parameter  fisis  yang telah dituangkan dalam numerik.
Rerata  jumlah  partikel  dapat  diturunkan sebagai berikut:
(2.14) bentuk diperoleh dengan
mendiferensialkan  kaitan  rekursi  pada  pers.
(2.11)  terhadap pada  T  konstan  dan  nilai sebagai masukan awal pada rekursi pers.
(2.14) diperoleh dari pers. (2.11)
(2.15)
dengan dan diberikan
seperti di pers. (3.1).

## Hasil dan Pembahasan
Dari hasil perhitungan komputasi, diperoleh beberapa  grafik  yang  dapat  menggambarkan sifat-sifat  dari  fungsi-fungsi  termodinamika model sistem parastatistik orde dua.
Pertama-tama diselidiki daerah dimana nilai diperbolehkan.  Hal  ini  dilakukan  dengan melihat  perilaku  N  yang  secara  umum  harus bernilai  positif.  Karena  itu  dihitung  nilai  N sebagai  fungsi  dari ,  yang  grafik  hasilnya adalah sebagai berikut :
Pada  grafik  (3.1)  terlihat  bahwa  fungsi partisi  kanonik  lengkap  Z  untuk  sistem paraboson maupun sistem parafermion memiliki pola  yang  sama  dan  terlihat  nilai    -nya  juga harus  lebih  kecil  daripada  energi  terendah  aras partikel  tunggal, .  yaitu .  Selain  itu juga  dapat  diselidiki  nilai Z -nya  yang  secara umum juga tidak boleh negatif.
Grafik  (4a)  di  atas  menunjukkan  bahwa nilai    lebih  rendah  dari    terendah.  Ini  berarti bahwa  sistem  paraboson  orde  dua  cenderung bersifat  menyerap  partikel  seperti  sistem  boson biasa,  yaitu  cenderung  menambah  jumlah partikel ke dalam sistem tanpa kehilangan energi
[lihat  misalnya  Greiner  [11].  Dari  sifat  ini  saja dapat  diduga  paraboson  orde  dua  dapat mengalami  kondensasi  bak  boson.  Sedangkan untuk  sistem  parafermion  pada  grafik  (4b) perilaku mirip  dengan  sistem  paraboson.
Hal  ini  diduga  bahwa  untuk  parafermi  orde  p, jika maka  menjadi  partikel  fermi,  jika
berperilaku  mirip  paraboson  dan  jika akan menjadi partikel boson.
Parafermion  merupakan  partikel  non-elementer yang  memiliki  perilaku  antara  partikel  fermion dan partikel boson [15-18].
Grafik 3 Fungsi Partisi Kanonik Lengkap,
. Sistem Paraboson,  (b) Sistem Parafermi (a) (a)
Grafik 4 Rerata JumlahPartikel, . Sistem Paraboson,  (b) Sistem Parafermi
(a)
(b)
Grafik 5 Fungsi Partisi Kanonik Lengkap,
. Sistem Paraboson,  (b) Sistem Parafermi (a)
Grafik 6 Rerata JumlahPartikel, . Sistem Paraboson,  (b) Sistem Parafermi
Dari  grafik  5  terlihat  Z(T)  untuk  sistem paraboson-parafermion  maupun  sistem  boson- fermion  memiliki  pola  yang  sama.  Ini  berarti pada kedua sistem ini fungsi partisi kanonik lengkapnya akan  naik  seiiring  dengan  kenaikan  temperatur. Pada  grafik  (6),  tampak  bahwa  dengan  semakin besar  suhu  T,  semakin  cepat  nilai  N  akan mengalami  kenaikan  secara  drastis  seiring  dengan kenaikan temperatur. Ini berarti dengan meningkatnya  temperatur  T  berakibat  rerata  total jumlah  partikel  akan  bertambah.  Kaitan  antara  N dan T dapat dilihat pada pers. (3.4), .
Orde dari parafermion, p, merupakan kuantitas yang  sebanding  dengan  jumlah  (rerata)  partikel yang menempati keadaan kuantun tertentu (Andriana  2013).  Parafermion  orde  satu  atau
fermion  (lihat  grafik  6b)  memiliki  pola  yang berbeda dengan parafermion orde dua. Parafermion orde  satu  memiliki  keadaan  kuantum  lebih  sedikit dari  pada  parafermion  orde  dua,  sehingga  bila terjadi kenaikan temperatur berakibat rerata jumlah partikel  yang  mengisi  keadaan  kuantum  tersebut semakin  berkurang.  Sedangkan  untuk  parafermion orde  dua  memiliki  keadaan  kuantum  yang  lebih banyak  sehingga  bila  terjadi  kenaikan  temperatur rerata  jumlah  partikel  akan  bertambah  (mirip paraboson).

## Simpulan
Fungsi  partisi  kanonik  lengkap, Z ,  untuk sistem  paraboson-parafermion  memiliki  pola  yang
identik  dengan  sistem  boson-fermion.  Ini  berarti bahwa  sistem  paraboson  orde  dua  cenderung bersifat  menyerap  partikel  seperti  sistem  boson biasa,  yaitu  cenderung  menambah  jumlah  partikel ke dalam sistem tanpa kehilangan energi. Dari sifat ini  saja  dapat  diduga  paraboson  orde  dua  dapat mengalami kondensasi bak boson.
Orde dari parafermion, p, merupakan kuantitas  yang  sebanding  dengan  jumlah  (rerata) partikel yang menempati keadaan kuantum tertentu Parafermion  orde  satu  memiliki  keadaan  kuantum lebih  sedikit  dari  pada  parafermion  orde  dua, sehingga bila terjadi kenaikan temperatur berakibat rerata  jumlah  partikel,  N  yang  mengisi  keadaan kuantum  tersebut  semakin  berkurang.  Sedangkan untuk  parafermion  orde  dua  memiliki  keadaan kuantum  yang  lebih  banyak  sehingga  bila  terjadi kenaikan  temperatur  rerata  jumlah  partikel  akan bertambah (mirip paraboson).

## Ucapan Terima Kasih
Penelitian ini didanai oleh dana DIPA FMIPA UNY dengan perjanjian kontrak NOMOR SURAT
PERJANJIAN NO: 2089/UN34.13/PL/2014 TANGGAL 2 JUNI 2014

## Pustaka
[1] Greenberg, O. W. (1993) Quons,  an Interpolation  Between  Bose  and  Fermi Oscillators, arXiv:cond-mat/9301002v1
[2] Green,  H.  S.  (1953)  A  Generalized  Method  of Quantization, Phys. Rev. 90, 270
[3] Hartle,  J.  B.,  R.  H.  Stolt  and  J.  R.  Taylor (1970)  Paraparticles  of  Infinite  Order,  Phys. Rev. D-2, 1759-1761
[4] Darmono.  (1994).  Logam  Dalam  Sistem Biologi Makhluk Hidup. Jakarta: UI Press, Hal
65.
[5] Chaturvedi, S and V. Srinivasan (1997) Grand Canonical  Partition  Functions  for  Multi  Level Parafermi  Systems  of  Any  Order,  Phys.  Lett. A-224, 249-252
[6] Polychronakos, A. P. (1996) Path Integrals and Parastatistics, Nucl. Phys. B-474, 529-539
[7] Satriawan, M. (2002) Generalized Parastatistics Systems; Dissertation, University of Illinois at Chicago
[8] Suranyi,  P.  (1990)  Thermodynamics  of Parabosonics  and  Parafermionic  Systems  of Order Two, Phys. Rev. Lett. 65, 2329
[9] Huang,  K.  (1965)  Statistical  Mechanics,  John Wiley & Sons, New York.
[10]  Sears,  F.  W.  and  G.  L.  Sallinger,  (1975) Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics, Addison-Wesley,
Massachusetts
[11]  Greiner, W.,  L.  Neise,  and  H.  Stöcker  (1997) Thermodynamics  and  Statistical  Mechanics. Heidelberg: Springer-Verlag
[12]  Meljanac,  S.,  M.  Stojic  and  D.  Svrtan  (1996) Partition  Functions  for  General  Multi-level Systems, RBI-TH-06
[13]  Fulton, W., (1991) Young Tableaux, Cambridge Univ. Press, New York [14]  Chaturvedi,  S.,  R.  H.  McKenzie,  P.  K. Panigrahi and V. Srinivasan. (1997) Equivalence of The Grand Canonical Partition Functions of Particles with Different Statistics, Mod. Phys. Lett. A-12, 1095-1099 [15]  Andriana, M. (2013) Parafermions in Interaction Many Body Systems, http://www.uoi.gr/HINP/Workshop_2014/Ses sion-2_A.Martinou.pdf
[16]  Satriawan,  M.  (2004)  Grand  Canonical Partition  Function  for  Parastatistical  Systems, Physics  Journal  IPS  Proceeding  Supplement C8 0515
[17]  Hama,  M.,  M.  Sawamura  and  H.  Suzuki, (1992)  Thermodynamical  Properties  of  High Orders  Parabosons,  Prog.  Theor.  Phys.  88, 149-153
[18]  Mishra,  A.  K.  and  G.  Rajasekaran,  (1995) Generalized  Fock  Spaces,  New  Forms  of Quantum  Statistics  and  Their  Algebras, Pramana 45, 91-93