## KEKONVERGENAN SOLUSI  PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ITERASI VARIASIONAL

## Dita Apriliani, Akhmad Yusuf, M. Mahfuzh Shiddiq
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36, Banjarbaru, Kalimantan Selatan
Email: dita.aprilia10@gmail.com

## ABSTRACT
Ordinary differential equation (ODE) is an equation involving derivatives of one or more dependent variables with respect to single independent variable. ODE is grouped into two part; linear  and nonlinear. There are some methods to determine the solution of nonlinear ODE, one of them is Variational Iteration Method. This method create a correction functional using general Lagrange multiplier and a restricted variational. The purpose of this research is  to  prove convergence and solution ordinary differential equation using variational iteration method. This study was conducted by literary method. This result is show that If operator of correction satisfy contraction inequality ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾𝛾 ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘 ‖ where 0 < 𝛾𝛾 < 1 , then series solution from differential equation nonlinear converge to exact solution and can be used to determine the nonlinear solution.
Keyword: ordinary differential equation of first order, variational iteration method, convergence .

## ABSTRAK
Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. PDB dibagi menjadi dua kelompok yaitu PDB linier dan PDB nonlinier. Terdapat berbagai metode untuk menentukan solusi dari PDB nonlinier, salah satunya yaitu Metode Iterasi Variasional. Metode ini membentuk sebuah fungsi koreksi menggunakan pengali Lagrange dan variasi terbatas. Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan kekonvergenan dan solusi persamaan diferensial biasa orde satu menggunakan metode iterasi variasional. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Hasil penelitian ini menunjukan bahwa jika operator koreksi dari persamaan diferensial non-linier memenuhi ketaksamaan kontraksi ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾𝛾 ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘 ‖ dimana 0 < 𝛾𝛾 < 1 , maka deret solusi dari persamaan diferensial non-linier konvergen menuju solusi eksak dan dapat digunakan untuk menentukan solusi PDB nonlinier.
Kata Kunc i: persamaan diferensial biasa orde satu, metode iterasi variasional, konvergen .

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih varibel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas [5]. Aplikasi dari persamaan diferensial banyak digunakan dalam memodelkan berbagai masalah seperti masalah perambatan gelombang, penyakit endemik dan sebagaianya (lihat [1,6]).  Metode numerik digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa nonlinear orde satu adalah metode Iterasi Variasional  yang  pertamakali diusulkan oleh Ji-Huan He untuk menyelesaikan berbagai masalah persamaan diferensial [2]. Metode iterasi variasional merupakan  suatu metode yang terdiri dari pemecahan persamaan menjadi bagian linier dan nonlinier dengan membentuk suatu  persamaan operator dalam bentuk F(u) = G , dimana G merupakan syarat non-homogen dan F(u)
merupakan penguraian antara operator linier  dan operator nonlinier dalam bentuk L(u) + N(u) , dimana L merupakan suatu operator linier dan N adalah operator nonlinier.Solusi  dari  persamaan diferensial biasa orde satu menggunakan  metode iterasi variasional adalah dengan membentuk suatu fungsi koreksi dari persamaan diferensial dengan menggunakan pengali Lagrange, dimana iterasi-iterasi yang dihasilkan dari fungsi koreksi membentuk suatu barisan fungsi. Agar nilai solusi pendekatan mendekati nilai solusi yang sebenarnya, maka nilai solusi pendekatan haruslah konvergen ke solusi sebenarnya.  Artikel ini mengkaji kembali Zaid  (2010) tentang kekonvergenan solusi menggunakan metode Iterasi Variasional.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial
Definisi persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: Definisi 2.1.1[7]
Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas disebut Persamaan Diferensial Biasa.
Definisi persamaan diferensial orde satu dinyatakan sebagai berikut: Definisi 2.1.2[7]
Diberikan persamaan diferensial orde satu 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 )                                                                            … (2.1) dimana f fungsi kontinu di x dan y dalam domain D pada bidang xy; dan misalkan ( 𝑑𝑑 0 , 𝑑𝑑 0 ) titik pada D. Masalah nilai awal dihubungkan dengan persamaan (2.1) adalah untuk menentukan solusi 𝜙𝜙 pada persamaan diferensial (2.1) , didefinisikan pada beberapa interval riil memuat 𝑑𝑑 0 , dan memenuhi kondisi awal ∅
( 𝑑𝑑 0 ) = 𝑑𝑑 0 … (2.2) dalam notasi biasanya disingkat, masalah nilai awal ini bisa ditulis, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 ) , 𝑑𝑑 ( 𝑑𝑑 0 ) = 𝑑𝑑 0 .

## 2.2 Ruang Hilbert
Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap. Definisi ruang hasil kali dalamsebagai berikut:
Definisi 2.2.1 [3]
Ruang  vector kompleks X disebut ruang hasil kali dalam jika ada fungsi 〈 . , . 〉 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → ℂ sehingga untuk setiap 𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 dan 𝑝𝑝 ∈ ℂ berlaku: (i) 〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑〉 ≥ 0 dan 〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑〉 = 0 jika dan hanya jika 𝑑𝑑 = 0 (ii) 〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑 + 𝑧𝑧〉 = 〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑〉 + 〈𝑑𝑑 , 𝑧𝑧〉 (iii) 〈𝑑𝑑 , 𝛼𝛼𝑑𝑑〉 = 𝛼𝛼〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑〉
(iv) 〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑〉 = 〈𝑑𝑑 , 𝑑𝑑〉 ������� Fungsi 〈 . , . 〉 disebut hasil kali dalam. Definisi 2.2.2[3]
Ruang hasil kali dalam yang lengkap disebut ruang Hilbert. Ruang hasil kali dalam sering kali disebut ruang pre-Hilbert.

## 3. METODOLOGI
Metode  penelitian ini adalah studi literatur. Prosedur penelitian ini adalah mengumpulkan dan mengkaji bahan yang berkaitan dengan persamaan diferensial biasa orde satu, metode iterasi variasional dan kekonvergenan. Kemudian membentuk operator persamaan diferensial biasa orde satu dengan nilai awal, menentukan fungsi koreksi dari PDB orde satu, menentukan nilai pengali Lagrange umum, menentukan solusi iterasi metode iterasi variasional dari PDB orde satu dengan nilai awal  dan membuktikan kekonvergenan barisan iterasi dari metode iterasi variasional pada PDB orde satu.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Metode Iterasi Variasional
Untuk menggambarkan konsep dasar dari metode iterasi variasional, diawali dengan menentukan persamaan diferensial sebagai berikut:
𝐿𝐿𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 > 0. ⋯ (4.1)
Dimana 𝐿𝐿 adalah operator linier, 𝑁𝑁 adalah operator nonlinier dan 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) adalah syarat non-homogen.  Metode Iterasi Variasional dapat dibentuk dan dianalisis dengan membentuk sebuah fungsi koreksi sebagai berikut:
𝐿𝐿 𝑛𝑛+1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) + � 𝜆𝜆 ( 𝑠𝑠 ){ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿� 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑠𝑠 )} 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑡𝑡 0
, 𝑛𝑛 ≥ 0 ⋯ (4. 2 ) dimana 𝜆𝜆 adalah pengali Lagrange umum, indeks 𝑛𝑛 menunjukkan pendekatan ke 𝑛𝑛 , 𝐿𝐿� dianggap sebagai variasi terbatas dan 𝛿𝛿𝐿𝐿� = 0 .
𝛿𝛿𝐿𝐿 𝑛𝑛+1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝛿𝛿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) + 𝛿𝛿 � 𝜆𝜆 ( 𝑠𝑠 ){ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿� 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑠𝑠 )} 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑡𝑡 0 ⋯ (4. 3 )
Diperoleh nilai pengali Lagrange yaitu 𝜆𝜆 = − 1 ⋯ (4.4)
Kemudian disubtitusikan persamaan (4.4) ke persamaan (4.2) sehingga diperoleh:
𝐿𝐿 𝑛𝑛+1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) − � { 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿� 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑠𝑠 )} 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑡𝑡 0 ⋯ (4.5) Solusi pendekatan yaitu 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = lim 𝑛𝑛→∞ 𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) ∞ 𝑛𝑛=0 . Misalkan:
𝐴𝐴 [ 𝐿𝐿 ] = − � { 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿� 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑠𝑠 )} 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑡𝑡 0 ⋯ (4.6)
Diberikan pendekatan awal 𝑣𝑣 0 = 𝐿𝐿 0 dan diperoleh solusi koreksi berupa 𝑣𝑣 𝑛𝑛 , dimana 𝑛𝑛 = 0,1,2, ⋯ yaitu:
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑣𝑣 0 = 𝐿𝐿 0 𝑣𝑣 1 = 𝛢𝛢 [ 𝑣𝑣 0 ] 𝑣𝑣 2 = 𝛢𝛢 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 ] ⋮ 𝑣𝑣 𝑛𝑛+1 = 𝛢𝛢 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛 ]
⋯ (4.7)
4.2 Teorema Kekonvergenan pada Metode Iterasi Variasional
Teorema 4.2.1 [7] Misalkan diberikan persamaan (4.6) , dimana A adalah operator dari ruang Hilbert H  ke H, maka deret  solusi dari persamaan (4.1) adalah 𝐿𝐿
( 𝑡𝑡
) = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) ∞ 𝑘𝑘=𝑜𝑜
konvergen jika terdapat 0 < 𝛾𝛾 < 1 sedemikian sehingga:
‖𝐴𝐴 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 ] ‖ ≤ 𝛾𝛾 ‖𝐴𝐴 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] ‖ yaitu
‖𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾𝛾 ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘 ‖ … (4.8)
untuk setiap 𝑘𝑘 ∈ ℕ ∪ {0} . Bukti:
Dengan menggunakan persamaan (4.6) dan (4.7) akan dibuktikan bahwa deret solusi 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) ∞ 𝑘𝑘=𝑜𝑜 konvergen.
Didefinisikan barisan { 𝑆𝑆 𝑛𝑛 } 𝑛𝑛=0 ∞ sebagai berikut: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑆𝑆 0 = 𝑣𝑣 0 𝑆𝑆 1 = 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 𝑆𝑆 2 = 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + 𝑣𝑣 2 ⋮ 𝑆𝑆 𝑛𝑛 = 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + 𝑣𝑣 2 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛 Perhatikan bahwa:
‖𝑆𝑆 𝑛𝑛+1 − 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ‖ = ‖𝑣𝑣 𝑛𝑛+1 ‖ ≤ 𝛾𝛾‖𝑣𝑣 𝑛𝑛 ‖ ≤ 𝛾𝛾 2 ‖𝑣𝑣 𝑛𝑛−1 ‖ ≤ ⋯ ≤ 𝛾𝛾 𝑛𝑛+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ … (4.9)
Untuk setiap 𝑛𝑛 , 𝑗𝑗 ∈ ℕ , 𝑛𝑛 ≥ 𝑗𝑗 ,  maka diperoleh:
�𝑆𝑆 𝑛𝑛 − 𝑆𝑆 𝑗𝑗 � = � ( 𝑆𝑆 𝑛𝑛 − 𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 ) + ( 𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 − 𝑆𝑆 𝑛𝑛−2 ) + ⋯ + �𝑆𝑆 𝑗𝑗+1 − 𝑆𝑆 𝑗𝑗 �� ≤ ‖ ( 𝑆𝑆 𝑛𝑛 − 𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 ) ‖ + ‖ ( 𝑆𝑆 𝑛𝑛−1 − 𝑆𝑆 𝑛𝑛−2 ) ‖ + ⋯ + ��𝑆𝑆 𝑗𝑗+1 − 𝑆𝑆 𝑗𝑗 �� ≤ 𝛾𝛾 𝑛𝑛 ‖𝑣𝑣 0 ‖ + 𝛾𝛾 𝑛𝑛−1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ + ⋯ + 𝛾𝛾 𝑗𝑗+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ = 1 − 𝛾𝛾 𝑛𝑛−𝑗𝑗 1 − 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝑗𝑗+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ … (4.10)
Karena 0 < 𝛾𝛾 < 1 , maka diperoleh:
lim 𝑛𝑛 , 𝑗𝑗→∞ �𝑆𝑆 𝑛𝑛 − 𝑆𝑆 𝑗𝑗 � = 0 Jadi { 𝑆𝑆 𝑛𝑛 } 𝑛𝑛=0 ∞ adalah barisan Cauchy diruang HilbertH dan  deret solusi yaitu 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) , konvergen. ∎
Teorema 4.2.2 [7] Jika solusi dari deret 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) konvergen, maka deret tersebut merupakan solusi eksak dari permasalahan non-linier (4.1) . Bukti:
Misalkan solusi permasalahan persamaan diferensial membentuk suatu deret ( 𝑡𝑡 ) =
∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) , dimana deret 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) konvergen, lim 𝑘𝑘→∞ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 = 0 ⋯ (4.11)
� [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] = 𝑣𝑣 𝑛𝑛+1 − 𝑣𝑣 0 𝑛𝑛 𝑘𝑘=0 Hasil terakhir menunjukkan bahwa
� [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] ∞ 𝑘𝑘=0 = lim 𝑘𝑘→∞ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 − 𝑣𝑣 0 = −𝑣𝑣 0 ⋯ (4.12)
Dengan menggunakan operator 𝐿𝐿 , sehingga persamaan (4.12) dapat dibentuk menjadi:
� 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] ∞ 𝑘𝑘=0 = −𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 0 ] = 0. ⋯ (4.13)
Selain itu, berdasarkan persamaan (4.7) diperoleh: 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] = 𝐿𝐿�𝐴𝐴 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] − 𝐴𝐴 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘−1 ] � ⋯ (4.14)
dimana 𝑗𝑗 ≥ 1 , berdasarkan persamaan (4.6) persamaan (4.14) diperoleh bentuk: 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] = 𝐿𝐿 �− � [( 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] 𝑡𝑡 0 − 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘−1 ] + 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] − 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘−1 ])] 𝑑𝑑𝑑𝑑� , 𝑗𝑗 ≥ 1 ⋯ (4.15)
Persamaan (4.15) merupakan bentuk operator 𝐴𝐴 [ 𝐿𝐿 ] yang di definisikan pada persamaan (4.6) , persamaan (4.15) memiliki integral pada permasalahan persamaan diferensial 𝐿𝐿𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) . Karena operator diferensial 𝐿𝐿 adalah invers kiri dari operator integral, sehingga persamaan (4.15) menjadi:
𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] = 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] + 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] − 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑘𝑘−1 ]               , 𝑗𝑗 ≥ 1. ⋯ (4.16) Akibat dari persamaan (4.13) dan (4.16) diperoleh:
� 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] 𝑛𝑛 𝑘𝑘=0 = 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 0 ] + 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 ] − 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 1 ] + 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 ] − 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 ] + 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 2 ] + 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + 𝑣𝑣 2 ] − 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 ] ⋯ (4.17) ⋮ + 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑛𝑛 ] + 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛 ] − 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 0 + 𝑣𝑣 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛−1 ]
Akibatnya diperoleh:
� 𝐿𝐿 [ 𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 − 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ] ∞ 𝑘𝑘=0 = 𝐿𝐿 �� 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 � + 𝑁𝑁 �� 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 � − 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 ) ⋯ (4.18)
Dari persamaan (4.13) dan (4.18) dapat diketahui bahwa 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) adalah suatu solusi eksak dari permasalahan diferensial. ∎
Teorema 4.2.3[7] Diasumsikan solusi dari permasalahan pada (4.1) membentuk suatu deret ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) konvergen menuju solusi 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) . Jika deret terpotong ∑ 𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑘𝑘=0 ( 𝑡𝑡 ) digunakan sebagai suatu pendekatan menuju solusi 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) pada permasalahan (4.1) , maka error maksimum yaitu 𝐸𝐸 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 ) , dapat diestimasi dengan: 𝐸𝐸 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 )
≤ 1 1 − 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝑗𝑗+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ … (4.19)
Bukti: Dengan menggunakan persamaan (4.10) diperoleh:
�𝑆𝑆 𝑛𝑛 − 𝑆𝑆 𝑗𝑗 � ≤ 1 − 𝛾𝛾 𝑛𝑛−𝑗𝑗 1 − 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝑗𝑗+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ … (4.20)
Untuk 𝑛𝑛 ≥ 𝑗𝑗 . Jika 𝑛𝑛 → ∞ maka 𝑆𝑆 𝑛𝑛 → 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) . Jadi dari  persamaan (4.20) diperoleh:
�𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) − � 𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑘𝑘=0 � ≤ 1 − 𝛾𝛾 𝑛𝑛−𝑗𝑗 1 − 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝑗𝑗+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ … (4.21)
Karena 0 < 𝛾𝛾 < 1 , maka � 1 − 𝛾𝛾 𝑛𝑛−𝑗𝑗 � < 1 . Oleh karena itu, ketaksamaan persamaan (4.21) menjadi:
�𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) − � 𝑣𝑣 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑘𝑘=0 � ≤ 1 1 − 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝑗𝑗+1 ‖𝑣𝑣 0 ‖ … (4.22) ∎
5. KESIMPULAN
Jika operator koreksi dari permasalahan persamaan diferensial biasa orde satu non linier memenuhi ketaksamaan kontraksi ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘+1 ‖ ≤ 𝛾𝛾 ‖𝑣𝑣 𝑘𝑘 ‖ dimana 0 < 𝛾𝛾 < 1 maka deret solusi dari persamaan diferensial biasa orde satu non linier konvergen menuju solusi eksak.Solusi pendekatan  dari persamaan diferensial biasa orde satu membentuk suatu fungsi koreksi yaitu
𝐿𝐿 𝑛𝑛+1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) + � 𝜆𝜆 ( 𝑠𝑠 ){ 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) + 𝑁𝑁𝐿𝐿� 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) − 𝑔𝑔 ( 𝑠𝑠 )} 𝑑𝑑𝑠𝑠 , 𝑛𝑛 ≥ 0 𝑡𝑡 0 dimana 𝜆𝜆 adalah sebuah pengali Lagrange dan 𝐿𝐿� ( 𝑡𝑡 ) adalah suatu variasi terbatas.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Gray, A., Greenhalgh, D, Mao, dan Pan, J. 2011. A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model. Society for Industrial and Apllied Mathematics . 71(3). Hal 876-902.
[2]  He Ji-Huan. 2007. Variational iteration method—Some recent results and new interpretations . Applied Mathematics and Computation . 207 (2007). Hal 3-17.
[3] Kreyszig, E. 1978. Introduction Functional Analysis with Application . New York: John Wiley & Sons.
[4] Purcel, E. J, & Vanberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta.
[5] Ross, S. L. 1984. Differential Equations. Third Edition. John Wiley & Sons. New York.
[6] Shiddiq, M. Mahfuzh. 2011.  Syarat batas serap pada gelombang akustik dua dimensi. Jurnal Matematika dan Terapan Epsilon . 05 (2). Hal. 31-39
[7]  Zaid M. O. 2010. A study on the convergence of variational iteration method . Mathematical and Computer Modelling. 51 (2010). Hal 1181-1192.