## The Odd Harmonious Labeling on Variation of the Double Quadrilateral Windmill Graphs

## Fery Firmansah
Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Widya Dharma Klaten, Indonesia Email: feryfirmansah@unwidha.ac.id

## ABSTRACT
A  Graph       G E G V G ,  is  called ) , ( q p G if  it  has   G V p  vertices  and   G E q  edqes. The  graph
) , ( q p G is  said  to be  an  odd harmonious  if  there  exists  an injection
    1 2 ,..., 2 , 1 , 0 :   q G V f such  that induced mapping       v f u f uv f   * is a bijection     1 2 ,..., 5 , 3 , 1 : *   q G E f
and f is said to be an odd harmonious labeling of ) , ( q p G . In this paper, we construct the odd harmonious labeling on variation of
the  double  quadrilateral  windmill  graph
  k VDQ with 1  k .  Moreover,  we  also  give  odd  harmonious labeling  construction  for  generalized  variation of  the double quadrilateral  windmill  graph   r k GVDQ , with 1  k and 1  r Keywords : Odd harmonious labeling, variation, double quadrilteral, windmill graph

## PENDAHULUAN
Teori  graf  merupakan  merupakan  bagian  dari matematika  kombinatorik  yang  banyak diaplikasikan  dalam  dunia  nyata  untuk menyelesaikan persoalan diskrit. Graf menggambarkan  objek  diskrit  dalam  bentuk simpul (titik) dan hubungan antar objek diskrit dengan busur (garis). Diantara banyaknya riset tentang teori graf terdapat risettetang pelabelan graf  yang  akhir-akhir  ini  berkembang  sangat pesat.
Pelabelan  graf  pertama  kali  diperkenalkan oleh Sedlacek pada tahun 1963. Gallian (2015) telah merangkum kurang lebih 2000 jurnal dari seluruh  peneliti  dan  kurang  lebih  sudah ditemukan  200  kelas  graf baru  beserta pelabelannya.Dari  sisi  aplikasi  pelabelan graf dapat  diaplikasikan  dalam teori  koding,  radar, desain  sirkuit,  manajemen  data  base, secret sharing message dan kriptografi. Pelabelan  pada  sebarang  graf
G adalah pemetaan
f dari  setiap  elemen  graf  ke bilangan  bulat  positif.  Bilangan  bulat  positif tersebut dinamakan label. Elemen-elemen graf yang  dipetakan  bisa  berupa  himpunan  simpul, himpunan busur atau kombinasinya.
Graf       G E G V G ,  dikatakan sebagai
graf ) , ( q p G jika  memenuhi   G V p 
dan   G E q  . Graf ) , ( q p G adalah graf harmonis
ganjil  ( odd  harmonious  graph )  jika  terdapat fungsi pelabelan simpul yang bersifat satu-satu (injektif)     1 2 ,..., 2 , 1 , 0 :   q G V f sedemikian  sehingga  menginduksi  fungsi pelabelan  busur  yang  didefinisikan  oleh       v f u f uv f  
* yang  bersifat  satu-satu dan pada (bijektif)
    1 2 ,..., 5 , 3 , 1 : *   q G E f
,  (Liang  &  Bai, 2009). Liang dan Bai (2009) telah memberikanbeberapa  sifatyang  dimiliki  oleh graf  harmonis  ganjil,  antara  lain:  (1)  graf G merupakan  graf  harmonis  ganjil  maka G adalah  graf  bipartit  dan  (2)  graf
) , ( q p G merupakangraf harmonis ganjil maka memenuhi 1 2 2    q p q .
Berikut diberikan beberapa hasil penelitian yang  relevanantara  lainVaidya  &  Shah  (2011, 2012), Abdel-Aal (2013), Alyani & Firmansah
(2013), Abdel-Aal  (2014), Jeyanthi,  et  al (2015), Jeyanthi, P., & Philo, P (2016). Firmansah dan Sugeng (2015) menunjukkan  bahwagraf  kincir  angin  belanda   k
C 4 , 1  k dan  gabungannya     k C k C 4 4  ,
1  k adalah  graf  harmonis  ganjil. Firmansah dan  Syaifuddin  (2016)  telah  mengkontruksi graf  kincir angin double  quadrilateral   k DQ dengan 1  k pada Definisi 1.4dan
membuktikan bahwa graf  kincir  angin double quadrilateral   k DQ dengan 1  k merupakan
graf harmonis ganjil pada Teorema 1.5 sebagai berikut: Definisi 1.3 Graf double  quadrilateral DQ adalah graf yang diperoleh dari dua graf cycle
4
C dengan  himpunan  simpul  masing-masing adalah   1 , 2 , 1 , 0 w v v u dan   2 , 3 , 2 , 0 w v v u yang terhubung dengan satu busur persekutuan 2 0 v u Definisi 1.4 Graf  kincir  angin
double quadrilateral   k DQ , 1  k adalah  graf  yang diperoleh  dari k graf  double  quadrilateral DQ dengan satu simpul persekutuan 0 u .
Teorema 1.5 Graf  kincir  angin double quadrilateral   k DQ dengan 1  k adalah  graf harmonis ganjil. Penulis akan melanjutkan penelitian Firmansah dan Syaifuddin  (2016)dengan  memberikan kontruksi  graf  kincir  angin  variasi double quadrilateral   k VDQ dengan 1  k dan  graf kincir  angin  generalisasi  variasi double quadrilateral   r k GVDQ , dengan 1  k dan 1  r .  Lebih  lanjut  penulis  juga  akan membuktikan bahwa  graf kincir angin variasi
double quadrilateral   k VDQ dengan 1  k dan graf  kincir  angin  generalisasi  variasi double quadrilateral   r k GVDQ , dengan
1  k dan 1  r adalah  keluarga  baru  dari  graf  harmonis ganjil.

## METODE
Metode  penelitian  yang  digunakan  oleh  penulis adalah  studi  bahan  bacaan  baik  berupa  jurnal, prosiding,  dan  buku  yang  sesuai dengan  tema penelitian  yaitu  pelabelan  graf  secara  umum  dan pelabelan graf harmonis ganjil secara khusus. 1. Mengkaji  sifat-sifat  khusus  dari  graf G yang bertujuan untuk  mendapatkan  kontruksi  dan definisidari graf G ;
2. Memformulasikan fungsi pelabelan simpul dan fungsi pelabelan  busur  menjadi  suatu  rumus kontruksi  pelabelan harmonis  ganjil  yang berlaku secara umum untuk graf G ;
3. Mengkontruksi  hasil  yang  diperoleh  dalam bentuk teorema disertai dengan buktinya secara matematis.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Graf Variasi Double Quadrilateral
Berikut  diberikan  definisi dan  kontruksi  dari graf  variasi double quadrilateral l VDQ dan graf generalisasi variasi double  quadrilateral
) ( r GVDQ dengan 1  r .
Definisi 2.1 Graf  variasi double  quadrilateral
VDQ adalah  graf  yang  dibentuk  dari  graf double quadrilateral DQ dengan menambahkan 3 simpul  baru 2 1 , x x dan y
dimana simpul 1 x terhubung dengan simpul 1 v
dan 2 v ,  simpul 2 x terhubung  dengan  simpul
2 v dan 3 v dan  simpul y terhubung  dengan simpul 1 w dan 2 w .
Notasi  simpul  dan  kontruksi  dari graf DQ dan VDQ diberikan pada Gambar 1.
0 u 1 v 2 v 3 v 1 w 2 w 0 u 1 v 2 v 3 v 1 w 2 w 1 x DQ VDQ 2 x y Gambar 1 . Notasi  simpul dan  kontruksi  dari DQ dan VDQ .
Definisi 2.2 Graf  generalisasi  variasi double quadrilateral ) ( r
GVDQ dengan 1  r adalah graf  yang  dibentuk  dari  graf double quadrilateral DQ dengan menambahkan sebanyak 3r simpul  baru  yaitu 1 1 2 1 1 ,..., , r x x x , 2 2 2 2 1 ,..., , r x x x dan r y y y ,..., , 2 1 dimana simpul 1 1 2 1 1 ,..., , r x x x terhubung dengan simpul 1 v dan 2 v ,  simpul 2 2 2 2 1 ,..., , r x x x terhubung dengan  simpul 2 v dan 3 v dan  simpul r y y y ,..., , 2 1 terhubung  dengan  simpul 1 w dan 2 w .
Notasi  simpul  dan  kontruksi  dari
) ( r GVDQ dengan 1  r diberikan pada Gambar 2.
r y 0 u 1 v 2 v 1 w 2 w 3 v 2 1 x 1 1 x 1 r x 2 r x 1 y Gambar 2. Notasi  simpul    dan  kontruksi  dari ) ( r GVDQ dengan 1  r
Graf  Kincir  Angin Variasi Double Quadrilateral Berikut diberikan  definisi,  notasi  simpul  dan kontruksi dari graf kincir angin variasi double quadrilateral ) ( k
VDQ dengan 1  k ,  yang selanjutnya didefinisikan himpunan simpul dan himpunan busur dari ) ( k VDQ dengan 1  k . Definisi 2.3 Graf  kincir  angin  variasi double quadrilateral ) ( k
VDQ dengan 1  k adalah graf yang dibentuk dari k graf variasi double quadrilateral
VDQ yang mempunyai  satu simpul pusat persekutuan 0 u .
Notasi  simpul  dan  kontruksi  dari ) ( k VDQ
dengan 1  k , diberikan pada Gambar. 3.
0 u 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 1 k v 2 k v 1 1 w 2 1 w 2 2 w 1 2 w 1 k w 2 k w 3 1 v 3 2 v 3 k v 1 1 x 2 1 x 1 2 x 2 2 x 1 k x 2 k x 1 y 2 y k y Gambar 3 . Notasi simpul  dan kontruksi dari ) ( k VDQ
dengan 1  k Didefinisikan  himpunan  simpul  dan  himpunan busur dari ) ( k VDQ dengan 1  k sebagai berikut.         3 , 2 , 1 , 1 0      j k i j i v u k VDQ V   2 , 1 , 1     j k i j i w   2 , 1 , 1     j k i j i x   k i i y    1 dan
      3 , 2 , 1 , 1 0
    j k i j i v u k VDQ E   2 , 1 , 1 1 2      j k i j i w j i v   2 , 1 , 1 2     j k i i v j i w   2 , 1 , 1 1 2      j k i j i x j i v   2 , 1 , 1 2     j k i i v j i x   2 , 1 , 1     j k i i y j i w .
Graf  Kincir  Angin  Generalisasi  Variasi
Double Quadrilateral
Berikut  diberikan  definisi,  notasi  simpul  dan kontruksi  dari  graf  kincir  angin  generalisasi variasi double quadrilateral ) , ( r k GVDQ
dengan 1  k dan 1  r yang  selanjutnya didefinisikan  himpunan  simpul  dan  himpunan busur  dari ) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan 1  r .
Definisi 2.4 Graf  kincir  angin  generalisasi variasi double  quadrilateral ) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan 1  r adalah  graf  yang dibentuk dari k graf generalisasi variasi double quadrilateral ) ( r GVDQ dengan 1  r yang mempunyai satu simpul pusat persekutuan u . Notasi simpul dan kontruksi dari ) , ( r k GVDQ
dengan 1
 k dan 1  r diberikan pada Gambar. 4. 0 u 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 1 k v 2 k v 1 1 w 2 1 w 2 2 w 1 2 w 1 k w 2 k w 3 1 v 3 2 v 3 k v 2 , 1 1 x 2 , 2 1 x 1 , 1 k x 2 , 1 k x 1 1 y 2 1 y k y 1 1 r y 1 , 2 r x 1 , 1 1 x 1 , 1 r x 1 , 2 1 x 2 , 1 r x 2 , 2 r x 2 r y k r y 1 , k r x 2 , k r x Gambar 4 . Notasi simpul  dan kontruksi dari ) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan 1  r . Didefinisikan  himpunan  simpul  dan  himpunan busur  dari ) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan
1  r sebagai berikut.       0 , u r k GVDQ V    3 , 2 , 1 , 1     j k i j i v   2 , 1 , 1     j k i j i w   2 , 1 , 1 , 1 ,       j r s k i j i s x   r s k i i s y      1 , 1 dan       3 , 2 ,1 , 1 0 ,     j k i j i v u r k GVDQ E   2 , 1 , 1 1 2      j k i j i w j i v   2 , 1 , 1 2     j k i i v j i w   2 , 1 , 1 , 1 , 1 2        j r s k i j i s x j i v   2 , 1 , 1 , 1 2 ,       j r s k i i v j i s x
  2 , 1 , 1 , 1       j r s k i i s y j i w

## Pelabelan  harmonis  ganjil pada graf kincir angin variasi double quadrilateral
Berikut diberikan sifat yang menyatakan bahwa graf  kincir  angin  variasi double  quadrilateral ) ( k VDQ dengan 1  k memenuhi
fungsi pelabelan harmonis ganjil.
Teorema2.5 Graf  kincir  angin  variasi double quadrilateral ) ( k VDQ dengan 1  k adalah graf harmonis ganjil . Bukti. Misalkan ) ( k VDQ adalah  graf  kincir angin  variasi double  quadrilateral dengan 1  k .  Berdasarkan  himpunan  simpul    dan himpunan  busur  dari ) ( k VDQ dengan 1  k maka  diperoleh     1 8    k k VDQ V p dan     k k VDQ E q 13
  . Didefinisikan  fungsi
pelabelan simpul
 
    1 26 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 :   k k VDQ V f sebagai berikut.   0 0  u f (1.1)   3 , 2 , 1 , 1 , 7 2 6       j k i j i j i v f (1.2)   2 ,1 , 1 , 4 2 14 14        j k i j i k j i w f (1.3)   2 , 1 , 1 , 8 2 6 14        j k i j i k j i x f (1.4)   k i i k i y f      1 , 3 2 12 (1.5)
Berdasarkan  fungsi  pelabelan  simpul f pada  persamaan  (1.1),  (1.2),  (1.3),  (1.4)  dan  (1.5) diperoleh himpunan simpul setelah dilabel sebagai berikut.
          1 6 , 3 6 , 5 6 ,..., 17 , 15 , 13 , 11 , 9 ,. 7 , 5 , 3 , 1 0      k k k k VDQ V f   6 14 , 8 14 , 20 14 , 22 14 , 34 14 , 36 14 ,..., 22 , 20 , 8 , 6        k k k k k k   4 20 , 6 20 , 10 20 , 12 20 ,..., 8 14 , 6 14 , 2 14 , 14         k k k k k k k k   3 14 ,1 14 ,..., 11 12 , 9 12 , 7 12 , 5 12        k k k k k k   4 20 ,..., 5 , 3 ,1 , 0   k
Terlihat bahwa fungsi pelabelan simpul f memberikan label yang berbeda pada setiap simpul dan
          1 26 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 4 20 ,..., 5 , 3 , 1 , 0     k k k VDQ V f sehingga  fungsi  pelabelan  simpul
f
memenuhi  pemetaan injektif. Fungsi pelabelan simpul akan menginduksi fungsi pelabelan busur
      1 26 ,..., 5 , 3 , 1 : *   k k VDQ E f yang  didefinisikan  oleh       v f u f uv f  
* ,  sehingga
didapatkan fungsi pelabelan busur sebagai berikut.
 
3 , 2 , 1 , 1 , 7 2 6 0 *       j k i j i j i v u f (1.6)   2 , 1 , 1 , 5 6 8 14 1 2 *         j k i j i k j i w j i v f (1.7)   2 , 1 , 1 , 1 2 8 14 2 *        j k i j i k v w f i j i (1.8)   2 , 1 , 1 , 17 6 12 14 1 2 *         j k i j i k j i x j i v f (1.9)   2 , 1 , 1 , 11 2 12 14 2 *        j k i j i k i v j i x f (1.10)
  2 , 1 , 1 , 7 2 12 26 *        j k i j i k i y j i w f (1.11)
Berdasarkan fungsi pelabelan busur * f pada persamaan (1.6), (1.7), (1.8), (1.9), (1.10) dan (1.11) diperoleh himpunan busur setelah dilabel sebagai berikut.
        1 6 , 3 6 , 5 6 ,..., 17 , 15 , 13 , 11 , 9 , 7 , 5 , 3 , 1 *     k k k k VDQ E f   1 14 , 7 14 , 9 14 , 15 14 ,..., 15 6 , 9 6 , 7 6 ,1 6          k k k k k k k k   3 14 , 5 14 , 11 14 , 13 14 ,..., 13 6 , 11 6 , 5 6 , 3 6          k k k k k k k k   5 26 , 11 26 ,..., 19 14 , 13 14 , 7 14 ,1 14        k k k k k k   7 26 , 9 26 ,..., 17 14 , 15 14 , 5 14 , 3 14        k k k k k k   1 26 , 3 26 , 13 26 , 15 26 ,..., 11 14 , 9 14        k k k k k k   1 26 ,..., 7 , 5 , 3 ,1   k
Terlihat bahwa  fungsi pelabelan  busur * f memberikan  label  yang  berbeda  pada  setiap busur  dan
        1 26 ,..., 7 , 5 , 3 , 1 *   k k VDQ E f
sehingga fungsi pelabelan busur * f memenuhi pemetaan  bijektif. Telahditunjukkanbahwa fungsi pelabelan simpul f memenuhi pemetaan  injektif sedemikian  sehingga
menginduksi  fungsi  pelabelan  busur * f yang bijektif,  akibatnya graf  kincir  angin  variasi double  quadrilateral
) ( k VDQ dengan
1  k adalah  graf  harmonis  ganjil ∎ Contoh 2.1 Pelabelan  harmonis  ganjil padagraf  kinicir angin variasi double quadrilateral ) 3 ( VDQ dan ) 4 ( VDQ yang diberikan pada Gambar. 5.
Gambar 5. Pelabelan harmonis ganjil pada (a)
) 3 ( VDQ dan (b) ) 4 ( VDQ Pelabelan  harmonis  ganjil  pada  graf kincir angin generalisasi variasi double quadrilateral Berikut  diberikan  sifat  yang  menyatakan bahwa  graf  kincir  angin  generalisasi  variasi double  quadrilateral ) , ( r k GVDQ dengan
1
 k dan 1
 r adalah graf harmonis ganjil.
Teorema 2.5 Graf  kincir  angin  generalisasi variasidouble  quadrilateral ) , ( r k GVDQ
dengan 1  k dan 1  r adalah  graf  harmonis ganjil.
Bukti. Misalkan ) , ( r k GVDQ adalah  graf kincir  angin  generalisasi  variasi double quadrilateral dengan 1  k dan
1  r . Berdasarkan  himpunan  simpul    dan  himpunan busur  dari ) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan 1  r maka diperoleh     1 3 5 ,     rk k r k GVDQ V p dan     rk k r k GVDQ E q 6 7 ,    . Didefinisikan fungsi pelabelan simpul
      1 12 14 ,..., 3 , 2 , 1 , 0 , :    rk k r k GVDQ V f   0 0  u f (2.1)   2 ,1 , 1 , 4 2 14 14        j k i j i k j i w f (2.2)   3 , 2 , 1 , 1 , 7 2 6       j k i j i j i v f (2.3)         2 , 1 , 1 , 1 , 4 16 4 2 4 6 12 14 ,              j r s k i r s j r i r k j i s x f (2.4)   2 , 1 , 1 , 1 , 9 8 4 ) 12 14 ( 12            j r s k i r s i r rk i s y f (2.5)
Berdasarkan  fungsi  pelabelan  simpul f pada persamaan  (2.1),  (2.2),  (2.3),  (2.4)  dan  (2.5) diperoleh  label  yang  berbeda  pada  setiap simpul dan         1 12 14 ,..., 7 , 5 , 3 , 1 ,    rk k r k GVDQ V f sehingga fungsi pelabelan simpul f memenuhi
pemetaan  injektif.  Fungsi  pelabelan  simpul akan  menginduksi  fungsi  pelabelan busur
 
    1 12 14 ,..., 7 , 5 , 3 ,1 , : *    rk k r k GVDQ E f
yang didefinisikan oleh
      v f u f uv f   *
, sehingga didapatkan fungsi pelabelan  busur  sebagai  berikut.
  3 , 2 , 1 , 1 , 7 2 6 0 *       j k i j i j i v u f (2.6)   2 , 1 , 1 , 5 6 8 14 1 2 *         j k i j i k j i w j i v f (2.7)   2 , 1 , 1 , 1 2 8 14 2 *        j k i j i k i v j i w f (2.8)   2 , 1 , 1 , 1 ), 5 16 ( 4 ) 2 4 ( 12 14 , 1 2 *              j r s k i r s j r ri k j i s x j i v f (2.9)   2 , 1 , 1 , 1 ), 1 16 ( 4 ) 2 4 ( 12 14 2 , *             j r s k i r s j r ri k i v j i s x f (2.10)   2 , 1 , 1 , 1 , 5 8 4 2 12 12 14 *             j r s k i r s j ri rk k i s y j i w f
(2.11)
Berdasarkan fungsi  pelabelan  busur
* f pada persamaan  (2.6),  (2.7),  (2.8),  (2.9),  (2.10)  dan (2.11) diperoleh label yang berbeda pada setiap busur dan         1 12 14 ,..., 7 , 5 ,3 ,1 , *    rk k r k GVDQ E f
sehingga fungsi pelabelan busur * f memenuhi pemetaan bijektif. Akibatnya graf kincir angin generalisasi  variasi
double  quadrilateral
) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan 1  r adalah graf harmonis ganjil ∎
Contoh  2.2
Pelabelan  harmonis  ganjil  pada graf  kincir  angin  generalisasi  variasi double quadrilateral ) 4 , 3 ( GVDQ pada  Gambar. 6.
Gambar 6 . Pelabelan harmonis ganjil pada ) 4 , 3 ( GVDQ

## KESIMPULAN
Pada makalah ini telah  dibuktikan  bahwa graf kincir angin  variasi double  quadrilateral ) ( k
VDQ dengan
1  k dan  graf  kincir  angin generalisasi  variasi double  quadrilateral ) , ( r k GVDQ dengan 1  k dan 1  r memenuhi  fungsi  pelabelan  harmonis  ganjil sedemikian  sehingga graf  kincir angin  variasi
double  quadrilateral ) ( k VDQ dengan
1  k
dan  graf  kincir  angin  generalisasi  variasi
double  quadrilateral ) , ( r k GVDQ dengan
1  k dan 1  r adalah  graf  harmonis  ganjil. Saat  ini  penulis  sedang  memperluas  kasus tersebut yang dinyatakan dalam open problem 1 dan  2, sehingga  memungkinkan  untuk dilakukan penelitian lebih lanjut.
Open  Problem 1. Carilah  pelabelan  harmonis ganjil  pada  gabungan  graf    kincir  angin
variasidouble
quadrilateral ) ( ) ( k VDQ k
VDQ  dengan 1  k .
Open  Problem 2. Carilah pelabelan  harmonis ganjil  pada  gabungan  graf    kincir  angin generalisasi  variasi double  quadrilateral
) , ( ) , ( r k GVDQ r k GVDQ  dengan 1  k dan 1  r .

## DAFTAR PUSTAKA
Abdel-Aal,  M.  E.  2013.  Odd  Harmonius Labeling  of  Cyclic  Snakes. International Journal on Applications of Graph Theory in Wireless  Adhoc  Networks  and  Sensor Networks , 5(3), 1-13. Abdel-Aal,  M.E.  2014.  New  Families  of  Odd Harmonious  Graphs. International  Journal of  Soft  Computing,  Mathematics,  and Control, 3(1), 1-13. Alyani,  F.,  Firmansah,  F.,  Giyarti,  W.,  & Sugeng, K. A. 2013. The Odd Harmonious

## Labeling of kCn-Snake Graphs for Spesific
Values  of  n,  that  is,  for  n  =  4  and  n  =  8.
IndoMS  International  Conference  on Mathemathics  and  Its  Applications , Diselenggarakan  oleh Program  Studi Matematika,  UGM  dan  IndoMS,  6-7 November 2013 (hal. 225-230). Yogyakarta:  Indonesian  Mathematical Society. Firmansah, F. 2016. Pelabelan Harmonis Ganjil pada  Gabungan  Graf  Ular  dan  Graf  Ular Berlipat. Konferensi  Nasional  Matematika dan  Pembelajarannya  (KNPMP  1) , Diselenggarakan  oleh Program  Studi Pendidikan  Matematika,  UMS,  12  Maret 2016 Surakarta: Muhammadiyah University Press. Firmansah,  F.,  &    Sugeng,  K.  A.  2015. Pelabelan Harmonis  Ganjil  pada  Graf Kincir  Angin  Belanda  dan  Gabungan  Graf
Kincir Angin Belanda. Magistra , No 94 Th. XXVII, ISSN 0215-9511, 56-92.
Firmansah,  F.  &  Syaifuddin,  M.  W.  2016. Pelabelan  Harmonis  Ganjil  pada  Graf Kincir  Angin  Double  Quadrilateral. Seminar  Nasional  Matematika  dan Pendidikan  Matematika , Diselenggarakan oleh Jurusan  Pendidikan  Matematika,
FMIPA  UNY,  5  November  2016 Yogyakarta.
Gallian,  J.  A.  2015.  A  Dynamic  Survey  of
Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics , 18. #DS6.
Jeyanthi,  P.,  &  Philo,  P.  2016.  Odd Harmonious  Labeling  of  Some  Cycle Related  Graphs. Proyecciones  Journal  of Mathmatics, 35(1), 85-98.
Jeyanthi, P., Philo, P., &  Sugeng, K. A. 2015.
Odd  Harmonious  Labeling  of  Some  New Families  of  Graphs. SUT  Journal  of
Mathematics, 51(2), 53-65. Liang,  Z.,  &  Bai,  Z.  2009.  On  The  Odd
Harmonious  Graphs  with  Applications ,J.
Appl.  Math.  Comput ., 29,  105-116. doi:10.1007/s12190-008-0101-0
Saputri,  G.  A.,  Sugeng,  K.  A.,  & Froncek,  D. 2013.  The  Odd  Harmonious  Labeling  of Dumbbell  and  Generalized  Prims  Graphs, AKCE  Int,  J.  Graphs  Comb .,  10(2),  221- 228.
Vaidya,  S.  K.    &  Shah,  N.  H.  2012.  Odd Harmonious  Labeling  of  Some  Graphs. International J. Math. Combin, . 3 105-112. Vaidya, S. K.  & Shah, N. H. 2011. Some New Odd  Harmonious  Graphs. International Journal  of  Mathematics  and  Soft Computing, 1(1), 9-16.