IMPLEMENTASI TRANSFORMASI WAVELET DAUBECHIES PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL
Suma’inna 1 dan Gugun Gumilar 2
1,2 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatulallah Jakarta

## ABSTRAK
Proses kompresi merupakan proses mereduksi ukuran suatu data untuk menghasilkan representasi digital yang padat atau mampat, namun tetap dapat mewakili kuantitas informasi yang terkandung pada data  tersebut.  Pada  citra,  video,  dan  suara,  kompresi  mengarah  pada  minimalisasi  jumlah  bit  untuk representasi  citra  digital.  Dalam  penelitian  ini,  proses  kompresi  citra  menggunakan  dua  wavelet  yang terkenal,  yaitu  wavelet  Haar  dan  Daubechies  Db4.  Citra  yang  digunakan  terbatas  hanya  citra grayscale berformat . jpg . Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan wavelet manakah yang baik dalam kompresi citra.  Dari  hasil  yang  didapat,  wavelet  Haar  dan  Daubechies  Db4  berturut-turut  mempunyai  nilai  RMSE sebesar 6,54 dan 6,5. Sedangkan rasio kompresi untuk  wavelet Haar adalah 25%, lebih besar  dibanding wavelet Daubchies Db4, yaitu sebesar 22%.
Kata Kunci : Kompresi , wavelet Haar, wavelet Daubchies Db4, RMSE

## PENDAHULUAN
Teknologi  kompresi  data  berkembang seiring  dengan  kemajuan  teknologi  informasi. Melalui  teknologi  kompresi  ini,  penyebaran  data menjadi lebih cepat karena ukuran data yang lebih kecil dari ukuran aslinya, sehingga mempermudah proses  pengiriman  data  atau  dapat  mengurangi kebutuhan terhadap kapasitas media penyimpanan.  Salah  satu  teknik  kompresi  citra ialah dengan transformasi wavelet.
Transformasi  adalah  proses  pengubahan data  atau  sinyal  ke  dalam  bentuk  lain  agar  lebih mudah dianalisis. Transformasi wavelet memiliki kemampuan untuk menganalisis suatu data dalam domain  waktu  dan  domain  frekuensi  secara simultan.  Kompresi  berbasis  wavelet  didasari pada  prinsip  bahwa  koefisien-koefisien  hasil proses  transformasi  wavelet  yang  melakukan dekorelasi pixel pada citra , dapat dikodekan lebih efisien dibandingkan dengan citra aslinya [1].
Aplikasi  dari Wavelet semakin  meluas untuk  berbagai  macam  bidang  seperti  teknik penyelesaian persamaan differensial [2], pemrosesan  sinyal  dan  analisis high  dimentional data statistic [3-7].  Dalam  proses  perhitungan matematis, wavelet dapat  menganalisa  frekuensi dan  waktu  secara  simultan.  Sedangkan  dalam sudut  pandang  fisika wavelet adalah  teknik matematika yang digunakan untuk membagi atau memisah  sinyal  ke  dalam  komponen-komponen frekuensi  yang  berbeda  dengan  menggunakan sebuah penyaring ( filterisasi )
dengan menggunakan metode Discrete Wavelet Transform (DWT),  sehingga  setiap  komponen  dapat diperiksa atau dipelajari pencocokan resolusinya.
DWT    yang  cukup  populer  dalam  pemerosesan citra adalah DWT Haar (db1) dan Daubechies (db).
Transformasi wavelet Daubechies ini telah muncul  sebagai  salah  satu  ujung  tombak teknologi,  dalam  bidang  sinyal  &  analisis  citra. Daubechies (1988, 1992)  mengembangkan teori dan  kontruksi wavelet wavelet  ortonormal  yang mempunyai compact  support. Fungsi-fungsi  yang mempunyai compact  support mempunyai  sifat- sifat yang menarik, seperti dilasi dan penskalaan.
Pada penelitian ini, mencoba membandingkan  dua  tipe  wavelet  yang  terkenal, yaitu  Daubechies  (db2)  dan  Haar  (db1).  Dari kedua  wavelet  tersebut,  manakah  yang  mampu memberikan  hasil  yang  optimum  dalam  proses kompresi  citra  digital.  Hasil  penelitian  ini  dapat menjadi  masukan  bagi  peneliti  lain  dalam menentukan  wavelet  manakah  yang  optimum dalam memampatkan data selain data citra.

## LANDASAN TEORI

## A. Transformasi
Wavelet
Transformasi wavelet memberikan representasi frekuensi-waktu pada sebuah sinyal. Pada  awalnya,  transformasi  wavelet  digunakan untuk  menganalisa  sinyal  non-stasioner.  Pada transformasi wavelet, sinyal non-stasioner dianalisis  menggunakan  analisis  multi-resolusi. Umumnya,  teknik  analisis  multi-resolusi  adalah teknik  yang  digunakan  untuk  menganalisis frekuensi  yang  berbeda  menggunakan  resolusi yang berbeda [8].
Analisis  multiresolusi  berisi  keluarga subruang  tertutup {𝑉 𝑚 , 𝑚 ∈ ℤ} dari 𝐿 2 (𝑅) yang memenuhi:
1. 𝑉 𝑚 ⊂ 𝑉 𝑚+1 , untuk setiap 𝑚 ∈ ℤ . 2. 𝑓(𝑥) ∈ 𝑉 𝑚 jika dan hanya jika 𝑓(2𝑥) ∈ 𝑉 𝑚+1 . 3. ⋂ 𝑉 𝑚 = {0} 𝑚∈ℤ 4. ∪ 𝑚∈𝑧 𝑉 𝑚 = 𝐿 2 (𝑅) 5. Terdapat  fungsi  skala 𝜙(𝑥) sedemikian sehingga {𝜙 0,𝑛 = 𝜙(𝑥 − 𝑛), 𝑛 ∈ ℤ} merupakan basis  ortonormal  untuk 𝑉 0 .  Untuk 𝑚 → ∞ , 𝑉 ∞ = 𝐿 2 dan untuk 𝑚 → −∞ = {0} [9].

## B. Wavelet Haar
Definisi Fungsi Scala wavelet Haar (Father Wavelet) adalah [8]:
𝜙(𝑥) = { 1, jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0, untuk 𝑥 yang lain
Misal 𝑉 𝑚 adalah ruang fungsi di 𝐿 2 (𝑅) yang konstan pada interval [2 −𝑚 𝑛, 2 −𝑚 (𝑛 + 1)] , 𝑘 ∈ 𝑍 , maka {𝑉 𝑚 : 𝑚 ∈ 𝑍} adalah  sebuah  analisis multiresolusi  yang  bersesuaian  dengan wavelet Haar. Wavelet Haar yang dikontruksi dari analisis multi-resolusinya  diperoleh  dari  mengeneralisir (mendilasi  atau  menggeser)  fungsi  skala  ( father wavelet ) 𝜙(𝑥) = 𝜒 [ 0,1) (𝑥) yang  bersesuaian dengan MRA. W avelet Haar memenuhi persamaan dilasi (2.6),  dimana
𝐶 𝑛 =   √2 ∫ 𝜙(𝑥)𝜙(2𝑥 − 𝑛)
∞ −∞ 𝑑𝑥.
Dengan  demikian  diperoleh 𝐶 0 = 𝐶 1 = 1 √2 dan 𝐶 𝑛 = 0, 𝑛 ≠ 0, 1 .
Untuk  wavelet  Haar  atau  dikenal  juga Daubechies  1  (db1)  dengan  koefisien 𝐶 0 = 𝐶 1 = 1 √2 merupakan high  pass filter [8].

## C. Wavelet Daubechies
Wavelet Daubechies adalah pengembangan dari  wavelet  Haar . Daubechies  1  (db1)  dengan panjang  filter  2  merupakan  wavelet  Haar. Daubechies  2  disingkat  (db2)  adalah  wavelet Daubechies  dengan  banyak  filter  4  yang  db3 adalah wavelet Daubechies dengan banyak filter 6 dan  seterusnya.  Selengkapnya  koefisien filter sampai db5 dapat dilihat pada tabel 4.1.

## D. Transformasi Wavelet Diskrit
Transformasi wavelet diskrit (TWD) merupakan  pentransformasian  sinyal  diskrit menjadi koefisien-koefisien wavelet yang diperoleh dengan cara menapis sinyal menggunakan  dua  buah  tapis  yang  berlawanan low  pass  filter dan high  pass  filter .  Secara  garis besar  proses  dalam  teknik  ini  adalah  dengan melewatkan sinyal yang akan dianalisis pada filter dengan  frekuensi  dan  skala  yang  berbeda.
Analisis frekuensi yang berbeda dengan menggunakan  resolusi  yang  berbeda  inilah  yang disebut dengan multi-resolution analysis . Pembagian  sinyal  menjadi  frekuensi  tinggi  dan frekuensi rendah dalam proses filterisasi highpass filter dan lowpass  filter disebut  sebagai dekomposisi [10].
Tabel 1 . Filter Wavelet Daubechies
Proses  dekomposisi  citra  yang  dimulai dengan melakukan dekomposisi melalui terhadap baris dari data citra, kemudian dilanjutkan dengan dekomposisi  terhadap  kolom ( down  sampling ), seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Transformasi Wavelet Citra Level 1
Komponen LL disebut komponen aproksimasi    sementara  komponen  LH,  HL,  dan HH  disebut komponen  detil .  Dekomposisi  pada transformasi  wavelet  untuk level 2,  3,  dan seterusnya  dilakukan  dengan  cara  yang  sama, hanya saja dilakukan pada bagian LL.

## KOMPRESI CITRA MENGGUNAKAN TRANSFORMASI WAVELET
Proses kompresi merupakan proses mereduksi ukuran suatu data untuk menghasilkan representasi  digital  yang  padat  atau  mampat, namun tetap  dapat mewakili kuantitas  informasi yang  terkandung  pada  data  tersebut.  Pada  citra, video,  dan  suara,  kompresi  mengarah  pada minimalisasi  jumlah  bit  untuk  representasi  citra digital.
Transformasi  wavelet  pada  penelitian  ini digunakan  untuk  mengompres  matriks  gambar dengan  melewatkamya  pada low  pass  filter dan high pass filter untuk mendapatkan aproksimasinya. Kompresi gambar menggunakan DWT  dikaitkan  dengan  dekomposisi  gambar. Dekomposisi  gambar  seperti  yang  ditunjukkan pada  Gambar  2  menghasilkan  rentang  informasi
frekuensi yang berbeda yaitu LL, frekuensi rendah -  rendah,  LH,  frekuensi  rendah  -  tinggi,  HL, frekuensi tinggi - rendah, dan HH, frekuensi tinggi - tinggi [11].
Gambar 2 . Two Levels Pyramid Decomposition
Tujuan utama kompresi citra adalah untuk mengurangi  data  berlebihan  ( redundancy  data ), sehingga ukuran data menjadi lebih kecil dan lebih ringan dalam proses transmisi data. Setelah image ditansformasi wavelet, tahapan selanjutnya dalam compresi  citra  adalah  kuantisasi.  Kuantisasi adalah  suatu  metode  yang  bekerja  dengan  cara mengurangi derajat keabuan, sehingga jumlah bit yang  dibutuhkan  untuk  merepresentasikan  citra berkurang.  Prosesnya  adalah  dengan  melakukan pengalian  dengan  koefisien  komponen  detil  dari citra  yang  sudah  ditransformasi  dengan  wavelet. Nilai  koefisiennya  dikalikan  dengan  suatu konstanta  pengali  yang  berkisar  antara  0-1 dengan menggunakan rumus berikut [12].
𝑘𝑜𝑒𝑓 2 = 𝑘𝑜𝑒𝑓 1  ×  𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖  × 1 2 𝑗
Dimana :
 koef 2 adalah nilai koefisien komponen detil setelah dikuantisasi
 koef 1 adalah nilai koefisien komponen detil sebelum dikuantisasi
 j adalah level dekomposisi
Pengalian  dengan  0  (nol)  akan  menghasil- kan  rasio  kompresi  yang  paling  besar.  Tetapi akibatnya  akan  menghasilkan  gambar  kompresi yang  buruk,  karena  semua  informasi  dari komponen detil dihilangkan. Sedangkan pengalian dengan  1  (satu)  akan  mengahasilkan  gambar kompresi  yang  sangat  baik.  Tetapi  dalam  hal  ini bukan  merupakan  sistem  pengkompresian, karena  tidak  ada  proses  kuantisasi.  Oleh  karena itu  koefisien  komponen  detil  dikalikan  dengan konstanta pengali dari antara 0 dan 1 [12].
Tahapam-tahapan  yang  dilakukan  dapat dilihat pada flowchart di bawah ini:
Gambar 3. Flowchart Tahapan Kompresi dan Dekompresi A. Kualitas Kompresi Citra ( fidelity )
Kualitas  citra  hasil  kompresi  dapat  diukur secara kuantitatif dengan melihat nilai Root Mean
Square Error (RMSE)
𝑅𝑀𝑆𝐸 = √ 1
𝑀 × 𝑁 ∑ ∑ (𝑓̂(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)) 2 𝑁 𝑦=1 𝑀 𝑥=1 Dan Peak Signal to Noise Ratio (PSNR)
𝑃𝑆𝑁𝑅 = 20 × 𝑙𝑜𝑔 10 ( 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑓̂(𝑥 , 𝑦) 𝑅𝑀𝑆𝐸 )
Dalam hal ini 𝑓̂(𝑥, 𝑦) dan 𝑓(𝑥, 𝑦) berturut- turut merupakan fungsi dari citra hasil kompresi dan fungsi dari citra asli, sedangkan maks adalah nilai  intensitas  terbesar.  Semakin  besar  nilai PSNR,  maka  citra  hasil  pemampatan  semakin mendekati citra aslinya, dengan kata lain semakin bagus kualitas citra hasil kompresi tersebut [13]. Untuk lossy  compression, nilai  PSNR  yang  baik berkisar antara 30 dan 50 dB.

## B. Rasio Kompresi Citra
Rasio  kompresi  citra  adalah  ukuran persentase citra yang telah berhasil dimampatkan. Secara  matematis,  rasio  pemampatan  citra dituliskan sebagai berikut [13]:
𝑅𝑎𝑠𝑖𝑜 = 100 % − [ 𝑎̂ 𝑎 𝑥100 % ]
Keterangan : 𝑎̂ = hasil kompresi (bit) 𝑎 = citra asli (bit)

## C. Proses Dekompresi
Proses dekompresi ini adalah proses untuk mengembalikan citra pada ukuran semula melalui kuantisasi  balik  dekuantisasi  dan  transformasi balik  ( invers ) wavelet .  Untuk  melakukan  proses kuantisasi balik (dekuantisasi) untuk mengembalikan  data  yang  sebelumnya  di kuantisasi saat proses kompresi.
Proses  ini  akan  memperoleh  kembali komponen-komponen  detil,  yaitu  horizontal, vertikal,  dan  diagonal  dengan  menggunakan rumus.
𝑘𝑜𝑒𝑓 1 = 𝑘𝑜𝑒𝑓 2  × 2 𝑗

## 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑙𝑖
Sebelum  melakukan  transformasi  wavelet balik,  terlebih  dahulu  menggabungkan  seluruh komponen  hasil  dekuantisasi  dengan  komponen aproksimasi kemudian dilakukan invers transformasi.

## PEMBAHASAN
Citra  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah tiga buah citra yang diperoleh dari kamera handphone dengan resolusi 3.2 MP. Citra tersebut diberi nama citra ukiran, patung, dan pura gambar 4. Masing-masing berukuran 256 x 256 piksel.
Gambar 4 . Data Citra

## A. Transformasi Wavelet Maju
Pada  tahap  ini,  citra  pada  Gambar  4. ditransformasi dengan menggunakan transformasi  wavelet  Haar  dan  Daubechies  Db4 satu  level.  Pada  Gambar  5a  proses  transformasi dilakukan 1 kali (1 level ) dekomposisi.

## B. Kuantisasi Komponen Detil
Hasil  dari  transformasi  wavelet  Haar  dan Daubechies Db4 1 level adalah 4 buah komponen matrik  citra,  yaitu  komponen  aproksimasi  (LL), komponen  horizontal  (LH),  komponen  diagonal (HH),  dan  komponen  vertikal  (HL).  Komponen aproksimasi  (LL)  disimpan  ke  dalam  media penyimpanan  agar  komponen  ini  tidak  berubah. Sedangkan  untuk  komponen  komponen  detil dilakukan kuantisasi, Pemilihan konstanta pengali dilakukan  berdasarkan  variansi  dari  ketiga komponen  detil  tersebut.  Komponen  yang mempunyai  variansi  yang  paling  besar  dikalikan dengan  konstanta  yang  paling  besar  pula  dan sebaliknya.  Dalam  penelitian  ini  digunakan konstanta pengali sebesar 0.5, 0.6, dan 0.4. Ukuran komponen  detil  setelah  proses  kuantisasi  dapat dilihat pada tabel 2.
(a)
(b)
Gambar 5. (a) Transformasi Wavelet Haar 1
Level (b) Transformasi Wavelet Daubechies Db4
1 Level
Tabel 2 Ukuran Komponen detil sebelum dan setelah dikuantisasi
Dari  Tabel  2  dapat  diketahui  bahwa  rasio kompresi  citra  dengan  wavelet  Haar  lebih  tinggi dibanding wavelet Daubechies Db4.

## C. Dekompresi (rekonstruksi) Citra
Untuk mengembalikan citra terkompresi ke citra semula adalah dengan melakukan dekantisasi  dan  invers  tyransformasi  wavelet. Hasil dari transformasi wavelet balik dapat dilihat pada Gambar 5b.
Komponen  detil  hasil  proses  dekuantisasi akan  berbeda  dengan  komponen  detil  sebelum kuantisasi. Hal ini terjadi karena pada saat proses kuantisasi  terjadi  pembulatan  ke  bilangan terdekat.  Sehingga  ketika  komponen  detil didekuantisasi, hasilnya tidak sama persis dengan komponen  detil  sebelum  kuantisasi.  Walaupun demikian,  citra  hasil  transformasi  wavelet  balik pada  Gambar  6a  apabila  dibandingkan  dengan citra asli pada Gambar 4, maka terlihat tidak ada perbedaan yang signifikan antara citra asli dengan citra rekonstruksi.
Gambar 6 Transformasi Wavelet Balik (a) Wavelet Haar (b) Wavelet Daubechies Db4

## REFERENSI
[1]  Sonja Grgic, Mislav Grgic, and Branka Zovko- Cihlar  Performance  Analysis  of  Image
Compression Using Wavelets IEEE
Transactions  On  Industrial  Electronics,  Vol. 48, No. 3, June 2001, 682 – 695
[2]  Dahmen,  Wolfgang  c.s.,  “Multiscale  Wavelet Method  for  Partial  differensial  equations”, Academic Pres, 1997.
[3]  Mallat,  Stephanie,  “A  Wavelet  Tour  of  Signal Processing,  2nd  edition,  Academic  Press, 1999.
[4]  Rafiee,  J  c.s.,  “Wavelet  Basis  Functions  In Biomedical  Signal  Processing”,  J.  Rafiee  cs. 2011,  Expert  System  with  Applications  38,
2011, 6190–6201.
[5]  Zhang,  Xiaoqun  c.s.,  “Wavelet  Inpainting  By Nonlocal  Total  Variation”,  Inverse  Problems and Imaging, Volume 4, No. 1, 2010, 191–210.
[6]  Varletti,  Martin  c.s.,  “Fourier  and  Wavelet Signal  Processing”,  Copyright  (c)  2011  by copyright under the Attribution- NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License from Creative Commons.
[7]  Ergun  Gumus  dkk,  “Evaluation  of  Face recognition  Techniques  using  PCA,  Wavelet and  SVM  “,  Journal  of  Expert  Systrem  With Application 37, 2010, (6404 – 6408), Elsivier.
[8]   E. Hernandez and G. Weis, A First Course on Wavelets, CRC Press, New York, 1996.
[9]   Lokenath  Debnath,  Wavelet  Transform  and their Applications, Birkhäuser, Boston-Basel- Berlin, 2002.
[10]Terzija,  Nataša,  Robust  Digital  Image Watermarking  Algorithms  for  Copyright Protection. Universität Duisburg- Essen, 2006
[11]  Graps,  Amara,  An  Introduction  to  Wavelet, Institute  of  Electrical  Electronics  Engineers, 1995.
[12] Gonzalez  RC  et  al,    Digital  Image  Processing Using  Matlab.  New  Jersey:  Pearson  Prentice Hall, 2002.
[13]Sutoyo, T, dkk. 2009, “Teori Pengolahan Citra Digital”, Penerbit Andi.  Yogyakarta hal 9 - 27.