Ruang Barisan Selisih Diperumum Tipe Cesaro pada Ruang Bernorma- n (Cesaro Generalized Difference Sequence Spaces on n -Normed Spaces)
Mizan Ahmad 1 ∗ , Riski Aspriyani 2
12 Universitas Nahdlatul Ulama Al Ghazali Cilacap
Email: 1 mizan.ahmad36@gmail.com, 2 rizky.asp@gmail.com
*Penulis Korespondensi
Abstract. In this paper, we discuss about some classes of Cesaro generalized diffe- rence sequence spaces on n -normed spaces. We observe their completeness and the relationships between them. At the end of this paper, we construct the Kothe-Toeplitz dual of some of Cesaro generalized difference sequence spaces on n -normed spaces. Keywords: n -normed spaces, Cesaro generalized difference sequences, Kothe- Toeplitz dual.
Abstrak. Pada tulisan ini dibahas mengenai beberapa kelas ruang barisan selisih dipe- rumum Cesaro pada ruang bernorma- n . Diselidiki kelengkapan masing-masing kelas dan hubungan antar kelas. Pada akhir tulisan ini, dikonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz dari beberapa ruang barisan selisih diperumum Cesaro pada ruang bernorma- n . Kata Kunci: Ruang bernorma- n , barisan selisih diperumum Cesaro, dual K¨othe- Toeplitz.

## I. PENDAHULUAN
Ruang barisan merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang banyak dipela- jari dan dikembangkan. Beberapa ruang barisan yang sudah dikenal di antaranya ruang barisan terbatas, ruang barisan p - absolutely summable , ruang barisan absolutely summable , ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan ruang barisan Cesaro.
Ruang barisan Cesaro
Ces p = { ¯ x = ( x k ) : k x k p = ( ∞ X k =1 1 n n X k =1 | x k | p ) 1 p < ∞ , 1 ≤ p < ∞}
dan
Ces ∞ = { ¯ x = ( x k ) : k x k ∞ = sup n 1 n n X k =1 | x k | < ∞}
dikenalkan dalam Shiue [16]. Hasilnya, l p ⊂ Ces p (1 < p < ∞ ) . Ng dan Lee [14] mendefi- nisikan ruang barisan
X p = { ¯ x = ( x k ) : k x k p = ( ∞ X k =1 | 1 n n X k =1 x k | p ) 1 p < ∞ , 1 ≤ p < ∞}
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
dan
X ∞ = { ¯ x = ( x k ) : k x k ∞ = sup n | 1 n n X k =1 x k | < ∞} .
Dalam penelitian tersebut didapatkan, Ces p ⊂ X p , 1 ≤ p < ∞ .
Selanjutnya, Orhan [15] mengenalkan ruang barisan selisih Cesaro X p (∆) , X ∞ (∆) , O ∞ (∆) dan O p (∆) dengan mengganti x = ( x k ) menjadi ∆ x = ∆( x k ) = ( x k − x k +1 ) , k = 1 , 2 , ... . Dari penelitian tersebut didapatkan X p ⊂ X p (∆) , X ∞ ⊂ X ∞ (∆) , O p (∆) ⊂ X p (∆) dan O ∞ (∆) ⊂ X ∞ (∆) , untuk 1 ≤ p < ∞ . Selanjutnya, Et [4] mendefinisikan dan meneliti ruang barisan C p (∆ m ) dan C ∞ (∆ m ) dengan
∆ m x k = m X v =0 ( − 1) v m v ! x k + v .
untuk m ∈ N . Dari penelitian tersebut disimpulkan bahwa C p (∆ m − 1 ) ⊂ C p (∆ m ) dan C p (∆ m ) ⊂ C q (∆ m ) , untuk 1 ≤ p < q < ∞ . Lebih lanjut, Ahmad [1] mendefinisikan ruang barisan selisih diperumum Cesaro Z (∆ m g ) untuk Z = l p , C p , C ∞ , O p , O ∞ dengan
∆ m g x k = m X v =0 ( − 1) v m v ! x k + v g k + v .
untuk suatu g = ( g k ) barisan bilangan real tak nol. Dari penelitian tersebut diperoleh bahwa Z (∆ i g ) ⊂ Z (∆ m g ) , untuk i = 1 , 2 , ..., m − 1 .
Diberikan X ruang barisan bilangan real, ruang bernorma ( X, k · k ) disebut ruang BK jika ( X, k · k ) merupakan ruang Banach dan untuk setiap k ∈ N , fungsi P k : X → R dengan definisi P k ( x ) = x k , dengan x = ( x k ) merupakan fungsi kontinu.
Terdapat banyak ruang dual yang sering diteliti berkaitan dengan ruang barisan, beberapa diantaranya dibahas dalam Garling [8]. Pada tulisan ini hanya dibahas untuk ruang dual K¨othe- Toeplitz. Dual K¨othe-Toeplitz dari ruang barisan E dinotasikan [ E ] α dengan [ E ] α = { y = ( y k ) : P ∞ k =1 | x k y k | < ∞ , untuk setiap x = x ( k ) ∈ E } . Penelitian tentang dual K¨othe-Toeplitz dari suatu ruang barisan dapat ditemukan dalam Et dan C ¸ olak [5], Et [4], serta Kizmaz [12].
Dengan mendasarkan konsep norma, G¨ahler [6] mendefinisikan norma-2 sebagai perlu- asan konsep norma. Selanjutnya, G¨ahler [7] mengembangkan konsep norma menjadi norma- n , untuk suatu n ∈ N . Penelitian tentang ruang bernorma- n dapat ditemukan dalam Misiak [13], Gozali et. al. [9], Gunawan [10], serta Gunawan dan Mashadi [11].
Untuk n ∈ N dan X ruang vektor real berdimensi d , dengan d ≥ n , suatu fungsi k · , ..., · k pada X n yang memenuhi k x 1 , x 2 , ..., x n k = 0 jika dan hanya jika { x 1 , x 2 , ..., x n } bergantung linear, k x 1 , ..., x n k invarian terhadap permutasi, k αx 1 , x 2 , ..., x n k = | α | k x 1 , x 2 , ..., x n k , untuk setiap α ∈ R , dan k x + y, x 2 , ..., x n k≤k x, x 2 , ..., x n k + k y, x 2 , ..., x n k disebut norma- n pada X , dan pasangan ( X, k · , ..., · k ) disebut ruang bernorma- n .
Barisan ( x k ) di dalam ruang bernorma- n ( X, k · , ..., · k ) dikatakan konvergen ke L ∈ X terhadap norma- n jika
lim k →∞ k x k − L, u 2 , ..., u n k = 0 , untuk setiap u 2 , ..., u n ∈ X.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
Barisan ( x k ) di dalam ruang bernorma- n ( X, k · , ..., · k ) disebut barisan Cauchy terhadap norma- n jika
lim k,l →∞ k x k − x l , u 2 , ..., u n k = 0 , untuk setiap u 2 , ..., u n ∈ X.
Ruang bernorma- n ( X, k · , ..., · k ) disebut ruang Banach- n jika untuk setiap barisan Cauchy di dalam X merupakan barisan konvergen.
Berdasarkan konsep dual K¨othe-Toeplitz dari suatu ruang barisan, Dutta [2] mendefi- nisikan dual K¨othe-Toeplitz dari ω ( E ) ruang barisan bernorma- n . Lebih lanjut, Dutta [2] dan Dutta [3] mengkonstruksi dual K¨othe-Toeplitz dari suatu ruang kelas barisan pada ruang berenor- ma- n .
Pada tulisan ini, dikonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz dari beberapa ruang barisan selisih diperumum tipe Cesaro pada ruang bernorma- n . Konstruksi ini dilakukan untuk mempermudah dalam penentuan dual K¨othe-Toeplitz.

## II. RUANG BARISAN SELISIH DIPERUMUM CESARO PADA RUANG BERNORMA- n
Berikut ini didefinisikan beberapa ruang barisan selisih diperumum Cesaro pada ruang bernorma- n .
Definisi 1 Diberikan X ruang vektor real bernorma- n dan ω ( X ) = { x = ( x k ) : x k ∈ X, untuk setiap k ∈ N } . Untuk suatu m ∈ N , g = ( g k ) suatu barisan bilangan real tidak nol dan 1 ≤ p < ∞ , serta untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X didefinisikan
C p (∆ m g , X ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( X ) : ∞ X i =1 k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! p < ∞} , C ∞ (∆ m g , X ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( X ) : sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! < ∞} , l p (∆ m g , X ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( X ) : ∞ X k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k p < ∞} , l ∞ (∆ m g , X ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( X ) : sup k k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k < ∞} , O p (∆ m g , X ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( X ) : ∞ X i =1 1 i i X k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! p < ∞} , O ∞ (∆ m g , X ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( X ) : sup i 1 i i X k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! < ∞}
dengan
∆ m g x k = m X v =0 ( − 1) v m v ! x k + v g k + v .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
Dari definisi tersebut diperoleh teorema berikut.
Teorema 1 Diberikan X ruang Banach- n dan 1 ≤ p < ∞ .
1. Ruang l p (∆ m g , X ) merupakan ruang Banach- n terhadap norma- n yang didefinisikan se- bagai berikut
k x 1 , ..., x n k ∆ m g l p =                0 , jika x 1 , ..., x n , bergantung linear dan
P m k =1 k x k g k , z 1 , ..., z n − 1 k +( P ∞ k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k p ) 1 p ,
jika x 1 , ..., x n , bebas linear
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X .
2. Ruang C p (∆ m g , X ) merupakan ruang Banach- n terhadap norma- n yang didefinisikan sebagai berikut
k x 1 , ..., x n k ∆ m g C p =                  0 , jika x 1 , ..., x n , bergantung linear dan
P m k =1 k x k g k , z 1 , ..., z n − 1 k +( P ∞ i =1 k 1 i P i k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k p ) 1 p ,
jika x 1 , ..., x n , bebas linear
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X .
3. Ruang O p (∆ m g , X ) merupakan ruang Banach- n terhadap norma- n yang didefinisikan sebagai berikut
k x 1 , ..., x n k ∆ m g O p =                  0 , jika x 1 , ..., x n , bergantung linear dan
P m k =1 k x k g k , z 1 , ..., z n − 1 k +( P ∞ i =1 ( 1 i P i k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ) p ) 1 p ,
jika x 1 , ..., x n , bebas linear
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X .
4. Ruang l ∞ (∆ m g , X ) merupakan ruang Banach- n terhadap norma- n yang didefinisikan sebagai berikut
k x 1 , ..., x n k ∆ m g l ∞ =          0 , jika x 1 , ..., x n , bergantung linear dan
P m k =1 k x k g k , z 1 , ..., z n − 1 k + sup k k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k , jika x 1 , ..., x n , bebas linear
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
5. Ruang C ∞ (∆ m g , X ) merupakan ruang Banach- n terhadap norma- n yang didefinisikan sebagai berikut
k x 1 , ..., x n k ∆ m g C ∞ =                  0 , jika x 1 , ..., x n , bergantung linear dan
P m k =1 k x k g k , z 1 , ..., z n − 1 k + sup i k 1 i P i k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ,
jika x 1 , ..., x n , bebas linear
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X .
6. Ruang O ∞ (∆ m g , X ) merupakan ruang Banach- n terhadap norma- n yang didefinisikan sebagai berikut
k x 1 , ..., x n k ∆ m g O ∞ =                  0 , jika x 1 , ..., x n , bergantung linear dan
P m k =1 k x k g k , z 1 , ..., z n − 1 k + sup i 1 i P i k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ,
jika x 1 , ..., x n , bebas linear
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X .
Bukti. Mudah ditunjukkan bahwa l p (∆ m g , X ) , l ∞ (∆ m g , X ) , C p (∆ m g , X ) , C ∞ (∆ m g , X ) , O p (∆ m g , X ) dan O ∞ (∆ m g , X ) merupakan ruang bernorma- n terhadap norma- n yang bersesua- ian. Selanjutnya, akan ditunjukkan C ∞ (∆ m g , X ) ruang Banach- n . Untuk ruang yang lain, bukti menggunakan teknik yang sama.
Diambil sebarang bilangan ε > 0 dan ( x s ) = ( x s i ) = ( x s 1 , x s 2 , ... ) barisan Cauchy di dalam C ∞ (∆ m g , X ) , maka terdapat n 0 ∈ N , sedemikian sehingga untuk setiap s, t ≥ n 0 dan untuk setiap u 2 , ..., u n ∈ C ∞ (∆ m g , X ) berlaku
k x s − x t , u 2 , ..., u n k ∆ m g C ∞ < ε ⇔ m X k =1 k ( x s k − x t k ) g k , z 1 , ..., z n − 1 k + sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) , z 1 , ..., z n − 1 k ! < ε
untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X . Akibatnya, untuk setiap s, t ≥ n 0 berlaku
m X k =1 k ( x s k − x t k ) g k , z 1 , ..., z n − 1 k < ε (1)
dan
sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) , z 1 , ..., z n − 1 k ! < ε, (2)
untuk setiap i ∈ N dan z 1 , ..., z n − 1 ∈ X . Dengan demikian untuk setiap k = 1 , ..., m dan

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
s, t ≥ n 0 , berlaku k ( x s k − x t k ) g k , z 1 , ..., z n − 1 k < ε . Akibatnya, untuk setiap k = 1 , ..., m , ( x s k ) ∞ s =1 merupakan barisan Cauchy di X . Karena X ruang Banach- n , maka ( x s k ) ∞ s =1 konvergen, katakan ke x k ∈ X , untuk k = 1 , ..., m . Dengan kata lain
lim s →∞ x s k = x k , untuk k = 1 , ..., m. (3)
Selanjutnya, dipunyai k 1 i P i k =1 ∆ m g ( x s k + x t k ) , z 1 , ..., z n − 1 k < ε , untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X , s, t ≥ n 0 dan untuk setiap i ∈ N . Karena berlaku untuk setiap i ∈ N , maka didapatkan (∆ m g ( x s k )) ∞ s =1 merupakan barisan Cauchy di C ∞ ( X ) yang lengkap. Akibatnya, (∆ m g ( x s k )) ∞ s =1 konvergen, katakan ke y = ( y k ) ∈ C ∞ ( X ) , sehingga diperoleh lim s →∞ ∆ m g ( x s k ) = y k , untuk setiap k ∈ N .
Untuk k = 1 didapatkan
y 1 = lim s →∞ ∆ m g ( x s 1 ) = lim s →∞ m X v =0 ( − 1) v ( m v ) x s 1+ v g 1+ v = lim s →∞ m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v ) x s 1+ v g 1+ v + ( − 1) m x 1+ m g 1+ m ! = m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v ) lim s →∞ x s 1+ v g 1+ v + ( − 1) m lim s →∞ x s 1+ m g 1+ m .
Karena lim s →∞ x s k = x k , untuk setiap k = 1 , ..., m , maka lim s →∞ x s 1+ v = x 1+ v , untuk v = 1 , ..., m − 1 . Karena lim s →∞ x s 1+ v ada dan P m − 1 v =0 ( − 1) v ( m v ) lim s →∞ x s 1+ v g 1+ v ada, maka diper- oleh lim s →∞ x s 1+ m ada, katakan x 1+ m = lim s →∞ x s 1+ m .
Proses tersebut dilanjutkan untuk k = 2 , 3 , 4 , ... , sehingga diperoleh
x k = lim s →∞ x s k , untuk setiap k > m. (4)
Berdasarkan Persamaan 3 dan Persamaan 4 didapatkan
x k = lim s →∞ x s k , untuk setiap k ∈ N
dan
∆ m g x k = lim s →∞ ∆ m g x s k , untuk setiap k ∈ N .
Selanjutnya, berdasarkan Persamaan 1 dan 2, untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X dan s ≥ n 0 berlaku
m X k =1 k ( x s k − x k ) g k , z 1 , ..., z n − 1 k = lim t →∞ m X k =1 k ( x s k − x t k ) g k , z 1 , ..., z n − 1 k < ε
dan
sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) , z 1 , ..., z n − 1 k = lim t →∞ sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) , z 1 , ..., z n − 1 k < ε.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
Dibentuk x = ( x k ) , untuk setiap k ∈ N . Akan ditunjukkan bahwa x ∈ C ∞ (∆ m , X ) . Untuk sebarang z 1 , ..., z n − 1 ∈ X dan s ≥ n 0 berlaku
sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! ≤ sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x k − x s k ) , z 1 , ..., z n − 1 k ! + sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g x s k , z 1 , ..., z n − 1 k ! < ∞ .
Jadi, x ∈ C ∞ (∆ m g , X ) . Selanjutnya, untuk setiap u 2 , ..., u n ∈ C ∞ (∆ m g , X ) dan s ≥ n 0 berlaku
k x s − x, u 2 , ..., u n k ∆ m g C ∞ = m X k =1 k ( x s k − x k ) g k , z 1 , ..., z n − 1 k + sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) , z 1 , ..., z n − 1 k ! < 2 ε
Dengan demikian, C ∞ (∆ m g , X ) ruang Banach- n terhadap norma k · , ..., · k ∆ m g C ∞ .
Lebih lanjut, diperoleh teorema berikut.
Teorema 2 Ruang Z (∆ m g , X ) merupakan ruang BK- n , dengan Z = l p , C p , O p , l ∞ , C ∞ , O ∞ , untuk 1 ≤ p < ∞ .
Bukti. Ditunjukkan untuk Z = C ∞ . Untuk ruang yang lain, bukti menggunakan teknik yang sama.
Diambil sebarang barisan x s yang konvergen, maka terdapat x ∈ C ∞ (∆ m g , X ) sedemikian sehingga berlaku
k x s − x, u 2 , ..., u n k ∞ → 0 , untuk s → ∞
⇔ m X k =1 k ( x s k − x k ) g k , u 2 , ..., u n k + sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) , u 2 , ..., u n k→ 0 , untuk s → ∞ .
Dengan demikian diperoleh
m X k =1 k ( x s k − x k ) g k , u 2 , ..., u n k→ 0 , untuk s → ∞ (5)
dan
sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) , u 2 , ..., u n k→ 0 , untuk s → ∞ (6)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
Dari Persamaan 5 diperoleh
k ( x s k − x k ) g k , u 2 , ..., u n k→ 0 , untuk s → ∞ dan untuk k = 1 , ..., m.
Dengan kata lain
lim s →∞ x s k = x k , untuk k = 1 , ..., m.
Dari Persamaan 6 diperoleh
k 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) , u 2 , ..., u n k→ 0 , untuk s → ∞ dan untuk setiap i ∈ N .
Dengan kata lain
lim s →∞ 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) = 0 , untuk setiap i ∈ N .
Karena
lim s →∞ ∆ m g ( x s k − x k ) = lim s →∞ m X v =0 ( − 1) v ( m v )( x s k + v − x k + v ) g k = lim s →∞ m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v )( x s k + v − x k + v ) g k + ( − 1) m ( x s k + m − x k + m ) g k ! = m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v ) lim s →∞ ( x s k + v − x k + v ) g k + ( − 1) m lim s →∞ ( x s k + m − x k + m ) g k ,
maka untuk k = 1 diperoleh
lim s →∞ x s 1+ m = x 1+ m .
Proses dilanjutkan untuk i = 2 , 3 , ... , sehingga diperoleh
lim s →∞ x s k = x k , untuk setiap k ∈ N .
Jadi, C ∞ (∆ m g , X ) merupakan ruang BK - n .
Berikut hubungan antar kelas barisan selisih Cesaro pada ruang bernorma- n .
Teorema 3 Ruang Z (∆ m − 1 g , X ) ⊂ Z (∆ m g , X ) , dengan Z = l p , C p , O p , l ∞ , C ∞ , O ∞ , untuk 1 ≤ p < ∞ . Lebih lanjut, Z (∆ i g , X ) ⊂ Z (∆ m g , X ) , untuk i = 1 , ..., m − 1 .
Bukti. Ditunjukkan untuk Z = C ∞ . Untuk kelas yang lain, bukti menggunakan teknik yang sama.
Diambil sebarang x = ( x k ) ∈ C ∞ (∆ m − 1 g , X ) dengan m ≥ 2 . Untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X , z j 6 = 0 , dengan j = 1 , ..., n − 1 berlaku
sup i k 1 i i X k =1 ∆ m − 1 g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! < ∞ .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
Karena ∆ m g x k = ∆ m − 1 g x k − ∆ m − 1 g x k +1 , maka untuk setiap i ∈ N berlaku
sup i k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! ≤ sup i k 1 i i X k =1 ∆ m − 1 g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! + sup i k 1 i i X k =1 ∆ m − 1 g x k +1 , z 1 , ..., z n − 1 k ! .
Jadi, C ∞ (∆ m − 1 g , X ) ⊂ C ∞ (∆ m g , X ) . Lebih lanjut, untuk m ≥ 2 berlaku
C ∞ (∆ 1 g , X ) ⊂ C ∞ (∆ 2 g , X ) ⊂ ... ⊂ C ∞ (∆ m − 1 g , X ) ⊂ C ∞ (∆ m g , X ) .
Dengan demikian untuk i = 1 , 2 , ..., m − 1 diperoleh C ∞ (∆ i g , X ) ⊂ C ∞ (∆ m g , X ) .
Teorema 4 Jika 1 ≤ p < ∞ , maka
1. l p (∆ m g , X ) ⊂ l ∞ (∆ m g , X ) ⊂ O ∞ (∆ m g , X ) , 2. O p (∆ m g , X ) ⊂ C p (∆ m g , X ) ⊂ C ∞ (∆ m g , X ) , dan
3. O p (∆ m g , X ) ⊂ O ∞ (∆ m g , X ) ⊂ C ∞ (∆ m g , X ) .
Bukti. 1. Diambil sebarang x = ( x k ) ∈ l p (∆ m g , X ) , dengan 1 ≤ p < ∞ . Untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X , z j 6 = 0 , dengan j = 1 , ..., n − 1 berlaku ∞ X k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k p < ∞ .
Akibatnya ada M > 0 sehingga berlaku k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k < M , untuk setiap k ∈ N . Dengan demikian, sup k k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k < M < ∞ . Jadi, l p (∆ m g , X ) ⊂ l ∞ (∆ m g , X ) .
Selanjutnya, diambil sebarang ( x k ) ∈ l ∞ (∆ m g , X ) . Untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X , z j 6 = 0 , dengan j = 1 , ..., n − 1 berlaku sup k k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k < ∞ . Dengan demikian ada M > 0 sehingga untuk setiap k ∈ N berlaku k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k < M . Oleh karena itu, diperoleh
sup i 1 i i X k =1 k ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k < M.
Jadi, l ∞ (∆ m g , X ) ⊂ O ∞ (∆ m g , X ) .
2. Bukti mengikuti (1) .
3. Bukti mengikuti (1) .
Teorema 5 Jika 1 ≤ p < q , maka
1. C p (∆ m g , X ) ⊂ C q ∆ m g , X ) ,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
2. O p (∆ m g , X ) ⊂ O q (∆ m g , X ) , dan
3. l p (∆ m g , X ) ⊂ l q (∆ m g , X ) .
Bukti. 1. Diambil sebarang x = ( x k ) ∈ C p (∆ m g , X ) , dengan 1 ≤ p < q . Untuk setiap z 1 , ..., z n − 1 ∈ X , z j 6 = 0 , dengan j = 1 , ..., n − 1 , berlaku
∞ X i =1 k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! p < ∞ ,
sehingga untuk setiap ε > 0 ada n 0 ∈ N sedemikian sehingga berlaku
∞ X i = n 0 k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! p < ε. (7)
Karena 1 ≤ p < q , maka untuk setiap i ≥ n 0 dan 0 < ε < 1 berlaku
k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! q < k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! p < ε < 1 . (8)
Oleh karena itu, berdasarkan Persamaan 7 dan Persamaan 8 didapatkan
∞ X i = n 0 k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! q < ∞ X i = n 0 k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! p < ε.
Dengan demikian,
∞ X i =1 k 1 i i X k =1 ∆ m g x k , z 1 , ..., z n − 1 k ! q < ∞ .
Jadi, C p (∆ m g , X ) ⊂ C q (∆ m g , X ) , untuk 1 ≤ p < q .
2. Bukti mengikuti (1) .
3. Bukti mengikuti (1) .

## III. DUAL K ¨ OTHE-TOEPLITZ
Diberikan E ruang bernorma- n dan himpunan semua fungsional linear kontinu pada E dinotasikan dengan E ∗ . Berdasarkan Gozali et. al. [9] fungsi k · , ..., · k : ( E ∗ ) n → R dengan
k f 1 , ..., f n k = sup x i ∈ E k x 1 , ..., x n k X ≤ 1 abs f 1 ( x 1 ) · · · f n ( x 1 ) .. . . .. .. . f 1 ( x n ) · · · f n ( x n )
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
merupakan norma- n pada E ∗ .
Selanjutnya, diberikan E ruang bernorma- n dan Z ( E ) ruang barisan dengan setiap elemen barisannya anggota E . Dutta [2] mendefinisikan dual K¨othe-Toeplitz dari ruang barisan Z ( E ) , yaitu
[ Z ( E )] α = { ( y k ) : y k ∈ E ∗ , k ∈ N dan ∞ X k =1 k x k , u 2 , ..., u n k E k y k , v 2 , ..., v n k E ∗ < ∞ ,
untuk setiap u 2 , ..., u n ∈ E, v 2 , ..., v n ∈ E ∗ , ( x k ) ∈ Z ( E ) } .
Mudah ditunjukkan jika X, Y ⊂ Z ( E ) ruang bernorma- n dengan X ⊂ Y , maka [ Y ] α ⊂ [ X ] α . Diberikan X ruang bernorma- n , didefinisikan
SZ (∆ m g , X ) = { x = ( x k ) : x ∈ Z (∆ m g , X ) , x 1 = ... = x m = 0 } , dengan Z = l ∞ , C ∞ , O ∞ dan
U = { a = ( a k ) : ∞ X k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ < ∞ , untuk setiap z 2 , ..., z n ∈ X ∗ } .
Lemma 1 Jika x ∈ SC ∞ (∆ m g , X ) , maka sup k k − m k x k g k , u 2 , ..., u n k < ∞ .
Bukti. Bukti mengikuti Lemma 4.2. pada Dutta [2] dengan mengganti ∆ m dengan ∆ m g .
Teorema 1 [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α = U .
Bukti. Jika a ∈ U maka P ∞ k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ < ∞ , artinya ada M 1 > 0 sehingga berlaku P ∞ k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ < M 1 . Berdasarkan Lema 1 maka ada M 2 > 0 se- hingga k − m k x k g k , u 2 , ..., u n k X < M 2 , untuk setiap x k ∈ Sl ∞ (∆ m g , X ) . Dengan demikian berlaku
∞ X k =1 k a k , z 2 , ..., z n k X ∗ k x k , u 2 , ..., u n k X = ∞ X k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ k − m k x k g k , u 2 , ..., u n k X < M 2 ∞ X k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ < M 2 M 1 < ∞ .
Jadi, a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α . Selanjutnya, jika a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α , maka ∞ X k =1 k x k , u 2 , ..., u n k X k a k z 2 , ..., z n k X ∗ < ∞ ,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
untuk setiap v 2 , ..., v n ∈ X ∗ , ( x k ) ∈ Sl ∞ (∆ m g , X ) . Dibentuk barisan x = ( x k ) dengan
x k g k = ( 0 , k ≤ m k m , k > m.
Selanjutnya, dipilih u 2 , ..., u n ∈ X sedemikian sehingga berlaku
k k m , u 2 , ..., u n k X = k m k 1 , u 2 , ..., u n k X = ( 0 , k ≤ m k m , k > m.
Akibatnya, untuk setiap z 2 , ..., z n ∈ X ∗ berlaku
∞ X k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ = m X k =1 k m k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ + ∞ X k =1 k x k g k , u 2 , ..., u n k X k a k g − 1 k , z 2 , ..., z n k X ∗ < ∞ .
Dengan demikian, a ∈ U .
Teorema 2 [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α = [ l ∞ (∆ m g , X )] α .
Bukti. Diketahui Sl ∞ (∆ m g , X ) ⊂ l ∞ (∆ m g , X ) , maka diperoleh
[ l ∞ (∆ m g , X )] α ⊂ [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α .
Diambil sebarang a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α dan x = x k ∈ l ∞ (∆ m g , X ) . Karena a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g , X )] α , maka berlaku
∞ X k =1 k a k , z 2 , ..., z n k X ∗ k y k , u 2 , ..., u n k X < ∞ ,
untuk setiap z 2 , ..., z n ∈ X ∗ , u 2 , ..., u n ∈ X , dan ( y k ) ∈ Sl ∞ (∆ m g , X ) . Selanjutnya dibentuk barisan ¯ x = (¯ x k ) dengan
¯ x k = ( 0 , k ≤ m x k , k > m,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
maka ¯ x ∈ Sl ∞ (∆ m g , X ) . Akibatnya, untuk setiap z 2 , ..., z n ∈ X ∗ dan u 2 , ..., u n ∈ X ∗ berlaku
∞ X k =1 k a k , z 2 , ..., z n k X ∗ k x k , u 2 , ..., u n k X = m X k =1 k a k , z 2 , ..., z n k X ∗ k x k , u 2 , ..., u n k X + ∞ X k =1 k a k , z 2 , ..., z n k X ∗ k ¯ x k , u 2 , ..., u n k X < ∞ .
Dengan demikian, a ∈ [ l ∞ (∆ m g , X )] α .
Teorema 3 U = [ l ∞ (∆ m g , X )] α = [ O ∞ (∆ m g , X )] α = [ C ∞ (∆ m g , X )] α .
Bukti. Berdasarkan Teorema 1 dan 2 diperoleh bahwa U = [ l ∞ (∆ m g , X )] α . Selanjutnya, untuk kelas C ∞ (∆ m g , X ) dan O ∞ (∆ m g , X ) , bukti menggukan teknik yang sama seperti pada Teorema 1 dan 2.

## IV. KESIMPULAN DAN PENELITIAN LANJUTAN
Pada tulisan ini, hanya dikonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz untuk l ∞ (∆ m g , X ) , C ∞ (∆ m g , X ) dan O ∞ (∆ m g , X ) . Untuk penelitian selanjutnya, disarankan untuk mengkonstruksikan dual K¨othe- Toeplitz untuk kelas yang lain.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih kepada penilai yang telah memberikan saran.

## REFERENSI
[1] Ahmad, M., Beberapa Kelas Barisan Selisih Diperumum Tipe Cesaro, JFMA , vol. 5, no. 1, pp. 23-34, 2022.
[2] Dutta, H., Some Classes of Cesaro-Type Difference Sequence Over n -Normed Spaces, Advances in Difference Equations , vol.1 , pp. 286, 2013.
[3] Dutta, H., Kothe-Toeplitz Duals of Some n -Normed Valued Difference Sequence Spaces, Maejo Int. J. Sci. Technol ,vol. 9, no. 2, pp. 255-264, 2015.
[4] Et, M., On Some Generalized Cesaro Difference Sequence Spaces, Istanbul Univ. Fen Fak. Mat. Dergrisi ,vol. 55-56, pp. 221-229, 1996-1997.
[5] Et, M. dan C ¸ olak, R., On Some Generalized Diffeerence Sequence Spaces, Soochow J. Math. , ,vol. 21, pp. 377-386, 1995.
[6] G¨ahler, S., Lineare 2-Normierte R¨aume, Math. Nachr. ,vol. 28, pp. 1-43, 1964.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747
[7] G¨ahler, S., Untersuchungen ¨ Uber Verallgemeinerte m -Metrische R¨aume. I, Math.
Nachr. ,vol. 40, pp. 165-189, 1969.
[8] Garling, D.J. H., The β - and γ -duality of Sequence Spaces, Proc. Camb. Phil. Soc. ,vol. 63,pp. 963, 1967.
[9] Gozali, S.H., Gunawan, H., dan Neswan, O., On n -Norms, and Bounded n -Linear Func- tionals in a Hilbert Space, Mathematics Subject Classification ,vol. 1, no. 1, pp. 72-79, 2010.
[10] Gunawan, H., On n -Inner Product, n -Norms, and The Cauchy-Schwarz Inequality, Scien- tiae Mathematicae Japanicae Online ,vol. 5,pp. 47-54, 2001.
[11] Gunawan, H. dan Mashadi, M., On n -Normed Spaces, Int. J. Math. Sci. ,vol. 27,pp. 631- 639, 2001.
[12] Kizmaz, H., On Certain Sequence Spaces, Soochow J. Math. ,vol. 24,pp. 169-176, 1981.
[13] Misiak, A., n -Inner Product Spaces, Math. Nachr. ,vol. 140,pp. 299-319, 1989.
[14] Ng, PN. and Lee, P.Y., Cesaro Sequence Spaces of Non Absolute Type, Comment. Math. ,vol. 20,pp. 429-433, 1978.
[15] Orhan, C., Cesaro Difference Sequence Spaces and Related Matrix Transformations, Commun. Fac. Sci.Univ. Ankara, Ser. A. ,vol. 32,pp. 55-63, 1983.
[16] Shiue, J.S., On The Cesaro Sequence Spaces, Thamkang J. Math. ,vol. 1,pp. 19-25, 1970.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15747