J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 1, May 2006, 19–25
Perbandingan Algoritma Golub Kahan dan QR Simetri untuk Dekomposisi Nilai Singular
Dieky Adzkiya ∗ , E. Apriliani, Bandung A.S.
Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya
adzkiyadieky@telkom.net, { april,bandung } @matematika.its.ac.id

## Abstrak
Estimasi variabel maupun parameter pada sistem berskala besar, khusus- nya dengan Filter Kalman dibutuhkan waktu komputasi yang lama. Dengan melakukan reduksi rank matriks kovariansi, waktu komputasi dapat diper- cepat. Reduksi rank dapat dilakukan dengan Dekomposisi nilai singular (SVD), reduksi rank ini tidak mengurangi tingkat akurasi hasil estimasi.
Pada paper ini dibahas perbandingan dua algoritma untuk dekomposisi nilai singular, yaitu Golub Kahan dan QR Simetri. Dilakukan uji empiris pada berbagai macam matriks untuk membandingkan waktu kerja kedua algoritma tersebut. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa algoritma QR Simetri memerlukan waktu komputasi yang lebih cepat dibandingkan dengan algoritma Golub Kahan.
Kata Kunci: reduksi rang, SVD, Golub Kahan, QR Simetri.
∗ Mhs S2 Jur. Mat. ITS

## 1. Pendahuluan
Dewasa ini banyak permasalahan yang membutuhkan perkiraan/estimasi keadaan pada masa mendatang, seperti estimasi ketinggian air sungai, estimasi penye- baran polusi udara, prakiraan cuaca dan sebagainya. Salah satu metode estimasi yang dapat digunakan adalah Filter Kalman. Untuk mengestimasi sistem berskala besar, Filter Kalman membutuhkan waktu komputasi yang lama, sehingga untuk mengurangi waktu komputasi tersebut dilakukan reduksi rank pada matriks ko- variansi kesalahan estimasinya.
Reduksi rank merupakan proses untuk mengurangi rank suatu matriks. Dekomposisi nilai singular digunakan untuk reduksi rank tanpa mengubah karak- teristiknya. Sehingga estimasi yang dihasilkan tetap akurat dan waktu kom- putasinya lebih cepat. Terdapat beberapa metode untuk dekomposisi nilai si- ngular, antara lain metode Golub Kahan dan QR Simetri. Pada paper ini diban- dingkan jumlah kerja yang dilakukan oleh kedua algoritma dan juga waktu kom- putasinya. Simulasi untuk membandingkan waktu komputasi digunakan Matlab.

## 2. Dekomposisi Nilai Singular
Dekomposisi nilai singular (Singular Value Decomposition) yang selanjutnya di- singkat dengan SVD merupakan suatu metode untuk melakukan reduksi rank suatu matriks dengan cara mendekomposisi matriks tersebut kedalam matriks Diagonal yang berisi nilai singular dan matriks-amtriks ortogonal dengan kolom- kolom matriks berupa vektor singular yang bersesuaian dengan nilai singular.
Pada paper ini dikaji dekomposisi nilai singular dengan metode Golub Kahan dan metode QR simetri. Dalam melakukan dekomposisi, Algoritma Golub Kahan mengubah matriks awal menjadi matriks bidiagonal kemudian dicari nilai singu- larnya sedangkan algoritma QR Simetri mengubah matriks awal menjadi matriks simetri, kemudian diubah menjadi matriks tridiagonal baru kemudian dicari nilai singularnya.
Proses pencarian nilai singular dari kedua metode tersebut dapat digambarkan seperti Gambar (1). Dengan A merupakan matriks sebarang, sedangkan B dan T masing masing menyatakan matriks bidiagonal dan tridiagonal, matriks simetri dilambangkan dengan S sedangkan D merupakan matriks diagonal.
Metode diagonalisasi matriks, baik bidiagonalisasi maupun tridiagonalisasi dilakukan dengan menggunakan refleksi Householder [1]. Tridiagonalisasi dapat dipercepat dengan memanfaatkan sifat simetri.
Mulai ¶ µ ³ ´
Mulai ¶ µ ³ ´
A ∈ R m × n ? A ∈ R m × n ? Bidiagonalisasi Householder ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ S = A T A ¡ ¡ ¡ ¡ B ∈ R m × n ? S ∈ R n × n ?
Golub Kahan ¡ ¡ ¡ ¡ Tridiagonalisasi Householder
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ D ∈ R m × n ? T ∈ R n × n ?
¶
µ ³ ´
Selesai QR Simetri
¡ ¡
¡
¡
D ∈ R n × n ? ¶
µ ³ ´
Selesai
Gambar 1: Flowchart proses SVD menggunakan Golub Kahan dan QR Simetri

## 3. Algoritma Golub Kahan
Dekomposisi nilai singular menggunakan Golub Kahan membutuhkan rotasi Givens. Penjelasan yang lebih terperinci dapat dilihat di [1]. Algoritma Golub Kahan dapat dituliskan sebagai berikut.
Input : A ∈ R m × n ; m, n > 0 Output : B = U T AV ∈ R n × n , matriks diagonal Golub Kahan( A , B , U , V , m , n ) lakukan bidiagonalisasi pada A untuk menghitung B = ( U 1 U 2 . . . U n ) T A ( V 1 V
2 . . . V n − 2 ) while q 6 = n ganti b i,i +1 dengan nol jika | b i,i +1 | ≤ ² ( | b i,i | + | b i +1 ,i +1 | ) untuk i = 1 : n − 1 cari nilai q terbesar dan nilai p terkecil sedemikian hingga jika
B =   B 11 0 0 0 B 22 0 0 0
B 33 

dengan B 11 ∈ R p × p , B 22 ∈ R ( n − p − q ) × ( n − p − q ) , B 33 ∈ R q × q maka B 33 diagonal dan elemen superdiagonal B 22 tidak nol if q < n if terdapat nol pada diagonal B 22 then elemen superdiagonal sebaris diganti nol else
lakukan algoritma step Golub Kahan pada B 22 B = diag( I p , U , I q + m − n ) T B diag( I p , V , I q ) end end end end Golub Kahan
Dalam menghitung kerja yang dilakukan algoritma Golub Kahan, operasi yang selevel dianggap sama [2], seperti penjumlahan dan pengurangan serta perkalian dan pembagian. Algoritma di atas melakukan O ( mn 2 − 1 3 n 3 ) penjumlahan,
O ( mn 2 − 1 3 n 3 ) perkalian dan O ( n 2 ) akar dalam worst case.
Memori yang dibutuhkan untuk menyimpan matriks B , U dan V tergantung ukuran input jadi algoritmanya tidak work in place. Tetapi dengan menyimpan matriks B di matriks A dan merepresentasikan matriks U dan V dalam bentuk vektor dan disimpan di bagian nol matriks A maka algoritma tersebut menjadi work in place, karena memori ekstra yang dibutuhkan untuk menyimpan p , q dan i yang tidak tergantung ukuran input. Space yang diperlukan sebanyak mn variabel float untuk menyimpan matriks A dan lima buah variabel integer untuk menyimpan m , n dan kebutuhan memori ekstra.

## 4. Algoritma QR Simetri
Rotasi givens juga diperlukan pada algoritma QR simetri. Di bawah ini adalah algoritma QR Simetri secara singkat.
Input : A ∈ R m × n ; m, n > 0 Output : D ∈ R n × n , matriks diagonal ; V ∈ R n × n
QR Simetri( A , D , V , m , n ) D = A T A lakukan tridiagonalisasi pada D untuk menghitung T = ( V 1 V 2 . . . V n − 2 ) T D ( V 1 V 2 . . . V n − 2 ) while q 6 = n ganti t i +1 ,i dan t i,i +1 dengan nol jika
| t i +1 ,i | = | t i,i +1 | ≤ ² ( | t i,i | + | t i +1 ,i +1 | ) untuk i = 1 : n − 1 cari nilai q terbesar dan nilai p terkecil sedemikian hingga jika
T =   T 11 0 0 0 T 22 0 0 0 T 33  
dengan T 11 ∈ R p × p , T 22 ∈ R ( n − p − q ) × ( n − p − q ) , T 33 ∈ R q × q maka T 33 diagonal dan T 22 tidak dapat direduksi if q < n lakukan algoritma step QR Simetri pada T 22 T = diag( I p , V , I q ) T T diag( I p , V , I q ) end end end QR Simetri
Dengan menggunakan asumsi yang sama dengan algoritma Golub Kahan ma- ka algoritma QR simetri melakukan kerja penjumlahan sebanyak O ( n 3 ), kerja perkalian juga O ( n 3 ) serta kerja akar O ( n 2 ) dalam worst case.
Algoritma tersebut tidak work in place tetapi dapat diubah menjadi work in place dengan menggunakan cara pada algoritma Golub Kahan. Memori ekstra dan space yang dibutuhkan sama dengan algoritma Golub Kahan.

## 5. Hasil Pengujian
Algoritma Golub Kahan dan QR Simetri yang telah disusun pada bagian se- belumnya diimplementasikan menggunakan Matlab dan dibandingkan waktu kom- putasinya. Komputer yang digunakan untuk uji coba adalah Pentium II 400 MHz dengan memori 128 MB. Ukuran matriks yang digunakan untuk uji coba paling besar berukuran 1500 × 1500. Elemen-elemen matriks diambil secara acak dan setiap ukuran matriks dilakukan uji coba sebanyak 31 kali.
Dari hasil simulasi seperti pada Tabel 1 dan 2 tampak bahwa waktu kom- putasi untuk algoritma Golub Kahan jauh lebih besar dibandingkan dengan algo- ritma QR simetri untuk ukuran matriks yang sama. Sedangkan dari Gambar 2, tampak bahwa untuk jumlah kolom 750, waktu komputasi Golub Kahan semakin meningkat dengan meningkatnya jumlah baris, tetapi waktu komputasi untuk QR simetri cenderung konstan.
Pada Gambar 3 menunjukkan bahwa untuk jumlah baris 750, waktu kom- putasi QR simetri dan Golub Kahan semakin meningkat dengan meningkatnya jumlah kolom, tetapi peningkatan waktu komputasi Golub Kahan lebih tinggi dibandingkan dengan peningkatan waktu komputasi QR simetri.

## Perbandingan Algoritma Golub Kahan ...
Tabel 1: Waktu komputasi Algoritma QR Simetri
Kolom b 600 900 1200 1500 a 600 72.775 r 900 74.748 236.08 i 1200 88.497 249.18 5594.7 s 1500 76.821 244.28 5798.4 1066.1 Tabel 2: Waktu komputasi Algoritma Golub Kahan Kolom b 600 900 1200 1500 a 600 156.675 r 900 212.316 463.046 i 1200 255.778 602.777 1033 s 1500 304.498 719.435 1291.9 1886.9

## 6. Kesimpulan
Beberapa hal yang dapat disimpulkan antara lain, untuk ukuran matriks yang sama, algoritma QR Simetri lebih cepat dari pada algoritma Golub Kahan. Jumlah kerja algoritma QR Simetri dan Golub Kahan berada dalam order fungsi yang sama.

## Pustaka
[1] Golub G.H. and Van Loan C.F., (1989), Matrix Computation , Second Edition, The John Hopkins University Press, London.
[2] Shaffer C.A., (1998), A Practical Introduction to Data Structures and Algo- rithm Analysis , Prentice Hall Inc., New Jersey.
800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 200 300 400 500 600 700 800 Jumlah Baris Waktu Komputasi (detik) Algoritma GolubKahan Algoritma QRsimetri
Gambar 2: Grafik waktu komputasi algoritma Golub Kahan dan QR Simetri dengan jumlah kolom 750
0 100 200 300 400 500 600 700 0 50 100 150 200 250 300 350 Jumlah Kolom Waktu Komputasi (detik) Algoritma GolubKahan Algoritma QRsimetri
Gambar 3: Grafik waktu komputasi algoritma Golub Kahan dan QR Simetri dengan jumlah baris 750