## Beberapa Sifat Akar Persamaan Kuadrat Berkoefisien Bilangan Kompleks
Ahmad Ansar* 1 , Muhammad Arafat Abdullah 2 1,2 Universitas Sulawesi Barat e-mail: * 1 ahmad.ansar@unsulbar.ac.id , 2 arafat@unsulbar.ac.id

## Abstrak
Pada  makalah  ini  dibahas  dan  diselidiki  sifat  akar-akar  persamaan  kuadrat berkoefisien  kompleks . Diawali  dengan  mempelajari  cara  menentukan  akar-akar  persamaan kuadrat  berkoefisien  kompleks.  Hasil  yang  diperoleh  digunakan  untuk  menyelidiki  syarat persamaan kuadrat berkoefisien kompleks memiliki akar sama, akar-akar yang saling konjugat, memiliki  sebuah  akar  real  serta  memiliki  sebuah  akar  imajiner  murni.  Dijelaskan  pula  cara membentuk persamaan kuadrat baru apabila diketahui akar-akarnya.
Kata kunci : Persamaan kuadrat, Koefisien kompleks, Bilangan Kompleks

## 1. PENDAHULUAN
Perkembangan sistem bilangan dimulai sejak manusia mengenal bilangan asli untuk menghitung banyaknya  hewan ternak  yang mereka miliki hingga  sistem bilangan real. Bilangan  real terdiri dari  bilangan  rasional  dan  bilangan  irrasional.  Setelah  mengenal  sistem  bilangan, dikembangkanlah  persamaan  matematika  yang  digunakan  untuk  membantu  menyelesaiakan atau mencari solusi dari masalah-masalah nyata yang dihadapi manusia.
Salah  satu  persamaan  matematika  yang  banyak  dikenal  dan  digunakan  dalam matematika  adalah  persamaan  kuadrat,  yaitu  persamaan  yang  berbentuk 2 0 ax bx c    , dengan  , , a b c  R .  Nilai-nilai x yang  memenuhi  persamaan  kuadrat  disebut  akar  persamaan kuadrat.  Metode  menentukan  akar-akar  persamaan  kuadrat  dibahas  oleh  Al-Khwarismi  dalam bukunya Algebra yang  banyak  digunakan  hari  ini  dalam  Merino  (2006).  Selanjutnya,  metode aljabar  yang  dikembangkan  oleh  Al-Khwarismi  diterjemahkan  oleh  Gerard  of  Cremona  dan Leonardo da Pisa (Fibonacci) ke dalam bahasa Latin.
Dalam Waerden (1985) dijelaskan bahwa Gerolamo Cardano menemukan solusi  untuk mencari  akar-akar  persamaan  kubik  dan  memperkenalkan  bilangan  baru  seperti  5
15   dan
5 15   sebagai  solusi  dari  persamaan  kubik.  Selanjutnya,  Rafael  Bombelli  memperkenalkan
notasi 1  yang  disebut “pi’u  di  meno” serta  Leonhard  Euler  pertama  kali  meperkenalkan notasi 1 i   yang  disebut  bilangan  imajiner.  Dengan  dikenalnya  bilangan  imajiner,  maka dikembangkanlah himpunan bilangan kompleks.
Himpunan bilangan  kompleks menjadi penting  karena  setiap suku banyak berdarajat n akan selalu mempunyai akar sebanyak n yang akar-akarnya merupakan bilangan kompleks. Hal ini  telah  di  buktikan  oleh  Carl  F.  Gauss  dalam  disertasi  doktornya  tahun  1799.  Dalam  banyak literature,  pembahasan  tentang  suku  banyak  lebih  berfokus  pada  suku  banyak  berkoefisien bilangan  real.  Sementara  dalam  beberapa  kasus  dibutuhkan  juga  penjelasan  mengenai  suku banyak berkoefisien kompleks.
Dalam  tulisan  ini  akan  dikaji  tentang  suku  banyak  berderajat  dua  atau  persamaan kuadrat  yang  berkoefisien  kompleks  yang  merupakan  perumuman  dari  persamaan  kuadrat berkoefisien  real.  Dalam  kajian  ini  akan  dijelaskan  cara  menentukan  akar-akar  persamaan
kuadrat  berkoefisien  kompleks  serta  beberapa  sifat  dari  akar-akar  tersebut.  Selanjutnya, dijelaskan pula cara menentukan persamaan kuadrat baru yang diketahui akar-akarnya .
2. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian studi literatur. Metode ini dilakukan  dengan  mengumpulkan  dan  mengkaji  makalah-makalah  serta  buku-buku  yang relevan dengan persamaan kuadrat koefisien kompleks. Hasil dari kajian tersebut akan menjadi landasan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat koefisien kompleks dan sifat-sifatnya. Selanjutnya,  akan  diselidiki  cara  menentukan  persamaan  kuadrat  baru  yang  diketahui  akar- akarnya

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini, penjelasan diawali dengan definisi bilangan kompleks, serta suku banyak berkoefisien  kompleks.  Lebih  lanjut,  akan  dibahas  cara  menentukan  akar-akar  persamaan kuadrat koefisien kompleks dan sifat-sifatnya.

## 3.1 Bilangan Kompleks
Dalam Zill  dan Shanahan (2003) diberikan definisi bilangan kompleks. Definisi 3.1.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk
z a ib   (1)
dengan , a b  R dan i adalah imajiner satuan.
Bilangan imajiner satuan 1 i   memiliki sifat 2 1 i   . Jika z a ib   maka a disebut sebagai bagian  real dari z dan ditulis   Re z a  serta b disebut sebagai bagian imajiner dari z dan ditulis   Im z b  . Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan C yaitu
  dan z a ib a b      C= R R (2) Jika   Im 0 z  ,  maka z a   R dan  jika   Re 0 z  ,  maka z bi   C dan  disebut bilangan imajiner murni.
Definisi 3.2 Diberikan  bilangan  kompleks z a ib   .  Konjugat  dari  bilangan  kompleks z ,  ditulis z , didefinisikan sebagai z a ib   .
Dalam  Barnett,  dkk  (2009)  dan  Sullivan  (2012)  diberikan  definisi  suku  banyak  dan Teorema Fundamental Aljabar.
Definisi 3.3 Fungsi suku banyak f yang berderajat n adalah fungsi yang berbentuk
  1 1 1 0 n n n n
f x a x a x a x a        (3) dengan 1 1 0 , , , , , 0, ,dan . n n n
a a a a a n x      C N C
Teorema 3.4. ( Teorema Fundamental Aljabar ) Setiap  suku  banyak  berderajat n mempunyai  solusi  sebnayak n yang  merupakan  bilangan kompleks.
Contoh 3.5
38 Diberikan suku banyak     5 3 2 4 2
1 2 0 ix i x x i x       merupakan suku banyak berderjat 5, sehingga mempunyai solusi sebanyak 5 buah bilangan kompleks.

## 3.2 Akar-akar Persamaan Kuadrat Koefisien Kompleks
Dalam Andreescu dan Andrica (2010) dijelaskan cara menentukan solusi persamaan kuadrat berkoefisien kompleks. Diberikan persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan kompleks
2 0 az bz c    (4)
dengan  , , a b c  C dan 0 a  .
Dengan manipulasi aljabar diperoleh
2 2
2 4 2 4 b b ac z a a          (5) Ekuivalen dengan 2 2 2 2
4 4
4 a z abz b b ac     (6)
Selanjutnya, 2 4 b ac  disebut diskriminan dari persamaan (4) dan ditulis 2 4 D b ac   . Misalkan 2 w az b   , diperoleh
2 w D u iv    (7)
dengan , u v  R . Dari persamaan (7), diperoleh
  2 2 v sign v D u   (8)
dimana   sign v menyatakan tanda bilangan real v . Selanjutnya, dari persamaan (7) dan (8) diperoleh
  1;2 2 2 D u
D u
w sign v i              (9)
Akibatnya,
  1;2 1;2 1 2 z b w a    (10)
Jadi akar-akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dapat dicari dengan rumus   1;2 1;2 1 2 z b w a    . Contoh 3.6 Persamaan kuadrat     2 2 2 14 8 24 0 iz i z i      adalah persamaan kuadrat berkoefisien bilangan kompleks. Beradasarkan persamaan kuadrat di atas diperoleh 8 D i  dan 8 D  . Oleh karena itu,   1;2 8 0 8 0 2 2 2 2 w i i   
         
   (11)
Diperoleh
 
      1;2 1;2 1 2 1 2 14 2 2 4 z b w a
i i i   
     (12)
Jadi 1 4 z  dan 2 3 z i   .

## 3.3 Sifat Akar Persamaan Kuadrat Koefisien Kompleks
Berikut diberikan beberapa teorema terkait akar-akar persamaan kuadrat berkoefisien kompleks.

## Teorema 3.7
Jika 1 z adalah akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  R dan 0 a  , maka 2 1 z z  juga merupakan akar persamaan kuadrat.

## Bukti:
Misalkan 1 z adalah akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    , berarti 2 1 1 0 az bz c    . Dengan
operasi konjugat, diperoleh,
2 1 1 0 az bz c    (13)
Jadi 1 z juga merupakan akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  R dan 0 a  .
Akibat 3.8
Jika 1 z adalah akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dengan , , \ a b c  C\ R dan 0 a  , maka
2 1 z z  bukan merupakan akar persamaan kuadrat.
Bukti:
Misalkan 1 z adalah akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    , berarti 2 1 1 0 az bz c    . Dengan
operasi konjugat, diperoleh,
2 1 1 0 az bz c    (14)
Karena , , \ a b c  C\ R , maka a a  , b b  dan c c  . Akibatnya, 1 z bukan akar persamaan kuadrat 2 0 az bz c    .
Selanjutnya, akan dijelaskan syarat suatu persamaan kuadart 2 0 az bz c    dengan , , a b c  C dan 0 a  memiliki akar-akar yang sama, akar kompleks yang saling konjugat, serta akar yang saling berkebalikan.
Teorema 3.9
Persamaan kuadart 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  memiliki akar-akar yang sama jika dan hanya jika 2 4 b ac  . Bukti:
)  Diberikan persamaan kuadart 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  memiliki akar- akar 1 z dan 2 z . Karena 1 2 z z  , berdasarkan persamaan (10), maka 1 2 w w  . Diperoleh
    0
2
2 2 2 D u D u D u D u sign v i sign v i                         (15) Akibatnya, 0 D  atau 2 4 b ac  . Jadi persamaan persamaan kuadart 2 0 az bz c   
akan memiliki akar yang sama apabila 2 4 b ac  . )  Karena 2 4 b ac  berarti 0 D  . Diperoleh 0 u  . Akibatnya 1;2 0 w  . Oleh karena itu,
  1;2 1;2 1 2 2 z b w a b a      (16)
Jadi. persamaan kuadart 2 0 az bz c    mempunyai akar-akar yang sama.
40
Teorema 3.10
Diberikan persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dengan 0 a  . Jika  , , a b c  R dan 2 4 b ac  , maka persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar berupa bilangan kompleks yang saling konjugat.
Bukti:
Diketahui  , , a b c  R , berdasarkan Teorema 3.9, maka persamaan kuadrat 2 0 az bz c    memiliki akar-akar saling konjugat. Selanjutnya, karena 2 4 b ac  , berarti 0 D  . Diperoleh D u   . Akibatnya, 1:2 w  C . Karena  , a b  R , maka 1;2 z  C . Jadi persamaan kuadrat 2 0 az bz c    mempunyai akar-akar bilangan kompleks yang saling konjugat.

## Teorema 3.11
Persamaan kuadart 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  memiliki akar-akar 1 2 , z z  C . Nilai 2 1 1 z z  jika dan hanya jika a c  .
Bukti:
)  Diberikan persamaan kuadart 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  memiliki akar- akar 1 z dan 2 z . Diperoleh
2 1 1 0 az bz c    dan 2 2 2 0 az bz c    (17)
Karena
2 1 1 z z  , maka
2 2 2 2 2 2 1 1 0 0 a b c z z
a bz cz             (18)
Berdasarkan persamaan (17) dan (18) diperoleh a c  . )  Diketahui a c  berarti 2 2 2 0 cz bz a    . Akibatnya,
2 2 2 2 2 2 0 0 cz bz a b a c z z   
   (19)
Karena 2 1 1 0 az bz c    , maka 1 2
1 z z  .
Selanjutnya, dijelaskan mengenai persamaan kuadrat yang memiliki sebuah akar real dan persamaan kuadrat yang memiliki sebuah akar imajiner murni.
Persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  dapat ditulis menjadi
2 0 b c a a z z    (20)
Misalkan b a p qi   dan c a r si   dengan , , , p q r s  R . Diperoleh
    2 0
z p qi z r si      (21) Misalkan persamaan kuadrat     2 0 z p qi z r si      memiliki sebuah akar real yaitu 1 z , sehingga     2 1 1 0 z p qi z r si      . Diperoleh 2 1 1 0 z pz r    dan 1 0 qz s   . Akibatnya,
2 2 2 0 0 s s p r q q
s psq rq                     (22)
Jadi agar persamaan kuadrat     2 0 z p qi z r si      memiliki sebuah akar real maka haruslah dipenuhi 2 2 0 s psq rq    . Misalkan persamaan kuadrat     2 0 z p qi z r si      memiliki sebuah akar
imajiner murni yaitu 1 z iy  , sehingga        2 0
iy p qi iy r si      . Diperoleh
2 0 y qy r
    dan 0 py s   . Akibatnya, 2 2 2 0 0 s s q r p p
s psq rp                      (23) Jadi agar persamaan kuadrat     2 0 z p qi z r si      memiliki sebuah akar imajiner murni maka haruslah dipenuhi 2 2 0 s psq rp     .
Remark:
Persamaan kuadrat 2 0 az bz c    dengan 0 a  akan memiliki dua buah akar real apabila , , a b c  R dan 2 4 b ac  .

## 3.4 Membentuk Persamaan Kuadrat Baru
Berdasarkan persamaan (10) dapat dicari nilai dari 1 2 z z  , yaitu
    1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 D u D u
D u D u
z z b sign v i b sign v i a a b a                                                (24)
Selanjutnya, untuk 1 2 . z z , yaitu
              1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . .
2 2 2 2 2 2
1 4 1 4 1 4 4 D u D u D u D u z z b sign v i b sign v i a a b u sign v i D u a
b u vi a b b ac a c a                                                           
  
    (25)
Jadi diperoleh 1 2 b z z a    dan 1 2 . c z z a  .
Misalkan 1 z dan 2 z adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka dapat dibentuk persamaan kuadrat baru dengan rumus
     2 1 2 1 2 1 2 0 . 0 z z z z z z z z z z         (26)
Bentuk di atas dapat diperluas untuk ,menentukan suatu persamaan kuadrat baru yang akar- akarnya berhubungan dengan persamaan kuadarat yang lain. Misalkan persamaan kuadrat
2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  mempunyai akar-akar 1 z dan 2 z . Akan dibentuk suatu persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1 z k  dan 2 z k  untuk k  C
42 Misalakan 1 z k    dan 2 z k    , persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya  dan  adalah     2 . 0 z z         . Perhatikan bahwa
  1 2 1 2 2 2 z k z k z z k b k a       
      (27) serta         1 2 2 1 2 1 2 2 . . . z k z k z z k z z k c b k k a a
    
              (28)
Dengan mensubtitusi ke persamaan     2 . 0 x x         , diperoleh
    2 2 2 2 2 0 2 0 b c b z k z k k a a a az b ak z c kb ak                          (29)

## 4. KESIMPULAN
Diberikan  persamaan  kuadrat  berkoefisien  kompleks 2 0 az bz c    dengan  , , a b c  C dan 0 a  . Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan sifat-sifatnya berdasarkan hubungan antar koefisiennya.
1. Jika 1 z adalah  akar  dari  persamaan  kuadrat  dan , , a b c  R ,  maka 2 1 z z  juga  merupakan akar  persamaan  kuadrat.  Tetapi  jika 1 z adalah  akar  dari  persamaan  kuadrat  dan
, , \ a b c  C R , maka 2 1 z z  bukan merupakan akar persamaan kuadrat.
2. Persamaan kuadrat memiliki akar yang sama apabila 2 4 b ac  . 3. Persmaan  kuadrat  memiliki  akar  kompleks  yang  saling  konjugat  apabila , , a b c  R dan 2 4 b ac  .
4. Persamaan kuadrat memiliki akar yang saling berkebalikan apabila a c  .
Selain itu, dapat juga ditentukan  syarat agar  persamaan  kuadrat memiliki  sebuah  akar  real dan syarat  agar  memiliki  sebuah  akar  imajiner  murni.  Akar-akar  persamaan  yang  diketahui  dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

## DAFTAR PUSTAKA
Andreescu  T.  dan  Andrica  D.,  2010, Complex  Numbers  from  A  ...Z ,  2 nd Edition . Birkhauser- Springer, New York. Barnett, et.al., 2009, College Algebra , 9 th Edition. Mc Graw Hill, New York. Hardy G. H., 1967, A Course of Pure Mathematics , 10 th Edition. Cambridge University Press,
Cambridge.
Merino  O.,  2006, A  Short  History  of  Complex  Numbers ,  http://www.math.uri.edu/ ~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf., diakses  tanggal  27 Agustus 2018.
Sullivan M., 2012, College Algebra, 9 th Edition . Prentice Hall, USA. Waerden B. 1985, A History of Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. Zill D. G. dan Shanahan P. D., 2003, A First Course in Complex Analysis with Application. Jones and Bartlett Publisher, Massachusetts