## SQUARE : Journal of Mathematics and Mathematics Education

## Struktur Grup pada Pocket Cube

## Prihadi Kurniawan
UIN Walisongo Semarang kurniawan.prihadi@walisongo.ac.id

## ABSTRAK
Kajian ini berfokus pada proses terbentuknya grup semi hasil kali langsung yang dibangkitkan dari benda  konkret  yakni  pocket  cube.  Grup  dikonstruksi  dengan  menentukan  grup  bebas  yang dikontstruksi  dari  barisan  rotasi  tereduksi  berhingga  rotasi  standar  pada  pocket  cube  Selanjutnya dengan mengaksikan grup ini pada posisi dan orientasi cubino pada pocket cube diperoleh himpunan pasangan-pasangan anggota di S_8 dan Z_3^8. Dengan memperhatikan beberapa pola acakan yang valid  pada  pocket  cube,  sifat-sifat  dari  pasangan  anggota  ini  kemudian  dikaji  sehingga  diperoleh sifat-sifat  yang  menggambarkan  bagaimana  setiap  pola  acakan  valid  pada  pocket  cube berkorespondensi dengan setiap elemen di semi hasil kali langsung dari S_8 dan Z_3^8. Selain itu hasil kajian menggambarkan bagaimana pola acakan pocket cube ketika dua barisan rotasi tereduksi yang  diaksikan  berurutan  dengan  melihat  representasi  operasi  dari  anggota  grup  semi  hasil  kali langsungnya.
Kata Kunci: grup, pocket cube, semi hasil kali langsung.

## ABSTRACT
The  objective  of  this  research  is  to  examine  the  abstraction  of  a  semi-direct  product  group  that originates from a specific object, which is the pocket cube. The process involves constructing groups by identifying free groups that are produced from reduced rotation sequences with finite standard rotations  within  the  pocket  cube.  Moreover,  by  taking  the  action  group  to  the  position  and orientation of the cubino on the pocket cube, the set of member pairs in S_8 and Z_3^8 is derived. The investigation then focuses on various valid random patterns on the pocket cube to determine how they correspond to each element in the semi-direct product of S_8 and Z_3^8. Additionally, the study describes the randomness of the pocket cube pattern when two reduced rotation sequences are applied sequentially by analyzing the operational representation of the semi-direct product group members.
Keywords: group, pocket cube, semi-direct product.

## 1. PENDAHULUAN
Sudah  cukup  banyak  bahasan  tentang  keindahan  matematika  di  alam,  seperti  geometri fraktal 123 dan golden ratio 45 (Mandelbrot, 1982; Losa, 2009; Brotosiswojo, 2006; Heyrovsk, 2009; Henein, dkk, 2011). Harus disadari bahwa meskipun sebagai Ratunya Ilmu Pengetahuan, matematika harus mampu menjawab bagaimana eksistensi ”aljabar abstrak” di alam. Sebelum Profesor Erno Rubik menemukan Rubik’s Cube pada 1974, pocket cube, yang nampak seperti versi  mini  dari  Rubik’s  Cube,  telah  lebih  dulu  diciptakan  oleh  Larry  D.  Nichols  pada  tahun 1970.  Larry  mematenkannya  dengan  nama  Pattern  forming  puzzle  and  method  with  pieces rotatable in groups dan telah mendapatkan patennya pertama kali pada tahun 1972 (Nichols, 1972).  Meskipun  pocket  cube  cenderung  tidak  sepopuler  Rubik’s  cube,  namun  pocket  cube menjadi salah satu objek menarik pada perkembangan teori grup dalam kajian aljabar abstrak.

## Gambar 1. Pocket Cube Reguler (kiri) dan Pocket Cube Teracak (kanan)
Pocket  cube  tersusun  atas  2×2×2  atau  8  kubus  kecil  yang  disebut  cubino  dan  6  sisi berwarna  yang  disebut  facet.  Seluruh  cubino  pada  pocket  cube  memiliki  3  facet  sehingga terdapat total 24 facet pada pocket cube yang pada kondisi awalnya masing-masing 4 facet di tiap 6 sisi pocket cube memiliki warna yang sama. Kondisi awal ini disebut sebagai pocket cube reguler  (Gambar  1).  Enam  warna  standar  western  yang  biasa  digunakan  adalah merah,  biru, jingga, hijau, kuning, dan putih. Tiap empat cubino pada satu sisi pocket  cube dapat diputar secara  bebas  sehingga  akan  mengubah  posisi  facet  pada  sisi-sisinya.  Pada  kondisi  tertentu, setelah beberapa sisi pocket cube diputar sedemikian rupa, maka akan diperoleh pocket cube yang memiliki  warna facet yang  berbeda-beda pada tiap sisinya.  Kondisi  ini  disebut  dengan pocket cube teracak.
Gambar 2. Notasi rotasi pada pocket cube.
Dengan  menggunakan  notasi  yang  sama  seperti  yang  dikembangkan  oleh  Singmaster (1981) untuk Rubik’s cube, huruf-huruf , , , , , dan   berturut-turut akan digunakan untuk mewakili rotasi 90 derajat searah jarum jam untuk sisi depan, belakang, kanan, kiri, atas, dan bawah pocket cube (Gambar 2). Notasi yang digunakan untuk rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum  jam  berturut-turut  untuk  sisi  yang  sama  adalah , , , , ,  dan .
Misalkan
Π = { , , , , , }
adalah himpunan semua rotasi tunggal standar pada pocket cube. Didefinisikan operasi atas dua rotasi di   untuk sembarang , ∈ , yang dinotasikan dengan AB, adalah barisan rotasi yang berarti  merotasikan  B  terlebih  dahulu  kemudian  dilanjutkan  dengan  A.  Untuk  setiap ∈ , notasi dengan n bilangan asli adalah barisan rotasi XX...X sebanyak n suku. Dengan notasi ini  dapat  dinyatakan  bahwa = . Dengan  menggunakan  definisi  tersebut  tersebut, penerapan sederet rotasi pada pocket cube akan dibaca dari belakang. Sebagai contoh, barisan rotasi menyatakan  berturut-turut  rotasi  90  derajat  sisi  atas,  kemudian  kiri,  bawah, kanan,  dan  terakhir  sisi  depan  pada  suatu  pocket  cube.  Dinotasikan  O  adalah  rotasi  kosong, yakni  rotasi  pada  pocket  cube  tanpa  merotasikan  sisi  manapun.  Dan  dengan  pemahaman  ini untuk setiap ∈ berlaku
= = dan = .
Untuk selanjutnya, barisan rotasi yang digunakan adalah barisan rotasi tereduksi, yaitu barisan rotasi yang diperoleh dengan menghapuskan barisan bagian yang sama dengan O dan menuliskan rotasi bagian berbentuk , , dan berturut-turut sebagai X, , dan untuk  setiap  rotasi  tunggal  standar ∈ .  Sehingga  setiap  barisan  rotasi  tereduksi  dapat dinyatakan dalam bentuk … dengan ∈ , ≠ untuk setiap 1 ≤ < , dan ∈ {−1, 1, 2} untuk  setiap 1 ≤ < .  Himpunan  semua  barisan  reduksi  berhingga  pada pocket cube, yang dinotasikan dengan membentuk grup dengan operasi rangkaian tereduksi “.” yang mendefinisikan X.Y sebagai rotasi tereduksi dari XY. Pembuktian teorema ini sejalan dengan pembahasan grup bebas pada Dummit dan Foote (2004) dan Kurniawan (2015).
Pengembangan  konstruksi  struktur  grup  pada  pocket  cube  ini  diilhami  dengan  proses yang sama yang dilakukan oleh Singmaster (1981), Joyner (2008), dan Bergvall, dkk (2010) . Proses  yang  dilakukan  adalah  pada  rubik’s  cube  berukuran 3 × 3 × 3 ,  rubik’s  cube  versi standar. Diperoleh bahwa masing-masing pola acarakan pada rubik’c cube berkorespondensi dengan setiap elemen pada grup rubik’s cube yang himpunannya dideskripsikan sebagai
= {( , , , )| ∈   , ∈ , ∈ , ∈ , ( ) = ( ), ( ) = 0; ( ) = 0;}
dengan definisi operasi
( , , , ) ⋅ ( , , , ) = ( , + . , , + . ).
Kajian-kajian mendalam untuk versi cube yang lain belum dilakukan. Pada penelitian ini, versi rubik berukuran 2 × 2 × 2 akan digunakan. Proses yang dilakukan analog, yakni dengan mengaksikan grup barisan rotasi kepada posisi dan orientasi cubino pada pocket cube. Melalui aksi grup ini, akan memunculkan subgrup dari grup permutasi yang merepresentasikan posisi valid pocket cube apabila dikenai suatu barisan rotasi tereduksi.

## 2. METODE
Metode  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur.  Kajian  yang dikembangkan merupakan pengembangan beberapa hasil yang telah dijelaskan oleh Singmaster (1981),  Joyner  (2008),  Bergvall,  dkk  (2010),  dan  Kurniawan  (2015)  dengan  menggunakan dasar-dasar teori tentang grup oleh Dummit dan Foote (2004). Alur penelitian yang dilakukan merujuk pada Gambar 3.
Gambar 3. Diagram alur penelitian

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dengan  menggunakan  terminologi  yang  telah  dijelaskan  pada  latar  belakang,  telah didefinisikan berupa himpunan semua barisan rotasi tereduksi berhingga dari himpunan Π (himpunan  semua  rotasi  standar  pada  pocket  cube).  Sesuai  dengan  kajian  grup  bebas  (free group) pada Dummit dan Foote (2004) dapat ditunjukkan bahwa membentuk grup.
Teorema 1. Himpunan yang memuat semua barisan tereduksi berhingga dari elemen-elemen di Π = { , , , , , } dan sebuah elemen   sebagai rotasi kosong, dinotasikan dengan , membentuk  grup  atas  operasi  rangkaian  tereduksi  yang  mendefinisikan . sebagai  rotasi tereduksi (  dioperasikan  dengan operasi  rangkaian terhadap  ) untuk  setiap , ∈ . Grup ini disebut dengan grup barisan rotasi.

## 3.1. Posisi Valid Pocket Cube
Mula-mula masing-masing cubino diberi indeks dengan angka 1 hingga 8 (Gambar 4) maka dapat ditentukan aksi grup pada himpunan =   { , , . . . , } dengan definisi
∗ : × → ( , ) ↦
dengan  posisi  b  adalah  posisi  cubino  yang  sebelumnya  berada  di  posisi  a  setelah  dilakukan barisan rotasi tereduksi X.
Gambar 4. Penomoran Cubino
Pendefinisian aksi grup ∗ ini akan membentuk suatu homomorfisma
: →
Joyner (2008) Bergvall, dkk (2010) Kurniawan (2015)
Grup Pocket
Cube
yang membawa barisan  rotasi tereduksi berhingga   ke permutasi yakni permutasi yang memetakan cubino   ke cubino ( ) . Berikut adalah contoh apabila rotasi-rotasi standar pada Π dipetakan menurut  .
( ) = (1 2 3 4) ; ( ) = (1 4 8 5) ; ( ) = (3 7 8 4) ;
( ) = (5 8 7 6) ; ( ) = (3 2 6 7) ; ( ) = (1 5 6 2) .
Teorema 2. Fungsi   merupakan pemetaan surjektif. Sketsa bukti. Diperhatikan bahwa terdapat barisan tereduksi berhingga
= ∈
sehingga ( ) = (1 2) ∈ .  Karena  posisi  cubino  teratur  simetris,  dapat  ditentukan  rotasi tertentu ∈ sehingga ( ) merupakan  transposisi  yang  menukarkan  dua  cubino  yang bersebelahan (2 dengan 3, 4 dengan 8, dan seterusnya). Diperhatikan bahwa setiap transposisi di akan  selalu  dapat  dinyatakan  sebagai  perkalian  transposisi-transposisi  yang  termuat  di himpunan
= {(1 2), (2 3), (3 4), (1 4), (2 6), (3 7), (4 8), (1 5), (5 6), (6 7), (7 8), (1 8)} yakni  himpunan  transposisi-transposisi  yang  menukarkan  dua  cubino  yang  posisinya bersebelahan. Karena setiap permutasi selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi- transposisi  yang  saling  asing  dan  setiap  transposisi  dapat  dinyatakan  sebagai  perkalian transposisi-transposisi yang termuat di artinya setiap pola pertukaran cubino para pocket cube yang berkorespondensi dengan suatu anggota selalu terdapat suatu berisan tereduksi berhingga    di sehingga  rotasi  tersebut  jika  dikenakan  pada  pocket  cube  standar  akan didapat pola pertukaran cubino yang dimaksud.

## 3.2. Orientasi Valid Pocket Cube
Selain menentukan posisi dari cubino, selanjutnya akan ditentukan orientasi dari cubino. Orientasi dari  cubino  akan  dinyatakan  sebagai  8-tupel ( , , … , ) dengan ∈ {0, 1, 2} untuk setiap ∈ {1, 2, . . . , 8} dan menyatakan orientasi cubino   . Koordinat bernilai 0 jika cubino   terorientasi dengan benar, bernilai 1 jika mempunyai orientasi yang salah tipe pertama, dan bernilai 2 jika mempunyai orientasi yang salah tipe kedua (Gambar 5).

## Gambar 5. Peta orientasi cubino
Misalkan X adalah barisan rotasi berhingga yang mempermutasikan cubino pada pocket cube  terleselesaikan  yang  dinyatakan  oleh ∈ dan  yang  mengubah  orientasi  yang dinyatakan oleh 8-tupel ⃗ = ( , , … , ) dengan ∈ ℤ . Misalkan pula Y adalah barisan rotasi  berhingga  yang  mempermutasikan  cubino  pada  pocket  cube  terleselesaikan  yang dinyatakan  oleh ∈ dan  yang  mengubah  orientasi  yang  dinyatakan  oleh  8-tupel ⃗ = ( , , … , ) dengan ∈ ℤ . Diperhatikan bahwa XY merepresentasikan baritasn rotasi yang mengaksikan barisan rotasi Y terlebih dahulu kemudian dilanjutkan oleh barisan rotasi X pada suatu pocket cube terselesaikan. Misalkan orientasi cubino stelah mengaksikan XY dinyatakan dengan ⃗′ . Diperhatikan bahwa ada tiga kasus. Nilai = apabila ( ) = 0 , nilai =
+ 1 apabila ( ) = 1 ,  dan  nilai = + 2 apabila
( ) = 2 .  Dapat  disimpulkan bahwa
⃗ = ⃗ + ⋅ ⃗
dengan operasi penjumlahan di ℤ dan   beraksi pada ⃗ dengan definisi
⋅ ⃗ = ⋅= ( , , … , ) = ( ) , ( ) , … , ( ) .

## 3.3. Pola Acakan Valid Pocket Cube (Posisi dan Orientasi Cubino)
Berdasarkan  pembahasan  sebelumnya,  grup pocket  cube  akan  mempertimbangkan  dua aspek, yakni posisi cubino dan orientasi cubino (Gambar 6).
Gambar 6. Posisi dan Orientasi Pocket Cube
Dapat diperhatikan bahwa setiap pola acakan pada pocket cube berikut posisinya dapat diwakili oleh elemen-elemen grup semi hasil kali langsung ⋉ ℤ berbentuk pasangan ( , ⃗) dengan ∈ dan ⃗ ∈ ℤ dengan : → (ℤ ) adalah  homomorfisma  yang mendefinisikan ( ) = dan berlaku ( ⃗) = ( ( ) , ( ) , … , ( ) ) untuk setiap ⃗ ∈ ℤ . Diperhatikan bahwa pada grup semi hasil kali langsung ⋉ ℤ berlaku operasi ∗ dengan definisi
( , ⃗) ∗ ( , ⃗) = ( , ⃗ + ( ⃗))
dengan ( ⃗) diperoleh dari ⃗ dengan mempermutasikan indeks-indeksnya menurut  .
Teorema 3. Untuk setiap orientasi cubino ⃗ = ( , , … , ) ∈ ℤ berlaku ∑ = 0 .
Bukti. Dengan menggunakan induksi pada banyaknya rotasi yang dikenakan pada pocket cube. Rotasi  pada  satu  sisi  pada  pocket  cube  diberikan  oleh ( , ⃗ ) dengan ∈ Π .  Posisi  dan orientasi akhir dari cubino diberikan oleh
( , ⃗ ) ∗ , 0⃗ = ∘ , ⃗ + ⋅ 0⃗ = , ⃗ + 0⃗ = ( , ⃗ ). Dapat diperhatikan bahwa ⃗ = (0,0,1,2,0,0,2,1) ⃗ = (1,2,0,0,2,1,0,0) ⃗ = (0,0,0,0,0,0,0,0) ⃗ = (0,0,0,0,0,0,0,0) ⃗ = (0,1,2,0,0,2,1,0) ⃗ = (2,0,0,1,1,0,0,2) Diperoleh bahwa ∑ ( ⃗ ) = 0 untuk setiap ∈ Π . Kemudian andaikan benar bahwa untuk sembarang  rangkaian  sebanyak    rotasi  berlaku ∑ ( ⃗ ) = 0 dengan ⃗ menyatakan orientasi cubino setelah dilakukan   rotasi tersebut. Akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang rangkaian sebanyak + 1 rotasi berlaku ∑ ( ⃗ ) = 0 . Diperhatikan bahwa
( , ⃗ ) ∗ ( , ⃗ ) = ( ∘ , ⃗ + ⋅ ⃗ )
untuk  sembarang ∈ Π = { , , , , , } .  Diperoleh  bahwa ⃗ + ⋅ ⃗ menyatakan orientasi  dari  cubino  setelah + 1 rotasi.  Permutasi  indeks-indeks  dari ⃗ tidak  akan mempengaruhi nilai ∑ ( ⃗ ) sehingga diperoleh
( ⃗ + ⋅ ⃗ ) = ( ⃗ ) + ( ⃗ ) = 0.
Jadi, untuk setiap orientasi cubino ⃗ diperoleh ∑ = 0 . Dengan mendefinisikan notasi ( ⃗) = ∑ ⃗ , berdasarkan Teorema 3, akan ditunjukkan himpunan
= {( , ⃗)| ∈ , ⃗ ∈ ℤ , ( ⃗) = 0}
merupakan subgrup dari grup semi hasil kali langsung ⋉ ℤ .
Proposisi 1. (Dummit dan Foote, 2003) Suatu subset H dari grup G merupakan subgrup jika dan  hanya  jika ≠ ∅ dan  untuk  setiap , ∈ berlaku ∈ .  Apabila  H  berhingga, syarat cukupnya hanya ≠ ∅ dan tertutup atas operasi binernya, yakni untuk setiap , ∈ berlaku ∈
Teorema 4. Grup pocket cube dijelaskan oleh himpunan
= {( , ⃗)| ∈ , ⃗ ∈ ℤ , ( ⃗) = 0}
dengan operasi biner ∘ yang didefinisikan oleh
( , ⃗) ∘ ( , ⃗) = ( , ⃗ + ⋅ ⃗) dengan ⋅ ⃗ = ( ⃗) = ( ( ) , ( ) , … , ( ) ) .
Bukti. Berdasarkan fakta bahwa ⋉ ℤ adalah grup berhingga, berdasarkan Teorema 3 dan Proposisi 1 telah ditunjukkan bahwa tak kosong dan untuk setiap dua anggota , ∈ berlaku ∘ ∈
. Jadi subgrup ⋉ ℤ .
Teorema 5. Kardinalitas adalah 8! × 2 .
Bukti.  Diperhatikan  bahwa  setiap  permutasi  di adalah  permutasi  yang  valid  untuk  pola acakan tertentu pada pocket cube. Artinya untuk menempatkan posisi cubino terdapat 8! cara. Sedangkan  untuk  setiap  pola  posisi  cubino ⃗ ∈ ℤ harus  memenuhi
( ⃗) = 0 . Diperhatikan bahwa syarat ini memaksa nilai hanya salah satu dari {0,1,2} bergantung pada nilai ∑ .  Artinya  hanya  terdapat 2 cara  menentukan  orientasi  cubino.  Dengan menggabungkan keduanya diperoleh bahwa kardinalitas adalah 8! × 2 .

## 4. SIMPULAN DAN SARAN
Setiap pola acakan pocket cube dapat dikorespondensikan dengan elemen-elemen pada grup  semi  hasil  kali  langsung
= {( , ⃗)| ∈ , ⃗ ∈ ℤ , ( ⃗) = 0} serta  terdapat sejumlah 8! × 2 susunan valid dari pocket cube yang mungkin. Diperoleh pula, apabila barisan rotasi tereduksi berhingga untuk setiap pola acakan selalu dapat ditentukan, yakni untuk setiap ( , ⃗), ( , ⃗) ∈ selalu  terdapat , ∈ sedemikian  sehingga ( ) = ( , ⃗) dan

## 132 |
Prihadi Kurniawan - Struktur Grup pada Pocket Cube
( ) = ( , ⃗) dan  berlaku ( ) = ( , ⃗) ∘ ( , ⃗) dengan  definisi  operasi ( , ⃗) ∘
( , ⃗) = ( , ⃗ + ⋅ ⃗) .  Pola  acakan  yang  diperoleh  dengan  merotasikan  barisan dilanjutkan dengan dapat ditentukan dengan mengoperasikan   dan   pada .
Meskipun hasil ini sudah dapat menentukan konstruksi grup yang dikontruksi dari pocket cube, namun konstruksi ini belum mempertimbangkan bentuk simetri dari kemungkinan acakan dari  pocket  cube  .  Jika  nantinya  ditetapkan  sebuah  cubino  tetap,  maka  banyaknya  cara  pola acakan pocket cube ini harus dibagi dengan 24 (Ronan, 2006). Nantinya akan diperoleh struktur yang berbeda karena order dari grupnya pun akan berbeda pula.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Bergvall, O., Hynning, E., Hedberg, M., Mickelin, J., dan Masawe, P. (2010) On Rubik’s Cube.
Bachelors Thesis. Kungliga Tekniska Hogskolan: Stockholm.
Brotosiswojo, B. S. (2006). Pemodelan matematika gejala alam. Bandung: Unpar Press. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract algebra (Vol. 3). Hoboken: Wiley.
Henein,  M.  Y.,  Zhao,  Y.,  Nicoll,  R.,  Sun,  L.,  Khir,  A.  W.,  Franklin,  K.,  &  Golden  Ratio
Collaborators.  (2011).  The  human  heart:  application  of  the  golden  ratio  and  angle. International Journal of Cardiology, 150, 3, pp. 239-242.
Heyrovsk, R. (2009). The Golden ratio in the creations of Nature arises in the architecture of atoms and ions. In Innovations in Chemical Biology (pp. 133-139). Springer, Dordrecht.
Joyner,  D.  (2008).  Adventures  in  Group  Theory:  Rubiks  Cube,  Merlins Machine,  and  Other
Mathematical Toys. United States of America: The Johns Hopkins University Press.
Kurniawan, P. (2015). Konstruksi Grup pada Rubik’s Cube. Tesis UGM: Tidak Diterbitkan. Losa, G. A. (2009, January). The fractal geometry of life. In Biology Forum/Rivista di Biologia (Vol. 102, No. 1).
Mandelbrot, B. B., & Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature (Vol. 1). New York: WH freeman.
Nichols, L. D. (1972). Pattern forming puzzle and method with pieces rotatable in groups (U.S.
Patent  No.  3,655,201).  U.S.  Patent  and  Trademark  Office. https://image- ppubs.uspto.gov/dirsearch-public/print/downloadPdf/3655201
Ronan, M. (2006). Symmetry and the monster: one of the greatest quests of mathematics. OUP
Oxford.
Singmaster, D. (1981). Notes on Rubik’s Magic Cube. New Jersey: Enslow Publishers.