## PREMIUM PRICING IN HEALTH INSURANCE BY NELSON- AALEN ESTIMATOR
Najmah Istikaanah 1
1 Program Studi Pendidikan Matematika FMIPA IKIP PGRI Semarang Jl. Sidodadi Timur No. 24 Semarang

## ABSTRACT
In  this  paper  the  using  of  Nelson  Aalen  estimators  are  presented  to  estimate  transition probabilities of  multistate  model. Based on discrete time  Markov,  we  will get transition  matrices which the elements are transition probabilities from Nelson Aalen estimator. Because of the data that used in the construction of transition matrices are person’s health histories, then it can be seen as a morbidity value, which can be used to premium pricing.
Key words : Markov process, multistate model, Nelson Aalen, transition probability.

## 1. Pendahuluan
Kegiatan  asuransi  pada  saat  ini  telah  berkembang  dengan  pesat  sekali,  bahkan    di banyak negara telah merupakan industri tersendiri. Jenis asuransi juga makin bervariasi, mula-mula lebih terarah pada barang, kemudian pada jasa, untuk selanjutnya ketika hidup dan  kehidupan  mulai  dapat  dinilai  dalam  bentuk  rupiah (concept  of  human  life  value) , berkembanglah asuransi jiwa (life insurance) serta asuransi kesehatan (health insurance.) Asuransi kesehatan merupakan cara untuk mengatasi resiko dan ketidakpastian peristiwa sakit serta semua biaya- biaya yang diakibatkannya.
Dalam  penentuan  besar  premi  maka  suatu  perusahaan  asuransi  perlu  mengetahui besarnya  peluang  seseorang  mengalami  penyakit  tertentu  dan    besar  peluang  seseorang yang menderita penyakit tertentu untuk meninggal. Untuk mengetahui besarnya peluang- peluang  transisi  ini  maka  digunakanlah  model  multi  status  dimana  kondisi  seseorang dibagi  menjadi  beberapa  status.  Besarnya  peluang-  peluang  transisi  ini  diperoleh berdasarkan atas riwayat kesehatan seseorang.
Dalam  proses  stokastik  multistatus  peluang  –  peluang  transisi  dicari  dengan menggunakan intensitas transisi sebagai komponen utama dalam pembentukan model dan merupakan  jalan  yang  menghubungkan  data-data  awal  menjadi  suatu  formula penyelesaian.  Model  multistatus  pada  penelitian  kali  ini  memiliki  enpat  status,  yaitu sehat, sakit kategori 1, sakit kategori 2 dan sakit kategori 3. Menurut Aalen dan Johansen (1978),  peluang  transisi  ini  dapat  diestimasi  dari  integral  perkalian  matrik  intensitas transisi dengan asumsi proses Markov berlaku yang kemudian dikenal sebagai estimator
Nelson- Aalen. Estimator inilah yang digunakan pada penelitian kali ini yang selanjutnya dapat digunakan untuk mencari premi pada model multistatus dalam asuransi kesehatan.

## 2. Landasan Teori
2.1  Teori Peluang dan Distribusi Peluang
Definisi 2.1.1 (Bain dan Engelhardt, 1992)
Apabila  dilakukan  suatu  percobaan,  S  dimisalkan  merupakan  ruang  sample  dan
1 2 , A A ,.....  merupakan  kejadian-  kejadian  yang  mungkin.  Suatu  himpunan  yang memetakan P(A) yang bernilai real dengan tiap- tiap kejadian A disebut sebagai fungsi himpunan  peluang,  kemudian  P(A)  disebut  peluang  dari  A,    yaitu  jika  memenuhi  sifat- sifat berikut ini:
0 ( ) P A  untuk setiap A
(2. 1)
( ) 1
P S  (2. 2)
1 1 ( ) i i i i P A P A             (2. 3)
dimana 1 2 , A A ,....adalah kejadian yang saling asing

## Definisi 2.1.2 (Bain dan Engelhardt, 1992)
Variabel  random  X  adalah  fungsi  yang  didefinisikan  pada  ruang  sample  S  yang bernilai real.
Apabila  semua  nilai  yang  mungkin  dari  variabel  random  X  merupakan  suatu himpunan  yang  dapat  dihitung  baik  berhingga   1 2 , ,... n x x x atau  tak  berhingga   1 2 , ,... x x , maka X disebut sebagai variable random diskret. Kemudian fungsi
  1 2 ( ) , ,...
f x P X x x x x   
(2. 4)
menyatakan peluang masing - masing  nilai yang mungkin dari x , yang kemudian disebut sebagai fungsi kepadatan peluang diskret (discrete pdf).
Apabila    X    adalah  variabel  random  diskrit  dengan  fungsi  kepadatan  peluang f(x) , maka harga harapan dari  X  dapat didefinisikan oleh
[ ] ( ) x E X f x   (2. 5)
2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik adalah himpunan variable acak yang merupakan fungsi waktu atau sering pula disebut proses acak (random process).
Ruang status adalah himpunan harga- harga yang mungkin untuk suatu variable acak
n X dari suatu proses stokastik   , 1 n X n  .
Pada proses stokastik banyak sekali proses yang mempunyai sifat khas, salah satunya adalah yang sering disebut dengan sifat Markov.
Definisi 2.2.1 (Ross, 2003)
Sifat  Markov  dinyatakan  dengan  hubungan  seperti  dibawah  ini,  jika , 0 n x n  merupakan suatu proses stokastik dengan sifat
1 1 0 0 1 1 1 1 ( | , ,..., ) ( | ) n n n n n n n n P X x X x X x X x P X x X x            (2. 6)
Suatu  proses  Markov   ( ), X t t T  dapat  memiliki  ruang  status  diskret  maupun kontinu.  Proses  Markov  yang  memiliki  ruang  status  diskret  seperti  diatas  disebut  rantai Markov.  Rantai  Markov  ruang  diskret  dikatakan  stasioner  atau  homogen  dalam  waktu jika peluang pergerakan dari suatu status ke status yang lain adalah independen terhadap waktu dimana untuk setiap status i dan j berlaku :
    1 1 | | n n n t n t ij P X j X i P X j X i
P 
         (2. 7)
dimana t = -(n-1), -(n-2),...., -1, 0, 1, 2,...

## 2.3 Fungsi Survival
Model  survival  adalah  suatu  distribusi  peluang  untuk  suatu  jenis  variabel  random tertentu. Survival time dapat didefinisikan sebagai waktu hingga terjadinya suatu kejadian (event).
Jika T melambangkan survival time, maka fungsi survival dilambangkan dengan S (t)
, yang didefinisikan sebagai peluang suatu individu akan bertahan lebih lama dari t
  ( )
1 ( ) 1 ( ) S t P T t P T t F t  
  
 
(2.8) 0 ( ) 1, (0) 1, ( ) 0 S t S S     
Untuk variable random kontinu, fungsi kepadatan peluang (PDF) didefinisikan sebagai turunan dari ( ) F t sehingga dapat ditulis
( ) ( ) d f t F t dt  (2.9)
Dari persamaan (2.8) maka diperoleh
( ) (1 ( )) ( ) d f t S t dt d S t dt      (2.10)
Fungsi hazard disimbolkan dengan ( ) t  didefinisikan sebagai
( ) ( ) ( ) f t t S t   (2.11)
Dari persamaan (2.10) akan diperoleh
( ) ( ) ( ) d S t dt t S t    ln ( ) d S t dt   (2.12) sehingga 0 ln ( ) ( ) t S t y dy    
(2.13)
atau dengan kata lain
0 ( ) exp ( ) t S t y dy          
(2.14)
Dengan demikian fungsi densitas f(t) dapat ditulis kembali menjadi
0 ( ) ( ) exp ( ) t f t t y dy           
(2.15)
Fungsi Hazard Kumulatif (CHF) disimbolkan dengan A dapat didefinisikan sebagai
0 ( ) ( ) t A t y dy    (2. 16)
Persamaan (2. 20) ini digunakan pada data yang bersifat kontinu. Dengan demikian perlu diketahui  bentuk  fungsi  kumulatif  hazard  pada  kasus  diskret.Pada  kasus  diskret  waktu
dapat  dipartisi  sebagai 1 2 .... n t t t    ,  Misalkan ( ) hj N t adalah  jumlah  transisi  dari status h ke status j dalam interval [0, t] dan ( ) h Y t adalah jumlah individu dalam status h pada saat t-, maka fungsi kumulatif hazard dapat diestimasi dengan
( ) ˆ ( )
( ) n hj hj t t h N n A t
Y n £ = å (2. 17)
Persamaan inilah yang selanjutnya dikenal sebagai estimator Nelson –Aalen.

## 3. PEMBAHASAN
Dalam model multistatus dengan ruang status 0, 1, …,K, misalkan X (T) menunjukkan status  seorang  individu  pada  waktu t. Dengan  demikian    peluang  transisinya  dapat diestimasi dan dimodelkan dengan
(3. 1)
dimana h dan j adalah status dan adalah serangkaian  proses multistatus selama interval [0, ) s .
Peluang transisi ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks P [ , ] ( ( , )) hj s t P s t  , yaitu 11 12
1
21 22 2 1 2 ( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
n n n n nn P s t P s t
P s t
P s t P s t P s t s t P s t P s t P s t
P é ù ê ú ê ú ê ú = ê
ú ê ú ê ú ë û
K K M
M M M K
(3. 2)
Menurut  Aalen  dan  Johansen  (1978),  peluang  transisi  pada  persamaan  (3.  1)  dapat diestimasi dari integral perkalian matrik intensitas transisi dengan asumsi proses Markov berlaku yang kemudian dikenal sebagai estimator Nelson- Aalen.
Definisi 3.2.1 (Aalen dan Johansen, 1978)
Misalkan ( ) hj N t  adalah jumlah transisi dari status h ke status j dalam interval [0, t] dan ( ) h Y t adalah jumlah individu dalam status  h  pada saat  t-, maka estimasi intensitas transisi (3. 7.)  dari status h ke status j  didefinisikan dengan
[ ] 0 ( ) 0 ˆ ( ) ( ) ( ) t h ij hj h
I Y s A t dN s Y s ¹ = ò (3.3)
dimana ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 h h h Y s I Y s Y s ì ¹ ïï ¹ = í ï = ïî
Dari  definisi  diatas  maka  dapat  dibentuk  suatu  matriks  yang  komponen- komponennya merupakan estimator Nelson-Aalen, yaitu
11 12 1 21 22 2 1 2 ˆ ˆ
ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ( )
ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) n n n n nn A t A t A t A t A t A t t A t A t
A t A é ù ê ú
ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û K
K M M M M K (3. 4) dengan ˆ ˆ ( ) hh hj j h A A t ¹ = - å
Pada  penelitian  model  multistatus  ini,  pendekatan  waktu  yang  dipakai  adalah diskret.  Sementara  diketahui  bahwa  bentuk  estimator  Nelson-Aalen  (3.  10)  merupakan penyelesaian  untuk  pendekatan  model  waktu  kontinu.  Model  multistatus  kali  ini,  waktu yang ada dapat dipartisi dalam bentuk
0 1 2 3 1 , , , ,..., , ,... n n t t t t t t + dimana 0 1 2 3 1
0 ... ... n n t t t t t t + = < < < < < < . Dengan demikian sesuai berdasarkan persamaan (2.23) pada bab sebelumnya, maka persamaan (3. 3) dapat dituliskan kembali sebagai
0, ˆ ( ) ( ) , ( ) n n hj hj n t t h
t t N n A t t t Y n £ ì £ ïï ïï = íï £ ïï ïî å (3. 5)
Kemudian untuk matriks peluang transisi (3. 2) dapat diestimasi dengan
( , ) ˆ ˆ[ , ] ( ) s t s t dA u P I p é ù = + ë û ( 3. 6)
dimana I merupakan matriks identitas berukuran (K+1) x (K+1) dan p adalah integral perkalian (Aalen & Johansen, 1978).
Definisi 3.2.2 (Gill, 2004)
Misalkan  X(t)  adalah  matriks  yang  komponen-  komponennya  merupakan  fungsi  dari waktu  t, [ ] 0, t Î ¥
.  Kemudian  dimisalkan  juga  X  mempunyai  llmit  kiri  kanan,  maka integral perkalian dari X selama (0, t] dapat didefinisikan dengan
[ ] ( ) 1 1 max| | 0 ( , ) ( ) ( ( ) ( ) lim i i i i t t s t dX s X t X t p - - - ® + = + -
P I I (3.7)
Berdasarkan  definisi  3.2.2  maka  selanjutnya  estimator  peluang  transisi  pada persamaan (3. 6) untuk model waktu diskret akan menjadi
ˆ ˆ ˆ ˆ[ , ] ( ) ( 1) ( ) s t A t A t A u P I I I é ù é ù é ù = + × + + + ë û ë û ë û L (3. 8)
Model  multistatus  yang  akan  dibahas  ini  kali  memiliki    empat  status,  yaitu  sehat, sakit kategori 1, sakit kategori 2, sakit kategori 3.
Gambar 1. Model Multistatus dengan Empat Status
Berikut adalah penjelasan dari simbol-simbol pada Gambar 1
0 : Sehat 2 : Sakit kategori 2 1 : Sakit kategori 1 3 : Sakit kategori 3
Peluang  transisi  model  multistatus  dengan  empat  status  ini  dapat  dituliskan  dalam bentuk matriks P [ , ] ( ( , )) hj s t P s t  00 01 02 03 10 11 12
13
20 21 22 23 30 31 32 33 ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
P s t
P s t P s t P s t P s t P s t P s t P s t s t P s t P s t P s t P s t P s t P s t P s t P s t
é ù ê ú
ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ë û
P
(3. 9)
Untuk  mengestimasi  nilai  peluang-  peluang  transisi  ini  maka  digunakan  estimator Nelson Aalen. Dari persamaan (3. 4) maka untuk model asuransi kesehatan dengan empat status  ini  dapat  dibentuk  matriks  yang  komponen-  komponenya  berisi  estimator  Nelson Aalen yaitu :
0 1 2 3
00 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) A t A t A t A t A t A t A t A t t A t A t A t A t A t A t A t A t
é ù ê ú
ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A (3. 10) dengan ˆ ˆ ( ) hh hj j h A A t ¹ = - å
Tujuan  akhir  dalam  perhitungan  aktuaria  di  bidang  asuransi  adalah  penetapan  harga premi.  Perhitungan  premi  yang  akan  dibahas  dalam  bagian  ini  adalah  premi  bersih. Menurut Bowers dkk (1997) nilai sekarang untuk asuransi jiwa berjangka n tahun dengan memberikan  1  unit  pada  akhir  tahun  kematian  (diskret),  untuk  seorang  individu  yang berusia x tahun dirumuskan dengan
1 1 1 : 0 n k k x x k x n k A v p q       (3. 11)
Analog  dengan  persamaan  diatas  maka  selanjutnya  dapat  dicari  perumusan  premi untuk  model  multistatus  dalam  asuransi  kesehatan.  Apabila  digunakan  contoh  aplikasi sebelumnya yaitu model asuransi kesehatan dengan empat status maka akan didefinisikan terlebih  dahulu    variabel-variabel  yang  ada  dalam  persamaan(3.  11)  dengan  langkah- langkah berikut ini :
1.  Periode  yang  digunakan  adalah  hari,  dengan  demikian x , k , n menyatakan  banyaknya hari.
2. k x p digantikan dengan peluang seseorang yang sehat pada hari ke- t akan   tetap sehat selama k hari( 00 P ),  peluang  seseorang  yang  sakit  kategori  1  pada  hari  ke- t akan tetap  sakit  kategori  1  selama k hari  ( 11 P ),  peluang  seseorang  yang  sakit  kategori  2 pada  hari  ke- t akan      tetap  sakit  kategori  2  selama k hari( 22 P ),  peluang  seseorang yang sakit kategori 3 pada hari ke- t akan   tetap sakit kategori 3  selama k hari ( 33 P ).
3. x k q  digantikan dengan peluang seseorang yang sehat pada hari ke- t+k akan   sakit
kategori  1  setelahnya( 01 P ),  peluang  seseorang  yang  sehat  pada  hari  ke- t+k akan sakit  kategori  2  setelahnya  ( 02 P ),  peluang  seseorang  yang  sehat  pada  hari  ke- t+k akan   sakit kategori 3 setelahnya( 03 P ) .
4.  Pada model ini terdapat transisi antar masing masing kategori sakit sehingga terdapat peluang 10, 12, 13, 20, 21, 23, 30, 31, 32
P P P P P P P P P yang  definisinya  analog  dengan
yang  sebelumnya.  Secara  umum  dapat  dinyatakan  bahwa jh P merupakan  peluang seseorang yang memiliki status j pada hari ke t+k akan berada pada status h setelah hari ke t+k .
Dengan demikian akan diperoleh premi untuk model dengan empat status yaitu
        1 1 1 1 00 01 22 21 33 31 1 1 1 00 02 11 12 33 32 1 1 00 03 11 13 22 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 1 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 2 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 3 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t NSP b v P P P P P P b v P P P P P P b v P P P P P
           
  
        1 23 (0, ) ( , ) i i i t t t P  
(3.12)
dengan i = 1,…n dimana n merupakan banyaknya interval waktu
1
1 v   
 = tingkat suku bunga perhari.
1 b = besar santunan untuk sakit kategori 1
2 b = besar santunan untuk sakit kategori 2
3 b = besar santunan untuk sakit kategori 3

## 4. APLIKASI NUMERIK
Dalam studi digunakan data yang tersedia di salah satu klinik pengobatan. Pada data ini jumlah subjek adalah sebanyak 4892 orang dan terdapat 21880 kejadian. Pada data ini biaya pengobatan akan mengkategorikan tingkat penyakit pasien.
Tabel 1 Pengkategorian Biaya Pengobatan Biaya Kategori 0 25000   1 25000 50000   2 50000  3
Dengan  demikian  model  multistatus  pada  data  ini  terdapat  empat  status,  yaitu  : sehat(0), sakit kategori 1(1), sakit kategori 2 (2), sakit kategori 3 (3). Pada data ini transisi
antar status dimungkinkan terjadi sehingga seseorang yang berada dalam sakit kategori 1 dapat menjadi sakit  kategori 2 maupun 3 dan begitupun sebaliknya.
Dari  data  tersebut  maka  dibentuk  matriks  yang  menghubungkan  antara  pasien dengan waktu kedatangan. Dari 21880 data diperoleh 1393 titik waktu kedatangan selama 1894 hari. Pada penelitian ini awalnya semua pasien berada dalam kondisi sehat sehingga pada t = 0 semua pasien berada dalam status 0. Dengan demikian dapat dibentuk matriks berukuran  4892  X  1394,  di  mana  pasien  menyatakan  baris    dan  titik  waktu  kedatangan menyatakan  kolom.  Kemudian  misalkan 0 1 ( , ) t t merupakan  interval  atau  selang  waktu antara titik waktu pertama dan kedua yang selanjutnya cukup akan ditulis dengan 1 t saja, maka akan diperoleh sebanyak 1393 interval titik waktu yang berupa
1 ( , ) n n t t  . Pada data ini  akan  diperoleh    1393  matriks  4  X  4  yang  komponen-  komponennya  merupakan estimator Nelson Aalen. Kemudian dapat dicari peluang transisi di semua interval waktu yang diinginkan.
_1 ˆ ˆ[ , ] ( ) n n n t t A t P I é ù = + ë û 0
1 2 ˆ ˆ ˆ
ˆ[ , ] ( ) ( ) .... ( ) n n t t A t A t A t P I I I é ùé ù é ù = + + + ë ûë û ë û Pada data ini akan dicari semua _1 ˆ ˆ[ , ] ( ) n n n t t A t P I é ù = + ë û dan 0 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ[ , ] ( ) ( ) .... ( ) n n t t A t A t A t P I I I é ùé ù é ù = + + + ë ûë û ë ûdimana n = 1…1393. Dengan demikian akan  diperoleh  2785  matriks  4  X  4  yang  komponen-  komponennyanya  merupakan peluang transisi.(Lampiran 1)
Perhitungan  benefit  diperoleh  dari  rata-  rata  biaya  pengobatan  pasien  perkategori. Berikut ini akan disajikan nilai benefit masing- masing kategori
Tabel 2 Nilai Benefit perkategori Kategori Benefit (b) 1 Rp 21.359,33 2 Rp. 35.685,64 3 Rp. 67.962,62
Penelitian  ini  menggunakan  periode  hari,  maka  terlebih  dahulu  perlu  dicari  suku bunga  perhari  sehingga  dengan  menggunakan  suku  bunga  SBI 0, 06   maka  akan diperoleh premi tunggal bersih jangka waktu 1894 hari
        1 1 1 2 1 1 1 1 1 2
00 01 22 21 33 31 1 1 1
00 02 11 12 33 32 1 00 03 11 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , )
(0, ) ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , )
(0, ) ( , ) (
(21359,33) ... (35685,64)
(67962,62) i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t t t NSP v P P P P P P v P P P P P P v P P P        
  
       1 1 13 22 23 0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 149138
i i i i i i t t t t t t P P P     

## 5. PENUTUP
Dalam artikel ini dibahas tentang konstruksi model peluang transisi model multistatus dengan asumsi Markov waktu diskret. Peluang transisi yang berasal dari estimator Nelson Aalen  ini  selanjutnya  dapat  digunakan  untuk  perhitungan  premi  pada  model  multistatus dalam asuransi kesehatan. :
Perhitungan  premi  dapat  diperoleh  dengn  mengikuti  alur  premi  asuransi  jiwa berjangka.  Dengan  demikian  untuk  premi  untuk  model  multistatus  dengan  empat  status diperoleh
        1 1 1 1 00 01 22 21 33 31 1 1 1 00 02 11 12 33 32 1 1 00 03 11 13 22 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 1 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 2 (0, ) ( , ) (0, ) ( , ) 3
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t
NSP b v P P P P P P b v P P P P P P b v P P P P P
           
  
        1 23 (0, ) ( , ) i i i t t t P  
dengan i = 1,…n dimana n merupakan banyaknya interval waktu
1
1 v   
 = tingkat suku bunga perhari.
1 b = besar santunan untuk sakit kategori 1
2 b = besar santunan untuk sakit kategori 2
3 b = besar santunan untuk sakit kategori 3
Makalah ini hanya membahas model premi tunggal untuk asuransi kesehatan individu berjangka sehingga perlu untuk produk asuransi kesehatan yang lain : misal kelompok . Model multi status yang digunakan pada  makalah ini tanpa diberikan pengaruh kovariat sebagai informasi tambahan dari riwayat kesehatan pasien sehingga diperlukan studi lebih lanjut dengan adanya pengaruh kovariat.

## DAFTAR PUSTAKA
Aalen, dkk, 2008, Survival and Event History Analysis , Springer.
Andersen  dan.  Klein,  2006, Regression  Analysis  for  Multistate  Models  Based  on  a Pseudo-value  Approach  with  applications  to  Bone  Marrow  Transplantation Studies, Scandinavian Journal of Statistics, Oxford.
Bain,  L.  J.,  dan  Engelhardt,  Max,  1992, Introduction  to  Probability  andMathematical Statistics 2nd Edition , Duxbury Press, Belmont, California Bowers, dkk, C.J., 1997, Actuarial Mathematics 2nd Edition, The Society of  Actuaries, Itasca, Illinois.
Gill, 2001, Product Integration , Mathematical Institute, Netherlands.
Haberman, S. and Pitacco, E., 1999, Actuarial Models for Disability Insurance, Chapman and Hall, London.
Jones, B.L., 1993, Modelling Multi-State Processes Using a Markov Assumption, Actuarial Research Clearing , 1993, 239-248
Jones,  B.L.,  1994,  Actuarial  Calculations  Using  a  Markov  Model, Transactions  of  the Society of Actuaries, 46, 227-250
Klein  dan  Moeschberger.1997. Survival  Analysis:  Techniques  for  Censored  and Truncated Data . Springer Verlag. New York.
London,  Dick,  1997, Survival  Models  and  Their  Estimation  3rd  Edition ,  Actex Publication, Winsted.
Lee, E.T., 1992, Statistical Methods for Survival Data Analysis 2nd Edition , John Wiley & Sons, New York
Martinussen dan Scheike, 2006, Dynamic regression Models for Survival Data, Springer. Praptono, M.A, 1986, Pengantar Proses Stokastik I , Karunika, Jakarta.
Ross, S. M. 1996, Stochastic Processes . John Wiley& Sons, New York.
Ross, S. M., 2003, Introduction to Probability Models 8th Edition , Academic Press, Barkeley, California.
Waters, H.R., 1984, An Approach to The Study of Multiple State Models, Journal of the Institute of Actuaries, 111, 363-374