PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS STABILITAS DARI PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG

## Dinita Rahmalia
Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan,
Abstrak. Di  Indonesia  terdapat  banyak  peternak  unggas  sebagai  matapencaharian sehingga  Indonesia  rawan  sebagai  sumber  penyebaran  flu  burung.  Penyebab  flu burung  adalah  virus  influensa  tipe  A  dengan  subtipe  H5N1  yang  menyebar  antar unggas dan dapat menular pada manusia. Burung liar dan hewan domestik (ternak) menjadi  sumber  penyebar  H5N1.  Virus  ini  dapat  menular  melalui  udara  ataupun kontak melalui makanan, minuman, dan sentuhan.
Flu burung termasuk jenis penyakit  mikroparasitis (jenis penyakit  yang disebabkan oleh virus) tetapi ada keterkaitan antara unggas dan manusia sebagai hospes ( host ). Karena itu model flu burung berbeda dengan model-model flu umumnya. Pada  penelitian  ini  akan  ditentukan  analisis  kualitatif  dari  model  penyebaran  flu burung  (avian  flu)  untuk  mendapatkan  bilangan  reproduksi  dasar  R0,  dimana  R0 bertujuan  mengetahui  adanya  penyebaran  penyakit  atau  tidak  adanya  penyebaran penyakit  melalui  analisis  stabilitas  dari disease  free  equilibrium maupun endemic equilibrium.
Kata Kunci : model flu burung, analisis stabilitas, R0.

## 1 Pendahuluan
Flu  burung  telah  menjadi  perhatian  yang  luas  dari  masyarakat  karena  telah menewaskan banyak korban baik unggas maupun manusia. Pada awal tahun 1918, wabah pandemi virus influenza telah membunuh lebih dari 40.000 orang, dimana subtipe yang mewabah saat itu adalah virus H1N1 yang dikenal dengan “Spanish Flu”. Tahun 1957 virus bermutasi menjadi H2N2 atau “Asian Flu” menyebabkan 100.000  kematian.  Tahun  1968  virus  bermutasi  menjadi  H3N2  atau  “Hongkong Flu” menyebabkan 700.000 kematian. Tahun 1977 virus bermutasi menjadi H1N1 atau  “Russian  Flu”.  Akhirnya  pada  tahun  1997,  virus  bermutasi  lagi  menjadi H5N1 atau “Avian Influenza” [10].
Di Asia Tenggara kebanyakan kasus  flu burung terjadi pada jalur transportasi atau  peternakan  unggas  sebagai  jalur  migrasi  burung  liar.  Hingga  6  Juni  2007, WHO  telah  mencatat  sebanyak  310  kasus  dengan  189  kematian  pada  manusia yang  disebabkan  virus  ini  termasuk  Indonesia  dengan  99  kasus  dengan  79 kematian  [11].  Hal  ini  dipengaruhi  oleh  matapencaharian  penduduk  Indonesia sebagai peternak unggas sehingga Indonesia rawan pada penyebaran penyakit flu burung. Selain itu, kurangnya pengetahuan sebagian penduduk Indonesia terhadap dampak dari flu burung juga ikut berpengaruh pada kasus penyebaran flu burung.
Pada  penelitian  ini,  akan  dianalisis  kestabilan  dari  model  matematika  flu burung untuk memperoleh bilangan reproduksi dasar dan pola penyebarannya.

## 2 Kajian Teori

## 2.1 Sistem Kompartemen
Sistem  kompartemen  merupakan  sebuah  susunan  kerja  atau  proses  yang menunjukkan  aliran  individu  dari  satu  kompartemen  ke  kompartemen  lainnya, seperti  saat  individu  tersebut  sehat,  tertular  penyakit  atau  sembuh  dari  penyakit . Berikut ini adalah contoh sederhana bentuk sistem kompartemen :
Gambar 1. Kompartemen

## 2.2 Bilangan Reproduksi Dasar
Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu.  Parameter  yang  biasa  digunakan  adalah  Bilangan  Reproduksi  Dasar ( Basic Reproduction Number ).
Bilangan Reproduksi Dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata- rata  individu  infektif  sekunder  akibat  tertular  individu  infektif  primer  yang berlangsung  didalam  populasi susceptible .  Namun  adapula  yang  mengartikan rasio  atau  perbandingan  yang  menunjukkan  jumlah  individu susceptible yang menderita penyakit yang diakibatkan oleh satu individu infected .
Jika  model  hanya  mempunyai  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik  kesetimbangan  endemik,  maka  tidak terjadi endemik jika R 0 < 1 dan terjadi endemik jika R 0 > 1.

## 2.3 Kestabilan Titik Tetap

## Pandang persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
(1)
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (2)
Sebuah  titik (𝑥̅ 0 , 𝑦̅ 0 ) merupakan  titik  kesetimbangan  dari  Persamaan  1  dan  2 jika memenuhi 𝑓(𝑥̅ 0 , 𝑦̅ 0 ) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥̅ 0 , 𝑦̅ 0 ) = 0 . Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan.
𝑥(𝑡) ≡ 𝑥̅ 0 , 𝑑𝑎𝑛 𝑦(𝑡) ≡ 𝑦̅ 0 adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaan untuk semua t .

## 2.4 Stabil Asimtotis Lokal
Kestabilan asimtotis lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari  linierisasi  sistem  tak  linier.  Kestabilan  lokal  pada  titik  kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan.
Definisi  1. Jika  J  adalah  matriks  yang  berukuran  n×n  maka  vektor  tak  nol dinamakan vektor karakteristik dari J jika memenuhi :
Jx =  x Untuk  suatu  skalar  disebut  nilai  karakteristik  dari  J  dan  x  dikatakan  vektor karakteristik yang bersesuaian dengan  .
Untuk  mencari nilai  karakteristik  matriks J yang  berukuran n×n ,  maka  dapat dituliskan kembali persamaan sebagai Jx =  Ix atau ekuivalen dengan ( J -  I)x = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika | J -  I | = 0. Jika matriks 𝐽 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] 𝑑𝑎𝑛 𝐼 = [ 1 0 0 1 ] , maka dapat ditulis
| 𝑎 −  𝑏 𝑐 𝑑 −  | = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢  2 −  (𝑎 + 𝑑) + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = 0
Akar-akar karakteristiknya adalah  1,2 = (𝑎−𝑑)±√(𝑎−𝑑) 2 −4(𝑎𝑑−𝑏𝑐) 2 .
Teorema 1. Titik setimbang (𝑥̅ 0 , 𝑦̅ 0 ) stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks 𝐽 = [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ] , mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.

## 2.5 Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz
Kriteria  kestabilan  Routh  –  Hurwitz  adalah  suatu  metode  untuk  menunjukkan kestabilan  sistem  dengan  memperhatikan  koefisien  dari  persamaan  karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung.
Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : 𝑎 0  𝑛 + 𝑎 1  𝑛−1 + 𝑎 2  𝑛−2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 = 0 . dengan
𝑏 1 = 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 𝑎 1 , 𝑏 2 = 𝑎 1 𝑎 4 − 𝑎 0 𝑎 5 𝑎 1 , 𝑏 3 = 𝑎 1 𝑎 6 − 𝑎 0 𝑎 7 𝑎 1 , 𝑐 1 = 𝑏 1 𝑎 3 − 𝑎 1 𝑏 2 𝑏 1 , 𝑐 2 = 𝑏 1 𝑎 5 − 𝑏 3 𝑎 1 𝑏 1
Sistem  dikatakan  stabil  jika  akar-akar  persamaan  karakteristik  dari  suatu matriks  mempunyai  real  nilai  eigen  negatif  jika  dan  hanya  jika  elemen-elemen pada kolom pertama ( a 0 , a 1 , b 1 , c 1 , … ) memiliki tanda yang sama.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Permodelan Matematika
Permodelan  matematika  penyebaran  flu  burung  pada  populasi  campuran  adalah menggabungkan  penyebaran  flu  burung  yang  terjadi  pada  populasi  unggas  dan populasi  manusia,  karena  penyebaran  flu  burung  pada  populasi  manusia dipengaruhi  oleh  populasi  unggas.  Jadi  dalam  penyebarannya  melibatkan  dua populasi. Namun terdapat sedikit perbedaan yang terletak pada penularannya.
Penyebaran flu burung pada populasi campuran adalah penyebaran flu burung yang  melibatkan  unggas  dan  manusia.  Secara  teori,  ketika  manusia  melakukan kontak  dengan  unggas  yang  terinfeksi,  virus  tersebut belum  bermutasi sehingga belum  dapat  menularkan  pada  manusia  sehat  lainnya.  Ketika  virus  flu  burung telah  bermutasi ,  maka  manusia  yang  terinfeksi  flu  burung  itu  dapat  menularkan pada manusia sehat lainnya. Namun karena infeksinya berasal dari kontak dengan unggas yang terinfeksi, maka penyebarannya melibatkan unggas.
Supaya  pada  populasi  unggas  dan  manusia  dapat  dihubungkan  maka  ada penambahan  asumsi  yaitu  penambahan  jumlah  manusia pre-infective yang dinyatakan dengan 𝑃 ℎ , yaitu manusia yang telah terinfeksi flu burung yang belum bermutasi  sehingga  belum  dapat  menularkan  penyakitnya  pada  manusia  sehat lainnya.  Manusia  terinfeksi  flu  burung  pada  saat  melakukan  kontak  dengan unggas infective sebesar 𝛽 3 dan laju mutasi yang dinyatakan dengan 𝜀 . Dengan  menggabungkan  flu  burung  yang  terjadi  pada  populasi  unggas  dan populasi manusia, maka didapat model kompartemen sebagai berikut :
Gambar 2. Kompartemen penyebaran flu burung pada populasi campuran
Untuk memudahkan penyelesaian, maka model dinormalisasikan menjadi 𝑑𝑖 𝑏 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝑖 𝑏 (1 − 𝑖 𝑏 ) − 𝜇 𝑏 𝑖 𝑏 − 𝛼 𝑏 𝑖 𝑏 (3)
𝑑𝑠 ℎ 𝑑𝑡 =  ℎ − 𝛽 3 𝑖 𝑏 𝑠 ℎ − 𝛽 2 𝑖 ℎ 𝑠 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑠 ℎ + 𝛿𝑟 ℎ (4)
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
𝑑𝑝 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛽 3 𝑖 𝑏 𝑠 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑝 ℎ − 𝜔 ℎ 𝑝 ℎ − 𝜀𝑝 ℎ (5)
𝑑𝑖 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛽 2 𝑖 ℎ 𝑠 ℎ + 𝜀𝑝 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑖 ℎ − 𝛼 ℎ 𝑖 ℎ − 𝛾𝑖 ℎ (6)
𝑑𝑟 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛾𝑖 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑟 ℎ − 𝛿𝑟 ℎ (7)
Dengan daerah penyelesaian :
 𝑏ℎ ′ = {(𝑖 𝑏 , 𝑠 ℎ , 𝑝 ℎ , 𝑖 ℎ , 𝑟 ℎ )|0 ≤ 𝑖 𝑏 ; 0 ≤ 𝑠 ℎ ; 0 ≤ 𝑝 ℎ ; 0 ≤ 𝑖 ℎ ; 0 ≤ 𝑟 ℎ ; 𝑠 ℎ + 𝑝 ℎ + 𝑖 ℎ + 𝑟 ℎ ≤ 𝑛 ℎ
≤ 1; 0 ≤ 𝑖 𝑏 ≤ 1}

## 3.2 Analisis Stabilitas
Dengan  mengambil 𝑑𝑖 𝑏 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑠 ℎ 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑝 ℎ 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑖 ℎ 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑟 ℎ 𝑑𝑡 = 0 ,  maka  akan diperoleh titik kesetimbangan model. Jika diambil 𝑖 𝑏 0 = 0 dan 𝑖 ℎ 0 = 0 , maka akan diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit,  dimana  pada  keadaan  ini  semua unggas  dan  manusia  masuk  ke  dalam  populasi susceptible dan  tidak  ada  unggas maupun  manusia infective yang  dapat  menyebarkan  penyakit.  Dengan  demikian tidak  ada  populasi  manusia  yang  sembuh  dari  penyakit  (tidak  ada  manusia recovered atau 𝑟 ℎ 0 = 0 ).  Akibatnya,  didapat  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit pada populasi campuran adalah 𝐸 𝑏ℎ 0 = (𝑖 𝑏 0 , 𝑠 ℎ 0 , 𝑝 ℎ 0 , 𝑖 ℎ 0 , 𝑟 ℎ 0 ) = (0,  ℎ 𝜇 ℎ , 0,0,0) .
Jika  diambil 𝑖 𝑏 ∗ ≠ 0 dan 𝑖 ℎ ∗ ≠ 0 ,  maka  dapat  ditunjukkan  terdapat  unggas infective dan  manusia infective yang  dapat  menyebarkan  penyakit  dan menyebabkan  endemik.  Dengan  demikian,  didapat  titik  kesetimbangan  endemik pada populasi campuran adalah 𝐸 𝑏ℎ ∗ = (𝑖 𝑏 ∗ , 𝑠 ℎ ∗ , 𝑝 ℎ ∗ , 𝑖 ℎ ∗ , 𝑟 ℎ ∗ ) dengan
𝑖 𝑏 ∗ = 𝜇 𝑏 + 𝛼 𝑏 𝛽 1 (𝑅 − 1); 𝑠 ℎ ∗ =  ℎ + 𝛿 ( 𝛾𝑖 ℎ ∗ 𝜇 ℎ + 𝛿 ) 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ + 𝜇 ℎ 𝑝 ℎ ∗ = 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝜇 ℎ + 𝜔 ℎ + 𝜀 (  ℎ + 𝛿 ( 𝛾𝑖 ℎ ∗ 𝜇 ℎ + 𝛿 ) 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ + 𝜇 ℎ ) 𝑖 ℎ ∗ = 𝑖 ℎ ∗ ;  𝑟 ℎ ∗ = 𝛾𝑖 ℎ ∗ 𝜇 ℎ + 𝛿 dan 𝑖 ℎ ∗ = −  ℎ 𝛽 2 𝐿 − 𝜀𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝛿𝛾 𝜇 ℎ + 𝛿 + 𝐿𝑀𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ + 𝐿𝑀𝜇 ℎ 2 ( 𝛾𝛿𝛽 2 𝐿 𝜇 ℎ + 𝛿 − 𝐿𝑀𝛽 2 ) − √(  ℎ 𝛽 2 𝐿 + 𝜀𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝛿𝛾 𝜇 ℎ + 𝛿 − 𝐿𝑀𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ − 𝐿𝑀𝜇 ℎ ) 2 − 4 ( 𝛾𝛿𝛽 2 𝐿 𝜇 ℎ + 𝛿 − 𝐿𝑀𝛽 2 ) (𝜀𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗  ℎ ) 2 ( 𝛾𝛿𝛽 2 𝐿 𝜇 ℎ + 𝛿 − 𝐿𝑀𝛽 2 ) 𝑅 = 𝛽 1 𝜇 𝑏 +𝛼 𝑏 , 𝐿 = 𝜇 ℎ + 𝜔 ℎ + 𝜀 dan 𝑀 = 𝜇 ℎ + 𝛼 ℎ + 𝛾

## Diberikan matriks Jacobian pada populasi campuran
𝐽 = [ 𝛽 1 − 2𝛽 1 𝑖 𝑏 − 𝜇 𝑏 − 𝛼 𝑏 0 0 0 0 −𝛽 3 𝑠 ℎ −𝛽 3 𝑖 𝑏 − 𝛽 2 𝑖 ℎ − 𝜇 ℎ 0 −𝛽 2 𝑠 ℎ 𝛿 𝛽 3 𝑠 ℎ 𝛽 3 𝑖 𝑏 −𝜇 ℎ − 𝜔 ℎ − 𝜀 0 0 0 𝛽 2 𝑖 ℎ 𝜀 𝛽 2 𝑠 ℎ − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾 0 0 0 0 𝛾 −𝜇 ℎ − 𝛿]
𝐽(𝐸 𝑏ℎ 0 ) = [ 𝛽 1 − 2𝛽 1 𝑖 𝑏 0 − 𝜇 𝑏 − 𝛼 𝑏 0 0 0 0
−𝛽 3 𝑠 ℎ 0 −𝛽 3 𝑖 𝑏 0 − 𝛽 2 𝑖 ℎ 0 − 𝜇 ℎ 0
−𝛽 2 𝑠 ℎ 0 𝛿 𝛽 3 𝑠 ℎ 0 𝛽 3 𝑖 𝑏 0 −𝜇 ℎ − 𝜔 ℎ − 𝜀
0 0 0 𝛽 2 𝑖 ℎ 0 𝜀 𝛽 2 𝑠 ℎ 0 − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾 0 0 0 0 𝛾 −𝜇 ℎ − 𝛿] .
Nilai eigen diperoleh dari det( 𝐽(𝐸 𝑏ℎ 0 ) −  𝐼) = 0 dari persamaan karakteristik , yaitu
(𝛽 1 − 𝜇 𝑏 − 𝛼 𝑏 −  )(−𝜇 ℎ −  )(−𝜇 ℎ − 𝜔 ℎ − 𝜀 −  ) (𝛽 2 (  ℎ 𝜇ℎ ) − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾 −  ) (−𝜇 ℎ − 𝛿 −  ) = 0 , sehingga didapat
 1 = 𝛽 1 − 𝜇 𝑏 − 𝛼 𝑏  2 = −𝜇 ℎ < 0  3 = −𝜇 ℎ − 𝜔 ℎ − 𝜀 < 0  4 = 𝛽 2 (  ℎ 𝜇 ℎ ) − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾  5 = −𝜇 ℎ − 𝛿 = −(𝜇 ℎ + 𝛿) < 0 .
Titik  kesetimbangan  dari  suatu  sistem  dikatakan  stabil  jika  akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif. Berdasarkan nilai eigen  1 dapat dianalisa sebagai berikut :  1 = 𝛽 1 − 𝜇 𝑏 − 𝛼 𝑏 = (𝜇 𝑏 + 𝛼 𝑏 ) ( 𝛽1 𝜇𝑏+𝛼𝑏 − 1) .
Nilai eigen  1 bernilai positif jika 𝛽 1 𝜇 𝑏 +𝛼 𝑏 > 1 dan bernilai negatif jika 𝛽 1 𝜇 𝑏 +𝛼 𝑏 < 1.
Oleh karena itu Basic Reproduction Number ( R bh0 ) adalah : 𝛽 1 𝜇 𝑏 +𝛼 𝑏 .
Berdasarkan nilai eigen  4 dapat dianalisa sebagai berikut :
 4 = 𝛽 2 (  ℎ 𝜇 ℎ ) − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾 = (𝜇 ℎ +𝛼 ℎ + 𝛾) ( 𝛽2  ℎ (𝜇ℎ+𝛼ℎ+𝛾)𝜇ℎ − 1) .
Nilai  eigen  4 bernilai  positif  jika 𝛽 2  ℎ (𝜇 ℎ +𝛼 ℎ +𝛾)𝜇 ℎ > 1 dan  bernilai  negatif  jika 𝛽 2  ℎ (𝜇 ℎ +𝛼 ℎ +𝛾)𝜇 ℎ < 1. Oleh  karena  itu, Basic  Reproduction  Number ( R h0 )  adalah  :
𝛽 2  ℎ (𝜇 ℎ +𝛼 ℎ +𝛾)𝜇 ℎ .
𝐽(𝐸 𝑏ℎ ∗ ) = [ 𝛽 1 − 2𝛽 1 𝑖 𝑏 ∗ − 𝜇 𝑏 − 𝛼 𝑏
0 0 0 0 −𝛽 3 𝑠 ℎ ∗ −𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ − 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ − 𝜇 ℎ 0 −𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝛿
𝛽 3 𝑠 ℎ ∗ 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ −𝜇 ℎ − 𝜔 ℎ − 𝜀 0 0 0 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝜀 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾 0 0 0 0 𝛾 −𝜇 ℎ − 𝛿] .
Nilai eigen diperoleh dari det( 𝐽(𝐸 𝑏ℎ ∗ ) −  𝐼) = 0 dari persamaan karakteristik 𝑎 0  5 + 𝑎 1  4 + 𝑎 2  3 + 𝑎 3  2 + 𝑎 4  + 𝑎 5 = 0 , dengan nilai 𝑎 0 = −1 𝑎 1 = 𝐸 − [−(𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)] 𝑎 2 = 𝐸[−(𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)] − [𝐴𝐵 + (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) + 𝐶𝐷 + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ ] 𝑎 3 = 𝐸[𝐴𝐵 + (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) + 𝐶𝐷 + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ ] − [−𝐴𝐵(𝐶 + 𝐷) − (𝐴 + 𝐵)𝐶𝐷 + 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝜀 − 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛿𝛾 − 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ (𝐷 + 𝐵)] 𝑎 4 = 𝐸[−𝐴𝐵(𝐶 + 𝐷) − (𝐴 + 𝐵)𝐶𝐷 + 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝜀 − 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛿𝛾 − 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ (𝐷 + 𝐵)] − [𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝛿𝜀𝛾 − 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝐷𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝜀 + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝐵𝛿𝛾  + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝐷𝐵] 𝑎 5 = 𝐸[𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝛿𝜀𝛾 − 𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ 𝐷𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝜀 + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝐵𝛿𝛾  + 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ 𝐷𝐵]
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan

## dan
𝐴 = −𝛽 3 𝑖 𝑏 ∗ − 𝛽 2 𝑖 ℎ ∗ − 𝜇 ℎ ;  𝐵 = −𝜇 ℎ − 𝜔 ℎ − 𝜀;  𝐶 = 𝛽 2 𝑠 ℎ ∗ − 𝜇 ℎ − 𝛼 ℎ − 𝛾;  𝐷 = −𝜇 ℎ − 𝛿 . Titik  kesetimbangan  dari  suatu  sistem  dikatakan  stabil,  jika  akar-akar persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real  negatif  jika  dan  hanya 𝑎 1 < 0, 𝑎 2 < 0, 𝑎 3 < 0, 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝑎 0 𝑎 3 2 < 𝑎 1 2 𝑎 4 − 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 5 . Supaya 𝑎 1 < 0, 𝑎 2 < 0, 𝑎 3 < 0, 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝑎 0 𝑎 3 2 < 𝑎 1 2 𝑎 4 − 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 5 , maka 𝑖 𝑏 ∗ > 0,  𝑖 ℎ ∗ > 0,  𝑝 ℎ ∗ > 0 𝑖 𝑏 ∗ > 0  𝜇 𝑏 + 𝛼 𝑏 𝛽 1 ( 𝛽 1 𝜇 𝑏 + 𝛼 𝑏 − 1) > 0  𝛽1 𝜇𝑏+𝛼𝑏 > 1 .
Ketika 𝛽 1 > 𝜇 𝑏 + 𝛼 𝑏 atau 𝑅 𝑏ℎ0 = 𝛽 1 𝜇 𝑏 +𝛼 𝑏 > 1 ,  maka 𝑎 1 < 0, 𝑎 2 < 0, 𝑎 3 < 0, 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝑎 0 𝑎 3 2 < 𝑎 1 2 𝑎 4 − 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 5 .
Ketika 𝛽 2  ℎ > 𝜇 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛼 ℎ + 𝛾) atau 𝑅 ℎ0 = 𝛽 2  ℎ 𝜇 ℎ (𝜇 ℎ +𝛼 ℎ +𝛾) > 1 maka 𝑎 1 < 0, 𝑎 2 < 0, 𝑎 3 < 0, 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝑎 0 𝑎 3 2 < 𝑎 1 2 𝑎 4 − 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 5 .

## 3.3 Simulasi
Dengan mengambil parameter 𝛽 1 = 0.5; 𝜇 𝑏 = 0.05; 𝛼 𝑏 = 0.02;  ℎ = 0.8; 𝛽 2 = 0.7; 𝛽 3 = 0.5; 𝜇 ℎ = 0.4; 𝜔 ℎ = 0.06;  𝜀 = 0.3; 𝛼 ℎ = 0.05;  𝛾 = 0.4;  𝛿 = 0.4 dan nilai awal 𝑡 = 0 𝑖 𝑏 = 0.6; 𝑠 ℎ = 20; 𝑝 ℎ = 7; 𝑖 ℎ = 10; 𝑟 ℎ = 5 , didapat 𝑅 𝑏ℎ0 = 7.1429 dan 𝑅 ℎ0 = 1.6471 . Akibatnya,  didapat grafik kestabilan
4
Gambar 3 .  Grafik kestabilan penyebaran flu burung pada populasi campuran.
a. Laju Pertumbuhan Unggas Infective
Pada awal laju pertumbuhannya, unggas infective mengalami kenaikan karena laju  infeksi  lebih  besar  daripada  laju  kematian  atau  emigrasi  serta  kematian akibat  flu  burung.  Kemudian  konstan  karena  tidak  ada  penambahan  dari unggas susceptible yang terinfeksi.
b. Laju Pertumbuhan Manusia Susceptible Pada  awal  laju  pertumbuhannya,  manusia susceptible mengalami  kenaikan karena  manusia recovered telah  hilang  kekebalannya  dan  menjadi  manusia susceptible .  Kemudian  mengalami  penurunan  karena  manusia susceptible terinfeksi dan menjadi manusia pre-infective dan infective . Kemudian konstan

## Unisda Journal Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
karena  tidak  ada  penambahan  dari  manusia recovered yang  telah  hilang kekebalannya  dan  tidak  ada  pengurangan  pada  manusia susceptible yang terinfeksi.
c. Laju Pertumbuhan Manusia Pre-Infective
Pada  awal  laju  pertumbuhannya,  manusia pre-infective mengalami  kenaikan karena  manusia susceptible terinfeksi  dan  menjadi  manusia pre-infective . Kemudian  konstan  karena  tidak  ada  penambahan  dari  manusia susceptible yang  terinfeksi  dan  tidak  ada  pengurangan  pada  manusia pre-infective yang bermutasi.
d. Laju Pertumbuhan Manusia Infective
Pada awal laju pertumbuhannya, manusia infective mengalami kenaikan selain karena manusia susceptible terinfeksi  dan menjadi  manusia infective , manusia pre-infective bermutasi  dan  menjadi  manusia infective .  Kemudian  konstan karena  tidak  ada  penambahan  dari  manusia susceptible yang  terinfeksi, manusia pre-infecive yang bermutasi, dan tidak ada pengurangan pada manusia infective yang sembuh.
e. Laju Pertumbuhan Manusia Recovered
Pada  awal  laju  pertumbuhannya,  manusia recovered mengalami  kenaikan karena  manusia infective sembuh  dan  menjadi  manusia recovered .  Kemudian konstan karena tidak ada penambahan dari manusia infective yang sembuh dan tidak  ada  pengurangan  pada  manusia recovered yang  telah  hilang kekebalannya.

## 4 Kesimpulan dan Saran
Pengaruh  titik  kesetimbangan  pada  kestabilan  lokal  adalah  pada  populasi campuran adalah :
1. Jika 𝑅 𝑏ℎ0 < 1 dan 𝑅 ℎ0 < 1 maka  didapat  1 < 0,  2 < 0,  3 < 0,  4 < 0,  5 < 0 .  Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  stabil  yang  berarti  jumlah unggas infective dan  manusia infective berkurang  sehingga  flu  burung  akan menurun dan tidak terjadi penyebaran (endemik) pada populasi manusia.
2. Jika 𝑅 𝑏ℎ0 > 1, dan 𝑅 ℎ0 > 1 maka  didapat 𝑎 1 < 0, 𝑎 2 < 0, 𝑎 3 < 0, 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 − 𝑎 0 𝑎 3 2 < 𝑎 1 2 𝑎 4 − 𝑎 1 𝑎 0 𝑎 5 .  Titik  kesetimbangan  endemik stabil  yang  berarti  jumlah  unggas infective dan  manusia infective bertambah sehingga  flu  burung  akan  meningkat  dan  terjadi  penyebaran  (endemik)  pada populasi manusia.

## Daftar Pustaka
[1]   Badan  Penelitian  dan  Pengembangan  Kesehatan,  Depkes  RI.    20  Februari
2010. Flu Burung , <URL
:www.litbang.depkes.go.id/maskes/072005/flu_burung.pdf>
[2]   De Leon, C.V. 2009. Constructions of Lyapunov Functions for Classics SIS, SIR and SIRS Epidemic model with Variable Population Size.
[3]   Derouich,  M.,  dan  Boutayeb,  A.  2008. An  Avian  Influenza  Mathematical
Model .
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
[4]   Finizio,  N.,  dan  Landas,  G.  1988. Ordinary  Differential  Equations  with Modern Applications . Wadsworth Publishing Company. California.
[5]   Hamid.  2006. Analisa  Kualitatif  Model  Matematika  Penyebaran  Penyakit Influenza dengan Vaksinasi . Thesis Jurusan Matematika ITS. Surabaya.
[6]   Iwami,  S.,  Takeuchi,  Y.,    dan  Liu,  X.  2007. Avian-human  Influenza Epidemic Model.
[7]   Kristianto,  D.A.  2009. Analisis  Model  Perkembangan  Virus  HCV  Type  4A pada  Penyebaran  Penyakit  Hepatitis  C. Tugas  Akhir  Jurusan  Matematika ITS. Surabaya.
[8]   Ma,  Z.  dan  Li,  J.  2009. Dynamical  Modeling  and  Analysis  of  Epidemics . World Scientific Publishing. Singapore.
[9]   Mairides,  H.  2008. Model  Penyebaran  Avian  Flu  di  Cikelet  Jawa  Barat . Tugas Akhir Jurusan Matematika ITB. Bandung
[10]   Radji, M.  2006. Avian  Influenza A (H5N1): Patogenesis, Pencegahan, dan Penyebaran pada Manusia .
[11]  Wikipedia. 19 Januari 2010. Flu Burung , <URL:
http://id.wikipedia.org/wiki/Flu_burung.htm >