## Trayektori ortogonal dan pemetaan konformal pada fungsi kompleks
(On the othogonal trajectories and conformal mapping of complex variable
functions)

## Kus Prihantoso Krisnawan dan Atmini Dhoruri
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta (UNY), Kampus Karangmalang, Sleman, DI Yogyakarta, 55281 tel. 08122753549, faks. (0274) 548203 dan e-mail: kuspk@uny.ac.id, atmini_uny@ac.id.
diterima 25 Juli 2014, disetujui 30 September 2014

## Abstrak
Penelitian  ini  dimaksudkan  untuk  menyelidiki  kaitan  trayektori  orthogonal,  fungsi  analitik, dan  pemetaan  konformal  dari  suatu  fungsi  kompleks.  Trayektori  ortogonal  adalah  perpotongan dua  keluarga  kurva  yang  saling  tegak  lurus.  Melalui  syarat  Cauchy-Riemann,  suatu  fungsi kompleks f(z) = u + iv dilihat keanalitikannya, dan diinterprestaikan bentuk geometri dari u dan v. Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  dua  fungsi  yang  saling  konjugat  harmonik  saling bertrayektori  ortogonal.  Jika  dua  keluarga  kurva  yang  saling  bertrayektori  orthogonal  dipetakan menggunakan  pemetaan  konformal  maka  menghasilkan  fungsi yang  saling  bertrayektori ortogonal.
Kata kunci: trayektori ortogonal, fungsi  analitik, pemetaan konformal

## Abstract
This  research  goal  is  to  investigate  the  connection  of  orthogonal  trajectories,  analitic functions,  and  conformal  mapping.  Orthogonal  trajectories  are  the  intersection  of  two families of mutually  perpendicular  curves.  The  analytical  property  of  a  complex  function  f(z)  =  u  +  iv  is investigated  using  Cauchy-Riemann  conditions  and  then  the  geometric  shapes  of  u  and  v  are interpreted.  The  results  showed  that  if  two  functions  are mutually harmonic conjugate, then they are  mutually  orthogonal  trajectories.  If  two  families  of  curves  of  mutually  orthogonal  trajectories are  mapped  by  conformal  mapping  then  the  result  functions  are  also  mutually  orthogonal trajectories.
Key words: orthogonal trajectories, analytic functions, conformal mapping

## Pendahuluan
Trayektori  ortogonal  diartikan  sebagai  perpotongan  dua keluarga (rumpun) kurva yang  saling  tegak  lurus.  Hal  ini  berarti,  setiap  kurva  pada  salah  satu  keluarga berpotongan  tegak  lurus  dengan  semua  kurva  pada  keluarga  kurva    yang  lain.
Sedangkan,  dua  buah  kurva  dikatakan  berpotongan  tegak  lurus  (ortogonal)  jika  pada titik  perpotongannya,  kedua  kurva  mempunyai  garis  singgung  yang  saling  tegak  lurus (lihat [1]).  Sebagai contoh dari trayektori ortogonal yaitu keluarga kurva dengan
keluarga kurva . Keluarga pertama merupakan keluarga garis yang melalui
titik sedangkan  keluarga  kedua  merupakan  keluarga  lingkaran  yang  berpusat  di
.  Garis-garis y  =  mx ,  untuk  setiap m ,  berpotongan  tegak  lurus  dengan  lingkaran- lingkaran , untuk setiap c .
Trayektori  ortogonal  merupakan  masalah  klasik  dalam  matematika.  Namun kenyataanya,  sampai  sekarang  masalah  ini  banyak  digunakan  dalam  bidang  teknik maupun fisika. Misalnya pada medan elektrostatis, garis-garis gaya (force) saling tegak lurus  dengan  garis-garis  potensial  konstan.  Pada  tahun  1972,  C.R.  Chester  (lihat  [2]), mengembangkan metoda untuk menyelesaikan persamaan Van der Pol menggunakan representasi  trayektori  ortogonal.  Selain  itu,  Collard  dan  Hall,  pada  [3]  menyatakan dalam makalahnya bahwa fungsi dengan beberapa variabel, seperti kepadatan elektron dan  energi  potensial  nuklir  Born–Oppenheimer,  dapat  dianalisis  dengan  lebih  efektif menggunakan  trayektori  orthogonal.  Secara  khusus,  persekitaran  titik  kritis  dari  fungsi dengan  beberapa  variabel  dapat  dianalisa  dengan lebih detail menggunakan trayektori orthogonal.
Stewart  dalam  [1]  menyatakan  bahwa  di  dalam  bidang  termodinamika,  isoterm (kurva-kurva  untuk  temperatur  yang  sama)  saling  tegak  lurus  dengan  flowline  dari panas. Stewart juga mengatakan bahwa pada bidang aerodinamik, streamlines (kurva- kurva  arah  airflow)  bertrayektori  ortogonal  dengan  kurva  kecepatan  ekuipotensial. Selanjutnya  Lui,  pada  [4],  menyelidiki  tentang  pemetaan  konformal  pada  Human  Brain Mapping.  Beliau  mengatakan  bahwa  trayektori  orthogonal  diperlukan  pada  beberapa kasus untuk memastikan bahwa derivatif covarian yang diaproksimasi merupakan garis singgung permukaan Human Brain Mapping.
Pada  makalah  ini  dibahas  mengenai  penggunaan  trayektori  orthogonal  pada fungsi  variabel  kompleks.  Dipilihnya  fungsi  variabel  kompleks  karena  penggambaran grafik pada fungsi kompleks merupakan masalah yang rumit. Hal ini dikarenakan, setiap bilangan z dan w terletak  di  bidang  bukan  di  garis,  maka  tidak  ada  representasi  grafik yang cocok untuk fungsi w = f(z) sedemikian sehingga setiap w = f(z) dapat digambarkan pada satu bidang. Namun, dengan mengindikasikan pasangan yang sesuai antara nilai z  =  (x,  y) dengan w  =  (u,  v) ,  fungsi f(z) dapat  digambarkan  pada  bidang  yang  terpisah. Tetapi  hal  ini  tetap  saja  tidak  bisa  dilakukan  untuk  sebarang  fungsi  kompleks.  Dilain pihak, keanalitikan suatu fungsi kompleks dapat dilihat melalui trayektori ortogonal. Oleh karena  itu  secara  spesifik,  makalah  ini  mengungkap  kaitan  trayektori  ortogonal, keanalitikan fungsi, dan pemetaan konformal dari suatu fungsi kompleks.

## Dasar Teori
Sebelum masuk pada pembahasan, berikut ini diberikan dua buah teorema yang dapat membantu untuk menentukan keterdiferensialan suatu fungsi kompleks sehingga dapat membantu dalam menentukan keanalitikan fungsi kompleks.
Teorema 1. (lihat [1]). Misalkan
didefinisikan pada suatu himpunan buka S yang memuat titik z 0 = x 0 + iy 0 . Jika turunan parsial  pertama  dari u dan v di  dalam  S  ada  dan  kontinu  di z 0 serta  memenuhi persamaan  Cauchy-Riemann  ( u x =  v y dan u y = − v x )  di  titik z 0 maka f terdiferensial  di z 0 . Lebih lanjut,
Bukti lengkap teorema ini ada pada Brown dan Churchill [5] . Konsekuensi  dari  Teorema  1 . adalah  jika  turunan  parsial  pertama  dari u dan v kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada semua titik di dalam S maka f analitik di S .
Di  lain  pihak,  fungsi  harmonik  dapat  menghubungkan  antara  fungsi  bernilai  real dengan fungsi kompleks (untuk definisi fungsi harmonik secara lengkap dapat dilihat di [6]).  Keharmonikan  dua  buah  fungsi  tertentu  (misal u dan v )  terkait  erat  dengan keanalitikan suatu fungsi kompleks f = u + iv . Sebuah fungsi f(z) dikatakan analitik jika f terdiferensial di setiap titik z dalam domainnya. Teorema berikut memberikan hubungan di antara keduanya.
Teorema 2. (lihat [5]). Jika suatu fungsi
adalah  sebuah  fungsi  yang  analitik  dalam  domainnya  maka u dan v memenuhi persamaan Laplace, yaitu

## Bukti.
Jika diberikan sebuah fungsi analitik
maka u dan v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann yaitu
Turunkan keduanya terhadap x maka didapatkan
Turunkan keduanya terhadap y maka didapatkan
Turunan parsial dari u dan v kontinu maka
dan
, dengan demikian
dan
Jadi, u dan v harmonik dalam domainnya. ♦
Pasangan  dari  fungsi u yang  juga  harmonik  disebut  sebagai  fungsi  konjugat harmonik  dari u .

## Hasil dan Diskusi
Pada  bagian  ini  akan  berikan  beberapa  fakta  dan  buktinya  mengenai  hubungan keharmonikan suatu fungsi dan pemetaan konformal dengan trayektori orthogonal.

## Hubungan fungsi harmonik dengan trayektori orthogonal
Sebuah  fungsi  harmonik u pasti  mempunyai  pasangan,  yaitu  fungsi  lain  yang merupakan  konjugat  harmonik  dari u .  Jaminan  akan  adanya  pasangan  dari  fugsi u disajikan berikut ini.
Fakta  1.  Jika u adalah  sebuah  fungsi  yang  harmonik  dalam  domain  D,  maka  terdapat fungsi v yang harmonik dalam domain D dan merupakan konjugat harmonik dari u.
Bukti.
Misalkan  fungsi P(x,y) dan Q(x,y) mempunyai  turunan  parsial  pertama  yang kontinu dalam domain D dan misalkan (x 0 , y 0 ) dan (x, y) adalah sebarang dua titik dalam D. Jika P y = Q x di manapun di dalam D maka integral garis
dari ( x 0 , y 0 ) ke (x,  y) tidak  dipengaruhi  oleh  bentuk  kurva  C,  asalkan  kurva  C  terletak seluruhnya di dalam D. Sehingga
dengan
(1)
Di lain pihak, karena u memenuhi persamaan laplace, maka
dalam  domain  D,  dan  diketahui  bahwa  turunan  parsial  kedua  dari u kontinu  maka turunan parsial pertamanya ( dan ) juga kontinu sehingga
Terdefinisi  dengan  baik  untuk  setiap (x,  y) dalam  D,  dan  berdasarkan  persamaan  (1) maka didapatkan
yang merupakan persamaan Cauchy-Riemann.
Turunan  parsial  pertama  dari u adalah  fungsi  kontinu  karena u memenuhi
persamaan  Laplace.  Selanjutnya,  karena u dan v memenuhi  persamaan  Cauchy- Riemann  dan  turunan  parsial  pertama  dari u merupakan  fungsi  kontinu maka  turunan parsial  pertama  dari v juga  kontinu.  Sehingga  berdasarkan  Teorema  1.  maka adalah  sebuah  fungsi  yang  analitik  dalam  domain  D sehingga  berdasarkan  Teorema  1.,  didapatkan  bahwa v adalah  fungsi  konjugat harmonik  dari u .

## ♦
Fakta  2.  Misalkan  fungsi adalah  fungsi  yang  analitik  dalam
domain  D.  Didefinisikan  kurva
dan ,  dengan dan adalah sebarang  konstanta  real  dan
merupakan  titik  perpotongan  kedua
kurva.  Jika maka  kurva dan saling  tegak  lurus  di . Bukti.
Perhatikan bahwa
(2) Diketahui bahwa maka , jika maka berdasarkan persamaan (2) ,  padahal  berdasarkan  Teorema  1.  didapatkan kontradiksi dengan . Berdasarkan persamaan (2) maka didapatkan Sehingga gradien kurva di titik adalah Di lain pihak (3) Diketahui bahwa maka , jika maka berdasarkan persamaan (3) ,  padahal  berdasarkan  Teorema  1.  didapatkan kontradiksi dengan .
Berdasarkan persamaan (3) maka didapatkan
Sehingga gradien kurva di titik adalah
Karena fungsi analitik dalam domain D maka dan memenuhi persamaan Cauchy-Riemann sehingga Jadi,  kurva dan saling tegak lurus di . ♦ Fakta  3.  Jika dan adalah  pasangan  fungsi  harmonik  konjugat  dalam domain  D  maka  rumpun  kurva dan  rumpun  kurva
saling bertrayektori orthogonal.
Bukti. Berdasarkan Teorema 2. maka didapatkan fungsi yang analitik. Selanjutnya berdasarkan Fakta 2. maka dan saling tegak lurus pada titik perpotongannya. ♦ Contoh.  Fungsi merupakan  fungsi  yang  analitik,  sehingga
dengan saling  bertrayektori  orthogonal.  Gambar  dari  trayektori tersebut dapat dilihat pada Gambar 1.

## Y
X
Gambar 1. Trayektori orthogonal dari fungsi
dan . Fakta  4.  Jika
adalah  sebuah  fungsi  yang  harmonik  dalam  domain  D,  maka
terdapat rumpun kurva
yang bertrayektori ortogonal dengan rumpun kurva
.
Bukti.  Diberikan  fungsi yang  harmonik  dalam  domain  D  maka  berdasarkan
Fakta 1. maka terdapat fungsi
yang merupakan harmonik konjugat dari
. Selanjutnya  berdasarkan  Fakta  3,  maka  rumpun  kurva dan  rumpun  kurva saling bertrayektori ortogonal. ♦ Contoh.  Fungsi merupakan  fungsi  harmonik  maka  terdapat  fungsi harmonik yang  merupakan  fungsi  harmonik  konjugat  dari  u(x,  y). Rumpun  kurva bertrayektori orthogonal dengan rumpun kurva .
Hal ini dapat dilihat pada Gambar 2.

## X
Gambar 2. Trayektori Orthogonal dari fungsi
dan .

## Hubungan pemetaan konformal dengan trayektori orthogonal
Berdasarkan  definisi  dari  pemetaan  konformal  maka  jika  kurva γ 1 dan γ 2 saling tegak  lurus  pada  titik di  dalam  D  berakibat  kurva γ ' 1 dan γ ' 2 yang merupakan image dari kurva γ 1 dan γ 2 pada juga saling tegak lurus.
Fakta  5.  Misalkan adalah  pemetaan  konformal  di  dalam  domain  D.  Jika rumpun kurva γ 1 = c 1 dan γ 2 = c 2 merupakan rumpun kurva mulus dan saling bertrayektori ortogonal  di  dalam  D  maka  rumpun  kurva γ ' 1 = c' 1 dan γ ' 2 = c' 2 yang merupakan image dari  rumpun  kurva γ 1 =  c 1 dan γ 2 =  c 2 pada  fungsi juga  saling  bertrayektori orthogonal.

## Bukti.
Berdasarkan  definisi  dari  pemetaan  konformal  yang  mempertahankan  sudut maka
masing-masing  kurva γ 1 =  c 1 dan γ 2 =  c 2 yang  tegak  lurus  juga  akan  berakibat  masing- masing bayangannya juga saling tegak lurus.

## Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Terdapat  hubungan  antara  fungsi  harmonik  dengan  trayektori  ortogonal.  Jika  ada sebuah  fungsi  yang  harmonik  maka  terdapat  fungsi  harmonik  lain  yang  merupakan konjugat  harmonik  dari  fungsi  yang  pertama.  Kedua  fungsi  yang  saling  konjugat harmonik ini juga saling bertrayektori.
2. Jika dua keluarga kurva yang saling bertrayektori orthogonal dipetakan melalui suatu pemetaan  konformal  maka  akan  menghasilkan  rumpun  kurva  yang  juga  saling bertrayektori ortogonal.

## Ucapan Terima Kasih
Dana  penelitian  ini  diperoleh  dari  dana  DIPA  FMIPA  UNY  dengan  nomor  kontrak 2131/UN34.13/PL/2012.

## Pustaka
[1]. J.  Stewart,  Calculus:  Concepts  and  Contexts,  Brooks  and  Cole  Publishing Company, California, 1998.
[2]. C. R. Chester, Applied Scientific Research, Volume 26, Number 1 (1972) pp. 23- 26.
[3]. K. Collard dan G. G. Hall, International Journal of Quantum Chemistry, Volume 12, Issue 4 (1977) pp. 623–637.
[4]. L. M. Lui, Computational Conformal Geometry and its Applications to Human Brain Mapping, Disertasi Doktor University of California Los Angeles, 2008.
[5]. J. W. Brown dan R. V. Churchill, Complex Variable and Applications, Edisi Internasional, McGraw-Hill: Singapura, 1996.
[6]. J. Lang, Complex Analysis, Third edition, Springer-Verlag New York Inc., 1993.
[1.]