Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24

## PENDEKATAN DIAGONAL UNTUK MASALAH PENUGASAN

## Zahrotun Mu’alifah, Pardi Affandi, Akhmad Yusuf
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jln. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan Email: zahrotunmualifah@gmail.com

## ABSTRAK
Masalah  penugasan  merupakan  masalah  yang  berhubungan  dengan  penugasan  optimal  dari bermacam-macam  sumber  produktif  yang  mempunyai  tingkat  efisiensi  berbeda  untuk  tugas  yang berbeda.  Masalah  penugasan  hanya  mempunyai  satu  tujuan  optimasi,  yaitu  memaksimalkan  atau meminimalkan  sumber  daya  yang  digunakan  untuk  menyelesaiakn  suatu  tugas.  Penelitian  ini bertujuan  untuk  menyelesaikan  masalah  penugasan  dengan  tujuan  memaksimalkan  atau meminimalkan  sumber  daya  dengan  menggunakan  langkah-langkah  dalam  pendekatan  diagonal optimal . Langkah-langkah  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  dengan  tujuan  memaksimalkan sumber  daya  yaitu  mencari  dua  entri  berbeda  dari  matriks  biaya  penugasan  yang  mempunyai  nilai terbesar  dari  setiap  baris  dan  kolom,  sedangkan  dengan  tujuan  meminimalkan  sumber  daya  yaitu mencari  dua  entri  berbeda  dari  matriks  biaya  penugasan  yang  mempunyai  nilai  terkecil  dari  setiap baris dan kolom. Hasil yang diperoleh untuk menyelesaikan masalah penugasan dengan menggunakan pendekatan  diagonal  optimal  dengan  tujuan  memaksimalkan  sumber  daya,  mencapai  solusi  optimal jika  jumlah  semua  sel  diagonal  diperoleh  kurang  dari  nol.  Sedangkan  hasil  untuk  menyelesaikan masalah penugasan dengan tujuan meminimalkan sumber daya, mencapai solusi optimal jika jumlah semua sel diagonal diperoleh lebih dari nol .
Kata kunci : Masalah Penugasan, Model Transportasi, Pendekatan Diagonal Optimal

## ABSTRACT
The  assignment  problem  is  a  problem  related  to  the  optimal  assignment  of  different  productive sources that have different levels of efficiency for different tasks. The assignment problem has only one  optimization  goal,  is  maximizing  or  minimizing  the  resource  that  use  to  complete  a  task.  The purpose  of  this  reaserch  is  to  solve  the  assignment  problem  with  the  goal  of  maximizing  or minimizing resource using the steps in the optimal diagonal approach. The steps used in this research with the goal of maximizing resources are looking for two different entries from the assignment cost matrix that has the greatest value of each row and column, whereash the goal of minimizing resource is looking for two different entries from the assignment cost matrix that has value the smallest of each row and column. The results obtained to resolve the assignment problem using an optimal diagonal approach with the goal of maximizing resource, reach the optimal solution if the sum of all diagonal cells is less than zero. While the results to solve the assignment problem with the goal of minimizing resources, reach the optimal solution if the sum of all diagonal cells more than zero.
Keywords : Assignment Problem, Transportation Model, Diagonal Optimal Approach

## 1. PENDAHULUAN
Masalah  penugasan  merupakan  kasus  khusus  dari  model  transportasi  yang dimiliki  para  pekerja  sebagai  sumber  dan  pekerja  mewakili  tugas.  Masalah penugasan  bermula  dari  penempatan  para  pekerja  pada  bidang  yang  tersedia  untuk mencapai  suatu  tujuan  optimasi  [8].    Ada  beberapa  metode  yang  dapat  digunakan untuk  menyelesaikan  masalah  penugasan,  diantaramya  metode  transportasi  dan metode hungarian [9]. Seorang ahli matematika berkembangsaan hungarian bernama
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24
D.Konig  mengembangkan  metode  hungarian  [7].  Masalah  penugasan  dapat diselesaikan  dengan  menggunakan  modifikasi  pada  metode  hungarian  dengan menggunakan  pendekatan  diagonal  optimal.  Metode  ini  mereduksi  matriks 𝑛 𝑛 menjadi  matriks  ukuran 2 2 sehingga  akan  didapatkan  penugasan  optimal  dalam masalah penugasan [6].  Pendekatan diagonal optimal dapat digunakan untuk tujuan memaksimalkan maupun meminimalkan sumber daya [4]. Berdasarkan hal tersebut maka penelitian ini akan mengkaji penelitian Khalid, dkk (2014) tentang pendekatan diagonal untuk masalah penugasan.
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Masalah Penugasan dan Formulasi Matematis untuk Masalah Penugasan Masalah  penugasan  merupakan  kasus  khusus  pemrograman  linier  yang mengalokasikan setiap sumber kepada setiap tugas atas dasar satu-satu ( one to one basic ).  Jadi,  setiap  sumber  (karyawan  atau  mesin)  ditugasi  secara  khusus  kepada suatu tugas (pekerjaan, lokasi atau kejadian). Akibatnya akan ada satu biaya 𝑐 yang berkaitan  dengan  petugas 𝑖 ( 𝑖 1,2, … , 𝑛 yang  melakukan  tugas 𝑗 ( 𝑗 1,2, … , 𝑛 [5]. Definisi 2.1 [2] Jika 𝐴 adalah suatu matriks biaya 𝑛 𝑛 , maka penugasan adalah himpunan dari 𝑚
posisi-posisi entri, dengan syarat tidak terdapat dua entri yang terletak di dalam baris atau kolom yang sama.
Matriks biaya ( 𝑐 ) diberikan seperti dibawah ini : Activity 𝐴 𝐴   …    𝐴 Available 𝑅 𝟏 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑠    𝑅 𝟐 ⋮ 𝑅 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 1 1 ⋮
1

## Required 1   1      …   1
Matriks  biaya  sama  dengan  masalah  transportasi  kecuali  bahwa  ketersediaan pada  masing-masing  sumber  daya  dan  persyaratan  di  masing-masing  tujuan  secara keseluruhan adalah satu.
Misalkan 𝑥 menunjukkan penugasan dari 𝑖 sumber daya ke 𝑗 tugas, maka 𝑥 1, jika 𝑖 sumber daya ditugaskan untuk 𝑗  tugas 0, lainnya Maka rumusan matematis dari masalah penugasan adalah Optimumkan 𝑍 ∑ ∑ 𝑐 𝑥 ...(1) Subjek untuk kendala 𝑥 1 dan 𝑥 1; 𝑥 0  𝑎𝑡𝑎𝑢 1 ...(2)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24 Untuk semua 𝑖 1,2, … , 𝑛  dan  𝑗 1,2, … 𝑛 [4] 2.4 Metode Hungarian 2.4.1 Masalah Minimasi Adapun  langkah-langkah  untuk  menyelesaikan  masalah  minimasi  sebagai berikut: 1. Memilih  elemen  terkecil  dari  setiap  baris,  kemudian  kurangkan  pada  seluruh elemen baris yang disebut dengan matriks opportunity cost 2. Untuk  mendapatkan  total opportunity-cost matrix,  maka  lakukan  penguranagn. Memilih elemen terkecil dari setiap kolom pada reduced cost matrix yang tidak memiliki  nilai  nol,  kemudian  kurangkan  pada  seluruh  elemen  dalam  kolom tersebut. 3. Menarik  sejumlah  minimum  garis  horizontal  dan/  atau  vertikal  untuk  meliput seluruh elemen bernilai nol. Jika jumlah garis = jumlah baris atau kolom, maka penugasan optimal tercapai [10].

## 2.4.2 Masalah Maksimasi
Memilih  elemen  terbesar  dari  setiap  baris  kemudian  kurangkan  pada  seluruh elemen baris tersebut sehingga menjadi matriks opportunity-loss . Jika baris atau kolom = jumlah garis, maka telah tercapai matriks penugasan optimal [10].

## 3. METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini yaitu:
1. Menjelaskan model matematika untuk masalah penugasan. 2. Menyelesaikan  masalah  penugasan  dengan  tujuan  memaksimalkan  (maksimasi) atau  meminimalkan  (minimasi)  sumber  daya  menggunakan  pendekatan  diagonal optimal. a) Untuk  tujuan  memaksimalkan  (maksimasi),  langkah  pertama  yang  dilakukan yaitu  mencari  dua  entri  dari  matriks  biaya  penugasan  dengan  nilai  berbeda yang mempunyai nilai terbesar pada setiap baris dan kolom. b) Untuk  tujuan  meminimalkan  (minimasi),  langkah  pertama  yang  dilakukan yaitu  mencari  dua  entri  dari  matriks  biaya  penugasan  dengan  nilai  berbeda yang mempunyai nilai terkecil pada setiap baris dan kolom.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Matematika Berdasarkan  definisi  2.1  maka  penyelesaian  masalah  penugasan  dari 𝑛 sumber daya  untuk 𝑛 tugas  dengan  tujuan  meminimalkan  maupun  memaksimalkan  sumber daya  sedemikian  sehingga  hanya  tersedia  satu  sumber  daya  yang  wajib  dikerjakan oleh satu tugas.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24 Tabel 1. Matriks penugasan S u m
b e r
D a y a Tugas Kapasitas Sumber Daya 1 2 n 1 ... 1 2 ... 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ N ... 1 Kapasitas Tugas 1 1 … 1
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) dapat dijabarkan ke dalam program linier sebagai berikut:
Fungsi Tujuan : Optimumkan 𝑍 𝑐 𝑥 𝑐 𝑥 ⋯ 𝑐 𝑥 𝑐 𝑥 𝑐 𝑥 ⋯ 𝑐 𝑥 ⋯ 𝑐 𝑥 𝑐 𝑥 ⋯ 𝑐 𝑥 ∑ ∑ 𝑐 𝑥 Fungsi Kendala: Kendala sumber daya, 𝑥 𝑥 ⋯ 𝑥 1 𝑥 𝑥 ⋯ 𝑥 1 ⋮
𝑥 𝑥 ⋯ 𝑥 1
Kendala tugas,
𝑥 𝑥 ⋯ 𝑥 1 𝑥 𝑥 ⋯ 𝑥 1 ⋮
𝑥 𝑥 ⋯ 𝑥 1

## 4.2 Pendekatan Diagonal Optimal untuk Masalah Penugasan
Untuk  menyelesaikan  masalah  penugasan  dengan  tujuan  memaksimalkan  atau meminimalkan  sumber  daya,  dapat  menggunakan  pendekatan  diagonal  optimal dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24

## 4.2.1 Meminimalkan (minimasi)
Langkah  1 .  Dalam  kasus  minimasi,  maka  carilah  dua  entri  dari  matriks  biaya penugasan  dengan  nilai  berbeda  yang  mempunyai  nilai  terkecil  pada  setiap  baris, kemudian tuliskan pada sisi tabel terhadap baris yang sesuai.
𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑝   𝑝 𝑝   𝑝 ⋮ 𝑝   𝑝
Langkah  2. Mencari  dua  entri  dari  matriks  biaya  penugasan  dengan  nilai  berbeda yang mempunyai nilai terkecil pada setiap kolom dan tuliskan pada sisi bawah tabel terhadap kolom yang sesuai.
𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐
q q …   q q q …   q
Langkah 3. Memberikan tanda pada matriks biaya penugasan untuk setiap dua entri yang sebelumnya telah dipilih dari masing-masing baris dan kolom sebagai pembeda terhadap entri-entri lain yang tidak dipilih.
Langkah 4.
Memilih dan menentukan nilai terkecil yang ditetapkan dari satu baris dan  satu  kolom  yang  sesuai,  sehingga  tidak  terdapat  dua  entri  yang  terletak  dalam baris atau kolom yang sama. Langkah 5. Menuliskan nilai terkecil yang telah dipilih dan ditetapkan pada bagian atas kolom masalah penugasan yang asli/ awal. Dimana 𝑎 merupakan nilai terkecil yang ditetapkan untuk kolom- 𝑗 . 𝑎         𝑎     …  𝑎 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 Selanjutnya kurangi 𝑐 dari masing-masing nilai 𝑎 pada kolom matriks penugasan yang sesuai. Matriks biaya penugasan Nilai terkecil dari dua entri yang terdapat dalam setiap baris
Nilai terkecil dari dua entri yang terdapat dalam setiap kolom
Nilai terkecil yang ditetapkan untuk kolom- 𝑗
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 ⋯ 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 ⋯ 𝑐 𝑎 Langkah 6. Mereduksi matriks 𝑛 𝑛 menjadi matriks persegi dengan ukuran 2 2 sedemikian  sehingga  salah  satu  sudut  berisi negative penalty dan  dua  sudut  tersisa dialokasikan  ke  nilai  biaya  yang  ditetapkan  pada  baris  dan  kolom  yang  sesuai. Hitung jumlah diagonal sel ekstrem yang tidak ditentukan, yang disebut dengan 𝑑 . Kemudian identifikasi 𝑑 yang mempunyai nilai kurang dari nol, jika 𝑑 kurang dari nol maka ulangi dari langkah 1 sampai langkah 6, sehingga tidak terdapat 𝑑 yang bernilai kurang dari nol. Berdasarkan khalid, dkk [5] penugasan optimal jika semua 𝑑 mempunyai nilai lebih dari nol. negative penalty merupakan  entri  dari  matriks  biaya  yang  telah  direduksi  hingga didapatkan diagonal yang mempunyai entri bernilai nol.

## 4.2.2 Memaksimalkan (maksimasi)
Langkah  1.
Dalam  kasus  maksimasi,  maka  mencari  dua  entri  dari  matriks  biaya penugasan  dengan  nilai  berbeda  yang  mempunyai  nilai  terbesar  pada  setiap  baris, kemudian tuliskan pada sisi samping kanan tabel terhadap baris yang sesuai.
𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐
⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑝   𝑝 𝑝   𝑝 ⋮ 𝑝   𝑝
Langkah  2. Mencari  dua  entri  dari  matriks  biaya  penugasan  dengan  nilai  berbeda yang mempunyai nilai terbesar pada setiap kolom dan tuliskan pada bawah sisi tabel terhadap kolom yang sesuai.
𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 q q …   q q q …   q
Langkah 3. Memberikan tanda pada matriks biaya penugasan untuk setiap dua entri yang sebelumnya telah dipilih dari masing-masing baris dan kolom sebagai pembeda terhadap entri-entri lain yang tidak dipilih.
Matriks biaya penugasan Nilai terbesar dari dua entri yang terdapat dalam setiap baris Matriks biaya penugasan
Nilai terbesar dari dua sel yang terdapat dalam setiap kolom
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24
Langkah 4. Memilih dan menentukan nilai terbesar yang ditetapkan dari satu baris dan  satu  kolom  yang  sesuai,  sehingga  tidak  terdapat  dua  entri  yang  terletak  dalam baris atau kolom yang sama. Langkah 5. Menuliskan nilai terbesar yang telah dipilih dan ditetapkan pada bagian atas kolom masalah penugasan yang asli/ awal. Dimana 𝑎 merupakan nilai terbesar yang ditetapkan untuk kolom- 𝑗 . 𝑎         𝑎     …    𝑎 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 Kemudian kurangi 𝑐 dari  masing-masing nilai 𝑎 pada kolom  matriks penugasan yang sesuai. 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 ⋯ 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 ⋯ 𝑐 𝑎 Langkah 6. Mereduksi matriks 𝑛 𝑛 menjadi matriks persegi dengan ukuran 2 2 sedemikian  sehingga  salah  satu  sudut  berisi positive penalty dan  dua  sudut  tersisa dialokasikan  ke  nilai  biaya  yang  ditetapkan  pada  baris  dan  kolom  yang  sesuai. Hitung jumlah diagonal sel ekstrem yang tidak ditentukan, yang disebut dengan 𝑑 . Kemudian identifikasi 𝑑 yang mempunyai nilai lebih dari nol, jika 𝑑 lebih dari nol  maka  ulangi  dari  langkah  1  sampai  langkah  6  sehingga  tidak  terdapat  nilai 𝑑 lebih  dari  nol.  Lanjutkan  prosesnya  hingga  semua positive penalty terselesaikan. Berdasarkan  khalid,  dkk  [5]  penugasan  optimal  jika  semua 𝑑 mempunyai  nilai kurang dari nol. positive penalty merupakan  entri  dari  matriks  biaya  yang  telah  direduksi  hingga didapatkan diagonal yang mempunyai entri bernilai nol.

## 4.3  Contoh  Penyelesaian  Masalah  Penugasan  dengan  Menggunakan Pendekatan Diagonal Optimal
Masalah  penugasan  dengan  5  pekerjaan  yang  diberikan  kepada  5  pekerja sehingga akan mendapatkan keuntungan yang maksimal.
𝐽 𝐽 𝐽 𝐽 𝐽 𝑊 10 12 10 8 15 𝑊 14 10 9 15 3 𝑊 9 8 7 8 12 𝑊 13 15 8 16 11 𝑊 10 13 14 11 17
Untuk  menyelesaikan  masalah  penugasan  dengan  tujuan  memaksimalkan  sumber daya,  maka  dapat  digunakan  pendekatan  diagonal  optimal  dengan  langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1 dan 2 . Mencari nilai terbesar dalam setiap baris dan kolom.
Nilai terbesar yang ditetapkan untuk kolom- 𝑗
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24
Langkah 3. Memberikan tanda pada matriks biaya penugasan. Langkah 4. Memilih nilai terbesar dari satu baris dan satu kolom yang sesuai. Dengan  menerapkan  pendekatan  diagonal  optimal  untuk  masalah  penugasan,  maka berdasarkan langkah 1- 4 dan menurut Definisi 2.1 didapatkan
10 12 10 8  15 14 10 9  15 3 9 8 7 8 12 13  15 8 16 11 10  13 14 11 17 𝑎 14, 𝑎 12, 𝑎 14, 𝑎 16 , 𝑎 12 Langkah  5 .  Mengurangi  matriks  biaya  penugasan  ( 𝑐 )  dengan  ( 𝑎 ,  sehingga menghasilkan 14  12 14 16 12 10 12 10 8  15 14 10 9  15 3 9 8 7 8 12 13  15 8 16 11 10  13 14 11 17 -4 0 -4  -8  2 0 -2  -5  -1  1 -5  -4  -7  8 0 -1  3  -6 0 -1 -4  1 0 -5  5 Langkah 6. Cek nilai 𝑑
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
𝑑 karena,  untuk  setiap 𝑑 kurang  dari  nol,  maka  solusi  optimal  telah  tercapai. Keuntungan  maksimal  untuk  masalah  penugasan  ini  yaitu 12 14 12 16 14 68

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan  yang  dapat  diambil  dari  penelitian  ini  adalah  dengan  menggunakan pendekatan  diagonal  optimal  dapat  menjadi  alternatif  yang  digunakan  untuk menyelesaikan  masalah  penugasan,  baik  untuk  mencapai  suatu  tujuan memaksimalkan (maksimasi) maupun meminimalkan (minimasi) sumber daya. Pada
0 1 = -4 -5 0 -4  0 = -6 0  -2 0 -4  = -3 1 0 0 3 = -1 -4 0 0 -5  = -9 -4 0 -7 0 = -2 0 5 -6 0 = -11 0 -5 -8 0 = -9 0 -1
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 16‐24
masalah  penugasan  dengan  tujuan  memaksimalkan  sumber  daya,  maka  proses reduksi  matriks  biaya 𝑐
sama  dengan  proses  dalam  masalah  penugasan  dengan tujuan meminimalkan sumber daya, tetapi entri baris dan kolom ditentukan oleh entri dari nilai terbesar. Penyelesain masalah penugasan dengan menggunakan pendekatan diagonal optimal untuk tujuan memaksimalkan sumber daya mencapai solusi optimal jika  jumlah  semua  sel  diagonal  kurang  dari  nol.  Sedangkan,  penyelesaian  masalah penugasan  untuk  tujuan  meminimalkan  sumber  daya  mencapai  solusi  optimal  jika jumlah semua sel diagonal lebih dari nol.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]    Affandi,  Pardi.  2011.  Penerapan  Program  Linier  pada  Permainan  Non-
Kooperati f . Jurnal Matematika Murni dan Terapan vol.5 no.2: 1-12.
[2]  Anton, H & Rorres, C. 2004. Elementary Linear Algebra Applications Version. Eighth Edition. John Wiley & Sons Inc.,  Drexel University.
[3]  Basirzadeh. 2012. Ones Assignment Method for Solving Assignment Problems. Journal of Applied Mathematical Sciences. 2012:2345
[4]  Ghadle  K.P  and  Muley  Y.M.  2013.  Revised  Ones  Assignment  Method  for Solving Assignment Problem. Journal of Statistics and Mathematics. 147-150
[5]  Hillier,  S.  F.  Dan  Lieberman.  Introduction  To  Operations  Research.  Eighth Edition, New York: Mc Graw-Hill; 2004.
[6]  Khalid, dkk. 2014. A New Diagonal Optimal Approach for Assignment Problem. Journal of Applied Mathematical Sciences. 7979-7986
[7]  Kuhn  Harold. W.  2010. The Hungarian Method for the Assignment Problems. Chapter 2. Princeton University, USA.
[8]  Malihah, S. 2014. Optimasi Masalah Penugasan. JPM IAIN Antasari. [9]  Taha, A.H. 2007. Operations Research An Introduction. University of Arkansas,
Fayatteville.
[10]  Wayne  L.  Winston.  1994.  Operations  Research  Applications  and  Algorithms.
Third Edition. Indiana University, California.