Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.9, No.1, Januari 2023, pp. 68~74
DOI:10.31605/saintifik.v9i1.418
ISSN 2622-8904 (online)
Kestabilan Model Petri Net pada Sistem Antrian Bank Menggunakan Metode Kestabilan Lyapunov
Suci Rahmawati* 1 , Farly Oktriany Haning 2 , Dian Yuliati 3 , Windy Lestari 4
1,4 Institut Sains dan Teknologi Nahdlatul Ulama Bali
2 Universitas Nusa Cendana
3 Universias Islam Negeri Sunan Ampel Surabaya e-mail: aing.chie@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  ini  mengembangkan  dari  hasil  penelitian tentang  pemodelan  sistem  antrian  di  salah  satu cabang bank X dengan menggunakan coloured petri nets . Penelitian sebelumnya membutuhkan waktu yang cukup lama untuk memperoleh waktu pelayanan nasabah yang  digunakan untuk menentukan nilai estimasi parameter  sebagai  validasi  model  tersebut.  Tujuan  penelitian  ini  adalah  mengkonstruksi Petri  Net sistem antrian bank X menggunakan software pipe v.4.3.0. Model petri net ini berbeda dengan model pada penelitian sebelumnya. Petri Net yang dikonstruksi lebih sederhana tetapi mampu merepresentasikan keadaan dan alur sistem  yang  sama.  Selanjutnya  dilakukan  analisis  kestabilan  model Petri  Net menggunakan  kestabilan Lyapunov untuk mengetahui kestabilan model tersebut. Hasil analisis kestabilan model sistem yang diperoleh pada penelitian ini menunjukkan bahwa model yang dibentuk menggunakan Petri Net merupakan model yang tidak stabil dan tidak dapat distabilkan. Model tidak stabil disebabkan oleh adanya transisi yang bersifat always enable .

## Kata kunci—Sistem Antrian, Petri Net, Kestabilan Lyapunov

## 1. PENDAHULUAN
Bank merupakan badan usaha yang menghimpun dana dari masyarakat dalam bentuk simpanan dan menyalurkannya  kepada  masyarakat  dalam  bentuk  kredit  atau  bentuk-bentuk  lainnya  dalam  rangka meningkatkan taraf hidup rakyat banyak. Hampir seluruh elemen masyarakat memanfaatkan bank dalam hal ini  yaitu  menjadi  nasabah  bank.  Hal  tersebut  disebakan  karena  bank  memberikan  banyak  jasa  yang  dirasa memiliki banyak fungsi di tengah masyarakat. Diantaranya adalah menyediakan pembiayaan dan penempatan dana,  memberikan  kredit,  dll.  Banyaknya  jumlah  nasabah  bank  dapat  menyebabkan  adanya  antrian  dalam pelayanan bank.
Antrian  pelayanan  bank  merupakan  salah  satu  kejadian  sistem  event  diskrit  yaitu  perubahan keadaannya terjadi pada waktu tertetu. kejadian sistem event diskrit dapat dimodelkan menggunakan petri net. Beberapa  penelitian  tentang  kejadian  sistem  event  diskrit  khususnya  sistem  antrian  telah  dilakukan (Hardiyanti, A., S., 2018; Dian, M., 2018; Osniman P, M., et al , 2021). Selain itu, Penelitan tentang kestabilan model sistem event diskrit menggunakan Petri Net yaitu kestabilan lyapunov pada pemodelan respirasi selular dengan petri net berwaktu (Melinda et al., 2019). Kestabilan model petri net dari sistem pembayaran tagihan listrik PT. PLN (Persero) Raya Ambon Timur dilakukan sebelumnya (Zumrotus S., 2021). Penelitian tentang konstruksi pemodelan sistem antrian bank menggunakan coloured petri net dan validasi model menggunakan Maxium  Likelihood  Estimation dalam  menentukan  nilai estimasi  parameter  (Rahmawati,  S.,  2016).  Pada penelitian tersebut membutuhkan waktu yang cukup lama agar dapat memperoleh waktu pelayanan nasabah yang  digunakan  untuk  menentukan  nilai  estimasi  parameter.  Oleh  karena  itu,  tujuan  penelitian  ini  adalah mengkonstruksi  model Petri  Net yang lebih  sederhana  namun mampu  merepresentasikan  keadaan  dan  alur sistem antrian pelayanan bank X pada penelitian sebelumnya. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan model Petri Net menggunakan kestabilan Lyapunov untuk mengetahui apakah model tersebut stabil atau tidak, jika tidak stabil akan ditunjukkan apakah model dapat distabilkan.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Penelitian ini dilakukan dengan beberapa tahapan yaitu pertama membentuk bagan alur sistem antrian pelayanan bank. Alur sistem tersebut diperoleh dari penelitian sebelumnya (Rahmawati, S., 2016). Tahapan kedua  mengkonstruksi  model Petri  Net sistem  antrian  pelayanan  bank  menggunakan pipe v4.3.0.    Ketiga menganalisa  kestabilan  model Petri  Net sistem  antrian  bank  menggunakan  kestabilan Lyapunov .  Beberapa teori terkait penelitian ini akan dipaparkan, diantaranya teori tentang Petri Net dan Kestabilan Lyapunov .

## 2.1. Petri Net.
Petri Net merupakan salah satu instrument untuk memodelkan suatu sistem kejadian diskrit. Pada Petri Net  kejadian  direpresentasikan  oleh  transisi.  Suatu  kejadian  dapat  terjadi  jika  beberapa  keadaan  dipenuhi. Keadaan dalam Petri Net berkaitan dengan place .
Definisi Petri Net  adalah himpunan {𝑃, 𝑇, 𝐴, 𝑤} dengan 𝑃 notasi dari himpunan berhingga place yaitu 𝑃 = {𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 } , 𝑇 merupakan  notasi  dari  himpunan  berhingga  transisi  yaitu 𝑇 = {𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑛 } , 𝐴 melambangkan  himpunan  semua arc (garis  berarah)  yang  menghubungkan  antara  place  dan  transisi, 𝑤 merupakan fungsi bobot dimana 𝑤: 𝐴 → {1,2,3, … } (Subiono, 2015).
Representasi dari suatu Petri net dapat berupa notasi matriks. Petri net dapat direpresentasikan dengan dua  matriks  yang  disebut  dengan  matriks backward  incidence (𝐴 𝑏 ) dan  matriks forward  incidence (𝐴 𝑓 ) . Masing-masing matriks memiliki ukuran 𝑛 × 𝑚 dengan 𝑛 adalah banyaknya place dan 𝑚 banyaknya jumlah transisi.  Elemen  dari  matriks  tersebut  merupakan  bilangan  bulat  tak  negatif.  Elemen  pada  matriks 𝐴 𝑏 merupakan nilai atau bobot garis busur berarah dari place ke transisi, untuk elemen matriks 𝐴 𝑓 yaitu bobot garis busur berarah dari transisi ke place . Matriks incidence (𝐴) adalah representasi dari model Petri Net yang diperoleh dengan cara mengurangi matriks forward incidence (𝐴 𝑓 ) dengan matriks backward incidence (𝐴 𝑏 ) (Adzkiya, D., 2008)
𝐴 = 𝐴 𝑓 − 𝐴 𝑏 (1)

## 2.2. Kestabilan Lyapunov pada Model Petri Net Sistem Event Diskrit
Misalkan 𝑒 𝑘 adalah notasi suatu vektor firing . Jika firing dilakukan hanya pada transisi 𝑡 𝑗 pada saat 𝑘 maka vektor firing 𝑒 𝑘 = [0,0, … ,0,1,0, … ] 𝑇 dimana elemen ke 𝑗 adalah 1 dan lainnya bernilai 0. Persamaan matriks yang menunjukkan perilaku dinamik yang ditunjukkan oleh model Petri Net yaitu sebagai berikut:
𝑀 𝑘 = 𝑀 + 𝐴𝑒 ; 𝑒 = ∑ 𝑒 𝑘 𝑑−1 𝑘=0 (2)
matriks 𝑀 𝑘 menunjukkan keadaan token pada place 𝑝 𝑖 pada saat ke- k dan 𝑀 adalah matriks incidence dari model Petri  Net mempunyai  keadaan 𝑀 𝑘 = [𝑀 𝑘 (𝑝 1 ), 𝑀 𝑘 (𝑝 2 ), … , 𝑀 𝑘 (𝑝 𝑚 )] 𝑇 menunjukan  suatu  keadaan sistem  yang  dimodelkan  dengan Petri  Net .  Kemudian  dimisalkan  suatu fungsi Lyapunov 𝑣(𝑘, 𝑀 𝑘 ) = 𝑀 𝑘 𝑇 𝜙 dimana 𝜙 adalah vektor dimensi 𝑚 dengan semua elemen bernilai lebih besar atau sama dengan nol merupakan vektor ( strictly positive ) (Smith, A., 2016).
Proposisi 1. Petri Net disebut stabil jika memuat 𝑚 vektor dengan seluruh elemen vektor adalah positif, dengan kata lain dapat diperoleh vektor 𝜙 ( strictly positive) sedemikian sehingga berlaku, (Konigsberg, Z.R., 2011): ∆𝑣 = 𝑒 𝑇 𝐴 𝑇 𝜙 ≤ 0 (3) Karena vektor firing 𝑒 selalu bernilai positif minimal ada satu elemen vektor 𝑒 yang bernilai lebih besar dari nol. Maka persamaan (3) cukup dibuktikan dengan (Zumrotus, S., 2021)
𝐴 𝑇 𝜙 ≤ 0 (4)
Proposisi 2. Petri Net dapat distabilkan jika terdapat vektor firing pada transisi yang mempunyai vektor firing 𝑒, sedemikian sehinga berlaku, (Konigsberg, Z.R., 2011):
𝐴𝑒 ≤ 0 (5)
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Alur Sistem Antrian Pelayanan Nasabah di Salah Satu Bank
Digambarkan suatu alur dari sistem antrian nasabah bank dari mulai nasabah datang masuk ke kantor bank,  kemudian  nasabah  mengambil  nomor  antrian  pada  mesin  yang  teah  disediakan,  stelah  memperoleh nomor  antrian  nasabah  menunggu  dipanggil  oleh  teller  atau customer  service (CS)  sesuai  dengan  nomor antriannya. Pada saat teller dan CS siap untuk melayani kepentingan nasabah, maka teller atau CS memanggil nasabah berdasarkan nomor antriannya, selanjutnya nasabah dilayani oleh teller atau CS sampai selesai. Alur sistem tersebut ditunjukkan oleh bagan pada Gambar 1.
Gambar 1. Alur Sistem Antrian Pelayan Nasabah Bank
Berdasarkan penjelasan alur sistem pada 3.1 akan dikonstruksi model Petri Net pada sistem antrian bank.

## 3.2. Model Petri Net Sistem Antrian pada Salah Satu Bank
Model Petri  Net dikontruksi  menggunakan software pipe v4.3.0.  Adapun  model  Petri  Net  yang dikonstruksi ditunjukkan oleh Gambar 2.
Nasabah Datang Nasabah Mengambiil No. Antrian Nasabah Menunggu dipanggil Teller CS Selesai dilayani dilayani Selesai
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 2 Bentuk Pemodelan Sistem Antrian Pelayanan Nasabah Bank Menggunakan Petri Net
Keterangan: 𝑝 1 = Nasabah antri mengambil no antrian bank 𝑝 2 = Nasabah menunggu urutan dipanggil Teller/CS untuk dilayani 𝑝 3 = Nasabah dilayani Teller 𝑝 4 = Idle / Teller yang siap melayani nasabah 𝑝 5 = Nasabah dilayani oleh CS 𝑝 6 = Idle / CS yag siap melayani nasabah 𝑡 1 = Nasabah datang ke bank 𝑡 2 = Nasabah mengambil nomor antrian 𝑡 3 = Nasabah dianggil teller sesuai nomor antrian 𝑡 4 = Nasabah selesai dilayani oleh Teller 𝑡 5 = Nasabah dipanggil oleh CS sesuai nomor antrian 𝑡 6 = Nasabah selesai dilayani oeh CS.
Dari  model Petri  Net yang  ditunjukkan  oleh  Gambar  2,  dapat  dibentuk  matriks backward incidence (𝐴 𝑏 ) sebagai berikut :
𝐴 𝑏 =
[
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0]
Dari model Petri Net yang ditunjukkan oleh Gambar 2 juga dapat dibentuk matriks forward incidence (𝐴 𝑓 ) sebagai berikut:
𝐴 𝑓 = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ]
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Matriks incidence (𝐴)
𝐴 = 𝐴 𝑓 − 𝐴 𝑏 𝐴 = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] − [ 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] 𝐴 =
[ 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 −1 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 ]

## 3.3. Kestabilan Model Petri Net Sistem Antrian Pelayanan Bank
Berdasarkan Petri Net yang telah dikonstruksi berdasarkan alur sistem pelayanan nasabah, selanjutnya akan di paparkan kestabilan dari model Petri Net tersebut. Kestabilan dianalisis menggunakan teori kestabilan Lypunov .
Suatu  Petri  Net  disebut  stabil  apabila  memuat 𝑚 stricly  positive vector 𝜙 .  Misalkan  vektor 𝜙 = [𝜙 1 , 𝜙 2 , … , 𝜙 6 ] 𝑇 dengan  mensubstitusikan  pada  persamaan  (3)  yaitu 𝐴 𝑇 𝜙 = 0 maka  diperoleh  vektor 𝜙 sebagai berikut:
𝐴 =
[ 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 −1 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 ]
𝐴 𝑇 𝜑 ≤ 0 [ 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 −1 1 ] [ 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝜙 4 𝜙 5 𝜙 6 ] = [ 0 0 0 0 0 0] 𝜙 1 = 0 −𝜙 1 + 𝜙 2 = 0 → 𝜙 2 = 𝜙 1 −𝜙 2 + 𝜙 3 − 𝜙 4 = 0 −𝜙 3 + 𝜙 4 = 0 → 𝜙 4 = 𝜙 3 𝜙 5 − 𝜙 6 = 0 → 𝜙 5 = 𝜙 6 −𝜙 2 − 𝜙 5 + 𝜙 6 = 0
Misalkan: 𝜙 3 = 𝜙 4 = 𝑠 , 𝜙 5 = 𝜙 6 = 𝑡
Jadi
[ 𝜙 1 𝜙 2 𝜙 3 𝜙 4 𝜙 5 𝜙 6 ] = [ 0 0 𝑠 𝑠 𝑡 𝑡] = [ 0 0 1 1 0 0] 𝑠 + [ 0 0 0 0 1 1] 𝑡
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Pada penyelesaian di atas terlihat bahwa didapatkan vektor 𝜙 yang tidak stricly positive. Oleh karena itu model Petri Net sistem antrian bank yang ditunjukkan oleh gambar 2 bersifat tidak stabil.
Selanjutnya akan ditunjukkan proses apakah model sistem antrian tersebut dapat distabilkan, dengan menggunakan persamaan (4) yaitu 𝐴𝑒 ≤ 0 dengan memisalkan 𝑒 = [𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , … , 𝑒 6 ] 𝑇 diperoleh vektor firing 𝑒 sebagai berikut:
[ 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 −1 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 −1 1 ] [ 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 4 𝑒 5 𝑒 6 ] = [ 0 0 0 0 0 0 ] 𝑒 1 − 𝑒 2 = 0 → 𝑒 1 = 𝑒 2 𝑒 2 − 𝑒 3 − 𝑒 6 = 0 𝑒 3 − 𝑒 4 = 0 → 𝑒 3 = 𝑒 4
−𝑒 3 + 𝑒 4 = 0 → 𝑒 4 = 𝑒 3 𝑒 5 − 𝑒 6 = 0 → 𝑒 5 = 𝑒 6 −𝑒 5 + 𝑒 6 = 0 → 𝑒 6 = 𝑒 5
Misalkan: 𝑒 1 = 𝑠 𝑒 2 = 𝑠 𝑒 3 = 𝑡 𝑒 4 = 𝑡 𝑒 2 − 𝑒 3 − 𝑒 6 = 0 𝑒 2 − 𝑒 3 = 𝑒 6 𝑠 − 𝑡 = 𝑒 6
Sehingga:
[ 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 4 𝑒 5 𝑒 6 ] = [ 𝑠 𝑠 𝑡 𝑡 𝑠 − 𝑡 𝑠 − 𝑡] = [ 1 1 0 0 1 1] 𝑠 + [ 0 0 1 1 −1 −1] 𝑡
Hasil tersebut di atas menunjukkan bahwa model Petri Net sistem antrian pelayanan yang ditunjukkan oleh  gambar  2  tidak  stabil  dan  tidak  dapat  distabilkan,  karena  tidak  memenuhi  syarat  bahwa  vektor firing 𝑒 selalu bernilai tak negatif (Zumrotus A., 2021).

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan tersebut di atas, dapat disimpulkan bahwa:
1. Bentuk  model  sistem  antrian  pelayanan  nasabah  bank  yang  dimodelkan  dengan  Petri  Net  adalah  tidak stabil.
2. Adapun penyebab model Petri Net tidak stabil yaitu dikarenakan terdapat suatu transisi yang selalu enable.
3. Model  Petri  Net  sistem  antrian  pelayanan  nasabah  bank  yang  ditunjukkan  oleh  gambar  2  merupakan bentuk model yang tidak dapat distabilkan.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
4. Model Petri Net tidak dapat distabilkan karena tidak memenuhi syarat bahwa vektor firing 𝑒 selalu bernilai tak negatif.
5. Berdasarkan penelitian ini Petri Net mampu merepresentasikan keadaan sistem antrian yang sama seperti pada penelitian sebelumnya.
6. Penelitian ini dapat dikembangkan dengan membentuk model aljabar maxplus berdasarkan model Petri Net pada sistem antrian pelayanan bank yang ditunjukkan oleh gambar 2.

## DAFTAR PUSTAKA
Adzkiya, D., (2008) Membangun Model Petri Net Lampu Lalu Lintas dan Simulasinya, Tesis, Program Pasca Sarjana Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)., Surabaya.
Afif, ahmad, & Mustofani, D. (2019). Model Rantai Pasok Pada Sistem Produksi Menggunakan Petri Net dan Aljabar  Max  Plus. UJMC  (Unisda  Journal  of  Mathematics  and  Computer  Science) , 5 (01),  1  -  8. https://doi.org/https://doi.org/10.52166/ujmc.v5i01.1465
Batubara, D, A., (2019) Pemodelan Sistem Antrian Pembuatan Kartu Kredit Bank Mega Menggunakan Petri Net, Tesis, Program Pascasarjana Matematika, Universitas Mercu Buana., Jakarta Barat.
Mustofani,  D.  (2018).  Model  Antrian  Pelayanan  Farmasi  Menggunakan  Petrinet  dan  Aljabar  Max- Plus. JMPM: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , 3 (1), 33-43.
Hardiyanti, S. A., Yuniawati, I., & Yustita, A. D. (2017). Bentuk petri net dan model aljabar max plus pada sistem pelayanan pasien rawat jalan Rumah Sakit Al Huda Genteng, Banyuwangi. UJMC (Unisda Journal of Mathematics and Computer Science) , 3 (2), 1-8.
Konigsberg, Z. R. (2013). Timed petri nets modeling and lyapunov/max-plus algebra stability analysis for a type of queuing systems. International journal of pure and applied mathematics , 86 (2), 301-323.
Sari,  M.  M.,  &  Mariatul  Kiftiah,  Y.  KESTABILAN  LYAPUNOV  PADA  PEMODELAN  RESPIRASI SELULAR  DENGAN  PETRI  NET  BERWAKTU. Bimaster:  Buletin  Ilmiah  Matematika,  Statistika  dan Terapannya , 8 (1). 35-42. http://dx.doi.org/10.26418/bbimst.v8i1.30515
Maure, O. P., Ningsi, G. P., & Nay, F. A. (2021). Pemodelan Sistem Antrian Pasien Rawat Jalan Menggunakan Petri Net dan Aljabar Max-Plus: Studi Kasus RSU di Yogyakarta. Leibniz: Jurnal Matematika , 1 (2), 1-11. Retrieved from https://ejurnal.unisap.ac.id/index.php/leibniz/article/view/101
Muhammad,  H.,  & Wahyuni,  S.  (2022).  Generalization  of  Von-Neumann  Regular  Rings to  Von-Neumann Reg-ular Modules. KONFERENSI NASIONAL MATEMATIKA XXI 2022 , 22 , 31.
Smith,  A.  (2017).  Lyapunov  Stability  Analysis  of  Initiation  Process  in  DNA  (Deoxyribonucleid  Acid) Translation Using Petri Net. Applied Mathematical Sciences Journal , 11 (64), 3153-3162.
Subiono, A. M. M. P. (2015). Terapannya. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember .
Subiono,  S.,  &  Sya’diyah,  Z.  (2011).  Lyapunov-Max-Plus-Algebra  Stability  in  Predator-prey  Systems Modeled  with  Timed  Petri  Net. IPTEK  The  Journal  for  Technology  and  Science , 22 (3). http://dx.doi.org/10.12962/j20882033.v22i3.70
Sya'diyah, Z. (2021). Kestabilan Model Petri Net dari Sistem Pembayaran Tagihan Listrik PT. Pln (Persero) Rayon Ambon Timur. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan , 15 (4), 601-606.