## PERBANDINGAN ALGORITMA PARTICLE SWAR M

## OPTIMIZATION (PSO) DAN ALGORITMA GLOWWORM SWARM OPTIMIZATION (GSO) DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON LINIER
(Comparison of Particle Swar m Optimization (PSO) and Glowworm Swarm Optimization (GSO) Algorithms in Solving Non Linear Equation System)

## Ana Ulul Azmi, Rusli Hidayat, M. Ziaul Arif
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia
E-mail: ziaul.fmipa@unej.ac.id
Abstract. Non-linear  equation  system  is  one  of  the  mathematics  problems  which difficult  to  solve.  Several  methods  have  been  introduced  to  solve  the  problems. Newton-Raphson  method  is  the  most  common  and  widely  used  as  the  basis  for evolving the latest numerical methods. However, this method requires the derivative of  each  equation  with  respect  to  every  variable  when  calculating  the  Jacobian. Naturally,  obtaining  the  derivative  is  challenging  in  certain  cases.  In  addition,  it needs  a  proper initial  value  to  obtain  the  converged solution.   Therefore, the  new technique with a simple random initial value is urgently needed. In this study, it is shown the implementation of the two metaheuristic optimization methods, including Particle Swarm Optimization (PSO) and the Glowworm Swarm Optimization (GSO) to estimate the solution of a non-linear equation system. Several examples of non- linear equation system were used for evaluating and testing the performance and the accuracy of both algorithms. In this simulation, the results show that  PSO converged to the exact solution (global optimum) better than Glowworm Swarm Optimization (GSO).
Keywords: Non-Linear  Equation  Systems,  Particle  Swarm  Optimization  (PSO), Glowworm Swarm Optimization (GSO)
MSC2010: 90B05

## 1. Pendahuluan
Kajian matematika  yang ada, salah satunya  yaitu sistem persamaan. Sistem persamaan ada dua,  yaitu sistem persamaan linier dan sistem  persamaan non linier. Permasalahan yang sulit  untuk  diselesaikan  secara  analitik  yaitu sistem persamaan non  linier, karena merupakan  kumpulan  dari  suatu  kalimat  matematika  terbuka  yang  variabel  berderajat lebih  dari  satu  atau  mengandung  nilai  fungsi  non  linier,  seperti log,  trigonometri, ekponensial , dan lain sebagainya. Sistem persamaan non linier yang seringkali muncul bersifat kompleks, sehingga sulit diselesaikan menggunakan metode analitik, akan tetapi memungkinkan untuk diselesaikan dengan metode numerik. Algoritma metode numerik
yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  non  linier  cukup  banyak.  Penelitian tentang  menyelesaikan  sistem  persamaan  non  linier  dengan  membandingkan  Metode Newton-Raphson  dan  Metode  Jacobian  sudah  banyak  dilakukan.  Kesimpulan  yang didapat  pada  penelitian  ini  Metode  Newton-Raphson  lebih  baik  untuk  menyelesaikan sistem  persamaan  non  linier  daripada  Metode  Jacobian [9] .  Metode  Newton-Raphson, meskipun terbilang baik  namun masih saja terdapat beberapa kekurangan. Kekurangan Metode  Newton-Raphson  yang  lain  yaitu  metode  ini  harus  menghitung  turunan  dari fungsi 𝑓(𝑥 𝑛 ) ,  sedangkan  tidak  semua  fungsi  dapat  dicari  turunannya  dengan  mudah. Selanjutnya  pada  referensi  [1],  pengembangan  metode  numerik  yang  telah  diteliti memiliki tingkat konvergensi  yang jauh lebih baik dari metode Newton-Raphon. Akan tetapi,  beberapa  dekade  terakhir Computational  intelligent banyak  digunakan  dalam penyelesaian permasalahan matematika.
Computational  intelligent adalah  solusi  yang  dapat  mengatasi  hal-hal  yang  sulit diselesaikan  secara  analitik. Computational  intelligent adalah  riset  penelitian  yang digunakan  dalam  bidang  teknik  optimasi  berdasarkan  perhitungan  cerdas  dari  suatu langkah  yang  terstruktur [6] .  Algoritma  yang  tergabung  dalam computational  intelligent misalnya Genetic Algoritma (GA), Ant Colony Optimization (ACO), Artifical Bee Colony Optimization (ABCO), Cat Swarm Optimization (CSO), Cockroach Swarm Optimization Algorithm (CSOA), Glowworm  Swarm  Optimization (GSO), Particle  Swarm Optimization (PSO)  [4].  Beberapa  penerapan Computational  intelligent dalam penyelesaian  permasalahan  matematika  terutama  persamaan  non  liner  telah  dilakukan oleh beberapa peneliti pada referensi [2] dan [3]. Computational intelligent jenis swarm intelligent lebih popular dalam menyelesaikan permasalahan optimasi . Swarm intelligent memiliki  inspirasi  wilayah  penelitian  dari  kawanan  hewan  atau  serangga.    Metode Particle Swarm Optimization (PSO) terinspirasi oleh perilaku sosial dari binatang, seperti sekumpulan burung dalam suatu gerombolan  yang sudah diterapkan pada beberapa hal seperti pada [5]. Kelebihan dari metode PSO yaitu kecepatan dalam menyelesaikan suatu permasalahan optimasi lebih cepat. Algoritma lain yang efektif dalam persoalan optimasi yaitu Glowworm Swarm Optimization (GSO). Metode Glowworm Swarm Optimization (GSO) yaitu metode yang berdasarkan pada perilaku cacing bercahaya.
Berdasarkan  penjelasan  diatas,  penelitian  tentang  penerapan  dari  Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO) dan Algoritma Glowworm Swarm Optimization (GSO) dalam penyelesaian  Sistem  Persamaan  Non  linier  menarik  untuk  dilakukan.  Peneliti  akan membandingkan solusi dan hasil iterasi untuk mendapatkan hasil yang konvergen antara Algoritma Particle  Swarm  Optimization (PSO)  dan  Algoritma Glowworm  Swarm Optimization (GSO).

## Sistem Persamaan Non linier
Sistem  persamaan  non  linier  merupakan  sistem  persamaan  yang  mempunyai  beberapa persamaan non linear yang kompleks dimana persamaan tersebut sulit dipecahkan secara
analitik.  Apabila  suatu  persamaan  sulit  diselesaikan  dengan  metode  analitik,  maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode numerik [8].
Bentuk umum sistem persamaan non linier dapat ditulis sebagai berikut:
{ 𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) = 𝑏 1 𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) = 𝑏 1 ⋮                   ⋮                  ⋮ 𝑓 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) = 𝑏 𝑛

## Particle Swarm Optimization (PSO)
Particle Swarm Optimization (PSO) mensimulasikan perilaku dari sekelompok  burung atau ikan. Misalnya, sekelompok burung sedang terbang secara acak mencari makanan di sebuah area tetapi hanya ada satu potong makanan pada area tersebut. Semua burung tidak mengetahui  dimana  lokasi  makanan  yang  sebenarnya,  hanya  saja  mereka  dapat mengetahui seberapa jauh letak makanan yang ada pada setiap pencarian. Strategi terbaik yang  dapat  digunakan  untuk  mencari  makanan  adalah  dengan  cara  mengikuti  burung yang  lokasinya  paling  deka  dengan  makanan  tersebut.  Satu  burung  menyatakan  satu solusi  di  dalam  ruang  masalah  dan  burung  tersebut  dipresentasikan  sebagai  “partikel” dalam  Algoritma Particle  Swarm  Optimization (PSO).  Semua  partikel  memiliki  nilai fitness yang yang akan dioptimalkan, dan memiliki kecepatan ( velocity ) setiap partikel berpindah dengan kecepatan yang diadaptasi dari daerah pencarian dan disimpan sebagai posisi  terbaik  yang  pernah  dicapai.  Sehingga  dari  skenario  kumpulan  burung  tersebut yang  kemudian  digunakannya  untuk  memecahkan  masalah  optimasi [6] .  Nilai  fitness disebut 𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 . Ketika partikel mengambil semua populasi sebagai tetangga topologinya, posisi terbaik adalah global terbaik yang disebut 𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 . Melalui 𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 dan 𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 , partikel memperbarui diri untuk menghasilkan generasi berikutnya dari kawanan.
Partikel  dalam  Algoritma Particle  Swarm  Optimization (PSO)  merupakan  solusi potensial untuk masalah ini, dan kawanan terdiri dari partikel 𝑃 . Setiap patikel 𝑝 dapat direpresentasikan  melalui  vektor 𝑛 -dimensi:  vektor  pertama  didenisikan  sebagai 𝐶 𝑝 𝑡 = (𝐶 𝑝1 𝑡 , 𝐶 𝑝2 𝑡 , … , 𝐶 𝑝𝑛 𝑡 ) dengan 𝑝 = (1,2, … , 𝑝𝑛) yang menunjukkan posisi  partikel 𝑝 dalam ruang  pencarian  di  iterasi 𝑡 .  Vektor  kedua  dituliskan 𝑉 𝑝 𝑡 = (𝑣 𝑝1 𝑡 , 𝑣 𝑝2 𝑡 , … , 𝑣 𝑝𝑛 𝑡 ) yang merepresentasikan kecepatan pergerakan partikel 𝑝 . Vektor ketiga dituliskan 𝑃 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝 = (𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝1 , 𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝2 , … , 𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝𝑛 ) menunjukkan posisi terbaik dari partikel ke- 𝑝 dan vektor terakhir  dituliskan 𝐺 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝 = (𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝1 , 𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝2 , … , 𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝𝑛 ) yang  merepresentasikan posisi terbaik secara global dalam kawanan sampai iterasi ke- 𝑡 . Kawanan diperbarui oleh persamaan berikut:
𝑣 𝑝𝑛 𝑡+1 = 𝜃𝑣 𝑝𝑛 𝑡 + 𝑘 1 × 𝑟𝑎𝑛𝑑1(𝑘 1 ) (𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝𝑛 − 𝑥 𝑝𝑛 𝑡 ) + 𝑘 2 × 𝑟𝑎𝑛𝑑2(𝑘 2 ) (𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑡 𝑝𝑛 − 𝑥 𝑝𝑛 𝑡 ) (1)
𝐶 𝑝𝑛 𝑡+1 = 𝐶 𝑝𝑛 𝑡 + 𝑣 𝑝𝑛 𝑡+1
𝜃 merupakan  nilai  bobot  inersia  untuk  mengurangi  kecepatan.  Biasanya  nilai  θ  dibuat sedemikian hingga membuat hubungan iterasi dan kecepatan berbanding terbalik. Hal ini berarti  semakin  meningkat  jumlah  iterasi,  kecepatan  gerak  partikel  akan  semakin mengecil. Nilai ini bervariasi secara linier dalam rentang menurun 0.9 hingga 0.4. Nilai bobot  inersia  yang  tinggi  menambah  porsi  pencarian  global  (global  exploration), sedangkan  nilai  yang  rendah  lebih  menekankan  pencarian  lokal  (local  search).  Untuk tidak terlalu menitik beratkan pada salah satu bagian dan tetap mencari area pencarian yang baru dalam ruang berdimensi tertentu, maka perlu dicari nilai bobot inersia (θ) yang secara imbang menjaga pencarian global dan lokal. Untuk mencapai itu dan mempercepat konvergensi, hubungan terbalik antara bobot inersia dan iterasi ditulis dengan formula:
𝜃 = 𝜃 𝑚𝑎𝑥 − 𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖 𝜃 𝑚𝑎𝑥 −𝜃 𝑚𝑖𝑛
𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖
dengan 𝜃 𝑚𝑎𝑥 dan 𝜃 𝑚𝑖𝑛 masing-masing adalah nilai maksimum dan nilai minimum bobot inersia, 𝑖 𝑚𝑎𝑥 adalah jumlah iterasi maksimum yang digunakan dan 𝑖 adalah iterasi yang sekarang.  Biasanya  digunakan  nilai 𝜃 𝑚𝑎𝑥 =0,9  dan 𝜃 𝑚𝑖𝑛 =0,4. 𝑘 1 dan 𝑘 2 adalah parameter, 𝑟𝑎𝑛𝑑1(𝑘 1 ) dan 𝑟𝑎𝑛𝑑1(𝑘 2 ) adalah bilangan acak yang berdistribusi seragam dalam  selang  [0,1].  Koefisien 𝑘 1 dan 𝑘 2 adalah  konstanta  positif  untuk  mengontrol seberapa jauh sebuah partikel akan bergerak dalam setiap iterasi. Nilai-nilai yang rendah memungkinkan partikel untuk menjelajah jauh dari daerah sasaran, sementara nilai-nilai yang tinggi memungkinkan untuk menjelajah daerah sasaran yang sudah terlewati pada iterasi  sebelumnya.  Hal  ini  efektif  untuk  pencarian  solusi  optimum  global.  Biasanya adalah  kedua  nilai  2.0,  meskipun  pemberian  nilai  berbeda  untuk 𝑘 1 dan 𝑘 2 dapat dilakukan untuk mengetahui kinerja algoritma.
Konstanta 𝑣 𝑚𝑎𝑥 digunakan  untuk  membatasi  kecepatan  dari  partikel 𝑣 𝑝𝑛 𝑡 dan meningkatkan ruang solusi pencarian. Ketika 𝑣 𝑚𝑎𝑥 besar, kecepatan partikel juga besar, hal  ini  adalah  kondusif  untuk  pencarian  global,  yang  mungkin  terbang  melalui  solusi optimal. Ketika 𝑣 𝑚𝑎𝑥 kecil, kecepatan partikel juga kecil, hal itu mengarah ke pencarian terbaik di wilayah tertentu, tetapi mudah untuk terjebak ke optimum lokal. Secara singkat, efisiensi pencarian tergantung pada 𝑣 𝑚𝑎𝑥 .
Setiap partikel bergerak dalam ruang pencarian dengan kecepatan sesuai dengan solusi terbaik  sendiri  dan  solusi  terbaik  kelompok  sebelumnya.  Kecepatan 𝑣 𝑝𝑛 𝑡+1 ,  pada persamaan  (1)  terdiri  dari  tiga  bagian  yaitu  bagian  pertama  adalah 𝑣 𝑝𝑛 𝑡 menunjukkan kecepatan  partikel  sebelumnya.  Bagian  kedua 𝑘 1 × 𝑟𝑎𝑛𝑑1(𝑘 1 ) menunjukkan  proses penyelesaian  dari  pengalaman  individu.  Selanjutnya  bagian  ketiga 𝑘 2 × 𝑟𝑎𝑛𝑑1(𝑘 2 ) menunjukkan proses penyelesaian dari pengalaman partikel lain, yang mewakili berbagai informasi  dan  kerjasama  sosial  antar  partikel.  Keseimbangan  antara  bagian-bagian  ini menentukan kinerja Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO) [10].
Secara  garis  besar,  Algoritma Particle  Swarm  Optimization (PSO)  dapat  dijabarkan sebagai berikut:
a. Inisialisasi posisi awal (𝐶 𝑖 ) dan kecepatan awal partikel (𝑉 𝑖 ) , dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑆 dan 𝑆 adalah ukuran swarm .
b. Evaluasi nilai fungsi tujuan untuk setiap partikel (𝑓(𝐶 𝑖 )) .
c. Tentukan 𝑝 𝑏𝑒𝑠𝑡 awal dan 𝑔 𝑏𝑒𝑠𝑡 awal.
d. Update kecepatan 𝑣 𝑡+1 dengan persamaan (1)
e. Update posisi individu baru 𝐶 𝑡+1 dengan persamaan (1)
f. Evaluasi  kembali 𝑓 (𝐶 𝑖 ) ,  jika 𝑓 (𝐶 𝑖 ) ≤ 𝑓(𝑝 𝑖𝑏𝑒𝑠𝑡 ) maka 𝑝 𝑖𝑏𝑒𝑠𝑡 = 𝐶 𝑖 ,  setelah mendapatkan 𝑝 𝑖𝑏𝑒𝑠𝑡 baru, maka didapatkan 𝑓(𝑝 𝑖𝑏𝑒𝑠𝑡 ) baru.
g. Jika iterasi sudah maksimum maka Algoritma berhenti, jika tidak maka kembali ke langkah (d).

## Glowworm Swarm Optimization (GSO)
Algoritma Glowworm  Swarm  Optomization (GSO)  merupakan  pengembangan  dari Algoritma Ant Colony Optimization (ACO)  yang digambarkan sebagai karakter cacing bercahaya.  Setiap  individu  agen  ( glowworm) memiliki  jarak  penglihatan  untuk mengetahui keberadaan agen lain atau tetangga, yang disebut local decision range . Local decision  range tergantung  dari  jumlah  tetangga,  ketika  jumlah  tetangga  terlalu  sedikit maka local  decision  range membesar  untuk  menemukan  lebih  banyak  tetangga, sebaliknya local decision range akan mengecil apabila jumlah tetangga terlalu banyak. Nilai luciferin setiap agen dikaitkan dengan nilai fungsi objektif, sedangkan parameter nilai  fungsi  objektif  dikaitkan  dengan  posisi  dari  setiap  agen.  Setiap  agen  selalu mengubah arah gerak sesuai dengan posisi tetangga yang dipilih dan hanya satu tetangga yang dipilih oleh setiap agen, yaitu tetangga yang memiliki nilai luciferin yang tertinggi diantara  seluruh  tetangga  dari  agen  tersebut.  Pada  akhirnya,  sebagian  besar  agen  akan berkumpul di beberapa lokasi [7].
Pengkodean  adalah  kunci  untuk  menyelesaikan  masalah  pada Glowworm  Swarm Optomization (GSO)  untuk  masalah  optimasi.  Prosesnya  sebagai  berikut  : 𝒙 𝑖 𝑡 adalah lokasi dari Glowworm 𝑖 pada iterasi 𝑡 dimana 𝒙 𝑖 𝑡 = [𝑥 𝑖1 𝑡 , 𝑥 𝑖2 𝑡 , … , 𝑥 𝑖𝑑 𝑡 ] ( 𝑑 adalah banyaknya dimensi) dan 𝒚 𝑖 𝑡 adalah solusi Glowworm dengan 𝒚 𝑖 𝑡 = [𝑦 𝑖1 𝑡 , 𝑦 𝑖2 𝑡 , … , 𝑦 𝑖𝑑 𝑡 ] yang elemennya tergantung pada solusi dari masalah [6] .
Langkah-langkah  Algoritma Glowworm  Swarm  Optomization (GSO)  adalah  sebagai berikut:
a. Inisialisasi parameter-parameter Glowworm Swarm Optomization (GSO) antara lain: banyaknya Glowworm (𝑛) , nilai awal luciferin (𝑙 0 > 0) , nilai awal adaptive decision- range (𝑟 𝑑 > 0) , jarak antar Glowworm (𝑟 𝑠 > 0) , tingkat update nilai luciferin (𝛾 >
0) , tingkat update  dynamic  decision-range (𝛽 > 0) , batas  ketetanggaan (𝑛 𝑡 > 0) , step-size (𝑠 > 0) , tingkat  disiplin  nilai luciferin (0 < 𝜌 < 1) , iterasi (𝑡) ,  nilai maksimum iterasi. Bangkitkan inisial Glowworm sebanyak 𝑛 secara random.
b. Hitung nilai fitness .
𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 𝑖 = { 𝑓(𝒚 i ),   𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖
1 𝑓(𝒚 i ) ,   𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖
c. Perbarui  nilai luciferin ,  nilai local  decision-range ,  dan  lokasi Glowworm sebagai berikut:
𝑙 𝑖 (𝑡 + 1) = (1 − 𝜌)𝑙 𝑖 (𝑡) + 𝛾(𝑓𝑖𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠 𝑖 )
𝑁 𝑖 (𝑡) = {𝑗: ‖𝑋 𝑗 − 𝑋 𝑖 ‖ < 𝑟 𝑑 𝑖 (𝑡); 𝑙 𝑖 (𝑡) < 𝑙 𝑗 (𝑡)} (2) 𝑝 𝑖𝑗 (𝑡) = 𝑙 𝑗 (𝑡)−𝑙 𝑖 (𝑡) ∑ 𝑙 𝑘 (𝑡)−𝑙 𝑖 (𝑡) 𝑘𝑒𝑁𝑖(𝑡) Setiap Glowworm 𝑖 memilih satu tetangga 𝑗 dengan maksimum kemungkinan 𝑝 𝑖𝑗 (𝑡) dan berpindah ke tetangga 𝑗
𝑋 𝑖 (𝑡 + 1) = 𝑋 𝑖 (𝑡) + 𝑠 ( 𝑋 𝑗 (𝑡) − 𝑋 𝑖 (𝑡) |𝑋 𝑗 (𝑡) − 𝑋 𝑖 (𝑡)| )
𝑟 𝑑 𝑖 (𝑡 + 1) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑟 𝑠 , 𝑚𝑎𝑥{0, 𝑟 𝑑 𝑖 (𝑡) + 𝛽(𝑛 𝑡 − |𝑁 𝑖 (𝑡)|}}
d. Jika  nilai  maksimum  iterasi  terpenuhi  maka  iterasi  dihentikan,  jika  belum  maka kembali ke langkah b.

## 2. Metodologi
Langkah-langkah  penelitian  yang  akan  dilakukan  untuk  menyelesaikan  sistem persamaan non linier digambarkan dalam skema pada Gambar 1.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada penelitian ini terdapat beberapa contoh sistem persamaan non linier dari referensi yang  telah  dirujuk.  Hasil  penyelesaian  sistem  persamaan  non  linier  dari  beberapa referensi  tersebut  akan  dijadikan  tolok-ukur  perbandingan  algoritma Particle  Swarm Optimization dan Glowworm  Swarm  Optimization .  Untuk  menyelesaikan  sistem persamaan  non  linier  menggunakan  algoritma Particle  Swarm  Optimization ,  peneliti menggunakan  parameter 𝑛𝑝𝑜𝑝 = 20, 𝑙𝑏 (𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠) = 1 , dan 𝑢𝑏(𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ) = −1 . Sedangkan untuk algoritma Glowworm Swarm Optimization , peneliti menggunakan parameter 𝑉0(𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑤𝑎𝑙) = 0, 𝑐1 = 𝑐2 = 1, 𝑡_𝑚𝑎𝑥 = 0.9, dan 𝑡_𝑚𝑖𝑛 = 0.4. Parameter untuk algoritma Glowworm Swarm Optimization yaitu 𝑙0 = 1, 𝑟0 = 75, 𝑟𝑠 = 100, 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 = 0.8, 𝑏𝑒𝑡𝑎 = 0.09, 𝑛𝑡 = 8, 𝑠 = 0.05 , dan 𝑟ℎ𝑜 = 0.8 .  Berikut  adalah beberapa  contoh  sistem  persamaan  non  linier  beserta  grafik  kekonvergenan  nilai fungsinya dan banyaknya iterasi. Penyelesaian sistem persamaan non linear ditulis dalam bentuk fungsi fitness sebagai permasalahan minimasi sebagai berikut:

## Gambar 1.  Skema metode penelitian
(𝑝 ′ ) = { 𝑎𝑏𝑠 (𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 )) + 𝑎𝑏𝑠 (𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 )) + ⋮                   ⋮                  ⋮ +𝑎𝑏𝑠 (𝑓 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 )) = 0
Contoh 1: Perhatikan sistem persamaan non linier berikut.
cos(2𝑥) − cos(2𝑦) − 0.4                     = 0 2(y − x) + sin(2y) − sin(2𝑥) − 1.2 = 0

## Tabel 1.  Hasil penyelesaian spnl contoh 1
Metode Nilai awal Solusi PSO 𝑥 = 0.3562761185 𝑦 = 0.6521301239 𝑥 =. ,1565200697 𝑦 = 0,4933763742 GSO 𝑥 = −0.1757942073 𝑦 = 0.1300070743 𝑥 = 0.1563927449 𝑦 = 0.4917706759 NR x = 0 y = 0 𝑥 = 0.15 𝑦 = 0.49

## Gambar 2.  Grafik nilai fitness SPNL contoh 1
Gambar 2 merupakan output dari sistem persamaan contoh 1 dengan sumbu x merupakan banyaknya  iterasi  dan  sumbu y merupakan  nilai  fungsi.  Sistem  persamaan  non  linier contoh  1  dengan  dua  variabel    menggunakan  maksimum  iterasi  sebanyak  400.  Pada Gambar  2  untuk algoritma Partcle  Swarm  Optimization menunjukkan  bahwa  nilai 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖  = 0 atau mencapai nilai optimum pada iterasi ke-281 dan solusi yang dihasilkan adalah 𝑥 = 0 ,1565200697  dan 𝑦 = −0,4933763742 dengan  waktu=24.5215  detik, sedangkan  untuk  algoritma Glowworm  Swarm  Optimization konvergen  saat  nilai 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 = 0,0064212840470351273 pada  iterasi  ke-233  dan  solusi  yang  dihasilkan 𝑥 = 0.1563927449 dan 𝑦 = 0.4917706759 dengan waktu=26.7442 detik.
Contoh 2: Perhatikan sistem persamaan non linier berikut.
𝑥 + cos(𝑥𝑦) − 𝑧 2 − 1,1 = 0 𝑥 2 − 10𝑦 − e xy + 0,8 = 0 𝑥𝑧 + 𝑦 2 − 𝑧 − 0,3 = 0

## Tabel 2.  Hasil penyelesaian SPNL contoh 2
Metode Nilai awal Solusi PSO 𝑥 = −0.0872108122 𝑦 = 0.0438547305 z = −0.251569332
𝑥 = 0 .2676238813 𝑦 = −0.0125036768 z = −0.4094121182 GSO 𝑥 = −0.0872108122 𝑦 = 0.0438547305 z = −0.251569332 𝑥 = −0.0420091244 𝑦 = −0.0199657728 z = −0.2508212616 NR 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = 0
x = 0.26756623 y = -0.0133904733 z = -0.409348541

## Gambar 3. Grafik nilai fitness SPNL contoh 2
Gambar 3 merupakan output dari sistem persamaan contoh 2 dengan sumbu x merupakan banyaknya  iterasi  dan  sumbu y merupakan  nilai  fungsi.  Sistem  persamaan  non  linier contoh  2  dengan  tiga  variabel    menggunakan  maksimum  iterasi  sebanyak  700.  Pada Gambar  3    untuk  algoritma Partcle  Swarm  Optimization menunjukkan  bahwa  nilai 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖  = 0 atau mencapai nilai optimum pada iterasi ke-415 dan solusi yang dihasilkan adalah 𝑥 = 0 ,2676238813, 𝑦 = −0,0125036768, dan 𝑧 = −0,4094121182 dengan waktu=44.997  detik,  sedangkan  untuk  algoritma Glowworm  Swarm  Optimization menunjukan  nilai 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 = 0,24374750389040273 pada  iterasi  ke-174  dan  solusi yang dihasilkan 𝑥 = −0.0420091244 , 𝑦 = −0.0199657728 , dan 𝑧 = −0.2508212616 dengan waktu = 47.2696 detik.
Dalam studi kasus  ini, solusi contoh  1 dan 2  yang diselesaikan dengan  PSO dan GSO menunjukkan bahwa PSO memiliki performa yang lebih baik dari pada GSO.  perbedaan waktu  pencapaian  konvergensi  solusi  antara  PSO  dan  GSO  tidak  begitu  berarti  pada penelitian ini selama hanya 3 detik selisih waktu perhitungannya. Jika dilihat dari Gambar 2 dan 3, dapat disimpulkan bahwa GSO mudah terjebak pada solusi local optimum. Hal ini  dikarenakan  setiap  individu  di  GSO  memiliki  ruang  gerak  pencarian  solusi  yang terbatas  hanya  pada  individu  tetangga  terdekat  yang  solusinya  belum  tentu  optimal. Sedangkan pada PSO, individu bergerak sesuai dengan informasi dari individu optimal yang terpilih. Sehingga global optimal mudah dicapai.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  kasus  contoh  diatas,  dapat  disimpulkan  bahwa  algoritma Particle  Swarm  Optimization memiliki  performa  yang  lebih  baik  dari  pada  algoritma Glowworm Swarm Optimization dalam penyelesaian sistem persamaan non linier. Hal ini disebabkan  karena  algoritma Particle  Swarm  Optimization selalu  konvergen  ke  global optimal dibandingkan algoritma Glowworm Swarm Optimization yang hanya konvergen pada  local  optimal  seperti  pada  contoh  2.  Konvergensi  ke  lokal  optimum  pada  GSO dikarenakan Glowworm akan  berpindah  menuju  ke  tetangganya  yang  lebih  baik  yang
lebih banyak luciferin , tetapi posisi baru setelah berpindah tidak menjamin solusi menuju ke global optimal.

## Daftar Pustaka
[1] Arif, M. Z, Farida, Y. dan Kamsyakawuni, A. (2017). "Penerapan Metode Newton- Cotes Open Form 5 Titik Untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinier." Unnes Journal of Mathematics 6(1): 102-107.
[2] Anwar,  Z.  (2016).  Penerapan  Gabungan  Metode  Zero  Crossing  Dan  Virus Evolutionary Genetic Algorithm (Vega) Pada Penyelesaian Persamaan Non-Linier. Skripsi .  Jember:  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam  Universitas Jember.
[3] Baihaki, N. A. (2016). Penerapan Algoritma Cat Swarm Optimization (CSO) Pada Penyelesaian  Sistem  Persamaan  Non-linier. Skripsi .  Jember:  Fakultas  Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.
[4] Chu, S. C., Tsai, P. W., dan Pan, J. S. (2006). “Computational Intelligence Based on the Behavior of Cats”. International Journal of innovative Computing, Information and Control. 3 (1): 163-173.
[5] Erny, (2013). Optimasi Pola Penyusunan Barang Dalam Peti Kemas Menggunakan Algoritma Particle Swarm Optimization. Skripsi . Makasar : UNHAS.
[6] Gong, Q., Zhou, Y, dan Yang, Y. (2011). Artificial Glowworm Swarm Optimization Algoritma  For  Solving  0-1  Knapsack  Problem .  Journal  of  Advanced  Materials Research. 143-144: 166-171.
[7] Krishnanand,  K.  N,  Ghose  D.  (2008).  Theorical  foundations  for  rendezvous  of glowworm-inspired  agent  swarms  at  multiple  locations. Journal  of  Robotics  and Autonomous Sistem . 56 (7): 549-569.
[8] Munir, R. (2003). Metode Numerik . Jakarta: Erlangga.
[9] Utami, N. N. R., Widana, I. N., dan Asih, N. M. (2013). Perbandingan Solusi Sistem Persamaan  Non  linier  Menggunakan  Metode  Newton-Raphson  dan  Metode Jacobian. E-Jurnal Matematika . 2 (2): 11-17.
[10] Xu, S.H, Liu, J. P,  Zhang, F. H, Wang, L., dan Sun, L. J. (2015). A Combination of Genetic Algorithm and Particle Swarm Optimization for Vehicle Routing Problem With Time Windows . Swithzerland: Licensee MDPI, B|asel, Switzerland.