## FUNGSI SIMETRI TERHADAP GARIS 𝒙 = 𝒂

## DAN SIFAT-SIFATNYA
( Symmetry Function Against the Line x = a and its Properties )

## Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember Jalan Kalimantan 37 Jember  68121, Indonesia
Email:  firdaus_u@yahoo.com
Abstract. An even function is a function with a graph that is symmetric with respect to the y-axis or the line x = 0. In this paper, we will introduce a more general  function  of  the  even  function,  we  call  it  as  symmetry  function  with respect to the line x = a, which is a function whose graph is symmetric with respect to the line x = a. This paper discusses the properties of the symmetry function with respect to the line x = a, which is derived from the pre-existing properties of the even function. Some of the results obtained above, the linear combination  of  the  symmetry  functions  with  respect  to  the  line  x  =  a  is  a symmetry function with respect to the line x = a and the composition of any function with a  symmety function with respect to the line x = a is a symmetry function with respect to the line x = a.
Keywords: Even function, a symmetry function with respect to the line x=a, symmetric graph
MSC 2020: 26A18

## 1. Pendahuluan
Menurut [3], suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dikatakan fungsi genap jika berlaku 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑅 .  Sebagai  contoh,  fungsi  yang  didefinisikan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 dan 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 keduanya merupakan fungsi genap karena berlaku 𝑓(−𝑥) = (−𝑥) 2 + 1 = 𝑥 2 + 1 = 𝑓(𝑥) dan 𝑔(−𝑥) = cos(−𝑥) = cos 𝑥 = 𝑔(𝑥) . Sedangkan fungsi ℎ(𝑥) = sin 𝑥 bukan merupakan fungsi genap. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y atau garis 𝑥 = 0 .  Grafik  fungsi 𝑓 dan 𝑔 yang  diberikan  pada  contoh  di  atas  dapat  dilihat  pada Gambar 1.
(a). Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 1 (b). Grafik fungsi 𝑔(𝑥) = cos 𝑥
Gambar 1.  Grafik fungsi genap 𝑓 dan 𝑔
Selain  sifat  grafik  fungsi  genap  simetri  terhadap  sumbu-y,  beberapa  sifat  yang  terkait dengan fungsi genap diberikan sebagai berikut [1], [2], [3].
1. Untuk sebarang fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , fungsi ℎ yang didefinisikan pada 𝑅 dengan
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥),
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,
merupakan fungsi genap.
2. Untuk sebarang fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔 fungsi genap, maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 merupakan fungsi genap.
3. Kombinasi  linear  fungsi-fungsi  genap  merupakan  fungsi  genap,  yakni  jika 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 bilangan-bilangan real dan 𝑓 1, 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 fungsi-fungsi genap, maka
𝛼 1 𝑓 1 + 𝛼 2 𝑓 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑓 𝑛
merupakan fungsi genap.
4. Diberikan 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏 > 0. Jika 𝑓 fungsi  genap  yang  terintegral  pada  selang [−𝑏, 𝑏] , maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 −𝑏 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
0 .
Selanjutnya,  pandang  fungsi 𝑘(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 dan  grafiknya  yang  diberikan  pada Gambar  2.  Jika  diperhatikan,  bahwa  fungsi 𝑘 bukanlah  fungsi  genap  karena 𝑘(−𝑥) = (−𝑥) 2 − 6(−𝑥) + 8 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 ≠ 𝑘(𝑥) .  Begitu  pula  grafik  fungsi 𝑘 tidak  simetri terhadap  sumbu-y.  Namun  jika  diperhatikan  lebih  seksama,  bahwa  grafik  fungsi 𝑘 sesungguhnya simetri, dalam hal ini simetri terhadap garis 𝑥 = 3 .
Gambar 2.  Grafik fungsi 𝑘(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8
Berdasarkan  dari  penjelasan  di  atas,  permasalahan  yang  ada  adalah  bagaimana mendefinisikan  atau  menjelaskan  bahwa  suatu  fungsi  yang  grafiknya  simetri  terhadap garis 𝑥 = 𝑎 merupakan  perumuman  dari  fungsi  genap.  Setelah  dapat  mendefinisikan dengan baik pengertian fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , selanjutnya akan dikaji sifat- sifat fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 .

## 2. Metodologi
Dalam  mengenalkan  istilah  baru  fungsi  simetri  terhadap  garis 𝑥 = 𝑎 diperoleh  setelah berhasil  memperumum  pengertian  fungsi  genap.  Fungsi  genap  adalah  fungsi  yang grafiknya simetri terhadap sumbu-y atau garis 𝑥 = 0. Fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 ini hasil memperumum 𝑥 = 0 pada pengertian fungsi genap diganti dengan 𝑥 = 𝑎.
Selanjutnya, untuk menggali sifat-sifat fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 diperoleh dari menurunkan  sifat-sifat  fungsi  genap  yang  sudah  ada  sebelumnya.  Sifat-sifat  fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 dituangkan dalam bentuk teorema-teorema disertai buktinya.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Untuk mengawali hasil dan pembahasan ini, terlebih dahulu diberikan pengertian fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎.
Definisi 1. Diberikan 𝑎 ∈ 𝑅 dan fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 . Fungsi 𝑓 disebut simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 jika berlaku
𝑓(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 + 𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 . (1)
Dari pengertian pada Definisi 1 ini, maka setiap fungsi genap merupakan fungsi simetri terhadap  garis 𝑥 = 0, yakni  jika 𝑓 fungsi  genap  maka  berlaku 𝑓(0 − 𝑥) = 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(0 + 𝑥) .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  fungsi  genap  merupakan  kasus  khusus
dari fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 dengan 𝑎 = 0.
Jika  diperhatikan  fungsi 𝑘 yang  diberikan  pada  seksi  sebelumnya,  yakni 𝑘(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 , yang bukan merupakan fungsi genap (grafiknya tidak simetri terhadap sumbu-y atau garis 𝑥 = 0 ) namun grafik fungsi 𝑘 simetri terhadap garis 𝑥 = 3 . Ini menunjukkan bahwa  fungsi 𝑘 merupakan  fungsi  simetri  terhadap  garis 𝑥 = 3 .  Secara  matematis memperlihatkan bahwa berlaku
𝑘(3 − 𝑥) = (3 − 𝑥) 2 − 6(3 − 𝑥) + 8 = (9 − 6𝑥 + 𝑥 2 ) − (18 − 6𝑥) + 8 = (9 + 6𝑥 + 𝑥 2 ) − (18 + 6𝑥) + 8 = (3 + 𝑥) 2 − 6(3 + 𝑥) + 8 = 𝑘(3 + 𝑥)
Contoh  lain  adalah 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ,  ini  merupakan  fungsi  simetri  terhadap  garis 𝑥 = 𝜋 2 karena sin ( 𝜋 2 − 𝑥) = sin ( 𝜋 2 + 𝑥) .  Jika  diperhatikan  pula  bahwa 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 5𝜋 2 atau fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = − 𝜋 2 , dan sebagainya.
Kembali lagi ke fungsi 𝑘 sebelumnya. Diperhatikan, jika grafik fungsi 𝑘 digeser 3 satuan ke  kiri,  maka  diperoleh  grafik  baru  yang  simetri  terhadap  sumbu-y  atau  garis 𝑥 = 0 . Dengan demikian, diperoleh hubungan antara fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 dengan fungsi genap yang dituangkan dalam lema berikut.
Lema  2 .  Jika 𝑓 fungsi  simetri  terhadap  garis 𝑥 = 𝑎 ,  maka  fungsi 𝑔: 𝑅 → 𝑅 yang didefinisikan
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑎),   untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,
merupakan fungsi genap.
Bukti. Diberikan 𝑓 fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 . Definisikan fungsi 𝑔: 𝑅 → 𝑅 dengan
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑎), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 .
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
Karena 𝑓 fungsi  simetri  terhadap  garis 𝑥 = 𝑎 ,  maka  berlaku  persamaan  (1),  sehingga diperoleh
𝑔(−𝑥) = 𝑓(−𝑥 + 𝑎)
= 𝑓(𝑥 + 𝑎) = 𝑔(𝑥) Jadi terbukti 𝑔 fungsi genap. ∎
Beberapa  sifat  lain  fungsi  simetri  terhadap  garis 𝑥 = 𝑎 dituangkan  dalam  beberapa teorema berikut.
Teorema 3 . Untuk sebarang fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔 fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 .
Bukti. Diberikan fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan  fungsi 𝑔: 𝑅 → 𝑅 simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 . Akan  dibuktikan  bahwa  berlaku (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑎 − 𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑎 + 𝑥) untuk  setiap 𝑥 𝜖 𝑅. Untuk sebarang 𝑥 𝜖 𝑅 dan karena 𝑔 fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , diperoleh
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑎 − 𝑥)) = 𝑓(𝑔(𝑎 + 𝑥)) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑎 + 𝑥).
Jadi terbukti bahwa 𝑓 ∘ 𝑔 merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 . ∎
Teorema 4 . Diberikan 𝑎 ∈ 𝑅 dan 𝑓: 𝑅 → 𝑅 fungsi sebarang.  Fungsi ℎ yang didefinisikan pada 𝑅 dengan
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑎 − 𝑥) + 𝑓(𝑥 − 𝑎), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,
merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 .
Bukti. Diberikan fungsi 𝑓 pada 𝑅. Definisikan fungsi ℎ pada 𝑅 dengan ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑎 − 𝑥) + 𝑓(𝑥 − 𝑎), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,
Akan dibuktikan berlaku ℎ(𝑎 − 𝑥) = ℎ(𝑎 + 𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
Ambil sebarang 𝑥 𝜖 𝑅 , diperoleh
ℎ(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 − 𝑎 + 𝑥) + 𝑓(𝑎 − 𝑥 − 𝑎) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥).                   (2)
Di sisi lain, diperoleh
ℎ(𝑎 + 𝑥) = 𝑓(𝑎 − 𝑎 − 𝑥) + 𝑓(𝑎 + 𝑥 − 𝑎) = 𝑓(−𝑥) + 𝑓(𝑥).                   (3)
Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh ℎ(𝑎 − 𝑥) = ℎ(𝑎 + 𝑥) .
Jadi terbukti ℎ fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 .
∎
Teorema 5 . Jika 𝛼 sebarang bilangan real dan 𝑓 dan 𝑔 keduanya fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎, maka
(i) 𝛼𝑓
(ii) 𝑓 + 𝑔
(iii) 𝑓𝑔
merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 .
Bukti. Akan  ditunjukkan  masing-masing  berlaku (𝛼𝑓)(𝑎 − 𝑥) = (𝛼𝑓)(𝑎 + 𝑥), (𝑓 +
𝑔)(𝑎 − 𝑥) = (𝑓 + 𝑔)(𝑎 + 𝑥), dan (𝑓𝑔)(𝑎 − 𝑥) = (𝑓𝑔)(𝑎 + 𝑥).
(i) (𝛼𝑓)(𝑎 − 𝑥) = 𝛼[𝑓(𝑎 − 𝑥)] = 𝛼[𝑓(𝑎 + 𝑥)] = (𝛼𝑓)(𝑎 + 𝑥).
(ii) (𝑓 + 𝑔)(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 − 𝑥) + 𝑔(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 + 𝑥) + 𝑔(𝑎 + 𝑥)
= (𝑓 + 𝑔)(𝑎 + 𝑥)
(iii) (𝑓𝑔)(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 − 𝑥)𝑔(𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑎 + 𝑥)𝑔(𝑎 + 𝑥) = (𝑓𝑔)(𝑎 + 𝑥).
Terbukti ketiganya. ∎
Teorema 6 . Diberikan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏 > 0 dan fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 yang terintegral pada selang [𝑎 − 𝑏, 𝑎 + 𝑏]. Jika 𝑓 fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎+𝑏 𝑎
Bukti. Misalkan 𝑥 = 𝑢 + 𝑎 , maka 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢. Oleh karena itu, diperoleh
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 ∫ 𝑓(𝑢 + 𝑎)𝑑𝑢 𝑏 −𝑏
Karena 𝑓 fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , berdasarkan Lema 2, terdapat fungsi genap 𝑔 sedemikian  sehingga  berlaku 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑎) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑅 .  Karena  itu diperoleh
∫ 𝑓(𝑢 + 𝑎)𝑑𝑢 𝑏 −𝑏 = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 . 𝑏 −𝑏
Berdasarkan sifat fungsi genap dan mengembalikan 𝑔(𝑢) = 𝑓(𝑢 + 𝑎) , maka diperoleh
∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 −𝑏 = 2 ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 𝑏 0 = 2 ∫ 𝑓(𝑢 + 𝑎)𝑑𝑢 𝑏 0 . Dengan mengembalikan 𝑢 + 𝑎 = 𝑥 , diperoleh ∫ 𝑓(𝑢 + 𝑎)𝑑𝑢 𝑏 0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 𝑎+𝑏 𝑎 Jadi diperoleh hasil ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎+𝑏
𝑎−𝑏 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .                                                  ∎
𝑎+𝑏 𝑎

## 4. Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan, diperoleh beberapa kesimpulan
1. Grafik fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 simetris terhadap garis 𝑥 = 𝑎.
2. Untuk sebarang fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔 fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 .
3. Perkalian skalar dengan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , penjumlahan dua fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 , dan perkalian dua fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 juga merupakan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎.
4. Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏 > 0 dan 𝑓 fungsi terintegral pada selang [𝑎 − 𝑏, 𝑎 + 𝑏] dan fungsi simetri terhadap garis 𝑥 = 𝑎 maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎+𝑏 𝑎 .

## Daftar Pustaka
[1] Bittinger, M.L, David J. Ellenbogen, dan Scott A. Surgent, (2012), Calculus and Its Applications , Edisi ke 10, Boston: Pearson Education, Inc.
[2] Herman, E. dan Strang G., (2018), Calculus Volume 1 , Houston: Open Stax.
[3] Stewart, J., (2008), Calculus Early Transcendentals , 6 th edition, Belmont: Thomson Learning, Inc.