## Solusi Numerik Model SIRV Penyebaran Covid-19 Dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta Di Kabupaten Pinrang

## Syafruddin Side
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Makassar, syafruddin@unm.ac.id

## Irwan
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Makassar, irwanthaha@unm.ac.id

## Nurul Syahirah
Mahasiswa Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Makassar, nurulsyahirah4410@gmail.com

## Andi Muh.Ridho Yusuf SAP
Mahasiswa S2 Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Makassar, ridhographicdesigner@gmail.com
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memprediksi penyebaran  Covid-19  di  Kabupaten  Pinrang  dengan menggunakan  metode  Runge-Kutta  Orde  Empat.  Model Matematika  penyebaran  Covid-19  berbentuk  persamaan diferensial  yang  mencakup  variabel  S  ( Susceptible ),  I ( Infected ),  R  ( Recovered )  dan  V  ( Vaccine )  sebagai  nilai awal. Nilai β, θ, δ, ρ, φ, µ, 𝜇 1 sebagai nilai parameter yang diselesaikan secara numerik menggunakan metode Runge- Kutta  Orde  Empat  yang  dilakukan  sebanyak  500  iterasi dengan  selang  waktu  h  =  0,01  bulan  menggunakan  data Dinas  Kesehatan  Kabupaten  Pinrang  pada  tahun  2022. Berdasarkan  nilai  awal  masing-masing  kelas  yaitu;  S (0) = 0.74,  I (0) = 0.003,  R (0) =  0.00262  dan  V (0) =  0.73.  Nilai awal  dan  nilai  parameter  disubstitusi  ke  dalam  solusi numerik terhadap model dan disimulasikan menggunakan maple sebagai  alat  bantu.  Nilai  laju  setiap  kelas  untuk  5 bulan ke depan yaitu untuk individu rentan sebesar 0.030, untuk  individu  terinfeksi  sebesar  0.012,  untuk  individu sembuh  sebesar  0.044  dan  untuk  individu  vaksin  sebesar 1.147, dimana individu terinfeksi mengalami penurunan. Kata Kunci: Covid-19, Model SIRV, Metode Runge-Kutta Orde Empat

## 1. PENDAHULUAN
Model  matematika  digunakan  dalam memformulasikan  permasalahan  nyata  melalui beberapa  asumsi  ke  dalam  model  matematika antara  lain  model  SI,  SIS,  SIR,  SEIR  dan  SEI. Dalam mengimplementasikan model ini diperlukan  suatu  metode  salah  satunya  metode numerik.  Metode  ini  menyangkut  satu  jenis hampiran  sehingga  hasil  yang  diperoleh menimbulkan  permasalahan  tentang  tingkat ketelitian  salah  satu  metodenya  yaitu  metode Runge-Kutta  dalam  menyelesaikan  persamaan diferensial secara numerik [1].
Wabah  virus  menular  SARS-CoV-2  atau Covid-19 telah menjadi masalah kesehatan yang serius  terjadi di Kota Wuhan China pada akhir
bulan  Desember  2019,  kini  Covid-19  telah menyebar  ke  seluruh  dunia  dan  menjadi  salah satu penyakit paling berbahaya yang menyebabkan  korban  jiwa  lebih  dari  5,2  juta orang.  Di  Indonesia  wabah  virus  Covid-19 dimulai  ketika  terdapat  laporan  kasus  pertama pada  awal  bulan  Maret  2020,  terhitung  hingga bulan Desember 2021[2].
Penularan terjadi melalui percikan air liur saat  batuk  atau  bersin    dari  pasien  yang  telah positif.  Rata-rata  masa  inkubasi  adalah  4  hari dengan  rentang  waktu  2  sampai  7  hari.  WHO memperkirakan  reproductive  number  (R 0 ) COVID-19 sebesar 1,4 hingga 2,5. Namun, studi lain memperkirakan R 0 sebesar 3,28 [3].
Menurut [4], Data kasus Covid-19 pada tanggal 21  Februari  2022  Amerika  Serikat  merupakan Negara  tertinggi  jumlah  kasusnya  mencapai 77.521.589  kasus  terkonfirmasi  sedangkan Indonesia  berada  pada  urutan  ke-17  dengan 5.197.500 kasus. Satuan Tugas (Satgas) COVID-19
Sulawesi  Selatan  mencatat  kasus  kematian tertinggi  akibat Covid-19 mencapai  4,93 persen pada  18  Agustus  2021.  Kabupaten  Pinrang menjadi  salah  satu  kabupaten  dalam  kategori zona merah penyebaran Covid-19, namun angka kesembuhan  pasien  Covid-19  sebanyak  82,1 persen (Satgas Kabupaten Pinrang, 2021).
Pada  perkembangan  kasus  Covid-19  ada beberapa  penangan  di  berbagai  dunia,  salah satunya ada pemberian vaksin kepada masyarakat.  Pada  tanggal  7  Januari  2021,
Menteri
Kesehatan menyatakan telah mendistribusikan  1,2  juta  dosis  vaksin  ke  34
provinsi di Indonesia dan pelaksanaan vaksinasi pada minggu kedua Januari 2021 [6].
Beberapa penelitian tentang Covid-19 dan model  Matematika  telah  dilakukan  Annas dkk.,(2020)  yang  membahas  mengenai  analisis stabilitas dan simulasi numerik model SEIR pada penyebaran  Covid-19  di  Indonesia.  Side dkk,.(2016)  membahas  Stabilitas  global  model SIR  dan  SEIR  untuk  penularan  penyakit Tuberkulosis dengan metode fungsi Lyapunov[7].  Side  dkk,.(2018)  memodifikasi model  SIR  pada  penyakit  Demam  Berdarah Dengue di  Kabupaten  Bone  [8].  Nisa  (2021) membahas mengenai model epidemi SEIR pada penyebaran Covid-19 orde fraksional  [9]. Abdy dkk,.(2021) membahas mengenai model epidemi SIR  penyebaran  Covid-19  dengan  parameter Fuzzy di Indonesia[10]. (Side, Zaki dan Miswar 2022)  membahas  solusi  numerik  Penyelesaian Numerik  Model  Matematika  Penyebaran  DBD dengan Metode Runge-Kutta Orde Keempat[11].
Dalam  penelitian  [12]  menggunakan model  SVIR  penyebaran  penyakit  Covid-19 dengan  dua  penundaan  pada  vaksinasi Booster dalam penguat Covid-19, Sedangkan pada artikel ini  memodifikasi model  pada  penelitian sebelumnya yakni model yang digunakan SIRV dimana  terdiri  atas  variabel Susceptible (S), variabel Infected (I), variabel Recovered (R)  dan variabel Vaccine (V) pada penyebaran Covid-19 dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat  untuk  mencari  solusi  numerik  pada penyebaran Covid-19 di Kabupaten Pinrang dari model SIRV.
Menurut    Sair  (2018)  ;  Side,  Zaki  dan Miswar (2022) Metode Runge-Kutta orde empat ini  mempunyai  tingkat  ketelitian  solusi  yang lebih  tinggi  daripada  metode  Runge-Kutta  orde sebelumnya.
2. TINJAUAN PUSTAKA

## Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode  Runge-Kutta  orde  empat  adalah alternatif  lain  dari  metode  Deret  Taylor  yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini menghasilkan derajat ketelitian yang lebih tinggi. Adapun bentuk umum Runge-Kutta Orde Empat pada persamaan (2.1) (Sair, 2018).
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ (2.1)
dengan:
𝑘 1 = 𝑓 ( 𝑡 𝑖 , 𝑥 𝑖 ) 𝑘 2 = 𝑓 (𝑡 𝑖 + 𝑥 𝑖 , 1 2 ℎ + 1 2 𝑘 1 ℎ) 𝑘 3 = 𝑓 ( 𝑡 𝑖 + 𝑥 𝑖 , 1 2 ℎ + 1 2 𝑘 2 ℎ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑥 𝑖 , ℎ +   𝑘 3 ) Metode  Runge-Kutta  orde  empat  ini mempunyai  tingkat  ketelitian  solusi  yang  lebih tinggi  daripada  metode  Runge-Kutta  orde sebelumnya.  Metode  Runge-Kutta  orde  empat juga  mudah  diprogram,  stabil,  kecil  kesalahan pemotongan dan juga kecil kesalahan pembulatan.

## Model SIRV
Asumsi-asumsi  yang  digunakan  untuk merumuskan model matematika Covid-19, yaitu: Terdapat  jumlah  kelahiran  dan  kematian diasumsikan  sama  dalam  suatu  populasi,  setiap individu  yang  lahir  akan  menjadi  rentan,  hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi dan  populasi  konstan  (tertutup).  Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, diperoleh diagram model matematika  SIRV  penyebaran  Covid-19,  yang ditunjukkan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Diagram Model SIRV pada penyebaran Covid-19
Berdasarkan  asumsi  dan  hubungan  antara variabel dan parameter pada Gambar 2.1, di atas dapat dituliskan dalam persamaan (2.2) – (2.5): 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇)𝑆
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 + 𝜌𝑉 − (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 )𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜃𝐼 − (𝛿 + 𝜇)𝑅 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝛿𝑅 + 𝜑𝑆 − (𝜌 + 𝜇) dimana:
S =  Jumlah individu yang rentan terhadap penyakit
I =  Jumlah individu yang terinfeksi
R =  Jumlah individu yang sembuh V =  Jumlah  individu  yang  melakukan vaksin (2.3) (2.4) (2.5)
(2.2)
𝛣 =  Laju perpindahan individu susceptible ke individu infected 𝛷 =  Laju  individu susceptible yang  akan melakukan vaksin
𝛲 =  Laju perpindahan individu yang sudah vaccine dan terinfeksi kembali
𝛩 =  Laju perpindahan individu infected ke individu recover
𝛥 =  Laju  perpindahan  individu  yang sembuh dan melakukan vaksin 𝛭 =  Laju kematian dan kelahiran 𝜇 1 =  Laju kematian akibat Covid-19

## 3. METODOLOGI
Data yang digunakan data penderita dan data kesembuhan  pasien  Covid-19  tahun  2022  yang diperoleh  dari  Dinas  Kesehatan  Kabupaten Pinrang.  Simulasi  numerik  menggunakan  data sekunder  jumlah  kasus  Covid-19  di  Kabupaten Pinrang  menggunakan dengan bantuan Software Maple untuk memprediksi jumlah kasus Covid- 19  sebagai  langkah  pencegahan  bertambahnya laju  penyebaran  kasus  Covid-19  di  Kabupaten Pinrang.

## 4. PEMBAHASAN
Solusi Numerik Model SIRV Penyebaran Covid-19 dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 4
Model SIRV pada penyebaran Covid-19 yang  ada  pada  persamaan  (2.3)  –  (2.6)  akan diidentifikasi  lebih  lanjut  ke  dalam  bentuk persamaan  diferensial  biasa  seperti  pada persamaan (4.1) – (4.4).
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑐(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑉) = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇)𝑆 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑐(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑉) = 𝛽𝑆 + 𝜌𝑉 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜇 1 )𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑐(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑉) = 𝜃𝐼 − (𝛿 + 𝜇)𝑅 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑐(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑉) = 𝛿𝑅 + 𝜑𝑆 − (𝜌 + 𝜇)𝑉
Persamaan  (2.2)  –  (2.5)  di  atas  akan diselesaikan  dengan  menggunakan  metode Runge-Kutta  orde  empat  dengan  cara  substitusi sehingga  akan  menjadi  seperti  pada  persamaan (4.5) – (4.8).
𝑆 𝑟+1 = 𝑆 𝑟 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ
𝐼 𝑟+1 = 𝐼 𝑟 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 )ℎ
𝑅 𝑟+1 = 𝑅 𝑟 + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 )ℎ 𝑉 𝑟+1 = 𝑉 𝑟 + 1 6 (𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 + 𝑛 4 )ℎ
Dengan h adalah jangka waktu. Untuk k 1 , l 1 , m 1 , n 1 , maka diperoleh; 𝑘 1 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇)𝑆 𝑟 𝑙 1 = 𝛽𝑆 𝑟 + 𝜌𝑉 𝑟 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜇 1 )𝐼 𝑟 𝑚 1 = 𝜃𝐼 𝑟 − (𝛿 + 𝜇)𝑅 𝑟 𝑛 1 = 𝛿𝑅 𝑟 + 𝜑𝑆 𝑟 − (𝜌 + 𝜇)𝑉 𝑟
Untuk k 2 , l 2 , m 2 , n 2 , maka diperoleh;
𝑘 2 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇) (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 ℎ 2 ) 𝐼 2 = 𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 ℎ 2 ) + 𝜌 (𝑉 𝑟 + 𝑛 1 ℎ 2 ) (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 ℎ 2 ) 𝑚 2 = 𝜑 (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 ℎ 2 ) − (𝛿 + 𝜇) (𝑅 𝑟 + 𝑚 1 ℎ 2 ) 𝑛 2 = 𝛿 (𝑅 𝑟 + 𝑚 1 ℎ 2 ) + 𝜑 (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 ℎ 2 ) − (𝜌 + 𝜇) (𝑉 𝑟 + 𝑛 1 ℎ 2 ) Untuk k 3 , l 3 , m 3 , n 3 , maka diperoleh;
𝑘 3 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇) (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 ℎ 2 ) 𝐼 3 = 𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 ℎ 2 ) + 𝜌 (𝑉 𝑟 + 𝑛 2 ℎ 2 ) (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 ℎ 2 ) 𝑚 3 = 𝜑 (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 ℎ 2 ) − (𝛿 + 𝜇) (𝑅 𝑟 + 𝑚 2 ℎ 2 ) 𝑛 3 = 𝛿 (𝑅 𝑟 + 𝑚 2 ℎ 2 ) + 𝜑 (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 ℎ 2 ) − (𝜌 + 𝜇) (𝑉 𝑟 + 𝑛 2 ℎ 2 ) Untuk k 4 , l 4 , m 4 , n 4 , maka diperoleh; 𝑘 4 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇)(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) 𝐼 4 = 𝛽(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) + 𝜌(𝑉 𝑟 + 𝑛 3 ℎ) − (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 )(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ℎ) 𝑚 4 = 𝜑(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ℎ) − (𝛿 + 𝜇)(𝑅 𝑟 + 𝑚 3 ℎ) 𝑛 4 = 𝛿(𝑅 𝑟 + 𝑚 3 ℎ) + 𝜑(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) − (𝜌 + 𝜇)(𝑉 𝑟 + 𝑛 3 ℎ)
Persamaan  (4.5)  –  (4.8)  merupakan  salah  satu solusi  numerik  model  SIRV  pada  penyebaran Covid-19.
(4.1)
(4.2 ) (4.3)
(4.4) (4.5)
(4.6)
(4.7) (4.8)

## Nilai Awal dan Parameter
Nilai awal dan parameter yang digunakan dalam model  SIRV  pada  penyebaran  Covid-19  dapat dilihat seperti pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1. Syarat awal yang digunakan dalam
model SIRV pada penyebaran Covid-19 Variabel dan Parameter Nilai Sumber S(0) 0.74 Dinas kesehatan Kab.Pinrang 2022 I(0) 1281 425000 Dinas Kesehatan Kab.Pinrang 2022 R (0) 1114 425000 Dinas Kesehatan Kab.Pinrang 2022 V (0) 312240 425000 Dinas Kesehatan Kab.Pinrang 2022 β 0.266699 Burhanuddin dan Kurniawan (2021) θ 0.8 Zuhairoh, Rosadi dan Effendie (2022) φ 0.1730 Zuhairoh, Rosadi dan Effendie (2022) ρ 0.002 Zuhairoh, Rosadi dan Effendie (2022) δ 0.22 Asumsi μ 0.014 Asumsi
μ 1 2.2 × 10 −4 Dinas Kesehatan Kab.Pinrang 2022
Sehingga  formulasi  model  SIRV  pada penyebaran  Covid-19  di  Kabupaten  Pinrang adalah  dengan  mensubstitusikan  nilai  awal  dan parameter pada persamaan (2.2) – (2.5). 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 0.014 − (0.266699 + 0.1730 + 0.014)𝑆
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0.266699𝑆 + 0.002𝑉 − (0.8 + 0.014
+ 2.2 × 10 −4 )𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0.8 − (0.22 + 0.014)𝑅 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 0.22𝑅 + 0.1730𝑆 − (0.002 + 0.014)𝑉 interval waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 50 bulan, langkah  waktu ℎ = 0.01 .  Selanjutnya  diberikan 𝑆𝑖 = 𝑆(0), 𝑉𝑖 = 𝑉(0) , 𝐼𝑖 = 𝐼(0), 𝑅𝑖 = 𝑅(0) sebagai nilai awal sehingga diperoleh hasil solusi numerik model SIRV penyebaran Covid- 19  menggunakan  metode  Runge-Kutta  Orde Empat pada persamaan (4.9) – (4.12).
𝑆 0+1 = 𝑆 0 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ 𝐼 0+1 = 𝐼 0 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 )ℎ 𝑅 0+1 = 𝑅 0 + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 )ℎ 𝑉 0+1 = 𝑉 0 + 1 6 (𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 + 𝑛 4 )ℎ
Dengan, 𝑘 1 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇)𝑆 𝑟 = −0.32173726 𝑙 1 = 𝛽𝑆 𝑟 + 𝜌𝑉 𝑟 − (𝜃 + 𝜇 + 𝜇 1 )𝐼 𝑟 =
0.19637460 𝑚 1 = 𝜃𝐼 𝑟 − (𝛿 + 𝜇)𝑅 𝑟 = 0.00178692 𝑛 1 = 𝛿𝑅 𝑟 + 𝜑𝑆 𝑟 − (𝜌 + 𝜇)𝑉 𝑟 = 0.1169164
Untuk k 2 , l 2 , m 2 , n 2 , maka diperoleh;
𝑘 2 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇) (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 ℎ 2 ) = −0.3210074006 𝐼 2 = 𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 ℎ 2 ) + 𝜌 (𝑉 𝑟 + 𝑛 1 ℎ 2 ) (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 ℎ 2 ) = 0.1951472736 𝑚 2 = 𝜑 (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 ℎ 2 ) − (𝛿 + 𝜇) (𝑅 𝑟 + 𝑚 1 ℎ 2 ) = 0.002570327704 𝑛 2 = 𝛿 (𝑅 𝑟 + 𝑚 1 ℎ 2 ) + 𝜑 (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 ℎ 2 ) − (𝜌 + 𝜇) (𝑉 𝑟 + 𝑛 1 ℎ 2 ) = 0.1160576019 Untuk k 3 , l 3 , m 3 , n 3 , maka diperoleh;
(4.9) (4.10)
(4.11) (4.12)
𝑘 3 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇) (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 ℎ 2 ) = −0.3210090563 𝐼 3 = 𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 ℎ 2 ) + 𝜌 (𝑉 𝑟 + 𝑛 2 ℎ 2 ) (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 ℎ 2 ) = 0.1951532404 𝑚 3 = 𝜑 (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 ℎ 2 ) − (𝛿 + 𝜇) (𝑅 𝑟 + 𝑚 2 ℎ 2 ) = 0.002564501810 𝑛 3 = 𝛿 (𝑅 𝑟 + 𝑚 2 ℎ 2 ) + 𝜑 (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 ℎ 2 ) − (𝜌 + 𝜇) (𝑉 𝑟 + 𝑛 2 ℎ 2 )
= 0.1166322255
Untuk k 4 , l 4 , m 4 , n 4 , maka diperoleh; 𝑘 4 = 𝜇 − (𝛽 + 𝜑 + 𝜇)(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) = −0.3202808451
𝐼 4 = 𝛽(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) + 𝜌(𝑉 𝑟 + 𝑛 3 ℎ) − (𝜇 + 𝜃 + 𝜇 1 )(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ℎ) = 0.1939318279
𝑚 4 = 𝜑(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ℎ) − (𝛿 + 𝜇)(𝑅 𝑟 + 𝑚 3 ℎ) = 0.003342144989
𝑛 4 = 𝛿(𝑅 𝑟 + 𝑚 3 ℎ) + 𝜑(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) − (𝜌 + 𝜇)(𝑉 𝑟 + 𝑛 3 ℎ) = 0.058952135955
Kemudian  substitusi  nilai  k,l,m  dan  n  dalam persamaan (4.9) – (4.12) :
𝑆 1 = 𝑆 0 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ = 0.7367899150 𝐼 1 = 𝐼 0 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 )ℎ = 0.004951512427 𝑅 1 = 𝑅 0 + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 )ℎ = 0.002645664540 𝑉 1 = 𝑉 0 + 1 6 (𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 + 𝑛 4 )ℎ = 0.73010716060

## Simulasi Menggunakan Aplikasi Maple
Gambar  4.1 Suspectible menunjukkan bahwa  jumlah  individu  rentan  mengalami penurunan  dari  bulan  pertama  dari  74%  hingga bulan ke-20 mendekati nol, dikarenakan individu yang rentan sudah melakukan vaksinasi.
Kelas infectible menunjukkan  bahwa jumlah individu terinfeksi mengalami peningkatan  dan  mengalami  penurunan  dan konstan  pada bulan ke-15,  Hal ini menunjukkan semakin menurun individu terinfeksi diakibatkan sudah vaksin.
Gambar 4.1 Plot Gabungan Susceptible , Infectible , Recover dan Vaccine
Recover menunjukkan  bahwa  individu sembuh  mengalami  peningkatan  dari  0  menjadi 27% pada bulan ke-7 dan mengalami penurunan pada bulan ke-10, peningkatan tersebut disebabkan  laju  kesembuhan  dari infected menjadi Recovery dan laju Covid-19 yang sangat efektif untuk mengurangi laju penyebaran Covid- 19. Vaccine menunjukkan  bahwa  jumlah individu vaksinasi mengalami mengalami peningkatan  pada  bulan  ke-15  dan  mengalami penurunan pada bulan berikutnya.

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan  yang  dari  solusi  numerik model SIRV pada penyebaran Covid-19 dengan metode  Runge-Kutta  orde  empat,  hasil  pada iterasi-1  menggunakan  interval  waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 50 hari,  langkah  waktu ℎ = 0.01 diperoleh (𝑆 1 ) = 0.73785, (𝐼 1 ) = 0.00430, (𝑅 1 ) = 0.00263 dan (𝑉 1 ) =0.73067  dan  iterasi  selanjutnya menggunakan  aplikasi Maple .  Hasil  simulasi numerik  model  SIRV    pada  penyebaran  Covid- 19  dengan  metode  Runge-Kutta  orde  empat menunjukkan  bahwa  semakin  besar  interval waktu  yang digunakan, maka akan terlihat jelas pergerakan  dari  setiap  kelas  populasi.  Terjadi peningkatan pada kelas vaccine sedangkan kelas Susceptible mengalami  penurunan  mendekati nol.  Kelas recovered dan infected mengalami
kenaikan  yang  sangat  tajam  sesaat,  lalu mengalami  penurunan  berjalannya  waktu  dan pada  kelas infected mengalami  peningkatan dipengaruhi oleh tingkat laju penularan penyakit dari Susceptible menjadi infectious .  Kelas infectious akan mengalami penurunan dipengaruhi  oleh  tingkat  laju  kesembuhan penyakit dan laju kematian.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] I.  S.  Sair,  “Solusi  Numerik  Model Penyebaran pada Penyakit Hepatitis B di Provinsi  Sulawesi  Selatan  Menggunakan Metode  Runge-Kutta  Orde  Empat,” Universitas Negeri Makassar, 2018.
[2] F.  Akbar,  “Analisis  model  epidemi  seir dan  simulasi  serangan  pandemi  covid-19 gelombang  kedua  di  kota  surabaya,”  pp. 1–118, 2022.
[3] Y. Liu, A. A. Gayle, A. Wilder-Smith, and J. Rocklöv, “The reproductive number of COVID-19  is  higher  compared  to  SARS coronavirus,” J. Travel Med. , vol. 27, no.
2, pp.
1–4, 2020, doi: 10.1093/jtm/taaa021. [4] World health organization, 2022. https://kabar24.bisnis.com/read/2022022 1/15/1502696/who-indonesia-peringkat- 17-dengan-angka-covid-19-tertinggi-di- dunia-siapa-nomor-1-ya  (accessed  Mar. 05, 2022).
[5] A.  Pramana, Antara  Lampung ,  2021. https://lampung.antaranews.com/berita/5 22350/satgas--kasus-kematian-covid-19- di-kabupaten-pinrang-capai-493-persen (accessed May 26, 2022).
[6] Stephanie,  E.  S,  PD,  A.  MF,  and  I. Martinelli,  “Aspek  Hukum  Pelaksanaan Vaksinasi  Covid-19  Di  Indonesia,” Pros. SENAPENMAS , vol. 10, no. 1, pp. 23–41,
2021,
doi: 10.24912/psenapenmas.v0i0.15162.
[7] S.  Side,  W.  Sanusi,  M.  K.  Aidid,  and  S.
Sidjara, “Global stability of SIR and SEIR model for
tuberculosis disease transmission  with  lyapunov  function method,” Asian J. Appl. Sci. , vol. 9, no. 3,
pp.
86–96, 2016, doi: 10.3923/ajaps.2016.87.96.
[8] S.  Side,  Alimuddin,  and  A.  Bani, “Modifikasi Model SIR pada Penyebaran Penyakit  Demam  Berdarah  Dengue  di Kabupaten Bone,” vol. 1, no. 2, pp. 169– 182, 2018.
[9] K.  Nisa,  “MODEL  EPIDEMI  Suspected Exposed  Infected  Recovered  (Seir)  Pada Penyebaran  Covid-19  Orde-Fraksional,” Universitas  Islam  Negeri  Maulana  Malik Ibrahim, 2021.
[10]  M. Abdy, S. Side, S. Annas, W. Nur, and W. Sanusi, “An SIR epidemic model for COVID-19  spread  with  fuzzy  parameter: the  case  of  Indonesia,” Adv.  Differ. Equations ,  vol.  2021,  no.  1,  2021,  doi: 10.1186/s13662-021-03263-6.
[11]  S. Side, A. Zaki, and Miswar, “Numerical Solution  of  the  Mathematical  Model  of DHF  Spread  using  the  Runge-Kutta Fourth  Order  Method,” ARRUS  J.  Math. Appl. Sci. , vol. 2, no. 2, pp. 92–100, 2022, doi: 10.35877/mathscience745.
[12]  X.  Liu  and  Y.  Ding,  “Stability  and Numerical  Simulations  of  a  New  SVIR Model  with  Two  Delays  on  COVID-19 Booster  Vaccination,” Mathematics ,  vol. 10, no. 10, 2022, doi: 10.3390/math10101772.