## Vygotsky: Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Islam Lamongan http://jurnalpendidikan.unisla.ac.id/index.php/VoJ Vol. 4 (1) Februari 2022 pp. 35-46
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444 Info Artikel Abstract Diterima : 11 Okt 21 Direvisi : 10 Nov 21 Diterbitkan  : 07 Feb 22 In  this  paper,  we  discuss  symmetrization  in  min-plus algebra.  This  study  aims  to  construct  a  negative  and balanced  form  of  each  element  in  min-plus  algebra.  The research method adopted from max-plus algebra extension into  symmetrized  max-plus  algebra.  The  results  are negative and balanced forms of the elements in min-plus algebra,  which  can  be  analogous  to  negative  and  zero forms  in  conventional  algebra.  These  results  can potentially be used to solve the addition inverse problem in min-plus algebra.
Kata Kunci:
Aljabar Min-Plus, Setimbang, Simetrisasi, Negatif

## Cara merujuk artikel ini: Abstrak
Pada  makalah  ini  dibahas  simetrasasi  pada  aljabar min-plus.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah mengonstruksi  bentuk  negatif  dan  setimbang  dari setiap  elemen  pada  aljabar  min-plus.  Metode penelitian  mengadopsi  dari  cara  perluasan  aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus tersimetri. Hasil penelitian adalah bentuk negatif dan setimbang dari elemen-elemen  pada  aljabar  min-plus,  yang  dapat dianalogikan  sebagai  bentuk  negatif  dan  nol  pada aljabar  konvesional.  Hasil  ini  berpotensi  dapat digunakan  untuk  mengatasi  masalah  invers penjumlahan pada aljabar min-plus.
S uroto , S. (2022). S imetri
Aljabar Min-Plus . Vygotsky:
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika , 4 (1), 35-46.
Diunduh dari https://jurnalpendidikan. unisla.ac.id/index.php/ VoJ/article/view/444
Copyright © 2022 Vygotsky: Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. All right reserved

## Simetrisasi Aljabar Min-Plus
Min-Plus Algebra Symmetrization
Suroto Suroto 1*
1 Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman
*Email Korespondensi: suroto@unsoed.ac.id
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444

## PENDAHULUAN
Misalkan ℝ adalah  himpunan  bilangan  riil.  Aljabar  min-plus  adalah himpunan ℝ ∪ {∞} dengan  operasi  penjumlahannya  adalah  “minimum” dan  perkaliannya  adalah  “penjumlahan  biasa” (Watanabe  &  Watanabe, 2014). Untuk selanjutnya, aljabar min-plus dinotasikan dengan ℝ min dan untuk  setiap 𝑝 1 , 𝑝 2 ∈ ℝ min , 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 = min(𝑝 1 , 𝑝 2 ) dan 𝑝 1 ⊗ 𝑝 2 = 𝑝 1 + 𝑝 2 . Struktur  aljabar  yang  terbentuk  dari  aljabar  min-plus  adalah  semiring komutatif idempoten dengan ℰ = ∞ dan 𝑒 = 0 berturut-turut merupakan elemen nol dan satuan pada ℝ min . Setiap elemen pada ℝ min kecuali ℰ , tidak memiliki invers penjumlahan. Apabila operasi penjumlahan didefinisikan dengan 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 = max(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ,  maka  struktur  yang  terbentuk  dinamakan sebagai aljabar max-plus dan dinotasikan dengan ℝ max .
Pada  pembahasan  aljabar  linier,  penyelesaian  persamaan 𝑥 + 2 = 0 adalah 𝑥 = −2 . Sementara pada pembahasan aljabar min-plus, persamaan 𝑥 ⊕ 2 = ℰ tidak memiliki penyelesaian pada ℝ min . Hal ini dikarenakan 2 ∈ ℝ min tidak  memiliki  invers  terhadap  operasi  penjumlahan.  Dengan demikian,  permasalahan  invers  penjumlahan  ini  akan  mempengaruhi penyelesaian sistem persamaan linier atas ℝ min . Penelitian mengenai sistem persamaan linier atas ℝ min sudah banyak dilakukan.  Karena  permasalahan  invers  penjumlahan  pada ℝ min maka penyelesaian  pada  sistem  persamaan  linier  tersebut  hanya  berupa subsolusi. Penelitian tentang solusi maksimal dari sistem persamaan linier atas ℝ min sudah  dilakukan  (Jamshidvand  et  al.,  2019).  Beberapa penggunaan sistem persamaan linier atas ℝ min pada kehidupan sehari-hari sudah dibahas, antara lain pada pemodelan rute tercepat distribusi susu (Suwanti  et  al.,  2017),  sistem  jaringan  siber  fisik  (Li  &  Zhao,  2012),  pada model rambu lalu lintas dengan aljabar min-plus dan petri net (Farhi, 2009) dan simulasi produksi susu dengan petri net (Pramesthi, 2021).
Aljabar  max-plus  tersimetri 𝕊 merupakan  perluasan  dari ℝ max . Perluasan ini dilakukan dengan mengadopsi perluasan himpunan bilangan asli  menjadi  himpunan  bilangan  bulat,  dengan  menentukan  negatif  dari bilangan asli dan nol. Salah satu kajian mengenai perluasan bilangan asli menjadi  bilangan  bulat  dilakukan  oleh  (Marjanovic,  2018).  Penelitian mengenai perluasan ℝ max menjadi 𝕊 sudah dilakukan antara lain (Akian et al., 1990), (De Schutter, 1996), (Baccelli et al., 2001) dan (De Schutter & De Moor,  2002).  Pada  artikel  ini,  disajikan  simetrisasi  pada ℝ min untuk memperoleh bentuk negatif dan setimbang dari setiap elemen pada ℝ min . Proses simetrisasi ini dilakukan dengan mengadopsi relasi setimbang pada aljabar  max-plus  tersimetri.  Perbedaan  operasi  dasar  pada  pendefinisian operasi penjumlahan aljabar max-plus dan aljabar min-plus akan banyak berpengaruh pada langkah-langkah yang dilakukan. Hasil yang diperoleh pada artikel ini berpotensi untuk mengatasi masalah invers penjumlahan yang  terjadi  pada  aljabar  min-plus.  Selain  itu  juga  berpotensi  dapat digunakan  untuk  memperbaiki  sub  solusi  pada  sistem  persamaan  linier atas ℝ min .
Suroto Suroto/Vygotsky 4 (1) Februari 2022, pp 35-46
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444

## METODE
Penelitian  ini  adalah  studi  literatur  yang  sifatnya  mengembangkan penelitian yang sudah ada sebelumnya, yakni masalah invers penjumlahan pada  aljabar  min-plus.  Pada  penelitian  ini  dibahas  tentang  simetrisasi aljabar  min-plus  untuk  menentukan  negatif  dan  setimbang  yang  akan digunakan peranannya seperti invers pada aljabar linier. Proses simetrisasi aljabar  min-plus  dilakukan  dengan  mengadopsi  perluasan  himpunan bilangan  asli  menjadi  himpunan  bilangan  bulat  pada  (Marjanovic,  2018) dan perluasan dari ℝ max menjadi 𝕊 pada (Baccelli et al., 2001) . Adapun prosedur langkah yang dilakukan adalah:
1. Melakukan studi pustaka tentang aljabar min-plus dan permasalahan invers penjumlahan pada aljabar min-plus.
2. Membentuk  himpunan  pasangan  terurut ℝ min × ℝ min dan menunjukkan  struktur  aljabar  yang  terbentuk  dari  sistem matematikanya.
3. Mendefisikan  operator  minus  dan  setimbang  pada ℝ min × ℝ min serta suatu relasi ekuivalensi pada ℝ min × ℝ min merujuk pada (Baccelli et al., 2001).
4. Menentukan  kelas-kelas  ekuivalensi  yang  diperoleh  berdasarkan langkah 3 yang merupakan hasil proses simetrisasi.
5. Menentukan bentuk negatif dan setimbang dari hasil pada langkah 4, dengan mengadopsi bentuk negatif dan nol pada (Marjanovic, 2018).
6. Menentukan beberapa sifat terkait dengan hasil simetrisasi aljabar min- plus.

## BAHASAN UTAMA

## Aljabar Min-Plus
Pada bagian ini disajikan pembahasan aljabar min-plus dan beberapa sifat  yang  terkait  dengan  aljabar  min-plus.  Pembahasan  tentang terminologi dasar aljabar min-plus merujuk pada beberapa literatur, yakni (Spalding,  1998),  (Speyer  &  Sturmfels,  2004),  (Litvinov  et  al.,  2012)  dan (Zanardo et al., 2016).
Pada  awal  pembahasan  ini,  terlebih dahulu  didefinisikan  pengertian semiring  yang  akan  digunakan  untuk  menentukan  struktur  aljabar  dari aljabar min-plus.
Definisi 1 (Golan, 2005) Diberikan 𝑆 himpunan tak kosong. Semiring adalah sistem matematika (𝑆, +,×) yang memenuhi (𝑆, +) merupakan semigrup abel yang memiliki elemen nol, (𝑆,×) merupakan  semigrup  yang  memiliki  elemen  satuan,  elemen  nol  merupakan penyerap terhadap × dan sifat distributif × terhadap + .
Apabila  operasi × bersifat  komutatif maka 𝑆 adalah  semiring  komutatif, dan  apabila  operasi + bersifat  idempoten  maka 𝑆 adalah  semiring idempoten.  Semilapangan  adalah  semiring  komutatif  dengan  semua elemen selain nol memiliki invers perkalian.
Aljabar  min-plus  adalah  suatu  sistem  matematika  yang  berbentuk
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444
ℝ min = ℝ ∪ {∞} dengan operasi penjumlahannya adalah “ minimum ” dan operasi  perkaliannya  adalah “ penjumlahan  biasa ”,  dan  dapat  dituliskan untuk setiap 𝑝 1 , 𝑝 2 ∈ ℝ min sebagai berikut.
𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 = min(𝑝 1 , 𝑝 2 ) 𝑝 1 ⊗ 𝑝 2 = 𝑝 1 + 𝑝 2
Selanjutnya,  untuk  setiap 𝑝 ∈ ℝ min didefinisikan min(𝑝, ∞) = 𝑝 dan 𝑝 + ∞ = ∞ . Operasi ⊕ dan ⊗ pada aljabar min-plus, masing-masing bersifat komutatif yakni untuk setiap 𝑝 1 , 𝑝 2 ∈ ℝ min . 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 = 𝑝 2 ⊕ 𝑝 1 𝑝 1 ⊗ 𝑝 2 = 𝑝 2 ⊗ 𝑝 1 Selanjutnya, operasi ⊕ dan ⊗ masing-masing juga bersifat assosiatif yakni untuk setiap 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 ∈ ℝ min adalah sebagai berikut.
(𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ) ⊕ 𝑝 3 = 𝑝 1 ⊕ (𝑝 2 ⊕ 𝑝 3 ) (𝑝 1 ⊗ 𝑝 2 ) ⊗ 𝑝 3 = 𝑝 1 ⊗ (𝑝 2 ⊗ 𝑝 3 )
Sifat distributif operasi ⊗ terhadap ⊕ juga dipenuhi yakni untuk setiap 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 ∈ ℝ min adalah sebagai berikut.
𝑝 1 ⊗ (𝑝 2 ⊕ 𝑝 3 ) = (𝑝 1 ⊗ 𝑝 2 ) ⊕ (𝑝 1 ⊗ 𝑝 3 ) (𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ) ⊗ 𝑝 3 = (𝑝 1 ⊗ 𝑝 3 ) ⊕ (𝑝 2 ⊗ 𝑝 3 )
Pada  aljabar  min-plus  berlaku 𝑝 ⊕ ∞ = ∞ ⊕ 𝑝 = 𝑝 ,  untuk  setiap 𝑝 ∈ ℝ min . Dengan demikian, ∞ adalah elemen identitas penjumlahan (elemen nol) dan selanjutnya dinotasikan dengan ℰ = ∞ . Selain itu, untuk setiap 𝑝 ∈ ℝ min berlaku 𝑝 ⊗ 0 = 0 ⊗ 𝑝 = 𝑝 , sehingga 0 merupakan elemen identitas perkalian (elemen satuan) terhadap operasi ⊗ dan selanjutnya dinotasikan dengan e = 0 . Elemen nol merupakan elemen absorbsi ( absorbent ) terhadap perkalian yakni untuk setiap 𝑝 ∈ ℝ min berlaku
𝑝 ⊗ ℰ = ℰ ⊗ 𝑝 = ℰ
Suatu  operasi  dikatakan  bersifat  idempoten  apabila  setiap  elemen dioperasikan terhadap dirinya sendiri akan selalu menghasilkan elemen itu sendiri. Operasi ⊕ pada aljabar min-plus bersifat idempoten dikarenakan untuk  setiap 𝑝 ∈ ℝ min berlaku 𝑝 ⊕ 𝑝 = max(𝑝, 𝑝) = 𝑝 .  Berikut  diberikan sistem matematika yang terbentuk dari ℝ min dengan operasi ⊕ dan ⊗ .
Teorema 1 (Litvinov et al., 2012) Sistem matematika (ℝ min ,⊕,⊗) adalah semilapangan idempoten.
Bukti. Diperhatikan bahwa (ℝ min ,⊕) adalah semigrup abel yang elemen nolnya ℰ = ∞ .  Selanjutnya, (ℝ min ,⊗) merupakan  semigrup  yang  elemen satuannya 𝑒 = 0 . Elemen nol merupakan elemen absorbsi terhadap operasi ⊗ .  Sifat  distributif  operasi ⊗ terhadap  operasi ⊕ serta  sifat  idempoten operasi ⊕ juga terpenuhi. Setiap elemen 𝑝 ∈ ℝ min dengan 𝑝 ≠ ℰ , memiliki invers  perkalian  yakni 𝑝 −1 = −𝑝 ∈ ℝ min sedemikian  hingga 𝑝 ⊗ 𝑝 −1 = 𝑝 −1 ⊗ 𝑝 = 𝑒 .  Dengan  demikian,  sistem  matematika (ℝ min ,⊕,⊗) adalah semilapangan idempoten. ∎
Suroto Suroto/Vygotsky 4 (1) Februari 2022, pp 35-46
P-ISSN: 2656-2286
Berdasarkan Teorema 1, salah satu perbedaan utama dari aljabar min- plus  dengan  aljabar  linier  adalah  tidak  adanya  elemen  invers  terhadap operasi penjumlahan, terkecuali untuk elemen nol. Apabila diberikan 𝑝 ∈ ℝ min dengan 𝑝 ≠ ℰ maka tidak ada 𝑞 ∈ ℝ min yang memenuhi 𝑝 ⊕ 𝑞 = ℰ . Pada  aljabar  min-plus,  definisi  perpangkatan  dilakukan  mirip  seperti aljabar konvensional (aljabar linier). Untuk setiap 𝑝 ∈ ℝ min dan 𝑘 adalah bilangan asli maka didefinisikan sebagai berikut.
𝑝 𝑘 = 𝑝 ⊗ 𝑝 ⊗ … ⊗ 𝑝 ⏟
𝑘 𝑘𝑎𝑙𝑖 .
Selanjutnya, 𝑝 𝑘 akan  berkorespondensi  dengan 𝑘𝑝 pada  aljabar konvensional. Hal ini dikarenakan
𝑝 𝑘 = 𝑝 ⊗ 𝑝 ⊗ … ⊗ 𝑝 ⏟
𝑘 𝑘𝑎𝑙𝑖 = 𝑝 + 𝑝 + ⋯ + 𝑝 ⏟ 𝑘 𝑘𝑎𝑙𝑖 = 𝑘𝑝.

## Simetrisasi pada Aljabar Min-Plus
Pada  bagian  ini  disajikan  proses  simetrisasi  dari  aljabar  min-plus, untuk menentukan bentuk negatif dan setimbang dari elemen-elemen pada aljabar min-plus. Proses simetrisasi diawali dengan membentuk himpunan pasangan  terurut ℝ min × ℝ min dan  menentukan  struktur  aljabar  yang terbentuk  dari  sistem  matematikanya.  Selanjutnya,  didefinisikan  operasi penjumlahan  dan  perkalian  pada ℝ min × ℝ min yakni  untuk  setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min adalah sebagai berikut.
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊕ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) = (𝑝 1 ⊕ 𝑞 1 , 𝑝 2 ⊕ 𝑞 2 ) (1) (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) = (𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 , 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 ) (2)
Untuk setiap 𝑝 1 , 𝑞 1 ∈ ℝ min berlaku
(𝑝 1 , −∞) ⊕ (𝑞 1 , −∞) = (𝑝 1 ⊕ 𝑞 1 , −∞) (3) (𝑝 1 , −∞) ⊗ (𝑞 1 , −∞) = (𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 , −∞) (4)
Maka  operasi  (1)  dan  (2)  yang  didefinisikan  pada ℝ min × ℝ min berkorespondensi dengan operasi (3) dan (4) yang didefinisikan pada ℝ min . Berikut  diberikan  suatu  teorema  yang  menjelaskan  struktur  aljabar  dari ℝ min × ℝ min dengan operasi pada (1) dan (2).

## Teorema 2
Sistem  matematika (ℝ min × ℝ min ,⊕,⊗) merupakan  suatu  semiring  idempoten komutatif
Bukti. Perhatikan  bahwa (ℝ min × ℝ min ,⊕) merupakan  suatu  semigrup komutatif  dengan  elemen  nol (ℰ, ℰ) .  Selanjutnya,  operasi ⊕ bersifat idempotent, dikarenakan untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min berlaku
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊕ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑝 1 ⊕ 𝑝 1 , 𝑝 2 ⊕ 𝑝 2 ) = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) .
Sementara  itu, (ℝ min × ℝ min ,⊗) merupakan  suatu  semigrup  dengan elemen  satuan (𝑒, ℰ) .  Operasi ⊗ bersifat  komutatif  untuk  setiap
(𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min karena
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) = (𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 , 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 )
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444 = (𝑞 1 ⊗ 𝑝 1 ⊕ 𝑞 2 ⊗ 𝑝 2 , 𝑞 2 ⊗ 𝑝 1 ⊕ 𝑞 1 ⊗ 𝑝 2 ) = (𝑞 1 ⊗ 𝑝 1 ⊕ 𝑞 2 ⊗ 𝑝 2 , 𝑞 1 ⊗ 𝑝 2 ⊕ 𝑞 2 ⊗ 𝑝 1 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ⊗ (𝑝 1 , 𝑝 2 )
Elemen  nol  adalah  elemen  penyerap  untuk  operasi  perkalian dikarenakan
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (ℰ, ℰ) = (ℰ, ℰ) ⊗ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (ℰ, ℰ) .
untuk  setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min .  Selain  itu,  operasi ⊗ distributif terhadap  operasi ⊕ .  Berdasarkan  penguraian  ini  diperoleh  bahwa (ℝ min × ℝ min ,⊕,⊗) adalah semiring komutatif idempoten. ∎
Berikut  contoh  untuk  menjelaskan  penjumlahan  dan  perkalian  pada ℝ min × ℝ min .

## Contoh:
Misalkan diambil (−4,3), (𝑒, −1) ∈ ℝ min × ℝ min maka
(−4,3) ⊕ (𝑒, −1) = (−4 ⊕ 𝑒, 3 ⊕ −1) = (−4, −1)
(−4,3) ⊗ (𝑒, −1) = (−4 ⊗ 𝑒 ⊕ 3 ⊗ −1, −4 ⊗ −1 ⊕ 3 ⊗ 𝑒) = (−4, −5) . ∎
Selanjutnya didefinisikan operator-operator pada ℝ min × ℝ min yang akan digunakan  untuk  proses  simetrisasi.  Operator-operator  dan  sifat-sifat  ini mengadopsi dari (Baccelli et al., 2001).

## Definisi 2
Untuk (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ 𝑚𝑖𝑛 × ℝ 𝑚𝑖𝑛 didefinisikan
1. Harga mutlak dari (𝑝 1 , 𝑝 2 ) yakni |(𝑝 1 , 𝑝 2 )| ⊕ = 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 2. Minus dari (𝑝 1 , 𝑝 2 ) yakni ⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑝 2 , 𝑝 1 ) 3. Setimbang  dari (𝑝 1 , 𝑝 2 ) yakni (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊕ (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) = (|(𝑝 1 , 𝑝 2 )| ⊕ , |(𝑝 1 , 𝑝 2 )| ⊕ )
Berikut diberikan contoh untuk menjelaskan pengertian operator-operator pada Definisi 2.

## Contoh:
Misalkan diambil (3,0) ∈ ℝ min × ℝ min maka
1. |(3,0)| ⊕ = 3 ⊕ 0 = 0 2. ⊖ (3,0) = (0,3)
3. (3,0) ⦁ = (|(3,0)| ⊕ , |(3,0)| ⊕ ) = (0,0) ∎
Selanjutnya  diberikan  teorema  yang  menjelaskan  beberapa  sifat  yang berkaitan operator-operator pada Definisi 2.

## Teorema 3
Untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min berlaku
1. (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ = (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) ⦁ = ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ ) ⦁ 2. (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ⦁ = ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) ⦁
3. ⊖ (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) = (𝑝 1 , 𝑝 2 )
4. ⊖ ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊕ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) = (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) ⊕  (⊖ (𝑞 1 , 𝑞 2 ))
5. ⊖ ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) =⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 )
Suroto Suroto/Vygotsky 4 (1) Februari 2022, pp 35-46
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444

## Bukti.
1. Karena ⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑝 2 , 𝑝 1 ) maka (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) ⦁ = (𝑝 2 ⊕ 𝑝 1 , 𝑝 2 ⊕ 𝑝 1 ) = (𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 , 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ) = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ . Selanjutnya,
((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ ) ⦁ = (𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 , 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ) ⦁ = (𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ⊕ 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 , 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ⊕ 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ) = (𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 , 𝑝 1 ⊕ 𝑝 2 ) = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁
Dengan demikian (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ = (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) ⦁ = ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ ) ⦁ 2. (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ⦁ = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 ⊕ 𝑞 2 , 𝑞 1 ⊕ 𝑞 2 ) = (𝑝 1 ⊗ (𝑞 1 ⊕ 𝑞 2 ) ⊕ 𝑝 2 ⊗ (𝑞 1 ⊕ 𝑞 2 ), 𝑝 1 ⊗ (𝑞 1 ⊕ 𝑞 2 ) ⊕ 𝑝 2 ⊗ (𝑞 1 ⊕ 𝑞 2 )) = ((𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ) ⊕ (𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 ), (𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ) ⊕ (𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 )) = ((𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 ), (𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 )) ⦁ = ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) ⦁ 3. ⊖ (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) =⊖ (𝑝 2 , 𝑝 1 ) = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) 4. (⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 )) ⊕   (⊖ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) = (𝑝 2 , 𝑝 1 ) ⊕ (𝑞 2 , 𝑞 1 ) = (𝑝 2 ⊕ 𝑞 2 , 𝑝 1 ⊕ 𝑞 1 ) =⊖ (𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 , 𝑞 1 ⊕ 𝑝 1 ) =⊖ ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊕ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) 5. ⊖ ((𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 )) =⊖ (𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 , 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 ) = (𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 , 𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 ) = (𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ,  𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ) = (𝑝 2 , 𝑝 1 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) =⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊗ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) . ∎
Operator ⊖ pada ℝ min × ℝ min memiliki  sifat  pada  operator – pada himpunan  bilangan  riil,  sehingga ⊖ pada ℝ min × ℝ min dapat  difikirkan sebagai analogi – pada himpunan bilangan riil. Diperhatikan bahwa pada aljabar  konvensional,  untuk  semua 𝑝 berlaku 𝑝 − 𝑝 = 0 ,  tetapi  pada ℝ min × ℝ min hanya berlaku (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ ≠ (ℰ, ℰ) . Selanjutnya  didefinisikan  relasi  setimbang  pada ℝ min × ℝ min yang diadopsi dari (Baccelli et al., 2001).

## Definisi 3
Misalkan (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min maka (𝑝 1 , 𝑝 2 ) dikatakan berelasi setimbang  dengan (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ( dinotasikan  dengan (𝑝 1 , 𝑝 2 )∇(𝑞 1 , 𝑞 2 ) ) apabila 𝑝 1 ⊕ 𝑞 2 = 𝑝 2 ⊕ 𝑞 1 .
Diperhatikan bahwa relasi setimbang pada ℝ min × ℝ min bersifat:
1. Refleksif, karena untuk semua (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min berlaku 𝑝 1 ⊕ 𝑞 2 = 𝑞 2 ⊕ 𝑝 1 . Jadi (𝑝 1 , 𝑝 2 )∇(𝑝 1 , 𝑝 2 ) . 2. Simetris,  karena  untuk  semua (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min dengan (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∇ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) maka  mengakibatkan 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 = 𝑞 2 ⊕ 𝑝 1 .  Jadi (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∇ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) .
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444
3. Tidak  bersifat  transitif.  Misal  diambil (3,0), (0,0), (0,1) ∈ ℝ min × ℝ min maka (3,0) ∇ (0,0) dan (0,0) ∇ (0,1) tetapi (3,0)⍫(0,1) .  Dengan demikian relasi  setimbang bukan merupakan relasi ekuivalensi pada ℝ min × ℝ min sehingga tidak bisa dibentuk kuosien-kuosien ℝ min × ℝ min atas relasi setimbang tersebut.
Selanjutnya didefinisikan relasi lainnya pada ℝ min × ℝ min dan masih berhubungan  dengan  relasi  setimbang  yakni  relasi ℬ dengan  definisi berikut.
Definisi 4 Misalkan (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min maka (𝑝 1 , 𝑝 2 ) dikatakan  beralasi ℬ dengan (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ( dinotasikan dengan (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ℬ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ) yakni
(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(𝑞 1 , 𝑞 2 ) apabila { (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∇ (𝑞 1 , 𝑞 2 ), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 1 ≠ 𝑝 2 𝑑𝑎𝑛 𝑞 1 ≠ 𝑞 2 (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ),             𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Diperhatikan bahwa (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) jika dan hanya jika 𝑝 1 = 𝑞 1 , 𝑝 2 = 𝑞 2 . Dengan  demikian,  relasi ℬ merupakan  suatu  relasi  ekuivalensi.  Cermati kembali bahwa (3,0)∇(0,0) tetapi (3,0) tidak berelasi ℬ dengan (0,0) . Begitu juga (0,0)∇(0,1) , akan tetapi (0,0) tidak berelasi ℬ dengan (0,1) . Selanjutnya (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⊖ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ ∇ (ℰ, ℰ) , tetapi (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ⦁ tidak berelasi ℬ dengan (ℰ, ℰ) ,  terkecuali  untuk (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (ℰ, ℰ) .  Berikut  diberikan  contoh  untuk menjelaskan kelas ekuivalensi pada ℝ min × ℝ min oleh relasi ℬ pada Definisi 4.
Contoh: Diperhatikan bahwa
(3,1) ̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(3,1)}
= {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 ⊕ 1 = 𝑝 2 ⊕ 3} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 > 1, 𝑝 2 = 1} = {(𝑝 1 , 1) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 > 1} . (2,1) ̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(2,1)}
= {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 ⊕ 1 = 𝑝 2 ⊕ 2} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 > 1, 𝑝 2 = 1} = {(𝑝 1 , 1) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 > 1} . (∞, 1) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(∞, 1)} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 ⊕ 1 = 𝑝 2 ⊕ ∞} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 > 1, 𝑝 2 = 1} = {(𝑝 1 , 1) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 > 1}
Dengan  demikian, (2,1) ̅̅̅̅̅̅̅ = (3,1)
̅̅̅̅̅̅̅ = ⋯ = (∞, 1) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 1 , 1)
̅̅̅̅̅̅̅̅ untuk 𝑝 1 > 1 dan cukup diwakili oleh (∞, 1) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .

## Selanjutnya diperhatikan bahwa
(1,3) ̅̅̅̅̅̅̅
= {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(1,3)} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 ⊕ 3 = 𝑝 2 ⊕ 1} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 2 > 1, 𝑝 1 = 1} = {(1, 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 2 > 1} .
Suroto Suroto/Vygotsky 4 (1) Februari 2022, pp 35-46
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444
(1,2) ̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(1,2)}
= {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 ⊕ 2 = 𝑝 2 ⊕ 1} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 2 > 1, 𝑝 1 = 1} = {(1, 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 2 > 1} . (1, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(1, ∞)}
= {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 1 ⊕ ∞ = 𝑝 2 ⊕ 1} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 2 > 1, 𝑝 1 = 1} = {(1, 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | 𝑝 2 > 1}
Dengan  demikian, (1,2) ̅̅̅̅̅̅̅ = (1,3)
̅̅̅̅̅̅̅ = ⋯ = (1, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (1, 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅ untuk 𝑝 2 > 1 dan cukup diwakili oleh (1, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Diperhatikan juga bahwa
(1,1) ̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min |(𝑝 1 , 𝑝 2 )ℬ(1,1)} = {(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∈ ℝ min × ℝ min | (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (1,1)} = {(1,1)} . ∎
Karena ℬ adalah relasi ekuivalensi, maka diperoleh kelas ekuivalensi yang saling asing pada ℝ min × ℝ min atas relasi ℬ tersebut. Secara umum, kelas-kelas pada ℝ min × ℝ min atas relasi ℬ dapat dikelompokkan pada tiga jenis untuk suatu 𝑥 ∈ ℝ min , yakni kelas:
1.  Kelas (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑎, 𝑥) ∈ ℝ min × ℝ min |𝑎 > 𝑥} (5)
2.  Kelas (𝑥, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑥, 𝑎) ∈ ℝ min × ℝ min |𝑎 > 𝑥} (6)
3.  Kelas (𝑥, 𝑥)
̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑥, 𝑥) ∈ ℝ min × ℝ min } , (7)
Untuk selanjutnya kelas (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ dinamakan kelas max-plus nol. Diperhatikan bahwa (∞, 𝑥)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ∩ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∩ (𝑥, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅ = (∞, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ .  Kelas-kelas  pada  (5),  (6) dan (7), disajikan dalam bentuk elemen di ℝ min dengan 𝑥 ∈ ℝ min , yakni:
1.  Kelas (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ cukup ditulis dengan 𝑥 (8)
2.  Kelas (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ cukup ditulis ⊖ 𝑥 (9) 3.  Kelas (𝑥, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅ cukup ditulis 𝑥 • , (10)
Untuk selanjutnya, himpunan semua elemen 𝑥 pada (8), ⊖ 𝑥 pada (9) dan 𝑥 • pada  (10)  masing-masing  dinotasikan  dengan ℝ min ⊕ , ℝ min ⊖ dan ℝ min • . Hasil simetrisasi pada ℝ min adalah ℝ min ⊕ , ℝ min ⊖ dan ℝ min • , yang dapat  dianalogikan  dengan ℝ + , ℝ − dan 0 pada  pembahasan  himpunan bilangat riil.
Berikut  disajikan  suatu  teorema  yang  menjelaskan  korespondensi antara himpunan ℝ min ⊕ dengan ℝ min .

## Teorema 4
Diberikan  fungsi 𝑓: ℝ min ⊕ → ℝ min dengan 𝑓((𝑝 1 , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑝 1 , untuk  setiap (𝑝 1 , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ {(𝑝 1 , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅} . Fungsi 𝑓 adalah  fungsi  bijektif  dan  mengawetkan  operasi penjumlahan ⊕ dan perkalian ⊗ .
Bukti Untuk  setiap (𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑞 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ ,  jika 𝑓((𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑓((𝑞 1 , −∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444
maka berdasarkan definisi fungsi 𝑓 diperoleh 𝑝 1 = 𝑝 2 . Dengan demikian, 𝑓 bersifat  injektif.  Selanjutnya,  untuk  setiap 𝑝 1 ∈ ℝ min ,  selalu  terdapat
(𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ sedemikian hingga 𝑓((𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑝 1 , sehingga 𝑓 adalah fungsi surjektif. Mengingat 𝑓 merupakan fungsi injektif dan surjektif, maka 𝑓 merupakan fungsi bijektif.
Apabila diambil sembarang (𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑞 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ maka:
1. 𝑓((𝑝 1 , −∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ (𝑞 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑓((𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ⊕ 𝑓((𝑞 1 , −∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
2. 𝑓((𝑝 1 , −∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ (𝑞 1 , −∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑓((𝑝 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ⊗ 𝑓((𝑞 1 , −∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) .
Dengan demikian 𝑓 merupakan fungsi bijektif yang mengawetkan operasi penjumlahan ⊕ dan perkalian ⊗ . ∎
Misalkan  hasil  dari  simetrisasi  dari ℝ min dinotasikan  dengan 𝒮 ,  maka berlaku  sifat  gabungan ℝ min ⊕ ∪ ℝ min ⊖ ∪ ℝ min • = 𝒮 .  Sementara  itu,  juga berlaku sifat irisan ℝ min ⊕ ∩ ℝ min ⊖ ∩ ℝ min • = (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ . Operasi penjumlahan dan  perkalian  pada 𝒮 untuk  setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ 𝒮 didefinisikan sebagai berikut.
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 1 ⊕ 𝑞 1 , 𝑝 2 ⊕ 𝑞 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (11)
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗
̅̅̅ (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 1 ⊗ 𝑞 1 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 2 , 𝑝 1 ⊗ 𝑞 2 ⊕ 𝑝 2 ⊗ 𝑞 1 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (12)
Berikut diberikan teorema yang menjelaskan struktur aljabar dari 𝕊 .

## Teorema 5
Sistem matematika dari (𝒮,⊕ ̅̅̅,⊗ ̅̅̅) adalah semiring idempoten komutatif.

## Bukti
Perhatikan  bahwa (𝒮,⊕ ̅̅̅) merupakan  suatu  semigrup  komutatif  dengan elemen nol (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ . Selain itu operasi ⊕ ̅̅̅ bersifat idempotent, yakni (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕
̅̅̅ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 1 ⊕ 𝑝 1 , 𝑝 2 ⊕ 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Sementara  itu (𝒮,⊗ ̅̅̅) merupakan  suatu  semigrup  dengan  elemen  satuan (𝑒, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ dan  operasi ⊗ ̅̅̅ bersifat  komutatif.  Elemen  nol (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ merupakan elemen  penyerap  terhadap  operasi  perkalian  untuk  semua (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ 𝒮 ,
yakni:
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ = (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ .
Operasi ⊗ ̅̅̅ distributif terhadap ⊕ ̅̅̅ . Dengan demikian, 𝒮 adalah semiring idempoten komutatif. ∎
Tabel 1. Analogi ℝ dengan 𝒮 Analogi ℝ 𝓢 Penjumlahan + ⊕ Perkalian × ⊗ Negatif − ⊖ Relasi = ∇ Nol 0 𝑎 ⦁ Bagian Positif ℝ + ℝ min ⊕ Bagian Negatif ℝ − ℝ min ⊖
Suroto Suroto/Vygotsky 4 (1) Februari 2022, pp 35-46
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444
Tabel  1  menjelaskan  analogi  dari  himpunan  bilangan  riil ℝ pada  aljabar konvensional  dengan himpunan hasil simetrasi aljabar min-plus yaitu 𝒮 . Simetrisasi aljabar min-pus tersebut dilakukan untuk memperoleh bentuk negatif dan setimbang dari elemen-elemen pada aljabar min-plus.
Pada  pembahasan  aljabar  min-plus,  setiap  elemen  tidak  memiliki invers penjumlahan, kecuai elemen nol. Untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ min dengan 𝑥 ≠ ℰ , permasalahan
𝑥 ⊕ 𝑦 = ℰ
tidak dapat ditentukan solusi untuk 𝑦 . Hal ini dikarenakan tidak ada 𝑦 ∈ ℝ min yang  memenuhi  persamaan 𝑥 ⊕ 𝑦 = ℰ .  Apabila  masalah  tersebut ditinjau  pada  simetrisasi  aljabar  min-plus  dan  disajikan  dalam  bentuk
𝑥 ⊕ 𝑦 ∇ ℰ
maka terdapat 𝑦 yang memenuhi yakni 𝑦 =⊖ 𝑥 . Diperhatikan bahwa untuk setiap 𝑥 ∈ 𝒮 berlaku 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑥) ∇ ℰ . Sebagai contoh, masalah 𝑥 ⊕ 2 = ℰ tidak  memiliki  solusi 𝑥 pada  pembahasan  aljabar  min-plus.  Akan  tetapi, apabila masalah tersebut ditinjau pada simetrisasi aljabar min-plus yakni
𝑥 ⊕ 2 ∇ ℰ
maka diperoleh solusi 𝑥 =⊖ 2 .

## SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
Pada pembahasan aljabar min-plus ℝ min , setiap elemen tidak memiliki invers  terhadap  operasi  penjumlahan,  kecuali  untuk  elemen  nol.  Proses simetrisasi dapat dilakukan pada aljabar min-plus dengan menggunakan relasi  setimbang  untuk  memperoleh  bentuk  negatif  dan  setimbang  dari elemen-elemen  aljabar  min-plus.  Himpunan  yang  diperoleh  dari  proses simetrisasi ini dapat dikelompokkan dalam ℝ min ⊕ , ℝ min ⊖ dan ℝ min • , yang dapat  dianalogikan  dengan ℝ + , ℝ − dan 0 pada  pembahasan  himpunan bilangat riil.

## Saran
Penelitian selanjutnya dapat dikembangkan pada korespondensi hasil simetrisasi  aljabar  min-plus  dengan  aljabar  konvensional.  Selain itu  juga berpotensi  untuk  dikembangkan  pada  sistem  kesetimbangan  linier  atas simetrisasi aljabar min-plus sebagai perluasan dari sistem persamaan linier atas aljabar min-plus.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis  mengucapkan  terimakasih  kepada  semua  pihak  yang  terkait dengan  penelitian  ini,  terutama  Lembaga  Penelitian  dan  Pengabdian kepada  Masyarakat  Universitas  Jenderal  Soedirman  yang  memberikan dana penelitian dengan kontrak No T/458/UN23.18/PT.01.03/2021

## DAFTAR RUJUKAN
Akian, M., Cohen, G., Gaubert, S., Nikoukhah, R., & Quadrat, J. P. (1990). Linear systems  in  (max,  +)  algebra. 29th  IEEE  Conference  on  Decision  and
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444 Control , 151–156 vol.1. https://doi.org/10.1109/CDC.1990.203566 Baccelli,  F.,  Cohen,  G.,  Olsder,  G.  J.,  &  Quadrat,  J.  P.  (Eds.).  (2001).
Synchronization  and  linearity:  An  algebra  for  discrete  event  systems . Wiley. De  Schutter,  B.  (1996). Max-algebraic  system  theory  for  discrete  event  systems . Katholieke Universiteit Leuven. De Schutter, B., & De Moor, B. (2002). The QR Decomposition and the Singular Value  Decomposition  in  the  Symmetrized  Max-Plus  Algebra  Revisited. SIAM Review , 44 (3), 417–454. https://doi.org/10.1137/S00361445024039 Farhi,  N.  (2009).  Modeling  and  control  of  elementary  2D-Traffic  systems  using
Petri nets and minplus algebra. Proceedings of the 48h IEEE Conference on Decision and Control (CDC) Held Jointly with 2009 28th Chinese Control Conference , 2292–2297. https://doi.org/10.1109/CDC.2009.5400562
Golan, J. S. (2005). Some Recent Applications of Semiring Theory. Internasinal Conference on Algebra in Memory of Kostia Beidar Tainan March 6–12,
2005 , 18.
Jamshidvand,  S.,  Ghalandarzadeh,  S.,  Amiraslani,  A.,  &  Olia,  F.  (2019).  On  the Maximal  Solution  of  A  Linear  System  over  Tropical  Semirings.
ArXiv:1904.13169 [Math] . http://arxiv.org/abs/1904.13169
Li, M., & Zhao, W. (2012). Asymptotic Identity in Min-Plus Algebra: A Report on
CPNS. Computational  and  Mathematical  Methods  in  Medicine , 2012 ,  1– 11. https://doi.org/10.1155/2012/154038
Litvinov, G. L., Maslov, V. P., Kushner, A. G., & Sergeev, S. N. (2012). Tropical and Idempotent Mathematics . 276.
Marjanovic,  M.  M.  (2018).  Extensions  of  the  System  N  of  Natural  Numbers Assigned to Primary Teachers. OALib , 05 (01), 1–13. https://doi.org/10.4236/oalib.1104096
Pramesthi,  S.  R.  P.  W.  (2021).  Simulasi  Petri  Net  pada  Proses  Produksi  Susu
Fermentasi. VYGOTSKY , 3 (1), 25. https://doi.org/10.30736/voj.v3i1.349 Spalding, A. (1998). Min-Plus Algebra and Graph Domination. Ph.D Dissertation, University of Colorado .
Speyer, D., & Sturmfels, B. (2004). Tropical Mathematics. ArXiv:Math/0408099 . http://arxiv.org/abs/math/0408099
Suwanti, V., Bintoto, P., & Dinullah, R. N. I. (2017). Penerapan Min-Plus Algebra pada  Penentuan  Rute  Tercepat  Distribusi  Susu. Limits:  Journal  of Mathematics and Its Applications , 14 (2), 15. https://doi.org/10.12962/limits.v14i2.3085
Watanabe,  S.,  &  Watanabe,  Y.  (2014).  Min ‐ Plus  Algebra  and  Networks. RIMS Kokyuroku Bessatsu , B47 , 041–054.
Zanardo, A., Breda, F., Meneghello, A., Cardano, F. M., & Zampieri, F. (2016). Tropical Mathematics. University of Padova, Italy .