## PENERAPAN KALKULUS STOKASTIK PADA MODEL OPSI
Nizaruddin
Program Studi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Semarang
Jl. Sidodadi Timur 24 Semarang

## Abstrak
Opsi merupakan salah satu pilihan investasi yang mampu mengakomodasikan keinginan investor untuk dapat menanmkan modalnya dengan resiko kecil, sehingga opsi ini cocok diterapkan di negara dengan ekonomi yang tidak stabil.  Dalam  penelitian  ini,  melalui  penerapan  teori-teori  kalkulus  stokastik  akan  dibahas  modeal persamaan  harga  yang  diturunkan  dari  nilai  aset  suatu  perusahaan  yang  merupakan  refleksi  dari  kepemilikan saham dan bon perusahaan dengan perubahan harga saham mengikuti asumsi Black dan Scholes.
( )     ( )  ( )       ( )  ( )   ( )
Disamping itu juga diturunkan model harga opsi melalui present value ekspetasi selisih antara nilai  strike price dengan harga saham pada saat t
Kata Kunci : Opsi, stokastik, Black dan Scholes

## 1. Pendahuluan
Keadaan ekonomi suatu negara yang tidak menentu baik sebagai dampak dari kondisi politik maupun fundamental ekonomi makronya sendiri mengakibatkan ketidakstabilan pada harga pasar dan sekuritas.  Kondisi  ini  memunculkan  keragua-raguan  para  investor  untuk  menanamkan  modal  usaha pada  negara  itu.  Untuk  itu  deperlukan  suatu  alteernatif  yang  sekiranya  mampu  menjembatani keinginan  investor  tersebut  untuk  turut  berpartisipasi  dalam  dunia  usaha  dan  salah  satunya  adalah opsi .
Namun demikian penerbiatan kontrak opsi ini di Indonesia belum lazim digunakan walaupun kondisi di Indonesia dapat dikatakan mengundang keraguan dan ketakutan para investor menanamkan modalnya  di  Indonesia.  Hal  ini  dimungkinkan  karena  belum  adanya  undang-undang  mengenai kontrak opsi atau juga karena kurangnya pemahaman mengenai opsi itu sendiri.
Sementara  itu  dipandang  dari  sudut  modelnya,  model  harga  opsi  yang  sering  digunakan adalah penurunan dari model harga saham yang dikembangkan oleh Fisher Black dan Myron Scholes yang menyatakan
( )      ( )         ( )  ( )
= rata-rata dari pengembalian saham σ = volatilitas dari harga saham
= periode waktu
( ) = variabel acak dengan rataan 0 dan variansi 1 dengan W(t) mengikuti proses gerak Brown.
Persamaan  ini  disebut  persamaan  differensial  stokastik.  Akan  tetapi  persamaan  ini memunculkan  banyak  pertanyaan  seperti  bagaimana  mencari  solusi  persamaan  yang  mengandung variabel yang mengikuti gerak Brown dan lain sebagainya.
Untuk  itulah  pada  tulisan  ini  akan  dibhas  penurunan  model  nilai  opsi  melalui  analisis penyelesaian persamaan differensial stokastik yang disebut persamaan differensial dasar untuk harga contingent claim sebagai akibat tergantungnya harga opsi pada perubahan harga saham dan juga untuk memperoleh harga opsi yang menunjukkan sebagai present value nilai ekspektasi selisih harga strike price dengan harga saham pada saat tertentu.

## 2. Kalkulus Stokastik

## 2.1 Proses Wiener atau Proses Gerak Brown
Definisi 1 Proses  stokastik { ( )       } disebut  proses  Wiener  (sering  juga  disebut  proses gerak Brown) apabila:
1. ( )
2. { ( )       } mempunyai  kenaikan  bebas  dan  stasioner  (stationary  independent increment) untuk setiap t > 0 ,
3. ( ) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
Selanjutnya  jika =  1,  disebut  proses  Wiener  baku.  Kemudian  jika { ( )       } suatu proses gerak Brown baku, maka ( )    ( ) merupakan gerak Brown dengan koefisien drift dan ( ) ( ) disebut  gerak  Brown  geometri  dimana  proses  gerak  Brown  geometri  ini  tidak pernah bernilai negatif.

## 2.2 Martingale
Definisi 2 Misalkan ( ) adalah ruang probabilitas dan F 1 (t) F 2 (t) ........ F n (t) F, t T  keluarga  tak  turun  dari  aljabar –   ( ) .  Fungsi  acak ( ) disebut  Martingale  terhadap keluarga aljabar –   ( ) , jika:
1. Fungsi acak M(t) teradaptasi dari keluarga aljabar –   ( )
2. [ ( )] untuk seluruh t
3. [ ( ) | ( ) ] ( ) untuk setiap
Teorema 3 Jika W proses gerak Brown baku, maka W martingale

## 2.3 Lemma Ito
Misalkan diberikan persamaan differensial stokastik:

## ( )    (    ( )      (    ( )  ( )
Dengan S(t) suatu proses stokastik dan W(t) proses Wiener.
Persamaan di atas selanjutnya dapat ditulis sebagai persamaan integral berikut:
( )       ∫  (    ( ))     ∫  (    ( ))  ( )
Dari persamaan integral di atas nilai dari ∫  (    ( )) dapat diselesaikan dengan cara biasa yaitu dengan  menggunakan  integral  Riemann,  tetapi  bagian ∫  (    ( ))  ( ) harus  diselesaikan dengan menggunakan Formula Ito.
Lemma 4 Misalkan proses S(t) mempunyai persamaan differensial stokastik
( )    ( )      ( )  ( )
Dan (    ) adalah fungsi kontinyu dan mempunyai turunan (   ) (   ) (   ) kontinyu.
Maka (    ( )) merupakan proses differensial stokastik dan
(    ( ))   [ (    ( )) (    ( )) ( ) (    ( )) ( )] (    ( )) ( )  ( )

## Formula di atas disebut dengan formula Ito

## 2.4        Teorema Girsanov
Teorema 5 Misalkan W proses gerak Brown baku dengan ukuran peluang P dan misalkan

## ∫

## Serta misalkan
( )       [∫     ( ) ∫ ]

## Kemudian definisikan

## ̃    ( )
Maka

## ̃ ( )    ( )   ∫
Merupakan proses gerak Brown terhadap ukuran ̃ .

## 3.      Sekuritas
Seperti  dijelaskan  sebelumnya,  bahwa  pembahasan  harga  opsi  tidak  dapat  dilepaskan  dari perubahan tentang sekuritas turunan yang lain. Untuk itu pada bab ini akan dibahas masalah sekuritas yang berkaitan dengan nilai opsi.

## 4. Nilai Aset
Aset  dalam  bahasan  ini  adalah Aset  Finansial yang  didefinisikan  Spreij[3] pendanaan  yang berusaha mengkonversikan aktiva-aktiva tertentu menjadi dana kas kerja dan nilai aset ini dipengaruhi oleh  dua  jenis  sekuritas  yakni  saham  dan  bon.  Oleh  sebab  itu  selanjutnya  akan  dibahas  nilai  dari saham dan bon.

## 4.0.1 Harga Saham
Saham  merupakan  suatu  aset  finansial  yang  nilainya  bergerak  mengikuti  harga  pasar  sesuai dengan besarnya penawaran dan permintaan. Sehingga pada jangka waktu tertentu harga saham dapat mengalami  kenaikan  maupun  penurunan  atau  bahkan  dapat  pula  tidak  mengalami  perubahan  harga. Oleh karena itu saham merupakan aset beresiko.
Sementara itu Fisher Black dan Meyron Scholes [15] mengasumsikan bahwa perubahan nilai dari saham mengikuti Gerak Brown sebagaiman di bawah ini. Misalkan S(t) harga saham, maka
( )     ( )       ( )  ( )                                                        ( )
Dimana:
= rata-rata dari pengembalian saham
= volatilitas dari harga saham
= periode waktu
( ) =  varibel  acak  dengan ( ) mengikuti  proses  gerak  Brown  dengan  rataan  0  dan variansi 1.
Oleh karenanya diperoleh model harga saham adalah:
( )    ( )    [( )       ( )]
Dimana S(0) adalah harga awal dari suatu saham saham.
Persamaan ini mencerminkan bahwa harga saham mengikuti proses gerak Brown geometri, sehingga harga saham tidak akan bernilai negatif.

## 4.1 Harga Bon
Bon  merupakan  salah  satu  aset  tanpa  resiko  yang  bersifat  deterministik,  dimana  perubahannya bergantung dari tingkat suku bunga yang berlaku. Pada penentuan harga opsi tingkat suku bunga yang digunakan  untuk  aset  tanpa  resiko  ini  adalah  konstan  [4],  yang  mana  perubahannya  dirumuskan sebagai:
Misalkan B(t) adalah harga bon, maka perubahannya adalah:
( )     ( )
Sehingga model harga bon.

## ( )    ( )
Dengan r adalah tingkat suku bunga

## 4.2 Nilai Aset dan Strategi Lindung Nilai
Seperti dijelaskan pada sub bab sebelumnya, nilai aset finansial dipengaruhi oleh saham dan bon .
Sehingga dapat dirumuskan banyaknya aset X(t) adalah
( ) ( ) ( ) ............................................................(2)
Dimana:
( ) adalah nilai kekayaan
adalah banyak unit dari saham adalah banyak unit dari bon
Persamaan  (2)  merupakan  nilai  portfolio  ( )  dan  merupakan self-financing dengan ( ) ( ) merupakan  harga  layak  suatu contingent  claim (klaim  tidak  pasti)  pada  waktu  T dengan perubahan harga hanya bergantung pada perubahan harga aset.
Akibatnya perubahan dari aset dapat dirumuskan
( ) ( ) ( )
( )[         ( )] ( ) .......................(3) Persamaan  (3)  merupakan  refleksi  perubahan  proses  aset  yang  disebabkan  perubahan  harga  saham dan bon.
Dengan memasukkan

## ( )    ( )
Didapat perubahan aset pada ukuran ̃ menjadi
( ) [        ( ̃ ( ) )] ( ) ( )[ ̃ ( )] ( )
Nilai  perubahan aset ini selanjutnya  akan  digunakan pada  penentuan Persamaan  Differensial  Dasar untuk Contingent claim .
Sementara itu secara faktual ̃ ( ) dimana ( ) . Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Misalkan { } barisan waktu exercise X dengan{ t , [    ] } adalah ̃ martingale untuk setiap n, maka dengan menggunakan lemma Fatou’s diperoleh
̃ ( )    ̃ ( )

## ̃ ( )    ̃ ( )
Berdasarkan (6) diperoleh bahwa batas bawah harga layak dari suatu contingent claim lebih kecil atau sama dengan dari niali awal aset ( ̃ , dimana harga contingent claim pada T). Hal ini dapat diterima karena apabila harga dari suatu barang adalah h 0 , maka tidak ada seorangpun yang bersedia membeli barang tersebut dengan harga h>h
Selanjutnya  apabila ̃ dan  r=0  dapat  ditunjukkan strategi  lindung  nilai dimana strategi lindung nilai merupakan strategi yang digunakan untuk mengimbangi resiko investasi. Cegah resiko yang  sempurna  adalah  meniadakan  kemungkinan  perolehan  atau    kerugian  di  kemudian  hari.  Utnuk menunjukkan bahwa aset memenuhi strategi lindung nilai dapat dicari sebagai berikut:

## Misalkan
[ | ]    [ ]
Menurut persamaan representasi teorema martingale [1] terdapat Y sedemikian sehingga
∫ ̃

## Pilih
( ) ( ) ( )
Sehingga diperoleh
̃
Jadi
̃[ | ]    ̃[ ] ̃[ | ]
Dengan demikian ada strategi lindung nilai.

## 4.3 Present Value Coningent Claim
Selanjutnya  apabila menurut  Baxter  [1]  untuk  menghitung  nilai  claim  dilakukan  dengan memperhitungkan proses diskonto terhadap bon. Sehingga diperoleh
̃ [ ( ) ( ) | ] (   ) ̃[ | ]
Persamaan ini menyatakan bahwa nilai dari opsi adalah present value akspektasi dari nilai contingent claim pada saat .

## 4.4         Persamaan Differensial Dasar untuk Penentuan Harga Contingent Claim
Sementara  itu  melalui  permisalan (    ( )) merupakan  harga contingent  claim pada waktu t. Dengan menggunakan lemma Ito diperoleh
(    ( ))   ( ( ) ( ))
( ) (  ( )       ( )  ( ))
Padahal
(    ( ))

## ( )[         ( )] ( )
Oleh karena (    ( )) bernilai tunggal [15], maka koefisien dari dt dan dW(t) pada persamaan (8) dan (9) sama, sehingga
( )
Dan
( ) ( )
Selanjutnya dari persamaan (2) dan (10) diperoleh
( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( (    ( )) ( ) ( ))
Akibatnya persamaan (5) menjadi
(    ( )) ( ) (  ( )       ( )  ( )) (  (    ( )) ( ) ( ))
Sehingga diperoleh
( ) ( ) ( )    ( ) (    ( ))    ( ) ( ) ( )
Atau
( ) ( ) ( )    ( ) ( ) ( )    ( ) (    ( ))
Persamaan ini disebut Persamaan Differensial Dasar untuk Penentuan Harga Contingent Claim dan  berlaku  untuk  semua jenis contingent  claim ,  hanya  saja syarat  batas  untuk  masing-masing  jenis contingent claim berbeda-beda.
Selanjutnya  untuk  menyelesaikan  persamaan  differensial  ini  dilakukan  dengan  melakukan transformasi ke persamaan panas dengan memisalkan ( ) ( ) .
Definisikan
(     ) ( )       ( )   ( ) (     )

## Dan himpunan
(    ) (   ) (    ( ))
Akan diperoleh persamaan panas
Dimana solusi dari persamaan tersebut:
(    )   ∫ √ (   ) ( )
Dimana ( )    (    ) merupakan syarat batas persamaan

## 5. Harga Opsi

## 5.0.1 Pengertian Opsi
Opsi adalah  hak  untuk  melakukan  transaksi  (jual/beli)  atas  suatu  aset  pada  suatu  periode tertentu  dengan  nilai  pada  saat  jatuh  tempo  telah  ditentukan.  Dalam  hal  ini  pemegang  opsi  dapat melakukan  jual/beli  aset  sebelum  atau  pada  saat  jatuh  tempo( maturity  date )  dimana  nilai  pada  saat jatuh tempo tertentu dan nilai sebelumnya tidak ditentukan. Nilai pada saat jatuh tempo disebut ( Strike Price ).
Oleh  karenanya  keputusan  pemegang opsi  melakukan  transaksi  (meng- exercise )  atas  aset sangat tergantung oleh harga pasar dari aset tersebut. Oleh sebab itu kontrak opsi ini disebut continget claim (klaim yang tidak pasti)
Opsi  diperoleh  apabila  seseorang  membeli  opsi  ke  penjual  opsi  dan  jual  beli  ini  merupakan suatu  ikatan  dan  disebut kontrak  opsi yang  memberikan  hak  dan  kewajiban  kepada  penjual  dan pembeli opsi. Pembeli opsi selaku pemegang opsi berhak menjual/membeli atas aset dengan nilai dan dalam kurun waktu sebagaimana dalam kontrak dengan kewajiban membayar sejumlah nilai tertentu yang  disebut  dengan premi .  Sedangkan  penjual  opsi  yang  merupakan  penulis  opsi  berkewajiban melakukan transaksi sesuai dengan kontrak dengan imbalan mendapat premi .
Kemudian  apabila  ditinjau  dari  hak  melakukan  transaksi,  kontrak  opsi  dapat  dibedakan menjadi  dua  yaitu opsi  call dan opsi  put . Opsi  call memberikan  hak  kepada  pemegang  opsi  untuk membeli  aset  dari  penjual  opsi  seharga Strike  Price, sedangkan opsi  put memberikan  hak  kepada pemegang opsi untuk menjual aset kepada penjual opsi seharga Strike Price .
Pada Opsi call , apabila pada saat jatuh tempo harga pasar dari saham lebih tinggi dari Strike Price ,  maka  disebut opsi  in  the  money , sebaliknya  pada opsi  put,  opsi in  the  money dicapai  apabila harga pasar lebih rendah dari Strike Price . Selanjutnya pada Opsi call , apabila pada saat jatuh tempo harga pasar dari saham lebih rendah dari Strike Price , maka disebut opsi out of teh money , sebaliknya pada opsi  put,  opsi  out  of  the  money dicapai  apabila  harga  pasar  lebih  rendah  dari Strike  Price .
Kemudian  apabila  harga  pasar  suatu  saham  sama  dengan Strike  Price ,  maka  disebut opsi  at  the money.

## 6. Model Harga Opsi
Sebagaimana  dijelaskan  pada  sub  bab  sebelumnya,  bahwa  nilai  opsi  merupakan  salah  satu jenis contingent claim . Oleh karenanya untuk mendapatkan nilai opsi dapat dilakukan dengan mencari solusi  dari Persamaan  Differensial  Dasar  untuk  Harga  Contingent  Claim sebagaimana persamaan (11) dan melalui transformasi ke persamaan panas diperoleh solusinya seperti persamaan (14)  dimana  g(y)=U(0,y)  merupakan  syarat  batas  untuk  nilai  opsi  dengan  syarat  batas  tiap  opsi berbeda.

## 6.1 Opsi Call
Sebagaimana  dijelaskan  di  atas  bahwa  syarat  batas  masing-masing  jenis  opsi  berbeda-beda. Untuk  opsi  call  syarat  batasnya  [15]  adalah (    )       ( )       ( ( )    ) ( ( )    ) dimana K adalah strike price.
Perhatikan bahwa apabila , maka ( ) . Akibatnya ( )             ( )
Selanjutnya dari persamaan (12) didapat
(    ( )) (   ) ∫ √ (     ) ( ( )    )
( ( ) (    ( ) ( )(   ) √(   ) )
Kemudian  dengan  memperhatikan  bahwa  pelepasan opsi  call dilakukan  apabila  harga  saham  pasar lebih dari atau sama dengan K ( strike price ), atau dengan kata lain tidak ada pelepasan opsi apabila S(T)<K. Sehingga abatas bawah dari pelepasan opsi adalah jika S(T)=K atau yang berakibat
.  Sedangkan  batas  atas  harga  opsi  sendiri  tidak  terbatas  atau ( ) yang  berakibat . Sehingga didapat
(    ( )) (   )
√ (     ) ∫( ( )    )
( ( ) (    ( ) ( )(   ) √(   ) ) ( )

## Selanjutnya dengan memisalkan
(    ( )       ( ))   ( )(     )
√(     )
Dengan mengganti ( ) batas bawah integral (15) menjadi
( ) (
) (     )

## √(     )

## Dengan demikian
( )    ( )    {  √(     )   ( ) (     )}

## Sehingga
(    ( )) (   ) √ ∫  ( ) {  √(   ) ( (   )}
(   )
√ ∫ √ ( ) ∫ (   √(   ))
(   )
√ ∫
( ) (      √(     )) (   ) (  )
( ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) ) (   ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) )
Dimana   adalah fungsi distribusi normal (0,1)
Sementara itu dari (7) untuk opsi call dengan nilai ( ( )    ) diperoleh
(   ) ̃[( ( )    ) | ]
(   ) ̃ [( [( )(   )  ( ( )  ( ))] ) | ]
Merupakan present value dari ekspektasi selisih antara harga saham pada saat t yaitu S t dengan nilai strike price. Sehingga dapat
(   ) ̃[( ( )    ) | ]
(   ) ̃ [( [( )(   )  ( ( )  ( ))] ) | ]
(   ) [( [( )(   )  ( ( )  ( ))] ) | ]
(   ) [( ) | ]

## Dimana
(   ) √(     )         (   )
Oleh karena [15]:
[( ) | ] ( ) ( )
Sehingga dari (??) dan (17) diperoleh
( ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) ) (   ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) )
Dimana   adalah fungsi distribusi normal (0,1)
Dari penurunan melalui persamaan panas sebagaimana pada persamaan 9160 dan melalui  ekspektasi seperti persamaan (18) didapatkan model harga opsi yang sama

## 6.2        Opsi Put
Untuk  menetukan  nilai  dari  opsi  put  dapat dilakukan  dengan  cara  yang  sama  dengan  mencari  harga dari  nilai  opsi  call  dengan  memperhatikan  bahwa  syarat  batas  dari  opsi  put  (15)  adalah (    ) ( )       ( ( )    ) dimana  exercise  dilakukan  apabila  harga  di  pasar  kurang  dari atau  sama  dengan  K(strike  price),  atau  artinya  tidak  ada  pelepasan  opsi  apabila  S(T)<K.  Sehingga batas  atas  dari  pelepasan  opsi  adalah  jika  S(T)=K  atau ,  yang  berkibat .  Sedangkan batas  bawah  harga  opsi  sendiri  tidak  terbatas  atau ( ) yang  berakibat .  Sehingga  (7) menjadi
(    ( )) (   )
√ (     ) ∫( ( )    )
( ( ) (    ( ) ( )(   ) √(   ) ) ( )
Akibatnya (16) menjadi
(    ( )) (   )
√ ∫
(   )
√ ∫  ( ) {  √(   ) ( )(   )}
(   ) √ ∫ √ ( ) ∫ (   √(   )) (   ) (
( ) ( ) (     ) √(     ) ) ( ) ( ( ) ( ) (     )
√(     ) )
Dimana   adalah fungsi distribusi normal (0,1)
Sedangkan dari penghitungan ekspektasi selisih antara nilai strike price dengan harga saham pada saat t adalah S t , diperoleh
(   ) ̃ [(     ( )) | ]
(   ) ̃ [( [( )(   )  ( ( )  ( ))] ) | ]
(   ) [( [( )(   )  ( ( )  ( ))] ) | ]
(   ) ( ( ) ( ) (     )
√(     ) ) ( ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) )
Dimana   adalah  fungsi  distribusi  normal  (0,1).  Sebagaimana  pada  opsi  call  nilai  ini  sama  dengan nilai melalui perhitungan dengan transformasi ke persamaan panas.

## 7. Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  pada  bab-bab  terdahulu  dapat  diberikan  simpulan  bahwa  jika  B(t)  adalah harga bond dan S(t) harga saham, dan perubahannya adalah:
( )     ( )
Dimana r adalah tingkat suku bunga dan
( )    ( ) ( )      ( ) ( )  ( )
Dimana:
( )

## ( )
dW(t) variabel acak dengan W(t) mengikuti proses gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1.
Dengan  analisis  penurunan  niali  kekayaan  maupun  dengan  menghitung  present  value  selisih  harga pasar dengan harga saham diperoleh harga opsi call pada waktu adalah
( ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) ) (   ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) )
Dimana   adalah fungsi distribusi normal (0,1)
Sedangkan harga opsi put pada waktu adalah (   ) ( ( ) ( ) (     )
√(     ) ) ( ) ( ( ) ( ) (     ) √(     ) )
Dimana   adalah fungsi distribusi normal (0,1)

## Daftar Pustaka
Geza Scay, 2007, Introduction to Probability with Statistical Aplication, Birkhauser, Boston Ross, M. Sheldom , 2000 , Introduction to Models Probability, John Wiley & Sons, Inc
Ross, M. Sheldom , 1986 , Stochastics Process, John Wiley & Sons, Inc
Taylor,  M.  Howard  and  Karlin,  Samuel,  1975,  A  Fisrt  Course  in  Stochastics  Processes,
Academic Press, Inc
Zastawniak, T. and Brzezniak, Z, 2003, Basic Stochastic Processes, Springer