## Jurnal Riset Fisika Indonesia
Volume 1, Nomor 1, Desember 2020
ISSN: 2776-1460 (print); 2797-6513 (online) http://journal.ubb.ac.id/index.php/jrfi/index/2020
Profil Kepadatan Dan Arus Pada Tasep 2d Dengan Variasi Probabilitas Input Dan Output Pada Junction

## Anisa Indriawati
Jurusan Fisika
Kampus Terpadu Universitas Bangka Belitung Kecamatan Merawang Kabupaten Bangka Provinsi Kepulauan Bangka Belitung
*E-mail korespondensi: anisaind.ind@gmail.com

## Info Artikel:
Dikirim: 09 November 2020 Revisi: 15 Desember 2020 Diterima: 28 Desember 2020

## Kata Kunci:
Road, Probability, TASEP 2D, input, output, density, current

## Abstract
One of the models that can describe the density of vehicles on a road is the Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP). TASEP is a stochastic process  in  which  particles  that  occupy  a  lattice  will  move  to  the  nearest neighbor lattice as long as the lattice is not occupied by other particles. In this research, TASEP 2D modeling has been carried out with one input and two outputs. The number of grids is 101 (0 to 100 grids). The variation in the magnitude of the input and output probabilities ( 𝛼 1 , 𝛽 1 , 𝛽 2 ) affects the density and current profiles. The density profile is represented in a graph of the relationship between the grid to the probability of the presence of particles  in  a  grid.  The  phases  that  occur  in  this  research  are  Maximal Current – Low  Density – High  Density  (MC-LD-HD)  and  Low  Density-Low- Density (LD-LD). The maximum current occurs when the particle density has an  MC  phase,  where  the  maximum  probability  of  the  current  density  is 0.125. These results indicate that by giving more varied probability values for 𝛼 1 , 𝛽 1 , and, 𝛽 2 the current trend and density are very diverse.

## PENDAHULUAN
Jalan  adalah suatu pasarana  transportasi  darat  yang  mencakup seluruh  bagiannya  serta perlengakapannya  [1].  Salah  satu  fenomena  yang  terjadi  pada  sarana  transportasi  yang beroperasi  di  suatu  yaitu  padatnya  kendaraan  pada  suatu  jalan  yang  memungkinkan  terjadi kemacetan.  Kemacetan  terjadi  sebagai  salah  satu  akibat  dari  tidak  seimbangnya  jumlah kendaraan  yang  memasuk  dan  keluar  dari  suatu  jalan.  Sebaliknya  rendahnya  kepadatan kendaraan  juga  sangat  mungkin  terjadi  ketika  jumlah  kendaraan  yang  keluar  dari  suatu  jalan lebih banyak dari jumlah yang masuk. Fenomena-fenomena lain yang lebih kompleks pada suatu arus transportasi pada suatu jalan diilustrasikan melalui suatu pemodelan.
Salah satu pemodelan yang dapat menggambarkan kepadatan kendaraan pada suatu jalan adalah Totally  Asymentric  Simple  Exclusion  Process (TASEP).  TASEP  merupakan  suatu  proses stokastik  dimana  partikel  yang  menempati  sebuah  kekisi  akan  bergerak  ke  kekisi  tetangga terdekat  selama  kekisi  tersebut  tidak  ditempati  partikel  lain  [2].  Berdasarkan  perpektif  fisika statistik,  TASEP  dapat dikaji melalui  persamaan  master.  Persamaan  master adalah persamaan
diferensial parsial orde satu yang mengilustrasikan evolusi waktu dari fungsi probabilitas suatu sistem fisis [3]. Pemodelan TASEP untuk sebuah partikel pada satu kekisi dengan batas terbuka serta diagram fase pada TASEP 1D ditunjukkan pada Gambar 1 .
Pada  gambar  1a  menunjukkan  adanya  TASEP  1D  dengan  batas  terbuka.  Di  sisi  kiri  dan kanan kisi dimodelkan terdapat sebuah reservoir untuk partikel masuk kisi dan sebuah reservoir untuk partikel keluar dari kisi. Probabilitas input dari sebuah reservoir dinyatakan dalam 𝛼(𝑡) sedangkan  output  dinyatakan  dalam 𝛽(𝑡). Perubahan  probabilitas  input  dan  output  akan mengakibatkan  perubahan  fase  pada  profil  kepadatan  san  arus.  Dalam  TASEP  1D  fase  yang terjadi adalah Low Density (LD), High Density (HD), Maximal Current (MC), dan Coexistance Phase (CP), dimana diagram fasenya ditunjukkan pada gambar 1b.
Kajian  mengenai  TASEP  telah banyak dilakukan,  diantaranya  kajian  numerik  pada  TASEP untuk  pemodelan Dynamics  of  Coulomb  Blockade pada  dua  Dimensi.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  kepadatan  dengan  kondisi  tunak  diperoleh  dengan  melakukan  variasi kepadatan di sisi kiri dan reservoir yang tepat. Blokade coulomb muncul pada saat kepadatan sisi kanan reservoir tinggi [4]. Penelitian tentang TASEP 2D pada Junction juga telah dilakukan untuk memodelkan  kepadatan  suatu  persimpangan.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  dengan melakukan  variasi  probabilitas input dan output suatu  partikel  dalam  kesisi  mengakibatkan terjadinya  perubahan  fase  pada  profil  kepadatan.  Fase-fase  yang  dihasilkan  merupakan gabungan dari fase-fase yang terjadi pada kasus TASEP 1D. Fase-fase tersebut antara lain High Density- High Density (HD-HD), Coixistace Phase-High Density (CP-HD), Low Density - Coixistace Phase (LD-CP), Low  Density-Low  Density (LD-LD),  dan  High  Density-Maximal Current (HD-MC). Selain beberapa fase tersebut, terdapat satu fase yang hanya terjadi ketika TASEP terdiri atas satu input dan dua output, yaitu fase Maximal Current-Low Density (MC-LD) [5]
Gambar 1. (a) Ilustrasi partikel keras pada satu kekisi untuk pemodelan TASEP 1D dengan dengan batas terbuka [3], (b) Diagram fase kepadatan berdasarkan besarnya arus pada TASEP 1D [4]
Pemodelan TASEP 2D yang dilakukan oleh Septiana merupakan gambaran kepadatan suatu kendaraan  dalam  suatu  Jalan  Pertigaan  dengan  satu  jalur  kendaraan  masuk  dan  dua  jalur kendaraan  keluar  dari  suatu  jalan  serta  satu  dua  jalur  masukan  dan  satu  jalur  keluar. pada penelitian  tersebut, junction dengan  satu  laju  masukan  dan  dua  laju  keluaran  memiliki probabilitas  kedua  output  yang  sama (𝛽 1 = 𝛽 2 ) .  Mengacu  pada  penelitian  Septiana,  dalam penelitian ini diperdalam dengan memberikan probabilitas output pertama (𝛽 1 ) , maupun output kedua (𝛽 2 ) yang  tidak  sama,  sehingga  profil  kepadatan  dan  arus  yang  lebih  berragam  dapat dianalisis.

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak codeblocks serta perangkat keras dengan prosesor Intel (R) Celeron (R) N4000. Codeblocks merupakan perangkat lunak yang bersifat open source dan dilengkapi dengan source code . Bahasa pemrograman yang digunakan adalah C++ yang merupakan bahasa pemrograman serbaguna dan dapat digunakan di berbagai sistem operasi [6]. Secara skematis, penelitian digambarkan pada Gambar 2 . Penelitian dilakukan untuk kasus Jalan Pertigaan ( Junction ) berdasarkan model TASEP 2D dengan satu laju masukan dan dua laju keluaran. Adapun besar masing-masing probabilitas adalah:
Tabel 1. Probabilitas input dan output pada masing-masing kasus
Probabilitas input dan output 𝛼 1 𝛼 2 𝛽 1 𝛽 2 Kasus 1 0.9 0 0.5 0.1 Kasus 2 0.5 0 0.5 0.1 Kasus 3 0.1 0 0.5 0.1 Kasus 4 0.9 0 0.1 0.9
Profil  kepadatan  dan  arus  merupakan  plotting  grafik  hubungan  antara  arus  dan  kepadatan terhadap kekisi. Adapun persamaan kepadatan dan arus dinyatakan [4]:
𝜕𝜌 𝑖 (𝑡) 𝜕𝑡 ≡ 𝜌 𝑖 (𝑡 + 1) − 𝜌 𝑖 (𝑡).                                                                                                                 (1) 𝐽 𝐢(𝐢+ê 𝑦 ) 𝑎 (𝑡) = 𝑘 𝐢(𝐢+ê 𝑦 ) 𝑎 (𝑡)𝜌 𝐢 (𝑡) [1 − 𝜌 𝐢+ê 𝑦 (𝑡)].                                                                                   (2)
Di dalam penelitian ini, ditetapkan nilai hopping rate suatu partikel untuk melompat ke kisi ( k) berikutnya adalah 1 serta jumlah kekisi (N) adalah 101 (kisi ke-0 sampai dengan 100).
Gambar 2. Dinamika TASEP 2D pada Junction dengan satu input dan dua output [5]
Diagram  fase  pada  kasus  1    dimana  besarnya 𝜶 𝟏 = 𝟎. 𝟗, 𝜷 𝟏 = 𝟎. 𝟏, 𝜷 𝟐 = 𝟎. 𝟗 memiliki profil kepadatan dan arus seperti pada Gambar 4 . Berdasarkan grafik kepadatan dan kekisi dapat diamati bahwa dari profil yang terbentuk pada 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) adalah MC-LD. Hal ini terjadi karena probabilitas input  lebih tinggi dari output, yang mengakibatkan terjadinya penurunan kepadatan yang perlahan. Hasil yang berbeda ditunjukkan pada 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) dimana fase yang terjadi adalah HD. Probabilitas kepadatan cukup tinggi dikarenakan pada output 𝜷 𝟐 bernilai jauh lebih kecil dari inputnya. Hal ini mengakibatkan ketidakseimbangan probabilitas partikel yang masuk dan keluar. Arus pada fase MC lebih tinggi dari pada pada HD. Pada kasus 1D fase MC terjadi ketika arus bernilai  0.25.  pada  TASEP  2D,  arus  pada  fase  MC  tidak  selalu  bernilai  0.125  karena  adanya penambahan output.
a b
Gambar 4a. Profil kepadatan, dimana kepadatan 1 dan 2 masing-masing 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) dan Arus 1 dan 2 masing-masing 𝑱 (𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝑱(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ), dengan 𝜶 𝟏 = 𝟎. 𝟗, 𝜶 𝟐 = 𝟎, 𝜷 𝟏 = 𝟎. 𝟓 , 𝜷 𝟐 = 𝟎. 𝟏
Gambar 5 adalah gambaran pada kasus 2. Pada kasus masih menunjukkan fase MC-LD pada 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) ,  akan  tetapi  karena  probabilitas  input  lebih  kecil  dari  kasus  1,  di  awal  kekisi  tidak terjadi kepadatan yang tinggi, dan menurun hingga mengalami fase LD. Fenomena yang sama masih terjadi pada 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) . Cukup kecilnya probabilitas output yang diberikan mengakibatkan terjadinya probabilitas kepadatan yang cukup tinggi. Dalam hal ini, arus yang terjadi pada MC lebih tinggi dari pada LD dan HD.
Gambar 5. Profil kepadatan, dimana kepadatan 1 dan 2 masing-masing 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) dan Arus 1 dan 2 masing-masing 𝑱 (𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝑱(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) , dengan 𝜶 𝟏 = 𝟎. 𝟓, 𝜶 𝟐 = 𝟎, 𝜷 𝟏 = 𝟎. 𝟓 , 𝜷 𝟐 = 𝟎. 𝟏
Kasus 3 menunjukkan profil kepadatan dengan fase LD-LD. Kepadatan rendah atau low density merupakan suatu fase dimana besarnya laju partikel yang masuk ke kisi  lebih kecil dari
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 40 80 120 Kepadatan Kekisi Kepadatan 1 Kepadatan 2 0 0,05 0,1 0,15 0 40 80 120 Arus Kekisi Arus 1 Arus 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 40 80 120 Kepadatan Kekisi Kepadatan 1 Kepadatan 2 0 0,05 0,1 0,15 0 40 80 120 Arus Kekisi Arus 1 Arus 2
laju  partikel  keluar    (Derrida,  1992).  Fase  LD  merupakan  kondisi  dimana  peluang  kepadatan partikel pada kekisis sangat rendah. Profil 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) memiliki fase LD disebabkan oleh kecilnya probabilitas  masukan  partikel,  sedangkan  probabilitas  keluarnya  partikel  ke  reservoir  cukup besar.  Pada 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) di  awal  proses,  fase  yang  terjadi  adalah  LD,  namun  pada  akhir  proses terjadi peningkatan kepadatan di akhir kekisi. Hal ini disebabkan oleh probabilitas output yang kecil.  Arus  kepadatan  pada  kasus  ini  bernilai  kecil.  Artinya  pada  fase  LD-LD  tidak  terjadi probabilitas kepadatan yang tinggi, akan tetapi karena probabilitas mobilitas partikel pada kekisi juga kecil, maka arus kepadatan pun tidak tinggi.
a

## b
Gambar 6. Profil kepadatan, dimana kepadatan 1 dan 2 masing-masing 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) dan Arus 1 dan 2 masing-masing 𝑱 (𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝑱(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) , dengan 𝜶 𝟏 = 𝟎. 𝟏, 𝜶 𝟐 = 𝟎, 𝜷 𝟏 = 𝟎. 𝟓 , 𝜷 𝟐 = 𝟎. 𝟏 .
Profil  kepadatan  pada Gambar  7 (kasus  4)  menunjukkan  fase  MC-LD-HD,  dengan  arus maksimal  yang  terjadi  adalah  sebesar  0.125,  yaitu  ketika  berada  pada  fase  MC.  Probabilitas output yang sangat kecil mengakibatkan terjadinya kepadatan partikel pada kisi 50 hingga 100 sehingga  menyebabkan  arus  sangat  kecil.  Kecilnya  arus  ini  disebabkan  oleh  sangat  kecilnya probabilitas mobilitas partikel akibat kepadatan. Pada saat partikel mengalami fase LD, arus yang terjadi lebih besar dari saat fase HD karena pada fase LD, probabilitas mobilitas partikel lebih besar dari fase HD.
Gambar 7. Profil kepadatan, dimana kepadatan 1 dan 2 masing-masing 𝝆(𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝝆(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) dan Arus 1 dan 2 masing-masing 𝑱 (𝜶 𝟏 , 𝜷 𝟏 ) dan 𝑱(𝜶 𝟐 , 𝜷 𝟐 ) , dengan 𝜶 𝟏 = 𝟎. 𝟗, 𝜶 𝟐 = 𝟎, 𝜷 𝟏 = 𝟎. 𝟏 , 𝜷 𝟐 = 𝟎. 𝟏 .
Beberapa  kasus  yang  dianalisis  (kasus  1  sampai  4)  dapat  dianalogikan  sebagai  mobilitas kendaraan  yang  melewati  suatu  jalan  pertigaan.  Nilai  probabilitas  kepadatan  dan  arus  yang bergantung pada input dan output merupakan gambaran fenomena yang terjadi pada suatu jalan dimana jumlah kendaraan yang masuk dan keluar tidak sama. Di sisi lain, fase HD merupakan
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 40 80 120 Kepadatan Kekisi Kepadatan 1 Kepadatan 2 0 0,05 0,1 0 40 80 120 Arus Kekisi Arus 1 Arus 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 40 80 120 Kepadatan Kekisisi Kepadatan 1 Kepadatan 2 0 0,05 0,1 0,15 0 40 80 120 Arus Kekisi Arus 1 Arus 2
kondisi  yang  analog  dengan  kemacetan  jalan.  Perubahan  input  dan  output  adalah  salah  satu gambaran bagaimana cara mengatasi kemacetan lalu lintas. Fase MC merupakan gambaran jalan yang ramai oleh kendaraan namun tetap lancar atau tidak terjadi kemacetan.

## KESIMPULAN
Fase yang terjadi pada kasus-kasus yang dikaji adalah Maximal Current – Low Density – High Density (MC-LD-HD) dan Low Density-Low-Density (LD-LD). Dalam hal ini,  MC-LD-HD terjadi pada kasus 1, 2, dan 4. Fase ini terbentuk akibat adanya  probabilitas input partikel yang dalam hal ini dianalogikan sebagai banyaknya kendaraan masuk tergolong tinggi, dimana 𝛽 1 tinggi, namun 𝛽 2 rendah. Akibatnya, di akhir kekisi terjadi kepadatan yang tinggi. Fase  LD-LD terjadi  pada kasus 3.    Hal  ini  sangat  masuk  akal  dikarenakan  adanya  probabilitas  input  yang  sangat  kecil,  dan probabilitas output 𝛽 1 lebih besar dari inputnya. Arus paling tinggi terjadi ketika partikel pada kekisi mengalami fase MC. Arus maksimal sebesar 0.125. Hasil ini menunjukkan bahwa dengan memberikan nilai probabilitas yang lebih bervariasi untuk 𝛼 1 , 𝛽 1 , dan , 𝛽 2 maka trend arus dan kepadatan sangat berragam.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Alhani, Erwan. K, Sulandari. E., Jurnal Mahsiswa Elektronik Laut, Sipil, Tambang . Analisa Lalu Lintas Terhadap Kapasitas Jalan Di Pinggiran Kota Pontianak (Kasus Jalan Sungai Raya Dalam). Vol.4. No.4. Hal. 17. Desember 2017.
[2] Adipurno, R.A, Dwandaru, W.S.B, Darmawan, D. Ruwanto, B. Simulation . Jurnal sains Dasar . Analysis Of The Totally Asymetric Simple Exclusion Process To Determine The Profil Of The One-Body Correlation Function, Two-Body Correlation Function, And Three-Body Correlation Function Around The Ends Of The Lattice With Lattice Number Variation. Vol.4 No.1. Hal 7-9. 2015.
[3]  Noviani.E.P.F,  Dwandaru  W.S.B,  Penyelesaian  analitik  model  Totally  Asymmetric  Exclusion Process  (TASEP)  dengan  satu  kekisi. Proceeding  Seminar  Nasional  Guru  Fisika  dan Matematika . 2011. pp. 145-153. ISSN: 0852-078X (Unpublished)
[4] Dwandaru, W.S.B, Various Corespondences Between Simple Driven and Equilibrium Statistical Hard and Core Models. 2010 . Thesis . University of Bristol.
[5]  Septiana R,  Indriawati  A,  Dwandaru, W.S.B. Makara  Journal  Sciences .  Phase  Diagrams  and Current  Density  Profiles  of  the  Totally  Asymmetric  Simple  Exclusion  Process  in  Two Dimensions, for a Three-Way Junction. Vol.18 No.3 Hal. 79-85 doi: 10.7454/mss.v18i3.3719
[6] Kadir, Abdul. 2014. Belajar Sendiri Pasti Bisa Pemrograman C++. Andi: Yogyakarta
[7] B. Derrida, E. Domany, and D. Mukamel, J. Stat. Phys. 69, 667 (1992).