## ALGORITMA OPTIMASI CHAOS PADA HOPFIELD NETWORK MODIFIKASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR
Rina Pramitasari
Teknik Komputer Universitas AMIKOM Yogyakarta email : rina.pramitasari@amikom.ac.id

## Abstraksi
Kriptanalisis  dapat  digunakan  untuk  menguji  keamanan  kriptografi.  Keamanan  kriptografi  ada  pada  sulitnya memecahkan permasalahan matematika. Pada kriptografi kunci public salah satunya adalah mencari akar untuk menyelesaikan persamaan polynomial. Penelitian  ini dilakukan dengan menerapkan Algoritma Optimasi Chaos dan  Hopfield  Network  Modifikasi.  Hasil  penelitian  menunjukkan  Algoritma  Optimasi  Chaos  dan  Hopfield Network  Modifikasi  lebih  baik  dari  pada  Newton  Raphson.  Karena  nilai  awal  yang  diberikan  pada  Hopfield Network Modifikasi selalu dekat dengan solusi dan memberi hasil yang akurat.

## Kata Kunci :
Algoritma Optimasi Chaos, Hopfield Network Modifikasi, Persamaan Nonlinear.

## Abstract
Cryptoanalysis can be used to test cryptographic security. Cryptographic security lies in the difficulty of solving mathematical  problems.  In  public  key  cryptography,  one  of  them  is  to  find  the  root  to  solve  polynomial equations.  This  research  was  conducted  by  applying  Chaos  Optimization  Algorithm  and  Modified  Hopfield Network.  The  results  showed  that  the  Chaos  Optimization Algorithm  and  Hopfield  Network  Modification  were better  than  Newton  Raphson.  Because  the  initial  value  given  to  the  Hopfield  Network  Modification  is  always close to the solution and gives accurate results..

## Keywords :
Chaos Optimization Algorithm, Modified Hopfield Network, Nonlinearl Equation

## 1. Pendahuluan
Komputer sedang mengalami perkembangan menuju komputer quantum. Kriptografi harus dapat mengimbangi dan sejalan dengan komputer quantum.  Ada  beberapa  kandidat  yaitu Lattice  - Based  Cryptography,  Code  -  Based  Crytography, Multivariate - Based Crytography. Sistem Kriptografi  kunci  public  menggunakan  dua  jenis kunci,  yaitu  kunci  public  dan  kunci  rahasia. Keamanan kriptografi ada pada sulitnya memecahkan
permasalahan matematika.
Kriptanalisis  dapat  digunakan  untuk  menguji keamanan kriptografi [4][5].
Tingkat  keamanan  sistem  kriptografi  kunci  publik multivariate  adalah  pada  menyelesaikan  system persamaan  polynomial  multivariable  kuadratik  yang disebut MQ-problem (multivariate quadratic problem) [4][5].
Mencari akar system persamaan nonlinear sederhana bisa  menggunakan  metode  analitik.  Sedangkan untuk system persamaan nonlinear kompleks dimana sering ditemui dikehidupan nyata, bisa menggunakan  metode  numerik.  Kelemahan  metode numerik harus memenuhi syarat dekat dengan solusi untuk  bisa  mendapatkan  iterasi  yang  konvergen. Maka  untuk menyelesaikan  tersebut  dipilih  jaringan
syaraf  tiruan  dimana  sebuah  prosesor  yang terdistribusi parallel dan mempunyai kecenderungan untuk  menyimpan  pengetahuan  yang  didapatkannya dari  pengalaman  dan  membuatnya  tetap  tersedia untuk digunakan [8].
Jaringan  Hopfield  pertama  kali  diperkenalkan  John Hopfield.  Jaringan  Hopfield  adalah  pelatihan terbimbing  yang  terhubung  penuh,  dimana  setiap neuron  terhubung  dengan  neuron  lainnya.  Hasil pengujian didapat jika diberikan nilai awal jauh dari solusi dan kompleksnya persamaan nonlinear, maka tidak mendapatkan hasil yang akurat [3][6][7].
Untuk  mengatasi  tersebut  nilai  awal  menggunakan Algoritma  Optimasi  Chaos  dengan  menerapkan persamaan  logistic.  Dengan  asumsi,  sensitive terhadap  kondisi  awal  adalah  dimana  perubahan kecil  disuatu  tempat  dalam  system  nonlinear  dapat mengakibatkan  perbedaan  besar  pada  keadaan berikunya.  Masalah  dalam  minimum  global  adalah tidak  mungkin  menentukan  apakah  solusi  terbaik saat  ini  terletak  di  minimum  local  atau  global  jika konvergensi  sudah  diterima.  Dengan  kata  lain, biasanya  tidak  jelas  apakah  proses  minimum  dapat dihentikan,  apakah  harus  berkonsentrasi  pada perbaikan  minimum  saat  ini,  ataukah  harus memeriksa bagian-bagian ruang pencarian pengganti yang lain. Dan menjadi lebih rumit jika ada beberapa minimum local [1][2][9][10][11].

## 2. Metode Penelitian
Langkah  penelitian  yang  akan  dilakukan  disajikan pada  Gambar  1  berikut.  Pertama  menggunakan Algoritma Optimasi Chaos untuk menghasilkan nilai output.  Kemudian  nilai  output  digunakan  pada  nilai awal Hopfield Network Modifikasi untuk persamaan polynomial. Kemudian dibandingkan dengan Newton Raphson.
Gambar 1 Langkah Penelitian
2.1. Persamaan Nonlinear
Salah  satu  persamaan  nonlinear  adalah  persamaan polynomial
2.2. Algoritma Optimasi Chaos
a. Hitung normalisasi data pada [0,1]

## Dimana
= Data sudah normal
= Data belum normal
= Data besar
= Data kecil
b.  Proses  pertama,  Inisialisasi  r  =  0,  iterasi maksimum = r max. ,
.  Tetapkan  nilai
, dan dengan nilai besar.
c.  Hitung  chaos ke  dalam  rentang  optima Dimana
= optima ke-r
= chaos ke-r = interval bawah pertama = interval atas pertama d. Hitung fungsi objek dengan MSE Jika maka , dan . Jika maka diam
e. Hitung chaos Dimana
= chaos ke-r+1 = chaos ke-r = 4 f.  Jika  r  kurang ,  maka  ulangi  langkah  b  –  e. Jika lebih, maka lanjut ke langkah g. g.  Proses  kedua.  Hitung  chaos ke  dalam  rentang optima
, ,
Dimana
= optima ke-h
= chaos ke-h
= interval bawah kedua
= interval atas kedua = faktor ruang sempit,   = 0,4 h. Hitung fungsi objek dengan MSE Jika maka , dan . Jika maka diam
i. Hitung chaos Dimana = chaos ke-h+1 = chaos ke-h = 4
j. Jika h kurang , maka ulangi langkah g –i Jika lebih maka COA berakhir dan = solusinya.
2.3. Hopfield Network Modifikasi
a.  Mengubah  persamaan  polynomial  menjadi  fungsi energy
b. Turunkan fungsi energy
c. Sesuaikan dengan persamaan Hopfield
d. Hitung dengan metode Euler
e. Update nilai
f. Sampai syarat terpenuhi

## 3. Hasil dan Pembahasan
Penelitian menggunakan pemrograman Python. Data pengujian  menggunakan  persamaan  polynomial. Data uji ada 3 persamaan yaitu Persamaan 1 dengan solusi 0.17
Persamaan 2 dengan solusi 0.57
Persamaan 3 dengan solusi 0.97
Pada algoritma optimasi chaos. r max = 5000, h max =  10000  dan  rentang  sempit  p  =  0.1.  Interval pertama  =  [-50,  +50] dan  interval  kedua  =  [-2,  +2].
Kemudian menggunakan Hopfield Network
Modifikasi.
Tabel 1 Hasil Uji Dengan Persamaan 1 X akhir Iterasi Error 0.1736576477 11933 0.0 Tabel 2 Hasil Uji Dengan Persamaan 2 X akhir Iterasi Error 0.5699981627 36 0.0 Tabel 3 Hasil Uji Dengan Persamaan 3 X akhir Iterasi Error 0.9699990854 14 0.0
Tabel  1  sampai  3  adalah  hasil  uji  dengan  metode yang diusulkan
Tabel 4 Hasil Uji Newton Raphson Dengan Persamaan 1 X1 X akhir Itera si Error
-2.29 0.29 2.29 - 0.16999999999999 998 0.16999999999999 998 - 6 13 - 7.1391714606 15693e-17 -1.5398212954 269154e-17 Tabel 5 Hasil Uji Newton Raphson Dengan Persamaan 2 X1 X akhir Itera si Error -2.29 0.29 2.29 - 0.57 0.57 - 14 9 - 4.989956581829081 5e-17- 4.989956581829081 5e-17 Tabel 6 Hasil Uji Newton Raphson Dengan Persamaan 3 X1 X akhir Itera si Error -2.29 0.29 2.29 - - 0.97 - - 8 - - -0.0
Pada  Tabel  4  sampai  6  menunjukkan  hasil  uji dengan metode Newton Raphson

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  Algoritma  Optimasi Chaos dan Hopfield Network Modifikasi yang telah dilakukan  berhasil  mencari  akar  solusi.  Tingkat keberhasilan  tersebut  dipengaruhi  oleh  beberapa factor.  Kekurangan  Hopfield  Network  Modifikasi adalah  nilai  awal  yang  jauh  dari  solusi  dan kompleksnya  persamaan  polynomial,  tidak  akan mendapatkan hasil yang akurat. Kelemahan tersebut dapat  diatasi  dengan  menggunakan  Algoritma Optimasi Chaos, dimana dapat mengatasi terjebak ke dalam  minimum  local.  Dimana  hal  ini  efisien. Kemudian  dibandingkan  dengan  Newton  Raphson. ketika nilai  awal yang diberikan tidak dekat dengan solusi,  maka  menghasilkan  pengujian  iterasi divergen.  Oleh  karena  itu,  nilai  awal  harus  dekat dengan solusi, maka menghasilkan pengujian iterasi konvergen. Dimana hal ini tidak efisien.

## Daftar Pustaka
[1] Alligood,  K.  T.,  Sauer  T.  D.,  Yorke  J.  A.,  1996, Chaos  (An  Introduction  to  Dynamical  Systems), Springer, New York.
[2] Ammaruekarat,  P.,  Meesad,  P.,  2011,  A  Chaos Search  for  Multi-Objective  Memetic  Algorithm,
International Conference on Information and Electronics Engineering IPCSIT vol.6 (2011) IACSIT Press, Singapore.
[3] D.  Mishra,  P.  K.  Kalra,  Modified  Hopfield  Neural Network  Approach  for  Solving  Nonlinear  Algebraic Equations,  Engineering  Letters,  14:1,  EL_14_1_23 (Advance online publication: 12 February 2007)
[4] J.  Ding,  J.  E.  Gower,  dan  D.  S.  Schmidt,  2006, Multivariate  Public  Key  Cryptosystem,  Springer, USA.
[5] M.  Z.  Riyanto,  “Sistem  Kriptografi  Kunci  Publik Multivariat”,  Seminar  Nasional  Matematika  dan Pendidikan  Matematika,  27  November  2010  Jurusan pendidikan Matematika FMIPA UNY.
[6] M.  M.  Gupta,  L.  Jin,  N.  Homma,  2003,  Static  and Dynamic  Neural  Networks,  From  Fundamentals  to Advanced  Theory,  John  Wiley  &  Sonsm  Inc., Hoboken, New Jersey.
[7] P.  Rina,  Kombinasi  Backpropagation  dan  Hopfield Modifikasi untuk Persamaan Polynomial, ULTIMATICS, Vol. XII, No. 1, Juni 2020.
[8] R.  Munir,  Metode  Numerik,  Bandung:  Informatika, 2008.
[9] Ridwan,  A.,  2006,  Dinamika  Fraktal  dan  Chaos, Istitut Teknologi Bandung, Bandung.
[10] Hui-juan,  L.,  Huo-ming,  Z.,  Long-hua,  M.,  2006,  A new  optimization  algorithm  based  on  chaos,  Journal of  Zhejiang  University  SCIENCE  A.  ISSN  1009- 3095 (Print); ISSN 1862-1775 (Online).
[11] Weise,  T.,  2009,  Global  Optimization  Algorithm Theory and Application, http://www.it-weise.de/, 26- 06-2009.