Vol. 12, No. 2,  98-104,  Januari  2016
Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya

## Amir Kamal Amir 

## Abstrak
Sifat-sifat  gelanggang  evaluasi  beserta  pembuktiannya  sudah  ada  dibeberapa  literatur  seperti misalnya pada [1] dan [7]. Namun demikian penyajiannya belum terurai dengan jelas sehingga alur  pembuktian  masih  sulit  dimengerti.  Tulisan  ini  akan  menguraikan  secara  terperinci  dan sistematik  dengan  bahasa  yang  mudah  dimengerti  sifat-sifat  dan  buktinya  tersebut.  Sifat-sifat yang  akan  dibahas  antara  lain  adalah  sifat-sifat  yang  menghubungkan  gelanggang  evaluasi dengan  lapangan  pecahan,  gelanggang  lokal,  gelanggang  Noetherian,  sifat  terurut  total,  dan terintegral tutup.
Kata Kunci : gelanggang evaluasi, lapangan pecahan, lokal, Noetherian,   terintegral tutup, terurut total.

## 1. Pendahuluan
Suatu  sub  gelanggang R dari  lapangan K adalah Gelanggang  Evaluasi dari K jika setiap elemen tak nol  K  , maka salah satu dari  atau 1   berada dalam R .
Contoh-contoh:
1. Misalkan K = Q , himpunan bilangan rasioanal, dengan p adalah bilangan prima tertentu.
Pilih R adalah  himpunan  semua  bilangan  rasioanal  yang  berbentuk / r p m n ,  dimana
0  r dan p tidak membagi m dan tidak membagi n .
2. Misalkan ( )  K k x ,  dimana k adalah  suatu lapangan,  dan  misalkan R adalah  himpunan semua fungsi-fungsi rasional / ( )  f g k x sedemikian sehingga deg deg  f g .
Sifat-sifat    dari  gelanggang  ini  sudah  banyak  diturunkan  dalam  literatur  seperti  yang  disajikan pada  [1]  dan  [7].  Namun  demikian  penyajian  pembuktian  dari  sifat-sifat  tersebut  belum  terurai dengan  jelas  sehingga  alur  pembuktian  masih  sulit  dimengerti.  Pada  paper  ini  disajikan  bukti yang lebih terperinci menggunakan bahasa yang sederhana, sehingga alur pembuktian bisa diikuti dari tahap ke tahap.
 Staf Pengajar pada Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , dan Mahasiswa Mahasiswa program S3  pada Jurusan Matematika  Institut Teknologi Bandung

## 2. Beberapa Pengertian dan Notasi

## Gelanggang Lokal
Dalam  ilmu  Matematika,  lebih  khusus  dalam  aljabar  abstrak,  suatu  gelanggang R adalah suatu Gelanggang Lokal jika gelanggang tersebut memiliki salah satu dari sifat-sifat yang saling ekuivalen berikut ini:
 R mempunyai maksimal ideal kiri yang tunggal
 R mempunyai maksimal ideal kanan yang tunggal
 Identitas perkalian tidak sama dengan identitas penjumlahan dan penjumlahan sembarang dua elemen bukan unit dalam R akan menghasilkan elemen bukan unit.
 Identitas perkalian tidak sama dengan identitas penjumlahan dan jika x adalah sembarang elemen dari R , maka x atau 1 – x adalah elemen unit.
Sifat  ketiga  diatas  mengatakan  bahwa,  himpunan  elemen-elemen  bukan  unit  dalam  suatu Gelanggang Lokal membentuk suatu ideal.
Sebagai contoh, semua lapangan merupakan Gelanggang Lokal, karena hanya {0} yang merupakan ideal maksimal dalam gelanggang ini.

## Daerah Integral
Suatu Daerah  Integral adalah  suatu  gelanggang  komutatif  dengan  identitas  terhadap penjumlahan  adalah  0  dan  identitas  terhadap  perkalian  adalah  1  sedemikian  sehingga  identitas penjumlahan  tidak  sama  dengan  identitas  perkalian,  dimana  perkalaian  sembarang  dua  anggota yang tidak nol selalu menghasilkan anggota yang tidak nol pula. Atau dengan kata lain, tidak ada anggota yang merupakan pembagi nol. Sebagai contoh, gelanggang dari bilangan-bilangan bulat adalah daerah integral.
Lebih lanjut, suatu daerah integral dimana setiap idealnya merupakan ideal utama, yaitu idealnya dapat  dibangun  oleh  satu  elemen  saja,  disebut Daerah  Ideal  Utama ( Principal  Ideal  Domain , PID).  Sebagai  contoh,  untuk K adalah  lapangan,  maka K [ x ] , gelanggang  dari  polinomial- polinomial dalam satu variabel dengan koefisien-koefisien ada dalam K , merupakan Daerah Ideal Utama.
Lapangan dari Pecahan ( Field of Fraction )
Setiap  daerah  integral  dapat  dijadikan  sebagai  bahan  pembentukan  sebuah lapangan dari pecahan ( Lapangan Pecahan untuk singkatnya). Anggota-anggota dari Lapangan Pecahan dari  suatu  daerah  integral R berbentuk a/b dengan a dan b dalam R .  Lapangan  Pecahan  dari gelanggang R dinotasikan sebagai Quot ( R ) atau Frac ( R ) .
Lapangan Pecahan, Quot ( R ) , dari daerah integral R dapat dikonstruksi sebagai berikut: Quot ( R ) adalah himpunan dari kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan [ n,d ], dimana n dan d adalah elemen-elemen dari R dan d tidak nol, dan relasi ekuivalensinya adalah: [ n,d ] ekuivalen dengan [ m,b ] jika dan hanya jika nb = md (kelas ekuivalensi [ n,d ] dapat dipandang sebagai pecahan n/d ). Penjumlahan dari kelas-kelas ekuivalensi [ n,d ] dan [ m,b ] adalah kelas ekuivalensi [ nb + md, db ] dan perkaliannya adalah kelas ekuivalensi [ mn, db ] .

## Amir Kamal Amir
Contoh-contoh:
1. Lapangan  pecahan  dari  gelanggang  bilangan  bulat  adalah  bilangan  rational,
: ( )  Q Quot Z
2. Misalkan : { | , }    R a bi a b Z adalah  gelanggang  dari  bilangan-bilangan  bulat  Gauss,
maka ( ) { | , }    Quot R c di c d Q , lapangan dari bilangan-bilangan rasional Gauss.
Integral Penutup ( Integral Closure )
Misalkan S adalah sebuah daerah integral dengan R adalah suatu subgelanggang dari S . Suatu  elemen s dari S dikatakan integral atas R jika s adalah  merupakan  suatu akar  dari  suatu polinomial monik dengan koefisien-koefisien   dalam R .
Dapat  ditunjukkan  bahwa  himpunan  semua  elemen-elemen  dari S yang  merupakan elemen  integral  atas R membentuk  sub  gelanggang  dari S yang  memuat R. Gelanggang  ini selanjutnya  disebut integral  penutup dari R .  Jika  setiap  elemen  dari S yang  merupakan  elemen integral  atas R sudah  berada  di  dalam R ,  maka R disebut terintegral  tutup ( integrally  closed ) dalam S .
Sebagai  contoh,  himpunan  bilangan-bilangan  bulat Z adalah  terintegral  tutup.  Integral penutup  dari Z dalam  bilangan  kompleks C adalah  himpunan  semua  bilangan-bilangan  bulat aljabar.
Gelanggang Noetherian ( Integral Closure )
Suatu Gelanggang Noetherian adalah suatu gelanggang yang memenuhi kondisi rantai membesar pada ideal-idealnya. Lebih jelasnya:
 Suatu  gelanggang  adalah Noetherian-kiri jika  memenuhi  kondisi  rantai  membesar  pada ideal-ideal kirinya.
 Suatu  gelanggang  adalah Noetherian-kanan jika  memenuhi  kondisi  rantai  membesar  pada ideal-ideal kanannya.
 Suatu gelanggang adalah Noetherian jika memenuhi Noetherian-kanan dan Noetherian-kiri.
Definisi lain yang ekuivalen dengan definisi Noetherian-kiri, yaitu : Setiap  ideal  kiri I dari R adalah  dibangun  berhingga,  dalam  arti  ada  elemen-elemen 1 ,..., n a a dalam I sedemikian sehingga
1 ... .    n I Ra Ra

## 3. Sifat-sifat dari Gelanggang Evaluasi
Untuk  pembahasan  pada  bagian  ini  dan  seterusnya,  dimisalkan  bahwa V adalah Gelanggang Penilaian dari K .
Sifat-sifat dari gelanggang Evaluasi:
1. Lapangan Pecahan dari V adalah K.
Bukti:
Misalkan K’ adalah lapangan pecahan dari V . Akan ditunjukkan bahwa K’ = K .
Ambil '  K  .  Karena K’ adalah  lapangan  pecahan  ,  maka  a b  ,  dimana ,  a b V .
Karena  V K dan K adalah lapangan maka   a b K  . Langkah ini membuktikan bahwa '  K K .
Selanjutnya,  ambil
 K  ,  dimana  tidak  nol,  maka  V  atau 1   V  .  Jika
 V  ,  maka 1 '   K   ,  sedangkan  jika 1   V  ,  maka 1 1 '    K   .  Langkah  ini
membuktikan bahwa '  K K yang sekaligus melengkapi pembuktian sifat ini.
2. Sembarang sub gelanggang dari K yang memuat V adalah suatu Gelanggang Evaluasi dari K . Bukti:
Misalkan V’ adalah  sub  gelanggang  dari K yang  memuat V .  Akan  ditunjukkan  bahwa V’ adalah suatu gelanggang penilaian dari K . Ambil  K  ,    dimana  tidak  nol.  Karena V adalah  gelanggang  penilaian  dari K ,  maka  V  atau 1   V  .
Selanjutnya, karena V’ memuat V , maka '  V  atau 1 '   V  .
3. V adalah gelanggang lokal.

## Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa himpunan M dari anggota-anggota yang bukan anggota satuan dari V adalah  suatu  Ideal.  Untuk  membuktikan  bahwa M adalah ideal akan  ditunjukkan  dua  hal, yaitu (1). , ,    a b M maka a b M dan
(2).  r V dan  a M , maka  ra M .
Jika a dan b adalah anggota-anggota satuan tidak nol, maka salah satu dari a/b atau b/a yang berada  di V ,  karena V adalah  gelanggang  evaluasi    dari K .  Jika  a b V ,  maka
(1 )     a b a b b M (sebab jika (1 )   a b b M berarti (1 )  a b b adalah anggota satuan dari V, yang akan  menyebabkan b anggota satuan juga. Hal ini tidak  mungkin, karena dari awal sudah  diasumsikan  bahwa b bukan  anggota  satuan). Serupa  dengan  itu,   jika  b a V ,  maka   a b M . Selanjutnya, jika  r V dan  a M , maka  ra M , kalau tidak demikian maka a akan merupakan anggota unit yang akan bertentangan dengan asumsi semula.
4. V adalah terintegral tutup.

## Bukti:
Misalkan  adalah  suatu  elemen  tak  nol  dari K ,  dengan  intergral  terhadap V .  Untuk menunjukkan bahwa V adalah terintegral tutup, akan ditunjukkan bahwa  berada dalam V .

## Amir Kamal Amir
Karena V adalah  gelanggang  evaluasi  dari K ,  maka  V  atau 1   V  .  Jika  V  ,
maka  pembuktian  sudah  selesai.  Namun,  jika 1   V  ,  maka  terlebih  dahulu  kita memperhatikan  bahwa  adalah  integral  terhadap V .  Dengan  demikian  terdapat  suatu persamaan yang berbentuk
1 1 1 0 0        n n n c c c    . dengan  i c V .  Jika persamaan ini dikalikan dengan ( 1)   n  , maka akan diperoleh 1 ( 2) ( 1) 1 2 1 0              n n n n c c c c     Karena i c dan 1   berada dalam V , maka disimpulkan bahwa 1 ( 2) ( 1) 1 2 1 0               n n n n c c c c V     .
5. Jika I dan J adalah  ideal-ideal  dari V ,  maka  salah  satu  dari  I J atau  J I benar. Sehingga ideal-ideal dari V terurut total oleh urutan himpunan bagian.

## Bukti:
Untuk  membuktikan  ini,  akan  ditunjukkan  bahwa,  jika I tidak  termuat  dalam J ,  maka  J I .
Misalkan I tidak  termuat  dalam J ,  pilih  anggota \  a I J (dari  sini  diketahui 0  a ). Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa  J I , akan ditunjukkan bahwa, jika  b J , maka  b I . Jika 0  b , maka bukti sudah selesai.
Sekarang asumsikan bahwa 0  b . Karena V adalah gelanggang evaluasi, maka /  b a V atau /  a b V .  Namun  demikian,  dipastikan /  b a V karena  apabila /  a b V ,  akan diperoleh ( / )   a a b b J ,  yang  akan  berakibat  terjadinya  kontradiksi.  Oleh  karena  itu disimpulkan ( / )   b b a a I .
6. Kebalikan dari 5, misalkan V adalah daerah integral dengan lapangan pecahan K . Jika ideal- ideal  dari V terurut  total  oleh  urutan  himpunan  bagian,  maka V adalah  sebuah  gelanggang evaluasi.
Bukti:
Jika  adalah elemen  taknol  dari K ,  maka ( / )  a b  dengan a dan b elemen-elemen  tak nol  dari V ( K adalah  lapangan  pecahan  dari V ).  Dengan  hipotesis  bahwa  ideal-ideal  dari V terurut  total  oleh  urutan  himpunan  bagian,  maka  diperoleh      a b ,  atau      b a .  Jika      a
b ,  maka  n a b untuk  suatu n .  Dari  sini  diketahui 1
/    n a b b V .  Namun,  jika      b
a ,  maka  dengan  cara  yang  analog  diperoleh
/  b a V .
7. Jika V adalah  gelanggang  penilaian  Noetherian,  maka V adalah  suatu  Daerah  Ideal  Utama (PID). Lebih lanjut, untuk suatu  p V , setiap ideal berbentuk , 0    m p m .
Bukti:
Karena V adalah  Noetherian,  suatu  ideal I dari V adalah  dibangun  berhingga,  katakanlah dibangun oleh 1 , , n a a . Dengan sifat 5, dapat diatur kembali indeks dari i a sedemikian sehingga 1 2          n a a a .  Tetapi  itu  berarti     n I a I ,  sehingga    n I a .
8. Let R adalah  sebuah  subgelanggang  dari  lapangan K .  Integral  penutup R dari R dalam K adalah  irisan  dari  semua  gelanggang-gelanggang    evaluasi V dari K sedemikian  sehingga  V R .
Untuk dapat membuktian sifat ini, maka dibutuhkan teorema berikut ini.
Teorema:
Misalkan R adalah  suatu  sub  gelanggang  dari  lapangan K ,  dan :  h R C adalah  suatu homomorfisma gelanggang dari R ke suatu lapangan aljabar tertutup C , maka h mempunyai ekstensi maksimal ( , ) V h . Dengan kata lain, V adalah sub gelanggang dari K yang memuat R , h adalah suatu ektensi dari h , dan tidak ada ektensi ke sub gelanggang yang lebih besar. Lebih lanjut, untuk sembarang maksimal ekstension, V adalah suatu gelanggang evaluasi dari K .
Bukti sifat 8:
Jika  a R , maka a adalah integral atas R . Dari sini, a integral atas sembarang gelanggang penilaian  V R . Tetapi karena V terintegral tutup maka dengan sifat 4, diperoleh  a V . Uraian di atas membuktikan bahwa integral penutup R adalah himpunan bagian dari irisan dari semua gelanggang-gelanggang  penilaian V dari K . Kebalikannya, misalkan a anggota irisan  semua gelanggang-gelanggang  evaluasi V dari K . Kemudian andaikan  a R , maka a tidak berada pada gelanggang 1 ' [ ]   R R a .(karena jika a berada  dalam R’ atau a merupakan  polinomial  dari 1  a ,  maka  kita  dapat  mengalikan polinomial tersebut dengan a berpangkat tertentu untuk mendapatkan polinomial monik yang dipenuhi oleh a , yang menyebabkan a merupakan anggota R ). Dengan demikian, 1  a bukan anggota unit dari R’ (karena jika 1 1   ba dengan '  b R , maka 1 1 '      a a aa b b R , akan terjadi kontradiksi). Oleh karena itu, 1  a masuk ke suatu maksimal ideal M’ dari R’. Misalkan C adalah  penutup  aljabar  dari  lapangan k  =  R’/M’ ,  dan  misalkan h adalah komposisi dari pemetaan kanonik ' '/ '   R R M k , dan inklusi .  k C Dengan teorema di atas, h mempunyai  maksimal  ekstension  ke :  h V C untuk  beberapa  gelanggang evaluasi V dari K yang  memuat ' .  R R Sekarang 1 1 ( ) ( )    h a h a karena 1 ' ,    a M R dan 1 ( ) 0
  h a yang  disebabkan  oleh  definisi  dari h .  Sebagai konsekuensinya ,  a V karena  jika  a V ,  maka 1 1 1 (1) ( ) ( ) ( ) 0       h h aa h a h aa , akan terjadi suatu kontradiksi.

## Amir Kamal Amir
9. Misalkan  R  adalah  suatu  daerah  integral  dengan  lapangan  pecahan K ,  maka R adalah terintegral  tutup  jika  dan  hanya  jika  R V   ,  yaitu  irisan  dari  beberapa  (tidak  harus semua) gelanggang evaluasi dari K.
Bukti:
Bukti dari kanan ke kiri mengikut dari sifat 8.
Untuk  bukti  dari  kanan  ke  kiri.  Karena  setiap V  adalah  terintegral  tertutup,  maka  dengan sifat 4 diperoleh R juga terintegral tutup.

## 4.  Kesimpulan
Dari pemaparan di atas dapat ditarik beberapa kesimpulan:
1. Lapangan pecahan dari suatu gelanggang evaluasi sama dengan lapangannya sendiri.
2. Gelanggang evaluasi juga akan selalu merupakan gelanggang lokal.
3. Ideal-ideal dari suatu gelanggang evaluasi dapat diurutkan dengan menggunakan urutan himpunan bagian. Begitu juga sebaliknya, jika ideal-ideal dari suatu gelanggang dapat diurutkan, maka gelanggang tesebut adalah gelanggang evalusi.
4. Jika suatu gelanggang sekaligus merupakan gelanggang evaluasi dan Noetherian, maka gelanggang tersebut merupakan daerah ideal utama.

## Daftar Pustaka
[1] J.B. Fraleigh, 1994, “ A First Course in Abstract Algebra ”, Addison-Wesley.
[2] T.Y. Lam,1991, “ A First Course in Noncommutative  Rings ”,  Springer-Verlag.
[3] T.Y. Lam, 1999, “ Lectures on Modules and Rings ”, Springer-Verlag.
[4] J.C. McConnel, J.C. Robson,  1987, “ Noncommutative Noetherian Rings” , John Wiley & Sons.
[5] S. Roman, 1992, ” Advanced Linear Algebra ”, Springer-Verlag.
[6] R.  Wisbauer,  1991,  “ Foundation  of  Module  and  Ring  Theory ”, Gordon  and  Breach Science.
[7] http://www .math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg/ComAlg3.pdf