Vol. 20, No. 1, September 2023, pp. 52- 64 DOI: 10.20956/j.v20i1.27193
Effectiveness of Single and Double Exponential Smoothing:

## SES, ARRSES and Holt’s Linear for Time Series Data Prediction with Trend and Non-seasonal Characteristic (Covid-19 Vaccinate Case)
Efektivitas Metode Single dan Double Exponential smoothing : SES, ARRSES dan Holt’s Linear untuk Prediksi Data Runtun Waktu Pola Tren dan Non-musiman (Studi Kasus Cakupan Vaksinasi Covid-19)
Wiwik Wiyanti*
 Statistics Department, Matana University
Email : wiwik.chae@gmail.com

## Abstract
Purpose  of  this  research  is  effectiveness  the  exponential  smoothing  for  predict  the  time series data which has trend and non-seasonal characteristic. In this research using data case vaccinate of covid-19 1 st , 2 nd , 3 rd and 4 th . The advantage of this research  is  we can choose the  best  method  for  this  type  data.  The  methodology  of  this  research  is  quantitative,  with analyze  data  method  is  exponential  smoothing  (SES,  ARRSES,  and  HOLT’S  linear).  The result of data analyze is the predict error for four vaccinate data are very close to zero. SES gets  0%  to  0,73%,  ARRSES  gets  0%  to  0,66%  and  Holt’s  linear  gets  0%  to  0,29%.  The result of this research can conclude that exponential smoothing method effective for predict the data with trend and non-seasonal data.
Keywords: exponential , SES, ARRSES, forecast , holt’s, vaccine

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  melihat  efektifitas  metode exponential  smoothing dalam memprediksi  data  runtun  waktu  dengan  karakter  adanya  tren  dan  tipe  data  non-musiman. Adapun  kasus  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  dengan  menggunakan  data kesehatan  yaitu  cakupan  vaksinasi  covid-19  yaitu  vaksinasi  I,  II,  III  dan  IV.  Manfaat  dari penelitian ini adalah diharapkan dapat digunakan sebagai acuan dalam memilih metode yang efektif untuk tipe data yang mempunyai karakter tren serta non musiman. Adapun metodologi penelitian  ini  adalah  kuantitatif,  dengan  metode  analisa  data  menggunakan  metode Exponential  Smoothing ,  yaitu Single  Exponential  Smoothing (SES), Adaptive-Response- RateSingle  Exponential  Smoothing (ARRSES)  dan  HOLT’S  linear.  Dari  hasil  analisa  data diperoleh hasil metode SES dalam memprediksi data kesehatan keempat vaksinasi diperoleh nilai kesalahan error perhitungan prediksi dengan menggunakan Mean Absoulte Percentage Error (MAPE) yang sangat kecil, yaitu dengan menggunakan SES sebesar 0% hingga 0,73%, ARRSES sebesar 0% hingga 0,66% dan Holt’s linier sebesar 0% hingga 0,29%.
Kata kunci: exponential , SES, ARRSES, forecast , holt’s, vaccine

## 1.   PENDAHULUAN

## 1.1.   Latar Belakang
Berbicara  masalah  virus  covid  (SARS-Cov-2),  nampaknya  tidak  akan  habis  untuk dibicarakan, karena  seperti dikutip pada halaman web rumah sakit siloam, tulisan Ratnawati [9] topik covid-19 nampaknya tidak akan habis untuk dibicarakan terutama karena virus ini semakin hari  semakin  cepat  bermutasi.  Lebih  dari  dua  tahun  sejak  tahun  2020  SARS-Cov-2  menjadi perhatian  dunia.  Dikutip  dari  laman World  Health  Organization (WHO)  bekerjasama  dengan mitra, pakar otoritas nasional, institusi serta peneliti telah memantau dan menilai evolusi SARS- Cov-2 sejak Januari 2020 [15]. Selama akhir 2020 hingga saat ini terdapat mutasi varians virus SARS-Cov-2  yang dijadikan concern ( Variance Of Concern /VOC)  yaitu Alpha, Beta, Gamma, Delta dan Omicron. Hingga tulisan ini dibuat, per Januari 2023, subvarians Omicron merupakan varians dalam pemantauan terbaru.
Untuk membendung kasus kematian diakibatkan covid-19 yang terus menerus terjadi, negara- negara di dunia gencar untuk melakukan vaksinasi, termasuk negara Indonesia. Sampai tulisan ini dibuat, tercatat dari laman web kementerian kesehatan [2], capaian vaksinasi Covid-19 sebanyak 234.666.020  jiwa  sudah  mendapat  dosis  1.  Hal  tersebut  artinya  87  dari  100  sasaran  vaksinasi sudah mendapatkan vaksin. Adapun sasaran vaksinasi covid adalah tenaga kesehatan, lanjut usia, petugas  publik,  masyarakat  rentan  dan  masyarakat  umum,  usia  12-17  tahun,  usia  6-11  tahun. Meskipun  sasaran  vaksinasi  dosis  1  sudah  mencapai 87% sampai tulisan ini  dibuat,  tidak  untuk vaksin dosis 2, dosis 3 ataupun dosis 4, masing-masing capaian vaksinasi masih berada di angka 74,56%,  29,46%  dan  5,33%.  Gambaran  cakupan  vaksinasi  Covid-19  di  Indonesia  dapat  dilihat pada grafik pada gambar 1.1.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Wiwik Wiyanti
Sumber [2]
Gambar 1.1. Cakupan vaksinasi Covid-19
Evaluasi vaksinasi Corona-Vac untuk membendung penyakit Covid-19 pada penggunaannya telah  dilakukan  untuk  mengamati  dan  membandingkan  seberapa  efektif  vaksin  Corona-Vac mampu melindungi tenaga kesehatan terhadap resiko infeksi Covid-19 [10].
(Sumber: Kementerian Kesehatan)
Gambar 1.2. Laju kasus Covid-19 harian di DKI Jakarta
Dari  studi  efektivitas  vaksin  Covid-19  di  Indonesia,  dari  grafik  gambar  1.2,  terlihat  pada periode  Januari-Maret,  vaksin  Corona-Vac  cukup  efektif  dalam  mencegah  infeksi  COVID-19. Namun, pada periode April-Juni, vaksinasi lengkap kurang cukup melindungi Tenaga Kesehatan dari  infeksi  COVID-19.  Meskipun  demikian,  pada  tulisan  Rokom  [10]  menyatakan  bahwa vaksinasi  lengkap  masih  efektif  melindungi  dari  risiko  perawatan  dan  kematian akibat  COVID- 19.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  adanya  vaksinasi  Covid-19  ini  masih  efektif  untuk melindungi  dari  infeksi  Covid.  Oleh  sebab itu, semakin  banyak  vaksinasi  yang  dilakukan  maka imun  tubuh  masyarakat  juga  akan  baik,  sehingga  mampu  mencegah  kematian  efek  Covid-19 dapat ditekan.
Data  cakupan  vaksinasi  Covid-19  yang  dipresentasikan  dengan  grafik  pada  gambar  1.2. terlihat  bahwa  grafik  dari  cakupan  vaksinasi  yang  telah  dilakukan  pemerintah  Indonesia, mempunyai  karakter  adanya trend (naik).  Hal  tersebut  menunjukkan  bahwa  cakupan  vaksinasi telah  gencar  dilakukan  guna  untuk  membendung  dampak  infeksi  Covid-19.  Dari  karakter  data seperti gambar 1.1 dimungkinkan dapat diprediksi untuk cakupan prosentase berikutnya bahkan kapan  waktu  diperkirakan  akan  mencapai  95%  hingga  100%  capaian  vaksinasinya  dengan menggunakan metode Exponential smoothing .
Dalam  Makridakis  dkk  [6],  tipe  data  semacam  ini  cocok  diprediksi  dengan  menggunakan metode exponential smoothing yaitu Holt-Winter’s trend . Akan tetapi, dalam penelitian-penelitian pendahulu,  tidak  semua  menunjukkan  hasil  yang  selaras  dengan  pernyataan  Makridakis  dkk tersebut. Seperti yang dilakukan Ihsan, dkk [4] hasil prediksi data untuk prediksi covid-19 dengan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti
menggunakan single  exponential  smoothing dan  Holt  tidak  cocok  digunakan.  Tju,  dkk  [12] dengan menggunakan exponential regression , hasil penelitian adalah target vaksinasi 100% akan dicapai pada 18 Januari 2022, sedangkan pada 31 Desember 2021 tercapai 80%. Sementara itu, laporan dari kementerian kesehatan pada tanggal 18 Januari 2022 target vaksinasi untuk dosis 1, 2,  3  dan  4  masing-masing  sebesar  77,63%,  53,37%,  1,07%  dan  0,00%. Jika  dibandingkan  hasil prediksi  Tju  dkk  [12],  hasil  prediksi  kementerian  kesehatan  tersebut  berbeda  sebesar  22,37% untuk vaksin dosis 1.  Perbedaan tersebut diduga karena karakter data vaksinasi yang digunakan Tju dkk tidak mewakili dengan metode yang digunakan. Sementara itu, Mulyana dkk [7] dalam penelitiannya  dengan  menggunakan Single  Exponential  smoothing diperoleh  hasil  pengujian model masih memiliki error yang cukup tinggi, meskipun masih direkomendasikan cocok untuk digunakan prediksi kasus positif covid-19 kabupaten bengkalis.
Selain  hasil  tersebut,  beberapa  penelitian  dengan  menggunakan  metode exponential smoothing yang  berhasil  dan  layak  digunakan  untuk  dijadikan  salah  satu  pilihan  metode peramalan adalah salah satunya adalah penelitian Azzahra dkk [1]. Dalam penelitian Azzahra dkk dengan  judul  penelitian  “ single  exponential  smoothing :  Metode  Peramalan  Kebutuhan  Vaksin campak”,  hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  tingkat  kesalahan  dalam  meramalkan  atau memprediksi  stok  vaksin  campak  sebesar  49,8%.  Begitupun  juga,  Yuwono  dan  Yulianto  [14] telah menerapkan berbagai  metode exponential smoothing untuk peramalan Covid di Indonesia, diperoleh hasil dengan menggunakan triple exponential smoothing diperoleh ketiga kasus dengan menggunakan  nilai
.  Hasil  nilai  SSE  2,795088e+11  pada  kasus  positif
dengan nilai coefficient 184459,469. Sedangkan untuk kasus meninggal menghasilkan nilai SSE sebesar  228853762  dengan coefficient 7847,3160.  Selain  penelitian  tersebut  di  atas,  metode exponential  smoothing juga  digunakan  dalam machine learning ,  dengan  cakupan  data  yang sangat besar ( big data ) oleh Shastri dkk [11] dengan hasil bahwa metode exponential smoothing dapat  digunakan  untuk  memprediksi  lima  tahun  ke  depan  dengan  cakupan  data  historis  yang digunakan  adalah  tiga  puluh  lima  tahun.  Pamungkas  dkk  [8]  meneliti  mengenai  komparasi metode exponential  smoothing dalam  bidang  perikanan  dan  kelautan,  yang  mana  hasil  dari penelitiannya  metode  terbaik  adalah exponential  smoothing jenis  Holt’s  yang  memperoleh  nilai peramalan  dengan  kesalahan  37,878%.  Penelitian  Kahraman  dan  Akay  [5]  membandingkan metode exponential smoothing untuk kasus data harga logam diperoleh hasil bahwa model terbaik untuk  memprediksi  untuk  alumunium,  tembaga,  timah  dan  besi  adalah damped trend ,  model Holt’s untuk harga logam nikel dan seng, dan model Brown untuk harga logam timah.
Dari  beberapa  penelitian  tersebut,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  dengan  metode Exponential smoothing yang  digunakan  ada  yang  cocok  dan  ada  yang  belum  mewakili  harapan  untuk mendapatkan error perhitungan yang cukup kecil (mendekati nol). Meskipun beberapa penelitian dengan menggunakan metode exponential smoothing belum sesuai dengan harapan, namun dalam penelitian  ini  peneliti  menggunakan  metode exponential  smoothing untuk  prediksi  data  yang mempunyai  pola trend dan  non-musiman,  sesuai  dengan  pernyataan  tulisan  Makridakis  dkk  [6] sebelumnya  yang  menyatakan  metode exponential  smoothing cocok  digunakan  untuk memprediksi data tipe trend . Adapun data yang digunakan dalam kasus ini adalah data cakupan vaksinasi  covid-19.  Penelitian  pendahulu  mengenai  prediksi  cakupan  vaksinasi  telah  diteliti sebelumnya oleh Yanti dkk [13] dengan metode ARIMA.

## 1.2. Tujuan Penelitian
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  seberapa  besar  efektifitas  metode exponential smoothing ( Single  Exponential  Smoothing (SES), Adaptive-Response-Rate  Single  Exponential Smoothing (ARRSES) dan HOLT’S linear) dalam memprediksi data runtun waktu yang mempunyai pola data adanya trend dan non-musiman .
2. METODOLOGI PENELITIAN

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti

## 2. 1. Sumber Data.
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian ini  adalah  data  runtun  waktu ( time  series )  harian cakupan  vaksinasi covid nasional,  yang  diperoleh  dari  penyedia  data  resmi  nasional  yaitu kementerian  kesehatan  republik  Indonesia  [2].  Data  cakupan  vaksinasi  yang  digunakan  adalah data vaksinasi tahap 1, tahap 2, tahap 3 dan tahap 4. Dari data vaksinasi tahap 1 digunakan dari tanggal 14 januari 2021 sampai dengan 31 Januari 2023, tahap 2 dari tanggal 29 Januari 2021 sampai  dengan  31  Januari  2023,  tahap  3  dari  tanggal  16  Juli  2021  sampai  dengan  31  Januari 2023, tahap 4 dari 29 Juli 2022 sampai dengan 31 Januari 2023. Penggunaan data awal berbeda- beda tergantung dari tanggal awal-awal dimulainya pemberian vaksin masing-masing dosis.

## 2. 2. Metode Penelitian
Metode penelitian ini adalah metode kuantitatif historis, yaitu menggunakan data masa lalu atau data historis yaitu data cakupan vaksinasi covid-19 nasional, yang mana data historis tersebut digunakan  untuk  melihat  prediksi  nilai  data  cakupan  vaksinasi  covid-19  yang  belum  diektahui atau  istilah  lainnya  adalah  data  di  masa  yang  akan  datang.  Adapun  metode  untuk  analisa  data yang  digunakan  dengan  menggunakan  metode  peramalan/prediksi  dari  ilmu  statistika,  yaitu metode  peramalan exponential  smoothing yaitu  metode Single  Exponential  smoothing (SES), Adaptive-Response-Rate (ARRSES),  Holt’s linear .  Pemilihan  model  tersebut  berdasarkan karakter  atau  pola  data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini,  yaitu  adanya trend dan  non- musiman. Adapun bagan alur metode penelitian dapat dilihat pada gambar 2.1.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti

## 2. 3. Skenario atau Langkah Peramalan/Prediksi
Skenario  untuk  peramalan/prediksi  sesuai  dengan  buku  panduan  Makridakis  dkk  [6], yaitu:
Langkah 1. Deretan data runtun waktu dibagi menjadi dua bagian (“sekumpulan himpunan data awal” dan “sekumpulan himpunan data uji” sehingga dapat dijadikan untuk evaluasi terhadap metode yang digunakan untuk peramalan.
Langkah  2.  Memilih  metode  peramalan/prediksi  yang  sesuai.  Metode exponential  smoothing yang akan digunakan dalam langkah ini, yaitu Single Exponential smoothing (SES), Adaptive-Response-Rate  (ARRSES)  Method, serta Holt’s linier. Penjelasan formula secara detail terdapat pada sub bab 2.4, 2.5, dan 2.6.
Langkah 3. Sekumpulan data awal digunakan untuk memulai peramalan. Mengestimasikan dari beberapa karakter data, seperti apakah pola data terdapat tren, musim, dan kemudian nilai-nilai  parameter  didapatkan  dari  sekumpulan  data  ini.  Parameter  dalam penelitian ini adalah dan .
Langkah  4.  Selanjutnya,  metode  pada  Langkah  2  diterapkan  pada  sekumpulan  data  uji,  untuk melihat  seberapa  baik  kinerjanya  pada  data  yang  tidak  digunakan  dalam mengestimasi  komponen  model  di  langkah  3.  Setelah  data  prediksi  diperoleh  pada langkah  ini  juga  dihitung  nilai error perhitungan  prediksi.  Persamaan  matematika untuk perhitungan error prediksi dijelaskan secara detail pada sub bab 2.7.
Langkah  5.  Terakhir,  metode  peramalan  dinilai  sesuai  dengan  kesesuaiannya  untuk  berbagai jenis pola data dengan demikian potensi penerapannya menjadi lebih jelas.
2. 4. Single Exponential smoothing (SES) Method
Single Exponential  smoothing (SES)  merupakan  suatu  perluasan  dari  metode  peramalan Moving Average terbobot  ( Weighted  Moving  Average )  [6].  Misalkan,  metode Moving  Average sederhana, rata-rata dari data pengamatan digunakan untuk prediksi, maka bobot dalam hal ini adalah untuk data pengamatan, artinya semua data aktual mempunyai bobot yang sama yaitu
.  Untuk  metode  SES,  bobot  yang  digunakan  adalah  bobot  yang  nilainya  akan  terus  menurun secara eksponensial, sehingga setiap data mempunyai bobot yang berbeda. Dalam metode SES, formula yang digunakan adalah
2.1
Jika adalah waktu saat ini, maka
merupakan nilai prediksi untuk data nilai setelah , merupakan nilai prediksi saat ini, adalah data pengamatan saat ini, dan adalah bobot yang nilainya  konstanta  dari  mulai  0  hingga  1.  Dari  persamaan  2.1  terlihat  bahwa  ketika  nilai mendekati 1, artinya nilai prediksi nilai selanjutnya akan sangat ditentukan oleh error /kesalahan peramalan  sebelumnya.  Sebaliknya,  ketika  nilai mendekati  0,  artinya  nilai  prediksi  data selanjutnya akan sangat sedikit dipengaruhi oleh kesalahan peramalan sebelumnya. Dari sinilah dapat dilihat bahwa nilai peramalan akan selalu mengikuti trend dari data terbaru, karena nilai ramalan berdasarkan kesalahan perhitungan kesalahan sebelumnya.
Jika persamaan diperluas secara algebra dengan cara yang sama  mengikuti 2.1, maka persamaan 2.1 menjadi,
2.2
Dari persamaan 2.2, perhatikan bahwa nilai bobot berubah/bergerak, yaitu untuk data aktual saat ini  ( )  mempunyai  bobot ,  untuk  data  ke mempunyai  bobot
,  data  ke mempunyai  bobot dan  seterusnya.  Dalam  Makridakis  dkk  [6],  pemilihan terbaik

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti
(nilai optimal)  diperoleh  dengan  mendapatkan  nilai Mean  Square  Error (MSE)  terkecil. Dalam  Pemilihan untuk  mendapatkan  MSE  terkecil  dapat  dilakukan  dengan  cara trial and error . Cara lain untuk mendapatkan nilai optimal adalah dengan menghitung nilai MSE untuk mendaftar atau menggunakan deretan
dan kemudian memilih salah satu yang mempunyai nilai MSE terkecil.

## 2. 5. Adaptive - Response - Rate (ARRSES) Method
Pada  peramalan  SES,  nilai  rata-rata  prosentasi error secara  absolut  bergantung  dari pemilihan .  Dalam  hal  ini,  ARRSES  mempunyai  keunggulan  dibandingkan  dengan  SES, karena  memungkinkan  untuk  dilakukan  modifikasi ,  saat  pola  perubahan  data  terjadi.
Karakteristik  ini  akan  lebih  atraktif  ketika  data  yang  akan  diramalkan  cukup  banyak,  misalkan ratusan data atau bahkan ribuan data [6].
Pada penelitian ini, studi kasus yang digunakan adalah cakupan data vaksinasi covid 19, yang  mana  tingkat trend yang  diketahui  tidak  akan  pernah  terjadi  volatilitas  (naik  dan  turun) karena selalu lebih dari atau minimal sama dengan , artinya nilai data actual dari hari ke hari  selalu  naik  atau  sama,  hingga  mencapai  garis  linier horizontal sehingga  prediksi  dengan ARRSES  tidak  akan  berbeda  nilainya  dengan  metode  SES.  Hal  tersebut  disebabkan  bahwa selisih error data forecast ( )  dengan  data actual ( )  nilainya  tidak  akan  berubah-ubah tanda (+ dan -). Dengan kata lain akan selalu bernilai nol dan/atau positif atau negatif saja.
Metode  ARRSES  sebenarnya  merupakan  metode  SES  dimana  nilai secara  sistematis, dan otomatis berubah dari waktu ke waktu untuk memungkinkan terjadinya perubahan pola data. Persamaan  prediksi  ( )  dengan  metode  ARRSES  pada  persamaan  2.3  sama  seperti persamaan 2.1, namun berbeda nilai parameter trend ( ) yang digunakan. Nilai diperoleh dari rasio dengan , dapat dilihat pada persamaan 2.4. adalah notasi prediksi kesalahan/ error yang dan dihitung sebagai rata-rata bobot dari
dan prediksi kesalahan terakhir ( ), dapat dilihat pada persamaan 2.5.
2.3 | | 2.4 2.5 | | 2.6 2.7
adalah  parameter  bernilai  0  sampai  1  dan | | merupakan  notasi absolute (nilai  mutlak). Persamaan  2.6, adalah  notasi  prediksi  kesalahan  absolut,  dihitung  sebagai  rata-rata  bobot dari dan prediksi kesalahan absolut terakhir ( ).
Menentukan nilai dan awal/ initial /mula-mula yang cocok sedikit sulit, namun dikutip dalam  Makridakis  dkk  [6],  salah  satu  cara  untuk  mengontrol  perubahan adalah  dengan mengontrol nilai dari sekecil mungkin (semakin kecil maka semakin kecil perubahan ).
Dalam  penelitian  ini  untuk  menentukan  nilai dan yang  sesuai,  digunakan  cara  trial  dan error, yaitu dengan menggunakan dan 0,9 serta dan .

## 2. 6. Holt’s Linear Method
Dalam  Makridakis  dkk  [6],  Holt  pada  tahun  1957  mengembangkan  SES  menjadi pemulusan linier untuk memungkinkan prediksi data tren. Prediksi dengan menggunakan Holt’s adalah  menemukan  dua  nilai  konstan dan (dengan  nilainya  dari  0  sampai  dengan  1). Selanjutnya persamaan-persamaan yang digunakan untuk mendapatkan prediksi adalah,
2.8 2.9

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti
2.10
merupakan  estimasi  dari  level  dari  deret  pada  saat  waktu  ke- . merupakan  notasi  dari estimasi  dari slope (gradien)  deret  pada  saat  ke . adalah  nilai  prediksi  m-langkah  dari waktu ke- .

## 2. 7. Perhitungan Kesalahan ( Error ) hasil Prediksi
Untuk  perhitungan  kesalahan  prediksi,  penelitian  ini  menggunakan Mean  Square  Error (MSE)  dan  MAPE  ( Mean  Absolute  Percentage  Error )  [6].  Untuk  mendapatkan  nilai  MSE, diperoleh dari rata-rata kuadrat error dari prediksi. Adapun secara matematis untuk menghitung nilai  MSE  digunakan  persamaan  2.10.  Untuk  mendapatkan  absolut  rata-rata  prosentase error bernilai positif, proses pertama didefinisikan persentase error atau error relative dengan rumus 2.11. Selanjutnya MAPE diperoleh dengan persamaan 2.12.
∑ 2.11 ( ) 2.12 ∑ | | 2.13

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari data yang digunakan sebagai studi kasus yaitu data cakupan vaksinasi covid tahap  I, II,  III  dan  IV,  masing-masing  data  dibagi  menjadi  dua  bagian  yaitu  data  “awal”  dan  data  “uji”. Ukuran  data  awal  dan  data  uji  diambil  yaitu  kurang  lebih  masing-masing  adalah  50%  dari banyaknya data tiap vaksin. Data vaksinasi tahap I yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 748 data, dimulai dari tanggal 14 Januari 2021 sampai dengan 31 Januari 2023. Data  awal yang digunakan sebanyak 352 data, sementara data uji yang digunakan adalah sisanya, yaitu sebanyak 396  data.  Data  vaksinasi  tahap  II  yang  digunakan  sebanyak  733  data  dimulai  dari  tanggal  29 Januari 2021 sampai dengan 31 Januari 2023. Data awal yang digunakan sebanyak 360 dan data uji sebanyak 373. Selanjutnya adalah data vaksinasi tahap III digunakan sebanyak 565 data, dari mulai tanggal sampai 31 Januari 2023. Data awal yang digunakan sebanyak 280 dan data uji yang digunakan sebanyak 285. Terakhir adalah data vaksinasi tahap IV, digunakan sebanyak 187 data, dari  mulai  tanggal  29  Juli  2023  sampai  31  Januari  2023,  dengan  data  awal  yang  digunakan sebanyak  93  dan  data  uji  sebanyak  94  data.  Bobot  alpha  yang  digunakan  adalah  variasi  dari 10% 30%, 50%, 70% dan 90%.

## 3.1. Metode SES
Rangkuman  hasil  prediksi  dengan  menggunakan  metode  SES  terdapat  dalam  Tabel  3.1. Hasil prediksi tersebut diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.1. Nilai MSE ( Mean Square Error )  dan  MAPE  ( Mean  Absolute  Percentage  Error )  yang  diperoleh  dengan  menggunakan metode SES dirangkum dalam Tabel 3.2. Adapun perhitungan prediksi yang diperoleh pada Tabel 3.1  berdasarkan  persamaan  2.1.  Perhitungan  MSE  berdasarkan  persamaan  2.11  dan  MAPE berdasarkan persamaan 2.13.
Tabel 3.1. Prediksi SES 1 langkah ke depan (%) Vaksinasi Hasil Prediksi (SES) satu langkah ke depan 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 I 87,031 87,038 87,039 87,040 87,040 II 74,600 74,609 74,610 74,610 74,610

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Wiwik Wiyanti
III 29,521 29,577 29,586 29,589 29,590 IV 5,386 5,486 5,507 5,515 5,519 Dari nilai MSE dan MAPE Tabel 3.2, dipilih
karena MSE hasil prediksi yang diperoleh paling kecil diantara yang lain. Terlihat perhitungan error prediksi dengan MAPE juga dapat dikatakan sangat kecil pada bobot
, yaitu antara tingkat prosentase kesalahan prediksi adalah berkisar 0,00 (0%) hingga 0,007 (0,7%) dan ini dapat dikatakan sangat kecil.
Tabel 3.2. Nilai MSE dan MAPE metode SES
Vaksinasi Nilai MSE 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 I 1,016 0,091 0,031 0,016 0,010 II 1,069 0,113 0,041 0,022 0,014 III 0,588 0,053 0,018 0,009 0,005 IV 0,100 0,013 0,005 0,003 0,002 Vaksinasi Nilai MAPE(%) 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 I 0,594 0,170 0,098 0,069 0,053 II 0,908 0,284 0,168 0,120 0,093 III 2,563 0,753 0,436 0,306 0,236 IV 6,024 2,133 1,301 0,936 0,731

## 3.2. Metode ARRSES
Dalam metode ARRSES untuk kasus data vaksinasi covid ini hasilnya tidak jauh berbeda dengan metode SES. Hal ini dikarenakan bahwa data vaksinasi covid mempunyai pola tren naik dan tidak ada data pola tren berubah-ubah (naik turun). Perlu diketahui bahwa untuk ARRSES ini akan  sangat  berguna  ketika  data  ada  tren  naik  naupun  turun  secara  bergantian,  sehingga kebermanfaatannya akan lebih terlihat, hal ini dikarenakan bobot alpha dimodifikasi dengan cara yang  terkontrol,  karena  adanya  pola  perubahan  dalam  data  [6].  Khusus  data  untuk  studi  kasus dalam penelitian ini, yaitu vaksinasi covid baik I, II, III maupun IV  datum dari waktu ke waktu tidak  ada  penurunan,  sehingga  selisih  hasil  perhitungan error tiap  waktu  tidak  akan  pernah berubah  tanda  dari +  ke  negatif  ataupun  sebaliknya.  Oleh  karena itu,  prediksi  serta  perhitungan kesalahan prediksi tidak jauh berbeda dengan perhitungan dengan menggunakan SES.
Dari uraian tersebut di atas, dalam cakupan data vaksinasi covid1-19 nasional  didapatkan suatu pernyataan Jika
maka . Untuk membuktikannya,
dimulai  dari  persamaan  2.3.  Secara  matematis  dalam  kasus  data  cakupan  vaksinasi  covid-19 nasional  penelitian  ini,  diperoleh  fakta  bahwa  nilai dengan atau
dengan  kata  lain  data  ke nilainya  selalu  lebih  besar  dari  data  ke- atau  minimal  sama. Akibatnya  perhitungan error prediksi  bernilai  lebih  dari  sama  dengan  nol  ( ).  Sehingga nilai .  Akibatnya, | |   | |   | | .  Karena  nilai maka persamaan  2.3  menjadi .  Artinya,  nilai  prediksi  hari  ini  berdasarkan  data  satu
hari sebelumnya.
Hasil  prediksi dengan  menggunakan  metode  ARRSES  dirangkum  dalam  Tabel 3.3.  Hasil prediksi tersebut diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.3. Perhitungan error prediksi yaitu

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti
nilai MSE  dan  MAPE  dengan  metode  ARRSES  dirangkum  dalam  Tabel  3.4.  Hasil  perhitungan tersebut diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.11 dan 2.13.
Dalam Tabel 3.4 terlihat bahwa perhitungan kesalahan prediksi MSE dengan menggunakan metode ARRSES dengan memilih alpha 0,2 dengan masing-masing nilai beta yang berbeda (0,2, 0,5, dan 0,9) tetap mendapatkan nilai kesalahan perhitungan yang sama yaitu untuk data vaksinasi tahap I, II, III dan IV masing-masing sebesar 0%, 1%, 0%, dan 0%. Selanjutnya dengan memilih alpha  0,5  dengan  masing-masing  nilai  beta  yang  berbeda  (0,2,  0,5,  dan  0,9)  tetap  mendapatkan nilai kesalahan perhitungan yang sama yaitu untuk data vaksinasi tahap I, II, III dan IV masing- masing  sebesar  0%,  1%,  0%,  dan  0%.  Hal  yang  serupa  terjadi  dengan  menggunakan  alpha  0,9 dengan  masing-masing  nilai  beta  yang  berbeda  (0,2,  0,5,  dan  0,9)  tetap  mendapatkan  nilai kesalahan perhitungan yang sama yaitu untuk data vaksinasi tahap I, II, III dan IV masing-masing sebesar  0%,  1%,  0%,  dan  0%.  Sementara  itu, error perhitungan  prediksi  dengan  menggunakan MAPE, diperoleh hasil yang sama juga ketika menggunakan alpha 0,2, 0,5 dan 0,9 dengan variasi masing-masing yang  digunakan  adalah  berbeda-beda  mulai  dari  0,2,  05  dan  0,9  yaitu  untuk data  vaksinasi  I,  II,  III  dan  IV  diperoleh  nilai  kesalahan  perhitungan  sebesar  0,04%,  0,08%, 0,21% dan 0,66%. Dari hasil temuan tersebut, dapat disimpulkan bahwa berapapun nilai dan yang digunakan, maka nilai hasil perhitungan prediksi dengan menggunakan ARRSES nilai MSE atau  rata-rata  kuadrat error yang  diperoleh  adalah  sekitar  0  hingga  1%  untuk  data  keempat cakupan vaksinasi, dan MAPE sebesar 0% hingga 0,66% dan ini dapat dikatakan sangat kecil
Tabel 3.3 . Hasil Prediksi dengan metode ARRSES
Vaksinasi Hasil Prediksi ARRSES 1 langkah (%) 2 I 87,040  87,040  87,040  87,040  87,040  87,040  87,040  87,040  87,040 II 74,610  74,610  74,610  74,610  74,610  74,610  74,610  74,610  74,610 III 29,590  29,590  29,590  29,590  29,590  29,590  29,590  29,590  29,590 IV 5,520 5,520 5,520 5,520 5,520 5,520 5,520 5,520 5,520
Tabel 3.4. Nilai MSE dan MAPE ARRSES
Vaksinasi MSE 2 2 2 I 0,008 0,008 0,008  0,008  0,008  0,008 0,008 0,008 0,008 II 0,011 0,011 0,011  0,011  0,011  0,011 0,011 0,011 0,011 III 0,004 0,004 0,004  0,004  0,004  0,004 0,004 0,004 0,004 IV 0,001 0,001 0,001  0,001  0,001  0,001 0,001 0,001 0,001 Vaksinasi MAPE(%) 2 2 2 I 0,048 0,048 0,048  0,048  0,048  0,048 0,048 0,048 0,048 II 0,084 0,084 0,084  0,084  0,084  0,084 0,084 0,084 0,084 III 0,211 0,211 0,211  0,211  0,211  0,211 0,211 0,211 0,211 IV 0,658 0,658 0,658  0,658  0,658  0,658 0,658 0,658 0,658

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti

## 3.3. Metode Holt’s Linear
Hasil  analisa  prediksi  dengan  menggunakan  Holt’s  linier  dirangkum  dalam  Tabel  3.5.  Hasil analisa tersebut diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.10. Sedangkan hasil error prediksi dengan  menggunakan  MSE  dan  MAPE  dirangkum  dalam  Tabel  3.6.  Hasil  perhitungan  tersebut diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.11 dan 2.13.
Tabel 3.5. Hasil Prediksi dengan Holt's Linear
Vaksinasi Hasil Prediksi Holt's Linear 1 langkah (%) I 87,039  87,040  87,045  87,042  87,044 87,043  87,041  87,041  87,039 II 74,614  74,613  74,613  74,612  74,611 74,609  74,611  74,610  74,610 III 29,607  29,603  29,605  29,602  29,599 29,595  29,597  29,595  29,593 IV 5,528 5,541 5,558 5,539 5,542 5,533 5,536 5,534 5,532
Tabel 3.6. Nilai MSE dan MAPE Holt's Linear
Vaksinasi MSE I 0,014 0,010 0,007 0,004 0,004 0,005 0,002 0,002 0,002 II 0,008 0,005 0,004 0,003 0,003 0,004 0,002 0,002 0,002 III 0,018 0,007 0,003 0,003 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 IV 0,004 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 Vaksinasi MAPE (%) I 0,056 0,043 0,038 0,028 0,026 0,030 0,019 0,020 0,020 II 0,068 0,050 0,049 0,038 0,038 0,043 0,030 0,032 0,033 III 0,291 0,187 0,140 0,125 0,102 0,109 0,085 0,079 0,078 IV 1,031 0,713 0,492 0,450 0,355 0,389 0,310 0,287 0,299
Dari hasil perhitungan MSE dan MAPE prediksi Tabel 3.6, diperoleh hasil bahwa pada vaksinasi tahap  I,  MSE  terkecil  0,002  pada dan dengan  nilai  MAPE  0,00019  (0,019%). Selanjutnya pada vaksinasi II, MSE terkecil dan MAPE masing-masing sebesar 0,002 dan 0,0003 (0,03%)  menggunakan
dan
.  Untuk  prediksi  vaksinasi  III,  kesalahan  terkecil
dengan MSE 0,001 dan MAPE sebesar 0,00078 (0,078%) yaitu ketika menggunakan dan
.  Terakhir  adalah  analisa  prediksi  untuk  vaksinasi  IV,  diperoleh  hasil  MSE  dan  MAPE masing-masing sebesar 0,000 dan 0,00287(0,287%) dengan menggunakan
dan .
Kesimpulan  dari  analisa  prediksi  menggunakan  keempat  data  vaksinasi  tersebut  adalah  prediksi dengan menggunakan Holt’s linier diperoleh hasil bahwa kesalahan prediksi sangat kecil yaitu 0 % hingga 0,29%.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN

## 4. 1. Kesimpulan
Kesimpulan  yang  diperoleh  dalam  penelitian  ini  adalah  dengan  menggunakan  metode exponential  smoothing : Single  Exponential  Smoothing (SES), Adaptive-response-rate  single exponential  smoothing (ARRSES)  dan  Holt’s  Linier  efektivitas  prediksi  data  tipe  tren  non- musiman  untuk  kasus  data  cakupan  vaksinasi  covid  (I,  II,  III  dan  IV)  adalah  efektif  untuk dijadikan pertimbangan dalam prediksi. Adapun efektifitas metode exponential smoothing dalam menentukan nilai prediksi mempunyai nilai error prediksi sangat kecil, yaitu berkisar 0% hingga 0,73%  untuk  SES  dan  0%  hingga  0,66%  untuk  ARRSES,  dan  untuk  Holt’s  nilai  kesalahan prediksi  sebesar  0%  hingga  0,29%.  Dengan  kata  lain,  metode exponential smoothing : Single Exponential  Smoothing (SES), Adaptive-response-rate  single  exponential  smoothing (ARRSES) dan  Holt’s  Linier  dapat  digunakan  untuk  memprediksi  tipe  data  tren  dan  data  non-musiman seperti data cakupan vaksinasi covid-19.

## 4. 2. Saran
Saran untuk penelitian selanjutnya adalah memeriksa kasus data yang mempunyai karakter tren,  non-musiman  dengan  tipe  data  yang  mempunyai  volatilitas  berubah-ubah.  Apakah  hasil prediksi  yang  diperoleh  dengan  menggunakan  metode exponential  smoothing akan  tidak  jauh berbeda  dengan  data  yang  mempunya  karakter  tren,  non-musiman  dan  volatilitasnya  tidak berubah-ubah seperti data cakupan vaksinasi covid-19 nasional Indonesia pada penelitian ini.

## 5. UCAPAN TERIMAKASIH
Terimakasih  penulis  ucapkan  kepada  Naftali,  mahasiswa  prodi  Statistika  Universitas Matana  yang  telah  membantu  mengumpulkan  serta  validasi  data  cakupan  vaksinasi  covid-19 nasional  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini.  Tidak  lupa  juga  kepada  universitas  Matana  yang membantu support para dosen untuk melakukan penelitian, khususnya penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Azzahra, A., Ramadhan, W. & Kifti, W.M., 2022. Single Exponential smoothing: Metode Peramalan Kebutuhan Vaksin campak. EDUMATIC: Jurnal Pendidikan Informatika Vol. 6 No. 2, Desember, 2022, Hal. 215-223. DOI:10.29408/edumatic.v6i2.6299
[2] https://vaksin.kemkes.go.id/#/vaccines (diakses 19 Januari 2023)
[3] https://www.who.int/activities/tracking-SARS-CoV-2-variants (diakses 13 Januari 2023).
[4] Ihsan,  N.H.A.S.A.,  Dzakiyah,  H.H.  &  Liantoni.,  F.,  2020.  Perbandingan  Metode  Single Exponential  smoothing  dan  Metode  Holt  untuk  Prediksi  Kasus  Covid-19  di  Indonesia. ULTIMATICS , Vol.XII, No.2, ISSN 2085-4552
[5] Kahraman,  E.  &  Akay,  O.,  2022.  Comparison  of  exponential  smoothing  methods  in forecasting  global  prices  of  main  metal. Springer  Nature .  Springer-Verlag  GmbH Germany. https://doi.org/10.1007/s13563-022-00354-y
[6] Makridakis, S.G., Wheelwright, S.C., & Hyndman, R. J., 1997. Forecasting Methods and Applications, Third Edition. Wiley. ISBN: 0471532339, 9780471532330.
[7] Mulyana,  W.,  Aryanto  &  Aprilia,  M.,  2022.  Penerapan  Metode  Single  Exponential smoothing  untuk  Prediksi  Kasus  Covid-19  di  Kabupaten  Bengkalis. Jurnal  Computer Science  and  Information  Technology  (CoSciTech) .  P-ISSN:2723-567X.  e-ISSN:  2723- 5661

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Wiwik Wiyanti
[8] Pamungkas,  A.,  Puspasari,  R.,  Nurfiarini,  A.,  Zulkarnain,  R.  &  Waryano,  W.,  2021. Comparison of  Exponential smoothing Methods for Forecasting Marine Fish Production in  Pekalongan  Waters  Central  Java.  IOP Conf.Series:Earth  Environmental  Science 934(2021)012016. doi:10.1088/1755-1315/934/1/012016
[9] Ratnawati,
2023. 11 Varian
Virus Corona dari Berbagai Negara. https://www.siloamhospitals.com/informasi-siloam/artikel/11-varian-virus-covid-19-dari- berbagai-negara-dunia (diakses 13 Januari 2023)
[10] Rokom, 2021. Studi Terbaru: Vaksin Covid-19 Efektif Mencegah Perawatan dan Kematian. Jakarta. https://sehatnegeriku.kemkes.go.id/baca/rilis- media/20210812/4238277/studi-terbaru-vaksin-covid-19-efektif-mencegah-perawatan- dan-kematian/ (13 Januari 2023)
[11] Shastri, S., Sharma, A., Mansotra, V., Sharma, A., Bhadwal, A.S. & Kumari, M, 2018. A Study  on  Exponential  smoothing  Method  for  Forecasting. International Journal  of Computer Sciences and Engineering, Volume-6, Apr 2018, E-ISSN 2347-2693
[12] Tju, T.E.E., Maylawati, D.S., Munawar, G. & Utomo S., 2021. Prediction of the Covid- 19 Vaccination Target Achiement with Exponential Regression. JISA(Jurnal Informatika dan Sains) Vol. 04, No. 02, Desember 2021. E-ISSN:2614-8404, p-ISSN:2776-3234.
[13] Yanti,  R.,  Agustin,  W.  &  Nasution,  T.,  2022.  Prediksi  Vaksinasi  COVID-19  Dosis Lengkap  Beberapa  Provinsi  di  Indonesia  Menggunakan  Model  ARIMA. JURNAL SISFOTENIKA Vol.  12  No  1,  Januari  2022,  p-ISSN:  2087-7897;  e-ISSN:  2460-5344, DOI:10.30700/jst.v12i1.1216
[14] Yuwono,  N.R.  &  Yulianto,  S.,  2022.  Perbandingan  Berbagai  Metode  Exponential smoothing  untuk  Peramalan  Covid  di  Indonesia. Jurnal  Penerapan  Teknologi  Informasi dan Komunikasi IT-EXPLORE . ISSN 2828-7940, e-ISBN 2829-1727 Volume 01 Nomor 02 Tahun 2022.
[15] WHO, 2022. World Health Statistics, 2022: Monitoring Health for the SDGs, sustainable development goals, ISBN 978-92-4-005115-7 (print version).