Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 150 – 160, September 2021 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2021 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/5322

## BILANGAN KROMATIK LOKASI PADA GRAF TOTAL DAN GRAF SPLITTING DARI GRAF BINTANG
Fransiskus Fran 1 , Novia Kristefany Kabang 2, Yundari 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak 78124, Indonesia Email: fransiskusfran@math.untan.ac.id

## ABSTRACT
Let 𝐺  =   (𝑉, 𝐸) be a connected graph and 𝑐 be a coloring on graph 𝐺 so that 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣) is for 𝑢 id adjacent to 𝑣 in graphs 𝐺 , 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐺 . Let 𝐶 𝑖 be a set of vertices that are colored i for 𝑖  =  1, . . . , 𝑘 which is called the color class. The color codes 𝒄 𝛱 (𝑢) of a vertex 𝑢 in 𝐺 is defined as the 𝑘 -vector 𝒄 𝛱 (𝑢) = (𝑑(𝑢, 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 2 ),∙ ∙ ∙, 𝑑(𝑢, 𝐶 𝑘 )), where 𝑑(𝑢, 𝐶 𝑖 ) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑑(𝑢, 𝑥)|𝑥 ∈   𝐶 𝑖 } untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 , 𝑖, 𝑘 ∈ ℕ .  If  distinct  vertices  of 𝐺 have  distinct  color codes,  then 𝑐 is  called  a  locating  coloring  of 𝐺 .  the  minimum  number  of  colors  used  is  called  a  locating  chromatic number  which  is  denoted  by 𝜒 𝐿 (𝐺) .  Based  on  this  research,  we  have 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 2, 𝑛 = 1,2 and 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 1, 𝑛 ≥ 3, 𝑛 ∈ ℕ where 𝑇(𝑆 𝑛 ) is a total graph of 𝑆 𝑛 and 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 2, 𝑛 ∈ ℕ , where 𝑆′(𝑆 𝑛 ) is  a splitting graph of 𝑆 𝑛 .
Keywords: Color class, color code, locating coloring

## ABSTRAK
Misal  diberikan  graf  terhubung 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan 𝑐 menyatakan  pewarnaan  titik  di 𝐺 sehingga  untuk  titik 𝑢 yang bertetangga  dengan  titik 𝑣 di 𝐺, 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣) .  Jika  himpunan  titik-titik  yang  mempunyai  warna 𝑖 untuk 𝑖 = 1, . . . , 𝑘 dinyatakan dengan 𝐶 𝑖 , maka 𝐶 𝑖 disebut kelas warna. Lebih lanjut, dapat ditentukan kode warna 𝒄 𝛱 (𝑢) untuk titik 𝑢 yaitu 𝑘 -pasang terurut, 𝒄 𝛱 (𝑢) = (𝑑(𝑢, 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 2 ),∙ ∙ ∙, 𝑑(𝑢, 𝐶 𝑘 )), dengan 𝑑(𝑢, 𝐶 𝑖 ) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑑(𝑢, 𝑥)|𝑥 ∈   𝐶 𝑖 } untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 , 𝑖, 𝑘 ∈ ℕ .  Jika  kode  warna  masing-masing  titik  di 𝐺 berbeda,  maka  pewarnaan 𝑐 adalah  pewarnaan  lokasi.  Warna  minimum  (banyaknya  warna)  sehingga  graf 𝐺 dapat diwarnai  dengan  pewarnaan  lokasi  dinyatakann  dengan 𝜒 𝐿 (𝐺) ,  disebut  bilangan  kromatik  lokasi.  Pada  artikel  ini, diperoleh  bilangan  kromatik  lokasi  untuk  graf  total  dari  graf  bintang  (dinotasikan 𝑇(𝑆 𝑛 ) )  dan  graf splitting dari  graf bintang  (dinotasikan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) )  yaitu 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 2, 𝑛 = 1,2 dan 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 1, 𝑛 ≥ 3 dan 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 2 , 𝑛 ∈ ℕ .
Kata kunci: Kelas warna, kode warna, pewarnaan lokasi
Dikirim: 29 April 2021; Diterima: 31 Agustus 2021; Dipublikasikan: 30 September 2021 Cara sitasi: Fran, F., Kabang, N. K., & Yundari. (2021). Bilangan kromatik lokasi pada graf total dan graf splitting dari graf bintang. Teorema: Teori dan Riset Matematika, 6 (2), 150 – 160. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v6i2.5322

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  cabang  ilmu  yang  sangat  banyak  berperan  dalam  membantu menyelesaikan  berbagai persoalan. Salah satu ilmu yang  dapat dikembangkan dalam matematika adalah  teori  tentang  graf.  Suatu  graf 𝐺 merupakan  pasangan  himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 menyatakan  himpunan  titik-titik  yang  paling  tidak  memiliki  satu  titik  (tidak  kosong)  dan 𝐸 menyatakan  himpunan  pasangan  titik  (sisi)  pada  graf 𝐺 (boleh  berupa  himpunan  kosong)  (Munir, 2010). Banyak sekali  topik yang ada dalam teori  graf misalnya topik yang terkait pewarnaan graf. Pada suatu graf, pewarnaan ( proper coloring ) merupakan suatu cara mewarnai (pemberian warna) elemen-elemen yang ada pada graf tersebut, dengan syarat bahwa dua elemen yang bertetangga diwarnai dengan warna berbeda.
Dalam  pewarnaan  graf,  khususnya  pewarnaan  titik,  terdapat  beberapa  pengembangan dengan menambahkan syarat tertentu, misalnya pewarnaan lokasi. Konsep pewarnaan lokasi suatu graf mengaitkan konsep pewarnaan titik dan dimensi partisi (Chartrand et al ., 2002). Pewarnaan titik di 𝐺 merupakan pewarnaan lokasi jika kode warna titik-titik di 𝐺 berbeda. Pewarnaan lokasi pada suatu graf tidak hanya bertujuan mencari apakah suatu graf dikatakan memenuhi definisi pewarnaan lokasi  saja,  tetapi  juga  untuk  mendapatkan  warna  minimum  (banyaknya  warna)    pada  pewarnaan lokasi tersebut yang selanjutnya dinamakan bilangan kromatik lokasi.
Walaupun sudah ada beberapa penelitian yang membahas terkait bilangan kromatik lokasi, namun karena  banyaknya  jenis  graf  dengan  karakteristiknya  masing-masing,  sehingga  penelitian  lebih  lanjut masih diperlukan. Pada artikel ini, difokuskan pada pembahasan mengenai bilangan kromatik lokasi pada graf hasil konstruksi dari graf lainnya, khususnya menggunakan konsep graf total dan graf splitting . Graf yang digunakan untuk memperoleh graf total dan graf splitting adalah graf bintang. Di sisi lain, dengan memperhatikan graf bintang yang bilangan kromatik lokasinya adalah 𝑛 + 1 (Kabang et al ., 2020) dan  adanya  karakteristik  yang  dipertahankan  oleh  graf  total  dan  graf splitting dari  graf  bintang, menjadi menarik untuk mengetahui relasi antara bilangan kromatik yang dihasilkan.

## METODE PENELITIAN
Metode pada penelitian ini berupa kajian pustaka khususnya tentang konsep-konsep bilangan kromatik lokasi suatu graf (Chartrand et al ., 2002), bilangan kromatik lokasi dari hasil kali Kartesian pada graf (Behtoei & Omoomi, 2016), bilangan kromatik lokasi pada pohon (graf) tertentu yaitu graf 𝑛𝑇 𝑘,𝑚 dan  graf  kembang  api (𝐹 𝑛,𝑘 ) (Asmiati,  2016),  bilangan  kromatik  lokasi  dari  graf  barbel tertentu  (Asmiati et  al .,  2018),  serta  bilangan  kromatik  lokasi  dari  graf  bayangan  dan  graf middle (Kabang et al ., 2020). Lebih lanjut, pada bagian pembahasan, ditentukan bilangan kromatik lokasi untuk  graf  total  dari  graf  bintang 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan  graf splitting dari  graf  bintang 𝑆′(𝑆 𝑛 ) .  Langkah- langkahnya  yaitu  menerapkan  pewarnaan  titik  pada 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) .  Kemudian,  berdasarkan hasil kontruksi dari  pewarnaan tersebut diperoleh kelas warna untuk semua titik, setelah itu dicari kode warna yang berisi jarak dari semua titik ke kelas warna di graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) . Jika kode warna untuk setiap titik pada graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) berbeda,  graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) memenuhi definisi  pewarnaan  lokasi.  Jika  kode  warna  yang  diperoleh  sudah  menggunakan  warna  minimum (banyaknya warna) maka diperoleh bilangan kromatik lokasi untuk graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) . Selain itu, digunakan pula beberapa sifat terkait bilangan kromatik lokasi (Chartrand et al ., 2002), sehingga mempermudah dalam proses penentuan bilangan kromatik lokasi untuk graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) . Untuk menentukan bilangan kromatik lokasi, diberikan beberapa konsep dasar berupa definisi dan  teorema  yang  menjelaskan  mengenai  bilangan  lokasi  (dimensi  metrik),  dimensi  partisi  dan konsep terkait pewarnaan lokasi.
Definisi  1 (Xu et  al .,  2018) Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah  sebuah  graf  terhubung  dan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , . . . , 𝑤 𝑘 } dimana 𝑊 merupakan subset dari 𝑉(𝐺) . Untuk setiap titk 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) , kode lokasi dari 𝑣 ke 𝑊 adalah 𝑘 -vektor 𝐶 𝑊 (𝑣) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ),∙ ∙ ∙, 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) dan 𝑊 disebut
himpunan lokasi dari 𝐺 jika titik-titik di 𝐺 mempunyai kode lokasi yang berbeda. Bilangan lokasi dari 𝐺 didefinisikan sebagai:
𝐿𝑜𝑐(𝐺) = 𝑚𝑖𝑛  {|𝑊|: 𝑊 adalah sebuah himpunan lokasi dari 𝐺} . Sebuah himpunan lokasi 𝑊 dari 𝐺 dikatakan himpunan lokasi minimum jika |𝑊| = 𝐿𝑜𝑐(𝐺) .
Setelah  mengetahui  tentang  himpunan  lokasi  dan  bilangan  lokasi,  selanjutnya  dibahas  mengenai dimensi partisi pada Definisi 2.
Definisi  2 (Chartrand et  al .,  2000) Misal  diberikan  graf  terhubung 𝐺 ,  dengan 𝑃 merupakan subhimpunan  dari 𝑉(𝐺) dan 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺) ,  jarak  titik 𝑢 ke 𝑃 dinyatakan  dengan 𝑑(𝑢, 𝑃) yang didefiniskan  sebagai 𝑑(𝑢, 𝑃) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑑(𝑢, 𝑥)|𝑥 ∈  𝑃} .  Untuk  suatu  pasangan  terurut 𝑘 -partisi, 𝛱 = {𝑃 1 , 𝑃 2 ,∙ ∙ ∙, 𝑃 𝑘 } dari 𝑉(𝐺) , representasi dari 𝑢 terhadap 𝛱 adalah 𝑘 -pasang terurut 𝑟(𝑢|𝛱) = (𝑑(𝑢, 𝑃 1 ), 𝑑(𝑢, 𝑃 2 ),∙ ∙ ∙, 𝑑(𝑢, 𝑃 𝑘 )),
Jika untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑘 -pasang terurut 𝑟(𝑢|𝛱) berbeda, maka partisi 𝛱 merupakan partisi pembeda. Bilangan terkecil 𝑘 sehingga terdapat partisi pembeda untuk 𝑉(𝐺) disebut dimensi partisi di 𝐺 dan dilambangkan 𝑝𝑑(𝐺) .
Berdasarkan  Definisi  2  dan  konsep  pewarnaan  titik,  dimensi  partisi  digunakan  untuk mempartisi  kelas  warna  di  graf 𝐺 dan  menentukan  kode  warna  untuk  semua  titik  pada  graf 𝐺 sehingga  diperoleh  pewarnaan  lokasi.  Dimensi  partisi  dan  pewarnaan  lokasi  sama-sama menggunakan  konsep  partisi.  Bedanya,  pada  dimensi  partisi  titik-titik  dipartisi  tanpa  menerapkan definisi pewarnaan pada graf, sehingga dua titik yang bertetangga boleh berada dalam satu partisi, sedangkan pada  pewarnaan lokasi titik-titik dipartisi berdasarkan definisi pewarnaan titik sehingga titik-titik yang saling bertetangga tidak boleh berada dalam satu partisi kelas warna. Definisi konsep- konsep dalam pewarnaan lokasi disajikan pada Definisi 3, Definisi 4, dan Definisi 5.
Definisi 3 (Chartrand et al ., 2002) Misalkan 𝐺 sebuah graf terhubung dan 𝑐 merupakan pewarnaan titik  pada 𝐺 ,  sehingga 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣), untuk 𝑢 yang  bertetangga  dengan 𝑣 di 𝐺 dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) .  Misalkan 𝐶 𝑖 menyatakan  himpunan  semua  titik yang  diwarnai  dengan  warna  i  dan  disebut kelas warna, maka 𝛱 = {𝐶 1 , 𝐶 2 ,∙ ∙ ∙, 𝐶 𝑘 } menyatakan himpunan semua kelas warna dari 𝑉(𝐺) .
Banyaknya  kelas  warna  yang  ada  pada  suatu  graf  sama  dengan  banyaknya  warna  pada pewarnaan titik graf tersebut. Selanjutnya, berdasarkan kelas warna yang diperoleh, ditentukan kode warna masing-masing titik yang ada di 𝐺 .
Definisi 4 (Chartrand et al ., 2002) Kode warna 𝒄 𝛱 (𝑢) dari 𝑉 adalah k-pasang terurut 𝒄 𝛱 (𝑢) = (𝑑(𝑢, 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 2 ),∙ ∙ ∙, 𝑑(𝑢, 𝐶 𝑘 )), dengan 𝑑(𝑢, 𝐶 𝑖 ) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑑(𝑢, 𝑥)|𝑥 ∈   𝐶 𝑖 } untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 , 𝑖, 𝑘 ∈ ℕ . Jika kode warna masing- masing titik di 𝐺 berbeda, pewarnaan 𝑐 disebut pewarnaan lokasi  di 𝐺 .
Berdasarkan  Definisi  4,  diketahui  bahwa  agar  suatu  pewarnaan  titik  merupakan  pewarnaan lokasi, kode warna masing-masing titik di 𝐺 harus berbeda. Oleh karena kode warna untuk setiap titik  merupakan  jarak  setiap  titik  ke  semua  kelas  warna,  maka  banyaknya  komponen  kode  warna untuk setiap titik sama dengan banyaknya warna untuk mewarnai titik-titik pada 𝐺 .
Definisi 5 (Chartrand et al ., 2002) Minimum warna (banyak warna) pada pewarnaan lokasi graf 𝐺 yang dinyatakan dengan 𝜒 𝐿 (𝐺) disebut bilangan kromatik lokasi graf 𝐺.
Seperti  yang  diketahui  bahwa  pewarnan  lokasi  juga  merupakan  pewarnaan  titik  pada  suatu graf, akibatnya 𝜒(𝐺) ≤   𝜒 𝐿 (𝐺) . Agar lebih mudah dipahami, diberikan contoh mengenai Definisi 3, Definisi 4, dan Definisi 5 yang diilustrasikan pada Gambar 1.
Gambar 1 .  (a) Graf 𝐺 ,  (b) Graf 𝐺 2
Pada Gambar 1 bagian (a), sesuai definisi pewarnaan titik, minimal dapat digunakan 2 warna untuk mewarnai titik-titik di 𝐺 , sehingga diperoleh 𝜒(𝐺) = 2 . Oleh karena 𝜒(𝐺) ≤ 𝜒 𝐿 (𝐺) , maka diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐺) ≥ 2 . Dari hasil konstruksi pewarnaan pada graf 𝐺 , diperoleh kelas warna untuk semua  titik: 𝐶 1 = { 𝑣 1 , 𝑣 3 } dan 𝐶 2 = { 𝑣 2 , 𝑣 4 } .  Setelah  memperoleh  kelas  warna,  selanjutnya menentukan kode warna masing-masing titik di graf 𝐺 sesuai dengan Definisi 4,  yang  dinyatakan pada Tabel 1.
Tabel 1. Kode warna graf 𝐺 𝐶 1 𝐶 2 𝒄 𝛱 (𝑉(𝐺))
𝑣 1 0 1 (0,1) 𝑣 2 1 0 (1,0) 𝑣 3 0 1 (0,1) 𝑣 4 1 0 (1,0)
Berdasarkan Tabel 1, titik 𝑣 1 , 𝑣 3 dan 𝑣 2 , 𝑣 4 pada graf 𝐺 memiliki kode warna yang sama. Oleh  karena  itu,  pewarnaan  pada  graf 𝐺 yang  menggunakan  2  warna  tidak  memenuhi  Definisi  4. Oleh  karena  pewarnaan  dengan  2  warna  pada  garf 𝐺 tidak  memenuhi  definisi  pewarnaan  lokasi, maka  diterapkan  pewarnaan  ulang  pada  graf 𝐺 .  Graf 𝐺 yang  sudah  dilakukan  pewarnaan  ulang disimbolkan dengan graf 𝐺 2 , dengan kelas warna yang diperoleh: 𝐶 1 = {𝑣 1 },  𝐶 2 = {𝑣 2 , 𝑣 4 } dan 𝐶 3 = {𝑣 3 }. Berdasarkan  Definisi  4,  untuk  setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺 2 ) ,  kode  warna  yang  diperoleh diperlihatkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Kode warna graf 𝐺 2
𝐶 1 𝐶 2 𝐶 3 𝒄 𝛱 (𝑉(𝐺 2 )) 𝑣 1 0 1 2 (0,1,2) 𝑣 2 1 0 1 (1,0,1) 𝑣 3 2 1 0 (2,0,1) 𝑣 4 3 0 1 (3,0,1)
Berdasarkan  Tabel  2,  kode  warna  masing-masing  titik  di  graf 𝐺 2 berbeda.  Akibatnya, pewarnaan  graf 𝐺 2 dengan  menggunakan  3  warna  merupakan  pewarnaan  lokasi  dan  merupakan jumlah warna minimum, sehingga diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐺 2 ) = 3 .
Definisi 6 (Yuliantina & Budayasa, 2018) Misal 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) sebuah graf dan 𝑣 sebuah titik di 𝐺 . Persekitaran terbuka  titik 𝑣 , dilambangkan  dengan 𝑁 𝐺 (𝑣) atau 𝑁(𝑣) , didefinisikan sebagai 𝑁(𝑣) = {𝑥 ∈ 𝑉(𝐺) | 𝑣𝑥 ∈ 𝐸(𝐺)} yang merupakan himpunan titik-titik yang bertetangga dengan titik 𝑣 di 𝐺 .  Sedangkan  persekitaran  tertutup  untuk  titik 𝑣 ,  dilambangkan 𝑁[𝑣] dan  didefinisikan sebagai 𝑁[𝑣] = 𝑁(𝑣) ∪ {𝑣} .
Setelah  membahas  tentang  persekitaran  titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) ,  selanjutnya  dibahas  mengenai warna-warna untuk semua titik yang ada di sekitar titik 𝑣 seperti pada Teorema 7 beserta akibatnya.
Teorema 7 (Chartrand et al ., 2002) Misalkan 𝐺 graf terhubung dan c merupakan pewarnaan lokasi di 𝐺 .  Jika 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢 ≠ 𝑣 sedemikian  sehingga 𝑑(𝑢, 𝑤) = 𝑑(𝑣, 𝑤) untuk  setiap 𝑤 ∈
(a) (b) 𝐶 𝑖 𝑉(𝐺 2 ) 𝐶 𝑖 𝑉(𝐺)
𝑉(𝐺) − {𝑢, 𝑣} , maka 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣) . Secara khusus, jika 𝑢 tidak bertetangga dengan 𝑣 di 𝐺 dan 𝑁(𝑢) = 𝑁(𝑣), maka 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣) .
Berdasarkan  Teorema  7,  dapat  diartikan  bahwa  kedua  titik yaitu  titik 𝑢 dan 𝑣 pasti  berada didalam  kelas  warna  yang  berbeda,  dikarenakan  titik 𝑢 dan 𝑣 memiliki  persekitaran  yang  sama. Pada kondisi tersebut, jika titik 𝑢 dan 𝑣 memiliki warna sama, maka Definisi 4 tidak dapat dipenuhi. Lebih lanjut, Teorema 7 ini menghasilkan akibat sebagai berikut.
Akibat  8 (Chartrand et  al .,  2002) Diberikan  graf  terhubung 𝐺. Jika  terdapat  suatu  titik  yang bertetangga dengan n daun di 𝐺 , maka 𝜒 𝐿 (𝐺) ≥ 𝑛 + 1 .
Akibat 8 ini, memberikan batas bawah bilangan kromatik lokasi suatu graf yang memiliki titik dan bertetangga dengan 𝑛 daun. Sebagai contoh, diberikan ilustrasi pada Gambar 2.
Gambar 2. Graf 𝑋
Pada Gambar 2, dapat dilihat bahwa, graf 𝑋 yang memiliki 7 titik dengan titik 𝑣 1 bertetangga dengan 3 daun. Menurut Akibat 8, 𝜒 𝐿 (𝑋) ≥ 4 .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  artikel  ini,  secara  khusus  dibahas  mengenai  bilangan  kromatik  lokasi  dari  graf  yang diperoleh  menggunakan  konsep  graf  total  dan  graf splitting .  Lebih  khusus,  graf  dasar  yang digunakan  adalah  graf  bintang  yang  yang  selanjutnya  dikonstruksi  menjadi  graf  total  dan  graf splitting . Untuk itu, terlebih dahulu diberikan definisi graf bintang.
Definisi  9 (Irawati  & Dina,  2013) Graf  bintang  yang  dinotasikan  dengan 𝑆 𝑛 merupakan  graf yang memiliki 𝑛 + 1 titik, dengan 1 titik pusat berderajat 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ yang bertetangga dengan 𝑛 daun .
Agar lebih mudah  dipahami, diberikan ilustrasi gambar seperti Gambar 3 untuk menjelaskan Definisi  9.  Berdasarkan  Gambar  3,  dapat  dilihat  bahwa  titik 𝑢 sebagai  titik  pusat  dan  titik 𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑛 sebagai daun. Jika dikaitkan dengan pewarnaan lokasi dan memperhatikan Akibat 8, diperoleh 𝜒 𝐿 ( 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝑛 + 1 .
Gambar 3 . Graf Bintang (𝑆 𝑛 )
Dari  graf  bintang  tersebut,  diterapkan  konsep  graf  total  dan  graf splitting berturut-turut menggunakan  Definisi 10 dan Definisi 11.
Definisi 10 (Thenmozhi & Prabha, 2017) Misal diberikan graf 𝐺 = ( 𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) . Graf total dari graf 𝐺 yang dinotasikan 𝑇(𝐺) adalah graf yang himpunan titiknya adalah 𝑉(𝐺) ∪ 𝑈(𝐺) , dengan 𝑈(𝐺) menyatakan himpunan titik-titik baru berdasarkan penambahan satu titik  untuk masing-masing sisi 𝑒 = 𝑣 𝑖 𝑣 𝑗 pada graf 𝐺 . Dalam graf total, dua titik bertetangga di 𝑇(𝐺) jika dan hanya jika,
(i) 𝑣 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺) bertetangga  dengan 𝑣 𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) di 𝐺 untuk 𝑖 ≠ 𝑗 dimana 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , |𝑉(𝐺)| .
(ii) 𝑢 𝑖 ∈ 𝑈(𝐺) bertetangga dengan 𝑢 𝑗 ∈ 𝑈(𝐺) , jika sisi 𝑒 𝑖 dan 𝑒 𝑗 bersisian dengan titik yang sama di graf 𝐺 untuk 𝑖 ≠ 𝑗 dimana 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , |𝑉(𝐺)|
(iii) 𝑣 𝑖 bertetangga  dengan 𝑢 𝑖 ∈ 𝑉(𝑇(𝐺)) jika 𝑣 𝑖 bersisian  dengan  sisi 𝑒 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗 dimana 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , |𝑉(𝐺)| .
Definisi  11 (Ghosh et  al .,  2015) Graf  splitting  dari  graf  terhubung 𝐺 dinotasikan  dengan 𝑆′(𝐺) merupakan graf yang diperoleh dari graf 𝐺 dengan penambahan titik baru 𝑢′ untuk masing-masing titik 𝑢 di 𝐺 sehingga 𝑁(𝑢) = 𝑁(𝑢 ′ ) ,  dengan 𝑁(𝑢) dan 𝑁(𝑢 ′ ) berturut-turut  merupakan persekitaran terbuka titik 𝑢 dan 𝑢′ .
Menerapkan  Definisi  10  dan  Definisi  11,  ilustrasi  graf  total dan  graf splitting dari  graf  bintang dinyatakan pada Gambar 4.
Gambar 4. (a) Graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) , (b) Graf 𝑆′(𝑆 𝑛 )
Setelah diberikan definisi pewarnaan lokasi dan konsep terkait serta cara pembentukkan graf baru berdasarkan Definisi 10 dan Definisi 11, selanjutnya konsep pewarnaan lokasi diterapkan pada graf total dari  graf  bintang ( ) n T S yang  memiliki 2𝑛 + 1 titik  dan  graf splitting dari  graf  bintang 𝑆′(𝑆 𝑛 ) yang memiliki 2𝑛 + 1 sehingga bilangan kromatik dari kedua graf tersebut.
Pada proses ini, dilakukan konstruksi pewarnaan lokasi sehingga diperoleh kelas warna dan kode lokasi yang berbeda untuk masing-masing titik pada graf ( ) n T S dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) . Untuk keperluan tersebut, konsep pewarnaan titik dan relasi antara bilangan kromatik dan bilangan kromatik lokasi, serta sifat yang telah diberikan pada Teorema 7 dan Akibat 8 juga merupakan bagian yang  saling mendukung. Hal tersebut dapat digunakan untuk memverifikasi hasil bilangan kromatik lokasi yang diperoleh.  Bilangan  kromatik  lokasi  untuk  graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) berturut-turut  dinyatakan  pada Teorema 12 dan Teorema 13.
Teorema  12 Diberikan  graf  bintang 𝑆 𝑛 dengan 𝑇(𝑆 𝑛 ) merupakan  graf  total  dari 𝑆 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ . Bilangan kromatik lokasi untuk 𝑇(𝑆 𝑛 ) adalah
𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = { 3,           𝑛 = 1 4,           𝑛 = 2 𝑛 + 1 , 𝑛 ≥ 3
Bukti :
(i) 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 3 , untuk 𝑛 = 1 Pertama,  dengan  menerapkan  pewarnaan  titik  pada 𝑇(𝑆 1 ) ,  diperoleh 𝜒(𝑇(𝑆 1 )) = 3 .  Lebih lanjut,  karena 𝜒(𝐺) ≤ 𝜒 𝐿 (𝐺) ,  maka 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 1 )) ≥ 3. Kemudian  dikonstruksi  pewarnaan, sehingga kelas warna yang diperoleh adalah:
𝐶 1 = {𝑢 1 } (1)
𝐶 2 = {𝑣 1 } (2)
𝐶 3 = {𝑢} (3)
(b) (a)
Berdasarkan kelas warna (1), (2) dan (3), kode warna yang diperoleh adalah:
𝒄 𝛱 (𝑢 1 )   = (0,1,1) 𝒄 𝛱 (𝑣 1 ) = (1,0,1)
𝒄 𝛱 (𝑢)   = (1,1,0)
Berdasarkan  kode  warna  tersebut,  kode  warna  yang  diperoleh  untuk  titik-titik  pada 𝑇(𝑆 1 ) berbeda.  Dari  kode  warna  tersebut,  diperoleh 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 1 )) ≤ 3 .  Oleh  karena  itu, 3 ≤ 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 1 )) ≤ 3 .  Akibatnya,  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 1 )) = 3 .  Untuk  memperjelas hasil  formula  yang  diperoleh,  diberikan  contoh  aplikasi  dari  formula  tersebut  seperti  pada Gambar 5.
Gambar 5 . Graf 𝑇(𝑆 1 ) (ii) 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 4 , untuk 𝑛 = 2 Pada  graf 𝑇(𝑆 2 ) ,  diterapkan  suatu  pewarnaan  titik  sehingga  kelas  warna  yang  diperoleh adalah: 𝐶 1 = {𝑢 1 } , 𝐶 2 = {𝑢 2 } , 𝐶 3 = {𝑣 1 , 𝑣 2 } ,  dan 𝐶 4 = {𝑢} .  Untuk  setiap  titik  di  graf 𝑇(𝑆 2 ) , diperoleh kode warna:
𝒄 𝛱 (𝑢)     = (𝑑(𝑢, 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 2 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 3 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 4 ))
= (1,1,1,0) 𝒄 𝛱 (𝑣 1 )   = (𝑑(𝑣 1 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑣 1 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑣 1 , 𝐶 3 ), 𝑑(𝑣 1 , 𝐶 4 ))
= (1,2,0,1)
𝒄 𝛱 (𝑣 2 )   = (𝑑(𝑣 2 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑣 2 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑣 2 , 𝐶 3 ), 𝑑(𝑣 2 , 𝐶 4 )) = (2,1,0,1) 𝒄 𝛱 (𝑢 1 )    = (𝑑(𝑢 1 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢 1 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑢 1 , 𝐶 3 ), 𝑑(𝑢 1 , 𝐶 4 )) = (0,1,1,1) 𝒄 𝛱 (𝑢 2 )    = (𝑑(𝑢 2 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢 2 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑢 2 , 𝐶 3 ), 𝑑(𝑢 2 , 𝐶 4 )) = (1,0,1,1)
Berdasarkan kode-kode warna tersebut, kode warna yang diperoleh untuk masing-masing titik pada 𝑇(𝑆 2 ) berbeda,  berakibat 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 2 )) ≤ 4 .  Oleh  karena 𝜒(𝐺) ≤ 𝜒 𝐿 (𝐺) ,  selanjutnya dilakukan  pewarnaan  titik  pada 𝑇(𝑆 2 ) dan  diperoleh 𝜒(𝑇(𝑆 2 )) = 3 .    Akibatnya, 3 ≤ 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 2 )) ≤ 4 .  Berdasarkan  hasil  yang  ada,  diperoleh  kemungkinan 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 2 )) = 3 atau 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 2 )) = 4 .  Andaikan 𝜒 𝐿 (𝑀(𝑆 2 )) = 3 ,  artinya  minimal  digunakan  3  warna  untuk pewarnaan lokasi 𝑇(𝑆 2 ) . Oleh karena titik 𝑢, 𝑢 1 dan 𝑢 2 saling bertetangga, maka diperlukan 3 warna  untuk  mewarnai  masing-masing  titik 𝑢, 𝑢 1 dan 𝑢 2 .  Selanjutnya,  untuk  titik 𝑣 1 dan 𝑣 2 yang  belum  memiliki  warna,  karena  sudah  3  warna  yang  digunakan,  maka  harus  diwarnai dengan warna yang sudah ada. Pada graf 𝑇(𝑆 2 ) , titik 𝑣 1 betetangga dengan titik 𝑢 dan 𝑢 1 , sehingga  warna  untuk  titik 𝑣 1 harus  berbeda  dengan  warna 𝑢 dan 𝑢 1 .  Akibatnya, 𝑣 1 harus mempunyai  warna  yang  sama  dengan 𝑢 2 .  Hal  yang  sama  berlaku  untuk 𝑣 2 .  Berdasarkan pewarnaan  tersebut,  kelas  warna  untuk  graf 𝑇(𝑆 2 ) adalah 𝐶 1 = {𝑢} , 𝐶 2 = {𝑢 1 , 𝑣 2 } ,  dan 𝐶 3 = {𝑢 2 , 𝑣 1 } . Kode warna untuk titik-titik di 𝑇(𝑆 2 ) berdasarkan kelas warna adalah:
𝒄 𝛱 (𝑢)    = (𝑑(𝑢, 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 2 ), 𝑑(𝑢, 𝐶 3 ))
= (0,1,1) 𝒄 𝛱 (𝑣 1 ) = (𝑑(𝑣 1 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑣 1 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑣 1 , 𝐶 3 )) = (1,1,0)
𝒄 𝛱 (𝑣 2 ) = (𝑑(𝑣 2 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑣 2 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑣 2 , 𝐶 3 ))
= (1,0,1) 𝒄 𝛱 (𝑢 1 ) = (𝑑(𝑢 1 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢 1 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑢 1 , 𝐶 3 )) = (1,0,1) 𝒄 𝛱 (𝑢 2 ) = (𝑑(𝑢 2 , 𝐶 1 ), 𝑑(𝑢 2 , 𝐶 2 ), 𝑑(𝑢 2 , 𝐶 3 )) = (1,1,0)
Diperoleh bahwa kode warna 𝑢 1 dan 𝑣 2 serta kode warna 𝑢 2 dan 𝑣 1 adalah sama. Akibatnya, pewarnaan  titik  menggunakan  3  warna  untuk  graf 𝑇(𝑆 2 ) tidak  memenuhi  definisi  pewarnaan lokasi (kontradiksi). Agar pewarnaan titik pada graf 𝑇(𝑆 2 ) memenuhi definisi pewarnaan lokasi, haruslah 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 2 )) ≥ 4 .  Oleh  karena  itu,  diperoleh  bahwa 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 2 )) = 4 .  Untuk memperjelas  hasil  formula  yang  diperoleh,  diberikan  contoh  aplikasi  dari  formula  tersebut seperti pada Gambar 6.

## Gambar 6. Graf 𝑇(𝑆 2 )
(iii) 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 1 , untuk 𝑛 ≥ 3 Terlebih dahulu, dikonstruksi pewarnaan titik untuk 𝑇(𝑆 𝑛 ) . Titik-titik 𝑢 𝑖 di 𝑇(𝑆 𝑛 ) dengan 𝑖 = 1, . . , 𝑛 saling bertetangga, sehingga dibutuhkan 𝑛 warna untuk mewarnai masing-masing titik
𝑢 𝑖 .  Untuk  titik-titik 𝑣 𝑖 ,  dapat  diwarnai  menggunakan 𝑛 warna  yang  sudah  digunakan  untuk mewarnai  titik-titik 𝑢 𝑖 ,  sesuai  definisi  pewarnaan  titik.  Pada  graf 𝑇(𝑆 𝑛 ) ,  tersisa  titik 𝑢 yang belum  diwarnai.  Oleh  karena  titik 𝑢 bertetangga  dengan  masing-masing  titik 𝑢 𝑖 ,  sehingga berdasarkan definisi pewarnaan titik, warna untuk titik 𝑢 harus berbeda dengan warna masing- masing  titik 𝑢 𝑖 .  Oleh  kerena  itu,  diperoleh 𝜒(𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 1 .  Akibatnya, 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) ≥ 𝑛 + 1 . Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) ≤ 𝑛 + 1 .  Berdasarkan  hasil  konstruksi pewarnaan titik untuk 𝑇(𝑆 𝑛 ) , kelas warna yang diperoleh adalah:
𝐶 𝑖 = {𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 }, untuk 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 − 1 (4)
𝐶 𝑛 = {𝑢 𝑛 , 𝑣 1 } (5) 𝐶 𝑛+1 = {𝑢}
(6)
Berdasarkan kelas warna (4), (5) dan (6), kode warna yang diperoleh adalah:
𝒄 𝛱 (𝑢)   = { 0, komponen ke 𝑛 + 1
1, komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑣 1 ) = { 1, komponen ke 1 dan 𝑛 + 1 0, komponen ke 𝑛 2, komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑢 𝑖 ) = { 0, komponen ke 𝑖 1, komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑣 𝑖 ) = { 0, komponen ke 𝑖 − 1 1, komponen ke 𝑖 dan  𝑛 + 1
2, komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑣 2 ) = { 0, komponen ke 1 1, komponen ke 2 dan  𝑛 + 1 2, komponen lainnya
Akibatnya, menurut Definisi 4 dan Definisi 5 menunjukkan 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) ≤ 𝑛 + 1 . Oleh karena diperoleh 𝑛 + 1 ≤ 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) ≤ 𝑛 + 1 , maka 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 1 . ∎ .
Untuk memperjelas hasil formula yang diperoleh, diberikan contoh aplikasi dari formula tersebut seperti pada Gambar 7.
Gambar 7. (a) Graf 𝑇(𝑆 3 ) , (b) Graf 𝑇(𝑆 4 ) , (c) Graf 𝑇(𝑆 5 ) , (d) Graf 𝑇(𝑆 𝑛 )
Pada Teorema 12, telah diberikan bilangan kromatik lokasi untuk graf total dari graf bintang 𝑇(𝑆 𝑛 ) . Selanjutnya, konsep pewarnaan lokasi juga diterapkan pada graf splitting dari graf bintang 𝑆′(𝑆 𝑛 ) sehingga diperoleh bilangan kromatik lokasi dari 𝑆′(𝑆 𝑛 ) yang dinyatakan pada Teorema 13. Teorema  13 Diberikan  graf  bintang 𝑆 𝑛 dengan 𝑆′(𝑆 𝑛 ) merupakan  graf  splitting  dari 𝑆 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ . Bilangan kromatik lokasi untuk 𝑇(𝑆 𝑛 ) adalah 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 ))   = 𝑛 + 2 .
Bukti : Persekitaran terbuka titik-titik 𝑣 𝑖 dengan 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 di 𝑆′(𝑆 𝑛 ) adalah sama atau 𝑁(𝑣 1 ) = 𝑁(𝑣 2 ) = 𝑁(𝑣 3 ) = ⋯ = 𝑁(𝑣 𝑛 ) . Berdasarkan  Teorema  7,  maka  untuk  masing-masing  titik 𝑣 𝑖 harus diwarnai dengan warna berbeda. Akibatnya, diperlukan 𝑛 warna sehingga masing-masing titik 𝑣 𝑖 memiliki warna yang berbeda. Selanjutnya, tinjau kedua titik yang saling bertetangga dengan titik 𝑣 𝑖 yaitu titik 𝑢 1 dan 𝑢 1 ′ . Sehingga, titik 𝑢 1 dan 𝑢 1 ′ tidak dapat diwarnai dengan warna yang telah digunakan untuk mewarnai titik-titik 𝑣 𝑖 . Lebih lanjut, diperoleh juga bahwa persekitaran terbuka titik 𝑢 1 dan 𝑢 1 ′ adalah sama atau 𝑁(𝑢 1 ) = 𝑁(𝑢 1 ′) . Menurut Teorema 7, hal tersebut berakibat bahwa titik 𝑢 1 dan titik 𝑢 1 ′ harus diwarnai dengan warna berbeda (diperlukan 2 warna tambahan dari warna yang sudah ada). Diperoleh bahwa, dibutuhkan 𝑛 + 2 warna untuk mewarnai semua 𝑣 𝑖 , 𝑢 1 dan 𝑢 1 ′ .  Tanpa  memperhatikan  titik-titik 𝑣 𝑖 ′ dengan 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 ,  diperoleh  bahwa  setidaknya, diperlukan 𝑛 + 2 warna untuk mewarnai titik-titik yang ada pada graf 𝑆′(𝑆 𝑛 ) atau 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 )) ≥ 𝑛 + 2 . Selanjutnya, dibentuk konstruksi kelas warna berdasarkan pewarnaan yang telah diterapkan di graf 𝑆′(𝑆 𝑛 ) , sehingga kelas warna yang diperoleh adalah:
𝐶 𝑖 = {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 ′}, untuk 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 (7)
𝐶 𝑛+1 = {𝑢 1 } (8)
𝐶 𝑛+2 = {𝑢 1 ′} (9)
(a) (b) (c) (d)
Berdasarkan kelas warna (7), (8) dan (9), kode warna yang diperoleh adalah:
𝒄 𝛱 (𝑣 𝑖 )    = { 0,          komponen ke 𝑖
1, komponen ke 𝑛 + 1
1, komponen ke 𝑛 + 2 2  , komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑣 𝑖 ′)    = { 0,          komponen ke 𝑖
1, komponen ke 𝑛 + 1
3, komponen ke 𝑛 + 2
2  , komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑢 1 )     = { 0, komponen ke 𝑛 + 1 2, komponen ke 𝑛 + 2
1, komponen lainnya
𝒄 𝛱 (𝑢 1 ′) = { 0, komponen ke 𝑛 + 2 2, komponen ke 𝑛 + 1

## 1, komponen lainnya
Berdasarkan kode warna tersebut, dapat dilihat bahwa masing-masing titik 𝑣 𝑖 ′ dan 𝑣 𝑖 dapat diwarnai dengan warna yang sama. Walaupun titik 𝑣 𝑖 ′ dan 𝑣 𝑖 terdapat pada kelas warna yang sama tetapi kode warna untuk titik 𝑣 𝑖 ′ dan 𝑣 𝑖 berbeda. Akibatnya, berdasarkan kode warna tersebut serta Definisi  dan  Definisi  5, 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 ) ) ≤ 𝑛 + 2 .  Oleh  karena, 𝑛 + 2 ≤ 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 ) ) ≤ 𝑛 + 2 , diperoleh 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 ) ) = 𝑛 + 2 . ∎
Untuk  memperjelas  hasil  formula  yang  diperoleh,  diberikan  contoh  aplikasi  dari  formula tersebut seperti pada gambar 8.
Gambar 8. ( a) Graf 𝑆′(𝑆 1 ) , (b) Graf 𝑆′(𝑆 2 ) , (c) Graf 𝑆′(𝑆 3 ) , (d) Graf 𝑆′(𝑆 4 )

## KESIMPULAN
Bilangan  kromatik  lokasi  suatu  graf G yang  dilambangkan  dengan 𝜒 𝐿 (𝐺) menyatakan minimal banyaknya warna yang digunakan pada pewarnaan lokasi, sehingga kode warna masing- masing  titik  di 𝐺 berbeda.  Pada  artikel  ini,  diperoleh  bilangan  kromatik  lokasi  pada  graf  hasill konstruksi  yaitu graf total dan graf splitting dari graf bintang. Bilangan kromatik lokasi pada graf total dari  graf  bintang 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan  graf splitting dari  graf  bintang 𝑆′(𝑆 𝑛 ) berturut-turut  adalah 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 2, 𝑛 = 1,2 dan 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 1, 𝑛 ≥ 3 dan 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 )) = 𝑛 + 2 untuk 𝑛 ∈ ℕ .  Oleh  karena 𝜒 𝐿 (𝑆 𝑛 ) = 𝑛 + 1 ,  yang  berarti 𝜒 𝐿 (𝑇(𝑆 𝑛 )) = 𝜒 𝐿 (𝑆 𝑛 ), 𝑛 ≥ 3 dan 𝜒 𝐿 (𝑆′(𝑆 𝑛 )) = 𝜒 𝐿 (𝑆 𝑛 ) + 1 .
REKOMENDASI Berdasarkan  hasil  penelitain,  telah  diperoleh  bilangan  kromatik  lokasi  pada  graf  total  dari graf bintang 𝑇(𝑆 𝑛 ) dan graf splitting dari graf bintang 𝑆′(𝑆 𝑛 ) . Untuk graf-graf lainnya, khususnya yang  diperoleh  dari  hasil  operasi  maupun  konstruksi  suatu  graf,  tentunya  dapat  memiliki  bilangan
(c)
(d) (b) (a)
kromatik  yang  berbeda-beda  sesuai  karakteristiknya  masing-masing.  Untuk  itu,  dapat  dilakukan kajian lebih lanjut terkait bilangan kromatik lokasi graf-graf tersebut dan relasinya terhadap bilangan kromatik lokasi graf dasar yang digunakan.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas  Tanjungpura  dan  kepada  peneliti- peneliti yang karya-karyanya dijadikan rujukan dalam artikel ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Asmiati, A. (2016). The locating-chromatic number for certain of trees. Bulletin of Mathematics , 8 (2), 125 – 131.
Asmiati., Yana, I. K. S.G., & Yulianti, L. (2018). On the locating chromatic number of certain barbell graphs. International  Journal  of  Mathematics  and  Mathematical  Sciences , 2018 . https://doi.org/10.1155/2018/5327504
Behtoei,  A.,  &  Omoomi,  B.  (2016).  On  the  locating  chromatic  number  of  the  cartesian  product  of graphs. Ars Combinatoria , 126 , 221 – 235.
Chartrand,  G.,  Salehi,  E.,  &  Zhang,  P.  (2000).  The  partition  dimension  of  a  graph. Aequationes Mathematicae , 59 (1), 45 – 54.
Chartrand, G., Erwin, D., Henning, M. A., Slater, P. J., & Zhang, P. (2002). The locating-chromatic number of a graph. Bull. Inst. Combin. Appl , 36 (89), 101.
Ghosh, P., Mishra, S. N., & Pal, A. (2015). Various labeling on bull graph and some related graphs. International Journal of Applications of Fuzzy Sets and Artificial Intelligence , 5 , 23 – 35.
Irawati, & Dina. (2013). Pelabelan total sisi ajaib pada graf bintang. Jurnal Matematika UNAND , 2 (1), 85. https://doi.org/10.25077/jmu.2.1.85-89.2013
Kabang, N. K., Yundari, & Fran, F. (2020). Bilangan  kromatik lokasi pada graf bayangan dan graf middle dari graf bintang. BIMASTER , 9 (2), 329 – 336. https://doi.org/http://dx.doi.org/10.26418/bbimst.v9i2.39977
Munir, R. (2010). Matematika Diskrit Ed ke-3. Bandung : Informatika .
Thenmozhi,  B.,  &  Prabha,  R.  (2017).  Power  domination  of  middle  graph  of  path,  cycle  and  star. International Journal of Pure and Applied Mathematics , 114 (5), 13 – 19.
Xu,  B.,  Li,  C.,  &  Fan,  Z.  (2018).  On  locating  numbers  of  graphs. Journal  of  Harbin  Institute  of Technology (New Series) , 25 (1), 93 – 96. https://doi.org/10.11916/j.issn.1005-9113.16198
Yuliantina, S., & Budayasa, I. K. (2018). Beberapa syarat graf tidak bersahabat. Mathunesa : Jurnal Ilmiah Matematika , 6 (2).