## Derivatif Untuk Menyelesaikan Optimisasi Berkendala Dalam Bisnis Dan Ekonomi
( Derivative for Solving Constrained Optimization in Business and Economics )

## Nurul Yaqin, M.Sc.
Dosen pada Jurusan Sistem Informasi dan Teknik Informatika STMIK Bahrul Ulum, Jombang hhtp//www.stmikbu.ac.id  Email:stmikbu@telkom.net

## ABSTRAK
Matematika adalah merupakan alat bantu yang dipergunakan oleh disiplin ilmu-ilmu  lain  agar  dari  pemecahan  permasalahannya  bisa  diperoleh  hasil  secara kuantitatif.
Problem  optimum  adalah  merupakan  salah  satu  jenis  problem  menarik yang akan menjadi objek bahasan kita dalam tulisan ini. Ide utama dalam penulisan ini menunjukkan betapa mudahnya Metode Substitusi dan Metode Pengali Lagrange dalam menyelesaikan problem optimum yang berkendala .
Dalam tulisan ini penulis akan menunjukkan sedikit tentang betapa mudah dan halusnya pemecahan masalah optimum secara matematis dengan menggunakan rumus-rumus  derivative/diferensial  untuk  bisnis  dan  ekonomi.  Dengan  contoh permasalahan  yang  mudah  ini  penulis  berharap  akan  bisa  memberikan  gambaran umum  kepada  para  praktisi  bisnis  dan  ekonomi  mengenai  betapa  potensialnya konsep-kensep  matematika  bisa  membantu  mereka.  Dan  juga  akan  diketahui  betapa pentingnya  penyederhanaan  suatu  permasalahan  dengan  menggunakan  pendekatan model  matematikanya,  sehingga  rumus-rumus  matematika  bisa  membantu  mereka dalam  memecahkan  masalah  dengan  hasil  yang  baik  atau  optimal.  Dan  akhirnya akan  tampak bahwa bisnis dan ekonomi  semakin bersifat matematis.
Kata kunci : Metode Substitusi, Metode Pengali Lagrange

## Latar Belakang Masalah
Dalam  kehidupan,  kita  selalu  diarahkan  pada  usaha  pemecahan  masalah secara  efisien.  Ini  adalah  dalam  rangka  mencari  solusi  terbaik  untuk  memecahkan masalah-masalah  ekonomis  dan  bisnis.  Hal  ini  perlu  kita  lakukan  mengingat terbatasnya  sumber  daya  yang  ada  (berupa  dana,  waktu,  tenaga  dan  sumber  alam). Keterbatasan  sumber  daya  inilah  yang  selalu  menjadi  kendala  atau  konstren  dalam setiap  kita  menjalankan  proses  perhitungan  untuk  mencapai  hasil  yang  optimal  atau yang terbaik.
Di  sisi  lain  dengan  pesatnya  perkembangan  dunia  matematik,  banyak masalah-masalah  ekonomi  dan  bisnis  yang  muncul  yang  bisa  dipecahkan  dengan teori-teori atau rumus-rumus matematika, termasuk masalah untuk mencapai efisiensi dengan  berbagai  kendalanya  sebagaimana  disebutkan  di  atas.  Dalam  matematika, permasalahan untuk mencapai efisiensi ini dikenal dengan istilah Optimization Problem. Dan khusus untuk problem-problem optimisasi yang penuh dengan kendala- kendala kita sebut dengan Constrained Optimization (Optimisasi Berkendala).
Optimisasi yang berkendala ini bisa diselesaikan dengan menggunakan teori-teori dan rumus-rumus derivatif yang ada dalam matematika. Sebagai contoh, masalah berkendala  yang  bisa  dipecahkan  dengan  rumus-rumus  derivatif  ialah:  Sekelompok pelanggan  yang  menghadapi  fungsi  utilitas  U  =  3Q 1 Q 2 +  3Q 2 dengan  Q 1 (produk pertama)  dan  Q 2 (produk  kedua).  20Q 1 +  10Q 2 =  100  adalah  konstren  yaitu  budget pelanggan  yang  harus  diperhatikan  dalam  usaha  untuk  mencapai  utilitas  maksimum. Karena  keterbatasan  budget  (yaitu:  100)  yang  dimilikinya  maka  tidak  mungkin kelompok pelanggan tersebut harus membeli produk pertama (harga: 20) dan produk kedua  (harga:  10)  secara  tidak  terbatas  (seluruhnya)  agar  dicapai  utilitas  (kepuasan maksimum).
Dengan contoh di atas, bisa kita pahami bahwa, optimisasi yang berkendala adalah  merupakan  problema  realistis  yang  akan  selalu  kita  temui  dalam  kehidupan sehari-hari, baik dalam proses produksi maupun dalam proses untuk menikmati hasil- hasil produksi tersebut.

## Rumusan Masalah
Dengan  masuknya  kendala  dalam  problem  optimisasi  yang  akan  dibahas nanti,  rumus-rumus  derivatif  untuk  mencari  nilai  maksimum  atau  minimum  dalam matematika  perlu  diadakan  rekayasa  agar  kendala  tersebut  bisa  masuk  dalam perhitungan optimisasi.
Sebelum  digunakan  rumus-rumus  derivatif  untuk  menyelesaikannya,    dan melihat kendalanya masih sederhana  (hanya ada dua variable Q 1 dan Q 2 ), perlu juga diadakan  perumusan  kembali  pada  masalah  tersebut  bersama  dengan  kendalanya dengan menggunakan metode-metode:
1. Metode substitusi
2. Metode pengali lagrange

## Landasan Teori
Untuk  memperoleh  hasil  yang  optimum,  dalam  perhitungan  secara matematik perlu dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
1. Syarat perlu, yaitu harus memenuhi derivatif order pertama.
2. Syarat cukup, yaitu harus memenuhi derivatif order kedua
Rumus-rumus derivatif f(x) = ax n + bx + c                        contoh : f(x) = 2x 3 + 3x + 6 f‟(x) = anx n-1 + b                                        f(x) = 6x 2 + 3 f”(x) =12x y = ax 1 n x 2 + bx 1 x 2 + c                 contoh : y = f (x 1 ,x 2 ) = 2x 1 3 x 2 + 3x 1 x 2 + 5 y 1 = dy/dx 1 = anx 1 n-1 x 2 + bx 2 f 1 = df/dx 1 = 6x 1 2 x 2 + 3x 2 y 2 = dy/dx 2 = ax 1 n + bx 1 f 2 = df/dx 2 = 2x 1 3 + 3x 1 f 11 = d 2 f/dx 1 2 = 12x 1 x 2 f 22 = d 2 f/dx 2 2 = 0 f 12 = f 21 = d 2 f/dx 1 dx 2 = d 2 f/dx 2 dx 1 = 6x 1 2 + 3
Syarat-syarat untuk ekstremum fungsi  Z = f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,…,x n ) Syarat maksimum minimum Order pertama Order kedua f 1 = f 2 = f 3 = … = f n = 0 atau  d 2 z definit negatif f 1 =f 2 = f 3 = … = f n = 0 atau   d 2 z definit positif
Syarat-syarat  untuk  ekstremum  berkendala  :    Z  =  f(x 1 ,x 2 ,…,x n )  yang  memenuhi konstren (kendala) g(x 1 ,x 2 ,…,x n ) = c  dengan Z = f(x 1 ,x 2 ,…,x n ) + …(c – g (x 1 ,x 2 ,…,x n ) Syarat maksimum minimum Order pertama Order kedua Z…= Z 1 = Z 2 =…= Z n = 0 atau dz = 0 terikat pada g = c
atau d 2 z definit negatif, terikat pada dg = 0
Z…= Z 1 = Z 2 =…= Z n = 0 atau dz = 0 terikat pada g = c
atau  d 2 z  definit  positif,  terikat pada dg = 0

## Metode Substitusi
Sebagaimana  yang  telah  disebutkan  di  atas,  untuk  memecahkan  problem opimum terutama yang sederhana, bisa dikerjakan dengan metode subtsitusi. Bahasan kita mulai dengan memperhatikan fungsi utilitas U = 3Q 1 Q 2 + 3Q 2 yang dihadapi oleh sekelompok  pelanggan  dengan  menambahkan  sebuah  konstren  anggaran  belanja (budget)  yang  dimiliki  oleh  pelanggan  tersebut.  Jika  pelanggan  menyediakan anggaran sebesar 100 untuk membeli kedua jenis barang Q 1 dan Q 2 , sementara harga yang berlaku untuk Q 1 dan Q 2 berturut-turut adalah 20 dan 10 maka persamaan linear untuk anggaran tersebut ialah 20Q 1 + 10Q 2 = 100.
Untuk mencari nilai optimal dari problem sederhana di atas kita masih bisa menggunakan teknik-teknik sebagai berikut:
U = 3 Q 1 Q 2 + 3 Q 2 ………………………………………………………..(1) 20 Q 1 + 10 Q 2 = 100                           2 Q 1 + Q 2 = 10 Q 2 = 10 – 2 Q 1 ……………….(2)
Sekarang substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh
U = 3 Q 1 (10 – 2 Q 1 ) + 3 (10 – 2 Q 1 ) = 30 Q 1 – 6 Q 1 2 + 30 – 6 Q 1 = – 6 Q 1 + 24 Q 1 + 30
0 ; 0 ; 0 4 3 2       0 ,....., , 3 2     n ;.... 0 ; 0 ; 0 3 2 1       0 ; ; 2 1     n
Dari U = – 6Q 1 2 + 24Q 1 + 30 dapat ditentukan derivatif order pertama U 1 dU/dQ 1 = – 12Q 1 + 24
Agar diperoleh U maksimum maka Syarat perlunya ialah dU/dQ 1 = 0 yaitu – 12Q 1 + 24 = 0 Q 1 = 2 ……………………………………………………(3) Untuk mencari nilai Q 2 substitusikan (3) ke persamaan (2) sebagai berikut Q 2 = 10 – 2 (2) = 6 ……………………………………………………………..(4) Selanjutnya substitusikan nilai-nilai (3) dan (4) ke persamaan (1) U = 3 (2) (6) + 3 (6) = 54 Jadi, dengan nilai-nilai Q 1 = 2 dan Q 2 = 6 diperoleh nilai optimal berkendala U = 54

## Metode Pengali Lagrange
Cara  lain  yang  bisa  dipergunakan  untuk  memecahkan  problem  optimum dengan  fungsi  kendala  yang  lebih  kompleks  ialah  Metode  Pengali  (tak  tentu) Lagrange.  Inti  dari  metode  ini  ialah  mengubah  suatu  bentuk  fungsi  sedemikian  rupa sehingga syarat order pertama dari problem ekstrema bebas masih dapat dipergunakan untuk menyelesaikan suatu problem ekstrema (optimisasi) berkendala.
Untuk  mengetahui  bahwa  metode  Pengali  Lagrange  lebih  umum  dari  pada tehnik atau metode penyelesaian di atas, ada baiknya jika metode ini kita pergunakan untuk membahas atau menyelesaikan soal yang sama (seperti di atas).
Sebagaimana  telah  diperlihatkan  (dibahas)  di  atas,  proses  untuk memaksimalkan  nilai U pada  fungsi  utilitas U =  3 Q 1 Q 2 +  3 Q 2 yang  terikat  pada konstren 20 Q 1 + 10 Q 2 = 100 adalah merupakan sebuah problem optimisasi yang telah berhasil  kita  selesaikan  dengan  menggunakan  tehnik  atau  metode  yang  relatif sederhana. Namun untuk mengetahui dan membuktikan sifat umum metode Pengali
Lagrange, marilah problem tersebut di atas kita coba pemecahannya dengan menggunakan metode Pengali Lagrange.
Langkah  awal  yang  perlu  dilakukan  ialah  membentuk  sebuah  fungsi lagrange  yang  merupakan  sebuah  versi  modifikasi  dari  fungsi  objetif U (seperti  di atas) yang digabungkan dengan konstrennya dalam bentuk sebagai-berikut:
(lamda)  adalah  lambang  yang  merupakan  bilangan  yang  masih  belum  ditentukan, yang  disebut  sebagai  pengali  (tak  tentu)  lagrange.  Dalam  hal  ini,  jika  konstren tersebut  dapat  dipenuhi,  berapapun  besarnya  nilai      ,maka  suku  terakhir  pada persamaan di atas akan hilang sehingga fungsi U akan sama dengan dengan fungsi Z. Dengan demikian kita akan dapat melakukan optimisasi dengan tanpa harus terganggu lagi oleh konstrennya.
Namun  yang  menjadi  permasalahan  ialah  bagaimana  caranya  merekayasa fungsi  lagrange  tersebut  sehingga  konstrennya  hilang  dari  persamaan  fungsi Z (disebabkan karena telah terpenuhi tuntutan kontrennya). Dengan lain perkataan, kita
  2 1 2 2 1 10 20 100 3 3 Q Q Q Q Q Z      


bisa  menjalankan  proses  optimisasi  bebas  pada  fungsi U sebagai  kompensasi  atas optimisasi  berkendala  sehubungan  dengan  telah  terpenuhinya  kendala  (konstren) tersebut.
Teknik  untuk  memperoleh  hasil  yang  diharapkan  adalah  cukup  dengan menganggap bahwa    adalah sebagai suatu variable tambahan pada fungsi Z , yaitu Z = z (  , Q 1 ,Q 2 ). Dengan demikian syarat order pertama (syarat perlu) untuk ekstrem bebas akan terdiri dari himpunan-himpunan persamaan simultan sebagai-berikut.
Jika persamaan (1), (2) dan (3) diselesaikan secara simultan akan diperoleh nilai- nilai
Nilai-nilai di atas diperoleh dengan perhitungan sebagai berikut:
Sekarang subtitusikan (4) dan (5) pada (1) :
Subtitusikan (6) ke (4) :
Subsitusikan (6) ke (5) :
Dengan mensubstituskan nilai Q 1 = 2, Q 2 = 6 (dan            ) pada persamaan Z maka akan diperoleh nilai persamaan fungsi Z yang juga adalah nilai optimal fungsi U = 54. Adapun perhitungannya sebagai berikut :
Namun syarat cukup masih harus dipenuhi terlebih dahulu untuk menentukan apakah nilai-nilai Q 1 dan Q 2 yang diperoleh tersebut memang betul-betul merupakan nilai-nilai (output) yang memberikan nilai maksimum 54.
         3 ... .......... .......... .......... .......... 0 10 3 3 2 ... .......... .......... .......... .......... 0 20 3 1 ... .......... .......... .......... .......... 0 10 20 100 1 2 2 1 2 1 2 1                   Q Z Q Z Q Q Z dQ dz dQ dz d dz   10 9 2 1 6 , 2     dan Q Q       5 .......... .......... .......... .......... 10 3 3 0 10 3 3 4 .. .......... .......... 20 3 0 10 3 1 ......... .......... 0 10 20 100 3 10 3 1 1 1 3 20 2 2 2 2 1                          Q Q Q Q Q Q Q Q     10 9 3 400 3 360 3 400 3 360 3 200 3 200 3 60 3 300 3 200 3 200 3 60 3 20 3 10 3 1080 1200 0 0 0 100 0 10 20 100    
 
                              6 10 9 3 20 2   Q   2 3 6 3 10 3 10 9 1      Q 10 9        54 6 3 6 2 3    Z
Sebagaimana  telah  dilakukan  sebelumnya,  derifatif  order  kedua,  dalam  hal  ini  juga dapat dinyatakan dalam bentuk determinan, perlu ditentukan nilainya sebagai langkah untuk menentukan syarat cukup pada hasil proses optimisasi U = 54 di atas.
Untuk fungsi                                                berlaku ketentuan
d 2 z adalah
Dibaca determinan Hesse bertepi (Hesse bertepi) f(x,y ) dan g(x,y) = c berturut-turut adalah fungsi objektif dan konstren.
Akhirnya  marilah  sekarang  kita  menyelidiki  apakah  nila Z =54    ( U =  54) yang  diperoleh  karena  output Q 1 =  2  dan Q 2 =  6  adalah  betul-betul  telah  merupakan hasil yang optimal.
Derivatif order kedua fungsi Z ialah
Z 11 = 0 Z 12 = 3; dan dari 20 Q 1 + 10 Q 2 = 100
Z 21 = 3 Z 22 = 0 diperoleh g 1 =20 dan g 2 = 10
Karena              >  0  maka  54  adalah  memang  betul-betul  merupakan  hasil  yang optimal (maksimal) pada optimasi berkendala di atas.

## Tabel Analisis (lanjutan)
No Q 1 Q 2 2 Q 1 + Q 2 = 10 U Keterangan 1 2 3 4 1                 6                   10                    (54)         Optimal 2                 4                   10                     48 3                 8                   10                     48 4                 2                   10                     30
U = 3 Q 1 Q 2 +3 Q 2
Dari  tabel  di  atas  kita  memperoleh  informasi  bahwa  hasil  yang  optimal hanya dapat diperoleh melalui perhitungan-perhitungan yang sesuai dengan rumusan- rumusan yang berlaku pada optimisasi berkendala.
      y x g c y x f Z , ,     yy yx y xy xx x y x Z Z g Z Z g g g 0         0 1200 0 0 0 600 600 0 0 3 10 3 0 20 10 20 0           dengan jika negatif definit positif definit
            0 0 

## Kesimpulan
Kita telah cukup mengetahui bahwa matematika (dalam hal ini derivatif atau rumus-rumus  diferensial)  telah  banyak  membantu  kita  dalam  memecahkan  berbagai persoalan  dalam  bisnis  dan  ekonomi  khususnya  untuk  memecahkan  problem optimum.  Namun  perlu  dipahami  lebih  jauh  bahwa  segala  permasalahan  yang berkaitan  dengan  perhitungan  optimisasi  perlu  terlebih  dahulu  diterjemahkan  ke dalam bahasa matematika atau (dengan istilah lain) dibuat model matematikanya agar rumus-rumus  matematika  dapat  dipergunakan  untuk  memecahkan  masalah  tersebut secara memuaskan.
Khusus untuk pemecahan atau penyelesaian masalah optimisasi berkendala, bisa kita lakukan dengan pendekatan dan modifikasi dari fungsi matematisnya secara linear  maupun  non-linear,  agar  supaya  rumus-rumus  derivatif  bisa  dipergunakan. Modifikasi fungsi-fungsi tersebut bisa dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:
1. Metode Substitusi
2. Metode Pengali Lagrange

## Saran-Saran
Permasalahan  yang  dirumuskan  dan  dibahas  di  atas  hanyalah  merupakan suatu  kasus  umum  pada  optimisasi  berkendala,  tapi  dengan  kendala  non-negatif. Adapun  untuk permasalahan  umum  yang  berkendala (yang  telah  diterjemahkan  ke dalam bentuk fungsi tujuan f(x) dengan g(x) sebagai fungsi kendalanya), maka syarat perlu dan cukup yang harus dipenuhi ialah:
1. Syarat Perlu    : Syarat Karush-Kuhn-Tucker (KKT) untuk optimisasi
berkendala.
2. Syarat cukup  :  f(x) cekung
g i (x) cembung (i = 1, 2 , ..., m)

## Reference
Hillier, Frederick S. and Lieberman. Gerald J. Introdution to Operations Research. Fifth Edition, translated by Gunawan, Jakarta: Penerbit Erlangga, 1994.
Chiang, Alpha C. Fundamental Mothods of Mathematical Economics. 3rd Edition, tranlated by Sudigno, Jakarta: Penerbit Erlangga, 1983.
Dumairy. Soal-Jawab Matematika Untuk Bisnis Dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE, 1998.