*Corresponding author.

## MODIFIKASI DISTRIBUSI MUATAN BERDASARKAN DISTRIBUSI FERMI-DIRAC DAN APLIKASINYA PADA HUKUM GAUSS
Yuant Tiandho 1,2* , Okky Fajar Tri Maryana 3 , Fitri Afriani 1 , Asep Saefullah 4 , Indra Pardede 3,5
1 Jurusan Fisika, Universitas Bangka Belitung Bangka, Indonesia
2 Pusat Kajian Energi dan Teknologi Informasi, Universitas Bangka Belitung, Indonesia
3 Jurusan Fisika, Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan, Indonesia
4 Jurusan Pendidikan Fisika, Universitas Sultan Ageng Tirtayasa Serang, Indonesia
5 Graduate School of Natural Science and Techonology, Kanazawa University Jepang e-mail: yuant@ubb.ac.id

## Abstrak
Hukum Gauss merupakan salah satu hukum fundamental fisika, khususnya dalam kajian listrik. Salah  satu  variabel  penting  untuk  dapat  menggunakan  hukum  Gauss  adalah  kemampuan menentukan  muatan  yang  terlingkupi  permukaan  Gauss.  Umumnya,  definisi  distribusi  muatan suatu objek didefinisikan oleh fungsi sepenggal (piecewise continuous function). Pada makalah ini diajukan suatu model distribusi muatan yang berlaku untuk di seluruh lokasi. Model tersebut disusun  berdasarkan  analogi  dengan  fungsi  distribusi  Fermi-Dirac.  Model  yang  diajukan mengandung  fungsi  eksponensial  yang  terkait  dengan  radius  benda  dan  dilengkapi  dengan suatu  parameter  untuk  menghindari  munculnya  lekukan  kurva  yang  bersifat  tidak  fisis. Distribusi muatan tersebut dapat digunakan untuk simulasi menghitung muatan yang terlingkupi oleh  permukaan  Gauss  dan  menentukan  medan  listriknya.  Beberapa  kasus  yang  ditinjau adalah  objek  bola  padat  serta  bola  konsentris.  Jika  dibandingkan  dengan  distribusi  muatan konvensional,  distribusi  muatan  termodifikasi  lebih  sederhana  dan  dapat  mereduksi  algoritma proses  komputasi.  Oleh  karena  itu  hal  ini  dapat  dimanfaatkan  dalam  pembuatan  media pembelajaran berbasis komputer yang ringkas dan sederhana.
Kata kunci: Elektromagnetisme, hukum Gauss, pembelajaran interaktif

## Abstract
Gauss's law is one of the fundamental laws of physics, especially in the study of  electricity.  One  of  the  important  variable  to  use  Gauss's  law  is  the  ability  to determine the enclosed charge by the Gaussian surface. Commonly, the definition of the charge distribution of an object is defined by piecewise continuous function. In this paper, a charge distribution model that can accommodate all regions is proposed. The model  is  constructed  based  on  analogies  with  the  Fermi-Dirac's  distribution  function. The  proposed  model  contains  an  exponential  function  that  is  related  to the  radius  of an object and is equipped with a parameter to avoid the appearance of a not physical curve.  The  charge  distribution  can  be  used  to  calculate  the  enclosed  charge  by  the Gaussian  surface  and  to  determine  its  electrical  field.  Some  of  the  cases  reviewed were spherical solid objects and spherical concentric objects. When compared to the conventional charge distribution, the modified distribution is more straightforward, and it  can  reduce  the  computational  process  algorithm.  Therefore  this  can  be  used  to construct concise and simple computer-based learning media..
Keywords : Electromagnetism, Gauss’s law, interactive education

## PENDAHULUAN
Gaya  elektromagnetik  merupakan salah  satu  gaya  fundamental  penyusun alam  semesta  dan  telah  sangat  lama dipelajari  (Cajori,  1962;  Ciufolini  et  al., 2013).  Berdasarkan  catatan  sejarah, gejala  listrik  dan  magnet  pertama  kali dikenal  oleh  Thales  pada  600  SM  ketika mengamati amber dan potongan lodestone yang tarik-menarik (Seroglou et al., 1998). Selanjutnya
gejala elektromagnetisme  terus  dipelajari  dan terus
berkembang berdasarkan pandangan fisika klasik, relativitas Einstein,  hingga  mekanika  kuantum  atau teori  medan  kuantum  (Fodor  et  al.,  2016; Hatfield, 2018; Sarabi et al., 2016).
Seringkali pada berbagai buku fisika dasar  atau  elektrodinamika  pembahasan tentang  gejala  listrik  dimulai  dari  materi Hukum  Gauss  dan  hukum  Coulomb (Young  &  Freedman,  2012;  Griffith,  1999; Halliday  et  al.,  2011).  Selain  itu,  hukum Gauss  merupakah  salah  satu  persamaan fundamental  yang  ikut  terangkum  dalam persamaan  Maxwell  (Selvan,  2007)  dan hukum  Coulomb  dapat  diturunkan  dari persamaan  ini  (Gupta,  2002).  Secara umum  teorema  yang  ditemukan  pada tahun  1812  ini  (Sarkar  et  al.,  2006) menyatakan  hubungan  antara  distribusi muatan  listrik  dengan  medan  listriknya sebagai,
0 enc closed Q E dA   =  (1)
Pada
praktiknya, untuk menggunakan hukum Gauss harus diketahui distribusi muatan yang terlingkupi oleh permukaan Gauss. Dalam pembahasan konvensional, untuk mendefinisikan  bentuk  distribusi  muatan dibutuhkan  kata  kunci:  apakah  titik  tinjau berada di dalam  objek atau di luar objek? Karena  pada  kenyataannya  memang bentuk  distribusi  muatan  di  kedua  daerah tersebut  berbeda.  Misalkan  untuk  suatu bola  isolator  (diasumsikan  muatan  pada isolator  tersebar  secara  merata)  adalah (Tiandho, 2016),
( ) 3 4 , untuk 3 , untuk isolator r r R
Q r Q r R     =     (2)
Sedangkan  pada  konduktor  karena muatan  hanya  terdapat  pada  permukaan saja  maka  distribusi  muatan  untuk  suatu bola  yang  memiliki  radius R didefinisikan sebagai,
( ) 0, untuk untuk konduktor r R Q r Q r R   =    (3)
Tampak  bahwa  selalu  dibutuhkan  dua kondisi  untuk  dapat  mendefinisikan  nilai muatan  pada  suatu  titik,  yaitu  pada r < R atau r ≥ R .
Ketika fungsi distribusi yang terpisah tersebut  diterapkan  pada  suatu  simulasi beberapa  permasalahan  mungkin  saja muncul. Seringkali karena harus dilakukan pembatasan  maka  ketika  dibuat  suatu bahasa pemrograman membutuhkan logika-logika  panjang  yang  cukup  rumit. Kesalahan  dalam  bahasa  pemrograman akan  menghasilkan  kesalahan  yang  fatal misal  simulasi  tidak  berjalan  atau  bahkan berjalan  dengan  konsep  yang  tidak  tepat sehingga menghasilkan pemahaman yang salah  pula.  Oleh  karena  itu,  untuk mengatasi  kerumitan  ungkapan  fungsi distribusi  muatan  konvensional  maka penelitian ini bertujuan untuk menghasilkan  suatu  distribusi  muatan baru  yang  berlaku  di  seluruh  daerah sehingga dapat dilakukan simulasi perhitungan  medan  listrik  menggunakan hukum
Gauss. Karena hanya menggunakan  satu  buah  persamaan distribusi muatan maka diperoleh ungkapan  tunggal  medan  listrik  yang berlaku  pada  seluruh  kondisi:  di  dalam dan  di  luar  objek.  Sehingga  dengan memanfaatkan hasil tersebut maka algoritma simulasi lebih sederhana dibanding  apabila  menggunakan  definisi medan listrik secara konvensional.
Validasi fungsi distribusi muatan dilakukan dengan  cara  menerapkan  model  tersebut pada  beberapa  objek  simetri  bola  seperti bola  solid  konduktor,  bola  solid  isolator, bola  konsentris  konduktor  dan  bola konsentris isolator.
Hasil simulasi yang diperoleh diharapkan  dapat  dimanfaatkan  untuk proses pembelajaran fisika berbasis komputer. Pembelajaran dengan menggunakan komputer adalah salah satu inovasi  pembelajaran  yang  saat  ini berkembang  dengan  pesat  dan  efektif
dalam membantu
peningkatan pemahaman  peserta  didik  (Taufik,  2008; Wahyudin  et  al.,  2010).  Untuk  melakukan simulasi  digunakan software  Wolfram Mathematica . Kelebihan software ini adalah  relatif  mudah  karena  bahasa pemrogramannya mendekati bahasa sehari-hari  dan  tersedianya  fitur  informasi penulisan  koding  otomatis,  mendukung pembuatan  dokumen  untuk  bahan  ajar dan  presentasi,  serta  dapat  diunggah pada  laman  Wolfram  sehingga  hasil simulasi  dapat  digunakan  untuk  kalangan yang  lebih  luas  secara  gratis  (Naa  & Suroso, 2013; Tiandho, 2017).

## METODE
Metode  penelitian  dibagi  menjadi dua yaitu: (1) menentukan model distribusi muatan yang Gauss serta medan listriknya dan (2) menggunakannya dalam simulasi. Untuk menentukan model distribusi muatan digunakan fungsi distribusi Fermi-Dirac (Troy, 2012),
( ) 1 exp 1 f E E kT  = −   +     (4)
dengan faktor kT menuju nilai yang sangat kecil.  Pada  praktiknya  digunakan  sebuah parameter  yang  analogi  dengan  faktor kT tetapi  bukan  dalam  bentuk  pembagi melainkan  pengali.  Sehingga  apabila kT bernilai sangat kecil maka parameter yang
tersebut  bernilai  sangat  besar.  Pemilihan tersebut  dilakukan  agar  diperoleh  kurva distribusi  yang  dapat  berubah  secara signifikan  pada  suatu  titik  tinjau,  dalam kasus  ini,  pada  radius  objek.  Setelah distribusi  muatan  yang  terlingkupi  oleh permukaan Gauss diperoleh maka dilakukan  perhitungan  medan  listrik  di seluruh daerah objek menggunakan hukum Gauss. Secara umum, hasil medan listrik  yang  dikaji  secara  analitik  berupa suatu  persamaan  distribusi  medan  listrik yang berlaku untuk daerah di dalam objek maupun di luar objek. Agar kajian memiliki manfaat langsung maka distribusi tersebut diuji  pada  simulasi  bola  isolator  dan konduktor  serta  bola  konsentris  isolator dan konduktor.
Proses  simulasi  dilakukan  secara sederhana  dengan  memasukkan  hasil- hasil  tersebut  dalam  bentuk  plot  muatan terlingkupi  dan  plot  medan  listrik  tetapi dengan  variasi  ukuran  objek  dan  muatan total  atau  rapat  muatannya.  Penambahan pilihan  manipulasi  variabel  dilakukan  agar simulasi dapat lebih mudah untuk dijalankan.  Simulasi  dilakukan  dengan perangkat  lunak Wolfram  Mathematica pada  komputer  Intel  Core  i7  8750H dengan  RAM  16  GB.  Secara  terperinci algoritma dari proses simulasi
menggunakan Wolfram Mathematica seperti pada Gambar 1.
Gambar 1 . Algoritma simulasi dengan Wolfram Mathematica

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum  dipilih  ungkapan  distribusi muatan  yang  akan  digunakan  dalam penelitian  ini  diuji  karakteristik  fungsi distribusi  muatan  yang  analogi  dengan pers.  (4).  Untuk  bola  padat  isolator homogen dengan bentuk distribusi muatan seperti pada pers. (2) maka ungkapan dari muatan  bola  isolator  dapat  dinyatakan sebagai (Tiandho, 2016),
( ) ( ) 3 3 4 3 1 exp
1 exp enc r R Q
r R R r       = +     + − + −           (5)
dengan r adalah  titik  tinjau, R adalah  jari- jari  bola  isolator, ρ adalah  rapat  muatan, dan α merupakan  parameter  fungsi  yang menentukan  bentuk  dari  suatu  distribusi. Pada  dasarnya  parameter  fungsi α berkaitan  dengan  variabel kT pada persamaan  Fermi-Dirac.  Pada  distribusi Fermi-Dirac  semakin  kecil  suku kT maka kurva  distribusi  yang  dihasilkan  akan berubah  secara  tajam  pada  suatu  titik. Sebagai  perbandingan,  pada  Gambar  2 disajikan  bentuk  distribusi  muatan  pada berbagai nilai parameter α . Semakin besar nilai α maka  bentuk  kurva  distribusi  yang diperoleh  semakin  tegas  membedakan bentuk distribusi muatan untuk r < R serta r > R .  Untuk  nilai α =10  kurva  tampak masih  memiliki  lekukan  seperti  punuk yang begitu besar sehingga kurang sesuai untuk  menggambarkan  pola  distribusi muatan.  Karena  dengan  adanya  lekukan pada  kurva  tersebut  akan  memunculkan suatu  nilai  maksimum  muatan  di  sekitar r
= R dan  kemudian  nilainya  kembali menurun  ketika  kondisi r > R . Padahal seharusnya,  pada  kasus r < R maka distribusi  muatan  bersifat  kontinu  dan untuk  kasus r > R maka  nilai  muatan konstan.  Dengan  memperbesar  nilai α seperti  pada  Gambar  2(b)  sampai  2(d) tampak  lekukan  punuk  ( hump-shaped curve )  semakin  mengecil  bahkan  hilang ketika  nilai α menuju  tak  hinggga. Sehingga  dapat  dinyatakan  bahwa  untuk dapat memperoleh kurva distribusi muatan tunggal  yang  sesuai  dengan  bentuk  pers. (2)  maka  dapat  digunakan  nilai α  → ∞. Hasil  ini  dapat  diperoleh  karena  ketika digunakan  nilai  konstanta α →  ∞  untuk kasus r < R maka  hanya  suku  pertama saja  yang  tersisa  sedangkan  suku  kedua lenyap.  Lenyapnya  suku  kedua  ini  dapat terjadi  dengan  mengingat  pada  kasus r < R maka  nilai r –  R selalu  bernilai  negatif sedangkan untuk nilai R – r selalu bernilai positif.  Sehingga  dengan  memanfaatkan sifat dari limit eksponensial,
  lim exp ax  → =  (6) dan   lim exp 0 x
  → − = (7)
dengan x merupakan  variabel  yang bernilai positif. Berdasarkan hasil tersebut maka  bentuk  dari  distribusi  muatan  yang awalnya  terdiri  dari  dua  kondisi  (Young  & Freedman,  2012)  seperti  pada  pers.  (2) dapat  dinyatakan  menjadi  hanya  sebuah persamaan saja.
(a)
(b) (c)
Gambar 2. Bentuk muatan yang dilingkupi oleh permukaan Gauss untuk bola isolator dengan R = 1 m serta ρ = 1 nC/m 3 : (a) α =
10, (b) α = 100, (c) α = 1000, dan (d) limit α → ∞
Hukum Gauss pada bola padat Untuk menunjukkan keumuman fungsi  distribusi  muatan  dibahas  bola padat yang berupa isolator  dan konduktor secara eksplisit. Untuk bola padat isolator
diasumsikan  muatan  tersebar  secara merata  sehingga  muatan  yang  dilingkupi oleh suatu permukaan Gauss pada jarak r dapat didefinisikan sebagai,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 lim 3 1 exp
3 1 exp enc r R Q r r R R r      →     = +   + − + −           (8)
dengan ρ adalah  rapat  muatan  objek sedangkan R adalah  jari-jari  objek  padat tersebut. Pada persamaan di atas muncul suku α yang  nilainya  menuju  limit  tak hingga karena hal ini bersesuaian dengan bentuk kurva seperti pada Gambar 2.
Apabila  muatan  yang  dilingkupi  oleh permukaan  Gauss  dinyatakan  oleh  pers. (8) maka dengan mudah dapat ditentukan sebaran medan listrik akibat objek tersebut  menggunakan  hukum  Gauss pada pers. (1) sehingga diperoleh
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 0 1 4
4 lim 4 3 1 exp 3 1 exp r R
E r r r R R r       →     = +   + − + −           (9)
Seperti pada fungsi distribusi muatan,  suku  pertama  pada  pers.  (9) menunjukkan  nilai  medan  listrik  untuk daerah  di  dalam  objek  sedangkan  suku kedua  menunjukkan  nilai  medan  listrik  di luar objek. Kedua suku tersebut memberikan  kontribusi  secara  bergantian sesuai dengan titik tinjau r .
Pemanfaatan dari kedua persamaan yang  telah  diperoleh  dalam  makalah  ini adalah  dilakukan  simulasi  hukum  Gauss dengan menggunakan Wolfram Mathematica  dan  hasilnya  ditunjukkan oleh  Gambar  3.  Di  dalam  simulasi  yang dibuat  tersedia  menu  untuk  mengubah- ubah  nilai  densitas  muatan  dari  bola isolator serta radiusnya. Sehingga dengan adanya  menu  ini  akan  memudahkan peserta  didik  untuk  memahami  pengaruh perubahan  densitas  muatan  dan  radius bola terhadap medan listriknya.
Pada hasil simulasi tampak di dalam objek  bola  padat  isolator,  muatan  yang dilingkupi oleh permukaan Gauss semakin meningkat  seiring r 3 hingga  pada  radius objek R . Setelah melewati R maka tampak jelas  bahwa  muatan  yang  dilingkupinya bernilai  konstan.  Hal  ini  menunjukkan
bahwa di luar objek tidak terdapat muatan lagi  atau  dengan  kata  lain  untuk  kajian  di luar  objek  dapat  digunakan  muatan  total dari  bola  isolator.  Sedangkan  untuk medan  listriknya,  di  dalam  objek  nilainya akan  meningkat  secara  linier  sedangkan untuk  daerah  di  luar  objek  akan  menurun secara  kuadratik.  Kesesuaian  hasil  ini disebabkan  oleh  penggunaan  limit α → ∞ yang  membuat  pers.  (9)  mereduksi menjadi 0 3 in E r   = untuk  kasus r R  dan akan mereduksi menjadi
2 0 4 out E Q r  = untuk  kasus r R  ,  dengan
Q adalah  muatan  total  isolator.  Hasil  ini sesuai dengan hasil tinjauan medan listrik konvensional  yang  menggunakan  fungsi distribusi  muatan  secara  terpisah  (Young & Freedman, 2012). Dengan menggunakan  fungsi  distribusi  muatan yang  diajukan  maka  untuk  melakukan simulasi  dapat  digunakan  algoritma  yang sangat sederhana karena hanya dibutuhkan sebuah fungsi untuk menggambarkan  distribusi  muatan  yang dilingkupi  oleh  permukaan  Gauss  dan medan listriknya di seluruh area titik tinjau.
Gambar 3. Simulasi hukum Gauss pada bola padat isolator
Sebagai perbandingan,
juga dilakukan  simulasi  untuk  bola  konduktor. Pada konduktor muatan hanya terdapat di permukaan  saja  (Halliday  et  al.,  2011). Sehingga  secara  otomatis  suku  pertama pada pers. (9) tidak memberikan kontribusi  dan  hanya  menyisakan  suku kedua saja,
( ) ( ) ( ) lim 1 exp enc Q Q r R r   → = + −     (10)
dengan Q adalah  muatan  total  bola konduktor. Dengan menggunakan metode yang  sama  medan  listrik  pada  bola konduktor dapat dituliskan sebagai,
( ) ( ) ( ) 2 0 1 lim 4 1 exp Q
E r r R r    → = + −     (11)
Hasil  simulasi  dari  pers.  (10)  dan (11)  menggunakan  dapat  dilihat  pada Gambar  4.  Tampak  bahwa  apabila permukaan  Gauss  berada  di  dalam  bola konduktor  maka  muatan  yang  terlingkupi adalah nol. Kemudian tepat di permukaan bola  maka  muatannya  meningkat  secara tajam  dan  diikuti  nilai  yang  konstan  untuk daerah  di  luar  bola  konduktor.  Medan listrik pada bola konduktor baru muncul di permukaan  bola  dan  nilainya  terus menurun secara kuadratik untuk daerah di luar bola konduktor.
Gambar 4. Simulasi hukum Gauss pada bola konduktor

## Hukum Gauss pada Bola Konsentris
Bola  konsentris  yang  disimulasikan di sini terdiri dari dua bola sepusat dimana bola pertama yang lebih kecil adalah bola padat  sedangkan  lainnya  adalah  bola berongga.  Bola  pertama  memiliki  radius c sedangkan  bola  kedua  memiliki  radius dalam b dan  radius  luar a atau c < b < a .
Seperti  pada  bola  padat,  pada  bola konsentris dilakukan analisis untuk isolator dan  konduktor.  Dengan  asumsi  bola isolator  memiliki  rapat  massa  homogen maka  sistem  bola  konsentris  seperti didefinisikan  di  atas  akan  memiliki  fungsi muatan  yang  terlingkupi  oleh  permukaan Gauss sebagai,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 1 3 3 2 4 4
4 3 1 exp 3 1 exp
3 1 exp lim 4 3 1 exp enc r b r c
r c c r b r Q r a r a r  
 
  

 → 
 −
  + +   + − + − + −               =   −   +   + −      
(12) Suku  pertama  pada  persamaan  di atas menunjukkan muatan yang terlingkupi  untuk  daerah  di  dalam  bola padat kecil. Apabila suku tersebut memberi  kontribusi  maka  ketiga  suku lainnya  akan  bernilai  nol  karena a > c begitu  pula b .  Suku  kedua  menunjukkan muatan  yang  terlingkupi  untuk  daerah  di luar  bola  kecil  secara  umum.  Ketika  suku kedua  memberikan  kontribusi  maka  suku
pertama  akan  menuju  nol  karena  nilai eksponensial  dari  suku  pertama  akan menuju tak hingga (selisih r dan c bernilai positif).  Adapun  suku  ketiga  dan  keempat masing-masing mendeskripsikan distribusi muatan yang diberikan oleh bola berongga  besar.  Sehingga  melalui  pers.
(12) maka medan listrik di seluruh daerah bola  konsentris  dapat  ditentukan  dengan menggunakan hukum Gauss sebagai,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 1 2 3 3 0 2 4 4
4
3 1 exp
3 1 exp 3 1 exp
1 lim 4 4 3 1 exp
r b r c r c c r b r
E r r a r a r         
 →

 −
  + +   + − + − + −               =   −   +   + −       (13) Apabila fungsi muatan yang terlingkupi  oleh  permukaan  Gauss  dan medan listrik pada bola konsentris isolator diaplikasikan  untuk  proses  simulasi  maka hasilnya ditunjukkan oleh Gambar 5. Pada simulasi  ini  tampak  bahwa  variabel  yang dapat  diubah  adalah  rapat  muatan  bola konsentris (besar dan kecil), radius c bola kecil,  dan  radius b bola  besar.  Adapun untuk  radius a ditetapkan  bernilai  1  untuk menyederhanakan  permasalahan  tanpa mengurangi esensi proses simulasi. Untuk
muatan  yang  terlingkupi  oleh  permukaan Gauss  pada  bola  konsentris  isolator tampak  bahwa  nilainya  akan  meningkat ketika  titik tinjaunya  berada  di  dalam  bola kecil, kemudian bernilai konstan ketika titik tinjau berada di antara bola kecil dan bola besar  dan  kembali  meningkat  ketika  titik tinjau  berada  di  dalam  bola  besar  lalu akan bernilai konstan lagi ketika titik tinjau berada  di  luar  bola  konsentris.  Hal  ini sesuai dengan aspek fisis yang diharapkan
.
Gambar 5. Simulasi hukum Gauss pada bola konsentris isolator
Pada  Gambar  5  tampak  bahwa medan  listrik  sebagai  fungsi  titik  tinjau r ketika  di  dalam  bola  isolator  kecil  nilainya akan  terus  meningkat.  Ketika  diluar  bola
kecil  medan  listriknya  akan  semakin menurun. Tetapi dapat dilihat bahwa untuk titik  tinjau  dimana  bola  besar  berongga memberikan kontribusi muatan penurunan
medan  listriknya  lebih  landai  dibanding medan listrik pada r yang terletak di antara bola  kecil  dan  bola  besar.  Hal  ini  dapat terjadi  karena  pada  titik  tinjau  tersebut muatan  yang  dilingkupi  oleh  permukaan Gauss  bernilai  lebih  besar.  Namun demikian,  kesimpulan  ini  tidak  dapat digeneralisir karena tinjauan kasus ini juga bergantung  pada  jenis  muatan  yang
terdapat  pada  masing-masing  bola  serta nilai rapat muatannya.
Pada  bola  konsentris  konduktor karena  muatannya  hanya  terdapat  di permukaan-permukaan  bola  saja  maka fungsi  distribusi  muatan  yang  terlingkupi oleh permukaan Gauss-nya dapat dinyatakan secara lebih sederhana sebagai, ( ) ( ) ( ) ( ) lim 1 exp 1 exp 1 exp enc q q q Q Q r
c r b r a r     →   + = − +     + − + − + −               (14)
Sehingga dengan menggunakan hukum Gauss medan listrik yang ditimbulkan oleh bola konsentris konduktor
sebagai fungsi titik tinjau r dapat diturunkan sebagai, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 lim 4 1 exp
1 exp 1 exp q q q Q
E r r c r b r a r      →   + = − +     + − + − + −               (15)
dengan  q  adalah  muatan  total  bola  kecil (bola  padat)  dan  Q  adalah  muatan  total bola  besar  (bola  berongga).  Jika  kedua fungsi tersebut digunakan untuk melakukan  simulasi  hukum  Gauss  maka hasilnya  akan  tampak  seperti  pada
Gambar  6.  Dapat  dilihat  dengan  jelas bahwa  untuk  muatan  di  dalam  bola konduktor,  baik  pada  bola  kecil  maupun
bola  besar,  keduanya  selalu  bernilai  nol. Muatan  listrik  hanya  muncul  ketika permukaan  Gauss  memiliki  titik  tinjau yang  berada  di  luar  bola-bola  tersebut. Begitu  pula  dengan  medan  listriknya. Medan listrik pada bola konsentris konduktor  akan  bernilai  hanya  untuk  titik tinjau di luar kedua bola
.
Gambar 6. Simulasi hukum Gauss pada bola konsentris konduktor

## SIMPULAN
Melalui  modifikasi  fungsi  distribusi Fermi-Dirac telah berhasil diperoleh fungsi distribusi  muatan  yang  berlaku  di  seluruh titik  tinjau.  Fungsi  distribusi  muatan  yang umumnya  harus  dipisah  untuk  kondisi  di dalam  objek  dan  di  luar  objek  dapat dirangkum  menjadi  sebuah  fungsi tunggal melalui  penggunaan  parameter  fungsi α
dengan nilai menuju tak hingga. Penggunaan  limit  tak  hingga  tersebut untuk  menghindari  munculnya  lekukan punuk yang menyebabkan distribusi muatan  menjadi  tidak  sesuai  dengan kaidah  fisis.  Berdasarkan  hukum  Gauss, fungsi distribusi muatan ini dapat digunakan  untuk  menentukan  medan listrik  di  seluruh  titik  tinjau.  Karena  hanya
mengandung  sebuah  fungsi  saja  maka proses  simulasi  hanya  membutuhkan algoritma yang sangat sederhana.
Pengujian  pada  berbagai  kasus  seperti pada  bola  padat  serta  bola  konsentris, baik  untuk  konduktor  maupun  isolator, menunjukkan bahwa fungsi distribusi yang diajukan sesuai dengan literatur.
Selanjutnya  diharapkan  para  pendidik dapat  memanfaatkan  bentuk  distribusi muatan  yang  diajukan  untuk  melakukan simulasi-simulasi materi pembelajaran untuk mendukung proses belajar mengajar menjadi lebih baik

## DAFTAR PUSTAKA
Cajori, F. 1962. A History of Physics. New York: Dover Publication.
Ciufolini,  I.,  Paolozzi,  A.,  Koenig,  R., Pavlis, E. C., Ries, J., & Matzner, R. 2013.  Fundamental  physics  and general  relativity  with  the  LARES and  LAGEOS  satellites. Nuclear Physics B, 243, 180-193.
Fodor,  Z.,  Hoelbing,  C.,  Katz,  S.  D., Lellouch, L., Portelli, A., Szabo, K.K., &  Toth,  B.  C.  2016.  Quantum electrodynamics in finite volume and nonrelativistic effective field theories.
Physics Letters B , 755, 245-248.
Griffith,  D.  J.  1999. Introduction  to Electrodynamics  (3rd  ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Gupta,  M.  S.  2002.  A  fable  from  vector valley. IEEE  Microwave  Magazine, December, 18-22.
Halliday,  D.,  Resnick,  R.,  &  Walker,  J.
2011. Fundamentals  of  Physics  (9 ed.). USA: John Wiley & Sons, Inc.
Hatfield,  B.  2018. Quantum  Field  Theory of  Point  Particles  and  Strings .  Boca Raton: CRC Press.
Naa, C. F. & Suroso, A. 2013. Pembelajaran fisika berbasis Wolfram  Mathematica  8.0. Prosiding
Seminar  Kontribusi  Fisika 2013 ,  54- 60.
Sarabi,  B.,  Ramayanaka,  A.  N.,  Burin,  A.
L., Wellstood, F. C., & Osborn, K. D.
2016.  Projected  dipole  moments  of
individual two-level defects extracted using circuit quantum
electrodynamics. Physical  Review Letters , 167002.
Sarkar,  T.,  Mailloux,  R.,  Oliner,  A.  A., Palma,  M.  S.,  &  Sengupta,  D.  L. 2006. History of Wireless. New York:
John Wiley & Sons.
Selvan, K. T. 2007. Engineering education:  presentation  of  Maxwell's equations  in  historical  prespective and  the  likely  desirable  outcomes. IEEE  Antennas  and  Propagation Magazine , 49(5), 155-160.
Seroglou,  F.,  Koumaras,  P.,  &  Tselfes,  V. 1998. History of science and instructional  design:  the  case  of electromagnetism.
Science &
Education, 7, 261-280.
Taufik,  M.  2008.  Pembuatan  media pembelajaran berbasis compact disc untuk  menampilkan  simulasi  dan virtual  labs  besaran-besaran  fisika. Jurnal Pijar MIPA, III(1), 23-29.
Tiandho,  Y.  2016.  Modifikasi  distribusi massa  pada  objek  simetri  bola.
Jurnal  Pendidikan  Fisika, 4(2),  76- 85.
Tiandho,  Y.  2018.  Analisis  kuantitatif  pori berdasarkan pengolahan citra menggunakan Wolfram Mathematica. Kumpulan  Jurnal  Ilmu
Komputer , 4, 15-23.
Troy,  W.  C.  2012.  Low  temperature properties of the Fermi-Dirac,
Boltzmann and Bose-Einstein
equations. Physics  Letters  A, 376,
2887-2893.
Wahyudin,  Sutikno,  &  Isam,  A.  2010.
Keefektifan pembelajaran berbantuan multimedia menggunakan metode inkuiri terbimbing untuk meningkatkan minat dan pemahaman siswa. Jurnal Pendidikan  Fisika  Indonesia, 6,  58-
62.
Young, H. D. & Freedman, R. A. 2012.
Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics. San Fransisco: Addison-Wesley.