## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10264
Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik
Fatimah Azzahra 1* , I Wayan Mangku 2
1 Jurusan Ilmu Aktuaria, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Binawan, Jl. Raya Kalibata No.25, RT.9/RW.5, Cawang, Kramat Jati, East Jakarta City, Jakarta 13630, Indonesia
2 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, IPB University, Jl. Meranti, Kampus IPB Dramaga Bogor 16680, Jawa Barat, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: fatimah.azzahra@binawan.ac.id

## ABSTRAK 1
Penduga yang konsisten dari fungsi distribusi dan fungsi kepekatan peluang waktu tunggu dari proses Poisson periodik dibahas dalam artikel ini. Tidak ada asumsi bentuk parametrik tertentu dari fungsi intensitas proses Poisson periodik. Situasi dipertimbangkan ketika hanya ada  realisasi  tunggal  dari  proses  Poisson  periodik  yang  teramati  dalam  interval  terbatas [ 0, 𝑛 ]. Hasil pembuktian menunjukkan bahwa penduga yang diusulkan konsisten ketika 𝑛 → ∞.
Kata Kunci: Proses Poisson; Kepekatan; Waktu Tunggu; Penduga Konsisten

## ABSTRACT
The consistent estimator of the distribution and the density functions of  t he waiting time of a cyclic Poisson process is considered and investigated. We do not assume any particular parametric form of the  intensity  function  of  the  cyclic  Poisson  process.  We  consider  the  situation  when  there  is  only  a single realization of the cyclic Poisson process is spotted in a bounded interval [0, 𝑛]. We proved that the propose estimators are consistent as 𝑛 → ∞.
Keywords: Poisson Process; Density; Waiting Time; Consistent Estimation
Format Sitasi:
F. Azzahra and I.W. Mangku , “ Penduga Konsisten dari Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang  Waktu  Tunggu  Proses  Poisson  Periodik ,” Jambura  J.  Math. ,  vol.  3,  no.  2,  pp.128-139, 2021

## 1.  Pendahuluan
Proses  stokastik  adalah sebuah  proses  yang  menggambarkan  kejadian-kejadian  yang terjadi  secara  acak  dan  berubah  seiring  dengan  berjalannya  waktu.  Proses  Poisson adalah salah satu proses stokastik dengan waktu kontinu. Proses Poisson merupakan proses pencacahan dimana banyak kejadian pada interval waktu terdistribusi Poisson. Proses  Poisson  dapat  dibedakan  menjadi  proses  Poisson  homogen  yang  fungsi
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 Fatimah Azzahra, I Wayan Mangku | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 23 March 2021 | Accepted: 4 May 2021 | Online: 6 May 2021
intensitasnya merupakan fungsi konstan dan proses Poisson nonhomogen yang fungsi intensitasnya  bergantung  pada  waktu  [1].  Salah  satu  contoh  proses  Poisson nonhomogen adalah proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.
Serangkaian proses dikatakan periodik jika setelah suatu satuan waktu proses tersebut cenderung  berulang.  Suatu  periode  dapat  berupa  harian,  mingguan,  tahunan,  atau dalam bentuk satuan unit yang lain [2]. Dalam suatu proses Poisson periodik, bentuk fungsi  intensitas  pada  periode  sebelumnya  dengan  sesudahnya  memiliki  pola  yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk  memprediksi  suatu  kejadian  pada  periode  berikutnya.  Beberapa  contoh penerapan proses Poisson dalam kehidupan sehari-hari dapat ditemukan pada [3]-[6].
Waktu  tunggu  kejadian  ke- 𝑚 dari  suatu  proses  Poisson  adalah  lama  waktu  sejak proses  tersebut  diamati  sampai  kejadian  ke- 𝑚 terjadi.  Dalam  kehidupan  sehari-hari, waktu  tunggu  suatu  kejadian  proses  Poisson  sangat  berguna,  contohnya  untuk memprediksi  kedatangan  pengunjung  dalam  suatu  pusat  servis  sehingga memungkinkan  sistem  untuk  mengetahui  jam  istirahat  yang  efisien.  Waktu  tunggu untuk  kasus  proses Poisson  homogen  telah  diketahui  memiliki  sebaran  eksponensial [7], sedangkan belum banyak informasi yang tersedia tentang sebaran waktu tunggu proses  Poisson  nonhomogen.  Kajian  terhadap  waktu  tunggu  proses  Poisson nonhomogen sangatlah luas, hasil penelitian yang sudah ada salah satunya mengenai proses  Poisson  periodik  dengan  tren  linear  [8],  dan  proses  Poisson  periodik  dengan tren  fungsi  pangkat  [9].  Beberapa  penelitian  terkait  tentang  proses  Poisson  periodik yang lainnya dapat ditemukan pada [10]-[13].
Sebaran  dari  peubah  acak  waktu  tunggu  proses  Poisson  periodik  umumnya  tidak diketahui, sehingga diperlukan penduga fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari  peubah  acak  tersebut.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  merumuskan  penduga dan  membuktikan  kekonsistenan  penduga  fungsi  sebaran  dan  fungsi  kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik.
Artikel ini disusun dalam 4 bagian, yaitu pendahuluan, metode penelitian, hasil, dan kesimpulan. Pada bagian hasil, rumus penduga ditulis pada sub bagian ke-2, beberapa lema teknis ditulis pada sub bagian ke-3, kekonsistenan penduga ditulis dalam bentuk teorema pada sub bagian ke-4, dan bukti matematis dari teorema tersebut ditulis pada sub bagian ke-5.

## 2.  Metode
Fokus  penelitian  ini  adalah  pengembangan  teori.  Adapun  langkah-langkah  yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Studi pendahuluan
a. Mempelajari proses Poisson periodik,
b. Menggali landasan matematika untuk membuktikan teori baru.
2. Tahapan penelitian
a. Merumuskan  penduga  fungsi  sebaran  dan  fungsi  kepekatan  peluang  waktu tunggu proses Poisson periodik,
b. Membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji.

## F. Azzahra and I. W. Mangku
3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Fungsi Sebaran dan Fungsi Kepekatan Peluang Waktu Tunggu Proses Poisson Periodik
Misalkan  proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah  proses  Poisson  periodik  yang  terdefinisi  pada suatu ruang peluang (Ω, ℱ, P) . Dengan kata lain, untuk setiap 𝑠 > 0 , fungsi intensitas 𝜆 dapat dituliskan sebagai berikut
λ(𝑠) = λ(𝑠 + 𝑘𝜏), (1)
untuk  setiap 𝑠 ≥ 0 dan 𝑘 ∈ ℕ ,  dengan ℕ menyatakan  himpunan  bilangan  asli  dan 𝜏 adalah  panjang  satu  periode.  Proses  tersebut  diamati  pada  suatu  interval  terbatas [0, 𝑛] . Untuk setiap 𝑧 > 0 dan untuk suatu bilangan bulat positif 𝑚 , diperoleh fungsi sebaran 𝐹 𝑇 𝑚 dari waktu tunggu kejadian ke- m 𝑇 𝑚 sebagai berikut:
𝐹 𝑇 𝑚 (𝑧) = P(𝑇 𝑚 ≤ 𝑧)
= P(𝑁[0, 𝑧] ≥ 𝑚)
= 1 − 𝑃(𝑁[0, 𝑧] ≤ 𝑚 − 1)
= 1 − [ 𝑒 −Λ(z) (Λ(z)) 0 0! + 𝑒 −Λ(z) (Λ(z)) 1 1! + ⋯ + 𝑒 −Λ(z) (Λ(z)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! ]
= 1 − 𝑒 −Λ(z) [1 + Λ(z) + ⋯ + (Λ(z)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ] ( 2 ) dimana Λ(z) = 𝐸(𝑁[0, 𝑧]) = ∫ 𝜆(𝑠)
𝑧 0 𝑑𝑠 .
Misalkan 𝑧 𝑟 = 𝑧 − 𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋ , dimana untuk suatu bilangan real 𝑥, ⌊𝑥⌋ menyatakan bilangan bulat  terbesar  yang  kurang  dari  atau  sama  dengan 𝑥 ,  maka  untuk  setiap 𝑧 > 0 diperoleh 𝑧 = 𝑧 𝑟 + 𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋ dengan 0 < 𝑧 𝑟 < 𝜏 .  Dimisalkan 𝜃 = 𝜏 −1 ∫ 𝜆(𝑠) 𝑧 0 𝑑𝑠 ,  yaitu
intensitas global dari 𝑁 . Untuk setiap 𝑧 > 0, Λ(z) dapat ditulis sebagai berikut
Λ(z) = ∫ 𝜆(𝑠) 𝑧 0 𝑑𝑠 = ∫ 𝜆(𝑠) 𝑧 𝑟 0 𝑑𝑠 + ∫ 𝜆(𝑠) 𝑧 𝑧 𝑟 𝑑𝑠 = Λ(𝑧 𝑟 ) + 𝜃𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋  . (3)
dengan ∫ 𝜆(𝑠) 𝑧 𝑟 0 𝑑𝑠 adalah  integral  dari  fungsi  intensitas  untuk  periode  yang  tidak penuh dengan panjang interval 𝑧 𝑟 dan ∫ 𝜆(𝑠) 𝑧 𝑧 𝑟 𝑑𝑠 adalah integral dari fungsi intensitas untuk periode yang penuh sebanyak 𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋ periode, sehingga dapat dirumuskan sebagai 𝜃𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋ . Untuk setiap 𝑧 > 0 dan untuk suatu bilangan bulat positif 𝑚 , diperoleh fungsi kepekatan 𝑓 𝑇 𝑚 dari waktu tunggu 𝑇 𝑚 sebagai berikut
𝑓 𝑇 𝑚 (𝑧) = 𝑑 𝑑𝑧 (1 − 𝑒 −Λ(z) [1 + Λ(z) + (Λ(z)) 2 2! + ⋯ + (Λ(z)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! ])
= 𝜆(𝑧)𝑒 −Λ(z) [1 + Λ(z) + (Λ(z)) 2 2! + ⋯ + (Λ(z)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ]
− 𝑒 −Λ(z) [𝜆(𝑧) + 2Λ(z)𝜆(𝑧)
2! + ⋯ + 𝜆(𝑧)(𝑚 − 1) (Λ(z)) 𝑚−2 (𝑚 − 1)(𝑚 − 2)! ]
= 𝜆(𝑧)𝑒 −Λ(z) [1 + Λ(z) + ⋯ + (Λ(z)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ] − 𝜆(𝑧)𝑒 −Λ(z) [1 + Λ(z) + ⋯ + (Λ(z)) 𝑚−2
(𝑚 − 2)! ]
= 𝜆(𝑧)𝑒 −Λ(z) (Λ(z)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! . (4)

## 3.2 Rumus Penduga
Penduga  fungsi  sebaran 𝐹 𝑇 𝑚 (𝑧) dari  proses  Poisson  periodik 𝑁 pada  interval [0, 𝑛] adalah
𝐹̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) = 1 − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (1 + 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) + ⋯ + (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! )                (5)
dengan
𝛬̂ 𝑛 (𝑧) = 𝛬̂ 𝑛 (𝑧 𝑟 ) + 𝜃̂ 𝑛 𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋                                               (6)
(cf. (3)) dimana
𝜃̂ 𝑛 = 𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ] 𝜏𝑛 𝜏 (7)
dan untuk 0 < 𝑧 𝑟 < 𝜏 ,
𝛬̂ 𝑛 (𝑧 𝑟 ) = 1 𝑛 𝜏 ∑ 𝑁[𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑧 𝑟 ] 𝑛 𝜏 −1 𝑘=0 (8)
dimana 𝑛 𝜏 = ⌊ 𝑛 𝜏 ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑛 𝜏 . Dengan kata lain, 𝑛 𝜏 adalah banyaknya periode pada interval [0, 𝑛].
Penduga fungsi kepekatan peluang 𝑓 𝑇 𝑚 ,𝑛 pada suatu nilai 𝑧 adalah
𝑓̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) = 𝜆̂ 𝑛 (𝑧)𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! (9)
(cf. (1) dan (4)) dimana 𝑧 > 0, 𝜆̂ 𝑛 (𝑧) merupakan
𝜆̂ 𝑛 (𝑧) = 𝜏 𝑛 ∑ 1 2ℎ 𝑛 𝑁([𝑠 + 𝑘𝜏 − ℎ 𝑛 , 𝑠 + 𝑘𝜏 + ℎ 𝑛 ] ∩ [0, 𝑛])
∞
𝑘=0
,                           (10)
yaitu kasus khusus dari penduga fungsi intensitas 𝜆 tipe Kernel yang dikenalkan pada [10]  dengan  fungsi  kernel 𝐾 = 1 2 𝐈 [−1,1] .  Statistik  penduga  sudah  dijelaskan  pada  [11], dengan ℎ 𝑛 adalah barisan bilangan real positif sedemikian sehingga ℎ 𝑛 ↓ 0 ketika 𝑛 → ∞ dan K menyatakan fungsi kernel 𝐾: 𝑅  →   [0, ∞) yang memenuhi sifat-sifat: (K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang,
(K.2) K terbatas, (K.3) K memiliki daerah definisi [-1,1], (K.4) K kontinu, kecuali mungkin untuk beberapa interval terbatas.
Beberapa  hasil  penelitian  yang  terkait  tentang  estimasi  fungsi  intensitas  dari  proses Poisson periodik dapat ditemukan pada [14]-[24].

## 3.3 Beberapa Lema Teknis
Untuk membuktikan kekonsistenan penduga diperlukan  lema-lema sebagai berikut:
Lema 1. Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Misalkan pula kernel 𝐾 memenuhi asumsi (K.1)-(K.4). Jika bandwidth ℎ 𝑛 ↓ 0 dan 𝑛ℎ 𝑛 → ∞ ketika 𝑛 → ∞ maka
𝜆̂ 𝑛,𝐾 (𝑠) 𝑝 → 𝜆(𝑠)
ketika 𝑛 → ∞ asalkan 𝑠 adalah titik Lebesgue dari 𝜆 . Dengan kata lain, 𝜆̂ 𝑛,𝐾 (𝑠) adalah penduga konsisten untuk 𝜆(𝑠) . Bukti dapat dilihat pada [14].
Lema 2. Jika fungsi intensitas 𝜆 memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka
𝛬̂ 𝑛 (𝑧 𝑟 ) 𝑝 → 𝛬(𝑧 𝑟 ) untuk 𝑛 → ∞ . Dengan kata lain, 𝛬̂ 𝑛 (𝑧 𝑟 ) adalah penduga konsisten untuk 𝛬(𝑧 𝑟 ) . Bukti dapat dilihat pada [19].
Proposisi 1. Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegral lokal. Maka,
𝜃̂ 𝑛 𝑝 → 𝜃
ketika 𝑛 → ∞ . Dengan kata lain, 𝜃̂ 𝑛 adalah penduga konsisten untuk θ.
Dari (6), Lema 2 and Proposisi 1, kita mendapatkan Akibat 1.
Bukti Proposisi 1. Untuk membuktikan kekonsistenan penduga, kita cukup membuktikan bahwa
𝐸(𝜃̂ 𝑛 ) → 𝜃                                                                   (11)
dan
Var(𝜃̂ 𝑛 ) → 0                                                                 (12)
saat 𝑛 → ∞ .
Pertama-tama kita buktikan persamaan (11). Jelas bahwa,
𝐸(𝜃̂ 𝑛 ) = 𝐸 ( 𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ] 𝜏𝑛 𝜏 ) = 1 𝜏𝑛 𝜏 𝐸(𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ]) = 1 𝜏𝑛 𝜏 ∫ 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 𝜏𝑛 𝜏 0 = 1 𝜏𝑛 𝜏 (∫ 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 𝜏 0 + ∫ 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 2𝜏 𝜏 + ⋯ + ∫ 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 𝜏𝑛 𝜏 𝜏(𝑛 𝜏 −1) ) = 1 𝜏𝑛 𝜏 (𝑛 𝜏 ∫ 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 𝜏 0 ) = 1 𝜏 (∫ 𝜆(𝑠) 𝑑𝑠 𝜏 0 ) = 𝜃.
Selanjutnya, kita buktikan persamaan (12). Jelas bahwa,
Var(𝜃̂ 𝑛 ) = var ( 𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ] 𝜏𝑛 𝜏 ) = ( 1 𝜏𝑛 𝜏 ) 2 var(𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ]) = ( 1 𝜏𝑛 𝜏 ) 2 𝐸(𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ]) = 1 𝜏𝑛 𝜏 . 1 𝜏𝑛 𝜏 𝐸(𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ]) = 1 𝜏𝑛 𝜏 𝐸 ( 𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ] 𝜏𝑛 𝜏 ) = 𝜃 𝜏𝑛 𝜏 → 0
ketika 𝑛 → ∞ . □
Akibat 1. Misalkan fungsi intensitas memenuhi (1) dan terintegral lokal. Maka, untuk suatu 𝑧 > 0 diperoleh
𝛬̂ 𝑛 (𝑧) 𝑝 → 𝛬(z)

## 3.4 Kekonsistenan Penduga
Syarat  perlu  agar  sebuah  penduga  layak  untuk  digunakan  adalah  penduga  tersebut harus  konsisten.  Hasil  utama  dari  penelitian  ini  dituangkan  pada  dua  teorema. Teorema  1  menjelaskan  tentang  kekonsistenan  penduga  fungsi  sebaran 𝑇 𝑚 dan Teorema 2 menjelaskan tentang kekonsistenan penduga fungsi kepekatan peluang 𝑇 𝑚 . Teorema 1. Jika fungsi intensitas 𝜆 memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka untuk setiap 𝑧 > 0 dan setiap bilangan bulat positif 𝑚 , diperoleh
𝐹̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) 𝑝 → 𝐹 𝑇 𝑚 (𝑧)                                                         (13)
untuk 𝑛 → ∞ .
Bukti. Untuk membuktikan (13), kita menggunakan persamaan (5) dan (2) sebagai berikut:
𝐹̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) − 𝐹 𝑇 𝑚
= 1 − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (1 + 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) + ⋯ + (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! )
− (1 − 𝑒 −𝛬(𝑧) (1 + 𝛬(𝑧) + ⋯ + (𝛬(𝑧)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! )) = 𝑒 −𝛬 𝑛 (𝑧) (1 + 𝛬(𝑧) + ⋯ + (𝛬(𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ) − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (1 + 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) + ⋯ + (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! )
= (𝑒 −𝛬(𝑧) − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) ) (1 + 𝛬(𝑧) + ⋯ + (𝛬(𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ) − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) ( (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) + ⋯ + ( (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! − (𝛬(𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ) )
.                                                                       (14)
Dengan ekspansi deret Taylor dan Akibat 1, diperoleh
𝑒 −𝛬(𝑧) − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) = 𝑒 −𝛬(𝑧) (1 − 𝑒 −(𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧)−𝛬(𝑧)) )
= 𝑒 −𝛬(𝑧) ( 1 − (1 − (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) − (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) 2 2 − (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) 3
6 − ⋯ ) )
= 𝑒 −𝛬(𝑧)
( (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) + (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) 2 2 + ⋯ ) = 𝑒 −𝛬(𝑧) 𝑜 𝑝 (1) = 𝑜 𝑝 (1)
saat 𝑛 → ∞ .  Karena (1 + 𝛬(𝑧) + ⋯ + (𝛬(𝑧)) 𝑚−1 (𝑚−1)! ) ≤ 𝑒 𝛬(𝑧) = 𝒪(1) ,  untuk  suatu 𝑚 ≥ 1 , maka kita peroleh suku pertama pada persamaan (14) adalah 𝑜 𝑝 (1) saat 𝑛 → ∞.
Untuk  mengecek  suku  kedua  pada  persamaan  (14),  perhatikan  bahwa  untuk  suatu bilangan asli 𝑙 diperoleh
(𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑙 − (𝛬(𝑧)) 𝑙 = 𝑜 𝑝 (1)                                                 (15)
saat 𝑛 → ∞ .  Persamaan  (15)  dapat  dibuktikan  dengan  induksi  matematika.  Pertama, jelas  bahwa 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧) = 𝑜 𝑝 (1) saat 𝑛 → ∞ dari  Akibat  1.  Selanjutnya,  kita asumsikan bahwa persamaan (20) benar untuk suatu 𝑙 = 𝑘 > 1, maka diperoleh
(𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑘+1 − (𝛬(𝑧)) 𝑘+1 = 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑘 − 𝛬(𝑧)(𝛬(𝑧)) 𝑘 = 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑘 − 𝛬̂ 𝑛 (𝑧)(𝛬(𝑧)) 𝑘 + 𝛬̂ 𝑛 (𝑧)(𝛬(𝑧)) 𝑘 − 𝛬(𝑧)(𝛬(𝑧)) 𝑘 = 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) ((𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑘 − (𝛬(𝑧)) 𝑘 ) + (𝛬(𝑧)) 𝑘 (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧))
= 𝛬̂ 𝑛 (𝑧)𝑜 𝑝 (1) + (𝛬(𝑧)) 𝑘 𝑜 𝑝 (1) = 𝑜 𝑝 (1)
ketika 𝑛 → ∞ .
Akibatnya, untuk setiap 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚 − 1 diperoleh
(𝛬(𝑧)) 𝑙 𝑙! − (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑙 𝑙! = 1 𝑙! ((𝛬(𝑧)) 𝑙 − (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑙 ) = 1 𝑙! 𝑜 𝑝 (1) = 𝑜 𝑝 (1)
Sehingga suku kedua pada persamaan (15) dapat ditulis sebagai
𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) ( (𝛬̂ 𝑛 (𝑧) − 𝛬(𝑧)) + ⋯ + ( (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! − (𝛬(𝑧)) 𝑚−1 (𝑚 − 1)! ) ) = 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) ∑ ( (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑙 𝑙! − (𝛬(𝑧)) 𝑙 𝑙! ) 𝑚−1 𝑙=1
= 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (𝑚 − 1)𝑜 𝑝 (1)
= 𝑜 𝑝 (1)
ketika 𝑛 → ∞ karena 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) ≤ 1 dengan peluang 1. □
Teorema 2. Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi (1) dan terintegralkan lokal. Jika ℎ 𝑛 ↓ 0 dan 𝑛ℎ 𝑛 → ∞ untuk 𝑛 → ∞ maka untuk setiap 𝑧 > 0 dan setiap bilangan bulat positif 𝑚 , diperoleh
𝑓̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) 𝑝 → 𝑓 𝑇 𝑚 (𝑧)                                                           (16)
untuk 𝑛 → ∞ .
Bukti. Perhatikan bahwa persamaan (16), juga dapat ditulis sebagai 𝑓̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) 𝑝 → 𝑓 𝑇 𝑚 (𝑧)
atau  dengan  kata  lain, 𝜆̂ 𝑛 (𝑧)𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚−1)! 𝑝 → 𝜆(𝑧)𝑒 −𝛬 𝑛 (𝑧) (𝛬(𝑧)) 𝑚−1
(𝑚−1)! .  Dari  Lema  1, Akibat  1,  dan fakta  bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 merupakan  fungsi kontinu,  kita  mendapatkan untuk suatu 𝑧 > 0, 𝜆̂ 𝑛 (𝑧)𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) 𝑝 → 𝜆 𝑛 (𝑧)𝑒 −𝛬(𝑧) ketika 𝑛 → ∞ .
Selanjutnya,dari  persamaan  (15)  dengan  mengubah 𝑙 dengan  suatu  bilangan  bulat positif 𝑚 − 1 ,  kita  juga  memperoleh (𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚−1)! − (𝛬(𝑧)) 𝑚−1
(𝑚−1)! = 𝑜 𝑝 (1) ,  saat 𝑛 → ∞ atau dengan kata lain, (𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1 (𝑚−1)! 𝑝 → (𝛬(𝑧)) 𝑚−1 (𝑚−1)! . □

## 4.  Kesimpulan
Penduga konsisten  bagi fungsi  sebaran dan fungsi  kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik berturut-turut adalah
𝐹̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) = 1 − 𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (1 + 𝛬̂ 𝑛 (𝑧) + ⋯ + (𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚−1)! )
dan
𝑓̂ 𝑇 𝑚, ,𝑛 (𝑧) = 𝜆̂ 𝑛,𝐾 (𝑧)𝑒 −𝛬 ̂ 𝑛 (𝑧) (𝛬̂ 𝑛 (𝑧)) 𝑚−1
(𝑚 − 1)! ,
dengan
𝛬̂ 𝑛 (𝑧) = 𝛬̂ 𝑛 (𝑧 𝑟 ) + 𝜃̂ 𝑛 𝜏 ⌊ 𝑧 𝜏 ⌋,
dan
𝜃̂ 𝑛 = 𝑁[0, 𝜏𝑛 𝜏 ] 𝜏𝑛 𝜏 ,
𝛬̂ 𝑛 (𝑧 𝑟 ) = 1 𝑛 𝜏 ∑ 𝑁[𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑧 𝑟 ] 𝑛 𝜏 −1 𝑘=0 , 𝜆̂ 𝑛,𝐾 (𝑧) = 𝜏 𝑛 ∑ 1 ℎ 𝑛 ∫ 𝐾 ( 𝑥 − (𝑧 + 𝑘𝜏) ℎ 𝑛 ) 𝑁(𝑑𝑥) 𝑛 0 ∞ 𝑘=−∞ ,
dimana 𝑛 𝜏 adalah  bilangan  bulat  terbesar  yang  lebih  kecil  atau  sama  dengan 𝑛 𝜏 , 𝐾 adalah suatu kernel dan ℎ 𝑛 adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu ℎ 𝑛 ↓ 0 untuk 𝑛 → ∞ dan 𝑛ℎ 𝑛 → ∞ . Penelitian ini masih dapat dilanjutkan dengan menambahkan  simulasi  dan  studi  lanjut  mengenai  sifat-sifat  statistik  penduga  yang lainnya,  seperti  sebaran  asimtotik  penduga.  Contoh  simulasi  terkait  proses  Poisson nonhomogen dapat ditemukan pada [25] dan [26].

## Referensi
[1]  R.G.  Gallager, Discrete  Stochastic  Processes. New  York:  Springer  Science+Business Med., 1996.
[2]   T.A. Walls, J.L. Schafer, Models for Intensive  Longitudinal Data . New  York: Oxford Univ. Pr., 2006.
[3]   T.  Ngailo,  N.  Shaban,  J.  Reuder,  E.C.  Rutalebwa,  and I.  Mugume,  “Non - Homogeneous Poisson Process Modelling of Seasonal Extreme Rainfall Events in Tanzania,” Int. J. Sci. Res., vol. 5, no. 10, pp. 1858-1868, Oct. 2016.
[4]   D.  Vere- Jones  and  T.  Ozaki,  “Some  examples  of  statistical  estimation  applied  to earth quake  data,” Ann.  Inst.  Stat.  Math., vol.  34,  no.  1,  pp.  189 – 207,  1982,  doi: 10.1007/BF02481022.
[5]   J.J.  Brey,  J.  Casado- Pascual,  and  B.  Sánchez,  “Resonant  behavior  of  a  Poisson process  driven  by  a  periodic  signal,” Phys.  Rev.  E. ,  vol.  52,  no.  6,  pp.  6071 – 6081, Dec. 1995, doi: 10.1103/PhysRevE.52.6071.
[6] T.  Rolski,  “Relationships  between  characteristics  in  periodic  Poisson  queues,” Queueing Syst., vol. 4, no. 1, pp. 17 – 26, 1989, doi: 10.1007/BF01150853.
[7]   S.M.  Ross, Introduction  to  Probability  Models ,  9  Edition.  Orlando:  Academic  Press Inc., 2010.
[8] I.W. Mangku, “ Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend, ” Far East J. of Theo. Stat., vol. 33, no. 1, pp. 81-91, 2010.
[9]   D.F.  Putera, “ Kekonsistenan  penduga  dari  fungsi  sebaran  dan  fungsi  kepekatan peluang  waktu  tunggu  proses  Poisson  periodik  dengan  tren  fungsi  pangkat, ” Institut Pertanian Bogor, 2012.
[10]  R. Helmers and I.W. Mangku, “Predicting a cyclic Poisson process,” Annals Inst. of Stat. Math. , vol. 6, no. 4, pp. 1261-1279, 2012, doi:10.1007/s10463-012-0349-x.
[11] S. Browne and U. Yechiali, “Dynamic Priority Rules for Cyclic - Type Queues,” Adv. Appl. Probab. , vol. 21, no. 2, pp. 432 – 450, May 1989, doi: 10.2307/1427168.
[12]  B.N.  Dimitrov,  V.V. Rykov,  and  Z.L.  Krougly,  “Periodic  Poisson  Processes  and Almost-lack-of- memory Distributions,” Autom. Remote Control , vol. 65, no. 10, pp. 1597 – 1610, 2004, doi: 10.1023/B:AURC.0000044269.32890.3e.
[13] S.G.  Henderson,  “Estimation  for  nonhomogeneous  Poisson  processes  from aggregated  data,” Oper.  Res.  Lett. ,  vol.  31,  no.  5,  pp.  375 – 382,  2003,  doi: https://doi.org/10.1016/S0167-6377(03)00027-0.
[14]  R.  Helmers,  I.W. Mangku,  and  R.  Zitikis,  “Consistent  estimation  of  the  intensity function  of  a  cyclic  Poisson  process,” J.  Multivar.  Anal., vol.  84,  no.  1,  pp.  19 – 39, 2003, doi: 10.1016/S0047-259X(02)00008-8.
[15]  R.  Helmers,  I.W.  Mangku,  and  R.  Zitikis, “ Statistical  properties  of  a  kernel-type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process,” J. of Multivar. Anal. , vol. 92, no. 1, pp. 1-23, 2005, doi: 10.1016/S0047-259X(03)00082-4.
[16]  W. Erliana, I.W. Mangku, and H. Sumarno, “Estimating the intensity obtained as the  product  of  a  periodic  function  with  the  power  function  trend  of  a  non- homogeneous Poisson process, ” Far East J. of Math. Sci., vol. 90, no. 2, pp. 163-172,
2014.
[17]  R. Helmers and I.W. Mangku , “ Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend ,” Annals Inst. of Stat.l Math. , vol. 61, no. 3, pp. 599- 628, 2009, doi: 10.1007/s10463-007-0160-2.
[18] Y. I. Ingster and Y. A. Kutoyants, “Nonparametric hypothesis testing for intensity of the poisson process,” Math. Methods Stat., vol. 16, no. 3, pp. 217 – 245, 2007, doi: 10.3103/S1066530707030039.
[19]  I.W. Mangku , “ Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend, ” Far East J. of Theo. Stat. , vol. 33, no. 1, pp. 81-91, 2010.
[20]  I.W. Mangku, R. Budiarti, Taslim, and Casman, “ Estimating the intensity obtained as  the  product  of  a  periodic  function  with  the  quadratic  trend  of  a  non- homogeneous  Poisson  process ,” Far  East  J.  of Math.  Sci. , vol. 82, no. 1,  pp.  33-44, 2013.
[21]  I.W. Mangku, Siswadi , and R. Budiarti, “Consistency of a kernel-type estimator of the intensity of the cyclic Poisson process with the linear t rend,” J. Indones. Math. Soc. , vol. 15, no. 1, 2012, doi: 10.22342/jims.15.1.42.37-48.
[22]  I.W. Mangku, Siswadi, and R.  Budiarti  2011 , “ Asymptotic  approximations  to the bias and variance of a kernel-type estimator of the intensity of the cyclic Poisson process with the  linear  trend, ” J. of the Indones. Math. Soc. , vol. 17, no. 1, pp. 1-9, 2011.
[23]  I.  Maulidi,  I.W. Mangku,  and  H.  Sumarno,  “Strong consistency  of  a  kernel-type estimator for the intensity obtained as the product of a periodic function with the power  function  trend  of  a  non-homogeneous  Poisson  p rocess,” Br.  J.  Appl.  Sci. Technol., vol. 9, no. 4, pp. 383 – 387, 2015, doi: 10.9734/bjast/2015/17391.
[24] I. W. Mangku, “Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of additive and multiplicative linear trend,” J. Phys. Conf. Ser., vol. 893, p. 012023, Oct. 2017, doi: 10.1088/1742-6596/893/1/012023.
[25]  K. P. White, “Simulating a nonstationary Poisson process using bivariate thinning: the case of ‘typical weekday’ arrivals at a consumer electronics store,” in WSC’99. 1999  Winter  Simulation  Conference  Proceedings.  “Simulation -  A  Bridge  to  the
Future” (Cat. No.9 9CH37038), 1999, vol. 1, pp. 458 – 461, doi:
10.1109/WSC.1999.823109.
[26] L. E. Morgan, B. L. Nelson, A. C. Titman, and D. J. Worthington, “A Spline -Based Method for  Modelling  and  Generating A  Nonhomogeneous Poisson Process,” in 2019  Winter  Simulation  Conference  (WSC),  2019,  pp.  356 – 367,  doi: 10.1109/WSC40007.2019.9004867.
This  article  is  an  open-access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics,  Universitas  Negeri  Gorontalo,  Jln.  Prof.  Dr.  Ing.  B.J.  Habibie, Moutong,  Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.