Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30

## SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL LINIER HOMOGEN DENGAN METODE MITTAG-LEFFLER
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida * , Nurul Huda

## Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lambung Mangkurat * Email : y_yulida@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Kalkulus klasik hanya mempelajari turunan sekaligus persamaan diferensial berorde bilangan bulat, sedangkan untuk turunan dan persamaan diferensial berorde tak bulat tidak tercakup di dalamnya. Sehingga muncullah konsep kalkulus fraksional yang mempelajari integral dan turunan berorde tak bulat yang disingkat diferintegral termasuk persamaan diferensial berorde fraksional (PDF).  Pada  paper  ini disajikan metode untuk memperoleh solusi PDF linier homogen yang dibangun dalam fungsi Mittag-Leffler yang berbentuk deret
𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑏𝑏𝑥𝑥 𝛼𝛼 ) = � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 Γ(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0
Deret ini konvergen untuk 𝑥𝑥 pada �− 1 𝑏𝑏 , 1 𝑏𝑏 � .  Pencarian turunan dari 𝑦𝑦(𝑥𝑥) , dilakukan dengan menurunkan  setiap suku  dari 𝑦𝑦(𝑥𝑥) menggunakan definisi turunan Caputo dilanjutkan dengan menentukan koefisien 𝑏𝑏 𝑘𝑘 untuk memperoleh solusi PDF tersebut.
Kata Kunci : Kalkulus Fraksional, Fungsi Mittag-Leffler dan Persamaan Diferensial Fraksional

## 1. PENDAHULUAN
Kalkulus fraksional adalah bidang matematika analisis yang membahas teori serta aplikasi integral dan turunan berorde sebarang. Sejarah kalkulus fraksional  bermula dari pertanyaan G.W Leibniz kepada L’Hôpital  pada tahun 1695  tentang makna dari “ 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑛𝑛 ⁄ jika 𝑛𝑛  = 1 2 ⁄  , bagaimanakah jika 𝑛𝑛 fraction/pecahan”. Sejak saat itu para matematikawan terus mengembangkan topik tersebut seperti, L. Euler, P.S Laplace, J.B.J Fourier, N.H. Abel, J. Liouville, B. Riemann, A.K. Grunwald, A.V. Letnikov [7]. Perkembangan kalkulus fraksional membawa kepada pengaplikasiannya berupa persamaan diferensial fraksional (PDF) yaitu suatu persamaan yang turunannya memuat orde pecahan.
PDF telah diaplikasikan dalam kasus aliran fluida, kekentalan, teori kontrol untuk sistem dinamik, jaringan listrik, peluang, statistik, dan lain sebagainya [6]. Berbagai metode telah dikembangkan untuk mendapatkan solusi PDF sehingga memberikan kemudahan dalam pengaplikasian, diantaranya adalah metode iterasi, teknik transformasi Fourier, teknik transformasi Laplace, metode Dekomposisi

## Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Adomian, metode iterasi variasi dan metode Peturbasi Homotopy. Salah satu metode baru dikembangkan oleh Rida dan Arafa  [11]  yaitu metode yang menggunakan fungsi Mittag-Leffler dengan pendefinisian turunannya menggunakan pendekatan Caputo.
Pada paper ini membahas kembali tulisan Rida dan Arafa [11], pada  bagian pendahuluan membahas tentang pengenalan singkat mengenai kalkulus fraksional juga latar belakang dalam mengangkat topik yang diambil. Pada bagian kedua, menyajikan materi-materi yang digunakan dalam  hasil. Bagian ketiga, menggambarkan langkah-langkah untuk mendapatkan hasil. Bagian keempat memberikan hasil dan pembahasan. Bagian kelima, menyajikan kesimpulan serta saran.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Fungsi-Fungsi Khusus Kalkulus Fraksional
Berikut    disajikan fungsi-fungsi yang berperan penting dalam  kalkulus fraksional yaitu fungsi eksponensial, fungsi gamma dan fungsi Mittag-Leffler : Definisi 1 [11]
Huruf 𝑒𝑒 menyatakan bilangan real positif unik sedemikian sehingga 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑒𝑒 = 1 .
Fungsi eksponensial dapat dinyatakan ke dalam deret, sebagai berikut :
𝑒𝑒 𝑧𝑧 =  ∑ 𝑧𝑧 𝑘𝑘 Γ(𝑘𝑘+1) ∞ 𝑘𝑘=0 , 𝑧𝑧  ∈ ℂ (1)
Definisi 2 [12]
Misalkan 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat positif. Besaran 𝑛𝑛 faktorial (simbol 𝑛𝑛!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga 𝑛𝑛 . 𝑛𝑛! = 1.2.3 … (𝑛𝑛 − 1)𝑛𝑛
Definisi 3 [2]
Diberikan fungsi 𝛤𝛤 ∶  ℝ ⟶ ℝ . Fungsi gamma pada bilangan riil yang dinyatakan oleh 𝛤𝛤(𝑘𝑘) didefinisikan sebagai :
𝛤𝛤(𝑘𝑘) = ∫ 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝛼𝛼−1 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 ,        𝑘𝑘 > 0 (2)
Definisi 4 [1]
Fungsi Gamma adalah :
𝛤𝛤(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 1.2.3. … . 𝑛𝑛 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 2) … (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1)(𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) 𝑛𝑛 𝑥𝑥 dimana 𝑥𝑥 bilangan riil atau kompleks, dan 𝑥𝑥 ∉ {0} ∪ {ℤ − }.
Dengan mensubstitusi 𝛤𝛤(𝑥𝑥) dengan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 1 ,  diperoleh  persamaan berikut :
Γ(𝑥𝑥 + 1) = 𝑥𝑥. 𝛤𝛤(𝑥𝑥)
Bentuk fungsi Mittag-Leffler satu parameter 𝑘𝑘 yaitu :
𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑧𝑧) =   ∑ 𝑧𝑧 𝑘𝑘 Γ(𝛼𝛼𝑘𝑘+1) ∞ 𝑘𝑘=0 , 𝑧𝑧 ∈ ℂ, 𝑘𝑘 ∈ ℝ + .
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler

## 2.2 Integral  dan Turunan Fraksional
Berikut bentuk dari integral lipat sebarang 𝑘𝑘 , dengan 𝑘𝑘 ∈ ℝ + [6]:
𝐼𝐼 𝑎𝑎 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 1 Γ(𝛼𝛼) ∫ (𝑡𝑡 − 𝑥𝑥) 𝛼𝛼−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑎𝑎
Definisi 5 [5]
Diberikan α  ∈ (𝑘𝑘 − 1, 𝑘𝑘) dengan 𝑘𝑘 ∈ ℝ + , 𝑘𝑘 ∈ ℕ dan 𝑓𝑓(𝑡𝑡) merupakan fungsi yang terturunkan sampai ke- 𝑘𝑘 . Turunan fraksional dari 𝑓𝑓(𝑡𝑡) dalam notasi Caputo, didefinisikan sebagai:
𝐷𝐷 𝑎𝑎=0 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝑡𝑡) 𝐶𝐶 = 1 𝛤𝛤(𝑘𝑘−𝛼𝛼) ∫ (𝑡𝑡 − 𝑥𝑥) 𝑘𝑘−𝛼𝛼−1 𝑓𝑓 (𝑘𝑘) (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑡𝑡 0
untuk 𝑘𝑘 − 1 < 𝑘𝑘 ≤ 𝑘𝑘, dengan 𝑓𝑓 (𝑘𝑘) (𝑥𝑥) = 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑓𝑓(𝑥𝑥) merupakan turunan ke- k.
Turunan fungsi konstan, berdasarkan Definisi 5 bernilai nol, seperti berikut :
𝐷𝐷 𝑎𝑎=0 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 0 𝐶𝐶 ,   𝑘𝑘 ∈ ℝ + dan 𝑓𝑓(𝑡𝑡) konstan (3)
Definisi 6 [3]
Turunan fraksional dari 𝑓𝑓(𝑡𝑡), dengan f(t) adalah fungsi monomial dituliskan sebagai:
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑦𝑦 𝑚𝑚 = Γ(𝑚𝑚+1) Γ(𝑚𝑚+1−𝛼𝛼) 𝑡𝑡 𝑚𝑚−𝛼𝛼
untuk 𝑘𝑘 − 1 < 𝑘𝑘 < 𝑘𝑘, 𝑙𝑙 > 𝑘𝑘 − 1, 𝑘𝑘 ∈ ℝ +

## 2.2 Deret Pangkat
Definisi 7 [13]
Jika terdapat suatu deret yang berbentuk
∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1 =  𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 2 + 𝑎𝑎 3 + ⋯
Misalkan 𝑠𝑠 𝑛𝑛 melambangkan jumlah parsial ke −𝑛𝑛 ∶ 𝑠𝑠 𝑛𝑛 = ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 2 + 𝑎𝑎 3 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛 Jika barisan {𝑠𝑠 𝑛𝑛 } konvergen dan 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 𝑠𝑠 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠 ada, sebagai suatu bilangan real, maka deret ∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 disebut konvergen dan dituliskan sebagai
𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 2 + 𝑎𝑎 3 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛 + ⋯ = 𝑠𝑠 atau ∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝑠𝑠 ∞ 𝑖𝑖=1
Bilangan 𝑠𝑠 ini disebut jumlah dari deretnya. Jika tidak demikian, maka deret tersebut dikatakan divergen.
Kemudian akan disajikan tentang deret pangkat yang berbentuk :
∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 = 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 2 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + ⋯
dimana 𝑥𝑥 adalah sebuah variabel dan 𝑎𝑎 𝑛𝑛 adalah konstanta yang disebut koefisien deret.

## Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Teorema 8 [10]
Andaikan ∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
lim 𝑛𝑛→∞ |𝑎𝑎 𝑛𝑛+1 | |𝑎𝑎 𝑛𝑛 | = 𝐿𝐿 a. Jika 𝐿𝐿 < 1 , maka ∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1 konvergen mutlak (jadi konvergen)
b. Jika 𝐿𝐿 > 1, maka ∑ 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1 divergen
c. Jika 𝐿𝐿 = 1 , pengujian ini tidak dapat memberikan kepastian.

## 2.3 Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen
Persamaan diferensial fraksional adalah suatu persamaan yang mengandung turunan fraksional. Secara umum persamaan diferensial fraksional linier homogen dengan orde 𝑛𝑛𝑘𝑘 dituliskan sebagai : 𝐷𝐷 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝐴𝐴 1 𝐷𝐷 (𝑛𝑛−1)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝐴𝐴 2 𝐷𝐷 (𝑛𝑛−2)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0 (4) dimana 𝐷𝐷 𝑛𝑛𝛼𝛼 adalah turunan orde tertinggi fraksional dengan 𝑘𝑘 ∈ ℝ + , 𝑛𝑛 ∈ ℕ dan 𝑥𝑥 ≥ 0, dimana 𝐴𝐴 𝑛𝑛 adalah koefisien konstan dan 𝑦𝑦(𝑥𝑥) adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan. [7]

## 3. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah mempelajari materi yang berhubungan dengan kalkulus fraksional, kekonvergenan dan turunan fungsi Mittag-Leffler  serta tentang persamaan diferensial fraksional linier homogen. Selanjutnya menjelaskan kekonvergenan dan turunan fungsi Mittag-Leffler. Sedangkan untuk memperoleh solusi PDF  dengan menuliskan fungsi 𝑦𝑦(𝑥𝑥) dalam bentuk fungsi Mittag-Leffler, menurunkan fungsi Mittag-Leffler sesuai orde yang termuat dalam PDF, mensubstitusi fungsi Mittag-Leffler dan turunannya pada PDF  kemudian menentukan koefisien untuk memperoleh solusi umum.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Kekonvergenan dan Turunan Fungsi Mittag-Leffler
Fungsi Mittag-Leffler 𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑧𝑧) dengan 𝑘𝑘 ∈ ℝ + didefinisikan dalam bentuk deret yang berlaku pada seluruh bidang kompleks berikut :
𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑧𝑧) =  ∑ 𝑧𝑧 𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1) = 𝑒𝑒 𝑧𝑧 ∞ 𝑘𝑘=0 ,   𝑧𝑧 ∈ ℂ.
(5)
Fungsi Mittag-Leffler pada persamaan (5) didefinisikan oleh peubah 𝑧𝑧 dalam fungsi kompleks. Namun dalam penerapannya akan digunakan fungsi Mittag-Leffler dengan peubah dalam fungsi real. Bilangan real, ℝ , dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan ℂ dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks.  Diberikan bilangan kompleks 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑦𝑦 , sedangkan konjugate dari bilangan kompleks 𝑧𝑧 , dituliskan sebagai 𝑧𝑧̅ = 𝑥𝑥 − 𝑙𝑙𝑦𝑦 .
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
Modulus yang menyatakan panjang vektor (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dari 𝑧𝑧 dan konjugatenya , masing-masing diberikan oleh :
|𝑧𝑧| = �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 (6)
|𝑧𝑧̅| = �𝑥𝑥 2 + (−𝑦𝑦) 2 = �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 (7)
Dari persamaan (6) dan (7) memperlihatkan salah satu sifat modulus yaitu 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧̅ . Secara khusus, jika 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑦𝑦 adalah bilangan real ( 𝑦𝑦 = 0) maka
|𝑧𝑧| = √𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 (8)
Persamaan (8) merupakan Definisi dari nilai mutlak suatu bilangan real 𝑥𝑥 . Ini menunjukkan bahwa modulus dari suatu bilangan kompleks merupakan perluasan dari konsep nilai mutlak pada bilangan real. Sehingga fungsi Mittag-Leffler 𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑧𝑧) dengan fungsi 𝑧𝑧 dalam persamaan (5) akan berbentuk :
𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑥𝑥) =  ∑ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1) = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∞ 𝑘𝑘=0 ,   𝑥𝑥 ∈ ℝ, 𝑘𝑘 ∈ ℝ +
Fungsi Mittag-Leffler 𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑥𝑥) berperan penting dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde fraksional. Fungsi Mittag-Leffler didefinisikan untuk fungsi 𝑦𝑦(𝑥𝑥), berikut :
𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸 𝛼𝛼 (𝑏𝑏𝑥𝑥 𝛼𝛼 ) = ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=0 (9)
dengan 𝑏𝑏 adalah konstanta dan 𝑘𝑘 ∈ ℝ + . [11]

## 4.1.1 Kekonvergenan Fungsi Mittag-Leffler
Berikut akan diselidiki kekonvergenan  untuk Deret pada persamaan (9), berdasarkan Teorema [8]
lim 𝑛𝑛→∞ |𝑎𝑎 𝑛𝑛+1 | |𝑎𝑎 𝑛𝑛 | = 𝐿𝐿 Misalkan 𝑎𝑎 𝑘𝑘 = 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1) maka 𝑎𝑎 𝑘𝑘+1 = 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 𝑥𝑥 (𝑘𝑘+1)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘+1)𝛼𝛼+1) maka diperoleh :
lim 𝑘𝑘→∞ |𝑎𝑎 𝑘𝑘+1 | |𝑎𝑎 𝑘𝑘 | = lim 𝑘𝑘→∞ �𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 𝑥𝑥 (𝑘𝑘+1)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘+1)𝛼𝛼+1) � �𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1) � = lim 𝑘𝑘→∞ �𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 .𝑥𝑥 (𝑘𝑘+1)𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1)� �𝑏𝑏 𝑘𝑘 .𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘+1)𝛼𝛼+1)� = lim 𝑘𝑘→∞ |𝑏𝑏.𝑥𝑥 𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1)| | Γ ((𝑘𝑘+1)𝛼𝛼+1)| = |𝑏𝑏. 𝑥𝑥 𝛼𝛼 | lim 𝑘𝑘→∞ |𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝑘𝑘)|
|(𝑘𝑘 + 1)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘 + 1)𝑘𝑘)|
Bentuk tersebut memiliki nilai 𝑘𝑘 dengan pangkat tertinggi satu, meskipun rumus rekursif dari fungsi gamma dilanjutkan, sehingga dibagi dengan 𝑘𝑘 𝑘𝑘 , diperoleh :
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
= |𝑏𝑏. 𝑥𝑥 𝛼𝛼 | lim 𝑘𝑘→∞ |𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝑘𝑘)| lim 𝑘𝑘→∞ |(𝑘𝑘 + 1)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘 + 1)𝑘𝑘)| : 𝑘𝑘 𝑘𝑘 = |𝑏𝑏. 𝑥𝑥 𝛼𝛼 | .1
Jadi deret (9) konvergen untuk |𝑥𝑥| < 1 𝑏𝑏 dan divergen untuk |𝑥𝑥| > 1 𝑏𝑏 dengan jari-jari kekonvergenannya yaitu 𝑅𝑅 = � 1 𝑏𝑏 � sehingga mempunyai selang kekonvergenan (− 1 𝑏𝑏 , 1 𝑏𝑏 ) .

## 4.1.2 Turunan Fungsi Mittag-Leffler
Berikut diberikan turunan deret (9), 𝑦𝑦(𝑥𝑥) dengan orde 𝑘𝑘 ∈ ℝ + :
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥)     = 𝐷𝐷 𝛼𝛼 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 Γ (𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0 = 𝐷𝐷 𝛼𝛼 (𝑏𝑏 0 𝑥𝑥 0.𝑘𝑘 Γ (0.𝛼𝛼+1) + 𝑏𝑏 1 𝑥𝑥 1.𝑘𝑘 Γ (1.𝛼𝛼+1) + 𝑏𝑏 2 𝑥𝑥 2.𝑘𝑘 Γ (2.𝛼𝛼+1) + 𝑏𝑏 3 𝑥𝑥 3.𝑘𝑘 Γ (3.𝛼𝛼+1) + 𝑏𝑏 4 𝑥𝑥 4.𝑘𝑘 Γ (4.𝛼𝛼+1) + 𝑏𝑏 5 𝑥𝑥 5.𝑘𝑘 Γ (5.𝛼𝛼+1) + ⋯ ) = 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑏𝑏 0 𝑥𝑥 0.𝛼𝛼 Γ (0. 𝑘𝑘 + 1) + 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑏𝑏 1 𝑥𝑥 1.𝛼𝛼 Γ (1. 𝑘𝑘 + 1) + 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑏𝑏 2 𝑥𝑥 2.𝛼𝛼 Γ (2. 𝑘𝑘 + 1) + 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑏𝑏 3 𝑥𝑥 3.𝛼𝛼 Γ (3. 𝑘𝑘 + 1) + 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑏𝑏 4 𝑥𝑥 4.𝛼𝛼 Γ (4. 𝑘𝑘 + 1) + 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑏𝑏 5 𝑥𝑥 5.𝛼𝛼 Γ (5. 𝑘𝑘 + 1) + ⋯ = 1 Γ (1) 𝐷𝐷 𝛼𝛼 1 + 𝑏𝑏 Γ (𝛼𝛼+1) 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 2 Γ (2𝛼𝛼+1) 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 Γ (3𝛼𝛼+1) 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 3𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 4 Γ (4𝛼𝛼+1) 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 4𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 5 Γ (5𝛼𝛼+1) 𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 5𝛼𝛼 + ⋯ (10)
Untuk turunan orde fraksional dari fungsi konstan, berdasarkan persamaan (3) maka untuk suku ke-1 dari persamaan (10) diperoleh :
𝐷𝐷 𝛼𝛼 1 = 0 (11)
Sedangkan turunan untuk fungsi berbentuk 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝛼𝛼 , berdasarkan Definisi 6 maka :
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 𝛼𝛼 = Γ(𝛼𝛼+1) Γ(𝛼𝛼+1−𝛼𝛼) 𝑥𝑥 𝛼𝛼−𝛼𝛼 = Γ(𝛼𝛼+1) Γ(1) 𝑥𝑥 0 = Γ(𝑘𝑘 + 1)1 (12)
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 = Γ(2𝛼𝛼+1) Γ(2𝛼𝛼+1−𝛼𝛼) 𝑥𝑥 2𝛼𝛼−𝛼𝛼 = Γ(2𝛼𝛼+1) Γ(𝛼𝛼+1) 𝑥𝑥 𝛼𝛼 (13)
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 3𝛼𝛼 = Γ(3𝛼𝛼+1) Γ(3𝛼𝛼+1−𝛼𝛼) 𝑥𝑥 3𝛼𝛼−𝛼𝛼 = Γ(3𝛼𝛼+1) Γ(2𝛼𝛼+1) 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 (14)
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 4𝛼𝛼 = Γ(4𝛼𝛼+1) Γ(4𝛼𝛼+1−𝛼𝛼) 𝑥𝑥 4𝛼𝛼−𝛼𝛼 = Γ(4𝛼𝛼+1) Γ(3𝛼𝛼+1) 𝑥𝑥 3𝛼𝛼 (15)
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑥𝑥 5𝛼𝛼 = Γ(5𝛼𝛼+1) Γ(5𝛼𝛼+1−𝛼𝛼) 𝑥𝑥 5𝛼𝛼−𝛼𝛼 = Γ(5𝛼𝛼+1) Γ(4𝛼𝛼+1) 𝑥𝑥 4𝛼𝛼 (16) . . .
dst
Persamaan (11) dan (12) - (16) disubstitusi ke persamaan (10), diperoleh :
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0 + 𝑏𝑏 Γ(𝑘𝑘 + 1) Γ (𝑘𝑘 + 1) + 𝑏𝑏 2 Γ(2𝑘𝑘 + 1) Γ(2𝑘𝑘 + 1) Γ(𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 3 Γ(3𝑘𝑘 + 1) Γ(3𝑘𝑘 + 1) Γ(2𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 4 Γ(4𝑘𝑘 + 1) Γ(4𝑘𝑘 + 1) Γ(3𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 3𝛼𝛼
+ 𝑏𝑏 5 Γ(5𝑘𝑘 + 1) Γ(5𝑘𝑘 + 1) Γ(4𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 4𝛼𝛼 + ⋯ = 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 2 Γ(𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 3 Γ(2𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 2𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 4 Γ(3𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 3𝛼𝛼 + 𝑏𝑏 5 Γ(4𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 4𝛼𝛼 + ⋯ = ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−1)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘−1)𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=1 (17)
Turunan 𝑦𝑦(𝑥𝑥) jika diperumum dengan orde 𝑛𝑛𝑘𝑘 , dinyatakan sebagai :
𝐷𝐷 𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−1)𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 − 1)𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=1 𝐷𝐷 2𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−2)𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 − 2)𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=3 𝐷𝐷 3𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−3)𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 − 3)𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=3  𝐷𝐷 (𝑛𝑛−1)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−(𝑛𝑛−1))𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 − (𝑛𝑛 − 1))𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=𝑛𝑛−1 𝐷𝐷 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−𝑛𝑛)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘−𝑛𝑛)𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=𝑛𝑛 (18)

## 4.2 Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen
Diberikan secara umum persamaan diferensial fraksional linier homogen dengan orde 𝑛𝑛𝑘𝑘 dituliskan sebagai berikut :
𝐷𝐷 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝐴𝐴 1 𝐷𝐷 (𝑛𝑛−1)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝐴𝐴 2 𝐷𝐷 (𝑛𝑛−2)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0
(19)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
Solusi untuk persamaan (19) dengan asumsi bahwa fungsi 𝑦𝑦(𝑥𝑥) memenuhi Definisi Caputo dan dapat dibentuk ke dalam persamaan (9), dapat diselesaikan dengan menentukan nilai-nilai koefisien pada persamaan (9). Secara umum, langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Menuliskan fungsi 𝑦𝑦(𝑥𝑥) dalam bentuk fungsi Mittag-Leffer,  seperti pada persamaan (9)
2. Menurunkan fungsi pada persamaan (19) sesuai orde dari tiap suku, seperti pada persamaan (18) kemudian disubstitusi ke persamaan (19) kembali. Sehingga diperoleh :
∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−𝑛𝑛)𝑘𝑘 Γ((𝑘𝑘−𝑛𝑛)𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=𝑛𝑛 + 𝐴𝐴 1 ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−(𝑛𝑛−1))𝑘𝑘 Γ((𝑘𝑘−(𝑛𝑛−1))𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=𝑛𝑛−1 +
𝐴𝐴 2 ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−(𝑛𝑛−2))𝑘𝑘
Γ((𝑘𝑘−(𝑛𝑛−2))𝛼𝛼+1) + ∞ 𝑘𝑘=0 … + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−1)𝑘𝑘 Γ ((𝑘𝑘−1)𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ(𝑘𝑘𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=0 = 0
Pada persamaan di atas, batas bawah dari ∑, berbeda sehingga batas bawahnya akan disamadengankan nol, sehingga menjadi :
� 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 𝑥𝑥 (𝑘𝑘+𝑛𝑛−𝑛𝑛)𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 + 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛)𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0
+ 𝐴𝐴 1 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 (𝑘𝑘+𝑛𝑛−1−(𝑛𝑛−1))𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 + 𝑛𝑛 − 1 − (𝑛𝑛 − 1))𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0
+ 𝐴𝐴 2 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 𝑥𝑥 (𝑘𝑘+𝑛𝑛−2−(𝑛𝑛−2))𝛼𝛼 Γ((𝑘𝑘 + 𝑛𝑛 − 2) − (𝑛𝑛 − 2))𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0 + ⋯
+ 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 𝑥𝑥 (𝑘𝑘+1−1)𝛼𝛼 Γ ((𝑘𝑘 + 1 − 1)𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 x kα Γ ( kα + 1 ) ∞ k=0
= 0
⇔ � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 Γ (𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0 + 𝐴𝐴 1 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 Γ (𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0 + 𝐴𝐴 2 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 Γ(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0
+ ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 Γ (𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ 𝑘𝑘=0 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 � 𝑏𝑏 𝑘𝑘 x kα Γ ( kα + 1 ) ∞ k=0 = 0 ⇔ ∑ [𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 + 𝐴𝐴 1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝐴𝐴 2 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑘𝑘 ] 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝛤𝛤(𝑘𝑘𝑘𝑘+1)
∞ k=0 = 0 (20)
3. Untuk menentukan nilai-nilai koefisien 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 + 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝑏𝑏 𝑘𝑘 dari persamaan (20), misal : 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 + 𝐴𝐴 1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝐴𝐴 2 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑘𝑘 = 𝑟𝑟
maka dapat ditulis:
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
� 𝑟𝑟 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 𝛤𝛤(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ k=0 = 0 Selanjutnya, karena nilai 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝛤𝛤(𝑘𝑘𝛼𝛼+1) ≠ 0 , akibatnya 𝑟𝑟 = 0 , sehingga 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 + 𝐴𝐴 1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝐴𝐴 2 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑘𝑘 = 0
⟺  𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 = −(𝐴𝐴 1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝐴𝐴 2 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑘𝑘 ) (21)
4. Mensubstitusi persamaan (21) ke persamaan (9) untuk memperoleh solusi umum persamaan (19) dalam bentuk deret.

## 5. KESIMPULAN
Fungsi Mittag-Leffler yang berbentuk deret 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 Γ (𝑘𝑘𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=0 dengan 𝑏𝑏
adalah konstanta dan 𝑘𝑘 ∈ ℝ + merupakan deret yang konvergen pada selang
�− 1 𝑏𝑏 , 1 𝑏𝑏 � sehingga turunan Fungsi Mittag-Leffler dengan orde 𝑛𝑛𝑘𝑘 diberikan oleh :
𝐷𝐷 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = ∑ 𝑏𝑏 𝑘𝑘 𝑥𝑥 (𝑘𝑘−𝑛𝑛)𝑘𝑘
Γ ((𝑘𝑘−𝑛𝑛)𝛼𝛼+1) ∞ 𝑘𝑘=𝑛𝑛 dengan 𝑛𝑛 ∈ ℤ + , 𝑘𝑘 ∈ ℝ + .  Solusi PDF linier homogen dari 𝐷𝐷 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝐴𝐴 1 𝐷𝐷 (𝑛𝑛−1)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + 𝐴𝐴 2 𝐷𝐷 (𝑛𝑛−2)𝛼𝛼 𝑦𝑦(𝑥𝑥) + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 0 dinyatakan berbentuk fungsi Mittag-Leffler. Pada metode Mittag-Leffler ini, koefisien 𝑏𝑏 𝑘𝑘 dapat ditentukan melalui :
�( 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 + 𝐴𝐴 1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝐴𝐴 2 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝛼𝛼 𝛤𝛤(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1) ∞ k=0 = 0 dengan 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛 + 𝐴𝐴 1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−1 + 𝐴𝐴 2 𝑏𝑏 𝑘𝑘+𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑘𝑘+1 + 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑘𝑘 = 0

## 6. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada kedua pembimbing yang telah membantu dalam menyelesaikan tulisan ini.

## 7. DAFTAR PUSTAKA
[1] Arfken, G.B. dan Hans J.W. 2005. Mathematical Methods for Physicist. Elsevier Academic Press, United States of America.
[2] Boas, M.L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Sciences. DePaul University, United States of America.
[3]  Bologna, Mauro. 2007. Short Introduction to Fractional Calculus , Arica, Chile.
[4] Gorenflo, R.  and Mainardi,  F. 1997.  Fractional calculus: integral and differential equations of fractional orde ,” in Fractals Fractional Calculus in Continuum Mechanics” , A. Carpinteri and F. Mainar, Eds., pp.223–276, Springer, New York, NY, USA.

## Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
[5]  Kaczorek, T. 2008. Fractional Positive Continuous-Time Linier Systems And Their Reachability . Int J. Appl. Math. Comput. Sci., 2008, Vol. 18, No. 2. 223-228. DOI: 10.2478/v10006-008-0020-0.
[6] Kisela, T. 2008. Fractional Differential Equations and Their Applications . Tesis. Program diploma, BRNO University of Technology.
[7] Miller, K. S and Ross,  B. 1993. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations ,JohnWiley & Sons, New York, NY, USA.
[8] Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations , Academic Press, New York, NY, USA.
[9] Purcel, E. J, et al.  2008. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2 . Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta.
[10]  Purcel, E. J, & Vanberg, D. 1987. Kalkulus Jilid 1 . Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta.
[11]  Rida, S.Z & Arafa, A. A. M., 2011. New Method for Solving Linear Fractional Differential Equations , ” International Journal of Differential Equations , Volume 2011, Article ID 814132, 8 pages.
[12]  Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer . ANDI, Yogyakarta.
[13]  Stewart, James. 2010. Kalkulus. Edisi Kelima .  (Terjemahan Chriswan Sungkono ). Salemba Teknika, Jakarta.