RADIKAL SUPERNILPOTENT BERTINGKAT
Puguh Wahyu Prasetyo
Pendidikan Matematika, Universitas Ahmad Dahlan Email : puguh.prasetyo@pmat.uad.ac.id
Abstract. The development of Ring Theory motivates the existence of the development of the Radical Theory of Rings. This condition is motivated since there are rings which have properties other than those owned by the set ring of all integers. These rings are collected so that they fulfill certain properties and they are called radical classes of rings. As the development of science about how to separate the properties of radical classes of rings motivates the existence of supernilpotent radical classes. On the other hand, there exists  the  concept  of  graded  rings.  This  concept  can  be  generalized  into  the  Radical Theory  of  Rings.  Thus,  the  properties  of  the  graded  supernilpotent  radical  classes  are very interesting to investigate. In this paper, some graded supernilpotent radical of rings are given and their construction will be described. It follows from this construction that the graded Jacobson radical is a graded supernilpotent radical.
Keywords: radical  theory  of  rings,  graded  rings,  supernilpotent  radical,  graded supernilpotent radical.
Abstrak. Pengembangan teori  ring memotivasi  eksistensi pengembangan  teori  radikal pada ring. Kondisi ini termotivasi karena terdapat beberapa ring yang memiliki sifat-sifat yang  tidak  dimiliki  oleh  himpunan  ring  bilangan  bulat.  Ring-ring  ini  dikumpulkan sedemikian sehingga memenuhi beberapa sifat-sifat tertentu dan mereka disebut kelas- kelas radikal dari ring. Pengembangan ilmu tentang bagaimana cara memisahkan sifat- sifat  untuk  kelas-kelas  radikal  dari  ring  memotivasi  munculnya  kelas-kelas  radikal supernilpotent. Di sisi lain,terdapat konsep ring bertingkat. Konsep ini dapat diperumum menjadi  teori  radikal  pada  ring.  Sehingga,  sifat-sifat  dari  kelas-kelas  radikal supernilpotent  bertingkat  menarik  untuk  diteliti.  Pada  artikel  ini,  diberikan  beberapa radikal  superniltpotent  bertingkat  dari  ring  dan  dibahas  konstruksinya.  Berdasarkan konstruksinya,  didapatkan  bahwa  radikal  bertingkat  Jacobson  merupakan  radikal supernilpotent bertingkat.
Keywords: toeri  radikal  pada  ring,  ting  bertingkat,  radikal  supernilpotent,  radikal supernilpotent bertingkat.

## I. PENDAHULUAN
Untuk sebarang ring 𝐴 , himpunan 𝐼 ideal 𝐴 dinotasikan dengan 𝐼 ⊲ 𝐴 . Diketahui 𝐴 ring dan 𝐼 ⊲ 𝐴 . 𝐼 ideal semiprima 𝐴 jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴 dengan sifat 𝑥𝐴𝑥 ⊆ 𝐼 , maka 𝑥 ∈ 𝐼 .
Contoh 1 Ideal-ideal {(0,0)} , 3ℤ ⊕ 3ℤ merupakan ideal-ideal semiprima ring ℤ ⊕ ℤ . Berikut penjelasannya.
Untuk {(𝟎, 𝟎)} sebagai ideal semiprima dari ring ℤ ⊕ ℤ . Diambil  sebarang (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ ⊕ ℤ dengan  sifat (𝑥, 𝑦)(ℤ ⊕ ℤ ) (𝑥, 𝑦) = (0,0) .  Perhatikan bahwa (𝑥, 𝑦)(ℤ ⊕ ℤ ) (𝑥, 𝑦) = (0,0) artinya (𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏 ) (𝑥, 𝑦) = (0,0) untuk  setiap (𝑎, 𝑏) ∈
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
ℤ ⊕ ℤ .  Lebih  lanjut (𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏 ) (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑎𝑥, 𝑦𝑏𝑦) = (0,0) ⇒ 𝑥𝑎𝑥 = 𝑦𝑏𝑦 = 0 .  Perhatikan 𝑥𝑎𝑥 = 0 untuk setiap 𝑎 ∈ ℤ , hal ini dapat terjadi hanya ketika 𝑥 = 0 . Dengan cara yang sama, perhatikan 𝑦𝑏𝑦 = 0 untuk setiap 𝑏 ∈ ℤ , hal ini dapat terjadi hanya ketika 𝑦 = 0 . Untuk 𝟑ℤ ⊕ 𝟑ℤ merupakan ideal-ideal semiprima ℤ ⊕ ℤ Diambil sebarang (𝑥, 𝑦) ∈ ℤ ⊕ ℤ dengan sifat (𝑥, 𝑦)(ℤ ⊕ ℤ ) (𝑥, 𝑦) ⊆  3ℤ ⊕ 3ℤ . Perhatikan bahwa (𝑥, 𝑦)(ℤ ⊕ ℤ ) (𝑥, 𝑦) =  3ℤ ⊕ 3ℤ artinya (𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏 ) (𝑥, 𝑦) ∈  3ℤ ⊕ 3ℤ untuk  setiap (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ ⊕ ℤ . Lebih lanjut (𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏 ) (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑎𝑥, 𝑦𝑏𝑦) ∈  3ℤ ⊕ 3ℤ ⇒ 𝑥𝑎𝑥, 𝑦𝑏𝑦 ∈  3ℤ . Perhatikan 𝑥𝑎𝑥 ∈  3ℤ untuk setiap 𝑎 ∈ ℤ , hal ini dapat terjadi hanya ketika 𝑥 ∈  3ℤ . Dengan cara yang sama, perhatikan 𝑦𝑏𝑦 ∈  3ℤ untuk setiap 𝑏 ∈ ℤ , hal ini dapat terjadi hanya ketika 𝑦 ∈  3ℤ .
Diketahui 𝐴 ring dan 𝐼 ⊲ 𝐴 . Ideal 𝐼 dari ring 𝐴 disebut ideal prima (dinotasikan dengan 𝐼 ⊲ ′𝐴) jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dengan sifat 𝑥𝐴𝑦 ⊆ 𝐼 , maka 𝑥 ∈ 𝐼 atau y ∈ 𝐼 .
Contoh 2 Ideal-ideal {0}, 3ℤ merupakan ideal ideal prima dari ring bilangan bulat ℤ . Untuk {0} ideal prima ℤ
Diambil  sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ dengan  sifat 𝑥ℤ𝑦 = {0} .  Perhatikan 𝑥ℤ𝑦 = {0} ,  artinya 𝑥𝑎𝑦 = 0 untuk setiap 𝑎 ∈ ℤ , , hal ini dapat terjadi hanya ketika 𝑥 = 0 atau 𝑦 = 0 . Untuk 𝟑ℤ ideal prima ℤ Diambil  sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ dengan  sifat 𝑥ℤ𝑦 ⊆ 3ℤ .  Perhatikan 𝑥ℤ𝑦 ⊆ 3ℤ ,  artinya 𝑥𝑎𝑦 ∈ 3ℤ untuk setiap 𝑎 ∈ ℤ , hal ini dapat terjadi hanya ketika 𝑥 ∈ 3ℤ atau 𝑦 ∈ 3ℤ .
Pada  pembahasan  sebelumnya  telah  ditunjukkan  bahwa 3ℤ ⊕ 3ℤ merupakan  ideal semiprima ring ℤ ⊕ ℤ , contoh tersebut merupakan contoh ideal semiprima ℤ ⊕ ℤ yang bukan prima.  Karena  terdapat (3,1), (1,3) ∉ 3ℤ ⊕ 3ℤ sehingga (3,1)(ℤ ⊕ ℤ)(1,3) ⊆ 3ℤ ⊕ 3ℤ . Diketahui 𝐴 ring dan 𝐼 ⊲ 𝐴 . Suatu ideal 𝐼 dari 𝐴 disebut esensial jika untuk setiap 0 ≠ 𝐽 ⊲ 𝐴 , maka berlaku 𝐼 ∩ 𝐽 ≠ {0}.
Contoh 3 2ℤ ideal esensial ℤ . Diambil sebarang 𝑛ℤ ideal taknol ℤ , dengan 𝑛 anggota bilangan asli.  Perhatikan  bahwa 0 ≠ 2𝑛 ∈ 2ℤ ,  di  lain  pihak 2𝑛 = 𝑛. 2 ∈ 𝑛ℤ .  Dengan  demikian 2ℤ ∩ 𝑛ℤ ≠ {0} . Jadi 2ℤ ideal esensial ℤ .
Definisi 1 [1] Ring 𝐴 disebut ring semiprima jika {0 𝐴 } ideal semiprima 𝐴 . Ring 𝐴 disebut ring prima jika {0 𝐴 } ideal prima 𝐴 .
Contoh 5 Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa {(0,0)} merupakan ideal semiprima ring ℤ ⊕ ℤ , akibatnya ℤ ⊕ ℤ merupakan ring semiprima.
Contoh  6 Pada  pembahasan  sebelumnya  telah  ditunjukkan  bahwa {0} merupakan  ideal semiprima ring ℤ , akibatnya ℤ merupakan ring prima.
Ring ℤ ⊕ ℤ merupakan  ring  semiprima  yang  bukan  ring  prima,  karena  terdapat (0,0) ≠ (1,0), (0,1) dengan sifat (1,0)(ℤ ⊕ ℤ)(0,1) = {(0,0)} .
Syarat perlu dan cukup suatu ring merupakan ring semiprima dijelaskan dalam teorema berikut ini.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Teorema 1 [1] Diketahui 𝑅 ring. Ring 𝑅 merupakan ring semiprima jika dan hanya jika irisan semua ideal prima 𝑅 sama dengan nol.

## Berdasarkan Teorema 1 diperoleh akibat sebagai berikut
Akibat 1 [1] Diketahui 𝑅 ring. Jika 𝑅 subdirect product dari koleksi ring {𝑅 𝑗 |𝑗 ∈ 𝐽} dengan 𝑅 𝑗 ring prima untuk setiap 𝑗 ∈ 𝐽 , maka 𝑅 semiprima.
Bukti: Perhatikan bahwa 𝑅 subdirect product dari koleksi ring {𝑅 𝑗 |𝑗 ∈ 𝐽} dengan 𝑅 𝑗 ring prima untuk  setiap 𝑗 ∈ 𝐽 .  Hal  ini  berarti  terdapat  koleksi {𝐼 𝑗 ⊲ 𝑅|𝑗 ∈ 𝐽} sehingga ⋂ 𝐼 𝑗 𝑗∈𝐽 = 0 dan 𝑅 𝐼 𝑗 ⁄ ≅ 𝑅 𝑗 . Karena 𝑅 𝑗 ring prima untuk setiap 𝑗 ∈ 𝐽 , maka 𝐼 𝑗 ideal prima 𝑅 untuk setiap 𝑗 ∈ 𝐽 . Perhatikan bahwa 𝐼 𝑗 ideal prima 𝑅 untuk setiap 𝑗 ∈ 𝐽 dengan sifat ⋂ 𝐼 𝑗 𝑗∈𝐽 = 0 , akibatnya 𝑅 semiprima.
Eksistensi kelas radikal ring termotivasi dari eksistensi kelas semua ring nil, yaitu kelas ring-ring 𝐴 dengan sifat setiap elemen dari ring 𝐴 merupakan elemen nilpotent yang memiliki sifat  tertutup  terhadap  homomorfisma,  jumlahan  dari  ideal-ideal  yang  terdiri  dari  elemen- elemen  nilpoten  juga  merupakan  ideal  nil,  dan  untuk  setiap  ring 𝐴 dengan  sifat 𝐼, 𝐴/𝐼 merupakan  ring  nil,  maka 𝐴 sendiri  merupakan  ring  nil.  Definisi  kelas  radikal  dapat  dilihat dalam [1] dan [2]. Lebih lanjut, berikut ini merupakan syarat perlu dan syarat cukup agar suatu kelas ring merupakan kelas radikal.
Teorema 2 [1] Untuk sebarang kelas ring 𝛾 , pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen.
1. Kelas ring 𝛾 merupakan kelas radikal
2. Kelas ring 𝛾 mempunyai sifat induktif, dan tertutup terhadap perluasan serta memenuhi pernyataan berikut:
Jika 𝐴 ∈ 𝛾 maka  untuk  setiap 0 ≠ 𝐵 peta  homomorfis  dari 𝐴 ,  terdapat 𝐶 yang merupakan ideal 𝐵 dengan sifat 0 ≠ 𝐶 ∈ 𝛾.
Berdasarkan sifat konstruksinya kelas radikal dibagi menjadi dua macam yaitu kelas radikal atas dan kelas radikal bawah. Kontruksi ini dapat dipelajari lebih lanjut dalam [1] dan [2].
Radikal  dan  konstruksinya  dijelaskan  dalam  [1]  dan  [2].  Kelas  semua  ring nilpotent dinotasikan dengan 𝒩 0 dan didefinisikan oleh 𝒩 0 = {𝐴|𝐴 merupakan ring dengan sifat 𝐴 𝑛 = 0 untuk suatu bilangan bulat positif 𝑛 ≥ 1 tertentu } . Faktanya, kelas semua ring nilpotent 𝒩 0 bukan merupakan kelas radikal. Berdasarkan kondisi ini, maka memotivasi adanya konstruksi radikal  bawah ℒ𝒩 0 dari 𝒩 0 yang  merupakan  kelas  radikal  terkecil  yang  memuat 𝒩 0 . Konstruksi kelas radikal bawah ℒ𝒩 0 ini dapat dipelajari lebih lanjut dalam [1]. Kelas radikal bawah ℒ𝒩 0 ini selanjutnya dinotasikan dengan 𝛽 .
Di lain pihak, suatu kelas radikal 𝛾 disebut radikal khusus jika 𝛾 = 𝒰(𝜇) merupakan kelas radikal atas dari kelas khusus 𝜇 yaitu kelas ring-ring yang terdiri dari ring-ring prima, bersifat hereditary dan  tertutup  terhadap  perluasan  esensial.  Kontruksi  kelas  radikal  atas  juga  dapat dipelajari  lebih  lanjut  dari  [1].  Selanjutnya,  kelas  semua  ring-ring  prima  yang  dinotasikan dengan 𝜋 merupakan salah satu contoh kelas khusus. Dengan demikian kelas radikal atas 𝒰(𝜋) merupakan kelas radikal khusus.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Teorema 3 [3] Kelas radikal 𝛽 = 𝒰(𝜋) dengan 𝜋 merupakan kelas semua ring prima.
Bukti: Dapat dilihat dalam [3].
Berdasarkan  Teorema  1  di  atas  kelas  radikal 𝛽 merupakan  kelas  radikal  atas  dari  kelas semua ring prima 𝜋 . Oleh sebab itu, kelas radikal 𝛽 disebut juga dengan kelas radikal prima.
Definisi 2 [1] Diketahui ring 𝐴 dan 𝜚 kelas ring tertentu didefinisikan (𝐴) 𝜚 =∩ {𝐼 ⊲ 𝐴| dengan sifat 𝐴/𝐼  ∈ 𝜚} .  Selanjutnya  kelas  radikal 𝛾 disebut  mempunyai  sifat  irisan  relatif  terhadap kelas 𝜚 jika 𝛾(𝐴) = (𝐴) 𝜚 untuk setiap ring 𝐴 .
Teorema  4 [3] Kelas  radikal  prima 𝛽 memiliki  sifat  irisan  relatif  terhadap 𝜋 yaitu  untuk sebarang ring 𝐴 berlaku radikal prima 𝛽(𝐴) = (𝐴) 𝜋 .
Bukti: Dapat dilihat dalam [3].
Dengan demikian kelas radikal prima 𝛽 mempunyai sifat irisan relatif terhadap kelas semua ring prima 𝜋 . Berdasarkan konsep ini, akan diberikan konsep kelas radikal prima bertingkat. Diketahui ring 𝐴 dengan 𝐺 − bertingkat. Radikal prima bertingkat dari 𝐴 dinotasikan dengan 𝛽 𝐺 (𝐴) dan didefinisikan sebagai irisan dari semua ideal prima bertingkat dari 𝐴 . Selanjutnya kelas  ring-ring 𝐺 − bertingkat 𝛽 𝐺 = {𝐴|𝐴 merupakan  ring 𝐺 − bertingkat  dan 𝛽 𝐺 (𝐴) = 𝐴} merupakan kelas radikal prima bertingkat.
Definisi 3 [4] Kelas radikal 𝛾 𝐺 disebut kelas radikal supernilpotent bertingkat jika 𝛾 𝐺 memuat 𝛽 𝐺 dan 𝛾 𝐺 bersifat hereditary bertingkat.

## II. PEMBAHASAN
Di lain pihak kelas ring-ring 𝒥 = {𝐴|(𝐴,∘) merupakan grup} dengan operasi biner ∘ yang didefinisikan oleh 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 . Dapat ditunjukkan bahwa kelas ring  ring 𝒥 merupakan  kelas  radikal.  Selanjutnya  kelas  ring-ring 𝐺 − bertingkat  yang dinotasikan  dengan 𝒥 𝐺 = {𝐴|𝐴 merupakan  ring 𝐺 − bertingkat  dan 𝐴 𝑢 ∈ 𝒥} dengan 𝐴 𝑢 merupakan ring 𝐴 dengan 𝐺 − bertingkatnya yang diabaikan. Beberapa sifat terkait kelas 𝒥 𝐺 dijelaskan oleh teorema-teorema di bawah ini.
Teorema 5  Kelas ring-ring 𝐺 − bertingkat 𝒥 𝐺 memuat kelas radikal prima bertingkat 𝛽 𝐺 .
Bukti: Akan  ditunjukkan  bahwa 𝒥 𝐺 memuat  kelas  radikal  prima  bertingkat 𝛽 𝐺 .  Diambil sebarang 𝐴 ∈ 𝛽 𝐺 ,  dengan  demikian  berdasarkan  kontruksi 𝛽 𝐺 diperoleh 𝐴 merupakan  ring 𝐺 − bertingkat  dengan sifat 𝛽 𝐺 (𝐴) = 𝐴 . Dibentuk 𝐴 𝑢 yaitu ring 𝐴 dengan 𝐺 − bertingkatnya yang diabaikan. Dengan demikian 𝛽(𝐴 𝑢 ) = 𝐴 𝑢 . Di lain pihak 𝛽 ⊂ 𝒥 , akibatnya 𝐴 𝑢 ∈ 𝒥 . Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝐴 ∈ 𝒥 𝐺 . Oleh sebab itu 𝒥 𝐺 memuat 𝛽 𝐺 .
Teorema 6 Kelas ring-ring 𝐺 − bertingkat 𝒥 𝐺 bersifat hereditary bertingkat.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Bukti: Diambil  sebarang  ring 𝐴 ∈ 𝒥 𝐺 dan 0 ≠ 𝐼 merupakan  ideal  sejati  ring 𝐴 .  Akan ditunjukkan bahwa 𝐼 ∈ 𝒥 𝐺 . Perhatikan bahwa 𝐴 ∈ 𝒥 𝐺 , maka 𝐴 𝑢 ∈ 𝒥 . Selanjutnya dibentuk 𝐼 𝑢 , jelas bahwa 𝐼 𝑢 merupakan ideal taknol sejati 𝐴 𝑢 . Berdasarkan sifat hereditary yang dimiliki oleh 𝒥 , maka dapat  disimpulkan bahwa 𝐼 𝑢 ∈ 𝒥 . Hal  ini berakibat 𝐼 ∈ 𝒥 𝐺 . Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa 𝒥 𝐺 bersifat hereditary bertingkat.
Berdasarkan  Teorema  5  dan  Teorema  6  diperoleh  sifat  lanjutan  dari  kelas  ring-ring 𝐺 − bertingkat 𝒥 𝐺 sebagai berikut.
Akibat  7  Kelas  ring-ring 𝐺 − bertingkat 𝒥 𝐺 merupakan  kelas  radikal  supernilpotent bertingkat.
Bukti: Langkah  pertama  harus  ditunjukkan  bahwa  kelas  ring-ring 𝐺 − bertingkat 𝒥 𝐺 merupakan  kelas  radikal  bertingkat.  Perhatikan  Proposisi  2  dalam  [4],  sehingga  dapat disimpulkan  bahwa 𝒥 𝐺 merupakan  kelas  radikal 𝐺 − bertingkat.  Selanjutnya.  Berdasarkan Teorema  5  dan  Teorema  6  dapat  disimpulkan  bahwa 𝒥 𝐺 merupakan  kelas  radikal supernilpotent bertingkat.

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa kelas ring-ring yang dibentuk, yaitu Kelas 𝒥 𝐺 merupakan  kelas  radikal  Jacobson  bertingkat.  Faktanya,  kelas  radikal  Jacobson merupakan  kelas  radikal supernilpotent sekaligus  kelas  radikal  khusus.  Hal  ini  dapat memotivasi  penelitian  lanjutan  untuk  membahas  apakah  kelas  radikal  Jacobson  bertingkat merupakan kelas radikal khusus bertingkat.

## REFERENSI
[1]  B. Gardner and R. Wiegandt, Radical Theory of Rings, New York: Marcel Dekker, Inc, 2004.
[2]  P. W. Prasetyo, Necessary And Sufficient Conditions For U(* k ) To Coincide With The Prime Radical β (Disertasi), Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada, 2018.
[3]  P. W. Prasetyo, S. Wahyuni, I. E. Wijayanti and H. France-Jackson, "Dari Radikal Ring Ke Radikal Modul (From Radical of Rings To Radical of Modules)," in Prosiding Seminar Nasional Matematika 2014 Universitas Jember , Jember, 2014.
[4]  H. Fang and P. Stewart, "Radical Theory for Graded Rings," J. Austral. Math. Soc, vol. 52, pp. 143-153, 1992.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id