JURNAL GAUSSIAN, Volume 11, Nomor 4, Tahun 2022, Halaman 605 - 615 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PENERAPAN SMOOTHING B-SPLINES PADA HUBUNGAN ANTARA PERTUMBUHAN EKONOMI DAN TINGKAT KEBAHAGIAAN
Muhammad Fajar 1,2* , Eko Fajariyanto 2
1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2 Badan Pusat Statistik *e-mail : mfajar@bps.go.id
DOI: 10.14710/j.gauss.11.4.605-615
Article Info: Received: 2022-06-07 Accepted: 2023-02-20 Available Online: 2023-02-25
Keywords: economic growth; happiness; model;, spline; nonparametrics
Abstract: This study aimed to model the smoothing of B-splines on the relationship between happiness and economic growth. The method used in this research is smoothing B-splines, which were in the process of  determining knot s  and  smoothing  parameters  (λ)  based  on  the minimum GCV. The data used in the study came from Badan Pusat Statistik-Statistics Indonesia. The results of this study concluded that the smoothing of B-splines is quite good at modeling the relationship between  the  level  of  happiness  (response  variable)  and  economic growth  (predictor  variable).  The  smoothing  B-splines  model  can explain the variation in the level of happiness by 71.583 percent.

## 1. PENDAHULUAN
Pertumbuhan ekonomi merupakan salah satu indikator ekonomi makro yang mengukur kinerja perekonomian makro dalam menghasilkan output antar waktu. Sementara itu, output dapat  diinterpretasikan  dari  sisi  pendapatan  nasional  yang  mencerminkan  tingkat kesejahteraan suatu Negara. Namun, kesejahteraan bukannya saja secara ekonomi tetapi juga mengarah pada kebahagiaan yang bersifat “beyond GDP”.  Easterlin (1995) menyimpulkan bahwa  peningkatan  pendapatan  tidak  serta  merta  juga  meningkatkan  kebahagiaan,  ini dikarenakan  norma-norma  penilaian  kesejahteraan  didasarkan  pada  peningkatan  proporsi yang sama sebagai pendapatan aktual masyarakat. Hal yang senada juga disimpulkan oleh Senik (2014) bahwa pada level agregat bukti langsung hubungan antara pendapatan nasional dan  kebahagiaan  hampir  tidak  eksis  karena  keterbatasan  data  dan  masalah  statistika. Kemudian, Easterlin (2013) menyimpulkan bahwa di beberapa negara berkembang, negara transisi,  dan  negara  kurang  berkembang  tidak  relasi  antara  kebahagiaan  dan  pendapatan dalam jangka panjang tetapi dalam jangka pendek terjadi asosiasi positif pada keduanya.
Penulis berpandangan bahwa terjadi kesalahan spesifikasi model yang digunakan pada penelitian Senik (2014) yang menerapkan hubungan linier antara pendapatan nasional dan kebahagiaan, yang sebenarnya hubungan kedua variabel tersebut non linier atau bahkan sulit dibuat  spesifikasinya  secara  parametrik.  Lalu,  Easterlin  (2013)  menggunakan  laju pertumbuhan  produk  domestik  bruto  perkapita  (bukan  data  pertumbuhan  ekonomi  yang berasal  dari  laju  produk  domestik  bruto) dan  kebahagiaan  sehingga  adanya  kemungkinan bias  untuk  menginvestigasi  hubungan  pertumbuhan  ekonomi.  Oleh  karena  itu,  dalam penelitian ini penulis menerapkan smoothing B-splines pada hubungan antara pertumbuhan ekonomi dan kebahagiaan pada kasus Indonesia sebagai solusi atas ketidakmampuan model parametrik, dimana dalam estimasi smoothing B-splines dipengaruhi oleh banyaknya knot dan nilai smoothing parameter (λ).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan  ekonomi  merupakan  salah  satu  indikator  penting  untuk  memonitoring kelangsungan  pembangunan  ekonomi  dan  peningkatan  kesejahteraan  masyaraksuatu
wilayah.  Menurut  Kuznets  (1973)  pertumbuhan  ekonomi  dapat  didefinisikan  sebagai kemampuan suatu negara untuk meningkatkan output berdasarkan kemajuan teknologi yang diiringi  penyesuaian  ideologi.  Boldeanu  dan  Constantinescu  (2015)  menyatakan  bahwa pertumbuhan  ekonomi  dapat  dipengaruhi  oleh  faktor  langsung  maupun  faktor  tidak langsung. Faktor langsung yang dimaksud seperti sumber daya manusia, sumber daya alam, modal, dan kemajuan teknologi, sementara faktor tidak langsung antara lain seperti institusi, permintaan agregat, tingkat tabungan dan investasi, serta migrasi tenaga kerja.
Pertumbuhan  ekonomi  suatu  negara  dapat  diukur  dengan  cara  membandingkan  PNB (Produk Nasional Bruto) atas dasar harga konstan atau PDB (Produk Domestik Bruto) atas dasar harga konstan tahun/ kuartal yang sedang berjalan dengan tahun/kuartal sebelumnya. Di  Indonesia  pertumbuhan ekonomi  diukur  menggunakan  PDB/PDRB  (Produk  Domestik Regional  Bruto)  atas  dasar  harga  konstan.  PDB  pada  dasarnya  merupakan  jumlah  nilai tambah yang dihasilkan oleh seluruh unit usaha dalam suatu negara tertentu, atau merupakan jumlah  nilai  barang  dan  jasa  akhir  yang  dihasilkan  oleh  seluruh  unit  ekonomi.  PDB  atas dasar  harga  berlaku  menggambarkan  nilai  tambah  barang  dan  jasa  yang  dihitung menggunakan  harga  yang  berlaku  pada  setiap  tahun,  sedangkan  PDB  atas  dasar  harga konstan  (PDB  Riil)  menunjukkan  nilai  tambah  barang  dan  jasa  tersebut  yang  dihitung menggunakan harga yang berlaku pada satu tahun tertentu sebagai dasar.

## 2.2. Kebahagiaan
Kesejahteraan masyarakat bukan hanya diartikan hanya mencakup aspek materi fisik, namun  juga  meliputi  aspek  rohani  kejiwaan.  Masyarakat  merupakan  subjek  dan  objek pembangunan  memegang  kunci  penting  bagi  peningkatan  kesejahteraan  dirinya. Kebahagiaan  merupakan  salah  cerminan  dari  aspek  kesejahteraan  dalam  aspek  rohani kejiwaan  (Ng,  1997).    Terdapat  empat  teori  tentang  kebahagiaan  yaitu hedonism , desire , objective  list dan authentic  theory (Seligman,  2002;  Huang,  2008). Hedonism  theory menyatakan  bahwa  kebahagiaan  dapat  diasosiasikan  dalam  upaya  memaksimumkan kesenangan  dan  meminimumkan  penderitaan. Desire  theory menyatakan  bahwa kebahagiaan diasosiasikan sebagai terpenuhinya kebutuhan individu. Pemenuhan kebutuhan dapat  meningkatkan  kebahagiaan  seseorang  tanpa  memandang  kesenangan  yang dihasilkannya.  Menurut objective  list  theory ,  kebahagiaan  tercapai  jika  individu  mampu memenuhi berbagai tujuan yang mencakup kebutuhan hidup dan hubungan sosial, misalnya pemenuhan  kebutuhan  hidup  sehari-hari,  kebebasan  berpendapat,  jaminan  kesehatan, layanan pendidikan, pengetahuan, pertemanan. Dalam authentic theory , kebahagiaan terkait dengan tiga hal yaitu pleasant life/pleasure , good life , dan meaningful .
Di  Indonesia  tingkat  kebahagiaan  diukur  dengan  indeks  kebahagiaan  (BPS,  2015), dimana  indeks  kebahagiaan  adalah  indeks  komposit  yang  disusun  oleh  tingkat  kepuasan terhadap 10 aspek kehidupan yang esensial. Kesepuluh aspek tersebut secara substansi dan bersama-sama  merefleksikan  tingkat  kebahagiaan  yang  meliputi  kepuasan  terhadap:  1) kesehatan,  2)  pendidikan,  3)  pekerjaan,  4)  pendapatan  rumah  tangga,  5)  keharmonisan keluarga,  6)  ketersediaan  waktu  luang,  7)  hubungan  sosial,  8)  kondisi  rumah  dan aset,  9) keadaan  lingkungan,  dan  10)  kondisi  keamanan.  Indeks  kebahagiaan  pada  level  provinsi merupakan rata-rata dari angka indeks yang dimiliki oleh setiap individu di provinsi tertentu pada  tahun  tertentu.  Semakin  tinggi  nilai  indeks  menunjukkan  tingkat  kehidupan  yang semakin bahagia, demikian pula sebaliknya, semakin rendah nilai indeks maka penduduk semakin tidak bahagia.

## 2.3. Hubungan antara Pertumbuhan Ekonomi dan Kebahagiaan
Beberapa penelitian menunjukkan bahwa peningkatan pendapatan tidak secara otomatis juga meningkatkan kebahagiaan (Easterlin, 1995; Clark et al., 2008; Easterlin, 2013; Senik, 2014)  dan  adanya  korelasi  yang  rendah  antara  pendapatan  dan  kebahagiaan (Clark  dan Oswald,  1994;  Frey  dan  Stutzer,  2000;  Rus  dan  Blăjan,  2021).  Namun,  pada  beberapa penelitian  menunjukan  hasil  yang  berbeda,  Argyle  (2001)  menemukan  bahwa  terdapat hubungan  yang positif antara tingkat kebahagiaan dan pertumbuhan ekonomi, tetapi lebih berpengaruh  secara  signifikan  di  negara-negara  miskin.  Esmaiel  dan  Donya  (2013) menunjukkan  hasil  analisis  yang  sama,  yaitu  bahwa  pertumbuhan  ekonomi  memiliki pengaruh  yang  positif  dan  signifikan  terhadap  kebahagiaan  di  58  negara.  Secara  jangka panjang,  hubungan  antara  pertumbuhan  pendapatan  dan  kebahagiaan  adaalah  hubungan yang  positif  namun  sangat  lemah  (Beja,  2014a,  2014b).  Pada  analisis  data  crosssection ditemukan adanya hubungan positif signifikan antara pendapatan dan kebahagiaan di negara maju (Blanchflower dan Oswald 2004; Shields dan Price 2005; Clark et al., 2016) dan di negara  berkembang  (Graham  dan  Pettinato  2002;  Lelkes,  2006).  Luo  (2017) mengungkapkan adanya hubungan positif dan negatif antara kebahagiaan dan pendapatan menurut subpopulasi di China dengan menggunakan hasil survei China Household Income Project  (CHIP)  pada  tahun  2002  dan  2013.  Terjadi  peningkatan  pendapatan  meningkat secara  dramatis  selama  periode  ini,  namun  kebahagiaan  meningkat  untuk  penduduk perkotaan dan migran, tetapi menurun untuk penduduk pedesaan.
Kemudian, Campante dan Yanagizawa-Drott (2014) mempelajari dampak ekonomi dari praktik-praktik  keagamaan  dalam  konteks  pelaksanaan  ibadah  puasa  Ramadan  dan menemukan dua hasil, yaitu: (1) puasa Ramadan yang lebih lama memiliki dampak negatif terhadap pertumbuhan output di negara-negara Muslim, (2) puasa Ramadan meningkatkan kesejahteraan  subjektif  di  kalangan  Muslim,  dan  (3)  bahwa  praktik  keagamaan  dapat mempengaruhi  pilihan  penawaran  tenaga  kerja  dengan  cara  yang  berimplikasi  negatif terhadap kinerja ekonomi, tetapi tetap meningkatkan kesejahteraan subjektif di antara para pengikutnya.
Sementara  itu,  polusi  udara  mempengaruhi  hubungan  antara  PDB  dan  tingkat kebahagiaan  (Fotourehchi  dan  Ebrahimpour,  2019),  dimana  peningkatan  PDB  per  kapita dapat  menyebabkan  penurunan  kebahagiaan  jika  tingkat  polusi  udara  cukup  tinggi. Sebaliknya, jika tingkat polusi udara terlalu rendah, maka peningkatan PDB per kapita dapat menyebabkan peningkatan kebahagiaan.
Dari  berbagai  temuan  penelitian  sebelumnya  terdapat  satu  kesamaan  benang  merah bahwa  model  yang  dikonstruksi  berdasarkan  model  driven,  dimana  hubungan  antara pertumbuhan ekonomi ataupun pendapatan dan tingkat kebahagiaan dispesifikasikan secara linier. Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan konsep data driven, dimana penelitian ini menggunakan empiris hubungan antara dua variabel tersebut berdasarkan sebaran data yang telah terjadi tanpa adanya asumsi spesifikasi yang telah ditentukan terlebih dahulu.

## 2.4. Smoothing B-Splines
Analisis  regresi  adalah  alat  statistika  yang  berfungsi  untuk  menginvestigasi  hubungan antara  variabel  respon (𝑦 𝑖 ) dengan  variabel  prediktor (𝑥 𝑖 ) yang  dituangkan  dalam  sebuah pemodelan  matematis.  Dari n pengamatan  diperoleh  data  berpasangan (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) , maka hubungan antara (𝑥 𝑖 ) dan (𝑦 𝑖 ) dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut:
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 ;    𝑖 = 1,2, … , 𝑛 … (1) dengan: 𝑓(𝑥 𝑖 ) : fungsi/model  regresi,  dan 𝜀 𝑖 : residual  yang  diasumsikan 𝐸(𝜀 𝑖 ) = 0, 𝐸(𝜀 𝑖 𝜀 𝑖≠𝑞 ) = 0, dan 𝐸(𝜀 𝑖 2 ) = 𝜎 2 .
Persamaan  (1)  dikatakan  regresi  parametriks  jika 𝑓(𝑥 𝑖 ) diketahui  bentuk  fungsi berdasarkan teori, penelitian, atau hasil prespefikasi model. Sementara itu,  Persamaan (1)
dikatakan  regresi  nonparametrik,  jika  bentuk  fungsional 𝑓(𝑥 𝑖 ) tidak  diketahui  atau  dari scatter plot antara (𝑥 𝑖 ) dan (𝑦 𝑖 ) memiliki pola yang tidak jelas atau tidak lazim pada bentuk fungsional  seperti  linier,  kuadratik,  kubik,  dan  lainnya.  Pada  estimasi  regresi  parametrik diperlukan  asumsi  yang  ketat  agar  menghasilkan  estimator  yang  BLUE  ( Best  Linear Unbiased  Estimator ),  sedangkan  pada  estimasi  regresi  nonparametrik  tidak  diperlukan asumsi ketat seperti pada regresi parametrik, namun  pada regresi nonparametrik memiliki kerumitan  komputasi  yang  lebih  sulit  dibandingkan  regresi  parametrik,  hal  ini  sebagai implikasi  atas  pola  sebaran  data  yang  tidak  diketahui  atau  tidak  lazim  seperti  lazimnya bentuk fungsionalnya pada regresi parametrik.
B-splines adalah fungsi polinomial yang memiliki sifat tersegmentasi pada selang x yang terbentuk oleh knot ( piecewise polynomial ) yang kemudian ditaksir secara lokal pada selang- selang  tersebut  untuk  derajat  polinomial  tertentu  (de  Boor,  2001).  B-splines  ke - j dengan derajat v berdasarkan deretan sebanyak u knot 𝑡 0 , … , 𝑡 𝑢 untuk 𝑗 = 1, … , 𝑣 + 𝑢 ( u menyatakan banyaknya knot )  dinotasikan dengan formulasi rekursif sebagai berikut:
𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) = 𝑥 − 𝑡 𝑗 𝑡 𝑗+𝑣−1 − 𝑡 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣 − 1) − 𝑥 − 𝑡 𝑗+𝑣 𝑡 𝑗+𝑣 − 𝑡 𝑗+1 𝐵 𝑗+1 (𝑥; 𝑣 − 1) … (2) dengan:
𝐵 𝑗 (𝑥; 0) = { 1      jika 𝑡 𝑗 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡 𝑗+1 0 … (3)
berdasarkan Persamaan (2) dan (3) diperoleh bahwa pada interval [𝑡 𝑣 , 𝑡 𝑢+𝑣+1 ] , maka: ∀ 𝑥:   ∑ 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) 𝑢+𝑣
𝑗=1 = 1
berdasarkan  Persamaan  (1)  bahwa 𝑓(. ) tidak  diketahui  bentuk  fungsional,  maka  fungsi tersebut diaproksimasi dengan fungsi B-splines, dengan formulasi:
𝑓(𝑥) ≈ ∑ 𝛼 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) 𝑢+𝑣=𝑚 𝑗=1 … (4)
Jadi fungsi 𝑓(. ) diasumsikan fungsi smooth yang diaproksimasi dengan kombinasi linier dari B-splines (fungsi B-splines). Berdasarkan Persamaan (4), maka Persamaan (1) menjadi:
𝑦 𝑖 = ∑ 𝛼 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) 𝑚 𝑗=1 + 𝜀 𝑖 … (5)
Persamaan (5) dinotasikan menjadi persamaan matriks:
𝒀 = 𝑩𝜶 + 𝜺 … (6) dengan:
𝒀 = [ 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 ] ; 𝑩 = [ 𝐵 1 (𝑥 1 ; 𝑣) 𝐵 2 (𝑥 1 ; 𝑣) 𝐵 1 (𝑥 2 ; 𝑣) 𝐵 2 (𝑥 2 ; 𝑣) ⋯ 𝐵 𝑚 (𝑥 1 ; 𝑣) ⋯ 𝐵 𝑚 (𝑥 2 ; 𝑣) ⋮ ⋮ 𝐵 1 (𝑥 𝑛 ; 𝑣) 𝐵 2 (𝑥 𝑛 ; 𝑣) ⋱ ⋮ ⋯ 𝐵 𝑚 (𝑥 𝑛 ; 𝑣) ] ; 𝜶 = [ 𝛼 1 𝛼 2 ⋮ 𝛼 𝑛 ] ; 𝜺 = [ 𝜀 1 𝜀 2 ⋮ 𝜀 𝑛 ]
dari Persamaan (6) secara least square diperoleh:
𝜶 ̂ = (𝑩 𝑡 𝑩) −1 𝑩 𝑡 𝒀 … (7) Berdasarkan Persamaan (7), maka estimator untuk model regresi pada Persamaan (5) adalah: 𝒀 ̂ = 𝑩(𝑩 𝒕 𝑩) −1 𝑩 𝒕 𝒀 = 𝑨𝒀 … (8) Penggunaan jumlah knot yang terlalu banyak membuat kurva fungsi B-splines cenderung overfitting sehingga diperlukan penalti pada koefisien yang berdekatan dari B-splines (Eilers dan Marx, 1996; Meyer, 2012; Zhou and Pan, 2013). Secara umum, fungsi obyejtif regresi B-splines yang diberikan pinalti sebagai berikut (Spiriti et al., 2013):
𝜶 ̂ = argmin 𝜶 ∑ (𝑦 𝑖 − ∑ 𝛼 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) 𝑚 𝑗=1 ) 2 𝑛 𝑖=1 + 𝜆 ∫ (∑ 𝛼 𝑗 𝐵 𝑗 ′′(𝑥; 𝑣) 𝑚 𝑗=1 ) 2 𝑥 𝑚𝑎𝑥
𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑥
dengan 𝜆 > 0 adalah smoothing parameter dan 𝐵 𝑗 ′′(𝑥; 𝑣) adalah turunan kedua dari 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) . Berikut  beberapa  turunan  B-splines  dan  fungsi  B-splines  yang  berguna  dalam  proses estimasi:
- Turunan Pertama B-splines
𝜕𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) 𝜕𝑥 = 𝑣 − 𝑡 𝑗 𝑡 𝑗+𝑣−1 − 𝑡 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣 − 1) − 𝑣 − 1 𝑡 𝑗+𝑣 − 𝑡 𝑗+1 𝐵 𝑗+1 (𝑥; 𝑣 − 1),   untuk 𝑣 > 1
𝜕𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣)
𝜕𝑥 = 0,   untuk 𝑣 = 1
- Turunan Kedua B-splines
𝜕 2 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣) 𝜕𝑥 2 = (𝑣 − 1)(𝑣 − 2) ( 1 (𝑡 𝑗+𝑣−1 − 𝑡 𝑗 )(𝑡 𝑗+𝑣−2 − 𝑡 𝑗 ) 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣 − 2) − ( 1 (𝑡 𝑗+𝑣−1 − 𝑡 𝑗 ) + 1 (𝑡 𝑗+𝑣 − 𝑡 𝑗+1 ) ) 1 (𝑡 𝑗+𝑣−1 − 𝑡 𝑗+1 ) 𝐵 𝑗+1 (𝑥; 𝑣 − 2) + 1 (𝑡 𝑗+𝑣 − 𝑡 𝑗+1 )(𝑡 𝑗+𝑣 − 𝑡 𝑗+2 ) 𝐵 𝑗+2 (𝑥; 𝑣 − 2))
- Turunan Pertama fungsi B-splines
𝜕𝑓(𝑥) 𝜕𝑥 = (𝑣 − 1) ∑ 𝛼 𝑗 − 𝛼 𝑗−1 𝑡 𝑗+𝑣−1 − 𝑡 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣 − 1) 𝑚 𝑗=2
- Turunan Kedua fungsi B-splines
𝜕 2 𝑓(𝑥) 𝜕𝑥 2 = (𝑣 − 1)(𝑣 − 2) (∑ 𝛼𝑗−𝛼𝑗−1 𝑡𝑗+𝑣−1−𝑡𝑗 − 𝛼𝑗−1−𝛼𝑗−2 𝑡𝑗+𝑣−2−𝑡𝑗−1 𝑡 𝑗+𝑣−2 −𝑡 𝑗 𝐵 𝑗 (𝑥; 𝑣 − 2) 𝑚 𝑗=3 ) .

## 2.5. Penentuan Knot Optimal pada Smoothing B-Splines
Untuk melakukan pemodelan regresi B-splines dalam penelitian agar diperoleh regresi smoothing B-splines adalah dengan menentukan jumlah knot optimal (𝑡 𝑜𝑝𝑡 ) dan smoothing parameter optimal (𝜆 𝑜𝑝𝑡 ) berdasarkan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) (Devi et al., 2019; Utami et al., 2020):
GCV(𝑡, 𝜆) = 𝑀𝑆𝐸(𝑡, 𝜆) 𝑛 −1 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒[𝑰 − 𝑨(𝑡, 𝜆)] (8)
dengan: 𝑀𝑆𝐸(𝑡, 𝜆) = 𝑛 −1 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 (𝑡, 𝜆)) 2 𝑛 𝑖=1 , I adalah  matriks  identitas, 𝑨(𝑡) : 𝑨 dengan sejumlah knot (𝑡 1 , … , 𝑡 𝑛 ) . Jumlah knot dan smoothing parameter yang optimal adalah jumlah knot dan smoothing parameter yang meminimumkan GCV(𝑡, 𝜆) .

## 2.6. Koefisien Determinasi
𝑅 2 atau  koefisien  determinasi  adalah  ukuran  yang  merefleksikan  seberapa  besar simpangan atau variasi yang dihasilkan oleh suatu model tertentu atas data yang dimodelkan. 𝑅 2 secara umum dirumuskan sebagai berikut:
𝑅 2 = ESS TSS (9) = 1 − RSS TSS ,
dengan:
ESS = ∑(𝑦̂ 𝑖 − 𝑦̅) 2 𝑛 𝑖=1 , RSS = ∑( 𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 ,
TSS = ∑( 𝑦 𝑖 − 𝑦̅) 2 𝑛 𝑖=1 ,              𝑦̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 .
𝑦 𝑖 menyatakan  nilai  observasi  dari  suatu  variabel  respon, 𝑛 menyatakan  banyaknya observasi, 𝑦̅ adalah nilai rata-rata dari observasi atau data respon, 𝑦̂ 𝑖 adalah fitted value untuk 𝑦 𝑖 yang dihasilkan oleh suatu model, ESS ( Explained Sum of Squares ) merefleksikan variasi yang  dihasilkan  dari  model, RSS ( Residual  Sum  of  Squares )  merefleksikan  variasi  yang berasal dari factor-faktor lain diluar model, dan TSS ( Total Sum of Square ) merefleksikan variasi pada data respon.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  adalah  indeks  kebahagiaan  dan  pertumbuhan ekonomi level provinsi pada tahun 2014. Kedua data tersebut bersumber dari Badan Pusat Statistik.  Dalam  penelitian  ini  tingkat  kebahagiaan  merupakan  variabel  respon (𝑦 𝑖 ) dan pertumbuhan ekonomi merupakan variabel prediktor (𝑥 𝑖 ) .
𝑔 𝑘 = PDRB Riil k − PDRB Riil k−1 PDRB Riil k−1 × 100%
dengan 𝑔 k :  Pertumbuhan  ekonomi  waktu  t, PDRB Riil k :  PDRB  Riil  pada  waktu  k,  dan PDRB Riil k−1 : PDB Riil pada waktu k-1.

## 3.2. Langkah-langkah Penelitian
Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
(a) Bentuklah scatter plot antara tingkat pertumbuhan ekonomi (sebagai sumbu vertikal) dan tingkat kebahagiaan (sebagai sumbu horizontal).
(b) Berdasarkan hasil Langkah (a), tentukan pola hubungan antara tingkat pertumbuhan ekonomi dan tingkat kebahagiaan.
(c) Berdasarkan  hasil  Langkah  (b),  jika  pola  hubungan  yang  terjadi  adalah  pola  non linear atau linear, maka pemodelan dilakukan dengan regresi parametrik dan langkah analisis dihentikan. Namun, jika pola hubungan yang terjadi adalah pola yang tidak dikenal dengan spesifikasi parametrik tertentu, maka pemodelan dilakukan dengan regresi smoothing B-splines.
(d) Jika  Langkah (c) merekomendasikan regresi smoothing B-splines melalui estimasi sebagaimana pada penjelasan Sub-Bab 2.4, maka penentuan titik knot dan Derajat v yang digunakan berdasarkan GCV minimum berdasarkan Persamaan (8).
(e) Berdasarkan hasil Langkah (d), hitunglah koefisien determinasi dan interpretasikan hasilnya, serta visualisasikan fitted values terhadap data aktualnya.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Secara visual sebaran data antara tingkat kebahagiaan dan pertumbuhan ekonomi level provinsi disajikan pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1. Scatter plot antara tingkat pertumbuhan ekonomi dan tingkat kebahagiaan
Berdasarkan  Gambar  1,  regresi  parametrik  tidak  dapat  dipaksakan  untuk  dilakukan pemodelan  parametrik  karena  pola  hubungan  yang  terjadi  antara  tingkat  pertumbuhan ekonomi dan tingkat kebahagiaan memiliki bentuk pola yang tidak  dikenal dengan bentuk spesifikasi parametrik apapun. Hal tersebut sebagai implikasi terdapat lima titik (A, B, C, D, dan E) yang diluar sebaran umum data ( outlier ). Oleh karena itu, regresi nonparametrik dapat diterapkan  pada  kondisi  tersebut.  Dalam  proses  estimasi  smoothing  B-splines  sangat dipengaruhi  oleh  banyaknya knot dan  nilai smoothing  parameter .  Penggunaan knot yang terlalu banyak menjadikan model yang dikonstruksi cenderung overfitting dan penggunaan knot yang sedikit menjadikan model yang dikonstruksi cenderung underfitting (Goepp, et al. 2018), sehingga penentuan jumlah knot dibatasi dalam kisaran 1 – 9 knot . Berikut nilai GCV dari 1 – 9 knot dan smoothing parameter menurut derajat B-splines. Tabel 1 . Nilai GCV Menurut Banyaknya Knot , Derajat v , dan Smoothing parameter (𝜆) knot v = 1 v = 2 v = 3 GCV 𝜆 GCV 𝜆 GCV 𝜆 1 3.931 9.586 × 10 -1 3.499 9.197 × 10 -1 3.585 1.227 × 10 -8 2 3.028 2.167 × 10 -2 2.674 9.510 × 10 -6 3.638 1.998 × 10 8 3 2.511 5.762 × 10 -5 2.374 1.864 × 10 -5 2.338 5.974 × 10 -5 4 2.300 5.004 × 10 -5 2.305 6.950 × 10 -6 2.350 1.734 × 10 -4 5 2.193 5.225 × 10 -5 2.293 1.107 × 10 -5 2.226 9.832 × 10 -6 6 2.068 5.231 × 10 -5 2.128 3.371 × 10 -6 2.366 5.340 × 10 -6 7 2.050 4.606 × 10 -5 2.065 9.004 × 10 -6 2.281 5.286 × 10 -7 8 1.899 4.382 × 10 -5 1.961 4.830 × 10 -6 2.248 6.985 × 10 -7 9 1.863 2.967 × 10 -5 2.102 6.855 × 10 -6 3.165 1.810 × 10 -8
Berdasarkan Tabel 1, diperoleh bahwa smoothing B-splines derajat 1 sebanyak 9 knot dan smooting parameter sebesar 2.967 × 10 -5 yang meminimumkan GCV, pada smoothing  B- splines  derajat  2  sebanyak  8 knot dan smoothing  parameter sebesar  4.830 × 10 -6 yang meminimumkan  GCV,  dan  smoothing  B-splines  pada  derajat  3  sebanyak  5 knot dan smoothing  parameter sebesar  9.832 × 10 -6 yang  meminimumkan  GCV.  Pertimbangan dipilihnya  smoothing  B-splines  pada  derajat  3  dengan  5 knot dan smoothing  parameter sebesar 9.832 × 10 -6 karena B-splines mempunyai turunan kedua jika berderajat v > 2. Berikut hasil estimasi B-splines ( v = 3, knot = 5, λ = 9.832 x 10 - 6 ) 𝑦̂ = 67.530 + 130.767𝐵 1 (𝑥; 3) + 38.593𝐵 2 (𝑥; 3) + 76.460𝐵 3 (𝑥; 3) + 64.968𝐵 4 (𝑥; 3) + 71.720𝐵 5 (𝑥; 3) + 66.480𝐵 6 (𝑥; 3) + 76.055𝐵 7 (𝑥; 3)
+ 67.879𝐵 8 (𝑥; 3)                                                                                                        (10)
dengan knot : 𝑡 1 = 2.499, 𝑡 2 = 4.161, 𝑡 3 = 6.260, 𝑡 4 = 6.610, 𝑡 5 = 6.667 .
Model  smoothing  B-splines  pada  Persamaan  (10)  menghasilkan  koefisien  determinasi sebesar  71.583  persen,  artinya  bahwa  model  smoothing  B-splines  tersebut  mampu menjelaskan variasi variabel respon sebesar 71.583 persen, sedangkan sisanya 28.417 persen dipengaruhi  variabel  diluar  model  tersebut.  Dari  koefisien  determinasi  dapat  dihitung koefisien  korelasinya,  yaitu  sebesar  0.846.  Ini  berarti  hubungan  antara  pertumbuhan ekonomi dan tingkat kebahagiaan adalah kuat dan positif. Hal tersebut juga mengindikasikan bahwa tingkat pertumbuhan ekonomi berpengaruh signifikan terhadap tingkat kebahagiaan. Secara  visual, fitted  values dari  Persamaan  (10)  disajikan  pada  Gambar  2.  Berdasarkan Gambar 2, diperoleh informasi bahwa Persamaan (10) mampu mengikuti pola sebaran data, hal ini diindikasikan dari koefisien determinasi yang dihasilkan cukup besar. Namun, jika regresi  parametrik  kubik  diterapkan  hanya  menghasilkan  koefisien  determinasi  sebesar 33.710 persen.
Gambar 2. Fitted Value (Garis Biru) Berdasarkan Persamaan (10)

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan nilai GCV minimum diperoleh smoothing B-splines pada derajat 3 dengan 5 knot (𝑡 1 = 2.499, 𝑡 2 = 4.161, 𝑡 3 = 6.260, 𝑡 4 = 6.610, 𝑡 5 = 6.667) dan λ = 9.832 x 10 -6 cukup  baik  memodelkan  hubungan  antara  tingkat  kebahagiaan  (variabel  respon)  dan pertumbuhan  ekonomi  (variabel  prediktor),  dimana  model  smoothing  B-splines  tersebut
mampu menjelaskan variasi tingkat kebahagiaan sebesar 71.583 persen, sedangkan sisanya 28.417 persen dipengaruhi variabel diluar model tersebut.
Implikasi dari temuan ini adalah tingkat kebahagiaan dari masyarakat suatu wilayah dapat didorong  dengan  peningkatan  pendapatan,  karena  pendapatan  merupakan  faktor  penting untuk mendapatkan dan membuka akses pangan, kesehatan, dan layanan umum, sehingga meningkatkan  kualitas  kehidupan  yang  lebih  baik  yang  berimplikasi  kebahagiaan  pun meningkat,  dan  pemodelan  antara  tingkat  kebahagiaan  dan  pendapatan  menjadi  bias  jika dilakukan dengan regresi linier.

## DAFTAR PUSTAKA
Argyle, M. 2001. The Psychology of Happiness, 2 nd Edition . New York: Routledge.
Badan  Pusat  Statistik  [BPS].  2015. Indeks  Kebahagiaan  Indonesia  Tahun  2014 .  Jakarta: Badan Pusat Statistik.
Beja, E. L. 2014a. ‘Income growth and happiness: reassessment of the Easterlin Paradox’ . International  Review  of  Economics, 61(4),  pp.  329–346 . doi:10.1007/s12232-014- 0211-y
Beja, E. L. 2014b. ‘Empirics on the Long Run Relationship Between Economic Growth and Happiness’ . Forum for Social Economics, 44(1), pp. 3–17 .
Blanchflower,  D.G.  and  Oswald,  A.J.  1994.  ‘Estimating  a  wage  curve  for Britain’, The Economic Journal , 104 (426), pp. 1025 – 1043.
Boldeanu,  F.T.  and  Constantinescu,  L.  2015.  ‘The main  determinants  affecting  economic growth’, Bulletin  Transilvania.  University  of  Brasov  Series  V:  Economic  Sciences , vol. 8 (57), No.2.
Campante, F. R., & Yanagizawa-Drott, D. 2014. ‘Does Religion Affect Economic Growth and Happiness? Evidence from Ramadan’, SSRN Electronic Journal .
Clark,  A.  E.  and  Oswald,  A.J.  1994.  ‘Unhappiness  and  unemployment’, The  Economic Journal , 104 (424), pp. 648–659.
Clark, A. E., Frijters, P. and Shields, M.A. 2008. ‘Relative income, happiness, and utility: An  explanation  for  the  easterlin  paradox  and  other  puzzles’, Journal  of  Economic Literature , 46 (1), pp. 95–144.
Clark,  A.  E.,  Flèche,  S.,  and  Senik,  C.  2016.  ‘Economic  Growth  Evens  Out  Happiness: Evidence from Six Surveys’, The Review of income and wealth , 62 (3), pp. 405–419.
de Boor, C. 2001. A Practical Guide to Splines, Revised Edition . Berlin, Springer.
Devi,  A.R.,  Pratama,  R.F.W.,  and  Suparti.  2019.  ‘Comparison  of  generalized  cross validation and  unbiased  risk method  for selecting  optimal knot in  spline  truncated’, Journal of Physics: Conference Series . 1217. 012094.
Easterlin, R. A. 1995. ‘Will raising the incomes of all increase the happiness of all?’, Journal of Economic Behavior and Organization , 27, pp. 35-47.
Easterlin,  R.  A.  2013.  ‘Happiness  and  economic  growth:  the  evidence’, IZA  Discussion Paper No. 7187 .
Eilers,  P.H.C.  and  Marx,  B.D.  1996.  ‘Flexible  smoothing  with  B-splines  and  penalties’, Statistical Science , 11(2), pp. 89–121.
Eubank, R.L. 1999. Nonparametric Regression and Spline Smoothing, Second ed . Marcel Dekker Inc., New York.
Esmaiel,  A.  and  Donya,  A.  2013,  ‘Macroeconomics  Factors  Affecting  Happiness’, International Journal of Business and Development Studies , 5(1), pp. 5 – 22.
Fotourehchi, Z., and Ebrahimpour, H. 2019. ‘Happiness, economic growth and air pollution: an  empirical  investigation’, International  Journal  of  Happiness  and  Development, 5(1), pp. 1-13 .
Frey,  B.S.  and  Stutzer,  A.  2000.  ‘Happiness,  economy  and  institutions’, The Economic Journal , 110 (466), pp. 918–938.
Goepp,  V.,  Bouaziz,  O.  and  Nuel,  G.  2018.  ‘Spline  Regression  with  Automatic Knot Selection’, https://doi.org/10.48550/arXiv.1808.01770.
Graham,  C.  and  Pettinato,  S.  2002.  ‘Happiness  and  hardship:  Opportunity  and insecurity in new market economies’, Foreign affairs (Council on Foreign Relations) , 81(5).
Huang, P. H. 2008. ‘Authentic happiness, self-knowledge and legal policy’, The Minnesota Journal of Law, Science & Technology, 9 (2), pp. 755–784.
Kuznets,  S.  (1973).  ‘Modern  economic  growth:  findings  and  reflections’, The  American economic review , 63(3), pp. 247-258.
Lelkes, O. 2006. ‘Tasting freedom: Happiness, religion and economic transition’, Journal of Economic Behavior and Organization , 59 (2): 173–194.
Luo,  C.  2017.  ‘Income  growth  and  happiness  growth  in  China’, Economic  and  Political Studies, 5(3), pp. 266–284 .
Meyer, M. C. 2012. ‘Constrained penalized splines’, Canadian Journal of Statistics, 40(1), pp. 190–206 .
Ng,  Y.  K.  1997.  ‘A  case  for  happiness,  cardinal  utility,  and  interpersonal comparability’, Economic Journal , 107(445), pp. 1848-1858.
Rus,  A.V.,  and  Blăjan,  A.G.,  2021.  ‘The  relationship  between  economic  growth  and happiness’, PressAcademia Procedia (PAP), 14, 175-177.
Seligman,  M.  E.  P.  2002. Authentic  Happiness:  Using  The  New  Positive  Psychology  To Realize Your Potential For Lasting Fulfillment . New York: Free Press.
Senik, C. 2014. ‘Wealth and happiness’, Oxford Review of Economic Policy , 30(1), pp. 92- 108.
Shields, M.A. and  Price, S.W. 2005. ‘Exploring the economic and social  determinants of psychological well-being and perceived social support in England’, Journal of the Royal Statistical Society. Series A: Statistics in Society , 168 (3), pp. 513–537.
Spiriti, S., Eubank, R., Smith, P.W., and Young, D. 2013. ‘ Knot selection for least-squares and penalized splines’, Journal of Statistical Computation and Simulation , 83(6), pp. 1020–1036.
Utami,  T.  W.,  Haris,  M.  A.,  Prahutama,  A.,  and  Purnomo,  E.  A.  2020.  ‘Optimal knot selection  in  spline  regression  using  unbiased  risk  and  generalized  cross  validation methods’, Journal of Physics: Conference Series, 1446, 012049.
Zhou,  L.,  and  Pan,  H.  2013.  ‘Smoothing  noisy  data  for  irregular  regions  using  penalized bivariate splines on triangulations’, Computational Statistics, 29(1-2), pp. 263–281 .