Penentuan Premi Asuransi Jiwa Gabungan Dwiguna dengan Asumsi Mortalita Gompertz dan Pengaruh Nilai Tukar terhadap Tingkat Bunga
Khoiroh Alfiana 1* , Ade Ima Afifa Himayati 2
1, 2 Universitas Muhammdiyah Kudus
* khoiroh alfiana@umkudus.ac.id

## ABSTRAK
Penelitian  ini  berfokus  pada  pembahasan  mengenai  perhitungan  premi  asuransi  jiwa  gabungan dwiguna.  Asuransi  jiwa  gabungan  dwiguna  memberikan  dua  manfaat  sekaligus  yaitu  manfaat diberikan  jika  salah  satu  tertanggung  meninggal  dunia  atau  memberikan  manfaat  jika  kedua tertanggung  masih  hidup  hingga  akhir  masa  kontrak  asuransi.  Perhitungan  premi  asuransi  jiwa gabungan  dwiguna  ini  melibatkan  asumsi  Gompertz  pada  probabilitas  hidup  dan  pengaruh  nilai tukar pada tingkat bunga. Perhitungan premi dihitung berdasarkan asumsi mortalita Gompertz, yang mempengaruhi  probabilitas  hidup  tertanggung  status  gabungan.  Selain  itu,  adanya  pengaruh fluktuasi dollar terhadap tingkat bunga yang berdampak pada nilai premi asuransi. Berdasarkan hasil yang  diperoleh,  turunnya  nilai  tukar  rupiah  mengakibatkan  tingkat  bunga  meningkat  jika dibandingkan  dengan  tingkat  bunga  acuhan.  Sehingga,  dapat  disimpulkan  nilai  premi  asuransi dipengaruhi  nilai  tukar.  Hal  ini  berakibat  adanya  peningkatan  risiko  yang  dialami  perusahaan asuransi.
Kata kunci : asuransi jiwa gabungan dwiguna, hukum mortalita Gompertz, nilai tukar.

## ABSTRACT
This paper focused on calculation of premiums of n-years endowmnet insurance for joint life status. Endowment joint life insurance gives two benefits, benefits is paid if the first dead occurs or the two insured survives at the end of n years term insurance policy. The calculation of premiums based on Gompertz  mortality  assumptions  that  effect  the  probability  of  joint  life  insured.  In  addition,  the calculation of premiums also refered by interest rate which influenced the exchange rate. Based on the  calculation  results,  fluctuations  of  exchange  rate  effected  the  interst  rate.  The  greater  of depreciation of foreign exchange rate made interst rate increased. As the result, concluded that the n-years endowment joint life insurance follows the fluctuations of the exchange rate. This could be increasing risk for insurance company.
Keywords: endowment joint-life status, Gompertz’s law, exchange rate.

## 1. PENDAHULUAN
Asuransi jiwa merupakan jaminan risiko terhadap jiwa seorang yang dipertanggungkan. Ada  dua  jenis  asuransi  jiwa  di  Indonesia  yaitu  asuransi  jiwa  perseorangan  ( single - life )  dan asuransi  jiwa  kelompok  ( multiple-life )  yang  melibatkan  dua  orang  tertanggung  atau  lebih. Asuransi  jiwa  gabungan  ( joint-life )  merupakan  salah  satu  jenis  dari  asuransi  kelompok. Asuransi  jenis  ini  biasanya  diikuti  dua  individu  atau  pasangan  suami  istri  yang  bertujuan sebagai bentuk perlindungan masa tua jika salah satu meninggal, dimana manfaat diberikan saat ada kematian pertama terjadi (Bowers et al. , 1990).
Referensi mengenai teori asuransi jiwa gabungan antara lain Bowers (1991), Promislow (2011), dan  Sertdemir  (2013).  Penelitian  lebih  lanjut, perhitungan  nilai  aktuaria  berdasarkan hukum mortalita Gompertz dapat menggunakan pendekatan kontinu dari percepatan mortalita ( force  of  mortality )  (Yang  and  Zhou,  2003)  sehingga  memudahkan  dalam  perhitungan. Distribusi  Gompertz  pertama  kali  didefinisikan  oleh  B.  Gompertz  pada  tahun  1825,  yang digunakan untuk menentukan percepatan mortalita. Namun dalam perkembangannya, asumsi Gompertz digunakan untuk menentukan probabilitas hidup dan probabilitas kematian.
Pada  penelitian  ini,  difokuskan  pada  asuransi  gabungan  dwiguna  ( endowment )  yaitu asuransi  jiwa  gabungan  yang memberikan manfaat  dua manfaat sekaligus yaitu  memberikan manfaat  jika  terjadi  kematian  pertama  dari  salah  satu  tertanggung  dalam  masa  kontrak  atau memberikan  manfaat  apabila  kedua  tertanggung  tetap  hidup pada  akhir  masa  asuransi.  Pada pembahasan  ini,  probabilitas  hidup  kedua  tertanggung  dianggap  saling  independen. Perhitungan  probabilitas  hidup  didasarkan  pada  asumsi  mortalita  Gompertz  dan  dengan menggunakan  data  Tabel  Mortalita  Indonesia  tahun  2011.  Nilai  anuitas  jiwa  asuransi  jiwa gabungan dwiguna dihitung dengan tingkat bunga yang berubah mengikuti fluktuasi nilai tukar asing.  Perhitungan  tingkat  bunga  yang  dipengaruhi  nilai  tukar  rupiah  terhadap  dollar diharapkan dapat mengikuti tren ekonomi dunia (Zayanti, Kresnawati, dan Megah, 2019).
Pembahasan berupa perhitungan tingkat diskon faktor yang dipengaruhi adanya fluktuasi nilai tukar asing, dengan menghitung arus dan volatilitas nilai tukar. Selanjutnya, perhitungan probabilitas  hidup  dengan  mengikuti  asumsi  mortalita  Gompertz  yang  digunakan  untuk perhitungan nilai sekarang aktuaria dan nilai anuitas, selain itu ditambahkan adanya pengaruh nilai tukar terhadap diskon faktor yang diperoleh dalam perhitungan nilai anuitas jiwa.  Hasil akhir  berupa  analisis  pengaruh  nilai  tukar  terhadap  premi  tahunan  asuransi  jiwa  gabungan dwiguna. Perhitungan premi ini diharapkan dapat mengikuti tren ekonomi dunia, berdasarkan volatilitas nilai tukar asing terhadap tingkat bunga sehingga dapat mengukur tingkat risiko yang dialami  perusahan  jika  terjadi  lonjakan  nilai  tukar  asing.  Perhitungan  dilakukan  dengan menggunakan Excel.

## 2. METODE
Penelitian  ini  membahas  mengenai  perhitungan  nilai  premi  tahunan  dari  asuransi  jiwa gabungan  dwiguna  dengan  menggunakan  metode  eksperimental.  Penelitian  menggunakan ilustrasi  kasus  polis  asuransi  jiwa  yang  melibatkan  dua  tertanggung,  dimana  manfaat dibayarkan  jika  salah  satu  dari  tertanggung  meninggal.  Langkah  yang  diperlukan  dalam menghitung  besar  premi  asuransi  jiwa  gabungan  dwiguna  dengan  probabilitas  kematian
gabungan  mengikuti  asumsi  mortalita  Gompertz dan  laju bunga  dipengaruhi  fluktuasi  dollar adalah (1) menentukan diskon faktor    yang dipengaruhi nilai tukar dengan menghitung arus ( drift ) dan volatilitas ( volatility ) fluktuasi rupiah terhadap dollar; (2) menghitung probabilitas kematian dari tertanggung dibawah asumsi mortalita Gompertz, dengan menghitung estimasi parameter  Gompertz;  (3)  menentukan  nilai  sekarang  bersih  aktuaria  asuransi  jiwa  gabungan dwiguna untuk   tahun; (4) menentukan anuitas jiwa dengan asumsi mortalita Gompertz dan pengaruh nilai tukar terhadap tingkat bunga; dan (5) menentukan premi tahunan asuransi jiwa gabungan dwiguna.

## 2.1. Tingkat Bunga yang Dipengaruhi Nilai Tukar
Berdasarkan data kurs dollar yang diperoleh dari www.bi.go.id, nilai drift   dan volatilitas sebagai berikut (Zayanti, Kresnawati and Megah, 2019).
))) ( ln( 2 1 )) ( (ln( 2 2 X E X E    (1)
))] ( ln( 2 )) ( [ln( 2 X E X E    (2)
Sedemikian hingga, diskon faktor berdasarkan pengaruh fluktuasi dollar dinyatakan
)) )( 2 1 ( exp( 2 t v t        (3)
Untuk = 1 , diskon faktor )) 2 1 ( exp( 2        v .

## 2.2. Hukum Mortalita Gompertz
Distribusi  Gompertz ( | , ) dengan  rata-rata    dan  standar  deviasi    didefinisikan sebagai (Willemse and Koppelaar, 2000)
        b a x W x G ) , | (   (4)
dengan ( ) = 1 − dan konstanta dan memenuhi
b 6    dan   b a   , (5)
dan   konstanta Euler-Mascheroni.
Distribusi ) , | (   x G dikatakan Gompertz karena
x c g x G   1 ) , | (   (6)
saat
b a e e g    dan b e c 1  (7)
Percepatan mortalita untuk grup mengikuti hukum Gompertz didefinisikan dengan (Yang and Zhou, 2003)
x Bc x  ) (  (8)
dengan > 0 dan > 1 .
Berdasarkan  persamaan  (8),  probabilitas  hidup  seorang  berusia    hingga    tahun  dan probabilitas seorang berusia hingga ( + ) dinyatakan sebagai
) 1 (   t x c c x t g p (9) ) 1 ( 1    t x c c x t g q (10)

## 2.3. Nilai Sekarang Aktuaria Asuransi Jiwa Gabungan Dwiguna (Endowment) di Bawah Asumsi Gompertz
Nilai  sekarang  aktuaria  atau  biasa  disebut  premi  tunggal  bersih  dari  asuransi  jiwa gabungan dwiguna seorang berusia   dan   dalam jangka waktu perlindungan   tahun adalah
xy n n n k k y k x xy k k n xy p v q p v
A         1 0 : 1 | : (11)
Berdasarkan asumsi mortalita Gompertz, premi tunggal bersih dinyatakan dengan
  ) 1 )( ( 1 0 ) 1 )( ( ) 1 )( ( 1 | : 1             
 n y x k y x k y x c c c n n k c c c c c c k n xy g v g g v A (12)

## 2.4. Anuitas Jiwa dengan Tingkat Bunga yang Dipengaruhi Nilai Tukar
Nilai anuitas jiwa asuransi gabungan dwiguna dari usia   dan   adalah (Sertdemir, 2013)
    1 0 | : n k xy k k n xy p v a   (13)
dengan probabilitas hidup status gabungan mengikuti asumsi Gompertz, anuitas jiwa gabungan dari seorang berusia x dan y dinyatakan dengan
      1 0 ) 1 )( ( | : n k c c c k n xy k y x g v a   (14)
Dengan adanya pengaruh fluktuasi dollar dari (3), anuitas jiwa menjadi
         1 0 ) 1 )( ( 2 | : ] ) 2 1 ( exp[ n k c c c n xy k y x g k a      (15)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Pengaruh Nilai Tukar terhadap Tingkat Bunga
Berdasarkan  data  kurs  dollar  dari  tahun  2015  hingga  2020  yang  diperoleh  dari www.bi.go.id berikut.
Gambar 1. Kurs Dollar Tahun 2015-2020 0,00 2.000,00 4.000,00 6.000,00 8.000,00 10.000,00 12.000,00 14.000,00 16.000,00 18.000,00 02-Jan-15 02-Jan-16 02-Jan-17 02-Jan-18 02-Jan-19 02-Jan-20 Kurs Dollar
Diperoleh  besar  drift    =  -0.002246782  kurang  dari  0  menunjukkan  bahwa  rupiah melemah terhadap dollar, terlebih disaat adanya pandemi  saat ini-Sept 2020. Sedangkan  volatilitasnya menunjukkkan fluktuasi dollar sebesar 0.047400231.
Diasumsikan  tingkat  bunga  yang  digunakan  mengikuti  BI-rate  yang  ditetapkan  Bank Indonesia  untuk  bulan  Juli  2020  yaitu  4%,  diperoleh  laju  tingkat  bunga = ln(1 + ) = 0.0392207132 . Sedemikian hingga, diskon faktor berdasarkan pengaruh fluktuasi dollar untuk = 1 , diskon faktor = 0.960458884 .

## 3.2. Premium
Misalkan  pasangan  suami  (40  tahun)  dan  istri  (35  tahun)  membeli  polis  asuransi  jiwa gabungan  dwiguna  10  tahun.  Manfaat  akan  diberikan  pada  saat  salah  satu  meninggal. Berdasarkan  data  Tabel  Mortalita  Indonesia  2011,  diperoleh = 1.040447 dan = 0.002465 .  Sehingga,  probabilitas  status  jiwa  gabungan  untuk  usia  (40)  dan  (35)  disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Probabilitas Status Jiwa Gabungan dengan Asumsi Gompertz
40 p k 35 p k 0 1 1 1 0.987792 0.989977 2 0.975249 0.979654 3 0.962367 0.969029 4 0.949145 0.958096 5 0.935581 0.946851 6 0.921673 0.935292 7 0.907423 0.923416 8 0.89283 0.911219 9 0.877897 0.898699
Premi asuransi jiwa gabungan dwiguna dinyatakan sebagai (Sertdemir, 2013)
a A P
n xy n xy n xy   | : | : | :  (16)
dengan  mensubtitusikan  persamaan  (12)  dan  (15),  diperoleh  Premi  tahunan  asuransi  jiwa gabungan  dwiguna  dengan  asumsi  mortalita  Gompertz  dan  pengaruh  nilai  tukar  terhadap tingkat bunga sebagai berikut.
                          1 0 ) 1 )( ( 2 | : ) 1 )( ( 1 0 ) 1 )( ( ) 1 )( ( 1 | : | : ] ) 2 1 ( exp[ 1 n k c c c n xy c c c n n k c c c c c c k n xy n xy k y x n y x k y x k y x g k g v g g v a A P      (16)
Sehingga, premi tahunan asuransi jiwa gabungan untuk usia (40) dan (35) disajikan dalam Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Nilai Aktuaria dan Anuitas Jiwa Gabungan
Berdasarkan Tabel 2 dan Persamaan (17), dengan manfaat sebesar 1 diperoleh premi tahunan asuransi jiwa gabungan sebesar 0.654449. Sedangkan premi tahunan asuransi jiwa gabungan tanpa  pengaruh  fluktuasi  nilai  tukar  untuk  manfaat  sebesar  1  adalah  0.614388.  Jika dibandingkan dengan premi asuransi jiwa gabungan tanpa adanya pengaruh nilai tukar terhadap tingkat bunga  tersebut,  maka  asuransi jiwa  gabungan  dwiguna  dengan  asumsi  gompertz  dan pengaruh nilai tukar terhadap tingkat bunga cenderung menghasilkan nilai premi tahunan yang lebih besar. Hal ini dikarenakan adanya fluksuasi nilai tukar yang mengakibatkan tingkat bunga lebih besar jika dibandingkan tingkat bunga acuhan.

## 4. SIMPULAN
Premi tahunan dipengaruhi oleh probabilitas hidup, tingkat suku bunga dan biaya-biaya lainnya.  Berdasarkan  hasil pembahasan,  probabilitas  hidup di  bawah  asumsi  gompertz lebih kecil jika dibandingkan dengan data probabilitas hidup dari tabel Mortalita Indonesia 2011. Hal ini memberikan dampak adanya perbedaan nilai premi asuransi jiwa gabungan dwiguna. Selain itu, adanya pengaruh nilai tukar terhadap tingkat bunga juga mempengaruhi nilai anuitas jiwa asuransi  gabungan.  Depresiasi  pada  nilai  tukar  asing  mengakibatkan  fluktuasi  pada  tingkat bunga,  yang  berdampak pada  nilai premi  asuransi.  Saat  nilai  tukar  asing  turun  maka  tingkat bunga meningkat dan sebaliknya. Hal ini akan meningkatkan risiko bagi perusahaan asuransi. Untuk penelitian selanjutnya, dapat dikembangkan pengaruh-pengaruh ekonomi lainnya dalam perhitungan premi asuransi sehingga diharapkan dapat memberikan premi yang menyesuaikan dengan pertumbuhan ekonomi dunia. Selain itu, penilitiaan terhadap probabilitas mortalita juga dapat dikembangkan mengikuti asumsi mortalita yang lain.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Andiraja,  N.  and  Fadli,  A.  (2015)  ‘Nilai  Akumulasi  Anuitas  Berjangka  Dengan  Distribusi Makeham Pada Status Hidup Gabungan’, Jurnal Sains Matematika dan Statistika , I(1), pp. 65–70.
Bowers, N. et al. (1990) Actuarial Mathematics . 2nd edn. The Society of Actuaries.
35 : 40 p k | 0 1 : 35 : 40 A | 0 1 : 35 : 40 a   0 1 0.537498 0.9593805 1 0.977891 0.556557 0.9508318 2 0.955407 0.573519 0.9419753 3 0.932561 0.588484 0.9328057 4 0.909372 0.601555 0.9233181 5 0.885856 0.61283 0.9135076 6 0.862034 0.622408 0.9033699 7 0.837929 0.630388 0.892901 8 0.813564 0.636867 0.8820973 9 0.788965 0.641941 0.8709559
Danu  Aditya,  Johannes  Kho,  T.  P.  N.  (1980).  Premi  Asuransi  Jiwa  Gabungan  Berjangka Dengan Asumsi Gompertz. Journal of the Japanese Society of Pediatric Surgeons , 16(4), p. 704.
Fatimah,  S.,  Satyahadewi,  N.  and  Martha,  S.  (2016).  Penentuan  Nilai  Anuitas  Jiwa  Seumur Hidup Menggunakan Distribusi Gompertz. Buletin Ilmiah , 05(2).
Kellison, S. G. (2009) The Theory of Interest . 3rd edn. New York: Mc Graw Hill.
Matvejevs,  Andrejs  and  Matvejevs,  Aleksandrs  (2001).  Insurance  Models  for  Joint  Life  and Last Survivor Benefits. Informatica , 12(4), pp. 547–558.
Promislow, S. D. (2011) Fundamentals of Actuarial Mathematics Second Edition . 2st edn. UK: John Wiley & SOn Ltd.
Ramadani,  K.,  Dodi,  D.  and  Rahmi,  I.  (2019).  Pengaruh  Penggunaan  Hukum  Mortalitas Gompertz  Pada  Penentuan  Besarnya  Asuransi  Jiwa  Dwiguna  dengan  Metode  Full Preliminary Term. VIII(1), pp. 163–170.
Sertdemir, B. H. (2013) Multiple Life Insurance .
Slud, E. V (2001) ‘Actuarial Mathematics and Life-Table Statistics’.
Willemse,  W.  J.  and  Koppelaar,  H.  (2000).  Knowledge  elicitation  of  gompertz’  law  of mortality. Scandinavian Actuarial Journal , 2000(2), pp. 168–179.
Wulan,  S.,  Lestari,  R.  and Yanita  (2017) .Penentuan  Premi  Asuransi  Jiwa  Dwiguna  Dengan Hukum De Moivre Dan Hukum Gompertz. Jurnal Matematika UNAND , 6(3), p. 112.
Yang, J. and Zhou, S. (2003). Joint-life status and Gompertz’s law. pp. 1–10.
Zayanti, D. A., Kresnawati, E. S. and Megah, M. (2019). Joint life insurance based on Gompertz assumptions and interest rate affected by the excange rate. Journal of Physics: Conference Series , 1282(1).