## ANALISIS PERILAKU MODEL MULTI AGEN DENGAN GANGGUAN
Sentot Achmadi 1 dan Miswanto 2
1 Prodi Teknik Informatika ITN Malang e-mail: sentot_achmadi@yahoo.co.id
2 Prodi Matematika Fak. Sains dan Teknologi Unair e-mail: miswanto@fst.unair.ac.id

## ABSTRAK
Makalah  ini membahas  model  multi  agent  pada  ruang  berdimensi N dengan  fungsi  penarik  dan penolak. Pada model ini diberikan fungsi gangguan yang merupakan fungsi terbatas. Pada makalah ini juga dibahas tentang kestasioneran dari setiap agen dan analisis kestabilan model dengan Lyapunov. Dari hasil analitik  diperoleh  bahwa  pusat  dari  multi  agen  bersifat  stasioner.  Juga  uji  kestabilan  dengan  metode kestabilan Lyapunov diperoleh bahwa model yang diajukan merupakan model yang stabil. Hasil simulasi numerik  menunjukkan  bahwa  setiap  agen  konvergen  ke  suatu  daerah  yang  mempunyai  jarak  tertentu terhadap pusat dari model multi agen.
Kata kunci : Kestabilan Lyapunov, Multi Agen, Stasioner.

## ABSTRACT
This paper discuss multi-agent model of the N -dimensional space with the function of attraction and repulsion. In this model is given the disturbance function which is a bounded function. In this paper also discuss about  stationary  of  each  agency  and  stability  of  the  models  use  stability  of  Lyapunov.  From  the  analytical results  obtained  center  of  the  multi-agent  is  stationary.  Also  test  the  stability  with  Lyapunov  method  is obtained that the proposed model is a stable model. Numerical simulation results show that each agent will converges to a region that has a certain distance to the center of the multi-agent model.
Keywords : Multi-Agent, Stability of  Lyapunov, Stationary .

## PENDAHULUHAN
Beberapa fenomena alam sangat menarik untuk dikaji secara fisika dan dimodelkan secara matematika.  Salah  satu  fenomena  alam  yang menarik  untuk  dimodelkan  secara  matematika dan  dikaji  secara  fisika  adalah  fenomena  gerak bergerombol  yang  dinamakan  dengan swarm. Fenomena  alam  ini  banyak  ditemukan  pada beberapa  organisme  mulai  dari  yang  sederhana (bakteri)  sampai  pada  mamalia,  sebagai  contoh sekumpulan  bakteri,  sekawanan  burung  angsa, sekelompok singa dan sekelompok ikan. Dengan melakukan gerak bergerombol, mereka memperoleh  beberapa  keuntungan  seperti terhindar dari pemangsa dan dapat meningkatkan  efektifitas  dalam  pencarian makanan.
Kelompok binatang (mangsa) memanfaatkan fenomena swarm untuk melindungi  anggotanya  dari  serangan  binatang lain  (pemangsa).  Di  lain  pihak  pemangsa memanfaatkan fenomena swarm untuk efektifitas  penyerangan  terhadap  mangsanya. Sekawanan  burung  angsa  dalam  melakukan terbang  selalu  membentuk  formasi  V  terbalik. Dengan  terbang  dalam  formasi  V  terbalik, sekawanan burung angsa memperoleh beberapa
keuntungan,  antara  lain  dapat  meningkatkan jarak  terbangnya  lebih  dari  71  %  dan  daya terbangnya  24  %  lebih  cepat  dari  pada  terbang sendirian.
Fenomena swarm banyak  digunakan dalam  ilmu  teknik  seperti  optimalisasi  gerak robot,  gerak  satelit,  dan  sebagainya.  Dari  kajian literatur  yang  dilakukan,  penelitian  tentang swarm sudah cukup banyak diantaranya Gazi dan Passino (2002, 2003 dan 2004), Chu et all (2005), tetapi tanpa menyertakan unsur gangguan serta masih  terbatas  pada  perilaku  anggota swarm disekitar pusat swarm .
Fenomena swarm pertama-tama dimodelkan  secara  matematika  oleh  Breder (1954)  yang  membahas  tentang  gaya  tarik ( attractor force ) dan gaya tolak ( repellent force ) antara dua individu. Sedangkan, Gazi dan Passino (2002,  2003  dan  2004)  memodelkan swarm berdasarkan pengaruh  perpaduan dari keluarga fungsi attractor dan repellent .  Model  Gazi  dan Passino  digeneralisasi  oleh  Wang  et  all  (2004) dengan  memasukkan  faktor  keterkaitan  antara anggota swarm (c oupling matrix ) dan parameter positif.
Artikel  ini  mempelajari  tentang  model swarm  yang  merupakan  modifikasi  dari  model Gazi  dan  Passino  (2003),  tetapi  dengan menyertakan  suatu  fungsi  gangguan  yang terbatas. Untuk lebih jelasnya ditunjukkan dalam sub bab 2 di bawah ini.

## MODEL MULTI AGEN
Diberikan  model  Multi  Agent  dengan M anggota  pada  ruang  Euclidean  berdimensi N sebagai berikut:
𝑥̇ 𝑖 = ∑ 𝑤 𝑖𝑗 𝑓(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) + 𝛾 𝑖 (𝑡), 𝑀 𝑗=1 (1)
dengan 𝑥̇ 𝑖 = 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑡 , 𝑥 𝑖 ∈ 𝑅 𝑁 menyatakan posisi dari agent ke i , 𝐺 = [𝑤 𝑖𝑗 ] ∈ 𝑅 𝑁x𝑁 merupakan coupling matrik  dengan 𝑤 𝑖𝑗 adalah  bilangan  bulat nonnegative  dan  matrik G diasumsikan  simetri (yaitu 𝑤 𝑖𝑗 = 𝑤 𝑗𝑖 ). Bentuk 𝑓( . ) menyatakan fungsi penarik dan penolak yang didefinisikan sebagai
𝑓(𝑦) = −𝑦 (𝑎 − 𝑟 𝑏+𝑐‖𝑦‖2 ) , (2)
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑟 adalah  konstanta  positif dengan 𝑎 << 𝑟 dan ‖𝑦‖ = √𝑦 𝑇 𝑦 .  Sedangkan γ 𝑖 (𝑡) menyatakan  fungsi  gangguan  yang didefinisikan sebagai
γ 𝑖 (𝑡) = 𝐾  exp(−β 1 𝑡)sin(β 2 𝑡) ,         (3)
dengan 𝐾, β 1 , β 2 adalah konstanta positif.

## ANALISIS DARI MODEL MULTI AGEN
Pada  sub-bab  ini  dibahas  tentang kestasioneran  dan  kestabilan  dari  model  (1) dengan fungsi penarik dan penolaknya model (2) dan fungsi gangguan (3) yaitu:
𝑥̇ 𝑖 = − ∑ 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) 𝑀 𝑗=1 ξ ij + γ 𝑖 (𝑡) (4)
dengan 𝜉 𝑖𝑗 = 𝑎 − 𝑟 𝑏+𝑐‖𝑥𝑖−𝑥𝑗‖ 2 .
Didefinisikan pusat dari model multi agen (4) sebagai berikut:
𝑥̅ = 1 𝑀 ∑ 𝑥 𝑖 𝑀 𝑖=1 . (5)
Teorema  1. Pusat 𝑥̅ dari  model  multi  agen  (4) yang  didefinisikan  pada  persamaan  (5)  bersifat stasioner.
Bukti :
Dengan  menurunkan  persamaan  (5) terhadap t diperoleh:
𝑥̅̇   = 1 𝑀 ∑ 𝑥̇ 𝑖 𝑀 𝑖=1 = 1 𝑀 ∑ (− ∑ 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) (𝑎 − 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 ) 𝑀 𝑗=1 + 𝛾 𝑖 (𝑡)) 𝑀 𝑖=1 = − 1 𝑀 ∑ ∑ 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) (𝑎 − 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 ) + 1 𝑀 ∑ 𝛾 𝑖 (𝑡) 𝑀 𝑖=1 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 Karena G bersifat simetri dan fungsi (.) f simetri terhadap pusat koordinat maka:
𝑥̅̇ = 1 𝑀 ∑ 𝛾 𝑖 (𝑡) 𝑀 𝑖=1 = 𝐾 exp(−𝛽 1 𝑡) sin(𝛽 2 𝑡)
Diketahui 𝛾 𝑖 (𝑡) merupakan fungsi terbatas. Hal ini berarti untuk 𝑡 → ∞ berakibat 𝑥̅̇ menuju ke 0. ■
Selanjutnya  dibahas  tentang  kestabilan model (4). Adapun untuk menganalisis kestabilan model digunakan kestabilan Lyapunov.
Teorema  2 :  Perhatikan  model  multi  agen  (4) dengan fungsi gangguan (3). Untuk t menuju tak hingga, setiap agen i konvergen pada suatu daerah terbatas yang didefinisikan sebagai berikut:
Ω = {𝑥: ∑ ‖𝑥 𝑖 − 𝑥̅‖ ≤ 𝜌 2 𝑀 𝑖=1 } (6)
Dengan 𝜌 = 𝐴𝐵+2𝐾 √2𝑎𝑤𝑀 , 𝐴 = ∑ 𝑤 𝑖𝑗 𝑀 𝑗=1 , 𝐵 = 1 2 𝑟√ 1 𝑏𝑐 , dan 𝑤 elemen terkecil dari 𝑤 𝑖𝑗 , 𝑤 ≠ 0 .
Bukti:
Misal 𝑒 𝑖 = 𝑥 𝑖 − 𝑥̅ .  Definisikan  fungsi Lyapunov  untuk  model  (4),  yaitu 𝑉 = ∑ 𝑉 𝑖 𝑀 𝑖=1 dengan 𝑉 = 1 2 𝑒 𝑖 𝑇 𝑒 𝑖 sehingga 𝑉 = ∑ 𝑉 𝑖 = 𝑀 𝑖=1 1
2 ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑒 𝑖 𝑀 𝑖=1 .
Dengan  menurunkan 𝑉 𝑖 terhadap t diperoleh:
𝑉̇ = ∑ 𝑉̇ 𝑖 𝑀 𝑖=1 𝑉 ̇ = ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 {− ∑ 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) (𝑎 − 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 ) 𝑀 𝑖=1 + 𝛾 𝑖 (𝑡) − 1 𝑀 ∑ 𝛾 𝑖 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 } 𝑀 𝑖=1 = − ∑ ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) (𝑎 − 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 ) 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 +   ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 (𝛾 𝑖 (𝑡) − 1 𝑚 ∑ 𝛾 𝑗 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 ) 𝑀 𝑖=1 = −𝑎 ∑ ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 +   ∑ ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) ( 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 ) 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 + ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 (𝛾 𝑖 (𝑡) − 1 𝑀 ∑ 𝛾 𝐽 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 ) 𝑀 𝑖=1
Ambil 𝑤 elemen  terkecil  dari 𝑤 𝑖𝑗 dengan 𝑤 ≠ 0 , maka:
𝑉̇ ≤ −2𝑎𝑤𝑀𝑉 + ∑ ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑤 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 + ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑀 𝑖=1 (γ 𝑖 (𝑡) − 1 𝑀 ∑ γ 𝑗 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 ) ≤ −2𝑎𝑤𝑀𝑉     + ∑ ∑ 𝑤 𝑖𝑗 ‖𝑒 𝑖 𝑇 ‖‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 𝑟 𝑏 + 𝑐‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 2 𝑀 𝑗=1 𝑀 𝑖=1 + ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑀 𝑖=1 (γ 𝑖 (𝑡) − 1 𝑀 ∑ γ 𝑗 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 ) .
Karena ‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ 𝑟 𝑏+𝑐 ‖𝑥 𝑖 −𝑥 𝑗 ‖ 2 adalah  fungsi terbatas  dan  memiliki  nilai  maksimum  pada ‖𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ‖ = √ 𝑏 𝑐 maka,
𝑉̇ ≤ −2𝑎𝑤𝑀𝑉 + 1 2 𝑟√ 1 𝑏𝑐 ∑ (‖𝑒 𝑖 𝑇 ‖ ∑ 𝑤 𝑖𝑗 𝑀 𝑗=1 ) 𝑀 𝑖=1 + ∑ 𝑒 𝑖 𝑇 𝑀 𝑖=1 (γ 𝑖 (𝑡) − 1 𝑀 ∑ γ 𝑗 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 ) ≤ −2𝑎𝑤𝑀𝑉 + 1 2 𝑟√ 1 𝑏𝑐 ∑ (‖𝑒 𝑖 𝑇 ‖ ∑ 𝑤 𝑖𝑗 𝑀 𝑗=1 ) 𝑀 𝑖=1 + ∑‖𝑒 𝑖 𝑇 ‖ (‖γ 𝑖 (𝑡)‖ + 1 𝑀 ‖∑ γ 𝑗 (𝑡) 𝑀 𝑗=1 ‖) . 𝑀 𝑖=1 Karena 𝛾 𝑖 (𝑡) terbatas  maka ‖𝛾 𝑖 (𝑡)‖ ≤ 𝐾 , sehingga
𝑉̇ ≤ −√𝑉 (𝑎𝑤𝑀2√𝑉 − √2(𝐴𝐵 + 2𝐾))
dengan 𝐴 = ∑ 𝑤 𝑖𝑗 𝑀 𝑗=1 dan = 1 2 𝑟√ 1 𝑏𝑐 .
Agar syarat kestabilan Lyapunov dipenuhi, maka  haruslah 𝑎𝑤𝑀2√𝑉 − √2(𝐴𝐵 + 2𝐾) > 0 , atau diperoleh: 𝑉 > ( 𝐴𝐵+2𝐾 √2𝑎𝑤𝑀 ) 2 .
Hal  ini  berarti  bahwa  setiap  agen i akan konvergen pada suatu daerah yang terbatas (6) ■

## SIMULASI NUMERIK
Pada  bagian  ini  diperlihatkan  beberapa hasil simulasi numerik yang merupakan ilustrasi dari  model  (1)  pada  ruang  dimensi  2  dengan fungsi penarik/penolak (2) dan fungsi gangguan (3).  Pada simulasi ini disimulasikan terhadap 10 agen, dengan posisi agen dapat dilihat pada tabel 1.
Adapun,  nilai  konstanta  pada  fungsi penarik/penolak  adalah
, 1  a , 1  b , 2 . 0  c dan 20  r ,  konstanta  ini  menggunakan
konstanta  Gazi  dan  Passino  (2003).  Sedangkan nilai-nilai  konstanta  pada  fungsi  gangguan  (3) adalah , 1  K 8 1    dan 5 . 0 2   Simulasi numerik  di  bawah  ini  menunjukkan    perilaku gerak  pusat  dari  multi  agen  dan  anggota  dari model  multi  agen  tersebut  pada  ruang  dimensi dua.
Tabel 1. Koordinat/posisi agen agen 1  agen 2  agen 3  agen 4  agen 5 (3,4) (4,3) (6,6) (6,5) (8,7) agen 6  agen 7  agen 8  agen 9  agen 10 (4,6) (9,9) (9,8.5)  (8,9) (8,3)
Pertama-tama  disimulasikan  gerak  pusat dari  model  multi  agen  tanpa  gangguan  (3), kemudian  juga  disimulasikan  pusat  dari  model multi  agen  dengan  fungsi  gangguan  (3).  Hal  ini digunakan  untuk  melihat  kestationeran  model dengan  pengaruh  gangguan.  Hasil  simulasi numerik ditunjukkan pada  gambar berikut ini.
Gambar 1 . Pergerakan Pusat Multi Agen tanpa Gangguan
Hasil  simulasi  pada  gambar  1,  nampak bahwa  pusat  dari  model  multi  agen  bersifat stasioner. Sedangkan gambar 2 merupakan hasil simulasi pergerakan pusat dari model multi agen dengan gangguan. Dari gambar 2, nampak bahwa pusat  dari  model  multi  agen  juga  stasioner.  Hal ini memperlihatkan bahwa model (4) merupakan model multi agen yang stabil.
Selanjutnya  dilakukan  hal  yang  sama untuk  gerak  anggota  dari  model  multi  agen. Analisis  kestabilan  yang  dibuktikan  pada teorema 2, secara simulasi numerik ditunjukkan pada gambar 3 dan gambar 4.
Hasil  simulasi  pada  gambar  3,  nampak bahwa  gerak  dari  model  multi  agen  konvergen pada  daerah  di  sekitar  pusat  dari  model  multi agen.  Sedangkan  gambar  4  merupakan  hasil
4 6 8 10 12 14 16 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
simulasi  pergerakan  dari  model  multi  agen dengan gangguan. Dari gambar 4, nampak bahwa model multi agen juga konvergen pada daerah di sekitar  pusat  dari  model  multi  agen.  Hal  ini memperlihatkan  bahwa  model  (4)  merupakan model multi agen yang stabil.
Gambar 2 . Pergerakan Pusat Multi Agen Dengan Gangguan
Gambar 3 . Pergerakan Multi Agen tanpa
Gangguan
Gambar 4. Pergerakan Multi Agen dengan Gangguan

## PENUTUP
Dari analisis secara analitik, menunjukkan bahwa model multi agen (4) adalah suatu model yang  stasioner  dan  stabil.  Hal  ini  ditunjukkan dengan  analisis  pada  teorema  1  dan  teorema  2. Hasil ini juga didukung dengan simulasi numerik pada gambar 1, gambar 2, gambar 2, dan gambar 4.

## REFERENSI
[1] Breder, C. M., 1954, Equation Descriptive  of Fish Schools and Other Animal Aggregation, Ecology , Vol. 35, No.3, pp. 361-370.
[2] Chu,  T.,  Wang,  L.  dan  Chen,  T.,  2005,  Self- Organized  Motion  in  a  Class  of  Anisotropic Swarm: Convergence vs Oscillation,
Proceedings  American  Control  Conference , Portland.
[3] Gazi,  V.  dan  Passino,  K.M.,  2002,  Stability Analysis of Swarms in an Environment with an  Attractant/Repellent  Profile, Proceedings of the American Control Conference , Anchorage.
[4] Gazi,  V.  dan  Passino,  K.M.,  2003,  Stability Analysis  of  Swarms, IEEE  Transaction  on Automatic Control , Vol. 48, No.4.
[5] Gazi, Veysel dan Passino, K.M., 2004, Stability Analysis  of  Social  Foraging  Swarms, IEEE Transaction on System, Man, and Cybernetics- Part B: Cybernetics, Vol. 34.
[6] Wang, L., Shi, H., Chu, T., Zhang, W. dan Zhang, L., 2004,  Aggregation of Foraging Swarms, In advance  in  Artificial  Intelligence, Lecture Notes  in  Artificial  Intelligence ,  Vo.  3339, Springer-Verlag.
[7] Shi, H., Wang, L. dan Chu, T., 2004, Swarming Behavior  of  Multi-Agent  System, Journal  of Control  and  Applications ,  Vol.  4,  pp.  313  – 318.
4 6 8 10 12 14 16 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 5 10 15 20 25 -10 -5 0 5 10 15 agen 1 agen 2 agen 3 agen 4 agen 5 agen 6 agen 7 agen 8 agen 9 agen10 pusat agen 0 5 10 15 20 25 -10 -5 0 5 10 15 agen 1 agen 2 agen 3 agen 4 agen 5 agen 6 agen 7 agen 8 agen 9 agen10 pusat agen