ESTIMASI PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY MENGGUNAKAN METODE BAYES
Mila Setia Dewi 1* , Sutarman 2
1,2 Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara Email : 1 milasetiadewi6451@gmail.com, 2 sutarman@usu.ac.id
* Penulis Korespondensi
Abstract. This research has a purpose estimate the parameters of the Autoregressive Conditional Heteroscedasticity model using the Bayes method and then compare it with the Maximum Likelihood method. In the Bayes method, the prior distribution is combined with the Likelihood function to obtain a posterior distribution, which will be the basis for inference. Selection of different priors will result in different inferences. The prior distribution used in this study is a exponential distributed prior. After the posterior distribution is obtained, a Markov Chain Monte Carlo simulation is performed using the Metropolist-Hasting Algorithm. From the results of the Markov Chain Monte Carlo simulation, the ARCH model estimator using the Bayes method is obtained and then compared with the ARCH model estimator using the Maximum Likelihood method. Based on this research, it is known that by using the same data the mean residual and standard error values using the Bayes method are smaller than the Maximum Likelihood method. The results of the mean residual and standard error using the Bayes method are 0.4372 and 0.0272. Meanwhile, the residual mean and standard error using the Maximum Likelihood method are 0.9166 and 0.0456. From these results it can be seen that the parameter estimation using the Bayes method is good for this model.
Keywords: Parameters Estimation, ARCH Model, Bayes Method
Abstrak. Penelitian ini bertujuan menaksir parameter model ARCH menggunakan Metode Bayes kemudian akan dibandingkan dengan metode Maksimum Likelihood. Pada  metode  Bayes distribusi prior digabungkan dengan fungsi Likelihood untuk memperoleh distribusi posterior, yang akan menjadi dasar dalam inferensi. Pemilihan prior yang berbeda akan menghasilkan inferensi yang berbeda pula. Distribusi prior yang digunakan dalam penelitian ini adalah prior berdistribusi eksponensial. Setelah distribusi posterior  diperoleh,  dilakukan simulasi Markov Chain Monte Carlo dengan menggunakan Algoritma Metropolist-Hasting.  Dari hasil simulasi MCMC tersebut diperoleh estimator model ARCH  menggunakan  metode  Bayes dan kemudian dibandingkan dengan estimator model ARCH  menggunakan metode Maksimum Likelihood. Berdasarkan penelitian ini diketahui bahwa dengan menggunakan data yang sama nilai mean residual dan standard error menggunakan metode Bayes lebih kecil dibandingkan metode Maksimum Likelihood.  Hasil mean residual dan standard error menggunakan metode Bayes adalah 0,4372 dan 0,0272. Sedangkan Mean residual dan standard error menggunakan metode Maksimum Likelihood adalah 0,9166 dan 0,0456. Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa estimasi parameter menggunakan metode Bayes baik digunakan pada model ini . Kata Kunci: Estimasi Parameter, Model ARCH,  Metode Bayes
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029

## I. PENDAHULUAN
Metode Bayes adalah suatu metode yang berdasarkan pada teori probabilitas yang dihitung dari teorema Bayes. Secara khusus, metode Bayes menyediakan metode formal untuk memasukkan prior sebelumnya ke dalam estimasi parameter yang tidak diketahui [1]. Metode ini memiliki kelebihan diantaranya yaitu estimasinya lebih sederhana dalam situasi distribusi tidak standar atau regresi non-linier tidak realistis, memberikan pendekatan sederhana untuk mendapatkan hasil yang berkelanjutan dan diskrit [2].
Estimasi parameter adalah pendugaan nilai karakteristik populasi (parameter) berdasarkan karakteristik sampel. Estimasi parameter dibagi menjadi  dua yaitu estimasi interval dan estimasi titik  Estimasi interval ( interval estimation ) adalah pendugaan nilai karakteristik populasi dengan menggunakan  nilai-nilai  statistik yang berada dalam suatu interval. Sedangkan estimasi titik merupakan pendugaan nilai karakteristik populasi (parameter) dengan memakai satu nilai statistik dari sampel yang diambil dari populasi tersebut.
Metode klasik dan metode Bayes adalah salah satu contoh estimasi titik. Metode klasik adalah metode yang didasarkan pada inferensi data sampel yang diambil dari populasi. Dalam metode klasik terdapat salah satu metode yang bernama metode maksimum likelihood. Metode maksimum likelihood adalah metode yang memaksimumkan fungsi likelihoodnya.
Metode maksimum likelihood telah banyak diterapkan dalam mengestimasi parameter. Namun, metode maksimum likelihood memiliki kelemahan yaitu distribusi sampling parameter memerlukan asumsi normalitas. Kemudian, nilai standard error pada estimasi parameter dengan metode maksimum likelihood untuk ukuran sampel kecil cenderung lebih besar sehingga hasil uji parameter cenderung tidak signifikan [2]. Dalam hal ini, metode Bayes dapat digunakan untuk mengatasi masalah tersebut. Pada metode Bayes sampel MCMC diambil dari posterior tanpa memperhatikan ukuran sampel atau ketika ada asumsi non- normalitas [2].
Asumsi utama dari model Autoregressive (AR) adalah  menganggap data time series memiliki  suatu  variansi yang  konstan. Variansi  adalah  variabel  dalam  statistik  yang memaparkan seberapa jauh perubahan data terhadap rata- ratanya. Dalam kasus lain, asumsi ini mungkin tidak realistis. Misalnya pada pasar keuangan, umumnya disepakati bahwa kondisi data di pasar keuangan cenderung memiliki volatilitas yang tinggi. Volatilitas adalah suatu kondisi di mana mean dan ragam tidak konstan [3]. Akibat dari adanya volatilitas yang tinggi tentunya akan sulit dilakukan estimasi dan memprediksi pergerakan nilai di pasar keuangan. Data runtun waktu yang memiliki volatilitas yang tinggi disebut juga heteroskedastisitas bersyarat  ( Conditional Heterokedasticity ). Pada tahun 1982 Engle memperbaiki asumsi ini dengan memperkenalkan sebuah metode runtun waktu yaitu Autoregressive Conditional Heterokedasticity (ARCH).
Ari Pani Desvina dan Inggrid Octaviani Meijer (2018)  melakukan  penelitian  mengenai Penerapan Model ARCH/GARCH untuk Peramalan Nilai Tukar Petani an diperoleh hasil bahwa dengan menggunakan model ARCH(1) dilakukan peramalan sebanyak 5 bulan kedepan dimulai bulan April 2017 menunjukkan persentase nilai MAPE yang rendah, ini menghasilkan peramalan mendekati data actual [4]. Penelitian Rizki dkk (2021) mengenai penerapan Model ARCH/GARCH untuk Memprediksi Harga Saham Perusahaan Tokai Carbo memperoleh hasil

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
nilai AIC terkecil yang diperoleh sebesar 296.4776, serta diperoleh nilai MAPE untuk model sebesar 4.949972%. Berdasarkan nilai AIC dan nilai MAPE, dapat disimpulkan bahwa model GARCH (0,1) atau ARCH(1) sudah cukup baik untuk memprediksi harga saham perusahaan Tokai Carbon [5]. Penelitian yang dilakukan oleh Simatupang dan sutarman (2022) tentang penaksiran parameter model ARIMA dengan menggunakan metode Bayes diperoleh hasil bahwa dengan simulasi yang dilakukan dapat dilihat bahwa metode bayes lebih baik digunakan dibandingkan dengan metode Maksimum Likelihood. Hal tersebut dapat dilihat dri nilai MSE dengan menggunakan metode bayes yang lebih kecil dibandingkan metode Maksimum Likelihood  [6]. Katianda dkk.(2020) melakukakn penelitian mengenai estimasi parameter regresi linier dengan metoe bayes dan diperoleh hasil dengan interval  kredibel  95%  model ini  dapat  dipercaya sebesar  0,643  atau 64,3%.  Sedangkan  sisanya  35,7% dipengaruhi oleh faktor lain yang tidak diteliti [7].

## I.1 Model Autoregressive
Model Autoregressive merupakan  bentuk  model  regresi yang memetakkan  nilai pengamatan 𝑍𝑍 𝑡𝑡 dengan nilai-nilai sebelumnya pada interval waktu tertentu [8].  Jika periode yang memberikan perngaruh terhadap nilai 𝑌𝑌 𝑡𝑡 bukan hanya satu maupun dua periode, akan tetapi hingga sebanak 𝑝𝑝 periode, maka diperoleh persamaan model Autoregressive yaitu [9]:
𝑍𝑍 𝑡𝑡 = ϕ 1 𝑍𝑍 𝑡𝑡−1 + ϕ 2 𝑍𝑍 𝑡𝑡−2 + ⋯ + ϕ 𝑝𝑝 𝑍𝑍 𝑡𝑡−𝑝𝑝 + 𝑎𝑎 𝑡𝑡 (1)
dengan 𝑌𝑌 𝑡𝑡 menyatakan nilai variabel pada waktu ke-t, t =1, 2, 3,…, n, 𝑌𝑌 𝑡𝑡−𝑖𝑖 adalah data pada periode t-i, i =1, 2, 3, …, n, 𝜀𝜀 𝑡𝑡 adalah nilai residual pada waktu ke-t , 𝛽𝛽 𝑝𝑝 adalah koefisien regresi, p=1, 2, 3, …, n, dan p adalah order AR.

## I.2 Stasioneritas
Runtun waktu dikatakan stasioner jika tidak terdapat unsur trend dan unsur musiman dalam data. Keadaan stasioner terbagi dua, yaitu stasioner pada rata-rata dan stasioner pada varian. Apabila data belum  stasioner dalam rata-rata maka perlu dilakukan pembedaan dengan persamaan sebagai berikut [10]:
𝑍𝑍 𝑡𝑡 𝑑𝑑 = (1 − 𝐵𝐵 ) 𝑑𝑑 𝑍𝑍 𝑡𝑡 (2)
dengan 𝑍𝑍 𝑡𝑡 𝑑𝑑 adalah data ke-t dengan diffenecing dengen orede ke- d , 𝑑𝑑 adalah orde differencing, dan 𝑍𝑍 𝑡𝑡 adalah data ke-t. Apabila data belum stasioner dalam varian dapat dilakukan dengan proses transformasi.

## I.3 Uji Unit Root Augmented Dickey-fuller (ADF)
Uji ADF adalah pengembangan uji Dickey Fuller. Uji stasioner dengan uji ADF adalah sebagai berikut:
∆𝑌𝑌 𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 0 + 𝛾𝛾𝑌𝑌 𝑡𝑡−1 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � ∆𝑌𝑌 𝑡𝑡−𝑖𝑖+1 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 + 𝜀𝜀 𝑡𝑡 (3)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
dengan ∆𝑌𝑌 𝑡𝑡 adalah turunan pertama, 𝑌𝑌 𝑡𝑡−1 adalah nilai variabel pada waktu ke- t-1, 𝛾𝛾 , 𝛽𝛽 adalah aarameter, dan 𝑛𝑛 adalah lag . Apabila | 𝑡𝑡 | > nilai mutlak kritis Mackinnon, maka 𝐻𝐻 0 tidak diterima yang artinya data tidak memiliki unit root (data stasioner). Uji ADF juga dapat dilakukan dengan perbandingan p- value dengan nilai α jika p- value  <  α maka 𝐻𝐻 0 tidak diterima  yang berarti  data  data tidak memiliki unit root (data stasioner).

## I.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi adalah suatu fungsi yang memaparkan nilai korelasi antara data pengamatan waktu ke- t terhadap pengamatan waktu-waktu yang lalu. Persamaan autokorelasi sampel lag ke- k adalah sebagai berikut [11]:
𝜌𝜌 𝑘𝑘 = ∑ ( 𝑍𝑍 𝑡𝑡 − 𝑍𝑍̅ )( 𝑍𝑍 𝑡𝑡+𝑘𝑘 − 𝑍𝑍̅ ) 𝑛𝑛=𝑘𝑘 𝑡𝑡=1 ∑ ( 𝑍𝑍 𝑡𝑡 − 𝑍𝑍̅ ) 2 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 (4)
dengan 𝜌𝜌 𝑘𝑘 adalah koefisien autokorelasi ke-k, 𝑍𝑍̅ adalah rata-rata data, 𝑍𝑍 𝑡𝑡 adalah data ke-t, dan 𝑍𝑍 𝑡𝑡+𝑘𝑘 adalah data ke-t+k.
Selanjutnya, autokorelasi parsial dipakai untuk melihat tingkat kedekatan antara 𝑍𝑍 𝑡𝑡 dan 𝑍𝑍 𝑡𝑡−𝑘𝑘 apabila pengaruh dari lag waktu ( time lag ) 1, 2, 3,…, k-1 diasumsikan  terpisah. Nilai autokorelasi parsial sampel dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:
∅ 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝜌𝜌 𝑘𝑘 − ∑ ∅ 𝑘𝑘−1𝑥𝑥 , 𝑗𝑗 𝜌𝜌 𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑘𝑘−1 𝑗𝑗=1 1 − ∑ ∅ 𝑘𝑘−1𝑥𝑥 , 𝑗𝑗 𝜌𝜌 𝑘𝑘−𝑗𝑗 𝑘𝑘−1 𝑗𝑗=1 (5)
dengan ∅ 𝑘𝑘𝑘𝑘 adalah koefisien autokorelasi ke-k,k, ∅ 𝑘𝑘−1𝑥𝑥 , 𝑗𝑗 adalah koefisien autokorelasi ke-k- x,j, 𝜌𝜌 𝑘𝑘 adalah koefisien autokorelasi ke-k, 𝜌𝜌 𝑘𝑘−𝑗𝑗 adalah koefisien autokorelasi ke-k-j. Jika ada  sebanyak p lag autokorelasi parsial yang berbeda signifikasn dari nol maka proses yang terjadi adalah AR ( p).

## I.5 Heteroskedastisitas
Heteroskedastisitas  adalah kondisi dimana data mempunyai  varians residual yang tidak konstan atau dengan kata lain  saat varians ( 𝜎𝜎 2 ) dan Residual ( 𝜀𝜀 𝑖𝑖 )  berbeda untuk setiap observasi. Heteroskedastisitas dinyatakan dengan persamaan [12]:
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣 ( 𝑢𝑢 | 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , … , 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) = 𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 (6)
dengan 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣 ( 𝑢𝑢 | 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , … , 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) adalah varians data u terhadap 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , … , 𝑦𝑦 𝑘𝑘 , 𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 adalah  varians ke-i.  Persamaan  tersebut dapat dibuat dalam bentuk multiplikatif sebagai berikut:
𝜀𝜀 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 �ℎ 𝑡𝑡 (7)
dengan 𝜀𝜀 𝑡𝑡 adalah residual ke-t, dan 𝑣𝑣 𝑡𝑡 adalah volatilitas ke-t dengan ℎ 𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 0 + 𝛼𝛼 1 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2 + 𝛼𝛼 2 𝜀𝜀 𝑡𝑡−2 2 + ⋯ + 𝛼𝛼 𝑝𝑝 𝜀𝜀 𝑡𝑡−𝑝𝑝 2 + 𝑢𝑢 𝑡𝑡 dan 𝑣𝑣 𝑡𝑡 berdistribusi normal standart.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029

## I.6 Uji ARCH-Lagrange Multiplier (ARCH-LM)
Uji ARCH-LM dipakai untuk melihat ada atau tidaknya gejala heteroskedastisitas dalam data time series . Pada uji tersebut varian residual bukan hanya fungsi dari variabel independen tetapi tergantung pada residual kuadrat pada periode sebelumnya [3]. Keputusan dalam uji ACH-LM 𝐻𝐻 0 ditolak jika 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 > 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 ( 𝛼𝛼 ) , maka model menganfung efek ARCH dalam data time series tersebut, Statistik uji 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 dengan T adalah menyatakan banyaknya galat.

## I.7 Model ARCH
Model Autoregressive Conditional Heterokedasticity (ARCH) adalah model autoregresif yang memiliki variansi yang tidak konstan. Persamaan model ARCH sebagai berikut:
𝜀𝜀 𝑡𝑡 2 = 𝛼𝛼 0 + 𝛼𝛼 1 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2 + 𝛼𝛼 2 𝜀𝜀 𝑡𝑡−2 2 + ⋯ + 𝛼𝛼 𝑝𝑝 𝜀𝜀 𝑡𝑡−𝑝𝑝 2 (8)
dengan 𝜀𝜀 𝑡𝑡 2 adalah residual kuadrat ke-t, 𝜀𝜀 𝑡𝑡−𝑝𝑝 2 adalah residual kuadrat ke-t-p, dan 𝛼𝛼 0 , … , 𝛼𝛼 𝑝𝑝 adalah parameter model ARCH.
Menurut Tsay (2010) untuk menentukan orde dari model ARCH dapat dilihat pada grafik PACF dari kuadrat residual ( 𝜀𝜀 𝑡𝑡 2 ). Jika sebanyak p lag autokorelasi parsial yang berbeda signifikasn dari nol maka proses yang terjadi adalah ARCH ( p) [13] .

## I.8 Teorema Bayes
Metode Bayes didasarkan pada teorema Bayes. Pada teorema Bayes, dimisalkan Bi, i = 1,2,...,n adalah bagian dari ruang sampel S dengan P(Bi ) ≠ 0 dan adalah kejadian yang saling lepas maka untuk sembarang kejadian A di mana P(A)≠ 0 , peluang Bi dengan syarat A adalah sebagai berikut [14]:
𝑃𝑃 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 | 𝐴𝐴 ) = 𝑃𝑃 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 | 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) ∑ 𝑃𝑃 ( 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 | 𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 (9)

## I.9 Distribusi Prior dan Distribusi Posterior
Distribusi Prior adalah suatu bentuk distribusi frekuensi yang mewakili tujuan atau subjektivitas seseorang dalam melihat suatu parameter menurut penilaiannya sendiri [14]. Distribusi prior dibagi menjadi dua  berdasarkan fungsi likelihood modelnya, yaitu sebagai berikut:
1. Berhubungan dengan bentuk distribusi pola data. a. Distribusi prior konjugat ( conjugate ), b. Distribusi prior tidak konjugat ( non-conjugate )
2. Berhubungan dengan penentuan parameter pola data.
a. Distribusi prior informatif.
b. Distribusi prior non-informatif,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
Distribusi posterior merupakan  fungsi densitas bersyarat 𝜃𝜃 jika  nilai  dari  observasi 𝑥𝑥 diketahui. Distribusi posterior adalah  perkalian antara prior yang ditentukan dengan fungsi likelihoodnya. Distribusi posterior dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut:
𝑃𝑃 ( 𝜃𝜃 | 𝑦𝑦 )   = 𝑃𝑃 ( 𝜃𝜃 , 𝑦𝑦 ) 𝑙𝑙 ( 𝑦𝑦 ) (10)

## I.10 Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
MCMC adalah algoritma simulasi stokastik yang berdasarkan pola kerja pada rantai Markov dan simulasi Monte Carlo dengan cara pembangkitan data sampel berdasarkan cara resampling tertentu [15] . Penggunaan metode MCMC dalam analisis metode Bayes memerlukan metode sampling yang sesuai  untuk memperoleh sampel dari distribusi  tertentu.  Terdapat bebrapa algoritma yang diunakan pada metode MCMC, salah satunya adalah algoritma Metropolis- Hasting.

## I.11 Metropolis-Hasting
Metropolis-Hasting adalah metode MCMC yang menerapkan  prosedur  penerimaan dan penolakan dalam proses pembangkitkan  sampel  data  dari distribusi proposalnya. Distribusi proposal adalah suatu distribusi yang berfungsi untuk pembangkitkan sampel acak[15]. Misalkan 𝑝𝑝 ( 𝜽𝜽 | 𝑧𝑧 ) adalah distribusi posterior yang ingin dibangkitkan dengan besar sampel T. Misalkan 𝜽𝜽 adalah parameter dari nilai-nilai yang dibangkitkan pada iterasi ke- 𝑡𝑡 . Langkah- langkah algoritma Metropolis-Hasting adalah sebagai berikut:
1. Menetapkan nilai awal 𝜽𝜽 0 2. Menetapkan jumlah iterasi 𝑡𝑡 = 1, . . . , 𝑇𝑇
3. Membangkitkan ( 𝜽𝜽 1 , 𝜽𝜽 2 , . ..  , 𝜽𝜽 𝑡𝑡 ) dengan langkah-langkah berikut:
a. Mengatur 𝜽𝜽 𝑡𝑡 = 𝜽𝜽 𝑡𝑡−1 b. Menetapkan distribusi proposal 𝑁𝑁 ( 𝜽𝜽 , 𝜎𝜎 2 ) c. Membangkitkan nilai baru 𝜽𝜽 ′ dari distribusi proposal 𝑁𝑁 ( 𝜽𝜽 , 𝜎𝜎 2 ) d. Menghitung 𝛼𝛼 = min � 1, 𝑝𝑝 ( 𝜽𝜽′ ,) ∗𝐿𝐿� 𝜽𝜽 � 𝑌𝑌 � 𝑝𝑝 ( 𝜽𝜽 ) ∗𝐿𝐿� 𝜽𝜽 � 𝑌𝑌 � � e. Membangkitkan 𝑢𝑢 dari distribusi uniform (0,1) f. Menghitung 𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑢𝑢 ) g. Membandingkan nilai u dengan 𝛼𝛼 , apabila 𝑢𝑢 ≤ 𝛼𝛼 maka nilai 𝜽𝜽 𝑡𝑡 = 𝜽𝜽′ . Sedangkan apabila 𝑢𝑢 > 𝛼𝛼 maka nilai 𝜽𝜽 𝑡𝑡 = 𝜽𝜽 𝑡𝑡−1 4. Ulangi prosedur a sampai g hingga konvergen.

## I.12 Metode Maksimum Likelihood
Misalkan 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , ⋯ , 𝑥𝑥 n merupakan sampel acak dari populasi dengan densitas 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝜃𝜃 ) di mana 𝜃𝜃 ( 𝜃𝜃 1 , 𝜃𝜃 2 , ⋯ , 𝜃𝜃 k ) merupakan parameter tak diketahui, fungsi likelihood dituliskan [16]:
𝐿𝐿 ( 𝜃𝜃 1 , 𝜃𝜃 2 , … , 𝜃𝜃 𝑘𝑘 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝜽𝜽 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 (11)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ . Dalam aplikasi ( 𝜃𝜃 ) memaparkan fungsi densitas peluang bersama dari sampel acak. Jika 𝑆𝑆 adalah ruang parameter interval terbuka dan ( 𝜃𝜃 ) merupakan fungsi yang bisa diturunkan serta diasumsikan maksimum pada 𝑆𝑆 maka persamaan maksimum likelihodnya adalah [16].
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜽𝜽 𝐿𝐿 ( 𝜽𝜽 ) = 0 (12)
Ketika menentukan nilai estimator kemungkinan maksimum, itu sering lebih mudah menentukan nilai dari parameter yang memaksimumkan logaritma natural dari fungsi likelihood daripada nilai parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood itu sendiri. Karena fungsi logaritma natural adalah fungsi naik, dan solusinya akan sama. Sehingga persamaan log-likelihoodnya adalah [16].
𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜽𝜽 ln 𝐿𝐿 ( 𝜽𝜽 ) = 0 (13)

## II. PEMBAHASAN

## II.1 Distribusi Prior dan Distribusi Posterior Model ARCH
Pada penelitian diasumsikan bahwa prior yang digunakan adalah prior yang berdistribusi eksponensial yaitu:
𝑝𝑝�𝛼𝛼 0 , 𝛼𝛼 1 , 𝛼𝛼 2 , … 𝛼𝛼 𝑛𝑛 , � = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ( 𝜆𝜆 ) (14)
Sehingga, fungsi densitas bersyarat  dari model ARCH(p) dengan 𝛾𝛾 = �𝛼𝛼 0 , 𝛼𝛼 1 , 𝛼𝛼 2 , … 𝛼𝛼 𝑛𝑛 , � adalah [13].
𝑓𝑓 ( 𝜀𝜀 𝑡𝑡 / 𝜓𝜓 𝑡𝑡−1 | 𝛾𝛾 ) = 𝑓𝑓 � 𝜀𝜀 𝑡𝑡 �ℎ 𝑡𝑡 � � 1 �ℎ 𝑡𝑡 � 𝑓𝑓 ( 𝜀𝜀 𝑡𝑡 / 𝜓𝜓 𝑡𝑡−1 | 𝛾𝛾 ) = (2 𝜋𝜋ℎ 𝑡𝑡 ) 1 2 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 �− 𝜀𝜀 𝑡𝑡 2 2 ℎ 𝑡𝑡 � (15)
Fungsi likelihood pada sampel dengan ukuran T adalah sebagai berikut:
𝐿𝐿 ( 𝜀𝜀 1 , 𝜀𝜀 2 , … , 𝜀𝜀 𝑇𝑇 | 𝛾𝛾 ) = � � 𝑓𝑓 ( 𝜀𝜀 𝑡𝑡 / 𝜓𝜓 | 𝛾𝛾 ) 𝑇𝑇 𝑡𝑡=𝑝𝑝+1 � 𝐿𝐿 ( 𝜀𝜀 1 , 𝜀𝜀 2 , … , 𝜀𝜀 𝑇𝑇 | 𝛾𝛾 ) = � � (2 𝜋𝜋ℎ 𝑡𝑡 ) 1 2 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 �− 𝜀𝜀 𝑡𝑡 2 2 ℎ 𝑡𝑡 � 𝑇𝑇 𝑡𝑡=𝑝𝑝+1 � (16)
Setelah fungsi likelihood dan distribusi prior dari model ARCH diperoleh, kemudian akan dicari distribusi posterior dari model ARCH dengan mengalikan distribusi prior yang
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
ditentukan dengan fungsi likelihood model tersebut. Distribusi posterior dari Model ARCH adalah
𝑃𝑃�𝛼𝛼 0 , 𝛼𝛼 1 , 𝛼𝛼 3 , … 𝛼𝛼 𝑛𝑛 | 𝑌𝑌� = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ( 𝜆𝜆 ) � � (2 𝜋𝜋ℎ 𝑡𝑡 ) 1 2 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 �− 𝜀𝜀 𝑡𝑡 2 2 ℎ 𝑡𝑡 � 𝑇𝑇 𝑡𝑡=𝑝𝑝+1 � (17)

## II.2 Uji Stasioneritas
Pada paper ini akan digunakan contoh data untuk melakukan penaksiran parameter model ARIMA. Data runtun waktu yang akan dianalisis adalah data Inflasi Indonesia (%) pada bulan Januari 2014 sampai Januari 2022 dan data data runtun waktu yang digunakan berukuran 𝑛𝑛 = 96 Serta Data Harga Emas 24 Karat (Dollar/gram) pada bulan 1 Januari 2006 sampai 10 April 2006  dan data data runtun waktu yang digunakan berukuran 𝑛𝑛 = 100 . Berikut grafik data runtun waktu yang digunakan.
(a) (b)
Gambar 1. Plot Data Inflasi Indonesia (a) dan Data Harga Emas (b) (Sumber : a. Badan Pusat Statistik ; b  harga-emas.org)
Pada Plot Data Inflasi Indonesia (%) pada bulan Januari 2014 hingga Januari 2022 gambar 1(a) menunjukkan bahwa data turun lambat yang menandakan adanya trend turun dan pada plot Data Harga Emas 24 Karat (Dollar/gram) pada bulan 1 Januari 2006 sampai 10 April 2006 gambar 1(b)  menunjukkan bahwa data turun lambat yang menandakan adanya trend naik sehingga  kedua  data  tersebut  tidak stasioner.  Karena data tidak  stasioner,  maka  dilakukan proses differencing data sebanyak satu kali.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
(a) (b)
Gambar 2. Plot Data Inflasi Indonesia  dan Data Harga Emas
Differencing 1
(a)
(b) Gambar 3. Plot ACF Data Inflasi Indonesia dan Data Harga Emas Differencing (a) (b)
Gambar 4. Plot PACF Data Inflasi Indonesia dan Data Harga Emas Differencing Pada grafik fungsi autokorelasi data differencing Gambar 3(a) pada data inflasi diperoleh nilai autokorelasi lag 1 berada diluar batas signifikanya yang artinya terdapat hubungan yang signifikan antara nilai antara satu variabel dengan variabel lain. Pada autokorelasi lag berada direntang batas signifikannya  yang  artinya tidak ada hubungan yang signifikan antara satu variabel dengan variabel lainnya. Karena lag 2 dan lag 3 tidak berbeda signifikan, maka data stasioner pada diffrenecing satu. Untuk memperjelas bahwa data stasioner atau, maka dapat dilakukan uji stasioner dengan Uji ADF. Adapun hasil uji ADF yang diperoleh sebesar -5.404 dengan p-value sebesar 0.01. Nilai Kritis Mackinnon pada taraf 𝛼𝛼 = 5% adalah -3,487845. Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa | 𝑡𝑡 | > nilai mutlak statistik-t untuk nilai kritis Mackinnon (| − 5,404| > | − 3,48785|) . Pada p-value juga dapat dilihat bahwa p-value < 𝛼𝛼 = (0,01 < 0,05). Jadi  dapat disimpulkan 𝐻𝐻 0 ditolak yang artinya  data inflasi Indonesia yang telah dilakukan differencing sebanyak satu kali tidak mengandung unit root. Artinya data tersebut stasioner.
Dari Gambar 4(a) dapat dilihat bahwa grafik PACF cenderung cut-off mulai lag ketiga dan terdapat tiga lag yang signifikan . Jadi, model yang cocok  adalah proses AR (3). Jadi, jika dimisalkan data Inflasi Indonesia (%) setelah dilakukan differencing sebagai 𝑌𝑌 1 , 𝑌𝑌 2 , … , 𝑌𝑌 96 , maka berlaku hubungan sebagai berikut:

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
𝑃𝑃𝑌𝑌 𝑡𝑡 = 𝛽𝛽 0 + 𝛽𝛽 1 𝑌𝑌 𝑡𝑡−1 + 𝛽𝛽 2 𝑌𝑌 𝑡𝑡−2 + 𝛽𝛽 3 𝑌𝑌 𝑡𝑡−3 + 𝜀𝜀 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 = 4, … ,96 (18)
Pada grafik fungsi autokorelasi data differencing Gambar 3(b) pada data harga emas diperoleh nilai  autokorelasi lag 1 berada diluar batas signifikanya yang artinya terdapat hubungan yang signifikan antara nilai antara satu variabel dengan variabel lain. Pada autokorelasi lag berada direntang batas signifikannya yang artinya tidak ada hubungan yang signifikan antara satu variabel dengan variabel lainnya. Karena lag 2 dan lag 3 tidak berbeda signifikan, maka data stasioner  pada diffrenecing satu.  Untuk memperjelas bahwa data stasioner atau, maka dapat dilakukan uji stasioner dengan Uji ADF. Adapun hasil uji ADF yang diperoleh sebesar -4,6565 dengan p-value sebesar 0.01. Nilai Kritis Mackinnon pada taraf 𝛼𝛼 = 5% adalah -3,487845. Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa | 𝑡𝑡 | > nilai mutlak statistik-t untuk nilai kritis Mackinnon (| − 5,6565| > | − 3,48785|) . Pada p-value juga dapat dilihat bahwa p- value < 𝛼𝛼 = (0,01 < 0,05). Jadi  dapat disimpulkan 𝐻𝐻 0 ditolak yang artinya  data inflasi Indonesia yang telah dilakukan differencing sebanyak satu kali tidak mengandung unit root. Artinya data tersebut stasioner.
Dari Gambar 4(b) dapat dilihat bahwa grafik PACF cenderung cut-off mulai lag ketiga dan terdapat tiga lag yang signifikan . Jadi, model yang cocok  adalah proses AR (1). Jadi, jika dimisalkan data Inflasi Indonesia (%) setelah dilakukan differencing sebagai 𝑌𝑌 1 , 𝑌𝑌 2 , … , 𝑌𝑌 96 , maka berlaku hubungan sebagai berikut:
𝑃𝑃𝑌𝑌 𝑡𝑡 = 𝛽𝛽 0 + 𝛽𝛽 1 𝑌𝑌 𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 = 2, … ,100 (19)

## II.3 Uji ARCH-LM
Uji ARCH-LM merupakan alat uji untuk melihat  efek heteroskedastisitas. ARCH dapat diterapkan. Jika tidak mengandung heteroskedastisitas maka model yang sesuai adalah model AR. Suatu model AR mengandung heteroskedastisitas jika 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 > 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 ( 𝛼𝛼 ) atau 𝑝𝑝𝑣𝑣𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 < 𝛼𝛼 . Pada data inflasi hasil uji ARCH-LM. Berdasarkan hasil uji ARCH-LM dengan Software R diperoleh bahwa nilai 𝑇𝑇 2 = 63,811 sehingga diperoleh 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 = 96(63,881) = 6132,576 . Dari hasil diatas diperoleh 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 pada  α  =  5%  dengan 𝑑𝑑𝑓𝑓 = 96 − 1 = 95 sebesar 118,752. Karena 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 > 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 maka dapat disimpulkan bahwa data Inflasi Indonesia (%) mengandung efek heteroskedastisitas dan model ARCH dapat digunakan.
Pada data harga emas hasil uji ARCH-LM.  Berdasarkan hasil uji ARCH-LM dengan Software R diperoleh bahwa nilai 𝑇𝑇 2 = 31,374 sehingga diperoleh 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 = 100(31,374 ) = 3137.4 .  Dari hasil diatas diperoleh 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 pada  α = 5% dengan 𝑑𝑑𝑓𝑓 = 100 − 1 = 99 sebesar 123,225. Karena 𝑇𝑇𝑇𝑇 2 > 𝑥𝑥 𝑝𝑝 2 maka dapat disimpulkan bahwa data Harga enmas mengandung efek heteroskedastisitas dan model ARCH dapat digunakan.
Berikut adalah grafik ACF dan PACF residual data Inflasi Indonesia dan data harga emas differencing sebanyak 1 kali:
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
(a) (b)
Gambar 5. Plot Residual Data Inflasi Indonesia (a) dan Data Harga Emas (b) setelah dilakukan differencing sebanyak 1 kali (a) (b)
Gambar 6. Plot ACF Residual Data Inflasi Indonesia (a) dan Data Harga Emas (b) setelah dilakukan differencing sebanyak 1 kali (a) (b)
Gambar 7. Plot PACF Residual Data Inflasi Indonesia (a) dan Harga Emas (b) setelah dilakukan differencing sebanyak 1 kali Berdasarkan Gambar 7(a) dapat dilihat bahwa koefisien autokorelasi lag 12 berada tidak berada di rentang batas signifikan yang artinya terdapat hubungan yang signifikan antara satu variabel dengan variabel lain. Model ARCH terbaik untuk data Inflasi Indonesia (%) yaitu model ARCH (1). Maka model yang sesuai adalah sebagai berikut:
𝜀𝜀 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 �𝛼𝛼 0 + 𝛼𝛼 1 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2 + 𝑢𝑢 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 = 2,3, … ,96 (20)
Berdasarkan Gambar 7(b) dapat dilihat bahwa koefisien autokorelasi lag 5 berada tidak berada di rentang batas signifikan yang artinya terdapat hubungan yang signifikan antara satu

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
variabel dengan variabel lain. Model ARCH terbaik untuk data harga emas yaitu model ARCH (1). Maka model yang sesuai adalah sebagai berikut:
𝜀𝜀 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 �𝛼𝛼 0 + 𝛼𝛼 1 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2 + 𝑢𝑢 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 = 2,3, … ,100 (21)

## II.4 Estimasi Parameter Pada Model ARCH Menggunakan Metode Maksimum Likelihood
Berdasarkan hasil identifikasi data tersebut telah diketahui model dari data. Langkah berikutnya adalah melakukan estimasi parameter dari model yang telah diperoleh. Dengan bantuan program R pada metode maksimum likelihood dari turunan parsial terhadap nilai error maka diperoleh estimator sebagai berikut:
(a)
(b)
Gambar 8. Output Estimasi Parameter ARCH Data Inflasi (a) dan Data Harga Emas (b)

## Menggunakan Metode Maksimum Likelihood

## II.5 Estimasi Parameter Pada Model ARCH(1) Menggunakan Metode Bayes
Langkah berikutnya adalah penaksiran parameter dari model yang telah didapatkan. Dari model dan data yang diperoleh akan dianalisis untuk mengpenaksiran parameter menggunakan metode Bayes dengan simulasi MCMC.   Pada penelitian ini digunakan software R untuk melakukan simulasi. Dari hasil 10  simulasi menggunakan metode Bayes pada data inflasi diperoleh estimator 𝛼𝛼 0 dan 𝛼𝛼 1 adalah 0,4252 dan 0,6020. Setelah diperoleh estimasi parameter kemudian diperoleh mean residual dari metode Bayes sebesar 0,4372. Dari hasil 10 simulasi menggunakan metode Bayes pada data harga emas diperoleh estimator 𝛼𝛼 0 dan 𝛼𝛼 1 adalah 8.28543  dan  0,964174.  Setelah diperoleh estimasi parameter kemudian diperoleh mean residual dari metode Bayes sebesar 0,411449.    Nilai estimasi  mean residual menggunakan metode Bayes adalah sebagai berikut:
Tabel 1 Estimasi Mean Residual dan Standard Deviasi
Menggunakan Metode Bayes Data Inflasi Data Harga Emas Run Mean Residual ( 𝜇𝜇̂ 𝜀𝜀 ) Standard Deviasi ( 𝜎𝜎� 𝜀𝜀 ) Mean Residual ( 𝜇𝜇̂ 𝜀𝜀 ) Standard Deviasi ( 𝜎𝜎� 𝜀𝜀 ) 1 0,6533 0,2822 0.841 0.10149 2 0,1246 0,1104 0.254 0.16049 3 0,7364 0,3667 0.437 0.14209 4 0,6879 0,2109 0.6103 0.12467

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
5 0,6721
0,2779 0.1912 0.1668 6 0,4189 0,2531 0.81751 0.10385 7 0,4202 0,4260 0.2121 0.16469 8 0,1142 0,2171 0.167 0.1695 9 0,4954 0,3951 0.5545 0.13029 10 0,0496 0,1324 0.02988 0.18301 Rata-rata 0,4372 0,2671 0.411449 0.144688

## II.6 Perbandingan Estimasi Parameter Metode Maksimum Likelihood dan Metode
Bayes Setelah diperoleh penaksiran parameter selanjutnya ditentukan nilai bias dan MSE ( Mean Square Error ) dari metode tersebut. Nilai penaksiran mean, mean square error , dan bias menggunakan metode Bayes adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Perbandingan Estimasi Mean Residual dan Standard Deviasi Menggunakan Metode Bayes dan Maksimum Likelihood Data Inflasi Data Harga Emas Bayes MLE Bayes MLE 𝜇𝜇̂ 𝜀𝜀 𝜎𝜎� 𝜀𝜀 𝜇𝜇̂ 𝜀𝜀 𝜎𝜎� 𝜀𝜀 𝜇𝜇̂ 𝜀𝜀 𝜎𝜎� 𝜀𝜀 𝜇𝜇̂ 𝜀𝜀 𝜎𝜎� 𝜀𝜀
0,4372  0,2671  0,9166  0,4470  0,41145  0,14469  0,84971  0.0439
Pada data inflasi berdasarkan  Tabel 2 diperoleh rata-rata hasil estimasi mean residual menggunakan metode Bayes adalah 0,4372. Sedangkan estimasi mean residual menggunakan metode Maksimum Likelihood adalah 0,9166. Dapat dilihat bahwa nilai mean residual metode Bayes lebih kecil dari metode Maksimum Likelihood. Sedangkan hasil estimasi standard error pada metode Bayes diperoleh nilai standard error sebesar 0,0272 dan pada metode MLE sebesar 0,0456. Pada data harga emas berdasarkan Tabel 2 diperoleh rata-rata hasil estimasi mean residual menggunakan metode Bayes adalah 0,41145. Sedangkan estimasi mean residual menggunakan metode Maksimum Likelihood adalah 0,84971. Sedangkan hasil estimasi standard error pada metode Bayes diperoleh nilai standard error sebesar 0,14469 dan pada metode MLE sebesar 0,0439. Dapat dilihat bahwa nilai mean residual metode Bayes lebih kecil dari metode Maksimum Likelihood. Berdasarkan hasil tersebut didapati bahwa standard error menggunakan metode Bayes lebih kecil dibandingkan metode MLE. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa metode bayes pada model ARCH lebih baik digunakan pada kasus tersebut. Hal ini dikarenakan pada metode Bayes, parameter diberlakukan sebagai variabel. Pemilihan prior yang tepat merupakan salah satu faktor yang membuat nilai dari mean residual metode Bayes lebih kecil dibandingkan metode Maksimum Likelihood.

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya dapat dlihat bahwa metode Bayes tidak memerlukan asumsi normalitas. Hal ini ditunjukkan dengan penggunaan distribusi priornya yang berdistribusi eksponensial. Pada simulasi data menggunakan model ARCH diperoleh hasil estimasi mean residual menggunakan metode Bayes adalah 0,4372. Sedangkan estimasi mean residual  menggunakan metode Maksimum Likelihood adalah 0,9166.  Pada metode Bayes diperoleh nilai estimasi standard error sebesar 0,0272 dan  pada metode Maksimum

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029
Likelihood sebesar 0,0456. Dari analisis penelitian ini menunjukkan bahwa estimasi parameter dengan menggunakan metode Bayes baik digunakan pada model ini. Hal ini didukung dengan kecilnya nilai estimasi mean residual dan standard error menggunakan metode Bayes dibandingkan dengan menggunakan metode Maksimum Likelihood.

## REFERENSI
[1] R. J, Larsen dan  M. L. Marx, An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications . Fifth Edition. Prentice Hall, 2018.
[2] P. Congdon, Applied Bayesian Modelling . Canada: John Willey and Sons, 2014.
[3] A. Widarjono, Ekonometrika: Teori dan Aplikasi untuk Ekonomi dan Bisnis . Yogyakarta: Penerbit Ekonosia UII, 2005
[4] A. P. Desvina dan I. O. Meijer. Penerapan Model ARCH/GARCH untuk Peramalan Nilai Tukar Petani. Jurnal Sains Matematika dan Statistika , 4 (1), 43-54. 2018.
[5] M. I. Rizki, T. A. Taqiyyuddin, P. F. Rahmah dan A. E. Hasana. Penerapan Model ARCH/GARCH untuk Memprediksi Harga Saham Perusahaan Tokai Carbon. Jurnal Sains Matematika dan Statistika , 7 (2), 50-61.(2021).
[6] R. H. Simatupang dan Sutarman, ARIMA Model Parameter Estimation Using Bayes Method, JOMTE , 2022
[7] K. R. Katianda, R. Goejantoro, dan A. M. A. Satriya. Estimasi Parameter Model Regresi Linier dengan Pendekatan Bayes. EKSPONENSIAL , 11 (2), 127-132. 2021 [8] G. E. Box, G. M. Jenkins, G. C. Reinsel, dan  G. M. Ljung, Time series analysis: forecasting and control . Canada: John Wiley & Sons, 2015 [9] W. W. Winarno. 2017. Analisis Ekonometrika dan Statistika dengan Eviews . Yogyakarta: STIM YKPN
[10] Gujarati, D. 2007. Dasar-dasar Ekonometrika . Terjemahan Sumarno Zain. Jakarta: Erlangga [11] S. Makridakis, S. C. Wheelwright, dan  V. E. McGee. Metode dan Aplikasi Peramalan, Jilid 1 Edisi Revisi (terj.). Binarupa Aksara. Jakarta .2003
[12] Aswi dan Sukarna. Analisis Deret Waktu . Makassar : Penerbit Andira2006.
[13] R. Tsay, Analysis of financial time series wiley series probability and statistic . Third Edition. John wiley & sons. 2010 [14] G. E. Box dan G. C. Tiao, Bayesian inference in statistical analysis . Canada: John Wiley & Sons, 2011.
[15] D. Gamerman dan H. F. Lopes, Markov chain Monte Carlo: stochastic simulation for Bayesian inference . CRC Press. 2006 [16] G. Casella dan R. L. Berger, Statistical inference . Cengage Learning, 2021.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15029