## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i1.8699
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
Resmawan 1* , Agusyarif Rezka Nuha 2 , Lailany Yahya 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Gorontalo, Jl. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango 96119, Gorontalo, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: resmawan@ung.ac.id

## ABSTRAK 1
Makalah  ini  membahas  dinamika  transmisi  COVID-19  dengan  melibatkan  intervensi karantina.  Model  dikonstruksi  dengan  melibatkan  tiga  kelas  penyebab  infeksi,  yaitu  kelas manusia terpapar, kelas manusia terinfeksi tanpa gejala klinis, dan kelas manusia terinfeksi disertai gejala klinis. Variabel yang merepresentasikan intervensi karantina untuk menekan pertumbuhan  infeksi  juga  dipertimbangkan  pada  model.  Selanjutnya,  analisis  model difokuskan  pada  eksistensi  titik  kesetimbangan  dan  simulasi  numerik  untuk  menunjukkan dinamika populasi secara visual. Model yang dikonstruksi membentuk model SEAQIR yang memiliki  dua  titik  kesetimbangan,  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik kesetimbangan endemik. Analisis kestabilan menunjukkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit  bersifat  stabil  asimtotik  lokal  pada  saat 𝑅 0 < 1 dan  tidak  stabil  pada  saat 𝑅 0 > 1 . Simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  peningkatan  intervensi  berupa  karantina  dapat berkontribusi  memperlambat  transmisi  COVID-19  sehingga  diharapkan  dapat  mencegah terjadinya wabah pada populasi.
Kata Kunci: Analisis Dinamik; Transmisi COVID-19; Titik kesetimbangan; Karantina

## ABSTRACT
This paper discusses the dynamics of COVID-19 transmission by involving quarantine interventions. The model was constructed by involving three classes of infectious causes, namely the exposed human class,  asymptotically  infected  human  class,  and  symptomatic  infected  human  class.  Variables  were representing quarantine interventions to suppress infection growth were also considered in the model. Furthermore, model analysis is focused on the existence of equilibrium points and numerical simulations to visually showed population dynamics. The constructed model forms the SEAQIR model which has two equilibrium points, namely a disease-free equilibrium point and an endemic equilibrium point. The stability  analysis  showed  that  the  disease-free  equilibrium  point  was  locally  asymptotically  stable  at 𝑅 0 < 1 and unstable at 𝑅 0 > 1 . Numerical simulations showed that increasing interventions in the form of quarantine could contribute to slowing the transmission of COVID-19 so that it is hoped that it can prevent outbreaks in the population.
Keywords: Dynamic Analysis; COVID-19 Transmission; Equilibrium Point; Quarantine

## Format Sitasi:
R. Resmawan, A.R. Nuha and L. Yahya, “ Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina, ” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 1, pp. 66-79, 2021
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 R. Resmawan, A.R. Nuha, L. Yahya | Under the licence CC BY-NC 4.0
Received: 16 December 2020 | Accepted: 28 December 2020 | Online: 2 January 2021

## Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina

## 1.  Pendahuluan
Coronavirus Disease adalah penyakit menular yang disebabkan oleh jenis virus corona yang  baru  ditemukan  di  Wuhan,  Provinsi  Hubei,  China  pada  Desember  2019  [1]. Penelitian telah menunjukkan bahwa penyakit ini disebabkan oleh sindrom pernapasan akut parahcoronavirus 2 (SARS-CoV-2) yang kemudian diberi nama Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) oleh World Health Organization (WHO) [2][3]. Pasien dengan COVID- 19 memiliki gejala seperti demam, batuk kering, dan kelelahan pada tahap awal, dan kemudian  dapat  mengembangkan  gangguan  pernapasan  akut  (ARDS),  gagal pernapasan, syok, dan beberapa organfailure, yang mungkin fatal [3][4]. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pasien dengan gejala ringan membutuhkan waktu seminggu atau lebih untuk pulih, sementara kasus yang parah secara bertahap mengalami kegagalan pernapasan  yang  dapat  menyebabkan  kematian  [5].  Tingkat  penularan  yang  sangat tinggi  menyebakan  WHO  menetapkan  kasus  ini  sebagai  pandemi  sejak  awal  2020. Bahkan penularan COVID-19 lebih tinggi dibandingkan dengan SARS-CoV, MERS-CoV dan  sejauh  ini  telah  mengakibatkan  lebih  dari  1  juta  kematian  di  seluruh  dunia  [6]. Tingginya  kasus  kematian  dari  COVID-19  menyebabkan  semua  negara  dan  berbagai kalangan  terlibat  aktif  untuk  berkontribusi  menemukan  solusi  yang  tepat  dalam penanganannya,  termasuk  dalam  hal  ini  pakar-pakar  pemodelan  matematika  dari berbagai  negara.  Pemodelan  matematika  termasuk  salah  satu  alat  utama  dalam perencanaan  epidemik  yang  dapat  membantu  mempermudah  penyelesaian  masalah COVID-19.  Melalui  pemodelan  matematika,  dapat  diidentifikasi  hubungan  transmisi COVID-19  dengan  berbagai  parameter  epidemiologi,  yang  dapat  membantu  dalam perencanaan dan mempertimbangkan langkah-langkah pengendalian yang tepat.
Pembahasan COVID-19 dalam sudut pandang pemodelan matematika hingga saat ini masih  terus  dikembangkan.  Sejak  awal  kasus  ini  terjadi,  berbagai  model  telah dikonstruksi, termasuk yang melibatkan variabel reservoir yang menandai awal mula virus menjangkiti manusia [7]-[11], model yang membahas perbandingan kasus COVID- 19 dengan kasus MERS yang pernah terjadi di negara-negara timur tengah dan Korea [12],  dan  beberapa  kajian  yang  dilakukan  untuk  melakukan  prediksi  terhadap  kasus yang akan tejadi [13][14]. Beberapa model lain yang membahas optimal kontrol dapat ditemukan  pada  [15] – [17].  Beberapa  model  sebelumnya  menjelaskan  bahwa  proses penularan  penyakit  diakibatkan  oleh  adanya  kontak  dari  individu  terinfeksi  disertai gejala klinis maupun terinfeksi tanpa gejala klinis dengan individu rentan. Sementara itu, beberapa kasus harian yang dilaporkan penularan virus dapat terjadi dari individu terpapar (masa inkubasi) ke individu rentan [18].
Pada  makalah  ini,  diperkenalkan  model  matematika  penyebaran  COVID-19  dengan mempertimbangkan penyebab infeksi yang terdiri atas tiga subpopulasi yaitu manusia terpapar  dalam  masa  inkubasi,  manusia  terinfeksi  tanpa  gejala  klinis,  dan  manusia terinfeksi  disertai  gejala  klinis.  Disamping  itu,  variabel  reservoir  yang  banyak digunakan  pada  model-model  sebelumnya  diabaikan.  Variabel  reservoir merepresentasikan suatu tempat yang menjadi awal mula virus berpindah ke manusia. Adapun saat ini, penyakit sudah mewabah sehingga pembahasan difokuskan pada pola penyebaran virus melalui interaksi antar sesama manusia. Selain itu, manusia terpapar yang  masih  dalam masa  inkubasi,  diasumsikan dapat  menularkan  virus  secara  tidak sadar  jika  berinteraksi  dengan  manusia  rentan,  dimana  asumsi  ini  juga  belum dipertimbangkan  pada  model  sebelumnya.  Hal  ini  perlu  dipertimbangkan  karena diduga penyebaran kasus banyak terjadi melalui individu terpapar karena tidak adanya

## R. Resmawan, et.al
gejala  apapun  yang  terdeteksi.  Lebih  lanjut,  modifikasi  dilakukan  dengan menambahkan parameter yang mewakili kasus kematian yang disebabkan karena virus, melihat  realita  banyaknya  kasus  kematian  karena  COVID-19.  Kasus  kematian diasumsikan terjadi pada kelompok individu terinfeksi yang disertai gejala klinis.
Pada  bagian  analisis,  kami  fokus  membahas  tentang  eksistensi  titik  kesetimbangan beserta  kestabilannya.  Pembahasan  ini  melanjutkan  kajian  kami  sebelumnya  terkait analisis sensitifitas yang menunjukkan bahwa  parameter intervensi  berupa karantina memiliki  indeks  sensitifitas  yang  tinggi  pada  transmisi  COVID-19  [19].  Pada  bagian akhir  diberikan  simulasi  untuk  menunjukkan  secara  visual,  dinamika  populasi  dan kontribusi intervensi karantina dalam menekan laju transmisi COVID-19.

## 2.  Metode
Metode yang digunakan dalam penelitian adalah studi literatur yang bertujuan untuk membangun  model  matematika  yang  merepresentasikan  dinamika  populasi  pada proses  transmisi  COVID-19.  Model  yang  dibahas  pada  penelitian  ini  adalah  model matematika  penyebaran  COVID-19  tipe  SEAQIR.  Model  tersebut  dikontruksi berdasarkan  asumsi  yang  sebagian  telah  dipaparkan  dibagian  awal  artikel.  Populasi manusia  pada  model  ini  terbagi  atas  enam  kelas  yaitu,  manusia  rentan (𝑆) ,  manusia terpapar dalam masa inkubasi (𝐸) , manusia terinfeksi tanpa gejala klinis (𝐴) , manusia yang dikarantina (𝑄) , manusia  terinfeksi  disertai  gejala  klinis (𝐼) , dan  manusia  yang pulih dari COVID-19 (𝑅) .
Jumlah individu pada setiap kelas populasi dalam rentang waktu 𝑡 adalah 𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐴(𝑡), 𝑄(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) . Adapun total inidividu pada populasi manusia dinotasikan dengan 𝑁 serta memenuhi 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐴(𝑡) + 𝑄(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) = 𝑁. Beberapa pertimbangan atau batasan kami dalam merumuskan model matematika penyebaran COVID-19 kami rincikan sebagai berikut:
1. Laju rekrutmen kelahiran hanya ditujukan pada populasi 𝑆, dimana setiap individu yang baru lahir akan dimasukkan kedalam kelas manusia rentan.
2. Tingkat kematian terdiri atas tingkat kematian alami yang ditujukan kepada seluruh kelas  populasi  dan  tingkat  kematian  disebabkan  oleh  COVID-19  yang  hanya ditujukan pada populasi 𝐼 .
3. Penularan COVID-19 terjadi ketika adanya kontak antara individu pada populasi 𝑆 dengan individu pada populasi 𝐸 , individu pada populasi 𝐴 , atau individu pada populasi 𝑄.
4. Sebagian dari individu pada populasi 𝐸 akan melewati masa inkubasi dan masuk kedalam populasi 𝐴 atau populasi 𝐼 .
5. Individu yang dikarantina (𝑄) adalah individu yang berasal dari populasi 𝐸. Dengan kata lain proses karantina hanya diberlakukan pada populasi manusia terpapar.
6. Sebagian  dari  individu  yang  dikarantina  dapat  melewati  masa  inkubasi  dan berpindah ke populasi 𝐼 .
7. Sebagian dari individu pada populasi 𝐴, 𝑄, dan 𝐼 akan mengalami pemulihan dan berpindah ke populasi 𝑅.
8. Individu yang telah dinyatakan pulih dari COVID-19 tidak akan kembali rentan.
Sesuai  dengan  pemaparan  di  atas,  dibentuk  diagram  kompartemen  pola  penyebaran COVID-19 yang dapat dilihat pada Gambar 1.
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
Gambar 1. Diagram kompartemen transmisi COVID-19

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1.  Model Matematika
Diagram kompartemen pada Gambar 1 menjelaskan proses transmisi COVID-19 pada populasi manusia:
1. Laju  rekrutmen  kelahiran  dan  tingkat  kematian  alami  manusia  masing-masing diberikan  oleh  parameter Π dan 𝜇 .  Manusia  rentan (𝑆) akan  terinfeksi  melalui kontak yang cukup dengan individu rentan (𝐸) , individu terinfeksi dengan gejala klinis (𝐼) maupun dengan individu terinfeksi tanpa gejala klinis (𝐴) , masing-masing sebesar 𝜂 𝜁 𝑠𝑒 𝑆𝐸 , 𝜂 𝜁 𝑠𝑖 𝑆𝐼, dan 𝜂 𝜁 𝑠𝑎 𝑆𝐴 dimana 𝜂 adalah  peluang  infeksi  saat  terjadi kontak antar individu.
2. Parameter 𝜁 𝑠𝑒 , 𝜁 𝑠𝑖 , dan 𝜁 𝑠𝑎 masing-masing menyatakan laju kontak antara individu rentan ( 𝑆 ) kelompok individu 𝐸 , 𝐼 , dan 𝐴 .
3. Parameter 𝜃 dan 𝜎 , masing-masing adalah proporsi individu yang terinfeksi tanpa gejala klinis proporsi individu terpapar yang dikarantina, sementara parameter 𝛼 menyatakan laju perpindahan individu terpapar ke individu yang dikarantina.
4. Parameter 𝜔 dan 𝜛 masing-masing  merepresentasikan  tingkat  transmisi  setelah menyelesaikan masa inkubasi dan berpindah ke kelas 𝐼 dan 𝐴 .
5. Individu  yang  dikarantina  dapat  berpindah  ke  kelas  individu  terinfeksi  yang disertai gejala klinis dengan laju 𝜚 , dengan proporsi individu sebesar 𝜑.
6. Paramater 𝜏, 𝛽, 𝜌 masing-masing menyatakan tingkat pemulihan individu terinfeksi tanpa  gejala  klinis,  individu  dikarantina,  dan  individu  terinfeksi  disertai  gejala klinis dan berpindah ke kelas individu yang telah pulih .
7. Selanjutnya, tingkat kematian yang disebabkan oleh virus COVID-19 pada kelas 𝐼 direpresentasikan dengan 𝛿.
Berdasarkan  ilustrasi  tersebut,  dapat  dirumuskan  model  matematika  dalam  bentuk system persamaan diferensial sebagai berikut:
𝑆 𝐴 𝐼 𝑄 𝐸 𝑅 Π 𝜇𝑆 𝜇𝐴 𝜇𝐼 𝜇𝑅 𝜏𝐴 𝜇𝐸 𝜌𝐼 𝜃𝜛𝐸 𝜂𝑆(𝜁 𝑠𝑒 𝐸 + 𝜁 𝑠𝑖 𝐼 + 𝜁 𝑠𝑎 𝐴) 𝑁 𝛿𝐼 (1 − 𝜃 − 𝜎)𝜔𝐸 𝜇𝑄 𝜑𝜚𝑄 𝜎𝛼𝐸
(1 − 𝜑)𝛽𝑄
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Π − 𝜂𝑆(𝜁 𝑠𝑒 𝐸 + 𝜁 𝑠𝑖 𝐼 + 𝜁 𝑠𝑎 𝐴) 𝑁 − 𝜇𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝜂𝑆(𝜁 𝑠𝑒 𝐸 + 𝜁 𝑠𝑖 𝐼 + 𝜁 𝑠𝑎 𝐴) 𝑁 − (𝜃𝜛 + 𝜎𝛼 + 𝜇 + 𝜔 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔)𝐸 𝑑𝐴
𝑑𝑡 = 𝜃𝜛𝐸 − (𝜏 + 𝜇)𝐴
𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝜎𝛼𝐸 − (𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇)𝑄
𝑑𝐼
𝑑𝑡 = (1 − 𝜃 − 𝜎)𝜔𝐸 + 𝜑𝜚𝑄 − (𝜌 + 𝜇 + 𝛿)𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜏𝐴 + (1 − 𝜑)𝛽𝑄 + 𝜌𝐼 − 𝜇𝑅
dengan kondisi awal:
𝑆(0) = 𝑆 0 ≥ 0 , 𝐸(0) = 𝐸 0 ≥ 0 , 𝐴(0) = 𝐴 0 ≥ 0 ,
𝑄(0) = 𝑄 0 ≥ 0 , 𝐼(0) = 𝐼 0 ≥ 0 , 𝑅(0) = 𝑅 0 ≥ 0.
Penjumlahan  seluruh  persamaan  pada  sistem  (1)  akan  menghasilkan  persamaan dinamika total populasi, yaitu
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = Π − 𝜇𝑁 − 𝛿𝐼.
Adapun bidang solusi pada sistem (1) memenuhi kondisi berikut:
Ω = {(𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐴(𝑡), 𝑄(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡)) ∈ 𝑅 + 6 :  𝑁(𝑡) ≤ Π 𝜇 }.

## 3.2.  Titik Kesetimbangan dan Kestabilannya
Titik  kesetimbangan  adalah  keadaan  pada  sistem  persamaan  (1)  yang  memenuhi kondisi
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0
Berdasarkan persamaan (2) diperoleh dua titik kesetimbangan dari sistem (1) yaitu; titik kesetimbangan bebas penyakit
𝐸 0 = (𝑆 0 , 0,0,0,0,0) = ( Π 𝜇 , 0,0,0,0,0)
dan titik kesetimbangan endemik
𝐸 1 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐴 ∗ , 𝑄 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ ) dengan
(2) (3) (4) (1)
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
𝑆 ∗ = Π 𝜅 1 + 𝜅 2 𝐸 ∗ + 𝜇 𝑄 ∗ = 𝜎𝛼𝐸 ∗ 𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇 𝐸 ∗ = − 𝜅 1 𝜅 2 𝑆 ∗ − (𝜃𝜛 + 𝜎𝛼 + 𝜇 + 𝜔 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔) 𝐼 ∗ = (1 − 𝜃 − 𝜎)𝜔𝐸 ∗ + 𝜑𝜚𝑄 ∗ 𝜌 + 𝜇 + 𝛿
𝐴 ∗ = 𝜃𝜛𝐸 ∗ (𝜏 + 𝜇) 𝑅 ∗ = 𝜏𝐴 ∗ + (1 − 𝜑)𝛽𝑄 ∗ + 𝜌𝐼 ∗
𝜇
dimana
𝜅 1 = 𝜂(𝜁 𝑠𝑖 𝐼 ∗ + 𝜁 𝑠𝑎 𝐴 ∗ ) 𝑆 ∗ + 𝐸 ∗ + 𝐴 ∗ + 𝑄 ∗ + 𝐼 ∗ + 𝑅 ∗ 𝜅 2 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 𝑆 ∗ + 𝐸 ∗ + 𝐴 ∗ + 𝑄 ∗ + 𝐼 ∗ + 𝑅 ∗
Titik kesetimbangan 𝐸 0 dan 𝐸 1 selalu terdifinisi secara biologis, yaitu 𝐸 0,1 ∈ 𝑅 + 6 , karena semua parameter positif.

## 3.3.  Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi (𝑅 0 ) didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya infeksi yang terjadi tiap satuan waktu. Pada makalah ini, 𝑅 0 digunakan sebagai nilai ambang batas untuk melihat kemungkinan terjadinya wabah COVID-19. Bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 diperoleh dari nilai eigen positif terbesar pada matriks next generation 𝐾 = 𝐹𝑉 −1 atau secara matematis dinyatakan sebagai 𝜌(𝐹𝑉 −1 ) [20]. Adapun matriks next generation 𝐾 diperoleh dari sistem persamaan (1) dan persamaan (3) yang memuat kelas populasi terpapar, kelas populasi terinfeksi tanpa gejala klinis, dan kelas populasi terinfeksi disertai gejala klinis, yaitu
𝐾 = 𝐹𝑉 −1 dengan
𝐹 = [ 𝜂𝜁 𝑠𝑒 0 0 0 𝜂𝜁 𝑠𝑎 0 0 0 0 0 0 0 𝜂𝜁 𝑠𝑖 0 0 0 ] dan 𝑉 = [ 𝜃𝜛 + 𝜎𝛼 + 𝜇 + 𝜔 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔 −𝜃𝜛 −𝜎𝛼 −(1 − 𝜃 − 𝜎)𝜔 0 𝜏 + 𝜇 0 0 0 0 𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇 −𝜑𝜚 0 0 0 𝜌 + 𝜇 + 𝛿 ]
𝑅 0 diperoleh dari nilai eigen positif tersebesar dari matriks 𝐾 [19] dan dapat ditulis:
𝑅 0 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 (𝜏 + 𝜇) + 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝜃𝜛 (𝜏 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔 + 𝜃𝜛 + 𝛼𝜎 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔)
+ 𝜂𝜁 𝑠𝑖 𝜑𝜚𝛼𝜎 + 𝜂𝜁 𝑠𝑖 (𝜔 − 𝜎𝜔 − 𝜃𝜔)(𝜇 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜑𝜚)
(𝜇 + 𝛿 + 𝜌)(𝜇 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜑𝜚)(𝜇 + 𝜔 + 𝜃𝜛 + 𝛼𝜎 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔) .         (5)
Dalam bentuk sederhana, 𝑅 0 dapat dinyatakan sebagai:
𝑅 0 = 𝑅 1 + 𝑅 2
dengan
(6)
𝑅 1 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 (𝜏 + 𝜇) + 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝜃𝜛 (𝜏 + 𝜇)(𝜇 + 𝜔 + 𝜃𝜛 + 𝛼𝜎 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔)
𝑅 2 = 𝜂𝜁 𝑠𝑖 𝜑𝜚𝛼𝜎 + 𝜂𝜁 𝑠𝑖 (𝜔 − 𝜎𝜔 − 𝜃𝜔)(𝜇 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜑𝜚) (𝜇 + 𝛿 + 𝜌)(𝜇 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜑𝜚)(𝜇 + 𝜔 + 𝜃𝜛 + 𝛼𝜎 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔)

## 3.3.  Analisis Stabilitas Titik Kesetimbangan
Teorema 1. Titik kesetimbangan bebas penyakit (𝐸 0 ) dari sistem pada persamaan (6) stabil asimtotik lokal pada saat 𝑅 0 < 1 dan tidak stabil pada saat 𝑅 0 > 1.
Bukti. Matriks jacobian dari model pada persamaan (6) didefiniskan sebagai,
𝑱 = [ 𝐽 11 𝐽 21 0 0 0 0 𝐽 12 𝐽 22 𝐽 32 𝐽 42 𝐽 52 0
𝐽 13 𝐽 23 𝐽 33 0 0 𝐽 63 0 0 0 𝐽 44 𝐽 54 𝐽 64 𝐽 15 𝐽 25 0 0 𝐽 55 𝐽 65 0 0 0 0 0 𝐽 66 ]
dengan
𝐽 11 = 𝜂(𝜁 𝑠𝑒 𝐸 + 𝜁 𝑠𝑖 𝐼 + 𝜁 𝑠𝑎 𝐴) 𝑁 − 𝜇      𝐽 12 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 𝑆 𝑁 𝐽 13 = 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝑆 𝑁 𝐽 15 = 𝜂𝜁 𝑠𝑖 𝑆 𝑁 𝐽 21 = 𝜂(𝜁 𝑠𝑒 𝐸 + 𝜁 𝑠𝑖 𝐼 + 𝜁 𝑠𝑎 𝐴) 𝑁 𝐽 22 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 𝑆
𝑁 − (𝜃𝜛 + 𝜎𝛼 + 𝜇 + 𝜔 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔) 𝐽 23 = 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝑆 𝑁 𝐽 25 = 𝜂𝜁 𝑠𝑖 𝑆 𝑁 𝐽 32 = 𝜃𝜛        𝐽 33 = −(𝜏 + 𝜇)        𝐽 42 = 𝜎𝛼
𝐽 44 = −(𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇)     𝐽 52 = (1 − 𝜃 − 𝜎)𝜔    𝐽 54 = 𝜑𝜚
𝐽 55 = −(𝜌 + 𝜇 + 𝛿)       𝐽 63 = 𝜏       𝐽 64 = (1 − 𝜑)𝛽     𝐽 65 = 𝜌        𝐽 66 = −𝜇
Selanjutnya  dilakukan  evaluasi  disekitar  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  pada persamaan (3), menghasilkan matriks Jacobian untuk 𝐸 0 yang didefinisikan,
𝑱(𝐸 0 ) = [ 𝐽 11 0 0 0 0 0 𝐽 12 𝐽 22 𝐽 32 𝐽 42 𝐽 52 0 𝐽 13 𝐽 23 𝐽 33 0 0 𝐽 63 0 0 0 𝐽 44 𝐽 54 𝐽 64 𝐽 15 𝐽 25 0 0 𝐽 55 𝐽 65 0 0 0 0 0 𝐽 66 ]
dengan
𝐽 11 = −𝜇 𝐽 12 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 𝐽 13 = 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝐽 15 = 𝜂𝜁 𝑠𝑖
𝐽 22 = 𝜂𝜁 𝑠𝑒 − (𝜇 + 𝜔 + 𝜃𝜛 + 𝜎𝛼 − 𝜃𝜔 − 𝜎𝜔) 𝐽 23 = 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝐽 25 = 𝜂𝜁 𝑠𝑖 𝐽 32 = 𝜃𝜛 𝐽 33 = −(𝜏 + 𝜇) 𝐽 42 = 𝜎𝛼 𝐽 44 = −(𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇)
𝐽 52 = (1 − 𝜃 − 𝜎)𝜔 𝐽 54 = 𝜑𝜚 𝐽 55 = −(𝜌 + 𝜇 + 𝛿)
𝐽 63 = 𝜏 𝐽 64 = (1 − 𝜑)𝛽 𝐽 65 = 𝜌 𝐽 66 = − 𝜇
(7)
(8)
(9)
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
Dari matriks jacobian 𝐽(𝐸 0 ) pada persamaan (9), diperoleh persamaan karakteristik,
(𝜆 − 𝐽₁₁)(𝜆 − 𝐽₆₆)(𝜆⁴ − 𝜆³𝐽₂₂ − 𝜆³𝐽₃₃ − 𝜆³𝐽₄₄ − 𝜆³𝐽₅₅ − 𝜆²𝐽₅₂²  + 𝜆²𝐽₂₂𝐽₃₃ − 𝜆²𝐽₂₃𝐽₃₂ + 𝜆²𝐽₂₂𝐽₄₄ + 𝜆²𝐽₂₂𝐽₅₅ + 𝜆²𝐽₃₃𝐽₄₄ + 𝜆²𝐽₃₃𝐽₅₅ + 𝜆²𝐽₄₄𝐽₅₅ + 𝜆𝐽₃₃𝐽₅₂² + 𝜆𝐽₅₂²𝐽₄₄ − 𝜆𝐽₂₂𝐽₃₃𝐽₄₄ + 𝜆𝐽₂₃𝐽₃₂𝐽₄₄ − 𝜆𝐽₂₂𝐽₃₃𝐽₅₅ + 𝜆𝐽₂₃𝐽₃₂𝐽₅₅ − 𝜆𝐽₂₂𝐽₄₄𝐽₅₅ − 𝜆𝐽₄₂𝐽₅₂𝐽₅₄ − 𝜆𝐽₃₃𝐽₄₄𝐽₅₅ + 𝐽₂₂𝐽₃₃𝐽₄₄𝐽₅₅ − 𝐽₃₃𝐽₄₄𝐽₅₂² − 𝐽₂₃𝐽₃₂𝐽₄₄𝐽₅₅ + 𝐽₃₃𝐽₄₂𝐽₅₂𝐽₅₄) = 0.
Dari persamaan karakteristik sebelumnya diperoleh 6 nilai eigen, 2 diantaranya dapat dipastikan kenegatifannya yaitu
𝜆 1 = 𝐽 11 = −𝜇 < 0 𝜆 3 = 𝐽 66 = −𝜇 < 0
sementara 4 nilai eigen lainnya diperoleh dari persamaan polinomial orde empat, yaitu
𝐴 0 𝜆 4 + 𝐴 1 𝜆 3 + 𝐴 2 𝜆 2 + 𝐴 3 𝜆 + 𝐴 4 = 0 dengan
𝐴 0 = 1 𝐴 1 = (𝜏 + 𝜇) + (𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇) + (𝜌 + 𝜇 + 𝛿) − (𝑅 1 − 1) 𝐴 2 = (𝜏 + 𝜇)(𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇 + 𝜌 + 𝜇 + 𝛿) + (𝜌 + 𝜇 + 𝛿)(𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇) − 𝜂𝜁 𝑠𝑎 𝜃𝜛 − (1 − 𝜃 − 𝜎) 2 𝜔 2 − (𝜏 + 𝜇 + 𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇 + 𝜌 + 𝜇 + 𝛿)(𝑅 1 − 1) 𝐴 3 = (𝜏 + 𝜇)(𝜌 + 𝜇 + 𝛿)(𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇)
− (𝑅 1 − 1)((𝜏 + 𝜇)(𝜇 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜑𝜚 + 𝜌 + 𝜇 + 𝛿)
+ (𝜌 + 𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜑𝜚)) − (𝑅 2 − 1)
𝐴 4 = −(𝑅 1 − 1)(𝜌 + 𝜇 + 𝛿)(𝜏 + 𝜇)(𝜑𝜚 + 𝛽 − 𝛽𝜑 + 𝜇) − (𝑅 2 − 1)
Stabilitas  sistem  diidentifikasi  dengan  menggunakan  kriteria  Ruth-Hurwitz  [21]. Kriteria Ruth-Hurwitz dapat dilakukan apabila koefisien polinom pada persamaan (10) bernilai positif.
Jika 𝑅 0 > 1, maka 𝐴 𝑖 < 0, 𝑖 = 1,2,3,4 sehingga sistem tidak stabil. Jika 𝑅 0 < 1, maka 𝐴 𝑖 > 0, 𝑖 = 0,1,2,3,4. Selanjutnya, kriteria Ruth-Hurwitz untuk polinomial orde empat, yaitu 𝐴 𝑖 > 0, 𝑖 = 0,1,2,3 , 𝐴 1 𝐴 2 > 𝐴 3 ,  dan 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 > 𝐴 1 𝐴 4 + 𝐴 3 2 dapat  ditunjukkan  dengan menggunakan koefisien persamaan (15). Dengan demikian, titik kesetimbangan bebas penyakit (𝐸 0 ) dari sistem persamaan (1) bersifat stabil asimtotik lokal pada saat 𝑅 0 < 1 dan tidak stabil pada saat 𝑅 0 > 1. □

## 3.4.  Simulasi Numerik
Nilai parameter model yang digunakan pada sistem persamaan (1), mempertimbangkan nilai parameter hasil fitting dari berbagai referensi terpercaya berdasarkan kasus real COVID-19  yang  terlaporkan  dan  telah  dipublikasikan.  Nilai-nilai  parameter  yang digunakan  pada  simulasi,  ditampilkan  pada  Tabel  1.  Selanjutnya,  nilai  awal  yang digunakan pada model adalah total populasi awal 𝑁(0) = 267.289.750 dengan 𝑁(0) = 𝑆(0) + 𝐸(0) + 𝐴(0) + 𝐼(0) + 𝑄(0) + 𝑅(0). Adapun nilai awal variabel dipertimbangkan berdasarkan data kasus yang terjadi pada bulan april yaitu 𝐼(0) = 5.923, 𝐸(0) = 5.684, 𝐴(0) = 5.000, 𝑄(0) = 4.796, 𝑅(0) = 0, dan 𝑆(0) = 267.283.391 . Dengan menggunakan nilai  nilai  parameter  pada  Tabel  1,  diperoleh  estimasi  bilangan  reproduksi  dasar diperkirakan sebesar 𝑅 0 ≈ 2. Hal ini berarti bahwa setiap individu terinfeksi berpotensi menularkan penyakit kepada minimal 2 individu baru.
(10)
Tabel 1. Estimasi nilai parameter pada kasus COVID-19
Variabel Keterangan Nilai Sumber Π Laju rekrutmen kelahiran 3.947.567 Estimasi 𝜇 Laju kematian alami 3,57 × 10 -5 Estimasi 𝜂 Peluang transmisi saat terjadi kontak 0,2 Estimasi 𝜁 𝑠𝑒 Laju kontak individu rentan dengan individu terpapar 0,09 Estimasi 𝜁 𝑠𝑎 Laju kontak individu rentan dengan individu terinfeksi tanpa gejala klinis 0,07 Estimasi 𝜁 𝑠𝑖 Laju kontak individu rentan dengan individu terinfeksi disertai gejala klinis 0,05 [10] 𝜃 Proporsi individu yang terinfeksi tanpa gejala klinis 0,12 Estimasi 𝜎 Proporsi individu terpapar yang dikarantina 0,04 Estimasi 𝛼 Laju perpindahan individu terpapar ke individu karantina 0,13266 [9] 𝜔 Laju transmisi setelah menyelesaikan masa inkubasi dan berpindah ke kelas terinfeksi desertai gejala klinis 0,005 [10] 𝜔 ̅ Laju transmisi setelah menyelesaikan masa inkubasi dan berpindah ke kelas terinfeksi tanpa gejala klinis 0,00048 [10] 𝜚 Laju perpindahan individu yang dikarantina ke individu terinfeksi disertai gejala klinis 0,1259 [9] 𝜑 Proporsi individu dikarantina yang terinfeksi disertai gejala klinis 0,05 Estimasi 𝜏 Laju pemulihan individu yang terinfeksi tanpa gejala klinis dan berpindah ke kelas R 0,854302 [10] 𝛽 Laju pemulihan individu yang dikarantina dan berpindah ke kelas R 0,11624 [9] 𝜌 Laju pemulihan individu yang terinfeksi disertai gejala klinis dan berpindah ke kelas R 0,33029 [9] 𝛿 Laju kematian yang disebabkan karena COVID-19 pada kelas inidividu yang terinfeksi disertai gejala klinis 1,78 × 10 -5 [9]
Hasil  pengamatan  kami  untuk  perkembangan  kasus  harian  COVID-19  di  Indonesia khususnya  pada  bulan  april  terus  mengalami  peningkatan.  Penambahan  kasus  yang dilaporkan  merupakan  data  dari  spesimen  yang  telah  dilakukan  pengujian  dan menunjukkan  hasil  positif  COVID-19.  Selanjutnya  dilakukan  perhitungan  terhadap jumlah individu yang masih dalam tahap pengobatan dengan cara mengurangkan total kasus  harian  COVID-19  dengan  total  individu  yang  dinyatakan  meninggal  dan dinyatakan sembuh. Kami memperoleh hasil perhitungan dari jumlah individu dalam tahap pengobatan memiliki karakteristik yang sama dengan jumlah individu terpapar pada model SEAQIR. Gambar 2 menunjukkan bahwa jumlah individu yang dilaporkan masih dalam pengobatan khususnya dibulan april 2020 sempat mengalami penurunan hingga akhirnya terus mengalami peningkatan. Hal yang sama juga berlaku pada hasil perhitungan atau prediksi kami dengan menggunakan model SEAQIR.
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
Gambar 2. Perbandingan data kasus harian COVID-19 di Indonesia dengan hasil prediksi menggunakan model SEAQIR
Gambar 3. Simulasi dinamika penyebaran COVID-19

## R. Resmawan, et.al
Selanjutnya kami melakukan simulasi lebih lanjut untuk melihat sifat kestabilan dari setiap kelas populasi terhadap dinamika penyebaran COVID-19. Berdasarkan Gambar 3  dapat  dilihat  bahwa  populasi  menuju  titik  kesetimbangan  endemik  atau  stabil disekitar  titik  endemik.  Populasi  manusia  yang  rentan  terhadap  virus  corona  dan populasi  manusia  terpapar  dalam  masa  inkubasi  mengalami  peningkatan  pada  awal waktu kemudian mengalami penurunan jumlah populasi hingga stabil pada kondisi 𝑆 ≈ 5,85268 × 10 10 dan 𝐸 ≈ 1,93565 × 10 8 .  Populasi manusia yang terinfeksi tanpa gejala klinis, manusia yang dikarantina dan manusia yang sembuh mengalami peningkatan jumlah populasi hingga stabil pada kondisi 𝐴 ≈ 13.050,2 , 𝑄 ≈ 8,79704 × 10 6 , dan 𝐼 ≈ 2,62862 × 10 6 . Populasi manusia yang sembuh pada awal waktu mengalami kestabilan pada kondisi 𝑅 ≈ 5,1843 × 10 10 .
Kami  melakukan  simulasi  terhadap  perubahan  nilai 𝛼 ,  untuk  mengetahui  pengaruh penerapan  karantina  terhadap  penyebaran  COVID-19.  Pada  Gambar  4  terlihat penurunan  nilai 𝛼 sebesar 10% dan 20% memberikan  pengaruh  yang  siginifikan terhadap  kenaikan  jumlah  individu  pada  kelas  populasi  manusia  terpapar,  manusia terinfeksi  tanpa  gejala  klinis,  dan  manusia  terinfeksi  dengan  gejala  klinis.  Adapun jumlah individu pada kelas populasi manusia yang dikarantina mengalami penurunan terhadap perubahan nilai 𝛼 tersebut. Selain itu, penurunan nilai 𝛼 dapat mempercepat terjadinya penyebaran COVID-19.
Gambar 4. Pengaruh laju perpindahan individu terpapar ke individu karantina terhadap penyebaran COVID-19
Adapun  hasil  pengamatan  perubahan  nilai 𝛼 terhadap  nilai 𝑅 0 dapat  dilihat  pada Gambar  5.  Peningkatan  nilai 𝛼 mengakibatkan  nilai 𝑅 0 semakin  menurun  hingga mencapai kondisi tidak terjadi wabah pada sistem. Sesuai dengan Teorema 1, kondisi
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
tidak  terjadi  wabah  merupakan  kondisi  yang  akan  tercapai  jika 𝑅 0 < 1 .  Hasil perhitungan  kami  dengan  meningkatkan  nilai 𝛼 lebih  dari  tiga  kali  lipat  dari  nilai semula  serta  nilai  parameter  lainnya  dianggap  konstan  akan  mengakibatkan  sistem mencapai kondisi 𝑅 0 < 1 .
Gambar 5. Pengaruh laju perpindahan individu terpapar ke individu karantina terhadap bilangan reproduksi dasar
Simulasi  ini  menunjukkan  bahwa  peningkatan  intervensi  berupa  karantina  mampu menekan  bilangan  reproduksi  dasar,  yang  berarti  dapat  memperlambat  terjadinya penularan  COVID-19  serta  mencegah  terjadinya  wabah.  Oleh  karena  itu,  salah  satu alternatif yang dapat dilakukan untuk menekan penyebaran COVID-19 adalah dengan meningkatkan intervensi karantina pada manusia yang terdeteksi terpapar virus. Hal ini  dapat  dimaksimalkan  dengan  melakukan  tes  massal  untuk  memperbanyak identifikasi manusia yang telah terpapar COVID-19.

## 4.  Kesimpulan
Modifikasi  model  dengan  strategi  karantina  pada  kelas  manusia  terpapar 𝐸 serta pertimbangan tiga kelas penyebab infeksi 𝐸, 𝐴 dan 𝐼 menghasilkan model matematika penyebaran COVID-19 tipe SEAQIR. Titik kesetimbangan dari model SEAQIR terdiri atas  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik  kesetimbangan  endemik.  Analisis kestabilan  sistem  menunjukkan  bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  bersifat stabil  asimtotik  lokal  pada  saat 𝑅 0 < 1 dan  tidak  stabil  pada  saat 𝑅 0 > 1 .  Simulasi menunjukkan bahwa sistem akan stabil disekitar titik kesetimbangan endemik, yang berarti bahwa penyakit akan terus mewabah jika tidak ada intervensi yang secara serius
dapat menekan angka 𝑅 0 . Adapun peningkatan nilai parameter intervensi karantina berkontribusi  menurunkan 𝑅 0 .  Oleh  karena  itu,  salah  satu  alternatif  yang  dapat dilakukan  untuk  menekan  penyebaran  COVID-19  adalah  dengan  meningkatkan intervensi  karantina  pada  manusia  yang  terdeteksi  terpapar  virus.  Hal  ini  dapat dimaksimalkan  dengan  melakukan  tes  massal  untuk  memperbanyak  identifikasi manusia yang telah terpapar COVID-19.

## Ucapan Terima Kasih
Ucapan  terimakasih  diberikan  kepada  reviewer  atas  komentar  dan  saran  yang membangun demi meningkatkan kualitas artikel ini.

## Referensi
[1] N. Al-Rousan and H. Al- Najjar, “The correlation between the spread of COVID - 19 infections and weather variables in 30 Chinese provinces and the impact of Chinese government mitigation plans,” Eur Rev Med Pharmacol Sci , vol. 24, no. 8, pp. 4565 – 4571, 2020.
[2] C. Huang et al. , “Clinical features of patients infected with 2019 novel coronavirus in Wuhan, China,” Lancet , vol. 395, no. 10223, pp. 497 – 506, Feb. 2020.
[3] N.  Chen et  al. ,  “Epidemiological  and  clinic al  characteristics  of  99  cases  of  2019 novel coronavirus pneumonia in Wuhan, China: a descriptive study,” Lancet , vol. 395, no. 10223, pp. 507 – 513, Feb. 2020.
[4] R.  Lu et  al. ,  “Genomic  characterisation  and  epidemiology  of  2019  novel coronavirus: implicati ons for virus origins and receptor binding,” Lancet , vol. 395, no. 10224, pp. 565 – 574, Feb. 2020.
[5] T. Li, “Diagnosis and clinical management of severe acute respiratory syndrome Coronavirus 2 (SARS-CoV-2) infection: an operational recommendation of Peking Union Medical College Hospital (V2.0),” Emerg. Microbes Infect. , vol. 9, no. 1, pp. 582 – 585, Jan. 2020.
[6] M. Li et al. , “Identifying novel factors associated with COVID -19 transmission and fatality using the machine learning approach,” Sci. Total Environ. , p. 142810, Oct. 2020.
[7] B.  Tang et  al. ,  “Estimation  of  the  Transmission  Risk  of  the  2019 -nCoV  and  Its Implication f or Public Health Interventions,” J. Clin. Med. , vol. 9, no. 2, p. 462, Feb. 2020.
[8] B. Tang, N. L. Bragazzi, Q. Li, S. Tang, Y. Xiao, and J. Wu, “An updated estimation of  the  risk  of  transmission  of  the  novel  coronavirus  (2019- nCov),” Infect.  Dis. Model. , vol. 5, pp. 248 – 255, 2020.
[9] B. Tang et al. , “The effectiveness of quarantine and isolation determine the trend of the COVID- 19 epidemics in the final phase of the current outbreak in China,” Int. J. Infect. Dis. , vol. 95, pp. 288 – 293, Jun. 2020.
[10] M.  A.  Khan  and  A.  Atangana,  “Modeling  the  dynamics  of  novel  coronavirus (2019- nCov) with fractional derivative,” Alexandria Eng. J. , vol. 59, no. 4, pp. 2379 – 2389, Aug. 2020.
Analisis Dinamik Model Transmisi COVID-19 dengan Melibatkan Intervensi Karantina
[11] M.  A.  Khan  and  A.  Atangana,  “Modeling  the  dynamics  of  novel  coronavirus (2019- nCov) with fractional derivative,” Alexandria Eng. J. , 2020.
[12]  T.-M. Chen, J. Rui, Q.-P. Wang, Z.-Y. Zhao, J.- A. Cui, and L. Yin, “A mathematical model  for simulating the phase- based transmissibility of a novel coronavirus,” Infect. Dis. Poverty , vol. 9, no. 1, p. 24, Dec. 2020.
[13] T.  Kuniya,  “Prediction  of  the  Epidemic  Peak  of Coronavirus  Disease  in Japan, 2020,” J. Clin. Med. , vol. 9, no. 3, p. 789, Mar. 2020.
[14] H.  Sun,  Y.  Qiu,  H.  Yan,  Y.  Huang,  Y.  Zhu,  and  S.  X.  Chen,  “Tracking  and Predicting COVID- 19 Epidemic in China Mainland,” J. Data Sci. , vol. 18, no. 3, pp. 455 – 472, 2020.
[15] C.  T.  Deressa  and  G.  F.  Duressa,  “Modeling  and  optimal  control  analysis  of transmission dynamics of COVID- 19: The case of Ethiopia,” Alexandria Eng. J. , vol. 60, no. 1, pp. 719 – 732, Feb. 2021.
[16] D.  Kada,  A.  Kouidere,  O.  Balatif,  M.  Rachik,  and  E.  H.  Labriji,  “Mathematical modeling  of  the  spread of  COVID-19  among  different  age  groups in  Morocco: Optimal control approach for intervention strategies,” Chaos, Solitons & Fractals , vol. 141, p. 110437, Dec. 2020.
[17]  B.  Tang et  al. ,  “Estimation  of  the  Transmission  Risk  of  the  2019 -nCoV  and  Its Implication for Public Health Interventions,” J. Clin. Med. , vol. 9, no. 2, p. 462, 2020.
[18]  P. Li et al. , “Transmission of COV ID-19 in the terminal stages of the incubation period: A familial cluster,” Int. J. Infect. Dis. , vol. 96, no. February, pp. 452 – 453,
2020.
[19] R.  Resmawan  and  L.  Yahya,  “Sensitivity  Analysis  of  Mathematical  Model  of Coronavirus Disease (COVID-19) Transmi ssion,” CAUCHY , vol. 6, no. 2, pp. 91 – 99, May 2020.
[20] P.  van  den  Driessche  and  J.  Watmough,  “Reproduction  numbers  and  sub - threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,” Math. Biosci. , vol. 180, no. 1 – 2, pp. 29 – 48, Nov. 2002.
[21]  S. Fisher, Complex Variables . California (US): Wadsworth & Brooks, 1990.
This  article  is  an  open  access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics,  Universitas  Negeri  Gorontalo,  Jln.  Prof.  Dr.  Ing.  B.J.  Habibie, Moutong,  Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.