JURNAL FOURIER | Oktober 2022, Vol. 11, No. 2, 49-58

## Dimensi Metrik Lokal dari Hasil Perkalian Kuat Graf Bintang
Dea Alvionita Azka 1 , Diah Junia Eksi Palupi 2 , Al Sutjijana 3
1 Program Studi Rekayasa Hayati , Institut Teknologi Muhammadiyah Sumatera
23 Program  Studi  Magister  Matematika,  Fakultas  MIPA,  Uiniversitas  Gadjah  Mada,  Jl.  Yogyakarta 55281, Indonesia
Korespondensi; Dea Alvionita Azka, Email: dealvionitazka@gmail.com

## Abstrak
Diberikan  graf  terhubung  dan  sederhana 𝑮 = (𝑽(𝑮), 𝑬(𝑮)), dengan 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮). Jarak  antara 𝒖 dan 𝒗 ,  dinotasikan dengan 𝒅(𝒖, 𝒗) ,  didefinisikan  sebagai  panjang  lintasan  terpendek  dari 𝒖 ke 𝒗 pada 𝑮 .  Jika 𝑾 ⊂ 𝑽(𝑮) dengan 𝑾 = {𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 , … , 𝒘 𝒌 } merupakan  himpunan 𝒌 titik  yang  berada  di  G  dan 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮), maka  kode  metrik  dari 𝒗 terhadap 𝑾 adalah 𝒄𝒐𝒅𝒆 𝑾 (𝒗) = (𝒅(𝒗, 𝒘 𝟏 ), 𝒅(𝒗, 𝒘 𝟐 ), … , 𝒅(𝒗, 𝒘 𝒌 )) .  Jika 𝒄𝒐𝒅𝒆 𝑾 (𝒗) untuk  setiap 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮) berbeda,  maka 𝑾 disebut dimensi metrik dan dinotasikan dengan 𝒅𝒊𝒎(𝑮). Apabila kode metrik untuk setiap dua titik yang bertetangga di 𝑽(𝑮) berbeda terhadap 𝑾, maka 𝑾 disebut sebagai himpunan pembeda lokal 𝑮. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda lokal 𝑮 disebut dimensi metrik lokal 𝑮 yang dinotasikan dengan 𝒅𝒊𝒎 𝒍 (𝑮) . Pada penelitian ini diperoleh dimensi metrik lokal dari graf hasil perkalian kuat pada graf bintang.
Kata Kunci : Dimensi metrik lokal, perkalian kuat, graf bintang

## Abstract
Let 𝑮 = (𝑽(𝑮), 𝑬(𝑮)) be a connected simple graph, with 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮). The distance between 𝒖 and 𝒗 denoted by 𝒅(𝒖, 𝒗), is defined as the shortest path from 𝒖 to 𝒗 at 𝑮. A set 𝑾 ⊆  𝑽(𝑮 ) with 𝑾 =   {𝒘 𝟏 , 𝒘 𝟐 , . . . , 𝒘 𝒌 } is set of 𝒌 distinct vertices in 𝑮 .  The  metric  code  of  a  vertex  v  of  G  with  respect  to  W  is  k-vector  by  definition 𝒄𝒐𝒅𝒆 𝑾 (𝒗)   = (𝒅(𝒗, 𝒘 𝟏 ), 𝒅(𝒗, 𝒘 𝟐 ), . . . , 𝒅(𝒗, 𝒘 𝒌 )) where 𝒅(𝒗, 𝒘 𝒊 ) is the shortest distance from v to 𝒘 𝒊 , 𝒇𝒐𝒓 𝒊  =  𝟏, 𝟐, . . . 𝒌 . The set W is a local metric set of G if 𝒄𝒐𝒅𝒆 𝑾 (𝒖) ≠  𝒄𝒐𝒅𝒆 𝑾 (𝒗) for every pair 𝒖, 𝒗 of adjacent vertices of 𝑮 . A local metric set with the minimum cardinality is called local metric basis and its cardinality is called the local metric dimension of 𝑮 and denoted by 𝒅𝒊𝒎 𝒍 (𝑮) . In this paper we study the problem of finding bound for the local metric dimension of strong product of graphs, especially strong product of  star graph.
Keywords : Local Metric Dimension, Strong Product, Star Graph

## Pendahuluan
Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang tidak bisa lepas dari kehidupan sehari-hari, karena permasalahan dapat disajikan, dipahami dan dianalisis dalam bentuk yang lebih sederhana. Tahap- tahap yang harus dilalui adalah mencari pokok permasalahan kemudian merumuskan masalah ke dalam model matematika [1]. Graf merupakan salah satu pemodelan matematika. Dalam perkembangannya saat ini, teori graf dapat disajikan sebagai model matematika untuk menganalisis permasalahan yang ada di kehidupan  sehari-hari,  seperti  menentukan  lintasan  terpendek,  masalah  komunikasi,  transportasi, frekuensi assignment dalam telekomunikasi, optimasi penjadwalan dan lain sebagainya [2].
Graf merupakan himpunan titik dan sisi, yang biasanya dinotasikan dengan G. Penelitian dalam graf terus  berkembang  tidak  hanya  dari  sisi  penerapannya  tetapi  juga  dari  sisi  teorinya.  Dengan memperhatikan  lintasan  terpendek  yang  menghubungkan  antar  titik  pada  graf  diperoleh  konsep  jarak
pada graf. Lebih lanjut, salah satu konsep yang menggunakan jarak untuk membedakan setiap titik yang berbeda  di  suatu  graf  terhubung  adalah  himpunan  pembeda  dan  dimensi  metrik  [3]  [4]  .  Tujuan  dari konsep dimensi metrik ini untuk mencari suatu subhimpunan dengan kardinalitas terkecil W dari V(G) yang dapat membedakan setiap titik di graf terhubung G berdasarkan jaraknya ke setiap anggota dari W. Kardinalitas dari W disebut dengan dimensi metrik [5].
Salah  satu  aplikasi  dari  dimensi  metrik  adalah  navigasi  robotik,  yaitu  menghitung  banyaknya  titik minimal  yang dapat  menjadi titik acuan sehingga robot dapat  mengidentifikasi lokasinya berdasarkan jarak ke setiap titik acuan [6]. Sedangkan konsep himpunan pembeda dapat digunakan dalam klasifikasi senyawa  kimia  [7].  Setiap  senyawa  yang  berbeda  akan  memiliki  representasi  yang  berbeda  pula. Penerapan  lain  dari  konsep  himpunan  pembeda  dan  dimensi  metrik  adalah  network  discovery  and verification [8].
Ada  beberapa  ahli  yang  sudah  meneliti  mengenai  dimensi  metrik  suatu  graf.  Chartrand,dkk mengatakan  bahwa  dimensi  metrik  suatu  graf  G  adalah  satu  jika  dan  hanya  jika  G  merupakan  graf lintasan ( 𝑃 𝑛 ) dan dimensi metrik suatu graf G adalah 𝑛 − 1 jika dan hanya jika G merupakan graf lengkap (𝐾 𝑛 ) [9].  Lebih  lanjut,  Okamoto  memperkenalkan  konsep  himpunan  pembeda  lokal  sebagai pengembangan  dari  himpunan  pembeda.  Pada  konsep  ini,  suatu  subhimpunan  W  dari  V(G)  disebut himpunan pembeda lokal jika W dapat membedakan setiap pasangan titik bertetangga di graf terhubung G  berdasarkan  jaraknya  ke  setiap  anggota  dari  W.  Lebih  lanjut,  kardinalitas  dari  himpunan  pembeda lokal  W  yang  terkecil  disebut  dengan  dimensi  metrik  lokal.  Terdapat  beberapa  graf  tertentu  yang memiliki peran penting dalam teori graf, seperti graf lengkap, graf null, graf bipartit, graf lingkaran, graf path, graf roda dan graf bintang [1]. Ada beberapa penelitian terkait dimensi metrik lokal dari graf khusus [10] [11] [12] [13]. Hanya saja penelitian dimensi metrik lokal masih terbatas dalam bentuk graf khusus. Berdasarkan penelitian-penelitian yang telah ada, peneliti tertarik untuk mengkaji batas minimal dimensi metrik lokal dari hasil operasi perkalian kuat graf bintang.

## Landasan Teori
Graf adalah suatu himpunan tak kosong berhingga dari objek yang disebut titik disertai himpunan sisi (mungkin kosong), yang merupakan pasangan tak terurut dari titik yang berbeda, dan kemudian disajikan dalam  bentuk  garis  [9].  Suatu  graf  G  dapat  dituliskan  sebagai (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), dengan  V(G)  adalah himpunan titik dan E(G) adalah himpunan sisi. Misal diberikan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑥𝑦 ∈  𝐸(𝐺) disebut saling adjacent jika terdapat garis yang menghubungkan titik 𝑥 dan 𝑦 di 𝐺 [14].
Terdapat banyak kelas-kelas graf khusus yang berperan penting dalam teori graf, salah satunya adalah graf bintang. Graf bintang yang dinotasikan dengan 𝐾 1,𝑛−1 adalah graf bipartit lengkap dengan 𝑛 titik. Graf 𝐾 (1,𝑛−1) mempunyai 1 titik yang berderajat 𝑛 − 1 dan 𝑛 − 1 titik yang berderajat 1. Contoh:
Gambar 1. Graf Bintang 𝐾 1,4 , 𝐾 1,5 , 𝐾 1,6 .

## Graf Hasil Perkalian Kuat
Diberikan dua buah graf 𝐺 dan 𝐻 . Graf hasil perkalian kuat  dari 𝐺 dan 𝐻 dinyatakan dengan 𝐺 ⊠ 𝐻 dengan definisi sebagai
𝑉(𝐺 ⊠ 𝐻) = {(𝑔, ℎ), 𝑔 ∈ 𝑉(𝐺) dan ℎ ∈ 𝑉(𝐻)}
𝐸(𝐺 ⊠ 𝐻) = {((𝑔, ℎ)(𝑔 ′ , ℎ ′ ))│𝑔 = 𝑔 ′ dan ℎℎ ′ ∈ 𝐸(𝐻) atau ℎ = ℎ ′ dan 𝑔𝑔 ′ ∈ 𝐸(𝐺) atau 𝑔𝑔 ′ ∈ 𝐸(𝐺)  dan ℎℎ ′ ∈ 𝐸(𝐻)}. [14]
Berikut ini adalah contoh perkalian Kuat. Misalkan diberikan graf 𝑃 4 dan 𝑃 3 . Hasil dari 𝑃 4 ⊠ 𝑃 3 adalah sebagai berikut:
Gambar 2. Graf 𝑃 4 ⊠ 𝑃 3

## Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal pada Graf
Banyak topik yang berkembang membahas mengenai graf, salah satunya tentang dimensi metrik [15]. Diberikan graf sederhana dan terhubung 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), dengan V(G) adalah himpunan semua titik dan E(G)  adalah himpunan semua sisi pada G. Selanjutnya, diberikan fungsi 𝑑 𝐺 : 𝑉(𝐺) × 𝑉(𝐺) → ℕ ∪ {0} 𝑢 ntuk ℕ bilangan asli. Fungsi 𝑑 𝐺 memunculkan definisi jarak antar titik pada suatu graf.
Definisi  1. [9] Diberikan  graf 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) ,  dan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) .  Jarak  dari  titik u ke  titik v didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v, dan dinotasikan dengan 𝑑 𝐺 (𝑢, 𝑣) . Dalam  hal  tidak  ada  lintasan  yang  menghubungkan  antara  titik  u  dan  v,  maka  dinotasikan dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) = ∞ . Selanjutnya, untuk jarak titik u, v di graf G cukup dituliskan dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) .
Jika  diperumum,  jarak  pada  graf  tidak  hanya  dipandang  sebagai  jarak  antara  satu  titik  ke  titik lainnya, tetapi juga jarak antara satu titik ke suatu himpunan titik pada graf tersebut [16].
Definisi  2. [11]  Diberikan  suatu  graf  terhubung G, 𝑊 ⊆ 𝑉(𝐺), dengan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } . Untuk sebarang v di V(G), hubungan antara v dan W disebut kode metrik, dan dinotasikan dengan 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑣) yang  selanjutnya  didefinisikan  sebagai 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑣) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )). Selanjutnya Untuk  setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) dengan 𝑢 ≠ 𝑣 , W  disebut  himpunan  metrik  apabila 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑤 (𝑣) ≠ 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑤 (𝑢) , artinya  u  dan  v  dibedakan  oleh  paling  sedikit  k  elemen  di  W.  Himpunan  metrik  dengan  kardinalitas terkecil disebut dengan basis metrik. Lebih lanjut, kardinaitas terkecil dari himpunan metrik ini disebut dimensi metrik, dan dinotasikan dengan dim(G) .
Untuk  kejadian  khusus,  kode  metrik  dari  setiap  titik  di  graf  G  tidak  harus  berbeda.  Jika  hanya diperhatikan kode metrik dari tiitk-titik yang adjacent pada suatu graf, dapat diperoleh definisi sebagai berikut:
Definisi 3. [11] Diberikan graf terhubung G dan 𝑊 ⊂ 𝑉(𝐺). Himpunan W disebut himpunan metrik lokal apabila 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑣) ≠ 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢) untuk setiap titik u dan v yang adjacent di G dengan 𝑢 ≠ 𝑣 . Himpunan metrik  lokal dengan kardinalitas  terkecil disebut  basis metrik  lokal. Lebih lanjut,  kardinalitas terkecil dari  himpunan  metrik  lokal  ini  disebut  dengan  dimensi  metrik  lokal  dari  G  yang  dinotasikan  dengan 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺).
Contoh  4. Diberikan  graf  roda 𝑊 6 ,  dengan 𝑉(𝑊 6 ) = {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 , 𝑣 5 , 𝑣 6 }. Dipilih  S={ 𝑣 1 , 𝑣 4 } ⊂ 𝑉(𝑊 6 ) , berikut gambar beserta kode metrik setiap titik terhadap himpunan S.

## Gambar 3. Graf Roda dengan Dimensi Lokal 2
Berdasarkan kode metrik pada  Gambar 3  di  atas,  S merupakan basis metrik  lokal dari graf G, karena untuk setiap titik 𝑢, 𝑣 yang adjacent di graf 𝑊 6 , 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢) ≠ 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑣). Jadi 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝑊 6 ) = 2 .

## Bahan dan Metode
Dimensi metrik lokal adalah kardinalitas terkecil dari himpunan metrik lokal yang tidak saling adjacent . Selanjutnya akan diselidiki jarak antara dua buah titik pada suatu graf yang diperoleh dari perkalian kuat dua buah graf. Selanjutnya akan diselidiki jarak antara dua buah titik pada suatu graf yang diperoleh dari perkalian kuat dua buah graf.
Teorema 5 . Diberikan graf G dan H. Jika (𝑔, ℎ) dan (𝑔 ′ , ℎ ′ ) ∈ 𝑉(G ⊠ H) , maka 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔^′, ℎ′)) = 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔′), 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ′)}.
Bukti. Misalkan 𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔′) = ∞, maka  graf 𝐺 adalah  gabungan  dari  dua  saling  asing 𝐺 1 dan 𝐺 2 , sedemikian sehingga 𝑔 ∈ 𝑉(𝐺 1 ) dan 𝑔′ ∈ 𝑉(𝐺 2 ) . Akibatnya:
𝐺 ⊠ 𝐻 = (𝐺 1 + 𝐺 2 ) ⊠ 𝐻 = 𝐺 1 ⊠ 𝐻 + 𝐺 2 ⊠ 𝐻
dengan (𝑔, ℎ) ∈ 𝑉(𝐺 1 ⊠ 𝐻) 𝑑𝑎𝑛 ( 𝑔′, ℎ′) ∈ 𝑉(𝐺 2 ⊠ 𝐻), sehingga 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔′, ℎ′)) = ∞ . Melalui langkah  yang  sama,  untuk 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ′) = ∞ ,  akan  diperoleh 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔′, ℎ′)) = ∞ .  Jadi,  jika 𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔′) = ∞ , atau 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ′) = ∞ , maka 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔′, ℎ′)) = ∞.
Lebih lanjut, diasumsikan 𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔 ′ ) dan 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ ′ ) < ∞, artinya terdapat lintasan yag menghubungkan titik 𝑔 dan 𝑔′ di  graf 𝐺 dikatakan 𝑃 = 𝑎 0 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑑 𝐺 (𝑔,𝑔 , ) ,  dengan 𝑔 = 𝑎 0 dan 𝑔′ = 𝑎 𝑑 𝐺 (𝑔,𝑔 ′ ) . Lebih
lanjut,  terdapat  juga  lintasan  yang  menghubungkan  titik ℎ dan ℎ′ di  graf  H,  katakan 𝑄 = 𝑏 0 , 𝑏 1 , … , 𝑏 𝑑 𝐻 (ℎ,ℎ ′ ) dengan ℎ = 𝑏 0 dan ℎ′ = 𝑏 𝑑 𝐻 (ℎ,ℎ ′ ) . Misalkan |𝑃| ≥ |𝑄| (dapat  berlaku  sebaliknya), untuk graf 𝐺 ⊠ 𝐻 , diperoleh dua buah lintasan yaitu:
𝐴 = (𝑔, ℎ), (𝑎 1 , 𝑏 1 ), (𝑎 2 , 𝑏 2 ), … , (𝑎 𝑑 𝐻 (ℎ,ℎ ′ ) , ℎ′) 𝐵 = (𝑎 𝑑 𝐻 (ℎ,ℎ ′ ) , ℎ′), (𝑎 𝑑 𝐻 (ℎ,ℎ ′ )+1 , ℎ′), (𝑎 𝑑 𝐻 (ℎ,ℎ ′ )+2 , ℎ′), … , (𝑔 ′ , ℎ ′ ) .
Gabungan  dari  A  dan  B  adalah  panjang  lintasan |𝑃| = 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔 ′ ), 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ′)} dari (𝑔, ℎ) ke (𝑔 ′ , ℎ′) , sehingga diperoleh:
𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔′, ℎ′)) ≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔 ′ ), 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ^′ )}. (1)
Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  bahwa  m 𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔 ′ ), 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ ′ )} ≤ 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔′, ℎ′)) .  Dari pembahasan perkalian kuat G dan H selalu dapat diperoleh pemetaan proyeksi ke G atau ke H, maka pemetaan proyeksi 𝑃 𝐺 yang merupakan homomorfisma lemah, sehingga diperoleh
𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔 ′ ) = 𝑑 𝐺 (𝑃 𝐺 (𝑔, ℎ), 𝑃 𝐺 (𝑔′, ℎ′)) ≤ 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔 ′ , ℎ ′ )).
Hal yang sama juga berlaku untuk 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ′) ≤ 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔 ′ , ℎ ′ )) , sehingga
𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔 ′ ), 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ ′ )} ≤ 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔 ′ , ℎ ′ )) . (2)
Akibatnya, dari pertidaksamaan (1) dan (2) diperoleh
𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑔, ℎ), (𝑔′, ℎ′)) = 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑔, 𝑔^′ ), 𝑑 𝐻 (ℎ, ℎ ′ )}.
Selanjutnya dapat ditentukan batasan secara umum dimensi metrik lokal dari graf hasil perkalian kuat.
Teorema 6 . [12] Diberikan graf terhubung 𝐺 dan 𝐻 dengan |𝑉(𝐺)| = 𝑛 1 dan |𝑉(𝐻)| = 𝑛 2 . Jika 𝑛 1 ≥ 2 dan 𝑛 2 ≥ 2 , maka berlaku
3 ≤ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺 ⊠ 𝐻) ≤ 𝑛 1 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻) + 𝑛 2 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) − 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻).
Bukti. Diberikan 𝑉(𝐺) dan 𝑉(𝐻) adalah  himpunan  titik-titik  pada  graf 𝐺 dan 𝐻 .  Klaim  bahwa 𝑆 = (𝑉(𝐺) × 𝑆 2 ) ∪ (𝑆 1 × 𝑉(𝐻)) adalah himpunan metrik lokal dari 𝐺 ⊠ 𝐻 , dengan 𝑆 1 adalah basis metrik lokal dari G dan 𝑆 2 basis metrik lokal dari 𝐻 . Akan ditunjukkan 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺 ⊠ 𝐻) ≤ 𝑛 1 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻) + 𝑛 2 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) − 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻).
Diambil  ( 𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 ) ∈ 𝑉(𝐺) × 𝑉(𝐻) − 𝑆, dengan (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 ) ∈ 𝐸(𝐺 ⊠ 𝐻) .  Terdapat tiga kasus dalam hal ini. Jika 𝑢 𝑖 = 𝑢 𝑘 , maka 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻), artinya terdapat 𝑏 ∈ 𝑆 2 sedemikian sehingga 𝑑 𝐻 (𝑣 𝑗 , 𝑏) ≠ 𝑑 𝐻 (𝑣 𝑙 , 𝑏). Ekuivalen  dengan  mengatakan 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑢 𝑖 , 𝑏), (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 )) = 𝑑 𝐻 (𝑏, 𝑣 𝑗 ) ≠ 𝑑 𝐻 (𝑏, 𝑣 𝑙 ) = 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑢 𝑖 , 𝑏), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 )) . Jadi, ( 𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 ) dibedakan oleh (𝑢 𝑖 , 𝑏) ∈ (𝑉(𝐺) × 𝑆 2 ) ⊂ 𝑆.
Untuk 𝑣 𝑗 = 𝑣 𝑙 dan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺), artinya  terdapat 𝑐 ∈ 𝑆 1 sedemikian  sehingga 𝑑 𝐺 (𝑢 𝑖 , 𝑐) ≠ 𝑑 𝐺 (𝑢 𝑘 , 𝑐) .  Ekuivalen  dengan  mengatakan 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ), (𝑐, 𝑣 𝑗 )) = 𝑑 𝐺 (𝑐, 𝑢 𝑖 ) ≠ 𝑑 𝐺 (𝑐, 𝑢 𝑘 ) = 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑐, 𝑣 𝑗 ), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 )) . Sehingga (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 ) dibedakan oleh (𝑐, 𝑣 𝑗 ) ∈ (𝑆 1 × 𝑉(𝐻)) ⊂ 𝑆.
Untuk 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) dan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) , diambil sebarang 𝑎 ∈ 𝑆 1 sedemikian sehingga 𝑑 𝐺 (𝑎, 𝑢 𝑖 ) ≠ 𝑑 𝐺 (𝑎, 𝑢 𝑘 ). Ekuivalen
mengatakan 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ), (𝑎, 𝑣 𝑗 )) = 𝑑 𝐺 (𝑢 𝑖 , 𝑎) ≠ 𝑑 𝐺 (𝑢 𝑘 , 𝑎) = 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑑 𝐺 (𝑢 𝑘 , 𝑎),1} = 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑎, 𝑣 𝑗 ), (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 )) .  Akibatnya,  titik (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) dan (𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑙 ) dibedakan  oleh (𝑎, 𝑣 𝑗 ) ∈ (𝑆 1 × 𝑉(𝐻)) ⊂ 𝑆.
Jadi, berdasarkan kasus 1,2, dan 3, dapat disimpulkan bahwa S adalah himpunan metrik lokal dari G ⊠ H, dan diperoleh
𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺 ⊠ 𝐻) ≤ 𝑛 1 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻) + 𝑛 2 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) − 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻) (3)
Selanjutnya, akan dibuktikan untuk batas bawah dari 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺 ⊠ 𝐻) ≥ 3 . Misalkan B adalah basis metrik lokal dari 𝐺 ⊠ 𝐻 . Diambil (𝑢 1 , 𝑣 1 ) ∈ 𝐵 , kemudian dipilih 𝑢 ∗ ∈ 𝑁 𝐺 (𝑢 1 ) dan 𝑣 ∗ ∈ 𝑁 𝐻 (𝑣 1 ) . Selanjutnya dihimpun  titik-titik  persekitaran  yaitu 𝑊 = {(𝑢 ∗ , 𝑣 1 ), (𝑢 1 , 𝑣 ∗ ), (𝑢 ∗ , 𝑣 ∗ )} .  Oleh  karena (𝑢 1 , 𝑣 1 ) tidak bisa dibedakan dengan sebarang pasangan yang adjacent di W, maka terdapat ( 𝑢 2 , 𝑣 2 ) ∈ 𝐵 − (𝑢 1 , 𝑣 1 ). Lebih lanjut, dipilih
𝑞 = 𝑚𝑖𝑛 {𝑑 𝐺⊠𝐻 (𝑢 2 , 𝑣 2 ), (𝑎, 𝑏)}; (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑊.
Selanjutnya,  untuk  setiap (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑉(𝑊) ,  diperoleh 𝑑 𝐺⊠𝐻 ((𝑢 2 , 𝑣 2 ), (𝑎, 𝑏)) ∈ {𝑞, 𝑞 + 1}. Berdasarkan prinsip Pigeonhole, maka terdapat dua buah titik ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ), (𝑥 2 , 𝑦 2 ) ∈ 𝑊 sedemikian sehingga 𝑑 𝐺⊠𝐻 (𝑢 2 , 𝑣 2 )(𝑥 1 , 𝑦 1 ) = 𝑑 𝐺⊠𝐻 (𝑢 2 , 𝑣 2 )(𝑥 2 , 𝑦 2 ).
Sehingga 𝐵 − {(𝑢 1 , 𝑣 1 )(𝑢 2 , 𝑣 2 )} ≠ ∅. Akibatnya,
𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺 ⊠ 𝐻) ≥ 3 . (4)
Jadi, berdasarkan (3) dan (4) diperoleh:
3 ≤ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺 ⊠ 𝐻) ≤ 𝑛 1 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻) + 𝑛 2 ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) − 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐺) ∙ 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐻).

## Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan  teori-teori  yang  diperoleh  di  atas,  selanjutnya  akan  diselidiki  dimensi  metrik  lokal  dari perkalian kuat graf bintang.
Dimensi Metrik Lokal dari 𝑲 𝟏,𝒏−𝟏 ⊠ 𝑲 𝟏,𝒏−𝟏
Teorema  7. Diberikan  graf 𝐾 1,𝑛−1 dengan 𝑉(𝐾 1,𝑛−1 ) = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 } dan 𝑑(𝑢 𝑖 , 𝑢 𝑛 ) = 1 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1 , maka diperoleh
𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐾 1,𝑛−1 ⊠ 𝐾 1,𝑛−1 ) = 𝑛.
Misalkan 𝐵 = {(𝑢 𝑡 , 𝑢 1 ), (𝑢 𝑡 , 𝑢 2 ), … , (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡 )}, dengan |𝐵| = 𝑡 .  Akan  dibuktikan  bahwa  B  merupakan himpunan  metrik  lokal  dari  graf 𝐾 1,𝑛−1 ⊠ 𝐾 1,𝑛−1 . Kode  metrik  setiap  titik  dari  graf 𝐾 1,𝑛−1 ⊠ 𝐾 1,𝑛−1 terhadap himpunan B adalah sebagai berikut: 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 1 , 𝑢 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 2 , 𝑢 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 3 , 𝑢 1 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 1 ) = (1,2, … ,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 2 , 𝑢 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 3 , 𝑢 2 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 2 ) = (2,1, … ,2,1) 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 1 , 𝑢 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 2 , 𝑢 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 3 , 𝑢 3 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 3 ) = (2,2,1, , … ,2,1) ⋮
𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 1 , 𝑢 𝑛−1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 2 , 𝑢 𝑛−1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 3 , 𝑢 𝑡−1 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 𝑡−1 ) = (2,2,2, … ,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 1 , 𝑢 𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 2 , 𝑢 𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 3 , 𝑢 𝑡 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 𝑡 ) = (1,1,1, … ,1) 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡 , 𝑢 1 ) = (0,2,2, … ,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡 , 𝑢 2 ) = (2,0,2, … ,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡 , 𝑢 3 ) = (2,2,0, … ,1). ⋮ 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡−1 ) = (2,2, … ,0,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝐵 (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) = (1,1,1, … ,0).
Berdasarkan kode metrik di atas, tidak ada titik di 𝑉(𝐾 1,𝑡−1 ⊠ 𝐾 1,𝑡−1 ) yang adjacent memiliki kode metrik yang sama. Jadi dapat disimpulkan bahwa B merupakan himpunan metrik lokal dari 𝐾 1,𝑡−1 ⊠ 𝐾 1,𝑡−1 . Leboh lanjut, akan ditunjukan bahwa 𝐵 merupakan himpunan metrik lokal dengan kardinalitas minimum.  Misalkan  terdapat 𝑊 = {(𝑢 𝑡 , 𝑢 1 ), (𝑢 𝑡 , 𝑢 2 ), … , (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡−1 )} dengan |𝑊| = 𝑡 − 1. Kode metrik setiap titik di 𝐾 1,𝑡−1 ⊠ 𝐾 1,𝑡−1 terhadap 𝑊 adalah sebagai berikut:
𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑢 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑢 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑢 1 ) = ⋯   = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 1 ) = (1,2,2, … ,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑢 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑢 2 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 2 ) = (2,12, , … ,2,1) 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑢 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒_𝑊(𝑢 2 , 𝑢 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑢 3 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 3 ) = (2,2,1, , … ,2,1) ⋮ 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑢 𝑡−1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑢 𝑡−1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑢 𝑡−1 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 𝑡−1 ) = (2,2,2, … 1,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑢 𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑢 𝑡 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑢 𝑡 ) = ⋯ = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡−1 , 𝑢 𝑡 ) = (1,1,1, … 1,1) 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡 , 𝑢 1 ) = (0,2,2, … ,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡 , 𝑢 2 ) = (2,0,2, … ,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡 , 𝑢 3 ) = (2,2,0, … ,2,1).
⋮ 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡−1 ) = (2,2,2, … ,0,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) = (1,1,1, … ,1,1).
Oleh karena terdapat ( 𝑢 1 , 𝑢 𝑡 ), (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) ∈ 𝑉(𝐾 1,𝑡−1 ⊠ 𝐾 1,𝑡−1 ) yang memiliki kode metrik yang sama yaitu (1,1,1, … ,1), sedangkan (𝑢 1 , 𝑢 𝑡 ), (𝑢 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) adjacent ,  maka  W  bukan  himpunan  metrik  lokal  dari  graf 𝐾 1,𝑡−1 ⊠ 𝐾 1,𝑡−1 . Jadi tidak ada himpunan metrik lokal dengan kardinalitas kurang dari 𝑡 . Dengan kata lain B merupakan basis metrik lokal, dan 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐾 1,𝑡−1 ⊠ 𝐾 1,𝑡−1 ) = 𝑡.
Contoh 8. Diberikan graf bintang 𝐾 1,6 , dengan 𝑉(𝐾 1,6 ) = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑢 5 , 𝑢 6 , 𝑢 7 }, dan 𝑑(𝑢 𝑖 , 𝑢 7 ) = 1 , untuk 𝑖 = 1,2, … ,6 . Akan diselidiki dimensi metrik lokal dari 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 .
Gambar 4. Graf Roda dengan Dimensi Lokal 2
Misalkan W = {(𝑢 7 , 𝑣 1 ), (𝑢 7 , 𝑣 2 ), (𝑢 7 , 𝑣 3 ), (𝑢 7 , 𝑣 4 ), (𝑢 7 , 𝑣 5 ), (𝑢 7 , 𝑣 6 ), (𝑢 7 , 𝑣 7 )} dengan |𝑊| = 7 dan 𝑊 ⊂ 𝑉(𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 ). Akan ditunjukkan bahwa W merupakan basis metrik lokal dari 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 . Kode metrik setiap titik di graf 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 terhadap 𝑊 adalah 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 1 ) = (1,2,2,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 2 ) = (2,1,2,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 3 ) = (2,2,1,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 4 ) = (2,2,2,1,2,2,1).
𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 5 ) = (2,2,2,2,1,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 6 ) = (2,2,2,2,2,1,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 1 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 2 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 3 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 4 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 5 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 6 , 𝑣 7 ) = (1,1,1,1,1,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 1 ) = (0,2,2,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 2 ) = (2,0,2,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 3 ) = (2,2,0,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 4 ) = (2,2,2,0,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 5 ) = (2,2,2,2,0,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 6 ) = (2,2,2,2,2,0,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑊 (𝑢 7 , 𝑣 7 ) = (1,1,1,1,1,1,0).
Gambar 5. Graf 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6
Berdasarkan kode metrik di atas, tidak ada titik di 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 yang adjacent memiliki kode metrik yang  sama.  Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa  W  merupakan  himpunan  metrik  lokal  dari 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 . Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  bahwa  W  merupakan  himpunan  metrik  lokal  dengan  kardinalitas minimum.  Misalkan  terdapat 𝑆 = {(𝑢 7 , 𝑣 1 ), (𝑢 7 , 𝑣 2 ), (𝑢 7 , 𝑣 3 ), (𝑢 7 , 𝑣 4 ), (𝑢 7 , 𝑣 5 ), (𝑢 7 , 𝑣 6 )} dengan |S|=6. Kode metrik setiap titik di 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 terhadap himpunan S adalah sebagai berikut: 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 1 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 1 ) = (1,2,2,2,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 2 )
= 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 2 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 2 ) = (2,1,2,2,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 3 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 3 ) = (2,2,1,2,2,2). 000 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 4 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 4 ) = (2,2,2,1,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 5 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 5 ) = (2,2,2,2,1,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 6 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 6 ) = (2,2,2,2,2,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 1 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 2 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 3 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 4 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 5 , 𝑣 7 ) = 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 6 , 𝑣 7 ) = (1,1,1,1,1,1). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 1 ) = (0,2,2,2,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 2 ) = (2,0,2,2,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 3 ) = (2,2,0,2,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 4 ) = (2,2,2,0,2,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 5 ) = (2,2,2,2,0,2). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 6 ) = (2,2,2,2,2,0). 𝑐𝑜𝑑𝑒 𝑆 (𝑢 7 , 𝑣 7 ) = (1,1,1,1,1,1).
Oleh karena terdapat (𝑢 1 , 𝑣 7 ), (𝑢 7 , 𝑣 7 ) ∈ 𝑉(𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 ) yang memiliki kode metrik yang sama yaitu (1,1,1,1,1,1), sedangkan ( 𝑢 1 , 𝑣 7 ), (𝑢 7 , 𝑣 7 ) adjacent, maka S bukan merupakan himpunan metrik lokal dari graf 𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 . Jadi tidak ada himpunan metrik dengan kardinaltas kurang dari 7. Dengan kata lain W merupakan basis metrik lokal, dan 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐾 1,6 ⊠ 𝐾 1,6 ) = 7 .

## Kesimpulan
Dimensi  metrik  lokal  untuk  graf  bintang 𝐾 1,𝑛−1 , dengan  n  titik  dan 𝑛 ≥ 3 ,  maka 𝑑𝑖𝑚 𝑙 (𝐾 1,𝑛−1 ⊠ 𝐾 1,𝑛−1 ) = 𝑛 .

## Referensi
[1] B. N. Al-Hasanat dan A. S. Al- Hasanat, “Order Graph: A new representation of finite groups,” International Journal of
Mathematics and Computer Science, pp. 14(4), 809 –819., 2019.
[2]   Alimuddin, Dasar Sistem Kendali Cerdas: Teori dan Aplikasi, Serang: Untirta Press, 2020.
[3] P. Slater, “Leaves of Trees,” Congressus Numerantium, vol. 14, pp. 549-559, 1975.
[4] F. a. M. R. Harary, “On the Metric Dimension of a Graph,” ars. Combine, vol. 2, pp. 191-195, 1976.
[5] V. S. P. K. G. Chartrand, “The Independent Resolving Number of A Graph,” Mathematica Bohemica, vol. 4, no. 128, pp. 379-393, 2003.
[6] S. R. a. R. Khuller, “Landmarks in Graphs,” Discrete Appl. Math, vol. 70, no. 3, pp. 217-229, 1966.
[7]   G.  C.  a.  L.  E.  a.  M.  A.  J.  a.  O.  R.  Oellermann ,  “Resolvability  in  Graphs  and  The  Metric  Dimension  of  A  Graph,” Discret.Appl.Math, vol. 105, pp. 99-113, 2000.
[8] Z.  B.  F.  E.  T.  W.  E.  A.  H.  M.  Hoffmann,  “Network  Discovery  and  Verification,” IEEE  Journal  on  Selected  Areas  in Communication, vol. 24, pp. 2168-2181, 2005.
[9] G. E. L. J. a. O. Chartrand, “Resolvability in Graphs and The Metric Dimension of A Graph,” Discrete Applied Mathematics, vol. 105, pp. 99-113, 2000.
[10]  S. R. Eka, “Dimensi Metrik pada Graf Lintasan, Graf Komplit, Graf Sikel, Graf Bintang dan Graf Bipartit Komplit”.
[11] F. C. P. B. Z. P. d. K. Okamoto, “The Local Metric Dimension of a Graph,” Mathematica Bohemica, vol. 135, no. 3, pp. 239-255, 2010.
[12]  G. a. R.-V. Barragan-Ramirez, The Local Metric Dimension of Strong Product Graph, Cornell University Library, 2017.
[13] Juo Guo, Kaishun Wang, Fenggao Li, “Metric Dimension of SOme Distance-Regular Graphs,” Journal of Combinatorial Optimization, vol. 26, pp. 190-197, 2013.
[14]  R. I. a. K. Hammack, Handbook of Product Graphs Second Edition, USA: Taylor and Francis Group, 2010.
[15]  J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graduate text in mathematics: graph theory, New York: Springer, 2008.
[16]  F. Ali, S. Fatima dan W. Wang, “On the power graphs of certain finite groups,” Linear and Multilinear Algebra, vol. 21 ,
no. 2, pp. 50-59, 2020.