KAJIAN “MODUL P-BÉZOUT DAN IDEALISASINYA” UNTUK BUKU AJAR MATA KULIAH TEORI GELANGGANG BERBASIS RISET

## Muhamad Ali Misri
Tadris Matematika, IAIN Syekh Nurjati Cirebon Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon alimisri@syekhnurjati.ac.id
Abstract
This paper discusses the properties of P-Bézout modules via idealization. P-Bézout Module here are only Bézout modules. Study of these properties could views in the side of adequacy as a teaching materials on Ring Theory and forming the character of students on other side. Patterns in material transfering  process  is  directly  proportional  impacted  to  the  student’s  positive  character  growth, especially critical and creative thingking as a starting point of teacher’s character building which is independent  and  prestigious  since  it  is  able  to  provide  the  students  wants  such  as  material  and personality
Keywords: modules, rings, faithful multiplication Bezout , character buildings, research based teaching materials

## Abstrak
Tulisan  ini  membahas  kajian  sifat-sifat  modul  P-Bézout  melalui  idealisasi.  Modul  P-Bézout  pada  tulisan  ini hanya  berupa  modul  Bézout.  Kajian  sifat-sifat  tersebut  dilihat  dari  sisi  kecukupan  sebagai  bahan  ajar perkuliahan Teori Gelanggang dan  dari sisi pembentukan karakter mahasiswa. Pola penyampaian dalam proses penguasan  materi  berbanding  lurus  dengan  pertumbuhan  karakter  positif  mahasiswa  khususnya  berupa  sifat kritis  dan  kreatif  sebagai  titik  tolak  terbentuknya  pribadi  guru  yang  mandiri  dan  berwibawa  karena  mampu memberikan kebutuhan siswa dari sisi materi dan kepribadian.
Keywords: modul, gelanggang, B 𝒆́ zout perkalian yang setia, pembentukan karakter, bahan ajar berbasis riset .

## PENDAHULUAN
Paling  tidak  ada  dua  hal  yang  dapat  dicapai dalam  proses  pembelajaran,  yakni  perolehan materi  ajar  dan  terbentuknya  karakter  yang diharapkan  dari  proses  penyampaian  materi ajar  tersebut.  Dalam  teori  gelanggang, beberapa  topik  yang  perlu  dikuasai  paling tidak  mencakup:  pengertian  gelanggang  dan contohnya, klasifikasi gelanggang, membandingkan gelanggang dan pengetahuan cara pembentukan gelanggang baru.
P-Bézout  adalah  salah  satu  struktur  hasil pengembangan  yang  telah  dilakukan  dalam teori  gelanggang.  Salah  satu  kajian  dari
struktur  P-Bézout  adalah  mengenai  modul Bézout  dan  idealisasinya.  Beberapa  kajian yang telah dilakukan terkait struktur tersebut yaitu  kajian  Ali  (2006)a,  (2006)b  dan  (2007), Anderson  (2000),  Winders  dan  Anderson (2009), Bakkari (2009), Cheniour (2012), Misri dkk (2013), Misri (2015) dan Misri dkk (2016).
Melihat adanya pembaharuan hasil penelitian ini,  perlu  kiranya  dilakukan  pembaharuan pula  pada  buku  ajar  mata  kuliah  teori gelanggang.  Misri  (2016)  telah  melakukan kajian  materi  untuk  penyusunan  buku  ajar teori  gelanggang  dengan  mempelajari  sifat- sifat modul Bézout sebagai puncaknya. Dengan dilakukannya  usaha  pembaharuan  buku  ajar ini, paling tidak ada dua aspek berikut dapat
terpenuhi.  Pertama,  Semua  topik  yang  perlu dikuasai  dalam  teori  gelanggang  dapat terintegrasikan dalam satu kajian yakni modul Bézout dan idealisasinya sebagai topik puncak pada  kajian  tersebut.  Kedua,  terjadinya pembentukan karakter yang kritis dan kreatif, sistematis dan terarah dalam diri mahasiswa. Pembentukan  karakter  tersebut  tentunya didukung  dengan  adanya  kegiatan-kegiatan berupa membentuk dan mengolah pernyataan- pernyataan  dengan  menggunakan  argumen yang valid dalam melakukan proses pembuktiannya.  Dengan  kemampuan  yang dibangun tersebut, mahasiswa mampu mengintegrasikannya pada setiap mata kuliah yang diambilnya. Kemampuan pada aspek ke dua  ini  dapat  menghantarkan  mahasiswa menjadi  matematikawan  maupun  guru matematika yang kritis dan kreatif yang tidak mudah menerima teori atau konsep baru mana pun sebelum jelas terlebih dahulu kebenarannya.

## KAJIAN PUSTAKA
Pernyataan  merupakan  suatu  kalimat  yang benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Suatu pernyataan disebut benar jika nilai kebenaran pernyataan tersebut benar. Sebaliknya, suatu pernyataan disebut salah jika nilai kebenaran pernyataan tersebut salah. Pernyataan disebut juga dengan proposisi dan ditandai menggunakan huruf kapital, seperti: 𝑃 , 𝑄 , atau 𝑅 . Nilai kebenaran benar ditandai menggunakan huruf kapital 𝑇 sementara nilai kebenaran  salah  menggunakan  huruf  kapital 𝐹 .
Kalimat  “dua  itu  bilangan  ganjil”  adalah pernyataan  salah.  Sementara  kalimat  “di manakah kau temukan itu?” bukan pernyataan.
Lima  bentuk  pernyataan  dasar  diperoleh dengan  cara  menegasikan  atau  merangkai pernyataan menggunakan penghubung logika: ‘dan’,  ‘atau’,  ‘jika  maka’  serta  ‘jika dan  hanya jika’  (Daepp  &  Gorkin,  2011).  Bentuk pernyataan  lainnya  berasal  dari  lima  bentuk dasar  tersebut.  Misalkan 𝑃 dan 𝑄 dua  buah pernyataan.  Bentuk  pernyataan  “tidak 𝑃 ”, ditulis: ¬𝑃 ,  disebut  negasi 𝑃 .  Bentuk pernyataan  “ 𝑃 atau 𝑄 ”,  ditulis: 𝑃 ∨ 𝑄 ,  disebut disjungsi.  Bentuk  pernyataan  “ 𝑃 dan 𝑄 ” ditulis: 𝑃 ∧ 𝑄 ,  disebut  konjungsi.  Bentuk
pernyataan  “Jika 𝑃 ,  maka 𝑄 ”,  dapat  ditulis: 𝑃 → 𝑄 ,  disebut  implikasi.  Terakhir,  bentuk pernyataan  “ 𝑃 jika  dan  hanya  jika 𝑄 ”,  dapat ditulis: 𝑃 ↔ 𝑄 , disebut 𝒃𝒊𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒌𝒂𝒔𝒊 .
Pada  implikasi,  pernyataan 𝑃 disebut hipotesis atau anteseden sementara pernyataan 𝑄 disebut  konklusi.  Berikut  ini cara menyatakan implikasi.
Jika 𝑃 , 𝑄 ; 𝑃 mengakibatkan 𝑄 ; 𝑃 syarat cukup bagi 𝑄 ( artinya 𝑃 cukup untuk membuat 𝑄 terjadi); 𝑄 jika 𝑃 ; 𝑄 syarat perlu bagi 𝑃 ( artinya jika 𝑃 terjadi, maka 𝑄 harus terjadi); 𝑄 bilamana 𝑃 .
Perhatikan bentuk-bentuk pernyataan berikut ini.
Saya lapar; Saya makan; Saya tidak lapar; Saya tidak makan; Saya lapar tetapi tidak makan; Saya makan atau saya lapar; Jika saya lapar, saya makan; Saya  lapar  jika  dan  hanya  jika  saya  tidak makan.
Perhatikan  bentuk  pernyataan  “Jika  kamu telah  membereskan  kamarmu,  maka  kamu boleh pergi ke rumah temanmu.”!.
Ketika bentuk pernyataan tersebut diucapkan kepada anak kita, kapan ia merasakan bahwa kita  berbohong?  Pada  contoh,  antesedennya “kamu  telah  membereskan  kamarmu”  dan konklusinya  “kamu  boleh  pergi  ke  rumah temanmu.”. Ketika anak kita telah membereskan kamarnya dan kita membolehkannya  pergi  ke  rumah  temannya, tentu  saja  ia  akan  senang  karena  kita  tidak berbohong.  Implikasi  tersebut  menjadi  benar. Jadi,  ketika  antesedennya  benar  dan konklusinya  juga  benar,  pernyataan  secara keseluruhan menjadi benar.
Ketika  kita  membolehkan  anak  kita  pergi  ke rumah  temannya  meskipun  ia  belum membereskan kamarnya, kita tidak berbohong.
Jadi, pernyataan secara
keseluruhan tetap benar meskipun antesedennya salah.
Ketika  kita  tidak  membolehkan  anak  kita pergi  ke  rumah  temannya  karena  ia  belum membereskan  kamarnya,  kita  juga  tidak berbohong.  Implikasi  tersebut  menjadi  benar.
Jadi,  ketika  antesedennya  salah dan konklusinya  juga  salah,  pernyataan  secara keseluruhan menjadi benar.
Ketika  anak  kita  telah  membereskan kamarnya  tetapi  kita  tidak  membolehkannya pergi  ke  rumah  temannya,  kita  berbohong. Jadi,  ketika  antesedennya  benar  tetapi konklusinya  salah,  implikasinya  menjadi salah.
Suatu  bentuk  pernyataan  disebut  tautologi jika  nilai  kebenaran  bentuk  pernyataan tersebut pada tabel kebenaran semuanya “T”. Sebaliknya,  suatu  bentuk  pernyataan  disebut kontradiksi  jika  nilai  kebenaran  bentuk pernyataan  tersebut  pada  tabel  kebenaran semuanya “F”. Dua bentuk pernyataan 𝑃 dan 𝑄 disebut ekuivalen (secara logis), ditulis: 𝑃 ⇔ 𝑄 ,  jika 𝑃 ↔ 𝑄 adalah  tautologi.  Perlu diperhatikan bahwa tanda ⇔ bukan penghubung logika dan dengan demikian, 𝑃 ⇔ 𝑄 bukan  suatu  bentuk  pernyataan.  Ia  hanya bermakna bahwa 𝑃 ↔ 𝑄 adalah tautologi.
Pandang bentuk pernyataan 𝑃 → 𝑄 dan bentuk pernyataan ¬𝑃 ∨ 𝑄 .  Dua  bentuk  pernyataan tersebut  ekuivalen,  ditulis: (𝑃 → 𝑄) ⇔ (¬𝑃 ∨ 𝑄) ,  mengingat  bentuk  pernyataan (𝑃 → 𝑄) ↔ (¬𝑃 ∨ 𝑄) suatu tautologi.
Misalkan 𝑃 dan 𝑄 dua  pernyataan.  Bentuk pernyataan ¬Q → ¬P disebut 𝒌𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇 implikasi P → Q .  Bentuk  pernyataan Q → P disebut 𝒌𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔 implikasi P → Q .  Sementara bentuk  pernyataan ¬𝑃 → ¬𝑄 disebut 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔 implikasi P → Q .  Jelas  bahwa  implikasi  dan kontrapositifnya  ekuivalen,  implikasi  dan konvers nya tidak ekuivalen, sementara implikasi dan invers nya juga tidak ekuivalen.
Implikasi 𝑃 → 𝑄 dapat dibentuk menggunakan sembarang  pernyataan 𝑃 dan 𝑄 tanpa  harus saling  terkait.  Misalnya,  “jika 2 + 3 = 5 ,  saya akan berlibur ke Bali”. Implikasi tersebut tidak pernah ditemukan dalam bahasa.
Perhatikan  kalimat  “jika  saya  selesai mengerjakan  tugas  lebih  awal,  saya  akan menjemputmu sebelum makan siang”. Kalimat tersebut berbentuk implikasi 𝑃 → 𝑄 dengan 𝑃 “saya  selesai  mengerjakan  tugas  lebih  awal” dan 𝑄 “saya  akan  menjemputmu  sebelum makan  siang”.  Interpretasi  umum  yang menyatakan  bahwa  bentuk ¬𝑃 → ¬𝑄 :  “jika saya  belum  selesai  mengerjakan  tugas  lebih awal, saya tidak akan menjemputmu sebelum makan siang” adalah benar, bukan disebabkan
oleh implikasi 𝑃 → 𝑄 . Jelas bahwa ¬𝑃 → ¬𝑄 ⇎ 𝑃 → 𝑄 . Bahasa memang tidak setepat logika.
Dalam kajian matematika, menentukan benar salahnya suatu pernyataan, perlu mengetahui terlebih  dahulu  apakah  objek  yang  sedang dibicarakan  tersebut  sembarang  (bersifat umum)  atau  tertentu  (khusus).  Ungkapan “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk suatu” dan  “terdapat”  disebut 𝐤𝐮𝐚𝐧𝐭𝐨𝐫 .  Khususnya, ungkapan  “untuk  setiap”  dan  “untuk  semua” disebut 𝐤𝐮𝐚𝐧𝐭𝐨𝐫 umum  (universal),  ditulis: ∀ sementara  ungkapan  “untuk  suatu”  dan “terdapat” disebut 𝐤𝐮𝐚𝐧𝐭𝐨𝐫 khusus, ditulis: ∃ . Keberadaan kuantor membuat setiap pernyataan menjadi jelas.
Misalkan 𝑥 objek yang sedang dibicarakan dan 𝑃 suatu  pernyataan  yang  memuat 𝑥 . Pernyataan 𝑃 ditulis
𝑃(𝑥) . Dengan memberikan kuantor umum, pernyataan 𝑃(𝑥) berubah  menjadi:  “ ∀𝑥, 𝑃(𝑥) ”  dibaca:  “untuk setiap 𝑥 , 𝑥 memiliki sifat 𝑃 ” atau “untuk setiap 𝑥 ,  berlaku 𝑃(𝑥) ”.  Jika  pernyataan 𝑃(𝑥) diberikan  kuantor  khusus,  maka  diperoleh pernyataan: “ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) ” dibaca: “untuk suatu 𝑥 , 𝑥 memiliki  sifat 𝑃 ”  atau  “untuk  suatu 𝑥 , berlaku 𝑃(𝑥) ”.  Negasi  dari  pernyataan “ ∀𝑥, 𝑃(𝑥) ”  adalah  “ ∃𝑥, ¬𝑃(𝑥) ”.  Sementara negasi pernyataan:
“ ∃𝑥, 𝑃(𝑥) ” adalah “ ∀𝑥, ¬𝑃(𝑥) ”.
Pandang  pernyataan  “setiap  jeruk  rasanya asam”. Bagaimana dengan negasi pernyataan tersebut?  Pernyataan  “tidak  setiap  jeruk rasanya  asam”  merupakan  negasinya,  tetapi kurang  bermanfaat.  Lebih  baik  dengan menyatakan  “beberapa  jeruk  tidak  asam” sebagai  negasinya,  karena  lebih  bermanfaat. Selanjutnya pandang pernyataan “Ada burung berwarna merah”. Negasi pernyataan tersebut adalah “tidak ada burung berwarna merah”.
Pandang kalimat “Mahasiswa yang berprestasi pantang menyontek”. Misalkan 𝑥 menyatakan mahasiswa, 𝑃(𝑥) menyatakan 𝑥 berprestasi dan 𝑄(𝑥) menyatakan 𝑥 menyontek.  Dengan demikian,  kalimat  tersebut  menjadi  “untuk setiap 𝑥 , jika 𝑃(𝑥) maka ¬𝑄(𝑥) ”. Untuk dapat menegasikannya, perhatikan langkah-langkah berikut.
¬ (∀𝑥, (𝑃(𝑥) → ¬𝑄(𝑥))) ⇔ ∃𝑥, ¬(𝑃(𝑥) → ¬𝑄(𝑥))
⇔ ∃𝑥, ¬(¬𝑃(𝑥) ∨ ¬𝑄(𝑥))
⇔ ∃𝑥, (𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥))
Negasi tersebut terlihat pada langkah terakhir yaitu ∃𝑥, (𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)) ,  artinya  terdapat mahasiswa yang berprestasi tetapi menyontek.
Ada  hal  penting  yang  perlu  diperhatikan  di sini.
Pada kalimat “Mahasiswa yang berprestasi pantang menyontek”, kuantor tidak diberikan  secara  jelas.  Ketika  menemukan kalimat  yang  seperti  itu,  berikanlah kuantor umum.
Banyak  metode  dalam  pembuktian,  seperti: pembuktian  secara  langsung,  pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian melalui kasus per kasus, pembuktian keberadaan suatu objek dan ketunggalannya serta pembuktian dengan induksi  matematika.  Pada  bagian  ini,  akan dijelaskan  teknik  pembuktian  yang  paling sering  dilakukan  pada  metode  pembuktian secara  langsung  dan  pembuktian  dengan kontradiksi.
Ada  beberapa  langkah  dalam  menuliskan suatu bukti. Pertama kenali dahulu masalahnya sehingga menjadi paham. Langkah  berikutnya  merancang  rencana  dan merealisasikannya  dengan  menuliskan  bukti tersebut.  Terakhir  lihat  kembali  bukti  yang telah ditulis tersebut sehingga tidak ditemukan  lagi  kesalahan.  Jika  bukti  yang ditulis tersebut telah benar, tambahkan kotak kecil ∎ pada  akhir  bukti  tersebut.  Ada  juga yang  menggunakan 𝑄. 𝐸. 𝐷 sebagai  pengganti ∎ . Kata “ 𝑄. 𝐸. 𝐷 ” sendiri merupakan singkatan dari  quod  erat  demonstrandum,  yang  berarti “telah didemonstrasikan (ditunjukkan)”.
Sebelum  memulai  pembuktian,  pastikan dahulu telah mengetahui semua kata-kata dan istilah yang digunakan dalam pernyataan yang hendak  dibuktikan,  asumsi  apa  yang  akan digunakan,  dan  apa  yang  akan  digunakan untuk menunjukkan.
Misalkan  akan  menunjukkan  bahwa  “jika 𝑃 , maka 𝑄 benar” dengan pembuktian langsung. Pembuktian  cara  ini,  dimulai  dari 𝑃 dan diteruskan  hingga  diperoleh 𝑄 .  Sebelum memulainya,  pastikan  sudah  menguasai makna  semua  kata  dalam  implikasi  tersebut lalu pastikan implikasi tersebut benar.
Dalam tulisan ilmiah, seperti buku penelitian dan  makalah  jurnal,  pernyataan  dibedakan menjadi: proposisi (pernyataan), lema, teorema dan  akibat.  Teorema  merupakan  pernyataan inti (utama) yang menjadi hasil utama dalam suatu  penelitian.  Pernyataan  Lema  ditulis untuk  membuktikan  pernyataan  teorema. Sementara  pernyataan  akibat  merupakan pernyataan  yang  ditimbulkan  oleh  teorema. Ketika penelitian memberikan beberapa hasil, hasil  lainnya  (selain  hasil  utama)  ditulis
dengan  nama  “pernyataan”  atau  “proposisi” saja.
Bentuk  Pernyataan  yang  akan  dikaji  di  sini mengenai  struktur  Bezout  dan  idealisasinya. Struktur B 𝒆́ zout yang dibahas pada bagian ini berupa  gelanggang,  modul  dan  idealisasi B 𝒆́ zout. Khususnya mengenai pengertian serta sifat dan keterkaitannya dengan struktur lain. Materi yang terkait dengan gelanggang B 𝒆́ zout dan idealisasinya diambil dari Cheniour (2012) yang  dikutip  oleh  Misri  (2015).  Materi  yang terkait  modul  B 𝒆́ zout  beserta  idealisasinya diambil  dari  Anderson  (2000),  Anderson  dan Winders  (2009),  Ali  (2007)  serta  Misri  dkk (2016).
Seperti  diketahui  bersama  bahwa  isi  kajian modul  B 𝑒́ zout  dan  idealisasinya  berupa pernyataan-pernyataan  logis.  Tentu  saja kualitas  kajian  ini  ditentukan  oleh  validitas kebenaran  isi  dari  pernyataan-pernyataan yang  dijadikan  bahan  kajian.  Berangkat  dari hal tersebut, muncul pemikiran untuk memilih dan menentukan rangkaian pernyataan dalam kajian  modul  B 𝑒́ zout  dan  idealisasinya sehingga  muncul  dalam  bentuk  narasi. Pemikiran  tersebut  dapat  terlihat  pada gambar berikut ini.
Bagan 1. Alur proses Pembentukan narasi materi sifat-sifat modul Bezout
Himpunan Pernyataan pada kajian modul Bezout (tersebar dalam berbagai sumber)
Himpunan Pernyataan pada kajian modul Bezout yang telah didata dan siap divalidasi Himpunan Pernyataan pada kajian modul Bezout yang telah valid
Penelusuran, pendataan dan pengumpulan seleksi dan validasi (Pembuktian pernyataan) Narasi Materi Sifat-sifat Modul B 𝑒́ zout
Pembentukan Narasi
Dari  bagan  tersebut  tampak  jelas  bahwa narasi yang dihasilkan akan memberi dampak terhadap  penguasaan  konten  materi  dan pembentukan karakter mahasiswa.

## METODOLOGI
Untuk dapat menghimpun materi kajian sifat- sifat  modul  Bézout  berdasarkan  hasil  riset, seperti  nampak  pada  bagan  1,  digunakan pendekatan  penelitian  riset  sains  dasar  yang bersifat  deskriptif.  Penelitian  ini  juga  berupa penelitian  kajian  kepustakaan,  mengingat semua  data  penelitian  diperoleh  dari  hasil penelusuran pustaka.
Untuk itu, dilakukan tiga tahapan penelitian. Pada  tahapan  pertama  dilakukan  inisiasi yakni  pengumpulan  data  berupa  pernyataan dengan melakukan penelusuran pada pangkalan  data.  Pada  tahapan  ini  juga dilakukan pendalaman konsep terkait pernyataan  yang  telah  berhasil  dihimpun. Tahapan  berikutnya,  pernyataan-pernyataan ini kemudian dianalisis menggunakan perangkat  pembuktian  matematis  yang  ada sehingga didapatkan  sekumpulan  pernyataan yang valid secara isi dan struktur kalimatnya. Pada tahapan terakhir, dilakukan penyeleksian.  Hasilnya,  berupa  pernyataan yang  telah  valid,  dituliskan  dalam  bentuk: definisi,  proposisi,  lema,  teorema  dan  akibat. Himpunan pernyataan valid tersebut dirangkai  membentuk  materi  “modul  Bézout beserta sifat-sifatnya”.
Data  dalam  penelitian  ini berupa pernyataan (proposisi):  definisi;  contoh;  lema;  teorema maupun akibat, yang berkaitan dengan konsep gelanggang,  modul  dan  idealisasi  Bézout. Sementara sumber data berupa artikel jurnal dan  prosiding,  abstrak,  buku  teks  dan  buku hasil penelitian.
Pengumpulan  data  dilakukan  dengan  cara penelusuran  pada  basis  data  hasil  penelitian baik berupa jurnal maupun buku. Penelusuran dilakukan  pada  pengindeks  jurnal  dan  buku, untuk  mendapatkan  informasi  terkini  terkait artikel  dan  buku  terkait  modul  Bézout  dan idealisasinya.
Untuk  mendapatkan  data  yang  absah, dilakukan dua hal. Pertama penelusuran data dilakukan  hanya  pada  pangkalan  data (pengindeks  jurnal  dan  buku)  bereputasi  saja baik  nasional  maupun  internasional.  Kedua, dilakukan  penyaringan  data  menggunakan alat  matematis  seperti  yang  dilakukan  pada tahap  dua  desain  penelitian.  Sementara  itu, kajian karakter diperoleh sebagai dampak dari penerapan  kajian  tersebut  pada  proses perkuliahan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Seperti  telah  disinggung  pada  bagian pendahuluan,  ada  dua  sisi  yang  dikaji  pada tulisan  ini.  Kajian  tersebut  diambil  dari  sisi kelengkapan konten materi dan sisi pembentukan  karakter  mahasiswa.  Untuk lebih jelasnya simaklah uraian berikut ini.
1. Materi Sifat Modul Bezout Perkalian yang Setia
Struktur B 𝒆́ zout yang dibahas pada bagian ini berupa  gelanggang,  modul  dan  idealisasi B 𝒆́ zout. Khususnya mengenai pengertian serta sifat dan keterkaitannya dengan struktur lain. Ada dua hasil utama yang dibahas pada bagian ini. Hasil pertama, terkait gelanggang B 𝒆́ zout dan  idealisasinya,  diambil  dari  Cheniour (2012)  yang  dikutip  oleh  Misri  (2015).  Hasil kedua, terkait modul B 𝒆́ zout dan idealisasinya, diambil  dari  Misri  dkk  (2016)  dan  Ali  (2007). Hasil  kedua  ini  merupakan  perbaikan  atas hasil penelitian Misri (2015).
Gelanggang B 𝒆́ zout
Gelanggang  B 𝑒́ zout  merupakan  gelanggang yang  setiap  ideal  yang  dibangun  secara hingganya  utama.  Secara  formal,  pengertian gelanggang  B 𝑒́ zout  disajikan  dalam  definisi berikut.

## Definisi
Gelanggang 𝑅 disebut gelanggang B 𝑒́ zout jika setiap ideal yang dibangun secara hingga atas 𝑅 merupakan ideal utama. Khususnya, jika 𝑅 daerah integral, gelanggang 𝑅 disebut daerah B 𝑒́ zout.
Pengertian  gelanggang  B 𝑒́ zout  di  atas, disarikan  dari  tulisannya  Cheniour  (2012) yang  dikutip  oleh  Misri  (2015).  Contoh gelanggang  B 𝑒́ zout  sudah  dijelaskan  secara
terperinci  di  dalam  Misri  (2015).  Namun demikian,  perlu  dituliskan  kembali  dalam tulisan ini untuk dapat memahami gelanggang B 𝑒́ zout.  Untuk  lebih  jelasnya,  perhatikan uraian contoh gelanggang B 𝑒́ zout berikut.
Contoh 1. Setiap daerah ideal utama maupun lapangan  jelas  merupakan  daerah  B 𝑒́ zout. Contoh  sederhananya  gelanggang  bilangan bulat ℤ dan gelanggang bilangan rasional ℚ .
Contoh  2.  Pandang  himpunan  bilangan rasional ℚ sebagai ℤ -modul.  Idealisasi  modul ℚ ,  ditulis: ℤ (+) ℚ ,  merupakan  gelanggang komutatif dengan (1,0) sebagai unsur kesatuan dan  subhimpunan {(0, 𝑞)| 𝑞 ∈ ℚ} sebagai himpunan  semua  pembagi  nol  gelanggang tersebut.  Mengingat  idealisasi  tersebut memuat  pembagi  nol,  tentu  saja  tidak  bisa disebut  daerah  integral.  Sementara  itu, idealisasi ℤ (+) ℚ tentu saja homogen. Untuk itu, semua ideal tak nolnya yang dibangun secara hingga  berbentuk 𝑛ℤ (+) ℚ .  Mengingat  ideal 𝑛ℤ (+) ℚ = (ℤ (+) ℚ)(𝑛, 0) ,  tentu  saja  idealisasi ℤ (+) ℚ merupakan gelanggang B 𝑒́ zout.
Contoh  3.  Pandang 𝑀 sebagai  ruang  vektor berdimensi dua  atas  lapangan 𝐹 , ditulis: 𝑀 = 𝐹 2 .  Idealisasi  ruang  vektor  tersebut,  ditulis: 𝐹 (+) 𝑀 , hanya memiliki empat buah ideal saja. Ideal  tersebut  yaitu: 0 (+) 0 , 0 (+) 𝐹 , 0 (+) 𝑀 dan 𝐹 (+) 𝑀 .  Idealisasi 𝐹 (+) 𝑀 pastinya  homogen. Perhatikan  ideal 0 (+) 𝑀 .  Ideal  tersebut dibangun  secara  hingga.  Untuk  itu, 0 (+) 𝑀 = (𝐹 (+) 𝑀)(0, (0,1)) + (𝐹 (+) 𝑀)(0, (1,0)) .  Mengingat modul 𝑀 tidak  siklik,  dengan  menggunakan proposisi yang sama, ideal 0 (+) 𝑀 tidak utama. Dengan  demikian,  ada  ideal  yang  dibangun secara  hingga  tetapi  tidak  utama.  Alasan tersebut  penyebab  idealisasi 𝐹 (+) 𝑀 bukan gelanggang B 𝑒́ zout.
Berikut  ini  beberapa  sifat  gelanggang  B 𝑒́ zout yang  dapat  digunakan  untuk  membantu mengenali  struktur  tersebut  secara  lebih mendalam. Sebelum masuk pada bahasan ini, sebaiknya  sudah  menguasai  lapangan  hasil terlebih dahulu.

## Proposisi (Cheniour, 2012)
Misalkan 𝐷 dan  E  keduanya  daerah  integral yang memenuhi 𝐷 ⊆  𝐸 serta 𝐷 (+) 𝐸 idealisasi 𝐷 - modul 𝐸 .  Idealisasi 𝐷 (+) 𝐸 B 𝑒́ zout  jika  dan hanya  jika  daerah  integral 𝐷 daerah  B 𝑒́ zout dan daerah integral 𝐸 lapangan hasil bagi atas 𝐷 .
Pandang tiga buah himpunan sebagai ℤ -modul yaitu ℤ , ℚ dan ℝ .  Menurut  proposisi  di  atas, ℤ (+) ℤ dan ℤ (+) ℝ bukan  gelanggang  B 𝑒́ zout walaupun ℤ dan ℝ keduanya  daerah  B 𝑒́ zout mengingat ℤ dan ℝ bukan lapangan hasil bagi atas ℤ .  Sementara  itu, ℤ (+) ℚ merupakan gelanggang  B 𝑒́ zout  karena ℤ daerah  B 𝑒́ zout dan ℚ lapangan hasil bagi atas ℤ .

## Proposisi (Cheniour, 2012)
Misalkan 𝐼 suatu  ideal  yang  dibangun  secara hingga atas gelanggang 𝑅 . Jika gelanggang 𝑅 B 𝑒́ zout  maka  gelanggang  faktor 𝑅/𝐼 juga B 𝑒́ zout.
Pandang ℚ sebagai ℤ -modul. Jelas gelanggang ℤ/𝑛ℤ B 𝑒́ zout. Selain itu, mengingat gelanggang ℤ (+) ℚ B 𝑒́ zout dan ideal 𝑛ℤ (+) ℚ dibangun secara hingga,  gelanggang  faktor ℤ (+) ℚ/ 𝑛ℤ (+) ℚ juga B 𝑒́ zout.
Modul B 𝒆́ zout
Pada bagian ini akan dijelaskan konsep modul B 𝑒́ zout beserta hasil penelitian mengenai sifat- sifatnya.  Hasil  utama  bagian  ini  dituliskan dalam  Teorema    dan  Teorema  .  Hasil tersebut dapat ditemukan dalam Misri  (2016) tetapi tidak terperinci. Kedua teorema tersebut merupakan perbaikan hasil penelitian disertasi  yang  ditulis  setahun  sebelumnya (Misri,  2015).  Bukti  kedua  teorema  tersebut akan  dijelaskan  secara  rinci  pada  bagian  ini. Sebelum  membahas  kedua  hal  tersebut, perhatikan  terlebih  dahulu  pengertian  modul B 𝑒́ zout berikut ini.

## Definisi (Ali, 2006)
Misalkan 𝑅 suatu  gelanggang  komutatif dengan unsur kesatuan dan 𝑀 𝑅 -modul. Modul 𝑀 disebut  B 𝑒́ zout  jika  setiap  submodul  yang dibangun secara hingganya siklik.
Modul  B 𝑒́ zout  yang  didefinisikan  melalui definisi di atas ekuivalen dengan modul yang setiap  submodulnya  berbentuk 𝑅𝑚 + 𝑅𝑛 merupakan  submodul  siklik  untuk  setiap 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑀 . Sebelum maju pada penyajian contoh modul  B 𝑒́ zout,  perhatikan  terlebih  dahulu proposisi berikut ini.
Proposisi (Ali, 2007)
Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul  dan 𝑅 (+) 𝑀 idealisasi  modul 𝑀 .  Jika  idealisasi 𝑅 (+) 𝑀 B 𝑒́ zout  maka  gelanggang 𝑅 dan  modul 𝑀 keduanya  sama-sama  B 𝑒́ zout.  Kebalikannya
bernilai  benar  jika  modul 𝑀 dibangun  secara hingga dan idealisasi 𝑅 (+) 𝑀 homogen.
Proposisi  ini  dapat  ditemukan  di  dalam tulisannya Ali (2007) pada teorema 6. Proposisi tersebut  dikutip  oleh  Misri  dkk  (2016)  dan ditulisnya  dalam  proposisi  1.  Dengan memanfaatkan  proposisi  ini,  contoh  modul B 𝑒́ zout dapat dibentuk.
Pandang ℚ sebagai ℤ -modul.  Dari  penjelasan sebelumnya,  diinformasikan  bahwa  idealisasi ℤ (+) ℚ B 𝑒́ zout.  Untuk  itu,  gelanggang ℤ dan modul ℚ , dua-duanya B 𝑒́ zout.
Sebaliknya,  Pandang 𝑀 sebagai  ruang  vektor berdimensi dua  atas  lapangan 𝐹 . Jelas  ruang vektor tersebut tidak siklik. Untuk itu, ruang 𝑀 bukan modul B 𝑒́ zout. Untuk contoh lainnya bisa dilihat pada Misri dkk (Misri, Garminia, & Irawati, 2013).
Sifat – sifat Modul B 𝒆́ zout
Berikut  ini  kajian  sifat-sifat  modul  B 𝑒́ zout. Sifat  yang  dibahas  di  sini  berupa  sifat submodul dari modul B 𝑒́ zout dan keterkaitannya dengan struktur lain. Struktur yang  dikaitkan  dengan  modul  B 𝑒́ zout  pada pembahasan  kali  ini  berupa  struktur perkalian,  faithful,  Noether,  bebas  torsi, dibangun secara hingga, siklik dan CSM.

## Lema 1 (Misri, 2015)
Setiap  submodul  dari  modul  B 𝑒́ zout  juga B 𝑒́ zout.
Bukti.  Misalkan 𝑁 submodul 𝑀 .  Ambil 𝐾 submodul 𝑁 yang  dibangun  secara  hingga. Tentu  saja 𝐾 juga  submodul 𝑀 .  Mengingat modul 𝑀 B 𝑒́ zout,  submodul 𝐾 pasti  siklik. Akibatnya, submodul 𝑁 B 𝑒́ zout.
Contoh  4.  Setiap  ideal  lapangan  dan  daerah ideal  utama  bersifat  B 𝑒́ zout.  Pandang ℚ sebagai ℤ -modul.  Semua  submodul  dari ℚ , semua ideal atas ℤ dan semua ideal atas ℤ (+) ℚ B 𝑒́ zout.
Sifat  selanjutnya  terkait  dengan  struktur modul perkalian dan modul faithful, disingkat menjadi modul perkalian faithful. Sebelum itu, terlebih  dahulu  disajikan  pembahasan  kedua struktur tersebut.

## Definisi (Smith, 1988)
Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul. Modul 𝑀 disebut modul perkalian jika untuk setiap 𝑁 submodul
dari 𝑀 terdapat 𝐼 ideal  atas 𝑅 sehingga memenuhi 𝑁  =  𝐼𝑀 .
Misalkan 𝑁 submodul 𝑀 . Representasi 𝑁 pada 𝑀 ,  ditulis: [𝑁: 𝑀] ,  didefinisikan  sebagai berikut.
[𝑁: 𝑀] = { r ∈  R ∣ rM ⊆  N }
Representasi 𝑁 pada 𝑀 membentuk ideal atas gelanggang R .  Ideal [𝑁: 𝑀] disebut  pula  ideal representasi submodul 𝑁 pada modul 𝑀 .
Ideal [𝑁: 𝑀] pada  dasarnya  dapat  dipandang sebagai  himpunan  pembuat  nol  modul 𝑀/𝑁 . Khususnya,  untuk 𝑁 = 0 ,  ideal [0: 𝑀] adalah himpunan pembuat nol modul 𝑀 . Modul yang memenuhi [0: 𝑀] = 0 disebut modul faithful.
Misalkan 𝑁 submodul dari 𝑅 -modul perkalian 𝑀 . Submodul tersebut berbentuk 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu 𝐼 ideal  atas 𝑅 .  Mengingat 𝐼𝑀 ⊆  𝑁 , diperoleh  bahwa 𝐼 ⊆ [𝑁: 𝑀] .  Akibatnya, 𝑁 = 𝐼𝑀 ⊆   [𝑁: 𝑀]𝑀 ⊆  𝑁 ,  submodul 𝑁 dapat  ditulis kembali menjadi 𝑁 = [𝑁: 𝑀]𝑀 .
Pandang himpunan bilangan bulat ℤ sebagai ℤ - modul.  Mengingat  modul ℤ siklik,  modul  ini merupakan modul perkalian dan dapat ditulis menjadi 𝑛ℤ = [𝑛ℤ: ℤ]ℤ untuk  setiap 𝑛 ∈ ℤ . Sementara itu, himpunan bilangan rasional ℚ sebagai ℤ -modul  bukan  modul  perkalian.  Hal ini  disebabkan  adanya  submodul ℤ sehingga [ℤ: ℚ]ℚ = 0 ≠ ℤ mengingat
[ℤ: ℚ] =
{ 𝑟 ∈ ℤ ∣∣ 𝑟ℚ ⊆ ℤ } = 0 .
Pengertian submodul prima dapat dilihat juga dalam  Misri  (2015)  yang  merupakan  kutipan dari  Ali  (2001),  Khaksari  dkk  (2004),  Tekir (2006), dan Gaur dkk (2007). Contoh submodul prima  dapat  dijumpai  dalam  Misri  (2015). Sementara pengertian modul Noether dapat di lihat dalam Passman (2004)
Lema 1 (Behboodi & Koohy, 2002)
Jika 𝑀 suatu 𝑅 -modul  perkalian  dan  setiap submodul prima dari 𝑀 merupakan submodul yang  dibangun  secara  hingga,  maka  modul 𝑀 Noether.
Lema  2  di  atas,  dapat  ditemukan  juga dalam Misri  (2010)  dan    Misri  (2015),  dikutip  dari Gaur dkk (2007).
Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul  dan 𝑔(𝑀) menyatakan  bilangan  asli  terkecil  sehingga modul 𝑀 dibangun  oleh 𝑛 buah  unsur  jika modul 𝑀 dibangun  secara  hingga  dan ∞ jika tidak  dibangun  secara  hingga.  Hasil  berikut
memberikan  estimasi  kardinal  himpunan pembangun  minimal  suatu  submodul  dari modul perkalian, 𝑔(𝑁) .
Lema 3 (Smith, 1988)
Jika 𝑀 suatu 𝑅 -modul perkalian faithful dan 𝑁 submodul 𝑀 maka a. 𝑔(𝑁) ≤  𝑔([𝑁: 𝑀]) 𝑔(𝑀) , dan b. 𝑔([𝑁: 𝑀]) ≤  𝑔(𝑁) 𝑔(𝑀) .

## Proposisi (Ali, 2006)
Misalkan 𝑅 daerah  integral  dan 𝑀 𝑅 -modul perkalian  faithful.  Modul 𝑀 B 𝑒́ zout  jika  dan hanya jika daerah integral 𝑅 juga B 𝑒́ zout.
Pandang ℤ sebagai ℤ -modul. Telah disinggung sebelumnya  bahwa ℤ daerah  B 𝑒́ zout.  Di  sisi lain,  ia  juga  modul  perkalian  faithful  atas dirinya  sendiri.  Untuk  itu,  daerah  B 𝑒́ zout ℤ juga  merupakan  modul  B 𝑒́ zout  atas  dirinya sendiri.
Perluasan  proposisi  di  atas  menghasilkan Teorema  1  dan  Teorema  2.  Kedua  teorema tersebut  merupakan  puncak  kajian  pada bagian ini, yang dapat ditemukan dalam Misri dkk (2016).
Teorema 1 (Misri M. A., Garminia, Irawati, & Astuti, 2016)
Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul  faithful.  Jika modul 𝑀 B 𝑒́ zout  maka  gelanggang 𝑅 juga B 𝑒́ zout.
Bukti.  Pilih 𝑚 ∈  𝑀 kemudian  bentuk pengaitan 𝑓 𝑚 : 𝑅 →  𝑀 dengan 𝑟 ↦  𝑟𝑚 untuk setiap 𝑟 ∈ 𝑅 .  Ambil 𝑟, 𝑠 ∈  𝑅 dengan 𝑟  =  𝑠 . Pengaitan 𝑓 𝑚 memenuhi 𝑓 𝑚 (𝑟)   =  𝑟𝑚  = 𝑠𝑚  = 𝑓 𝑚 (𝑠) .  Akibatnya,  pengaitan 𝑓 𝑚 suatu pemetaan.
Ambil  dua  unsur 𝑟, 𝑠 ∈  𝑅 .  Perhatikan  bahwa 𝑓 𝑚 (𝑟  +  𝑠)   =   (𝑟 + 𝑠) 𝑚  =  𝑟𝑚  +  𝑠𝑚  = 𝑓 𝑚 (𝑟)   +  𝑓 𝑚 (𝑠) .  Sementara  itu, 𝑓 𝑚 (𝑟𝑠)   = (𝑟𝑠) 𝑚  =  𝑟 (𝑠𝑚)   = 𝑟 𝑓 𝑚 (𝑠) . Dengan demikian, pemetaan 𝑓 𝑚 suatu 𝑅 -homomorfisma.
Selanjutnya,  mengingat  modul 𝑀 faithful, yakni: [0: 𝑀] = 0 ,  diperoleh  hasil 𝐾𝑒𝑟 ( 𝑓 𝑚 ) = { 𝑟 ∈  𝑅 ∣∣  𝑓 𝑚 (𝑟) =  0, 𝑚  ∈ 𝑀  } = { 𝑟 ∈  𝑅 ∣  𝑟𝑚  =  0, 𝑚  ∈ 𝑀 }   =  0 . Dengan demikian, pemetaan 𝑓 𝑚 𝑅 -homomorfisma satu- satu yang memenuhi 𝑅 ≅  𝑅/0  ≅   𝑓 𝑚 (𝑅) .
Terakhir,  mengingat 𝑅 ≅   𝑓 𝑚 (𝑅) dan 𝑓 𝑚 (𝑅) ⊆ 𝑀 ,  menurut  Lema  1, 𝑅 sebagai 𝑅 -modul merupakan  modul  B é zout.  Dengan  kata  lain, gelanggang 𝑅 B é zout. □
Pandang bilangan rasional ℚ sebagai ℤ -modul. Modul ℚ jelas  faithful  mengingat [0: ℚ] = { 𝑟 ∈ ℤ ∣∣ 𝑟ℚ = 0 } = 0 . Selain itu, telah dijelaskan  pula  bahwa  Modul ℚ B é zout. Menurut Teorema 1, gelanggang ℤ juga B é zout. Sebaliknya,  pandang  jumlah  langsung ℤ ⊕ ℤ sebagai ℤ -modul.  Jelas  bahwa  modul ℤ ⊕ ℤ faithful mengingat [0: (ℤ ⊕ ℤ)] = { 𝑟 ∈ ℤ ∣ 𝑟(ℤ ⊕ ℤ) = 0 } = 0 . Meskipun
gelanggang ℤ B é zout, ternyata ℤ ⊕ ℤ bukanlah modul  B é zout.  Contoh  lainnya  terjadi  pada ruang  vektor  berdimensi  dua.  Mudah  untuk menunjukkan  ruang  vektor  itu  termasuk modul faithful. Mengingat lapangan itu daerah B 𝑒́ zout, tentu saja ruang vektor tersebut bukan modul B 𝑒́ zout.
Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul  dan 0 ≠  𝑣 ∈  𝑀 . Unsur 𝑣 disebut unsur torsi jika 𝑟𝑣 = 0 untuk suatu unsur tak nol 𝑟 ∈  𝑅 . Suatu modul yang tidak  memiliki  unsur  torsi  tak  nol  disebut modul  bebas  torsi.  Setiap  modul  bebas  torsi merupakan  modul  faithful.  Untuk  itu, diperoleh akibat berikut ini.
Akibat (Misri M. A., Garminia, Irawati, & Astuti, 2016)
Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 -modul  bebas  torsi.  Jika modul 𝑀 B 𝑒́ zout  maka  gelanggang 𝑅 juga B 𝑒́ zout.
Sifat  berikutnya  terkait  dengan  struktur siklik.  Pandang ℚ sebagai ℤ -modul.  Pada penjelasan contoh Proposisi (2007), disebutkan bahwa  modul ℚ B 𝑒́ zout.  Seperti  diketahui bahwa  modul  tersebut  tidak  dibangun  secara hingga atas ℤ . Tentu saja tidak siklik. Dengan demikian,  tidak semua modul B 𝑒́ zout bersifat siklik.  Begitu  juga  sebaliknya.  Tidak  semua modul  siklik  itu  B 𝑒́ zout.  Hal  tersebut  terjadi karena  ada  modul  siklik  yang  submodulnya tidak siklik meskipun dibangun secara hingga.
Pandang ℤ[𝑥] sebagai ℤ[𝑥] -modul.  Modul ℤ[𝑥] siklik tetapi ideal 〈2, 𝑥〉 , sebagai submodul ℤ[𝑥] , tidak siklik. Artinya, modul siklik ℤ[𝑥] bukan B 𝑒́ zout. Jadi jelas, tidak semua modul siklik itu B 𝑒́ zout.
Modul yang setiap submodulnya siklik disebut 𝐶𝑆𝑀 . Jelas semua 𝐶𝑆𝑀 itu modul siklik. Tetapi tidak semua modul siklik itu 𝐶𝑆𝑀 . Contohnya ℤ[𝑥] sebagai ℤ[𝑥] -modul.  siklik  tetapi  bukan
𝐶𝑆𝑀 . Selain itu, setiap modul CSM itu B 𝑒́ zout. Tetapi tidak semua modul B 𝑒́ zout itu CSM.
Berikut  ini  kaitan  modul  B 𝑒́ zout,  modul dibangun  secara  hingga,  modul  siklik,  modul Noether dan 𝐶𝑆𝑀 .
Proposisi (Misri M. A., Garminia, Irawati, & Astuti, 2016)
a. Setiap modul B 𝑒́ zout yang dibangun secara hingga adalah siklik
b. Setiap  modul  B 𝑒́ zout  Noether  merupakan CSM.
Proposisi  di  atas  menunjukkan  modul  B 𝑒́ zout yang  bersifat  siklik  dan  modul  B 𝑒́ zout  yang bersifat 𝐶𝑆𝑀 .  Untuk  modul  B 𝑒́ zout  yang bersifat  CSM  diberikan  juga  oleh  proposisi berikut.
Proposisi (Misri M. A., Garminia, Irawati, & Astuti, 2016)
Jika 𝑀 suatu 𝑅 -modul perkalian  B 𝑒́ zout yang setiap  submodul  primanya  dibangun  secara hingga, maka modul 𝑀 suatu CSM.
Akhirnya  sampai  pada  sifat  terakhir,  yaitu sifat yang mengaitkan struktur modul B 𝑒́ zout dengan  modul  siklik  dan  faithful,  disajikan dalam  Teorema  2.  Teorema  ini  merupakan kebalikan pernyataan Teorema 1.
Teorema 2 (Misri M. A., Garminia, Irawati, & Astuti, 2016)
Misalkan 𝑅 suatu gelanggang B 𝑒́ zout dan 𝑀 𝑅 - modul  siklik.  Modul 𝑀 B 𝑒́ zout  jika  modul tersebut faithful
Bukti. Misalkan 𝑅 gelanggang B 𝑒́ zout dan 𝑀 suatu 𝑅 -modul siklik faithful. Untuk itu, modul 𝑀 merupakan  modul  perkalian  faithful  yang dibangun secara hingga.
Sekarang  ambil 𝑁 sembarang  submodul yang dibangun  secara  hingga  dari 𝑀 .  Mengingat modul 𝑀 perkalian  faithful  yang  dibangun secara  hingga  serta  submodul 𝑁 dibangun secara  hingga  dan  memenuhi 𝑁 = [𝑁: 𝑀]𝑀 , menurut Lema 3, ideal [𝑁: 𝑀] dibangun secara hingga.  Selain  itu,  mengingat  gelanggang 𝑅 B 𝑒́ zout,  ideal [𝑁: 𝑀] juga  utama.  Submodul 𝑁 dapat  ditulis  kembali  menjadi 𝑁 = 𝑅𝑎𝑅𝑚 = 𝑅𝑎𝑚 untuk  suatu 𝑎 ∈  𝑅 dan 𝑚 ∈  𝑀 .  Dengan demikian, submodul 𝑁 siklik dan mengakibatkan modul 𝑀 B 𝑒́ zout.

## 2. Penerapannya  dalam  pembentukan karakter kritis dan Kreatif
Bila  ditelaah  secara  seksama,  rangkaian dalam  pengungkapan  pernyataan  Teorema  1 dan  2,  ada  proses  pengungkapan  argumen yang  disusun  secara  sistematis.  Dengan paduan  sifat  kritis  dan  kreatif  memunculkan ide  dan  rancangan  tahapan  dalam  menyusun argumen dalam melakukan pembuktian kedua teorema  tersebut.  Berdasarkan  fakta  ini, Penggunaan  buku  ajar  teori  gelanggang  pada kajian  modul  Bezout  dapat  menumbuhkan karakter kritis dan kreatif.

## KESIMPULAN DAN SARAN
a. Kesimpulan Materi gelanggang Bézout digunakan untuk menghantarkan pada materi modul Bézout dan  sifat-sifat  modul  Bézout.  Pada  materi gelanggang  dan  modul  Bézout  dijelaskan konsep  dasar  dalam  mengkaji materi  teori gelanggang, seperti: pengertian gelanggang dan  modul,  sifat  dasar  gelanggang  dan modul,  homomorfisma  gelanggang  dan modul, serta gelanggang dan modul faktor. Pada bagian tersebut diberikan pendalaman  materi  untuk  memberikan wawasan  seputar  topik  penelitian  yakni gelanggang  dan  modul  Bézout.  Sementara itu, bagian materi  sifat-sifat modul Bézout digunakan  khusus  sebagai  pengayaan untuk  penanda  dan  pembeda  penguasaan teori gelanggang.
Ada dua teorema dalam materi ini. Teorema pertama menyatakan bahwa semua gelanggang  yang  menjadi  tumpuan  modul Bézout  faithful  merupakan  gelanggang Bézout.  Sementara  itu,  teorema  kedua menyatakan  kebalikannya,  yaitu:  semua modul  siklik  faithful  yang  bertumpu  pada gelanggang  Bézout  merupakan  modul Bézout. Untuk menunjukkan kedua teorema  tersebut  diberikan  empat  buah lema. Sementara proposisi di sini digunakan  untuk  memperkaya  sifat-sifat modul  Bézout  selain  sifat  pada  kedua teorema  tersebut.  Proposisi  di  sini  juga digunakan  untuk  membantu  menjelaskan definisi dalam membentuk contoh.
Selain  penguasaan  materi  yang  dimiliki, buku  ini  juga  dapat  menumbuhkan karakter  kritis  dan  kreatif  yang  dapat menghantarkan mahasiswa menjadi matematikawan maupun guru matematika yang  kritis  dan  kreatif  yang  tidak  mudah
menerima teori atau konsep baru mana pun sebelum jelas terlebih dahulu
kebenarannya.
b. Saran Penelitian  ini  hanya  membahas  struktur Bézout  dan  idealisasinya.  Sementara  itu, topik  P-Bézout  dan  idealisasinya  tidak hanya  terbatas  pada  struktur  Bézout  saja. Berdasarkan uraian tersebut, terdapat hal- hal  yang  dapat  dikembangkan  untuk keberlanjutan  penelitian  ini  berkaitan dengan  materi  kajian  yaitu  struktur  P- Bézout secara umum, tidak terbatas hanya pada kajian struktur Bézout saja.
Selain  itu,  masih  ada  kemungkinan pengembangan  dari  sisi  lain,  yaitu berkaitan  alur  narasi  dan  pengembangan karakter  yang  ingin  dicapai  dari  narasi yang  dibentuk.  Penyesuaian  alur  cerita dapat ditata ulang agar struktur P- Bézout dapat dimasukan dalam materi yang telah dibuat  ini.  Penambahan  karakter  yang dicapai  dapat  dijadikan  acuan  dalam menyusunan pola alur narasi.

## DAFTAR PUSTAKA
Ali, M. M. (2001). Finite and infinite collection of multiplication modules. Beitrage zur Algebra und Geometrie, 42(2), 557--573.
Ali, M. M. (2006). Idealization and Theorems of D.D Anderson. Communications in Algebra, 34, 4479-4501.
Ali, M. M. (2006). Invertibility of multiplication modules. New Zealand J. Math, 35(1), 17-29.
Ali, M. M. (2007). Multiplication modules and homogeneous idealization II.
BeitrageAlgebra Geom, 48(2), 321-343.
Anderson, D. D. (2000). Some remarks on multiplication ideals II. Comm. Algebra, 28(5), 2577-2583.
Anderson, D. D., & Winders, M. (2009).
Idealization of a module. Journal of Commutative Algebra, 1(1), 3-56.
Bakkari, C. (2009). On P-Be ́ zout Rings. Int. J. Algebra, 3(13), 669-673.
Behboodi, M., & Koohy, H. (2002). on minimal prime submodules. Far East J. Math. Sci., 6(1), 83-88.
Cheniour, F. (2012). On Be ́ zout Rings. Int. J. Algebra, 6(32), 1507-1511.
Daepp, U., & Gorkin, P. (2011). Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics. New York: Springer.
Gaur, A., Kumar, A., & Parkash, A. (2007). Prime submodule in multiplication modules. International Journal of Algebra, 1(8), 375-380.
Khaksari, A., Sharif, H., & Ershad, M. (2004). On prime submodules of multiplication modules. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 17(1), 41-49.
Misri, M. A. (2010). Submodul Prima pada Modul Perkalian (Tesis). Bandung.
Misri, M. A. (2015). Sifat-sifat Modul P-Bezout melalui Idealisasi (Disertasi). Bandung.
Misri, M. A. (2015). Sifat-sifat Modul P-Be ́ zout melalui Idealisasi (Disertasi). Bandung.
Misri, M. A. (2016). Kajian “Modul P-Bézout dan Idealisasinya” untuk Buku Ajar MK Teori Gelanggang Berbasis Riset.
Cirebon.
Misri, M. A., Garminia, H., & Irawati. (2013). Generalization of Be ́ zout Modules. Far East J. Math. Sci, 72(1), 131-133.
Misri, M. A., Garminia, H., Irawati, & Astuti, P. (2016). A Note on Bezout Modules. Far East J. Math. Sci., 99(11), 1723-1732.
Passman, D. S. (2004). A course in ring theory. USA: AMS Chelsea Publishing.
Smith, P. F. (1988). Some remarks on multiplication modules. Arch. Math, 50, 223-235.
Tekir, U. (2006). A note on multiplication modules. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 27(1), 103-107.
.