Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
ISSN 2622-8904 (online)

## Penaksiran Parameter Model SIS Stokastik Penyebaran Penyakit Malaria Dengan Metode Stepest Descent
Darmawati 1 , Wahyudin Nur 2 , Musafira 3 1,2,3 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sulawesi Barat e-mail: 1 darmath@unsulbar.ac.id , 2 wahyudin.nur@unsulbar.ac.id , 3 Musafira77@yahoo.com

## Abstrak
Simulasi  numerik  dilakukan  untuk  memperoleh  solusi  dan  gambaran  penyebaran  penyakit  malaria dengan model Susceptible Infected Susceptible (SIS) Stokastik. Laju infeksi penyakitnya dimodelkan mengikuti Distribusi  Poisson.  Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  data  jumlah  pasien  malaria  di  kabupaten Majene.,  Sulawesi  Barat.  Untuk  simulasi  numerik,  peneliti  menaksir  parameter  model  yang  mengikuti distribusi  poisson  dengan  menggunakan  maksimum  likelihood  estimator.  Untuk  menaksir  parameter  yang memaksimumkan fungsi log likelihoodnya, peneliti menggunakan metode stepest descent. Hasil yang diperoleh adalah Metode Stepest Descent merupakan metode yang sangat cocok digunakan untuk menaksir parameter model karena kecilnya kemungkinan nilai fungsi log likelihood menuju − . Selain itu, metode Stepest Descent lebih memudahkan dalam penentuan parameter awal.
Kata  kunci:  Model  SIS,  Penyakit  Malaria,  Maximum  Likelihood  Estimator,  Stepest  Descent,  Distribusi Poisson.

## 1. PENDAHULUAN
Malaria  merupakan  penyakit  yang  mengancam  jiwa  dan  menyebabkan  banyak  kematian.  Penyakit  ini disebabkan  oleh  parasit  protozoa  dari  genus  plasmodium  yang  ditularkan  kepada  manusia  melalui  gigitan nyamuk anopheles betina yang merupakan inang dari parasit ini (Depkes RI, 2007). Malaria adalah penyakit infeksi utama di dunia yang menginfeksi sekitar 170-300 juta jiwa dengan kematian 1 juta jiwa tiap tahun di seluruh dunia. Sebagian besar kematian terjadi pada anak-anak dan orang dewasa yang non imun di daerah endemis afrika dan asia (Harijanto, 2010). Berbagai penelitian terkait penyakit menular terus dilakukan oleh berbagai pihak mulai dari peneliti dibidang kesehatan hingga peneliti dibidang matematika. Penelitian terkait kesehatan dan matematika biasanya mengkaji model penyebaran penyakit menular seperti penyakit DBD (Nur, Wahyudin dkk 2018), malaria (Darmawati, 2019) maupun penyakit tidak menular seperti penyakit diabetes. Model matematika yang digunakan untuk mengetahui penyebaran suatu penyakit di daerah  tertentu dikenal sebagai model epidemik deterministik.
Selain model deterministik, beberapa peneliti juga telah menggabungkan model deterministik dengan model stokastik. Model penyebaran penyakit malaria yang menggabungkan antara stokastik dan deterministik seperti  yang  akan  dibahas  dalam  artikel  ini  disebut  dengan  model  SIS  Stokastik  (Darmawati,  2019).  Data pasien berdistribusi Poisson dengan tingkat laju infeksi penyakit perlu ditaksir dengan menggunakan metode penaksiran parameter. Metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter dari data yang berdistribusi poisson dapat menggunakan metode momen ataupun maximum likelihood estimator  (Bolstad, 1998). Untuk mempermudah  proses  penaksiran  parameter,  biasanya  digunakan  metode  numerik.  Apabila  menggunakan maximum  likelihood  estimator,  maka  metode  yang  akan  digunakan  sebaiknya  adalah  metode  yang  dapat menentukan  variabel  yang  memaksimumkan  fungsi  (Sirait,  dkk  2013).  Ada  beberapa  metode  yang  dapat digunakan untuk menentukan variabel yang memaksimumkan atau meminimumkan fungsi, diantaranya yakni metode newton raphson ataupun stepest descent (Utomo, 2016).

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  dengan  studi  literatur  untuk  mengetahui informasi-informasi  yang  berkaitan  dengan  penyakit  Malaria  dan  metode  yang  dapat  digunakan  untuk meminimumkan fungsi. Langkah selanjutnya adalah mengunjungi instansi terkait dalam hal ini mengunjungi Dinas Kesehatan Kabupaten Majene untuk mendapatkan data penderita penyakit Malaria mengecek kecocokan distribusi dan dilanjutkan dengan menaksir parameter yang meminimumkan fungsi likelihoodnya. Parameter taksiran kemudian dimasukkan ke dalam model dan digunakan untuk melakukan simulasi numerik.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
model SIS Stokastik yang digunakan adalah sebagai berikut:
) ( ) ( ) ( t I t S A dt t dS t    + − − = ) ( ) ( t I dt t dI t   − =
dengan laju infeksi dalam populasi dari data ( ) t  yang berdistribusi Poisson yaitu
1 1 − − + + = t t t y    
dan fungsi likelihood untuk distribusi Poisson adalah sebagai berikut
( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 , , ... ! ! ! t t y y y t t e e e L
y y y          − − − =    2 ! t t y T t t t e y   − = =  dengan fungsi log-likelihoodnya adalah 2 ln ln ! t y t T t t t e L y   − = =  ( ) ( ) 2 2 2 ln ln ! T T T t t t t t t t y y   = = = = − + −   
Setelah mendapatkan fungsi log likelihoodnya, penaksiran parameter dilakukan dengan menggunakan metode Stepest Descent.
a. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 , , ln
ln ln ! T T T t t t t t t t t t F
L y
y y y          − − − − = = = = = − + + + + + −  

merupakan fungsi log likelihood yang akan diminumkan.
b. Ambil ( ) 3
1 1 1 1 , ,     =  sebarang nilai awal dan  merupakan suatu konstan yang menyatakan besarnya kesealahan atau error yang ditoleransi.
… (3.1)
c. Tentukan ( ) ( ) 1 1 1 1 , , F      =  dimana ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , F F F F                      =        . ( ) 1 F   merupakan  gradien  fungsi
F saat 1  . d. Jika ( ) k F     maka iterasi berhenti. Sebaliknya, bila syarat tersebut tidak terpenuhi maka iterasi dilanjutkan.
e. Cari k  dengan  mencari  titik  esktrim ( ) k k k F d   + dengan  cara  menurunkan ( ) k k k F d   + dan
menyamakannya  dengan  nol. k d adalah  arah  pencarian  akar  dengan
( ) k k d F  = − .  Dan
T k k k T k k g g g Ag  = dimana A merupakan matriks Hessian. Matriks Hessian A dapat dituliskan.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... F F
F
F Z F
A
F Z F 
   
    
         
             
  =              
          
f. Nilai 1 k  + ditentukan dengan menggunakan rumus 1 k k k k d    + = + .
Adapun simulasi numerik yang dilakukan untuk mendapatkan nilai fungsi likelihood adalah sebagai berikut:
Tabel 1 . Hasil Simulasi Parameter Awal Parameter Taksiran Nilai  Fungsi  Log Likelihood Simulasi Pertama alpa=0.04; miu=0.005; beta=0.003; alpa = 0.2088 beta =  0.7988 miu = 0.0546 -157.2054 Simulasi Kedua alpa=0.05; miu=0.006; beta=0.003; alpa =    0.2184 beta =    0.7913 miu =0.0551 -157.1173 Simulasi Ketiga alpa=0.045; miu=0.0055; beta=0.003; alpa = 0.2130 beta =0.7943 miu = 0.0548 -157.1571 Simulasi Keempat  alpa=0.035; miu=0.0045; beta=0.003; alpa =0.2067 beta =0.8058 miu =0.0546 -157.2675 Simulasi Kelima alpa=0.045; miu=0.0057; beta=0.003; alpa =0.2105 beta =0.7925 miu =0.0547 -157.1469
Simulasi Keenam alpa=0.035; miu=0.0047; beta=0.003; alpa = 0.2045 beta =0.8031 miu =0.0546 -157.2523 Simulasi Ketujuh alpa=0.03; miu=0.0048; beta=0.003; alpa =0.1985 beta =0.8060 miu =0.0547 -157.2921 Simulasi Kedelapan alpa=0.037; miu=0.0052; beta=0.003; alpa =0.1905 beta =0.8165 miu =0.0519 -157.4076
Berdasarkan  hasil  penaksiran  parameter  pada  tabel  di  atas,  simulasi  kedelapan  merupakan  simulasi yang menghasilkan nilai log likelihood terkecil. Oleh karena itu,  yang diperoleh dengan nilai parameter awal 0.037, 0.0003, 0.052    = = = digunakan  untuk  simulasi  model  yang  hasilnya  sesuai  gambar berikut.
Gambar 1. Perbandingan Trend Data Rill dan Tren Ih Estimasi
Dari hasil simulasi numerik model, perbandingan antara tren Ih Estimasi sudah menyerupai tren data rill  meskipun  tidak  sepenuhnya  sama.  Hal  ini  terjadi  karena  adanya  nilai  galat  toleransi  saat  menaksir parameter  sebesar 0.001 . Ih merupakan jumlah penderita malaria. Meskipun tidak sepenuhnya sama, hasil ini menunjukkan bahwa model dengan menggunakan laju infeksi (penaksir likelihood  ) sudah cukup baik dalam  memberikan  gambaran  terkait  kasus  malaria  yang  terjadi  di  lapangan.  Dalam  artikel  ini,  penulis menggunakan data bulanan dan jumlahnya terbatas. Kondisi ini mengakibatkan kurva yang dihasilkan kurang halus dan data harus ditransformasi (jumlah data pasien tiap bulan besar). Penulis kesulitan menentukan jenis transformasi yang akan digunakan untuk mentransformasi data.  Diharapkan peneliti lain agar menggunakan data harian dengan jumlah data yang lebih banyak.

## 4. KESIMPULAN
Metode Stepest Descent merupakan metode yang sangat cocok digunakan untuk menaksir parameter model  karena  kecilnya  kemungkinan  nilai  fungsi  log  likelihood  menuju − .  Selain  itu,  metode  Stepest Descent lebih memudahkan dalam penentuan parameter awal.
0 10 20 30 40 50 60 0 500 1000 Trend Data Rill 0 10 20 30 40 50 60 100 200 300 400 500 Trend Ih Estimasi

## DAFTAR PUSTAKA
Depkes RI. 2007. Penyelidikan dan Penanggulangan Kejadian Luar Biasa. Jakarta: Ditjen P2PL. Harijanto,  P.N,  Gejala  Klinik  Malaria  Ringan. Dalam: Harijanto, P.N, ed. Malaria dari Molekuler ke klinis. edisi 2. Jakarta: EGC; 2010.
Nur,  Wahyudin,  dkk.  2018.  SIR  Model  Analysis  for  Transmission  of  Dengue  Fever  Disease  with  Climate Factors Using Lyapunov Function. Proceeding on  International Conference on Statistics, Mathematics, Teaching, and Research (ICSMTR 2017). 9-10 Oktober 2017. Makassar, Indosesia.
Darmawati  dan  Nur,  Wahyudin.  Model  SIS  Stokastik  pada  Penyakit  Malaria  Berdasarkan  Distribusi  Data Pasien. 2019. SAINTIFIK; 5(1):53-57.
Bolstad,  BM.  Comparing  some  iterative  methods  of  parameter  estimation  for  censored  gamma  data.  1998. Thesis. The University of Wakaito
Sirait,  Haposan  dan  Rustam,  Effendy.  Penaksir  Maksimum  Likelihood  dengan  Metode  Iterasi  Newton Raphson. 2013. Prosiding Seminar “Semirata 2013: 247-251.
Utomo, RB. Metode Numerik Stepest Descent Terinduksi Newton dalam Pemecahan Masalah Optimasi Tanpa Kendala. 2016. Mosharafa;5(3): 187-194.