Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 1, Mei 2021, 71-78 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i1.6690

## Model Kredibilitas Bühlmann dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif-Lindley
Ikhsan Maulidi 1 *, Vina Apriliani 2
1 Jurusan Matematika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Indonesia 2 Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Islam Negeri Ar-Raniry, Banda Aceh, Indonesia e-mail : ikhsanmaulidi@unsyiah.ac.id
Diajukan: 7 Maret 2020,  Diperbaiki: 19 Mei 2020, Diterima:22 April 2021

## Abstrak
Dalam artikel ini, kami mengembangkan model kredibilitas Bühlmann  parametrik dengan frekuensi klaim diasumsikan mengikuti distribusi Binomial Negatif-Lindley. Penduga dari kuantitas dalam model Bühlmann  telah diberikan untuk distribusi ini dengan menggunakan metode yang umum digunakan dalam kredibilitas akurasi terbaik. Dugaan premi yang dihasilkan dalam model ini merupakan kombinasi linear dari klaim-klaim di masa lampau yang memberikan kuadrat kesalahan terkecil. Fungsi pembangkit momen dari distribusi Binomial-Lindley sangat bermanfaat dalam penentuan kuantitas Bühlmann  ini.  Simulasi penerapan model ini juga diberikan untuk data klaim yang sederhana beserta algoritma penerapannya. Meskipun memberikan nilai faktor kredibilitas yang cukup besar, namun model ini membutuhkan 𝑛𝑛 yang lebih besar untuk mendapatkan dugaan premi yang baik.
Kata Kunci :  Kredibilitas  Bühlmann, Binomial Negatif-Lindley,  Premi Kredibilitas, Metode Momen, Penduga Maksimum Likelihood.

## Abstract
In this article, we develop a parametric Bühlmann credibility model with the frequency of claims that are assumed following the Negative Binomial- Lindley distribution. The Estimator of the quantities in the Bühlmann model have provided for this distribution using methods commonly used in the greatest accuracy credibility. The premium estimation that resulted in this model is a linear combination of the past claims which gives a minimum error square. The momen function of the Binomial-Lindley distribution is very helpful to determine these Bühlmann’s quantities. Application simulations of this model are also given for simple data claims along with the algorithm. However, it gives an appreciable credibility factor value, this model requires many past claims to get a good premium estimation.
Keywords :  Buhlmann Credibility, Negative Binomial-Lindley, Credibility Premium, Momen Method, Maximum Likelihood Estimation.

## 1  Pendahuluan
Asuransi adalah suatu bentuk perjanjian dimana seorang tertanggung mengikatkan diri pada penanggung. Pihak yang mengalihkan risiko (tertanggung) akan membayar sejumlah biaya (disebut premi) kepada perusahaan asuransi yang menanggung risiko (penanggung). Penentuan premi yang baik akan selalu menjadi fokus dalam asuransi. Terdapat dua jenis premi dalam asuransi yaitu premi berbasis risiko dan premi yang tidak berbasis risiko. Setiap individu akan dikelompokkan ke dalam satu grup risiko yang sama pada premi berbasis risiko. Besarnya klaim

## 72 Model Kredibilitas Bühlmann dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif- Lindley
atau banyaknya klaim yang akan terjadi diasumsikan berupa peubah acak yang bergantung pada risiko.
Teori kredibilitas adalah salah satu alat yang dapat digunakan untuk memodelkan premi berbasi risiko ini [1]. Teori ini menilai klaim individu atau kelompok yang terjadi di masa lalu guna memprediksi premi di masa mendatang. Terdapat dua pendekatan dalam teori kredibilitas ini yaitu pendekatan kredibilitas klasik atau Limited Fluctuation Credibility dan pendekatan kredibilitas modern atau yang disebut Greatest Accurasy Credibility . Metode kredibilitas Bühlmann adalah metode kredibilitas yang masuk dalam kelompok metode kredibilitas akurasi terbaik. Metode ini didasarkan pada model linear dari data klaim masa lampau, dimana prediksi di masa mendatang diduga dengan kondisi klaim di masa lampau tersebut.
Nilai parameter-parameter dari model  Bühlmann  ini akan diestimasi. Pendekatan yang digunakan pun terdiri dari tiga pendekatan yaitu pendekatan nonparametrik, pendekatan semiparametrik, dan pendekatan parametrik. Data klaim di masa lampau dan ukuran risiko yang menggunakan pendekatan parametrik diasumsikan mengikuti suatu distribusi tertentu. Beberapa penelitian yang mengkaji model Bühlmann parametrik dapat dilihat dalam [2]–[4]. Dalam artikel ini, kami mengkaji model parametrik Bühlmann dengan klaim diasumsikan mengikuti distribusi Binomial Negatif-Lindley. Perumusan dugaan parameter akan diformulasikan dan diberikan contoh simulasi penerapan model yang dikaji tersebut.

## 2 Metode Penelitian

## 2.1 Model Binomial Negatif
Definisi 1. M isalkan 𝑋𝑋 adalah peubah acak diskret yang berdistribusi binomial negatif dengan parameter 𝑟𝑟 , 𝑝𝑝 dan dinotasikan dengan 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁𝑁𝑁 ( 𝑟𝑟 , 𝑝𝑝 ). Peubah acak 𝑋𝑋 memiliki fungsi  massa peluang sebagai berikut
𝑝𝑝 𝑋𝑋 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 ) = �𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 − 1 𝑥𝑥 � 𝑝𝑝 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑥𝑥 ,
dengan 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 1, 𝑟𝑟 > 0, dan 𝑥𝑥 = 0,1,2,3, … [5].
Nilai harapan dan momen kedua dari distribusi ini diberikan sebagai berikut
𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 ) = 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑝𝑝 ,                                                                              (1)
𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 2 ) = 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 )[1 + 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 )] 𝑝𝑝 2 .                                                 (2)
Distribusi ini mudah dipahami sebagai distribusi dari peubah acak jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke 𝑘𝑘 dengan peluang sukses setiap percobaan adalah 𝑝𝑝 . Dalam teori
aktuaria, distribusi ini sangat banyak digunakan untuk memodelkan banyaknya frekuensi klaim yang terjadi.
2.2  Model Distribusi Lindley
Definisi 2. Misalkan 𝛩𝛩 adalah peubah acak kontinu  yang berdistribusi Lindley dengan parameter 𝜃𝜃 dan dinotasikan 𝛩𝛩 ~ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑛𝑛𝐿𝐿 ( 𝜆𝜆 ), maka 𝛩𝛩 memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
𝑓𝑓 𝛩𝛩 ( 𝜃𝜃 ) = 𝜆𝜆 2 𝜆𝜆 + 1 (1 + 𝜃𝜃 ) 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 ,
dimana 𝜃𝜃 > 0 and 𝜆𝜆 > 0.
Distribusi  Lindley  lebih baik dibandingkan distribusi eksponensial  [6].  Salah satu karakteristik distribusi ini yang sangat berguna adalah fungsi pembangkit momen yang diberikan dalam Lemma 3 berikut ini.
Lemma 3. Misalkan 𝛩𝛩 ~ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑛𝑛𝐿𝐿 ( 𝜆𝜆 ), maka fungsi pembangkit momen dari 𝛩𝛩 adalah
𝑀𝑀 𝛩𝛩 ( 𝑧𝑧 ) = 𝜆𝜆 2 𝜆𝜆 + 1 𝜆𝜆 − 𝑧𝑧 + 1 ( 𝜆𝜆 − 𝑧𝑧 ) 2 .                                                                 (3) Bukti: Lihat [7].
2.3 Model Binomial Negatif-Lindley
Frekuensi klaim dapat dimodelkan dalam distribusi peubah acak diskret seperti Poisson, geometrik, and binomial negatif. Namun, frekuensi untuk klaim yang bernilai 0 cukup banyak, sehingga model binomial negatif-Lindley  (NB-L)  dapat diusulkan.  Distribusi  NB-L  dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah overdispersi dari data.  Hal ini ditandai dengan banyaknya data yang bernilai nol dan sangat sedikit data yang bernilai lebih dari nol.
Definisi 4. Misalkan 𝑋𝑋 adalah peubah acah yang berdistribusi Binomial Negatif-Lindley dengan parameter ( 𝑟𝑟 , 𝜃𝜃 ) ,  dinotasikan dengan NB-L( 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ), apabila memenuhi representasi stokastik sebagai berikut
𝑋𝑋 | 𝛩𝛩 ~ 𝑁𝑁𝑁𝑁�𝑟𝑟 , 𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 � dan 𝛩𝛩 ~ Lin( 𝜆𝜆 ). (4)
Beberapa penerapan distribusi ini dapat dilihat pada beberapa penelitian berikut [8]–[11].

## 3  Hasil dan Pembahasan
3.1     Model Kredibilitas Bühlmann Binomial Negatif-Lindley
Dalam artikel ini, kami menurunkan formula untuk memprediksi premi kredibilitas Buhlmann dengan klaim diasumsikan berdistribusi NB-L. Ide yang digunakan sama seperti penurunan formula Bühlmann yang menggunakan pendekatan kredibilitas akurasi terbaik. Premi

## 74 Model Kredibilitas Bühlmann dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif- Lindley
di masa mendatang pada pendekatan ini merupakan kombinasi linear dari serangkaian amatan, 𝑛𝑛 , masa lampau [12], [13].
Misalkan 𝑁𝑁 𝑗𝑗 menyatakan banyaknya klaim tahun ke 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛 . Prediksi dari premi dinyatakan sebagai
𝛼𝛼 0 + � 𝛼𝛼 𝑗𝑗 𝑁𝑁 𝑗𝑗 = 𝑍𝑍𝑁𝑁� + (1 − 𝑍𝑍 ) 𝜇𝜇 , 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 (5)
dengan 𝛼𝛼 𝑗𝑗 menyatakan koefisien dari peubah acak 𝑁𝑁 𝑗𝑗 , 𝛼𝛼 0 adalah konstanta, 𝑁𝑁� = ∑ 𝑁𝑁 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 𝑛𝑛 , 𝜇𝜇 disebut juga sebagai premi kolektif ( Collective premium ), dan 𝑍𝑍 merupakah faktor kredibilitas yang akan diduga nilainya. Asumsi yang digunakan dalam formulasi model kredibilitas Bühlmann NB-L ini adalah
a. 𝑁𝑁 𝑗𝑗 | 𝛩𝛩 berdistribusi Binomial Negatif ( 𝑟𝑟 , 𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 ) untuk 𝑗𝑗 = 1,2, … 𝑛𝑛 . Kuantitas 𝜇𝜇 ( 𝜃𝜃 ) dan 𝑣𝑣 ( 𝜃𝜃 ) berturut-turut didefinisikan sebagai hypothetical mean dan process variance dengan
𝜇𝜇 ( 𝜃𝜃 ) = 𝐸𝐸 ( 𝑁𝑁 𝑗𝑗 | 𝛩𝛩 ), 𝑣𝑣 ( 𝜃𝜃 ) = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟 ( 𝑁𝑁 𝑗𝑗 | 𝛩𝛩 ).
b. Nilai dari peubah acak 𝛩𝛩 adalah 𝜃𝜃 . 𝛩𝛩 menggambarkan peubah acak risiko terjadinya klaim. Dalam hal ini 𝛩𝛩 ~Lindley( λ ) .
Berdasarkan asumsi (a) di atas, kita dapat memastikan bahwa frekuensi terjadinya klaim mengikuti distribusi NB-L. Hal ini jelas karena 𝑁𝑁 𝑗𝑗 merupakan distribusi campuran Binomial Negatif dan distribusi Lindley yang memenuhi asumsi persamaan (4).

## 3.2     Formula Hypothetical mean
Berdasarkan asumsi pada subbab 3.1 dan persamaan (1), formula hypothetical mean dapat ditentukan sebagai berikut
𝜇𝜇 ( 𝜃𝜃 ) = 𝐸𝐸�𝑁𝑁 𝑗𝑗 �𝛩𝛩 = 𝜃𝜃� = 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑝𝑝 = 𝑟𝑟 (1 − 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 ) 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 = 𝑟𝑟�𝑒𝑒 𝜆𝜆 − 1 � .                   (6) Nilai dari 𝜇𝜇 adalah
𝜇𝜇 = 𝐸𝐸�𝑁𝑁 𝑗𝑗 � = 𝐸𝐸 �𝐸𝐸�𝑁𝑁 𝑗𝑗 �𝛩𝛩 = 𝜃𝜃�� = 𝐸𝐸�𝜇𝜇 ( 𝛩𝛩 ) � = 𝐸𝐸 ( 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 𝛩𝛩 − 1)) = 𝑟𝑟 ( 𝐸𝐸 ( 𝑒𝑒 𝛩𝛩 ) − 1).
Karena 𝛩𝛩 berdistribusi  Lindley,  dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dari distribusi ini seperti persamaan (3) dengan 𝑧𝑧 = 1 diperoleh
𝜇𝜇 = 𝑟𝑟 � λ 3 λ + 1 1 ( λ − 1) 2 − 1 � .                                                                (7)
Kuantitas 𝑉𝑉 yang merupakan ragam dari 𝜇𝜇 ( 𝛩𝛩 ) dapat dinyatakan sebagai
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟� 𝜇𝜇 ( 𝛩𝛩 ) � = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟�𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 𝛩𝛩 − 1) �
= 𝑟𝑟 2 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 𝛩𝛩 ) = 𝑟𝑟 2 �𝐸𝐸 ( 𝑒𝑒 2𝛩𝛩 ) − �𝐸𝐸 ( 𝑒𝑒 𝛩𝛩 ) � 2 � .
Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen untuk 𝑧𝑧 = 2 dan 𝑧𝑧 = 1, maka diperoleh
𝑉𝑉 = 𝑟𝑟 2 � λ 2 λ + 1 λ − 2 + 1 ( λ − 2) 2 − � λ 2 λ + 1 λ − 1 + 1 ( λ − 1) 2 � 2 � 𝑉𝑉 = 𝑟𝑟 2 λ 2 λ + 1 � λ − 1 ( λ − 2) 2 − λ 4 ( λ + 1)( λ − 1) 4 � .                                             (8)
3.2     Formula Process Variance dan nilai harapannya
Process variance untuk model NB-L dapat ditentukan sebagai berikut
𝑣𝑣 ( 𝜃𝜃 ) = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟�𝑁𝑁 𝑗𝑗 �𝛩𝛩 = 𝜃𝜃� = 𝐸𝐸�𝑁𝑁 𝑗𝑗 2 �𝛩𝛩 = 𝜃𝜃� − �𝐸𝐸�𝑁𝑁 𝑗𝑗 �𝛩𝛩 = 𝜃𝜃�� 2
= 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 )[1 + 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 )] 𝑝𝑝 2 − � 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑝𝑝 � 2 = 𝑟𝑟 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑝𝑝 2 = 𝑟𝑟 ( 𝑝𝑝 −2 − 𝑝𝑝 −1 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 2𝜆𝜆 − 𝑒𝑒 𝜆𝜆 ).
Nilai harapan dari 𝑣𝑣 ( 𝛩𝛩 ) adalah
𝑣𝑣 = 𝐸𝐸�𝑣𝑣 ( 𝛩𝛩 ) � = 𝐸𝐸 ( 𝑟𝑟 ( 𝑒𝑒 2𝛩𝛩 − 𝑒𝑒 𝛩𝛩 )) = 𝑟𝑟 [ 𝐸𝐸 ( 𝑒𝑒 2𝛩𝛩 ) − 𝐸𝐸 ( 𝑒𝑒 𝛩𝛩 )].
Dengan menggunakan momen kedua dimana 𝑧𝑧 = 2 dan 𝑧𝑧 = 1 maka diperoleh
𝑣𝑣 = 𝑟𝑟 � λ 2 λ + 1 λ − 2 + 1 ( λ − 2) 2 − λ 2 λ + 1 λ − 1 + 1 ( λ − 1) 2 � 𝑣𝑣 = 𝑟𝑟 λ 2 λ + 1 � λ − 1 ( λ − 2) 2 − λ ( λ − 1) 2 � .                                                         (9)

## 3.3     Faktor Kredibilitas Bühlmann dan Premi Bühlmann
Bagian terakhir dari penentuan premi kredibilitas Bühlmann  adalah perlu diberikannya nilai faktor kredibilitas. Persamaan (8) disubstitusi ke persamaan (9) sehingga diperoleh faktor Bühlmann sebagai berikut
𝑘𝑘 = 𝑣𝑣 𝑉𝑉 = � λ − 1 ( λ − 2) 2 − λ ( λ − 1) 2 � 𝑟𝑟 � λ − 1 ( λ − 2) 2 − λ 4 ( λ + 1)( λ − 1) 4 � = ( λ 2 − λ − 1)( λ + 1)( λ − 1) 2 𝑟𝑟 ( λ 4 − 5 λ 2 + 4 λ − 1) .         (10)

## Model Kredibilitas Bühlmann dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif- Lindley
Faktor kredibilitas Bühlmannnya adalah
𝑍𝑍 = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 .
Dugaan premi kredibilitas Bühlmann  dapat diperoleh dengan menyubstitusikan nilai 𝑧𝑧 yang diperoleh ke persamaan (5).
3.4     Simulasi Data
Data  yang digunakan dalam penelitian ini bersumber dari [4]. Data tersebut disajikan dalam tabel berikut ini
Tabel 1. Data Simulasi
Number of polis in year 𝒋𝒋 Number of Claims 1 2 3 4 5 6 0 1661 1650 1653 1677 1668 1682 1 573 584 581 557 566 552 2 0 0 0 0 0 0

## Algoritma yang digunakan dalam simulasi ini adalah sebagai berikut
a. Dengan menggunakan metode maksimum Likelihood (menggunakan package fitdistplus di R ), berikan dugaan parameter 𝜃𝜃 𝑗𝑗 dan 𝑟𝑟 𝑗𝑗 dari peubah acak 𝑁𝑁 𝑗𝑗 | 𝛩𝛩 yang berdistribusi Binomial Negatif ( 𝑟𝑟 𝑗𝑗 , 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝑗𝑗 ).
b. Dengan menggunakan metode momen, duga parameter λ dari peubah acak 𝛩𝛩 yang berdistribusi Lindley ( λ ).
Dari simulasi yang telah dilakukan diperoleh nilai 𝜃𝜃 𝑗𝑗 dan 𝑟𝑟 𝑗𝑗 sebagai berikut:
Tabel 2. Dugaan Parameter Binomial Negatif-Lindley
𝒋𝒋 1 2 3 4 5 6 𝜃𝜃 𝑗𝑗 8,2660021  8,264191  8,2632099  8,2676181 8,2656181 8,2660021 𝑟𝑟 𝑗𝑗 0,1916861  0,192012  0,1920538  0,1912953 0,1916483 0,1911941
Metode momen memberikan nilai dugaan untuk λ = 0,220137. Nilai 𝑟𝑟 dipilih dengan merata- ratakan nilai 𝑟𝑟 𝑗𝑗 , diperoleh 𝑟𝑟 = 0,191648233.
Dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh nilai 𝑘𝑘 = 2,419183412 dan 𝑍𝑍 = 0,712658189. Nilai 𝜇𝜇 diperoleh dengan persamaan (7) sebesar 𝜇𝜇 = − 0,188893125. Dugaan kredibilitas Bühlmann untuk model NB-L ini adalah
𝑍𝑍𝑁𝑁� + (1 − 𝑍𝑍 ) 𝜇𝜇 = 0,127184.
Nilai Z yang diperoleh ini mengartikan bahwa data masa lampau yang kita peroleh cukup kredibel 71.26% untuk digunakan menduga premi di masa mendatang.  Meskipun nilai Z yang diperoleh cukup besar, nilai premi kolektif 𝜇𝜇 untuk model ini bernilai negatif sehingga untuk 𝑛𝑛 yang kecil model ini kurang baik untuk digunakan karena akan memperkecil nilai premi.

## 4  Simpulan
Model kredibilitas Bühlmann  parametrik dengan klaim berdistribusi Binomial Negatif- Lindley dapat diaplikasikan untuk data yang memiliki overdispersi. Penduga kuantitas Bühlmann untuk model ini telah diberikan. Dari simulasi yang dilakukan, model NB-L ini memberikan nilai faktor kredibilitas  Bühlmann  cukup besar. Namun kelemahan dari model Bühlmann  NB-L ini adalah memerlukan data amatan yang banyak dibandingkan model lainnya.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  I. Slamet and K. Natalia, “Kredibilitas dengan Pendekatan Bühlmann,” in Seminar Nasional MIPA , 2007, pp. 63–74.
[2]  L. M. Wen, W. Wang, and J. L. Wang, “The credibility premiums for exponential principle,” Acta Math. Sin. Engl. Ser. , vol. 27, no. 11, pp. 2217–2228, 2011, doi: 10.1007/s10114-011-9198-4.
[3]  A. Hassan Zadeh and D. A. Stanford, “Bayesian and Bühlmann credibility for phase-type distributions with a univariate risk parameter,” Scand. Actuar. J. , vol. 2016, no. 4, pp. 338–355, 2016.
[4]  T. M. Karina, S. Nurrohmah, and I. Fithriani, “Buhlmann credibility model in predicting claim frequency that follows heterogeneous Weibull count distribution,” in Journal of Physics: Conference Series , vol. 1218, no. 1, p. 012041, doi: 10.1088/1742- 6596/1218/1/012041.
[5]  S. Ghahramani, Fundamentals of Probability . New York (US): Prentice Hall, 2005.
[6]  M. E. Ghitany, B. Atieh, and S. Nadarajah, “Lindley distribution and its application,” Math. Comput. Simul. , vol. 78, no. 4, pp. 493–506, 2008, doi: 10.1016/j.matcom.2007.06.007.
[7]  H. Zamani and N. Ismail, “Negative binomial-Lindley distribution and its application,” J. Math. Stat. , vol. 6, no. 1, pp. 4–9, 2010, doi: 10.3844/jmssp.2010.4.9.

## 78 Model Kredibilitas Bühlmann dengan Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif- Lindley
[8]  D. Lord and S. R. Geedipally, “The negative binomial–Lindley distribution as a tool for analyzing crash data characterized by a large amount of zeros,” Accid. Anal. Prev. , vol. 43, no. 5, pp. 1738–1742, 2011.
[9]  S. R. Geedipally, D. Lord, and S. S. Dhavala, “The negative binomial-Lindley generalized linear model: Characteristics and application using crash data,” Accid. Anal. Prev. , vol. 45, pp. 258–265, 2012.
[10]  M. Shirazi, S. S. Dhavala, D. Lord, and S. R. Geedipally, “A methodology to design heuristics for model selection based on the characteristics of data: Application to investigate when the Negative Binomial Lindley (NB-L) is preferred over the Negative Binomial (NB),” Accid. Anal. Prev. , vol. 107, pp. 186–194, 2017, doi: 10.1016/j.aap.2017.07.002.
[11]  M. R. R. Shaon, X. Qin, M. Shirazi, D. Lord, and S. R. Geedipally, “Developing a Random Parameters Negative Binomial-Lindley Model to analyze highly over-dispersed crash count data,” Anal. Methods Accid. Res. , vol. 18, pp. 33–44, 2018, doi: 10.1016/j.amar.2018.04.002.
[12]  H. Bühlmann and A. Gisler, A Course in Credibility Theory and Its Applications . Springer Science & Business Media, 2006.
[13]  T. N. Herzog, Introduction to Credibility Theory . Actex Publications, 1999.