## Diagonalisasi Operator Linear
Muhammad Naoval Husni 1
1 Program Studi Matematika Universitas Mataram, Indonesia, naovalhusni50@gmail.com
Abstract. There  are  many  problems  in  finding  a  basis  for 𝑅 𝑛 consisting  of  the eigenvectors of a square matrix 𝐴 𝑛𝑥𝑛 . These bases can be used to study the geometric properties of A and simplify various numerical calculations involving A. These bases are also important in various applications, one of which is from these bases we can derive  the  properties  of  vector  spaces  one  of  which  is  that  each  eigenspace  is  a subspace of its vector space. The problem of finding a basis consisting of eigenvectors is equivalent to the diagonalization problem. The author discuss the diagonalization of linear operators.
Keywords: Diagonalizability, Linear Operation.
Abstrak. Ada banyak masalah dalam mencari suatu basis untuk 𝑅 𝑛 yang terdiri dari vector-vektor eigen dari suatu matriks bujursangkar 𝐴 𝑛𝑥𝑛 . Basis-basis tersebut dapat digunakan untuk menelaah sifat-sifat geometri dari matriks A dan menyederhanakan berbagai  perhitungan  numerik  yang  melibatkan  matriks  A.  Basis-basis  ini  ini  juga penting  dalam  berbagai  aplikasi,  yang  salah  satunya  dari  basis-basis  tersebut  bisa didapatkan  sifat-sifat  dari  ruang  vector  salah  satunya  setiap  ruang  eigen  adalah subruang dari ruang vektornya. Masalah mencari basis yang terdiri dari vector-vektor eigen  equivalen  dengan  maslah  diagonalisasi  .Penulis  membahas  mengenai diagonalisasi operator linear.
Kata Kunci: Diagonalisasi, Matriks,Ortogonal,Operator Linear.

## 1 Pendahuluan
Suatu  matriks  bujursangkar 𝐴 𝑛𝑥𝑛 dikatakan  dapat  didiagonalkan ( diagonalizabel ) jika terdapat matriks P yang mempunyai invers (dapat dibalik) sehingga 𝑃 −1 𝐴𝑃 merupakan  matriks  diagonal.  Jadi  pengertian  matriks diagonalisasi adalah proses memaksa suatu matriks bujursangkar dibuat menjadi matriks  diagonal  dengan  cara  mengkonstruksi  matriks  P  yang  berasal  dari vektor-vektor  eigen  A,  dimana  vektor  eigen  pasti  bebas  linear  karena  vector eigen  adalah  basis  dari  ruang  eigen  yang  mengakibatkan  memiliki  invers sehingga  dengan  syarat  definisi  matriks  dapat  didiagonalkan  dapat  ditemukan matriks diagonalnya [1],[2]. Atau secara sederhana dengan menemukan matriks P yang memiliki invers sehingga terdapat matriks A yang dapat didiagonalkan. Suatu  matriks  bujur  sangkar  A  dikatakan  dapat  didiagonalkan  jika  ada  suatu matriks yang dapat dibalik P  sedemikian sehingga 𝑃 −1 𝐴𝑃 adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalkan P [3],[4],[5].

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Hal  tersebut  hanya  berlaku  pada  diagonalisasi  matriks  yang  hanya  cukup diagonal matriksnya similar dengan suatu matriks diagonal, sedangkan ada kasus dimana  ditemukan  suatu  basis  sehingga  matriks  representasinya  relative terhadap  basis  diagonal.  Misalkan 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah  suatu  operator  linear  pada ruang vector V, Operator T dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu basis terurut B dari V sehingga [𝑇] 𝐵 adalah matriks diagonal [2],[6],[7].
Diagonalisasi  mempunya  banyak  aplikasi  dan  memiliki  beberapa  versi  di struktur matematika lainnya [8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16].

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1 Diagonalisasi Operator Linear
Definisi 1.1. Misalkan 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah suatu operator linear pada ruang vektor V operator  T  dikatakan  dapat  didiagonalkan  jika  ada  suatu  basis  terurut  B  dari  V sehingga [𝑇] 𝐵 adalah matriks diagonal.
Contoh 1: 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 𝑇 ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) = ( 1 1 −1 0 0 1 0 −2 −3 ) ( 𝑥 𝑦 𝑧 )
Dengan  basis  yang  dipilih 𝐵 = {( 1 1 0 ) , ( 0 2 1 ) , ( 0 1 1 )} .  Tunjukan  apakah [𝑇] 𝐵 adalah matriks diagonal. Penyelesaian:
Langkah pertama yang harus dilakukan ialah mencari peta-peta dari setiap basis b, kemudian kombinasi linear dari peta tersebut;
𝑇 ( 1 1 0 ) = ( 1 1 −1 0 0 1 0 −2 −3 ) ( 1 1 0 ) 𝑇 ( 1 1 0 ) = ( 1 1 0 ) ( 1 1 0 ) = 1 ( 1 1 0 ) + 0 ( 0 2 1 ) + 0 ( 0 1 1 )
Sehingga didapat kombinasi linear dari peta tersebut adalah ( 1 0 0 )
Dengan cara yang sama  didapat 𝑇 ( 0 2 1 ) = ( 0 −2 −1 ) dan 𝑇 ( 0 1 1 ) = ( 0 −2 −2 ) sehingga didapat kombinasi linear berturut-turut adalah ( 0 −1 0 ) , ( 0 0 −2 ) .
Jadi,matriks penyajian terhadap basis B dari operator T adalah [𝑇] 𝐵 = ( 1 0 0 0 −1 0 0 0 −2 ) .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Teorema 1.1. Jika 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah sebuah operator linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga 𝑉 , dan jika 𝐵 dan 𝐵′ adalah basis untuk 𝑉 maka :
[𝑇] 𝐵′ = 𝑃 −1 [𝑇] 𝐵 𝑃 Dimana 𝑃 adalah matriks transisi dari 𝐵′ ke 𝐵 .
Teorema 1 ini digunakan untuk menentukan bentuk paling sederhana yang mungkin yang  dapat  diperoleh  untuk  matriks  suatu  operator  linear  dengan  memilih  basis dengan tepat.
Contoh 2 : Misalkan 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 adalah  sebuah  operator  linear  yang  dirumuskan  oleh
𝑇 ( 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 ) = ( −2𝑥 3 𝑥 1 +2𝑥 2 +𝑥 3 𝑥 1 +3𝑥 3 ) ,  dengan matriks pendiagonal 𝑃  = ( −1 0 1 0 1 0 −2 1 1 ) .
Penyelesaian:
Katrena 𝑇(𝑒 1 ) = ( 1 1 −1 0 0 1 0 −2 −3 ) ( 1 0 0 ) = ( 0 1 1 ) = 0 ( 1 0 0 ) + 1 ( 0 1 0 ) + 1 ( 0 0 1 ) ,  sehingga  didapat kombinasi linear dari peta adalah [𝑇(𝑒 1 )] 𝐵 = ( 0 1 1 ) . Dengan cara yang sama  didapat
𝑇(𝑒 2 ) = ( 0 2 0 ) dan 𝑇(𝑒 3 ) = ( −2 1 3 ) ,  sehingga  didapat  kombinasi linear berturut-turut adalah [𝑇(𝑒 2 )] 𝐵 = ( 0 2 0 ) , [𝑇(𝑒 3 )] 𝐵 = ( −2 1 3 ) .  Jadi,matriks penyajian terhadap basis B dari operator T adalah [𝑇] 𝐵 = ( 0 1 1 0 2 0 −2 1 3 ) .  Setelah itu berdasarkan teorema pertama P merupakan  matriks  transisi  dari  basis 𝐵 ′ = {𝑢 1 ′ , 𝑢 2 ′ , 𝑢 3 ′ } kebasis  standar 𝐵 = {𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 }. Oleh  karena  itu, [𝑢 1 ′ ] 𝐵 = ( −1 0 1 ) , [𝑢 2 ′ ] 𝐵 = ( 0 1 0 ) , [𝑢 3 ′ ] 𝐵 = ( −2 1 1 ) . Sehingga didapat  basis  dari 𝐵’ , 𝑢 1 ′ = ( −1 0 1 ) , 𝑢 2 ′ = ( 0 1 0 ) ,  dan 𝑢 3 ′ = ( −2 1 1 ) .    Jadi [𝑇] 𝐵′ = [𝑇[𝑢 1 ′ ] 𝐵 ′ |𝑇[𝑢 2 ′ ] 𝐵 ′ ]|𝑇[𝑢 3 ′ ] 𝐵 ′ ] , 𝑇(𝑢 1 ′ ) = ( 0 1 1 0 2 0 −2 1 3 ) ( −1 0 1 ) = ( −2 0 2 ) = ( −2 0 2 ) = 2 ( −1 0 1 ) + 0 ( 0 1 0 ) + 0 ( −2 1 1 ) .    Sehingga 𝑇[𝑢 1 ′ ] 𝐵 ′ = ( 2 0 0 ) .    Dengan  cara  yang  sama  didapat
𝑇[𝑢 2 ′ ] 𝐵 ′ = ( 0 2 0 ) dan 𝑇[𝑢 3 ′ ] 𝐵 ′ = ( 0 0 1 ) . Diperoleh [𝑇] 𝐵′ = [𝑇[𝑢 1 ′ ] 𝐵 ′ |𝑇[𝑢 2 ′ ] 𝐵 ′ ]|𝑇[𝑢 3 ′ ] 𝐵 ′ ],  [𝑇] 𝐵′ = ( 2 0 0 0 2 0 0 0 1 ) .    Jadi,  T : 𝑅 3 → 𝑅 3 adalah  sebuah operator  linear  yang  dirumuskan  oleh 𝑇 ( 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 ) = ( −2𝑥 3 𝑥 1 +2𝑥 2 +𝑥 3 𝑥 1 +3𝑥 3 ) .    Dengan 𝐵
merupakan  basis  standar  di 𝑅 3 dan  basis 𝐵 ′ = {( −1 0 1 ) , ( 0 1 0 ) , ( −2 1 1 )} ,  merupakan operaror linear yang dapat didiagonalisasi.
Teorema  1.2. Misalkan 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 adalah  vector  eigen  dari  operator  linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉 yang  bersesuaian  dengan  nilai-nilai-nilai  eigen  yang  berbeda  dengan {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } bebas linear.
Bukti

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Misalkan 𝑣 𝑖 adalah  vector  eigen  yang  bersesuaian  dengan  nilai  eigen 𝜆 𝑖 dengan 𝜆 𝑖 ≠ 𝜆 𝑗 , 𝑖, 𝑗  = 1,2,3, … , 𝑛 Andaikan himpunan {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } tidak bebas linear maksimal dengan 1 < 𝑟 < 𝑛 . Akibatnya :
𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 = 0                                   (1) Deipenuhi oleh nilai 𝑘 𝑖 yang tidak semuanya nol, dengan demikian :
𝑇(𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 ) = 0 Sehingga,
𝑘 1 𝑇(𝑣 1 ) + 𝑘 2 𝑇(𝑣 2 ) + ⋯ + 𝑘 𝑟+1 𝑇(𝑣 𝑟+1 ) = 0 𝑘 1 𝜆 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝜆 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘 𝑟+1 𝜆 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 = 0                           (2) Kalikan (… 1) dengan 𝜆 𝑟+1
(𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑘 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 ) = 0             ×   (𝜆 𝑟+1 ) (𝜆 𝑟+1 (𝑘 1 𝑣 1 ) + ⋯ + 𝜆 𝑟+1 (𝑘 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 ) = 0                            (3)
Kurangi persamaan 2 dikurangi persamaan 3
(𝑘 1 𝜆 1 𝑣 1 + ⋯ + 𝑘 𝑟+1 𝜆 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 ) − (𝜆 𝑟+1 (𝑘 1 𝑣 1 ) + 𝜆 𝑟+1 (𝑘 2 𝑣 2 ) + ⋯ + 𝜆 𝑟+1 (𝑘 𝑟+1 𝑣 𝑟+1 )) = 0 𝑘 1 (𝜆 1 − 𝜆 𝑟+1 )𝑣 1 + ⋯ + 𝑘 𝑟 (𝜆 𝑟 − 𝜆 𝑟+1 )𝑣 𝑟 = 0 Karena {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑟 } bebas linear maka 𝑘 𝑖 (𝜆 𝑖 − 𝜆 𝑟+1 ) = 0 untuk 𝑖  =  1,2 … , 𝑟 . Karena (𝜆 𝑖 − 𝜆 𝑟+1 ) ≠ 0 untuk 𝑖  =  1,2 … , 𝑟 ,  maka  haruslah 𝑘 𝑖 = 0 untuk 𝑖  = 1,2 … , 𝑟 .  Diperoleh (𝑘 𝑟+1 )(𝑣 𝑟+1 ) = 0 , karena (𝑣 𝑟+1 ) ≠ 0 maka haruslah 𝑘 𝑟+1 = 0 (Kontradiksi).  Jadi haruslah {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } bebas linear.
Teorema  1.3. Misalkan 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah  suatu  operator  linear  pada  suatu  ruang vector V berdimensi n maka pernyataan berikut ekuivalen :
1. T dapat didiagonalkan
2. Ada basis terurut B dari V yang terdiri dari vector-vektor eigen dari T
3. Untuk sebarang basis C dari V, [𝑇] 𝐶 dapat didiagonalkan.

## Bukti
Adt 1 ⇒ 2 misalkan  T  dapat  didiagonalkan  maka  ada 𝐵 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } basis terurut 𝑉 sehingga [𝑇] 𝐵 = [ 𝑘 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 𝑘 𝑛 ] . Kemudian karena [𝑣 𝑖 ] 𝐵 = ( 0 ⋮ 𝑖 ⋮ 0) maka,
[𝑇(𝑣 𝑖 )] 𝐵 = [𝑇] 𝐵 [𝑣 𝑖 ] 𝐵 = ( 0 ⋮ 𝑘 𝑖 ⋮ 0 ) . Diperoleh 𝑇(𝑣 𝑖 ) = 𝑘 𝑖 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 ≠ 0 . Jadi
𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 adalah vector-vektor eigen dari T. Kemudian akan ditunjukkan 2 ⇒ 1 .  Misalkan 𝐵 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } basis berturut-turut V dengan 𝑇(𝑣 𝑖 ) = 𝜆 𝑖 𝑣 𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1, … , 𝑛 .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Akibatnya diperoleh [𝑣 𝑖 ] 𝐵 = ( 0 ⋮ 𝑖 ⋮ 0) , dan [𝑇(𝑣 𝑖 )] 𝐵 = 𝜆 𝑖 [𝑣 𝑖 ] 𝐵 = ( 0 ⋮ 𝜆 𝑖 ⋮ 0 ) untuk setiap
𝑖 = 1, … , 𝑛 .  Akibatnya [𝑇] 𝐵 = [ 𝜆 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝜆 𝑛 ] , sehingga 𝑇 dapat didiagonalkan.
Selanjutnya  akan  ditunjukkan 1 ⇒ 3 .    Misalkan 𝑇 dapat  didiagonalkan  dan 𝐶 sebarang basis terurut dari 𝑉 .  Karena 𝑇 dapat didiagonalkan maka terdapat 𝐵 basis terurut  dari  V  sehingga [𝑇] 𝐵 = 𝐷 , 𝐷 matriks  diagonal.    Berdasarkan  teorema sebelumnya ada matriks transisi 𝑃 dari basis 𝐵 ke 𝐶 sehingga,
𝑃 −1 [𝑇] 𝐵 𝑃 = [𝑇] 𝐵 = 𝐷
Jadi [𝑇] 𝐶 dapat didiagonalkan.
Selanjutnya akan ditunjukkan 3 ⇒ 1 .  Misalkan [𝑇] 𝐶 dapat didiagonalkan , artinya terdapat 𝑃 yang dapat dibalik sehingga
𝑃 −1 [𝑇] 𝐶 𝑃 = 𝐷
Pilih 𝐵 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } dengan [𝑣 𝑖 ] 𝐶 = 𝑃 𝑖 , maka B bebas linear.  Karena [𝑣 𝑖 ] 𝐶 = 𝑃 𝑖 bebas linear jadi 𝐵 basis bagi 𝑉 .  Sehingga diperoleh 𝑃[𝑣 𝑖 ] 𝐵 = 𝑃 𝑖 = [𝑣 𝑖 ] 𝐶 , jadi 𝑃 matriks transisi dari 𝐵 ke 𝐶 .  Akibatnya [𝑇] 𝐵 = 𝑃 −1 [𝑇] 𝐶 𝑃 = 𝐷 , artinya 𝑇 dapat didiagonalkan.
Contoh 3 : Misalkan 𝑇: 𝑅 3 → 𝑅 3 adalah suatu operator linier yang dirumuskan sebagai berikut
𝑇 ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) = ( 1 0 0 1 0 −2 −1 1 −3 ) ( 𝑥 𝑦 𝑧 ) .  Dengan  basis 𝐵 = {( 1 1 0 ) , ( 0 2 1 ) , ( 0 1 1 )} .  Akan
ditunjukkan 𝑇 dapat didiagonalkan.
Penyelesaian :
𝑇 ( 1 1 0 ) = ( 1 0 0 1 0 −2 −1 1 −3 ) ( 1 1 0 ) = ( 1 1 0 ) = (1) ( 1 1 0 ) + (0) ( 0 2 1 ) + (0) ( 0 1 1 ) 𝑇 ( 0 2 1 ) = ( 1 0 0 1 0 −2 −1 1 −3 ) ( 0 2 1 ) = ( 0 −2 −1 ) = (0) ( 1 1 0 ) + (−1) ( 0 2 1 ) + (0) ( 0 1 1 ) 𝑇 ( 0 1 1 ) = ( 1 0 0 1 0 −2 −1 1 −3 ) ( 0 1 1 ) = ( 0 −2 −2 ) = (0) ( 1 1 0 ) + (0) ( 0 2 1 ) + (−2) ( 0 1 1 )
Sehingga didapat matriks diagonal dari permasalahan diatas adalah
[𝑇] 𝐵 = ( 1 0 0 0 −1 0 0 0 −2 )
Contoh 4 :
Akan ditunjukkan 𝑇 ( 𝑥 𝑦) = ( 17 −30 9 −16 ) ( 𝑥 𝑦) dapat didiagonalkan. Yang kemudian dapat dipergunakan untuk menghitung ( 17 −30 9 −16 ) 4 .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan persamaan karakteristik, didapatkan 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑥 − 17 30 −9 𝑥 + 16 ) = 0 . Sehingga didapatkan persamaan karakteristik
(𝑥 − 17)(𝑥 + 16) − (30)(−9) = 0 𝑥 2 − 𝑥 − 272 + 270 = 0
𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
Sehingga didapat nilai eigen 𝜆 1 = −1 𝑑𝑎𝑛 𝜆 2 = 2 ,  lalu didapat vektor eigen untuk masing-masing nilai eigen sebagai berikut.  Untuk 𝜆 1 = −1 diperoleh vektor eigen 𝑆𝑝𝑎𝑛{( 5 3 )} .    Dan  untuk 𝜆 1 = 2 diperoleh  vektor  eigen 𝑆𝑝𝑎𝑛{( 2 1 )} .  Matriks diagonalnya adalah ( −1 0
0 2 ) dengan 𝑃 = ( −1 2 3 −5 ) dan 𝑃 −1 = ( 5 2 3 1 )
Sehingga ( 17 −30 9 −16 ) 4 = ( 5 2 3 1 ) ( −1 0 0 2 ) 4 ( −1 2 3 −5 ) .

## 3 Kesimpulan
Dalam makalah ini didapat pengertian dan beberapa teorema dan pembuktian dari diagonalisasi  operator  linear  dan  beberapa  contoh  yang  sudah  tertera  didalam pembahasan.  Berikut  beberapa  ringkasan  teorema  dan  definisi  dari  hasil pembahasan diatas :
o Diagonalisasi operator linear adalah jika 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah suatu operator linear pada ruang vektor 𝑉 operator 𝑇 dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu basis terurut 𝐵 dari 𝑉 sehingga [𝑇] 𝐵 adalah matriks diagonal.
o Misalkan 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah  sebuah  operator  linear  pada  suatu  ruang  vektor berdimensi terhingga 𝑉 , dan jika 𝐵 dan 𝐵′ adalah basis untuk 𝑉 maka :
[𝑇] 𝐵 ′ = 𝑃 −1 [𝑇] 𝐵 𝑃 Dimana 𝑃 adalah matriks transisi dari 𝐵′ ke 𝐵 . o Misalkan 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 adalah vector eigen dari operator linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉 yang bersesuaian dengan nilai-nilai-nilai eigen yang berbeda dengan {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } bebas linear.
o Misalkan 𝑇: 𝑉 → 𝑉 adalah  suatu  operator  linear  pada  suatu  ruang  vector  V berdimensi n maka pernyataan berikut ekuivalen :
1. T dapat didiagonalkan
2. Ada basis terurut B dari V yang terdiri dari vector-vektor eigen dari T
3. Untuk sebarang basis C dari V, [𝑇] 𝐶 dapat didiagonalkan.

## 4 Daftar Pustaka
[1] Alfian, M. R., Maulana, F., Switrayni, N. W., Aini, Q., Putri, D. N., & Wardhana, I. G. A. W. (2022).  The  prime  submodule  of  the  integer  module  over  itself.  EIGEN MATHEMATICS JOURNAL, 27-30.
[2]  Gazir, A., & Wardhana, I. G. A. W. (2019). Subgrup Non Trivial Dari Grup Dihedral. Eigen Mathematics Journal 1(2), 73-76.
[3]  Jacob,B.1990. Linear Algebra. New York:University of California,Santa Barbara.
[4]  Juliana, R., Wardhana, I. G. A. W., & Irwansyah. (2021, February). Some      characteristics of  cyclic  prime,  weakly  prime  and  almost  prime  submodule  of  Gaussian  integer modulo over integer. In AIP Conference Proceedings (Vol. 2329, No. 1, p. 020004). AIP Publishing LLC.
[5]  Maulana, F., Wardhana, I. G. A. W., Switrayni, N. W., & Aini, Q. (2018). Bilangan Prima dan Bilangan tak Tereduksi pada Bilangan bulat Gauss. In Prosiding Seminar Nasional APPPI II (pp. 383-387).
[6]    Maulana, F., Wardhana, I. G. A. W., & Switrayni, N. W. (2019). Ekivalensi  Ideal  Hampir Prima dan Ideal Prima pada Bilangan Bulat Gauss. Eigen Mathematics Journal , 1-5.
[7]    Misuki,  W.  U.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  &  Switrayni,  N.  W.  (2021,  March).  Some Characteristics  of  Prime  Cyclic  Ideal  On  Gaussian  Integer  Ring  Modulo.  In IOP Conference Series: Materials Science and Engineering (Vol. 1115, No. 1, p. 012084). IOP Publishing.
[8]  Saleh, K., Astuti, P., & Muchtadi-Alamsyah, I. (2016). On the structure of finitely generated primary  modules. JP  Journal  of  Algebra,  Number  Theory  and  Applications ,  38(5), 519.
[9]  Switrayni, N. W., Wardhana, I. G. A. W., & Aini, Q. (2022). On Cyclic Decomposition Of Z- Module  M_  {m×r}(Z_n), Journal  of  Fundamental  Mathematics  and  Applications , 5(1), 47-51
[10]  Wardhana,  I.,  &  Astuti,  P.  (2015).  Karakteristik  Submodul  Prima  Lemah  dan  Submodul Hampir Prima pada. Jurnal Matematika & Sains , 19(1), 16-20
[11]  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  Astuti,  P.,  &  Muchtadi-Alamsyah,  I.  (2016).  On  almost  prime submodules  of  a  module  over  a  principal  ideal  domain. JP  Journal  of  Algebra, Number Theory and Applications , 38(2), 121-138.
[12] Wardhana, I. G. A. W., Nghiem, N. D. H., Switrayni, N. W., & Aini, Q. (2021, November). A note on almost prime submodule of CSM module over principal ideal domain. In Journal of Physics: Conference Series (Vol.2106, No. 1, p. 012011). IOP Publishing.
[13] Wardhana, I. G. A. W. W., & Maulana, F. (2021). Sebuah Karakteristik dari Modul Uniserial dan  Gelanggang Uniserial.  Unisda  Journal  of  Mathematics  and  Computer  Science (UJMC) , 7(2), 9-18.
[14] Wardhana, I. G. A. W. (2022). The Decomposition of a Finitely Generated Module over Some Special Ring. JTAM (Jurnal Teori dan Aplikasi Matematika) , 6(2), 261-267.
[15]  Wijayanti,  I.  E.,  &  Wisbauer,  R.  (2009).  On  coprime  modules  and  comodules. Communications in Algebra , 37(4), 1308-1333.
[16] Yuwaningsih, D. A., & Wijayanti, I. E. (2015). On jointly prime radicals of (R, S)-modules.
Journal of the Indonesian Mathematical Society , 25-34