ANALISIS KESTABILAN LOKAL TITIK EKUILIBRIUM MODEL EPIDEMI SEIV DENGAN PERTUMBUHAN LOGISTIK
(Local Stability Analysis of the SEIV Epidemic Model with Logistic Growth)
Joko Harianto 1 * ) , Inda Puspita Sari 2)
1) Fakultas MIPA, Universitas Cenderawasih
2) Fakultas Kedokteran, Universitas Cenderawasih Jl. Kampwolker, K ota Jayapura 99358, Papua
e-mail: * ) joharijpr88@gmail.com, indasarira@yahoo.co.id
* ) penulis korespondensi
Abstract. The  SEIV  model  uses  population  growth  which  is  assumed  to  follow logistical growth. The model is studied then analyzed. The analysis shows that the non-endemic (disease-free) equilibrium point is locally asymptotically stable when the basic reproduction number less than one, while the endemic equilibrium point is locally asymptotically stable when the basic reproduction number greater than one. Then a numerical simulation was carried out using Maple software to support the results of the local stability analysis of the equilibrium point. Based on numerical simulations, it shows that a disease will disappear from the population when the basic reproduction number less than one and for a long time a disease will remain in the population (still an epidemic) when the basic reproduction number greater than one.
Keywords: SEIV  model,  logistical  growth,  equilibrium  point,  basic  reproduction number
MSC2020: 92C60
Received: 13-02-2022, accepted: 19-03-2022

## 1. Pendahuluan
Vaksinasi  saat  ini  merupakan  tindakan  yang  sering  digunakan  untuk  mengendalikan penyebaran suatu penyakit di wilayah tertentu [1]. Moghadas dan J. Hui telah membahas model  dengan  melibatkan  vaksinasi  [2–3].  Model  yang  melibatkan  vaksinasi  terus dikembangkan  untuk  lebih  memahami  perilaku  dinamis  penyebaran  penyakit  menular secara kualitatif dan kuantitatif [4–14]. Namun, populasi pada semua model yang telah dibahas  tersebut  diasumsikan  tumbuh  secara  eksponensial.  Kenyataannya,  Verhulst mengemukakan bahwa populasi tidak selamanya naik secara ekponensial. Pertumbuhan logistik  perlu  dilibatkan  dalam  model  agar  model  tersebut  lebih  representatif  dalam mendeskripsikan  penyebaran  penyakit  yang  terjadi  baik  secara  kuantitatif  maupun kualitatif. Dengan demikian, analisis model epidemi SEIV yang melibatkan pertumbuhan populasi  secara  logistik  perlu  dipelajari.  Pembahasan  model  epidemi  SEIV  yang melibatkan pertumbuhan logistik pada populasinya hingga saat ini belum pernah dibahas. Oleh karena itu, tujuan dari pembahasan ini adalah menganalisis kestabilan lokal model epidemi SEIV yang melibatkan pertumbuhan logistik pada populasinya.

## 2. Metodologi
Pembahasan  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  literature  review.  Parameter yang  digunakan  dalam  model  bersumber  dari  beberapa  jurnal  ilmiah  internasional. Landasan teori yang digunakan yaitu teori kestabilan sistem dinamik dan formulasi the basic reproduction number pada sistem dinamik [15–16]. Alur pembahasan dimulai dari mempelajari  model  epidemi  SEIV  dalam  [5],  kemudian  model  tersebut  dimodifikasi dengan  asumsi  populasinya  tumbuh  secara  logistik.  Verhulst  mengemukakan  bahwa populasi tidak selamanya naik secara ekponensial. Pertumbuhan logistik perlu dilibatkan dalam model agar model tersebut lebih representatif dalam mendeskripsikan penyebaran penyakit yang terjadi baik secara kuantitatif maupun kualitatif. Dengan demikian, analisis model  epidemi  SEIV  yang  melibatkan  pertumbuhan  populasi  secara  logistik  perlu dipelajari.  Model  yang  dibentuk  merupakan  sistem  persamaan  diferensial  non  linier. Kemudian  sistem  tersebut  dianalisis  kestabilan  titik  ekuilibriumnya.  Simulasi  numerik model juga diberikan dalam pembahasan ini untuk mendukung hasil analisis yang telah diperoleh.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada  model  epidemi SEIV ,  populasi  dalam  suatu  lingkungan  diklasifikasikan kedalam  empat  subpopulasi  antara  lain  subpopulasi rentan  ( Susceptible) ,  subpopulasi terpapar (Exposed), subpopulasi  terinfeksi (Infected) dan  subpopulasi  vaksinasi (Vaccination) . Jumlah individu dalam populasi bergantung pada waktu. Oleh karena itu, Jumlah  individu  dalam  populasi  merupakan  suatu  fungsi  terhadap  waktu.  Waktu dinyatakan sebagai variabel 𝑡 . Jumlah subpopulasi rentan pada saat 𝑡 dinotasikan dengan 𝑆(𝑡) ,  jumlah  subpopulasi  terpapar  pada  saat 𝑡 dinotasikan  dengan 𝐸(𝑡) ,  jumlah subpopulasi  terinfeksi  pada  saat 𝑡 dinotasikan  dengan 𝐼(𝑡) dan  jumlah  subpopulasi vaksinasi  pada  saat 𝑡 dinotasikan  dengan 𝑉(𝑡) .  Populasi  dalam  pembahasan  ini diasumsikan tertutup, populasi bertambah karena terjadi kelahiran, kematian alami terjadi pada semua subpopulasi, pasien yang telah sembuh dari penyakit memperoleh kekebalan secara  permanen,  adanya  kontak  antara  individu  yang  terinfeksi  dengan  individu  yang rentan,  ataupun  dengan  individu  yang  terpapar  menjadi  pemicu  penyebaran  penyakit, kelahiran  terjadi  di  setiap  subpopulasi  dan  rentan  terhadap  penyakit.  Secara  skematik proses perubahan jumlah populasi karena epidemi disajikan dalam Gambar 1. Parameter 𝑟 menyatakan koefisien laju pertumbuhan intrinsik yang masuk pada subpopulasi rentan , 𝐾 menyatakan  koefisien  kapasitas  lingkungan, 𝜇 menyatakan  koefisien  laju  kematian alami  pada  masing-masing  subpopulasi, 𝛽 1 menyatakan  koefisien  laju  transimisi  (laju kontak) oleh individu terpapar, 𝛽 2 menyatakan koefisien laju transimisi (laju kontak) oleh individu terinfeksi penyakit, 𝛾 menyatakan koefisien laju individu dari kondisi terpapar menjadi  terinfeksi  penyakit  dan 𝛼 menyatakan  koefisien  laju  pemberian  vaksin  pada individu yang rentan pada penyakit.

## Gambar 1. Diagram skematik model epidemi SEIV
Model  epidemi SEIV secara  matematis  dirumuskan  sebagai  sistem  persamaan diferensial berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑟𝑆 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝛼𝑆 − 𝛽 1 𝑆𝐸 − 𝛽 2 𝑆𝐼 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝑆𝐸 + 𝛽 2 𝑆𝐼 − 𝛾𝐸 − 𝜇𝐸 ,                                          (1)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾𝐸 − 𝜇𝐼 ,
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆 − 𝜇𝑉 ,
dengan 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑉 ≥ 0, untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡 0 . Jika 𝐼 = 0 , maka diperoleh titik ekuilibrium non-endemik yaitu
𝑃 0 (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑉 ∗ ) = 𝑃 0 ( 𝐾(𝑟 − 𝛼) 𝑟 , 0,0, 𝛼𝐾(𝑟 − 𝛼) 𝑟𝜇 )
dan  jika 𝐼 bernilai  positif  maka  diperoleh  titik  ekuilibrium  endemik,  yaitu 𝑃 1 (𝑆 ∗∗ , 𝐸 ∗∗ , 𝐼 ∗∗ , 𝑉 ∗∗ ) ,  dengan 𝑆 ∗∗ = (𝛾+𝜇)𝜇 (𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) ; 𝐸 ∗∗ = 𝜇(𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛽 2 𝛾)(𝑟−𝛼)−𝑟𝜇(𝛾+𝜇)) 𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) 2 ; 𝐼 ∗∗ = 𝛾(𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛽 2 𝛾)(𝑟−𝛼)−𝑟𝜇(𝛾+𝜇)) 𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) 2 ; dan 𝑉 ∗∗ = 𝛼(𝛾+𝜇) 𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 .
Dengan menggunakan ide dari Driessche [15], diperoleh bilangan reproduksi dasar untuk Sistem (1), adalah:
𝑅 0 = 𝛾𝛽 2 𝐾(𝑟−𝛼) 𝜇(𝛾𝑟+𝜇𝑟−𝛽 1 𝐾𝑟+𝛽 1 𝐾𝛼) .
Nilai 𝑅 0 selanjutnya digunakan sebagai syarat cukup eksistensi titik ekuilibrium sekaligus kestabilan titik ekuilibrium Sistem (1).
Teorema 1 . Jika 𝑅 0 ≤ 1 dan 𝑟 > 𝛼 maka terdapat satu (tunggal) titik ekuilibrium Sistem (1), yaitu titik ekuilibrium non-endemik 𝑃 0 . Selanjutnya, jika 𝑟𝛾 + 𝑟𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟 − 𝛼) dan 𝑅 0 > 1, maka  diperoleh  dua  titik  ekuilibrium  Sistem  (1),  yaitu  titik  ekuilibrium  non- endemik 𝑃 0 dan endemik 𝑃 1 .
Bukti. Saat 𝐼 = 0 diperoleh  titik  ekuilibrium  non-endemik 𝑃 0 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑉 ∗ ) . Selanjutnya, perhatikan bahwa 𝑆 ∗ dan 𝑉 ∗ merupakan jumlah subpopulasi yang bernilai positif dengan 𝑟 > 𝛼 . Eksistensi titik ekuilibrium non-endemik 𝑃 0 tidak bergantung pada 𝑅 0 ,  sehingga  untuk  setiap  kondisi  yang  melibatkan 𝑅 0 titik  ekuilibrium  non-endemik selalu  ada.  Selanjutnya  dari  Sistem  (1)  diperoleh  titik  ekuilibrium  endemik  yaitu 𝑃 1 (𝑆 ∗∗ , 𝐸 ∗∗ , 𝐼 ∗∗ , 𝑉 ∗∗ ) dengan 𝑆 ∗∗ = (𝛾+𝜇)𝜇 (𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) ; 𝐸 ∗∗ = 𝜇(𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛽 2 𝛾)(𝑟−𝛼)−𝑟𝜇(𝛾+𝜇)) 𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) 2 ;
𝐼 ∗∗ = 𝛾(𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛽 2 𝛾)(𝑟−𝛼)−𝑟𝜇(𝛾+𝜇)) 𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) 2 ; dan 𝑉 ∗∗ = 𝛼(𝛾+𝜇) 𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 .
Perhatikan  bahwa 𝑆 ∗∗ dan 𝑉 ∗∗ bernilai  positif  karena  semua  parameter  model  bernilai positif.  Nilai 𝐸 ∗∗ dan 𝐼 ∗∗ ekuivalen   dengan 𝐸 ∗∗ = 𝜇(𝑟𝛾+𝑟𝜇−𝛽 1 𝐾(𝑟−𝛼)) 𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) 2 (𝑅 0 − 1) dan
𝐼 ∗∗ = 𝛾(𝑟𝛾+𝑟𝜇−𝛽 1 𝐾(𝑟−𝛼)) 𝐾(𝜇𝛽 1 +𝛾𝛽 2 ) 2 (𝑅 0 − 1) . Nilai 𝐸 ∗∗ dan 𝐼 ∗∗ positif jika 𝑟𝛾 + 𝑟𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟 − 𝛼) dan 𝑅 0 > 1. Dengan kata lain, jika 𝑟𝛾 + 𝑟𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟 − 𝛼) dan 𝑅 0 > 1 dipenuhi maka diperoleh  satu  titik  ekuilibrium  endemik,  yaitu 𝑃 1 (𝑆 ∗∗ , 𝐸 ∗∗ , 𝐼 ∗∗ , 𝑉 ∗∗ ) pada  Sistem  (1). Akibatnya,  secara  keseluruhan  diperoleh  dua  titik  ekuilibrium  Sistem  (1),  yaitu  titik ekuilibrium non-endemik 𝑃 0 dan endemik 𝑃 1 .
Teorema  2 .  Jika 𝑅 0 ≤ 1, 𝑟 > 𝛼 dan 𝛾 + 𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟−𝛼) 𝑟 maka  titik  ekuilibrium  non- endemik 𝑃 0 stabil asimtotik lokal dan jika 𝑅 0 > 1, maka titik ekuilibrium non-endemik 𝑃 0 tidak stabil.
Bukti. Persamaan  terakhir  pada  Sistem  (1)  tidak  berpengaruh  terhadap  persamaan lainnya sehingga matriks Jacobian Sistem (1) dapat direduksi menjadi
𝐽(𝑃 0 ) = [ 𝑟 (1 − 𝑆 ∗ 𝐾 ) − 𝑟𝑆 ∗ 𝐾 − 𝛼 −𝛽 1 𝑆 ∗ −𝛽 2 𝑆 ∗ 0 𝛽 1 𝑆 ∗ − 𝛾 − 𝜇 𝛽 2 𝑆 ∗ 0 𝛾 −𝜇 ] .
Persamaan karakteristik dari 𝐽(𝑃 0 ) adalah
[𝜆 − 𝑟 + 2𝑟𝑆 ∗ 𝐾 + 𝛼][(𝜆 − 𝛽 1 𝑆 ∗ + 𝛾 + 𝜇)(𝜆 + 𝜇) − 𝛾𝛽 2 𝑆 ∗ ] = 0,
sehingga diperoleh nilai eigen 𝜆 1 = 𝛼 − 𝑟 . Karena syarat 𝑟 > 𝛼 maka 𝜆 1 bernilai negatif. Selanjutnya  dari  persamaan (𝜆 − 𝛽 1 𝑆 ∗ + 𝛾 + 𝜇)(𝜆 + 𝜇) − 𝛾𝛽 2 𝑆 ∗ diperoleh  persamaan karakteristik 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 + 𝑎 0 = 0 dengan 𝑎 1 = − 𝛽 1 𝑆 ∗ + 𝛾 + 2𝜇 dan 𝑎 0 = (𝛾 + 𝜇 − 𝛽 1 𝑆 ∗ )𝜇 − 𝛾𝛽 2 𝑆 ∗ . Jika dilibatkan 𝑅 0 , maka
𝑎 1 = 𝜇 + (𝛾 + 𝜇 − 𝛽 1 𝑆 ∗ )(1 − 𝑅 0 ) + 𝛾𝛽 2 𝑆 ∗ 𝜇 dan 𝑎 0 = (𝛾 + 𝜇 − 𝛽 1 𝑆 ∗ )𝜇(1 − 𝑅 0 ) .
Karena 𝑅 0 < 1 dan 𝛾 + 𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟−𝛼) 𝑟 maka 𝑎 1 > 0 dan 𝑎 0 > 0 .  Dengan  demikian, seluruh akar persamaan karakteristik tersebut bernilai negatif berdasarkan kriteria Routh- Hurwitz. Jadi  disimpulkan  bahwa  titik  ekuilibrium 𝑃 0 stabil  asimtotik  lokal  karena seluruh nilai eigen dari matriks 𝐽(𝑃 0 ) bernilai negatif.
Teorema  3 .  Jika 𝑅 0 > 1, 𝛾 + 𝜇 > 𝛽 1 𝑆 ∗∗ atau (𝛾 + 𝜇)(𝜇𝛽 1 + 𝛾𝛽 2 ) > 𝛽 2 dan 𝛽 1 𝜇 + 𝛽 2 𝛾 < 1 maka titik ekuilibrium endemik 𝑃 1 stabil asimtotik secara lokal.
Bukti. Jelas bahwa titik ekuilibrium endemik 𝑃 1 ada saat 𝑅 0 > 1 , maka matriks Jacobian dari 𝐽(𝑃 1 ) adalah
𝐽(𝑃 1 ) = [ 𝑟 − 2𝑟𝑠 𝐾 − 𝛼 − 𝛽 1 𝐸 ∗∗ − 𝛽 2 𝐼 ∗∗ −𝛽 1 𝑆 ∗∗ −𝛽 2 𝑆 ∗∗ 𝛽 1 𝐸 ∗∗ + 𝛽 2 𝐼 ∗∗ 𝛽 1 𝑆 ∗∗ − 𝛾 − 𝜇 𝛽 2 𝑆 ∗∗ 0 𝛾 −𝜇 ] .
Persamaan karakteristik 𝐽(𝑃 1 ) yaitu 𝜆 3 + 𝑏 1 𝜆 2 + 𝑏 2 𝜆 + 𝑏 3 = 0 dengan
𝑏 1 = 𝜇 + 𝛾 + 𝜇 − 𝛽 1 𝑆 ∗∗ + 𝑟𝑆 ∗∗ 𝐾 , 𝑏 2 = 𝑟𝑆 ∗∗ 𝐾 (𝜇 + 𝛾 + 𝜇 − 𝛽 1 𝑆 ∗∗ ) + (𝛽 1 𝐸 ∗∗ + 𝛽 2 𝐼 ∗∗ )𝛽 1 𝑆 ∗∗ , 𝑏 3 = (𝛽 1 𝐸 ∗∗ + 𝛽 2 𝐼 ∗∗ )(𝛽 1 𝑆 ∗∗ 𝜇 + 𝛽 2 𝛾𝑆 ∗∗ ) > 0 , 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 3 = (𝜇 + 𝛽 2 𝛾𝑆 ∗∗ 𝜇 + 𝑟𝑆 ∗∗ 𝐾 ) ( 𝑟𝑆 ∗∗ 𝐾 (𝜇 + 𝛽 2 𝛾𝑆 ∗∗ 𝜇 )) + (𝛾 + 𝜇)𝐸 ∗∗ (1 − (𝛽 1 𝜇 + 𝛽 2 𝛾)) .
Nilai 𝑏 1 dan 𝑏 2 positif  karena 𝛾 + 𝜇 > 𝛽 1 𝑆 ∗∗ atau (𝛾 + 𝜇)(𝜇𝛽 1 + 𝛾𝛽 2 ) > 𝛽 2 (𝛾 + 𝜇)𝜇 . Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  semua  akar  persamaan  karakteristiknya  bernilai negatif jika dipenuhi 𝑏 1 > 0, 𝑏 2 > 0, 𝑏 3 > 0 dan 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 3 > 0. Kemudian, 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 3 bernilai positif karena 𝛽 1 𝜇 + 𝛽 2 𝛾 < 1 . Dengan demikian syarat 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 3 > 0 dipenuhi. Jadi, titik ekuilibrium 𝑃 1 (𝑆 ∗∗ , 𝐸 ∗∗ , 𝐼 ∗∗ ) stabil asimtotik secara lokal.
Berikut  ini  digambarkan  solusi  numerik  Sistem  (1)  menggunakan Maple .  Simulasi  ini diberikan  untuk  mendukung  hasil  analisis  kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium 𝑃 0 dan 𝑃 1 yang telah diperoleh. Simulasi numerik Sistem (1) diuraikan berdasarkan nilai bilangan reproduksi dasar.
Tabel 1. Nilai parameter untuk simulasi numerik saat 𝑅 0 < 1 Parameter Estimasi 𝑟 0,6 per hari 𝐾 10.000 jiwa 𝛼 0,2 per hari 𝛾 0,5 per hari 𝛽 1 0,0000002 per hari 𝛽 2 0,0000001 per hari 𝜇 0,004 per  hari
Berdasarkan  nilai  parameter  pada  Tabel  1  didapatkan  bilangan  reproduksi  dasarnya sebesar 0.17 ( 𝑅 0 < 1 ).  Jumlah  awal  masing-masing  subpopulasi,  yaitu 𝑆(0) = 10.000, 𝐸(0) = 5.000, 𝐼(0) = 1.000 dan 𝑉(0) = 5.500 .  Dari  hasil  analisis  eksistensi titik  ekuilibrium  secara  analitik  diperoleh  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit 𝑃 0 (6.666; 0; 0; 333.333) .  Dari  hasil  simulasi  numerik  dengan  menggunakan software
Maple diperoleh  grafik  yang  menunjukkan  hubungan  jumlah  subpopulasi  yang  rentan, subpopulasi terpapar, subpopulasi yang terinfeksi dan subpopulasi yang telah mengalami proses vaksinasi terhadap variabel waktu sebagai berikut.
Gambar 2. Grafik jumlah subpopulasi V terhadap waktu ( t ) saat 𝑅 0 <  1
Gambar 3 . Grafik jumlah subpopulasi S, E dan I terhadap waktu ( t ) saat 𝑅 0 <  1
Gambar 2 menunjukkan bahwa dalam waktu kurang dari 1.000 hari, jumlah individu yang telah  mengalami  proses  vaksinasi mengalami  peningkatan  dari  yang  awalnya 5.500 naik mendekati angka 333.333 dan sampai waktu yang tak terhingga jumlah individu relatif stabil di  angka 333.333 . Gambar  3  menunjukkan  bahwa  dalam  waktu  kurang  dari 100 hari, jumlah  individu  yang  rentan  mengalami  penurunan  dari  yang  awalnya 10.000 turun mendekati  angka 6.666 dan  sampai  waktu  yang  tak  terhingga  jumlah  individu  relatif stabil  di  angka 6.666 .  Jumlah  individu  yang  menunjukan  gejala-gejala  penyakit  akan mengalami  penurunan  menuju  0. Jumlah individu yang terinfeksi  yang  awalnya 1.000 mengalami  peningkatan  yang  signifikan  dalam  kurun  waktu 100 hari,  kemudian jumlahnya  akan  turun  menuju  0.  Ini  dikarenakan  pengaruh  vaksinasi.  Hal  ini  berarti bahwa pergerakan solusi semakin lama akan mendekati titik 𝑃 0 atau dengan kata lain saat 𝑅 0 < 1 maka jumlah setiap subpopulasi relatif stabil pada titik 𝑃 0 .
Tabel 1. Nilai parameter untuk simulasi numerik saat 𝑅 0 > 1 Parameter Estimasi 𝑟 0,6 per hari 𝐾 1.000.000 jiwa 𝛼 0,3 per hari 𝛾 0,45 per hari 𝛽 1 0,0000002 per hari 𝛽 2 0,00000015 per hari 𝜇 0,004 per hari
Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 2 didapatkan bilangan reproduksi dasar sebesar 24,4 ( 𝑅 0 > 1 ). Jumlah awal masing-masing subpopulasi, yaitu 𝑆(0) = 10.000, 𝐸(0) = 5.000, 𝐼(0) = 1.000 dan 𝑉(0) = 5.500 .  Dari  hasil  analisis  eksistensi  titik  ekuilibrium secara analitik diperoleh titik ekuilibrium 𝑃 1 = (26.588; 16.635; 1.871.465; 1.994.143) .  Dari  hasil  simulasi  numerik  dengan menggunakan software  Maple diperoleh  grafik  yang  menunjukan  hubungan  jumlah subpopulasi  rentan,  subpopulasi  terpapar,  subpopulasi  terinfeksi  dan  subpopulasi divaksin terhadap variabel waktu sebagai berikut.
Gambar 4. Grafik waktu ( t ) terhadap jumlah subpopulasi S dan E saat 𝑅 0 >  1
Gambar 5. Grafik waktu ( t ) terhadap jumlah subpopulasi I dan V saat 𝑅 0 >  1
Gambar 4 menunjukkan jumlah individu rentan awalnya 10.000 mengalami peningkatan sampai  hari  ke- 30 .  Kemudian  terjadi  penurunan  sampai  hari  ke- 800 dengan  jumlah individu  akan  mendekati  angka 26.588 dan  sampai  waktu  yang  tak  terhingga  jumlah individu relatif stabil di angka 26.588 . Jumlah Individu terpapar penyakit awalnya 5.000 kemudian  mengalami  peningkatan  sampai  hari  ke 100 .  Selanjutnya,  terjadi  penurunan sampai  hari  ke- 800 mendekati  angka 16.635 dan  sampai  waktu  yang  tak  terhingga jumlah individu relatif stabil di angka 16.635 .
Berdasarkan Gambar 5 dapat dilihat peranan vaksinasi dalam menekan jumlah individu yang  terinfeksi  penyakit.  Individu  yang  telah  mengalami  proses  vaksinasi awalnya berjumlah 5.500 kemudian  mengalami  peningkatan  sampai  hari  ke- 110 .  Selanjutnya, terjadi  penurunan  sampai  dengan  hari  ke-1400  dengan  jumlah  individu  yang  telah mengalami  proses  vaksinasi  mendekati 1.994.143 .  Dalam  waktu  yang  tak  terhingga jumlah individu yang telah mengalami proses vaksinasi relatif stabil di angka 1.994.143 . Peningkatan  individu  yang  terinfeksi  penyakit  dapat  dilihat  pada  hari  ke- 50 .  Individu yang  terinfeksi  penyakit  awalnya  berjumlah 1.000 kemudian  mengalami  penurunan sampai  dengan  hari  ke- 600 dengan  jumlah  individu  yang  terinfeksi  mendekati 1.871.465 . Dalam waktu yang tak terhingga jumlah individu yang terinfeksi relatif stabil di  angka 1.871.465 .  Hal  ini  berarti  bahwa  pergerakan  solusi  semakin  lama  akan mendekati  titik 𝑃 1 atau  dengan  kata  lain  saat 𝑅 0 > 1 maka  jumlah  setiap  subpopulasi relatif stabil pada titik 𝑃 1 .

## 4. Kesimpulan
Jika 𝑅 0 ≤ 1 dan 𝑟 > 𝛼 maka  diperoleh  satu  (tunggal)  titik  ekuilibrium  pada  model epidemi  SEIV,  yaitu  titik  ekuilibrium  non-endemik 𝑃 0 . Selanjutnya,  jika 𝑟𝛾 + 𝑟𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟 − 𝛼) dan 𝑅 0 > 1, maka  diperoleh  dua  titik  ekuilibrium,  yaitu  titik  ekuilibrium non-endemik 𝑃 0 dan  endemik 𝑃 1 . Jika 𝑅 0 ≤ 1, 𝑟 > 𝛼 dan 𝛾 + 𝜇 > 𝛽 1 𝐾(𝑟−𝛼) 𝑟 maka titik ekuilibrium 𝑃 0 stabil  asimtotik  lokal  dan  jika 𝑅 0 > 1, maka  titik  ekuilibrium 𝑃 0 tidak stabil.  Jika 𝑅 0 > 1, 𝛾 + 𝜇 > 𝛽 1 𝑆 ∗∗ atau (𝛾 + 𝜇)(𝜇𝛽 1 + 𝛾𝛽 2 ) > 𝛽 2 dan 𝛽 1 𝜇 + 𝛽 2 𝛾 < 1 maka  titik  ekuilibrium  endemik 𝑃 1 stabil  asimtotik  lokal.  Simulasi  numerik  yang diberikan mendukung hasil analisis tersebut.

## Daftar Pustaka
[1] Liu,  H.,  Xu,  H.,  Yu,  J.,  Zhu,  G.,  (2005),  Stability  on  coupling  SIR  epidemic model  with  vaccination, Journal  of  Applied  Mathematics 2005(4) ,  301-319. https://doi.org/10.1155/JAM.2005.301
[2] Hui,  J.  and  Zhu,  D.,  (2005),  Global  stability  and  periodicity  on  SIS  epidemic models  with  backward  bifurcation, Computers  and  Mathematics  with Applications 50(8–9) , 1271-1290. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2005.06.003
[3] Moghadas, S. M. and Gumel, A. B., (2003), A mathematical study of a model for childhood  diseases  with  non-permanent  immunity, Journal  of  Computational and  Applied  Mathematics 157(2) ,  347-363.  https://doi.org/10.1016/S0377- 0427(03)00416-3
[4] Adebimpe, O., Abiodun, O., Oludoun, O., Gbadamosi, B., (2020), Analysis of an SEIV Epidemic Model with Temporary Immunity and Saturated Incidence Rate, in 2020  International  Conference  in  Mathematics,  Computer  Engineering  and Computer Science, ICMCECS 2020 , 1-5.
https://doi.org/10.1109/ICMCECS47690.2020.246981
[5] Zhou, X. and Cui, J., (2011), Analysis of stability and bifurcation for an SEIV epidemic  model  with  vaccination  and  nonlinear  incidence  rate, Nonlinear Dynamics 63(4) , 639-653. https://doi.org/10.1007/s11071-010-9826-z
[6] Cai,  L.  M.  and  Li,  X.  Z.,  (2009),  Analysis  of  a  SEIV  epidemic  model  with  a nonlinear  incidence  rate, Applied  Mathematical  Modelling 33(7) , 2919-2926. https://doi.org/10.1016/j.apm.2008.01.005
[7] Hui,  J.  and  Zhu,  D.,  (2005),  Global  stability  and  periodicity  on  SIS  epidemic models  with  backward  bifurcation, Computers  and  Mathematics  with Applications 50(8–9) , 1271-1290. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2005.06.003
[8] Li, Z., Hong, J., Yu, C., & Sun, Z., (2018), Awareness design and analysis upon two  infectious  states  based  on  susceptible-exposed-infected-vigilant  (SEIV) model, 2017 Asian Control Conference, ASCC 2017 , 2018 - January, 2334-2339. https://doi.org/10.1109/ASCC.2017.8287539
[9] Bai, M. and Ren, L., (2015), An SEIV epidemic model for childhood diseases with partial permanent immunity, Computational and Mathematical Methods in Medicine 2015 , 1-13. https://doi.org/10.1155/2015/420952
[10] Adebimpe,  O.,  (2014),  Stability  analysis  of  a  SEIV  epidemic  model  with saturated  incidence  rate, British  Journal  of  Mathematics  &  Computer  Science 4(23) , 3358-3368. https://doi.org/10.9734/bjmcs/2014/2758
[11] Abdulrazak,  A.  J.,  Ibrahim,  M.  O.,  Usman,  I.  O.,  (2012),  A  seiv  vaccination model  with  general  non-linear  incidence  rate  and  waning  preventive  vaccine, IOSR Journal of Mathematics 4(2) , 44-51. https://doi.org/10.9790/5728-0424451
[12] Renald,  E.,  Kuznetsov,  D.  and  Kreppel,  K.,  (2019),  Sensitivity  analysis  and numerical  simulation  of  a  SEIV  basic  Dog-Rabies  mathematical  model  with control, International  Journal  of  Advances  in  Scientific  Research  and Engineering 05(09) , 142-148. https://doi.org/10.31695/ijasre.2019.33526
[13] Hikal, M. M., (2014), Dynamic properties for a general SEIV epidemic model, Electronic  Journal  of  Mathematical  Analysis  and  Applications 2(1), 26-36. http://math-frac.org/Journals/EJMAA/Vol2(1)_Jan_2014/
[14] Joseph, G.A. and Balamuralitharan, S., (2020), Global stability analysis of human SEIV-mosquitoes  SEI  model  for  malaria  transmission,  in AIP  Conference Proceedings , 1200031-1200037. https://doi.org/10.1063/5.0025240
[15] Driessche  van  den,  P.,  (2017),  Reproduction  numbers  of  infectious  disease models, Infectious Disease Modelling 2(3) , 288-303.
https://doi.org/10.1016/j.idm.2017.06.002
[16] Perko, L., (2001), Differential Equations and Dynamical Systems , Springer, New York.