Abstrak — Persamaan  diferensial  merupakan  persamaan  yang penyelesaiannya  dapat  diselesaikan  menggunakan  metode analitik,  tetapi  ada    persamaan  diferensial  yang  tidak  bisa diselesaikan menggunakan metode analitik sehingga dibutuhkan metode  lain  untuk  menyelesaikan  permasalahan  persamaan diferensial yaitu metode numerik. Dengan menggunakan metode numerik,  maka  didapatkan  nilai  pendekatan  sebagai  solusi  dari permasalahan  persamaan  diferensial.Metode  numerik  yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Runge Kutta yang telah diperluas dan hasilnya akan dibandingkan dengan metode Runge  Kutta.  Pada  penelitian  ini,  penulis  mempelajari    metode pada  Runge  Kutta  dan  Extended  Runge  Kutta.  Pertama,  dikaji dan  diturunkanmodel  matematika  metode  Runge  Kutta  dan Extended  Runge  Kutta.Kedua,  metode  matematika  Runge  Kutta dan  Extended  Runge  Kutta  diterapkan  untuk  menyelesaikan persamaan  diferensial  orde  1  dan  2.Ketiga,  menganalisis  hasil error  yang  dihasilkanoleh  metode  Runge  Kutta  dan  Extended Runge  Kutta.Dan  yang  terakhir,  hasil  simulasi  berupa perbandingan maksimum error, grafik error metode Runge Kutta dan Extended Runge Kutta, dan grafikhasil dari metode analitik, Runge Kutta , dan Extended Runge Kutta.
Kata  Kunci —RungeKutta,  Persamaan  Diferensial  Biasa, Extended Runge Kutta.

## I. PENDAHULUAN
ersamaan  diferensial  merupakan  persamaan  fungsi turunan  yang  ada  dalam  permasalahan  matematika. Metode  yang  digunakan  untuk  solusi  persamaan  diferensial adalah  metode  analitik,  tetapi  ada  persamaan  yang  tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitiksehingga  diperlukan  adanya  metode  lain  untuk mendekati  nilai  sebenarnya  yaitu  dengan  menggunakan metode numerik.
Metode numerikmerupakan metode yang dapat digunakan  untuk  menyelesaikan  permasalahan  persamaan diferensial dengan  menggunakan bantuan komputer sebagai alat  hitungnya.  Salah  satu  metode  numerik  yang  digunakan untuk  mendekati  nilai  eksak  dari  permasalahan  persamaan diferensial adalahmetode Runge Kutta.
Banyak  penelitian  yang  dilakukan  untuk  memperbaiki efisiensi  dari  metode  Runge  Kutta,  salah  satunya  adalah perbaikan  akurasi  orde  dari  metode  Runge  Kutta  dengan penambahan  jumlah  derajat h menggunakan  deret  Taylor. Penelitian  Butcher[3]  dan  Dormand[4]  menambahkan kembali  jumlah  fungsi  evaluasi  dari  metode  Runge  Kutta yang  sesuai,  sebagai  hasilnya  yaitu  merancang  berbagai kemungkinan  dari  perbaikan  orde  metode  Runge  Kutta dengan  mereduksi  fungsi  evaluasi.  Goeken  dan  Johnson[5] mengusulkan sebuah kelas dari metode Runge Kutta dengan perkiraan  derivative  yang  lebih  tinggi  untuk  metode  orde tiga  dan  empat.  Xinyuan  [6]  menyajikan  sebuah  kelas  dari
formula  Runge  Kutta  orde  tiga  dan  empat  dengan mengurangi  fungsi  evaluasi  untuk  orde  pertama  persamaan diferensial.  Phohomsiri  dan  Udwadia  [7]  membangun sebuah  akselerasi  skema  integrasi  Runge  Kutta  untuk metode orde tiga dengan menggunakan 2 fungsi evaluasi per tahap  dalam  mengintegrasikan  persamaan  diferensial  biasa. Penelitilain,  seperti  Xinyuan  dan  Jianlin  [8]  menyajikan formula metode Extended Runge Kutta untuk mengintegrasikan  sistem  dari  persamaan  diferensial  biasa. Udwadia  dan  Farahani  [9]  mengembangkan  akselerasi metode  Runge  Kutta  untuk  orde  yang  lebih  tinggi.  Rabiei dan  Ismail  [10]  mengembangkan  perbaikan  metode  Runge Kutta  orde  tiga  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial biasa  dengan  dua  dan  tiga  tahap.  Dalam  penilitian ini,penulis  mengkaji  metode  Extended Runge Kutta dengan Runge  Kutta  dan  menerapkannya  pada  persamaan diferensial  biasa  orde  1  dan  2,  kemudian  penulis menganalisis  hasil  error  yang  dihasilkan  metode  Extended Runge Kutta dan Runge Kutta.

## II. TINJAUAN PUSTAKA
Dasar  teori  yang  digunakan  dibagi  menjadi  beberapa bagian  yaitu  model  umum  Runge  Kutta,  model  umum Extended  Runge  Kutta,  deret  Taylor,  dan  tabel  Butcher. Persamaan diferensial biasa dalam Tugas Akhir menggunakan persamaan sebagai berikut:
( )    (    ( )) (2.1)

## 2.1 Runge Kutta
Secara  umum  Runge  Kutta  digunakan  dalam penyelesaian masalah yang berhubungan dengan penghitungan  numerik.  Dalam  Tugas  Akhir  ini,  model umum dari metode Runge Kutta [1] sebagai berikut:
( ) (2.2) dengan adalah konstan dan adalah :
( ) (
) ( )
( ) dengan
dan adalah konstan.

## Pengkajian Metode Extended Runge Kutta dan Penerapannya pada Persamaan Diferensial Biasa
Singgih Tahwin Muhammad, Erna Apriliani, Lukman Hanafi, Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail: singgihtahwin08@gmail.com, april@matematika.its.ac.id, lukman@matematika.its.ac.id
P
Persamaan (2.2) adalah fungsi utama dari Runge Kutta dan
adalah  fungsi  evaluasi  dari  metode  Runge
Kutta.Runge  Kutta  dalam  Tugas  Akhiryang  digunakan adalah  Runge  Kutta  orde  dua,  Runge  Kutta  orde  tiga,  dan Runge Kutta orde empat.

## 2.2 Extended Runge Kutta
Extended  Runge  Kutta  merupakan  perluasan  metode Runge  Kutta  pada  fungsi  utama  dan  fungsi  evaluasinya. Secara  umum  persamaannya  hampir  sama  dengan  Runge Kutta, model umum dari Extended Runge Kutta [8] sebagai berikut:
∑ ( ) (   )
dengan,
( ̅ ∑ )
( ̅ ∑ )
Seperti dalam Runge Kutta, persamaan (2.3) merupakan fungsi  utama  dari  Runge  Kutta  sedangkan dan adalah fungsi  evaluasi.  Dalam  Tugas  Akhir  ini,  penulis menggunakan  Extended  Runge  Kutta  orde  dua,  Extended Runge  Kutta  orde  tiga,  Extended  Runge  Kutta  orde  empat, dan tabel Butcher untuk menentukan nilai koefisien masing- masing orde.

## 2.3 Deret Taylor
Deret Taylor secara umum digunakan untuk membantu dalam  mendapatkan  nilai  koefisien  Runge  Kutta  maupun Extended  Runge  Kutta.  Dalam  penerapannya,  akan digunakan dua metode deret Taylor:

## 2.3.1 Deret Taylor Satu Variabel
Deret Taylor satu variabel secara umum persamaannya seperti berikut:
( ) ( ) ( ) (2.4)
Dengan  permasalahan  yang  diberikan  seperti  pada persamaan  (2.1),  kemudian  dengan  mensubstitusikan persamaan  (2.1)  kedalam  persamaan  (2.4).  Sehingga persamaan (2.4) menjadi :
(    ) (   ) (   )
(   ) ( )(   ) ( ) ( 2.5)
Persamaan  (2.5)  akan  dibandingkan  hasilnya  dengan persamaan  (2.2)  dan  (2.3).  dengan  menyamakan
, kemudian menyamakan fungsi yang melekat pada koefisien persamaan  (2.2)  dan  (2.3)  dengan  fungsi  yang  ada  pada persamaan (2.5).
Untuk  turunan  dari (    ) bisa  didefinisikan  sebagai
berikut:
(    ) ( (    )) ( (    )) (    ) ( (    )) ( (    ))
(    ) ( (    )) ( (    ))
( ) (    ) ( (   ) (    )) ( (   ) (    ))
(2.6)
( ) (    ) mendefinisikan turunan ke n fungsi (    ) .

## 2.3.2 Deret Taylor Dua Variabel
Persamaan secara umumnya seperti dibawah ini: ( )    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (2.7) Persamaan  (2.7)  digunakan  dalam  penyederhanaan fungsi evaluasi , kemudian setelah
disederhanakan  selanjutnya  disubstitusikan  ke  dalam persamaan  (2.2)  dan  (2.3)  untuk  dapat  dicari  nilai koefisiennya dengan menyamakan nilainya dengan persamaan (2.4).

## 2.4 Ketentuan Koefisien  Orde
Dalam  mencari  nilai  koefisien  yang  ada  pada persamaan  (2.2)  maupun  (2.3)  digunakan  tabel  Butcher sebagai berikut:
Tabel 2.1. Tabel Butcher koefisienorde ke m
̅
0 0
̅ 0 ̅ 0 ̅ 0
Dengan ∑ ̅ , dan
.

## III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada  bab  ini  dibahas  mengenai  penurunan  model  dari metode  Extended  Runge  Kutta  dan  Runge  Kutta  beserta penerapan pada persamaan diferensial biasa.

## 3.1 Extended RungeKutta Orde Dua dan RungeKutta Orde Dua
Secara  umumRungeKutta  orde  dua  ada  tiga  jenis berdasarkan  penghitungannya  yaitu  menggunkana  metode Heun,  metode  Midpoint,dan  metode  Ralston.  Dalam  tugas akhir  ini,  penulis  menggunakan  metode  Heun  dengan Persamaannya sebagai berikut:
( ) (3.1) dengan: ( ) ( )
Persamaan  (3.1)  akan  dibandingkan  dengan  orde  dua dari Extended Runge Kuttasebagai berikut:
(3.2)
dengan:
( )
( ̅
)
( ) ( ̅ ) Persamaan (3.2) dapat
diselesaikan dengan menyederhanakan persamaan (3.2) dengan langkah pertama menyederhanakan  fungsi  evaluasi dan dengan menggunakan  persamaan  (2.5)dan  (2.7).  Fungsi  evaluasi dan yang telah disederhanakan, kemudian disubstitusikan kedalam persamaan (3.2). Dan yang terakhir, menyamakan  hasil  penyederhanaan  dari  persamaan  (3.2) dengan  persamaan  (2.5),  setelah  menyamakan  persamaan (3.2) dengan (2.5) diperoleh:
(3.3) (3.4) (3.5) (3.6)
Dari  persamaan  (3.3),  (3.4),  (3.5),  dan  (3.6),  maka didapatkan beberapa nilai koefisien sebagai berikut:
Tabel 3.1 koefisien orde dua
̅
0 0 0 1 0 0 Nilai-nilai pada
Tabel 3.1 disubstitusikan ke persamaan  (3.2)  untuk  memperoleh  penyelesaian  Extended Runge Kutta orde dua
3.2 Extended RungeKutta Orde Tiga dan RungeKutta Orde
Tiga
Secara  umumnya  RungeKutta  orde  tigayang  diketahui sebagai berikut:
( ) (3.7)
dengan:
( ) ( ) ( )
Persamaan  RungeKutta  orde  tiga  tersebut  akan dibandingkan  dengan  Extended  Runge  Kutta  orde  tiga. Persamaan Extended Runge Kutta orde tiga sebagai berikut:
(3.8)
dengan:
( ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ) ( ̅ )
( ̅ ) Persamaan (38) dapat diselesaikan dengan menyederhanakan  persamaan  (8)  dengan    langkah  pertama menyederhanakan  fungsi  evaluasi dan dengan menggunakan  persamaan  (2.5)  dan  (2.7),  kemudian disubstitusikan  kedalam  persamaan  (3.8).  Persamaan  (3.8) yang  telah  disederhanakan,  kemudian  dibandingkan  dengan persamaan (2.5). hasil yang diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
( ( ) )
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Dari  hasil  yangdidapatkan  tersebut,  maka  selanjutnya memberikan  nilai  pada  salah  satu  koefisien  agar mendapatkan  fungsi  evaluasi  yang  sederhana,  sehingga diperoleh:
Tabel 3.2 koefisien orde tiga
̅
0 0 0
1 0 0
0
Nilai-nilai pada Tabel 3.2 disubstitusikan ke persamaan  (3.2)  untuk  memperoleh  penyelesaian  Extended Runge Kutta orde tiga.

## 3.3 Extended  RungeKutta  Orde  Empat  dan  RungeKutta Orde Empat
Cara  penurunan  model  Extended  Runge  Kutta  dan Runge  Kutta  memiliki  cara  yang  sama  dengan  penurunan. Persamaan Runge Kutta orde empatsebagai :
( ) (3.9)
dengan:
( ) ( ) ( ) ( )
Persamaan  (3.9)  dibandingkan  nilai  errornya  dengan Extended
RungeKutta
orde
empat.Extended RungeKuttaorde empat persamaannya sebagai berikut:
(3.10)
dengan :
( ) ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ) ( ) ( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
Dengan  cara  yang  sama  denganorde  dua  dan  tigamaka diperoleh hasil sebagai berikut:
̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ( ̅ ̅ )
̅
̅ ̅ ̅
( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ( ̅ ̅ )
Dengan  cara  yang  sama  pula  dengan  Extended  Runge Kutta  orde  dua  dan  tiga,dihasilkan  nilai  koefisien  sebagai berikut:
Tabel 1.4 koefisien orde empat
̅ 0 0 0 0 1 0 0 0 0
Nilai-nilai pada Tabel 3.3 disubstitusikan ke persamaan (3.10) untuk memperoleh penyelesaian Extended Runge Kutta orde empat.
3.4 Penerapan pada persamaan differensial biasa
Pada penerapan ini menggunakan persamaan differensial biasa yang mempunyai penyelesaian eksak.Berikut ini contoh persamaan differensial biasa:
1. Persamaan dengan  syarat  awal ( ) , dan . persamaan mempunyai penyelesaian eksak ( )
.Berikut  ini  hasil  yang  didapat  dari  metode Extended  Runge  Kutta  dan  Runge  Kutta  dalam  tabel maksimum error:

## Tabel 2.1 Tabel maksimum error persamaan
h Maksimum Error Waktu Komputasi XRK2 RK2 XRK2 RK2 0.1 6.49e-07 7.22e-04 3.86e-03 2.38e-03 0.05 8.16e-08 1.82e-04 3.86e-03 2.39e-03 0.025 1.02e-08 4.56e-05 3.86e-03 2.39e-03 0.0125 1.28e-09 1.14e-05 3.86e-03 2.39e-03 h Maksimum Error Waktu Komputasi XRK3 RK3 XRK3 RK3 0.1 2.63e-09 3.78e-06 4.75e-03 2.88e-03 0.05 1.67e-10 4.74e-07 4.75e-03 2.88e-03 0.025 1.05e-11 5.94e-08 4.75e-03 2.88e-03 0.0125 6.50e-13 7.44e-09 4.75e-03 2.88e-03 h Maksimum Error Waktu Komputasi XRK4 RK4 XRK4 RK4 0.1 1.72e-09 1.64e-08 6.05e-03 3.86e-03 0.05 1.09e-10 1.03e-09 6.05e-03 3.86e-03 0.025 6.83e-12 6.47e-11 6.05e-03 3.86e-03 0.0125 4.33e-13 4.02e-12 6.05e-03 3.86e-03
Grafik  yang  dihasilkan  dengan  menggunakan  Runge Kutta  dan  Extended  Runge  Kutta  orde  empat  sebagai berikut:

## Gambar 1. Plot Grafik
Dari  hasil  perhitungan  didapatkan  bahwa  nilai pendekatan  dari  dua  metode  memiliki  error  yang  sangat kecil  sehingga  terlihat  dari  grafik  pada  gambar  1  saling berimpitan. Grafik perbandingan error sebagai berikut:
Gambar 2.Grafik Error XRK4 dan RK4
Dari  hasil  perhitungan  kedua  metode  untuk  nilai  error yang  dihasilkan  yang  terbaik  adalah  metode  Extended Runge Kutta karena memiliki deraja h lebih tinggi.
2. Persamaan
dengan  syarat  awal
( ) , dan . Persamaan mempunyai  penyelesaian eksak . Hasil yang dihasilkan adalah
maksimum  error  dan  grafik  hasil  numerik  dengan eksaknya.Berikut ini tabel maksimum error:

## Tabel 2.2 Tabel maksimum error
h Maksimum Error Waktu Komputasi XRK2 RK2 XRK2 RK2 0.1 3.27e+01 1.25e+03 3.29e-03 2.24e-03 0.05 4.26e+00 3.26e+02 3.29e-03 2.24e-03 0.025 5.43e-01 8.32e+01 3.29e-03 2.24e-03 0.0125 6.86e-02 2.10e+01 3.29e-03 2.24e-03 h Maksimum Error Waktu Komputasi XRK3 RK3 XRK3 RK3 0.1 6.32e-01 3.21e+01 5.01e-03 6.34e-03 0.05 4.12e-02 4.18e+00 5.01e-03 6.34e-03 0.025 2.63e-03 5.34e-01 5.01e-03 6.34e-03 0.0125 1.66e-04 6.74e-02 5.01e-03 6.34e-03 h Maksimum Error Waktu Komputasi XRK4 RK4 XRK4 RK4 0.1 9.21e-02 6.32e-01 5.36e-03 4.79e-03 0.05 5.75e-03 4.12e-02 5.36e-03 4.79e-03 0.025 3.59e-04 2.63e-03 5.36e-03 4.79e-03 0.0125 2.24e-05 1.66e-04 5.37e-03 4.79e-03
Gambar 3. Plot Grafik
Dari  hasil  perhitungan  didapatkan  bahwa  nilai pendekatan  dari  dua  metode  memiliki  error  yang  sangat kecil. Berikut ini grafik perbandingan error:
Gambar 4. Perbandingan Error RK4 & XRK4
Dari  hasil  perhitungan  kedua  metode  untuk  nilai  error yang  dihasilkan  yang  terbaik  adalah  metode  Extended Runge  Kuttakarena  memiliki  orde  derajat h yanglebih tinggi.
3. Contoh  PDB  dari  penelitian  orang  lain  yaitu menggunakan  persamaan  duffing  yang  diteliti  oleh Tamimi[11] dengan Runge Kutta sebagai berikut:
( ( )
( )) dengan ( )
( ) .
Persamaan  diferensial  orde  dua  diselesaikan  dengan mengubah  persamaan  kedalam  fungsi (    )    (    ) Misal:
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )
( )           ( )) ( ( ) ( ))
Berikut  ini  adalah  langkah  dalam  mengerjakan  sistem tersebut untuk metode Runge Kutta orde empat:
( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ( )
) ( ( ) ( ) ( ) ) (( ( ) )  ( ( ) )  ( ( ) )) (( ( ) )  ( ( ) )  ( ( ) )) (( ( ) )  ( ( ) )  ( ( ) )) (( ( ) )  ( ( ) )  ( ( ) ))
(   ) ( ) ( ) (   ) ( ) ( )
Dengan sampai  iterasi  yang  diinginkan. Langkah  untuk  Extended  Runge  Kutta  orde  empat  juga sama  dengan  Runge  Kutta  orde  empat,  sehingga menghasilkan grafik nilai numerik sebagai berikut:
Gambar 4.15 Gambar plot nilai y RK4 , XRK4, dan Ode45.
Persamaan  yang  diselesaikan  dengan  menggunakan Extended  Runge  Kutta  orde  Empat  memiliki  nilai  yang hampir  sama  dengan  nilai  Runge  Kutta  orde  empat  hasil penelitian ataupun ode45 pada aplikasi MatLab .

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan  yang  telah disajikan  dalam  bab  sebelumnya,  dapat  disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
a. Langkah  dalam  penurunan  untuk  mendapatkan model  metode  Extended  Runge  Kutta  memiliki kesamaan  dengan  metode  Runge  Kutta,  namun pada  Extended  Runge  Kutta  ada  penambahan  orde derajat h sehingga  ada  tambahan  fungsi evaluasinya secara keseluruhan hampir sama. b. Penambahan  orde  derajat h dan  fungsi  evaluasi pada  metode  Extended  Runge  Kutta  menghasilkan nilai  error  yang  lebih  kecil  dibanding  dengan metode  Runge  Kutta  dan  waktu  komputasi Extended Runge Kutta lebih lama untuk persamaan differensial dengan orde yang lebih tinggi.
c. Penerapan  metode  Extended  Runge  Kutta  selain pada  persamaan  differensial  linier  juga  dapat diterapkan  pada  persamaan  differensial  biasa  non linier seperti halnya penerapan pada Runge Kutta.

## V. SARAN
Penelitian  ini  masih  memiliki  banyak  kekurangan sehingga  diperlukan  banyaknya  percobaan  agar  bisa membuktikan Extended (perluasan) Runge Kutta lebih baik dari  Runge  Kutta.  Kritik  bagi  pembaca  sangat  diharapkan bagi  penulis  untuk  melakukan  penelitian  yang  lebih  baik lagi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chapra,  S.C.,  Canale,  R.P..(2010).  “Numerical  Methods for  Engineers”.Higher  Education  Sixth  Edition,  Hal.78- 106 & 707-756.
[2] Jikantoro, Y.D,dkk. (2014). ”Improved Extended Runge- Kutta-Like  Method  dor  solving  First  Orde  IVPs”.  The International  Conference  on  Computer  Engineering and Mathematical Sciences(ICCEMS).
[3] J.C.  Butcher.,  The  Numerical  Analysis  of  Ordinary Differential  Equations,  Runge-Kutta  and  General  Linear Methods, Wiley , New York, 1987.
[4] J.R.  Domand.,  Numerical  Methods  for  Differential Equations: A Computational approach, CRC Press , New York, 1996.
[5] D.  Goeken  and  O.,Johnson.,  Runge-Kutta  with  Higher orde  derivative  approximations, Appl.  Numer.  Math ., 2000, 34: 207-218.
[6] W.  Xinyuan.,  A  class  of  Runge-Kutta  formuale  of  orde three  and  four  with  reduced  evaluations  of  function, Appl. Math. Comput ., 2003, 146:417-432.
[7] Phohomsiri P. and Udwadia F. E., Acceleration o Runge- Kutta  integration  schemes, Discrit.  Dynamic.  Nature.
Soci ., 2004, 2: 307-314.
[8] W., Xinyuan. and X. Jianlin., Extended Runge-Kutta-like formulae, Appl. Numer. Math., 2006, 1584-1605.
[9] F.,  E,  Udwadia  and  A.,Farahani., Accelerated  Runge- Kutta  methods,  Discrit.  Dynamic.  Nature.  Soci., 2008, doi:10.1155/2008/790619.
[10] F.  Rabiei  and  F.  Ismail,  Fifth-orde  Improved  Runge- Kutta  method  for  solving  ordinary  differential  equation, Proceeding  of  WSEAS  Conference,  Penang,  Malaysia, 2011, ISBN:978-1-61804-039-8:129-133.
[11] Tamimi,  Z.A,  dkk.  (2014).  ”Penyelesaian  Persamaan Duffing  Osilator  pada  Aplikasi  Weak  Signal  Detection Menggunakan  Metode  Averaging”.  Jurnal  Mipa  37  (2) (2014): 192-199.