## Vygotsky: Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Islam Lamongan http://jurnalpendidikan.unisla.ac.id/index.php/VoJ Vol. 4 (2) Agustus 2022 pp. 79-92
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539 Info Artikel Abstract Diterima : 15 Feb 22 Direvisi : 07 Juli 22 Diterbitkan  : 20 Agus 22 This research developed a model of cholera disease spread using  the  SIWR  (Susceptible,  Infected,  Water,  and Recovery)  model  added  to  the  fly  vector.  Based  on  the mathematical  model,  the  disease-free  equilibrium  point, the endemic equilibrium point, and the basic reproduction number (R 0 ) can be obtained. The results of the analysis of the  stability  of  the  disease-free  equilibrium  point  were found to be locally asymptotically stable when R 0 <1.  This study  used  some  parameter  values  that  are  taken  from journals and some cases in Haiti to simulate this model. The simulation result shows that cholera disease in Haiti in the future will disappear. Furthermore, an analysis of the  sensitivity  of  the  model  parameters  to  R 0. Based  on results, there are two parameters that dominantly affect the spread of cholera, namely the rate of infective contact of  susceptible  individuals  with  infected  individuals  and the  rate  of  individual  recovery  from  cholera. So  it  is recommended  in  handling  cholera  outbreaks  to  reduce contact  with  infected  individuals  and  immediately  take treatment.
Kata Kunci: Analisis Sensitifitas, Kestabilan Titik Ekuilibrium, Kolera, SIWR
Cara merujuk artikel ini:

## Abstrak
Penelitian  ini  mengembangkan  model  matematika penyebaran  penyakit  kolera  menggunakan  model SIWR (Susceptible, Infected, Water, and Recovery) yang ditambahkan  dengan  vektor  lalat.  Berdasarkan model matematika tersebut, dicari titik kesetimbangan bebas penyakit, titik kesetimbangan endemik, dan bilangan reproduksi dasar (R 0 ). Hasil analisis  kestabilan  titik  kesetimbangan  bebas penyakit diperoleh bersifat stabil asimtotik lokal saat R 0 <1.  Simulasi  model  dilakukan  dengan  nilai-nilai parameter  yang  diambil  dari  beberapa  jurnal  dan mengambil kasus di Haiti. Hasilnya penyakit kolera di Haiti dalam waktu mendatang akan menghilang.
Selanjutnya dilakukan analisis sensitivitas parameter-parameter model terhadap R 0.
Berdasarkan  hasil  terdapat  dua  parameter  yang
Manaqib, M., Irma, F., & Apriyanto, B. F. (2022). Model Matematika Penyakit Kolera Melalui Kontak Antar Individu, Sumber Air, dan Lalat. Vygotsky: Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika , 4 (2), 79-92. Diunduh dari https://jurnalpendidikan. unisla.ac.id/index.php/ VoJ/article/view/539

## Model Matematika Penyakit Kolera Melalui Kontak Antar Individu, Sumber Air, dan Lalat
Mathematical  Model  of  Cholera  Disease  Through  Contact  Between Individuals, Water Sources, and Flies
Muhammad Manaqib 1* , Fauziah Irma 1 , Bagus Fajar Apriyanto 1
1 Matematika, UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
*Email Korespondensi: muhammad.manaqib@uinjkt.ac.id
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
dominan  berpengaruh  terhadap  penyebaran penyakit  kolera  yakni  laju  kontak  infektif  individu rentan  dengan  individu  terinfeksi  dan  tingkat kesembuhan  individu  dari  penyakit  kolera. Sehingga  direkomendasikan  dalam  penanganan wabah  kolera  untuk  mengurangi  kontak  dengan individu terinfeksi dan segera dilakukan pengobatan.
Copyright © 2022 Vygotsky: Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. All right reserved

## PENDAHULUAN
Bakteri Vibrio Cholerae adalah penyebab penyakit kolera (Dolstad et al., 2021).  Seseorang  yang  terkena  penyakit  kolera  mengalami  diare  secara terus  menerus  hingga  pada  akhirnya  ia  akan  mengalami  dehidrasi (Basumatary et al., 2021). Jika tidak segera ditangani dengan cepat, maka orang  tersebut  akan  kekurangan  cairan  dalam  tubuhnya  dan  lama- kelamaan akan menyebabkan kematian (Filary-Szczepanik, 2020).
Kasus kolera dunia tahun 2015 tercatat 172.454 kasus dan 1.304 orang meninggal akibat kolera (Global Health Observatory (GHO) Data, 2015). Di Afrika dilaporkan kasus penyebaran penyakit kolera terjadi sebanyak 41%, di Asia 37%, dan di Amerika 21%. Berdasarkan persentase tersebut, Afrika merupakan  benua  yang  penyebaran  penyakit  koleranya  paling  besar  di antara benua-benua lainnya. Penyebaran penyakit kolera di Afrika berawal dari Democratic Republic of the Congo (DRC) yang selanjutnya menyebar ke  Nigeria,  Kenya,  Malawi,  Somalia,  Mozambique,  South  Sudan,  dan Tanzania.  Sementara  di  Amerika,  Haiti  menjadi  negara  terbesar  yang menyebarkan penyakit kolera, sedangkan di Asia, kolera terjadi di negara Afghanistan  dan  Iraq  (Anggaraditya,  2015;  Global  Health  Observatory (GHO)  Data,  2015).  Sedangkan  di  Indonesia  Kejadian  Luar  Biasa  (KLB) kolera sudah jarang terjadi, terakhir terjadi KLB pada tahun 2008 di Paniai dan  Nabire  Provinsi  Papua  yang  mengakibatkan  105  orang  meninggal (Puspandari et al., 2010).
Wabah kolera terjadi di daerah yang mempunyai masalah  di bidang kesehatan,  terutama  pada  sumber  air  yang  digunakan  (Silva  &  Benitez, 2016).  Akses  air  yang  kurang  memadai  dan  sanitasi  air  yang  buruk menyebabkan  Bakteri  Vibrio  Cholerae  berkembang  dan  penyakit  kolera menyebar  dengan  cepat  (Global  Health  Observatory  (GHO)  Data,  2015). Selain itu, sumber air yang digunakan secara bersamaan dengan seseorang yang  terinfeksi  penyakit  kolera  juga  dapat  menyebabkan  penyebaran penyakit  kolera  dalam  suatu  populasi.  Hal  ini  terjadi  apabila  kotoran manusia yang terinfeksi kolera dan mengandung Bakteri Vibrio Cholerae terkena  dan  mengkontaminasi  sumber  air  yang  digunakan  (Posny  et  al., 2015). Namun tidak  hanya  itu, jika di sumber air yang tersebut terdapat hewan air (misalnya ikan, kerang, udang, dan belut) maka hewan-hewan tersebut  juga  akan  terinfeksi  Bakteri  Vibrio  Cholerae.  Sehingga  jika seseorang memakan hewan-hewan yang hidup di air yang terkontaminasi bakteri  kolera  secara  mentah  atau  tidak  dimasak  dengan  matang  maka
Muhammad Manaqib, dkk/Vygotsky 4 (2) Agustus 2022, pp 79-92
P-ISSN: 2656-2286
orang  tersebut  akan  terinfeksi  penyakit  kolera.  Faktor  lain  yang  dapat menyebabkan penyebaran penyakit kolera adalah lalat. Lalat yang hinggap di  kotoran  manusia  ataupun  air  yang  terinfeksi  Bakteri  Vibrio  Cholerae juga dapat menjadi faktor pembawa dan penyebaran penyakit kolera.
Salah  satu  pendekatan  untuk  menjelaskan  solusi  dari  permasalahan  yang terjadi dalam dunia nyata adalah memodelkan matematika (Manaqib et al., 2019), seperti penelitian (Najar et al., 2022; Yahya et al., 2022). Pemodelan matematika mengenai penyakit kolera awalnya dilakukan oleh (Capasso & Paveri-Fontana, 1979) mengenai model deterministik sederhana tentang penyebaran wabah kolera di  Mediterania  menggunakan  asumsi  populasi  bakteri  dan  populasi  manusia terinfeksi dengan kondisi padat udara. Selanjutnya (Pourabbas et al., 2001) meneliti model  matematis  penyebaran  penyakit  kolera  melalui  kontak  antar  individu dengan mempertimbangkan waktu infeksi. (Ghosh et al., 2004) meneliti model matematis SIS (Susceptible, Infected, and Susceptible) penyebaran penyakit kolera dengan menambahkan konsentrasi Vibrio Cholerae (B) dan pertumbuhan Vibrio Cholerae  akibat  kotoran  manusia  (E).  Selanjutnya  (Tien  &  Earn,  2010) mengembangkan  model  matematis  SIR  ( Susceptible,  Infected,  and  Recovery ) menjadi model SIWR, yaitu penyebaran penyakit kolera melalui manusia ke manusia dan lingkungan ke manusia. (Robertson et al., 2013) meneliti mengenai perbedaan bilangan reproduksi awal jalur transmisi penyebaran kolera dari satu sampai n populasi dengan satu sumber air.
Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan dan menganalisis model matematika  penyebaran  penyakit  kolera  melalui  kontak  antar  individu, sumber  air,  dan  lalat  dengan  mengembangkan  model  SIWR  yang diperkenalkan oleh (Tien & Earn, 2010). Keterbaruan penelitian ini adalah penambahkan  vektor  lalat  sebagai  pembawa  Bakteri  Vibrio  Cholerae sehingga  diperoleh  model  SIWR-SI.  Selanjutnya  model  akan  dicari  titik kesetimbangan  dan  kestabilannya.  Setelah  itu  akan  dilakukan  simulasi model dan analisis sensitifitas terhadap bilangan reproduksi dasar ( 𝑅 0 ) .

## METODE
Berikut metode yang digunakan :
1. Formulasi model
Tahap  ini  peneliti  akan  mengkonstruksi  model  matematika  penyebaran penyakit kolera melalui kontak antar individu, sumber air, dan lalat. Model tersebut  dikembangkan  dari  model  SIWR (Tien  &  Earn,  2010) yang ditambahkan vektor lalat sebagai pembawa  bakteri Vibrio Cholerae.
2. Titik kesetimbangan dan 𝑅 0 Metode next  generation  matrix digunakan  untuk  mencari 𝑅 0 dengan  cara sebagai berikut.
a. Linearisasi subsistem terinfeksi dengan menggunakan matriks Jacobi ( J ) di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit.
b. Dekomposisi matriks Jacobi (J) menjadi matriks Transimisi ( F ) dan matriks Transisi ( V ).
c. Menghitung nilai 𝑅 0 yang merupakan radius spektral dari matriks 𝑭𝑽 −𝟏 .
3. Analisis kestabilan titik kesetimbangan
Kestabilan lokal titik kesetimbangan analisis menggunakan nilai eigen matriks
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539

## Jacobi. Berikut teorema yang digunakan.
Diberikan matriks Jacobian 𝐽 (𝑥 1 ∗ ,𝑥 2 ∗ ,…,𝑥 𝑛 ∗ ) dari suatu sistem persamaan diferensial nonlinear.
a. Jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽 (𝑥 1 ∗ ,𝑥 2 ∗ ,…,𝑥 𝑛 ∗ ) bernilai negatif, maka  titik  kesetimbangan 𝑥 ∗ = (𝑥 1 ∗ , 𝑥 2 ∗ , … , 𝑥 𝑛 ∗ ) dari  sistem  nonlinear tersebut stabil asimtotik lokal.
b. Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen dari matriks 𝐽 (𝑥 1 ∗ ,𝑥 2 ∗ ,…,𝑥 𝑛 ∗ ) bernilai positif, maka titik ekuilibrium 𝑥 ∗ = (𝑥 1 ∗ , 𝑥 2 ∗ , … , 𝑥 𝑛 ∗ ) dari sistem nonlinear tersebut tidak stabil.
4. Simulasi numerik dan analisis sensitivitas 𝑅 0 Simulasi numerik dilakukan untuk memberikan gambaran geometris model yang mengambil kasus di Negara Haiti. Selanjutnya analisis sensitivitas 𝑅 0 dilakukan  untuk  mengetahui  parameter  yang  dominan  berpengaruh terhadap penyebaran kolera.

## HASIL DAN PEMBAHASAN Pembentukan Model Matematika
Model matematika yang disusun berdasarkan asumsi berikut. (1) Diasumsikan tingkat  kelahiran  alami  dan  kematian  alami  sama,  tidak  ada  migrasi  sehingga populasi  tertutup,  (2)  populasi  diasumsikan  bercampur  secara  homogen,  (3) individu  terinfeksi  bakteri  kolera  dan  dapat  menularkan  bakteri  ke  individu rentan, air, dan lalat, (4) tidak ada reinfeksi terhadap individu yang pernah terkena kolera,  (5)  penyakit  kolera  dalam  model  ini  dasumsikan  tidak  fatal,  (6)  lalat terinfeksi  adalah  lalat  terinfeksi  bakteri  kolera  dan  dapat  menularkan  bakteri tersebut,  (7)  karena  usia  hidup  lalat  yang  pendek  diasumsikan  tidak  ada  lalat sembuh.
Populasi lalat dibagi menjadi dua kompartemen, yaitu lalat rentan 𝑆 𝑓 (𝑡) dan lalat  terinfeksi 𝐼 𝑓 (𝑡) .  Sedangkan  populasi  individu  dibagi  menjadi  tiga kompartemen, yaitu individu rentan 𝑆 ℎ (𝑡) , individu terinfeksi 𝐼 ℎ (𝑡) , dan individu sembuh 𝑅 ℎ (𝑡) . Selanjutnya 𝑊(𝑡) adalah konsentrasi Bakteri Vibrio cholerae dalam air. Setiap individu yang lahir μ h ataupun lalat yang lahir (𝜇 𝑓 ) akan masuk ke dalam kompartemen rentan. Lalat rentan menjadi lalat terinfeksi akibat kontak dengan individu terinfeksi melalui feses atau sekresi individu terinfensi dengan laju sebesar 𝑙 .
Penyebaran penyakit kolera menular melalui air yang terkontaminasi feses manusia yang Bakteri Vibrio Cholerae, jabat tangan maupun makanan. Air yang terinfeksi oleh Bakteri Vibrio Cholerae yang digunakan untuk minum atau mandi dapat  mengakibatkan  penularan  penyakit  koler.  Bakteri  Vibrio  Cholerae  yang menempel pada tangan individu terinfeksi jika berjabat tangan dengan individu lain juga dapat menjadi cara penularan penyakit kolera. Makanan yang dihinggapi lalat terinfeksi kolera jika dimakan manusia juga akan menularkan penyakit kolera. Sehingga dalam model ini individu rentan tertular kolera akibat tiga cara, yaitu kontak antara individu rentan dengan yang terinfeksi dengan laju 𝑔 , kontak antara individu  rentan  dengan  air  terkontaminasi  dengan  laju  sebesar 𝑏 ,  dan  kontak antara individu rentan dengan lalat terinfeksi dengan laju 𝛿 𝑓 . Setiap kompartemen akan mengalami kematian alami, baik individu maupun lalat. Individu terinfeksi
Muhammad Manaqib, dkk/Vygotsky 4 (2) Agustus 2022, pp 79-92
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
dapat menyebarkan Bakteri Vibrio cholerae ke dalam air dengan laju sebesar a . Individu terinfeksi dapat sembuh dengan laju kesembuhannya sebesar (ε) . Karena Bakteri Vibrio cholerae hanya dapat bertahan tiga minggu dalam air, maka bakteri tersebut dapat menghilang dengan laju sebesar ω .
Untuk penyederhanaan dimisalkan S f (t) = S f , I f (t) = I f , S h (t) = S h , I h (t) =   I h (t) , R h (t) = R h ,  dan W(t) = W .  Berdasarkan  asumsi  model  tersebut  dapat  dibentuk skema penyebaran penyakit kolera sebagai berikut.
Gambar 1 . Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Kolera
Berdasarkan  diagram  transfer  Gambar  1  dapat  dirumuskan  model matematika berikut:
Ṡ h = N h μ h − S h μ h − gI h S h − bS h W − θ f I f S h , İ h = gI h S h + bS h W + θ f I f S h − μ h I h − εI h , 𝑅̇ ℎ = 𝜀𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ , Ṡ f = N f μ f − μ f S f − lI h S f , İ f = lI h S f − μ f I f , Ẇ = kI h − ωW.
(1)
dengan  nilai N h = S h + I h + R h dan N f = S f + I f .    Model  (1)  dapat  dibentuk dalam model non-dimensional menjadi:
ṡ h = μ h − μ h s h − τs h i h − δ f i f s h − βs h w, i̇ h = τs h i h + δ f i f s h + βs h w − μ h i h − εi h , ṙ h = εi h − μ h r h , ṡ f = μ f − μ f s f − ci h s f ,
i̇ f = ci h s f − μ f i f , ẇ = ω(i h − w), (2)
dengan
s h = S h N h , i h = I h N h , r h = R h N h , s f = S f N f , i f = I f N f , w = ωW kN h
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
τ = gN h , δ f = θ f N f , β = bkN h ω , c = lN h .
Selanjutnya karena variabel 𝑟 tidak memberikan pengaruh pada persamaan lain, sehingga sementara variable r dapat diabaikan.
ṡ h = μ h − μ h s h − τs h i h − δ f i f s h − βs h w, i̇ h = τs h i h + δ f i f s h + βs h w − μ h i h − εi h ,
𝑠̇ 𝑓 = 𝜇 𝑓 − 𝜇 𝑓 𝑠 𝑓 𝑐𝑖 ℎ 𝑠 𝑓 , i̇ f = ci h s f − μ f i f , ẇ = ω(i h − w). (3)
Selanjutnya didefinisikan himpunan ( )   1 , 1 | , , , , , 6 * = + = + +  =  + f f h h h f f h h h i s r i s R w i s r i s
dan
Γ = {(s h , i h , s f , i f , w)|∃r h ≤ 1  ∋ (s h , i h , s f , i f , w) ∈ Γ ∗ } adalah himpunan invarian positif berturut-turut domain dari persamaan (2) dan (3).

## Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi Dasar
Berdasarkan (Perko, 2000) tentang titik kesetimbangan, maka titik kesetimbangan Sistem (3) diperoleh jika
μ h − μ h s h − τs h i h − δ f i f s f − βs h w =  0 (4) s h i h + δ f i f s f + βs h w − μ h i h − εi h =  0 (5) μ f − μ f s f −  ci h s f =  0 (6) ci h s f − μ f i f =  0 (7)
ω(i h − w )                                               =  0. (8)
Titik kesetimbangan bebas penyakit ketika i h = i f = 0 , sehingga diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit E ̂ = (1,0,1,0,0) .
Selanjutnya,  menentukan R 0 menggunakan  metode  matriks  generasi selanjutnya (Diekmann et al., 2009; Van Den Driessche & Watmough, 2002) yaitu:
1. Linierisasi  subsistem  terinfeksi  dalam  hal  ini i̇ h , i̇ f , dan ẇ pada  titik kesetimbangan bebas penyakit.
J (1,0,1,0,0) = ( τ − μ f − ε δ f β c −μ f 0 ω 0 −ω ). (9)
2. Dekomposisi  matriks  Jacobi 𝐉 menjadi  matriks  transmisi 𝐅 dan  matriks Transisi 𝐕
𝐅 = ( τ δ f β 0 0 0 0 0 0 ) , 𝐕 = ( μ h + ε 0 0 −c μ f 0 −ω 0 ω ) 𝐕 −1 = ( 1 μ h + ε 0 0 c μ f (μ h + ε) 1 μ f 0 1 (μ h + ε) 0 1 ω) . (10)
Muhammad Manaqib, dkk/Vygotsky 4 (2) Agustus 2022, pp 79-92
P-ISSN: 2656-2286
https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
3. Hitung 𝑅 0 = ρ(𝐅𝐕 −1 )
𝐅𝐕 −1 = ( τμ f + βμ f + δ f c μ f (μ h + ε) δ f μ f β ω 0 0 0 0 0 0 ) (11)

## Didapatkan persamaan karakteristik
(λ 2 ) (λ − τμ f + βμ f + δ f c μ f (μ h + ε) )   =  0 (12)
Karena 𝑅 0 = ρ(FV −1 ) , maka didapat
𝑅 0 = τμ f + βμ f + δ f c μ f (μ h + ε) .

## Teorema 1
Misalkan 𝐸̅ = (𝑠̅ ℎ , 𝑖̅ ℎ , 𝑠̅ 𝑓 , 𝑖̅ 𝑓 , 𝑤 ̅) adalah titik kesetimbangan endemik dari Sistem (3) dengan
s̅ h = μ h (μ f + ci̅ h ) (μ f + ci̅ h )(μ h + τi̅ h + βi̅ h ) + δ f ci̅ h i̅ h = −B − √(B 2 − 4AC) 2A s̅ f = μ f μ f + ci̅ h i̅ f = ci̅ h μ f + ci̅ h w ̅ = i̅ h .
dengan
A = −c(τ + β)(μ h + ε), B = (τ + β)μ h c − (μ f (τ + β) + c(μ h + δ f ))(μ h + ε), C = μ h μ f (μ h + ε)(ℛ 0 − 1) .
Jika 𝑅 0 > 1 , maka titik kesetimbangan 𝐸̅ ada.

## Bukti.
Titik kesetimbangan endemik yaitu ketika i h > 0 dan i f > 0 . Substitusi i h > 0 dan i f > 0 ke (4) sd. (8) diperoleh titik kestimbangan 𝐸̅ = (𝑠̅ ℎ , 𝑖̅ ℎ , 𝑠̅ 𝑓 , 𝑖̅ 𝑓 , 𝑤 ̅) . Eksistensi titik kesetimbangan ditunjukkan dengan setiap elemennya positif. Diperhatikan bahwa 𝑠̅ ℎ , 𝑠̅ 𝑓 , 𝑖̅ 𝑓 , dan 𝑤 ̅ padasetiap  elemen titik kestimbangan 𝐸̅ positif  jika 𝑖̅ ℎ positif, sehingga akan ditunjukkan 𝑖̅ ℎ positif.  Diperhatikan bahwa
A = −c(τ + β)(μ h + ε) < 0
dan jika 𝑅 0 > 1 maka C > 0 , sehingga diperoleh 𝑖̅ ℎ positif. ∎
Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Teorema 2
Jika ℛ 0 < 1 ,  maka  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit 𝐸̂ = (1,0,1,0,0) stabil asimtotik lokal.
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
Bukti.
Analisis kestabilan lokal E ̂ = (1,0,1,0,0) menggunakan analisis nilai eigen matriks Jacobian Sistem (3) di titik E ̂ (Wiggins, 2003). Diperoleh matriks Jacobian Sistem (3)
J (1,0,1,0,0) = ( −μ f −τ 0 0 0 0 τ − μ h − ε −c c ω 0 −δ f − β 0 −μ f 0 0 δ f β 0               0 −μ f 0 0          − ω ) . (13)
Persamaan karakteristik untuk J (1,0,1,0,0) adalah (λ + μ h )(λ + μ f )P = 0
(14)
dengan
P = λ 3 + (ω + μ f − a)λ 2 + (μ f ω − aω − aμ f + cδ f − ωβ)λ + (−aμ f ω + cδ f ω − ωβ f μ f ) (15)
dan a = τ − μ h − ε .  Berdasarkan  Persamaan  Karakteristik  (14)  diperoleh λ 1 = μ h , λ 2 = −μ f . Penentuan tanda bagian riil untuk tiga nilai eigen Persamaan (15) dilakukan dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan Persamaan (15) diperoleh
a 0 = 1, a 1 = ω + μ f − a, a 2 = μ f ω − aω − aμ f + cδ f − ωβ dan a 3 = −aμ f ω + cδ f ω − ωβ f μ f .  Akan  ditunjukkan  jika 𝑅 0 < 1 maka a 1 a 0 > 0, a 2 a 0 > 0, dan a 3 a 0 > 0 . Perhatikan jika 𝑅 0 < 1 , maka
τμ f + βμ f + δ f c μ f (μ h + ε) < 1 ⇔ δ f c < μ f μ h + μ f ε − μ f τ − μ f β ⇔ δ f c μ f + β < −a. (16)
Diketahui δ f > 0, c > 0, μ f > 0, β > 0, dan ω > 0 berdasarkan  Persamaan  (16) maka  haruslah a < 0 ,    akibatnya a 1 a 0 > 0 .    Kalikan  persamaan  (16)  dengan ω diperoleh
ω δ f c μ f < −aω − βω. (17)
Diketahui δ f > 0, c > 0, μ f > 0, β > 0 dan ω > 0 akibatnya  haruslah −aω − βω   >  0 . Karena −aω − βω   >  0 dan a < 0 , maka a 2 a 0 > 0 . Kalikan persamaan (17) dengan μ f diperoleh
ωδ f c < −aμ f ω − βμ f ω. (18)
Diketahui δ f > 0, c > 0 , dan ω > 0 maka nilai −aμ f ω − βμ f ω > 0 , akibatnya nilai a 3 a 0 > 0 .
Syarat  Kriteria  Routh-Hurwitz  adalah  determinan  matriks  Routh-Hurwitz Persamaan (15) bernilai positif. Matriks Routh-Hurwitz Persamaan (15) adalah
∆ 1 = |a 1 | = ω + μ f − a,
∆ 2 = ω 2 (μ f − a − β) + μ f (ωμ f − aμ f + cδ f ) + (a 2 μ f + a 2 ω − aδ f ) − 3aωμ f ,
Muhammad Manaqib, dkk/Vygotsky 4 (2) Agustus 2022, pp 79-92
P-ISSN: 2656-2286
∆ 3 = a 3 ∆ 2 .
Karena a < 0 , maka ∆ 1 > 0 . Berdasarkan Persamaan (17) maka nilai −a − β > 0 . Karena nilai a < 0 dan −a − β > 0 ,  maka ∆ 2 > 0 . Karena ∆ 2 > 0 dan nilai a 3 > 0 , sehingga ∆ 3 > 0 . Dengan demikian, determinan matriks Routh-Hurwitz ∆ 1 , ∆ 2 , dan ∆ 3 bernilai  positif  jika 𝑅 0 < 1 .  Persamaan  (15)  memenuhi  semua  kriteria Routh-Hurwitz,  sehingga  semua  bagian  real  nilai  eigen  dari  Polinomial  (15) bernilai negatif jika 𝑅 0 < 1 . Terbukti semua bagian real nilai eigen Persamaan (14) bernilai negatif, maka titik kesetimbangan E ̂ = (1,0,1,0,0) stabil asimtotik lokal jika 𝑅 0 < 1 . ∎

## Simulasi Numerik
Berikut parameter yang digunakan dan mengambil kasus di Negara Haiti.
Tabel 1 . Nilai-Nilai Parameter Model No  Parameter Definisi Nilai Satuan Refrensi 1. μ h Tingkat kelahiran alami dan kematian alami populasi individu 7,599637537 × 10 −3 (km 2 hari) −1 (World Health Rangkings, 2015) 2. μ f Tingkat kelahiran alami dan kematian alami populasi lalat 0,0357 lalat km 2 hari (Khamesipour et al., 2018) 3. τ Laju kontak infektif individu rentan dengan individu terinfeksi 3,962668149 × 10 −6 km 2 individu hari (Posny et al., 2015) 4. δ f Laju kontak infektif individu rentan dengan lalat terinfeksi
1 × 10 −4 km 2
cell lalat hari (Brooks, 2010) 5. β Laju kontak infektif individu rentan dengan air yang terkontaminasi bakteri 5.253537301 × 10 −3 ml cell hari (Codeço, 2001) 6. ε Tingkat kesembuhan individu dari penyakit kolera 0,167 individu km 2 hari (Lawley et al., 2012) 7. c Laju kontak infektif lalat rentan dengan individu terinfeksi 7,633587786 × 10 −8 km 2
cell individu hari (Blow et al., 2005) 8. ω Laju penyebaran Bakteri Vibrio cholerae dari individu terinfeksi ke sumber air 0,048 cell km 2 ml individu hari (Brooks, 2010)
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539 dengan total jumlah individu adalah 360,242559 individu/ km 2 (Luquero et al. , 2016) dan  total  jumlah  lalat  adalah 2.438 lalat/ km 2 (Marquez & Krafsur, 2002). Berdasarkan  Tabel  1 𝑅 0 =  0, 03011178686 .  Karena 𝑅 0 < 1 ,  akibatnya penyakit kolera di Haiti akan menghilang. Hal ini sejalan juga dengan simulasi numerik Gambar 2.
Gambar 2 . Simuasi Sistem (4) titik kesetimbangan bebas penyakit E ̂
Berdasarkan Gambar 2 individu rentan dan lalat rentan stabil menuju 1 pada hari ke-650. Hal ini bermakna bahwa pada akhirnya setiap individu dan lalat akan menjadi tidak terinfeksi kolera. Populasi individu terinfeksi, lalat terinfeksi, dan pathogen dalam air menurun sampai hari ke-100 dan stabil pada titik tersebut. Hal ini  menunjukkan  bahwa  penyakit  akan  menghilang  dari  populasi  dan mendukung Teorema 2.
Selanjutnya dilakukan simulasi untuk mendukung Teorema 1 (𝑅 0 > 1) . Jika c dan τ , diperbesar 5 × 10 4 dari nilai parameter awal dan β diperbesar 1 × 10 2 dari nilai awal sehingga nilai c = 3, 816793893  × 10 −3 dan τ = 0,1981334075 , sedangkan β  =  0,5253537301 , maka diperoleh titik ekulibrium endemic E ̅(0,2508983299; 0,03136162389; 0,9966582387; 3,341761263 ×   10 −3 ; 0,03136162389) dan ℛ 0 = 4,143706870 . Berikut hasil simulasi numerik berdasarkan parameter tersebut disajikan pada Gambar 3.
Muhammad Manaqib, dkk/Vygotsky 4 (2) Agustus 2022, pp 79-92
P-ISSN: 2656-2286
Berdasarkan Gambar 3 pada akhirnya individu rentan stabil pada titik 0,25 dan lalat rentan stabil pada titik 0,99. Populasi individu terinfeksi stabil pada titik 0,03, populasi lalat terinfeksi stabil pada titik 0,01 dan bakteri dalam air stabil pada titik 0,03. Hal ini menunjukkan bahwa penyakit akan tetap ada dalam populasi dan hal ini mendukung Teorema 1, bahwa titik kestabilan bebas edemik ada jika 𝑅 0 > 1 .

## Analisis Sensitifitas Bilangan Reprodusi Dasar
Berdasarkan Teorema 1 dan Teorema 2 nilai 𝑅 0 sangat berpengaruh dalam penyebaran  penyakit  kolera  oleh  karena  itu  perlu  dianalisis  parameter mana yang berpengaruh terhadap nilai 𝑅 0 .  Sehingga pada bagian ini, akan dihitung indeks sensitivitas dari setiap parameter model yang berkorelasi dengan  bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 .  Indeks  ini  memberikan  informasi tentang  pentingnya  setiap  parameter  pada  model  yang  mewakili penyebaran  penyakit  Kolera.  Analisis  sensitivitas  terhadap  bilangan reproduksi dasar dihitung menggunakan pendekatan oleh (Chitnis et al., 2008;  Resmawan  &  Yahya,  2020).  Akan  dicari  indeks  sensitivitas 𝑅 0 terhadap parameter-parameter dalam penelitian ini yaitu pada Tabel 1. Berikut  diberikan  contoh  perhitungan  indeks  sensitivitas 𝑅 0 terhadap parameter β , untuk parameter lainnya analog.
C β R 0 = ∂R 0 ∂β × β R 0 = μ f μ f (μ h + ε) × βμ f (μ h + ε) τμ f + βμ f + δ f c = β τμ f + βμ f + δ f c .
Tabel 2 . Sensitivitas Indeks Parameter Terhadap 𝑅 0 No. Parameter Sensitivitas Indeks 1. τ +0,9741185366 2. ε −0,9564739213 3. μ h −0,0435260785 4. β +0,02582890049 5. μ f −0,0000525633 6. c +0,00005256353 7. δ f +0,00005256353
Tabel  2  menunjukkan  sensitivitas  indeks  parameter  terhadap  penyebaran penyakit  ( 𝑅 0 )  dari  yang  paling  berpengaruh  sampai  yang  tidak  berpengaruh. Secara umum terdapat dua parameter yang dominan berpengaruh terhadap 𝑅 0 yakni  laju kontak individu rentan dengan terinfeksi (τ) dan  tingkat kesembuhan penyakit kolera (ε) . Sensitivitas indeks τ bernilai positif memiliki makna bahwa peningkatan  nilai parameter τ berkontribusi pada peningkatan nilai 𝑅 0 atau sebaliknya,  dengan  catatan  parameter  lainnya  konstan.  Sensitivitas  indeks ε bernilai negatif memiliki makna bahwa peningkatan nilai parameter ε memiliki kontribusi penurunan  nilai 𝑅 0 atau sebaliknya, dengan catatan parameter lainnya konstan.
Berdasarkan nilai sensitivitas indeks pada Tabel 2 dapat disimpulkan faktor yang paling berpengaruh pada persebaran penyakit  kolera adalah laju  kontak  antara  individu  rentan  dengan  terinfeksi  dan    tingkat kesembuhan  dari  penyakit kolera.  Hal  ini  sesuai  dengan  hasil  penelitian (Puspandari et al., 2010) yang meneliti KLB kolera di Papua, kontak dengan
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika
https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
individu terinfeksi memberi pengaruh besar terhadap persebaran kolera. Perlu diperhatikan bahwa parameter lainnya juga berpengaruh akan tetapi tidak  sesinigfikan  dua  parameter  tersebut,  sehingga  tetap  perlu diperhatikan.  Sensitivitas indeks C τ R 0 = +0,9741185366 memiliki makna kenaikan (atau penurunan) nilai parameter τ misalkan 10% mengakibatkan kenaikan (atau penurunan) nilai 𝑅 0 sebesar 9,74%.  Sensitivitas indeks C ε R 0 = −0,9564739213 memiliki  makna  kenaikan  (atau  penurunan)  nilai parameter ε misalkan 10% mengakibatkan penurunan (atau kenaikan) nilai 𝑅 0 sebesar 9,74%.

## SIMPULAN DAN SARAN
Diperoleh model penyebaran penyakit kolera SIWR yang dikembangkan dengan menambahkan vektor lalat sebagai faktor penyebaran penyakit kolera berbentuk sistem persamaan diferensial non linear. Model matematika tersebut  memiliki satu titik kestimbangan bebas penyakit E ̂ = (ŝ h , î h , ŝ f , î f , w ̂ ) yang stabil asimtotik lokal saat 𝑅 0 < 1 dan satu titik kestimbangan endemik E ̅ = (s̅ h , i̅ h , s̅ f , i̅ f , w ̅ ) yang eksis jika  saat 𝑅 0 > 1 .  Hasil  simulasi  model  yang  mengambil  kasus  di  Haiti menunjukkan  penyakit  kolera  akan  menghilang.  Hasil  analisis  sensitivitas parameter-parameter model terhadap R 0 diperoleh dua parameter yang dominan berpengaruh terhadap 𝑅 0 yakni laju kontak individu rentan dengan terinfeksi dan tingkat  kesembuhan  dari  penyakit  kolera.  Penelitian  selanjutnya  dapat menambahkan vektor hewan air sebagai pembawa bakteri kolera.

## DAFTAR RUJUKAN
Anggaraditya,  B.  A.  (2015).  Menekan  Laju  Penyebaran  Kolera  di  Asia dengan 3SW (Sterilization, Sewage, Sources, and Water Purification). Intisari Sains Medis , 3 (1), 83 – 87. https://doi.org/10.15562/ism.v3i1.71 Basumatary,  C.,  Kaur,  R.,  &  Kaur,  S.  (2021).  Treatment  Strategies  Of Cholera:  A  Review. European  Journal  of  Translational  and  Clinical Medicine , 7 , 2020.
https://www.researchgate.net/publication/348555388_Treatment_S trategies_of_Cholera_A_Review
Blow, N. S., Salomon, R. N., Garrity, K., Reveillaud, I., Kopin, A., Jackson, F. R., & Watnick, P. I. (2005). Vibrio cholerae infection of Drosophila melanogaster mimics the human disease cholera. PLoS Pathogens , 1 (1),
0092 – 0098. https://doi.org/10.1371/journal.ppat.0010008
Brooks,  G.  F.  ,  K.  C.  C.  J.  S.  B.  S.  A.  M.  dan  T.  A.  M.  (2010). Medical Microbiology, Twenty-Sixth edition . McGraw-Hill Companies. Capasso, V., & Paveri-Fontana, S. L. (1979). A mathematical model for the 1973 cholera epidemic in the European Mediterranean region. Revue
d’épidémiologie et de Santé Publiqué , 27 (2), 121 – 132.
https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/538301/
Chitnis, N., Hyman, J. M., & Cushing, J. M. (2008). Determining important parameters in the spread of malaria through the sensitivity analysis of a  mathematical  model. Bulletin  of  Mathematical  Biology , 70 (5),  1272 –
1296. https://doi.org/10.1007/s11538-008-9299-0
Muhammad Manaqib, dkk/Vygotsky 4 (2) Agustus 2022, pp 79-92
P-ISSN: 2656-2286
Codeço, C. T. (2001). Endemic and epidemic dynamics of cholera: the role of  the  aquatic  reservoir. BMC  Infectious  Diseases , 1 (1),  1 – 14. https://doi.org/10.1186/1471-2334-1-1
Diekmann,  O.,  Heesterbeek,  J.  A.  P.,  &  Roberts,  M.  G.  (2009).  The construction of next-generation matrices for compartmental epidemic models. Journal of the Royal Society, Interface / the Royal Society , 7 , 873 – 885. https://doi.org/10.1098/rsif.2009.0386
Dolstad, H. A., Franke, M. F., Vissieres, K., Jerome, J.-G., Ternier, R., & Ivers, L. C. (2021). Factors associated with diarrheal disease among children aged 1 – 5 years in a cholera epidemic in rural Haiti. PLOS Neglected Tropical Diseases , 15 (10), e0009726-. https://doi.org/10.1371/journal.pntd.0009726
Filary-Szczepanik,  M.  (2020).  The  discipline  in  the  times  of  Cholera.  In Global  Affairs (Vol.  6,  Issue  3,  pp.  243 – 246).  Taylor  &  Francis. https://doi.org/10.1080/23340460.2020.1842226
Ghosh,  M.,  Chandra,  P.,  Sinha,  P.,  &  Shukla,  J.  B.  (2004).  Modelling  the spread  of  carrier-dependent  infectious  diseases  with  environmental effect. Applied  Mathematics  and  Computation , 152 (2),  385 – 402. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(03)00564-2
Global  Health  Observatory  (GHO)  Data.  (2015). Cholera  Cases  Reported . Http://Www.Who.Int/Gho/Epidemic.Diseases/Cholera/Epidemic s_text/En/.
Khamesipour, F., Lankarani, K. B., Honarvar, B., & Kwenti, T. E. (2018). A systematic review of human pathogens carried by the housefly (Musca domestica L.). BMC Public Health , 18 (1).
https://doi.org/10.1186/s12889-018-5934-3
Lawley,  R.,  Curtis,  L.,  &  Davis,  J.  (2012). The  food  safety  hazard  guidebook . Royal Society of Chemistry.
Luquero, F., Rondy, M., Boncy, J., Munger, A., Mekaoui, H., Rymshaw, E., Page,  A.-L.,  Toure,  B.,  Degail,  M.  A.,  Nicolas,  S.,  Grandesso,  F., Ginsbourger,  M.,  Polonsky,  J.,  Alberti,  K.,  Terzian,  M.,  Olson,  D., Porten,  K.,  &  Ciglenecki,  I.  (2016).  Mortality  Rates  during  Cholera Epidemic, Haiti, 2010 – 2011. Emerging Infectious Disease Journal , 22 (3), 410. https://doi.org/10.3201/eid2203.141970
Manaqib, M., Fauziah, I., & Mujiyanti, M. (2019). Mathematical Model for MERS-COV  Disease  Transmission  with  Medical  Mask  Usage  and Vaccination. InPrime:  Indonesian  Journal  of  Pure  and  Applied
Mathematics , 1 (2), 30 – 42.
https://doi.org/10.15408/inprime.v1i2.13553
Marquez, J. G., &  Krafsur,  E. S. (2002). Gene flow among  geographically diverse  housefly  populations  (Musca  domestica  L.):  a  worldwide survey of mitochondrial diversity. Journal of Heredity , 93 (4), 254 – 259. https://doi.org/10.1093/jhered/93.4.254
Najar, A. M., Sudarsana, I. W., Albab, M. U., & Andhika, S. (2022). Machine Learning untuk Identifikasi Jenis Kanker Darah (Leukemia). Vygotsky: Jurnal  Pendidikan  Matematika  Dan  Matematika , 4 (1),  47 – 56.
P-ISSN: 2656-2286
Vygotsky : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika
https://doi.org/10.30736/voj.v4i2.539
https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.493 Perko, L. (2000). Differential Equations and Dynamical Systems . Springer.
Posny,  D.,  Wang,  J.,  Mukandavire,  Z.,  &  Modnak,  C.  (2015).  Analyzing transmission  dynamics  of  cholera  with  public  health  interventions.
Mathematical Biosciences , 264 , 38 – 53. https://doi.org/10.1016/j.mbs.2015.03.006 Pour abbas, E., d’Onofrio, A., & Rafanelli, M. (2001). A method to estimate the incidence of communicable diseases under seasonal fluctuations with  application  to  cholera. Applied  Mathematics  and  Computation ,
118 (2 – 3), 161 – 174. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(99)00212-X
Puspandari, N., Sariadji, K., & Wati, M. (2010). IDENTIFIKASI PENYEBAB KEJADIAN LUAR BIASA KOLERA DI PAPUA TERKAIT KONTAK JENAZAH DAN SANITASI. Widyariset , 13 (2).
https://doi.org/http://dx.doi.org/10.14203/widyariset.13.2.2010.69
-74
Resmawan,  R.,  &  Yahya,  L.  (2020).  Sensitifity  Analysis  of  Mathematical Model  of  Coronavirus  Disease  (COVID-19)  Transmission. Cauchy ,
6 (2), 91. https://doi.org/10.18860/ca.v6i2.9165
Robertson,  S.  L.,  Eisenberg,  M.  C.,  &  Tien,  J.  H.  (2013).  Heterogeneity  in multiple transmission pathways: Modelling the spread of cholera and other waterborne disease in networks with a common water source.
Journal of Biological Dynamics , 7 (1), 254 – 275.
https://doi.org/10.1080/17513758.2013.853844
Silva,  A.  J.,  &  Benitez,  J.  A.  (2016).  Vibrio  cholerae  Biofilms  and  Cholera Pathogenesis. PLOS  Neglected  Tropical  Diseases , 10 (2),  e0004330-. https://doi.org/10.1371/journal.pntd.0004330
Tien,  J.  H.,  &  Earn,  D.  J.  D.  (2010).  Multiple  transmission  pathways  and disease  dynamics  in  a  waterborne  pathogen  model. Bulletin  of Mathematical Biology , 72 (6), 1506 – 1533.
https://doi.org/10.1007/s11538-010-9507-6
Van den Driessche, P., & Watmough, J. (2002). Reproduction numbers and sub-threshold  endemic  equilibria  for  compartmental  models  of disease  transmission. Mathematical  Biosciences , 180 (1 – 2),  29 – 48. https://doi.org/10.1016/S0025-5564(02)00108-6 Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and
Chaos (second). Springer. World Health Rangkings. (2015). Health Profile: Haiti . Http://Www.Worldlifeexpectancy.Com/Country-Health-
Profile/Haiti.
Yahya,  L.,  Nurwan,  N.,  &  Resmawan,  R.  (2022).  Menentukan  Waktu Optimal untuk Pembuatan Kerajinan Sulaman Karawo Menggunakan Aljabar  Max-Plus. Vygotsky:  Jurnal  Pendidikan  Matematika  Dan Matematika , 4 (1), 23 – 34. https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.442