## ESTIMASI DENSITY KERNEL DENGAN BANDWITH YANG BERBEDA

## THE ESTIMATED DENSITY KERNEL WITH A DIFFERENT BANDWITH

## Harizahayu
PoliteknikNegeri Medan, Medan [Email: harizahayu@polmed.ac.id ] § Corresponding Author
Received Maret 2021; Accepted Juni 2021; Published Juni 2021;

## Abstrak
Dalam  estimator  kernel,  parameter  penghalus merupakan  pengontrol  keseimbangan  antara kesesuaian  kurva  terhadap  data  dan  kemulusan  kurva.  Bentuk  kurva  kernel  bergantung  pada  kurva penduga  fungsi  kepekatan  peluang  akan  bergantung  pada  lebar  jendela yang  merupakan  parameter pemulus. Hasil simulasi  menunjukkan bandwith (lebar jendela) lebih besar atau sama dengan satu telah memperlihatkan bentuk kurva normal untuk kernel quartic, gaussian, epanechnikov, dan kosinus.
Kata Kunci : Estimator Kernel, Bandwith, fungsi kepekatan peluang.

## Abstract
In the kernel estimator, the smoothing parameter h is controlling the balance between the fit of the curve to  the  data  and  the  smoothness  of  the  curve.  The  shape  of  the  kernel  curve  depends  on  the  estimator curve.  The  probability  density  function  will  depend  on  the  window  width  (h)  which  is  the  smoothing parameter. The simulation results show that the bandwidth (window width) greater than or equal to one has shown the normal curve shape for quartic, gaussian, epanechnikov, and cosine kernels.
Keywords : Kernel Estimator, Bandwidth, probability density function.

## 1. Pendahuluan
Pendekatan  regresi  dibedakan  menjadi  dua yaitu  pendekatan  parametrik  dan  nonparametrik. Pendekatan  parametrik  merupakan  pemodelan regresi  yang terikat dengan asumsi-asumsi dalam regresi seperti multikolinieritas, residual normalitas, homoskedasitas residual, dan nonautokorelasi.
Sedangkan
regresi nonparametrik  dilakukan  jika  bentuk  kurva regresinya  tidak  diketahui  dan  diasumsikan
smooth  yang  termuat  dalam  suatu  ruang  fungsi tertentu [1]. Salah satu metode pendekatan dalam regresi  nonparametrik  yang  digunakan  adalah regresi  nonparametrik  kernel.  Dalam  analisis regresi,  tidak  semua  variabel  penjelas  dapat didekatin  dengan  pendekatan  parametrik,  karena tidak  adanya  informasi  yang  jelas  bagaimana bentuk  hubungan  variabel  indpenden  dengan variabel  dependen  sehingga  harus  digunakan
Harizahayu,                                                                                                          Estimasi Density Kernel dengan Bandwith yang berbeda
pendekatan  pendekatan  nonparametrik.  Tujuan analisi  regresi  adalah  menentukan  hampiran untuk kurva regresi m [3].
Jika  diberikan  data  pengamatan  independen untuk  menentukan  distribusi dari ekuivalen dengan menentukan densitasnya. Untuk  mengestimasi  fungsi  densitas dapat dilakukan dengan dua pendekatan yaitu pendekatan parametrik dan nonparametrik.
Pendekatan  nonparametrik  dilakukan  jika  asumsi bentuk dapat dilakukan dengan dua pendekatan parametrik dan nonparametrik. Pendekatan nonparametrik  dilakukan  jika  asumsi  bentuk dapat  dilakukan  jika  asumsi  bentuk tidak diketahui.  Dalam  hal  ini  diasumsikan  bahwa fungsi termuat  dalam  kelas  fungsi  mulus  yaitu mempunyai  turunan  kontinu  atau  terintegralkan secara kuadrat [1].
Salah  satu  teknik  untuk  mengestimasi  fungsi mulus  adalah  teknik  pemulus  kernel  [Hardle]. Metode  yang  paling  sederhana  adalah  histogram. Teknik  pemulus  kernel  pada  estimator  densitas merupakan pengembangan dari estimator histogram.
Penggunaanfungsi  kernel  yang  berbeda  yaitu fungsi  kernel  Triangle  dan  kernel  Gaussian dengan bandwidth optimal menghasilkan estimasi kurva  regresi  yang  hampir  sama,  sehingga  dapat diperlihatkankan  bahwa  pemilihan  bandwidth lebih  penting  dibandingkandengan  pernilihan fungsi kernel[2].
Pemilihan    bandwidth    optimum    dengan menggunakan  data training  didapatkan  nilai   2 yang  artinya  untuk  mengestimasi  sebuah  nilai maka  diperlukan  2  data  sebelum dan  sesudah
titik estimasi  tersebut, metode  smoothing kernel dengan    bandwidth    optimum  sebesar  2  dapat menggambarkan  pola  nilai  ekspor  kelapa  sawit dengan    baik,    smoothing    kernel    statis    lebih akurat  dalam meramalkan  data[6].
Berdasarkan  Hurdle  ,  dengan  menggunakan pendekatan  regresi  nonparametrik  untuk  fungsi regresi diperoleh    estimator  yang  konsisten dengan menggunakan kernel  gaussian , bandwith 0,2; 1; 1,7; dan 2,5.
Estimator    kernel    lebih    baik    dibandingkan estimator    spline    dalam  mengestimasi  kurva regresi  nonparametrik.    Dalam    estimator  kernel, estimasi dilakukan pada setiap titik data sehingga menghasilkan kurva yang lebih mulus, sedangkan spline merupakan potongan-potongan polinomial    yang    digabungkan    bersama    pada setiap  titik knot [5]
Berdasarkan  latar  belakang  yang  diraikan  di atas,  tujuan  penelitian  ini  model  regresi nonparametrik  menggunakan  estimator  kernel, dengan  fungsi  kernel  uniform,  quartik,  gaussian, Epanechnikov,  Cosinus dengan program  R  3.5.2. Adapun  langkah-langkah  yang  dilakukan  adalah sebagai berikut:
1. Mengestimasi  kurva  regresi  nonparametrik dengan  estimator  kernel  uniform,  quartic, gaussian, epanechnikov, cosinus.
2. Membandingkan hasil estimasi antar estimator  kernel  Quartic,  Gaussian,  dan Cosinus  dengan  ukuran  bandwith  yang berbeda (0,2;0,8;1,4;4).
Harizahayu,                                                                                                          Estimasi Density Kernel dengan Bandwith yang berbeda

## 2. LandasanTeori
2.1  Estimator Histogram Metode estimasi densitas secara nonparametrik  yang  paling  populer  adalah histogram.  Namun  sebenarnya,  histogram  ini bukanlah  merupakan  alat  estimasi  densitas  yang baik,  karena  bentuknya  yang  sangat  mudah dipengaruhi  oleh  jumlah  kelas  dan  lokasi  nilai tengahnya,  dan  juga  estimasi  densitas  yang dihasilkan  tidak  kontinu  pada  batas  kelas. Diketahui sampel random dari suatu  populasi  dengan  fungsi  denstas  yang  tidak diketahui dengan variabel . Berdasarkan sampel random  ini  akan  diestimasi  fungsi  densitasnya. Misalkan  daerah  nilai dibagi  menjadi  disjoin interval  dengan  panjang
.  Peluang  observasi yang masuk ke dalam adalah: ∫ (1) Sehingga  diperoleh  estimator  histogram untuk , yaitu (Hardle): ̂ (2) Untuksemua ,
haliniberartibahwaobservasi  yang  masukkedalam interval  yang  tergantung ,  yakni memberikan  sokongan  yang  sam  terhadap .  Pemilihan  lebar  kelas kecil,  histogram memuatbanyakbatangkecil-kecilsedangkanuntuk besar  histogram  memuat  sedikit  batang  besar- besar.

## 2.2 Estimator Densitas Kernel
Estimator density kernel merupakan pengembangan dari estimator histogram.
Estimator  kernel  diperkenalkan  oleh  Rosenblatt (1956)  dan  Parzen  (1962)  sehingga  disebut estimator denistas kernel Rosenblatt-Parzen [3].
Secara  umum  kernel K dengan  bandwith  h
didefinisikan sebagai berikut [3]:
( ) , untuk , (3) Yang memenuhi syarat sebagai berikut: i. untuk semua x
ii. ∫
iii. ∫ iv. ∫
maka  estimator  densitas  kernel  untuk  fungsi densitas adalah: ̂ ∑ ∑ ( ) (4)
Berdasarkan  persamaan  (4)  dapat  dilihat bahwa ̂ tergantung pada fungsi kernel K dan parameter h . Bentuk bobot kernel ditentukan oleh fungsi kernel K , sedangkan ukuran pada bobotnya ditentukan  oleh  parameter  pemulus h yang disebut  bandwith.  Peran  bandwith  seperti  lebar interval pada histogram.
Beberapa jenis fungsi kernel antara lain:
1. Kernel Uniform :
2. Kernel Triangle:
3. Kernel Evanechnikov:
4. Kernel Quartik:
5. Kernel Triweight:
6. Kernel Gaussian:
√ ( )
7. Kernel Cosinus:
Harizahayu,                                                                                                          Estimasi Density Kernel dengan Bandwith yang berbeda
( )
dengan adalah  indikator.  Pada  tulisan  ini penulis  akan  memberikan  bentuk  kernel  dengan menampilkannya dalam bentuk gambar.
Komputasi  dan  plot  dari  kernel  ini  didasarkan pada  algoritma  S  seperti  berikut  ini  yang mengarah ke grafik kernel.

## 3. Hasil Dan Pembahasan

## 3.1 Deskripsi Data
Data  yang digunakan dalam penelitian ini adalah  data  primer  yang  diambil  dari  laporan harian  di  Kampung  ternak”.  Adapun  data  yang digunakan  untuk  penelitian  ini  terdiri  dari  8 (delapan)  variabel,  yaitu  kandang  satu  sampai dengan  kandang  delapan  yang  tediri  dari  1116 data.

## 3.2 Metode Analisa Data
Gambaran umum data yang diolah dengan menggunakn  software  R  3.5.2  secara  rinci  dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1.Deskripsi Data
NV . N Mi n Ma x Mean Std Var
K1 18 6 37 85 66,59 68 11,8
8 141,22 K2 18 6 19 151 105,1 0 126 43,5 2 1893,9 0 K3 18 6
0 82 64,69 65 7,79 60,62 K4 18 6
25 73 14,42 0 23,5
6 555,34 K5 18 6 33 84 60,89 63 13,3
4 177,84 K6 18 6 33 86 63,32 68,5 14,0 3 196,83 K7 18 6
6 28 19,16 20 4,43 19,57 K8 18 6 22 81 59,47 64 15,2 1 231,28
Berdasarkan  Tabel  1.  Dari  setiap  kandang  yaitu kandang  1  sampai  dengan  kandang  8  dengan
jumlah  data  186  data,  sehingga  total  data  dari seluruh  kandang  berjumlah  1488.  Adapun  nilai data  minimum  dari  kedelapan  kandang  tersebut adalah 33 butir yang terdapat pada kandang 5 dan 6,  sedangkan  data  maksimum  adalah  115  butir terdapat  padakandang  2.  Selanjutnya  nilai  rata- rata  ( mean )  dan  kuartil  2 tertinggi  terdapat pada kandang 2  yaitu 105,1 dan 126,  sedangkan nilai rata-rata dan kuartil 2 terendah terdapat pada  kandang  4  yaitu  14,42  dan  0.  Tabel  1  juga menampilkan  kuartil  standar  deviasi  dan  varians yang tertinngi  terdapat  pada kandang 2 dan  yang terendah pada kandang 7.
Gambar 1. Histogram Hasil Produksi Telur
Harizahayu,                                                                                                          Estimasi Density Kernel dengan Bandwith yang berbeda

## Gambar 2. Kurva Beberapa Fungsi Kernel

## 3.3 Pemilihan Bandwith
Bentuk  kurva  kernel  bergantung  pada  kurva penduga fungsi kepekatan peluang akan bergantung  pada  lebar  jendela yang merupakan  parameter  pemulus  [8].  Estimasi densitas  kernel  berdasarkan  dua  parameter,  yaitu [2] : Bandwith dan Fungsi densitas kernel
Dalam  estimator  kernel,  parameter  penghalus merupakan  pengontrol  keseimbangan  antara kesesuaian  kurva  terhadap  data  dan  kemulusan kurva.  Berikut  ini  ilustrasi  fungsi  kepekatan peluang  dengan  fungsi  kernel  uniform,  quartik, gaussian,  Epanechnikov,  Cosinus  menggunakan jendela yang berbeda 0,2; 0,8; 1,4; dan 4:
Gambar 3. Kernel Uniform
Gambar 3. Kernel Quartic
Gambar 4. Kernel Gaussian
Gambar 5. Kernel Epanechnikov
Gambar 6. Kernel Cosinus
Berdasarkan  keenam  gambar  di  atas  apabila lebar  jendela  ( bandwith )  semakin  kecil  maka kurva  fungsi  kernel  hampir  sama  untuk  kernel quartic,  gaussian,  epanechnikov,  dan  cosinus yaitu  berbentuk  landai  di  bagian  puncaknya. Sedangkan jika bandwith nya semakin besar yaitu lebih besar dari 1 (satu) maka kurva fungsi kernel
Harizahayu,                                                                                                          Estimasi Density Kernel dengan Bandwith yang berbeda
cenderung  lebih  mulus  dan  berbentuk  kurva normal.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Berdasarkan  uraian  di  atas  dapat  diambil kesimpulan  pemilihan  bandwith  yang  optimal sangat  dalam  regresi  non  paramaterik.  Semakin besar  nilai  bandwith  maka  kurva  fungsi  kernel cenderung  lebih  mulus  dan  mendekati  bentuk kurva  normal.  Berdasarkan  simulasi  yang  telah dicoba  oleh  penulis, bandwith (lebar  jendela) lebih  besar  atau  sama  dengan  satu  telah memperlihatkan  bentuk  kurva  normal  untuk kernel  quartic,  gaussian,  epanechnikov,  dan kosinus.  Adapun  saran  dari  penulis  adalah  perlu dilanjutkan  pembahasan  fungsi  kernel  dengan menggunakan kernel Triweight.

## 5. UcapanTerimaKasih
Pada  penelitian  ini  penulis  mengucapkan terimakasih banyak ke pada rekan-rekan  yang telah  membantu  penulis  dalam  perbaikan tulisan dan saran revisi source code pemograman  R  sehingga  penelitian  ini  dapat selesai tepat waktu.

## Daftar Pustaka
[1]    Eubank,  R.  1998. Spline  Smoothing  and Nonparametric  Regression .  Marcel  Dekker New York.
[2] Hayati,  Laila.  2010. Pendekatan  Model Kernel  Densitas  Mulus .  J.  Pijar  MIPA,
Vol.  V  No.2,  September  :  81  -  85ISSN
1907-1744
[3] Hardle, W. (1990). Smoothing Techniquewith Implementation in S .
Springer Verlag,New York.
[4]      Hastie,  T.J.  and  R.J.  Tibshirani.  1990 Generalized Additive Models . Chapmanand Hall. New York. London.
[5] I.  K.  G.  Sukarsa  and  I.  G.  A.  M.  Srinadi, Estimator  Kernel  dalam  Model  Regresi Nonparametrik . J.  Mat. ,  vol.  2,  no.  1,  pp. 19–30, 2012.
[6] A.  F.  Arifin  and  E.  T.  Astuti. Pemodelan Nilai  Ekspor  Kelapa  Sawit  Di  Indonesia Menggunakan Smoothing Kernel
(Modeling  the  Value  of  Palm  Oil  Exports in  Indonesia  Using  Smoothing  Kernel) . Semin. Nas. Off. Stat. , vol. 2020, no. 1, pp.
1094–1104, 2021, doi: 10.34123/semnasoffstat.v2020i1.597. [7] I. K. G. Sukarsa and I. G. A. M. Srinadi et al. , Perbandingan  Estimator  Kernel  Dan Estimator  Spline  Dalam .    KNM  XVI, December, 2015.
[8]     Sartono, bagus dan Kholifatunnisa, amalia. https://rpubs.com/bagusco/kerneldensity . Diakses tanggal 28 Maret 2020.