## Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Ular Jaring Berlipat
Fery Firmansah e-mail: feryfirmansah@unwidha.ac.id
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Widya Dharma Klaten

## ABSTRACT
Graphs that have odd harmonious labeling properties are called odd harmonious graphs. The purpose of this study to obtain a new graph class construction with its properties, but also to prove that the new graph class has odd harmonious labeling properties. The research  method  used  consisted  of  several  steps  namely  data  research  preparations, research  investigations  and  verification  of  results.  The  results  of  this  study,  we  will provide a construction of a new graph class, that is, the pleated  net snake graph and its properties.  Furthermore,  it  will  be  proven  that  the  pleated  net  snake  graph  has  odd harmonious labeling properties, so that the pleated net snake graph is an odd harmonious graph.
Keywords : net graph, odd harmonious graph, odd harmonious labeling, pleated graph, snake graph.

## ABSTRAK
Graf  yang  mempunyai  sifat  pelabelan  harmonis  ganjil  disebut  sebagai  graf  harmonis ganjil. Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan konstruksi kelas graf baru beserta sifat-sifatnya,  selain  itu    juga  untuk  membuktikan  bahwa  kelas  graf  baru  tersebut mempunyai sifat pelabelan harmonis ganjil. Metode penelitian yang digunakan terdiri dari beberapa tahapan yaitu persiapan penelitian, investigasi penelitian dan verifikasi hasil. Hasil dari penelitian ini berupa konstruksi definisi kelas graf baru yaitu graf ular jaring  berlipat  beserta  sifat-sifatnya.  Lebih  lanjut  dibuktikan  bahwa  graf  ular  jaring berlipat  mempunyai  sifat  pelabelan  harmonis  ganjil  sedemikian  sehingga  graf  ular jaring berlipat adalah graf harmonis ganjil.
Kata  Kunci: graf  harmonis  ganjil,  graf  berlipat,  graf  jaring,  graf  ular,  pelabelan harmonis ganjil

## PENDAHULUAN
Pelabelan  graf  diperkenalkan  oleh Sedlacek  tahun  1963,  dilanjutkan  oleh Rosa tahun 1970. Hasil penelitian tentang teori  pelabelan  graf, jenis-jenis  pelabelan graf,  sifat-sifat  pelabelan  graf,  kelas  graf yang sudah ditemukan sifat pelabelannya serta  aplikasi  pelabelan  graf  dalam berbagai  disiplin  ilmu  baik  matematika maupun  komputer  dikumpulkan  secara teratur  oleh  Gallian  (2019).  Didalam
Gallian  terdapat  jenis  pelabelan  graf berupa pelabelan harmonis dan pelabelan harmonis ganjil. Graham dan Sloane tahun 1980 memperkenalkan pelabelan harmonis dan dilanjutkan tahun 2009 oleh Liang dan Bai tentang pelabelan harmonis ganjil. (Gallian, 2019).
Graf yang memenuhi sifat pelabelan harmonis  ganjil  yaitu  fungsi  pelabelan titik bersifat injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) →
{0,1,2,3, … ,2𝑞 − 1} yang  menginduksi fungsi  pelabelan  garis  yang  bersifat bijektif 𝑓 ∗ : 𝐸(𝐺) → {1,3,5,7, … ,2𝑞 − 1} dengan 𝑓 ∗ (𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) disebut sebagai  graf  harmonis  ganjil  (Liang  & Bai, 2009).
Hasil penelitian yang relevan berupa kelas  graf  baru  yang  merupakan  graf harmonis  ganjil  antara  lain,  Graf  dumbel dan  graf  prisma  yang  diperumum  adalah graf harmonis  ganjil  (Saputri,  Sugeng,  & Froncek, 2013), graf shadow dan graf split adalah  graf  harmonis  ganjil  (Jeyanthi, Philo, & Sugeng, 2015), graf variasi kincir angin  double  quadrilateral  adalah  graf harmonis  ganjil  (Firmansah,  2017),  graf kincir  angin  belanda  berlipat  adalah  graf harmonis  ganjil  (Firmansah  &  Yuwono, 2017a), amalgamasi  kincir angin  belanda adalah graf harmonis ganjil (Firmansah & Syaifuddin,  2018a),  amalgamasi  graf kincir  angin  double  quadrilateral  adalah graf  harmonis  ganjil  (Firmansah  & Syaifuddin,  2018b),  kelas  graf  lingkaran terhubung  adalah  graf  harmonis  ganjil (Renuka & Balaganesan, 2018), graf grid adalah  graf  harmonis  ganjil  (Jeyanthi, Philo,  &  Youssef,  2019),  graf  super subdevisi  adalah  graf  harmonis  ganjil (Jeyanthi,  Philo,  &  Siddiqui,  2019), amalgamasi  garis  dari  graf  double quadrilateral  adalah  graf  harmonis  ganjil (Firmansah & Tasari, 2020)
Graf  ular  berlipat 𝑘𝐶 4 (𝑟) dibentuk dari  graf  ular  dengan  mengganti  graf lingkaran 𝐶 4 dengan  graf  lingkaran berlipat 𝐶 4 (𝑟) ,  lebih  lanjut  graf 𝑘𝐶 4 (𝑟) adalah  graf  harmonis  ganjil  (Firmansah, 2016). Graf ular jaring 𝑘𝐿 3,3 dibentuk dari graf  jaring 𝐿 3,3 = 𝑃 3 × 𝑃 3 ,  lebih  lanjut graf  ular  jaring  adalah  graf  harmonis ganjil  (Firmansah  &  Yuwono,  2017b). Berdasarkan dua penelitian tersebut, pada makalah  ini  peneliti  tertarik  untuk mengkonstruksi  graf  ular  jaring  berlipat 𝑘𝐿 3,3 (𝑟) dan  menunjukkan  bahwa  graf ular  jaring  berlipat 𝑘𝐿 3,3 (𝑟) adalah  graf harmonis ganjil.

## BAHAN DAN METODE
Metode penelitian yang digunakan terdiri dari beberapa tahapan.
Mulai Persiapan Penelitian (Studi Pustaka) Investigasi Penelitian · Konstruksi definisi graf · Konstruksi pelabelan titik · Kontruksi pelabelan garis
Verifikasi Hasil Penelitian
· Konstruksi Teorema · Pembuktian Teorema
Selesai Gambar 1. Diagram alir metode penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut  diberikan  definisi  graf jaring berlipat dan graf ular jaring berlipat beserta  notasi  titik,  notasi  garis  dan konstruksi gambar.
Definisi  1 Graf  jaring  berlipat 𝐿 3,3 (𝑟) dengan 𝑟 ≥ 1 adalah  graf yang dibentuk dari graf jaring 𝐿 3,3 , 𝑉(𝐿 3,3 ) = {𝑢 0 , 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑣 1 1 , 𝑣 2 1 , 𝑤 1 1 , 𝑣 1 2 , 𝑣 2 2 , 𝑤 1 2 } dengan menambahkan  titik  baru 𝑤 2 1 , 𝑤 3 1 , … , 𝑤 𝑟 1 yang  terhubung  dengan  titik 𝑣 1 1 dan 𝑣 2 1 dan  titik  baru 𝑤 2 2 , 𝑤 3 2 , … , 𝑤 𝑟 2 yang terhubung dengan titik 𝑣 1 2 dan 𝑣 2 2
Definisi  2 Graf  ular  jaring  berlipat 𝑘𝐿 3,3 (𝑟) dengan 𝑘 ≥ 1 dan 𝑟 ≥ 1 adalah graf  terhubung  dengan 𝑘 blok    yang memiliki titik potong blok berupa lintasan dan  setiap 𝑘 blok  isomorfik  dengan  graf jaring berlipat 𝐿 3,3 (𝑟) dengan 𝑟 ≥ 1 .
Konstruksi  dari  graf  jaring 𝐿 3,3 , graf  jaring  berlipat 𝐿 3,3 (𝑟) dan  graf  ular jaring  berlipat 𝑘𝐿 3,3 (𝑟) t erlihat  pada Gambar 2.
0 u 1 u 2 u 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 2 1 w 1 1 w 2 2 w 2 r w 1 2 w 1 r w 0 u 1 u 2 u 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 2 1 w 1 1 w 3 , 3 L   r L 3 , 3 0 u 1 u 2 u k u 2 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 1 2 k v 2 2 k v 1 , 1 1 w 1 2  k u 1 1 2  k v 2 1 2  k v 2 2  k u 1 , 1 2 w 1 , 1 r w 2 , 1 1 w 2 , 1 2 w 2 , 1 r w 1 , 1 k w 1 , 2 k w 1 , k r w 2 , 1 k w 2 , 2 k w 2 , k r w   r kL 3 , 3
Gambar 2. Konstruksi dari graf 𝐿 3,3 , 𝐿 3,3 (𝑟) dan 𝑘 𝐿 3,3 ( 𝑟 )
Didapatkan himpunan titik dan garis
𝑉 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟)) = {𝑢 𝑖 |0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘}
∪ {𝑣 𝑖 𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2}
∪ {𝑤 𝑚 𝑖,𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑟, 𝑗 = 1,2}
dan
𝐸 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟)) = {𝑢 𝑖 𝑣 (𝑖+1) 𝑗 |0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1, 𝑗 = 1,2}
∪ {𝑣 𝑖 𝑗 𝑢 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2}
∪ {𝑣 (2𝑖−1) 𝑗 𝑤 𝑚 𝑖,𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑟, 𝑗 = 1,2}
∪ {𝑤 𝑚 𝑖,𝑗 𝑣 (2𝑖) 𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑟, 𝑗 = 1,2}
Berikut diberikan sifat yang menyatakan bahwa graf ular jaring berlipat adalah graf harmonis ganjil.
Teorema  3 Graf  ular  jaring  berlipat 𝑘𝐿 3,3 (𝑟) dengan 𝑘 ≥ 1 dan 𝑟 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil.
B UKTI . Berdasarkan  definisi  graf  ular jaring berlipat 𝑘𝐿 3,3 (𝑟) diperoleh order 𝑝 = |𝑉 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟))| = 2𝑟𝑘 + 9𝑘 − 1 dan  size
𝑞 = |𝐸 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟))| = 4𝑟𝑘 + 8𝑘 .
Definisikan  fungsi  pelabelan  titik
𝑓: 𝑉 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟)) → {0,1,2,3 … ,8𝑟𝑘 +
16𝑘 − 1} 𝑓(𝑢 𝑖 ) = 4𝑖, 0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 (1)
𝑓(𝑣 𝑖 𝑗 ) = 4𝑖 + 2𝑗 − 5, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2 (2) 𝑓(𝑤 𝑠 𝑖,𝑗 ) = (8𝑟 + 16)𝑘 + 8𝑚 −(8𝑟 + 8)𝑖 − 4𝑗 + 6,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑟, 𝑗 = 1,2 (3)
Berdasarkan  (1),  (2),  dan  (3) diperoleh himpunan  titik  yang telah diberi label sebagai berikut.
𝑓 (𝑉 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟))) = {0,4,8,12, … ,8𝑘} ∪ {1,5,9, … ,8𝑘 − 3,3,7,11, … ,8𝑘 − 1}
∪
{
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 18,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 26, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 6, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 14,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 22, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 10,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 10,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 18, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 14,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 6,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 14, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 18,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 14,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 2, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 10, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 22, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 18,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 2 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 6, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 26,
… ,
8𝑘 + 10,8𝑘 + 18,8𝑘 + 26,8𝑘 + 34, … ,8𝑘 + 8𝑟 + 2,
8𝑘 + 6,8𝑘 + 14,8𝑘 + 22,8𝑘 + 30, … ,8𝑘 + 8𝑟 − 2 } = {0,4,8,12, … ,8𝑘} ∪ {1,3,5,7,9,11, … ,8𝑘 − 3,8𝑘 − 1} ∪ {
8𝑘 + 6,8𝑘 + 10,8𝑘 + 14,8𝑘 + 18,8𝑘 + 22,8𝑘 + 26, 8𝑘 + 30,8𝑘 + 34, … ,8𝑘 + 8𝑟 + 2,8𝑘 + 8𝑟 − 2,
… , 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 18,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 14,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 10,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 2, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 6, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 26,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 22,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 2,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 10, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 14, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 18,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 14, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 6, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 14,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 18, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 22, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 6 }
= { 0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,8𝑘 − 3,8𝑘 − 1,8𝑘,
8𝑘 + 6,8𝑘 + 10,8𝑘 + 14,8𝑘 + 18,8𝑘 + 22,8𝑘 + 26, 8𝑘 + 30,8𝑘 + 34, … ,8𝑘 + 8𝑟 + 2,8𝑘 + 8𝑟 − 2,
… ,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 18,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 14,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 10, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 − 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 2,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 6, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 26,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 22,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 2,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 6,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 10, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 14, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 18,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 14, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 2,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 6, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 14,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 18, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 22, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 10,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 6 }
= {0,1,3,4, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 6}
Diperoleh 𝑓 (𝑉 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟))) =
{0,1,3,4, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 6} ⊆ {0,1,2,3 … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1} dan  fungsi 𝑓 memberikan label yan berbeda pada setiap titik  sehingga  fungsi  pelabelan  titik 𝑓 bersifat injektif.
Didefinisikan  fungsi  pelabelan garis 𝑓 ∗ : 𝐸 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟)) →
{1,3,5,7, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1}
𝑓 ∗ (𝑢 𝑖 𝑣 (𝑖+1) 𝑗 ) = 8𝑖 + 2𝑗 − 1,
0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘 − 1, 𝑗 = 1,2 (4)
𝑓 ∗ (𝑣 𝑖 𝑗 𝑢 𝑖 ) = 8𝑖 + 2𝑗 − 5,
1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑘, 𝑗 = 1,2 (5) 𝑓 ∗ (𝑣 (2𝑖−1) 𝑗 𝑤 𝑚 𝑖,𝑗 ) = (8𝑟 + 16)𝑘 + 8𝑚 −8𝑟𝑖 − 2𝑗 − 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑟, 𝑗 = 1,2 (6) 𝑓 ∗ (𝑤 𝑚 𝑖,𝑗 𝑣 (2𝑖) 𝑗 ) = (8𝑟 + 16)𝑘 + 8𝑚
−8𝑟𝑖 − 2𝑗 + 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘, 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑟, 𝑗 = 1,2 (7)
Berdasarkan  (4),  (5),  (6)  dan  (7)
diperoleh  himpunan  garis  yang  telah diberi  label
𝑓 ∗ (𝐸 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟))) = {1,9,17,25, … ,16𝑘 − 7,3,11,19,27, … ,16𝑘 − 5}
∪ {5,13,21,29, … ,16𝑘 − 3,7,15,23,31, … ,16𝑘 − 1}
∪ {
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 11,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 19,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 27, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 5,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 9,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 17,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 25, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 7,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 11,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 19, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 27, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 5, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 9,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 17,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 25, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 7,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 11,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 19, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 27, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 5,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 9,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 17,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 25, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 7,
… ,
16𝑘 + 3,16𝑘 + 11,16𝑘 + 19,16𝑘 + 27, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 5,
16𝑘 + 1,16𝑘 + 9,16𝑘 + 17,16𝑘 + 25, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 7 }
∪ { 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 23,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 31, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 13,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 21, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 29, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 3,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 23, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 31, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 1, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 13,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 21,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 29, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 3,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 23, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 31, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 1,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 5,8𝑟𝑘 + 24𝑘 − 16𝑟 + 13,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 21,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 29, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 3, … ,
16𝑘 + 7,16𝑘 + 15,16𝑘 + 23,16𝑘 + 31, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 1,
16𝑘 + 516𝑘 + 13,16𝑘 + 21,16𝑘 + 29, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 3 }
= {1,3,9,11,17,19,25,27, … ,16𝑘 − 7,16𝑘 − 5}
∪ {5,7,13,15,21,23,29,31, … ,16𝑘 − 3,16𝑘 − 1}
∪
{
16𝑘 + 1,16𝑘 + 3,16𝑘 + 9,16𝑘 + 11,16𝑘 + 17,16𝑘 + 19,16𝑘 + 25, 16𝑘 + 27, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 7,16𝑘 + 8𝑟 − 5,
… ,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 9,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 11,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 17,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 19,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 25, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 5, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 9, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 11,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 17,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 19, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 25, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 5, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 9, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 11,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 17,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 19, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 25, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 5 }
∪
{
16𝑘 + 5,16𝑘 + 7,16𝑘 + 13,16𝑘 + 15,16𝑘 + 21,16𝑘 + 23, 16𝑘 + 29,16𝑘 + 31, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 3,16𝑘 + 8𝑟 − 1,
… , 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 24𝑘 − 16𝑟 + 13,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 21,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 23,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 29, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 1,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 13,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 21,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 23, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 29, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 1, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 13, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 21,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 23, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 29, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1 } = {
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27, … ,16𝑘 − 7,16𝑘 − 5,16𝑘 − 3,16𝑘 − 1 16𝑘 + 1,16𝑘 + 3,16𝑘 + 5,16𝑘 + 7,16𝑘 + 9,16𝑘 + 11,16𝑘 + 13,
16𝑘 + 15,16𝑘 + 17,16𝑘 + 19,16𝑘 + 21,16𝑘 + 23,16𝑘 + 25,16𝑘 + 27,
16𝑘 + 29, … ,16𝑘 + 8𝑟 − 7,16𝑘 + 8𝑟 − 5,16𝑘 + 8𝑟 − 3,16𝑘 + 8𝑟 − 1, … , 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 5,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 9,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 11, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 13,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 17, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 19,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 21,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 23,
8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 25,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 24𝑟 + 27, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 7, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 − 1, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 5, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 9,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 11, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 13,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 17, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 19,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 21,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 23, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 25,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 16𝑟 + 27, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 7, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 − 1, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 1,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 5, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 7,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 9,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 11, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 13,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 15,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 17, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 19,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 21,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 23, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 25,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 8𝑟 + 27, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 7, 8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 5,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 3,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1 } = {1,3,5,7, … , ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1}
Diperoleh 𝑓 ∗ (𝐸 (𝑘𝐿 3,3 (𝑟))) =
{1,3,5,7, … ,8𝑟𝑘 + 16𝑘 − 1} dan  fungsi 𝑓 ∗ memberikan  label  yan  berbeda  pada setiap  garis  sehingga  fungsi  pelabelan garis 𝑓 ∗ memenuhi  pemetaan  bijektif. Akibatnya  graf  ular  jaring  berlipat
𝑘𝐿 3,3 (𝑟) dengan 𝑘 ≥ 1 dan 𝑟 ≥ 1 adalah graf harmonis ganjil
Contoh  4 Berikut  diberikan  contoh pelabelan  harmonis  ganjil  pada  graf  ular jaring  berlipat 3𝐿 3,3 (4) (lihat  Gambar  3) dan graf ular jaring berlipat 4𝐿 3,3 (4) (lihat
Gambar 4).
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 4 8 12 16 20 24 114 74 34 30 70 110 38 46 54 42 50 58 78 86 94 82 90 98 118 126 134 122 130 138 Gambar 3. Pelabelan harmonis ganjil pada graf ular jaring berlipat 3𝐿 3,3 (4) .
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 4 8 12 16 20 24 162 122 82 78 118 158 86 96 102 90 98 106 126 134 142 130 138 146 166 174 182 170 178 186 42 50 58 66 25 27 29 31 28 32 38 46 54 62 Gambar 4. Pelabelan harmonis ganjil pada graf ular jaring berlipat 4𝐿 3,3 (4)
KESIMPULAN Hasil yang diperoleh pada makalah  ini  berupa  konstruksi  definisi dari  graf  ular  jaring  berlipat  yang dinyatakan  pada  Definisi  2.  Selanjutnya telah  dibuktikan  bahwa  graf  ular  jaring
berlipat adalah graf harmonis ganjil yang dinyatakan pada Teorema 3. Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mencari pelabelan harmonis ganjil pada kelas graf baru  yang  belum  diperoleh  sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil.

## DAFTAR PUSTAKA
Firmansah, F. (2016). Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular dan Graf  Ular  Berlipat. Konferensi
Nasional Penelitian Matematika Dan Pembelajarannya  (KNPMP  I)an , 809–818. Retrieved from https://publikasiilmiah.ums.ac.id/bits tream/handle/11617/7026/88_4_Ma kalah Rev Fery Firmansah.pdf?sequence=1&isAllo wed=y Firmansah, F. (2017). The Odd
Harmonious  Labeling  on  Variation of the Double Quadrilateral
Windmill  Graphs. Jurnal  ILMU DASAR , 18 (2), 109. https://doi.org/10.19184/jid.v18i2.56
48
Firmansah,  F.,  &  Syaifuddin,  M.  W. (2018a).  Pelabelan  Harmonis  Ganjil pada Amalgamasi Graf Kincir Angin Belanda. Fibonacci Jurnal Matematika Dan Pendidikan Matematika .
https://doi.org/https://doi.org/10.248 53/fbc.4.1.37-46 Firmansah,  F.,  &  Syaifuddin,  M.  W. (2018b).  Pelabelan  Harmonis  Ganjil pada Amalgamasi Graf Kincir Angin Double Quadrilateral. Seminar Nasional  Pendidikan  Matematika Ahmad  Dahlan , 6 .  Retrieved  from http://seminar.uad.ac.id/index.php/se ndikmad/article/view/402
Firmansah,  F.,  &  Tasari.  (2020).  Odd
Harmonious  Labeling  on  Edge Amalgamation from Double Quadrilateral Graphs. Desimal:
Jurnal  Matematika , 3 (1),  65–72.
https://doi.org/10.24042/djm.v3i1.57
12
Firmansah, F., & Yuwono, M. R. (2017a).
Odd Harmonious Labeling on Pleated  of  the  Dutch  Windmill Graphs. Cauchy  Jurnal  Matematika Murni  Dan  Aplikasi , 4 (4),  161–166. https://doi.org/10.18860/ca.v4i4.404
3 Firmansah, F., & Yuwono, M. R. (2017b).
Pelabelan  Harmonis  Ganjil  pada
Kelas  Graf  Baru  Hasil  Operasi Cartesian Product. Jurnal Matematika  Mantik , 3 (2),  87–95. https://doi.org/10.15642/mantik.201 7.3.2.87-95
Gallian, J. A. (2019). A Dynamic Survey of  Graph  Labeling. The  Electronic Journal of Combinatorics, 18.
Jeyanthi, P., Philo, S., & Siddiqui, M. K.
(2019).  Odd  harmonious  labeling  of super subdivision graphs. Proyecciones , 38 (1), 1–11. https://doi.org/10.4067/S0716-
09172019000100001
Jeyanthi,  P.,  Philo,  S.,  &  Sugeng,  K.  A.
(2015).  Odd  harmonious  labeling  of some  new  families  of  graphs. SUT Journal of Mathematics . https://doi.org/10.1016/j.endm.2015. 05.024
Jeyanthi,  P.,  Philo,  S., &  Youssef,  M.  Z.
(2019).  Odd  harmonious  labeling  of grid  graphs. Proyecciones , 38 (3), 412–416.
https://doi.org/10.22199/issn.0717- 6279-2019-03-0027
Liang, Z., & Bai, Z. (2009). On The Odd Harmonious Graphs with Applications. J. Appl. Math. Comput., 29 , 105–116.
Renuka,  J.,  &  Balaganesan,  P.  (2018). Odd  harmonious  labeling  of  some classes  of  cycle  related  graphs. Indian  Journal  of  Public  Health Research  and  Development , 9 (9), 403–408. https://doi.org/10.5958/0976-
5506.2018.01032.X
Saputri, G. A., Sugeng, K. A., & Froncek, D.  (2013).  The  odd  harmonious labeling of dumbbell and generalized prism  graphs. AKCE  International Journal of Graphs and Combinatorics , 10 (2), 221–228.