## Studi Analitik dan Numerik

## Perpindahan Panas pada Fin Trapesium (Studi Kasus pada Finned Tube Heat Exchanger)
Ahmad Zaini dan Gunawan Nugroho
Jurusan Teknik Fisika, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail : gunawan@ep.its.ac.id
Abstrak—Penambahan fin pada pipa penukar kalor merupakan suatu upaya memperbesar perpindahan kalor konduksi dan konveksi, dengan cara memperluas bidang geometri. Pada penelitian ini dianalisa secara analitik dan numerik perpindahan kalor pada fin  dengan profil longitudinal tidak seragam atau berubah terhadap jarak dari dasar fin, dengan memvariasikan ketebalan ujung fin. Hasil dari kedua studi ini tidak jauh berbeda, pada keduanya menjelaskan bahwa fin  dengan ketebalan ujung 0,9 mm (fin  trapesium terbalik) paling baik dari 5 variasi lainnya; serta perubahan temperatur paling besar terjadi pada sepertiga pertama dari panjang  fin, ini artinya pelepasan kalor terbesar terjadi pada daerah tersebut. Perbedaannya adalah pada persentase penurunan temperatur sepanjang  fin  terhadap  temperatur dasar fin, untuk ketebalan 0,9 mm pada studi analitik sebesar 91,92% dan pada studi numerik sebesar 91,78%. Hal ini berarti metode penyelesaian persamaan diferensial orde 2 dengan koefisien variabel dengan cara pembedahan koefisien variabel pada ODE, sudah benar dan valid. Namun bila ditinjau dari waktu yang diperlukan untuk komputasinya, studi analitik membutuhkan waktu lebih lama. Waktu yang diperlukan dalam komputasinya tergantung dari fungsi koefisien variabel.
Kata Kunci—analitik,  fin,  numerik, persamaan diferensial orde dua dengan koefisien variabel, trapesium.

## I. PENDAHULUAN
ANYAK cara yang dapat dilakukan untuk mendinginkan komponen-komponen elektornika, salah satunya yaitu dengan menambahkan heatsink .  Secara teknik, penambahan heatsink ini merupakan suatu upaya memperbesar perpindahan kalor konduksi dan konveksi, dengan cara memperluas bidang geometri  [1].  Cara lain yang dapat juga dilakukan adalah dengan meningkatkan laju aliran udara yang dialirkan pada permukaan komponen. Dengan laju aliran udara yang lebih kencang tentu saja mempunyai kemampuan menyerap panas dari komponen-komponen elektronika dan membuangnya panas lebih besar.
Heatsink itu sendiri terdiri dari sirip-sirip ( fin ) yang disusun sedemikian rupa. Bentuk dan luas bidang geometri  dari fin berbeda-beda tergantung dengan dimana komponen- komponen elemen penghantar panas diaplikasikan. Pada umumnya bentuk longitudinal fin yang digunakan adalah persegi panjang.
Gambar. 1. Skema dovetail-fin yang teliti oleh [2].
Banyak penelitian yang pernah dilakukan mengenai analisa numerik perpindahan panas pada fin dengan profil longitudinal tidak seragam atau berubah terhadap jarak dari dasar fin, misalnya saja yang dilakukan oleh [2] yang melakukan studi numerik pada fin dengan profil longitudinal bentuk dovetail atau trapesium terbalik.  Hasil penelitian tersebut merekomendasikan bahwa fin dengan profil longitudinal dovetail lebih baik dari fin dengan profil longitudinal berbentuk persegi panjang. Hal ini karena panas yang melalui fin bentuk dovetail lebih besar daripada yang berbentuk persegi panjang [2]. Pada penelitian ini akan  dianalisa  perpindahan panas yang terjadi pada fin dengan profil longitudinal tidak seragam atau berubah terhadap jarak dari dasar fin . Salah satu geometri yang ketebalannya berubah terhadap jarak adalah trapesium. Oleh karena itu pada penelitian ini akan dilakukan studi secara analitik dan numerik perpindahan panas yang terjadi pada trapesium.

## II. URAIAN PENELITIAN
Pada penelitian ini dilakukan studi secara analitik dan numerik perpindahan panas pada fin dengan melakukan variasi pada ketebalan ujung fin .

## A. Studi Analiik
Tahap ini merupakan tahap penyelesaian persamaan model persamaan matematik  secara manual untuk mendapatkan solusi analitik (eksak) dari persamaan konservasi energi pada fin dengan profil longitudinal trapesium.  Gambar 2 adalah skema fin yang diteliti. Bisa dilihat bahwa penampang vertikal fin berubah sepanjang arah x, ini berarti y merupakan fungsi x. Perubahan ketebalan ini akan berpengaruh pada luasan tempat terjadinya perpindahan panas secara konduksi dan konveksi.
B
Gambar. 2. Skema fin trapesium.
( )     + = x L u M x y 2 (1)
dan P adalah perimeter / keliling sepanjang dx,
( ) [ ] x y W P + = 2 (2)
Sehingga luasan tempat terjadinya perpindahan panas secara konduksi ( A CD ), ( ) W x y A CD ⋅ = (3)
dan konveksi ( A CV ) adalah,
dx P dA CV ⋅ = (4)
( ) [ ] dx x y W dA CV ⋅ + = 2 (5) ( ) [ ] x y W dx dA CV + = 2 (6)
Persamaan konservasi energi pada fin adalah sebagai berikut
g out in st E E E E     + − = (7)
dengan asumsi perpindahan panas terjadi pada kondisi steady state ( st E  ); tidak ada pembagkitan energi ( 0 = g E  ); konstanta k dan h merata dan tetap; serta perpindahan panas berlangsung sepanjang arah x; maka persamaannya menjadi,
out in E E   = (8)
dengan melihat elemen dx maka,
x CV dx x CD x CD q q q
, , ,    + = + (9)
Dan secara umum persamaan konservasi energi pada fin dapat ditulis sebagai berikut,
( ) 0 = − 
     − 
     ∞ T T dx dA k h dx dT A dx d CV CD (10) ( ) 0 1 1 2 2 = −       −       + ∞ T T dx dA k h A dx dT dx dA A dx T d CV CD CD CD (11)
dengan A CD adalah luasan konduksi dan A CV adalah luasan konveksi.
Dengan mensubstituskan persamaan (1), (3),  dan (6) ke persamaan (11), maka diperoleh
dx d x u L M u dx d θ θ     ⋅ + ⋅ + 2 2 ( ) [ ] ( ) 0 / 2 2 / 2 1 =       ⋅ + + ⋅ + − − θ x L u M W k h x L u M W (12)
dengan ∞ − = T T θ .
Persamaan di atas bisa ditulis menjadi,
0 2 1 = ⋅ + ⋅ + θ θ θ a a x xx (13)
dengan,
    ⋅ + ⋅ = x u L M u a 1 (14)
dan
( ) [ ] ( )       ⋅ + + ⋅ + − − = x L u M W k h x L u M W a / 2 2 / 2 1 2 (15)
Dari persamaan diferensial dengan koefisien variabel dengan bentuk seperti pada persamaan (13), koefisien a 1 dan a 2 dipecah menjadi beberapa fungsi baru f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 dan α .  Dengan menyelesaikan beberapa fungsi tersebut maka diperoleh,
(16)
dengan f 3 dan f 6 , (17) (18)
Untuk definisi dari f 4 adalah sebagai berikut,
(19)
dengan,
(20)
Sementara untuk definisi α ,  a 3 dan a 4 adalah, (21)
(22) (23)
Fungsi θ merupakan fungsi temperatur pada fin ( T ) dikurangi dengan temperatur ambien ( T ∞ ), maka untuk persamaan yang menyatakan fungsi temperatur sepanjang fin adalah,
∞ + = T T θ (24)
Beberapa bentuk integral pada solusi di atas ada yang bersifat implisit, jadi tidak bisa langsung di-integral-kan. Dan biasanya dinyatakan dalam bentuk deret, sehingga solusinya tidak lagi eksak. Untuk mengatasi permasalahan ini, maka dalam penyelesaian integral yang masih implisit menggunakan metode  “ Integral Evaluation ”  [3].  Untuk mempermudah proses perhitungan maka dibuat program komputasi simbolik.
Dan untuk penyelesaian persamaan diferensial orde 2 dengan koefisien variabel secara keseluruhan, juga dibuat program komputasi simbolik  pada Octave , yakni opensource mirip MATLAB.

## B. Studi Numerik
Tahap ini merupakan tahap untuk menganalisa perpindahan panas yang terjadi pada fin dengan profil longitudinal trapesium melalui simulasi pada CFD.
Data dimensi fin yang akan diuji secara numerik didapat dari penelitian yang dilakukan oleh [4].
Tabel 1 adalah data yang nantinya akan digunakan dalam simulasi.
Namun secara umum, untuk tahap pengujian pada CFD terbagi menjadi 3 sub-tahap, yaitu (i) Pre-Processing
Tahap ini meliputi tahap pembuatan model geometri; pendefinisian  variabel fisis material;  diskritisasi  model geometri; sampai pendefinisian kondisi batas dan proses yang terjadi pada model.
(ii) Solution
Pada tahap ini ditentukan variabel apa saja yag ingin diamati pada fin . Setelah itu solver akan melakukan perhitungan atau penyelesaian masalah dengan iterasi tertentu. Jika hasilnya tidak konvergen maka kembali ke proses (i).
(iii) Post Processing
Tahap terakhir merupakan tahap visualisasi dari hasil (“ Result ”) simulasi yang telah dilakukan. Hasil dari tahap ini nantinya akan dianalisa pada tahap.

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Hasil Studi Analitik
Metode  “ Integral Evaluation ”  [3]  merupakan metode untuk  mengevaluasi integral fungsi yang implisit dalam
bentuk , dengan λ dan f merupakan fungsi x.
Sebagai validasi, maka dilakukan pengujian terhadap metode “ Integral Evaluation ”. Fungsi yang akan diuji adalah
x e x y = ) ( . Dan jika dinyatakan dalam bentuk ,
maka nilai dari λ=1 dan f=1 . Gambar 5 merupakan perbandingan hasil integral biasa dengan hasil integral menggunakan metode “ Integral Evaluation ” Dari gambar bisa dilihat bahwa ada sedikit perbedaan ( error ) saat x=0 , selanjutnya berangsur-angsur berkurang sampai akhirnya kedua garis berimpit saat x>2 .
Tabel 1. Data karakteristik fin yang akan disimulasikan [4] Keterangan Nilai Panjang fin 5 mm Ketebalan fin 0,5 mm Jenis Bahan Stainless Steel Konduktivtas termal bahan (k) 16 W/(m.K) Koefisien perpindahan kalor konveksi (h) 25 W⁄(m 2 .K) Temperatur dasar fin
340 ºC Temperatur ambien 27 ºC
Gambar. 3. Skema NC-machined finned tube [4].
(a) (b) (c) Gambar. 4. Tahap Pre-Processing (a) Diskritisasi (b) Pendefinisian sisi kiri fin sebagai sumber panas (c) Pendefinisian proses konveksi pada fin trapezium.
Untuk menguji fungsi lain, maka fungsi tersebut harus diubah dan dinyatakan dalam bentuk,
. Jadi untuk mengevaluasi integral
, bisa dinyatakan dalam bentuk
, dengan dan .
Gambar. 5. Pengujian Integral Evaluation pada f ( x ) = e x
Gambar 6 Grafik θ(x) untuk variasi ketebalan ujung 0,9 mm (u = 0,2 mm)
Tabel 2.
Perbandingan penurunan temperatur pada fin dari hasil studi analitik
Ketebalan ujung fin (mm) dT (ºC) dT/T b 0 311,36 91,58% 0,1 311,72 91,68% 0,3 312,00 91,77% 0,5 312,22 91,83% 0,7 312,40 91,88% 0,9 312,53 91,92%
Gambar  6 merupakan grafik yang menggambarkan T(x) untuk semua variasi ketebalan ujung fin . Berturut-turut mulai dari garis yang paling atas sampai ke bawah merupakan garis untuk variasi 0; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 sampai 0,9 mm.
Dari Tabel 2  terlihat bahwa penurunan temperatur paling besar terjadi fin dengan ketebalan ujung 0,9 mm, yaitu sebesar 312,53ºC atau 91,92% dari temperatur dasar fin .
Bila ditinjau dari pembagian daerah sepajang fin ,  bisa dilihat  pada Tabel 3.  Dari Tabel 3 terlihat bahwa daerah sepertiga pertama dari panjang fin untuk ketebalan 0,9 mm penurunan temperaturnya paling besar yaitu sebesar 82,38% dari temperatur dasar fin . Hal ini juga berlaku pada semua variasi.
B. Hasil Studi Numerik
Setelah dilakukan pengujian pada model fin dengan variasi ketebalan ujung, berikut ini adalah gambaran tentang gradien temperatur pada fin .
Tabel 3. Perbandingan persentase penurunan temperatur sepanjang fin dari hasil studi analitik, dT/dT b ( % )
Daerah Ketebalan ujung fin (mm) 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 Sepertiga Pertama 77,13% 78,37% 79,51% 80,55% 81,50% 82,38% Sepertiga Kedua 12,51% 11,65% 10,84% 10,07% 9,34% 8,68% Sepertiga Ketiga 1,94% 1,66% 1,42% 1,21% 1,03% 0,86% Keseluruhan 91,58% 91,68% 91,77% 91,83% 91,88% 91,92%
Gambar 7 Perbandingan gradien temperatur pada fin dengan variasi ketebalan ujung
Tabel 4. Perbandingan penurunan temperatur pada fin dari hasil studi numerik Ketebalan ujung fin (mm) dT (ºC) dT/T b 0 309,29 90,97% 0,1 310,80 91,41% 0,3 311,51 91,62% 0,5 311,79 91,70% 0,7 311,95 91,75% 0,9 312,06 91,78%
Untuk perbandingan penurunan temperatur pada tiap variasi bisa dilihat pada Tabel 4.
Dari Tabel 4 terlihat bahwa penurunan temperatur paling besar terjadi fin dengan ketebalan ujung 0,9 mm, yaitu sebesar 312,06ºC atau 91,78% dari temperatur dasar fin .
Dan bila ditinjau dari daerahnya bisa dilihat pada Tabel 5, daerah sepertiga pertama dari  panjang fin merupakan daerah dengan gradien temperatur terbesar bila dibandingkan dengan daerah sepertiga kedua dan ketiga, yaitu 82,66% dari temperatur dasar fin . Ini artinya perpindahan  kalor paling besar terjadi pada daerah sepertiga pertama.

## C. Pembahasan
Pada penelitian ini dilakukan studi secara analitik dan numerik perpindahan panas pada fin dengan ketebalan yang berubah terhadap jarak. Variasi yang dilakukan adalah dengan mengubah ketebalan ujung fin mulai dari 0; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 sampai 0,9 mm.
0 50 100 150 200 250 300 350 0 1 2 3 4 5 T ( C ) x (mm)
Tabel 5.
Perbandingan persentase penurunan temperatur sepanjang fin dari hasil studi numerik, dT/dT b ( % ) Daerah Ketebalan ujung fin (mm) 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 Sepertiga Pertama 78,84% 79,57% 80,68% 81,50% 82,14% 82,66% Sepertiga Kedua 10,87% 10,61% 9,93% 9,32% 8,82% 8,39% Sepertiga Ketiga 1,25% 1,23% 1,02% 0,88% 0,79% 0,73% Keseluruhan 90,97% 91,41% 91,62% 91,70% 91,75% 91,78%
Tabel 6.
Perbandingan hasil studi analitik dan numerik dari segi persentase penurunan temperatur, dT/T b ( % )
Ketebalan ujung fin (mm) Hasil Studi Analitik Hasil Studi Numerik Perbedaan Kedua Studi (%) 0 91,58% 90,97% 0,61% 0,1 91,68% 91,41% 0,27% 0,3 91,77% 91,62% 0,15% 0,5 91,83% 91,70% 0,13% 0,7 91,88% 91,75% 0,13% 0,9 91,92% 91,78% 0,14%
Untuk studi analitik diperoleh metode penyelesaian untuk mendapatkan solusi eksak dari persamaaan diferensial dengan koefisien variabel. Namun dalam komputasinya (simbolik) membutuhkan waktu yang cukup lama . Pada solusi eksak yang dihasilkan ada beberapa bentuk integral yang implisit. Metode “ Integral Evaluation ”  [3]  merupakan metode untuk penyelesaian integral yang implisit. Pada penelitian ini sudah dilakukan pengujian terhadap metode tersebut untuk mengintegral fungsi e x dan hasilnya hampir sama dengan integral biasa.
Dari  Gambar  6  dan Gambar 7, terlihat bahwa perubahan temperatur yang sangat signifikan terjadi pada daerah yang ditandai dengan warna merah, yaitu sepertiga pertama dari panjang fin . Selanjutnya pada daerah hijau masih terjadi perubahan temperatur namun gradiennya (dT/dx) tidak sebesar pada daerah merah. Dan yang terakhir pada daerah biru perubahan temperaturnya kecil sekali.
Dari kedua studi terlihat bahwa bentuk fin dengan ketebalan ujung  0,9 mm lebih baik dari 5 variasi yang lain. Hal ini karena semakin besar ketebalan ujung maka akan memperbesar luasan untuk terjadinya perpindahan kalor baik secara konduksi maupun secara konveksi.
Distribusi temperatur sepanjang fin mempengaruhi kalor yang dibuang ke lingkungan secara konveksi. Jika meninjau suatu titik x pada fin , semakin besar perbedaan antara temperatur pada titik x dengan temperatur ambien, maka kalor yang dibuang secara konveksi juga semakin besar. Jika melihat gradien temperatur pada fin dengan ketebalan 0,9 mm, berarti pelepasan kalor ke lingkungan secara konveksi paling besar berada pada daerah sepertiga pertama dari panjang fin , yaitu sebesar 82,66% dari keseluruhan panas yang dibuang secara konveksi. Artinya kalor yang dibuang secara konveksi berbanding lurus dengan besarnya perpindahan kalor secara
konduksi sepanjang fin .
Penurunan temperatur yang signifikan pada daerah sepertiga pertama ini merupakan efek berantai dari pelepasan kalor ke lingkungan secara konveksi pada tiap titik x sepanjang fin. Pada x=0 (dasar fin ) perbedaan temperatur antara permukaan fin dengan ambien sangat  tinggi, sehingga kalor yang dilepas secara konveksi sangat besar. Akibatnya penurunan temperatur dari titik x ke titik x+dx sangat besar. Proses yang sama terjadi pada titik x+2dx , x+3dx ,  dan seterusnya sampai x=L . Perpindahan kalor dari suatu titik ke titik yang lain terjadi karena adanya perbedaan temperatur, jadi jika perbedaan temperatur antara permukaan fin dengan ambien sangat kecil (pada daerah sepertiga ketiga) maka kalor yang dilepas juga sangat kecil. Proses pelepasan kalor secara konveksi ini berhenti sampai temperatur antara permukaan fin dengan ambien sama.
Tabel 3 merupakan perbandingan ketua studi ditinjau dari persentase penurunan temperatur terhadap temperatur dasar fin . Hasil dari kedua studi ini tidak jauh berbeda, pada keduanya terlihat perubahan temperatur paling besar terjadi pada sepertiga pertama dari panjang fin . Bedanya adalah pada persentase perubahan temperatur sepanjang fin terhadap temperatur dasar fin ,  misalnya  pada fin dengan ketebalan 0,9 mm untuk studi  analitik sebesar 91,92%  dan untuk studi numerik sebesar 91,78%. Hal ini berarti metode penyelesaian persamaan diferensial orde 2 dengan koefisien variabel dengan cara pembedahan koefisien variabel pada ODE, sudah benar dan valid. Namun bila ditinjau dari waktu yang diperlukan untuk komputasinya, studi numerik lebih baik daripada studi analitik yang melakukan komputasi dalam waktu yang cukup lama. Waktu yang diperlukan dalam komputasinya tergantung dari fungsi koefisien variabel ( a 1 dan a 2 ).

## IV. KESIMPULAN
Dari penelitian Tugas Akhir tentang “Studi Analitik dan Numerik Perpindahan Panas pada Fin Trapesium (Studi Kasus Pada Finned Tube Heat Exchanger )” yang telah dilakukan dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut,
1) Untuk studi analitik dapat disimpulkan,
a. Diperoleh metode untuk mendapatkan solusi eksak dari persamaan diferensial orde dua dengan koefisien variabel.  Yaitu  dengan cara membedah koefisien variabelnya menjadi beberapa fungsi baru, dengan menyelesaikan beberapa fungsi tersebut maka diperoleh solusi eksaknya. Bentuk persamaan konservasi energi pada fin trapesium berupa persamaan diferensial orde dua dengan koefisen variabel. Jadi persamaan dengan bentuk,
0 2 1 = ⋅ + ⋅ + θ θ θ a a x xx
dengan a 1 dan a 2 merupakan fungsi x , dapat ditentukan solusi eksaknya dengan cara membedah a 1 dan a 2 menjadi f 1 ,  f 2 ,  f 3 ,  f 4 ,  f 5 ,  f 6 dan α . Dengan menyelesaikan beberapa fungsi tersebut maka diperoleh solusi eksak sebagai berikut,
b. Fin dengan ketebalan ujung 0,9 mm paling baik karena penurunan temperaturnya paling besar, yaitu 91,92% dari temperatur dasar fin .
2) Dari hasil studi numerik dapat diambil kesimpulan bahwa, fin dengan ketebalan ujung 0,9 mm paling baik dari 5 variasi lainnya, dengan penurunan temperatur 91,78% dari temperatur dasar fin . Hal ini karena semakin besar perbedaan ketebalan antara ujung dengan dasar fin , maka perpindahan kalor konduksi dan konveksi semakin besar.
3) Hasil dari kedua studi ini tidak jauh berbeda, pada keduanya menjelaskan bahwa fin dengan ketebalan ujung
0,9 mm ( fin trapesium terbalik) paling baik dari 5 variasi lainnya; serta perubahan temperatur paling besar terjadi pada sepertiga pertama dari panjang fin , ini artinya pelepasan kalor terbesar terjadi pada daerah tersebut. Perbedaannya adalah pada persentase penurunan temperatur sepanjang fin terhadap temperatur dasar fin , untuk ketebalan 0,9 mm pada studi analitik sebesar 91,92% dan pada studi numerik sebesar 91,78%. Hal ini berarti metode penyelesaian persamaan diferensial orde 2 dengan koefisien variabel dengan cara pembedahan koefisien variabel pada ODE, sudah benar dan valid. Namun bila ditinjau dari waktu yang diperlukan untuk komputasinya, studi analitik membutuhkan waktu lebih lama dari pada studi numerik. Waktu yang diperlukan dalam komputasinya tergantung dari fungsi koefisien variabelnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Incropera, F.P & De Witt D. 1996. “Fundamentals of Heat and Mass
Transfer (Fourth Edition)”. John Wiley & Sons
[2] Lane H.J. &  Heggs P.J. 2005. “Extended surface heat transfer-the dovetail fin”. Applied Thermal Engineering , 25:2555–2565
[3] Nugroho, G. 2013. “Application of First Order Polynomial Differential Equation for Generating Analytical Solutions to the Three-Dimensional Incompressible Navier-Stokes Equations”. European Journal of Mathematical Sciences , Vol. 2, No. 1: 17-40.
[4] Wiplinger K.P.M, Harms T.M; & Taylor A.B. 2006. “Stainless steel finned tube heat exchanger design for waste heat recovery”. Journal of Energy in Southern Africa, Vol 17, No 2 : 47-56.