Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15

## APLIKASI PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI DALAM METODE KOMBINASI SENSUS PENDUDUK 2020
Notiragayu 1 , Amanto 2 , Dorrah Aziz 3
1 Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Lampung, Indonesia Jl. Soemantri Brojonegoro No. 1, Bandar Lampung
email : notiragayu@fmipa.unila.ac.id

## ABSTRACT
The  2020  population  census  (SP  2020)  uses  a  new  method  called  the  combination  method  by utilizing  basic  population  registration  data  available  at  the  Directorate  General  of  Civil Registration, the community register independently (CAWI) and door to door data collection by officers (PAPI and CAPI). Data on the number, composition, distribution, and characteristics of the  population  with  this  new  method  is  prone  to  overlapping,  one  data  is  counted  several  times which  results  in  the  calculation  of  bias  from  the  actual  amount.  This  paper  shows  how  the principle of exclusion inclusion can be applied to overcome data that is counted several times.
Keywords : combined method, overlapping, The Principle of Inclusion-Exclusion

## ABSTRAK
Sensus  penduduk  tahun  2020  (SP  2020)  menggunakan  metode  baru  yang  disebut metode kombinasi dengan  memanfaatkan  data  dasar  registrasi  penduduk  yang  tersedia  pada  Ditjen Dukcapil, masyarakat mendaftar mandiri (CAWI) dan pendataan door to door oleh petugas (PAPI dan CAPI). Data jumlah, komposisi, distribusi, dan karakteristik penduduk dengan metode baru ini rawan terjadi overlapping, satu data dihitung beberapa kali yang menyebabkan hasil penghitungan bias  dari  jumlah  yang  sebenarnya.  Dalam  tulisan  ini  diperlihatkan  bagaimana  prinsip  inklusi eksklusi dapat diterapkan untuk mengatasi data yang dihitung beberapa kali.
Kata kunci: Metode Kombinasi, Overlapping, Prinsip Inklusi-Eksklusi

## 1. PENDAHULUAN
Penduduk adalah semua orang yang berdomisili di wilayah geografis Republik Indonesia selama enam bulan atau lebih dan atau mereka yang berdomisili kurang dari  enam  bulan  tetapi  bertujuan  untuk  menetap  [5].  Sensus  penduduk  adalah pendataan  jumlah  penduduk  dalam  kurun  waktu  sepuluh  tahunan  dengan  cara mengumpulkan,  menghimpun,  menyusun  dan  menertibkan  data-data  demografi, ekonomi dan sosial yang menyangkut semua orang pada waktu tertentu di suatu negara  atau  wilayah  [2].  Tujuan  utama  sensus  penduduk  adalah  menghasilkan data dasar kependudukan berupa jumlah, pertumbuhan, persebaran, kepadatan dan komposisi  penduduk  serta  masalah  urbanisasi  untuk  keperluan  perencanaan pembangunan  dan  sistem  perstatistikan  nasional.    Manfaat  sensus  penduduk
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15
adalah  memperoleh  informasi  dasar  kependudukan  dan  perumahan  yang diperlukan  untuk  menilai  kinerja  pembangunan  bangsa  di  masa  lalu  serta menyusun  perencanaan  pembangunan  kependudukan,  sosial,  ekonomi  dan kesejahteraan masyarakat Indonesia di masa mendatang [5].
Indonesia melakukan sensus penduduk sekali dalam sepuluh tahun, dan sensus yang ke 7 kali akan dilaksanakan pada tahun 2020.  Kepala Badan Pusat Statistik (BPS)  dalam Beritasatu.com menyatakan  terdapat  perbedaan  mendasar  metode sensus  pada  tahun  2020  yang  disebut  dengan    Metode  Kombinasi  dibandingkan dengan metode sebelumnya. Beberapa tahapan dalam metode kombinasi ini dapat dilihat pada laman BPS [5]. Secara ringkas data-data yang diperoleh menerapkan metode kombinasi ini dikelompokkan dalam 5 kelompok,yaitu:
1. Adminduk,  data  yang  sudah  tersedia  yang  diperoleh  dari  Ditjen Dukcapil yang merupakan basis data dasar untuk keperluan pendataan mandiri.
2. CAWI  (Computer  Aided  Web  Interviewing),  data  yang  diperoleh melalui masyarakat melakukan pendataan secara mandiri baik melalui link https://sensus.bps.go.id maupun pendekatan institusi (ASN/SKPD, pelajar dan mahasiswa serta pengurus satuan lingkungan setempat).
3. CAPI,  data  diperoleh  melalui  interviu  petugas/mitra  di  lapangan menggunakan  gadget  smartphone  yang  terhubung  langsung  ke  server bps.
4. PAPI  (Paper  and  Pencil  Interviewing),  petugas/mitra  di  lapangan melakukan pencacahan penduduk melalui kuisioner kertas.
5. DLL yaitu data perkiraan yang belum dicacah pada nomor 1, 2, 3 dan
4.
Data dari mulai nomor 1 sampai 5 di atas akan digunakan sebagai data untuk menghitung jumlah penduduk tahun 2020.  Sesuai tahapan SP2020, data nomor 1 dikombinasi dengan data nomor 2 dan diperoleh pemutakhiran pendataan mandiri yang disusun dalam Daftar Penduduk 2020 (SP2020-DP). Kemudian SP2020-DP ini dperiksa oleh petugas di lapangan dan diperoleh daftar penduduk terverifikasi. Selanjutnya  petugas/mitra  bersama  pengurus  satuan  lingkungan  setempat melakukan  pengecekan  dan  pencacahan  terhadap  penduduk  yang  tidak  terdaftar dalam  adminduk  dan  belum  melakukan  pendataan  mandiri.  Pencacahan  ini dilakukan dengan metode CAPI dan PAPI.
Sebagian besar data yang dicacah pada nomor 1 akan dicacah ulang pada data  nomor  2  demikian  pula  sebaliknya  data  pada  nomor  2  dicacah  ulang  pada nomor  1.  Data  yang  dicacah  pada  nomor  1  masih  mungkin  juga  dihitung  ulang pada  data  nomor  3  dan  4  demikian  pula  sebaliknya.    Dalam  tulisan  ini  data
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15
SP2020 yang diperoleh setelah melalui tahapan-tahapan SP2020 diringkas dengan himpunan ACAWI (data SP2020-DP terverifikasi = Adminduk digabung CAWI), CAPI,  PAPI  dan  DLL.  Dalam  teori  kombinatorik  cara  menghitung  unsur-unsur dari  gabungan  himpunan-himpunan  yang  overlapping  dapat  digunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi .

## 2. PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI
Prinsip Inklusi-Eksklusi dapat digunakan untuk menghitung banyaknya unsur- unsur  dari  gabungan  himpunan-himpunan  yang  overlapping.  Prinsip  ini  secara umum  lebih  efisien  diterapkan  untuk  himpunan  dengan  kardinalitas  yang  besar [6].  Data  jumlah  penduduk  suatu  negara  khususnya  Indonesia  menurut  SP2010 sudah diatas dua ratus juta jiwa sehingga Prinsip Inklusi-Eksklusi adalah metode yang tepat digunakan.

## Teorema 2.1 Prinsip Inklusi-Eksklusi
Misalkan A 1 , ..., A n adalah himpunan-himpunan hingga. Maka banyaknya unsur- unsur dalam gabungan A 1 ∪ ... ∪ A n adalah
|⋃ 𝐴 | ∑ 1 | | |⋂ 𝐴 ∈ | ⊆ ,…, ∅ . (1)
Bukti :  Dengan induksi matematika,
Untuk n = 2, |𝐴 ∪ 𝐴 | |𝐴 | |𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 | .
Selanjutnya  dari  kenyataan  bahwa 𝐴 ∪ 𝐴 adalah  gabungan  dari  himpunan- himpunan  yang  saling  lepas A 1 dan A 2 \  ( 𝐴 ∩ 𝐴 )  dan A 2 adalah  gabungan  dari himpunan-himpunan  yang  saling  lepas A 2 \  ( 𝐴 ∩ 𝐴 )  dan 𝐴 ∩ 𝐴 . Diperoleh persamaan-persamaan:
|𝐴 | |𝐴2\  𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 |
|𝐴 ∪ 𝐴 | |𝐴 | |𝐴2\  𝐴 ∩ 𝐴 | .
Tahapan  induksi  selanjutnya,  misalkan  pernyataan  benar  untuk  n  =  n  –  1 himpunan. Maka akan ditunjukkan  pernyataan juga benar untuk n himpunan.
𝐴 𝐴 ∪ 𝐴 𝐴 |𝐴 | 𝐴 ∩ 𝐴
= ⋃ 𝐴 |𝐴 | ⋃ 𝐴 ∩ 𝐴 = ∑ 1 | | |⋂ 𝐴 ∈ | ⊆ ,…, ∅ |𝐴 |
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15
1 | | 𝐴 ∩ 𝐴 ∈ ⊆ ,…, ∅
Dengan  mengelompokkan  jumlah-jumlah  yang  memiliki  banyaknya  faktor  sama dalam irisan-irisannya, maka diperoleh seperti persamaan (1),
|⋃ 𝐴 | ∑ 1 | | |⋂ 𝐴 ∈ | ⊆ ,…, ∅ .
Teorema 2.2
Misalkan A 1 , ..., A n adalah subhimpunan-subhimpunan hingga dari himpunan S, dan misalkan 𝐴 𝑆 𝐴 adalah komplemen dari A i . Maka
⋂ 𝐴 |𝑆| ∑ 1 | | |⋂ 𝐴 ∈ | ⊆ ,…, ∅ . (2)
Bukti :
Karena ⋂ 𝐴 dan ⋃ 𝐴 membentuk  suatu  partisi  dari  S,  maka  dengan menggunakan persamaan (1) diperoleh hasil seperti persamaan (2).

## Teorema 2.3 Perumuman Prinsip Inklusi-Eksklusi
Misalkan A adalah    suatu  himpunan    hingga  dan f suatu  fungsi  dari A ke bilangan-bilangan real. Untuk setiap subhimpunan 𝐵 ⊆ 𝐴,
𝑓 𝐵 𝑓 𝑥 ∈ , dimana 𝑓 ∅
0. Jika A = ⋃ 𝐴 , maka
𝑓 𝐴 ∑ 1 | | 𝑓 ⋂ 𝐴 ∈ . ∅ (3)
Jika f fungsi  konstan,  yaitu 𝑓 𝑥 1 untuk  semua 𝑥 ∈ 𝐴, maka  persamaan  (3) menjadi persamaan (1).
Untuk  mempelajari teorema  dan  bukti  yang  terkait  pada  bagian  ini  dapat  dilihat pada [6].

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data  SP2020  dalam  tulisan  ini,  setelah  melalui  beberapa  tahapan  sensus diringkas  dalam  empat  kelompok  besar  dan  dinyatakan  dalam  bentuk  himpunan dan disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut:
3.1.  A 1 = Adminduk,  A 2 = CAWI,
A = A 1 ∪ A 2 (data ACAWI = SP2020-DP terverifikasi)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15
Gambar 1 .  A = A 1 ∪ A 2 (data SP2020-DP terverifikasi)
Dengan menggunakan persamaan (1), dapat diamati bahwa I = {1,2}. Sub himpunan dari I kecuali ∅ adalah {1}, {2}, dan {1,2}, sehingga
𝐴 1 | | 𝐴
∈ ⊆ , ∅
.
|𝐴 ∪ 𝐴 | |𝐴 | |𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 | , (4)
Contoh 1:
Misalkan setelah akhir dari tahapan SP 2020 diperoleh data jumlah penduduk sbb:
|𝐴 | =  200.000, |𝐴 | =  140.000,    dan |𝐴 ∩ 𝐴 | =  135.000,    maka  dengan mensubstitusi  nilai-nilainya  ke  persamaan  (4)  diperoleh |𝐴 ∪ 𝐴 | 200.000  + 140.000 – 135.000 = 205.000.
3.2 A = ACAWI, B = CAPI, C = PAPI, D = DLL 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 , S = A ∪ B ∪ C ∪ D.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15
Gambar 2 D ATA SP 2020
Dengan  menggunakan  persamaan  (1),  dapat  diamati  bahwa  I  =  {1,2,3,4}.  Sub himpunan dari I kecuali ∅ adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3},
{2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4} dan {1,2,3,4}, sehingga
𝐴 1 | | 𝐴 ∈ ⊆ , , , ∅ .
|𝐴 ∪ 𝐴 ∪ 𝐴 ∪ 𝐴 | |𝐴 | |𝐴 | |𝐴 | |𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 |
|𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 ∩ 𝐴 | |𝐴 ∩ 𝐴 ∩ 𝐴 ∩ 𝐴 | ,                         (5)
Sama dengan contoh  1 apabila data jumlah penduduk hasil tahapan akhir SP2020 sudah  diperoleh  maka  selanjutnya  akan  diperoleh  jumlah  penduduk  Indonesia secara keseluruhan menggunakan persamaan (5).
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 9‐15

## 4. KESIMPULAN
Sensus  penduduk  tahun  2020  (SP  2020)  menggunakan  metode  baru  yang disebut metode kombinasi dengan  memanfaatkan  data  dasar  registrasi  penduduk yang tersedia pada Ditjen Dukcapil, masyarakat mendaftar mandiri (CAWI) dan pendataan  door  to  door  oleh  petugas  (PAPI  dan  CAPI).  Setelah  melakukan tahapan SP2020 diperoleh 5 kelompok data yaitu data Adminduk, CAWI, CAPI, PAPI dan DLL. Data dengan metode baru ini rawan terjadi overlapping, sehingga tepat menggunakan prinsip inklusi eksklusi untuk mengatasinya.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Ucapan  terima  kasih  penulis  ucapkan  kepada  pimpinan  FMIPA  Unila  dan jajarannya  dan  juga  kajur  dan  sekjur  Matematika  FMIPA  Unila  yang  telah memberi  izin  dan  dukungannya  sehingga  tulisan  ini  dapat  diseminarkan  pada kegiatan Simantap ke-10 tahun 2019 di hotel Sapadia Pematang Siantar.

## REFERENSI
[1]. C.  C.  Chuan  and  K.  M.  Koh.  1992. Principles And Techniques In Combinatorics. World Scientifics Publishing Co, Pte. Ltd, Singapore.
[2]. I. B. Mantra. 2011. Demografi Umum .  Pustaka Pelajar, Yogyakarta [3]. K.  H.  Rosen.  2007. Discrete Mathematics And Its Application .  Seventh Editions, The McGraw Hill Companies Inc., New York.
[4]. T. Alan. 2012. Applied Combinatoric. Sixth Edition, John Wiley and Sons Inc, United States of America.
[5]. https://www.bps.go.id/sp2020/
[6]. A Titu and F. Zuming. 2004. A Path to Combinatorics for Undergraduates, Counting Strategies . Birkhauser, Boston.