Jambura Journal of Mathematics Volume 1 Nomor 1, Januari 2019
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom , ISSN: 2654-5616

## Efektifitas Vaksinasi dan Pengasapan pada Model Epidemik Transmisi Penyakit Malaria
Resmawan 1*
1 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Gorontalo, Jl. Jenderal Sudirman No. 06 Kota Gorontalo 96128, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: resmawan@ung.ac.id

## ABSTRAK
Dalam  artikel  ini  dibahas  model  epidemik  transmisi  penyakit  malaria  dengan mempertimbangkan faktor pencegahan berupa vaksinasi pada manusia dan pengasapan pada nyamuk.  Dalam  model  ini,  populasi  manusia  dibagi  menjadi  empat  kelas,  yaitu  rentan, terpapar,  terinfeksi,  dan  pulih.  Adapun  populasi  nyamuk  dibagi  menjadi  tiga  kelas,  yaitu rentan, terpapar dan terinfeksi. Selanjutnya dilakukan identifikasi bilangan reproduksi dasar ( ℛ 0 ) yang merupakan nilai harapan banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Pada bagian akhir dalam artikel ini diberikan simulasi numerik untuk menunjukkan efektifitas vaksinasi pada manusia  dan  pengasapan  pada  nyamuk  untuk  menekan  laju  penularan  penyakit.  Hasil simulasi menunjukkan bahwa peningkatan efektifitas vaksinasi maupun pengasapan mampu menurunkan  angka  bilangan  reproduksi  dasar.  Hal  tersebut  menunjukkan  bahwa peningkatan kuantitas vaksinasi dan pengasapan dapat menekan jumlah individu terinfeksi sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi.

## Kata Kunci:
Vaksinasi; Pengasapan; Model Epidemik; Malaria
Diterima: 10-10-2018 Disetujui: 30-1-2019 Online: 30-1-2019

## ABSTRACT
In this paper we discuss the epidemic model of malaria transmission by considering vaccines are given to  humans  and  fumigation  in  mosquitoes.  In  this  model,  the  human  population  is  divided  into  four classes, namely susceptible, exposed, infected, and recovered. The mosquito population is divided into three classes, namely susceptible, exposed and infected. Next is done to calculate the base number ( ℛ 0 ) which is the expected value of a number of infections per unit of time. At the end of this paper is provided numerical simulations to show the effectiveness of vaccines in humans and fumigation in mosquitoes. The  simulation  results  show  that  the  increase  of  vaccines  effectiveness  in  human  and  fumigation effectiveness in mosquito can reduce the reproduction numbers so that within a certain time the disease will disappear from the population.
Keywords: Vaccination; Fumigation; Epidemic Model; Malaria
Received: 2018-10-10 Accepted: 2019-1-30 Online: 2019-1-30

## 1.  Pendahuluan
Malaria  merupakan  penyakit  yang  disebabkan  oleh  infeksi  parasit  dari  Nyamuk Anopheles betina genus  Plasmodium. Malaria dapat ditularkan melalui gigitan nyamuk yang  terinfeksi,  transfusi  darah,  pemakaian  jarum  suntik,  maupun  bawaan.  Malaria tergolong penyakit yang sangat mematikan bagi manusia. Oleh karena itu, diperlukan perlakuan pencegahan untuk mengendalikannya baik tingkat infeksi maupun tingkat penyebaran  penyakit  ini.  Berdasarkan  beberapa  kasus  malaria  yang  telah  terjadi, muncul  berbagai  penelitian  yang  mengontruksikan  sebuah  model  matematika  untuk malaria.  Pemodelan  matematika  dapat  membantu  memahami  dan  mengidentifikasi hubungan  penyebaran  penyakit  malaria  dengan  berbagai  parameter  epidemiologi, membantu dalam perencanaan masa depan dan mempertimbangkan langkah-langkah pengendalian yang tepat.
Dalam penelitian ini dibahas model transmisi penyakit malaria dari Laarabi  et al., [6] dan Putri et al. [8], dengan penambahan kelas terpapar (exposed) pada kedua populasi. Modifikasi serupa dapat dilihat pada Chitnis et al. [3] dan Resmawan et al. [9]. Hal ini diperlukan karena sporozoid yang dihasilkan dari gigitan nyamuk terinfeksi memerlukan masa inkubasi selama 9-14 hari untuk benar-benar menimbulkan penyakit (Bloland and Williams,  [2]).  Selama  masa  inkubasi  ini,  populasi  dikelompokkan  ke  dalam  kelas terpapar  (exposed),  sehingga  model  ini  disebut  SEIRS-SEI.  Modifikasi  model  juga dilakukan dengan penambahan parameter perlakuan berupa vaksinasi dan pengobatan pada manusia (Schwartz et al., [11]). Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji efektifitas  vaksinasi  manusia  dan  pengasapan  nyamuk  untuk  menekan  laju  tranmisi penyakit  malaria.  Sebelumnya  akan  diidentifikasi  bilangan  reproduksi  dasar  ( ℛ 0 ) sebagai  nilai  harapan  banyaknya  infeksi  tiap  satuan  waktu. ℛ 0 dapat  diidentifikasi dengan menggunakan pendekatan matriks generasi  mendatang (Diekmann  et al., [4], van den Driessche and Watmough, [12], Resmawan dan Nurwan, [10]). Selanjutnya akan dilakukan  simulasi  dengan  komputasi  numerik  untuk  melihat  efektifitas  vaksinasi manusia dan pengasapan nyamuk untuk menekan laju transmisi penyakit.

## 2.  Model Matematika
Secara skematis, transmisi penyakit malaria pada model ini dapat digambarkan dengan diagram kompartemen pada Gambar 1.

## Gambar 1. Diagram kompartemen transmisi penyakit malaria dengan vaksinasi dan
pengasapan
𝑆 ℎ 𝐸 ℎ 𝐼 ℎ 𝑅 ℎ 𝑆 𝑚 𝐸 𝑚
𝐼 𝑚
𝜇 ℎ 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ ∝ 𝛾 𝜔 𝜃 𝑎𝛽 1 𝑏𝛽 2 𝜆 ℎ 𝜆 𝑚
𝜇 𝑚 𝛿 𝜇 𝑚 𝛿 𝜇 𝑚 𝛿 𝑘𝜓 𝑣 ℎ 𝑣 𝑚
Dengan demikian, persamaan dinamika sistem tersebut diformulasikan sebagai berikut:
{
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = λ ℎ + 𝜔𝑅 ℎ − 𝑎𝛽 1 𝐼 𝑚 𝑆 ℎ − ( 𝜃 + 𝜇 ℎ ) 𝑆 ℎ 𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑎𝛽 1 𝐼 𝑚 𝑆 ℎ − ( 𝑣 ℎ + 𝜇 ℎ ) 𝐸 ℎ 𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑣 ℎ 𝐸 ℎ + 𝛾𝐼 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝛼 + 𝑘 𝜓) 𝐼 ℎ 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑘𝜓 𝐼 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝜔)𝑅 ℎ + 𝜃𝑆 ℎ (1) 𝑑𝑆 𝑚 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑚 − (𝑏𝛽 2 𝐼 ℎ + 𝜇 𝑚 + 𝛿)𝑆 𝑚 𝑑𝐸 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑏𝛽 2 𝐼 ℎ 𝑆 𝑚 − (𝑣 𝑚 + 𝜇 𝑚 + 𝛿)𝐸 𝑚 𝑑𝐼 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑚 𝐸 𝑚 − ( 𝜇 𝑚 + 𝛿 ) 𝐼 𝑚
Model ini melibatkan tujuh varibel utama yang terdiri atas banyaknya manusia yang rentan terkena penyakit malaria pada waktu 𝑡 , 𝑆 ℎ (𝑡) , banyaknya manusia yang terpapar penyakit  malaria  pada  waktu 𝑡 , 𝐸 ℎ (𝑡) ,  banyaknya  manusia  yang  terinfeksi  penyakit malaria pada waktu 𝑡 , 𝐼 ℎ (𝑡), banyaknya manusia yang sembuh dari penyakit malaria pada waktu 𝑡, 𝑅 ℎ (𝑡) , banyaknya nyamuk yang rentan terkena penyakit malaria pada waktu 𝑡, 𝑆 𝑚 (𝑡) ,  banyaknya  nyamuk  yang  terpapar  penyakit  malaria  pada  waktu 𝑡, 𝐸 𝑚 (𝑡) , dan banyaknya nyamuk yang terinfeksi penyakit malaria pada waktu 𝑡 , 𝐼 𝑚 (𝑡) . Adapun parameter model disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Parameter pada model transmisi malaria dengan vaksinasi dan pengasapan
Parameter Keterangan Satuan 𝜆 ℎ 𝜆 𝑚 𝜇 ℎ 𝜇 𝑚 𝑎 𝑏 𝛽 1 𝛽 2
𝛿 𝜔

## Laju kelahiran dan migrasi manusia Laju kelahiran dan migrasi nyamuk
Laju konstan kematian manusia secara alami Laju konstan kematian nyamuk secara alami Rata-rata  banyaknya  gigitan  nyamuk terinfeksi  pada  manusia  rentan  tiap  satuan waktu Rata-rata banyaknya gigitan nyamuk rentan pada manusia terinfeksi tiap satuan waktu Peluang  terjadinya  transmisi  penyakit  dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan Peluang  terjadinya  transmisi  penyakit  dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan Efektivitas pengasapan pada nyamuk Laju  konstan  hilangnya  kekebalan  tubuh pada manusia setelah pulih
orang × waktu −1 nyamuk × waktu −1 waktu −1 waktu −1 nyamuk −1 × waktu −1
orang −1 × waktu −1
tanpa satuan tanpa satuan
waktu −1 waktu −1
𝜃 𝛾 𝜓 𝛼 𝑘 𝑣 ℎ 𝑣 𝑚 Efektivitas vaksinasi pada manusia Laju    bayi    yang    lahir    dari    ibu    yang terinfeksi Malaria Efektivitas pengobatan pada manusia Laju kematian manusia akibat malaria Laju pemulihan manusia Laju  perpindahan  manusia  terpapar  ke manusia terinfeksi. Laju  perpindahan  nyamuk  terpapar  ke nyamuk terinfeksi.
waktu −1
waktu −1
tanpa satuan waktu −1
waktu −1 waktu −1 waktu −1

## 3.  Titik Tetap
Titik  tetap  diperoleh  dengan  menyelesaikan  sistem  (1),  yaitu  kondisi  yang  diperoleh pada saat 𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 𝑚 𝑑𝑡 = 0 . Dari  persamaan (1), diperoleh titik tetap bebas penyakit (disease-free equilibrium),
𝒙 𝑑𝑓𝑒 (𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝑅 ℎ , 𝑆 𝑚 , 𝐸 𝑚 , 𝐼 𝑚 ) = (𝑆 ℎ ∗ , 0, 0, 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 0,0)                           (2)
dengan
𝑆 ℎ ∗ = 𝜆 ℎ (𝜔 + 𝜇 ℎ ) 𝜇 ℎ (𝜇 ℎ + 𝜔 + 𝜃) ,       𝑅 ℎ ∗ = 𝜃𝜆 ℎ 𝜇 ℎ (𝜇 ℎ + 𝜔 + 𝜃) ,       𝑆 𝑚 ∗ = 𝜆 𝑚 𝛿 + 𝜇 𝑚 (3)

## 4.  Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  yang  dinotasikan  dengan ℛ 0 adalah  nilai    harapan banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi rentan yang dihasilkan  oleh  satu  individu  terinfeksi.  Bilangan  reproduksi  dasar  pada  model  ini dinyatakan sebagai
ℛ 0 = √𝐾 1 𝐾 2 (4)
dimana
𝐾 1 = 𝑏𝛽 2 𝜆 𝑚 (𝛿 + 𝜇 𝑚 )(𝜇 ℎ + 𝛼 + 𝑘𝜓 −𝛾) dan  𝐾 2 = 𝑎𝛽 1 𝜆 ℎ (𝜔 + 𝜇 ℎ ) 𝜇 ℎ (𝜇 ℎ + 𝜔 + 𝜃)(𝜇 𝑚 + 𝛿) (5)
Identifikasi bilangan reproduksi dasar lebih lengkap terkait model ini dapat dilihat pada Resmawan dan Nurwan, [10].

## 5.  Simulasi Numerik
Pada  bagian  simulasi  ini,  diamati  dinamika  populasi  dalam  kondisi  ketika ℛ 0 < 1 . Dalam hal ini, ℛ 0 merupakan bilangan reproduksi yang didefinisikan pada persamaan (4).  Simulasi  dilakukan  untuk  menunjukkan  adanya  pengaruh  treatment  berupa vaksinasi  pada  manusia  dan  pengasapan  pada  nyamuk  terhadap  dinamika  populasi
manusia  dan  populasi  nyamuk.  Pemilihan  parameter  didasarkan  pada  studi  yang dilakukan  oleh  berbagai  sumber  terpercaya.  Beberapa  nilai  parameter  seperti  yang menyangkut  populasi,  didasarkan  pada  asumsi  tentang  situasi  penyakit  yang  paling umum dan disajikan pada Tabel 2.

## Tabel 2.  Nilai parameter pada model transmisi penyakit malaria
Parameter Nilai Parameter Satuan Sumber 𝜆 ℎ 𝜆 𝑚 𝜇 ℎ 𝜇 𝑚 𝑎 𝑏 𝛽 1 𝛽 2 𝛿 𝜔 𝜃 𝛾 𝜓 𝛼 𝑘 𝑣 ℎ 𝑣 𝑚 0.027 0.13 0.004 0.04 4.3 0.33 0.010 0.072 0.01 1/730 0.1 0.005 0.1 0.005 0.611 0.1 0.083
orang × hari −1 nyamuk × hari −1
hari −1 hari −1
nyamuk −1 × hari −1
orang −1 × hari −1
tanpa satuan tanpa satuan tanpa satuan hari −1
tanpa satuan hari −1
tanpa satuan hari −1 hari −1 hari −1
hari −1
Agusto et al., [1] Asumsi
Agusto et al., [1] Agusto et al., [1] Labadin et al., [7] Johansson and Leander, [5] Chitnis et al., [3] Chitnis et al., [3] Asumsi Agusto et al., [1] Asumsi Asumsi Asumsi Agusto et al., [1] Laarabi et al., [6] Labadin et al., [7] Johansson and Leander [5]
Simulasi pada model ini dilakukan dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 2, dengan nilai awal populasi manusia rentan ( 𝑆 ℎ ) adalah 300, populasi manusi terpapar ( 𝐸 ℎ ) adalah 50, populasi manusia terinfeksi ( 𝐼 ℎ ) adalah 10, populasi manusi pulih ( 𝑅 ℎ ) adalah 0, populasi nyamuk rentan ( 𝑆 𝑚 ) adalah 2000, populasi nyamuk terpapar ( 𝐸 𝑚 ) adalah 100 dan populasi nyamuk terinfeksi ( 𝐼 𝑚 ) adalah 50.

## 5.1.  Dinamika populasi dalam kondisi bebas penyakit
Berdasarkan sistem (1) dan nilai parameter pada Tabel 2 dengan kondisi bebas penyakit atau ℛ 0 < 1 ,  diperoleh  bilangan  reproduksi  dasar ℛ 0 = 0.53. dan  titik  tetap  bebas penyakit
𝑥 𝑑𝑓𝑒 = (0.34, 0, 0, 6.41,2.60, 0, 0)
Kestabilan titik tetap  dapat diidentifikasi  melalui matriks jacobi  dan nilai  eigen yang diperoleh. Sistem dikatakan stabil di sekitar titik tetap bebas penyakit apabila diperoleh semua  nilai  eigen  negatif.  Berdasarkan  nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  2  dan persamaan (1), diperoleh matriks jacobi di sekitar titik tetap, yaitu
𝑱 𝑿 𝒅𝒇𝒆 = (
−0.104 0 0 0.1 0 0 0 0 −0.104 0.1 0 0 0 0 0 0 −0.065 0.0611 −0.062 0.062 0 1/730 0 0 −0.0054 0 0 0 0 0 0 0 −0.05 0 0 0 0 0 0 0 −0.13 0.083 −0.015 0.015 0 0 0 0 −0.05 )
dengan nilai eigen sebagai berikut
𝜉 1 = −0.15              𝜉 3 = −0.09 − 0.04𝑖             𝜉 5 = −0.05              𝜉 7 = −0.004 𝜉 2 = −0.11              𝜉 4 = −0.09 + 0.04𝑖             𝜉 6 = −0.03
Hal  ini  menunjukkan  bahwa  sistem  dalam  keadaan  stabil  di  sekitar  titik  tetap  bebas penyakit.
Dinamika  populasi  dengan  beberapa  nilai  awal  yang  diberikan  dalam  kasus  ini ditunjukkan pada Gambar 2.

## Gambar 2. Dimanika populasi model transmisi malaria pada kondisi bebas penyakit
Gambar  2  menampilkan  dinamika  populasi  dari  kondisi  awal  menuju  kondisi  bebas penyakit.  Masing-masing  subpopulasi  mengalami  dinamika  atau  perubahan  dari kondisi  awal  menuju  titik  di  sekitar  titik  tetap bebas  penyakit.  Subpopulasi  manusia rentan  mengalami  penurunan  karena  terpapar  oleh  subpopulasi  nyamuk  terinfeksi. Demikian  juga  dengan  subpopulasi  nyamuk  rentan  mengalami  penurunan  karena terpapar oleh manusia terinfeksi. Kondisi ini menyebabkan adanya peningkatan pada subpopulasi terpapar dan terinfeksi dari kedua spesies. Peningkatan ini terjadi sejak hari pertama hingga disekitar hari ke-13. Setelah melalewati hari ke-13 terlihat, subpopulasi terpapar  dan  terinfeksi  dari  kedua  spesies  mengalami  penurunan  menuju  titik  bebas
penyakit.  Hal  ini  seiring  dengan  peningkatan  subpopulasi  manusia  yang  pulih  dari penyakit, sehingga penyakit akan menghilang dari populasi.

## 5.2.  Simulasi Efektifitas Vaksinasi pada Manusia
Pada  bagian  ini,  dilakukan  simulasi  untuk  menunjukkan  efektifitas  vaksinasi  pada manusia dalam menekan laju penularan penyakit. Dalam hal ini, dilakukan perubahan pada  paramater  efektifitas  vaksinasi  pada  manusia  ( 𝜃 ).  Akan  ditunjukkan  bahwa perubahan nilai pada parameter 𝜃 dapat mengubah nilai bilangan reproduksi dasar ( ℛ 0 ) yang didefinisikan pada persamaan (4). Terdapat tiga nilai 𝜃 yang diamati, diambil pada selang [0.10, 0.50] dengan langkah 0.20 . Adapun nilai-nilai parameter lain dapat dilihat pada Tabel 2. Perubahan nilai  parameter 𝜃 yang menyebabkan terjadinya perubahan nilai bilangan reproduksi dapat dilihat pada Tabel 3.

## Tabel 3  Hasil simulasi efektifitas vaksinasi pada manusia terhadap
bilangan reproduksi dasar
Parameter 𝜃 Bilangan reproduksi dasar 𝜃 = 0.10 𝜃 = 0.30 𝜃 = 0.50 ℛ 0 = 0.53
ℛ 0 = 0.31 ℛ 0 = 0.24
Pada populasi manusia yang ditunjukkan pada Gambar 3. Jika efektifitas vaksinasi pada manusia  ditingkatkan,  maka  banyaknya  manusia  terpapar  dan  terinfeksi  mengalami penurunan, sementara manusia yang pulih dari penyakit mengalami peningkatan. Hal ini disebabkan karena vaksinasi menyebabkan manusia rentan kebal dari penyakit.

## Gambar 3. Dinamika populasi manusia karena adanya vaksinasi
Vaksinasi  yang  diberikan  pada  manusia  juga  berdampak  pada  populasi  nyamuk, sebagaimana  ditunjukkan  pada  Gambar  4.  Jika  efektifitas  vaksinasi  pada  manusia ditingkatkan,  maka  populasi  nyamuk  pada  kelas  terpapar  dan  terinfeksi  mengalami penurunan.  Hal  ini  disebabkan  karena  vaksinasi  menyebabkan  manusia  terinfeksi berkurang. Dengan demikian, peluang nyamuk terpapar oleh manusia terinfeksi juga berkurang.

## Gambar 4. Dinamika populasi nyamuk karena adanya vaksinasi pada manusia
Adanya  perubahan  jumlah  manusia  dan  nyamuk  pada  masing-masing  kelas subpopulasi  cenderung  berbeda  untuk  setiap  kenaikan  efektifitas  vaksinasi  pada manusia. Maksimum banyaknya manusia dan nyamuk terpapar terjadi pada sekitar hari ke-10, sementara maksimum banyaknya manusia dan nyamuk terinfeksi terjadi pada hari  ke-20.  Pada  hari  ke-20,  dengan  peningkatan  efektifitas  vaksinasi  pada  manusia sebesar 40% dapat menurunkan populasi manusia terinfeksi sebesar 12.50% dari total populasi  manusia  dan  dapat  menurunkan  populasi  nyamuk  terinfeksi  sebesar  0.47% dari  total  populasi  nyamuk.  Dampak  vaksinasi  terhadap  nyamuk  tidak  begitu  besar karena  vaksinasi  tidak  berdampak  langsung  pada  nyamuk.  Vaksinasi  hanya menurunkan  jumlah  manusia  terinfeksi  sehingga  peluang  nyamuk  terpapar  dari manusia terinfeksi menjadi lebih kecil.

## 5.3.  Simulasi Efektifitas Vaksinasi pada Manusia
Simulasi  pada  bagian  ini  untuk  menunjukkan  efektifitas  pengasapan  pada  nyamuk dalam  menekan  laju  penularan  penyakit.  Dalam  hal  ini,  dilakukan  perubahan  pada paramater  efektifitas  pengasapan  pada  nyamuk  ( 𝛿 ).  Akan  ditunjukkan  bahwa perubahan nilai pada parameter 𝛿 dapat mengubah nilai bilangan reproduksi dasar ( ℛ 0 )
yang didefinisikan pada persamaan (4). Terdapat tiga nilai 𝛿 yang diamati, diambil pada selang [0.01, 0.05] dengan langkah 0.02 . Adapun nilai-nilai parameter lain dapat dilihat pada Tabel 2. Perubahan nilai  parameter 𝛿 yang menyebabkan terjadinya perubahan nilai bilangan reproduksi dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4  Hasil simulasi efektifitas vaksinasi pada manusia terhadap bilangan reproduksi dasar
Parameter 𝛿 Bilangan reproduksi dasar 𝛿 = 0.10 𝛿 = 0.30 𝛿 = 0.50 ℛ 0 = 0.53
ℛ 0 = 0.38
ℛ 0 = 0.29
Pada populasi manusia yang ditunjukkan pada Gambar 5, jika efektifitas pengasapan pada  nyamuk  ditingkatkan,  maka  banyaknya  manusia  terpapar  dan  terinfeksi mengalami  penurunan,  sementara  manusia  yang  pulih  dari  penyakit  mengalami peningkatan. Terlihat pada gambar bahwa tingkat perubahan pada paopulasi manusia tidak  terlalu  signifikan.  Hal  ini  disebabkan  karena  pengasapan  tidak  berdampak langsung  pada  manusia.  Pengasapan  pada  nyamuk  hanya  akan  mengurangi  resiko manusia terpapar oleh nyamuk terinfeksi.

## Gambar 5. Dinamika populasi manusia karena adanya pengasapan pada nyamuk
Dampak pengasapan bagi populasi nyamuk ditunjukkan pada Gambar 6. Peningkatan efektifitas pengasapan menyebabkan populasi nyamuk pada semua kelas mengalami penurunan. Hal ini disebabkan karena pengasapan berdampak langsung pada populasi nyamuk.

## Gambar 6. Dinamika populasi nyamuk karena adanya pengasapan
Adanya  perubahan  jumlah  manusia  dan  nyamuk  pada  masing-masing  kelas subpopulasi  cenderung  berbeda  untuk  setiap  kenaikan  efektifitas  pengasapan  pada nyamuk. Maksimum banyaknya manusia dan nyamuk terpapar terjadi pada sekitar hari ke-10 dan hari ke-15, sementara maksimum banyaknya manusia dan nyamuk terinfeksi terjadi pada hari ke-20 dan hari ke-25.  Persentase banyaknya nyamuk di kelas terpapar berkurang  sebesar  7.11%  dari  total  populasi  nyamuk  pada hari  ke-15  dan  persentase banyaknya  nyamuk  terinfeksi  berkurang  sebesar  12.80%  dari  total  populasi  nyamuk pada hari ke-25 dengan peningkatan efektivitas pengasapan pada nyamuk sebesar 4%. Pengasapan  pada  nyamuk  juga  memberikan  dampak pada menurunnya persentase jumlah manusia di kelas terinfeksi sebesar 3.23% dari total populasi manusia.

## 6.  Kesimpulan
Perlakuan (treatment) pencegahan berupa vaksinasi pada manusia dan pengasapan pada nyamuk memiliki  pengaruh terhadap dinamika populasi manusia  dan nyamuk yang ditunjukkan dengan bilangan reproduksi dasar. Secara umum, jika efektivitas perlakuan ditingkatkan  maka  bilangan  reproduksi  dasar  menurun.  Hal  tersebut  menunjukkan bahwa  jumlah  individu  terinfeksi  semakin  berkurang,  sehingga  penyakit  tidak  akan menyebar dan dalam jangka waktu tertentu akan menghilang dari populasi.

## Referensi
[1]   Agusto, F.B., Marcus, N. & Okosun, K.O., 2012, Application of optimal control to the epidemiology    of    malaria,    Electronic    Journal    of    Differential    Equation,    Vol. 2012(2012), No.81, pp. 1-22
[2]    Bloland,  P.B.  &  Williams,  H.A.,  2002,  Malaria  Control  During  Mass  Population Movements and Natural Disasters, Washington, The National Academies Press
[3]  Chitnis,  N.,  Chussing,  J.M.  &  Hyman,  J.M.,  2006,  Bifurcation  Analysis  of  A Mathematical Model for Malaria Transmission, Siam J. Appl. Math. Vol. 67, No. 1, pp. 24 – 45
[4]   Diekmann, O., Heesterbeek, J.A.P. & Metz, J.A.J., 1990, On the Definition and the Computation of the Basic Reproduction Ratio ℛ 0 in Models for Infectious Diseases in Heterogeneous Populations, J. Math. Biol., 28, pp. 365-382
[5]   Johansson, P. & Leander, J., 2010, Mathematical Modeling of Malaria: Methods for Simulation of Epidemics, Gothenburg: Chalmers University of Technology
[6]    Laarabi,  H.,  Labriji,  E.H.,  Rachik,  M.  &  Kaddar,  A.,  2012,  Optimal  Control  of  an Epidemic Model  with A Saturated Incidence Rate, Modelling and Control. Vol.17, No.4,448-459
[7]    Labadin,  C.,  Kon,  M.L.  &  Juan,  S.F.S.,  2009,  Deterministic  Malaria  Transmission Model  with  Acquired  Immunity,  Proceedings  of  the  World  Congress  on Engineering and Computer Science 2009 Vol II, San Francisco, USA
[8]   Putri, R.G., Jaharuddin & Bakhtiar, T., 2014, SIRS-SI Model of Malaria Disease with Application  of  Vaccines,  Anti-Malarial  Drugs,  and  Spraying,  IOSR  Journal  of Mathematics (IOSR-JM), Vol.10, Issue V Ver. II
[9]   Resmawan, Sianturi P. & Nugrahani E.H., 2017, The Analysis of SEIRS-SEI Epidemic Models on Malaria with Regard to Human Recovery Rate, Aceh Int.J.Sci.Technol (AIJST), 6(3), pp.132-140
[10] Resmawan  &  Nurwan,  2017,  Konstruksi  Bilangan  Reproduksi  pada  Model Epidemik SEIRS-SEI Penyebaran Malaria dengan Vaksinasi dan Pengobatan, Jurnal Matematika Integratif (JMI), Vol.13, Nomor 2 pp.105-114
[11] Schwartz, L., Brown, G.V., Genton, B. & Moorthy, V.S., 2012, A Reiew of Malaria Vaccine Clinical Projects Based on the WHO Rainbow Table. Malaria Journal. 11:11
[12]  Van  den  Driessche,  P.  &  Watmough,  J.,  2002,  Reproduction  numbers  and  sub- threshold  endemic  equilibria  for  compartmental  models  of  disease  transmission, Mathematical Biosciences, 180(1 – 2): 29 – 48