J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l .
E - I SSN :   2 5 7 9 - 8 9 3 6 P- I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X Vol .   1 4 ,   No.   1,   Mei   2 0 1 7,  3 7 — 4 4

## ENUMERASI GRAF SEDERHANA DENGAN ENAM SIMPUL MENGGUNAKAN TEOREMA POLYA
Soleha 1 , I Gst Ngurah Rai Usadha 2 , Ahmad Jamil 3
1,2,3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
1 seha_07@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Salah satu dari dari masalah yang sering muncul dalam matematika adalah masalah  enumerasi  atau  pencacahan  objek  dari  suatu  pengaturan.  Seperti diketahui,  dari  beberapa  permasalahan  matematika  yang  rumit  terkait  pada masalah  enumerasi  tersebut.  Hal  ini  lebih  dikarenakan  permasalahan konspetual  yaitu  ketika  objek  berbeda  dapat  dipandang  sama  (isomorfis). Selain grup permutasi, penyelesaian permasalahan enumerasi juga melibatkan Teorema  Polya  I  dan  Teorema  Polya  II.  Teorema  Polya  I  digunakan  untuk menentukan banyaknya objek yang tidak isomorfis sedangkan Teorema Polya II  digunakan  untuk  menentukan  bentuk-bentuk  objek  yang  tidak  isomorfis tersebut.  Beberapa  tahun  terakhir  dilakukan  penelitian  terkait  permasalahan enumerasi  pada  graf  sederhana.  Lebih  detailnya,  permasalahan  mengenai banyaknya  graf  sederhana  dengan  empat  (lima)  simpul  yang tidak  isomorfis menggunakan  konsep  grup  simetri 𝑆 4 (𝑆 5 ) ,  Teorema  Polya  I  serta  Teorema Polya  II  sehingga  diperoleh  hasil  sebelas  graf  sederhana  yang  tidak  saling isomorfis dengan empat simpul dan tiga puluh lima dengan lima simpul.. Pada Penelitian ini diselidiki banyaknya graf sederhana dengan enam simpul yang tidak isomorfis menggunakan konsep grup simetri 𝑆 6 , Teorema Polya I serta Teorema  Polya  II  sehingga  diperoleh  hasil  seratus  lima  puluh  enam  graf sederhana yang tidak saling isomorfis.
Kata  Kunci: Enumerasi,  Graf  Sederhana,  Grup  Permutasi,  Isomorfis, Teorema Polya.

## 1 Pendahuluan
Ilmu  matematika  merupakan  ilmu  dasar  yang  dapat  diaplikasikan  di  berbagai bidang.  Kajian  matematika  umumnya  dibedakan  menjadi  matematika  murni  dan matematika terapan. Kajian matematika murni salah satunya adalah aljabar.  Aljabar dimulai dari himpunan dan operasi. Himpunan yang dilengkapi satu operasi disebut
grup.  Salah  satu  contoh  grup  adalah  grup  permutasi.  Matematikawan  Lagrange mengawali  kajian  permutasi  dalam  hubungannya  dengan  solusi  persamaan,  pada tahun 1770. Hal ini yang mendorong Galois pada abad 19 menemukan konsep grup permutasi. Grup permutasi adalah sebuah grup yang elemen-elemennya merupakan permutasi dari suatu himpunan dengan operasi komposisi. Sedangkan Cayley, pada 1854  mendefinisikan  grup  abstrak  berhingga  dan  mempresentasikan  beberapa contoh  grup  lainnya  seperti  grup  Quatenions,  grup  matriks  invertible,  dll. Selanjutnya, Cayley menemukan bahwa setiap grup abstrak isomorfis dengan grup permutasi,  suatu  hasil  yang  sekarang  dikenal  sebagai  “Teorema  Cayley”. Melanjutkan  hasil  dari  Cayley,  komunitas  matematika  pada  tahun  1880 menunjukkan  bahwa  teori  grup  berperan  besar  di  berbagai  bidang  matematika, seperti bagian lain dari aljabar, yaitu geometri, teori bilangan dan analisis [1].
Saat  ini,  tepatnya  seratus  tiga  puluh  empat  tahun  kemudian,  teori  grup  telah banyak berperan tidak hanya di bidang matematika yaitu kriptografi, statistika, teori koding,  teori  graf,  melainkan  juga  di  bidang  fisika,  mekanika  kuantum  [2],  kimia, dan  elektro.  Salah  satu  kegunaan  teori  grup  berhubungan  dengan  penyelesaian permasalahan  enumerasi  yang  sangat  mengandalkan  teori  grup  permutasi  dan konsep  tindakan  grup.  Enumerasi  dalam  hal  ini  adalah  penghitungan  atau pencacahan dari suatu pengaturan [3]. Seperti diketahui, dari beberapa permasalahan matematika yang rumit terkait pada penghitungan. Hal ini lebih dikarenakan masalah teknis dan konseptual. Masalah teknis yang sering dihadapi adalah objek yang akan dihitung tidak diatur berurutan. Sedangkan permasalahan konseptual terjadi ketika objek  berbeda  dapat  dipandang  sama.  Gambarannya  seperti  dalam  pertanyaan sebagai  berikut.  Berapa  banyak  segienam  berbeda  yang  dapat  diwarnai  dengan simpul merah dan kuning? Atau berapa banyak kalung berbeda yang dapat dibentuk dengan mutiara hitam dan putih? Dua objek dikatakan sama atau isomorfis jika objek kedua dapat dibentuk dari hasil rotasi atau refleksi dari objek pertama. Kita paham bahwa  ini  terkait  pada  masalah  kombinatorik  dan  terdapat  beberapa  metode  yang dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.
Salah satu metodenya adalah Teorema Burnside. Sayangnya, Teorema Burnside dapat mengenumerasi banyaknya objek berbeda tetapi tidak diperoleh bentuk-bentuk objek  yang  berbeda  tersebut.  Teroema  Polya  yang  diciptakan  oleh  George  Polya, menggunakan  definisi  grup  permutasi  dapat  menghasilkan  polynomial  yang menggambarkan  konfigurasi-konfigurasi  berbeda  dan  berapa  banyak  diantara masing-masing konfigurasi tersebut. Teorema Polya dapat diaplikasikan di berbagai bidang misalnya enumerasi isomer kimia, teori graf, Latin Square, fungsi Boolean, automata, struktur kristal dan bidang musik [4].
Graf merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika diskrit. Sebuah graf G adalah pasangan dari himpunan (𝑉, 𝐸), dimana 𝑉 adalah himpunan simpul yang tak kosong,  sedangkan E adalah  himpunan  sisi  yang  mungkin  merupakan  himpunan kosong [5]. Graf sederhana adalah graf yang tidak memilki sisi ganda dan loop. Graf sederhana 𝐺 1 = (𝑉 1 , 𝐸 1 ) dan 𝐺 2 = (𝑉 2 , 𝐸 2 ) dikatakan  sama  atau  isomorfis  jika terdapat fungsi bijektif 𝑓: 𝑉 1 → 𝑉 2 dengan sifat 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 1 bertetangga jika dan hanya jika 𝑓(𝑎) , 𝑓(𝑏)   ∈ 𝑉 2 bertetangga, untuk  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 1. [6].
Masalah  enumerasi  pada  graf  yang  tidak  isomorfis  merupakan  masalah  yang tidak mudah karena harus bisa menemukan satu per satu graf yang tidak isomorfis dan  menentukan bentuk  dari graf yang tidak isomorfis tersebut. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, salah satu penyelesaian masalah enumerasi pada graf adalah penggunaan  Teorema  Polya.  Teorema  Polya  I  menjelaskan  banyaknya  graf  yang
tidak  isomorfis  dan  Teorema  Polya  II  menjelaskan  bentuk-bentuk  graf  yang  tidak isomorfis tersebut.
Dalam penelitian yang lain, Teorema Polya dapat digunakan dalam menentukan graf sederhana dengan empat simpul yang tidak saling isomorfis [6] dan lima simpul yang  tidak  saling  isomorfis  [7].  Oleh  sebab  itu,  penelitian  paper  ini  melanjutkan penentuan  banyaknya  graf  sederhana  dengan  enam  simpul  yang  tidak  saling isomorfis.  Pada  dasarnya  paper  ini  merupakan  penggabungan    dari   ilmu  graf  dan teori grup. Teori grup yang digunakan adalah teori grup permutasi dan grup Action .

## 2 Indeks Sikel
Indeks sikel dapat digunakan untuk enumerasi pola yang berhubungan dengan grup,  karena  dari  indeks  sikel  dapat  dihitung  orbit  dari  setiap  elemen  dari  grup permutasi.
Diberikan 𝐺 adalah grup permutasi dengan order 𝑚 dari suatu himpunan yang banyak anggotanya 𝑛 dan 𝑔 ∈ 𝐺 adalah komposisi dari sikel-sikel yang disjoint yang terdiri  dari  sikel  dengan  panjang  1  sebanyak 𝑎 1 ,  sikel  dengan  panjang  2  sebanyak 𝑎 2 ,…,  sikel  dengan  panjang 𝑛 sebanyak 𝑎 𝑛 yang  memenuhi  1 𝑎 1 + 2𝑎 2 + ⋯ + 𝑛𝑎 𝑛 = 𝑛 ,  maka  tipe  permutasi  dari g adalah  [ 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 3 ]  dan  indeks  sikel g didefinisikan sebagai : 𝑍(𝑔; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) = 𝑥 1 𝑎 1 𝑥 2 𝑎 2 𝑥 3 𝑎 3 … 𝑥 𝑛 𝑎 𝑛 . Serta, indeks sikel dari grup 𝐺 didefinisikan :
𝑍(𝐺; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) = 1 𝑚 ∑ 𝑍(𝑔; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) 𝑔∈𝐺 Contoh 𝑞 = (123) ∈ 𝑆 3 ,  permutasi 𝑞 memiliki  1  sikel  dengan  panjang  3,  sehingga  tipe permutasi 𝑞 adalah [0,0,1] dan indeks sikel 𝑞 adalah 𝑥 1 0 𝑥 2 0 𝑥 3 1 = 𝑥 3 . Teorema Burnside-Frobenius [8]
Misal 𝑋 adalah 𝐺 − 𝑠𝑒𝑡 dengan 𝐺 dan 𝑋 berhingga.  Jika 𝑘 adalah  banyaknya  orbit di 𝑋 pada 𝐺 , maka:
𝑘 = 1 |𝐺| ∑ |𝐹(𝑔)| 𝑔∈𝐺 (1)
Dengan 𝐹(𝑔) = {𝑧 ∈ 𝑋: 𝑔(𝑧) = 𝑧}
Teorema Burnside-Frobenius dapat digunakan dalam pembuktian Teorema Polya I dan menghitung pola berdasarkan sifat kesimetrian.

## Teorema Polya
Teorema Polya I[9] Diberikan 𝐶  = { 𝑓 | 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌} dengan |𝑋| = 𝑛 ≥ 2 dan |𝑌| = 𝑟. Jika 𝐺 merupakan  grup  permutasi  yang  beraksi  pada 𝑋 dengan  indeks  siklik 𝑍(𝐺; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) maka  banyaknya  pola  di 𝐶 terhadap 𝐺 adalah 𝑍(𝐺; 𝑟, 𝑟, 𝑟, … , 𝑟) .
Bukti:
Jika 𝑔 ∈ 𝐺 , maka 𝑓 ∈ 𝐹(𝑔) ⟺ 𝑓 tetap oleh tiap-tiap sikel dari 𝑔. Dan ika 𝑔 adalah permutasi  bertipe [𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ] maka 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 menyatakan  banyaknya sikel  disjoint  di 𝑔 ,  sehingga  banyaknya  permutasi  yang  tetap  oleh 𝑔 adalah 𝑟 𝑎 1 +𝑎 2 +⋯+𝑎 𝑛 .  Jadi,  diperoleh |𝐹(𝑔)| = 𝑟 𝑎 1 +𝑎 2 +⋯+𝑎 𝑛 dengan [𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ] adalah tipe  permutasi 𝑔 .  Berdasarkan  Teorema  Burnside,  banyaknya  orbit  yang  berbeda adalah
𝑛 = 1 |𝐺| ∑|𝐹(𝑔)| 𝑔∈𝐺 𝑛 = 1 |𝐺| ∑ 𝑟 𝑎 1 +𝑎 2 +⋯+𝑎 𝑛 𝑔∈𝐺 𝑛 = 1 |𝐺| ∑ 𝑟 𝑎 1 . 𝑟 𝑎 2 … 𝑟 𝑎 𝑛 𝑔∈𝐺 𝑛 = 1 |𝐺| ∑ 𝑧(𝑔; 𝑟, 𝑟, … , 𝑟)
𝑔∈𝐺
𝑛 = 𝑍(𝐺; 𝑟, 𝑟, … , 𝑟)
Teorema Polya II [10]
Persediaan  pola  warna  , 𝑃𝐼(𝐺; 𝑤(𝑦 1 ), 𝑤(𝑦 2 ), 𝑤(𝑦 3 ), … , 𝑤(𝑦 𝑟 )) adalah  merupakan indeks  siklik  dari 𝑍(𝐺; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) pada 𝑥 𝑖 = (𝑤(𝑦 1 )) 𝑖 + (𝑤(𝑦 2 )) 𝑖 + (𝑤(𝑦 3 )) 𝑖 + ⋯ + (𝑤(𝑦 𝑟 )) 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛

## 3 Graf Isomorfis
Graf G didefinisikan  sebagai  pasangan  himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan  dari  simpul-simpul  tidak  kosong  dan 𝐸 adalah  himpunan  dari  sisi-sisi yang menghubungkan dua simpul dan mungkin kosong. Dua  buah  graf 𝐺 1 dan 𝐺 2 dengan 𝐺 1 = (𝑉 1 , 𝐸 1 ) dan 𝐺 2 = (𝑉 2 , 𝐸 2 ) dikatakan isomorfis jika terdapat fungsi bijektif 𝑓: 𝑉 1 → 𝑉 2 dengan sifat 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 1 bertetangga jika dan hanya jika 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏) ∈ 𝑉 2 bertetangga , untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 1. . Contoh
Gambar 3.1: Dua Graf yang Saling Isomorfis dua  graf  pada  Gambar  2.1  adalah  dua  graf  yang  saling  isomorfis  dengan  fungsi bijektif 𝑓(1) = 5, 𝑓(2) = 4, 𝑓(3) = 3, 𝑓(4) = 1, 𝑓(5) = 6 dan 𝑓(6) = 2 .

## 4 Enumerasi  Graf  Sederhana  Enam  Simpul  dengan Menggunakan Teorema Polya
Diberikan himpunan 𝑋 = {1,2,3,4,5,6} yang merupakan himpunan simpul dari suatu  graf  dengan 𝑛 = 6 .  Apabila 𝑛 simpul  pada  graf  dikenai  permutasi  maka pasangan simpul tak terurut dari graf tersebut juga mengalami permutasi. Pasangan simpul tak terurut dapat dipandang sebagai suatu sisi. Jika himpunan permutasi pada simpul-simpul  suatu  graf  membentuk  suatu  graf  simetri (𝑆 𝑛 ), seluruh  bentuk  grup 𝑆 𝑛 adalah 𝑛! = 6! = 720 .
Selanjutnya  dari  elemen-elemen  permutasi  tersebut  akan  diperoleh  tipe  permutasi dan indeks sikel permutasi. Pola tipe-tipe rantai yang diperoleh sebagai berikut:
1. Bentuk [6,0,0,0,0,0] ada 1 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 6
2. Bentuk [4,1,0,0,0,0] ada 15 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 4 𝑥 2
3. Bentuk [3,0,1,0,0,0] ada 40 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 3 𝑥 3
4. Bentuk [2,2,0,0,0,0] ada 45 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 2 𝑥 2 2
5. Bentuk [2,0,0,1,0,0] ada 90 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 2 𝑥 4
6. Bentuk [1,1,1,0,0,0] ada 120 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3
7. Bentuk [1,0,0,0,1,0] ada 144 dengan indeks sikelnya 𝑥 1 𝑥 5 8. Bentuk [0,1,0,1,0,0] ada 90 dengan indeks sikelnya 𝑥 2 𝑥 4 9. Bentuk [0,0,2,0,0,0] ada 40 dengan indeks sikelnya 𝑥 3 2
10. Bentuk [0,3,0,0,0,0] ada 15 dengan indeks sikelnya 𝑥 2 3
11. Bentuk [0,0,0,0,0,1] ada 120 dengan indeks sikelnya 𝑥 6 Jika  himpunan  permutasi  pada  simpul-simpul  suatu  graf  membentuk  suatu  grup simetri (𝑆 𝑛 ) , maka permutasi dari pasangan terurut simpul tersebut juga membentuk suatu grup permutasi (𝑅 𝑛 ). Sehingga akan dibentuk indeks sikel 𝑅 𝑛 (permutasi sisi pada  graf)  dengan  membangkitkan  indeks  sikel  pada 𝑆 6 yang  sudah  diperoleh. Sebagai contoh,
B = (12) dengan bentuk [4,1,0,0,0,0] dengan indeks sikel : 𝑥 1 4 𝑥 2 𝐵′ = ( 12 12 13 23 14 23 15 25 16 26 23 13 24 14 25 15 26 16 34 34 35 35 36 36 45 45 46 46 56 56 )
Karena terdapat lima belas sisi pada graf awal yang kemudian menjadi simpul pada graf  yang  baru,  maka  pada  permutasi 𝐵′ terdapat  tujuh  sikel  dengan  panjang  satu, dan empat sikel dengan panjang dua.
Sehingga dapat
dikatakan,
𝐵′ mempunyai indeks sikel 𝑥 1 7 𝑥 2 4 .  Ilustrasinya sebagai berikut
(1 2)
(13 23)(14 24)(15 25)(16 26)
Gambar 4.2: Ilustrasi Perubahan Indeks Sikel
Keseluruhan  perubahan  indeks  sikel 𝑆 6 menjadi  indeks  sikel 𝑅 6 dinyatakan  dalam Tabel 4.2.
Tabel 4.2 Perubahan Indeks Sikel No. 𝑆 𝑛 𝑅 𝑛 1 𝑥 1 6 𝑥 1 15 2 𝑥 1 4 𝑥 2 𝑥 1 7 𝑥 2 4 3 𝑥 1 3 𝑥 3 𝑥 1 3 𝑥 3 4 4 𝑥 1 2 𝑥 2 2 𝑥 1 3 𝑥 2 6 5 𝑥 1 2 𝑥 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 4 3 6 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 2 𝑥 6 7 𝑥 1 𝑥 5 𝑥 5 3 8 𝑥 2 𝑥 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 4 3 9 𝑥 3 2 𝑥 3 5 10 𝑥 2 3 𝑥 1 3 𝑥 2 6 11 𝑥 6 𝑥 3 𝑥 6 2
Sehingga dengan menggunakan Teorema Polya I diperoleh : 𝑍(𝑅 6 ; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 ) = 1 720 [𝑥 1 15 + 15𝑥 1 7 𝑥 2 4 + 40𝑥 1 3 𝑥 3 4 + 45𝑥 1 3 𝑥 2 6 +90𝑥 1 𝑥 2 𝑥 4 3 + 120𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 2 𝑥 6 + 144𝑥 5 3 +
90𝑥 1 𝑥 2 𝑥 4 3 + 40𝑥 3 5 + 15𝑥 1 3 𝑥 2 6 + 120𝑥 3 𝑥 6 2 (2)
Diberikan 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 dengan |𝑌| = 𝑟. Pada  graf  sederhana  hanya  terdapat  dua keadaan pada himpunan Y, yaitu ada himpunan sisi pada himpunan simpul dan tidak ada  sisi  pada  himpunan  simpul,  sehingga 𝑟 = 2 maka  menyebabkan 𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑥 3 = 𝑥 4 = 𝑥 5 = 𝑥 6 = 2, dengan  memasukkan  nilai  tersebut  pada  Persamaan (2) diperoleh : 𝑍(𝑅 6 ; 2,2,2,2,2,2)
= 1 720 [2 15 + 15. 2 7 . 2 4 + 40. 2 3 . 2 4 + 45. 2 3 . 2 6 + 90.2.2. 2 3 + 120.2.2. 2 2 . 2 + 144. 2 3 + 90.2.2. 2 3 + 40. 2 5 + 15. 2 3 . 2 6 + 120.2. 2 2 ] 𝑍(𝑅 6 ; 2,2,2,2,2,2)
= 1 720 [32768 + 30720           + 5120   + 23040 + 2880 + 3840 + 1152 + 2880 + 1280 + 7680 + 960]
𝑍(𝑅 6 ; 2,2,2,2,2,2) = 1 720 [112320] = 156
Jadi, untuk graf sederhana dengan enam simpul, maka akan terdapat 156 graf yang tidak saling isomorfis.
Ambil  dua  pola  pada  himpunan  Y,  misalkan 𝑇 = tidak mempunyai sisi dan 𝐴 = mempunyai sisi , kemudian substitusikan 𝑥 1 = 𝑇 + 𝐴, 𝑥 2 = 𝑇 2 + 𝐴 2 , 𝑥 3 = 𝑇 3 + 𝐴 3 , 𝑥 4 = 𝑇 4 + 𝐴 4 , 𝑥 5 = 𝑇 5 + 𝐴 5 dan𝑥 6 = 𝑇 6 + 𝐴 6 pada Persamaan (2), sehingga diperoleh :
𝑍(𝑅 6 ; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 ) = 1 720 [(𝑇 + 𝐴) 15 + 15. (𝑇 + 𝐴) 7 . (𝑇 2 + 𝐴 2 ) 4 + 40. (𝑇 + 𝐴) 3 . (𝑇 3 + 𝐴 3 ) 4 + 45. (𝑇 + 𝐴) 3 . (𝑇 2 + 𝐴 2 ) 6 + 90. (𝑇 + 𝐴). (𝑇 2 + 𝐴 2 ). (𝑇 4 + 𝐴 4 ) 3 + 120. (𝑇 + 𝐴). (𝑇 2 + 𝐴 2 ). (𝑇 3 + 𝐴 3 ) 2 . (𝑇 6 + 𝐴 6 ) + 144. (𝑇 5 + 𝐴 5 ) 3 + 90. (𝑇 + 𝐴). (𝑇 2 + 𝐴 2 ). (𝑇 4 + 𝐴 4 ) 3 + 40. (𝑇 3 + 𝐴 3 ) 5 + 15. (𝑇 + 𝐴) 3 . (𝑇 2 + 𝐴 2 ) 6 + 120. (𝑇 3 + 𝐴 3 ). (𝑇 6 + 𝐴 6 ) 2 ]
Dilakukan  perkalian  pada  setiap  suku  di  ruas  kanan  kemudian  disederhanakan sehingga diperoleh :
𝑍(𝑅 6 ; 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 ) =    𝑇 15 + 𝑇 14 𝐴 + 2𝑇 13 𝐴 2 + 5𝑇 12 𝐴 3 + 9𝑇 11 𝐴 4 + 15𝑇 10 𝐴 5 + 21𝑇 9 𝐴 6 + 24𝑇 8 𝐴 7 + 24𝑇 7 𝐴 8 + 21𝑇 6 𝐴 9 + 15𝑇 5 𝐴 10 + 9𝑇 4 𝐴 11 + 5𝑇 3 𝐴 12 + 2𝑇 2 𝐴 13 + 𝑇𝐴 14 + 𝐴 15 (3)
Berdasarkan  persamaan  (3)  diperoleh  bentuk-bentuk  graf  yang  tidak  isomorfis dengan bantuan software Graph Algorithm Programing  menggunakan konsep  graf kompelemen:
Satu graf tanpa sisi
Satu  graf  dengan  satu sisi
Dua  graf  dengan  dua sisi
Lima  graf  dengan  tiga sisi Sembilan  graf  dengan empat sisi
Lima belas graf dengan lima sisi
Dua  puluh  satu  graf dengan enam sisi
Dua  puluh  empat  graf dengan tujuh sisi
Dua  puluh  empat  graf dengan delapan sisi
Dua  puluh  satu  graf dengan Sembilan sisi
Lima belas graf dengan sepuluh sisi
Sembilan  graf  dengan sebelas sisi Lima  graf  dengan  dua belas sisi Dua  graf  dengan  tiga belas sisi Satu graf dengan empat belas sisi Satu  graf  dengan  lima belas sisi

## 5 Daftar Pustaka
[1] Kleiner, I. (1986) The Evolution of Group Theory: A Brief Survey . Mathematics Magazine, Volume 59, No. 4, p.195-215.
[2] McWilliams,  B.,  Donahue  J.  (2006) Applications  of  Permutation  Groups . Abstract Algebra Lecture Note.
[3] Mahmudah,  W.  (2006).  Kajian  Indeks  Sikel  Polinomial  Grup  dan  Aplikasi TeoremaPolya  Pada  Molekul  Tetrahedron,  Tugas  Akhir  Jurusan  Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
[4] Cattani  M.  (2007), Quantum  Statitics: The  Industinguishability  Principle  and The Permutation Group Theory , RevistaBrasileira de Ensino de Fisica, Volume 29, No.3, p.405-414.
[5] Fripertinger H. 1992. Enumeration in Musical Theory . Seminaire Lotharingien de Com-binatoire, 476/S-26:2942. ISSN 0755-3390.
[6] Gunawan  R.,  S.  (2003) Aplikasi  Teorema  Polya  Pada  Enumerasi  Graf Sederhana . Jurnal Matematika dan Komputasi. 1(8):1 - 10.
[7] Rosalianti T. V., Suhery C., Kusumasti, N. (2013) Penggunaan TeoremaPolya Dalam Menentukan Banyaknya Graf Sederhana yang Tidak Saling Isomorfis, Buletin Ilmiah Mat.Stat. dan Terapannya. Volume 02, No.1 Hal 39-44.
[8] Mulholland  Jamie,. Permutation  Puzzles:  A  Mathematical  Perspective .  16 Februari  2015.  http://people.math.sfu.ca/~jtmulhol/math302/notes/22-Orbit- Stabilizer.pdf.
[9] Brualdi,  Richard  A.(2009) Introductory  Combinatoric. New  York:  Pearson Education Inc.