## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10468
Hasil Kali Matriks ( Mod 2 ) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
Fransiskus Fran 1* , Novita Indah Saputri 2, Mariatul Kiftiah 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Tanjungpura, Jl. Prof. Dr. Hadari Nawawi, Kota Pontianak 78124, Kalimantan Barat, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: fransiskusfran@math.untan.ac.id
ABSTRAK 1
Pada  artikel  ini  dibahas  sifat-sifat  hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  terkait  graf  roda (𝑊 𝑛 ) , graf pertemanan (𝐹 𝑛 ) dan  graf  bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) yang  grafikal.  Beberapa  hasil  yang  diperoleh, 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) dan 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑆 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal  apabila 𝑛 = 2𝑘 + 1, dengan 𝑆 𝑛 merupakan graf bintang. Selanjutnya, diperoleh 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) dan 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal  untuk  semua 𝑛 ≥ 3, dengan 𝐺 0 adalah  subgraf  dari 𝑊 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺0 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺0 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 . Hasil kali matriks ( mod 2 ) yang grafikal juga diperoleh untuk graf pertemanan dan graf bunga dengan komplemen dan subgrafnya masing- masing. Hasil lebih umum diperoleh untuk kondisi sehingga 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
Kata Kunci:
Matriks Ketetanggaan; Subgraf; Graf Roda; Graf Pertemanan; Graf Bunga; Hasil Kali Matriks

## ABSTRACT
In  this  paper,  we  discussed  the  properties  of  the  wheel,  flower  and  friendship  graphs  for  which  the matrix product under modulo 2 were graphical.  Let 𝑆 𝑛 be a star graph and G 0 be a subgraph of 𝑊 𝑛 where 𝑑𝑒𝑔 𝐺0 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺0 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊𝑛 𝑣 𝑙 , for 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 .  We  proved  the  matrix  product 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) and 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑆 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) was  graphical  for 𝑛 = 2𝑘 + 1, and    the  matrix product 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) and 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) was graphical for all 𝑛 ≥ 3 . For the next, a graphical matrix product (mod 2) was also obtained for the friendship graph and the flower graph with its complement and subgraph, respectively. As more general results were obtained for conditions such that 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺) (mod 2) was graphical.
Keywords: Adjacency Matrix; Subgraph; Wheel Graph; Flower Graph; Friendship Graph; Matrix Product
Format Sitasi:
F.  Fran,  N.  I.  Saputri  and  M.  Kiftiah ,  “ Hasil  Kali  Matriks  (Mod  2)  pada  Graf  Roda,  Graf Pertemanan dan Graf Bunga ,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 2, pp.167-179, 2021.

## 1.  Pendahuluan
Suatu  graf 𝐺 adalah  pasangan  himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 merupakan himpunan  tak kosong  dari  simpul-simpul  dan 𝐸 merupakan  himpunan  (boleh  kosong)  pasangan simpul-simpul (𝐸 ⊆ 𝑉 × 𝑉) .  Pasangan  simpul  selanjutnya  disebut  sisi.  Berdasarkan
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 F. Fran., N. I. Saputri, M. Kiftiah | Under the license CC BY-NC 4.0 Received: 6 May 2021 | Accepted: 7 June 2021 | Online: 9 June 2021
sisinya, graf 𝐺 merupakan graf sederhana jika tidak memuat loop dan sisi ganda. Pada artikel  ini  lebih  khusus  akan  dibahas  terkait  graf  sederhana.  Terdapat  beberapa  graf sederhana yang menjadi fokus pada tulisan ini, yaitu graf roda, graf pertemanan dan graf  bunga.  Graf  roda  merupakan  graf  yang  dapat  dibentuk  dari  graf cycle ,  dan berdasarkan  graf  roda  dapat  dibentuk  graf  pertemanan  dan  graf  helm.  Lebih  lanjut, dari graf helm dapat dibentuk graf bunga.
Berdasarkan  graf  sederhana  yang  telah  dipaparkan,  dapat  dibentuk  pula  graf  baru yaitu  komplemen  graf  dan  subgraf.  Misalkan 𝐺 graf  sederhana,  komplemen  dari 𝐺 dinotasikan  dengan 𝐺 merupakan  graf  dengan 𝑉(𝐺) = 𝑉(𝐺) dan  sisi (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐺) jika dan hanya jika sisi (𝑢, 𝑣) ∉ 𝐸(𝐺) . Sedangkan, 𝐻 merupakan subgraf dari 𝐺 jika dan hanya jika 𝑉(𝐻) ⊆ 𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐻) ⊆ 𝐸(𝐺) .
Jika diberikan suatu graf, maka graf ini dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Salah  satu  matriks  yang  dapat  merepresentasikan  graf  adalah  matriks  ketetanggaan . Telah  banyak  penelitian terkait  matriks  ketetanggaan,  diantaranya  oleh  Metha  dan Acharya  [1]  yang  meneliti  tentang  matriks  ketetanggaan  dari  hasil  kali  graf.  Pada tahun  2013,  Prasad, et.al. [2] memperkenalkan  tentang  konsep  perkalian  matriks ketetanggaan dari graf-graf dengan banyak simpul yang sama, untuk memperoleh graf baru.  Apabila  hasil  kali  matriks  ketetanggaan  menghasilkan  matriks  simetris (0,1) dengan  diagonal nol , maka  akan  diperoleh  realisasi  hasil  kali  matriks  ketetanggaan dalam bentuk graf .
Berdasarkan  konsep  perkalian  matriks,  beberapa  hasil  perkalian  matriks  pada  graf sangat  mungkin  tidak  memenuhi  syarat  untuk  mempunyai  realisasi  dalam  bentuk graf, salah satunya ketika terdapat entri hasil kali matriks yang bernilai selain nol atau satu.  Prasad, et.al. [3]  melanjutkan  penelitiannya  dengan  memperkenalkan  tentang hasil kali matriks ( mod 2 ) pada graf dan memberikan sifat-sifat hasil kali matriks ( mod 2 )  yang  grafikal.  Oleh  karena  masing-masing  graf  mempunyai  karakteristik  yang berbeda-beda, sifat-sifat khusus yang lebih spesifik dapat diperoleh juga terkait hasil kali matriks ( mod 2 ). Penelitian pada graf yang lebih khusus, dilakukan oleh John dan Jency [4]-[5] tentang hasil kali matriks ( mod 2 ) pada graf cycle dan graf Petersen yang masing-masing  merupakan  graf  regular  (graf  dengan  simpul-simpulnya  berderajat sama).  Pengembagan lainnya dilakukan oleh Bhat, et.al. [6] yang menurunkan konsep baru yaitu hasil kali matriks 𝐴(𝐺)𝐵(𝐺) yang grafikal, dengan 𝐵(𝐺) merupakan matriks insidensi (0,1) dari graf 𝐺 .  Kemudian, sifat komutatif hasil kali matriks yang grafikal antara graf dan komplemennya yang diperumum dibahas oleh Bhat dan Sudhakara [7] dan penelitiannya dilanjutkan pada [8], membahas tentang sifat komutatif berdasarkan partisi himpunan simpul graf yang memenuhi sifat-sifat perfect matching .
Penelitian terkait hasil kali matriks ( mod 2 ) untuk graf tak regular masih terbuka untuk dikaji.    Dalam  artikel  ini  dibahas  tentang  hasil  kali  matriks (mod  2) pada  graf  tak regular  khususnya  graf  roda  yang  merupakan  pengembangan  dari  hasil  penelitian Saputri, et.al. [9] tentang perkalian matriks pada graf roda. Hasil kali matriks ( mod 2 ) yang dibahas dikaitkan dengan komplemen dan subgrafnya. Selain itu, dibahas pula hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  pada  graf  pertemanan  dan  graf  bunga  yang  masih merupakan keluarga graf roda.

## 2.  Dasar Teori
Seperti yang telah dipaparkan, untuk memperoleh hasil kali matriks, terlebih dahulu perlu  diketahui  matriks  ketetanggaan  dari  graf  yang  diberikan.  Untuk  itu,  diberikan definisi matriks ketetanggaan sebagai berikut.
Definisi  1. [2]  Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graf  sederhana  dan  tak  berarah  dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣 1 , 𝑣 2 , ⋯ , 𝑣 𝑛 } . Matriks  ketetanggaan  dari 𝐺 dinyatakan  dengan 𝐴(𝐺) = (𝑎 𝑖𝑗 ) adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan 𝑎 𝑖𝑗 = 1 jika simpul 𝑣 𝑖 dan 𝑣 𝑗 bertetangga, selain itu 𝑎 𝑖𝑗 = 0;  1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛.
Jika terdapat sisi (𝑢, 𝑣) untuk simpul 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐺, simpul 𝑢 dan 𝑣 dikatakan bertetangga dan  dinotasikan  dengan 𝑢~ 𝐺 𝑣 .  Berdasarkan  Definisi  1  dapat  diketahui  bahwa  pada suatu graf tak berarah 𝐺 , jika simpul 𝑣 𝑖 bertetangga dengan simpul 𝑣 𝑗 , maka simpul 𝑣 𝑗 bertetangga dengan simpul 𝑣 𝑖 , sehingga pada matriks ketetanggaannya 𝐴(𝐺) = (𝑎 𝑖𝑗 ) entri 𝑎 𝑖𝑗 bernilai  sama  dengan  entri 𝑎 𝑗𝑖 .  Oleh  karena  itu, 𝐴(𝐺) merupakan  matriks simetris. Simpul-simpul yang saling bertetangga pada graf 𝐺 akan menentukan derajat dari  simpul  tersebut,  yang  pada  artikel  ini  dinotasikan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣, 𝑣 ∈ 𝐺 .  Derajat  suatu simpul 𝑣 ∈ 𝐺 merupakan banyak sisi yang bersisian dengan simpul 𝑣 [10].
Hasil  kali  matriks  ketetanggaan  dapat  merupakan  matriks  ketetanggaann  dari  suatu graf  tertentu  jika  matriks  tersebut  grafikal.  Konsep  matriks  yang  grafikal  diberikan pada Definisi 2 dan pada Definisi 3 terkait hasil kali matriks ( mod 2 ).
Definisi  2. [2]  Matriks  grafikal  adalah  matriks  simetris (0,1) dengan  diagonalnya mempunyai  entri  yang  semuanya  nol.  Untuk  suatu  graf 𝐺 dan  matriks  grafikal 𝐵 dengan 𝐵 = 𝐴(𝐺) , maka 𝐺 disebut realisasi dari 𝐵 .
Definisi 3. [3] Graf 𝛹 merupakan hasil kali matriks ( mod 2 ) dari graf 𝐺 dan 𝐻 apabila 𝐴(𝐺)𝐴(𝐻) ( mod 2 ) adalah grafikal dan graf 𝛹 adalah realisasi dari 𝐴(𝐺)𝐴(𝐻) ( mod 2 ) .
Contoh 1. Diberikan graf 𝐺 dan graf 𝐻 seperti pada Gambar 1.
(a) (b) Gambar 1. (a) Graf 𝐺 dan (b) Graf 𝐻
Matriks ketetanggaan dari 𝐺 dan 𝐻 berdasarkan Definisi 1 adalah,
𝐴(𝐺) =
[ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dan 𝐴(𝐻) =
[ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0]
Berdasarkan 𝐴(𝐺) dan 𝐴(𝐻) diperoleh 𝐴(Ψ) yaitu hasi kali ( mod 2 ) dari 𝐴(𝐺) dan 𝐴(𝐻),
𝐴(𝛹) = [ 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0] .
Berdasarkan  Definisi  2  dan  Definisi  3,  matriks 𝐴(𝛹) grafikal,  dan  realisasi  graf 𝛹 seperti pada Gambar 2.
Gambar 2. Graf 𝛹
Selanjutnya,  konsep  hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  diterapkan  untuk  graf  roda  sebagai pengembangan  dari  hasil  penelitian  Saputri, et.al [9]  dan  dibahas  pula  untuk  graf pertemanan (𝐹 𝑛 ) yang  dapat  dipandang  sebagai  subgraf  dari (𝑊 2𝑛 ) serta  graf  bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) yang merupakan graf yang dibentuk dari  graf helm. Untuk itu terlebih dahulu diberikan Teorema 1 yang merupakan salah satu karakteristik hasil kali ( mod 2 ) pada suatu graf G dan komplemennya yang telah dibahas oleh Prasad, et.al [3] (untuk bukti Teorema 1 dapat dilihat di [3]).
Teorema  1. [3]  Diberikan  graf 𝐺 dengan 𝐺 adalah  komplemennya  serta  memiliki himpunan simpul yang sama yaitu {𝑣 0 , 𝑣 1 , ⋯ , 𝑣 𝑛 } . Pernyataan berikut ekuivalen:
a. 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal
b. Untuk setiap 𝑘 dan 𝑙, 0 ≤ 𝑘, 𝑙 ≤ 𝑛, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣 𝑘 − 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2)

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Sebelum  membahas  hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  pada  graf  roda,  graf  pertemanan  dan graf bunga, diberikan definisi graf cycle , graf bintang dan masing-masing graf tersebut. Graf cycle merupakan  graf  sederhana  yang  simpul-simpulnya  berderajat  dua.  Graf cycle dengan 𝑛 simpul dilambangkan dengan 𝐶 𝑛 [11]. Graf Roda (𝑊 𝑛 ) merupakan graf yang  diperoleh  dengan  menambahkan  satu  simpul  baru  pada  graf cycle sehingga masing-masing simpul pada graf cycle bertetangga dengan simpul baru tersebut [12]. Graf  roda  mempunyai  himpunan  simpul 𝑉(𝑊 𝑛 ) = {𝑣 𝑙 |𝑙 = 0,1,2, … , 𝑛} dan  himpunan sisi 𝐸(𝑊 𝑛 ) = {(𝑣 0 , 𝑣 𝑙 ), (𝑣 1 , 𝑣 𝑛 )|𝑙 = 1,2, … , 𝑛} ∪ {(𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑙+1 )|𝑙 = 1,2, … , 𝑛 − 1} dengan 𝑣 0 merupakan  simpul  pusat  graf  roda.  Salah  satu  subgraf  dari  graf  roda  adalah  graf bintang (𝑆 𝑛 ) yang  merupakan  graf  sederhana  dengan  1  simpul  berderajat 𝑛 dan 𝑛 simpul anting-anting (berderajat 1). Graf pertemanan dinotasikan 𝐹 𝑛 adalah graf yang memiliki 𝑛 salinan graf 𝐶 3 yang bertemu di satu simpul pusat [13]. Graf pertemanan mempunyai 2𝑛 + 1 simpul  dan  merupakan  subgraf  dari 𝑊 2𝑛 .  Graf  pertemanan mempunyai himpunan simpul 𝑉(𝐹 𝑛 ) = {𝑣 𝑙 |𝑙 = 0,1,2, … ,2𝑛} dan himpunan sisi 𝐸(𝐹𝑙 𝑛 ) = {(𝑣 0 , 𝑣 𝑙 )|𝑙 = 1,2, … ,2𝑛} ∪ {(𝑣 2𝑙−1 , 𝑣 2𝑙 )|𝑙 = 1,2, … , 𝑛} . Dari graf roda, dapat dibentuk pula graf  helm (𝐻 𝑛 ) yaitu  graf  yang  diperoleh  dari  graf  roda  dengan  menambahkan  sisi
Hasil Kali Matriks ( Mod 2 ) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
anting-anting  pada  masing-masing  simpul  di cycle luar  [14].  Sedangkan  graf  bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) merupakan  graf yang diperoleh dari  graf helm dengan menghubungkan  setiap simpul  anting-anting  ke  simpul  pusat  dari  graf  helm  [14].  Graf  bunga  mempunyai himpunan  simpul 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) = {𝑣 𝑙 |𝑙 = 0,1,2, … ,2𝑛} dan  himpunan  sisi 𝐸(𝐹𝑙 𝑛 ) = {(𝑣 0 , 𝑣 𝑙 ), (𝑣 1 , 𝑣 2𝑛−1 )|𝑙 = 1,2, … ,2𝑛} ∪ {(𝑣 2𝑙−1 , 𝑣 2𝑙 ), (𝑣 2𝑙−1 , 𝑣 2𝑙+1 )| 𝑙 = 1,2, … , 𝑛}. Ilustrasi graf roda, graf pertemanan dan graf bunga dapat dilihat pada Gambar 3.
(a) (b)
(c) Gambar 3. (a) Graf 𝑊 4 , (b) Graf 𝐹 4 , (c) Graf 𝐹𝑙 4
Berdasarkan  Definisi  1, 𝐴(𝑊 𝑛 ) merupakan  matriks  berukuran (𝑛 + 1) × (𝑛 + 1). Sedangan 𝐴(𝐹 𝑛 ) dan 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 ) merupakan  matriks  berukuran (2𝑛 + 1) × (2𝑛 + 1). Selanjutnya, berdasarkan Definisi 2 dan Definisi 3, maka hasil kali 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) tidak  grafikal,  hal  ini  karena  matriks  ketetanggaan  merupakan  matriks  simetris  dan titik-titik selain titik pusat pada graf roda mempunyai  derajat 3. Akibatnya, terdapat elemen  diagonal  utama  pada  matriks  hasil  kali  tersebut  yang  tidak  nol  setelah dimodulokan 2. Terkait perkalian matriks ( mod 2 ) pada graf roda dan komplemennya, diberikan pada Teorema 2.
Teorema 2. Diberikan graf roda 𝑊 𝑛 dengan 𝑊 𝑛 adalah komplemennya .
a. 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) tidak grafikal untuk 𝑛 = 2𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℕ dan 𝑘 ≥ 2 .
b. 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal untuk 𝑛 = 2𝑘 + 1 dan 𝑘 ∈ ℕ .
Bukti:
a. Diberikan  graf 𝑊 𝑛 dan 𝑊 𝑛 dengan 𝑛 = 2𝑘 .  Graf 𝑊 𝑛 dan 𝑊 𝑛 memiliki  himpunan simpul yang sama yaitu {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } dengan 𝑣 0 adalah simpul pusat. Akibatnya matriks ketetanggaan dari 𝑊 𝑛 , 𝐴(𝑊 𝑛 ) = (𝑎 𝑖𝑗 ) dengan 𝑎 1𝑗 = 𝑎 𝑖1 = 1, 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 dan 𝑎 11 = 0, sedangkan untuk 𝑎 𝑖𝑗 dengan 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 adalah,
𝑎 𝑖𝑗 = { 1,    𝑗 = 𝑖 ± 1, 𝑗 = 𝑖 ± (𝑛 − 1) 0,                                  𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.
Matriks ketetanggaan dari 𝑊 𝑛 , 𝐴(𝑊 𝑛 ) = (𝑎′ 𝑖𝑗 ) dengan 𝑎′ 1𝑗 = 𝑎′ 𝑖1 = 0, untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 dan untuk 𝑎′ 𝑖𝑗 dengan 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 adalah,
𝑎′ 𝑖𝑗 = { 0,    𝑗 = 𝑖, 𝑗 = 𝑖 ± 1 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 𝑖 ± (𝑛 − 1) 1,                                                      𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.
Dari 𝐴(𝑊 𝑛 ) dan 𝐴(𝑊 𝑛 ) diperoleh 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 ) = (𝑐 𝑖𝑗 ) dengan entri-entriya 𝑐 1𝑗 untuk 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 adalah 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 ≢ 0 (𝑚𝑜𝑑 2). Sedangkan 𝑐 𝑖1 adalah 0, oleh karena itu,
𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 ) dengan 𝑛 = 2𝑘 tidak grafikal.
b. Diberikan graf 𝑊 𝑛 dan 𝑊 𝑛 dengan 𝑛 = 2𝑘 + 1 . Untuk 𝑛 = 3 , 𝑊 𝑛 merupakan graf null . Oleh karena itu, diperoleh 𝐴(𝑊 3 ) merupakan matriks yang semua entrinya adalah nol. Akibatnya, semua entri pada 𝐴(𝑊 3 )𝐴(𝑊 3 )(𝑚𝑜𝑑 2) adalah nol (grafikal).  Untuk 𝑛 > 4 dengan 𝑛 = 2𝑘 + 1 , 𝑊 𝑛 dan 𝑊 𝑛 memiliki  himpunan  simpul  yang  sama yaitu {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } dengan 𝑣 0 adalah  simpul  pusat.  Berdasarkan  definisi  graf roda 𝑊 𝑛 , diperoleh 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 0 = 𝑛 = 2𝑘 + 1 dan 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 = 3 untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 . Akibatnya,  untuk  setiap 𝑖 dan 𝑗 , 0 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 , 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑖 − 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑗 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2) .
Berdasarkan Teorema 1, 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal . ■
Contoh 2. Diberikan graf roda 𝑊 5 dan kompelmennya 𝑊 5 seperti pada Gambar 4.
(a) (b)
Gambar 4. (a) Graf 𝑊 5 dan (b) Graf 𝑊 5
Dari  Gambar  4,  diperoleh  matriks  ketetanggaan 𝐴(𝑊 5 ) dan 𝐴(𝑊 5 ) sehingga 𝐴(𝛹) = 𝐴(𝑊 5 )𝐴(𝑊 5 )(𝑚𝑜𝑑 2) adalah,
𝐴(𝛹) = [ 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0] .
Berdasarkan Definisi 3, 𝐴(𝛹) merupakan matriks yang grafikal, sehingga terdapat graf 𝛹 merupakan realisasi dari 𝐴(𝛹) seperti pada Gambar 5.
Gambar 5. Graf Ψ
Untuk selanjutnya, pembahasan berfokus pada hasil perkalian matriks (𝑚𝑜𝑑 2) terkait graf roda yang grafikal.
Teorema 3. Jika diberikan graf roda 𝑊 𝑛 dan 𝐺 0 adalah subgrafnya dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 0 =
0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 , maka 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
Bukti. Misalkan 𝑊 𝑛 merupakan  graf  roda, 𝐴(𝑊 𝑛 ) = (𝑎 𝑖𝑗 ) sama  seperti  pada  bukti Teorema  2  (a)  dan 𝐺 0 adalah  subgraf  dari 𝑊 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 sehingga 𝐴(𝐺 0 ) = (𝑑 𝑖𝑗 ) dengan  entri-entrinya 𝑑 1𝑗 = 𝑑 𝑖1 = 0 untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 ,  dan 𝑑 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 untuk 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 .  Berdasarkan 𝑎 𝑖𝑗 dan 𝑑 𝑖𝑗 diperoleh 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) = (𝑤 𝑖𝑗 ). Hasil 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) untuk 𝑛 = 3,4 merupakan matriks null (grafikal). Sedangkan untuk 𝑛 ≥ 5, diperoleh entri-entri 𝑤 1𝑗 = 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 𝑙 = 2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2), 𝑙 = 𝑗 − 1 dan 𝑤 i1 = 0 untuk 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 .  Untuk 𝑤 𝑖𝑗 dengan 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 adalah,
𝑤 𝑖𝑗 = { 1,         𝑗 = 𝑖 ± 2 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 𝑖 ± (𝑛 − 2)
0,                                                 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.
Dari 𝑤 𝑖𝑗 diperoleh  bahwa  entri  diagonal  pada 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) adalah  0  dan 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) merupakan  matriks  simetris (0,1). Oleh  karena  itu,
𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal. ■
Contoh 3. Diberikan graf 𝑊 3 dan 𝐺 0 seperti pada Gambar 6.
(a) (b)
Gambar 6. (a) Graf 𝑊 3 dan (b) Graf 𝐺 0
Dari Gambar 6, hasil kali matriks ketetanggaan untuk graf 𝑊 3 dan 𝐺 0 adalah 𝐴(𝛹) = 𝐴(𝑊 3 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) sebagai berikut.
𝐴(𝛹) = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
Matriks 𝐴(𝛹) adalah  matriks  grafikal.  Oleh  karena  itu, 𝐴(𝑊 3 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) dapat direalisasikan dalam bentuk graf seperti pada Gambar 7.

## Gambar 7. Graf 𝛹
Selanjutnya,  ditinjau  hasil  kali  matriks (𝑚𝑜𝑑 2) dari  komplemen  graf  roda  dengan beberapa  subgraf  yang  diperoleh  dari  graf  roda.  Untuk  lebih  jelasnya,  dibahas  pada Teorema 4 dan Teorema 5.
Teorema 4. Diberikan komplemen graf roda (𝑊 𝑛 ) dan graf bintang 𝑆 𝑛 . Jika 𝑛 = 2𝑘 + 1 dan 𝑘 ∈ ℕ maka 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑆 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
Bukti. Diberikan 𝑊 𝑛 merupakan graf roda dan 𝑊 𝑛 komplemen dari 𝑊 𝑛 . Seperti pada bukti  Teorema  2  (a), 𝐴(𝑊 𝑛 ) = (𝑎′ 𝑖𝑗 ) dan  graf  bintang 𝑆 𝑛 (dapat  dipandang  sebagai subgraf 𝑊 𝑛 ),  dengan 𝐴(𝑆 𝑛 ) = (𝑠 𝑖𝑗 ) dengan 𝑠 1𝑗 = 𝑠 𝑖1 = 1, 2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 dan 𝑠 𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖, 𝑗 lainnya. Berdasarkan 𝑎′ 𝑖𝑗 dan 𝑠 𝑖𝑗 diperoleh 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑆 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) = (𝑓 𝑖𝑗 ). Oleh karena 𝑊 3 merupakan graf null , 𝐴(𝑊 3 )𝐴(𝑆 3 )(𝑚𝑜𝑑 2) merupakan matriks null (grafikal). Sedangkan  untuk 𝑛 ≥ 4, entri-entri 𝑓 𝑖𝑗 adalah 𝑓 𝑖1 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 ,   untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 + 1, 𝑙 = 𝑖 − 1 dan 𝑓 𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖, 𝑗 lainnya.  Oleh  karena 𝑓 i1 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 ,  maka  agar 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑆 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal haruslah 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2) , yang dipenuhi ketika 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℕ . ■
Contoh 4. Diberikan graf 𝑊 3 ̅̅̅̅ dan graf 𝑆 3 seperti pada Gambar 8.
(a) (b) Gambar 8. (a) graf 𝑊 3 ̅̅̅̅ dan (b) Graf 𝑆 3
Dari  Gambar  8,  dapat  diperoleh  matriks  ketetanggaan 𝐴(𝑊 3 ̅̅̅̅) dan 𝐴(𝑆 3 ) sehingga 𝐴(𝛹) = 𝐴(𝑊 3 ̅̅̅̅)𝐴(𝑆 3 )(𝑚𝑜𝑑 2) sebagai berikut.
𝐴(𝛹) = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
Berdasarkan 𝐴(𝛹) dapat  diketahui  bahwa 𝐴(𝑊 3 ̅̅̅̅)𝐴(𝑆 3 )(𝑚𝑜𝑑 2) yang  grafikal.  Oleh karena itu, terdapat realisasi untuk 𝐴(𝑊 3 ̅̅̅̅)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) sebagai berikut.
Gambar 9. Graf 𝛹
Teorema.  5 Jika 𝐺 0 adalah  subgraf  dari 𝑊 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 , maka 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
Bukti. Diberikan 𝑊 𝑛 merupakan graf roda dan 𝑊 𝑛 komplemen dari 𝑊 𝑛 . Seperti pada bukti  Teorema  2  (a), 𝐴(𝑊 𝑛 ) = (𝑎′ 𝑖𝑗 ) dan  graf 𝐺 0 dengan 𝐴(𝐺 0 ) = (𝑑 𝑖𝑗 ) seperti  pada Teorema 3. Oleh karena itu diperoleh entri-entri pada 𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) sama dengan  entri-entri  pada 𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴( 𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) (kecuali  pada  kolom  pertama untuk 𝑛 genap).  Selanjutnya,  berdasarkan  Teorema  2,  untuk 𝑛 ganjil, 𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴( 𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal,  yang  berarti 𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴( 𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.  Oleh karena 𝑎′ 𝑖1 = 𝑎′ 1𝑗 = 𝑑 𝑖1 = 𝑑 1𝑗 = 0, 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 ,  berakibat  semua  entri  pada kolom  pertama  dan  baris  pertama  dari 𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) adalah  nol.  Jadi, untuk 𝑛 genap, 𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
Oleh karena itu,
𝐴( 𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal untuk semua 𝑛 ≥ 3 . ■
Contoh 5. Diberikan graf 𝑊 4 dam graf 𝐺 0 seperti pada Gambar 10.
(a) (b)
Gambar 10. (a) Graf 𝑊 4 dan (b) Graf 𝐺 0
Dari  Gambar  10,  diperoleh  matriks  ketetanggaan 𝐴(𝑊 4 ) dan 𝐴(𝐺 0 ) sehingga 𝐴(Ψ) = 𝐴(𝑊 4 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) adalah,
𝐴(Ψ) = [ 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0]
Berdasarkan 𝐴(𝛹) , 𝐴(𝑊 4 )𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.  Oleh  karena  itu  terdapat  realisasi 𝛹 untuk 𝐴(𝑊 4 )𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) seperti pada Gambar 11.

## Gambar 11. Graf Ψ
Pada  pembahasan  selanjutnya,  diberikan  salah  satu  karakteristik  hasil  kali  matriks (𝑚𝑜𝑑 2) yang grafikal dan dinyatakan pada Teorema 6. Selain itu, dibahas pula sifat- sifat hasil kali matriks (𝑚𝑜𝑑 2) yang grafikal pada graf pertemanan ( 𝐹 𝑛 ) dan graf bunga ( 𝐹𝑙 𝑛 ) .
Teorema  6. Misalkan 𝐺 graf  sederhana  dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } .  Hasil  kali 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal jika dan hanya jika 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2), 0 ≤  𝑙 ≤ 𝑛 .
Bukti. Misalkan  untuk  graf  sederhana 𝐺 dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } , 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.  Artinya,  jika 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) = (𝑔 𝑖𝑗 ), 1 ≤  𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 + 1 , nilai 𝑔 𝑖𝑖 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2). Disisi  lain, 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣 𝑙 , 𝑙 = 𝑖 − 1. Oleh  karena  itu, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2), 0 ≤  𝑙 ≤ 𝑛 . Sebaliknya, karena 𝐴(𝐺) matriks simetris, maka
𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) matriks simetris (0,1). Akibatnya, jika 𝑑𝑒𝑔 𝐺 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2), 0 ≤  𝑙 ≤ 𝑛 maka 𝑔 𝑖𝑖 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2) yang berarti 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
Teorema  7. Misalkan 𝐹 𝑛 merupakan  graf  pertemanan  dengan 2𝑛 + 1 simpul  dan 𝐺 1 adalah subgraf dari 𝐹 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 1 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 1 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 .
a. 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐹 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal .
b. 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐹 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
c. 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝑆 2𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal
d. 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐺 1 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal
Bukti:
a. Berdasarkan  definisi  graf  pertemanan 𝐹 𝑛 dengan 𝑉(𝐹 𝑛 ) = {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 2𝑛 }, diperoleh 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 0 = 2𝑛 dan 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑙 = 2, 1 ≤  𝑙 ≤ 2𝑛, yang  berarti  simpul-simpul pada 𝐹 𝑛 mempunyai  derajat  genap.  Akibatnya,  berdasarkan  Teorema  6, 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐹 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal .
b. Berdasarkan bukti pada Teorema 7 (a), simpul-simpul pada 𝐹 𝑛 mempunyai derajat genap. Dengan demikian, untuk setiap 𝑘 dan 𝑙 , 0 ≤ 𝑘, 𝑙 ≤ 2𝑛 , 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑘 − 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2) . Akibatnya, menurut Teorema 1, 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐹 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
c. Diberikan  graf  pertemanan 𝐹 𝑛 dengan 𝐹 𝑛 merupakan  komplemennya,  serta  graf bintang 𝑆 2𝑛 .  Berdasarkan 𝐹 𝑛 diperoleh 𝐴(𝐹 𝑛 ) = (ℎ 𝑖𝑗 ) dengan ℎ 1𝑗 = ℎ 𝑖1 = 0 untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2𝑛 + 1 dan graf bintang 𝑆 2𝑛 dengan 𝐴(𝑆 2𝑛 ) = (𝑠 𝑖𝑗 ) seperti pada Teorema 5 untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2𝑛 + 1 . Berdasarkan ℎ 𝑖𝑗 dan 𝑠 𝑖𝑗 diperoleh 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝑆 2𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) =
(𝑚 𝑖𝑗 ). Akibatnya,  entri-entri 𝑚 𝑖𝑗 adalah 𝑚 𝑖1 = 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑙 ,   untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑛 + 1, 𝑙 = 𝑖 − 1 dan 𝑚 𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖, 𝑗 lainnya.  Oleh  karena 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2) ,  maka
𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝑆 2𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
d. Diberikan  graf  bunga 𝐹 𝑛 dengan 𝐹 𝑛 merupakan  komplemennya,  serta  graf 𝐺 1 . Berdasarkan  Teorema  7  (b)  dan  karena 𝐺 1 subgraf 𝐹 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 1 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 1 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛, akibatnya, entri 𝐴(𝐺 1 ) = (𝑝 𝑖𝑗 ) adalah 𝑝 1𝑗 = 𝑝 𝑖1 = 0, 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2𝑛 + 1 dan entri lainnya sama dengan entri matriks 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 ) . Oleh karena itu diperoleh entri-entri pada 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐺 1 )(𝑚𝑜𝑑 2) sama dengan entri-entri
pada 𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐹 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) dengan
𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐹 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2)
grafikal. Jadi,
𝐴(𝐹 𝑛 )𝐴(𝐺 1 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal. ■
Teorema 8 Misalkan 𝐹𝑙 𝑛 merupakan graf bunga dengan 2𝑛 + 1 simpul dan 𝐺 2 adalah subgraf 𝐹𝑙 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 2 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 2 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 .
a. 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal .
b. 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
c. 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝑆 2𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal
d. 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐺 2 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal
Bukti:
a. Berdasarkan definisi graf bunga 𝐹𝑙 𝑛 dengan 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) = {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 2𝑛 } , diperoleh 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 0 = 2𝑛 , 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑙𝑛 𝑣 𝑙 = 4, 𝑙 ganjil dan 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 𝑙 = 2, 𝑙 genap, 𝑙 ≠ 0, yang  berarti simpul-simpul  pada 𝐹𝑙 𝑛 mempunyai  derajat  genap.  Akibatnya,  berdasarkan Teorema 6, 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal .
b. Berdasarkan  bukti  pada  Teorema  8  (a),  simpul-simpul  pada 𝐹𝑙 𝑛 mempunyai derajat  genap.  Dengan  demikian,  untuk  setiap 𝑘 dan 𝑙 , 0 ≤ 𝑘, 𝑙 ≤ 2𝑛 , 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 𝑘 − 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2). Akibatnya,  menurut  Teorema  1, 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
c. Diberikan  graf  bunga 𝐹𝑙 𝑛 dengan 𝐹𝑙 𝑛 merupakan  komplemennya,  serta  graf bintang 𝑆 2𝑛 . Berdasarkan 𝐹𝑙 𝑛 diperoleh, 𝐴(𝐹 𝑙𝑛 ) = (ℎ′ 𝑖𝑗 ) dengan ℎ′ 1𝑗 = ℎ′ 𝑖1 = 0, 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2𝑛 + 1 dan  graf  bintang 𝑆 2𝑛 dengan 𝐴(𝑆 2𝑛 ) = (𝑠 𝑖𝑗 ) seperti  pada  Teorema  5 untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2𝑛 + 1 . Berdasarkan ℎ′ 𝑖𝑗 dan 𝑠 𝑖𝑗 diperoleh 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝑆 2𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) = (𝑛 𝑖𝑗 ). Akibatnya,  entri-entri 𝑛 𝑖𝑗 adalah 𝑛 𝑖1 = 𝑑𝑒𝑔 𝐹 𝑙𝑛 𝑣 𝑙 ,   untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑛 + 1, 𝑙 = 𝑖 − 1 dan 𝑛 𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖, 𝑗 lainnya.  Oleh  karena 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 𝑙 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2) ,  maka
𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝑆 2𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.
d. Diberikan  graf  bunga 𝐹𝑙 𝑛 dengan 𝐹𝑙 𝑛 merupakan  komplemennya,  serta  graf 𝐺 2 . Berdasarkan  Teorema  8  (b)  dan  karena 𝐺 2 subgraf 𝐹𝑙 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 2 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 2 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝐹𝑙 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑛 .  Akibatnya,  entri 𝐴(𝐺 2 ) = (𝑔′ 𝑖𝑗 ) adalah 𝑔′ 1𝑗 = 𝑔′ 𝑖1 = 0, 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2𝑛 + 1 dan  entri  lainnya  sama  dengan  entri  matriks 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 ) .  Oleh  karena  itu  diperoleh  entri-entri  pada 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐺 2 )(𝑚𝑜𝑑 2) sama
dengan  entri-entri  pada 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) dengan 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal. Jadi, 𝐴(𝐹𝑙 𝑛 )𝐴(𝐺 2 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal.

## 4.  Kesimpulan
Hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  pada  graf  roda,  graf  pertemanan  dan  graf  bunga  yang dibahas pada artikel ini dikaitkan dengan subgraf dan komplemen masing-masing graf tersebut.  Berdasarkan  hasil  penelitian  diperoleh 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑊 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) dan 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝑆 𝑛 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal  apabila 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℕ, dengan 𝑊 𝑛 merupakan komplemen graf roda. Selanjutnya diperoleh
𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) dan 𝐴(𝑊 𝑛 )𝐴(𝐺 0 )(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal  untuk 𝑛 ≥ 3 dengan  graf 𝐺 0 adalah  subgraf  dari 𝑊 𝑛 dengan 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 0 = 0, 𝑑𝑒𝑔 𝐺 0 𝑣 𝑙 = 𝑑𝑒𝑔 𝑊 𝑛 𝑣 𝑙 , untuk 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 .  Selain  itu,  untuk  graf sederhan 𝐺 , 𝐴(𝐺)𝐴(𝐺)(𝑚𝑜𝑑 2) grafikal  jika  dan  hanya  jika  simpul-simpulnya 𝐺 mempunyai  derajat  genap.  Hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  yang  grafikal  juga  diperoleh untuk graf pertemanan dan  graf bunga dengan komplemen dan subgrafnya masing- masing yang berlaku untuk 𝑛 ≥ 3 .
Berdasarkan hasil observasi untuk beberapa graf dengan simpul-simpulnya ada yang memiliki  derajat  ganjil  dan  ada  yang  genap,  kemungkinan  untuk  hasil  kali  matriks ( mod  2 )  adalah  tidak  grafikal.  Namun  demikian  diperlukan  penelitian  lebih  lanjut terkait  hal  ini.  Selain  itu,  untuk  penelitian  tentang  karakteristik-karakteristik  graf sehingga  diperoleh  hasil  kali  matriks  ( mod  2 )  yang  grafikal  masih  sangat  terbuka. Misalnya,  terkait  sifat-sifat  matriks,  graf-graf  dengan  graf  pembangun  yang  sama, graf pohon dan lain-lain.

## Referensi
[1] H.S.  Mehta  and  U.P.  Acharya ,  “ Adjacency  Matrix  of Product  Graphs”, in International  Conference  on  Research  and  Inventions  in  Science,  Engineering  & Technology .  vol. 7, 2017, pp. 158-165.
[2] K.M.  Prasad,  M.  Sudhakara,  H.S.  Sujatha,  and  M.  Vinay.  "Matrix  Product  of Graphs", in Combinatorial Matrix Theory and Generalized Inverses of Matrices , R. B. Bapat, S. J. Kirkland, K. M. Prasad, and S. Puntanen, Eds. India: Springer India, 2013, pp. 41-56, 2013.
[3] K.M. Prasad, M. Sudhakara, H.S. Sujatha, and K.V. Soumnya, “Matrix Product (Modulo 2) of Graphs”, Indian J. Pure Appl. Math. , vol. 45, no. 6, pp. 851 – 860, Dec. 2014, doi: 10.1007/s13226-014-0093-4.
[4] B.  S.  John  and S.  Jency,  “ Matrix  Product  (Modulo- 2)  Of  Cycle  Graphs”, International Journal of Mathematics and Statistics Invention , vol. 4, no. 7, pp. 8-13, sept. 2016.
[5] B.  S.  John  and S.  Jency,  “ Matrix  Product  (Modulo-2)  Of  Petersen Graphs”, International Journal of Mathematics Archive , vol. 7, No. 8, pp. 139-143, 2016.
[6] K.  A.  Bhat,  K.  M.  Prasad,  and  G.  Sudhakara ,  “ Some  Matrix  Equestions  of Graph ”, Advances and Applications in Discrete Mathematics , vol. 17. No. 1, pp. 29- 48, 2018.
[7] K.  A.  Bhat  and  G.  Sudhakara ,  “ Commuting  Graph  and  Their  Generalized Complements ”, Malaysian Journal of Mathematical Science , vol. 12, No.1, pp. 63-84,
Hasil Kali Matriks ( Mod 2 ) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
2018.
[8] K.  A.  Bhat  and  G.  Sudhakara ,  “ Commuting  and  Decomposition  of K n 1 ,n 2 ,⋯,n k through  Realization  of  The  Product A(G)A(G k p ) ”, Special  Issue  on  Linear  Algebra and Its Applications (ICLAA2017), Spec. Matrices ; vol. 6, pp. 343-356, 2018.
[9] N.  I.  Saputri,  M.  Kiftiah,  and F.  Fran,  “Perkalian  Matriks  pada  Graf  Roda”,
B uletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (Bimaster) , vol. 9, No. 2, pp. 337-342, 2020.
[10]  R. Munir, Matematika Diskrit , Ed ke-3, Bandung: Informatika, 2010.
[11]  H. Y. Harsya, I. H. Agustin, and D. Dafik, “Pewarnaan Titik pada Operasi Graf Sikel dengan  Graf  Lintasan”, in Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  dan Pendidikan Matematika , vol. 1, 2014, pp. 11-18.
[12]  N. Rahmawati and B. Rahajeng, “Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf Gir dan Graf Persahabatan”, MATHunesa , vol. 3, np. 3, pp. 64-71, 2014.
[13]  G.  B.  Mertzios  and  W.  Unger, “ The  Friendship  Problem  on  Graphs “ ,  in 1st International Conference on Relations, Orders and Graphs : Interaction with Computer Science (ROGICS) , 2008, pp. 152-158.
[14]  W.  Abidin  and Masni,  “ Pewarnaan  Sisi  pada  Graf  yang  Berhubungan  dengan Sikel”, Jurnal MSA , vol. 2 No. 1, pp. 69-75, 2014.
This  article  is  an  open-access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics,  Universitas  Negeri  Gorontalo,  Jln.  Prof.  Dr.  Ing.  B.J.  Habibie, Moutong,  Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.