Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 75-86 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.9987

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik
Dara Irsalina 1 *, Retno Budiarti 2 , I Gusti Putu Purnaba 3 1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Institut Pertanian Bogor e-mail: darairsalina@apps.ipb.ac.id
Diajukan: 10 Agustus 2021, Diperbaiki: 15 September 2021, Diterima: 21 Oktober 2021

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji pengaruh inflasi terhadap strategi optimal pada investasi dan konsumsi dengan  nilai  suku bunga  dimodelkan menggunakan model Cox-Ingersol-Ross (CIR) dan volatilitas harga saham dimodelkan mengikuti  volatilitas model Heston. Aturan program dinamik digunakan sebagai metode untuk mendapatkan persamaan  Hamilton-Jacobi-Ballman (HJB) pada persamaan fungsi nilai dan memilih power utility sebagai fungsi utilitas . Solusi eksplisit dari investasi dan konsumsi optimal didapatkan dengan menggunakan teknik pemisah dan pemisalan variabel. Nilai-nilai parameter dari model didekati dengan menggunakan metode Euler-Maruyama dan metode Ordinary Least Square (OLS). Asumsikan portfolio investor terdiri atas sebuah aset berisiko dan sebuah aset bebas risiko. Data historis bulanan harga saham PT Telekomunikasi Indonesia (TLK) digunakan sebagai aset berisiko dan data historis bulanan BI 7-Day (Reverse) Repo Rate (BI7DRR) sebagai suku bunga aset bebas risiko, diperoleh hasil bahwa jumlah investasi pada saham berbanding lurus dengan imbal hasil saham dan inflasi tidak mempengaruhi jumlah investasi pada saham. Sedangkan konsumsi optimal berbanding lurus dengan jumlah kekayaan yang dimiliki namun berlaku sebaliknya terhadap inflasi ketika inflasi meningkat daya konsumsi investor menurun . Kata Kunci : program dinamik, kontrol optimal, investasi-konsumsi , CIR, Heston

## Abstract
The aim of this study is to investigate an optimal investment-consumption strategy under inflation rate with interest rate is described by Cox-Ingersol-Ross (CIR) model and volatility of the stock price is defined by Heston’s volatility model. A dynamic programming principle is used to obtain a Hamilton Jacobi Bellman (HJB) equation for the value function and choose a power utility function as utility function. The explicit solution of optimal investment and consumption are acquired with using separate variable and approach variable technique. The parameter’s values are approached by Euler-Maruyama method and Ordinary Least Square (OLS) method. Assumed that the portfolio of the investor contains a risk-free asset and a risk asset. Monthly historical data of TLK stock is used as risk asset and monthly historical data of BI 7-Day (Reverse) Repo Rate (BI7DRR) is used as risk-free asset, we obtain that the proportion of investment in stock is directly proportional to return of stock and the inflation rate does not have an impact on proportion investment in the stock. Meanwhile the optimal consumption of wealth is directly proportional to investor’s wealth and inversely proportional with inflation rate, which is the investor should consume less money of his wealth when the inflation rate increases.
Keywords : dynamic programming, optimal control, investment-consumption, CIR, Heston
76

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik

## 1 Pendahuluan
Strategi mengoptimalkan investasi dan konsumsi merupakan salah satu topik yang banyak dikaji saat ini. Konsep ini pertama kali dikemukakan oleh Merton. Merton [1,2] mempelajari strategi mengoptimalkan portfolio dan konsumsi dengan aturan program dinamik. Namun pada penelitiannya, Merton mengasumsikan suku bunga dan volatilitas bernilai konstan. Penelitian Merton tersebut memberikan inspirasi terhadap peneliti lainnya untuk mempelajari dan mengembangkan permasalahan tersebut, seperti Chang dan Rong [3] memaksimumkan utilitas investasi dan konsumsi pada seorang investor dengan menggunakan teori kontrol optimal. Namun pada penelitiannya, Chang dan Rong mengasumsikan suku bunga dan volatilitas harga aset dimodelkan menggunakan model diferensial stokastik.
Terdapat beberapa literatur yang menujukkan bahwa suku bunga dapat dimodelkan meng- gunakan model diferensial stokastik. Salah satunya yaitu model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Model CIR pertama kali diperkenalkan oleh Cox, Ingersoll, dan Ross pada 1985 untuk mempelajari struktur dari suku bunga dan bertujuan untuk mendeskripsikan evolusi dari suku bunga sebagai proses difusi [4]. Model CIR memperbaiki model Vasicek, untuk menghindari suku bunga bernilai negatif.
Di lain pihak, volatilitas harga aset dapat dimodelkan mengikuti volatilitas model stokastik Heston. Model Heston pertama kali diperkenalkan oleh Heston pada tahun 1993. Heston dapat menunjukkan bahwa logaritma imbal hasil aset berdistribusi normal dan dapat menunjukkan mean - reverting property dari volatilitas [5].
Dewasa ini, fenomena  inflasi menjadi salah satu perhatian utama berbagai negara, baik negara maju maupun negara berkembang. Ketika harga secara terus menerus naik, inflasi dapat menyebabkan distorsi dalam perilaku investasi dan sangat mempengaruhi kehidupan sehari-hari [6]. Secara definisi, inflasi merupakan suatu kecenderungan meningkatnya harga-harga barang dan jasa secara umum dan terus menerus [7]. Inflasi dapat mengakibatkan nilai dari suatu mata uang mengalami penurunan sehingga menyebabkan kenaikan harga dan daya beli masyarakat menurun.
Terdapat beberapa penelitian yang memperlajari strategi mengoptimalkan investasi dan konsumsi ketika diberikan faktor inflasi, seperti Wu [6] mempelajari masalah optimasi investasi dan konsumsi terhadap inflasi menggunakan model Markovian Regime, Chou et al. [8] mem- pelajari strategi optimasi portofolio dan konsumsi dengan atau tanpa efek inflasi, Mamun [9] mem- pelajari pengaruh laju inflasi terhadap keputusan alokasi aset investor di Amerika, dan Zhang dan Zheng [10] mengoptimalkan investasi dan reasuransi dengan tingkat suku bunga dan laju inflasi dimodelkan menggunakan model stokastik.

## 77 Dara Irsalina, Retno Budiarti, I Gusti Putu Purnaba
Penelitian ini mengikuti penelitian Chang dan Rong [3]  yaitu  memaksimumkan utilitas investasi dan konsumsi dengan menggunakan model CIR untuk menggambarkan suku bunga pada aset, dan volatilitas  model Heston untuk memodelkan volatilitas harga aset. Namun, pada penelitian ini akan dianalisis dampak dari solusi yang dihasilkan ketika diberikan efek inflasi sebagai risiko finansial. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji model CIR dan volatilitas model Heston, mengkaji pengaruh inflasi terhadap strategi optimal dalam permasalahan investasi dan konsumsi berdasarkan suku bunga yang dimodelkan menggunakan model CIR serta volatilitas harga aset yang dimodelkan mengikuti volatilitas pada model Heston, dan menerapkan model yang digunakan untuk data aset keuangan di Indonesia.

## 2 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini, aturan program dinamik digunakan untuk mendapatkan persamaan Hamilton Jacobi Bellman (HJB) pada fungsi nilai dan memilih fungsi power utility . Solusi eksplisit dari investasi dan konsumsi optimal didapatkan dengan menggunakan teknik pemisalan dan pemisahan variabel. Nilai-nilai parameter dari model didekati dengan menggunakan metode Euler- Maruyama dan metode Ordinary Least Square (OLS). Nilai-nilai parameter tersebut digunakan sebagai ilustrasi finansial dari investasi dan konsumsi optimal yang diperoleh.
Asumsikan portofolio investor terdiri atas sebuah aset berisiko dan aset bebas risiko, serta tidak adanya biaya transaksi dan semua aset diperdagangkan secara kontinu terhadap waktu, �𝑊𝑊 0 ( 𝑡𝑡 ), 𝑊𝑊 1 ( 𝑡𝑡 ), 𝑊𝑊 2 ( 𝑡𝑡 ) � merupakan gerak Brown yang diasumsikan saling bebas pada a given filtered complete probability space ( 𝛺𝛺 , ℱ , { ℱ 𝑡𝑡 } 𝑡𝑡∈ [ 0 , 𝑇𝑇 ] , 𝑃𝑃 ) , 𝑇𝑇 merupakan konstanta positif yang me- representasikan waktu berhingga investasi.

## 2.1 Pasar finansial
Asumsikan pasar finansial dibentuk dalam dua aset yaitu aset bebas risiko dan aset berisiko. Harga aset bebas risiko ( 𝐵𝐵 ( 𝑡𝑡 )) diformulasikan sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 . (1)
𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) merupakan nilai suku bunga aset bebas risiko pada waktu 𝑡𝑡 yang dimodelkan menggunakan model CIR:
𝑑𝑑𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜅𝜅 𝑟𝑟 �𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) �𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜂𝜂 1 �𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑊𝑊 0 ( 𝑡𝑡 ). (2)
𝑊𝑊 0 merupakan gerak Brown 1-dimensi, 𝜃𝜃 , 𝜅𝜅 𝑟𝑟 dan 𝜂𝜂 1 merupakan konstanta positif, 𝜂𝜂 1 merupakan volatilitas dari nilai suku bunga aset bebas risiko.
Harga aset berisiko dibentuk menggunakan model diferensial stokastik sebagai berikut:

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) = ( 𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 )) 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝛾𝛾�𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑊𝑊 1 ( 𝑡𝑡 ). (3)
( 𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 )) merupakan imbal hasil aset dan 𝛾𝛾 merupakan konstanta positif, dan 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) me- rupakan volatilitas dari harga  aset berisiko yang dimodelkan mengikuti volatilitas pada model Heston:
𝑑𝑑𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜅𝜅 𝜎𝜎 �𝜔𝜔 − 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) �𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜂𝜂 2 �𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑊𝑊 1 ( 𝑡𝑡 ). (4)
𝑊𝑊 1 merupakan gerak Brown 1-dimensi, 𝜅𝜅 𝜎𝜎 , 𝜔𝜔 dan 𝜂𝜂 2 merupakan konstanta positif, 𝜂𝜂 2 merupakan volatilitas dari volatilitas harga aset berisiko.

## 2.2 Tingkat Harga Nominal
Asumsikan 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) merupakan tingkat harga nominal per unit dari konsumsi pada waktu 𝑡𝑡 , maka perubahan 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) dapat dibentuk dalam persamaan diferensial stokastik berikut:
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 1 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜆𝜆 1 𝑑𝑑𝑊𝑊 2 ( 𝑡𝑡 ). (5)
𝜇𝜇 1 diasumsikan sebagai laju inflasi, 𝜆𝜆 1 merupakan volatilitas tingkat harga nominal, dan 𝑊𝑊 2 me- rupakan gerak Brown 1-dimensi.

## 2.3.  Evolusi Nilai Kekayaan
Misalkan kekayaan awal investor dinotasikan dengan 𝑋𝑋 0 > 0 dan kekayaan investor yang digunakan untuk berinvestasi pada waktu 𝑡𝑡 dinotasikan dengan 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ∈ [0, 𝑇𝑇 ]. Variabel 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) merupakan proporsi investasi di aset berisiko ( 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 )) pada waktu 𝑡𝑡 . � 1 − 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) � merupakan proporsi dari nilai kekayaan yang dimiliki untuk diinvestasikan pada aset bebas risiko. Sehingga evolusi kekayaan dapat disusun dengan persamaan diferensial mengikuti proses stokastik berikut:
𝑑𝑑𝑋𝑋� ( 𝑡𝑡 ) = 𝑋𝑋� ( 𝑡𝑡 ) �� 1 − 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) � − 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 . (6)
Substitusi Persamaan (1) dan (3) ke (6), maka didapatkan:
𝑑𝑑𝑋𝑋� ( 𝑡𝑡 ) = 𝑋𝑋� ( 𝑡𝑡 ) ��𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) 𝜆𝜆𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) �𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) 𝛾𝛾�𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑊𝑊 1 ( 𝑡𝑡 ) � − 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 .
Faktor inflasi memberikan dampak terhadap nilai kekayaan. Dengan menggunakan formula Ito, evolusi nilai kekayaan riil setelah dikenakan dampak inflasi dapat dimodelkan dengan model diferensial stokastik sebagai berikut:
𝑑𝑑 �𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑋𝑋� ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) � = �𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) ��𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) 𝜆𝜆𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) � + 𝜆𝜆 1 2 ( 𝑡𝑡 ) − 𝜇𝜇 1 ( 𝑡𝑡 ) � − 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) �𝑑𝑑𝑡𝑡 +
𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) 𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ) 𝛾𝛾�𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑊𝑊 1 ( 𝑡𝑡 ) − 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) 𝜆𝜆 1 𝑑𝑑𝑊𝑊 2 ( 𝑡𝑡 ).

## 2.4 Kriteria Optimisasi
Definisi 1 [3]  Strategi Terkenan ( Admissible Strategy )
Strategi investasi dan konsumsi optimal dapat digunakan jika mengikuti kondisi berikut:
Dara Irsalina, Retno Budiarti, I Gusti Putu Purnaba
i. ��𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ), 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) �� merupakan himpunan yang terukur secara progresif.
ii. 𝜋𝜋 𝑡𝑡 ≥ 0 dan 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) ≥ 0 untuk semua 𝑡𝑡 ≥ 0 .
iii. Untuk ∀�𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ), 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) � , perubahan persamaan kekayaan 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) yang dimodelkan dengan persamaan diferensial stokastik mempunyai solusi khusus.
Asumsikan Γ = � �𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ), 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) � : 𝑡𝑡 ∈ [0, 𝑇𝑇 ] � merupakan himpunan yang memenuhi ad- missible strategy . Investor ingin memaksimumkan expected discounted utility dari konsumsi pada waktu [0, 𝑇𝑇 ] dan kekayaan pada waktu 𝑇𝑇 . Fungsi tujuan untuk memaksimumkan utilitas dapat diekspresikan sebagai berikut:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 �𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ), 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) �∈Γ 𝐸𝐸 �𝛼𝛼 ∫ 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑡𝑡 𝑇𝑇 0 𝑈𝑈 1 �𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑑𝑑𝑡𝑡 + (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑇𝑇 𝑈𝑈 2 �𝑋𝑋 ( 𝑇𝑇 ) �� . (7)
𝑈𝑈 1 �𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) � dan 𝑈𝑈 2 �𝑋𝑋 ( 𝑇𝑇 ) � merupakan fungsi utilitas terhadap konsumsi dan nilai  kekayaan  riil ketika dikenakan faktor inflasi, parameter 𝛽𝛽 merupakan subjective discount rate, dan 𝛼𝛼 merupakan sensitivitas utilitas. Ketika 𝛼𝛼 = 0 , nilai harapan utilitas hanya bergantung pada nilai kekayaan.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Diskripsi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data historis suku bunga  BI 7-Day (Reverse) Repo Rate (BI7DRR) Mei 2011 hingga Mei 2018 bersumber dari www.bi.go.id diambil pada Senin 22 Maret 2021 , historis data harga saham bulanan PT Telekomunikasi Indonesia (TLK) periode Mei 2011 hingga Mei 2018 dikutip dari www.yahoofinance.com pada Senin 22 Maret 2021 , dan historis data volatilitas  harga saham  bulanan PT Telekomunikasi Indonesia (TLK) periode Mei 2011 hingga Mei 2018 diambil dari www.alphaquery.com pada Senin 22 Maret 2021.
3.2 Portofolio Optimal Asumsikan persamaan fungsi nilai didefinisikan sebagai berikut:
𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 ) = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 �𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ), 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) �∈Γ 𝐸𝐸 �𝛼𝛼 ∫ 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑡𝑡 𝑇𝑇 0 𝑈𝑈 1 �𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) � 𝑑𝑑𝑡𝑡 + (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑇𝑇 𝑈𝑈 2 �𝑋𝑋 ( 𝑇𝑇 ) � | 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑥𝑥 , 𝑟𝑟 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜆𝜆 � , (8)
dengan kondisi batas 𝐺𝐺 ( 𝑇𝑇 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 ) = (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑇𝑇 𝑈𝑈 2 �𝑋𝑋 ( 𝑇𝑇 ) � . Menggunakan aturan program dinamik didapatkan persamaan  Hamilton Jacobi Bellman (HJB) dari Persamaan (8) sebagai berikut:
80

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik
𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = sup �𝜋𝜋 ( 𝑡𝑡 ), 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ) � �𝐺𝐺 𝑡𝑡 + 1 2 ( 𝑥𝑥 2 𝜋𝜋 2 𝛾𝛾 2 𝜆𝜆 + 𝑥𝑥 2 𝜆𝜆 1 2 ) 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝑀𝑀 + 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝐺𝐺 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆𝐺𝐺 𝜎𝜎𝜎𝜎 +
𝑥𝑥𝜋𝜋𝛾𝛾𝜂𝜂 2 𝜆𝜆 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝜎𝜎 + ( 𝑥𝑥 ( 𝑟𝑟 + 𝜋𝜋𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) − 𝐶𝐶 ) 𝐺𝐺 𝑀𝑀 + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ( 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 ) 𝐺𝐺 𝑟𝑟 + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 ( 𝜔𝜔 − 𝜆𝜆 ) 𝐺𝐺 𝜎𝜎 + 𝛼𝛼𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑡𝑡 𝑈𝑈 1 ( 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 )) � = 0.
(9)
𝐺𝐺 ( 𝑇𝑇 , 𝑥𝑥 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑇𝑇 𝑈𝑈 2 ( 𝑥𝑥 ) , dan 𝐺𝐺 𝑡𝑡 , 𝐺𝐺 𝑀𝑀 , 𝐺𝐺 𝑟𝑟 , 𝐺𝐺 𝜎𝜎 , 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝑀𝑀 , 𝐺𝐺 𝑟𝑟𝑟𝑟 , 𝐺𝐺 𝜎𝜎𝜎𝜎 , 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝜎𝜎 merupakan diferensial parsial orde 1 dan orde 2 terhadap 𝑡𝑡 . Kondisi optimal untuk konsumsi dan investasi adalah sebagai berikut:
𝜋𝜋 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − 𝜂𝜂 2 𝛾𝛾 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑀𝑀𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝜆𝜆 𝛾𝛾 2 𝐺𝐺 𝑥𝑥 𝑀𝑀𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 . (10)
𝑈𝑈 1 ′ ( 𝐶𝐶 ∗ ) = 𝐺𝐺 𝑥𝑥 𝛼𝛼 𝑀𝑀 −𝛽𝛽𝛽𝛽 . (11)
Subsitusi Persamaan (10) dan (11) ke Persamaan (9) didapatkan persamaan HJB berikut:
𝐺𝐺 𝑡𝑡 + 1 2 𝑥𝑥 2 𝜆𝜆 1 2 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝑀𝑀 − 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1 2 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 2 𝐺𝐺 𝑥𝑥 2 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝐺𝐺 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆𝐺𝐺 𝜎𝜎𝜎𝜎 − 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 𝐺𝐺 𝑥𝑥 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐺𝐺 𝑥𝑥𝑥𝑥 + ( 𝑥𝑥 ( 𝑟𝑟 + 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) − 𝐶𝐶 ∗ ) 𝐺𝐺 𝑀𝑀 + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ( 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 ) 𝐺𝐺 𝑟𝑟 + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 ( 𝜔𝜔 − 𝜆𝜆 ) 𝐺𝐺 𝜎𝜎 + 𝛼𝛼𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑡𝑡 𝑈𝑈 1 �𝐶𝐶 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � = 0. (12)

## 3.3 Power Utility
Persamaan (12) merupakan persamaan diferensial parsial yang sukar untuk diselesaikan se- cara umum. Untuk itu, diperlukan persamaan power utility , untuk menyelesaikan persamaan ter- sebut secara eksplisit. Misalkan:
𝑈𝑈 1 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑈𝑈 2 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑀𝑀 𝜖𝜖 𝜖𝜖 , 𝜖𝜖 < 1, 𝜖𝜖 ≠ 0. (13)
𝜖𝜖 merupakan risk aversion factor.
Asumsikan solusi dari Persamaan (12) dapat dibentuk sebagai berikut:
𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = 𝑒𝑒 −𝛽𝛽𝑡𝑡 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) 𝑀𝑀 𝜖𝜖 𝜖𝜖 . (14)
Subsitusi turunan pertama Persamaan (13) ke Persamaan (11), didapatkan nilai konsumsi optimal pada waktu 𝑡𝑡 adalah sebagai berikut:
𝐶𝐶 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 𝛼𝛼 − 1 𝜖𝜖−1 𝑓𝑓 1 𝜖𝜖−1 𝑥𝑥 . (15)
Subsitusi turunan Persamaan (14) dan Persamaan (15) ke Persamaan (12) didapatkan:
−𝛽𝛽𝑓𝑓 + 𝑓𝑓 𝑡𝑡 + 1 2 𝜆𝜆 1 2 𝑓𝑓𝜖𝜖 ( 𝜖𝜖 − 1) − 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆 𝜖𝜖𝑓𝑓 𝑥𝑥 2 𝑓𝑓 ( 𝜖𝜖−1 ) − 1 2 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 2 𝜖𝜖𝑓𝑓 ( 𝜖𝜖−1 ) + 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝑓𝑓 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆𝑓𝑓 𝜎𝜎𝜎𝜎 −
𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 𝜖𝜖𝑓𝑓 𝑥𝑥 ( 𝜖𝜖−1 ) + ( 𝑟𝑟 + 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) 𝑓𝑓𝜖𝜖 + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ( 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 ) 𝑓𝑓 𝑟𝑟 + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 ( 𝜔𝜔 − 𝜆𝜆 ) 𝑓𝑓 𝜎𝜎 + 𝛼𝛼 − 1 𝜖𝜖−1 𝑓𝑓 𝜖𝜖 𝜖𝜖−1 (1 − 𝜖𝜖 ) = 0.
(16)
Misalkan solusi Persamaan (16) dapat dibentuk sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) 1−𝜖𝜖 . (17)
Subsitusi Persamaan (17) ke Persamaan (16), didapatkan:
Dara Irsalina, Retno Budiarti, I Gusti Putu Purnaba
𝑔𝑔 𝑡𝑡 + � 1 2 𝜆𝜆 1 2 𝜖𝜖 (1 − 𝜖𝜖 ) + 1 2 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 2 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) − 𝛽𝛽 + ( 𝑟𝑟 + 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) 𝜖𝜖� 𝑔𝑔 ( 1−𝜖𝜖 ) − 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝜖𝜖 𝑔𝑔 𝑟𝑟 2 𝑔𝑔 + 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝑔𝑔 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆𝑔𝑔 𝜎𝜎𝜎𝜎 + 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) 𝑔𝑔 𝜎𝜎 + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ( 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 ) 𝑔𝑔 𝑟𝑟 + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 ( 𝜔𝜔 − 𝜆𝜆 ) 𝑔𝑔 𝜎𝜎 + 𝛼𝛼 − 1 𝜖𝜖−1 = 0. (18)
Asumsikan solusi Persamaan (18) dapat dibentuk sebagai berikut:
𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = 𝛼𝛼 1 1−𝜖𝜖 � 𝑔𝑔� ( 𝑢𝑢 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑇𝑇 𝑡𝑡 + (1 − 𝛼𝛼 ) 1 1−𝜖𝜖 𝑔𝑔� ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ). (19)
Mengikuti [3], Persamaan (18) dapat direduksi sebagai berikut:
�− 1 2 𝜆𝜆 1
2 𝜖𝜖 (1 − 𝜖𝜖 ) + 1 2 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 2 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) − 𝛽𝛽 + ( 𝑟𝑟 + 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) 𝜖𝜖� 𝑔𝑔� ( 1−𝜖𝜖 ) + 𝑔𝑔� 𝑡𝑡 − 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝜖𝜖 𝑔𝑔� 𝑟𝑟 2 𝑔𝑔� + 1 2 𝜂𝜂 1 2 𝑟𝑟𝑔𝑔� 𝑟𝑟𝑟𝑟 + 1 2 𝜂𝜂 2 2 𝜆𝜆𝑔𝑔� 𝜎𝜎𝜎𝜎 + 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝜎𝜎 𝛾𝛾 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) 𝑔𝑔� � 𝜎𝜎 + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ( 𝜃𝜃 − 𝑟𝑟 ) 𝑔𝑔� 𝑟𝑟 + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 ( 𝜔𝜔 − 𝜆𝜆 ) 𝑔𝑔� 𝜎𝜎 = 0,
𝑔𝑔� ( 𝑇𝑇 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = 1.
(20)
Asumsikan solusi Persamaan (20) dapat dibentuk sebagai berikut:
𝑔𝑔� ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = exp{ 𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) 𝜆𝜆 + ℎ ( 𝑡𝑡 ) 𝑟𝑟 + 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 )}, (21)
dengan 𝜓𝜓 ( 𝑇𝑇 ) = ℎ ( 𝑇𝑇 ) = 𝜙𝜙 ( 𝑇𝑇 ) = 0 , substitusi Persamaan (21) ke Persamaan (20), didapatkan:
𝑟𝑟 � 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) + ℎ ′ ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 (1 − 𝜖𝜖 ) 𝜂𝜂 1 2 �ℎ ( 𝑡𝑡 ) � 2 − 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ℎ ( 𝑡𝑡 ) � + 𝜆𝜆 � 1 2 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 2 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) 2 + 𝜓𝜓 ′ ( 𝑡𝑡 ) +
1
2 𝜂𝜂 2 2 �𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) � 2 + � 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝛾𝛾 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) − 𝜅𝜅 𝜎𝜎 � 𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) � − 1 2 𝜆𝜆 1 2 𝜖𝜖 − 𝛽𝛽 ( 1−𝜖𝜖 ) + ( 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) + 𝜙𝜙 ′ ( 𝑡𝑡 ) + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 𝜃𝜃ℎ ( 𝑡𝑡 ) + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 𝜔𝜔𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) = 0
(22)
Persamaan (22) dapat didekomposisi menjadi tiga persamaan berikut:
𝑟𝑟 � 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) + ℎ ′ ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 (1 − 𝜖𝜖 ) 𝜂𝜂 1 2 �ℎ ( 𝑡𝑡 ) � 2 − 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ℎ ( 𝑡𝑡 ) � = 0. (23)
𝜆𝜆 � 1 2 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 2 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) 2 + 𝜓𝜓 ′ ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 𝜂𝜂 2 2 �𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) � 2 + � 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝛾𝛾 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) − 𝜅𝜅 𝜎𝜎 � 𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) � = 0. (24)
− 1 2 𝜆𝜆 1 2 𝜖𝜖 − 𝛽𝛽 ( 1−𝜖𝜖 ) + ( 𝜆𝜆 1 2 − 𝜇𝜇 1 ) 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) + 𝜙𝜙 ′ ( 𝑡𝑡 ) + 𝜅𝜅 𝑟𝑟 𝜃𝜃ℎ ( 𝑡𝑡 ) + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 𝜔𝜔𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) = 0. (25)
dari Persamaan (23), Karena 𝑟𝑟 ≠ 0, maka � 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) + ℎ ′ ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 (1 − 𝜖𝜖 ) 𝜂𝜂 1 2 �ℎ ( 𝑡𝑡 ) � 2 − 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ℎ ( 𝑡𝑡 ) � = 0 sehingga didapatkan:
ℎ ′ ( 𝑡𝑡 ) = − 1 2 (1 − 𝜖𝜖 ) 𝜂𝜂 1 2 ��ℎ ( 𝑡𝑡 ) � 2 − 2𝜅𝜅 𝑟𝑟 ( 1−𝜖𝜖 ) 𝜂𝜂 1 2 ℎ ( 𝑡𝑡 ) + 𝜖𝜖 ( 1−𝜖𝜖 ) 2 𝜂𝜂 1 2 � . (26)
Jika ∆ 𝑟𝑟 merupakan diskriminan Persamaan (26) yang bernilai positif, maka
∆ 𝑟𝑟 = 4 ( 1−𝜖𝜖 ) 2 𝜂𝜂 1 4 ( 𝜅𝜅 𝑟𝑟 2 − 𝜖𝜖𝜂𝜂 1 2 ) > 0 , sehingga:
𝜖𝜖 < 𝜅𝜅 𝑟𝑟 2 𝜂𝜂 1 2 . (27)
82

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik
Berdasarkan kondisi (27), integralkan Persamaan (26) terhadap 𝑡𝑡 , didapatkan:
ℎ ( 𝑡𝑡 ) = 𝑀𝑀 1 𝑀𝑀 2 �1−exp�− ( 𝑀𝑀 1 −𝑀𝑀 2 ) � 1 2 𝜂𝜂 1 2 ( 1−𝜖𝜖 )( 𝑇𝑇−𝑡𝑡 ) ��� 𝑀𝑀 1 −𝑀𝑀 2 exp�− ( 𝑀𝑀 1 −𝑀𝑀 1 ) � 1 2 𝜂𝜂 1 2 ( 1−𝜖𝜖 )( 𝑇𝑇−𝑡𝑡 ) �� , (28)
dengan
𝑎𝑎 1 , 2 = 𝜅𝜅 𝑟𝑟 𝜂𝜂 1 2 ( 1−𝜖𝜖 ) ± � ( 𝜅𝜅 𝑟𝑟 ) 2 −2𝜂𝜂 1 2 𝜖𝜖 𝜂𝜂 1 2 ( 1−𝜖𝜖 ) .
Lakukan hal yang sama untuk mendapatkan solusi dari 𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) dari Persamaan (24), didapatkan:
𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑀𝑀 3 𝑀𝑀 4 �1−exp�− ( 𝑀𝑀 3 −𝑀𝑀 4 ) 1 2 𝜂𝜂 2 2 ( 𝑇𝑇−𝑡𝑡 ) �� 𝑀𝑀 3 −𝑀𝑀 4 exp�− ( 𝑀𝑀 3 −𝑀𝑀 4 ) 1 2 𝜂𝜂 2 2 ( 𝑇𝑇−𝑡𝑡 ) � , (29)
dengan kondisi
𝜖𝜖 < 𝜅𝜅 𝑥𝑥 2 �𝜅𝜅 𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝜂𝜂2 𝛾𝛾 � 2 , (30)
dan
𝑎𝑎 3 , 4 = 1 𝜂𝜂 2 2 �𝜅𝜅 𝜎𝜎 + 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝛾𝛾 𝜖𝜖 ( 𝜖𝜖−1 ) � ± 1 𝜂𝜂 2 2 ��− 𝜅𝜅 𝑥𝑥 2 ( 𝜖𝜖−1 ) + 𝜖𝜖 ( 𝜖𝜖−1 ) �𝜅𝜅 𝜎𝜎 + 𝜆𝜆𝜂𝜂 2 𝛾𝛾 � 2 � .
Dari Persamaan (25), didapatkan:
𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜅𝜅 𝑟𝑟 𝜃𝜃 ∫ ℎ ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑇𝑇 𝑡𝑡 + 𝜅𝜅 𝜎𝜎 𝜔𝜔 ∫ 𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑇𝑇 𝑡𝑡 − 1 ( 1−𝜖𝜖 ) �𝛽𝛽 − 𝜆𝜆 1 2 𝜖𝜖 � 3−𝜖𝜖 2 � + 𝜇𝜇 1 𝜖𝜖� ( 𝑇𝑇 − 𝑡𝑡 ). (31)
Berdasarkan Persamaan (28), (29), dan (31), didapatkan 𝑔𝑔 sebagai berikut:
𝑔𝑔 ( 𝑡𝑡 , 𝑟𝑟 , 𝜆𝜆 ) = 𝛼𝛼 1 1−𝜖𝜖 ∫ exp{ 𝜓𝜓 ( 𝑢𝑢 ) 𝜆𝜆 + ℎ ( 𝑢𝑢 ) 𝑟𝑟 + 𝜙𝜙 ( 𝑢𝑢 )} 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑇𝑇 𝑡𝑡 + (1 − 𝛼𝛼 ) 1 1−𝜖𝜖 exp{ 𝜓𝜓 ( 𝑡𝑡 ) 𝜆𝜆 + ℎ ( 𝑡𝑡 ) 𝑟𝑟 + 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 )}, (32)
dengan risk aversion ( 𝜖𝜖 ) memenuhi Persamaan (27) dan (30):
𝜖𝜖 < 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝜅𝜅 𝑟𝑟 2 𝜂𝜂 1 2 , 𝜅𝜅 𝑥𝑥 2 �𝜅𝜅 𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝜂𝜂2 𝛾𝛾 � 2 � , 𝜖𝜖 ≠ 0. (33)
Sehingga didapatkan proporsi optimal untuk investasi dan konsumsi sebagai berikut:
𝜋𝜋 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 𝜂𝜂 2 𝛾𝛾 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑔𝑔 + 𝜆𝜆 𝛾𝛾 2 1 ( 1−𝜖𝜖 ) , (34)
dan
𝐶𝐶 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 𝛼𝛼 − 1 𝜖𝜖−1 𝑔𝑔 −1 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ). (35)

## 3.4 Ilustrasi Finansial
Pada subbab ini, akan dilakukan ilustrasi finansial terhadap strategi mengoptimalkan investasi dan konsumsi yang diperoleh pada Persamaan (34) dan (35). Asumsikan data historis

## 83 Dara Irsalina, Retno Budiarti, I Gusti Putu Purnaba
bulanan suku bunga BI7DRR  periode Mei 2011 hingga Mei 2018 digunakan untuk meng- gambarkan suku bunga aset bebas risiko, dan data historis bulanan volatilitas dan harga saham PT Telekomunikasi Indonesia (TLK) digunakan untuk menggambarkan aset berisko. Nilai parameter pada Persamaan (2), (3), dan (4) didapatkan dengan menggunakan metode Euler Maruyama dan metode Ordinary Least Square (OLS).
Tabel 1. Nilai parameter persamaan diferensial stokastik (2), (3), dan (4).
Parameter Nilai Parameter Nilai 𝜅𝜅 𝑟𝑟 0.0612 𝜆𝜆 0.1212 𝜃𝜃 0.0093 𝛾𝛾 0.7071 𝜂𝜂 1 0.0078 𝜅𝜅 𝜎𝜎 8.1476 𝜔𝜔 0.2456 𝜂𝜂 2 0.2256
Misalkan 𝜇𝜇 1 = 0.05, 𝜆𝜆 1 = 0.1, 𝜆𝜆 (0) = 0.2465, 𝑟𝑟 (0) = 0.067, 𝛼𝛼 = 0.4, 𝛽𝛽 = 0.083, 𝜖𝜖 = − 1, 𝑡𝑡 = 0, 𝑇𝑇 = 7, 𝑋𝑋 (0) = 100 , dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 1, ilustrasi numerik investasi dan konsumsi optimal adalah sebagai berikut.
Gambar 1. Pengaruh 𝜆𝜆 terhadap investasi
Gambar 2. Pengaruh 𝜖𝜖 terhadap investasi
Gambar 3. Pengaruh inflasi terhadap investasi
Gambar 4. Pengaruh 𝜆𝜆 terhadap konsumsi

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik
Gambar 5. Pengaruh 𝜖𝜖 terhadap konsumsi
Gambar 6. Pengaruh inflasi terhadap konsumsi
a. Gambar 1 merepresentasikan ilustrasi numerik pengaruh 𝜆𝜆 terhadap investasi optimal pada waktu 𝑡𝑡 = 0 . Berdasarkan Persamaan (3), 𝜆𝜆 merupakan konstanta positif pada imbal hasil aset berisiko.  Misalkan 0 < 𝜆𝜆 < 0.1 , investasi optimal berbanding lurus terhadap parameter 𝜆𝜆 . Sehingga ketika imbal hasil aset meningkat, investor dapat berinvestasi lebih banyak pada aset tersebut.
b. Gambar 2 merupakan ilustrasi numerik pengaruh 𝜖𝜖 terhadap investasi optimal. Parameter 𝜖𝜖 merupakan risk aversion factor seorang investor. Pada kasus power utility, koefisien risk aversion bernilai 1 − 𝜖𝜖 . Semakin besar nilai 𝜖𝜖 , maka semakin besar risiko yang diambil oleh seorang investor.  Berdasarkan Persamaan (33), nilai 𝜖𝜖 memenuhi 𝜖𝜖 < 0.963. Dengan mengasumsikan − 2 ≤ 𝜖𝜖 < 0 ,  investasi  optimal  berbanding lurus terhadap 𝜖𝜖 . Semakin besar nilai 𝜖𝜖 maka investor dapat berinvestasi lebih pada aset berisiko.
c. Gambar 3 merupakan ilustrasi numerik pengaruh inflasi terhadap investasi optimal. Berdasarkan grafik tersebut, investasi bernilai konstan terhadap inflasi. Artinya, perubahan inflasi tidak mempengaruhi tingkat keinginan seorang investor untuk berinvestasi pada aset berisiko.
d. Gambar 4 menunjukkan ilustrasi numerik pengaruh 𝜆𝜆 terhadap konsumsi optimal. 𝜆𝜆 merupakan  konstanta positif imbal hasil aset berisiko. Semakin besar 𝜆𝜆 maka semakin besar pula kekayaan yang diperoleh oleh investor. Hal ini mengakibatkan investor dapat menambah jumlah konsumsi dari nilai kekayaan yang dimiliki.
e. Gambar 5 merupakan ilustrasi numerik pengaruh 𝜖𝜖 terhadap konsumsi optimal. Ber- dasarkan ilustrasi tersebut, konsumsi seorang investor berbanding terbalik terhadap 𝜖𝜖 . Semakin besar nilai 𝜖𝜖 maka semakin kecil risk aversion seorang investor dan semakin se-

## 85 Dara Irsalina, Retno Budiarti, I Gusti Putu Purnaba
dikit konsumsi yang dapat dilakukan oleh investor tersebut terhadap nilai kekayaan yang dimiliki.
f. Gambar 6 merupakan ilustrasi numerik strategi konsumsi optimal terhadap inflasi. Dengan memisalkan inflasi bernilai 0 < 𝜇𝜇 1 ≤ 1, konsumsi optimal berbanding terbalik dengan laju inflasi. Artinya ketika inflasi meningkat maka daya konsumsi investor akan menurun.

## 4  Simpulan
Penelitian ini mempelajari strategi mengoptimalkan investasi dan konsumsi ketika diberikan pengaruh inflasi. Asumsi yang digunakan ialah portofolio investor terdiri atas sebuah aset bebas risiko dan sebuah aset berisiko. Data historis bulanan suku bunga BI7DRR digunakan untuk meng- gambarkan suku bunga model CIR, data historis harga saham TLK digunakan untuk meng- gambarkan harga aset berisiko yang dimodelkan menggunakan persamaan diferensial stokastik, dan data historis volatilitas harga saham TLK digunakan untuk menggambarkan volatilitas harga aset berisiko yang dimodelkan mengikuti volatilitas model Heston. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Proporsi investasi pada aset berisiko berbanding lurus dengan besarnya imbal hasil dari aset berisiko. Semakin besar imbal hasil yang didapatkan, semakin besar proporsi dari nilai kekayaan yang dapat diinvestasikan pada aset tersebut. Serta perubahan inflasi tidak mempengaruhi tingkat keinginan seorang investor untuk berinvestasi.
2. Besar konsumsi berbanding lurus dengan nilai kekayaan yang dimiliki. Semakin besar kekayaan, semakin besar pula konsumsi yang dapat digunakan oleh investor. Namun berlaku sebaliknya terhadap inflasi. Ketika inflasi meningkat, daya konsumsi investor menurun.
Pada penelitian ini, solusi eksplisit strategi mengoptimalkan  investasi dan konsumsi didapatkan berdasarkan beberapa asumsi, seperti:
a. Tidak adanya korelasi antara gerak Brown pada volatilitas harga aset berisiko dan harga aset berisko.
b. Proses stokastik untuk menggambarkan perubahan harga aset berisiko dan perubahan volatilitas harga aset berisiko menggunakan gerak Brown yang sama.
c. Inflasi bernilai konstan.
Penelitian lanjutan diharapkan mampu melonggarkan asumsi-asumsi di atas dan memper- timbangkan beberapa studi kasus yang lebih umum.
86

## Pengaruh Inflasi terhadap Strategi Optimal Investasi dan Konsumsi dengan Model Stokastik

## 5  Daftar Pustaka
[1]  R. C. Merton, “Life Portfolio Selection under Uncertainty: the continuous-time case,” Review of Economics and Statictics , vol. 51, no. 3, pp. 247-257, 1969.
[2]  R. C. Merton, “Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model,” Journal of Economic Theory , vol. 3, pp. 373-413, 1971.
[3]  H. Chang dan X.M. Rong, “An Investment and Consumption Problem with CIR Interest Rate and Stochastic Volatility,” Abstract and Applied Analysis , vol. 2013, pp. 1-12, 2013, doi: 10.1155/2013/219397.
[4]  G. Orlando, R. M. Mininni, and M. Bufalo, “Forecasting Interest Rates Through Vasicek and CIR Models: A Partitioning Approach,” Journal of Forecasting, vol. 39, no. 4, pp. 569- 579, 2019.
[5]  D. Lamberton and G. Terenzi, “Variational Formulation of American Option Prices in the Heston Models,” SIAM J. Financial Math , vol. 10, no. 1, pp. 261-308, 2019.
[6]  H. Wu,  “Optimal Investment-Consumption Strategy under Inflation in A Markovian Regime-Switching Market , ” Discrete Dynamics in Nature and Society , vol. 2016, no. 1, pp. 1-17, 2016, doi: 10.1155/2016/9606497.
[7]  Suseno dan S. Astiyah, Inflasi. Jakarta: Pusat Pendidikan dan Studi Kebanksentralan Bank Indonesia, 2009.
[8]  Y. Y. Chou, N.W. Han, and M. W. Hung, “Optimal Portfolio-Consumption Choice under Stochastic Inflation with Nominal and Indexed Bonds,” Applied Stochastic Models in Business and Industry, vol. 27, no. 6, pp. 691-706, 2011.
[9]  A.  Mamun  and  N.  Visaltanachoti,  “Inflation Expectation and Asset Allocation in the Presence of an Indexed Bond,” SSRN Electronic Journal , 2006, doi: 10.2139/ssrn.907147.
[10]  X. Zhang and X. Zheng, “Optimal Investment-Reinsurance Policy with Stochastic Interest and Inflation Rates,” Mathematical Problems in Engineering, vol. 2019, pp. 1-14, 2019, doi: 10.1155/2019/5176172.