Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 327-339 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.17053
Perbandingan Harga Opsi Reset dengan Metode Monte Carlo Standar dan Control Variate
Donny Citra Lesmana 1 *, Andyta Putri Pramesty 2 , Yunita Nur’Afiyah 3 , Akbar Cautsar Suryaputra 4 , Anggi Setya Pratiwi 5 , Wintang Dayinta Wiyanto 6 , Yeremia Bertolla Gimanjar 7 1,2,3,4,5,6,7 Departemen Matematika, IPB University, Bogor Indonesia e-mail: donnylesmana@apps.ipb .ac.id
Diajukan: 7 Juni 2023, Diperbaiki: 5 Nopember 2023, Diterima: 9 Nopember 2023

## Abstrak
Opsi bermanfaat untuk melindungi investor dari risiko kenaikan atau penurunan harga saham. Opsi yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  opsi reset dengan  tipe call dan put yang  bersifat path- dependent. Dalam  kebanyakan  kasus,  opsi  yang  bersifat path-dependent tidak  memiliki  solusi  analitik sehingga  perlu  dilakukan  pendekatan  numerik  untuk  menghitung  harga  wajar  opsi  jenis  ini.  Dalam penelitian  ini,  metode  numerik  yang  digunakan  adalah  metode  Monte  Carlo  standar  dan  Monte  Carlo control  variate .  Ditunjukkan  pula  bahwa  harga  opsi reset yang  dihitung  menggunakan  kedua  metode tersebut konvergen menuju solusi eksak. Hal ini menandakan bahwa kedua metode dapat digunakan untuk menentukan  harga  opsi reset .  Hasil  penghitungan  kedua  metode  tersebut  kemudian  dibandingkan berdasarkan kecepatan kekonvergenannya yang dihitung menggunakan galat relatif yang dihasilkan dari masing-masing metode. Metode Monte Carlo control variate menghasilkan galat relatif yang lebih kecil dibandingkan dengan Monte Carlo standar pada kedua tipe opsi. Hal ini menunjukkan bahwa metode Monte Carlo control  variate merupakan  metode  yang  lebih  akurat  dibandingkan  metode  Monte  Carlo  standar. Pengaruh  nilai  parameter  model  juga  dibandingkan untuk  menentukan  harga  opsi reset .  Nilai  volatilitas yang semakin besar membuat harga opsi reset cenderung semakin mahal pada kedua tipe opsi reset . Waktu reset yang semakin dekat dengan tanggal terbit opsi ataupun waktu jatuh tempo opsi menyebabkan harga opsi reset cenderung  semakin  murah.  Sedangkan  tingkat  bunga  bebas  risiko  menyebabkan  perubahan perilaku  harga  yang  berbeda  pada  opsi put dan call .  Dengan  meningkatnya  tingkat  bunga  bebas  risiko, harga opsi call akan semakin meningkat, sedangkan harga opsi put semakin menurun.
Kata Kunci : Harga Opsi, Monte Carlo, Opsi Reset , Control Variate

## Abstract
Options are useful for protecting investors from the risk of increasing or decreasing share prices. The options used in this research are reset options with path-dependent call and put types. In most cases, path-dependent options do not have an analytical solution, so it is necessary to take a numerical approach to  calculate  the  fair  price  of  this  type  of  option.  In  this  research,  the  numerical  methods  used  are  the standard Monte Carlo method and the Monte Carlo control variate method. It is also shown that the reset option prices calculated using both methods converge towards an exact solution. This indicates that both methods can be used to determine the reset option price. The calculation results of the two methods are then compared based on their convergence speed which is calculated using the relative error resulting from each  method.  The  Monte  Carlo  control  variate  method  produces  smaller  relative  errors  compared  to standard Monte Carlo for both types of options. This shows that the Monte Carlo control variate method is a more accurate method than the standard Monte Carlo method. The influence of model parameter values is also compared to determine the price of the reset option. The greater the volatility value, the reset option price tends to be more expensive for both types of reset options. The closer the reset time is to the option issue date or the option expiration time, the reset option price tends to be cheaper. Meanwhile, the risk-
328
free interest rate causes different price behavior changes in put and call options. As the risk-free interest rate increases, the price of the call option will increase, while the price of the put option will decrease.
Keywords: Option Prices, Monte Carlo, Reset Options, Control Variate

## 1 Pendahuluan
Saham  yang  diperjualbelikan  di  pasar  modal  memiliki  ketidakpastian  harga  di  waktu mendatang.  Hal  tersebut  dapat  menimbulkan  kerugian  bagi  investor.  Melalui  perkembangan transaksi  aset,  risiko  terhadap  kerugian  tersebut  dapat  diminimalisir  menggunakan  kontrak derivatif.  Kontrak  derivatif  merupakan  suatu  perjanjian  antara  dua  pihak  untuk  menjual  atau membeli underlying asset (aset dasar) dengan harga yang telah disepakati, sebelum atau pada saat jatuh  tempo. Underlying  asset merupakan  aset  dasar  yang  menjadi  dasar  harga  derivatif  [1]. Underlying asset dapat berupa saham, obligasi, kurs nilai tukar, dan komoditas. Produk derivatif hadir dalam berbagai jenis, seperti kontrak future, kontrak forward, swap, dan opsi ( option) .
Opsi seringkali digunakan untuk mengelola risiko finansial, seperti perubahan harga aset [2]. Opsi memberikan hak, bukan kewajiban, kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset pada saat atau sebelum jatuh tempo dengan harga tertentu yang disebut harga kesepakatan ( strike price ).  Opsi  dapat  diklasifikasikan  berdasarkan  hak,  waktu  eksekusi,  dan  struktur payoff -nya. Berdasarkan haknya, opsi dibagi menjadi opsi call , yaitu hak untuk membeli underlying asset , dan opsi put ,  yaitu  hak  untuk  menjual underlying  asset .  Sedangkan  berdasarkan  struktur payoff , terdapat dua jenis opsi, yaitu opsi vanila dan opsi eksotik. Opsi vanila merupakan opsi tipe Eropa atau  tipe  Amerika  dengan underlying  asset tunggal  [3].  Opsi  eksotik  adalah  opsi  yang  struktur payoff -nya  tidak  hanya  bergantung  pada  harga underlying  asset saat  dieksekusi,  tetapi  juga bergantung pada lintasan harga underlying asset selama masa hidup opsi [4]. Terdapat beberapa jenis opsi eksotik, antara lain opsi Asia, opsi barrier, opsi window , dan opsi reset .
Dalam  penelitian  ini,  akan  dilakukan  penentuan  harga  opsi reset .  Opsi reset adalah  salah satu opsi path-dependent yang harga strike- nya dapat di- reset (diubah) berdasarkan kesepakatan tertentu pada waktu yang ditentukan di masa depan (waktu reset ) [5]. Opsi reset sering digunakan dalam konteks manajemen risiko keuangan untuk mengurangi risiko yang terkait dengan fluktuasi nilai aset [6].
Secara umum, penentuan harga opsi dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu metode analitik dan  metode  numerik.  Metode  analitik  sendiri  merupakan  metode  perhitungan  yang  bertujuan menghasilkan  solusi  analitik  dari  suatu  harga  opsi  [7].  Salah  satu  model  yang  menggunakan pendekatan analitik dalam menghitung harga opsi adalah model Black-Scholes. Model ini telah diterima dan kerap digunakan oleh banyak investor dalam menentukan harga opsi Eropa [8]. Akan
329 Donny Citra Lesmana, Andyta Putri Pramesty, Yunita Nur’Afiyah, Akbar Cautsar Suryaputra, Anggi Setya Pratiwi, Wintang Dayinta Wiyanto, Yeremia Bertolla Gimanjar
tetapi,  model  Black-Scholes  memiliki  keterbatasan  dalam  menentukan  harga  opsi yang  bersifat path-dependent [9] . Oleh karena itu, diperlukan metode numerik dalam menentukan harga opsi dengan sifat tersebut.
Metode  numerik  merupakan  suatu  teknik  penyelesaian  masalah  secara  matematik  yang menghasilkan  nilai  aproksimasi  atau  pendekatan  sehingga  terdapat  galat  ( error )  [7].  Salah  satu metode numerik dalam penentuan harga opsi adalah metode Monte Carlo. Metode Monte Carlo merupakan  sebuah  teknik  yang  digunakan  dalam  menentukan  harga  opsi  dengan  melakukan perulangan simulasi. Untuk mendapatkan nilai aproksimasi yang akurat, metode ini memerlukan iterasi dan pembangkitan data yang cukup besar [4]. Hal ini tentunya membuat waktu komputasi menjadi  cukup  lama.  Cara  lain  yang  dapat  digunakan  dalam  meningkatkan  akurasi  nilai aproksimasi  adalah  dengan  teknik  reduksi  varians  [10].  Dalam  penelitian  ini,  teknik  reduksi varians yang digunakan adalah control variate.
Beberapa penelitian terdahulu telah membahas mengenai perbandingan metode Monte Carlo standar  dengan  Monte  Carlo  reduksi  varians  dalam  menentukan  harga  opsi.  Pramuditya  [10] membandingkan  metode  Monte  Carlo  standar  dan  metode  Monte  Carlo  reduksi  varians  untuk menghitung  harga  opsi  Asia.  Hasil  dari  penelitian  tersebut  menunjukkan  bahwa  kedua  metode tersebut  dapat  digunakan  untuk  menentukan  harga  opsi  Asia  dengan  selang  kepercayaan  95%. Dalam  penelitian  tersebut,  diketahui  bahwa  metode  Monte  Carlo  reduksi  varians  dapat memperkecil selang kepercayaan tersebut lebih cepat dibandingkan dengan metode Monte Carlo standar. Ayudiah et al. [11] menyatakan bahwa metode Monte Carlo control variate menghasilkan galat yang lebih kecil dalam penghitungan harga opsi Eropa dibandingkan metode Monte Carlo standar.
Tujuan penelitian ini adalah menghitung harga opsi reset menggunakan metode Monte Carlo standar  dan  Monte  Carlo  reduksi  varians  kemudian  membandingkan  efektivitas  kedua  metode tersebut.  Simulasi  dilakukan  untuk  mengetahui  metode  yang  memiliki  galat  lebih  kecil  dalam menentukan harga opsi reset , baik opsi put maupun opsi call . Selain itu, dilakukan simulasi nilai pada beberapa parameter model untuk mengetahui pengaruh parameter-parameter tersebut dalam penentuan harga opsi reset .

## 2 Metode Penelitian

## 2.1.   Model Harga Saham
Pada  penelitian  ini,  harga  saham  diasumsikan  mengikuti  Gerak  Brown  Geometrik  atau Geometric Brownian Motion (GBM). Model GBM dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
𝑑𝑆 = 𝜇𝑆 𝑑𝑡  +  𝜎𝑆 𝑑𝑍
(1)
330
Perbandingan Harga Opsi Reset dengan Metode Monte Carlo Standar dan Control Variate
dengan 𝑆 adalah  harga  saham, 𝜇 adalah drift  rate , 𝜎 adalah  volatilitas,  dan 𝑑𝑍 adalah  proses Wiener  [12].  Persamaan  model  saham  dapat  dinyatakan  dalam  sembarang  fungsi 𝐹(𝑆, 𝑡) .  Pada sembarang fungsi tersebut berlaku Lemma Ito yang dinyatakan dalam persamaan berikut [13]:
d𝐹 = (𝑆𝜇 𝜕𝐹 𝜕𝑆 + 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝐹 𝜕𝑆 2 𝜎 2 𝑆 2 ) 𝑑𝑡  +   ( 𝜕𝐹 𝜕𝑆 𝜎𝑆) 𝑑𝑍 (2)
Misalkan 𝐹  =   ln(𝑆) , maka dari Persamaan (2) diperoleh:
d ln(𝑆) = (𝑆𝜇 𝜕 ln(𝑆) 𝜕𝑆 + 𝜕 ln(𝑆) 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 ln(𝑆) 𝜕𝑆 2 𝜎 2 𝑆 2 ) 𝑑𝑡  +   ( 𝜕 ln(𝑆) 𝜕𝑆 𝜎𝑆) 𝑑𝑍
dan dihasilkan:
𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑡−1 𝑒 (𝜇− 1 2 𝜎 2 )𝑑𝑡+𝜎𝜀√𝑑𝑡 (3)
dengan 𝑆 𝑡 adalah  harga  saham  pada  waktu 𝑡 dan 𝜀 menyebar  normal  baku.  Persamaan  (3) digunakan sebagai model untuk meramalkan pergerakan harga saham [12].

## 2.2.   Data
Data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data  harga  penutupan  saham Star  Bulk Carriers Corp. (SBLK). Data yang dipilih merupakan data harga saham harian selama periode 3 Januari  2022  hingga  3  Januari  2023.  Data  tersebut  dapat  diakses  melalui website finance.yahoo.com.  Data  lainnya  yang  diperlukan  dalam  penelitian  ini  adalah  harga strike 𝐾 , waktu reset 𝑡 ∗ , waktu jatuh tempo 𝑇 , nilai volatilitas 𝜎 , dan suku bunga bebas risiko 𝑟 . Waktu reset 𝑡 ∗ ditentukan secara bebas, yang dalam penelitian ini digunakan hari ke-183. Nilai volatilitas ( 𝜎 ) dihitung dengan persamaan Hull sebagai berikut [14]:
𝑢 𝑖 = ln  ( 𝑆 𝑖 𝑆 𝑖−1 ) 𝑠 = √ 1 𝑛−1 ∑ (𝑢 𝑖 − 𝑢̅) 2 𝑛 𝑖=1 (4)
𝜎̂ = 𝑠 √𝜏 (5)
dengan 𝑠 merupakan standar deviasi dari return saham ( 𝑢 𝑖 ), 𝑢 adalah rata-rata dari 𝑢 𝑖 , dan 𝜏 adalah panjang sub-interval waktu dalam tahun. Waktu jatuh tempo, 𝑇 , yang digunakan adalah selama 1 tahun. Suku bunga bebas risiko 𝑟 mengikuti US 1 Year Treasury Bill , yaitu sebesar 5% per tahun.

## 2.3.   Uji Normalitas
Gerak Brown Geometrik mengasumsikan bahwa log return dari suatu saham berdistribusi normal [15]. Return saham dapat dihitung dengan persamaan berikut:
𝑟(𝑡) = ln ( 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 ) (6)
dengan 𝑆 𝑡 merupakan harga saham dari SBLK pada waktu 𝑡 [13]. Terhadap data log return saham SBLK, akan dilakukan uji normalitas. Terdapat beberapa metode untuk menguji normalitas data.
331 Donny Citra Lesmana, Andyta Putri Pramesty, Yunita Nur’Afiyah, Akbar Cautsar Suryaputra, Anggi Setya Pratiwi, Wintang Dayinta Wiyanto, Yeremia Bertolla Gimanjar
Pada penelitian ini, uji normalitas dilakukan secara deskriptif dan uji statistik. Q-Q Plot digunakan sebagai  uji  normalitas  secara  deskriptif.  Uji  Anderson-Darling  digunakan  sebagai  uji  statistik untuk normalitas data. Pengujian dengan metode Anderson-Darling dilakukan sebagai berikut: 𝐻 0 = data return saham berdistribusi normal,
𝐻 1 = data return saham tidak berdistribusi normal.
Jika p-value < 𝛼 , maka 𝐻 0 ditolak. Artinya, data return saham tidak berdistribusi normal. Jika p- value > 𝛼 , maka 𝐻 0 diterima yang berarti data berdistribusi normal [16].

## 2.4.   Opsi Reset
Opsi Reset merupakan opsi path-dependent dengan fitur yang dapat mengubah harga strike . Opsi reset memberikan hak kepada pemegangnya untuk mengubah harga strike 𝐾 ke harga saham pada  waktu reset. Hal  ini  dilakukan agar  opsi  yang  sebelumnya out-of-the-money menjadi  opsi yang at-the-money . Opsi reset terdiri atas opsi call dan opsi put . Misalkan suatu opsi  memiliki waktu reset 𝑡 𝑖 ∗ , dengan 𝑖 = 1,2,3, … dan 𝑡 1 ∗ < . . . <   𝑡 2 ∗ < 𝑇 .  Untuk opsi call reset dan opsi put reset, besarnya payoff pada waktu jatuh tempo 𝑇 adalah sebagai berikut [17]:
Tabel 1. Payoff Opsi Reset Opsi Payoff Call max(𝑆 𝑇 − min(𝐾, 𝑆 𝑡 1 , … , 𝑆 𝑡 𝑛 ) , 0)
Put max(max(𝐾, 𝑆 𝑡 1 , … , 𝑆 𝑡 𝑛 ) − 𝑆 𝑇 , 0)
dengan 𝑆 𝑡 𝑖 = 1,2,...,𝑛 merupakan harga strike yang telah diubah mengikuti harga saham pada waktu reset dan 𝐾 adalah harga strike awal, di mana 𝐾 > 0 .

## 2.5.   Metode Monte Carlo
Metode Monte Carlo merupakan teknik numerik yang digunakan dalam menentukan harga opsi dengan membangkitkan serangkaian skenario harga aset yang mungkin terjadi di masa depan. Metode  ini  menggunakan law  of  large  number dalam  penghitungannya,  yang  berarti  semakin banyak simulasi yang digunakan, maka semakin baik pendekatan numeriknya [14].
Dalam menentukan harga opsi menggunakan metode Monte Carlo, harga underlying asset dimodelkan  mengikuti  Gerak  Brown Geometrik  menggunakan  penilaian  risiko  netral  sebagai berikut [18].
𝑑𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑡 (𝑟𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡 ) (7)
dengan 𝑡 ∈ [0, 𝑇], 𝑇 > 0 .  Selanjutnya  skenario  harga underlying  asset dibangkitkan  dengan simulasi  acak  Gerak  Brown Geometrik  dengan  melakukan  diskretisasi  Persamaan  (7)  sebagai berikut [18].
332
Perbandingan Harga Opsi Reset dengan Metode Monte Carlo Standar dan Control Variate
Δ𝑆 𝑡 = 𝑆 𝑡 (𝑟Δ𝑡 + 𝜎𝜀√𝛥𝑡) ;  𝜀 ∼ 𝜙(0,1) . (8)
Kemudian dari skenario harga aset yang dihasilkan, nilai opsi dihitung di setiap titik di masa depan dan dilakukan estimasi harga opsi beserta skenario yang mungkin terjadi.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penentuan harga opsi reset dengan simulasi Monte Carlo diuraikan sebagai berikut [18]:
1. Tentukan parameter-parameter yang diperlukan untuk menentukan harga opsi reset , yaitu harga saham awal ( 𝑆 0 ), harga strike ( 𝐾 ), volatilitas ( 𝜎 ), suku bunga bebas risiko ( 𝑟 ), jumlah simulasi yang dilakukan ( 𝑀 ), dan waktu jatuh tempo ( 𝑇 ).
2. Bangkitkan M bilangan acak 𝜀 𝑖 yang berdistribusi normal baku 𝜀 𝑖 ∼ 𝜙(0,1) , 𝑖 = 1,2, … 𝑀 . 3. Simulasikan  harga  saham  menggunakan  Gerak  Brown Geometrik  pada  waktu 𝑡 untuk iterasi ke- 𝑖 (𝑆 𝑡 𝑖 ) dengan persamaan sebagai berikut:
(𝑆 𝑡 𝑖 ) = 𝑆 𝑡−1 𝑖 exp [(𝑟 − 𝜎 2 2 ) Δ𝑡 + 𝜀 𝑖 𝜎√Δ𝑡] (9)
4. Tentukan  waktu reset : Reset terjadi  ketika  harga  saham  melebihi  harga reset yang ditetapkan. Jika reset terjadi, setel harga strike ke harga reset .
5. Hitung  nilai  sekarang payoff opsi call dan put dengan  mengalikan  faktor  diskonto  pada penilaian risk-neutral dengan payoff opsi seperti berikut:
𝐶 𝑖 = 𝑒 −𝑟𝑇 max(𝑆 𝑇 𝑖 − min(𝐾, 𝑆 𝑡 1 𝑖 , . . . , 𝑆 𝑡 𝑛 𝑖 ) , 0) (10)
𝑃 𝑖 = 𝑒 −𝑟𝑇 max(max(𝐾, 𝑆 𝑡 1 𝑖 , . . . , 𝑆 𝑡 𝑛 𝑖 ) − 𝑆 𝑇 𝑖 , 0) (11)
6. Hitung  harga  opsi call ( 𝐶 )  dan put ( 𝑃 )  menggunakan  nilai  rata-rata payoff yang  telah didiskontokan sebagai berikut:
𝐶 = 1 𝑀 ∑ 𝐶 𝑖 𝑀 𝑖=1 (12)
𝑃 = 1 𝑀 ∑ 𝑃 𝑖 𝑀 𝑖=1 (13)

## 2.6.   Metode Control Variate
Metode control variate merupakan salah satu metode reduksi varians yang dilakukan untuk meningkatkan  efisiensi  simulasi  Monte  Carlo.  Teknik  reduksi  varians  dapat  meningkatkan kecepatan  konvergensi  dan  mengurangi  variansi  hasil  simulasi,  sehingga  interval  kepercayaan yang berisi solusi akan semakin menyempit dan solusi yang lebih akurat bisa diperoleh lebih cepat [19]. Metode Monte Carlo control variate memperoleh keuntungan dari peubah acak dengan nilai harapan yang diketahui dan berkorelasi positif dengan peubah yang diamati [11].
Dalam  pendugaan  harga  opsi  menggunakan  metode  Monte  Carlo control  variate ,  harga saham pada waktu jatuh tempo opsi dapat digunakan sebagai peubah kontrol. Hal ini karena harga saham pada waktu jatuh tempo opsi memiliki korelasi yang kuat dengan payoff opsi ( 𝐹 ), dengan
333 Donny Citra Lesmana, Andyta Putri Pramesty, Yunita Nur’Afiyah, Akbar Cautsar Suryaputra, Anggi Setya Pratiwi, Wintang Dayinta Wiyanto, Yeremia Bertolla Gimanjar
nilai  harapan  diketahui  sebagai  berikut: 𝐸(𝑆 𝑇 ) = 𝑆 0 𝑒 𝑟𝑇 .  Simulasi  Monte  Carlo control  variate [18] pada harga opsi reset dapat diuraikan sebagai berikut:
1. Tentukan nilai harga saham ( 𝑆 0 ), harga strike ( 𝐾 ), volatilitas ( 𝜎 ), suku bunga bebas risiko ( 𝑟 ), jumlah simulasi ( 𝑀 ), dan waktu jatuh tempo ( 𝑇 ).
2. Hitung pergerakan harga saham ( 𝑆 𝑡 ) harian SBLK mengikuti Gerak Brown Geometrik.
3. Setelah diperoleh harga saham sampai waktu 𝑇 , hitung payoff opsi call reset (𝐶) dan opsi put reset (𝑃) .
4. Hitung 𝑘 𝐶 untuk  opsi call  reset dan 𝑘 𝑃 untuk  opsi put  reset dengan  persamaan  sebagai berikut:
𝑘 𝐶 = − Cov(𝑆 𝑇 ,𝐶) Var(𝐶) (14)
𝑘 𝑃 = − 𝐶𝑜𝑣(𝑆 𝑇 ,𝑃) Var(𝑃) (15)
5. Kemudian  hitung  kembali  nilai  sekarang  dari payoff opsi reset yang  sudah  dipengaruhi peubah kontrol dengan persamaan berikut:
𝐶 𝑖 = 𝑒 −𝑟𝑇 [max(𝑆 𝑇 𝑖 − min(𝐾, 𝑆 𝑡 1 𝑖 , … , 𝑆 𝑡 𝑛 𝑖 ) , 0) + 𝑘 𝐶 (𝑆 𝑇 𝑖 − 𝑆 0 𝑒 𝑟𝑇 )] (16) 𝑃 𝑖 = 𝑒 −𝑟𝑇 [max(max(𝐾, 𝑆 𝑡 1 𝑖 , … , 𝑆 𝑡 𝑛 𝑖 ) − 𝑆 𝑇 𝑖 , 0) + 𝑘 𝑃 (𝑆 𝑇 𝑖 − 𝑆 0 𝑒 𝑟𝑇 )] (17)
6. Tentukan harga opsi reset dengan mengambil rata-rata dari harga opsi call reset dan opsi put reset dari semua simulasi.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1   Uji Normalitas
Uji  Normalitas  dilakukan  terhadap  data  saham  SBLK  secara  deskriptif  dan  uji  statistik. Secara  deskriptif,  digunakan  metode  Q-Q  Plot  untuk  melihat  apakah  data  saham  berdistribusi normal atau tidak.  Hasil dari plot data log return saham ditunjukkan pada Gambar 1.
334
Berdasarkan Gambar 1, terlihat bahwa titik-titik data log return saham menyebar di sekitar garis diagonal. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa data log return saham memenuhi asumsi normalitas  secara  deskriptif.  Selanjutnya,  dilakukan  uji  statistik  menggunakan  metode  uji Anderson Darling. Dengan bantuan program R, didapatkan nilai p-value sebesar 0,4842 sehingga disimpulkan bahwa 𝐻 0 diterima. Artinya, data log return harga saham berdistribusi normal. 3.2   Ilustrasi Numerik
Langkah awal dalam penghitungan harga opsi adalah menentukan nilai parameter yang akan digunakan  untuk  simulasi.  Pada  penelitian  ini,  simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  nilai parameter berikut:
Tabel 2. Parameter Simulasi
Parameter Nilai 𝑆 0 18,46 𝐾 0 18,46 𝑟 0,05 𝜎 0,623847 𝑡 ∗ hari ke-183 𝑇 1 tahun
Berdasarkan  data  parameter  pada  Tabel  2,  selanjutnya  dilakukan  simulasi  menggunakan metode Monte Carlo standar dan Monte Carlo c ontrol variate untuk memperoleh harga opsi reset . Hasil penghitungan dari kedua metode tersebut memiliki galat yang disebut sebagai galat relatif. Galat relatif dapat dihitung menggunakan rumus berikut,
𝜀 𝑟 = |𝑎̂−𝑎| 𝑎 (18)
dengan 𝑎̂ merupakan nilai dari solusi numerik dan 𝑎 sebagai nilai dari solusi eksak. Solusi eksak yang digunakan adalah nilai solusi dari simulasi yang optimal. Pada penelitian ini, digunakan M = 100.000 untuk simulasi yang optimal. Solusi eksak opsi call reset dan opsi put reset untuk Monte Carlo standar berturut-turut sebesar 5,508 dan 5,069. Solusi eksak opsi call reset dan opsi put reset untuk Monte Carlo c ontrol variate berturut-turut sebesar 5,474 dan 5,078.
Tabel 3. Hasil Penghitungan Harga Opsi Call Reset M Monte Carlo Standar Monte Carlo Control Variate Harga Opsi Galat Relatif Rasio Galat Harga Opsi Galat Relatif Rasio Galat 3000 5,249 0,04702 5,559 0,02357 6000 5,251 0,04666 1,00778 5,345 0,01553 1,51766 12000 5,344 0,02978 1,56707 5,442 0,00585 4,03125 24000 5,365 0,02596 1,14685 5,451 0,00420 1,39130
335
Donny Citra Lesmana, Andyta Putri Pramesty, Yunita Nur’Afiyah, Akbar Cautsar Suryaputra, Anggi Setya Pratiwi, Wintang Dayinta Wiyanto, Yeremia Bertolla Gimanjar
Berdasarkan Tabel 3, penghitungan harga opsi call reset semakin mendekati solusi eksak dengan bertambahnya jumlah simulasi yang dilakukan. Apabila dilihat dari nilai galat relatif yang diperoleh,  nilai  tersebut  semakin  mengecil  dan  semakin  mendekati  nol  seiring  dengan meningkatnya  jumlah  simulasi.  Hal  ini  menandakan  bahwa  harga  opsi call  reset konvergen menuju solusi eksak. Pada Tabel 3 juga disajikan rasio galat yang merupakan perbandingan galat pada  dua  ukuran  langkah  atau  elemen  yang  berbeda.  Rasio  galat  berhubungan  dengan  tingkat kekonvergenan.  Tingkat  kekonvergenan  menggambarkan  sejauh  mana  suatu  metode  numerik dapat menghasilkan solusi yang mendekati solusi eksak. Tingkat kekonvergenan didapatkan dari penghitungan  rata-rata  rasio  galat.  Berdasarkan  nilai-nilai  rasio  galat,  diperoleh  tingkat kekonvergenan  opsi call  reset menggunakan  metode  Monte  Carlo  standar  dan control  variate berturut-turut  sebesar  1,24 dan  2,31. Artinya, penghitungan harga opsi call reset menggunakan metode  Monte  Carlo control  variate 2  kali  lebih  cepat  konvergen  menuju  solusi  eksak dibandingkan dengan Monte Carlo standar. Nilai tingkat kekonvergenan yang didapat pada metode Monte  Carlo control  variate juga  menandakan  bahwa  dengan  meningkatkan  jumlah  simulasi menjadi 2 kali, maka nilai galat pada harga opsi call akan mengecil 2,31 kali dari sebelumnya.
Tabel 4. Hasil penghitungan harga opsi put reset M Monte Carlo Standar Monte Carlo Control Variate Harga Opsi Galat Relatif Rasio Galat Harga Opsi Galat Relatif Rasio Galat 3000 5,305 0,04656 5,226 0,02915 6000 4,984 0,01677 2,77647 4,958 0,02363 1,23333 12.000 5,094 0,00493 3,40000 5,066 0,00236 10,0000 24.000 5,096 0,00533 0,92593 5,072 0,00118 2,00000
Berdasarkan  Tabel  4,  penghitungan  harga  opsi put  reset semakin  mendekati  solusi  eksak dengan bertambahnya jumlah simulasi yang dilakukan. Apabila dilihat dari nilai galat relatif yang diperoleh, nilai tersebut makin mengecil dan semakin mendekati nol seiring dengan meningkatnya jumlah simulasi. Hal ini menandakan bahwa harga opsi put reset konvergen menuju solusi eksak. Tingkat  kekonvergenan  opsi put  reset menggunakan  metode  Monte  Carlo  standar  dan control variate berturut-turut  sebesar  2,37  dan  4,41.  Artinya,  penghitungan  harga  opsi put  reset menggunakan  metode  Monte  Carlo control  variate 2  kali  lebih  cepat  konvergen  menuju  solusi eksak dibandingkan dengan Monte Carlo standar. Nilai tingkat kekonvergenan yang didapat pada metode  Monte  Carlo control  variate juga  memiliki  arti  bahwa  dengan  meningkatkan  jumlah simulasi  menjadi  2  kali,  maka  nilai  galat  pada  harga  opsi put akan  mengecil  4,41  kali  dari sebelumnya. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa metode Monte Carlo control variate lebih akurat dibandingkan dengan Monte Carlo standar.
336

## 3.3 Hasil Simulasi untuk Beberapa Nilai Parameter Simulasi
Gambar 2. Grafik Harga Opsi Reset untuk Beberapa Nilai (a) Volatilitas, (b) Waktu Reset , (c) Suku Bunga
Gambar  2  (a)  menunjukkan  grafik  harga  opsi reset untuk  beberapa  nilai  volatilitas. Volatilitas  merupakan  instrumen  penting  dalam  harga  opsi.  Hal  ini  karena  volatilitas  memiliki hubungan yang kuat dengan harga opsi. Berdasarkan grafik tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat hubungan  yang  positif  antara  harga  opsi reset ( call dan put ) dengan  volatilitas  karena  semakin besar  volatilitas  maka  harga  opsi  juga  semakin  tinggi.  Hal  tersebut  terjadi  karena  peningkatan volatilitas menyebabkan probabilitas untuk  memperoleh  hasil yang  menguntungkan meningkat, sehingga nilai opsi call dan put juga meningkat [20].
Gambar  2  (b)  menampilkan  harga  opsi call dan put dengan  waktu reset yang  berbeda. Semakin dekat waktu reset dengan tanggal terbit opsi menyebabkan harga opsi cenderung lebih murah. Hal yang sama juga terjadi ketika waktu reset dekat dengan jatuh tempo. Waktu reset yang semakin dekat dengan jatuh tempo opsi menyebabkan harga opsi lebih rendah. Ketika harga opsi menyentuh harga maksimalnya, harga opsi menurun secara perlahan seiring bertambahnya waktu reset . Waktu reset menyebabkan harga strike di- reset menjadi sebesar harga saham yang baru jika melewati  batas  tertentu  pada  periode  tertentu.  Dekatnya  waktu reset dengan  waktu  terbit  opsi menyebabkan kesempatan harga saham untuk naik atau turun terbatas [21].
Gambar 2 (c) menampilkan grafik harga opsi reset dengan suku bunga berbeda . Jika suku bunga naik, maka harga opsi call reset juga akan meningkat. Hal ini terjadi karena suku bunga yang lebih tinggi akan mengurangi nilai diskonto dari pembayaran masa depan yang diatur ulang dalam  opsi reset ,  sehingga  harga  opsi  meningkat.  Dengan  demikian,  harga  opsi call reset merupakan fungsi naik terhadap suku bunga.
(a) Volatilitas (b) Waktu Reset (c) Suku Bunga
337
Donny Citra Lesmana, Andyta Putri Pramesty, Yunita Nur’Afiyah, Akbar Cautsar Suryaputra, Anggi Setya Pratiwi, Wintang Dayinta Wiyanto, Yeremia Bertolla Gimanjar
Pada grafik harga opsi put reset , jika suku bunga dinaikkan, maka harga opsi put reset akan menurun. Hal ini terjadi karena suku bunga yang lebih tinggi akan meningkatkan nilai diskonto dari pembayaran masa depan yang diatur ulang dalam opsi reset . Dengan kata lain, kenaikan suku bunga  memiliki  hubungan  terbalik  dengan  harga  opsi put reset ,  di  mana  kenaikan  suku  bunga dapat menyebabkan penurunan harga opsi put reset .

## 4 Simpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian,  penggunaan  metode  Monte  Carlo control  variate dalam penentuan  harga  opsi call  reset dan  opsi put  reset menghasilkan  solusi  yang  lebih  baik  karena memiliki  nilai  galat  relatif  yang  lebih  kecil  dibandingkan  penggunaan  metode  Monte  Carlo standar.  Beberapa  nilai  parameter  dari  hasil  simulasi  Monte  Carlo control  variate memiliki pengaruh  terhadap  penentuan  harga  opsi reset. Parameter  volatilitas  memiliki  pengaruh  yang positif  terhadap  harga  opsi call dan put .  Kemudian,  waktu reset yang  semakin  dekat  dengan tanggal terbit opsi ataupun jatuh temponya menyebabkan harga opsi reset cenderung lebih murah. Suku bunga bebas risiko yang semakin tinggi menyebabkan perubahan perilaku yang berlawanan antara opsi call dan put . Suku bunga bebas risiko yang semakin tinggi menyebabkan harga opsi call semakin meningkat, sedangkan harga opsi put menurun. Hal ini sejalan dengan teori harga opsi.

## 5 Daftar Pustaka
[1] H. C. Krisnawangsa, C. T. A. Hasiholan, M. D. A. Adhyaksa, and L. F. Maspaitella, “Urgensi Pengaturan Undang-Undang Pasar Fisik Aset Kripto (Crypto Asset),” Dialogia Iuridica , vol. 13, no. 1, pp. 1–15, 2021.
[2] E. F. Brigham and M. C. Ehrhardt, Financial Management: Theory & Practice , 16th ed. Massachusetts: Cengage Learning, 2019.
[3] I. Kamila, E. H. Nugrahani, and D. C. Lesmana, “Metode Monte Carlo untuk Menentukan Harga Opsi Barrier dengan Suku Bunga Tak Konstan,” MILANG: Journal of Mathematics and Its Applications , vol. 16, no. 1, pp. 55–68, 2017.
[4] F. Zubedi, N. Achmad, and S. L. Mahmud, “Penentuan Harga Beli Opsi Asia Menggunakan Monte Carlo-Antithetic Variate dan Monte Carlo-Control,” EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi , vol. 10, no. 1, pp. 7–14, 2022.
338
Perbandingan Harga Opsi Reset dengan Metode Monte Carlo Standar dan Control Variate
[5] B. P. Josaphat, “Perancangan Algoritma untuk Menghitung Harga Opsi Reset dengan Metode Binomial,” Jurnal Aplikasi Statistika & Komputasi Statistik , vol. 7, no. 1, pp. 65– 74, 2015.
[6] D. Vo, S. Huynh, A. Vo, and D. Ha, “The Importance of the Financial Derivatives Markets to Economic Development in the World’s Four Major Economies,” Journal of Risk and Financial Management , vol. 12, no. 1, p. 35, Feb. 2019, doi: 10.3390/jrfm12010035.
[7] M. N. Mooy, A. Rusgiyono, and R. Rahmawati, “Penentuan Harga Opsi Put dan Call Tipe Eropa Terhadap Saham Menggunakan Model Black-Scholes,” Jurnal Gaussian , vol. 6, no. 3, pp. 407–417, 2017.
[8] W. Febriyanti, “Penentuan Harga Opsi dengan Model Black Scholes menggunakan Metode Beda Hingga Forward Time Central Space,” Journal of Fundamental Mathematics and Applications , vol. 1, no. 1, pp. 45–51, 2018.
[9] R. Meliyani, E. H. Nugrahani, and D. C. Lesmana, “Penentuan Harga Opsi Call Window Reset Menggunakan Metode Binomial Tree dan Trinomial Tree,” MILANG: Journal of Mathematics and Its Applications , vol. 15, no. 2, pp. 23–34, 2016.
[10]  S. A. Pramuditya, “Penentuan Harga Opsi Asia dengan Metode Monte Carlo,” Jurnal Matematika Mantik , vol. 3, no. 1, pp. 44–48, 2017.
[11]  W. Ayudiah, D. C. Lesmana, and E. H. Nugrahani, “Penentuan Harga Opsi Sebagai Alat Lindung Nilai Petani Gabah Menggunakan Metode Monte Carlo Dan Teknik Control Variate,” Journal of Mathematics and Its Applications , vol. 16, no. 1, pp. 39–54, 2017.
[12]  H. D. Bhakti, “Prediksi Harga Saham Subsektor Farmasi Menggunakan Geometric Brownian Motion,” Jurnal Media Informatika Budidarma , vol. 6, no. 1, pp. 395–403, 2022.
[13]  W. Widyawati, N. Satyahadewi, and E. Sulistianingsih, “Penggunaan Model Black Scholes untuk Penentuan Harga Opsi Jual Tipe Eropa,” Bimaster: Buletin Ilmiah Matematika, Statistika, dan Terapannya , vol. 2, no. 1, pp. 13–20, 2013.
[14]  J. C. Hull, Options, Future, and Other Derivatives , 11th ed. New Jersey: Pearson Education International, 2021.
[15]  K. Reddy and V. Clinton, “Simulating Stock Prices Using Geometric Brownian Motion: Evidence from Australian Companies,” Australasian Accounting, Business, and Finance Journal , vol. 10, no. 3, pp. 23–47, 2016.
[16]  K. Aprilina, T. A. Nuraini, and A. Sopaheluwakan, “Kajian Awal Uji Statistik Perbandingan Suhu Udara dari Peralatan Pengamatan Otomatis dan Manual,” Jurnal Meteorologi dan Geofisika , vol. 18, no. 1, pp. 13–20, 2015.
339 Donny Citra Lesmana, Andyta Putri Pramesty, Yunita Nur’Afiyah, Akbar Cautsar Suryaputra, Anggi Setya Pratiwi, Wintang Dayinta Wiyanto, Yeremia Bertolla Gimanjar
[17]  A. François-Heude and O. Yousfi, “A generalization of Gray and Whaley’s reset option,” Journal of Asset Management , vol. 16, pp. 223–235, 2015.
[18]  S. F. Adzhani, “Perbandingan Metode Monte Carlo Standar dan Monte Carlo dengan Reduksi Variansi dalam Menentukan Harga Opsi Tipe Eropa,” Script, IPB University, Bogor, 2023.
[19]  D. P. Anggraini, D. C. Lesmana, and B. Setiawaty, “Aplikasi simulasi monte carlo untuk menentukan nilai opsi asia dengan menggunakan metode control variate pada komoditas pertanian,” Journal of Mathematics and Its Applications , vol. 16, no. 1, pp. 69–82, 2017.
[20]  T. T. Gustyana and A. S. Dewi, “Analisis Perbandingan Keakuratan Harga Call Option dengan Menggunakan Metode Monte Carlo Simulation Dan Metode Black Scholes pada Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG),” Jurnal Manajemen Indonesia , vol. 14, no. 3, pp. 259–268, 2014.
[21]  S. F. Gray and R. E. Whaley, “Reset put options: valuation, risk characteristics, and an application,” Australian Journal of Management , vol. 24, no. 1, pp. 1–20, 1999.