Vol. 7, No.2,  62-70,  Januari 2011
Analisis Kestabilan Titik Keseimbangan Model Perilaku Jumlah Pelaku Narkoba dengan Faktor Rehabilitasi
Syamsuddin Toaha 

## Abstrak
Tulisan  ini  membahas  suatu  model  laju  perubahan  jumlah  pelaku  narkoba  yang  dinyatakan dalam  suatu  sistem  persamaan  differensial  autonomus.  Kewujudan  dan  kestabilan  titik keseimbangan  model  tersebut  diberikan  secara  detail,  termasuk  analisis  nilai  dan  titik bifurkasi. Tes kestabilan Hurwitz digunakan untuk menentukan kestabilan titik keseimbangan model.  Dari  hasil  analisis  diperoleh  bahwa  kewujudan  dan  kestabilan  titik  keseimbangan endemik dan tak endemik bergantung pada nilai basic reproduction number , 0 R .
Kata Kunci: Titik keseimbangan,  kestabilan,  basic reproduction number,  bifurkasi transkritikal.

## 1. Pendahuluan
Matematika  terapan,  yang  bermakna  penggunaan  matematika  dalam  menyelesaikan fenomena  alam,  baik  fenomena  fisis  maupun  fenomena  non  fisis.  Matematika  terapan  dapat digunakan dalam berbagai bidang, misalnya dalam bidang kedokteran, ekologi, biologi,  ekonomi dan bidang-bidang lainnya. Pemodelan matematika sebagai suatu pendekatan dalam merumuskan fenomena digunakan untuk meramalkan perilaku sistem. Perilaku sistem ini kemudian ditafsirkan sehingga kita dapat mengetahui perilaku situasi yang sebenarnya.
Salah satu fenomena yang dapat diformulasikan dalam model matematika adalah perilaku jumlah pelaku narkoba dalam masalah penyalahgunaan narkoba. Laju perubahan jumlah manusia yang  rentan  menjadi  pecandu,  jumlah  pecandu,  jumlah  pecandu  yang  direhabilitasi  dan  jumlah pecandu  yang  sembuh  dinyatakan  dalam  suatu  sistem  persamaan  diferensial  autonomus.  Model yang  terbentuk  merupakan  model  kontinu  dan  bersifat  deterministik.  Model  laju  perubahan jumlah pelaku narkoba ini dan analisisnya menjadi penting karena masalah penyebaran narkoba sudah  sangat  memprihatinkan.  Ini  disebabkan  karena  menyangkut  perilaku  sebagian  generasi muda  serta  sasaran  peredarannya  sudah  merambah  segmen-segmen  masyarakat,  seperti mahasiswa, kaum eksekutif, bisnisman, dan sebagainya.
Beberapa cara yang dapat untuk mengatasi masalah sosial ini adalah dengan mengetahui bagaimana pola penyebaran narkoba dan memaksimalkan upaya untuk meredam penyebarannya, yaitu dengan memberikan hukuman yang seberat-beratnya kepada pengedar dan pecandu narkoba serta melakukan upaya maksimal dalam merehabilitasi para pecandu narkoba.
Pada  tulisan  ini  hanya  dibahas  sepintas  tentang  bagaimana  model  perubahan  jumlah manusia yang rentan dan terlibat dalam narkoba itu terbentuk, karena model yang dianalisis sudah pernah  dibahas  oleh  beberapa  penulis  sebelumnya.  Tulisan  ini  fokus  dalam  menganalisis
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas  Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 , Tamalanrea Makassar, email: syamsuddint@yahoo.com

## Syamsuddin Toaha
kestabilan  titik  endemik  dan  titik  tak  endemik  secara  analitik,  termasuk  nilai  dan  titik  bifurkasi yang terjadi pada model tersebut. Hasil dari analisis ini dapat digunakan sebagai referensi dalam menangani masalah penyebaran narkoba.

## 2.  Model  Matematika  Masalah  Kecanduan  Narkoba  dengan  Faktor Rehabilitasi
Model  yang  dibahas  pada  tulisan  ini  adalah  model  dengan  asumsi-asumsinya  telah diperkenalkan oleh Kasbawati (2010), dan Kasbawati dan Toaha, S. (2010).
Gambar 1. Diagram Skematik Model Kecanduan Narkoba dengan Faktor Rehabilitasi.
Model itu berbentuk sistem persamaan differensial non linier autonomus sebagai  berikut:
 
     
           
                , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t R t T dt t dR t T t T t T t P dt t dT t P t P t T N t P t S dt t dP t S N t P t S N dt t dS                          
(1)
dimana  semua  parameter  diasumsikan  bernilai  positif.  Berikut  diberikan  keterangan  dari  semua variabel dan parameter model dalam (1), yaitu:
N : total jumlah populasi manusia,
  t S : jumlah manusia sehat yang rentan untuk menjadi pecandu narkoba pada saat t,   t P : jumlah  pecandu  narkoba  dan  mempunyai  peluang  untuk  mempengaruhi  manusia  yang sehat untuk menjadi pecandu narkoba,
  t T : jumlah pecandu narkoba yang mengikuti program terapi rehabilitasi  pada saat t,   t R : jumlah pecandu narkoba yang sembuh akibat adanya rehabilitasi,
0  : rata-rata banyaknya manusia yang masuk dan keluar dalam sistem per satuan waktu,
0  : rata-rata  banyaknya  kontak  yang  dilakukan  antara  manusia  pecandu  dengan  manusia sehat per satuan waktu,
0  : rata-rata banyaknya pecandu yang akan direhabilitasi per satuan waktu,
0  : rata-rata banyaknya pecandu yang telah direhabilitasi tetapi kembali menjadi pecandu per satuan waktu,
0  : rata-rata banyaknya pecandu yang telah direhabilitasi dan sembuh per satuan waktu.

## 3. Tes Kestabilan Hurwitz
Teorema fundamental dalam aljabar menyatakan bahwa sebarang polinomial
  0 1 1 1 p p p f n n n             ,
dimana koefisien 0 p , 1 p , ... , 1  n p adalah bilangan real, selalu mempunyai n akar. Didefinisikan matriks  Hurwitz  dengan  unsur-unsur  yang  menggunakan  bilangan  1, 0 p , 1 p ,  ...  , 1  n p ,   1 1   n p H ,           2 3 1 2 1 n n n p p p H ,                   3 1 4 2 5 3 1 3 0 1 n n n n n n n p p p p p p p H ,
            
            4 2 5 3 1 6 4 2 7 5 3 1 4 1 0 0 1 n n n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p p p H , dan seterusnya sampai n H , dengan 0  j p , 0  j .
Tes Kestabilan Hurwitz (Jeffries, 1989).
Misalkan Ax x   menyatakan suatu sistem dinamik linear dengan titik keseimbangan 0. Setiap matriks Hurwitz mempunyai determinan positif jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari matriks A mempunyai bagian real negatif dan titik keseimbangan 0 stabil asimtotik untuk Ax x   . Untuk  beberapa  nilai n ,  tes  Hurwitz  dapat  dinyatakan  sebagai  berikut.  Setiap  matriks Hurwitz  mempunyai  determinan  positif  jika  dan  hanya  jika; 0 0  p untuk 1  n ; 0 0  p , 0 1  p untuk 2  n ; 0 0  p , 0 1  p , 0 2  p , dan 0 0 1 2   p p p untuk 3  n .

## 4. Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Model
Tinjau  model  perubahan  jumlah  manusia  yang  rentan  dan  pelaku  terhadap  narkoba dengan  faktor  rehabilitasi,  model  (1),  dengan  asumsi         t R t T t P t S N     .  Untuk mempermudah  analisis  selanjutnya,  model  (1)  dinormalkan  dengan  memperkenalkan  variabel baru yang dapat mereduksi dimensi dari masing-masing variabel. Misalkan   N t S = X ,   N t P = Y ,   N t T Z  ,   N t R W  , dan t 0    . (2)
Jika  varibel  baru  pada  (2)  disusbtitusi  ke  sistem  persamaan  (1)  maka  diperoleh  model yang tidak berdimensi lagi, yaitu:
Syamsuddin Toaha , 1 W Z ε dτ dW Z Z ε Z ρ γY dτ dZ Y γY ρZ Y βX dτ dY X Y X β dτ dX              (3) dengan 0 0     , 0 0     , 0 0     , dan 0 0     merupakan parameter yang tidak berdimensi.
Titik  keseimbangan  tak  endemik  merupakan  salah  satu  solusi  keseimbangan  sistem  yang memberikan makna bahwa populasi pecandu akan hilang sama sekali dari sistem. Kestabilan titik keseimbangan  tak  endemik  dapat  ditentukan  melalui  nilai  eigen  dari  matriks  Jacobian  yang diperoleh  dari  model  dengan  melakukan  linearisasi  di  sekitar  titik  keseimbangan.  Dengan membuat sistem persamaan (3) sama dengan nol, yaitu
, 0     dτ dW dτ dZ dτ dY dτ dX (4)
diperoleh titik keseimbangan     0 , 0 , 0 , 1 , , , 0 0 0 1    W Z Y X T dan        W Z Y X T , , , 2 ,
dimana
0 1 R X   ,   β R Y 1 0    ,     ε ρ β R γ Z      1 1 0 ,  dan     ε ρ β R εγ W     
1 1 0 dengan   1 1 0              
R .
Besaran basic  reproduction  number atau 0 R didefinisikan  sebagai  nilai  ekspektasi banyaknya  kasus  sekunder  yang  timbul  akibat  dari  kasus  primer  dalam  populasi  yang  bebas penyakit. Dalam hal ini penyakit yang dimaksud adalah penyakit karena kecanduan narkoba. Jika nilai 1 0  R artinya  pada  populasi  terjadi  kasus  endemik  atau  terjadi  pertambahan  jumlah pecandu  aktif,  sedangkan  nilai 1 0  R artinya  pada  populasi  tidak  terjadi  kasus  endemik  atau tidak terjadi pertambahan jumlah pecandu aktif (Diekmann dan Heesterbeek, 2000).
Teorema  1. Titik  keseimbangan     0 0 0 1 0 0 0 1 , , , W , Z , Y , X T    yang  merupakan  titik keseimbangan tak endemik dari model (3) stabil asimtotik secara lokal jika 1 0  R .
Bukti: Dari  model  (3)  diperoleh  matriks  Jacobian  yang  dievaluasi  pada  titik  keseimbangan 1 T , yaitu
, 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1      
                       J
dengan persamaan karakteristik
Syamsuddin Toaha 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1                
              I J ) ( f . (5)
Dari  persamaan  (5)  diperoleh  nilai-nilai  eigen 1 1    , 1 2    dan  akar-akar  dari persamaan kuadrat
0 0 1 2    a a   , dengan          2 1 a dan     . R a 0 0 1 1           Untuk  menunjukkan  bahwa  titik  keseimbangan 1 T stabil secara asimtot, kita gunakan tes kestabilan Hurwitz. Dengan itu akan ditunjukkan bahwa 0 0  a dan 0 1  a .
Diketahui  bahwa 1 0  R ,  dengan   1 1 0               R yang  ekivalen  dengan
1 1       
        , akan dibuktikan bahwa 0 0  a dan 0 1  a . Karena 1 0  R , maka jelas
0 0  a . Untuk menunjukkan bahwa 0 1  a , akan ditunjukkan
.                     2 1 1
Ketidaksamaan  di  atas  dapat  ditulis
   1 2 1                     yang dengan mudah dapat di lihat bahwa ketidaksamaan tersebut benar. Karena
1 1       
        dan                    2 1 1 , maka diperoleh         2 atau 0 2          atau 0 1  a .  Dengan  itu  terbukti  bahwa  titik keseimbangan tak endemik 1 T stabil asimtotik secara lokal. ■
Teorema  2. Titik  keseimbangan        W , Z , Y , X T 2 yang  merupakan  titik  keseimbangan endemik dari model (3) stabil asimtotik secara lokal jika 1 0  R .
Bukti: Dari  model  (3)  diperoleh  matriks Jacobian  yang  dievaluasi  pada  titik  keseimbangan 2 T , yaitu
  , ε ε ρ γ ρ γ R β R R β R J                           1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 dengan persamaan karakteristik
    , λ ε λ ε ρ γ ρ λ γ R β R R β λ R λI J λ f T 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2                  (6)
yang dapat dinyatakan sebagai       , p p p f 0 1 0 1 2 2 3            (7)
dengan
              0 0 2 0 2 2 R R R p     ,                       0 0 2 0 1 2 1 2 R R R p           ,              0 0 0 1 1 R R p    .
Salah  satu  nilai  eigen  dari  persamaan  karakteristik  (7)  adalah 1    .  Untuk  membuktikan bahwa  titik  keseimbangan 2 T stabil  asimtotik,  akan  digunakan  tes  kestabilan  Hurwitz,  yaitu dengan menunjukkan bahwa 0 0  p , 0 1  p , 0 2  p dan 0 0 1 2   p p p .
Pertama,  akan  dibuktikan  bahwa
  0 2 0 0 2 0 2              R R R p     .  Untuk  itu
akan dibuktikan   0 2 0 2 0           R R . Perhatikan bahwa ,      1 2 1 1 0                     R .
Kalikan masing-masing ruas dengan β, diperoleh                            2 1 1 0 R . Karena     1 1 0               R ,  maka ketidaksamaan dapat ditulis sebagai
           2 0 0 R R ,            2 0 2 0 R R ,   . R R 0 2 0 2 0          
Ketidaksamaan ini menunjukkan bahwa
0 2  p .      1 2 1 0                     R

## Syamsuddin Toaha
Kedua, akan dibuktikan bahwa    . R R p 0 1 1 0 0 0               Karena 1, 0  R maka
jelas bahwa 0 0  p . Ketiga,  akan  dibuktikan  bahwa 0 0 1 2   p p p .  Setelah  melakukan  penyederhanaan
diperoleh B R p p p 2 0 0 1 2 1   , dengan
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa
0  B jika 1 0  R yang  ekivalen  dengan    menyatakan
0  B jika     1 1               .  Substitusi     1 1 0               R pada B ,  diperoleh
2 2 3 3 4 4    b b b B    , dimana                2 1 4 4 b ,       , b                      2 3 3 2 6 3 3 3 2 2 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3                        3 2 1            b .
Disini jelas bahwa 0 4  b dan 0 2  b . Nyatakan 1 2 B B   dimana   2 3 2 4 1 b b b B       ,
dan  selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa   0 1   B untuk     1 1               .  Karena 0 4  b dan 0 2  b maka  kedua  akar  dari    1 B ,  yaitu 2 1 ,  ,  benilai  real  dan  berbeda  tanda.
Tulis
4 2 4 2 3 3 2 2 4 b b b b b      . Akan ditunjukkan bahwa     2 , dengan
    1 1                . Sekarang akan ditunjukkan bahwa
      4 2 4 2 3 3 2 4 b b b b b ,       4 2 4 2 3 3 2 4 b b b b b , 3 4 2 4 2 3 2 4 b b b b b      .    
      . R R R R B 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 3 0 2 2 2 4 0 2 3 4 4 2 2 3 2 2 5 4 3 3 2 3 3 5 5 5 5 2 3 2 2                                                                                    

## Syamsuddin Toaha
Sebelum menunjukkan bahwa ketidaksamaan terakhir ini berlaku, akan ditunjukkan dulu bahwa
0 2 3 4    b b  .  Dengan  mensubstitusi     1 1                dan  dengan  melakukan penyederhanaan diperoleh
      . b b 0 8 5 4 8 10 3 5 3 5 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 4                                               
Selanjutnya dengan mengkuadratkan kedua ruas pada ketidaksamaan di atas diperoleh
2 3 3 4 2 2 4 2 4 2 3 4 4 4 b b b b b b b         , 0 2 3 2 4      b b b   .
Karena   0 1   B untuk 2    dan karena
2     , maka   0 1   B untuk     . Dengan itu  telah  ditunjukkan  bahwa 0 0 1 2   p p p untuk 1 0  R .  Karena 0 0  p , 0 2  p ,  dan 0 0 1 2   p p p ,  maka  diketahui  bahwa 0 1  p .  Berdasarkan  tes  kestabilan  Hurwitz,  maka disimpulkan  bahwa  titik  keseimbangan 2 T stabil  asimtotik  secara  lokal  jika basic  reproduction number , 1 0  R . ■ Untuk 1 0  R ,  nilai  eigen  yang  bersesuaian  dengan  titik  keseimbangan 1 T adalah 1 1    , 1 2    dan  akar-akar  dari  persamaan  kuadrat
0 0 1 2    a a   .  Disini  diperoleh
0 1  a dan 0 0  a .  Dengan  itu,  titik  keseimbangan 1 T tidak  stabil.  Sementara  jika 1 0  R diperoleh  titik  keseimbangan 2 T dengan 0   X , 0   Y , 0   Z ,  dan 0   W .  Persamaan karakteristik yang bersesuaian dengan titik keseimbangan
2 T adalah       . p p p f 0 1 0 1 2 2 3            Disini  diperoleh 0 0  p dan  dengan  itu  titik keseimbangan 2 T tidak stabil.
Di atas telah dilakukan analisis untuk nilai 1 0  R dan 1
0  R . Sekarang akan dianalisis untuk nilai 1 0  R . Pertimbangkan kembali model (3) sebagai
   , x f x   , dimana 4 R x  dan 1 0 1 R R     .  Lebih  lanjut,  titik  keseimbangan  dari    , x f x   diberikan  oleh 1 T x  dan
2 T x  . Jelas bahwa   0 0 1  , T f dan   0 0 1    x , T f yang menyatakan bahwa titik keseimbangan
1 T adalah  titik  keseimbangan  non  hiperbolik.  Untuk 0   ,  maka  terdapat  dua  titik keseimbangan, 1 T x  yang  stabil  asimtotik  dan 2 T x  yang  tidak  stabil.  Kedua  titik keseimbangan  ini  bersatu  ketika 0   .  Untuk 0   , 1 T x  tidak  stabil  dan 2 T x  stabil asimtotik. Jadi pertukaran kestabilan terjadi pada 0   . Dengan demikian bifurkasi yang terjadi merupakan  bifurkasi  transkritikal  ( transcritical  bifurcation ),  Wiggins,  S.,  1990.  Titik     0 1 , T , x   adalah suatu titik bifurkasi dan nilai parameter 0   atau 1 0  R adalah suatu nilai bifurkasi.

## Syamsuddin Toaha

## 5. Kesimpulan
Kewujudan  dan  kestabilan  titik  keseimbangan  model  (3)  bergantung  pada  nilai basic reproduction  number ,     1 1 0               R .  Jika 1 0  R ,  maka  hanya  terdapat  satu  titik keseimbangan  nonnegatif,  yaitu  titik  keseimbangan 1 T dan  titik  keseimbangan  ini  stabil asimtotik.  Jika 1 0  R ,  maka  terdapat  dua  titik  keseimbangan  nonnegatif,  yaitu  titik keseimbangan 1 T dan titik keseimbangan 2 T . Titik keseimbangan 1 T tidak stabil, sementara titik keseimbangan 2 T stabil  asimtotik.  Ketika 1 0  R ,  maka  terjadi  suatu  bifurkasi  transkritikal dengan nilai bifurkasi 1 0  R .

## Ucapan Terima Kasih
Penulis  menyampaikan  penghargaan  dan  terima  kasih  kepada  Fakultas  MIPA  Universitas Hasanuddin  yang  telah  memberikan  biaya  dalam  pelaksanaan  penelitian  ini  melalui  Hibah Penelitian  Fakultas  MIPA  Universitas  Hasanuddin  Tahun  2010,  dengan  Surat  Perjanjian Pelaksanaan  Pekerjaan  hibah  penelitian  berdasarkan  nomor  kontrak  5755/H4.2/TU.19/2010 tanggal 1 Juni 2010.

## Daftar Pustaka
Diekmann,  O.,  dan  Heesterbeek,  J.A.P.,  2000. Mathematical  Epidemiology  of  Infectious Diseases . John Wiley & Sons Ltd., New York.
Jeffries,  C.,  1989. Mathematical  Modeling  in  Ecology:  A  Workbook  for  Students .  Birkhauser, Boston.
Kasbawati,  2010.  Analisis basic  reproduction  number model  deterministik  kecanduan  narkoba dengan  faktor  rehabilitasi. Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  Tahun  2010 ,  Dept. Matematika FMIPA UI, hal. 479 – 484.
Kasbawati dan Toaha, S., 2010. Model deterministik masalah kecanduan narkoba dengan faktor kontrol  terhadap  pemakai  dan  pengedar  narkoba. Jurnal  Matematika,  Statistika,  dan Komputasi , Vol. 7 No.1, hal. 75-84.
Wiggins, S., 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos . Springer– Verlag, New York.