Implementasi  Persamaan  Diferensial  Model  Logistik  untuk Memprediksi  Tingkat  Pertumbuhan  Kendaraan  Bermotor  di  Kota Pematang Siantar
Sonang Sandika Nauli Simbolon, Juli Antasari Br Sinaga, Debora Exaudi Sirait Universitas HKBP Nommensen Pematang Siantar, Indonesia.
Corresponding Author :        juli.sinaga@uhnp.ac.id

## ARTICLE INFO
Article history:
Received June 15, 2023 Revised July 14, 2023 Accepted August 1, 2023

## ABSTRACT
The  growth  of  the  motorized  vehicle  population  is  continuous,  which means that the growth in the time is not broken. The logistic model is a refinement  of  the  exponential  model  put  forward  by  Malthus  and  the logistic model is also considered to get predictive results that are closer to the  actual  data.  This  study  aims  to  the  describe  the  determinants  of  the growth rate of motorized vehicles in Pematang Siantar City. The subject of this research is data of motorized from 2017-2020. Based on the results of this study, the carrying capacity is 112.680. The author can draw that the conclusion of the MAPE value model from each model to find out the value that is closest to the actual value, namely the logistic model with k=0,249895 which  is  the  most  accurate  compared  to  the  other  models,  resulting  in sellers Pt)=112.680/((6,518516) e^(-(0,249895)t)+1) and based on this model the authors look for the growth value of motorized vehicles in thr 2024 with a value of t=7 producing 52.812,61 units
Keywords : Diferential Equation, Logistics Model, Groeth Rate Journal Homepage
https://www.attractivejournal.com/index.php/aj/ This is an open access article under the CC BY SA license https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ Published by CV. Creative Tugu Pena

## PENDAHULUAN
Pertumbuhan  populasi  kendaraan  bersifat  kontinu,  yang  artinya  pertumbuhan waktu tanpa putus. Ada dua model yang digunakan dalam menentukan pertumbuhan populasi  yang  sifatnya  kontinu  dapat  digunakan  model    eksponensial  dan  model logistik  sebagaimana  yang  dikemukakan  oleh  (Iswanto,  2012).    Model  logistik merupakan penyempurnaan dari model eksponensial yang dikemukakan oleh Malthus dan  model  populasi  logistik  ini  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Pierre  Francois Verhulst  pada  tahun  1838.  Model  logistik juga sampai  saat  ini  masih  dianggap  lebih mendapatkan hasil prediksi yang lebih mendekati data sebenarnya(Pandu, 2020).
Banyaknya  jumlah  kendaraan  bermotor  dikota  Pematang  Siantar,  dikarenakan adanya  kemudahan  sistem  kredit  dalam  pembelian  kendaraan  bermotor  tersebut, sedangkan  faktor  lainnya  yaitu  masuknya  kendaraan  yang  dibeli  dari  luar  kota Pematang Siantar atau mutasi masuk. Selain ihal tersebut pertumbuhan ekonomi juga mempengaruhi  tingkat  pertumbuhan  kendaraan  bermotor,  dimana  semakin  tinggi pertumbuhan ekonomi maka semakin banyak orang yang mampu membeli kendaraan bermotor (Budihardjo, 2015 ). Berdasarkan data yang diperoleh dari BPS kota Pematang Siantar total kendaraan bermotor yang terdaftar pada tahun 2020 mencapai 27.617 unit yang terdiri dari empat jenis penggolongan mobil penumpang, mobil bus, mobil truk,

## Attractive : Innovative Education Journal
dan sepeda motor (bps.go.id, 2020). Laju pertumbuhan kendaaraan bermotor dari tahun 2019  hingga  tahun  2020  mengalami  kenaikan,  tentunya  berbagai  pihak  perusahaan kendaraan bermotor juga harus dapat memprediksi jumlah stok persediaan kendaraan bermotor  ditahun  yang  akan  datang  dengan  mengacu  pada  tingkat  pertumbuhan kendaraan bermotor tersebut. Agar tidak mengalami kerugian jika stoknya berlebihan, dan tidak terjadi kekurangan jika stoknya sedikit. (Noviana, 2021).

## 1. Landasan Teori
Persamaan  diferensial  sering  muncul  dalam  model  matematika  yang  berupaya menggambarkan  situasi  dunia  nyata.  Banyak  hukum  alam  dan  hipotesis  dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung turunan menggunakan bahasa matematika. Misalnya, turunan muncul dalam fisika sebagai kecepatan dan percepatan, dalam  biologi  sebagai  laju  pertubuhan  populasi,  dalam  psikologi  sebagai  laju pembelajaran,  dan  dalam  keuangan  sebagai  laju  pertumbuhan  investasi  (Nuraeni  , 2017). Model logistik merupakan solusi dari persamaan diferensial biasa non linear orde pertama yang sederhana. Model logistik ini juga modifikasi dari model yang ditemukan oleh  Malthus  yaitu  model  eksponensial.  Pierre  Francois  Verhulst  pertama  kali memperkenalkan persamaan logistik pada tahun 1838. Murtafia, dkk (2018)
Model pertumbuhan logistik mempertimbangkan faktor pertumbuhan intrinsik (intrinsic growth) dan kapasitas batas ( carrying capacity) oleh lingkungan tempat dimana populasi tersebut hidup (Lipkin dan Smith, 2006). menurut Pratiwi (2020); Kosala (2000) mengatakan  bahwa  model  pertumbuhan  logistik  bahwa  persediaan  logistik  ada batasnya, model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Bentuk umum dari model pertumbuhan logistik adalah :
𝑑𝑃 𝑑𝑡 =  𝑘𝑃 ( 𝑃 𝐶 ) (2.1)
Keterangan :
𝑃 : Jumlah populasi saat t 𝑘 : Laju pertumbuhan intrinsik 𝐶 : Carrying Capacity Dengan memisahkan kedua peubah dalam Persamaan (2.1) seperti berikut : 𝑑𝑃 𝑃(1− 𝑃 𝐶 ) = 𝑘 𝑑𝑡
dan kemudian mengintegralkan kedua ruas, maka diperoleh penyelesaian umum : 𝑑𝑃 𝑃(1− 𝑃 𝐶 ) = 𝑘 𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑃 𝑃(1− 𝑃 𝐶 ) =   ∫ 𝑘 𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑃 𝑃− 𝑃2 𝐶 =   ∫ 𝑘 𝑑𝑡 ∫ 𝐶𝑑𝑃 𝐶𝑃−𝑃 2 =   ∫ 𝑘 𝑑𝑡 ln 𝑃 − ln(𝐶 − 𝑃) = 𝑘𝑡 + 𝑐 ln ( 𝑃 𝐶−𝑃 ) = 𝑘𝑡 + 𝑐 𝑃 𝐶−𝑃 =   𝑒 𝑘𝑡+𝑐
𝑃 =   𝑒 𝑘𝑡+𝑐 (𝐶 − 𝑃) 𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡+𝑐 − 𝑃𝑒 𝑘𝑡+𝑐 𝑃 + 𝑃𝑒 𝑘𝑡+𝑐 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡+𝑐
𝑃(1 + 𝑒 𝑘𝑡+𝑐 ) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡+𝑐
𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡+𝑐 1+𝑒 𝑘𝑡+𝑐
(2.2)
Dari  persamaan  (2.2)  jika  diberikan  nilai  awal 𝑡 = 0 dan 𝑃(0) =   𝑃 0 kemudian disubstitusikan ke dalam (2.2) maka akan diperoleh nilai 𝑐 = ln ( 𝑃 0 𝐶−𝑃 0 ) selanjutnya nilai c tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan (2.2), sehingga diperoleh solusi khusus dari model logistik seperti berikut :
𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡+ln( 𝑃0 𝐶−𝑃0 )
1+ 𝑒 𝑘𝑡+ln( 𝑃0 𝐶−  𝑃0 ) 𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡+( 𝑃0 𝐶−𝑃0 )
1 +   𝑒 𝑘𝑡+( 𝑃0 𝐶−  𝑃0 )
𝑃 =
𝐶𝑒𝑘𝑡𝑃0 𝐶− 𝑃0 𝐶−𝑃0+𝑒𝑘𝑡 𝑃0 𝐶−𝑃0
𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 𝑃 0 𝐶−𝑃 0 + 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 0 𝑃 = 𝐶𝑃 0 (𝐶−𝑃 0 + 𝑒 𝑘𝑡 𝑃 0 ) 𝑒 −𝑘𝑡
𝑃 = 𝐶 𝑃 0 𝐶𝑒 −𝑘𝑡 − 𝑃 0 𝑒 𝑘𝑡 + 𝑃 0 𝑃 = 𝐶 ( 𝐶 𝑃0 𝑒 −𝑘𝑡 − 𝑒 −𝑘𝑡 +1)
Maka diperoleh persamaan solusi khusus dari model logistik :
𝑃 = 𝐶 𝑒 −𝑘𝑡 ( 𝐶 𝑃0 −1)+1
(2.3)
Jika Persamaan (2.3) dilimitkan 𝑡 → ∞ , didapatkan ( untuk k > 0):
𝑁 𝑚𝑎𝑥 =   lim 𝑡→∝ 𝑁 = 𝐶 = 𝑎 𝑏
(2.4)
Bedasarkan  penjelasan  Verhulst,  bahwa  tingkat  pertumbuhan  dan  daya tampung (carrying  capacity) dapat  diperkirakan  dengan  rentang  waktu  pengambilan data  yang  diinginkan.  Dalam  penelitian  ini  dilakukan  beberapa  perkiraan  laju pertumbuhan  dan  daya  tampung  berdasarkan  interval  waktu  pengambilan  ampel untuk kemudian dilakukan analisis terhadap model.
Model  logistik  pada  penelitian  ini  menggunakan  interval  waktu  yaitu  yang pertama dengan menggunakan tiga tahun pertama. Jika 𝑃 0 adalah jumlah pada saat 𝑡 = 0, 𝑃 1 pada saat waktu 𝑡 = 1, dan 𝑃 2 pada waktu 𝑡 = 2 , maka dari persamaan (2.4) dapat diperoleh :
• Untuk 𝑡 = 1 ,
𝑃 1 = 𝑎 𝑏 𝑒 −𝑘(1) ( 𝑎 𝑏 𝑃0 −1)+1
𝑃 1 = 𝑎𝑏𝑃 0 𝑏(𝑏𝑃 0 +𝑎𝑒 −𝑘 −𝑏𝑃 0 𝑒 −𝑘 ) 1 𝑃 1 = 𝑏𝑃 0 +𝑎𝑒 −𝑘 −𝑃 0 𝑒 −𝑘 𝑎𝑃 0 1 𝑃 1 = 𝑏 𝑎 + 𝑒 −𝑘 𝑃 0 − 𝑏𝑃 0 𝑒 −𝑘 𝑎𝑃 0 1 𝑃 1 = 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑘 ) + 𝑒 −𝑘 𝑃 0 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑘 ) = 1 𝑃 1 − 𝑒 −𝑘 𝑃 0 (2.5)
• Untuk 𝑡 = 2,
𝑃 2 = 𝑎 𝑏 𝑒 −𝑘(2) ( 𝑎 𝑏 𝑃0 −1)+1
𝑃 2 = 𝑎𝑏𝑃 0 𝑏(𝑏𝑃 0 +𝑎𝑒 −𝑘 −𝑏𝑃 0 𝑒 −2𝑘 ) 1 𝑃 2 = 𝑏𝑃 0 +𝑎𝑒 −𝑘 −𝑏𝑃 0 𝑒 −2𝑘 𝑎𝑃 0 1 𝑃 2 = 𝑏 𝑎 + 𝑒 −𝑘 𝑃 0 − 𝑏𝑃 0 𝑒 −2𝑘 𝑎𝑃 0 1 𝑃 2 = 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑘 ) + 𝑒 −2𝑘 𝑃 0 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑘 ) = 1 𝑃 2 − 𝑒 −𝑘 𝑃 0 (2.6)
Untuk  mengeliminasi 𝑏 𝑎 , dilakukan  pembagian  Persamaan  (2.6)  oleh  Persamaan  (2.5) maka diperoleh:
𝑏 𝑎 (1−𝑒 −𝑘 )= 1 𝑃2 − 𝑒−2𝑘 𝑃0 𝑏 𝑎 (1−𝑒 −𝑘 )= 1 𝑃1 − 𝑒−𝑘
𝑃0
1 +   𝑒 −𝑘 = 1 𝑃2 − 𝑒−2𝑘 𝑃0 1
𝑃1 − 𝑒−𝑘 𝑃0 1 +   𝑒 −𝑘 = 𝑃0− 𝑃2𝑒−2𝑘 𝑃0𝑃2 𝑃0− 𝑃1𝑒−2𝑘 𝑃0𝑃1 1 +   𝑒 −𝑘 = 𝑃 0 𝑃 1 (𝑃 0 − 𝑃 2 𝑒 −2𝑘 ) 𝑃 0 𝑃 2 (𝑃 0 − 𝑃 1 𝑒 −𝑘 ) z 𝑒 −𝑘 = 𝑃 0 𝑃 1 − 𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −2𝑘 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 −   ( 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 ) 𝑒 −𝑘 (𝑃 0 𝑃 2 −   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 ) =   𝑃 0 𝑃 1 −   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −2𝑘 − (𝑃 0 𝑃 2 −   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 ) 𝑃 0 𝑃 2 𝑒 −𝑘 −   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −2𝑘 = 𝑃 0 𝑃 1 −   𝑃 1 𝑃 1 𝑒 −2𝑘 − (𝑃 0 𝑃 2 −   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 )
𝑃 0 𝑃 2 𝑒 −𝑘 −   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 =   𝑃 0 𝑃 1 −   𝑃 0 𝑃 2 −𝑃 0 𝑃 2 𝑒 −𝑘 +   𝑃 1 𝑃 2 𝑒 −𝑘 =   −𝑃 0 𝑃 1 +   𝑃 0 𝑃 2 𝑒 −𝑘 (𝑃 1 𝑃 2 +   𝑃 1 𝑃 2 ) =   − 𝑃 0 𝑃 1 +   𝑃 0 𝑃 2 𝑒 −𝑘 = 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 1 𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 2 𝑒 −𝑘 = 𝑃 0 (𝑃 2 − 𝑃 2 ) 𝑃 2 (𝑃 1 − 𝑃 0 ) (2.7)
𝑘 = ln [ 𝑃 0 (𝑃 2 −   𝑃 1 ) 𝑃 2 (𝑃 1 −   𝑃 0 ) ]
Substitusi Persamaan (2.7) ke (2.5), maka :
𝑏 𝑎 (1 − 𝑃 0 (𝑃 2 − 𝑃 1 ) 𝑃 2 (𝑃 1 − 𝑃 0 ) ) = 1 𝑃 1 −
𝑃0(𝑃2− 𝑃1) 𝑃2(𝑃1− 𝑃0) 𝑃 0 𝑏 𝑎 ( 𝑃 2 ( 𝑃 1 − 𝑃 0 ) 𝑃 2 (𝑃 1 − 𝑃 0 ) − 𝑃 0 (𝑃 2 − 𝑃 1 ) 𝑃 2 ( 𝑃 1 − 𝑃 0 ) ) = 𝑃 2 (𝑃 1 − 𝑃 0 )− 𝑃 1 (𝑃 2 − 𝑃 1 ) 𝑃 1 𝑃 2 ( 𝑃 1 − 𝑃 0 )
𝑏 𝑎 = 𝑃2( 𝑃1− 𝑃0)− 𝑃1(𝑃2− 𝑃1) 𝑃1𝑃2(𝑃1− 𝑃0) 𝑃2(𝑃1− 𝑃0)− 𝑃0(𝑃2− 𝑃1) 𝑃2(𝑃1− 𝑃0) 𝑏 𝑎 = 𝑃 2 (𝑃 1 − 𝑃 0 )[𝑃 2 ( 𝑃 1 − 𝑃 0 )− 𝑃 1 (𝑃 2 − 𝑃 1 )] 𝑃 1 𝑃 2 (𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 2 + 𝑃 0 𝑃 1 ) 𝑏 𝑎 = 𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 1 𝑃 2 + 𝑃 1 2 𝑃 1 (𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 2 − 𝑃 0 𝑃 2 + 𝑃 0 𝑃 1 ) 𝑏 𝑎 = 𝑃 1 2 − 𝑃 0 𝑃 2 𝑃 1 (𝑃 0 𝑃 1 −2𝑃 0 𝑃 2 + 𝑃 1 𝑃 2 )
𝑎 𝑏 = 𝑃 1 (𝑃 0 𝑃 1 −2𝑃 0 𝑃 2 + 𝑃 1 𝑃 2 )
𝑃 1 2 − 𝑃 0 𝑃 2 (2.8)
Sehingga  persamaan  daya  tampung  (carrying  capacity  )  dapat  dituliskann menjadi:
𝑁 𝑚𝑎𝑥 =   lim 𝑡→∞ 𝑁 = 𝐶 = 𝑃 1 ( 𝑃 0 𝑃 1 −2 𝑃 0 𝑃 2 + 𝑃 1 𝑃 2 ) 𝑃 1 2 − 𝑃 0 𝑃 2 (2.9)
persamaan (2.9) merupakan rumus untuk mencari nilai daya tampung.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan  data  yang  diperoleh  dari  Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Kota Pematang Siantar yaitu berupa data jumlah kendaraan di Kota Pematang Siantar tahun 2017 samapi 2020, disajikan sebagaii berikut:
Tabel 1. Jumlah Kendaraan Bermotor yang Terdaftar di Kota Pematang Siantar

## Sumber : Badan Pusat Statisik (BPS) Kota Pematang Siantar
Dari tabel diatas agar mengetahui seberapa besar peningkatan jumlah kendaran bermotor setiap tahunnya maka penulismenyajikan data dalam bentuk grafik eperi pada grafik 1.

## Gambar 1. Grafik Peningkatan Jumlah Kendaraan Bermotoe di Kota Pematang Siantar
Dari grafik terlihat bahwa jumlah kendaraan bermotor di Kota Pematang Siantar pada tahun  2020  mengalami  peningkatan  yang  cukup  jauh  dari  tahun  sebelumnya  yaitu mencapai 27.617 unit  meskipun sempat mengalami penurunan di tahun 2018. Untuk mencari  daya  tampung  (carrying  capacity)  akan  diambil  data  jumlah  kendaraan bermotor dalam tahun 2017 (𝑃 0 ) = 14.987 , tahun 2018 (𝑃 1 ) = 14.355 dan tahun 2019 (𝑃 2 ) = 19.129 .  Untuk  memperoleh  nilai  daya  tampung  digunakan  persamaan  (2.9) solusi khusus yang disajikan  pada bab 2.Maka diperoleh :
𝐶 = 𝑃 1 ( 𝑃 0 𝑃 1 −2 𝑃 0 𝑃 2 + 𝑃 1 𝑃 2 ) 𝑃 1 2 − 𝑃 0 𝑃 2 (4.1)
Dengan mensubstitusikan nilai jumlah kendaraan bermotor diatas ke persamaan (4.1) diperoleh :
𝐶 = 14.355((14.987)(14.355)−2 (14.987)(19.129)+(14.355)(19.129)
(14.355) 2 −(14.987)(19.129) 14987 14355 19089 27617 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 2017 2018 2019 2020 Tahun
Mobil Penumpang Mobil Bus Mobil Barang Sepeda Motor Total (Unit) 2017 877 64 646 13.400 14.987 2018 985 66 678 12.626 14.355 2019 1.563 87 950 16.529 19.129 2020 2.937 229 1.557 22.894 27.617

## 𝐶 = 112.680
Maka  daya  tampung  kendaraan  bermotor  di  Kota  Pematang  Siantar  diperkirakan berjumlah 112.680 unit.
Sesuai dengan kajian teori yang ada  persamaan (2.3) digunakan untuk memprediksi jumlah kendaraan bermotor, disajikan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
𝑃(𝑡) = 𝐶
𝑒 −𝑘𝑡 ( 𝐶 𝑃0 −1)+1
(4.2)
Dimana 𝐶 adalah daya tampung (𝐶) dan jumlah kendaraan bermotor pada tahun 2018 (𝑃 0 ) ke dalam persamaan (4.2) akan diperoleh persamaan logistik umum sebagai berikut :
𝑃(𝑡) = 112.680 (6,518516)𝑒 −𝑘𝑡 +1 (4.3)
Selanjutnya Persamaan (4.3) akan digunakan sebagai acuan untuk membentuk model pertumbuhan pertahunnya. Untuk mengetahui nilai laju pertumbuhan (𝑘) per tahun yaitu dengan mensubstitusikan jumlah populasi 𝑃(𝑡) ke Persamaan (4.3). Setelah nilai laju pertumbuhan (𝑘) diketahui, kemudian akan dibentuk model pertumbuhan logistik per tahunnya yang akan penulis jelaskan pada bagian berikut :
𝑃(𝑡) = 112.680 (6,518516)𝑒 −(−0,040370)𝑡 +1
𝑃(𝑡) = 112.680
6,518516𝑒 −(0,143673)𝑡 +1 𝑃(𝑡) =
112.680
(6,518516)𝑒 −0,249895𝑡 +1 Hasil prediksi persamaan (4.2) dengan berbagai nilai 𝑘 berdebda dapat dilihat secara jelas pada tabel 2
Tabel 2. Hasil prediksi model pertumbuhan dengan nilai 𝒌 berbeda Tahun Data Sebenarnya 𝒌 = −𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟑𝟕𝟎 𝒌 = 𝟎, 𝟏 43673 𝒌 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟗𝟖𝟗𝟓 2017 14.987 14.987 14.987 14.987 2018 14.355 14.470,17 16.954,17 18.541,56 2019 19.129 13.968,2 19.129 22.742,91 2020 27.617 13.482,06 21.520,09 27.617
Agar kenaikan nilai prediksi model logistik dengan nilai 𝑘 berbeda lebih jelas, dapat dilihat grafiknya pada gambar 2.
Gambar 2. Grafik hsil daa sebenarnya dan berdasarkan perbedaan nilai 𝑘
Pada model dengan 𝑘 = −0,040370 diperoleh nilai 𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝑃𝐸 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 𝑛 = |4| 3 = 1,3%
Pada model dengan 𝑘 =  0,143673 diperoleh nilai 𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝑃𝐸 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 𝑛 = |4| 3 = 1,3%
Pada model dengan 𝑘 =  0,249895 diperoleh nilai 𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝑃𝐸 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 𝑛 = |45| 3 = 15,6%
Setelah menghitung prediksi model logistik dari semua perbedaan nilai 𝑘 maka penulis  menggunakan model  dengan  nilai 𝑘 = 0,24985 karena  model  dengan nilai 𝑘 tersebut adalah yang paling diasumsikan lebih mendekati realita/data sebenarnya dari jumlah kendaraan bermotor.
Tahun 2024 (t=7)
𝑃(5) = 112.680 (6,518516)𝑒 (0,249895)(7) +1 = 52.812,61 unit Hasil  perhitungan  prediksi  jumlah  populasi  dengan  menggunakan  model logistik akan terus meningkat setiap tahunnya seperti tabel 3.
Tabel 3. Hasil perhitungan prediksi jumlah populasi dengan Model Logistik
Tahun Hasil Prediksi 2021 33.150,58 2022 39.280,93 2023 45.890,79 2024 52.812,61
Lebih jelasnya grafik peningkatan jumlah populasi kendaraan bermotor di Kota Pematang Siantar hingga tahun 2024 disajikan pada grafik berikut :
0 5,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000 2017 2018 2019 2020 k=-0,040370 k=0,143673 k= 0,249895 data sebenarnya

## Gambar 3. Grafik hasil prediksi model logistik di tahun mendatang

## KESIMPULAN
Dari  pembahasan  sebelumnya  telah  dijelaskan  hasil  penelitian  tentang penerapan  model  logistik  untuk  memprediksi  tingkat  pertumbuhan  kendaraan bermotor di Kota Pematang Siantar, sehingga dapat disimpulkan bahwa:. Model logisik yang  akan  digunakan  untuk  memprediksi  pertumbuhan  kendaraan  bermotot  yaitu model dengan nilai 𝑘 = 0,249895 dengan rumus 𝑃(𝑡) = 112.680 (6,518516)𝑒 (0,249895)(𝑡) +1 berdasarkan model logistik diprediksi jumlah kendaraan bermotor di Kota Pematang Siantar untuk tahun 2024 yaitu 52.812,16 unit.

## REFERENSI
Bps.go.id.  (2020). Jumlah  Kendaraan  Bermotor  Kab/Kota  dan  Jenis  Kendaraan  di  Provinsi Sumatera Utara (unit), 2020 . Retrieved from: https://www.bps.go.id/indikator/indikator/view_data_pub/1200/api_pub/
V2w4dFkwdFNLNU5mSE95Und2UDRMQT09/da_10/1
Budihardjo,  E.  (2015) .  Kota  dan  Lingkungan  Pendekatan  Baru  Masyarakat  Berwawasan Ekologi . Cetakan Kedua, Jakarta: LP3ES Indonesia.
Iswanto,  R.  J.  (2012). Pemodelan  Matematika  Aplikasi  dan  Terapannya .  Graha  Ilmu, Yogyakarta.
Kosala,  D.  P.  (2000).  Model  Pertumbuhan  Populasi  dengan  Menggunakan  Model Pertumbuhan Logistik. Majalah Matematika dan Statistika , Vol.1, No. 1, pp. 21-29. Lipkin,  L.  and  Smith,  D.  (2006). Logistic  Growth  Model .  Retrieved  From  : http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/logistic/logi1.h tml . Murtafi’ah,  W.  dan  Apriandi,  D.  (2018). Persamaan  Diferensial  Biasa  dan  Aplikasinya . UNIPMA  Press,  Madiun.  ISBN  978-602-0725-06-2.  Retrieved  from: http://eprint.unipma.ac.id/75/
Noviana, R. (2021). Modul Persamaan Diferensial: Persamaan Diferensial Orde Satu . Jakarta: Universitas Kristen Indonesia. Retrieved from: http://repository.uki.ac.id/6148/1/PersamaanDiferensialOrdeSatu
Nuraeni,  Z.  (2017).  Aplikasi  Persamaan  Diferensial  dalam  Estimasi  Jumlah Populasi. Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika , 5 (1), 9-16.
Pandu, Y. K. (2020). Prediksi Penduduk Kabupaten Alor Dengan Menggunakan Model Pertumbuhan  Logistik  Pada  Beberapa  Tahun  Mendatang. Asimtot:  Jurnal Kependidikan Matematika , 2 (1), 71-81.
33,150.81 39,280.93 45,890.79 52,812.61 0.00 10,000.00 20,000.00 30,000.00 40,000.00 50,000.00 60,000.00 2021 2022 2023 2024 Unit
Pratiwi,  C.  D.  (2020).  Aplikasi Persamaan  Diferensial  Model Populasi  Logistik untuk Mengestimasi Penduduk di Kota Balikpapan. Jurnal AdmathEdu , 10(1), 63-76.
Copyright Holder : © Sonang Sandika Nauli Simbolon, et al., (2023).
First Publication Right : © Attractive : Innovative Education Journal
This article is under: