## KADIKMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3, Desember 2022, Hal. 203-218 e-ISSN : 2686-3243 ; p-ISSN : 2085-0662 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma https://doi.org/10.19184/kdma.v13i3.35418

## ANALISIS METODE MUTUA DAN APLIKASINYA TERHADAP DIFERENSIAL LINEAR ORDE -N
Maswar 1 *, Mujib MT 2
1 Universitas Ibrahimy Situbondo, Indonesia
2 Universitas Islam Jember, Indonesia
*E-mail: maswar@ibrhimy.ac.id
Article History: Received: 18-09-2022 ; Revised: 20-10-2022 ; Accepted: 21-11-2022

## ABSTRAK
Penelitian ini adalah penelitian studi literatur berkaitan dengan persamaan diferensial orde 1, orde 2,  dan  orde- 𝑛 .  Secara  khusus,  ketika  berhadapan  dengan  persamaan  diferensial  linear  orde- 𝑛 dengan koefisien tak tentu dari bentuk Ae cx dan Axe cx , solusi umum metode koefisien tak tentu yang ada  sejauh  ini  memerlukan  prosedur  penyelesaian  yang  panjang.  Analisis  terhadap  metode koefisien taktentu, metode operator D, metode reduksi orde  dan metode mutua, mulai dari definisi dan contoh-contoh prosedur penyelesaian dilakukan secara teliti dan komprehensif. Berdasarkan hasil analisis terhadap semua metode tersebut untuk polinomial koefisien tak tentu bentuk 𝐴𝑒 𝑐𝑥 dan 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 diketahui bahwa metode mutua cenderung lebih mudah dan cepat menemukan solusi dibandingkan  dengan  metode  biasa.  Metode  mutua  lebih  cepat  dan  mudah  diterapkan  pada persamaan  diferensial  linear  orde  tinggi,  karena  prosedur  penyelesaian  yang  digunakan  lebih sederhana dalam mendapatkan solusi integral tentu dan solusi umum PD. Kekurangan dari metode mutua, ada rumus matematis yang dalam penulisannya kurang lengkap dengan yang diterapkan pada uji bilangan. Temuan peneliti bahwa untuk c yang sama dengan 𝑘 = 1 , dapat pula dikerjakan langsung menggunakan rumus yang pertama, yang terpenting pengguna bisa memahami bahwa banyaknya k menunjukkan banyaknya pangkat tertinggi dari variabel 𝑥 dalam PD linear orde- 𝑛.
Keywords: : Metode Mutua, Metode Koefisien Taktentu, Metode Operator D, Metode Reduksi Orde, Aplikasi PD Linear

## ABSTRACT
This research is a literature study related to first-order, second-order, and nth-order differential equations.  In  particular,  when  dealing  with  nth-order  linear  differential  equations  with indeterminate  coefficients  of  the  form Ae cx and Axe cx ,  the  general  solution  of  the  existing indeterminate coefficient methods so far requires a lengthy solution procedure. The definitions and examples  of  the  solution  procedures  of  the  indeterminate  coefficient  method,  the  D  operator method,  the  order  reduction  method  and  the  mutua  method  are  analyzed  thoroughly  and comprehensively.  Based  on  the  analysis  of  all  these  methods  for  indeterminate  coefficient polynomials of the form 𝐴𝑒 𝑐𝑥 and 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 , it is known that the mutua method tends to be easier and faster to find solutions compared to ordinary methods. The mutua method is faster and easier to  apply  to  higher  order  linear  differential  equations,  because  the  solution  procedure  used  is
simpler  in  obtaining  definite  integral  solutions  and  general  PD  solutions.  Disadvantages  of  the mutua method, there are mathematical formulas that are incomplete in writing with those applied to the number test. The researcher found that for the same c with k = 1, it can also be done directly using the first formula, the most important thing is that the user can understand that the number of k indicates the number of the highest rank of the variable x in the nth-order linear PD.
Keywords:  Method  of  Mutua,  Method  of  Indeterminate  Coefficient,  Method  of  Operator  D, Method of Order Reduction, Linear PD Application

## PENDAHULUAN
Banyak  persoalan  nyata  yang  membutuhkan  penyelesaian  menggunakan  konsep ekonomi,  bisnis  dan  industri.  Sebagai  salah  satu  induk  ilmu,  matematika  mempunyai peranan penting yang tak boleh diabaikan. Matematika secara kontinu atau terus-menerus dipelajari dari generasi ke generasi, terus digali dan dikembangkan kemanfaatannya untuk kemaslahatan ummat secara majemuk.
Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir secara sistematik. Matematika juga merupakan ilmu  pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi [1]. Matematika memiliki peranan penting dan merupakan salah satu komponen pendidikan dasar dalam bidang pengajaran. Salah satu tujuan matematika pada pendidikan adalah agar siswa memiliki kemampuan memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep  dan  mengaplikasikan  konsep  secara  luwes,  akurat,  efisien,  dan  tepat  dalam pemecahan  masalah.  Matematika  sebagai  suatu  bidang  ilmu  yang  merupakan  adat  pikir, berkomunikasi,  alat  untuk  memecahkan  berbagai  persoalan  praktis,  yang  unsur-unsurnya logika dan intuisi, analisis dan konstruksi, generalitas dan individualitas, dan mempunyai cabang-cabang antara lain aritmatika, aljabar, geometri, dan analisis [2].
Pada  era  revolusi  industri  4.0,  menuntut  seseorang  akan  banyak  hal  yang  sangat kompleks untuk dikuasai baik di bidang Science, Tekhnology, Engineering and Mathematics (STEM).  Pada  dasarnya,  STEM  merupakan  salah  satu  upaya  yang  diproyeksikan  untuk merevolusi pembelajaran di masa depan. STEM juga merupakan kurikulum pendidikan yang berfokus pada mata pelajaran Sains, Tekhnologi, Teknik dan Matematika. Di antara keempat dasar ilmu pengetahuan yang harus dimiliki, matematika adalah disiplin ilmu yang sangat elementer.  Matematika  merupakan  ilmu  yang  berhubungan  dengan  numerasi,  pola perubahan,  hubungan,  ruang  dan  bentuk.  Matematika  juga  didefinisikan  sebagai  disiplin ilmu yang bersifat abstrak dan penuh dengan pemecahan masalah yang rumit [3].
Persamaan diferensial merupakan salah satu bagian menarik dalam matematika yang banyak  digunakan  pada  percobaan  matematika.  Dalam  hal  ini  persamaan  diferensial melibatkan  turunan  yang  dapat  diinterprestasikan  sebagai  laju  perubahan.  Persamaan diferensial adalah persamaan matematika dalam suatu fungsi satu variabel atau lebih yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalan berbagai orde. Orde dari suatu persamaan  diferensial  adalah  turunan  tertinggi  yang  muncul  dalam  persamaan  tersebut.
Sebagai contoh: 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 + 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 0 , merupakan persamaan diferensial berorde dua [4].
Persamaan  diferensial  merupakan  salah  satu  bagian  dari  kajian  matematika  yang dipelajari di lembaga sekolah hingga perguruan tinggi. Persamaan diferensial adalah setiap persamaan  yang  di  dalamnya  terdapat  turunan  atau  diferensial  [5].  Aplikasi  ilmu  ini menyentuh  pada  beberapa  kasus  nyata,  antara  lain:  masalah  pertumbuhan  eksponensial, peluruhan bahan radioktif, radiocarbon dating, rangkaian listrik, hukum Hooke untuk pegas, hukum tegangan Kirchoff dan hukum newton kedua.
Penelitian yang dilakukan oleh Malik tentang penyelesaian persamaan diferensial orde satu  menggunakan  Metode  Simetri  Lie  [6].  Metode  Simetri  Lie  merupakan  suatu  metode
penyelesaian  dari  persamaan  diferensial  dan  mereduksi  order  dari  persamaan  diferensial sehingga mudah untuk ditentukan solusinya. Metode ini menggunakan konsep kesimetrian yang dapat digunakan pada suatu ekspresi aljabar. Sebagai ilustrasi, persamaan 𝑦  =   𝑥 4 atau 𝑦  =  𝑐𝑜𝑠 𝑥 mempunyai sifat simetri, yaitu suatu transformasi 𝑥   →   −𝑥 memetakan grafik 𝑦  =   𝑥 4 ke 𝑦  =   𝑥 4 itu sendiri dan juga transformasi 𝑥  →  𝑥  +  2𝜋 memetakan 𝑦  =  𝑐𝑜𝑠 𝑥 kembali ke 𝑦  =  𝑐𝑜𝑠 𝑥 [6].
Adanya  metode  Simetri  Lie  ternyata  belum  juga  memberikan  kemudahan  dalam penyelesaian  persamaan  diferensial,  terutama  pada  persamaan  diferensial  tingkat  tinggi. Mayoritas mahasiswa banyak mengalami kesulitan pada persamaan diferensial orde dua dan orde- 𝑛 tak homogen dengan koefisien tak tentu. Hal ini sama dengan apa yang disampaikan oleh Cipta dan Dahlan bahwa dalam proses pembelajaran persamaan diferensial, terkadang mahasiswa  tidak  lepas  dari  kendala  dan  kesulitan  dalam  memahami  konsep  materi persamaan diferensial [7]. Hal ini dapat dilihat dari hasil Ujian Tengah Semester (UTS) atau Ujian  Akhir  Semester  (UAS)  yang  tidak  sesuai  dengan  harapan  yang  diinginkan.  Lebih lanjut,  mereka  mengatakan  bahwa  selama  beberapa  tahun  terakhir  dalam  proses  belajar mengajar  persamaan  diferensial  di  kelas,  mahasiswa  cenderung  kesulitan  pada  dua  hal. Pertama,  mahasiswa  kesulitan  ketika  dihadapkan  dengan  permasalahan  kontekstual  yakni mahasiswa kesulitan dalam mengubah masalah nyata ke dalam bentuk model matematika. Kedua,  mahasiswa  mengalami  kesulitan  dalam  mengaitkan  konsep-konsep  untuk memecahkan  permasalahan  persamaan  diferensial  yang  melibatkan  penggunaan  konsep- konsep turunan dan integral. Penggunaan konsep turunan dan integral ini dapat ditemukan di dalam pokok bahasan persamaan diferensial (PD) linear orde 1, 2, hingga orde- 𝑛 homogen dan tak homogen bentuk koefisien tak tentu.
Pada  pembelajaran  persamaan  diferensial,  biasanya  mahasiswa  mengalami  tiga kesulitan. Pertama, mahasiswa kesulitan dalam membuat pemodelan persamaan diferensial ketika  menyelesaikan  soal-soal  aplikasi.  Kedua,  mahasiswa  kesulitan  menyelesaikan  soal yang terkait konsep-konsep yang menjadi syarat dalam pembelajaran persamaan diferensial yaitu  turunan  dan  integral.  Ketiga,  mahasiswa  kesulitan  dalam  menafsirkan  solusi penyelesaian hubungannya dengan permasalahan yang disajikan.
Persamaan diferensial (PD) linear orde satu dituliskan dalam bentuk umum: 𝑦 ′ + 𝑝𝑦 = 𝑟 . PD linear orde dua dituliskan dalam bentuk umum: 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑦 = 𝑟 . Sedangkan PD linear  orde- 𝑛 dituliskan  sebagai  berikut: 𝑦 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝑦 ′ + 𝑝 0 𝑦 = 𝑟 .  Dari bentuk umum PD tersebut, untuk membedakan sebagai PD homogen dan tak homogen dapat dilihat dari nilai 𝑟 . Jika nilai 𝑟 = 0 , maka PD tersebut homogen. Sebaliknya, apabila nilai 𝑟 ≠ 0 , maka PD tersebut tak homogen.
Solusi yang dikenalkan dalam memecahkan masalah atau soal PD linear orde 1, 2, 3, hingga orde orde- 𝑛 disebut solusi dengan metode biasa (metode koefisien taktentu, metode operator D, dan metode reduksi orde). Sedangkan, solusi lain yang dikenalkan oleh Mutua disebut solusi dengan Metode Mutua ( Mutua’s Method ). Kedua metode ini sangat penting untuk diketahui dan dipahami oleh mahasiswa, dosen maupun peneliti, agar dapat memilih metode  yang  terbaik  yakni  mudah  dan  cepat  menemukan  solusi  atas  permasalahan  yang dihadapi  serta  mudah  diterapkan  dalam  permasalahan  tekstual  maupun  kontekstual  yang lebih kompleks. Keterbaruan dari penelitian ini adalah mengungkap kelebihan dari metode mutua  dibandingkan  dengan  metode  koefisien  taktentu,  metode  operator  D  dan  metode reduksi orde (disebut metode biasa/umum) dalam penerapannya terhadap uji bilangan PD orde  dua  tak  homogen  hingga  PD  orde- 𝑛 .  Selain  itu,  penelitian  ini  juga  mengungkapkan kekurangan dari metode mutua, dan melakukan perbaikan atas penulisan rumus yang keliru.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  jenis  penelitian  deskriptif  kualitatif  menggunakan  metode studi  pustaka  ( library  research ).  Adapun  langkah-langkah  yang  digunakan  sebagai  yaitu menganalisis  metode  koefisien  tak  tentu,  metode  operator  D,  metode  reduksi  orde,  dan metode  mutua.  Menganalisis  dan  membandingkan  langkah-langkah  atau  prosedur penyelesaian metode mutua dengan metode koefisien tak tentu, metode operator D, metode reduksi orde pada kasus persamaan diferensial tak homogen. Mengaplikasikan ke persoalan nyata khususnya persamaan linear orde 1 dan orde 2, dan menarik kesimpulan. Tahap analis dilakukan  dengan  mengamati  definisi  dan  prosedur  penyelesaian  masing-masing  metode tersebut dan metode mutua, meneliti prosedur penyelesaian keduanya pada contoh-contoh soal, baik soal biasa maupun soal yang berkaitan dengan permasalahan nyata.  Berdasarka hasil pengamatan kemudian diambil sebuah kesimpulan.

## Gambar 1. Alur Metode Penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Definisi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah setiap persamaan yang di dalamnya terdapat turunan atau diferensial  [5].  Beberapa  ketentuan  yang  berkaitan  dengan  definisi  persamaan  diferensial sebagai berikut.
a) Turunan  dapat  dianggap  sebagai  diferensial  variabel  tak  bebas  dibagi  diferensial variabel bebasnya.
b) 𝑦 (𝒏) = 𝒅 𝒏 𝒚 𝒅𝒙 𝒏 disebut  turunan  atau derrivative ke- 𝑛 dari 𝑦 terhadap 𝑥 . 𝑑 𝑛 𝑦 disebut diferensial dari 𝑦 yang artinya perubahan kecil mendekati nol dari 𝑦 .
c) Variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya bergantung pada nilai variabel bebas. Huruf 𝑦 sering  dipakai  sebagai  lambang  variabel  tak-bebas.  Huruf 𝑥 dan 𝑡 sering dipakai sebagai lambang variabel bebas.
d) Orde  atau  tingkat  PD  adalah  turunan  tertinggi  variabel  tak-bebas  terhadap  variabel bebasnya.
e) Derajat PD adalah derajat atau pangkat dari turunan tertinggi yang terjadi.
f) PD linear adalah sebuah PD dengan suku linear dalam 𝑦 dan turunannya. Suku linear adalah suku berderajat satu, bukan perkalian dan bukan fungsi transenden yaitu fungsi trigonometri, fungsi eksponensial dan logaritma.
g) PD  biasa  adalah  PD  dengan  variabel  bebas  tunggal,  jadi  diferensialnya  diferensial biasa bukan diferensial parsial. PD parsial adalah PD dengan variabel bebas lebih dari satu, jadi memakai diferensial parsial.

## 2. Bentuk Umum dan Karakteristik PD Linear Orde- 𝒏
Bentuk umum PD linear orde- 𝑛 . Adapun bentuk umum PD linear orde- 𝑛 adalah 𝑦 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝑦 ′ + 𝑝 0 𝑦 = 𝑟 dimana fungsi 𝑝 dan 𝑟 merupakan fungsi 𝑥 atau konstan dan tidak mengandung 𝑦 . Persamaan Diferensial (PD) linear orde- 𝑛 memiliki karakteristik antara lain:
a) 𝑦 𝑛 adalah turunan 𝑦 ke- 𝑛
b) PD linear jika 𝑝 0, 𝑝 1 , … , 𝑝 𝑛−1 dan 𝑟 merupakan fungsi dari 𝑥 , atau konstan, tidak berisi 𝑦 .
c) PD tak linear jika 𝑝 0, 𝑝 1 , … , 𝑝 𝑛−1 ada yang berisi 𝑦 atau 𝑟 berisi 𝑦 berpangkat selain nol atau satu
d) Jika 𝑟 ≠ 0, disebut PD linear orde- 𝑛 tak homogen.
e) Jika 𝑟 = 0 , disebut PD linear orde- 𝑛 homogen.
f) Jika 𝑝 0, 𝑝 1 , … , 𝑝 𝑛−1 merupakan konstan, disebut PD linear orde- 𝑛 koefisien konstan.
3. Prinsip Solusi PD Tak Homogen
Prinsip dari solusi umum untuk PD tak homogen berbentuk: 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 , dimana: a) 𝑦 adalah solusi umum PD tak homogen: 𝑦 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝑦 ′ + 𝑝 0 𝑦 = 𝑟.
b) 𝑦 ℎ adalah  solusi bagian PD homogen: 𝑦 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝑦 ′ + 𝑝 0 𝑦 = 0.
c) 𝑦 𝑝 adalah solusi khusus PD tak homogen: 𝑦 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝑦 ′ + 𝑝 0 𝑦 = 𝑟

## 4. Prinsip Solusi PD Homogen
Prinsip  dari  solusi  umum  untuk  PD  homogen  berbentuk: 𝑦 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝑦 ′ + 𝑝 0 𝑦 = 0 [5][8].
a) 𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 𝛾 1 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 𝛾 2 𝑥 + ⋯ + 𝐶 𝑛 𝑒 𝛾 𝑛 𝑥 ,  untuk 𝑛 bilangan  bulat  dan 𝛾 akar-akar karakteristik yang berbeda yakni ketika 𝐷 > 0 .
b) 𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 𝛾 1 𝑥 + 𝐶 2 𝑥𝑒 𝛾 2 𝑥 + 𝐶 3 𝑥 2 𝑒 𝛾 3 𝑥 + ⋯ + 𝐶 𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝛾 𝑛 𝑥 , untuk 𝑛 bilangan bulat dan 𝛾 akar-akar karakteristik yang sama yakni ketika 𝐷 = 0 .
c) 𝑦 ℎ = 𝑒 𝛾 1 𝑥 𝐶 1 𝑐𝑜𝑠 𝜔 1 𝑥 + 𝑒 𝛾 1 𝑥 𝐶 2 sin 𝜔 1 𝑥 + ⋯ + 𝑒 𝛾 𝑛 𝑥 (𝐶 𝑛 cos 𝜔 𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑛+1 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑛 𝑥) , untuk 𝑛 bilangan bulat dan 𝛾 akar-akar karakteristik konjugat kompleks yakni ketika 𝐷 < 0 .
Secara umum, Wayan Degeng mengklasifikasikan solusi PD menjadi 4 macam, yaitu solusi umum, solusi khusus, solusi singular dan solusi implisit [5]. Solusi umum menurutnya adalah  solusi  PD  dengan  konstanta  sebarang  sebanyak  orde-nya.  Sebuah  pengintegralan akan memunculkan sebuah konstanta sebarang lain. Solusi PD diperoleh antara lain dengan pengintegralan sebanyak ordenya. Hal ini berimplikasi bahwa PD orde satu akan mempunyai solusi  umum  dengan  sebuah  konstanta  sebarang,  sedangkan  PD  orde- 𝑛 akan  mempunyai solusi umum dengan 𝑛 konstanta sebarang. Kemudian, solusi PD khusus prinsipnya sama dengan  solusi  PD  umum  dengan  konstanta  sebarang  yang  telah  diganti  dengan  angka  riil tertentu.  Solusi  singular  adalah  solusi  lain  yang  tidak  mungkin  diperoleh  dengan  cara menentukan  nilai  tertentu  bagi  konstanta  sebarang  pada  solusi  umum.  Selanjutnya,  solusi implisit merupakan solusi PD yang berbentuk 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 . Semua variabel ada di satu ruas, yang berbeda dengan solusi biasanya yaitu solusi eksplisit yang berbentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥).
5. Studi Kasus Solusi Penyelesaian Persamaan Diferensial (PD) Orde Dua Persamaan  diferensial  orde  dua  tak  homogen  adalah  sebuah  persamaan  diferensial yang memiliki bentuk umum 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑟 . Prinsip solusi PD tak homogen orde dua berbentuk 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 , dimana 𝑦 merupakan solusi umum PD ak homogen, sedangkan 𝑦 ℎ merupakan solusi umum PD homogen, dan 𝑦 𝑝 adalah suatu solusi khusus PD tak homgen. Perlu diingat Kembali bahwa PD 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑟 disebut PD orde dua tak homogen bila 𝑟 ≠ 0 . Sementara PD orde dua itu disebut homogen bila 𝑟 = 0 .
Selanjutnya,  pada  kasus  uji  bilangan  ini  akan  diungkapkan  beberapa  metode penyelesaian sebagai solusi dari PD orde dua tak homogen. Beberapa metode tersebut, yaitu 1) metode homogen dan tak homogen, metode operator D, metode reduksi orde, dan metode Mutua.

## a. Solusi PD Orde Dua Dengan Metode Koefisien Taktentu
Metode penyelesaian ini digunakan khusus pada kasus PD orde dua hingga orde- 𝑛 tak homogen. Metode ini seringkali disebut dengan metode PD linear homogen tak homogen. Disebut demikian, karena prosedur penyelesaiannya membagi menjadi persamaan umum ke dalam dua persamaan homogen dan tak homogen. Suatu solusi khusus PD tak homogen, 𝑦 𝑝 diperoleh dari mencoba-coba ( trial and error ) yang bergantung pada 𝑟 . Bentuk solusi khusus sama  dengan  bentuk 𝑟 tetapi  dengan  koefisien  taktentu  yang  harus  dihitung.  Berikut  ini adalah tabel beberapa bentuk 𝑟 , bentuk solusi khususnya dan koefisien taktentu yang harus dihitung.

## Tabel 1. Solusi Khusus dengan Koefisien Taktentu
Metode ini seringkali disebut dengan metode penyelesaian PD linear homogen dan tak homogen [9]. Langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan:
1) Menentukan solusi umum PD homogen: 𝑦 ℎ
2) Menentukan solusi PD tak homogen: 𝑦 𝑝
3) Menentukan solusi umum PD tak homogen: 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝
Contoh 1 :  Carilah solusi umum PD: 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥
Penyelesaian : Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 PD homogen
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 0
Persamaan karakteristik
𝜆 2 + 5𝜆 + 6 = 0 atau (𝜆 + 3)(𝜆 + 2) = 0
Akar-akar persamaan
𝜆 1 = −2 dan 𝜆 2 = −3 Solusi PD homogen
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥
Selanjutnya, mencari nilai 𝑦 𝑝 :
Karena 𝑟 dan 𝑦 ℎ sama-sama berisi 𝑒 𝑥 , maka: 𝑦 𝑝 = 𝑘𝑒 −𝑥
No . 𝒓
𝒚 𝒑 Koefisien tak tentu yang harus dihi 𝒕𝒖𝒏𝒈 1. 𝑎𝑒 𝑐𝑥 𝑘𝑒 𝑐𝑥 𝑘
2. 𝑎𝑥 𝑛 ( 𝑛 = 0,1,2, … ) 𝑦 𝑝 = 𝑘 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑘 𝑛− 1 𝑥 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑘 0 𝑘 𝑛 , 𝑘 𝑛− 1 , … , 𝑘 0 3. 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛− 1 𝑥 𝑛 − 1 + ⋯ + 𝑎 0
4. a sin 𝜔 𝑥 𝐴 cos 𝜔𝑥 + 𝐵 sin 𝜔𝑥 𝐴 dan 𝐵 5. a cos 𝜔 𝑥
𝑦 ′ 𝑝 = −𝑘𝑒 −𝑥 𝑦 ′′ 𝑝 = 𝑘𝑒 −𝑥
Kemudian, substitusikan ke dalam PD semula: 𝑘𝑒 −𝑥 + 5(−𝑘𝑒 −𝑥 ) + 6(𝑘𝑒 −𝑥 ) = 2𝑒 −𝑥 𝑘𝑒 −𝑥 − 5𝑘𝑒 −𝑥 + 6𝑘𝑒 −𝑥 = 2𝑒 −𝑥 𝑘 − 5𝑘 + 6𝑘 = 2 , 𝑘 = 1 dan 𝑦 𝑝 = 𝑒 −𝑥
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥 + 𝑒 −𝑥

## b. Solusi PD Orde Dua Dengan Metode Operator D
Metode  operator  D  didasarkan  pada  pemahaman  tentang  lambing-lambang 𝐷 𝑦, 𝐷 2 𝑦, … , 𝐷 𝑛 𝑦 , dipakai  untuk  menyatakan diferensial diferensial 𝑦 terhadap 𝑥 berturut- turut sebagai berikut:
𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 , … , 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 𝐷, 𝐷 2 , … , 𝐷 𝑛 , dinamakan operator deferensial atau operator D yang bersifat seperti besaran aljabar. 𝐷 2 𝑦 dapat  diartikan  bahwa  D  kuadrat  kali 𝑦 .  kemudian,  dengan  menggunakan lambing ini, dapat dituliskan bentuk umum PD linear orde- 𝑛 sebagai berikut: {𝐷 (𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝐷 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑝 1 𝐷 + 𝑝 0 }𝑦 = 𝑟 .
Langkah-langkah  penyelesaian  PD  dua  dengan  Teknik  Operator  adalah  mengubah sistem persamaan diferensial kedalam teknik operator yaitu 𝐹(𝐷)𝑦 𝑝 = 𝑄 , mengeliminasikan untuk  menentukan  nilai  yaitu: 𝑦 𝑝 = 1 𝐹(𝐷) 𝑄 ,  menentukan  fungsi  komplementer  dalam menentukan akar-akar riil  dan berbeda, akar-akar yang berulang dan akar-akar kompleks, menentukan integral khusus dengan menggunakan sifat-sifat teknik operator D untuk solusi umum,  sehingga  diperoleh  solusi  umum  dari  sistem  PD  orde-2  yaitu 𝑦 = 𝐹. 𝐾𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑛𝑒𝑡𝑒𝑟 + 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝐾ℎ𝑢𝑠𝑢𝑠 [9]. Langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan yaitu:
1) Mengubah sistem persamaan diferensial ke dalam teknik operator D: 𝐹(𝐷)𝑦 𝑝 = 𝑄
2) Mengeleminasikan untuk menentukan nilai: 𝑦 𝑝 = 1 𝐹(𝐷) 𝑄
3) Menentukan fungsi komplementer dalam menentukan akar-akar riil dan berbeda, akar- akar yang berulang dan akar-akar kompleks
4) Menentukan integral khusus dengan menggunakan sifat-sifat teknik operator-D untuk solusi umum
5) Menentukan solusi umum sistem persamaan diferensial orde dua:
𝑦 = 𝐹. 𝐾𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑛𝑒𝑡𝑒𝑟 + 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝐾ℎ𝑢𝑠𝑢𝑠
Contoh 2 :  Carilah  solusi  umum  PD: 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥 menggunakan  metode operator D!
Penyelesaian :
Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥
Persamaan diubah
(𝐷 2 + 5𝐷 + 6)𝑦 = 0 atau (𝐷 + 3)(𝐷 + 2) = 0 Akar-akar persamaan
𝐷 1 = −2 dan 𝐷 2 = −3 Solusi PD homogen
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥
Selanjutnya, mencari nilai 𝑦 𝑝 : Karena 𝑟 dan 𝑦 ℎ sama-sama berisi 𝑒 𝑥 , maka:
𝑦 𝑝 = 𝑘𝑒 −𝑥 𝑦 ′ 𝑝 = −𝑘𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑘𝑒 −𝑥 𝑦 ′′ 𝑝 = 𝑘𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑘𝑒 −𝑥 − 𝑘𝑒 −𝑥
Kemudian, disubstitusikan ke dalam PD semula:
𝑘𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑘𝑒 −𝑥 − 𝑘𝑒 −𝑥 + 5(−𝑘𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑘𝑒 −𝑥 ) + 6(𝑘𝑥𝑒 −𝑥 ) = 2𝑒 −𝑥 𝑘𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑘𝑒 −𝑥 − 𝑘𝑒 −𝑥 − 5𝑘𝑥𝑒 −𝑥 + 5𝑘𝑒 −𝑥 + 6𝑘𝑥𝑒 −𝑥 = 2𝑒 −𝑥 7𝑘𝑥𝑒 −𝑥 − 5𝑘𝑥𝑒 −𝑥 + 3𝑘𝑒 −𝑥 = 2𝑒 −𝑥 2𝑘𝑥𝑒 −𝑥 + 3𝑘𝑒 −𝑥 = 2𝑒 −𝑥 𝑘 = 1 dan 𝑦 𝑝 = 𝑒 −𝑥
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥 + 𝑒 −𝑥

## c. Solusi PD Orde Dua Dengan Metode Reduksi Orde
Metode  reduksi  orde  ialah  sebuah  metode  penyelesaian  PD  umum  tak  homogen dengan  menggunakan  pemisalan (𝐷 − 𝑑 2 ) … (𝐷 − 𝑑 𝑛 )𝑦 = 𝑟 .  Kemudian, (𝐷 − 𝑑 1 )𝑌 1 = 𝑟 merupakan PD linear tak homogen koefisien konstan dalam 𝑌 1 , yang dapat dislesaikan untuk 𝑌 1 .
Selanjutnya,  memisalkan (𝐷 − 𝑑 3 ) … (𝐷 − 𝑑 𝑛 )𝑦 = 𝑌 2 ,  sehingga (𝐷 − 𝑑 2 )𝑌 2 = 𝑌 1 dan  ini  merupakan  PD  linear  tak  homogen  koefisien  konstan  dalam 𝑌 2, yang  dapat diselesaikan untuk 𝑌 2 . Langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan:
1) Mengubah persamaan diefrensial ke dalam operator D
2) Mereduksi orde  ke dalam persamaan baru
3) Menentukan integral khusus dengan menggunakan sifat-sifat teknik operator-D untuk solusi umum
4) Menentukan solusi umum persamaan diferensial
Contoh 3 :  Carilah solusi umum PD: 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥 menggunakan metode reduksi orde!
Penyelesaian: Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥
Persamaan diubah
(𝐷 2 + 5𝐷 + 6)𝑦 = 2𝑒 −𝑥
Misalkan
(𝐷 + 3)𝑦 = 𝑌 1 maka (𝐷 + 2)𝑌 1 = 2𝑒 −𝑥
Ini adalah PD linear tak homogen koefisien konstan, dengan solusi:
𝑌 1 = 𝑒 −2𝑥 [2 ∫ 𝑒 2𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 1 ] 𝑌 1 = 𝑒 −2𝑥 [2𝑒 𝑥 + 𝐶 1 ] = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 2𝑒 −𝑥 (𝐷 + 3)𝑦 = 𝑌 1 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 2𝑒 −𝑥
Ini adalah PD linear tak homogen koefisien konstan, dengan 𝑝 = 3 , sehingga ℎ = 3𝑥 .
𝑦 = 𝑒 −3𝑥 [∫ 𝑒 3𝑥 (𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 2𝑒 −𝑥 )𝑑𝑥 + 𝐶 2 ] 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 [∫(𝐶 1 𝑒 𝑥 + 2𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 + 𝐶 2 ] 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 [𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 + 𝐶 2 ]
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥 + 𝑒 −𝑥

## d. Solusi PD Orde Dua Dengan Metode Mutua
1) Tak Tentu Bentuk 𝐴𝑒 𝑐𝑥
Metode Mutua memberikan solusi bahwa pada kasus koefisien tak tentu bentuk 𝐴𝑒 𝑐𝑥 dapat dicari dengan rumus 𝐴 = 1 𝑓(𝑐) , dimana 𝑎 ≠ 0, dan 𝑐 bukan merupakan akar-akar dari PD linear 𝑜𝑟𝑑𝑒 − 𝑛 bentuk:
𝑎 𝑛 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎 0 𝑦 = 𝑒 𝑐𝑥 .
Dengan demikian, persamaan karakteristiknya adalah 𝑓(𝑚) = 𝑎 𝑛 𝑚 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑚 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑚 1 + 𝑎 0 .
Sebuah  polinomial 𝑝 𝑞 (𝑡) berderajat 𝑞 untuk 𝑞 ≤ 𝑛 didefinisikan  sebagai: 𝑝 𝑞 (𝑡) = (𝑡 − 𝑚 1 )(𝑡 − 𝑚 2 ) … (𝑡 − 𝑚 𝑞−1 )(𝑡 − 𝑚 𝑞 ) , dimana 𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑞 adalah sebuah himpunan bagian dari semua akar-akar 𝑓(𝑚) yang tidak sama dengan 𝑐 . Polinomial tertentu ini disebut sebagai  sesuatu  yang  digunakan  untuk  menentukan  integral  tertentu  ( particuler  integral ). Jika  semua  akar-akar  persamaan  karakteristik  tidak  sama  dengan 𝑐 ,  maka  diperoleh persamaan 𝑓(𝑐) ≠ 0 .  Kemudian  mengambil  polinomial  tertentu  menjadi 𝑝(𝑡) = 𝑎 𝑛 𝑚 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑚 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑚 1 + 𝑎 0 .  Selanjutnya,  koefisien  A  pada  persamaan  integral: 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑒 𝐶𝑥 menjadi 𝐴 = 1 𝑝(𝑐) .  Hal  demikian  sama  dengan 𝑦 𝑝 = 1 𝑝(𝑐) 𝑒 𝐶𝑥 [10].  Langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan:
1) Menentukan karakteristik PD homogen
2) Menentukan solusi PD homogen: 𝑦 ℎ
3) Menggunakan Rumus Mutua untuk mencari nilai 𝑦 𝑝 = 1 𝑝(𝑐) 𝑒 𝐶𝑥
4) Menentukan solusi umum persamaan diferensial: = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Contoh 4 :  Carilah solusi umum PD: 𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥 dengan menggunakan metode Mutua!
Penyelesaian :
Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 −𝑥
PD homogen
𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 0
Persamaan karakteristik
𝜆 2 + 5𝜆 + 6 = 0 atau (𝜆 + 3)(𝜆 + 2) = 0
Akar-akar persamaan
𝜆 1 = −2 dan 𝜆 2 = −3 ,
Solusi PD homogen
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥
Selanjutnya, mencari nilai 𝑦 𝑃 :
𝑦 𝑝 = 𝐴𝑒 𝐶𝑥 atau 𝑦 𝑝 = 1 𝑝(𝑐) 𝑒 𝐶𝑥
Karena 𝑐 = −1 dan berbeda dengan akar-akar 𝜆 1 = −2 dan 𝜆 2 = −3 , maka:
𝑝(𝜆) = 𝜆 2 + 5𝜆 + 6 𝑝(−1) = (−1) 2 + 5(−1) + 6 = 1 − 5 + 6 = 2 𝐴 = 1 𝑝(𝑐) = 1 2
Kemudian disubstitusikan ke 𝑦 𝑝 = 2𝑒 −𝑥 ,
𝑦 𝑝 = 𝑒 −𝑥 (bentuk lain dari 2 = 1 𝐴 = 1: 1 2 = 1𝑥 2 1 = 2 ) 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥 + 𝑒 −𝑥 .
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 2 𝑒 −3𝑥 + 𝑒 −𝑥 2) Koefisien Tak Tentu Bentuk 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥
Solusi Persamaan Diferensial (PD) linear dengan koefisien tak tentu bentuk 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 atau bila ditulis lengkap sebagai bentuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 berbeda formula untuk 𝑛 > 1 . Adapun formula bentuk ini adalah 𝑦 𝑝 = 1 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 , dengan 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 , untuk 𝑛 bilangan asli. Hal ini diberlakukan ketika 𝑚 1 = 𝑚 2 = ⋯ = 𝑚 𝑘 = 𝑐 dan 𝑚 𝑘+1 , … , 𝑚 𝑛 ≠ 𝑐 . Tentunya 𝑓(𝑚) = (𝑚 − 𝑚 1 )(𝑚 − 𝑚 2 ) … (𝑚 − 𝑚 𝑘 ) … (𝑚 − 𝑚 𝑛 ) [10][11]. Langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan:
1) Menentukan karakteristik PD homogen
2) Menentukan solusi PD homogen: 𝑦 ℎ
3) Menggunakan Rumus Mutua untuk mencari nilai: 𝑦 𝑝 = 1 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥
4) Menentukan solusi umum persamaan diferensial: = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Contoh 5 :  Carilah  solusi  umum  PD: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 dengan  menggunakan  metode Mutua!
Penyelesaian: Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥
PD homogen
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 Persamaan karakteristik 𝜆 2 − 3𝜆 + 2 = 0 atau (𝜆 − 1)(𝜆 − 2) = 0
Akar-akar persamaan
𝜆 1 = 1 dan 𝜆 2 = 2 , Solusi PD homogen
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 .
Selanjutnya, mencari nilai 𝑦 𝑝 :
𝑦 𝑝 = 1 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 atau 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥
Karena 𝑐 = 1 dan sama dengan akar-akar 𝜆 1 = 1 serta berbeda dengan 𝜆 2 = 2 , maka untuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 𝑥
𝑝(𝜆) = (𝜆 − 𝜆 2 ) 𝑝(1) = (1 − 2) = −1 𝑦 𝑝 = 1 𝑘! 𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 𝑦 𝑝 = 1 1! − 1 𝑥 1 𝑒 1𝑥 = −𝑥𝑒 𝑥
Kemudian, disubstitusikan ke 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 𝑥 , 𝑦 𝑝 = −𝑥𝑒 𝑥 . 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 .
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥
Contoh  6 :  Carilah  solusi  umum  PD: 𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ − 4𝑦 + 4 = 𝑒 2𝑥 dengan  menggunakan metode Mutua!
Penyelesaian :
Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ − 4𝑦 + 4 = 𝑒 2𝑥
PD homogen
𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ − 4𝑦 + 4 = 0
Persamaan karakteristik
𝜆 3 − 𝜆 2 − 4𝜆 + 4 = 0 atau (𝜆 − 1)(𝜆 − 2)(𝜆 + 2) = 0 Akar-akar persamaan
𝜆 1 = 1 , 𝜆 2 = 2 , dan 𝜆 3 = −2 Solusi PD homogen
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −2𝑥
Selanjutnya, mencari nilai 𝑦 𝑝 :
𝑦 𝑝 = 1 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 atau 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥
Karena 𝑐 = 2 dan sama dengan akar-akar 𝜆 2 = 1 serta berbeda dengan 𝜆 1 = 1 dan 𝜆 3 = −2 , maka untuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 2𝑥
𝑝(𝜆) = (𝜆 − 𝜆 1 )(𝜆 + 𝜆 3 ) 𝑝(2) = (2 − 1)(2 + 2) = 4 𝑦 𝑝 = 1 𝑘! 𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 𝑦 𝑝 = 1 1!4 𝑥 1 𝑒 2𝑥 = 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 ,
Kemudian, disubstitusikan ke 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 2𝑥 , sehingga didapatkan:
𝑦 𝑝 = 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 . 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −2𝑥 + 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 .
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −2𝑥 + 1 4 𝑥𝑒 2𝑥
Contoh 7 : Gunakanlah metode Mutua untuk mencari solusi umum PD: 𝑦 ′′′ − 3𝑦 ′ + 3𝑦 − 1 = 4𝑒 𝑥 . Penyelesaian :
Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′′ − 3𝑦 ′ + 3𝑦 − 1 = 4𝑒 𝑥 .
PD homogen
𝑦 ′′′ − 3𝑦 ′ + 3𝑦 − 1 = 0
Persamaan karakteristik
𝜆 3 − 3𝜆 2 + 3𝜆 − 1 = 0 atau (𝜆 − 1)(𝜆 − 1)(𝜆 − 1) = 0 𝜆 1 =   𝜆 2 = 𝜆 3 = 1 ,
Maka:
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 3 𝑥 2 𝑒 𝑥 .
Kemudian, mencari nilai 𝑦 𝑝 :
Karena 𝑐 = 1 dan  sama  dengan  dengan  semua  akar-akar 𝜆 1 = 𝜆 2 = 𝜆 3 = 1 ,  maka 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥 3 𝑒 𝑥
𝑝(𝜆) = 𝜆 𝑝(1) = 1
𝑦 𝑝 = 1 𝑘! 𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 𝑦 𝑝 = 4 1 3!1 𝑥 3 𝑒 1𝑥 = 4 3 𝑥 3 𝑒 𝑥 , 𝑦 𝑝 = 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 . 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 3 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2 3 𝑒 3 𝑒 𝑥 .
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 3 𝑥 2 𝑒 𝑥 + 2 3 𝑥 3 𝑒 𝑥

## 6. Aplikasi PD Linear
Persamaan  diferensial  (PD)  linear  banyak  memiliki  manfaat  dalam  kehidupan seharihari baik dalam kegiatan bisnis, ekonomi, industri dan kegiatan lainnya yang bersifat mikanis. Berikut dipaparkan beberapa aplikasi PD:
a) Hukum Maltus
Hukum  Maltus  yang  umum  dikenal  dengan  hukum  pertumbuhan  eksponensial menyebutkan bahwa laju pertumbuhan suatu populasi (mikroba, bakteri, serangga, manusia, binatang) sebanding dengan jumlah populasi saat itu. Jika 𝑦 menyatakan jumlah populasi setiap  saat,  maka  hukum  maltus  dinyatakan  dengan 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑘𝑦 ,  dimana 𝑘 adalah  konstanta pertumbuhan yang selalu bernilai positif. Mencari fungsi waktu sebagai 𝑦(𝑡) atau mencari solusi  umum  PD  atau  juga  ingin  mengetahui  populasi  setiap  saat  untuk  keadaan  khusus tertentu,  misalnya  untuk  jumlah  populasi  mula-mula  tertentu  diketahui.  Ini  merupakan aplikasi dari PD linear orde- 𝑛 . Selain pada hukum Maltus, berlaku juga Hukum Newton 1, kecepatan benda, rangkaian listrik dan hukum peluruhan eksponensial serta hukum tegangan Kirchoff.
Contoh 8 :  Suatu  benda bergerak pada garis lurus sepanjang sumbu −𝑦 dengan kecepatan menurut persamaan 𝑣 = 20𝑡 + 3 . Jika mula-mula posisi benda adalah 10 meter, hitunglah posisi benda setelah 40 detik.
Penyelesaian:
Jika posisi benda setiap saat adalah 𝑦, maka kecepatan benda: 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 𝑣 = 20𝑡 + 3
Diketahui 𝑦(0) = 10 meter. Ditanyakan 𝑦(40)?
Solusi:
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 20𝑡 + 3 ∫ 𝑑𝑦 = ∫(20𝑡 + 3)𝑑𝑡
𝑦 = 10𝑡 2 + 3𝑡 + 𝐶 𝑦(0) = 10 maka diperoleh 𝐶 = 10 𝑦(40) = 10(40 2 ) + 3(40) = 16.130 meter.
b) Hukum Newton II
Hukum Newton II menyebutkan bahwa jika sebuah benda memperoleh gaya sebesar
𝐹 , maka benda tersebut akan mengalami percepatan dengan hubungan 𝐹 = 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 , dimana 𝑥 adalah posisi benda itu setiap saat. Hukum Newton II merupakan aplikasi dari PD linear orde
dua.  Selain  hukum  Newton  juga  diterapkan  dalam  hukum  Hooke  untuk  pegas  yang menyebutkan jika salah satu ujung pegas dijepit sedangkan ujung yang lain ditarik, maka ada  gaya  yang  bekerja  pada  penarik  yang  sebanding  dengan  perpindahan  ujung  itu  tetapi berlawanan arah dengan perpindahan ujung itu. Rumus: 𝐹 1 = −𝑘𝑦 . Contoh 9 :  Sebuah  bola  besi  dengan  berat 𝑊 = 89 Newton  (sekitar  9  kg)  meregangkan sebuah pegas 10 cm. Mula-mula massa ditarik ke bawah 15 cm lagi, lalu dilepas. Massa mengalami redaman dengan faktor redaman 𝑐 = 179,8 kg/det. Hitunglah persamaan gerak sistem, 𝑦(𝑡) ! Penyelesaian: Konstanta pegas
𝑘 = 89 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 10 𝑐𝑚 = 890 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛/𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
Massa benda
𝑚 = 𝑊 𝑔 = 89 9,8 = 9,082 𝑘𝑔
PD sistem
𝑦 ′′ + 𝑐 𝑚 𝑦 ′ + 𝑘 𝑚 𝑦 = 0 𝑦 ′′ + 179,8 9,082 𝑦 ′ + 890 9,082 𝑦 = 0 𝑦 ′′ + 19,8𝑦 ′ + 98𝑦 = 0 Karena merupakan orde dua homogen, akar-akar kembarnya 𝑚 = −9,899 Solusi umum:
𝑦(𝑡) = (𝐶 1 + 𝐶 2 𝑡)𝑒 −9,899𝑡
Mencari solusi khusus dengan 𝑦(0) = 0,15 dan 𝑦 ′ (0) = 0 , diperoleh 𝐶 1 = 0,15 dan 𝐶 2 = 1,485 . Jadi, solusi khusus 𝑦(𝑡) = (0,15 + 1,485𝑡)𝑒 −9,899𝑡
Berdasarkan  beberapa  contoh  yang  telah  di  bahas  di  atas,  baik  berkenaan  dengan koefisien tak tentu bentuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑐𝑥 maupun bentuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 , metode mutua memang lebih  mudah  dan  cepat  memperoleh  hasil  pemecahan  daripada  metode  biasa/umum  yakni metode  koefisien  taktentu,  metode  operator  D,  dan  metode  reduksi  orde,  yang  selama  ini diterapkan  khususnya  dalam menyederhanakan  proses  perhitungan  yang  terlibat  dalam memperoleh  integral  tertentu .  Akan  tetapi  berdasarkan  hasil  pengamatan,  peneliti menemukan bahwa ada rumus matematis yang dalam penulisannya kurang konsisten atau kurang lengkap antar yang dituliskan dengan yang diterapkan dalam uji bilangan atau contoh soal. Rumus yang dimaksud adalah: 𝐴 = 1 𝑝(𝑐) , disebut sebagai rumus pertama.
Menurut hemat peneliti, sebaiknya dituliskan lengkap bahwa bentuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑐𝑥 , solusi khusunya  berupa 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑝(𝑐) 𝑒 𝑐𝑥 ,  untuk 𝑐 berbeda  dengan  semua  akar-akar  dari  persamaan karakteristiknya. Kemudian, jika c sama dengan akar-akar karakteristiknya baik salah satu atau seluruhnya, maka dapat digunakan rumus kedua: 𝑦 𝑝 = 1 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 .
Penerapan  rumus  kedua  pada  uji  bilangan  yang  dilakukan,  sedikit  membingungkan karena tiba-tiba memunculkan nilai bukan satu untuk 𝐴 > 1 . Padahal di awal yang dituliskan sebagai pembilang hanya 1. Kondisi ini sangat sulit dipahami bila tidak dicerna dengan baik, sehingga bagi peneliti, rumus ini juga perlu diperlengkap bahwa untuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 berlaku rumus 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 . Selain itu, menurut hemat peneliti diketahui bahwa untuk c yang sama  dengan 𝑘 = 1 ,  dapat  pula  dikerjakan  langsung  menggunakan  rumus  yang  pertama,
yang  terpenting  pengguna  bisa  memahami  bahwa  banyaknya 𝑘 menunjukkan  banyaknya pangkat tertinggi dari variabel 𝑥 dalam PD linear orde- 𝑛 . Hal ini dapat dibuktikan dengan contoh berikut: akan dikerjakan dengan menggunakan satu cara pertama cara kedua sudah pada contoh di atas.
Contoh 10: Carilah solusi umum PD: 𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ − 4𝑦 + 4 = 𝑒 2𝑥 ! Penyelesaian: Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ − 4𝑦 + 4 = 𝑒 2𝑥
PD homogen
𝑦 ′′′ − 𝑦 ′ − 4𝑦 + 4 = 0
Persamaan karakteristik
𝜆 3 − 𝜆 2 − 4𝜆 + 4 = 0 atau (𝜆 − 1)(𝜆 − 2)(𝜆 + 2) = 0 Akar-akar persamaan
𝜆 1 = 1 , 𝜆 2 = 2 , dan 𝜆 3 = −2 sehingga diperoleh:
𝑦 ℎ = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −2𝑥
Mencari nilai 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑝(𝑐) 𝑥𝑒 2𝑥 :
Karena 𝑐 = 2 dan sama dengan akar-akar 𝜆 2 = 1 serta berbeda dengan 𝜆 1 = 1 dan 𝜆 3 = −2 , selanjutnya dicoba untuk 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 2𝑥 . A sebagai koefisien dari 𝑥 dan sementara 𝑥 hanya berpangkat  1  karena  banyaknya 𝑘 = 1 ,  dimana  k  menjelaskan  banyaknya  akar-akar karakteristik yang sama dengan 𝑐 . 𝑝(𝑐) = (𝑐 − 𝜆 1 )(𝑐 + 𝜆 3 ) 𝑝(2) = (2 − 1)(2 + 2) = 4 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑝(𝑐) 𝑥𝑒 2𝑥 𝑦 𝑝 = 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 𝑦 𝑝 = 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 . 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −2𝑥 + 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 .
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 + 𝐶 3 𝑒 −2𝑥 + 1 4 𝑥𝑒 2𝑥 .
Contoh 11 :  Carilah solusi umum PD: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥
Penyelesaian: Solusi umum PD
𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Persamaan Diferensial
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑒 𝑥
PD homogen
𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ − 2𝑦 = 0
Persamaan karakteristik 𝜆 2 − 3𝜆 − 2 = 0 atau (𝜆 − 1)(𝜆 − 2)(𝜆 + 2) = 0 Akar-akar persamaan
𝜆 1 = 1 , dan 𝜆 2 = 2 Mencari nilai 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 𝑥 :
Karena 𝑐 = 1 dan sama dengan akar-akar 𝜆 1 = 1 serta berbeda dengan 𝜆 2 = 2 , berarti 𝑘 = 1.
𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒 𝑥
𝑝(𝑐) = (𝑐 − 𝜆 2 ) 𝑝(1) = (1 − 2) = −1 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑝(𝑐) 𝑥𝑒 𝑥 𝑦 𝑝 = 1 −1 𝑥𝑒 𝑥 = −𝑥𝑒 𝑥 𝑦 𝑝 = −𝑥𝑒 𝑥 . 𝑦 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 .
Jadi, solusi umum PD adalah: 𝑦 = 𝐶 1 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 .

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis terhadap penggunaan  metode koefisien tak tentu,  metode operator D, dan metode reduksi orde (disebut metode biasa atau umum) dan terhadap metode mutua yang telah digunakan pada uji bilangan untuk polinomial koefisien tak tentu bentuk 𝐴𝑒 𝑐𝑥 dan 𝐴𝑥 𝑛 𝑒 𝑐𝑥 terbukti  bahwa  metode  mutua  cenderung  lebih  mudah  dan  cepat menemukan solusi atau pemecahan soal yang dihadapi dibandingkan dengan metode biasa atau umum. Metode mutua dapat memberikan penyelesaian akhir hanya dengan beberapa langkah penyelesaian ketika diterapkan pada persamaan diferensial linear orde tinggi, karena prosedur  penyelesaian  yang  digunakan  lebih  sederhana.  Meskipun  demikian,  terdapat kekurangan atas rumus pada metode mutua, penulisannya masih terlihat kurang lengkap atau kurang  konsisten  antara  yang  dituliskan  dengan  yang  diterapkan  dalam  uji  bilangan  atau contoh  soal.  Pemikiran  peneliti  atas  koreksi  dan  sebagai  rekomendasi  atas  kedua  rumus tersebut adalah 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑒 𝑐𝑥 , solusi khususnya berupa 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑝(𝑐) 𝑒 𝑐𝑥 , untuk 𝑐 berbeda dengan semua akar-akar dari persamaan karakteristiknya. Kemudian, jika nilai 𝑐 sama dengan akar- akar karakteristiknya baik salah satu atau seluruhnya, maka dapat digunakan rumus kedua: 𝑦 𝑝 = 𝐴 𝑘!𝑃 𝑛−𝑘 (𝑐) 𝑥 𝑘 𝑒 𝑐𝑥 .
Adapun saran yang peneliti sampaikan yaitu materi dan metode Mutua sangat penting untuk dipelajari oleh semua kalangan akademisi, baik para mahasiswa, dosen dan peneliti karena  memiliki  banyak  manfaat  dan  aplikatif,  antara  lain:  Hukum  Maltus,  Newton  satu, kecepatan  benda,  rangkaian  listrik,  hukum  peluruhan  eksponensial  serta  hukum  tegangan Kirchoff,  dan  Hukum  Newton  II.  Selain  itu,  Metode  Mutua  perlu  dijadkan  koreksi  dan referensi  untuk  pengembangan  metode-metode  mutakhir  dalam  pemecahan  masalah diferensial.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] M.  Maswar.  (2019).  Strategi  Pembelajaran  Matematika  Menyenangkan  Siswa  (MMS) Berbasis  Metode  Permainan  Mathemagic,  Teka-Teki  Dan  Cerita  Matematis. Alifmatika: Jurnal Pendidikan dan Pembelajaran Matematika , vol. 1, no. 1, pp. 28–43, Dec. 2019, doi: 10.35316/alifmatika.2019.v1i1.28-43.
[2] E.  Wahyu  Andrechiana  Supriyadi,  dkk  (2017).  Analisis  Kemampuan  Koneksi  Matematis Berdasarkan Nctm (National  Council Of Teachers Of Mathematics) Siswa Smk  Kelas Xi Jurusan  Multimedia  Pada  Pokok  Bahasan  Hubungan  Antar  Garis. Jurnal  Nasional: Kadikma, Vol.8, No.1 , 128-136.
[3] A.  Dwi  Cahyanovianty.  (2021).  Analisis  Kemampan  Numerasi  Peserta  Didik  Kelas  VIII dalam  Menyelesaikan  Soal  Asesmen  Kompetensi  Minimum,” Jurnal  Cendekia:  Jurnal Pendidikan Matematika , Vol. 05, No. 02, pp. 1439–1448.
[4] I.  Rina  and  R.  Husna.  (2019).  Aplikasi  Persamaan  Diferensial  pada  Model  Pertumbuhan Populasi  dengan  Pertumbuhan  Terbatas. Junal  Nasional  Saintek:  Jurnal  Sains  dan Teknologi. Vol 11, No.1, 22-27.
[5] Degeng,  I  Wayan.  (2017). Kalkulus  Lanjut:  Persamaan  Diferensial  dan  Aplikasinya . Diterbitkan oleh: Graha Ilmu, Yogyakarta.
[6] M. Malik, S. S. Abas, M. Mamat, and F. Sukono. (20190. Analisis Simetri Lie Persamaan Painleve  Ince,” Jurnal  Matematika  Integratif , Vol.  15,  No.  1,  45,  Jul.  2019,  doi: 10.24198/jmi.v15.n1.21022.45-52 .
[7] E.  Sukma  Cipta,  D.  Jarnawi,  and  A.  Dahlan.  (2021).  Analisis  pembelajaran  persamaan diferensial berdasarkan artikel-artikel penelitian. Jurnal Analisa, Vol. 7, No. 2, 164–173, doi: 10.18260/1-2.
[8] Resmawan.  (2018). Persamaan  Diferensial  Biasa  Persamaan  Diferensian  Biasa  Orde  N
Koefisien Konstan . Universitas Negeri Guruntalo. file:///C:/Users/HP/Downloads/resmawan-pd-linear-orde-2-homogen-koefisien- konstan%20(1).pdf . Diakses, 16 Desember 2022.
[9] I. Maja. (2017). Analisis Penyelesaian Persamaan Diferensialorde-2 Dengan Menggunakan Metode PD Homogen-Tak Homogen Dan Teknik Operator-D. Diakses, 17 Desember 2022. .[Online].Available:
file:///C:/Users/HP/Downloads/JURNAL%20IBNU%20MAJA%20TH.%202017.pdf .
[10]  S. F. Mutua. (2013). Mutua’s Method Particular Polynomial And Coefficients Of Particular Integrals Of The Form. Asian Journal of Mathematics And Applications, Vol. 2013, pp. 1– 9, 2013, Accessed: Dec. 17, 2022. [Online].