JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 2,  Tahun 2018, Halaman 119-131 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## OPTIMALISASI PORTOFOLIO SAHAM MENGGUNAKAN METODE MEAN ABSOLUTE DEVIATION DAN SINGLE INDEX MODEL PADA SAHAM INDEKS LQ-45
Diah Wulandari 1 , Dwi Ispriyanti 2 , Abdul Hoyyi 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : ispriyanti.dwi@gmail.com

## ABSTRACT
Stock  investment  is  the  planting  of  money  in  a  securities  that  indicates  the ownership  of  a  company  in order to provide benefits in the future. In obtaining optimal results from stock investments, investors are expected  to  create  a  series  of  portfolios.  The  portfolio  will  help  investors  in  allocating  some  funds  in different  types  of  investments  in  order  to  achieve  optimal  profitability.  For  selection  of  optimal  stocks representing LQ-45 Index, used 2 methods of Mean Absolute Deviation (MAD) method and Single Index Model  (SIM)  method.  In  MAD  method,  5  best  stocks  are  BBCA  with  weight  23%,  INDF  8%,  KLBF 23%,  TLKM  23%,  and  UNVR  23%.  While  the  SIM  method  of  candidate  portfolio  obtained  is  AKRA with  weight  15,459%,  BBCA  48,193%,  BBNI  5,028%,KLBF  0,258%  and  TLKM  31,062%.  Portfolio performance  meter  is  used  by  sharpe  ratio.  The  value  of  sharpe  ratio  is  0,36754  for  optimal  portfolio using  MAD  method  and  0,40782  for  optimal  portfolio  using  SIM  method,  this  means  that  optimal portfolio using SIM method has better performance than MAD.
Keywords: Investment, Portfolio, Index LQ-45, Mean Absolute Deviation, Single Index Model, Sharpe Ratio

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  saham  adalah  penanaman  sejumlah  uang  ataupun  barang  pada  sebuah surat  berharga  yang  menunjukan  tanda  kepemilikan  suatu  perusahaan  agar  dapat memberikan  keuntungan  pada  waktu  yang  akan  datang.Banyaknya  jumlah  perusahaan yang  listing  di  Bursa  Efek  Indonesia  membuat  para  investor  kebingungan  untuk  memilih investasi  saham  yang  tepat,  aman  dan  layak  untuk  dibeli.Bursa  Efek  Indonesia  berusaha membantu  para  investor  dengan  membuat  11  jenis  indeks  saham.  Salah  satu  nya  yaitu indeks  liquid  45  atau  LQ-45.  Indeks  LQ-45  ini  terdiri  dari  45  emiten  (pihak  yang melakukan  penawaran  umum)  dengan  likuiditas  tinggi  yang  diseleksi  melalui  beberapa kriteria pemilihan.
Dalam mendapatkan hasil yang optimal dari investasi pada indeks LQ-45, investor diharapkan membuat serangkaian portofolio.Dengan memiliki portofolio, akan membantu investor  dalam  mengalokasikan  sejumlah  asetnya  ke  dalam  berbagai  jenis  investasi  demi mencapai keuntungan yang optimal.
Ada  banyak  metode  yang  dapat  digunakan  dalam  mengoptimalkan  portofolio. Metode  yang  biasa  dilakukan  dalam  pembentukan  portofolio  adalah  metode  oleh  Harry Markowitz  yaitu metode Mean Variance. amun metode ini memiliki beberapa kekurangan diantaranya  sulit  diterapkan  untuk  menentukan  portofolio  optimal  dengan  aset  yang banyak,  data  harus  berdistribusi  normal,  proses  perhitungan  yang  rumit,  dan  lain-lain (Konno  &  Kobayashi,  1997).Oleh  karena  itu  muncul alternatif  optimasi  portofolio  model untuk  memperbaiki  kekurangan  tersebut,  alternatif  itu  ialah  model Mean-Absolute Deviation yang diusulkan oleh Hiroshi Konno dan Yamazaki pada tahun 1991 dan Single Index Model yang dikembangkan oleh William Sharpe pada tahun 1963.Secara garis besar, perhitungan  nilai  risiko  menggunakan  metode Mean  Absolute  Deviation (MAD)  adalah menentukan  rata-rata  nilai  mutlak  penyimpangan  MAD  dari  tingkat realized  return
terhadap expected  return .  Sedangkan Single  Index  Model (SIM)  didasarkan  pada pengamatan bahwa dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan index harga pasar.

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## 2.1. Investasi Saham
Investasi  adalah  penanaman modal  untuk  satu  atau  lebih  aktiva  yang  dimiliki  dan biasanya  berjangka  waktu  lama  dengan  harapan  mendapatkan  keuntungan  di  masa-masa yang  akan  datang  (Sunariyah,  2004).Saham  merupakan  secarik  kertas  yang  menunjukkan hak pemodal (pihak yang memiliki kertas tersebut) untuk memperoleh bagian dari prospek atau  kekayaan  organisasi  yang  menerbitkan  saham  tersebut  dan  berbagai  kondisi  yang memungkinkan  pemodal  tersebut  menjalankan  haknya  (Husnan,  1982).Jadi,  dapat disimpulkan investasi saham adalah penanaman modal pada surat berharga dengan harapan mendapatkan keuntungan dimasa yang akan datang.
Pada  dasarnya  dalam  investasi  saham  ada  beberapa  hal  mendasar  ,  yaitu  return, expected return, dan risiko saham.
a. Return dan Expected Return Saham
Menurut  Halim  (2003) return merupakan  imbalan  yang  diperoleh  dari investasi.Menurut Tsay (2002) secara matematis return dapat dituliskan sebagai berikut :
𝑅 𝑖(𝑡) = 𝑙𝑛 [ 𝑃 𝑖(𝑡) 𝑃 𝑖(𝑡−1) ] (1)
Keterangan: R i(t) = return realisasi saham ke-i pada waktu ke-t P i(t)
= closing price saham ke-i pada waktu ke-t P i(t-1) = closing price saham ke-i pada waktu ket-1
Expected  return secara  sederhana  menurut  Halim  (2003)    adalah  rata-rata tertimbang  dari  berbagai return historis. Expected  return atas  saham  individual  dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:
E[𝑅 𝑖 ] = ∑ 𝑅 𝑖(𝑡) 𝑇 𝑡=1 T (2)
Keterangan: E(R i ) = expected return saham ke-i
T = banyaknya return realisasi
b. Risiko Saham
Risiko saham individual dapat dihitung dengan persamaan berikut:
𝜎 𝑖 2 = ∑ (𝑅 𝑖(𝑡) −E[𝑅 𝑖 ]) 2 𝑇 𝑡=1 𝑇−1 (3)
𝜎 𝑖 = √ ∑ (𝑅 𝑖(𝑡) −E[𝑅 𝑖 ]) 2 𝑇 𝑡=1 𝑇−1 (4)
Keterangan:
σ i 2
= variansi saham ke-i
σ i = standar deviasi saham ke-i (risiko saham ke-i)

## 2.2. Indeks LQ-45
Indeks harga saham adalah indikator atau cerminan  pergerakan harga saham. Indeks merupakan  salah  satu  pedoman  bagi  investor  untuk  melakukan  investasi  di  pasar  modal, khususnya saham.LQ-45 merupakan salah satu indeks yang ada di BEI. LQ-45 terdiri dari 45  saham  perusahaan  tercatat  yang  dipilih  berdasarkan  pertimbangan  likuiditas  dan kapitalisasi  pasar  dengan  kriteria-kriteria  yang  sudah  ditentukan.  Daftar  saham  yang
menjadi  acuan  perhitungan  indeks  LQ-45  di  BEI  diperbaharui  setiap  enam  bulan  sekali (setiap awal bulan Februari dan Agustus) (BEI, 2010).

## 2.3 Portofolio Optimal
Menurut  Jogiyanto  (2003)  perhitungan expected  return portofolio  E(R p )  merupakan  rata- rata  tertimbang  dari return individual  masing-masing  saham  pembentuk  portofolio, dihitung expected return dan risiko portofolio dengan menggunakan persamaan berikut:
E[𝑅 𝑝 ] = ∑ 𝑤 𝑖 . 𝐸(𝑅 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 (5) 𝜎 𝑝 = ∑ 𝑤 𝑖 . 𝜎 𝑖 𝑛 𝑖=1 (6)
Keterangan: E(R p )   = Expected return portofolio w i = Bobot alokasi dana untuk aset ke-i di dalam portofolio 𝜎 𝑝 = risiko atau standar deviasi portofolio

## 2.3.1   Mean Absolute Deviation
Jogiyanto  (2003)  menyebutkan Mean  Absolute  Deviation adalah mean dari  nilai mutlak  penyimpangan  setiap  nilai  pengamatan R i(t) terhadap  E(R i ).  Secara  matematis MAD didefinisikan sebagai berikut : 𝑀𝐴𝐷 𝑖 = 𝐸 [|𝑅 𝑖(𝑡) − 𝐸(𝑅 𝑖 )|] (7)
Menurut Bower & Bentz (2005) untuk menyelesaikan model program linier seperti Mean  Absolute  Deviation dalam  menentukan  nilai  bobot  setiap  aset  dapat  menggunakan metode simpleks yang dapat ditulis seperti berikut : Minimalkan :
𝜎(𝑤) = 𝑀𝐴𝐷 1 𝑤 1 + 𝑀𝐴𝐷 2 𝑤 2 + ⋯ +  𝑀𝐴𝐷 𝑛 𝑤 𝑛 (8)
Dengan kendala :
𝐸(𝑅 1 )𝑤 1 + 𝐸(𝑅 2 )𝑤 2 + ⋯ +  𝐸(𝑅 𝑛 )𝑤 𝑛 ≥ 𝑅 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑤 1 + 𝑤 2 + ⋯ +  𝑤 𝑛 = 1 0 ≤ 𝑤 𝑖 ≤ 𝑢 𝑖 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 (9)
Keterangan: n = banyaknya saham
R investor = tingkat return minimal yang diinginkan investor u i = Bobot maksimal masing-masing asset

## a. Metode Simpleks
Metode  Simplek  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  George  B.  Dantzig  pada  tahun 1947  dan  telah  diperbaiki  oleh  beberapa  ahli  lain.  Metode  ini  menyelesaikan  masalah linear  programming  (LP)  melalui  perhitungan  ulang  (iteration)  dimana  langkah-langkah perhitungan  yang  sama  diulang  berkali-kali  sebelum  solusi  optimum  dicapai  (Mulyono, 2017). Menurut Josep (1997) sebelum dilakukan penyelesaian ke dalam bentuk simpleks, permasalahan model linier harus diubah ke dalam bentuk standar.
Langkah-langkah pemilihan metode simpleks sebagai berikut:
1. Membuat Tabel simpleks awal
2. Pilihlah  satu  kolom  dengan  bilangan  negatif  terbesar  dalam  baris  fungsi  tujuan  (C) untuk  masalah  maksimasi  dan  positif  terbesar  untuk  masalah   minimasi  .  kolom ini disebut dengan kolom pivot (kolom kunci).
3. Bagilah  setiap  bilangan  positif  dari  kolom  pivot  (kolom  kunci)  yang  bersesuaian dengan  bilangan  kolom  konstanta.  Pilihlah  baris  dengan  hasil  bagi  yang  terkecil. Baris ini disebut baris pivot (baris kunci). Perpotongan antara baris pivot dan kolom pivot disebut elemen pivot (elemen kunci).
4. Elemen pivot dibuat sama dengan 1, jika perlu dengan membagi semua elemen baris pivot dengan angka elemen itu sendiri.
5. Gunakan prosedur yang serupa dengan metode eliminasi Gauss-Jordan, yaitu operasi baris, sehingga elemen lainnya dalam kolom pivot menghasilkan angka 0.
6. Uji optimalisasi, pada langkah ini periksa persamaan dari fungsi tujuan, apakah pada setiap  variabel  ≥  0  (masalah  maksimal)  dan  ≤  0  (masalah  minimal,  kalau  ini terpenuhi maka penyelesaian sudah optimal, jika belum ulangi iterasi.

## 2.3.2  Single Index Model (SIM)
Salah  satu  prosedur  penentuan  portofolio  optimal  adalah Single  index  model. Menurut  Jogiyanto  (2003)  s ingle  index  model (SIM)  menjelaskan  hubungan  antara return dari setiap saham individual dengan return pasar (R m ).
a. Asumsi Single Index Model
Menurut  Jogiyanto  (2003), single  index  model menggunakan  asumsi-asumsi  yang merupakan  karakteristik  model  ini  sehingga  menjadi  berbeda  dengan  model-model lainnya.Asumsi yang harus dipenuhi dalam single index model ini adalah:
1. Residual return saham berdistribusi normal
2. Kovarian antar residual sekuritas bernilai nol
3. Kovarian antara residual sekuritas dengan return indeks pasar bernilai nol
b. Pemilihan Kandidat Portofolio Optimal menggunakan SIM Menurut  Jogiyanto  (2003) SingleIndexModel (SIM)  dapat  digunakan  dalam penentuan portofolio optimal dengan cara membandingkan excess return to beta (ERB) dengan cut-off-rate (Ci). Nilai ERB tiap saham dapat dihitung dengan persamaan :
𝐸𝑅𝐵 𝑖 = 𝐸(𝑅 𝑖 )−𝐸(𝑅 𝑓 ) 𝛽 𝑖 (10)
Keterangan:
ERB i = excess Return to Beta saham ke-i E(R f )    = expected return aktiva bebas risiko E(R m )  = expected return pasar
Diperlukan sebuah titik pembatas ( cut-off point ) yang menentukan batas nilai ERB berapa  yang  dikatakan  tinggi.  Besarnya  titik  pembatas  ini  dapat  ditentukan  dengan langkah-langkah berikut:
1. Urutkan  saham-saham  berdasarkan  nilai  ERB  terbesar  ke  nilai  ERB  terkecil. Saham-saham  dengan  ERB  terbesar  merupakan  kandidat  untuk  dimasukkan  ke portofolio optimal.
2. Hitung nilai A i dan B i untuk masing-masing dengan persamaan :
𝜎 𝑒 𝑖 2 =   𝜎 𝑖 2 − (𝜎 𝑚 2 ∗ (𝛼 𝑖 ) 2 ) (11)
𝐴 𝑖 = [𝐸(𝑅 𝑖 )−𝐸(𝑅 𝑓 )]𝛽 𝑖 𝜎 𝑒𝑖 2 (12)
𝐵 𝑖 = 𝛽 𝑖 2 𝜎 𝑒𝑖 2 (13)
3. Hitung  nilai  C i. Nilai  C i merupakan  hasil  bagi  varian  pasar  dan return terhadap variance  error saham  dengan  varian  pasar  dan  sensitivitas  saham  individual terhadap variance error saham.
𝐶 𝑖 = 𝜎 𝑚 2 ∑ 𝐴 𝑗 𝑖 𝑗=1 1+𝜎 𝑚 2 ∑ 𝐵 𝑗 𝑖 𝑗=1 (14)
4. Cut-Off Point (C*) merupakan nilai C i terbesar dari nilai Ci saham, dihitung dengan program Excel menggunakan rumus MAX.
5. Saham-saham yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas-sekuritas yang mempunyai nilai ERB lebih besar atau sama dengan nilai ERB di titik  C*. Saham- saham  yang  mempunyai  ERB  lebih  kecil  dari  nilai  C*  tidak  disertakan  dalam pembentukan potofolio optimal.
c.   Menentukan Bobot Saham Pembentuk Portofolio Optimal
Menurut Jogiyanto (2003) proporsi masing-masing  saham  yang termasuk kedalam portofolio optimal menurut metode SIM dapat dihitung  dengan rumus berikut:
𝑤 𝑖 = 𝑍 𝑖 ∑ 𝑍 𝑗 𝑘 𝑗=1 (15)
dengan nilai nilai Z i sebesar
𝑍 𝑖 = 𝛽 𝑖 𝜎 𝑒𝑖 2 (𝐸𝑅𝐵 𝑖 − 𝐶 ∗ ) (16)

## 2.4 Sharpe Ratio
Menurut  Tandelilin  (2010) sharpe  ratio menunjukkan  apakah  keuntungan portofolio  yang  dihasilkan  oleh  keputusan  investasi  yang  cerdas  atau  akibat  kelebihan risiko,  semakin  besar  nilai sharpe  ratio suatu  portofolio  semakin  baik  pula  kinerja  yang dapat  disesuaikan  dengan  risiko. return bebas  risiko  yang  diwakilkan  dengan  tingkat  suku bunga bebas risiko. Sharpe Ratio dapat dituliskan dalam formula berikut:
𝑆 𝑝 = E(𝑅 𝑝 )−𝐸(𝑅 𝑓 ) σ 𝑝 (17)

## 3. METODOLOGI PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data
Dalam  penelitian  ini  menggunakan  data    yang  diunduh  di  situs  resmi  BEI  dan yahoo  finance  dari  saham  bulanan  25  perusahaan  yang  selama  4  tahun  terakhir  konsisten berada pada Indeks LQ-45. Data diambil mulai Desember 2013 sampai dengan Desember 2017.

## 3.2. Metode Analisis
Langkah-langkah  yang  ditempuh  untuk  mencapai  tujuan  penelitian  ini  adalah sebagai berikut :
1. Input data historis saham LQ-45
2. Menghitung return dan expected return saham
3. Menghitung variansi dan standar deviasi saham
4. Implementasi metode optimalisasi portofolio
5. Mean Absolute Deviation
a. Menghitung nilai meanabsolute deviation return (MAD i ) tiap-tiap saham
b. Menentukan nilai return minimal dari investor
c. Melakukan perhitungann bobot optimal menggunakan metode simpleks
d. Didapat kandidat portofolio optimal dengan metode MAD
e. Menghitung expected return portofolio optimal MAD
f. Hitung standar deviasi portofolio optimal metode MAD
6. Single Indeks Model
a. Melakukan uji asumsi SIM
b. Menghitung nilai ERB tiap-tiap saham
c. Menghitung , C i d. Menghitung nilai C * , C * adalah nilai maksimal dari nilai C i
e. ERB i > C * sehingga didapat kandidat portofolio optimal dengan metode SIM f. Menghitung expected return portofolio optimal SIM
g. Hitung standar deviasi portofolio optimal metode SIM
7. Pengujian Sistem
Hasil  yang  telah  didapatkan  dari  model  MAD  akan  dianalisis  dan bandingkandengan hasil yang diperolehSIM menggunakan Sharpe Ratio .
8. Analisis Hasil Portofolio model MAD dan SIM

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Deskripsi Data
Data  yang  digunakan  adalah  data  penutupan  harga  saham-saham  bulanan  25 perusahaan yang selama 4 tahun terakhir konsisten berada pada Indeks LQ-45.

## 4.2 Return dan Expected Return Saham
Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  menghitung  nilai return dan expected return dari  setiap  perusahaan  yang  dapat  dihitung  dengan  persamaan  (1)  dan  persamaan (2).  Data  yang  diperoleh  sudah  terlebih  dahulu  diurutkan  berdasarkan  waktu  terlama hingga  waktu  terbaru.  Perhitungan return saham  AALI  pada  waktu  ke-1  adalah  sebagai berikut:
𝑅 1(1) = 𝑙𝑛 [ 𝑃 1(1) 𝑃 1(0) ] = 𝑙𝑛 [ 21.100 25.100 ] = 0,15598
Dan perhitungan nilai expected return saham AALI adalah sebagai berikut:
E[𝑅 1 ] = ∑ 𝑅 1(𝑡) 48 𝑡=1 48 = −0,6464 48 = −0,01347

## 4.3 Variansi dan Standar Deviasi Saham
Perhitungan nilai variansi dan standar deviasi setiap saham dilakukan dengan rumus pada persamaan (3) dan persamaan (4). Diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut:
Tabel 1. Variansi dan Standar Deviasi Masing-Masing Saham i Kode Saham Variansi Standar Deviasi 1 AALI 0,0085 0,0920 2 ADRO 0,0101 0,1004 3 AKRA 0,0059 0,0766 4 ASII 0,0046 0,0679 5 ADHI 0,0116 0,1078 6 BBCA 0,0025 0,0500 7 BBNI 0,0066 0,0812 8 BBRI 0,0585 0,2420 9 BMRI 0,0133 0,1154 10 GGRM 0,0041 0,0642 11 ICBP 0,0138 0,1174 12 INDF 0,0046 0,0680 13 INTP 0,0074 0,0861 14 JSMR 0,0050 0,0708 15 KLBF 0,0036 0,0597 16 LPKR 0,0093 0,0964
17 LSIP 0,0177 0,1332 18 PGAS 0,0121 0,1102 19 PTBA 0,0641 0,2532 20 SMGR 0,0395 0,1988 21 TLKM 0,0031 0,0559 22 UNTR 0,1155 0,3399 23 UNVR 0,0026 0,0509 24 BSDE 0,0057 0,0756 25 MNCN 0,0194 0,1392

## 4.4 Portofolio Optimal menggunakan Mean Absolute Deviation
4.4.1  Nilai MAD Masing-Masing Saham Hasil  perhitungannya  nilai  MAD  untuk  masing-masing  saham  dihitung  dengan persamaan (7) adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Nilai MAD Masing-Masing Saham i Kode Saham MAD i i Kode Saham MAD i 1 AALI 0,0716 14 JSMR 0,0533 2 ADRO 0,0758 15 KLBF 0,0448 3 AKRA 0,0591 16 LPKR 0,0775 4 ASII 0,0512 17 LSIP 0,0997 5 ADHI 0,0828 18 PGAS 0,0768 6 BBCA 0,0392 19 PTBA 0,1281 7 BBNI 0,0560 20 SMGR 0,0893 8 BBRI 0,0941 21 TLKM 0,0430 9 BMRI 0,0649 22 UNTR 0,1148 10 GGRM 0,0537 23 UNVR 0,0353 11 ICBP 0,0595 24 BSDE 0,0564 12 INDF 0,0510 25 MNCN 0,1041 13 INTP 0,0651
4.4.2  Metode Simpleks untuk Menentukan Kandidat dan Bobot Portofolio Optimal menggunakan Mean absolute deviation
Langkah  awal  yang  harus  dilakukan  dalam  mendapatkan  bobot  pada  metode simpleks adalah mengubah fungsi kendala ke dalam bentuk standar.
Maka  program  linier  yang  diubah  ke  dalam  bentuk  standar  untuk  menentukan kandidat dan bobot portofolio menjadi seperti berikut:
Minimalkan : 𝜎(𝑤) = 0,0716𝑤 1 + 0,0758𝑤 2 +  0,0591𝑤 3 +  0,0512𝑤 4 + 0,0392𝑤 5 + 0,0392𝑤 6 + 0,0560𝑤 7 + 0,0941𝑤 8 +  0,0649𝑤 9 +   0,0537𝑤 10 + 0,0595𝑤 11 +  0,0510𝑤 12 + 0,0651𝑤 13 + 0,0533𝑤 14 +  0,0448𝑤 15 + 0,0775𝑤 16 + 0,0997𝑤 17 + 0,0768𝑤 18 + 0,1281𝑤 19 + 0,0893𝑤 20 + 0,0430𝑤 21 + 0,1148𝑤 22 + 0,0353𝑤 23 + 0,0564𝑤 24 + 0,1041𝑤 25
+𝑀(𝑞 1 + 𝑞 2 )
Dengan kendala : -0,01346w 1 +0,01113w 2 + 0,00776w 3 + 0,00416w 4 +0,00462w 5 +
0,02037w 6 +0,01914w 7 - 0,01435w 8 + 0,00039w 9 +0,01439w 10 − 0,00478 𝑤 11 + 0,003w 12 +0,00193w 13 +0,00632w 14 +0,00628w 15 − 0,01298w 16 - 0,00639w 17 - 0,01956w 18 - 0,02962w 19 -0,00744w 20 + 0,01510w 21 +0,06069w 22 +0,01594w 23 +0,005749w 24 -0,01701w 25 −𝑡 1 + 𝑞 1 = −0,00679 𝑤 1 + 𝑤 2 + ⋯ + 𝑤 25 + 𝑞 2 = 1
𝑤 1 + 𝑠 1 = 𝑢 1 𝑤 2 + 𝑠 2 = 𝑢 2 ⋮ 𝑤 25 + 𝑠 25 = 𝑢 25
Dari  masalah  tersebut  penyelesaian  untuk  mendapatkan  bobotinvestasi  masing- masing  perusahaan  diperoleh  dengan  bantuan software WinQSB.Saham-saham  yang terpilih sebagai kandidat dan bobot investasi diperoleh sebagai berikut:
Tabel 3. Kandidat dan Bobot Kandidat Portofolio Optimal menggunakan MAD
i Kode Saham Bobot 6 BBCA 0.23 12 INDF 0.08 15 KLBF 0.23 21 TLKM 0.23 23 UNVR 0.23 4.4.3 Expected  Return dan  Risiko  Portofolio  Optimal  menggunakan Mean  absolute deviation
Nilai expected  return portofolio  dapat  dihitung  dengan  persamaan  (5)  seperti berikut:
E[𝑅 𝑝 ] = 𝑤 6 . 𝐸(𝑅 6 ) + 𝑤 12 . 𝐸(𝑅 12 )+ 𝑤 15 . 𝐸(𝑅 15 ) + 𝑤 21 . 𝐸(𝑅 21 ) + 𝑤 23 . 𝐸(𝑅 23 ) E[𝑅 𝑝 ] = 0,23 (0,02037) + 0,08(0,00301) + 0,023(0,00628) + 0,23(0,01511) +0.23(0,01595)
E[𝑅 𝑝 ] = 0,01351
dan risiko portofolio dapat dihitung dengan persamaan (6) seperti berikut: 𝜎 𝑝 = 𝑤 6 . 𝜎 6 + 𝑤 12 . 𝜎 12 + 𝑤 15 . 𝜎 15 + 𝑤 21 . 𝜎 21 + 𝑤 23 . 𝜎 23 𝜎 𝑝 = 0,23 (0,05005) + 0,08 (0,06799) + 0,023(0,05966) + 0,23(0,05592) +0.23(0,05090)
𝜎 𝑝 = 0,05524

## 4.5. Portofolio Optimal menggunakan Single Index Model
4.5.1  Nilai Alpha dan Beta Masing-Masing Saham Perhitungan  nilai  beta    dan  alpha  pada single  index  model diperoleh  hasil perhitungan seperti Table 13:
Tabel 4. Beta dan Alpha Masing-Masing Saham i Kode Saham β i α i 1 AALI 1,03370 -0,02201 2 ADRO 1,53535 -0,00156 3 AKRA 0,23201 0,00584 4 ASII 1,77260 -0,01049
5 ADHI 1,33100 -0,00638 6 BBCA 1,01048 0,01202 7 BBNI 1,93870 0,00312 8 BBRI 2,30079 -0,03337 9 BMRI 1,57999 -0,01267 10 GGRM 0,64296 0,00908 11 ICBP 0,44564 -0,00847 12 INDF 1,19060 -0,00683 13 INTP 1,39107 -0,00956 14 JSMR 1,17109 -0,00336 15 KLBF 1,16447 -0,00334 16 LPKR 0,79518 -0,01955 17 LSIP 1,03668 -0,01496 18 PGAS 1,62814 -0,03302 19 PTBA 3,79365 0,00236 20 SMGR 1,58694 -0,02056 21 TLKM 0,81684 0,00836 22 UNTR 0,40663 0,05733 23 UNVR 0,60499 0,01095 24 BSDE 1,73654 -0,00860 25 MNCN 1,86603 -0,03244
4.5.2  Uji Asumsi untuk Single Index Model
a.  Residual Return Berdistribusi Normal
Dilakukan uji normalitas pada 25 residual saham yang ada pada LQ-45. Pengujian normalitas  residual  dilakukan  dengan  menggunakan  uji  Kolmogorov  Smirnov  dengan keputusan yaitu sebanyak 16 saham berdistribusi normal (AALI, ADRO, AKRA, ASII, ADHI,  BBCA,  BBNI,  GGRM,  INTP,  JSMR,  KLBF,  LPKR,  LSIP,  TLKM,  BSDE, MNCN)  dan  9  saham  lainnya  (BBRI,  BMRI,  ICBP,  INDF,  PGAS,  PTBA,  SMGR, UNTR, UNVR) tidak berdistribusi normal.
b. Kovarian Antar Residual Return Saham Bernilai Nol
Berdasarkan  16  saham  yang  berdistribusi  normal  pada  asumsi  sebelumnya, pengujian  kovarian  antar  residual  setiap  saham  bertujuan  untuk  menguji  ada  atau tidaknya  korelasi  antar  setiap  saham  tersebut.  Setelah  dilakukan  uji  korelasi menggunakan  software  SPSS,  saham-saham  yang  memenuhi  asumsi  tidak  terdapat korelasi antar residual  yaituAKRA,  ASII, BBCA,  BBNI,  INTP, JSMR,  KLBF, TLKM dan MNCN.
c.   Kovarian  Antara  Residual Return Saham  dengan Return Indeks  Pasar Bernilai Nol
Pengujian  kovarian  antara  residual  r eturn saham  dengan  r eturn indeks  pasar bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya korelasi antara setiap saham dengan return indeks pasar. Berdasarkan  pengujian  yang  telah  dilakukan,  saham-saham  yang telah memenuhi  persyaratan  uji  asumsi model  indeks  tunggal  dapat  dilihat  pada Tabel 14 berikut:

## Tabel 5. Daftar Saham yang Memenuhi Uji Asumsi SIM
i Kode Saham 3 AKRA 4 ASII 6 BBCA 7 BBNI 13 INTP 14 JSMR 15 KLBF 21 TLKM 25 MNCN

## 4.5.3  Menentukan Nilai ERB Masing-Masing Saham
Perhitungan  nilai  ERB  ( Excess  Return  to  Beta )  bertujuan  untuk  mempermudah proses penyeleksian saham-saham yang akan dijadikan kandidat portofolio optimal. Rumus perhitungan ERB dapat dilihat pada persamaan (10).
Hasil  perhitungan  ERB  masing-masing  saham  lainnya  yang  telah  memenuhi  uji asumsi adalah sebagai berikut:
Tabel 6. Nilai ERB Masing-Masing Saham yang Telah Memenuhi Uji Asumsi
i Kode Saham ERB i 3 AKRA 0,06270 4 ASII 0,00618 6 BBCA 0,02688 7 BBNI 0,01337 13 INTP 0,00627 14 JSMR 0,01119 15 KLBF 0,01122 21 TLKM 0,02680 25 MNCN -0,00548

## 4.5.4  Kandidat Portofolio Optimal menggunakan SIM
Untuk  menentukan  portofolio  optimal  diperlukan  sebuah  titik  pembatas  ( cut-off point )  yang  digunakan  untuk  menentukan  batas  nilai  ERB  yang  dapat  menjadi  kandidat portofolio optimal menurut metode SIM.Langkah dalam menentukan besarnya cut - offpoint adalah sebagai berikut:
1. Mengurutkan saham-saham berdasarkan nilai ERB terbesar ke nilai ERB terkecil.
2. Hitung  nilai  A i dan  B i untuk  masing-masing  dengan  persamaan(12)  dan  (13)  dan menghitung  nilai  C i berdasarkan  persamaan  (14) dengan  hasil  perhitungan    seperti Tabel 16:
Tabel 7. Hasil Perhitungan A i , B i dan C i
i Kode Saham ERB i 𝝈 𝒆𝒊 𝟐 A i B i C i 3 AKRA 0,06270 0,00587 0,57500 9,17044 0,00055 6 BBCA 0,02688 0,00250 10,95520  407,63324 0,00790 21 TLKM 0,02680 0,00313 5,71893  213,36831 0,01031 7 BBNI 0,01337 0,00659 7,62621  570,23277 0,01109
i Kode Saham ERB i 𝝈 𝒆𝒊 𝟐 A i B i C i 15 KLBF 0,01122 0,00356 4,27596 380,99716 0,01111 14 JSMR 0,01119 0,00501 3,06177 273,55842 0,01112 13 INTP 0,00627 0,00741 1,63873 261,29885 0,01072 4 ASII 0,00618 0,00461 4,21144 681,83643 0,00991 25 MNCN -0,00548 0,01937 -0,98516  179,75991 0,00922
3. Menentukan  cut-Off  Point (C*)  berdasarkan  Ci  dari  masing-masing  saham.  Nilai C*  merupakan  nilai  C i terbesar  dari  sederertan  nilai  C i saham,  dihitung  dengan program  Excel  menggunakan  rumus  MAX.  Berdasarkan  Tabel  16,  diperoleh  nilai C*  sebesar  0,01112,  yaitu  nilai  C  dari  saham  JSMR.  Nilai  C*  ini  selanjutnya digunakan untuk batasan dalam pemilihan kandidat portofolio optimal.
4. Menentukan  saham  yang  menjadi  kandidat  portofolio  optimal.Daftar  saham  yang menjadi  kandidat  portofolio  optimal  menurut  metode single  index  model adalah sebagai berikut:
Tabel 8. Kandidat Saham Portofolio Optimal Menggunakan SIM i Kode Saham 3 AKRA 6 BBCA 7 BBNI 15 KLBF 21 TLKM

## 4.5.5  Bobot pada Kandidat Portofolio Optimal menggunakan SIM
Dengan  perhitungan  menggunakan  persamaan  (16)  dan  (15),  bobot  yang  menjadi kandidat portofolio optimal menurut metode SIM dapat dilihat pada Tabel 19 berikut:
Tabel 9. Bobot Saham Portofolio Optimal Menggunakan SIM
i Kode Saham Z i w i 3 AKRA 2,03886  0,15459 6 BBCA 6,3561 0,48193 7 BBNI 0,66319  0,05028 15 KLBF 0,03401  0,00258 21 TLKM 4,09682  0,31062 4.5.6 Expected  Return dan  Risiko  Portofolio  Optimal  menggunakan Single  Index Model
Nilai expected  return portofolio  dapat  dihitung  dengan  persamaan  (5)  seperti berikut:
E[𝑅 𝑝 ] = 𝑤 3 . 𝐸(𝑅 3 )+ 𝑤 6 . 𝐸(𝑅 6 ) + 𝑤 7 . 𝐸(𝑅 7 ) + 𝑤 15 . 𝐸(𝑅 15 ) + 𝑤 21 . 𝐸(𝑅 21 ) E[𝑅 𝑝 ] = 0,15459 (0,00776) + 0,48193(0,02037) + 0,05028(0,01914) +0,00258(0,00628) + 0,31062(0,01511) E[𝑅 𝑝 ] = 0,01669
dan risiko portofolio dapat dihitung dengan persamaan (6) seperti berikut: 𝜎 𝑝 = 𝑤 3 . 𝜎 3 + 𝑤 6 . 𝜎 6 + 𝑤 7 . 𝜎 7 + 𝑤 15 . 𝜎 15 + 𝑤 21 . 𝜎 21 𝜎 𝑝 = 0,15459 (0,07761) + 0,48193(0,05005) + 0,05028(0,08119)
+0,00258(0,05966) + 0,31062(0,05592) 𝜎 𝑝 = 0,05757

## 4.6. Mengukur Kinerja Portofolio menggunakan Sharpe ratio
Dari  perhitungan  nilai expected  return portofolio  dan  risiko  portofolio  masing- masing metode dapat dihitung sharpe ratio setiap portofolio dengan persamaan (17) seperti berikut:
𝑆 𝑝 = E(𝑅 𝑝 ) − 𝐸(𝑅 𝑓 ) σ 𝑝
𝑆 𝑝(𝑀𝐴𝐷) = 0,01351 − (−0,00679)
0,05524
= 0,36754 𝑆 𝑝(𝑆𝐼𝑀) = 0,01669 − (−0,00679)

## 0,05757 = 0,40782
Dilihat dari hasil perhitungan diatas diketahui bahwa sharpe ratio terbesar dimiliki oleh portofolio optimal menggunakan single index model . Maka dapat disimpulkan kinerja portofolio menggunakan metode SIM lebih baik dibanding MAD.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  telah  dilakukan,  dapat  diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Pembentukan  portofolio  optimal  dengam  metode mean  absolute  deviation menghasilkan  lima  saham  yaitu  BBCA  dengan  bobot  sebesar  23%,  INDF  dengan bobot sebesar 8%, KLBFdengan bobot sebesar 23%, TLKM dengan bobot sebesar 23%, dan UNVR dengan bobot sebesar 23%.
2. Pembentukan portofolio optimal dengam metode single index model menghasilkan lima  saham  yaitu  dengan  bobot  sebesar  15,459%  untuk  saham  AKRA,  sebesar 48,193% untuk saham BBCA, sebesar 5,028% untuk saham BBNI, sebesar 0,258% untuk saham KLBFdan sebesar 31,062% untuk saham TLKM.
3. Berdasarkan  nilai sharpe  ratio sebagai  pengukur  kinerja  portofolio,  portofolio optimal  yang  menggunakan  metode  SIM  lebih  baik  dibanding  portofolio  optimal menggunakan  metode  MAD  karena  memiliki  nilai  sharpe  ratio  yang  lebih  tinggi. Dengan  menggunakan  metode  SIM,  risiko  yang  ditanggung  oleh  investor  adalah sebesar  0,05757  dengan return portofolio  sebesar  0,01669.  Hal  ini  berarti  jika seseorang  investor  memiliki  modal  sebesar  Rp.  100.000.000,00  yang  akan berinvestasi  sesuai  portofolio  menggunakan  metode  SIM,  maka  investor  tersebut menanggung risiko sebesar Rp. 5.926.000,00 dan return sebesar Rp. 1.604.000,00.
4. Pada  kasus  ini,  metode  SIM  lebih  baik  dalam  kinerja  portofolio  dibandingkan metode MAD, ini berarti investor akan lebih baik memilih 5 saham yang termasuk dalam  portofolio  optimal  menurut  metode  SIM  dalam  menginvestasikan  dana,  5 saham  tersebut  yaitu  AKRA  dengan  bobot  sebesar  15,459%,  BBCAbobot  sebesar 48,193%,BBNIbobot  sebesar  5,028%  ,KLBF  dengan  bobot  0,258%,  dan  TLKM denganbobot  sebesar  31,062%.Estimasi  fungsi  ketahanan  hidup  dengan  Estimator Product  Limit  (Kaplan-Meier)  dari  data  yang  tidak  tersensor  bahwa  peluang bertahan  hidup  pasien  gagal  ginjal  yang  menjalani  hemodialisis  cukup  rendah adalah 0,46685 dengan waktu bertahan 1000+ hari.

## DAFTAR PUSTAKA
BEI. 2010. Buku Panduan Indeks Harga Saham. 2010. Jakarta: Bursa Efek Indonesia Bower,  B.  dan  Wentz,  P.  2005. Portofolio  Optimization:  MAD  vs  Markowitz.  Rose- Hulman Undergraduate Mathematics. 7-8.
Halim, A. 2003. Analisis Investasi. Jakarta: Salemba Empat. Husnan, S. 1982. Teori Portofolio dan Implikasi bagi Manajemen Finansial. Yogyakarta: Fakultas Ekonomi Universitas Gajah Mada. Jogiyanto. 2003. Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Yogyakarta: BPFE. Josep. 1997. Matematika untuk Ekonomi Bisnis. Yogyakarta: BPFE. Konno,  H.  dan  Kobayashi,  K.  1997. An  Integrated  Stock-Bond  Portfolio  Optimization Model . Journal of Economics Dynamics and Control. 1427-1444. Mulyono, S. 2017. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Mitra Wacana Media. Sunariyah. 2004. Pengantar Pengetahuan Pasar Modal . Bandung: CV Alfabeta Tandelilin. 2010. Portofolio dan Investasi, Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Kanisisus. Tsay, R. S. 2002. Analysis of Financia Time Series. New York: John Wiley & Sons Inc.