## Perhitungan Numerik Rapat Keadaan Graphene Monolayer Menggunakan Metode Newton Raphson
Ilham Pebrika 1 , Iman Santoso 2 1 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
1,2 Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 55281, Indonesia
1, 2 ilham.pebrika@mai.ugml.ac.id, iman.santoso@ugm.ac.id
Abstrak  – .  Telah  dilakukan  perhitungan  secara  numerik  terhadap  rapat  keadaan  pada  graphene  layer  tunggal.  Rapat keadaan dihitung berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) pada energi rendah. Pada umumnya rapat keadaan dihitung secara numerik  menggunakan persamaan N(E) = N f ∑ k δ (E − E(k)) , yakni ketika  posisi ε = E(k) dengan N f merupakan faktor  degenerasi.  Nilai N(E) dikelompokan  berdasarkan  nilai-nilai  yang  hampir  sama  yang  kemudian  dijumlahkan menjadi  nilai  rapat  keadaan.  Hanya  saja  metode  ini  memiliki  ralat  yang  lebih  besar  karena  nilai N( ε ) yang  diperoleh dianggap  sama  dengan  nilai  yang  terdekat.  Pada  kajian  ini  nilai  rapat  keadaan  dihitung  dengan  metode  yang  berbeda yakni  mengimplementasikan nilai ε = E(k) tetapi dengan pendekatan  nilai yang  mendekati nilai yang  sebenarnya. Nilai tersebut  direpresentasikan  dengan  nilai  akar-akar  dari  persamaan  energi  dispersi  dikurangi  nilai  level  energi  E  sebegai fungsi  pembuat  nol (E(k) −  E). Nilainya  dapat  dihitung  dengan  metode  newton-raphson.  Nilai  akar  ini  kemudian diidenti ﬁ kasikan dengan nilai 1 dan dijumlahkan per level energi E sehingga setiap levelnya memiliki nilai rapat keadaan yang  telah  dijumlahkan  berdasarkan  banyak  akar  yang  ada.  Dari  perhitungan  rapat  keadaan  menggunakan  metode newton-raphson diperoleh nilai yang sama dengan perhitungan yang telah dilakukan sebelumnya.
Kata kunci : Graphene ,Rapat Keadaan , Newton-Raphson,
Abstract – The Numerical Computation of Density Of States of  Graphehe Monolayer has been carried out. Calculation of  Density  of  States  (DOS)  based  on  energy  dispersion  E(k)  at  low  energy.  Generally  calculation  of  DOS  using numerically  methods  using N(E)  =  N f ∑ k δ(E  −  E(k)) equation, that  at ε =  E(k)  with  Nf  is  factor  of  degeneration.  The values of N(E) has been included in nearly equall values and has been summed be a DOS. This method be possessed of large errors because the values of N(E) acquired same with closest values. In this study the values of DOS is calculated using di ﬀ erent method that is implementation of true values. It can be represented using the values ot root from energy dispersion minus values of level energy be a zero maker equation (E(k) − E). it ca n be calculated using Newton-Raphson method. Next the values of root is identi ﬁ ed by one unit and summed per level energy E, with the result that every level be possessed of DOS based by summing all roots.
Keywords: Graphene, Density of States, Newton-Raphson,

## I. PENDAHULUAN
Graphene  yang  merupakan  material  karbon  dua dimensi  dengan  struktur  atom  heksagonal  yang  berhasil diisolasi  oleh  Konstantin  Novoselov  dan  Andre  Geim pada  tahun  2004 (1) .  Salah  satu    kajian  yang  diteliti  pada material  graphene  ialah  rapat  Keadaan  atau Density  Of State (DOS)  yang  merupakan  gambaran  tentang  keadaan ( States )  pada  tiap  level  energi (2) .  Nilai  DOS  dapat diperoleh  dari  penurunan  nilai  energi  dispersi  E(k) yakni (2) : (1) Dengan (2) Gambar.1  Grafik energi dispersi (a) untuk nilai t ≈2.8 dan t’=0 (b) energi dispersi untuk nilai Kx=0
Energi  dispersi  diperoleh  dari  metode  Tight ikatan kuat ( Tight Binding ) yaitu model pendekatan untuk menghitung  struktur  pita  elektronik  pada  sistemyang digunakan  dengan  memperkirakan  kumpulan  pita berdasarkan fungsi gelombang sebagai superposisi fungsi gelombang atom yang terisolasi pada kisi kisi gelombang (3) .Dengan  mempertimbangkan  elektron  yang  berpindah ke  atom  terdekat  maupun  ke  atom  terdekat  berikutnya dapat dituliskan (dengan ħ =1) (2)
(3)
Merupakan persamaan halmitonan graphene dimana         dengan  spin                merupakan operator penghancur  (kreasi)  di  titik      pada  sub  kisi  A  (defenisi yang  sama  untuk  B).  dengan  nilai  parameter  t( ≈  2.8  eV) diperoleh persamaan energi dispersi. (2)
Kajian  terhadap  nilai  DOS  telah  banyak dilakukan  baik  secara  analitik  maupun  secara  numerik. Castro  Neto (2) misalnya  menghitung  nilai  DOS  secara analitik pada graphene monolayer dengan memvariasikan parameter lompatan atom ( Hopping Parameter ) t dan t ’ dimana  nilai t merupakan  nilai  lompatan  untuk  atom terdekat  dan t’ adalah  nilai  lompatan  atom  terdekat selanjutnya.  Pada  perhitungan  tersebut  diperoleh  nilai SVH  yang  berada  pada  nilai  ±1eV (2) .  Nilai  yang  sama juga diperoleh oleh Nicol (3)
Pada  umumnya  rapat  keadaan  dihitung  secara numerik menggunakan persamaan (3)
(4)
yakni  ketika  posisi E  =  E(k) dimana  nilai selisihnya  sama  dengan  nol. N f merupakan  faktor degenerasi  kemudian  nilai-nilai N(E) dikelompokan berdasarkan  nilai-nilai  yang  memiliki  nilai-nilai  yang hampir sama, misal nilai akar-akar yang diperoleh adalah 1.85,  1.9,  2,  2,1  dan  2.15.  Nilai-nilai  ini  dikelompokan kedalam  nilai  2  sehingga  berjumlah  lima  untuk  menjadi jumlah nilai rapat keadaan pada level energi (E) tersebut. Dari  metode  yang  digunakan  akan  terlihat  bahwa  nilai yang  dihasilkan  akan  memilki  nilai  ralat  yang  cukup besar  dikarenakan  nilai-nilai  yang  ada  dianggap  sama dengan  nilai  yang  terdekat  sehingga  memiliki  selisih berdasarkan  nilai  rentang  pengelompokan  nilai-nilai tersebut,  misal  untuk  kasus  diatas  nilai  dua  berkisar antara nilai 1,8-2,15 sahingga nilai ralat memiliki rentang sebesar  ±0,  35.  Atas  dasar  inilah  untuk  tinjauan  pada skripsi  ini  digunakan  metode  yang  lebih  akurat  yakni mengimplementasikan  nilai ε  =  E(k) tetapi  dengan pendekatan  nilai  yang  mendekati  nilai  yang  sebenarnya. Nilai  tersebut  dapat  direpresentasikan  dengan  nilai  akar- akar  dari  persamaan  energi  dispersi  dikurangi  dengan nilai  level  energi E .  Salah  satu  metode  yang  bisa digunakan adalah metode Newton-Raphson(NR).
Penggunaan  metode  pencarian  nilai  akar, Newton-Raphson.  dikarenakan  untuk  menghitung  nilai akar-akar pada netode NR hanya membutuhkan satu nilai tebakan  awal,  sehingga  nilai  tebakan  awal  bisa  dibuat pada  rentang  nilai  tertentu  karena  setiap  nilai  akan dianggap  sebagai  nilai  tebakan  awal.  Sejauh  ini  penulis belum  menemukan  metode  perhitungan  rapat-keadaan mengimplementasikan metode NR.
Gambar.2 Hasil DOS yangdihitung secara analitik oleh Neto ,dkk. (2)

## II. METODE PENELITIAN
Metode  penentuan  nilai  akar-akar  Newton- Raphson  (NR)  .  Metode  NR  merupakan  salah  satu metode untuk menentukan akar akar suatu persamaan.Metode  NR  menggunakan  satu  nilai  tebakan awal yakni nilai perkiraan awal dari akar akar persamaan yang ingin dihitung xi . Suatu garis singgung dapat dibuat dari  titik  ( xi,f(xi ),  dimana  garis  singgung  tersebut memotong sumbu x yang biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dengan nilai akar. Dasar dari persamaan ini  adalah  Aproksimasi  linear  dari  fungsi  disekitar  nilai akar.  nilainya  bisa  diperoleh  dengan  memperluas  fungsi f(xr  =  0 )  disekitar  nilai  akar  xr  melalui  ekspansi  Taylor (5)(6)(7) .
(8)
Pada  metode  NR  yang  dipakai  pada  perhitungan  di skripsi ini nilai pembuat nol diberikan oleh nilai E(k) (sb- y )  sebagai  level  energi  pada  gra ﬁ k  Energi  dispersi terhadap nilai Kx dan Ky sehingga persamaannya menjadi
(9)
Bagan  alir  untuk  menghitung  DOS  dari  Energi E(K) menggunakan metode newton raphson
Gambar 4 Bagan alir ekstraksi DOS dari Energi Dispersi (E(K))
Jurnal Fisika Indonesia No: 55, Vol XIX, Edisi Mei 2015

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil  perhitungan  secara  numerik  menggunakan metode Newton-Raphson  memberikan hasil :
Gambar.3  Beberapa  bentuk  gra ﬁ k  DOS  monolayer graphene  dengan  beberapa  variasi  parameter  komputasi (a) ∆Kx= 0.05 ∆E= 0.1 ∆Ky= 0.1  (b) ∆Kx= 0.1 ∆E= 0.05 ∆Ky= 0.1 (c) ∆Kx= 0.05 ∆E= 0.05 ∆Ky= 0.1
Dalam  perhitungan  ini  yang  menggunakan beberapa  parameter  numerik  diperoleh  hasil  yang bervariasi  untuk  setiap  parameter  Perhitungan  numerik untuk  menghitung  nilai  DOS  pada  graphene  monolayer didasarkan  pada  persamaan  energi  dispersi E(k) (Persamaan  1),  menggunakan  metode  Newton  Raphson yang  menghasilkan  beberapa  gra ﬁ k  DOS  dengan beberapa variasi parameter numerik. Parameter-parameter tersebut  yakni,parameter  level  energi( E )  parameter K(x) , parameter  tebakan  awal  ( K(y) )  dan  iterasi  ( n ).  Untuk variasi  parameter  tebakan  awal K(y )  dan  nilai  iterasi  ( n ) tidak memberikan  pengaruh  yang terlalu  berarti terhadap nilai bentuk gra ﬁ k yang dihasilkan.
Untuk  variasi  parameter tebakan awal K(y) juga tidak  memberikan  perubahan  pada  hasil  gra ﬁ k  hal  ini karena nilai tebakan awal yang  merupakan nilai predisksi
akar-akar  yang  sebenarnya  sehingga  nilai  tersebut  akan mengacu pada nilai-nilai akar sebenarnya dari persamaan. Jika nilainya tidak ada atau jauh dari nilai akar-akar yang ada  maka  nilai  prediksi  akar  dari  tebakan  awal  dianggap nol. Sedangkan untuk parameter iterasi ( n ) juga diperoleh hasil  gra ﬁ k  yang  sama  untuk  beberapa  variasi  parameter iterasi ( n ). Hal ini dikarenakan faktor kekonvergenan dari fungsi yang digunakan (energi dispersi E(k ). Dimana nilai akan mencapai nilai konvergen untuk pengulangan iterasi yang  tidak  terlalu  lama.  Nilai  iterasi  ( n )  yang  diberikan dengan jumlah 50, 100, 300, 500 dan 1000, menghasilkan gra ﬁ k yang sama.
Walaupun  tidak  memberikan  pengaruh  pada hasil  gra ﬁ k  DOS,  parameter  tebakan  awal K(y) maupun parameter  iterasi (n) tetap  memberikan  pengaruh  pada proses  lamanya  perhitungan  yakni  jika  nilai  iterasi (n) dan parameter tebakan awal K(y) yang diberikan semakin besar  maka  waktu  untuk  proses  perhitungan  akan bertambah  karena  setiap  proses  perhitungan  program akan  menghitung  nilai  yang  lebih  banyak  sehingga membutuhkan  waktu  yang  lebih  lama  untuk  masuk  ke perhitungan selanjutnya.
Gambar.4 Beberapa bentuk gra ﬁ k DOS untuk variasi n= 50,n=100,n=300, dan n=500
Dari  perhitungan  yang  diperoleh  menggunakan metode  Newton  Rapson  diperoleh  hasil  DOS  yang  sama dengan  perhitungan  sebelumnya  yang  dilakukan  oleh Neto  dkk  menggunakan  metode  analitik  maupun numerik (2)(3)

## IV. KESIMPULAN
1. Metode  Newton  Raphson  digunakan  sebagai  salah satu metode untuk menghitung nilai DOS berdasarkan persamaan  Energi  Dispersi E(k ).  Faktor  yang  paling berpengaruh  terhadap  hasil  gra ﬁ k  yang  dihasilkan adalah  parameter E dan K(x ),  di  mana  semakin  besar nilainya  (nilai  partisi ∆ E dan ∆ K(x )  semakin  kecil) maka gra ﬁ k yang dihasilkan akan semakin baik.
2. Pola  linear  yang  terbentuk  pada  DOS  dijelaskan  dari persamaan  energi  dispersi  dimana  terbentuk  garis
linear di sekitar tenaga nol. Nilai ini terbentuk karena adanya  keterlibatan  Dirac  Fermions  yang  memiliki dispersi  energi  yang  menyerupai  dispersi  energi partikel-partikel ultrarelativistik sehingga  membentuk pola  linear.  Pola  linear  ini  juga  dapat  dijelaskan  dari persamaan  energi  Fermi  (Fermi  Energy),  di  mana berdasarkan  persamaan persamaan Ef = hvfk di mana nilai  energi  akan  sebanding  dengan  nilai  ( k )  dan energi  fermi  sehingga  dapat  menjelaskan  pola  linear. Sedangkan  untuk  pola  logaritmik  bisa  dijelaskan  dari posisi flat (datar)  pada  pita  dispersi  atau  pada  posisi saddle Point

## PUSTAKA
[1] Novoselov,  K.  S.,  2011, Nobel  Lecture:Graphene: Materials in the Flatland , Rev. Mod. Phys. 83, 837- 838.
[2] Neto, Castro, A. H. Guinea, F., N. M. R. Novoselov, K.S.  and  Geim,  A.  K.,2009,The Electronic Properties of Graphene, Rev. Mod. Phys., 81, 109- 162.
[3] Tabert,  C.  J.  and  Nicol,  E.  J.,  2012, Dynamical Conductivity  of  AA-Stacked  Bilayer  Graphene , Phys. Rev. B, 86, 075439.
[4] Manaf,  M.  N.,  Santoso,  I.,  and  Hermanto,  A., 2014, Density  of  states  of  Twisted  bilayer  graphene at  Low  Energy ,  Procedding  of  Confeerence  on Phys(ICP 2014), 19-21.
[5] Tresnaningsih,  Rizky,  2010, Modul  Mata  Kuliah Analisis Numerik , FMIPA, IKIP PGRI. Madiun.
[6] Pang,  Tao,  2006, An  Introduction  Computational Physiscs ,  Second  Edition,  Cambridge  University Press, UK.
[7] Pujiyanta,  Ardi,  2007 Komputasi  Numerik  dengan
Matlab , Graha Ilmu, Yogyakarta