Handling of Overdispersion in the Poisson Regression Model with Negative Binomial for the Number of New Cases of Leprosy in Java *
Penanganan Overdispersi pada Model Regresi Poisson dengan Binomial Negatif untuk Jumlah Kasus Baru Kusta di Jawa
Yopi Ariesia Ulfa 1 , Agus M Soleh 2‡ , and Bagus Sartono 3
1 Badan Pusat Statistik, Indonesia
2,3 Department of Statistics, IPB University, Indonesia
‡ corresponding author: agusms@apps.ipb.ac.id
Copyright © 2021 Yopi Ariesia Ulfa, Agus M Soleh, and Bagus Sartono.  This is an open-access article distributed  under  the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
Based on data from the Directorate General of Disease Prevention and Control of the  Ministry  of  Health  of  the  Republic  of  Indonesia,  in  2017,  new  leprosy  cases  that emerged  on  Java  Island  were  the  highest  in  Indonesia  compared  to  the  number  of events on other islands. The purpose of this study is to compare Poisson regression to a negative binomial regression model to be applied to the data on the number of new cases of leprosy and to find out what explanatory variables have a significant effect on the number of new cases of leprosy in Java. This study's results indicate that a negative binomial  regression  model  can  overcome  the  Poisson  regression  model's overdispersion.  Variables  that  significantly affect  the  number  of new  cases of  leprosy based  on  the  results  of  negative  binomial  regression  modeling  are  total  population, percentage of children under five years who had immunized with BCG, and percentage of the population with sustainable access to clean water.
Keywords : leprosy, negative binomial regression, overdispersion, poisson regression.
* Received: Jan 2020; Reviewed: Jan 2021; Published: March 2021

## 1.  Pendahuluan
Kusta adalah penyakit yang disebabkan oleh infeksi Mycobacterium leprae . Penyakit ini menyerang berbagai bagian tubuh diantaranya kulit dan saraf. Bila tidak ditangani, kusta dapat sangat progresif menyebabkan kerusakan pada kulit, saraf-saraf, anggota gerak,  dan  mata.  Tidak  seperti  mitos  yang  beredar  di  masyarakat,  kusta  tidak menyebabkan  pelepasan  anggota  tubuh  yang  begitu  mudah  seperti  pada  penyakit tzaraath yang digambarkan dan sering disamakan dengan kusta.
Berdasarkan Weekly Epidemiological Report WHO pada September 2016, jumah kasus  baru  kusta  di  dunia  paling  banyak  terdapat  di  regional  Asia  Tenggara,  diikuti regional Amerika dan Afrika. Jumlah kasus baru kusta pada negara-negara di regional Asia  Tenggara  semakin  meningkat  sejak  2011.  Walaupun  secara  global  terjadi penurunan  jumlah  kasus  baru  kusta,  namun  pada  beberapa  negara  seperti Bangladesh,  Kongo,  Ethiopia,  India,  dan  Indonesia  justru  mengalami  peningkatan kasus  baru.  Selain  itu,  Mozambique  yang  pada  tahun  2013  dan  2014  sudah  tidak memiliki kasus baru, kembali memiliki jumlah kasus baru kusta di tahun 2015 sebanyak 1.335 kasus.
Berdasarkan  data  dari  Ditjen  Pencegahan  dan  Pengendalian  Penyakit Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, pada tahun 2017 kasus baru kusta yang muncul di Pulau Jawa merupakan yang paling tinggi di Indonesia apabila dibandingkan dengan  jumlah  kejadian  di  pulau-pulau  lainnya.  Untuk  itu  peneliti  memiliki keingintahuan  untuk  menelaah  masalah  faktor-faktor  apa  saja  yang  mempengaruhi munculnya  kasus  baru  kusta  di  Pulau  Jawa  (meliputi  seluruh  provinsi  yang  ada  di Pulau  Jawa  yakni  DKI  Jakarta,  Jawa  Barat,  Jawa  Tengah,  DIY,  Jawa  Timur,  dan Banten).
Untuk meneliti data kasus baru kusta dibutuhkan teknik analisis yang sesuai. Ketika peubah  respon  berupa  data  cacahan  yaitu  data  yang  nilainya  non  negatif  dan menyatakan banyaknya kejadian dalam interval waktu, ruang, atau volume tertentu, analisis  regresi  yang  biasa  digunakan  adalah  analisis  regresi  Poisson  (Cameron  & Trivedi, 2013).
Beberapa asumsi yang harus dipenuhi jika hendak menggunakan model Regresi Poisson  yaitu  peubah  respon  merupakan  data  cacah  dan  asumsi  kedua  yaitu terpenuhinya kondisi ekuidispersi atau rata-rata peubah respon harus sama dengan ragamnya  (Dobson  &  Barnett,  2002).  Namun  dalam  analisis  data  diskrit  dengan menggunakan  model  Regresi  Poisson  terkadang  terjadi  pelanggaran  asumsi equidispersi tersebut. Dalam model regresi linier klasik pelanggaran asumsi tersebut dinamakan pelanggaran asumsi homoskedastisitas (Cameron & Trivedi, 2013).
Ada kalanya nilai rata-rata peubah respon tidak sama dengan ragamnya. Apabila dugaan  ragam  lebih  besar  dari  rata-ratanya  maka  kondisi  tersebut  disebut overdispersi. Sebaliknya jika dugaan ragam lebih kecil dari rata-ratanya maka kondisi tersebut  dinamakan  underdispersi.  Menurut  Giuffrè  et  al.  (2011),  kondisi  yang  lebih sering  terjadi  pada  data  Poisson  adalah  kondisi  overdispersi.  Kondisi  underdispersi sangat jarang dijumpai.
Munculnya  kondisi  overdispersi  menjadikan  regresi  Poisson  kurang  cocok diterapkan  untuk  analisis.  Salah  satu  teknik  analisis  regresi  yang  dapat  diterapkan yaitu  regresi  binomial  negatif  karena  pada  regresi  ini  tidak  membutuhkan  asumsi ekuidispersi (Mann et al., 2014). Metode regresi binomial negatif dapat memodelkan
data  yang  mengalami  overdispersi  tanpa  harus  menghilangkan  kondisi  overdispersi dari data tersebut.
Penelitian mengenai data kusta dengan regresi Poisson antara lain dilakukan oleh Aini (2013), Dzikrina & Purnami (2013), Shovalina & Atok (2016), serta Arfidina et al. (2017). Tujuan penelitian ini adalah untuk membandingkan model regresi Poisson dan regresi binomial negatif yang lebih tepat diterapkan pada data jumlah kasus baru kusta dan mengetahui peubah penjelas apa saja yang berpengaruh secara nyata terhadap jumlah kasus baru kusta di Pulau Jawa.

## 2. Metodologi

## 2.1  Bahan dan Data
Sumber data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari Profil Kesehatan Tahun 2017 dari Dinas Kesehatan seluruh provinsi di Pulau Jawa dan publikasi Daerah Dalam Angka Tahun 2018 dari BPS Provinsi di Pulau Jawa. Unit pengamatan yang digunakan adalah  seluruh  kabupaten/kota  di  Pulau  Jawa  tahun  2017  yang  ada  sebanyak  119 kabupaten/kota. Peubah-peubah yang digunakan dalam penelitian ini disajikan pada Tabel 1. Pemilihan peubah penjelas didasarkan pada penelitian-penelitian yang telah dilakukan  sebelumnya  yaitu  peubah-peubah  penjelas  yang  berpengaruh  terhadap jumlah kasus kusta.
Tabel 1: Peubah-peubah yang digunakan dalam penelitian. Peubah Satuan Sumber Data Jumlah kasus baru kusta (Y) Kasus Publikasi Profil Kesehatan Tahun 2017 Jumlah penduduk (X 1 ) Ribu Jiwa  Publikasi Daerah Dalam Angka 2018 Persentase balita yang diimunisasi BCG (X 2 ) Ribu Jiwa/Km 2 Publikasi Daerah Dalam Angka 2018 Persentase rumah tangga berperilaku hidup bersih dan sehat (X 3 ) Ribu Rumah tangga Publikasi Profil Kesehatan Tahun 2017 Persentase rumah sehat (X 4 ) Ribu Rumah Publikasi Profil Kesehatan Tahun 2017 Persentase jumlah penduduk dengan akses air minum layak (X 5 ) Persen Publikasi Profil Kesehatan Tahun 2017 Persentase jumlah penduduk dengan sanitasi layak (X 6 ) Persen Publikasi Profil Kesehatan Tahun 2017 Rata-rata sarana kesehatan per desa/kelurahan (X 7 ) Sarana/ desa Publikasi Daerah Dalam Angka 2018 Rata-rata tenaga kesehatan per desa/kelurahan (X 8 ) Orang/ desa Publikasi Daerah Dalam Angka 2018

## 2.2  Metode Penelitian
Analisis dan pemodelan dilakukan menggunakan  program statistika R 3.6.2 dengan paket MASS. Adapun tahapan analisis data yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.  Melakukan pengumpulan data dari berbagai sumber.
2.  Melakukan eksplorasi data untuk mendapatkan gambaran dan informasi tentang perubah respon maupun peubah penjelas yang digunakan. Untuk memudahkan dalam mendeskripsikannya, dilakukan pengelompokan kabupaten/kota. Pengelompokan dilakukan dengan membagi menjadi dua kelas yaitu rendah dan tinggi dengan mengguanakan batas nilai rataan setiap peubah.
3.  Memeriksa asumsi multikolinearitas antara peubah penjelas. Jika di antara peubah penjelas tidak  saling bebas atau memiliki  hubungan linier maka  terindikasi  adanya  multikolinearitas.  Multikolinearitas  salah  satunya  dapat dideteksi dari nilai Variance Inflation Factor (VIF). Nilai VIF dihitung dengan rumus: 𝑉𝐼𝐹 𝑗 = 1 (1−𝑅 𝑗 2 ) dengan 𝑅 𝑗 2 adalah  nilai  koefisien  determinasi  (ukuran  keeratan  antar  peubah penjelas) atau R 2 ketika X j diregresikan dengan peubah penjelas selain X j.
Akibat  dari  munculnya  masalah  multikolinear  ini  adalah  ragam  estimasi  menjadi besar.
4.  Melakukan pemodelan regresi Poisson dengan persamaan model:
𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝜂 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘 = 𝒙 𝒊 ′ 𝜷 dimana 𝑔(𝜇 𝑖 ) = ln(𝜇 𝑖 ) = 𝒙 𝒊 ′ 𝜷 dan 𝑔(𝜇 𝑖 ) merupakan fungsi hubung log. Pendugaan parameter  regresi  Poisson  dilakukan  menggunakan  metode  Pendugaan Kemungkinan Maksimum (PKM) dengan fungsi log-likelihood sebagai berikut:
ln 𝐿(𝜷; 𝒚) = ∑ 𝑦 𝑖 ln(𝜇 𝑖 ) − ∑ 𝜇 𝑖 𝑛 𝑖=1 − ∑ ln⁡(𝑦 𝑖 !) 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1
Untuk menduga koefisien parameter dilakukan dengan melakukan turunan parsial fungsi  logaritma  natural  likelihood  terhadap  parameter  yang  akan  diduga  dan diiterasikan dengan menggunakan metode iterasi Newton-Raphson .
5.  Menghitung  nilai  koefisien  dispersi  untuk  mengidentifikasi  overdispersi. Pemeriksaan overdispersi ini bisa didapat dari nilai devian atau dispersi Pearson Chi-Square yang  dibagi  dengan  derajat  bebasnya.  Jika  nilainya  >  1  maka terindikasi  adanya  overdispersi.  Jika  terjadi  overdispersi  kemudian  dilanjutkan dengan pemodelan regresi binomial negatif.
Nilai Pearson Chi-Square didapatkan dari persamaan berikut:
𝜒 2 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 ) 2
𝑦̂ 𝑖 𝑛 𝑖=1
dengan 𝜒 2 : nilai Pearson Chi-Square , 𝑦 𝑖 : nilai aktual respon amatan ke-i, dan 𝑦̂ 𝑖 : nilai dugaan respon amatan ke-i.
Sedangkan untuk menghitung nilai devian digunakan persamaan:
𝐷 = 2 ∑ (𝑦 𝑖 ⁡𝑙𝑛 ( 𝑦 𝑖 𝑦̂ 𝑖 ) − (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 ))
𝑛
𝑖=1 dengan D: nilai devian, 𝑦 𝑖 : nilai aktual respon amatan ke-i, 𝑦̂ 𝑖 : nilai dugaan respon amatan ke-i.
6.  Melakukan pemodelan regresi binomial negatif.dengan persamaan model: 𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝜂 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘 = 𝒙 𝒊 ′ 𝜷 dimana 𝑔(𝜇 𝑖 ) = ln(𝜇 𝑖 ) = 𝒙 𝒊 ′ 𝜷 dan 𝑔(𝜇 𝑖 ) merupakan fungsi hubung log. Pendugaan parameter pada model regresi binomial negatif menggunakan metode Pendugaan Kemungkinan  Maksimum,  yaitu  dengan  memaksimumkan  fungsi  likelihood  dari distribusi binomial negatif. Fungsi likelihood dari distribusi binomial negatif adalah:
ln 𝐿(𝑦; 𝜇, 𝛼) = ∑ 𝑦 𝑖 𝑙𝑛 ( 𝛼𝜇 1 + 𝛼𝜇 ) 𝑛 𝑖=1 − 1 𝛼 𝑙𝑛(1 + 𝛼𝜇) + 𝑙𝑛Γ (𝑦 𝑖 + 1 𝛼 ) − 𝑙𝑛Γ(𝑦 𝑖 + 1) − 𝑙𝑛Γ ( 1 𝛼 )
Untuk  menyelesaikan  persamaan  ini  melalui  iterasi  menggunakan  metode Newton-Raphson untuk mendapatkan dugaan parameter regresinya.
7.  Menentukan  model  terbaik  di  antara  model  yang  terbentuk  dari  regresi  Poisson dan  regresi  Binomial  Negatif  dengan  kriteria  nilai Akaike’s  Information  Criterion (AIC) dan Bayesian Information Criterion (BIC).
AIC dirumuskan sebagai berikut:
𝐴𝐼𝐶 = 2𝑘 − 2log⁡(𝐿) , dengan 𝑘 adalah banyaknya parameter penduga pada model dan 𝐿 merupakan fungsi Likelihood dari model .
Sedangkan nilai BIC dihitung dengan menggunakan rumus:
𝐵𝐼𝐶 = −2log⁡(𝐿) + 𝑘 ln(𝑛) ,  dengan 𝐿 merupakan  fungsi  Likelihood  dari  model, 𝑘 adalah banyaknya parameter dalam  model, dan 𝑛 adalah banyaknya observasi. Model  dengan  nilai  AIC  dan  BIC  lebih  kecil  dipilih  sebagai  model  terbaik  untuk data .

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Gambaran Umum Data
Demi  mempermudah  dalam  mendeskripsikan  data  dilakukan  pengelompokkan. Kementerian  Kesehatan  Republik  Indonesia  mengelompokkan  provinsi  berdasarkan bebannya  menjadi  dua  kelompok  yaitu  beban  kusta  tinggi  ( high  burden )  dan  beban kusta  rendah  ( low  burden ).  Suatu  provinsi  disebut  memiliki  beban  kusta  tinggi  jika jumlah kasus baru kusta di provinsi tersebut >1000 kasus. Namun jika jumlah kasus baru  kusta  <1000  maka  disebut  memiliki  beban  kusta  rendah  (PUSDATIN,  2018). Provinsi  Jawa  Barat,  Jawa  Tengah,  dan  Jawa  Timur  merupakan  provinsi  dengan beban  kusta  tinggi  di  Pulau  Jawa,  dengan  jumlah  kasus  baru  kusta  masing-masing sebanyak  1994,  1918,  dan  3880  kasus.  Sedangkan  Provinsi  DKI  Jakarta,  DI Yogyakarta, dan Banten masuk kategori provinsi dengan beban kusta rendah.
Selain pengelompokkan provinsi, pada peubah jumlah kasus kusta juga dilakukan pengelompokkan kabupaten/kota. Suatu kabupaten/kota yang memiliki jumlah kasus kusta yang lebih kecil dari nilai rataan akan dimasukkan ke dalam kelas rendah dan sebaliknya  akan  dimasukkan  ke  kelas  tinggi  (jika  jumlah  kasus  kusta  lebih  dari  nilai rataannya). Pembagian kelas rendah  dan tinggi pada peubah respon (jumlah kasus baru kusta) menggunakan batas nilai rataan jumlah kasus baru kusta di Pulau Jawa yakni sebesar 76,59 kasus. Hasil pengelompokkan ditunjukkan pada Gambar 1. Dari Gambar 1 disimpulkan bahwa sebagian besar kabupaten/kota di Pulau Jawa memiliki jumlah  kasus  baru  kusta  rendah.  Bahkan  ada  5  kabupaten/kota  yang  tidak  memiliki kasus  baru  kusta  yakni  Kabupaten  Kulon  Progo,  Kabupaten  Sleman,  dan  Kota Yogyakarta di Provinsi DI Yogyakarta, Kota Banjar di Jawa Barat serta Kota Madiun di Jawa Timur. Pada tahun 2017, jumlah kasus baru kusta di Pulau Jawa paling banyak terjadi di Kabupaten Sumenep, Jawa Timur yakni sebanyak 463 kasus.
Gambar 1: Pengelompokan kabupaten/kota ke dalam kelas rendah dan tinggi berdasarkan jumlah baru kusta.
Pengelompokkan  juga  dilakukan  pada  peubah  penjelas  yang  akan  digunakan dalam pemodelan. Setiap peubah penjelas dikelompokkan juga menjadi kelas rendah (lebih kecil dari nilai rataan peubah tersebut) dan kelas tinggi (jika nilainya lebih dari nilai  rataannya).  Hasil  pengelompokkan  delapan  peubah  penjelas  ditunjukkan  pada Gambar 2.
Sebagaimana tersaji dalam Gambar 2 tepatnya dalam batang X1, terlihat bahwa sebagian besar kabupaten/kota memiliki jumlah penduduk yang tergolong rendah. Hal ini  diakibatkan  penggunaan  nilai  rataan  sebagai  batas  kelas,  dimana  nilai  rataan rentan  terhadap  adanya  pencilan.  Peubah  jumlah  penduduk  (X 1 )  memiliki  nilai minimum sebesar 23,90 ribu orang (Kab. Kep. Seribu) dan nilai maksimum sebesar 5715 ribu orang (Kabupaten Bogor).
Untuk  peubah  persentase  balita  yang  telah  diimunisasi  BCG  (X 2 ),  dapat  dilihat dalam Gambar 2 bahwa sebagian besar balita di Pulau Jawa telah diimunisasi BCG. Nilai rataan peubah ini pun tergolong tinggi yaitu sebesar 92,93 persen. Diharapkan dengan tingginya persentase balita yang telah diimunisasi BCG ini akan memberikan kekebalan komunal terhadap penyakit kusta di kemudian hari, sehingga jumlah kasus kusta dapat menurun.
Peubah persentase rumah tangga yang berperilaku hidup bersih dan sehat (PHBS) didapatkan dari jumlah rumah tangga yang melaksanakan 10 indikator PHBS dibagi dengan rumah tangga yang dipantau. Sepuluh indikator tersebut adalah pertolongan persalinan  oleh  tenaga  kesehatan;  bayi  diberi  ASI  eksklusif;  balita  ditimbang  setiap bulan;  menggunakan  air  bersih;  mencuci  tangan  dengan  air  bersih  dan  sabun; menggunakan jamban sehat; memberantas jentik di rumah sekali seminggu; makan sayur dan buah setiap hari; melakukan aktifitas fisik setiap hari; dan tidak merokok di dalam rumah. Peubah persentase rumah tangga berperilaku hidup bersih dan sehat (X 3 )  menggunakan  batas  kelas  62,97.  Pada  batang  X3  di  Gambar  2  menampilkan kelas  tinggi  dan  rendah  hampir  seimbang.  Kabupaten/kota  yang  masuk  ke  kelas rendah  sebanyak  47,90  persen  dan  kelas  tinggi  sebesar  52,10  persen.  Persentase rumah  tangga  berperilaku  hidup  bersih  dan  sehat  paling  banyak  dimiliki  oleh  Kota Magelang 97,25%, dan terendah dimiliki oleh Kab. Probolinggo sebesar 24,22%.
Rumah Sehat adalah bangunan rumah tinggal yang memenuhi syarat kesehatan yang  terdiri  dari  komponen  rumah,  sarana  sanitasi  dan  perilaku  antara  lain  yaitu
memiliki  jamban  sehat,  tempat  pembuangan  sampah,  sarana  air  bersih,  sarana pembuangan  air  limbah,  ventilasi  baik,  kepadatan  hunian  rumah  sesuai  dan  lantai rumah  tidak  dari  tanah.  Peubah  persentase  rumah  sehat  (X 4 )  menggunakan  batas kelas  sebesar  72,90.  Sebagian  besar  kabupaten/kota  di  Pulau  Jawa  masuk  dalam kategori jumlah rumah sehat yang tinggi. Kota Magelang memiliki persentase rumah sehat  yang  paling  tinggi  di  Pulau  Jawa,  sedangkan  persentase  rumah  sehat  paling sedikit dimiliki oleh Kab. Sampang.
Salah  satu  target  dalam  tujuan  pembangunan  berkelanjutan  ( Sustainable Development  Goals /SDGs)  pada  sektor  lingkungan  hidup  adalah  memastikan masyarakat mencapai akses universal air bersih dan sanitasi yang layak. Pemenuhan kebutuhan  air  minum  di  rumah  tangga  dapat  diukur  dari  akses  air  minum  layak, beberapa  faktor  yang  berpengaruh  terhadap  akses  air  minum  layak,  diantaranya adalah jenis sumber air utama yang digunakan untuk diminum; jenis sumber air utama yang  digunakan  untuk  memasak,  mandi,  dan  mencuci;  dan  jarak  sumber  air  ke penampungan limbah/kotoran/tinja terdekat ≥ 10 meter. Peubah persentase penduduk yang  memiliki  akses  air  bersih  (X 5 )  menggunakan  batas  kelas  sebesar  77,05. Sebagian besar kabupaten/kota digolongkan dalam kelas yang tinggi.
Definisi sanitasi menurut WHO merujuk kepada penyediaan sarana dan pelayanan pembuangan limbah korotan manusia seperti urine dan faeces . Definisi rumah tangga yang  memiliki  akses  sanitasi  layak  adalah  apabila  fasilitas  sanitasi  yang  digunakan memenuhi syarat kesehatan, antara lain dilengkapi  dengan  jenis kloset leher angsa atau  plengsengan  dengan  tutup  dan  memiliki  tempat  pembuangan  akhir  tinja  tangki ( septic  tank )  atau  Sistem  Pengolahan  Air  Limbah  (SPAL),  dan  merupakan  fasilitas buang  air  besar  yang  digunakan  sendiri  atau  bersama.  Persentase  penduduk  yang memiliki akses terhadap fasilitas sanitasi layak (jamban sehat) paling banyak berada di  Kota  Bekasi  dan  paling  sedikit  berada  di  Kabupaten  Lebak.  Peubah  persentase penduduk  dengan  sanitasi  layak  (X 6 )  menggunakan  batas  kelas  sebesar  75,15. Sebagian besar kabupaten/kota masuk dalam kategori tinggi.
Gambar 2: Pengelompokan kabupaten/kota ke dalam kelas rendah dan tinggi menurut peubah penjelas.
Peubah  rataan  fasilitas  kesehatan  per  desa  (X 7 )  menggunakan  batas  kelas sebesar  9,01.  Sedangkan  peubah  rataan  tenaga  kesehatan  per  desa  (X 8 )
menggunakan  batas  kelas  sebesar  25,99.  Pada  Gambar  2  nampak  bahwa  pada batang  milik  X 8 dan  X 9 ,  hanya  sedikit  kabupaten/kota  yang  masuk  kategori  tinggi. Wilayah  yang  memiliki  rataan  fasilitas  kesehatan  paling  tinggi  adalah  Kota  Jakarta Pusat dan paling kecil ada di Kabupaten Gunung Kidul. Wilayah dengan rataan tenaga kesehatan paling tinggi adalah Kota Jakarta Utara dan paling kecil ada di Kabupaten Pandeglang.
Gambar 3 menyajikan diagram pencar dari masing-masing peubah penjelas yang akan digunakan dalam pemodelan dengan peubah respon jumlah kasus baru kusta. Dengan  melihat  diagram  tersebut  dapat  mempermudah  dalam  menganalisa bagaimana  pola  hubungan  antara  peubah  respon  dengan  masing-masing  peubah penjelas.  Bentuk  hubungan  yang  diharapkan  dalam  penelitian  ini  adalah  hubungan yang linier. Selain untuk melihat pola hubungan, diagram pencar juga dapat digunakan untuk mengobservasi keberadaan nilai pencilan.
Gambar 3: Diagram pencar jumlah kasus baru kusta dan faktor-faktor yang mempengaruhinya.

## 3.2  Pengujian Multikolinearitas
Sebelum  melakukan  analisis  menggunakan  metode  regresi,  dilakukan  pengujian multikolinearitas  untuk  mengetahui  apakah  di  antara  peubah  penjelas  memiliki hubungan yang tinggi. Gambar 4 menunjukkan korelasi antar peubah penjelas yang akan diterapkan dalam model. Terlihat bahwa beberapa peubah memiliki korelasi yang cukup tinggi (ditunjukkan dari ketipisan dan kegelapan warna di dalam kotak). Namun tidak  ada  yang  berbentuk  sangat  tipis  seperti  garis  miring  (nilai  koefisien  korelasi mendekati  1),  yang  menandakan  di  antara  kesembilan  peubah  penjelas  yang  akan digunakan dalam model tidak ada yang memiliki korelasi yang sangat tinggi.
Untuk  mendeteksi  adanya  multikolinearitas  selain  dengan  menggunakan  nilai koefisien  korelasi,  dapat  digunakan  pula  kriteria  nilai  VIF.  Multikolinearitas  menjadi masalah yang serius jika nilai VIF yang diperoleh lebih besar dari sepuluh  (VIF > 10). Tabel 2 menampilkan  nilai VIF setiap peubah  penjelasnya. Berdasarkan  nilai dalam Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa tidak ada pengaruh besar multikolinearitas karena semua nilai VIF dari  peubah  penjelas  X 1 sampai X 8 kurang dari sepuluh (VIF < 10). Dengan demikian dalam penelitian ini seluruh peubah penjelas dapat digunakan dalam pemodelan regresi Poisson dan regresi binomial negatif.
Gambar 4: Diagram korelasi antar peubah penjelas.
Tabel 2: Nilai VIF peubah penjelas. Peubah VIF X 1 1,397 X 2 1,383 X 3 1,268 X 4 1,482 X 5 1,530 X 6 2,078 X 7 2,700 X 8 2,424

## 3.3 Model Regresi Poisson
Data jumlah kasus baru kusta diasumsikan berdistribusi Poisson karena  merupakan data cacah. Model regresi Poisson dengan sembilan peubah penjelas menghasilkan dugaan parameter yang disajikan dalam Tabel 3. Persamaan model regresi Poisson yang diperoleh adalah sebagai berikut:
𝜂 𝑖 = 10,360 + 4,021 × 10 −4 𝑥 1 − 5,687 × 10 −2 𝑥 2 + ⁡2,274 × 10 −3 𝑥 3 − ⁡4,924 × 10 −3 𝑥 4 − 1,759 × 10 −2 𝑥 5 + 5,019 × 10 −3 𝑥 6 − 1,664 × 10 −2 𝑥 7 − 4,450 × 10 −3 𝑥 8 (1)
Setelah  didapatkan  nilai  estimasi  parameter  model  regresi  Poisson  maka selanjutnya  dilakukan  pengujian  parameter  secara  serentak  dan  parsial.  Pengujian
parameter  model  regresi  Poisson  secara  serentak  bertujuan  untuk  menguji  apakah peubah penjelas secara bersama-sama memiliki pengaruh signifikan terhadap peubah respon.    Dari  hasil  pengolahan,  nilai deviance yang  diperoleh  sebesar  6280.  Taraf signifikansi yang digunakan yaitu 0,05 sehingga nilai 𝜒 (0.05;9) 2 sebesar 16,91898. Hal ini menunjukkan bahwa nilai deviance lebih besar dari nilai 𝜒 (0.05;9) 2 , sehingga diperoleh kesimpulan  bahwa  minimal  terdapat  satu  peubah  penjelas  yang  berpengaruh signifikan terhadap peubah respon.
Tabel 3: Nilai dugaan parameter model Regresi Poisson.
Parameter Nilai dugaan Galat baku Z hitung Nilai p 𝛽 0 ⁡( Intersep) 10,360  1,340 x 10 -1 77,328 < 2 x 10 -16* 𝛽 1 4,021 x 10 -4 1,077 x 10 -5 37,343 < 2 x 10 -16* 𝛽 2 -5,687 x 10 -2 1,505 x 10 -3 -37,788 < 2 x 10 -16* 𝛽 3 2,274 x 10 -3 8,147 x 10 -4 2,792 0,005 * 𝛽 4 -4,924 x 10 -3 7,668 x 10 -4 -6,422 1,340 x 10 -10* 𝛽 5 -1,759 x 10 -2 1,081 x 10 -3 -16,264 < 2 x 10 -16* 𝛽 6 5,019 x 10 -3 9,894 x 10 -4 5,073 3,920 x 10 -7* 𝛽 7 -1,664 x 10 -2 3,324 x 10 -3 -5,006 5,570 x 10 -7* 𝛽 8 -4,450 x 10 -3 5,846 x 10 -4 -7,612 2,710 x 10 -14* 𝛽 9 10,360  1,340 x 10 -1 77,328 < 2 x 10 -16*
Keterangan: *signifikan pada taraf nyata 5%
Selanjutnya dilanjutkan pada pengujian secara parsial untuk mengetahui peubah mana  saja  yang  terbukti  secara  nyata  mempengaruhi  jumlah  kasus  baru  kusta. Pengujian  parameter  secara  parsial  dapat  dilihat  dari  nilai  p.  Tabel  3  menunjukkan bahwa seluruh peubah bebas X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 , X 7 , dan X 8 memiliki nilai p yang lebih kecil dari 𝛼 = 0.05 ,artinya seluruh peubah bebas X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 , X 7 , dan X 8 memiliki pengaruh yang signifikan terhadap jumlah kasus baru kusta.
Untuk  menginterpretasikan  model  regresi  Poisson  yang  diperoleh  digunakanlah nilai rasio odd dari masing-masing koefisien, yang dijabarkan sebagai berikut:
• 𝛽̂ 1 = 4,021 × 10 −4 ;  artinya  untuk  setiap  penambahan  seribu  orang  penduduk akan  meningkatkan  rata-rata  jumlah  kasus  baru  kusta  sebesar (𝑒 4,021×10 −4 −
1) × 100% = 0,04021% dengan asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 2 = −5,687 × 10 −2 ;  peubah  persentase  balita  yang  diimunisasi  BCG  memiliki koefien regresinya bertanda negatif maka untuk setiap penambahan persentase balita  yang  diimunisasi  BCG  sebesar  1%  akan  menurunkan  rata-rata  jumlah kasus baru kusta sebesar (1 − 𝑒 −5,687×10 −2 ) × 100% = 5,52831% dengan asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 3 = 2,274 × 10 −3 ; artinya untuk setiap penambahan persentase rumah tangga berperilaku  hidup  bersih  dan  sehat  sebesar  1%  akan  meningkatkan  rata-rata jumlah kasus baru kusta sebesar (𝑒 2,274×10 −2 − 1) × 100% = 2,30005% dengan asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 4 = −4,924 × 10 −3 ; artinya untuk setiap penambahan persentase rumah sehat sebesar 1% akan mengakibatkan penurunan rata-rata jumlah kasus baru kusta sebesar (1 − 𝑒 −4,924×10 −3 ) × 100% = 0,49119% dengan  asumsi  peubah  lain tetap.
• 𝛽̂ 5 = −1,759 × 10 −2 ;  artinya  untuk  setiap  penambahan  persentase  penduduk dengan  akses  air  bersih  berkelanjutan  sebesar  1%  akan  mengakibatkan  rata- rata  jumlah  kasus  baru  kusta  menurun  sebesar (1 − 𝑒 −4,924×10 −3 ) × 100% = 0,49119% dengan asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 6 = 5,019 × 10 −3 ;  artinya  untuk  setiap  penambahan  persentase  penduduk dengan  sanitasi  layak  sebesar  1%  akan  meningkatkan  rata-rata  jumlah  kasus baru  kusta  sebesar (𝑒 5,019×10 −3 − 1) × 100% = 0,50316% dengan  asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 7 = −1,664 × 10 −2 ; artinya untuk setiap penambahan rataan fasilitas kesehatan sebanyak 1 unit per desa akan mengakibatkan penurunan rata-rata jumlah kasus baru  kusta  sebesar (1 − 𝑒 −1,664×10 −2 ) × 100% = 1,65023% dengan  asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 8 = −4,450 × 10 −3 ; artinya untuk setiap penambahan rataan tenaga kesehatan sebanyak  1  orang  per  desa  akan  mengakibatkan  rata-rata  jumlah  kasus  baru kusta  menurun  sebesar (1 − 𝑒 −4,450×10 −3 ) × 100% = 0,44401% dengan  asumsi peubah lain tetap.

## 3.4 Pemeriksaan Overdispersi
Salah  satu  asumsi  yang  harus  terpenuhi  dalam  regresi  Poisson  adalah  kondisi  nilai tengah  sama  dengan  ragam  yang  disebut  ekuidispersi.  Namun  dari  hasil  yang pengolahan  nilai  rataan  jumlah  kasus  baru  kusta  sebesar  76,59  tidak  sama  dengan nilai ragamnya yaitu sebesar 9029,261, bahkan nilai ragamnya jauh lebih besar, hal ini menunjukkan adanya overdispersi pada data. Di samping itu besaran nilai uji dispersi =  54,71033  yang  lebih  dari  1  maka  disimpulkan  adanya  kondisi  overdispersi.  Nilai residual  deviance sebesar  6280  dengan  derajat  bebas  110  sehingga  rasio  nilai deviance dengan derajat bebasnya bernilai 57,61468. Nilai tersebut lebih besar dari 1 yang artinya data jumlah kasus baru kusta mengalami overdispersi. Dengan demikian model  regresi  Poisson  tidak  sesuai  untuk  diterapkan  karena  menghasilkan  dugaan parameter yang tidak efisien.

## 3.5 Model Regresi Binomial Negatif
Model  regresi  yang  diharapkan  dapat  mengatasi  masalah  overdispersi  yang  terjadi adalah  model  regresi  binomial  negatif.  Pada  Tabel  4  ditampilkan  hasil  pendugaan parameter model regresi dengan sembilan peubah penjelas. Bentuk persamaan model regresi binomial negatif yang diperoleh adalah:
𝜂 = 11,313 + 0,001 𝑥 1 − 0,076 𝑥 2 + 0,009 𝑥 3 − 0,013 𝑥 4 − 0,019 𝑥 5 + 0,010 𝑥 6 − ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0,013 𝑥 7 − 0,007 𝑥 8
Pengujian serentak signifikansi parameter model regresi binomial negatif bertujuan untuk mengetahui apakah peubah penjelas secara bersama-sama memiliki pengaruh signifikan  terhadap  peubah  respon.  Nilai deviance yang  diperoleh  dari  pengolahan adalah sebesar 137,97 sehingga kesimpulannya adalah paling tidak ada satu peubah penjelas yang berpengaruh signifikan terhadap jumlah kasus baru kusta.
Selanjutnya dilanjutkan pada pengujian secara parsial untuk mengetahui peubah mana saja yang terbukti secara nyata mempengaruhi jumlah kasus baru kusta. Hasil pengujian  parameter  secara  parsial  dapat  dilihat  dari  nilai  p.  Dari  Tabel  4  diketahui bahwa dari sembilan peubah penjelas, terdapat enam peubah (yaitu X 1 , X 2 , X 3 , X 6 , X 7 ,
dan X 8 ) yang memiliki nilai p yang lebih kecil dari 𝛼 = 0,05 yang berarti keenam peubah penjelas memiliki pengaruh yang signifikan terhadap peubah respon. Sedangkan tiga peubah penjelas yang lain yakni X 4 , X 5 , dan X 9 memiliki nilai p yang lebih besar dari 𝛼 , sehingga disimpulkan bahwa data yang digunakan dalam penelitian ini belum memiliki cukup bukti untuk menyatakan ketiga peubah tersebut memberi pengaruh yang nyata terhadap jumlah kasus baru kusta.
Tabel 4: Nilai dugaan parameter model regresi binomial negatif.
Parameter Nilai dugaan Galat baku Z hitung Nilai p 𝛽 0 ⁡( Intersep) 11,313 1,536 7,364 1,790 x 10 -13* 𝛽 1 0,001 0,0001 6,030 1,640 x 10 -9* 𝛽 2 -0,076 0,017 -4,371 1,230 x 10 -5* 𝛽 3 0,009 0,006 1,410 0,159 𝛽 4 -0,013 0,007 -1,905 0,057 𝛽 5 -0,019 0,008 -1,966 0,049 * 𝛽 6 0,010 0,008 1,218 0,223 𝛽 7 -0,013 0,026 -0,505 0,614 𝛽 8 -0,007 0,004 -1,789 0,074
Keterangan: *signifikan pada taraf nyata 5%.
Peubah  yang  signifikan  pada  taraf  nyata  5%  yaitu  jumlah  penduduk  (X 1 ), persentase balita yang diimunisasi BCG (X 2 ), dan persentase penduduk dengan akses air  bersih  berkelanjutan  (X 5 ).  Interpretasi  yang  diperoleh  berdasarkan  persamaan model yang diperoleh yaitu:
• 𝛽̂ 1 =  0,001,  artinya  untuk  setiap  penambahan  jumlah  penduduk  sebesar  seribu orang  akan  meningkatkan  rata-rata  jumlah  kasus  baru  kusta  sebesar (𝑒 0,001 − 1) × 100% = 0,10005% dengan asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 2 = -0,076, artinya untuk setiap penambahan persentase balita yang diimunisasi BCG sebesar 1% akan menurunkan rata-rata jumlah kasus baru kusta sebesar (1 − 𝑒 −0,076 ) × 100% = 7,31838% dengan asumsi peubah lain tetap.
• 𝛽̂ 5 =  -0,019,  artinya  untuk  setiap  penambahan  persentase  penduduk  dengan akses  air  bersih  berkelanjutan  sebesar  1%  akan  menurunkan  rata-rata  jumlah kasus  baru  kusta  sebesar (1 − 𝑒 −0,019 ) × 100% = 1,88206% dengan  asumsi peubah lain tetap.
Nilai residual deviance sebesar 137,97 dengan derajat bebas 110 sehingga rasio nilai deviance dengan  derajat  bebasnya  bernilai  1,25427.  Nilai  ini  mendekati  nilai  1 dan  jauh  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  nilai  rasio  dispersi  dari  model  regresi Poisson yang sebesar 57,09091. Hal ini menunjukkan bahwa model regresi binomial negatif telah mampu mengatasi overdispersi pada model regresi Poisson.

## 3.5 Pemilihan Model Terbaik
Model  terbaik  adalah  model  yang  memiliki  nilai  AIC  dan  BIC  yang  lebih  kecil. Berdasarkan Tabel 5 dapat dilihat bahwa model regresi binomial negatif memiliki nilai AIC dan BIC yang lebih kecil dibandingkan dengan model regresi Poisson. Oleh karena itu disimpulkan bahwa model regresi binomial negatif adalah model terbaik.
Tabel 5: Kriteria pemilihan model terbaik. Kriteria Regresi Poisson Regresi Binomial Negatif AIC 6280,000 1212,200 BIC 6313,656 1249,483

## 4.  Simpulan
Untuk  menganalisis  data  jumlah  kasus  baru  kusta  yang  merupakan  data  cacah digunakan  pemodelan  regresi  Poisson.  Namun  pemodelan  regresi  Poisson  pada jumlah  kasus  baru  kusta  mengalami  overdispersi.  Hal  tersebut  menjadikan  model menjadi tidak baik. Pemodelan regresi binomial negatif membuat hasil menjadi lebih baik  karena  nilai  rasio  dispersi  mendekati  satu.  Dengan  demikian  model  regresi binomial  negatif  mampu  mengatasi  overdispersi  yang  terjadi  pada  model  regresi Poisson. Peubah yang mempunyai pengaruh signifikan terhadap jumlah kasus baru kusta  berdasarkan  hasil  pemodelan  regresi  binomial  negatif  yaitu  jumlah  penduduk (X 1 ), persentase balita yang diimunisasi BCG (X 2 ), dan persentase penduduk dengan akses air bersih berkelanjutan (X 5 ).

## Daftar Pustaka
Aini,  A.  N.  (2013).  Regresi  Spasial  dengan  Pendekatan  Geographically  Weighted Poisson Regression (GWPR): Studi Kasus Banyak Penderita Kusta Kering Tahun 2012 di Beberapa Kota dan Kabupaten di Provinsi Jawa Barat [skripsi]. Bandung (ID): Universitas Pendidikan Indonesia.
Arfidina,  K.  I.,  Susilawati,  M.,  &  Srinadi,  I.  G.  A.  M.  (2017).  Regresi  Poisson  dalam Memodelkan  Jumlah  Penderita  Kusta  di  Provinsi  Bali.  Prosiding  SEMINAR NASIONAL  SAINSTEK  2017,  49 –54.  Badung  (ID):  Fakultas  MIPA,  Univesitas Udayana.
Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2013). Regression analysis of count data (Vol. 53). Cambridge (UK): Cambridge university press.
Dobson, A. J., & Barnett, A. G. (2002). An introduction to generalized linear models. Boca Raton (US): CRC press.
Dzikrina,  A.  M.,  &  Purnami,  S.  W.  (2013).  Pemodelan  angka  prevalensi  kusta  dan faktor-faktor  yang  mempengaruhi  di  Jawa  Timur  dengan  pendekatan Geographically  Weighted  Regression  (GWR).  Jurnal  Sains  Dan  Seni  ITS,  2(2): D275 –D281.
Giuffrè, O., Granà, A., Roberta, M., & Corriere, F. (2011). Handling underdispersion in calibrating safety performance function at urban, four-leg, signalized intersections. Journal of Transportation Safety & Security, 3(3): 174 –188.
Mann,  J.,  Larsen,  P.,  &  Brinkley,  J.  (2014).  Exploring  the  use  of  negative  binomial regression modeling for pediatric peripheral intravenous catheterization. J Med Stat Inform, 2(6): 1 –8. https://doi.org/10.7243/2053-7662-2-6
[PUSDATIN]  Pusat  Data  dan  Informasi  Kementerian  Kesehatan.  (2018).  Hapuskan Stigma dan Diskriminasi Terhadap Kusta. Jakarta (ID): Kementerian Kesehatan RI.
Shovalina, M. R., & Atok, R. M. (2016). Pemodelan dan Pemetaan Prevalensi Kusta di Kabupaten/Kota Jawa Timur dengan Pendekatan Mixed Geographically Weighted Regression. Jurnal Sains Dan Seni ITS, 5(2): D396 –D401.