Vol. 15, No. 1,  1-12,  Juli  2018
Analisis Model Populasi Mangsa Pemangsa dengan Area Reservasi dan Pemanenan Pemangsa
Syamsul Agus 1 , Syamsuddin Toaha 2 , Kasbawati 3

## Abstrak
Manajemen perikanan adalah upaya untuk  mendukung konservasi sumber daya perikanan dan menghidari eksplotasi  yang  berlebihan  serta  tetap  memberikan  keuntungan  ekonomi.  Dalam  tulisan  ini  dibahas  suatu model  populasi  mangsa  pemangsa  dan  pemanenan  pada  pemangsa  dengan  melibatkan  fungsi  biaya  dan fungsi  penerimaan.  Dinamika  ketiga  spesies  tersebut  dimodelkan  dengan  mengasumsikan  spesies  mangsa di area bebas ( ) , spesies di area reservasi ( ) , dan spesies pemangsa di area bebas ( ) yang dinyatakan dalam  bentuk  sistem  persamaan  diferensial.  Titik  keseimbangan  model  beserta  kestabilannya  dianalisis dengan  metode  linearisasi  dengan  matriks  Jacobi  dan  analisis  kestabilan  berdasarkan  nilai  eigen  dari persamaan  karakteristik  dengan  menggunakan  kriteria  Routh-Hurwitz,  juga  dianalisis  dengan  simulasi numerik  untuk  mengetahui  kestabilan  titik  keseimbangan  dan  keuntungan  maksimal.  Hasil  analisis menunjukkan  bahwa  kestabilan  titik  keseimbangan  interior  pada  model  ditentukan  oleh  nilai-nilai parameter  model  dan  usaha  pemanenan.  Ketiga  spesies  tidak  punah  dan  dapat  tetap  lestari  meskipun  ada usaha pemanenan serta dapat memberikan keuntungan maksimal
Kata kunci :   Model Populasi Mangsa Pemangsa Perikanan, Titik Keseimbangan,  Kestabilan, Pemanenan, Keuntungan Maksimal

## Abstract
Fishery management is effort to support conservation of fishery resources and avoid excessive exploitation besides keep providing economic benefits. This paper discusses the model of prey predator population and harvesting  on  predators  by  involving  the  cost  function  and  the  reception  function.  The  dynamics  of  the three  species  are  modelled  by  assuming  prey  species  in  the  free  area ( ) ,  species  in  the  reservation  area ( ) , and predator species in the free area ( ) which is expressed in the system of differential equations. The equilibrium point of the model and its stability were analyzed by linearization method with a Jacobi matrix and stability analysis based on eigenvalues of characteristic equations using the criterion of Routh-Hurwitz. It is also analyzed by numerical simulation to know the stability of the balance point and maximum profit analysis. The result of analysis shows that the stability of the interior of equilibrium point on the model is determined  by  the  value  of  the  model  parameters  and  harvesting  effort.  The  three  species  are  not  extinct and able to sustain although there is a harvesting effort and provides maximum benefits.
Keywords :  Model of Prey Predator Population in Fishery, Equilibrium Point, Stability, Harvesting, Maximum Profit.
1 Universitas Hasanuddin
Email : acculagus@yahoo.com 2 Universitas Hasanuddin Email : syamsuddint@yahoo.com 3 Universitas Hasanuddin Email : kasbawati@gmail.com

## 1. Pendahuluan
Sumber daya ikan merupakan sumber daya alam yang dapat pulih akan tetapi jika sumber daya  alam  tersebut  akan  terus  tereksploitasi  secara  berlebihan  ( overfishing )  yaitu  tingkat  upaya penangkapan  ikan  yang  meningkat  hingga  mengganggu  keseimbangan  populasi  ikan  dan permasalahan  kebijakan  pemanenan  yang  tidak  tepat  yang  berakibat  tidak  lagi  diperoleh keuntungan  dari  pemanfaatan  sumber  daya  perikanan  tersebut  bahkan  bisa  mengakibatkan kepunahan populasi ikan pada area tertentu di mana terjadi penangkapan ikan secara berlebihan tersebut.  Selain  itu  kondisi  lingkungan  perairan  yang  merupakan  habitat  bagi  ikan-ikan  dan semua organisme yang ada di laut juga perlu diperhatikan. Kebijakan-kebijakan yang telah dibuat pemerintah  untuk  kegiatan  penangkapan  dan  pengelolaan  perikanan  juga  dapat  membantu mengatur  dan  menjaga  kelestarian  sumber  daya  perikanan  agar  tetap  dapat  dimanfaatkan  dan menghasilkan manfaat ekonomi.
Dalam  suatu  ekosistem  setiap  populasi  selalu  berinteraksi  dengan  populasi  lainnya. Dalam  interaksi  tersebut  terdapat  rangkaian  peristiwa  yang  dikenal  dengan  peristiwa  mangsa- pemangsa.  Salah  satu contoh  interaksi  mangsa-pemangsa  dalam  perikanan  adalah  interaksi ikan tuna dan ikan kembung. Ikan tuna termasuk golongan ikan predator atau mencari makan dengan cara  memburu  mangsa  dan  biasanya  menyerang  mangsa  secara  bergerombol.  Daerah  perairan dengan  kondisi  area  terumbu  karang,  serta  perpindahan  kedalaman  dasar  laut  dari  dangkal  ke dalam atau sebaliknya  merupakan habitat yang disukai ikan tuna, juga merupakan habitat alami berbagai jenis ikan-ikan kecil yang merupakan mangsa dari ikan tuna diantaranya ikan kembung.
Beberapa  penelitian  terdahulu  yang  mendasari  penelitian  ini,  yaitu  Zhang  dkk.,(2007) mengkaji  model  mangsa  pemangsa  pada  kegiatan  penangkapan  ikan  di  mana  pemangsa diasumsikan  selalu  berada  dan  memangsa  ikan  di  daerah  bebas  tangkap.  Dubey  (2007)  juga mengkaji  model  mangsa-pemangsa  pada  area  reservasi  Kar  dan  Pahar  (2007)  mengkaji  model mangsa-pemangsa dinamika sumber daya perikanan pada perairan suatu area. Chakraborty dkk., (2011)  meneliti  tentang  model  bifurkasi  dan  kontrol  bioekonomi  sistem  mangsa  pemangsa sumber  daya  perikanan  dengan  waktu  tunda.  Foley  dkk.,  (2011)  mengkaji  model  bioekonomi interaksi  habitat  ikan.  Sedangkan  Pratiwi  (2013)  mengkaji  pengaruh  waktu  tunda  pada pertumbuhan pemangsa dengan pemanenan pada populasi mangsa area bebas penangkapan ikan. Lv dkk., (2013) meneliti model mangsa-pemangsa dengan usaha penangkapan ikan pada sumber daya  perikanan  pada  area  tertentu  dengan  fungsi  respon  Holling  type  II  dan  Daga  dkk.,  (2014) mengkaji tentang analisis stabilitas model mangsa pemangsa di area reservasi.
Berdasarkan  penelitian-penelitian  tersebut,  akan  dikaji  suatu  model  populasi  mangsa pemangsa  dengan  wilayah  reservasi  dan  pemanenan  pemangsa.  Tujuan  penelitian  ini  adalah menentukan model mangsa pemangsa, menentukan kestabilan titik keseimbangan, dan kebijakan pemanenan yang dapat memberikan keuntungan maksimum.
Tulisan ini merupakan merupakan pengembangan dari tulisan Dubey (2007) dan Foley dkk., (2011) dengan penambahan faktor pemanenan pada populasi pemangsa.

## 2. Bahan dan Metode
Pada  model  ini  terdapat  tiga  populasi  spesies  yang  saling  berinteraksi  satu  sama  lain yakni  populasi  spesies  mangsa  di  area  bebas,  populasi  spesies  di  area  reservasi  dan  populasi spesies pemangsa. Interaksi ketiganya dapat dilihat pada gambar 1.
Gambar 1 Diagram Kompartemen Model Populasi Mangsa Pemangsa
Berdasarkan  dari  bagan  di  atas  akan  diperoleh  model  matematika  mangsa  pemangsa yang dapat dinyatakan sebagai berikut
( ) ( ) (1)
Notasi ( ) menyatakan  kepadatan  spesies  mangsa  di  area  bebas, ( ) menyatakan kepadatan spesies mangsa di area reservasi dan ( ) menyatakan kepadatan spesies pemangsa, menyatakan  angka  perpindahan  koefisien  spesies  mangsa  dari  area  bebas  ke  area  reservasi, menyatakan  angka  perpindahan  koefisien  spesies  dari  area  reservasi  ke  area  bebas, adalah modifikasi dari daya dukung lingkungan, adalah daya dukung lingkungan secara umum dan adalah  koefisien  sensitivitas  dari  habitat  yang  berpengaruh  positif  terhadap  daya  dukung lingkungan. Kelimpahan makanan pada habitat ( ) akan memperngaruhi pertumbuhan biomassa ikan.
Parameter
dan berturut-turut  menyatakan  koefisien  laju pertumbuhan  intinsik  spesies  mangsa  pada  area  bebas,  koefisien  laju  pertumbuhan  intrinsik spesies mangsa pada area reservasi, angka penurunan spesies mangsa dengan adanya pemangsa, angka  peningkatan  spesies  pemangsa  akibat  adanya  pemangsaan,  kematian  alami  pemangsa, koefisien  ketertangkapan  populasi  pemangsa,  usaha  pemanenan  pemangsa  dan  daya  dukung lingkungan  spesies  mangsa  di  area  reservasi.  Secara  umum  penelitian  yang  dilakukan  yaitu
𝜎 𝜎 𝑥 𝐾 𝑦 𝐿 𝛽𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑧 𝑞 𝑧𝐸

## Syamsul Agus, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
melinearisasi model, menentukan titik keeimbangan, menganalisis kestabilan titik keseimbangan, kemudian  melakukan  simulasi  numerik.  Adapun  variabel  penelitian  adalah  menganalisis kestabilan model populasi mangsa pemangsa dengan area reservasi dan pemanenan populasi pada pemangsa menggunakan metode linearisasi dan uji kestabilan Hurwitz.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Dari model pada persamaan (1) diperoleh tiga titik keseimbangan yaitu (       ) ( ̅   ̅     ) dan ( ) , d i mana ( ) (( ( )) ) (      ) [( )(      ) (      ) ] Titik  keseimbangan ( ) merupakan  titik  keseimbangan  interior  yaitu  titik  dengan
. Titik keseimbangan dan tidak dilakukan analisis kestabilan karena titik  keseimbangan  ini  bukan  merupakan  titik  keseimbangan  interior.  Analisis  kestabilan  hanya dilakukan pada titik keseimbangan interior yang merupakan syarat bahwa populasi tersebut ada. Hasil  analisis  kestabilan  menggunakan  metode  linearisasi  dan  uji  kestabilan  Hurwitz menunjukkan bahwa titik keseimbangan merupakan titik keseimbangan yang stabil asimtotik
a. Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan
Pada bagian ini akan dianalisis kestabilan titik keseimbangan dengan metode linearisasi. Misalkan persamaan  (4.2) ditulis dalam bentuk
̇      ( )
̇      ( )
̇
(2)
Maka diperoleh matriks Jacobi dari persamaan (2)
( )

## Syamsul Agus, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Dengan  mensubsitusi  titik  keseimbangan ( ) pada  matriks  Jacobi diperoleh
( )
persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobi adalah | | .  Dalam  bentuk  yang  lebih sederhana diperoleh
(3) dengan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *( )   ( )   ( )+ . Selanjutnya  dilakukan  uji  kestabilan  Hurwitz.  Titik  keseimbangan ( ) stabil asimptotik jika memenuhi , dan sifat kestabilan ( ) akan ditunjukkan dengan simulasi numerik. b. Keuntungan Maksimal Pemanenan Titik Keseimbangan Interior
Titik keseimbangan interior ( ) merupakan titik keseimbangan yang stabil asimptotik  serta  kaitannya  dengan  keuntungan  maksimal ( ) ,  masalah  penerimaan  total (  ) , masalah  biaya  total (  ) ,  serta  masalah  usaha  pemanenan Dalam  hal  ini  fungsi  produksi adalah hubungan antara usaha ( effort ) dan hasil, sedangkan fungsi keuntungan dinyatakan dengan di mana
(4)
Dalam  hal  ini  harga  per  unik  tangkapan  untuk  stok  populasi  spesies dan  populasi spesies dinyatakan  sebagai .  Biaya  total  dengan merupakan  unit  biaya  pemanenan

## Syamsul Agus, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
diasumsikan  proporsional  hasil  tangkapan  dengan  usaha  pemanenan dengan  koefisien ketertangkapan populasi spesies pemangsa dinyatakan dengan .
Dengan demikian penerimaan total dinyatakan sebagai fungsi terhadap Keuntungan maksimal penerimaan pada titik keseimbangan interior dapat dinyatakan dengan ( ) ( )
(      ) (      )
(      ) (5) Karena  titik  keseimbangan ( ) bergantung  pada  usaha  pemanenan  yang dilakukan  maka  fungsi  keuntungan  akan  bergantung  pada  usaha  pemanenan.  Untuk  itu menentukan  nilai  usaha  pemanenan  yang  merupakan  keuntungan  maksimal  maka  titik  kritis usaha  pemanenan  pada  fungsi  keuntungan  perlu  ditentukan,  terlebih  dahulu  ditentukan  titik stationer dari fungsi keuntungan tersebut.
Dari persamaan (5) maka diperoleh
( ) ( ) (      ) (      ) [ ( √ )] ( ) ( )√ (6) * ( √ )+ ( )
Keuntungan maksimal diperoleh dengan turunan kedua dari persamaan (5) yakni
(      )
( )√
[ ( √ )] ( ) ( )√( ) (7)
( ) √

## Syamsul Agus, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
[ ( √ )] ( )
Selanjutnya  dilakukan  uji  numerik  untuk  mengetahui  nilai  maksimun  yaitu  apabila
.
Dari persamaan (6) didapat titik kritis masing-masing dari persamaan adalah
( ) ( ) (      ) (      ) [ ( √ )] ( ) * ( √ )+ ( )√ [ ( √ )] ( ) (8)
Dari  persamaan  di  atas  didapat Adapun akan  di  cari  yang  menghasilkan  keuntungan maksimal, yang selanjutnya akan dilakukan uji simulasi numerik.
c. Simulasi Numerik Penentuan Titik Keseimbangan, Kestabilan dan Keuntungan Maksimal. Pada bagian ini membahas tentang simulasi model mangsa pemangsa perikanan dengan wilayah  reservasi  dan  pemanenan  pemangsa.  Nilai  parameter  yang  digunakan  untuk  simulasi dalam tesis mempertimbangkan nilai parameter beberapa penelitian lain yang relevan.
Tabel 4.2 . Keterangan Variabel dan Parameter Model dalam Persamaan (1),
Parameter Nilai Sumber 0,2 Kar dan Pahar (2007) 0,2 Kar dan Pahar (2007) 0,75 asumsi 0,4 asumsi 0,01 asumsi 0,1 asumsi 0,6 asumsi 0,05 asumsi 150 asumsi 150 asumsi 30 asumsi 15 Chakraborty dkk (2011) 0,5 Chakraborty dkk (2011) 0,8 asumsi

## Syamsul Agus, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## Hasil dari nilai simulasi numerik diperoleh titik keseimbangan dengan
(     ) , (                           ) dan ( ) , di mana

## √
(        √ ) .
Dari persamaan (8) dengan nilai parameter di atas didapat
,
Nilai  usaha  pemanenan ( ) dengan  syarat ,  sehingga  nilai  titik  kritis
yang mungkin adalah
Selanjutnya uji numerik turunan kedua dari fungsi keuntungan diperoleh
Karena sehingga keuntungan maksimal yaitu ( ) ( )
( )
Gambar 4.2 Kurva Fungsi Keuntungan
Dengan  mensubtitusi  nilai diperoleh  titik  keseimbangan (                                     )
Persamaan karakteristik didapat dari simulasi numerik yakni

## Syamsul Agus, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Serta juga diperoleh nilai eigen dari persamaan karakteristik (3)
Dari  hasil  simulasi  tersebut  memperlihatkan  bagian  real  nilai  eigen  yang  diperoleh semuanya  bernilai  negatif ( ) ,  berdasarkan  teoremai  2.3  dapat  disimpulkan  bahwa titik  keseimbangan ( ) merupakan  titik  interior  yang  stabil  asimptotik.  Tahapan berikutnya  dilakukan  analisis  kestabilan  titik  keseimbangan  dengan  uji  kestabilan  Hurwitz  dan diperoleh
,
(           )(            )   (            )
Oleh  karna dan ,  maka  menurut  uji  kestabilan Hurwitz titik keseimbangan ( ) merupakan titik keseimbangan stabil asimptotik.
Selanjutnya  dengan  mengambil  nilai  awal  di  sekitar  titik  keseimbangan yaitu
( )         ( ) , ( ) diperoleh kurva sebagai berikut:
Gambar 4.3 Kurva Spesies Mangsa pada Area Bebas ( )
Gambar 4.4 Kurva Spesies pada Area Reservasi ( )
Gambar 4.5 Kurva Spesies Pemangsa pada Area Bebas ( )
Dari  gambar  (4.3), (4.4),  dan  (4.5) terlihat  bahwa  spesies  mangsa  dan  pemangsa  tidak alan punah seiring berjalannya waktu dengan nilai usaha pemanenan pada pemangsa .Dengan demikian pemangsa yang dieksplotasi dengan usaha pemanenan konstan tetap lestari untuk waktu yang lama serta memberikan keuntungan maksimal dengan sebesar ( )

## 4. Kesimpulan
Dari penelitian yang dilakukan mengenai analisis model populasi mangsa pemangsa dengan wilayah reservasi dan pemanenan pemangsa diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Model sistem dinamika populasi mangsa pemangsa sumber daya perikanan dengan wilayah reservasi serta pemanenan pada populasi pemangsa adalah:
( )
( )

## 2. Terdapat tiga titik keseimbangan yang diperoleh, yaitu
(       ) ( ̅   ̅     )
Dengan ̅ ( )(    ) , ̅ * ( ) + ( ) Dengan ( ) √( ( )) (    ) *( )(      ) (    ) + .
3. Titik  keseimbangan merupakan  titik  interior  merupakan  titik  yang  akan  dianalisis kestabilannya karena keadaan jumlah spesies bernilai positif. Hasil simulasi numerik dengan pemanenan  dengan  memakai  nilai  parameter  diperoleh  usaha  pemanenan  optimal  yang memberikan titik keseimbangan interior tersebut yaitu  titik dengan
( ) merupakan  stabil  asimtotik  serta  usaha  pemanenan  dari  spesies  pemangsa  yang memberikan keuntungan maksimal. Dari hasil analisis baik dengan teoritis, maupun dengan numerik  dapat  disimpulkan  bahwa  kestabilan  titik  keseimbangan  interior ( ) ditentukan  oleh  nilai  usaha  pemanenan  yang  diberikan.  Juga  dari  simulasi  model  dapat disimpulkan  bahwa  spesies  mangsa  dan  pemangsa  tidak  akan  punah  seiring  berjalannya waktu  dengan  usaha  pemanenan.  Dengan  demikian  pemangsa  yang  dieksplotasi  dengan usaha pemanenan konstan tetap lestari untuk waktu yang lama serta memberikan keuntungan maksimal.

## Daftar Pustaka
[1]   Chakraborty, K., Chakraborty, M., dan Kar, T.K. 2011. Bifurcation and Control of a Bioeconomic Model of a Prey-Predator System with a Time Delay. Nonlinear Analysis: Hybrid Systems . 5: 613-625.
[2]   Daga, N., Singh, B., Jain, S., dan Ujjainkar, G. 2014. Stability Analysis of a Prey-Predator Model with a Reserved Area. Advances in Applied Science Research , 5(3): 293-301.
[3]   Dubey, B. 2007.A Prey-Predator Model with a Reserved Area. Nonlinear Analysis: Modelling and Control , Vol.12, No.4, 479–494.
[4]   Foley, N.S., Armstrong, C.W., Kahui, V., Mikkelsen, E., dan Reithe, S. 2011. A Review of Bioeconomic Modelling of Habitat-Fisheries Interactions. International Journal of Ecology Vol 2012. Article ID 861635, 11 pages
[5]   Kar, T.K. dan Pahar, U.K. 2007 A Model Prey-Predator Fishery With Marine Reserve. Journal of Fisheries and Aquatic science 2(3): 195-205
.
[6]   Lv, Y., Yuan, R., dan Pei,Y. 2013. A Prey-Predator Model with Harvesting for Fishery Resource with Reserve Area. Applied Mathematical Modelling .37 : 3048-3062.
[7]   Prastiwi, L. 2013. Kontrol Optimal Model Bioekonomi Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda . Program Pascasarjana ITS.
[8]   Zhang, R., Sun, J., dan Yang, H. 2007. Analisis of a Prey Predator Fishery Model with Prey Reserve. Applied Mathematical Sciences . Vol. 1. No. 50, 2481-2492