Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan

## ANALISIS KESTABILAN DAN USAHA PEMANENAN MODEL PREDATOR PREY TIPE HOLLING III DENGAN KEUNTUNGAN MAKSIMUM
Didiharyono 1 and Muh. Irwan 2
1 Universitas Andi Djemma Palopo, 2 UIN Alauddin Makassar e- mail : muh.didih@gmail.com 1 , muirwan@uin-alauddin.ac.id 2

## Abstract
In  this  paper  discussed  Stability  Analysis  and  Harvesting  Effort  at  second  Predator  Prey Populations model Holling Type III with Maximum Profit. The step this research is to determine the  equilibrium  point,  linearize  the  model,  stability  analysis  of  the  equilibrium  point,  and numerical simulation. Result shows that obtained an interior point T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ ) that asymptotic stable based on Hurwitz stability test then obtained maximum profit from exploitation harvesting effort of second predator prey populations. This second populations will always exist, even though exploited  with  harvesting  effort  done  by  humans.  Harvesting  effort  of  second  predator-prey populations given maximum profit (𝜋 𝑚𝑎𝑥 ) that occur on critical points of surface profit function.
Keywords: Equilibrium point, stability, harvesting effort and maximum profit.

## Abstrak
Paper  ini  menjelaskan  tentang  Analisis  Kestabilan  dan  Usaha  Pemanenan  pada  kedua Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum. Langkah-langkah penelitian  yang  dilakukan  meliputi  penentuan  titik  keseimbangan,  melinearkan  model, analisis  kestabilan  dari  titik  keseimbangan  dan  simulasi  numerik.  Hasil  penelitian menunjukan bahwa model mangsa pemangsa tipe Holling III dengan usaha pemanenan pada  kedua  populasi  tersebut.  Sehingga,  dapat  ditunjukan  bahwa  titik  interior T E 2 ∗ (N 1 ∗ , N 2 ∗ ) stabil  asimptotik  berdasarkan  kestabilan  Hurwitz  test  dan  diperoleh  nilai keuntungan  maksimal  berdasarkan  kegiatan  usaha  pemanenan  pada  populasi  mangsa pemangsa  tersebut.  Populasi  mangsa  pemangsa  akan  tetap  eksis  (bertahan  hidup) meskipun dilakukan usaha pemanenan dan dapat memberikan nilai keuntungan maksimal ( π max ) dari usaha pemanenan yang dimungkinkan terjadi pada puncak (titik kritis) suatu permukaan  fungsi keuntungan.
Kata kunci: Titik Keseimbangan, Kestabilan, Usaha Pemanenan dan Keuntungan Maksimum
Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan

## I.   PENDAHULUAN
Keberadaan  pemodelan  matematika  terus mendukung  perkembangan  ilmu  terapan lainnya.  Penerapan  pemodelan  matematika tidak  hanya  ditemukan  matematika  dan statistika saja, namun pemodelan matematika hampir  dapat  dijumpai  pada  seluruh  cabang ilmu  pengetahuan  baik  kedokteran,  biologi, ekologi,  ekonomi  dan  ilmu  pengetahuan terapan lainnya. Menurut [1] model matematika ini berkontribusi dalam memudahkan  fenomena  alam  yang  abstrak untuk  disimulasikan  dalam  bentuk  rumusan matematika.  Kemudian  model  matematika digeneralisasikan dan diformalisasikan dengan metode khusus sebagaimana yang ada dalam  metodologi  penelitian  matematika terapan.
Model matematika juga digunakan dalam menjelaskan  suatu  fenomena  faktual  yang terjadi dan juga digunakan dalam memperkirakan perilaku sistem dalam perkiraan waktu tertentu.
Penerapan pemodelan matematika dibidang kesehatahan, biologi,  ekologi  dan  ekonomi  menarik  untuk teliti  lebih  mendalam  mengingat  beberapa faktor-faktor  yang  dapat  mempengaruhi kehidupan organisme (mahluk hidup), ekosistem  (lingkungan)  dan  keseimbangan ( equiblirium )  kehidupan  mahluk  hidup  serta interaksi mereka dalam keberlanjutan kehidupan manusia. Proses dinamika kehidupan  organisme  yang  terjadi  dapat dimodelkan  dalam  bentuk  matematis  suatu persamaan differensial dengan waktu kontinu dan  waktu  yang  diskrit  [2].  Pemodelan matematika  juga  dimaknai  sebagai  usaha merumuskan  dengan  metode  matematika dalam menggambarkan penyelesaian masalah yang  digeneralisasikan  pada  suatu  perilaku sistem dan fenomena alam yang terjadi.
Model matematika yang tepat digunakan dalam  menyelesaikan  fenomena  yang  terjadi secara  faktual  tersebut  yaitu  model predator prey (mangsa  pemangsa).  Hubungan  yang terjadi antara populasi pemangsa dan populasi mangsa  sangat  berkaitan  antara  keduanya, pemangsa  tidak  akan  dapat  bertahan  dalam kehidupannya  jika  tidak  ditemukan  populasi yang dimangsa. Selain itu, pemangsa memiliki peran  dalam  mengontrol  perkembangan spesies populasi mangsa.  Menurut  [1] bahwa
interaksi  antar  populasi  mangsa  pemangsa yang terjadi dalam suatu lingkungan populasi dapat menyebabkan kondisi populasi organisme  bisa  berubah  jika  terjadi  interaksi antara  mangsa  pemangsa.  Proses  kegiatan interaksi tersebut berdampak positif, berdampak negatif atau bahkan tidak memiliki pengaruh terhadap interaksi populasi organisme. Salah satu penyebab yang dominan dari  punahnya  spesies  populasi  mangsa  yaitu terjadi tingkat pemangsaan yang sangat tinggi terhadap  populasi  mangsa,  sementara  tingkat kelahiran  (pertumbuhan)  mangsa  sangat rendah  atau  bisa  juga  disebabkan  karena populasi awal yang kecil (sedikit) dibandingkan dengan pertumbuhan mangsa. Beberapa  peneliti  yang  mengkaji  model mangsa  pemangsa  atau  dikenal  juga  dengan model  Lotka  Volterra  dengan  penambahan asumsi-asumsi yang
berbeda-beda.
Diantaranya [3] meneliti model Lotka Voltera dengan tipe Crowley Martin fungsi respon dan tahapan struktur pada predator. Kemudian, [4] mengkaji model Lotka-Voltera dengan model menggabungkan perlindungan mangsa. Selanjutnya, [5], [6] membahas model mangsa pemangsa tersebut dengan penambahan fungsi respon tipe Holling III pada kegiatan interaksi antara  populasi  mangsa  pemangsa  dengan penambahan asumsi usaha pemanenan konstan hanya pada populasi mangsa ( prey ). Kemudian,  [3],  [7]  membahas  model  yang sama  dengan  menambahkan  asumsi  usaha pemanenan  konstan  pada  kedua  populasi tersebut. Model yang sama juga dikembangan dalam  [8],  [9]  yang  fokus  mengkaji  usaha pemanenan  populasi  dua  pemangsa  dengan satu  mangsa  dan  menambahkan  asumsi  pada populasi  mangsa  dengan  penyertaan  mangsa pelarian  ( refuge ).  Dan  pada  penelitian  [10] mencoba  melihat  efek  kehadiran  populasi mangsa  pelarian  ( refuge )  tersebut  yang mempengaruhi kondisi awal populasi mangsa.
Berdasarkan  penjelasan  di  atas,  maka penulis  membahas  analisis  kestabilan  model mangsa  pemangsa  tipe  Holling  III  pada populasi  mangsa-pemangsa  ( predator-prey ) dengan penambahan asumsi usaha pemanenan pada kedua populasi tersebut merupakan suatu spesies  yang  sangat  bermanfaat  untuk kehidupan manusia. Kegiatan usaha pemanenan  yang  terjadi    dapat  bernilai
Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan
ekonomis dan menguntungkan bagi kehidupan manusia tanpa merusak ekosistem organisme.
Tujuan dari penelitian yaitu untuk memperoleh  solusi  model  mangsa-pemangsa tipe  Holling  III  dengan  penyertaaan  usaha pemanenan  pada  populasi  mangsa-pemangsa dan  juga  mengetahui  besar  keuntungan maksimum  dari  kegiatan  usaha  pemanenan optimal pada kedua populasi tersebut.

## II.  METODE PENELITIAN
Adapun  jenis  penelitian  ini  yaitu penelitian  kuantitatif  dengan  bantuan  data simulasi. Kegiatan  penelitian  dimulai  dengan konstruksi model mangsa-pemangsa, penentuan  titik  keseimbangan  (equilibrium), melinearisasi  suatu  model,  menganalisis kestabilan dari titik keseimbangan, selanjutnya  melakukan  simulasi  numerik  [1], [6],  [9]  dengan  menggunakan  software komputer. Variabel penelitian yang digunakan yaitu  variabel  model  populasi  mangsa pemangsa  tipe  Holling  III  dengan  usaha pemanenan  yang  terjadi  pada  kedua  populasi mangsa pemangsa. Dalam proses simulasinya menggunakan  bantuan  software  komputasi yaitu  Maple  dalam  proses  penentuan  titik kestabilan, keuntungan maksimum dan pembuatan gambar.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil penelitian ini ditunjukkan bahwa model populasi  mangsa  pemangsa  tipe  Holling  III diperoleh  dua  titik  keseimbangan.  Salah  satu titik  keseimbangan  tersebut  merupakan  suatu titik  interior  yang  dalam  kondisi  stabil asimptotik  menurut  kestabilan  Hurwitz  test. Kemudian,  terjadi  usaha  pemanenan  pada kedua populasi mangsa pemangsa yang dapat memberikan  keuntungan  maksimal  bagi kehidupan  manusia.  Berikut  ini  ditunjukan model populasi mangsa pemangsa tipe Holling III pada Persamaan (1.1)
‘ 𝑑𝑁 1 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 1 (1 − 𝑟𝑁 1 2 𝐾 ) − 𝑚 1 𝑁 2 𝑁 1 2 𝑎 1 +𝑁 1 2 ‘ 𝑑𝑁 2 𝑑𝑡 = 𝑚 1 𝑁 2 𝑁 1 2 𝑎 1 +𝑁 1 2 − 𝛽𝑁 2 (1.1)
Suatu  asumsi  dari  kedua  populasi  mangsa pemangsa tersebut yaitu bahwa populasi yang sangat  bermanfaat  dan  memberikan  nilai ekonomis untuk kehidupan manusia.
Sehingga, pada kedua populasi tersebut dapat dilakukan eksploitasi dengan usaha pemanenan  masing-masing  kedua  populasi
mangsa  pemangsa.  Selanjutnya,  dengan memperhatikan  model  Persamaan  (1.1)  maka dikembangkan menjadi,
‘ 𝑑𝑁 1 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 1 (1 − 𝑟𝑁 1 2 𝐾 ) − 𝑚 1 𝑁 2 𝑁 1 2 𝑎 1 +𝑁 1 2 − 𝑞 1 𝐸 1 𝑁 1 ‘ 𝑑𝑁 2 𝑑𝑡 = 𝑚 1 𝑁 2 𝑁 1 2 𝑎 1 +𝑁 1 2 − 𝛽𝑁 2 − 𝑞 2 𝐸 2 𝑁 2 (1.2)
dimana, No Simbol Keterangan 1 𝑁 1 , 𝑁 2 Ukuran populasi predator-prey 2 r Laju pertumbuhan intrinsik 3 K Daya dukung lingkungan ( Carrying capacity ) 4 E1, E 2 Usaha  pemanenan  pada populasi predator-prey 5 m1 Laju kelahiran predator 6 a1 Konstanta kejenuhan predator 7 𝛽 Laju kematian predator 8 q 1 dan q 2 Koefisien ketertangkapan
Dengan  memisalkan 𝑟 1 = 𝑟 − 𝑞 1 𝐸 1 dan 𝑟 2 = 𝛽 + 𝑞 2 𝐸 2 , maka model (1.2) menjadi
‘ 𝑑𝑁 1 𝑑𝑡 = 𝑟 1 𝑁 1 − 𝑟𝑁 1 2 𝐾 − 𝑚 1 𝑁 2 𝑁 1 2 𝑎 1 +𝑁 1 2 ‘ 𝑑𝑁 2 𝑑𝑡 = 𝑚 1 𝑁 2 𝑁 1 2 𝑎 1 +𝑁 1 2 − 𝑟 2 𝑁 2 (1.3)
Berdasarkan  model  (1.3)  diperoleh  dua  titik ekuilibrium yang non negatif, yaitu TE 1 ( 𝑁 1 , 𝑁 2 )  =  (0,0)  dan TE 2 ( 𝑁 1 , 𝑁 2 )  = (𝛼, 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟) (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 ) dimana, 𝛼 merupakan  akar- akar  dari  persamaan (𝑚 1 − 𝑟 2 )𝑍 2 − 𝑟 2 𝑎 1 . Titik 𝑇𝐸 2 (𝑥, 𝑦) adalah  suatu  titik  yang diperkirakan  terjadi  pada  oktan  pertama  titik interior,  dengan 𝛼 > 0 , 𝑎 1 + 𝛼 2 > 0 dan 𝑎 2 + 𝛼 2 > 0 yaitu suatu kondisi dimana kedua titik keseimbangan tersebut semuanya bernilai positif.  Sehingga,  analisis  kestabilan  cukup dilakukan  pada  salah  satu  titik  keseimbangan yaitu  titik  keseimbangan 𝑇𝐸 2 (𝑁 1 , 𝑁 2 ) yang non negatif.
Titik keseimbangan 𝑇𝐸 2 (𝑁 1 , 𝑁 2 ) model persamaan (1.1) diperoleh dengan
menyelesaikan 𝑑𝑁 1 𝑑𝑡 = 0 ,dan 𝑑𝑁 2 𝑑𝑡 = 0 , kemudian  melinearisasi  model  (1.3)  dalam bentuk matriks Jacobian berikut.
Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan
𝐴 = ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑁 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑁 2 𝜕𝑓 2 𝜕𝑁 1 𝜕𝑓 2
𝜕𝑁 2 ) Untuk  menentukan  nilai  eigen  matriks A dengan  ordo  3 x 3  digunakan  persamaan det( ) 0    A I , sampai memperoleh
persamaan  karateristik  matriks A yang berbentuk 𝑓(𝜆) = 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 + 𝑎 0 atau 𝑓(𝜆) = 𝜆 2 + ( 𝑟 1 𝐾−𝑟 𝐾 − 𝑟 2 ) 𝜆 + ( 𝑟 1 𝑟 2 𝐾−𝑟 𝐾 ) .
Menurut  kriteria  kestabilan  Routh-Hurwitz dalam  [1],  [4]  titik 𝑇𝐸 2 (𝑁 1 , 𝑁 2 ) yang  stabil asimptotik  jika  dan  hanya  jika 𝑎 1 , 𝑎 0 > 0 . Pada  teknik  melinearisasi  model  dan  uji kestabilan Hurwitz, diperoleh titik 𝑇𝐸 2 (𝑁 1 , 𝑁 2 ) yang stabil asimptotik sebagaimana  kondisinya  ditunjukan  pada
Gambar (1) dan Gambar (2) berikut.
Gambar (1) Bentuk kurva kestabilan mangsa
Gambar (2) Bentuk kurva kestabilan pemangsa
Karena  pada  posisi  titik  keseimbangan TE 2 ( 𝑁 1 , 𝑁 2 )    pada  persamaan  (1.2) menunjukan terjadinya kegiatan usaha pemanenan  pada  populasi  mangsa  pemangsa dengan  asumsi  bahwa 𝑟 − 𝑞 1 𝐸 1 > 0 dan 𝛽 + 𝑞 2 𝐸 2 > 0 ,  serta  dengan  memisalkan 𝑟 1 = 𝑟 − 𝑞 1 𝐸 1 dan 𝑟 2 = 𝛽 + 𝑞 2 𝐸 2 maka TE 2 ( 𝑁 1 , 𝑁 2 ) menjadi T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ ) = (𝛼(𝑟 − 𝑞 1 𝐸 1 ), 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)(𝛽+𝑞 2 𝐸 2 ) (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 ). Selanjutnya, titik keseimbangan T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ ) yang  dalam  keadaan  stabil asimptotik  tersebut,  dilakukan  perhitungan penerimaan total (TR), menentukan biaya total (TC)  dan  menentukan  keuntungan  maksimal (𝜋) karena terjadinya kegiatan usaha pemanenan. Kemudian, memisalkan unit harga untuk  stok  populasi 𝑁 1 dan  populasi 𝑁 2 dinyatakan  sebagai p 1 dan p 2 .  Biaya  total diasumsikan dengan proporsional hasil tangkapan  dengan  usaha  pemanenan  dengan simbol E 1 dan E 2 dan bentuk koefisien c 1 dan c 2 . Dalam [1], [9] fungsi penerimaan total (TR)
sebagaimana  ditunjukan  dalam  Persamaan
(1.4) berikut ini,
𝑇𝑅 (𝑁 𝑖 ) = 𝑇𝑅 (𝑁 1 ) + 𝑇𝑅 (𝑁 2 ) (1.4) ‘ = 𝑝 1 𝐸 1 𝑁 1 ∗ + 𝑝 2 𝐸 2 𝑁 2 ∗ Langkah selanjutnya, mensubstitusikan nilai 𝑁 1 ∗ dan 𝑁 2 ∗ pada  dalam  persamaan  (1.4)
sehingga diperoleh, 𝑇𝑅 = 𝑝 1 𝐸 1 (𝛼(𝑟 − 𝑞 1 𝐸 1 )) + 𝑝 2 𝐸 2 ( 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)(𝛽+𝑞 2 𝐸 2 ) (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 ) = 𝑝 1 𝐸 1 (𝛼𝑟 − 𝛼𝑞 1 𝐸 1 ) + 𝑝 2 𝐸 2 ( 𝑎 1 𝑟 1 𝛽𝐾+𝑎 1 𝑟 1 𝐾𝑞 2 𝐸 2 −𝑎 1 𝛽𝑟−𝑎 1 𝑟𝑞 2 𝐸 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 ) = 𝑝 1 𝐸 1 (𝛼𝑟 − 𝛼𝑞 1 𝐸 1 ) + 𝑝 2 𝐸 2 ( 𝑎 1 𝑟 1 𝛽𝐾+𝑎 1 𝑟 1 𝐾𝑞 2 𝐸 2 −𝑎 1 𝛽𝑟−𝑎 1 𝑟𝑞 2 𝐸 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 )
Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan
= 𝑝 1 𝐸 1 𝛼𝑟 − 𝑝 1 𝛼𝑞 1 𝐸 1 2 + 𝑝 2 𝑎 1 𝑟 1 𝛽𝐾𝐸 2 +𝑝 2 𝑎 1 𝑟 1 𝐾𝑞 2 𝐸 2 2 −𝑝 2 𝑎 1 𝛽𝑟𝐸 2 −𝑝 2 𝑎 1 𝑟𝑞 2 𝐸 2 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 111
= 𝑝 1 𝐸 1 𝛼𝑟 − 𝑝 1 𝛼𝑞 1 𝐸 1 2 + 𝑝 2 𝑎 1 𝑟 1 𝛽𝐾𝐸 2 −𝑝 2 𝑎 1 𝛽𝑟𝐸 2 +𝑝 2 𝑎 1 𝑟 1 𝐾𝑞 2 𝐸 2 2 −𝑝 2 𝑎 1 𝑟𝑞 2 𝐸 2 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 𝑇𝑅 = 𝑝 1 𝐸 1 𝛼𝑟 − 𝑝 1 𝛼𝑞 1 𝐸 1 2 + 𝑝 2 𝛽𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)𝐸 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 + 𝑝 2 𝑞 2 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)𝐸 2 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 (1.5)
Menurut [1], [6] fungsi biaya total (TC)
dinyatakan sebagai berikut
‘TC= c 1 E 1 c 2 E 2 (1.6)
Dengan  melakukan  substitusi  nilai TR sebagaimana  pada  bentuk  Persamaan  (1.5) dan  substitusi  nilai TC sebagaimana  pada bentuk Persamaan (1.6) ke dalam ( 𝜋 ) maka diperoleh ,
𝜋 = (𝑝 1 𝐸 1 𝛼𝑟 − 𝑝 1 𝛼𝑞 1 𝐸 1 2 + 𝑝 2 𝛽𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)𝐸 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 + 𝑝 2 𝑞 2 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)𝐸 2 2 (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 ) − ( 𝑐 1 𝐸 1 + 𝑐 2 𝐸 2 ) = (𝑝 1 𝛼𝑟 1 − 𝑐 1 )𝐸 1 − 𝑝 1 𝑞 1 𝛼𝐸 1 2 + 𝑝 2 𝛽𝑎 1 ( 𝑟 1 𝐾−𝑟 ) −𝛼𝐾𝑐 2( 𝑚 1 −𝑟 2) ( 𝑚 1 −𝑟 2) 𝛼𝐾 𝐸 2 + 𝑝 2 𝑞 2 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟) ( 𝑚 1 −𝑟 2) 𝛼𝐾 𝐸 2 2 (1.7)
Karena  titik  keseimbangan T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ ) bergantung  pada  usaha  pemanenan  yang dilakukan  maka  fungsi  keuntungan  juga bergantung  dan  didasarkan  pada  kegiatan usaha  pemanenan.  Selanjutnya,  untuk menentukan  keuntungan  maksimal  yang juga  bergantung  pada  usaha  pemanenan, maka  perlu  diketahui  nilai  titik  kritis  (titik puncak) dari kegiatan kegiatan pemanenan. Berdasarkan pada model Persamaan (1.7), di atas  dapat  ditentukan  turunan  pertama berikut,
𝜕𝜋 𝜕𝐸 1 = (𝑝 1 𝛼𝑟 1 − 𝑐 1 )𝐸 1 − 𝑝 1 𝑞 1 𝛼𝐸 1 2
𝜕𝜋 𝜕𝐸 2 = 𝑝 2 𝛽𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)−𝛼𝐾𝑐 2 (𝑚 1 −𝑟 2 ) (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 𝐸 2 + 𝑝 2 𝑞 2 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟) (𝑚 1 −𝑟 2 )𝛼𝐾 𝐸 2 2 (1.8)
Nilai titik kritis dari model Persamaan (1.7) akan  diperoleh  dengan  memisalkan  model Persamaan  (1.8)  dengan  nilai  sama  dengan nol . Sehingga, diperoleh titik kritis
a. Jika 𝜕𝜋 𝜕𝐸 1 = 0 , diperoleh 𝐸 1 = 𝑟 1 −𝑐 1 2𝑞 1 b. Jika 𝜕𝜋 𝜕𝐸 2 = 0 , diperoleh 𝐸 2 =
𝑝 2 𝑎 1 𝛽(𝑟 1 𝐾−𝑟)−𝛼𝐾𝑐 2 (𝑚 1 −𝑟 2 ) 2𝑝 2 𝑞 2 𝑎 1 (𝑟 1 𝐾−𝑟)
Nilai-nilai  usaha  pemanenan E 1 dan E 2 memberikan titik keseimbangan
T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ ) berada  dalam  kondisi  stabil asimptotik dan dapat memberikan keuntungan  maksimal  berdasarkan  hasil eksploitasi  dari  usaha  pemanenan  pada kedua populasi mangsa pemangsa. Adapaun fungsi  keuntungan  pada  kedua  populasi mangsa  pemangsa  sangat  bergantung  pada nilai E 1 dan E 2 dengan keuntungan maksimal selalu terjadi dipuncak permukaan dari suatu fungsi keuntungan. SIMULASI NUMERIK Simulasi numerik dilakukan dengan memisalkan K = 1000, r 1 = 1,5, r = 0.8, r 2 = 0.5, a 1 = 0,4, m 1 = 1,2, p 1 = 0,1, p 2 = 0,3, c 1 = 0,1 , c 2 = 0.2, q 1 = 0,4, q2 = 0.4, 𝛼 = 1,2, b = 0,5 serta pemanenan optimal E 1 = 1.667 , E 2 =  1.084,  sehingga  diperoleh  titik keseimbangan (𝑁 1 = 1,184104369; 𝑁 2 = 0.1678999787) dan  juga  memberikan 𝜋 𝑚𝑎𝑥 = 162.679. Semakin  banyak  usaha pemanenan  yang  dilakukan  maka  semakin banyak keuntungan yang didapatkan.
Namun, jika menginginkan populasi mangsa pemangsa  tetap  lestari  dan  terjaga  (tidak punah),  maka  usaha  pemanenan  dilakukan berdasarkan  prosedur  dan  aturan  yang berlaku,  yaitu  dengan  mempertimbangkan
Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan
kelahiran  populasi  mangsa  pemangsa  dan waku  pelaksanaan  pemanenan  misalkan dilakukan setiap sekali seminggu.
Dengan  melakukan  linearisasi  linearisasi model,  diperoleh  persamaan  karakteristik 𝑓(𝜆) = 𝜆 2 + 0.07266918928𝜆 +
0.05486989492 . Dari persamaan karakteristik diperoleh p 0 =
0.05486989492 dan p 1 = 0.07266918928 . Karena 𝑝 0 , 𝑝 1 > 0 maka berdasarkan
kriteria  uji  kestabilan  Hurwitz  maka  titik
T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ ) stabil  asimptotik.  Pada Gambar  (3)  dan  Gambar  (4)  berikut, meunjukan bahwa kestabilan perilaku kurva solusi  kedua  populasi  mangsa  pemangsa terhadap  waktu  (dalam  tahun),  berada disekitar titik keseimbangan untuk nilai awal 𝑁 1 (0)= 1.189 dan 𝑁 2 (0)= 0.168.
Gambar  (3).  Bentuk  kurva  solusi  populasi mangsa pemangsa Gambar  (4).  Bentuk  kurva  solusi  populasi mangsa pemangsa IV. KESIMPULAN DAN SARAN Hasil  kajian  menunjukan  bahwa model mangsa pemangsa yang
mengikuti tipe Holling III dengan usaha pemanenan pada kedua populasi tersebut diperoleh  titik  interior T 𝐸 2 ∗ (𝑁 1 ∗ , 𝑁 2 ∗ )
stabil  asimptotik  yang  berdasarkan kriteria kestabilan Hurwitz test. Selanjutnya,  juga  diperoleh  keuntungan maksimal  berdasarkan  kegiatan  usaha pemanenan pada populasi spesies mangsa  pemangsa.  Meskipun  terjadi dieksploitasi  dengan  kegiatan  usaha pemanenan  kedua  spesies  populasi mangsa  pemangsa  tersebut  akan  tetap eksis  dan  bertahan  hidup  (tetap  lestari). Kegiatan  pemanenan  yang  dilakukan memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar 𝜋 𝑚𝑎𝑥 = 162.678 dimungkinkan terjadi  dipuncak  (titik  kritis)  dari
permukaan  suatu  fungsi  keuntungan. Adapun saran bagi penelitian berikutnya yaitu  dengan  menambahkan  beberapa asumsi-asumsi  seperti  pengaruh  waktu tunda  dalam  mengamati  perubahan dinamika  populasi  mangsa  pemangsa dari waktu ke waktu.
V. DAFTAR PUSTAKA/REFERENSI
[1] S.  Toaha, Pemodelan  Matematika dalam Dinamika Populasi . Makassar:  Penerbit  Dua  Satu  Press, 2013.
[2] R.  P.  M.  Agarwal,  “No  Title Persistence and optimal harvesting of prey-predator  model  with  Holling Type III functional response,” Int. J. Eng. Sci. Technol. , vol. 4, no. 3, pp. 78–96, 2012.
[3] B.  Dubey,  S.  Agarwal,  and  A. Kumar,  “Optimal  harvesting  policy of  a  prey–predator  model  with
Analisis Kestabilan dan Usaha Pemanenan Model Predator Prey Tipe Holling III dengan Keuntungan Maksimum Didiharyono dan Muh. Irwan
Crowley–Martin-type functional response  and  stage  structure  in  the predator,” Nonlinear  Anal.  Model. Control , vol. 23, no. 4, pp. 493–514, 2018.
[4] T.  K.  Kar,  “Stability  analysis  of  a prey–predator model incorporating a prey  refuge,” Commun.  Nonlinear
Sci. Numer. Simul. , vol. 10, pp. 681– 691, 2005.
[5] X.  Zhang,  R.  Xu,  and  Q.  Gan,
“Periodic  solution  in  a  delayed predator  prey  model  with  Holling type  III  functional  response  and harvesting  term,” World  J.  Model. Simul. , vol. 7, no. 1, pp. 70–80, 2011.
[6] S.  Toaha,  M.  Hj,  and  A.  Hassan, “Qualitative  analysis  of  a  harvested predator-prey  system  with  Holling type  III  functional  response,”
Elsevier , vol. 2, no. 2, pp. 147–159, 2018.
[7] Q.  Jiang  and  J.  Wang,  “Qualitative analysis of a harvested predator-prey system  with  Holling  type  III functional  response,” Adv.  Differ.
Equations , vol. 2013, pp. 1–14, 2013.
[8] X.  Liu  and  Y.  Xing,  “Qualitative analysis  for  a  predator  prey  system with  holling  type  III  functional response  and  prey  refuge,” Discret.
Dyn. Nat. Soc. , vol. 2012, 2012.
[9] D.  Didiharyono,  “Stability  Analysis Of  One  Prey  Two  Predator  Model With  Holling  Type  Iii  Functional
Response  And  Harvesting,”  vol.  1, no. 2, pp. 50–54, 2016.
[10] J. Zhao, M. Zhao, and H. Yu, “Effect of Prey Refuge on the Spatiotemporal  Dynamics  of  a Modified  Leslie-Gower  Predator-
Prey  System  with  Holling  Type  III Schemes,” Entropy ,  vol.  15,  no.  12, pp. 2431–2447, 2013.