Vol. 5, No.1, 52-57,  Juli  2008
Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya
Amir Kamal Amir †

## Abstrak
Sifat-sifat  gelanggang  evaluasi  beserta  pembuktiannya  sudah  ada  dibeberapa  literatur  seperti misalnya  pada  McConnel  &  Robson  (1987).  Namun  demikian  penyajiannya  belum  terurai dengan jelas sehingga alur pembuktian masih sulit dimengerti. Tulisan ini akan menguraikan secara terperinci dan sistematik dengan bahasa yang mudah dimengerti sifat-sifat dan buktinya tersebut.  Sifat-sifat  yang  akan  dibahas  antara  lain  adalah  sifat-sifat  yang  menghubungkan gelanggang  evaluasi  dengan  lapangan  pecahan,  gelanggang  lokal,  gelanggang  Noetherian, sifat terurut total, dan terintegral tutup.
Kata Kunci : Lapangan  pecahan,  gelanggang  evaluasi,  lokal,  Noetherian,  terurut total, terintegral tutup.

## 1. Pendahuluan
Suatu subgelanggang R dari lapangan K adalah Gelanggang Evaluasi dari K jika setiap elemen tak nol  K  , maka salah satu dari  atau 1   berada dalam R .
Beberapa contoh:
1. Misalkan K  = Q ,  himpunan  bilangan  rasioanal,  dengan p adalah  bilangan  prima tertentu. Pilih R adalah himpunan semua bilangan rasioanal yang berbentuk / r p m n ,
dimana 0  r dan p tidak membagi m dan tidak membagi n .
2. Misalkan ( )  K k x ,  dimana k adalah  suatu  lapangan,  dan  misalkan R adalah himpunan  semua  fungsi-fungsi  rasional
/ ( )  f g k x sedemikian  sehingga
deg deg  f g .
Sifat-sifat    dari  gelanggang  ini  sudah  banyak  diturunkan  dalam  literatur  seperti  yang disajikan  pada  McConnel  &  Robson  (1987).  Namun  demikian  penyajian  pembuktian  dari  sifat- sifat  tersebut  belum  terurai  dengan  jelas  sehinga  alur  pembuktian  masih  sulit  dimengerti.  Papa paper ini disajikan bukti yang lebih terperinci menggunakan bahasa yang sederhana sehingga alur pembuktian bisa diikuti dari tahap ke tahap.

## 2.  Beberapa Pengertian dan Notasi

## Gelanggang Lokal
Dalam ilmu Matematika, lebih khusus dalam aljabar abstrak, suatu gelanggang R adalah suatu Gelanggang Lokal jika gelanggang tersebut memiliki salah satu dari sifat-sifat yang saling ekuivalen berikut ini:
 R mempunyai maksimal ideal kiri yang tunggal
 R mempunyai maksimal ideal kanan yang tunggal
† Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
 Identitas  perkalian  tidak  sama  dengan  identitas  penjumlahan  dan  penjumlahan sembarang dua elemen bukan unit dalam R akan menghasilkan elemen bukan unit.
 Identitas  perkalian  tidak  sama  dengan  identitas  penjumlahan  dan  jika x adalah sembarang elemen dari R , maka x atau 1 – x adalah elemen unit.
Sifat  ketiga  di  atas  mengatakan  bahwa,  himpunan  elemen-elemen  bukan  unit  dalam  suatu Gelanggang Lokal membentuk suatu ideal.
Sebagai  contoh,  semua  lapangan  merupakan  Gelanggang  Lokal,  karena  hanya  {0} yang merupakan ideal maksimal dalam gelanggang ini.

## Daerah Integral
Suatu Daerah  Integral adalah  suatu  gelanggang  komutatif  dengan  identitas  terhadap penjumlahan  adalah  0  dan  identitas  terhadap  perkalian  adalah  1  sedemikian  sehingga  identitas penjumlahan  tidak  sama  dengan  identitas  perkalian,  dimana  perkalaian  sembarang  dua  anggota yang tidak nol selalu menghasilkan anggota yang tidak nol pula. Atau dengan kata lain, tidak ada anggota yang merupakan pembagi nol. Sebagai contoh, gelanggang dari bilangan-bilangan bulat adalah daerah integral.
Lebih lanjut, suatu daerah integral dimana setiap idealnya merupakan ideal utama, yaitu idealnya  dapat  dibangun  oleh  satu  elemen  saja,  disebut Daerah  Ideal  Utama ( Principal  Ideal Domain , PID). Sebagai contoh, untuk K adalah lapangan, maka K [ x ] , gelanggang dari polinomial- polinomial dalam satu variabel dengan koefisien-koefisien ada dalam K , merupakan Daerah Ideal Utama.
Lapangan dari Pecahan ( Field of Fractions )
Setiap daerah integral dapat dijadikan sebagai bahan pembentukan sebuah lapangan dari pecahan ( Lapangan Pecahan untuk singkatnya). Anggota-anggota dari Lapangan Pecahan dari suatu  daerah  integral R berbebtuk a/b dengan a dan b dalam R .  Lapangan  Pecahan  dari gelanggang R dinotasikan sebagai Quot ( R ) atau Frac ( R ). Lapangan  Pecahan, Quot ( R ) , dari  daerah  integral R dapat dikonstruksi  sebagai berikut: Quot ( R ) adalah himpunan dari kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan [ n,d ] , dimana n dan d adalah elemen- elemen dari R dan d tidak nol, dan relasi ekuivalensinya adalah: [ n, d ] ekuivalen dengan [ m, b ] jika  dan  hanya  jika nb  =  md (kelas  ekuivalensi  [ n,d ]  dapat  dipandang  sebagai  pecahan n/d ). Penjumlahan dari kelas-kelas ekuivalensi [ n.d ] dan [ m,b ] adalah kelas ekuivalensi [ nb + md, db ] dan perkaliannya adalah kelas ekuivalensi [ mn, db ]. Beberapa contoh :
1. Lapangan  pecahan  dari  gelanggang  bilangan  bulat  adalah  bilangan  rational,
: ( )  Q Quot Z .
2. Misalkan : { | , }    R a bi a b Z adalah  gelanggang  dari  bilangan-bilangan  bulat Gauss, maka ( ) { | , }    Quot R c di c d Q , lapangan dari bilangan-bilangan rasional Gauss.
Integral Penutup  ( Integral Closure )
Misalkan S adalah  sebuah daerah integral  dengan R adalah  suatu  subgelanggang  dari S . Suatu  elemen s dari S dikatakan integral atas R jika s adalah  merupakan  suatu akar  dari  suatu polinomial monik dengan koefisien-koefisien dalam R .
Dapat  ditunjukkan  bahwa  himpunan  semua  elemen-elemen  dari S yang  merupakan elemen  integral  atas R membentuk  subgelanggang  dari S yang  memuat R. Gelanggang  ini
Amir Kamal Amir
selanjutnya  disebut integral  penutup dari R .  Jika  setiap  elemen  dari S yang  merupakan  elemen integral  atas R sudah  berada  di  dalam R ,  maka R disebut Terintegral  tutup ( integrally  Closed ) dalam S .
Untuk contoh, himpunan bilangan-bilangan bulat Z adalah terintegral tutup. Integral penutup dari Z dalam bilangan kompleks C adalah himpunan semua bilangan-bilangan bulat aljabar.

## Gelanggang Noetherian
Suatu Gelanggang  Noetherian adalah  suatu  gelanggang  yang  memenuhi  kondisi  rantai membesar pada ideal-idealnya. Lebih jelasnya:
 Suatu  gelanggang  adalah Noetherian-kiri jika  memenuhi  kondisi  rantai  membesar pada ideal-ideal kirinya.
 Suatu gelanggang adalah Noetherian-kanan jika memenuhi kondisi rantai membesar pada ideal-ideal kanannya.
 Suatu  gelanggang  adalah Noetherian jika  memenuhi  Noetherian-kanan  dan Noetherian-kiri.
Ada definisi yang lain yang ekuivalen dengan definisi Noetherian-kiri, yaitu : Setiap  ideal  kiri I dari R adalah  dibangun  berhingga,  dalam  arti  ada  elemen-elemen 1 ,..., n a a dalam I sedemikian sehingga 1 ... .    n I Ra Ra

## 3. Sifat-sifat dari Gelanggang Evaluasi
Mulai dari sini sampai akhir, paper ini dimisalkan bahwa V adalah Gelanggang Penilaian dari K .
Sifat-sifat dari Gelanggang Evaluasi.
1. Lapangan Pecahan dari V adalah K . Bukti: Misalkan K’ adalah lapangan pecahan dari V . Akan ditunjukkan bahwa K’ = K .
Ambil '  K  , maka karena K’ adalah lapangan pecahan , maka  a b  , dimana ,  a b V .
Karena  V K dan K adalah lapangan maka   a b K  . Langkah ini membuktikan bahwa '  K K .
Selanjutnya,  ambil  K  ,  dimana  tidak  nol,  maka  V  atau 1   V  .  Jika
 V  ,  maka 1 '   K   ,  sedangkan  jika 1   V  ,  maka 1 1 '    K   .  Langkah  ini membuktikan bahwa '  K K yang sekaligus melengkapi pembuktian sifat ini.
2. Sembarang subgelanggang dari K yang memuat V adalah suatu Gelanggang Evaluasi dari K Bukti:
Misalkan V’ adalah  subgelanggang  dari K yang  memuat V .  Akan  ditunjukkan  bahwa V’ adalah  suatu  gelangang  penilaian  dari K .  Ambil  K  ,    dimana  tidak  nol.  Karena V adalah  gelanggang  penilaina  dari K ,  maka  V  atau 1   V  .  Selanjutnya,  karena V’ memuat V , maka '  V  atau 1 '   V  .
3. V adalah gelanggang lokal.
Bukti:

## Amir Kamal Amir
Kita  akan  tunjukkan  bahwa  himpunan M dari  anggota-anggota  yang  bukan  anggota  satuan dari V adalah suatu Ideal. Untuk  membuktikan bahwa M adalah ideal akan ditunjukkan dua hal, yaitu (1). , ,    a b M maka a b M dan (2).  r V dan  a M , maka  ra M . Jika a dan b adalah anggota-anggota satuan tidak nol, maka salah satu dari a/b atau b/a yang berada  di V ,  karena V adalah  gelanggang  evaluasi    dari K .  Jika  a b V ,  maka
(1 )     a b a b b M (sebab jika (1 )   a b b M berarti (1 )  a b b adalah anggota satuan dari V, yang  akan  menyebabkan b anggota  satuan  juga.  Hal  ini  tidak  mungkin  karena  dari  awal sudah diasumsikan bahwa b bukan anggota satuan). Serupa dengan itu,  Jika  b a V , maka   a b M . Selanjutnya, jika  r V dan  a M , maka  ra M , kalau tidak demikian maka a akan merupakan anggota unit yang akan bertentangan dengan asumsi semula.
4. V adalah terintegral tutup
Bukti: Misalkan  adalah  suatu  elemen  tak  nol  dari K ,  dengan  intergral  terhadap V .  Untuk menunjukkan bahwa V adalah terintegral tutup, akan ditunjukkan bahwa  berada dalam V . Karena V adalah  gelanggang  evaluasi  dari K ,  maka  V  atau 1   V  .  Jika  V  ,
maka  pembuktian  sudah  selesai.  Namun,  jika 1   V  ,  maka  terlebih  dahulu  kita memperhatikan  bahwa  adalah  integral  terhadap V .  Dengan  demikian  terdapat  suatu persamaan yang berbetuk
1 1 1 0 0        n n n c c c    . Dengan  i c V .    Jika  persamaan  ini  dikalikan  dengan ( 1)   n  ,  maka  kita  akan memperoleh
1 ( 2) ( 1) 1 2 1 0              n n n n c c c c     .
Karena i c dan 1   berada dalam V, maka disimpulkan bahwa
1 ( 2) ( 1) 1 2 1 0               n n n n c c c c V     .
5. Jika I dan J adalah  ideal-ideal  dari V ,  maka  salah  satu  dari  I J atau  J I benar.
Sehingga ideal-ideal dari V terurut total oleh urutan himpunan bagian. Bukti:
Untuk  membuktikan  ini,  akan  ditunjukkan  bahwa,  jika I tidak  termuat  dalam J ,  maka  J I .
Misalkan I tidak  termuat  dalam J ,  pilih  anggota \  a I J (dari  sini  diketahui 0  a ). Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa  J I , akan ditunjukkan bahwa, jika  b J , maka
 b I . Jika 0  b , maka bukti sudah selesai. Sekarang asumsikan bahwa 0  b . Karena V adalah  gelanggang  evaluasi,  maka /  b a V atau /  a b V .  Namun  demikian  dipastikan /  b a V ,  karena  apabila /  a b V ,  akan  diperoleh ( / )   a a b b J yang  akan  berakibat terjadinya kontradiksi. Oleh karena itu disimpulkan ( / )   b b a a I .
6. Kebalikan dari 5, misalkan V adalah daerah integral dengan lapangan pecahan K . Jika ideal- ideal  dari V terurut  total  oleh  urutan  himpunan  bagian,  maka V adalah  sebuah  gelanggang evaluasi.

## Amir Kamal Amir
Bukti:
Jika  adalah elemen taknol dari K , maka ( / )  a b  dengan a dan b elemen-elemen taknol dari V ( K adalah lapangan pecahan dari V ). Dengan hipotesis bahwa ideal-ideal dari V terurut total  oleh  urutan  himpunan  bagian,  maka  diperoleh      a b atau      b a . Jika      a b ,  maka  n a b untuk  suatu n .  Dari  sini  diketahui 1 /    n a b b V . Namun, jika      b a , maka dengan cara yang analog diperoleh /  b a V .
7. Jika V adalah  gelanggang  penilaian  Noetherian,  maka V adalah  suatu  Daerah  Ideal  Utama (PID). Lebih lanjut, untuk suatu  p V , setiap ideal berbentuk , 0    m p m .
Bukti: Karena V adalah  Noetherian,  suatu  ideal I dari V adalah  dibangun  berhingga,  katakanlah dibangun  oleh 1 , , n a a .  Dengan  sifat  5,  kita  dapat  mengatur  kembali  indeks  dari i a sedemikian  sehingga 1 2          n a a a .  Tetapi  itu  berarti     n I a I , sehingga    n I a .
8. Let R adalah  sebuah  subgelanggang  dari  lapangan K .  Integral  penutup R dari  R  dalam K adalah  irisan  dari  semua  gelanggang-gelanggang    evaluasi V dari K sedemikian  sehingga  V R .
Untuk  pembuktian  sifat  ini  kita  membutuhkan  teorema  berikut  ini.  Bukti  dari  teorema  ini disajikan dengan lengkap pada [...]
Teorema 1. Misalkan R adalah  suatu  subgelanggang  dari  lapangan K ,  dan :  h R C adalah  suatu homomorfisma  gelanggang  dari R ke  suatu  lapangan  aljabar  tertutup C ,  maka  maka h mempunyai  ekstensi  maksimal ( , ) V h .  Dengan  kata  lain, V adalah  subgelanggang  dari K yang memuat R , h adalah suatu ektensi dari h , dan tidak ada ektensi ke subgelanggang yang lebih besar. Lebih lanjut, untuk sembarang maksimal ekstension, V adalah suatu gelanggang evaluasi dari K .
Bukti sifat 8:
Jika  a R , maka a adalah integral atas R . Dari sini, a integral atas sembarang gelanggang penilaian  V R . Tetapi karena V terintegral tutup maka dengan sifat 4, diperoleh  a V . Uraian di atas membuktikan bahwa integral penutup R adalah himpunan bagian dari irisan dari semua gelanggang-gelanggang  penilaian V dari K . Kebalikannya, misalkan a anggota irisan  semua gelanggang-gelanggang  evaluasi V dari K . Kemudian andaikan  a R , maka a tidak berada pada gelanggang 1 ' [ ]   R R a .(karena jika a berada  dalam R’ atau  a  merupakan  polinomial  dari 1  a ,  maka  kita  dapat  mengalikan polinomial tersebut dengan a berpangkat tertentu untuk mendapatkan polinomila monik yang dipennuhi  oleh a ,  yang  menyebabkan  a  merupakan  anggota R ).  Dengan  demikian, 1  a bukan  anggota  unit  dari R’ .  (karena  jika 1 1   ba dengan '  b R ,  maka
1 1 '      a a aa b b R ,  akan  terjadi  kontradiksi).  Oleh  karena  itu, 1  a masuk  ke  suatu

## Amir Kamal Amir
maksimal ideal M’ dari R’. Misalkan C adalah penutup aljabar dari lapangan k = R’/M’ , dan misalkan h adalah komposisi dari pemetaan kanonik ' '/ '   R R M k dan inklusi .  k C Dengan teorema di atas, h mempunyai maksimal ekstension ke :  h V C untuk beberapa gelanggang  evaluasi V dari K yang  memuat ' .
 R R Sekarang 1 1 ( ) ( )    h a h a karena 1 ' ,    a M R dan 1 ( ) 0   h a yang  disebabkan  oleh  defenisi  dari h .  Sebagai kosekuensinya ,  a V karena jika  a V , maka 1 1 1 (1) ( ) ( ) ( ) 0       h h aa h a h aa ,
Terjadi suatu kontradiksi.
9. Misalkan  R  adalah  suatu  daerah  integral  dengan  lapangan  pecahan  K,  maka  R  adalah terintegral  tutup  jika  dan  hanya  jika  R V   ,  yaitu  irisan  dari  beberapa  (tidak  harus semua) gelanggang evaluasi dari K.
Bukti: Bukti dari kanan ke kiri mengikut dari sifat 8.
Untuk  bukti  dari  kanan  ke  kiri.  Karena  setiap V  adalah  terintegral  tertutup  maka  dengan sifat 4 diperoleh, R juga terintegral tutup.

## 4. Kesimpulan
Dari pemaparan di atas dapat ditarik beberapa kesimpulan:
1. Lapangan pecahan dari suatu gelanggang evaluasi sama dengan lapangannya sendiri.
2. Gelanggang evaluasi akan selalu juga merupakan gelanggang lokal.
3. Ideal-ideal  dari  suatu  gelanggang  evaluasi  dapat  diurutkan  dengan  menggunakan urutan  himpunan  bagian.  Begitu  juga  sebaliknya,  jika  ideal-ideal  dari  suatu gelanggang dapat diurutkan, maka gelanggang tesebut adalah gelanggang evalusi.
4. Jika  suatu  gelanggang  sekaligus  merupakan  gelanggang  evaluasi  dan  Noetherian, maka gelanggang tersebut merupakan daerah ideal utama.

## Daftar Pustaka
1.  McConnel, J.C., and Robson, J.C., Noncommutative Noetherian Rings , John Wiley & Sons, 1987.
2.  Fraleigh, J.B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley, 1994.
3.  Lam, T.Y., Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.
4.  ________, A First Course in Noncommutative  Rings , Springer-Verlag, 1991.
5.  Roman, S., Advanced Linear Algebra . Springer-Verlag, 1992.
6.  Wisbauer, R., Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science, 1991.
7. http://www .math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg/ComAlg3.pdf.