## PEMANFAATAN SOFTWARE MATLAB DALAM PEMBELAJARAN METODE NUMERIK POKOK BAHASAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

## Any Muanalifah

## Dosen Jurusan Tadris Matematika FITK IAIN Walisongo

## Abstrak
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang  sika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa.  Seringkali  model  matematika  tersebut  muncul dalam bentuk yang rumit yang terkadang tidak dapat di- selesaikan dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku. Permasalahan  ini  dapat  diselesaikan  dengan  Mengguna- kan metode Numerik.
Dalam  pembelajaran  metode  Numerik  khususnya pada  pokok  bahasan  Sistem  Persamaan  Linear  Simultan diperlukan  perhitungan  iterasi  dengan  menggunakan Komputer.  Software yang digunakan untuk perhitungan Numerik salah satunya adalah MATLAB.  Dengan peman- faatan software ini ternyata sangat membantu pemebelaja- ran metode numerik
Kata Kunci : Matlab, Metode Numerik, Sistem Persamaan Linear Simultan

## Any Muanalifah

## PENDAHULUAN
Tidak semua permasalahan matematika dapat diselesaikan dengan mudah secara analitik.  Bahkan dalam prinsip matema- tika,  dalam  memandang  permasalahan  yang  terlebih  dahulu diperhatikan  apakah  permasalahan  tersebut  mempunyai  pe- nyelesaian atau tidak.  Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan matematika dapat diselesaikan dengan menggu- nakan perhitungan biasa.[1]
Sebagai contoh :
Integral  diatas  terlihat  tidak  terlalu  panjang,  tetapi  un- tuk menyelesaikan integral tersebut bukan permasalahan yang mudah bahkan dapat dikatakan tidak mungkin.  Tetapi bukan berarti integral tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan integral semacam itu sangat sulit dan kalau- pun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama.  Padahal integral diatas adalah bentuk integral yang banyak digunakan dalam bidang teknik.
Dengan  dasar  inilah  dapat  dikatakan  bahwa  diperlukan suatu metode tertentu yang digunakan untuk menghitung inte- gral tersebut.  Meskipun metode tersebut tidak dapat menghasil- kan nilai yang exact (tepat), setidak-tidak sudah mendekati nilai yang diharapkan.
Selain  adanya  persoalan  diatas,  seiring  dengan  perkem- bangan  komputer  sebagai  alat  bantu  dalam  menyelesaikan persoalan,  maka  pemakaian  metode  analitik  terkadang  sulit diterjemahkan ke dalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer.  Sehingga metode numerik yang memang berangkat dari  pemakaian  alat  bantu  hitung  merupakan  alternatif  yang baik  dalam  menyelesaikan  persoalan-persoalan  perhitungan yang rumit.  Telah banyak yang menawarkan program-program numerik sebagai alat bantu perhitungan.
Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoa- lan-persoalan perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk menghasilkan penyelesaian yang baik adalah:
1. Bila  persoalan  merupakan  persoalan  sederhana  ata  ada teorema  analisa  matematika  yang  dapat  digunakan  un- tuk  menyelesaikan  persoalan  tersebut,  maka  penyelesaian matematis (metode analitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan.  Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pe- makaian metode pendekatan.
2. Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin disele- saikan secara matematis (analitik) karena tidak ada teorema analisis matematik yang dapat digunakan, maka dapat digu- nakan metode numerik
3. Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempun- yai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerik pun tidak dapat  menyajikan  penyelesaian  dengan  baik,  maka  dapat digunakan metode-metode simulasi.
Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik meru- pakan pendekatan analisis matematis.  Sehingga dasar pemiki- rannya  tidak  keluar  jauh  dari  dasar  pemikiran  analitis,  hanya saja  pemakaian  gra s  dan  teknik  perhitungan  yang  mudah merupakan  pertimbangan  dalam  pemakaian  metode  numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik  adalah  algoritma  pendekatan  maka  dalam  algoritma tersebut  akan  muncul  iterasi  yaitu  pengulangan  proses  perhi- tungan.  Dengan kata lain perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang un- tuk terus-menerus  diperoleh  hasil yang  mendekati nilai  peny- elesaian exact.
Salah satu pokok bahasan yang dikerjakan secara numerik adalah sistem persamaan linear simultan, karena sistem persa- maan  linear  memerlukan ketelitian  dan  waktu  yang  lama jika dihitung menggunakan metode analitik.  Metode iterasi Gauss- Jordan adalah salah satu metode numerik yang digunakan un-

## Any Muanalifah
tuk  mencari  penyelesaian  sistem  persamaan  linear  simultan. Dalam perhitungannya metode ini memerlukan bantuan kom- puter  karena  iterasi  yang  diperlukan  sangat  banyak  sehingga tidak mungkin jika dihitung secara manual.
Software  yang  digunakan  di  sini  adalah  MATLAB  yang merupakan salah satu software matematika yang paling sering digunakan.  MATLAB ( Matrix Laboratory ) adalah bahasa kom- putasi  teknis  tingkat  tinggi  dan  lingkungan  interaktif  untuk pengembangan  algoritma,  visualisasi  data,  analisis  data  dan komputasi numerik. [1]

## PEMBAHASAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
Sistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai dalam berbagai dis- iplin ilmu, termasuk  sika, biologi , teknik dll. Sistem persamaan linier  muncul  secara  langsung  dari  masalah  nyata,  dan  meru- pakan  bagian  dari  proses  penyelesaian  masalah-masalah  lain, misalnya penyelesaian sistem persamaan non linier simultan.[4] Suatu sistem persamaan linier adalah sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah persamaan (berhingga) dan sejumlah variabel (berhingga). Mencari solusi suatu sistem persamaan li- nier adalah mencari nilai-nilai variable-variabel tersebut, sehing- ga memenuhi semua sistem  persamaan tersebut. Terdapat dua metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier yaitu [8] :
1. Metode langsung , yang terdiri dari metode eliminasi Gauss, metode eliminasi  Gauss-Jordan, metode matriks invers dan metode dekomposisi LU.
2. Metode tak langsung yaitu metode iterasi, yang terdiri dari metode  iterasi  Jacobi  dan  metode  iterasi  Gauss-Seidel,  di- mana  dalam metode iterasi ini harus diberikan solusi awal ( merupakan tebakan ).
Bentuk  umum  sistem  persamaan  linier  (SPL)  yang  terdiri dari variabel dan persamaan adalah sebagai berikut,
Jurnal PHENOMENON , Volume 1 Nomor 1, Juli 2013
Kuantitas-kuantitas (untuk )  disebut koe sien . Nilai koe sien-koe sien dan i b pada setiap pers- amaan diketahui. Kuantitas-kuantitas i x disebut variable, yang nilainya belum diketahui dan akan dicari. Apabila semua nilai
0  i b untuk
1, 2, 3,…, , maka SPL (6.1) disebut sistem homogen . Jika terdapat 0  k b untuk semua n k   1 , maka SPL (6.1) disebut sistem tak homogen . Sistem homogen memegang peranan penting untuk menentukan apak- ah  SPL (6.1) mempunyai solusi atau tidak. Beberapa kemungki- nan yang terdapat pada SPL seperti persamaan 6.1, yaitu,
1. SPL mempunyai tepat sebuah solusi / solusi unik (Gam- bar  1)
2. SPL mempunyai banyak  solusi (Gambar 2)
3. SPL tidak mempunyai   solusi (Gambar 3)
Berdasarkan  interpretasi  geometri  ketiga  kemungkinan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Metode ini merupakan suatu teknik untuk mencari solusi SPL yang berukuran n x n , AX = B secara iteratif. Proses peny- elesaian dimulai dengan suatu solusi awal, (tebakan kita), kemudian dilakukan iterasi berikutnya untuk mendapatkan ha- sil hampiran sesuai dengan ketentuan kriteria berhenti. Teknik solusi iteratif ini lebih e sien digunakan untuk SPL yang beru- kuran  besar.  Metode  iterasi  Jacobi  ini  dinyatakan  oleh  rumus

## Any Muanalifah
Syarat cukup ini berarti bahwa agar iterasinya konvergen, cukup dipenuhi syarat itu. Jika syarat tersebut terpenuhi, kekon- vergenan dijamin, meskipun matriks A dari SPL tidak dominan secara diagonal iterasinya mungkin konvergen. Kekonvergenan juga ditentukan oleh tebakan awal . Tebakan awal yang terlalu jauh dari solusi eksaknya dapat menyebabkan iterasi divergen. Contoh Cari  solusi  SPL  ini  dengan  metode  iterasi  Jacobi    dengan tebakan awal T ) 0 , 0 , 0 , 0 ( . Jawab:
SPL tersebut dapat ditulis sebagai
Tampak bahwa matriks A dominan secara diagonal.
) 1 ( ) ( ) 1 ( k i k i k i n i j j ii ii 1 4 3 2 1 x x x x
Pemanfaatan Software Matlab...
Mula-mula kita nyatakan setiap variabel dalam ketiga vari- abel yang lain, yaitu sebagai berikut:
Kemudian  kita  substitusikan  tebakan  awal  kedalam  pers. 7.1 s/d 7.4, hasilnya adalah nilai pada iterasi ke-1 , yaitu seb- agai berikut:
Iterasi ke-2
Iterasi ke-3
Iterasi ke-4
Sampai dengan iterasi ke-8
MATLAB Iterasi Jacobi Berikut ini adalah script dalam MATLAB function [X,g,H]= jacobi(A,b,X0,T,N) H = X0’; n = length(b); X1 = X0; for k=1:N, for i = 1:n,
S = b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*X0([1:i-1,i+1:n]); X1(i)=S/A(i,i); end g = abs(X1-X0); err = norm(g); relerr = err/(norm(X1)+ eps); X0 = X1;
H = [H;X0’]; if (err<T)|(relerr<T),break,end end

## Layar Editor MATLAB 7
Setelah iterasi ke-8, maka hasilnya adalah
1 999036 , 0 3   x 2 4 r 2 4

## Any Muanalifah

## KESIMPULAN
Penggunaan  Software  MATLAB  dalam  pembelajaran metode  Numerik  pokok  bahasan  Sistem  Persamaan  Linear  Si- multan akan sangat membantu siswa, karena siswa dapat den- gan  mudah  melakukan  perhitungan  iterasi  menggunakan  al- goritma yang dibuat di MATLAB.
Selain  itu  penggunaan  software  MATLAB  dapat  memoti- vasi siswa dalam mengikuti perkuliahan Metode Numerik
Jurnal PHENOMENON , Volume 1 Nomor 1, Juli 2013

## DAFTAR PUSTAKA
Basuki, Achmad. 2005. Metode Numerik dan Algoritma Komputasi .
Yogyakarta:ANDI
Buchanan,  James  I., Numerical  Methods  and  Analysis ,  McGraw-
Hill International    Editions, 1992
Chapra, Steven C dan Canale, Raymond P , Numerical Methods for Engineers  with  Personal  Computer  Applications ,  MacGraw- Hill Book Company, 1991
[CON92]  Conte,  Samuel  D  dan  De  Boor,  Carl, Elementary  Nu- mericalAnalysis, An Algorithmic Approach, 3rd Edition , Mac- Graw-Hills, Inc, 1992.
Dulimarta,  Hansye  S., Diktat  Kuliah  Pengolahan  Citra  Digital ,
Teknik Informatika ITB, 1996
Gerald,  Curtis  F  dan  Wheatley,  Pattrick  O, Applied  Numerical Analysis,  3rd  Edition ,  Addison-Wesley  Publishing  Com- pany, 1985
Kreyszic, Erwin, Advanced Engineering Mathematics , John Wiley and Sons, 1988
Mathews, Johh. H, Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering, 2nd Edition , Prentice-Hall International, 1993