KARAKTERISASI MODUL CYCLICALLY PURE (CP)-INJEKTIF
Nia Yulianti 1 ∗ , Hanni Garminia Y 2
1 Politeknik Siber dan Sandi Negara
2 Institut Teknologi Bandung Email: nia.yulianti@poltekssn.ac.id,
Abstract. This research deals with the structure of cyclically pure injective modules over a commutative ring R . If I be an ideal of R , proved that any CP -injective R/I - modul is also CP -injective as an R -module. The main result of research is the exis- tance of CP -injective R -module if there is an R -module. More over, we deal charac- terization of CP -injective module which is related to proper essential ctclically pure extension. It is shown that R -modul D is cyclically pure injective if and only if D has no proper essential cyclically pure extension.
Keywords: exact sequence, CP -injective, essensial extension, direct summand, injec- tive module
Abstrak. Penelitian ini membahas dan menyajikan mengenai struktur dari modul CP - injektif atas gelanggang komutatif R . Jika I adalah ideal dari R , ditunjukkan bahwa sebarang R/I -modul CP -injektif juga merupakan R -modul CP -injektif. Hasil utama penelitian ini adalah eksistensi dari R -modul CP injektif jika diketahui suatu R - modul. Lebih jauh lagi, dilakukan karakterisasi modul CP -injektif terkait dengan es- sensial CP -extension sejati. Akan ditunjukkan suatu R -modul D merupakan CP in- jektif jika dan hanya jika D tidak memiliki essensial CP -extension sejati. Kata Kunci: barisan eksak, CP -injektif, essential extension , jumlah langsung, modul injektif.

## I. PENDAHULUAN
Konsep modul pure injektif memiliki peranan penting pada Aljabar Komutatif. Aplikasi dari modul pure injektif juga diterapkan pada Teori Flat Covers [1]. Konsep modul cyclically pure injektif ( CP -Injektif) merupakan salah satu generalisasi dari konsep modul pure injek- tif. L. Melkersson [2] mengkaji beberapa karakterisasi modul M yang dibangun secara hingga atas gelanggang lokal Noetherian yang pure pada setiap CP -ekstension dari M dengan me- manfaatkan konsep CP -injektif.
Dalam penelitian matematika, biasanya suatu dugaan akan muncul dengan memband- ingkan sifat-sifat yang telah dihasilkan pada pengkajian lain dari objek yang serupa. Berdasarkan metode tersebut, merupakan suatu hal yang lumrah jika muncul kemungkinan pengembangan sifat modul CP -injektif terkait CP -ekstension . Khususnya, pengkajian terhadap permasala- han yang muncul dalam usaha menjawab apakah suatu modul CP -injektif jika dan hanya jika modul tersebut tidak memiliki essential CP -ekstension sejati.
Referensi yang menjadi rujukan utama yang digunakan dalam penelitian ini adalah Some Criteria of Cyclically Pure Injective Modules yang ditulis oleh Kamran Divaani-Aazar, Mo- hammad Ali Esmkhani, dan Massoud Tousi (cetakan tahun 2005). Alur penulisan, cara pan-
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
1 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
dang, dan pembuktian sifat-sifat dalam tesis ini disajikan dalam rumusan dan organisasi yang berbeda dari pustaka utama, dengan tujuan untuk memberikan inspirasi dan arahan yang lebih jelas bagi pengembangannya di teori modul.

## II. KARAKTERISASI MODUL CP-INJEKTIF

## 2.1. HOMOMORFISMA DAN BARISAN EKSAK
Berdasarkan modul atas gelanggang R dan homomorfisma dari suatu R -modul maka dapat dibentuk suatu barisan yang disebut sebagai barisan eksak [3], dijelaskan pada definisi berikut ini
Definisi 1 [5] Misalkan R adalah gelanggang dan n ∈ N ≥ 3 . Barisan
M 1 ϕ 1 −→ M 2 ϕ 2 −→ ... ϕ n − 1 −−−→ M n
dengan M 1 , ..., M n adalah R -modul dan homomorfisma R -modul ϕ i : M i −→ M i +1 untuk i = 1 , ..., n − 1 disebut eksak pada posisi ke i ∈ 2 , ..., n − 1 jika imϕ i − 1 = kerϕ i . Kemudian disebut barisan eksak jika eksak pada setiap posisi i ∈ 2 , ..., n − 1 .
Definisi 2 [4] Misalkan R adalah gelanggang dan A, B, C adalah suatu R -modul. Barisan eksak 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 dikatakan CP jika pemetaan natural
R/I ⊗ R A −→ R/I ⊗ R B
injektif untuk semua ideal I dari R yang dibangun secara hingga.
Barisan eksak- CP ini memegang peranan penting ketika akan mengkontrusi modul CP - injektif. Selain itu, juga diperlukan monomorfisma- CP yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3 [4] Misalkan R adalah gelanggang dan A, B adalah suatu R -modul. R -monomorfisma f : A −→ B dikatakan CP jika barisan eksak
0 −→ A f − → B nat −−→ B/f ( A ) −→ 0

## CP .
Selanjutnya definisi ini dipakai dalam mengkontruksi modul CP -injektif dan mengkarak- terisasi modul CP -injektif terkait essensial CP - extension sejati.

## 2.2. Eksistensi Modul CP-Injektif
Setelah mengenal barisan eksak CP dan R -monomorfisma CP kita dapat mendefinisikan modul CP -injektif sebagai berikut.
Definisi 4 [4] Misalkan R adalah suatu gelanggang. Suatu modul D atas R dikatakan CP - Injektif jika untuk sebarang barisan eksak CP
0 −→ A −→ B −→ C −→ 0;

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
2 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
barisan terinduksi
0 −→ Hom R ( C, D ) −→ Hom R ( B, D ) −→ Hom R ( A, D ) −→ 0
eksak.
Misalkan E i adalah kelas dari R -modul maka Q i ∈ I E i merupakan R -modul injektif jika dan hanya jika E i injektif untuk setiap i ∈ I [7]. Dengan memanfaatkan hasil ini, bisa memper- oleh kesimpulan yang analog untuk modul CP -injektif. Hal ini dibuktikan pada lemma berikut.
Lemma 1 [4] Misalkan { D i } i ∈ I adalah kelas dari R -modul. Maka Q i ∈ I D i adalah CP -Injektif R -modul jika dan hanya jika D i CP -Injektif untuk semua i ∈ I .
Misalkan R adalah gelanggang dan I adalah ideal dari R . Modul D dapat dipandang sebagai modul atas R jika D merupakan suatu modul atas R/I . Sebaliknya modul D dapat dipandang sebagai modul atas R/I jika D merupakan suatu modul atas R dengan ID = 0 . Untuk lebih Jelasnya disajikan pada Lemma 2 berikut.
Lemma 2 [4] Misalkan R adalah gelanggang, I adalah ideal dari R . modul D merupakan R/I -modul jika dan hanya jika D adalah suatu R -modul dengan ID = 0 .
Selanjutnya lemma tersebut dapat dimanfaatkan untuk mengkontruksi sifat yang analog terkait modul CP -injektif. Sebelumnya diberikan sifat eksistensi suatu R/I -homomorfisma jika diketahui suatu R -homomorfisma. Buktinya disajikan pada lemma berikut.
Lemma 3 Misalkan f : N −→ M adalah R -homomorfisma, maka terdapat suatu R/I - homomorfisma f 0 : N −→ M .
Bukti. Definisikan
f 0 : N −→ M n 7−→ f ( n ) .
Akan ditunjukkan f 0 adalah suatu R/I -homomorfisma.
1. Ambil sebarang n 1 , n 2 ∈ N R/I . Sehingga
f 0 ( n 1 + n 2 ) = f ( n 1 + n 2 ); = f ( n 1 ) + f ( n 2 ); = f 0 ( n 1 ) + f 0 ( n 2 ) .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
3 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
2. Ambil sebarang r + I ∈ R/I dan n ∈ N R/I . Sehingga
f 0 (( r + I ) .n ) = f (( r + I ) .n ); karena In = 0;
= f ( rn + In ); = f ( rn ); = rf ( n ) + If ( n ); If ( n ) = 0; = ( r + I ) f 0 ( n + In ); = ( r + I ) f 0 ( n ) .
Dari ( i ) dan ( ii ) terbukti bahwa f 0 merupakan suatu R/I -homomorfisma.
Berikut diberikan suatu teorema yang menyatakan bahwa jika M adalah suatu modul CP - injektif atas gelanggang R/I maka M juga suatu modul CP -injektif atas gelanggang R .
Teorema 1 Misalkan M adalah R/I -modul CP -injektif maka M adalah R -modul CP -injektif dengan I adalah ideal dari gelanggang R .
Bukti. Akan ditunjukkan M adalah modul CP -injektif atas gelanggang R . Ambil sebarang barisan eksak
0 −→ A R f − → B R g − → C R −→ 0 .
Akan ditunjukkan
0 −→ Hom R ( C, M ) −→ Hom R ( B, M ) −→ Hom R ( A, M ) −→ 0
eksak.
Diketahui M adalah R/I -modul CP -injektif. Akan ditunjukkan sebarang
0 −→ A R/I f 0 − → B R/I g 0 − → C R/I −→ 0
eksak CP .
1. Akan ditunjukkan
0 −→ A R/I f 0 − → B R/I g 0 − → C R/I −→ 0
merupakan barisan eksak.
(a) Akan ditunjukkan f 0 injektif. Ambil x ∈ ker ( f 0 ) ⊆ A R/I . Diperoleh
0 = f 0 ( x ); = f ( x ) .
Sehingga x ∈ ker ( f 0 ) = 0 . Akibatnya x = 0 dan ker ( f 0 ) = 0 . Jadi terbukti f 0 injektif.
(b) Akan ditunjukkan g 0 surjektif. Ambil sebarang c 1 ∈ C R . Karena g surjektif maka terdapat b ∈ B R sehingga c 1 = g ( b R ) = g 0 ( b R/I ) . Jadi terbukti g 0 surjektif.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
4 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
(c) Akan ditunjukkan Imf 0 = kerg 0 .
i. Akan ditunjukkan imf 0 ⊆ kerg 0 . Ambil x ∈ imf 0 maka terdapat y ∈ A R /I
sehingga x = f 0 ( y R/I ) = f ( y R ) ∈ imf = kerg . Sehingga
g ( x R ) = 0; g 0 ( x R/I ) = 0 .
Akibatnya x ∈ kerg 0 . Jadi imf 0 ⊆ kerg 0 . ii. Akan ditunjukkan kerg 0 ⊆ imf 0 . Ambil x ∈ kerg 0 maka 0 = g 0 ( x R/I = g ( x R )) . Akibatnya x ∈ kerg = imf maka terdapat y ∈ A R sehingga, x + f ( y R ) = f 0 ( y R/I ) ∈ imf 0 . Jadi kerg 0 ⊆ imf 0 .
Jadi terbukti imf 0 = kerg 0 .
Jadi, terbukti 0 −→ A R/I f 0 − → B R/I g 0 − → C R/I −→ 0 merupakan barisan eksak.
2. Akan ditunjukkan barisan 0 −→ A R/I f 0 − → B R/I g 0 − → C R/I −→ 0 merupakan barisan eksak- CP .
Akan ditunjukkan pemetaan natural h : R/I/a ⊗ R/I A R/I −→ R/I/a ⊗ R/I B R/I injektif untuk setiap ideal a dari R/I .Ambil (¯ r + a ) ⊗ R/I nkerh ⊆ R/I/a ⊗ R/I A R/I , maka
h ((¯ r + a ) ⊗ R/I t ) = ( a ⊗ R/I 0 B ); ¯ r 1 + a ⊗ R/I f 0 ( t ) = a ⊗ R I 0 B .
Perhatikan bahwa ¯ r 1 + a = a = 0 R/I/a dan f 0 ( t ) = 0 B . Karena f 0 injektif, maka t = 0 A . Sehingga ¯ r 1 + a ⊗ R/b t = a ⊗ R/b 0 A . Jadi h injektif. Terbukti barisan
0 −→ A R/I f 0 − → B R/I g 0 − → C R/I −→ 0
merupakan barisan eksak- CP .
Diperoleh 0 −→ A R/I f 0 − → B R/I g 0 − → C R/I −→ 0 barisan eksak CP .
Maka barisan 0 −→ Hom R/I ( C, M ) ρ 0 − → Hom R/I ( B, M ) τ 0 − → Hom R/I ( A, M ) −→ 0 eksak.
Selanjutnya akan ditunjukkan barisan
0 −→ Hom R ( C, M ) ρ − → Hom R ( B, M ) τ − → Hom R ( A, M ) −→ 0
eksak.
1. Akan ditunjukkan ρ injektif. Ambil φ ∈ kerρ maka ρ ( φ ) = 0 . Untuk setiap b ∈ B , maka
ρ ( φ )( b ) = 0; ρ 0 ( φ 0 )( b ) = 0 .
Sehingga φ 0 ∈ kerρ 0 . Karena ρ 0 injektif maka φ 0 = 0 , akibatnya φ = 0 . Sehingga kerρ = 0 . Jadi terbukti ρ injektif.
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 5 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
2. Akan ditunjukkan τ surjektif. Ambil sebarang σ ∈ Hom R ( A, M ) . Karena τ 0 surjektif maka terdapat α ∈ Hom R/I ( B, M ) . Sehingga τ 0 ( α ) = σ 0 , σ 0 ∈ Hom R/I ( A, M ) . Perhatikan bahwa:
σ (( r + I ) a ) = σ ( ra + Ia ); = σ ( ra );
= r.σ ( a );
= r.σ ( a ) + Iσ ( a ); = ( r + I ) σ ( a ); = ( r + I ) σ 0 ( a ) .
Jadi, σ = σ 0 Akibatnya σ = σ 0 = τ 0 ( α ) = τ ( α ) dengan α ∈ Hom R ( B, M ) Jadi terbukti τ surjektif.
3. Akan ditunjukkan imρ = kerτ .
(a) Akan ditunjukkan imρ ⊆ kerτ . Ambil α ∈ imρ maka ∃ γ ∈ Hom R ( C, M ) se- hingga
ρ ( γ ) = α ; ρ 0 ( γ ) = α.
Perhatikan bahwa α ∈ imρ 0 = kerτ 0 sehingga τ 0 ( α ) = 0 dan τ ( α ) = 0 . Akibatnya α ∈ kerτ . Jadi imρ ⊆ kerτ .
(b) Akan ditunjukkan kerτ ⊆ imρ . Ambil α ∈ kerτ maka
τ ( α ) = 0; τ 0 ( α ) = 0 .
Sehingga α ∈ kerτ 0 = imρ 0 maka terdapat γ ∈ Hom ( R/I )( B, M ) sehingga α = ρ 0 ( γ ) = ρ ( γ ) . Akibatnya α ∈ imρ ) . Jadi kerτ ⊆ imρ .
Jadi terbukti Imρ = Kerτ .
Jadi terbukti barisan 0 −→ Hom R ( C, M ) ρ − → Hom R ( B, M ) τ − → Hom R ( A, M ) −→ 0 eksak.
Teorema berikut menjamin eksistensi modul CP -injektif jika diketahui suatu modul atas gelanggang R .
Teorema 2 Jika M adalah suatu R -modul maka terdapat suatu CP -Injektif R -modul D .
Bukti. Misalkan R ∗ menotasikan himpunan semua ideal R yang dibangun secara hingga yaitu R ∗ = { a ⊆ R | a ideal yang dibangun secara hingga } . Misalkan
D = P i a ∈ R ∗ E R/a ( M/aM )
dengan E R/a ( M/aM ) adalah injective envelope dari R/a -modul M/aM .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
6 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
1. Diketahui E R/a ( M/aM ) adalah injective envelope R/a -modul M/aM . artinya pernyataan-pernyataan berikut ekivalen [8].
(a) Maximal essential extension dari M/aM adalah E R/a ( M/aM ) .
(b) Minimal injective submodul dari E 0 ⊇ E R/a ( M/aM ) yang memuat M/aM adalah E R/a ( M/aM ) .
(c) Essential extension dari M adalah E R/a ( M/aM ) dan merupakan modul injektif. 2. Akan ditunjukkan M/aM adalah R/a -modul. Akan diperiksa apakah M/aM suatu R - modul. Ambil r, s ∈ R , m + aM, n + aM ∈ M/aM . Definisikan aksi R pada M/aM yaitu
r. ( m + aM ) = rm + aM
(a) Akan ditunjukkan aksi tersebut well define. Misalkan r = s dan m = n sehingga
rm = sn ; rm − sn = 0 ∈ aM.
Akibatnya
rm + aM = sn + aM ; r ( m + aM ) = s ( n + aM ) .
Jadi, terbukti aksinya well define.
(b) Ambil sebarang r, s ∈ R dan m + aM, n + aM ∈ M/aM sehingga:
i.
( rs )( m + aM ) = ( rsm ) + aM ; = r ( sm ) + aM ; = r ( sm + aM ) .
ii.
r (( m + aM ) + ( n + aM ) = r (( m + n ) + aM ); = r ( m + n ) + aM ; = rm + rn + aM ; = ( rm + aM ) + ( rn + aM ); = ( m + aM ) + r ( n + aM ) .
iii.
( r + s )(( m + aM ) = ( r + s ) m + aM ; = rm + sm + aM ; = ( rm + aM ) + ( sm + aM ); = r ( m + aM ) + s ( m + aM ) .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
7 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
iv.
1 . ( m + aM ) = 1 m + aM ; = m + aM.
Jadi, M/aM adalah R -modul.
Akibatnya, M/aM adalah R/a -modul.
Definisikan
ϕ : M −→ D 7−→ ( x + aM ) a ∈ ( R ∗ ) ∀ x ∈ M
1. Akan ditunjukkan ϕ adalah R -homomorfisma.
(a) Ambil sebarang x, x 1 ∈ M dan r ∈ R , maka
ϕ ( x 1 + x 2 ) = ( x 1 + x 2 ) + aM ; = ( x 1 + aM ) + ϕ ( x 2 + aM ); = ϕ ( x 1 ) + ϕ ( x 2 ) .
(b) Ambil sebarang r ∈ R dan x ∈ M , maka
ϕ ( rx ) = rx + aM ; = r ( x + aM ); = rϕ ( x ) .
Jadi ϕ adalah R -homomorfisma.
2. Akan ditunjukkan E R/a ( M/aM ) CP injektif R/a -modul. Ambil sebarang barisan 0 −→ A R/a p − → B R/a q − → C R/a −→ 0 CP . Akan ditunjukkan 0 −→ Hom R /a ( C, E R/a ( M/aM )) f − → Hom R/a ( B, E R/a ( M/aM )) g − → Hom R ( A, E R/a ( M/aM )) −→ 0 eksak.
ψ : C −→ E R/a ( M/aM ) f ( ψ ) : B −→ E R/a ( M/aM )
f ( ψ ) = ψ ◦ q : B −→ E
(a) Akan ditunjukkan f injektif. Ambil ψ ∈ ker ( f ) ⊆ Hom R/a ( C B , E R/a ( M/aM )) ,

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
8 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
maka untuk setiap b ∈ B dan c ∈ C
f ( ψ ) = 0 Hom ( B,E ) ; f ( ψ ) b = 0( b )
f ( ψ )( b ) = 0 E ; ( ψ ◦ q )( b ) = 0 E ; ( ψ )( q ( b )) = 0 E ;
ψ ( c ) = 0 E , karena q surjektif untuk setiap c ∈ C ;
ψ = 0 Hom ( C,E ) .
Sehingga ker ( f ) = 0 . Jadi terbukti f injektif.
(b) Akan ditunjukkan g surjektif. Definisikan
g : Hom R/a ( B, E R/a ( M/aM )) −→ Hom R/a ( A, E R/a ( M/aM ))
τ 7−→ τ p
Akan ditunjukkan g pemetaan. Ambil sebarang τ 1 = τ 2 . Karena p injektif dan τ 1 = τ 2 maka g ( τ 1 ) = g ( τ 2 ) . Jadi g pemetaan. Karena E R/a ( M/aM ) modul in- jektif artinya untuk setiap ϕ ∈ Hom ( A, E ) terdapat θ sehingga ϕ = θp . Akibatnya terdapat θ ∈ Hom ( B, E ) sehingga g ( θ ) = θp = ϕ . Jadi terbukti g 0 surjektif.
(c) Akan ditunjukkan Imf = Kerg
i. Akan ditunjukkan Imf ⊆ Kerg . Ambil θ ∈ Imf . Akan ditunjukkan θ ∈ Kerg . θ ∈ Imf , maka terdapat ψ ∈ Hom ( C, E ) sehingga
f ( ψ ) = θ ; ψq = θ. g ( θ ) = θp ; = ψqp. q ( θ )( a ) = ψqp ( a ); = ψq ( p ( a )) .
Karena p ( a ) ∈ Imp = Kerq maka qp ( a ) = 0 . Akibatnya g ( θ )( a ) = ψ 0 = 0 . Sehingga θ ∈ Kerg . Jadi Imf ⊆ Kerg . ii. Akan ditunjukkan Kerg ⊆ Imf . Ambil sebarang θ ∈ Kerg . Akan ditun- jukkan θ ∈ Imf . Karena E R/a ( M/aM ) modul injektif, artinya untuk setiap θ ∈ Hom ( B, E ) terdapat ψ sehingga θ = ψq .
Perhatikan:
f : Hom ( C, E R/a ( M/aM )) −→ Hom ( B, E R/a ( M/aM ))
τ 7−→ τ q

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
9 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Akan ditunjukkan f injektif.
f ( τ ) = 0; τ q = 0; τ q ( b ) = 0 b ; untuk setiap b ∈ B ;
τ = 0 .
Akibatnya f injektif sehingga θ ∈ Imf . Jadi Kerg ⊆ Imf .
Jadi terbukti Imf = Kerg .
Jadi, E R/a ( M/aM ) merupakan CP -injektif R/a -modul.
Berdasarkan Lemma 1 D = Q a ∈ R ∗ E R/a ( M/aM ) juga CP -injektif R/a -modul dan berdasarkan Teorema 1 D adalah CP -injektif R -modul.

## 2.3. Karakterisasi Modul CP-Injektif
Sebelumnya dijelaskan beberapa definisi dan sifat-sifat yang terkait untuk melakukan karakterisasi pada modul CP -injektif. Berikut didefinisikan
Definisi 5 [4] Misalkan M adalah modul atas R dan N adalah submodul dari M . Submodul tak nol N disebut submodul essensial dari M , ditulis N ess R M atau N ess M , jika dan hanya jika X ∩ N 6 = 0 untuk setiap X submodul tak nol dari M . Dalam hal ini M disebut essential extension dari N .
Berikut diberikan beberapa contoh modul dan essential extension nya.
Contoh 1 Misalkan M sebarang modul atas R . Modul M adalah essential extension dari dirinya sendiri, ditulis M ess M .
Contoh 2 Submodul n Z adalah submodul essensial dari Z untuk sebarang 0 6 = n ∈ Z .
Contoh 3 Misalkan R lapangan. Bentuk modul R [ X ] atas R [ X ] . Didefinisikan himpunan P n [ X ] = { a n X n + a n +1 X n +1 + ... + a m X m | dengan n, m ∈ N ∪{ 0 } , n ≤ m, a i ∈ R untuk i ∈ { n, ..., m } submodul atas R [ X ] . Sehingga P n [ X ] ess R [ X ] untuk n ∈ N ∪ { 0 } .
Salah satu sifat submodul essensial terkait dengan homomorfisma dijelaskan pada lemma berikut ini.
Lemma 4 Diketahui M adalah R -modul dan N submodul M , submodul N adalah submodul essensial dari M maka untuk setiap R -modul L dan R -homomorfisma ϕ : M −→ L berlaku jika ϕ | N injektif maka ϕ injektif
Bukti. Misalkan M essensial extension dari N . Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang R - modul L , R -homomorfisma ϕ : M −→ L injektif jika ϕ | N injektif. Diketahui ϕ | N injektif maka Kerϕ | N = { 0 } . Akan ditunjukkan Kerϕ ∩ N = 0 . Ambil a ∈ Kerϕ ∩ N , maka a ∈ Kerϕ , akibatnya ϕ ( a ) = 0 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
10
Sementara itu, a ∈ N , akibatnya ϕ | N ( a ) = l ∈ L . Karena N ⊂ M maka 0 = ϕ ( a ) = ϕ | N ( a ) = l . Karena ϕ | N injektif haruslah a = 0 . Akibatnya, Kerϕ ∈ N = 0 . Jelas Kerϕ submodul dari M . Karena M essensial ekstention dari N berlaku jika Kerϕ ∩ N = 0 maka Kerϕ = 0 . Akibatnya ϕ injektif.
Dengan memanfaatkan R -monomorfisma diperoleh definisi submodul- CP yang termuat dalam Definisi berikut.
Definisi 6 [4] Submodul A dari R -modul B dikatakan CP jika pemetaan inklusi A , → B adalah CP .
Misalkan M adalah suatu R -modul dan N adalah suatu CP -submodul dari M . Modul M disebut essensial CP -ekstension dari N , jika tidak terdapat submodul taknol K dari M sehingga K ∩ N = 0 dan ( K + N ) /K adalah CP -submodul dari M/K .
Diketahui M adalah R -modul dan N submodul M , submodul N adalah submodul essen- sial dari M maka untuk setiap R -modul L dan R -homomorfisma ϕ : M −→ L berlaku jika ϕ | N injektif maka ϕ injektif. Dengan konsep yang serupa, untuk essensial CP -extension kita peroleh sifat sebagai berikut.
Lemma 5 [4] Misalkan N adalah CP -submodul dari R -modul M , modul M adalah essensial CP -extension dari N maka untuk setiap homomorfisma ϕ : M −→ L sehingga ϕ | N adalah CP -homomorfisma, maka ϕ injektif.
Lemma 6 [4] Misalkan N adalah CP -submodul dari R -modul M . Maka, terdapat submodul K dari M sehingga
1. K ∩ N = 0 ,
2. ( K + N ) /K adalah CP -submodul dari M/K ,
maka M/K adalah suatu CP -ekstension dari ( K + N ) /K .
Lemma 7 [4] Misalkan f : E −→ E 0 adalah suatu R -monomorfisma. Terdapat modul ekstent ion E 00 dari E dan isomorfisma g : E 00 −→ E 0 yang memperluas homomorfisma f sehingga g ( e ) = f ( e ) untuk setiap e ∈ E .
Jika M adalah suatu R -modul maka terdapat suatu ekstension D dari M sehingga D bersifat CP -injektif dan D memuat M sebagai CP -submodul. Untuk buktinya dapat dilihat pada Lemma berikut ini.
Lemma 8 [4] Misalkan M adalah R -modul. Terdapat suatu extension D dari M sehingga D bersifat CP -injektif dan D memuat M sebagai CP -submodul.
Sekarang, akan disajikan karakterisasi dari modul CP -injektif terkait essensial CP - extension sejati. Akan ditunjukkan suatu R -modul D merupakan CP -injektif jika dan hanya jika D tidak memiliki essensial CP - extension sejati.
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id 11 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Teorema 3 Misalkan D adalah R -modul. Maka pernyataan berikut ekivalen:
1. D adalah CP -injektif.
2. Untuk sebarang CP -monomorfisma f : A −→ B , setiap homomorfisma dari A ke D bisa diperluas menjadi homomorfisma dari B ke D .
3. Setiap barisan eksak CP 0 −→ D −→ M −→ N −→ 0 splits.
4. D adalah jumlah langsung dari setiap R -modul L sehingga D adalah CP -submodul dari L .
5. D tidak memiliki esensial CP -ekstension sejati.
Bukti. (1 −→ 2)
Diketahui D adalah CP -injektif. Karena 0 −→ A f − → B g − → B/f ( A ) −→ 0 eksak CP , maka 0 −→ Hom ( B/f ( A ) , D ) g 0 − → Hom ( B, D ) f 0 − → Hom ( A, D ) −→ 0 eksak. Perhatikan bahwa untuk setiap τ ∈ Hom ( A, D ) dan karena f injektif maka dapat dibentuk
σ 0 : Im ( f ) −→ D b 7−→ τ ◦ f − 1 ( b ) .
Karena 0 −→ Hom ( B/f ( A ) , D ) g 0 − → Hom ( B, D ) f 0 − → Hom ( A, D ) −→ 0 eksak, maka untuk sebarang τ ∈ Hom ( A, D ) terdapat σ ∈ Hom ( B, D ) . Sehingga f 0 ( σ ) = τ . Perhatikan bahwa σ 0 = σ | im ( f ) , artinya sebarang Hom ( A, D ) dapat diperluas menjadi hom ( B, D ) . (2 −→ 3) Diberikan f : A −→ B homomorfisma. Maka sebarang Hom ( A, D ) dapat diperluas menjadi Hom ( B, D ) . Pandang
0 −→ D f − → M g − → N −→ 0
eksak CP . Sehingga f : D −→ M adalah suatu CP -homomorfisma. Berdasarkan 2. dapat diperluas menjadi
σ : M −→ D
Karena τ pada, maka σ juga pada. Sehingga
γ : M −→ D ⊕ N m 7−→ σ ( m ) ⊕ g ( m )
Akan ditunjukkan γ pada. Ambil sebarang d ⊕ n ∈ D ⊕ N . Karena σ pada maka ∃ m ∈ M sehingga σ ( m ) = d . Karena g pada maka ∃ m ∈ M sehingga g ( m ) = n . Sehingga γ ( m ) = σ ( m ) ⊕ g ( m ) .
(3 −→ 4)
Karena 0 −→ D −→ M −→ N −→ ) splits maka M ∼ = D ⊕ N . D adalah CP -submodul dari R -modul L , maka 0 −→ D f − → L −→ L/im { f } −→ 0 . Karena 3. maka
L ∼ = D ⊕ L/im { f } .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
12
Jadi, D adalah suku langsung dari L .
(4 −→ 5) Misalkan M essensial CP ekstension dari D . Akibatnya tidak ada submodul tak nol K dari M sedemikian hingga K ∩ D = 0 dan K + D/K adalah CP -submodul dari M/K . Berdasarkan 4. M = L + D dan L ∩ D = 0 . Perhatikan bahwa L + D/L = M/L. Karena M essensial CP dari D artinya jika L ∩ D = 0 dan L + D/L adalah CP submodul dari M/K maka haruslah L = 0 . Jadi terbukti D = M.
(5 −→ 4) Misalkan L adalah CP - extension sejati dari D . Berdasarkan Lemma 6 terdapat submodul K dari L sehingga D + K/K adalah CP -submodul dari L/K . Dengan kata lain, L/K adalah CP - extension D + K/K dengan D ∩ K = 0 . Tetapi D tidak punya essensial CP -ekstension sejati. Berarti L = D. Maka
K = 0; D + D = L ; D ⊕ K = L.
Jadi D adalah suku langsung dari setiap R -modul L sehingga D adalah CP -submodul dari L . (4 −→ 1) D CP -submodul dari L dan L = D ⊕ K .
Berdasarkan Lemma 4. modul L adalah CP -injektif. Akibatnya berdasarkan Lemma 1 K dan D adalah CP -injektif.
Pengkajian yang telah dilakukan menunjukkan bahwa jika M adalah suatu R -modul maka terdapat suatu CP -Injektif R -modul D . Salah satu sifat dari modul CP -injektif jika dikaitkan dengan essensial CP - extension sejati adalah bahwa R -modul D merupakan CP -injektif jika dan hanya jika D tidak memiliki essensial CP -ekstension sejati.

## III. KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN
Pada penelitian ini telah dilakukan kajian mengenai modul CP -Injektif meliputi pemetaan bilinear, hasilkali tensor, pemetaan natural, barisan eksak, barisan eksak cyclically pure, monomor- fisma cyclically pure, submodul cyclically pure, pemetaan inklusi, dan modul injektif. Pengka- jian yang telah dilakukan menunjukkan bahwa jika M adalah suatu R -modul maka terdapat suatu CP -Injektif R -modul D .
Dalam penelitian ini penulis mengkaji salah satu karakterisasi dari modul CP -injektif yaitu suatu R -modul D merupakan CP -injektif jika dan hanya jika D tidak memiliki es- sensial CP -ekstension sejati. Penelitian lebih lanjut yang menarik untuk dilakukan adalah melakukan karakterisasi modul CP -injektif terkait dengan jumlah langsung dari modul-modul yang berbentuk Hom R ( L, E ) dengan E adalah R -modul injektif dan L adalah jumlah langsung dari family dari modul siklis yang dibangun secara hingga.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
13

## REFERENSI
[1] J.Xu, Flat Covers of Modules, Lecture Notes in Math . Berlin: Springer Vol 1634, 1996.
[2] L. Melkersson, “Small Cofinite Irreducibles”, J. Algebra, 1997.
[3] D.S. Passman, A Course In Ring Theory . USA: AMS, 1991.
[4] K. Divaani-Aazar, M.A. Esmkhani, M.Tousi., “Some Criteria of Cyclically Pure Injective Modules”, Proc. Amer. Math. Soc., in press, 2005.
[5] D.W. Sharpe, P. Vamos, Injective Modules, Cambridge Tracts in Math . Cambridge Univ. Press Vol. 62, 1972.
[6] K. Divaani-Aazar, M.A. Esmkhani, M.Tousi., “Two Characterizations of pure injective Modules”, Proc. Amer. Math. Soc.,
[7] F.W. Anderson, K.R Fuller, Rings and Categories of Modules . New York: Springer, 1974.
[8] Herzog, Ivo, “Pure Injective Envelopes”, Journal of Algebra and Its Applications Vol 02 No. 04, 2003.
[9] M. Prest, Model Theory and Modules, Lecture Notes in Math . London: Cambridge Univ Vol 130, 1988.
[10] Yokonuma, Takeo, Tensor Spaces and Exterior ALgebra . Providence: AMS, 1992.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
14