Vol. 5, No. 1, Januari, 2024, Hal. 37-51 DOI: https://doi.org/10.20956/ejsa.v5i1.14552
Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan Penaksir Maksimum Likelihood pada Kasus Demam Berdarah di Kota Makassar
Muhammad Fadil 1* , Raupong 2 , Nirwan Ilyas 3 123 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanudin, Kota Makassar, 90245, Indonesia
*Corresponding author, email: mfadil.stat@gmail.com

## Abstract
The  basic  assumption  in  Poisson  regression  is  that  the  mean  value  is  the  same  as  the  variance  value, which is called equidispersion. However, in some cases, this assumption is not met. A variance value that is greater than the average is called overdispersion and is called underdispersion if the variance value is smaller than the average value. So the Poisson regression model is no longer suitable for modeling this type of data because it will produce biased parameter estimates, therefore a negative binomial regression model  is  used.  The  research  results  show  that  estimating  the  parameters  of  the  negative  binomial regression model uses the maximum likelihood estimation method and then continues with the Newton- Raphson  iteration  method.  The  results  obtained  show  that  the  negative  binomial  regression  model overcomes the overdispersion that occurs in data on the number of dengue fever cases in Makassar City with  the  model 𝜇̂ ! = exp(7.01184 −  0.01356𝑥 !" −  0.05200𝑥 !# ) and  an  AIC  value  of  236.06647.  The negative binomial regression model produces many models and then the best model with the smallest AIC criteria is selected.
Keywords : GLM, Poisson regression, Overdispersion, Negative Binomial Regression Model, AIC.

## Abstrak
Asumsi  dasar  dalam  regresi  Poisson  yaitu  nilai  rataan  sama  dengan  nilai  variansinya  yang  disebut equidispersi.  Namun,  dalam  beberapa  kasus,  asumsi  tersebut  tidak  terpenuhi.  Nilai  variansi  yang  lebih besar  daripada  rataan  disebut  overdispersi  dan  disebut  underdispersi  jika  nilai  variansnya  lebih  kecil daripada  nilai  rataan.  Sehingga  model  regresi  Poisson  tidak  lagi  cocok  untuk  memodelkan  jenis  data seperti ini karena akan mengakibatkan taksiran parameter menjadi bias, oleh karena itu digunakan model regresi  binomial  negatif.  Hasil  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  pendugaan  parameter  model  regresi binomial  negatif  menggunakan  metode  estimasi  maksimum  likelihood  kemudian  dilanjutkan  dengan menggunakan  metode  iterasi  Newton-Raphson.  Hasil  yang  diperoleh  bahwa  model  regresi  binomial negatif  mengatasi  overdispersi  yang  terjadi  pada  data  jumlah  kasus  demam  berdarah  di  Kota  Makassar dengan model 𝜇̂ ! = exp(7.01184 −  0.01356𝑥 !" −  0.05200𝑥 !# ) dan nilai AIC yaitu 236.06647. Model regresi  binomial  negatif  menghasilkan  banyak  model  kemudian  dipilih  model  terbaik  dengan  kriterial AIC terkecil.
Kata Kunci : GLM, regresi Poisson, overdispersi, model regresi binomial negatif, AIC.

## 1. Pendahuluan
Pada  kasus  tertentu,  variabel  penelitian  mengandung  excess  zeros  data.  Excess zeros  data  adalah  kondisi  varibel  respon  bernilai  nol  yang  disebabkan  oleh  data  tidak terisi.  Beberapa  contoh  data  yang  mengandung  Excess  zeros  data  diantaranya  data

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
jumlah  kasus  demam  berdarah  dengue  (DBD),  jumlah  kematian  ibu  di  suatu  daerah, jumlah kecelakaan lalulintas, dan sebagainya. Pada penelitian ini data yang digunakan data jumlah kasus demam berdarah dengue (DBD).
Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit menular Aedes aegypti, disebabkan  oleh  virus  dengue  yang  ditularkan  melalui  gigitan  nyamuk.  Data  dari seluruh  dunia  menunjukkan  Asia  menempati  urutan  pertama  dalam  jumlah  penderita DBD setiap tahunnya. Sehingga dapat dikatakan bahwa penyakit DBD merupakan salah satu permasalahan kesehatan di Asia terutama di Indonesia. Jumlah kabupaten/kota di Indonesia  yang  terjangkit  DBD  mengalami  kenaikan,  dari  434  (84.44%)  pada  tahun 2017  menjadi  440  (85.60%)  pada  tahun  2018.  Terdapat  34  Provinsi  di  Indonesia  dan semua terjangkit DBD terutama di Provinsi Sulawesi Selatan sebanyak 2.114 kasus dan jumlah meninggal sebanyak 19 kasus pada tahun 2018. Kota Makassar merupakan ibu kota  daerah  di  Provinsi  Sulawesi  Selatan  yang  memiliki  jumlah  penduduknya  cukup banyak dan berada pada ketinggian kurang dari 1000 meter. Sehingga, menjadikan Kota Makassar  salah  satu  kota  yang  memiliki  kasus  DBD  terbesar  di  Provinsi  Sulawesi Selatan. Penyakit ini muncul sepanjang tahun dan dapat menyerang seluruh kelompok umur.  Penyakit  ini  berkaitan  dengan  lingkungan  sekitar  dan  perilaku  masyarakat. Perbedaan  perilaku  masyarakat  ini  dapat  mempengaruhi  jumlah  penderita  DBD. Sehingga memungkinkan terjadinya overdispersi[1].
Beberapa  peneliti  telah  menerapkan  model  regresi  untuk  data  yang  mengalami overdispersi, diantaranya Arwini (2018) telah menerapkan model Generalized Poisson Regression  pada  data  yang  mengalami  overdispersi.  Hasilnya  menunjukkan  bahwa overdispersi  dapat  diatasi  dengan  model  Generalized  Poisson  Regression.  Ade  (2019) telah  menerapkan  model  Regresi  Hurdle  Poisson  pada  data  yang  mengalami overdispersi. Hasilnya menunjukkan bahwa overdispersi dapat diatasi dengan membagi dua model. Pertama, model Zero Hurdle yang menginterpretasikan berapa besar peluang nilai variabel respon lebih besar dari nol (terjadi suatu event). Kedua, model Count yang menginterpretasikan berapa nilai rata–rata dari event tersebut. Pada penelitian ini, model regresi  yang  digunakan  untuk  mengatasi  overdispersi  adalah  model  regresi  binomial negatif.

## 2. Material dan Metode

## 2.1  Regresi Linier Berganda
Dalam mengkaji hubungan antara beberapa variabel menggunakan analisis regresi, terlebih dahulu peneliti menentukan satu variabel yang disebut dengan variabel respon dan  satu  atau  lebih  variabel  bebas.  Jika  ingin  dikaji  hubungan  atau  pengaruh  satu variabel  bebas  terhadap  variabel  respon,  maka  model  regresi  yang  digunakan  adalah model regresi linier sederhana. Kemudian jika ingin dikaji hubungan atau pengaruh dua atau lebih variabel bebas terhadap variabel respon, maka model regresi yang digunakan adalah  model  regresi  linier  berganda  (multiple  linear  regression  model).  Kemudian

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
untuk  mendapatkan  model  regresi  linier  sederhana  maupun  model  regresi  linier berganda dapat diperoleh dengan melakukan estimasi terhadap parameter-parameternya menggunakan metode tertentu[2].
Bentuk umum model regresi linier berganda dengan p variabel bebas adalah seperti pada persamaan (1) berikut[3].
𝑦 ! = 𝛽 " + 𝛽 # 𝑥 !# + 𝛽 $ 𝑥 !$ + ⋯ + 𝛽 % 𝑥 !% + 𝜀 ! , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 (1)
dengan:
𝑦 ! =   variabel respon pada pengamatan ke- 𝑖 , untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. 𝑥 !& =   variabel bebas pada pengamatan ke- 𝑖 dan parameter ke- 𝑗 . 𝛽 & =   parameter regresi yang tidak diketahui nilainya dan akan dicari nilai estimasinya. 𝜀 ! =   sisaan untuk pengamatan ke- 𝑖 yang diasumsikan berdistribusi normalyang saling bebas dan identik dengan rata-rata 0 (nol) dan variansi 𝜎 $ atau dituliskan sebagai 𝜀 ! ~ !!( 𝑁(0, 𝜎 $ ) .
Dalam notasi matriks persamaan (1) dituliskan sebagai persamaan (2) berikut:
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺
(2)
dengan:
𝒀 = : 𝑦 # 𝑦 𝟐 ⋮ 𝑦 * < , 𝑿 = : 1 1 ⋮ 1 𝑥 ## 𝑥 $# ⋮ 𝑥 *# 𝑥 #$ 𝑥 $$ ⋮ 𝑥 *$ … … ⋱ … 𝑥 #% 𝑥 $% ⋮ 𝑥 *% < , 𝜷 = : 𝛽 # 𝛽 $ ⋮ 𝛽 % < , 𝜺 = : 𝜀 # 𝜀 $ ⋮ 𝜀 % <

## 2.2  Model Linier Umum
Model linier umum atau Generalized linier Model (GLM), termasuk salah satunya regresi linier klasik dapat dinyatakan dalam model (1). Variabel respon 𝒀 dalam model merupakan suatu fungsi linier dari koefisien model 𝛽 & , maka dari itu dinamakan model linier,  sedangkan 𝜺 merupakan  nilai  sisaan.  Sisaan  dalam  model  diasumsikan berdistribusi normal.
Model  (1)  dapat  digeneralisasikan  untuk  menangani  sisaan  yang  tidak berdistribusi  normal.  Dalam  GLM,  variabel  respon  masih  berhubungan  dengan  bebas melalui  kombinasi  linier 𝛽 " + 𝛽 # 𝑥 !# + 𝛽 $ 𝑥 !$ + ⋯ + 𝛽 % 𝑥 !% .  Namun  hubungan tersebut  tidak  bisa  dilakukan  secara  langsung,  perlu  sebuah  fungsi  untuk menghubungkan  keduanya.  Fungsi  tersebut  dinamakan link  function .  Transformasi terhadap  nilai  rataan  dari  variabel  respon  memiliki  hubungan  linier  dengan  variabel- variabel  bebasnya.  Terdapat  tiga  komponen  utama  yang  harus  ada  dalam  suatu  GLM, yaitu[4]:
1. Komponen Acak

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Dalam  sebuah  GLM,  harus  terdapat 𝑦 # , 𝑦 $ , … , 𝑦 * yang  merupakan  variable respon berasal dari distribusi keluarga eksponensial.
2. Komponen Sistematis
Terdapat  variabel  bebas  yang  linier 𝜇 ! = 𝛽 " + 𝛽 # 𝑥 !# + 𝛽 $ 𝑥 !$ + ⋯ + 𝛽 % 𝑥 !% dari variabel respon.
3. Fungsi Penghubung
Fungsi penghubung atau link function adalah suatu fungsi yang menghubungkan komponen acak dengan komponen sistematis.
𝑔(𝜇 ! ) = 𝑿𝜷
Fungsi  transformasi 𝑔 disebut  dengan link  function .  Fungsi  ini  menentukan bagaimana  nilai  rataan  berhubungan  dengan  variabel-variabel  bebas.  Untuk distribusi binomial negatif link function yang digunakan adalah fungsi logaritma.

## 2.3  Data Tercacah
Dalam  statistik,  data  cacah  mengacu  pada  pengamatan  yang  hanya  memiliki  nilai bilangan  bulat  non-negatif  mulai  dari  nol  hingga  nilai  yang  lebih  besar  yang  belum ditentukan.  Secara  teoritis,  hitungan  dapat  berkisar  dari  nol  hingga  tak  terbatas,  tetapi mereka selalu terbatas pada beberapa nilai yang berbeda[5].
Model  data  cacah  bertujuan  untuk  menjelaskan  berapa  cacah  banyaknya  suatu kejadian. Sebagai contoh, banyaknya kecelakaan yang terjadi per hari di suatu daerah, banyaknya pasien masuk per hari dalam sebuah rumah sakit.

## 2.4  Newton Raphson
Metode  Newton-Raphson  (NR)  adalah  salah  satu  metode  untuk  menyelesaikan persamaan 𝑓(𝑥) = 0 . Ciri-ciri Metode NR yaitu:
1. Memerlukan sebuah hampiran awal, dan
2. Memerlukan perhitungan turunan fungsi 𝑓(𝑥) dalam setiap iterasi.
Kedua ciri-ciri metode Newton menyatakan bahwa hampiran berikutnya diperoleh dengan cara menarik garis singgung kurva 𝑦  =  𝑓(𝑥) pada titik yang mempunyai absis hampiran sebelumnya hingga memotong sumbu 𝑥 . Titik potong garis singgung tersebut dengan  sumbu 𝑥 merupakan  hampiran  berikutnya.  Proses  berlanjut  sampai  hampiran yang diperoleh memenuhi syarat keakuratan yang ditentukan.
Misalkan 𝑔 adalah suatu fungsi. Bilangan 𝑥 pada domain 𝑔 merupakan titik tetap 𝑔 jika memenuhi 𝑥  =  𝑔(𝑥) . Iterasi
𝑥 *+# = 𝑔(𝑥), 𝑛 = 0,1, 2,3, ⋯ (3)

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
disebut iterasi titik tetap.
Misalkan  fungsi 𝑓 mempunyai  turunan  pertama 𝑓′ .  Barisan 𝑥 " , 𝑥 # , 𝑥 $ , ⋯ yang diperoleh dari iterasi:
𝑥 *+# = 𝑥 * − 𝑓 , (𝑥 * ) 𝑓 ,, (𝑥 * ) , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ (4)
disebut barisan iterasi Newton. Fungsi 𝑔 yang di deﬁnisikan sebagai:
𝑔(𝑥) = 𝑥 * − 𝑓 , (𝑥 * ) 𝑓 ,, (𝑥 * ) (5)
disebut fungsi iterasi Newton-Raphson[5].

## 2.5  Regresi Binomial Negatif
Regresi  binomial  negatif  merupakan  suatu  model  regresi  yang  digunakan  untuk menganalisis  hubungan  antara  suatu  variabel  respon  yang  berupa  data  cacah  dengan satu  atau  lebih  variabel  bebas.  Regresi  binomial  negatif  dapat  digunakan  baik  dalam keadaan equidispersi ataupun overdispersi.
Regresi binomial negatif merupakan salah satu model terapan dari GLM. Sebagai penerapan dari GLM maka distribusi binomial negatif memiliki tiga komponen yaitu:
1. Komponen Acak
Pada model binomial negatif variabel respon diasumsikan berdistribusi binomial negatif yang dihasilkan dari distribusi campuran Poisson-gamma[6].
Misalkan:
𝑌~ Poisson (𝜇 ! ) 𝜇 ! ~ Gamma (𝛼, 𝛽)
Fungsi peluang campuran Poisson-gamma dapat diperoleh dengan cara:
Pr(𝑌 = 𝑦 ! ) = I Poisson(𝑌|𝜇 ! )Gamma(𝑢 ! |𝛼, 𝛽)𝑑𝜇 ! - " = Γ U𝑦 ! + 1 𝜓W Γ U 1 𝜓W 𝑦! Y 𝜇𝜓 1 + 𝜇𝜓 Z . Y 1 1 + 𝜇𝜓 Z # / (6)

## 2. Komponen Sistematis
Kontribusi variabel bebas dalam model regresi binomial negatif dinyatakan dalam bentuk  kombinasi  linier  antara  parameter 𝜇 ! dengan  parameter  regresi  yang diestimasi yaitu:
𝜇 ! = 𝛽 " + 𝛽 # 𝑥 !# + 𝛽 $ 𝑥 !$ + ⋯ + 𝛽 % 𝑥 !% (7)
atau dituliskan dalam bentuk matriks:
𝜇 ! = 𝑿𝜷 (8)

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
dengan 𝜇 ! adalah vektor 𝑛 × 1 dari observasi, 𝑿 adalah matriks 𝑛 × (𝑝 + 1) dari variabel bebas, dan 𝜷 adalah matriks (𝑝 + 1) × 1 dari koefisien regresi.
3. Fungsi Penghubung
Nilai  rataan  dari  variabel  acak  adalah  diskrit  dan  bernilai  positif.  Maka  untuk mentransformasikan  nilai  (bilangan  riil)  ke  rentang  yang  sesuai  dengan  rentang pada variabel respon diperlukan suatu fungsi link 𝑔(𝜇 ! ) yaitu: 𝑔(𝜇 ! ) = log(𝜇 ! ) = 𝑿𝜷 𝜇 ! = 𝑒 𝑿𝜷 (9)
Komponen GLM pada persamaan (9) dibagian ketiga (fungsi link ), maka rataan dan variansi  pada  regresi  binomial  negatif  dapat  dituliskan  kembali  dalam  bentuk  sebagai berikut:
𝐸[𝑌] = 𝜇
𝜇 ! = 𝑒 𝑿𝜷 (10)
𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝜇 + 𝜓𝜇 $
𝜇 ! = 𝑒 (𝑿𝜷) + 𝜓f𝑒 (𝑿𝜷) g $ (11)
rataan  dan  variansi  yang  diperoleh  dari  persamaan  (10)  dan  persamaan  (11),  maka persamaan (6) dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
𝑓(𝑦) = Γ U𝑦 ! + 1 𝜓W Γ U 1 𝜓W 𝑦 ! ! h 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓 i . $ h 1 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓 i # / (12)
Untuk  mengestimasi  parameter 𝛽j dan 𝜓k dalam  regresi  binomial  negatif  dapat digunakan metode penduga kemungkinan maksimum (MLE).

## 2.6  Overdispersi
Kegagalan asumsi Poisson dari equidispersi memiliki konsekuensi kualitatif serupa terhadap  kegagalan  asumsi  homoskedastisitas  dalam  model  regresi  linier.  Data overdispersi  jika  variansi  bersyarat  melebihi  rataan  bersyarat.  Indikasi  besarnya overdispersi  atau  underdispersi  dapat  diperoleh  hanya  dengan  membandingkan  rataan sampel  dan  variansi  dari  variabel  respon.  Selanjutnya,  regresi  Poisson  menghasilkan variansi  bersyarat  dari  variabel  respon.  Rata-rata  dari  rataan  bersyarat  tidak  akan berubah, karena rata-rata dari fittted rataan sama dengan rataan sampel. Ini mengikuti karena  sisaan  Poisson  berjumlah  nol  jika  ada  istilah  konstan.  Jika  varians  sampel kurang  dari  rataan  sampel,  data  tentu  bahkan  lebih  underdispersi  setelah  regresor disertakan.  Jika  varians  sampel  lebih  dari  dua  kali  rata-rata  sampel,  maka  data kemungkinan  akan  tetap  overdispersi  setelah  masuknya  regressor.  Hal  ini  terutama

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
berlaku untuk cross-section , yang dimana regressor biasanya menjelaskan kurang dari setengah variasi dalam data[7].
Ada atau tidaknya overdispersi juga dapat dilihat dari nilai Deviance atau Pearson Chi-square yaitu sebagai beriku:

## 1. Deviance
Nilai deviance adalah nilai logaritma dari uji rasio likelihood-nya[4]. Uji rasio likelihood-nya  membandingkan  current  model-nya  dan  saturated  model-nya yang di tuliskan sebagai berikut:
𝜙 # = 𝐷 $ 𝑑𝑏 𝐷 $ = 2 o p𝑦 ! ln Y 𝑦 ! 𝑦 4 q Z − (𝑦 ! − 𝑦 4 q)r * !5# (13)
dengan:
𝑦 ! = Nilai variabel respon 𝑦 4 q = Estimasi regresi Poisson dimana 𝑑𝑏 = 𝑛 − 𝑝 dengan 𝑝 merupakan  banyak  parameter, 𝑛 merupakan banyaknya pengamatan dan 𝐷 $ adalah nilai deviance.
2. Pearson Chi-Square
Pengukuran lain yang digunakan untuk mendeteksi overdispersi yaitu statistic person chi-square [4], yang di deﬁnisikan sebagai:
𝜙 $ = 𝜒 $ 𝑑𝑏 𝜒 $ = o (𝑦 ! − 𝑦 4 q) 𝑦 4 q *
!5# (14)
Dimana 𝑑𝑏 = 𝑛 − 𝑝 dengan 𝑝 merupakan  banyaknya  parameter, 𝑛 merupakan banyaknya  pengamatan  dan 𝜒 $ adalah  nilai  pearson chi-square. Jika  nilai 𝜙 # dan 𝜙 $ lebih  besar  dari  1,  ini  menunjukkan  nilai  variansi  yang  lebih  besar  daripada  rataan, maka telah terjadi overdispersi[8].

## 2.7  Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan  model  regresi  terbaik  dapat  dilihat  dari  perhitungan nilai  Akaike Information Criterion (AIC). AIC model regresi binomial negatif yaitu:
𝐴𝐼𝐶 = −2[𝐿 − (𝑝 + 1)] (15)

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
dengan 𝐿 adalah  fungsi  ln-likelihood  dari  hasil estimasi  maximum  likelihood dan 𝑝 adalah  jumlah  parameter  dalam  model.  Jika  model  memiliki  nilai  likelihood  tertinggi atau nilai AIC minimum maka model tersebut adalah model terbaik[5].

## 3. Hasil dan Diskusi

## 3.1  Deskripsi Data
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari  Profil  Kesehatan  Kota  Makassar  tahun  2018  yang  terdiri  atas  46  observasi berdasarkan jumlah puskesmas yang ada di kota Makassar untuk lebih lengkapnya, data jumlah kasus DBD Kota di Makassar tahun 2018 dapat dilihat pada lampiran 1. Daerah kota Makassar dapat dilihat pada peta berikut.
Gambar 1. Peta Kota Makassar dan daerah penderita DBD tahun 2018
Gambar 1 memperlihatkan penyebaran DBD yang beragam, hal ini disebabkan oleh perbedaan  lingkungan.  Terdapat  32  kasus  pada  Kec.  Tamalate,  31  kasus  pada  Kec. Panakkukkang,  28  kasus  pada  Kec.  Biringkanaya,  27  kasus  pada  Kec.  Rappocin,  24 kasus pada Kec. Manggala, 22 kasus pada Kec. Ujung Tanah, 21 kasus pada Kec. Tallo Rappokalling, 21 kasus pada Kec. Mariso, 13 kasus pada Kec. Makassar, 11 kasus pada Kec. Wajo, 10 kasus pada Kec. Tamalanrea, 6 kasus pada Kec. Mamajang, 5 kasus pada Kec. Ujung Pandang, dan 5 kasus pada Kec. Bontoala. Maka jumlah kasus DBD di kota Makassar tahun 2018 sebanyak 256 kasus.
Perbedaan  jumlah  penderita  DBD  tidak  menutup  kemungkinan  dipengaruhi  oleh beberapa  faktor  misalnya  persentase  rumah  yang  memenuhi  syarat  kesehatan (𝑥 !# ) , persentase rumah tangga berperilaku hidup bersih dan sehat (𝑥 !$ ) , persentase penduduk yang memiliki akses air minum layak (𝑥 !6 ) , dan persentase tempat-tempat umum yang memenuhi syarat kesehatan (𝑥 !7 ) . Gambar 2 menunjukkan boxplot dari mesing-masing variabel yang mungkin mempengaruhi jumlah penderita DBD di Kota Makassar tahun 2018.

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Gambar 2. Boxplot masing-masing variabel data jumlah kasus DBD di Kota Makassar tahun 2018.
Gamber  2  memberikan  informasi  mengenai  ada  tidaknya outliers .  Terlihat  jelas bahwa  variabel 𝑦 ! mengandung outliers .  Hal  ini  belum  memberikan  infomasi  yang cukup untuk melihat krakteristik dari masing-masing variabel. krakteristik dari masing- masing  variabel  dapat  diperoleh  dari  statistik  deskriptif  dari  variabel  respon 𝑦 ! dan kelima variabel bebasnya. Statistik deskriptif masing-masing variabel data jumlah kasus demam berdarah di Kota Makassar tahun 2018 dapat dilihat pada tabel 1 berikut:
Table 1. Statistik deskriptif masing-masing variable data jumlah kasus DBD di Kota
Makassar tahun 2018 Variabel  N  Minimum  Maksimum Rataan Variansi  Std.Deviasi y i 46 0 15 . 0000 5 . 5652 11 . 1401 3 . 3377 xi 1 46 21 . 9480 82 . 4880  57 . 0388  193 . 4870 13 . 9100 xi 2 46 82 . 9530 95 . 1330  87 . 6863 11 . 4620 3 . 3856 xi 3 46 1 . 8000 100 . 0000  86 . 7572  329 . 5232 18 . 1528 xi 4 46 10 . 5300 150 . 0000  56 . 9389  895 . 0318 29 . 9171
Sumber: data olah 2021
Tabel  1 memberikan  informasi  mengenai  statistik  deskriptif  masing-masing variabel  data  jumlah  kasus  demam  berdarah  di  Kota  Makassar.  Terlihat  jelas  bahwa variabel y i memiliki nilai variansi lebih besar dari nilai rataannya yang memungkinkan terjadi  overdispersi.  Untuk  memastikan  bahwa  variabel  respon 𝑦 ! mengalami overdispersi maka dilakukan pengujian lanjutan
3.2  Pendugaan Parameter 𝜷 dan 𝝍 pada Model Regresi Binomial Negatif Pendugaan  parameter β pada  model  regresi  binomial  negatif  dapat  menggunakan metode estimasi maksimum likelihood. Fungsi likelihood untuk model regresi binomial negatif yaitu:

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
𝐿(𝜷, 𝜓) = yf𝑓(𝑦)g
*
!5#
= y Γ U𝑦 ! + 1 𝜓W Γ U 1 𝜓W 𝑦 ! ! * !5# y h 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓 i . $ * !5# y h 1 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓 i # / * !5# (16)
Fungsi  likelihood  akan  dilogaritmakan  sehingga  diperoleh  fungsi  log-likelihood regresi binomial negatif yaitu:
𝑙(𝜷, 𝜓) = logf𝐿(𝛽, 𝜓)g
= o { o log(1 + 𝑟𝜓) . $ 8#
95" − 𝑦 ! log(𝜓) − log(𝑦 ! !) + 𝑦 ! logf𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓g * !5#
− Y𝑦 ! + 1 𝜓 Z logf1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓g| (17)
Fungsi  log-likelihood  model  regresi  binomial  negatif  diturunkan  terhadap 𝛽 kemudian  disamakan  dengan  nol.  Turunan  pertama  fungsi  log-likelihood  terhadap 𝛽 merupakan matriks 𝐺 yang dapat dituliskan dalam model sebagai berikut:
𝑮 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕𝑙(𝛽, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝑙(𝛽, 𝜓) 𝜕𝛽 # 𝜕𝑙(𝛽, 𝜓) 𝜕𝛽 $ ⋮ 𝜕𝑙(𝛽, 𝜓) 𝜕𝛽 % ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (18)
secara umum:
𝜕𝑙(𝛽, 𝜓) 𝜕𝛽 & † :5: ; = o ‡ f𝑦 ! − 𝑒 <𝑿𝜷 ;= g𝑥 !& f1 + 𝑒 <𝑿𝜷 ;= 𝜓g ˆ *
!5# = 0, 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑝. (19)
Turunan kedua fungsi log-likelihood disebut matiriks Hessian (𝑯) yang dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
𝐻 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕 ! 𝛽 " 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝛽 # 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝛽 # 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕 ! 𝛽 # 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝛽 ! ⋯ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 # 𝜕𝛽 ! ⋯ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝛽 $ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 # 𝜕𝛽 $ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝛽 ! 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 # 𝜕𝛽 ! ⋮ ⋮ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕 ! 𝛽 ! ⋯ ⋮ ⋱ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 ! 𝜕𝛽 $ ⋮ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 " 𝜕𝛽 $ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 # 𝜕𝛽 $ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 ! 𝜕𝛽 % 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 % 𝜕𝛽 $ 𝜕 ! 𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕 ! 𝛽 $ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
(20)
secara umum:
𝜕𝑙(𝜷, 𝜓) 𝜕𝛽 & 𝜕𝛽 > † :5: ; = − o ‡ 𝑥 !& 𝑥 !> 𝑒 <𝑿𝜷 ;= (1 + 𝑦 ! 𝜓) f1 + 𝑒 <𝑿𝜷 ;= 𝜓g $ ˆ ,   𝑗, 𝑘 = 0,1, … , 𝑝 * !5# (21)
Fungsi log-likelihood model regresi binomial negatif pada persamaan (17) terdapat parameter 𝜓 yang tidak diketahui. Untuk mengestimasi parameter 𝜓 , maka fungsi log- likelihood model regresi binomial negatif diturunkan terhadap 𝜓 kemudian disamakan dengan  nol.  Turunan  pertama  fungsi  log-likelihood  terhadap 𝜓 yang  dapat  dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
𝜕𝑙(𝛽, 𝜓)
𝜕𝜓 ; %&% ' = < = < > 𝑟 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓B C , ! -" .&/ + logG1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓BH 𝜓B # − I𝑦 ! + 1 𝜓B K 𝑒 (𝑿𝜷) 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓B L 0 !&" = 0 (22)
Turunan kedua fungsi log-likelihood terhadap ψ yang diruliskan dalam bentuk sebagai berikut:
𝜕 # 𝑙(𝛽, 𝜓) 𝜕 # 𝜓B ; %&% ' = 𝜕 # 𝜕 # 𝜓B =< = < > 𝑟 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓B C , ! -" .&/ + lnG1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓BH 𝜓B # − I𝑦 ! + 1 𝜓B K 𝑒 (𝑿𝜷) 1 + 𝑒 (𝑿𝜷) 𝜓B L 0 !&" L = 0 (23)
Karena turunan fungsi log-likelihood model regresi binomial negatif terhadap β dan ψ tidak  dapat  diselesaikan  secara  analitik  maka  dilanjutkan  dengan  menggunakan metode iterasi Newton-Raphson dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai taksiran awal parameter 𝜓k "
2. Menentukan nilai taksiran awal parameter 𝛽j " menggunakan metode OLS.
3. Dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
𝛽j (9+#) = 𝛽j (9) − 𝐻 (9) 8# 𝐺 (9)
𝛽j (9) merupakan nilai taksiran awal yang diperoleh dari metode OLS.

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
4. Dilakukan iterasi pada persamaan berikut:
𝜓k (9+#) = 𝜓k (9) − f𝜕𝑙(𝛽, 𝜓)g f𝜕 $ 𝑙(𝛽, 𝜓)g
Jika  belum  mendapatakan  penaksir  parameter  yang  konvergen,  maka  di  lanjutkan kembali langkah ke-3 dan berhenti apabila nilai ||𝛽j (9+#) − 𝛽j (9) ||   <  𝜀 , 𝜀 adalah

## 3.3  Pengujian Overdispersi
Analisis  regresi  Poisson  mengasumsikan  data  pada  variabel  respon  berdistribusi Poisson  dengan  rataan  dan  variansi  bernilai  sama  (equidispersi).  Namun,  pada kenyataanya  asumsi  bahwa  data  equidispersi  seringkali  tidak  terpenuhi  yaitu  nilai variansi  lebih  besar  dari  nilai  rataan  (overdispersi)  atau  nilai  variansi  lebih  kecil  dari nilai rataan (undersipersi). Variabel respon yang digunakan pada penelitian ini adalah data diskrit yaitu jumlah kasus demam berdarah di Kota Makassar tahun 2018 sebanyak 46  data  dengan  nilai  rataan  sebesar  5 . 5652  dan  variansi  11 . 1401  yang  diperoleh  dari tabel 1 . Selain nilai rataan dan variansi, kasus overdispersi juga dapat dideteksi dengan memeriksa nilai deviance atau nilai chi-square .
1. Uji Deviance
a. Hipotesis:
𝐻 " : Terjadi overdispersi
𝐻 # : Tidak terjadi overdispersi
b. Statistik Uji:
𝜙 # = 𝐷 $ 𝑑𝑏 𝐷 $ = 2 o p𝑦 ! ln Y 𝑦 ! 𝑦 4 q Z − (𝑦 ! − 𝑦 4 q)r * !5# c. Kriteria Penolakan:
Tolak 𝐻 " jika 𝜙 # < 1 d. Keputusan:
𝜙 # = 2 ∑ h𝑦 ! ln Y 𝑦 ! 𝑦 4 q Z − (𝑦 ! − 𝑦 4 q)i * !5# 𝑑𝑏 = 8.13422
Karena 𝜙 # =  8.13422 tampak  bahwa  nilai 𝜙 # >  1 ,  maka  terima 𝐻 " .
Sehingga dapat dikatakan bahwa terjadi overdispersi.
2. Uji pearson Chi-square
a. Hipotesis:
𝐻 " : Terjadi overdispersi
𝐻 # : Tidak terjadi overdispersi

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
b. Statistik Uji:
𝜙 $ = 𝜒 $ 𝑑𝑏 𝜒 $ = o (𝑦 ! − 𝜇 ! ) $ 𝜇 ! * !5# c. Kriteria Penolakan:
Tolak 𝐻 " jika 𝜙 $ > 1 d. Keputusan:
𝜙 $ = 𝜒 $ 𝑑𝑏 = ∑ (𝑦 ! − 𝜇 ! ) $ 𝜇 ! * !5# 𝑑𝑏 = 3.3089
Karena 𝜙 $ =  3.3089 tampak  bahwa  nilai 𝜙 $ >  1 ,  maka  terima 𝐻 " . Sehingga dapat dikatakan bahwa terjadi overdispersi.
Nilai 𝜙 # dan 𝜙 $ lebih  besar  dari  1,  hal  tersebut  menunjukkan  nilai  variansi  yang lebih besar daripada rataan, maka dapat disimpulkan bahwa data variabel respon pada data jumlah khasus demam berdarah di Kota Makassar tahun 2018 terjadi overdispersi.

## 3.3  Estimasi nilai Parameter yang Signiﬁkan Model Binomial Negatif
Estimasi  nilai  parameter  regresi  binomial  negatif  dengan  variabel  bebas  yang signifikan, dengan bantuan software RStudio. Maka diperoleh estimasi parameter model regresi binomial negatif sebagai berikut:
Table 2. Estimasi nilai parameter regresi binomial negatif parameter signiﬁkan No Beta Estimasi Est.Error Z.Value Wald 1. 𝛽 " 7.01184 1.67392 4.18888 17.54675 2. 𝛽 # −0.01356 0.00467 −2.90205 8.42192 3. 𝛽 ! −0.05200 0.01954 −2.66097 7.08075 4. 𝜓 0.10740 5.84371 0.01837 0.00034 log − likelihood:  − 1961.05615
Sumber: data olah, 2021
Berdasarkan tabel 2 diperoleh model regresi binomial negatif sebagai berikut:
𝜇̂ = exp(7.01184487  −  0.01355819𝑥 !# −  0.05199649𝑥 !$ )
Intepretasi:

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
1. Ketika nilai persentase rumah yang memenuhi syarat kesehatan (𝑥 !# ) bertambah 0.1 maka jumlah kasus demam berdarah berkurang sebesar 0.9865  ≈  1 kasus, dengan menganggap variabel lainnya konstan.
2. Ketika  nilai  persentase  rumah  tangga  berperilaku  hidup  bersih  dan  sehat (𝑥 !$ ) bertambah 0.1 maka jumlah kasus demam berdarah berkurang sebesar 0.9493 ≈
1 kasus, dengan menganggap variabel lainnya konstan.

## 3.4  Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan  model  terbaik  regresi  binomial  negatif  dapat  dilihat  pada  lampiran  6. Maka  model  yang  memiliki  nilai Akaike  Information  Criterion (AIC)  minimum  antar setiap model regresi binomial negatif yaitu:
𝜇̂ ! = 𝑒𝑥𝑝(7.01184487  −  0.01355819𝑥 !# − 0.05199649𝑥 !$ )
sehingga hal ini menunjukkan bahwa overdispersi dapat teratasi dengan menggunakan model 𝜇̂ ! =  𝑒𝑥𝑝(7.01184 − 0.01356𝑥 !# − 0.05199𝑥 !$ ) dengan  nilai AIC yang diperoleh  yaitu 236.06647 yang  menunjukkan  bahwa  rata-rata  jumlah  kasus  demam berdarah pada tahun 2018 per Kecamatan adalah 5.563 .

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh  dan  diuraikan  pada  pembahasan  sebelumnya, dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  penduga  model  regresi  binomial  negatif  terbaik  pada data jumlah kasus demam berdarah di Kota Makassar tahun 2018 dengan kriteria AIC terkecil  236 . 06647  adalah 𝜇̂ ! = exp(7.0118 − 0.0135𝑥 !# −  0.05199𝑥 !$ ) yang menunjukkan bahwa penduga rata-rata jumlah kasus demam berdarah pada tahun 2018 per Kecamatan adalah 5.563 .

## Daftar Pustaka
[1]  Badan  Pusat  Statistik. Provinsi  Sulawesi  Selatan  dalam  Angka  2021 .  Makassar: Badan Pusat Statistik Sulawesi Selatan. 2021.
[2]  Kutner, M. H., Nachtsheim, C. J., & Neter, J. Applied Linear Regression Models. 4th ed . New York: McGraw-Hill Companies Inc. 2004.
[3]  Hardle,  W. Applied  Nonparametric  Regression .  United  State:  Cambridge University Press. 1995.
[4]  McCullagh, P., & Nelder, J. A. Generalized Liner Model, second edition . London: Chapman and Hall. 1989.

## Mengatasi Overdispersi Menggunakan Regresi Binomial Negatif dengan…
Muhammad Fadil, Raupong, dan Nirwan Ilyas
[5]  Ismail, N., & Jemain, A. A. Handling Overdispersion with Negative Binomial and Generalized  Poisson  Regression  Models. Casualty  Actuarial  Society  Forum ,  8, 367-394, 2007.
[6]  Simarmata, R. T., & Ispriyanti, D. Penanganan Overdispersi pada Model Regresi Poisson  Menggunakan  Model  Regresi  Binomial  Negatif. Media  Statistika ,  4(2), 95-104, 2011.
[7]  Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. Regression Analysis of Count Data . New York: Cambridge University Press. 1998.
[8]  Hilbe,  J.  M. Negative  Binomial  Regression  (2nd  ed.) .  New  York,  NY,  US: Cambridge University Press. 2011.