## MENENTUKAN BENTUK KUADRAT BAGIAN KERUCUT DAN PERMUKAAN KUADRATIK DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS

## Abstrak
Oleh :

## Arwan Mhd Said, M.Si
Abstrak
Dalam  menentukan  bentuk  kuadrat  dengan  menggunakan  matriks,  caranya  adalah menghilangkan suku hasilkalidarisebuah bentuk kuadrat, yaitu dengan caramenggantivariabel,dankitaakan  menggunakanhasilnyauntukmengkajigrafik  bagian kerucut(irisan atau penampangkerucut, atauconicsection).
Permasalah  dalam  penelitian  ini  adalah  bagaimana  cara  menentukan  bentuk  kuadrat bagian  kerucut  dan  permukaan  kuadratik  dengan  menggunakan  matriks.  Tujuan penelitian  ini  adalah  menentukan  suatu  bentuk  kuadrat  bagian  kerucut  dan  permukaan kuadratik dengan mennggunakan matriks.
Dari  hasil  penelitian  ini,  dapat  disimpulkan  bahwa  menentukan  bentuk  kuadrat  bagian kerucut dan permukaan kuadratik dapat ditentukan dengan menggunakan matriks. Kata Kunci : Matriks, Bentuk Kuadrat, Kerucut, Dan Permukaan Kuadratik .

## I. PENDAHULUAN
Kata  matematika  secara  bahasa  (  Lughawi  )  berasal  dari  bahasa  Yunani  yaitu “mathema” yang artinya hal-hal yang dipelajari. Nasoetion (1980:12) menyatakan bahwa matematika  berasal  dari  bahasa  Yunani “mathein” atau “manthenein” yang  artinya mempelajari.Namun,  secara  istilah  sampai  saat  ini  belum  ada  definisi  yang  tepat mengenai matematika.Matematikaadalahstuditentangkuantitas,struktur,ruangdan perubahan.Matematika dikembangkanmelalui penggunaan abstraksi dan  penalaran logis mulaidariperhitungan,pengukurandanstudibentuksertagerakobyekfisis.
Matematika adalah studi tentang kuantitas,struktur, ruang dan perubahan. Matematika dikembangkan melalui penggunaan abtraksi dan penalaran logis  mulai dari perhitungan, pengukuran dan studi bentuk serta gerak objek fisis. Banyak hukum fisika, kimia, biologi,
dan  ekonomi  yang  di  uraikan  dalam  bentuk  persamaan  deferensial,  yaitu  persamaan- persamaan  yang  melibatkan    fungsi-fungsi  dan  turunannya.  Demikian  juga  dalam mengkaji  grafik  irisan  kerucut  dalam  persamaan  kuadratik  banyak  melibatkan  konsep- konsep aljabar linear. 1
Dalam  memperdalam  dan  memperluas  materi-materi  matematika  lanjut  lainnya banyak  pula  yang  memerlukan  konsep-konsep  aljabar  linear,  misalnya  geometri  dengan operator  linear  pada penyesuaian (fitting) suatu  kurva  kedata  percobaan,  persamaan normal,  pengukuran  galat  sampai  permukaan  kuadratik  dalam  geometri  analitik  bidang maupun ruang.
Informasi  dalam  bidang  sains  dan  matematika  seringkali    ditampilkan  dalam  bentuk baris-baris  dan  kolom-kolom  yang  membentuk  jajaran  empat  persegi  panjang  yang disebut “matriks”. matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang diperoleh melalui  pengamatan  fisik,  tapi  dapat  juga  muncul  dalam  berbagai  macam  konteks matematis. 2
Bagaimana  cara  menentukan    bentuk  kuadrat  bagian  kerucut  dan  permukaan kuadratik  dan  penerapan  bentuk  kuadrat  bagian  kerucut.  Salah  satu  cara  untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menggunakan matriks.

## Rumusan Masalah
Berdasarkan  uraian  latar    belakang  diatas  maka  rumusan  masalah  dalam  penelitian  ini adalah  bagaimana  cara  menentukan    bentuk    kuadrat  bagian  kerucut  dan  permukaan kuadratik dengan menggunakan matriks?

## Batasan Masalah
Adapun batasan penelitian ini  yaitu pada bentuk kuadrat bagian kerucut dan permukaan kuadratik dengan menggunakan matriks ordo tiga (3 × 3) .

## Tujuan penelitian
Tujuan  dari  penelitian  ini  yaitu  bagaimana  menentukan  suatu  bentuk  kuadrat    bagian kerucut dan permukaan kuadratik dengan menggunakan matriks.
1. Abdusysyakir. ( KetikaKyaiMengajarMatematika,2007). H.5
2. Howard Anton. (Aljabar linier elementer, 1987).h23

## Manfaat Penelitian
Dari hasil penelitian  ini di harapkan  dapat memberikan manfaat antara lain:
1. Dari  individu  penulis  dapat  menambah  wawasan  dan  sumbangan  pemikiran tentang  bagaimana  menentukan  bentuk  kuadrat  bagian  kerucut  dan  permukaan kuadratik menggunakan matriks.
2. Secara  umum  dapat  memberikan  sumbangan  pemikiran  dalam  penulisan  dan memperdalam  wawasan  tentang  cara  menyelesaikan  bentuk  kuadrat  bagian kerucut dan permukaan kuadratik dengan menggunakan matriks.
3. Agar  dapat  memberikan  motifasi    atau  masukan  bagi  para  penulis  yang  akan datang khususnya penelitian yang sesuai dengan penelitian ini

## Metodologi Penelitian
Metodologi  yang digunakan  dalam penelitian ini adalah studi literatur  (kajian pustaka) yang bersumber dari buku-buku teks penunjang,  makalah, dan jurnal  yang berkaitan dari judul penelitian ini.

## II. LANDASAN TEORI

## 2.1 Matriks
Definisi  1. Matriks  merupakan  suatu  kumpulan  dari  angka-angka  (elemen-elemen)  yang di  susun  melulai  baris  dan  kolom,sehingga  berbentuk  segi  empat  siku-siku  dengan panjang dan lebarnya di tentukan oleh baris dan kolom. 3
Bentuk umum dari matriks:
= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⋯ ⋯ ⋯ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤

## 2.1.1. Determinan
Definisi  2. Determinan  matriks  merupakan  bilangan  tunggal  yang  diperoleh  dari  semua permutasi elemen  bujur  sangkar.  Determinan  matriks  hanya  didefinisikan  pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat). 4
Notasi determinan matriks A yakni ( ) = | |

## 2.1.2.  Invers Matriks
Definisi 3. Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB=BA=I, maka B disebutinversdari A danditulis B = A -1 .Matriks B juga  mempunyai inversyaitu ditulis A = B -1

## 2.2Vektor
Defenisi  11. Vektor  adalah  gaya  yang  bekerja  untuk  menggeser  benda  yang  mempunyai besar  dan  arah.Di  dalam  semesta  ini  banyak  permasalahan  riil  yang  sering  dihadapi terkait  dengan  masalah  vektor.  Pada  bidang  pelayaran  dapat  dijumpai  permasalahan bagaimana  menyatakan  posisi  sebuah    kapal  dilihat  dari  menara  pengawas.  Pengertian posisi  sebuah  kapal  dapat  diartikan  sebagai  jarakdan  arah  kapal  dari  menara  pengawas.
Misalkan  diberikan  sebuah  titik  dibidang  R 2 atau  A=(  X , 1 Y 1 )  maka  di  dapatkan  ruas garis berarah dari titik pusat sumbu 0 (0,0) ke titik A. 5

## 2.3 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Definisi  4. Jika  A  adalah  sebuah  matriks  n  x  n,  maka  sebuah  vektor  taknol  x  pada disebut vektor eigen dari A, jika  Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x, yaitu:
x Ax  
Untuk sebarang skalar  . Skalar  disebut nilai eigen dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A yang terkaitan dengan  . 6

## 2.4. Diagonalisasi
Definisi  5. Sebuah  matriks  bujursangkar  A  dikatakan  dapat  diagonalisasi  jika  terdapat sebuah  matriks  P  yang  dapat  dibalik  sedemikian  rupa  sehingga AP P 1  adalah  sebuah matriks diagonal, matriks P mendiagonalisasi A. 7
             n D   
      0 0 0 0 0 0 2 1

## Diagonalisasi Ortogonal
Jika  diberikan  sebuah  matriks  A  n  x  n.  Terdapat  sebuah  matriks  orthogonal  P sehingga  matriks AP P AP P T   1 adalah  diagonal.  Maka  matriks  A  dikatakan  dapat
3. Rumita. ( matriks persamaan linier dan program linier , (2009).h.12 4. H.Purwanto,  ( Aljabar Linier , 2005) h. 17
orthogonal  matriks  A.  Untuk  dapat  mendiagonalisasi  matriks  A  secara  orthogonal, apabila A simetrik yaitu T A A  . Misalkan: D AP P T 
Dimana  p  adalah  sebuah  matriks  orthogonal  dan  D  adalah  sebuah  matriks  diagonal. Karena P orthogonal 1   P P PP T T sehingga dapat ditulis: T PDP A 
Karena  D  adalah  sebuah  matriks  diagonal  maka  diperoleh T D D  ,  sehinggan  dengan mentransposkan keduanya dapat ditulis hasilnya sebagai berikut.
A PDP P D P PDP A T T T T T T T T     ) ( ) (
Sehingga A adalah simestrik.

## 2.5  Bentuk-Bentuk Kuadrat
Bentuk  kuadrat  mendefinisikan  sebuah  persamaan  linear  dalam  bentuk  n variabel , , , .. yang dapat dinyatakan dalam bentuk d x a x a x a n n     ... 2 2 1 1 Ruas kiri persamaan ini, yaitu d x a x a x a n n     ... 2 2 1 1
Merupakan  sebuah  fungsi  dalam  n  variabel  (fungsi  peubah  n),  yang  dinamakan bentuk linear. Fungsi  yang dinamakan bentuk kuadratyang suku-sukunya adalah kuadrat dari  variabel  atau  hasil  kali  dua  variabel.  Sebuah  persamaan  yang  berbentuk  sebagai berikut : + 2bxy + + dx + ey + f = 0
dengan a, b, c, …, f adalah bilangan-bilangan real dengan a, b, dan c tidak sekaligus nol, dinamakan sebuah persamaan kuadrat dalam x dan y. Sedangkan,
+ 2bxy + = 0
Dinamakan  bentuk  kuadrat    terasosiasi( associated  quadratic  form )  atau  bentuk kuadrat dalam 2 variabel.

## 2.6. Pengertian Kerucut
Definisi  6. Kerucut  adalah  suatu  bangun  ruang.  Kerucut  dapat  dibentuk  dari  sebuah segitiga  siku-siku  yang  diputar  dimana    sisi  siku-siku  sebagai  pusat  putaran.  Kerucut dalam giometri adalah sebuah limas yang beralas lingkaran kerucut.Juga memiliki 2 sisi dan 1 rusuk. Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung  yang di sebut selimut kerucut. 8
8. H. Karso. ( Penerapan aljabar linier , 2003).h.29
Gambar 1: Kerucut
Dimana:  r = jari-jari lingkarang alas,  t = tinggi dan s = selimut maka luas kerucut : s r r L 2 1 2 2      atau ) ( s r r L   

## 2.6.1. Rumus-Rumus Kerucut
Ada beberapa rumus-rumus kerucut diantaranya sebagai berikut:
1. Luas alas: 2 r L  
2. Luas selimut: =
3. Luas permukaan: = + ( . )
4. Volume: = 1 3 .   .

## Definisi Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.

## 2.6.2. Macam – Macam Irisan Kerucut
Berdasarkan  letak  bidang  datar  yang  mengirisnya,  maka  irisan  kerucut  dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
 Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik .
 Jika  bidang  yang  mengiris  berimpit  dengan  garis  pelukis  kerucut,  maka  irisan yang terbentuk berupa sebuah garis .
 Jika  bidang  yang  mengiris  melalui  sumbu  simetri  kerucut  dan  tegak  lurus lingkaran alas, maka irisan terbentuk berupa segitiga .
 Jika  bidang  yang  mengiris  tegak  lurus  sumbu  simetri  kerucut,  tetapi  tidak melalui puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran .
 Jika  bidang  yang  mengiris  sejajar  garis  pelukis  kerucut,  maka  irisan  yang terbentuk berupa parabla.
 Jika  bidang  yang  mengiris  tidak  melalui  puncak,  tidak  memotong  lingkaran alas,  tidak  sejajar  sumbu  simetri  maupun  garis  pelukis  kerucut,  maka  irisan yang terbentuk berupa elips .
 Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak  sejajar  sumbu  simetri  maupun  garis  pelukis  kerucut  maka  irisannya berbentuk hiperbola .

## IIIPEMBAHASAN

## 3.1. Penerapan Bagian Kerucut (Konik) Menggunakan Matriks
Pada  penerapan  ini,  dengan  menghilangkan  suku  hasil  kali  dari  sebuah  bentuk  kuadrat yaitu dengan  cara menggantikan variable  untuk mengkaji grafik bagian kerucut ( irisan atau penampang bagian kerucut atau conic section ). Misalkan
 
   
                     n nn n n n n t x x x a a a a a a a a a x x x Ax x        2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 3 2 1 ......
adalah bentuk kuadrat dengan A berupa matriks simetris. Ada suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalisasi A, yaitu
               3 2 1 1 0 0 0 0 0 0          AP P D
dengan λ , λ , ... , λ adalah nilai-nilai eigen A.
Misalkan
  
 
     
3 2 1 y y y y
dengan , , ..., adalah variabel-variabel baru, dan jika kita melakukan substitusi x = P y pada (12), maka akan didapatkan
Dy y APy P y APy Py Ax x t t t t    2 ) (
Namun
2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ...... 0 0 0 0 0 0 ) ,...., , ( n n n n n t y y y y y y y y y Dy y      
                                   
yang merupakan bentuk kuadrat  tanpa suku-suku hasil kali.

## 3.2 Irisan Kerucut
Jika benda dalam posisi standar relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat.Maka irisan- irisan  kerucut  yang  paling  penting  adalah  elips,  lingkarang,  hiperbola,  dan parabola.Irisan-irisan  kerucut  ini  adalah  irisan-irisan  kerucut  yang  tidak  mengalami degenerasi.
Contoh 1. Karena persamaan kuadrat
0 17 6 4 2     x y x
memuat  suku-suku x ,  y,  dan  x  tetapi  tidak  memuat  suku  hasil  kali  (suku  xy),  maka grafiknya adalah suatu irisan kerucut  yang dipindahkan ke luar dari posisi  yang standar tetapi tidak diputar. Irisan kerucut ini dapat dibawa ke posisi standar dengan menggeser sumbu-sumbu  koordinatnya  secara  tepat..  Hal  ini  menghasilkan  persamaan-persamaan yang ekuivalen, yaitu
0 17 6 4 2     x y x atau 17 4 6 2      y x x sehingga akandidapatkan 9 17 40 9 6 2        x x ) 2 ( 4 2 ) 3 (      y x ……………..  (1)
Jika  menggeser  suku-suku  koordinat  dengan  menggunakan  persamaan  pergeseran (persamaan translasi)
2 '' , 3 ''     y y x x ………………..  (2) maka persamaan (1) menjadi bentuk y x 4 2 ''  
yang  merupakan  persamaan  parabola  dalam  posisi  standar  pada  sistem  koordinat " " y x dengan  titik  pangkal  koordinat  yang  baru  (a  ,  b)  =  (3  ,  -  2)  (Gambar  4).  Persamaan  ini menyatakan  sebuah  parabola  yang  terbuka  ke  bawah  dengan  titik  puncak  (3  ,  -2),  titik fokus (3 , -3), dan direktriksnya y = -1.
Gambar 4. Parabola dengan posisi standar
Sekarang bagaimana mengidentifikasi bangun-bangun irisan kerucut yang dirotasi keluar dari  posisi  standarnya.Untuk  itu  kita  tinjau  kembali  bentuk  umum  persamaan  kuadrat dalam variabel x dan y (yaitu persamaan 2).
    0                   
  f y x e d y x c b b a y x 0     f Kx Ax x t Dengan   e d K c b b a A y x x               
Selanjutnya,  irisan  kerucut  C  yang  persamaannya  pada  sistem  koordinat  x  y  (XOY) adalah 0    f Kx Ax x t ………………….   (3)
Kita akan memutar (merotasikan) sumbu-sumbu koordinat x y sehingga persamaan irisan kerucut dalam sistem koordinat " " y x yang baru tidak menurut suku hasil kali.
Langkah 1 . Carilah suatu matriks
       22 21 12 11 p p p p
P yang secara ortogonal mendiagonalkan bentuk kuadrat x A x .
Langkah 2 . Jika perlu, pertukarankan kolom-kolom P, untuk menjadikan det (P) =1. Hal ini menjamin bahwa transformasi koordinat ortogonal
              ' ' , '' y x P y x yaitu Px x
…………………..  (4)
adalah suatu rotasi.
Langkah 3 .Untuk mendapatkan persamaan C pada sistem koordinat , " " y x
Substitusikanlah (4) ke persamaan (3).Hal ini menghasilkan
0 ) '' ( ) '' ( ) (    f Px K Px A Px t 0 '' ) ( '' ) ( ) '' (     f x KP x AP P x t t
…………………  (5)
Karena P mendiagonalkan A secara ortogonal,        2 1 0 0   AP P t
dengan dan adalah nilai-nilai eigen A. Jadi persamaan (5) diperoleh:
    0 " " " " ) " ( ) " ( 0 ' ' ' ' 0 0 ' ' 2 2 2 1 22 21 12 11 2 1                                  f y e x d y x f y x P P P P e d y x y x    
(dengan " d = dp + ep dan " e = dp + ep ). Persamaan ini  tidak memuat suku hasilkali (suku xy).
Contoh 2. Jelaskan irisan kerucut C yang persamaannya adalah 0 36 8 4 5 2 2     y xy x
Penyelesaian:
Bentuk matriks dari persamaan ini adalah
0 36   Ax x t …………(6)
  0 36 8 2 2 5                  y x y x Persamaan karakteristik matriks A adalah 0 ) 4 )( 9 ( ) ( Det         A I
sehinga nilai-nilai eigen A adalah λ = 4 dan λ = 9.
Jadi, matriks yang mendiagonalisasi Ax x t  secara ortogonal adalah
             5 2 5 1 5 1 5 2 P
det (P) = 1 sehingga transformasi koordinat ortogonal adalah
'' Px x  ………   (7)
adalah sebuah rotasi. Dengan mensubstitusikan (7) ke (6) menghasilkan
0 36 ) '' ( ) '' (   Px A Px t
Karena        9 0 0 4 AP P t Maka persamaannya dapat ditulis sebagai
  36 ' ' 9 0 0 4 '' '              y x y x 1 4 9 1 1    y x
berupa persamaan ellips yang sketsa grafiknya ditunjukkan oleh Gambar 5
Gambar 5. Ellips dengan vektor kolom P

## 3.3. Menentukan Permukaan Kuadratik Menggunakan Matriks
Pada sub bab ini permukaan kuadratik bagian diagonalisasi pada persamaan kuadrat dengan tiga variabel.
Sebuah persamaan yang berbentuk sebagai berikut:
0 2 2 2 2 2 2           j iz hy gx fyz exz dxy cz by ax ……………  (8)
dengan a, b, c, .., f tidak semuanya nol, dan dinamakan persamaan kuadratdalam variabel x, y, dan z, sedangkan ungkapan fyz exz dxy cz by ax 2 2 2 2 2     
dinamakanbentuk kuadrat terasosiasi ( assosiated quadratic form ).
Persamaan (8) dapat kita tulis dalam notasi matriks seperti berikut
    0                                  y z y x i h g z y x c f e f b d e d a z y x 0     j Kx Ax x t dengan   i h g K e f e f b d e d a z y x x                      
Contoh 3. Bentuk kuadrat yang diasosiasikan dengan persamaan kuadrat
0 7 3 2 7 8 3 4 2 3 2 2 2           z y x yz xz xy z y x adalah bentuk yz xz xy z y x 8 3 4 3 3 2 2 2     
Grafik-grafik  dari  persamaan-persaman  kuadrat  dalam  x,  y,  dan  z  dinamakan kuadratik( quadric )  atau  permukaan  kuadratik( quadric  surfaces ).Sebuah  kuadratik  yang persamaan  dan  sketsa  grafiknya  ditunjukkan  dalam  Gambar  6  dikatakan  berada  dalam kedudukan standar relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat.
Munculnya  satu  atau  lebih  suku  hasil  kali  xy,  xz,  dan  yz  dalam  persamaan  sebuah kuadratik menunjukkan bahwa kuadratik dirotasikan ke luar dari posisi standar.Sedangkan  munculnya  dua  suku  yaitu  suku-suku x dan  x,  suku-suku y dan  y, atau  suku-suku z dan  z  dalam  sebuah  persaman  kuadratik  tampak  suku  hasil  kali menunjukkan bahwa kuadratik tersebut digeser dari posisi standar.
a). elipsoida : 1 2 2 2 2 2 2    c x b z a y
b). paraboloida eliptik:
0 2 2 2 2 2    b y a x c). hiperboloida daun (cabang) satu: 1 2 2 2 2 2 2    c z b x a y
d). hiperboloida daun (cabang) dua: 1 2 2 2 2 2 2    c z b x a y e). kerucut elipstik: 0 2 2 2 2 2 2    c z b y a x f). paraboloida hiperbolik: 0 2 2 2 2    z b x a y
Gambar 6 (a) elipsoida        Gambar 6 (b) paraboloida eliptik
Gambar 6 ( c) hiperboloida daun satu      Gambar 6 (d). hiperboloida daun dua Gambar 6 (e)  kerucut elipstik    Gambar 6 (f). paraboloida hiperbolik
Contoh 4. Uraikanlah persamaan permukaan kuadratik berikut 0 144 42 3 3 2 2 2      x z y x

## Penyelesaian:
Dengan  menyusun  kembali  suku-sukunya  dan  dengan  melengkapkan  kuadrat akandidapatkan:
144 42 3 3 2 2 2      x z y x 147 144 3 ) 49 14 ( 3 2 2 2         z y x x 1 3 ) 7 ( 3 2 2 2     z y x
Pergeseran sumbu dengan menggunakan persamaan 7 ''   x x akan menghasilkan:
1 1 ) ' ( 1 ) ' ( 1 ) ' ( 2 2 2    z y x
Persamaan ini merupakan sebuah hiperboloida bercabang dua.
Yang  terkait  dengan  eliminasisuku  hasil  kali  dari  persamaan  kuadrat  dalam  variabel x,  y,  dan  z  (permukaan  kuadrik).Untuk  mengidentifikasi  kuadrik  yang  dirotasikan  dari posisi  standar  serupa  dengan  irisan  kerucut  (konik).  Misalkan  Q  sebuah  permukaan kuadrik yang persamaannya pada sistem koordinat xyz adalah
0    y Kx Ax x t
……………………..   (9)
Dalam  hal  ini  kita  ingin  merotasikan  sumbu  koordinat  xyz,  untuk  mendapatkan persamaan kuadrik pada sistem koordinat " " " z y x yang baru tidak mempunyai suku hasil kali.Hal ini bisa kita lakukan melalui beberapa langkah berikut ini.
Langkah 1 .Carilah sebuah matriks P yang mendiagonalkan x A x secara ortogonal.
Langkah 2 . Jika perlu, tukarkanlah dua kolom dari matriks P, untuk mendapatkan det (P) = 1. Ini menjamin bahwa transformasi koordinat ortogonal
                      ' ' ' , ' z y x P z y x yaitu Px x ………….  (10)
adalah sebuah rotasi.
Langkah  3 .Substitusikanlah  (10)  ke  dalam  (9).  Dari  sini  akan  mendapatkan  sebuah persamaan untuk kuadrik pada koordinat " " " z y x tanpa suku hasil kali.
Contoh 5. Diketahui permukaan kuadrik dengan persamaan
0 150 72 23 3 2 2 2 2      xz z y x
Carilah " Px x  yang  akan  menghilangkan  suku-suku  hasil  kali.  Kemudian  namailah kuadrik tersebut dan berikan pula persamaannya pada sistem kordinat " " " z y x .
Penyelesaian:
Bentuk matriks untuk persamaan kuadrat di atas adalah
0 150   Ax x t
……………… (11)
dengan matriks
           2 0 36 0 3 0 36 0 2 A
Nilai-nilai eigen dari A adalah λ = - 25, λ= 3, dan λ = 50. Vektor-vektor ortogonal dari ruang-ruang eigen yang bersesuaian denga nilai-nilai tersebut berturut-turut:
                 
    
        4 0 3 0 1 0 , 3 0 4 dan
Jadi matriks yang mendiagonalisasi A secara ortogonal, yaitu sebagai berikut:
Dan
           50 0 0 0 3 0 0 0 25 AP P t
Karena  det  (P)  =  1,  maka  transformasi  koordinat  ortogonal " Px x  adalah  sebuah rotasi.maka didapatkan
0 150 ) '' ( ) '' (   Px A Px t 0 150 ) '' ( 50 ) '' ( 3 ) '' ( 25 2 2 2      z y x
Persamaan permukaan kuadratik ini merupakan persamaan hiperboloida cabangdua.

## IV. PENUTUP

## Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  dan  analisa  yang  dilakukan,  maka  penulis  mengambil kesimpulan  bahwa  kuadrat  bagian  kerucut  dan  permukaan  kuadratik  dapat  ditentukan dengan menggunakan matriks.
a. Aproksimasi , hampiran , aproximation adalahpendekatan yang terbaikyang mendekatinilaiatau fungsiyangsebenarnya.
b. Bentuk kuadratterasosiasi , associatedquadraticform ,adalahpersamaankuadrat denganxdany  sebagaivariabeldalambentukax 2 +2bxy  +cy 2 untuka,b,danc  bilangan
realyangtidak sekaligusnol.
c. Galat , deviasi , error atau deviation , adalahkesalahan atau penyimpangandarinilai yangsebenarnya.
d. Konik,irisankerucut,    penampang    kerucut, conic atau conicsection adalah irisanantarabidang datardengankerucut lingkarantegakyangdapatberupatitik, garis, lingkaran, parabola,ellips, atau hiperbola.
e. Kuadrik ( quadric ), permukaankuadrik ( quadricsurfaces )adalahgrafikdari persamaan kuadratdalamtigavariabel.
f. Masalahnilaiawal , initialvalueproblem adalahmasalahmenyelesaikansuatu persamaan diferensialyangmemenuhisyarat awal.
g. Penyelesaian umum , generalsoluion ,adalahbentukkhusus suatufungsiyang menjadi penyelesaian  dari suatu  persamaan  diferensial  yang  mempunyai  tak hinggabanyak penyelesaian.
h. Penyelesaian khusus , paticular solution adalahsolusidaripenyelesaianumum suatu persamaan diferensialdisebabkan keberadaan syarat tambahan.
i. Persamaankuadratdalam  xdany , quadratic  equation  xandy adalah  persamaan dalam  x  dan  y    sebagai  variabel-variabelnya  dan  paling  tinggi  variabelnya berderajatdua.
j. Syaratawal , initial  condition adalah  sebuahsyarattertentuyang  menentukannilai penyelesaian padasebuahtitik.
Langkah-langkah  dalam  menyelesaikan  kuadrat  bagian  kerucut  dan  permukaan kuadratik diantaranya:
a) Dengan menentukan nilai-nilai eigen ) ,..., , ( 2 1 n    dari . 0 ) (   x A I 
b) Menentukan  vektor    eigen  dari  sebuah  matriks  A  yang  berkaitan  dengan  yaitu n P P P ,..., , 2 1 dari  vektor  eigen  itu  dibentuk  sebuah  matriks  P  yang mendiagonalisasi matriks A.
c) Proses  mendiagonalisasi  matriks AP P D A 1 (   .  (4).  Proses  diagonalisasi
orthogonal AP P D A T  ( .  (5).  Menentukan  bentuk  kuadrat  ke  matriks
0 2 2    cy byx ax

## SARAN
Penulis mengharapkan dalam metode ini dapat dijadikan sebagai salah satu pembelajaran atau motivasi dalam mata kualiah Aljabar Linear, dan bagi para  penelitian lanjutan agar dapat  mmengkaji  lebih  dalam  lagi  mengenai  cara  menentukan  bentuk  kuadrat    bagian kerucut  dan  permukaan  kuadratik    menggunakan  matriks  ordo  empat ) 4 4 (  dan memperbanyak referensi-referensi dengan buku-buku edisi terbaru guna penyempurnaan isi dari tulisan ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdusysyakir.2007. KetikaKyaiMengajarMatematika, UINPress:Malang.
B. Harahap. 2003. Enslikopedia Matematika. Dekdibud. Jakarta
Criss Rorres dkk, 2004, Aljabar Linear Versi Aplikasi . Jakarta: PT Erlangga.
Dr.  Rumita,  2009, Matriks  Persamaan  Linier  dan  Pemograman Linier.  Bandung  : Rekayasa Sains
Erlina Dayanti, 2005, Aljabar Linier. Jakarta : PT Ercontara Rajawali Gina Indriani, 2005, Aljabr Linier. Jakarta : PT Ercontara Rajawali
Howard Anton, 1992, Aljabar Linier Elementer . Jakkarta : PT Erlangga.
Heri Purwanto, 2005, Aljabar Linier . Jakarta : PT Ercontara Rajawali J. Suprapto M.A, 1992, Pengantar Matriks , Jakarta: Lembaga Penerbit FE-UI.
LeitholdLouis, 1981, The Calculus with Analytic Geometry : New York Negoro ST, 1998, Ensiklopedia Matematika , Jakarta : PT Ghalia Indonesia