## OPTIMASI PEMULUSAN EKSPONENSIAL DENGAN ALGORITMA LEVENBERG-MARQUARDT
Hery Andi Sitompul, S.Si, M.Si
Dosen Kopertis Wilayah I Sumut, Dpk Universitas Darma Agung

## Abstract
Determination  of  the  value  of  the  exponential  smoothing’s  parameters  is  a  very sygnificant  problems,  because  the  value  of  these  parameters  is  very  sensitive  to changes of forecasts in demand. Commonly, the way how to find the value of these parameters  is  try  and  error  method.  Try  and  error  done  by  updating  every possilble combination of  the  parameter’s values  to exponential smoothing model thus,  the  results  of  the  forecast  is  to  be  compared  by  each  others.  The  best parameters  is  choosen  by  acuration  measurement  (minimum  error),because  of this  method  is  very  hard  and  wasting  time,in  this  paper  will  propose  another method  how  to  get  the  best  value  of  the  smooting’s  parameter.  Non  linear programming algorithm (in this case the levenberg – marquardt algorithm) will be aplicated  to  exponential  smoothing  model.  In  this  paper  will  show  that  this algorithm is very fit to estimated optimum value of the smoothing’s parameters.

## Keywords :    Exponential  Smoothing,  Smoothing  Parameters,  Levenberg  – Marquardt Algorithm, Forecasts Error

## PENDAHULUAN LatarBelakang
Pengambilan keputusan dalam era  kemajuan  teknologi  dan  ilmu pengetahuan sekarang ini, akan selalu didasarkan  atas  hasil  analisis  dan interpretative  dari  sebuah  data kuantitatif.    Sebagai  contoh,  seorang pimpinan  atau  manager  yang  akan mengambil  suatu  keputusan  yang akan  digunakan  kedepan  akan membutuhkan  suatu  kajian  analisis dari  data  kuantitatif  variabel  – variabel  yang  berkaitan  dengan keputusan tersebut.
Sebuah  prediksi  kedepan  atau peramalan  adalah  salah  satu  bentuk kajian  analisis  untuk  mengambil sebuah  keputusan,  dan  pemulusan eksponensial  adalah  salah  satu metode  peramalan  yang  sangat popular.  Hal  ini  dikarenakan  metode ini  mudah  untuk  dipahami  dan digunakan,  seorang  lulusan  atau mahasiswa  sekolah  busines  paling tidak  pernah  sekali  menggunakan metode ini dalam operasional management. Pemulusan eksponensial adalah  metode  peramalan  yang
sensitive terhadap penentuan parameter model,  sebagai gambaran model  pemulusan  ekspoenensial ganda dua parameter dari Holt :
Jikanilai dipilih  besar  akan mengakibatkan  ramalan  menjadi sangat  responsif  (nilai  ramalan  jauh dari yang seharusnya) dan sebaliknya jika  nilai dipilih  kecil  akan mengakibatkan  ramalan  dibawah yang  seharusnya,  juga  demikian dengan jika  dipilih  besar  akan mengakibatkan efek yang sama. Sebagian  besar  buku  teks menyediakan  cara  umum  untuk menentukan nilai parameter tersebut,  sebagai  contoh  Schroeder, Rungtusanatham, & Goldstein (2013) dan Jacobs & Chase (2013) menyarankan  nilai dan berada pada  kisaran  0,1  dan  0,3.  Heizer& Render (2011) and Stevenson (2012) menawarkan  rentang  yang  lebih lebar  yakni  antara  0,003  sampai  0.5 sedangkan  Chopra  &  Meindl  (2013) menyarankan  nilainya  tidak  lebih dari pada 0,2.
Sebagian  besar  rekomendasi dari  buku  teks  tersebut  didasarkan oleh  ukuran  akurasi  peramalan  yang dilakukan  dengan Mean  Absolute Deviation (MAD), Mean  Square  Error (MSE), dan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang dilakukan dengan
try  and  error ,  yaitu  dengan  mencoba nilai dan yang  mengasilkan ukuran akurasi yang terkecil. Penentuan  nilai  parameter pemulusan eksponensial tanpa metode try  and  error masih  sangat terbatas dikaji dalam buku teks, oleh karena  itu  dalam  tulisan  ini  akan dilakukan  sebuah  kajian  untuk menentukan nilai parameter tersebut tanpa sistem try and error .

## Maksud dan Tujuan
Maksud dari tulisan ini adalah untuk  melakukan  kajian  penentuan parameter  pemulusan  eksponensial yang  optimum  dengan  menggunakan algoritma  non  linier  Levenberg  – Marquardt.
Sedangkan  tujuan  dari  tulisan  ini adalah :
 Mendapatkan  nilai  parameter pemulusan  eksponensial  yang optimal  (yang  memberikan ukuran akurasi terbaik ).
 Memberikan  informasi  atau usulan bahwa algoritma program  non  linier  dapat digunakan  pada  pemulusan eksponensial.

## LANDASAN TEORI PemulusanEksponensial
Pemulususan eksponensial ( exponential smoothing ) adalah metode peramalan yang
menggunakan  analisis  data  deret berkala  ( time  series  data )  untuk melakukan  perbaikan/pembaharuan
terhadap  objek  pengamatan,  titik berat  metode  ini  adalah  dengan memberikan  bobot  yang  lebih  kecil terhadap  data  berkala  yang  lebih lama  secara  eksponensial.  Dalam  hal ini  data  yang  terbaru  merupakan informasi  prioritas  bagi  peramalan dibandingkan dengan data lama.
Terdapat  beberapa  metode pemulusan eksponensianya itu :

## Pemulusan Eksponensial Tunggal
Pemulusan eksponensial tunggal  adalah  metode  pemulusan yang  paling  sederhana,  biasanya metode ini digunakan untuk peramalan  jangka  pendek  dan  tidak ada  trend  pada  deret  data  berkala, metode ini merupakan
pengembangan  dari  metode  rata  – rata  bergerak  ( moving  average ) sederhana yaitu :
Dengan  memperhatikan  hubungan kedua  bentuk  diatas  dapat  diperoleh bahwa :
bila diganti  dengan  nilai peramalan pada saat akan diperoleh : atau Dengan , maka : …….………...(1)
Persamaan  (1)  disebut  pemulusan eksponensial tunggal dengan :
= Nilai ramalan waktu
= Nilai ramalan waktu
= Nilai aktual data pada waktu
= Parameter  /  Bobot  pemulusan eksponensial

## Pemulusan  Eksponensial  dengan Pola Trend
Metode  ini  disebut  juga dengan  metode  dua  parameter  dari Holt  biasanya  digunakan  untuk peramalan  data  yang  menunjukkan adanya pola  trend linier  tetapi tidak menunjukkan  adanya  pola  musiman, dalam  metodeini  proses  pemulusan dilakukan  dua  kali  yaitu  pemulusan komponen level dan komponen trend ( slope ) Peramalan  yang  melibatkan pola  trend  untuk  periode yang akan dating adalah : …………………………(2) Disini adalah  estimasi  komponen level  pada  akhir  periode dan diberikan sebagai : …….……………(3) Dan adalah  estimasi  dari  pola trend  pada  akhir  periode yang diberikan sebagai :
…….(4)

## Pemulusan  Eksponensial  denga
Pola Trend dan Musiman
Metode  ini  disebut  juga pemulusan ganda tiga parameter dari Winter,  biasanya  digunakan  untuk
peramalan  jika  data  deret  berkala menunjukkan  pola  trend  linier  dan pola musiman.
Didasarkan  atas  tiga  pola pemulusan  yakni  :  untuk  data stasioner,  data  trend,  dan  data musiman.  Bentuk  umum  metode pemulusan ini adalah : Pemulusan Eksponensial :
Estimasi Trend :
Estimasi Musiman :
Dengan adalah  parameter
pemulusan  dan adalah  panjang musim.
UkuranAkurasiPeramalan
Dalam  menentukan  suatu model  peramalan  hal  yang  paling penting  adalah  ketepatan  atau akurasi  dari  model  peramalan.  Pada metode peramalan dengan pemulusan  eksponensial  terdapat beberapa  jenis  ukuran  ketepatan peramalan yaitu : 1. MAPE ( Mean Absolute Percentage Error ) : ∑ | |
2. MAD ( Mean Absolute Deviation ) : ∑ | |

## 3. MSE  (Mean  Square  Error)  :
∑

## Algoritma Levenberg - Marquardt
Algoritma Levenberg - Marquardt  dikembangkan  secara
mandiri oleh Kenneth Levenberg dan Donald Marquardt untuk menyelesaikan  masalah  minimasi fungsi non linier  secara numerik.
Algoritma  ini  pada  dasarnya adalah untuk menyelesaikan masalah metode kuadrat terkecil :

## ∑
Tentukan nilai sedemikian  hingga minimum, metode  ini  pada  dasarnya  adalah menggabunggkan keunggulan metode Gradient  –  Descent dan metode Guss– Newton.
Berikut  ini  adalah  algoritma Levenber – Marquardt : Mulai  dengan  memberikan  nilai tebakan  awal , akan  disesuaikan dengan hanya  dengan  langkah menurun :
Dimana  : adalah  matriks  Jacobian dari  turunan  residu  ( )  terhadap masing – masing parameter. λ adalah parameter  damping  sedangkan adalah vektor residu..
1. Inisiasi  nilai  parameter, , parameter Levenber – Marquardt  λ,  sebagaimana baiknya apakah atau untuk  penyesuaian  parameter damping.  Hitung  Jacobian pada saat nilai inisiasi. 2. Hitung nilai , Gradien , dan .
3. Evaluasi  nilai  residual  baru pada  titik
,  dan  hitung  nilai . 4. Jika  nilai ,  terima langkah  ini  dan  tetapkan , dan .  Jika  tidak  tolak langkah  ini,  pertahankan  nilai inisial dan , serta tetapkan . 5. Uji kekonvergenan, jika metode sudah konvergen tetapkan sebagai  parameter yang  paling  layak,  jika  tidak konvergen tetapi metode diterima,  evaluasi  matriks Jacobian pada nilai parameter  baru  dan  kembali ke langkah 2.

## METODOLOGI
Data  yang  digunakan  dalam karya  ilmiah  ini  adalah  data sekunder yang diambil dari pihak kedua yaitu http://personal.cb.cityu.edu.hk/ms awan/teaching/ms6215/Exponent ial%20Smoothing%20Methods.pdf .
Data  berikut  ini  adalah  data volume  penjualan  thermostat selama  1  tahun  pada  setiap minggunya :
t v t v t v t v 1  20 6 1 3 18 9 2 7 17 2 4 0 25 5 2  24 5 1 5 24 4 2 8 21 0 4 1 30 3
3  18 5 1 6 20 9 2 9 20 5 4 2 28 2 4  16 9 1 7 20 7 3 0 24 4 4 3 29 1 5  16 2 1 8 21 1 3 1 21 8 4 4 28 0 6  17 7 1 9 21 0 3 2 18 2 4 5 25 5 7  20 7 2 0 17 3 3 3 20 6 4 6 31 2 8  21 6 2 1 19 4 3 4 21 1 4 7 29 6 9  19 3 2 2 23 4 3 5 27 3 4 8 30 7 1 0 23 0 2 3 15 6 3 6 24 8 4 9 28 1 1 1 21 2 2 4 20 6 3 7 26 2 5 0 30 8 1 2 19 2 2 5 18 8 3 8 25 8 5 1 28 0 1 3 16 2 2 6 16 2 3 9 23 3 5 2 34 5
Ket  :  t  =  minggu  ke-t,  v=volume penjualan. Untuk memperlihatkan bahwa algoritma Levenberg – Marquardt dapat menentukan nilai parameter optimal akan ditempuh langkah – langkah sebagai berikut 1. Analisis  data  yaitu  :  plot  data deret berkala, melakukan pemodelan data apakah memuat  pola  trend  dan musiman,  serta  menentukan model  estimasi  trend  linier atau  musiman  dengan  skema
sebagai berikut : 2. Menentukan  fungsi  tujuan yang  akan  dioptimasi,  dalam kasus  ini  yang  digunakan
adalah minimasi MSE : Minimumkan ∑ , dengan Terhadap  kendala  : dimana 3. Menentukan parameter optimal  dengan  menerapkan algoritma Levenberg – Marqquardt  pada  langkah  ke- 2. 4. Membuat program Matlabuntuk melakukan perhitungan  pada  langkah  ke- 3 tersebut diatas.

## HASIL dan PEMBAHASAN
Dari hasil analisis data dengan plot  data  deret  berkala  dapat ditemukan bahwa :
 Secara keseluruhan data bergerak dengan pola trendpostif  (naik)  pada  setiap minggunya.  Tidak terdapat siklus musiman  atau  pola  musiman pada data tersebut.
 Dapat  disimpulkan  bahwa model  yang  tepat  untuk  data tersebut  adalah  pemulusan eksponensial  dengan  trend dua parameter dari Holt.
 Model peramalan dengan pemulusan metode Holt adalah :
…....(5)
Digunakan  26  data  observasi pertama  untuk  menganalisa  model trend terbaik, dengan ukuran akurasi yang digunakan adalah MSE.  Dengan menerapakan metode kuadrat terkecil pada data observasi tersebut diperoleh  bahwa  persamaan  garis trend yang cocok adalah : ̂ Maka : , Nilai  komponen  level  padasaat dan  komponen trend  pada  saat ) tersebut  digunakan  untuk  update nilai peramalan dengan menggunakan persamaan:(2),(3), (4). Fungsi Tujuan ∑ dimana atau
No Both Linear trend and seasonal pattern? y e s Single Exponential Smoothing y e s y e s Holt’s – Winter’s Smoothing Use Another Methods No Holt’s Exponential Smoothing No Linear trend or seasonal pattern? Linear trend and   no seasonal pattern? No
∑[
] Terhadap kendala : Matriks Jacobi [ ] [ ]
Levenberg_Marquardt
[ ] [ ] Dari hasil
menjalankan program  matlab  yang  telah  dibuat untuk kasus ini, dengan nilai tebakan
awal parameter : [ ] [ ] dan diperoleh  bahwa  parameter yang optimal adalah :
[ ] [ ]
Berikut  ini  akan  diberikan  hasil peramalan  dengan  mencoba  –  coba berbagai  kombinasi  nilai dan yang mungkin sebagai perbandingan. Nilai parameter MSE MAPE 0.2 810 10,17% 0.1 754 9,68% 849 9,86% 0.3 874 9,91% 877 10,07% [ ] [ ] 749 9,61%

## KESIMPULAN dan SARAN
Berberapa  hal  yang  dapat ditarik sebagai kesimpulan adalah :  Algoritma Levenber- Marquardt mampu menghasilkan  parameter  yang optimal  yaitu dan
 Nilai  persentase  error  mutlak adalah  9,61%,  ini  termasuk baik karena dibawah 10%.
 Algoritma optimisasi non linier,  terkhusus  algoritma Levenberg – Maerquardt dapat dipergunakan untuk
menentukan parameter pemulusan  eksponensial  yang optimal  tanpa  harus  mencoba seluruh kemungkinan kombinasi  parameter  yang mungkin,  yang  manahal  ini akan  menghabiskan  waktu yang banyak.  Algoritma Levenberg – Marquardt  cukup  sederhana dan mudah untuk diaplikasikan.
Saran  yang  dapat  diberikan untuk  pembahasan  berikutnya adalah  membandingkan  berbagai algoritma  optimisasi  non  linier untuk  menentukan  parameter pemulusan  eksponensial,  apakah memberikan hasil yang sama atau algoritma  yang  mana  yang lebihcepat.

## DAFTAR PUSTAKA
Afonso  Croeze,  Lindsey  Pittman,  and Winnie  Reynolds, Solving Nonlinear Least-Squares Problems  with  the  Gauss- Newton  and  Levenberg  – Marquardt Methods .
Everette S. Gardner, Jr. Bauer College of  Business  334  Melcher Hall  University  of  Houston, Exponential  smoothing:  The state of the art – Part II . Handanhal  V.  Ravinder,  Montclair State University, USA, American Journal Of Business Education – May/June 2013 , Determining  The  Optimal Values Of Exponential Smoothing Constants  – Does Solver Really Work?. Hao  Yu  and  Bogdan  M.  Wilamowski, Auburn University, Levenberg–Marquardt Training. http://personal.cb.cityu.edu.hk/msaw an/teaching/ms6215/Expon ential%20Smoothing%20Me thods.pdf .
Jens  Jessen-Hansen,  Aarhus  2011, Levenberg-Marquardts algorithm Project in Numerical Methods . Leif Zinn-Bjorkman, Numerical Optimization using the Levenberg-Marquardt Algorithm. Nila  Yuwida,  Lukman  Hanafi,  Nuri Wahyuningsih, JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 1, No.  1,  (Sept.  2012)  ISSN: 2301-928 X, Estimasi Parameter dan Dalam Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Dengan  Metode  Modifikasi Golden Section.