Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.9, No.1, Januari 2023, pp. 121~127
DOI:10.31605/saintifik.v9i1.412
ISSN 2622-8904 (online)
Kajian Numerik Distribusi Panas Pada Gabungan Dua Pelat Berbeda Koefisien Konduktivitas Termal Dengan Menggunakan FDM 2 Dimensi
Rahman 1 , Sudarmono 2 1,2 Universitas Cenderawasih e-mail: rasgyatrav@gmail.com

## Abstrak
Pemanfaatan  metode  numerik  dalam  hal  ini  metode  beda  hingga  dalam  menyelesaikan permasalahan  yang  berkaitan  dengan  persamaan  diferensial  diantaranya  dapat  memberikan  gambaran mengenai  penyebaran  panas  pada  gabungan  2  bahan  dengan  konduktivitas  yang  berbeda.  Proses perpindahan  panas  pada  pelat  terukur  dari  perubahan  nilai  suhu  pada  bagian-bagian  pelat,  maka  pada gabungan  pelat  yang  memiliki  konduktivitas  panas  yang  berbeda  didapatkan  bahwa  pada  pelat  dengan konduktivitas lebih tinggi akan lebih cepat mengalami perubahan suhu pada bagian pelatnya sehingga lebih dahulu sampai ke bidang batas antar pelat.
Kata Kunci: Perpindahan Panas; Konduktivitas Panas; Metode Beda Hingga dan pelat gabungan.

## 1. PENDAHULUAN
Metode  numerik  sangatlah  bermanfaat  dalam  penyelesaian  permasalahan  yang  berkaitan  dengan penyelesaian  permasalahan  matematis  yang  sulit  diselesaikan  secara  analitis,  diantaranya  adalah permasalahan  yang  berkaitan  dengan  penyelesaian  persamaan  diferensial  parsial  yang  tidak  dapat  dengan mudah  diselesaikan  dengan  menggunakan  teknik-teknik  analitis,  sehingga  harus  diselesaikan  dengan menggunakan metode numerik yang bersesuaian dengan permasalahan tersebut.
Salah  satu  permasalahan  yang  sering  dihadapi  di  bidang  ilmu  sains  dan  keteknikan  adalah permasalahan  perpindahan  panas  pada  suatu  zat  baik  secara  konduksi,  konveksi  maupun  radiasi. Permasalahan perpindahan panas banyak didapatkan pada bidang keteknikan diantaranya adalah pada bidang konstruksi bangunan, dengan perhitungan yang cermat maka sirkulasi panas dapat dibuat dengan rancangan tertentu sehingga dapat menghemat energi dalam proses pembuangan panas yang berada dalam suatu ruang atau  bangunan.  (Purwanto,  L.  M.  F.,  2019),  Pada  upaya  penghematan  penggunaan  energi  listrik  dengan pemanfaatan  limbah  panas  hasil  buangan  Air  Conditioner  (AC)  dan  Freezer  dengan  menggunakan Thermosyphon sebagai recovery panas (Siahaan, 2020), dan pengembangan metode-metode numerik dalam bidang ilmu matematika dan komputer, yaitu penggunaan metode Backward Time Central Space (Busrah, Z, 2019).
Permasalahan perpindahan panas yang sering dikaji adalah perpindahan pada kajian 1 dimensi dan dengan benda yang homogen dan dengan pemilihan metode yang beragam dalam penelitian ini akan dibuat kajian numerik dalam  kajian  2 dimensi  dan  menggunakan metode  umum  dan  dasar  yang  digunakan  dalam kajian  numerik  perpindahan  panas  yaitu  metode  numerik  beda  hingga,  yang  diterapkan  pada  persamaan perpindahan panas secara konduktif.
Pada penelitian yang dilakukan oleh Noor, I (2020) mengkaji secara numerik pada pelat platina dan seng  secara  terpisah,  pada  penelitian  ini  akan  dilakukan  pengkajian  pada  gabungan  2  pelat  sehingga didapatkan  pola sebaran  (distribusi) suhu  pada pelat  gabungan  tersebut  dengan  berbagai macam  perbedaan nilai konduktivitas termal dan geometri dari gabungan pelat tersebut.
Tujuan penelitian ini adalah melakukan kajian numerik pada proses perpindahan panas dan distribusi panas  pada  gabungan  dua  pelat  yang  berbeda  nilai  koefisien  konduktivitas  panas  dengan  menggunakan metode numerik beda hingga pada kajian 2 dimensi untuk berbagai perbedaan nilai koefisien konduktivitas termal dan geometri dari gabungan pelat.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian mengenai perpindahan panas secara konduksi didasarkan pada persamaan matematis yang dikenal dengan nama persamaan Laplace (Bergman, T. L, 2011), yaitu
∇ 2 𝑇 = 1 𝛼 𝜕𝑇 𝜕𝑡 (1)
dimana 𝛼 = 𝑘 𝜌𝑐 yang disebut sebagai koefisien difusi termal.
Metode  yang  paling  umum  digunakan  dalam  penyelesaian  permasalahan  perpindahan  panas  secara numerik adalah metode beda hingga (finite difference methods).  Diantaranya digunakan oleh Noor (2020), yang melakukan kajian numerik dari perpindahan panas dengan metode beda hingga pada objek penelitian adalah  pelat  dengan  bahan  seng  dan  platina  yang  digunakan  secara  terpisah.  Magfiroh  R et  al ,  (2019) melakukan penelitian yang sejenis dengan Noor, tetapi dengan menggunakan bahan kajian batang baja dan dalam kajian 1 dimensi, tetapi menggunakan metode Crank-Nicolson dengan akurasi yang tinggi.
Nurullaeli & Nugraha (2021) telah melakukan kajian numerik mengenai  distribusi pada batang yang bersifat umum dengan memanfaatkan GUI (Graphic User Interface) dari Matlab sebagai media bantu dengan hasil  GUI  dari  Matlab  dapat  dijadikan  media  bantu  dalam  proses  pembelajaran  dalam  penggambaran fenomena distribusi panas pada proses perpindahan panas secara konduktif
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini   adalah  metode  komputasi  dengan  membuat  program dalam  perangkat lunak Matlab  Release  7  berdasarkan  persamaan  (1)   diferensial  orde  2  yang  berhubungan dengan  perpindahan  panas  dan  memasukkan  syarat-syarat  batas  dengan  membuat  2  lapisan  material  yang berbeda koefisien konduktivitasnya.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  penelitian  ini  dilakukan  beberapa  skenario  terhadap  nilai  masukkan  berupa  nilai  konstanta konduktivitas panas dari gabungan pelat yang digunakan dalam simulasi ini.

## Kasus 1. Perbandingan nilai konduktivitas 10 kali.
Pada  kasus  ini  sumber  panas  diberikan  pada  bagian  bawah  dan  atas,  dimana  konduktivitas  panas bahan di bagian bawah lebih kecil 10 kali dibandingkan konduktivitas panas di atasnya. Pada keadaan awal distribusi  suhu  pada  masing-masing  pelat  diberikan  sebesar 25 0 𝐶 dan  pada  bagian  ujung  atas  dan  bawah pelat didekatkan pada sumber panas sebesar 200 0 𝐶 Hasil yang didapatkan berupa distribusi suhu pada pelat gabungan diberikan pada gambar 1
Pelat 1 K = 1 Pelat 2 K = 10
Gambar 1. Distribusi suhu pada pelat gabungan dengan konduktivitas panas pelat 1 dengan k = 1 dan pelat 2 dengan k = 10, pada iterasi ke 5000.
Dari gambar 1, terlihat bahwa pada pelat 2 aliran panas lebih cepat menyebar dibandingkan dengan pelat  1,  sehingga  pengaruhnya  pada  iterasi  ke  5000  (bersesuaian  dengan  waktu  0,5  s)  telah  mencapai perbatasan antar pelat.
Nilai suhu pada titik-titik kontrol yang terekam dalam proses perhitungan yaitu di titik-titik (10,5), (10,10) dan (10,15) pada iterasi ke 5000 diberikan pada diagram batang berikut.
Gambar 2. Nilai suhu pada titik-titik kontrol pada saat iterasi ke 5000.
Dari diagram batang pada gambar 2, terlihat pada pada titik kontrol (10,15) memiliki suhu tertinggi yaitu  sebesar  dimana  titik  kontrol  tersebut  berada  di  pelat  kedua,  sedangkan  untuk  pelat  1,  pada  titik kontrolnya  berada  pada  titik  (10,5)  hanya  sebesar  .  Hal  ini  memberikan  informasi  bahwa  pada  pelat  yang konduktivitas  panasnya  besar  maka  akan  memberikan  perpindahan  energi  panas  yang  lebih  cepat dibandingkan  dengan  pelat  yang  memiliki  konduktivitas  sepuluh  kali  lebih  kecil.  Pada  titik  kontrol  yang berada  di  tengah  gabungan  pelat  1 dan  2  yaitu pada titik  (10,10)  terlihat juga  terjadi  perubahan  suhu yang cukup signifikan yaitu menjadi dua kali lipat dari suhu awal pelat.
Dinamika perubahan suhu pada titik-titik kontrol disajikan pada gambar 3.
Gambar 3. Dinamika perubahan suhu pada titik-titik kontrol sampai iterasi ke 5000.
Pada  gambar  3.,  terlihat  bahwa  pada  awal  iterasi  seluruh  titik  memiliki  suhu  yang  sama,  tetapi setelah  selang  beberapa  saat  maka  suhu  pada  titik  kontrol  (10,15)  yang  berada  pada  pelat  2,  memiliki perubahan  suhu  dengan  pola  logaritma,  sedangkan  perubahan  suhu  pada  titik  kontrol  (10,5)  dan  (10,10) membentuk pola linear.
Dinamika suhu pada titik-titik kontrol sampai dengan iterasi ke 200.000 diberikan pada gambar 4
82,28 54,66 110,77 0 20 40 60 80 100 120 Titik (10,5) Titik (10,10) Titik (10,15) 0 20 40 60 80 100 120 0 1000 2000 3000
4000 5000 6000 T(10,5) T(10,10) T(10,15)
Gambar 4. Dinamika perubahan suhu pada titik-titik kontrol sampai iterasi ke 200.000
Dari  gambar  4,  terlihat  bahwa  pada  sekitar  iterasi  yang  50.000,  nilai  suhu  pada  titik  titik  kontrol sudah tidak lagi mengalami perubahan, hal ini ditandai dengan telah melandasinya (mendatarnya) pola grafik pada  setiap  titik  kontrol.  Dengan melandasinya  pola  grafik  tersebut  maka  tidak  terjadi lagi  adanya  gradien suhu antara titik di dalam pelat tersebut sehingga proses perpindahan panas tidak lagi terjadi pada masing- masing pelat.

## Kasus 2. Perbandingan nilai konduktivitas 100 kali.
Pada  kasus  ini  sumber  panas  diberikan  pada  bagian  bawah  dan  atas,  dimana  konduktivitas  panas bahan di bagian bawah lebih kecil 100 kali dibandingkan konduktivitas panas di atasnya. Pada keadaan awal distribusi  suhu  pada  masing-masing  pelat  diberikan  sebesar 25 0 𝐶 dan  pada  bagian  ujung  atas  dan  bawah pelat didekatkan pada sumber panas sebesar 200 0 𝐶 Hasil yang didapatkan berupa distribusi suhu pada pelat gabungan diberikan pada gambar 4.5.
Pelat 1

## Pelat 2
Gambar 5. Distribusi suhu pada pelat gabungan dengan konduktivitas panas pelat 1 dengan k = 1 dan pelat 2 dengan k = 100, pada iterasi ke 5000.
Pada gambar 5, terlihat bahwa pada pelat 2 distribusi suhu lebih variatif dibandingkan pada pelat 1. Pada  pelat  2,  pengaruh  sumber  panas  pada  bagian  atas  telah  memberikan  pengaruh  sampai  ke  bagian sambungan  kedua  pelat,  sedangkan  pada  pelat  1,  pengaruh  sumber  panas  pada  bagian  bawah  tidak memberikan pengaruh pada bagian sambungan antar pelat.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 50000 100000
150000 200000 250000 P(10,5) P(10,10) P(10,15)
Nilai suhu pada titik-titik kontrol yang terekam dalam proses perhitungan yaitu di titik-titik (10,5), (10,10) dan (10,15) pada iterasi ke 5000 diberikan pada diagram batang berikut.
Gambar 6. Nilai suhu pada titik-titik kontrol pada saat iterasi ke 5000.
Dari diagram batang pada gambar 6, terlihat pada pada titik kontrol (10,15) memiliki suhu tertinggi yaitu sebesar , dimana titik kontrol tersebut berada di pelat kedua, sedangkan pelat 1, pada titik kontrol yang berdekatan  dengan  sumber  panas  (titik  (10,5))  hanya  sebesar  .  Hal  ini  memberikan  informasi  bahwa  pada pelat  yang  konduktivitas  panasnya  besar  maka  akan  memberikan  panas  perpindahan  energi  dalam  hal  ini panas  yang  lebih  cepat  dibandingkan  dengan  pelat  yang  memiliki  konduktivitas  yang  sepuluh  kali  lebih kecil. Waktu simulasi yang diberikan dengan nilai spasi waktu sebesar 0,0001 adalah 0,1 detik.
Pada titik kontrol yang berada di tengah gabungan pelat 1 dan 2 yaitu pada titik (10,10) terlihat juga terjadi  perubahan  suhu  yang  cukup  signifikan  yaitu  menjadi  dua  kali  lipat  dari  suhu  awal  pelat.  Pada  titik kontrol  (10,10)  termasuk  di  dalam  pelat  1.  Dari  gambar  4.5,  perubahan  suhu  pada  titik  kontrol  (10,10) didominasi dari pengaruh panas yang menyebar di pelat 2.

## Kasus 3. Perbandingan nilai konduktivitas 1000 kali.
Pada  kasus  ini  sumber  panas  diberikan  pada  bagian  bawah  dan  atas,  dimana  konduktivitas  panas bahan  di  bagian  bawah  lebih  kecil  1000  kali  dibandingkan  konduktivitas  panas  di  atasnya.  Pada  keadaan awal  distribusi  suhu  pada  masing-masing  pelat  diberikan  sebesar 25 0 𝐶 dan  pada  bagian  ujung  atas  dan bawah pelat didekatkan pada sumber panas sebesar 200 0 𝐶 Hasil yang didapatkan berupa distribusi suhu pada pelat gabungan diberikan pada gambar 7.
Pelat 2 Pelat 1
Gambar 7. Distribusi suhu pada pelat gabungan dengan konduktivitas panas pelat 1 dengan k = 1 dan pelat 2 dengan  k = 1000, pada iterasi ke 5000.
83,26 57,75 113,15 0 20 40 60 80 100 120 Titik (10,5) Titik (10,10)
Ttitik (10,15)
Pada gambar 7, terlihat bahwa pada pelat 2 distribusi suhu lebih bervariatif dibandingkan pada pelat 1. Pada  pelat  2,  pengaruh  sumber  panas  pada  bagian  atas  telah  memberikan  pengaruh  sampai  ke  bagian sambungan  kedua  pelat,  sedangkan  pada  pelat  1,  pengaruh  sumber  panas  pada  bagian  bawah  tidak memberikan pengaruh pada bagian sambungan antar pelat.
Nilai suhu pada titik-titik kontrol yang terekam dalam proses perhitungan yaitu di titik-titik  (10,5), (10,10) dan (10,15) pada iterasi ke 5000 diberikan pada diagram batang berikut.
Gambar 8. Nilai suhu pada titik-titik kontrol pada saat iterasi ke 5000 (kasus perbandingan konduktivitas 1000 kali.)
Pada titik kontrol yang berada di tengah gabungan pelat 1 dan 2 yaitu pada titik (10,10) terlihat tidak terjadi  perubahan suhu  karena  proses  iterasi  yang  sampai  5.000  kali, tetapi jarak  spasi  antara  waktu iterasi yang sangat kecil  yaitu  sebesar  0,00001  detik, yang  berarti  bahwa  proses perpindahan  panas  yang terekam oleh matlab sebesar 0,05 detik.
Pada  titik  kontrol  (10,10)  termasuk  di  dalam  pelat  1,  terlihat  pada  gambar  8,  nilai  suhu  di  titik tersebut  menjadi  sekitar  32 0 C,  yang  memberikan  informasi  bahwa  panas  yang  diterima  di  titik  tersebut didominasi oleh panas yang mengalir dari pelat 2, yang telah masuk  ke daerah pelat 1.
Pada  titik  kontrol  (10,15),  terlihat  bahwa  nilai  suhu  pada  titik  tersebut  berubah  menjadi  sekitar  4  kali  dari nilai suhu awalnya. Hal ini memberikan informasi bahwa energi panas yang berada di sumber dengan sangat cepat dipindahkan karena nilai konduktivitas yang tinggi dibandingkan perpindahan panas yang dialami oleh pelat 1.
Dinamika  perubahan  suhu  di  titik-titik  kontrol  disajikan  pada  kasus  perbandingan  konduktivitas sampai 1000 kali diberikan pada gambar 4.10.
Gambar 9. Nilai suhu pada titik-titik kontrol pada saat iterasi ke 5000 kasus perbandingan konduktivitas 1000 kali.
26 32,75 103,85 0 20 40 60 80 100 120 Titik(10,5) Titik(10,10) Titik(10,15) 0 20 40 60 80 100 120 0 1000 2000 3000
4000 5000 6000 (10,5) (10,10) (10,15)
Dari gambar 9, terlihat bahwa perubahan suhu di titik kontrol (10,5) dan (10,10) terjadi secara linear, dimana  di  awal  iterasi  suhu  pada  keu  titik  kontrol  ini  berimpit  sedangkan  setelah  1000  kali  iterasi  maka terjadi  perpisahan  kedua  grafik  pertambahan  suhunya  yaitu  pada  suhu  titik  kontrol  (10,5)  sangat  lambat perubahan suhunya dibandingkan pada titik kontrol (10,10), dari penggambaran ini terlihat bahwa pada saat iterasi ke 1000 maka pengaruh energi panas yang dipindahkan oleh pelat 2 telah mempengaruhi perubahan suhu pada titik kontrol (10,10) yang terletak di sambungan antara kedua pelat.
Pada  titik  kontrol  (10,15),  terlihat  bahwa  pada  awal  iterasi  perubahan  suhu  terjadi  sangat  drastis yaitu  dari  suhu  25 0 C  menjadi  sekitar  100 0 C,  tetapi  setelah  mencapai  suhu  tersebut  perubahannya  menjadi linear hal ini disebabkan pada saat awal iterasi hampir semua energi panas yang berasal dari sumber panas mengalir cepat ke titik kontrol tetapi setelah suhu menjadi 100 0 C atau titik kesetimbang suhu baru maka suhu akan berubah sesuai dengan perubahan suhu secara konduktif yaitu secara linear.
Dari hasil simulasi numerik yang dilakukan dapat terlihat bahwa besarnya pengaruh konstanta konduktivitas pada campuran 2 buah pelat logam yang berbeda konduktivitas, pada konduktivitas yang tinggi energi panas dengan  cepat  berpindah  sedangkan  pada  daerah  konduktivitas  rendah  maka  pergerakan  panas  akan melambat.

## 4. KESIMPULAN
Dari  simulasi  numerik  yang  dilakukan  terhadap  perpindahan  panas  pada  gabungan  2  pelat  dengan konduktivitas panas yang berbeda didapatkan bahwa
• Proses  perpindahan  panas  akan  terjadi  secara  cepat  pada  pelat  yang  konduktivitas  panas  yang  lebih tinggi dibandingkan dengan pelat yang konduktivitasnya lebih rendah.
• Proses perpindahan panas pada pelat terukur dari perubahan nilai suhu pada bagian-bagian pelat, maka pada pelat yang memiliki konduktivitas panas yang lebih tinggi akan lebih cepat mengalami perubahan suhu pada bagian pelatnya sehingga lebih dahulu sampai ke bidang batas antar pelat dan mempengaruhi proses perpindahan panas pada pelat yang lebih rendah nilai konduktivitas panasnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Bergman, T. L., Adrienne S. Lavine, Frank P. Incropera, David P. Dewitt, (2011), “Introduction to Heat Transfer”, Sixth Edition, John Wiley & Sons, New York.
Busrah,  Z,  (2019),  “Implementasi  Algoritma  Backward  Time  Central  Space  pada  Penyelesaian Model Distribusi Panas Koordinat Silinder”, Jurnal Ilmiah d’Computare, Volume 9 Edisi Juli, hal. 18 – 26.
Maghfiroh, R, R Khusniah dan M. Sholeh, (2019), “Simulasi Numerik Perpindahan Panas Batang Baja Menggunakan  Skema  Beda  Hingga  Kompak  Pada  Metode  Crank-Nicolson”  Transformasi  : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Volume 3. Hal 85-93.
Noor,  I,  Andry  Fitrian,  Didik  Nur  Huda,  (2020),  “Simulasi  Ditribusi  Temperatur  pada  Pelat  Tipis Berbantuan FDM (Finite Difference Method), Prosiding SINASIS 1, hal. 1 – 5.
Nurullaeli , Nugraha, A. M., (2021), “Media Bantu Simulasi Distribusi Panas Pada Batang Konduktor Menggunakan  Pendekatan  Finite  Difference”,  Prosiding  Seminar  Nasional  Riset  dan  Inovasi Teknologi (SEMNAS RISTEK), 14 Januari 2021, hal. 837 – 841.
Purwanto, L.M.F, (2019). “Simulasi transfer panas pada dinding dengan software Therm 7.7.” ARTEKS : Jurnal Teknik Arsitektur . 4, 1 Desember. 2019, hal. 111-116.