eISSN 2722-9886   pISSN 1411-6669 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index
MIMS
Spektrum Laplace pada graf kincir angin berarah ( 𝑸 𝒌 𝟑 )
(The Laplacian spectrum of directed windmill graphs 𝑸 𝒌 𝟑 )
Melly Amaliyanah , Siti Rahmah Nurshiami *, Triyani
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman Jl. Dr. Soeparno 61 Karangwangkal Purwokerto Utara Banyumas 53123
*korespondensi: siti.nurshiami@unsoed.ac.id
Received: 10-05-2022, accepted: 19-09-2022

## Abstract
Suppose that 0 = µ 0 ≤ µ 1 ≤ ... ≤ µ n -1 are eigen values of a Laplacian matrix graph with n vertices and m (µ 0 ), m (µ 1 ), …, m (µ n -1 ) are the multiplicity of each µ, so the Laplacian spectrum of a graph can be expressed as a matrix 2 × n whose line elements are µ 0 , µ 1 , …, µ n -1 for the first row, and m (µ 0 ), m (µ 1 ), …, m (µ n -1 ) for the second row. In this paper, we will discuss Laplacian spectrum of the directed windmill graph ( 𝑄 𝑘 3 ) with k ≥ 1 . The determination of the Laplacian spectrum in this study  is  to  determine  the  characteristic  polynomial  of  the  Laplacian  matrix  from  the  directed windmill graph ( 𝑄 𝑘 3 ) with k ≥ 1 .
Keywords: Characteristic  polynomial,  directed  windmill  graph,  Laplacian  matrix, Laplacian spectrum
MSC2020: 05C50

## 1. Pendahuluan
Graf G didefinisikan  sebagai  pasangan  himpunan  yang  dinotasikan  dengan G = ( V ( G ), E ( G )), dengan V ( G ) adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul dan E ( G ) adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul. Biasanya sebuah graf digambarkan dengan kumpulan simpul-simpul yang dihubungkan oleh sisi berupa garis tak berarah atau garis berarah. Graf yang dihubungkan dengan garis tak berarah disebut graf tak berarah, sedangkan untuk graf yang dihubungkan dengan garis berarah disebut graf berarah.
Graf  dapat  direpresentasikan  ke  dalam  matriks,  diantaranya  matriks  ketetanggaan, matriks bersisian, dan matriks Laplace . Matriks Laplace dari graf G dengan n buah simpul atau L ( G ) adalah matriks berukuran n × n yang diperoleh dari L ( G ) = D ( G ) – A ( G ). Matriks D ( G )  adalah  matriks  diagonal  yang  elemen  diagonal  utamanya  merupakan derajat dari setiap simpul pada graf G, dan A ( G ) adalah matriks ketetanggaan dari graf G, dengan entri ɑ ij bernilai 1 jika simpul v i terhubung langsung dengan simpul v j , dan bernilai 0 jika simpul v i tidak terhubung langsung dengan simpul v j . Matriks Laplace dikenal juga
sebagai matriks Kirchhoff [ 1 ]. Namun, matriks Laplace pada graf berarah G dengan n simpul  dan m buah  sisi  dapat  diperoleh  dari  perkalian  matriks  bersisian N ( G )  dengan matriks N ( G ) T [ 2 ], [ 3 ]. Matriks N ( G ) merupakan matriks berukuran n × m dengan entri n ij bernilai 1 jika simpul i bersisian dan berorientasi arah menuju simpul j , bernilai −1 jika simpul i bersisian dan berorientasi arah meninggalkan simpul j , dan bernilai 0 jika simpul i tidak bersisian dengan simpul j .
Matriks Laplace L ( G )  memiliki  karakteristik,  diantaranya  adalah  matriks Laplace merupakan  matriks  singular,  simetri  dan  semidefinit  positif.  Selain  itu,  perubahan pelabelan sisi pada graf G tidak berpengaruh pada matriks Laplace . Jika µ 0 ≤ µ 1 ≤ ... ≤ µ n -1 merupakan nilai  eigen dari matriks Laplace L ( G ), maka  0 = 0, dengan vektor eigen [1,1, …,1]. Jika G graf terhubung, maka  1 > 0 [ 4 ]. Nilai eigen terkecil dari matriks Laplace selalu bernilai 0 dan nilai eigen terkecil kedua atau  1 dikenal sebagai algebraic connectivity dari graf [ 5 ]. Penelitian yang sudah dilakukan terkait dengan nilai eigen dari matriks Laplace mengkaji  beberapa  hal,  yaitu  batas  atas  dari  jumlah  nilai  eigen  dari matriks Laplace [ 6 ], energi dari matriks Laplace [ 7 ], [ 8 ], [ 9 ], dan batas atas nilai eigen terbesar matriks Laplace pada graf bipartite [ 10 ].
Spektrum  dari  graf G adalah  susunan  nilai  eigen  dari  matriks  ketetanggaan  dan multiplisitasnya, yang dinotasikan dengan Spec G . Spektrum graf dapat diperoleh dengan melakukan operasi  matriks, seperti menentukan determinan matriks hingga didapatkan polinomial  karakteristik  dan  nilai  eigen.  Analisis  spektrum  graf  memiliki  banyak kegunaan  di  berbagai  bidang  sains  dan  teknologi,  diantaranya  untuk  melihat  sifat geometris  dari  sebuah  jaringan,  yang  berkaitan  dengan  konstanta Cheeger ,  untuk mempelajari analisis sinyal pada graf, dan untuk mempelajari beberapa fitur dari random walk pada graf yang melalui matriks transisi stokastik [ 11 ]. Menurut Biggs [ 4 ], jika nilai eigen berbeda dari matriks ketetanggaan adalah λ 0 > λ 1 > ... > λ n -1 dan multiplisitasnya adalah m (λ 0 ), m (λ 1 ), ..., m (λ n -1 ), maka dapat dituliskan
Spec G = [ λ 0 λ 1 ⋯ λ 𝑛−1 𝑚(λ 0 ) 𝑚(λ 1 ) ⋯ 𝑚(λ 𝑛−1 ) ] .
Selain matriks ketetanggaan, ada matriks lain yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai spektrum suatu graf, yaitu matriks Laplace . Jika spektrum suatu graf diperoleh dari matriks Laplace ,  maka disebut  sebagai  spektrum Laplace ( Spec L G ).  Jika  nilai  eigen berbeda dari matriks Laplace adalah 0 = µ 0 ≤ µ 1 ≤ ... ≤ µ n -1 dan multiplisitasnya adalah m (µ 0 ), m (µ 1 ), ..., m (µ n -1 ), menurut Umam [ 12 ], spektrum Laplace dapat dituliskan
Spec L G = [ µ 0 µ 1 ⋯ µ 𝑛−1 𝑚(µ 0 ) 𝑚(µ 1 ) ⋯ 𝑚(µ 𝑛−1 ) ] .
Beberapa peneliti telah melakukan kajian tentang spektrum Laplace pada suatu graf, yaitu spektrum Laplace pada  graf  corona  dan  graf  corona  sisi  [ 13 ],  spektrum Laplace pada beberapa  variasi  graf  corona  [ 14 ],  estimasi  spektrum Laplace pada  graf  hasil  kali langsung dan hasil kali kuat dengan menggunakan pendekatan heuristic [ 15 ], spektrum adjacency dan Laplace pada graf mahkota ( 𝑆 𝑛 0 ) [12], spektrum adjacency pada graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 4 ) [ 16 ], spektrum Laplace graf konjugasi dari grup dihedral D 2 n untuk n ganjil, n ≥ 3 [ 17 ], dan spektrum adjacency dan Laplace pada graf bintang ( S n ) dan graf lengkap  ( K n )  [ 18 ].  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  spektrum Laplace graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 𝑛 ) dengan n = 3 dan k ≥ 1.

## 2. Metodologi
Metode penelitian yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Penelitian ini bertujuan  untuk  menguraikan  bentuk  umum  spektrum Laplace pada  graf  kincir  angin berarah  ( 𝑄 𝑘 𝑛 )  dengan n =  3  dan k ≥ 1. Adapun tahapan-tahapan  yang dilakukan dalam menentukan spektrum Laplace sebagai berikut:
1. Menentukan matriks Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 yang diperoleh dari perkalian matriks bersisian dengan matriks transpose -nya.
2. Menentukan  polinomial  karakteristik  dan  nilai  eigen  matriks Laplace dari  graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1
3. Merumuskan  bentuk  umum  polinomial  karakteristik  matriks Laplace dari  graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1.
4. Merumuskan bentuk umum spektrum Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Graf Dutch windmill adalah graf yang diperoleh dari graf sikel C n dengan sebuah simpul yang  berimpitan.  Graf Dutch  windmill dinotasikan  dengan 𝐷 𝑛 𝑚 ,  dengan m menyatakan banyaknya graf sikel C n yang berhimpit dan n menyatakan banyaknya simpul dari graf sikel C n .  Graf Dutch  windmill ( 𝐷 𝑛 𝑚 )  memiliki  simpul  sebanyak (𝑛 – 1)𝑚 + 1 dan  sisi sebanyak mn [ 19 ].
𝐷 3 2
𝐷 4 2
𝐷 5 2
Gambar 1. Graf Dutch windmill ( 𝐷 𝑛 𝑚 )
Graf  kincir  angin  berarah merupakan  graf  berarah  hasil  modifikasi  dari  graf Dutch Windmill ( 𝐷 𝑛 𝑚 ) yang ditambahkan satu buah simpul dan sisi yang bertetangga dengan titik pusat  kincir  angin.  Semua  sisinya  memiliki  orientasi  arah  menuju  ke  titik  pusat  kincir angin. Graf kincir angin berarah dinotasikan dengan 𝑄 𝑘 𝑚 , untuk m ≥ 3 dan k ≥ 1. Graf kincir  angin  berarah  ( 𝑄 𝑘 𝑚 )  memiliki  simpul  sebanyak (𝑚 – 1)𝑘 + 2 dan  sisi  sebanyak 𝑚𝑘 + 1 [ 16 ].
𝑄 2 3 𝑄 2 4 𝑄 2 5
Gambar 2. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 𝑚 )
Pembahasan bentuk umum spektrum Laplace pada graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 𝑛 ) dengan n = 3 dan k ≥ 1 yaitu 𝑄 𝑘 3 akan dilihat terlebih dahulu pola dari polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah 𝑄 1 3 , 𝑄 2 3 , 𝑄 3 3 , dan 𝑄 4 3 .
3.1 Menemukan Pola Polinomial Karakteristik Matriks Laplace pada Graf Kincir
Angin Berarah ( 𝑸 𝒌 𝟑 )
A. Graf Kincir Angin Berarah 𝑸 𝟏
𝟑
Graf kincir angin berarah 𝑄 1 3 dapat dilihat pada Gambar 3.

## Gambar 3. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 1 3 )
Berdasarkan  Gambar  3,  matriks  bersisian  dari  graf  kincir  angin  berarah 𝑄 1 3 sebagai berikut
N ( 𝑄 1 3 ) = = [ −1 −1 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 1 1 ]
sehingga diperoleh matriks Laplace -nya adalah
L ( 𝑄 1 3 ) = N ( 𝑄 1 3 ) × N ( 𝑄 1 3 ) T =
[
3 −1 −1 −1 −1 1 0 0 −1 0 2 −1 −1 0 −1 2 ] .
Polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah 𝑄 1 3 adalah
p ( 𝑄 1 3 , µ) = µ (µ – 1) (µ – 3) (µ – 4) = 0. (1)

## B. Graf Kincir Angin Berarah 𝑸 𝟐 𝟑
Graf kincir angin berarah 𝑄 2 3 dapat dilihat pada Gambar 4.

## Gambar 4. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 2 3 )
Berdasarkan  Gambar  4,  matriks  bersisian  dari  graf  kincir  angin  berarah 𝑄 2 3
sebagai berikut
N ( 𝑄 2 3 ) = [ −1 −1 −1 0 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 1 1 ] ,
sehingga diperoleh matriks Laplace -nya adalah
L ( 𝑄 2 3 ) = N ( 𝑄 2 3 ) × N ( 𝑄 2 3 ) T = [ 5 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 0 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 −1 0 −1 2 0 0 −1 0 0 0 2 −1 −1 0 0 0 −1 2 ] .
Polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah 𝑄 2 3 adalah
p ( 𝑄 2 3 , µ) = µ (µ – 1) 2 (µ – 3) 2 (µ – 6) = 0. (2)

## C. Graf Kincir Angin Berarah 𝑸 𝟑 𝟑
Graf kincir angin berarah 𝑄 3 3 dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 3 3 )
Berdasarkan  Gambar  5,  matriks  bersisian  dari  graf  kincir  angin  berarah 𝑄 3 3 sebagai berikut
N ( 𝑄 3 3 ) =
[ −1 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ] ,
sehingga diperoleh matriks Laplace -nya adalah
L ( 𝑄 3 3 ) = N ( 𝑄 3 3 ) × N ( 𝑄 3 3 ) T = [
7 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 0 −1 0 −1 2 0 0 0 0 −1 0 0 0 2 −1 0 0 −1 0 0 0 −1 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 2 −1 −1 0 0 0 0 0 −1 2 ]
.
Polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah 𝑄 3 3 adalah
p ( 𝑄 3 3 , µ) = µ (µ – 1) 3 (µ – 3) 3 (µ – 8) = 0. (3)

## D. Graf Kincir Angin Berarah 𝑸 𝟒 𝟑
Graf kincir angin berarah 𝑄 4 3 dapat dilihat pada Gambar 6.

## Gambar 6. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 4 3 )
Berdasarkan  Gambar  6,  matriks  bersisian  dari  graf  kincir  angin  berarah 𝑄 4 3 sebagai berikut
N ( 𝑄 4 3 ) = [ −1 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ] ,
sehingga diperoleh matriks Laplace -nya adalah
L ( 𝑄 4 3 ) = N ( 𝑄 4 3 ) × N ( 𝑄 4 3 ) T =
[ 9 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 ] .
Polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah 𝑄 4 3 adalah
p ( 𝑄 4 3 , µ) = µ (µ – 1) 4 (µ – 3) 4 (µ – 10) = 0. (4)
Berdasarkan  persamaan  (1),  (2),  (3),  dan  (4),  polinomial  karakteristik  matriks
Laplace dari graf kincir angin berarah 𝑄 𝑘 3 terlihat pola seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Polinomial karakteristik matriks Laplace graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 )
Graf Kincir Angin Berarah ( 𝑸 𝒌 𝟑 ) Polinomial Karakteristik Matriks Laplace 𝑄 1 3
µ (µ – 1) (µ – 3) (µ – 4) 𝑄 2 3
µ (µ – 1) 2 (µ – 3) 2 (µ – 6)
𝑄 3 3 µ (µ – 1) 3 (µ – 3) 3 (µ – 8)
𝑄 4 3 µ (µ – 1) 4 (µ – 3) 4 (µ – 10) ⁞ ⁞ 𝑄 𝑘 3
µ (µ – 1) k (µ – 3) k (µ – (2 k + 2))
3.2 Bentuk  Umum  Polinomial  Karakteristik  Matriks Laplace pada  Graf  Kincir
Angin Berarah ( 𝑸 𝒌 𝟑 )
Lema 3.1 Polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah
p ( 𝑄 𝑘 3 , µ) = µ (µ – 1) k (µ – 3) k (µ – (2 k + 2)).
Bukti. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah graf berarah hasil modifikasi dari graf Dutch Windmill , untuk n = 3 menyatakan banyaknya simpul dari graf sikel C 3
dan k menyatakan banyaknya graf sikel C 3 yang berimpit pada titik pusat kincir angin.
Graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 dapat dilihat pada Gambar 7.
Gambar 7. Graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 )
Berdasarkan pada Gambar 7, diperoleh matriks bersisian dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 berukuran (2 k + 2) × (3 k + 1), dengan 2 k + 2 menyatakan banyaknya simpul dan 3 k + 1 menyatakan banyaknya sisi pada graf. Matriks bersisiannya dimisalkan N ( 𝑄 𝑘 3 ) = [𝑛 𝑖𝑗 ] , didefinisikan sebagai berikut:
𝑛 𝑖𝑗 = { 1, 𝑖 = 2; 𝑗 = 1,
1, 𝑖 = 2𝑡 + 1;  𝑗 = 3𝑡 − 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘, 1, 𝑖 = 2𝑡 + 2;  𝑗 = 3𝑡;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘, 1, 𝑖 = 2𝑡 + 2;  𝑗 = 3𝑡 + 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
−1, 𝑖 = 𝑗 = 1,
−1, 𝑖 = 1;  𝑗 = 3𝑡 − 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘, −1, 𝑖 = 1;  𝑗 = 3𝑡;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
−1, 𝑖 = 2𝑡 + 1;  𝑗 = 3𝑡 + 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘, 0, lainnya,
N ( 𝑄 𝑘 3 ) =
[ −1 −1 −1 0 −1 −1 0 −1 −1 0 … −1 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 … 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 … 0 0 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋱ 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 1 1 ]
.
Matriks tranpose dari N ( 𝑄 𝑘 3 ) dimisalkan N ( 𝑄 𝑘 3 ) T = [𝑚 𝑖𝑗 ] ,  didefinisikan sebagai berikut:
𝑚 𝑖𝑗 = { 1,
𝑖 = 1; 𝑗 = 2,
1, 𝑖 = 3𝑡 − 1;  𝑗 = 2𝑡 + 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘, 1, 𝑖 = 3𝑡;  𝑗 = 2𝑡 + 2;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘, 1, 𝑖 = 3𝑡 + 1;  𝑗 = 2𝑡 + 2;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
−1, 𝑖 = 𝑗 = 1,
𝑖 = 3𝑡 − 1;  𝑗 = 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
𝑖 = 3𝑡;  𝑗 = 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
−1, 𝑖 = 3𝑡 + 1;  𝑗 = 2𝑡 + 1;  𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
0, yang lainnya,
N ( 𝑄 𝑘 3 ) T = [ −1 1 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0
0 0 0 0 0 0 −1 1 ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ −1 0 0 0 0 0 0 0 ⋱ 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ −1 1]
sehingga  diperoleh  matriks Laplace yang  berukuran  (2 k +2)  ×  (2 k +  2)  dari  perkalian N ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan N ( 𝑄 𝑘 3 ) T yang dimisalkan L ( 𝑄 𝑘 3 ) = [𝑙 𝑖𝑗 ] , didefinisikan sebagai berikut:
𝑙 𝑖𝑗 = { 2𝑘 + 1, 𝑖 = 𝑗 = 1, 1, 𝑖 = 𝑗 = 2,
2, 𝑖 = 𝑗; 𝑖 ≥ 3, −1, 𝑖 = 1; 2 ≤ 𝑗 ≤ 2𝑘 + 2,
−1, 2 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 + 2; 𝑗 = 1,
−1, 𝑖 = 2𝑡 + 1; 𝑗 = 2𝑡 + 2; 𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
−1, 𝑖 = 2𝑡 + 2; 𝑗 = 2𝑡 + 1; 𝑡 = 1,2, … , 𝑘,
0,
yang lainnya,
L ( 𝑄 𝑘 3 ) = [ 2𝑘 + 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 ⋯ −1 −1 −1 1 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 −1 2 0 0 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 2 −1 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 −1 2 0 0 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 0 0 2 −1 ⋯ 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 2 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ −1 0 0 0 0 0 0 0 ⋱ 2 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ −1 2 ]
.
Selanjutnya,  dicari  polinomial  karakteristik  menggunakan  eliminasi  Gaussian  untuk mereduksi matriks µ I n – L ( 𝑄 𝑘 3 ) menjadi matriks segitiga atas.
µ𝐼𝑛 –  𝐿 (𝑄 𝑘 3 ) = [ µ − (2𝑘 + 1) 1 1 1
1 1 1 1 ⋯ 1 1 1 µ − 1 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 µ − 2 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 1 µ − 2 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 0 µ − 2 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 0 1 µ − 2 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 0 0 0 µ − 2 1 ⋯ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 µ − 2 ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⋱ µ − 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 µ − 2] .
Operasi  baris  elementer  dilakukan  untuk  mereduksi  matriks  µ I n – L ( 𝑄 𝑘 3 )  sehingga diperoleh matriks segitiga atas sebagai berikut:
µ𝐼𝑛 –  𝐿 (𝑄 𝑘 3 ) = [ 1 µ − 1 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 1 − µ µ − 2 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 3 − µ µ − 3 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 − µ µ − 2 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 3 − µ µ − 3 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 1 − µ µ − 2 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 3 − µ µ − 3 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − µ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋱ 3 − µ µ − 3 0 0 0 0 0 0
0 0 ⋯ 0 −(µ − (2𝑘 + 2))µ] .
Setelah matriks  segitiga  atas diperoleh, polinomial  karakteristik  matriks Laplace dapat ditentukan sebagai berikut:
⇔ det (µ I n – L ( 𝑄 𝑘 3 )) = 0 ⇔ (1) (1 – µ) k (3 – µ) k (– (µ – (2 k + 2)) µ) = 0 ⇔ µ (µ – 1) k (µ – 3) k (µ – (2 k + 2)) = 0.
Jadi,  terbukti  bahwa  polinomial  karakteristik  matriks Laplace dari  graf  kincir  angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah
p ( 𝑄 𝑘 3 , µ) = µ (µ – 1) k (µ – 3) k (µ – (2 k + 2)). □
Akibat 3.2 Spektrum Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah
Spec L 𝑄 𝑘 3 = [ 0 1 3 2𝑘 + 2 1 𝑘 𝑘 1 ] .
Bukti. Berdasarkan  pada  Lema  3.1,  telah  diketahui  bentuk  umum  polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 yaitu
p ( 𝑄 𝑘 3 , µ) = µ (µ – 1) k (µ – 3) k (µ – (2 k + 2))
yang dihasilkan dari det (µ I n – L ( 𝑄 𝑘 3 )) = 0, maka diperoleh nilai eigennya µ 0 = 0,  µ 1 = 1, µ 2 = 3, dan µ 3 = 2 k + 2 dengan multiplisitasnya m (µ 0 ) = 1, m (µ 1 ) = k , m (µ 2 ) = k , dan m (µ 3 ) = 1. Jadi, terbukti bahwa nilai spektrum Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah
Spec L 𝑄 𝑘 3 = [ 0 1 3 2𝑘 + 2 1 𝑘 𝑘 1 ] . □

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  telah  diuraikan  pada  bagian  sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa bentuk umum polinomial karakteristik matriks Laplace dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah
p ( 𝑄 𝑘 3 , µ) = µ (µ – 1) k (µ – 3) k (µ – (2 k + 2)).
Nilai eigen dari graf kincir angin berarah ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah µ 0 = 0, µ 1 = 1, µ 2 = 3, dan µ 3 = 2 k + 2 dengan multiplisitasnya m (µ 0 ) = 1, m (µ 1 ) = k , m (µ 2 ) = k , dan m (µ 3 ) = 1.
Jadi,  diperoleh  bentuk  umum  spektrum Laplace dari  graf  kincir  angin  berarah  ( 𝑄 𝑘 3 ) dengan k ≥ 1 adalah
Spec L 𝑄 𝑘 3 = [ 0 1 3 2𝑘 + 2 1 𝑘 𝑘 1 ] .

## Daftar Pustaka
[1] S.  Arumugam,  A.  Brandstädt,  and  T.  Nishizeki, Handbook  of Graph Theory, Combinatorial Optimization,  and Algorithms .  New  York:  CRC  Press, 2016.
[2] O.R.  Oellermann,  A.J.  Schwenk,  and  B.  Mohar,  “The  Laplacian  spectrum  of graphs,” Wiley, 1991. [Online]. Available: https://www.researchgate.net/publication/233407318
[3] F.R.K. Chung and F.C. Graham, Spectral Graph Theory . American Mathematical Soc., 1997.
[4] N.  Biggs, Algebraic  Graph  Theory ,  Second.  New  York:  Cambridge  University Press, 1993.
[5] M.  Fiedler,  “Algebraic  connectivity  of  graphs,”  1973.  Accessed:  May  24,  2022. [Online]. Available: http://dml.cz/dmlcz/101168
[6] Z. Du and B. Zhou, “Upper bounds for the sum of Laplacian eigenvalues of graphs,” Linear  Algebra  Appl ,  vol.  436,  no.  9,  pp.  3672–3683,  May  2012,  doi: https://doi.org/10.1016/j.laa.2012.01.007
[7] S. Pirzada and H.A. Ganie, “On the Laplacian eigenvalues of a graph and Laplacian energy,” Linear  Algebra  Appl ,  vol.  486,  pp.  454–468,  2015,  doi: https://doi.org/10.1016/j.laa.2015.08.032
[8] H.A. Ganie, S. Pirzada, and E.T. Baskoro, “On energy, Laplacian energy and p-fold graphs,” Electronic Journal of Graph Theory and Applications , vol. 3, no. 1, pp. 94–107, Apr. 2015, doi: https://doi.org/10.5614/ejgta.2015.3.1.10
[9] K.C. Das and S.A. Mojallal, “On Laplacian energy of graphs,” Discrete Math , vol. 325, no. 1, pp. 52–64, Jun. 2014, doi: https://doi.org/10.1016/j.disc.2014.02.017
[10]  Y.-L. Pan, “Sharp upper bounds for the Laplacian graph eigenvalues,” 2002. doi: https://doi.org/10.1016/S0024-3795(02)00353-1
[11]  A. Yahya and Y. Soeharyadi, “Spektrum operator Laplace diskret pada graf torus,” Jurnal Riset dan Aplikasi  Matematika , vol.  4, no. 1, pp. 35–49, 2020, Accessed: May 21, 2022. [Online]. Available: https://journal.unesa.ac.id/index.php/jram
[12]  K.  Umam,  “Spectrum  dan  spectrum  Laplacian  pada  graf  mahkota,” KALBISCIENTIA  Jurnal  Sains  dan  Teknologi ,  vol.  6,  no.  2,  p.  161,  2020,  doi: 10.53008/kalbiscientia.v6i2.50.
[13]  S.Y.  Cui  and  G.X.  Tian,  “The  spectrum  and  the  signless  Laplacian  spectrum  of coronae,” Linear  Algebra  Appl ,  vol.  437,  no.  7,  pp.  1692–1703,  Oct.  2012,  doi: https://doi.org/10.1016/j.laa.2012.05.019
[14]  S.  Barik  and  G.  Sahoo,  “On  the  Laplacian  spectra  of  some  variants  of  corona,” Linear Algebra Appl , vol. 512, pp. 32–47, Jan. 2017, doi:
https://doi.org/10.1016/j.laa.2016.09.030
[15]  H. Sayama, “Estimation of Laplacian spectra of direct and strong product graphs,”
Discrete Appl Math (1979) , vol. 205, pp. 160–170, 2016, doi: https://doi.org/10.1016/j.dam.2015.12.006
[16]  F.R. Andrari, “Polinomial karakteristik pada graf kincir angin berarah,” vol. 10, no. 2, pp. 111–117, 2017, doi: http://dx.doi.org/10.30998/faktorexacta.v10i2.1306
[17]  Abdussakir, D.A. Akhadiyah, A. Layali, and A.T. Putra, “Spektrum graf subgrup dan komplemen graf subgrup dari grup dihedral,” Laporan Penelitian , pp. 18–19, 2017, [Online]. Available: http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/06410121- aarifatunnisaa.ps
[18]  S.M.  Selvia,  N.  Narwen,  and  Z.  Zulakmal,  “Spektrum  graf  bintang 𝑆 𝑛 dan  graf lengkap 𝐾 𝑛 untuk n ≥ 2,” Jurnal Matematika UNAND , vol. 4, no. 4, p. 129, 2019, doi: https://doi.org/10.25077/jmu.4.4.129-136.2015
[19]  M.R.R. Kanna, R.P. Kumar, and R. Jagadeesh, “Computation of topological indices of Dutch windmill graph,” Open Journal of Discrete Mathematics , vol. 06, no. 02, pp. 74–81, 2016, doi: https://doi.org/10.4236/ojdm.2016.62007