## Simulasi Sebaran Abu Pabrik Kapur
Menggunakan Metode Beda Hingga
Kresna Oktafianto 1 , Ahmad Zaenal Arifin 2 , Nazilatul Fatihah 3 , Ridho Awanda 4
1 Prodi Matematika Universitas PGRI Ronggolawe, kresnaoktafianto@unirow.ac.id
2 Prodi Matematika Universitas PGRI Ronggolawe, az_arifin@unirow.ac.id
3 Prodi Matematika Universitas PGRI Ronggolawe, fatihahnazilatul@gmail.com
4 Prodi Matematika Universitas PGRI Ronggolawe, ridhoawanda17@gmail.com
DOI 10.31102/zeta.2019.4.2.34-39

## ABSTRACT
Air pollution is one of the problems that needs to be resolved quickly because its impact is  very  dangerous  for  human  life,  especially  it  can  interfere  with  health  of  the  respiratory system.  One  source  of  air  pollution  is  pollutants  arising  from  burning  limestone.  In  Tuban Regency, East Java, there are many factories that carry out limestone burning activities, most of the factories are spread in the area of Plumpang and Rengel districts. Therefore the research team  conducted  research  on  the  spread  of  lime  mill  ash  using  the  Difference  method.  The research  resulted  in  several  conclusions,  namely:  1)  The  area  affected  by  an  active  ring covering an area of 72.5 m 2) Factors affecting the affected area are wind speed, wind direction, and the content of pollutants 3) Distribution of pollutants is limited in time and a certain area, as proven by a long time the concentration of pollutants will decrease.
Keywords: Air Pollution, Finite Difference Method, Limestone Factory

## ABSTRAK
Pencemaran udara adalah salah satu masalah yang perlu cepat diselesaikan karena dampaknya  yang  sangat  berbahaya  bagi  kehidupan  manusia,  terutama  dapat  mengganggu kesehatan pada sistem pernafasan. Salah satu sumber dari pencemaran udara yaitu polutan yang  ditimbulkan  dari  pembakaran  batu  kapur.  Di  kabupaten  Tuban  Jawa  Timur  terdapat banyak  pabrik  yang    melakukan  aktifitas  pembakaran  batu  kapur,  sebagian  besar  pabrik tersebar pada daerah kecamatan Plumpang dan kecamatan Rengel. Oleh karena itu tim peneliti melakukan  penelitian  tentang  penyebaran  abu  pabrik  kapur  dengan  menggunakan  metode Beda Hingga. Dari penelitian tersebut menghasilkan beberapa kesimpulan yaitu : 1) Daerah yang terdampak oleh satu jubung aktif seluas 72,5 m 2) Faktor yang berpengaruh pada luas area  terdampak  adalah  kecepatan  angin,  arah  angin,  serta  kandungan  dari  polutan  3) Penyebaran polutan terbatas pada waktu dan luas daerah tertentu, terbukti dengan waktu yang lama konsentrasi polutan akan semakin menurun.
Kata Kunci : Metode Beda Hingga, Pabrik Kapur, Pencemaran Udara

## 1. PENDAHULUAN
Udara adalah salah satu kebutuhan bagi manusia yang  sangat  perlu  mendapatkan  perhatian  khusus. Kualitas  udara  dapat  terganggu  karena  adanya pencemaran  udara  yang  disebabkan  oleh  aktivitas manusia. Salah satu bentuk pencemaran udara adalah debu  atau  polutan  bertebaran  yang  berasal  dari pabrik-pabrik  industri.  Berdasarkan  pertumbuhan industri  yang  semakin  meningkat  maka  debu  yang ditimbulkan akan semakin bertambah terutama pada industri pabrik kapur.
Pabrik  kapur  bertempat  di  beberapa  provinsi  di Indonesia  yang  berkembang  dengan  begitu  pesat, salah  satu  provinsi  adalah  Jawa  Timur.  Posisi geografis  Jawa  Timur  yang  sangat  strategis menempatkan  daerah  ini  sebagai  salah  satu  kutub pertumbuhan  ekonomi  penting  di  Indonesia, khususnya  untuk  wilayah  Indonesia  bagian  timur. Salah satunya pada daerah Tuban Jawa Timur.
Pabrik  kapur  yang  terletak  di  Tuban,  sebagian besar  tersebar  di  daerah  kecamatan  Plumpang  dan kecamatan  Rengel,  diantaranya  PT.  Pentawira  dan PT.  Timbul  Persada.  Keduanya  merupakan  pabrik dengan  ijin  yang  jelas,  selain  itu  terdapat  jubung- jubung milik warga yang tidak memiliki ijin. Adanya jubung-jubung ini sangat memberikan dampak yang serius  pada  masyarakat  sekitar.  Hal  ini  disebabkan cerobong asap yang keluar menimbulkan polusi yang sangat mengganggu kesehatan masyarakat.
Polusi yang dihasilkan oleh jubung pabrik kapur ini sangat meresahkan warga. Hal ini lantaran jubung beroperasi setiap hari dan mengeluarkan polutan yang pekat.  Dampak  yang  terlihat  dari  adanya  pabrik  ini adalah  rumah-rumah  warga,  jalan  raya,  serta tumbuhan  tertutupi  oleh  debu  berwana  putih  dan tebal. Polutan yang dihasilkan mengandung gas  dan juga zat kimia yang berbahaya yaitu CO X , NO X (total konsentrasi dari NO dan NO 2 ), SO X , SPM ( suspended particulate  matter ),  O X, dan  berbagai  logam  berat (Budiyono A, 2001).
Dari  permasalahan  tersebut  perlu  adanya  upaya mengurangi  penyebaran  debu.  Dengan  mengetahui besar  konsentrasi  dan  sebaran  debu  dari  emisi  gas pembuangan  industri,  dapat  diprediksi  tingkat kualitas  udara  di  suatu  wilayah  sehingga  dapat diambil  tindakan  preventif  oleh  pihak-pihak  terkait, seperti  pemerintah  (Jamaluddin,  2012).  Untuk mengetahui  berapa  besar  konsentrasi  polutan  yang diakibatkan  oleh  emisi  gas  buang  kendaraan  dan apakah  konsentrasi  pada  lokasi  dan  waktu  tertentu sudah  melewati  ambang  batas  yang  ditentukan  atau belum  serta  proyeksinya  ke  depan  diperlukan  suatu penelitian.  Oleh  karena  itu  pada  penelitian  ini dilakukan  simulasi  model  penyebaran  polutan  di suatu tempat yang terintegrasi waktu dengan metode numerik beda hingga ( finite-difference ) (Arifin, A. Z. dkk, 2019).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Pencemaran Udara
Pencemaran  udara  adalah  kehadiran  satu  atau lebih substansi fisik, kimia, atau biologi di atmosfer dalam  jumlah  yang  dapat  membahayakan kesehatan manusia,  hewan,  dan  tumbuhan,  mengganggu estestika  dan  kenyamanan,  atau  merusak  properti (Iqbal, 2019). Dalam kelangsungan hidup tumbuhan, hewan  dan  manusia  udara  adalah  suatu  komponen dari kehidupan yang paling penting (Romon, O. dkk, 2016).  Dalam  UU  RI  Nomor  41  Tahun  1999 mengenai  Pengendalian  Pencemaran  Udara  yang menyebutkan  bahwa  pencemaran  udara  merupakan proses  dimasukkan  atau  masuknya  suatu  zat  energi, yang  berasal  dari  komponen  lain  ke  udara  karena kegiatan  manusia,  yang  menyebabkan  mutu  udara turun hingga ketingkat tertentu yang membuat udara tersebut tidak mampu memenuhi fungsinya (Romon, O.  dkk,  2016)  Pencemaran  udara  bersumber  dari faktor  alami  seperti  seperti  letusan  gunung  berapi, kebakaran hutan alami, dan pencemaran udara akibat dari  gas-gas  alam,  maupun  faktor  antropogenik seperti industri dan transportasi (Soedomo, 2001).

## Gambar 1. Aktifitas Pembakaran Batu Kapur

## 2.2 Metode Beda Hingga
Metode  beda  hingga  adalah  metode  numerik yang  umum  digunakan  untuk  menyelesaikan persoalan  teknis  dan  problem  matematis  dari  suatu gejala  fisis.  Prinsipnya  adalah  mengganti  turunan yang  ada  pada  persamaan  differensial  dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor.
Beberapa macam skema differensi beda hingga akan dijelaskan sebagai berikut (Supriyatna, 2008):
• Beda Hingga Skema Maju
𝝏ƒ 𝝏𝒕 = ƒ𝒊+𝟏 𝒏+𝟏−ƒ 𝒊+𝟏𝒏 𝒇 ∆𝒕 • Beda Hingga Skema Mundur 𝝏ƒ 𝝏𝒕 = ƒ𝒊 𝒏+𝟏−ƒ 𝒊 𝒏 ∆𝒕 • Beda Hingga Skema Tengah (ruang) 𝝏ƒ 𝝏𝒕 = ƒ𝒊+𝟏 𝒏+𝟏−𝟐ƒ 𝒊 𝒏+𝟏+𝒇 𝒊 𝒏 𝟐∆𝒕
3. HASIL PENELITIAN
3.1  Membentuk  Model  Numerik  Metode  Beda Hingga
Metode  beda  hingga  dapat  diterapkan  dalam penyelesaian persamaan pada suatu analisis tekanan, transfer  panas,  pencemaran  udara  dan  persamaan gelombang.  Dalam  metode  beda  hingga  konsep utama melalui ekspansi Taylor, dimana gradien atau suku  differensial  orde  satu  ( ∇ )  dan  differensial gradien  atau  suku  differensial  orde  dua  ( ∇ 2 )  dapat dicari dengan suatu pendekatan (Supriyatna, 2008).
Pendekatan  suku  differensial  orde  1dengan  beda maju:
𝑑𝐶 𝑑𝑥 ≅ 𝐶𝑖+1,𝑗−𝐶𝑖,𝑗 ℎ dan 𝑑𝐶 𝑑𝑦 ≅ 𝐶𝑖,𝑗+1−𝐶𝑖,𝑗 𝑘 𝑑𝐶 𝑑𝑡 ≅ 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 − 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚

## ∆𝑡
Pendekatan suku differensial orde 2: ∂2C ∂x2 ≅ 𝐶𝑖+1,𝑗−2𝐶𝑖,𝑗+𝐶𝑖−1,𝑗
ℎ2
dan ∂2C
∂y2 ≅ 𝐶𝑖,𝑗+1−2𝐶𝑖,𝑗+𝐶𝑖,𝑗−1
𝑘2 (1)
Dengan  menerapkan  pendekatan  beda-hingga untuk suku differensial orde 1 dan 2, persamaan (1) berubah menjadi:
𝐶𝑖,𝑗 𝑚+1−𝐶 𝑖,𝑗 𝑚
∆𝑡 = −𝑉 𝑥 𝐶𝑖+1,𝑗−𝐶𝑖,𝑗 ℎ − 𝑉 𝑦 𝐶𝑖,𝑗+1−𝐶𝑖,𝑗 𝑘 + 𝐷 𝐶𝑖+1,𝑗−2𝐶𝑖,𝑗+𝐶𝑖−1,𝑗 ℎ2 + 𝐷 𝐶𝑖,𝑗+1−2𝐶𝑖,𝑗+𝐶𝑖,𝑗−1 𝑘2 + 𝑄 (2)
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 − 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚 = −𝑉 𝑥 ∆𝑡 ℎ [𝐶 𝑖+1,𝑗 − 𝐶 𝑖,𝑗 ] −
𝑉 𝑦 ∆𝑡 𝑘 [𝐶 𝑖,𝑗+1 − 𝐶 𝑖,𝑗 ] + 𝐷 ∆𝑡 ℎ2 [𝐶 𝑖+1,𝑗 − 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖−1,𝑗 ] + 𝐷 ∆𝑡 𝑘2 [𝐶 𝑖,𝑗+1 −   2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖,𝑗−1 ] + 𝑄. ∆𝑡 (3)
Karena digunakan lebar grid yang sama (k = h).
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 = 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚 − 𝑉 𝑥 ∆𝑡 ℎ [𝐶 𝑖+1,𝑗 − 𝐶 𝑖,𝑗 −   𝑉 𝑦 ∆𝑡 𝑘 [𝐶 𝑖,𝑗+1 − 𝐶 𝑖,𝑗 ] +
𝐷 ∆𝑡 ℎ 2 + 𝐷 ∆𝑡 𝑘 2 [𝐶 𝑖,𝑗+1 − 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖,𝑗−1 ] + 𝑄. ∆𝑡 (4)
Misal:
𝜆 𝑥 =   𝑉 𝑥 ∆𝑡 ℎ ; 𝜆 𝑦 =   𝑉 𝑦 ∆𝑡 𝑘 ; 𝛼 𝑥 =  𝐷 ∆𝑡 ℎ 2 ; 𝛼 𝑦 =  𝐷 ∆𝑡 𝑘 2
Maka diperoleh:
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 = 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚 − 𝜆 𝑥 (𝐶 𝑖+1,𝑗 − 𝐶 𝑖,𝑗 ) − 𝜆 𝑦 (𝐶 𝑖,𝑗+1 − 𝐶 𝑖,𝑗 ) +   𝛼 𝑥 (𝐶 𝑖+1,𝑗 − 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖−1,𝑗 ) + 𝛼 𝑦 (𝐶 𝑖,𝑗+1 − 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖,𝑗−1 ) (5)
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 = 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚 − 𝜆 𝑥 𝐶 𝑖+1,𝑗 + 𝜆 𝑥 𝐶 𝑖,𝑗 − 𝜆 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗+1 +
𝜆 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼 𝑥 𝐶 𝑖+1,𝑗 − 𝛼 𝑥 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼 𝑥 𝐶 𝑖−1,𝑗 + 𝛼 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗+1 − 𝛼 𝑦 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗−1 (6)
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 = 𝐶 𝑖,𝑗 𝑚 + 𝜆 𝑥 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝜆 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗 − 𝛼 𝑥 2𝐶 𝑖,𝑗 − 𝛼 𝑦 2𝐶 𝑖,𝑗 − 𝜆 𝑥 𝐶 𝑖+1,𝑗 + 𝛼 𝑥 𝐶 𝑖+1,𝑗 + 𝛼 𝑥 𝐶 𝑖−1,𝑗 −
𝜆 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗+1 + 𝛼 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗+1 + 𝛼 𝑦 𝐶 𝑖,𝑗−1 (7)
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 = 𝐶 𝑖,𝑗 (1 + 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 − 2𝛼 𝑥 − 2𝛼 𝑦 ) +
𝐶 𝑖+1,𝑗 (−𝜆 𝑥 + 𝛼 𝑥 ) + 𝐶 𝑖−1,𝑗 (𝛼 𝑥 ) + 𝐶 𝑖,𝑗+1 (−𝜆 𝑦 + 𝛼 𝑦 ) + 𝐶 𝑖,𝑗−1 ( 𝛼 𝑦 )                                                  (8)
Jika, 𝛼 1 = 𝛼 𝑥 − 𝜆 𝑥 ; 𝛼 2 = 𝛼 𝑥 ; 𝛽 1 = 𝛼 𝑦 − 𝜆 𝑦 ;
𝛽 2 = 𝛼 𝑦 ; 𝛾 =  1 + 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 − 2𝛼 𝑥 − 2𝛼 𝑦
Maka,
𝐶 𝑖,𝑗 𝑚+1 = 𝐶 𝑖,𝑗 . 𝛾 + 𝐶 𝑖+1,𝑗 . 𝛼 1 + 𝐶 𝑖−1,𝑗 . 𝛼 2 +
𝐶 𝑖,𝑗+1 . 𝛽 1 + 𝐶 𝑖,𝑗−1 . 𝛽 2 (9)
Misal, i = 1, j = 1
Disubstitusikan ke persamaan (9), diperoleh: 𝐶 1,1 = 𝐶 1,1 . 𝛾 + 𝐶 2,1 . 𝛼 1 + 0 + 𝐶 1,2 . 𝛽 1 + 0
Misal, i= 2, j = 1 Disubstitusikan ke persamaan (9), diperoleh:
𝐶 2,1 = 𝐶 2,1 . 𝛾 + 𝐶 3,1 . 𝛼 1 + 𝐶 1,1 . 𝛼 2 + 𝐶 2,2 . 𝛽 1 + 0
Dilanjutkan sampai matriks 𝑚  ×  𝑛 , hingga diperoleh matriks beda hingga sebagai berikut:
[ 𝛾 𝛼 1 𝛼 2 𝛾 0 𝛼 2 0 0 0 0 𝛽 2 0 0 𝛽 2 0 0
0 ⋱ 0 0 0 0
𝛼 1 0 𝛾 𝛼 1 𝛼 2 𝛾
0 ⋱ 0 0 0 0 ⋱ 0 0 𝛽 2 0 0 0 𝛽 1
0 0 0 0 𝛼 1 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ 0 0 0 0
𝛽 2 0 0 0 𝛽 1 0 0 ⋱ 0 0 0 0 ⋱ 0 ⋱ ⋱ 𝛼 2 𝛾 0 𝛼 2 0 0
0 0
⋱ 0 0 0 𝛽 1 0 0 𝛽 1 0 0 0 0 𝛼 1 0 𝛾 𝛼 1 𝛼 2 𝛾 ] [ 𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐶 𝑛 ] 𝑚+1 = [ 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏 𝑛 ]
Penyelesaiannya  dapat  menggunakan  metode numerik. Persamaan model difusi-adveksi diselesaikan  dengan  metode  beda  hingga,  yang menghasilkan suatu solusi persamaan sebagai berikut (Supriyatna, 2008):

## 1. Adveksi
Dari persamaan (4) diambil bagian adveksi, 𝐶 𝑥,𝑗 = 𝐶 𝑖,𝑗 − 𝑉 𝑥 (𝐶 𝑖+1,𝑗 − 𝐶 𝑖,𝑗 ) ,  perubahan  di 𝑖 − 1 . Karena  yang  diubah 𝑖 − 1 ,  maka  menjadi  sebagai berikut:
𝐶 𝑥,𝑗 = 𝐶 𝑖,𝑗 − 𝑉 𝑥 . 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝑉 𝑥 . 𝐶 𝑖−1,𝑗 (10)
Misalkan, 𝑉 𝑥 = 𝛼 𝑥 . Maka
𝐶 𝑥,𝑗 = (1 − 𝛼 𝑥 )𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼 𝑥 . 𝐶 𝑖−1,𝑗 (11)
𝑗 diganti dengan ( 𝑗 − 1 ), sehingga
𝐶 𝑥,𝑗−1 = (1 − 𝛼 𝑥 )𝐶 𝑖,𝑗−1 + 𝛼 𝑥 . 𝐶 𝑖−1,𝑗−1 (12)
𝐶 𝑥,𝑦 = 𝐶 𝑥,𝑗 − 𝑉 𝑦 (𝐶 𝑥,𝑗+1 − 𝐶 𝑥,𝑗 )
Diubah ke (𝑗 − 1) , sehingga
𝐶 𝑥,𝑦 = 𝐶 𝑥,𝑗 − 𝑉 𝑦 (𝐶 𝑥,𝑗 − 𝐶 𝑥,𝑗−1 ) (13)
Misalkan, 𝑉 𝑦 = 𝛼 𝑦 . Maka
𝐶 𝑥,𝑦 = (1 − 𝛼 𝑦 )(𝐶 𝑥,𝑗 − 𝐶 𝑥,𝑗−1 ) (14)
2. Difusi
Langkah  difusi  pada  Euler-Lagrange  mencari konsentrasi titik saat tn+1 dengan  persamaan berikut (Supriyatna, 2008):
|𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛+1 ), 𝑡 𝑛+1 | −   ∆𝑡|∇. (𝐷∇𝐶) +
𝑄|| 𝑥𝑖(𝑡𝑛+1),𝑡𝑛+1 = 𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛 ), 𝑡 𝑛 | (15)
Dengan nilai konsentrasi pada 𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛 ), 𝑡 𝑛 | telah didapatkan pada langkah adveksi. Hasil dari langkah difusi ini yang digunakan untuk menentukan nilai dari 𝑡 𝑛+1 sampai 𝑡 𝑛+2 . Lalu  diasumsikan  bahwa  nilai koefisien difusi D tidak mengalami perubahan lokasi serta  waktunya,  maka  persamaan  (15)  dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛+1 ), 𝑡 𝑛+1 | = 𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛 ), 𝑡 𝑛 | + ∆𝑡|∇. (𝐷∇𝐶) + 𝑄| (16)
𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛+1 ), 𝑡 𝑛+1 | = 𝐶|𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 (𝑡 𝑛 ), 𝑡 𝑛 | + ∆𝑡|D∇ 2 𝐶 + 𝑄| (17)
Dari persamaan (7) diambil bagian difusi,
𝐶 𝑖,𝑗 = 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐷 ∆𝑡 ℎ2 [𝐶 𝑖+1,𝑗 − 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖−1,𝑗 ] +
𝐷 ∆𝑡 ℎ2 [𝐶 𝑖,𝑗+1 − 2𝐶 𝑖,𝑗 + 𝐶 𝑖,𝑗−1 ] (18)
Karena lebar grid yang digunakan sama, maka ( 𝑘 = ℎ ), sehingga dapat dimisalkan:
𝐷 ∆𝑡 ℎ2 =  𝐷 ∆𝑡 ℎ2 = 𝛼
Maka diperoleh:
𝐶 𝑖,𝑗 = 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼. 𝐶 𝑖+1,𝑗 − 2𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼. 𝐶 𝑖−1,𝑗 + 𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗+1 − 2𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗 + 𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗−1
𝐶 𝑖,𝑗 = (1 − 2𝛼 − 2𝛼)𝐶 𝑖,𝑗 +  𝛼. 𝐶 𝑖+1,𝑗 +  𝛼. 𝐶 𝑖−1,𝑗 + 𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗+1 + 𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗−1
𝐶 𝑖,𝑗 = (1 − 4𝛼)𝐶 𝑖,𝑗 +  𝛼. 𝐶 𝑖+1,𝑗 +  𝛼. 𝐶 𝑖−1,𝑗 +
𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗+1 + 𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗−1
(19)
Misalkan γ = (1 − 4𝛼) ,  maka  diperoleh  persamaan difusi:
𝐶 𝑖,𝑗 = γ. 𝐶 𝑖,𝑗 +  𝛼. 𝐶 𝑖+1,𝑗 +  𝛼. 𝐶 𝑖−1,𝑗 + 𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗+1 +
𝛼. 𝐶 𝑖,𝑗−1
(20)

## 3. Interpolasi Bilinier
Intrapolasi  bilinier  digunakan  pada  langkah adveksi  untuk  mengetahui  nilai  konsentrasi  polutan pada  titik  asal  jalur  transport.  Adapun  persamaan yang  digunakan  pada  interpolasi  adalah  sebagai berikut (Supriyatna, 2008).
𝑎 𝑥 = (𝑖−𝑥) ℎ ,   𝑎 𝑦 = (𝑗−𝑦) ℎ (21)
𝐶 𝑥,𝑗 =   𝛼 𝑥 𝐶 𝑖−1,𝑗 + (1 −   𝛼 𝑥 )𝐶 𝑖,𝑗 (22)
𝐶 𝑥,𝑗−1 =   𝛼 𝑥 𝐶 𝑖−1,𝑗−1 + (1 −   𝛼 𝑥 )𝐶 𝑖,𝑗−1 (23)
𝐶 𝑥,𝑦 =   𝛼 𝑦 𝐶 𝑥,𝑗 + (1 −   𝛼 𝑦 )𝐶 𝑥,𝑗−1 (24)

## 3.2 Perhitungan Konsentrasi dengan Adveksi
Perhitungan konsentrasi dengan adveksi diawali dengan meninjau persamaan (22). Persamaan tersebut digunakan  untuk  kecepatan  yang  konstan  terhadap waktu. Yang mana jarak tempuh dari partikel polutan sebesar ∆𝑥 =   𝑣 𝑥 ∆𝑡 dan  untuk  waktu  t n+1 partikel berjalan sejauh ∆𝑥 . Konsentrasi karena faktor adveksi untuk node i didapatkan dengan mininjau ulang pada titik awal partikel saat waktu ke t n dikarenakan titik (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 )|𝑡 𝑛 tidak  selalu  berada  pada  node  tertentu, maka  tidak  jarang  dilakukan  proses  interpolasi. Metode interpolasi bilinear adalah metode interpolasi yang  digunakan  dalam  penentuan  konsentrasi menggunakan  persamaan  pada  metode  interpolasi bilinear. Jika saat proses meninjau ulang mendapatkan  hasil  titik  diluar  daerah  yang  diamati, maka konsentrasinya sama dengan titik perpotongan diantara jalur polutan dengan batasnya (dimana untuk hal ini memiliki nilai 0).

## 3.3 Perhitungan Laju Konsentrasi Menggunakan Difusi
Perhitungan  laju  konsentrasi  dapat  dilakukan dengan  mensubtitusikan  nilai  yang  dihasilkan  pada perhitungan  dengan  menggunakan  adveksi  pada persamaan  (24)  dan  mensubtitusikan  hasilnya  ke dalam proses difusi pada persamaan (20).

## 3.4 Simulasi
Langkah  awal  dalam  melakukan  simulasi adalah  dengan  menginputkan  parameter-parameter yang  digunakan  dalam  proses  penyebaran  polutan. Parameter-parameter yang digunakan dalam simulasi penyebaran polutan adalah sebagai berikut

## Tabel 1. Parameter pada Simulasi Penyebaran
Polutan parameter Nilai Kecepataan angin 1 Sudut tiupan angin 60 Koefisien dispersi 0.5 Dimensi grid 10 Waktu 3600 Perpindahan waktu (dt) 15 Beban emisi 39.1

## Sumber: Survei Maret 2019
Setelah  dilakukan  input  parameter-parameter penyebaran  polutan,  langkah  selanjutnya  adalah dengan  menampilkan  grafik  kontur  pusat  polutan dengan  lama  waktu  0  menit  yang  artinya  belum terjadi  penyebaran  di  sekitar  area  abu  pabrik kapur. Dalam  hal  ini  ditunjukkan  pada  simulasi    grafik kontur pusat polutan terhadap x dan y pada koordinat (20,20) .  Grafik  kontur  pusat  polutan  dapat  dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Kontur Pusat Polutan
Simulasi  selanjutnya  dilakukan  dengan    lama waktu 15 menit  dengan  kecepatan  angin 0.5 𝑚/𝑠 menghasilkan  penyebaran  abu  atau  polutan  dari jubung  pabrik  kapur  sampai  jarak  72.5  m  dengan konsentrasi  emisi  sangat  pekat    yang  berada  pada range 0.1 − 0.08 𝜇𝑔/𝑚 3 . Untuk  konsentrasi  emisi pekat  dengan  range 0.07 − 0.05 𝜇𝑔/𝑚 3 menyebar sampai  pada  jarak  lebih  dari  20  meter  dari  pusat kontur polutan.  Sedangkan konsentrasi emisi kurang pekat  dengan  range 0.04 − 0.02 𝜇𝑔/𝑚 3 menyebar sampai  pada  jarak  lebih  dari  50  meter  dari  pusat kontur  polutan.  Semakin  jauh  jarak  penyebaran dengan pusat kontur polutan maka konsentrasi emisi semakin  berkurang  yaitu  dengan  range 0.02 − 0.001 𝜇𝑔/𝑚 3 .  Grafik  penyebaran  polutan  dalam waktu 15 menit dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Penyebaran Polutan saat t = 15 menit
Selanjutnya dilakukan simulasi dengan kecepatan  angin 2.1 𝑚/𝑠 menghasilkan  penyebaran abu  atau  polutan  dari  jubung  pabrik  kapur  hanya berjarak 50 m dengan konsentrasi emisi sangat pekat yang  berada  pada  range 0.1 − 0.08 𝜇𝑔/𝑚 3 .  Untuk konsentrasi  emisi  pekat  dengan  range 0.07 − 0.05 𝜇𝑔/𝑚 3 menyebar  sampai  pada  jarak  15-60 meter  dari  pusat  kontur  polutan.    Sedangkan konsentrasi emisi kurang pekat dengan range 0.04 − 0.02 𝜇𝑔/𝑚 3 menyebar  sampai  pada  jarak  60-80 meter dari pusat kontur polutan. Semakin jauh jarak penyebaran  dengan  pusat  kontur  polutan  maka konsentrasi  emisi  semakin  berkurang  yaitu  dengan range 0.02 − 0.001 𝜇𝑔/𝑚 3 .  Grafik  penyebaran polutan  dalam  waktu  30  menit  dapat  dilihat  pada Gambar 4.
Gambar 4. Penyebaran Polutan saat t = 30 menit
Terlihat  bahwa  konsentrasi  polutan  semakin lama  semakin  menyebar  dan  nilai  konsentrasi semakin  kecil  karena  bertambahnya  waktu. Sedangkan  faktor  yang  mempengaruhi  luas  area terdampak  adanya  abu  atau  polutan  pabrik  kapur yaitu kecepatan angin yang salah satunya arah angin, serta konsentrasi emisi polutan.

## 4. KESIMPULAN
Daerah yang terdampak oleh satu jubung pabrik kapur aktif seluas 72,5 meter. Dari penelitian tersebut terdapat  beberapa  faktor  yang  mempengaruhi  pada luas area yang terdampak yaitu kecepatan angin, arah angin,  serta  kandungan  dari  polutan.  Penyebaran polutan terbatas pada waktu dan luas daerah tertentu, terbukti dengan waktu yang lama konsentrasi polutan akan semakin menurun.

## DAFTAR PUSTAKA
Arifin,  A.  Z.  (2019).  Sebaran  Debu  Jubung  Pabrik Kapur  dengan Gaussian  Plume.  Journal  Math Vision , Vol. 01, No. 02 (2019), pp. 27-30.
Budiyono,    A. (2001).  Pencemaran Udara:  Dampak Pencemaran  Udara  pada  Lingkungan , Berita Dirgantara Majalah Ilmiah Semi Populer. Vol.
2 No. 1 Maret 2001, pp. 21-27.
Iqbal. (2019). Pencemaran Udara. Diakses tanggal
10 Oktober 2019.
Jamaluddin, D. (2012). Penggunaan Metode Numerik Beda  Hingga  untuk  Penyelesaian  Persamaan Model  Sebaran  Pencemaran  Udara  (NO 2 ).
Jurnal  Materi  dan  Pendidikan  Fisika ,  pp.42- 44.
Romon, O., Aly, S.H., Runtulalo, D. (2016). Analisis
Penyebaran Polutan (CO 2 ) Kendaraan
Bermotor  Berbasis  Model  Dispersi  Gauss . Program  Studi  Teknik  Lingkungan,  Jurusan Sipil Fakultas Teknik Universitas Hasanuddin.
Soedomo. (2001). Pencemaran Udara . Bandung.
Supriyatna,  N.  (2008). Model  Simulasi  Penyebaran Polutan  dengan  Pendekatan  Beda  Hingga . Tesis,  Sekolah  Pascasarjana  Institut  Pertanian Bogor.