Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34

## PENENTUAN PREMI TUNGGAL BERSIH ASURANSI JIWA BERJANGKA BERDASARKAN STATUS MULTIPLE DECREMENT

## Fitriani, Aprida Siska Lestia, Yuana Sukmawaty
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan Email: fitrianimatahari@gmail.com

## ABSTRACT
Insurance  is  an  attempt  of  risk  diversion  by  the  insured  person  to  the  insurance company.  The  risk  is  referred  to  the  future  event  that  will  potentially  cause  a financial loss. Based on many risk factors,the status of insurance was divided into a single  decrement  and  a  multiple  decrement.  In  single  decrement,  the  only  factor caused benefit payment is death, while in multiple decrement there is more than one factors  caused  benefit  payment.  As  a  consequence,  beside  the  random  variable  of time until termination 𝑇 , there is another random variable appears that is the cause of decrement 𝐽 .  The  aim  of  this  study  was  to  describe  the  development  process  of  a multiple  decrement  table  and  determine  net  single  premium  based  on  multiple decrement status. This study was conducted by describing the construction process of components  in  the  multiple  decrement  table  using  joint  distribution  and  marginal distribution  for  each  random  variable.  This  study  is  a  various  equation  for constructing a multiple decrement table was obtained. That probability equation was also  used  to  form  the  net  single  premium  equation  of  term  insurance  based  on multiple decrement status by using probability function of time until termination and cause of termination.
Keywords: Term Insurance, Multiple Decrement, Net Single  Premium

## ABSTRAK
Asuransi adalah sebuah bentuk pengalihan risiko dari tertanggung kepada perusahaan asuransi.  Risiko  yang  dimaksud  berupa  kejadian  pada  masa  akan  datang  yang berpotensi mengakibatkan  kerugian  finansial. Berdasarkan  banyaknya faktor  risiko, status  asuransi  dibagi  menjadi  dua  yaitu single decrement dan multiple decrement . Pada single decrement faktor  penyebab  terjadinya  pembayaran  santunan  hanya berupa kematian, sedangkan dalam multiple decrement terdapat lebih dari satu faktor yang  dipertimbangkan.  Konsekuensinya,  selain  variabel  acak  waktu  hingga  terjadi kegagalan 𝑇 , muncul variabel acak lainnya yaitu penyebab kegagalan 𝐽 . Tujuan dari penelitian ini adalah menjelaskan proses terbentuknya tabel multiple decrement dan menentukan premi tunggal bersih asuransi jiwa berjangka berdasarkan status multiple decrement .  Penelitian  ini  dilakukan  dengan  menjelaskan  proses  terbentuknya komponen  yang  membangun  tabel multiple decrement menggunakan  sebaran peluang  bersama  dan  sebaran  peluang  marginal  masing-masing  variabel  acak.  Dari penelitian  ini  diperoleh  berbagai  persamaan  yang  digunakan  untuk  membangun sebuah table multiple decrement. Persamaan peluang itu pula yang digunakan dalam
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34
membentuk rumusan premi tunggal bersih asuransi jiwa berjangka berdasarkan status multiple decrement dengan  menggunakan  fungsi  peluang  waktu  hingga  terjadinya kegagalan dan faktor penyebab kegagalan.
Kata Kunci : Asuransi Jiwa Berjangka, Multiple Decrement, Premi Tunggal Bersih

## 1. PENDAHULUAN
Asuransi  adalah  salah  sebuah  bentuk  pemindahan  risiko  dari  tertanggung kepada penanggung yang disebut perusahaan asurasi melalui sebuah kontrak tertulis. Kontrak  ini  disebut  dengan  polis  asuransi.  Sedangkan,  risiko  yang  dimaksud merupakan  segala  kemungkinan  dimasa  mendatang  yang  dapat  mengakibatkan kerugian secara finansial. Dilihat dari banyaknya risiko yang terlibat, asuransi jiwa dibagi  menjadi single decrement yang  hanya  memperhatikan  faktor  kematian  dan multiple decrement yang memperhatikan lebih dari satu faktor terjadinya kegagalan, yang  dinyatakan  sebagai  variabel  acak 𝐽 yang  menyatakan  faktor  penyebab kegagalan.
Terdapat  beberapa  faktor  kegagalan yang  mungkin  akan  mendatangkan risiko finansial  bagi  seseorang,  seperti  cacat  akibat  kecelakaan  sehingga  tidak  dapat  lagi bekerja,  dipecat  dari  pekerjaan,  dan  masih  banyak  lagi.  Tentunya  faktor-faktor tersebut  akan  memberikanpengaruh  terhadap  penentuan  peluang  terjadinya kegagalan.  Dalam  pemodelan  Asuransi  Jiwa,  perhitungan  peluang  dengan melibatkan    banyak  faktor  tersebut,  pada  akhirnya  akan  berpengaruh  kepada penentuan premi. Jika dalam model single dercrement perhitungan hanya begantung pada  distribusi  sisa  usia, 𝑇 yang  merupakan  sebuah  variabel  acak  kontinu,  maka dalam  penelitian  ini  peluang  akan  pula  melibatkan  distribusi 𝐽 ,  yang  merupakan variabel  acak  diskrit.  Kombinasi  kedua  distribusi  ini  akan  digunakan  untuk membangun peluang kegagalan yang selanjutnya akan digunakan untuk menentukan premi.
2. TINJAUAN PUSTAKA a. Teori Peluang Fungsi kepadatan peluang variabel acak diskrit dan kontinu dinyatakan sebagai berikut:
Definisi 1 [10]
Himpunan bilangan berurutan 𝑥, 𝑓 𝑥 adalah fungsi peluang atau sebaran peluang dari variabel acak diskrit 𝑋 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 𝑓 𝑥 1 (1) Dalam [1], kejadian saling bebas didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2 Fungsi 𝑓 𝑥 adalah fungsi kepadatan peluang (pdf) dari variabel acak kontinu 𝑋 , didefinisikan oleh himpunan bilangan real jika
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 (2)
Sedangkan,  fungsi distribusi kumulatif variabel acak diskrit dan kontinu dinyatakan sebagai berikut:
Definisi 3
Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari sebuah variabel acak diskrit X dengan distribusi peluang 𝑓 𝑥 adalah 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 𝑓 𝑡 , ∞ 𝑥 ∞ (3)

## Definisi 4
Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari sebuah variabel acak kontinu X dengan distribusi peluang 𝑓 𝑥 adalah 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, ∞ 𝑥 ∞ (4)

## Definisi 5 [1]
Fungsi kepadatan peluang bersama dari 𝑘 -dimensi variabel acak diskrit 𝑋 𝑋 , 𝑋 , … , 𝑋 didefinisikan dengan 𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 Pr 𝑋 𝑥 , 𝑋 𝑥 , … , 𝑋 𝑥 Untuk semua nilai yang mungkin 𝑥
𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 dari 𝑘 . Notasi 𝑋 𝑥 , 𝑋 𝑥 , … , 𝑋 𝑥 menyatakan irisan dari 𝑘 kejadian yang dinyatakan 𝑋 𝑥 ∩ 𝑋 𝑥 ∩ … ∩  𝑋 𝑥 Persamaan pada Definisi 5 dapat ditulis sebagai 𝑓 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 Pr 𝑋 𝑥 , 𝑋 𝑥 , … , 𝑋 𝑥 (5) Definisi 6 [1] Jika pasangan 𝑋 , 𝑋 dari variabel acak diskrit memiliki fungsi kepadatan peluang bersama 𝑓 𝑥 , 𝑥 , maka distribusi peluang marginal dari 𝑋 dan 𝑋 adalah 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑥 (6) dan 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑥 (7)

## Definisi 7
Jika pasangan 𝑋 , 𝑋 dari variabel acak kontinu memiliki fungsi kepadatan peluang bersama 𝑓 𝑥 , 𝑥 , maka distribusi peluang marginal dari 𝑋 dan 𝑋 adalah 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥 (8) dan 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥 (9)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34

## b. Distribusi Sisa Usia
Dalam  [2],  jika 𝑥 meninggal  pada  usia 𝑋 maka 𝑇 𝑥 𝑋 𝑥 menyatakan waktu hidup yang tersisa dari 𝑥 . Fungsi distribusi kumulatif dari 𝑇 𝑥 adalah sebagai berikut 𝐹 𝑡 𝑞 (10) Simbol 𝑞 menyatakan  peluang  sesorang  berusia 𝑥 tahun  akan  meninggal  dalam jangka  waktu 𝑡 tahundengan  kata  lain  meninggal  sebelum  usia 𝑥 𝑡 tahun. Sedangkan fungsi peluang bertahan hidupnya seseorang berusia 𝑥 akan hidup hingga usia 𝑥 𝑡 tahun dinyatakan sebagai berikut 𝑝 1 𝑞 (11) c. Laju Kematian ( Force of Mortality ) Laju kematian dinyatakan dengan 𝜇 𝑥 𝑓 𝑥 1 𝐹 𝑥 (12) Hubungan laju kematian dan peluang bertahan yaitu 𝑝 𝑒 (13) d. Hubungan Fungsi Tabel Mortalitas dan Distribusi Sisa Usia

## Definisi 11 Tabel Mortalitas (Sembiring, 1986)
Tabel mortalitas adalah tabel yang disusun berdasarkan data yang dikumpulkan dari sekelompok orang peserta asuransi dengan kondisi sama yang berisi riwayat kehidupan dari sekelompok orang tersebut.
Jumlah orang yang meninggal antara usia 𝑥 tahun dan 𝑥 𝑛 tahun dari 𝑙 yaitu 𝑑 𝑙 𝑙 (14) e. Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Berjangka Suatu  asuransi  apabila  memberikan  uang  pertanggungannya  pada  ahli  waris tertanggung  ketika  tertanggung  meninggal  sejak  disetujuinya  polis  asuransi  hingga jangka  waktu  tertentu  selama 𝑛 tahun  disebut  sebagai  asuransi  berjangka.  Premi tunnggal  bersih  untuk  asuransi  berjangka 𝑛 -tahun    dengan  pembayaran  manfaat kematian 𝑥 adalah 𝐸 𝑍 , dinotasikan 𝐴̅ : ⌉ dengan 𝑍 adalah fungsi dari 𝑇 𝐴̅ : ⌉ 𝐸 𝑍 𝐸 𝑧 𝑧 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑝 𝜇 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 (15)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini akan dilaksanakan melalui tahapan sebagai berikut: 4. HASIL DAN PEMBAHASAN a. Pembentukan Tabel Multiple Decrement
Variabel  acak  yang  menyatakan  waktu  hingga  terjadi  kegagalan  seseorang berusia 𝑥 dari  peserta  asuransi  dinyatakan  dengan 𝑇 𝑥 𝑇 ,  sedangkan  variabel acak  yang  menyatakan  penyebab  terjadinya  kegagalan  seseorang  berusia 𝑥 sebagai peserta  asuransi  dinyatakan  dengan 𝐽 𝑥 𝐽 .  Untuk 𝑚 faktor  penyebab  kegagalan
yang  bersifat  diskrit  berdasarkan  sifat  fungsi  peluang  pada  persamaan  (1),  dapat dinyatakan 𝑓 𝑗 1
dan untuk waktu sisa usia kasus yang merupakan variabel acak kontinu berdasarkan persamaan (2) diperoleh
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 1 Menjelaskan pembentukan sebaran peluang bersama variabel  acak  waktu  hingga terjadinya  ke-gagalan  dan penyebab decrement Menjelaskan pembentukan persamaan  peluang  meng- gunakan sebaran peluang marginal  variabel  acak  waktu hingga  terjadinya  kegagalan dan penyebab decrement Menentukan  persamaan  premi tunggal  bersih  asuransi  jiwa berjangka  berdasarkan  status multiple decrement Membangun  persamaan  untuk menentukan  premi  tunggal bersih. Membangun persamaan untuk menentukan peluang  terjadinya  kegagalan  untuk penyebab ke- 𝑗 Membangun persamaan untuk menentukan peluang  terjadinya  kegagalan  dengan memperhatikan seluruh faktor penyebab
Membangun persamaan untuk menentukan laju decrement dengan seluruh penyebab Membangun persamaan untuk menentukan laju decrement karena penyebab ke- 𝑗 Membangun persamaan untuk menentukan nilai tunai manfaat.
Membangun persamaan untuk menentukan nilai  premi  tunggal  bersih  asuransi  jiwa
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34
Fungsi  distribusi  bersama  seseorang  berusia 𝑥 tahun  akan  mengalami kegagalan  saat  usia 𝑥 𝑡 tahun  karena  penyebab  kegagalan  ke- 𝑗 dinyatakan dengan 𝑓 , 𝑠, 𝑗 dan fungsi distribusi kumulatifnya dinyatakan sebagai berikut 𝑓 , 𝑠, 𝑗 𝑑𝑠 Pr 0 𝑇 𝑡 ∩ 𝐽 𝑗 (16) Peluang  seseorang  berusia 𝑥 tahun  mengalami  kegagalan  karena  penyebab kegagalan ke- 𝑗 sebelum mencapai usia 𝑥 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑞 , notasi 𝑗 mengindikasikan  faktor  penyebab  kegagalan  dari  seseorang  berusia 𝑥 dalam waktu 𝑡 tahun, yaitu 𝑞 𝑓 , 𝑠, 𝑗 𝑑𝑠 (17) Peluang  seseorang  berusia 𝑥 akan  mengalami  kegagalan  dala  waktu 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑓 𝑡 , untuk 𝑡 0 berlaku 𝑓 𝑡 𝑓 , 𝑠, 𝑗 𝑑𝑠 (18) Adapun  hubungan  antara  peluang 𝑥 mengalami  kegagalan  (dengan mempertimbangkan  semua  faktor)  dalam 𝑡 tahun  atau 𝑞 dengan 𝑞 adalah sebagai berikut 𝑞 𝑞 (19) Dengan peluang selamat dari semua faktor kegagalan, yaitu 𝑝 Pr 𝑇 0 1 𝑞 (20) Hubungan laju decrement seseorang berusia 𝑥 tahun dan peluang seseorang berusia 𝑥 bertahan  dari  seluruh  penyebab  yang  mungkin  dapat  dinyatakan  dengan persamaan berikut 𝑝 e (21) Sehingga  peluang  seseorang  berusia 𝑥 mengalami  kegagalan  karena  penyebab  ke- 𝑗
dinyatakan sebagai
𝑞 𝑝 𝜇 𝑠 𝑑𝑠 (22)
Jumlah  orang  yang  mengalami  kegagalan  karena  seluruh  penyebab merupakan jumlahan dari jumlah orang yang mengalami kegagalan karena masing- masing penyebab kegagalan yang didefinisikan oleh
𝑑 𝑑 (23) Sedangkan  jumlah  orang  yang  mengalami  kegagalan  karena  penyebab  ke- 𝑗 dinyatakan sebagai 𝑑 𝑙 𝑞 (24)
Sehingga  jumlah  orang  yang  mengalami  kegagalan  karena  seluruh  penyebab  dapat dinyatakan sebagai berikut
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34 𝑑 𝑙 𝑞 (25) b. Associated Single Decrement Salah satu cara pembentukan tabel multiple decrement dapat dilakukan dengan menggunakan tabel associated single decrement . Jika, dalam sebuah cohort diketahui peluang  suatu  kejadian  dari  beberapa  risiko  yang  dipertanggungjawabkan,  maka peluang tersebut disebut dengan Associated single decrement dan dinyatakan sebagai berikut 𝑝 𝑒 (26) dan 𝑞 1 𝑝 (27) Untuk  membangun  sebuah  tabel multiple decrement ,  terdapat  beberapa asumsi yang digunakan yaitu  Hubungan Dasar Hubungan  antara  tabel multiple decrement dan  tabel associated single decrement yaitu 𝑝 𝑝′ (28)  Asumsi Laju Konstan Untuk Multiple Decrement Laju decrement untuk  fator  penyebab  kegagalan  ke- 𝑗 diasumsikan  bernilai konstan pada interval 𝑥, 𝑥 1 dan dinyatakan sebagai 𝜇 𝑡 𝜇 0 (29) Sehingga mengakibatkan 𝜇 𝑡 𝜇 𝑡 𝜇 0 (30)  Asumsi Distribusi Seragam Untuk Multiple Decrement Asumsi lain yang mungkin berlaku yaitu bahwa faktor penyebab kegagalan ke- 𝑗 dan  faktor  penyebab  kegagalan  dengan  memperhatikan  seluruh  faktor  dalam
multiple decrement berdistribusi  seragam  dengan  interval 𝑥, 𝑥 1 .  Hal  ini berakibat pada peluang kegagalan yang menjadi 𝑞 dan 𝑞 , sehingga 𝑞 𝑡𝑞 (31) Dan  peluang  seseorang  berusia 𝑥 mengalami  kegagalan  dengan  memperhatikan seluruh penyebab sebelum mencapai usia 𝑥 𝑡 adalah 𝑞 𝑡𝑞 𝑡𝑞 (32) c. Penentuan Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Berjangka Penerapan  asuransi  dalam  model multiple decrement muncul  ketika perhitungan tentang pembayaran benefit bergantung pada cara keluar dari grup yang berisi kehidupan. Misal, 𝐵 dinotasikan sebagai nilai benefit saat usia 𝑥 𝑡 yang disebabkan oleh  keluarnya  seseorang  pada  usia  tersebut  karenapenyebab  kegagalan
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34
ke- 𝑗 dengan  bunga 𝑣 .  Sedangkan  nilai  sekarang  aktuaria  yang  harus  dibayarkan untuk  mendapatkan  sejumlah  nilai  yang  sama  pada  saat  terjadi  kegagalan  dalam periode  waktu  sampai 𝑡 tahun  dinotasikan  dengan E 𝑍 .  Sehingga  premi  tunggal bersih asuransi jiwa berjangka 𝑛 -tahun berdasarkan status multiple decrement dengan pembayaran  manfaat  kegagalan  adalah E 𝑍 ,  dinotasikan  dengan 𝐴̅ dengan 𝑍 adalah fungsi dari 𝑇 dan diperoleh 𝐴̅ E 𝑍 𝐵 𝑣 𝑓 , 𝑡, 𝑗 𝑑𝑡 𝐵 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 (33)

## d. Aplikasi Pada Contoh
Misal,  seseorang  berusia 𝑥 mengikuti  asuransi  berjangka 𝑛 tahun  dengan benefit kegagalan  yang  disebabkan  oleh  kecelakaan  besarnya  adalah  dua  kali  dari kegagalan  karena  kematian  .  Dalam  hal  ini,  notasi  untuk  benefit  akibat  faktor kecelakaan dan kematian beserta nilainya berturut-turut dinyatakan sebagai, 𝐵 2 dan 𝐵 1 . Dari sisni, premi tunggal bersih dapat dinyatakan sebagai berikut 𝐴 𝐵 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 Pertama,  akan  diselesaikan  persamaan 2 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 terlebih  dahulu sehingga diperoleh persamaan berikut 2 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑣 𝑝 𝑣 𝑝 𝜇 𝑠 𝑘 𝑑𝑠
2𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 Menggunakan  cara  yang  sama,  persamaan 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 dapat  diselesaikan sebagai berikut 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34
Sehingga,  nilai  premi  tunggal  bersih  asuransi  jiwa  berjangka  menggunakan  model multiple decrement adalah sebagai berikut 𝐴̅ 2𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞
𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 2𝑞 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑞 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞 𝑖 𝛿 𝑣 𝑝 𝑞
𝐴̅ : ⌉ 𝐴̅ : ⌉ Notasi 𝐴̅ : ⌉ merupakan  nilai  premi  tunggal  bersih  asuransi  jiwa  berjangka 𝑛 tahun  dengan benefit sebesar  1  kepada  pemegang  polis  yang  mengalami  kegagalan karena kecelakaan. Sedangkan 𝐴̅ : ⌉ merupakan nilai premi tunggal bersih asuransi jiwa  berjangka 𝑛 tahun  dengan benefit sebesar  1  kepada  pemegang  polis  yang mengalami kegagalan karena penyebab lainnya.

## 5. PENUTUP
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut 1. Rumusan pembentuk komponen tabel multiple decrement , yaitu: a. Secara Langsung  𝑞 𝑝 𝜇 𝑠 𝑑𝑠  𝑞 𝑞  𝑙 𝑙 𝑝  𝑑 𝑙 𝑞  𝑑 𝑑 b. Rumusan  pembentuk  komponen  tabel multiple decrement dari  tabel associated single decrement  𝑝 𝑒
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p‐ISSN: 1978‐4422 | e‐ISSN 2656‐7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 25‐34  𝑞 𝑝′ 2. Premi  tunggal  bersih  asuransi  jiwa  berjangka  berdasarkan  status multiple decrement 𝐴̅ : | 𝐵 𝑣 𝑝 𝜇 𝑡 𝑑𝑡
6. DAFTAR PUSTAKA [1] Bain,  L.J.  &  Engelhardt,  M.  1992. Introduction To Probability And Mathematical Statistics. Edisi 2. Duxbury Thomson Learning, United States of America. [2] Bowers Jr, N.L., dkk. 1986. Actuarial Mathematics . The Society of Actuaries, Itasca. [3] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Bagian I . Rekaprint Utama, Tokyo. [4] Gerber, H.U. 1997. Life Insurance Mathematics . Edisi Ketiga. Springer, New York. [5] Iskandar,  K,  dkk.  2011. Joint Life Di dalam Asuransi: Jiwa Kesehatan dan Anuitas. Edisi Perdana. AAMAI, Jakarta. [6] Jordan  Jr,  C.W.  1991. Society of Actuaries’ Textbook on Life Contingencies . Edisi Kedua. The Society of Actuaries, Chicago. [7] Larson, R.E. & Gaumnitz, E.A. 1962. Life Insurance Mathematics. John Wiley & Sons, New York. [8] Ross, S.A. 1994. A First Course in Probability . Macmillan Collage Publishing Company, New York. [9] Sembiring, R.K. 2014. Asuransi I. Universitas Terbuka, Tangerang Selatan. [10] Walpole, R.E., dkk. 2011. Probability & Statistics for Engineers & Scientists . Edisi Kesembilan. Prentice Hall, New York.s