## Teknik  Linierisasi  untuk  Menyelesaikan  Persoalan  Rantai  Suplai Lokasi-Inventori

## Rizki Habibi

## Departemen Matematika FMIPA USU Email: pakhabibi@gmail.com
Abstrak .  Penelitian  ini  membahas  masalah  manajemen  rantai  suplai  lokasi-inventori  dua  eselon  dengan multi-gudang dan multi-pengecer dimana gudang dan pengecer dapat melakukan penyimpanan (inventori). Masalah  aslinya  dirumuskan  sebagai  program  tak-linear  integer  campuran.  Optimasi  program  tak-linier memiliki kompleksitas yang lebih tinggi dan akan dihadapkan dengan beberapa masalah dan tidak mudah untuk diselesaikan, sehingga perlu diubah menjadi fungsi linier menggunakan suatu teknik linierisasi agar dapat  diselesaikan  dengan  algoritma  optimasi  program  linier.  Penelitian  ini  menerapkan  teknik  linierisasi piecewise untuk  mengubah  program  tak-linier  integer  campuran  pada  persoalan  rantai  suplai  lokasi- inventori menjadi program linier integer campuran.
Kata kunci : linierisasi, rantai suplai, lokasi-inventori.

## Pendahuluan
Dalam persaingan pasar  yang semakin kompetitif,  menjadi  suatu  keharusan  bagi setiap  perusahaan  maupun  organisasi untuk  melakukan  efisiensi  kinerja  dengan mengoptimalkan  rantai  suplai  mereka sehingga  dapat  membuat  biaya  menjadi lebih  rendah  sekaligus  juga  memberikan kepuasan  yang  lebih  tinggi  kepada konsumen. Dalam rangka untuk mengurangi  biaya  dan  meningkatkan layanan, setiap perusahaan maupun organisasi  harus  mengimplementasikan strategi  rantai  suplai  yang  efektif,  yaitu strategi yang mempertimbangkan interaksi di  tahapan  yang  berbeda  pada  rantai suplai.
Manajemen  rantai  suplai  melibatkan beberapa  tingkatan  keputusan  yang  harus dibuat, yaitu keputusan strategis, keputusan taktis, dan keputusan operasional.  Keputusan  tingkat  strategis mengacu pada perencanaan yang berdampak pada perusahaan secara keseluruhan  selama  periode  waktu  yang lama,  seperti  misalnya  penentuan  lokasi gudang  (pusat  distribusi).  Sedangkan
keputusan  tingkat  taktis  memiliki  dampak jangka  pendek,  dan  bergantung  pada keputusan tingkat strategis, karena mereka menentukan  faktor-faktor  yang  lebih sering,  seperti  misalnya  transportasi  dan kebijakan inventori (penyimpanan
persediaan). Yang terakhir, keputusan tingkat  operasional,  dilakukan  dalam periode  mingguan  atau  harian  untuk merencanakan penjadwalan
dan pelaksanaan.
Dalam  hal  keputusan  tingkat  strategis, salah  satu  masalah  yang  paling  penting adalah  masalah  lokasi  fasilitas  (gudang). Sementara  di  antara  keputusan  tingkat taktis,  salah  satu  yang  paling  penting adalah masalah kebijakan inventori
(penyimpanan persediaan). Masalah- masalah  ini  saling  bergantung,  dalam  arti: jika  dilakukan  perubahan  pada  banyaknya persediaan  atau  perubahan  lokasi  gudang maka  akan  memberi  dampak  pada  biaya persediaan dan perubahan dalam kebijakan inventori  berdampak  pada  keputusan penugasan  dan  dengan  demikian  juga mempengaruhi  biaya  yang  terkait  dengan lokasi. Akan  tetapi,  dua  masalah  ini

## Jurnal As-Salam, 1(1) Januari - April 2017
(Print ISSN 2528-1402, Online ISSN 2549-5593)
Rizki Habibi
biasanya ditangani secara terpisah ( independen ),  yang  mengarah  ke  solusi sub-optimal.
Pada  penelitian  ini,  model  dasar  dari masalah rantai suplai lokasi-inventori yang akan  digunakan  adalah  model  yang  telah ditunjukkan  oleh  Diabat et  al. (2013), yaitu  pengiriman  satu  produk  dari  pabrik ke  gudang,  dan  dari  gudang  ke  beberapa pengecer. Gudang  sebagai  pusat  distribusi dapat  dibuka  di  beberapa  lokasi,  yang diputuskan  melalui  model.  Gudang  dan pengecer,  keduanya  memegang  tugas inventori  (penyimpanan  persediaan),  yaitu produk  yang  ada  di  gudang  namun  belum diminta  oleh  pengecer,  atau  produk  yang ada  di  pengecer  namun  belum  diminta oleh  konsumen  akhir.  Modelnya  fokus pada  masalah  lokasi-inventori  dengan multi-eselon,  yang  menentukan  lokasi gudang,  di  mana  satu  produk  akan didistribusikan  dari  pabrik  sampai  ke pengecer. Model  menugaskan  pengecer melakukan  pemesanan  ke  gudang  dan menugaskan gudang
melakukan pemesanan  ke  pabrik,  serta  menentukan waktu antara setiap pesanan di gudang dan di  pengecer  dalam  rangka  meminimalkan biaya operasional dari rantai suplai.
Tujuan  dari  model  ini  adalah  untuk menentukan  nilai  optimal  dari  gudang yang  dibuka,  permintaan  optimal  dari pengecer  kepada  gudang,  dan  strategi inventori yang optimal pada setiap gudang dan  pengecer. Yang  menjadi  objektifnya adalah  untuk  meminimalkan  pemesanan tetap, inventori (penyimpanan persediaan), transportasi dan biaya terkait fasilitas.

## Tinjauan Pustaka
Penelitian-penelitian  sebelumnya  yang membahas persoalan rantai suplai diantaranya  seperti  penelitian  Shiguemoto dan Armentano (2010) yang menggunakan prosedur tabu
search dalam menyelesaikan  persoalan  mengkoordinasi proses  produksi,  inventori  dan  distribusi.
Shu  (2010)  mengembangkan  algoritma greedy , yang memilih himpunan terbaik di setiap  iterasi,  sampai  semua  elemen tertangani  oleh  himpunan  yang  dipilih. Seperti juga Diabat (2014) yang menggunakan simulasi  annealing untuk menemukan  penjualan  optimal  dengan memaksimalkan  keuntungan  yang  fungsi objektifnya dirumuskan dalam bentuk tak- linier  pada  model  persediaan vendor managed inventory .
Teo  dan  Shu  (2014)  menggunakan column  generation untuk  menyelesaikan masalah  desain  lokasi-inventori  yang dirumuskan sebagai sebuah model pemrograman  bilangan  bulat  himpunan- partisi.
Diabat et al . (2015)
mengembangkan sebuah heuristik berbasis lagrangian  relaxation yang  ditingkatkan. Termasuk juga Kaya dan Urek (2015) juga menawarkan  solusi  metaheuristic  dengan algoritma simulasi  annealing , tabu  search dan algoritma genetika dalam menyelesaikan  persoalan  lokasi,  inventori dan  keputusan  harga  dalam  rantai  suplai tertutup  yang  juga  dirumuskan  dalam program tak-linier bilangan bulat campuran.  Dalam  karya  Daskin et  al. (2002)  melakukan  studi  sebuah  Model lokasi-inventori atas dasar pooling- risk. Masalahnya dirumuskan sebagai program tak-linier bilangan bulat campuran, dan diselesaikan dengan mengusulkan pendekatan berbasis Lagrangian-relaxation . Diabat dan Richard (2015) mengusulkan  suatu  model  yang  secara bersamaan  membuat  keputusan  yang berkaitan  kebijakan  lokasi  dan  persediaan pada rantai suplai  dua  eselon,  gudang dan pengecer. Hasil penelitian mereka menyimpulkan  bahwa  algoritma  berbasis lagrangian-relaxation lebih baik dari pada algoritma branch–and–bound konvensional,  karena  algoritma branch– and–bound konvensional  hanya  cocok pada kasus yang kecil.
Masalah  dari  perpaduan  lokasi  dan inventori  ada  pada  model  biayanya  yang memiliki  kompleksitas  komputasi  yang lebih
tinggi.
Masalah Awalnya
dirumuskan  sebagai mixed  integer  non- linear program (MINLP).  Dalam  banyak aplikasi  untuk  fungsi  tak-linier  akan dihadapkan  dengan  beberapa  masalah  dan tergolong  sulit  (Al-Salem et  al. 2016).
Kesulitan  yang  timbul  adalah  munculnya persyaratan  dan  kendala  yang  berbentuk tak-linear, seperti yang disorot oleh Diabat (2016) sehingga diperlukan teknik linierisasi agar persoalan dapat dinyatakan dalam  bentuk    linier  sehingga  dapat diselesaikan  dengan  algoritma  optimasi program linier.
Fungsi linear piecewise sering digunakan  dalam  berbagai  aplikasi  untuk mendekati  hasil  dari  suatu  program  tak- linier dengan fungsi tujuan atau kendalanya  berbentuk non-convex dengan menambahkan  variabel  biner,  variabel kontinyu, dan kendala tambahan.  Metode linierisasi piecewise dari  sebuah  fungsi tak-linier  telah  diusulkan  dalam  berbagai literatur seperti salah satunya karya Vielma et al . (2010).
Mazarei et  al. (2014)  menyimpulkan bahwa  linierisasi  piecewise  adalah  alat yang efisien untuk mencari solusi perkiraan dan analisis penyelesaian sistem tak-linier,  terutama  dalam  aplikasi  dan juga  menunjukkan  penggunaan  linierisasi yaitu  pada  persoalan  fungsi  program  tak- linier.
Al-Salem et al . (2016)
membandingkan linierisasi piecewise
dengan  algoritma  berbasis lagrangian- relaxation untuk  menyelesaikan  persoalan rantai  suplai  lokasi-inventori.  Melalui analisis  komputasi,  mereka  menunjukkan dengan  jelas  bahwa  pendekatan  linierisasi piecewise adalah kuat dan dapat diandalkan
dalam kasus tertentu
dibandingkan pendekatan sebelumnya
yaitu lagrangian  relaxation berbasis heuristik yang akan gagal untuk memecahkan  masalah  yang  divariasikan atau masalah yang diperbesar.
Selain  itu,  jumlah  tambahan  variabel dan kendala yang diperlukan dalam proses linierisasi  untuk  fungsi  tak-linier  jelas berdampak pada kinerja komputasi (Lin et al . 2013). Al-Salem et al . (2016)
menyimpulkan bahwa linierisasi piecewise lebih  efisien  pada  kendala  dan  lebih  baik pada  masalah  yang  lebih  besar.  Mereka menunjukkan bahwa pendekatan linierisasi piecewise mampu memberikan solusi yang hampir  sama  tanpa  perlu  menggunakan algoritma  khusus.  Dengan  keunggulan demikian,  maka  penelitian  ini  akan menggunakan  teknik  linierisasi piecewise untuk  mengubah  problem  program  tak- linier ke dalam bentuk linier.
1. Persoalan  Rantai  Suplai  Lokasi- Inventori Multi-eselon Diberikan satu himpunan pengecer I, dan  satu  himpunan  gudang yang dapat terletak di lokasi tertentu yang telah  ditentukan J. Tujuan  dari  masalah lokasi–inventori multi–eselon adalah untuk  mendistribusikan  satu  produk  dari satu  pabrik  ke  gudang J dan  selanjutnya dari  sana  ke  pengecer I. Pengecer  akan menentukan permintaan dan juga melakukan penyimpanan persediaan, yaitu produk  yang  telah  dipesan  dari  gudang tapi belum pernah diminta oleh konsumen akhir.
Pada  gudang  yang  bersangkutan, dilakukan  pemesanan  satu  produk  dari pabrik  di  interval  waktu  yang  teratur  lalu mendistribusikan  produk  ke  pengecer. Gudang  juga  melakukan  penyimpanan persediaan,  yaitu  produk  yang  telah dipesan  dari  pabrik,  tetapi  belum  pernah diminta  oleh  pengecer.  Dalam  model  ini, tidak  boleh  terjadi  pasokan  antar  gudang (suatu  gudang  memasok  ke  gudang  lain). Jadi  produk  yang  dipasok  ke  gudang

## Rizki Habibi
hanya  disediakan  oleh  pabrik, dan kekurangan tidak diizinkan. Perlu
diperhatikan  juga,  bahwa  keberadaan pabrik  (unit  produksi)  tidak  menyiratkan model  tiga  eselon. Sebaliknya,  hal  ini menunjukkan  bahwa  biaya  pengiriman antara  pabrik  dan  pengecer  dicatat,  dalam rangka  untuk  membantu  pengambilan keputusan gudang mana yang akan dibuka.
Siklus  waktu  untuk  setiap  eselon dihitung  sejak  pekerjaan  dimulai,  yaitu saat munculnya sebuah permintaan khusus dan  berakhir  ketika  item  siap  untuk dikirimkan. Misalnya,  siklus  waktu  untuk distribusi  pada  gudang  dimulai  ketika gudang  meminta  item  dari  pabrik  dan berakhir  ketika  item  ini  siap  dikirim  ke pengecer. Menerapkan  kebijakan  siklus produksi umum menyiratkan bahwa waktu siklus  produksi  semua  produk  adalah sama.  Rasio  dari  siklus  waktu  yang digunakan  (Diabat et.al 2013)  adalah:
̂ Dimana, adalah  integer untuk  setiap i dan j . ̂ merupakan  waktu antara setiap pesanan  yang dilakukan oleh gudang j ke  pabrik,  dan adalah  waktu antara setiap pesanan  yang dilakukan oleh pengecer i ke  gudang j (dengan  asumsi bahwa  pengecer i dilayani  oleh  gudang j), dan diasumsikan  bahwa ̂ dan diketahui.
Gambar 1 . Ilustrasi Jaringan Rantai Suplai Lokasi-Inventori Multi-eselon.
Untuk  biaya  yang  bersangkutan,  kita dapat  mengidentifikasi  komponen  utama biaya sebagai berikut: (i) biaya
pemesanan,  yaitu  biaya  setiap  melakukan pesanan,
(ii) biaya penyimpanan persediaan,  yaitu  biaya  penyimpanan  satu unit  produk  untuk  satu  unit  waktu,  (iii) biaya  pengiriman  per  unit,  yaitu  biaya pengiriman satu unit produk antar fasilitas, dan  (iv)  biaya  membuka  lokasi  gudang, yaitu  biaya  pembangunan  dan  operasi gudang. Tujuan model adalah memutuskan berapa  jumlah  gudang  yang  harus  dibuka, lokasi gudang tersebut, himpunan pengecer  yang  ditugaskan  untuk  masing- masing  gudang  dan  akhirnya  ukuran pesanan  dan  waktu  pesanan  untuk  setiap fasilitas  (setiap  gudang  dan  pengecer), dengan  tujuan  meminimalkan  jumlah persed  iaan,  pengiriman,  pemesanan,  dan biaya membuka lokasi dan harus memuaskan permintaan konsumen akhir.
2. Model  Rantai  Suplai  Lokasi- Inventori  Satu  Gudang  Multi Pengecer
Sebelum memperkenalkan model multi-gudang  multi-pengecer,  kita  akan membahas  model  satu-gudang  multi- pengecer. Model  ini  terdiri  dari  sistem distribusi  dengan  satu  gudang  yang bertanggung  jawab  menyediakan  satu produk  untuk  pengecer. Permintaan  dari masing-masing  pengecer  adalah  diketahui dan  harus  dipenuhi.  Gudang  menerima perintah  (permintaan)  dari  pengecer, sementara  gudang  memberikan  perintah (permintaan)  dari  pabrik. Biaya  yang muncul  adalah  biaya  tetap  setiap  kali pesanan diterima dan juga biaya penyimpanan persediaan. Keduanya tergantung fasilitas. Tujuannya adalah untuk  memutuskan  berapa  lama  kurun waktu  dan  kuantitas  permintaan  pengecer dan  strategi  penyimpanan  persediaan  di gudang,  untuk  meminimalkan  total  biaya. Notasi  yang  digunakan  disajikan  sebagai berikut:
Himpunan : himpunan pengecer, dengan indeks i.
Parameter
: besar permintaan dari pengecer i.
: biaya  pengiriman  per  unit  dari gudang ke pengecer i.
: biaya penyimpanan per unit barang di pengecer i dalam 1 waktu.
: biaya tetap pemesanan oleh pengecer i.
̂ 0 : biaya penyimpanan per unit barang di gudang dalam 1 waktu.
Variabel Keputusan: T i : waktu  untuk  satu  putaran  pemesanan di pengecer i.
T 0 : waktu  untuk  satu  putaran  pemesanan di gudang.
Untuk menentukan biaya penyimpanan persediaan, sistem penyimpanan
persediaan  di  pengecer i didefinisikan sebagai  persediaan  yang  disimpan  di pengecer i ditambah  persediaan  yang tersimpan di gudang yang akan dikirim ke pengecer i. Kemudian, tarif biaya penyimpanan  di  gudang  akan  menjadi ̂ = ̂ 0 dan  tarif  biaya  penyimpanan  di pengecer i akan  menjadi ̂ , yang  pada  dasarnya  berarti  bahwa  untuk biaya  pada  setiap  eselon  kita  perlu mengurangkannya  dengan  biaya  dari eselon yang sebelumnya.
Ada dua kasus yang harus dipertimbangkan pada saat ini:
1. Ti To . Dalam  hal  ini,  gudang memenuhi  (mengirimkan)  pesanan  ke pengecer I setiap  kali  mendapatkan barang  dari  pabrik. Dengan  demikian, gudang tersebut tidak memiliki persediaan  yang  tersimpan  untuk pengecer  tertentu  (sehingga ̂ 0 =  0).
Selanjutnya  akan  ditentukan  biaya penyimpanan persediaan dan pemesanan di  pengecer i . Misalkan adalah kuantitas pesanan untuk pengecer i dan adalah  waktu  untuk satu putaran pemesanan pada pengecer
i .  Tingkat  persediaan  rata-rata  di
pengecer i adalah ,  dibagi  dengan panjang  siklus  pesanan ,  atau . Karena setiap hari permintaan tetap, maka .  Sehingga  tingkat
persediaan  rata-rata  di  pengecer i
adalah :
(1)
Maka  biaya  rata-rata  penyimpanan persediaan  di  pengecer i selama  periode perencanaan dasar dengan biaya
penyimpanan  per  unit  per  hari, ,  adalah
sebagai berikut:
( ) ( ̂ ) (2) ̂
( ) (3)
2. Ti  <  To . Dalam  hal  ini,  ada  sebagian barang  dari  persediaan  yang  ada  di gudang  dan  tersimpan,  menunggu untuk pengiriman ke pengecer i. Mengingat bahwa tarif biaya  penyimpanan  persediaan  di pengecer i adalah dan  tarif  biaya penyimpanan  persediaan  di  gudang adalah ̂ , maka diperoleh:
( ) ̂ (4)
Untuk  (2.3)  kita  harus  menambahkan biaya penyimpanan persediaan di pengecer i,  yang  dihitung  sebagaimana  kasus  1, digunakan tarif biaya penyimpanan persediaan per-unit di pengecer i , yaitu , sehingga didapatkan:
( ) ( ̂ ) (5) ( ) ̂ (6) ( ) (7)

## Rizki Habibi
̂ ( )
Oleh  karena  itu,  biaya  rata-rata  dapat disajikan sebagai:
( )   ∑ ∑ ( ) (8)
Dengan  demikian,  biaya  rata-rata penyimpanan persediaan untuk pengecer i yang  ada  di  gudang  dan  di pengecer i yang disimbolkan dengan ( ) dirumuskan dengan:
( ) ( ̂ ) ̂ ( ) ((9)
Dimana:
(10) (11)
(12) (13)
Kendala (10) sesuai  dengan  kebijakan 2 Ni ,  yang  berarti  bahwa  rasio  dari  waktu siklus  di  gudang  dan  di  setiap  pengecer akan menjadi 2 Ni . Kendala (11) memastikan bahwa N i adalah bilangan  integer,  sedangkan  kendala (12) dan  (13)   menjamin  waktu  siklus  harus positif.
3. Model  Rantai  Suplai  Lokasi-
Inventori  Multi-Gudang  dan  Multi Pengecer
Sekarang  masalah  sebelumnya  dapat diperluas sekaligus memperkenalkan masalah yang dibahas dalam penelitian ini, yaitu masalah multi-gudang multi- pengecer. Dalam masalah ini, ada sejumlah  gudang  yang  dapat  dibuka  di sejumlah kandidat
lokasi. Dengan demikian,  kita  memiliki  dua  keputusan tambahan  yang  harus  dibuat. Keputusan pertama adalah dilokasi mana gudang akan dibuka.  Keputusan  yang  kedua  adalah
(karena  sekarang  ada  lebih  dari  satu gudang)  pengecer  yang  manakah  yang akan  dipasok  oleh  setiap  gudang  yang dibuka. Notasi  berikut  digunakan  untuk formulasi.
Himpunan
: himpunan pengecer, dengan indeks i.
J : himpunan  lokasi  gudang  yang mungkin dibuka, dengan indeks j.
Parameter :  besar permintaan dari pengecer i.
: biaya  tetap  pembangunan  dan pengoperasian gudang pada lokasi j.
̂ j : biaya  tetap  pemesanan  pada gudang j.
s ij : biaya  pengiriman  per  unit  dari gudang j ke pengecer I.
̂ j : biaya  pengiriman  per  unit  dari pabrik ke gudang j.
: biaya penyimpanan per unit barang  di  pengecer  i  dalam  1
waktu.
: biaya tetap pemesanan oleh pengecer i.
̂ j : biaya penyimpanan persediaan per unit dalam satu waktu di gudang j.
Variabel Keputusan:
T ij : waktu putaran pada pengecer i ketika dipasok oleh gudang j.
̂ j : waktu putaran pada gudang j.
Variabel Keputusan Biner
X j = 1  jika suatu gudang di buka di lokasi j 0  jika sebaliknya
Y ij = 1 jika pengecer i di pasok gudang j 0  jika sebaliknya Berdasarkan permasalahan sebelumnya,  kita  dapat  memperoleh  biaya rata-rata dengan menambahkan
pertimbangan  biaya-tetap-pemesanan  di gudang j, serta variabel biner yang memutuskan  apakah  sebuah  gudang  akan dibuka  atau  tidak  pada  lokasi  yang
diberikan  dan  apakah  pengecer  akan dipasok  oleh  gudang  yang  diberikan (dibuka). Maka  didapatkan  bentuk  final dari biaya, yaitu:
∑ ̂ ̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ,( ̂ ) ̂ ( ̂ )- (14)
Selain  biaya  ini,  ada  juga  biaya  tetap pendirian gudang, yaitu:
∑ (15)
Terakhir,  ada  biaya  pengiriman  antara gudang dan pengecer yang ditugaskan: ∑ ∑( ̂ ) (16)
Sekarang dapat disajikan rumusan dari masalah rantai suplai lokasi-inventori:
̂ ∑ ∑ ̂ ̂ ∑ ∑( ̂ ) ∑ ∑ ∑ ∑ ,( ̂ ) ̂ ( ̂ )- (17)
Dengan : ( ̂ ) (18)
( ̂ ) (19)
dan ̂ (20)
maka:
̂ ∑ ∑ ̂ ̂
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑[ ( ̂ )] (21)
Dan disederhanakan menjadi:
̂ ∑ ( ̂ ̂ ) ∑ ∑ { ( ̂ )} (22)
Dimana:
∑ (23)
(24) *   + (25) *   + (26) (27) ̂ (28)
(29) Fungsi  objektif,  seperti  yang  sudah dijelaskan, bertujuan untuk meminimalkan jumlah persediaan, pengiriman, pemesanan  serta  biaya  lokasi,  sementara pada  saat  yang  sama  harus  memenuhi permintaan  konsumen  akhir.  Himpunan pertama  pada  kendala  (23)  menjelaskan bahwa  setiap  pengecer  ditugaskan  untuk tepat satu gudang.
Kendala (24) memastikan  bahwa  pengecer tidak akan dipasok oleh gudang yang tidak dibuka,  sedangkan  kendala  (28)  dan (29) memastikan siklus waktu positif.
4. Linierisasi
Fungsi  tujuan  dari  persoalan  rantai suplai lokasi-inventori dirumuskan sebagai program non-linier  integer campuran (MINLP)  yang  dapat  disajikan  dalam model berikut:

## Rizki Habibi
Pada fungsi tujuan (30) dapat ditemukan  bentuk  tak-linier  sebagaimana yang  sudah  diberi  tanda  nomor,  yaitu:
( ̂ ̂ ) , ( ) , , dan ( ̂ ) . Selanjutnya akan dilakukan  proses  linierisasi  elemen  tak- linier  yang  terdapat  dalam  fungsi  (30) untuk  memformulasikan  suatu  rumusan yang lebih mudah untuk
diselesaikan. Untuk  mengatasi  masalah ketak-linieran  yang  timbul  pada  fungsi tujuan  tersebut  akan  diterapkan  linierisasi piecewise , seperti yang dilakukan oleh Al- Salem et al. (2016).
Langkah  awal  adalah  melinierkan bentuk  tak-linier  bagian-1  berdasarkan linierisasi  piecewise  dari  bentuk ̂ ̂ .
Diasumsikan ̂ dibagi  menjadi  n  =  1,  2, …, N bagian yang linier, sehingga terdapat N+1  titik  belah  yang  dilambangkan sebagai t j 1 , t j 2 , ... , t j N+1 dengan t j 1 < t j 2 < ... < t j N+1 . Dimana: ,   - (31)
∑ (32) (33) Maka  selanjutnya  dapat  dilakukan pendekatan sebagai berikut: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ) (34)
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (35)
̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) (36)
Kemudian  (36)  dikalikan  dengan
menjadi:
̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) (37)
Dengan: *   + , (38) Kemudian  dibuat  variabel  pelinier yang  baru  yaitu ,  dengan ketentuan: (39) ( ) (40)
dimana M adalah  sembarang  angka yang besar.
(41)
Maka diperoleh bentuk liniernya yaitu: ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) (42)
Dengan  kendala  (31),  (32),  (33),  (38), (39),  (40)  dan  (41).  Selanjutnya  akan dilinierkan  bentuk  tak-linier  bagian-2, yaitu ( ) berdasarkan  linierisasi piecewise  dari  bentuk .  Diasumsikan
dibagi  menjadi  n  =  1,  …,  N  bagian yang  linier,  sehingga  terdapat  N+1  titik belah  yang  dilambangkan  sebagai  t ij 1 ,  t ij 2 , ... , t ij N+1 dan t ij 1 < t ij 2 < ... < t ij N+1 .
Dengan: ,   - , (43)
∑ (44) s (45) Kemudian dapat dilakukan pendekatan sebagai berikut:
( ) (46) (47)
( ) (48) Dengan  mengalikan  (48)  dengan menjadi: ( ) (49) Dengan: *   + , , (50)
Kemudian  dibuat  variabel  pelinier yang  baru  yaitu ,  dengan
ketentuan:
(51) ( ) (52) (53) Maka diperoleh bentuk liniernya yaitu:
( ) (54)
Dengan  kendala  (43),  (44),  (45),  (51), (52) dan (53).
Selanjutnya  akan  dilinierkan  bentuk tak-linier  bagian  3,  yaitu  bentuk dimana:
*   + , , (55) (56) Dengan  membuat  variabel  pelinier yang  baru  yaitu ,  sehingga
diperoleh bentuk:
(57)
dengan ketentuan:
(58) ( ) (59) (60) Selanjutnya  akan  dilinierkan  bentuk tak-linier bagian 4, yaitu bentuk ( ̂ ) ngan menyatakan bentuk ( ̂ ) agai yaitu: ( ̂ ) (61) Sehingga diperoleh: ( ̂ ) (62) Dengan batasan: ̂ (63) (64) Dengan  membuat  variabel  pelinier yang  baru  yaitu ,  maka diperoleh bentuk: (65) Dengan ketentuan: (66) ( ) (67)
(68) ̂ (69) (70) ̂ (71) *   + , , (72)
Jika  bentuk  (42),  (54),  (57)  dan  (65) dituliskan  bersamaan  sekaligus  sesuai model (30) maka diperoleh model program linier sebagai berikut:
̂ ∑ ∑
( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ) ∑ ∑ ( ( ) ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (73) ∑ ∑ ( ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) ) ∑ ∑ ( ( )
) (74)
5. Analisis Perhitungan
Bagian  ini  akan  menjelaskan  teknis dari  masalah  yang  diselesaikan  dengan membahas sebuah contoh. Parameter yang menjadi  masukan  untuk  contoh  ini
disajikan dalam tabel 1, tabel 2 dan tabel 3 dengan  ukuran  masalah  yang  kecil  yaitu masalah rantai suplai dengan jumlah calon gudang  yang  dapat  dibuka  sebanyak  3 gudang  (J  =  3)  dan  akan  mensuplai  3 pengecer  (I  =  3)  yang  diilustrasikan dengan  gambar  2.  Tabel  1  menyajikan masukan  berupa  biaya  berkenaan  dengan pembukaan  suatu  gudang  j,  diantaranya: biaya  pembukaan  setiap  gudang  j  ( f j ), biaya  ongkos  kirim  satuan  barang  dari pabrik  ke  gudang j  ( ̂ j ), biaya inventori  di gudang  j  ( ̂ j )  dan  biaya  tetap  pemesanan gudang j ( ̂ j ).
Tabel  2  menyajikan  masukan  berupa biaya  berkenaan  dengan  masing-masing pengecer  i,  yaitu:  jumlah  permintaan pengecer i ( d i ), biaya inventori di pengecer i  ( h i )  dan  biaya  tetap  pemesanan  masing- masing pengecer i ( k i ). Tabel 3 menyajikan  biaya  pengiriman  satuan barang dari gudang j ke pengecer i ( s ij ).
Selanjutnya  perhitungan  dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan interval nilai T yang akan dibagi ke dalam segmen-segmen,  yang  dimisalkan  berada pada  interval  0.1  <  T  <  1,  dengan  nilai  P yang  digunakan  adalah  0.5.  Kemudian diasumsikan  T  dibagi  menjadi  N  bagian (segmen)  yang  linier  dan  lebar  interval setiap  segmen  sama,  sehingga  terdapat  N + 1 titik belah yang dilambangkan sebagai t 1 ,  t 2 ,  ...,  t n ,  t n+1 dimana  t 1 <  t 2 <  ...  <  t n < t n+1 .
Tabel 1. Biaya Berkenaan dengan Gudang j f j ̂ j ̂ j ̂ j J=1 25000 2000 500 50000 J=2 50000 1000 800 75000 J=3 55000 500 1000 100000 Tabel 2: Biaya Berkenaan dengan Pengecer i I=1 I=2 I=3 d i 100 150 200 h i 1000 1200 1500
k i 80000 90000 80000
Tabel  3.  Biaya  Pengiriman  Satuan
Barang (s ij ) dari Gudang j ke Pengecer i I=1 I=2 I=3 J=1 2000 500 1200 J=2 1700 800 1000 J=3 1500 2000 2000
Gambar 2 : Ilustrasi Rantai Suplai Lokasi- Inventori dengan 3 gudang dan 3 pengecer
Tabel  4  merangkum  hasil  perhitungan berupa  total  biaya  minimum  beserta perbedaannya  atau  errornya  dari  berbagai jumlah  segmen  dari  1  sampai  5.  Hal  ini memungkinkan  untuk  dapat  mengamati bahwa  perbedaan  yang  besar  dalam  error ada  di  1  segmen  linear,  sementara  itu secara bertahap berkurang pada pendekatan 2 segmen, 3 segmen sampai 5 segmen.
Tabel 4. Rangkuman Hasil Perhitungan
Dengan  membandingkan  hasil  yang diperoleh, penulis mencatat bahwa dengan menambahkan  jumlah  segmen  dapat mengurangi kesenjangan error yang dihasilkan.  Tetapi  upaya  perhitungan untuk segmen yang lebih banyak, seperti 4 segmen  dan  5  segmen  secara  substansial memang lebih tinggi.
Pada  linierisasi  dengan  5  segmen linier,  dimana  terdapat  6  titik  belah  t  = {0.1, 0.28, 0.46, 0.64, 0.82, 1}, yang garis liniernya  ditunjukkan  gambar  3.10,  jika interval  segmen  garis  linier  yang  pertama yaitu  0.28  <  t  <  0.46,  diperkecil  dengan menggeser  titik  belah  t 3 =  0.46  ke  kiri menjadi t 3 = 0.37 sehingga himpunan titik belahnya  menjadi  t  =  {0.1,  0.28,  0.37,
0.64, 0.82, 1}. Setelah dilakukan perhitungan  diperoleh  nilai  mini-mum yang  sama  dengan  sebelum  pergeseran titik belah yaitu 1.754.400, tetapi memiliki nilai error yang lebih kecil dari sebelumnya  17.125  menjadi  8.339,3. Kemudian  konsekuensi  penggeseran  titik belah  t 3 ke  kiri  menyebabkan  error  dari interval sebelah kirinya berkurang, sedangkan error interval sebelah kanannya bertambah.  Jika  penggeseran  titik  belah  t 3 terlalu  jauh  ke  kiri,  maka  error  dari interval  sebelah  kanan  menjadi  cukup besar  yang  menyebabkan  error  hasil  per- hitungan  akhirnya  kembali  menjadi  lebih besar.
Hal ini mengindikasikan
diperlukannya  perhitungan  khusus  untuk mendapatkan  posisi  titik  belah  yang memiliki  error  yang  merata  disetiap interval segmen-segmennya yang diperkirakan  dapat  memberikan  hasil pendekatan yang lebih optimal.
Gambar  3.  Keputusan  Gudang  yang dibuka dan memasok pengecer

## Kesimpulan
Penelitian  ini  membahas  persoalan rantai  suplai  lokasi-inventori  dua  eselon dengan  beberapa  gudang  (multi-gudang)
dan  beberapa  pengecer  (multi-pengecer) dimana  gudang  dan  pengecer  dapat melakukan penyimpanan (inventori).
Model  dari  persoalan  rantai  suplai  lokasi- inventori  aslinya  diformulasikan  dalam bentuk program tak-linier integer campuran.  Penelitian  ini  mengimple- mentasikan  teknik  linierisasi piecewise dalam  mengubah  persoalan  tak  linier menjadi persoalan optimasi linier.
Dengan adanya linierisasi, penyelesaian persoalan rantai suplai menjadi  mudah  dilakukan  dan  kendala yang  dihasilkan  tidak  terlalu  banyak. Namun,  dari hasil perhitungan,  error  yang dihasilkan  masih  terlalu  besar,  terutama linierisasi  dengan  segmen  linier  yang sedikit.  Sementara  itu  secara  bertahap error  berkurang  untuk  segmen  yang  lebih banyak,  tetapi  upaya  perhitungan  untuk segmen  yang  banyak  secara  substansial memang  lebih  tinggi  dan  membutuhkan waktu  perhitungan  yang  lebih  lama. Perubahan  posisi  titik  belah  bagian  yang linier  juga  mempengaruhi  ukuran  error yang  dihasilkan.  Hal  ini  mengindikasikan bahwa untuk mendapatkan hasil linierisasi piecewise yang lebih baik (lebih mendekati  nilai  aslinya)  maka  diperlukan penentuan  titik  belah  dengan  nilai  error yang merata pada setiap segmen liniernya.

## Daftar Pustaka
Al-Salem, M., Diabat, A., Dalalah, D., dan Alrefaei,  M.  2016.  A  Closed-Loop Supply Chain Management Problem: Reformulation and Piecewise Linearization. Journal  of  Manu- facturing Systems , 40, 1-8.
Daskin,  M.  S.,  Coullard,  C.  R.,  dan  Shen,
Z.-J. M. 2002. An inventory-location model: Formulation, solution
algorithm  and  computational  results.
Annals  of  Operations  Research ,
110(1–4), 83-106.

## Rizki Habibi
Diabat, A. 2014. Hybrid Algorithm For A Vendor  Managed  Inventory  System In  A  Two-Echelon  Supply  Chain. European  Journal  of  Operati-onal Research , 238 (1), 114-121.
Diabat,  A.  2016.  Capacitated  Facility Location And Inventory Management  Problem  With  Single Sourcing. Opt Lett .
Diabat,  A.,  Battaa,  O.,  dan  Nazzal,  D. 2015.  An  Improved  Lagrangian Relaxation-Based  Heuristic  For  A Joint  LocationInventory  Problem. Computers and Operations Research , 61(1), 170-178. Diabat,  A.  dan  Richard,  J.  P.  2015.  An Integrated Supply Chain Problem: A Nested Lagrangian Relaxation
Approach. Annals  of  Operations Research , 229 (1), 303-323.
Diabat, A., Richard, J. P., dan Codrington,
C. W. 2013. A Lagrangian Relaxation Approach To Simultaneous  Strategic  And  Tactical Planning  In  Supply  Chain  Design. Annals  of  Operations  Research , 203(1), 55-80.
Kaya,  O.,  dan  Urek,  B.  2016.  A  Mixed
Integer Nonlinear Programming Model  And  Heuristic  Solutions  For Location,  Inventory  And  Pricing Decisions  In  A  Closed  Loop  Supply
Chain. Computers  and  Operations
Research , 65, 93-103.
Mazarei,  M.  M.,  Behroozpoor,  A.  A.,  dan Kamyad,  A.  V.,  2014.  The  Best Piecewise Linearization of Nonlinear Functions. Applied  Mathematics ,  5, 3270–3276.
Shiguemoto, A. L., dan Armentano, V. A. 2010.  A  Tabu  Search  Procedure  For
Coordinating  Production,  Inventory And  Distribution  Routing  Problems. International Transactions in
Operational  Research ,  17(2),  179-
195.
Shu, J. 2010. An efficient greedy heuristic for warehouse-retailer network design  optimi-zation. Transportation Science , 44(2), 183-192.
Teo,  C.  P.,  dan  Shu,  J.  2004.  Warehouse- Retailer  Network  Design  Problem. Operations  Research ,  52(3),  396- 408.
Vielma, J. P., Ahmed, S., dan Nemhauser,
G.  2010.  A  Note  On  A  Superior Representation Method For Piecewise Linear Functions.
INFORMS  Journal  on  Computing .
Vol. 22, No. 3, 493-497.