## Karakteristik Subsemiring Fuzzy

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat, Jl. A. Yani Km 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan 70714, Indonesia.
Korespondensi; Saman Abdurrahman, Email: saman@ulm.ac.id

## Abstrak
Dalam  tulisan  ini,  didefinisikan  subsemiring  fuzzy  dan  menyelidiki  sifat  yang  terkait.  Selain  itu,  diperkenalkan konsep subsemiring yang diinduksi dari level subset. Akhirnya, karakteristik subsemiring fuzzy diperoleh.
Kata Kunci Semiring; subsemiring; subset fuzzy ; level subset, subsemiring fuzzy .

## Abstract
In  this  paper,  we  define  the  notion  of  fuzzy  subsemiring  and  investigate  the  related  properties.  Moreover,  we introduce the idea of a subsemiring induced from the level subset. Finally, a characterization of a fuzzy subsemiring is obtained.
Keywords Semiring; subsemiring; fuzzy subset; level subset; fuzzy subsemiring.

## Pendahuluan
Konsep subgrup fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Rosenfeld [1]. Konsep ini, merupakan perpaduan antara konsep teori grup dan himpunan fuzzy yang diperkenalkan oleh Zadeh [2]. Konsep subgrup fuzzy,  merupakan konsep dasar dari  aljabar  fuzzy  yang  dijadikan  oleh peneliti  selanjutnya sebagai pondasi  dalam  membangun  dan  menyelidiki  sifat  dari  struktur  aljabar fuzzy  lainnya,  diantaranya: interior  semiring fuzzy  diperkenalkan  oleh  Mandal  [3];  dan  konsep  interior  subgrup  fuzzy  yang dikaitkan dengan homomorfisma grup diperkenalkan oleh Abdurrahman [4]; dan konsep ideal fuzzy pada gamma near-ring diperkenalkan oleh Jun at al [5].
Pada tulisan ini, akan menyelidiki sifat-sifat dasar dari subsemiring fuzzy yang dibangun oleh level subset ataupun subset dari semiring yang dikaitan dengan nilai keanggotaan elemen nol pada operasi pertama. Sifat-sifat subsemiring fuzzy yang diselidiki, diinduksi dari penelitian Abdurrahman  [6] dan Jun at al [5].

## Landasan Teori
Semiring merupakan salah satu perluasan dari ring. Menurut Ahsan at al [7], suatu himpunan S (≠ ∅) dikatakan  membentuk  semiring,  jika  pada  S  didefinisikan  dua  operasi  biner  penjumlahan (+) dan perkalian (∙) sedemikian sehingga (𝑆, +) adalah semigrup abelian, dan (𝑆, ∙) adalah semigrup (tidak harus komutatif) , serta dipenuhi sifat distributif kiri dan kanan, yaitu:
𝑏(𝑎 + 𝑐) = 𝑏𝑎 + 𝑏𝑐 , dan (𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 + 𝑐𝑎 .
untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 . Jika semigrup (𝑆, ∙) memuat elemen identitas 0 , maka elemen identitas ini disebut elemen nol pada semiring (𝑆, +, ∙) sedemikian sehingga untuk setiap 𝑐 ∈ 𝑆 berlaku:
𝑐 + 0 = 0 + 𝑐 = 𝑐 dan 𝑐 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑐 = 0 .
Seperti  pada  ring  terdapat  subring,  pada  semiring  juga  terdapat  subsemiring  seperti  yang didefinisikan oleh Jagatap [8]. Subset 𝐾(≠ ∅) dari semiring S disebut subsemiring dari S, jika
𝑏 + 𝑐 ∈ 𝐾 dan 𝑏𝑐 ∈ 𝐾 untuk setiap 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 .
Definisi 2.1 [9] Subset fuzzy 𝜌 dari himpunan tidak kosong S adalah fungsi dari S ke interval tutup [0,1] .
Definisi 2.2 [9] Misalkan 𝜌 adalah subset fuzzy dari S dan 𝑎 ∈ [0,1] sedemikian sehingga 𝜌 𝑎 ≝ {𝑥 ∈ 𝑆|𝜌(𝑥) ≥ 𝑎} .
Himpunan 𝜌 𝑎 disebut level subset dari 𝜌 .
Definisi 2.3 [7] Subset fuzzy 𝜌 dari semiring S disebut subsemiring fuzzy dari S jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 berlaku
𝜌(𝑎 + 𝑏) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑏) dan 𝜌(𝑎𝑏) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑏) .

## Hasil dan Pembahasan
Teorema 3.1 Misalkan S adalah semiring yang memuat elemen 0 dan 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari semiring S. Jika 𝜌(0) ≥ 𝜌(𝑤) untuk setiap 𝑤 ∈ 𝑆 , maka himpunan
𝑆 𝜌 ≝ {𝑧 ∈ 𝑆 | 𝜌(𝑧) = 𝜌(0)} adalah subsemiring dari S.
Bukti: Misalkan S adalah semiring yang memuat elemen 0 dan 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari semiring S, maka  berdasarkan  definisi 𝑆 𝜌 ,  diperoleh 𝑆 𝜌 ⊆ 𝑆 dan 𝜌(0) = 𝜌(0) ,  sehingga 0 ∈ 𝑆 𝜌 ,  yaitu 𝑆 𝜌 ≠ ∅ . Selanjutnya,  diambil  sembarang 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑆 𝜌 ,  maka 𝜌(𝑥) = 𝜌(0) dan 𝜌(𝑤) = 𝜌(0) .  Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.3 diperoleh
𝜌(𝑥 + 𝑤) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑤) = 𝜌(0) dan 𝜌(𝑎𝑏) ≥ 𝜌(𝑎) ∧ 𝜌(𝑏) = 𝜌(0) . Oleh karena itu,
𝑥 + 𝑤 ∈ 𝑆 𝜌 dan 𝑥𝑤 ∈ 𝑆 𝜌 .
Dengan kata lain, 𝑆 𝜌 adalah subsemiring dari S. ■
Teorema 3.2 Misalkan R adalah subset tidak kosong dari semiring S dan 𝜌 𝑅 subset fuzzy dari S yang didefinisikan dengan
𝜌 𝑅 (𝑥) = { 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑅 𝑏, 𝑥 ∈ 𝑆\𝑅
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 dan 𝑎, 𝑐 ∈ [0,1] dengan 𝑎 > 𝑏 , maka 𝜌 𝑅 adalah subsemiring fuzzy dari S jika dan hanya jika R adalah subsemiring dari S.
Bukti:
(⇛) Diambil sembarang 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑅 , maka 𝜌 𝑅 (𝑥) = 𝑎 dan 𝜌 𝑅 (𝑤) = 𝑎 . Karena 𝜌 𝑅 adalah subsemiring fuzzy dari S dan 𝑅 ⊆ 𝑆 , diperoleh 𝜌 𝑅 (𝑥 + 𝑤) ≥ 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) = 𝑎 dan 𝜌 𝑅 (𝑥𝑤) ≥ 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) = 𝑎 . Oleh karena itu, 𝑥 + 𝑤 ∈ 𝑅 dan 𝑥𝑤 ∈ 𝑅 . Dengan kata lain R adalah subsemiring dari S.
(⇚) Misalkan R adalah subsemiring dari S dan 𝜌 𝑅 subset fuzzy dari S. Diambil sembarang 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑆 , maka dapat ditinjau untuk beberapa kasus, yaitu:
1) 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑆\𝑅 , maka 𝜌 𝑅 (𝑥) = 𝑏 dan 𝜌 𝑅 (𝑤) = 𝑏 , yang mengakibatkan 𝜌 𝑅 (𝑥 + 𝑤) ≥ 𝑏 = 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) dan 𝜌 𝑅 (𝑥𝑤) ≥ 𝑏 = 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) .
2) 𝑥 ∈ 𝑅 dan 𝑤 ∈ 𝑆\𝑅 , maka 𝜌(𝑥) = 𝑎 dan 𝜌(𝑤) = 𝑏 , yang mengakibatkan 𝜌 𝑅 (𝑥 + 𝑤) ≥ 𝑏 = 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) dan 𝜌 𝑅 (𝑥𝑤) ≥ 𝑏 = 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) .
3) 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑅 , maka 𝑥 + 𝑤 ∈ 𝑅 dan 𝑥𝑤 ∈ 𝑅 , sehingga 𝜌 𝑅 (𝑥) = 𝑎 , 𝜌 𝑅 (𝑤) = 𝑎 , 𝜌 𝑅 (𝑥 + 𝑤) = 𝑎 dan 𝜌 𝑅 (𝑥𝑤) = 𝑎 , yang mengakibatkan 𝜌 𝑅 (𝑥 + 𝑤) = 𝑎 = 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) dan 𝜌 𝑅 (𝑥𝑤) = 𝑎 = 𝜌 𝑅 (𝑥) ∧ 𝜌 𝑅 (𝑤) .
Berdasarkan hasil analisa di atas, untuk setiap 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑆 berlaku 𝜌 𝑅 (𝑥 + 𝑤) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑤) dan 𝜌 𝑅 (𝑥𝑤) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑤) . Dengan kata lain, 𝜌 𝑅 adalah subsemiring fuzzy dari S. ■
Akibat 3.3 Misalkan 𝑅(≠ ∅) adalah subset dari semiring R dan 𝜒 𝑅 adalah fungsi karakteristik dari 𝑅 , maka 𝜒 𝑅 adalah subsemiring fuzzy dari S jika dan hanya jika R adalah subsemiring dari S.
Teorema 3.4 Subset fuzzy 𝜌 dari semiring S adalah subsemiring fuzzy dari S jika dan hanya level subset 𝜌 𝑎 (≠ ∅) adalah subsemiring dari S, untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜌(𝑆) .
Bukti:
(⇛) Misalkan 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari semiring S. Akan dibuktikan subset tidak kosong 𝜌 𝑎 dari S adalah subsemiring dari S, untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜌(𝑆) . Diambil sembarang 𝑥, 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 , maka 𝜌(𝑥) ≥ 𝑎 dan 𝜌(𝑧) ≥ 𝑎 . Karena 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari S dan 𝜌 𝑎 subset dari S, maka 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑆 , sehingga berdasarkan Definisi 6, diperoleh kondisi berikut ini.
𝜌(𝑥 + 𝑧) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑧) ≥ 𝑎 dan 𝜌(𝑥𝑧) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑧) ≥ 𝑎 . Oleh karena itu,
𝑥 + 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 dan 𝑥𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 . Berdasarkan hasil Analisa di atas, 𝜌 𝑎 adalah subsemiring dari S untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜌(𝑆) .
(⇚) Misalkan 𝜌 𝑎 adalah subsemiring dari S, untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜌(𝑆) dan 𝜌 subset fuzzy dari S. Akan dibuktikan ρ adalah subsemiring fuzzy dari S. Diambil sembarang 𝑧, 𝑤 ∈ 𝑆 , maka ada 𝑎, 𝑐 ∈ 𝜌(𝑆) sedemikian sehingga 𝜌(𝑧) = 𝑎 dan 𝜌(𝑤) = 𝑐 . Misalkan 𝑑 = 𝑎 ∧ 𝑐 , maka 𝜌(𝑧) ≥ 𝑑 dan 𝜌(𝑤) ≥ 𝑑 , yang mengakibatkan 𝑧, 𝑤 ∈ 𝜌 𝑑 . Mengingat untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜌(𝑆) , 𝜌 𝑎 adalah subsemiring dari S, maka diperoleh kondisi 𝑧 + 𝑤 ∈ 𝜌 𝑑 dan 𝑧𝑤 ∈ 𝜌 𝑑 . Oleh karena itu, 𝜌(𝑧 + 𝑤) ≥ 𝑑 = 𝑎 ∧ 𝑐 = 𝜌(𝑧) ∧ 𝜌(𝑤) dan 𝜌(𝑧𝑤) ≥ 𝑑 = 𝑎 ∧ 𝑐 = 𝜌(𝑧) ∧ 𝜌(𝑤) .
Dengan kata lain, 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari S. ■
Teorema 3.5 Misalkan R adalah subsemiring dari semiring S, maka untuk setiap 𝑎 ∈ (0,1) , terdapat subsemiring fuzzy 𝜌 dari S sedemikian sehingga 𝜌 𝑎 = 𝑅 .
Bukti:
Misalkan 𝜌: 𝑆 ⟶ [0,1] adalah subsemiring fuzzy dari S yang didefinisikan oleh
𝜌(𝑥) = { 𝑎, 𝑥 ∈ 𝑅 0, 𝑥 ∈ 𝑆\𝑅
dengan 𝑎 ∈ (0,1) . Oleh karena itu, berdasarkan fungsi keanggotaan 𝜌 diperoleh: 𝜌 𝑎 = {𝑥 ∈ 𝑆 | 𝜌(𝑥) ≥ 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝑆 | 𝑥 ∈ 𝑅} = 𝑅 . Selanjutnya, andaikan ada 𝑥 0 , 𝑤 0 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga dipenuhi kondisi 𝜌(𝑥 0 + 𝑤 0 ) < 𝜌(𝑥 0 ) ∧ 𝜌(𝑤 0 ) dan 𝜌(𝑥 0 𝑤 0 ) < 𝜌(𝑥 0 ) ∧ 𝜌(𝑤 0 ) .
Karena |𝜌(𝑆)| = 2 , maka
𝜌(𝑥 0 + 𝑤 0 ) = 0 dan 𝜌(𝑥 0 ) ∧ 𝜌(𝑤 0 ) = 𝑎 dan
𝜌(𝑥 0 𝑤 0 ) = 0 dan 𝜌(𝑥 0 ) ∧ 𝜌(𝑤 0 ) = 𝑎 Akibatnya,
𝑥 0 + 𝑤 0 ∉ 𝑅 dan 𝑥 0 𝑤 0 ∉ 𝑅 tetapi 𝜌(𝑥 0 ) = 𝜌(𝑤 0 ) = 𝑎 , yaitu 𝑥 0 , 𝑤 0 ∈ 𝑅 .
Kondisi, 𝑥 0 + 𝑤 0 ∉ 𝑅 dan 𝑥 0 𝑤 0 ∉ 𝑅 tetapi 𝑥 0 , 𝑤 0 ∈ 𝑅 , kontradiksi dengan R adalah subsemiring dari S, sehingga pengandaian salah, seharusnya untuk setiap 𝑥, 𝑤 ∈ 𝑆 berlaku: 𝜌(𝑥 + 𝑦) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑤) dan 𝜌(𝑥𝑦) ≥ 𝜌(𝑥) ∧ 𝜌(𝑤) . Dengan kata lain, 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari S. ■
Teorema 3.6 Misalkan 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari semiring S, maka 𝜌(𝑧) = sup{𝑎 ∈ [0,1]| 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 } untuk setiap 𝑧 ∈ 𝑆 .
Bukti: Misalkan 𝑐 ≝ sup{𝑎 ∈ [0,1]| 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 } , maka untuk sembarang 𝜖 > 0 , 𝑐 − 𝜖 < 𝑎 untuk suatu 𝑎 ∈ [0,1] sedemikian  sehingga 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 dan  mengakibatkan 𝑐 − 𝜖 < 𝜌(𝑧) .  Karena 𝜖 adalah  bilangan  positif sembarang, maka dipenuhi kondisi 𝑐 ≤ 𝜌(𝑧) . Selanjutnya, dimisalkan 𝜌(𝑧) = 𝑑 maka 𝑧 ∈ 𝜌 𝑑 dan 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ [0,1]| 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 } . Oleh karena itu,
𝜌(𝑧) = 𝑑 ≤ sup{𝑎 ∈ [0,1]| 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 } = 𝑐 . Berdasarkan hasil analisa di atas, 𝜌(𝑧) = sup{𝑎 ∈ [0,1]| 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 } . ■
Berikut disajikan konvers dari Teorema 3.6. Misalkan Ω adalah subset tidak kosong dari [0,1]
Teorema  3.7 Misalkan  S  adalah  semiring  dan {𝛿 𝑎 | 𝑎 ∈ Ω} adalah  koleksi  subsemiring  dari  S sedemikian sehingga
1) 𝑆 = ⋃ 𝛿 𝑎 𝑎∈Ω , 2) 𝑎 > 𝑐 , untuk setiap 𝑎, 𝑐 ∈ Ω jika dan hanya jika 𝛿 𝑎 ⊂ 𝛿 𝑐 Didefinisikan subset fuzzy 𝜌 dari S, untuk setiap 𝑧 ∈ 𝑆 , 𝜌(𝑤) ≝ sup{𝑎 ∈ Ω | 𝑧 ∈ 𝛿 𝑎 } maka 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari S.
Bukti: Untuk setiap 𝑐 ∈ [0,1] , akan ditinjau dua kasus berikut 1) 𝑐 = sup{𝑎 ∈ Ω | 𝑎 < 𝑐} ,
2) 𝑐 ≠ sup{𝑎 ∈ Ω | 𝑎 < 𝑐} . Untuk kasus (1), dipenuhi kondisi 𝑧 ∈ 𝜌 𝑐 ⇔ 𝑧 ∈ 𝜌 𝑎 untuk setiap 𝑎 < 𝑐 ⇔ 𝑧 ∈ ⋂ 𝛿 𝑎 𝑎<𝑐 ,
Oleh karena itu, 𝜌 𝑐 = ⋂ 𝛿 𝑎 𝑎<𝑐 adalah subsemiring dari S. Untuk kasus (2), terdapat 𝜖 > 0 sedemikian sehingga
(𝑐 − 𝜖, 𝑐)⋂Ω = ∅ .
Selanjutnya, diklaim 𝜌 𝑐 = ⋃ 𝛿 𝑎 𝑎≥𝑐 . Diambil sembarang 𝑧 ∈ ⋃ 𝛿 𝑎 𝑎≥𝑐 , maka 𝑧 ∈ 𝛿 𝑎 untuk suatu 𝑎 ≥ 𝑐 . Oleh karena itu, 𝜌(𝑧) ≥ 𝑎 ≥ 𝑐 , yang mengakibatkan 𝑧 ∈ 𝜌 𝑐 , yaitu ⋃ 𝛿 𝑎 𝑎≥𝑐 ⊆ 𝜌 𝑐 . Sebaliknya, untuk 𝑧 ∉ ⋃ 𝛿 𝑎 𝑎≥𝑐 , maka 𝑧 ∉ 𝛿 𝑎 untuk setiap 𝑎 ≥ 𝑐 , yang mengakibatkan 𝑧 ∉ 𝛿 𝑎 untuk setiap 𝑎 > 𝑐 − 𝜖 . Akibatnya, jika 𝑧 ∈ 𝛿 𝑎 maka 𝑎 ≤ 𝑐 − 𝜖 , sehingga dipenuhi kondisi 𝜌(𝑧) ≤ 𝑐 − 𝜖 dan 𝑧 ∉ 𝜌 𝑐 .  Oleh karena itu, 𝜌 𝑐 = ⋃ 𝛿 𝑎 𝑎≥𝑐 adalah subsemiring dari S. Berdasarkan hasil Analisa di atas, diperoleh 𝜌 𝑐 adalah subsemiring dari S, untuk setiap 𝑐 ∈ [0,1] . Akibatnya, berdasarkan Teorema 3.4, diperoleh 𝜌 adalah subsemiring fuzzy dari S. ■

## Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh sifat penting yang menghubungkan antara subsemiring dan subsemiring fuzzy, yaitu subset fuzzy 𝜌 dari semiring S adalah subsemiring fuzzy dari S jika dan hanya level subset 𝜌 𝑎 (≠ ∅) adalah subsemiring dari S, untuk setiap 𝑎 ∈ 𝜌(𝑆) .

## Referensi
[1]  A. Rosenfeld, 1971, Fuzzy groups, J. Math. Anal. Appl. , vol. 35, no. 3, pp. 512–517.
[2]  L. A. Zadeh, 1965, Fuzzy Sets, Inf. Control , vol. 8, no. 3, pp. 338–353.
[3]  D. Mandal, 2014, Fuzzy Ideals and Fuzzy Interior Ideals in Ordered Semirings, Fuzzy Inf. Eng , vol. 6, pp. 101–114.
[4]  S. Abdurrahman, 2019, Image ( Pre-image ) Homomorfisme Interior Subgrup Fuzzy,” vol. 8, no. 1, pp. 15–18.
[5]  Y. B. Jun, M. Sapanci, and M. A. Öztürk, 1998, Fuzzy ideals in gamma near-rings, Turkish J. Math. , vol. 22, no. 4, pp. 449–459.
[6]  S. Abdurrahman, “Interior Subgrup Fuzzy,” J. Fourier , vol. 7, no. 1, pp. 13–21, 2018.
[7]  J.  Ahsan,  J.  N.  Mordeson,  and  M.  Shabir,  2012, Fuzzy  Semirings  with  Applications  to  Automata  Theory .  Springer Berlin Heidelberg New York Dordrecht London.
[8]  R. D. Jagatap, 2014, Right k -Weakly Regular Γ -Semirings, Hindawi Publ. Corp. Algebr. , vol. 2014, pp. 1-5.
[9]  J. Mordeson and K. R. Bhutani, 2005, Fuzzy Subsets and Fuzzy Subgroups, in Group , vol. 39, no. X, pp. 1–39.

## THIS PAGE INTENTIONALLY LEFT BLANK