## Jurnal Mutiara Pendidikan

## Avalilable Online http://e-journal.sari-mutiara.ac.id/index.php/JMT
Universitas Sari Mutiara Indonesia

## PENENTUAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE NUMERIK
Wajib Pandia 1 , Israil Sitepu 2
1 Prodi Pendidikan Matematika, Universitas Quality Medan
E-mail: wajibpandia957@gmail.com
2 Prodi Pendidikan Matematika, Universitas Katolik Santo Thomas Medan E-mail: israil63@gmail.com

## ABSTRAK
Metode  numerik  mampu  menyelesaikan  suatu  persamaan  yang  besar,  tidak  linier  dan  sangat  komplek yang tidak mampu diselesaikan dengan analitik. Tetapi metode numerik, hanya dapat memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi dari hasil penghitungan numerik disebut solusi  hampiran  dan  dapat  dibuat  seteliti  yang  dinginkan.Penelitian  ini    berjenis  kepustakaan  atau literatur yang bertujuan mengumpulkan data-data dan informasi melalui bukudan jurnal. Persamaan non linier merupakan salah satu masalah yang dapat diselesaikan  dengan metode numerik.  Penentuan akar persamaan  non  linier  ada  empat  metode  yang  dapat  digunakan  yaitu  metode  bagi  dua,  metode  posisi palsu,  metode  Newton  Raphson,  dan  metode  secant,metode  yang  paling  cepat  konvergen  adalah  metode Newton Raphson.

## Kata Kunci: Metode Numerik, Menentukan Akar Persamaan Non Linier

## ABSTRACT
Numerical methods are able to solve large, non-linear and very complex equations that cannot be solved analytically.  But  the  numerical  method,  can  only  obtain  solutions  that  approach  or  approach  the  true solution so that the solution from the results of numerical calculations is called the approximation solution and can be made as precisely as desired.
This  research  type  of  library  research  or  literature  that  aims  to  collect  data  and  information  through books and journals. Non-linear equation is one of the problems that can be solved by numerical methods. In  determining  the  roots  of  non-linear  equations  there  are  four  methods  that  can  be  used,  namely  the bisection  method,  false  position  method,  Newton  Raphson  method,  and  the  secant  method,  the  fastest converging method is the Newton Raphson method.

## Keywords: Numerical Methods, Determining the Roots of Non Linear Equations
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah Persoalan yang melibatkan model
matematika  sangat  banyak  muncul  di  dalam berbagai  disiplin  ilmu  pengetahuan,  seperti bidang  fisika,  kimia,  ekonomi,  atau  pada persoalan  rekayasa.    Model  matematika tersebut  muncul  dalam  bentuk  yang  tidak
dapat  diselesaikan  dengan  metode  analitik untuk  mendapatkan  solusi  sejati.  Menurut Maharani  dan  Suprapto  (2018:1)  “metode analitik  adalah  metode  penyelesaian  model matematika  dengan  rumus-rumus  aljabar yang  sudah  baku  (lazim)”.  Menurut Djojodiharjo (2000:1) metode numerik adalah  salah  satu  cabang  atau  bidang
matematika, khususnya matematika
rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan  proses  matematika.  Triatmodjo (2001:1)  mengatakan  “metode  numerik mampu  menyelesaikan  suatu  persamaan yang  besar,  tidak  linier  dan  sangat  komplek yang  tidak  mampu  diselesaikan  dengan analitik”. Metode numerik ini digunakan jika metode  analitik  sudah  tidak  dapat  lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya  masih  dapat  dicari  dengan  cara lain,  yaitu  dengan  menggunakan  metode numerik.  Hal  ini  sesuai  seperti  yang dikatakan  oleh  Panjaitan  (2017:93)  bahwa: metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana
perhitungan  secara  analitik  tidak  dapat digunakan.  Metode  numerik  ini  berangkat dari  pemikiran  bahwa  permasalahan  dapat diselesaikan  dengan  pendekatan-pendekatan yang  dapat  dipertanggung-jawabkan  secara analitik.
Perbedaan  utama  dari  metode  numerik dengan  metode  analitik  terletak  pada  dua hal.  Pertama,  solusi  yang  menggunakan metode  numerik  selalu  berbentuk  angka. Jika  dibandingkan  dengan  metode  analitik yang  biasanya  menghasilkan  solusi  dalam bentuk  fungsi  matematika  yang  selanjutnya fungsi  matematika  tersebut  dapat  dievaluasi untuk  menghasilkan  nilai  dalam  bentuk angka.  Kedua,  dengan  metode  numerik, hanya  dapat  memperoleh  solusi  yang menghampiri  atau  mendekati  solusi  sejati sehingga  solusi  dari  hasil  penghitungan numerik disebut
solusi hampiran (aproksimasi)  dan  dapat  dibuat  seteliti  yang dinginkan. Solusi hampiran jelas tidak sama dengan  solusi  sejati,  sehingga  ada  selisih diantara keduanya yang disebut galat (error). Galat  berasosiasi  dengan  seberapa  dekat solusi  hampiran  terhadap  solusi  eksaknya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.
Salah  satu  masalah  yang  paling  sering ditemui di dalam matematika adalah mencari akar  suatu  persamaan.  Bila  diketahui  fungsi f(x), akan dicari nilai-nilai yang memenuhi
f(x)=0. Termasuk di dalam masalah menentukan  titik  potong  dua  buah  kurva. Apabila kurva-kurva tersebut dinyatakan oleh fungsi  f(x)  dan  g(x),  maka  absis  titik  potong kedua  kurva  tersebut  adalah  akar-akar persamaanf(x) -g(x) = 0 Di  dalam  matematika  sering  sekali  harus mencari penyelesaian persamaan yang berbentukf(x)=0  yakni bilangan-bilangan x=r sedemikian  sehinggaf(r)=0 Nilai  r  yang memenuhi  disebut  akar  persamaan  atau  titik nol  fungsi  f(x).  Menurut  Maharani  dan Suprapto (2018:16) “adapun metode pencarian  akar  dalam  metode  numerik dilakukan  secara  iteratif”.  Metode  pencarian akar  dua  yaitu  metode  terbuka  dan  metode tertutup.  Menurut  Munir  (2006:62)  metode tertutup, yakni: Metode yang mencari akar di dalam  selang  [a,b].  Selang  [a,b]  sudah dipastikan  berisi  minimal  satu  buah  akar, karena  itu  metode  tertutup  selalu  berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, lelarannya  selalu  konvergen.  Sedangkan metode  terbuka  menurut  Munir  (2006:62), yakni:Berbeda  dengan  metode  tertutup, metode  terbuka  tidak  memerlukan  selang [a,b] yang mengandung akar. Yang diperlukan adalah tebakan awal akar. Dengan prosedur lelaran, digunakan untuk menghitung  hampiran akar  yang baru. Pada setiap  kali  lelaran,  hampiran  akar  yang  lama dipakai  untuk  menghitung  hampiran  akar yang baru.
Dalam metode terbuka ada : metode bagi dua dan  metode  posisi  palsu.  Dalam  metode tertutup  :  metode  Newton  Raphson  dan metode  secant.  Keempat  metode  tersebut sering  sekali  digunakan  dalam  menentukan akar  persamaan  non  linier  yang  tidak  dapat diselesaikan  secara  analitik.  Peneliti  merasa tertarik  dalam  membandingkan  keempat metode tersebut  dalam  menyelesaikan sistem persamaan non linier. Oleh karena itu peneliti melakukan penelitian dengan judul “ Penentuan  Akar  Persamaan  Non  Linier dengan Metode Numerik”.

## Rumusan Masalah
Rumusan  masalah  dalam  penelitian  ini adalah  metode  apakah  yang  tercepat  dalam menentukan  akar  persamaan  non  linier dengan metode numerik?

## Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian untuk mengetahui metode  tercepat  dalam  menentukan  akar persamaan non linier dengan metodenumerik.

## TINJAUANPUSTAKA
Persamaan
Persamaan ialah suatu pernyataan matematika  dalam  bentuk  simbol  sama dengan  (=).  Menurut  Negoro  dan  Harahap (2010:269)adalah  “kalimat  terbuka  yang menyatakan  hubungan  sama  dengan  disebut persamaan”.  Menurut  Sukirman,  dkk. (2013:3.2)  “dasar  suatu  persamaan  adalah sebuah  pernyataan  matematika  yang  terdiri dari  dua  ungkapan  pada  ruas  kanan  dan  kiri yang dipisahkan oleh tanda =”.
Contoh : x(x - 1) = x 2 – x Secara  umum,  nilai  peubah  pada  suatu persamaan  menjadi  benar  disebut  dengan solusi ataupun penyelesaian.

## Persamaan Non Linier
Misalkan  f(x)  adalah  suatu  fungsi  kontinu. Setiap  bilangan  r  pada  domain  f  yang memenuhi  f(r)  =  0  disebut  akar  persamaan f(x)  =  0 atau  disebut  juga  pembuat  nol fungsi  f(x) Secara  singkat,  r  disebut  akar fungsi f(x)(Maharani dan Suprapto, 2018:16).  Salah satu contoh persamaan non linier  adalah  persamaan  kuadrat.  Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah: ax 2 + bx + c = 0
Contoh  :  Tentukan  akar  persamaan  non linier dari x 2 - 5x + 6 = 0
Jawab  :  x 1 =  2  dan  x 2 =  3  (diselesaikan secara analitik).
Akar-akar  tersebut  memberikan  nilai-nilai yang menjadikan persamaan itu sama dengan nol.
Namun  untuk  bentuk-bentuk  persamaan  non
linier dengan derajat lebih dari dua, terkadang akan ditemukan kesulitan untuk mendapatkan akar-akarnya (Setiawan,2007:31).

## Metode Numerik
Menurut  Munir  (2006:5)  “metode  numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga  dapat  dipecahkan  dengan  operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah,
kurang, kali, dan bagi)”. Metode artinya cara, sedangkan  numerik  artinya  angka.  Jadi metode  numerik  secara  harafiah  berarti  cara berhitung  dengan  menggunakan  angka- angka.  Menurut  Maharani  dan  Suprapto (2018:1)  “metode  numerik  merupakan  suatu metode untuk menyelesaikan masalah- masalah  matematika  dengan  menggunakan sekumpulan  aritmatik  sederhana  dan  operasi logika  pada  sekumpulan  bilangan  atau  data numerik yang diberikan”.  Menurut Setiawan (2007:1)  “metode  numerik  adalah  teknik penyelesaian  yang  diformulasikan  secara matematis dengan cara operasi hitungan/aritmatik  dan  dilakukan  secara berulang-ulang  dengan  bantuan  komputer atau secara manual”.
Pada  umumnya  metode  numerik  tidak mendapatkan  nilai  atau  jawaban  yang  eksak, melainkan  nilai  aproksimasi.  Penentuan  akar persamaan non linier dilakukan :

## Metode Bagi Dua
Menurut  Tentua  (2017:114)  “metode  bagi dua  adalah  cara  menyelesaikan  persamaan non-linier  dengan  membagi  dua  nilai  x 1 dan x 2 dilakukan  berulang-ulang  sampai  nilai  x lebih kecil dari nilai tolerasi yang ditentukan”.  Metode  ini  sederhana  tetapi lambat.  Metode  ini  memerlukan  dua  nilai sebagai  tebakan  awal  sebut  a  (ujung  kiri selang) dan b(ujung kanan selang), a ≤ byang harus  memenuhi  f(a)  f(b)  ˂  0,  selang  [a,b] mengandung akar.
Misalkan  sudah  ditemukan  interval  yang cukup kecil [a,b] sehingga f(a) f(b) ˂ 0 yang berarti pada interval memuat akar (Mulyono,2020:229). Pada setiap kali iterasi,
selang  [a,b]  dibagi  dua  di  x  =  c sehingga terdapat  upselang  yang  berukuran  sama yaitu [a,c] dan [b,c].
Proses  diulang  dengan  membagi  dua  selang tersebut  dan  memeriksa  setengah  selang yang  mana  mengandung  akar.  Pembagi duaan  selang  dilanjutkan  sampai  lebar selang  yang ditinjau cukup kecil. Penentuan setengah  selang  yang  mengandung  akar dilakukan  dengan  memeriksa  tanda  dari hasil kali   f(a) f(c) ˂ 0 atau f(c) f(b) ˂ 0. Selang  yang  baru  dibagi  dua  lagi  dengan cara  yang  sama.  Begitu  seterusnya  sampai ukuran selang yang baru sudah sangat kecil. Menurut  (Munir,2006:67)  iterasi  sebagai berikut :
1. Lebar selang baru [a,b] ˂ e, adalah nilai toleransi  lebar  selang  yang  mengurung akar.
2. Nilai fungsi di hampiran akar f(c) = 0.
3. Galat  relatif  hampran  akar d c c c baru lama baru  
, adalah  galat  relatif  hampiran  yang diinginkan.
Menurut  Maharani  dan  Suprapto  (2018:22) kasus yang mungkin terjadi pada penggunan metode bagi dua adalah sebagai berikut:
1. Jumlah akar lebih dari satu Jika dalam selang [a,b] terdapat lebih dari satu  akar  (banyaknya  akar  ganjil),  hanya satu  akar  yang  dapat  ditemukan.  Cara mengatasinya adalah dengan menggunakan  selang  [a,b]  yang  cukup kecil hanya satu buah akar. 2. Akar ganda Metode bagi dua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan  tanda  di  ujung  selang  yang baru.
3. Singularitas
Pada  titik  singular,  nilai  fungsinya  tidak terdefinisi.  Jika  selang  [a,b]  mengandung titik singular, tahapan metode bagi dua tidak pernah  berhenti.Penyebabnya,  metodebagi dua  menganggap  titik  singular  sebagai  akar karenafungsi  cenderung  konvergen.  Yang sebenarnya,  titik  singular  bukanlah  akar,
melainkan  akar  semu.  Cara  mengatasinya adalah  dengan  memeriksa  nilai  |f(b)-f(a)|. Jika  |f(b)-f(a)|  konvergen  ke  0,  akar  yang dicari  pasti  akar  sejati,  tetapi  jika  |f(b)-f(a)| divergen,  akar  yang  dicari  merupakan  titik singular (akar semu).
Pada  setiap  tahapan  pada  metode  bagi  dua, bahwa  selisih  antara  akar  sejati  dengan  akar hampiran  tidak  pernah  melebihi  setengah panjang selang saat itu.

## Metode Posisi Palsu
Meskipun  metode  bagi  dua  selalu  berhasil dalam  menemukar  akar,  tetapi  kecepatan dalam menemukan akarnya sangatlah lambat. Kecepatan konvergensi bisa ditingkatkan jika nilai  f(a)  dan  f(b)  juga  turut  diperhitungkan. Jika  f(a)  lebih  dekat  ke  nol  daripada  f(b) maka akar lebih dekat  ke x = a daripada x = b. Metode  yang memanfaatkan nilai dari f(a) dan  f(b)  ini  adalah  metode  posisi  palsu. Dengan  metode  ini,  dibuat  suatu  garis  lurus yang  menghubungkan  titik  (a,f(a))  dan  (b, f(b)).  Kemiringan  dan  selisih  tinggi  dari  dua titik yang berada suatu garis yang menghubungkan  dua  titik  pada  kurva.  Garis lurus  berfungsi  menggantikan  kurva  f(x)  dan memberikan posisi palsu dari akar (Endaryono,2019:451).
Persamaan  garis  melalui  titik  (a,f(a))  dan
(b, f(b)) adalah
) ( ) ( ) ( ) ( a f b f a bf b af c   

## Metode Newton Raphson
Secara  geometri  metode  Newton-Raphson serupa  dengan  metode  posisi  palsu  yakni menggunakan  garis  lurus  sebagai  hampiran fungsi pada suatu selang.
Metode  Newton  Raphson  menghampiri grafik  f(x)  dengan  garis-garis  singgung  yang sesuai.  Nilai  x 0 sebagai  tebakan  awal diperoleh dengan melokasikan akar-akar dari f(x), terlebih dahulu ditetapkan x 1 adalah titik potong  antara  sumbu  x  dan  garis  singgung kurva  f(x)  di  titik  x 0 .Jika    β  :  sudut  antara garis singgung dengan sumbu x maka :
) ( ) ( 0 ' 0 0 1 x f x f x x  
) ( ) ( 1 ' 1 1 2 x f x f x x   ,... 2 , 1 , 0 ; ) ( ) ( ' 1     n x f x f x x n n n n
Iterasi  dihentikan  jika  dua  hampiran  akar yang beruntun sudah hampir sama nilainya. (Purcell dan Varberg, 1984:499).
Adapun  kekurangan  dari  metode  Newton- Raphson  adalah  fungsi harus  diketahui turunannya,  sementara  tidak  semua  fungsi dapat  diturunkan  dengan  mudah.Selain  itu juga  diperlukan  suatu  tebakan  awalx 0 yang tepat agar barisanx n yang dihasilkan konvergen  ke  solusi  eksaknya  (Ramadhini, dkk, 2019:176).

## Metode Secant
Metode  Secant  merupakan  metode  yang mengatasi  kelemahan  dari  metode  Newton Raphson (Batarius dan SinLae, 2019:24). Metode  secant(Modifikasi  Metode  Newton Raphson)  dimulai  dengan  dua  tebakan  x 0 dan x 1 terhadap akar dari fungsi f(x). Nilai tebakan awal tidak perlu menghampiri akar. Proses  iterasi  seperti  Metode  Newton Raphson, hanya perhitungan f’(x 0 ) dimodifikasi oleh nilai :
0 1 0 1 ) ( ) ( x x x f x f  
Nilai  tersebut  merupakan  gradien  garis yang  menghubungkan  titik  ((x 0 ,  f(x 0 ))  dan ((x 1 , f(x 1 )). Jadi yang dihitung adalah nilai :
) ( ) ( ) )( ( 0 1 0 1 0 0 2 x f x f x x x f x x    
Setelah titik x 2 diperoleh kita ambil x 1 dan x 2 sebagai  tebakan  akar  yang  baru  dan proses yang sama diulangi untuk mendapatkan  hampiran  x 3 .  Rumus  Metode Secant :
) ( ) ( ) )( ( 1 1 1 1 1          k k k k k k k x f x f x x x f x x
Langkah-langkah  metode  secant  sebagai berikut (Wulan, dkk, 2016:38):
1. Mencari nilai akar rdari persamaan f(x)
2. Menentukan 2 taksiran awal
3. Lakukan iterasi dengan rumus

## METODEPENELITIAN
Metodepenelitianyaitu  penelitian  pustaka , yang melakukan penelusuran dan penelaah terhadap  buku-buku,  majalah,  dokumen, catatan,  kisah-kisah  sejarah  dan  sebagainya yang  punya  relevansi  dengan  topik  bahasan. (Nazir, 1988:11).

## HASIL DANPEMBAHASAN
Penentuan  akar  persamaan  non  linier dengan Metode Bagi Dua
Tentukan akar persamaan non linier f(x) = x 3 – 3x + 1 pada selang [1,2] Jawab : Iterasi 1:a = 1 ; f(1) = 1 3 - 3(1) + 1 = -1 b = 2 ; f(2) =2 3 - 3(2) + 1 = 3
5 , 1 2 2 1 2 1      b a c ; f(c 1 ) =  -0,125 f(c 1 ) f(b)= f(1,5) f(2) = -0,375 ˂ 0 ; akar pada selang [1,5 ; 2] Iterasi 2: c 2 = 1,75 ; f(c 2 ) = 1,109 f(a) f(c 2 ) = -0,139 ˂ 0; akar pada selang[1,5; 1,75] Iterasi 3: c 3 =1,625 ; f(c 3 ) = 0,416 f(a) f(c 3 ) = -0,052 ˂ 0 ; akar pada selang [1,5; 1,625] Iterasi 4 : c 4 = 1,5625 ; f(c 4 ) = 0,127 f(a) f(c 4 ) = -0,016 ˂ 0 ; akar pada selang [1,5; 1,5625] Iterasi 5 : c 5 = 1,5312 ; f(c 5 ) = -0,004 f(c 5 )f(b) =  -0,0005˂0; akar pada selang [1,5312; 1,5625] Iterasi 6 :c 6 = 1,5468; f(c 6 ) = 0,06 f(a) f(c 6 ) = -0,0002˂0;akar pada selang [1,5312; 1,5468] Iterasi 7: c 7 = 1,539; f(c 7 ) = 0,028 f(a) f(c 7 ) = -0,0001˂0 ; akar pada selang [1,5312; 1,539] Iterasi 8 : c 8 = 1,5351; f(c 8 ) = 0,012 f(a)f(c 8 ) = -0,00004˂0;akar pada selang [1,5312; 1,5351] Iterasi 9: c 9 =1,5332; f(c 9 ) = 0,004 f(a) f(c 9 ) = -0,00001˂ 0 ; akar pada selang [,5312; 1,5332] Iterasi 10 : c 10 =1,5322; f(c 10 ) = 0,0004
f(a) f(c 10 ) =-0,000001˂ 0 ; akar pada selang [1,5312; 1,5322] Iterasi 11 : c 11 = 1,5317; f(c 11 ) = -0,002 f(c 11 ) f(b) = 0,0000008 ˂ 0; akar pada selang [1,5317; 1,5322] Iterasi 12 : c 12 = 1,5320; f(c 12 ) = -0,0004 f(c 12 )  f(b)  =  -0,0000002  ˂  0;  akar  pada selang [1,5320; 1,5322] Iterasi  13: c 13 = 1,5321; f(c 13 ) = 0,00004 f(a)  f(c 13 )  =  -0,00000002  ˂  0  ;  akar  pada selang [1,5320; 1,5321] Iterasi 14 : c 14 = 1,5321; f(c 14 ) = 0,00004 f(a)  f(c 14 )  =  -0,00000002  ˂  0  ;  akar  pada selang [1,5320; 1,5321] c 13 =c 14 = 1,5321, iterasi stop. Jadi akar persamaan non linier f(x)=x 3 –3x+1 pada selang [1,2] adalah 1,5321,
Penentuan  akar  persamaan  non  linier dengan Metode Posisi Palsu
Tentukan akar persamaan non linier f(x) = x 3 – 3x + 1 pada selang [1,2]
Jawab a = 1; f(a=1) = -1 b = 2; f(b=2) =3
a b a bf b af c    ) ( ) ( Iterasi 1 : 25 , 1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 3 ( 1 1       c
f(c 1 ) = -0,797. f(c 1 ) f(b) = -2,391 ˂ 0, akar pada selang [1,25 ; 2] Iterasi 2 : c 2 = 1,4074 ; f(c 2 ) = -0,434 f(c 2 )  f(b)  =  -1,302  ˂  0,  akar  pada  selang [1,4074 ; 2] Iterasi 3: c 3 =1,4823; f(c 3 ) = -0,190 f(c 3 )  f(b)  =  -0,57  ˂  0,  akar  pada  selang [1,4823 ; 2] Iterasi 4 : c 4 = 1,5131; f(c 4 ) = -0,075 f(c 4 )  f(b)  =  -0,225  ˂  0,  akar  pada  selang [1,5131 ; 2] Iterasi 5 : c 5 = 1,5250; f(c 5 ) = -0,028 f(c 5 )  f(b)  =  -0,084  ˂  0,  akar  pada  selang [1,5250 ; 2]
Iteras 6 : c 6 = 1,5294; f(c 6 ) =  -0,011 f(c 6 )  f(b)  =  -0,033  ˂  0,  akar  pada  selang [1,5294 ; 2]
Iterasi 7 : c 7 = 1,5311; f(c 7 ) = -0,004 f(c 7 )  f(b)  =  -0,012  ˂  0,  akar  pada  selang
[1,5311 ; 2] Iterasi 8 : c 8 = 1,5317; f(c 8 ) = -0,002 f(c 8 )  f(b)  =  -0,006  ˂  0,  akar  pada  selang [1,5317 ; 2] Iterasi 9 : c 9 = 1,5320; f(c 9 ) = -0,0004 f(c 9 )  f(b)  =  -0,0012  ˂  0,  akar  pada  selang [1,5320 ; 2] Iterasi 10 : c 10 = 1,5321; f(c 10 ) = -0,00004 f(c 10 )  f(b)  =  -0,00012  ˂  0,  akar  pada  selang [1,5321 ; 2]
Iterasi 11 : c 11 = 1,5321; c 10 =c 11 = 1,5321, iterasi stop.
Jadi  akar  persamaan  non  linier  f(x)=x 3 –3x+1 pada selang [1,2] adalah 1,5321,
Penentuan  akar  persamaan  non  linier dengan Metode Newton Raphson Tentukan akar persamaan non linier f(x)=x 3 –3x+1 dengan tebakan awal x 0 = 2 Jawab : f’(x) = 3x 2 – 3 Iterasi 1; x 0 = 2, f(x 0 = 2)= (2) 3 – 3(2) + 1 = 3 f’(x 0 =2)= 3(2) 2 – 3 = 9
6667 , 1 9 3 2 ) ( ) ( 0 ' 0 0 1      x f x f x x f(x 1 ) = 0,6298 ; f’(x 1 ) = 5,3337 Iterasi 2 ; 5486 , 1 2  x f(x 2 ) = 0,0680 ; f’(x 2 ) = 4,1945
Iterasi 3 : 5324 , 1 3  x f(x 3 ) = 0,0013 ; f’(x 3 ) = 4,0447
Iterasi 4: 5321 , 1 4  x f(x 4 ) = 0,00004 ; f’(x 4 ) = 4,0420
Iterasi 5 : 5321 , 1 5  x x 4 =x 5 = 1,5321, iterasi stop.
Jadi akar persamaan non linier f(x)=x 3 –3x+1  dengan  tebakan  awal  x 0 =  2 adalah 1,5321,
Penentuan  akar  persamaan  non  linier dengan Metode Secant
Tentukan akar persamaan non linier f(x)=x 3 –3x+1  dengan  tebakan  awal  x 0 =  2 dan x 1 = 1 Jawab x 0 = 2, f(x 0 = 2)= (2) 3 – 3(2) + 1 = 3 x 1 = 1, f(x 0 = 1)= (1) 3 – 3(1) + 1 = -1
Iterasi 1;
25 , 1 3 1 ) 2 1 ( 3 2 ) ( ) ( ) )( ( 2 0 1 0 1 0 0 2           x x f x f x x x f x x f(x 2 = 1,25) = -0,797 Iterasi 2:
2315 , 2 3  x ; f(x 3 = 2,2315) = 5,417
Iterasi 3:
3759 , 1 4  x ; f(x 4 = 1,3759) = -0,523
Iterasi 4:
4512 , 1 5  x ;f(x 5 = 1,4512) = -0,297
Iterasi 5 :
5502 , 1 6  x ; f(x 6 = 1,5502) = 0,075
Iterasi 6 :
5302 , 1 7  x ; f(x 7 = 1,5302) = -0,008
Iterasi 7
5321 , 1 8  x ; f(x 8 = 1,5321) = 0,00004
Iterasi 8:
5321 , 1 9  x x 8 =x 9 = 1,5321, iterasi stop.
Jadi akar persamaan non linier f(x)=x 3 –3x+1  dengan  tebakan  awal  x 0 =  2 dan x 1 = 1adalah 1,5321,

## Pembahasan
Penentuan  akar  persamaan  non  linier  secara numerik  dilakukan  dengan  4  metode  yaitu  : metode  bagi  dua  sebanyak  14  kali  iterasi, metode posisi palsu sebanyak 11 kali iterasi, metode  newton  raphson  sebanyak  5  kali iterasi  dan  metode  newton  sebanyak  9  kali iterasi,  serta  yang  tercepat  adalah  metode Newton  Raphson.  Hal  ini  sesuai  dengan hasil  penelitian  Ritonga  dan  Suryana (2019:64)  yang  mengatakan  “Metode Newton  Raphson  secara  umum  lebih  cepat konvergen dibanding metode lainnya dengan rata-rata 64% lebih cepat”.

## SIMPULAN
Metode  yang  tercepat  dalam  menentukan akar persamaan non linier secara numerikadalahMetode Newton Raphson sebanyak 5 kali iterasi

## DAFTARPUSTAKA
Batarius,  P,  dan  SinLae,  A,  A.  2019. Nilai Awal  Pada  Metode  Secant  yang Dimodifikasikan dalam Penentuan
Akar  Ganda  Persamaan  Non  Linier. 21(1): 22-31.
Djojodiharjo,  H.  2000. Metode  Numerik. Jakarta: PT. Gramedika Pustaka. Endaryono.  2019. Aplikasi  Microsoft  Excel untuk Program Perhitungan Penentuan Nilai  Golden  Ratio  Menggunakan Persamaan Kuadrat Metode Numerik.__ :(449-459) Endaryono.  2020. Karakteristik  Komputasi Akar  Kuadrat  Bilangan  Nonkuadrat Sempurna  Beberapa  Metode  Iteratif Menggunakan  Pemograman  Qbasic. 11(2): 76-87.
Maharani,  S  dan  Suprapto,E.  2018. Analisis
Numerik  Berbasis  Group  Investigation Untuk Meningkatkan Kemampuan
Berpikir  Kritsis. Magetan:  CV.  AE Media Grafika.
Mulyono.  2020. KajianSejumlah  Metode Tertutup  Untuk  Mencari  Akar-Akar Persamaan  Non  Linier  Secara  Iteratif. 5(_): 228-234 Munir,  R.  2006. Metode  Numerik  edisi Revisi. Bandung:Informatika. Nazir, M. 1988. Metode  Penelitian. Jakarta: Ghalia Indonesia. Negoro  dan  Harahap.  2010. Ensiklopedia Matematika. Bogor  Selatan:  Penerbit Ghalia Indonesia. Panjaitan.  M.  2017. Pemahaman  Metode Numerik Menggunakan Program
Matlab. 1(1): 89-94. Purcell, J, E dan Varberg, D. 1984. Calculus With  Analytic  Geometry,  4th  Edition. Diterjemahkan  oleh  Susila,  dkk.  1999. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga. Ramadhini,  dkk.  2019. Syarat  Cukup Kekonvergenan Metode-Newton
Raphson. VIII (2): 173-180 .
Ritonga, J, dan Suryana, D. 2019.
Perbandingan Kecepatan Konvergensi
Akar  Persamaan  Non  Linier  Metode
Titik  Tetap  Dengan  Metode  Newton Raphson Menggunakan Matlab. XI(2): 51-64. Setiawan,  A.  2007. Pengantar  Metode Numerik. Yogyakarta: C.V  Andi
Offset.
Sukirman, dkk. 2013. Matematika. Tangerang Selatan: Penerbit Universitas Terbuka.
Tentua,  N,  M.  2017. Aplikasi  Tingkat Akurasi  Penyelesaian  Persamaan  Non Linier  Dengan  Menggunakan  Metode Biseksi  dan  Metode  Newton  Raphson. 6(2): 113-132. Triatmodjo,  B.  2002. Metode  Numerik Dilengkapi dengan Program Komputer. Yogyakarta: Beta Offset.
Wulan,  R,  E,  dkk.  2016. Perbandingan Tingkat  Kecepatan  Konvergensi  dari
Metode  Newton  Raphson  dan  Metode Secant Setelah Mengaplikasikan Metode  Aiken’s  dalam  Perhitungan
Akar Pangkat Tiga. 12(1): 3-42