## OPTIMASI KOMBINASI PRODUK DENGAN METODE GOAL PROGRAMMING
(Optimations of Product Combinations with Goal Programming Method)
Rika N.B., Agustina Pradjaningsih dan Yuliani Setia Dewi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email: agustina.fmipa@unej.ac.id, yulidewi.fmipa@unej.ac.id
Abstract: Goal programming is linear programming technique which is used to solve problem with some goals. This method used to minimize the undesirable deviation from some targets which want to be reached. The targets expressed in a mathematic equation called constraint function. There are two constraint functions, goal constraint function and  structural  constraint  function.  On  this  paper  solution  of  the  optimal  product combinations problems will be finded from nata de coco packs which have purpose to minimize ripening and sale maximization.
Keyword: Goal Programming, Product Combination .
MSC 2020: 90C29

## 1. Pendahuluan
Suatu perusahaan yang bergerak dibidang produksi, tujuan utamanya adalah untuk mencari keuntungan  yang optimal. Oleh karena itu untuk  mendapatkan keuntungan yang optimal, perusahaan  harus  mengetahui  faktor-faktor  yang  berhubungan  dengan  penekanan  biaya produksi seminimal mungkin dan pendapatan yang semaksimal mungkin. Salah satu cara untuk  mendapatkan  keuntungan  optimal  adalah  dengan  jalan  kombinasi  produk.  Yang dimaksud  kombinasi  produk  adalah  suatu  metode  untuk  mengoptimalkan  keuntungan dengan jalan memproduksi satu jenis produk dengan ukuran (kemasan) yang berbeda atau banyaknya masing-masing kemasan yang harus diproduksi dengan tujuan khusus agar dapat mencapai pangsa pasar yang lebih luas. Namun dalam kenyataannya perusahaan terkadang masih mengalami kesulitan dalam menentukan banyaknya produksi untuk masing-masing kemasan  produk  yang  harus  dihasilkan.  Untuk  menentukan  kombinasi  produk  yang mempunyai lebih dari satu tujuan yang ingin dicapai sekaligus dapat digunakan metode goal programming .  Konsep goal  programming diperkenalkan  pertama  kali  tahun  1955  oleh Abraham Charness dan William Cooper dan dicetuskan pada tahun 1961 [3].
Goal programming merupakan teknik yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang  mempunyai  beberapa  tujuan.  Dalam goal programming semua  tujuan  digabungkan dalam  sebuah  fungsi  tujuan  dan  model goal  programming seluruhnya  terdiri  dari  fungsi linier. Untuk mengekspresikan tujuan itu ditulis dalam bentuk fungsi kendala ( constraint )
dengan memasukkan suatu variabel simpangan ( deviational variable ) dalam kendala itu dan menggabungkan variabel simpangan dalam sebuah fungsi tujuan.
Fungsi  tujuan dalam goal  programming bertujuan untuk  meminimumkan penyimpangan- penyimpangan  yang  tidak  diinginkan  dari  tujuan-tujuan.  Karena  penyimpangan- penyimpangan yang tidak diinginkan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, sebuah model goal programming dapat menangani aneka ragam tujuan dengan dimensi atau satuan ukuran yang berbeda [1].
Model goal programming secara umum adalah sebagai berikut [3]:
1. Fungsi tujuan
Meminimumkan
) ( 1       M p p p d d Z
dengan d p + = penyimpangan overachievement ke- p ; d p - = penyimpangan underachievement ke- p . 2. Fungsi kendala a. Fungsi kendala tujuan
       k j p p p j pj b d d X a 1 untuk p = 1, 2, …, M
dengan a pj = koefisien yang berhubungan dengan X j untuk tujuan   ke- p ; X j = variabel keputusan ke- j ; b p =  nilai tujuan ke- p ; p =  banyaknya tujuan.
b. Fungsi kendala struktural
  j j g X   , untuk j = 1, 2,…, k
dengan g j adalah banyaknya sumber daya yang tersedia ke- j .
Model  regresi  linier  berganda  adalah  model  dengan  sebuah  variabel  tidak  bebas Y yang dihubungkan pada k variabel  bebas X . Model regresi linier berganda dengan n pengamatan dan melalui titik asal pada (0,0) dapat dinyatakan sebagai berikut [4]:
i ik k i i i X X X Y          ... 2 2 1 1 (1)
dengan Y i adalah variabel tidak bebas;
X i adalah variabel bebas;
 j adalah koefisien regresi;
i  adalah galat pada pengamatan ke i ; i = 1, 2, 3, …, n ;
k = banyaknya variabel bebas.
Asumsi-asumsi  dasar dalam  model regresi  linier  berganda  adalah i  merupakan variabel random yang berdistribusi normal dengan mean sama dengan nol dan varians konstan atau
i   NID (0, 2  ) dan i  dan j  tidak berkorelasi untuk i  j , yaitu Cov ( i  , j  ) = 0. Untuk
menduga parameter  j yang tidak diketahui pada persamaan (1) digunakan metode kuadrat terkecil karena metode ini proses perhitungannya sederhana. Solusi penduga kuadrat terkecil  ˆ dari  parameter  j untuk persamaan (1) adalah β ˆ = (X T X) -1 X T Y .

## Uji Hipotesis untuk Koefisien Regresi

## Secara Simultan
Pengujian ini digunakan untuk mengukur ketepatan model dengan menentukan apakah ada hubungan linier antara variabel tidak bebas Y dan variabel bebas X j , j = 1, 2, …, k . Hipotesis untuk pengujian koefisien regresi secara simultan adalah sebagai berikut
H 0 :  j = 0 H 1 :  j  0 untuk minimal satu j dengan j = 1, 2, 3,…, k .
Penolakan H 0 menunjukkan  bahwa  minimal  ada  satu  variabel  bebas X j mendukung signifikansi pada model. Daerah penolakan H 0 adalah sebagai berikut:
F > F  ,k,n-k . Jumlah Kuadrat Total ( JKT ) adalah penjumlahan dari Jumlah Kuadrat Regresi ( JKR ) dan Jumlah Kuadrat Galat ( JKG ) dapat dinyatakan sebagai berikut:
JKT = JKR + JKG dengan
JKT =             n i n i i i n Y Y 1 2 1 2 Y T Y n Y n i i 2 1          ; JKG = Y T Y - T β ˆ X T Y ; JKR = β ˆ T X T Y - n Y n i i 2 1         .
Uji statistik yang digunakan adalah
KTG KTR k n JKG k JKR F    .

## Secara Individual
Pengujian  ini  digunakan  untuk  mengetahui  pengaruh  masing-masing  koefisien  regresi terhadap variabel tidak bebas Y secara individual. Untuk menguji koefisien regresi secara individual,  digunakan  uji- t .  Hipotesis  untuk  pengujian  koefisien  regresi  secara  individu adalah
H 0 :  j = 0 H 1 :  j  0 dengan j = 1, 2, …, k .
Uji statistiknya adalah t 0 = jj j C 2 ˆ ˆ   dengan jj C = elemen diagonal (X T X) -1 yang bersesuaian
dengan j  ˆ , 2 ˆ  = perkiraan varian error, yaitu:
2 ˆ  = KTG = k n JKG  = k n   Y X β Y Y T T T ˆ .
Penolakan H 0 menunjukkan bahwa variabel bebas X j mendukung signifikansi pada model tersebut. Daerah penolakan H 0 adalah k n t t   , 2 0 
Koefisien Determinasi Berganda ( R 2 ) Koefisien determinasi berganda ( R 2 ) digunakan untuk mengukur kecocokan sebuah model regresi berganda.  Rumus koefisien determinasi berganda adalah JKT JKR R  2 . Jika nilai R 2 mendekati 1 makin baik kecocokan data dengan model dan jika nilai R 2 mendekati 0 makin jelek kecocokan data dengan model.
Metode Regresi Bertatar ( The Stepwise Regressions Method )
Dalam membuat model peramalan, belum pasti bahwa seluruh variabel bebas perlu untuk model.  Dalam  keadaan  tersebut,  dilakukan  seleksi  variabel-variabel  bebas  untuk memperoleh sebuah model yang memuaskan. Metode regresi bertatar hanya akan memeriksa model regresi terbaik yang mengandung sejumlah tertentu variabel bebas. Dimulai dengan menyisipkan variabel bebas satu demi satu sampai diperoleh persamaan regresi yang lebih baik.  Urutan  penyisipannya  ditentukan  dengan  menggunakan  koefisien  korelasi  parsial sebagai  ukuran  pentingnya  variabel  yang  masih  diluar  persamaan.  Untuk  setiap  kali pemasukan variabel bebas yang lain pada model, dilakukan pengujian terhadap model (uji- F , R 2 , uji- t ) untuk tetap memasukkan variabel bebas atau mengeluarkannya[1].

## 2. Metodologi
Sumber data  yang digunakan dalam penulisan ini adalah data sekunder dari Agroindustri “Sari  Mayang”  Desa  Jubung  Kecamatan  Sukorambi  Kabupaten  Jember.    Untuk mendapatkan  fungsi  kendala  tujuan,  digunakan  analisis  regresi  linier  berganda  dan menganalisisnya menggunakan komputer dengan software SPSS versi 10.00.
Fungsi  kendala  tujuan  pemasakan  dan  penjualan  nata  de  coco  dalam  model goal programming terdiri dari fungsi linier dengan lebih dari satu variabel bebas X yang diperoleh dari model regresi linier berganda setelah diubah kedalam bentuk yang sesuai dengan model goal  programming .  Adapun  perubahan-perubahan  yang  terjadi  pada  model  regresi  linier berganda setelah disesuaikan dengan model goal programming adalah sebagai berikut:
1. X j adalah variabel keputusan ke- j pada model goal programming sedangkan pada model regresi linier berganda X i adalah variabel bebas.
2. a pj adalah  koefisien  yang  berhubungan  dengan X j untuk  tujuan  ke- p pada  model goal programming sedangkan  pada  model  regresi  linier  berganda  analog  dengan β j yaitu koefisien regresi.
3. Menambah  variabel  penyimpangan  ( d p + dan  p d )  pada  model  regresi  linier  berganda yang diperoleh.
4. Mengganti Y i dengan b p
Langkah-langkah yang digunakan dalam menganalisis data adalah sebagai berikut:
1. Menentukan variabel  tidak bebas Y ,  yaitu Y 1 pemasakan (panci) dan Y 2 penjualan (Rp).  Satuan  panci  untuk  pemasakan  adalah  ukuran  banyaknya  panci  dengan diasumsikan bentuk dan volume panci adalah tetap.
2. Menentukan variabel bebas X , yaitu X 1 Nata de coco kemasan gelas (buah), X 2 Nata de coco kemasan kecil (buah), X 3 Nata de coco kemasan jumbo (buah) dan X 4 Nata de coco kemasan kilo (buah).
3. Menyusun model regresi linier berganda dengan variabel tidak bebas Y 1 dan Y 2 dan variabel bebas X 1 , X 2 , X 3 , dan X 4 dilanjutkan dengan regresi bertatar untuk seleksi variabel.
Persamaan  regresi  yang  diperoleh dipakai  untuk  menyusun  fungsi  kendala tujuan setelah disesuaikan  kedalam  model goal  programming ,  untuk  perhitungannya  menggunakan program AB:QM 3.0. Langkah-langkah yang digunakan dalam metode goal programming adalah sebagai berikut:
1.  Perumusan  fungsi  tujuan,  yaitu  meminimalkan  pemasakan  nata  de  coco  dan memaksimalkan penjualan nata de coco Model fungsi tujuan adalah sebagai berikut
Meminimumkan Z = d 1 + + d 2 -
dengan
d 1 + / d 1 - =  penyimpangan overachievement / underachievement dari  tujuan pemasakan nata de coco
d 2 + / d 2 - =  penyimpangan overachievement/  underachievement dari  tujuan penjualan nata de coco
2. Perumusan fungsi kendala
a. Fungsi  kendala  tujuan,  meliputi  kendala  tujuan  pemasakan  dan  kendala  tujuan penjualan.
1. Fungsi kendala tujuan pemasakan
a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a 14 X 4 + d 1 - - d 1 + = b 1 2. Fungsi kendala tujuan penjualan
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a 24 X 4 + d 2 - - d 2 + = b 2 dengan b 1 = nilai tujuan pemasakan
b 2 = nilai tujuan penjualan
b. Fungsi kendala struktural, meliputi kendala struktural produksi nata de coco, yaitu 0
≤ X j ≤ g j dengan g j = banyaknya produksi nata de coco kemasan j (buah).

## 3. Hasil Dan Pembahasan

## 3.1 Analisis Regresi
Dalam  menganalisis  menggunakan  taraf  signifikansi  5%  artinya  pada  uji- F dan  uji- t H o ditolak jika nilai signifikansinya ≤ 0,05. Dari hasil analisis didapatkan model regresi linier berganda dari variabel tidak bebas Y 1 dan Y 2 sebagai berikut:
Y 1 = 0,009034 X 1 + 0,003004 X 2 + 0,01184 X 3 + 0,01398 X 4 (2)
Y 2 = 1300,581 X 4 (3)
Dari model yang didapatkan pada persamaan (3) diatas, hanya variabel bebas X 4 yang masuk dalam model. Dalam keadaan tersebut, dilakukan seleksi variabel bebas yang ada dengan memeriksa hanya model regresi terbaik yang mengandung sejumlah tertentu variabel bebas untuk memperoleh sebuah model yang memuaskan. Untuk mencari kemungkinan adanya variabel  bebas  selain  variabel  bebas X 4 yang  berpengaruh  terhadap Y 2 maka  digunakan metode regresi bertatar. Dari hasil analisis didapatkan model regresi linier untuk variabel tidak bebas Y 2 adalah sebagai berikut:
Y 2 = 172,443 X 1 + 1297,143 X 4 (4)
Model  regresi  linier  yang  digunakan  pada  analisis  optimasi  dengan  metode goal programming adalah persamaan (2) dan (4).

## 3.2 Analisis Optimasi
a. Perumusan fungsi tujuan
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  meminimalkan  pemasakan  dan  memaksimalkan  penjualan dari nata de coco. Dalam fungsi tujuan goal programming , yang akan diminimumkan adalah penyimpangan  terhadap  kelebihan  pemasakan  ( d 1 + )  dan  penyimpangan  dari  kekurangan penjualan ( d 2 - ). Sehingga pada metode goal programming, model fungsi tujuan dirumuskan sebagai berikut:
Meminimumkan Z = d 1 + + d 2 -
b. Perumusan fungsi kendala
Tabel 1. Batas Spesifikasi Variabel Variabel Judul Satuan Batas Tidak bebas Pemasakan ( Y 1 ) Panci  144 Penjualan ( Y 2 ) Rupiah  5.700.300 Bebas Nata de coco gelas ( X 1 ) Buah 0 – 4608 Nata de coco kecil ( X 2 ) Buah 0 – 2136 Nata de coco jumbo ( X 3 ) Buah 0 – 312 Nata de coco kilo ( X 4 ) Buah 0 – 3840
Dalam  meminimalkan  pemasakan,  perusahaan  menginginkan  batas  maksimal  pemasakan adalah 144 panci. Sehingga dalam model lengkap goal programming fungsi kendala tujuan meminimalkan pemasakan dapat disusun sebagai berikut:
0,009034 X 1 + 0,003004 X 2 + 0,01184 X 3 + 0,01398 X 4 + d 1 - - d 1 + = 144
Dalam  memaksimalkan  penjualan,  perusahaan  menginginkan  batas  minimal  penjualan adalah Rp 5.700.300,00. Sehingga dalam model lengkap goal programming fungsi kendala tujuan memaksimalkan penjualan dapat disusun sebagai berikut:
172,443 X 1 + 1297,143 X 4 + d 2 - - d 2 + = 5.700.300 Batas-batas fungsi kendala untuk jumlah nata de coco adalah 0 ≤ X 1 ≤ 4608 0 ≤ X 2 ≤ 2136
0 ≤ X 3 ≤ 312
0 ≤ X 4 ≤ 3840

## Solusi Optimal
Hasil perhitungan solusi kombinasi produk optimal metode goal programming yang dapat memberikan penyimpangan minimal dari tujuan pemasakan dan tujuan penjualan yang telah ditentukan adalah X 1 = 4608, X 2 = 2136, X 2 = 2136, X 3 = 312 dan X 4 = 3840 sebagai variabel keputusan  sedangkan    variabel  penyimpangannya  diperoleh d 1 + =  0, d 1 - =  38,578, d 2 + = 75.346,464 dan d 2 - = 0.
Solusi  optimal  yang  memberikan  kombinasi  produk  optimal  dapat  dijelaskan  sebagai berikut:
1. Penyimpangan  kekurangan  pemasakan  sebesar  39  panci  (pembulatan  dari  38,578 panci).  Sehingga  secara  keseluruhan  pemasakan  yang  dapat  dilakukan  adalah sebanyak 105 panci atau pembulatan dari 105,422 panci (144 panci – 38,578 panci).
2. Penyimpangan  kelebihan  penjualan  sebesar  Rp  75.346,464.  Sehingga  secara keseluruhan  penjualan  yang  dapat  dicapai  adalah  sebesar  Rp  5.775.646,464  (Rp 5.700.300 + Rp 75.346,464)
Penjelasan  hasil  solusi  optimal  tersebut  ditulis  dalam  bentuk  tabel  akan  terlihat  sebagai berikut:
Tabel 2. Solusi Optimal Kombinasi Produk Kendala Variabel Solusi Keterangan Kendala Tujuan Y 1 105 panci Optimal Y 2 Rp 5.775.646,464 Optimal Kendala Struktural X 1 4608 buah Optimal X 2 2136 buah Optimal X 3 312 buah Optimal X 4 3840 buah Optimal

## 3.3.  Pembahasan
Dari  analisis  data  tersebut  diatas  didapatkan  kombinasi  produk  optimal  yang  dapat memberikan  pemasakan  dan  penjualan  optimal,  yaitu  banyaknya  nata  de  coco  dengan kemasan gelas sebanyak 4608 buah, kemasan kecil sebanyak 2136 buah, kemasan jumbo sebanyak 312 buah, kemasan  kilo sebanyak 3840 buah.
Penyimpangan  yang  diinginkan  dari  tujuan  pemasakan  didapatkan  yaitu  penyimpangan kekurangan  dari  pemasakan  sebanyak  39  panci  sedangkan  penyimpangan  yang  tidak diinginkan bernilai nol. Sehingga dalam pemenuhan tujuan pemasakan yang telah ditetapkan yaitu pemasakan maksimal adalah 144 panci dapat terpenuhi. Pemasakan nata de coco yang optimal sebanyak 105 panci dan masih memenuhi batas spesifikasi variabel  yaitu kurang dari 144 panci.
Pada penjualan, penyimpangan yang diinginkan didapatkan yaitu penyimpangan kelebihan dari  penjualan  sebasar  Rp  75.346,464  sedangkan  penyimpangan  yang  tidak  diinginkan bernilai  nol.  Sehingga  dalam  pemenuhan  tujuan  penjualan  yang  telah  ditetapkan  yaitu penjualan minimal sebesar Rp 5.700.300  adalah terpenuhi. Penjualan nata de coco optimal yang dihasilkan sebesar Rp 5.775.646,464 dan masih memenuhi  batas spesifikasi variabel yaitu lebih dari Rp 5.700.300.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan metode goal programming diperoleh kombinasi produk optimal yang menyelesaikan dua tujuan sekaligus yaitu meminimalkan pemasakan dan memaksimalkan penjualan dengan cara meminimalkan penyimpangan  yang tidak diinginkan dari tujuan-tujuan. Kombinasi produk optimal yang diperoleh  adalah nata de coco gelas sebanyak 4608 buah, nata de coco kecil sebanyak 2136 buah, nata de coco jumbo sebanyak 312 buah, nata de coco kilo sebanyak 3840 buah. Dengan kombinasi  produk  yang  seperti  itu,  maka  pemasakan  yang  optimal  yang  harus  dilakukan adalah 105 panci dan penjualan yang dihasilkan Rp 5.775.646,464.

## Daftar Pustaka
[1] Hiller,  F.S.  &  Lieberman,  G.J.,  (1994), Pengantar  Riset  Operasi ,  Edisi  ke-5  (Alih Bahasa Ellen Gunawan dan Ardi Wirda Mulia), Jakarta, Erlangga.
[2] Hines,  W.W.  &  Montgomery,  D.C.,  (1990), Probabilita  dan  Statistik  dalam  Ilmu Rekayasa dan Manajemen , Edisi ke-2 (Alih Bahasa Rudiansyah), Jakarta, UI Jakarta.
[3] Markland,  R.E.,  (1987), Quantitative  Methods  Aplications  to  Managerial  Decision Making , New York, John Wiley & Sons.
[4] Neter, J., Wasserman,W., & Kutner, M.H., (1990), Applied Linear Statistical Models , 3 rd edition, USA, Donnelley & Sons Company.