## Jurnal Kajian Pembelajaran Matematika
VOLUME 1 NOMOR 1, APRIL 2017
ISSN: 2549 – 8584 (online). http://journal2.um.ac.id/index.php/jkpm

## PENALARAN PROPORSIONAL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MULTIPLIKATIF TIPE PRODUCT OF MEASUREMENT
Uun Hariyanti 1 ,  Edy Bambang Irawan 2 ,  Erry Hidayanto 3 1, 2, 3 Universitas Negeri Malang
1 nyunstory@gmail.com, 2 edy.bambang.fmipa@um.ac.id, 3 erry.hidayanto.fmipa@um.ac.id

## Abstract
This  study  aims  to  explore  students’  proportional  reasoning  in  solving  multiplicative  problems  on  products  of measurement type. Three 8 grade students of Public Junior High School 21 Malang were being purposively studied. The sampling technique is also called as the judgement sampling. Data then was being analyzed in three steps: data reduction, data  presentation,  and  conclusion  drawing/verification.  The  data  were  studied  and  analyzed  based  on  Bexter’s  and Junker’s Constructions of Proportional Reasoning theory consisting of five stages: (1) qualitative; (2) early attempts at quantifying;  (3)  recognition  of  multiplicative  relationships;  (4)  accommodating  covariance  and  invariance,  and  (5) functional and scalar relationships. Result shows that students with low capability (S1) solved problems by registering the number of first measurement then pair it with second measurement by summing the two measurements identified as early attempts at quantifying phase. It is also found that students with moderate capability (S2) solved the problem by registering  all  existing  possibilities  and  then  summing  them  all,  concluding  them  qualified  as  being  in  recognition of multiplicative relationships phase. Moreover, students with high capability (S3) solved the problem by listing the number of the first measurement then multiplying it with the second measurement, qualifying them as being in the accommodating covariance and invariance phase in proportional reasoning.
Keywords: multiplicative, proportional, reasoning
Submit: 2 Agustus 2016, Publish: 25 April 2017

## PENDAHULUAN
Berpikir  matematis  merupakan  proses  berpikir  yang  memerlukan  keahlian  dalam  menyusun  suatu alasan yang logis dalam menghadapi suatu situasi. Proses berpikir tersebut terkait dengan segala jenis kegiatan mental seperti abstraksi, pemecahan masalah, pembuktian, generalisasi, dan penalaran. Terdapat tiga tipe dasar berpikir matematis yang paling berguna dalam kehidupan yaitu (1) penalaran proporsional, (2) estimasi, dan (3) aktivitas pemodelan matematika yang selaras dengan membangun konseptual dalam berpikir proporsional (Sriraman dan Steinthordottir, 2009).
Penalaran proporsional berkaitan dengan kepekaan siswa terhadap situasi yang melibatkan hubungan proporsional. Behr dan Lesh (dalam Cai dan Sun, 2002:195) berpendapat bahwa penalaran proporsional terkait dengan kepekaan terhadap kovariasi (a sense of covariation ), perbandingan berganda (multiple comparisons) , dan  kemampuan  untuk  mengingat  dan  memproses  beberapa  bagian    dari  suatu  informasi.    Cai  dan  Sun (2002:195) menyebutkan bahwa secara matematis suatu hubungan proporsional dapat direpresentasikan dalam bentuk  fungsi 𝑦 = 𝑚𝑥 (proporsional  langsung)  atau 𝑥𝑦 = 𝑚 (proporsional  invers),  dengan 𝑚 adalah konstanta.  Secara  psikologi,  penalaran  proporsional  adalah  suatu  cara  berpikir  yang  melibatkan  kepekaan tentang hubungan kuantitatif dan membandingkan rasio.
Kemampuan  mengonstruksi  pengetahuan  sesuai  dengan  masalah  yang  dihadapi  merupakan kemampuan  yang  diajarkan  saat  seseorang  belajar  matematika.  Belajar  menentukan  prosedur  yang  efisien merupakan salah satu bagian penting selama belajar matematika, namun dalam jangka panjang kemampuan untuk menyesuaikan pengetahuan ke dalam konsep yang sesuai dengan permasalahan merupakan ketrampilan yang  mutlak  dibutuhkan  (Tall,  2008).  Sejalan  dengan  pendapat  Tall,  Fleener  (1993)  berpendapat  bahwa penalaran proporsional merupakan kemampuan yang diperoleh dengan cara dibangun dan bukan berasal dari keahlian yang memang dimiliki oleh seseorang.
Dasar dalam membangun penalaran proporsional pada matematika sekolah telah diajarkan sejak siswa berada di sekolah dasar hingga sekolah menengah pertama. Selanjutnya strategi penalaran proporsional terus digunakan  dalam  mempelajari  materi  matematika  pada  tingkat  yang  lebih  kompleks  seperti  pada  konsep trigonometri,  kesebangun,  fungsi,  dan  lain  lain.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  penalaran  proporsional merupakan kemampuan yang penting dan harus dimiliki oleh siswa dalam mempelajari matematika.
Penalaran proporsional terkait dengan berpikir multiplikatif (Norton, 2005,  Cetin dan Ertekin, 2011). Kepekaan  dalam  menggunakan  cara  berpikir  multiplikatif  memudahkan  seseorang  ketika  dihadapkan  pada
situasi yang melibatkan proporsi. Terkait dengan konsep multiplikatif, Vergnaud (1994) mengklasifikasikan konsep tersebut ke dalam beberapa jenis masalah, salah satunya yaitu masalah product of measurement . Product  of  measurement merupakan  suatu  masalah  yang  melibatkan  perkalian  kartesius  antara  dua ruang pengukuran dan dipetakan pada ruang pengukuran yang ke tiga (Wright, 2011). Masalah yang termasuk product  of  measurement berbeda  dengan  masalah  proporsi  sederhana  atau  disebut  juga  masalah  proporsi langsung.  Pada  masalah  proporsi  langsung,  hasil  dari  perkalian  antara  dua  pengukuran  adalah  salah  satu kuantitas yang digunakan. Contoh masalah proporsi langsung yaitu, terdapat 6 donat dalam satu kotak donat milik Jimy, ada berapa banyak donat yang dimiki Jimy jika tersedia 4 kotak donat? Pada masalah tersebut, perkalian antara banyaknya kotak dengan banyaknya donat dalam satu kotak menghasilkan banyaknya donat yang  dimiliki  Jimy.  Itu  artinya  hasil  dari  perkalian  antara  dua  pengukuran  adalah  banyaknya  donat  yang merupakan kuantitas dari salah satu pengukuran yang diketahui sebelumnya.
Berbeda  dengan  masalah  proporsi  langsung,  masalah product  of  measurement melibatkan  masalah yang hasil dari perkalian dua pengukuran adalah pengukuran yang berdiri sendiri dan berbeda dari pengukuran asalnya. Contoh masalah product of measurement yaitu, terdapat 13 kartu hati dan 13 kartu sekop, ada berapa banyak kemungkinan pasangan kartu yang terdiri dari satu kartu sekop dan satu kartu hati yang dapat dibuat? Pada masalah tersebut terlihat bahwa hubungan multiplikatif yang terjadi pada pengukuran yang ada berbeda dengan yang dimiliki oleh masalah proporsi langsung. Misalnya terdapat 1 kartu hati dan 1 kartu sekop, maka banyaknya pasangan adalah 1 yang diperoleh dari 1×1 = 1 . Pengkurun yang pertama adalah banyaknya kartu hati, pengukuran yang kedua adalah banyaknya kartu sekop, sedangkan hasil perkalian dari kedua pengukuran tersebut adalah banyaknya pasangan kartu hati dan sekop. Hal ini menunjukkan bahwa hasil kali antara dua pengukuran yang diketahui sebelumnya berbeda dengan pengukuran yang merupakan hasil dari perkaliannya.
Observasi awal yang dilakukan oleh peneliti menunjukkan bahwa siswa dapat menyelesaikan masalah proporsi  langsung  meskipun  dengan  cara  yang  berbeda  yaitu  dengan  menggunakan  formula 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 , menggunakan perkalian dengan mencari unsur satuan terlebih dahulu, dan dengan cara penjumlahan. Keadaan yang  berbeda  terjadi  ketika  siswa  diminta  untuk  menyelesaikan  masalah product  of  measurement .  Siswa tersebut mengalami masalah dan terdapat siswa yang menggunakan penalaran yang salah. Salah satu subjek pada observasi awal menjawab dengan cara mendaftar terdapat 1 kartu queen, 1 kartu king, dan 1 kartu jack pada kartu hati serta  terdapat 1 kartu queen, 1 kartu king, dan 1 kartu jack pada kartu sekop. Sehingga terdapat 6 kartu berbeda. Padahal, yang diminta dari soal adalah banyaknya pasangan kartu berbeda yang terdiri dari 1 kartu hati dan 1 kartu sekop dari 13 kartu hati dan 13 kartu sekop yang tersedia, dengan syarat kartu hati yang digunakan hanya kartu king, queen, dan jack.
Berdasarkan  uraian  hasil  observasi  awal  peneliti,  dapat  diketahui  bahwa  siswa  memiliki  penalaran yang  berbeda  dalam  menyelesaikan  masalah  multiplikatif.  Uraian  tersebut  juga  menunjukkan  bahwa pemahaman subjek dalam menghadapi masalah product of measurement masih kurang, hal ini ditunjukkan dengan  siswa  yang  menggunakan  cara  penjumlahan  dalam  menentukan  nilai  yang  dicari  dan  hasil  yang diperoleh tidak sesuai dengan yang ditanyakan karena pemahaman yang salah. Salah satu penyebab dari hal ini adalah karena kurangnya pengalaman siswa dalam menghadapi masalah multiplikatif yang bervariasi.
Terkait dengan penelitian-penelitian sebelumnya, penelitian yang telah dilakukan oleh Sopamena dan Rahaded (2015) mengkaji tentang karakteristik proses penalaran proporsional yang dilakukan oleh mahasiswa IAIN Ambon dalam memecahkan masalah rasio dan proporsi. Selanjutnya, penelitian yang telah dilakukan oleh Sari dan Sufri (2014) berkaitan dengan analisis penalaran proporsional siswa kelas VII yang memiliki gaya  belajar  auditori  dalam  menyelesaikan  masalah  perbandingan  senilai.  Pada  penelitian  Sopamena  dan Rahaded (2015), hanya menjelaskan bagaimana karakteristik tahap-tahap  strategi perkalian dan strategi formal yang dilakukan oleh mahasiswa ketika menyelesaikan masalah rasio dan proporsi. Penelitian yang dilakukan oleh  Sari  dan  Sufri  (2014)  menganalisis    hasil  penelitian  tentang  penalaran  proporsioanal  berdasarkan  tiga indikator  penalaran  proporsional.  Selain  kedua  penelitian  tersebut,  terdapat  pula  penelitian  yang  dilakukan oleh  Hines  dan  McMahon  (2005).  Penelitian  Hines  dan  McMahon  (2005)  hanya  menjelaskan  tentang interpretasi  dari  calon  guru  terhadap  strategi  penalaran  proporsional  yang  digunakan  oleh  siswa  sekolah menengah ketika menyelesaikan masalah yang melibatkan situasi proporsional.
Masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah jenis masalah product of measurement dan subjek penelitian  adalah  siswa  kelas  VIII  sehingga  penelitian  ini  tidak  dapat  dianalisis  dengan  hasil  penelitian Sopamena  dan  Rahaded  (2015)  karena  pada  penelitian  tersebut  hanya  dijelaskan  bagaimana  karakteristik tahap-tahap    strategi  perkalian  dan  strategi  formal  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa  ketika  menyelesaikan masalah rasio dan proporsi. Selain itu, dalam penelitian ini akan digunakan pertanyaan wawancara yang tidak terbatas  hanya  pada  informasi  yang  diketahui  pada  soal  dan  keyakinan  subjek  penelitian terhadap  jawaban yang  ditulisnya,  tetapi  juga  kepada  detil  proses  penalaran  proporsional  dan  juga  dasar  dari  penalaran  yang digunakan oleh siswa dalam menyelesaikan masalah product of measurement .  Oleh karena itu, penelitian ini
akan  menindaklanjuti  dengan  mengkaji  bagaimana  penalaran  proporsional  siswa  kelas  VIII  dalam menyelesaikan masalah multiplikatif tipe product of measurement .
Strategi  penalaran  yang  digunakan  oleh  siswa  didasarkan  pada  teori  membangun  penalaran proporsional oleh Bexter dan Junker (dalam Weaver dan Junker, 2004). Baxter and Junker (dalam Weaver and Junker,  2004)  mengidentifikasi  terdapat  lima  tahap  untuk  membangun  penalaran  proportional  berdasarkan perubahan  kualitatif  pada  respon  siswa  terhadap  masalah  proporsional.  Kelima  tahap  tersebut  adalah  (a) qualitative ,  (b) early  attempts  at  quantifying ,  (c) recognition  of  multiplicative  relationships ,  (d) accommodating covariance and invariance , dan (e) functional and scalar relationships . Dalam penelitian yang dilakukan oleh Cayton-Hodges, dkk (2012) kelima tahap tersebut juga digunakan untuk membuat prototype tugas  sebagai  desain  assessmen  untuk  mengetahui  pemahaman  dan  kemampuan  siswa  dalam  penalaran proporsional.

## METODE
Penelitian ini dilakukan pada siswa kelas VIII.1 SMPN 21 Malang tahun akademik 2015-2016. Subjek penelitian diperoleh berdasarkan hasil pengujian terhadap 36 siswa yang diminta untuk mengerjakan masalah product of measurement . Pemilihan subjek terbatas hanya 3 orang siswa yang berasal dari tingkat kemampuan matematika  yang  berbeda  yaitu  tinggi,  sedang,  dan  rendah.  Hal  ini  dikarenakan  agar  pengamatan  yang dilakukan menjadi lebih rinci dan mendalam.
Kriteria yang dilihat agar siswa menjadi subjek penelitian adalah selain kriteria kemampuan dalam matematika  juga  dilihat  bahwa  siswa  yang  menjadi  subjek  harus  menjawab  tiga  soal  yang  yang  diberikan. Tujuan dari pemilihan subjek penelitian yang seperti disebutkan agar peneliti dapat memperoleh data yang lengkap  dalam  penelitian  dan  lebih  mudah  dalam  mendeskripsikan  proses  berpikir  siswa  saat  melakukan penalaran proporsionalnya. Tiga subjek penelitian yang telah dipilih akan melakukan sesi wawancara untuk mengetahui  bagaimana  cara  berpikir  subjek  saat  menyelesaikan  masalah product  of  measurement .  Peneliti merekam ungkapan verbal siswa dan mencatat perilaku (ekspresi) siswa ketika menyelesaikan soal tesebut.
Berdasarkan  langkah-langkah  pemilihan  subjek  tersebut  maka  teknik  pemilihan  subjek  dalam penelitian  ini  adalah purposive  sampling atau  disebut  juga judgment  sampling . Purposive  sampling adalah teknik  pengambilan  sampel  penelitian  yang  didasarkan  pada  pertimbangan  tertentu  dengan  tujuan  untuk memperoleh sampel penelitian yang memiliki karakteristik sesuai dengan tujuan penelitian.
Analisis data dalam penelitian ini dilakukan berdasarkan teknik analisis yang dikemukakan oleh Miles dan  Huberman  (1992).  Langkah-langkah  analisis  data  yang  dimaksudakan  yaitu  (1)  mereduksi  data,  (2) menyajikan  data,  (3)  menarik  kesimpulan/verifikasi.  Kegiatan  yang  dilakukan  saat  mereduksi  data  dalam penelitian  ini  yaitu  membuat  transkrip  data  hasil  wawancara  dari  catatan  tertulis  dan  hasil  rekaman, mengkategorikan data sesuai dengan indikator dari penalaran proporsional, serta menyisihkan data-data yang tidak diperlukan. Penyajian data merupakan tahapan setelah melakukan reduksi data. Penyajian data bertujuan untuk menyusun informasi-informasi yang diperoleh saat penelitian secara runtut dan jelas untuk kemudian digunakan  oleh  peneliti  sebagai  dasar  penarikan  suatu  kesimpulan.  Penarikan  kesimpulan  dilakukan berdasarkan  hasil  dari  penyajian  data  yang  telah  dilakukan.  Kesimpulan  yang  dihasilkan  juga  diverifikasi selama  penelitian  berlangsung.  Verifikasi  dilakukan  dengan  cara  memeriksa  kembali  tentang  apa  yang dipikirkan dan ditemukan oleh peneliti selama penelitian berlangsung, tinjauan ulang terhadap catatan-catatan lapangan, melakukan peninjauan kembali serta peer review , membandingkan dengan teori-teori dan penelitian- penelitian  sebelumnya.  Verifikasi  bertujuan  untuk  menguji  kembali  kebenaran,  kekokohan,  dan  kecocokan dari kesimpulan yang dibuat oleh peneliti.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mendeskripsikan  penalaran  proporsional  siswa  kelas  VIII  dalam menyelesaikan masalah multiplikatif tipe product of measurement berdasarkan strategi penyelesaian masalah yang  digunakan  oleh  siswa.  Masalah product  of  measurement (MPM)  adalah  masalah  yang  melibatkan perkalian kartesian antara dua ruang pengukuran pada ruang pengukuran yang ke tiga. Berdasarkan definisinya MPM merupakan masalah yang tidak melibatkan proporsi langsung tapi melibatkan dua proporsi yang berdiri sendiri. Berikut adalah masalah product of measurement (MPM) yang digunakan pada penelitian ini.
Lisa memiliki 4 buku tulis dan 3 bolpoin warna. Buku tulis itu masing-masing berwarna merah, hijau,  kuning  dan  biru.  Sedangkan  bolpoinnya  berwarna  merah,  hijau  dan  ungu.  Lisa  akan memasangkan  2  buku  tulis  dan  1  bolpoin  warna  untuk  dibungkus  dengan  kertas  kado  dan
diberikan pada Mita. Ada berapa banyak kemungkinan cara berbeda yang dapat Lisa gunakan untuk memasangkan 2 buku tulis dan 1 bolpoin warna?
Strategi  penyelesaian  masalah  yang  digunakan  oleh  siswa  tersebut  dikelompokkan  kedalam  lima tahapan berdasarkan teori membangun penalaran proporsional oleh Bexter dan Junker, yaitu (1) qualitative, (2) early attempts at quantifying, (3) recognition of multiplicative relationships, (4) accommodating covariance and invariance, dan (5) functional and scalar relationships. Berikut adalah penjelasan terkai dengan kelima tahap dalam membangun penalaran prporsional.
Tabel 1. Tahap Penalaran Proporsional Siswa
Tahap Penalaran Proporsional Deskripsi Penjelasan 1. Qualitative Siswa memiliki banyak pengetahuan tentang kuantitas yang memungkinkan mereka untuk menjawab pertanyaan tentang keadilan (membagi sesuatu secara adil) atau pertanyaan tentang lebih dan kurang (membandingkan suatu hal). Contoh pertanyaan lebih dan kurang: minuman mana yang lebih manis?
Contoh pertanyaan tentang keadilan: bagaimana cara membagi pizza sehingga setiap anak mendapat bagian yang sama besar? • Siswa dapat menjawab permasalahan yang
melibatkan membagi suatu hal secara adil.
• Siswa dapat menjawab permasalahan tentang membandingkan suatu hal.
• Siswa menggunakan cara menebak dalam mencari
suatu jawaban. 2. Early attempts at quantifying Upaya awal dalam pengukuran sering melibatkan perbedaan konstanta penjumlahan dari pada menggunakan hubungan perkalian. Siswa masih mengandalkan perhitungan dengan menggunakan penambahan atau pengurangan • Siswa menggunakan cara penyelesaian yang melibatkan perbedaan
penjumlahan yang konstan
dari suatu kuantitas dari pada menggunakan hubungan perkalian. • Siswa masih menggunakan penghitungan yang terus berkurang atau terus bertambah. 3. Recogni- tion of multiplica- tive relation- ships Siswa memiliki intuisi bahwa rasio adalah dua bilangan yang berubah secara bersama-sama tetapi perubahan tersebut mungkin
disebabkan oleh penjumlahan atau perkalian. Siswa lebih sering menggunakan strategi penjumlahan ketika penalaran multiplikatif yang diharapkan untuk digunakan. Situasi yang melibatkan perubahan yang mutlak tidak selalu dapat dibedakan dari situasi yang melibatkan perubahan secara 4elative. • Siswa memiliki intuisi bahwa rasio adalah dua bilangan yang berubah
secara bersama-sama tetapi siswa masih berpikir bahwa perubahan tersebut mungkin dapat disebabkan oleh penjumlahan atau perkalian.
• Siswa lebih sering menggunakan strategi penjumlahan ketika
dihadapkan pada situasi perkalian.
4. Accommo- dating covariant-ce and invariance Siswa mulai mengembangkan suatu model perubahan multiplikatif. Siswa menyadari bahwa ketika beberapa kuantitas mungkin berubah,
hubungan antara kuantitas-kuantitas tersebut tetap invariant. Siswa memandang rasio sebagai unit satuan yang mungkin digunakan. Siswa dapat membedakan antara situasi yang melibatkan perubahan mutlak • Siswa mulai mengembangkan suatu model penyelesaian yaitu jika beberapa kuantitas berubah, namun hubungan dari kuantitas-kuantitas tersebut tetap.
• Siswa mencari faktor satuan dan pendekatan perkalian
Tahap Penalaran Proporsional Deskripsi Penjelasan dan situasi yang melibatkan perubahan secara relative. Strategi perkalian digunakan pada konteks atau masalah tertentu, namun jika siswa dihadapkan pada konteks yang tergolong sulit siswa akan kembali menggunakan penalaran penjumlahan. skalar untuk membangun model yang dia kembangkan. • Siswa dapat menemukan nilai satuan dari pengukuran yang ada dan
menggunakannya dalam menyelesaikan masalah secara keseluruhan • Ketika siswa gagal dalam mebangun model penyelesaian, siswa kembali pada cara menentukan perbedaan dalam penjumlahan. 5. Functional and scalar relation- ships Siswa mengetahui sifat hubungan invarian antara kuantitas yang berubah. Siswa memiliki model umum untuk memecahkan masalah dan memilih strategi yang efisien untuk digunakan. Siswa memahami dengan baik tentang konsep dari kovarian dan invarian. • Siswa memahami adanya hubungan yang tetap antara kuantitas yang berubah.
• Siswa memiliki model umum untuk memecahkan masalah dan memilih strategi yang efisien untuk
digunakan. • Siswa memahami struktur hubungan yang ada pada setiap pengukuran
Selanjutnya  akan  dipaparkan  data  dan  penalaran  proporsional  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah product of measurement, yaitu dari siswa berkemampuan rendah (S1), siswa berkemampuan sedang (S2), dan siswa berkemampuan tinggi (S3).

## Siswa berkemampuan matematika rendah (S1)
S1  menyelesaikan  MPM  dengan  menganggap  bahwa  masalah  tersebut  merupakan  masalah  yang menyerupai  himpunan.  S1  menggunakan  cara  mendaftar  banyaknya  pasangan  buku  yang  mungkin,  untuk kemudian  dijumlahkan  dengan  banyaknya  bolpoin.  S1  menganggap  bahwa  anggota  himpunan  yang  dicari adalah  gabungan dari 6 pasang buku yang telah dicari dengan cara mendaftar dengan 3 bolpoin warna yang telah diketahui dari soal. Strategi yang digunakan oleh S1 merupakan strategi penjumlahan, dan solusi yang diberikan  merupakan  solusi  yang  salah.  S1 salah  dalam  memahami  apa  yang  ditanyakan  dari soal.  Berikut adalah hasil wawancara S1.
P :  bagaimana kamu menyelesaakan soal tersebut?
S1 : Saya membuat pasangan-pasangan antara 2 buku dengan 1 bolpoin warna seperti memasangakan buku warna merah dan hijau dengan 1 bolpoin warna hijau, biru, atau ungu. Terus, memasangkan buku merah dan kuning dengan 1 bolpoin warna hijau, biru, atau ungu. Terus, memasangkan lagi buku merah dan biru dengan 1 bolpoin warna hijau, biru, atau ungu. Dan seterusnya.
P :  Pada  cara  tersebut,  kamu  membuat  pasangan  buku  dulu  kemudian  bolpoin,  atau  bolpoin  dulu kemudian dipasangkan dengan 2 buku, atau memasangkannya secara berasama-sama?
S1 : Saya mencari pasangan dua buku dulu baru kemudian saya pasangkan dengan 3 bolpoin warna yang ada.
P : Kemudian, kenapa kamu menggunakan cara 6 + 3 ?
S1 : Karena saya berpikir bahwa banyaknya pasangan bukunya ada 6 sedangkan bolpoinnya ada 3 macam. Jadi saya jumlahkan 6 dengan 3.
Berdasarkan wawancara tersebut,terlihat bahwa S1 kurang mengerti hubungan multiplikatif pada saat memasangkan antara 6 pasang buku dengan 3 bolpoin yang berbeda. S1 pertama mencari banyaknya pasangan buku (𝑀 1 ) dengan cara mendaftar semua kemungkinan yang ada dari 4 buku yang tersedia yaitu diperoleh 6 pasang. Siswa memahami memasangkan dua buah pengukuran, yaitu 𝑀 1 dan 𝑀 2 dengan 𝑀 1 adalah banyaknya
pasangan 2 buku dan 𝑀 2 banyaknya bolpoin, berarti menjumlahkan antara 𝑀 1 dan 𝑀 2 . Siswa memahami 𝑀 1 sebagai  banyaknya  anggota  himpunan  yang  dapat  dibentuk  dengan  cara  memasangkan  2  buku  dari  4  buku yang ada dan 𝑀 2 sebagai banyaknya anggota pada himpunan bolpoin. Karena yang dicari adalah 𝑀 1 ∪ 𝑀 2 maka berarti 𝑛(𝑀 1 ) + 𝑛(𝑀 2 ) = 6 + 3 .

## Siswa berkemampuan matematika sedang (S2)
S2  pada  awalnya  berpikir  bahwa  MPM  adalah  masalah  yang  terkait  dengan  fungsi.  Namun,  S2 mengalami kesulitan dalam menyelesaikan masalah tersebut dengan rumus fungsi yang dia ketahui. Berikut adalah wawancara yang dilakukan terhadap S2.
P :  Apakah kamu sudah pernah menyelesaikan soal seperti ini?
S2 :  Sepertinya pernah. Masalah seperti ini memakai rumus fungsi.
P :  Apa rumus fungsi yang kamu maksud?
S2 : Saya tidak dapat menemukan rumus fungsi yang dapat saya gunakan untuk menyelesaikan soal ini.
P : Apa rencana kamu untuk menyelesaikan masalah seperti soal ini?
S2 : karena saya lupa rumus fungsi maka saya menggunakan cara manual yaitu dicoba satu-satu dengan cara mendaftar semua kemungkinan yang ada. Kemudian saya jumlahkan semuanya.
P : Dari cara kamu tersebut ada berapa banyak kemungkinan yang ada?
S2 : 18 kemungkinan.
Berdasarkan wawancara tersebut,terlihat bahwa S2 kurang mengerti hubungan multiplikatif pada saat memasangkan antara 6 pasang buku dengan 3 bolpoin yang berbeda. Namun, S2 menyadari bahwa masalah tersebut mungkin dapat diselesaikan dengan rumus fungsi namun siswa tidak dapat menentukan bagaimana hubungan  yang  terjadi  pada  setiap  ruang  pengukurannya,  sehingga  siswa  memilih  menggunakan  cara mendaftar semua kemungkinan. S2 mendaftar terlebih dahulu banyaknya kemungkinan 2 pasang buku dari 4 buku berbeda yang tersedia. Setelah memperoleh semua daftar 2 pasang buku, S2 mendaftar kembali yang terdiri dari 2 buku dan 1 bolpoin.  Kemudian, S2 menghitung banyak semua kemungkinan yang diperoleh dari daftar tersebut yaitu 18 kemungkinan.
Berdasarkan  strategi  yang  dilakukan  oleh  S2,  terlihat  bahwa  S2  menggunakan  cara  mencari  unsur satuan untuk 𝑀 1 dan 𝑀 2 . Kemudian, S2 mencari unsur satuan dari 𝑀 3 dengan cara memasangkan setiap unsur satuan dari 𝑀 1 dan 𝑀 2 . S2 menggunakan cara penjumlahan untuk mencari 𝑀 3 .

## Siswa berkemampuan matematika tinggi (S3)
S3 menyelesaikan masalah MPM dengan menggunakan hubungan multiplikatif antara banyaknya 2 pasang buku (𝑀 1 ) dan banyaknya bolpoin (𝑀 2 ) . P :  Apa rencana kamu untuk menyelesaikan masalah seperti soal ini?
S3 :  Pertama saya mencari banyaknya kemungkinan 2 pasang buku lebih dulu.
P :  Ada berapa banyak kemungkinannya?
S3 :  Ada 6 kemungkinan.
P :  Bagaimana cara kamu memperoleh keenam kemungkinan tersebut?
S3 :  Saya  mencarinya  dengan  cara  memasangkan  merah  dengan  hijau,  merah  dengan  kuning,  merah dengan biru, hijau dengan kuning, hijau dengan biru, dan kuning dengan biru.
P :  Setelah itu apa yang kamu lakukan?
S3 :  Terus, karena di sini bolpoinnya ada tiga maka 6 kemungkinan itu langsung saya kalikan dengan 3. Sehingga 6×3 = 18 .
S3  menyadari  hubungan  multiplikatif  antara 𝑀 1 dan 𝑀 2 pada  MPM.  S3  mengalami  kegagalan memanfaatkan hubungan multiplikatif untuk mencari banyaknya 2 pasang buku yang dapat dibentuk dari 4 pasang buku berbeda (𝑀 1 ) . Oleh karena itu, S3 menggunakan cara mendaftar unsur satuan dan menggunakan cara penjumlahan untuk mencari 𝑀 1 . S3 mencari banyaknya kemungkinan 2 buku dan 1 bolpoin (𝑀 3 ) dengan cara mengalikan 6 kemungkinan yang ada (𝑀 1 ) dengan 3 bolpoin (𝑀 2 ) , sehingga diperoleh 𝑀 3 = 𝑀 1 ×𝑀 2 Berdasarkan tahap mengembangkan penalaran proporsional oleh Bexter dan Junker (dalam Weaver and Junker, 2004) proses yang telah dilalui oleh S1 masuk dalam tahap early attempts at quantifying . Cayton- Hodges, dkk (2012) menyatakan bahwa siswa yang berada pada level early attempts at quantifying cenderung menggunakan  konstanta penjumlahan dari pada  memanfaatkan  hubungan  multiplikatif  yang  ada.    S1  gagal dalam membuat hubungan antara dua pengukuran yang ada sehingga S1 menggunakan strategi secara acak. Hal ini terlihat ketika S1 berhasil dalam mencari banyaknya 2 pasang buku yang dapat dibentuk dari 4 pasang buku  berbeda (𝑀 1 ) ,  namun  S1  tidak  dapat  menerapkan  penalaran  yang  serupa  untuk  mencari  banyaknya
kemungkinan 2 buku dan 1 bolpoin (𝑀 3 ) . Menurut Langral dan Swafford (2000), strategi yang digunakan oleh S1 termasuk dalam level nonproporsional reasoning dimana siswa tidak memberikan penyelesaian yang benar dari masalah yang diberikan dan penalaran yang digunakan oleh siswa merupakan penalaran yang salah.
S2  memiliki  pemahaman  bahwa  MPM  merupakan  masalah  yang  dapat  memanfaatkan  hubungan multiplikatif,  namun  S1  gagal  dalam  menentukan  hubungan  multiplikatif  yang  terjadi  pada  tiap  unsurnya. Berdasarkan  tahap  mengembangkan  penalaran  proporsional  oleh  Bexter  dan  Junker  (dalam  Weaver  and Junker, 2004) proses yang telah dilalui oleh S2 masuk dalam tahap recognition of multiplicative relationships . Cayton-Hodges, dkk (2012) menyatakan bahwa siswa pada level ini memiliki intuisi tentang adanya hubungan multiplikatif tetapi ketika siswa gagal dalam mencari hubungan multiplikatif tersebut maka siswa akan kembali pada strategi penjumlahan. Hal ini terlihat ketika S2 mencari banyaknya kemungkinan 2 buku dan 1 bolpoin (𝑀 3 ) dengan cara menjumlahkan semua kemungkinan yang didapatnya dari mendaftar unsur satuan. Menurut Langral dan Swafford (2000), strategi yang digunakan oleh S2 termasuk dalam level informal reasoning about proportional situations dimana siswa menggunakan strategi seperti menggunakan model atau cara manipulatif untuk menggambarkan situasi yang ada.
S3 menyelesaikan masalah MPM dengan menggabungkan strategi penjumlahan dengan dan perkalian. S3 menggunakan strategi penjumlahan untuk mencari banyaknya 2 pasang buku yang dapat dibentuk dari 4 pasang buku berbeda (𝑀 1 ) . Kemudian, S3 dapat melihat hubungan multiplikatif antara (𝑀 1 ) dan (𝑀 2 ) untuk menentukan (𝑀 3 ) . Berdasarkan tahap mengembangkan penalaran proporsional oleh Bexter dan Junker (dalam Weaver and Junker, 2004) proses yang telah dilalui oleh S2 masuk dalam tahap accommodating covariance and  invariance .  Cayton-Hodges,  dkk  (2012)  menyatakan  bahwa  siswa  pada  level  ini  siswa  mulai mengembangkan suatu model perubahan yang dapat melihat ketika suatu kuantitas mungkin saja berubah. Hal ini terlihat ketika S3 menggambarkan alasan yang melatar belakangi model 𝑀 3 = 𝑀 1 ×𝑀 2 .  Menurut Langral dan  Swafford  (2000),  strartegi  yang  digunakan  oleh  S3  termasuk  dalam  level informal  reasoning  about proportional situations dan quantitative reasoning . Strategi informal reasoning about proportional situations dapat  dilihat  saat  S3  mencari 𝑀 1 dengan  cara  mendaftar  yang  merupakan  metode  manipulatif  yang  dapat menggambarkan 𝑀 1 . level quantitative reasoning saat S3 mencari 𝑀 3 dimana S3 berpikir bahwa jika banyak bolpoin 1 maka 𝑀 3 = 6×1 = 6 , jika ada 2 bolpoin maka 𝑀 3 = 6×2 = 12 , karena ada 3 bolpoin maka 𝑀 3 = 6×3 = 18 .  S3  berada  pada  dua  level  yang  berbeda  ketika  dibandingkan  dengan  penelitian  yang  dilakukan Langral dan Swafford karena masalah yang digunakan pada penelitian tersebut merupakan jenis-jenis masalah proporsi  langsung.  Tetapi,  pada  penelitian  ini  masalah  yang  digunakan  merupakan  masalah product  of measurement yang merupakan masalah yang melibatkan perkalian kartesian antara dua ruang pengukuran pada ruang pengukuran yang ke tiga.

## PENUTUP

## Simpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa proses berpikir matematika siswa kelas VIII dalam menyelesaikan masalah product of measurement dikelompokkan berdasarkan lima tahapan dalam membangun penalaran proporsional oleh Bexter dan Junker, yaitu  (1)  qualitative,  (2)  early  attempts  at  quantifying,  (3)  recognition  of  multiplicative  relationships,  (4) accommodating  covariance  and  invariance, dan (5) functional  and  scalar  relationships.  Berikut  kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini.
a. Siswa dengan kemampuan rendah (S1) menggunakan strategi penjumlahan antara dua ruang pengukuran. S1 pertama mencari banyaknya 𝑀 1 dengan cara mendaftar banyaknya pasangan buku yang mungkin yaitu 6 pasang. S1 mengetahui dari soal bahwa 𝑀 2 adalah banyaknya bolpoin yaitu 3. Kemudian untuk mencari banyaknya kemungkinan yang ada S1 menjumlahkan antara 𝑀 1 dan 𝑀 2 sehinga diperoleh jawabannya adalah 9 kemungkinan.
Berdasarkan  uraian  tersebut  diketahui  bahwa  siswa  menggunakan  cara  menjumlahkan  dua  ruang pengukuran , 𝑀 1 dan 𝑀 2 . Berdasarkan teori Bexter dan Junker maka penalaran proporsional S1 berada pada tahap early attempts at quantifying yaitu upaya awal dalam pengukuran sering melibatkan perbedaan konstanta  penjumlahan  dari  pada  menggunakan  hubungan  perkalian.  Pada  tahap  ini,  siswa  masih mengandalkan perhitungan dengan menggunakan penambahan atau pengurangan.
b. Siswa  dengan  kemampuan  sedang  (S2)  menyelesaikan  masalah  dengan  cara  mendaftar  semua kemungkinan yang ada kemudian menjumlahkan semuanya. S2 menyadari bahwa kemungkinan masalah product of measurement dapat dikerjakan dengan metode fungsi, namun S2 mengalami kegagalan dalam mengingat  bagaimana  cara  menyelesaikan  masalah  tersebut  dengan  menggunakan  pendekatan  metode fungsi. Oleh karena itu, S2 mendaftar semua kemungkinan yang ada kemudian menjumlahkan semuanya.
Berdasarkan uraian tersebut diketahui bahwa siswa menggunakan cara menjumlahkan unsur satuan dari kemungkinan  susunan  2  buku  dan  1  pensil.  Siswa  menyadari  bahwa  masalah  tersebut  mungkin  dapat diselesaikan  dengan  rumus  fungsi  namuan  siswa  tidak  dapat  menentukan  bagaimana  hubungan  yang terjadi pada setiap ruang pengukurannya, sehingga siswa memilih menggunakan strategi penjumlahan. Berdasarkan teori Bexter dan Junker maka penalaran proporsional S2 berada pada tahap recognition of multiplicative relationships . Pada tahap ini, siswa memiliki intuisi bahwa rasio adalah dua bilangan yang berubah  secara  bersama-sama  tetapi  perubahan  tersebut  mungkin  disebabkan  oleh  penjumlahan  atau perkalian  siswa  lebih  sering  menggunakan  strategi  penjumlahan  ketika  penalaran  multiplikatif  yang diharapkan untuk digunakan.
c. Siswa  dengan  kemampuan  tinggi  (S3)  menyelesaikan  masalah  dengan  cara  mendaftar  banyaknya pengukuran yang pertama ( 𝑀 1 ) kemudian mengalikan dengan pengukuran yang kedua ( 𝑀 2 ). 𝑀 1 adalah banyaknya susunan 2 buku berbeda dari 4 buku yang ada. S3 mendaftar masing masing kemungkinan kemudian menjumlahkannya untuk memperoleh 𝑀 1 . 𝑀 2 adalah banyaknya bolpoin yaitu 3. Karena yang diminta adalah banyak pasangan yang mungkin dari 2 buku dan 1 bolpoin maka siswa melakukan metode perkalian 6×3 , sehinga diperoleh banyaknya kemungkinan susunan adalah 18.
Berdasarkan  uraian  tersebut  diketahui  bahwa  siswa  menggunakan  cara  perkalian  untuk  menentukan banyak kemungkinan susunan. Siswa menggunakan cara mencari unsur satuan dan menjumlahkan unsur satuan tersebut untuk mencari 𝑀 2 . Kemudian S3 mengembangkan model perubahan multiplikatif untuk mencari  pengukuran  yang  ketiga  ( 𝑀 3 ),  dengan  dasar  jika  ada  1  bolpoin  maka  ada  6  susunan  yang mungkin, jika ada 2 bolpoin yang berbeda maka ada 12 susunan, sehingga jika ada 3 bolpoin yang berbeda maka  untuk  mencari  banyak  kemungkinan  susunan  adalah 6×3 = 18 .  Berdasarkan  teori  Bexter  dan Junker maka penalaran proporsional S2 berada pada tahap accommodating covariance and invariance . Pada  tahap  ini,  Siswa  mulai  mengembangkan  suatu  model  perubahan  multiplikatif.  Siswa  menyadari bahwa ketika beberapa kuantitas mungkin berubah, hubungan antara kuantitas-kuantitas tersebut invariant (tetap).  Siswa  menggunakan  strategi  perkalian  pada  konteks  atau  masalah  tertentu,  namun  jika  siswa dihadapkan pada konteks yang tergolong sulit siswa akan kembali menggunakan penalaran penjumlahan seperti yang dilakukan oleh S3 ketika mencari 𝑀 1 .
Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa perkembangan kemampuan proporsional siswa kelas VIII SMPN 21 Malang yang memiliki kemampuan matematika rendah berada pada tahap early attempts  at  quantifying (tahap  2),    yang  memiliki  kemampuan  matematika  sedang  berada  pada  tahap recognition of multiplicative relationships (tahap 3), dan yang memiliki kemampuan matematika tinggi berada pada tahap accommodating covariance and invariance (tahap 4).

## Saran
Berdasarkan kesimpulam yang telah dibuat, maka dapat disarankan beberapa hal terkait pembelajaran matematika adalah.
a. Kemampuan penalaran proporsional siswa dapat ditingkatkan dengan cara memberikan masalah proporsional yang beragam pada siswa.
b. Kajian tentang penalaran proporsional dan strategi yang digunakan oleh siswa pada penelitian ini masih terbatas pada masalah yang terkait dengan msalah multiplikatif tipe product of measurement dimana masalah yang digunakan terkait dengan masalah kombinatorik. Oleh karena itu, perlu adanya kajian yang lebih mendalam untuk tipe masalah multiplikatif lainnya.

## DAFTAR RUJUKAN
Cai, Jinfa & Sun, Wei. 2002. Developing Students’ Proportional Reasoning: A Chinese Perspective. Dalam Bonnie Litwiller & George Bright (Eds.), Making Sense of Fractions, Ratios, and Proportions, (hlm . 195-205). NCTM.
Cetin,  Hatice  &  Ertekin,  Erhan.  2011.  The  Relationship  Between  Eighth  Grade  Primary  School  Students’ Proportional Reasoning Skills and Success in Solving Equations. International Journal of Instruction, 4(1), 47-62.
Fleener, M. Jayne. 1993. Proportional Reasoning of Preservice Elementary Education Major: An Epistemic Model of The Proportional Reasoning Construct. Makalah disajikan dalam The Annual Meeting of The American Educational Research Association, Atlanta, 12-16 April.
Cayton-Hodges, G., dkk. 2012. Technology Enhanced Assessments in Mathematics and Beyond: Strengths, Challenges,  and  Future  Directions .  Makalah  disajikan  dalam  Invitational  Research  Symposium  on Technology Enhanced Assessments, 7-8 Mei.
Hines, Ellen & McMahon, Mary. 2005. Interpreting idle School Students’ Proportional Reasoning Startegies:
Observations from Preservice Teachers. School Science and Mathematics, 105(2), 88-105.
Langral,  Cynthia  W.  &  Swafford,  Jane.  2000.  Three  Ballons  for  Two  Dollars:  Developing  Proportional Reasoning. Mathematics Teaching in the Middle School , 6 (4), 254-261.
Miles, Mattew & Huberman, A. Michael. 1992. Analisis Data Kualitatif . Terjemahan Tjetjep Rohendi. 2014. Jakarta: Universitas Indonesia Press.
Norton, S.. 2005. The Construction of Proportional Reasoning. Dalam Helen L. & Jill L. (Eds.), Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education , (hlm. 17-24 ). Melbourne: PME.
Sari, Ika Puspita & Sufri. 2014. Analisis Penalaran Proporsional Siswa dengan Gaya Belajar Auditori dalam Menyelesaikan Soal Perbandingan pada Siswa SMP Kelas VII . Edumatica, 4(2), 48-55.
Sopamena,  Patma  &  Rahaded,  Sara.  2015.  Karakterisasi  Penalaran  Proporsional  Mahasiswa  IAIN  Ambon dalam Memecahkan Masalah Rasio dan Proporsi. Jurnal Fikratuna, 7(2), 320-332.
Sriraman,  B.  &  Steinthorsdottir,  O..  2009.  Icelandic  5 th -Grade  Girls’  Developmental  Trajectories  in Proportional Reasoning. Mathematics Education Research Journal , 21(1), 6-30.
Tall,  David.  2008.  The  Transition  to  Formal  Thinking  in  Mathematics. Mathematics  Education  Research Journal , 20 (2), 5-24.
Vergnaud,  Gerard.  1994.  Multiplicative  Conceptual  Field:  What  and  Why?  Dalam  Guershon  Harel  &  Jere Confrey (Eds.), The Development of Multiplicative Reasoning in The Learning of Mathematics (hlm. 41-59). New York: State University of New York Press.
Weaver, Rhiannon & Junker, Brian W.. 2004. Model Specification for Cognitive Assessment of Proportional ReasoningI. Department  of  Statistics  Technical  Report  No.  777.  Pittsburgh,  PA:  Carnegie  Mellon University.
Wright,  Vincent  John.  2011. The  Development  of  Multiplicative  Thinking  and  Proportional  Reasoning: Models of Conceptual Learning and Transfer. Thesis tidak diterbitkan. Waikato: The University of Waikato.