## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 6, No. 1, 2024, pp. 27-45.
Dimensi Partisi pada Graf Hasil Operasi Korona Tingkat- 𝒌
Ummi Nur Yatun Hasanah 1 , Rica Amalia 2 , Faisol 3 , Tony Yulianto 4 , Kuzairi 5
1,2,3,4,5 Universitas Islam Madura
2 Corresponding author: ricaamalia5@gmail.com
Abstract. Graph theory is one of the subjects in Discrete Mathematics that have long been known and are widely applied in various fields. The topics that are often discussed in graph theory include labeling,  coloring,  chromatic  numbers,  metric  dimensions,  and  partition  dimensions.  Partition dimensions are obtained by grouping all the vertices on the graph into a number of partition classes, then determine the distance of all  vertices to each partition class to get a representation. Partition class  which  representations  have  different  coordinate  vectors  is  called  resolving  partition.  The minimum cardinality of resolving partition is called partition dimensions of the graph. The purpose of this study is to determine the partition dimensions of 𝑘 -level corona operation graphs which are 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 , 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ,  and 𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 ,  where 𝐺, 𝑃 𝑚 , 𝐶 𝑚 ,  and 𝐾 𝑚 are  connected  non  trivial  graph,  path graph, circle graph and complete graph respectively, and any integer 𝑘 ≥ 1 .
Keywords: circle graph, complete graph, k-level corona operation, partition dimensions, path graph.

## 1 Pendahuluan
Teori  graf  adalah  subjek  di  Matematika  yang  pertama  kali  diperkenalkan  oleh Matematikawan  Swiss  bernama  Leonard  Euler  pada  tahun  1736,  sebagai  usaha  untuk menyelesaikan  permasalahan  jembatan  Konigsberg  [1].  Graf  digunakan  untuk merepresentasikan  objek  –  objek  diskrit  dan  hubungan  antara  objek-objek  tersebut. Dalam  sebuah  graf,  objek  digambarkan  sebagai  titik  sedangkan  hubungan  antar  objek digambarkan sebagai sisi [2]. Salah satu kajian dalam teori graf adalah dimensi metrik yang kemudian dikembangkan menjadi dimensi partisi.
Dimensi  partisi  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Chartrand  dkk  pada  tahun  2000  [3] sebagai  variasi  dari  dimensi  metrik  [4].  Dimensi  partisi  diperoleh  dengan  cara mengelompokkan semua simpul pada graf   ke dalam sejumlah kelas partisi. Selanjutnya menentukan  jarak  seluruh  simpul  terhadap  setiap  kelas  partisi  untuk  mendapatkan representasi. Representasi yang memiliki vektor koordinat berbeda dan memiliki jumlah kardinalitas minimum merupakan dimensi partisi dari graf [5].
Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) adalah  graf  terhubung  tak  trivial  dengan 𝑉(𝐺) adalah himpunan  titik  dan 𝐸(𝐺) adalah  himpunan  sisi.  Diberikan  himpunan-himpunan  titik 𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑘 ⊆ 𝑉(𝐺) dengan 𝑆 1 ∪ 𝑆 2 ∪ … ∪ 𝑆 𝑘 = 𝑉(𝐺) dan 𝑆 1 ∩ 𝑆 2 ∩ … ∩ 𝑆 𝑘 = ∅ . Himpunan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑘 } disebut  partisi  pembeda  jika 𝑘 -vektor 𝑟(𝑣|Π) =
(𝑑(𝑣, 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑆 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑘 )) , yang merupakan representasi dari 𝑣 terhadap Π , berbeda untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) , dengan 𝑑(𝑣, 𝑆) didefinisikan sebagai 𝑑(𝑣, 𝑆) = min⁡{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝑆} . Partisi pembeda dengan kardinalitas terkecil disebut dimensi partisi dan dinotasikan dengan 𝑝𝑑(𝐺) [3].
Beberapa peneliti sebelumnya yang menyingung mengenai dimensi partisi graf dengan operasi  tertentu  antara  lain  dimensi  partisi  graf  hasil  operasi  comb  graf  lingkaran  dan lintasan  [6], dimensi  partisi  pada graf amalgamasi  siklus  [7], dimensi  partisi pada graf sunlet dan amalgamasi graf sunlet [8]. Diantara penelitian-penelitian tersebut, belum ada penelitian mengenai dimensi partisi pada graf hasil operasi korona tingkat- 𝑘 . Oleh karena itu penulis berharap dengan adanya penelitian ini dapat menambah referensi mengenai dimensi  partisi  graf  dengan  operasi  tertentu.  Adapun  graf  yang  diteliti  dibatasi  yaitu 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 , 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 , dan 𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 , dengan 𝐺 , 𝑃 𝑚 , 𝐶 𝑚 , dan 𝐾 𝑚 masing-masing adalah graf terhubung tak trivial, graf lintasan, graf siklus dan graf lengkap, serta 𝑘 adalah bilangan asli.

## 2 Metode Penelitian
Metode  penelitian  dan  tahapan-tahapan  yang  digunakan  untuk  memecahkan permasalahan dalam penelitian ini adalah melakukan studi literatur dari referensi buku, artikel dan jurnal dari berbagai sumber. Untuk mendapatkan dimensi partisi dari graf hasil operasi korona tingkat- 𝑘 , langkah pertama adalah mendapatkan dimensi partisi dari graf hasil operasi korona dengan menggunakan pendeteksian pola partisi titik-titik. Kemudian dengan menggunakan prinsip induksi matematika akan dibuktikan untuk nilai 𝑘 sebarang bilangan asli. Lalu dilakukan evaluasi dan menyimpulkan penelitian.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Sebelum  membahas  dimensi  partisi  pada  graf  hasil  operasi  korona  tingkat- 𝑘 ,  terlebih dahulu akan dibahas dimensi partisi pada graf hasil operasi korona. Graf yang dibahas adalah 𝐺⨀𝑃 𝑚 , 𝐺⨀𝐶 𝑚 , dan 𝐺⨀𝐾 𝑚 dengan 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial. Istilah orde atau ordo dalam graf adalah banyaknya titik pada graf tersebut.
Teorema 1. Dimensi partisi pada graf hasil operasi korona 𝐺⨀𝑃 𝑚 adalah
𝑝𝑑(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + { 2 jika 𝑚 ≤ 4 2 + ⌈ 𝑚 − 4 3 ⌉ jika 𝑚 > 4
Bukti. Misalkan graf 𝐺 berorde 𝑛 dan 𝑊 adalah partisi pembeda dari 𝐺 dengan |𝑊| = 𝑝𝑑(𝐺) .  Diberikan 𝑉(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = {𝑣 𝑖 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚}
dan 𝐸(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = 𝐸(𝐺) ∪ {𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 𝑣 𝑖 𝑗+1 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 − 1} .
Kasus 1. Untuk 𝑚 ≤ 4
Diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 } ∪ 𝑊 dengan:
Untuk 𝑚 = 2 Untuk 𝑚 = 3 Untuk 𝑚 = 4 𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 2 = {𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan
𝑖 = 3,4, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 2 𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 2 = {𝑣 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 3,4, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 2
𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 2 = {𝑣 𝑖 3 , 𝑣 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 3,4, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 2
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺 maka 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) . Akibatnya 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) .  Berikutnya  representasi 𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝑃 𝑚 )\𝑉(𝐺) terhadap Π adalah:
Untuk 𝑚 = 2 Untuk 𝑚 = 3 Untuk 𝑚 = 4
𝑆 1 : { 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤)) 𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤)) 𝑆 1 : { 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,2, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,2, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,2, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤)) 𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 1 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 2 3 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 3 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 3 , 𝑤)) 𝑆 1 : { 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,2, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤))
𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,2, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,2, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤))
𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 1 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 4 |Π) = (2,0, 𝑑(𝑣 1 4 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 2 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 4 |Π) = (2,0, 𝑑(𝑣 2 4 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 3 |Π) = (1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 4 |Π) = (2,0, 𝑑(𝑣 𝑛 4 , 𝑤))
Jelas  bahwa 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) .  Karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π) maka 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) . Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀𝑃 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum. Diketahui bahwa Π mengelompokkan titik-titik pada graf 𝐺 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) buah  partisi  dan  tiap  salinan  graf 𝑃 𝑚 ke  dalam 2 buah  partisi.  Pada  graf 𝐺 , 𝑝𝑑(𝐺) merupakan jumlah partisi yang paling minimum, sedangkan pada salinan graf 𝑃 𝑚 partisi yang  dibuat  harus  lebih  dari 1 buah,  karena 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 𝑘 , 𝑤) ,  untuk  setiap 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝑃 𝑚 )\{𝑣 𝑖 𝑙 } dengan 𝑣 𝑖 𝑙 adalah  titik  yang  bertetangga  dengan 𝑣 𝑖 𝑗 dan 𝑣 𝑖 𝑘 ,  sehingga partisi sejumlah 2 buah merupakan nilai yang paling minimum.
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 2 untuk 𝑚 ≤ 4 .
Kasus 2. Untuk 𝑚 > 4
Diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , … , 𝑆 2+⌈ 𝑚−4 3 ⌉ } ∪ 𝑊 dengan:
𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛};
𝑆 2 = {𝑣 𝑖 𝑚−1 , 𝑣 𝑖 𝑚 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
Sedangkan untuk 𝑖 = 3,6, … ,2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ maka
𝑆 𝑖 = {𝑣 1 𝑗 , … , 𝑣 1 𝑗+𝑘 , 𝑣 2 𝑗 , … , 𝑣 2 𝑗+𝑘 , … , 𝑣 𝑛 𝑗 , … , 𝑣 𝑛 𝑗+𝑘 } ,
dengan 2 < 𝑗 < 𝑚 − 1 dan 𝑘 < 3
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺 maka 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) . Akibatnya 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) .  Berikutnya  akan  dibuktikan  bahwa ∀𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝑃 𝑚 )\𝑉(𝐺) , 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) juga.  Jelas  bahwa 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) .  Akibatnya  karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) untuk 𝑖 ≠ 𝑘 .  Sedangkan  untuk 𝑖 = 𝑘 , 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑖 𝑙 |Π) juga  karena 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑖 𝑘 ) ≠ 𝑑(𝑣 𝑖 𝑙 , 𝑣 𝑖 𝑘 ) jika 𝑣 𝑖 𝑘 bertetangga dengan 𝑣 𝑖 𝑗 tetapi tidak bertetangga dengan 𝑣 𝑖 𝑙 atau sebaliknya. Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀𝑃 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum. Diketahui bahwa Π mengelompokkan titik-titik pada graf 𝐺 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) buah partisi dan tiap salinan graf 𝑃 𝑚 ke dalam 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ buah partisi. Pada graf 𝐺 , 𝑝𝑑(𝐺) merupakan  jumlah  partisi  yang  paling  minimum,  sedangkan  pada  salinan  graf 𝑃 𝑚 jika partisi  yang  dibuat  kurang  dari 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ buah,  maka  terdapat  partisi  yang  memiliki anggota lebih dari 3 titik. Akibatnya, terdapat 2 titik, misal 𝑢 dan 𝑣 , sedemikian hingga 𝑟(𝑢|Π) = 𝑟(𝑣|Π) karena 𝑑(𝑢, 𝑤) = 𝑑(𝑣, 𝑤), ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝑃 𝑚 )\{𝑢, 𝑣} .
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ untuk 𝑚 > 4 . ∎
Teorema 2. Dimensi partisi pada graf hasil operasi korona 𝐺⨀𝐶 𝑚 adalah
𝑝𝑑(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6 ⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6
Bukti. Misalkan graf 𝐺 berorde 𝑛 dan 𝑊 adalah partisi pembeda dari 𝐺 dengan |𝑊| = 𝑝𝑑(𝐺) .  Diberikan 𝑉(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = {𝑣 𝑖 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} dan 𝐸(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = 𝐸(𝐺) ∪ {𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 𝑣 𝑖 𝑗+1 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 − 1} ∪ {𝑣 𝑖 1 𝑣 𝑖 𝑚 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} .
Kasus 1. Untuk 𝑚 ≤ 6
Diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 } ∪ 𝑊 dengan:
Untuk 𝑚 = 3 Untuk 𝑚 = 4 Untuk 𝑚 = 5 Untuk 𝑚 = 6 𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 2
= {𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 3
= {𝑣 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3 𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 2 = {𝑣 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 3 = {𝑣 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3 𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 2 = {𝑣 𝑖 3 , 𝑣 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 3 = {𝑣 𝑖 5 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3 𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 2 = {𝑣 𝑖 3 , 𝑣 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} 𝑆 3 = {𝑣 𝑖 5 , 𝑣 𝑖 6 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺 maka 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) . Akibatnya 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) .  Berikutnya  representasi 𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐶 𝑚 )\𝑉(𝐺) terhadap Π adalah:
Untuk 𝑚 = 3 Untuk 𝑚 = 4
𝑆 1 : { 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,1,1, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,1,1, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,1,1, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤))
𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (1,0,1, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (1,0,1, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (1,0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤))
𝑆 3 : { 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,1,0, 𝑑(𝑣 1 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (1,1,0, 𝑑(𝑣 2 3 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 3 |Π) = (1,1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 3 , 𝑤)) 𝑆 1 :
{ 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤))
𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,0,1, 𝑑(𝑣 1 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (1,0,1, 𝑑(𝑣 2 3 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 3 |Π) = (1,0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 3 , 𝑤))
𝑆 3 : { 𝑟(𝑣 1 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 1 4 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 2 4 , 𝑤))
⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 4 , 𝑤))
Untuk 𝑚 = 5 Untuk 𝑚 = 6
𝑆 1 :
{ 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤))
𝑆 2 :
{ 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,0,2, 𝑑(𝑣 1 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 1 4 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (1,0,2, 𝑑(𝑣 2 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 2 4 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 3 |Π) = (1,0,2, 𝑑(𝑣 𝑛 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 4 , 𝑤))
𝑆 3 : { 𝑟(𝑣 1 5 |Π) = (2,1,0, 𝑑(𝑣 1 5 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 5 |Π) = (2,1,0, 𝑑(𝑣 2 5 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 5 |Π) = (2,1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 5 , 𝑤)) 𝑆 1 : { 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,2,2, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (0,1,2, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤))
𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,0,2, 𝑑(𝑣 1 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 1 4 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (1,0,2, 𝑑(𝑣 2 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 2 4 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 3 |Π) = (1,0,2, 𝑑(𝑣 𝑛 3 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 4 |Π) = (2,0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 4 , 𝑤)) 𝑆 3 :
{ 𝑟(𝑣 1 5 |Π) = (2,1,0, 𝑑(𝑣 1 5 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 1 6 |Π) = (2,2,0, 𝑑(𝑣 1 6 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 5 |Π) = (2,1,0, 𝑑(𝑣 2 5 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 6 |Π) = (2,2,0, 𝑑(𝑣 2 6 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 5 |Π) = (2,1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 5 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 𝑛 6 |Π) = (2,2,0, 𝑑(𝑣 𝑛 6 , 𝑤))
Jelas  bahwa 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) .  Karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) . Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀𝐶 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum. Diketahui bahwa Π mengelompokkan titik-titik pada graf 𝐺 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) buah  partisi  dan  tiap  salinan  graf 𝐶 𝑚 ke  dalam 3 buah  partisi.  Pada  graf 𝐺 , 𝑝𝑑(𝐺) merupakan jumlah partisi yang paling minimum, sedangkan pada salinan graf 𝐶 𝑚 , 3 buah partisi merupakan nilai yang paling minimum juga.
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 3 untuk 𝑚 ≤ 6 .
Kasus 2. Untuk 𝑚 > 6
Diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 ⌈ 𝑚 3 ⌉ } ∪ 𝑊 dengan:
𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 , 𝑣 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 2 = {𝑣 𝑖 4 , 𝑣 𝑖 5 , 𝑣 𝑖 6 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
⋮ 𝑆 ⌈ 𝑚 3 ⌉ = {𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 3 (⌈ 𝑚 3 ⌉ − 1) + 𝑘; 1 ≤ 𝑘 < 𝑚(𝑚𝑜𝑑)3 }
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺 maka 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) . Akibatnya 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) .  Berikutnya  akan  dibuktikan  bahwa ∀𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐶 𝑚 )\𝑉(𝐺) , 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) juga.  Jelas  bahwa 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) .  Akibatnya  karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) untuk 𝑖 ≠ 𝑘 .  Sedangkan  untuk 𝑖 = 𝑘 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑖 𝑙 |Π) juga  karena 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑖 𝑘 ) ≠ 𝑑(𝑣 𝑖 𝑙 , 𝑣 𝑖 𝑘 ) jika 𝑣 𝑖 𝑘 bertetangga dengan 𝑣 𝑖 𝑗 tetapi tidak bertetangga dengan 𝑣 𝑖 𝑙 atau sebaliknya. Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀𝐶 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum. Diketahui bahwa Π mengelompokkan titik-titik pada graf 𝐺 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) buah  partisi  dan  tiap  salinan  graf 𝐶 𝑚 ke  dalam ⌈ 𝑚 3 ⌉ buah  partisi.  Pada  graf 𝐺 , 𝑝𝑑(𝐺) merupakan  jumlah  partisi  yang  paling  minimum,  sedangkan  pada  salinan  graf 𝐶 𝑚 jika partisi yang dibuat kurang dari ⌈ 𝑚 3 ⌉ buah, maka terdapat partisi yang memiliki anggota lebih dari 3 titik. Akibatnya, terdapat 2 titik, misal 𝑢 dan 𝑣 , sedemikian hingga 𝑟(𝑢|Π) = 𝑟(𝑣|Π) karena 𝑑(𝑢, 𝑤) = 𝑑(𝑣, 𝑤), ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐶 𝑚 )\{𝑢, 𝑣} .
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + ⌈ 𝑚 3 ⌉ untuk 𝑚 > 6 . ∎
Teorema 3. Dimensi partisi pada graf hasil operasi korona 𝐺⨀𝐾 𝑚 adalah
𝑝𝑑(𝐺⨀𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑚
Bukti. Misalkan graf 𝐺 berorde 𝑛 dan 𝑊 adalah partisi pembeda dari 𝐺 dengan |𝑊| = 𝑝𝑑(𝐺) .  Diberikan 𝑉(𝐺⨀𝐾 𝑚 ) = {𝑣 𝑖 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} dan 𝐸(𝐺⨀𝐾 𝑚 ) = 𝐸(𝐺) ∪ {𝑣 𝑖 𝑣 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} ∪ {𝑣 𝑖 𝑗 𝑣 𝑖 𝑘 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗, 𝑘 = 1,2, … , 𝑚} .
Diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑚 } ∪ 𝑊 dengan:
𝑆 1 = {𝑣 𝑖 1 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 2 = {𝑣 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
⋮ 𝑆 𝑚−1 = {𝑣 𝑖 𝑚−1 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 𝑚 = {𝑣 𝑖 𝑚 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺 maka 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) . Akibatnya 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) .  Berikutnya  representasi 𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑣 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐾 𝑚 )\𝑉(𝐺) terhadap Π adalah:
𝑆 1 : { 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (0,1,1, … ,1, 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (0,1,1, … ,1, 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 1 |Π) = (0,1,1, … ,1, 𝑑(𝑣 𝑛 1 , 𝑤))
𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (1,0,1, … ,1, 𝑑(𝑣 1 2 , 𝑤))
𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (1,0,1, … ,1, 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 2 |Π) = (1,0,1, … ,1, 𝑑(𝑣 𝑛 2 , 𝑤)) ⋮ 𝑆 𝑚−1 : { 𝑟(𝑣 1 𝑚−1 |Π) = (1,1,1, … ,0,1, 𝑑(𝑣 1 𝑚−1 , 𝑤))
𝑟(𝑣 2 𝑚−1 |Π) = (1,1,1, … ,0,1, 𝑑(𝑣 2 𝑚−1 , 𝑤))
⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 𝑚−1 |Π) = (1,1,1, … ,0,1, 𝑑(𝑣 𝑛 𝑚−1 , 𝑤))
𝑆 𝑚 : { 𝑟(𝑣 1 𝑚 |Π) = (1,1,1, … ,1,0, 𝑑(𝑣 1 𝑚 , 𝑤)) 𝑟(𝑣 2 𝑚 |Π) = (1,1,1, … ,1,0, 𝑑(𝑣 2 𝑚 , 𝑤)) ⋮ 𝑟(𝑣 𝑛 𝑚 |Π) = (1,1,1, … ,1,0, 𝑑(𝑣 𝑛 𝑚 , 𝑤))
Jelas  bahwa 𝑑(𝑣 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) .  Karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑣 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 𝑙 |Π) . Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀𝐾 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum. Diketahui bahwa Π mengelompokkan titik-titik pada graf 𝐺 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) buah  partisi  dan  tiap  salinan  graf 𝐾 𝑚 ke  dalam 𝑚 buah  partisi.  Pada  graf 𝐺 , 𝑝𝑑(𝐺)
merupakan  jumlah  partisi  yang  paling  minimum,  sedangkan  pada  salinan  graf 𝐾 𝑚 , 𝑚 merupakan jumlah partisi yang paling minimum juga.
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑚 . ∎
Selanjutnya akan dibahas dimensi partisi pada graf hasil operasi korona tingkat- 𝑘 dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli. Berikut ini adalah definisi operasi korona tingkat- 𝑘 .
Definisi 1. Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah graf terhubung tak trivial. Graf hasil operasi korona tingkat- 𝑘 antara 𝐺 dan 𝐻 dengan 𝑘 ≥ 2 dan 𝑘 ∈ ℕ , dinotasikan oleh 𝐺⨀ 𝑘 𝐻 , didefinisikan sebagai (𝐺⨀ 𝑘−1 𝐻)⨀𝐻
Teorema 4. Dimensi partisi pada graf hasil operasi korona 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 adalah
𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 { 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 4 2 + ⌈ 𝑚 − 4 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 4
Bukti. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan teorema ini.
Langkah Awal:
Untuk 𝑘 = 1 akan dibuktikan 𝑝𝑑(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + { 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 4
2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 4
Berdasarkan Teorema 1, terbukti bahwa
𝑝𝑑(𝐺⨀𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + { 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 4 2 + ⌈ 𝑚 − 4 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 4
Langkah Induksi:
Jika 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 { 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 4 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 4 maka akan dibuktikan bahwa
𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1) { 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 4 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 4
Diberikan 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 ) = 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) ∪ {𝑢 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} .
Kasus 1. Untuk 𝑚 ≤ 4
Diketahui bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 . Akan dibuktikan bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 2(𝑘 + 1) = 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 + 2 .
Misalkan 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 kemudian diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 } ∪ 𝑊 dengan:
Untuk 𝑚 = 2 Untuk 𝑚 = 3 Untuk 𝑚 = 4 𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 |𝑖 = 1,2, …,
|𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 3,4, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 + 2 𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 3,4, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 + 2
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 3 , 𝑢 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 3,4, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 + 2
Karena 𝑊 adalah  partisi  pembeda  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 maka 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) .  Akibatnya 𝑟(𝑢|Π) ≠ 𝑟(𝑣|Π), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) .  Berikutnya  akan dibuktikan bahwa ∀𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑢 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 )\𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) , 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) juga. Jelas bahwa 𝑑(𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) dan 𝑣 𝑖 adalah  titik  terluar  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 .  Karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) .  Jadi  terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum.  Diketahui  bahwa Π mengelompokkan  titik-titik  pada  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 buah  partisi  dan  tiap  salinan  graf 𝑃 𝑚 ke  dalam 2 buah  partisi.  Pada  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 , 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 merupakan jumlah partisi yang paling minimum, sedangkan pada salinan graf 𝑃 𝑚 partisi yang dibuat harus lebih dari 1 buah, karena 𝑑(𝑢 𝑖 , 𝑤) = 𝑑(𝑢 𝑗 , 𝑤) , untuk setiap 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 )\{𝑢 𝑘 } dengan 𝑢 𝑘 adalah titik yang bertetangga dengan 𝑢 𝑖 dan 𝑢 𝑗 , sehingga partisi sejumlah 2 buah merupakan nilai yang paling minimum.
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 2𝑘 + 2 untuk 𝑚 ≤ 4 .
Kasus 2. Untuk 𝑚 > 4
Diketahui  bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 (2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉) .  Akan  dibuktikan  bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1) (2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 (2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉) + 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ .
Misalkan 𝑊 adalah  partisi  pembeda  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 kemudian  diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 2+⌈ 𝑚−4 3 ⌉ } ∪ 𝑊 dengan:
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|};
𝑆 2 = {𝑢 𝑖 𝑚−1 , 𝑢 𝑖 𝑚 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 )|}
Sedangkan untuk 𝑖 = 3,6, … ,2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ maka
𝑆 𝑖 = {𝑢 1 𝑗 , … , 𝑢 1 𝑗+𝑘 , 𝑢 2 𝑗 , … , 𝑢 2 𝑗+𝑘 , … , 𝑢 𝑛 𝑗 , … , 𝑢 𝑛 𝑗+𝑘 } , dengan 2 < 𝑗 < 𝑚 − 1 dan 𝑘 < 3
Karena 𝑊 adalah  partisi  pembeda  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 maka 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) .  Akibatnya 𝑟(𝑢|Π) ≠ 𝑟(𝑣|Π), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) .  Berikutnya  akan dibuktikan bahwa ∀𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑢 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 )\𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) , 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) juga. Jelas bahwa 𝑑(𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) dan 𝑣 𝑖 adalah  titik  terluar  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 .  Karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) .  Jadi  terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum.  Diketahui  bahwa Π mengelompokkan  titik-titik  pada  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 (2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉) buah partisi dan tiap salinan graf 𝑃 𝑚 ke dalam 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ buah partisi. Pada graf 𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 , 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 (2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉) merupakan jumlah partisi yang paling minimum, sedangkan pada salinan graf 𝑃 𝑚 jika partisi yang dibuat kurang dari 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ buah, maka terdapat partisi yang memiliki anggota lebih dari 3 titik. Akibatnya, terdapat 2  titik,  misal 𝑢 dan 𝑣 ,  sedemikian  hingga 𝑟(𝑢|Π) = 𝑟(𝑣|Π) karena 𝑑(𝑢, 𝑤) = 𝑑(𝑣, 𝑤), ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 )\{𝑢, 𝑣} .
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1) (2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉) untuk 𝑚 > 4 . ∎
Teorema 5. Dimensi partisi pada graf hasil operasi korona 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 adalah
𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6 ⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6
Bukti. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan teorema ini.
Langkah Awal:
Untuk 𝑘 = 1 akan dibuktikan 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6 ⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6
Berdasarkan Teorema 2, terbukti bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6 ⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6
Langkah Induksi:
Jika 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6 ⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6 maka  akan  dibuktikan  bahwa
𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1) { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6
⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6
Diberikan 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 ) = 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) ∪ {𝑢 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|; 𝑗 = 1,2, … , 𝑚} .
Kasus 1. Untuk 𝑚 ≤ 6
Diketahui bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 . Akan dibuktikan bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 3(𝑘 + 1) = 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 + 3 .
Misalkan 𝑊 adalah  partisi  pembeda  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 kemudian  diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 } ∪ 𝑊 dengan:
Untuk 𝑚 = 3 Untuk 𝑚 = 4 Untuk 𝑚 = 5 Untuk 𝑚 = 6
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 3 = {𝑢 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) +
3𝑘 + 3 𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 3 = {𝑢 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 + 3
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 3 , 𝑢 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 3 = {𝑢 𝑖 5 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 + 3
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, …,
|𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 2 = {𝑢 𝑖 3 , 𝑢 𝑖 4 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 3 = {𝑢 𝑖 5 , 𝑢 𝑖 6 |𝑖 = 1,2, …, |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|} 𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 4,5, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 + 3
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 maka 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) .  Akibatnya 𝑟(𝑢|Π) ≠ 𝑟(𝑣|Π), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) .  Berikutnya  akan dibuktikan bahwa ∀𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑢 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 )\𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) , 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) juga. Jelas bahwa 𝑑(𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) dan 𝑣 𝑖 adalah titik terluar dari graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 . Karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) . Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum.  Diketahui  bahwa Π mengelompokkan  titik-titik  pada  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 buah  partisi  dan  tiap  salinan  graf 𝐶 𝑚 ke  dalam 3 buah  partisi.  Pada  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 , 𝑝𝑑(𝐺) + 3𝑘 merupakan jumlah partisi yang paling minimum, sedangkan pada salinan graf 𝐶 𝑚 , 3 buah partisi merupakan nilai yang paling minimum juga.
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 3(𝑘 + 1) untuk 𝑚 ≤ 6 .
Kasus 2. Untuk 𝑚 > 6
Diketahui bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 ⌈ 𝑚 3 ⌉ . Akan dibuktikan bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1) ⌈ 𝑚 3 ⌉ = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 ⌈ 𝑚 3 ⌉ + ⌈ 𝑚 3 ⌉ .
Misalkan 𝑊 adalah  partisi  pembeda  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 kemudian  diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 ⌈ 𝑚 3 ⌉ } ∪ 𝑊 dengan:
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 , 𝑢 𝑖 2 , 𝑢 𝑖 3 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛}
𝑆 2 = {𝑢 𝑖 4 , 𝑢 𝑖 5 , 𝑢 𝑖 6 |𝑖 = 1,2, … , 𝑛} ⋮ 𝑆 ⌈ 𝑚 3 ⌉ = {𝑢 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 )|; 𝑗 = 3 (⌈ 𝑚 3 ⌉ − 1) + 𝑘; 1 ≤ 𝑘 < 𝑚(𝑚𝑜𝑑)3 }
Karena 𝑊 adalah partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 maka 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) .  Akibatnya 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑗 |Π), ∀𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) .  Berikutnya  akan dibuktikan bahwa ∀𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑢 𝑘 𝑙 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 )\𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) , 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) juga. Jelas bahwa 𝑑(𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑤) = 𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑤) + 1, ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) dan 𝑣 𝑖 adalah titik terluar dari graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 . Akibatnya karena 𝑟(𝑣 𝑖 |Π) ≠ 𝑟(𝑣 𝑘 |Π) maka 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑘 𝑙 |Π) untuk 𝑖 ≠ 𝑘 . Sedangkan untuk 𝑖 = 𝑘 , 𝑟(𝑢 𝑖 𝑗 |Π) ≠ 𝑟(𝑢 𝑖 𝑙 |Π) juga karena 𝑑(𝑢 𝑖 𝑗 , 𝑢 𝑖 𝑘 ) ≠ 𝑑(𝑢 𝑖 𝑙 , 𝑢 𝑖 𝑘 ) jika 𝑢 𝑖 𝑘 bertetangga dengan 𝑢 𝑖 𝑗 tetapi tidak bertetangga dengan 𝑢 𝑖 𝑙 atau sebaliknya. Jadi terbukti bahwa Π merupakan partisi pembeda dari graf 𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum.  Diketahui  bahwa Π mengelompokkan  titik-titik  pada  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 ⌈ 𝑚 3 ⌉ buah partisi dan tiap salinan graf 𝐶 𝑚 ke dalam ⌈ 𝑚 3 ⌉ buah partisi. Pada graf 𝐺 , 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 ⌈ 𝑚 3 ⌉ merupakan  jumlah  partisi  yang  paling  minimum,  sedangkan  pada salinan graf 𝐶 𝑚 jika partisi yang dibuat kurang dari ⌈ 𝑚 3 ⌉ buah, maka terdapat partisi yang memiliki anggota lebih dari 3 titik. Akibatnya, terdapat 2 titik, misal 𝑢 dan 𝑣 , sedemikian hingga 𝑟(𝑢|Π) = 𝑟(𝑣|Π) karena 𝑑(𝑢, 𝑤) = 𝑑(𝑣, 𝑤), ∀𝑤 ∈ 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 )\{𝑢, 𝑣} .
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1) ⌈ 𝑚 3 ⌉ untuk 𝑚 > 6 . ∎
Teorema 6. Dimensi partisi pada graf hasil operasi korona 𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 adalah
𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚
Bukti. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan teorema ini.
Langkah Awal:
Untuk 𝑘 = 1 akan dibuktikan 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚
Berdasarkan Teorema 3, terbukti bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑚
Langkah Induksi:
Jika 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚 maka  akan  dibuktikan  bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1)𝑚
Diberikan 𝑉(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐾 𝑚 ) = 𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 ) ∪ {𝑢 𝑖 𝑗 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 )|; ⁡𝑗 = 1,2, … , 𝑚} .
Diketahui bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚 . Akan dibuktikan bahwa 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1)𝑚 = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚 + 𝑚 .
Misalkan 𝑊 adalah  partisi  pembeda  dari  graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 kemudian  diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑚 } ∪ 𝑊 dengan:
𝑆 1 = {𝑢 𝑖 1 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 )|}
𝑆 2 = {𝑢 𝑖 2 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 )|}
⋮ 𝑆 𝑚−1 = {𝑢 𝑖 𝑚−1 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 )|}
𝑆 𝑚 = {𝑢 𝑖 𝑚 |𝑖 = 1,2, … , |𝑉(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 )|}
𝑆 𝑖 ∈ 𝑊 dengan 𝑖 = 𝑚 + 1, 𝑚 + 2, … , 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚 + 𝑚
Karena 𝑾 adalah partisi pembeda dari graf 𝑮⨀ 𝒌 𝑲 𝒎 maka 𝒓(𝒖|𝑾) ≠ 𝒓(𝒗|𝑾), ∀𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮⨀ 𝒌 𝑲 𝒎 ) . Akibatnya 𝒓(𝒖|𝜫) ≠ 𝒓(𝒗|𝜫), ∀𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮⨀ 𝒌 𝑲 𝒎 ) . Berikutnya  akan dibuktikan  bahwa ∀𝒖 𝒊 𝒋 , 𝒖 𝒌 𝒍 ∈ 𝑽(𝑮⨀ 𝒌+𝟏 𝑲 𝒎 )\𝑽(𝑮⨀ 𝒌 𝑲 𝒎 ) , 𝒓(𝒖 𝒊 𝒋 |𝜫) ≠ 𝒓(𝒖 𝒌 𝒍 |𝜫) juga. Jelas bahwa 𝒅(𝒖 𝒊 𝒋 , 𝒘) = 𝒅(𝒗 𝒊 , 𝒘) + 𝟏, ∀𝒘 ∈ 𝑽(𝑮⨀ 𝒌 𝑲 𝒎 ) dan 𝒗 𝒊 adalah titik terluar dari graf 𝑮⨀ 𝒌 𝑲 𝒎 .  Karena 𝒓(𝒗 𝒊 |𝜫) ≠ 𝒓(𝒗 𝒌 |𝜫) maka 𝒓(𝒖 𝒊 𝒋 |𝜫) ≠ 𝒓(𝒖 𝒌 𝒍 |𝜫) .  Jadi  terbukti bahwa 𝜫 merupakan partisi pembeda dari graf 𝑮⨀ 𝒌+𝟏 𝑲 𝒎 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa Π adalah  partisi  pembeda  dengan  kardinalitas minimum. Diketahui bahwa Π mengelompokkan titik-titik pada graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 menjadi 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚 buah partisi dan tiap salinan graf 𝐾 𝑚 ke dalam 𝑚 buah partisi. Pada graf 𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 , 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚 merupakan jumlah partisi yang paling minimum, sedangkan pada salinan graf 𝐾 𝑚 , 𝑚 merupakan jumlah partisi yang paling minimum juga.
Jadi 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘+1 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + (𝑘 + 1)𝑚 . ∎
Untuk  lebih  memahami  teorema-teorema  di  atas,  berikut  ini  diberikan  contoh  dimensi partisi dan partisi pembeda pada graf 𝑃 4 ⨀ 𝐶 5 2 .
Gambar 1 Graf 𝑷 𝟒 ⨀ 𝑪 𝟓 𝟐
Diberikan Π = {𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 , 𝑆 7 , 𝑆 8 } dengan:
𝑆 1 = {𝑣 1 }
𝑆 2 = {𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 }
𝑆 3 = {𝑣 1 1 , 𝑣 1 2 , 𝑣 2 1 , 𝑣 2 2 , 𝑣 3 1 , 𝑣 3 2 , 𝑣 4 1 , 𝑣 4 2 } 𝑆 4 = {𝑣 1 3 , 𝑣 1 4 , 𝑣 2 3 , 𝑣 2 4 , 𝑣 3 3 , 𝑣 3 4 , 𝑣 4 3 , 𝑣 4 4 } 𝑆 5 = {𝑣 1 5 , 𝑣 2 5 , 𝑣 3 5 , 𝑣 4 5 } 𝑆 6 = {𝑣 10 1 , 𝑣 10 2 , 𝑣 11 1 , 𝑣 11 2 , 𝑣 12 1 , 𝑣 12 2 , 𝑣 13 1 , 𝑣 13 2 , 𝑣 14 1 , 𝑣 14 2 , 𝑣 15 1 , 𝑣 15 2 , 𝑣 20 1 , 𝑣 20 2 , 𝑣 21 1 , 𝑣 21 2 , 𝑣 22 1 , 𝑣 22 2 ,
𝑣 23 1 , 𝑣 23 2 , 𝑣 24 1 , 𝑣 24 2 , 𝑣 25 1 , 𝑣 25 2 , 𝑣 30 1 , 𝑣 30 2 , 𝑣 31 1 , 𝑣 31 2 , 𝑣 32 1 , 𝑣 32 2 , 𝑣 33 1 , 𝑣 33 2 , 𝑣 34 1 , 𝑣 34 2 , 𝑣 35 1 , 𝑣 35 2 ,
𝑣 40 1 , 𝑣 40 2 , 𝑣 41 1 , 𝑣 41 2 , 𝑣 42 1 , 𝑣 42 2 , 𝑣 43 1 , 𝑣 43 2 , 𝑣 44 1 , 𝑣 44 2 , 𝑣 45 1 , 𝑣 45 2 }
𝑆 7 = {𝑣 10 3 , 𝑣 10 4 , 𝑣 11 3 , 𝑣 11 4 , 𝑣 12 3 , 𝑣 12 4 , 𝑣 13, 3 𝑣 13 4 , 𝑣 14 3 , 𝑣 14 4 , 𝑣 15 3 , 𝑣 15 4 , 𝑣 20 3 , 𝑣 20 4 , 𝑣 21 3 , 𝑣 21 4 , 𝑣 22 3 , 𝑣 22 4 ,
𝑣 23 3 , 𝑣 23 4 , 𝑣 24 3 , 𝑣 24 4 , 𝑣 25 3 , 𝑣 25 4 , 𝑣 30 3 , 𝑣 30 4 , 𝑣 31 3 , 𝑣 31 4 , 𝑣 32 3 , 𝑣 32 4 , 𝑣 33 3 , 𝑣 33 4 , 𝑣 34 3 , 𝑣 34 4 , 𝑣 35 3 ,
𝑣 35 4 , 𝑣 40 3 , 𝑣 40 4 , 𝑣 41 3 , 𝑣 41 4 , 𝑣 42 3 , 𝑣 42 4 , 𝑣 43 3 , 𝑣 43 4 , 𝑣 44 3 , 𝑣 44 4 , 𝑣 45 3 , 𝑣 45 4 }
𝑆 8 = {𝑣 10 5 , 𝑣 11 5 , 𝑣 12 5 , 𝑣 13, 5 𝑣 14 5 , 𝑣 15 5 , 𝑣 20 5 , 𝑣 21 5 , 𝑣 22 5 , 𝑣 23 5 , 𝑣 24 5 , 𝑣 25 5 , 𝑣 30 5 , 𝑣 31 5 , 𝑣 32 5 , 𝑣 33 5 , 𝑣 34 5 , 𝑣 35 5 ,
𝑣 40 5 , 𝑣 41 5 , 𝑣 42 5 , 𝑣 43 5 , 𝑣 44 5 , 𝑣 45 5 }
Maka representasi 𝑽(𝑷 𝟒 ⨀ 𝟐 𝑪 𝟓 ) terhadap 𝜫 adalah:
𝑆 1 : 𝑟(𝑣 1 |Π) = (0,1,1,1,1,1,1,1)
𝑆 2 : { 𝑟(𝑣 2 |Π) = (1,0,1,1,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 3 |Π) = (2,0,1,1,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 4 |Π) = (3,0,1,1,1,1,1,1)
𝑆 3 :
{ 𝑟(𝑣 1 1 |Π) = (1,2,0,2,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 1 2 |Π) = (1,2,0,1,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 2 1 |Π) = (2,1,0,2,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 2 2 |Π) = (2,1,0,1,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 3 1 |Π) = (3,1,0,2,1,1,1,1)
𝑟(𝑣 3 2 |Π) = (3,1,0,1,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 4 1 |Π) = (4,1,0,2,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 4 2 |Π) = (4,1,0,1,2,1,1,1)
𝑆 4 :
{ 𝑟(𝑣 1 3 |Π) = (1,2,1,0,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 1 4 |Π) = (1,2,2,0,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 2 3 |Π) = (2,1,1,0,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 2 4 |Π) = (2,1,2,0,1,1,1,1) 𝑟(𝑣 3 3 |Π) = (3,1,1,0,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 3 4 |Π) = (3,1,2,0,1,1,1,1)
𝑟(𝑣 4 3 |Π) = (4,1,1,0,2,1,1,1) 𝑟(𝑣 4 4 |Π) = (4,1,2,0,1,1,1,1)
𝑆 5 :⁡ { 𝑟(𝑣 1 5 |Π) = (1,2,1,1,0,1,1,1) 𝑟(𝑣 2 5 |Π) = (2,1,1,1,0,1,1,1) 𝑟(𝑣 3 5 |Π) = (3,1,1,1,0,1,1,1) 𝑟(𝑣 4 5 |Π) = (4,1,1,1,0,1,1,1) 𝑆 6 :⁡ { 𝑟(𝑣 10 1 |Π) = (1,2,2,2,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 10 2 |Π) = (1,2,2,2,2,0,1,2) 𝑟(𝑣 11 1 |Π) = (2,3,1,3,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 11 2 |Π) = (2,3,1,3,2,0,1,2) ⋮ 𝑟(𝑣 15 1 |Π) = (2,3,2,2,1,0,2,1) 𝑟(𝑣 15 2 |Π) = (2,3,2,2,1,0,1,2) 𝑟(𝑣 20 1 |Π) = (2,1,2,2,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 20 2 |Π) = (2,1,2,2,2,0,1,2) 𝑟(𝑣 21 1 |Π) = (3,2,1,2,3,0,2,1) 𝑟(𝑣 21 2 |Π) = (3,2,1,2,3,0,1,2) ⋮ 𝑟(𝑣 25 1 |Π) = (3,2,2,1,3,0,2,1) 𝑟(𝑣 25 2 |Π) = (3,2,2,1,3,0,1,2) 𝑟(𝑣 30 1 |Π) = (3,1,2,2,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 30 2 |Π) = (3,1,2,2,2,0,1,2) 𝑟(𝑣 31 1 |Π) = (4,2,1,3,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 31 2 |Π) = (4,2,1,3,2,0,1,2) ⋮ 𝑟(𝑣 35 1 |Π) = (4,2,2,2,1,0,2,1) 𝑟(𝑣 35 2 |Π) = (4,2,2,2,1,0,1,2) 𝑟(𝑣 40 1 |Π) = (4,1,2,2,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 40 2 |Π) = (4,1,2,2,2,0,2,1) 𝑟(𝑣 41 1 |Π) = (5,2,1,2,3,0,2,1) 𝑟(𝑣 41 2 |Π) = (5,2,1,2,3,0,1,2) ⋮ 𝑟(𝑣 45 1 |Π) = (5,2,2,1,3,0,2,1) 𝑟(𝑣 45 2 |Π) = (5,2,2,1,3,0,1,2)
𝑆 7 :
{ 𝑟(𝑣 10 3 |Π) = (1,2,2,2,2,1,0,2) 𝑟(𝑣 10 4 |Π) = (1,2,2,2,2,2,0,1) 𝑟(𝑣 11 3 |Π) = (2,3,1,3,2,1,0,2) 𝑟(𝑣 11 4 |Π) = (2,3,1,3,2,2,0,1) ⋮ 𝑟(𝑣 15 3 |Π) = (2,3,2,2,1,1,0,2) 𝑟(𝑣 15 4 |Π) = (2,3,2,2,1,2,0,1)
𝑟(𝑣 20 3 |Π) = (2,1,2,2,2,1,0,2)
𝑟(𝑣 20 4 |Π) = (2,1,2,2,2,2,0,1)
𝑟(𝑣 21 3 |Π) = (3,2,1,2,2,1,0,2) 𝑟(𝑣 21 4 |Π) = (3,2,1,2,2,2,0,1) ⋮ 𝑟(𝑣 25 3 |Π) = (3,2,2,1,3,1,0,2) 𝑟(𝑣 25 4 |Π) = (3,2,2,1,3,2,0,1) 𝑟(𝑣 30 3 |Π) = (3,1,2,2,2,1,0,2) 𝑟(𝑣 30 4 |Π) = (3,1,2,2,2,2,0,1) 𝑟(𝑣 31 3 |Π) = (4,2,1,3,2,1,0,2) 𝑟(𝑣 31 4 |Π) = (4,2,1,3,2,2,0,1) ⋮ 𝑟(𝑣 35 3 |Π) = (4,2,2,2,1,1,0,2) 𝑟(𝑣 35 4 |Π) = (4,2,2,2,1,2,0,1) 𝑟(𝑣 40 3 |Π) = (4,1,2,2,2,1,0,2) 𝑟(𝑣 40 4 |Π) = (4,1,2,2,2,2,0,1) 𝑟(𝑣 41 3 |Π) = (5,2,1,2,3,1,0,2) 𝑟(𝑣 41 4 |Π) = (5,2,1,2,3,2,0,1) ⋮ 𝑟(𝑣 45 3 |Π) = (5,2,2,1,3,1,0,2) 𝑟(𝑣 45 4 |Π) = (5,2,2,1,3,2,0,1) 𝑆 8 :⁡
{ 𝑟(𝑣 10 5 |Π) = (1,2,2,2,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 11 5 |Π) = (2,3,1,3,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 12 5 |Π) = (2,3,1,2,3,1,1,0)
𝑟(𝑣 13 5 |Π) = (2,3,2,1,3,1,1,0)
𝑟(𝑣 14 5 |Π) = (2,3,3,1,2,1,1,0)
𝑟(𝑣 15 5 |Π) = (2,3,2,2,1,1,1,0) 𝑟(𝑣 20 5 |Π) = (2,1,2,2,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 21 5 |Π) = (3,2,1,2,3,1,1,0) 𝑟(𝑣 22 5 |Π) = (3,2,1,3,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 23 5 |Π) = (3,2,2,2,1,1,1,0) 𝑟(𝑣 24 5 |Π) = (3,2,3,1,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 25 5 |Π) = (3,2,2,1,3,1,1,0) 𝑟(𝑣 30 5 |Π) = (3,1,2,2,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 31 5 |Π) = (4,2,1,3,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 32 5 |Π) = (4,2,1,2,3,1,1,0) 𝑟(𝑣 33 5 |Π) = (4,2,2,1,3,1,1,0) 𝑟(𝑣 34 5 |Π) = (4,2,3,1,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 35 5 |Π) = (4,2,2,2,1,1,1,0) 𝑟(𝑣 40 5 |Π) = (4,1,2,2,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 41 5 |Π) = (5,2,1,2,3,1,1,0) 𝑟(𝑣 42 5 |Π) = (5,2,1,3,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 43 5 |Π) = (5,2,2,2,1,1,1,0) 𝑟(𝑣 44 5 |Π) = (5,2,3,1,2,1,1,0) 𝑟(𝑣 45 5 |Π) = (5,2,2,1,3,1,1,0)
Karena 𝑟(𝑢|Π) ≠ 𝑟(𝑣|Π) untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝑃 4 ⨀ 2 𝐶 5 ) maka Π adalah partisi pembeda dari graf 𝑃 4 ⨀ 2 𝐶 5 dan 𝑝𝑑(𝑃 4 ⨀ 2 𝐶 5 ) = 8

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan di atas, dapat ditarik kesimpulan berupa hasil dimensi partisi graf hasil operasi korona Tingkat- 𝑘 yakni:
1. 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝑃 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 { 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 4 2 + ⌈ 𝑚−4 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 4 2. 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐶 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘 { 3 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 ≤ 6 ⌈ 𝑚 3 ⌉ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚 > 6 3. 𝑝𝑑(𝐺⨀ 𝑘 𝐾 𝑚 ) = 𝑝𝑑(𝐺) + 𝑘𝑚
Untuk penelitian selanjutnya, penulis menyarankan untuk melengkapi penelitian ini untuk dimensi partisi pada graf 𝐺 ⨀ 𝐻 𝑘 dengan 𝐺 dan 𝐻 sebarang graf terhubung tak trivial.

## 5 Daftar Pustaka
[1]   R.  Ganguli  and  S.  Roy,  "A  study  on  course  timetable  scheduling  using  graph coloring  approach," International  Journal  of  Computational  and  Applied Mathematics, pp. 469-485, 2017.
[2]   Z.  Amri,  I.  Irvan,  I.  Maryanti  and  H.  Sumardi,  "Odd  Graceful  Labeling  on  the Ilalang Graph and It's Variation," Journal of Physics: Conference Series, vol. 1731, no. 012030, pp. 1-5, 2021.
[3]   G.  Chartrand,  E.  Salehi  and  P.  Zhang,  "The  Partition  Dimension  of  a  Graph," Aequationes Math., no. 59, pp. 45-54, 2000.
[4]   G. Chartrand, L. Eroh, M. Johnson and O. Oellermann, "Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph," Discrete Appl. Math., no. 105, pp. 99-113, 2000.
[5]   A. Khairiah, E. Noviani and F. Fran, "Dimensi Partisi pada Graf," Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster), vol. 9, pp. 189-194, 2020.
[6]   Faisal, N. Mardiana and H. Rosiyanti, "Dimensi Partisi Graf Hasil Operasi Comb Graf  Lingkaran  dan  Graf  Lintasan," FIBONACCI  Jurnal  Pendidikan  Mtematika dan Matematika, vol. 5, pp. 163-174, 2 Desember 2019.
[7]   A.  S.  Daming,  H.  Hasmawati,  L.  Haryanto  and  B.  Nurwahyu,  "Dimensi  Partisi Graf  Hasil  Amalgamasi  Siklus," Jurnal  Matematika,  Statistika,  dan  Komputasi, vol. 16, no. 2, pp. 199-207, 2020.
[8]   R. Anggriani, "Dimensi Partisi pada Graf Sunlet dan Amalgamasi  Graf Sunlet," Universitas Negeri Malang, Malang, 2023.