## JUMLAH BESARAN KLAIM DENGAN METODE REKURSIF (N ~ Poisson (λ))
Faihatuz Zuhairah i
i Prodi Pendidikan Matematika, STKIP YPUP Makassar, faihatuz_zuhairoh@yahoo.com
ABSTRAK , Jumlah besaran klaim dapat dihitung dengan menggunakan model individual dan model kolektif. Model
individual  berbentuk
1 n ind i i X U    dengan  besar  klaim i U bernilai  positif  dan  diasumsikan  dengan  barisan
1 2 , ,... U U yang merupakan variabel random  independen dan  berdistribusi  sama.  Fungsi  pembangkit ˆ( ) g z dari jumlah besaran klaim ( the aggregate claim amount ) ind X
dalam
model ini dengan asumsi   (0,1) N POISSON   adalah
  1 1 1 ˆ( ) 1 ! ij i n m i a b k j j k i j e g z z k           
        .
Kata  Kunci:  model  individual,  jumlahan  klaim,  Poisson, rekursif

## 1. PENDAHULUAN

## Proses Jumlah Klaim
Pada  bagian  ini,  diasumsikan  bahwa T i berdistribusi Eksponensial .
Didefinisikan bahwa :
( ) sup{ : } k N t n c t   ,  yaitu  banyaknya  klaim yang masuk sampai waktu ke t .
1 2 1 ... k k i k i W T T T T        , (1)
yaitu waktu penantian sampai dengan klaim ke n terjadi.
Misal T i independen  dan  berdistribusi  identik yang  berbentuk  eksponensial  dengan  parameter  , yaitu   i T EXP  (2)
Misalkan i T x 
maka PDF ( Probability Density Function ) dari T i adalah   x f x e     (Ross, S. M., 2007: 36).
Karena i T x  maka  diperoleh  MGF  dari
distribusi eksponensial adalah   1 1 1 i T M t t   
Jadi   N t berdistribusi Poisson, ditulis sebagai berikut     N t POI t

## 

## Jumlah Besaran Klaim
Untuk  menentukan  kumpulan  jumlahan klaim  dalam  waktu t digunakan  persamaan     1 N t i i X t U    yang  mempunyai  fungsi distribusi
          1 P P N t i X t i F x X t x U x               (3)
(Rolski, T., 1999: 8).
Jumlah  besaran  klaim  ( The  Aggregate  Claim Amout )  sampai  waktu t dinyatakan  dengan persamaan   ( ) 1 N t i i X t U    ,  yang  mempunyai fungsi distribusi
          1 P P N t i X t i F x X t x U x               (4)
(Rolski, Thomasz., 1999: 8)
Jika U i ~  Gamma   ,   dengan  PDF     1 1 u f u u e          (Roussas,  G.  G.,
1997: 67) maka MGF-nya adalah
    1 1 i U M t t     (5)
Karena diasumsikan U i saling independen, maka
          ( ) 1 1 1 1 1 1 i i k tU X t N t k i k U i k k M t E e
M t t t                           
Dari MGF di atas, terlihat bahwa
X ( t ) ~ GAM   , k   (5)

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Model Individual dan Kolektif
Diberikan  portfolio  yang  terdiri  dari  n polis dengan resiko individual 1 2 , ,..., n U U U pada periode  waktu  tertentu.  Diasumsikan  bahwa
1 2 , ,..., n U U U adalah  variabel  random  positif yang independen, tetapi  tidak perlu mempunyai distribusi yang sama. Misalkan distribusi i U F dari
i U adalah mixture 0 (1 ) i i U i i V F F       ,
dimana 0 1 i    dan  dimana i V F adalah distribusi dari variabel random positif , 1,..., i V i n  .
Dalam  aplikasi  aktuaria,  peluang i  bernilai kecil dan dapat diinterpretasikan sebagai peluang  dari  polis  ke-i  yang  menghasilkan i V . Jumlah  besaran  klaim  dalam  model  ini,  yang disebut Model  Individual ( Individual  Model ) adalah:
1 n ind i i X U    (6)
Dengan distribusi 1 2 * *...* n U U U F F F .
Portfolio ini disebut homogeneous jika
1 2 ... n V V V F F F    .
Andaikan  diberikan  portofolio  yang terdiri  dari  sejumlah  polis  yang  tidak  diketahui dimana  tidak  dilakukan  observasi  secara terpisah.  Jumlah  total  klaim  yang  terjadi
sebanyak  N  yang  diberikan  pada  periode  acak. Selanjutnya, besar klaim i U bernilai positif dan diasumsikan  dengan  barisan
1 2 , ,... U U yang merupakan  variabel  random  independen  dan berdistribusi  sama.  Diasumsikan  juga  bahwa barisan 1 2 , ,... U U dari  besar  klaim  individual adalah  independen  dengan  jumlah  klaim  N. Umumnya,  N  berdistribusi  poisson,  binomial atau  binomial  negatif,  tetapi  mungkin  juga berdistribusi lain. Model ini disebut juga Model Kolektif ( Collective Model ) dan jumlah besaran klaim adalah variabel random
1 n col i i X U    .

## Compound Distribution
Misalkan  kita  ingin  mengevaluasi  total pembayaran  untuk  suatu  periode  waktu  (satu tahun, satu bulan, satu minggu, atau lainnya) dari portfolio  individual.  Misalkan N adalah bilangan  asli  –  nilai  dari  variabel  random  dan
1 2 , ,... U U adalah barisan variabel random positif.
Maka variabel random
1 , 1 0 , 0 N i i U jika N X jika N           (7)
disebut compound dan  menggambarkan  jumlah besaran  klaim  dalam  Model  Individual  dan diasumsikan  variabel  random 1 2 , , ,... N U U
independen. Kita katakan bahwa X memiliki a compound  distribution yang  dideterminasi  oleh fungsi  peluang   , k p k  dari N dan  oleh distribusi U F dari i U ,  jika  distribusi  dari X diberikan oleh:
* 0 k X k U k F p F     (8)
Dimana * k U F adalah k-fold konvolusi dari U F .
Dalam  kasus  ini  akan  dibahas  untuk i U berdistribusi  Gamma  dan N berdistribusi Poisson.
Misal   , i U Gamma   dengan     1 1 x f x x e          dengan  mean 
(Roussas, G. G., 1997: 67).
Fungsi Pembangkit Momen (MGF) dari U adalah
    1 1 U M z z     (9)
Dan misalkan ( ) N POI  dengan ! k k e p k    
dan  Fungsi  Pembangkit  Peluang  (PGF)  dari N adalah   1
( ) z N P z e    ( Klugman, S & Panjer, H.,
2006: Apendix B)
Akan dicari distribusi fungsi X
1 2 ... N X U U U     (10)
Fungsi  Pembangkit  Moment  (MGF)  dari X adalah:
    1 1 1 ( ) ( ) X N U z M z P M z
e               
Terjadi dua titik mixture , yaitu:
1.       1 1 1 1 1 0 1 0 (0) 1 z x M e e e                               2. Merupakan distribusi Gamma, ( , ) X Gamma   Pr( 0) , 0 X e untuk x      ,  sehingga  pdf  dari
X adalah:
  1 1 ( ) x X f x x e           
Penghitungan  nilai  CDF,
  E X ,   Var x dan
Premi:
* 0 * 0 * 0 ( ) ( ) ! ( ) ! k X k U k n U k n U F x p F e F x k e F x k 
     
       
Dimana   * 1 0 1 ( ) x x n U F x x e dv             ( ) ( ) ( ) ( ) E X E N E U                 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Var X Var N E U E N Var U
            
   
Penghitungan  premi  dengan  menggunakan prinsip nilai ekspektasi ( expected value principles ) adalah:
      1 ( ) , 0
1 X a E X a a        (11)

## 3. METODOLOGI
Untuk  memperoleh  fungsi  probabilitas yang  akan  digunakan  menentukan  jumlah besaran klaim dengan asumsi distribusi Poisson dilakukan dengan:
1. Membuat distribusi klaim portfolio ke-k
2. Menghitung  banyaknya  klaim  dengan
asumsi  distribusi  Poisson  yang  akan menggunakan penghitungan rekurensi
panjer
3. Menghitung  model  individual  dengan De Pril’s Algorithm
4. Menghitung  probabilitas  besaran  klaim dengan relasi rekursif

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Larger Claims in the Portfolio
Distribusi dari klaim portfolio ke- k yang terbesar diberikan oleh:
         1 1 ( )
Pr 1 ˆ ( ) 1 ( ) ( ) 1 ! N k k k N U U U x U x g F y F y dF y k   
     

## JURNAL MSA VOL. 5 NO. 1 ED. JAN-JUNI 2017
Jika  banyaknya  klaim N berdistribusi Poisson  dengan  mean  dan    ukuran  klaim
  , U F Gamma   dengan mean  .
Dari:
! ˆ ( ) ( )! k n k N n n k n g z p z n k       (Rolski, T., 1999: 108) Maka:     1 ˆ ( ) 1 ! k z N e g z k z       dan     1 ( ) ˆ ( ) ! 1 ! z z k N e g z k z z      

## Claim Number Distribution
Sedikitnya  terdapat  tiga  kasus  spesial yang biasa digunakan dalam asuransi. Distribusi Poisson (  ) adalah contoh paling terkenal untuk distribusi  banyaknya  klaim.  Distribusi  Negatif Binomial  ( , n p )  adalah  distribusi  terkenal lainnya yang sering digunakan untuk menghitung banyaknya klaim.
Dalam  tulisan  ini  banyaknya  klaim dihitung dengan menggunakan distribusi Poisson (  ), dimana:
, 0,1, 2,... ! k k e p k k      dengan
parameter 0   (Rolski, T., 1999: 610)
Nilai dari E(N) dan Var (N) adalah:
( ) E N   dan ( ) Var N   (Rolski,  T.,  1999:
611)
Dapat dihitung nilai indeks dispersinya:
  ( ) N Var N I E X  1  

##  
Jadi,  index  dispersi  untuk  distribusi  Poisson adalah 1.
Untuk 1 N I  disebut  distribusi overdispersion , sedangkan untuk 1 N I  disebut distribusi underdispersion .

## Panjer’s Recurrence Relation
1, 1, 2,... k k b p a p k k           (Klugman, S & Panjer, H., 2006: 87).
Penghitungan Rekurensi Panjer untuk ( ) N Poisson  :   1 2 2 3 3 2 2!
3 3! . . . ! k k p a b e b e p a b e p a b e p a k k                                       Jika 0, a b k   ; maka ( ) N Poisson  truncated at zero .
    Pr 1 ; 1, 2,... ! 1 k N k N k k e       

## Recursive Computation Methods

## The Individual Model: De Pril’s Algorithm
Diberikan model individual yang mendeskripsikan  portfolio  dari n polis  asuransi yang  independen.  Diasumsikan  bahwa  setiap polis mempunyai  jumlah klaim  individual  yaitu perkalian  beberapa  integer  random  dari  unit moneter.  Lebih  lanjut,  diasumsikan  bahwa portfolio  dapat  dibagi  dalam  banyaknya  kelas dari  semua  polis  yang  memiliki  probabilitas klaim  yang  sama  dan  jumlah  distribusi  klaim bersyarat yang sama.
Misalkan ij n adalah  banyaknya  polis  dengan probabilitas  klaim 1 j   dan  jumlah  distribusi klaim  bersyarat ( ) ( ) 1 ,..., i i m p p ,  menunjukkan distribusi  jumlah  klaim  individual ij F masing-
masing  polis  yang  diberikan  oleh mixture   ( ) 0 1 1 i m i ij j j k k k F p          Fungsi  pembangkit  ˆ( ) g z dari  jumlah  besaran klaim ( the aggregate claim amount ) ind X dalam model ini adalah:
( ) 1 1 1 ˆ( ) 1 ij i n m a b i k j j k k i j g z p z                
Dengan a adalah banyaknya distribusi bersyarat dari  jumlah  klaim  dan b adalah  banyaknya perbedaan distribusi klaim.
Misalkan distribusi ij X F dari i X mixture, dimana
  (0,1) N POISSON   adalah:
    ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 1 1 ! i ij i m i X j j k k k i m k j j k k F x p e k                     
Fungsi  pembangkit  ˆ( ) g z dari  jumlah  besaran klaim ( the aggregate claim amount ) ind X dalam model ini adalah:
  ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ˆ( ) 1 1 ! 1 ! ij i ij i ij i n m a b i k j j k k i j n i m k a b k j j k i j n m i a b k j j k i j g z p z e z k e z k       
                                                 Penghitungan probabilitas   ( ) Pr ind k p z X z   rekursif untuk 0,1,..., z m  ; dimana
1 1 a b ij i i j m n m     yang  menghasilkan  jumlah besaran klaim yang maksimal, adalah:
 
      1 1 1 1 1 1 1 (0) Pr 0 1 ! 1 (0) ! 1 ij i ij ij ind k n m i a b k j j k i j n i a b k j j i j a b n j i j p X e z k e k                       
       
      
      Dan     1 1 1 (0) Pr 1 ! ij i ind k n m i a b k j j k i j p X z e z k            
         dengan 1, 2,..., z m 

## 5. KESIMPULAN
Jika ij n adalah  banyaknya  polis  dengan probabilitas  klaim 1 j   dan  jumlah  distribusi klaim  bersyarat ( ) ( ) 1 ,..., i i m p p ,  menunjukkan distribusi  jumlah  klaim  individual ij F masing- masing  polis  yang  diberikan  oleh mixture
  ( ) 0 1 1 i m i ij j j k k k F p         
Fungsi  pembangkit  ˆ( ) g z dari  jumlah  besaran klaim ( the aggregate claim amount ) ind X dalam model ini adalah:
( ) 1 1 1 ˆ( ) 1 ij i n m a b i k j j k k i j g z p z              

##  
Fungsi  inilah  yang  kemudian  akan  digunakan menentukan  jumlah  besaran  klaim  dengan asumsi  distribusi  yang  diinginkan,  yang  secara rekursif diperoleh
    1 1 1 (0) Pr
1 ! ij i ind k n m i a b k j j k i j p X z
e z k                     
dengan 1, 2,..., z m 

## 6. DAFTAR PUSTAKA
1. Klugman, S. & Panjer, H. 2006. Loss Model , John Wiley & Sons Ltd.
2. Roussas,  G.,  G.  1997. A  Course  in Mathematical Statistics, 2 nd Edition .
Academic Press.
3. Rolski,  T.  dkk.  1999. Stochastic  Processes for  Insurance  and  Finance .  John  Wiley  &
Sons Ltd.
4. Ross,  S.,  M.  2007.  Introduction  to
Probability Model, 9 th Edition, Elsevier Inc.
5. Zuharioh,  F.,  2015.  Perhitungan  Premi dengan  Asumsi  Waktu  Antar  Klaim Berdistribusi Eksponensial. Matematika dan Statistika serta Aplikasinya , 2 (1).