## Vol. 10, No. 1,  26-34,  Juli  2013
Bagan Kendali Rasio Likelihood dan Aplikasinya pada Data Kurs Mata Uang dan Industri
Andi Fitri Ayu 1 , Erna Tri Herdiani 1 , M. Saleh AF 1 , Anisa 1 , Nasrah Sirajang 1

## Abstrak
Pengendalian  kualitas  dispersi multivariate dapat  dilakukan  melalui  statistik .  Statistik diturunkan  melalui  metode  log  rasio  likelihood,  dimana  statistik dibentuk  berdasarkan matriks variansi kovariansi. Dengan adanya hubungan antara matriks variansi kovariansi dan korelasi maka dapat dibentuklah statistik Dalam pengkajian statistik dan memiliki distribusi  asimptotik  yang  sama,  yaitu .  Ketika  statistik  ini  digunakan  pada  data  real
kurs mata uang dan industry, ternyata kedua statistik sangat cocok untuk data yang memiliki nilai variansi kovariansi yang kecil dibandingkan yang besar.
Kata Kunci: Dispersi,  matriks  variansi  kovariansi,  matriks  korelasi,  Log  Rasio Likelihood, distribusi Chi-Square .
Abstract
Dispersion  Multivariate  quality  control  can  be  performed  through and statistical. Statistics  derived  through  the  log  likelihood  ratio  method, statistics  formed  by  variance covariance  matrix.  With  the  relationship  between  the  variance  covariance  and  correlation matrices that can be statistically established . In statistical assessment and have the same asymptotic distribution, which is . When these statistics are used it turns out that both  of  statistics  very  suitable  for  data  that  has  smaller  variance  covariance  value  than  the large one.
Keywords: Dispersion, the variance covariance matrix, correlation matrix, the Log Likelihood Ratio, Chi-Square distribution.

## 1. Pendahuluan
Pengendalian proses statistik atau Statistical Processing Control (SPC)merupakan sebuah teknik  statistik  yang  digunakan  secara luas  untuk  memastikan  bahwa  proses  memenuhi  standar. Dengan kata lain, selain SPCmerupakan sebuah proses yang digunakan untuk mengawasi standar, membuat pengukuran dan mengambil tindakan perbaikan selagi sebuah produk atau jasa sedang diproduksi [4]. Salah satu alat SPC yang sering digunakan adalah Bagan Kendali. Bagan kendali yang  akan  dikaji  dalam  paper  ini  adalah  bagan  kendali  variabilitas  untuk  kasus    data multivariable. Adapun bagan kendali yang akan diamati adalah bagan kendali W I dan W R . Pada paper  ini  akan  diselidiki  kondisi  yang  terbaik  untuk  menggunakan  kedua  statistik  tersebut, selajutnya sebagai aplikasi akan diolah data kurs mata uang rupiah dan industry.
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: andifitriayu@yahoo.co.id , herdiani.erna@gmail.com , afsaleh54@yahoo.co.id , nkalondeng@gmail.com
Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang

## 2. Metode Penelitian
Pada bagian ini ada beberapa hal penting yang harus diketahui dalam pembentukan bagan kendali, dalam hal ini adalah bagan kendali .

## Bagan Kendali
Dengan  mengasumsikan  bahwa  matriks  variansi  kovariansi  sebenarnya, ,  tidak diketahui (atau diestimasi dari sampel in control yang besar), perbandingan dibuat antara matriks variansi  kovariansi  sampel  dari  proses  dan  matriks  variansi  kovariansi  yang  tidak  diketahui. Perbandingan tersebut adalah serangkaian uji signifikansi dalam bentuk sebagai berikut:
dimana dan adalah  matriks  variansi  kovariansi  populasi  dan  matriks  variansi  kovariansi in control .  Statistik  tersebut  adalah  rasio  dari  estimator  maksimum  likelihood  untuk  distribusi dalam bentuk sebagai berikut:
{ } , { }
Hal  ini  telah  dijelaskan  oleh  Anderson  [1]  bahwa  estimator  maksimum  likelihood  untuk  kasus multivariate normal adalah sebagai berikut:
̂ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂
dimana ̅ adalah  vektor mean , n adalah  ukuran  sampel,  dan sehingga  fungsi likelihood berdasar pada distribusi normal multivariate adalah
( ̂)   ( ) | | ̂ | | ( )
Rasio likelihoodnya adalah sebagai berikut:
( ) | | ( )
Log rasio likelihoodnya adalah sebagai berikut:
Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
( | | | | )       ( )
Jika dilihat pada persamaan dari statistik , maka rasio | | | | ekuivalen dengan |      | | | , atau | | | | . Sehingga
( | | | | ) ( )
Statistik  uji  tersebut  dihitung  dan  digambarkan  untuk  setiap  sampel  ke- i, dimana yang  akan  ditolak  jika  nilainya  lebih  dari
.  Jika  plot  nilai lebih  dari  UCL , maka proses dapat dikatakan tidak terkendali. { ( ) (8)

## 3. Hasil dan Pembahasan
Hasil dan pembahasan dimulai dari kajian tentang bagan kendali W R , keterkaitan dari R dan S serta pengolahan data  nilai yang memiliki nilai variansi besar dan kecil.

## Bagan Kendali
Korelasi  adalah  kasus  khusus  dari  kovariansi,  sehingga  matriks  yang  digunakan  dalam SPC  untuk  memonitor  kovariansi  akan  diaplikasikan  untuk  memonitor  korelasi.  Dengan  begitu batas kendali untuk kasus berkorelasi secara umum akan sama dengan statistik untuk kovariansi. Untuk  pendekatan  statistik ini  dari  sudut  pandang  hubungan  akan  dilakukan  uji  hipotesis sebagai berikut:
dimana dan adalah matriks korelasi populasi dan matriks korelasi in control . Dapat dihitung salah  satu  rasio  maksimum  likelihood  yang  baru  untuk     dan yang  didefinisikan  dalam  hal korelasi.

## Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
Syarat ketiga dan keempat dari statistik merupakan rasio | | | | . Untuk mengubah rasio ini dalam matriks korelasi in control dengan rasio determinan matriks korelasi sampel, | | | | , maka dibutuhkan asumsi bahwa faktor skala untuk kedua kasus adalah ekuivalen.
Log rasio likelihoodnya adalah sebagai berikut:
( | | | | )            ( ) (9)
Bagan  kendali  dapat  dibangun  untuk  matriks  korelasi
,  berdasarkan  pada  bagan  kendali
matriks variansi kovariansi .
Distribusi statistik akan ekuivalen dengan distribusi statistik , karena statistik
ekuivalen  dengan  statistik .  Oleh  karena  itu,  distribusi  statistik akan  ditunjukkan  sebagai berikut:
dimana
( )
| | ( )
Statistik telah  dijelaskan  bahwa  memiliki  distribusi  asimptotik .  Dengan  demikian
bagan kendali dari adalah sebagai berikut:
⁄ ⁄
dikatakan out-of-control apabila ⁄ . Keterkaitan Antara S dan R Misalkan dan merupakan vektor acak dari - variate dengan sebagai ukuran sampel. Nilai kovariansi dari variabel dan adalah
∑( ̅ ) ( ̅ )
Koefisien korelasi sampel, didefinisikan sebagai:
√ √
Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
dimana dan Hubungan  antara dan ini,  dimisalkan vektor  acak  yang  berdistribusi ,  untuk  setiap i ,  dimana
serta merupakan  matriks  variansi  kovariansi dan  matriks  korelasi  yang  dihitung  pada  sampel.  Maka,  jika  kita  mempunyai  notasi,
,  dimana X adalah  sebuah  matriks  berukuran , maka  matriks  korelasi sampelnya dapat dinyatakan sebagai
dengan matriks korelasi untuk populasinya diberikan dengan
Perhatikan  bahwa  jika  didefinisikan ,  kemudian adalah  vektor  acak yang  berdistribusi ( ) .  Jika adalah  matriks  variansi  kovariansi  sampel  yang dihitung dari , maka
dimana
:  matriks diagonal dari matriks variansi kovariansi sampel .
: matriks diagonal dari standar deviasi matriks variansi kovariansi sampel .
:  matriks variansi kovariansi.
:  matriks korelasi
Analisa  Data
Pengolahan  data  akan  menggunakan  statistik pada  data  nilai  tukar  rupiah  terhadap dollar Amerika, yuan  renmimbi Cina, ringgit Malaysia  dan  data  Piston  Ring.  Analisis  data  ini dibagi menjadi tiga kasus, yaitu:
Kasus I untuk nilai variansi kovariansi yang besar (data nilai tukar rupiah)  dengan , Kasus II untuk nilai variansi kovariansi yang besar dengan , dan Kasus III untuk nilai variansi kovariansi yang kecil (data piston ring) dengan .
Adapun sebagai variabel untuk kasus I dan kasus II adalah sebagai berikut:
: Mata uang dollar Amerika,
: Mata uang yuan renmimbi Cina, dan
: Mata uang ringgit Malaysia
Untuk kasus III digunakan data Piston Ring.
Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
Adapun bagan kendali dari statistik dan untuk kasus I, II dan III adalah sebagai berikut :
Untuk kasus I, dengan p =3, maka nilai W I dan W R adalah sebagai berikut:
No. W i W R No. W i W R 1 149.304 168.154 13 96.619 69.08 2 45.566 3.327 14 67.377 59.835 3 203.449 234.006 15 88.988 46.28 4 66.745 194.909 16 53.906 60.842 5 149.306 202.398 17 114.985 13.087 6 45.57 23.078 18 65.358 35.772 7 71.849 18.409 19 96.586 113.819 8 64.802 47.637 20 40.839 8.525 9 155.523 450.415 21 152.447 54.249 10 75.967 228.454 22 13.866 6.194 11 55.202 70.211 23 28.385 18.358 12 90.797 179.988 24 16.175 4.098
Adapun bagan kendali kedua statistik tersebut adalah sebagai berikut.
Pada  data  nilai  tukar  mata  uang  rupiah,  hasilnya  menunjukkan  bahwa  dalam  bagan  kendali  W I hanya data ke-22 dan 24 yang berada di dalam batas kendali. Sedangkan pada bagan kendali W R sebagian  besar data  berada  di luar  batas  kendali  dan data  yang  ke-2,  7,  17,  20, 22,  23, 24  yang berada dalam batas kendali dari batas yang  berasal dari statistik , lihat Gambar 1a dan 1b di atas.
Gambar 1a.  Bagan Kendali dari Statistik untuk Kasus I, dengan Gambar 1b . Bagan Kendali dari Statistik untuk Kasus I, dengan

## Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
Begitu  pula  halnya  untuk  kasus  II,  dengan p =2  yaitu X 1 dan X 3 ,  maka  nilai  W I dan  W R adalah sebagai berikut :
No. W i W R No. W i W R 1 11.431 1.469 13 50.930 36.086 2 27.175 0.489 14 45.246 41.222 3 12.695 6.106 15 30.657 17.082 4 29.145 0.608 16 25.807 7.123 5 25.381 3.870 17 47.486 0.737 6 19.399 2.194 18 19.323 1.876 7 23.344 0.189 19 47.573 15.707 8 26.356 9.567 20 10.516 0.053 9 49.585 11.511 21 107.942 1.330 10 71.815 3.276 22 12.250 12.746 11 29.557 13.216 23 5.835 1.993 12 31.994 0.070 24 11.440 3.323
Adapun bagan kendali kedua statistik tersebut adalah sebagai berikut.
Sedangkan  untuk  kasus  II,  hampir  sama  dengan kasus  I  sebagian  besar  data  yang  berada  di  luar batas kendali. Pada bagan kendali W I, terdapat enam data yang berada dalam bagan kendali yaitu data ke- 1, 3, 20, 22, 23 dan 24. Pada batas kendali W R sebagian besar berada dalam bagan kendali kecuali ada  sebelas  data  berada  di  luar  yaitu  data  ke-2,  4,  7,  11,  12,  13,  14,  15,  19,  20  dan  22,  lihat Gambar  2a  dan  2b.  Kedua  kasus  ini  berasal  dari  satu  sumber  data  yaitu  nilai  tukar  mata  uang rupiah dimana nilai variansi kovariansi memiliki nilai yang besar.
Untuk kasus III, dengan p =2, maka nilai W I dan W R adalah sebagai berikut.
Gambar 2a . Bagan Kendali dari Statistik untuk Kasus II, dengan
Gambar 2b.  Bagan Kendali dari Statistik untuk Kasus II, dengan .
Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
No. W i W R No. W i W R 1 0.01 0.14 11 0.52 0.22 2 0.22 0.28 12 0.35 0.37 3 0.12 0.26 13 3.89 1.46 4 2.41 1.90 14 0.32 0.37 5 2.05 1.90 15 0.25 0.28 6 1.77 1.09 16 0.24 0.28 7 0.22 0.26 17 1.28 0.99 8 0.27 0.29 18 0.17 0.37 9 0.36 0.52 19 0.54 0.48 10 8.03 7.77 20 1.14 1.00
Adapun bagan kendali kedua statistik tersebut adalah sebagai berikut.
Adapun  untuk  kasus  III,  data  yang  berada  di  luar  batas  kendali  hanya  satu  yaitu  data  ke-1  dan sebagian besar berada di dalam batas kendali. Kasus ini memiliki perbedaan dengan kasus I dan II, karena untuk kasus ini digunakan nilai dari variansi kovariansi yang cukup kecil dibandingkan sebelumnya,  sehingga  hasil  bagan  kendali  yang  dihasilkan  cukup  berbeda,  sebagaimana  yang terlihat pada Gambar 3a dan 3b.

## 4. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah bahwa statistik dapat diturunkan melalui  metode  log  rasio  likelihood.Distribusi  dari adalah chi-square dengan  derajat kebebasan .Karena terdapat keterkaitan antara S dan R sesuai sifat-sifat yang dibahas oleh Anderson  dalam  [1]  maka dapat  digunakan  untuk  matriks  korelasi.  Statistik  ini  selanjutnya disebut  statistik dengan  distribusi  sama  dengan .Berdasarkan  hasil  aplikasi  pada  data, statistik dan ternyata  lebih  baik  digunakan  pada  data  yang  memiliki  nilai  variansi
Gambar 3a.  Bagan kendali dari statistik untuk kasus III, dengan Gambar 3b.  Bagan kendali dari statistik untuk kasus III, dengan

## Andi Fitri Ayu, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF, Anisa, Nasrah Sirajang
kovariansi  yang  kecil  dibandingkan  dengan  yang  besar.Pada  data  nilai  tukar  rupiah  terhadap dollar Amerika, yuan  renmimbi Cina  dan ringgit Malaysia  yang  memiliki  nilai  variansi kovariansi  yang  besar  dengan ataupun p =2  kurang  baik  menggunakan  statistik  statistik dan .

## Ucapan Terima Kasih
Penelitian yang terkait dengan tulisan ini dibiayai oleh Universitas Hasanuddin berdasarkan surat perjanjian pelaksanaan riset nomor : 2060/UN4.20/PL.09/2013 tanggal 4 Juni 2013.

## Daftar Pustaka
[1]   Anderson T.W., 2003. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis , 3 th edition . John Wiley & Sons, Inc., New York.
[2]     Barbosa  E.P.,  Gneri  M.A.,  dan  Meneguetti  A.,  2009. | | Control  Chart  for  Multivariate Process  Variability  Monitoring  Based  on  Cornish-Fisher  Correction  and  Meijer-G Function. Depto Estatistica , IMECC-UNICAMP, Campinas, SP, Brazil.
[3] Hogg  R.V.  dan  Craig  A.T.,  2004. Introduction  to  Mathematical  Statistics ,  5 th Edition . Higher Education Press.
[4] Ilham M.N., 2012. Analisis Pengendalian Kualitas Produk dengan Menggunakan Statistical Processing  Control  (SPC)  pada  PT.  Bosowa  Media  Grafika  (Tribun  Timur). Skripsi . Universitas Hasanuddin, Makassar.
[5]   Johnson  R.  dan  Wichern  D.,  2007. Applied  Multivariate  Statistical  Analysis , 6 th Edition . Prentice-Hall.
[6]   Montgomery  D.  C.,  2009. Introduction  to  Statistical  Quality  Control,  6 th Edition .  John Wiley & Sons, Inc., New York.
[7]   Muirhead  R.J.,  2005. Aspects  of  Multivariate  Statistical  Theory .  John  Wiley  &  Sons  Inc. Publication, Hoboken New Jersey.
[8]   Rakhmawati  D.Y.  dan  Mashuri  M.,  2011.  Perbandingan  Kinerja  Diagram  Kontrol Multivariat  untuk  Variabilitas  Berdasarkan  Matriks  Kovariansi  dan  Matriks  Korelasi. Prosiding Seminar Nasional Statistika . Universitas Diponegoro, Semarang.
[9]   Schott J. R., 1997. Matrix Analysis for Statistics . John Wiley & Sons, Inc., New York.
[10]   Seber G.A.F. dan Lee A. J., 2003. Linear Regression Analysis, 2 th Edition . John Wiley & Sons, inc., Publication, Hoboken, New Jersey.
[11]   Sindelar M.F., 2007. Multivariate Statistical Process Control for Correlation Matrices. Tesis Ph.D . University of Pittsburgh, Pittsburgh.