## EVALUASI MODEL-MODEL BAYESIAN SPASIAL CONDITIONAL
AUTOREGRESSIVE UNTUK PEMODELAN KASUS KEMATIAN CORONA VIRUS DISEASE (COVID-19) DI INDONESIA
Andi Feriansyah 1) Aswi Aswi 2*)
Ruliana 3)
1,2,3) Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Makassar E-mail: aswi@unm.ac.id

## ABSTRACT
Covid-19 cases in Indonesia occurred for the first time on 2 March 2020. By 30 September 2022, Indonesia had 158,173 Covid-19 deaths. Several studies have been done in modelling Covid-19 cases. However, research in modelling the number of Covid-19 deaths using the Bayesian Spatial Conditional Autoregressive (CAR) model is still rare. The Bayesian spatial CAR model has high flexibility in relative risk (RR) modeling. CAR models can include various types of spatial effects and can include covariates in the model. RR represents the ratio of the risk of outcome (Covid-19) in the exposed group compared to the population average (the unexposed group). This study aims to evaluate the BYM, Leroux, and Localised models with five hyperpriors, to obtain the best model for estimating the RR of Covid-19 deaths in Indonesia and to create RR maps. This study used aggregate data on Covid-19 deaths (2 March 2020 - 30 September 2022). Data on the total population and population density of each province in 2021 were also used. The best model selection is based on the lowest Watanabe Akaike Information Criterion (WAIC) and Deviance Information Criterion (DIC) values, and Modified Moran's I ( MMI) residual values. The result showed that the CAR BYM model with covariates and with Inverse-Gamma IG(0.5; 0.0005) prior distribution had the lowest DIC and WAIC. As the BYM model does not converge, the model cannot  be  used  in  determining  the  RR  of  Covid-19  deaths  in  Indonesia.  From  the  other  three  models  that converge, the Bayesian CAR Leroux model without covariate with IG(0,5;0,0005) has the lowest DIC(393,76), and WAIC(400,12), and its MMI value (-0,26) is approximate to zero. Therefore, the Bayesian CAR Leroux model without covariate with IG(0,5;0,0005) is preferred. The province with the highest RR (2,76) and the lowest RR (0,22) are Yogyakarta and Papua, respectively.
Keywords: conditional autoregressive (CAR), covid-19 death, bayesian method, relative risk, spatial.

## ABSTRAK
Kasus Covid-19 di Indonesia pertama kali terjadi pada 2 Maret 2020. Hingga 30 September 2022, Indonesia mencatatkan 158.173 kematian akibat Covid-19. Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pemodelan kasus Covid-19. Namun penelitian dalam memodelkan jumlah kematian positif Covid-19 dengan menggunakan model Bayesian  Spatial  Conditional  Autoregressive  (CAR)  masih  jarang  dilakukan.  Model  Bayesian  spasial  CAR memiliki fleksibilitas yang tinggi dalam pemodelan risiko relatif (RR). Model CAR dapat mencakup berbagai jenis efek spasial, serta dapat melibatkan kovariat dalam model. RR merepresentasikan rasio risiko outcome (Covid- 19)  pada  kelompok exposed dibandingkan  dengan  kelompok  rata-rata  populasi  ( unexposed ).  Penelitian  ini bertujuan untuk mengevaluasi model BYM, Leroux, dan Localized dengan lima hyperprior; mendapatkan model terbaik  untuk  estimasi  RR  kematian  akibat  Covid-19  di  Indonesia  dan  membuat  peta  RR.  Penelitian  ini menggunakan data agregat kematian akibat Covid-19 (2 Maret 2020 - 30 September 2022). Data jumlah
penduduk dan kepadatan penduduk masing-masing provinsi pada tahun 2021 juga digunakan. Pemilihan model terbaik didasarkan pada nilai Watanabe Akaike Information Criterion (WAIC) dan Deviance Information Criterion (DIC)  yang  paling  rendah  dan  nilai  residual Modified  Moran;s  I (MMI)  yang  mendekati  nol.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  model  CAR  BYM  dengan  kovariat  dan  dengan  sebaran  prior  Inverse  Gamma  IG(0.5; 0.0005) memiliki DIC dan WAIC terendah. Karena model BYM tidak konvergen, maka model tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan RR kematian akibat Covid-19 di Indonesia. Dari ketiga model lain yang konvergen, model bayesian CAR Leroux tanpa kovariat dengan IG (0,5;0,0005) memiliki DIC(393,76), WAIC(400,12), dan residual MMI (-0, 26) nilainya mendekati 0. Oleh karena itu, model bayesian CAR Leroux tanpa kovariat dengan IG(0,5;0,0005) adalah model yang lebih sesuai. Provinsi dengan RR tertinggi (2,76) dan RR terendah (0,22) berturut-turut adalah Yogyakarta dan Papua.
Kata Kunci: conditional autoregressive (CAR), kasus kematian covid-19, metode bayesian, risiko relatif, spasial.

## PENDAHULUAN
Indonesia  merupakan  salah  satu  negara  yang  terdampak  pandemi coronavirus  disease -19 (Covid-19). Covid-19 adalah sindrom saluran pernapasan yang menyebabkan demam tinggi, batuk, flu,  sesak  nafas,  nyeri  tenggorokan  serta  dapat  mengakibatkan  kematian.  Presiden  Jokowi menetapkan  status  kedaruratan  kesehatan  masyarakat  dalam  pernyataannya  yang  disampaikan melalui  telekonferensi  dari  Istana  Kepresidenan  Bogor,  Jawa  Barat,  pada  Selasa,  31  Maret  2020. Covid-19 yang telah menjadi pandemi global dinilai sebagai jenis penyakit berisiko yang menimbulkan kedaruratan  kesehatan  di  tengah  masyarakat  (BPMI  Setpres,  2020).  Dalam  rangka  pengendalian pandemi Covid-19, maka pemerintah Indonesia terus melakukan berbagai upaya untuk pencegahan penyebarannya. Menurut WHO, Covid-19 menular dari orang terinfeksi ke orang sehat. Penyebaran Covid-19 dari manusia ke manusia menjadi sumber transmisi utama sehingga penyebaran menjadi lebih  agresif  (Susilo  dkk,  2020).  Penyakit  Covid-19  adalah  infeksi  virus  yang  sangat  menular  dan patogen  yang  disebabkan  oleh  sindrom  pernafasan  akut  parah  coronavirus  2  (SARS-Cov-2)  yang muncul  di  Wuhan,  Cina  dan  menyebar  ke  seluruh  dunia.  Analisis  genom  mengungkapkan  bahwa SARS-Cov-2 secara filogenetik terkait dengan virus kelelawar yang mirip dengan sindrom pernafasan akut  (SARS-like)  (Tiro  dkk,  2021).  Pada  2  Maret  2020,  Indonesia  melaporkan  pertama  kali  kasus Covid-19 sebanyak 2 kasus yang dinyatakan positif. Tiga provinsi yang ada di Indonesia dengan jumlah angka kematian Covid-19 tertinggi yaitu berada di Provinsi Jawa Tengah, Provinsi Jawa Timur, dan Provinsi Jawa Barat. Sebanyak 6.035.358 orang terkonfirmasi positif Covid-19 di Indonesia hingga tanggal 30 September 2022 dimana terdapat  5.811.666 orang sembuh, dan 158.173 orang meninggal ( https://covid19.go.id/ ) (Kemenkes RI, 2022).
Data  spasial adalah data  yang  bereferensi  geografis atas obyek  di bumi.  Data spasial  pada umumnya berdasarkan peta yang berisikan interpretasi dan proyeksi seluruh fenomena yang berada di bumi (M. Gayo dkk., 2018). Berdasarkan jenis datanya, data spasial terbagi atas 3 yakni data area ( lattice data ), data geostatistik ( geostatistical data ), dan pola titik ( poin patterns ). Model spasial banyak digunakan di berbagai bidang. Umumnya banyak digunakan dalam bidang kesehatan untuk pemetaan penyakit di mana biasanya wilayah tersebut dipartisi menjadi beberapa wilayah kecil yang berdekatan dengan tujuan memperkirakan pola spasial keseluruhan kejadian penyakit dan kelangsungan hidup atau risiko (Aswi dkk., 2020). Model Bayesian spasial Conditional Autoregressive (CAR) merupakan teknik dalam pemetaan penyakit yang mempertimbangkan interaksi spasial antar area kecil dari suatu daerah dan memperhatikan pemulusan nilai taksiran risiko relatif (RR) sehingga diperoleh taksiran RR yang  lebih  handal  (Khaerati  dkk., 2020).  Ada  beberapa  model  Bayesian  spasial CAR  diantaranya: Model Intrinsic CAR (ICAR), Besag-York-Molli ѐ (BYM), Localised , dan Leroux (Sunengsih dkk., 2016).
Landasan dalam melakukan analisis spasial adalah adanya autokorelasi spasial. Autokorelasi spasial merupakan korelasi antara variabel dengan dirinya sendiri berdasarkan ruang atau dapat juga diartikan suatu ukuran kemiripan dari objek di dalam suatu ruang (jarak, waktu dan wilayah) (Lutfi dkk., 2019). Jika  terdapat  pola  sistematik  di  dalam  penyebaran  sebuah  variabel,  maka  terdapat  autokorelasi spasial. Adanya autokorelasi spasial mengindikasikan bahwa nilai atribut pada daerah tertentu terkait oleh nilai atribut tersebut pada daerah lain yang letaknya berdekatan atau bertetangga (Yuriantari dkk., 2017). Terdapat dua macam kemungkinan hasil data yang berautokorelasi yaitu autokorelasi spasial positif dan autokorelasi spasial negatif. Autokorelasi spasial positif menyatakan lokasi yang berdekatan mempunyai nilai yang mirip dan cenderung berkelompok. Autokorelasi spasial negatif menyatakan sebaliknya  yaitu  lokasi  yang  berdekatan  mempunyai  nilai  yang  berbeda  dan  cenderung  menyebar (Simatauw dkk., 2019).
Beberapa x penelitian  terkait x kasus x Covid-19 x dengan x menggunakan x model x Bayesian x Spasial CAR telah dilakukan (Tiro, dkk., 2022; x Tiro x dkk., x 2021a; x Tiro x dkk., x 2021b). x Penelitian x tentang x pengaruh x kepadatan x penduduk x dengan x jumlah x kasus x Covid-19 x di x 15 x Kecamatan x di x Kota x Makassar x menyimpulkan x bahwa x Bayesian x spasial x CAR x localised x merupakan x model x yang x terbaik x dalam x memodelkan x kasus x terkonfirmasi x Covid-19 x di x Kota x Makassar x (Tiro x dkk., x 2021). x Model Bayesian spasial hierarkis yang telah digunakan terkait dengan pemodelan Covid-19 adalah model Bayesian spasial BYM. Model BYM ini digunakan untuk menyelidiki hubungan antara faktor sosial ekonomi dengan kasus Covid-19 di Kota New York (Whittle & Diaz-Artiles, 2020). Dalam  penelitian  tersebut  mereka  membandingkan  antara  model  Bayesian  spasial  BYM  Poisson dengan model Bayesian spasial Binomial Negative . Penelitian x mengenai x kasus x kematian Covid-19 x juga x pernah x dilakukan dengan x tujuan x melihat x hubungan x Covid-19 x dengan x konsentrasi  PM2.5  ( fine  particulate  matter  with  diameters below 2.5 μm ) dan x kepadatan x penduduk. x Mereka x menyimpulkan x bahwa x terdapat x hubungan x positif x antara x kasus x kematian Covid-19 x dengan x konsentrasi PM2.5 dan x kepadatan x penduduk x (Yu x dkk., x 2021). x Selain x itu, x penelitian x mengenai x perbandingan x model x Bayesian x spasial x CAR x juga x telah x dilakukan. x Misalnya, x perbandingan x model x Bayesian x Spasial x CAR x BYM, x CAR x Leroux , x CAR x Localised, x dan x model x independen  untuk  kasus x Covid-19 x di x Kota x Makassar x (Tiro x dkk., x 2021). Berdasarkan x studi x literatur, penelitian x yang x menggunakan x model x Bayesian x Spasial x CAR x untuk x kasus x kematian Covid-19 x di x setiap x 34 x provinsi x di x Indonesia x belum x dilakukan.  Oleh  karena  itu, peneliti  bermaksud  untuk  meneliti hal  tersebut.  Penelitian x ini x bertujuan x untuk x mengevaluasi  model  CAR x BYM, x CAR Leroux , dan CAR Localised dengan komponen pengelompokkan 2 grup (G=2), tiga grup (G=3), empat grup (G=4), dan lima grup (G=5) x kemudian x membuat x pemetaan x nilai x RR x berdasarkan x model x terbaik x dimana x penentuan x model x terbaik x menggunakan x tiga x kriteria x yaitu x nilai x terkecil x Deviance x Information x Criteria x (DIC) x dan x Wanatabe x Akaike x Information x Criteria x (WAIC), x serta x nilai x residual x MMI x yang x mendekati x nol x (Aswi dkk., 2021; x Carrijo dkk, 2017)pakan suatu infeksi dari bakteri yang berada di udara dan disebabkan oleh Mycobacterium Tuberculosis yang menyerang beberapa bagian tubuh, terutama terjadi pada paru-paru. Saat Mycobacterium tuberculosis tersebar di udara sebagai percikan ( droplet ) saat bersin, batuk, bicara ataupun berteriak dari orang yang terindikasi tuberbkulosis (TB) paru, ketika percikan ( droplet ) terhirup orang lain dan melewati mulut atau rongga hidung, sampai akhirnya mencapai paru-paru, maka penularan akan terjadi (Agyeman & Ofori-Asenso, 2017).

## METODE
1. Jenis Penelitian
Penelitian x yang x dilakukan x merupakan x penelitian x kuantitatif x yaitu x mengumpulkan x data x yang x diperlukan x dalam x penelitian x kemudian x dianalisis x dengan x Model x Bayesian  spasial x CAR x BYM, CAR x Leroux, dan x CAR x Localised x (G=2, x G=3, x G=4, x dan x G=5). x Selanjutnya x menentukan x model x terbaik x dalam x memetakan x nilai x RR x kematian x positif x Covid-19 x di x Indonesia.
2. Sumber Data
Penelitian x ini x menggunakan x data x sekunder x yang x diambil x dari x website x resmi x info x Covid-19 x Indonesia x (Kemenkes x RI, x 2022) x yang x diambil x mulai x dari x munculnya x Covid (2 Maret 2020) di x Indonesai x hingga x tanggal x 30 x September x 2022 x tentang x kasus x kematian x positif x Covid-19 x dari x tiap x Provinsi x di x Indonesia. x Pada x penelitian x ini x juga x digunakan x data x populasi x penduduk x tahun x 2021 x dan x data x kepadatan x penduduk x pada x setiap x Provinsi x di x Indonesia x yang x diambil x dari x website x Badan x Pusat x Statistik x (BPS) x (Badan Pusat Statistik, 2021).

## 3. Definisi Operasional Variable
Variabel x yang x digunakan x pada x penelitian x ini diuraikan x sebagai x berikut:
1. Kasus x Kematian x Positif x Covid-19 x Kasus x Kematian x Positif x Covid-19 x di x Indonesia x (Y) dianggap sebagai peubah acak yang diasumsikan mengikuti distribusi Poisson karena merupakan count data dengan nilai bilangan bulat non-negatif. x
2. Kepadatan Penduduk
Data x kovariat x dalam x penelitian x ini x adalah x kepadatan x penduduk x tiap x provinsi x di x Indonesia x (X), x yaitu x perbandingan x antara x jumlah x penduduk x dengan x luas x wilayah x yang x dihuni (Aprianti, x 2016).
3. Komponen spasial acak
Menggambarkan variasi spasial tidak terduga dalam kasus penyakit yang tidak dapat dijelaskan oleh variable bebas lainnya.

## 4. Model Bayesian Spasial CAR
Pada x penelitian x ini, kasus x kematian x positif x Covid-19 x ( 𝑦 𝑖 ) x diasumsikan x berdistribusi x Poisson x dengan x rata-rata x adalah x perkalian x nilai x ekspektasi x (𝐸 𝑖 ) 𝑥 dengan x relative x risk x ( 𝜃 𝑖 ) x yang x dituliskan x sebagai x berikut:
𝑦 𝑖 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 x (𝐸 𝑖 𝜃 𝑖 )
Penilitian x ini x membandingkan x tiga x model x yaitu x CAR x BYM,  CAR Leroux x dan x CAR x Localised x yang x dapat x dituliskan x sebagai x berikut:
4.1 x Model x CAR x BYM Model x BYM x (Besag, x York, x & x Mollié, x 1991) x merupakan x model x yang x terdiri x komponen x spasial x terstruktur x 𝑢 𝑖 x dan x komponen x spasial x tidak x terstruktur x 𝑣 𝑖 x yang x dituliskan x sebagai x berikut: x
𝑙𝑜𝑔 (𝜃 𝑖 ) = 𝛼 x + 𝑢 𝑖 + 𝑣 𝑖 (1)
𝑢 𝑖 x dimodelkan x dengan x menggunakan x prior x CAR x sebagai x berikut:
𝑢 𝑖 |𝑢 𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗, x 𝜏 𝑢 2 x )~𝑁 ( ∑ 𝑢 𝑗 𝜔 𝑖𝑗 𝑗 ∑ 𝜔 𝑖𝑗 𝑗 , x 𝜏 𝑢 2 ∑ 𝜔 𝑖𝑗 𝑗 ) 𝜏 𝑢 2 𝑥 ~ 𝑥 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝐼𝐺 (a, x b), x dimana x dipilih x lima x hyperprior x yang x berbeda x yaitu x 𝐼𝐺(1; 0,01) , x 𝐼𝐺(1; 0,1), 𝑥 𝑥 𝐼𝐺(0,1; 0,1) , x 𝑥 𝑥 𝐼𝐺(0,5; 0,05) , x dan x 𝐼𝐺(0,5; 0,0005 𝑥 ) x (Tiro x dkk., x 2021) . 𝜔 𝑖𝑗 merupakan  matriks  pembobot  spasial  dengan  menggunakan queen contiguity, yang didefinisikan 𝜔 𝑖𝑗 = 1, jika daerah i dan j saling bertetangga, dan 𝜔 𝑖𝑗 = 0, jika daerah i dan j tidak saling bertetangga.
4.2 x Model x CAR x Leroux
Model x Leroux x (Leroux, x Lei x & x Breslow, x 2000) x merupakan x model x yang x hanya x terdiri x dari x komponen x spasial x terstruktur x 𝑢 𝑖 x dimana x 𝜌 x memungkinkan x nilai x yang x bervariasi x antara x nol x dan x satu. x Jika x 𝜌 = 0 x diperoleh x model x independen x dan x jika x 𝜌 = 1 diperoleh x model x ICAR. x Model x tersebut x dapat x dituliskan x sebagai x berikut:
𝑙𝑜𝑔 (𝜃 𝑖 ) = 𝛼 x + 𝑢 𝑖 (2)
dimana,
(𝑢 𝑖 |𝑢 𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑥 𝜏 𝑢 2 𝑥 )~𝑁 ( 𝜌 𝑥 ∑ 𝑢 𝑗 𝜔 𝑖𝑗 𝑗 𝜌 ∑ 𝜔 𝑖𝑗 𝑗 + 𝑥 1 − 𝜌 , 𝜏 𝑢 2 𝜌 ∑ 𝜔 𝑖𝑗 𝑗 + 𝑥 1 − 𝜌 )
4.3 Model x CAR x Localised Model x CAR x Localised x (Lee x & x Sarran, x 2015) x merupakan x model x yang x mirip x dengan x model x Leroux x tetapi x ada x penambahan x satu x komponen x pengelompokkan x pada x model x yaitu x 𝜆 𝑍 𝑖 x yang x memungkinkan x sub x wilayah x memiliki x nilai x spasial x autokorelasi x yang x berbeda, x yang x dapat x dituliskan x sebagai x berikut x : x
𝑙𝑜𝑔(𝜃 𝑖 ) = 𝛼 + 𝑢 𝑖 x + x 𝜆 𝑍 𝑖 (3)
𝑢 𝑖 𝑥 dimodelkan x dengan x menggunakan x prior x CAR.

## 5. Prosedur Penelitian
Prosedur penelitian pada penelitian ini adalah:
1. Melakukan x kajian x referensi x yang x terkait x dengan x model x Bayesian x spasial x CAR x BYM, Leroux , x Localised x (G=2, x G=3, x G=4, x dan x G=5), x kasus x kematian x positif x Covid-19, x jumlah x penduduk, x dan x kepadatan x penduduk x di x Indonesia.
2. Melakukan x pengambilan x data x di x situs x website x resmi x dari x info x Covid-19 x Indonesia x ( https://covid19.go.id/ ) x (Kemenkes x RI, x 2022) x dan x Badan x Pusat x Statistika x (BPS) x (Badan x Pusat x Statistik, x 2021).
3. Menentukan x Model x Bayesian x spasial x CAR x BYM, CAR x x Leroux, dan x CAR x x Localised x (G=2, x G=3, x G=4, x dan x G=5) x menggunakan x program x R x studio.
4. Melakukan x pemetaan x berdasarkan x nilai x taksiran x RR x dengan x menggunakan x model x terbaik.
5. Membuat x interpretasi x dan x hasil x kesimpulan x berdasarkan x hasil x pengolahan x data. 6. Menyusun x laporan x hasil x penelitian.
6. Teknik Analisis Data
1. Mengambil x data x mengenai x banyaknya x kasus x kematian x positif x Covid-19, x data x populasi x penduduk x tahun x 2021 x dan x data x kepadatan x penduduk x dari x tiap x Provinsi x di x Indonesia x di x situs x website x resmi x dari x info x Covid-19 x Indonesia x ( https://covid19.go.id/ ) x (Kemenkes x RI, x 2022) x dan x Badan x Pusat x Statistik x (BPS) x (Badan x Pusat x Statistik, x 2021).
2. Menginput x data x dan x shapefile x Indonesia.
3. Membentuk x matriks x pembobot.
4. Pengujian x autokorelasi x spasial x dengan x perhitungan x statistik x Morans’ I.
5. Memodelkan x data x dengan x menggunakan x Model x Bayesian x Spasial x CAR x BYM, CAR x Leroux, dan x CAR x x Localised x (G=2, x G=3, x G=4, x dan x G=5) x menggunakan x program x R. x Setiap x model x menggunan x 5 x hyperprior x untuk x komponen x 𝜏 𝑢 2 . 6. Melakukan x pengecekan x kekonvergenan.
7. Menentukan x model x terbaik x menggunakan x tiga x kriteria x yaitu x DIC dan WAIC  yang x paling x minimum x (Spiegelhalter,dkk., x 2002), x serta x nilai x residual x MMI x yang x mendekati x nol.
8. Melakukan x pemetaan x berdasarkan x nilai x taksiran x RR x dengan x menggunakan x model x terbaik.
9. Menentukan x Provinsi x yang x berisiko x tinggi x dan x rendah x Covid-19. 10. Interpretasi x dan x penarikan x kesimpulan
HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Analisis Deskriptif 1.1 Kasus Kematian Covid-19
Gambar 1. Peta Persebaran Kasus Kematian Covid-19
Dari x Gambar x 1 x dapat x dilihat x bahwa x provinsi x yang x mempunyai x kasus x kematian x positif x Covid-19 x yang x tinggi x adalah x provinsi x dengan x warna x kuning, x yaitu x Provinsi x Jawa x
Tengah x sebanyak x 26.841 x kasus x dan x kasus x kematian x positif x Covid-19 x terendah x berada x pada x Provinsi x Maluku x sebanyak x 248 x kasus.
1.2 Populasi
Gambar 2. Persebaranx x Pendudukx Setiapx Provinsix dix Indonesiax Tahun 2021
Dari x Gambar x 2 x dapat x dilihat x bahwa x provinsi x yang x mempunyai x jumlah x populasi x yang x tinggi x yaitu x provinsi x berwarna x kuning. x Jawa x Barat x merupakan x provinsi x dengan x populasi x tertinggi x sebanyak x 48.274.162 x penduduk x dan x Kalimantan x Utara x merupakan x provinsi x dengan x populasi x terendah x sebanyak x x 701.814 x penduduk.

## 1.3 Kepadatan Penduduk
Gambar 3. Peta Kepadatan Setiap Provinsi di Indonesia
Dari x Gambar x 3 x dapat x disimpulkan x bahwa x provinsi x yang x mempunyai x kepadatan x penduduk x tertinggi x yaitu x DKI x Jakarta x sebanyak x 15.978 x penduduk x per x km x dan x Kalimantan x Utara x merupakan x provinsi x dengan x kepadatan x penduduk x terendah x yaitu x 9 x penduduk x per x km.
2. Autokorelasi Spasial
Nilai x statistik x Moran’s x I x dari x data x adalah x 4,43 x x x 10 −5 x dengan x nilai x ekspektasi x - 0,03. x Nilai x p-value x = x 4,43 x x x 10 −5 𝑥 dengan x 𝛼 = 0,05 x yang x berarti x nilai x p-value x < x
𝛼 . x Sehingga x dapat x disimpulkan x bahwa x terdapat x autokorelasi x spasial x positif x pada x kasus x kematian x x positif x Covid-19 x di x Indonesia.
3. Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan x model x terbaik x didasarkan x pada x nilai x DIC x terkecil, x WAIC x terkecil, x dan x nilai x residual x MMI x yang x lebih x dekat x dengan x nol. x Ada x 60 x kombinasi x model x yang x telah x digunakan. x Tabel x 1 x merupakan x rangkuman x nilai x MMI x untuk x residual, x WAIC, x dan x DIC x dari x 60 x model x yang x telah x dipilih x sebagai x model x terbaik x dari x masing x masing x model x CAR x BYM, x Leroux x dan x localised x (G=2, x G=3, x G=4, x dan x G=5) x dari x lima x hyperprior x yang x digunakan x dengan x menggunakan x kovariat dan x tanpa x kovariat.
Tabel x 1. x Nilai x DIC, x WAIC, x dan x Residual x MMI x dari x masing-masing x model x Bayesian x
CAR x terbaik Model Prior DIC WAIC Residu x MMI BYM x tanpa x kovariat IG x (1;0,01) 390,62 388,79 0,10 Leroux x tanpa x kovariat IG x (0,5;0,0005) 393,76 400,12 -0,26
Localised x G=2 x dengan kovariat IG x (1;0,01) 401,41 419,00 -0,77 Localised x G=3 x tanpa x kovariat IG x (0,5;0,05) 410,36 472,36 -0,70 Localised x G=4 x dengan x kovariat
IG x (0,5;0,05) 397,36 596,62 -0,58 Localised x G=5 x dengan x kovariat IG x (0,5;0,0005) 416,79 506,18 -0,66
Dari x Tabel x 1 x didapatkan x model x BYM tanpa kovariat x mempunyai x nilai x DIC x (390,62) x dan x WAIC x (388,79) x yang x lebih x kecil x dari x model x yang x lain. x Akan x tetapi, x model x Bayesian x CAR x BYM x x tersebut x tidak x konvergen x dalam x parameter x 𝜏 2 x dan x 𝛽 x sehingga x model x tersebut x tidak x dapat x digunakan x untuk x menaksir x nilai x RR x kasus x kematian Covid- 19 x di x Indonesia. x Sehingga, x model x terbaik x untuk x menaksir x nilai x RR x kasus x kematian x positif x Covid-19 x di x Indonesia x adalah x model x Bayesian  spasial  CAR x Leroux x dengan x IG(0,5;0,0005) x tanpa x kovariat x berdasarkan x nilai x DIC x (393,76), x WAIC x (400,12) x yang x paling x minimum x dan x nilai x residual x dari x MMI x (-0,26) x mendekati x 0. x Model x tersebut x konvergen x dalam x parameter x 𝜏 2 , 𝑥 𝜌 𝑥 , 𝑥 ϕ x , x dan x β x sehingga x dapat x digunakan x dalam x menaksir x RR x kasus x kematian x Covid-19 x di x Indonesia. x Dari x Tabel x 1 x juga x terlihat x bahwa x nilai x residual x MMI x pada x model x CAR x localised x jauh x lebih x besar x (jauh x dari x nilai x nol) x dari x model x CAR x Leroux. x Hasil x pengecekan x kekonvergenan x model x Bayesian x CAR x Leroux x IG(0,5;0,0005) x tanpa x kovariat x dapat x dilihat x pada x Gambar x 4 x – x Gambar x 7 x berikut:
Gambar 4. History x Iteration x Plot x dan x Densitas x Plot x Parameter x 𝜏 2
Gambar 5. History x Iteration x Plot x dan x Densitas x Plot x Parameter x 𝜌
Gambar 6. History x Iteration x Plot x dan x Densitas x Plot x Parameter x ϕ
Gambar 7. x History x Iteration x Plot x dan x Densitas x Plot x Parameter x 𝛽
Selanjutnya, x nilai x RR x untuk x setiap x provinsi x di x Indonesia x dengan x model x terbaik x yaitu x model x Bayesian x spasial x CAR x Leroux x dengan x IG(0,5;0,0005) x tanpa x kovariat x dapat x dilihat x pada x Tabel x 2. x Dari x Tabel x 2 x dapat x dilihat x bahwa x lima x daerah x provinsi x dengan x nilai x RR x tertinggi x kasus x kematian x x Covid-19 x di x Indonesia x adalah Yogyakarta x (RR x = x 2,76), x Kalimantan x Timur x (RR x = x 2,61), x DKI x Jakarta x (RR x = x 2,52), x Kalimantan x Utara x (RR x = x 2,04), x dan x Bangka x Belitung x (RR x = x 1,89). x Sedangkan x provinsi x dengan x lima x nilai x RR x terendah x yaitu x Papua x (RR x = x 0,22), x Maluku x (RR x = x 0,28), x Nusa x Tenggara x Barat x (RR x = x 0,29), x Kalimantan x Barat x (RR x = x 0,35), x dan x Sulawesi x Tenggara x (RR x = x 0,36). Yogyakarta memiliki nilai RR tertinggi yaitu 2,76 artinya risiko kematian Covid-19 di Yogyakarta adalah 176% lebih tinggi dari rata-rata. Dengan kata lain, risiko kematian Covid-19 di Yogyakarta ( exposed group) hampir tiga kali lipat lebih tinggi dibandingkan rata-rata populasi  ( unexposed  group). Peta x Tematik x RR x kasus x kematian x positif x Covid-19 x di x Indonesia x menggunakan x model x terbaik x yaitu x model x Bayesian x spasial x CAR x Leroux x dengan x IG(0,5;0,0005) x tanpa x kovariat x dapat x dilihat x pada x Gambar x 8.
Tabel x 2. x Nilai x RR x pada x kasus x kematian x positif x covid-19 x menggunakan x model x terbaik ID Provinsi RR ID Provinsi RR 1 Bangka x Belitung 1,89 18  Yogyakarta 2,76 2 Gorontalo 0,73 19  Kalimantan x Selatan 1,07 3 Riau 1,19 20  Sulawesi x Utara 0,78 4 DKI x Jakarta 2,52 21  Kalimantan x Utara 2,04 5 Kepulauan x Riau 1,55 22  Sulawesi x Barat 0,49 6 Sulawesi x Selatan 0,46 23  Maluku x Utara 0,46 7 Sumatera x Selatan 0,69 24  Kalimantan x Tengah 0,99 8 Kalimantan x Barat 0,35 25  Nusa x Tenggara x Timur 0,48 9 Aceh 0,72 26  Papua x Barat 0,57 10  Bengkulu 0,45 27  Jawa x Barat 0,56 11  Lampung 0,79 28  Sulawesi x Tenggara 0,36 12  Jawa x Tengah 1,56 29  Sumatera x Barat 0,73
13  Nusa x Tenggara x Barat 0,29 30  Papua 0,22 14  Sumatera x Utara 0,37 31  Kalimantan x Timur 2,61 15  Jambi 0,42 32  Maluku 0,28 16  Banten 0,42 33  Bali 1,87 17  Jawa x Timur 1,33 34  Sulawesi x Tengah 0,99
Gambar 8. Risiko x Relatif x Kasus x Kematian x positif x Covid-19 x di x Indonesia SIMPULAN Hasil x analisis x yang x dilakukan x diperoleh x nilai x DIC, x WAIC, x dan x Residu x MMI x yang x minimum x masing-masing x Model x Bayesian x Spasial x CAR x BYM, x Leroux, x Localised x G=2 , x Localised x G=3, x Localised x G=4, x dan x Localised x G=5 x yaitu x Model x Bayesian x Spasial x CAR x BYM x dengan x IG(0,5;0,0005) x dengan x kovariat, x Model x Bayesian x Spasial x CAR x Leroux x dengan x IG(0,5;0,0005) x tanpa x kovariat, x Model x Bayesian x Spasial x CAR x Localised x G=2 x
dengan x IG(0,5;0,0005) x tanpa x kovariat, x Model x Bayesian x Spasial x CAR x Localised x G=3 x dengan x IG(0,5;0,05) x tanpa x kovariat, x Model x Bayesian x Spasial x CAR x Localised x G=4 x dengan x IG(0,5;0,05) x dengan x kovariat, x dan x Model x Bayesian x Spasial x CAR x Localised x G=5 x dengan x IG(0,5;0,0005) x dengan x kovariat. x Maka, x berdasarkan x kriteria x pemilihan x model x terbaik x didapatkan x model x Bayesian x Spasial x CAR x BYM x dengan x IG(0,5;0,0005) x dengan x kovariat x x mempunyai x nilai x DIC x dan x WAIC x paling x minimum. x Akan x tetapi, x estimasi x parameter x dari x model x tersebut x tidak x konvergen. x Artinya x model x tersebut x tidak x dapat x dilanjutkan x untuk x menaksir x nilai x risiko x relatif. x Sehingga x model x terbaik x dalam x menaksir x nilai x risiko x relatif x kasus x kematian x positif x Covid-19 x di x Indonesia x adalah x model x Bayesian x Spasial x CAR x Leroux x tanpa x kovariat x dengan x IG(0,5;0,0005) x dengan x nilai x DIC x (393,76), x WAIC x (400,12) x yang x paling x minimum x dan x nilai x Residu x dari x MMI x (-0,26) x x mendekati x 0. x Berdasarkan x data x banyaknya x kasus x kematian x positif x Covid-19, x data x populasi x penduduk, x dan x data x kepadatan x penduduk x di x setiap x provinsi x di x Indonesia. x Lima x Provinsi x dengan x nilai x RR x tertinggi x kasus x kematian x positif x Covid-19 x di x Indonesia x paling x tinggi x yaitu x Provinsi x Yogyakarta x (RR x = x 2,76), x Kalimantan x Timur x (RR x = x 2,61), x DKI x Jakarta x (RR x = x 2,52), x Kalimantan x Utara x (RR x = x 2,04), x dan x Bangka x Belitung x (RR x = x 1,89). x Sedangkan x Provinsi x dengan x lima x nilai x RR x terendah x yaitu x Papua x (RR x = x  x 0,22), x Maluku x (RR x = x 0,28), x Nusa x Tenggara x Barat x (RR x = x 0,29), x Kalimantan x Barat x (RR x = x 0,35), x dan x Sulawesi x Tenggara x (RR x = x 0,36).

## REFERENSI
Aprianti, W., & Maliha U. (2016). Sistem Informasi Kepadatan Penduduk atau Desa Studi kasus pada Kecamatan Bati-Bati .2(2013), 21 – 28.
Aswi, A., Cramb, S., Duncan, E., & Mengersen, K. (2020). Evaluating the impact of a small number of areas  on  spatial  estimation. International  Journal  of  Health  Geographics ,  19(1),  1 – 14. https://doi.org/10.1186/s12942-020-00233-1
Aswi, A., Cramb, S., Duncan, E., & Mengersen, K. (2021). Detecting Spatial Autocorrelation for a Small Number  of  Areas:  A  practical  example. Journal  of  Physics:  Conference  Series ,  1899(1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1899/1/012098
Aswi, A., Tiro, M. A., Sudarmin, S., Sukarna, S., & Cramb, S. (2022). the Interplay Between Clusters, Covariates, and Spatial Priors in Spatial Modelling of Covid-19 in South Sulawesi Province, Indonesia. Media Statistika , 15(1), 48 – 59. https://doi.org/10.14710/medstat.15.1.48-59 Badan Pusat Statistik. (2022). Jumlah Penduduk Setiap Provinsi Di Indonesia . Besag, J., York, J., & Mollié, A. (1991). Bayesian image restoration, with two applications in spatial statistics. Annals of The Institute of Statistical Mathematics , 43(1), 1-20. BPMI  Setpres.  (2020). Pemerintah  Tetapkan  Status  Kedaruratan  Kesehatan  Masyarakat . https://www.presidenri.go.id/siaran-pers/pemerintah-tetapkan-status-kedaruratan-kesehatan- masyarakat/ .
Carrijo, T. B., & Da Silva, A. R. (2017). Modified Moran’s I for Small Samples . Geographical Analysis , 49(4), 451-467. doi:10.1111/gean.12130.
Kemenkes RI. (2022). Situasi Covid-19 Di Indonesia (per tanggal 12 April 2022) .
Khaerati, R., Thamrin, S. A., & Jaya, A. K. (2020). Bayesian Conditional Autoregressive (CAR) dengan Model Localised dalam Menaksir Risiko Relatif DBD di Kota Makassar. ESTIMASI: Journal of Statistics and Its Application , 1(1), 21. https://doi.org/10.20956/ejsa.v1i1.9298 Lee, D., & Sarran, C. (2015). Controlling for unmeasured confounding and spatial misalignment in long ‐ term air pollution and health studies . Environmetrics, 26(7), 477-487. Leroux, B. G., Lei, X., & Breslow, N. (2000). Estimation of Disease Rates in Small Areas: A new Mixed Model  for  Spatial  Dependence . Statistical  models  in  epidemiology,  the  environment,  and clinical trials , 116, 179-191. doi:10.1007/978-1-4612-1284-3_4.
Lutfi,  A.,  Aidid,  M.  K.,  &  Sudarmin,  S.  (2019).  Identifikasi  Autokorelasi  Spasial  Angka  Partisipasi Sekolah di Provinsi Sulawesi Selatan Menggunakan Indeks Moran. Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research , 1(2), 1 – 8. https://doi.org/10.35580/variansi.v1i2.9354 .
M. Gayo, U. C., Rusdi, M., Fazlina, D., Studi, P., Sumber, P., Lahan, D., Pertania, F., & Kuala, U. S. (2018). Distribusi Spasial Lahan Kopi Eksisting Berdasarkan Ketinggian dan Arahan Fungsi Kawasan di Kabupaten Aceh Tengah Spatial Distribution of Existing Coffee Land Based on Altitude and Direction of Function Area in Central Aceh Regency * corresponding author. Jurnal Ilmiah Mahasiswa Pertanian Unsyiah , 3(4), 1 – 7.
Simatauw, A., Sediyono, E., & Prasetyo, S. Y. J. (2019). Autokorelasi Spasial Untuk Analisis Pola Pengawasan  Kawasan  Lindung  Di  Kota  Ambon  Maluku. Teknika ,  8(1),  36 – 43. https://doi.org/10.34148/teknika.v8i1.144 .
Spiegelhalter, D. J., Best, N. G., Carlin, B. P., & Van Der Linde, A. (2002). Bayesian measures of model complexity and fit. Journal of the Royal Statistical Society. Series B, Statistical methodology, 64(4), 583-639. doi:10.1111/1467-9868.00353 . Sunengsih, N., Nyoman, I. G., Jaya, M., & Tantular, B. (2016). Bayesian Conditional Autoregressive (CAR) Dalam Menaksir Resiko Relative Diare di Kota Bandung . 21 – 26.
Susilo, A., Rumende, C. M., Pitoyo, C. W., Santoso, W. D., Yulianti, M., Herikurniawan, H., Sinto, R., Singh, G., Nainggolan, L., Nelwan, E. J., Chen, L. K., Widhani, A., Wijaya, E., Wicaksana, B., Maksum, M., Annisa, F., Jasirwan, C. O. M., & Yunihastuti, E. (2020). Coronavirus Disease 2019:  Tinjauan  Literatur  Terkini. Jurnal  Penyakit  Dalam  Indonesia ,  7(1),  45. https://doi.org/10.7454/jpdi.v7i1.415 .
Tiro, M. A., Aswi, A., & Rais, Z. (2021a). Association of Population Density and Distance to the City with  the  Risks  of  COVID-19:  A Bayesian Spatial  Analysis. Journal of Physics:  Conference Series , 2123(1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/2123/1/012001
Tiro,  M.  A.,  Aswi,  A.,  &  Rais,  Z.  (2021b).  Perbandingan  Model  Bayesian  Spasial  Conditional Autoregressive (CAR): Kasus Covid-19 di Kota Makassar, Indonesia. Seminar Nasional LP2M UNM , 2019, 1026 – 1034.
Whittle, R. S., & Diaz-Artiles, A. (2020). An ecological study of socioeconomic predictors in detection of  COVID-19  cases  across  neighborhoods  in  New  York  City. BMC  Medicine ,  18(1),  1 – 17. https://doi.org/10.1186/s12916-020-01731-6 .
Yu, X., Wong, M. S., Kwan, M. P., Nichol, J. E., Zhu, R., Heo, J., Chan, P. W., Chin, D. C. W., Yin, C., Kwok,  T.,  &  Kan,  Z.  (2021).  COVID-19 Infection  and Mortality :  Association  with  PM  2  .  5 Concentration and Population Density — An Exploratory Study.
Yuriantari, N. P., Hayati, M. N., & Wahyuningsih, S. (2017). Analisis Autokorelasi Spasialtitik Panas Di Kalimantan Timur Menggunakan Indeks Moran dan Local Indicator Of Spatial Autocorrelation (LISA) Analysis Spatial Autocorrelation Hotspot in East Kalimantan Using Index Moran and Local Indicator of Spatial Autoco. Eksponensial , 8(1), 63 – 70.