Journal of Didactic Mathematics 2023, 4(2), 106-117 Doi: 10.34007/jdm.v4i2.1903 https://mahesainstitute.web.id/ojs2/index.php/jdm journalofdidacticmathematics@gmail.com

## Studi didactic transposition: Eksplorasi knowledge to be taught pada limit fungsi
Rini Sulastri* Department of Mathematics Education, Universitas Serambi Mekkah, Banda Aceh, Aceh, Indonesia, 23245
* Corresponding Author : rini.sulastri@serambimekkah.ac.id
Abstract. The purpose of this research is to describe the analysis of knowledge to be taught on limit of function. This research is  part of the didactic transposition research  on  the  concept  of  limit  of  function  which  consists  of  four  stages.
Qualitative research with descriptive method is used in this study. The target is a differential calculus course taught in the first semester at a university in Aceh. Data collection techniques consist of documentation studies and unstructured interviews. Analysis of calculus text book documents, especially on limit functions, was carried out  using  a  praxeology  approach.  The  results  of  the  analysis  show  that  the description of the differential calculus course contains material on the real number system, functions and graphs, limits of functions, continuity of functions, derivatives of functions, and applications of derivatives. This is different from the presentation of material in RPS which is compiled by a team of lecturers supporting differential calculus courses. For presentation of material in calculus textbooks, the concept of the  limit  of  a  function  begins  with  an  intuitive  or  informal  introduction  to  the concept. Several cases are given to deepen the concept of limits through graphs,
analytics, and numbers.
Historis Artikel: Diterima: 16 Juli 2023 Direvisi: 5 Agustus 2023 Disetujui: 15 Agustus 2023 Keywords:
Didactic transposition; limit of function; calculus; knowledge  to  be  taught; curriculum
Sitasi: Sulastri, R. (2023). Studi didactic transposition: Eksplorasi knowledge to be taught pada limit fungsi. Journal of Didactic Mathematics , 4 (2), 106-117. Doi: 10.34007/jdm.v4i2.1903

## PENDAHULUAN
Kalkulus merupakan salah satu mata kuliah yang terdapat dalam kurikulum program sarjana pada  sebagian  besar  jurusan  sains  dan  teknik,  termasuk  Pendidikan  matematika.  Kalkulus dipandang sebagai kursus pengantar dalam mempersiapkan matematika lanjutan (Zollman, 2014 ; Oktaviyanthi et al., 2018 ). Oleh karena itu, konsep yang akurat tentang gagasan utama matematika dalam mata kuliah ini seperti limit, turunan, dan integral sangat penting dimiliki oleh mahasiswa (Mokhtar et al., 2013 ).
Tahap awal dalam mempelajari kalkulus, siswa maupun mahasiswa akan dihadapkan dengan konsep limit fungsi. Akan tetapi, konsep limit yang merupakan salah satu ide yang paling mendasar ini tidak hanya dalam memahami kalkulus tetapi juga dalam mengembangkan pemikiran matematis di luar kalkulus dan mengejar ketelitian matematis (Ferrini-Mundy & Lauten, 1993 ; Tall, 1992 ). Meskipun konsep limit telah lama dianggap mendasar untuk pemahaman kalkulus dan analisis riil (Ervynck, 1981 ), tetapi penelitian lainnya menegaskan bahwa pemahaman yang lengkap tentang konsep limit di kalangan siswa relatif jarang (Davis & Vinner, 1986 ; Tall, 1980 ; Tall & Vinner, 1981 ; Sierpinska, 1987 ; Robert, 1982 ; Cornu, 1983 ). Selain  hubungan  antara  materi,  guru,  dan  siswa,  juga  terdapat  faktor  lain  yang  dapat mempengaruhi pengetahuan dan miskonsepsi pada konsep limit fungi. Faktor tersebut antara lain kurikulum yang berlaku dalam penyusunan materi limit, dan penggunaan buku teks yang menjadi sumber bacaan dalam pembelajaran di kelas. Hal ini merupakan suatu permasalahan yang sangat kompleks apabila ingin melihat faktor yang dapat mempengaruhi pengetahuan subjek dalam suatu materi. Dengan demikian, untuk mengkaji dan menganalisis permasalahan secara komprehensif tersebut dilakukan dengan melakukan kajian transposisi didaktik.
Chevallard  ( 1989 )  pertama  kali  yang  memperkenalkan  teori  transposisi  didaktik  dalam pendidikan  matematika  dengan  mengklasifikasikan  matematika  sebagai  scholarly  body  of knowledge  dan  sebagai  subject  to  be  taught  and  learned.  Selanjutnya,  transposisi  didaktik didefinisikan  sebagai  pengetahuan  transposisional  antara  pengetahuan  matematika  yang dikembangkan  oleh  matematikawan  yang  disebut scholarly  knowledge ,  matematika  yang  harus diajarkan berdasarkan kurikulum yang disebut knowledge to be taught , pengetahuan matematika yang diajarkan  oleh  guru  dalam  proses  pembelajaran  di  kelas  yang  disebut taught  knowledge ,  dan pengetahuan matematika yang dipelajari oleh siswa yang disebut learned knowledge . Tahap scholarly knowledge merupakan tahapan pengetahuan matematika yang bersifat a priori dan  formal  sehingga  diperlukan  suatu  proses  transposisi  dengan  repersonalisasi  dan rekontektualisasi untuk menjadikan pengetahuan tersebut bersifat a posteriori . Dengan demikian, pengetahuan ini dapat dirancang untuk menjadi materi dalam kurikulum ( knowledge to be taught ) dan atau  materi  sebagai  bahan  pembelajaran  di  kelas  ( taught  knowledge ).  Suatu  kurikulum mengungkapkan pedoman dan harapan yang sesuai dengan fungsi sekolah. Sebaliknya, nilai-nilai, maksud dan tujuan yang dinyatakan dalam kurikulum dan proses pengajaran diselenggarakan untuk mewujudkan kurikulum. Dalam hal ini, guru seharusnya bertindak selaras dengan kurikulum, dan siswa diharapkan belajar untuk mencapai maksud dan tujuan yang ditetapkan dalam kurikulum. Jika dipahami bahwa kurikulum berisi semua pengalaman belajar di sekolah, maka semua kegiatan di sekolah termasuk dalam kurikulum. Selain itu, penggunaan buku teks sebagai buku pengantar juga merupakan bagian dari pengetahuan yang akan diajarkan. Selanjutnya, buku ini digunakan guru dan  siswa  dalam  proses  pembelajaran  di  kelas.  Dengan  kata  lain,  siswa  sebagai  objek  yang menerima atau mempelajari materi yang diajarkan oleh guru, yang merupakan bagian dari tahap learned knowledge dari proses transposisi didaktik.
Beberapa penelitian terkait transposisi didaktik eksternal antara lain kajian pada matematika sarjana  yang  mengidentifikasi  kesamaan  dan  perbedaan  antara  program  dan  silabus,  dengan perbedaan  yang  relatif  signifikan  antara  universitas  Kanada  dan  Eropa  dalam  hal  keseluruhan program  (Bosch  et  al., 2021 ).  Transposisi  didaktik  segi  empat  yang  menunjukkan  bahwa  ada perbedaan yang signifikan antara pengetahuan yang akan diajarkan dan konten yang ditawarkan oleh guru sehingga terjadi konflik keliling- luas dalam pikiran siswa (Akar & Işıksal -Bostan, 2022 ). Transposisi  didaktik  pada  bilangan  asli  oleh  Henriksen  ( 2022 )  menunjukkan  perbedaan  yang signifikan pada tingkat tema dalam kurikulum nasional di negara Denmark, Swedia, dan Australia. Dengan demikian, kajian yang dilakukan ini merupakan hal baru dan berbeda dengan penelitian sebelumnya. Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan hasil analisis knowledge to be taught pada materi limit fungsi.
METODE
Penelitian ini merupakan bagian dari penelitian transposisi didaktik pada konsep limit fungsi yang terdiri atas empat tahapan yaitu scholarly knowledge , knowledge to be taught , taught knowledge , dan learned knowledge . Khusus pada penulisan ini dipaparkan temuan hanya untuk tahapan knowledge to be taught dengan menggunakan  penelitian kualitatif dengan metode deskriptif. Hal ini bertujuan untuk mendeskripsikan temuan analisis pada dokumen yang dilakukan. Adapun sasaran penelitian ini  adalah  mata  kuliah  kalkulus  diferensial  yang  diajarkan  pada  semester  pertama  di  salah  satu perguruan tinggi di Aceh. Dalam hal ini juga melibatkan dosen pengampu mata kuliah kalkulus diferensial dikarenakan adanya keterlibatan dosen dalam penyusunan kurikulum program studi dan juga rencana pembelajaran semester khususnya pada mata kuliah kalkulus diferensial.
Teknik pengumpulan data yang digunakan dalam bentuk studi dokumentasi dan wawancara tidak terstruktur. Hal ini dilakukan untuk mendapatkan data yang konsisten, jelas, dan memiliki kekuatan jika dibandingkan dengan hanya satu pendekatan. Mengkaji dokumen dalam penelitian kualitatif sangat diperlukan karena dapat merepresentasikan sumber yang tepat terkait data teks atau kata. Menurut Creswell ( 2012 ), catatan publik dan juga pribadi yang berkaitan dengan tempat atau partisipan dalam suatu penelitian merupakan bagian dari dokumen. Beberapa dokumen yang
digunakan  sebagai sumber  data  dari penelitian  ini  yaitu  (1)  dokumen kurikulum  program  studi pendidikan matematika meliputi dokumen deskripsi mata kuliah dan distribusi mata kuliah. Kedua dokumen ini dirancang oleh tim penyusun kurikulum program studi, dan diperoleh secara online pada laman program studi, dan (2) buku teks kalkulus yang menjadi salah satu buku referensi dalam mata kuliah kalkulus diferensial yaitu karangan Purcell & Varberg ( 1987 ). Kajian yang dilakukan dalam studi dokumentasi ini terkait dengan konsep limit fungsi yang disajikan pada buku teks, kesesuaian konsep tersebut dengan scholarly knowledge, dan urutan materinya pada buku teks. Analisis dokumen buku teks kalkulus khususnya pada materi limit fungsi dilakukan dengan menggunakan pendekatan praxeology . Pendekatan ini dipandang bisa menjadi salah satu cara dalam menilai atau mengkaji pengetahuan dan tindakan manusia yaitu penulis buku berupa tulisan atau gambar  yang  termuat  dalam  sebuah  buku.  Hal  ini  dikarenakan  buku  juga  merupakan  hasil pemikiran  dari  penulis  buku.  Dengan  demikian,  tujuannya  adalah  untuk  memudahkan  dalam mengidentifikasi hasil pemikiran penulis buku dan sajian materi maupun masalah atau tugas yang berkaitan dengan konsep materi yang disajikan dalam buku. Selain itu, untuk memastikan apakah desain  materi  dalam  buku  tersebut  berdampak  pada learning  obstacle bagi  mahasiswa.  Dalam mengkaji  buku  teks  sebagai  mathematical  praxeology  dilakukan  berdasarkan  komponen praksiologi yang terdiri atas blok praksis ( T = type of tasks , dan 𝝉 = techniques ), dan blok logos ( 𝜽 = technology , dan 𝜣 = theory ). Kajian praxeology pada setiap sajian materi, tugas berupa konsep, contoh soal, atau soal-soal latihan dilakukan mengikuti tahapan penyajian materi dalam buku kalkulus.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Tinjauan  pengetahuan  konsep  limit fungsi  yang akan  diajarkan akan  disajikan  dalam  dua dokumen yaitu kurikulum program studi pendidikan matematika dan buku teks kalkulus. Hal ini bertujuan  untuk  menemukan  posisi  atau  kedudukan  materi  limit  fungsi  pada  kedua  dokumen tersebut. Khusus pada buku teks, analisis yang dilakukan dengan menggunakan pendekatan the theory of praxeologies.
Materi Limit Fungsi dalam Kurikulum Program Studi Bagian kurikulum ini, dikaji dua dokumen yang berkaitan dengan kurikulum yang disusun dan dikeluarkan oleh tim penyusun kurikulum program studi yang meliputi deskripsi mata kuliah dan distribusi mata kuliah program studi pendidikan matematika pada salah satu perguruan tinggi di Aceh, Indonesia. Kedua dokumen ini diperoleh secara online dari website atau laman program studi pendidikan matematika tersebut.
Dokumen pertama, deskripsi mata kuliah. Dalam dokumen ini terdapat 77 mata kuliah yang harus  diikuti  oleh  mahasiswa  selama  belajar  di  program  studi  pendidikan  matematika.  Dalam dokumen tersebut tidak ada penjelasan atau keterangan apakah mata kuliah tersebut merupakan mata kuliah wajib atau pilihan, hanya ada berupa tanda bintang (*) pada beberapa mata kuliah. Sejumlah mata kuliah tersebut dapat dikelompokkan dalam mata kuliah matematika, mata kuliah pendidikan, mata kuliah umum, dan mata kuliah dalam bentuk teori atau praktek.
Salah  satu  mata  kuliah  yang  menjadi  kajian  peneliti  adalah  kalkulus  diferensial.  Dalam deskripsinya, mata kuliah ini memuat beberapa materi meliputi sistem bilangan real, fungsi dan grafik,  limit fungsi,  kekontinuan  fungsi,  turunan fungsi,  dan  aplikasi  turunan  (lihat  Gambar  1). Khusus pada kajian yang peneliti lakukan, fokus pada materi limit fungsi. Dari urutan materi pada deskripsi mata kuliah, limit fungsi ini dipelajari setelah mempelajari dua pokok materi lain yaitu sistem  bilangan  real,  dan  fungsi  dan  grafik.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  kedua  materi  ini merupakan  materi  prasyarat  yang  harus  dipenuhi  oleh  mahasiswa  sebelum  belajar  limit  fungsi. Kedua materi ini juga menjadi pondasi dalam memahami konsep limit fungsi. Meskipun dalam deskripsi mata kuliah tidak dijabarkan secara mendetail topik apa saja yang akan dipelajari pada materi  prasyarat  tersebut.  Dengan  adanya  materi  pengantar  sebelum  mempelajari  limit  fungsi, setidaknya kita memahami bahwa dalam mempelajari limit fungsi harus ada penguasaan materi lainnya yang mendukung konsep limit fungsi dan materi selanjutnya.

## Gambar 1. Deskripsi mata kuliah kalkulus diferensial
Dokumen  kedua,  distribusi  mata  kuliah  program  studi  pendidikan  matematika,  memuat distribusi mata kuliah per semester, mulai semester satu sampai dengan semester delapan. Selain itu,  terdapat  mata  kuliah  wajib  dan  juga  mata  kuliah  pilihan  beserta  kode  mata  kuliah  yang menunjukkan mata kuliah program studi, mata kuliah fakultas, atau mata kuliah umum. Terdapat 23 (dua puluh tiga) jenis mata kuliah pilihan yang disediakan menurut rumpun peminatan yang dapat dipilih mahasiswa sesuai dengan minat mereka. Adapun ketentuan mengambil mata kuliah pilihan minimal 10 SKS (Sistem Kredit Semester) selama perkuliahan. Jumlah SKS setiap mata kuliah ini adalah sama yaitu dua SKS.
Sajian pada semester pertama terdapat 9 (sembilan) mata kuliah dalam bentuk paket yang wajib dipilih dan diikuti mahasiswa dengan jumlah 22 SKS. Pada semester kedua terdapat sepuluh mata kuliah yang juga dalam bentuk paket berjumlah 22 SKS. Hal ini dikarenakan adanya peraturan tentang beban studi minimum mahasiswa pada tahun pertama untuk sarjana yang ditetapkan oleh tim  penyusun  panduan  akademik  yaitu  sebesar  36  (tiga  puluh  enam)  SKS.  Untuk  semester berikutnya  yaitu  mulai  semester  tiga,  beban  studi  mahasiswa  ditetapkan  berdasarkan  Indeks Prestasi Semester (IPS) yang diperoleh mereka. Daftar mata kuliah pada semester pertama (lihat Gambar 2)  sangat  bervariasi  yang  terdiri  atas  mata  kuliah  pendidikan  matematika,  mata  kuliah pendidikan,  dan  mata  kuliah  umum.  Distribusi  mata  kuliah  per  semester  ini  dilakukan  dengan memperhatikan  semua  pengelompokan  yang  telah  ditentukan  oleh  tim  penyusun  kurikulum program studi.

## Gambar 2. Distribusi mata kuliah pada semester pertama
Mata kuliah kalkulus diferensial terdapat pada semester pertama perkuliahan dengan bobot 3 (tiga) SKS. Hal ini menunjukkan bahwa tidak ada mata kuliah prasyarat untuk mengikuti mata kuliah tersebut. Materi pokok yang dipelajari dalam kalkulus diferensial adalah limit dan turunan. Akan tetapi, untuk mempelajari materi tersebut harus ada penguasaan dan pemahaman konsep dasar matematika yang menjadi pendukung dalam memahami konsep limit fungsi seperti sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, dan fungsi. Meskipun mata kuliah ini berada di tahun pertama  perkuliahan,  khususnya  pada  semester  satu,  tetapi  dipelajari  bersamaan  dengan  mata kuliah aljabar elementer yang diharapkan dapat mendukung pembelajaran kalkulus diferensial.
Deskripsi mata kuliah kalkulus diferensial menunjukkan bahwa sebelum mempelajari konsep limit fungsi terdapat materi dasar yang dipelajari yaitu sistem bilangan real dan fungsi. Hal ini sangat mendukung  dan  membantu  mahasiswa  dalam  mempelajari  limit  fungsi.  Mata  kuliah  kalkulus diferensial  ini  merupakan  mata  kuliah  bersifat  baru  bagi  mahasiswa.  Apalagi  tahun  pertama perkuliahan  merupakan  masa  transisi  dari  dua  institusi  yang  mempunyai  sistem  belajar  yang berbeda. Selain itu, kajian materinya juga akan berbeda dengan sajian materi yang dipelajari saat di sekolah.
Pembelajaran saat sekolah, siswa lebih banyak belajar limit fungsi secara prosedural karena tuntunan  untuk  berhasil  mengikuti  ujian  nasional.  Berbeda  dengan  saat  perkuliahan,  mereka dituntut tidak hanya belajar untuk memahami materi secara prosedural tetapi juga secara konsep. Ditambah lagi, adanya materi pendukung yang harus dipelajari sebelum limit fungsi seperti bilangan riil  dan  fungsi.  Hal  ini  dapat  memudahkan  dalam  mempelajari  materi  limit  fungsi  dan  materi selanjutnya. Melalui proses belajar ini, mereka dapat mereview dan mempelajari kembali konsep yang telah dipelajari ketika sekolah serta dapat mengembangkan pengetahuan yang baru.
Gambaran dan penjelasan dari kedua dokumen yaitu deskripsi dan distribusi mata kuliah program studi sangat mendukung dalam mempelajari limit fungsi yang terdapat pada mata kuliah kalkulus  diferensial,  meskipun  penjelasannya  masih  secara  umum  dan  singkat.  Dengan  adanya panduan ini, pembelajaran materi limit fungsi akan menjadi terarah. Pengajar dalam hal ini dosen mata  kuliah  kalkulus  dapat  menambahkan  atau  mengaitkan  konsep  limit  fungsi  yang  diajarkan dengan  konsep  terkait,  serta  materi  pendukungnya.  Hal  ini  bertujuan  untuk  mendapatkan pemahaman konsep limit fungsi secara utuh dan luas tetapi mendalam.

## Materi Limit Fungsi dalam Buku Teks
Ada sejumlah buku teks yang umumnya digunakan di perguruan tinggi untuk mata kuliah Kalkulus Diferensial. Salah satunya adalah buku yang sudah diterjemahkan dengan judul Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima tahun 1987 karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg (Purcell  &  Varberg, 1987 ).  Buku  ini  juga  menjadi  salah  satu  buku  rujukan  dalam  perkuliahan kalkulus  diferensial  yang  digunakan  oleh  dosen  dan  mahasiswa  yang  menjadi  subjek  dalam penelitian ini.
Materi  pokok  yang  terdapat  dalam  buku Kalkulus  dan  Geometri  Analitis  yang  ditelusuri dalam penelitian ini adalah limit, turunan, dan integral. Untuk materi fungsi dan limit terdapat pada bab kedua setelah bab pendahuluan dan selanjutnya pada bab ketiga membahas tentang materi turunan.  Bab  pendahuluan  memuat  materi  sistem  bilangan  riil;  desimal,  kerapatan,  kalkulator; ketaksamaan; nilai mutlak, akar kuadrat, kuadrat; sistem koordinat persegi panjang; garis lurus; dan grafik persamaan. Materi yang dipelajari pada bab pendahuluan ini dapat dikatakan sebagai materi pra  kalkulus.  Hal  ini  dikarenakan  materi  tersebut  sangat  menunjang  dalam  mempelajari  dan memahami materi limit dan turunan, bahkan materi selanjutnya. Selain itu, penjelasan materi pada bagian ini sangat lengkap, jelas, dan mendalam, serta beberapa disajikan dalam bentuk grafik.
Bab kedua yaitu fungsi dan limit, mencakup materi tentang fungsi dan grafiknya; operasi pada fungsi; fungsi trigonometri; pendahuluan limit; pengkajian mendalam tentang limit; teorema limit; dan kekontinuan fungsi. Dari urutan materi tersebut dapat diketahui bahwa konsep limit fungsi dapat dipelajari setelah melewati sejumlah materi lainnya yang mendukung konsep tersebut. Misalnya adalah fungsi dan grafik. Apabila konsep fungsi dan cara menggambarkan grafik suatu fungsi  dapat  dipahami  dengan  baik  maka  pemahaman  ini  sangat  membantu  dalam  memahami konsep limit dan menyelesaikan limit dengan menggunakan sketsa grafik.
Analisis  isi  buku  teks  kalkulus  khususnya  pada  materi  limit  fungsi  dengan  menggunakan pendekatan  praxeology.  Kajian praxeology ini  dilakukan  pada  setiap  sajian  materi,  tugas  berupa konsep, contoh soal, atau soal-soal latihan dilakukan mengikuti tahapan penyajian materi dalam buku  kalkulus.  Dalam  artikel  ini  disajikan  hanya  dua sub  materi  yaitu  pemahaman  limit secara intuisi, dan limit-limit sepihak.
a) Pemahaman Limit secara Intuisi Sebelum sajian materi pemahaman limit secara intuisi, terdapat sekilas pengantar tentang contoh  penggunaan  kata  limit  dalam  bahasa  sehari- hari.  Contoh  yang  diberikan  adalah  “saya mendekati  batas  kesabar an  saya”.  Pada  bagian  ini  disebutkan  bahwa  penggunaan  seperti  itu mempunyai hubungan dengan kalkulus tetapi tidak banyak.
Sajian materi dalam pendahuluan limit diawali dengan pemahaman limit secara intuisi dengan memberikan contoh suatu fungsi bentuk pecahan atau fungsi rasional, 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 −1 𝑥−1 . Disebutkan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi pada saat 𝑥 = 1 karena menghasilkan f(x)=0/0 yang tidak mempunyai arti. Oleh karena itu, untuk menghindari hal tersebut dilakukan penelusuran tentang apa yang terjadi pada 𝑓(𝑥) ketika x mendekati satu. Dengan kata lain, muncul pertanyaan apakah 𝑓(𝑥) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana 𝑥 mendekati 1? Dalam hal ini, terdapat tiga hal  yang  dapat  dilakukan  untuk  menelusuri  permasalahan  tersebut,  yang  disajikan  dalam  buku. Ketiga  cara  tersebut  terdiri  atas  menghitung  beberapa  nilai 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati  1, menunjukkan nilai tersebut dalam sebuah diagram skematis, dan mensketsakan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) seperti ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Tiga cara mengetahui limit 𝑓(𝑥) saat 𝑥 mendekati 1 (Purcell & Varberg, 1987)
Ketiga cara yang disajikan di atas menunjukkan hasil dan kesimpulan yang sama yaitu f(x) mendekati 3 saat x mendekati 1. Dalam lambang matematis dituliskan lim 𝑥→1 𝑥 3 −1 𝑥−1 = 3, dengan cara bacanya  “limit  dari 𝑥 3 −1 𝑥−1 untuk  x  m endekati  1 adalah  3”.  Penjabaran  dari fungsi  tersebut  juga dilakukan dengan menguraikan selisih pangkat tiga sehingga diperoleh hasil yang sama,
lim 𝑥→1 𝑥 3 − 1 𝑥 − 1 =   lim 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 𝑥 − 1 = lim 𝑥→1 (𝑥 2 + 𝑥 + 1) =   1 2 + 1 + 1 = 3
Dengan aturan 𝑥−1 𝑥−1 = 1 di mana 𝑥 ≠ 1 .
Penyajian awal pada kasus ini belum dijelaskan secara eksplisit dan jelas tentang pengertian dari kata limit. Hanya ada percobaan pada sebuah definisi tentang pengertian limit secara intuisi yaitu:
“ Untuk mengatakan bahwa 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti bahwa bilamana 𝑥 dekat tetapi berlainan dari 𝑐 , maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿 ” Penyelesaian percobaan ini dilakukan dengan tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat benar di 𝑐 . Fungsi f bahkan tidak perlu terdefinisi di 𝑐 . Dalam hal ini, pemikiran tentang limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi di sekitaran 𝑐 , bukan tepat di 𝑐 . Dengan kata lain, dalam memaknai limit digunakan kata dekat. Untuk menjelaskan makna dekat dan juga seberapa dekat, pada bagian
ini  dalam  buku  teks  kalkulus  disajikan  tujuh  contoh  soal  dan  penyelesaian.  Soal-soal  tersebut dimulai dengan contoh fungsi sederhana sampai dengan fungsi rasional. Dua soal dan penyelesaian diantaranya seperti penjelasan berikut.
a. Cari 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (4𝑥 − 5)
Penyelesaian: bilamana 𝑥 dekat 3 maka (4𝑥– 5) dekat terhadap 4.3 – 5 = 7. Dituliskan 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (4𝑥 − 5) = 7
b. Cari 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥 2 −𝑥−6 𝑥−3
Penyelesaian: perhatikan bahwa (𝑥 2 −𝑥−6) 𝑥−3 tidak terdefinisi di 𝑥 = 3 , tetapi hal itu tidak ada masalah.  Untuk  mendapatkan  gagasan  tentang apa  yang  terjadi bilamana  x  mendekati 3,  dapat digunakan beberapa nilai x yang dekat 3, misalnya di 3,1; 3,01; 3,001 dan seterusnya. Selain itu, dapat menggunakan sifat aljabar untuk menyederhanakan masalah tersebut.
𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑥 2 − 𝑥 − 6 𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 (𝑥 + 2) = 3 + 2 = 5
Karena 𝑥 ≠ 3 ,  maka  bisa  digunakan  metode  pencoretan,  yaitu  mencoret (𝑥 − 3) pada pembilang dan penyebut.
Berdasarkan  penjelasan  di  atas,  limit  dapat  diartikan  dengan  kata  dekat  atau  mendekati. Dalam  mengetahui  suatu  limit  fungsi  akan  mendekati  apa  atau  nilai  berapa,  maka  cara  yang dilakukan adalah dengan mensubstitusikan nilai dari variabel yang didekati ke dalam fungsi yang diketahui.  Apabila  proses  substitusi  yang  dilakukan  menghasilkan  bentuk 0 0 maka  dilakukan penjabaran seperti pemfaktoran dari bentuk fungsi tersebut untuk menghindari hasilnya 0 0 . Sebagai pendahuluan limit, pengenalan tentang limit masih kurang lengkap, apalagi dalam mengaitkan limit dengan konteks masalah. Sajian materi langsung pada contoh fungsi rasional dan dilanjutkan dengan pendekatan limit untuk menghindari hasilnya berbentuk 0 0 . Hal ini tidak salah, tetapi mengantarkan pengenalan konsep limit dengan konteks masalah dalam bidang matematika maupun  bidang  lainnya  yang  juga  menggunakan  konsep  limit  diharapkan  dapat  memudahkan peserta didik memahami dan membedakan penggunaan konsep limit. Misalnya, konsep limit dalam kehidupan sehari-hari yang tidak selalu bermakna sama dengan konsep limit dalam matematika.
Cara  membaca  definisi  limit, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 juga  masih  terjadi  perbedaan.  Pada  buku  ini dijelaskan cara membacanya dengan “bilamana 𝑥 dekat tetapi berlainan dari 𝑐 , maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿 ”. Apostol (1967) dalam bukunya berjudul Calculus menuliskan cara baca yaitu “limit dari f(x), bilamana 𝑥 mendekati 𝑐 , adalah sama dengan 𝐿 ” atau “ 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 bilamana 𝑥 mendekati 𝑐 ”. Hal ini juga dapat dituliskan tanpa menggunakan ekspresi limit yaitu 𝑓(𝑥) → 𝐿 bilamana 𝑥 → 𝑐 .
Bagian awal pendahuluan limit ini, penulis buku ini memberikan pengantar untuk memahami konsep limit dengan cara bertahap. Meskipun contoh penggunaan kata-kata limit dalam kehidupan sehari-hari  tidak  dijelaskan  secara  lengkap  terkait  kesesuaian  kata  tersebut  dengan  konsep  limit dalam matematika. Hal ini juga menunjukkan bahwa penyajian materi untuk tingkat siswa sekolah menengah dengan mahasiswa di tingkat universitas terdapat perbedaannya.
Tingkat sekolah, materi yang diajarkan lebih banyak secara kontekstual untuk memudahkan mereka  dalam  memahami  materi  matematika.  Hal  ini  juga  sesuai  dengan  tahap  perkembangan anak. Secara konsep, materi tidak dijelaskan secara lengkap dan mendalam, hanya sekedar siswa mengetahui tentang konsep tersebut. Selain itu, setiap materi yang dibahas lebih difokuskan pada penyelesaian soal-soal secara procedural. Fakta informasi ini didasarkan pada pengalaman penulis dalam  melakukan studi  pendahuluan  di sekolah  menengah.  Analisis  praxeology  yang  dilakukan pada bagian pemahaman limit secara intuisi dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Analisis praxeology pada pemahaman limit secara intuisi
Task design Teknik Logos Pendahuluan limit - Menyatakan  topik  yang  dibahas  sebelum  limit sebagai pra kalkulus - Contoh  penggunaan  perkataan  limit  dalam bahasa sehari-hari Pengenalan  limit  secara singkat Pandang  fungsi  yang ditentukan oleh rumus
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 1 𝑥 − 1 - Menunjukkan f(x) tidak  terdefinisi  saat x  = 1 karena menghasilkan bentuk 0 0
- Menghitung nilai f(x) saat x mendekati 1
- Menggunakan tabel nilai
- Menggambar diagram skematis
- Mensketsakan grafik y = f(x)
- Melakukan  operasi  aljabar  dengan  menguraikan selisih pangkat tiga
- Membuat kesimpulan dari beberapa cara tersebut
Pengenalan  limit  fungsi dengan  contoh  fungsi yang tidak terdefinisi pada titik yang didekati. Definisi  limit  secara intuisi - Memberikan definisi limit secara intuisi Definisi  yang  disepakati oleh matematikawan Penyajian  7  contoh soal  mulai  fungsi aljabar sederhana hingga fungsi trigonometri - Operasi sederhana - Pemfaktoran
- Perkalian sekawan
- Menggunakan tabel nilai
- Substitusi langsung
- Mensketsakan grafik fungsi - Memberikan penjelasan dari setiap tahapan Pemahaman masalah limit  secara  bertahap dengan menggunakan teknik  penyelesaian  yang beragaman
Tingkat perguruan tinggi, materi yang diajarkan sudah mulai mengarah ke abstrak dan lebih menekankan pada pemahaman konsep. Dari penyajian dalam buku ini juga dapat dilihat bahwa materi yang dipaparkan dengan mengarahkan kemampuan berpikir mahasiswa dalam memahami konsep  dan  menyelesaikan  masalah  yang  diberikan  secara  bertahap.  Pengenalan  konsep  limit diawali  dengan  menyajikan  sebuah  contoh  fungsi (𝑓(𝑥) = 𝑥 3 −1 𝑥−1 ) yang  dilengkapi  dengan  cara penyelesaian dan juga menampilkan beberapa grafik dari fungsi tersebut. Fungsi yang diberikan ini merupakan fungsi rasional. Terdapat suatu aturan yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan fungsi ini yaitu bagian penyebut tidak boleh bernilai nol. Apabila penyebut bernilai nol maka fungsi tersebut tidak mempunyai arti. Untuk fungsi ini, saat 𝑥 = 1 , tidak hanya penyebut bernilai nol tetapi juga pembilang dengan bentuk 0/0. Dari kasus inilah diperkenalkan konsep limit dengan menelusuri apa yang terjadi pada 𝑓(𝑥) saat 𝑥 mendekati 1. Menelusuri yang terjadi pada 𝑓(𝑥) saat 𝑥 mendekati 1, dapat dilakukan dengan mengambil beberapa nilai 𝑥 yang mendekati 1 sehingga diperoleh nilai 𝑓(𝑥) . Dalam penyajian buku teks ini disebutkan empat cara untuk mengetahui bahwa 𝑓(𝑥) akan mendekati suatu nilai yaitu 3 saat 𝑥 mendekati 1. Dengan adanya sajian beberapa cara tersebut, mahasiswa dapat memahami konsep limit dengan mudah pada tahap awal pembelajaran. Selain itu, terdapat penyajian beberapa contoh soal yang bervariasi dengan tingkat kesulitan yang bertahap. Pengenalan konsep limit secara intuisi atau tidak formal ini dapat mengantarkan mereka untuk mudah memahami konsep limit secara formal.

## b) Limit-Limit Sepihak
Sebelum menuliskan definisi limit kiri dan limit kanan, dipaparkan penjelasan tentang contoh limit  fungsi  yang  merupakan  contoh  dari  bagian  sebelumnya  yaitu 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ⟦𝑥⟧ .  Fungsi  tersebut mempunyai lompatan pada setiap bilangan bulat, yang mengakibatkan limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Dari contoh fungsi seperti demikian maka sangat wajar diperkenalkan dengan limit-
limit sepihak. Hal ini sangat jelas terlihat konsep limit kiri dan limit kanan dari grafik fungsi yang digambarkan.
Definisi limit kiri dan limit kanan yang disajikan sebagai berikut: Untuk  mengatakan  bahwa 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 + 𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti  bahwa  bilamana 𝑥 dekat  tetapi  pada sebelah kanan 𝑐 , maka 𝑓(𝑥) adalah dekat ke 𝐿 . Serupa, untuk mengatakan bahwa 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 − 𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti bahwa bilamana 𝑥 dekat tetapi pada sebelah kiri 𝑐 , maka 𝑓(𝑥) adalah dekat ke 𝐿 . Berdasarkan contoh, 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ⟦𝑥⟧ tidak ada, adalah benar. Hal ini dikarenakan limit kiri dan limit kanan  berbeda  yaitu 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 − ⟦𝑥⟧ = 1 dan  𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 + ⟦𝑥⟧ = 2 .  Grafik  dari  limit  fungsi  tersebut  yang berbentuk loncatan dapat dilihat pada Gambar 4.4.
Setelah  pemaparan  tentang  definisi  dan  contoh  seperti  hal  di  atas,  dilanjutkan  dengan menyertakan  sebuah  teorema  tentang  limit  kiri  dan  limit  kanan.  Selain  itu,  ditambahkan  sajian gambar  (lihat  Gambar  5)  yang  berbentuk  grafik  dari  suatu  fungsi  dengan  titik  yang  didekati berbeda-beda.  Hal  ini  dapat  dimaknai  sebagai  cara  untuk  memberikan  penjelasan  tambahan tentang konsep limit kiri dan limit kanan.
Teorema:
𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎  𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 − 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑑𝑎𝑛  𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 + 𝑓(𝑥) = 𝐿
Gambar 4. Grafik fungsi 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ (Purcell & Varberg, 1987)
Gambar 5. Contoh grafik dari fungsi 𝑓(𝑥) (Purcell & Varberg, 1987)
Berdasarkan  Gambar  5,  terdapat  beberapa  grafik  dari  fungsi 𝑓(𝑥) dengan  titik 𝑥 yang didekati berbeda-beda. Dalam hal ini tidak terdapat penjelasan apapun terkait makna dari grafik tersebut. Kurangnya penjelasan dari buku teks ini diharapkan dapat dibantu stimulus dari pendidik atau dosen yang mengajarkan mata kuliah kalkulus diferensial. Pendidik dapat menjelaskan setiap arti dari grafik tersebut sehingga mahasiswa dapat memahami dengan mudah. Selain itu, pendidik juga dapat meminta mahasiswa terlebih dahulu untuk mencari sendiri atau secara berkelompok tentang  makna  tersebut  dan  selanjutnya  mendeskripsikan  makna  dari  grafik  fungsi 𝑓(𝑥) yang diketahui terkait konsep limit kiri dan limit kanan.
Bagian  akhir  sub  bab  ini  diberikan  sejumlah  soal  latihan  yang  bervariasi  dengan  tingkat kesukaran yang berbeda-beda. Terdapat soal dengan tujuan mencari limit secara langsung maupun dengan  melakukan  beberapa  perhitungan  aljabar,  menggambarkan  grafik  dari  fungsi  yang diketahui, dan menentukan limit dari grafik yang diketahui.
Pemaparan singkat tentang konsep limit sepihak sangat mudah diikuti dan dipahami. Hal ini dikarenakan penyajian melalui sebuah contoh dengan menampilkan perbedaan yang sangat jelas antara limit kiri dan limit kanan. Meskipun pada contoh kedua hanya diberikan grafik fungsi tanpa adanya penjelasan, tetapi dengan memahami konsep limit sepihak dari contoh pertama akan sangat mudah menentukan limit-limit dari fungsi tersebut untuk setiap 𝑥 yang didekati. Ini dapat menjadi tugas pengajar atau mahasiswa dalam mencari limit tersebut. Pada tahap ini juga dapat dilakukan untuk  mengembangkan atau  memperdalam pemahaman  tentang  konsep  limit sepihak. Analisis praxeology yang dilakukan pada bagian limit-limit sepihak untuk limit kiri dan limit kanan dapat dilihat pada Tabel 2.

## Tabel 2. Analisis praxeology pada limit-limit sepihak
Task design Teknik Logos Definisi  limit kiri  dan  limit kanan - Memberikan  contoh  fungsi  yang  mempunyai lompatan (Gambar 5) - Menjelaskan limit sepihak
- Menuliskan definisi limit kiri dan limit kanan
- Menunjukkan teorema
- Contoh tambahan dalam grafik
Konsep limit sepihak - Limit  tidak  ada  tetapi  ada untuk  limit  kiri  dan  atau limit kanan
- Limit  ada  berarti  limit  kiri sama dengan limit kanan
Di tingkat perguruan tinggi, komponen buku pelajaran – kurikulum – ujian, dapat dijadikan sebagai  cerminan  dari  apa  yang  dipelajari  mahasiswa  dan  apa  yang  diharapkan  oleh  lembaga pendidikan untuk dipelajari mahasiswa. Hardy ( 2009 ) menganalisis tugas yang diajukan dalam ujian akhir  beserta  jenis  solusi  yang  diharapkan  dapat  disajikan  oleh  mahasiswa.  Hal  ini  dapat membangun model persepsi mahasiswa dan instruktur tentang pengetahuan yang akan dipelajari (knowledge to be learned), mencari perbedaan antara model tersebut dan pengaruh tugas-tugas rutin dan tidak adanya wacana teoretis terhadap persepsi mereka. Dalam menghadapi masalah yang diajukan, mahasiswa telah menunjukkan bahwa pemikiran mereka bukanlah pemikiran matematis. Dalam hal ini, pilihan teknik yang digunakan untuk mengatasi masalah diyakini benar dan tepat. Dasar dari keyakinan ini yaitu kebiasaan yang dikomunikasikan secara eksplisit dalam solusi yang disajikan di kelas. Selain itu, adanya penggunaan teknik secara algoritmik yang didasarkan pada instruksi atau langkah penyelesaian yang terdapat pada buku teks. Berdasarkan hal tersebut, tidak adanya  blok  teoretis  dapat  mengakibatkan  siswa  mengalami  kesulitan  dalam  mengingat  urutan (Hardy, 2009 ).
Terdapat  empat  proses  yang  terlibat  dalam  transposisi  pengetahuan  yang  efektif  dalam pengajaran  matematika  atau  dalam  menulis  buku  pelajaran  matematika  yaitu  kontekstualisasi, dekontekstualisasi,  personalisasi,  dan  depersonalisasi.  Meskipun  penulis  buku  teks  tampaknya menggunakan bentuk transposisi didaktik yang moderat, guru yang mengikuti buku teks secara tidak kritis mungkin akhirnya menggunakan bentuk ekstrim. Dengan demikian, penggunaan buku pelajaran matematika yang efektif di dalam kelas bergantung pada kewaspadaan epistemologis guru matematika. Dalam hal ini, teori transposisi didaktik memberikan model epistemologis yang dapat digunakan untuk menghindari pandangan fenomenologis dan ontologis yang ekstrem tentang sifat pengetahuan (Kang & Kilpatrick, 1992 ).
Proses transposisi didaktik memberikan gagasan yang berbeda tentang pengetahuan dengan menyoroti relativitas kelembagaan pengetahuan dan menempatkan masalah didaktik pada tingkat kelembagaan,  di  luar  karakteristik  individu  dari  lembaga  tersebut  (Bosch  et  al., 2005 ).  Dari perspektif epistemologis, gagasan pengetahuan untuk diajarkan atau pengetahuan untuk dipelajari mungkin  merupakan  objek  yang  terdefinisi  dengan  baik.  Namun,  sudut  pandang  antropologis,
kesatuan gagasan tersebut terurai menjadi praksiologi yang berbeda, berbeda untuk siswa dan guru serta menjadi relatif terhadap institusi yang menggambarkannya (Hardy, 2009 ).

## KESIMPULAN
Pengetahuan yang akan diajarkan ( knowledge to be taught ) untuk konsep limit fungsi yang dikaji atau  dianalisis  berdasarkan  beberapa  sumber  yaitu  kurikulum  program  studi,  dan  buku  teks kalkulus yang menjadi salah satu buku rujukan pada kelas kalkulus. Penyajian materi pada ketiga sumber  tersebut  terdapat  perbedaan  untuk  urutan  materinya.  Mata  kuliah  kalkulus  diferensial merupakan salah satu mata kuliah yang terdapat pada semester pertama perkuliahan di program studi  Pendidikan  matematika.  Dengan  demikian,  penyajian  maupun  penyampaian  materi diperlukan  usaha  tambahan  karena  mahasiswa  masih  berada  pada  masa  transisi  antara pembelajaran di sekolah dengan pembelajaran di perguruan tinggi. Deskripsi mata kuliah kalkulus diferensial memuat materi sistem bilangan riil, fungsi dan grafik, limit fungsi, kekontinuan fungsi, turunan fungsi,  dan aplikasi  turunan.  Hal  ini berbeda  dengan  penyajian  materi  pada  RPS  yang disusun  oleh  tim  dosen  pengampu  mata  kuliah  kalkulus  diferensial.  Pada  RPS,  materi  diawali dengan konsep limit fungsi dan limit tak hingga. Hal ini dapat menimbulkan hambatan belajar bagi mahasiswa karena untuk mempelajari limit fungsi diperlukan materi pendukung lainnya. Selain itu, pembelajaran  limit  fungsi  selama  di  sekolah  lebih  banyak  pada  penyelesaian  soal-soal  secara procedural, yang sangat berbeda dengan belajar di tingkat perguruan tinggi.
Untuk sajian materi pada buku teks kalkulus, konsep limit fungsi diawali dengan pengenalan konsep tersebut secara intuisi atau tidak formal. Beberapa kasus diberikan untuk memperdalam konsep  limit  melalui  grafik,  analitik,  dan  numerik.  Selanjutnya  disajikan  konsep  limit  secara mendalam  menggunakan  definisi  formal.  Dalam  hal  ini,  penulis  buku  juga  menyajikan  definisi tersebut  melalui  grafik  untuk  mempermudah  pemahaman  tentang  konsep  limit  fungsi menggunakan epsilon delta. Untuk materi limit tak hingga tidak disajikan setelah materi tentang limit di satu titik, limit sepihak atau teorema limit. Padahal konsep ini masih saling terkait dan berkesinambungan. Akan tetapi, panyajian materi limit tak hingga terpisah dari bab limit, yaitu pada bab  penggunaan  turunan setelah  bab  turunan  itu sendiri.  Hal  ini  menjadi  salah  satu hambatan didaktik  apabila  dilihat  dari  sajian  urutan  materinya  karena  materi  tersebut  terpisah  jauh  dari pembahasan materi limit fungsi di satu titik.

## DAFTAR PUSTAKA
Akar, N., & Işıksal -Bostan, M. (2022). The didactic transposition of quadrilaterals: the case of 5th grade  in  Turkey. International  Journal  of  Mathematical  Education  in  Science  and  Technology , https://doi.org/10.1080/0020739X.2021.2022228 Bosch, M., Chevallard, Y., Gasc ó n, J. (2005). Science or magic? The use of models and theories in didactics of mathematics. Proceedings of CERME.
Bosch,  M.,  Hausberger,  T.,  Hochmuth,  R.,  Kondratieva,  M.,  &  Winsløw,  C.  (2021).  External Didactic  Transposition  in  Undergraduate  Mathematics. International  Journal  of  Research  in Undergraduate Mathematics Education , 7 , 140 – 162 https://doi.org/10.1007/s40753-020-00132- 7
Chevallard, Y. (1989). On didactic transposition theory: some introductory notes. In International symposium  on  selected  domains  of  research  and  development  in  mathematics  education (pp.  51 – 62). Bratislava. https://doi.org/10.1007/978-94-007-4978-8_48 Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 153-166). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Creswell, J. W. (2012). Educational research. Planning, conducting and evaluating quantitative and qualitative research. Fourth Edition . Boston: Pearson Education, Inc.
Davis, R. B. & Vinner, S. (1986). The notion of limit: Some seemingly unavoidable misconception stages. Journal of Mathematical Behaviour , 5 (3), 281-303.
Ervynck G. (1981). Conceptual difficulties for first year students in the acquisition of the notion
of limit of a function. Actes du Cinqui è me Colloque du Groupe Internationale PME , Grenoble, France, 330-333.
Ferrini-Mundy, J., & Lauten, D. (1993). Teaching and learning calculus. In P. S. Wilson (Ed.), Research ideas for the classroom: High school mathematics (pp. 155 – 176). New York: Macmillan. Hardy, N. (2009). Students’ perceptions of institutional practices: the case of limits of functions in college  level  calculus  courses. Educational  Studies  in  Mathematics , 72 (3),  341 – 358. https://doi.org/10.1007/s10649-009-9199-8
Henriksen, B. (2022). Didactic transposition of natural numbers in the first year of compulsory schooling: a case of comparative curricula analysis. Twelfth Congress of the European Society for Research  in  Mathematics  Education  (CERME12) ,  Feb  2022,  Bozen-Bolzano,  Italy. ⟨ hal- 03750194 ⟩ Kang, W., & Kilpatrick, J. (1992). Didactic transposition in mathematics textbooks. For the Learning of Mathematics . 12 (1), 2-7. Mokhtar, M. Z., Tarmizi, R. A., Ayub, A. F. M., & Nawawi, M.  D. H. (2013). Motivation and performance  in  learning  calculus  through  problem-based  learning. International  Journal  of Asian Social Science , 3 (9), 1999-2005. Oktaviyanthi, R., Herman, T., & Dahlan, J. A. (2018). How does pre-service mathematics teacher prove the limit of a function by formal definition? Journal on Mathematics Education , 9 (2), 195- 212. https://doi.org/10.22342/jme.9.2.5684.195-212 Purcell, E. J. & Varberg, D. (1987). Calculus with Analytic Geometry, 5th Edition . Terjemahan. Susila, I.  N.,  Kartasasmita,  B.,  &  Rawuh.  Kalkulus  dan  Geometri  Analitis  Jilid  1  Edisi  Kelima. Jakarta: Erlangga.
Robert,  A.  (1982).  'L'acquisition  de  la  notion  de  convergence  des  suites  numeriques  dans l'enseignement superieur'. Recherches en Didactique des Mathematiques , 3 , 307-341. Sierpinska,  A.  (1987).  Humanities  students  and  epistemological  obstacles  related  to  limit. Educational Studies in Mathematics , 18 (4), 371 – 397. https://doi.org/10.1007/BF00240986 Tall,  D.  (1980).  The notion of  infinite  measuring  number  and  its  relevance  in  the  intuition  of infinity,
Educational Studies in Mathematics , 11 (3), 271-284. https://doi.org/10.1007/BF00697740 Tall, D. (1992). The transition to advanced mathematical thinking: Functions, limits, infinity and proof. In Handbook of Research on MathematicsTeaching and Learning (pp. 495 – 511). Macmillan, New York: Grouws D.A. (ed.) Handbook.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference  to  limits  and  continuity. Educational  Studies  in  Mathematics , 12 (2),  151 – 169. https://doi.org/10.1007/BF00305619
Zollman,  A.  (2014).  University  students’  limited  knowledge  of  limits  from  calcul us – through differential  equations. The  mathematics  education  for  the  future  project:  Proceedings  of  the  12th International Conference , (pp. 693-698).