J. of Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 1, No. 1 (2004), 59–62
Penerapan Matriks Transisi Pada Perubahan Fungsi Interpolasi Elemen Hingga

## Kamiran
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

## Abstrak
Sebelum membentuk matriks kekakuan [ K ] { α } = { f } pada metoda elemen hingga, biasanya didahului dengan memilih fungsi interpolasi sebagai pendekatan untuk menyele- saikan setiap persoalan syarat batas. Dan dalam hal ini akan sangat menarik untuk mengkaji adanya perubahan fungsi interpolasi yang dapat dikaitkan dengan perubahan basis sehingga berkaitan dengan matriks transisi ,seperti pada teori aljabar linier.
Kata kunci : matriks kekakuan, fungsi interpolasi, metoda elemen hingga, matriks transisi

## 1 Pendahuluan
Penyelesaian pendekatan dengan metoda ele- men hingga pada persoalan syarat batas untuk bidang rekayasa, seperti; mekanika fluida, distribusi temperatur, serta elastisitas-benda padat dan lain-lain, yang mana biasanya di- awali dengan pemilihan fungsi inteinterpo- lasi. Dan berbagai bentuk fungsi interpolasi ini dapat dilihat pada Segerlin [1]. Selan- jutnya disini akan dikaji adanya keterkaitan dua fungsi interpolasi yang akan dipakai se- bagai penyelesaian pendekatan metoda ele- men hingga pada persoalan elastisitas berdi- mensi satu, sedemikian hingga terbentuk ma- triks kekakuan [ K ] { α } = { f } yang berarti dari fungsi interpolasi pertama U (1) akan didapat matriks kekakuan [ K (1) ] { α (1) } = { f (1) } dan dari fungsi interpolasi kedua U (2) akan didapat matriks kekauan [ K (2) ] { α (2) } = { f (2) } . Ke- mudian akan dicari keterkaitan antara [ K (1) ], { f (1) } dengan [ K (2) ], { f (2) } .

## 2 Permasalahan
Pandang suatu batang pejal yang mengalami gaya tarik p , seperti pada gambar berikut:
p
Gambar 1: Batang mengalami gaya tarik Maka fungsional yang berlaku untuk persoalan seperti diatas [2], adalah:
Z L 0 µ δ du dx ¶ EA µ δ du dx ¶ = 2 Z L 0 AP U dx (1)
dimana A adalah luas penampang lintang batang dan E adalah modulus elastisitas Young. Selanjutnya bila digunakan fungsi in- terpolasi berbentuk
U = [ N ] { a } (2)
dan
dU dx = d [ N ] dx { a } = [ B ] { a } (3)
serta dengan mengasumsikan
δ dU dx = [ B ] t (4)
maka (1) menjadi
Z L 0 [ B ] t EA [ B ] dx { a } = 2 Z L 0 AP [ N ] t dx (5)
persamaan diatas disebut sebagai matriks kekakuan dan dapat ditulis sebagai
[ K ] { a } = { f } (6)
dimana { f } = R L 0 2 AP [ N ] t dx . Selanjutnya yang menjadi permasalahannya adalah apabila digunakan dua fungsi interpolasi yakni
U (1) = a 1 x + a 2 x 2 (7) U (2) = b 1 x + b 2 ( x − x 2 ) (8)
Untuk perhitungan pada Persamaan (6) maka akan dicari keterkaitan dari dua ben- tuk matriks kekakuan yang dihasilkan oleh penggunaan dua fungsi interpolasi tersebut, dan untuk mendapatkan gambaran yang je- las dari persoalan diatas maka dapat diambil contoh kasus sederhana dari aljabar linier el- ementer [3], sebagai berikut: dari Persamaan (6), yaitu: [ K ] { a } = { f } dilakukan perubahan { a } yang berkaitan dengan matriks transisi [ T ] sehingga { a } = [ T ] { b a } dan { f } = [ T ] { b f } dengan demikian maka [ K ] { a } = { f } menjadi [ K ][ T ] { b a } = [ T ] { b f } atau [ T ] − 1 [ K ][ T ] { b a } = { b f } untuk [ b K ] { b a } = { b f } maka didapat [ b K ] = [ T ] − 1 [ K ][ T ].
Contoh: Misal
[ K ] = · 1 1 2 − 1 ¸ , { a } = ½ 1 1 ¾ , { f } = ½ 2 1 ¾
dan diandaikan matriks transisinya adalah
[ T ] = · 1 2 1 3 ¸ maka [ T ] − 1 = · 3 − 2 − 1 1 ¸
sehingga diperoleh
[ b K ] = [ T ] − 1 [ K ][ T ] = · 4 3 − 1 − 4 ¸ { b a } = [ T ] − 1 { a } = ½ 1 0 ¾
dan
{ b f } = [ T ] − 1 { f } = ½ 4 − 1 ¾

## 3 Pembahasan
Masing-masing fungsi interpolasi pada Persa- maan (7) dan (8) akan digunakan pada Persa- maan (6) dan dalam perhitungan ini juga dimisalkan luas permukaan batang diujung kanan adalah dua kali luas permukaan batang diujung kirinya, sehingga persamaan luas pe- nampangnya adalah:
A = ³ 1 + x L ´ A 0 , 0 ≤ x ≤ L
Sehingga untuk Persamaan (7)
U (1) = a 1 x + a 2 x 2 = £ x x 2 ¤ ½ a 1 a 2 ¾
Seperti pada Persamaan (2), didapat h N (1) i = £ x x 2 ¤ (9)
Sehingga untuk Persamaan (7) h B (1) i = [1 2 x ] . (10)
Dengan demikian komponen Persamaan (6) dapat dihitung, sebagai berikut
h K (1) i = Z L 0 h B (1) i t EA h B (1) i dx = EA 0 Z L 0 ³ 1 + x L ´ · 1 2 x 1 2 x ¸ dx = EA 0     3 L 2 5 L 2 3 5 L 2 3 7 L 2 3     n f (1) o = Z L 0 2 AP [ N (1) ] t dx = 2 A 0 P Z L 0 ³ 1 + x L ´ · x x 2 ¸ dx = 2 A 0 P        5 L 2 6 7 L 3 12       
Sehingga menghasilkan matriks kekakuan yang pertama sebagai berikut
[ K (1) ] { a } = { f (1) } (11)
dan penyelesaiannya adalah sebagai berikut
{ a } = P L E      105 78 − 37 52 L     
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
sedangkan untuk Persamaan (8)
U (2) = b 1 x + b 2 ( x − x 2 ) = £ x ¡ x − x 2 ¢¤ ½ b 1 b 2 ¾
Didapat
[ N (2) ] = £ x ¡ x − x 2 ¢¤ (12) [ B (1) ] = [1 (1 − 2 x )] (13)
Maka komponen Persamaan (6) dapat dihi- tung, sebagai berikut
h K (2) i = Z L 0 [ B (2) ] t EA [ B (2) ] dx = EA 0 Z L 0 ³ 1 + x L ´ " 1 (1 − 2 x ) 1 (1 − 2 x ) # dx = EA 0    3 L 2 3 L 2 − 5 L 2 3 3 L 2 − 5 L 2 3 3 L 2 − 10 L 2 3 + 7 L 3 3    dx n f (2) o = Z L 0 2 AP [ N (2) ] t dx = 2 A 0 P Z L 0 ³ 1 + x L ´ ( x x − x 2 ) dx = 2 A 0 P Z L 0        5 L 2 6 5 L 2 6 − 7 L 3 12        dx
sehingga diperoleh matriks kekakuan yang ke- dua, sebagai berikut
h K (2) i { b } = n f (2) o (14)
dan penyelesaiannya, adalah
{ b } = P L E      105 78 − 37 52 L 37 52 L     
Selanjutnya keterkaitan kedua matriks kekakuan tersebut karena adanya perubahan vektor pada Persamaan (9) dan (10) men- jadi Persamaan (12) dan (13) sehingga didapat persamaan
h N (1) i t = [ T ] h N (2) i t (15)
atau ½ 1 2 x ¾ = [ T ] ½ 1 1 − 2 x ¾ h B (1) i t = [ T ] h B (2) i t (16)
atau ( 1 x 2 ) = [ T ] ( 1 x − x 2 )
sehingga dengan menghasilkan matriks transisi
[ T ] = · 1 0 1 − 1 ¸
Selanjutnya pada matriks kekakuan yang pertama atau Persamaan (11), yaitu
h K (1) i { a } = n f (1) o atau Z L 0 h B (1) i t EA h B (1) i dx { a } = 2 Z L 0 AP h N (1) i t dx
substitusikan Persamaan (13) dan (14) se- hingga didapat
Z L 0 [ T ] h B (2) i t A h B (2) i dx [ T ] t { a } = 2 Z L 0 [ T ] AP h N (2) i t dx.
Jika pada kedua ruas pada persamaan diatas dikalikan dengan [ T ] − 1 maka diperoleh
Z L 0 h B (2) i t EA h B (2) i dx [ T ] t { a } = 2 Z L 0 AP h N (2) i t dx.
Bentuk persamaan terakhir ini tampak iden- tik dengan Persamaan (14) atau bentuk persa- maan matrik kekakuan, sehingga diperoleh kenyataan bahwa
{ b } = [ T ] t { a } (17)
Dengan demikian untuk matriks transisi
[ T ] = · 1 0 0 − 1 ¸ dan { a } = P L E      105 78 − 37 52 L     
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
maka
{ b } = [ T ] t { a } = · 1 1 0 − 1 ¸ P L E      105 78 − 37 52 L      = P L E      105 78 − 37 52 L − 37 52 L     

## 4 Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa apabila dua fungsi interpolasi yang
berbeda pada suatu persoalan elemen hingga maka penyelesaiannya akan berkait erat dengan matriks transisi yang bersesuaian dengan perubahan vektor [ N ] dan [ B ].

## Daftar Pustaka
[1] Segerlin, L.J., Applied Finite Element Analysis , John Wiley & Sons, Inc., New York, 1984.
[2] Bathe, K.J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis , Prentice-Hall, Inc.,
New Jersey, 1982
[3] Howard Anton & Chris Rorrer, Elementary Linear Algebra , John Wiley & Sons, Inc., New York, 1991