OPTIMISASI MULTIOBJEKTIF DALAM PEMBENTUKAN PORTOFOLIO OPTIMAL SAHAM DENGAN PENGUKURAN VALUE AT RISK (VAR)
Nanda Surya Jatnika 1* , Esther Sorta Mauli Nababan 2
1,2 Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Email : 1 nandasuryajatnika@gmail.com, 2 esther@usu.ac.id
Abstract. When investors invest in their stock, the strategy used an investor is to form an optimal portfolio of shares. An optimal stock portfolio can be created by utilizing the multi- objective optimization method, which can help investors achieve maximum return and minimum risk simultaneously. The multi-objective method has a weighting factor that acts as a risk indicator to assist investors in taking risks on the expected return. This study aims to optimize investors' profits and losses by forming an optimal stock portfolio using multi- objective and Value at Risk (VaR) measurements. The data used by the researcher is the weekly closing price of stocks which are always included in the LQ-45 stock index for the period 31 January 2019 – to 31 December 2020. The formed portfolio consists of three stocks, namely INCO.JK, MNCN.JK, and EXCL.JK. From the formed portfolio, the number of losses and profits obtained by investors can  be seen based on the magnitude  of the weighting coefficient k. Therefore, the greater the chance of profit (return), the greater the chance of loss (risk) that investors will receive.
Keywords: weighting coefficient, Multiobjective method, an optimal portfolio, Value at Risk (VaR)
Abstrak. Ketika investor menginvestasikan sebuah modalnya, strategi yang dilakukan sebagai seorang  investor  ialah membentuk suatu portofolio optimal saham. Portofolio saham yang optimal dapat dibentuk dengan memanfaatkan metode optimisasi multiobjektif, yang mana metode tersebut dapat membantu investor mencapai pengembalian ( return ) maksimum dan risiko minimum pada saat yang bersamaan. Metode multiobjektif memiliki faktor pembobot yang bertindak sebagai indikator risiko untuk membantu investor dalam mengambil risiko atas nilai  pengembalian yang diharapkan  ( expected return) yang dihasilkan. Penelitian ini bertujuan untuk mengoptimalkan  keuntungan dan kerugian investor dengan membentuk portofolio saham yang optimal menggunakan multiobjektif dan pengukuran Value at Risk (VaR). Data yang digunakan peneliti adalah closing price mingguan saham yang selalu masuk dalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 – 31 Desember 2020. Portofolio yang sudah terbentuk terdiri atas tiga saham, yaitu INCO.JK, MNCN.JK, dan EXCL.JK. Dari portofolio yang dibentuk tersebut dapat diketahui besarnya kerugian  dan keuntungan  yang diperoleh investor berdasarkan besarnya nilai koefisien pembobot k. Oleh karena itu, semakin besar peluang keuntungan ( return ), semakin besar peluang kerugian ( risk ) yang akan diterima investor.
Kata Kunci: koefisien pembobot, metode Multiobjektif, portofolio optimal, Valuet at Risk (VaR)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## I. PENDAHULUAN
Investasi adalah suatu aktivitas dalam membeli sumberdaya finansial ataupun sumberdaya lainnya  agar suatu aset dapat dimiliki di masa sekarang, guna mendapatkan keuntungan ( return ) di masa depan.  Aset terdiri atas aset finansial (saham, obligasi, surat berharga, deposito,  dan pasar uang) dan aset riil (bangunan, tanah,  mesin, dan benda fisik lainnya). Seseorang yang gemar melakukan investasi disebut investor. Investor yang menginvestasikan sahamnya  harus  dapat  menganalisis tentang bagaimana aset perusahaan yang dikelola,  apa hasil dari sahamnya, dan seberapa jauh sahamnya menyimpang dari yang diharapkan indikator. Investasi saham tidak hanya memberikan sebuah keuntungan ( return ), tapi juga memberikan risiko ( risk ). Sehingga seorang investor membutuhkan diversifikasi portofolio untuk mengurangi risiko ( risk ).
Diversifikasi portofolio diartikan sebagai pembentukan portofolio sedemikian rupa, sehingga dapat mengurangi risiko portofolio tanpa mengorbankan pengembalian yang dihasilkan [1]. Sehingga terkadang investor memperoleh kerugian yang rendah dan keuntungan yang tinggi. Salah satu saran terbaik bagi seorang investor adalah membentuk portofolio untuk memperoleh risiko ( risk) yang rendah. Teori portofolio merupakan pengetahuan bagaimana cara investor melakukan pemilihan portofolio dari banyaknya aset yang tersedia, agar memperoleh expected return yang maksimum pada tingkat tertentu. Portofolio optimal adalah portofolio yang dipilih seorang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien [2]. Secara umum, suatu portofolio yang terpilih merupakan portofolio yang sudah sesuai dengan pilihan investor yang bersangkutan terhadap keuntungan ( return ) ataupun risiko ( risk ) yang berkenan ditanggung olehnya. Portofolio tidak memiliki keuntungan ( return ) yang besar dan risiko ( risk ) yang kecil secara bersamaan.
Secara umum, hal yang terpenting untuk investor ialah dengan bagaimana cara memilih portofolio yang dapat menghasilkan  kombinasi keuntungan ( return ) dan risiko ( risk ) yang optimum. Para investor tertarik untuk memperoleh risiko yang minimum  dan  keuntungan ( return ) maksimum secara bersamaan, sehingga dalam hal ini dapat digunakan pendekatan multiobjektif untuk membentuk portofolio yang optimal [3]. Optimisasi multiobjektif (multi- objective optimization) atau dapat disebut juga sebagai multi-criteria optimization adalah suatu persoalan optimisasi dengan fungsi tujuan lebih dari satu (ganda). Implementasi dari optimisasi multiobjektif pada pembentukan portofolio yang optimal yaitu untuk dapat memaksimalkan keuntungan ( return ) dan meminimalkan risiko ( risk ) secara bersamaan.
Solusi dari optimisasi multiobjektif dapat dilakukan dengan menggunakan skalarisasi. Skalarisasi adalah suatu mekanisme standar untuk memperoleh titik-titik optimal dalam setiap permasalahan mengenai pengoptimuman vektor.  Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan optimisasi multiobjektif ( multi-objective optimization ) yang berorientasi terhadap penerapan mengenai  optimisasi multiobjektif  itu sendiri.  V alue at Risk (VaR)  digunakan  sebagai pengukur kerugian ( risk ) yang didapatkan oleh investor. Peneliti menggunakan studi kasus pada data saham yang termasuk kedalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 – 31 Desember 2020 untuk menentukan proporsi setiap saham agar terbentuk portofolio saham yang optimal  dan menentukan keuntungan ( return ) dan kerugian ( risk ) yang didapatkan dari portofolio saham yang terbentuk dengan menggunakan optimisasi multiobjektif.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## I.1 Pasar Modal, Surat Berharga, Investasi, Saham
Pasar modal merupakan tempat pertemuan antara berbagai pihak yang mempunyai kelebihan uang atau dana dengan cara melakukan jual beli sekuritas [4]. Pengertian lain dari pasar modal adalah alat pembiayaan bagi perusahaan atau lembaga lain (seperti pemeritah), serta alat untuk setiap aktivitas dalam melakukan investasi sehingga pasar modal memberikan berbagai media untuk aktivitas dalam jual beli dan aktivas terkait lainnya.
Menurut Prof.Dr. R. Wirjono Prodjodikoro, SH bahwa surat berharga digunakan  untuk surat-surat  yang memiliki sifat seperti uang tunai sehingga dapat digunakan sebagai alat pembayaran.  Surat  berharga memiliki dua fungsi, yaitu sebagai alat untuk dapat diperdagangkan dan sebagai alat  bukti terhadap hutang yang ada.  Dalam Kitab Undang- Undang Hukum Dagang (KUHD) Buku I titel 6 dan titel 7, terdapat sembilan jenis surat berharga diantaranya yaitu wesel, surat saham, cek, bilyet , giro, kartu kredit, kuitansi, surat sanggup, travels cheque, dan obligasi.
Merujuk pada  Kamus Bahasa Indonesia (2013) dinyatakan  bahwa investasi adalah penanaman modal dalam suatu usaha atau perusahaan dengan maksud mendapatkan sebuah keuntungan ( return ).  Pengertian lain dari investasi saham yaitu  penyebaran dana yang ada sekarang dengan mengharapkan keuntungan ( return ) dimasa yang akan datang dengan cara menyimpan uang atau dana dalam pembelian efek berupa saham dengan harapan memperoleh tambahan atau keuntungan ( return ) tertentu atas dana yang diinvestasikan.
Secara umum, saham digunakan sebagai bukti nyata bahwa suatu perusahaan dikatakan sebagai pemilik dari perusahaan saham tersebut dimana pemiliknya disebut sebagai pemilik saham ( shareholder atau stockholder ).  Bentuk dari saham yaitu selembar kertas  yang menjelaskan bahwa pemilik dari kertas tersebut merupakan pemilik asli dari suatu perusahaan yang menertibkan surat berharga tersebut. Seseorang sering dikatakan sebagai pemilik saham yaitu jika nama seorang tersebut sudah tertulis sebagai pemilik saham dalam buku DPS (daftar pemegang saham).

## I.2 Return , Risiko, Kovarian
Return merupakan keuntungan-keuntungan yang selalu diterima suatu perusahaan, individu, ataupun institusi lainnya berdasarkan hasil investasi yang sudah dilakukan. Untuk menghitung nilai return saham, dapat digunakan persamaan di bawah ini [5]:
dimana: 𝑅𝑅 𝑡𝑡 merupakan nilai return pada waktu ke- t , 𝑃𝑃 𝑡𝑡 merupakan harga saham waktu ke- t, 𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 merupakan harga saham pada waktu ke- ( t- 1).
Expected return merupakan return yang diinginkan  oleh seorang investor di masa depan. expected return saham dapat dihitung melalui persamaan sebagai berikut [6]:
𝑅𝑅 𝑡𝑡 = 𝑃𝑃 𝑡𝑡 − 𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 (1)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dengan keterangan: 𝜇𝜇 𝑖𝑖 adalah hasil perhitungan expected return saham 𝑖𝑖 n ialah jumlah periode saham 𝑖𝑖 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 adalah return saham 𝑖𝑖 pada periode ke- 𝑡𝑡 .
Risiko merupakan selisih nilai return aktual yang diperoleh degan return yang diharapkan oleh setiap investor. Risiko juga diartikan sebagai votalitas dari sesuatu yang dapat berupa pendapatan maupun laba  [7]. Secara umum, votalitas adalah suatu parameter dispersi (penyebaran) yang dapat dihitung dengan varian atau standar deviasi. Untuk menghitung varian dan standar deviasi dari return saham dapat menggunakan persamaan berikut:
dengan keterangan: 𝑅𝑅 𝑡𝑡 adalah return saham pada periode t (t = 1,2, ..., n) 𝜇𝜇 𝑖𝑖 adalah expected return saham (nilai rata-rata return ) 𝑛𝑛 adalah jumlah observasi atau pengamatan.
Kovarian adalah ukuran absolut yang menunjukan sejauh mana dua variabel mempunyai kecenderungan untuk bergerak secara bersama-sama  [8].  Berikut rumus untuk menghitung kovarian [9].
dimana: 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 merupakan kovarian saham i dan j, 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 merupakan return saham I pada periode t, 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) adalah expected return saham i,
𝑛𝑛 adalah jumlah hasil sekuritas yang mungkin terjadi dalam periode tertentu, 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 adalah return sekuritas j pada periode t , 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑖𝑖 � adalah expected return saham j .

## I.3 Diversifikasi
Diversifikasi adalah kunci untuk mengelola risiko portofolio karena hal tersebut mengizinkan investor untuk mendapatkan risiko portofolio lebih rendah tanpa mempengaruhi return [8]. Sebagian investor ingin mendiversifikasi portofolionya dengan menginvestasikan seluruh kelompok aset yang ada, seperti saham dan obligasi. Dengan demikian, prinsip dasar diversifikasi portofolio yaitu semua dana yang dimiliki, sebaiknya tidak harus diinvestasikan
𝜇𝜇 𝑖𝑖 = 1 𝑛𝑛 � 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 (2) 𝑆𝑆 2 = 1 𝑛𝑛 − 1 � ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) 2 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 (3)
𝑆𝑆 = � 1 𝑛𝑛 − 1 � ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) 2 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 (4)
𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = � [ 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 − 𝐸𝐸 ( 𝑅𝑅 𝑖𝑖 )] �𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 − 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑖𝑖 �� 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=𝑡𝑡 (5)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dalam bentuk saham pada satu perusahaan saja.

## I.4 Uji Normalitas
Salah satu pengujian yang digunakan untuk menguji apakah data berdistribusi normal atau tidak adalah dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Pengujian ini dilakukan untuk melihat apakah distribusi frekuensi hasil dari pengamatan (Fa) sesuai dengan distribusi frekuensi yang diharapkan (Fe). Uji Kolmogorov-Smirnov memiliki dua hipotesis sebagai berikut [10]:
𝐻𝐻 0 ∶ 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) untuk semua 𝑥𝑥 (data berdistribusi normal)
𝐻𝐻 1 ∶ 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) untuk semua 𝑥𝑥 (data berdistribusi tidak normal) dan memiliki statistik ujinya yaitu:
dengan keterangan: 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif teoritis, 𝑆𝑆 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ) adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif yang diamati dari suatu sampel random dengan n observasi.

## I.5 Portofolio
Portofolio adalah suatu kumpulan aset keuangan dalam suatu unit yang dimiliki atau dibuat oleh seorang investor, perusahaan investasi, atau institusi keuangan [11]. Portofolio memiliki tujuannya, yaitu  mengurangi risiko ( risk ) dengan penganekaragaman kepemilikan efek. Expected return portofolio tediri dari mean expected return setiap saham yang termuat dalam sebuah portofolio. Untuk memperoleh nilai expected return portofolio, dapat digunakan rumus sebagai berikut [12]:
dengan: 𝜇𝜇 𝑇𝑇 merupakan transpos dari 𝜇𝜇 , 𝑤𝑤 adalah matriks bobot saham,
𝑤𝑤 𝑖𝑖 adalah bobot saham 𝑖𝑖 .
Risiko portofolio merupakan risiko investasi dari sekelompok instrument keuangan dalam portofolio [13]. Rumus dari risiko portofolio dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut [6]:
𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 | 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑆𝑆 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 )| (6)
𝜇𝜇 𝑝𝑝 = � ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1
𝜇𝜇 𝑝𝑝 = 𝜇𝜇 1 𝑤𝑤 1 + 𝜇𝜇 2 𝑤𝑤 2 +. . . + 𝑤𝑤 𝑛𝑛 𝜇𝜇 𝑛𝑛 = [ 𝜇𝜇 1 𝜇𝜇 2 . . . 𝜇𝜇 𝑛𝑛 ] � 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 ⋮ 𝑤𝑤 𝑛𝑛 � = 𝜇𝜇 𝑇𝑇 𝑤𝑤 (7)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dengan: 𝜎𝜎 2 𝑝𝑝 adalah risiko portofolio 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah kovarian antara return saham i dengan saham j 𝛿𝛿 adalah matriks varian-kovarian.

## I.6 Metode Portofolio Markowitz
Metode ini digunakan sebagai portofolio yang mempunyai varian minimum diantara keseluruhan pembentukan portofolio. Penyelesaian permasalahan optimisasi ini dapat diselesaikan dengan perhitungan fungsi Lagrange sebagai berikut:
Untuk mendapatkan bobot optimal 𝑤𝑤 , maka persamaan di atas diturunkan terhadap nilai 𝑤𝑤 , sehingga diperoleh bobot optimal pasa MVEP  dengan return 𝑅𝑅 𝑡𝑡 ~ 𝑁𝑁 𝑁𝑁 ( 𝜇𝜇 , δ ) adalah sebagai berikut:
dimana:
𝐿𝐿 = fungsi lagrange, 𝜆𝜆 = faktor pengali Lagrange,
𝑤𝑤 = matriks pembobotan berukuran 𝑁𝑁𝑥𝑥 1 , 𝜇𝜇 𝑝𝑝 = rata-rata return portofolio ( mean return ),
𝜇𝜇 = rata-rata return aset.

## I.7 Metode Multiobjektif
Pengertian metode multiobjektif adalah  suatu metode yang dapat membentuk portofolio optimal saham dengan memaksimumkan keuntungan ( return ) dan meminimumkan risiko ( risk ) yang ekuivalen dengan meminimumkan negatif return dan meminimumkan suatu risiko yang ekuivalen dengan meminimumkan negatif return dan risiko portofolio dalam waktu bersamaan. Maka dari itu, dapat ditulis persamaan sebagai berikut:
𝜎𝜎 2 𝑝𝑝 = � � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝜎𝜎 2 𝑝𝑝 = [ 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 . . . 𝑤𝑤 𝑁𝑁 ] ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜎𝜎 11 ∙ ∙ ∙ 𝜎𝜎 𝑵𝑵1 𝜎𝜎 12 𝜎𝜎 𝑁𝑁2 … … 𝜎𝜎 1𝑁𝑁 ∙ ∙ ∙ 𝜎𝜎 𝑁𝑁𝑁𝑁 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ � 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 ⋮ 𝑤𝑤 𝑁𝑁 � = 𝑤𝑤 𝜏𝜏 δ𝑤𝑤 (8)
𝐿𝐿 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 δ𝑤𝑤 + 𝜆𝜆 1 �𝜇𝜇 𝑝𝑝 − 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇� + 𝜆𝜆 2 (1 − 𝑤𝑤 𝑇𝑇 1) (9)
𝑤𝑤 = δ −1 1 1 𝑇𝑇 δ −1 1 (10)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Diberikan 𝑘𝑘 1 = 1 dan 𝑘𝑘 2 = 𝑘𝑘 > 0 sehingga untuk penyelesaian optimal diperoleh sebagai berikut:
Fungsi Lagrange Multiplier menjadi salah satu penyelesaian dari metode multiobjektif dan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan sebagai berikut [3]:
Persamaan (13) diturunkan terhadap 𝑤𝑤 , sehingga diperoleh sebagai berikut [14]:
dengan mensubstitusi persamaan (14) ke 𝐼𝐼 𝑇𝑇 𝑤𝑤 = 1 , diperoleh persamaan berikut:
Dari persamaan (15) dapat dimisalkan untuk nilai 𝑚𝑚 1 dan 𝑚𝑚 2 seperti di bawah ini:
𝑚𝑚 1 = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 δ −1 𝐼𝐼 𝑚𝑚 2 = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 δ −1 𝜇𝜇 Substitusikan persamaan (15) ke persamaan (14), sehingga nilai bobot saham yang diperoleh dengan menggunakan metode multiobjektif adalah sebagai berikut:
dimana 𝑚𝑚 1 ≠ 0 dengan keterangan: 𝑤𝑤 merupakan  matriks bobot saham,
𝑘𝑘 merupakan koefisien pembobot,
𝐼𝐼 merupakan matriks kolom dengan elemen I , 𝑚𝑚 1 dan 𝑚𝑚 2 adalah skalar.

## I.8 Value at Risk (VaR)
VaR ( Value at Risk ) diartikan sebagai perkiraan kerugian (risiko) maksimum yang diterima dalam kondisi pasar  normal dan dalam jangka waktu tertentu (time periode) pada tingka kepercayaan ( confident interval ) tertentu  [15].  Secara sederhananya Value at Risk (VaR) hendak merespon permasalahan “berapa banyak (jumlah atau persentase) yang dapat dihadapi oleh investor dalam tingkat kepercayaan (1- α) dan selama waktu investasi t”. Berikut rumus VaR untuk periode tertentu [15].
Min : �𝑓𝑓 1 ( 𝑤𝑤 ), 𝑓𝑓 2 ( 𝑤𝑤 ) � =   ( −𝜇𝜇 𝜏𝜏 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 𝜏𝜏 Σ w) Kendala
: 𝐼𝐼 𝜏𝜏 𝑤𝑤 = 1 dan 𝑤𝑤 ≥ 0 (11)
Min : −𝜇𝜇 𝜏𝜏 𝑤𝑤 + 𝑘𝑘𝑤𝑤 𝜏𝜏 Σ w Kendala : 𝐼𝐼 𝜏𝜏 𝑤𝑤 = 1 (12)
𝐿𝐿 = −𝜇𝜇 𝑇𝑇 𝑤𝑤 + 𝑘𝑘𝑤𝑤 𝑇𝑇 δ w + λ ( 𝐼𝐼 𝑇𝑇 𝑤𝑤 − 1) (13)
𝑤𝑤 = 1 2 𝑘𝑘 δ −1 ( 𝜇𝜇 − 𝜆𝜆𝐼𝐼 ) (14)
𝜆𝜆 = 𝐼𝐼 𝑇𝑇 δ −1 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑇𝑇 δ −1 𝐼𝐼 − 2 𝑘𝑘 𝐼𝐼 𝑇𝑇 δ −1 𝐼𝐼 (15)
𝑤𝑤 = 1 2 𝑘𝑘 δ −1 𝜇𝜇 − 1 2 𝑘𝑘 δ −1 � 𝑚𝑚 2 𝑚𝑚 1 − 2 𝑘𝑘 𝑚𝑚 1 � 𝐼𝐼 (16)
𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 ( 1−𝛼𝛼 ) ( 𝑡𝑡 ) = 𝑊𝑊 0 Ζ ( 1−𝛼𝛼 ) 𝜎𝜎 𝑝𝑝 √𝑡𝑡 (17)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dengan: 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 ( 1−𝛼𝛼 ) ( 𝑡𝑡 ) yaitu VaR dengan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) setelah 𝑡𝑡 periode, 𝑊𝑊 0 yaitu investasi awal, 𝜎𝜎 𝑝𝑝 yaitu risiko portofolio, 𝑡𝑡 adalah periode waktu.

## II. METODOLOGI PENELITIAN II.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data dari data populasi, dimana data tersebut masuk ke dalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 – 31 Desember 2020. Data yang digunakan  yaitu data sekunder historis closing price mingguan saham  dan didapatkan melalui laman www.finance.yahoo.com. Populasinya terdiri dari semua saham yang berada di dalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 – 31 Desember 2020. Kriteria pemilihan sampel LQ-45 yaitu tidak terkena auto-reject diatas 1 kali selama periode 31 Januari 2019  –  31 Desember 2020. Bersumber pada populasi LQ-45 yang berjumlah sebanyak 45 perusahaan saham yang termasuk dalam indeks LQ45 pada PT Bursa Efek Indonesia (BEI), terdapat 38 perusahaan dari populasi tersebtu yang memenuhi kriteria untuk dijadikan sampel penelitian, dan hanya terdapat 6 perusahaan saham tertinggi dari sektor yang berbeda untuk diteliti selama periode 31 Januari 2019 – 31 Desember 2020.

## II.2 Metode Analisis
Adapun metode analisis dalam penelitian ini adalah:
1. Menentukan nilai return dari masing-masing saham
2. Menentukan nilai expected return dari masing-masing saham
3. Melakukan uji normal multivariat terhadap data return saham. Jika uji normal multivariat tidak terpenuhi,  maka mencari data saham baru dan lakukan langkah sebelumnya sampai didapat data return saham yang mengikuti distribusi normal multivariat.
4. Menentukan nilai matriks varian-kovarian dari kombinasi return saham.
5. Menentukan bobot masing-masing saham dengan pendekatan optimisasi multiobjektif dengan kombinasi nilai 𝜇𝜇 yang berbeda-beda.
6. Menentukan expected return dari masing-masing return portofolio yang terbentuk menggunakan metode optimisasi multiobjektif.
7. Menentukan  nilai Value at Risk (VaR) dari masing-masing return portofolio yang terbentuk menggunakan metode optimisasi multiobjektif.
8. Analisis  nilai expected return dan Value at Risk (VaR) dari masing-masing return portofolio yang terbentuk menggunakan metode optimisasi multiobjektif.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  penelitian  ini diandaikan ada sebuah contoh, dimana  terdapat investor yang menginvestasikan modalnya sebesar Rp 100.000.000,00 dan diselesaikan  dengan bantuan software SPSS25, R 4.1.2, dan Microsoft Office Excel 2013.
Tahap  pertama  dalam memperoleh solusi penyelesaian pada penelitian ini ialah dengan mencari nilai return saham pada closing price mingguan saham yang termasuk ke dalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 –  31 Desember 2020.  Solusi dari nilai return dan expected return saham dapat dihitung dengan menghitung persamaan (1).
𝑅𝑅 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝐽𝐽 ; 2 = 1305 − 1375 1375 = − 70 1375 𝑅𝑅 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 . 𝐽𝐽𝐽𝐽 ; 2 = − 0,0509090909
Berikut data hasil nilai return saham gabungan yang disajikan dalam bentuk grafik dengan bantuan software SPSS25.
Pada Gambar 1. grafik return saham gabungan meperlihatkan bahwa return setiap saham didapatkan  dari masing-masing closing price mingguan sangat bervariasi atau tedapat perusahaan saham yang menerima nilai return yang cukup tinggi dan ada juga yang menerima nilai return yang cukup rendah. Sehingga dapat dijadikan indikator oleh investor untuk melihat perusahaan saham yang mempunyai nilai keuntungan ( return ) yang tinggi dan stabil.
Selanjutnya, tahap kedua dalam memperoleh solusi penyelesaian pada penelitian ini ialah dengan  menghitung nilai expected return saham pada closing price mingguan saham yang termasuk ke dalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 – 31 Desember 2020. Solusi dari nilai expected return saham dapat dihitung dengan menghitung persamaan (2).

## 𝜇𝜇 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 0,003204827
𝜇𝜇 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = − 0,014336918 + ( − 0,050909091) + ( − 0,0651341) + ⋯ + ( − 0,040268456) 101

## Gambar 1. Grafik Return Saham Gabungan
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## Tabel 1. Nilai Expected Return Saham No.
Saham
Expected Return Saham ( 𝜇𝜇 ) No. Saham
Expected Return Saham ( 𝜇𝜇 ) 1 ADRO 0,003204827 20  INTP -0,001595977 2 AKRA -0,002122601 21  ITMG -0,001817223 3 ANTM 0,010717723 22  JSMR 0,001649058 4 ASII -0,001974171 23  KLBF 0,000247853 5 BBCA 0,00286588 24  LPPF -0,011901747 6 BBNI -0,002074264 25  MEDC 0,00165269 7 BBRI 0,002425337 26  MNCN 0,00548102 8 BBTN -0,001596172 27  PGAS -0,000752729 9 BMRI -0,000113491 29  PTBA -0,002536025 10  BRPT 0,013403623 29  PTPP 0,001425755 11  BSDE 0,000769545 30  SCMA 0,003878574 12  EXCL 0,004126413 31  SMGR 0,001445801 13  GGRM -0,005821378 32  SRIL -0,000581504 14  HMSP -0,00759181 33  TLKM -0,000695886 15  ICBP -0,000375399 34  TPIA 0,007029021 16  INCO 0,006269437 35  UNTR 0,00136381 17  INDF -0,000397462 36  UNVR -0,002218163 18  INDY 0,003585277 37  38WIKA 0,0038277 19  INKP 0,002017872 38  WSKT 0,000897722
Berdasarkan Tabel 1 yang memperlihatkan nilai expected return setiap saham, dapat dilihat bahwasannya  terdapat 21 saham yang mempunyai nilai expected return bernilai positif, selanjutnya peneliti memilih enam saham yang memiliki nilai tertinggi dari expected return saham yang bernilai positif. Saham yang dipilih oleh peneliti berdasarkan nilai tertinggi diantaranya BRPT.JK, ANTM.JK, TPIA.JK, INCO.JK, MNCN.JK, dan EXCL.JK.
Tahap berikutnya ialah  uji normalitas pada  nilai return saham yang sudah terpilih. Pembentukan portofolio optimal saham dengan metode multiobjektif harus memiliki nilai return saham yang berdistribsi normal. Uji Kolmogorov-Smirnov menjadi salah satu uji normalitas yang dipakai dalam penelitian ini dengan tingkat signifikasi ( 𝛼𝛼 ) yang digunakan sebesar 5% dan pengujian ini memiliki dua hipotesis yang digunakan, yaitu antara lain:
𝐻𝐻 0 : Data return saham berdistribusi normal
𝐻𝐻 1 : Data return saham tidak berdistribusi normal
Uji normalitas pada return saham dengan pengujian Kolmogorov-Smirnov pada penelitian ini dibantu dengan software R 4.1.2. Berikut disajikan ringkasan tabel pengujian Kolmogorov- Smirnov pada enam return saham yang sudah dipilih.
Bersumber pada hasil uji normalitas dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov pada Tabel 2, dapat dilihat bahwa  nilai return saham INCO.JK, MNCN.JK, dan EXCL.JK memberikan  harga 𝑝𝑝 − 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 yang lebih besar dari  harga 𝛼𝛼 = 5%. Sehingga didapatkan keputusan bahwa nilai probabilitas lebih besar daripada taraf signifikan yang dipakai dalam penelitian ini atau jika 𝑝𝑝 − 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 > 𝛼𝛼 maka 𝐻𝐻 0 diterima, yang artiya return dari sebuah saham

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
tersebut berdistribusi normal.
Tabel 2. Ringkasan hasil uji Kolmogorov-Smirnov
Saham 𝑝𝑝 − 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 Keputusan BRPT.JK 6,142 𝑣𝑣 − 06
𝐻𝐻 0 ditolak
ANTM.JK
0,03257 𝐻𝐻 0 ditolak
TPIA.JK
0,008557 𝐻𝐻 0 ditolak INCO.JK 0,1099 𝐻𝐻 0 diterima MNCN.JK 0.06921 𝐻𝐻 0 diterima EXCL.JK 0,1875 𝐻𝐻 0 diterima
Data return saham INCO.JK, MNCN.JK, dan EXCL.JK membenarkan asumsi dari metode multiobjektif dan akan dilanjutkan ke tahap berikutnya. Dari tiga return saham tersebut juga dibentuk sebuah matriks varian-kovarian. Matriks varian-kovarian dibentuk atas dasar nilai variansi dan kovariansi dari return saham.  Berikut hasil matriks varian-kovarian  dengan bantuan software Microsoft Office Excel 2013.
δ = � 0,005875834 0,002032101 0,002022601 0,002032101 0,006115584 0,001895204 0,002022601 0,001895204 0,003885686 �
dan untuk matriks invers dari matriks varian-kovariannya dengan bantuan R 4.1.2 yaitu:
δ −1 = � 216,80609 − 43,66837 − 91,55443 − 43,66837 201,42858 − 75,51423 − 91,55443 − 75,51423 341,84258 �
Karena data dari tiga return saham tersebut memenuhi asumsi dalam metode multiobjektif, maka dari itu penelitian dilanjutkan ke tahap berikutnya, yaitu perhitungan nilai bobot setiap saham.  Metode multiobjektif memiliki koefisien pembobot 𝑘𝑘 yang dapat memperlihatkan seberapa besar seorang investor bertanggung jawab dalam menggunakan risiko  ( risk ) atas expected return . Penggunaan nilai dari koefisen pembobot 𝑘𝑘 sendiri  digunakan sebagai indikator besar kecilnya suatu risiko ( risk ). Nilai dari koefisien bobot 𝑘𝑘 yang semakin kecil memperlihatkan bahwa tingkat risik ( risk ) yang didapat oleh investor semakin tinggi, karena semakin besar nilai suatu koefisien bobot 𝑘𝑘 memperlihatkan tingkat risiko ( risk ) yang didapat juga oleh investor semakin kecil.
Pada penelitian ini koefisien pembobot 𝑘𝑘 yang digunakan adalah nilai 𝑘𝑘 = 0,01 , 𝑘𝑘 = 0,5, 𝑘𝑘 = 1, 𝑘𝑘 = 10, 𝑘𝑘 = 50, 𝑘𝑘 = 100, 𝑘𝑘 = 150, 𝑘𝑘 = 200, 𝑘𝑘 = 500, 𝑘𝑘 = 1000, 𝑘𝑘 = 10000, dan 𝑘𝑘 = 50000 .  Untuk memperoleh nilai bobot portofolio setiap saham, dapat menggunakan perhitungan persamaan (16).  Berikut  solusi nilai dari  bobot 𝑘𝑘 pada  masing- masing saham yang dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3 memperlihatkan bahwa besarnya konstanta 𝑘𝑘 mempengaruhi nilai bobot saham pada portofolio yang sudah dibentuk. Jika nilai 𝑘𝑘 semakin besar, maka nilai matriks bobot
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
sahamnya semakin kecil. Tahap selanjutnya dalam penelitian ini yaitu mendapatkan nilai expected return dari portofolio optimal saham yang dibentuk. Perhitungan expected return portofolio menggunakan nilai bobot saham dan expected return dari masing-masing perusahaan saham dalam portofolio yang sudah terbentuk dengan menghitung persamaan (14).
Tabel 3. Nilai Bobot Saham 𝑘𝑘 0,01 0,5 1 10 50 INCO.JK 0,2409441 0,57743961  0,4091902 0,2577657 0,2443057 MNCN.JK 0,2428989 0,35264358  0,2977707 0,2483851 0,2439953 EXCL.JK 0,5161570 0,06991682  0,2930391 0,4938492 0,5116990 Tabel 3. Nilai Bobot Saham (Lanjutan) 𝑘𝑘 100 150 200 500 100 INCO.JK 0,2426232 0,2420624 0,2417820 0,2412772 0,2411090 MNCN.JK 0,2434466 0,2432537 0,2431722 0,2430076 0,2429527 EXCL.JK 0,5139302 0,5146740 0,5150458 0,5157152 0,5159383 Tabel 3. Nilai Bobot Saham (Lanjutan) 𝑘𝑘 10000 50000 INCO.JK 0,2409575 0,2409441 MNCN.JK 0,2429033 0,2428989 EXCL.JK 0,5161391 0,5161570
Berikut hasil dari perhitungan expected return portofolio dengan nilai konstanta 𝑘𝑘 yang berbeda-beda yang dibantu dengan software R 4.1.2 yang teringkas dalam Tabel 4.
Tabel 4. Expected Return Portofolio �𝜇𝜇 𝑝𝑝 � 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑝𝑝 0,01 0,04846117
0,5 0,005841573
1
0,00540668 10 0,005015275 50 0,004980484 100 0,004976135 150 0,004974685 200 0,00497396
Tabel 4. Expected Return Portofolio �𝜇𝜇 𝑝𝑝 � Lanjutan 𝑘𝑘
𝜇𝜇 𝑝𝑝 500 0,004972656 1000 0,004972221 10000 0,004971829 50000 0,004971794
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Tabel 4 memperlihatkan bahwa nilai expected return portofolio semakin rendah ketika koefisien pembobot 𝑘𝑘 semakin besar.  Hal tersebut mempresentasikan bahwa koefisien pembobot 𝑘𝑘 menjadi indikator dalam menentukan keuntungan yang dapat diperoleh seorang investor, sehingga jika nilai koefisien pembobot 𝑘𝑘 semakin besar, maka nilai expected return portofolionya semakin kecil.
Langkah selanjutnya dalam penelitian ini adalah menghitung VaR ( Value at Risk) portofolio dengan menghitung persamaan (17) dengan tingkat kepercayaan yang dipakai sebesar 95% dan periode waktu 30 minggu. Berikut hasil dari perhitungan VaR dengan menggunakan software Microsoft Office Excel 2013 berdasarkan koefisien bobot 𝑘𝑘 yang berbeda-beda.
Tabel 5. Value at Risk  Portofolio 𝑘𝑘 Value at Risk 0,01 1329529361 0,5 55710132,09 1 50735032,29 10 48982487,46 50 48965181,74 100 48964642,91 150 48964543,44 200 48964510,28 500 48964468,83 1000 48964460,54 10000 48964460,54 50000 48964460,54
Tabel 5 mempresentasikan bahwa tujuan dari menghitung VaR yaitu untuk mengetahui tingkat risiko yang akan diperoleh rendah, maka untuk mendapatkan risiko yang rendah, dapat dipilih koefisien pembobot 𝑘𝑘 yang terbesar.
Langkah terakhir yang dilakukan dalam peneltian ini adalah analisis nilai expected return dan VaR portofolio yang sudah terbentuk. Dalam analisis ini diketahui pula risiko portofolio yang terkecil dapat membantu investor memperoleh keuntungan yang tinggi. Berikut  nilai risiko portofolio dengan koefisien bobot 𝑘𝑘 yang beranekaragam dan dengan adanya bantuan software R 4.1.2.
Dari Tabel 6 dapat dilihat bahwa risiko portofolio yang terkecil yaitu ketika 𝑘𝑘 = 50000 maka 𝜎𝜎 𝑝𝑝 = 0,054344356. Sehingga nilai expected return yang terkecil juga dihasilkan ketika 𝑘𝑘 = 50000 dengan 𝜎𝜎 𝑝𝑝 = 0,054344356 . Koefisien bobot 𝑘𝑘 menjadi koefisien bobot yang paling optimal dalam portofolio yang sudah dibentuk. Berdasarkan hasil nilai expected return portofolio yang sudah dihitung, dengan memanfaatkan metode multiobjektif maka investasi yang akan dilaksanakan oleh seorang investor untuk tiga saham yang dibentuk dalam portofolio optimal saham seperti yang di bawah ini:
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Tabel 6. Risiko Portofolio �𝜎𝜎 𝑝𝑝 � 𝑘𝑘 𝜎𝜎 𝑝𝑝
0,01 1,475609366 0,5 0,061831198 1 0,056309466 10 0,054364363 50 0,054345156 100 0,054344558 150 0,054344448 200 0,054344411 500 0,054344365 1000 0,054344356 10000 0,054344356 50000 0,054344356 Tabel 7. Bobot Investasi Saham W Persen Bobot Investasi INCO.JK 0,2409441 24% Rp24.094.410 MNCN.JK 0,2428989 24% Rp24.289.890 EXCL.JK 0,5161570 52% Rp51.615.700 INCO.JK 0,2409441 24% Rp24.094.410
Selanjutnya nilai Value at Risk diperoleh dari Tabel 5 dengan tingkat kepercayaan yang digunakan dalam penelitian ini sebesar 95% dan periode waktu 30 minggu ketika 𝑘𝑘 = 50000 . Maka dari itu VaR sebesar Rp48.964.460,54 mengartikan terdapat 95% kerugian ( risk ) yang diperoleh investor tidak akan melebihi Rp48.964.460,54 dengan jangka waktu 30 minggu.
Tabel 7 menunjukkan saham EXCL.JK besar investasinya yang akan diinvestasikan sangat signifikan sebesar 52% yang mengartikan jumlah investasi sekitar 52 juta. Di sisi lain, untuk saham INCO.JK dan MNCN.JK besar investasi adalah sama sekitar 24%. Hal ini dilakukan untuk mengoptimalkan investasi ketiga saham tersebut yang sudah dibentuk dalam portofolio dengan koefisien bobot optimal 𝑘𝑘 = 50000 , sehingga jika menginginkan kerugian yang minimum, maka harus menggunakan koefisien pembobot 𝑘𝑘 yang terbesar.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah diterangkan pada bab sebelumnya, peneliti sudah membentuk portofolio optimal saham pada INCO.JK, MNCN.JK, dan EXCL.JK yang termasuk kedalam indeks saham LQ-45 periode 31 Januari 2019 –  31 Desember 2020 menggunakan optimisasi multiobjektif dan pengukuran Value at Risk (VaR). Saham yang dioptimalkan adalah saham EXCL.JK, karena saham tersebut memperlihatkan arah yang positif  dan  mengisyaratkan untuk dapat dioptimalkan. Dan untuk saham INCO.JK dan MNCN.JK disarankan agar dapat dioptimalkan dengan cara yang lebih berisiko daripada saham EXCL.JK.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Penggunaan metode multiobjektif pada penelitan ini memperlihatkan bahwa dengan semakin restriktif indikator yang menggunakan berbagai nilai koefisien bobot k, semakin baik portofolio yang dibentuk dan semakin banyak pula pilihan yang tersedia. Metode multiobjektif juga memberikan variasi portofolio sesuai keinginan investor, terlebih lagi dengan digunakannya berbagai nilai koefisien bobot 𝑘𝑘 untuk mengukur keuntungan ( return ) dan kerugian (risk), dimana kerugian ( risk ) diukur melalui perhitungan Value at Risk . Dengan demikian, semakin besar peluang mendapat keuntungan ( return ), semakin besar pula peluang kerugian ( risk ) yang diperoleh seorang investor.

## REFERENSI
[1]  Fabozzi, F. J. Manajemen Investasi . Tim Penerjemah Salemba Empat, penerjemah. Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dari: Investment Management , 1995.
[2]  E. Tandelilin, Analisis Investasi dan Manajemen Resiko , Edisi Pert. Yogyakarta: YogyakartaBPFE, 2001.
[3]  Y. C. Duan, “A Multi-Objective Approach to Portfolio Optimization A Multi-objective Approach to Portfolio Optimization,” Rose-Hulman Undergrad. Math. J. , vol. 8, no. 1, 2007.
[4]  E. Tandelilin, Pasar Modal : Manajemen Portofolio & Investasi . Yogyakarta: Kanisius, 2017.
[5]  W. K. Härdle and L. Simar, Applied Multivariate Statistical Analysis . Berlin: Springer, 2010.
[6]  J. Hartono, Teori Portofolio dan Analisis Investasi Ed. 11 , 11th ed. Yogyakarta: BPFE, 2017.
[7]  I. Ghozali, Manajemen Risiko Perbankan : Pendekatan Kualitatif Value at Risk (VaR) . Semarang: Badan Penerbit Universitas Dipenogoro, 2007.
[8]  C. P. Jones, Investments: Principles and Concepts , Twelfth Ed. Hoboken: John Wiley, 2014.
[9]  J. Hartono, Teori Portofolio dan Analisis Investasi , Edisi Ke-7. Yogyakarta: BPFE, 2010.
[10]  J. D. Gibbons and S. Chakraborti, Nonparametric Statistical Inference , Fourth. New Yotk: Marcel Dekker Inc, 2005.
[11]  J. Hartono, Teori Portofolio dan Analisis Investasi , Ed 8 Cet.2. Yogyakarta: BPFE, 2014.
[12]  E. Tandelilin, PORTOFOLIO dan INVESTASI: Teori dan Aplikasi , Edisi Pert. Kanisius, 2010.
[13]  J. Hartono, Teori Portofolio Dan Analisis Investasi , Edisi Ke-7. Yogyakarta: BPFE, 2010.
[14]  D. N. I. N. S. Hendra Perdana, “Analisis Pembentukan Portofolio Optimal Saham Menggunakan Metode Multiobjektif,” Bimaster  Bul. Ilm. Mat. Stat. dan Ter. , vol. 9, no. 4, pp. 525–532, 2020, doi: 10.26418/bbimst.v9i4.42742.
[15]  P. Jorion, Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk , 3rd Editio. USA: McGraw-Hill, 2007.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035