## FARABI Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika

## Penaksiran Parameter Distribusi Weibull Menggunakan Algoritma Genetika dan Particle Swarm Optimization
Sarah Ayatun Nufus 1 , Sutarman 2
1,2 Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara
Email: 1 sarahabdullah896@gmail.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  bertujuan  menaksir  dan  membandingkan  hasil  penaksiran  parameter  distribusi  Weibull menggunakan  Algoritma  Genetika  (AG) Particle  Swarm  Optimization (PSO).  Distribusi  Weibull  yang digunakan adalah distribusi Weibull dua parameter dan distribusi Weibull tiga parameter. Pada algoritma AG terdapat  operator  evolusi  seperti Crossover dan  mutasi.  Sedangkan  pada  algoritma  PSO  tidak.  Operator evolusi tersebut yang membuat Ag dapat melakukan optimasi pada masalah kompleks dan ruang pencarian yang  sangat  luas.  Evaluasi  terhadap  kedua  metode  dilakukan  melalui  pengamatan  terhadap  selisih  nilai fitness  yang  dihasilkan.  Berdasarkan  simulasi  data  dari  estimator  yang  diperoleh  dengan  menggunakan prongram R, diperoleh bahwa penaksiran parameter distribusi Weibull dua parameter dan distribusinWeibull tiga  parameter  menggunakan  AG  baik  digunakan  pada  distribusi  ini.  Hal  ini  didukung  dengan  kecilnya selisih  nilai  fitness  Algoritma  AG  yang  diperoleh  dibandingkan  Algoritma  PSO. Sample  space juga mempengaruhi selisih fitness. Semakin besar sample space maka fitnessnya semakin bertambah besar.
Kata kunci: Penaksiran Parameter, Distribusi Weibull, Algoritma Genetika, Particle Swarm Optimization

## ABSTRACT
This  study  aims  toestimate  and  compare  the  results  of  the  estimated  parameters  of  the  Weibull distributionusing  the  Genetic  Algorithm  (GA)  and  Particle  Swarm  Optimization  (PSO).  The  Weibull distribution used is a two-parameter Weibull distribution and a three-parameterWeibull distribution. In the GA Algorithm, there are evolution operators such as crossover and mutation. Meanwhile, in PSO algorithm doesn’t.  The  evolution  operators  that  can  optimize  complex  problems  and  a  very  wide  search  space Evaluation of the two method is carried out by observing the difference in the resulting fitness values.Based on the simulation data from the estimator obtained using the R program, it is found that the two-parameter Weibull  distribution  parameter  and  a  three-parameterWeibull  distribution  using  a  AG  algorithm  are  both used in this  distribution.  This is  supported  by  the  small  difference  in  the  fitness  value  of the  GA  algorithm obtained compared to the PSO algorithm. The sample space also affects the difference in fitness. The large the sample space, the greater the fitness.
Keywords: Parameter Estimation, Weibull Distribution, Genetic Algorithm, Particle Swarm Optimization

## I. Pendahuluan
Penaksiran  adalah  bagian  dari  data  yang berhubungan dengan perhitungan nilai parameter  populasi  (parameter)  terhadap  suatu karakter  sampel  [1].  Penaksiran  parameter dibagi  menjadi  dua  yaitu  estimasi  titik  ( point estimation )  dan  estimas  interval  ( interval estimation ).
Salah  satu  analisis  yang  melibatkan penaksir  parameter  adalah  analis  kelangsungan hidup  ( survival )  merupakan  suatu  prosedur statistik  yang  digunakan  untuk  menganalisis data dimana variabel yang diteliti adalah waktu terjadinya  peristiwa.  Distribusi  yang  paling
sering  digunakan  dalam  penanganan  masalah kelangsungan  hidup  adalah  distribusi  Weibull. Distribusi  ini  memiliki  parameter  skala  ( scale ) dan  bentuk  ( shape )  yang  dapat  menunjukkan ketepatan  pemecahan  pada  sampel  yang  kecil. Untuk  mendapatkan  model  survival  Weibull, perlu  dilakukan  estimasi  kedua  parameter tersebut.
Distribusi Weibull dikenal sebagai distribusi yang  fleksibel  [2].  Salah  satu  fleksibilitasnya dapat  dilihat  dari  perubahan  distribusi  ini menjadi  distribusi  lainnya  seperti  distribusi eksponensial.  Distribusi  ini  bergantung  pada perubahan nilai parameter skala dan bentuknya.
Kelebihan  distribusi  Weibull  yaitu  bentuk fungsional  distribusi  ini  yang  mudah  sehingga tidak  sukar  diaplikasikan  pada  beberapa kejadian tertentu.
Salah satu algoritma metode optimasi paling populer  adalah  Algoritma  Genetika  (AG).  AG merupakan  suatu  algoritma  heuristik  yang berbasis  pada  prinsip  seleksi  alam  dan  prinsip genetika.  Algoritma  genetika  adalah  salah  satu metode  optimasi  yang  memiliki  3  operator genetik  utama  yaitu    seleksi,  crossover  dan mutasi,  yang  mana  masing-masing  operator tersebut  memiliki  perannya  masing-masing guna dihasilkannya suatu solusi yang mendekati optimal [3].
AG dapat melakukan optimasi pada masalah yang  kompleks.  AG  dapat  digunakan  dalam penyelesaian  optimasi  kombinatorial  seperti traveling  salesman  problem , crew  scheduling untuk  penerbangan  sampai  masalah  kontrol. AG merupakan algoritma penting dalam proses optimasi,  yang  dimana  pada  suatu  algoritma dibuat  dengan  menerapkan  proses  evolusi dalam  perkembangan  pada  makluk  hidup. Dalam  AG  proses  pencarian  solusi  hanya didasarkan  dari  nilai  fungsi  tujuan,  tidak  ada penggunaan gradient ataupun kalkulus [4].
Selain  AG, Particle  Swarm  Optimization (PSO)  juga  dapat  digunakan  dalam  Algoritma optimasi.  PSO  adalah  suatu  teknik  komputasi evolusioner,  yang  dimana  populasi  pada algoritma  ini  didasarkan  pada  pencarian algoritma  tersebut  dan  dimulai  dengan  suatu populasi  yang  dibuat  secara  random  yang disebut  dengan  istilah  partikel.  Tidak  seperti metode  komputasi  evolusioner  lainnya,  setiap partikel  dalam  PSO  juga  terkait  dengan velocity . Partikel bergerak di ruang penelusuran dengan  kecepatan  dinamis  yang  disesuaikan dengan  perilaku  historisnya.  Oleh  karena  itu, setelah  melalui  proses  penelusuran,  partikel cenderung  berpindah  ke  wilayah  penelusuran yang  lebih  baik.  PSO  mirip  dengan  AG,  yang dimulai  dengan  populasi  acak  dalam  bentuk matriks.  Namun  kelemahan  dari  PSO  adalah tidak  adanya  operator  evolusi  yaitu  pindah silang dan mutasi seperti pada AG.

## 1.1 Distribusi Weibull
Distribusi  Weibull  merupakan  distribusi yang  sangat  penting.  Distribusi  ini  digunakan untuk menganalisis masalah kendala (Reliability) dan pemeliharaan ( mantainability ). Distribusi  ini  biasanya  digunakan  sebagai
pendekatan  untuk  mengkarakterisasi  fungsi kerusaka karena perubahan nilai akan mengakibatkan  distribusi  ini  memiliki  sifat tertentu  ataupun  ekuivalen  pada  distribusi tertentu.  Distribusi  ini  merupakan  distribusi generik  yang  dapat  diturunkan  dari  distribusi lain berdasarkan nilai dari bentuk parameternya [2].  Distribusi  Weibull  diperkenalkan  pertama kali  oleh  Weibull  pada  tahun  1936  dengan  3 parameter,  kemudian  ada  distribusi  Weibull dengan  2  dan  1  parameter,  di  setiap  distribusi [5]:

## 1. Distribusi Weibull Tiga Parameter
Distribusi  weibull  ini  mempunyau  3 parameter  dengan  α  adalah  parameter  lokasi,  β adalah  parameter  skala  dan 𝜆 parameter bentukannya, dengan fungsi densitasnya yaitu:
𝑓(𝑥|𝛼, 𝛽, 𝛌) = 𝛌 𝛽 ( 𝑥−𝛼 𝛽 ) 𝛌−𝟏 𝑒𝑥𝑝 {− ( 𝑥−𝛼 𝛽 )} 𝛌 ; 𝑥 ≥ 𝛼 (1)
2. Distribusi Weibull Dua Parameter Berbeda  dengan  distibusi  Weibull  tiga parameter, pada distribusi Weibull dua parameter  hanya  memuat  dua  buah  parameter yaitu  β  sebagai  parameter  skala  dan 𝜆 adalah parameter bentukannya, dengan fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
𝐹(𝑥|𝛽, 𝛌) = 1 − 𝑒𝑥𝑝 [− ( 𝑥 β ) λ ] (2)
Ekspektasi dan variansinya adalah:
𝜇 = 𝛌Γ (𝟏 + 𝟏 𝜷 ) (3)
𝜎 2 = 𝛌 𝟐 {Γ (𝟏 + 𝟏 𝜷 ) − [Γ (𝟏 + 𝟏 𝜷 )] 𝟐 } (4)
3. Distribusi Weibull Satu Parameter
Pada  distribusi  ini  hanya  ada  satu parameter  yaitu  α  sebagai  parameter  lokasi,  β parameter  skala  dan 𝜆 adalah  parameter bentukannya, dengan fungsi densitasnya yaitu:
𝑓(𝑥|0,1, 𝛌) = (𝛌)(𝑥) 𝛌−𝟏 𝑒𝑥𝑝{−(𝑥)} 𝛌 (5)
𝑓(𝑥|0, 𝛽, 𝟏) = ( 𝟏 𝜷 ) 𝑒𝑥𝑝 {− ( 𝑥 𝛽 )} (6)
𝑓(𝑥|𝛼, 1, 𝟏) = 𝑒𝑥𝑝{−(𝑥 − 𝛼)} (7)
1.2 Fungsi Likelihood pada Distribusi Weibull Misalkan terdapat hasil pengamatan terhadap  suatu  variabel  X  sebanyak  n.  Dengan parameter dari fungsi likelihood dalam ditribusi Weibullnya  yaitu 𝛼, 𝛽 dan 𝛌 .  Dalam menentukan  fungsi  log-likelihood  diawali dengan  menentukan  fungsi  Likelihood  dan fungsi densitas dari distribusi weibull,
𝐿(𝛽, 𝛌) = ∏ 𝑓(𝑋 𝑖 |𝛽, 𝛌) 𝑛 𝑖=1 (8)
Fungsi  Likelihood  diperoleh  dari  fungsi kepekatan  peluang  distribusi  Weibull  dapat dituliskan dengan:
L (𝛽, 𝛌) = ∏ 𝛌 𝛽 ( 𝑥 𝑖 𝛽 ) 𝛌−𝟏 𝑒𝑥𝑝 {− ( 𝑥 𝑖 𝛽 )} 𝛌 𝑛 𝑖=1
𝐿(𝛽, 𝛌) = (∏ 𝛌 𝛽 𝛌 𝑛 𝑖=1 𝑥 𝑖 𝛌−𝟏 ) 𝑒𝑥𝑝 (− ( 1 𝛽 𝛌 ) ∑ 𝑥 𝑖 𝛌 𝑛 𝑖=1 ) (9)
Berdasarkan  persamaan  (9)  tersebut  maka diperoleh fungsi logaritma natural :
ln 𝐿(𝛽, 𝛌) = ln {(∏ 𝛌 𝛽 𝛌 𝑛 𝑖=1 𝑥 𝑖 𝛌−𝟏 ) 𝑒𝑥𝑝 (− ( 1 𝛽 𝛌 ) ∑ 𝑥 𝑖 𝛌 𝑛 𝑖=1 )}
ln 𝐿(𝛽, 𝛌) = 𝑛 ln 𝛌 − 𝑛 𝛌 ln 𝛽 + (λ − 1) ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 1 𝛽 𝛌 ∑ 𝑥 𝑖 𝛌 𝑛 𝑖=1 (10)
Persamaan  (10)  merupakan  fungsi  log likelihood dari distribusi Weibull dua parameter skala bentuk.
Untuk fungsi log-likelihood tiga parameter diawali  dengan  mementukan  fungsi  Likelihood dan  fungsi  densitas  dari  distribusi  Weibull. Fungsi  kepadatan  peluang  dari  distribusi Weibull  tiga  parameter  pada  persamaan  (1) dapat  dibentuk  fungsi  Likelihood  sebagai berikut:
𝐿(𝛼, 𝛽, 𝛌) = ∏ 𝛌 𝛽 ( 𝑥 − 𝛼 𝛽 ) 𝛌−𝟏 𝑒𝑥𝑝 {− ( 𝑥 − 𝛼 𝛽 )} 𝛌 𝑛 𝑖=1
𝐿(𝛼, 𝛽, 𝛌) = ∏ 𝛌 𝛽 𝛌 𝑛 𝑖=1 (𝑥 𝑖 − 𝛼) 𝛌−𝟏 𝑒𝑥𝑝 (− ( 1 𝛽 𝛌 ) ∑ (𝑥 𝑖 − 𝛼) 𝛌 𝑛 𝑖=1 ) (11)
ngsi logaritma natural, sebagai berikut:
ln 𝐿(𝛼, 𝛽, 𝛌) = ln {∏ 𝛌 𝛽 𝛌 𝑛 𝑖=1 (𝑥 𝑖
− 𝛼) 𝛌−𝟏 𝑒𝑥𝑝 (− ( 1 𝛽 𝛌 ) ∑(𝑥 𝑖 − 𝛼) 𝛌 𝑛 𝑖=1 )}
ln 𝐿(𝛼, 𝛽, 𝛌) = 𝑛 ln 𝛌 − 𝑛 𝛌 ln 𝛽 + (λ − 1) ∑ ln(𝑥 𝑖 − 𝛼) 𝑛 𝑖=1 − 1 𝛽 𝛌 ∑ (𝑥 𝑖 − 𝛼) 𝛌 𝑛 𝑖=1 (12)
Persamaan (12) merupakan fungsi log likelihood dari distribusi Weibull tiga parameter.

## 1.3 Sifat-Sifat Penduga Parameter
Dalam  statistika,  penaksiran  adalah  cara untuk  mencari  nilai  taksiran  suatu  populasi dengan menggunakan nilai lokasi sampel. Nila- nilai  populasi  sering  disebut  sebagai  parameter populasi. Estimasi adalah proses yang menggunakan  model  statistik  atau  untuk memperkirakan  korelasi  relatif  dari  populasi yang  tidak  diketahui.  Dalam  hal  ini,  variabel acak  diambil  dari  populasi  yang  dituju, sehingga  ukuran  populasi  dapat  diperkirakan [1]. Sifat-sifat penaksir adalah sebagai berikut[2]:
1. Tak Bias (𝜃̂) = 𝜃 (13)

## 2. Efisien
Suatu  penaksiran  disebut  efisien  untuk parameter 𝜃 apabila  penduganya 𝜃̂ mempunyai nilai  varian  yang  kecil.  Apabila  penduganya lebih dari satu, penaksiran dikatakan efisien jika penaksirnya memiliki varian yang kecil.

## 3. Konsisten
Penaksir  parameter 𝜃̂ dikatakan  konsisten, jika  penakasir  mendekati  nilai  parameter  yang sebenernya  terlepas  dari  ukuran  sampel  yang semakin  besar.  Suatu  statistik 𝜃̂ disebut penaksir  yang  konsisten  dari  parameter 𝜃 jika dan  hanya  jika 𝜃̂ konvergen  dalam  probabilitas ke  parameter 𝜃 atau  dapat  dituliskan  sebagai berikut:
lim → 𝑝 𝜃̂ = 𝜃 (14)
Dimana p merupakan probabilitas.

## 1.4 Algoritma Genetika
Algoritma  Genetika  (AG)  merupakan algoritma  pencarian  heuristik  berdasarkan seleksi  alam  dan  seleksi  evolusioner.  Teori seleksi  alam  dan  evolusi  pertama  kali diperkenalkan  oleh  Charles  Darwin.  Algoritma ini  didasarkan  pada  konsep  evaluasi  biologis dan  dapat  memberikan  solusi  alternatif  untuk masalah  yang  akan  dipecahkan.  Algoritma genetika menggunakan metode seleksi, crossover, dan mutasi untuk memberikan solusi pemecahan  masalah  yang  terbaik.  Dengan terus-menerus mengulangi pencarian keturunan, maka  dapat  mencapai  solusi  yang  paling diinginkan[7].  Algoritma  Genetika  standar adalah sebagai berikut:
1. Menentukan populasi awal
2. Set iterasi t=1
3. Pilih  individu  yang  terbaik  untuk disalin sejumlah tertentu untuk menggantikan indivu lain
4. Lakukan seleksi
5. Lakukan Crossover untuk  induk  yang terpilih.
6. Menentukan  beberapa  individu  dalam populasi untuk proses mutasi.
7. Jika  belum  mencapai  konvergensi  set iterasi t=t+1.
8. Kembali ke langkah 2.
Operator  dalam  Algoritma  Genetika  adalah sebagai berikut:
1. Kromosom Dalam  AG,  kromosom  adalah  bagian penting  dari  algoritma.  Suatu  kromosom  atau individu  mewakili  satu  vektor  keputusan. Terkadang  vektor  keputusan  dapat  digunakan dalam  implementasi  AG  atau  dapat  dikodekan. Pengkodean dilakukan untuk merepresentasikan solusi  menggunakan  bilangan  biner.  Itu tergantung  pada  optimasi  yang  ada.  Setiap anggota  kromosom  terdiri  dari  gen,  di  mana setiap  gen  mewakili  elemen  vektor  keputusan. Dengan  peningkatan  populasi  seperti  itu,  akan ada banyak solusi.
2. Fungsi Fitnes Fungsi kesesuaian berfungsi untuk mengukur tingkat kualitas atau kesesuaian suatu solusi  terhadap  solusi  yang  dicari.  Fungsi fitness  dapat  berhubungan  langsung  dengan fungsi tujuan atau dapat berupa perubahan kecil pada  fungsi  tujuan.  Himpunan  solusi  yang
dihasilkan  dalam  populasi  dievaluasi  terhadap nilai  fitness.  Pada  proses  minimasi  nilai  tujuan ( 𝑥 ) digunakan fitness 1 𝑓(𝑥) dengan nilai terkecil untuk  memperoleh  nilai  optimal.  Sebaliknya, proses  maksimasi  digunakan  nilai  tujuan  ( 𝑥 ) dengan  nilai  terbesar  untuk  memperoleh  nilai optimal. Untuk mengetahui fitnees terbaik akan digunakan  selisih  fitnessnya  dengan  persamaan sebagai berikut:
𝐹𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 = 𝑚𝑖𝑛|ln{∏ 𝑓(𝑋 𝑖 |𝜽) 𝑛 𝑖=1 } − ln{∏ 𝑓(𝑋 𝑖 |𝜽 ̂) 𝑛 𝑖=1 }| (15)
3. Seleksi
Metode  seleksi  roda  roulette  yaitu  metode yang  paling  sederhana  atau  sering  juga  disebut dengan  sampling  substitusi  stokastik.  Dengan demikian, orang-orang ditampilkan pada segmen  garis  secara  berurutan,  sehingga  setiap segmen berukuran sama dengan bilah kebugaran.  Nomor  acak  dihasilkan  dan  orang- orang yang bagiannya berada di wilayah nomor acak  akan  dipilih.  Proses  ini  diulang  sampai jumlah  individu  yang  diinginkan  tercapai. Adapun  Peluang  dari  setiap  Kromosom  adalah sebagai berikut:
𝑃(𝐶𝑟𝑜𝑚𝑜𝑠𝑜𝑚) = 𝑆𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐹𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑒𝑙𝑖𝑠𝑖ℎ 𝐹𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 (16)
Selanjutnya  untuk  nilai  peluang  kumulatifnya adalah sebagai berikut:
𝑃 𝑐𝑢𝑚 (𝐶𝑟𝑜𝑚𝑜𝑠𝑜𝑚 𝑘𝑒 𝑛)  ∑ 𝑃 𝑖 (𝐶𝑟𝑜𝑚𝑜𝑠𝑜𝑚) 𝑛 𝑖=1 (17)
Kemudian  akan  dibangkitkan  nilai  acak antara  0  sampai  1  sebanyak  jumlah  kromosom. Nilai  random  pertama  menunjukan  nilai  dan posisi kromosom pertama, dan seterusnya
4. Crossover atau Pindah Silang Salah  satu  komponen  terpenting  dari  AG adalah crossover. Kromosom yang mengarah ke solusi baru dapat diperoleh dengan menyilangkan  dua  kromosom.  Pada  tahap  ini akan  dilakukan crossover pada  kromosom  baru yang  diperoleh  tadi.  Hal  yang  pertama  yang dilakukan  adalah  menentukan crossover  rate misalnya  10%,  25%  dan  lainnya.  Setelah  itu dibangkitkan  nilai  acak  antara  0  sampai  1 sebanyak  jumlah  kromosom.  Jika  nilai  acak pada  kromosom  ke  i< crossover  rate maka kromosom  tersebut  akan  disilangkan.  Misalkan terdapat  kromosom  1,  kromosom  2  dan kromosom 3 yang nilai acaknya lebih kecil dari
crossover  rate .  Maka  dilakukan  crossover sebagai berikut:
Kromosom 1baru =Kromosom 1× Kromosom 2 Kromosom 2baru =Kromosom 2× Kromosom 3
Untuk  jumlah  gen  yang crossover akan dibangkitkan angka acak dari 1 sampai panjang gen dikurangi satu.
5. Melakukan Mutasi Operasi  mutasi  dilakukan  pada  kromosom dengan  tujuan  untuk  mendapatkan  kromosom baru  sebagai  kandidat  solusi  untuk  generasi mendatang  dengan  morfologi  fisik  yang  lebih baik, yang pada akhirnya mengarah pada solusi optimal yang diinginkan. Tahap pertama adalah menghitung  jumlah  gen.  Karena  parameter (gen)  distribusi  Weibull  adalah  3  maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
Jumlah seluruh gen = jumlah gen kromosom *
Populasi Jumlah selirih gen = 3 * Populasi (18)
Setelah  ditentukan  itu  akan  ditentukan jumlah gen yang dimutasi. Kemudian ditentukan  nilai mutation  rate- nya.  Setelah mutation rate ditentukan maka ibangkitkan nilai random  antara  1  sampai  jumlah  seluruh  gen. maka  diperoleh  persamaan  mencari  jumlah gen yang akan dimutasi sebagai berikut:
Jumlah gen mtasi = mutation rate * Jumlah seluruh gen                    (19)
Untuk  menentukan  gen  yang  dimutasi  akan dibangkitkan  bilangan  random  antara  1  sampai jumlah gen sebanyak jumlah gen mutasi. Untuk nilai gen yang diganti diperoleh dari pembangkitan  nilai  acak  antara  suatu  interval yang diyakini terdapat nilai parameter didalamnya pada tahap menentukan kromosom.
1.5 Particle Swarm Optimization
Particle Swarm Optimization (PSO) adalah salah  satu  teknik  komputasi evolusioner yang mana  populasinya  didasarkan  pada  algoritma pencarian  dan  dimulai  dengan  populasi  acak yang  disebut  partikel  [8].  Tidak  seperti metode komputasi  evolusioner  lainnya,  setiap  partikel PSO  juga  dikaitkan  dengan  kecepatan.  Partikel bergerak  di  ruang  pencarian  dengan velocity dinamis  yang  diatur  sesuai  dengan  perilaku
historisnya. Oleh karena itu, partikel cenderung berpindah ke area penelusuran yang lebih sesuai setelah  melalui  proses  pencarian.  PSO  mirip dengan algoritma genetika yang dimulai dengan populasi  acak  dalam  bentuk  matriks.  Namun, PSO  tidak  memiliki  operator  evolusioner seperti  persilangan  dan  mutasi  pada  algoritma genetika.  Baris-baris  matriks  disebut  partikel sedangkan  pada  algoritma  genetika  disebut kromosom  yang  terdiri  dari  nilai-nilai  variabel. Setiap  partikel  bergerak  cepat  dari  posisi semula ke posisi yang lebih baik [9].
Studi  lebih  lanjut  mengenai  optimasi berbasis particle  swarm di  tahun  1999 menambahkan  inertia (𝜔) dalam  persamaan pembaharuan velocity . Persamaan ini kemudian menjadi  algoritma  optimasi  berbasis  particle swarm yang paling umum digunakan [10]:
𝑣 𝑖 (𝑡) = 𝑣 𝑖 (𝑡 − 1) + 𝑐 1 𝑟 1 (𝑥 𝑝𝑖 − 𝑥 𝑖 ) + 𝑐 2 𝑟 2 (𝑥 𝑠𝑖 − 𝑥 𝑖 (20)
𝑥 𝑖 (𝑡) = 𝑥 𝑖 (𝑡 − 1) +  𝑣 𝑖 (𝑡) = 𝑣 𝑖 (21)
Dimana:
𝑖 = Indeks Partikel 𝑣 𝑖 = Velocity Partikel ke-i 𝑥 𝑖 = Posisi Partikel ke-i 𝑥 𝑝𝑖 = Posisi terbaik dari semua partikel (gbest) 𝑥 𝑠𝑖 = Posisi terbaik dari partikel ke-i (pbest) 𝑐 1,2 = Learning rate 𝑟 1,2 = Bilangan acak U [0,1]
Adapun  cara-cara  melakukan  penaksiran parameter  distribusi  Weibull  tiga  parameter menggunakan  algoritma  PSO  adalah  sebagai berikut:
1. Menetukan Partikel-Partikel
Dalam  PSO,  partikel  merupakan  taksiran awal  dari  parameter.  Distribusi  Weibull  tiga parameter  merupakan  elemen  pada  partikel yaitu 𝛼, 𝛽 dan 𝛌 . Nilai velocity pada  iterasi pertama  digunakan  nilai  0.  Nilai  elemen  dari partikel  adalah  bilangan  acak  antara  suatu interval  yang  diyakini  terdapat  nilai  parameter didalamnya.
2. Menetukan Posisi dan Velocity
Posisi awal partikel dapat ditentukan dengan melihat  interval  batas  yang  sudah  ditentukan sebelumnya.  Adapun  persamaan  menentukan posisi awalnya yaitu:
Posisi = (B. atas – B. bawah) + angka random * B. bawah
(22)
II. Hasil dan Pembahasan 1.1 Penaksiran Parameter Distribusi Weibull  Dua  Parameter  Pada  Data kecepatan Angin Menggunakan
Algoritma Genetika
Pada bagian ini akan diselidiki satu contoh menaksir  parameter  pada  data  Tabel  4.1. Diasumsikan  bahwa  data  pada  tabel  4.1 berdistribusi  Weibull.  Terdapat  66  data  yang akan Data Kecepatan Angin Terbesar Per Bulan di  Wilayah  Nusa  Tenggara  Barat Tahun  2009- 2014.  Adapun  data  Data  Kecepatan  Angin Terbesar  Per  Bulan  di  Wilayah  Nusa  Tenggara Barat Tahun  2009-  2014  adalah  sebagai berikut:
Tabel 1. Data Kecepatan Angin Terbesar Per
Bulan di Wilayah Nusa Tenggara
Barat Tahun 2009-2014 Selanjutnya dilakukan penaksiran parameter dalam distribusi Weibull
menggunakan algoritma genetika sebagai berikut:
1. Menentukan Kromosom
Pada  tahap  ini  digunakan  populasi  yang berjumlah  6  Kromosom.  Nilai  gen  dari kromosom  adalah  bilangan  acak  antara  0 sampai  20.  Adapun  bentuk  kromosomnya adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Kromosom awal
2. Menentukan Nilai Fitness Fungsi  fitness  digunakan  untuk  mengukur tingkat  kesesuaian  dengan  solusi  yang  dicari. Adapun nilai fitness dari tiap kromosom adalah sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai Fitness Kromosom Data Kecepatan Angin pada Iterasi 1
3. Melakukan Seleksi
Pada  proses  ini  dipilih  kromosom  yang digunakan  sebagai parent .  Dalam  penelitian  ini digunakan  seleksi  roda  roulette.  Adapun Peluang  dari  setiap  Kromosom  adalah  sebagai berikut:
Tabel 4. Peluang Kumulatif Kromosom Data Kecepatan Angin Iterasi 1
Selanjutnya  dibangkitkan  nilai  random antara  0  sampai  1  sebanyak  6.  Nilai  tersebut digunakan untuk mengetahui kromosom baru.
4. Melakukan Crossover
Pada  tahap  ini  akan  dilakukan crossover pada  kromosom  baru  yang  diperoleh  tadi.  Hal yang pertama yang dilakukan adalah menentukan crossover  rate .  Pada  penelitian  ini digunakan crossover  rate 25%  .  Setelah  itu
Bulan Kecepatan Angin Knot
200
9 2010 2011 2012
2013 2014 Januari 13 17 30 26 24 18 Februari 20 14 20 18 45 38 Maret 15 12 13 29
20 16 April 13 13 14 22 13 11
Mei 13 16 24 18 14 14
Juni 9 40 12
20 9 14 Juli 15 16 24
18 16
Agustus 10 13 17
20 14
September 13 12 18 18 14 Oktober 15 13 16 17 13 November 15 16 18
15 22 Desember 18 14 15 15 18 Kromosom 𝛽
𝛌 Kromosom 1 2,6782 18,0799 Kromosom 2 19,3950 0,8235 Kromosom 3 18,3234 18,6158 Kromosom 4 17,7541 16,6879 Kromosom 5 3,6793 4,8525 Kromosom 6 1,2910 0,8421
Kromosom 𝛽 𝛌 Fitness Selisih Fitnes s Kromosom 1 2,6782 18,079 9 2,6004 14,89 95 Kromosom 2 19,3950 0,8235 21,5380 4,038 0 Kromosom 3 18,3234 18,615 8 17,8051 0,305 1 Kromosom 4 17,7541 16,687 9 17,1998 0,300 1 Kromosom 5 3,6793 4,8525 3,3723 14,12 76 Kromosom 6 1,2910 0,8421 1,4128 16,08 71
Kromosom 𝛽 𝛌 Selisih
Fitness P 𝑃 𝑐𝑢𝑚 Kromosom 1 2,678 2 18,079 9 14,8995 0,2994 0,2994 Kromosom 2 19,39 50 0,8235 4,0380 0,0811 0,3805 Kromosom 3 18,32 34 18,615 8 0,3051 0,0061 0,3867 Kromosom 4 17,75 41 16,687 9 0,3001 0,0060 0,3927 Kromosom 5 3,679 3 4,8525 14,1276 0,2839 0,6766 Kromosom 6 1,291 0 0,8421 16,0871 0,3233 1
dibangkitkan  nilai  acak  antara  0  sampai  1 sebanyak  jumlah  kromosom.  Jika  nilai  acak pada  kromosom  ke  i< crossover  rate maka kromosom tersebut akan disilangkan.
5. Mutasi
Pada  tahap  ini  dihitung  jumlah  seluruh  gen dengan  Persamaan  (4.3).  Diperoleh  jumlah seluruh  gen  nya  adalah  12.  Selanjutnya ditentukan  jumlah  gen  yang  dimutasi  dengan Persamaan (4.4). mutation rate yang digunakan adalah  0.1.  maka  diperoleh  hasil  1  gen  yang akan dimutasi. Posisi gen yang dimutasi dengan membangkitkan  bilangan  acak  antara  1  sampai 12. Bilangan  acak  yang  diperoleh  adalah  6 dan nilai  gennya  antara  0  sanpai  12.  Sehingga populasi barunya yaitu:
Tabel 5. Kromosom Baru Iterasi Baru Kromosom 𝛽 𝛌 Selisih Fitness Kromosom 1 Baru 3,6793 4,8525 14,1276 Kromosom 2 Baru 2,6782 18,0799 14,8995 Kromosom 3 Baru 17,7541 3.9720 1,4140 Kromosom 4 Baru 18,3234 18,6158 0,3051 Kromosom 5 Baru 19,3950 0,8235 4,0380 Kromosom 6 Baru 1,2910 0,8421 16,0871
Setelah  Proses  mutasi  selesai  maka diperoleh  estimasi  parameter  terbaik  dengan selisih  fitness  terkecil  pada  iterasi  pertama dengan 𝛽 =18,3234  dan λ =18,6158.  Karena iterasi  belum  terpenuhi  maka  iterasi  akan dilanjutkan ke iterasi 2.
Selanjutnya  perhitungan  iterasi  selanjutnya digunakan software  R untuk  melakukan simulasi  dengan  jumlah  iterasi  100,  diperoleh hasil  estimatornya  yaitu 𝛽̂ = 18,8534 dan 𝛌̂ = 6,0577 serta  selisih  nilai  fitnesnya  adalah 0,00004.
1.2 Penaksiran Parameter Distribusi Weibull  Dua  Parameter  Pada  Data Kecepatan Angin Menggunakan Particle

## Swarm Optimization
Pada  bagian  ini  dilakukan  penaksiran parameter  dalam  distribusi  Weibull  dengan menggunakan  Algoritma  PSO.  Selanjutnya
penaksiran parameternya adalah sebagai berikut:

## 1. Menentukan Partikel dan Velocity
Pada  tahap  ini  digunakan  populasi  yang berjumlah  6  partikel.  Nilai  elemen  dari  partikel adalah bilangan acak antara 0 sampai 20. Untuk nilai velocity awalnya adalah 0. Adapun bentuk partikelnya adalah sebagai berikut:
Tabel 6. Partikel Awal Partikel 𝛽 𝛌 Partikel 1 2,6782 18,0799 Partikel 2 19,3950 0,8235 Partikel 3 18,3234 18,6158 Partikel 4 17,7541 16,6879 Partikel 5 3,6793 4,8525 Partikel 6 1,2910 0,8421

## 2. Menentukan Nilai Fitness
Fungsi  fitness  digunakan  untuk  mengukur grade  atau  mencocokkan  solusi  dengan  solusi yang  diinginkan.  Nilai  fitness  dari  setiap kromosom adalah sebagai berikut:
Tabel 7. Nilai Fitness Partikel Data

## Kecepatan Angin  Iterasi 1
Partikel 𝛽 𝛌 Fitness Selisih Fitness Partikel 1 2,6782 18,0799 2,6004 14,8995 Partikel 2 19,3950 0,8235 21,5380 4,0380 Partikel 3 18,3234  18,6158 17,8051 0,3051 Partikel 4 17,7541  16,6879 17,1998 0,3001 Partikel 5 3,6793 4,8525 3,3723 14,1276 Partikel 6 1,2910 0,8421 1,4128 16,0871
3. Menentukan Pbest dan Gbest
Pada  langkah  2  dapat  dilihat  bahwa  Gbest terbaik  berada  pada  partikel  4  dengan  elemen 17,7541  dan  16,6879.  Dikarenakan  tahap  ini merupakan iterasi 1 maka setiap partikel adalah Pbest.
4. Memperbarui posisi partikel velocity
Pada tahap ini akan dilakukan perhitungan posisi  partikel  dan velocity yang  baru.  Karena PSO yang digunakan adalah PSO dengan inertia weight  maka  untuk  menghitung velocity baru akan  digunakan  Persamaan  (20)  dengan
membangkitkan nilai learning rate secara acak. Untuk  perhitungan  nilai  posisi  vartikel  yang baru  menggunakan  Persamaan  (21).  Dengan inersia weight 0.9 dan learning rate 0.2. Adapun Posisi dan Velocity partikel baru yaitu:
Posisi dan Velocity partikel 1
𝑣 1 (2) = 𝑤. 𝑣 1 (2 − 1) + 𝑐 1 𝑟 1 (𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑥 1 ) + 𝑐 2 𝑟 2 (𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑥 𝑖 ) 𝑣 1 (2) = 0,9(0; 0) + 0,2(0,9461)(17,7541 ;  16,6879
− 2,6782; 18,0799) + 0.2(0,667467)(2,6782; 18,0799
− 2,6782; 18,0799)𝑣 2 (1) = 2,8529; −0,2634
𝑥 𝑖 (𝑡)   = 𝑥 𝑖 (𝑡 − 1) + 𝑣 𝑖 (𝑡)
𝑥 1 (1) = 2,6782; 18,0799 + ( 2,8529; −0,2634)
𝑥 1 (1) = 5,5311; 17,8164
Untuk  partikel  selanjutnya  posisi  dan velocity barunya yaitu:
Tabel 8. Nilai Fitnes Partikel Baru Data Kecepatan Angin Iterasi 1
Setelah  Proses  pembaruan  posisi  dan velocity selesai  maka  diperoleh  estimasi parameter terbaik dengan selisih fitness terkecil pada  iterasi  pertama  dengan 𝛽 =18,2523  dan λ =18,375.  Karena  iterasi  belum  terpenuhi  maka iterasi akan dilanjutkan ke iterasi 2.
Selanjutnya  dilakukan  dengan  cara  yang sama  untuk  iterasi  selanjutnya  sampai  dengan jumlah iterasi yang ditentukan. Untuk mempermudah penelitian ini, digunakan software  R untuk  melakukan  simulasi.  Setelah dilakukan  penaksiran  parameter  dengan  jumlah iterasi  100,  diperoleh  hasil  penaksirannya  yaitu
𝛽 = 18,4188 dan 𝛌 = 9,6506 serta selisih nilai fitnesnya adalah 0,004.
Setelah itu dilakukan penaksiran menggunkan  metode  Algoritma  Genetika  dan Algoritma PSO . Fitness yang digunakan adalah selisish  mean  data  dengan  mean  estimator dengan persamaan (2.11). Perbandingan penaksiran parameter distribusi Weibull dengan Algoritm  Genetika  dan  algoritma  PSO  adalah sebagai berikut:
Tabel 9. Perbandingan Penaksiran Parameter Distribusi Weibull Dengan Algoritma Genetika dan Algoritma PSO Pada Data Kecepatan
Angin Terbesar Algoritma Genetika Algoritma PSO 𝛽̂ 𝛌̂ Selisih Fitnes s 𝛽̂ 𝛌̂ Selisi h Fitne ss 18,853 4 6,0577 9 0,0000 4 18,418 8 9,650 6 0,004 1.3 Perbandingan  AG  dan  PSO  Pada Distruibusi  Weibull  Menggunakan  Data Bangkitan
Selanjutnya  dilakukan  simulasi  dengan total sampel 200, 500, dan 1000. Hasil simulasi dapat  dilihat  pada  lampiran  8.  Perbandingan penaksiran parameter distribusi Weibull dengan AG dan PSO adalah sebagai berikut:
Partikel posisi1 posisi 2 velocity 1 velocit y 2 Selis ih Fitne ss Partikel 1 5,5311 17,816 4 2,8529 - 0,2634 12,1 316 Partikel 2 19,3013 1,7285 -0,0936 0,9050 0,29 71 Partikel 3 18,2523 18,375 -0,0710 - 0,2407 0,22 99 Partikel 4 17,7541 16,687 9 0 0 0,30 01 Partikel 5 4,5769 5,6072 0,8976 0,7547 13,2 699 Partikel 6 3,3158 2,7910 2,0248 1,9489 14,5 477
Tabel 10 Perbandingan Penaksiran Parameter Distribusi Weibull Dengan Algoritma Genetika dan PSO
Dari  tabel  10  dapat  dilihat  nilai  selisih fitness  dari  kedua  metode  menunjukkan  nilai fitness yang cenderung bertambah besar dengan ukuran  sampel  yang  semakin  besar.  Hal  ini disebabkan karena fungsi fitness yang digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  selisih daari  nilai  loglikelihood  data  bangkitan  dari parameter tertentu dengan selisih nilai loglikelihood  estimatornya.  Sehingga  semakin besar  ukuran  sampel  maka  semakin  besar  nilai log  likelihoodnya.  Hal  tersebut  meninbulkan nilai fitness yang semakin besar pula.
Penaksiran  parameter  distibusi  Weibull  dua parameter dan distribusi Weibull tiga parameter menggunakan algoritma genetika baik digunakan  pada  distribusi  ini.  Hal  ini didukung dengan  kecilnya  selisih  nilai  fitnes  algoritma genetika  yang  diperoleh  dibandingkan  dengan algoritma Particle  Swarm  Optimation pada setiap sample  space yang  digunakan.  Hal tersebuat dikarenakan pada Algoritma Genetika terdapat operator evolusi yang dapat melakukan optimasi  pada  masalah  kompleks  dan  ruang pencarian yang sangat luas.

## III. Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  yang  dilakukan pada  bab  sebelumnya  diperoleh  hasil  pada Penaksiran  parameter  distibusi  Weibull  dua parameter dan distribusi Weibull tiga parameter
menggunakan algoritma genetika dan algoritma PSO  tidak  melibatkan  turunan.  Pada  algoritma PSO  tidak  terdapat  operator  evolusi  seperti crossover dan mutasi. Sedangkan pada
Algoritma  Genetika  memiliki  operator  evolusi yang  dapat  melakukan  optimasi  pada  masalah kompleks  dan  ruang  pencarian  yang  sangat luas.  Penaksiran  parameter  distibusi  Weibull dua  parameter  dan  distribusi  Weibull  tiga parameter  menggunakan  algoritma  genetika baik  digunakan  pada  distribusi  ini.  Hal  ini didukung  dengan  kecilnya  selisih  nilai  fitnes algoritma genetika yang diperoleh dibandingkan dengan algoritma Particle Swarm Optimation . Ukuran sampel juga memperngaruhi  selisih  fitness.  Semakin  besar ukuran  sampel  maka  fitnessnya  semakin bertambah besar.

## IV. Daftar Pustaka
[1] Y. Bard,
Nonlinear parameter estimation .  New  York:  Academic  Press,
1974.
[2] L.  G.  Otaya,  “Distribusi  probabilitas weibull  dan  aplikasinya  (pada  persoalan keandalan (reliability) dan analisis rawatan  (mantainability),”  Tadbir: Jurnal Manajemen Pendidikan Islam, vol. 4, no. 2, pp. 44–66, 2016.
[3] Y.  Arkeman, Algoritma  genetika :  teori dan aplikasinya untuk bisnis dan industri. PT Penerbit IPB Press, 2012.
N Parameter Algoritma Genetika Algoritma PSO 𝛼 𝛽 𝛌 𝛼̂ 𝛽̂ 𝛌̂ Se lis ih Fi tn es s 𝛼̂ 𝛽̂ 𝛌̂ Selisi h Fitne ss 1 0 0 - 1 1 - 1,0695 1,3285 0, 00 63 - 1,1977 1,4161 1,576 4 2 0 0 - 1 1 - 0 , 9 9 4 8 0,9 992 0, 00 02 - 0,94 98 0,8 899 0,065 1 5 0 0 - 1 1 - 0 , 9 8 3 2 1,0 553 0, 00 85 - 1,01 67 0,9 809 0,516 5 1 0 0 0 - 1 1 - 1 , 0 2 6 2 1,0 183 0, 00 33 - 1,04 74 0,9 432 8,996 3 1 0 0 3 4 5 3,4152 4 , 1 0 9 7 4,8270 0, 00 04 3,0187 3,5012 4,5002 0,125 5 N Parameter Algoritma Genetika Algoritma PSO 𝛼 𝛽 𝛌 𝛼̂ 𝛽̂ 𝛌̂ S el is ih Fi tn es s 𝛼̂ 𝛽̂ 𝛌̂ Selis ih Fitne ss 2 0 0 3 4 5 2 , 6 1 0 6 4 , 0 9 4 1 4,9 96 4 0, 0 1 0 0 2,5 20 1 4,4 130 4,8 59 1 0,19 469 5 0 0 3 4 5 2 , 5 8 6 0 4 , 3 7 4 9 4,5 11 5 0, 1 8 9 5 2,5 98 7 4,4 757 4,6 77 6 3,97 54 1 0 0 0 3 4 5 2 , 5 3 3 3 4 , 4 4 7 0 4,5 56 6 2, 2 4 3 1 2,5 00 0 4,4 999 4,7 15 6 155, 868
[4] B.  Santosa  and  P.  Willy, Metoda
Metaheuristik  konsep  dan  implementasi . Guna Widya, Surabaya, 2011.
[5] H.  Rinne, The  Weibull  distribution :  a handbook.  Chapman  and  Hall/CRC,
2008.
[6] L.  Bain  and  E.  M., Introduction  to Probability  and  Mathematical  Statistics .
Duxbury Press, 1992.
[7] T. Ferdian, A. Afriyudi, and B. Mutakin,
“Optimasi  penjadwalan  perkuliahan  di universitas tridinanti
palembang,”
JURNAL MAHASISWA TI S1, 2013.
[8] R.  L.  Haupt  and  S.  E.  Haupt, Practical genetic  algorithms .  John  Wiley  &  Sons,
2004.
[9] J.  Kennedy  and  R.  Eberhart,  “Particle swarm  optimization,”  in Proceedings  of ICNN’95-  international  conference  on neural  networks ,  vol.  4.  IEEE,  1995,  pp.
1942–1948.
[10]  R.-M.  Chen  and  H.-F.  Shih,  “Solving university  course  timetabling  problems using constriction particle swarm optimization with local search,”
Algorithms ,  vol.  6,  no.  2,  pp.  227–244, 2013.
[11]  Q.  Bai,  “Analysis  of  particle  swarm optimization  algorithm,” Computer  and information science , vol. 3, no. 1, p. 180,
2010.