## KADIKMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 2, Agustus 2022, Hal. 117-128 e-ISSN : 2686-3243 ; p-ISSN : 2085-0662 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma https://doi.org/10.19184/kdma.v13i2.32202

## MODIFIKASI METODE HANSEN-PATRICK DENGAN ORDE KONVERGENSI OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINIER
Wartono 1 *
1 Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau, Indonesia *E-mail: wartono@uin-suska.ac.id
Article History: Received: 02-04-2022 ; Revised: 07-05-2022 ; Accepted: 08-06-2022

## ABSTRAK
Metode  Hansen-Patrick  adalah  metode  iteratif  orde  tiga  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan persamaan nonlinier. Metode ini membutuhkan tiga evaluasi fungsi dan memiliki indeks efisiensi 3 1/3  1,4224 .  Penelitian  ini  membahas  modifikasi  metode  Hansen-Patrick  menggunakan  deret Taylor orde dua. Turunan kedua direduksi menggunakan fungsi hiperbolik dengan satu parameter  . Tujuan dari modifikasi ini adalah untuk meningkatkan orde konvergensi metode Hansen-Patrick. Berdasarkan analisis konvergensi, metode ini memiliki orde konvergensi keempat dan melibatkan tiga  evaluasi  fungsi.  Jadi,  indeks  efisiensinya  adalah 4 1/3  1,5874 .  Simulasi  numerik  diberikan untuk  mengilustrasikan  kinerja  metode  iteratif  menggunakan  enam  fungsi  real.  Kinerja  metode iteratif  yang  meliputi:  orde  konvergensi,  jumlah  iterasi  evaluasi  fungsi,  galat  mutlak,  dan  nilai fungsi,  akan  dibandingkan  dengan  metode  Newton,  metode  Halley,  metode  Newton-Steffensen, dan metode Hansen-Patrick. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa kinerja metode ini lebih baik dibandingkan dengan metode lainnya.
Keywords: Evaluasi  fungsi,  indeks  efisiensi,  modifikasi  metode  Hansen-Patrick,  orde konvergensi, simulasi numerik.

## ABSTRACT
The Hansen-Patrick method is a third-order iterative method used to solve nonlinear equation. The method requires three evaluation of functions and has an efficiency index 3 1/3  1,4224. This study discusses a modification of the Hansen-Patrick method using the second order Taylor series. The second  derivative  is  reduced  using  hyperbolic  function  with  one  parameter  .  The  aim  of modification is to improve the convergence order of the Hansen-Patrick’s method. Based on the convergence analysis, the method has a fourth-order of convergence and envolve three evaluation of  functions.  So,  its  efficiency  index  is  4 1/3  1,5874.  Numerical  simulation  is  given  to  illustrate performance  of  the  iterative  method  using  six  real  functions.  The  performance  of  the  iterative method  include:  a  computational  order  of  convergence,  the  number  of  iteration  evaluation  of function, absolute error, and value of function, will be compared with Newton’s method, Halley’s method, Newton-Steffensen’s method, and Hansen-Patrick method. The numerical simulatio show that the performance of the method better than others.
Keywords: Evaluation of function, efficiency index, modification of Hansen-Patrick’s method, order of convergence, numerical simulation.

## PENDAHULUAN
Persamaan  nonlinear  merupakan  representasi  matematis  dari  persoalan-persoalan nyata  pada  bidang  sains  dan  teknologi  [1,  2].  Bentuk-bentuk  persamaan  matematis  yang sering  muncul  dalam  bentuk  nonlinier  yang  rumit  sehingga  penyelesaian  ekssaknya  sulit ditemukan. Penyelesaian persamaan nonlinear pada dasarnya adalah menentukan akar-akar persamaan dalam bentuk
0 ) ( = x f . (1)
dengan f : D  → adalah fungsi scalar yang terdefinisi pada interval D .
Oleh  karena  penyelesaian  eksaknya  sulit  ditemukan,  maka  penyelesaian  alternative yang  dilakukan  dengan  menggunakan  perhitungan  komputasi  berulang  Teknik  seperti  ini lebih dikenal dengan nama metode iterasi ( iterative method ).
Salah satu cara yang paling umum untuk mengkonstruksi suatu motede iterasi adalah menggunakan ekspansi deret Taylor yang ditulis dalam  bentuk
 + − + − + = ! 2 ) )( ( '' ) )( ( ' ) ( ) ( 2 n n n n n x x x f x x x f x f x f . (2)
Ekspansi  deret  Taylor  orde  satu  menghasilkan  metode  iterasi  yang  cukup  populer  dan banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi tersebut lebih dikenal dengan  nama metode Newton,
) ( ' ) ( 1 n n n n x f x f x x − = + , n ≥ 0. (3)
Metode Newton mempunyai orde konvergensi dua dan melibatkan dua evaluasi fungsi, yaitu f ( x n ) dan f '( x n ) dengan indeks efisiensi sebesar 2 1/2  1,4142. Sedangkan pemotongan deret Taylor orde dua menghasilkan metode iterasi klasik berode konvergensi tiga yaitu: metode Halley [3], metode Euler atau metode Halley Irasional [4], dan metode Chebyshev [5].
Selanjutnya  Hansen-Patrick  mengkonstruksi  metode  iterasi  berode  konvergensi  tiga dengan melibatkan satu parameter  yang ditulis dalam bentuk [6],
) ( ' ) ( )) ( ) 1 ( 1 ( 1 2 / 1 1 n n n f n n x f x f x L x x         + −  + − = +    , (4)
dengan
2 ''( ) ( ) ( ) '( ) n n f n n f x f x L x f x = . (5)
Metode  iterasi  klasik  (4)  mempunyai  orde  konvergensi  tiga  dan  melibatkan  tiga  evaluasi fungsi, yaitu f ( x n ), f '( x n ) dan f ''( x n )  dengan indeks efisiensi sebesar  3 1/3  1,4422. Selain itu, metode iterasi  ini juga mencakupi  beberapa  metode iterasi klasiknya lainnya, seperti: metode akar kuadrat Ostrowski (  = 0), metode Euler (  = 1), dan metode Halley (  = − 1). Berdasarkan  Traub  [7],  efisiensi  suatu  metode  iterasi  dipengaruhi  ole  horde konvergensi  dan  penggunaan  evaluasi  fungsi  pada  setiap  iterasinya  yang  dihitung menggunakan rumus
1 d I p = , (6)
dengan p adalah orde konvergensi metode iterasi dan d adalah banyaknya evaluasi fungsi yang digunakan.
Menurut  Kung dan Traub [8], jika sebuah metode iterasi menggunakan n buah titik dengan  orde  konvergensi p dan  melibatkan d evaluasi  fungsi,  maka  metode  iterasi  akan
optimal  jika  memenuhi  hubungan p =  2 n dan d = n +1,  sehingga  indeks  dengan  orde konvergensi optimal dari suatu metode iterasi dapat ditulis kembali dalam bentuk
( ) 1 1 2 n n I + = . (7)
Oleh karena orde konvergensi  dan evaluasi fungsi  mempunyai  peranan yang sangat penting  dalam  menentukan  tingkat  efisiensi  suatu  metode  dalam  menghampiri  akar-akar persamaan  nonlinear,  maka  usaha-usaha  untuk  meningkatkan  orde  konvergensi  suatu metode iterasi menjadi perhatian yang serius.
Beberapa  modifikasi  telah  dilakukan  oleh  peneliti  dengan  mengkontruksi  kembali suatu  metode  iterasi  dengan  orde  konvergensi  lebih  tinggi  dibandingkan  dengan  metode iterasi asalnya. Selain itu, keterlibatan derivatif atau turunan orde tinggi dan kompleksitas fungsi yang dievaluasi juga menjadi pertimbangan di dalam melakukan modifikasi metode iterasi.
Beberapa peneliti yang telah memodifikasi metode Hansen-Patrick dengan mereduksi turunan  kedua  menggunakan  berbagai  pendekatan,  diantaranya:  deret  Taylor  [9],  tafsiran fungsi [10], dan tafsiran jumlah dua metode iterasi [11,12].
Selanjutnya, pada artikel ini dilakukan modifikasi metode iterasi Hansen-Patrick yang diberikan  pada  Persamaan  (4).  Selanjutnya  turunan  kedua  pada  metode  iterasi  tersebut direduksi dengan menggunakan tafsiran fungsi hiperbolik [13, 14].

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian studi literatur atau kepustakaan ( library research ) yang dilakukan melalui tiga tahapan sebagai  berikut. Pada tahap pertama, sebuah metode iterasi  dikonstruksi  dari  modifikasi  metode  iterasi  Hansen-Patrick  dengan  menambahkan dua  parameter  real  dan  .  Selanjutnya,  turunan  kedua  yang  muncul  direduksi menggunakan pendekatan dari fungsi hiperbolik dengan menambahkan parameter  . Tahap kedua  menentukan  orde  konvergensi  dari  metode  iterasi  menggunakan  ekspansi  deret Taylor,  dan  sekaligus  menentukan  nilai  parameter  untuk  menghasilkan  orde  konvergensi yang optimal. Tahap terakhir mengimplementasikan metode iterasi pada enam fungsi real dengan  tujuan  untuk  menguji  performasi  metode  iterasi  menggunakan  perangkat  lunak MAPLE 13. Ukuran-ukuran peformasi metode iteasi yang diuji yaitu: jumlah iterasi, orde konvergensi  yang  dihitung  secara  komputasi,  baik  yang  melibatkan  galat  mutlak ( computational  order  of  convergence (COC))  maupun  galat  relatif  ( approximated computational  order  of  convergence (ACOC)),  galat  mutlak  dan  nilai  fungsi.  Kemudian, ukuran-ukuran performasi metode Hansen-Patrick yang dimodifikasi tersebut dibandingkan dengan metode Newton, metode Halley, metode Newton-Steffensen, dan metode Hansen- Patrick.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Modifikasi Metode Hansen-Patrick
Kontruksi  metode  iterasi  dimulai  dengan  mempertimbangkan  kembali  metode Hansen-Patrick [6] dalam bentuk sebagai berikut:
) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( '' ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 / 1 2 1 n n n n n n n x f x f x f x f x f x x       + −  + − = +    ,  , (8)
Metode Hansen-Patrick mempunyai orde konvergensi tiga untuk  dan melibatkan tiga evaluasi fungsi dengan indeks efisiensi sebesar 3 1/3  1,4224.
Untuk menghindari bentuk akar kuadrat, maka bentuk akar kuadratik pada Persamaan (8) diekspansi menggunakan deret Taylor,
2 2 / 1 2 ) ( ' ) ( ) ( '' ) 1 ( 2 1 1 ) ( ' ) ( ) ( '' ) 1 ( 1 n n n n n n x f x f x f x f x f x f + − =       + −    −       + − 2 2 2 ) ( ' ) ( ) ( '' ) 1 ( 8 1 n n n x f x f x f  . (9)
Selanjutnya pemotongan ekspansi deret Taylor sampai orde dua dan mengabaikan suku-suku  berikut,  maka  dengan  mensubtitusikan  kembali  ekspansi  deret  taylor  orde  ke Persamaan (8) menghasilkan Persamaan (8) dalam bentuk berikut:
) ( ' ) ( . ) ( ' ) ( ) ( '' ) 1 ( ) ( ' ) ( ) ( '' ) 1 ( 4 8 8 ) 1 ( 8
4 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x x       + − + −  + − = +     .  (10)
Penyederhanaa  Persamaan  (10)  dan  dengan  mengambil  tanda  plus,  maka  persamaan  (10) ditulis kembali menjadi
) ( ' ) ( ) ( ' 8 ) ( '' ) ( ' ) ( 4 ) ( '' ) ( ) 1 ( ) ( ' ) ( 8 4 2 2 2 3 1 n n n n n n n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x       − + + − = +  .  (11)
Metode  iterasi  (11)  masih  memuat  turunan  kedua f ( x n ).  Untuk  menghindari  penggunaan turunan  kedua, ) ( '' n x f pada  Persamaan  (11)  direduksi  menggunakan  tafsiran  fungsi hiperbolik.  Selanjutnya  untuk  mengkonstruksi  bentuk  turunan  kedua,  pertimbangkan kembali fungsi hiperbolik yang diberikan oleh
0 ) ( ) ( = + + + d cx x bxy x ay . (12)
Turunan pertama dan kedua implisit (12) diberikan masing-masing oleh
0 ) ( ' ) ( ) ( ' = + + + c x bxy x by x ay , (13) 0 ) ( ' 2 ) ( ) )( ( '' = + + + x by x by bx a x ay , (14) Misalkan ) ( ) ( n n x f x y = , ) ( ' ) ( ' n n x f x y = , dan ) ( ) ( n n w f w y = , dengan
) ( ' ) ( n n n n x f x f x w − = , (15)
maka Persamaan (12) − (14) dapat ditulis kembali dalam bentuk
0 ) ( ) ( = + + + d cx x f bx x af n n n n , (16.a) 0 ) ( ' ) ( ) ( ' = + + + c x f bx x bf x af n n n n , (16.b)
0 ) ( ) ( = + + + d cw w f bw w af n n n n . (16.c)
Berdasarkan Persamaan (14), diperoleh
n n n bx a x bf x f + − = ) ( ' 2 ) ( '' . (17)
Untuk  menentukan  bentuk  eksplisit  turunan  kedua  yng  diberikan  pada  Penyelesaian  (14) dilakukan  dengan  mensubstitusi  nilai  konstanta a dan b yang  diperoleh  dengan menyelesaikan  (16.a) – (16.c). Kemudian dengan mensubstitusikan kembali nilai-nilai a dan b ke (17), diperoleh bentuk taksiran f ''( x n ) dalam bentuk
)) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ' 2 ) ( '' 2 n n n n n n w f x f x f w f x f x f − − = . (18)
Untuk memberikan peluang meningkatnya orde konvergensi, bentuk eksplisit turunan kedua pada Persamaan (18) ditambahkan parameter real  sehingga Persamaan (18) dapat ditulis kembali menjadi
)) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ' 2 ) ( '' 2 n n n n n n w f x f x f w f x f x f  − − = . (19)
Substitusi Persamaan (19) ke Persamaan (11), maka
( ) ) ( ' ) ( ) ( ) 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x f x f w f w f x f x f w f x f x x       − − + + + − − − = +      .(20)
Persamaan  (20)  merupakan  modifikasi  metode  Hansen-Patrick  dua  parameter  yang melibatkan tiga evaluasi fungsi, yaitu f ( x n ), f ′ ( x n ). dan f ( w n ) dengan w n diberikan pada Persamaan (15).

## B. Orde Konvergensi
Berikut  ini  akan  ditentukan  orde  konvergensi  dari  Persamaan  (20)  dengan menggunakan ekspansi deret Taylor.
Teorema 1. Asumsikan bahwa fungsi f memiliki turunan dan f memiliki akar penyelesaian D   . Jika nilai awal n x cukup dekat dengan  , maka metode iterasi pada pada Persamaan (20) memiliki orde konvergensi empat untuk ) 1 ( 2 / 1 − =   dan memenuhi persamaan galat: ( ) ( ) ) ( 5 2 4 4 1 5 4 3 2 2 3 2 1 n n n e O e c c c e + + + + − = +   . (21)
Bukti  : Misalkan  adalah  akar  dari  persamaan 0 ) ( = x f ,  maka 0 ) ( =  f .  Asumsikan 0 ) ( '   f dan n n e x + =  , dengan menggunakan deret Taylor untuk mengekspansi fungsi
f di sekitar  :
 + − + − + − + = 3 2 ) ( ! 3 ) ( ' '' ) ( ! 2 ) ( " ) )( ( ' ) ( ) (        n n n n x f x f x f f x f .      (22)
Oleh karena f (  ) = 0 dan n n e x + =  , maka  + + + + = 4 ) 4 ( 3 2 ) ( ! 4 1 ) ( ' ' ' ! 3 1 ) ( " ! 2 1 ) ( ' ) ( n n n n n e f e f e f e f x f     ,       + + + + =  ) ( ' ! 4 ) ( ) ( ' ! 3 ) ( '' ' ) ( ' ! 2 ) ( " ) ( ' ) 4 ( 3 2        f f e f f e f f e f n n n ,
atau
)) ( )( ( ) ( 5 4 4 3 3 2 2 n n n n n n e O e c e c e c e f x f + + + +  =  , (23)
dengan
 , 3 , 2 , ) ( ) ( ! 1 ) ( =  = j f f j c j j   ., k .
Selanjutnya dengan cara yang sama, diperoleh ) ( n x f  sebagai berikut:
)) ( 4 3 2 1 )( ( ) ( 4 3 4 2 3 2 n n n n n e O e c e c e c f x f + + + +  =   . (24)
Berdasarkan Persamaan (21) dan Persamaan (22) diperoleh:
) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( 4 3 3 2 2 2 2 n n n n n n e O e c c e c e x f x f + − + − =  . (25)
sehingga dengan menggunakan  + = n n e x , maka Persamaan (17.a) menjadi:
) ( ) ( 2 4 3 3 2 2 2 2 n n n n e O e c c e c w + − − + =  . (26)
Kemudian,  berdasarkan  ekspansi  deret  Taylor  disekitar  ,  maka ) ( n w f dapat  ditulis menjadi:
 + − + − + − + = 3 2 ) ( ! 3 ) ( '' ' ) ( ! 2 ) ( " ) )( ( ' ) ( ) (        n n n n w f w f w f f w f ,
dan dengan menggunakan Persamaan (26), maka
( ) ) ( ) 3 7 5 ( ) ( 2 ) ( ' ) ( 5 4 4 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 n n n n n e O e c c c c e c c e c f w f + + − + − + =  . (27)
Dengan menggunakan Persamaan (23) dan (24), maka  diperoleh masing-masing
)) ( ) 2 ( 2 ( ) ( ) ( 5 4 2 2 3 3 2 2 2 2 n n n n n e O e c c e c e f x f + + + +  =  (28) )) ( ( ) ( ) ( 5 4 2 2 2 2 n n n e O e c f w f +  =  (29) )) ( ) 2 ( ( ) ( ) ( ) ( 5 4 2 2 3 3 2 2 n n n n n e O e c c e c f w f x f + − +  =  (30)
dan
( 3 3 2 2 2 2 ) ) 1 2 ( 2 ( ) 1 ( ) ( ' ) ( ) ( n n n n n e c c e c e f x f w f − + − + − + − = −      + ) ) ( ) ) 1 3 ( 7 5 ( 5 4 4 3 2 3 2 n n e O e c c c c + − + −    (31)
Selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (23), (24), dan (31) diperoleh
( ) )) ( ) ) 1 ( ) 2 1 ( 2 ( ) 1 ( 2 ( ) ( ) ( ) ( 5 4 2 2 2 3 3 2 2 2 2 n n n n n n e O e c c e c e f x f w f + + + − + − +  = −      (32) dan ( ) ( 3 2 2 2 2 2 ) 2 1 ( 2 2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 2 ) ( ) ( ) 2 1 ( 2 ) ( 2 n n n n n n e e f w f w f x f x f       − + +  = + − + + + − ( ) ( ) ) ) ( 8 ) 3 6 2 5 4 3 2 2 2 n n e O e c c + + − + − + +     (33)
sehingga
( ) ( ) 2 2 2 2 ) ( ) 1 ( 2 2 ) ( ) ( ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 n n n n n n w f w f x f x f w f x f + − + + + − −      = n e c 2 1 + 3 3 2 2 2 ) 3 2 ( 2 1 n e c c       + − + +   ( ) 4 4 3 2 3 2 2 3 ) 2 2 ( 2 ) 1 ) 3 ( ( n e c c c c + + − + + − + +      )) ( 5 n e O + . (34)
Berdasarkan Persamaan (21), (22), (27)  dan x n +1 =  + e n +1 , dan x n =  + e n , maka persamaan galat dari metode iterasi (20) diberikan oleh
( ) 3 2 2 1 2 1 2 1 n n e c e   − − = + ( ) ( ) ) ( 4 2 1 1 5 ) 2 8 ( 2 2 1 5 4 3 2 3 2 2 n n e O e c c c +       − − + − + − + − +       . (35)
Persamaan galat yang diberikan pada Persamaan (35), memberikan informasi bahwa metode iterasi (20) dapat ditingkatkan orde konvergensinya dengan mengambil
, 0 ) 2 1 ( 2 1 = + −  
sehingga dengan mengambil hubungan  = ½(  − 1) dan kemudian disusbtitusikan kembali  ke Persamaan (35), maka diperoleh ( ) ( ) ) ( 5 2 4 4 1 5 4 3 2 2 3 2 1 n n n e O e c c c e + + + + − = +   . (36)
Berdasarkan  Persamaan  (36),  dapat  dilihat  bahwa  orde  konvergensi  metode  iterasi  (20) adalah  empat  untuk  =  ½(  − 1),  .  Selain  itu,  metode  iterasi  (20)  melibatkan  tiga evaluasi fungsi, yaitu f ( x n ), f ′( x n ) dan f ( w n ), maka indeks efisiensinya sebesar 4 1/3 ≈ 1,5874.
Oleh karena indeks efisiensi merupakan salah satu ukuran performasi suatu metode iterasi, pada Tabel 1 berikut ini diberikan perbandingan indeks efisiensi beberapa metode iterasi.

## Tabel 1 Perbandingan Indeks Efisiensi
No Metode Iterasi Orde Konvergens i Evaluasi Fungsi Indeks Efisiensi 1. Newton 2 2 4142 , 1 2 2 1  2. Halley 3 3 4224 , 1 3 3 1  3. Newton-Steffensen 3 3 4224 , 1 3 3 1  4. Metode  Hansen-Patrick 3 3 4224 , 1 3 3 1 
5. Modifikasi Hansen- Patrick 4 3 1,5874 4 3 / 1 

## C. Simulasi Numerik
Untuk menguji performasi metode iterasi Hansen-Patrick yang dimodifikasi (MHP), dilakukan simulasi numerik dengan menggunakan enam fungsi bernilai real. Ukuran-ukuran performasi yang dihitung  adalah  jumlah    iterasi, orde konvergensi  yang dihitung   secara komputasi,  baik  COC  maupun  ACOC,  galat  mutlak,  dan  nilai  fungsi  pada  interasi  ke-n. Selanjutnya, performasi MHP  dibandingkan dengan metode Newton (N) [7], metode Halley (H)  [3],    metode  Newton-Steffensen  (NS)  [15],  dan  metode  Hansen-Patrick  (HP)  [6]. Perhitungan  komputasi  untuk  menentukan  performasi  metode-metode  yang  dibandingkan dilakukan  dengan  menggunakan  perangakat  Maple  13  dengan  850  digit  dan  iterasi  akan berhenti pada saat memenuhi  rumusan
  − + n n x x 1 , (37)
dengan ε adalah ketelitian galat relatif dan pada simulasi numerik ini digunakan ε sebesar 10 − 20 . Sedangkan  orde  konvergensi  yang dihitung  secara komputasi ( COC dan ACOC ) masing-masing menggunakan rumusan [16]
) ( ) ( ln ) ( ) ( ln 1 1 2      − − − −  + + + n n n n x x x x , (38)
dan
) ( ) ( ln ) ( ) ( ln
2 1 2 1 2 2 3 n n n n n n n n x x x x x x x x − − − −  + + + + + + +  , n = 0, 1, 2, … k . (39)
Selanjutnya, perhitungan komputasi  terhadap  fungsi-fungsi   bernilai  real  dilakukan dengan mengambil nilai awal x 0 sedekat mungkin dengan akar persamaan yang mana akar- akar eksaknya ditampilkan  sebanyak 20  digit desimal.  Adapun fungsi yang digunakan pada simulasi numerik ini adalah sebagai berikut:
1 , 0 ) ( 1 − = − x xe x f ,   0,11183255915896296483, 2 2 4 ) ( x e x f x − = ,   4, 30658472822069929833,
x x x f − = ) cos( ) ( 3 ,   0, 73908513321516064165,
10 4 ) ( 2 3 4 − + = x x x f ,   1,36523003414096845760,
1 ) 1 cos( ) ( 3 2 5 2 + + + − = + + − x x e x f x x , =  − 1,000000000000000.
Ukuran-ukuran  performasi  metode  iterasi  (20)  yang  meliputi  jumlah  iterasi,  evaluasi fungsi, nilai fungsi, order konvergensi komputasi (COC dan ACOC) dihitung menggunakan  = 10 − 20 sebagaimana ditampilkan pada Tabel 2.
Tabel 2 Ukuran Performasi Metode Iterasi  (20) dengan ε = 10 -20
f ( x ) x 0 Jumlah Iterasi Evaluasi Fungsi Nilai Fungsi COC ACOC
f 1 ( x ) − 0,2 0,3 3 3 9 9 3,9129(e − 34) 3,7212(e − 36) 3,9983 3,9988 3,7881 4,1991 f 2 ( x ) 4,0 4,5 3 3 9 9 8,7293(e − 25) 2,6783(e − 49) 3,9933 3,9999 4,3721 3,9122 f 3 ( x ) 0,1 1,5 3 3 9 9 3,3112(e − 33) 2,3715(e − 49) 3,9964 3,9998 4,4128 3,7259
f 4 ( x ) 1,0 2,0 3 3 9 9 2,2915(e − 35) 2,5647(e − 34) 3,9987 3,9985 4,2351 3,7478
f 5 ( x ) − 1,5 0,0 3 3 9 9 6,4687(e − 43) 3,1980(e − 38) 4,0007 4,0014 4,0482 3,6088
Selain menggunakan pendekatan deret Taylor, orde konvergensi metode iterasi dapat juga  dihitung  secara  komputasi  yang  melibatkan  nilai-nilai  galat,  baik  galat  mutlak ( computational  order  of  convergence (COC))  maupun  galat  realatif  ( approximated computational  order  of  convergence (ACOC)).  Nilai-nilai  COC  dan  ACOC  dari  setiap metode  iterasi  yang  dihitung  masing-masing  menggunakan  Persamaan  (38)  dan  (39) diberikan pada Tabel 3 berikut.
Tabel 3 Perbandingan COC dan ACOC untuk ε = 10 -20
f ( x ) x 0 COC ACOC N H NS HP MHP
N H NS HP MHP
f 1 ( x ) − 0,2 0,3 1,9999 1,9999 3,0000 3,0000 2,9999 3,0000 3,0000 3,0000 3,9983 3,9988 2,0000 2,0004 2,9984 3,0005 2,9957 3,0019 2,9960 3,0003 3,7881 4,1991
f 2 ( x ) 4,0 4,5 1,9999 1,9999 3,0000 2,9998 3,0000 2,9995 3,0005 2,9998 3,9933 3,9999 2,0000 2,0001 3,0018 2,9998 3,0060 2,9995 3,0005 2,9998 4,3721 3,9122
f 3 ( x ) 0,1 1,5 1,9999 1,9999 3,0000 3,0000 3,0000 2,9994 2,9996 3,0000 3,9964 3,9998 1,9995 2,0000 3,0031 2,9977 3,0049 2,9994 2,9996 3,0031 4,4128 3,7259
f 4 ( x ) 1,0 2,0 1,9999 1,9999 3,0012 3,0000 3,0020 3,0000 3,0000 3,0000 3,9987 3,9985 2,0001 2,0000 3,0012 2,9972 3,0021 2,9958 3,0000 3,0000 4,2351 3,7478 f 5 ( x ) − 1,5 0,0 2,0000 2,0000 3,0000 3,0003 2,9990 3,0059 3,0000 3,0004 4,0007 4,0014 2,0002 2,0002 2,9886 2,6341 2,9990 3,0060 2,9865 2,8721 4,0482 3,6088
Berdasarkan Tabel 3, orde konvergensi modifikasi metode iterasi Hansen-Patrick, baik yang dihitung menggunakan formulasi COC maupun ACOC secara umum konvergen secara kuartik, COC → 4, dan ACOC → 4 untuk n = 1, 2, 3, 4.  Hal ini semakin mempertegas dan menguatkan hasil orde konvergensi yang diperoleh menggunakan ekspansi deret Taylor.
Salah  satu  ukuran  performasi  suatu  metode  iterasi  pada  proses  menghampiri  akar persamaan  nonlinear  adalah  banyaknya  iterasi  yang  digunakan.  Metode  iterasi  dikatakan lebih  baik  dibandingkan  dengan  metode  iterasi  lainnya,  jika  banyaknya  iterasi  yang digunakan  lebih  sedikit.  Jumlah  iterasi  ini  berkaitan  secara  langsung  dengan  penggunaan
evaluasi fungsi. Suatu metode iterasi yang menggunakan iterasi sedikit, maka evaluasi fungsi yang digunakan juga sedikit.
Untuk mengetahui keunggulan metode iterasi  (20), maka ukuran-ukuran  performasi metode iterasi, yaitu berupa jumlah iterasi yang digunakan dan banyaknya evaluasi fungsi dibandingkan  dengan  metode  iterasi  lainnya.  Perbandingan  jumlah  iterasi  dan    evaluasi fungsi dari lima metode iterasi diberikan pada Tabel 4 berkut.
Tabel 4 Perbandingan jumlah iterasi dan evaluasi fungsi untuk ε = 10 -20
f ( x ) x 0 Iterasi Evaluasi Fungsi N H NS HP MHP N H NS HP MHP f 1 ( x ) − 0,2 0,3 6 5 4 3 4 4 4 4 3 3 12 10 12 9 12 12 12 12 9 9 f 2 ( x ) 4,0 4,5 6 5 4 3 4 3 3 3 3 3 12 10 12 9 12 9 9 9 9 9 f 3 ( x ) 0,1 1,5 5 5 4 4 4 3 3 4 3 3 10 10 12 12 12 9 9 12 9 9 f 4 ( x ) 1,0 2,0 5 6 3 4 4 4 3 3 3 3 10 12 9 12 12 12 9 9 9 9 f 5 ( x ) − 1,5 0,0 5 5 4 4 3 3 4 4 3 3 10 10 12 12 9 9 12 12 9 9
Tabel  4  memperlihatkan  bahwa  metode  iterasi  (20)  secara  umum  menggunakan  3 iterasi  untuk  menghasilkan  akar  hampiran  dengan  ε  =  10 -20 ,  yang  mana  lebih  sedikit dibandingkan dengan metode iterasi lainnya. Penggunaan iterasi yang sedikit memberikan dampak  pada  sedikitnya  penggunaan  evaluasi  fungsi.  Berdasarkan  informasi  ini, menunjukkan bahwa metode iterasi modifikasi Hansen-Patrick lebih efisien dibandingkan dengan metode iterasi lainnya.
Selain menggunakan orde konvergensi dan jumlah iterasi sebagai ukuran performasi metode  iterasi,  ukuran  lainnya  yang  digunakan  untuk  menguji  performasi  metode  iterasi adalah akurasi yang diwakili oleh nilai fungsi pada iterasi ke-n (| f ( x n ) |) dan galat mutlak (| − x n |).  Tabel  5  menampilkan  nilai  fungsi  dari  setiap  metode  iterasi  yang  dihitung  pada iterasi ke-4, sedangkan Tabel 6 menampilkan nilai galat mutlak yang dihitung berdasarkan total penggunaan evaluasi fungsi ( total number of functional evalution (TNFE)).
Pada  simulasi  ini,  total  evaluasi  fungsi  yang  digunakan  sebesar  duabelas  evaluasi fungsi.  Hal  ini  berarti,  jika  suatu  metode  iterasi  pada  proses  menghampiri  akar-akar eksaknya  melibatkan  dua  evaluasi  fungsi  setiap  iterasinya,  maka  nilai  galat  mutlaknya dihitung pada iterasi ke-6.
Tabel 5 Perbandingan | f (x n )| pada iterasi ke-4 f ( x ) x 0 N H NS HP MHP f 1 ( x ) − 0,2 0,3 1,0651(e − 09) 2,5868(e − 11) 2,7758(e − 55) 3,5153(e − 66) 1,2725(e − 45) 9,0539(e − 54) 2,4550(e − 45) 6,8425(e − 72) 8,5446(e − 134)
6,9891(e − 142) f 2 ( x ) 4,0 4,5 1,5284(e − 07) 2,4263(e − 12) 2,1103(e − 53) 5,2464(e − 76) 5,5770(e − 42) 2,4262(e − 66) 7,8297(e − 63) 5,4550(e − 75) 8,2964(e − 102)
3,0000(e − 198) f 3 ( x ) 0,1 1,5 1,7252(e − 11) 6,3614(e − 16) 3,9684(e − 49) 1,1496(e − 51) 4,7468(e − 58) 3,5077(e − 80) 5,0636(e − 75) 1,3460(e − 54) 9,3199(e − 133) 2,4520(e − 197)
f ( x ) x 0 N H NS HP MHP f 4 ( x ) 1,0 2,0 3,5124(e − 10) 8,2905(e − 09) 2,2350(e − 60) 4,6600(e − 52) 9,1053(e − 55) 7,8139(e − 48) 2,2108(e − 83) 3,4522(e − 63) 1,2613(e − 143)
1,9791(e − 139) f 5 ( x ) − 1,5 0,0 7,1934(e − 16) 9,7364(e − 16) 1,5262(e − 3) 6,3918(e − 26) 5,1900(e − 92) 9,3636(e − 73) 5,7145(e − 35) 4,9230(e − 22) 4,8786(e − 173 2,9145(e − 154) Tabel 6 Perbandingan galat mutlak untuk TNFE = 12
f ( x ) x 0 N H NS HP MHP
f 1 ( x ) − 0,2 0,3 1,9116(e − 1 8) 1,1277(e − 2 1) 3,4951(e − 55 ) 4,4263(e − 66 ) 1,1234(e − 15 ) 2,1608(e − 18 ) 3,0911(e − 4 5) 8,6157(e − 7 2) 1,0759(e − 133 ) 8,8002(e − 142 ) f 2 ( x ) 4,0 4,5 1,2322(e − 1 7)
3,1056(e − 2 7) 5,3111(e − 55 ) 1,3204(e − 77 ) 5,8707(e − 15 ) 4,4483(e − 23 ) 1,9705(e − 6 4) 1,3729(e − 7 6) 2,0880(e − 103 ) 1,0000(e − 159 ) f 3 ( x ) 0,1 1,5 2,3464(e − 2 3)
3,1900(e − 3 2) 2,3711(e − 49 ) 6,8693(e − 52 ) 1,7984(e − 19 ) 7,5471e − 27) 3,0256(e − 7 5) 8,0423(e − 5 5) 5,5687(e − 133 ) 1,4660(e − 197 ) f 4 ( x ) 1,0 2,0 2,2179(e − 2 2)
1,2356(e − 1 9) 1,3534(e − 61 ) 2,8220(e − 53 ) 6,1217(e − 19 ) 1,2533(e − 16 ) 1,3388(e − 8 4) 2,0905(e − 6 4) 7,6378(e − 145 ) 1,1985(e − 140 ) f 5 ( x ) − 1,5 0,0 2,3956(e − 3 3) 4,3887(e − 3 3) 2,5437(e − 44 ) 1,0653(e − 26 ) 6,7780(e − 31 ) 1,7777(e − 24 ) 9,5242(e − 3 6) 8,2051(e − 2 3) 8,1309(e − 174 ) 4,8575(e − 155 )
Pada Tabel  5 dan 6, baik nilai  fungsi maupun galat mutlak dari metode  iterasi  (20) secara umum lebih kecil dibandingkan dengan metode iterasi lainnya. Hal ini menunjukkan bahwa metode iterasi (20) mempunyai akurasi yang lebih baik dibandingkan dengan metode iterasi lainnya dalam menghampiri akar-akar eksaknya.

## KESIMPULAN
Metode Hansen-Patrick dimodifikasi dengan menggunakan ekspansi deret Taylor orde dua.  Sedangkan  turunan  kedua  yang  muncul  pada  metode  iterasi  direduksi  menggunakan tafsiran  fungsi hiperbolik. Untuk memberikan peluang peningkatan orde  konvergensi  dan sekaligus  tetap  mempertahankan  jumlah  evaluasi  fungsi,  maka  pada  saat  memodifikasi, bentuk eksplisit turunan kedua ditambahkan  satu parameter real  .  Berdasarkan analisis orde konvergensi, modifikasi metode Hansen-Patrick memiliki orde onvergensi empat untuk  = ½(  − 1),  dan melibatkan tiga evaluasi fungsi yaitu ) ( ' ), ( n n x f x f dan ) ( n w f dengan indeks efisiensi sebesar 4 1/3  1,5874.
Pada  simulasi  numerik,  orde  konvergensi  metode  yang  dihitung  menggunakan rumusan (38) dan (39) mempertegas bahwa metode iterasi (20) memiliki orde konvergensi empat sebagaimana diberikan pada Tabel 3. Selain itu, pada Tabel 4 menunjukkan bahwa jumlah  iterasi  yang  dibutuhkan  oleh  metode  iterasi  (20)  dalam  menghampiri  akar-akar
persamaan  nonlinier  lebih  sedikit  dibandingan  dengan  metode  iterasi  Newton,  metode Halley, metode Newton-Steffensen, dan metode Hansen-Patrick. Sedangkan Tabel 5 dan 6 memberikan informasi bahwa modifikasi metode Hansen-Patrick mempunyai akurasi yang lebih baik dibandingkan dengan metode iterasi lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Burden,  R.  L.  &  Faires,  J.  D.  (2011). Numerical  analysis ,  9th  ed.  Boston: BROOKE/COLE Cengage Learning.
[2] Chapra, S. C.  & Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers, 7th Ed , 7th ed. Mc GrawHill.
[3] Gander,  W.  (1985).  On  Halley  ’  s  Iteration  Method  Walter  Gander. American Mathematical Monthly. 92(2), 131–134.
[4] Melman,  A.  (1997).  Geometry  and  convergence  of  Euler’s  and  Halley’s  methods. SIAM Review, 39(4), 728–735.
[5] Amat, S., Busquier, S.,  Gutierrez, J. M. & Hernandez, M. A.  (2008). On the global convergence of Chebyshev’s iterative method. Journal of Computational and Appllied Mathematics , 220, 17–21.
[6] Hansen,  E.  &  Patrick,  M.  (1976).  A  family  of  root  finding  methods. Numerische. Mathematik, 27(3), 257–269. doi: 10.1007/BF01396176.
[7] Traub,  J.  F.  (1964). Iterative  methods  for  the  solution  of  equations .  New  York: Prentice-Hall, Inc.
[8] Kung, H. T. & Traub, J. F. (1974). Optimal order of one-point and multipoint iteration. Journal of the Association for Computing Mechinary , 21 (4), 643–651,
[9] Sharma,  J.  R.    &  Guha,  R.  K.  (2011).  Second-derivative  free  methods  of  third  and fourth  order  for  solving  nonlinear  equations. International  Journal  Computer Mathematics. 88(1), 163–170. doi: 10.1080/00207160903365875.
[10]  Fatmawati, L.  & Wartono. (2019 ). Orde konvergensi varian metode Hansen-Patrick dua  parameter  untuk  menyelesaikan  persamaan  nonlinear. Prosiding  Seminaaar MIPAKes UMRI .
[11]  Kansal, M., Kanwar, V., & Bhatia, S. (2015). New modifications of Hansen-Patrick’s family with optimal fourth and eighth orders of convergence. Appllied. Mathematics and Computation , 269, 507–519. doi: 10.1016/j.amc.2015.07.101.
[12]  Kansal,  M.,  Kanwar,  V.,  &  Bhatia,  S.  (2016).  Efficient  derivative-free  variants  of Hansen-Patrick’s  family  with  memory  for  solving  nonlinear  equations. Numerics Algorithms , 73(4), 1017–1036. doi: 10.1007/s11075-016-0127-6.
[13]  Sholeh,  B.,    &  Wartono.  (2019).  Modifikasi  Metode  Weerakoon-Fernando  dengan Orde Konvergensi Empat. Jurnal Sains Matematika dan Statistika , 5(1), 133–140.
[14]  Xiaojian, Z. (2008). Modified Chebyshev-Halley methods free from second derivative. Appllied Mathematics Computation, 203, 824–827. doi: 10.1016/j.amc.2008.05.092.
[15]  Sharma, J. R. (2005). A composite third order Newton-Steffensen method for solving nonlinear equations. Applied Mathematics and  Computation, 169(1), 242–246. doi: 10.1016/j.amc.2004.10.040.
[16]  Grau-sánchez,  M.,  Noguera,  M.,  Grau,  À.,  &  Herrero,  J.  R.  (2012).  On  new computational local orders of convergence. Appllied. Mathematics. Letter, 25,  2023– 2030. doi: 10.1016/j.aml.2012.04.012.
[9]  Iqbal,  M.,  Latifah,  S.,  &  Irwandani,  I.  (2019).  Pengembangan  Video  Blog  (Vlog) Channel Youtube Dengan Pendekatan STEM Sebagai Media Alternatif Pembelajaran Daring. Inovasi Pembangunan, Jurnal Kelitbangan , 7(2), 135-145.
[10]  Mukarromah,  L.  &  Siskawati,  F.  S.  (2021,  21  Juni).  Pengembangan  Game  Edukasi ‘Hotsnaker’ Berbantuan Vlog Sebagai Alternatif Media Pembelajaran Matematika Di Era  New  Normal.  Paper  presented  at  Konferensi  Nasional  Pendidikan,  Universitas Muhammadiyah Banjarmasin,
Indonesia.
http://proceeding.urbangreen.co.id/index.php/library/article/view/8.
[11]  Suseno, P. U.,  Ismail,  Y., &  Ismail,  S. (2020). Pengembangan Media Pembelajaran Matematika  Video  Interaktif  berbasis  Multimedia, Jambura,  Journal  Mathematics Education , 1(2). doi: 10.34312/jmathedu.v1i2.7272.
[12]  Putra A. & Andriani, M. (2021).  Systematic Literature Review: Media Video Blog (Vlog) pada Pembelajaran Matematika, Alauddin Journal of Mathematics Education, 3(1). doi: 10.24252/ajme.v3i1.17528.
[13]  Adoe,  W.,  Ningrayanti,  L.  A.,  Salim  S.,  &  Rifai,  M.  K.  (2022,  29  November). Pengembangan Video Animasi Menggunakan Model 4D Untuk Pembelajaran Anak Usia  Dini.  Paper  presented  at  Seminar  Nasional  LPTKNI  2022,  Universitas  Negeri Makassar, Indonesia. https://ojs.unm.ac.id/semnaslptkni/article/view/39510
[14]  Sari  M.  &  Cahyani  I.  (2023).  Pengembangan  Vlog  (Video  Blog)  Channel  Youtube Berbasis  STEM  Pada  Materi  Laju  Reaksi  Kelas  XI  SMA/MA:  STEM  Pada  Materi Laju Reaksi. Abdimas Lectura, Jurnal Pengabdian Masyarakat 1(1). 10-16.
[15]  Slameto. (2003). Belajar dan Faktor-faktor yang Mempengaruhinya. [Learning and the Factors That Affect It]. Jakarta: PT. Rhineka Cipta.
[16]  Akbar  S.  (2013). Instrumen  Perangkat  Pembelajaran ,  [Learning  Devices Instruments], 2nd ed. Bandung: Remaja Rosdakarya.
[17]  Al Tabany T. I. B. (2014). Mendesain model pembelajaran inovatif, progresif , dan kontekstual : konsep, landasan, dan implementasinya pada kurikulum 2013 (kurikulum tematik integratif/KTI) .
Jakarta:
Prenadamedia Group.
https://opac.perpusnas.go.id/DetailOpac.aspx?id=924136