## Pengendalian Optimal Model Epidemi Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Pengobatan pada Manusia dan Depopulasi pada Unggas

## Wahyuni Ningsih
Politeknik Negeri Malang wahyuni_04@polinema.ac.id

## ABSTRAK
Pengendalian  optimal  terhadap  penyebaran  flu  burung  melalui  pendekatan  model  epidemi  flu burung  pada  unggas  dan  manusia  dilakukan  dengan  menggunakan  prinsip  Pontryagin. Pengendalian  ini  bekerja  dengan  menambahkan  variabel  kendali  pada  model  matematika  dan mengoptimalkan  fungsional  objektif.  Variabel  kendali  yang  ditambahkan  pada  model  berupa pengobatan  pada  subpopulasi  manusia  yang  terinfeksi  dan  depopulasi  pada  subpopulasi  unggas yang  terinfeksi.  Tujuan  dari  pengendalian  ini  yaitu  untuk  meminimumkan  jumlah  subpopulasi manusia  yang  terinfeksi  dan  jumlah  subpopulasi  unggas  yang  terinfeksi  serta  biaya  yang diperlukan selama pengobatan dan depopulasi. Model diselesaikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta. Sementara proses pengendalian diselesaikan secara numerik dengan bantuan toolbox DOTcvpSB  pada  bahasa  pemrograman  Matlab.  Setelah  dibandingkan  dengan  hasil simulasi numerik model epidemi flu burung tanpa kendali, hasil simulasi numerik model epidemi flu  burung  dengan  kendali  menunjukkan  bahwa  pengobatan  mampu  menurunkan  jumlah subpopulasi manusia  yang terinfeksi  hampir  100%. Begitu juga  dengan depopulasi yang  mampu menurunkan jumlah subpopulasi unggas yang terinfeksi hampir 100%. Sehingga dengan kata lain penyebaran  virus  flu  burung  dapat  dikendalikan  dengan  baik  jika  dilakukan  depopulasi  pada unggas yang terinfeksi dan pengobatan pada manusia yang terinfeksi.
Kata kunci : depopulasi, flu burung, kendali optimal, model epidemi, pengobatan, Pontryagin.

## ABSTRACT
Optimal control of the spread of avian influenza in avian-human population through the epidemic model is carried out using Pontryagin principle. This control works by adding control variables to the  mathematical  model  and optimizing  the  objective  function.  Treatment  in  the  infected  human subpopulation  and  depopulation  in  the  infected  avian  subpopulation  are  added  in  the  model  as control  variables.  The  aim  of  this  control  is  to  minimize  the  number  of  infected  human subpopulations  and  the  number  of  infected  avian  subpopulations  as  well  as  the  costs  involved during  treatment  and  depopulation.  The  models  are  solved  numerically  using  the  Runge  Kutta method.  And  the  solution of  optimal  control  is  carried  out  using  DOTcvpSB  toolbox  in  Matlab. After comparing with the numerical simulation results of AI epidemic model without control, the results of a controlled AI epidemic model showed that treatment was able to reduce the number of infected people by almost 100%. Likewise, depopulation was able to reduce the number of infected avian subpopulations by almost 100%. So in other words, the spread of the avian influenza virus can be controlled properly if depopulation of infected avian and treatment of infected humans is carried out.
Keywords : avian influenza, depopulation, epidemic model, optimal control, Pontryagin, treatment.

## 1. PENDAHULUAN
Virus avian  influenza (AI)  atau  flu  burung,  khususnya  yang  tipe  A  (H5N1)  sebagai salah  satu  penyakit  zoonosis  yang  bersifat  pandemik  yang  tidak  hanya  menyerang  hewan (unggas) tapi juga menginfeksi manusia, telah mewabah di Afrika, Asia, Timur Tengah, dan beberapa  wilayah  di  Eropa  (WHO,  2021).  Bermula  dari  tahun  1996,  virus  ini  hanya menyerang  unggas.  Namun  sejak  tahun  1997,  virus  ini  telah  menginfeksi  manusia  di Hongkong (WHO, 2014). Kemudian sejak tahun 2003 hingga Januari 2021 telah dilaporkan sekitar  53%  manusia  yang  meninggal  dari  kasus  yang  terinfeksi  virus  H5N1  di  dunia. Sementara  itu,  di  Indonesia  sendiri  telah  terkonfirmasi  sebanyak  200  kasus  dan  84%  nya meninggal terhitung sejak tahun 2005 hingga Januari 2021 (Biro Komunikasi dan Pelayanan Masyarakat, 2017).
Penularan  virus  flu  burung  lebih  mudah  terjadi  di  antara  unggas  dan  dari  unggas  ke manusia,  daripada  penularan  dari  manusia  ke  manusia.  Penularan  virus  ini  biasanya  terjadi baik pada unggas liar maupun unggas peternakan. Sementara manusia bisa tertular jika terjadi kontak langsung dengan unggas yang terinfeksi. Peristiwa ini kemudian digambarkan dalam model  epidemi  untuk  diteliti  dan  dianalisis  pola  penyebarannya.  Chong,  dkk  (Chong  et  al., 2014) mengembangkan model matematika penularan virus flu burung yang dipengaruhi half- saturated incidence yang dapat menentukan tingkat terjangkitnya flu burung pada unggas dan manusia.  Kemudian  (Liu  et  al.,  2016)  mengkonstruksi  model  penularan  dari  unggas  ke manusia dengan hukum yang berbeda dari populasi unggas, satu dengan pertumbuhan logistik dan yang lainnya dengan efek Allee. Serta analisis kestabilan yang dilakukan oleh (Ningsih, 2013)  pada  model  epidemi  flu  burung  pada  unggas  dan  manusia  dengan  penambahan subpopulasi  manusia  dibawah  pengaruh  vaksinasi.  Dan  masih  banyak  yang  lain  dengan pendekatan atau sudut pandang masing-masing.
Penyebaran virus flu burung ini jelas memberikan dampak buruk. Tidak hanya dari sisi kesehatan pada manusia, tapi juga dari sisi ekonomi pada peternakan unggas. Upaya yang bisa dilakukan  diantaranya  yaitu  dengan  menjaga  kesehatan  diri,  melakukan  vaksinasi,  isolasi mandiri  ketika  terinfeksi,  dan  tidak  mendatangi  area  yang  terjangkit  wabah.  Selain  itu, depopulasi  terhadap  populasi  unggas  yang  terinfeksi  virus  flu  burung  juga  perlu  dilakukan agar  dapat  meminimalisir  bahkan  menekan  penyebaran  virus.  Melalui  pendekatan  model matematika,  proses  pengendalian  suatu  sistem  bisa  dilakukan  dengan  menerapkan  prinsip Pontryagin seperti  yang dilakukan oleh  (Ningsih et al., 2019),  (Kasbawati,  2011), (Taslima, 2011), (Agusto, 2013), dan (Izzati et al., 2020). Sementara analisis terhadap model matema- tika  penyebaran  virus  flu  burung  pada  unggas-manusia  tanpa  kendali  telah  dilakukan  oleh beberapa peneliti seperti yang dilakukan  oleh (Ningsih, 2013).  Sehingga  pada penelitian ini dilakukan pengendalian terhadap model matematika yang dikaji oleh (Ningsih, 2013) tersebut dengan  menerapkan  prinsip  Pontryagin  serta  membandingkan  hasil  simulasi  numerik  dari model tanpa kendali tersebut dengan model di bawah pengaruh kendali.

## 2. METODE
Pengendalian terhadap model epidemi flu burung yang terjadi pada unggas dan manusia dilakukan dengan menggunakan prinsip Pontryagin. Prinsip Pontryagin secara umum bekerja
dengan  tujuan  untuk  mendapatkan  nilai  yang  optimum  dari  variabel  kendali  (Naidu,  2002), (Sethi  &  Thompson,  2000).  Setelah  diperoleh  variabel  kendali  yang  optimum,  selanjutnya model  diselesaikan  secara  numerik  dan  disimulasikan  dengan  memanfaatkan toolbox DOTcvpSB  (Hirmajer  et  al.,  2008)  (Hirmajer  et  al.,  2009).  Dari  hasil  simulasi  numerik diperoleh  grafik  profil  variabel  kendali  dan  profil  perilaku  sistem.  Setelah  itu  dilakukan interpretasi  untuk  menggambarkan  kondisi  sistem  dengan  kendali.  Serta  membandingkan antara  profil  perilaku  sistem  tanpa  kendali  dengan  sistem  yang  berada  dibawah  pengaruh kendali.
Model  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yaitu  model  yang  dikaji  dan  dianalisis kestabilannya  oleh  Ningsih  (Ningsih,  2013).  Model  epidemi  tersebut  terdiri  dari  empat subpopulasi  manusia  dan  dua  subpopulasi  unggas.  Subpopulasi  tersebut  adalah 𝑆 (𝑡) yaitu subpopulasi  unggas  yang  rentan  terhadap  flu  burung; 𝐼 (𝑡) yaitu  subpopulasi  unggas  yang terinfeksi flu burung; 𝑆 (𝑡) yaitu subpopulasi manusia yang rentan terhadap flu burung; 𝑉 (𝑡) yaitu  subpopulasi  manusia  yang  telah  divaksin; 𝐼 (𝑡) yaitu  subpopulasi  manusia  yang terinfeksi  flu  burung;  dan 𝑅 (𝑡) yaitu  subpopulasi  manusia  yang  sembuh  dari  flu  burung. Laju pertumbuhan tiap subpopulasi  tersebut  dipengaruhi oleh waktu 𝑡 . Proses penularan flu burung tersebut digambarkan dalam diagram kompartemen yang ditunjukkan oleh Gambar 1.
Gambar 1. Diagram Kompartemen Penularan Flu Burung pada Unggas-Manusia (Ningsih, 2013)
Berdasarkan diagram kompartemen dan asumsi yang dibangun, dapat dituliskan model matematikanya seperti yang ditunjukkan oleh Model (1).
      ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 3 3 2 1 2 1 t I N t I t S t I N t I t S t S N t S t R t I t R t I N t I t V N t I t S t I t V N t I t V N t V t R t V N t I t S t S N t S b b b b b b b b b b b b b b h h h h b b h b b h h h b b h h h h h b b h h h h                                                   (1)
Dengan 𝑁 = 𝑆 + 𝑉 + 𝐼 + 𝑅 dan 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 masing-masing  adalah  total  dari tiap populasi. Adapun tiap asumsi parameternya yaitu tingkat kelahiran dan kematian manusia 𝜇 yang  nilainya  dianggap  sama,  tingkat  kelahiran  dan  kematian  unggas 𝜇 yang  nilainya dianggap  sama,  tingkat  kontak  rata-rata  antara  manusia  rentan  dan  unggas  terinfeksi 𝛽 , tingkat  kontak  rata-rata  antara  manusia  yang  divaksin  dengan  unggas  terinfeksi 𝛽 ,  tingkat kontak  rata-rata  antara  unggas  rentan  dengan  unggas  terinfeksi 𝛽 ,  bagian  dari  populasi manusia  yang  diberi  vaksin  (obat  pencegah  flu) 𝜀 ,  tingkat  kesembuhan  manusia  yang terinfeksi 𝛾 ,  tingkat  hilangnya  kekebalan  manusia  sehat  sehingga  kembali  rentan 𝜎 ,  dan tingkat menurunnya vaksin pada manusia akibat hilangnya kekebalan alami sehingga kembali rentan 𝜃 . Semua nilai parameter tersebut diasumsikan bernilai positif. Hasil analisis stabilitas model  yang  dikaji  oleh  (Ningsih,  2013)  tersebut  menunjukkan  bahwa  penyebaran  virus  flu burung pada unggas-manusia masih terjadi karena titik setimbang endemiknya bersifat stabil asimtotis lokal.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Model Epidemi Flu Burung dengan Kendali
Pengembangan  Model  (1) dilakukan dengan  menambah varibel  kendali 𝑢 (𝑡) sebagai depopulasi  pada  subpopulasi  unggas  yang  terinfeksi  dan 𝑢 (𝑡) sebagai  pengobatan  pada subpopulasi manusia yang terinfeksi (mengganti parameter 𝛾 ). Untuk lebih jelasnya, kondisi ini dapat diilustrasikan dalam diagram kompartemen yang ditunjukkan oleh Gambar 2.
Gambar 2. Model Epidemi Flu Burung dengan Kendali
Berdasarkan diagram kompartemen Gambar 2, pengembangan Model (1) dituliskan da- lam Model (2). Adapun tujuan dari penambahan variabel kendali 𝑢 (𝑡) dan 𝑢 (𝑡) yaitu untuk menekan laju pertumbuhan subpopulasi yang terinfeksi. Dengan adanya 𝑢 (𝑡) diharapkan laju pertumbuhan subpopulasi unggas yang terinfeksi 𝐼 menurun sehingga tingkat individu yang terinfeksi  dapat  berkurang.  Begitu  juga  dengan 𝑢 (𝑡) diharapkan  laju  pertumbuhan  sub- populasi 𝐼 dapat menurun atau dengan kata lain sembuh melalui pengobatan yang diberikan.
      ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 3 3 2 2 2 1 2 1 t I t u t I N t I t S t I N t I t S t S N t S t R t I t u t R t I t u N t I t V N t I t S t I t V N t I t V N t V t R t V N t I t S t S N t S b b b b b b b b b b b b b b b h h h h b b h b b h h h b b h h h h h b b h h h h                                                  (2)

## 3.2. Daerah Batas Penyelesaian
Batasan  penyelesaian  Model  (2)  dapat  diperoleh  dengan  cara  mengasumsikan  bahwa
𝑁 (𝑡) = 𝑆 (𝑡) + 𝑉 (𝑡) + 𝐼 (𝑡) + 𝑅 (𝑡) sehingga ( ) = ( ) + ( ) + ( ) +
( ) . Dengan mensubstitusi Model (2), maka diperoleh 𝑁 (𝑡) = 𝐶 dengan 𝐶 bernilai konstan. Dan diasumsikan tiap subpopulasi bernilai positif. Sehingga dapat dikatakan 0 < 𝑁 (𝑡) ≤ 𝐶 .

## 3.3. Kendali Optimal pada Model
Setelah  terbentuk  model  matematika  dengan  variabel  kendali  yaitu  Model  (2),  maka selanjutnya  menentukan  performa  index  yang  digunakan.  Pengendalian  ini  bertujuan  untuk meminimumkan fungsi biaya atau performa index atau fungsional objektif yang ditunjukkan oleh persamaan (3).
         T h b dt u A u A t I t I u u J 0 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 ) ( ) ( ) , ( (3)
Adapun yang akan diminimumkan yaitu jumlah subpopulasi unggas yang terinfeksi dan jumlah  subpopulasi  manusia  yang  terinfeksi.  Selain  itu  biaya  atas  pengobatan 𝐼 (𝑡) dan depopulasi 𝐼 (𝑡) juga diminimumkan.  Sehingga  fungsi biaya  tersebut  nonlinear.  Fungsional objektif berbentuk quadratik dimaksudkan untuk menghitung biaya pengendalian. Sementara 𝐴 dan 𝐴 bertindak sebagai koefisien penyeimbang. Penentuan variabel kendali yang optimal 𝑢 ∗ dan 𝑢 ∗ dapat dituliskan sebagai
)} , ( { min ) , ( 2 1 * 2 * 1 u u J u u J u  (4) dengan himpunan kendali     2 , 1 , 1 ) ( 0 ) ( ), ( 2 1     i t u t u t u U i .
Langkah  selanjutnya  yaitu  menentukan  solusi  kendali  optimal  yang  diperoleh  dengan cara menentukan bentuk Lagrangian dari persamaan (3) terlebih dahulu yaitu
2 2 2 2 1 1 2 2 ) ( ) ( u A u A t I t I L h b     .
Sehingga bentuk fungsi Hamiltoniannya yaitu
f L H T     
dengan
  b b h h h h I S R I V S T          dan   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t I t S t R t I t V t S f b b h h h h T         .
Selanjutnya  menentukan  kondisi  stasioner  dari  Hamiltonian  dengan  meminimumkan fungsi 𝐻 terhadap 𝑢 , 𝑢 .
1 * * 1 * 1 0 A I u u H b I b             2 * * * * 2 * 2 0 A I I u u H h R h I h h              
Sehingga diperoleh variabel kendali yang optimal yaitu
       
         1 * * * 1 , 0 max , 1 min A I u b I b  dan                   2 * * * * * 2 , 0 max , 1 min A I I u h R h I h h  
Formula  variabel  kendali  yang  optimal  tersebut  kemudian  disubstitusikan  ke  persamaan Hamiltonian untuk memperoleh formula Hamiltonian 𝐻 ∗ yang optimal. Dari 𝐻 ∗ selanjutnya ditentukan variabel state dan costate yang optimal sebagai berikut.
Variabel State
    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( * * * * 1 * * * t R t V N t I t S t S N H t S h h b b h h h S h h                   
          ) ( ) ( ) ( ) ( * * * 2 * * t V N t I t V N H t V h b b h h V h h                        ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * 2 2 * * 2 2 * * * * 2 * * 1 * * t I A t I A t I N t I t V N t I t S H t I h h R h I b b h b b h I h h h h                            ) ( ) ( 2 ) ( ) ( * 2 2 * * 2 2 * * * * t R A t I A t I H t R h h R h I R h h h h                        b b b b b b b S b N t I t S t S N H t S b ) ( ) ( ) ( ) ( * * 3 * * *                      1 2 * * * * * 3 * * ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( A t I t I N t I t S H t I b I b b b b b I b b b                   
Variabel Costate                            b b I b b S h S N t I N t I S H t h h h ) ( ) ( ) ( * 1 * * 1 * * *            b b I b b V S h V N t I N t I V H t h h h h ) ( ) ( ) ( * 2 * * 2 * * * *                                
      2 * * * * 2 * * * * * * ) ( 2 ) ( 2 ) ( A t I A t I I H t h R I R h R I I h I h h h h h h h                                                        
* * * * ) ( h h h R S h R R H t    b b I b b b S b S N t I N t I S H t b b b ) ( ) ( ) ( * 3 * * 3 * * *                                                             1 * * * 3 * * 3 * * * ) ( 2 ) ( ) ( ) ( A t I N t S N t S I H t b I b b b I b b S b I b b b b        
Terlihat  bahwa  variabel state dan costate nya  berbentuk  nonlinear.  Sehingga  solusinya tidak dapat diperoleh secara analitik. Untuk itu, diperlukan bantuan toolbox DOTcvpSB pada bahasa pemrograman Matlab untuk memperoleh solusi numeriknya yang diilustrasikan dalam bentuk grafik.

## 3.4. Simulasi Numerik dan Analisis Hasil
Solusi  numerik  pada  Model  (1)  dan  Model (2)  dilakukan dengan  menerapkan  metode Runge-Kutta  orde  4.  Kemudian  hasilnya  disimulasikan  menggunakan  bahasa  pemrograman Matlab.  Adapun  nilai  parameter  dari  model  yang  digunakan  dalam  simulasi  numerik ditunjukkan oleh Tabel 1. Dan nilai awal tiap variabel diasumsikan 𝑆 (0) = 𝑉 (0) = 𝐼 (0) = 𝑅 (0) = 𝑆 (0) = 𝐼 (0) = 1 .
Dengan  menggunakan  nilai  parameter  pada  Tabel  1,  maka  hasil  simulasi  dari  model epidemi  flu  burung  pada  unggas-manusia  tanpa  kendali  ditunjukkan  oleh  Gambar  3. Sementara hasil simulasi dari model epidemi flu burung pada unggas-manusia dengan kendali ditunjukkan oleh Gambar 4.
Tabel 1. Asumsi Nilai Parameter Parameter Nilai 𝜇 0,2 𝜇 0,02 𝛽 0,026 𝛽 0,035 𝛽 0,045 𝜀 0,2 𝜃 0,06 𝜎 0,04 𝛾 0,09 𝐴 0,01 𝐴 0,01
Gambar 3. Profil Penyebaran Virus Flu Burung pada Unggas-Manusia Tanpa Kendali
Dari  Gambar 3  tersebut, terlihat bahwa  subpopulasi  manusia  yang  terinfeksi 𝐼 masih ada  meskipun  cenderung  stabil.  Begitu  juga  dengan  subpopulasi  unggas  yang  terinfeksi 𝐼 juga masih ada bahkan menunjukkan peningkatan jumlah subpopulasi. Kondisi ini bisa dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Perkembangan Nilai Variabel State 𝐼 dan 𝐼 Variabel State Nilai Variabel State Tiap Waktu 10 20 30 40 50 𝐼 0.2097  0.1834  0.1857  0.1879  0.1896 𝐼 1.0226  1.0410  1.0557  1.0675  1.0768
Gambar 4. Profil Penyebaran Virus Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Kendali
Hasil  simulasi  dari  Model  (2)  yang  ditunjukkan  oleh  Gambar  4  berupa  semakin menurunnya tingkat penyebaran flu burung pada unggas-manusia. Terlihat bahwa subpopulasi manusia yang terinfeksi 𝐼 dan subpopulasi unggas yang terinfeksi 𝐼 nilai variabel statenya mendekati nol dalam rentang waktu 0 < 𝑡 < 5 .
Gambar 5. Profil Subpopulasi Manusia yang Terinfeksi dan Subpopulasi Unggas yang Terinfeksi Sebelum Dilakukan Pengendalian dan Setelah Dilakukan Pengendalian.
Kondisi dari Gambar 3 dan Gambar 4 lebih jelasnya ditunjukkan oleh Gambar 5 yaitu grafik  perbandingan  antara  profil  subpopulasi  manusia  yang  terinfeksi 𝐼 dan  profil subpopulasi  unggas  yang  terinfeksi 𝐼 sebelum  dan  sesudah  pengendalian.  Pada  Gambar  5 tersebut terlihat bahwa sebelum dilakukan pengendalian, jumlah subpopulasi 𝐼 dan 𝐼 tidak menunjukkan penurunan. Dengan kata lain masih terjadi penyebaran virus baik pada populasi unggas maupun manusia.  Sementara setelah dilakukan  upaya pengendalian, pada Gambar 5 tersebut terlihat bahwa jumlah subpopulasi 𝐼 dan 𝐼 mengalami penurunan yang signifikan. Hal ini juga diperkuat oleh nilai dari kedua variabel state tersebut untuk tiap waktu tertentu yang ditunjukkan oleh Tabel 3 berikut.
Tabel 3. Perbandingan Nilai Variabel State 𝐼 dan 𝐼 Sebelum dan Sesudah Pengendalian Kondisi* Nilai Variabel State tiap Waktu 𝑰 𝒉 𝑰 𝒃
10
30 50 10 30 50 T 0.2097 0.1857 0.1896  1.0226  1.0557 1.0768 K 0.00084  0.00004  0.00001  0.0011  0.00007  0.00002
*keterangan: T artinya tanpa kendali, K artinya dengan kendali
Berdasarkan simulasi  tersebut, pengobatan  pada  manusia  dan  depopulasi  pada  unggas yang secara berturut-turut dinyatakan sebagai variabel kendali 𝒖 𝟐 (𝒕) dan 𝒖 𝟏 (𝒕) dapat bekerja dengan baik. Profil dari variabel kendali ini ditunjukkan oleh Gambar 6.
Gambar 6. Profil Variabel Kendali 𝑢 (𝑡) dan 𝑢 (𝑡)
Dari Gambar 6 tersebut terlihat bahwa nilai variabel kendali diberikan secara maksimal yaitu 𝑢 = 1 dan 𝑢 = 1 untuk  rentang  waktu 0 ≤ 𝑡 < 5 .  Dengan  kata  lain,  pada  waktu rentang ini, pengendalian dilakukan secara maksimal  untuk menekan jumlah subpopulasi 𝐼 dan 𝐼 (lihat Gambar 5.). Meskipun jumlah subpopulasi 𝐼 dan 𝐼 sudah dapat dikendalikan, namun pengendalian terus dilakukan dengan menurunkan tingkat pengendalian (nilai variabel kendali)  secara bertahap  tiap waktu hingga  penyebaran  virus  flu  burung  dapat  dikendalikan secara optimal.

## 4. SIMPULAN
Penyebaran virus flu burung pada unggas-manusia yang dimodelkan dalam matematika ini  dapat  terlihat  bahwa  proses  pengendalian  dapat  dilakukan.  Upaya  pengobatan  pada manusia yang terinfeksi dan depopulasi pada unggas yang terinfeksi yang telah ditambahkan sebagai variabel kendali mampu mengendalikan jumlah yang terinfeksi tersebut dengan baik. Hal ini ditunjukkan dengan menurunnya jumlah subpopulasi baik pada subpopulasi manusia yang  terinfeksi 𝐼 maupun  pada  subpopulasi  unggas  yang  terinfeksi 𝐼 ketika  dalam pengendalian  jika  dibandingkan  dengan  jumlah  keduanya  ketika  belum  dilakukan pengendalian.  Penurunan  jumlah  subpopulasi  dari  masing-masing  subpopulasi  ini  berkisar 99,9%. Sehingga dapat dikatakan bahwa pengendalian yang dilakukan secara bertahap sesuai dengan  profil  variabel  kendali  ini  dapat  dijadikan  sebagai  acuan  dalam  meminimumkan jumlah  subpopulasi  yang  terinfeksi  tersebut.  Dengan demikian  penyebaran  virus  flu  burung dapat  dikendalikan  dengan  optimal.  Namun,  model  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini masih  sederhana.  Sehingga  kedepannya  bisa  dilakukan  penelitian  lebih  lanjut  dengan mengembangkan model menjadi lebih kompleks dan mendekati kondisi yang sebenarnya.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Agusto, F. B. (2013). Optimal isolation control strategies and cost-effectiveness analysis of a two-strain avian influenza model. BioSystems Journal , 113 , 155–164.
Biro Komunikasi dan Pelayanan Masyarakat. (2017). Kemenkes Umumkan Kasus Flu Burung ke 200. Kementerian Kesehatan RI.
Chong,  N.  S.,  Tchyenche,  J.  M.,  &  Smith,  R.  J.  (2014).  A  mathematical  model  of  avian influenza with half-saturated incidence. Theory Biosci , 133 , 23–38.
Hirmajer,  T.,  Balsa  Canto,  E.,  &  Banga,  J.  R.  (2009).  DOTcvpSB  a  Software  Toolbox  for Dynamic Optimization in System Biology. BMC Bioinformatics , 10 (199), 1–14.
Hirmajer, T., Balsa Canto, E., Fikar, M., & Banga, J. R. (2008). Technical Report DOTcvp: Dynamic  Optimization  Toolbox  with  Control  Vector  Parameterization  approach. https://www.researchgate.net/publication/228552084
Izzati,  N.,  Andriani,  A.,  &  Robi’aqolbi,  R.  (2020).  Optimal  control  of  diphtheria  epidemic model with prevention and treatment. Journal of Physics : Conference Series , 1663 .
Kasbawati.  (2011).  Kontrol  Optimal  Upaya  Pencegahan  Infeksi  Virus  Flu  Burung  H5N1 dalam Populasi Burung dan Manusia. Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi , 8 (1), 12–24.
Liu,  S.,  Ruan,  S.,  &  Zhang,  X.  (2016).  Nonlinear  Dynamics  of  Avian  Influenza  Epidemic Models. Mathematical Biosciences.
Naidu, D. S. (2002). Optimal Control Systems . CRC Press.
Ningsih,  W.  (2013). Analisis  Stabilitas  dan  Sensitivitas  Model  Epidemik  Flu  Burung  pada Unggas-Manusia dengan Vaksinasi [Program Sarjana]. Matematika ITS.
Ningsih,  W.,  Sumardi,  Riskiyah,  I.,  &  Arystianto,  D.  (2019).  Kendali  Optimal  Model Matematika  Penyebaran  Rumor  pada  Jaringan  Sosial  Daring  dengan  Pemberian Pernyataan  Balasan. Prosiding  SI  MaNIs , 3 ,  017–027.  http://conferences.uin- malang.ac.id/index.php/SIMANIS/article/view/903
Sethi, S. P., & Thompson, G. L. (2000). Optimal Control Theory Application to Management Science and Economics Second Edition. Springer.
Taslima.  (2011).  Kendali  Optimal  pada  Pencegahan  Wabah  Flu  Burung  dengan  Eliminasi,
Karantina, dan Pengobatan. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya .
WHO.  (2014). H5N1  highly  pathogenic  avian  influenza:  Timeline  of  major  events. www.who.int
WHO.  (2021). Cumulative  number  of  confirmed  human  cases  for  avian  influenza  A(H5N1) reported to WHO, 2003-2020 . www.who.int