Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 2, Nopember 2021, 169-186 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i2.8751

## Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
Miftahul Fikri 1 *, Samsurizal 2 , Andi Makkulau 3 1,2,3 Jl. Lingkar Luar Barat, Duri Kosambi, Cengkareng, Jakarta 11750 1,2,3 Fakultas Ketenagalistrikan dan Energi Terbarukan IT-PLN Jakarta Indonesia e-mail: miftahul@itpln.ac.id
Diajukan: 25 Februari 2021, Diperbaiki: 17 Juni 2021, Diterima: 24 Juni 2021

## Abstrak
Sejak integral diperkenalkan oleh Newton dan Leibniz pada abad ke-17, alat ukur ini terus dilakukan kajian dan  perumuman  hingga saat ini. Terdapat tiga integral yang dikenal secara luas  yaitu integral Riemann, integral Lebesgue dan integral HK. Pada masanya  integral Riemann  diterapkan untuk menyelesaikan berbagai persoalan tetapi kemudian diketahui memiliki keterbatasan. Integral Lebesgue muncul untuk mengatasi keterbatasan ini. Integral Lebesgue pun kemudian diketahui memiliki keterbatasannya tersendiri sehingga muncul integral Henstock-Kurzweil (integral HK) untuk mengatasi keterbatasan integral Lebesgue. Dalam banyak literatur seringkali untuk menyelesaikan soal integral tidak menggunakan  definisi/  kerangka acuan yang sama  sehingga  sangat  sulit memahami  substansi maupun keterkaitan ketiga integral ini. Oleh karena itu, pada penelitian ini dilakukan perbandingan penyelesaian persoalan  integral menggunakan definisi.  Adapun  dari empat persoalan integral yang dibahas,  integral Riemann dapat menyelesaikan satu persoalan, integral Lebesgue dapat menyelesaikan dua persoalan dan integral HK dapat menyelesaikan seluruh persoalan yang dibahas.
Kata Kunci : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock-Kurzweil.

## Abstract
Since the integral was introduced by Newton and Leibniz in the 17th century, this measuring instrument has continued to be examined and generalized today. There are three integrals that are widely known, namely the Riemann integral, the Lebesgue integral, and the HK integral. In his time the Riemann integral was applied to solve various problems, but it was later discovered to have limitations. Lebesgue integral emerges  to overcome these  limitations.  Then the Lebesgue integral is also known to have its limitations so that the Henstock-Kurzweil integral (HK integral) emerges to overcome the limitations of the Lebesgue integral. In much literature, often solving integral problems does not use the definition / same frame of reference so that it is very difficult to understand the substance and the relationship between these three integrals. Therefore, this research was carried out the comparison of integral problem solving using definitions. As for the four problems of integral discussed, the Riemann integral can solve one problem, the Lebesgue integral can solve two problems and the HK integral can solve all the problems discussed. Keywords : Riemann integral, Lebesgue integral, Henstock-Kurzweil integral

## 1  Pendahuluan
Sejak Newton dan Leibniz pada abad ke-17 mengkaji turunan dan integral secara terpisah, topik ini  khususnya integral  terus mengalami perkembangan  hingga era modern  [1].  Era ini dimulai pada tahun 1823 ketika Cauchy mendefinisikan integral fungsi kontinu pada selang tutup
170 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
[ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] menggunakan konsep limit. Kemudian pada tahun 1854 Riemann melengkapi pekerjaan Cauchy dengan mendefinisikan integral fungsi terbatas pada interval [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] [2]  [3]. Integral Riemann memiliki banyak penerapan dalam berbagai metode dan permasalahan  seperti transformasi Laplace [4], transformasi Fourier [5], persamaan diferensial [6], fuzzy [7], dan lain- lain.  Dalam perkembangannya ditemukan fungsi-fungsi takterintegralkan Riemann,  berikut kekurangan integral Riemann [8]:
a. Jika suatu fungsi terintegralkan Riemann di interval terbatas [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dari garis real maka fungsi terbatas,
b. Terdapat turunan fungsi yang terbatas tidak terintegralkan Riemann,
c. Terdapat barisan fungsi { 𝑓𝑓 𝑛𝑛 } 𝑛𝑛=1 ∞ seragam terbatas, fungsi terintegralkan Rieman konvergen titik  demi  titik  ke fungsi 𝑓𝑓 di dalam interval terbatas [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dari garis real tetapi 𝑓𝑓 tak- terintegralkan Riemann di [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] .
Pada tahun 1902 Lebesgue melakukan perumuman untuk mengatasi tiga kekurangan pada integral Riemann tersebut [8]. Hingga saat ini, beberapa literatur masih melakukan kajian tentang integral Lebesgue seperti [9],  [10],  [11],  [12].  Meskipun dapat mengatasi kekurangan integral Riemann, dalam kajian sifat-sifat lanjutan integral Lebesgue masih terdapat fungsi 𝐹𝐹 kontinu di [0,1] dengan 𝐹𝐹′ tak terintegralkan Lebesgue di [0,1] . Pada tahun 1912, Denjoy mendefinisikan integral untuk menyelesaikan permasalahan ini. Kemudian pada tahun 1914, Oskar Perron melakukan pendekatan berbeda dengan mengutamakan aplikasi teori integralnya pada permasalahan  persamaan diferensial dan potensial. Yang kemudian diketahui bahwa Integral Denjoy dan Perron adalah ekuivalen dan merupakan perumuman dari integral Newton, integral Riemann, dan integral Lebesgue [8] [13].
Meskipun integral Denjoy dan Perron cukup powerful akan tetapi diperlukan mempelajari teori matematika yang lebih banyak. Pada tahun 1957 Jaroslav Kurzweil mendefinisikan integral pada risetnya terkait persamaan diferensial, secara terpisah pada  tahun 1968 Ralph Henstock medefinisikan integralnya  [14]. Integral Kurzweil dan integral Henstok kemudian diketahui ekuivalen dan biasa disebut integral HK. Bukan hanya samapai disitu, ternyata integral Henstok- Kurzweil dan integral Denjoy-Perron juga ekuivalen [13]. Walaupun integral HK dan integral Denjoy-Perrron ekuivalen, Integral HK lebih banyak digunakan karena dalam pendefinisian dan perhitungannya seperti integral Riemann. Dalam banyak literatur, integral HK masih dilakukan kajian lebih lanjut seperti [15], [16], [17].
Dalam perhitungannya seperti  [18],  [19],  [20],  [12]  untuk menyelesaikan permasalahan integral, baik integral Riemann, integral Lebesgue maupun integral HK seringkali tidak berdasarkan kerangka acuan yang sama (definisi) sehingga baik substansi maupun keterkaitan

## 171
ketiga integral ini tidak dapat dilihat secara langsung. Oleh karena itu penelitian ini akan membahas penyelesaian integral Riemann, Lebesgue, dan  HK  pada beberapa soal integral berdasarkan definisi.

## 2 Metode Penelitian
Definisi 1 [ [8][21] ] Suatu partisi dari suatu interval 𝐼𝐼 = [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] adalah koleksi 𝑃𝑃 = { 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ,.  .  ., 𝐼𝐼 𝑛𝑛 } dari non-overlapping interval tertutup yang mana gabungannya adalah [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ]. Biasanya interval dilambangkan 𝐼𝐼 𝑖𝑖 = [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], di mana
𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 0 < ⋯ < 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 < 𝑥𝑥 𝑖𝑖 < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 .
Titik-titik 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 adalah disebut titik-titik partisi dari 𝑃𝑃 . Jika suatu titik 𝑡𝑡 𝑖𝑖 dipilih dari setiap interval 𝐼𝐼 𝑖𝑖 , untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 , maka titik-titit 𝑡𝑡 𝑖𝑖 disebut label-label dan himpunan pasangan terurut 𝑃𝑃̇ = {( 𝐼𝐼 1 , 𝑡𝑡 1 ), ( 𝐼𝐼 2 , 𝑡𝑡 2 ), … , ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 , 𝑡𝑡 𝑛𝑛 )} adalah disebut partisi label dari 𝐼𝐼 .
Definisi 2 [ [8][21] ] Suatu gauge di dalam 𝐼𝐼 adalah suatu fungsi strictly positif yang didefinisikan di dalam 𝐼𝐼 . Jika 𝛿𝛿 adalah suatu gauge di dalam 𝐼𝐼 , maka suatu (tagged) partisi 𝑃𝑃̇ adalah dikatakan menjadi 𝛿𝛿 − 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓 jika 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 𝑖𝑖 ⊂ [ 𝑡𝑡 𝑖𝑖 − 𝛿𝛿 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ), 𝑡𝑡 𝑖𝑖 + 𝛿𝛿 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 )], 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 .
Definisi 3[ [21] ] Suatu fungsi 𝑓𝑓 : [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] → ℝ adalah dikatakan terintegralkan Riemann di [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] jika dipenuhi langkah-langkah/ pernyataan berikut:
1. Pilih L ∈ ℝ , ambil sembarang 𝜀𝜀 > 0 dan pilih 𝛿𝛿 𝜀𝜀 > 0,
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 ,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk i = 1,2, … n , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ dari [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dengan ‖𝑃𝑃‖ < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 maka
�� 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� < 𝜀𝜀 .
Langkah-langkah/ pernyataan di atas merupakan pemaknaan dari definisi berikut : suatu fungsi 𝑓𝑓 : [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] → ℝ adalah dikatakan terintegralkan Riemann di [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] jika disini ada bilangan 𝐿𝐿 ∈ ℝ ∋ ∀ 𝜀𝜀 > 0 disini ada 𝛿𝛿 𝜀𝜀 > 0 ∋ jika 𝑃𝑃̇ adalah sembarang tag partisi dari [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dengan �𝑃𝑃̇� < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ,

## 172 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
maka | ∑ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿 | < 𝜀𝜀 . Bilangan 𝐿𝐿 jika ada disebut integral Riemann dari 𝑓𝑓 atas [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dan dilambangkan dengan ( 𝑅𝑅 ) ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] .
Definisi 4 [ [22] ] Suatu fungsi yang terukur dan terbatas 𝑓𝑓 : 𝐴𝐴 → ℝ adalah terintegralkan Lebesgue di 𝐴𝐴 jika dipenuhi langkah-langkah/ pernyataan berikut:
1. Pilih bilangan real 𝐿𝐿 , ambil sembarang 𝜀𝜀 > 0 dan pilih 𝛿𝛿 𝜀𝜀 > 0,
2. Tetapkan  batas bawah terbesar 𝑙𝑙 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓 { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 } dan  batas atas terkecil 𝑢𝑢 = 1 + 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑠𝑠 { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 } ( 𝑙𝑙 , 𝑢𝑢 dijamin keberadaannya karena 𝑓𝑓 terbatas), kemudian  ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik { 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 1 , … , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 𝑙𝑙 = 𝑦𝑦 0 < 𝑦𝑦 1 < 𝑦𝑦 2 < .  .  . < 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 𝑢𝑢 ,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [ 𝑙𝑙 , 𝑢𝑢 ] , ambil sembarang titik 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑦𝑦 1 − 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 1 ,   .  .  . , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ], 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 , sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ dengan ‖𝑃𝑃‖ < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 dan m ukuran Lebesgue maka
�� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� < 𝜀𝜀 .
Langkah-langkah/ pernyataan di atas merupakan pemaknaan dari definisi berikut : suatu fungsi yang terukur dan terbatas 𝑓𝑓 : 𝐴𝐴 → ℝ adalah terintegralkan Lebesgue di 𝐴𝐴 jika ada bilangan real 𝐿𝐿 ∋ ∀𝜀𝜀 > 0 ∃ 𝛿𝛿 > 0 ∋ jika ‖𝑃𝑃‖ < 𝛿𝛿 maka | ∑ 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿 | < 𝜀𝜀 . Bilangan 𝐿𝐿 jika ada disebut integral Lebesgue dari 𝑓𝑓 atas 𝐴𝐴 dan dilambangkan dengan ( 𝐿𝐿 ) ∫ 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝐴𝐴 .
Definisi  5 [ [8] ] Suatu fungsi 𝑓𝑓 : 𝐼𝐼 → ℝ dengan 𝐼𝐼 interval tertutup di 𝑅𝑅 ∗ adalah dikatakan terintegralkan HK di 𝐼𝐼 jika dipenuhi langkah-langkah/ pernyataan berikut:
1. Pilih 𝐿𝐿 ∈ ℝ , ambil sembarang 𝜺𝜺 > 0 , pilih gauge 𝛿𝛿 𝜀𝜀 di 𝐼𝐼 ,
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam 𝐼𝐼 yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 dengan 𝑥𝑥 0 dan 𝑥𝑥 𝑛𝑛 masing-masing batas bawah dan batas atas di 𝐼𝐼 ,
3. Tetapkan  partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari 𝐼𝐼 , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 , sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ adalah 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − fine dari 𝐼𝐼 maka
�� 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� < 𝜀𝜀 ,
Langkah-langkah/ pernyataan di atas merupakan pemaknaan dari definisi berikut : suatu fungsi 𝑓𝑓 : 𝐼𝐼 → ℝ dengan 𝐼𝐼 interval tertutup di 𝑅𝑅 ∗ adalah dikatakan terintegralkan HK di 𝐼𝐼 jika ∃ 𝐿𝐿 ∈ ℝ ∋ ∀ 𝜺𝜺 > 𝟎𝟎 ∃ gauge 𝛿𝛿 𝜀𝜀 di 𝐼𝐼 sedemikian rupa sehingga jika 𝑃𝑃̇ adalah sembarang partisi 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓 dari 𝐼𝐼 , maka | ∑ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿 | < 𝜀𝜀 . Bilangan 𝐿𝐿 jika ada disebut integral HK dari 𝑓𝑓 atas 𝐼𝐼 dan dilambangkan dengan ( 𝐻𝐻𝐻𝐻 ) ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐼𝐼 .

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada penelitiain ini akan  mengkaji  integral Riemann, integral Lebesque dan integral HK menggunakan definisi untuk menyelesaikan empat masalah integral sebagai berikut:
1. fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 di [0,1] ,
2. fungsi Dirichlet di [0,1],
3. fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝑥𝑥 2 di [1, ∞ ) ,
4. fungsi 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 ) di [0,1] dengan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 0, 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 cos 𝜋𝜋 𝑥𝑥 2 ,   0 < 𝑥𝑥 ≤ 1.
Masing-masing soal akan dibahas sebagai berikut:
1. Fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 di [0,1].
a. Integral Riemann [23]
1. Pilih 𝐿𝐿 = 1 2 , ambil sembarang 𝜺𝜺 > 0 dan pilih 𝛿𝛿 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 ,
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam [0,1] , yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 0 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [0,1] , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
Sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ dari [0,1] dengan ‖𝑃𝑃‖ < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 maka
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 )
𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿� = �� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 �

## 174 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
= �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + � 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � (1)
di mana 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � = ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 +𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 2 , untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 . Selanjutnya di dalam persamaan (1) diperoleh
� 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 2 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 2 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 2 ) 2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 2 − 𝑥𝑥 0 2 ) 2 − 1 2 = 1 2 − 1 2 = 0
Sehingga Persamaan (1) menjadi | ∑ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 |. Akibatnya,
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � ≤ � | 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � | 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) < � 𝜀𝜀 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
= 𝜀𝜀 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 𝜀𝜀 . 1 = 𝜀𝜀 .
Sehingga 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 terintegralkan Riemann di [0,1] dan ( 𝑅𝑅
) ∫ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] = 1 2 .

## b. Integral Lebesgue
1. Pilih bilangan real 𝐿𝐿 = 1 2 , ambil sembarang 𝜀𝜀 > 0 dan pilih 𝛿𝛿 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 ,
2. Tetapkan 𝑙𝑙 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓 { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 } = 0 dan 𝑢𝑢 = 1 + 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑠𝑠 { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 } = 2, kemudian ambil sembarang 𝑛𝑛 > 1 bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik { 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 1 , … , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 0 = 𝑦𝑦 0 < 𝑦𝑦 1 < 𝑦𝑦 2 < .  .  . < 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 2,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [0,2] , ambil sembarang titik 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑦𝑦 1 − 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 1 ,   .  .  . , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ], 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ dengan ‖𝑃𝑃‖ < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 dan 𝑚𝑚 ukuran Lebesgue maka
�� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� = �� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒓𝒓 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� + � � 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝒓𝒓+𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� (2)
di mana 𝒚𝒚 𝒓𝒓 ∗ ∈ { 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 1 , … , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } bilangan terkecil yang lebih dari 1 akibatnya | ∑ 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝒓𝒓+𝟏𝟏 − 𝐿𝐿 | = 0, sehingga  Persamaan (2) menjadi
�� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� = �� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒓𝒓 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� = �� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒓𝒓 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 1 2 � ` = �� 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒓𝒓 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 1 2 � , di mana 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ = 𝒇𝒇 −𝟏𝟏 ( 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ ) = �� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + � 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � (3)
di mana 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � = ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 +𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 2 , untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 . Selanjutnya di dalam Persamaan (3) diperoleh
� 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 2 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 2 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 2 ) 2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2

## 176 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
= ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 2 − 𝑥𝑥 0 2 ) 2 − 1 2 = 1 2 − 1 2 = 0.
Sehingga Persamaan (3) menjadi | ∑ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 |. Akibatnya,
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � ≤ � | 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � | 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) < � 𝜀𝜀 ∆𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
= 𝜀𝜀 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 𝜀𝜀 . 1 = 𝜀𝜀 .
Sehingga 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 terintegralkan Lebesgue di [0,1] dan ( 𝐿𝐿 ) ∫ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑚𝑚 [ 0 , 1 ] = 1 2 .

## c. Integral HK
1. Pilih 𝐿𝐿 = 1 2 , ambil sembarang 𝜺𝜺 > 𝟎𝟎 dan pilih gauge 𝛿𝛿 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 /2,
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam [0,1] , yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 0 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1, 3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [0,1] , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
Sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ adalah 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − fine dari [0,1] maka
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿� = �� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + � 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
− 1 2 � (4)

## 177
di mana 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � = ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 +𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 2 , untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 . Selanjutnya di dalam Persamaan (4) diperoleh
� 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 2 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 2 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 2 ) 2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 = ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 2 − 𝑥𝑥 0 2 ) 2 − 1 2 = 1 2 − 1 2 = 0.
Sehingga Persamaan (4) menjadi | ∑ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 |. Akibatnya,
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 2 � = �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � ≤ � | 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝚤𝚤 � | 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) < � 𝜀𝜀 ∆𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
= 𝜀𝜀 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 𝜀𝜀 . Sehingga 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 terintegralkan HK di [0,1] dan ( 𝐻𝐻𝐻𝐻 ) ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 [ 0 , 1 ] = 1 2 .
2. Fungsi Dirichlet di [0,1] . Misalkan 𝐸𝐸 himpunan bilangan rasional di [0,1] dan 𝐹𝐹 himpunan bilangan irasional di [0,1] , definisikan fungsi 𝑓𝑓 di [0,1] yaitu 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 1, 𝑥𝑥 ∈ 𝐸𝐸 0, 𝑥𝑥 ∈ 𝐹𝐹 .
a. Integral Riemann
1. Ambil sembarang 𝐿𝐿 ∈ ℝ , pilih 𝜀𝜀 > 0 dan 𝜀𝜀 = � < 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 {1 − 𝐿𝐿 , 𝐿𝐿 − 1}; 𝐿𝐿 ≠ 1 { 𝑥𝑥 |0 < 𝑥𝑥 < 1}; 𝐿𝐿 = 1, ambil sembarang 𝛿𝛿 > 0,
2. Tetapkan . 𝑟𝑟 ∈ 𝑁𝑁 dan 𝑟𝑟 > 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 �� 1 𝛿𝛿 + 1 � 𝜀𝜀 , 𝜀𝜀 1−𝜀𝜀 � , tetapkan 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 , 𝑛𝑛 ≠ 𝐿𝐿𝐿𝐿 1−𝐿𝐿 dan 𝑛𝑛 = � > 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 � −𝐿𝐿 ( 𝜀𝜀−𝐿𝐿 ) 𝜀𝜀−𝐿𝐿+1 , −𝐿𝐿 ( 𝜀𝜀+𝐿𝐿 ) 𝜀𝜀+𝐿𝐿−1 , 1 𝛿𝛿 − 𝑟𝑟� ; 𝐿𝐿 ≠ 1 �𝑥𝑥 | 1 𝛿𝛿 − 𝑟𝑟 < 𝑥𝑥 ≤ −𝐿𝐿 ( 𝜀𝜀−1 ) 𝜀𝜀 � ; 𝐿𝐿 = 1 , tetapkan 𝑥𝑥 0 = 0, 𝑥𝑥 𝑖𝑖 = 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 1 𝑛𝑛+𝐿𝐿 untuk
𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 sehingga diperoleh 0 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < ⋯ < 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝐿𝐿 = 1,
178 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
3. Tetapkan 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛+𝐿𝐿 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ = 𝑥𝑥 𝑖𝑖 +𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 2 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 , hitung ‖𝑃𝑃‖ =
1 𝑛𝑛+𝐿𝐿 , tetapkan 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛+𝐿𝐿 ,
sedemikian rupa sehingga ‖𝑃𝑃‖ = 1 𝑛𝑛+𝐿𝐿 < 𝛿𝛿 , maka
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛+𝐿𝐿 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿� = �� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 + � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛+𝐿𝐿 𝑖𝑖=𝑛𝑛+1 − 𝐿𝐿�
= �� 1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 + � 0( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛+𝐿𝐿 𝑖𝑖=𝑛𝑛+1 − 𝐿𝐿�
= �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿� = �� 1 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿� = � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑟𝑟 − 𝐿𝐿� ≥ � −𝑟𝑟 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1 −𝑟𝑟 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1 + 𝑟𝑟 − 𝐿𝐿� ≥ �� − 𝜀𝜀 1 − 𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1 − 𝜀𝜀 1 − 𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1 + 𝜀𝜀 1 − 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿�� = � −𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) −𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) + 𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) − 𝐿𝐿� = � −𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) 𝜀𝜀 (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) − 𝐿𝐿� = � −𝜀𝜀 ( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 ) (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) (1 − 𝜀𝜀 )( 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿 + 1) 𝜀𝜀 − 𝐿𝐿� = | −𝜀𝜀 + 𝐿𝐿 − 𝐿𝐿 |
≥ 𝜀𝜀 .
Sehingga fungsi Dirichlet di [0,1] tak terintegralkan Riemann .
b. Integral Lebesgue
1. Pilih 𝐿𝐿 = 0 , ambil sembarang 𝜀𝜀 > 0 dan pilih 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ≤ 𝜀𝜀 2 ∋ ,

## 179
2. Tetapkan 𝑙𝑙 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑓𝑓 { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 } = 0 dan 𝑢𝑢 = 1 + 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑠𝑠 { 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 } = 2, kemudian ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di [0,2] sedemikian rupa sehingga 0 = 𝑦𝑦 0 < 𝑦𝑦 1 < ⋯ < 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = 2,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [0,2] , ambil sembarang titik 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑦𝑦 1 − 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 1 ,   .  .  . , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑦𝑦 𝑖𝑖−1 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ], 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 .
Sedemikian rupa sehingga tag partisi 𝑃𝑃̇ dengan ‖𝑃𝑃‖ < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 dan 𝑚𝑚 ukuran Lebesgue maka
�� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� = �� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 0 � = �� 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � = ��𝒚𝒚 𝟏𝟏 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝟎𝟎 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝟏𝟏 }) + � 𝒚𝒚 𝒊𝒊 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝒊𝒊 }) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟐𝟐 𝒊𝒊≠𝒋𝒋 + 𝒚𝒚 𝒋𝒋 ∗ 𝒎𝒎��𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝒋𝒋−𝟏𝟏 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) = 𝟏𝟏 < 𝒚𝒚 𝒋𝒋 ����
= | 𝒚𝒚 𝟏𝟏 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 | 𝒚𝒚 𝟎𝟎 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝟏𝟏 }) + 0 + 0| = �𝒚𝒚 𝟏𝟏 ∗ �𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐸𝐸 | 𝒚𝒚 𝟎𝟎 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝟏𝟏 }) + 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐹𝐹 | 𝒚𝒚 𝟎𝟎 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝟏𝟏 }) �� = | 𝒚𝒚 𝟏𝟏 ∗ 𝒎𝒎 ({ 𝑥𝑥 ∈ 𝐹𝐹 | 𝒚𝒚 𝟎𝟎 ≤ 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) < 𝒚𝒚 𝟏𝟏 })| = | 𝑦𝑦 1 ∗ ( 𝑦𝑦 1 − 𝑦𝑦 0 )| ≤ | 𝑦𝑦 1 ∗ 𝛿𝛿 | < 2 𝛿𝛿 < 𝜀𝜀 .
Sehingga fungsi Dirichlet 𝑓𝑓 terintegralkan Lebesgue di [0,1] dan ( 𝐿𝐿 ) ∫ 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑚𝑚 [ 0 , 1 ] = 0.

## 180 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
c. Integral HK [21]
1. Pilih 𝐿𝐿 = 0, ambil sembarang 𝜺𝜺 > 𝟎𝟎 , 𝐸𝐸 terhitung sehingga dapat disimbolkan dengan
{ 𝑟𝑟 𝑘𝑘 } 𝑘𝑘=1 ∞ , definisikan 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ( 𝑟𝑟 𝑘𝑘 ) = 𝜀𝜀 2 𝑘𝑘+2 dan 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ( 𝑥𝑥 ) = 1 jika 𝑥𝑥 ∈ 𝐹𝐹 .
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam [0,1] yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 0 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 , sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ = {( 𝐼𝐼 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 adalah 𝛿𝛿 𝜀𝜀 -fine dari [0,1] , maka
� � 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒎𝒎+𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� = � � 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒎𝒎+𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 0 �
= � � 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒎𝒎+𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � = �� 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒎𝒎 𝒊𝒊=𝟏𝟏 + � 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � = �� 𝟎𝟎 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒎𝒎 𝒊𝒊=𝟏𝟏 + � 𝟏𝟏 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � = �� ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � (5)
Ambil 𝑛𝑛 → ∞ , maka Persamaan (5) menjadi
≤ �� 2 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � ≤ �� 2 𝜀𝜀 2 𝑘𝑘+2 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � ≤ �� 𝜀𝜀 2 𝑘𝑘+1 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � = � 𝜀𝜀 2 � < 𝜀𝜀 .
Sehingga fungsi Dirichlet 𝑓𝑓 terintegralkan HK di [0,1] dan ( 𝐻𝐻𝐻𝐻 ) ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 [ 0 , 1 ] = 0 .

## 181
3. Integral untuk fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝑥𝑥 2 di [1, ∞ ).
a. Integral Riemann
Karena domain fungsi tak terbatas, maka berdasarkan definisi fungsi tak terintegralkan.
b. Integral Lebesgue
Karena domain fungsi tak terbatas maka berdasarkan definisi, fungsi tak terintegralkan.
c. Integral HK [27]
1. Pilih 𝐿𝐿 = 1 , ambil sembarang 𝜀𝜀 > 0 , definisikan gauge 𝛿𝛿 𝜀𝜀 yang terbatas di [1, ∞ ] yaitu 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ( ∞ ) = � 2 𝜀𝜀 , ∞� dan [ 𝑤𝑤 , ∞ ] ⊂ 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ( ∞ ) maka �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ([ 𝑤𝑤 , ∞ )) − 1 𝑤𝑤� = 1 𝑤𝑤 < 𝜀𝜀 2 (6)
(Persamaan (6) dapat diartikan bahwa luas daerah di bawah fungsi 𝑓𝑓 atas interval [ 𝑤𝑤 , ∞ ) harus bernilai 1 𝑤𝑤 ),
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam 𝐼𝐼 yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 1 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ∞ ,
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari 𝐼𝐼 , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
sedemikian rupa sehingga jika tag partisi 𝑃𝑃̇ adalah 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − fine dari [1, ∞ ] maka
�� 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 1 � = �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) + � 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 𝒊𝒊 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 1 � = �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 + 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 + � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 − 1 � ≤ �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � + �� 1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 2 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 + 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 − 1 � = �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � + �� 1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 2 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 + � − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 �
= �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � + �� � 1 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 2 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) − � 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 �� 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 � = �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � + � � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 2 ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 2 � � 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1

## 182 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
≤ �𝑓𝑓 ( ∞ ) 𝑙𝑙 ( 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � + � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ � 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 ≤ 𝜀𝜀 2 + � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ � 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 .
Definisikan 𝛿𝛿 𝜀𝜀 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) = �𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝜀𝜀𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ 4 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ + 𝜀𝜀𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ 4 � sehingga
�� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 1 � ≤ 𝜀𝜀 2 + � 𝜀𝜀𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ 2 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 � 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � = 𝜀𝜀 2 + 𝜀𝜀 2 � � 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 − 1 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=1 = 𝜀𝜀 2 + 𝜀𝜀 2 � 1 − 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � < 𝜀𝜀 .
Sehingga fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝑥𝑥 2 terintegralkan HK di [1, ∞ ) dan ( 𝐻𝐻𝐻𝐻 ) ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 [ 1 , ∞ ) = 1 .
4. Integral 𝑓𝑓′ jika diketahui 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 0, 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 cos 𝜋𝜋 𝑥𝑥 2 ,   0 < 𝑥𝑥 ≤ 1. Dengan menggunakan turunan perkalian fungsi akan diperoleh 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 ) = � 0, 𝑥𝑥 = 0 2 𝑥𝑥 cos 𝜋𝜋 𝑥𝑥 2 + 2𝜋𝜋 𝑥𝑥 sin 𝜋𝜋 𝑥𝑥 2 ,     0 < 𝑥𝑥 ≤ 1 .
a. Integral Riemann
1. Ambil sembarang 𝐿𝐿 ∈ ℝ , pilih 0 < 𝜀𝜀 < 2 𝜋𝜋 , ambil sembarang 𝛿𝛿 > 0,
2. Tetapkan 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 , tetapkan 𝑥𝑥 0 = 0, 𝑥𝑥 𝑖𝑖 = 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 1 𝑛𝑛 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 sehingga diperoleh 0 = 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < ⋯ < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 1, 3. Tetapkan 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ = 𝑥𝑥 𝑖𝑖 +𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 2 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 1 𝑛𝑛 , tetapkan 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
Sedemikian rupa sehingga ‖𝑃𝑃‖ = 1 𝑛𝑛 < 𝛿𝛿 , �� 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿� = �𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 1 ∗ )( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 ) + � 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 − 𝐿𝐿�
= �𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 1 ∗ )( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 ) − �− � 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 + 𝐿𝐿�� ≥ | 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 1 ∗ )( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 )| + �− � 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 + 𝐿𝐿�

## 183
≥ | 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 1 ∗ )( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 )| = �𝑓𝑓′ � 1 𝑛𝑛 � . � 1 𝑛𝑛 �� = �� 2 1 𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋 + 2 𝜋𝜋𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋� � 1 𝑛𝑛 �� = � 2 𝑛𝑛 2 cos 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋 + 2 𝜋𝜋 sin 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋�
Ketika 𝑛𝑛 → ∞ maka 2 𝑛𝑛 2 cos 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋 = 0 dan 2 𝜋𝜋 sin 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋 divergen direntang [ − 2 𝜋𝜋 , 2 𝜋𝜋 ]. Akibatnya ada 𝑛𝑛 ∋ | ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 − 𝐿𝐿 | ≥ |2 𝜋𝜋 sin 𝑛𝑛 2 𝜋𝜋 | ≥ 𝜀𝜀 . Sehingga 𝑓𝑓′ tak terintegralkan Riemann.
b. Integral Lebesgue
Karena 𝑓𝑓′ tak terbatas di [0,1] , maka sesuai definisi tak terintegralkan Lebesgue.
c. Integral HK
1. Pilih 𝐿𝐿 = − 1 , ambil sembarang 𝜺𝜺 > 𝟎𝟎 , pilih gauge 𝛿𝛿 𝜀𝜀 di [0,1],
2. Ambil sembarang n bilangan asli dan tetapkan sembarang koleksi dari titik-titik di dalam [0,1] yaitu { 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,.  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian rupa sehingga 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < .  .  . < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 dengan 𝑥𝑥 0 dan 𝑥𝑥 𝑛𝑛 masing-masing batas bawah dan batas atas di [0,1],
3. Tetapkan partisi 𝑃𝑃 = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ]} 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 subinterval dari 𝐼𝐼 , ambil sembarang titik 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ∈ [ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ] untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … 𝑛𝑛 , hitung ‖𝑃𝑃‖ = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 { 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ,   .  .  . , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 } dan tetapkan tag partisi 𝑃𝑃̇ = {[ 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ], 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ } 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 ,
sedemikian rupa sehingga jika tag  partisi 𝑃𝑃̇ adalah 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − fine dari [0,1] . Ketika 𝑓𝑓 terdiferensialkan di 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ maka disini ada 𝛿𝛿 𝜀𝜀 > 0 sedemikian rupa sehingga 𝑥𝑥 ∈ [0,1] jika
0 < | 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ | < 𝛿𝛿 𝜀𝜀 maka � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) −𝑓𝑓�𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ � 𝑥𝑥−𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑓𝑓′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) � < 𝜀𝜀 . Sehingga,
�� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝐿𝐿� = �� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 + 1 �
= �� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − ( − 1 − 0) � = �� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − �𝑓𝑓 (1) − 𝑓𝑓 (0) �� = �� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏
− �� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ��

## 184 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
= ���𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) � 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏
�
≤ �� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 � + �� 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ )( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) � < � 𝜀𝜀 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 + � 𝜀𝜀 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏
= 𝜀𝜀 � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖−1 ) 𝒏𝒏 𝒊𝒊=𝟏𝟏 = 𝜀𝜀 .
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh hasil sebagai berikut:
Tabel 1. Integran dengan Integral Riemann, Lebesgue dan HK
Integran Terintegralkan Riemann Terintegralkan Lebesgue Terintegralkan HK 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 di  [0,1] √ √ √
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 1; 𝑥𝑥 ∈ Bil rasional 0; 𝑥𝑥 ∈ Bil irasional 𝑑𝑑𝑖𝑖 [0,1] × √ √
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝑥𝑥2 di [1, ∞ ) × × √
𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 ) di [0,1] jika 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 0, 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 cos 𝜋𝜋 𝑥𝑥2 ,   0 < 𝑥𝑥 ≤ 1 × × √

## 4  Simpulan
Pada penelitiain ini membahas  penyelesaian  empat  masalah  integral  (fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 di [0,1] ,  fungsi Dirichlet di [0,1], fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝑥𝑥 2 di [1,
∞ ) , 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 ) di [0,1] jika 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 0, 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 cos 𝜋𝜋 𝑥𝑥 2 ,   0 < 𝑥𝑥 ≤ 1 ). Adapun hasil yang diperoleh sebagai berikut:
1. Berdasarkan definisi, integral Riemann hanya dapat menyelesaikan integral fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 di [0,1].
2. Berdasarkan definisi, integral Lebesgue dapat menyelesaikan integral fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 di [0,1] dan fungsi Dirichlet di [0,1].
3. Berdasarkan definisi, integral HK mampu menyelesaikan seluruh permasalahan integral ini.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  E. Cassirer, “Newton and Leibniz,” Philos. Rev. , vol. 52, no. 4, pp. 366–391, 1943.
[2]  I. N. Pesin, Classical And Modern Integration Theories . ACADEMIC PRESS, 1970.
[3]  P. Y. Lee and R. Vyborny, The integral an easy approach after Kurzweil and Henstock . Cambridge University Press, 2000.
[4]  N. Anjum and J. H. He, “Laplace transform: Making the variational iteration method easier,” Appl. Math. Lett. , vol. 92, pp. 134–138, 2019.
[5]  P. Borghesani, P. Pennacchi, S. Chatterton, and R. Ricci, “The velocity synchronous discrete Fourier transform for order tracking in the field of rotating machinery,” Mech. Syst. Signal Process. , vol. 44, no. 1–2, pp. 118–133, 2014.
[6]  X. Zhang, L. Liu, Y. Wu, and Y. Zou, “Existence and uniqueness of solutions for systems of fractional differential equations with Riemann–Stieltjes integral boundary condition,” Adv. Differ. Equations , vol. 2018, no. 1, 2018.
[7]  F. Santo Pedro, E. Esmi, and L. C. de Barros, “Calculus for linearly correlated fuzzy function using Fréchet derivative and Riemann integral,” Inf. Sci. (Ny). , vol. 512, no. 88882, pp. 219–237, 2020.
[8]  L. T. Yeong, Henstock-Kurzweil Integration On Euclidean Spaces . World Scientific, 2011.
[9]  D. Zeng, R. Zhang, S. Zhong, G. Yang, Y. Yu, and K. Shi, “Novel Lebesgue-integral- based approach to improved results for neural networks with additive time-varying delay components,” J. Franklin Inst. , vol. 354, no. 16, pp. 7543–7565, 2017.
[10]  E. Dubon and A. San Antolín, “The Lebesgue differentiation theorem revisited,” Expo. Math. , vol. 37, no. 3, pp. 322–332, 2019.
[11]  S. Gudder, “Quantum measure and integration theory,” J. Math. Phys. , vol. 123509, 2009.
[12]  F. Móricz, “The Lebesgue summability of trigonometric integrals,” J. Math. Anal. Appl. , vol. 390, no. 1, pp. 188–196, 2012.
[13]  R. A. Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock . 1994.
[14]  R. Henstock, “A Riemann-Type Integral of Lebesgue Power,” Can. J. Math. , vol. 20, no.
x, pp. 79–87, 1968.
[15]  G. Ye and W. Liu, “The distributional Henstock–Kurzweil integral and applications,” Monatshefte fur Math. , vol. 181, no. 4, pp. 975–989, 2016.
[16]  J. Malý and W. F. Pfeffer, “Henstock-Kurzweil integral on BV sets,” Math. Bohem. , vol. 141, no. 2, pp. 217–237, 2016.

## 186 Perbandingan Penyelesaian Integral Riemann, Lebesgue dan HK Berdasarkan Definisi
[17]  W. Liu, G. Ye, and D. Zhao, “The distributional Henstock-Kurzweil integral and applications II,” J. Nonlinear Sci. Appl. , vol. 10, no. 1, pp. 290–298, 2017.
[18]  A. Pruthi, “Riemann integral vs. Lebesgue integral: A perspective view,” Adv. Math. Sci.
J. , vol. 9, no. 7, pp. 4505–4512, 2020.
[19]  W. Wojas and J. Krupa, “Familiarizing Students with Definition of Lebesgue Integral: Examples of Calculation Directly from Its Definition Using Mathematica,” Math. Comput. Sci. , vol. 11, no. 3–4, pp. 363–381, 2017.
[20]  T. Kiria and G. Pantsulaia, “Calculation of Lebesgue integrals by using uniformly distributed sequences,” Trans. A. Razmadze Math. Inst. , vol. 170, no. 3, pp. 402–409, 2016.
[21]  R. G. Bartle and Donald R. Sherbert, “Introduction to Real Analysis.” John Wiley & Sons, p. 1015024, 2011.
[22]  D. S. Kurtz and C. W. Swartz, Theories of Integration , vol. 13. World Scientific, 2012.
[23]  R. P. Agarwal, C. Flaut, and D. O’Regan, An Introduction to Real Analysis . 2018.
[24]  H. Wilcox and D. L. Myres, An Introduction to Lebesgue Integration and Fourier Series . ROBERT E. KRIEGER PUBLISHING COMPANY, INC., 1978.
[25]  H. L. Royden. and P. M. Fitzpatrick, Real Analysis . Prentice Hall, 2010.
[26]  R. G. Bartle, A Modern Theory of Integration . American Mathematical Society, 2001.
[27]  C. Swartz, Gauge Integral . World Scientific, 2001.