## SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP

## Fatkhur Rozi, Ari Wardayani, dan Suroto
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman email : cahcilacap07@yahoo.com
ABSTRACT . This paper discusses a fuzzy subgroup of a classical group. It’s constructed by defining  fuzzy  subsets  and  employing  products  and  inverse  notions  on  classical  group.  The result  obtained  is  sufficient  and  necessary  conditions  for  the  fuzzy  subset  to  be  fuzzy subgroup.
Keywords : group, fuzzy subset, fuzzy subgroup
ABSTRAK. Makalah  ini  membahas  tentang  subgrup  fuzzy  atas  suatu  grup  klasik. Pembentukan  subgrup  fuzzy  dilakukan  melalui  subhimpunan  fuzzy    dengan  memanfaatkan nilai  dari  hasil  kali  dua  buah  elemen  serta  invers  elemen  pada  grup  klasiknya.  Hasil  yang diperoleh adalah syarat cukup dan perlu suatu subhimpunan fuzzy merupakan subgrup fuzzy.
Kata kunci: grup, subhimpunan fuzzy, subgrup fuzzy

## I.  PENDAHULUAN
Operasi  biner  pada  suatu  himpunan  tak  kosong  S  merupakan  suatu  fungsi  dari SxS ke S (Judson, 2011). Grup merupakan suatu sistem matematika yang terdiri atas sebuah  himpunan  tak  kosong  dan  dilengkapi  dengan  sebuah  operasi  biner  yang memenuhi sifat assosiatif, memiliki elemen identitas, dan setiap elemennya memiliki invers  (Fraeligh,  2000).  Selanjutnya  suatu  grup  yang  operasi  binernya  bersifat komutatif  dinamakan  grup  komutatif  (abel).  Kajian  mengenai  teori  grup  klasik kebanyakan dilakukan pada himpunan tegas ( crisp ).
Kajian  mengenai konsep himpunan mulai berkembang pada sekitar tahun 1965 yang  ditandai  dengan  adanya  perluasan  dari  konsep  himpunan  tegas  menjadi himpunan fuzzy (samar).  Menurut Malik dan Mordeson (2002), himpunan fuzzy atas suatu  himpunan 𝑋 merupakan  suatu  fungsi  dari 𝑋 ke  interval  tutup  [0,1]  dan merupakan  generalisasi  dari  himpunan  tegas.    Dengan  kata  lain,  himpunan  tegas merupakan  kasus  khusus  dari  himpunan  fuzzy,  sehingga  sifat  yang  ada  pada
JMP : Volume 6 Nomor 1, Juni 2014, hal. 33 - 44
himpunan  tegas  pasti  dapat  dinyatakan  sebagai  kasus  khusus  dari  sifat  himpunan fuzzy.
Pembahasan mengenai teori dan aplikasi dari himpunan fuzzy banyak dilakukan pada  tahun-tahun  berikutnya.  Beberapa  aplikasi  konsep  himpunan  fuzzy  pada kehidupan  nyata  telah  di  bahas  oleh  Lee  (2005).    Pembahasan  mengenai pembentukan  subhimpunan  fuzzy  pada  suatu  grup  klasik  telah  dibahas  oleh Mordeson  dkk  (2005).  Selanjutnya,  penelitian  mengenai  penggunaan  konsep himpunan fuzzy pada pembentukan ruang vektor dan matriks juga telah di bahas oleh Mufidah (2011). Pada tulisan ini dibahas mengenai pembentukan subgrup fuzzy dari suatu  grup  klasik  dan  beberapa  sifat  yang  terkait,  serta  contoh  kasusnya.  Pada pendefinisian subgrup fuzzy ini akan memanfaatkan konsep subhimpunan fuzzy dari suatu grup klasik. Selanjutnya dengan membentuk subgrup fuzzy ini maka suatu grup klasik  akan  dapat  dinyatakan  sebagai  kasus  khusus  dari  suatu  subgrup  fuzzy.  Pada bagian utama tulisan ini, pertama akan dibahas mengenai pembentukan subgrup fuzzy atas  suatu  grup  klasik.  Kedua,  akan  dibahas  mengenai  sifat  terkait  subgrup  fuzzy yakni syarat cukup dan perlu dari suatu subhimpunan fuzzy merupakan subgrup fuzzy yang merupakan hasil utama pada tulisan ini.

## II. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  suatu  penelitian  yang  didasarkan  pada  studi  literatur yang  meliputi  kajian-kajian  secara  teoritis.  Langkah  awal  yang  dilakukan  adalah mendefinisikan  sembarang  grup  klasik  dan  membentuk  subhimpunan  fuzzy  pada grup  klasik  tersebut.  Dari  subhimpunan  fuzzy  ini,  selanjutnya  dapat  dibentuk  suatu subgrup  fuzzy  atas  suatu  grup  klasik  dan  beberapa  contoh  kasusnya.  Langkah berikutnya  adalah  membuktikan  beberapa  sifat  terkait  syarat  cukup  dan  perlu  dari suatu subhimpunan fuzzy merupakan subgrup fuzzy dan contoh kasusnya.
34                                                                                                                        Fatkhur Rozi, dkk.

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian  ini  merupakan  bagian  utama  dari  tulisan  ini  yang  berisi  tentang pembentukan subgrup fuzzy dan sifat terkait subgrup fuzzy.

## 3.1 Pembentukan Subgrup Fuzzy
Untuk  membentuk  suatu  subgrup  fuzzy  maka  terlebih  dahulu  didefinisikan subhimpunan  fuzzy  atas  suatu  grup  klasik.  Apabila 𝐺 adalah  suatu    grup  (klasik), maka  untuk  mendefinisikan  subhimpunan  fuzzy  atas  grup 𝐺 sama  halnya  dengan mendefinisikan suatu subhimpunan fuzzy atas sembarang himpunan 𝑋 .

## Definisi 1
Misalkan G adalah suatu grup. Subhimpunan fuzzy atas grup G adalah fungsi 𝜇: 𝐺 → [0,1] yang  mengaitkan  setiap  elemen  di  G  ke  interval  tutup [0,1]. Selanjutnya, himpunan  dari  semua  subhimpunan  fuzzy  atas  G  dinamakan  himpunan  kuasa  fuzzy atas grup G dan dinotasikan dengan FP(G) dan 𝜇(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 dinamakan nilai keanggotaan elemen 𝑥 pada subhimpunan fuzzy 𝜇 .
Berikut merupakan contoh mengenai subhimpunan fuzzy atas suatu grup.
Contoh 1
Diketahui bahwa ℤ 5 − {0̅} merupakan grup dengan operasi × 5 . Order elemen 𝑥 pada suatu grup merupakan bilangan bulat positif terkecil 𝑛 sedemikian hingga 𝑥 𝑛 = 1 dan ditulis 𝑑(𝑥) = 𝑛 .  Didefinisikan  fungsi 𝜇 ∶ ℤ 5 − {0̅} → [0,1] dengan 𝜇(𝑥) = 1 𝑜𝑟𝑑(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ 5 − {0̅} . Perhatikan bahwa 𝑜𝑟𝑑(1̅) = 1 , 𝑜𝑟𝑑(2̅) = 4 , 𝑜𝑟𝑑(3̅) = 4 , dan 𝑜𝑟𝑑(4̅) = 2 ,  sehingga  diperoleh 𝜇(1̅) = 1 , 𝜇(2̅) = 0,25 , 𝜇(3̅) = 0,25 ,  dan 𝜇(4̅) = 0,5 .  Dengan  demikian 𝜇 adalah  suatu  fungsi  dimana 𝜇(𝑥) ∈ [0,1] untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ 5 − {0̅} ,  sehingga 𝜇 merupakan  subhimpunan  fuzzy  atas  grup ℤ 5 − {0̅} dan 𝜇 ∈ 𝐹𝑃(ℤ 5 − {0̅}) .

## Contoh 2
Diketahui 𝐻 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} yang  dilengkapi  operasi × merupakan  suatu  grup. Didefinisikan fungsi 𝜎 dengan
𝜎(𝑥) = { 𝑐𝑜𝑠 ( Arg⁡(𝑥)
2 ) , untuk⁡𝑥 = 1, 𝑖, −𝑖
𝑠𝑖𝑛 ( Arg⁡(𝑥) 3 ) , untuk⁡𝑥 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
dan Arg( 𝑥 ) adalah argumen utama dari 𝑥 . Perhatikan bahwa Arg(1) = 0 , Arg(−1) = 𝜋 , Arg(𝑖) = 𝜋 2 ,  dan Arg(−𝑖) = − 𝜋 2 ,  sehingga  hasil  dari 𝜎(1) = 1 , 𝜎(−1) = √3 2 ,
𝜎(𝑖) = √2 2 , dan 𝜎(−𝑖) = √2 2 . Dengan demikian 𝜎 adalah suatu fungsi dimana 𝜎(𝑥) ∈ [0,1] untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐻 .  Dengan  kata  lain 𝜎 merupakan  subhimpunan  fuzzy  atas grup 𝐻 dan 𝜎 ∈ 𝐹𝑃(𝐻) .
Selanjutnya didefinisikan operasi  biner dan uner pada himpunan kuasa fuzzy atas  grup 𝐺 yang  akan  digunakan  untuk  membuktikan  beberapa  sifat  yang  berlaku pada subgrup fuzzy atas grup 𝐺 . Definisi dari operasi biner dan uner pada himpunan kuasa fuzzy atas grup 𝐺 dijelaskan pada definisi berikut.

## Definisi 2
Misalkan 𝐺 adalah suatu grup. Operasi biner ∘ dan uner −1 pada 𝐹𝑃(𝐺) berturut- turut didefinisikan dengan
(𝜇 ∘ 𝑣)(𝑥) = sup{min{𝜇(𝑦), 𝑣(𝑧)}|𝑦𝑧 = 𝑥, untuk⁡𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺} dan 𝜇 −1 (𝑥) = 𝜇(𝑥 −1 ) untuk setiap 𝜇, 𝑣 ∈ 𝐹𝑃(𝐺) dan 𝑥 ∈ 𝐺 .
Selanjutnya 𝜇 ∘ 𝑣 dinamakan hasil kali dari 𝜇 dan  , serta 𝜇 −1 dinamakan invers dari 𝜇 .
Subgrup  fuzzy atas  grup 𝐺 merupakan subhimpunan fuzzy  atas  grup 𝐺 yang memenuhi  syarat-syarat  tertentu.  Berikut  diberikan  definisi  dari  subgrup  fuzzy  atas grup 𝐺 .
36                                                                                                                        Fatkhur Rozi, dkk.

## Definisi 3
Misalkan G adalah grup dan 𝜇 ∈ 𝐹𝑃(𝐺) maka 𝜇 dikatakan subgrup fuzzy atas 𝐺 jika memenuhi 𝜇(𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} dan 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺
Untuk  selanjutnya,  himpunan  dari  semua  subgrup  fuzzy  atas  grup  G  dinotasikan F(G)
Contoh berikut merupakan penjelasan dari subgrup fuzzy atas suatu grup.

## Contoh 3
Diketahui  bahwa 𝜇 ∶ ℤ 5 − {0̅} → [0,1] dengan 𝜇(𝑥) = 1 𝑜𝑟𝑑(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ ℤ 5 − {0̅} merupakan  subhimpunan  fuzzy  atas  grup ℤ 5 − {0̅} .  Selanjutnya  akan  diselidiki apakah 𝜇 merupakan subgrup fuzzy atas grup ℤ 5 − {0̅} .
Tabel 1. Hasil operasi subhimpunan fuzzy 𝜇 𝒙 𝒚 𝒙 × 𝟓 𝒚 𝝁(𝒙 × 𝟓 𝒚) 𝝁(𝒙) 𝝁(𝒚) 𝐦𝐢𝐧{𝝁(𝒙), 𝝁(𝒚)} 1̅ 1̅ 1̅ 1 1 1 1 1̅ 2̅ 2̅ 1 4 1 1 4 1 4 1̅ 3̅ 3̅ 1 4 1 1 4 1 4 1̅ 4̅ 4̅ 1 2 1 1 2 1 2 2̅ 1̅ 2̅ 1 4 1 4 1 1 4 2̅ 2̅ 4̅ 1 4 1 4 1 4 1 4 2̅ 3̅ 1̅ 1 1 4 1 4 1 4 2̅ 4̅ 3̅ 1 4 1 4 1 2 1 4 3̅ 1̅ 3̅ 1 4 1 4 1 1 4 3̅ 2̅ 1̅ 1 1 4 1 4 1 4
3̅
3̅ 4̅ 1 2 1 4 1 4 1 4 3̅ 4̅ 2̅ 1 4 1 4 1 2 1 4 4̅ 1̅ 4̅ 1 2 1 2 1 1 2 4̅ 2̅ 3̅ 1 4 1 2 1 4 1 4 4̅ 3̅ 2̅ 1 4 1 2 1 4 1 4 4̅ 4̅ 1̅ 1 1 2 1 2 1 2 Tabel 2. Hasil dari invers subhimpunan fuzzy 𝜇 𝒙 𝒙 −𝟏 𝝁(𝒙) 𝝁( 𝒙 −𝟏 ) 1̅ 1̅ 1 1 2̅ 3̅ 1 4 1 4 3̅ 2̅ 1 4 1 4 4̅ 4̅ 1 2 1 2
Berdasarkan  hasil  Tabel  1  diperoleh  bahwa 𝜇(𝑥 × 5 𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan  dari  hasil  Tabel  2  diperoleh 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 . Dengan 𝜇 merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup ℤ 5 − {0̅} .

## Contoh 4
Diketahui 𝐻 = {1, −1, 𝑖, −𝑖} yang  dilengkapi  operasi × merupakan  suatu  grup  dan fungsi 𝜎 dengan definisi
𝜎(𝑥) = { 𝑐𝑜𝑠 ( Arg⁡(𝑥) 2 ) , untuk⁡𝑥 = 1, 𝑖, −𝑖 𝑠𝑖𝑛 ( Arg⁡((𝑥)
3 ) , untuk⁡𝑥 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
38                                                                                                                        Fatkhur Rozi, dkk.
adalah suatu subhimpunan fuzzy. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝜎 merupakan subgrup fuzzy atas grup H .
Tabel 3. Hasil operasi subhimpunan fuzzy 𝜎 𝒙 𝒚 𝒙 × 𝒚 𝝈( 𝒙 × 𝒚 ) 𝝈( 𝒙 ) 𝝈( 𝒚 ) 𝐦𝐢𝐧{ 𝝈 (𝒙), 𝝈 (𝒚)} 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 √3 2 1 √3 2 √3 2 1 𝑖 𝑖 √2
2 1 √2 2 √2 2 1 −𝑖 −𝑖 √2 2 1 √2 2 √2 2 −1 1 −1 √3 2 √3 2 1 √3 2 −1 −1 1 1 √3 2 √3 2 √3 2 −1 𝑖 −𝑖 √2 2 √3 2 √2 2 √2 2 −1 −𝑖 𝑖 √2 2 √3 2 √2 2 √2 2 𝑖 1 𝑖 √2 2 √2 2 1 √2 2 𝑖 −1 −𝑖 √2 2 √2 2 √3 2 √2 2 𝑖 𝑖 −1 √3 2 √2 2 √2 2 √2 2 𝑖 −𝑖 1 1 √2 2 √2 2 √2 2 −𝑖 1 −𝑖 √2 2 √2 2 1 √2 2 −𝑖 −1 𝑖 √2 2 √2 2 √3 2 √2 2 40                                                                                                                        Fatkhur Rozi, dkk.
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup                                                                                                 39
−𝑖 𝑖
1 1 √2 2 √2 2 √2 2 −𝑖 −𝑖 −1 √3 2 √2 2 √2 2 √2 2
Tabel 4. Hasil dari invers subhimpunan fuzzy 𝜎 𝒙 𝒙 −𝟏 𝝈(𝒙) 𝝈( 𝒙 −𝟏 ) 1 1 1 1 −1 −1 √3 2 √3 2 𝑖 −𝑖 √2 2 √2 2 −𝑖 𝑖 √2 2 √2 2
Berdasarkan  hasil  Tabel  3  diperoleh  bahwa 𝜎(𝑥 × 𝑦) ≥ min{𝜎(𝑥), 𝜎(𝑦)} untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dan dari hasil Tabel  4 diperoleh 𝜎(𝑥 −1 ) ≥ 𝜎(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 . Dengan demikian 𝜎 merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup 𝐻 .

## 3.2 Sifat Terkait Subgrup Fuzzy
Pada bagian ini dijelaskan mengenai beberapa sifat terkait subgrup fuzzy, khususnya sifat  yang  terkait  dengan  syarat  cukup  dan  perlu  dari  suatu  subhimpunan  fuzzy merupakan  subgrup  fuzzy.  Sebelumnya  terlebih  dahulu  disajikan  Lemma  berikut yang menjelaskan tentang nilai keanggotaan elemen identitas pada subgrup fuzzy atas suatu grup.

## Lemma 1
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup                                                                                                 41
Misalkan 𝜇 ∈ 𝐹(𝐺) dan  e  adalah  elemen  identitas  pada  grup  G,  maka  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 berlaku
1. 𝜇(𝑒) ≥ 𝜇(𝑥)
2. 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥 −1 )
Bukti.
1.  Perhatikan  bahwa 𝐺 adalah  suatu  grup,  jadi  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 selalu  terdapat 𝑥 −1 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥𝑥 −1 = 𝑒 . Dari sini diperoleh bahwa 𝜇(𝑒) = 𝜇(𝑥𝑥 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑥 −1 )} ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑥)} = 𝜇(𝑥) .
Jadi untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 berlaku 𝜇(𝑒) ≥ 𝜇(𝑥)
2.  Perhatikan bahwa untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 dapat dinyatakan sebagai (𝑥 −1 ) −1 . Dari sini diperoleh
𝜇(𝑥) = 𝜇((𝑥 −1 ) −1 ) ≥ 𝜇(𝑥 −1 ) .
Selanjutnya, karena 𝜇 adalah suatu subgrup fuzzy  atas grup G maka untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺⁡ berlaku 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) .  Lebih  lanjut  karena 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 −1 ) dan 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ 𝜇(𝑥) maka haruslah 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥 −1 ) . ∎
Pada Contoh 3 dijelaskan bahwa 𝜇 merupakan suatu subgrup fuzzy atas grup ℤ 5 − {0̅} dengan  elemen  identitas 𝑒 = 1̅ .  Dari  Tabel  1  terlihat 𝜇(1̅) ≥ 𝜇(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ ℤ 5 − {0̅} ,  dan  pada  Tabel  2  terlihat  bahwa 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥 −1 ) untuk  setiap 𝑥 ∈ ℤ 5 − {0̅} .  Sementara  itu,  pada  Contoh  4  dijelaskan  bahwa 𝜎 merupakan  suatu subgrup fuzzy atas grup 𝐻 dengan 𝑒 = 1 . Dari Tabel 3 dapat diketahui bahwa 𝜎(1) ≥ 𝜎(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐻 ,  dan  pada  Tabel  4  dapat  terlihat  bahwa 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑥 −1 ) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐻 .
Teorema-teorema berikut ini menjelaskan   tentang  syarat  cukup  dan  perlu untuk  suatu  subhimpunan  fuzzy  atas  suatu  grup  menjadi  subgrup  fuzzy  atas  suatu grup.
Teorema 1.
42                                                                                                                        Fatkhur Rozi, dkk.
𝜇 ∈ 𝐹𝑃(𝐺) merupakan subgrup fuzzy atas grup G jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 , 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)}
Bukti .
( )  Diketahui 𝜇 ∈ 𝐹𝑃(𝐺) merupakan subgrup fuzzy atas grup 𝐺 , maka untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦 −1 )} . Karena untuk  setiap 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝜇(𝑦) = 𝜇(𝑦 −1 ) maka  akibatnya 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} .
( )  Diketahui  bahwa  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 , 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} ,  maka diperoleh
𝜇(𝑒) = 𝜇(𝑥𝑥 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑥)} = 𝜇(𝑥) , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 .
Hal  ini  mengakibatkan 𝜇(𝑥) = 𝜇(𝑒𝑥) ≥ ⁡min{𝜇(𝑒), 𝜇(𝑥 −1 )} = 𝜇(𝑥 −1 ) ,  dengan  kata lain  berlaku 𝜇(𝑥) ≥ 𝜇(𝑥 −1 ) .  Sementara  itu (𝑥 −1 ) = 𝜇(𝑒𝑥 −1 ) ≥ ⁡min{𝜇(𝑒), 𝜇(𝑥)} = 𝜇(𝑥) ,  yang  berarti  bahwa 𝜇(𝑥 −1 ) ≥ ⁡𝜇(𝑥) .  Jadi  terbukti  bahwa 𝜇(𝑥 −1 ) = ⁡𝜇(𝑥) , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 .
Selanjutnya, 𝜇(𝑥𝑦) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦 −1 )⁡} ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)⁡} untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 .
Dengan demikian syarat 1 dan 2 untuk subgrup fuzzy terpenuhi. Jadi terbukti bahwa 𝜇 merupakan subgrup fuzzy atas grup 𝐺 . ∎
Pada  Contoh  3  dijelaskan  bahwa  apabila 𝜇 merupakan  suatu  subgrup  fuzzy atas  grup ℤ 5 − {0̅} maka  berlaku 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ 5 − {0̅} .  Sebaliknya  apabila  diketahui 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ min{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ 5 − {0̅} maka  terlihat  bahwa 𝜇 merupakan  suatu  subgrup  fuzzy  atas  grup ℤ 5 − {0̅} . Demikian juga berlaku untuk Contoh 4.
Teorema 2
𝜇 ∈ 𝐹𝑃(𝐺) merupakan subgrup fuzzy atas grup 𝐺 jika dan hanya jika 𝜇 memenuhi 1. 𝜇 ∘ 𝜇 ⊆ 𝜇
2 . 𝜇 −1 = 𝜇 .
Bukti.
SubGrup Fuzzy Atas Suatu Grup                                                                                                 43
( )  Diketahui 𝜇 merupakan subgrup fuzzy atas 𝐺 . Akan ditunjukkan 𝜇 ∘ 𝜇 ⊆ 𝜇 dan 𝜇 −1 = 𝜇 ,  yakni  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 berlaku (𝜇 ∘ 𝜇)(𝑥) ≤ 𝜇(𝑥) dan 𝜇 −1 (𝑥) = 𝜇(𝑥) . Perhatikan bahwa
(𝜇 ∘ 𝜇)(𝑥) = 𝑠𝑢𝑝{𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑦), 𝜇(𝑧)}|𝑦𝑧 = 𝑥}
dan  karena 𝜇 adalah  subgrup  fuzzy  dari 𝐺 maka 𝜇(𝑦𝑧) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑦), 𝜇(𝑧)} untuk setiap 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 .
Dengan demikian (𝜇 ∘ 𝜇)(𝑥) ≤ 𝜇(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 dan berarti 𝜇 ∘ 𝜇 ⊆ 𝜇 .
Sementara  itu, 𝜇 −1 (𝑥) = 𝜇(𝑥 −1 ) = 𝜇(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 .  Dengan  demikian terbukti bahwa 𝜇 −1 = 𝜇 .
( )  Diketahui adalah 𝜇 memenuhi 𝜇 ∘ 𝜇 ⊆ 𝜇 dan 𝜇 −1 = 𝜇 . Akan ditunjukkan bahwa 𝜇 merupakan  subgrup  fuzzy  atas  grup 𝐺 .  Perhatikan  bahwa  diketahui 𝜇 ∘ 𝜇 ⊆ 𝜇 , sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ (𝜇 ∘ 𝜇)(𝑥𝑦 −1 ) = 𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦 −1 ) = 𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑥), 𝜇 −1 (𝑦)}} .  Sementara  itu,  karena 𝜇 −1 = 𝜇 maka 𝜇 −1 (𝑦) = 𝜇(𝑦) ,  sehingga 𝜇(𝑥𝑦 −1 ) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇(𝑥), 𝜇(𝑦)} .  Jadi 𝜇 memenuhi  syarat  1 dan  2  subgrup  fuzzy  atas  grup 𝐺 .  Dapat  disimpulkan  bahwa 𝜇 merupakan  subgrup fuzzy atas grup 𝐺 . ∎

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN
Subgrup fuzzy  atas suatu grup 𝐺 dapat  dibentuk  melalui subhimpunan fuzzy atas  grup 𝐺 .  Syarat  cukup  dan  perlu  dari  suatu  subhimpunan  fuzzy  merupakan subgrup  fuzzy  adalah  nilai  keanggotaan  dari  hasil  kali  dari  sembarang  elemen  dan sembarang invers  elemen  pada grup 𝐺 selalu  lebih dari atau sama dengan  minimum dari  nilai  keanggotaan  kedua  elemen 𝐺 tersebut.  Selain  itu,  syarat  cukup  dan  perlu lainnya  adalah  hasil  kali  sembarang  subhimpunan  fuzzy  selalu  termuat  dalam subhimpunan  fuzzy  tersebut,  dan  invers  dari  sembarang  subhimpunan  fuzzy  adalah himpunan fuzzy itu sendiri.
Penelitian  lebih  lanjut  dapat  dilakukan  pada  pembentukan  subgrup  fuzzy normal dan sifat-sifat yang terkait.
44                                                                                                                        Fatkhur Rozi, dkk.

## V. DAFTAR PUSTAKA
Fraleigh,  J.B.,  2002. A  First  Course  in  Abstract  Algebra, 7 rd Edition .  New  York: Addison-Wesley Publising Company.
Judson,  T.W.,  2011. Abstract  Algebra  Theory  and  Application .  Amerika  Serikat: Virginia Commonwealth University Mathematics.
Mordeson,  J.N  dan  Malik,  D.S.  2002. Fuzzy  Automata  and  Languages  Theory  and Applications . Amerika Serikat: Chapman & Hall/CRC.
Mordeson,  J.N, Bhutani, K.R, dan Rosenfeld,  A., 2005. Fuzzy Groups Theory. New York: Springer Berlin Heidelberg.
Lee,  K.H.  2005. First  Course  on  Fuzzy  Theory  and  Applications. Spinger-Verlag Berlin Heidelberg.
Mufidah, A.S., 2011. Ruang Vektor Fuzzy dari Matriks Fuzzy m n  . Skripsi . Malang: Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Malik Ibrahim.