## PENDEKATAN OPSI CASH-OR-NOTHING UP AND IN BARRIER UNTUK PENENTUAN NILAI PREMI ASURANSI PERTANIAN *
Yunita Wulan Sari 1 ‡ and Gunardi 2
1 Department of Mathematics, Universitas Gadjah Mada (UGM), Indonesia, yunita-ws@ugm.ac.id 2 Department of Mathematics, Universitas Gadjah Mada (UGM), Indonesia, gunardi@ugm.ac.id
‡ corresponding author
Indonesian Journal of Statistics and Its Applications (eISSN:2599-0802) Vol 4 No 3 (2020), 557 - 565
Copyright © 2020 Yunita Wulan Sari and Gunardi.  This is an open-access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
Crop insurance is a type of insurance that provides protection to farmers who hold an insurance policy for losses due to crop failure. Extreme weather, especially rainfall, has been the main cause of the crop failure. Therefore, the type of crop insurance based on weather or rainfall must be developed and applied. This paper will discuss the cash- or-nothing up and in barrier option approach for determining insurance premiums where the  risk  of  loss  in  terms  of  high  rainfall,  then  compare  it  to  the  Black-Scholes  option approach. In this approach, the claim limit is based on the rainfall index and the value of the barrier is determined according to the size of the extreme rainfall. We use cumulative rainfall data in the first subround in Sleman regency as a case study. The conclusions obtained are barrier value has a negative effect on the value of insurance premiums and claim limit value has a positive effect. Besides the premium value with this barrier option approach  is  cheaper  than  the  Black-Scholes  option  approach,  this  approach  method more interesting to apply because of the barrier value addition.
Keywords : crop insurance, premium value, up and in barrier option, weather index.

## 1.  Pendahuluan
Seiring dengan terjadinya perubahan iklim di beberapa tahun terakhir, kejadian iklim dan  cuaca  ekstrim  telah  meningkat  secara  signifikan,  baik  dalam  frekuensi  maupun
* Received Jun 2020; Accepted Nov 2020; Published online on Nov 2020
kuantitasnya.  Akibatnya,  petani  harus  menghadapi  risiko  gagal  panen  yang disebabkan  oleh  banjir,  kekeringan,  ataupun  serangan  hama  tanaman  pada  setiap musim  tanam.  Upaya  untuk  menekan  risiko  tersebut  sebenarnya  sudah  banyak dilakukan  oleh  petani,  tetapi  itu  semua  belum  cukup.  Mereka  masih  memerlukan dukungan dan perlindungan formal dari asuransi pertanian yang berbasis iklim/cuaca. Sistem asuransi ini memberikan perlindungan, jaminan, atau ganti rugi kepada petani selaku pemilik polis asuransi ketika kondisi cuaca/iklim yang tidak diharapkan terjadi pada  periode  pertumbuhan  tanaman  yang  diasuransikan  (Okine,  2014).  Menurut Estiningtyas  (2015),  jenis  asuransi  ini  berpeluang  untuk  dikembangkan  dan diaplikasikan di Indonesia.
Pemerintah Republik Indonesia telah membuat program asuransi pertanian dalam rangka menciptakan satu alternatif skema pendanaan dalam pembagian risiko yang mungkin  terjadi  dalam  kegiatan  usaha  pertanian.  Selanjutnya,  PT  Asuransi  Jasa Indonesia (Jasindo) diberikan wewenang untuk mengelola program asuransi tersebut. PT Jasindo telah menetapkan besarnya premi yang ditanggung oleh petani  peserta asuransi tersebut adalah Rp. 180.000,-/hektar (ha) untuk setiap musim tanam dengan plafon  penjaminan  kerugian  akibat  gagal  panen  adalah  sebesar  Rp.6.000.000,- /ha/musim tanam. Namun, besaran premi itu tidak ditanggung sepenuhnya oleh petani karena  pemerintah  memberikan  subsidi  pembayaran  premi  sebesar  80%  atau Rp.144.000,-/ha/musim  tanam.  Selain  itu,  besarnya  premi  yang  harus  dibayarkan dihitung secara proporsional terhadap luas lahan yang diasuransikan. Skema asuransi pertanian di atas merupakan subsidi awal kepada petani untuk meningkatkan persepsi dan  motivasi  petani  mengenai  asuransi,  mengingat  asuransi  ini  sangat  bermanfaat untuk  mengurangi  risiko  kerugian  petani  saat  terjadi  gagal  panen.  Diharapkan beberapa tahun ke depan petani sudah bisa mandiri dan secara perlahan pemerintah akan  mengurangi  besarnya  subsidi  tersebut.  Sebagai  negara  agraris,  seharusnya asuransi  pertanian  ini  sudah  berkembang  pesat  di  Indonesia.  Namun,  pada kenyataannya  sampai  saat  ini  belum  perusahaan  asuransi  lain  belum  ada  yang membuat produk asuransi pertanian ini. Selain itu, tingkat partisipasi petani dinilai juga masih kurang.
Opsi merupakan hak yang diberikan kepada pemegang opsi untuk membeli atau menjual  saham  pada  waktu  dan  pada  harga  tertentu.  Berbagai  model  telah dikembangkan untuk menentukan nilai teoritis opsi, salah satunya adalah model Black Scholes yang diperkenalkan oleh Black & Scholes (1973). Menurut Okine (2014) dan Putri et  al .  (2017),  metode  Black-Scholes  juga  dapat  digunakan  untuk  menentukan atau menghitung premi asuransi ketika hasil produksi mengalami penurunan di bawah standar karena dipengaruhi oleh curah hujan. Opsi barrier adalah suatu kontrak opsi, dimana kontrak tersebut dapat diaktifkan atau dinon-aktifkan jika harga saham di pasar menembus  suatu  level  harga  tertentu  ( barrier )  (Higham,  2004;  Wilmott,  2001). Pendekatan opsi barrier telah digunakan oleh Hwang & Shie (2015) untuk menentukan harga premi asuransi deposito. Berdasarkan sifat dan karakteristik opsi barrier , paper ini akan membahas penentuan premi asuransi pertanian dengan pendekatan nilai opsi cash-or-nothing up and in barrier, dimana risiko kerugian dilihat dari faktor curah hujan. Selain itu, metode pendekatan ini akan dibandingkan dengan metode pendekatan opsi Black-Scholes.

## 2.  Metodologi

## 2.1 Data
Data  curah  hujan  kumulatif  per  subround di Kabupaten Sleman  yang  diperoleh  dari BPS Sleman digunakan sebagai studi kasus pada penelitian ini. Data tersebut dimulai dari  tahun  2010  sampai  tahun  2019.  Data  yang  digunakan  adalah  data  subround pertama  karena  pada  bulan  Januari-April  sudah  memasuki  musim  penghujan, sehingga petani mulai menanam padi.
Tabel 1: Data curah hujan pada subround pertama di Kabupaten Sleman.
Tahun Curah hujan (mm) 2010 1377 2011 1667 2012 1619 2013 1221 2014 1170,6 2015 1404 2016 1614 2017 1693 2018 1595 2019 1767

## 2.2 Metode Penelitian
Pada penelitian ini akan dicari model penentuan premi asuransi dengan pendekatan opsi cash or nothing up and in barrier , kemudian membandingkannya dengan premi asuransi dengan pendekatan opsi Black Scholes. Opsi merupakan hak yang diberikan kepada  pemegang  opsi  untuk  membeli  atau  menjual  saham  pada  waktu  dan  pada harga tertentu. Model pergerakan harga saham dinyatakan sebagai
𝑑𝑆 𝑡 = 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡 dengan 𝑆 𝑡 adalah harga saham pada saat t dan 𝑊 𝑡 adalah proses Wiener sehingga didapatkan 𝑙𝑛 ( 𝑆 𝑡+∆𝑡 𝑆 𝑡 ) ~𝑁(𝜇∆𝑡, 𝜎 2 ∆𝑡) .
Opsi cash or nothing merupakan salah satu jenis opsi yang termasuk dalam binary options , yaitu opsi yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil. Pada opsi beli cash or nothing , fungsi keuntungannya ( payoff ) diberikan sebagai berikut :
𝐶 𝑐𝑎𝑠ℎ (𝑆 𝑡 , 𝑇) = { 𝑃,      𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑇 > 𝐾 0,      𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑇 < 𝐾 ,
sedangkan fungsi payoff opsi jual cash or nothing adalah
𝑃 𝑐𝑎𝑠ℎ (𝑆 𝑡 , 𝑇) = { 𝑃,      𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑇 < 𝐾 0,      𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑆 𝑇 > 𝐾 .
Pada  asuransi  berbasis  indeks, 𝑃 merupakan  besarnya  tunjangan  yang  akan diperoleh pemegang polis dan bernilai positif. Sedangkan 𝑆 𝑇 merujuk pada curah hujan
kumulatif pada periode tertentu. 𝑃 diberikan perusahaan asuransi kepada pemegang polis  jika  kumulatif  curah  hujan  kurang  dari  batas  klaim  yang  telah  ditentukan  oleh pihak  asuransi.  Dengan  demikian,  penentuan  premi  dengan  pendekatan  opsi  akan merujuk pada opsi jual, yaitu
𝑃 𝑐𝑎𝑠ℎ (𝑆 𝑡 , 𝑇) = 𝑒 −𝑟𝑇 𝐸[𝑚𝑎𝑥(𝑃, 0)] . (1)
Dengan  demikian,  besarnya  premi  asuransi  berbasis  indeks  curah  hujan  yang memiliki panjang periode asuransi, T, dan nilai K yang merujuk pada batas klaim yang pada kasus ini dinotasikan dengan 𝑅 𝑇 dengan pendekatan opsi black scholes dapat dihitung dengan persamaan
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝐵𝑆 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ 𝑃𝑓(𝑆 𝑡 ) 𝐾 −∞ 𝑑𝑆 𝑡 = 𝑃𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑 2 )
dengan 𝑑 2 = 𝑙𝑛( 𝑅0 𝑅𝑇 )+(𝑟− 1
2 𝜎 ̂ 2 )𝑇
𝜎 ̂√𝑇 .
Opsi barrier adalah suatu kontrak opsi, dimana kontrak tersebut dapat diaktifkan atau dinon-aktifkan jika harga saham di pasar menembus suatu level harga tertentu ( barrier ). Up and in barrier option adalah salah satu jenis opsi barrier yang hanya bisa dilaksanakan ketika harga saham di pasar menyentuh nilai barrier yang nilainya  lebih tinggi daripada harga saham di pasar pada saat t=0. Proses pergerakan harga saham pada  waktu  t  dan  mencapai  nilai barrier (B)  merupakan  sebuah mixed  distribution antara suatu densitas dan probabilitas pergerakan harga saham mencapai B sebelum waktu t. Oleh karena itu, fungsi kepadatan peluang 𝑙𝑛(𝑆 𝑡 ) menurut Björk (1998) dapat dituliskan sebagai berikut 𝑓(𝑙𝑛(𝑆 𝑡 )) = 𝜙(𝑙𝑛(𝑆 𝑡 );  𝜇𝑡 + 𝑙𝑛(𝑆 0 ), 𝜎 2 𝑡)
− 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝜇(𝑙𝑛(𝑆 0 ) − 𝑙𝑛(𝐵)) 𝜎 2 ) 𝜙(𝑙𝑛(𝑆 𝑡 );  𝜇𝑡 − 𝑙𝑛(𝑆 0 ) + 2𝑙𝑛(𝐵), 𝜎 2 𝑡) (2)
dimana 𝜙(𝑥;  𝛼, 𝛽) menyatakan fungsi kepadatan peluang distribusi normal dengan mean 𝛼 dan variansi 𝛽 .
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), besarnya premi asuransi dengan pendekatan opsi cash-or-nothing up and in put dapat dihitung dengan persamaan berikut:
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 = 𝑃𝑒 −𝑟𝑇 (𝑁(𝑑 1 ) − 𝑁(𝑑 2 ) + ( 𝑅 𝑏 𝑅 0 ) 2𝑟 𝜎 ̂ 2 −1 𝑁(𝑑 3 ))
dengan
 𝑑 1 = 𝑙𝑛( 𝑅0 𝑅𝑏 )+(𝑟− 1 2 𝜎 ̂ 2 )𝑇 𝜎 ̂√𝑇 ,  𝑑 2 = 𝑙𝑛( 𝑅0 𝑅𝑇 )+(𝑟− 1 2 𝜎 ̂ 2 )𝑇 𝜎 ̂√𝑇 ,  𝑑 3 = 𝑙𝑛( 𝑅0 𝑅𝑏 )−(𝑟− 1 2 𝜎 ̂ 2 )𝑇 𝜎 ̂√𝑇 ,
 𝜎̂ 2 : estimasi variansi lnrasio data historis curah hujan,
 𝑇 : panjang periode asuransi,
 𝑟 : tingkat suku bunga bebas risiko,
 𝑅 0 : banyaknya curah hujan pada saat t=0,
 𝑅 𝑏 : besarnya barrier ,
 𝑅 𝑇 : batas klaim.
Asumsi yang harus terpenuhi pada penentuan premi asuransi pertanian berbasis besarnya curah hujan dengan pendekatan opsi ini adalah
1.  lnrasio data historis curah hujan berdistribusi normal.
𝑙𝑛𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 = 𝑙𝑛 ( 𝑅 𝑡+1 𝑅 𝑡 )
dengan 𝑅 𝑡+1 adalah curah hujan kumulatif pada saat t+1dan 𝑅 𝑡 adalah curah hujan kumulatif pada saat t.
2.  Nilai batas klaim ditentukan dengan menggunakan indeks curah hujan.
3.  Pada pendekatan opsi cash-or-nothing up and in , nilai barrier merupakan curah hujan yang lebih tinggi daripada curah hujan pada saat t=0.

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Pada  penelitian  ini,  tunjangan  klaim  akan  diberikan  perusahaan  asuransi  kepada pemegang polis apabila terjadi gagal panen akibat curah hujan tinggi. Pada Gambar 1,  terlihat  bahwa  terdapat  korelasi  negatif  antara  curah  hujan  dengan  produktivitas padi  pada  subround  pertama  di  Kab.  Sleman.  Artinya  semakin  tinggi  curah  hujan, produktivitas padi akan menurun.
Gambar 1: Produktivitas padi subround pertama di Kab. Sleman tahun 2010-2019.
Pengecekan asumsi normalitas lnrasio data historis curah hujan dilakukan dengan uji  Kolmogorov  Smirnov  dimana  H 0 menyatakan  data  mengikuti  distribusi  normal. Diperoleh  nilai p_value 0,2.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  data  tersebut  berdistribusi normal pada tingkat signifikansi 5%.
30 40 50 60 70 80 Pr o d u kt iv itas p ad i ( kw /H a) Curah hujan (mm)
Penentuan batas klaim dilakukan dengan mencari persentil ke 10, 25, dan 50 dari data  curah  hujan  kumulatif  (Tabel  1).  Didapatkan  nilai  persentil  ke  10,  25,  dan  50 masing-masing adalah 1175,64 mm; 1338 mm; dan 1604,5 mm.  Kebutuhan air untuk setiap tanaman berbeda-beda. Kebutuhan air pada tanaman padi berkisar antara 350- 700  mm/musim  tanam  (Subagyono  et  al.,  2004).  Tanaman  padi  akan  mengalami pembusukan akar jika mendapatkan air berlebihan dari yang dibutuhkan, bahkan akan mengalami  kematian  apabila  penggenangan  air  terjadi  dalam  waktu  yang  lama. Akibatnya  petani  akan  mengalami  gagal  panen.  Oleh  karena  itu,  nilai barrier pada penelitian ini ditentukan sebesar 700 mm/musim tanam. Besarnya curah hujan pada subround  sebelumnya  digunakan  sebagai  nilai 𝑅 0 .  Besarnya  tunjangan  klaim disesuaikan dengan besarnya tunjangan klaim yang diberikan oleh PT. Jasindo, yaitu sebesar Rp. 6.000.000,-/Ha/masa tanam.
Pada  metode  pendekatan  Black  Scholes,  berapapun  besarnya  curah  hujan sepanjang  periode  kontrak  asuransi,  petani  pemegang  polis  akan  mendapatkan tunjangan  asuransi  selama  curah  hujan  pada  waktu  jatuh  tempo  kurang  dari  batas klaim. Namun, pendekatan Up and in barrier option pada penentuan premi asuransi pertanian  mengakibatkan  petani  pemegang  polis  akan  mendapatkan  tunjangan asuransi apabila selama periode kontrak, curah hujan pernah mencapai nilai barrier (yang  nilainya  lebih  tinggi  daripada  curah  hujan  pada  saat  kontrak  disepakati)  dan pada saat jatuh tempo, curah hujan tidak lebih dari nilai batas klaim.
Besarnya  premi  dengan  pendekatan  opsi cash-or-nothing  up  and  in  barrier dan besarnya premi yang dihitung dengan pendekatan opsi cash-or-nothing black scholes dapat dilihat pada Tabel 2. Dari Tabel 2 tersebut terlihat pula bahwa besarnya premi dengan  pendekatan  opsi cash-or-nothing  up  and  in  barrier lebih  rendah.  Hal  ini dikarenakan adanya penambahan nilai barrier membuat peluang terjadinya klaim lebih kecil sehingga premi yang dibayarkan lebih rendah.
Tabel 2: Nilai Premi. Asuransi 1 Asuransi 2 Asuransi 3 Batas Klaim 1.175,64 1.338 1.604,5 Nilai Barrier 700 700 700 Curah hujan pada t=0 554 554 554 Besarnya Klaim 6.000.000 6.000.000 6.000.000 Suku Bunga 0,065 0,065 0,065 Lama Asuransi 4 bulan 4 bulan 4 bulan Harga Premi (Rp.) Up and In Barrier 780.438,35 780.440,65 780.440,67 Black scholes 5.871.395,90 5.871.398,20 5.871.398,22
Perbandingan  performa  pendekatan  opsi cash-or-nothing  up  and  in  barrier dan pendekatan opsi Black-Scholes dilihat dari nilai barrier , batas klaim, dan 𝑅 0 masing- masing disajikan pada Gambar 2.
Gambar 2: Besarnya Premi untuk beberapa (a) nilai barrier, (b) batas klaim, dan (c) nilai 𝑅 0 .
0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 600 700 800 900 1000 N ilai Pr e m i Nilai Barrier (a) 0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 N ilai Pr e m i Batas Klaim (b) 0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 450 500 550 600 650 700 N ilai Pr e m i Nilai 𝑅 0
(c)
Berdasar Gambar 2, terlihat bahwa nilai barrier berpengaruh negatif terhadap nilai premi. Artinya, semakin tinggi nilai barrier, maka nilai premi semakin rendah. Hal ini dikarenakan tingginya nilai barrier membuat peluang terjadinya klaim semakin  kecil. Namun, tidak berlaku bagi pendekatan opsi Black Scholes karena pendekatan opsi ini tidak dipengaruhi oleh barrier . Sebaliknya, semakin naik nilai batas klaim dan nilai 𝑅 0 , nilai premi juga akan semakin naik.

## 4.  Kesimpulan
Model pendekatan cash or nothing up and in barrier option bisa menjadi alternatif yang menarik dalam penentuan harga premi asuransi berbasis pada curah hujan, dimana selama  ini  asuransi  pertanian  yang  dikelola  PT.  Jasindo  berbasis  pada  besarnya tingkat kerusakan yang menyebabkan gagal panen. Model pendekatan ini lebih masuk akal dan menarik  jika dibandingkan  dengan model pendekatan opsi Black-Scholes. Penambahan nilai barrier membuat tidak semua polis akan mendapatkan tunjangan klaim di akhir kontrak asuransi. Tunjangan klaim hanya akan diberikan ketika besarnya curah  hujan  lebih  dari  ambang  batas  kebutuhan  air  yang  diperlukan  tanaman  padi selama musim tanam ( barrier ) dan kurang dari curah hujan yang menjadi batas klaim yang dtentukan perusahaan asuransi. Adanya batasan ini membuat peluang terjadinya klaim  lebih  rendah  dan  harga  premi  menjadi  lebih  murah.  Besarnya barrier berpengaruh negatif terhadap premi. Namun, besarnya batas klaim dan curah hujan pada saat kontrak asuransi berkorelasi positif dengan harga premi.

## Daftar Pustaka
Björk, T. (1998). Arbitrage Theory in Continous Time . New York (US): Oxford University Press.
Black,  F.,  &  Scholes,  M.  (1973).  The  Pricing  of  Options  and  Corporate  Liabilities. Journal of Economic Theory , 10 : 239 –257.
Estiningtyas ,  W.  (2015).  Asuransi  Pertanian  Berbasis  Indeks  Iklim :  Opsi Pemberdayaan  dan  Perlindungan  Petani  Terhadap  Risiko  Iklim. Jurnal Sumberdaya Lahan , 9 (1): 51 –64.
Higham,  D.  J.  (2004). An  Introduction  to  Financial  Option  Valuation,  Mathematics, Stochastics, and Computation . Cambridge: Department of Mathematics University of Strathclyde.
Hwang,  D.  Y.,  &  Shie,  F.  S.  (2015).  The  Barrier  Option  in  Deposit  Insurance  with Bankruptcy Cost. Research Gate Publication .
Okine,  A.  N.  (2014). Pricing  of  Index  Insurance  Using Black- Scholes Framework : A Case Study of Ghana [Thesis] . Illinois (US): Illinois State University.
Putri,  I. A.  G. K.,  Dharmawan,  K.,  & Tastrawati,  N.  K. T.  (2017). Perhitungan  Harga Premi  Asuransi  Pertanian  yang  Berbasis  Indeks  Curah  Hujan  Menggunakan Metode Black Scholes. E-Jurnal Matematika , 6 (2): 161 –167.
Subagyono,  K.,  Dariah,  A.,  Surmaini,  E.,  &  Kurnia,  U.  (2004). Pengelolaan  Air pada Tanah Sawah (Tanah Sawah dan Teknologi Pengelolaannya Eds : Agus F) . Jakarta (ID):  Puslitbang  Tanah  dan  Agroklimat,  Puslitbang  Pertanian,  Departemen Pertanian Indonesia.
Wilmott, P. (2001). Paul Wilmott Introduces Quatitative Finance . Chichester (UK): John Willey and Sons Ltd.