## Solusi Numerik Model MSVIR pada Penyakit Difteri Menggunakan Metode RK4

## Ahkhiriani Assyiamanah
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, 60600119040@uin-alauddin.ac.id

## Muh. Irwan
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, muhirwan@uin-alauddin.ac.id

## Ilham Syata
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ilham.syata@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK , Penelitian  ini  dilakukan  untuk  mengetahui solusi  numerik  model  MSVIR  dalam  memprediksi  kasus penyakit  difteri  di  Indonesia  beberapa  tahun  ke  depan. Dalam  penelitian  ini  model  matematika  yang  terbentuk adalah  sistem  persamaan  diferensial  non  linear  yang memuat variabel M (maternal antibodies), S (susceptible), V (vaccinated), I (infected), dan R (recovered). Selanjutnya model  ini  diterapkan  pada  penyakit  difteri  di  Indonesia dengan  data  sekunder  dari  Kemenkes  RI  tahun  2021. Simulasi dilakukan dengan ∆𝑡 = 0,01 tahun menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  4  dengan  nilai  awal  yaitu 𝑀(𝑡 0 ) = 4.367.228 , 𝑆(𝑡 0 ) = 266.029.977 , 𝑉(𝑡 0 ) = 3.482.100 , 𝐼(𝑡 0 ) = 235 , 𝑅(𝑡 0 ) = 210 .  Berdasarkan terapan  model  MSVIR,  simulasi  menunjukkan  laju populasi  terinfeksi  mengalami  penurunan  setiap  tahun karena  meningkatnya  kekebalan  individu  yang  telah divaksin.  Sedangkan  populasi  recovered  mengalami peningkatan  setiap  tahun  karena  adanya  populasi  yang telah sembuh setelah mendapat perawatan dan mendapat kekebalan setelah divaksin.
Kata Kunci: Difteri, Model MSVIR, Solusi Numerik

## 1. PENDAHULUAN
Pada  negara  berkembang  seperti  Indonesia, kesehatan  masih  menjadi  beban  utama  akibat penyakit  menular  yang  kini  menyebar  dengan sangat  cepat.  Salah  satunya  adalah  penyakit menular difteri. Penyakit difteri merupakan jenis penyakit  yang  sangat  menular (contagious disease) yang  menyerang  saluran  pernapasan bagian atas. Penyakit ini disebabkan oleh bakteri Corynebacterium Diptheriae [1].
Difteri  telah  tersebar  di  seluruh  dunia termasuk Indonesia dan masih menjadi masalah kesehatan  serius.  Kasus  difteri  di  Indonesia selalu  ada  dan  fluktuatif  setiap  tahunnya. Menurut  World  Health  Organization  (WHO), pada  tahun  2011-2015,  India  memiliki  jumlah kasus  terbesar  yang  dilaporkan  setiap  tahun, dengan total sebanyak 18.350 kasus, diikuti oleh Indonesia  dan  Madagaskar  dengan  masing-
masing  3.203  dan  1.633  kasus  yang  dilaporkan [2].  Kemudian  pada  periode  tahun  2016-2021 terdapat  3311  kasus  di  Indonesia  yang menjadikan  Indonesia  sebagai  negara  dengan kasus  difteri  tertinggi  kedua  di  negara-negara anggota WHO South East Asian Region (SEAR) [3].
Penyakit  ini  ditandai  dengan  terjadinya peradangan  di  tempat  infeksinya  seperti  pada selaput mukosa faring, laring, tonsil, hidung, dan kulit. Difteri dapat menyebabkan sumbatan jalan napas, peradangan dan kelumpuhan otot jantung, bahkan  kematian  sehingga  termasuk  penyakit yang  berbahaya.  Penularannya  melalui  droplet (percikan  ludah)  dari  batuk,  bersin,  muntah, melalui  alat  makan,  atau  kontak  langsung  dari lesi  kulit.  Semua  kelompok  usia  bisa  tertular penyakit  ini,  terutama  anak-anak  yang  belum menerima  vaksinasi  lengkap.  Tingkat  kematian sekitar 50% jika penderita tidak diobati dan tidak memiliki kekebalan, sedangkan dengan pengobatan sekitar 10% [4].
Menurut Permenkes 1501 tahun 2010, difteri dikategorikan  sebagai  penyakit  yang  dapat menimbulkan KLB (Kejadian Luar
Biasa)/Wabah.  Jika  setidaknya  1  kasus  suspek difteri  ditemukan,  maka  wilayah  tersebut  dapat dinyatakan mengalami KLB. Meskipun berbahaya  dan  cukup  mematikan,  difteri  dapat dicegah  dengan  melakukan  imunisasi  berupa pemberian vaksin DPT [4].
Representasi dari dinamika penyebaran suatu penyakit  menular  dapat  dituangkan  ke  dalam bahasa matematika melalui pemodelan matematika  atau  dalam  bidang  kajian  disebut juga  dengan  epidemiologi.  Untuk  menentukan apakah  suatu  penyakit  menular  dapat  menjadi endemik  atau  tidak,  digunakan  beberapa  model penyebaran  penyakit  [5].  Model  tersebut  perlu
diformulasi  kemudian  dicari  solusi  numeriknya menggunakan  metode  RK4  [6].  Dengan demikian,  model  matematika  yang  terbentuk harus  mampu  menjelaskan  situasi  yang  sedang diamati [7].
Salah satu model matematika epidemik untuk mengkaji penyebaran penyakit adalah SIR yang diperkenalkan  oleh  Kermack  dan  McKendrik. Pada  model  SIR  populasi  dibagi  menjadi  tiga kelompok  yaitu  kelompok individu  yang  rentan penyakit (susceptible) ,  kelompok  individu  yang terinfeksi (infected) ,  dan  kelompok  individu yang  telah  sembuh  dan  kebal  dari  penyakit (recovered) [8]. Peneliti dapat terus mengembangkan  model  penyebaran  penyakit tersebut  sebagai  salah  satu  upaya  menekan penularan penyakit. Di antaranya adalah melalui model  matematika  untuk  menggambarkan dinamika penyebaran penyakit difteri.
Penelitian tentang model matematika penyebaran  penyakit  difteri  pernah  dilakukan oleh  [9],  dalam  penelitiannya  model  yang dibentuk ialah model MSEIR dimana kompartemen M adalah  pengaruh  imun  pasif yang  telah  ada  pada  saat  baru  lahir  dan kompartemen E adalah  periode  laten  atau  masa inkubasi yang berlangsung selama 5 hari. Selain itu,  penelitian  penyebaran  penyakit  difteri  juga dilakukan  oleh  [10],  dalam  penelitiannya menggunakan model SVIR dimana kompartemen V yang  memperhatikan  masa efektivitas  vaksin  dan  kegagalan  vaksin.  Oleh karena itu, dilakukan penelitian dengan menggabungkan  kedua  model  penyebaran penyakit tersebut, sehingga model yang digunakan  yakni  model  MSVIR (Maternal antibodies-Susceptible-Vaccinated-Recovered).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Pemodelan Matematika
Suatu sistem yang kompleks dapat dimodelkan  secara  matematis  menggunakan teknik  yang  disebut  pemodelan  matematika. Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah suatu  sistem  persamaan  yang  dapat  digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan kompleks  yang  sedang  diamati.  Dengan demikian,  model  matematika  yang  dibentuk harus  mampu  mewakili  situasi  kompleks  yang
sedang  diamati.  Tahapan-tahapan  pemodelan matematika adalah sebagai berikut:
1) Identifikasi Masalah
2) Membuat Asumsi
3) Formulasi Model Metematika [11]

## Metode Numerik
Metode  numerik  merupakan  suatu  metode dengan  menggunakan  sekumpulan  aritmatik sederhana  dan  operasi  logika  pada  sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan untuk memecahkan suatu model matematika.
Algoritma yang dikembangkan dalam metode  numerik  adalah  algoritma  pendekatan maka akan muncul istilah iterasi yang mengacu pada  pengulangan  proses  perhitungan.  Dengan kata  lain  perhitungan  dengan  metode  numerik adalah  perhitungan  yang  dilakukan  secara berulang-ulang  untuk  mendapatkan  hasil  yang secara  konsisten  semakin  mendekati  solusi penyelesaian yang sebenarnya. Solusi pendekatan  jelas  tidak  identik  dengan  solusi sebenarnya,  sehingga  ada  selisih  diantara keduanya yang disebut dengan galat (error) [12].
Metode Runge-Kutta Orde 4
Metode Runge-Kutta orde 4 berbentuk [13]: 𝑘 1 = 𝑓(𝑥 𝑟 , 𝑦 𝑟 ) (2.1)
𝑘 2 = 𝑓 (𝑥 𝑟 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑟 + 1 2 ℎ𝑘 1 ) (2.2)
𝑘 3 = 𝑓 (𝑥 𝑟 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑟 + 1 2 ℎ𝑘 2 ) (2.3)
𝑘 4 = 𝑓(𝑥 𝑟 + ℎ, 𝑦 𝑟 + ℎ𝑘 3 ) (2.4)
𝑦 𝑟+1 = 𝑦 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) (2.5)

## Penyakit Difteri
Difteri  adalah  salah  satu  penyakit  menular yang  disebabkan  oleh  bakteri  gram  positif Corynebacterium Diptheriae yang dapat dicegah melalui  imunisasi  dengan  vaksin  DPT  (Difteri Pertusis  Tetanus).  Peradangan  pada  tempat infeksi,  terutama  pada  selaput  mukosa  faring, laring,  tonsil,  hidung,  dan  kulit  merupakan  ciri penyakit ini
Manusia  adalah  satu-satunya  reservoir Corynebacterium  Diptheriae .  Penularan  difteri dapat  terjadi  melalui  droplet  (percikan  ludah) dari  batuk,  bersin,  muntah,  melalui  alat  makan, atau  kontak  langsung  dari  lesi  di  kulit.  Gejala difteri muncul 2 hingga 5 hari setelah seseorang
terinfeksi.  Namun,  tidak  semua  orang  yang terinfeksi difteri menunjukkan gejala. Saat gejala muncul,  biasanya  berupa  terbentuknya  lapisan tipis berwarna abu-abu yang menutupi tenggorokan dan amandel penderita. Pada kasus yang  lebih  berat  dapat  menyebabkan  kesulitan menelan, sesak nafas, stridor dan pembengkakan leher  yang  menyerupai  leher  sapi  ( bullneck ), bahkan kematian [14].

## Model MSVIR
Model SIR klasik dapat dimodifikasi menjadi berbagai bentuk model epidemik, untuk penyakit difteri dengan menyertakan pengaruh dari imun pasif yang telah dimiliki pada saat baru lahir dan pengaruh pemberian vaksinasi, sehingga muncul kompartemen  M (maternal  antibodies) untuk populasi yang dilindungi dengan imun pasif dan kompartemen  V (vaccinated) untuk  populasi yang  tervaksin.  Imun  pasif  adalah  imun  yang diperoleh  selama  dalam  kandungan  ibu  yang disalurkan  melalui  plasenta,  dimana  imun  pasif ini  akan  ada  pada  bayi  hingga  bayi  berusia  6 bulan  [15],  sedangkan  vaksinasi  populasi  yang diberi  vaksin  Difteri  Pertusis  Tetanus  (DPT) merupakan  salah  satu  upaya  Kementrian Kesehatan  untuk  mencapai  target  bebas  difteri [16].
Oleh karena itu dibentuk model MSVIR yang menggambarkan  lima  kompartemen  yaitu  kelas populasi  yang  dilindungi  dengan  imun  pasif (maternal  antibodies) ,  kelas  populasi  rentan (susceptible) , kelas populasi tervaksin (vaccinated) , kelas populasi terinfeksi (infected) , dan kelas populasi sembuh (recovered) [19].

## 3. METODOLOGI
Data  penyakit  difteri  dari  Profil  Kesehatan Indonesia  tahun  2021  yang  dirilis  oleh Kementrian  Kesehatan  RI  menjadi  obyek  dari penelitian ini. Model matematika yang digunakan  terdiri  dari  5  kompartemen  yaitu populasi  yang  dilindungi  imun  pasif (Maternal Antibodies) ,  populasi  rentan (Susceptible) , populasi tervaksin (Vaccinated) , populasi terinfeksi (Infected) , dan populasi sembuh/kebal (Recovered) .

## Prosedur Analisis
Langkah-langkah  analisis  yang  diterapkan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membangun  model  MSVIR  penyebaran penyakit difteri
2. Menganalisis solusi numerik model MSVIR penyebaran penyakit difteri dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 3. Mensimulasikan  parameter  model  MSVIR yang diselesaikan secara numerik

## 4. PEMBAHASAN

## Membangun Model MSVIR
Asumsi-asumsi yang digunakan untuk model penyebaran penyakit difteri, yaitu :
1. Populasi  konstan  (tertutup),  artinya 𝑁 = 𝑀(𝑡) + 𝑆(𝑡) + 𝑉(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡)
2. Populasi  tidak  dipengaruhi  oleh  laju pertambahan penduduk (migrasi/imigrasi)
3. Terdapat  kelahiran  dan  kematian  dalam populasi
4. Penyakit  berbahaya  dapat  menimbulkan kematian
5. Kontak  dengan  individu  yang  terinfeksi merupakan  penyebab  terjadinya  transmisi penyakit
6. Setiap individu baru lahir diasumsikan sehat dan memiliki imun pasif
7. Individu  yang  telah  divaksin  akan  menjadi kebal/sembuh  terhadap  penyakit  ketika memperoleh imunitas vaksin
8. Individu yang telah divaksin dapat terinfeksi jika  tidak  mencapai  imunitas  vaksin  dan terjadi  kontak  dengan  individu  yang terinfeksi
9. Individu  yang  dinyatakan  sembuh  tidak kembali menjadi populasi rentan
10. Semua  individu  terinfeksi  yang  tidak meninggal diasumsikan sembuh
Skema dinamika populasi model MSVIR[19]
Gambar 4. 1 Skema Dinamika Populasi Model MSVIR Penyakit Difteri
Berdasarkan asumsi dan Gambar 2.1 maka model matematika yang terbentuk adalah:
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝜃𝑁 − (𝛿 + 𝜇 1 )𝑀 (4.1)
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛿𝑀 − 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 − (𝛼 + 𝜇)𝑆 (4.2)
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆 − 𝜆 𝑉𝐼 𝑁 − (𝜔 + 𝜇)𝑉 (4.3)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑉𝐼 𝑁 + 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜎)𝐼 (4.4)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 + 𝜔𝑉 − 𝜇𝑅 (4.5)
Keterangan 𝑁 :  Total populasi 𝑀 :  Jumlah individu yang dilindungi imun pasif
𝑆 :  Jumlah individu yang rentan terinfeksi penyakit difteri
𝑉 :  Jumlah individu yang tervaksin 𝐼 :  Jumlah individu yang terinfeksi penyakit difteri
𝑅 :  Jumlah  individu  yang  telah  sembuh dan kebal dari penyakit difteri
𝜃 :  Laju kelahiran 𝜇 :   Laju kematian alami 𝜇 1 :  Laju kematian bayi
𝛿 :  Laju efektivitas imun pasif
𝛽 :  Laju kontak
𝛼 :  Laju vaksinasi 𝜆 :  Laju kegagalan vaksin
𝜔 :  Laju keberhasilan vaksin 𝜎 :  Laju kematian karena penyakit difteri
𝛾 :  Laju kesembuhan

## Nilai Awal dan Parameter
Berdasarkan data yang telah diperoleh maka didapatkan  nilai  awalan  untuk  setiap  variabel pada model MSVIR adalah sebagai berikut:
Tabel 4. 1 Nilai Awal Variabel Nilai Sumber 𝑀 0 4.367.228
Profil
Kesehatan Indonesia 2021 𝑆 0 266.029.977 𝑉 0 3.482.100 𝐼 0 235 𝑅 0 210
Adapun  untuk  nilai  parameter  model  MSVIR pada  penyakit  difteri  dapat  dilihat  pada  tabel berikut:
Tabel 4. 2 Nilai Parameter Parameter Nilai Sumber
𝑁 273.879.750 Profil Kesehatan Indonesia 2021 𝜃 0,01595 Asumsi 𝛿 0,16667 (Wulandari, 2013) 𝜇 0,00286 Asumsi 𝜇 1 0,00578 Asumsi 𝛽 0,97134 (Aryani, 2020) 𝛼 0,01309 𝜆 0,06900 𝜎 0,10638 𝛾 0,89362 𝜔 0,931 (Widyaningsih, Jasaputra, Saputroc, & Pangadi, 2020)
Solusi  Numerik  Model  MSVIR  Pada  Penyakit Difteri
Model  MSVIR  yang  didapatkan  pada persamaan  (4.1)  sampai  (4.5)  diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat sehingga diperoleh :
𝑀 𝑟+1 = 𝑀 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 +𝑘 4 ) (4.6)
𝑆 𝑟+1 = 𝑆 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 +𝑙 4 ) (4.7)
𝑉 𝑟+1 = 𝑉 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 +𝑚 4 ) (4.8)
𝐼 𝑟+1 = 𝐼 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 +𝑛 4 ) (4.9)
𝑅 𝑟+1 = 𝑅 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑖 1 + 2𝑖 2 + 2𝑖 3 +𝑖 4 ) (4.10)
Dimana  nilai 𝑘 adalah  kemiringan  ( slope ) pada  interval  variabel 𝑀 .  Nilai 𝑘 1 artinya kemiringan pada titik awal interval, kemiringan ini kemudian digunakan untuk membuat prediksi variabel  terikat  pada  titik  tengah  interval.  Nilai titik  tengah  ini  selanjutnya  digunakan  untuk menghitung  sekumpulan  kemiringan  pada  titik tengah  ( 𝑘 2 ) .  Kemiringan  baru  ini  kemudian dibawa  kembali  ke  titik  awal  untuk  membuat serangkaian prediksi titik tengah yang
menghasilkan  prediksi  kemiringan  baru  di  titik tengah  ( 𝑘 3 ).  Ini  kemudian  digunakan  untuk membuat  prediksi  pada  akhir  interval  yang digunakan  untuk  mengembangkan  kemiringan pada  akhir  interval  ( 𝑘 4 ).  Akhirnya,  nilai 𝑘 digabungkan  menjadi  satu  set  fungsi  inkremen [seperti  pada  persamaan  (4.6)]  dan  dibawa kembali ke awal untuk membuat prediksi akhir.
Begitupun  untuk  nilai 𝑙 yang  mewakili kemiringan ( slope ) pada interval variabel 𝑆 , nilai 𝑚 yang  mewakili  kemiringan  ( slope )  pada interval  variabel 𝑉 ,  nilai 𝑛 yang  mewakilli kemiringan ( slope ) pada interval variabel 𝐼 , dan nilai 𝑖 yang  mewakili  kemiringan  ( slope )  pada interval variabel 𝑅 . Dengan 𝑘 1 = 𝜃𝑁 − (𝛿 + 𝜇 1 )𝑀 𝑟 𝑙 1 = 𝛿𝑀 𝑟 − 𝛽 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 𝑁 − (𝛼 + 𝜇)𝑆 𝑟 𝑚 1 = 𝛼𝑆 𝑟 − 𝜆 𝑉 𝑟 𝐼 𝑟 𝑁 − (𝜔 + 𝜇)𝑉 𝑟 𝑛 1 = 𝜆 𝑉 𝑟 𝐼 𝑟 𝑁 + 𝛽 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 𝑁 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜎)𝐼 𝑟 𝑖 1 = 𝛾𝐼 𝑟 + 𝜔𝑉 𝑟 − 𝜇𝑅 𝑟 𝑘 2 = 𝜃𝑁 − (𝛿 + 𝜇 1 ) (𝑀 𝑟 + 1 2 ℎ𝑘 1 ) 𝑙 2 = 𝛿𝑀 𝑟 (𝑀 𝑟 + 1 2 ℎ𝑘 1 ) − 𝛽 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 1 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 1 ) 𝑁 − (𝛼 + 𝜇)𝑆 𝑟 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 1 ) 𝑚 2 = 𝛼 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 1 ) − 𝜆 (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 1 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 1 ) 𝑁 − (𝜔 + 𝜇) (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 1 ) 𝑛 2 = 𝜆 (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 1 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 1 ) 𝑁 + 𝛽 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 1 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 1 ) 𝑁 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜎) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 1 ) 𝑖 2 = 𝛾 (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 1 ) + 𝜔 (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 1 ) − 𝜇 (𝑅 𝑟 + 1 2 ℎ𝑖 1 )
𝑘 3 = 𝜃𝑁 − (𝛿 + 𝜇 1 ) (𝑀 𝑟 + 1 2 ℎ𝑘 2 ) 𝑙 3 = 𝛿𝑀 𝑟 (𝑀 𝑟 + 1 2 ℎ𝑘 2 ) − 𝛽 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 2 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 2 ) 𝑁 − (𝛼 + 𝜇)𝑆 𝑟 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 2 ) 𝑚 3 = 𝛼 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 2 ) − 𝜆 (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 2 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 2 ) 𝑁 − (𝜔 + 𝜇) (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 2 ) 𝑛 3 = 𝜆 (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 2 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 2 ) 𝑁 + 𝛽 (𝑆 𝑟 + 1 2 ℎ𝑙 2 ) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 2 ) 𝑁 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜎) (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 2 ) 𝑖 3 = 𝛾 (𝐼 𝑟 + 1 2 ℎ𝑛 2 ) + 𝜔 (𝑉 𝑟 + 1 2 ℎ𝑚 2 ) − 𝜇 (𝑅 𝑟 + 1 2 ℎ𝑖 2 ) 𝑘 4 = 𝜃𝑁 − (𝛿 + 𝜇 1 )(𝑀 𝑟 + ℎ𝑘 3 ) 𝑙 4 = 𝛿(𝑀 𝑟 + ℎ𝑘 3 ) − 𝛽 (𝑆 𝑟 + ℎ𝑙 3 )(𝐼 𝑟 + ℎ𝑛 3 ) 𝑁 − (𝛼 + 𝜇)(𝑆 𝑟 + ℎ𝑙 3 ) 𝑚 4 = 𝛼(𝑆 𝑟 + ℎ𝑙 3 ) − 𝜆 (𝑉 𝑟 + ℎ𝑚 3 )(𝐼 𝑟 + ℎ𝑛 3 ) 𝑁 − (𝜔 + 𝜇)(𝑉 𝑟 + ℎ𝑚 3 ) 𝑛 4 = 𝜆 (𝑉 𝑟 + ℎ𝑚 3 )(𝐼 𝑟 + ℎ𝑛 3 ) 𝑁 + 𝛽 (𝑆 𝑟 + ℎ𝑙 3 )(𝐼 𝑟 + ℎ𝑛 3 ) 𝑁 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜎)(𝐼 𝑟 + ℎ𝑛 3 ) 𝑖 4 = 𝛾(𝐼 𝑟 + ℎ𝑛 3 ) + 𝜔(𝑉 𝑟 + ℎ𝑚 3 ) − 𝜇(𝑅 𝑟 + ℎ𝑖 3 )
Selanjutnya melakukan perhitungan numerik dengan  mensubtitusikan  nilai  awal  dan  nilai parameter  yang  diberikan  pada  Tabel  4.1  dan Tabel 4.2.
Waktu  interval  atau  jarak  langkah  yang digunakan  adalah ℎ = 0,01 .    Untuk  iterasi pertama  dengan 𝑟 = 0 menggunakan  nilai  awal
𝑀 𝑟 = 𝑀 (0) , 𝑆 𝑟 = 𝑆 (0) , 𝑉 𝑟 = 𝑉 (0) , 𝐼 𝑟 = 𝐼 (0) , 𝑅 𝑟 = 𝑅 (0) ,  dimana  nilai  dari  setiap  fungsi  evaluasi yang diperoleh adalah :
𝑘 1 = 3615253,544 𝑘 3 = 3612138,979 𝑙 1 = −3515513,965 𝑙 3 = −3512223,612 𝑚 1 = 230538,287 𝑚 3 = 229238,060 𝑛 1 = −13,743 𝑛 3 = −13,754
𝑖 1 = 3242044,500 𝑖 3 = 3243065,136 𝑘 2 = 3612136,292 𝑘 4 = 3609024,410 𝑙 2 = −3512220,752 𝑙 4 = −3508933,254 𝑚 2 = 229231,744 𝑚 4 = 227937,774 𝑛 2 = −13,754 𝑛 4 = −13,765 𝑖 2 = 3243071,233 𝑖 4 = 3244085,832 Setelah mendapatkan nilai tersebut, selanjutnya adalah mensubtitusikannya ke dalam persamaan  (4.6)  sampai  (4.10)  sehingga didapatkan solusi numerik model MSIR penyakit difteri adalah sebagai berikut:
𝑀 0+1 = 𝑀 0 + 1 6 ℎ(𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) = 4.367.228 + 1 6 (0,01)
(3615253,544 + 2(3612136,292) +
2(3612138,979) + 3609024,410) = 4.403.349
𝑆 0+1 = 𝑆 0 + 1 6 ℎ(𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 ) = 266.029.977 + 1 6 (0,01)
(−3515513,965 + 2(−3512220,752) + 2(−3512223,612) − 3508933,254) = 265.994.854
𝑉 0+1 = 𝑉 0 + 1 6 ℎ(𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 ) = 3.482.100 + 1 6 (0,01)(230538,287 +
2(229231,744) + 2(229238,060) + 227937,774) = 3.484.392
𝐼 0+1 = 𝐼 0 + 1 6 ℎ(𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 + 𝑛 4 ) = 235 + 1 6 (0,01)(−13,743 +
2(−13,754) + 2(−13,754) − 13,765) = 234,8625 𝑅 0+1 = 𝑅 0 + 1 6 ℎ(𝑖 1 + 2𝑖 2 + 2𝑖 3 + 𝑖 4 ) = 210 + 1 6 (0,01)(3242044,500 +
2(3243071,233) + 2(3243065,136) + 3244085,832)
= 32.640,67
Kemudian  dilakukan  iterasi  selanjutnya menggunakan program R-Studio dengan 𝑀 𝑟 , 𝑆 𝑟 , 𝑉 𝑟 , 𝐼 𝑟 , 𝑅 𝑟 dimana 𝑟 = 1,2,3, … , 𝑑𝑠𝑡 sebagai nilai awal  hingga  iterasi  ke-10000  atau  akan memprediksi  hingga 𝑡  =  20 tahun  ke  depan pada setiap kompartemen populasi. Hasil iterasi solusi  numerik  model  MSVIR  penyakit  difteri tersebut untuk setiap kompartemen dapat dilihat pada Tabel 4.3
Tabel 4. 3 Solusi Numerik Model MSVIR Penyakit Difteri Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 4
Hasil iterasi solusi numerik model penyebaran  penyakit  difteri  menggunakan metode Runge-Kutta orde empat hingga 𝑡 = 100 tahun untuk laju setiap kelas akan ditunjukkan ke dalam  plot  grafik.  Hasil  iterasi  untuk  laju populasi kompartemen Maternal Antibodies (𝑀) akan  ditunjukkan  pada  plot  grafik  seperti  pada Gambar 4.2.
Pada  Gambar  4.2  terlihat  bahwa  pada awalnya nilai untuk populasi Maternal Antibodies sebesar  4.367.228  jiwa,  namun beberapa  waktu  ke  depan  populasi Maternal Antibodies terlihat  meningkat  dan  menjadi konstan.  Hal  ini  karena  jumlah  populasi  yang lahir  setiap  tahunnya  meningkat  dan  masuk kompartemen Maternal Antibodies .
Selanjutnya hasil iterasi untuk laju populasi kompartemen Susceptible (𝑆) akan  ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 4.3.
Berdasarkan Gambar 4.3 dapat dilihat bahwa pada  awalnya  populasi Susceptible mengalami kenaikan karena adanya aliran masuk berupa laju berakhirnya masa efektivitas imun pasif. Namun pada  waktu  selanjutnya  terjadi  penurunan  yang cukup  signifikan  karena  jumlah  populasi  yang keluar  dari  kompartemen Susceptible cukup besar.  Hal  ini  terjadi  karena  adanya  program vaksinasi pada populasi sehingga individu  yang
divaksin berpindah ke kompartemen Vaccinated . Selain  itu,  terdapat  juga  individu  yang mengalami  kontak  infektif  sehingga  menjadi kelompok terinfeksi. Terdapat juga kemungkinan  individu  populasi  mengalami kematian alami.
Selanjutnya  hasil  iterasi  untuk  laju  populasi kompartemen Vaccinated (𝑉) akan ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 4.4.
Pada  Gambar  4.4  terlihat  bahwa  pada awalnya populasi Vaccinated mengalami peningkatan  dikarenakan  adanya  aliran  masuk berupa  individu  yang  telah  divaksin.  Kemudian beberapa  waktu  setelahnya  terjadi  penurunan karena  adanya  aliran  keluar  dari  kompartemen yang  cukup  signifikan.  Hal  itu  terjadi  karena adanya populasi yang melakukan kontak infektif dan juga karena laju kegagalan vaksin sehingga populasi  dapat  berpindah  menjadi  kelompok terinfeksi.  Adapun  populasi Vaccinated yang dikategorikan  berhasil  memperoleh  imunitas setelah divaksin juga mengalami perpindahan ke kompartemen Recovered .
Selanjutnya hasil iterasi untuk laju populasi kompartemen Infected (𝐼) akan ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 4.5.
Berdasarkan  Gambar  4.5,  terlihat  bahwa banyaknya  individu  yang  terinfeksi  mengalami penurunan terus-menerus untuk tahun berikutnya karena  adanya  aliran  keluar  dari  kompartemen. Hal  ini  dikarenakan  adanya  keberhasilan vaksinasi yang membuat meningkatnya kekebalan individu yang telah divaksin terhadap difteri, adanya individu yang sembuh dari difteri karena  pengobatan,  dan  adanya  individu  yang
Gambar 4. 2 Penyebaran Populasi Maternal Antibodies Pada Penyakit Difteri
Gambar 4. 3 Penyebaran Populasi Susceptible Pada Penyakit Difteri
Gambar 4. 4 Penyebaran Populasi Vaccinated Pada Penyakit Difteri
mengalami  kematian  karena  difteri  ataupun kematian alami.
Walaupun  telah  mengalami  penurunan  dari tahun  sekarang  diperoleh  bahwa  masih  terdapat individu  yang  terinfeksi  penyakit  difteri  untuk tahun-tahun  berikutnya.  Hal  ini  sejalan  dengan penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh [15] yang menggunakan model SVIR untuk memprediksi  jumlah  individu  yang  terkena penyakit  difteri  mendapatkan  hasil  bahwa  pada tahun  2030  masih  terdapat  penyakit  difteri  di Indonesia
Selanjutnya  hasil  iterasi  untuk  laju  populasi kompartemen Infected (𝐼) akan ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 4.6.
Pada  Gambar  4.6,  dapat  dilihat  bahwa populasi  kompartemen Recovered mengalami peningkatan setiap tahunnya. Hal ini dikarenakan
adanya kelompok individu terinfeksi yang telah sembuh setelah menjalani pengobatan berpindah ke  kompartemen Recovered .  Selain  itu,  juga adanya  populasi  yang  mendapatkan  imunitas setelah  divaksin  lalu  masuk  ke  dalam  kategori Recovered.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh, maka  kesimpulan  yang  didapat  adalah  sebagai berikut :
1) Model  MSVIR  pada  penyakit  difteri  di Indonesia adalah : 𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝜃𝑁 − (𝛿 + 𝜇 1 )𝑀 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛿𝑀 − 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 − (𝛼 + 𝜇)𝑆 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆 − 𝜆 𝑉𝐼 𝑁 − (𝜔 + 𝜇)𝑉 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑉𝐼 𝑁 + 𝛽 𝑆𝐼 𝑁 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜎)𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 + 𝜔𝑉 − 𝜇𝑅
2) Hasil  solusi  numerik  model  MSVIR  pada penyakit difteri menggunakan metode Runge- Kutta orde 4 dengan ukuran langkah ℎ = 0,01 diperoleh  untuk  iterasi  ke-1  yaitu 𝑀(𝑡 1 ) = 4403349 , 𝑆(𝑡 1 ) = 265994855 , 𝑉(𝑡 1 ) = 3484392 , 𝐼(𝑡 1 ) = 234,8625 ,  dan 𝑅(𝑡 1 ) = 32640,67 .  Adapun  hasil  hingga  iterasi  ke- 10000  diperoleh  estimasi  populasi Maternal
Antibodies sebesar 25.331.295 jiwa, populasi Susceptible sebesar 260.438.559 jiwa, populasi Vaccinated sebesar  3.649.553  jiwa, populasi Infected sebesar 0 jiwa, dan populasi Recovered sebesar 290.096.521 jiwa.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Puspita,  G.,  Kharis,  M.,  &  Supriyono.
(2017).  Pemodelan  Matematika  Pada Penyebaran  Penyakit  Difteri  Dengan Pengaruh Karantina Dan Vaksinasi. Unnes Journal of Mathematics , 6 (1), 26. [2] World Health Organization. (2017). Diphtheria vaccine: WHO position paper - August  2017.  In Weekly  Epidemiology Record (Vol. 92).
[3] World Health Organization. (2021).
Gambar 4. 5 Penyebaran Populasi Infected Pada Penyakit Difteri
Gambar 4. 6 Penyebaran Populasi Recovered Pada Penyakit Difteri
Diphtheria Reported Cases and Incidence. Retrieved December 6, 2022, from World
Health Organization website.
[4] Kementrian Kesehatan RI. (2017).
Pedoman  Pencegahan  dan  Pengendalian Difteri . Jakarta: Direktorat Pencegahan dan
Pengendalian Penyakit.
[5] Suryani,  I.,  &  E,  M.  Y.  (2016).  Analisis Kestabilan  Model  MSEIR  Penyebaran Penyakit Difteri Dengan Saturated Incidence  Rate. Jurnal  Sains  Matematika Dan Statistika , 2 (1).
[6] Malarvizhi,  M.,  Karunanithi,  S.,  & Gajalakshmi, N. (2020). Numerical
Analysis  Using  RK-4  In  Transient Analysis Of RLC Circuit. Adv. Math. Sci. J, 9, 6115-6124.
[7] Ndii, M. Z. (2018). Pemodelan matematika Dinamika  Populasi  dan  Penyebaran Penyakit . Yogyakarta: Deepublish
Publisher.
[8] Li,  M.  Y.  (2018).  An  Introduction  to Mathematical  Modeling  of  Infectious Diseases. In An
Introduction to Mathematical  Modeling  of  Infectious Diseases . Edmonton: Springer.
[9] Wulandari,  U.  N.  (2013). Analisis  Model
Epidemik MSEIR Pada Penyebaran
Penyakit Difteri . Universitas Jember.
[10] Aryani,  I.,  &  Widyaningsih,  P.  (2020). Model  Susceptible  Vaccinated  Infected Recovered (SVIR) dan Penerapannya pada Penyakit  Difteri  di  Indonesia. PRISMA, Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika ,
3 , 157.
[11] Ndii, M. Z. (2018). Pemodelan matematika Dinamika  Populasi  dan  Penyebaran
Penyakit . Yogyakarta: Deepublish
Publisher.
[12] Maharani,  S.,  &  Suprapto,  E.  (2018).
Analisis Numerik Berbasis Group Investigation Untuk Meningkatkan Kemampuan  Berpikir  Kritis.  In The
Modern  Language  Review (Vol.  48).
Magetan: CV. AE Media Grafika.
[13] Chapra,  S.  C.,  &  Canale,  R.  P.  (2007). Metode  Numerik  Untuk  Teknik  Dengan Penerapan  pada  Komputer  Pribadi (S. Sardy,  Ed.).  Jakarta:  Penerbit  Universitas Indonesia (UI-Press).
[14] Kementrian Kesehatan RI. (2017).
Pedoman  Pencegahan  dan  Pengendalian Difteri . Jakarta: Direktorat Pencegahan dan Pengendalian Penyakit.
[15] Aryani,  I.,  &  Widyaningsih,  P.  (2020). Model  Susceptible  Vaccinated  Infected Recovered (SVIR) dan Penerapannya pada Penyakit  Difteri  di  Indonesia. PRISMA, Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika ,
3 , 157.
[16] Ndii, M. Z. (2018). Pemodelan matematika Dinamika  Populasi  dan  Penyebaran
Penyakit . Yogyakarta: Deepublish Publisher.
[17] Widyaningsih, P., Jasaputra, A., Saputroc,
D.  R.  S.,  &  Pangadi,  P.  (2020).  Simulasi Pengaruh Program Vaksinasi dalam Penyebaran  Penyakit  Difteri  di  Indonesia. PRISMA,  Prosiding  Seminar  Nasional Matematika , 3 , 172–178.
[18] Kemenkes  RI.  (2022).  Profil  Kesehatan Indonesia 2021. In Pusdatin.Kemenkes.Go.Id . [19] Sutanto, S., Ariskarini, W., &
Widyaningsih, P. (2022). MODEL MATERNAL ANTIBODY SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED RECOVERED (MSVIR)
DENGAN PENGARUH SANITASI
(KASUS  DIFTERI  DI  INDONESIA). AdMathEduSt:  Jurnal  Ilmiah  Mahasiswa Pendidikan Matematika, 9(1), 24. https://doi.org/10.12928/admathedust.v9i1
.21497