## APROKSIMASI NUMERIK BELAH DUA DAN NEWTON-RAPHSON PADA ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL

## Indira P. Kinasih
Jurusan Pendidikan Matematika IKIP Mataram e-mail : indiraputeri@gmail.com

## ABSTRAK
Distribusi  masa  aktif  produk  bergaransi,  misalkan  kendaraan  bermotor  dan  mesin  fotokopi merupakan  hal  yang  menarik  untuk  dipelajari.  Faktanya,  distribusi  kerusakan  atau  masa  hidup  produk bergaransi  seringkali  memiliki  plot  fungsi  kepadatan  peluang  yang  condong  ke  kanan.  Terkait  hal  ini, distribusi  Weibull  termasuk  salah  satu  ragam  distribusi  non-negatif  yang  biasanya  sesuai  untuk memodelkan distribusi data. Karena fungsi distribusi kerusakan merupakan fungsi dari parameter, maka estimasi  parameter  selalu  menjadi  kebutuhan  utama  pada  masalah  pemodelan  distribusi  kerusakan. Ketiadaan  solusi  analitis  pada  maksimasi  fungsi  persekitaran  distribusi  Weibull  mengakibatkan pendekatan numerik menjadi solusi pilihan. Dua macam metode numerik, yaitu Newton-Raphson dan belah dua disajikan pada makalah ini untuk diamati perbandingan kecepatan dan keakuratan keduanya dalam pencarian solusi. Data yang digunakan adalah data kerusakan mesin fotokopi berdasarkan usia dan banyak salinan  yang  terekam  pada  saat  kerusakan  selama  4,5  tahun,  bersumber  dari  penelitian  Bulmer  dan Eccleston [1].
Kata kunci : Distribusi Weibull, Newton-Raphson, belah dua, parameter , fungsi persekitaran

## ABSTRACT
Life  time  distribution  of  warranted  product,  for  example  like  automobile  and  photocopier  is  an interesting studies. Based on the fact that mostly, life distribution of warranted product is somewhat skewed to the right, this suggests that usual failure distribution such as Weibull distribution may provide a reasonable fit  to  the  data.  Related  to  these  studies,  parameter  estimation  is  directly  applicable  since  life  distribution function is a function of parameters. There are no closed solution for Weibull likelihood function maximation. Therefore,  numerical  approximation  could  be  an  alternative  solution.  In  this  paper,  Newton-Raphson  and bisection  method  were  employed  to  estimate  the  scale  and  shape  parameter  of  Weibull  distribution  for photocopier  failure  data  for  since  4,5  years.  Performance  of  those  method  were  compared  based  on  their approximation result and how fast they get into the solution. Data were  taken from Bulmer and Eccleston (2003) research about photocopier realibility model .
Keywords : Weibull distribution, Newton-Raphson, Bisection, parameter, likelihood function

## PENDAHULUAN
Berdasarkan Ross (1976), distribusi Weibull  merupakan  distribusi  yang  banyak digunakan  dalam  praktek  mekanika  atau permesinan.  Hal  ini  disebabkan  kesesuaian sifatnya terhadap berbagai  permasalahan bidang tersebut  ( versatility ).  Secara  khusus,  distribusi Weibull terkait erat dengan pemodelan kekuatan bahan,  waktu  rusak  komponen,  peralatan,  serta sistem  elektronik  dan  mekanik.  Stone  dan Heeswijk (1977) memodelkan distribusi kerusakan  komponen  elektronika  berdasarkan distribusi Weibull. Bulmer dan Eccleston [1] juga telah  memodelkan  keandalan  mesin  fotokopi menggunakan beragam model distribusi Weibull.
Pemodelan  distribusi  masa  hidup  tentu melibatkan fungsi padat peluang, fungsi distribusi,
fungsi ketahanan, fungsi laju kerusakan dan fungsi karakteristik  lainnya.  Fungsi-fungsi  tersebut  tak lain merupakan fungsi parameter. Oleh karena itu, pengetahuan  mengenai  estimasi  parameter distribusi  selalu  menjadi  bagian  penting  pada permasalahan  pemodelan  distribusi  masa  hidup suatu objek. Adapun Metode estimasi yang sering digunakan antara lain adalah estimasi persekitaran  maksimum  ( MLE ),  metode  estimasi kuadrat  terkecil  ( least  square ),  dan  metode estimasi Bayesian.
Pada  kasus  distribusi  Weibull  univariat, Stone dan Heeswijk (1977) menguraikan estimasi parameter Weibull 3 parameter dengan menggunakan metode grafik dan MLE untuk data tersensor.  Estimasi  ini  digunakan  untuk  model distribusi kerusakan alat-alat elektronik. Sedangkan  Bhattacharya  dan  Bhattacharjee  [2]  ,
telah  mempelajari  estimasi  parameter  Weibull  2 parameter  pada  model  kecepatan  angin  yang digunakan  untuk  tenaga  pembangkit  listrik. Metode  yang  digunakan  adalah MLE dan Least square .  Pada  banyak  pembahasan  mengenai estimasi  parameter  distribusi  Weibull  dengan metode  persekitaran  maksimum,  aproksimasi numerik  Newton-Raphson  seringkali  digunakan untuk    mendapatkan  solusi  dari  fungsi persekitaran.  Hal  ini  wajar,  dikarenakan  oleh ketiadaan solusi analitis atau tertutup dari fungsi persekitaran distribusi Weibull.
Makalah ini meninjau kembali permasalahan estimasi persekitaran maksimum untuk parameter Weibull dua parameter dengan mengujicobakan metode aproksimasi numerik lainnya, yaitu belah dua (biseksi). Selain itu, metode Newton-Raphson tetap disajikan untuk kemudian dibandingkan akurasi dan kecepatannya dalam menemukan solusi.

## DISTRIBUSI WEIBULL DUA PARAMETER DAN ESTIMASI PERSEKITARAN MAKSIMUMNYA
Suatu variabel acak kontinu non -negatif 𝑋 , dikatakan  memiliki  distribusi  Weibull  dua parameter  ditulis  sebagai 𝑋 ∼ 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙(𝛼, 𝛽) dengan 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 , apabila memiliki fungsi padat peluang yang memenuhi persamaan berikut
𝑓(𝑥; 𝛼, 𝛽) = 𝛽 𝛼 𝛽 𝑥 𝛽−1 ⋅ 𝑒 1 𝛼𝛽 𝑥𝛽 (1)
𝛼 merupakan  parameter  skala  yang menunjukkan  karakteristik  hidup  distribusi Weibull.  Sedangkan 𝛽 merupakan  parameter bentuk  yang  menunjukkan  ukuran  penyebaran data  waktu  hidup.  Semakin  besar  nilai 𝛽 ,  grafik fungsi  padat  peluang  akan  melandai,  demikian pula sebaliknya.
Gambar 1. Plot Fungsi Distribusi Kumulatif Weibull Dua Parameter
Misalkan 𝑋 dipandang sebagai peubah acak yang  merepresentasikan  masa  hidup  atau  waktu
antar kerusakan suatu objek, fungsi padat peluang dapat  diartikan  sebagai  peluang  objek  tersebut bertahan selama 𝑥 . Artinya, jika dituliskan 𝑓(25) , fungsi  ini  menunjukan  nilai  peluang  suatu  objek dapat hidup selama 25 satuan waktu (detik, menit, jam, hari, bulan, tahun, dst). Dalam hal ini, nilai 𝛼 menunjukkan bahwa 63,212% masa hidup objek berada pada nilai 𝑥 = 𝑎 .
Gambar 2.  Plot Fungsi Padat Peluang Distribusi Weibull Dua Parameter.
Kesimpulan  ini  dapat  diperoleh  apabila dilakukan pengamatan terhadap fungsi distribusi kumulatif  Weibull,  yang  tak  lain  merupakan integrasi persamaan (1),  yaitu
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 − 1 𝛼𝛽 𝑥𝛽 (2)
Pada  nilai 𝑥 = 𝛼 = 1 , 𝐹(𝛼) akan  selalu mencapai  nilai 1 − 𝑒 −1 = 0.63212 .  Visualisasi peranan parameter α dan β dapat diamati masing- masing  pada  plot  fungsi  distribusi  kumulatif  dan fungsi padat peluang di gambar 1 dan gambar 2.
Estimasi  persekitaran  maksimum  diawali dengan  mengkonstruksi  fungsi  persekitaran Weibull.  Fungsi  inilah  yang  nantinya  akan dimaksimasi,  dengan  mencari  nilai  maksimum dari 𝛼̂ dan 𝛽̂ .  Konstruksi  fungsi  persekitaran didasarkan  pada  fungsi  padat  peluang  di persamaan  1.  Misalkan 𝑋 1 , … , 𝑋 𝑛 merupakan peubah  acak  yang  berdistribusi  identik  dan independen  dengan  fungsi  kepadatan  peluang 𝑓(𝑥; 𝛼, 𝛽) . Fungsi persekitaran Weibull diberikan oleh
𝐿(𝛼, 𝛽; 𝑥 𝑖 ) = ∏ 𝑓(𝛼, 𝛽; 𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1
= ∏ 𝛽 𝛼 ( 𝑥 𝑖 𝛼 ) 𝛽−1 ⋅ 𝑒 −( 𝑥𝑖 𝛼 ) 𝛽 𝑛 𝑖=1 (3)
Persamaan  3  perlu  ditransformasi  supaya dapat lebih representatif untuk proses selanjutnya. Perhatikan bahwa terdapat komponen  eksponensial  pada  persamaan  3.
Dengan demikian, transformasi yang tepat adalah transformasi logaritma, sehingga diperoleh fungsi logaritma persekitaran berikut :
𝑙(𝛼, 𝛽) = ln 𝐿(𝛼, 𝛽; 𝑥 𝑖 )
= 𝑛 ln 𝛽 − 𝑛𝛽 ln 𝛼 + (𝛽 − 1) ∑ ln(𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 − 1 𝛼 𝛽 ∑(𝑥 𝑖 ) 𝛽 𝑛 𝑖=1
(4)
Nilai  maksimum  dari  ˆ dan  ˆ diperoleh dari turunan pertama fungsi logaritma persekitaran, masing-masing terhadap  dan  . Tentunya,  sebelumnya  telah  dijamin  eksistensi dan  ketunggalan  solusi  dari  persamaan  4 sebagaimana pada Kinasih [3]. Berikut merupakan  turunan  pertama  fungsi  logaritma persekitaran  Weibull  terhadap  masing-masing parameternya :
𝜕𝑙(𝛼, 𝛽)
𝜕𝛼 = −𝑛𝛽(𝛼 𝛽+1 ) + 𝛼𝛽 ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 (5𝑎)
𝜕𝑙(𝛼, 𝛽) 𝜕𝛼 = 𝑛 𝛽 − 𝑛 ln 𝛼 + ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 + ln 𝛼 ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 − ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 ln 𝑥 𝑖 𝛼 𝛽 (5𝑏)
Perhatikan, nilai kritis untuk persamaan 5a dan  5b  tidak  dapat  diperoleh  secara  eksplisit. Fakta  inilah  yang  mengakibatkan  digunakannya aproksimasi  numerik  untuk  mendapatkan  solusi yang diinginkan.

## METODE NUMERIK BELAH DUA (BISEKSI) DAN NEWTON-RAPHSON (N-R)
Pada estimasi parameter distribusi Weibull, aproksimasi numerik sebenarnya digunakan  hanya  untuk  mendapatkan  akar    atau nilai  kritis  persamaan  5b.  Persamaan  5a  dapat dinyatakan  sebagai  fungsi  dari  parameter  beta, seperti  pada  persamaan  6.  Sehingga  ketika  telah diperoleh nilai  ˆ , maka nilai  ˆ dapat diperoleh dengan mudah melalui substitusi.
𝛼 = ( 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 ) 1 𝛽 (6)
Sebelum menerapkan metode aproksimasi numerik  belah  dua  ataupun  Newton-Raphson, persamaan 6 terlebih dahulu disubstitusikan pada Persamaan  5b,  sehingga  didapat  fungsi  beta seperti pada persamaan 7.
𝑓(𝛽) = 1 𝛽 + ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 − ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 (7)

## METODE BELAH DUA (BISEKSI)
Metode  numerik  biseksi  dapat  digunakan untuk  mendapatkan  akar  persamaan  7,  dimana 𝛽 ∈ ℜ . f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi di selang [𝛽 1 , 𝛽 2 ] dengan 𝑓(𝛽 1 ) > 0 dan 𝑓(𝛽 2 ) < 0 , atau  sebaliknya.  Ide  metode  biseksi  adalah menggunakan  interval [𝛽 1 , 𝛽 2 ] untuk  mengurung akar 𝑓(𝛽) .  Sesuai  dengan  teorema  nilai  tengah, f pasti  memiliki  paling  tidak  satu  nilai  akar  pada interval [𝛽 1 , 𝛽 2 ] .
Prinsip kerja metode biseksi adalah sebagai berikut :
1. Mendapatkan  titik  tengah  interval [𝛽 1 , 𝛽 2 ] , yaitu 𝛽 3 = (𝛽1+𝛽2) 2 ; 2. Jika 𝑓(𝛽 3 ) > 0 maka  gantikan 𝛽 1 dengan 𝛽 3 sehingga  interval  menjadi [𝛽 3 , 𝛽 2 ] ,  lakukan biseksi selanjutnya;
3. Jika 𝑓(𝛽 3 ) < 0 maka  gantikan 𝛽 2 dengan 𝛽 3 sehingga  interval  menjadi [𝛽 1 , 𝛽 3 ] ,  lakukan biseksi selanjutnya;
4. Jika 𝑓(𝛽 3 ) = 0 ,  Iterasi  dihentikan.  Artinya 𝛽 3 adalah  solusi  dari  persamaan 𝑓(𝛽) = 0 Gambar  3.  Ilustrasi  Aproksimasi  Numerik Belah Dua (Biseksi)

## METODE NEWTON-RAPHSON
Berbeda  dengan  metode  belah  dua, Newton-Raphson  menggunakan  konsep  garis singgung  fungsi  untuk  mendapatkan  akar  suatu persamaan. Idenya adalah memilih satu titik awal untuk dicari nilai fungsinya, kemudian pada nilai fungsi  titik  awal  tersebut  dibuatkan  suatu  garis singgung yang juga memotong sumbu horisontal. Titik  potong  itulah  yang  menjadi  titik  baru, dugaan  nilai  akar  fungsi  tersebut.  Demikian seterusnya  hingga  tercapai  nilai  mutlak  selisih
antar titik yang kurang dari suatu nilai galat yang ditentukan di awal.
Gambar 4. Ilustrasi Aproksimasi Numerik Newton-Raphson
Karena  itu,  diperlukan  turunan  pertama dari persamaan 7 yaitu :
𝑓 ′ (𝛽) = − 1 𝛽 2 − ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 (ln 𝑥 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 + [∑ 𝑥 𝑖 𝛽 (ln 𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 ] 2 [∑ 𝑥 𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 ] (8)
untuk  dapat  menjalankan  rumus  iteratif Newton-Raphson berikut :
𝛽̂ 𝑛+1 = 𝛽̂ 𝑛 − 𝑓(𝛽̂ 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝛽̂ 𝑛 ) (9)
Adapun tahapan metode Newton-Raphson dapat disajikan sebagai berikut :
1. Tentukan nilai awal 𝛽̂ 𝑛 . Nilai ini dapat berupa sebarang  nilai  tebakan,  misalkan  simpangan baku data;
2. Jalankan iterasi sesuai persamaan 9;
3. Periksa  nilai  galat  yaitu  nilai  mutlak  dari selisih 𝛽̂ 𝑛+1 dan 𝛽̂ 𝑛 untuk  dibandingkan dengan  toleransi  galat  yang  ditentukan, misalkan 𝑒 = 10 −5 .
4. Iterasi dihentikan jika nilai galat telah kurang dari 𝑒 . Artinya, nilai 𝛽̂ 𝑛+1 itulah yang dijadikan nilai aproksimasi untuk 𝛽̂ .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Selain diujicobakan terhadap data kerusakan mesin fotokopi, metode belah dua dan Newton-Raphson  terlebih  dahulu  disimulasikan pada  data  acak  hasil  bangkitan  beragam  ukuran. Hasil simulasi dapat dilihat pada tabel 1.
Selanjutnya, data kerusakan mesin fotokopi berdasarkan waktu kerusakan dan banyak salinan saat kerusakan yang terdistribusi Weibull  [1] juga
diestimasi menggunakan dua macam aproksimasi numerik ini. Hasilnya dapat dilihat pada tabel 2.
Tabel 1.  Hasil Simulasi Aproksimasi Numerik Belah Dua dan Newton-Raphson
Tabel 2 . Hasil Estimasi Parameter Data Waktu dan Banyak Salinan Antar Kerusakan Mesin Fotokopi [1]

## PENUTUP
Ketiadaan  solusi  analitis  bagi  metode estimasi persekitaran distribusi Weibull berakibat pada penggunaan aproksimasi numerik. Makalah ini menggunakan metode numerik belah dua dan Newton-Raphson  untuk  menemukan  estimator parameter  bentuk 𝛽̂ ,    untuk  selanjutnya mendapatkan  estimator  parameter  skala 𝛼̂ melalui substitusi.
Dapat  diperhatikan  bahwa  metode  belah dua relatif lebih praktis  karena algoritma  metode ini  hanya  membutuhkan  turunan  pertama  fungsi persekitaran terhadap beta seperti pada persamaan  7.  Sedangkan  metode  Newton- Raphson  masih  memerlukan  turunan  pertama dari  persamaan  7  untuk  dapat  menjalankan algoritmanya.
Hasil simulasi menunjukkan bahwa metode belah dua juga terpantau memiliki waktu eksekusi lebih  singkat  dan  hasil  aproksimasi  yang  relatif lebih  mendekati  nilai  parameter  sesungguhnya. Sedangkan, hasil uji coba terhadap data kerusakan fotokopi  baik  berdasarkan  waktu  kerusakan  dan banyak salinan saat kerusakan menunjukkan hasil aproksimasi  numerik  kedua  metode  mendekati
hasil  estimasi  Bulmer  dan  Eccleston  [1].  Namun kali  ini,  metode  numerik  Newton-Raphson cenderung  memiliki  hasil  yang  paling  mendekati estimator di penelitian mereka.

## REFERENSI
[1] M.  Bulmer  and  J.  Eccleston,  Photocopier Reliability  Modeling  Using  Evolutianary Algorithm., John Wiley & Sons, 2003.
[2]  P.  Bhattacharya  and  R.  Bhattacharjee,  "A Study on Weibull Distribution for Estimating the Parameters," Journal of Applied
Quantitative Methods, vol. 2, p. 5, 2010.
[3]  I.  P.  Kinasih,  "Penaksiran  Parameter Distribusi  Weibull  Bivariat  Menggunakan
Algoritma Genetika," Tesis, 2012.