## Kontrol Tracking pada Sistem Pendulum Kereta Berbasis Model Fuzzy Takagi-Sugeno Menggunakan Pendekatan PDC Modifikasi
Nani Nur’aini Awab Putri dan Trihastuti Agustinah Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. AriefRahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail :trihastuti@ee.its.ac.id
Abstrak — Sistem pendulum  kereta merupakan salah satu contoh sistem non linear  yang  sering digunakan untuk menguji  berbagai metode kontrol. sistem control  dibutuhkan untuk menstabilkan dan membuat batang pendulum di sistem pendulum kereta pada posisi equilibriumnya yaitu pada sudut nol    radian.  Pada  penelitian  ini,  permasalahan  kontrol  yang dibahas  adalah  tracking,  yaitu  memaksa  kereta  bergerak mengikuti  sinyal  referensi  yang  diberikan  dengan  tetap mempertahankan pendulum pada  posisi  terbalik.  Sinyal referensi  yang  digunakan  pada  makalah ini  adalah  sinyal sinusoidal.  Model  nonlinear sistem  pendulum kereta akan direpresentasikan dalam model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) untuk dua  titik  kerja.  Berdasarkan  model  tersebut,  aturan kontroler  yang  digunakan  berdasarkan  konsep  Parallel Distributed  Compensation (PDC)  Modifikasi. sistem kontrol tracking yang  digunakan  adalah  model  kompensator.  State feedback  gain  dan  gain  kompensator  diperoleh  dengan menggunalan  teknik  pole  placement.  Kontroler  hasil  desain diuji  melalui  simulasi  dan  implementasi  pada  plant  nyata sistem  pendulum  kereta.  Berdasarkan  pengujian  diperoleh hasil  posisi  kereta  dengan  PDC  Modifikasi  memiliki  waktu yang  lebih  cepat  dalam  mengikuti  sinyal  referensi dibandingkan PDC konvensional.
Kata  Kunci—Sistem pendulum  kereta,  tracking,  model kompensator, fuzzy Takagi-Sugeno, metode pole placement.

## I. PENDAHULUAN
ISTEM pendulum kereta adalah suatu plant yang terdiri dari  batang pendulum yang  bersumbu  pada  kedua  sisi kereta  yang  dapat  bergerak  pada  suatu  lintasan  dengan sumbu  vertikal. Karakteristik  dari sistem  pendulum  kereta adalah  nonlinear  dan  tidak  stabil,  sehingga  untuk mengontrolnya  diperlukan  teknik  kontrol  yang  tidak semudah  pada sistem yang  linear  dan  stabil.  Saat  ini pendulum  kereta banyak  digunakan  di  berbagai  macam bidang. Di bidang teknik, pendulum kereta digunakan untuk memantau  pergerakan  fondasi  bendungan,  jembatan, dermaga dan struktur bangunan lainnya. Di bidang fisiologi dan  ilmu  olah  raga,  prinsip  kerja pendulum  kereta banyak digunakan untuk mengkaji keseimbangan gerak manusia.
Pada sistem pendulum  kereta terdapat  tiga  masalah kontrol,  yaitu swing-up ,  stabilisasi, dan tracking .  S wing-up adalah  proses  mengayunkan  batang pendulum dari  posisi menggantung  menuju  posisi  kereta.  Selanjutnya,  stabilisasi merupakan  usaha  yang  dilakukan  untuk  menjaga  posisi batang pendulum tetap  berada  dalam  posisi  terbalik  serta menjaga  pergerakan  kereta  sekecil  mungkin.  Sedangkan pada  masalah tracking ,  kereta  dikontrol  agar  bergerak
mengikuti  sinyal  referensi  dengan  tetap  mempertahankan batang pendulum pada posisi terbalik.
Beberapa  tahun  terakhir  ini,  model fuzzy Takagi- Seugeno  (T-S)  sering  digunakan  untuk  mendesain sistem kontrol pada sistem nonlinear karena mampu merepresentasikan  dinamika sistem nonlinear  melalui sekumpulan  model  linear  yang  diperoleh  dari  linearisasi untuk daerah ruang state yang berbeda-beda. Aturan kontrol yang digunakan yaitu mengikuti kaidah Parallel Distributed Compensation (PDC),  dimana  aturan  kontroler  mengikuti aturan plant .
Pada  [1]-[4]  digunakan  pendekatan  model fuzzy T-S untuk  mendesain  kontroler tracking .  Pada  [1]  digunakan kontrol tracking model fuzzy T-S menggunakan pendekatan BMI  ( Bilinear  Matrix  Inequalities ).  Dari  penelitian  ini didapatkan  respon  posisi  kereta  mampu  mengikuti  sinyal referensi  yang  diberikan  serta  nilai L 2 -Gain sistem dapat memenuhi  kriteria  yang  diinginkan,  yaitu  kurang dari level pelemahan ρ . Selain itu penelitian lain menggunakan Fuzzy Tracking Controller (FTC) berbasis model fuzzy T-S dengan menggunakan  model  referensi. Gain kontroler  dihitung dengan menggunakan Linear Matrix Inequalities (LMI) [2]. FTC  bebasis  model fuzzy T-S  dan  kompensator  dijelaskan pada [3]. Aturan kontrol disusun berdasarkan konsep PDC. FTC  berbasis  model fuzzy T-S  dan  kompensator  mampu mengontrol  posisi  kereta  untuk  mengikuti  sinyal  referensi dengan  mempertahankan  kestabilan  batang pendulum tetap pada  posisi  terbalik.  Pada  [4]  digunakan  model fuzzy T-S dengan  aturan  kontrol  yang  disusun  berdasarkan  konsep PDC yang telah dimodifikasi. Dari penelitian ini didapatkan hasil  respon  yang  lebih  cepat  dari  PDC  konvensional. Dibandingkan dengan PDC Konvensional, PDC Modifikasi ini  lebih  dapat  diterima  karena  tahan  terhadap ketidakpastian  dan  upaya  pengendalian  masih  disimpan  di tingkat  yang  dapat  diterima.  Tetapi  masalah  kontrol  yang dibahas pada penelitian ini yaitu mengenai stabilitas.
Oleh karena itu, permasalahan  yang akan diselesaikan dalam  makalah  ini  adalah  mengenai  kontrol tracking . Penyelesain  masalah  ini  dilakukan  dengan  merancang kontroler berbasis model fuzzy T-S dan kompensator seperti pada  [3]  dengan  aturan  kontroler  yang  disusun  dengan menggunakan  konsep  PDC modifikasi  seperti  pada  [4]. Selainitu,  akan  digunakan  teknik pole  placement untuk mendapatkan state feed back gain dan gain kompensator.
S

## II. PERUMUSAN MASALAH
Sistem pendulum  kereta merupakan sistem nonlinear yang  terdiri  dari  batang pendulum yang  terpasang  pada sebuah  kereta  sehingga  batang pendulum tersebut  dapat berayun  bebas  hanya  pada  bidang  vertikal.  Pergerakan kereta  dalam  arah  horisontal  (ke  kiri  dan  ke  kanan)  pada sistem  pendulum  kereta menggunakan  motor  DC  yang dihubungkan  dengan belt .  Untuk  mengayunkan  dan menyeimbangkan  batang pendulum,  kereta  didorong  maju dan  mundur  pada  rel  yang  panjangnya  terbatas.  Diagram fisik dari sistem pendulum kereta ditunjukkan pada Gambar 1.

## Gambar 1. Diagram fisik sistem pendulum kereta
Sinyal kontrol yang sejajar dengan rel dikenakan pada kereta  dinyatakan  dengan u (N). T c (N)  adalah  gaya  gesek kereta  terhadap  rel,  sedangkan V adalah  gaya  normal  yang bekerja  pada sistem  pendulum  kereta.  Massa  kereta dinyatakan  dengan m c (kg)  dan  massa  batang pendulum dinyatakan  dengan m p (kg)  serta g merupakan  percepatan gravitasi (m/detik 2 ). Jarak antara sumbu rotasi pendulum ke pusat  massa sistem dinyatakan  dengan l (m)  dan J (kg.m 2 ) adalah  momen  inesia sistem terhadap  pusat  massa sistem. Konstanta  gesek pendulum dinotasikan f p (kg.m 2 /detik). Parameter sistem yang digunakan dalam makalah ini adalah sebagai  berikut  [5]: m c =  1,12  kg; m p =  0,12  kg; l = 0,0167903  m; J =  0,0135735  kg.m 2 ; f p =  0,000107 kg.m 2 /detik.
Sistem pendulum  kereta memiliki  empat  elemen vektor state yang dinyatakan dalam vektor x . x 1 adalah posisi kereta yang diukur dari titik tengah rel (m). x 2 adalah sudut pendulum terhadap  garis  vertikal  yang  diukur  berlawanan dengan  arah  jarum  jam  dengan x 2 =  0  menandakan  bahwa pendulum berada  pada  posisi  terbalik  (rad). x 3 adalah kecepatan  kereta  (m/detik),  dan x 4 adalah  kecepatan  sudut pendulum (rad/detik).
Persamaan state SistemPendulum-Kereta dapat dituliskan menjadi:
1 3 x x   2 4 x x   2 4 2 2 2 4 3 2 2 ( sin ) cos ( sin ) sin c p a u T x x l x g x f x x
J l x           2 2 4 2 2 4 4 2 2 cos ( sin ) sin sin c p l x u T x x g x f x x J l x           (1) dengan, 2 ( ) ; c p c p J m m l a l m m   
 

Model  matematika  nonlinear  dari sistem  pendulum kereta direpresentasikan  dengan  model fuzzy T-S. Penggunaan  model fuzzy T-S  bertujuan  untuk  menyatakan dinamika lokal tiap aturan fuzzy dengan model linear. Model sistem secara  keseluruhan  diperoleh  dengan  pencampuran
fuzzy dari  beberapa  model  linear  yang  telah  diperoleh  dari linearisasi. Aturan plant pada model fuzzy T-S dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
Aturan plant ke- i : If
1 ( ) z t is 1 i M and ... and ( ) j z t is ij M
Then ( ) ( ) ( ) i i x t A x t B u t    ( ) ( ) ( ) i i y t C x t D u t    1,2,..., i r  1,2,..., j p  (2)
dengan r adalah  jumlah  aturan fuzzy , p adalah  jumlah himpunan fuzzy dalam satu aturan, dan M ij adalah himpunan fuzzy . x ( t ) ϵ R n merupakan vektor state , u ( t ) ϵ R m merupakan vektor  kontrol  masukan, A i dan B i adalah  matrik state danmatrik input ,  sedangkan z ( t )  ϵ R j merupakan  variabel premis.
Model fuzzy T-S secara  keseluruhan  dapat  dinyatakan sebagai berikut:
 
1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) r i i i i x t z t A x t B u t       (3)
dengan:
1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) i i r i i z t z t z t       dan 1 ( ( )) ( ( )) p i ij j w z t M z t    (4)
Dalam menyusun  aturan  kontroler  digunakan  konsep PDC  Modifikasi.  Dalam  PDC  Modifikasi, state feeedbackgain untuk  setiap  subsistem  diperoleh  dari beberapa  kondisi  sinyal  kontrol,  sinyal  kontrol  tinggi  dan sinyal kontrol rendah.
Aturan fuzzy controller :
If 1 ( ) Z t is 1 i M , and 2 ( ) Z t is 2 i M ;..., and ( ) p Z t is
ip M , J ( t ) is 1 i H ,..., and J ( t ) is qi i H Then 1 1 ( ( ))* ( ) q n n i i i i u m J t K x t              (5)
dimana q i adalah jumlah koefisien gain dari subsistem i , n i m adalah  derajat  keanggotaan  untuk J ( t ), n i K adalah state feedback gain ke n yang terkait dengan subsistem i , dan n i H adalah  fungsi  keanggotaan  untuk J ( t )  yang  didefinisikan dalan  aturan i . J ( t )  adalah  istilah  yang  menggambarkan indeks  kinerja  yang  dipilih.  Misalnya,  jika  seseorang  ingin membatasi besaran dari sinyal kontrol u ( t ), maka J ( t )=| u ( t )|. Untuk  menentukan  kondisi  rendah  dan  tingginya  suatu sinyal kontrol digunakan (6).
1 ( ) ( ( )) ( ) ; 1, 2 r i i i u t h z t u t i     (6) dengan, 2 1 ( ) n i i i i u m K x t    dan 2 2 2 1 ( ( ))
( ( )) i i i i x t x t m      (7)
Dalam perancangan sistem kontrol tracking digunakanmodel kompensator. Gain kompensator dan gain
kontroler diperoleh  dengan  menggunakan  teknik pole placement .Model  kompensator  dapat  ditulis  seperti  pada (8).
c c c c x A x B e    c c y C 
(8)
Dengan x c ϵ R nc adalah state kompensator, r  ϵ R q adalah sinyal referensi, e ϵ R q adalah tracking errore = r – y , dan
c A  diagonal blok   A A A   ,
c B  diagonal blok   B B B  
dimana A adalah matriks polinomial karakteristik dari sinyal referensi, misal,
1 1 1 0 ( ) ... l l l s s s s            , sehingga,
1 0 1 1 0 0 , 0 0 1 l l I A B         
                          

## 
Pada  Gambar  2,  Apabila  model  kompensator  seperti  pada (8) dan persamaan state dari plant x Ax Bu y Cx     (9) Gambar 2. Sistem Kontrol Tracking Tipe Kompensator
Maka dapat dibuat augmented system
0 0
0 c c c c c x A x B u r
x B C A x B   
      
     
                    (10)
dan sinyal kontrol
  c c x u K K x         (11)

## III. PERANCANGAN SISTEM KONTROL
Dari  (1)  ,  didapatkan  persamaan  model  linear  untuk sistem pendulum kereta yang ditunjukkan pada (12).
( ) ( ) ; 1, 2 i i x A x t Bu t i     (12) dengan * 1 1 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 3 3 3 3 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x x x x A f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x x x x 
   
                                                       * 1 2 3 4 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) i x x h x u u h x u u B h x u u h x u u       
                   
      
Sesuai  dengan  (13),  linearisasi  hanya  dapat  dilakukan pada x 1 dan x 2 sedangkan  nilai  untuk x 3 dan x 4 dipilih  0 . Karena  nilai x 1 tidak  berpengaruh,  maka x 1 dipilih  0 sehingga linearisasi akan dilakukan pada nilai x 2 saja, yaitu di  titik x 2 =0  rad  dan x 2 =±0,2965  rad  dengan  sinyal  kontrol u =0.
  0 0 ; 0 T e e x k n u    (13)
Hasil linearisasi pada sudut 0 radian (0 derajat)
1 1 0 0 1, 0000 0 0 0 0 0 1,0000 0 ; 0 0, 2524 0 0, 0001 0,8272 0 15,0319 0 0, 0079 1, 2370                            
A B
Hasil linearisasi pada sudut 0,2965 radian (17 derajat)
2 2 0 0 1,0000 0 0 0 0 0 1,0000 0 ; 0 0, 2078 0 0,0001 0,8254 0 14, 2815 0 0,0079 1,1804                             A B
Matriks keluaran untuk titik kerja tersebut adalah:
1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
; 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 C C D D  
                         
Dengan  menggunakan  model fzzy T-S,  maka  aturan plant pada (2) dapat disusun sebagai berikut:
Aturan plant ke-1:
If 2 ( ) x t is 1 ( )
M t (sekitar 0 rad)
Then 1 1 ( ) ( ) ( )    x t A x t B u t 1 ( ) ( )  y t C x t (14)
Aturan plant ke-2: If 2 ( ) x t is 2 ( ) M t (sekitar ±0,2965  rad) Then 2 2 ( ) ( ) ( )    x t A x t B u t 2 ( ) ( )  y t C x t (15)
Sinyal  referensi  yang  digunakan  berupa  sinyal sinusoidal. Transformasi Laplace dari sinyal referensi r ( t ) = 0,1  sin  (0,2 πt )  adalah R ( s )  =0,0628/s 2 + 0,3948,  sehingga parameter model kompensator pada (8) adalah
0 1 0 ; 0,3948 0
0, 0628    
           c c A B
Dari  bentuk augmented  system pada  (10)  dapat  dibentuk subsistem lup tertutup sebagai berikut:
0
; 1, 2 0 i i i ci c i c A B K K i B C A 
               
  q
q
Berdasarkan kedua subsitem tersebut didapatkan enam state ,  sehingga  dibutuhkan  penentuan  enam pole .  Dalam penentuan pole ,  terlebih  dahulu  harus  menentukan pole dominannya.  Diasumsikan  bahwa  setiap  subsitem  terdiri dari  dua pole yang  dominan  sehingga  kedua  subsistem tersebut  dapat  dipandang  sebagai sistem orde  kedua. Misalkan pole lup tertutup yang diinginkan untuk subsistem ke- i adalah
  1 2 3 4 5 6 ; 1, 2 i i i i i i i i          (16)
Selanjutnya,  untuk  menyusun  aturan  kontroler digunakan  konsep  PDC  Modifikasi.  Dalam  PDC Modifikasi, state  feeedbackgain untuk  setiap  subsistem diperoleh  dari  beberapa kondisi  sinyal  kontrol,  sinyal kontrol tinggi dan sinyal kontrol rendah.
Pole dominan pada (10), yaitu λ i 1 dan λ i 2. Pole dominan ini  ditentukan  berdasarkan  rasio  peredaman  ( ξ )  dan frekuensi  alami  tak  teredam  ( ω n ).  Untuk  meminimalkan maximum overshoot , rise time , dan settling time , kedua pole yang dominan dirancang agar subsistem 1 (linerisasi pada x 2 = 0 rad) menjadi subsistem redaman  kritis dan subsistem 2 (linearisasi  pada x 2 =  ±0,2965  rad)  menjadi  subsistem redaman kurang.
Pole-pole yang  lain  pada  subsistem  1  ditentukan sebagai berikut:
13 14 15 16 11 2          (17)
Sedangkan pole-pole lain pada subsistem 2 dapat ditentukan sebagai berikut:
23 24 25 26 21 2 ( ) e           (18)
Pada  PDC  Modifikasi, state  feeedbackgain untuk setiap  subsistem  diperoleh  dari  dua  kondisi  sinyal  kontrol, yaitu sinyal kontrol tinggi dan sinyal kontrol rendah.

## Gambar 3 . Fungsi Keanggotaan untuk Sinyal Kontrol
Aturan  kontrol  untuk  PDC  Modifikasi  dapat  dilihat pada (5).  Untuk  menentukan  kondisi  rendah  dan  tingginya suatu sinyal kontrol digunakan (19).
1 ( ) ( ( )) ( ) ; 1, 2 r i i i u t h z t u t i     (19)
dengan,
2 1 ( ) n i i i i u m K x t    dan 2 2 2 1 ( ( )) ( ( )) i i i i x t x t m      (20)
Untuk mendapatkan nilai sinyal kontrol secara keseluruhan, (20) dapat disubstitusikan pada (19), sehingga diperoleh:
1 1 2 2 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) total u t h z t u t h z t u t  
(21)
dengan 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 u K K
                      1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 u K K
                     
maka dari (21) akan menjadi:
1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ( )) ( )
total u t h z t
K K t                              
1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ( )) ( ) h z t
K K t      
                     

## IV. HASIL PENGUJIAN SISTEM KONTROL
Pada  bagian ini  akan  membahas  mengenai  hasil-hasil yang  didapatkan  dari  simulasi  menggunakan software MATLAB  dengan  perancangan  yang  telah  dijelaskan  pada bagian  III.  Simulasi  dilakukan  dengan  linearisasi plant Sistem pendulum  kereta dengan  titik  kerja  0  rad  dan 0,2965  rad.  Kemudian  hasil  dari  simulasi  akan  digunakan sebagai acuan untuk implementasi sistem kontrol pada plant sistem pendulum kereta “ Digital pendulum Mechanical Unit 33-200” dari Feedback Instrument Ltd.
Parameter  yang  digunakan  pada  simulasi  dan implementasi ditunjukkan pada tabel 1.
Tabel 1. Nilai ω n untuk setiap percobaan Titik Kerja Percobaan 1 Percobaan 2 Percobaan 3 0 rad High : ω 11 =1.2 Low : ω 12 =1.0 High : ω 31 =1.3 Low : ω 32 =1.2 High : ω 51 =1.5 Low : ω 52 =1.4 0.2965 rad High : ω 21 =1.5 Low : ω 22 =1.4 High : ω 41 =1.7 Low : ω 42 =1.6 High : ω 61 =1.9
Low : ω 62 =1.8
Dari percobaan 1 diperoleh: λ 1 =[-1,2 -1,2 -2,4 -2,4 -2,4 -2,4]
λ 2 =[-1 -1 -2 -2 -2 -2] λ 3 =[-1,2+0,9 i -1,2-0,9 i -2,4  -2,4  -2,4  -2,4] λ 4 =[-1,12+0,84 i -1,12+0,84 i -2,24  -2,24  -2,24  -2,24]
K 1 =[-15,7291  70,1458  -12,7154  18,1978]
K 2 =[-7,1553  49,7994  -7,1062  12,8299] K 3 =[-19,0073  75,8345  -14,3081  20,1641]
K 4 =[-14,1584  65,8936  -11,4554  17,4917]
K c1 =[-36,1270  129,2826]
K c2 =[-23,9657  39,4046] K c3 =[-16,5101  191,5899] K c4 =[-20,9349  127,3804]
Dari percobaan 2 diperoleh:
λ 5 =[-1,3-1,3-2,6-2,6-2,6-2,6]
λ 6 =[-1,2 -1,2 -2,4 -2,4 -2,4 -2,4]
λ 7 =[-1,36+1,02 i -1,36-1,02 i -2,72  -2,72  -2,72  -2,72] λ 8 =[-1,28+0,96 i -1,28-0,96 i -2,56  -2,56  -2,56  -2,56] K 5 =[-22,1051  82,7150  -16,4319  21,4916] K 6 =[-15,7291  70,1458  -12,7154  18,978] K 7 =[-32,2906  99,5853  -21,4687  26,5266] K 8 =[-24,9951  87,0251  -17,6301  23,1647] K c5 =[-37,5220  208,8885] K c6 =[-36,1270  129,2826] K c7 =[15,2265  391,4628]
K c8 =[-5,4536  277,9330]
Dari percobaan 3 diperoleh: λ 9 =[-1,5-1,5-3-3-3-3] λ 10 =[-1,4-1,4-2,8-2,8-2,8-2,8] λ 11 =[-1,52+1,14 i -1,52-1,14 i -3,04  -3,04  -3,04  -3,04] λ 12 =[-1,44+1,08 i -1,44-1,08 i -2,88  -2,88  -2,88  -2,88] K 9 =[-40,3935  113,5560  -26,0667  29,5515] K 10 =[-30.2276  97.1188  -20.8554  25.2581]
K 11 =[-51,5470  129,3241  -30,9015  34,4779]
K 12 =[-41,0759  113,6374  -25,8746  30,2851]
K c9 =[-14,5435  474,6420] K c10 =[-31,7821  321,1085] K c11 =[101,2805  723,8011]
K c12 =[49,2724  537.9250]

## A. Simulasi
Pada  Gambar  4 menunjukkan  respon  posisi  kereta dalam  satuan  meter  untuk  tiga  percobaan.  Dapat  diamati bahwa  ketika  waktu  sekitar  0,3  detik  kereta  bergerak  ke posisi  yang  berlawanan  dengan  sinyal referensi,  yaitu pada posisi  -0,4  m.  Kemudian,  juga  dapat  dilihat  bahwa  respon posisi  kereta  mengalami overshoot maksimal  masing- masing  sekitar  0,175  meter,  0,195  meter,  dan  0,215  meter. Tetapi  kereta  mampu  mengikuti  sinyal  referensi  masing- masing  setelah  9,74  detik,  9,04  detik,  dan8,09  detik.  Nilai ISE  simulasi  dengan  tiga  nilai ω n yang  berbeda  ini  adalah 0,2968, 0,2623, dan 0,2343.
Respon sudut pendulum ditunjukkan pada Gambar 5. Pada  Gambar  5,  dapat  diamati  bahwa  pada  percobaan  1 memiliki  performansi  yang  cukup  baik  dibandingkan dengan  yang  lain.  Hal  ini  dapat  dibuktikan  dengan  nilai overshoot maksimal  dan undershoot maksimal  yang  kecil yaitu  sebesar  0,071  rad  dan  -0,187  rad.  Sedangkan  untuk percobaan  2  dan  3  memiliki overshoot maksimal  sebesar 0,083 rad dan 0,1054 rad dan undershoot maksimal sebesar -0,2081  rad  dan  -0,2351  rad.  Posisi  sudut pendulum dapat stabil  pada  sudut  sekitar  0  rad  masing-masing  setelah 5,34 detik, 4,61 detik, dan 3,86 detik.
Sinyal  kontrol  dalam  satuan  Newton  (N)  dapat dilihat pada Gambar 6. Dapat dilihat bahwa nilai maksimum dari sinyal  kontrol untuk tiga percobaan adalah -19,39 N, - 22,78 N, -30,67 N.
Gambar 4. Respon posisi kereta
Gambar 5. Respon sudut pendulum

## Gambar 6. Sinyal kontrol
Untuk  menguji  performansi sistem kontrol tracking dilakukan  dengan  memberikan  gangguan.  Gangguan  yang diberikan  berupa  sinyal  pulsa  sebesar  0,35  N  pada t =10 detik sampai t =15 detik dan -0,35 N pada t =30 detik sampai t =35  detik.  Nilai ω n yang  digunakan  yaitu  nilai ω n pada percobaan  2.  Hasil  respon  posisi  kereta  dengan  gangguan dapat  dilihat  pada  gambar  7.  Dapat  dilihat bahwa  kereta berusaha  melawan  gangguan  yang  diberikan  sehingga terjadi  penyimpangan terhadap sinyal  referensi. Saat  diberi gangguan pada detik ke-10, kereta mengalami penyimpangan  sebesar  0,0427  m.  Pada  detik  ke-30, penyimpangan  yang  terjadi  sebesar  0,0494  m.  Nilai  ISE simulasi dengan gangguan adalah sebesar 0,2619.
Pada  gambar  8,  saat  gangguan  diberikan,  sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar 0,003 rad pada saat t =10 detik dan -0,0007 rad pada saat t =30 detik. Ketika gangguan  dihilangkan,  sudut pendulum mengalami penyimpangan  kembali  sebesar  -0,003  rad  pada  saat t =15 detik dan 0,0007 rad saat t =35 detik.
Sinyal  kontrol  yang  dihasilkan  oleh  kontroler  untuk simulasi  ini  dapat  dilihat  pada  Gambar  9.  Pada  gambar tersebut dapat diamati bahwa pada saat diberikan gangguan, sinyal  kontrol  mengalami  penyimpangan  sebesar  0,07  N saat detik ke-10 dan -0,07 N saat detik ke-15. Sinyal kontrol kembali  mengalami  penyimpangan  sebesar  -0,06  N  pada saat  detik  ke-30  dan  0,06  N  saat  detik  ke-35.  Adanya simpangan  pada  sinyal  kontrol  menunjukkan  bahwa gangguan  dapat  dikompensasi  oleh  kontroler  yang dirancang.
Gambar 7. Respon posisi kereta dengan gangguan
Gambar 8. Respon sudut pendulum dengan gangguan
Gambar 9. Sinyal Kontrol dengan Gangguan

## B. Implementasi
Pengujian  performansi sistem kontrol  pada implementasi  dilakukan  dengan  memberikan  gangguan. Gangguan yang diberikan yaitu berupa sinyal pulsa. Respon posisi  kereta  dengan  gangguan  dapat  dilihat  pada  Gambar 10. Gangguan yang diberikan pada sistem pendulum-Kereta sebesar 1 N. Dapat dilihat bahwa kereta hasil implementasi mencoba mengikuti sinyal referensi setelah ± 13 detik. Pada detik  ke-40  sampai  detik  ke-45,  kereta  mengalami penyimpangan sebesar 0,05 meter dari sinyal referensi.
Sudut pendulum dengan  gangguan  ditunjukkan  pada gambar 11. Saat diberikan gangguan, posisi sudut pendulum mengalami  penyimpangan  dari  posisi  0  rad,  yaitu  sekitar 0,01 rad saat t =40 detik dan -0,006 rad saat t =45 detik. Pada saat t =55 detik  dan t =60 detik, sudut pendulum mengalami penyimpangan sebesar -0,006 raddan 0,006 rad. Respon ini memiliki osilasi yang sama dengan kondisi tanpa gangguan yaitu sebesar 0,015 rad.
Sinyal  kontrol  yang  dihasilkan  untuk  implementasi dengan gangguan dapat dilihat pada Gambar 12. ada gambar ini,  respon  sinyal  kontrol  dengan  gangguan  tidak  terlalu banyak  perbedaan  jika  dibandingkan  dengan  kondisi  tanpa gagguan.  Peyimpangan  sesaat  pada  sinyal  kontrol menunjukkan  bahwa  gangguan  dapat  dikompensasi  oleh kontroler yang dirancang.  Sinyal kontrol mengalami osilasi sebesar ± 5 N.
Gambar 10. Respon Posisi Kereta Hasil Implementasi dengan Gangguan
Gambar 11. Respon Sudut pendulum Hasil Implementasi dengan Gangguan
Gambar 12 . Sinyal Kontrol dengan Gangguan

## V. KESIMPULAN
Setelah  melakukan  pengujian  pada  makalah ini menggunakan sistem kontrol fuzzy Takagi-Sugeno  dengan konsep PDC Modifikasi yang telah dirancang, dapat diambil kesimpulan  bahwa  ketika  diberi  gangguan,  kontroler  yang dirancang  mampu  mengikuti  sinyal  referensi  meskipun terjadi penyimpangan pada saat 10≤ t ≤ 15 dan 30≤ t ≤ 35. Pada respon posisi kereta, respon mengalami penyimpangan saat t =10  detik  sebesar  0,0427  meter  dan  pada t =30  detik sebesar  -0,0494  meter.  Setelah  gangguan  dihilangkan, kereta kembali dapat mengikuti sinyal referensi. Sedangkan pada  respon  sudut pendulum,  saat t =10  detik  mengalami penyimpangan sebesar 0,003 rad dan -0,0007 rad pada saat t =30  detik.  Penyimpangan  juga terjadi  pada sinyal  kontrol. Saat  t=10  detik,  sinyal  kontrol  mengalami  penyimpangan sebesar  0,07  Newton  dan  saat  t=30  detik  penyimpangan yang terjadi sebesar -0,06 Newton.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Ashfahani,  A.,  “Kontrol Tracking Pada sistem  pendulum TerbalikBerbasis  Model Fuzzy Takagi-Sugeno  Menggunakan PendekatanBMI”, Tugas  Akhir, Jurusan  Teknik  Elektro  FTI-ITS, Surabaya, 2010.
[2] Bahruddin,  A.,  “Implementasi sistem Kontrol  Continuous Tracking Fuzzy pada  Plant  Inverted pendulum”, Proceeding Seminar Tugas Akhir , Surabaya, 2009.
[3] Hidayat,  Rahmat.,  “Swing-up  dan Tracking pada pendulum
Terbalik  Menggunakan  Kontrol Fuzzy ”, Proceeding  Seminar Tugas Akhir , Jurusan Teknik Elektro FTI-ITS, Surabaya, 2010.
[4] Vafaee,  K.,  dan  Geranmehr,  B.,  “Controlling  Inverted pendulum Using  Performance-Oriented  PDC  Method”, Journal  of Automation  and  Control ,  vol.  2,  no.  2  (2014):  39-44.  doi: 10.12691/automation-2-2-1.
[5] “ Fuzzy Logic Toolbox ”, The Maths Works, 2002.