Abstrak — Generalized  Additive  Models (GAM) merupakan kombinasi  dari  model  additive  dan generalized  linear  models (GLMs).  GAM  dengan  variabel  respon  bertipe  biner  disebut model generalized additive logistic . Perbedaan hasil  model regresi logistik  pada  GLMs  dan  GAM  didapatkan  pada  pemodelan faktor-faktor  yang  mempengaruhi  keuntungan  PT.PDC.  Dari studi  kasus  PT.PDC.  terlihat  bahwa  GLMs  hanya  menangkap hubungan  linier  antara  log-odds  dan  variabel  prediktor, sedangkan  GAM  dapat  menangkap  hubungan  kuadratik  yang digambarkan  dalam  grafik  prediksi  parsial.    Sehingga  dapat disimpulkan  bahwa  GAM  mampu  memodelkan  hubungan  yang lebih kompleks dibanding GLMs.
Kata Kunci — Cing Fong H , Clayton, Copula ,  Maintenance, Reliabilitas, Weibull

## I. PENDAHULUAN
Generalized Additive Models (GAM) adalah sutu metode yang dikembangkan oleh  [1] . GAM merupakan kombinasi dari model additive dan generalized linear models (GLMs).  Model ini terdiri dari komponen random, komponen aditif dan fungsi link.    GAM  dan  GLMs  mempunyai  tujuan  analistis  yang berbeda.  GLMs  digunakan  untuk  model  parametrik  [2], sedangkan GAM fokus pada eksplorasi data nonparametrik.
GAM  mengganti fungsi yang didefinisikan pada GLMs dengan  fungsi  penghalus  non-parametrik  dalam  menemukan hubungan  yang  ada.  Beberapa  penghalus  berbeda  tersedia, tetapi  yang  paling  sering  digunakan  adalah  spline  atau  loess. Penghalus  memiliki  parameter  yang  dapat  digunakan  untuk mengontrol kedekatan trend model dengan data. GAM  adalah  model  aditif  karena  secara  simultan  GAM memodelkan  efek  yang  berbeda  dari  setiap  variabel  bebas. Setiap  efek  dapat  diestimasi  dengan  menggunakan  penghalus atau  fungsi  matematika,  yang  mengarah  pada  GAM  sebagai model semiparametrik.
II. GENERALIZED ADDITIVE MODELS (GAM) p p p X X X X f Y E         ... ) ,..., ( ) ( 1 1 0 1 (1)
Dalam regresi linier standard, parameter  0 ,  1 , ...,  p diestimasi dengan  metode least  square .  Model  additive  mengeneralisasi model  linier  dengan  memodelkan  nilai  harapan Y sebagai bentuk
) ( ... ) ( ) ,..., ( ) ( 1 1 0 1 p p p X s X s s X X f Y E      (2)
dimana s i (X i ) ,  untuk i=1,...,  p adalah  fungsi  penghalus  yang diestimasi  dengan  cara  nonparametrik.  Jika  penghalus nonparametrik s i (X i ) , untuk i=1,..., p adalah smoothing spline, maka s i dapat  diestimasi  dengan  motode penalized  least squares.
GAM  mengembangkan model linier standard dengan cara lain, yaitu adanya fungsi link antara f (X 1 , ..., X p ) dan nilai harapan Y . Dengan cara seperti itu, model lebih fleksible untuk diterapkan  dalam  mengatasi  kasus  dimana  asumsi    tidak terpenuhi [3]. GAM terdiri dari komponen random, komponen additive  dan  fungsi  link  yang  menghubungkan  kedua komponen.  Random  komponen,  yaitu  variabel  respon Y , dianggap mempunyai distribusi keluarga eksponensial
         ) , ( ) ( ) ( exp ) ; ; (       y c a b y y f Y (3)
dimana  adalah  parameter  natural  dan  adalah  parameter skala.  Komponen  additive  pada  GAM  adalah    kuantitas  dengan bentuk
    p i i i X s s 1 0 ) (  (4)
dimana variabel respon mempunyai fungsi kepadatan peluang ( probabiity density )  keluarga  eksponensial.    Hubungan  antara rata-rata  variabel  respon  dan  ditunjukkan  dengan  fungsi link g(.) , yang dapat ditulis sebagai
   ) ( g
(5)

## Generalized Additive Logistic Pada Pemodelan Faktor- Faktor Yang Mempengaruhi Keuntungan PT. PDC
Dr. Drs. Kartika Fithriasari 1 , Soehardjoepri 2 , Nur Iriawan 1
1 Departemen Statistika, Fakultas Matematika, Komputasi dan Sains Data
2 Departemen Aktuaria, Fakultas Matematika, Komputasi dan Sains Data Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jalan Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail : kartika_f@statistika.its.ac.id
Anggap Y adalah variabel acak respon dan X 1 , X 2 , ..., X p adalah himpunan variabel prediktor. Prosedur regresi dapat dipandang  sebagai  suatu  metoda  untuk  estimasi    bagaimana nilai Y tergantung  pada   nilai X 1 ,  X 2 ,  ...,  X p [4]. Model  regresi linier standard menganggap nilai harapan Y mempunyai  bentuk linier
INFERENSI , Vol. 1(1), September. 2018, ISSN: 0216-308X

## III. GENERALIZED ADDITIVE LOGISTIC MODEL
Pada  model  regresi  logistik,  variabel  respon Y mempunyai nilai 0 atau 1, yang disebut data biner. Anggap Y adalah variabel respon biner dan X 1 , X 2 ,..., X p adalah variabel prediktor,  sehingga  model  logistik  linier  menganggap  bahwa log-odds adalah linier:
ip p i i ip i i i ip i i i x x x x x x y p x x x y p          
... ) ,..., , | ( 1 ) ,..., , | ( log 2 2 1 1 0 2 1 2 1 (6)
Dari  model  logistik  linier  dapat  dikembangkan  model generalized additive logistic sebagai berikut:
) ( ... ) ( ) ( ) ,..., , | ( 1 ) ,..., , | ( log 2 2 1 1 0 2 1 2 1 ip p i i ip i i i ip i i i x s x s x s x x x y p x x x y p
       (7)
Dimana  fungsi s 1 ,  s 2 ,...,  s p adalah  fungsi  penghalus  yang diestimasi  secara  nonparametrik.  Fungsi s j ,  untuk j=1,...,  p adalah fungsi yang tidak spesifik. Fungsi ini diestimasi dengan cara yang fleksible dengan menggunakan scatterplot smoother, sehingga dapat menangkap pengaruh nonlinieritas dari variabel prediktor.

## IV. METODE PENGHALUS
Anggap  ada  titik-titik  pada  scatterplot  ( x i ,y i ),  dimana Y adalah  variabel  respon  dan X adalah  variabel  prediktor. Hubungan ketergantungan Y pada X ingin dibentuk oleh kurva penghalus s ( X ).  Jika  ingin  dicari  kurva  yang  meminimumkan kuadrat eror, hasilnya adalah kurva interpolasi yang tidak halus di semua titik. Penghalus cubic spline membebankan kehalusan pada fungsi s(X) . Ingin dicari fungsi s(X) yang meminimumkan
    dx x s x s y i i 2 " 2 ) ( )] ( [  (8)  dx x s 2 " ) ( menghitung  “wiggliness”  dari  fungsi s(X) sedangkan  adalah parameter penghalus yang harus ditentukan dan nilainya tidak negatif . Jika s(X) linier, maka   0 ) ( 2 " dx x s
. Untuk sembarang nilai  , solusi dari (8) adalah cubic spline, yaitu sebuah piecewise cubic polynomial dengan penggabungan potongan ( pieces ) pada nilai x dalam dataset.
Anggap model additive yang sesuai
  j ij j i x s y ) ( ˆ (9)
Kriteria  (8)  dapat  dispesifikan  untuk  masalah  ini,  dan prosedur  iterasi  tersedia  untuk  mengestimasi  fungsi s j . Penghalus cubic  spline diterapkan    pada    k j ij j i x s y ) ( ˆ
sebagai fungsi x ik .  Proses berlanjut sampai estimasi j s ˆ stabil.
Prosedur tersebut dikenal sebagai metode Backfitting.

## V. STUDI KASUS
Data keuntungan tiap outlet PT. PDC. dicatat pada  akhir tahun 2009. Jumlah pengamatan yang ada adalah 40 data. Pada tahun  2009  PT.PDC  mempromosikan  produk-produknya dengan  membuka  outlet-outlet  di  berbagai  daerah  di  seluruh Indonesia.    Pada  akhir  tahun  manajemen  mencatat  besarnya luas outlet (dalam m 2 ) dan biaya akomodasi   (juta rupiah) serta keuntungan perusahaan. Untuk variabel keuntungan perusahaan dicatat dalam dua kategori 1  yang berarti “untung” dan  0  yang  berarti  “tidak  untung”.    PT.PDC  ingin  melihat pengaruh  variabel  prediktor:    luas  outlet  (X 1 )  dan  biaya akomodasi  (X 2 ) terhadap keuntungan perusahaan (Y) . Data ini akan diolah dengan GLMs dan GAM. Dalam SAS untuk GLMs menggunakan  PROC  GENMOD,  sedangkan  untuk  GAM menggunakan  PROC  GAM.  Variabel  respon  pada  kasus  ini bertipe binary data, sehingga fungsi link yang digunakan adah transformasi logit.
Tujuan dari analisis ini adalah mengidentifikasi hubungan antara variabel prediktor (X 1 , X 2 ) dan variabel respon Y dengan regresi  logistik  dalam  konteks  GLMs.  Sehingga  PROC GENMOD  dalam  SAS  dapat  digunakan  untuk  melihat hubungan  variabel  tersebut.  Hasil  PROC  GENMOD  dapat dilihat pada tabel 1.
Tabel 1 Analisis estimasi parameter untuk regresi logistik dalam GLMs
Analysis Of Parameter Estimates
Standard     Wald 95% Confidence       Chi- Parameter    DF    Estimate       Error           Limits       Square    Pr > ChiSq
Intercept     1      9.2536      3.9486      1.5145     16.9927       5.49 0.0191 X1            1     -0.2376      0.1134     -0.4599     -0.0152       4.39 0.0362 X2            1     -1.1257      0.5797     -2.2618      0.0105       3.77 0.0521 Dari  tabel  1, model yang  didapat  dengan menggunakan regresi logistik dalam GLMs adalah:
2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1257 , 1 2376 , 0 2536 , 9 ) , , , | ( 1 ) , , , | ( log i i i i i i i i i i i i x x x x x x y p x x x x y p    
Dari  tabel  1  terlihat  bahwa  pengaruh  X 1 cukup significant pada taraf 5%. Sedangkan X 2 tidak signifikan. Pada GLMs  hubungan  antara  log  odds  dengan  variabel  prediktor diasumsikan  linier,  karena  X 2 tidak  signifikan,  maka  akan dilihat  generalized    additive  logistic  model  untuk  kasus tersebut. Untuk  mendapatkan  model GAM digunakan  PROC GAM dalam SAS, hasilnya dapat dilihat pada tabel 2. Dan tabel 3.
Tabel 2 Estimasi parameter analisis model regresi dalam GAM Parameter       Standard
Parameter        Estimate          Error      t Value    Pr > |t| Intercept        -8.44442        4.22376      -2.00      0.0539 Linear(x1)        0.24315        0.12224       1.99      0.0550 Linear(x2)        0.47629        0.86557       0.55      0.5858
INFERENSI , Vol. 1(1), September. 2018, ISSN: 0216-308X
Tabel  3 Analisis  Smoothing  Model  Devians  menggunakan prosedur GAM Sum of Source                 DF         Squares        Chi-Square    Pr > ChiSq Spline(x1)        3.00000        0.912680        1.1767        0.7586 Spline(x2)        3.00000        9.824273       12.6664        0.0054
Tabel  2  menunjukkan  bahwa  prediksi  parsial  X 1 hampir signifikan pada taraf 5% dengan pola linier, sedangan X 2 pada  tabel  3    terlihat  significant  pada  taraf  5%.  Untuk selanjutnya  dibuat  grafik  prediksi  parsial  dari  tiap  variabel prediktor, hasilnya dapat dilihat pada gambar 1.

## Gambar 1 Prediksi parsial untuk setiap variabel prediktor
Pada  gambar  1  dapat  dilihat  bahwa  pola  X 2 adalah kuadratik sedangkan pola X 1 mendekati linier, sehingga dicoba model  kuadratik dengan  menggunakan PROC GENMOD dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.

## Tabel 4 Analisis estimasi parameter dengan Proc GENMOD

## Analysis Of Parameter Estimates
Standard     Wald 95% Confidence   Chi- Parameter    DF    Estimate       Error           Limits       Square    Pr > ChiSq
Intercept     1     -0.4483      4.7515     -9.7611      8.8645       0.01 0.9248 X1             1     -0.3135      0.1257     -0.5598     -0.0672       6.22 0.0126 X2            1     12.8678      6.2699      0.5790     25.1567       4.21 0.0401 X2*x2         1     -3.6286      1.6790     -6.9193     -0.3379       4.67 0.0307
Tabel  4  menunjukkan  semua  parameter  significant pada  taraf  5%  kecuali  intersept,  sehingga  dicoba  untuk mengolah kembali dengan model tanpa intersep.
Tabel 5 Analisis estimasi parameter dengan Proc GENMOD

## tanpa intersep
Analysis Of Parameter Estimates
Standard     Wald 95% Confidence       Chi-
Parameter    DF    Estimate       Error           Limits      Square    Pr > ChiSq
X1            1     -0.3164      0.1229     -0.5574     -0.0755       6.63
0.0101
X2            1     12.4553      4.4241      3.7843     21.1264       7.93 0.0049
X2*x2         1     -3.5204      1.2050     -5.8822     -1.1586       8.53
0.0035
Setelah  intersep  dihilangkan  terlihat  pada  tabel  5 bahwa  semua  parameter  sudah  significant,  sehingga  model yang didapat adalah:
2 2 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 5204 , 3 4553 , 12 3164 , 0 ) , , , | ( 1 ) , , , | ( log i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x y p x x x x y p     

## VI. KESIMPULAN
Dari  analisis  diatas,  terlihat  bahwa  ketika  memodelkan antara  variabel  luas  outlet  (X 1 )  dan  biaya  akomodasi    (X 2 ) dengan  variabel  keuntungan  (Y)  pertama  kali  dengan menggunakan  regresi  logistik  dalam  GLMs,  hasilnya  adalah tidak  ada  hubungan  antara  variabel  biaya  akomodasi  (X 2 ) dengan  variabel  keuntungan  (Y).  Selanjutnya  dimodelkan dengan GAM, ternyata pola dari variabel biaya akomodasi (X 2 ) dapat  ditangkap  yaitu  kuadratik,  sehingga  model  yang menunjukan  hubungan  antara  variabel  luas  outlet  (X 1 )  dan biaya akomodasi  (X 2 ) dengan variabel keuntungan (Y) dapat dibuat.  GLMS hanya menangkap hubungan linier antara log- odds dan variabel prediktor, sedangkan GAM dapat menangkap hubungan  kuadratik  yang  dgambarkan  dalam  grafik  prediksi parsial.    Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  GAM  mampu memodelkan hubungan yang lebih kompleks dibanding GLMs.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
[4]
T.  Hastie  dan  R.  Tibshirani,  “Generalized  Additive Models,” Statistical Science, vol. I, no. 3, pp. 297-318, 1986.
P.  McCullagh  dan  J.  A.  Nelder,  Generalized  Linear Models, 2nd penyunt., London: Chapman & Hall, 1989.
Y.  Terzi  dan  M.  A.  Cengiz,  “Using  of  generalized additive  model  for  model  selection  in  multiple  poisson regression for air pollution data,” Scientific Research and Essay, vol. IV, no. 9, pp. 867-871, September 2009.
T. Hastie dan R. Tibshirani, Generalzed Additive Models, 1st penyunt., Chapman and Hall, 1990.