Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 11 No. 2, Desember 2019, hal. 11-18 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN KANNAN PADA RUANG METRIK MODULAR TERITLAK

## Lusi Harini
Universitas Negeri Yogyakarta Email : lusi.harini@uny.ac.id
ABSTRACT. In this paper, we will discuss about fixed point theorems in generalized modular  metric  space  for  Kannan- type  mapping.  The  existence  of  the  fixed  point  of this mapping is guaranteed by providing that the mapping domain is a -finite set and the Kannan- mapping constant
satisfied
where K is a constant from
the axiom of generalized modular metric space.
Keywords : generalized modular metric space, fixed point, Kannan mapping.
ABSTRAK. Dalam  tulisan  ini,  akan  dibahas  mengenai  teorema  titik  tetap  pada  ruang metrik modular teritlak ( generalized modular metric space) untuk pemetaan Kannan- .
Eksistensi  titik  tetap  pemetaan  Kannan-
dijamin  dengan  memberikan  syarat  domain pemetaan  tersebut  merupakan  himpunan  yang  terbatas- dan  konstanta  pemetaan Kannan- yaitu
memenuhi
dengan  K  merupakan  konstanta  yang
memenuhi aksioma dari metrik modular teritlak.
Kata Kunci : ruang metrik modular teritlak, titik tetap, pemetaan Kannan.

## 1. PENDAHULUAN
Teorema titik tetap merupakan salah satu hasil dari penelitian matematika analisis  yang  cukup  luas  aplikasinya.  Kegunaan  teorema  ini  diantaranya  adalah untuk  membuktikan  eksistensi  solusi  dari  suatu  sistem  persamaan  diferensial, menentukan solusi pendekatan dari suatu fungsi, dan masalah lain yang berkonsep mengenai kestabilan. Titik tetap adalah salah satu bidang yang banyak diteliti dan telah  dikembangkan  yang  bermula  dari  munculnya  Prinsip  Kontraksi  Banach  di tahun 1922.
Jenis  pemetaan  yang  berbeda  dari  pemetaan  kontraksi  didefinisikan  oleh Kannan (1969) yang selanjutnya disebut dengan pemetaan Kannan. Teorema titik tetap untuk pemetaan Kannan telah dibuktikan dalam beberapa tulisan, salah satu diantaranya adalah Ghoncheh (2015) yang mengembangkan ke ruang bermodular.
Jenis struktur ruang baru diperkenalkan oleh Jleli dan Samet (2015)  yang disebut  ruang  metrik  teritlak  ( generalized  metric  space ).  Ruang  tersebut mewadahi  ruang  bermodular  yang  memiliki  sifat  Fatou.  Selanjutnya,  Turkoglu dan Manav (2018) membentuk ruang  yang disebut ruang metrik modular teritlak ( generalized  modular  metric  space )  dengan  adaptasi  dari  ruang  metrik  modular Chistyakov (2010). Telah dibuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi dan  pemetaan  kuasi-kontraksi  dalam  Turkoglu  dan  Manav  (2018).  Dalam  paper ini,  akan  diselidiki  syarat  yang  dibutuhkan  untuk  menjamin  eksistensi  titik  tetap pemetaan  Kannan  dalam  ruang  metrik  modular  teritlak.  Penelitian  ini  bertujuan untuk  menambah  hasil  penemuan  dalam  bidang  matematika  analisis  yang diharapkan  dapat  memperluas  aplikasi  dari  pemetaan  Kannan  karena  berada  di ruang yang lebih luas.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi dari ruang metrik modular teritlak menurut Turkoglu dan Manav (2018) adalah sebagai berikut.
Definisi 2.1. Diberikan X sebarang himpunan tak kosong. Fungsi disebut  metrik  modular  teritlak  pada  X  apabila  memenuhi  tiga aksioma berikut:
(1) Jika untuk suatu maka untuk semua . (2) Untuk semua berlaku untuk semua . (3) Terdapat sehingga  untuk dan  { dengan untuk suatu maka .
Selanjutnya,  himpunan  tak  kosong  X  yang  dilengkapi  dengan  metrik modular  teritlak,  dinotasikan  dengan (X,D) yang  disebut  ruang  metrik  modular teritlak.
Beberapa  contoh  mengenai  ruang  metrik  modular  teritlak  dapat  dilihat secara  lengkap  dalam  Turkoglu  dan  Manav  (2018).  Berikut  diberikan  contoh sederhana untuk memudahkan gambaran mengenai ruang metrik modular teritlak.
Contoh  2.2. Diberikan  sebarang  himpunan  tak  kosong .  Didefinisikan  fungsi dengan jika ,  dan jika , untuk semua . Dapat ditunjukkan bahwa fungsi memenuhi ketiga  aksioma  metrik  modular  teritlak  pada  Definisi  2.1.  Lebih  lanjut,  jika metrik  pada dan sebarang  fungsi  positif  maka  fungsi dengan  definisi
merupakan metrik modular teritlak pada . Diberikan ruang  metrik  modular  teritlak  dan .  Dibentuk himpunan .  Untuk  pembahasan  lebih
lanjut,  ruang  metrik  modular  teritlak  yang  dimaksud  adalah  himpunan tersebut.
Selanjutnya,  akan  diberikan  definisi  mengenai  kekonvergenan  barisan, himpunan  tertutup,  dan  himpunan  terbatas  dalam  ruang  metrik  modular  teritlak yang diperlukan dalam pembahasan lebih lanjut.
Definisi 2.3. Diberikan ruang metrik modular teritlak dan .
(1) Barisan dikatakan  barisan  konvergen- ke jika  dan hanya  jika untuk .  Lebih  lanjut, disebut  limit- barisan . (2) Barisan dikatakan  barisan  Cauchy- jika  dan  hanya  jika untuk
(3) Himpunan dikatakan  tertutup- apabila  untuk  setiap  barisan yang konvergen- ke berakibat . (4) Himpunan dikatakan  lengkap- apabila  untuk  setiap  barisan Cauchy- di merupakan barisan konvergen- di .
(5) Himpunan
dikatakan terbatas- apabila
. Diperhatikan bahwa jika barisan konvergen- maka limit- barisan tunggal.  Andaikan  barisan konvergen- ke ,  dengan  kata  lain dan untuk .  Berdasarkan  aksioma  ketiga metrik  modular  teritlak  diperoleh . Akibatnya, . Lebih lanjut,  jika ruang  metrik  modular  yang  lengkap- dan himpunan  tertutup- maka merupakan  himpunan  lengkap- .  Selain  itu, barisan yang konvergen- tidak ada jaminan barisan tersebut merupakan barisan Cauchy- dan barisan konvergen- untuk  suatu
tidak menjamin barisan tersebut  juga  konvergen- untuk yang  lain.  Oleh  karena  itu,  diberikan definisi dari kondisi- seperti pada ruang metrik modular.
Definisi  2.4. Ruang  metrik  modular  teritlak dikatakan  memenuhi  kondisi- apabila  untuk  setiap  barisan konvergen- untuk  suatu berakibat konvergen- untuk setiap .
Sebelum  ke  pembahasan  utama  dalam  tulisan  ini,  diberikan  definisi  dari pemetaan Kannan di ruang metrik modular teritlak.
Definisi  2.5. Diberikan ruang  metrik  modular  yang  diperumum, dan
.  Pemetaan disebut  pemetaan  Kannan- apabila  terdapat
sehingga untuk setiap berlaku (          )     ( ) . Lebih lanjut, bilangan tersebut dinamakan konstanta Kannan- .
Selanjutnya perlu diingat kembali, apabila suatu pemetaan, maka disebut titik tetap pemetaan jika . Apabila pemetaan Kannan-
memiliki  titik  tetap,  pembuktian  ketunggalan  titik  tetapnya  diperlukan  lemma berikut.
Lemma  2.6. Diberikan ruang  metrik  modular  teritlak, , tak kosong  dan  terbatas- ,  dan pemetaan  Kannan- dengan  konstanta Kannan- . Jika titik tetap maka . Bukti. Diketahui titik tetap , berarti . Diperhatikan bahwa, (          )    ( ) . Karena terbatas- , ,  dan maka  diperoleh
. □
Teorema  2.7. Diberikan ruang  metrik  modular  teritlak, tak kosong  dan  terbatas- ,  dan pemetaan  Kannan- dengan  konstanta Kannan- . Jika memiliki titik tetap, maka titik tetap tunggal.
Bukti. Andaikan merupakan  titik  tetap  pemetaan .  Dengan  demikian dan . Karena pemetaan Kannan- dengan suatu  konstanta Kannan- maka (          )    ( ) ( ) Berdasarkan  Lemma  2.6  diperoleh .  Akibatnya, didapatkan sehingga . □
Berikut  diberikan  teorema  yang  menjamin  eksistensi  dari  titik  tetap pemetaan Kannan- .
Teorema 2.8. Diberikan dan ruang metrik modular teritlak lengkap- dengan  konstanta yang  memenuhi  Aksioma  3  pada  Definisi  2.1  serta
himpunan tak kosong tertutup- dan terbatas . Apabila merupakan
pemetaan Kannan- dengan konstanta Kannan-
memenuhi
maka memiliki titik tetap tunggal.
Bukti. Diambil  sebarang .  Dibentuk  barisan dengan  definisi
sebagai berikut,
, ), ( ) dan seterusnya sehingga secara umum untuk setiap Berdasarkan definisi dari pemetaan Kannan- maka diperoleh, ( ) ( ) ( )
Akibatnya diperoleh
Dengan demikian, secara induktif dapat ditunjukkan bahwa
( ) (       )
Selanjutnya, ditinjau dua kasus berikut. Kasus 1. Apabila terdapat sehingga maka diperoleh (       ) ( ) ( ) (       ) Sebut maka . Akibatnya diperoleh (       ) Dengan demikian, (       ) yang berarti dan bukti selesai. Kasus  2 .  Untuk  setiap berlaku .  Diambil  sebarang diperhatikan bahwa, untuk setiap berlaku ( )     ( ( ) ( )) ( (       ) (       ))
Akibatnya, dengan mengambil diperoleh ( ) karena .  Dengan  demikian,  diperoleh  barisan merupakan  barisan Cauchy- di . Karena lengkap- dan tertutup- maka terdapat
sehingga konvergen- ke .
Akan ditunjukkan merupakan titik tetap . Berdasarkan Aksioma 3 pada Definisi 2.1 diperoleh bahwa,
( )
(
( ))
( ) (       ) Karena maka , akibatnya . Jadi terbukti bahwa
memiliki  titik  tetap.  Selanjutnya,  ketunggalan  dari  titik  tetap dijamin  oleh
Teorema 2.7. □
Apabila pemetaan memenuhi sifat untuk setiap barisan yang konvergen- ke suatu berakibat barisan
konvergen- ke maka disebut pemetaan kontinu- secara barisan . Eksistensi titik tetap pemetaan Kannan- yang memenuhi sifat tersebut, dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema  2.9. Diberikan
ruang  metrik  modular  teritlak,
, tak kosong  dan pemetaan  Kannan- yang kontinu- secara barisan. Jika terdapat sehingga  barisan memiliki  subbarisan yang
konvergen- ke maka merupakan titik tetap dan tunggal.
Bukti. Diketahui barisan
memiliki subbarisan yang konvergen- ke Karena kontinu- secara  barisan  maka konvergen- ke . Dengan demikian diperoleh,
( ) Hal  ini  berakibat ( ) sehingga  berdasarkan Aksioma 3 pada Definisi 2.1 diperoleh, (       ) ( ) Dengan  demikian yaitu merupakan  titik  tetap .  Untuk  ketunggalan titik tetap dijamin oleh Teorema 2.7. □

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  pembahasan  di  atas  dapat  disimpulkan  bahwa  pemetaan  Kannan- di  ruang  metrik  modular  teritlak  memiliki  titik  tetap  tunggal  dengan  pemberian syarat  domain  pemetaan  tersebut  terbatas- dan  tertutup- ,  serta  konstanta Kannan- memenuhi dengan konstanta  pada  definisi  metrik modular  teritlak.  Mengingat  masih  banyaknya  jenis  pemetaan  yang  ada  di  ruang metrik,  modular,  dan  metrik  modular  yang  telah  dibuktikan  eksistensi  titik tetapnya,  maka  tidak  menutup  kemungkinan  pemetaan-pemetaan  tersebut  bisa dikembangkan dalam ruang metrik modular teritlak.

## DAFTAR PUSTAKA
Ghoncheh,  H.B.M., Some  Fixed  Point  Theorems  for  Kannan  Mapping  in  The Modular Spaces, Ciencia eNatura, 37 (2015), 462-466.
Jleli,  M.,  Samet,  B.M. A  Generalized  Metric  Space  and  Related  Fixed  Point Theorems, Fixed Point Theory and Application, 61 (2015).
Kannan, R . Some Results on Fixed Points II . American Mathematical Monthly, 76 (1969), 405-408.
Turkoglu, D., Manav, N., Fixed Point Theorem in A New Type of Modular Metric Spaces, Fixed Point Theory and Application, 25 (2018).
Chistyakov,  V.  V, Modular  Metric  Spaces  I ,  Nonlinear  Analysis,  Elsevier, 72 (20100.