## DISTRIBUSI RAYLEIGH UNTUK KLAIM AGREGASI

## Getut Pramesti
Staf Pengajar FKIP Universitas Sebelas Maret, Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta,
getut@gmail.com

## Abstract
An Aggregation of claims are claims the sum of individual claims can be described in a distribution of collective risks that occur in a single period of insurance. Distribution is depicted in a probability density  function  and  cumulative  density  function. These  functions  can  also  describe  the characteristics of the distribution through the mean and variance. Writing this paper is to determine the aggregate claims model with a amount individual claims Rayleigh distributed and the number of  claims  Poisson  distributed. Discussion  of  the  results  obtained  showed  that  the  model's  claim depends on the aggregation of individual claims and the number of claims that occurred during the period of insurance.
Keywords : Aggregation, Claim, Rayleigh

## 1. Pendahuluan
Perusahaan  asuransi  dalam  pengelolaan  resiko  tentunya  harus  memperhatikan dengan  sungguh-sungguh  resiko-resiko  yang  mungkin  muncul  selama  periode  asuransi. Mengapa?  Karena  perusahaan  asuransi  sebagai  penanggung  resiko  terjadinya  suatu kerugian  dari  insured  tentu  harus  dapat  menanggung  kemungkinan-kemungkinan terjadinya  klaim  dari insured kepada insurer .  Penanggung  resiko  atau insurer harus mengetahui  karakter  resiko.  Karakter  resiko  inilah  dapat  dipelajari  dalam  suatu  model distribusi  klaim.  Distribusi  klaim  yang  dimaksud  digambarkan  dalam  suatu  distribusi densitas baik sebagai fungsi densitas probabilitas  maupun fungsi densitas kumulatif. Dari fungsi-fungsi  inilah,  untuk  selanjutnya insurer dapat  menetapkan  harga  penanggungan resiko dari insured . Harga penanggungan ini dimaksudkan untuk menghindari insurer dari loss .
Terjadinya  resiko  dalam  suatu  sistem  asuransi  dari insured dapat  memunculkan klaim.  Klaim  adalah  ganti  rugi  atas  suatu  resiko  kerugian.  Apabila  resiko  tersebut  terjadi secara  individual  maka  disebut  dengan  klaim  individual,  sedangkan  klaim  gabungan  atas klaim-klaim individual disebut dengan klaim  agregasi. Biasanya besar klaim berdistribusi eksponensial  atau  distribusi  lain  yang  masih  keluarga  dengan  distribusi  eksponensial seperti  Normal,  Poisson,  Gamma,  Binomial  dan  Invers  Gauss [3] .  Beberapa  keluarga distribusi  eksponensial  tersebut  juga  masuk  ke  dalam  distribusi  nilai  ekstrim.  Distribusi nilai  ektrim  merupakan  distribusi  dari  suatu  variabel  random  yang  mempunyai  batasan bernilai  minimum  maupun  maksimum.  Distribusi  nilai  ekstrim  banyak  juga  digunakan sebagai distribusi besar klaim dikarenakan ukuran besar klaim yang dapat cukup besar atau ekstrim.  Sehingga  permasalahan  yang  menjadi interest pada  umumnya  adalah  mengenai nilai-nilai  ekstrim  maksimum  atau  ekstrim  minimum.  Beberapa  jenis  distribusi  ini  antara lain Cauchy, Beta, Weibull, Rayleigh dan sebagainya. Dalam makalah ini akan diuraikan permasalahan mengenai model klaim agregasi dengan distribui Rayleigh yang merupakan turunan dari distribusi Weibull.
Klaim  yang  muncul  setiap  terjadi  resiko  disebut  dengan  klaim  individual,  dari klaim  individual  ini  akan  membentuk  suatu  klaim  agregasi.  Klaim  agregasi  merupakan akumulasi  dari  klaim-klaim  individual  selama  suatu  periode  asuransi  tertentu.  Perilaku klaim agregasi ini dapat dipelajari dari perilaku besar dan jumlah klaim individunya. Jadi untuk  mengetahui  pola  klaim  agregasi  terlebih  dahulu  harus  dipelajari  pola  klaim individunya.  Pola  klaim  individu  meliputi  dua  hal  yaitu  besar  dan  jumlah  klaim  yang terjadi. Untuk mengetahui model agregasi, harus ditentukan model besar dan jumlah klaim individu. Model dari besar dan jumlah klaim individu ini diperoleh dari distribusi masing- masing klaim.
Dalam  makalah  ini  akan  diuraikan  tentang  pembentukan  model  klaim  agregasi dengan  besar  klaim  berdistribusi  Rayleigh  dan  jumlah  klaim  berdistribusi  Poisson. Pembentukan  model  ditentukan  dari  bentuk  fungsi  densitas    probabilitas,  dari  fungsi  ini akan  diketahui  karakteristik  distribusi  klaim  agregasi  yaitu  dari  ukuran  rata-rata  dan variansinya.

## 2. Kajian Teoritis

## 2.1. Sistem Asuransi
Menurut  Bowers et  al. (1997:7)  dalam  sistem  asuransi  meliputi  beberapa  hal, diantaranya  adalah  1)  Pihak  tertanggung  atau insured merupakan  pihak  yang  mungkin mengalami  kerugian  ( loss ),  2)  Pihak  penanggung  atau insurer dalam  hal  ini  adalah perusahaan asuransi, merupakan pihak yang menanggung resiko loss dari insured jika loss terjadi,  3)  Penanggungan loss dari insured ke insurer ,  mewajibkan insured untuk membayar  sejumlah  uang  yang  disebut  dengan  premi,  4)  dari  premi  inilah insured akan menerima  polis  yaitu  perjanjian  tertulis  yang  dapat  diajukan  klaim-nya  apabila  terjadi kerugian, 5) Yang dimaksud klaim adalah ganti rugi atas resiko  yang terjadi.  Suatu klaim individu  terjadi disebut  dengan klaim  individu.  Jika klaim  individual ke-i dihasilkan oleh polis  ke- i dimana  polis  berlaku  pada  periode  asuransi  yang  sama  maka  jumlahan  dari klaim-klaim ini disebut dengan klaim agregasi. Klaim agregasi ini dapat dipandang berlaku pada suatu periode tunggal asuransi [2] .

## 2.2. Besar Klaim Individu dan Klaim Agregasi
Jika unit resiko individu ke- i, i=1,2,... dipandang sebagai unit besar klaim individu ke- i dan  dinotasikan  dengan i X maka
  N i i X X , , 2 , 1    . i X yang  dapat  diasumsikan berdistribusi  kontinu  maupun  diskrit  merupakan  variabel  random  berdistribusi  identik saling bebas.
Didefinisikan klaim agregasi yang merupakan jumlahan dari N klaim individu yaitu [6] :    N i i X S 1
(1)  , , 2 1 X X merupakan  variabel  random  yang  menyatakan  besar  klaim  individu  ke- i . X i dapat berupa diskrit maupun kontinu yang identik dan saling bebas sehingga berlaku :         2 1 2 1 n n X P X P X P X X X P      

## 2.3. Jumlah Klaim
Sama  seperti  halnya  dengan X , N juga  merupakan  variabel  random    yang menyatakan  jumlah  klaim  bernilai  bulat  non  negatif. N memuat  , , 2 1 N N yaitu  kejadian dengan  jumlah  klaim  yang  mungkin  terjadi  selama  suatu  periode  asuransi.  Jika  adalah ruang sampel N, maka
   k k i i i n N N N ,... 2 , 1 , ) ( :     dengan      k k n N P 1 dan     j i n N n N j i       ,
Jumlah  klaim N merupakan  variabel  random  yang  saling  bebas,  artinya  terjadinya  polis pada  tahun  pertama  tidak  dipengaruhi  oleh  terjadinya  polis  pada  tahun  kedua  dan seterusnya.  Jumlah  klaim  yang  terjadi  selama  periode  tunggal  asuransi  tertentu  menjadi data  yang  diperlukan  dalam  penentuan  distribusi  jumlah  klaim.  Jadi  untuk  mengetahui klaim  agregasi  yang  terjadi,  terlebih  dahulu  harus  diketahui  besar  dan  jumlah  klaim terlebih dahulu.

## 3. Pembahasan
Dari  persamaan  (1)  dapat  ditentukan  fungsi  densitas  probabilitas  dari  klaim agregasi yaitu sebagai berikut:
                                  k N S n N x S n N x S P x X X X P x f 1 2 1 ) ( Karena         k j n N x S n N x S k j          ,  maka berlaku:             i i i i i S n N P n N x S P n N x S P x f               1 1 ) (
Untuk suatu n klaim berlaku:
             0 2 1 ) ( n n S n N P x X X X P x f 
Sehingga diperoleh:
        0 ) ( ) ( n n S n N P x p x f (2)
dengan
      0 , 1 0 , 0 0 * x x (x) p dan      x y n n y x p y p (x) p ) ( ) ( ) 1 *( *
Dengan  cara  yang  sama  dalam  menentukan  fungsi  densitas  probabilitas,  maka  akan diperoleh fungsi densitas kumulatif dari klaim agregasinya adalah sebagai berikut:
        0 ) ( ) ( n n S n N P x P x F (3)
dengan
      0 , 1 0 , 0 0 *
x x (x) P
dan
            diskrit , ) ( kontinu , ) ( 1 * * * X y p X dy y p (x) P
x n x n n
Dari  persamaan  (2)  dan  (3)  dapat  diketahui  bahwa  model  klaim  agregasi  yang  dapat dinyatakan  dalam  suatu  distribusi  klaim  agregasi  ditentukan  dari  distribusi  besar  dan jumlah  klaim  individu  yang  terjadi.  Untuk  selanjutnya  akan  ditentukan  terlebih  dahulu besar rata-rata dan variansi dari klaim agregasi S.
          n N P n N S E n N S E E S E n      
Sehingga diperoleh rata-rata klaim agregasi S adalah:       N E X E S E 
(4)
                  2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( S E n N P X E n X nV S E n N S E E S V n        
Sehingga diperoleh variansi klaim agregasi S :
  ) ( ] [ ] [ ) ( ) ( 2 N V X E N E X V S V   (5)
Berdasarkan persamaan (4), dapat diketahui bahwa rata-rata klaim agregasi ditentukan oleh rata-rata besar dan jumlah klaim individu yang terjadi. Begitu pula dengan variansi klaim agregasi,  ditentukan  oleh  variansi  besar  klaim  individu,  jumlah  klaim  individu,  rata-rata besar klaim individu dan rata-rata jumlah klaim individu.
Dari sistem asuransi yang telah dipaparkan di atas, untuk mengetahui model klaim agregasi harus ditentukan terlebih dahulu distribusi besar klaim individu dan jumlah klaim. Dalam makalah ini akan diuraikan apabila besar klaim individu berdistribusi Rayleigh dan jumlah klaim berdistribusi Poisson maka akan dicari model distribusi klaim agregasi yang terbentuk.  Distribusi  Rayleigh  merupakan  khusus  dari  distribusi  Weibull,  sedangkan Weibull  merupakan  salah  satu  distribusi  nilai  ekstrim.  Sehingga  sebelum  membicarakan tentang  besar  klaim  yang  berdistribusi  Rayleigh  terlebih  dahulu  diulas  tentang  distribusi nilai ekstrim dan Weibull.
Suatu  variabel  random  dalam  sistem  asuransi  yang  penuh  dengan uncertainty , kadang  memunculkan  fenomena  yang  ekstrim.  Nilai-nilai  ekstrim  ini  juga  merupakan variabel  random,  dimana  distribusinya  bergantung  pada  distribusi  variabel  random  asal variabel  ekstrim  diperoleh  dan  juga  ukuran  sampel.  Variabel  acak  terdistribusi  secara identik terbatas ini dinyatakan dalam suatu distribusi nilai ekstrim. Distribusi Nilai ekstrim merupakan  peluang  kontinu  yang  membatasi  distribusi  untuk  minimum  atau  maksimum dari  sebuah  koleksi  yang  sangat  besar  dari  pengamatan  acak  suatu  distribusi.  Distribusi nilai  ekstrim  menggunakan  tiga  parameter  yaitu  parameter  bentuk,  parameter  skala  dan parameter lokasi. Terdapat tiga jenis dari distribusi nilai ekstrim yaitu tipe I, tipe II dan tipe III.  Tipe  I  merupakan  variabel  random  dengan  nilai  ekstrim  maksimum,  Tipe  II,  variabel random  nilai  ekstrim  minimum  atau  maksimum  dan  Tipe  III,  nilai  ekstrim  minimum. Distribusi  Weibull  merupakan  salah  satu  contoh  dari  distribusi  nilai  ekstrim  tipe  III. Weibull  banyak  digunakan  dalam  keandalan  dan  statistika  karena  kemampuannya mendekati berbagai jenis sebaran data. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Weibull adalah:
0 , 0 , 0 , exp ) ( 1                             x x x x f [1] (6)
dengan rata-rata
  dx x x x x E   
                0 1 exp                  1 1   x E (7)
dimana  adalah fungsi Gamma yang didefinisikan
  dx e x x       0 1  
Adapun variansi dari variabel random berdistribusi Weibull adalah sebagai berikut:
    x E dx x x x x V 2 0 1 2 exp                                                     1 1 1 2 2 2    x V (8)
Adapun  distribusi  Rayleigh  merupakan  kasus  khusus  dari  distribusi  Weibull.  Distribusi Rayleigh mempunyai fungsi densitas probabilitas berikut:
              2 exp ) ( 2 kx kx x f (9)
dengan k adalah  parameter  tunggal  yang  ekuivalen  dengan  distribusi  Weibull  saat 2   dan
2 2   k
Menurut  persamaan  (7)  dan  (8)  dapat  diketahui  rata-rata  dan  variansi  variabel  random berdistribusi Rayleigh adalah:
  dx kx kx x x E                 0 2 2 exp           2 3 2 k x E (10)
dan     x E dx kx kx x x V 2 0 2
2 2 exp                                      2 3 2 2 2 k x V (11)
Jumlah  klaim N dalam  suatu  sistem  asuransi  merupakan  peristiwa  stokastik  yang merupakan  barisan  kejadian  random  yang  dapat  diprediksikan  melalui  distribusi  jumlah klaim.  Distribusi  jumlah  klaim  ini  ditentukan  melalui  fungsi  densitas  probabilitas  dan fungsi  densitas  kumulatif.  Distribusi  jumlah  klaim  individu  sangat  penting  karena
menentukan  model  klaim  agregasi  yang  terbentuk.  Distribusi  jumlah  klaim  biasanya digunakan distribusi Poisson, karena Poisson merupakan distribusi untuk kejadian-kejadian yang jarang. Artinya terjadinya resiko dalam suatu selang interval waktu yang singkat atau daerah  yang  sempit  sebanding  dengan  panjang  interval  waktu  atau  luas  daerah  dan  tidak tergantung pada banyak resiko yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut. Jika N berdistribusi Poisson maka mempunyai fungsi densitas probabilitas [1] :
,... 2 , 1 , 0 , 0 , ! ) (     n n e n f n N    (12)
Diperoleh rata-rata jumlah klaim berdistribusi Poisson adalah:
       0 ! n n n e n N E   Sehingga     N E (13)
Variansi jumlah klaim:
      N E n e N V n n 2 0 2 2 ! 2              Jadi     N V (14)
Pada  persamaan  (13)  dan  (14)  nampak  bahwa  rata-rata  dan  variansi  jumlah  klaim  sama dengan  parameter  dari  distribusi  jumlah  klaim  yaitu  Poisson.  Artinya  jumlah  klaim  yang diasumsikan berdistribusi Poisson, mempunyai ukuran pemusatan terjadinya n N  klaim sama dengan ukuran penyebaran (simpangannya).

## 3.1. Model Klaim Agregasi
Dari  persamaan  (1),  (2)  dan  (9)  dapat  ditentukan  fungsi  densitas  probabilitas  dari  klaim agregasi dengan besar klaim berdistribusi Rayleigh dan jumlah klaim berdistribusi Poisson adalah sebagai berikut:
      0 ! ) ( ) ( n n n S n e x p x f   (15)
dengan nilai awal
      0 , 1 0 , 0 0 * x x (x) p dan      x y n n y x p y p (x) p ) ( ) ( ) 1 *( *
dengan
              2 exp ) ( 2 ky ky y p dan   y x X X X p y x p n n          1 2 1 ) 1 *( ) ( 
Dengan cara yang sama dalam menentukan fungsi densitas probabilitas, maka akan diperoleh fungsi densitas kumulatif yaitu:
      0 ! ) ( ) ( n n n S n e x P x F   (16)
dengan nilai awal
      0 , 1 0 , 0 0 * x x (x) P dan dy y p (x) P x n n     ) ( 1 * * dengan      y z n n z y p z p (y) p ) ( ) ( ) 1 *( * ,               2 exp ) ( 2 kz kz z p ,   z y X X X p z y p n n          1 2 1 ) 1 *( ) ( 
Menurut  persamaan  (4),  (10)  dan  (13)  dapat  ditentukan  rata-rata  klaim  agregasi dengan  besar  klaim  berdistribusi  rayleigh  dan  jumlah  klaim  berdistribusi  poisson  adalah sebagai berikut:
           2 3 2 k S E   k S E 
2 2  (17)
Rata-rata besar klaim agregasi dengan besar klaim individu berdistribusi Rayleigh, dari persamaan (17)  tergantung  dari  parameter  jumlah  klaim  yang  berdistribusi  Poison  dan  parameter k dari distribusi Rayleight.
Berdasarkan  persamaan  (5),  (10),  (11),  (13)  dan  (14)  diperoleh  variansi  besar  klaim agregasi  dengan  besar  klaim  individual  berdistribusi  Rayleigh  dan  jumlah  klaim  berdistribusi Poisson yaitu:
    2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 ) ( 2 2 2 2                                                                 k k k k S V Sehingga diperoleh:     2 2    k S V (18)
Berdasarkan  persamaan  (18)  nampak  bahwa  variansi  dari  klaim  agregasi  dengan  besar klaim individu berdistribusi Rayleigh dan jumlah klaim berdistribusi Poisson tergantung dari k dan  yang merupakan masing-masing parameter dari besar dan jumlah klaim individual.

## 4. Kesimpulan
Suatu  distribusi  klaim  agregasi  merupakan  kumpulan  dari  klaim-klaim  individu dalam  suatu  periode  tunggal  asuransi.  Distribusi  klaim  agregasi  ditentukan  dari  model klaim agregasi, dimana penentuan model ini diperoleh dari model klaim individual. Model klaim  individual  ditentukan  oleh  besar  dan  jumlah  klaim,  jadi  klaim  agregasi  tergantung
dari  besar  dan  jumlah  klaim  individu  yang  terjadi  selama  periode  tunggal  asuransi.  Jika besar  klaim  individu  berdistribusi  Rayleigh  dan  jumlah  klaim  berdistribusi  Poisson  maka akan  diperoleh  model  klaim  agregasi  dari  fungsi  densitas  probabilitas  seperti  persamaan (15)  dan  (16).  Dari  model  tersebut  nampak  bahwa  distribusi  klaim  agregasi  yang merupakan jumlahan dari klaim individu tergantung dari distribusi besar dan jumlah klaim individu yang terjadi selama periode tunggal asuransi tertentu. Meskipun terjadinya klaim individu  ke-1,  ke-2  dan  seterusnya  saling  tidak  mempengaruhi  namun  distribusi  klaim agregasi tergantung dari besar dan jumlah klaim individu. Begitu pula dengan karakteristik klaim  agregasi  yang  dilihat  dari  ukuran  pusat  dan  penyebarannya  seperti  persamaan  (17) dan  (18),  nampak  bahwa  rata-rata  dan  variansi  tergabtung  dari  parameter  masing-masing besar dan jumlah klaim individu yang terjadi.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Terimakasih  kepada  semua  pihak  yang  telah  membantu  terselesaikannya  penulisan makalah ini, terutama untuk kakak-kakak almamater S2 UGM yang memberi kesempatan kepada penulis untuk berkarya. Semoga karya kecil ini bermanfaat.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Bain  Lee  J  dan  Engelhard, Introduction  to  Probability  &  Mathematical  Statististic , 2 n ed., Duxbury Press., California, 1992.
2. Bowers et al ., Actuarial Mathematics , 2 n ed., The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois, 1997.
3. Duncan et  al ., A Practitioner’s Guide to  Generalized Linear Models ,  3  th  ed.,  2007, URL: http://www.casact.org/pubs/dpp/dpp04/04dpp1.pdf
4. Getut  Pramesti,  Model  Resiko  Kolektif  Dalam  Asuransi  Untuk  Periode  Tunggal, Skripsi Universitas Sebelas Maret , 2001, Tidak dipublikasikan.
5. Getut  Pramesti,  Dependensi  dalam  Model  Resiko  Individual  Untuk  Asuransi  Jiwa Kelompok, Thesis Universitas Gadjah Mada , 2003, Tidak dipublikasikan.
6. Waldmann, K.H., On The Exact Calculation of The Aggregate Claims Distribution in The Individual Life Model, Astin Buletin , 1994, 24: 89-96.