JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 3, Tahun 2021, Halaman 466 - 475 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PEMODELAN SISTEM ANTREAN PELAYANAN BUS JALUR BARAT TERMINAL TIRTONADI KOTA SURAKARTA DENGAN METODE BAYESIAN
Nurul Khasanah 1 , Sugito 2 , Yuciana Wilandari 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro 4nurulkhasanah@gmail.com

## ABSTRACT
Tirtonadi is the largest bus station in Surakarta City. The departure line is devided into two lines, namely west line and east line. The west line serves buses to the west of Surakarta City. The number of buses that enter and leave  the  station  every  day  causes  bus  queues.  Modeling  the  queue  system  and  analyzing  the  system performance measure aims to determine wether the bus service system is good or not. The queue system model is obtained by finding the distribution of arrival patterns and service patterns using the Bayesian method. This method is used because it combines the information from the current research and the prior information from the previous research. The queueing condition of the five lanes in the west line meets steady state conditions because the utility value is less than 1. The queue displant is First Come First Service (FCFS) with unlimited customers and unlimited calling sources. Based on the posterior distribution, the queue system of service bus is  (GAMM/IG/1):(GD/∞/∞)  for Solo-Jakarta-Bandung  lane  and  Pedesaan  lane,  while  for  Solo-Purwokerto- Cilacap,  Solo-Yogyakarta,  and  Solo-Semarang  has  the  queue  system  (GAMM/GAMM/1):(GD/∞/∞).  The queue system of service bus for each lane has good services based on the value of system performance measure.
Keywords : Tirtonadi, queue system, Bayesian, posterior, prior, system performance measure

## 1. PENDAHULUAN
Sebagai salah satu moda transportasi yang paling sering digunakan oleh masyarakat, bus tetap menjadi pilihan untuk beraktifitas di tengah kondisi pandemi Covid-19 yang terjadi di  Indonesia.  Selain  karena  harga  yang  relatif  terjangkau  dibandingkan  dengan  angkutan umum yang lainnya, jadwal keberangkatan bus juga cukup banyak.
Kota  Surakarta  memiliki  terminal  bus  yang  menjadi  terminal  terbesar  di  Indonesia yaitu Terminal Tirtonadi yang melayani bus Antar Kota Antar Provinsi (AKAP), bus Antar Kota Dalam Provinsi (AKDP), Angkutan Kota (Angkot), Batik Solo Trans (BST), dan Bus Rapid Transit (BRT) Jateng. Pelayanan bus di Terminal Tirtonadi terbagi menjadi dua jalur yaitu jalur barat dan jalur timur. Salah satu faktor penyebab terjadinya antrean bus di jalur barat adalah adanya perubahan jadwal yang dilakukan oleh pihak Perusahaan Otobus (PO). Kondisi tersebut memicu terjadinya penumpukan bus di terminal. Penumpukan bus ini dapat menyebabkan  sistem  pelayanan  tidak  efektif.  Oleh  karena  itu,  peneliti  ingin  menerapkan teori antrean dengan memodelkan sistem antrean bus di jalur barat Terminal Tirtonadi Kota Surakarta,  sehingga  dapat  ditentukan  ukuran  kinerja  sistem  untuk  mengetahui  efektifitas sistem pelayanan bus di Terminal Tirtonadi Kota Surakarta.
Pada  penelitian  sebelumnya  oleh  Wrediningsih  (2018)  sudah  diperoleh  model  yang tepat untuk menggambarkan sistem antrean di jalur barat. Namun, seiring berjalannya waktu telah terjadi perubahan keadaan dan banyaknya penumpang, maka pemodelan sistem antrean dapat dilakukan dengan mempertimbangkan informasi dari penelitian sebelumnya. Menurut Soejati  dan  Soebanar  (1988),  metode  Bayesian  adalah  metode  yang  menggabungkan informasi  dari  sampel  dengan  informasi  lain  yang  telah  tersedia  sebelumnya.  Dalam penelitian  ini,  pemodelan  sistem  antrean  akan  menggunakan  metode  Bayesian  untuk memperoleh distribusi posterior dari pola kedatangan dan pola pelayanan.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Tinjauan Umum Terminal Tirtonadi Kota Surakarta
Terminal  Tirtonadi  merupakan  terminal  bus  yang  dijadikan  sebagai  Terminal Percontohan  Nasional  oleh  Kementerian Perhubungan  dan  terletak  di  Jalan Jend. A  Yani 262,  Gilingan,  Kecamatan  Banjarsari,  Kota  Surakarta.  Terminal  bus  Tirtonadi  jalur  barat merupakan  terminal  bus  yang  melayani  penumpang  dengan  tujuan  ke  arah  barat  Kota Surakarta  seperti  Jakarta,  Bandung,  Purwokerto,  Cilacap,  Semarang,  Yogyakarta,  dan pedesaan. Bus yang berada di jalur barat terdapat dua jenis yaitu bus patas dan nonpatas.

## 2.2 Ukuran Steady State
Menurut  Taha  (1996), steady  state merupakan  kondisi  sewaktu  sifat-sifat  tidak berubah dengan berjalannya waktu (konstan). 𝜌 dapat didefinisikan sebagai perbandingan antara rata-rata pelanggan yang datang dengan rata-rata pelanggan yang telah dilayani per satuan waktu dan dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜌 = 𝜆 𝑐𝜇 dengan 𝜆 merupakan rata-rata benyak pelanggan yang datang per satuan waktu, 𝜇 merupakan rata-rata  laju  pelayanan  per  satuan  waktu,  dan 𝑐 merupakan  banyak  fasilitas  pelayanan. Kondisi steady state dapat terpenuhi jika 𝜌 < 1 .

## 2.3 Uji Kecocokan Distribusi
Uji  kecocokan  distribusi  ( goodness  of  fit )  digunakan  untuk  menguji  apakah sekumpulan data hasil pengamatan mengikuti distribusi tertentu. Salah satu uji kecocokan distribusi yang umum digunakan adalah uji Kolmogorv-Smirnov dengan prosedur sebagai berikut (Daniel, 1989):
a. Menentukan Hipotesis
Ho : Distribusi sampel mengikuti distribusi yang ditetapkan H 1 : Distribusi sampel tidak mengikuti distribusi yang ditetapkan
b. Menentukan Taraf Signifikansi
Taraf signifikasi yang digunakan adalah 𝛼  =  5 %
c. Statistik Uji
𝐷 = sup |𝑆(𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)| dengan 𝑆(𝑥) adalah  fungsi  kumulatif  yang  dihitung  dan 𝐹 0 (𝑥) adalah  fungsi  peluang kumulatif distribusi yang dihipotesiskan
d. Kriteria Uji
Pada taraf signifikansi 𝛼 , Ho ditolak jika nilai 𝐷  ≥  𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (1 − 𝛼) atau jika nilai sig ≤  nilai 𝛼 ,  dimana 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 (1 − 𝛼) merupakan  nilai  kritis  yang  diperoleh  dari  tabel Kolmogorov-Smirnov.
Distribusi-distribusi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Distribusi Poisson
Menurut Walpole dan Myers (1995), variabel random X berdistribusi Poisson dengan fungsi densitas:
𝑝(𝑥; 𝜆) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! , 𝑥 = 0,1,2, ….

## 2. Distribusi Eksponensial
Sebuah variabel random kontinu memiliki distribusi eksponensial dengan parameter 𝜆 jika memiliki fungsi densitas sebagai berikut:
𝑓(𝑥; 𝜆) = { 1 𝜆 𝑒 − 𝑥 𝜆 , 𝑥 > 0 0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 dengan 𝜆 > 0 (Walpole dan Myers, 1995).

## 3. Distribusi Geometrik
Jika percobaan bebas diulang dapat menghasilkan sukses dengan peluang 𝜆 dan gagal dengan peluang 𝑞 = 1 − 𝜆 , maka distribusi peluang dari variabel random 𝑋 , dengan 𝑥 dalah banyaknya percobaan hingga sukses pertama terjadi adalah (Walpole dan Myers, 1995):
𝑔(𝑥; 𝜆) = 𝜆(1 − 𝜆) 𝑥−1 , 𝑥 = 0,1,2, …
4. Distribusi Lognormal
Menurut  Walpole  dan  Myers  (1995),  sebuah  variabel  random 𝑋 berdistribusi lognormal  jika  variabel  random 𝑋 = ln (𝑋) berdistribusi  normal  dengan  rata-rata µ dan standar deviasi 𝜎 . Hasil fungsi densitas dari 𝑋 adalah sebagai berikut:
𝑓(𝑥; µ, 𝜎) = { 1 √2𝜋𝜎𝑥 𝑒 − 1 2𝜎2 [𝑙𝑛(𝑥)−𝜇] 2 , 𝑥 ≥ 0

## 0,                                       𝑥 < 0
5. Distribusi Weibull
Menurut Walpole dan Myers (1995), sebuah variabel random 𝑋 berdistribusi Weibull dengan parameter 𝜆 dan 𝛽 jika fungsi densitas sebagai berikut:
𝑓(𝑥; 𝜆, 𝛽) =   {𝜆𝛽𝑥 𝛽−1 𝑒 −𝜆𝑥 𝛽 , 𝑥 > 0 0,                  𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
6. Distribusi Normal
Menurut  Walpole  dan  Myers  (1995),  fungsi  densitas  normal  dari  suatu  variabel random 𝑋 dengan rata-rata µ dan variansi 𝜎 2 adalah: 𝑓(𝑥; µ, 𝜎) = 1 √2𝜋𝜎 𝑒 − 1 2𝜎2 (𝑥−𝜇) 2 , −∞ < 𝑥 < ∞

## 7. Distribusi Gamma
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), sebuah variabel random kontinu 𝑋 berdistribusi gamma dengan parameter 𝑘 > 0 dan 𝜃 > 0 jika memiliki bentuk pdf sebagai berikut:
𝑓(𝑥; 𝜃, 𝑘) = 1 𝜃 𝑘 г(𝑘) 𝑥 𝑘−1 𝑒 − 𝑥 𝜃 , 𝑥 > 0

## 8. Distribusi Invers Gamma
Sebuah variabel acak kontinu 𝑋 dikatakan memiliki distribusi Invers Gamma dengan parameter bentuk 𝑘 dan parameter skala 𝜃 , jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari 𝑋 sebagai berikut (Bernado dan Smith, 2000):
𝑓(𝑥) =   { 𝜃 𝑘 Γ(𝑘) 𝑥 −(𝑘−1) 𝑒 − 𝜃 𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

## 2.4 Model Sistem Antrean (G/G/c) : (GD/∞/∞)
Menurut Gross dan Haris (1998) dalam Wrediningsih (20018), model antrean (G/G/c): (GD/∞/∞) adalah model antrean dengan pola kedatangan berdistribusi umum (general) dan pola pelayanan berdistribusi umum (general) dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak 𝑐 . Rumus untuk mencari ukuran-ukuran kinerja pada model (G/G/c) : (GD/∞/∞) adalah sebagai berikut:
𝐿 𝑞 =   ( 𝜌𝑟 𝑐 𝑐!(1−𝜌) 2 ) 𝑃 0 𝜇 2 𝑣(𝑡)+𝑣(𝑡 ′ )𝜆 2 2 𝑊 𝑞 = 𝐿 𝑞 𝜆 𝐿 𝑠 =   𝐿 𝑞 +  𝑟 𝑊 𝑠 = 𝑊 𝑞 + 1 𝜇
dengan: 𝑣(𝑡) = ( 1 𝜇 2 ) 2 dan 𝑣(𝑡′) = ( 1 𝜆 2 ) 2

## 2.5 Metode Bayesian
Metode  Bayesian  merupakan  metode  yang  menggabungkan  pengetahuan  subjektif terkait  distribusi  peluang  dari  parameter  yang  tidak  diketahui  dengan  informasi  yang diperoleh dari data sampel (Walpole dan Myers, 1995).

## a. Distribusi Prior
Menurut Box dan Tiao (1973), distribusi prior dikelompokkan berdasarkan penentuan masing-masing  parameter  pada  pola  distribusinya  menjadi  dua  yaitu  prior  informatif  dan prior noniformatif. Salah satu pendekatan dari noninformatif prior adalah metode Jeffrey’s.
Menurut  Berger  (1980),  metode  Jeffrey’s  menyatakan  bahwa  distribusi  prior 𝑓(𝜃) merupakan akar kuadrat dari informasi Fisher yang dinyatakan dalam:
𝑓(𝜃) =   [𝐼(𝜃)] 1 2
dengan: 𝐼(𝜃) =   −𝐸 𝜃 [ 𝜕 2 log 𝑓(𝑥;𝜃)
𝜕𝜃 2 ]

## b. Fungsi Likelihood
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi likelihood adalah fungsi densitas bersama dari 𝑛 variabel random 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 dan dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ;  𝜃) . 𝐿(𝜃) =   𝑓(𝑥 1 ;  𝜃) 𝑓(𝑥 2 ;  𝜃) …   𝑓(𝑥 𝑛 ;  𝜃) =   ∏ 𝑓(𝑥 𝑖 ;  𝜃) 𝑛 𝑖=1
c. Distribusi Posterior
Fungsi densitas posterior atau pdf posterior dapat ditulis sebagai berikut (Bain dan Engelhardt, 1992):
𝑓(θ|𝑥) = 𝑓(θ)L( 𝑥 | θ ) ∫ 𝑓(𝜃)𝐿( 𝑥 | θ ) 𝑑θ dengan 𝑓(θ) adalah distribusi prior dan L(𝑥|θ) adalah fungsi likelihood sampel.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian dilaksanakan tanggal 15-21  Februari 2021 mulai pukul 06.30-16.00 WIB setiap harinya di jalur barat Terminal Tirtonadi Kota Surakarta. Data yang digunakan adalah data primer berupa data jumlah kedatangan bus dan data waktu pelayanan bus. Stopwatch berbasis Android digunakan untuk membantu proses penelitian, sedangkan untuk mengolah data digunakan software Ms. Excel, SPSS, Easyfit 5.6 Professional, R, dan Matlab R2009a.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Gambaran Umum Sistem Antrean Bus Terminal Tirtonadi Kota Surakarta
Pelayanan bus di Terminal Tirtonadi Kota Surakarta terbagi menjadi dua jalur yaitu jalur  timur  dan  jalur  barat.  Jalur  barat  melayani  bus  jurusan  barat  Kota  Surakarta.  Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi untuk bus nonpatas di jalur barat untuk lima lajur yaitu lajur Solo-Jakarta-Bandung (A), lajur Solo-Purwokerto-Cilacap (B), lajur Solo-Yogyakarta (C),  lajur  Solo-Semarang  (D),  dan  lajur  Pedesaan  (E).  Bus  jalur  barat  yang  memasuki Terminal  Tirtonadi  dan  menggunakan  fasilitas  pelayanan  dianggap  sebagai  pelanggan, sedangkan  masing-masing  lajur  yang  terdapat  di  jalur  barat  Terminal  Tirtonadi  dianggap sebagai fasilitas pelayanan. Interval yang digunakan dalam peneltian ini adalah 120 menit untuk lajur A dan E, 90 menit untuk lajur B, serta 60 menit untuk lajur B, C, dan D.

## 4.2 Ukuran Steady State
Tabel 1 merupakan tabel nilai tingkat kegunaan (𝜌) untuk setiap lajur berdasarkan data penelitian yang diperoleh.
Tabel 1. Ukuran Steady State Jalur Barat Lajur Rata-rata kedatangan Rata-rata pelayanan 𝜌 A 3,10714 14,3098 0,37052 B 1,4048 37,4941 0,5852 C 2,3492 19,5376 0,7650 D 3,4127 16,5688 0,9424 E 2,8571 13,9102 0,3312
Nilai tingkat kegunaan untuk masing-masing lajur < 1 , artinya rata-rata kedatangan bus  tidak  melebihi  rata-rata  jumlah  bus  yang  dilayani  sehingga  kondisi steady  state terpenuhi.

## 4.3 Uji Kecocokan Distribusi Data Sampel
Pada uji kecocokan distribusi ini akan dilakukan analisis apakah data sampel yaitu data jumlah  kedatangan  mengikuti  distribusi  Poisson  dan  data  waktu  pelayanan  mengikuti distribusi Eksponensial. Uji kecocokan distribusi yang digunakan adalah uji Kolmogorov- Smirnov. Apabila data jumlah kedatangan tidak mengikuti distribusi Poisson atau data waktu pelayanan tidak mengikuti distribusi Eksponensial maka dilakukan uji kecocokan distribusi lainnya hingga diperoleh distribusi yang paling sesuai.
a. Uji Kecocokan Distribusi Data Jumlah Kedatangan Bus
Uji  kecocokan  distribusi  Poisson  untuk  masing-masing  lajur  dilakukan  dengan  H 0 yaitu data jumlah kedatangan bus berdistribusi Poisson dan H 1 yaitu data jumlah kedatangan bus tidak berdistribusi Poisson. Jika digunakan 𝛼 = 5% maka diperoleh hasil pada Tabel 2.
Tabel 2. Uji Kecocokan Distribusi Poisson Data Jumlah Kedatangan Bus
Lajur 𝐷 D tabel (1 −  𝛼) Keputusan A 0,173 0,250 H 0 diterima karena D < D tabel (1- α) B 0,126 0,210 H 0 diterima karena D < D tabel (1- α) C 0,082 0,171 H 0 diterima karena D < D tabel (1- α) D 0,115 0,171 H 0 diterima karena D < D tabel (1- α) E 0,083 0,250 H 0 diterima karena D < D tabel (1- α)
Berdasarkan  Tabel  2  dapat  disimpulkan  bahwa  data  jumlah  kedatangan  bus  untuk semua lajur berdistribubsi Poisson.

## b. Uji Kecocokan Distribusi Waktu Pelayanan Bus
Uji kecocokan distribusi Eksponensial untuk masing-masing lajur dilakukan dengan H 0 adalah data jumlah kedatangan bus berdistribusi Eksponensial dan H 1 adalah data jumlah kedatangan bus tidak berdistribusi Eksponensial . Jika digunakan 𝛼 = 5% maka diperoleh hasil pada Tabel 3.
Berdasarkan Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa data waktu pelayanan bus untuk semua lajur  tidak  berdistribusi  Eksponensial  sehingga  dilakukan  uji  distribusi  lainnya  dengan software Easyfit dan diperoleh hasil dalam Tabel 4.
Tabel 3. Uji Kecocokan Distribusi Eksponensial Data waktu Pelayanan Bus
Jalur 𝐷 D tabel (1- α) Keputusan A 0,225 0,146 H 0 ditolak karena D > D tabel (1- α) B 0,202 0,177 H 0 ditolak karena D > D tabel (1- α) C 0,286 0,112 H 0 ditolak karena D > D tabel (1- α) D 0,263 0,093 H 0 ditolak karena D > D tabel (1- α) E 0,181 0,180 H 0 ditolak karena D > D tabel (1- α)
Tabel 4. Uji Kecocokan Distribusi General Data waktu Pelayanan Bus
Jalur Distribusi 𝐷 D tabel (1- α) Keputusan A Normal 0,1099 0,146 H 0 ditolak karena D < D tabel (1- α) B Weibull 0,1500 0,177 H 0 ditolak karena D < D tabel (1- α) C Weibull 0,1049 0,112 H 0 ditolak karena D < D tabel (1- α) D Weibull 0,0731 0,093 H 0 ditolak karena D < D tabel (1- α) E Normal 0,0962 0,180 H 0 ditolak karena D < D tabel (1- α) Berdasarkan Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa data waktu pelayanan bus untuk lajur A dan E berditribusi Normal, sedangkan untuk lajur B, C, dan D berdistribusi Weibull.

## 4.4 Distribusi Prior Noninformatif
Informasi prior yang digunakan dalam penelitian ini  adalah data jumlah kedatangan bus dan data waktu pelayanan bus pada penelitian yang dilakukan oleh Wrediningsih (2018). Data tersebut dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov dan diperoleh kesimpulan bahwa untuk data  jumlah  kedatangan  bus  semua  lajur  berdistribusi  Poisson  kecuali  lajur  A  yaitu berdistribusi  Geometrik.  Data  waktu  pelayanan  bus  untuk  lajur  A  dan  E  berdistribusi Lognormal, sedangkan untuk lajur B, C, dan D berdistribusi Weibull.
Jenis informasi prior dari penelitian Wrediningsih (2018) adalah prior noninformatif karena tidak  diketahui  lebih  lanjut  terkait  informasi  parameternya.  Salah  satu  pendekatan untuk  menaksir  parameter  dari  distribusi  noninformatif  adalah  metode  Jeffrey’s.  Berikut perhitungan prior noninformative untuk beberapa distribusi:
a. Prior Noninformatif dari Distribusi Geometrik
Prior  noninormatif  dengan  metode  Jeffrey’s  dari  data  jumlah  kedatangan  bus  yang berdistribusi Geometrik adalah sebagai berikut:
𝑓(𝜆)     = √ 1 𝜆 2 (1−𝜆) ∝ 1 𝜆(1−𝜆) 1/2
b. Prior Noninformatif dari Distribusi Poisson
Prior  noninormatif  dengan  metode  Jeffrey’s  dari  data  jumlah  kedatangan  bus  yang beridstribusi Poisson adalah sebagai berikut:
𝑓(𝜆)         = √ 1 𝜆 ∝ 𝜆 −1/2

## c. Prior Noninformatif dari Distribusi Lognormal
Prior  noninormatif  dengan  metode  Jeffrey’s  dari  data  waktu  pelayanan  bus  yang beridstribusi Lognormal adalah sebagai berikut:
𝑓(𝜎 2 ) = √ 1 2𝜎 4 ∝ 1 𝜎 2
Nilai noninformatif untuk 𝑓(𝜇) = 𝑐 (konstan), sehingga 𝑓(𝜗) = 𝑐 𝑥 1 𝜎 2 ∝ 1 𝜎 2 (Diana dan Soehardjoepri, 2016)
d. Prior Noninformatif dari Distribusi Weibull
Prior  noninormatif  dengan  metode  Jeffrey’s  dari  data  waktu  pelayanan  bus  yang beridstribusi Weibull adalah sebagai berikut:
𝑓(𝜆)     = √ 1 𝜆 2 = 1 𝜆 Nilai noninformatif prior untuk 𝑓(𝛽) = 𝑐 (konstan), sehingga 𝑓(𝜗) = 𝑐 𝑥 1 𝜆 ∝ 1 𝜆
(Ahmed et al , 2010)

## 4.5 Fungsi Likelihood
Berdasarkan hasil penelitian untuk data jumlah kedatangan bus dan waktu pelayanan bus diperoleh fungsi likelihood untuk distribusi sampel sebagai berikut:
a. Fungsi Likelihood Distribusi Poisson
𝐿 (𝑥; 𝜆) = ∏ 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! 𝑛 𝑖=1 = 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑ 𝑥𝑖 ∏ 𝑥 𝑖 ! b. Fungsi Likelihood Distribusi Weibull
𝐿 (𝑥; 𝜆, 𝛽) = ∏ 𝜆𝛽𝑥 𝛽−1 𝑒 −𝜆𝑥 𝛽 𝑛 𝑖=1 = 𝜆 𝑛 𝛽 𝑛 ∏ (𝑥 𝑖 ) 𝛽−1 𝑛 𝑖=1 𝑒 −𝜆 ∑ (𝑥 𝑖 ) 𝛽 𝑛 𝑖=1

## c. Fungsi Likelihood Distribusi Normal
𝐿 (𝑥; µ, 𝜎 2 )     = ∏ 1 √2𝜋𝜎 2 𝑒 − 1 2𝜎2 [𝑥−𝜇] 2 𝑛 𝑖=1 = (2𝜋𝜎 2 ) − 𝑛 2 exp (− 1 2𝜎 2 ∑ [𝑥 𝑖 − 𝜇] 2 𝑛 𝑖=1 )

## 4.6. Distribusi Posterior
Setelah  memperoleh  fungsi likelihood dari  distribusi  sampel  dan  distribusi  prior noninformatif dari penelitian sebelumnya, maka dapat ditentukan distribusi posterior sebagai berikut:
a. Distribusi  Posterior  dari  Prior  Noninformatif  Distribusi  Geometrik  dan Likelihood Poisson
Fungsi  densitas  posterior  untuk  data  prior  yang  berdistribusi  geometrik  dan  fungsi likelihood dari data sampel yang berdistribusi Poisson adalah sebagai berikut: Distribusi posterior 𝑓(λ|x) :
𝑓(λ|x) = 𝑞 −1/2 𝑒−𝑛𝜆𝜆∑ 𝑥𝑖−1 ∏ 𝑥𝑖! 𝑞−1/2 ∏ 𝑥𝑖!𝑛∑𝑥𝑖 Γ(∑ 𝑥𝑖) = 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 Γ(∑ 𝑥𝑖) 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑ 𝑥𝑖−1
Sehingga posterior ∝  𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 ( 1 𝑛 , ∑ 𝑥𝑖 )
b. Distribusi Posterior dari Prior Noninformatif Distribusi Poisson dan Likelihood
Poisson
Fungsi  densitas  posterior  untuk  data  prior  yang  berdistribusi  poisson  dan  fungsi likelihood dari data sampel yang berdistribusi Poisson adalah sebagai berikut: Distribusi posterior 𝑓(λ|𝑥) :
𝑓(λ|𝑥) = 𝑒−𝑛𝜆𝜆∑ 𝑥𝑖−1/2 ∏ 𝑥𝑖! 1 ∏ 𝑥𝑖!𝑛 ∑ 𝑥𝑖+12 Γ(∑ 𝑥𝑖+ 1 2 ) = 𝑛 ∑ 𝑥𝑖+12 Γ(∑ 𝑥𝑖+ 1 2 ) 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑ 𝑥𝑖−1/2
Sehingga posterior ∝  𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 ( 1 𝑛 , ∑ 𝑥𝑖 + 1 2 )
c. Distribusi Posterior dari Prior Noninformatif Distribusi Weibull dan Likelihood Weibull
Fungsi  densitas  posterior  dari  prior  prior  noniformatif  distribusi  Weibull  dan likelihood Weibull dengan melakukan transformasi fungsi padat peluang distribusi Weibull ke dalam bentuk Eksponensial menggunakan transformasi Jacobian dengan mengubah 𝑥 𝛽 menjadi 𝑦 sebagai berikut: Distribusi posterior 𝑓(𝜆|𝑦):
𝑓(𝜆|𝑦) = 𝜆 𝑛−1 𝑒 −𝜆 ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 2 (∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 Γ(𝑛) = (∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 2Γ(𝑛) 𝜆 𝑛−1 𝑒 −𝜆 ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1
karena 𝑦 = 𝑥 β , maka:
𝑓(𝜆|𝑦) = (∑ 𝑥 𝑖 β 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 2Γ(𝑛) 𝜆 𝑛−1 𝑒 −𝜆 ∑ 𝑥 𝑖 β 𝑛 𝑖=1
Sehingga posterior ∝  𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (𝑛, (∑ (𝑥 𝑖 ) 𝛽 𝑛 𝑖=1 ) −1 )
d. Distribusi Posterior dari Prior Noninformatif Distribusi Lognormal dan Likelihood Normal
Fungsi  densitas  posterior  untuk  data  prior  yang  berdistribusi  Lognormal  dan  fungsi likelihood dari data sampel yang berdistribusi Normal adalah sebagai berikut:
Distribusi Posterior 𝑓(µ, 𝜎 2 |𝑥) :
𝑓(𝑥|µ, 𝜎 2 ) = (𝜎 2 ) −( 𝑛 2+1) (2𝜋) −𝑛 2 exp (− 1 2𝜎2 ∑ [𝑥 𝑖 −𝜇] 2 𝑛 𝑖=1 ) (2𝜋) − 𝑛 2 ( 2𝜋 𝑛 ) 1/2 [ (𝑛−1)𝑠2 2 ] −( 𝑛−1 2 ) Γ( 𝑛−1 2 )
= ( 𝑛 2𝜋 ) 1 2 [ (𝑛−1)𝑠 2 2 ] ( 𝑛−1 2 ) [Γ ( 𝑛−1 2 )] −1 (𝜎 2 ) −( 𝑛 2 +1) exp (− 1 2𝜎 2 ∑ [𝑥 𝑖 − 𝜇] 2 𝑛 𝑖=1 )
Sehingga posterior ∝  𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 ( 𝑛 2 , 1 2 ∑ [𝑥 𝑖 − 𝜇] 2 𝑛 𝑖=1 )

## 4.7 Model Sistem Antrean
Berdasarkan analisis distribusi posterior yang telah dilakukan maka diperoleh model sistem antrean bayesian pada Tabel 5.
Tabel 5. Model Sistem Antrean Bayesian Lajur Distribusi Kedatangan Distribusi Pelayanan Model Sistem Antrean A Gamma Invers Gamma (GAMM/IG/1) : (GD/∞/∞) B Gamma Gamma (GAMM/GAMM/1) : (GD/∞/∞) C Gamma Gamma (GAMM/GAMM/1) : (GD/∞/∞) D Gamma Gamma (GAMM/GAMM/1) : (GD/∞/∞) E Gamma Invers Gamma (GAMM/IG/1) : (GD/∞/∞)

## 4.8 Ukuran Kinerja Sistem
Berdasarkan  hasil  distribusi  posterior,  maka  dilakukan  pembangkitan  data  sesuai dengan distribusi posterior. Selanjutnya, data ini digunakan untuk menghitug ukuran kinerja sistem. Tabel 6 adalah output GUI MATLAB untuk masing-masing lajur.
Tabel 6. Ukuran Kinerja Sistem Lajur 𝑃 0 𝐿 𝑞 𝐿 𝑠 𝑊 𝑞 𝑊 𝑠 A 0,9999 2,981x10 -15 2,962x10 -6 7,771x10 -17 7,722x10 -8 B 0.8701 1,891x10 -6 0,1166 2,967x10 -8 0,0018 C 0,5746 8,092x10 -5 0,3312 2,604x10 -6 0,0101 D 0,7531 6,340x10 -5 0,2065 3,097x10 -6 0,0101 E 0,9999 8,863x10 -15 7,910x10 -6 1,492x10 -16 1,331x10 -7

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat  disimpulkan  bahwa  model  sistem  antrean pelayanan bus untuk masing-masing lajur yaitu lajur A (Solo-Jakarta-Bandung) dan lajur E (Pedesaan)  dengan  metode  Bayesian  adalah  (GAMM/IG/1):(GD/∞/∞).  Sedangkan  model sistem  antrean  pelayanan  bus  untuk  masing-masing  lajur  yaitu  lajur  B  (Solo-Purwokerto- Cilacap), lajur C (Solo-Yogyakarta), dan lajur D (Solo-Semarang) dengan metode Bayesian adalah  (GAMM/GAMM/1):(GD/∞/∞).  Sistem  antrean  di  jalur  barat  memiliki  1  fasilitas pelayanan untuk masing-masing lajur dengan disiplin pelayanan First Come First Service (FCFS) serta  jumlah  kapasitas  pelanggan  dan  sumber  pemanggilan  tidak  terbatas. Secara keseluruhan sistem antrean pelayanan bus di jalur barat Terminal Tirtonadi Kota Surakarta sudah baik dan sudah efektif berdasarkan nilai ukuran kinerja sistem yang telah diperoleh.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmed,  A.O.M.,  Al-Kutubi,  H.S.,  Ibrahim,  N.A.  2010.  Comparison  of  the  Bayesian  and Maximum  Likelihood  Estimation  for  Weibull  Distribution. Journal  of  Mathematics and Statistics Vol 6, No. 2, Hal: 100-104.
An. 2017. Tirtonadi
Surakarta, Terminal Modern Dilengkapi Skybridge . https://www.beritatrans.com/artikel/96143/-Tirtonadi-Surakarta-Terminal-Modern- Dilengkapi-Skybridge/ (1 Februari 2021).
Bain, L. J. dan Engelhardt, M. 1992. Introduction Probability and Mathematical Statistics Second Edition . California: Duxburry Press. Berger, J. O. 1980. Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis Second Edition . New York: Springel-Verlag.
Bernado, J.M. dan Smith, A.F.M. 2000 . Bayesian Theory . Chichester: Jhon Wiley and Sons, Ltd.
Box, G. E. P. dan Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference in Statistical Analysis . Philippines: Addision-Wesley Publishing Company.
Daniel, W. 1989. Statistika Non Parametrik Terapan (Terjemahan). Jakarta: PT. Gramedia. Diana, E.N. dan Soehardjoepri. 2016. Pendekatan Metode Bayesian untuk Kajian Estimasi Parameter Distribusi  Log-Normal untuk Noninformatif Prior. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol 5, No. 2, Hal: A14-A16. Gross, D. dan Harris, C. M. 1998. Fundamental of Queueing Theory: Third Edition . New York: Jhon Willey and Sons, Inc.
Soejati, Z. dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian . Jakarta: Karunika.
Taha, H. A. 1996. Riset Operasi: Jilid Dua . Jakarta: Binarupa Aksara.
Walpole, R. E. dan Myers, R. H. 1995. Probability and Statistics for Engineers and Scientists Ninth Edition. United States of America: Pearson Education. Wrediningsih, A.P., Sugito, Pruhatama, A. 2018. Identifikasi Model Antrean Non-Poisson (Studi Kasus: Bus Nonpatas Antarkota Antarprovinsi (AKAP) dan Antarkota Dalam Provinsi  (AKDP)  Lajur  Barat  Terminal  Bus  Tirtonadi  Surakarta. Jurnal  Statistika Universitas Muhammadiyah Semarang Vol. 6, No. 2.