http://journal2.um.ac.id/index.php/jpse EISSN: 2541-2485

## JPSE
(Journal of Physical Science and Engineering)
Pengaruh  Medan  Elektromagnet  terhadap  Partikel  Dirac dan  Klein-Gordon  dalam  Potensial  Penghalang  Periodik Satu Dimensi
Received
26 November 2018
Revised 19 March 2020
Accepted for Publication
26 April 2020
Published 15 June 2020
A Romadani 1* dan E Rani 1
1. Jurusan Fisika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang, Jl. Gajayana No. 50, Malang, 6514, Indonesia.
*E-mail: arista.romadani@uin-malang.ac.id
This work is licensed under a Creative Commons Attribution- ShareAlike 4.0
International License

## Abstract
A Bosonic particle and zero mass Dirac acting on a one-dimensional barrier potential have been  studied  in  relativistic  quantum  mechanics  using  the  Dirac  and  Klein-Gordon equation. The equations are modified due to the influence of the electromagnetic fields and the matrix approach has been applied to obtain the representation of energy and the eigen spinor. Especially for  Dirac particles, the Dirac Hamiltonian form is similar to the harmonic  oscillator,  so  the  representation  of  energy  is  an  extension  of  the  harmonic oscillator energy. In addition, the eigenfunctions involved positive energy and negative energy that moved exponentially when passed through a potential barrier.
Keywords: Klein-Gordon, Dirac, elektromagnetic, quantum.

## Abstrak
Suatu partikel Bosonik dan Dirac bermassa nol yang beraksi pada potensial penghalang satu  dimensi  telah  dikaji  secara  mekanika  kuantum  relativistik  dengan  menggunakan persamaan  Klein-Gordon  dan  persamaan  Dirac.  Persamaan  ini  selanjutnya  mengalami modifikasi  akibat  pengaruh  medan  elektromagnetik  yang  dihadirkan  dan  pendekatan matriks telah diaplikasikan untuk mendapatkan representasi energi dan spinor eigennya. Terkhusus  partikel  Dirac,  Hamiltonian  Dirac  memiliki  bentuk  yang  identik  dengan osilator  harmonik  sehingga  representasi  energi  merupakan  perpanjangan  dari  energi osilator harmonik. Selain itu fungsi eigennya melibatkan energi positif dan energi negatif yang bergerak secara eksponensial ketika melewati penghalang.
Kata Kunci : Klein-Gordon, Dirac, elektromagnetik, kuantum.

## 1. Pendahuluan
Graphene atau grafena merupakan karbon allotrope dalam bentuk dua dimensi yang memiliki struktur kisi  segienam  atau  heksagonal  dengan  komposisi  atom  karbon.  Karena  komposisi  ini,  karakteristik grafena  sama  seperti  karbon  aktif  sehingga  mengakibatkan  susunan  kisinya  dapat  bekerja  seperti penyaring. Ikatan atom karbon pada grafena merupakan ikatan yang kuat karena tiap satu atom karbon memiliki 1 ikatan sigma di antara tiga atom karbon tetangganya. Grafena memiliki karakteristik yang tidak biasa yaitu memiliki kekuatan 200 kali lebih besar dibandingkan baja dengan tingkat fleksibilitas yang  sangat  tinggi.  Selain  itu,  grafena  juga  merupakan  bahan  konduktor  yang  sangat  baik  karena transport elektron yang baik dan juga transparan [1].
Keunikan karakteristik grafena lebih lanjut diaplikasikan sebagai baterai grafena yang terdiri dari superkapasitor.  Baterai  ini  sangat  ringan  dan  dapat  digunakan  pada  kendaraan  seperti  mobil  dan pesawat.  Grafena  juga  efektif  digunakan  sebagai  bahan  semikonduktor  pengganti  beberapa  material mahal yang digunakan untuk membuat sebuah prosesor komputer. Struktur heksagonal grafena sangat efektif  dalam  proses  penyaringan.  Membran  grafena  oksida  sangat  efektif  sebagai  filter  khususnya untuk cairan dan gas [2,3].
Akhir-akhir ini realisasi grafena dengan lapisan tunggal yang stabil dan juga lapisan ganda telah membangkitkan minat yang besar untuk mengkaji sifat elektroniknya.  Eksistensi sifat konduktif dari grafena memungkinkan pengembangan perangkat nanoelektronik berbasis karbon. Perilaku pembawa muatan  pada  lembaran  grafena  lapisan  tunggal  yang  lebar  merupakan  partikel-partikel  tanpa  sifat kiralitas,  relativistik  dengan  kecepatan  cahaya  yang  sama  dengan  kecepatan  Fermi  kristal (𝑣𝐹 ≈ 𝑐/300) ,  dan  dispersi  linier  tanpa  celah  yang  dekat  dengan 𝐾 dan 𝐾 0 poin  [4,5,6].  Salah  satu konsekuensinya bahwa graphene satu lapisan merepresentasikan efek kuantum Hall yang tidak biasa dimana kondisi plateau kuantum Hall muncul sebesar setengah bulat dari (4𝑒 2 /ℏ) [7]. Ketiadaan energi gap  dan  sifat  kiral  dari  keadaan  elektronik,  baik  pada  grafena  lapisan  tunggal  maupun  ganda, mengarahkan  kajian  lebih  lanjut  pada  fenomena  seperti tunneling pada  partikel  Klein-Gordon  yang merupakan transmisi pembawa sempurna melalui penghalang potensial [8].
Penelitian sebelumnya menggunakan potensial penghalang yang bergerak secara periodik untuk mengkaji hubungan dispersi untuk fermion tak bermassa yang digambarkan oleh persamaan Dirac dan untuk boson spin nol yang dijelaskan oleh persamaan Klein-Gordon, bergerak dalam dua dimensi dan dengan  adanya  potensi  periodik  satu  dimensi  [4,9].  Untuk  fermion  tak  bermassa,  hubungan  dispersi menunjukkan energi gap dan momentum nol yang bergerak ke arah yang sejajar dengan penghalang yang sesuai dengan paradoks Klein. Fermion tersebut bersesuaian dengan karakteristik grafena dimana partikel  pembawa  bersifat  relativistik  terhadap  kecepatan  cahaya  yang  direpresentasikan  melalui kecepatan [10,11].
Penyelesaian  persamaan  Klein-Gordon  untuk  partikel  bermuatan  dengan  variasi  medan elektromagnetik  bisa  dilakukan  dengan  menggunakan  transformasi  Laplace  [12].  Penelitian  lainnya dalam menyelesaian persamaan Dirac dan Klein-Gordon dengan potensial penghalang yang bergerak dengan kecepatan konstan 𝑣 , digunakan transformasi Lorentz untuk mengubah bentuk potensialnya ke dalam bentuk yang tidak bergantung waktu sehingga didapatkan koefisien refleksi dan transmisi [13]. Selain  itu,  solusi  persamaan  Dirac  dalam  pengaruh    medan  elektromagnetik  yang  konstan  berhasil diselesaikan dan menghasilkan solusi fungsi gelombang dalam bentuk polinomial Hermite [14,15].
Fenomena  fisika  akan  lebih  menarik  apabila  partikel  bergerak  dalam  suatu  sistem  yang dipengaruhi medan atau dalam kondisi yang lebih kompleks, semisal sistem beberapa partikel dimana ada  interaksi  antar  partikel  dan  sistem  yang  mendapat  pengaruh  medan  elektromagnet  eksternal [16,17,18].  Sejauh  ini,  penelitian-penelitian  yang  ada  masih  membahas  satu  partikel  baik  fermion maupun  boson  berada  dalam  sistem  potensial  penghalang  yang  bergerak  secara  periodik  tanpa  ada pengaruh apapun. Berangkat dari penelitian terdahulu [4], studi berkenaan hubungan dispersi fermion tak bermassa dan boson spin nol dalam sistem potensial penghalang yang bergerak periodik dan dalam pengaruh medan elektromagnetik perlu untuk dikaji.

## 2. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan adalah metode analitik dengan mengonstruksi model matematis dan memperoleh  penyelesaian  yang  merepresentasikan  kasus  potensial  penghalang  satu  dimensi  untuk partikel Dirac dan Klein-Gordon dengan adanya pengaruh medan elektromagnetik. Secara garis besar proses  pencarian  solusi  atas  masalah  yang  telah  dipaparkan  dilakukan  dengan  memodelkan  sistem potensial  penghalang  periodik  satu  dimensi,  kemudian  berangkat  dari  persamaan  Schrödinger  untuk kasus  potensial  penghalang  baik  untuk  fermion  dan  boson,  dilakukan  modifikasi  persamaan  Klein- Gordon dan Dirac akibat adanya medan elektromagnetik. Selanjutnya dengan merumuskan formulasi persamaan Hamiltonian termodifikasi akibat medan elektromagnet untuk model potensial penghalang satu  dimensi  dari  masing-masing  daerah potensial  dan  menentukan  fungsi  keadaan (nilai  eigen)  dan representasi  energi  dari  potensial  penghalang  termodifikasi  akibat  medan  elektromagnet  baik  untuk partikel fermion dan boson.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Persamaan Klein-Gordon
Persamaan Schrodinger relativistik satu dimensi adalah
(∇ 2 − 1 𝑐 2 𝜕 2 𝜕𝑡 2 − 𝑚 2 𝑐 2 ℏ 2 ) 𝜓(𝑥, 𝑡) = 0, (1)
disebut juga dengan persamaan Klein-Gordon [19]. Keberadaan medan elektromagnet mengakibatkan persamaan (1) menjadi
(𝐷 𝜇 𝐷 𝜇 + 𝑚 2 𝑐 2 ) 𝜓(𝑥, 𝑡) = 0. (2)
Rapat Lagrangian dapat dinyatakan dengan persamaan ℒ = (𝐷 𝜇 𝜓) ∗ 𝐷 𝜇 𝜓 − 𝑚 2 𝜓 ∗ 𝜓 [20], bentuk spinor diasumsikan seperti pada persamaan berikut
( 𝜉 1 𝜉 2 ) = 1 2 ( 𝜓 + 𝑖 𝑚 𝐷 0 𝜓 𝜓 − 𝑖 𝑚 𝐷 0 𝜓 ), (3)
dengan 𝐷 0 = 𝜕 0 + 𝑖𝑒𝜙 dan 𝑫 = ∆ − 𝑖𝑒𝑨 . Persamaan  fungsi eigen pada persamaan (3) dinyatakan dengan
𝑖𝐷 0 𝜉 = 𝐻𝜉, (4)
dimana bentuk Hamiltoniannya adalah
𝐻 = − 𝑫 𝟐 2𝑚 (𝜎 1 + 𝑖𝜎 2 ) + 𝑚𝜎 3 , (5)
dengan 𝜎 𝑖 merupakan  matriks  Pauli.  Persamaan  (5)  disubstitusikan  ke  persamaan  (4)  menghasilkan solusi  yang  tidak  dapat  diselesaikan  secara  langsung  dengan  mudah  karena  persamaannya  dalam komponen  vektor-4.    Untuk  memperoleh  solusi  tersebut,  salah  satu  metode  yang  digunakan  melalui pendekatan untuk kasus potensial penghalang. Anggap partikel Klein-Gordon bergerak searah sumbu 𝑧 melewati  potensial  tangga  satu  dimensi  dengan  potensial 𝑉 0 sehingga  fungsi  potensial  periodiknya dituliskan sebagai 𝑉(𝑧) = 𝑉 0 𝛩(𝑧) sebagaimana pada Gambar 1. Persamaan Schrodinger sistem dinyatakan dengan
[∆ 2 − 𝑚 2 ]𝜓(𝑧) = 𝑉(𝑧) − 𝐸𝜓(𝑧), (6)
sebagaimana kasus dalam mekanika kuantum, solusi dari sistem persamaan (6) ketika 𝐸 > 𝑉 0 dapat dinyatakan dengan
𝜓(𝑧) = Θ(−𝑧)[𝑎𝑒 𝑖𝑝𝑧 + 𝑏𝑒 −𝑖𝑝𝑧 ] + Θ(𝑧)𝑑𝑒 𝑖𝑝 ′ 𝑧 , (7)
dengan 𝑝 = √𝐸 2 − 𝑘 2 dan 𝑝 ′ = √(𝐸 − 𝑉 0 ) 2 − 𝑘 2 .
Nilai koefisien refleksi dan transmisi pada kasus potensial penghalang satu dimensi adalah
𝑅 = |𝑏| 2 = (1−𝜒) 2 (1+𝜒) 2 dan 𝑇 = |𝑑| 2 𝜒 = 4𝜒 (1+𝜒) 2 . (8)
Gambar 1. Potensial tangga satu dimensi.

## 3.2. Persamaan Dirac dengan Pengaruh Medan Elektromagnet
Persamaan kuantum relativistik menurut Dirac adalah
𝑖ℏ 𝜕𝜓 𝜕𝑡 = {−𝑖𝑐ℏ𝛼∇ + 𝛽𝑚𝑐 2 }𝜓, (9)
dengan 𝛼 dan 𝛽 konstanta  yang  memenuhi 𝛼 2 = 𝛽 2 = 1 [18].  Selanjutnya  persamaan  (9)  dapat dituliskan menjadi bentuk
𝑖ℏ𝛾 𝜇 𝜕𝜓(𝑥) 𝜕𝑥 𝜇 − 𝑚𝑐𝜓(𝑥) = 0, (10)
persamaan  (10)  yang  dikenal  dengan  persamaan  Dirac.  Apabila  persamaan  Dirac  diberi  pengaruh medan elektromagnetik, maka akan terjadi interaksi di antara keduanya dan beberapa kuantitas seperti momentum dan turunan kovarian mengalami transformasi menjadi
[𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 − 𝑒𝜙 − 𝑐 𝝈 ∙ (−𝑖ℏ𝛁 − 𝑒 𝑐 𝑨) − 𝑚𝑐 2 𝛽] 𝜓 = 0 (11)
[21], persamaan (11) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks yaitu
( 𝑒𝜙 𝑐𝝈 ∙ (𝒑 − 𝑒 𝑐 𝑨) 𝑐 𝝈 ∙ (−𝑖ℏ𝛁 − 𝑒 𝑐 𝑨) −2𝑚𝑐 2 + 𝑒𝜙 ) 𝜓 = 𝐸 ′ 𝜓, (12)
dengan 𝒑 = −𝑖ℏ𝛁 adalah momentum dan 𝐸′ = 𝐸 − 𝑚𝑐 2 merupakan energi elektron pada level di atas energi diam. Fungsi eigen dari persamaan (12) dinyatakan dalam bentuk dua komponen spinor  pada persamaan (13) sebagai
𝜓 = ( φ 1 φ 2 ), (13)
dimana  komponen  besar φ 1 dan φ 2 terdiri  dari  dua  komponen  vektor  yang  menggambarkan  dua partikel yang memiliki keadaan spin up dan spin down yaitu φ 1 = ( 1 0 ) dan φ 1 = ( 0 1 ).
Secara eksplisit persamaan (12) dituliskan dengan
𝑒𝜙φ 1 + 𝑐𝝈 ∙ (𝒑 − 𝑒 𝑐 𝑨) φ 2 = 𝐸 ′ φ 1 , (14)
𝑐𝝈 ∙ (𝒑 − 𝑒 𝑐 𝑨) φ 1 + (−2𝑚𝑐 2 + 𝑒𝜙)φ 2 = 𝐸 ′ φ 2 , (15)
jika persamaan (15) disubstitusikan ke persamaan (14) maka diperoleh
φ 1 = 1 𝐸 − + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 𝑐𝝈 ∙ (𝒑 − 𝑒 𝑐 𝑨) φ 2 , (16)
dan
φ 2 = 1 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 𝑐𝝈 ∙ (𝒑 − 𝑒 𝑐 𝑨) φ 2 , (17)
dengan 𝐸 ± = 𝐸 ′ ± 𝑚𝑐 2 . Selanjutnya, nilai gauge Landau 𝑨 = 𝐵(0, 𝑥, 0) sehingga diperoleh
𝝈 ∙ (𝒑 − 𝑒 𝑐 𝑨) = ( 𝑝 3 𝑝 − − 𝑒 𝑐 𝐵𝑥 𝑝 + + 𝑒 𝑐 𝐵𝑥 −𝑝 3 ). (18)
Berdasarkan persamaan (17) dan (18) maka diperoleh
φ 2 = ( 𝑐𝑝 3 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 𝑐𝑝 + +  𝑒𝐵𝑥 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 ), (19)
untuk φ 1 = ( 1 0 ) dan
φ 2 = ( 𝑐𝑝 − −  𝑒𝐵𝑥 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 𝑐𝑝 3 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 ), (20)
untuk φ 1 = ( 0 1 ) . Oleh karena itu, solusi untuk energi positif menjadi
𝜓 (1) = 𝑁 ( 1 0 𝑐𝑝 3 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 𝑐𝑝 + + 𝑒𝐵𝑥 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙) , (21)
𝜓 (2) = 𝑁
(
0 1 𝑐𝑝 − − 𝑒𝐵𝑥 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 𝑐𝑝 3 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙) . (22)
Dengan cara yang sama untuk solusi energi negatif diperoleh
φ 1 = ( −𝑐𝑝 3 𝐸 + +𝑚𝑐 2 −𝑒𝜙 −𝑐𝑝 + +𝑒𝐵𝑥 𝐸 + +𝑚𝑐 2 −𝑒𝜙 ) untuk φ 2 = ( 1 0 ), (23)
dan
φ 1 = ( −𝑐𝑝 − −𝑒𝐵𝑥 𝐸 + +𝑚𝑐 2 −𝑒𝜙 −𝑐𝑝 3 𝐸 + +𝑚𝑐 2 −𝑒𝜙 ) untuk φ 2 = ( 0 1 ), (24)
sehingga solusi fungsi eigen dalam spinor-4 diberikan
𝜓 (3) = 𝑁 ( −𝑐𝑝 3 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 −𝑐𝑝 + + 𝑒𝐵𝑥 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 1 0 ) (25)
𝜓 (4) = 𝑁 ( −𝑐𝑝 − − 𝑒𝐵𝑥 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 −𝑐𝑝 3 𝐸 + + 𝑚𝑐 2 − 𝑒𝜙 0 1 ) (26)
dimana 𝑝±= 𝑝 1 ± 𝑖𝑝 2 .

## 3.3. Efek Penerobosan pada Potensial Penghalang Periodik
Area  I  dan  area  III  dapat  diidentifikasikan  dengan  partikel  Dirac  fermion  berspin  nol,  persamaan Hamiltonian dengan pengaruh medan elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai berikut
𝐻 𝐷 (1) = 𝜈 𝑓 𝜎 ∙ 𝜋 + 𝜎 2 𝑒𝐸𝑥 2 + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵𝜎 3 , (27)
dimana 𝜐 ≈   10 6 𝑚𝑠 −1 merupakan  kecepatan  Fermi, 𝜎 = (𝜎 1, 𝜎 2 ) matriks  Pauli,  dan 𝜇 𝐵 adalah magneton  Bohr  [22].  Sementara  itu,  Hamiltonian  untuk  area  II  dengan  massa  berhingga  yang disebabkan oleh gap sebesar 𝑡′ sebagai berikut
𝐻 𝐷 (2) = 𝜈 𝑓 𝜎 ∙ 𝜋 + 𝜎 2 𝑒𝐸𝑥 2 + 𝑡′𝜎 3 + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵𝜎 3 , (28)
Hamiltonian  pada  persamaan  (27)  dan  (28)  berperan  penting  untuk  analisa  lebih  lanjut.  Langkah pertama yang dilakukan dalam proses analisis adalah menetukan spektrum energi dan fungsi eigen pada setiap area.

## 3.3.1. Spektrum I dan III
Potensial  vektor  dalam  gauge  Landau  dimisalkan 𝐴(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = (𝐵𝑥 2 , 0) ,  maka  persamaan  (27) diwujudkan dalam bentuk
𝐻 𝐷 (1) = 𝜈 𝑓 ( 0 𝑝 1 − 𝑖𝑝 2 − 𝑒 𝑐 𝐵𝑥 2 − 𝑖𝑒𝐸𝑥 2 𝜈 𝑓 𝑝 1 + 𝑖𝑝 2 − 𝑒 𝑐 𝐵𝑥 2 + 𝑖𝑒𝐸𝑥 2 𝜈 𝑓 0 ) + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵𝜎 3 , (29)
dengan memisalkan 𝜉 = 1 + 𝑖𝑒𝐸 𝜈𝐵 dan 𝜉 ̅ = 1 − 𝑖𝑒𝐸 𝜈𝐵
𝐻 𝐷 (1) = 𝜈 𝑓 ( 0 𝑝 1 − 𝑖𝑝 2 − ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 𝑥 2 𝑝 1 + 𝑖𝑝 2 − ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 ̅𝑥 2 0 ) + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵𝜎 3 , (30)
dimana 𝑙 𝐵 2 = √ 𝑒ℏ 𝑒𝐵 adalah panjang magnetik.
Untuk mendiagonalisasi persamaan (30) perlu dikenalkan operator anihilasi dan kreasi
𝑎 = 𝑙 𝐵 ℏ√2 (𝑝 1 − 𝑖𝑝 2 − 𝑖 ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 𝑥 2 ) dan 𝑎 † = 𝑙 𝐵 ℏ√2 (−𝑖𝑝 1 − 𝑝 2 + 𝑖 ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 ̅𝑥 2 ), (31)
dengan memenuhi aturan komutasi. Dengan menggunakan operator persamaan (31), maka Hamiltonan Dirac dapat dituliskan menjadi
𝐻 𝐷 (1) = 𝜈 𝑓 ( 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵 𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 † −𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 − 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵 ), (32)
dengan 𝜔 𝑘 = √2 𝜈 𝑓 𝑙 𝐵 merupakan frekuensi siklotron.
Gambar 2. Potensial penghalang satu dimensi
Solusi persamaan Dirac tidak bergantung waktu memenuhi relasi
𝐻 𝐷 (1) 𝜓 = 𝜖𝜓, (33)
diperoleh fungsi eigen yang berlaku untuk daerah I dan II adalah
𝜓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = ( +𝑖𝑢 𝑛 + |𝑛 + 1⟩ 𝑢 𝑛 |𝑛⟩ 𝑢 𝑛 + |𝑛⟩ −𝑖𝑢 𝑛 − |𝑛 − 1⟩) 𝑒 𝑖𝑘 1 𝑥 1 , (34)
dengan nilai representasi energinya sebesar
𝜖 = √𝑛ℏ 2 𝜔 𝑘 2 + 1 4 (𝑔𝜇 𝐵 𝐵) 2 ;    𝑛 = 0,1,2  …. (35)

## 3.3.2. Spektrum Area II
Dari persamaan (28) diperoleh
𝐻 𝐷 (2) = 𝜈 𝑓 ( 𝑡′ 𝑝 1 − 𝑖𝑝 2 − ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 𝑥 2 𝑝 1 + 𝑖𝑝 2 − ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 ̅𝑥 2 −𝑡′ ) + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵𝜎 3 , (36)
dengan  prosedur  yang  sama  pada  bagian  sebelumnya,  matriks  pada  persamaan  (36)  didiagonalisasi dengan menggunakan operator anihilasi dan kreasi dan selanjutnya diperoleh matriks sebagai berikut
𝐻 𝐷 (2) = 𝜈 𝑓 ( 𝑡′ + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵 𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 † −𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 −𝑡′ − 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵 ). (37)
Persamaan  (37)  untuk  mencari  spektrum  energi  dan  spinor  eigen  serupa  dengan  potensial penghalang  sebesar 𝑉 dengan  mengoperasikan  persamaan  Dirac  tidak  bergantung  waktu  yang memenuhi
𝐻 𝐷 (2) 𝜓 = (𝜖 − 𝑉)𝜓, (38)
solusi persamaan (38) adalah
𝜓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 𝜙(𝑥 2 )𝑒 𝑞 1 𝑥 1 , (39)
dengan 𝜑(𝑥 2 ) = ( |𝜑 1 ⟩ |𝜑 2 ⟩ ).
Dari persamaan (37) dan (38) diperoleh
𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 † |𝜑 2 ⟩ = (𝜖 ′ − 𝑡 ′ − 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) |𝜑 1 ⟩, (40)
−𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 |𝜑 1 ⟩ = (𝜖 ′ − 𝑡 ′ + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) |𝜑 2 ⟩, (41)
dengan 𝜖 ′ = 𝜖 − 𝑉 . Dari persamaan (40) dan (41), |φ 2 ⟩ disubstitusikan ke |φ 1 ⟩ sehingga diperoleh
𝜖 𝑛 ′ ± = 𝑡 ′ ± √( 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) 2 + 𝑛ℏ 2 𝜔 𝑘 2 dengan 𝑛 = 0,1,2, … (42)
Persamaan  (42)  merupakan  spektrum  energi  dari  nilai  eigen  yang  memiliki  bentuk  seperti  osilator harmonik [19]. Oleh karena itu bentuk fungsi eigen sebagai berikut
|𝜑 1 + ⟩ = |𝑛 > = ( 𝑙 𝐵 ℏ ) 𝑛 (−𝑖𝑝 1 − 𝑝 2 + 𝑖 ℏ 𝑙 𝐵 2 𝜉 𝑥 2 ) 𝑛 √2 𝑛 𝑛! |0⟩, (43)
dan
|𝜑 2 + ⟩ = − 𝑖ℏ𝜔 𝑘 𝑎 (𝜖 ′ + 𝑡 ′ + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) |𝑛⟩, (44)
|𝜑 2 + ⟩ = −𝑖√ (𝜖 ′ − 𝑡 ′ − 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) (𝜖 ′ + 𝑡 ′ + 1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) |𝑛 − 1⟩. (45)
Fungsi eigen spinor untuk energi positif (44) adalah
|𝜑 𝑛 + ⟩ = ( 𝑣 𝑛 + |𝑛⟩ −𝑖𝑣 𝑛 + |𝑛 − 1⟩ ), (46)
dengan nilai 𝑣 𝑛 ± adalah
𝑣 𝑛 ± = ( 1 2 ± 𝑡 ′ + 1 4 𝑔𝜇 𝐵 𝐵 √(1 2 𝑔𝜇 𝐵 𝐵) 2 + 𝑛ℏ 2 𝜔 𝑘 2 ) 1 2 , (47)
sementara untuk energi negatif dengan pendekatan yang sama diperoleh fungsi eigen spinor yaitu
|𝜑 𝑛 − ⟩ = ( 𝑖𝑣 𝑛 + |𝑛 + 1⟩ 𝑣 𝑛 − |𝑛⟩ ), (48)
sehingga solusi fungsi eigen untuk area II adalah
𝜓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = ( 𝑣 𝑛 + |𝑛⟩ −𝑖𝑣 𝑛 + |𝑛 − 1⟩ 𝑖𝑣 𝑛 + |𝑛 + 1⟩ 𝑣 𝑛 − |𝑛⟩ ) 𝑒 𝑞 1 𝑥 1 . (49)
Sejauh ini, kalkulasi masih difokuskan pada penentuan energi dan solusi pada masing-masing area dimana untuk area I dan area III solusi yang diberikan merupakan fungsi sinusoidal sedangkan untuk  area  II  solusinya  bersifat  eksponensial.  Solusi  fungsi  eigen  pada  hasil  penelitian  ini  memiliki bentuk  yang  serupa  dengan  beberapa  penelitian  sebelumnya  [16,18]  akan  tetapi  dengan  pendekatan berbeda yaitu memunculkan operator kreasi dan anhilasi sebagaimana perhitungan secara eksak pada kasus osilator harmonik. Untuk selanjutnya, fungsi eigen yang diperoleh dapat menentukan koefisien transmisi dan refleksi.

## 4. Kesimpulan
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengkaji  karakter  suatu  partikel  yang  melewati  suatu  potensial penghalang di bawah pengaruh medan elektromagnetik. kajian yang telah dilakukan merupakan kajian analitik dalam teori kuantum relativitas. Berdasarkan hasil penurunan formulasi dan analisis matematis menghasilkan  gambaran  perilaku  partikel  pada  potensial  penghalang  dengan  pengaruh  medan elektromagnetik.
Penyelesaian pada area I dan III dengan memperkenalkan operator anihilasi dan kreasi seperti pada kasus osilator harmonik telah menghasilkan spektrum energi sebagai nilai eigen pada persamaan (35). Spektrum energi bernilai positif dan negatif dengan fungsi eigen yang ditunjukkan pada persamaan (34).  Pada  area  II  spektrum  energi  yang  dihasilkan  juga  bernilai  postif  dan  negatif  ditunjukkan
persamaan (42) dengan fungsi eigennya seperti pada persamaan (49). Area I dan III jika dibandingkan dengan area II  memiliki perbedaan yaitu bentuk spektrum energi pada  area II  memiliki bentuk yang lebih umum dan jika diaproksimasikan dengan menghilangkan penghalang ( 𝑡′ ≈ 0 ) maka akan didapati nilai spektrum energi mirip dengan area I dan III.

## Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan naskah artikel  ini  khususnya  Lembaga  Penelitian  dan  Pengabdian Masyarakat  UIN  Maulana  Malik  Ibrahim Malang dan Direktorat Pendidikan Tinggi Islam Ditjen Pendis Kementrian Agama RI melalui Bantuan Penelitian tahun 2018.

## Daftar Rujukan
[1] S.  J.  Woltornist et  al. ,  “Conductive  Thin  Films  of  Pristine  Graphene  by  Solvent  Interface Trapping”, ACS Nano , vol. 7, no. 8, pp. 7062–7066, 2013
[2] H. W. Kim et al. , “Selective Gas Transport Through Few-Layered Graphene and Graphene Oxide Membranes”, Science , vol. 342, no. 6154, pp. 91–95, 2013.
[3] S. K. Alen, S. W. Nam, and S. A. Dastgheib, “Recent Advances in Graphene Oxide Membranes for Gas Separation Applications”, Int. J. of Molecular Sci. , vol. 20, no. 22, pp. 1–20, 2019.
[4] M. Barbier et al. , “Dirac and Klein-Gordon Particles in One-Dimensional Periodic Potentials”, Phy. Rev. B - Condensed Matter and Materials Phy. , vol. 77, no. 11, pp. 1–9, 2008.
[5] Y. Zheng and  T. Ando, “Hall Conductivity of A Two-Dimensional Graphite System”, Phy. Rev. B-Condensed Matter and Materials Phy. , vol. 65, no. 24, pp. 2454201–24542011, 2002.
[6] S. Ganguly and J. J. Ghosh, “Steroid Hormone Induced Alterations in Endometrium: I. Changes in  Lipid  Content,  Swelling  Pattern  &  Lipid  Peroxidation  of  Mitochondria”, Indian  J.  of Biochemistry and Biophysics , vol. 16, no. 2, pp. 61–65, 1979.
[7] V. P. Gusynin and S. G. Sharapov, “Unconventional Integer Quantum Hall Effect in Graphene”, Phy. Rev. Lett. , vol. 95, no. 14, pp. 1–4, 2005.
[8] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, and A. K. Geim, “Chiral Tunnelling and The Klein Paradox in Graphene”, Nature Physics , vol. 2, no. 9, pp. 620–625, 2006.
[9] A.  Jellal et  al. ,  “Tunneling  of  Massive  Dirac  Fermions  in  Graphene  Through  Time-Periodic Potential”, European Phy. J. B , vol. 87, no. 6, pp. 1–19, 2014.
[10] M. A. Zeb, K. Sabeeh, and M. Tahir, “Chiral Tunneling Through A Time-Periodic Potential in Monolayer Graphene”, Phy. Rev. B-Condensed Matter and Materials Phy. , vol. 78, no. 16, pp. 1–7, 2008.
[11] C. Bai and X. Zhang, “Klein Paradox and Resonant Tunneling in A Graphene Superlattice”, Phy. Rev. B-Condensed Matter and Materials Phy. , vol. 76, no. 7, pp. 1–7, 2007.
[12] T.  Das  and  A.  Arda,  “Klein-Gordon  Equation  for  A  Charged  Particle  in  Space  Varying Electromagnetic Fields-A Systematic Study Via Laplace Transform”, Chinese J. of Phy. , vol. 55, no. 2, pp. 310–317, 2017.
[13] B. Hamil and L. Chetouani, “Moving Potential for Dirac and Klein-Gordon Equations”, Pramana – J.l of Phy. , vol. 86, no. 4, pp. 737–746, 2016.
[14] A.  D.  Alhaidari,  H.  Bahlouli,  and  A.  Jellal,  “Confined  Dirac  Particles  in  Constant  and  Tilted Magnetic Field”, Int. J. of Geometric Methods in Modern Phy. , vol. 12, no. 05, p. 1550062, 2015.
[15] A. Jellal, A. D. Alhaidiri, and H. Bahlouli, “Confined Dirac Fermions in A Constant Magnetic Field”, Phy. Rev. A , vol. 80, no. 1, p. 012109, 2009.
[16] E.  B.  Choubabi,  M.  E.  Bouziani,  and  A.  Jellal,  “Tunneling  for  Dirac  Fermions  in  Constant Magnetic Field”, Int. J. of Geometric Methods in Modern Phy. , vol. 7, no. 6, pp. 909–931, 2010.
[17] M.  I.  Katsnelson  and  K.  S.  Novoselov,  “Graphene:  New  Bridge  Between  Condensed  Matter Physics and Quantum Electrodynamics”, Solid State Comm. , vol. 143, no. 1–2, pp. 3–13, 2007.
[18] K.  Bhattacharya, Solution  of  The  Dirac  Equation  in Presence  of  An  Uniform  Magnetic  Field , Mexico, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, 2008.
[19] O.  Philipsen,  “An  Introduction  to  Quantum  Field  Theory”,  In Proc.  of  the  School  for Experimental High Energy Phy. Students , 2006.
[20] D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles , Weinheim, John Wiley & Sons, 2008
[21] H. Kleinert, “Relativistic Particles and Fields in External Electromagnetic Potential”, Particles and Quantum Fields , vol. 2, pp. 436–473, 2016.
[22] A.  Jellal,  A.  E.  Mouhafid,  and  M.  Daoud,  “Massless  Dirac  Fermions  in  An  Electromagnetic Field”, J. of Statistical Mech.: Theory and Experiment , vol. 1, 2012.