## ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DUA PARAMETER MENGGUNAKAN METODE BAYES
Indria Tsani Hazhiah 1 , Sugito 2 , Rita Rahmawati 2
1 Mahasiswa Jurusan Statistika FSM Universitas Diponegoro
2 Staf Pengajar Jurusan Statistika FSM UNDIP

## Abstract
Interval estimation of a parameter is one part of statistical inference. One of the methods that used is the Bayes method. A Bayesian method is combine prior distribution and distribution of samples, so that the posterior distribution can be obtained. Interval estimation using a method Bayes called credibel  interval  estimation.  In  this  thesis,  the  distribution  of  the  sample  is  used  a  two-parameter Weibull  distribution  scale-shape-version  of  survival  distribution  (reliability).  Data  that  used  are data  that  is  not  censored  data  type  and  data  type  II  censored  if  prior  distribution  using  non- informative  which  of  the  produce  distribution  the  resulting  posterior  distribution  is  gamma distribution. Parameters of the sample distribution that to find out is a parameter  that c b  by the parameter c (shape parameter) known while the parameter b (scale parameter) had unknown.
Keywords :  Bayes  Method,  Two-Parameters  Weibull  Distribution  ,  Gamma  Distribution,  The Estimated Credible Interval.

## 1. Pendahuluan
Inferensi  statistika  dapat  dibedakan  menjadi  dua  yaitu  estimasi  parameter  dan  uji hipotesis.  Estimasi  parameter  sendiri  dapat  berupa  estimasi  parameter  titik  dan  estimasi parameter  interval.  Estimasi  parameter  interval  dapat  menggunakan  dua  metode  yaitu metode  klasik  dan  metode  Bayes [7] .  Pada  metode  Bayes  parameter  yang  digunakan merupakan  variabel  random  yang  mempunyai  distribusi  prior.  Distribusi  prior  adalah distribusi  subyektif  berdasarkan  pada  keyakinan  seseorang  dan  dirumuskan  sebelum  data sampel  diambil [7] .  Distribusi  sampel  yang  digabung  dengan  distribusi  prior  akan menghasilkan  distribusi  posterior [3] .  Distribusi  posterior  menyatakan  derajat  keyakinan seseorang  mengenai  suatu  parameter  setelah  sampel  diamati [7] .  Metode  Bayes menggabungkan distribusi sampel dan distribusi prior sehingga menjadi distribusi posterior yang  akan  digunakan  dalam  menentukan  inferensi  tentang  suatu  parameter  yang  masih dipandang sebagai variabel random.
Salah  satu  distribusi  lain  yang  banyak  juga  digunakan  akhir-akhir  ini  dalam menangani  masalah tersebut  adalah distribusi Weibull  yang diperkenalkan oleh fisikawan Swedia  yaitu  Waloddo  Weibull  pada  tahun  1939 [6] .  Distribusi  Weibull  selama  bertahun- tahun  menjadi  salah  satu  model  data  statistik  yang  memiliki  jangkauan  luas  dari  aplikasi dalam  uji  hidup  dan  teori  reliabilitas  dengan  kelebihan  utamanya  adalah  menyajikan keakuratan kegagalan dengan sampel yang sangat kecil [4] .
Metode  Bayes  yang  diterapkan  pada  Distribusi  Weibull  dapat  membantu  untuk mempermudah penelitian yang dilakukan dengan memandang banyaknya biaya dan waktu yang dibutuhkan apabila harus memenuhi  data cukup, sehingga dapat  meringankan biaya dan  waktu  yang  relatif  lebih  sedikit  dengan  mengandalkan  informasi  dari  penelitian sebelumnya.
Dalam  tulisan    ini,  permasalahan  yang  dibahas  yaitu  menentukan  bentuk  estimator (penduga)  Bayes  untuk  distribusi  Weibull  dua  parameter  dengan  sampel  lengkap  dan sampel tersensor Tipe II. Dalam tulisan ini, pembahasan masalah akan dibatasi mengenai:
1. Distribusi sampel yang digunakan adalah sampel lengkap dan sampel tersensor Tipe II distribusi Weibull
2. Menggunakan prior non-informatif sebagai distribusi prior
3. Menentukan estimator Bayesian parameter c b    dengan parameter c ( shape) diketahui.
Tujuan dari tulisan ini adalah menggunakan metode Bayesian  untuk mengetahui estimator parameter skala pada distribusi Weibull dua parameter dengan estimator parameter bentuk yang diketahui.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas, dan  dipelajari  dalam  banyak  bidang  matematika.  Distribusi  Gamma  yang  ditransformasi akan  menghasilkan  distribusi  invers  Gamma.  Sebelum  membahas  distribusi  Gamma  dan invers  Gamma,  terlebih  dahulu  akan  ditinjau  fungsi  Gamma  dan  beberapa  sifatnya  yang penting. Fungsi Gamma dapat dinyatakan sebagai :
   
     0 1 0 , n dx e x n x n (1)
Fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi Gamma dinyatakan dalam bentuk:
  dx x x k k x F k x k              exp 1 ) ; ; ( 1 0
(2)
Jika X berdistribusi Gamma dengan parameter k =  dan θ =  [2] maka
1.          t t M X 1
2.     X E 3.   2   X Var

## 2.2. Distribusi Weibull
Distribusi  Weibull  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Weibull  pada  tahun  1936 dengan  3  parameter,  yang  kemudian  terdapat  distribusi  Weibull  dengan  dua  dan  satu parameter, dengan masing-masing distribusinya [3] :
1. Tiga parameter
  a x b a x b a x b c c b a x f c c                           , exp , , 1 (3)

## 2. Dua parameter
a)                          c c b x b x b c c b x f exp , , 0 1 , (4)
Distribusi ini disebut versi skala bentuk
b)         c c a x a x c c a x f      exp , 1 , 1 , (5)
Distribusi ini disebut versi lokasi bentuk
c)                    c b a x b b a x f exp 1 1 , , , (6)
Distribusi ini disebut versi pergeseran skala
3. Satu parameter
a)         c c x x c c x f    exp , 1 , 0 1 b)                   c b x b b x f exp 1 1 , , 0 c)       c a x a x f    exp 1 , 1 ,
dengan a = parameter lokasi, b = parameter skala dan c = parameter bentuk

## 2.3. Distribusi Weibull Dua Parameter
Distribusi  Weibull  adalah  salah  satu  distribusi  kontinu  yang  pertama  kali diperkenalkan oleh fisikawan Swedia bernama Waloddi Weibull pada tahun 1939. Sebuah peubah  acak  kontinu  X  berdistribusi  Weibull,  dengan  parameter  λ  dan  c,  jika  fungsi densitasnya yaitu [7] :     lainnya yang nol 0 , 0 1 , x x exp x c c , , x f c c        (7)
dengan λ > 0 dan c > 0.

## 2.4. Teori Bayesian
   k i i i j j j A B P A P A B P A P B A P 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Teorema  Bayes  memberikan  aturan  sederhana  untuk  menghitung  peluang bersyarat  peristiwa i A jika B terjadi,  jika  masing-masing  peluang  tak  bersyarat i A dan peluang bersyarat B jika i A terjadi diketahui.

## 2.5. Distribusi Prior Metode Jeffrey’s
Menurut [1] ,  metode  Jeffrey’s  menyatakan  bahwa  distribusi  prior    g ,  merupakan akar dari informasi Fisher yang dinyatakan dalam:
        g
dimana informasi Fisher     dinyatakan
 
   
           2 2 ln    t f E

## 2.6. Distribusi Posterior
Pada [5] , distribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat  jika diketahui nilai observasi x . Ini dapat dituliskan sebagai:
      x f x f x f , |   
Fungsi  kepadatan  bersama  dan  marginal  yang  diperlukan  dapat  ditulis  dalam bentuk distribusi prior dan fungsi likelihood,
         f x f x f . | ,  (8)
                       d | x f g d x , f x f
Sehingga  fungsi  densitas  posterior  untuk  variabel  random  kontinu  dapat  ditulis sebagai:
                     d x f g x f g x f | | |
(9)
3. Metodologi

## 3.1. Jenis dan Sumber Data
Data yang akan digunakan sebagai studi literature pada tulisan ini berupa bangkitan data dari sofware  R yang berdistribusi Weibull dengan parameter shape dan scale.

## 3.2. Teknik Pengolahan Data
Pengolahan  data  dilakukan  secara  manual  dengan  dibantu software Exel  sebagai alat bantu perhitungan data dan software R yang digunakan dalam pembangkitan data.

## 3.3. Metode Analisis
Tahapan analisis yang dilakukan sebagai berikut: Tahap  I  :  Menggunakan  sampel  data  lengkap  dan  sampel  data  tersensor  tipe  II  yang berdistribusi Weibull dua parameter
Tahap  II  :  Distribusi  Weibull  dua  parameter  ditransformasikan  ke  bentuk  distribusi Eksponensial dengan mengubah Y T c menjadi menggunakan transformasi jakobian yaitu
        y g dy d y g f y f x y 1 1   
Tahap III : Menentukan fungsi likelihoodnya
a. Sampel data lengkap menggunakan rumus
         t f y f n y L n i     1 ,
b. Sampel data tersensor tipe II menggunakan rumus
           t f y S y f n r y L n r j r i        1 1 . , ,
Tahap IV: Menentukan distribusi prior
a. Menentukan informasi fisher dengan rumus
     
     
     2 2 ln    t f E
b. Menentukan distribusi prior dengan rumus:
        g
Tahap V : Menentukan distribusi posterior dengan menggunakan rumus :
 
                   d x f g x f g x f
Tahap VI: Menentukan estimasi parameter Λ, ekspektasi, varian, dan interval kredibelitas.

## 4. Estimasi Parameter Menggunakan Metode Bayes

## 4.1 Distribusi Weibull sebagai Distribusi Sampel
Distribusi  Weibull  dua  parameter  versi  skala  bentuk  sesuai  pada  persamaan  (7) sebagai berkut,
           lainnya untuk  t , 0 0 , exp , , 0 1 t t t c c t f c c   
pada  persamaan  (9)  ditransformasikan  ke  bentuk  distribusi  Eksponensial  dengan mengubah Y T c menjadi maka persamaan tersebut menjadi:
        y g dy d y g f y f x y 1 1 .        y y c y cy c c          
                exp 1 exp 1 1 1 1 (10)

## 4.2 Sampel Data Lengkap
Fungsi likelihood distribusi sampel untuk data lengkap adalah sebagai berikut :
               n i i n i y y f n y L 1 1 exp ,               n i c n t 1 exp  
(11)

## 4.2.1 Distribusi Prior Non-informatif
Sebelum  informasi  Fisher  dicari  yang  dilanjutkan  mencari  distribusi  prior menggunakan metode Jeffreys, terlebih dahulu yang harus dicari adalah fungsi log natural likelihood dari persamaan (10) yaitu
      n i i y n n y L 1 ln , ln                  2 2 ln    L E I 2  n      n I g    1  
4.2.2 Distribusi  Posterior  dari  Distribusi  Weibull  dengan  Distribusi  Prior  Non- Informatif
 
        d t n t n t f n i c n n i c n                          1 1 1 1 exp . exp .                       n i c n n n i c t n t 1 1 1 exp   (12)
Distribusi  posterior  dari  sampel  data  lengkap  untuk  distribusi  Weibull  dua parameter adalah Gamma (n, 1
1          n i c t )

## 4.2.3 Estimasi Parameter  dari Distribusi Posterior untuk Data Lengkap
Ekspektasi Gamma (n,
1 1          n i c i t ) seperti ekspektasi pada persamaan (2) yaitu
  n n i c i t t t M                      1 1 1 1 1 1 ,                    n i c i n i c i t n n t E 2 1 1 ,                    n i c i n i c i t n n t Var    n i c i B t n 1               n i c t t t M t M n i c 1 2 2 . 1     2 2 2 1 n t    (13)
Persamaan ini merupakan fungsi momen dari khi-kuadrat dengan derajat bebas 2n yang berarti 2 2 1 ~ 2 n n i c t Q     
Interval kredibilitas (1-α)100% untuk λ adalah
        n i c n n i c n t t 1 2 2 1 ; 2 1 2 2 ; 2
2 2    
(14)

## 4.3 Sampel Data Tersensor Tipe II
Perbedaan  sampel  data  tersensor  tipe  II  dengan  sampel  data  lengkap  yaitu terdapatnya  jumlah  data  tersensor  sebesar  r  dari  n  obyek  yang  diobservasi  pada  sampel data tersensor tipe II sehingga n r   1 .             n r j r i y S y f n r y L 1 1 . , ,                 n r j r r i i y y 1 1 exp . exp                        r c r i i c r t r n t 1 exp   (15)

## 4.3.2 Distribusi Prior Non-informatif
Sebelum  dicari  informasi  Fisher  yang  dilanjutkan  mencari  distribusi  prior menggunakan metode Jeffreys, terlebih dahulu yang harus dicari adalah fungsi log natural likelihood dari persamaan (15)
  2 2 2 , , ln    r n r y L     (16)     2 2 2 ln     r L E
I                r I g    1   (17)
4.3.3 Distribusi  Posterior  dari  Distribusi  Weibull  dengan  Distribusi  Prior  Non- Informatif
                T r T d x f g x f g x f r r                  exp 1
dengan              r c r i i c t r n t T 1
Distribusi  posterior  dari  sampel  data  lengkap  untuk  distribusi  Weibull  dua parameter adalah Gamma (n, 1  T )
(18)
4.3.4 Estimasi Parameter  dari Distribusi Posterior untuk Data Tersensor Tipe II
Ekspektasi Gamma (r, 1  T ) seperti ekspektasi pada persamaan (2) yaitu
    r T t t M     1   T r r T E   ,     2 , T r r T Var     1 1                   c r r i c i B t r n t r  (19)
Dimisalkan
 T Q 2      T t M t M T 2 . 2    r T T t                . 2 . 1   2 2 2 1 r t    (20)
Persamaan ini merupakan fungsi momen dari khi-kuadrat dengan derajat bebas 2n yang berarti
2 2 ~ 2 r T Q   
Interval kredibilitas (1-α)100% untuk λ adalah
                1 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2 r r Q P 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2        r r Q T T r r 2 2 2 2 1 ; 2 2 2 ; 2         (21)
dengan 2 2 r  adalah Khi-kuadrat dengan derajat bebas 2r

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
1. Estimasi parameter λ pada sampel lengkap
   n i c i B t n 1  sedangkan sampel tersensor tipe II r r i c i B t r n t r ) ( 1       .
2. Estimasi credibel parameter λ distribusi  Weibull dua parameter dengan parameter
shape (c)    pada  sampel  lengkap  yaitu
   
    n i c i n n i c i n t t 1 2 2 1 ; 2 1 2 2 ; 2
2 2     sedangkan  sampel tersensor tipe II yaitu T T r r
2 2
2 2 1 ; 2 2 2 ; 2         , sedangkan r r i c i t r n t T ) ( 1      .

## DAFTAR PUSTAKA
1. Al Kutubi  H.S  dan Ali, Maximum Likelihood  Estimators  with Complete and Censored DataI, College of Nursing, Kufa University, Iraq, 2011 .
2.  Dudewicz,  J.  Edward  dan  Mishra,  N.  Satya, Statistika  Matematika  Modern ,  ITB, Bandung, 1995.
3.  Horst,  R., The  Weibull  Distribution  A  Handbook, Justua-Liebig-University  Giessen, Jerman, 2009.
4.  Hossain,  A.M.  dan  W.J  Zimmer,  Comparison  Of  Estimation  Methods  For  Weibull Parameters: Complete And Censored Samples, Journal Stat. Comput , 2003.
5.  Soejoeti,  Z  dan  Soebanar, Inferensi  Bayesian , Karunika  Universitas  Terbuka,  Jakarta, 1988.
6.  Walpole, R. E., Pengantar Statistika Edisi ke-3, PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 1993.
7.  Walpole,  R.  E  dan  Myers,  R.  H. Ilmu  Peluang  dan  Statistika  untuk  Insinyur  dan Ilmuwan , Terbitan Kedua, ITB, Bandung, 1986.