## BINTIK CATU

## Liek Wilardjo
Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik Elektronika dan Komputer – UKSW
Jalan Diponegoro 52-60, Salatiga 50711

## ABSTRACT
One-dimensional  square  potential  well  is  used  as  a  model for  quantum  dots.  Its  Schroedinger's  equations  and  their solutions both  eigenstates  and  eigenenergies for  he lowest  three  levels  are  explained  qualitatively  and  derived mathematically.

## 1. PENGANTAR
University Physics susunan Young dan Freedman (2008) dinyatakan oleh penerbitnya sebagai buku teks laris nomor wahid. Pernyataan itu tidak berlebihan, sebab sebagai buku teks Fisika untuk mahasiswa S-1 bertahana "tama" ( freshman ) dan "muda" ( sophomore ), buku  Y  &  F  itu  memang  komprehensif,  ringkas,  bernas,  dan  jelas.  Penjelasannya diberikan  baik  secara  kuantitatif-matematis,  maupun  secara  kualitatif-konseptual. Contoh-contoh  soalnya  diselesaikan  dengan  lebih  dulu  menegaskan  apa-apa  yang diketahui dan menggariskan siasat yang hendak ditempuh.
Tetapi  karena  terlalu  tajam  ( succint )nya,  ada  bagian-bagian  yang  rincian  penurunan matematis  (dan/atau  grafis)nya  tidak  diberikan,  misalnya  pada  pokok  bahasan  potensial sumur  persegi  ( square-well  potential )  dengan  potensial  yang  anta  ( finite )  [Y  &  F,  p. 1382-3].
Gambar 1 : U o = 6 E
Untuk U o =  6 E ,  Y  &  F  memberikan  ketiga  aras  tenaga  yang  terendah,  yakni dalam E E 1 = 0,635, E 2 = 2,43, dan E 3 = 5,09 (Gambar 1).

## 2. PERSAMAAN SCHROEDINGER DAN EIGENKEADAAN
Kalau H ialah  pengandar  ( operator )  Hamilton, ialah  eigenfungsi  atau eigenkeadaan, dan E ialah eigentenaga, persamaan Schroedinger kita tulis:
H = E .
Untuk soal ekamatra, H = P 2 /2 m =
2 2 2 dx d m  , dan eigenfungsinya    ( x ). Maka di kiri dan kanan sumur:
(1) 0 ) ( 2 2 2 2 E U o m dx d  ; x ≤  a ; x ≥  a
sedang di dalam sumur
(2) 0 2 2 2 2  mE dx d ;  a ≤ x ≤  a
U o
E 3 5,09 E 2 2,43 E 1 0,625 a /2 O a / 2 . . . . . . . x
E 6 Artikel ini mengisi bagian yang rumpang itu. Untuk memudahkan mencari eigentenaganya secara matematis-grafis,  kita  mengikuti  Eisberg  (1961) dengan  menggeser  sumbu  ordinat  (tenaga,  dalam U o /E ,  di  Gb.1)  ke  tengah,  sehingga  dinding  kiri dan  kanan  sumur  itu  setangkup  terhadap  sumbu tersebut. Di sini U o ialah tenaga potensial, sedang E = 2  2 /2 ma 2 ialah  tenaga  dasar  zarah  di  dalam kotak. Lebar sumur itu, yang dalam Y & F dinamai L ,  di  sini  dinyatakan  dengan a ,  sehingga  dinding- dinding kiri dan kanan sumur itu posisinya berturut- turut di x =  a dan x = +  a , di sumbu absisa.
Penyelesaian persamaan (2) ialah fungsi sinusoida:
(3) M = A sin k 1 x + B cos k 1 x ;  a ≤ x ≤  a
dengan
(4)  E m k 2 1 ,
sedang penyelesaian persamaan (1) ialah fungsi eksponensoal :
(5) x k x k e G e C L
2 2 , x ≤  a
dan
(6) x k x k e D e F R
2 2 , x ≥  a
dengan
(7)  ) ( 2 2 E U m k o
Indeks L , M , dan R pada    berturut-turut-turut menandai daerah kiri, tengah, dan kanan, dengan dinding-dinding di x =   a sebagai batasnya.
Bahwa  (3),  (5),  dan  (6)  secara  matematis  benar,  mudah  diverifikasi  dengan memasukkannya  ke  dalam  persamaan  diferensialnya  masing-masing.  Tetapi  secara  fisis penyelesaian-penyelesaian itu harus tetap anta bila x pun! Karena itu haruslah F = G = 0, sehingga
(5.a) x k e C L 2 ; x ≤  a
dan
(6.a) x k e
D R 2 , x ≥  a
Penyelesaian-penyelesaian  (3),  (5.a),  dan  (6.a)  dan  turunan  pertamanya  juga  harus malar ( continuous ) di batas-batas daerah. Tegasnya,
a x a x M L 2 1 2 1 , a x a x M L 2 1 2 1 ' ' a x a x R M
2 1 2 1 , a x a x R M
2 1 2 1 ' '
sehingga berturut-turut kita dapatkan persamaan-persamaan syarat batas,
(8) ) 2 / ( cos ) 2 / ( sin 1 1 ) 2 / ( 2 a k B a k A e C a k
(9) ) 2 / ( sin ) 2 / ( cos 1 1 1 ) 2 / ( 2 2 a k B a k A k e C k a k (10) ) 2 / ( 1 1 2 ) 2 / ( cos ) 2 / ( sin a k e D a k B a k A (11) ) 2 / ( 2 1 1 1 2 ) 2 / ( sin ) 2 / ( cos a k e D k a k B a k A k
yang dapat diselesaikan secara simultan.
Dari (10) – (8) kita peroleh
(12) ) 2 / ( sin 2 ) ( 1 ) 2 / ( 2 a k A e C D a k
dan dari (10) + (8) :
(13) ) 2 / ( cos 2 ) ( 1 ) 2 / ( 2 a k B e C D a k ,
sedang dari (9) – (11) kita dapatkan
(14) ) 2 / ( sin 2 ) ( 1 1 ) 2 / ( 2 2 a k B k e C D k a k ,
dan dari (9) + (11) :
(15) ) 2 / ( cos 2 ) ( 1 1 ) 2 / ( 2 2 a k k e C D k a k .
Asalkan B ≠ 0 dan ( D + C ) ≠ 0 ,  (14) dapat dibagi dengan (13), dan hasilnya ialah
(16) k 2 = k 1 tan( k 1 a /2) .
Asalkan A ≠ 0 dan ( D – C ) ≠ 0,  (15) dapat dibagi dengan (12). dan hasilnya ialah
(17) k 2 = k 1 cot( k 1 a /2) .
Dengan reductio  ad  absurdum (yang  juga  disebut reductio  ad  impossibile ),  dapat dibuktikan  bahwa  (16)  dan  (17)  tidak  dapat  dipenuhi  kedua-keduanya  secara  bersama, sebab seandainya bisa   maka (16) + (17) akan memberikan :
0 = k 1 {tan( k 1 a /2) + cot(k 1 a /2)}
Kalikanlah ini dengan tan(k 1 a /2), maka hasilnya ialah :
0 = k 1 {tan 2 ( k 1 a /2) + 1}
atau
tan 2 ( k 1 a /2) =  1
yang " absurd " atau mustahil, sebab k 1 dan a kedua-keduanya nyata.

## BINTIK CATU
Jadi,  penyelesaian  persamaan  Schroedinger  (1)  dan  (2)  terpilah  ke  dalam  dua kategori.
Kategori 1 :
k 1 tan( k 1 a /2) = k 2 , A = 0,  ( D C ) = 0 sehingga (10) menjadi ) 2 / ( 1 2 ) 2 / ( cos a k e D a k B atau C e a k B D a k ) 2 / ( 1 2 ) 2 / ( cos dan  (3), (5.a) dan (6.a) menjadi:
2 / , ) 2 / ( cos ) ( ) 2 / ( 1 2 2 a x e e a k B x k a k (18) ( x )    = B cos( k 1 x ) ,    a/2 ≤ x ≤ a /2
2 / , ) 2 / ( cos ) ( ) 2 / ( 1 2 2 a x e e a k B x k a k
Kategori 2: k 1 cot( k 1 a/2) = k 2 , B = 0 ,   ( D + C ) = 0 dan (3),   (5.a)  dan  (6.a)  menjadi :
2 / , ) 2 / ( sin ) ( ) 2 / ( 1 2 2 a x e e a k A x k a k (19) ( x ) = A sin( k 1 x ), a /3 ≤ x ≤ a /2 2 / , ) 2 / ( sin ) ( ) 2 / ( 1 2 2 a x e e a k A x k a k

## 3. EIGENTENAGA
Dari  syarat  untuk  Kategori  1,  yakni  persamaan  (16)  dengan  memakai k 1 dan k 2 berturut-turut dari (4) dan (7) kita peroleh:
E 3
E 2 E 1 x a /2 a /2 3 2 1 U o Gambar 2
Tampak  dari  (18)  bahwa M adalah fungsi  genap (yakni  kosinus), dan dari (19) bahwa M adalah fungsi gasal (yakni sinus). Gambar  2  memperlihatkan  eigenfungsi- eigenfungsi itu.
2 2 2 2 2 2 2 / tan 2 / / ) (    a mE a mE a E U m o Kalau 2
2 2 2 / , /   a mE R a mU o
dan ruas kiri dan ruas kanan kita namakan  ( ) , maka:
(16.a) ( )  = 2 2 R = tan
Ruas kiri dan tengah dari (16.a) dapat ditulis sebagai 2 + 2 = R 2 yang karena > 0 dan > 0 grafik ( versus )-nya berupa seperempat lingkaran di kuadran-1, dengan pusat di titik asal O dan ruji ( radius ) R . Ruas kiri dan kanan dari (16.a) ialah fungsi   = tan   yang grafiknya nol di    = 0  dan di   (=3,14) rad, dan naik, mula- mula landai
Dari   = 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 / a m E a mE   , atau 2 2 2 1 2 2 2 2 ) 4 ( ) 2 )( 4 ( E ma
E  yang untuk U o = 6 E , memberikan E = (4/ 2 ) ( U o /6) 2 . Gb.3 memberikan 1 = 1,24 dan 3 = 3,55 , sehingga E 1 = 0,104 U o dan E 3 = 0,848 U o
Dari syarat untuk Kategori 2, yakni persamaan (17), diperoleh :
0           1           2           3           4           5           6           7           8 5 4 3 2 1 0 ( ) Gambar 3 3,45 1,24 ( ) 3,85
tetapi lalu makin terjal, secara asimtotis menghampiri  sumbu x =  /2  (=  1,57 rad)  dan  sumbu x =  3 x /2  (=  4,71  rad).
Perpotongannya dengan kurve
seperempat  lingkaran  tadi  memberikan titik-titik  dengan  absisa 1 dan 3 yang bersangkutan  dengan  eigentenaga E 1 dan E 3 . (Lihat Gambar.3).
2 2 2 2 2 2 0 / cot / / ) (    a E m a E m a E U m
atau (17.a)
cot ) ( 2 2 R .
Ruas kiri dan kanan persamaan ini ialah   = cot  yang grafiknya nol di  /2 (=1,57) rad, dan naik, mula-mula landai tetapi lalu terjal, menghampiri sumbu x =   (= 3,14) rad secara asimtotis. Perpotongannya dengan kurve seperempat lingkaran di kuadran 1 yang diberikan  oleh  ruas  kiri  dan  tengah  persamaan  (17.a)  ialah  titik  dengan  absisa 2 yang bersangkutan dengan eigentenaga E 2 (lihat Gambar 4).
2 2 2 /  a mU
R o , yang untuk U o = 6 E = ) 2 / )( 2 / ( 6 2 / ) 6 ( 2 2 2 2 2 2 2 a m ma a E m    85 , 3 6 ) 2 / ( 4 / 6 2 . 0           1           2           3           4           5           6           7           8 5 4 3 2 1 0 Gambar 4 ( ) 3,85 / 2
Dari Gambar 4 diperoleh 2 = 2,45,
sehingga  eigentenaganya  , E 2 = 0,405 U o .  Dalam  Gambar3  dan Gambar 4 :
E 1 , E 2 dan E 3 inilah, bersama dengan E , yang ditunjukkan dengan bagan aras tenaga ( energy  level  diagram )  di  Gb.1,  dengan  tenaga E yang  dinyatakan  dalam E sebagai ordinat.

## 4. WASANAKATA
Seperti disebutkan dalam Y & F (p.1384), salah satu terapan model potensial sumur persegi ini ialah bintik catu ( quantum dots ), yakni zarah-zarah berukuran nanometer dan bahan semipenghantar, seperti kadmium-selenida ( CdSe ). Bila bintik-bintik catu disinari dengan  foton  ultraungu,  elektron-elektronnya  menyerap  tenaga  foton  itu  dan  terteral ( excited )  ke  aras-aras  tenaga  yang  tinggi,  misalnya  aras  ketiga.  Kemudian  elektron  itu kembali  ke  aras  tenaga  dasar  secara  beriam  ( cascading ),  ke  aras  ke  dua  dulu,  lalu  dari sana  ke  aras  pertama.  Salah  satu  langkah  itu  dibarengi  dengan  dipancarkannya  foton cahaya  kasatmata,  yang  disebut  pendaran-fluor  ( fluorescence ).  Bintik-bintik  catu  dapat disuntikkan  ke  jaringan  hidup  dan  pendaran-fluornya  dipakai  sebagai  perunut  ( tracers ) untuk penelitian biologi dan biomedis. Bintik catu dapat menjadi kunci perancangan laser dan komputer ultracepat generasi baru.
Pernah  ada  usulan  untuk  RUTI  (Riset  Unggulan  Terpadu  Internasional)  untuk merancang dan memproduksi bintik-bintik catu guna memetakan agihan suhu di bagian- bagian tubuh tertentu, dalam pendeteksian tumor di bidang Onkologi.

## ACUAN
1.   Eisberg, Robert M.  : Fundamentals of Modern Physics, John Wiley  &  Sons, New York, 1961, p.239 – 45
2.  Young, Hugh D. & Roger A. Freedman : Sears and Zemansky's University Physics (12 th ed.) Addison-Wesley, San Francisco, 2008, p.1382 – 4