## TRANSFORMASI FOURIER DAN TRANSFORMASI FOURIER QUATERNION
Muh. Irwan i
Muhammad Ridwan ii
i Prodi Matematika, UIN Alauddin, muhirwan@uin-alauddin.ac.id
ii Prodi Matematika, UIN Alauddin, muhammadridwan@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,  pada paper ini menjelaskan  transformasi Fourier  baik yang bernilai real maupun yang bernilai quaternion.  Perbedaan mendasarnya terletak pada kernel transformasi, dimana pada transformasi Fourier quaternion dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu sisi kiri, sisi kanan dan dua sisi. Adapun sifat-sifat  yang dibuktikan seperti pergeseran, modulasi, pengskalaan dan lain-lain (TFQ sisi kanan).

## Kata Kunci: Transformasi Fourier, Transformasi Fourier
Quaternion

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu perluasan dari bilangan quaternion adalah transformasi Fourier quaternion  (TFQ). Transformasi Fourier quaternion memiliki peranan penting dalam berbagai bidang ilmu. Diantaranya, pada bidang  komputer grafik, komputer vision, kompressi  data, pemrosesan gambar , fisika dan analisis pewarnaan gambar [1],[2],[6],[7]. Berdasarkan letak kernelnya, TFQ dibedakan menjadi tiga tipe, yaitu  tipe  I TFQ (dua sisi), tipe II TFQ (sisi kiri) dan tipe III TFQ (sisi kanan). Adanya tiga tipe TFQ  disebabkan karena sifat yang nonkomutatif terhadap operasi perkalian yang merupakan sifat dasar dari bilangan quaternion.
Beberapa penelitian telah dilakukan terhadap TFQ diantaranya, Implementasi TFQ dari konvolusi dan Korelasi pada kompleks 2-D FFT [7], prinsip ketidakpastian untuk TFQ sisi kanan [3],  prinsip ketidakpastian Heisenberg untuk TFQ dua sisi  [8],  transformasi kanonikal linear quaternion satu sisi  [6],  transformasi Fourier quaternion pada lapangan quaternion dan perluasannya  [4],  dan Teorema korelasi untuk TFQ tipe dua [2].
Pada penelitian ini, akan diperkenalkan transformasi Fourier quaternion  dua sisi dengan beberapa teorema yang berkaitan dengan sifat- sifatnya.

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## Bilangan Quaternion
Himpunan bilangan quaternion dituliskan dengan simbol ℍ sebagai penghargaan bagi Sir William Roman Hamilton, dimana elemen- elemen dari  bilangan quaternion merupakan kombinasi linear dari bilangan skalar riil dan tiga bagian imajiner 𝒊𝒊 , 𝒋𝒋 dan 𝒌𝒌 yang dituliskan sebagai ℍ = { 𝑞𝑞 = 𝑞𝑞 0 + 𝒊𝒊𝑞𝑞 1 + 𝒋𝒋𝑞𝑞 2 + 𝒌𝒌𝑞𝑞 3 | 𝑞𝑞 0 , 𝑞𝑞 1 , 𝑞𝑞 2 , 𝑞𝑞 3 ∈ ℝ }. Jika 𝑞𝑞 2 dan 𝑞𝑞 3 bernilai nol maka persamaan (2.4) merupakan suatu bilangan kompleks. Sedangkan jika 𝑞𝑞 0 = 𝑞𝑞 1 = 𝑞𝑞 2 = 𝑞𝑞 3 = 0 , maka persamaan (2.4) merupakan  elemen identitas penjumlahan quaternion. Jika 𝑞𝑞 0 = 1 , 𝑞𝑞 1 = 𝑞𝑞 2 = 𝑞𝑞 3 = 0 maka persamaan (2.4) disebut elemen identitas perkalian quaternion (J.P. Morais, dkk. 2012).  Selanjutnya, persamaan ( 2.4) dapat dituliskan menjadi 𝑞𝑞 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑞𝑞 ) + 𝒒𝒒
Dalam hal ini 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑞𝑞 ) = 𝑞𝑞 0 adalah bagian skalar dari 𝑞𝑞 , dan 𝒒𝒒 = 𝒊𝒊𝑞𝑞 1 + 𝒋𝒋𝑞𝑞 2 + 𝒌𝒌𝑞𝑞 3 sebagai bagian vektor ( vector  part )  dari 𝑞𝑞 .  Perkalian elemen- elemen dari suatu bilangan quaternion berdasarkan aturan Hamilton dapat dituliskan sebagai 𝒊𝒊 2 = 𝒋𝒋 2 = 𝒌𝒌 2 = 𝒊𝒊𝒋𝒋𝒌𝒌 = − 1 𝒋𝒋𝒌𝒌 = −𝒌𝒌𝒋𝒋 = 𝒊𝒊 , 𝒊𝒊𝒋𝒋 = −𝒋𝒋𝒊𝒊 = 𝒌𝒌 𝒋𝒋𝒌𝒌 = −𝒌𝒌𝒋𝒋 = 𝒊𝒊 .
Dapat diperhatikan bahwa operasi penjumlahan dan  pengurangan quaternion dilakukan seperti pada operasi penjumlahan dan pengurangan suku banyak.  Jika 𝑝𝑝 , 𝑞𝑞 ∈ ℍ dengan 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 0 + 𝒊𝒊𝑝𝑝 1 + 𝒋𝒋𝑝𝑝 2 + 𝒌𝒌𝑝𝑝 3 dan 𝑞𝑞 = 𝑞𝑞 0 + 𝒊𝒊𝑞𝑞 1 + 𝒋𝒋𝑞𝑞 2 + 𝒌𝒌𝑞𝑞 3 dimana 𝑝𝑝 0 , 𝑝𝑝 1 , 𝑝𝑝 2 , 𝑝𝑝 3 , 𝑞𝑞 0 , 𝑞𝑞 1 , 𝑞𝑞 2 , 𝑞𝑞 3 ∈ ℝ maka
𝑝𝑝
+ 𝑞𝑞
= ( 𝑝𝑝 0 + 𝑞𝑞 0 ) + 𝒊𝒊 ( 𝑝𝑝 1 + 𝑞𝑞 1 ) + 𝒋𝒋 ( 𝑝𝑝 2 + 𝑞𝑞 2 ) + 𝒌𝒌 ( 𝑝𝑝 3 + 𝑞𝑞 3 ).
Dengan cara yang sama, operasi pengurangan pada bilangan quaternion
𝑝𝑝 − 𝑞𝑞 = ( 𝑝𝑝 0 − 𝑞𝑞 0 ) + 𝒊𝒊 ( 𝑝𝑝 1 − 𝑞𝑞 1 ) + 𝒋𝒋 ( 𝑝𝑝 2 − 𝑞𝑞 2 ) + 𝒌𝒌 ( 𝑝𝑝 3 − 𝑞𝑞 3 ).
Selanjutnya, operasi perkalian 𝑝𝑝 dan 𝑞𝑞 dilakukan berdasarkan perkalian polinom yaitu 𝑝𝑝𝑞𝑞
= 𝑝𝑝 0 𝑞𝑞 0 − 𝒑𝒑 . 𝒒𝒒 + 𝑝𝑝 0 𝒒𝒒 + 𝑞𝑞 0 𝒑𝒑 + 𝒑𝒑 × 𝒒𝒒 ,
dimana 𝒑𝒑 . 𝒒𝒒 = ( 𝑝𝑝 1 𝑞𝑞 1 + 𝑝𝑝 2 𝑞𝑞 2 + 𝑝𝑝 3 𝑞𝑞 3 ) adalah hasil kali titik (dot product) dan 𝒑𝒑 × 𝒒𝒒 = 𝒊𝒊 ( 𝑝𝑝 2 𝑞𝑞 3 − 𝑝𝑝 3 𝑞𝑞 2 ) + 𝒋𝒋 ( 𝑝𝑝 1 𝑞𝑞 3 − 𝑝𝑝 3 𝑞𝑞 1 ) + 𝒌𝒌 ( 𝑝𝑝 1 𝑞𝑞 2 − 𝑝𝑝 2 𝑞𝑞 1 ) .
Hasil perkalian 𝑝𝑝𝑞𝑞 dengan 𝑞𝑞𝑝𝑝 tidak selalu sama,
ini karena perkalian silang dari 𝒑𝒑 dan 𝒒𝒒 tidak komutatif.  Sehingga dapat dikatakan bahwa
𝑝𝑝𝑞𝑞 = 𝑞𝑞𝑝𝑝 jika dan hanya jika 𝑝𝑝 0 = 𝑞𝑞 0 dan 𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 .
Definisi 2.2. Untuk sebarang 𝑝𝑝 ∈ ℍ dengan 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 0 + 𝒊𝒊𝑝𝑝 1 + 𝒋𝒋𝑝𝑝 2 + 𝒌𝒌𝑝𝑝 3 dimana 𝑝𝑝 0 , 𝑝𝑝 1 , 𝑝𝑝 2 , 𝑝𝑝 3 ∈ ℝ , konjugasi dari 𝑝𝑝 adalah 𝑝𝑝 � = 𝑝𝑝 0 + 𝒊𝒊𝑝𝑝 1 + 𝒋𝒋𝑝𝑝 2 + 𝒌𝒌𝑝𝑝 3 = 𝑝𝑝 0 − 𝒊𝒊𝑝𝑝 1 − 𝒋𝒋𝑝𝑝 2 − 𝒌𝒌𝑝𝑝 3 .
Dan modulo p dituliskan dengan |p| dan didefinisikan sebagai
| 𝑝𝑝 | = �𝑝𝑝 0 2 + 𝑝𝑝 1 2 + 𝑝𝑝 2 2 + 𝑝𝑝 3 2
Ruang 𝑳𝑳 𝟏𝟏 ( ℝ ) dan 𝑳𝑳 𝟐𝟐 ( ℝ )
Sebelum mendefinisikan transformasi Fourier dan membuktikan beberapa sifat-sifatnya, terlebih dahulu akan dibahas tentang fungsi yang terdefinisi pada ℝ . Misalkan 𝑓𝑓 terintegralkan pada ℝ , maka ruang 𝐿𝐿 1 = 𝐿𝐿 1 ( ℝ ) sebagai semua ruang fungsi 𝑓𝑓 yang terintegralkan mutlak pada ℝ , yaitu
𝐿𝐿 1 = �𝑓𝑓� ∫ | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| < ∞ ∞ −∞ � .
Ruang 𝐿𝐿 1 dilengkapi dengan norm ‖∙‖ 1 yang dirumuskan [4],
‖𝑓𝑓‖ 1 = � | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑑𝑑𝑥𝑥 . ∞ −∞
Selanjutnya, didefinisikan juga untuk ruang 𝐿𝐿 2 ( ℝ ) sebagai ruang fungsi 𝑓𝑓 yang kuadratnya terintegralkan [4],,
𝐿𝐿 2 = �𝑓𝑓� ∫ | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 2 < ∞ ∞ −∞ � .
Ruang 𝐿𝐿 2 dilengkapi dengan norm ‖∙‖ 2 yang dirumuskan [4],
‖𝑓𝑓‖ 2 = �� | 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ −∞ � 1 / 2 .
Perlu diperhatikan bahwa tidak semua 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 1 juga 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 2 .

## 3. PROSEDUR PENELITIAN
Penulisan paper ini digunakan dengan langkah- langkah sebagai berikut:
a. Mendefinisikan transformasi Fourier
b. Menguraikan sifat-sifat transformasi Fourier
c. Mendefinisikan transformasi Fourier quaternion
d. Menguraikan sifat-sifat transformasi Fourier quaternion

## 4. PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas tentang transformasi Fourier dan transformasi Fourier quaternion.

## Transformasi Fourier
Definisi.
Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 1 , yakni ‖𝑓𝑓‖ 1 = ∫ | 𝑓𝑓 | 𝑑𝑑𝑥𝑥 < ∞ ∞ −∞ . Transformasi Fourier dari 𝑓𝑓 , dituliskan dengan ℱ dan didefinisikan oleh [4],
ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) = ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ℝ 𝜔𝜔 ∈ ℝ .
Sedangkan invers transformasi Fourier didefinisikan dengan ℱ −1 ( 𝜔𝜔 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 2𝜋𝜋 ∫ ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝜔𝜔 ∞ −∞ , 𝑥𝑥 ∈ ℝ
Teorema Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 1 , dan 𝑎𝑎 ∈ ℝ , dengan 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 ) maka transformasi Fourier dari 𝑓𝑓 adalah ℱ { 𝑓𝑓 }( −𝜔𝜔 ) .
ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) = � 𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ℝ = � 𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖 ( −𝑖𝑖 )( −𝑖𝑖 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ℝ = ℱ { 𝑓𝑓 }( −𝜔𝜔 ) Dimana 𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 ) disebut sebagai time reversal dan ℱ { 𝑓𝑓 }( −𝜔𝜔 ) frequency reversal.
Teorema Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 1 , dan 𝑎𝑎 ∈ ℝ , dengan 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 ) maka transformasi Fourier dari 𝑓𝑓 adalah ℱ ( 𝜔𝜔 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 . Bukti:
Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier (3.1) ,
ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 , ℝ Misalkan 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 𝑡𝑡 , sehingga 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 dan 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 ,
ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 )   = � 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖+𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ = � 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
ℝ = ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
Dengan demikian teorema terbukti. Teorema ini disebut sebagai teorema pergeseran atau translasi dimana 𝑥𝑥 digeser sejauh 𝑎𝑎 . Jika 𝑎𝑎 > 0 , maka grafik digeser 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) kekanan sejauh 𝑎𝑎 satuan dan jika 𝑎𝑎 < 0 , maka grafik 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) digeser ke kiri sejauh 𝑎𝑎 satuan. Sedangkan untuk hasil transformasi Fourier terdapat tambahan kernel 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖 hal ini disebabkan oleh manipulasi aljabar.
Teorema Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 1 , dan 𝑎𝑎 ∈ ℝ , dengan 𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) maka transformasi Fourier dari 𝑓𝑓 adalah ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 − 𝑎𝑎 ) . Bukti: Dengan menggunakan definisi transformasi ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) = ∫ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥
ℝ
= � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ = � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖−𝑖𝑖 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ = ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 − 𝑎𝑎 )
Baris keempat pembuktian adalah bukti yang diharapkan dari teorema ini. Sedangkan ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 − 𝑎𝑎 ) disebut Frequency shift.
Teorema. Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 1 , dan 𝑎𝑎 ∈ ℝ , dengan 𝑓𝑓 = 𝛿𝛿 −1 𝑓𝑓 � 𝑖𝑖 𝛿𝛿 � maka transformasi Fourier dari 𝑓𝑓 adalah ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝛿𝛿𝜔𝜔 ). .

## Bukti.
Dengan menggunakan definisi transformasi Fourier (3.1) ,
ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 )   = � 𝛿𝛿 −1 𝑓𝑓 � 𝑥𝑥 𝛿𝛿� 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ = � 𝛿𝛿 −1 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝛿𝛿𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑑𝑑𝑢𝑢 ℝ = � 𝛿𝛿 −1 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖𝛿𝛿 ) 𝑖𝑖 𝛿𝛿 𝑑𝑑𝑢𝑢 ℝ = � 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) 𝑒𝑒 −𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖𝛿𝛿 ) 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑢𝑢 ℝ = ℱ { 𝑓𝑓 }( 𝛿𝛿𝜔𝜔 ) Baris kedua diperoleh dengan memisalkan, 𝑢𝑢 = 𝑖𝑖 𝛿𝛿 ↔ 𝑥𝑥 = 𝛿𝛿𝑢𝑢 ,dengan mendiferensialkan kedua ruas diperoleh 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝛿𝛿𝑑𝑑𝑢𝑢 . Baris terakhir pembuktian disebut Frequency scale.

## Transformasi Fourier Quaternion
Transformasi Fourier quaternion (TFQ) merupakan perluasan dari transformasi Fourier. Sehingga sifat-sifat yang akan  dibuktikan pada TFQ juga merupakan sifat-sifat yang dibuktikan pada transformasi Fourier.
Sifat nonkumutatif quaternion sehingga TFQ dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu TFQ sisi kiri, TFQ sisi kanan dan TFQ dua sisi. Namun pada paper ini hanya akan diperkenalkan TFQ sisi kanan selanjutnya adan dibandingkan hasil transformasinya dengan transformasi Fourier klasik. Beikut ini diberikan TFQ sisi kanan. Berdasarkan sifat  nonkomutatif terhadap operasi perkalian maka TFQ dibedakan menjadi tiga tipe yaitu TFQ tipe I  (dua sisi)
ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2
TFQ tipe II (sisi kanan)
ℱ 𝑞𝑞 𝐼𝐼𝐼𝐼 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 TFQ tipe III  (sisi kiri)
ℱ 𝑞𝑞 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 { 𝑓𝑓 }( 𝜔𝜔 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 ) 𝑑𝑑𝒙𝒙 ℝ 2 .
Sedangkan untuk invers transformasi Fourier quaternion (ITFQ) didefinisikan sebagai berikut. Tipe I  ITFQ (dua sisi)
ℱ 𝑞𝑞 −1 �ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) � ( 𝒙𝒙 ) = 1 (2 𝜋𝜋 ) 2 � 𝑒𝑒 𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 �ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) � 𝑒𝑒 𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 ℝ 2 𝑑𝑑𝝎𝝎 .
Tipe II ITFQ (sisi kanan)
ℱ 𝑞𝑞 −1 �ℱ 𝑞𝑞 𝐼𝐼𝐼𝐼 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) � ( 𝒙𝒙 )
= 1 (2 𝜋𝜋 ) 2 � �ℱ 𝑞𝑞 𝐼𝐼𝐼𝐼 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) � 𝑒𝑒 𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑒𝑒 𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 ℝ 2 𝑑𝑑𝝎𝝎 .
Tipe III ITFQ (sisi kiri) ℱ 𝑞𝑞 −1 � ℱ 𝑞𝑞 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) � ( 𝒙𝒙 )
= 1 (2 𝜋𝜋 ) 2 � 𝑒𝑒 𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑒𝑒 𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 � ℱ 𝑞𝑞 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) � ℝ 2 𝑑𝑑𝝎𝝎 .
Penggunaan unit quaternion pada kernel, tidak menimbulkan perbedaan antara satu dengan yang lain dan ini dikenal sebagai bentuk trivial.
Sebelum membahas beberapa teorema yang berkaitan  dengan TFQ, perhatikan penggunaan kernel berikut,
�𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) �𝑒𝑒 𝒊𝒊𝝎𝝎𝒙𝒙 = 𝑒𝑒 𝒊𝒊𝝎𝝎𝒙𝒙 �𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) � . Hal ini disebabkan karena 𝑒𝑒 𝒊𝒊𝝎𝝎𝒙𝒙 �𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) � = (cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) �𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) � = cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) = �𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) � (cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) = 𝑒𝑒 𝒊𝒊𝝎𝝎𝒙𝒙 �𝑓𝑓 0 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒊𝒊𝑓𝑓 1 ( 𝒙𝒙 ) �
Berbeda jika, perkalian dilakukan pada unsure 𝒋𝒋 dan 𝒌𝒌 , �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3
( 𝒙𝒙 ) �𝑒𝑒 𝒊𝒊𝝎𝝎𝒙𝒙 = 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝒙𝒙𝝎𝝎 �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) � Ini diperoleh dengan melalui proses berikut �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) �𝑒𝑒 𝒊𝒊𝝎𝝎𝒙𝒙
= �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) � ( cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) = ( 𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) 𝒊𝒊 sin 𝝎𝝎𝒙𝒙
= ( 𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒋𝒋 𝒊𝒊 𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌 𝒊𝒊 𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 = ( 𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + ( − 𝒊𝒊 ) 𝒋𝒋 𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) + ( −𝒊𝒊 ) 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 = ( cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + ( − 𝒊𝒊 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) � +( cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + ( −𝒊𝒊 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) �𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) � = ( cos 𝝎𝝎𝒙𝒙 + ( − 𝒊𝒊 ) sin 𝝎𝝎𝒙𝒙 ) �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) � = 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝒙𝒙𝝎𝝎 �𝒋𝒋𝑓𝑓 2 ( 𝒙𝒙 ) + 𝒌𝒌𝑓𝑓 3 ( 𝒙𝒙 ) � .
Demikian juga, jika perkalian dengan menggunakan kernel laiinya. Selanjutnya, akan dibahas teorema pertama TFQ.

## Teorema:  Frequency reversal
Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 2 ( ℝ : ℍ ), dengan 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( −𝒙𝒙 ) Maka TFQ dari 𝑓𝑓 adalah ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( −𝝎𝝎 )
Bukti:
Dengan menggunakan definisi TFQ,
ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑓𝑓 ( −𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 Dengan manipulasi aljabar, ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊 ( −𝑖𝑖 1 )( −𝑖𝑖 ) 1 𝑓𝑓 ( −𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋 ( −𝑖𝑖 2 )( −𝑖𝑖 2 ) 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 = ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( −𝝎𝝎 )
Dengan demikian teorema terbukti.

## Teorema Linearity
Misalkan 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ∈ 𝐿𝐿 2 ( ℝ : ℍ ), linearitas TFQ dinyatakan dengan ℱ 𝑞𝑞 { 𝛼𝛼𝑓𝑓 + 𝛽𝛽𝑔𝑔 }( 𝝎𝝎 ) = 𝛼𝛼 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 } + 𝛽𝛽 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑔𝑔 }
Bukti:
Dengan menggunakan definisi TFQ
ℱ 𝑞𝑞 { 𝛼𝛼𝑓𝑓 + 𝛽𝛽𝑔𝑔 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 �𝛼𝛼𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 ) + 𝛽𝛽𝑔𝑔 ( 𝒙𝒙 ) �𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝛼𝛼𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 + � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝛽𝛽𝑔𝑔 ( 𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 = 𝛼𝛼 � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 + 𝛽𝛽 � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑔𝑔 ( 𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 = 𝛼𝛼 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 } + 𝛽𝛽 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑔𝑔 }

## Teorema: Spatial Shift
Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 2 ( ℝ : ℍ ), dengan 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝟎𝟎 ), maka TFQ dari 𝑓𝑓 adalah
ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 01 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 02
Bukti:
ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑓𝑓 ( 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝟎𝟎 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 Misalkan 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = 𝒗𝒗 , 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 𝟎𝟎 + 𝒗𝒗 dan 𝑑𝑑𝒙𝒙 = 𝑑𝑑𝒗𝒗
ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 ( 𝑖𝑖 01 +𝑣𝑣 1 ) 𝑓𝑓 ( 𝒗𝒗 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 ( 𝑖𝑖 02 +𝑣𝑣 2 ) 𝑑𝑑𝒗𝒗 . ℝ 2 = 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 01 �� 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑣𝑣 1 𝑓𝑓 ( 𝒗𝒗 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝒗𝒗 ℝ 2 � × 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 02 = 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 01 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 02

## Teorema: Spatial Scale
Misalkan 𝑓𝑓 ∈ 𝐿𝐿 2 ( ℝ : ℍ ), dengan 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( 𝜶𝜶𝒙𝒙 ), 𝜶𝜶 ∈ ℍ maka TFQ dari 𝑓𝑓 adalah
Bukti:
ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = � 𝑒𝑒 −𝒊𝒊𝑖𝑖 1 𝑖𝑖 1 𝑓𝑓 ( 𝜶𝜶𝒙𝒙 ) 𝑒𝑒 −𝒋𝒋𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 Misalkan 𝜶𝜶𝒙𝒙 = 𝒖𝒖 , 𝒙𝒙 = 𝒖𝒖 𝜶𝜶 , 𝑑𝑑𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝜶𝜶 𝒅𝒅𝒖𝒖 , ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 ) = 1 𝜶𝜶 � 𝑒𝑒 − 𝒊𝒊𝜔𝜔1𝑢𝑢1 𝛼𝛼1 𝑓𝑓 ( 𝒖𝒖 ) 𝑒𝑒 − 𝒋𝒋𝜔𝜔2𝑢𝑢2 𝛼𝛼2 𝑑𝑑𝒙𝒙 . ℝ 2 = 1 𝜶𝜶 ℱ 𝑞𝑞 { 𝑓𝑓 }( 𝝎𝝎 / 𝜶𝜶 ) .
Dengan demikian teorema terbukti.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka diambil kesimpulan sebagai:
Sifat-sifat yang dalam Transformasi Fourier juga berlaku pada trasnformasi fourier quaternion. Adapun sifat-sifat yang dimaksudkan adalah, frequency reversal, linearitas, pergeseran dan pengskalaan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Bahri, M,. Ashino, R., and Vailancourt, R. 2013. Convolution theorems for quaternion Fourier transform, properties and applications, Hindawi Publishing
Corporation Abstact and Applied
Analysis, vol. 2013, ID 162769 : 1-2.
[2] Bahri, M., Ashino, R. 2013. Correlation theorems for type II quaternion Fourier transform, International conference on wavelet analysis and pattern recognition .
136-141.
[3] Bahri, M.,  Hitzer, Ashino, R.,  and
Hayasi, A. 2008. An uncertainty principle for quaternion fourier transform. Computer and Mathematics with
Applications. 56: 2398.
[4] Hitzer, E. M. S. 2013. Quaternion Fourier Trasform on Quaternion Field and Generalization. Advance
Applications of Clifford Algebras . 17: 1- 20.
[4] http://personal.fmipa.itb.ac.id
/hgunawan/my-courses/fourier-analysis/
[5] Morais, J.P., Geogiev S., Sprosieg, W. 2012. Real Quaternionic Calculus Handbook. Springer Basel: Hidelberg
New York London. [6] Resnawati.
2013. Transformasi
Kanonikal Linear Quaternion .  Tesis. Makassar: Program Pascasarjana- UNHAS.
[7] Soo-Chang,  Pei,  IEEE,  Ding, JJ, and Chang J.H. 2001.
Efficient Implementation of Quaternion Fourier Transform, Convolution, and Correlation by 2-D Complex FFT. IEEE Transactions On Signal Processing . 11: 1-14.
[8] Supriadi, S. 2012. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg Untuk Transformasi Fourier Quaternion Dua Sisi. Tesis, Makassar: Program Pascasarjana-UNHAS.
[9] Todd, dkk. 2014. Quaternion Fourier Transform for Signal and Image Processing, Fokus.