## Bayesian Conditional Autoregressive (CAR) dengan Model
Localised dalam Menaksir Risiko Relatif

## DBD di Kota Makassar
Rusydah Khaerati 1* , Sri Astuti Thamrin 2 , Andi Kresna Jaya 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia * Corresponding author, address: krusydah@gmail.com

## Abstract
Bayesian  Conditional  Autoregressive  (CAR)  is  used  in  disease  mapping  because  it  is  able  to  model relative  risks  by  taking  into  account  the  smoothing  of  the  estimated  relative  risk  and  entering  spatial information to reduce the errors of the estimated relative risk parameters so that a more reliable relative risk  model  is  obtained.  In  this  study,  the  relative  risk  value  of  the  spread  of  dengue  fever  will  be calculated  using  Bayesian  CAR  with  the  localised  model.  These  results  were  obtained  using  the OpenBUGS  program  and  are  illustrated  in  the  2016  dengue  fever  case  data.  Based  on  the  model, mapping of dengue fever in Makassar can be identified in each district and shows that Makassar City is still very vulnerable to dengue fever.
Keywords : Bayesian Conditional Autoregressive, Dengue Fever, Localised Model, Relative Risk .

## Abstrak
Bayesian  Conditional  Autoregressive  (CAR)  digunakan  dalam  pemetaan  penyakit  karena  mampu memodelkan resiko relatif dengan memperhatikan pemulusan nilai taksiran risiko relatif dan memasukkan informasi  spasial  untuk  mengurangi  kekeliruan  dari  taksiran  parameter resiko  relatif  sehingga  diperoleh taksiaran  resiko  relatif  yang  lebih  handal.  Dalam  penelitian  ini,  nilai  risiko  relatif  dari  penyebaran penyakit  demam  berdarah  dengue  akan  dihitung  menggunakan  Bayesian  CAR  dengan  model localised . Hasil ini diperoleh dengan menggunakan program OpenBUGS dan diilustrasikan pada data kasus demam berdarah  dengue  tahun  2016.  Berdasarkan  model  ini,  pemetaan  penyakit  demam  berdarah  di  Kota Makassar  dapat  teridentifikasi  untuk  setiap  kecamatan  dan  menunjukkan  bahwa  Kota  Makassar  masih sangat rentan terkena penyakit demam berdarah dengue.
Kata Kunci : Bayesian Conditional Autoregresssive , Demam Berdarah Dengue, Model Localised , Risiko Relatif.

## 1. Pendahuluan
Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dari keluarga flaviviridae yang  ditularkan  melalui  gigitan  nyamuk  ( arthropod  borne viruses/arbovirus )  yaitu Aedes aegypti dan Aedes albopictus dengan  manifestasi klinis demam, nyeri otot/sendi disertai leukopenia, ruam, limfodenopati, trombositopenia [1]. DBD  masih  menjadi  masalah  kesehatan  masyarakat  yang  utama  karena  penyebaran, tingkat  keparahan,  serta  kerugian  material  yang  dihasilkannya.  Hal  ini  akan  semakin meningkat apabila tidak dilakukan pencegahan dan pemberantasan penyakit  ini secara dini [2]. Nyamuk aedes hanya dapat berkembang biak di daerah tropis dengan suhu di atas  16 ̊C  dan  pada  ketinggian  kurang  dari  1.000  meter  di  atas  permukaan  laut  [3].

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
Salah  satu  daerah  di  Indonesia  yang  masuk  dalam  kriteria  tersebut  adalah  kota Makassar.
Kota Makassar adalah Ibu Kota Provinsi Sulawesi Selatan, yang terletak di bagian Selatan Pulau Sulawesi yang terletak antara 119º24’17’38” Bujur Timur dan 5º8’6’19” Lintang  Selatan  yang  berbatasan  sebelah  Utara  dengan  Kabupaten  Maros,  sebelah Timur  Kabupaten  Maros,  sebelah  selatan  Kabupaten  Gowa  dan  sebelah  Barat  adalah Selat  Makassar  [4].  Berdasarkan  keadaan  cuaca  serta  curah  hujan,  Kota  Makassar termasuk  daerah  yang  beriklim  sedang  hingga  tropis.  Dua  tahun  terakhir  suhu  udara rata-rata Kota Makassar berkisar antara 27,0 ° C sampai dengan 29,0 ° C. Pada tahun 2017 curah  hujan  terbesar  terjadi  pada  Bulan  Desember,  Januari,  November,  Maret,  dan Februari dengan rata-rata curah hujan 311 mm dan jumlah hari hujan rata-rata berkisar 17  hari  [5].  Iklim  kota  Makassar  yang  memenuhi  kriteria  nyamuk aedes untuk berkembang  biak  dengan  baik,  menyebabkan  banyaknya  kasus  penyakit  DBD  yang terjadi di kota ini.
Analisis  risiko  relatif  dari  penyebaran  penyakit  DBD  di  Kota  Makassar  perlu dilakukan  untuk  melihat  daerah  mana  di  Kota  Makassar  yang  berisiko  tinggi  terkena penyakit  DBD.  Penaksiran  risiko  relatif    menggunakan  Bayesian  CAR  model  Besag- York-Mollie (BYM) telah dilakukan oleh Samat dan Mey [6]. Sebelumnya, Lee dkk [7] melakukan  penelitian  menggunakan  Bayesian  CAR  untuk  mengestimasi  risiko  relatif pada  kasus  polusi  udara  dengan  membandingkan  model  BYM  dan  model localised . Kesimpulan yang dihasilkan adalah model localised mampu menghasilkan risiko relatif yang  lebih  halus  dibandingkan  model  BYM.  Selain  itu,  Lee  dan  Sarran  [8] menggunakan  model localised dengan  sistem  pengklusteran  dalam  menaksir  risiko relatif pada kasus polusi udara dan menghasilkan nilai risiko relatif yang lebih halus.
Dalam penelitian ini, nilai risiko relatif dari penyebaran penyakit demam berdarah dengue dihitung  menggunakan  metode  berdasarkan  model localised tanpa  kovariat. Sebelumnya,  Sunengsih  [9]  juga  telah  melakukan  penelitian  menggunakan  beberapa model  prior  tanpa  kovariat  dan  dengan  kovariat  pada  kasus  diare.  Walaupun  model localised tanpa  kovariat  menghasilkan  nilai  DIC  kedua  terendah  setelah  model localised dengan  kovariat,  namun  nilai R 2 yang  dihasilkan  tertinggi  dibandingkan model  lainnya.  Melalui  model localised ,  pemetaan  penyakit  mengasumsikan  bahwa jumlah  orang  dengan  penyakit  demam  berdarah dengue adalah  variabel  acak  Poisson dan  adanya  struktur  kluster  dalam  data.  Dengan  model  ini,  tingkat  risiko  penyebaran penyakit DBD setiap tahun untuk setiap kecamatan di Kota Makassar dapat diketahui. Oleh  karena  itu,  penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengidentifikasi  area  risiko  relatif penyebaran  DBD  di  Kota  Makassar  melalui  estimasi  risiko  relatif  yang  dihasilkan. Berdasarkan  hasil  penelitian,  pemetaan  penyakit  demam  berdarah  di  Kota  Makassar dapat  teridentifikasi  untuk  setiap  kecamatan  dan  menunjukkan  bahwa  Kota  Makassar masih sangat rentan terkena penyakit demam berdarah dengue.

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…

## 2. Metode dan Analisis

## 2.1 Sumber Data
Penelitian  ini  menggunakan  data  yang  diperoleh  dari  hasil  publikasi  Badan  Pusat Statistik  Kota  Makassar,  Sulawesi  Selatan,  Indonesia,  mencakup  seluruh  kecamatan pada  tahun  2016.  Data  yang  diambil  adalah  jumlah  kasus  penyakit  DBD  untuk  setiap kecamatan  di  Kota  Makassar.  Variabel  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yaitu jumlah kasus penyakit DBD dan  lokasi (lintang dan  bujur),  menyatakan kecamatan di Kota Makassar.
Gambar 1. Peta Wilayah Kota Makassar, Sulawesi Selatan, Indonesia
Penderita  penyakit  DBD  di  Kota  Makassar  setiap  tahunnya  masih  terus  terjadi. Penderita  DBD  yang  diamati  di  kota  Makassar  terbagi  berdasarkan  14  kecamatan seperti terlihat pada Gambar 1 peta kota Makassar. Kecamatan  Biringkanaya memiliki total kasus penderita DBD tertinggi, yaitu 37 kasus, kemudian disusul oleh Kecamatan Rappocini  dan  Manggala  dengan  kasus  berturut-turut  36  dan  35  kasus.  Sementara  itu, kecamatan  Wajo,  Ujung  Tanah,  dan  Ujung  Pandang  merupakan  kecamatan  dengan jumlah penderita DBD paling sedikit pada tahun 2016.

## 2.2 Bayesian Conditional Autoregressive Model Localised
Bayesian  Conditional  Autoregressive (CAR)  merupakan  teknik  dalam  pemetaan penyakit  yang  memodelkan  resiko  relatif  dengan  memperhatikan  pemulusan  nilai taksiran resiko relatif. Metode ini juga memasukkan informasi spatial untuk mengurangi kekeliruan  dari  taksiran  parameter  resiko  relatif  sehingga  diperoleh  taksiran  resiko relatif  yang  lebih  baik  [10].  Istilah  Bayesian  merujuk  pada  konsep  model  pemulusan sedangkan  CAR  merujuk  pada  model  yang  memungkinkan  memasukkan  informasi spasial dalam pemodelan.

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
Wilayah  studi S dipartisi  menjadi K unit  areal  yang  tidak  tumpang  tindih 𝑆 = {𝑆 1 , … , 𝑆 𝐾 }. Misalkan  variabel  acak 𝑌 = (𝑌 1 , … , 𝑌 𝑘 ) merupakan  vektor  univariat yang  menyatakan  jumlah  kasus  pada  lokasi  ke- k (𝑘 = 1,2, … , 𝐾) dan  vektor  dari  nilai expected  rate 𝐸 = (𝐸 1 , … , 𝐸 𝐾 ). Pola  spasial  dalam  respon  dimodelkan  oleh 𝜓 = (𝜓 1 , … , 𝜓 𝐾 ) yang  merupakan  komponen  struktur  spasial,  kemudian  dimasukkan  ke dalam  model  yang  telah  dipilih  dalam  data.  Data  yang  digunakan  adalah  jumlah penderita  penyakit  demam  berdarah dengue untuk  setiap  kecamatan  di  Kota  Makassar yang merupakan variabel acak poisson, maka model CAR Bayes yang dapat digunakan yaitu:
𝑌 𝑘 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 𝑘 ) untuk 𝑘 = 1, … , 𝐾 (1)
𝐼𝑛(𝜇 𝑘 ) =   𝜓 𝑘 + 𝐸 𝑘 Nilai  yang  diharapkan  dari 𝑌 𝑘 dilambangkan  dengan 𝐸(𝑌 𝑘 ) =   𝜇 𝑘 yang  diperoleh  dari hasil  perkalian  jumlah  populasi  yang  beresiko  dengan  peluang  terjadinya  satu  kasus pada  keseluruhan  lokasi  [12].  Untuk  mendapatkan  nilai 𝜓 𝑘 maka  CAR Bayes dapat diimplementasikan  kedalam  salah  satu  model  efek  acak  spasial  yang  dipilih.  Dalam tulisan  ini,  peneliti  memilih  model  localised  tanpa  kovariat  untuk  menyelesaikan permasalahan tersebut.

## 2.3 Spasial CAR Localised
Salah  satu  model  diusulkan  oleh  Lee  dan  Sarran  [8]  dengan  mempartisi  unit-unit area  menjadi  jumlah  maksimum kluster  yang ditentukan oleh peneliti dan disimbolkan dengan (𝜆 1 , … , 𝜆 𝐺 ) . Model ini diberikan oleh: 𝜓 𝑘 =   𝜙 𝑘 + 𝜆𝑍 𝑘 (2)
𝜙 𝑘 |𝜙 −𝑘 , 𝑾, 𝜏 𝟐 ~ 𝑁 ( ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝜙 𝑖 𝐾 𝑖=1 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝐾 𝑖=1 , 𝜏 2 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝐾 𝑖=1 )
𝜏 𝟐 ~ Inverse − Gamma (a, b)
𝜆 𝑖 ~ Uniform (λ i−1 , λ i+1 )   untuk 𝑖 = 1, … , 𝐺
𝑓(𝑍 𝑘 ) = 𝑒𝑥𝑝 (−𝛿(𝑍 𝑘 − 𝐺 ∗ ) 2 ) ∑ exp(−𝛿(𝑟 − 𝐺 ∗ ) 2 ) 𝐺 𝑟=1 𝛿 ~ Uniform(1, 𝑀 = 𝐾 + 𝐺) Kluster  dilambangkan  dengan (𝜆 1 , … , 𝜆 𝐺 ) dimana 𝜆 1 < 𝜆 2 < ⋯ < 𝜆 𝐺 ,  syarat  ini berlaku untuk mencegah terjadinya masalah perubahan nilai (seperti jumlah kasus) pada wilayah  yang  memang  berisiko  memiliki  jumlah  penderita  penyakit  yang  terus bertambah. Pembagian unit-unit area dilambangkan K, dan G adalah jumlah maksimum kluster  yang  diinginkan  oleh  peneliti.  Dalam  model  ini,  kluster  diurutkan  berdasarkan nilai rata-rata yang dihasilkan (𝜆 𝑖 ) dan 𝛿 (𝑍 𝑘 − 𝐺 ∗ ) 2 merupakan prior dari 𝑍 𝑘 , dimana 𝐺 ∗ = (𝐺 + 1)/2 jika  G  yang  dipilih  adalah  ganjil  dan 𝐺 ∗ = 𝐺/2 jika  G  yang  dipilih adalah  genap.  Dengan  menggunakan  model  ini,  unit-unit  area  yang  telah  diklusterkan akan  menghasilkan  nilai  risiko  relatif  yang  berbeda.  Oleh  karena  itu,  daerah  yang berdekatan dan memiliki perbedaan nilai, tetap dapat diperhitungkan walaupun unit-unit

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
area tersebut dilakosikan ke berbagai kelompok. Lee dan Sarran [8] merekomendasikan peneliti  untuk  memilih  G  dalam  angka  ganjil  dan  nilai  G  yang  dipilih  harus  bernilai kecil,  karena (𝜆 1 , … , 𝜆 𝐺 ) dirancang  untuk  memperkirakan  daerah  tetangga  yang memiliki  efek  acak  berbeda,  namun  area  di  sisi  yang  berbeda  dari  wilayah  penelitian dapat memiliki  nilai (𝜆 1 , … , 𝜆 𝐺 ) yang sama. Selain  itu, Variasi  spasial  yang dihasilkan pada  prior  dimodelkan  oleh 𝜙 = (𝜙 1 , … , 𝜙 𝑛 ) ,  dan  dengan  beragamnya  variasi  spasial tersebut  mengakibatkan  model-model  tidak  sesuai  dengan  struktur  smoothing  yang diinginkan.
Untuk  pemilihan  nilai 𝐺 ,  Lee  dan  Sarran  [8]  merekomendasikan  peneliti  untuk memilih 𝐺 dalam  angka  ganjil  dan  nilai 𝐺 yang  dipilih  harus  bernilai  kecil.  Alasan pemilihan  tersebut  karena  dalam  penelitian  yang  telah  dilakukan  oleh  Lee  dan  Sarran (2015), nilai 𝐺 yang dipilih yaitu 𝐺 = 3, 4, 5, 7 dan memperoleh kesimpulan bahwa 𝐺 = 3 dan 𝐺 = 5 memiliki nilai risiko relatif yang lebih halus dibanding 𝐺 = 4 . Oleh karena itu, dalam penelitian ini dipilih nilai 𝐺 = 3 . Untuk G bernilai ganjil, maka 𝐺 ∗ = 𝐺+1 2 = 3+1 2 = 2 .

## 3. Hasil dan Diskusi

## 3.1 Uji Autokorelasi Spasial
1. Matriks Pembobot Spasial
Matrix pembobot yang digunakan adalah queen contiguity (persinggungan sisi dan sold-out ). Peta Kota Makassar dengan ketetanggan queen contiguity dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Peta Kota Makassar dengan ketetanggan queen contiguity

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
Garis  lurus  yang  saling  terhubung  pada  Gambar  4.2  menunjukkan  hubungan ketetanggaan  masing-masing  kecamatan  dilihat  dari  segi  sisi  dan  sudutnya.  Untuk daerah yang saling bertetangga memiliki matriks pembobot dengan nilai satu dan daerah yang tidak saling bertetangga bernilai 0. Diagonal utama dari matriks pembobot spasial 𝑾 juga  bernilai  0,  karena  daerah  yang  dipasangkan  dengan  dirinya  sendiri  dianggap tidak saling bertetangga.
2. Indeks Moran
Pengujian terhadap parameter I dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻 𝑜 : 𝐼 = 0 (Tidak ada korelasi spasial antar lokasi)
𝐻 1 : 𝐼 ≠ 0 (ada korelasi spasial antar lokasi)
Dengan menggunakan bantuan software R diperoleh nilai pengamatan I , nilai ekspektasi I, dan variansi I, pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai Indeks Moran Pengamatan Nilai Indeks Moran
I Ekspektasi (𝐼 0 ) I Pengamatan (𝐼) Variansi I -0.0769 0.3146 0.0225
Pengujian hipotesis dengan menggunakan statistik uji Indeks Moran diperoleh nilai 𝑍 ℎ𝑖𝑡 (𝐼) = 2.6118 .  Dengan 𝛼 = 0.05 dan  nilai 𝑍 (1−𝛼) = 1.645 ,  yang  berarti  bahwa 𝑍 ℎ𝑖𝑡 (𝐼) = 2.6118 > 𝑍 (1−𝛼) = 1.645 .  Kesimpulan:  tidak  cukup  bukti  untuk  menerima 𝐻 𝑜 sehingga 𝐻 1 diterima  yaitu  terdapat  autokorelasi  antar  lokasi  pengamatan.  Nilai Global  Moran’s  I  yang  bernilai  positif  menyatakan  bahwa  daerah-daerah  yang berdekatan memiliki nilai efek spasial yang mirip dan cenderung berkelompok.
3.2 Likelihood, Distribusi Prior dan Distribusi Posterior Model Localised
1. Likelihood  Model Localised Bayesian CAR
Fungsi likelihood digunakan berdasarkan inferensi Bayesian untuk menggambarkan bahwa  informasi  tentang  parameter  disajikan  dalam  data  dan  fungsi  parameternya. Dengan 𝑌 𝑘 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 𝑘 ) diperoleh fungsi kepadatan peluang:
𝑓(𝑌 𝑘 |𝜇 𝑘 ) = (𝜇 𝑘 ) 𝑌𝑘 𝑒 −𝜇𝑘 𝑌 𝑘 ! (3)
berdasarkan persamaan (3) diperoleh
𝜇 𝑘 = 𝑒𝑥𝑝(𝜓 𝑘 + 𝑒 𝑘 ) (4)
Fungsi likelihood untuk model umum CAR Bayes adalah sebagai berikut:
𝐿(𝜇 𝑘 ) = ∏ 𝑓(𝑌 𝑘 ) 14 𝑘=1 (5) 𝐿 = ∏ [𝑒𝑥𝑝(𝑌 𝑘 (𝜓 𝑘 + 𝑒 𝑘 )) − 𝑒𝑥𝑝(𝜓 𝑘 + 𝑒 𝑘 )] 14 𝑘=1
𝑌 𝑘 !

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
2. Distribusi Prior
Dalam  penelitian  ini,  prior  yang  digunakan  adalah  prior  informatif  menggunakan prior berdistribusi Poisson , dan prior conjugat menggunakan prior berdistribusi Normal, Inverse-Gamma , dan Uniform . Dipilih parameter 𝑌 𝑘 untuk 𝑘 = 1,2,3, … ,14 mempunyai prior berdistribusi Poisson, 𝑌 𝑘 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(10) , yaitu:
𝑓(𝑌 𝑘 ) = (10) 𝑌 𝑘 𝑒 −10
𝑌 𝑘 !
Jika hyperparameter 𝜙 mempunyai hyperprior berdistribusi  CAR  Normal 𝜙 𝑘 |𝜙 −𝑘 , 𝑾, 𝜏 𝟐 ~ 𝑁 ( ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝜙 𝑖 𝐾 𝑖=1 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝐾 𝑖=1 , 𝜏 2 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1 ) , maka
𝑓(𝜙 𝑘 ) = 1 √2𝜋 𝜏 2 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 −(𝜙 𝑖 − ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝜙 𝑖 𝐾 𝑖=1 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝐾 𝑖=1 ) 2 2 𝜏 2 ∑ 𝑤 𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1
Jika hyperparameter 𝜏 𝟐 mempunyai hyperprior berdistribusi Invers-Gamma, 𝜏 𝟐 ~ Inverse − Gamma (2,1) , maka
𝑓(𝜏 𝟐 ) = 1 2 Γ(2) 𝜏 𝟐−(𝟐+𝟏) 𝑒𝑥𝑝 (− 1 𝜏 𝟐 ) = (𝜏 𝟐 ) −(𝟑) 𝑒𝑥𝑝 (− 1 𝜏 𝟐 )
Jika hyperparameter 𝜆 𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3 mempunyai hyperprior berdistribusi Uniform , 𝜆 𝑖 ~ Uniform (λ i−1 , λ i+1 ), maka
𝑓(𝜆 𝑖 ) = 1 (λ i+1 − λ i−1 ) Jika hyperparameter 𝛿 mempunyai hyperprior berdistribusi Uniform , 𝛿 ~ Uniform(1, 𝑀 = 𝐾 + 𝐺), 𝐾 adalah  banyaknya  daerah  pengamatan  dan 𝐺 adalah banyaknya pengklusteran wilayah pengamatan, maka
𝑓(𝛿) = 1 (14 + 3 − 1) = 1

## 16
Jika hyperparameter 𝑍 𝑘 mempunyai hyperprior berdistribusi  peluang,  diskrit  dalam bentuk eksponen sehingga 𝑓(𝑍 1 + 𝑍 2 + 𝑍 3 + ⋯ + 𝑍 14 ) = 1 , maka
𝑓(𝑍 𝑘 ) = 𝑒𝑥𝑝  (− 1 16 (𝑍 𝑘 − 𝐺 ∗ ) 2 ) ∑ exp (− 1 16 (𝑟 − 𝐺 ∗ ) 2 ) 𝐺 𝑟=1

## 3. Distribusi Posterior
Pemodelan Bayesian didasarkan pada model posterior yaitu memadukan data masa lalu  sebagai  informasi  prior  dan  data  pengamatan  yang  digunakan  sebagai  fungsi likelihood .  Distribusi  posterior  dinyatakan  dengan  perbandingan  antara  fungsi kepadatan bersama dari parameter yang diperoleh dari fungsi likelihood, distribusi prior,

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
dan  distribusi  hyperprior  dengan  fungsi  marginal  posterior  yang  diperoleh  dari mengintegralkan fungsi kepadatan bersama. Distribusi posterior yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
𝑓(𝜇 𝑘 , 𝜓, 𝜙, 𝜏 𝟐 , 𝜆 𝑖 , 𝑍 𝑘 , 𝛿|𝑌 𝑘 ) = 𝐴 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 𝐴 𝑑𝜓 𝑑𝜙 𝑑𝜏 𝟐 𝑑𝜆 𝑖 𝑑𝑍 𝑘 𝑑𝛿 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0
keterangan:
𝐴 = 𝑓(𝑌 𝑘 |𝜇 𝑘 ) 𝑓(𝜓) 𝑓(𝜙) 𝑓(𝜏 𝟐 ) 𝑓(𝜆 𝑖 ) 𝑓(𝑍 𝑘 ) 𝑓(𝛿) 𝑓(𝑌 𝑘 |𝜇 𝑘 ) : Fungsi likelihood 𝑓(𝜓) : Distribusi prior untuk parameter 𝜓 𝑓(𝜙) : Distribusi hyperprior untuk parameter 𝜙 𝑓(𝜏 𝟐 ) : Distribusi hyperprior untuk parameter 𝜏 𝟐 𝑓(𝜆 𝑖 ) : Distribusi hyperprior untuk parameter 𝜆 𝑖 𝑓(𝑍 𝑘 ) : Distribusi hyperprior untuk parameter 𝑍 𝑘 𝑓(𝛿) : Distribusi hyperprior untuk parameter 𝛿
Selanjutnya  bentuk  akhir  dari  distribusi  posterior  yang  rumit  untuk  diselesaikan secara  analitik,  maka  untuk  mengatasi  hal  tersebut  estimasi  terhadap  parameter- parameternya  dilakukan  dengan  menggunakan  algoritma Gibbs  Sampling untuk membangkitkan sampel dari distribusi posterior bersama.

## 3.3 Estimasi Risiko Relatif
Proses  estimasi  parameter  dilakukan  dengan  menggunakan  bantuan software OpenBUGS . Hasil yang diperoleh merupakan nilai risiko relatif dari hasil simulasi yang dibangkitkan  dengan  menggunakan  algoritma Gibbs  Sampling. Untuk  mendapatkan hasil estimasi parameter yang baik maka perlu diperiksa kekonvergenan  masing-masing parameter,  peninjauan  kekonvergenan  setiap  parameter  dapat  dilihat  berdasarkan  plot diagnostik  hasil  taksiran  parameter.  Estimasi  parameter  spasial  diperoleh  melalui distribusi  posterior,  dengan  pengambilan  sampel  parameter  dilakukan  menggunakan metode MCMC  dengan Gibbs Sampling. Hasil yang didapatkan pada metode Bayesian CAR  dengan  model localised harus  memenuhi  3  sifat  rantai  markov  yaitu irreducible, aperiodic, dan recurrent. Sifat-sifat  tersebut  dapat  dilihat  dari  hasil history  plot, autocorrelation  plot dan densitas  plot. Sebelum  melakukan  estimasi  parameter,  akan ditunjukkan  kekonvergenan  parameter  spasial  melalui  hasil  plot  dari  nilai-nilai  yang diperoleh pada setiap iterasinya dengan iterasi sebanyak 10.000.
Plot  diagnostik  untuk  parameter  risiko  relatif  masing-masing  kecamatan  yang diestimasi, yaitu Kecamatan Mariso, Mamajang, Tamalate, Rappocini, Makassar, Ujung Pandang, Wajo, Bontoala, Ujung Tanah, Tallo, Panakukkang, Manggala, Biring Kanaya dan  Tamalanrea,  ditunjukkan  pada  Gambar  3. Densitas  plot menunjukkan  pola distribusi  prior  yang  digunakan  untuk  masing-masing  kecamatan. Autocorrelation  plot digunakan untuk mengidentifikasi kuat atau lemahnya korelasi antara nilai-nilai sampel.

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
RR[1] sample: 9500 RR[1] 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 P (R R [1 ]) 0 .0 1 .0 RR[1] lag 0 50 a u to co rr e la ti o n -1 .0 0 .0 1 .0 (a). Densitas plot (b). Autocorrelation plot iteration 0 2500 5000 7500 R R [1 ] 0 .0 1 .0 2 .0 3 .0 4 .0 (c). History plot
Gambar 3. Plot Diagnostik Parameter Risiko Relatif Kec. Mariso (𝑅𝑅 1 ) Berdasarkan Autocorrelation  plot Pada  Gambar  3,  terlihat  pada  lag  pertama mendekati  nilai  satu  dan  lag  selanjutnya  menurun  dan  semakin  mendekati  nol.  Hal  ini menyatakan bahwa korelasi antara nilai-nilai sampel yang dibangkitkan lemah. Artinya korelasi antara nilai sampel  yang dibangkitkan  berada pada daerah distribusi posterior. Hasil history  plot proses  MCMC  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  telah  bersifat stasioner. Hal ini berarti seluruh sampel yang dibangkitkan berada pada interval domain yang memiliki nilai tertentu, selain itu history plot terlihat telah rapat dan fastly mixing sehingga  dapat  menangkap  semua  kemungkinan  nilai  parameter.  Sehingga history  plot telah  memenuhi  sifat irreducible.  History  plot juga  menunjukkan  bahwa  nilai  yang dibangkitkan  tidak  berada  pada  kepriodikan  tertentu,  dengan  kata  lain  proses  MCMC yang dilakukan memenuhi sifat aperiodic. Selain itu, proses iterasi MCMC pada history plot yang  dihasilkan  memenuhi  sifat recurrent ,  karena  nilai  parameter  yang dibangkitkan dalam state- i dapat kembali pada state- i. Sehingga dapat dikatakan bahwa parameter kovariat telah konvergen pada iterasi ke 10.000.
Estimasi risiko relatif  yang dihasilkan  berdasarkan  model localised untuk penyakit DBD untuk setiap kecamatan di kota Makassar pada tahun 2016 disajikan pada Tabel 2. Berdasarkan Tabel 2,  Kecamatan  Mariso  memiliki risiko relatif tertinggi dibandingkan dengan kecamatan lainnya.  Kecamatan Manggala dan Rappocini memiliki risiko relatif penyebaran DBD tertinggi selanjutnya setelah Kecamatan Mariso. Hal ini menunjukkan bahwa  Kecamatan  Mariso,  Manggala  dan  Rappocini  memiliki  tingkat  risiko  kejadian yang  lebih  tinggi  dibanding  dengan  kecamatan  lainnya  yang  ada  di  kota  Makassar. Selanjutnya  kecamatan  yang  memiliki  risiko  relatif  terkecil  berada  di  Kecamatan Makassar  dan  Kecamatan  Tamalate.  Rendahnya  risiko  relatif  menunjukkan  bahwa daerah tersebut kecil kemungkinan terkena penyakit DBD.

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
Rusydah Khaerat, Sri Astuti Thamrin, Andi Kresna Jaya
Tabel 2. Hasil Taksiran Parameter Risiko Relatif
Parameter Kecamatan Nilai Estimasi 95% Credible Interval (CI) [𝑅𝑅 1 ] Mariso 1,685 (0,336 ; 2,030) [𝑅𝑅 2 ] Mamajang 0,962 (0,270 ; 1,868) [𝑅𝑅 3 ] Tamalate 0,530 (0,229 ; 1,279) [𝑅𝑅 4 ] Rappocini 1,298 (0,314 ; 0,805) [𝑅𝑅 5 ] Makassar 0,497 (0,491 ; 1,313) [𝑅𝑅 6 ] Ujung Pandang 0,882 (0,560 ; 1,328) [𝑅𝑅 7 ] Wajo 0,982 (0,910 ; 1,751) [𝑅𝑅 8 ] Bontoala 0,729 (0,853 ; 1,701) [𝑅𝑅 9 ] Ujung Tanah 0,633 (0,986 ; 2,575) [𝑅𝑅 10 ] Tallo 0,902 (1,042 ; 2,047) [𝑅𝑅 11 ] Panakkukang 1,242 (0,461 ; 0,934) [𝑅𝑅 12 ] Manggala 1,497 (0,199 ; 0,934) [𝑅𝑅 13 ] Biringkanaya 1,082 (0,291 ; 1,366) [𝑅𝑅 14 ] Tamalanrea 0,852 (0,762 ; 1,460)

## 4 Kesimpulan
Model localised dapat  digunakan  untuk  memperkirakan  risiko  relatif  penyakit DBD di kota Makassar. Risiko relatif yang didapatkan berada pada rentang 0,497-1,685. Estimasi risiko relatif  yang didapatkan  mampu  memberikan gambaran tingkat kejadian penyakit  DBD.  Selain  itu,  karena  estimasi  risiko  relatif  yang  didapatkan  juga mempertimbangkan  jumlah  penduduk  setiap  kecamatan  maka  daerah  yang  memiliki jumlah  penduduk  tinggi  dengan  kasus  penyakit  kecil,  akan  menghasilkan  nilai  risiko relatif  yang  kecil  dan  begitu  pula  sebaliknya. Daerah  yang  rentan  terkena  penyakit  DBD perlu mendapatkan perhatian lebih dari pemerintah Kota Makassar untuk mengatasi penyebaran penyakit tersebut ke daerah lainnya.

## Daftar Pustaka
[1]    Sandra,  T.,  Sofro,  AU  Muchlis.,  Suhartono,  Martini,  &  Hadisaputro,  S.  Faktor- Faktor    yang  Berpengaruh  terhadap  Kejadian  Demam  Berdarah  Dengue  pada Anak  Usia  6-12  Tahun  Di  Kecamatan  Tembalang. Jurnal  Epidemiologi Kesehatan Komunitas , 4 (1), 2019.
[2]    Respati, T., Raksanegara,  A., Djuhaeni, H., Sofyan,  A., Agustian,  D., Faridah,  L. &  Sukandar,  H.  Berbagai  Faktor  yang  Mempengaruhi  Kejadian  DBD  di  Kota Bandung. Aspirator, 9 (2), 2017.
[3]    Climate Data. Iklim Makassar. 2018. https://id.climate-data.org/asia/ indonesia/south-sulawesi/makassar-3646/. [Accessed online 29 April 2019].
[4]    Geografis  Kota  Makassar.  Wilayah  Kota  Makassar.  2019.    https://makassarkota. go.id/geografis/. [Accessed online 30 Januari 2020].

## Bayesian Conditional Autoregressive dengan Model Localised…
[5] Hidrologi  dan  Klimatologi.  Iklim  Makassar.  2017.  https://makassarkota. go.id/hidrologi-dan-klimatologi/. [Accessed online 30 Januari 2020].
[6] Samat, N.A. & Mey, L.W. Malaria Disease Mapping in Malaysia based on Besag- York-Mollie  (BYM)  Model. Journal  of  Physics:  Conference  Series IOP  Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 890 012167, 2017.
[7]   Lee,  D.,  Rushworth,  A.  &  Sahu,  S.A.  Bayesian  Localized  Conditional Autoregressive  Model  for  Estimating  the  Health  Efects  of  Air  Pollution. Biometrics , 70, 419-429, 2014.
[8] Lee,  D.  &  Sarran,  C.  Controlling  for  Unmeasured  Confounding  and  Spatial Misalignment in Long-Term Air Pollution and Health Studies. Environmetrics 26: 477-487, 2015.
[9]    Sunengsih,  N.,  Jaya,  I.G.N.M.,  Zulhanif  &  Tantular,  B.  Bayesian  Conditional Autoregressive  (CAR)  dalam  Menaksir  Resiko  Relatif  Diare  di  Kota  Bandung. Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika : 21-26, 2016.
[10]  Venkatesan,  P.,  Srinivasan,  R.,  &  Dharuman.  Bayesian  Conditional  Auto Regressive  Model  For  Mapping  Tuberculosis  Prevalence  In  India. International Journal of Pharmaceutical Studies and Research , 3 (1), 1-3. 2012.
[11]   Wakefield,  J.  Disease  Mapping  and  Spatial  Regression  with  Count  Data. Biostatistics , 8 (2), 158-183, 2006.