## Ideal Dasar Prima dalam Aljabar Atas Suatu Ring Komutatif

## Khurul Wardati
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: khurulwardati@gmail.com

## Abstrak
Definisi ideal dasar dan ideal bebas dalam aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan adalah ekuivalen. Namun, ideal dasar dalam suatu aljabar tak bebas belum tentu merupakan ideal bebas, sementara ideal bebas pasti ideal dasar. Artikel  ini  membahas  beberapa  sifat  ideal  dasar  prima  dalam  aljabar  tak  bebas  atas  ring  komutatif dengan elemen satuan.
Kata Kunci aljabar tak bebas; ideal bebas; ideal dasar; ideal dasar prima

## Abstract
The definitions of basic ideal and free ideal in free algebras over a unital commutative ring are equivalent. However, a basic ideal in the non-free algebra is not necessarily a free ideal, while any free ideal is definitely a basic ideal. This paper will discuss some properties of prime basic ideal in non-free algebras over a unital commutative ring.
Keywords basic ideal; free ideal; non-free algebra; prime basic ideal

## Pendahuluan
Aljabar atas lapangan merupakan ruang vektor, sehingga aljabar atas lapangan pasti memiliki basis. Sebarang subruang vektor pasti memiliki basis, demikian pula ideal dari aljabar atas lapangan juga mempunyai basis. Analogi perumuman ruang vektor ke modul, aljabar atas lapangan dapat diperumum atas  ring  komutatif  dengan  elemen  satuan.  Salah  satu  akibat  perumuman  ini  adalah  bahwa  aljabar atas  ring  komutatif  dengan  elemen  satuan  belum  tentu  mempunyai  basis.  Aljabar  yang  mempunyai basis disebut aljabar bebas
Berdasarkan  [4],  aljabar  lintasan  Leavitt  atas  ring  komutatif 𝑅 dengan  elemen  satuan  selalu merupakan R-aljabar  bebas.  Aljabar  ini  merupakan  perumuman  dari  aljabar  lintasan  Leavitt  atas lapangan.  Temuan  penting  dalam  [4]  adalah  didefinisikannya  ideal  dasar  dalam R-aljabar  lintasan Leavitt. Definisi ideal dasar diperumum [2] dalam R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, sehingga dapat diimplementasikan dalam aljabar lintasan atas 𝑅 . Jika 𝐴 adalah aljabar atas lapangan 𝐹 , maka sebarang ideal 𝐼 di A berlaku: 𝑘𝑥 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐼 untuk setiap 𝑘 ∈ 𝐹\{0} dan  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dengan 𝑋 sebarang  basis  dari 𝐴 .  Hal  ini,  dikarenakan  setiap elemen tak nol di lapangan F selalu mempunyai invers. Sifat tersebut belum tentu berlaku untuk suatu ideal  di R-aljabar  bebas  atas  ring  komutatif  dengan  elemen  satuan.  Wardati,  dkk.  ([2])  telah mendefinisikan Ideal 𝐼 dalam R-aljabar bebas 𝐴 atas ring komutatif dengan elemen satuan, disebut ideal dasar, jika berlaku 𝑟𝑥 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐼 untuk setiap 𝑟 ∈ 𝑅\{0} dan setiap x X  dengan 𝑋 sebarang basis dari R-aljabar bebas 𝐴 . Tampak bahwa setiap ideal dalam aljabar atas lapangan merupakan idel dasar.
Sub-aljabar dari aljabar atas lapangan selalu merupakan aljabar bebas dengan basisnya merupakan subhimpunan suatu basis dari aljabarnya. Akan tetapi sub-aljabar dari aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, belum tentu merupakan aljabar bebas. Wardati, dkk. ([3]) mendefinisikan ideal
bebas  ( free  ideal) 𝐼 dalam R-aljabar  bebas 𝐴 atas  ring  komutatif  dengan  elemen  satuan,  jika 𝐼 merupakan R-subaljabar bebas dengan basis subhimpunan dari suatu basisnya 𝐴 . Artinya, ideal dalam R-aljabar  bebas  meskipun  merupakan  R-subaljabar  bebas  belum  tentu  merupakan  ideal  bebas. Berdasarkan [3, Teorema 2.8], bahwa sebarang ideal dalam aljabar bebas merupakan ideal bebas jika dan hanya jika ideal tersebut merupakan ideal dasar.
Himpunan bilangan rasional ℚ merupakan lapangan, sehingga ℚ dapat dipandang sebagai ruang vektor  atas  dirinya  sendiri.  Selain  itu, ℚ juga  dapat  dipandang  sebagai ℤ -modul  dan  sekaligus ℤ - aljabar, karena ℚ adalah grup abelian aditif. Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat tak nol 𝑚 , 𝑄 𝑚 = { 1 𝑥 |𝑥 ∈ 𝑚ℤ, 𝑥 ≠ 0} ⊂ ℚ membangun ℚ karena untuk setiap 𝑝 𝑞 ∈ ℚ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari elemen-elemen dalam ℚ 𝑚 yaitu 𝑝 𝑞 = 𝑚 ( 1 𝑚𝑞 ) + 2𝑚(𝑝 − 1) ( 1 2𝑚𝑞 ) . Akan tetapi, ℚ 𝑚 tidak bebas linear karena terdapat koefisien tak nol dalam ℤ sehingga
2 ( 1 2 ) + (−4) ( 1 4 ) + 0 ( 1 6 ) + 0 ( 1 8 ) = 0 .
Jadi, ℚ 𝑚 bukan  basis  dari ℤ -aljabar ℚ .  Setiap  bilangan  rasional  tak  nol 𝑎 𝑏 , 𝑐 𝑑 saling  bergantung linear dikarenakan terdapat bilangan bulat 𝑚 = 𝑏𝑐, 𝑛 = −𝑎𝑑 sehingga 𝑚 𝑎 𝑏 + 𝑛 𝑐 𝑑 = 0 . Hal ini berarti bahwa ℤ -aljabar ℚ . tidak mempunyai basis, sehingga ℚ merupakan ℤ -aljabar tak bebas. Karena ℚ lapangan  maka  ideal  dari ℤ -aljabar ℚ hanyalah  ideal  nol  dan  dirinya  sendiri.  Ambil sebarang bilangan bulat tak nol 𝑚 , maka selalu berlaku bahwa setiap 𝑦 ∈ ℚ 𝑚 dan setiap 0 ≠ 𝑎 ∈ ℤ , 𝑎𝑦 ∈ {0} ⟹ 𝑦 ∈ {0} karena antisedennya selalu salah. Hal ini menginspirasikan bahwa definisi ideal dasar dapat diperumum pada R-aljabar tak bebas dengan melibatkan pembangun aljabarnya yang tidak harus merupakan basis. Perumuman ini berimplikasi perlunya diselidiki sifat-sifat ideal dasar pada R- aljabar tak bebas tersebut.
Berdasarkan ideal dasarnya, telah didefinisikan sifat sederhana mendasar ( basically simple) aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan, sebagai aljabar bebas yang ideal dasarnya hanyalah ideal nol dan dirinya sendiri ([4]). Berdasarkan sifat ini, telah didefinisikan dalam [1] tentang sifat ideal dasar minimal, prima dan semiprima yang secara berurutan mengkarakterisasi aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan, yang semisederhana mendasar ( basically semisimple), prima mendasar ( basically prime) dan semiprime mendasar (basically semiprime) dengan merujuk [6] dan [7].
Penelitian terus berlanjut pada aljabar bebas atas ring komutatif unital. Sifat-sifat ideal dasar minimal yang mengkarakterisasi aljabar semisederhana mendasar telah dikaji dalam [3], sedangkan keprimaan mendasar  aljabar  tersebut  berdasarkan  sifar  ideal  dasar  prima  dibahas  dalam  [2].  Artikel  ini  akan membahas beberapa sifat ideal dasar prima pada aljabar tak bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, setelah dikaji ideal dasar dan ideal bebas dalam aljabar tersebut.
Perumuman Ideal Dasar dan Ideal Bebas dalam Aljabar Atas Ring Komutatif Unital
Definisi ideal prima dalam [6] dan [7] mensyaratkan ring (aljabar)nya dengan elemen satuan. Oleh karenanya, ruang lingkup dalam artikel ini adalah aljabar unital.
Definisi 2.1 [8] Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan. Himpunan tak kosong 𝐴 disebut R-aljabar jika 𝐴 merupakan ring sekaligus R-modul (kiri). Aljabar 𝐴 dikatakan R-aljabar unital jika 𝐴 memiliki elemen satuan 1 𝐴 . Jika diberikan sub-subhimpunan tak kosong 𝑆, 𝐼 ⊆ 𝐴 , maka 𝑆 dikatakan R-subaljabar dari 𝐴 , jika 𝑆 subring dari 𝐴 dan 𝑆 merupakan R-submodul dari 𝐴 . Subhimpunan 𝐼 dikatakan ideal dari R-aljabar A, jika 𝐼 ideal dari ring 𝐴 dan 𝐼 merupakan R-submodul dari R-modul 𝐴 . Grillet [5] mendefinisikan suatu R-aljabar (unital) 𝐴 dikatakan R-aljabar bebas (free R-algebra), jika 𝐴 merupakan  R-modul  bebas,  yang  artinya  modul 𝐴 mempunyai  basis.  Jika  R-aljabar  bebas 𝐴
mempunyai  basis 𝑋 maka 𝐴 dibangun  oleh 𝑋 dinotasikan 𝐴 = 〈𝑋〉 dengan 𝑋 bebas  linear.  Perlu kiranya diingatkan kembali pengertian ideal dasar dalam R-aljabar bebas.
Definisi 2.2 [3] Diberikan R-aljabar bebas 𝐴 . Suatu ideal 𝐼 di 𝐴 dikatakan ideal dasar, jika untuk setiap basis 𝑋 dari 𝐴 berlaku: untuk setiap elemen tak nol 𝑘 ∈ 𝑅 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , jika 𝑘𝑥 ∈ 𝐼 maka 𝑥 ∈ 𝐼 . Jika 𝑋 basis dari R-aljabar bebas 𝐴 maka setiap elemen tak nol 𝑘 ∈ 𝑅 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , berlaku 𝑘𝑥 ≠ 0 . Berdasarkan Definisi 2.2, ideal nol selalu merupakan ideal dasar. Hal ini berakibat bahwa sebarang R-aljabar bebas 𝐴 mempunyai  dua  ideal  dasar  trivial,  yaitu  ideal  nol  dan  dirinya  sendiri sebagaimana telah dikaji dalam [3].
Contoh 2.3 Diberikan ℤ 6 -aljabar bebas 𝑀 = ( ℤ 6 ℤ 6 0 ℤ 6 ) maka ideal 𝐼 = ( ℤ 6 ℤ 6 0 0 ) merupakan ideal dasar. Akan tetapi, ideal 𝐽 = ( 2ℤ 6 2ℤ 6 0 2ℤ 6 ) bukan ideal dasar, karena 2 ( 1 0 0 0 ) = ( 2 0 0 0 ) ∈ 𝐽 tetapi
( 1 0 0 0 ) ∉ 𝐽 .
Ideal 𝐽 dalam  Contoh  2.3  merupakan ℤ 6 -subaljabar  tidak  bebas  dari 𝑀 .  Hal  ini  membuktikan bahwa tidak semua subaljabar dari aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan merupakan aljabar  bebas.  Akan  tetapi,  ideal 𝐼 merupakan ℤ 6 -subaljabar  bebas  dari 𝑀 dengan  basis {( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 )} ,  yang  merupakan  subset  dari  suatu  basis  di 𝑀 .  Perhatikan  bahwa  ideal 2ℤ merupakan ℤ -subaljabar bebas dari aljabar bebas ℤ atas dirinya sendiri. Namun, basis dari 3ℤ adalah singleton {3} atau {−3} yang  bukan  merupakan  subset  dari  sebarang  basis  aljabar ℤ .  Hal  ini menginspirasikan perlunya didefinisikan ideal yang sekaligus merupakan subaljabar bebas dengan basis subset dari suatu basis aljabarnya.
Definisi 2.4 [3] Diberikan R-aljabar bebas 𝐴 . Ideal 𝐼 di 𝐴 dikatakan ideal bebas, jika 𝐼 merupakan R-submodul bebas dari 𝐴 dengan basis subset dari suatu basis dari 𝐴 .
Berdasarkan  Definisi  2.4,  ideal  nol  selalu  merupakan  ideal  bebas  karena  ideal  nol  merupakan subaljabar bebas dengan basis himpunan kosong. Ideal dasar 𝐼 dalam Contoh 2.3 merupakan ideal bebas, sedangkan ideal 𝐽 bukan ideal dasar sekaligus bukan ideal bebas. Ideal 2ℤ dalam ℤ bukan merupakan ideal bebas meskipun 2ℤ merupakan ℤ -submodul bebas. Telah dibuktikan secara lengkap dalam  [3,  Teorema  2.8]  bahwa  ideal 𝐼 dalam R-aljabar  bebas 𝐴 merupakan  ideal  dasar  jika  dan hanya jika 𝐼 merupakan ideal bebas di 𝐴 . Himpunan 𝑀 dalam Contoh 2.3 dapat dipandang sebagai ℤ -aljabar tak bebas dengan 𝐼, 𝐽 keduanya tetap merupakan ideal dari 𝑀 . Jika R-aljabar 𝐴 dibangun oleh 𝑋 ⊂ 𝐴 yang tak bebas linear maka tidak selalu berlaku bahwa setiap elemen tak nol 𝑟 ∈ 𝑅 dan setiap elemen 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟𝑥 ≠ 0 . Hal inilah yang memotivasi perumuman ideal dasar dalam aljabar tak bebas.
Definisi 2.5 Diberikan R-aljabar 𝐴 = 〈𝑋〉 . Ideal 𝐼 di 𝐴 dikatakan ideal dasar, jika untuk setiap elemen tak nol 𝑟 ∈ 𝑅 dan setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , berlaku jika 0 ≠ 𝑟𝑥 ∈ 𝐼 maka 𝑥 ∈ 𝐼 . Perlu dipertegas bahwa R-aljabar 𝐴 = 〈𝑋〉 = {∑ 𝑟 𝑖 𝑥 𝑖 : 𝑚 𝑖=1 𝑟 𝑖 ∈ 𝑅, 𝑥 𝑖 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ 𝑁} dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 tidak harus bebas linear untuk Definisi 2.5. Penegasan inilah yang memperlihatkan perumuman Definisi 2.5 dari  Definisi  2.2.  Jika 𝐼 = {0} maka  antiseden  dalam  Definisi  2.5  selalu  salah,  sehingga  berakibat bahwa ideal nol selalu merupakan ideal dasar.
Akibat 2.6 Sebarang R-aljabar 𝐴 selalu memiliki dua ideal dasar trivial yaitu ideal nol dan 𝐴 itu sendiri.
Contoh  2.7  Diberikan ℤ -aljabar 𝑀 = ( ℤ 6 ℤ 6 0 ℤ 6 ) = 〈𝑋〉 dengan 𝑋 = {( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 1 )} tak
bebas linear. Ideal 𝐼 = ( ℤ 6 ℤ 6 0 0 ) merupakan ideal dasar, dan 𝐽 = ( 2ℤ 6 2ℤ 6 0 2ℤ 6 ) bukan ideal dasar, dengan alasan serupa pada Contoh 2.3.
Tampak jelas dari Contoh 2.7, adanya elemen pembangun ( 1 0 0 0 ) dan bilangan bulat 6 dengan 6 ( 1 0 0 0 ) = ( 0 0 0 0 ) membuktikan  salah  satu  sifat  yang  tidak  bertahan  dalam R-aljabar  tak  bebas. Lihat kembali ideal-ideal 𝐼, 𝐽 dalam ℤ -aljabar 𝑀 . Ideal 𝐼 dibangun oleh {( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 )} = 𝑋 ∩ 𝐼
Akan tetapi, pembangun dari ideal 𝐽 adalah {( 2 0 0 0 ) , ( 0 2 0 0 ) , ( 0 0 0 2 )} ⊄ 𝑋 bahkan pembangun dari 𝐽 juga bukan subset untuk sebarang pembangun dari M. Hal ini menginspirasikan sifat dari ideal dasar dalam R-aljabar tak bebas berikut.
Lemma 2.8 Diberikan ideal dasar 𝐼 dari R-aljabar 𝐴 dan 𝑋 sebarang pembangun dari 𝐴 , maka berlaku: 1. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ∈ 𝐼 jika dan hanya jika 𝑥 merupakan suatu elemen pembangun dari 𝐼 sebagai R-submodul dari 𝐴 ; 2. Untuk setiap elemen tak nol 𝑟 𝑖 ∈ 𝑅 dan setiap 𝑥 𝑖 ∈ 𝑋 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 untuk suatu 𝑛 ∈ 𝑁 , jika 0 ≠ ∑ 𝑟 𝑖 𝑥 𝑖 ∈ 𝐼 𝑛 𝑖=1 maka 𝑥 𝑖 ∈ 𝐼 untuk setiap 𝑖 ;
3. Ideal dasar 𝐼 = 〈𝑋 𝐼 〉 dengan 𝑋 𝐼 = 𝑋 ∩ 𝐼 .
Bukti: Ambil sebarang 𝑥 ⊂ 𝐴 sedemikian sehingga R-aljabar 𝐴 = 〈𝑋〉 . Misalkan 𝐼 ideal dasar dari 𝐴 , maka:
1. (⟹) Ambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian  sehingga 𝑥 ∈ 𝐼 .  Andaikan  bahwa 𝑥 bukan  merupakan suatu elemen pembangun dari 𝐼 sebagai R-submodul dari 𝐴 , maka terdapat elemen tak nol c R  sehingga 𝑐𝑥 ∉ 𝐼 Karena 𝐼 ideal dan 𝑐𝑥 ∉ 𝐼 , diperoleh 𝑥 ∉ 𝐼 kontradiksi dengan 𝑥 ∈ 𝐼 . Jadi, 𝑥 salah satu elemen pembangun 𝐼 . (⇐) Karena x pembangun  dari 𝐼 sebagai R-submodul  dari 𝐴 ,  maka  setiap  elemen  tak  nol r R  dengan 0 ≠ 𝑟𝑥 ∈ 𝐼 berlaku 𝑥 ∈ 𝐼 karena 𝐼 ideal dasar. 2. Ambil sebarang elemen-elemen tak nol 𝑟 𝑖 ∈ 𝑅 dan sebarang 𝑥 𝑖 ∈ 𝑋 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑛 ∈ ℕ , sedemikian sehingga ∑ 𝑟 𝑖 𝑥 𝑖 ∈ 𝐼 𝑛 𝑖=1 . Akan ditunjukkan 𝑥 𝑖 merupakan elemen pembangun 𝐼 sebagai R-submodul untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 . Tanpa mengurangi keumuman bukti, andaikan terdapat 𝑥 𝑗 dengan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 untuk suatu 𝑘 ≤ 𝑛 sedemikian sehingga 𝑥 𝑗 bukan elemen-elemen pembangun 𝐼 sebagai R-submodul.  Artinya,  terdapat  elemen-elemen  tak  nol 𝑐 𝑗 ∈ 𝑅, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 sehingga ∑ 𝑐 𝑗 𝑥 𝑗 ∉ 𝐼 𝑘 𝑗=1 .  Hal  ini  kontradiksi  dengan  yang  diketahui.  Jadi,  haruslah 𝑥 𝑖 merupakan  elemen- elemen pembangun 𝐼 sebagai R-submodul dan menurut sifat 1., 𝑥 𝑖 ∈ 𝐼 untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 karena 𝐼 ideal dasar.
3. Karena 𝐼 merupakan ideal dasar, maka menurut 1., untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 0 ≠ 𝑟𝑥 ∈ 𝐼 , 𝑥 merupakan  elemen  pembangun  dari 𝐼 .  Misalkan  himpunan  semua  elemen  di 𝑋 yang merupakan elemen pembangun 𝐼 dituliskan 𝑋 𝐼 maka
𝑋 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑟𝑥 ∈ 𝐼} = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑥 ∈ 𝐼} = 𝑋 ∩ 𝐼 .
Menurut poin 1. dan 2. diperoleh 𝐼 = 〈𝑋 𝐼 〉 . ∎
Perhatikan kembali Contoh 2.7, ideal dasar 𝐼 dalam aljabar 𝑀 merupakan ℤ -subaljabar tak bebas, sehingga tidak mungkin ideal dasar 𝐼 merupakan ideal bebas. Namun, ideal dasar nol merupakan
ℤ -subaljabar bebas dari aljabar tidak bebas 𝑀 . Uraian  ini menginspirasikan perumuman pengertian ideal bebas dalam Definisi 2.4.
Definisi 2.9 Diberikan R-aljabar 𝐴 = 〈𝑋〉 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 dan 𝐼 ideal dari 𝐴 . Ideal 𝐼 disebut ideal bebas ( free ideal) jika 𝐼 merupakan R-submodul bebas dari 𝐴 dengan basisnya subset suatu pembangun dari 𝐴 . Berdasarkan Definisi 2.9, ideal nol selalu merupakan ideal bebas. Akan tetapi R-aljabar 𝐴 yang tidak bebas pasti bukan merupakan ideal bebas.
Akibat 2.10 Ideal bebas trivial dari R-aljabar tak bebas hanyalah ideal nol, sehingga ideal nol merupakan ideal bebas sekaligus ideal dasar.
Ideal-ideal 𝐼, 𝐽 dari  aljabar 𝑀 pada  Contoh  2.7,  keduanya  bukan merupakan ℤ -submodul  bebas dari 𝑀 maka kedua 𝐼, 𝐽 bukan ideal bebas. Artinya ideal 𝐼 merupakan ideal dasar tetapi bukan ideal bebas. Contoh 2.7 ini dapat sebagai contoh kontra tidak berlakunya Teorema 2.8 dalam [3], pada R- aljabar yang tidak bebas.
Contoh 2.11 Diberikan ℤ -aljabar tak bebas 𝑁 = (ℤ, ℤ 6 ) = 〈{(1,0), (0,1)}〉 maka:
1. Ideal 𝑈 = (ℤ, 0) = 〈{(1,0)}〉 merupakan ideal bebas sekaligus ideal dasar di 𝑁 ;
2. Ideal 𝑉 = (2ℤ, 0) = 〈{(2,0)}〉 bukan ideal bebas dan bukan ideal dasar di 𝑁 ; 3. Ideal 𝑊 = (0, ℤ 6 ) = 〈{(0,1)}〉 adalah ideal dasar tetapi bukan ideal bebas.
Contoh 2.7 dan 2.11 mengisyaratkan hubungan antara ideal dasar dengan ideal bebas dalam R- aljabar tak bebas. Ideal bebas pasti merupakan ideal dasar tetapi tidak sebaliknya, merupakan sifat yang diperkuat oleh Lemma 2.8 dan Definisi 2.9.
Teorema 2.12 Diberikan R-aljabar 𝐴 = 〈𝑋〉 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 dan 𝐼 ideal dari 𝐴 . Jika 𝐼 ideal bebas maka 𝐼 merupakan ideal dasar.
Bukti:  Ideal 𝐼 merupakan  ideal  bebas  dari 𝐴 = 〈𝑋〉 maka  menurut  Definisi  2.9, 𝐼 merupakan  R- submodul bebas dengan 𝐼 = 〈𝑌〉 untuk suatu 𝑌 ⊂ 𝑋 dengan 𝑌 bebas linear. Ambil sebarang elemen tak nol 𝑟 ∈ 𝑅 dan sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 0 ≠ 𝑟𝑥 ∈ 𝐼 maka berdasarkan Lemma 2.8, 𝑥 ∈ 𝑌 , sehingga 𝑥 = 1 𝑅 𝑥 ∈ 𝐼 Jadi, 𝐼 ideal dasar. ∎
Beberapa  sifat  dari  ideal  dasar  dalam R-aljabar  bebas  dibuktikan  dengan  ideal  bebas,  karena keduanya ekuivalen. Akan tetapi menurut Teorema 2.12, ideal bebas dalam R-aljabar tak bebas hanya merupakan syarat perlu dan bukan syarat cukup dari ideal dasar, dengan contoh kontranya Contoh 2.11 poin 3. Ketidakekuivalennya ideal dasar dan ideal bebas merupakan salah satu sifat yang tidak bertahan pada R-aljabar tak bebas, sehingga beberapa sifat ideal dasar tidak dapat dibuktikan dengan ideal bebas. Salah satu sifat ideal dasar tersebut adalah ideal dasar prima.

## Ideal Dasar Prima dan Beberapa Sifatnya
Berdasarkan [6] dan [7], ideal 𝑃 merupakan ideal prima dari ring (aljabar) unital 𝐴 jika 𝑃 ≠ 𝐴 dan untuk  setiap  ideal-ideal 𝐼, 𝐽 ⊆ 𝐴 .  Jika 𝐼𝐽 ⊆ 𝐴 maka 𝐼 ⊆ 𝐴 atau 𝐽 ⊆ 𝐴 .  Secara  analog,  ideal  dasar prima dalam aljabar unital dapat didefinisikan.
Definisi 3.1 Diberikan R-aljabar  unital 𝐴 .  Ideal  dasar 𝑃 ⊊ 𝐴 disebut  ideal  dasar  prima  ( prime  basic  ideal)  jika setiap ideal dasar 𝐼, 𝐽 ⊆ 𝐴 , jika 𝐼𝐽 ⊆ 𝐴 maka 𝐼 ⊆ 𝑃 atau 𝐽 ⊆ 𝑃 .
Definisi 3.1 ini merupakan perumuman ideal dasar prima dalam R-aljabar bebas ([2]). Jelas ideal prima belum tentu merupakan ideal  dasar prima karena idealnya belum  tentu ideal dasar.  Sebagai contoh, ideal prima 3ℤ dalam aljabar ℤ atas dirinya sendiri, bukan merupakan ideal dasar. Namun, ideal dasar prima juga belum tentu ideal prima.
Contoh 3.2 Diberikan ℤ -aljabar 𝑁 pada Contoh 2.11, maka ideal-ideal dasar tak nol dari 𝑁 hanyalah 𝑈 = (ℤ, 0), 𝑊 = (0, ℤ 6 ) .
1. Ideal  dasar 𝑈 adalah  prima,  tetapi 𝑈 bukan  ideal  prima  karena (0,2ℤ 6 )(0,3ℤ 6 ) = {(0,0)} ⊂ 𝑈 dan (0,2ℤ 6 ) ⊄ 𝑈, (0,3ℤ 6 ) ⊄ 𝑈 ;
2. Ideal 𝑊 merupakan ideal dasar prima sekaligus ideal prima;
3. Karena 𝑈𝑊 = {(0,0)} maka  ideal  nol  dalam 𝑁 bukan  ideal  dasar  prima  sekaligus  bukan  ideal prima.
Catatan 3.3 Keprimaan ideal dan ideal dasar dalam R-aljabar 𝐴 tidak saling mempengaruhi. Jika diambil 𝑌 ⊂ 𝑋 dengan 𝑋 pembangun R-aljabar tak bebas 𝐴 maka R-submodul yang dibangun oleh 𝑌, 〈𝑌〉 = {𝑟𝑦|𝑟 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑌} belum tentu merupakan ideal dari 𝐴 . Sebagai contoh, 〈( 1 0 0 0 )〉 = ( ℤ 6 0 0 0 ) adalah ℤ -submodul  sekaligus ℤ -subaljabar  yang  bukan  ideal  dari 𝑀 pada  Contoh  2.7. Submodul  tersebut  dibangun  oleh  singleton {( 1 0 0 0 )} .  Telah  diketahui  bersama bahwa R-aljabar 𝐴 merupakan ring, sehingga untuk setiap 𝑝 ∈ 𝐴 dapat didefinisikan ideal (dua sisi) yang dibangun oleh 𝑝 , yaitu:
(𝑝) = {∑ 𝑎 𝑖 𝑝𝑏 𝑖 |𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ 𝐴 𝑖 } (1)
Contoh 3.4 Diberikan ℤ -aljabar 𝑀 pada Contoh 2.7 dan 𝑁 pada Contoh 2.11.
1. ( 1 0 0 0 ) , ( 2 0 0 0 ) ∈ 𝑀 dengan ( 1 0 0 0 ) ∈ 𝑋, ( 2 0 0 0 ) ∉ 𝑋 . Menurut persamaan (1), diperoleh ideal- ideal dari 𝑀 berikut:
a. (( 1 0 0 0 )) = ( ℤ 6 ℤ 6 0 0 ) = 𝐼 merupakan ideal dasar, dengan (( 1 0 0 0 )) ≠ 〈( 1 0 0 0 )〉 = ( ℤ 6 0 0 0 ) b. (( 2 0 0 0 )) = ( 2ℤ 6 2ℤ 6 0 0 ) = 𝐽′ bukan ideal dasar dengan (( 2 0 0 0 )) ≠ 〈( 2 0 0 0 )〉 = ( 2ℤ 6 0 0 0 ) .
2. 〈(1,0)〉 = ((1,0)) = 𝑈, 〈(0,1)〉 = ((0,1)) = 𝑊 , keduanya ideal dasar dalam 𝑁 yang dibangun oleh elemen pembangun dalam ℤ -modul.
Membangun dalam aljabar 𝐴 sebagai ring, sangat jelas bedanya dengan membangun dalam aljabar 𝐴 sebagai R-modul. Contoh 3.4 poin 1.a., ideal (dua sisi) yang dibangun oleh ( 1 0 0 0 ) ∈ 𝑋 merupakan ideal  dasar.  Karena ( 0 1 0 0 ) = ( 1 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) maka ( 0 1 0 0 ) ∈ 𝐼 akibatnya 𝑘 ( 0 1 0 0 ) = ( 0 (𝑘) 6 0 0 ) ∈ 𝐼 untuk  setiap 𝑘 ∈ ℤ .  Akan  tetapi ( 0 0 0 1 ) ≠ ( 𝑎 𝑏 0 𝑐 ) ( 1 0 0 0 ) ( 𝑝 𝑞 0 𝑟 ) untuk  setiap ( 𝑎 𝑏 0 𝑐 ) , ( 𝑝 𝑞 0 𝑟 ) ∈ 𝑀 maka ( 0 0 0 1 ) ∉ 𝐼 dan untuk setiap 𝑘 ∈ ℤ , jika 𝑘 ( 0 0 0 1 ) ≠ ( 0 0 0 0 ) berakibat 𝑘 ( 0 0 0 1 ) = ( 0 0 0 (𝑘) 6 ) ∉ 𝐼 .  Berdasarkan  Lemma  2.8,  pembangun  ideal  dasar 𝐼 = ( ℤ 6 ℤ 6 0 0 ) = (( 1 0 0 0 )) sebagai submodul adalah {( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 )} ⊂ 𝑋 . Secara sama, kedua ideal dari Contoh
2.7, (( 0 1 0 0 )) = ( 0 ℤ 6 0 0 ) = 〈( 0 1 0 0 )〉 dan (( 0 0 0 1 )) = ( 0 ℤ 6 0 ℤ 6 ) = 〈{( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 1 )}〉 merupakan ideal dasar.
Lemma 3.5 Diberikan R-aljabar 𝐴 = 〈𝑋〉 dengan 𝑋 ⊂ 𝐴 . Jika 𝑥 ∈ 𝑋 maka ideal yang dibangun oleh 𝑥 , yakni (𝑥) merupakan ideal dasar.
Bukti: Jika 𝑥 ∈ 𝑋 ⊂ 𝐴 maka 𝑥 = 1 𝐴 𝑥1 𝐴 ∈ (𝑥) sehingga 𝑋⋂(𝑥) ≠ ∅ . Karena (𝑥) ideal dari R-aljabar 𝐴 maka (𝑥) merupakan R-submodul, sehingga setiap 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑟𝑥 ∈ (𝑥) yang berarti x merupakan salah satu elemen pembangun (𝑥) atas 𝑅 . Ambil sebarang 𝑌 sedemikian sehingga (𝑥) = 〈𝑌〉 . Ambil sebarang elemen tak nol 𝑘 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑌 dengan 𝑦 ∉ (𝑥), 𝑘𝑦 ≠ 0 maka akan ditunjukkan bahwa 𝑘𝑦 ∉ (𝑥) . Karena 𝑦 ∉ (𝑥) maka 𝑦 ≠ ∑ 𝑎 𝑖 𝑥𝑏 𝑖 𝑚 𝑖=1 untuk setiap 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ 𝐴, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 dan 𝑚 ∈ ℕ . Karena 𝑘𝑦 ≠ 0 maka 𝑘𝑦 ≠ 𝑘 ∑ 𝑎 𝑖 𝑥𝑏 𝑖 𝑚 𝑖=1 = ∑ (𝑘𝑎 𝑖 )𝑥𝑏 𝑖 ∈ (𝑥) 𝑚 𝑖=1 dengan 𝑘𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ 𝐴, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 . Terbukti bahwa 𝑘𝑦 ∉ (𝑥) . Jadi, untuk setiap elemen tak nol 𝑘 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑌 , jika 0 ≠ 𝑘𝑦 ∈ (𝑥) maka 𝑦 ∈ (𝑥) dengan kata lain,
(𝑥) ideal dasar. ∎
Beberapa bukti sifat ideal dasar prima dalam R-aljabar bebas dalam [2] menggunakan ideal bebas. Ideal dasar yang dibangun oleh suatu elemen dalam aljabar sebagai ring, juga dapat digunakan untuk menyelidiki dan membuktikan keprimaan suatu ideal dasar.
Teorema 3.6 Diberikan R-aljabar unital 𝐴 , dan ideal dasar 𝑃 ⊂ 𝐴 , maka ketiga pernyataan di bawah ini ekuivalen:
1. Ideal dasar 𝑃 adalah prima.
2. Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 dengan (𝑎), (𝑏) ideal-ideal dasar di 𝐴 , jika (𝑎)(𝑏) ⊆ 𝑃 maka 𝑎 ∈ 𝑃 atau 𝑏 ∈ 𝑃 . 3. Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 dengan (𝑎), (𝑏) ideal-ideal dasar di 𝐴 , jika 𝑎𝐴𝑏 ⊆ 𝑃 maka 𝑎 ∈ 𝑃 atau 𝑏 ∈ 𝑃 .
Bukti: (1  2) Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 sedemikian sehingga (𝑎), (𝑏) ideal-ideal dasar di 𝐴 . Karena 𝑃 ideal dasar prima dan (𝑎)(𝑏) ⊆ 𝑃 , maka menurut Definisi 2.9, (𝑎) ⊆ 𝑃 atau (𝑏) ⊆ 𝑃 . Di sisi lain, 𝑎 = 1 𝐴 𝑎1 𝐴 ∈ (𝑎), 𝑏 = 1 𝐴 𝑏1 𝐴 ∈ (𝑏) sehingga diperoleh 𝑎 ∈ 𝑃 atau 𝑏 ∈ 𝑃 . Kedua, akan ditunjukkan (2  3), ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 sedemikian sehingga (𝑎), (𝑏) ideal-ideal dasar di 𝐴 . Jika 𝑎𝐴𝑏 ⊆ 𝑃 maka  tampak  jelas  bahwa  setiap 𝑎𝑥𝑏 ∈ 𝑎𝐴𝑏 berlaku 𝑎𝑥𝑏 = (1 𝐴 𝑎𝑥)(1 𝐴 𝑏1 𝐴 ) ∈ (𝑎)(𝑏) ⊆ 𝑃 . Berdasarkan hipotesis, diperoleh 𝑎 ∈ 𝑃 atau 𝑏 ∈ 𝑃 . Terakhir, dibuktikan (3  1). Ambil sebarang ideal- ideal dasar 𝐼, 𝐽 di 𝐴 sedemikian sehingga 𝐼𝐽 ⊂ 𝑃 , dan 𝐼 ⊄ 𝑃 . Menurut Lemma 2.8, 𝐼 = 〈𝑋 𝐼 〉, 𝐽 = 〈𝑋 𝐽 〉 dengan 𝑋 𝐼 = 𝑋⋂𝐼, 𝑋 𝐽 = 𝑋⋂𝐽 sehingga  terdapat  elemen  pembangun 𝑢 ∈ 𝑋 𝐼 ⊂ 𝐼, 𝑢 ∉ 𝑃 .  Berdasarkan Lemma 3.5, (𝑢) ideal dasar dan untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑋 𝐽 ⊂ 𝐽, (𝑣) juga ideal dasar. Di sisi lain, 𝑢𝐴𝑣 ⊂ 𝐼𝐽 ⊂ 𝑃 sehingga berdasarkan hipotesis diperoleh 𝑣 ∈ 𝑃 untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑋 𝐽 . Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝐽 , maka terdapat 𝑘 𝑗 ∈ 𝑅, 𝑣 𝑗 ∈ 𝑋 𝐽 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 sehingga 𝑥 = ∑ 𝑘 𝑗 𝑣 𝑗 ∈ 𝑃 𝑚 𝑗=1 . Diperoleh bahwa 𝐽 ⊂ 𝑃 . Jadi, 𝑃 ideal dasar prima.
Teorema  3.6  adalah  syarat  perlu  dan  cukup  ideal  dasar  prima  dalam R-aljabar 𝐴 ,  yang  tidak berubah dengan adanya generalisasi dari aljabar bebas. Perbedaan utama pembuktian syarat perlu dan cukup ideal dasar prima dalam aljabar bebas pada [2,Proposisi 3.4], terletak pada peran ideal bebas karena  ekuivalen  dengan  ideal  dasar  pada  bukti  (3  1).  Tampak  bahwa  bukti  Teorema  3.6  tidak menggunakan ideal bebas tetapi cukup pembangunnya yang belum tentu bebas linear. Teorema 3.6 memberikan kemudahan dalam menyelidiki suatu ideal dasar apakah prima atau tidak. Sebagai contoh, Ideal nol di 𝑁 bukan ideal dasar prima karena ((1,0)), ((0,1)) = {(0,0)} . Demikian pula, ideal nol di 𝑀 juga tidak prima karena terdapat 𝑎 = ( 0 1 0 0 ) sehingga 𝑎𝑀𝑎 = {( 0 0 0 0 )} .

## Kesimpulan
Diberikan R-aljabar unital 𝐴 atas ring komutatif 𝑅 dengan elemen satuan. Ideal dasar dalam R-aljabar bebas  merupakan  syarat  perlu  dan  cukup  ideal  bebas.  Akan  tetapi,  ideal  dasar  hanya  merupakan syarat perlu ideal bebas dalam R-aljabar tak bebas. Secara umum, ideal bebas pasti merupakan ideal dasar tetapi tidak sebaliknya.
Ideal prima dan ideal dasar prima dalam R-aljabar 𝐴 didefinisikan secara analog, namun keduanya tidak saling bergantung. Artinya, ideal prima belum tentu ideal dasar prima dan sebaliknya ideal dasar prima  juga  belum  tentu  ideal  prima.  Ideal  dasar  yang  dibangun  oleh  suatu  elemen  dalam  aljabar sebagai ring dapat mengkarakterisasi ideal dasar prima. Hasil utama dalam artikel ini adalah Teorema 3.6. yaitu syarat perlu dan cukup dari ideal dasar prima dalam R-aljabar 𝐴 . Pembuktian teorema ini tidak melibatkan ideal bebas, tetapi menggunakan peran dari pembangun ideal dasar yang dipandang sebagai  submodul.  Kajian  dapat  dilanjutkan  pada  karakteristik  ideal  dasar  yang  lain  maupun  sifat aljabar berdasarkan ideal dasarnya.

## Ucapan Terimakasih
Terimakasih  kepada  LPPM  UIN  Sunan  Kalijaga  Yogyakarta  yang  telah  mendanai  penelitian  Klaster Research Leader Nasional tahun 2018. Artikel ini merupakan bagian dari hasil penelitian tersebut.

## Referensi
[1] K. Wardati, I.E. Wijayanti, S. Wahyuni, 2012, Ideal Mendasar dalam Aljabar Lintasan Leavitt, Prosiding pada Konferensi Nasional Matematika XVI, Jurusam Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, Indonesia, 75-84.
[2] K. Wardati, I.E. Wijayanti, S. Wahyuni, 2014, On Primeness of Path Algebras over a Unital Commutative Ring, JP. Journal of Algebra, Number Theory and Applications, 34(2), 121-138
[3] K. Wardati, I.E. Wijayanti, S. Wahyuni, 2015, On Free Ideals In Free Algebras Over A Commutative Ring, J. Indones. Math. Soc, 21 (1)}, 59-69.
[4] M. Tomforde, 2011 , Leavitt Path Algebras with Coefficient in a Commutative Ring, J. Pure. Appl. Algebra, 215, 471- 484.
[5] P. A. Grillet, 2007, Abstract Algebra, Graduated Texts in Mathematics, Spinger-Verlag, New York.
[6] R. Wisbauer ,  1991,  Foundations  of  Module  and  Ring  Theory,  A  Handbook  for  Study  and  Research,  University  of Dusseldorf, Gordon and Breach Publisher.
[7] T.Y. Lam, 1991, A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, New York.
[8] W.A. Adkins , S.S. Weintraub, 1999, Algebra an Approach Via Module Theory, Springer-Verlag NewYork, 1999.