Solusi Persamaan Schrödinger untuk Potensial Hulthen + Non-Sentral Poschl-Teller dengan Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov
Nani Sunarmi, Suparmi, Cari
Jurusan Fisika, FMIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta nanisunarmi@gmail.com
Received 21-12-2012, Revised 29-04-2013, Accepted 06-05-2013, Published 13-10-2013

## ABSTRACT
The  Schrödinger  equation  for  Hulthen potential plus Poschl-Teller  Non-Central  potential  is solved analytically using Nikiforov-Uvarov method. The radial equation and angular equation are  obtained  through  the  variable  separation.  The  solving  of Schrödinger  equation  with Nikivorov-Uvarov method (NU) has been done by reducing the two order differensial equation to  be  the  two  order  differential  equation  Hypergeometric  type  through  substitution  of appropriate variables. The energy levels obtained is a closed function while the wave functions (radial  and angular  part)  are  expressed in the  form of Jacobi polynomials. The Poschl-Teller Non-Central  potential  causes  the  orbital  quantum  number  increased  and  the  energy  of  the Hulthen potential is increasing positively.
Keywords: Schrödinger equation, Hulthen potential, Poschl-Teller Non-Central potential, Nikiforov-Uvarov method

## ABSTRAK
Persamaan  Schrödinger  potensial  Hulthen+Non-Sentral  Poschl-Teller  diselesaikan  secara analitik menggunakan metode Nikiforov-Uvarov. Persamaan bagian radial dan sudut diperoleh dengan  pemisahan  variabel. Penyelesaian  persamaan Schrödinger dengan  metode  Nikivorov- Uvarov  (NU)  dilakukan  dengan  cara  mereduksi  persamaan  differensial  orde  2  menjadi persamaan  diferensial  orde  2  tipe  Hipergeometri  melalui  subtitusi  variabel  yang  sesuai. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang (bagian radial dan sudut) dinyatakan dalam bentuk Polinomial Jacobi.  Potensial Non-Sentral Poschl- Teller  menyebabkan  bilangan  kuantum  orbital  bertambah  dan  energi  pada  potensial  Hulthen semakin bernilai positif.
Kata Kunci: persamaan Schrödinger, potensial Hulthen, potensial Non-Sentral Poschl-Teller, metode Nikiforov-Uvarov

## PENDAHULUAN
Penyelesaian  dari  persamaan Schrödinger  dalam  sistem  fisika  sangat  penting  karena penyelesaian  persamaan  Schrödinger dapat  memberikan  informasi  energi  dan  fungsi gelombang  suatu  sistem  pertikel [1] .  Penyelesaian  persamaan  Schrödinger  secara eksak hanya mungkin  ketika  bilangan kuantum orbital
[2] .  Sedangkan  ketika , persamaan Schrödinger  hanya  bisa  diselesaikan  dengan  pendekatan  subtitusi yang sesuai [3] . Penyelesaian persamaan    Schrödinger  untuk  sistem  yang  dipengaruhi  potensial yang  memiliki  bentuk  fungsi  posisi  (fungsi  radial  atau/dan    fungsi  sudut)  diselesaikan dengan  mereduksi    persamaan    Schrödinger    menjadi  persamaan  differensial  orde  dua fungsi  khusus  seperti  fungsi  Hermit,  Leguerre,  Legendre,  serta  Hipergeometri yang meliputi Nikiforov-Uvarov dan Romanovski.
Suatu partikel dapat dipenggaruhi oleh satu  jenis potensial atau dapat pula dipenggaruhi beberapa  potensial  secara  bersamaan. Kombinasi  potensial  ini  dapat  berupa  potensial Poschl-Teller dan Rosen-Morse [4,5] , Hulthen dan Manning Rosen [6] , Pseudo Harmonic dan Ring  Shaped [7] . Beberapa  teknik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  sistem  partikel dengan  potensial-potensial  tersebut seperti  metode  faktorisasi [8,9] ,  WKB [10] , shape invariance [10] , supersimetri mekanika kuantum [11] dan path integral .
Dalam  paper  ini  akan  diselesaikan  potensial  Hulthen+Non-Sentral Poschl-Teller yang dialami  oleh  elektron  dalam  suatu  atom.  Potensial  Hulthen berperilaku  seperti  potensial Couloumb untuk nilai  relatif sangat kecil terhadap  yang dialami ketika elektron yang bergerak mengitari inti atom yang bermuatan positif. Selain melakukan gerakan mengitari intinya  elektron  juga  mengalami  vibrasi  yang  diakibatkan  potensial  Non-Sentral  Poschl- Teller,  sehingga  potensial  Non-Sentral  Poschl-Teller  mampu  menjelaskan  getaran spektrum  dari  suatu  atom dan menjelaskan  interaksi  sistem  atomik [3,4] .  Metode  yang sesuai untuk menyelesaikan sistem yang dipengaruhi oleh potensial Hulthen+ Non-Setral Poschl-Teller adalah metode  Nikiforov-Uvarov [12-14] yang  pengembangannya  berbasis pada  pereduksian  persamaan  Schrödinger menjadi  persamaan diferensial orde  2 tipe Hipergeometri.  Persamaan  diferensial  Hipergeometri  memilki  bentuk  penyelesaian  yang paling  umum  dan  persamaan  diferensial fungsi  yang  lain  dapat  direduksi  menjadi persamaan diferensial  hipergeometri.  Bila  persamaan  Hipergeometri  telah  diperoleh, tingkat-tingkat energi suatu sistem dan juga fungsi gelombangnya dapat diperoleh dengan mudah.

## Persamaan Schrödinger untuk potensial  Hulthen +Non-Sentral Poschl-Teller
Potensial  Non-Sentral  Poschl-Teller [3] ditunjukan  Persamaan  (1)  dan  potensial  Hulthen [6] ditunjukan Persamaan (2)
(1)
(2)
Sehingga potensial  Hulthen +Non-Sentral Poschl-Teller dapat dituliskan
(3) Dengan dan merupakan  konstanta dan  parameter  jarak  serta , dan , sehingga persamaan Schrödinger tiga dimensi untuk suatu
partikel yang memiliki massa μ dalam  koordinat bola adalah
(4)
Dengan  pemisahan  variabel  maka  fungsi  gelombang  pada  Persamaan  (4)  dinyatakan sebagai
Dengan
sehingga Persamaan (4) menjadi
(6a) (6b) (6c) Dengan dan adalah  bilangan  kuantum  magnetik dan  bilangan  kuantum orbital,
sehingga diperoleh penyelesaian fungsi gelombang bagian azimuthal [15]
(7)

## METODE

## Metode Nikiforov-Uvarov
Persamaan deferensial  Hipergeometri yang dapat  diselesaikan dengan metode  Nikiforov- Uvarov memiliki bentuk [1-3,6,[11][12];
(8)
dimana dan
biasanya  merupakan  polinomial  berderajat dua,  dan merupakan  polinomial  berderajat satu.  Persamaan  (8)  dapat  diselesaikan  dengan pemisahan variabel yaitu
(9)
Dengan memasukkan  Persamaan (9)  ke Persamaan  (8) kita mendapatkan  persamaan tipe Hipergeometri:
(10) Dengan penyelesaian bergantung pada: (11) fungsi dan parameter   dicari dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: (12) (13)
Harga pada  Persamaan  (13)  dapat  diperoleh  dari  kondisi  bahwa  pernyataan  kuadrat dibawah akar pada  Persamaan (12)  merupakan  kuadrat sempurna  dari polinomial  derajat satu,  sehingga  diskriminan  dibawah  akar  harus sama  dengan nol.  Tingkat  energi  dapat diperoleh dari Persamaan (13) dan Persamaan (14a) dengan hubungan
, n = 0, 1, 2 (14a) (14b) Fungsi gelombang diperoleh  dengan  ketentuan  nilai .    Penyelesaian  fungsi
gelombang bagian kedua y n (s) , yang bersesuaiaan dengan relasi Rodrigues diberikan oleh Persamaan (15) dimana C n merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot harus tergantung pada kondisi pada Persamaan (16).
(15)
(16)
Sehingga penyelesaian fungsi gelombang diperoleh dari Persamaan (10), (15) and (16).

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Solusi Persamaan  Schrödinger Bagian Sudut
Persamaan  Scrodinger  bagian  sudut untuk potensial    Hulthen+Non-Sentral  Poschl-Teller dapat ditulis
(17)
Untuk mengubah persamaan differensial orde 2 tersebut menjadi persamaaan differensial orde 2 tipe Hipergeometri maka dilakukan subtitusi variabel yang sesuai yaitu pada Persamaan (17). Sehingga persamaan yang bersesuaian dengan Persamaan (8)
(18a) (18b)

## Dengan nilai
(19a) (19b) (19c)
Untuk menentukan nilai dari digunakan  Persamaan  (12) dan (19) sehingga diperoleh bahwa
(20)
Harga  pada Persamaan (20) dapat ditentukan nilainya dengan  kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial derajat satu.
Dan diskriminan dibawah akar pada Persamaan (20)  harus sama dengan nol.
(22)
Untuk memudahkan dalam menentukan nilai k pada Persamaan (21) maka dilakukan permisalan bahwa
dan
(23) Sehingga diperoleh nilai k
(24a) (24b) Dari Persamaan (21) dan (24) dengan kondisi diperoleh untuk (25a) untuk (25b) Dengan menggunakan Persamaan (14b), (25a) dan (25b) diperoleh untuk (26a) untuk (26b) Dengan menggunakan Persamaan (13), (24)  dan (25) diperoleh nilai untuk (27a) untuk (27b)
Sedangkan menggunakan Persamaan (14) , (19) dan (26) diperoleh
untuk k 1 (28a) untuk k 2 (28b)
Bilangan kuantum orbital diperoleh dari Persamaan (27) dan Persamaan (28)
untuk k 1 (29a)
untuk k 2 (29b)
Untuk mendapatkan fungsi gelombang dipilih nilai  dari k 2
Bagian pertama fungsi gelombang diperoleh dari Persamaan (11), (19) dan (25b)

## (31)
Fungsi bobot dapat diperoleh dari Persamaan (16), (19) dan (26b)
(32)
Dengan Persamaan (15), (19) dan (32) dapat peroleh fungsi gelombang bagian kedua
=
(33) dimana adalah polinomial Jacobi, dan , , (34)
Dari Persamaan (9), (31) and (33) diperoleh fungsi gelombang secara lengkap
(35)
dengan merupakan  bilangan  kuantum  sudut. Faktor  normalisasi
diperoleh  dari normalisasi keadaan fungsi gelombang sudut yang ditunjukan oleh Persamaan (35) (36)
Dengan mensubtitusikan Persamaan  (35) ke Persamaan (36) kita peroleh
(37) Dengan , Persamaan (37) dapat ditulis (38a) (38b)
Faktor normalisasi dari Persamaan (38b) adalah
Fungsi gelombang sudut merupakan fungsi dari polinomial Jacobi seperti yang ditunjukan pada  persamaaan  (35).  Dari  beberapa  penyelesaian  khusus  fungsi  gelombang  sudut  dari potensial  Hulthen+Non-Sentral  Poschl-Teller    dengan  memberikan  variasi  masukan  nilai konstanta  ,  ,  ,  , maka dihasilkan penyelesaian-penyelesaian fungsi gelombang sudut seperti yang ditampilkan pada Gambar 1.
Tabel 1. Fungsi gelombang sudut dari potensial Hulthen+Non-Sentral Poschl-Teller
1 0 0 0 2
1 1 0 0 3 1 0 0 2 4
1 1 2 0 3,73
1 1 2 2 5,73 -1 0 1 -1 0 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ( a ) -1 0 1 -1 0 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ( b ) -1 0 1 -1 0 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ( c ) -1 0 1 -1 0 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ( d )
-1 0 1 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( e )
Gambar 1. Fungsi gelombang sudut  (a) , (b) , (c) , (d) , (e) dan pengaruh dari potensial Non-Sentral Poschl-Teller merubah fungsi gelombang pada sumbu z seperti yang ditunjukan (d) sama seperti pengaruh bilangan kuantum magnetik yang ditunjukan (b)

## Solusi Persamaan Schrödinger Bagian Radial
Penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial pada Persamaan (6a) dilakukan dengan melakukan subtitusi variabel  yang sesuai yaitu
(40)
Dengan  Persamaan  (40),  Persamaan  (6a)  menjadi  persamaan  differensial  orde  2  tipe Hipergeometri seperti yang ditunjukan oleh Persamaan (41)
(41) (42) dengan , (43) untuk  memperoleh  nilai maka  Persamaan (43) disubtitusikan  pada Persamaaan  (12)
sehingga diperoleh
(44)
Harga k pada  Persamaan  (44)  diperoleh  dari  kondisi  bahwa pernyataan  kuadrat  dibawah akar  pada Persamaan (44) merupakan kuadrat sempurna dari polinomial derajat satu. Dan diskriminan dibawah akar pada Persamaan (44)  harus sama dengan nol.
(45a) (45b) Sehingga diperoleh untuk (46a) untuk (46b)

## Untuk mendapatkan tingkat energi dan fungsi gelombang yang terkait diperlukan kondisi sehingga dipilih
untuk (47)

## Dengan nilai
(48)
Dengan  mensubtitusikan turunan  pertama  dari  Persamaan  (48) yaitu
pada  Persamaan
(14a) diperoleh
(49)
Dengan  nilai =1,2,3…  Nilai  energi  ditentukan berdasarkan  Persamaan  (42)  dan Persamaan (49) sehingga diperoleh
(50)
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 n e( n) (e V ) l=0 l=1 l=2
Gambar 2. Grafik Tingkat energi potensial Hulthen terganggu potensial Non-Sentral Poschl-Teller dengan V 1 =0,5
Energi  tersebut  menunjukan  partikel  yang  mengalami  potensial  Hulthen  yang  terganggu oleh  potensial  Non-Sentral  Poschl-Teller yang  ditunjukan  Persamaan  (50)  dengan  nilai parameter l sebagai bilangan kuantum orbital dinyatakan pada Persaman (30). Berdasarkan Gambar 2 dapat diketahui bahwa semakin besar gangguan yang dilakukan potensial Non – Sentral  Poschl-Teller  terhadap    potensial  Hulthen  yang  ditunjukkan  oleh  nilai  l ≠0  maka energi  semakin  bernilai  positif.  Ini  artinya  elektron  membutuhkan  energi  ikat  yang semakin besar untuk berada pada kulit tersebut dengan kata lain elektron semakin mudah terlepas dari ikatannya hanya dengan energi luar yang kecil.
Penyelesaian  fungsi  gelombang  diperoleh  dengan    mensubtitusikan          dan      pada Persamaan (10) dan dihasilkan persamaan diferensial orde satu dengan penyelesaian
(51)
Dan dengan mengunakan Persamaan (16) diperoleh fungsi bobot
Sehingga  diperoleh  persamaan  fungsi  gelombang  bagian  kedua  dari  fungsi  gelombang radial
(53)
Dengan memisalkan bahwa x=1-2s maka Persamaan (53) menjadi
(54)
Dengan polinomial Jacobi dinyatakan dengan persamaan
(55)
Sehingga diperoleh fungsi gelombang X (s) menjadi
(56) Untuk menentukan konstanta maka digunakan persamaan dibawah ini (57) dimana .  Dengan  memasukkan Persamaan  (56)    pada  Persamaan  (57)  dan menggunakan definisi dari polinomial Jacobi [15]
(58)
Sehingga persamaan (57) menjadi
(59) Dengan merupakan konstanta normalisasi dan merupakan fungsi hipergeometri dengan menggunakan rumus integral [16]
(60) dengan . Sehingga diperoleh persamaan konstanta normalisasi adalah (61)
dengan merupakan  bilangan  kuantum  radial.  Berdasarkan  penyelesaian  yang  telah didapat  pada  Persamaan  (6), (35)  dan  (56)  maka  penyelesaian  fungsi  gelombang  untuk kombinasi potensial  Hulthen dan Non-Sentral Poschl-Teller sebagai
(62) Dengan nilai ,  ditunjukan oleh Persamaan (30). Misal untuk dengan maka maka fungsi gelombang yang dimilikinya
(
Sedangkan  ketika  memperoleh  gangguan  dari  potensial  Non-Sentral  Poschl-Teller ( ) maka fungsi gelombangnya menjadi

## KESIMPULAN
Persamaan  Scrodingger  untuk  potensial  Huthen+Non-Sentral  Poschl-Teller  telah diselesaikan dengan menggunakan metode Nikivorov-Uvarov. Energi yang diperoleh dari Potensial  Hulthen+ Non Sentral Poschl-Teller merupakan fungsi tertutup yang bergantung pada nilai dengan nilai  bergantung pada nilai yang merupakan gangguan dari potensial  Non-Sentral  Posch-Teller  .  Fungsi  gelombang  radial  dan  angular  dinyatakan dalam  polinomial  Jacobi.  Potensial  Non-Sentral  Poschl-Teller  menyebabkan  bilangan kuantum orbital bertambah dan energi potensial Hulthen yang ditunjukan dengan nilai yang semakin positif sehingga elektron semakin mudah lepas dengan energi dari luar yang sedikit.

## DAFTAR PUSTAKA
1 Ikot,  A.  N.  2011.  Analytical  Solutions  of Schrödinger  Equation  with  Generalized Hyperbolic Potential Using Nikiforov-Uvarov Method. The African Review of Physics , Vol. 6, pp. 221-227.
2 Ikot, A.N., Antia, A. D., Akpabio, L. E. and Obu, J. A. 2011. Analytical Solutions of Schrödinger  Equation  with  Two- Dimensional  Harmonic  Potential  in  Cartesian  and Polar Coordinates Via Nikiforov-Uvarov Method. Journal of Vectorial Relativity, Vol. 6 No. 2, pp. 65-76.
3 Cari  and  Suparmi.  2012.  Approximate  Solution  of  Schrodinger  Equation  for Trigonometric Scarf Potential with the Poschl-Teller Non-central potential Using NU Method . IOSR Journal of Applied Physics (IOSR-JAP) ISSN: 2278-4861 , Vol. 2 Issue 3, pp. 13-23.
4 Kleinert,  H.  and  Mustapic,  I.  1992.  Summing  the  Spectral  Representation  of  Poschl- teller and Rosen Morse Fixed –Energy Amplitudes .  J. Math. Phys , Vol. 33 No. 2,  pp. 643- 662.
5 Ikot,  A.  N.  and  Akpabio,  L. E.  2010.  Approximate  Solution  of  the  Schrödinger Equation with Rosen-Morse Potential Including the Centrifugal Term. Applied Physics Research, Vol. 2 No. 2, pp. 202-208.
6 Meyur, S. and Debnath, S. 2009.  Solution of the Schrödinger equation with Hulthén plus Manning-Rosen potential . Lat. Am. J. Phys. Educ., Vol. 3 No. 2, pp. 300-306.
7 Shojaei, M. R.  and  Rajabi, A. A. 2011. Determination of energy levels of the Klein– Gordon  equation,  with  pseudo  harmonic  potential  plus  the  ring  shaped  potential. International Journal of the Physical Sciences, Vol. 6 No. 33, pp. 7441 – 7446.
8 Awoga,  O.  A.,  Ikot,  A.  N.,  Akpan,  I.  O.  and  Antia,  A.  D.  2012.  Solution  of    the Schrödinger equation  with axponential  Coshine-screened potential. Indian  Journal of Pure & Applied Physics , Vol. 50, pp. 217-223.
9 Sadeghi, J. and  Pourhassan,  B. 2008.   Exact  Solution  of The Non Central  Modified Kratzer  Potential  Plus  a  Ring-Shaped  Like  Potential  By  The  Factorization  Method. Electronic Journal of Theoretical Physics, Vol. 5 No. 17, pp. 193-202.
10 Suparmi, A., Cari, C., Handika, J., Yanuarief, C. and Marini, H. 2012.  Approximate Solution  of  Schrodinger  Equation  for  Modified  Poschl-Teller  plus  Trigonometric Rosen-Morse  Non-Central  Potentials  in  Terms  of  Finite  Romanovski  Polynomials. IOSR Journal of Applied Physics (IOSR-JAP) ISSN: 2278-4861 , Vol. 2 Issue 2 , pp. 43-51.
11 Gonul , B. and Zorba, I. 2000 . Supersymmetric Solutions of  Non Central Potentials. Physics Letters A 269 . pp. 83-88.
12 Antia,  A. D. 2010. Exact Solutions of the Schrodinger Equation with Manning-Rosen Potential  Plus  a  Ring-Shaped  Like  Potential  by  Nikiforv-Uvarov  Method. European Journal of Scientific Research ISSN 1450-216X, Vol.46 No.1, pp.107-118.
13 Meyur, S. and Debnath, S. 2010 .Eigen Spektra for Woods-Saxon Plus  Rosen Morse Potential. J. Phys. Edu Vol.4 No. 3, pp. 587-597.
14 Bakkeshizadeh, S. and Vahidi, V. 2012. Exact Solution of the Dirac Equation for The Coloumb Potential Plus NAD Potential by Using the Nikiforov-Uvarov Method. Adv. Studies Theor. Phys. , Vol. 6 No. 15, pp.733-742.
15 Agboola,  D.  2011.  Schrödinger Equation  with  Hulthen  Potential  Plus  Ring-Shaped Potential. Communication in Theoritical Physics, Vol. 55 No. 6, pp. 972-976.