## PENERAPAN MODEL-BASED CLUSTERING PADA PENGELOMPOKAN SAHAM BERDASARKAN RASIO KEUANGAN
Irena Sekar Dwi Hasnida 1 , Rosita Kusumawati 2
1,2 Statistika, Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: 1 irenasekardwihasnida@gmail.com

## Abstrak
Untuk  meminimalkan  kerugian  dengan  tingkat  keuntungan  tertentu,  investor  perlu  memilih saham  potensial  agar  keuntungan  yang  diperoleh  optimal.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk mengetahui  penerapan Model-Based  Clustering (MBC)  dalam  mengelompokkan  perusahaan berdasarkan  kinerja  keuangan  saham.  Indikator  keuangan  yang  digunakan  yaitu  data  rasio likuiditas,  profitabilitas,  dan  solvabilitas  tahun  2020  untuk  perusahaan  yang  terdaftar  pada indeks  LQ45.  Pemilihan  model  dan  jumlah  komponen  akan  dilakukan  berdasarkan  nilai Bayesian Information Criterion (BIC) dan Completed Likelihood Criterion (ICL). Dari proses clustering , terbentuk 6 cluster dengan nilai BIC dan ICL berturut-turut sebesar 709,3757 dan - 709,376,  dan  model  optimal  terpilih  VEV  ( Variable  volume,  Equal  shape,  Variable orientation ). Berdasarkan nilai rata-rata setiap rasio, cluster 6 merupakan cluster terbaik karena memiliki  mayoritas  rasio  likuiditas  dan  profabilitas  terbaik  serta  rasio  solvabilitas  terendah. Cluster 6  memiliki  kemampuan  yang  tinggi  dibandingkan  perusahaan cluster lain  untuk membiayai  kegiatan  operasional  perusahaan  dan  memenuhi  kewajiban  keuangannya  jangka pendek.
Kata kunci: Model-Based Clustering , pengelompokan saham, rasio keuangan.

## Abstract
To minimize losses at a certain profit level, investors need to choose potential stocks so that the profits  are  optimal.  This  study  aims  to  determine  the  application  of  model-based  clustering (MBC) in classifying companies based on stock performance. The financial indicators used are data on liquidity ratios, profitability, and solvency for 2020 for companies listed on the LQ45 index. The selection of the model and the number of components will be based on the Bayesian Information  Criterion  (BIC)  and  Completed  Likelihood  Criterion  (ICL)  values.  From  the clustering process, six clusters were formed with BIC and ICL values of 709.3757 and -709.376, respectively,  and  the  optimal  model  was  selected  as  VEV  (variable  volume,  equal  shape, variable orientation). Based on the average value of  each ratio,  cluster 6 is  the best  cluster because it has the majority of the best liquidity and profitability ratios and the lowest solvency ratio.  Cluster  6  has  a  high  ability,  compared  to  other  cluster  companies,  to  finance  the company's operational activities and fulfill its short-term financial obligations.
Keywords: Model-Based Clustering, stock clustering, financial ratios.

## PENDAHULUAN
Pengambilan  keputusan  investasi  oleh investor  perlu  dibuat  secara  rasional  untuk memaksimalkan  keuntungan.  Dalam  hal  ini analisis fundamental perusahaan dapat dimanfaatkan oleh investor sebagai pertimbangan  dalam  keputusan  investasinya. Analisis fundamental bertujuan untuk memperkirakan harga saham di masa mendatang dengan memperkirakan nilai faktor fundamental  yang  akan  mempengaruhi  harga saham  di  masa  mendatang,  seperti  perkiraan laba  per  saham,  perputaran  pendapatan perusahaan,  risiko  pendapatan  masa  depan perusahaan, penggunaan hutang oleh manajemen  dan  kebijakan  deviden  (Weston dan  Brigham,  1993).  Analisis  fundamental melihat  kondisi  internal  perusahaan  salah satunya  melalui  analisis  laporan  keuangan menggunakan  rasio-rasio  keuangan  yang menginterpertasikan  kondisi  keuangan  dan hasil operasi suatu perusahaan (Suad, 2004).
Untuk menilai keuntungan perusahaan dapat  dianalisis  melalui  data  yang  tercermin dalam  laporan  keuangan  perusahaan,  dengan menganalisis  laporan  keuangan  perusahaan sendiri  (Andy  dan  Megawati,  2019).  Analisis rasio keuangan adalah analisis yang menggabungkan  evaluasi  laporan  keuangan dan  laporan  laba  rugi  terhadap  satu  dengan lainnya,  yang  memberikan  gambaran  tentang sejarah  perusahaan  dan  penilaian  kesehatan suatu perusahaan tertentu. Analisis rasio dapat membimbing  investor  membuat  keputusan atau  pertimbangan  tentang  apa  yang  akan dicapai  oleh  perusahaan  dan  atau  bagaimana prospek yang akan dihadapi dimasa yang akan datang  (Andayani,  2016).    Masing-masing rasio keuangan mencerminkan aspek tertentu. Saat  menganalisis  rasio  keuangan,  pemberi pinjaman mencari informasi tentang kemampuan  perusahaan  untuk  membayar kembali  pinjamannya  tepat  waktu,  sementara investor  lebih  tertarik  pada  kemampuan perusahaan untuk menghasilkan keuntungan.
Beberapa  penelitian  telah  dilakukan pada  portofolio  dan  strategi  pemilihan aset/saham.  Salah satunya dengan melakukan pengelompokkan terhadap saham menggunakan  teknik clustering seperti  yang dilakukan  oleh  Nanda  et.al  (2010)  yang memanfaatkan  beberapa  teknik  clustering
pada  saham  yaitu K-means ,  SOM  ( Self- Organization Map ), dan Fuzzy C-means yang menggunakan  data  pasar  Bombay  Stock Exchange. Subekti dkk (2017) juga melakukan clustering saham menggunakan K-Means dan Average  Linkage untuk  menyusun  portofolio yang optimal dalam rangka strategi diversifikasi  yang  makin  beragam.  Pada penelitian  lainnya,  Subekti  et.al  (2018) menggunakan Ant  colony  algorithm untuk clustering dapat  memberikan  portofolio dengan performa yang lebih baik berdasarkan nilai Sharpe index . Dalam perspektif data mining, masalah pemilihan saham bertujuan untuk mengidentifikasi  saham  potensial  atau  saham yang memberikan keuntungan tinggi. Clustering saham  bisa  digunakan  untuk mengelompokkan saham berdasarkan beberapa indikator kinerja perusahaan. Seorang  investor  bisa  memilih  saham  hasil analisis  karakteristik  saham  dari clustering yang  terbentuk.  Terdapat  beberapa  jenis clustering yang digunakan, diantara nya adalah Centroid-based  Clustering,  Density-based Clustering,  Distribution-based  Clustering, dan  Hierarchical  Clustering .  Pada  artikel  ini penulis akan menggunakan Model/Distribution-based  Clustering sebagai metode clustering saham.  Jenis clustering ini mengelompokkan  data  berdasarkan  fungsi peluang  campuran  atau  distribusi  campuran ( mixture distribution ), dimana setiap kelompok dimodelkan oleh fungsi peluangnya sendiri. Expectation-maximization merupakan algoritma yang digunakan untuk mengimplementasikan  metode Model-Based
Clustering .
Model-Based Clustering (MBC),
menganggap sebaran data mengikuti distribusi campuran  ( mixture  distribution ).  Mixture distribution  adalah  gabungan  dari  beberapa komponen  distribusi  nilai  keanggotaan  data padasuatu cluster ditentutan oleh nilai peluang terbesar  dari  komponen  distribusi.  Tidak seperti  metode k-means ,  MBC  menggunakan soft  assignment ,  di  mana  setiap  titik  data memiliki  probabilitas  untuk  menjadi  milik setiap  kelompok.  Qona’ah  et.  al.  (2020) melakukan pengelompokan pada 100 laboraturium  di  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember  (ITS)  berdasarkan  produktivitas
laboratorium  dalam  menjalankan  fungsinya. Penelitian  ini  membandingkan  metode K- Means , K-Medoids , and Model-Based Clustering (MBC) dalam proses pengelompokan. Hasil penelitian
menunjukkan  bahwa  MBC  memberikan performa yang lebih baik dari K-Means dan K- Medoids.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui  penerapan  algoritma  MBC  untuk mengelompokkan  saham  berdasarkan  rasio keuangan sebagai indikator kinerja perusahaan dengan MBC berdasarkan distribusi multivariate  mixture  gaussian.  Eksplorasi cluster akan  dilakukan  serta  rata-rata  r eturn dari  setiap cluster akan  digunakan  penulis sebagai  ukuran  untuk  menilai cluster yang terbentuk.

## METODOLOGI
Penelitian  ini  menerapkan Model- Based  Clsutering (MBC)  untuk  membentuk cluster perusahaan terlebih dahulu berdasarkan nilai rasio keuangan. Selanjutnya dilakukan  eksplorasi  data  terhadap  masing- masing  kelompok  yang  terbentuk  dari  proses clustering. Rata-rata r eturn dari setiap cluster akan digunakan penulis sebagai ukuran untuk menilai cluster yang  terbentuk.  Data  yang digunakan untuk proses clustering merupakan data rasio keuangan saham pada indeks LQ45 yang tersedia
pada
website www.yahoofinance.com periode  tahun  2020. Jumlah saham yang digunakan hanya sebanyak 36 saham, saham ini dipilih dengan pertimbangan kelengkapan data yang tersedia. Rasio Keuangan
Rasio keuangan dihitung dengan menggunakan nilai numerik yang diambil dari laporan keuangan untuk mendapatkan informasi yang berarti tentang perusahaan. Ini memungkinkan  untuk  mengikuti  kinerja perusahaan  dari  waktu  ke  waktu  dan menemukan  tanda-tanda  masalah.  Sehingga dalam  penelitian  ini  rasio  keuangan  akan digunakan sebagai variabel penelitian.
Menurut Munawir (2002) ada 4 kelompok rasio  keuangan  yaitu  rasio  likuiditas,  rasio aktivitas,  rasio  profitabilitas  dan  rasio solvabilitas.  Artikel  ini  mengunakan  3  aspek rasio  keuangan,  diantaranya  adalah  Rasio
Likuiditas,  Rasio  Probabilitas,  dan  Rasio Solvabilitas.  Secara  lebih  terperinci,  variabel dari  masing-masing  aspek  rasio  keuangan yang  digunakan  akan  dijelaskan  pada  poin- poin berikut:
a. Rasio  likuiditas  adalah  rasio yang menentukan kemampuan perusahaan untuk  membiayai  operasi  dan  memenuhi kewajiban  keuangannya  jangka  pendek. Rasio  ini  biasanya  digunakan  terutama untuk  menilai  kemampuan  perusahaan dalam  memenuhi  kewajibannya.  Adapun untuk jenis rasio likuiditas yang digunakan pada  penelitian  adalah  sebagai  berikut (Rist dan Pizzica, 2015):
1) Cash Ratio
Persamaan  untuk  menghitung  nilai cash ratio adalah sebagai berikut:
𝐶𝑎𝑠ℎ 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜 = 𝐶𝑎𝑠ℎ 𝑜𝑟 𝐶𝑎𝑠ℎ 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑝𝑚𝑒𝑛𝑡

## 𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡 𝐿𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑖𝑒𝑠
2) Current Ratio
Persamaan untuk menghitung nilai current ratio adalah sebagai berikut:
𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜 = 𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡 𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝑠

## 𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡 𝐿𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑖𝑒𝑠
3) Quick Ratio
Persamaan  untuk  menghitung  nilai quick ratio adalah sebagai berikut:
𝑄𝑢𝑖𝑐𝑘 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜 = 𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡 𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝑠 − 𝐿𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑖𝑒𝑠 𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡 𝐿𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑖𝑒𝑠
b. Rasio  profitabilitas merupakan rasio  yang menentukan kemampuan perusahaan untuk  menghasilkan  laba  dari  berbagai kebijakan  dan  keputusan  yang  telah diambil.  Rasio  profitabilitas  menilai kemampuan
perusahaan untuk menghasilkan  pendapatan,  aset, dan keuntungan modal, dan mengukur pengembalian  yang  diperoleh  dari  modal perusahaan.  Adapun  untuk  jenis  rasio profitabilitas yang digunakan pada penelitian adalah sebagai berikut (Rist dan Pizzica, 2015):
1) Return on Assets (ROA)
Persamaan  untuk  menghitung  nilai  return on assets adalah sebagai berikut:

## 𝑅𝑂𝐴 = 𝑁𝑒𝑡 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒

## 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝑠
2) Return on Equity (ROE)
Persamaan  untuk  menghitung  nilai  return on equity adalah sebagai berikut:

## 𝑅𝑂𝐸 = 𝑁𝑒𝑡 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦
3) Gross Profit Margin
Persamaan  untuk  menghitung  nilai  gross profit margin adalah sebagai berikut:
𝐺𝑟𝑜𝑠𝑠 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛

## = 𝑁𝑒𝑡 𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠 − 𝐶𝑜𝑠𝑡 𝑜𝑓 𝐺𝑜𝑜𝑑𝑠 𝑆𝑜𝑙𝑑 𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠
4) Net Profit Margin
Persamaan  untuk  menghitung  nilai net profit margin adalah sebagai berikut:
𝑁𝑒𝑡 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛  = 𝑁𝑒𝑡 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒
𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠
c. Rasio  solvabilitas  adalah  rasio  untuk mengukur  seberapa  jauh  aset  perusahaan dibiayai  oleh  hutang.  Rasio  ini  mengukur perbandingan  dana  yang  disediakan  oleh pemiliknya  dengan  dana  yang  dipinjam dari kreditur perusahaan tersebut. Semakin tinggi  rasio  ini,  semakin  sedikit  ekuitas dibandingkan dengan hutang. Bagi perusahaan,  sebaiknya  besarnya  hutang tidak  boleh  melebihi  modal  sendiri  agar beban tetapnya tidak terlalu tinggi. Adapun untuk  jenis  rasio  solvabilitas  yang digunakan  pada  penelitian  adalah  sebagai berikut (Rist dan Pizzica, 2015):
1) Debt 𝑡𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦 Ratio
Persamaan  untuk  menghitung  nilai debt  to equity ratio adalah sebagai berikut:

## 𝐷𝑒𝑏𝑡 𝑡𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜  = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐷𝑒𝑏𝑡 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑡𝑦
2) Long-term Debt Ratio
Persamaan  untuk  menghitung  nilai long- term debt ratio adalah sebagai berikut:
𝐿𝑜𝑛𝑔 − 𝑡𝑒𝑟𝑚 𝐷𝑒𝑏𝑡 𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜
= 𝐿𝑜𝑛𝑔 − 𝑡𝑒𝑟𝑚 𝐷𝑒𝑏𝑡 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴𝑠𝑠𝑒𝑡𝑠
Model-Based Clustering (MBC)
MBC  merupakan  algoritma clustering yang  dikembangkan  berdasarkan  model probabilistik finite  mixture untuk probability densities . Kata “model” dalam metode tersebut biasa  digunakan  untuk  menunjukkan  jenis kendala  dan  sifat  geometris  dari  matriks kovarians  (Guojun  Gan  et.  al.,  2007).  Dalam pendekatan MBC, data dipandang berasal dari
campuran distribusi probabilitas, data berdistribusi finite  mixture atau  berdistribusi campuran.  Distribusi  mixture  merupakan distribusi  yang  tersusun  dari  beberapa komponen distribusi.
Algoritma clustering tradisional seperti K- means dan  pengelompokan  hierarki  lainnya adalah  algoritma  berbasis  heuristik  yang menurunkan klaster secara langsung berdasarkan data daripada mempertimbangkan ukuran  probabilitas  dari  masing-masing  data (Kassambra,  2017).  Tidak  seperti  metode tersebut,  MBC  mencoba  menggunakan soft assignmen t, di mana setiap titik data memiliki probabilitas  untuk  menjadi  milik  setiap kelompok.  MBC  menggabungkan  korelasi antar  variabel  ke  dalam  matriks  jaraknya, sehingga  lebih  fleksibel  terhadap  bentuk  dan ukuran cluster (Kessler, 2019).
Menurut Fraley dan Raftery (2002), untuk menemukan  jumlah cluster dan  model clustering terbaik,  dibutuhkan  penyelesaian dari  masalah  pemilihan  model  statistik, dimana  model  dengan  jumlah  dan  jenis distribusi komponen yang berbeda dibandingkan.  MBC  mengimplementasikan teori  ini  dengan  menggunakan Expectation Maximization (EM)  yang  diinisialisasi  dan menggunaan  kriteria Bayesian  Information Criterion (BIC)  dan Completed  Likelihood Criterion (ICL) untuk membandingkan model. Oleh  karena  itu,  MBC  memberikan  dasar statistika  yang  lebih  kuat  untuk  melakukan inferensi  dan  interpretasi  karena  berbasis distribusi.
MBC  adalah  jenis  pemodelan finite mixture ,  dengan  asumsi  bahwa  data  berasal dari  campuran  subpopulasi  yang  berbeda mengikuti distribusi  yang diberikan, biasanya menggunaan multivariat normal (Gergely dan Vargha,  2021). Mixture distribution adalah distribusi  yang  terbentuk  dari  beberap komponen  penyusun  distribusi.  Persamaan mixture yang diadaptasi dari Bouveyron et. al. (2019) adalah sebagai berikut:
𝑝(𝒙 𝑖 ) = ∑ 𝜏 𝑘 𝑓 𝑘 (𝒙 𝑖 |𝜽 𝒌 ) 𝐾 𝑘=1 (1)
Dalam  persamaan  (1), 𝜋 𝑘 merupakan bobot  probabilitas  bahwa  suatu  pengamatan dihasilkan  oleh  komponen  ke- 𝑘 ,  dengan batasan 𝜋 𝑘 ≥ 0, 𝑘 = 1, … , 𝐾 dan ∑ 𝜋 𝑘 = 𝐾 𝑘=1 1 .    Sedangkan 𝑓 𝑘 (𝒙 𝒏 |𝜽 𝑘 ) adalah  kepadatan komponen ke- 𝑘 dengan parameter 𝜽 𝑘 .
a. Gaussian Mixture Model (GMM) Distribusi probabilitas data yang digunakan pada artikel ini adalah distribusi gaussian, sehingga dari model finite mixture sebelumnya akan diarahkan pada Gaussian Mixture  Models (GMM).  GMM  adalah model  densitas  yang  terdiri  dari  sejumlah distribusi 𝐾 Gaussian 𝑁(𝒙|𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 ) , sehingga  dari  persamaan  (1)  GMM  bisa dituliskan (Bishop, 2006):
𝑝(𝒙 𝒊 |𝜽 𝑘 ) = ∑ 𝜏 𝑘 𝑁(𝑥|𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 ) 𝐾 𝑘=1 (2)
GMM  memberikan  pendekatan  klasik dan kuat untuk analisis clustering (Banfield dan  Raftery,1993),  GMM  juga  berguna untuk memahami dan menyarankan kriteria pengelompokan  yang  kuat  (Gan,  Ma,  dan Wu 2007). Ilustrasi GMM bisa dilihat pada Gambar 1.
Dari  gambar  1  diketahui  distribusi mixture gaussian (garis hitam) yang terdiri dari kombinasi cembung distribusi gaussian dan lebih ekspresif dari komponen  individu.  Garis  putus-putus mewakili  komponen  gaussian  tertimbang. Fungsi  densitas  peluang  dari  distribusi multivariate GMM adalah sebagai berikut:
𝑁(𝐱|𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 ) = 1 (2𝜋) 𝑑 2 |𝚺| 1 2 exp (− 1 2 (𝒙 − 𝝁) 𝑇 𝜮 −1 (𝒙 − 𝝁))
(3)
b. Algoritma Expectation-Maximization
(EM) untuk GMM
Seperti metode k-means yang melakukan iterasi parameter untuk  mendapatkan jarak yang konvergen dari pusat cluster , sehingga didapatkan  hasil cluster berdasarkan  jarak terdekat. Model-Based  Clustering (MBC) juga  memerlukan  iterasi  untuk  update parameter. Proses iterasi untuk mendapatkan estimasi parameter clustering dilakukan  dengan  menggunakan  algoritma EM  untuk  menyederhanakan  perolehan estimasi  parameter.  Algoritma  EM  adalah
algoritma optimasi iterative  untuk  memaksimumkan  fungsi likelihood dari model probabilistik dengan data  yang  hilang  ( missing  data ).    Pada artikel  ini  algoritma  EM  digunakan  untuk memaksimumkan fungsi ekspektasi likelihood dengan data yang tidak lengkap, yaitu data berasal dari komponen distribusi tertentu.
Metode  ini  merupakan  pendekatan paling  umum  digunakan  untuk  mencari kemungkinan  maksimum  data  yang  terdiri dari 𝑛 pengamatan multivariate (𝑥 𝑛 , 𝑧 𝑛 ) , di mana 𝑥 𝑛 merupakan  variabel  teramati  dan 𝑧 𝑛 tidak teramati  atau variabel  laten (label kelompok  belum  diketahui).  Jika  label  ini diketahui,  maka  akan  didapatkan  estimasi parameter  di  setiap  distribusi  komponen dengan  membagi  observasi  ke  dalam kelompok  masing-masing.  Tujuan  utama dari  proses  ini  adalah  untuk  mengetahui parameter  dari  distribusi  yaitu 𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 , 𝜋 𝑘 .
Berikut  ini  adalah  algoritma  EM  untuk mencari  parameter  distribusi mixture pada kasus distribusi gaussian:
1. Inisialisasi  parameter  awal 𝜏 (0) , 𝝁 (𝟎) , 𝚺 (𝟎)
2. Langkah Ekspektasi ( E-step )
Evaluasi  probabilitas  posterior 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) untuk  setiap  data  point  menggunakan parameter  saat  ini.  Dimana  probabilitas posterior diberikan oleh 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) = 𝜏̂𝑘 (𝑠) 𝑁𝑘(𝒙𝑖|𝜽𝑘 (𝑠) ) ∑ 𝜏𝑗𝑁𝑗(𝒙𝑖|𝜽𝑗) 𝐾 𝑗=1 .  Oleh  karena  penelitian  ini menggunakan  pendeketan  distrubusi multivariate  gaussian, 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) bisa dituliskan sebagai berikut:
𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠) = 𝜏𝑘 (𝑠) |𝚺 𝑘 (s) | − 1 2 exp (− 1 2 (𝒙 𝑖 −𝝁 (𝒔) ) 𝑇 [𝚺 𝑘 (s) ] −1 (𝒙 𝒊 −𝝁 (𝒔) )) ∑ 𝜏(𝑠) |𝚺 𝑙 (s) | − 1 2 exp (− 1 2 (𝒙 𝑖 −𝝁 (𝒔) ) 𝑇 [𝚺 𝑙 (s) ] −1 (𝒙 𝒊 −𝝁 (𝒔) )) (4)
3. Langkah Maksimisasi ( M-step )
Langka Maksimiasi merupakan estimasi ulang parameter 𝜏 (𝑠) , 𝝁 (𝒔) , 𝚺 (𝐬)
menggunakan 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) yang diperoleh dari E-step. Langkah  ini  dilakukan  dengan persamaan  yang  diperoleh  dari  turunan ekspektasi log likelihood dengan parameter  yang  akan  dicari.  Menurut Deisenroth,  Faisal,  &  Ong  (2020),
Gambar 1. Ilustrasi Gaussian Mixture Model .
(Deisenroth, Faisal, & Ong, 2020)
turunan untuk mendapatkan nilai estimasi  parameter  dapat  dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a.) Mendapatkan bobot (𝜏 𝑘 )
Untuk  menemukan  turunan  parsial log  likehood  dari  bobor  parameter 𝜏 𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝐾 ,  dengan  kendala ∑ 𝜏 𝑘 = 1 𝐾 𝑘=1 dapat digunakan Lagrange multipliers sebagai berikut:
ℒ =
∑ log ∑ 𝜏 𝑘 𝑁(𝒙 𝒊 |𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 ) 𝐾 𝑘=1 + 𝑛 𝑖=1 𝜆(∑ 𝜏 𝑘 − 1 𝐾 𝑘=1 ) (5)
Maka  untuk  menentukan  turunan  partial terhadap 𝜋 𝑘 adalah sebagai berikut: 𝜕 ℒ 𝜕 𝜋 𝑘 = ∑ 𝑁(𝑥 𝑖 | 𝝁 𝒌 ,𝚺 𝒌 ) ∑ 𝜋 𝑗 𝑁(𝑥|𝝁 𝒋 ,𝚺 𝒋 ) 𝐾 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 + 𝜆 = 1 𝜏 𝑘 ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑁 𝑛=1 + 𝜆
Dan  turunan  parsial  terhadap 𝜆 adalah sebagai berikut:
𝜕 ℒ 𝜆 = ∑ 𝜏 𝑘 − 1 𝐾 𝑘=1
Dengan  menyamakan  kedua  persamaan diatas menjadi 0, diperoleh
𝜏 𝑘 = −(∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 )/𝜆 (6) (6) ∑ 𝜏 𝑘 𝐾 𝑘=1 = 1 (7)
(7)
Dari persamaan diatas 𝜋 𝑘 (𝑠+1) diperoleh:
∑ 𝜏 𝑘 𝐾 𝑘=1 = 1 − ∑ (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 )/𝜆 𝐾 𝑘=1 = 1 − ∑ (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 ) = 𝜆 𝐾 𝑘=1
Substitusikan 𝜆 ke persamaan (6), sehingga didapatkan:
𝜏 𝑘 (𝑠+1) = ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 ∑ ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 𝐾 𝑘=1 (8) (8)
b.) Mendapatkan 𝝁 𝜕 log 𝑝( 𝒙 𝑖| 𝜽 ) 𝜕𝝁 𝒌 = ∑ 1 𝑝(𝒙 𝑖 |𝜽) 𝜕𝑝(𝒙 𝑖 |𝜽) 𝜕𝜇 𝑘 𝑛 𝑖=1 = ∑ 1 𝑝(𝒙 𝑖 |𝜽) (∑ 𝜏 𝑗 𝜕𝑁(𝒙 𝒊 |𝝁 𝒋 ,𝚺 𝒋 ) 𝜕𝜇 𝑘 𝐾 𝑗=1 ) 𝑛 𝑖=1 = ∑ 1 𝑝(𝒙 𝑖 |𝜽) (𝜏 𝑘 𝜕𝑁(𝒙 𝒊 |𝝁 𝒌 ,𝚺 𝒌 ) 𝜕𝜇 𝑘 ) 𝑛 𝑖=1 = ∑ 1 𝑝(𝒙 𝑖 |𝜽) (𝜏 𝑘 (𝒙 𝒊 − 𝑛 𝑖=1 𝝁 𝒌 )𝚺 −1 𝑁(𝒙 𝒊 |𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 )) = ∑ 𝜏 𝑘 𝑁(𝒙 𝒊 |𝝁 𝒌 ,𝚺 𝒌 ) ∑ 𝜏 𝑗 𝑁(𝑥|𝝁 𝒋 ,𝚺 𝒋 ) 𝐾 𝑗=1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 )𝚺 −1 𝑛 𝑖=1
= ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 −1 𝑛 𝑖=1 Sehingga dengan menyamakan persamaan di atas dengan 0, diperoleh:
∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝒙 𝒊 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝝁 𝒌 ( 𝑠+1 ) 𝑛 𝑖=1 𝝁 𝒌 (𝑠+1) = ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑥 𝑛 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 (9)
c.) Mendapatkan 𝚺 𝜕 log 𝑝( 𝑥 𝑖| 𝜃 ) 𝜕𝚺 𝑘 = ∑ 1 𝑝(𝑥 𝑖 |𝜃) 𝜕𝑝(𝑥 𝑖 |𝜃) 𝜕𝚺 𝑘 𝑛 𝑖=1
= ∑ 1 𝑝(𝑥 𝑖 |𝜃) ( 𝜕 𝜕𝚺 𝑘 𝜏 𝑘 (2𝜋) − 𝑑 2 |𝚺 𝑘 | − 1 2 exp ( − 1 2 ( 𝒙 𝒊 − 𝑛 𝑖=1 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 ) )) = ∑ 1 𝑝(𝑥𝑖|𝜃) (𝜏 𝑘 (2𝜋) − 𝑑 2 [ 𝜕 𝜕𝚺𝑘 |𝚺 𝐤 | − 1 2 exp (− 1 2 (𝒙 𝒊 − 𝑛 𝑖=1 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 )) + |𝚺 𝐤 | − 1 2 𝜕 𝜕𝚺𝑘 exp (− 1 2 (𝒙 𝒊 −  𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 ))])
Dengan  menggunakan  identitas  untuk menghitung
gradien berdasarkan Deisenroth,  Faisal,  dan  Ong  (2020), 𝜕 𝜕𝚺 𝑘 |𝚺 𝐤 | − 1 2 dan 𝜕 𝜕𝚺 𝑘 (𝑥 𝑖 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 (𝑥 𝑖 − 𝝁 𝒌 ) dapat diselesaikan sebagai berikut:
𝜕 𝜕𝚺 𝑘 |𝚺 𝐤 | − 1 2 = − 1 2 |𝚺 𝐤 | − 1 2 𝚺 𝐤 −1 𝜕 𝜕𝚺 𝑘 (𝑥 𝑖 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 (𝑥 𝑖 − 𝝁 𝒌 ) = −𝚺 𝐤 −1 (𝑥 𝑖 − 𝝁 𝒌 )(𝑥 𝑖 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 Sehingga, 𝜕 log 𝑝( 𝒙 𝑖| 𝜽 ) 𝜕𝚺 𝒌 = ∑ 1 𝑝(𝑥𝑖|𝜃) (𝜏 𝑘 𝑁(𝒙 𝒊 |𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 ) [− 𝟏 𝟐 (𝚺 𝐤 −1 − 𝑛 𝑖=1 𝚺 𝐤 −1 (𝒙 𝒊 −   𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒊 −     𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 )]) = ∑ 𝜏𝑘 𝑁(𝑥 𝑖 | 𝝁 𝒌 ,𝚺 𝒌 ) ∑ 𝜏 𝑗 𝑁(𝑥|𝝁 𝒋 ,𝚺 𝒋 ) 𝐾 𝑗=1 [− 𝟏 𝟐 (𝚺 𝐤 −1 − 𝑛 𝑖=1 𝚺 𝐤 −1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒊 −    𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 )] = − 1 2 ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) (𝚺 𝐤 −1 − 𝚺 𝐤 −1 (𝒙 𝒊 − 𝑛 𝑖=1 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 𝚺 𝐤 −1 ) = − 1 2 𝚺 𝐤 −1 ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 + 1 2 𝚺 𝐤 −1 (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒊 −  𝝁 𝒌 ) 𝑇 ) 𝚺 𝐤 −1
Oleh karena ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 (𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑁 𝑘 dan dengan menyamakan persamaan di atas dengan 0, maka:
𝑁 𝑘 𝚺 𝐤 −1 = 𝚺 𝐤 −1 (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 ( 𝑠+1 ) 𝑛 𝑖=1 (𝒙 𝑖 − 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝑖 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 ) 𝚺 𝐤 −1
𝑁 𝑘 𝑰 = 𝚺 𝐤 −1 (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 ( 𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 (𝒙 𝒏 − 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒏 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 )
𝑰 𝚺 𝐤 −1 = 1 𝑁 𝑘 (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 ( 𝑠+1) 𝑛 𝑖=1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 )
Sehingga 𝚺 𝒌 (𝑠+1) dapat dituliskan:
𝚺 𝒌 (𝑠+1) = 1 ∑ 𝑣 𝑖,𝑘 ( 𝑠+1 ) 𝑛 𝑖=1 (∑ 𝑣 𝑖,𝑘 ( 𝑠+1 ) 𝑛 𝑖=1 (𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 )(𝒙 𝒊 − 𝝁 𝒌 ) 𝑇 ) (10) 1. (10) 4. Ulangi terus-menerus langkah tersebut  sampai  mendapatkan  hasil iterasi  yang  konvergen  jika  iterasi belum konvergen kembali ke langkah
b).
5. Batas Geometris
Multivariate
Gaussian Mixture Model
Parameter yang perlu diduga untuk 𝚺 𝒌 dipersamaan  (7)  terlalu  banyak  sehingga dilakukan pendekatan baru untuk menduga 𝚺 𝒌 . Banfield dan Raftery (1993) mengusulkan kerangka umum untuk
batasan cross-cluster geometris  dalam multivariate mixture model dengan parameterisasi  matriks  kovarians  melalui dekomposisi  nilai  eigen,  hal  tersebut  bisa dilakukan dengan persamaan berikut (Guojun Gan et.al, 2007):
𝚺 𝒌 = 𝝀 𝒌 𝑫 𝒌 𝑨 𝒌 𝑫 𝒌 𝑻 (11)
Menurut  Bouveyron  et.  al.  (2019) terdapat  14  kemungkinan  model  dari matriks  kovarians 𝚺 𝒌 dalam  MBC  (lihat Tabel  2.1  pada  buku  Bouveyron  et.  al., 2019),  14  model  tersebut  berbeda  untuk data,  bentuk  (bola  atau  ellipsoidal)  dan volume.  Dalam  kasus  model  ellipsoidal, penyelarasan sumbu dan perbedaan bentuk ellipsoidal  yang  dipasang  ditentukan.  Ini dikenal  sebagai  dekomposisi Volume- Shape-Orientation (VSO).  Untuk  model tertentu,  volume,  bentuk,  dan  orientasi dapat  dibatasi  ke  varian  yang  sama, dilambangkan  dengan  'E'.  Jika  varians bebas  berubah,  model  dilambangkan  'V'. Selain itu, orientasi  klaster relatif terhadap satu  sama  lain  dapat  dibatasi  ke Equal (sama)  atau Varying (bervariasi),  atau model  dapat  memiliki  keselarasan  terbatas pada  sumbu  koordinat,  dan  diberi  label  'I'. Sebagai contoh (Kassambara, 2017):
1. EVI  menunjukkan  model  di  mana volume semua cluster adalah sama (E), bentuk cluster dapat bervariasi (V), dan
orientasinya  adalah  identitas  (I)  atau “sumbu koordinat”.
2. EEE  berarti cluster memiliki  volume, bentuk, dan orientasi yang sama dalam ruang dimensi-d.
3. VEI  berarti cluster memiliki  volume variabel,  bentuk  dan  orientasi  yang sama dengan sumbu koordinat.
MBC  menerapkan  14  model  dan mengidentifikasikan salah satu yang model yang  paling  mendefinisikan  data.  Untuk memilih model yang optimal penelitian ini akan  menggunakan Bayesian  Information Criterion (BIC) dan Completed Likelihood Criterion (ICL),  kemudian  hasil  clustering terpilih  akan  dibandingkan  dengan  metode K-means menggunakan  indeks Davies- Bouldin (DB).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini mendeskripsikan algoritma Mode-Based  Clsutering (MBC) untuk membentuk cluster perusahaan terlebih dahulu  berdasarkan  nilai  rasio  keuangan. Selanjutnya Eksplorasi cluster akan dilakukan serta  rata-rata  r eturn dari  setiap cluster akan digunakan  penulis  sebagai  ukuran  untuk menilai cluster yang terbentuk
Proses pengelompokan saham berdasarkan  nilai  rasio  keuangan  dilakukan dengan  menggunakan  fungsi Mclust pada package mclust (Fraley, Raftery, dan Scrucca, 2016)  pada  program  R.  Jumlah  model  yang mampu  diidentifikasi  menggunakan package tersebut  ada  sebanyak  14  model  dengan jumlah  kelompok  maksimal  9  kelompok apabila tidak ada spesifikasi jumlah kelompok tertentu dari peneliti. Estimasi parameter MBC menggunakan gaussian  mixture  model dan dilakukan  dengan  algoritma Expectation– Maximization (EM).  Pemilihan model terbaik didasarkan pada kriteria Bayesian information criterion (BIC)  dan Completed  Likelihood Criterion (ICL). Model dengan nilai BIC dan ICL  tertinggi  diantara  semua  iterasi  yang dilakukan akan dipilih menjadi model terbaik.
Jumlah komponen yang diperoleh ekuivalen  dengan  jumlah cluster optimal. Proses  perhitungan  MBC  menggunakan program  R,  mengidentifikasi  model  optimal dan  jumlah  cluster  untuk  data.  Hasil
perhitungan  masing-masing  kriteria  dengan nilai BIC dan ICL terbaik pada masing-masing model dapat dilihat pada Tabel 1. Dari Tabel 1
Tabel 1. BIC dan ICL Masing-masing Model
Model Bayesian Information Criterion (BIC) Jumlah Cluster Completed Likelihood Criterion (ICL) Jumlah Cluster EII -849,104 8 -851,725 8 VII -795,065 6 -795,53 6 EEI -810,312 8 -810,342 8 VEI -803,994 5 -804,218 5 EVI -775,037 4 -775,043 4 VVI -781,276 6 -781,443 6 EEE -782,71 9 -782,724 9 VEE -839,531 2 -839,667 2 EVE -731,269 2 -731,296 2 VVE -829,456 2 -829,693 2 EEV -755,865 2 -755,94 2 VEV -709,3757 6 -709,376 6 EVV -795,893 2 -795,894 2 VVV -856,887 2 -856,891 2
Gambar 2. Pemilihan Model Terbaik Berdasarkan Nilai BIC dan ICL
diketahui  bahwa  dari  masing-masing  kriteria model, nilai BIC dan ICL tertinggi sama-sama pada  model  VEV  dengan  nilai  BIC  dan  ICL berturut-turut sebesar -709,3757 dan -709,376, dan jumlah komponen sebanyak 6 komponen. Visualiasi  pemilihan  model  terbaik  dapat dilihat  pada  Gambar  2.  Dalam  model  VEV ( Variable  volume,  Equal  shape,  Variable orientation ), V berarti bahwa cluster memiliki volume  yang  bervariasi  yang  ditunjukan dengan jumlah anggota cluster yang berbeda,
E  berarti  setiap  dimensi  memiliki  variansi yang  kurang  lebih  sama,  dan  V  berarti memiliki  orientasi  yang  bervariasi  ini  artinya cluster tidak  mengikuti  garis  sumbu  (bisa dilihat  pada  Gambar  2,  tidak  seperti  model dengan  huruf  ketiga  I,  model  dengan  huruf ketiga  V  memiliki  arah  yang  berbeda). Visualisasi  setiap  kelompok  bisa  dilihat  pada gambar  3.  Model  dan  jumlah cluster yang terpilih  memberikan  hasil clustering yang lebih baik dibandingkan menggunakan metode K-means dengan  jumlah cluster optimal sebanyak 3 cluster berdasarkan indeks Davies- Bouldin (DB).  Hasil  perbandingan  tersebut dapat dilihat pada Tabel 4 berikut :
Tabel 4. Perbandingan Indeks Davies-Bouldin (DB) MBC dengan K-means
Metode Indeks DB Model-Based Clustering 1,253362 K-Means 1,374315
Seperti yang dapat dilihat pada Tabel 4, dengan  menggunakan  indeks  DB,  metode MBC  memiliki  nilai  yang  lebih  kecil dibandingkan dengan metode K-means . Sehingga berdasarkan kriteria penilaian indeks DB,  metode  MBC  memberikan  hasil  yang lebih baik (Charrad et al. 2010).
Estimasi  moodel finite mixture seperti pada persamaan (2) yang diperoleh dari output fungsi mclust pada program R adalah sebagai berikut:
𝑝(𝒙 𝒏 ) = 0,30555556𝑁 1 (𝒙 𝒏 |𝝁 1 , 𝚺 1 ) +0,11111111𝑁 2 (𝒙 𝒏 |𝝁 2 , 𝚺 2 ) +0,13888889 𝑁 3 (𝒙 𝒏 |𝝁 3 , 𝚺 3 ) +0,11111111𝑁 4 (𝒙 𝒏 |𝝁 4 , 𝚺 4 ) +0,25000000 𝑁 5 (𝒙 𝒏 |𝝁 5 , 𝚺 5 ) +0,08333333 𝑁 6 (𝒙 𝒏 |𝝁 6 , 𝚺 6 ) Dengan,
𝑁(𝐱|𝝁 𝒌 , 𝚺 𝒌 ) = 1 (2𝜋) 𝑛 2 |𝚺 𝐤 | 1 2 exp (− 1 2 (𝑥 𝑛 − 𝝁 𝑘 ) 𝑇 𝚺 𝑘 −1 (𝑥 𝑛 − 𝝁 𝑘 ))
untuk 𝑘 = 1,2,3,4,5,6
Hasil estimasi untuk masing-masing komponen adalah sebagai berikut:
a. Means (𝝁 𝑘 ) 𝝁 1 = [
0,2016216 0,2869895 −0,4182307 0,2075350 −0,2597670 −0,2265134 −0,3204897 −0,3771211 −0,3684507 ] ⋯ 𝝁 6 = [
1,6730409 0,6308741 0,1272041 0,4878447 −0,8976315 −0,7618192 1,6083048 1,9652379 0,8360117 ]
b. Matriks kovarians (𝚺 k ) 𝚺 𝟏 =   [ 44844685 27248523 ⋮ 26557784 27248523 17454993 ⋮ 8509960 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 26557783,9 8509959,8 ⋮
101467242,0 ] ⋮ 𝚺 𝟔 =   [ 0,026483 0,006483 ⋮ 0,035578 0,006483 0,002005 ⋮ 0,00755 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0,035579 0,007546 ⋮ 0,648961 ]
Anggota  bagi  masing-masing cluster dipilih berdasarkan  nilai  peluang  menggunakan persamaan  (4).  Sampel  dengan  peluang tertinggi  dari  keenam cluster akan  masuk dalam cluster tersebut. Besaran peluang dapat dilihat  pada  bagian  tabel z dari  output  fungsi Mclust. Peluang  sampel  pada  masing-masing cluster dapat dilihat pada Tabel 2.
Sehingga dari Tabel 2 diperoleh rincian hasil  pengelompokan  rasio  keuangan  pada masing-masing saham sebagai berikut:
a. Cluster 1 :  ADHI,  AKRA,  ANTM, ASII,  ELSA,  EXCL,  INDF,
PTPP,  SMGR,  TLKM,  dan
WIKA
b. Cluster 2 :    ADRO,  PTBA,  TPIA,  dan UNTR
c. Cluster 3 : ASRI, BBTN, BKSL, LPKR, dan WSKT
d. Cluster 4 :  BBCA,  BBNI,  BBRI,  dan BMRI
e. Cluster 5 :  BSDE, ICBP, INDY, INKP, JSMR,  MEDC,  PGAS,  SRIL, dan SSMS
f. Cluster 6 : CPIN, KLBF, dan MNCN
Setelah cluster terbentuk, bisa diketahui  karakteristik  data  pada  masing- masing  kelompok  berdasarkan  nilai  rata-rata masing-masing  rasio,  yang  bisa  dilihat  pada Tabel  3.  Dari  Tabel  3  bisa  diketahui karakteristik  dari  masing-masing  kelompok yang  terbentuk  berdasarkan  nilai  rasio,  dapat dijelaskan sebagai berikut:
a. Cluster 1
Cluster 1  bisa  dibilang  memiliki  rata-rata nilai  rasio  yang  stabil  dibandingkan cluster lainnya. Tidak ada nilai yang ekstrim, seperti nilai  rata-rata  tertinggi  atau  yang  terendah. Akan  tetapi,  apabila  dibandingkan  dengan rata-rata  rasio  secara  keseluruhan, cluster 1 memiliki rasio profitabilitas yang lebih tinggi. Ini  artinya  kemampuan cluster 1  dalam menghasilkan profit masih di atas rata-rata.
Untuk ukuran risiko perusahaan, cluster ini memiliki risiko yang relative rendah, mengingat  nilai  rasio  solvabilitas  cluster  ini lebih  kecil  dibandingkan  rata-rata  rasio solvabilitas  secara  keseluruhan.  Akan  tetapi, kemampuan  dalam  membiayai  kegiatan operasional perusahaan lebih rendah dari rata- rata rasio likuiditas secara keseluruhan.
b. Cluster 2
Cluster 2 memiliki cash rasio yang paling tinggi  dibandingkan  dibandingkan cluster yang  lain,  sehingga cluster ini  memiliki kemampuan  yang  lebih  tinggi  dibandingkan cluster lain  dalam  membiayai  kegiatan operasional  perusahaan.  Akan  tetapi,  hal  ini tidak  sejalan  dengan  kemampuan cluster ini dalam  menghasilkan  profit,  salah  rasio profitabilitas cluster ini terendah dibandingkan cluster yang  lain.  Untuk  ukuran  risiko perusahaan,  cluster  ini  memiliki  risiko  yang relative  rendah  dibandingkan cluster lain, mengingat  nilai  rasio  solvabilitas cluster ini dekat dengan nilai rasio solvabilitas terendah. c. Cluster 3 Cluster 3  memiiliki  nilai  rasio  likuiditas yang lebih rendah dibandingkan rata-rata rasio likuiditas  secara  keseluruhan,  selain  itu  rasio likuiditas cluster 3  juga  relatif  dekat  dengan rasio  likuiditas  terendah,  sehingga cluster ini
memiliki  kemampuan  dalam  membiayai kegiatan operasional perusahaan lebih rendah dari  rata-rata. Cluster 3  juga    memiiliki  nilai rata-rata  RoA,  RoE,  dan net  profit  margin terendah diandingkan dengan cluster lainnya, artinya  secara  garis  besar  kemampuan perusahaan cluster 3  dalam  menghasilkan profit untuk perusahaan lebih rendah dibandingkan  dengan  cluster  lainnya.  Risiko perusahaan  pada cluster 3  juga  cukup  besar, hal ini dikarenakan salah satu rasio solvabilitas pada cluster ini yaitu debt to equity ratio paling rendah diantara cluster lainnya.
d. Cluster 4
Cluster 4 memiiliki nilai rata-rata cash ratio dan quick  ratio terendah  diandingkan  dengan cluster lainnya, sehingga cluster ini memiliki kemampuan yang  lebih  rendah  dalam membiayai  kegiatan  operasional  perusahaan. Meskipun  demikian,  kemampuan  perusahaan perusahaan pada cluster ini dalam menghasilkan  profit  sangat  baik,  hal  ini ditunjukan dengan rasio profitabilitas cluster 4 yang  lebih  tinggi  dari cluster lainnya  yaitu gross  profit  margin dan net  profit  margin. Untuk  ukuran  risiko  perusahaan, cluster ini memiliki risiko yang relatif rendah dibandingkan cluster lain,  mengingat  salah satu  nilai  rasio  solvabilitas cluster ini  adalah yang terendah.
e. Cluster 5
Cluster 5  memiliki  kemampuan  dalam membiayai  kegiatan  operasional  perusahaan yang  cukup  baik,  hal  ini  ditunjukan  dengan rasio  likuiditas cluster ini  dekat  dengan  nilai rasio  likuidtas  tertinggi.  Akan  tetapi,  hal  ini tidak  sejalan  dengan  kemampuan cluster ini dalam menghasilkan profit, rasio profitabilitas cluster ini  lebih  rendah  dari  rata-rata  rasio profitabilitas  secara  keseluruhan  dan  relatif dekat dengan yang terendah. Risiko perusahaan cluster ini  juga  cukup  tinggi, mengingat  salah  satu  nilai  rasio  solvabilitas cluster ini adalah yang tertinggi.
f. Cluster 6
Cluster 6  memiliki  nilai  rata-rata current ratio dan quick  ratio tertinggi  diandingkan dengan cluster lainnya,  sehingga  cluster  ini memiliki  kemampuan  yang  lebih  tinggi dibandingkan cluster lain  dalam  membiayai kegiatan  operasional  perusahaan.  Dalam menghasilkan profit, cluster 6 juga memiliki

## Tabel 2. Peluang pada Maing-Masing Cluster
Kode Saham Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cluster 4 Cluster 5 Cluster 6 ADHI 1 0 0 0 6.96E-69 0 ADRO 2.57E-72 1 0 0 5.60E-130 0 AKRA 1 0 0 0 4.70E-146 0 ANTM 1 0 0 0 5.68E-188 0 ASII 1 0 0 0 2.77E-98 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ UNTR 7.40E-130 1 0 0 7.67E-200 0 WIKA 1 0 0 0 6.49E-66 0 WSKT 0 0 1 0 0 0
Tabel 3. Rata-rata Masing-Masing Rasio di Setiap Cluster Rasio Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cluster 4 Cluster 5 Cluster 6 Rata-rata Rasio Cash Ratio 0,3538 1,0472 0,1261 0,0912 0,7380 0,8582 0,5081 Curent Ratio 1,1919 1,8804 1,2208 0,2600 2,0005 3,4979 1,5632 Quick Ratio 0,9194 1,6314 0,4419 0,2586 1,5953 2,2276 1,1367 RoA 0,03072 0,0492 -0,0637 0,0132 0,0109 0,1123 0,0195 RoE 0,0751 0,0775 -0,3072 0,0895 0,0111 0,1484 0,0139 Gross Profit Margin 0,2606 0,2024 0,3566 0,9798 0,3629 0,4250 0,3867 Net Profit Margin 0,05161 0,0809 -0,6217 0,2529 0,0228 0,1427 -0,0159 Long-Term Debt Ratio 0,1528 0,1020 0,2232 0,0350 0,3674 0,0616 0,1899 Debt to Equity Ratio 2,1719 0,6684 6,5092 6,2590 2,4089 0,2987 2,9645
kemampuan  yang  sangat  baik,  hal  ini ditunjukkan  dengan  RoA  dan  RoA  tertingi diandingkan  dengan cluster lainnya.  Untuk ukuran risiko perusahaan, cluster ini memiliki risiko  yang  rendah dibandingkan cluster lain, mengingat debt  to  equity  ratio cluster ini adalah yang terendah dan nilai long term debt ratio cluster ini juga mendekati nilai terendah. Berdasarkan karakteristik masing- masing cluster ,  diketahui  bahwa  mayoritas nilai  rasio  pada cluster 6 memiliki nilai  yang paling  baik.  Perusahaan  pada cluster ini memiliki kemampuan yang tinggi dibandingkan  perusahaan  dari cluster lain untuk membiayai kegiatan operasional perusahaan  dan  memenuhi  kewajiban  jangka pendek.    Sedangkan  untuk  rasio  solvabilitas, cluster ini  memiliki  nilai debt  to  equity  ratio cluster yang terendah dan nilai long term debt
ratio  cluster yang  juga  mendekati  nilai terendah  Hal  ini  berarti,  perusahaan  pada cluster ini memiliki risiko relatif lebih rendah dibandingkan  perusahaan  pada cluster yang lain. Cluster 6  merupakan cluster terbaik karena memiliki mayoritas rasio likuiditas dan profabilitas  terbaik  serta  rasio  solvabilitas terendah.

## KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Dari  proses clustering ,  terbentuk  6 cluster dengan nilai nilai Bayesian Information  Criterion (BIC)  dan Completed Likelihood  Criterion (ICL)  berturut-turut sebesar  -709,3757  dan  -709,376,  dengan model  optimal  yang  dipilih  adalah  model VEV.
Berdasarkan nilai rata-rata setiap rasio, cluster 6  merupakan cluster terbaik  karena memiliki  mayoritas  rasio  likuiditas  dan profabilitas  terbaik  serta  rasio  solvabilitas terrendah. Cluster 6  memiliki  kemampuan yang  tinggi  dibandingkan  perusahaan cluster lain  untuk  membiayai  kegiatan  operasional perusahaan dan memenuhi kewajiban keuangannya jangka pendek.

## Saran
Penelitian  ini  menggunakan  distribusi Gaussian dalam Model-Based  Clustering (MBC), penelitian selanjutnya bisa digunakan distribusi  lain  seperti  distribusi t  multivariate untuk mengetahui pengelompokan yang lebih baik terutama untuk data dengan pencilan.

## DAFTAR PUSTAKA
Andy, and Melly Megawati. 2019. “ Analysis of Liquidity  ,  Profitability  and  Solvency
Ratios to Assess the Financial Performance  of  Companies  in  Cigarette Industries  Listed  on  the  Indonesia  Stock Exchange .” ECo-Fin 1  (1):  22–34. https://doi.org/https://doi.org/10.32877/e f.v1i1.54 .
Andayani,  Mery.  2016.  “Analisis  Rasio Likuiditas  Dan  Rasio  Profitabilitas Terhadap Perubahan  Laba.” Jurnal  Ilmu Dan Riset Akuntansi 5 (7): 1–19.
Banfield,  Jeffrey  D.,  and  Adrian  E.  Raftery. 1993. “ Model-Based Clustering and Non- Gaussian Clustering .” Biometrics 49 (3):
803–21.
Bennett,  Mark  J.,  and  Dirk  L.  Hugen.  2016. Financial  Analytics  with  R:  Building  a Laptop  Laboratory  for  Data  Science .
United  Kingdom:  Cambridge  University
Press.
Bishop, Christoper M. 2006. Pattern
Recognition and Machine Learning . New York: Springer
Bouveyron,  Charles,  Gilless  Celeux,  T.
Brenden Murphy, and Adrian E. Raftery. 2019. Model-Based  Clustering  and
Classification  for  Data  Science:  With Application  in  R .  United  Kingdom:
Cambridge University Press.
Charrad, Malika,
Yves Lechevallier, Mohamed  Ben  Ahmed,  and  Gilbert
Saporta.  2010.  “On  the  Number  of
Clusters in Block Clustering
Algorithms.”  In 23rd  International FLAIRS  Conference ,  392–97.  Florida, United States.
Deisenroth,  Marc  Peter,  A  Aldo  Faisal,  and Cheng  Soon  Ong.  2020. Mathematics
For  Machine  Learning .  Cambridge: Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/9781108679930 Fraley,  Chris,  and  Adrian  E  Raftery.  2002.
“ Model-Based  Clustering  ,  Discriminant Analysis  ,  and  Density  Estimation .” Journal  of  the  American  Statistical Association 97 (458): 611–31.
Gan, Guojun, Chaoqun Ma, and Jianhong Wu.
2007. Data Clustering: Theory,
Algorithms, and Applications (ASA-SIAM Series on Statistics and Applied Probability) . Philadelphia, Pennsylvania: Society  for  Industrial  and  Applied Mathematics American.
Gergely,  Bence,  and  András  Vargha.  2021. “How  to  Use  Model-Based  Cluster Analysis  Efficiently  in  Person-Oriented Research.” Journal  for  Person-Oriented Research 7 (1): 22–35. https://doi.org/10.17505/jpor.2021.23449 .
Husnan, Suad, Enny Pudjiastuti, 2004. Dasar- Dasar  Manajemen  Keuangan.  Edisi. Keempat, Yogyakarta, UPP AMP YKPN.
Kassambara,  Alboukadel.  2017. Practical Guide  To  Cluster  Analysis  in  R: Unsupervised Machine Learning (Multivariate Analysis Book 1) . (http://www.sthda.com): STHDA.
Kessler,  Dave.  2019.  “Introducing  the  MBC Procedure  for  Model-Based  Clustering.” In SAS Proceeding , 1–21.
Mcnicholas,  Paul  D.  2016.  “ Model-Based Clustering .” Journal of Classificatio 373
(November): 331–73. https://doi.org/10.1007/s0035 .
Munawir,  S,  2002. Akuntansi  Keuangan  dan Manajemen ,  Edisi  Pertama,  Penerbit BPFE, Yogyakarta.
Qona’ah, Niswatul, Alvita Rachma Devi, and I Made  Gde  Meranggi  Dana.  2020. “ Laboratory Clustering Using K- Means,
K-Medoids, and Model- Based
Clustering.” Indonesian  Journal  of Applied Statistics 3 (1): 64–77. Rist,  Michael,  and  Albert  J.  Pizzica.  2015.
Financial  Ratios  For  Executives .  New York: Apress Berkeley, CA. Scrucca L., Fop M., Murphy T. B. and Raftery
A.  E.  (2016) mclust  5:  clustering, classification  and  density  estimation using  Gaussian  finite  mixture  models The R Journal 8/1, pp. 289-317 Shalev-shwartz,  Shai,  and  Shai  Ben-david.
2014. Understanding  Machine  Learning Machine:  From  Theory  to  Algorithms . New York: Cambridge University Press.
S.R.  Nanda,  B.  Mahanty,  M.K.  Tiwari  (2010) Clustering Indian Stock Market Data for
Portfolio  Management.  Expert  Systems with Applications 37 (2010) 8793-8798 Subekti, R, E R Sari, and R Kusumawati. 2018.
“ Ant  Colony  Algorithm  for  Clustering  in Portfolio  Optimization. ”  In IOP  Conf. Series:  Journal  of  Physics:  Conf.  Series 983 .
Subekti,  Retno,  Rosita  Kusumawati,  and Eminugroho Ratna Sari. 2017. “ K-Means Clustering dan Average  Linkage dalam Pembentukan  Portfolio  Saham.”  In Seminar  Matematika  Dan  Pendidikan Matematika UNY T-31 , 219–24. Weston, J. Fred. dan Eugene F. Brigham.1993. Manajemen Keuangan, Edisi Kesembilan. Jilid 1dan 2. Alih Bahas: Alfonsus Sirait. Erlangga, Jakarta.