## ANALISIS PENGGUNAAN PROGRAM SOLVER UNTUK OPTIMASI PEMOTONGAN BESI PADA PROYEK RUMAH TINGGAL X
Brian Giovanni Axel Mamahit 1 dan Onnyxiforus Gondokusumo 2
1 Program Studi Sarjana Teknik Sipil Universitas Tarumanagara, Jl. Letjen S. Parman No.1 Jakarta brian.325190012@stu.untar.ac.id
2 Program Studi Magister Teknik Sipil, Universitas Tarumanagara, Jl. Letjen S. Parman No.1 Jakarta onnyxiforusg@ft.untar.ac.id
Masuk: 13-07-2023, revisi: 29-07-2023, diterima untuk diterbitkan: 30-08-2023

## ABSTRACT
Steel  reinforcement  bar  has  an  important  role  in  the  construction  industry.  In  the  construction  process,  the emergence of inefficient steel waste can lead to a waste of costs. One common cause of  steel waste is steel cutting that is not optimal in the field, so a way is needed to minimize this waste. The Linear Programming method has been identified  as  one  of  the  ways  to  reduce  iron  waste.  This  study  aims  to  compare  the  remaining  steel  waste  from cutting in the field with the remaining  steel waste after using the Linear Programming method. To calculate  steel waste  based  on  the  Linear  Programming  model,  the  Solver  program  is  used.  The  house  construction  project  in Manado is the object of this research. This study uses two signs, namely ≥ and =, as limits on the objective function. The use of the ≥ sign results in a demand for steel that exceeds the supply in the field, but with the least amount of iron waste. Meanwhile, the use of the = sign obtains minimal iron requirements, but with a greater amount of iron waste  than  the  ≥  sign.  This  study  also  uses  two  approaches  in  calculating  the  percentage  of  savings,  which  are based on the diameter of each type of work and based on combining the diameters of sloof, beam and column work. The results showed a savings of 9% for the diameter-based approach for each type of work, and a savings of 9.1% for the diameter-based approach for sloof, beam, and column work.
Keywords: steel waste; linear programming; solver program; steel reinforcement bar.

## ABSTRAK
Material  besi  memiliki  peran  penting  pada  saat  pembangunan  konstruksi.  Pada  proses  pembangunan, waste besi yang tidak efisien dapat menyebabkan pemborosan biaya. Salah satu penyebab terjadinya waste besi yaitu pada saat melakukan  pemotongan  besi  yang  tidak  optimal  di  lapangan,  sehingga  dibutuhkan  cara  agar  dapat  meminimalisir waste tersebut. Metode Linear Programming telah diidentifikasi sebagai satu diantara cara menurunkan waste besi. Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan sisa waste besi dari pemotongan di lapangan dengan sisa waste besi setelah  menggunakan  metode Linear  Programming .  Salah  satu  cara  menghasilkan  nilai waste besi  dari  model Linear Programming yaitu dengan menggunakan program Solver . Proyek pembangunan rumah tinggal x di Manado menjadi  objek  penelitian  ini.  Penelitian  ini  menggunakan  dua  tanda  yaitu  ≥  dan  =  sebagai  batasan  pada  fungsi tujuan.  Penggunaan  tanda  ≥  menghasilkan  kebutuhan  besi  yang  lebih  besar  dari  lapangan,  namun  menghasilkan waste besi yang terkecil. Sedangkan penggunaan tanda = memperoleh kebutuhan besi yang minimal, tetapi dengan jumlah waste besi  yang  lebih  besar  daripada  tanda  ≥.  Penelitian  ini  juga  menggunakan  dua  pendekatan  dalam menghitung  persentase  penghematan,  yaitu  berdasarkan  diameter  pada  setiap  jenis  pekerjaan  dan  berdasarkan penggabungan diameter dari pekerjaan sloof, balok, dan kolom. Hasil penelitian menunjukkan penghematan sebesar 9%  untuk  pendekatan  berdasarkan  diameter  pada  setiap  jenis  pekerjaan,  dan  penghematan  sebesar  9,1%  untuk pendekatan berdasarkan penggabungan diameter dari pekerjaan sloof, balok, dan kolom.
Kata kunci: waste besi ; linear programming; program solver; besi tulangan

## 1. PENDAHULUAN
Saat  melaksanakan  konstruksi  rumah  tinggal,  bangunan,  atau  struktur  lainnya,  besi  merupakan  satu  diantara komponen signifikan dalam suatu proyek konstruksi dan memperkirakan ukuran anggaran biaya operasional sebuah proyek,  Lebih  dari  setengah  dari  anggaran  proyek  digunakan  untuk  membiayai  bahan-bahan  yang  digunakan (Nugraha,  1985).  Pada  proses  pembangunan  proyek  konstruksi,  tak  bisa  dihindari  adanya waste besi  yang  dapat mengakibatkan  pemborosan  anggaran  biaya  yang  tidak  perlu.  Pihak  yang  terlibat  dalam suatu  proyek  sering  tidak
menyadari  bahwa waste besi  hal  ini  telah  menyebabkan  biaya  proyek  menjadi  tidak  stabil  sehingga  terjadi peningkatan  biaya  yang  signifikan.  Material  besi  beton  adalah  salah  satu  jenis  material  yang  memiliki  presentase dalam hal biaya, yang memiliki tingkat tertinggi adalah berkisar 20%-30% (Formoso et al., 2002).
Salah satu faktor yang menyebabkan terjadinya limbah besi adalah pemotongan besi yang tidak tepat. Ketika besi beton dipotong, seringkali menghasilkan potongan yang terlalu kecil untuk digunakan, sehingga potongan tersebut diabaikan dan dianggap sebagai limbah (Abuhassan & Nasereddin, 2011). Residu material besi beton menyumbang sebesar 21.1% dari total biaya material yang tersisa (Tam, 2008). Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk meningkatkan  efisiensi  pemotongan  besi  adalah  dengan  menggunakan  metode Linear  Programming.  Linear Programming adalah  sebuah  metode  yang  digunakan  untuk  memecahkan  masalah  dengan  tujuan  memaksimalkan atau  meminimalkan  suatu  model linear ,  dengan  mempertimbangkan  keterbatasan  sumber  daya  yang  tersedia. (Stapleton M.D. et al., 2003).
Penelitian  ini  menggunakan Microsoft  Excel untuk  menyelesaikan  persamaan  dengan  program Solver .  Kemudian, setelah menggunakan metode pemrograman linier , didapatkan hasil perbandingan di lapangan dengan hasil setelah menggunakan  metode linear programming .  Dari penelitian  yang  dilakukan oleh  Kork  et  al.,  (2013)  menggunakan add-ins solver ini cukup berhasil untuk input data yang sederhana. Penelitian ini dilakukan di proyek rumah tinggal x  yang  bertempat  di  Jl.  Gorangao, Tumumpa  1,  Kecamatan  Tuminting,  Kota  Manado, Sulawesi  Utara.  Proyek  ini terletak  diantara  beberapa  gudang  dan  rumah  tinggal.  Fokus  penelitian  ini  dititikberatkan  untuk  meminimumkan waste besi  pada  proyek  rumah  tinggal  x.  Analisis  ini  dilakukan  untuk  membandingkan  sisa  besi  dan  jumlah  besi yang  diperlukan  antara  sebelum  menggunakan  metode linear  programming dan  sesudah  menggunakan  metode Linear Programming .

## 2. METODE PENELITIAN
Pada  pengumpulan  data  untuk  penelitian  ini,  dilakukan  dengan  menanyakan  langsung  kepada  pihak engineering . Beberapa  data  yang  terkumpul  dalam  penelitian  ini  meliputi  data  umum proyek,  lokasi  proyek,  biaya  proyek,  dan data  pembesian  sloof,  balok,  dan  kolom.  Setelah  mendapatkan  data  tersebut,  dilakukan  rekapitulasi  data  dalam bentuk  tabel.  Langkah  berikutnya  melakukan  formulasi  masalah  dalam  bentuk  model  matematis  yang  mengikuti aturan Linear  Programming .  pengertian  Pemrograman linear adalah  suatu  pendekatan  matematis  yang menggunakan  bentuk linear untuk  menemukan  solusi  optimal  dengan  memaksimalkan  atau  meminimalkan  fungsi tujuan dalam batasan yang ditetapkan (Siswanto, 2007).
Dalam Linear Programming terdapat 3 hal penting yang perlu diperhatikan untuk memodelkan permasalahan terdiri dari  variabel-variabel  yang  dapat  dipilih,  fungsi  yang  ingin  dicapai,  serta  batasan-batasan  yang  harus  dipenuhi. Setelah itu dilakukan analisis dengan menggunakan program Solver. Hasil data yang muncul yaitu berupa waste besi total,  jumlah  total  tulangan  besi  ukuran  12  m  pada  masing-masing  alternatif  dan  jumlah  kebutuhan  besi  yang dibutuhkan.  Kemudian  dilakukan  perbandingan  antara  sisa  besi  dan  jumlah  besi  yang  diperlukan  di  lapangan. Berdasarkan analisis yang dilakukan, dapat dapat diambil kesimpulan serta rekomendasi.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
penelitian  ini  dilakukan  pada  proyek  rumah  tinggal  x  yang  berlokasi  di  Manado,  Sulawesi  Utara.  Proyek  tersebut memiliki  jumlah  2  lantai  dan  berada  di  daerah  Tuminting,  Manado  Utara.  Pengumpulan  data  pada  penelitian dilakukan  dengan  menanyakan  langsung  kepada  pihak engineer di  lapangan.  Dengan  memperhatikan  panjang  dan jenis  pekerjaan  yang  ditemukan  di  lapangan,  seperti  pekerjaan  sloof,  balok,  dan  kolom,  selanjutnya  dibuat  dalam bentuk tabel sesuai dengan diameter tulangan. Berikut ini adalah salah satu contoh pekerjaan pada sloof diameter 16.
Tabel 1. Hasil Analisis Pemotongan Besi Diameter 16 Untuk Pekerjaan Sloof
Diameter Panjang Jumlah potongan kebutuhan besi (12 m) Waste besi Waste Besi mm m batang batang m/batang m 16 8,584 12 12 3,416 40,992 6,509 24 24 5,491 131,784 12,000 12 12 0,000 0
Tabel 1 (Lanjutan). Hasil Analisis Pemotongan Besi Diameter 16 Untuk Pekerjaan Sloof
Diameter Panjang Jumlah potongan kebutuhan besi (12 m) Waste besi Waste Besi mm m batang batang m/batang m 16 9,882 12 12 2,118 25,416 10,584 4 4 1,416 5,664 1,559 32 5 1,087 5,435 2,059 8 2 1,705 3,41 2,534 24 6 1,864 11,184 2,034 12 3 1,831 5,49 3,034 8 3 2,898 8,694 2,234 50 10 0,831 8,3 1,234 6 1 0,894 0,894 3,234 6 2 2,298 4,596 Jumlah 210 96 25,847 251,859
Panjang  besi  tulangan  utuh  yaitu  sebesar  12  m.  Untuk  panjang  pertama  pada  sloof  diameter  16,  besi  yang dibutuhkan sepanjang 8,584 m dengan sisa potongan besi sepanjang 3,416 m.
Gambar 1. Panjang potongan 1 diameter 16
Panjang besi tulangan utuh yaitu sebesar 12 m. Untuk panjang kedua pada sloof diameter 16, besi yang dibutuhkan sepanjang 6,509 m dengan sisa potongan besi sepanjang 5,491 m.

## Gambar 2. Panjang potongan 2 diameter 16

## Linear Programming
Dalam Linear  Programming terdapat  langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  memodelkan  suatu  permasalahan yaitu:
a. Variabel Keputusan ( Decision Variables )
Penelitian  ini,  variabel  keputusannya  yaitu  menentukan  pola  pemotongan  pada  tiap  alternatif  seperti  pada tabel 2. Cara untuk menentukan pola alternatif pada penelitian ini yaitu menggunakan hitungan manual.
Tabel 2 Alternatif Pemotongan Besi Tulangan Sloof Diameter 16
Jumlah potongan 12 24 12 12 4 32 8 24 12 8 50 6 6 Sisa Alternatif panjang potongan besi 8,584 6,509 12 9,882 10,584 1,559 2,059 2,534 2,034 3,034 2,234 1,234 3,234 x1 i 0 i 0 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 0 x2 i 0 i 0 i 0 1 i 0 i 0 1 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 0,059 x3 i 0 1 i 0 i 0 i 0 2 i 0 i 0 i 0 i 0 1 i 0 i 0 0,139 x4 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 2 i 0 i 0 i 0 1 2 1 i 0 0,146 x5 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 3 i 0 i 0 i 0 i 0 1 4 i 0 0,153 x6 i0 1 i0 i0 i0 1 i0 1 i0 i0 i0 1 i0 0,164 x7 i0 i0 i0 i0 i0 1 i0 1 i0 1 1 2 i0 0,171 x8 i0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 5 0 0,178 x9 i0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0,182 x10 i 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0,189 x11 i 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 3 0 0,196 x12 i 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0,205
Tabel 2 (Lanjutan). Alternatif Pemotongan Besi Tulangan Sloof Diameter 16 Jumlah potongan 12 24 12 12 4 32 8 24 12 8 50 6 6 Sisa Alternatif panjang potongan besi 8,584 6,509 12 9,882 10,584 1,559 2,059 2,534 2,034 3,034 2,234 1,234 3,234 x13 i 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 3 i 0 0,212 x14 i 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 i 0 0,223 x15 i 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 i 0 0,23 x16 1 i 0 i 0 i 0 i 0 2 0 0 0 0 0 0 i 0 0,298 x17 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 1 0 4 0 0 0 0 i 0 0,305 x18 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 2 0 0 3 0 0 2 i 0 0,312 x19 i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 3 0 1 0 0 2 0 i 0 0,321 x20 i 0 0 i 0 i 0 i 0 0 0 0 0 1 0 7 i 0 0,328 x21 i 0 1 i 0 i 0 i 0 2 0 0 1 0 0 0 i 0 0,339 x22 i 0 0 i 0 i 0 i 0 2 0 2 0 0 1 1 i 0 0,346 x23 i 0 0 i 0 i 0 i 0 0 0 0 0 0 5 0 i 0 0,83 x24 i 0 0 i 0 i 0 i 0 3 0 0 1 0 0 4 i 0 0,353 x25 i 0 1 i 0 i 0 i 0 0 0 2 0 0 0 0 i 0 0,423 x26 i 0 1 i 0 i 0 i 0 1 0 0 0 0 1 1 i 0 0,464 x27 i 0 0 i 0 i 0 i 0 0 1 0 0 0 4 0 i 0 1,005 x28 i 0 0 i 0 i 0 i 0 2 0 0 3 0 1 0 i 0 0,546 x29 0 1 i 0 i 0 i 0 0 0 0 0 0 0 4 i 0 0,555 x30 0 0 i 0 i 0 i 0 1 0 0 0 0 4 0 i 0 1,505 x31 1 0 i 0 i 0 i 0 0 0 1 0 0 0 0 i 0 0,882 x32 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 i 0 0,884 x33 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1,416
Terdapat  33  alternatif  untuk  panjang  potongan  pada  pekerjaan  sloof  diameter  16  mm.  Berikut  ini  adalah contoh  pengerjaan  alternatif  X2.  X2  adalah  panjang  besi  utuh  alternatif  pemotongan  memiliki  panjang sebesar 12 meter. terdapat 1 batang besi ukuran 9,882  m dan 1 batang besi ukuran 2,059 m. dialternatif X2 terdapat sisa besi sebesar 0,059 m. Sisa tersebut didapatkan dari panjang besi utuh 12 m – 9,882 m – 2,059 m = 0,059 m.
Gambar 3. Alternatif X2
b. Fungsi Tujuan ( Objective Function )
Fungsi  tujuan  pada  penelitian  ini  yaitu  untuk  meminimumkan waste besi  di  lapangan,  dilakukan  analisis berdasarkan setiap pekerjaan dan diameter yang terkait. MIN Z tujuannya untuk meminimumkan suatu fungsi tujuan.
Tabel 3 Fungsi Tujuan Alternatif Waste MIN Z X1 0 0 X1 X2 0,059 0,059 X2 X3 0,139 0,139 X3 … … … X31 0,882 0,882 X31 X32 0,884 0,884 X32 X33 1,416 1,416 X33 X3 0,139 0,139 X3
MIN Z = 0 X1 + 0,059 X2 + 0,139 X3 + 0,146 X4 + 0,153 X5 + 0,164 X6 + 0,171 X7 + 0,178 X8 + 0,182
X9 + 0,189 X10 + 0,196 X11 + 0,205 X12 + 0,212 X13 + 0,223 X14 + 0,23 X15 + 0,298 X16 + 0,305 X17 + 0,312 X18 + 0,321 X19 + 0,328 X20 + 0,339 X21 + 0,346 X22 + 0,83 X23 +0,353 X24 + 0,423 X25 + 0,464 X26 + 1,005 X27 + 0,546 X28 + 0,555 X29 + 1,505 X30 + 0,882 X31 + 0,884 X32 + 1,416 X33
Cara penulisannya yaitu dengan mengalikan hasil sisa dengan tiap alternatif seperti contoh pada alternatif X1 tidak ada sisa besi sehingga perkalian 0 dengan X1 dilakukan dan hasilnya menjadi 0 X1, pada alternatif X2 terdapat  sisa  besi  sebesar  0,059  sehingga  dikalikan  dengan  X2  dan  hasilnya  menjadi  0,059  X2,  begitu seterusnya.
c. Fungsi kendala ( Constraints )
Dalam  penelitian  ini,  batasannya  pada  setiap  panjang  potongan  yang  dianalisis,  terdapat  jumlah  potongan yang  dihitung.  Batasan  pada  penelitian  ini  diambil  dari  jumlah  potongan  yang  terbesar  dilapangan  terlebih dahulu sampai ke jumlah potongan terkecil.
Panjang 2,234 X3 + 2X4 + X5 + X7 + 2X12 + 2X13 + X14 + 2X19 + X22 + 5X23 + X26 + 4X27 + X28 + 4X30 ≥ 50 Panjang 1,559 2X3 + 2X4 + 3X5 + X6 + X7 + 2X8 + X12 + X13 + X15 + 2X16 + X17 + 2X18 + 3X19 + 2X21 + 2X22 + 3X24 + X26 + 2X28 + X30  ≥ 32 Panjang 6,509 X3 +X6 + X10 + X14 + X15 + X21 + X25 + X26 + X29 ≥ 24 Panjang 2,534 X6 + X7 + X8 + 2X11 + X12 + 4X17 + X19 + 2X22 + 2X25 + X27 + X31 ≥ 24 Panjang 8,584 X16 + X31 ≥ 12 Panjang 12 0X1 ≥ 12 Panjang 9,882 X2 + X32 ≥ 12 Panjang 2,034 2X10 + 3X18 + X21 + X24 + 3X28  ≥ 12 Panjang 2,059 X2 + X13 + X27  ≥ 8 Panjang 3,034 X4 +X7 + X11 + X14 + X20  ≥ 8 Panjang 1,234 X4 + 4X5 + X6 + 2X7 + 5X8 + X9 + X10 + 3X11 + 3X13 + 3X15 + 2X18 + 7X20 + X22 + 4X24 + X26 + 4X29 + X32  ≥ 6 panjang 3,234 X12 ≥ 6 Panjang 10,584 X9 + X33  ≥ 4 jumlah potongan 50 batang untuk alternatif  X3 + 2X4 + X5 + X7 + 2X12 + 2X13 + X14 + 2X19 + X22 + 5X23 + X26 + 4X27 + X28 + 4X30 (lihat per kolom), sedangkan jumlah potongan 32 batang untuk alternatif 2X3 + 2X4 + 3X5 + X6 + X7 + 2X8 + X12 + X13 + X15 + 2X16 + X17 + 2X18 + 3X19 + 2X21 + 2X22 + 3X24 + X26 + 2X28 + X30. Begitu seterusnya untuk fungsi kendala yang lain.

## Program Solver
Berikut  ini  adalah  cara  penggunaan excel  solver untuk  mengoptimasi  pemotongan  besi  tulangan  pada  pekerjaan sloof  diameter  16.  Data  yang  perlu  dimasukkan  ke  dalam  program  SOLVER  yaitu  berupa  model linear programming seperti berikut:
Fungsi kendala (lhs = sisi kiri persamaan dan rhs = sisi kanan persamaan) Lhs = left hand side Rhs = Right hand side
Tabel 4. Fungsi Kendala ( Constraints ) lhs rhs X3 + 2X4 + X5 + X7 + 2X12 + 2X13 + X14 + 2X19 + X22 + 5X23 + X26 + 4X27 + X28 + 4X30 ≥ 50 2X3 + 2X4 + 3X5 + X6 + X7 + 2X8 + X12 + X13 + X15 + 2X16 + X17 + 2X18 + 3X19 + 2X21 + 2X22 + 3X24 + X26 + 2X28 + X30 ≥ 32 X3 +X6 + X10 + X14 + X15 + X21 + X25 + X26 + X29 ≥ 24 X6 + X7 + X8 + 2X11 + X12 + 4X17 + X19 + 2X22 + 2X25 + X27 + X31 ≥ 24 X16 + X31 ≥ 12 X1 ≥ 12 X2 + X32 ≥ 12 2X10 + 3X18 + X21 + X24 + 3X28 ≥ 12 X2 + X13 + X27 ≥ 8 X4 +X7 + X11 + X14 + X20 ≥ 8 X4 + 4X5 + X6 + 2X7 + 5X8 + X9 + X10 + 3X11 + 3X13 + 3X15 + 2X18 + 7X20 + X22 + 4X24 + X26 + 4X29 + X32 ≥ 6 X12 ≥ 6 X9 + X33 ≥ 4
Persamaan Tabel 4 diambil dari persamaan fungsi kendala. Setelah memasukkan constraints ke persamaan lhs nya, kemudian menggunakan aplikasi solver untuk mendapatkan hasil dari kebutuhan besi dan waste bersih totalnya.
Berikut ini adalah langkah-langkah menggunakan program solver
1. set objective pada penelitian ini yaitu total keseluruhan minimum waste besi.
2. to pada penelitian ini menggunakan min karena tujuan dari penelitian ini untuk meminimumkan waste besi.
3. By changing variable cells yang dipilih yaitu kebutuhan besinya.
4. Subject to the constraints adalah batasannya, batasan yang pertama masukin lhs ≥ rhs, kemudian batasan kedua hasil kebutuhan besinya harus integer / bilangan bulat. 5. Select a solving method menggunakan metode simplex .
6. Setelah menambahkan semua batasan, kemudian klik solve untuk menjalankan solver .
Gambar 4. Penyelesaian Menggunakan Solver
Output data: Total keseluruhan minimum waste besi = 12,676 m Jumlah besi tulangan dengan panjang 12 meter untuk opsi pemotongan.: X1 = 12 batang
X2 = 12 batang X3
= 18 batang X4 = 8 batang X9 = 4 batang X10 = 6 batang X12 = 8 batang X16 = 12 batang X17 = 4 batang Jumlah kebutuhan besi  = 12 + 12 + 18 + 8 + 4 + 6 + 8 + 12 + 4 = 84 batang

## Hasil Analisis Perhitungan Metode Linear Programming
Berikut ini adalah hasil dari semua pekerjaan besi pada proyek rumah tinggal x. Dalam perhitungan dengan metode Linear Programming , hasil dari waste besinya menjadi lebih kecil tetapi ada beberapa kebutuhan besi menjadi lebih besar dari lapangan.
Tabel 5. Hasil Analisis Lapangan dan Linear Programming Pekerjaan Diameter Lapangan Solver , Constraints ≥ waste kebutuhan waste kebutuhan (mm) (m) (batang 12m) (m) (batang 12 m) Sloof 10 199,39 137 11,57 781 8 2,1 21 1,5 15 12 213,744 64 213,744 64 16 251,859 96 12,676 84 Balok 10 485,64 234 38,31 264 8 24,924 55 6,204 47 12 213,744 64 213,744 64 16 255,561 96 12,676 84 Kolom 10 290,448 220 53,718 259 8 10,32 30 10,32 30 12 277,2 84 277,2 84 16 554,4 168 554,4 168
Karena  ada  beberapa  kebutuhan  besi  pada Linear  Programming yang  melebihi  dari  kebutuhan  besi  di  lapangan, maka  solusi  yang  dapat  dilakukan  yaitu  dengan  menggantikan  simbol  (≥)  menjadi  (=)  pada  fungsi  kendala ( constraints ) agar tidak menyebabkan kelebihan anggaran yang sia-sia. Dengan menggantikan batasan menjadi (=), maka  jumlah  kebutuhan  besi  dapat  dibatasi  agar  sesuai  dengan  kebutuhan  besi  di  lapangan  atau  tidak  jauh  dari jumlah  kebutuhan  besi  yang  dibutuhkan  di  lapangan.  Cara  pengerjaan  untuk  menggantikan  simbol  menjadi  (=), sama seperti pengerjaan menggunakan simbol (≥). Berikut ini adalah perbandingan antara hasil analisis di lapangan dengan menggunakan constraints (≥) dan constraints (=).
Tabel 6. Hasil Analisis Perbandingan Lapangan, Contstraints (≥) dan Contstraints (=)
pekerjaan diameter Lapangan solver, constraints ≥ solver, constraints =
waste kebutuhan waste
kebutuhan waste kebutuhan (mm) (m) (batang 12m) (m) (batang 12 m) (m) (batang 12 m) Sloof 10 199,39 137 11,57 781 242,74 137 8 2,1 21 1,5 15 1,5 15 12 213,744 64 213,744 64 213,744 64 16 251,859 96 12,676 84 33,492 76 Balok 10 485,64 234 38,31 264 141,56 196 8 24,924 55 6,204 47 6,116 46 12 213,744 64 213,744 64 213,744 64 16 255,561 96 12,676 84 33,492 76
Tabel 7 (Lanjutan). Hasil Analisis Perbandingan Lapangan, Contstraints (≥) dan Contstraints (=)
pekerjaan diameter Lapangan solver, constraints ≥ solver, constraints = waste kebutuhan
waste
kebutuhan waste kebutuhan (mm) (m) (batang 12m) (m) (batang 12 m) (m) (batang 12 m) Kolom 10 290,448 220 53,718 259 92,908 203 8 10,32 30 10,32 30 10,044 29 12 277,2 84 277,2 84 277,2 84 16 554,4 168 554,4 168 554,4 168
Setelah mengubah tanda menjadi (=), maka didapatkan hasil kebutuhan besi menjadi lebih kecil atau sama dengan kebutuhan  besi  pada  tanda  (≥)  tetapi waste besinya  menjadi  lebih  besar  dari  tanda  (≥).  Dengan  ini  maka  akan dilakukan analisis lebih lanjut dengan mengubah satuan m menjadi satuan kg.
Tabel 8. Hasil Analisis Dalam Bentuk kg
Contoh perhitungan dari satuan kg
Tabel 9. Berat Besi tiap Diameter dan Waste Besi per Batang Diameter Berat/Batang (Kg) Waste Besi/Batang (Kg) 10 7,4 0,617 8 4,74 0,395 12 10,7 0,891 16 19 1,584
Kebutuhan besi lapangan = berat besi dia16 x kebutuhan besi dilapangan = 19 x 96 batang = 1824,00 kg Kebutuhan besi Constraints (≥) = berat besi dia 16 x kebutuhan besi constraints (≥) = 19 x 84 btg = 1596,00 kg Kebutuhan besi Constraints (=) = berat besi dia 16 x kebutuhan besi constraints (=) = 19 x 76 btg = 1444,00 kg Waste besi lapangan = waste besi per batang dia 16 (kg) x waste besi lapangan = 1,584 x 251,859 m = 398,78 kg Waste besi Constraints (≥) = waste besi/btg dia 16 (kg) x waste besi constraints (≥) = 1,584 x 12,676 m = 20,07 kg Waste besi Constraints (=) = waste besi/btg dia 16 (kg) x waste besi constraints (=) = 1,584 x 33,492 m = 53,03 kg
Peker- jaan Dia- meter Kebutuhan Besi (Kg) Waste Besi (Kg) Lapangan Contstraints (≥) Contstraints (=) Lapangan Contstraints (≥) Contstraints (=) Sloof 10 1.013,80 5.779,40 1.013,80 122,96 7,13 149,69 8 99,54 71,10 71,10 0,83 0,59 0,59 12 684,80 684,80 684,80 190,59 190,59 190,59 16 1.824,00 1.596,00 1.444,00 398,78 20,07 53,03 Balok 10 1.731,60 1.953,60 1.450,40 299,48 23,62 87,30 8 260,70 222,78 218,04 9,84 2,45 2,42 12 684,80 684,80 684,80 190,59 190,59 190,59 16 1.824,00 1.596,00 1.444,00 404,64 20,07 53,03 Kolom 10 1.628,00 1.916,60 1.502,20 179,11 33,13 57,29 8 142,20 142,20 137,46 4,08 4,08 3,97 12 898,80 898,80 898,80 247,17 247,17 247,17 16 3.192,00 3.192,00 3.192,00 877,80 877,80 877,80 Jumlah 13.984,24 18.738,08 12.741,40 2.925,86 1.617,29 1.913,46
Tabel 10 Hasil Selisih Antara Constraints (≥) dan Contstraints (=)
Pekerjaan Diameter Contstraints (≥) Selisih Antara Contstraints (≥) dengan Contstraints (=) kg batang Kg Total (Kg) Persentase (%) Sloof 10 8131,3 644 4.765,60 4917,6
82,45 60,47741 8 0 0,00 0 12 0 0,00 0 16 8 152,00 9,5 Balok 10 4457,18 68 503,20
659,94 25,8 14,80622 8 1 4,74 2,2 12 0 0,00 0 16 8 152,00 9,5 Kolom 10 6149,6 56
414,40
419,14 21,7 6,815728 8 1 4,74 3,4 12 0 0,00 0 16 0 0,00 0 Jumlah 18.738,08 786,00 5.996,68 5.996,68 32,00 32,00
Berikut ini adalah hasil pengurangan atau selisih dari perhitungan tanda (≥) dengan (=). Contoh perhitungan analisis perbandingan constraints (≥) dengan constraints (=): Constraints (≥) (kg) = D10 + D8 + D12 + D16 = 5779,4 + 71,1 + 684,8 + 1596 = 8131,3 kg Batang diameter 16 = kebutuhan besi constraints (≥) - kebutuhan besi constraints (=) = 84 – 76 = 8 batang Kg diameter 16 = kebutuhan besi constraints (≥) kg – kebutuhan besi constraints (=) Kg = 1596 – 1444 = 152 kg Total Kg sloof = D10+D8+D12+D16 = 4765,6+0+0+152 = 4917,6 kg Persentase Diameter 16 = Kg dia 16 / constraints (≥) kg dia 16 x 100% = 152 kg / 1596 kg x 100 % = 9,5 % Total persentase sloof = Total (kg) sloof / Total constraints (≥) kg sloof x 100% = 4917,6 / 8131,3 x 100% = 60,4%
Tabel 11. Hasil Analisis Penghematan Berdasarkan Diameter Pekerjaan Diameter Penghematan Constraints (=) Terhadap Lapangan batang kg persentase (%) Rupiah (Rp) Sloof 10 0 0 0,00 Rp0 8 6 28,44 28,57 Rp199.080 12 0 0 0,00 Rp0 16 20 380 20,83 Rp2.660.000 Balok 10 38 281,2 16,24 Rp1.968.400 8 9 42,66 16,36 Rp298.620 12 0 0 0,00 Rp0 16 20 380 20,83 Rp2.660.000 Kolom 10 17 125,8 7,73 Rp880.600 8 1 4,74 3,33 Rp33.180 12 0 0 0,00 Rp0 16 0 0 0,00 Rp0 Jumlah 111 1.242,84 9 Rp8.699.880
Contoh perhitungan hasil penghematan berdasarkan diameter: (Biaya per 1 kg = Rp7.000,-) Batang = batang lapangan - batang constraints (=) = 96 batang -76 batang = 20 batang Kg = kebutuhan besi (kg) lapangan - kebutuhan besi (kg) constraints (=) = 1824 -1444 = 380 kg Persentase = kg penghematan / kg lapangan x 100% = (380 / 1824) x 100% = 20,83% Rupiah (1 kg = Rp7.000) = kg penghematan x biaya per kg = 20,83 x Rp7.000 = Rp2.660.000,-
Tabel 12. Hasil Penghematan Constraints (=) Terhadap Lapangan pada Masing-Masing Pekerjaan
Pekerjaan Lapangan (Kg) Constraints (=) (kg) Penghematan Constraints (=) terhadap Lapangan Kg % Rp Sloof 3.622,14 3.213,70 408,44 11,28 Rp2.859.080 Balok 4.501,10 3.797,24 703,86 15,64 Rp4.927.020 Kolom 5.861,00 5.730,46 130,54 2,23 Rp913.780 Jumlah 13.984,24 12.741,40 1.260,84 9 Rp8.699.880
Contoh perhitungan hasil penghematan pada masing-masing pekerjaan Lapangan Sloof = D10+D8+D12+D16 = 1013,8+99,54+684,8+1824 = 3622,14 Kg Constraints (=) Sloof = D10+D8+D12+D16 = 1013,8+71,1+684,8+1444 = 3213,7 Kg penghematan (kg) sloof = Lapangan - constraints (=) = 3640,14 -3213,7 = 426,44 kg Persentase (%) sloof = Penghematan (kg) / lapangan x 100% = 426,44 / 3640,14 x 100% = 11,71% Rupiah (1kg = Rp7.000) = Penghematan (kg) x biaya per kg = 426,44 x Rp7.000 = Rp2.985.080,-
Jadi,  penghematan  yang  didapat  dari  menggunakan  program linear  programming sebesar  Rp8.699.880,-  dengan persentase  9%  untuk  keseluruhan  proyek  rumah  tinggal.  Ada  juga  solusi  lain  dalam  melakukan  optimasi  untuk membuat waste besi dan jumlah kebutuhan besi menjadi lebih kecil dengan cara menggabungkan seluruh tulangan dengan  diameter  yang  sama.  Seperti  contoh  menggabungkan  semua  diameter  10  mm,  8  mm,  12  mm,  dan  16  mm dalam semua pekerjaan. Berikut ini adalah hasil analisis berdasarkan penggabungan diameter pada semua pekerjaan:
Tabel 13. Hasil Analisis Berdasarkan Diameter Besi Tulangan
Diameter Kebutuhan besi (batang) Waste besi (m) Lapangan Constraints (=) Lapangan Constraints (=) 10 591 536 975,478 477,208 8 106 90 37,344 17,66 12 212 212 704,688 704,688 16 360 320 1.061,82 621,384
kebutuhan besi lap diameter 16 = 96+96+168 = 360 batang kebutuhan besi constraints (=) d 16 = 76+76+168 = 320 batang waste besi lapangan diameter 16 = 251,859+255,561+554,4 = 1061,82 m waste besi Constraints (=) d 16 = 33,492+33,492+554,4 = 621,384 m
Untuk  diameter  10  mm  ,  8  mm,  12  mm,  dan  16  mm  dilakukan  analisis  ulang  dengan  menambahkan  tipe-tipe panjang dan jumlah potongan dengan menggunakan metode yang sama seperti sebelumnya. Berikut ini adalah hasil analisis ulang:
Tabel 14. Hasil Analisis Ulang untuk Diameter yang Digabungkan
Diameter Kebutuhan besi (batang) Waste besi (m) Lapangan Constraints (=) Lapangan Constraints (=) 10 591 536 975,478 477,208 8 106 84 37,344 10,608 12 212 212 704,688 704,688 16 360 320 1.061,82 621,384
Dengan menggabungkan pemotongan tulangan berdasarkan diameternya, waste besi dan jumlah kebutuhan besinya bisa lebih kecil. Berikut ini adalah hasil dari penghematan setelah digabungkan diameternya pada semua pekerjaan.
Tabel 15. Hasil Penghematan Constraints (=) Terhadap Lapangan pada Masing-Masing Diameter
Diameter Lapangan (Kg) Constraints (=) (kg) Penghematan Constraints (=) terhadap Lapangan Kg % Rp 10 4.373,40 3.966,40 407,00 9,31 Rp2.849.000 8 502,44 398,16 104,28 20,75 Rp729.960 12 2.268,40 2.268,40 0,00 0,00 Rp0 16 6.840,00 6.080,00 760,00 11 Rp5.320.000 Jumlah 13.984,24 12.741,40 1.242,84 9,1 Rp8.898.960
Contoh perhitungan Lapangan = D16 sloof + D16 balok + D16 kolom = 1824+1824+3192 = 6840 kg Constraints (=) = D16 sloof + D16 balok + D16 kolom = 1444+1444+3192 = 6080 kg penghematan (kg) = Lapangan - constraints (=) = 6840 – 6080 = 760 kg Persentase (%) = Penghematan (kg) / lapangan x 100% = (760 / 6840) x 100% = 11% Rupiah (1kg = Rp7.000) = Penghematan (kg) x biaya per kg = 760 x Rp7.000 = Rp5.320.000,-
Jadi, penghematan yang didapat dari menggabungkan diameter dari semua pekerjaan sebesar Rp8.898.960,- dengan persentase 9,1% untuk keseluruhan proyek rumah tinggal. Jika dibandingkan dengan masing-masing diameter pada masing-masing  pekerjaan,  hasil  penghematannya  hampir  sama  hanya  sedikit  lebih  besar  yaitu  Rp8.898.960  – Rp8.699.880 = Rp199.080,-.

## Rangkuman Hasil Perhitungan
Berikut ini adalah rangkuman hasil analisis dari perhitungan proyek rumah tinggal x.
1. Variasi panjang potongan dan variabel keputusan
Pada  pembuatan  awal  model linear  programming, yang  harus  dibuat  terlebih  dahulu  yaitu  alternatif-alternatif pemotongan  yang  merupakan  variabel  keputusannya.  Berikut  ini  adalah  rangkuman  alternatif  pemotongan  dan panjang potongan dalam bentuk tabel.
Tabel 16. Rangkuman Jumlah Variasi Panjang Potongan dan Variabel Keputusan Berdasarkan masing-masing
Pekerjaan Pekerjaan Diameter Jumlah panjang potongan Variabel keputusan Sloof 10 11 25 8 1 1 12 5 5 16 13 33 Balok 10 22 44 8 1 1 12 5 5 16 13 33 Kolom 10 3 7 8 1 1 12 1 1 16 1 1
Hasil rangkuman dibagi menjadi 2 yaitu hasil rangkuman dengan masing-masing pekerjaan seperti tabel 15 dan hasil pekerjaan dengan digabungkan semua diameter yang sama seperti pada tabel 16.
Tabel 17. Rangkuman Jumlah Variasi Panjang Potongan dan Variabel Keputusan Berdasarkan masing-masing
Diameter Diameter Jumlah panjang potongan Variabel keputusan 10 36 76 8 3 4 12 6 6 16 14 34
2. Selisih antara constraints (≥) dan constraints (=)
Berikut ini adalah selisih penghematan menggunakan constraints (≥) dan constraints (=).
- Selisih total kebutuhan besi dalam kg = 18.738,08 - 12.741,40 = 5.996,68 kg
- Selisih total minimum waste dalam kg = 1.913,46 - 1.617,29 = 296,17 kg
3. Perbandingan Analisis Lapangan, Constraints  (≥) , dan Constraints (=)
Tabel 18. Rangkuman Kebutuhan Besi dan Waste besi dalam Satuan Kg
Kebutuhan Besi (kg) Waste Besi (kg) Lapangan Constraints (≥) Constraints (=)  Lapangan Constraints (≥) Constraints (=) 13.984,24 18.738,08 12.741,40 2.925,86 1.617,29 1.913,46

## 4. Hasil penghematan menggunakan Linear Programming
Berikut  ini  adalah  rangkuman  dari  hasil  analisis  penghematan constraints (=)  terhadap  lapangan  berdasarkan masing-masing pekerjaan dan diameter yang telah digabungkan.
Tabel 19. Rangkuman Hasil Penghematan Constraints (=) terhadap Lapangan Berdasarkan Pekerjaan dan Diameter
Keterangan Proyek Rumah tinggal % Biaya (Rp) Pekerjaan 9 Rp8.699.880 Diameter 9,1 Rp8.898.960

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis penelitian yang telah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut: a. Pada  persamaan  Fungsi  kendala  penelitian  ini  dengan  menggunakan  program Solver terdapat  2  tanda  yang digunakan yaitu “≥” dan “=”.
- Jika  menggunakan  simbol  "≥",  maka  kebutuhan  besi  yang  dihasilkan  lebih  besar  dari  lapangan  dan menghasilkan waste yang paling sedikit.
- Jika  menggunakan  tanda  “=”  maka  kebutuhan  besi  yang  dihasilkan  menjadi  kecil  dan waste totalnya menjadi lebih besar dari tanda “≥”.
Jadi dalam penelitian ini, fungsi kendala dengan tanda "=" digunakan untuk mendapatkan kebutuhan besi yang minimum  sehingga  diperoleh  penghematan  besi  tulangan  antara  menggunakan Linear  Programming dengan hasil di lapangan.
b. Untuk  mencari  penghematan  pada  penelitian  ini  dengan  menggunakan  program Solver ,  ada  2  cara  yang digunakan dengan metode linear programming yaitu:
- Mengerjakan berdasarkan masing-masing pekerjaan (pekerjaan sloof, balok, dan kolom). Penghematan  yang  dihasilkan  dari  masing-masing  pekerjaan  pada  penelitian  ini  sebesar  Rp8.699.880 dengan presentase 9%.
- Mengerjakan berdasarkan diameter yang digabungkan
Penghematan  yang  dihasilkan  berdasarkan  diameter  yang  digabungkan  sebesar  Rp8.898.960  dengan presentase 9,1%.
Dari  analisis  yang  dilakukan,  dapat  disimpulkan  bahwa  tidak  adanya  peningkatan  yang  cukup  signifikan  dari hasil  berdasarkan  pekerjaan  dan  hasil  diameter  yang  digabungkan.  Namun,  pengerjaan  dengan mengkombinasikan diameter yang sama memerlukan waktu pengerjaan yang lebih lama karena banyaknya jenis variasi panjang potongan. Jadi cara pengerjaan yang pertama lebih efektif dalam penelitian ini.
c. Dalam penelitian ini metode yang diterapkan yaitu linear programming , cara tersebut cukup mudah digunakan, tetapi jika variasi panjang potongannya semakin banyak maka jumlah alternatif pemotongan yang akan dihitung akan  semakin  banyak  dan  memerlukan  waktu yang  cukup  lama.  Mengingat  perhitungan alternatif  pemotongan dibuat  secara  manual,  maka  masih  bisa  terjadinya human  error atau  kesalahan  dalam  menghitung  alternatif pemotongan.

## DAFTAR PUSTAKA
Abuhassan, I. A., & Nasereddin, H. H. (2011). Cutting stock problem: Solution behaviors. International Journal of Recent Research , 6 (4), 429-433.
Formoso,  C.  T.,  Soibelman,  L.,  De  Cesare,  C.,  &  Isatto,  E.  L.  (2002).  Material  waste  in  building  industry:  main causes and prevention. Journal of construction engineering and management , 128 (4), 316-325. Kork, M. A. N. (2013). Perhitungan kebutuhan tulangan besi dengan memperhitungkan optimasi waste besi pada pekerjaan  balok  dengan  program  microsoft  excel .  [Skripsi,  Universitas  Negeri  Sebelas  Maret]. https://digilib.uns.ac.id/dokumen/detail/46323
Nugraha, P. (1985). Manajemen Proyek Konstruksi 1. Surabaya: Kartika Yudha. Siswanto. (2007). Tugas Operasi Riset Linear Programming . Universitas Mahasaraswati Denpasar.
Stapleton,  D.  M.,  Hanna,  J.  B.,  &  Markussen,  D.  (2003).  Marketing  strategy  optimization:  Using  linear programming to establish an optimal marketing mixture. American Business Review , 21 (2), 54.
Tam, V. W. (2008). On the effectiveness in implementing a waste-management-plan method in construction. Waste management , 28 (6), 1072-1080.