## ANALISIS MEKANIKA LAGRANGE PADA BENDA TEGAR DENGAN PENDEKATAN DAN PENERAPANNYA PADA SISTEM FISIKA
1) Irna Marga Utama*, 1) Raden Roro Nimas Sekar Nafa Nathaniela, 1) Bayu Setiaji.
1) Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Email: irnamarga.2023@student.uny.ac.id

## Abstract
The Lagrange method is a method used to solve complex mechanical problems by utilizing kinetic and potential energy. This research examines the application of the Lagrange method to rigid body systems, where the position and orientation of the body are determined by general coordinates. This article uses a literature study approach from various relevant sources.  The research results show that  the  Lagrange  method  is  effective  in  solving mechanical  problems  in  rigid  body  systems  that cannot be solved using Newton's method.
Keywords : Lagrange method, Mechanics of rigid bodies, Generalized coordinates, Effectiveness of Lagrange method

## PENDAHULUAN
Dalam  kehidupan  sehari-hari,  banyak  kejadian  fisis  yang  memerlukan  analisis gerakan menggunakan metode yang lebih canggih daripada metode Newtonian. Salah satu metode tersebut adalah metode Lagrange, yang diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange pada  tahun  1788.  Metode  ini  memungkinkan  penyelesaian  masalah  mekanika  melalui pendekatan energi kinetik dan potensial, yang lebih efisien dalam sistem dengan banyak derajat kebebasan atau dalam sistem yang memiliki batasan yang rumit. Misalnya, dalam dinamika  benda  tegar,  metode  Lagrange  menawarkan  cara  yang  sistematis  untuk memperoleh  persamaan  gerak  tanpa  perlu  menganalisis  gaya  kontak  secara  langsung (Fowles, 2007; Goldstein et al., 2011; Symon, 2018; Taylor, 2020; Thornton & Marion, 2021; Bernstein et al., 2023)
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penerapan metode Lagrange pada sistem benda  tegar  dan  menilai  efektivitasnya  dalam  menyelesaikan  masalah  yang  kompleks. Melalui pendekatan energi, metode ini mampu mengatasi kesulitan yang sering dihadapi dalam pendekatan Newtonian, terutama ketika berhadapan dengan sistem dengan banyak variabel dan batasan. Studi ini diharapkan dapat memberikan kontribusi signifikan dalam pemahaman mekanika benda tegar dan aplikasi praktisnya dalam berbagai bidang teknik dan fisika (Morin, 2020; Arnold, 2014; Marion & Thorton, 2013)
Berbagai penelitian telah dilakukan untuk mengkaji mekanika Lagrange. Hanifah (2022)  dalam  studi  literaturnya  menjelaskan  bahwa  metode  Lagrange  efektif  dalam menyelesaikan masalah mekanika yang kompleks. Fowles (2007) dan Ndikilar (2019) juga menyatakan bahwa metode ini dapat diterapkan pada berbagai sistem mekanika [3][4].

## METODE
Penelitian  ini  menggunakan metode deskriptif  dengan pendekatan  studi  pustaka. Sumber-sumber yang digunakan berasal dari jurnal, buku, dan artikel ilmiah yang relevan dengan  topik  mekanika  Lagrange  dan  sistem  benda  tegar.  Analisis  dilakukan  dengan mengkaji konsep-konsep dasar serta aplikasi metode Lagrange pada sistem benda tegar.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Mekanika  Lagrange  merupakan  pendekatan  yang  sering  digunakan  untuk menyelesaikan  masalah  dalam  mekanika  yang  sulit  ditangani  menggunakan  metode Newton. Dalam mekanika Lagrange, posisi suatu partikel di ruang dapat ditentukan dengan menggunakan  tiga  jenis  koordinat:  kartesian,  bola,  atau  silinder.  Ketika  benda  bergerak dalam  bidang,  derajat  kebebasannya  adalah  2,  dan  dalam  ruang  tiga  dimensi,  derajat kebebasannya  adalah  3.  Untuk  N  partikel,  diperlukan  3N  koordinat  untuk  menentukan posisi semua partikel tersebut. Jika ada kendala dalam sistem, jumlah koordinatnya akan kurang  dari  3N.  Misalnya,  untuk  benda  tegar,  hanya  diperlukan  posisi  pusat  massa  dan orientasi benda, yaitu 6 koordinat.
Koordinat Umum
Misalkan koordinat umum diberi simbol q1, q2, ..., qn, yang bisa berupa jarak atau sudut.  Jika  koordinat  umum  dapat  bebas  menentukan  sistem,  maka  sistem  disebut holonomik;  jika  tidak,  disebut nonholonomik.  Koordinat kartesian  dalam  sistem  partikel bisa dinyatakan sebagai fungsi dari koordinat umum ini. Untuk satu derajat kebebasan, gerak dapat dinyatakan sebagai:
x = x ( q )                       (1)
Untuk dua derajat kebebasan:
x = x ( q 1, q 2)               (2)
𝑦 = 𝑦 ( 𝑞 1, 𝑞 2)              (3)
Dan untuk tiga derajat kebebasan:
x = x ( q 1, q 2, q 3)          (4)
𝑦 = 𝑦 ( 𝑞 1, 𝑞 2, 𝑞 3)              (5)
𝑧 = 𝑧 ( 𝑞 1, 𝑞 2, 𝑞 3)               (6)
Persamaan Lagrange
Untuk  mendapatkan  persamaan  diferensial  gerak,  kita  mulai  dengan  energi  kinetik  N partikel yang dinyatakan sebagai:
T = ∑ 1 2 m (𝑥 𝑖 ̇ +   𝑦 𝑖 +   𝑧 𝑖 )̇ ̇ 𝑁 𝑖
= ∑ 1 2 3𝑁 𝑖 𝑚 𝑥̇ 𝑖 (7)
Dimana xi adalah fungsi koordinat umum 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 ( 𝑞 1, 𝑞 2,…, 𝑞𝑛 , 𝑡 ) Dengan demikian, energi kinetik dapat ditulis sebagai:
𝑥̇ 𝑖 =   ∑ 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑞 𝑘 𝑞 𝑘 + 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑡 𝑘 (8)
Jika xi bukan fungsi dari waktu t, maka:
dtd (∂ q ˙ k ∂ T )−∂ qk ∂ T =0
Dengan  mengalikan  kedua  ruas  dengan x ˙ i dan  mengambil  turunan  terhadap  waktu, kita mendapatkan:
𝑑 𝑑𝑡 (𝑚 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑞 𝑘 ) −   𝑚 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑞 𝑘 = 0 (9)
Persamaan ini adalah persamaan Lagrange untuk sistem konservatif:
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇ 𝑘 ) − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑘 = 0 (10)
Dimana L adalah fungsi Lagrangian, L = T − V dan V adalah energi potensial (Ariyanti et al., 2022).

## Aplikasi pada Osilator Harmonik
Untuk sebuah osilator harmonik dengan gaya redaman yang sebanding dengan kecepatan, sistem  ini  adalah  nonkonservatif.  Jika x adalah  pergeseran,  fungsi  Lagrangian  yang digunakan adalah:
L = 1 2 𝑚 𝑥̇ 2 − 1 2 𝑘𝑥 2 (11)
Di mana: m adalah massa sistem x adalah kecepatan sistem k adalah konstanta pegas Sekarang, kita dapat menerapkan persamaan Euler-Lagrange:
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑥̇ ) − 𝜕𝐿 𝜕𝑥 = 0 (12)
Menghitung turunan parsial:
𝜕𝐿 𝜕𝑥̇ = 𝑚𝑥̇ (13)
𝜕𝐿 𝜕𝑥 =   −𝑘𝑥 (14)
Mensubstitusikan ini ke dalam persamaan Euler-Lagrange:
𝑑 𝑑𝑡 (𝑚𝑥̇) + 𝑘𝑥 = 0
Menyederhanakan:
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0 (15)
Ini  adalah  persamaan  gerak  untuk  osilator  harmonik  sederhana,  yang  menggambarkan gerakan  sistem  massa-pegas.  Solusi  dari  persamaan  ini  adalah  fungsi  sinusoidal,  yang mewakili gerakan osilasi sistem.
Dengan kehadiran gaya redaman cx ˙ , persamaan geraknya menjadi:
𝑑 𝑑𝑡 (𝑚𝑥̇) =   −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥̇ (16)
(S. Wahyuni et al., 2022; R. Aminullah, et al., 2023)
Aplikasi pada Partikel Tunggal di Medan Sentral
Untuk  partikel  yang  bergerak  dalam  bidang  di  bawah  pengaruh  medan  sentral,  kita menggunakan koordinat polar q 1= r dan 𝑞 2= 𝜃 q 2= θ :
𝑇 = 1 2 𝑚 (𝑟̇ 2 +   𝑟 2 𝜃 2 ̇ ) (17)
Energi potensial tergantung hanya pada r:
V = f ( r )                           (18)
Persamaan Lagrange untuk sistem konservatif adalah:
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑟̇ ) −   ( 𝜕𝐿 𝜕𝑟 ) = 0
Menghitung turunan, diperoleh persamaan gerak:
𝑚𝑟̈ − 𝑚𝑟𝜃̇ 2 + 𝜕𝑓 𝜕𝑟 = 0 (19)
𝑑 𝑑𝑡 (𝑚𝑟 2 𝜃̇) = 0 (20)
Dengan cara ini, kita bisa mendapatkan solusi gerak untuk partikel dalam medan sentral menggunakan pendekatan Lagrange (Syahrial et al., 2021).

## KESIMPULAN
Penelitian ini menunjukkan bahwa metode Lagrange efektif dalam menyelesaikan masalah mekanika pada sistem benda tegar. Metode ini memungkinkan analisis yang lebih efisien dibandingkan dengan metode Newtonian. Untuk penelitian selanjutnya, disarankan untuk  mengembangkan  aplikasi  metode  Lagrange  pada  sistem  mekanika  yang  lebih kompleks dan beragam.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Dengan  tulus  kami  sampaikan  rasa  terima  kasih  yang  mendalam  kepada  semua pihak  yang  telah  mendampingi  dan  memberikan  semangat  selama  proses  penyelesaian artikel  ini.  Terutama  kepada  rekan-rekan  seperjuangan  yang  tak  henti-hentinya memberikan  dukungan  moral,  ide,  dan  waktu  mereka.  Tanpa  kehadiran  dan  kontribusi kalian,  penyusunan  artikel  ini  tidak  akan  berjalan  lancar.  Semoga  kebersamaan  dan kolaborasi kita terus berkembang untuk pencapaian yang lebih gemilang di masa depan. Terima kasih atas segala bantuan dan inspirasi yang telah kalian berikan.

## DAFTAR PUSTAKA
Arnold, V. I. 2014. Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). Springer. Bernstein, D. S., Goel, A., & Kouba, O. 2023. Deriving Euler’s Equation for Rigid-Body Rotation  via  Lagrangian  Dynamics  with  Generalized  Coordinates. Mathematics, 11 (12), 2727. https://doi.org/10.3390/math11122727 Fowles,  G.  R.  2007. Analytical  Mechanics (7th  ed.).  United  States  of  America: Brooks/Cole.
Goldstein, H., Poole, C. P., & Safko, J. L. 2011. Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-
Wesley. Hanifah, S. 2022. Mekanika Lagrangian. Academia.edu . Retrieved from https://www.academia.edu/9877665/Mekanika_Lagrangian
Marion, J. B., & Thornton, S. T. 2013. Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.) . Brooks/Cole.
Morin,  D.  2020. Introduction  to  Classical  Mechanics:  With  Problems  and  Solutions . Cambridge University Press.
Ndikilar, C. E. 2019. Analytical Mechanics . Zaria, Nigeria: Ahmadu Bello University Press Limited.
Raniati,  Ariyanti,  Y.,  Subekti,  P.,  &  Syahropi,  H.  2022.  Studi  Literatur:  Mekanika Lagrange. Jurnal  APTEK:  Artikel  Ilmiah  Aplikasi  Teknologi,  15 (1),  55-58. Retrieved from http://journal.upp.ac.id/index.php/aptek
Symon, K. R. 2018. Mechanics . Addison-Wesley. Taylor, J. R. 2020. Classical Mechanics . University Science Books. Thornton, S. T., & Marion, J. B. 2021. Classical Dynamics of Particles and Systems (6th ed. ). Cengage Learning.
A.  H.  Syahrial,  W.  Deliana,  V.  D.    Cahyani,  A.  F.  Husaini.  2022.  Pembelajaran  Fisika Materi Mekanika Benda Tegar: Review Media, Model, dan Metode.
S.  Wahyuni,  E.  Irawati,  J.  Saefan.  2022.  Mekanika  Pegas-Pendulum  Tergandeng  dalam Tinjauan Lagrangian.
R.  Aminullah,  Mohammad,  A.  R.,  Dzulkiflih,  Muhimmarul, K. 2023.  Analisa Lagrange Pada Dinamika Stroller Non-Holonomic Berbasis Komputasi Fisika