## Dekomposisi dari Modul Yang Dibangun Secara Hingga Atas Beberapa Ring Khusus
Gagah Nataprawira 1
1 Universitas Singaperbangsa Karawang, Indonesia, gagah.nataprawira@gmail.com
Abstract. This study wants to provide a decomposition of the module that was built into  a  number  of  special rings,  such  as the  principal  ideal  domain  or  the  Dedekind domain.  The  main  result  of  this  study  is  that  the  decomposition  of  the  finitely generated module is the direct sum of the torsion module and the independent module when the ring is the principal ideal domain. When the ring is the Dedekind domain, the decomposition is the direct sum of the projective module and the torsion module
Keywords: Dedekind domain; principal ideal domain; free module; torsion module; torsion-free module.
Abstrak. Penelitian  ini  ingin  memberikan  dekomposisi  dari  modul  yang  dibangun Secara  hingga  atas  beberapa  ring  khusus,  seperti  daerah  ideal  utama  atau  daerah Dedekind.    Hasil  utama  dari  penelitian  ini  mendapatkan  dekomposisi  modul  yang dibangun  secara  hingga  adalah  jumlah  langsung  dari  modul  torsi  dan  modul  bebas saat ring adalah daerah ideal utama.  Saat ring adalah daerah Dedekind, didapatkan dekomposisi merupakan tambah langsung dari modul projektif dan modul torsi.
Kata Kunci: daerah Dedekind; daerah ideal utama, modul bebas, modul torsi, modul bebas torsi .

## 1  Pendahuluan
Dekomposisi ruang vektor atau matriks adalah alat yang sangat penting  untuk banyak  ilmu  terapan.  Metode  analisis  regresi  banyak  digunakan,  dari  prakiraan cuaca hinga ke ilmu data sains [1], rantai Markov dalam model stokastik [2], dan model intervensi semuanya menggunakan dekomposisi matriks atau ruang vektor [3]. Dalam matematika murni, matematikawan ingin mengetahui dekomposisi dari struktur aljabar yang lebih umum dari ruang vektor, bernama modul. Dekomposisi modul membantu matematikawan untuk menemukan karakterisasi struktur aljabar, seperti karakterisasi hampir prima dari modul bebas [4], karakterisasi hampir prima dari modul modulo bilangan bulat [5], dan matriks [6], karakterisasi prima siklik [7],  karakterisasi  modul  Bezout  [8]  dan  modul  Bezout  umum  [9],  U-modul kompleks [10], Injectivity & Projectivity of a module [11], modul uniserial [12], kode  linier  [13],  F-  Modul  CS-Rickart  [14],  modul  T-small  [15],  karakteristik submodul prima lemah [16], atau karakterisasi modul CMS [17].
Dalam  struktur  aljabar  lain,  ada  beberapa  penelitian  yang  menggunakan dekomposisi ring. Studi terbaru adalah menemukan karakterisasi ideal hampir
prima  pada  modulo  ring  Gaussian  [18]  dan  karakterisasi  ideal  siklik  prima  pada modulo integer Gaussian [19].
Pada artikel ini, kami akan memberikan beberapa dekomposisi dari modul yang dihasilkan hingga beberapa ring khusus, bernama domain ideal utama dan domain Dedekind. Sebagai ring, domain ideal utama ring sangat populer, dengan kata lain, studi  tentang  domain  Dedekind  tergolong  langka.  Namun  beberapa  penelitian seputar  ring  ini  sendiri  dapat  ditemukan, seperti  yang  dilakukan  oleh  Kusniyanti pada tahun 2016 [20].  Itulah mengapa dekomposisi modul yang dihasilkan secara terbatas di atas daerah Dedekind adalah penting.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian  ini  menggunakan  pembuktian  deduktif  berdasarkan  studi  pustaka berupa buku-buku dan jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan teori modul. Studi awal yang dilakukan adalah mempelajari dekomposisi siklik dari modul yang dihasilkan hingga pada domain ideal utama. Kemudian dibahas bentuk dekomposisi modul yang dibangkitkan hingga pada beberapa ring khusus. Ring khusus terdiri dari dua ring populer, yaitu daerah ideal utama dan daerah Dedekind.

## 3 Hasil dan Pembahasan
3.1 Dekomposisi  Modul  yang  Dibangun  Secara  Hingga  Atas  Daerah  Ideal Utama
Pertama, akan diberikan dekomposisi modul yang dibangun secara hingga pada daerha ideal utama. Definisi dasar di bawah ini.
Definisi 1.1 Misal 𝑀 suatu 𝑅 -modul, dan 𝑚 ∈ 𝑀 disebut elemen torsi jika terdapat elemen tak nol 𝑟 ∈ 𝑅 such sehingga 𝑟𝑚 = 0 . Jika semua elemen 𝑀 adalah elemen torsi,  maka 𝑀 dikatakan  modul  torsi.  Jika  tidak  ada  elemen  torsi  di 𝑀 ,  maka 𝑀 dikatakan modul bebas torsi.
Untuk 𝑅 -modul 𝑀 ,    semua  unsur  torsi  dari 𝑀 disimbolkan  dengan 𝑀 𝑡𝑜𝑟 . Contohnya, semua unsur torsi dari ℤ -module ℤ 4 dan ℤ -module ℤ adalah {0} dan ℤ , akibatnya ℤ 4 adalah modul torsi dan ℤ adalah modul bebas torsi. Jika 𝑚 adalah elemen torsi dari suatu modul, maka semua skalar yang membuat 𝑚 nol dikatakan annihilator dari 𝑚 . Definisi 1.2. Misal 𝑀 suatu 𝑅 -modul, dan 𝑥 ∈ 𝑀 , maka annihilator dari 𝑥 adalah 𝑎𝑛𝑛(𝑥) =   {𝑟 𝑑𝑖 𝑅|𝑟 𝑥 = 0} ,  dan annihilator dari 𝑀 adalah 𝑎𝑛𝑛(𝑀) = {𝑟 𝑑𝑖 𝑅|𝑟 𝑀 = 0} .
Beberapa  sifat  dasar  dari  pendefinisian  annihilator  dan elemen torsi  diberikan pada Teorema-teorema di bawah.
Teorema  1.1. Misal 𝑀 suatu  modul  atas  daerah  ideal  utama 𝑅 ,  dan 𝑥 ∈ 𝑀 . Annihilator 𝑎𝑛𝑛(𝑥) dan 𝑎𝑛𝑛(𝑀) adalah suatu ideal dari 𝑅 , dan unsur pembangun dari  ideal 𝑎𝑛𝑛(𝑥) disebut order dari 𝑥 ,  dan  unsur  pembangun  dari  of 𝑎𝑛𝑛(𝑀) disebut order dari 𝑀 . Bukti : Lihat [4] ∎

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Teorema 1.2. Misal 𝑀 suatu modul atas daerah ideal utama 𝑅 .  Himpunan 𝑀 𝑡𝑜𝑟 membentuk submodul dari 𝑀 . Bukti : Lihat [4] ∎ Submodul 𝑀 𝑡𝑜𝑟 disebut  submodul  torsi  dari  modul 𝑀 .    Sebaliknya,  himpunan semua himpunan yang tidak mengandung unsur torsi disebut submodul bebas torsi. Definisi 1.3. Misal 𝑀 suatu modul atas daerah ideal utama 𝑅 .  Modul 𝑀 dikatakan modul bebas torsi jika nol adalah satu-satunya unsur torsi di 𝑀 .
Jika diberikan suatu submodul torsi, maka modul faktornya merupakan modul bebas torsi.
Teorema  1.3. Misal 𝑀 suatu  modul  atas  daerah  ideal  utama 𝑅 .    Modul  faktor 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 adalah modul bebas torsi.
Bukti :
Misal 𝑥 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 ∈ 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 adalah  unsur  tak  nol.  Jika 𝑥 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 suatu  elemen torsi,  maka  terdapat 𝑟 ≠ 0 sehingga 𝑟(𝑥 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 ) = (0 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 ) .    Akibatnya didapatkan 𝑟𝑥 adalah unsur torsi, atau terdapat 𝑘 ≠ 0 sedemikian hingga 𝑘(𝑟𝑥) = (𝑘𝑟)𝑥 = 0 .    Ini  berarti  terdapat  unsur  tak  nol 𝑘𝑟 ∈ 𝑅 sedemikian  hingga 𝑘𝑟 ≠ 0 dengan (𝑘𝑟)𝑥 = 0 ,  akibatnya 𝑥 unsur  torsi.      Lebih  lanjut 𝑥 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 = 0 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 (kontradiksi).    Jadi 𝑥 + 𝑀 𝑡𝑜𝑟 bukan  unsur  torsi,  akibatnya 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 adalah  modul bebas torsi. ∎
Hasil  yang  menarik,  bahwa  submodul  bebas  torsi  harus  menjadi  modul bebas kapan pun ringnya utama.
Teorema 1.4. Jika 𝑀 modul bebas torsi yang dibangun secara hingga atas daerah ideal utama 𝑅 , maka 𝑀 adalah modul bebas.
Bukti:
Misalkan 𝑀 dibangun  oleh 𝑋 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 } .    Jika 𝑋 bebas  linier  maka jelas 𝑀 adalah modul bebas, jadi asumsikan 𝑋 bergantung linier. Misal 𝑃 adalah koleksi subhimpunan dari 𝑋 yang bebas linier. Jelas 𝑃 ≠ ∅ karena himpunan yang terdiri dari satu unsur torsi tak nol senantiasa bebas linier. Akibatnya (𝑃, ⊂) adalah  himpunan  terurut  parsial.    Misalkan 𝐵 adalah  sebuah rantai di 𝑃 , misalkan juga 𝐺 adalah gabungan semua subhimpuna  dari 𝐵 , akibatnya 𝐺 adalah batas atas dari 𝐵 .  Karena 𝐵 adalah suatu rantai, maka 𝐺 haruslah bebas linier.
Menurut  Lema  Zorn, 𝑃 punya  elemen  maksimal,  namakan 𝑌 .    Misalkan 𝑌 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑟 } dengan 𝑟 < 𝑛 .    Akibatnya 𝑥 𝑗 adalah  kombinasi  linier  dari 𝑌 untuk  semua 𝑗 > 𝑟 ,  karena  jika  tidak  maka 𝑌 ∪ {𝑥 𝑗 } bebas  linier  (yang  mana kontradiksi  dengan 𝑌 sebagai  unsur  maksimal  dari 𝑃 ).    Akibatnya 𝑌 merupakan pembangun 𝑀 .  Akibatnya 𝑀 adalah modul bebas. ∎
Dan dekomposisi modul yang dibangun secara hingga atas ideal utama diberikan di bawah.
Theorema  1.5. Jika 𝑀 adalah  modul  yang  dibangun  secara  hingga  atas  daerah ideal utama 𝑅 , maka
𝑀 = 𝑀 𝑡𝑜𝑟 ⨁ 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒
Dimana 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒 adalah  submodul  bebas  dari 𝑀 dan 𝑀 𝑡𝑜𝑟 adalah  submodul  torsi dari 𝑀 . Bukti:

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Pandang  epimorfisma  natural 𝑓 dari 𝑀 ke 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 ,  berdasarkan  Theorem  1.3 dan Theorem 1.4, didapatkan 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 adalah suatu modul bebas.  Misalkan 𝐵 ′ = {𝑏 1 ′ , 𝑏 2 ′ , … , 𝑏 𝑛 ′ } basis  dari  for 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 ,  dengan 𝑏 𝑖 ∈ 𝑀 sedemikian  hingga 𝑓(𝑏 𝑖 ) = 𝑏 𝑖 ′ untuk semua 𝑖 .  Jelas bahwa 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = 𝑀 𝑡𝑜𝑟 . Kemudian  akan  ditunjukkan  bahwa 𝐵 = {𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 } bebas  linier.    Apabila 𝑘 1 𝑏 1 + 𝑘 2 𝑏 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑏 𝑛 = 0 𝑀 akibatnya 𝑘 1 𝑏 1 ′ + 𝑘 2 𝑏 2 ′ + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑏 𝑛 ′ = 0 𝑀/𝑀 𝑡𝑜𝑟 . Karena 𝐵′ adalah  basis,  maka 𝑘 𝑖 = 0 untuk  semua 𝑖 .    Akibatnya 𝐵 bebas  linier. Mudah dilihat bahwa 𝑠𝑝𝑎𝑛𝐵 adalah submodul bebas dari 𝑀 , tulis 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒 = 𝑠𝑝𝑎𝑛𝐵 . Misalkan 𝑎 ∈ 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒 ⋂𝐾𝑒𝑟(𝑓) ,  maka 𝑎 = 𝑐 1 𝑏 1 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑏 𝑛 dan 𝑓(𝑎) = 0 , akibatnya 𝑐 1 𝑏 1 ′ + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑏 𝑛 ′ = 0 .    Jadi  didapatkan 𝑐 1 = ⋯ = 𝑐 𝑛 = 0 ,  akibatnya diperoleh 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒 ⋂𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {0} .
Misalkan 𝑥 ∈ 𝑀 , maka didapatkan 𝑓(𝑥) = 𝑚 1 𝑏 1 ′ + ⋯ + 𝑚 𝑛 𝑏 𝑛 ′ , sehingga 𝑥 − 𝑚 1 𝑏 1 − ⋯ − 𝑚 𝑛 𝑏 𝑛 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Akibatnya didapatkan 𝑥 = 𝑦 + 𝑚 1 𝑏 1 + ⋯ + 𝑚 𝑛 𝑏 𝑛 untuk 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑓) , dan 𝑚 1 𝑏 1 + ⋯ + 𝑚 𝑛 𝑏 𝑛 di 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒 .  Jadi 𝑀 = 𝑀 𝑓𝑟𝑒𝑒 ⨁ 𝑀 𝑡𝑜𝑟 . ∎

## 3.2 Dekomposisi Modul yang Dibangun Secara Hingga Atas Daerah Dedekind
Kedua,  akan  diberikan  dekomposisi  modul  yang  dibangun  secara  hingga  atas daerah Dedekind. Definisi dasar diberikan di bawah ini Definisi 2.1. Suatu modul 𝑃 atas ring 𝑅 dikatakan modul projektif jika untuk setiap epimorfisma 𝛼: 𝑀 → 𝑁 ,  dan  homomorfism 𝛽: 𝑃 → 𝑁 ,  terdapat  suatu homomorfisma 𝛾: 𝑃 → 𝐴 sedemikain hingga 𝛼𝛾 = 𝛽 . Definisi 2.2 .  Misal 𝐷 suatu daerah integral jika setiap ideal dari 𝐷 adalah modul projektif atas 𝐷 , daerah integral 𝐷 dikatkan daerah Dedekind.
Apabila  suatu  ring  adalah  daerah  ideal  utama,  setiap  submodul  bebas  torsi haruslah  modul  bebas.    Apabila  ring  suatu  daerah  Dedekind,  yang  merupakan bentuk lebih umum dari daerah ideal utama, didapatkan hasil yang sedikit berbeda. Teorema 2.1. Setiap modul bebas adalah modul projektif.
Proof:
Misalkan 𝐴 , 𝐵 suatu 𝑅 -modul  dan 𝑃 suatu 𝑅 -modul  bebas.  Misalkan  juga 𝛼: 𝐴 → 𝐵 suatu  epimorfisma  sebarang.  Jika 𝛽: 𝑃 → 𝐵 suatu  homomorfisma,  akan ditunjukkan terdapatsuatu homomorfisma 𝛾 sedemikian hingga 𝛼𝛾 = 𝛽 . Misal 𝑋 suatu basis bai 𝑃 ,  karena 𝛼 suatu epimorfisma, maka ∀𝑥 ∈ 𝑋, ∃𝑎 𝑥 ∈ 𝐴 sedemikian hingga 𝛼(𝑎 𝑥 ) = 𝛽(𝑥) .  Akibatnya diperoleh suatu pemetaan 𝜑: 𝑋 → 𝐴 sedemikian  hingga 𝜑(𝑥𝑎) = 𝑎 𝑥 .    Untuk  setiap 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑝 = Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝑥 untuk 𝜆 𝑥 ∈ 𝑅 yang  tidak  semuanya  nol.    Kemudian  konstruksi  suatu  pengaitan 𝛾: 𝑃 → 𝐴 sedemikian  hingga 𝛾(Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝑥𝑎) = Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝜑(𝑥) .    Jelas 𝛾 suatu  homomorphisma, lalu akan ditunjukkan bahwa 𝛼𝛾(𝑝) = 𝛼(𝛾(𝑝)) . Sebelumnya diketahui 𝛼(𝛾(𝑝)) = 𝛼(𝛾(Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝑥)) =  𝛼(Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝜑(𝑥)) = 𝛼(Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝑎 𝑥 ) = Σ x∈X 𝛼(𝜆 𝑥 𝑎 𝑥 ) = Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝛼(𝑎 𝑥 ) = Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝛽(𝑥) = 𝛽Σ x∈X 𝜆 𝑥 𝑥 .    Akibatnya  terdapat  homomorfisma A P → :  sedemikian hingga 𝛼𝛾 = 𝛽 .  Jadi 𝑃 suatu modul projektif. ∎ Teorema  2.2 Misalkan P M → :  adalah  pemetaan  pada  ke  modul  projektif 𝑃 , maka  terdapat  suatu  homomorphisma M P → :  sedemikian  hingga  adalah pemetaan identitas di 𝑃 , dan 𝑀 = 𝜙(𝑃)⨁𝑘𝑒𝑟(𝜑) . Proof:

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Misalkan P P I → : suatu  pemetaan  identitas.  Karena 𝜑 pada  dan 𝑃 projectif, maka terdapat suatu homomorphisma M P → :  sedemikian hingga I =  . Jika P x  dan 𝛼(𝑥) = 0 ,  atau  secara  umum 𝛼(𝑥) ∈ 𝑘𝑒𝑟(𝜑) ,  maka 0 = 𝜑(𝛼(𝑥)) = 𝐼(𝑥) = 𝑥 .    Akibatnya 𝛼 satu-satu.  Ini  menunjukkan  bahwajika 𝛼(𝑥) ∈ ker(𝜑) maka 𝑥 = 0 dan 𝛼(𝑥) = 0 , dengan perkataan lain ( ) ( ) 0 ker =    P .
Selanjutnya misalkan 𝑚 ∈ 𝑀 , maka didapatkan 𝜑 (𝑚 − 𝛼(𝜑(𝑚))) = 𝜑(𝑚) − 𝑖(𝜑(𝑚)) = 0 .    Akibtanya 𝑀 = 𝛼(𝜑(𝑚)) + (𝑚 − 𝛼(𝜑(𝑚))) ∈ 𝛼(𝑃) + ker (𝜑) , sehingga didapatkan 𝑀 = 𝛼(𝑃) + ker(𝜑) . ∎ Karena 𝑃 isomorf ke suatu submodul dari 𝑀 , untuk kenyamanan, dikatakan 𝑃 sebagai suatu submodul dari 𝑀 . Teorema  2.3. Misal 𝑀 suatu 𝑅 -modul.  Maka  terdapat 𝑅 -modul  bebas 𝐹 yang memiliki submodul 𝐺 sehingga 𝑀 ≈ 𝐹/𝐺 Bukti :
Misalkan {𝑎 𝛿 |𝛿 ∈  𝐼} adalah  pembangun 𝑀 .    Pilih  modul  bebas 𝐹 dengan  basis {𝑏 𝛿 |𝛿 ∈  𝐼} .Akibatnya  diperoleh    suatu  homomorfisma 𝜂: 𝐹 → 𝑀 dengan 𝜂: Σ𝑘 𝑎 𝑏 𝑎 → Σ𝑘 𝑎 𝑎 𝑎 .  Karena {𝑎 𝑎 } membangun 𝑀 , maka 𝜂 pada. Menurut Teorema Isomorphism, diperoleh 𝑀 ≈ 𝐹/𝐺 , dimana 𝐺 = 𝑘𝑒𝑟(  ) . ∎
Salah  satu  hasil  penting  adalah,  setiap  modul  proyektif  merupakan  submodul dari modul bebas.
Teorema  2.4. Misal 𝑀 suatau  modul  atas  ring 𝑅 .  Modul 𝑀 projektif  jika  dan hanya jika 𝑀 submodul dari suatu modul bebas.
Bukti :
Misal 𝐹 suatu modul bebas sedemikian hingga 𝐹 = 𝑀 ⊕ 𝐷 .  Misal B A → :  suatu  epimorpisma  dan B M → :  suatu  homomorphisma.    Jelas 𝛾: 𝐹 → 𝐵 dengan 𝛾(𝑓) = 𝛾(𝑚 + 𝑑) = 𝛽(𝑚) suatu  homomorfisma  karena 𝑓 = 𝑚 + 𝑑 unik dan 𝛽 suatu  homomorfisma.  Menurut  Teorema  2.1, 𝐹 suatu  modul  projektif, akibatnya  diperoleh  suatu  homomorfisma 𝛾 ′ : 𝐹 → 𝐴 sedemikian  hingga 𝛼𝛾 ′ = 𝛾 . Misalkan 𝛽 ′ suatu  pembatasan  dari 𝛾 ′ di 𝑀 ,  maka 𝛼𝛽 ′ = 𝛽 .    Akibatnya 𝑀 suatu modul projectif.
Misal 𝑀 suatu  modul  projektif,  misalkan  juga {𝑎 𝛿 |𝛿 ∈  𝐼} menjadi pembangunnya.  Buat modul bebas 𝐹 dengan basis {𝑏 𝛿 |𝛿 ∈  𝐼} .  Konstruksi suatu homomorphisma  dari 𝐹 ke 𝑀 dimana  memetakan ∑ 𝑘 𝑎 𝑏 𝑎 ke ∑ 𝑘 𝑎 𝑎 𝑎 ,  jelas  ini suatu  homomorphisma  yang  pada  karena {𝑎 𝛿 |𝛿 ∈  𝐼} membangun 𝑀 .    Sehingga menurut Teorema 2.2, 𝑀 adalah submodul dari 𝐹 . ∎ Teorema 2.5. Misal 𝑃 suatu 𝑅 -modul, maka pernyataan di bawah ini ekivalen
1. 𝑃 projektif
2. Setiap barisan eksak 0 → 𝑀 → 𝐵 → 𝑃 → 0 adalah suatu split.
Bukti :
Menurut  Teorema  2.4  maka 𝑃 akanisomof ke    suatu  faktor  modul  dari  modul bebas,  namakan 𝐹/𝐺 ,  maka  kita  punya  barisan  eksak 0 → 𝐺 → 𝐹 → 𝑃 → 0 . Berdasarkan  asumsi, 0 → 𝐺 → 𝐹 → 𝑃 → 0 suatu  split,  jadi 𝑃 adalah  suatu komponen  dari  hasil  tambah  langsung  dari 𝐹 ,  berdasarkan  Teorema  2.3,  maka 𝑃 suatu modul projektif.
Misalkan 𝑃 suatu  modul  projektif,  dan 0 → 𝑀 → 𝐵 → 𝑃 → 0 suatu  barisan eksak.  Berdasarkan Teorema 2.2, maka barisan ini adalah suatu split. ∎

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Dari hasil sebelumnya, diketahui bahwa modul bebas torsi adalah modul bebas bila ring merupakan daerah ideal utama. Tetapi jika ring bukan daerah ideal utama, itu  bukan  jaminan,  maka  dekomposisi modul  yang  dibangun  secara  hingga  tidak bisa sama.  Berikutnya akan diberikan dekomposisi modul yang dihasilkan hingga jika ring adalah kasus yang lebih umum, yang merupakan domain Dedekind. Teorema 2.6. Misalkan 𝑀 suatu modul yang dibangun secara hingga atas daerah Dedekind 𝐷 , maka 𝑀 adalah modul projektif jika dan hanya jika 𝑀 bebas torsi. Bukti :
Misalkan 𝑀 modul  bebas  torsi  yang  dibangun  secara  hingga  atas  daerah Dedekind 𝐷 . Misalkan 𝐾 suatu lapangan hasil bagi dari 𝐷 .  Karena 𝑀 isomorf ke 𝑀 ⨂ 𝐷 𝐷 maka terdapat suatu embedded dari 𝑀 ke 𝑀 ⨂ 𝐷 𝐷 . Dan  didapatkan 𝑀 ⨂ 𝐾 𝐷 suatu 𝐾 -modul,  jelas 𝑀 ⨂ 𝐾 𝐷 suatu  ruang  vektor,  jadi 𝑀 ⨂ 𝐾 𝐷 isomorf  ke K r untuk  suatu  bilangan  asli r ≥ 0 .    Misal 𝑀 dibangun  oleh 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑟 dan 𝑓 adalah embendding dari 𝑀 ke 𝑀 ⨂ 𝐾 𝐷 .  Misal 𝑓(𝑢 𝑖 ) = 𝑢 𝑖 ⨂𝑝 𝑖 / 𝑞 𝑖 dan 𝑐 = 𝑞 1 … 𝑞 𝑟 , maka 𝑐𝑀 isomorf ke submodul 𝐷 𝑟 . Karena 𝑀 bebas torsi, dan 𝑐 tak nol, maka 𝑀 isomorf ke 𝑐𝑀 , jadi 𝑀 isomorf ke suatu submodul dari modul bebas.  Sehingga menurut Teorema 2.4, 𝑀 adalah suatu modul projektif. Sebaliknya  misalkan 𝑀 suatu  modul  projektif.  Berdasarkan  Teorema  2.4 𝑀 suatu submodul dari modul bebas, jadi 𝑀 adalah modul bebas torsi. ∎ Dan sekarang kita dapat menyatakan hasil utama dari dekomposisi modul yang dibangun secara hingga atas daerah Dedekind Teorema  2.7. Misal 𝑀 suatu  modul  yang  dibangun  secara  hinggaatas  daerah Dedekind 𝐷 ,  maka 𝑀 = 𝑡𝑀⨁𝑃 dengan 𝑃 adalah  modul  projektif  dari 𝑀 dan 𝑡𝑀 adalah 𝑀 𝑡𝑜𝑟 . Bukti :
Misalkan 0 → 𝑡𝑀 → 𝑀 → 𝑀/𝑡𝑀 → 0 suatu  barisan  eksak.    Karena 𝑀/𝑡𝑀 bebas  torsi,  maka 𝑀/𝑡𝑀 projektif  berdasarkan  pada  Teorema  2.6.    Menurut Teorema 2.5, barisan ini split, jadi 𝑡𝑀 adalah suatu komponen tambah langsung dari 𝑀. Akibatnya 𝑀 = 𝑡𝑀⨁𝑃 untuk  suatu 𝑃 ,  karena 𝑃 isomorf  ke 𝑀/𝑡𝑀 ,  maka 𝑃 bebas torsi, akibatnya 𝑃 suatu modul projektif. ∎

## 4 Kesimpulan
Dekomposisi modul yang dihasilkan hingga tergantung pada skalar ring. Setiap kali  ring  berupa  daerah  ideal  utama,  modul  selalu  dapat  diuraikan  menjadi submodul  bebas  dan  submodul  torsi.  Ketika  ring  lebih  umum,  modul  dapat diuraikan menjadi submodul bebas dan submodul proyektif. Adalah normal untuk memiliki pertanyaan tentang penguraian modul setiap kali bentuk ring lebih umum, seperti ring Noetherian atau ring Artinian.

## 5 Daftar Pustaka
[1] M. S. Sauri, M. Hadijati, and N. Fitriyani, “Spline and Kernel Mixed Nonparametric Regression for Malnourished Children Model in West Nusa Tenggara,” Jurnal Varian , vol. 4, no. 2, pp. 99–108, Apr. 2021, doi:
10.30812/varian.v4i2.1003.
[2] M. Fahmi and N. Rosli, “Comparative study of Stochastic Taylor Methods and Derivative-Free Methods for Stochastic Differential Equations,” in Journal of Physics: Conference Series , Aug. 2021, vol. 1988, no. 1. doi: 10.1088/1742-6596/1988/1/012005.
[3] R. Utami, M. Hadijati, and I. G. A. W. Wardhana, “Intervention Model of IDX Finance Stock for the Period May 2010 - May 2020 Due to the Effects of the Corona Virus,” IOP Conference Series: Materials Science and Engineering , vol. 1115, no. 1, p. 012057, 2021, doi: 10.1088/1757- 899x/1115/1/012057.
[4] I. G. A. W. Wardhana, P. Astuti, and I. Muchtadi-Alamsyah, “On almost prime submodules of a module over a principal ideal domain,” JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications , vol. 38, no. 2, pp. 121–128, Apr. 2016, doi: 10.17654/NT038020121.
[5] I. G. A. W. Wardhana and P. Astuti, “Karakteristik Submodul Prima Lemah dan Submodul Hampir Prima pada Z-Modul Zn,” Jurnal Matematika & Sains , vol. 19, no. 1, pp. 16–20, 2014.
[6] I. G. A. W. Wardhana, N. W. Switrayni, and Q. Aini, “Eigen Mathematics Journal Submodul Prima Lemah dan Submodul Hampir Prima Pada Z- modul M2(Zn),” Eigen Mathematics Journal , vol. 1, no. 1, pp. 28–30,
2018, Accessed: Dec. 20, 2021. [Online]. Available: https://doi.org/10.29303/emj.v1i1.6
[7] R. Juliana, I. G. W. W. Wardhana, and I. Irwansyah, “Some Characteristics of Prime Submodules of Gaussian Integer Modulo over Integer”.
[8] M. A. Misri, H. Garminia, P. Astuti, and Irawati, “A note on bézout modules,” Far East Journal of Mathematical Sciences , vol. 99, no. 11, pp.
1723–1732, 2016, Accessed: Dec. 20, 2021. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.17654/MS099111723
[9] M. Ali Misri, H. Y. Garminia, and J. By Pass Perjuangan Kesambi, “GENERALIZATION OF BÉZOUT MODULES,” 2013. [Online]. Available: http://pphmj.com/journals/fjms.htm
[10]  G. Elfiyanti, I. Muchtadi-Alamsyah, F. Yuliawan, and D. Nasution, “On the category of weakly U-complexes,” European Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 13, no. 2, pp. 323–345, 2020, doi: 10.29020/nybg.ejpam.v13i2.3673.
[11]  N. Hijriati, S. Wahyuni, and I. E. Wijayanti, “Injectivity and Projectivity Properties of the Category of Representation Modules of Rings,” in Journal of Physics: Conference Series , Oct. 2018, vol. 1097, no. 1. doi: 10.1088/1742-6596/1097/1/012078.
[12]  Fitriani, I. E. Wijayanti, B. Surodjo, S. Wahyuni, and A. Faisol, “Category of submodules of a uniserial module,” Mathematics and Statistics , vol. 9, no. 5, pp. 744–748, Sep. 2021, doi: 10.13189/ms.2021.090514.
[13]  Irwansyah and D. Suprijanto, “Structure of linear codes over the ring Bk,” Journal of Applied Mathematics and Computing , vol. 58, no. 1–2, pp. 755– 775, Oct. 2018, doi: 10.1007/s12190-018-1165-0.
[14]  J. Kaewwangsakoon and S. Pianskool, “F-CS-RICKART MODULES,” JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications , vol. 45, no. 1, pp. 29–54, Jan. 2020, doi: 10.17654/nt045010029.
[15]  S. Sangwirotjanapat and S. Pianskool, “T-SMALL SUBMODULES WITH RESPECT TO AN ARBITRARY SUBMODULE,” JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications , vol. 40, no. 1, pp. 91–112, Mar. 2018, doi: 10.17654/nt040010091.
[16]  Steven and Irawati, “ON CHARACTERIZATIONS OF PRIME AND ALMOST PRIME SUBMODULES,” JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications , vol. 40, no. 3, pp. 341–350, Jun. 2018, doi: 10.17654/nt040030341.
[17]  I. G. A. W. Wardhana, N. D. H. Nghiem, N. W. Switrayni, and Q. Aini, “A note on almost prime submodule of CSM module over principal ideal domain,” Journal of Physics: Conference Series , vol. 2106, no. 1, p. 012011, Nov. 2021, doi: 10.1088/1742-6596/2106/1/012011.
[18]  F. Maulana, I. G. A. W. Wardhana, and N. W. Switrayni, “Ekivalensi Ideal Hampir Prima dan Ideal Prima pada Bilangan Bulat Gauss,” EIGEN MATHEMATICS JOURNAL , vol. 1, no. 1, p. 1, Jun. 2019, doi: 10.29303/emj.v1i1.29.
[19]  W. U. Misuki, G. A. W. Wardhana, and N. W. Switrayni, “Some Characteristics of Prime Cyclic Ideal On Gaussian Integer Ring Modulo,” 2021, doi: 10.1088/1757-899X/1115/1/012084.
[20]  E. Kusniyanti, H. Garminia, and P. Astuti, “Dedekind domains and dedekind modules,” JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications , vol. 38, no. 3, pp. 249–260, Jun. 2016, doi:
10.17654/NT038030249.