## ENDOMORFISMA PADA SEMIGRUP PERKALIAN DARI MATRIKS ATAS LAPANGAN

## Lisanatun Kasanah, I Made Sulandra
Jurusan Matematika, Universitas Negeri Malang, Jalan Semarang 5 Malang e-mail: lisanatunkhasanah@yahoo.co.id; imade_sulandra@yahoo.com

## Abstrak
Misalkan adalah suatu lapangan,
dengan
,  dan ( ) adalah himpunan matriks berukuran atas . ( ) dilengkapi  dengan  operasi  kali  (baku)  dari  matriks  membentuk  suatu  semigrup, yaitu  himpunan  tidak  kosong  dengan  satu  operasi  biner  yang  asosiatif.  Suatu  pemetaan ( ) ( ) disebut  endomorfisma  jika  untuk  setiap dan di ( ) berlaku (  )    ( ) ( ) .  Pada artikel  ini  akan  dikaji  beberapa  pemetaan  yang  merupakan  endomorfisma  pada  semigrup  perkalian  dari matriks  atas  lapangan.  Dalam  pembuktian  endomorfisma  semigrup    tersebut  disusun  juga  beberapa lemma pendukung beserta pembuktiannya.
Kata Kunci : homomorfisma, endomorfisma, semigrup perkalian matriks, lapangan..

## ENDOMORPHISMS ON MULTIPLICATIVE SEMIGROUPS OF MATRICES OVER FIELDS

## Abstract
Let be a field,
with ,  and ( ) be the set of matrices over . The set ( ) with respect to an associative multiplication operation can forms a semigroup. A map
( ) ( ) is called  a  semigroup  endomorphism  if  for  each and in ( ) implies (  )    ( ) ( ) .  In  this article, we discuss several mappings which are endomorphisms on multiplicative semigroups of matrices over fields. In proving the semigroup endomorphism prepared also some proof of its supporting lemma.
Keywords : homomorphism, endomorphism, multiplicative semigroup of matrices, fields.

## 1. Pendahuluan
Himpunan  dan  operasi  merupakan  obyek utama dalam bidang aljabar yang digunakan untuk mendefinisikan obyek-obyek lain seperti semigrup,  grup,  gelanggang,  lapangan,  dan sebagainya.  Semigrup  merupakan  salah  satu obyek  matematika  pada  bidang  aljabar.  Menurut Hungerford (1974), semigrup merupakan himpunan  tidak  kosong  yang  dilengkapi  dengan suatu operasi biner yang memenuhi sifat asosiatif. Kemudian  semigrup  dengan  tambahan  sifat  yaitu memiliki  elemen  identitas  dan  masing-masing elemennya  memiliki  invers  membentuk  suatu grup  (Hungerford,  1974).  Contoh  dari  grup  yang sudah  sering  dikenal  adalah  himpunan  bilangan bulat dan himpunan bilangan real dengan operasi tambah (baku). Suatu grup dengan operasi tambah yang  bersifat  komutatif  disebut  grup  Abel.  Grup Abel  dengan  tambahan  operasi  kali  yang memenuhi dua sifat, yaitu asosiatif dan distributif
(kanan  dan  kiri)  terhadap  perkalian  disebut gelanggang  (Gallian,  2010).  Gelanggang  dengan beberapa tambahan sifat tertentu dapat membentuk  daerah  integral,  lapangan,  dan sebagainya.  Menurut  Gallian  (2010),  lapangan merupakan  gelanggang  komutatif  dengan  satuan dan  setiap  elemen  tidak  nol  nya  adalah  unit (mempunyai invers di bawah operasi kali).
Dalam  aljabar,  himpunan  matriks  dapat membentuk  suatu  grup  (semigrup).  Himpunan matriks  yang  entri-entrinya  merupakan  elemen dari  lapangan  dapat  membentuk  semigrup  di bawah operasi kali (baku) dari matriks. Pasangan- pasangan  semigrup  perkalian  dari  matriks  dapat memiliki  suatu  relasi,  seperti  saling  homomorfis atau  isomorfis.  Menurut  Hungerford  (1974), misalkan adalah  semigrup  dari  matriks  dan fungsi memetakan ke , disebut homomorfisma jika untuk setiap dan elemen
di maka  berlaku (  )    ( ) ( ) (sifat seperti ini disebut mengawetkan operasi).
Kemudian jika  fungsi memetakan  grup ke ( ), maka disebut endomorfisma.
Pada  penelitian  sebelumnya,  Jodeit  dan Lam  (1969)  menentukan  bentuk  umum    dari semua homomorfisma non-degenerate ( ) ( )       〈 〉 dengan adalah
lapangan, ( ) merupakan  semigrup  dari matriks  berukuran atas , ( ) adalah subsemigrup  dari ( ) yang  terdiri  dari  semua matriks  dengan  rank  paling  banyak ,  dan
〈 〉   *          + .  Fungsi dikatakan non- degenerate jika ( ) untuk  suatu  matriks
singular ( ) . Kemudian Hochwald (1994) mendeskripsikan struktur dari semua homomorfisma dari ke ( ) yang
mengawetkan  spektrum,  dimana adalah
subsemigrup  dari ( ) yang  memuat ( ) . Selain  itu,  Xian  dan  Chongguang  (2001)  dalam artikelnya  yang  berjudul  “ Homomorphisms between Matrix Multiplicative Semigroups ” menggeneralisasi  hasil  dari  Hochwald    tanpa asumsi mengawetkan spektrum.
Berdasarkan uraian tersebut, pada artikel ini akan  dikaji  beberapa  pemetaan  dari ( ) ke ( ) yang  merupakan endomorfisma semigrup. Ide penulisan ini diperoleh dari artikel “ Homomorphisms between Multiplicative Semigroups  of  Matrices  over  Fields ”  (Xian  dan Chongguang, 2008).

## 2. Tinjauan Pustaka
2.1 Semigrup, Monoid, dan Grup
Menurut Hungerford (1974), suatu
semigrup adalah  himpunan  tidak  kosong yang dilengkapi  dengan  operasi  biner  pada yang bersifat asosiatif, yaitu
(  )   (  ) Semigrup yang  memuat  suatu  elemen  identitas (dua  sisi) sedemikian  sehingga disebut monoid .  Monoid sedemikian sehingga  untuk  setiap ,  ada  suatu  elemen invers  (dua  sisi) sedemikian  sehingga disebut grup . Misalkan suatu grup yang memiliki sifat
untuk setiap pasangan  elemen dan di ,  maka disebut grup Abel (Gallian, 2010).
2.2 Gelanggang dan Lapangan
Menurut  Hungerford  (1974),  himpunan dengan  dua  operasi  biner  yaitu  tambah  dan  kali.
(       ) adalah suatu gelanggang jika berlaku 1. (    ) adalah grup Abel 2. (    ) adalah semigrup
3. Berlaku  hukum  distributif ( ) terhadap ( ) , yaitu (     ) dan (     ) .
Jika  operasi  kali  pada bersifat  komutatif,  maka disebut gelanggang komutatif . Suatu gelanggang  komutatif  dengan  elemen  satuan  dan setiap  elemen  tidak  nol  adalah  unit  (mempunyai invers  terhadap  kali)  disebut lapangan (Gallian, 2010).
2.3 Homomorfisma
Menurut  Hungerford  (1974),  misalkan dan adalah  semigrup.  Suatu  fungsi adalah homomorfisma semigrup jika berlaku (  )    ( ) ( ) Jika , maka disebut sebagai
endomorfisma semigrup .

## 2.4 Matriks atas Lapangan
Himpunan  dari  semua  matriks  berukuran dengan entri-entrinya
merupakan  unsur  di  lapangan dinotasikan dengan ( ) .  Menurut  Norman  (2012), misalkan [ ] dan [ ] adalah  dua matriks  atas  lapangan yang  berturut-turut berukuran dan
. Tambah  langsung dari dan adalah matriks berukuran (     ) (     ) sebagai berikut.
0 1

## Lemma 2.1 (Roman, 2008)
Misalkan adalah suatu matriks berukuran dan adalah  matriks  berukuran , maka berlaku (  ) . Lemma 2.2 (Allen, 2003) Jika dan adalah  matriks-matriks berukuran , maka berlaku (  )      ( )    ( ) Lemma 2.3 (Brown, 1993) Misalkan adalah  matriks  berukuran
, maka berlaku ( )      ( )
Lemma 2.4
Misalkan adalah  lapangan  dan
( ) , maka berlaku (  )      ( )    ( ) . Bukti: Diambil sebarang ( ) . Akan
ditunjukkan  bahwa (  )      ( )   ( ) . Berdasarkan Lemma 2.3, diperoleh
( )      ( ) , ( )      ( ) , dan
(  )      (  ) (i)
Berdasarkan  Lemma  2.2,  diperoleh (  ) ( )    ( ) . Oleh karena (  )
( )    ( ) , ( )      ( ) , dan ( )      ( ) maka berlaku ( )    ( )          ( )    ( ) (     ( ))    ( )
( )       ( ) ( )         ( )
( )       ( ) ( )    ( )
( )    ( )
(  ) (ii) Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh
(  )      (   ( ))(   ( ))
Oleh  karena  itu, (  )   (   ( ))(   ( )) . Dengan  demikian,  terbukti  bahwa (  )
(   ( ))(   ( )) .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Misalkan adalah  suatu  lapangan, dengan , ( ) adalah  semigrup  perkalian matriks  atas , adalah  endomorfisma lapangan,  serta  untuk  sebarang [ ] ( ) , [ ( )] .
Lemma 3.1 Misalkan ( ) dan adalah endomorfisma lapangan. a) Jika maka berlaku
(i)
(ii) .(   ( )) / .(   ( )) / b) Untuk sebarang
( ) berlaku
(i) (  )
(ii) .(   ( )) / .(   ( )) / .(   (  )) / .
Bukti:
Misalkan ( ) dan adalah endomorfisma lapangan.
a)    Misalkan [ ] dan [ ] .  Karena , maka . (i) Oleh  karena dan adalah endomorfisma lapangan, maka diperoleh
( )    ( )
Berarti
[ ( )]   [ ( )] Jadi terbukti bahwa . (ii) Misalkan adalah  kofaktor  dari , adalah kofaktor dari
.Akibatnya
( )   [ ] , dan ( )   [ ] dengan serta . Perhatikan bahwa . Oleh karena itu, diperoleh dan berlaku (   ( )) [ ] [ ] [ ]   [ ]
[ ] [ ] (   ( ))
Jadi diperoleh (   ( )) (   ( )) . Karena (   ( )) (   ( )) dan adalah endomorfisma lapangan, maka berdasarkan (a) (i) berlaku
.(   ( )) / .(   ( )) /
Jadi terbukti bahwa .(   ( )) / .(   ( )) / . b) Diambil  sebarang
( ) .  Misalkan [ ] , [ ] ,  dan [ ] dengan ∑ . (i) Oleh  karena adalah  endomorfisma lapangan maka berlaku [ ( )] , [ ( )] , dan
(  ) [ ( )] . Misalkan [ ] dengan ∑ ( ) ( ) . Oleh  karena adalah  endomorfisma lapangan  dan ∑ ( ) ( ) , maka berlaku ∑  ( ) ( ) ∑  ( )
(∑ )
( ) Karena ( ) , maka diperoleh
[ ]   [ ( )]   (  ) Jadi terbukti bahwa (  ) . (ii) Misalkan (   ( )) dan
(   ( )) .
Berdasarkan  Lemma  3.1  b  (i)  diperoleh (  ) . Berdasarkan Lemma 2.4 diperoleh (   ( )) (   ( ))       (  ) (1) Berdasarkan Lemma 2.1 diperoleh
(   ( )) (   ( ))
.(   ( )) (   ( ))/ ( ) Oleh  karena (  ) dan  (1),  (2) berlaku, maka diperoleh
.(   ( )) / .(   ( )) /
.(   ( )) (   ( )) /
(.(   ( )) (   ( ))/ )
.(   (  )) /
Jadi  terbukti  bahwa .(   (  )) / .(   ( )) / .(   ( )) / . Teorema 3.1 Misalkan ( ) dan adalah endomorfisma lapangan. Jika ( ) ( ) adalah suatu pemetaan dengan ( ) ( ) maka suatu endomorfisma semigrup. Bukti: Misalkan pemetaan ( ) ( ) (3) dimana ( ) dan adalah  suatu
endomorfisma lapangan.
Akan ditunjukkan: endomorfisma semigrup.
 terdefinisi dengan baik
Diambil  sebarang ( ) dengan . Akan ditunjukkan: ( )    ( ) .
Oleh  karena adalah  endomorfisma  lapangan dan , maka berdasarkan Lemma 3.1 a (i) diperoleh . Oleh karena itu, berlaku ( ) ( ) Jadi terbukti bahwa ( )    ( ) .
 mengawetkan operasi ( ) Diambil sebarang ( ) . Akan
ditunjukkan: (  )    ( ) ( ) . Oleh karena dan sebarang elemen di ( ) serta adalah  endomorfisma  lapangan,  maka berdasarkan  Lemma  3.1  b  (i),  diperoleh
(  ) . Oleh karena itu, berlaku ( ) ( )   ( )( ) ( )
(  ) (  )
Jadi (  )    ( ) ( ) untuk  semua ( ) .  Dengan  demikian,  terbukti  bahwa adalah endomorfisma semigrup.
Teorema 3.2
Misalkan ( ) dan adalah endomorfisma lapangan. Jika
( ) ( ) adalah suatu pemetaan dengan ( )     .(   ( )) / ( )
maka suatu endomorfisma semigrup. Bukti: Misalkan pemetaan ( ) ( ) sedemikian  sehingga  untuk  setiap ( )
berlaku
( )     .(   ( )) / (4) dengan ( ) dan adalah  suatu
endomorfisma lapangan.
Akan  ditunjukkan  bahwa endomorfisma semigrup.
 terdefinisi dengan baik Diambil sebarang ( ) dengan . Akan  ditunjukkan  bahwa ( )    ( ) .  Oleh karena adalah  endomorfisma  lapangan  dan ,  maka  berdasarkan  Lemma  3.1  a  (ii), diperoleh
.(   ( )) / .(   ( )) /
Oleh karena itu, berlaku
( )     .(   ( )) /
.(   ( )) /
( )
Jadi terbukti bahwa ( )    ( ) .  mengawetkan operasi ( ) Diambil sebarang ( ) . Akan
ditunjukkan  bahwa (  )    ( ) ( ) .  Oleh karena dan sebarang elemen di ( ) serta adalah  endomorfisma  lapangan,  maka berdasarkan Lemma 3.1 b (ii), diperoleh
.(   ( )) / .(   ( )) / .(   (  )) /
Oleh karena itu, berlaku
( ) ( )
.(   ( )) / .(   ( )) / .(   ( )) / .(   ( )) /
.(   (  )) /
(  ) .
Jadi (  )    ( ) ( ) .  Dengan  demikian, terbukti bahwa adalah endomorfisma semigrup. Teorema 3.3 Misalkan ( ) , adalah endomorfisma  semigrup,  dan adalah endomorfisma lapangan. Jika ( ) ( ) adalah suatu pemetaan dengan ( )    (   ( )) ( ) maka suatu endomorfisma semigrup. Bukti: Misalkan pemetaan ( ) ( ) sedemikian  sehingga  untuk  setiap ( ) berlaku ( )    (   ( )) (5) dengan ( ) , adalah endomorfisma  semigrup,  dan
adalah suatu  endomorfisma  lapangan.  Akan  ditunjukkan bahwa endomorfisma semigrup.
 terdefinisi dengan baik Diambil sebarang ( ) dengan . Akan ditunjukkan bahwa ( )    ( ) . Karena ,  maka ( )      ( ) .  Oleh  karena
adalah  endomorfisma  lapangan  dan , maka  berdasarkan  Lemma  3.1  a  (i),  diperoleh
.  Oleh  karena ( )      ( ) dan
, maka berlaku ( )    (   ( )) (   ( ))
(   ( ))
( )
Jadi terbukti bahwa ( )    ( ) .  mengawetkan operasi ( ) Diambil sebarang ( ) . Akan ditunjukkan bahwa (  )    ( ) ( ) .
Berdasarkan  Lemma  2.2  diperoleh (  ) ( )    ( ) .  Oleh  karena dan sebarang elemen  di ( ) serta adalah  endomorfisma lapangan,  maka  berdasarkan  Lemma  3.1  b  (i), diperoleh (  ) . Oleh karena (  )      ( )    ( ) , (  ) , dan endomorfisma, maka berlaku
( ) ( )
(   ( )) (   ( ))
(   ( )) (   ( ))
(   ( )    ( ))
(   (  )) (  )
(  )
Jadi (  )    ( ) ( ) .  Dengan  demikian, terbukti bahwa adalah endomorfisma
semigrup.
Teorema 3.4 Misalkan ( ) , adalah endomorfisma  semigrup,  dan adalah endomorfisma lapangan. Jika ( ) ( ) adalah suatu pemetaan dengan
( )    (   ( ))  .(   ( )) /
( )
maka suatu endomorfisma semigrup. Bukti: Misalkan pemetaan ( ) ( ) sedemikian  sehingga  untuk  setiap ( ) berlaku ( )    (   ( ))  .(   ( )) / (6) dengan ( ) , adalah endomorfisma  semigrup,  dan
adalah suatu endomorfisma lapangan.
Akan  ditunjukkan  bahwa endomorfisma semigrup.
 terdefinisi dengan baik Diambil sebarang ( ) dengan . Akan ditunjukkan bahwa ( )    ( ) . Karena ,  maka ( )      ( ) .  Oleh  karena adalah  endomorfisma  lapangan  dan maka berdasarkan Lemma 3.1 a (i), diperoleh
.(   ( )) / .(   ( )) / .
Oleh karena ( )      ( ) dan
.(   ( )) / .(   ( )) / maka berlaku
( )    (   ( ))  .(   ( )) /
(   ( ))  .(   ( )) /
(   ( ))  .(   ( )) /
( )
Jadi ( )    ( ) .
 mengawetkan operasi ( ) Diambil sebarang ( ) .
Akan ditunjukkan bahwa (  )    ( ) ( ) . Berdasarkan Lemma 2.2 diperoleh (  ) ( )    ( ) . Oleh karena dan sebarang elemen di ( ) serta adalah endomorfisma lapangan maka berdasarkan Lemma 3.1 b (ii), diperoleh
.(   ( )) / .(   ( )) /
.(   (  )) /
Oleh karena (  )      ( )    ( ) ,
.(   ( )) / .(   ( )) / .(   (  )) / ,  dan endomorfisma  maka
berlaku ( ) ( )
(   ( ))  .(   ( )) / (   ( ))
.(   ( )) /
(   ( )) (   ( ))  .(   ( )) /
.(   ( )) /
(   ( )    ( ))  .(   ( )) /
.(   ( )) /
(   (  ))  .(   (  )) /
(  )
Jadi (  )    ( ) ( ) .  Dengan  demikian, terbukti bahwa adalah endomorfisma semigrup. Teorema 3.5 Misalkan ( ) , ( )
* + adalah  homomorfisma  semigrup  dengan ( ) dan ( ) , dan adalah bilangan bulat  nonnegatif  yang  memenuhi
,  dan
menyatakan tambah langsung dari matriks. Jika ( ) ( ) adalah suatu pemetaan dengan
( )    , (   ( ))    -
( )
maka suatu endomorfisma semigrup. Bukti: Misalkan pemetaan ( ) ( ) sedemikian  sehingga  untuk  setiap ( )
berlaku
( )    , (   ( ))    - (7)
dengan ( ) , ( )   * + adalah homomorfisma  semigrup  dengan ( ) dan ( ) , serta
* + .
Akan  ditunjukkan  bahwa endomorfisma semigrup.
 terdefinisi dengan baik Diambil sebarang ( ) dengan . Akan ditunjukkan bahwa ( )    ( ) . Karena
,  maka ( )      ( ) .  Oleh  karena ( )      ( ) , maka berlaku
( )    , (   ( ))    -
, (   ( ))    -
( )
Jadi  terbukti bahwa ( )    ( ) .
 mengawetkan operasi ( ) Diambil sebarang ( ) . Akan ditunjukkan bahwa (  )    ( ) ( ) .
Berdasarkan  Lemma  2.2  diperoleh (  ) ( )    ( ) . Diperhatikan untuk kasus
, berlaku
, (   ( ))    -   [ (   ( )) ]
dan
, (   ( ))    -   [ (   ( )) ]
Oleh karena itu, diperoleh
, (   ( ))    -, (   ( ))    -
[ (   ( )) ] [ (   ( )) ] [ (   ( )) (   ( )) ]
, (   ( )) (   ( ))    -
Untuk kasus , berlaku , (   ( ))    - [ (   ( )) ]
dan
, (   ( ))    - [ (   ( )) ]
Oleh karena itu, diperoleh , (   ( ))    -, (   ( ))    -
[ (   ( )) ] [ (   ( )) ]
[ (   ( )) (   ( )) ]
, (   ( )) (   ( ))    -
Catatan:  Matriks  nol ( ) berukuran ( (     ))   (    (     )) .
Oleh karena
(  )      ( )    ( ) homomorfisma semigrup, dan
, (   ( ))    -, (   ( ))    -
, (   ( )) (   ( ))    - , maka berlaku ( ) ( )
, (   ( ))    - ,
(   ( ))    -
, (   ( ))    -,
(   ( ))    -
, (   ( )) (   ( ))    -
, (   ( )    ( ))    - , (   (  ))    -
(  )
Jadi (  )    ( ) ( ) . Dengan  demikian,  terbukti  bahwa adalah endomorfisma semigrup.

## 4. Kesimpulan
Misalkan adalah  suatu  lapangan, dengan , ( ) adalah  suatu  semigrup perkalian dari matriks atas , ( ) dan menyatakan  tambah  langsung  dari  matriks.
Pemetaan adalah endomorfisma lapangan, adalah endomorfisma semigrup,  serta ( )   * + adalah homomorfisma  semigrup  dengan ( ) dan ( ) ,  dan adalah  bilangan  bulat nonnegatif  yang  memenuhi .  Misalkan [ ] ( ) , [ ( )] .  Misalkan sebarang  elemen  di
( ) dan ( )
( ) adalah  suatu  pemetaan . Pemetaan- pemetaan oleh berikut merupakan endomorfisma semigrup.
1. ( )
2. ( )     .(   ( )) /
3. ( )    (   ( ))
4. ( )    (   ( ))  .(   ( )) /
5. ( )    , (   ( ))    -

## Daftar Pustaka
Allen, G.D. (2003). Linear Algebra and Matrices . Texas: Texas A&M University Press.
Brown, W.C. (1993). Matrices over Commutative Rings . USA: Marcel Dekker, Inc.
Gallian, J.A. (2010). Contemporary Abstract Algebra
(Seventh Edition). Belmont: Brooks/Cole.
Hochwald, S.H. (1994). Multiplicative Maps on That Preserve the Spectrum. Linear Algebra and its Applications , 212/213: 339-351.
Hungerford, T.W. (1974). Algebra . Cleveland:
Springer.
Jodeit, Jr. M. dan Lam T.Y. (1969). Multiplicative Maps of Matrix Semigroups. Arch.Math , 20: 10- 16.
Norman, C. (2012). Finitely Generated Abelian Groups and Similarity of Matrices over a Fields .
London: Springer.
Roman, S. (2008). Advanced Linear Algebra (Third Edition). New York: Springer.
Xian, Z., dan Chongguang, C. (2001).
Homomorphisms between Matrix Multiplicative Semigroups. JP J. Algebra Number Theory and Applications , 1: 225-233 .
Xian, Z., dan Chongguang, C. (2008). Homomorphisms between Multiplicative Semigroups of Matrices over Fields. Acta Mathematica Scientia , 28B(2): 461-468.