INNOVATIVE: Journal Of Social Science Research Volume 4 Nomor 4 Tahun 2024 Page 2621-2630 E-ISSN 2807-4238 and P-ISSN 2807-4246
Website: https://j-innovative.org/index.php/Innovative

## Analisis Dinamik Model Epidemi Adiksi Alkohol dengan Laju Transmisi Tersaturasi
Pangestuti Prima Darajat 1 ✉ , Rizka Rizki Robby 2 , Hady Rasikhun 3 , Deasy Sandhya Elya Ikawati 4
(1) Universitas Islam Raden Rahmat, (2) Universitas Nahdlatul Ulama Blitar,
(3) Universitas Muhammadiyah Mataram, (4) Politeknik Negeri Malang
Email: prymapryma@gmail.com 1 ✉

## Abstrak
Pada  Penelitian  ini  dikontruksi  model  matematika  epidemi  pecandu  alkohol  SMHTR  dengan  laju transmisi  tersaturasi.  Didefinisikan  lima  kompartmen  yang  menggambarkan  lima  subpopulasi,  yaitu populasi bukan peminum (S), populasi peminum sedang (M), populasi peminum berat (H), populasi peminum dalam pengobatan (T), populasi individu yang sudah tidak adiksi terhadap alkohol (R). Laju transmisi  tersaturasi  digunakan  untuk  menggambarkan  pengaruh  parameter  kesadaran  individu tentang dampak negatif adiksi alkohol. Selanjutnya, dilakukan analisis dinamik dengan menentukan titik kesetimbangan  sistem  serta  eksistensi  dan  karakteristik  kestabilannya.  Pada  simulasi  numerik ditunjukkan kondisi titik kesetimbangan bebas adiksi dan kondisi endemi adiksi alkohol.
Kata  Kunci: Model  Epidem,  Adiksi  Alkohol,  Laju  Transmisi  Tersaturasi,  Analisis  Kestabilan,  Simulasi Numerik

## Abstract
In this paper, we present epidemic mathematical model SMHTR of an alcohol drinking with saturated incidence  rate.  There  are  five  compartments  to  describe  five  populations,  namely  non-drinkers  (S), moderate drinkers (M), heavy drinkers(H), drinkers in treatment (T), temporarily recovered drinkers (R). The saturated incidence rate purpose to show the effect of awareness parameter to control drinking addict. Then, we discuss about dynamical analysis which is equilibrium, the exsistence, dan local stability. Numerical simulation shows in two condition, equilibrium free conditions and endemic conditions. Keywords: Epidemic Model, Alcohol addict, Saturated Incidence Rate, Local Stability Analysis, Numerical Simulation

## PENDAHULUAN
Seorang  pecandu  Alkohol  adalah  seseorang  pengguna  alkohol  kronis  sehingga menggangu kesehatan fisik, mental, serta perilaku sosial. Adiksi alkohol merupakan penyakit yang  merusak  otak,  hati,  jantung,  dan  organ  lainnya.  Adiksi  terhadap  alkohol  kini  telah menjadi penyakit epidemi pada lingkungan Masyarakat social  (Bouajaji, Abta, Laarabi, & Rachik, 2021).
Secara  global,  adiksi  terhadap  alkohol  telah  menyebabkan  3  juta  kematian  setiap tahunnya,  jumlah  tersebut  belum  termasuk  jutaan  orang  yang  memiliki  gangguan kesehatan  serta kecacatan. WHO memperkirakan 150 juta orang didunia memiliki adiksi terhadap alkohol (Departemental News World Health Organization, 2023).
Model matematika dapat digunakan untuk menggambarkan dinamika epidemi adiksi alkohol sehingga dapat diperoleh Analisa penyebaran serta pengendalian perilaku adiksi tersebut (Adu, Osman, & Yang, 2017). Agrawal (2018) mengembangkan Model Matematika adiksi  alkohol  Nonlinear.  Populasi  dibagi  menjadi  empat  yaitu  populasi  bukan  pecandu alkohol (𝑆) , populasi pecandu alkohol berat (𝐻) , populasi pecandu alkohol yang menjalani pengobatan (𝑇) , dan populasi pecandu alkohol yang telah sembuh (𝑅) . Dilakukan analisis dinamik  dan  diperoleh  terdapat  titik  kesetimbangan  bebas  pecandu  dan  dan  titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik jika memenuhi syarat tertentu. Hasil dari penelitian tersebut  adalah  bahwa  epidemi  adiksi  alkohol  tidak  dapat  dikendalikan  hanya  dengan mengurangi kontak dengan peminum, namun juga harus meningkatkan kesadaran bahaya adiksi  alkohol  serta  meningkatkan  jumlah  pecandu  yang  berobat  (agrawal,  Tenguria,  & Modi, 2018).
Berbagai penelitian mengembangkan model matematika epidemi adiksi alkohol. Khajji (2020), Sher (2023), dan Mayengo (2023) mengembangkan model dengan menggunakan kompartmen populasi peminum alkohol moderat (𝑀) .  Pada populasi ini individu masih dapat mengendalikan konsumsi alkohol. Individu tersebut maupun lingkungan sosial tidak merasakan dampak negatif dari konsumsi alkohol. Seorang bukan pecandu alkohol akan melalui fase menjadi peminum moderat sebelum menjadi pecandu alkohol berat (Khajji, Labzai, Balatif, & Rachik, 2020) (Sher, Shah, Sarwar, & a., 2023) (Mayengo, 2023).
Pada  penelitian  ini  akan  dikembangkan  model  yang  merujuk  pada  model  Agrawal (2018) dan dimodifikasi dengan menambahkan kompartmen 𝑀 sebagaimana pada Khajji (2020), Sher (2023), dan Mayengo (2023). Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan analisa pengendalian epidemi alkohol dan mengetahui pengaruh kontak, kesadaran diri, serta pengobatan pada penyebaran adiksi alkohol.

## METODE PENELITIAN
Tahapan dalam penelitian ini diantaranya adalah, konstruksi model, analisis dinamik, dan  simulasi  numerik.  Model  dikontruksi  berbentuk  sistem  persamaan  diferensial  lima dimensi sebagaimana persamaan (1) .
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑓 1 (𝑆. 𝑀. 𝐻. 𝑇. 𝑅) 𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝑓 2 (𝑆. 𝑀. 𝐻. 𝑇. 𝑅) 𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝑓 3 (𝑆. 𝑀. 𝐻. 𝑇. 𝑅) 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑓 4 (𝑆. 𝑀. 𝐻. 𝑇. 𝑅) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑓 5 (𝑆. 𝑀. 𝐻. 𝑇. 𝑅) (1)
Didefinisikan  lima  Populasi  yaitu  populasi  bukan  pecandu  alkohol (𝑆) ,  populasi peminum moderat (𝑀) , populasi pecandu alkohol  berat (𝐻) , populasi pecandu alkohol yang menjalani pengobatan (𝑇) , dan populasi pecandu alkohol yang telah sembuh (𝑅) . Analisis dinamik dilakukan dalam beberapa tahap sebagaimana bagan berikut,
Gambar 1. Diagram Tahapan Analisis Dinamik
a. Titik  kesetimbangan  dari  model  disimbolkan (𝑆 ∗ . 𝑀 ∗ . 𝐻 ∗ . 𝑇 ∗ . 𝑅 ∗ ) adalah  solusi  dari sistem (1) yang memenuhi 𝑓 1 = 𝑓 2 = 𝑓 3 = 𝑓 4 = 𝑓 5 = 0 .
b. Analisis eksistensi dari titik kesetimbangan adalah penentuan kondisi yang memenuhi interpretasi  dari  model.  Pada  model  adiksi  alkohol 𝑆𝑀𝐻𝑇𝑅 titik  kesetimbangan dikatakan eksis ketika nilai dari 𝑆 ∗ . 𝑀 ∗ . 𝐻 ∗ . 𝑇 ∗ . mapun 𝑅 ∗ nonnegatif.
c. Analisis kestabilan lokal titik kesetimbangan  sistem (1) dilakukan  dengan linierisasi pada sekitar titik kesetimbangan berdasarkan persamaan berikut,
𝑑 𝑑𝑡 𝑤 ⃗⃗  = 𝐽𝑤 ⃗⃗ (2)
Dimana 𝑤 ⃗⃗  = (𝑆. 𝑀. 𝐻. 𝑇. 𝑅) − (𝑆 ∗ . 𝑀 ∗ . 𝐻 ∗ . 𝑇 ∗ . 𝑅 ∗ ) dan 𝐽 merupakan  matriks  jacobian. Kestabilan titik kesetimbangan 𝐸 ditentukan oleh bagian real dari nilai eigen matriks 𝐽 . Ketika
bagian  real  nilai  eigen  negatif  titik  kesetimbangan 𝐸 disebut  stabil  asimtotik.  Titik kesetimbangan E disebut stabil jika semua nilai eigen memiliki bagian real yang tak positif. Selanjutnya,  ketika  salah  satu  nilai  eigen  memiliki  bagian  real  yang  positif    maka  titik kesetimbangan 𝐸 disebut tidak stabil.
Simulasi numerik dilakukan menggunakan metode Rungge-Kutta orde 4 berbantuan software MATLAB. Simulasi numerik dilakukan untuk beberapa skenario yang memenuhi kestabilan  titik  kesetimbangan.  Interpretasi  dari  seluruh  hasil  penelitian  dilakukan  untuk mendapatkan kesimpulan tentang pengaruh parameter-parameter yang digunakan pada model (Darajat, 2023).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan  lima  subpopulasi  yang  telah  dibentuk  dibuat  hubungan  antar kompartment yang dapat dilihat pada Gambar 2.

## Gambar 2. Diagram Kompartment Model Adiksi Alkohol SMHTR
Populasi bukan pecandu alkohol (𝑆) merupakan kumpulan individu pada usia remaja maupun dewasa yang berpotensi untuk mengkonsumsi alkohol dengan laju rekruitment sebesar 𝑏 . Diasumsikan bahwa interaksi sosial mengakibatkan transmisi dari populasi 𝑆 ke 𝑀 sebesar 𝛽 . Kesadaran individu terhadap dampak negatif alkohol menghambat proses transmisi  tersebut.  Jika 𝛼 didefinisikan  sebagai  tingkat  kesadaran  individu,  maka  laju transmisi pada model dibentuk laju transmisi tersaturasi yaitu 𝛽𝑆𝑀 1+𝛼 . Laju kematian alami disimbolkan 𝜇 , sementara laju kematian karena adiksi alkohol pada populasi 𝐻 dan 𝑇 adalah 𝛿 1 dan 𝛿 2 . Laju individu peminum moderat menjadi adiksi berat 𝐻 adalah sebesar 𝜃 . Laju pengobatan  dari populasi pecandu alkohol berat adalah  sebesar 𝜙 . Laju  penyembuhan pada  populasi 𝑇 adalah 𝛾 .  Individu  yang  sembuh  terhadap  adiksi  alkohol  ini  bersifat sementara, sehingga populasi 𝑅 akan berubah kembali menjadi populasi 𝑆 . Laju individu 𝑅 menjadi 𝑆 adalah sebesar 𝜂 .
Model matematika berdasarkan kompartment dan asumsi asumsi yang telah dibuat disajikan pada sistem berikut,
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏 − 𝛽𝑆𝑀 1 + 𝛼𝑆 + 𝜂𝑅 − 𝜇𝑆 𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝑀 1 + 𝛼𝑆 − (𝜃 + 𝜇)𝑀 𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝜃𝑀 − (𝜙 + 𝛿 1 + 𝜇)𝐻 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜙𝐻 − (𝛾 + 𝛿 2 + 𝜇)𝑇 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝑇 − (𝜂 + 𝜇)𝑅 (3)
Diperoleh dua titik kesetimbangan untuk sistem (3) yang memenuhi kondisi steady state disimbolkan 𝐸 0 dan 𝐸 ∗ . Titik kesetimbangan 𝐸 0 adalah titik kesetimbangan bebas adiksi alkohol sebagai berikut,
(𝑆 0 , 𝑀 0 , 𝐻 0 , 𝑇 0 , 𝑅 0 ) = ( 𝑏 𝜇 , 0,0,0)    (4)
Titik kesetimbangan 𝐸 0 bersifat eksis karena memenuhi 𝑆 0 , 𝑀 0 , 𝐻 0 , 𝑇 0 , 𝑅 0 nonnegatif. Sementara  itu,  titik  kesetimbangan  endemi 𝐸 ∗ adalah 𝑆 ∗ , 𝑀 ∗ , 𝐻 ∗ , 𝑇 ∗ ,  dan 𝑅 ∗ memenuhi persamaan berikut,
𝑆 ∗ = − 𝐴 1 𝐴 1 𝛼 − 𝛽 𝑀 ∗ = 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 𝐴 5 𝐴 6 𝐻 ∗ = 𝜃𝐴 3 𝐴 4 𝐴 5 𝐴 6 𝑇 ∗ = 𝜙𝜃𝐴 4 𝐴 5 𝐴 6 𝑅 ∗ = 𝜙𝛾𝜃𝐴 5 𝐴 6 (5)
Dengan 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝐴 4 , 𝐴 5 , dan 𝐴 6 didefinisikan sebagai berikut.
𝐴 1 = 𝜃 + 𝜇 𝐴 2 = 𝜙 + 𝛿 1 + 𝜇 𝐴 3 = 𝛾 + 𝛿 2 + 𝜇 𝐴 4 = 𝜂 + 𝜇 𝐴 5 = (𝐴 1 𝛼 − 𝛽)𝑏 + 𝐴 1 𝜇 𝐴 6 = (𝐴 1 𝛼 − 𝛽)(𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 − 𝜙𝜂𝛾𝜃) (6)
Dengan mendefinisikan nilai parameter model (3) adalah 0 <
𝑏. 𝜇. 𝛼. 𝛽. 𝜂. 𝛿 1 . 𝛿 2 . 𝜙. 𝜃. 𝛾 < 1 .  Maka  diperoleh 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 > 𝜙𝜂𝛾𝜃 .  Sehingga  syarat  Titik kesetimbangan 𝐸 ∗ eksis adalah :
𝐴 1 𝛼 < 𝛽 dan 𝐴 5 < 0 (7)
Analisis  kestabilan  titik  kesetimbangan 𝐸 0 dan 𝐸 ∗ akan  dilakukan  berdasarkan persamaan (2) . Diperoleh matriks Jacobian untuk sistem (3) adalah sebagai berikut,
𝐽 = [ − 𝛽𝑀 (1 + 𝛼𝑆) 2 − 𝜇 − 𝛽𝑆 1 + 𝛼𝑆 0 0 𝜂 𝛽𝑀 (1 + 𝛼𝑆) 2 𝛽𝑆 1 + 𝛼𝑆 − 𝐴 1 0 0 0
0 𝜃 −𝐴 2 0 0 0 0 𝜙 −𝐴 3 0 0 0 0 𝛾 −𝐴 4 _] (8)
Subtitusi titik kesetimbangan 𝐸 0 pada matriks jacobian pada persamaan (5) diperoleh 𝐽(𝐸 0 ) sebagai berikut,
𝐽(𝐸 0 )   = [ −𝜇 − 𝛽𝑏 𝜇+𝛼𝑏 0 0 𝜂 0 𝛽𝑏 𝜇+𝛼𝑏 − 𝐴 1 0 0 0 0 𝜃 −𝐴 2 0 0 0 0 𝜙 −𝐴 3 0 0 0 0 𝛾 −𝐴 4 _] (9)
Nilai eigen dari matriks 𝐽(E 0 ) diperoleh dengan menyelesaikan |𝐽(𝐸 0 )   − 𝜆𝐼̅| = 0 . Nilai eigen tersebut adalah,
𝜆 1 = −𝜇 𝜆 2 = −𝐴 5 𝜆 3 = −𝐴 2 𝜆 4 = −𝐴 3 𝜆 5 = −𝐴 4 (10)
Berdasarkan  persamaan (10) titik  kesetimbangan 𝐸 0 bersifat  stabil  asimtotik  lokal ketika 𝐴 5 > 0 .  Akibatnya,  ketika  titik  kesetimbangan 𝐸 0 stabil  asimtotik  lokal  maka  titik kesetimbangan 𝐸 ∗ tidak eksis. Subtitusi titik kesetimbangan 𝐸 ∗ pada matriks jacobian (8) diperoleh 𝐽(𝐸 ∗ ) sebagai berikut,
𝐽(𝐸 ∗ ) = [ −(𝐾 + 𝜇) −𝐴1 0 0 𝜂 𝐾 0 0 0 0
0 𝜃 −𝐴 2 0 0 0 0 𝜙 −𝐴 3 0 0 0 0 𝛾 −𝐴 4 _] (11)
Dengan 𝐾 > 0 didefinisikan sebagai berikut,
𝐾 = 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 𝐴 5 (𝐴 1 𝛼 − 𝛽) 2 𝐴 6 (12)
Polinomial karakteristik untuk |𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 ∗ )| = 0 adalah,
𝜆 5 + 𝐿 4 𝜆 4 + 𝐿 3 𝜆 3 + 𝐿 2 𝜆 2 + 𝐿 1 𝜆 + 𝐿 0 = 0 (13)
Dengan nilai 𝐿 1 , 𝐿 2 , 𝐿 3 , 𝐿 4 , 𝐿 5 > 0 memenuhi persamaan berikut,
𝐿 4 = 𝐴 2 + 𝐴 3 + 𝐴 4 + (𝐾 + 𝜇) 𝐿 3 = 𝐴 2 (𝐾 + 𝜇) + 𝐴 3 (𝐾 + 𝜇) + 𝐴 3 𝐴 2 + 𝐴 2 𝐴 4 + 𝐴 3 𝐴 4 + 𝐴𝐴 4 + 𝐾𝐴 1
𝐿 2 = 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 + 𝐴 2 𝐴 3 (𝐾 + 𝜇) + 𝐴 2 𝐴 4 (𝐾 + 𝜇) + 𝐴 3 𝐴 4 (𝐾 + 𝜇) + 𝐾𝐴 1 𝐴 2 +  𝐾𝐴 1 𝐴 3 + 𝐾𝐴 1 𝐴 4 𝐿 1 = 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 (𝐾 + 𝜇) + 𝐾𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 + 𝐾𝐴 1 𝐴 2 𝐴 4 + 𝐾𝐴 1 𝐴 3 𝐴 4
𝐿 0 = (𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 − 𝜂𝜃𝜙𝛾)𝐾
Tabel 1. Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz
𝝀 𝟓 𝟏 𝑳 𝟑 𝑳 𝟏 𝜆 4 𝐿 4 𝐿 2 𝐿 0 𝜆 3 𝑏 1 = 𝐿 3 − 𝐿 2 𝐿 4 𝑏 2 = 𝐿 1 − 𝐿 0 𝐿 4 0 𝜆 2 𝑐 1 = 𝐿 2 − 𝐿 4 𝑏 2 𝑏 1 𝐿 0 0
𝜆 1 𝑑 1 = 𝑏 2 − 𝑏 1 𝑐 2 𝑐 1 0 0 𝜆 0 𝐿 0 0 0
Berdasarkan  kriteria  kestabilan  Routh  Hurwitz,  maka  syarat  titik  kesetimbangan 𝐸 ∗ stabil asimtotik lokal adalah memenuhi 𝑏 1 , 𝑐 1 , 𝑑 1 > 0 .
Simulasi numerik  dilakukan untuk mengilustrasikan hasil analisis sistem. Digunakan nilai  awal 𝑆(0) = 400 , 𝑀(0) = 180 , 𝐻(0) = 150 , 𝑇(0) = 130 , 𝑅(0) = 100 dengan parameter pada Tabel 2. Yang merujuk pada Khajji (2020) serta Agrawal (2018).
Tabel 2. Parameter Simulasi Numerik Parameter Deskripsi 𝑬 ∗ 𝑬 𝟎 𝑏 Laju Rekruitment Individu pada suatu lingkungan. 0.4 0.4 𝛽 Laju transmisi dari 𝑀 ke 𝑆 . 0.02 0.02 𝛼 Tingkat kesadaran akan Bahaya alcohol 0.09 0.9 𝜇 Laju Kematian Alami 0.025  0.025 𝜂 Laju perubahan dari R ke S 0.1 0.1 𝜃 Laju perubahan dari 𝑀 ke 𝐻 0.14 0.14 𝛿 1 Laju kematian karena alkohol pada populasi 𝐻 0.035  0.035
𝜙 Laju perubahan dari 𝐻 ke T 0.5 0.5 𝛾 Laju Penyembuhan 0.1 0.1
Hasil  simulasi  numerik  ketika 𝐸 0 stabil  asimtotik  lokal  disajikan  pada  Gambar  2. Dengan  memenuhi  nilai  parameter 𝐴 5 > 0 yaitu 5,5058 maka  sistem  menuju  pada  titik kesetimbangan 𝐸 0 (1000. 0. 0. 0. 0) .
Gambar 3. Simulasi Numerik Keadaan Bebas Adiksi Alkohol
Sementara itu, hasil simulasi numerik ketika titik kesetimbangan endemi adiksi alkohol stabil  asimtotik  lokal  disajikan  pada  gambar  3.  Diasumsikan  nilai 𝛼 = 0,2 sehingga memenuhi  syarat  eksistensi  titik  kesetimbangan 𝐸 ∗ yaitu 𝐴 1 𝛼 − 𝛽 = −0.0590 dan 𝐴 5 = −3.8217 ,  serta  memenuhi  syarat  kestabilan  Routh  Hurtwiz.  Solusi  sistem  menuju  titik 𝐸 ∗ (3,4746. 316,0115. 597,8596. 61,5444. 0,8206) .
Gambar 4. Simulasi Numerik Keadaan Endemi Adiksi Alkohol Interpretasi  dari  seluruh  hasil  analisis  dan  simulasi  numerik  diperoleh  bahwa parameter yang sangat berpengaruh adalah laju perubahan dari populasi 𝑀 ke 𝐻 yaitu (𝜃) , tingkat kesadaran akan bahaya alkohol (𝛼) , serta laju transmisi dari 𝑆 ke 𝑀 (𝛽) . Keadaan bebas adiksi alkohol akan dicapai apabila parameter (𝜃 + 𝜇)𝛼 lebih besar dari laju transmisi
dari  populasi 𝑀 ke 𝑆 . Jika laju transmisi dari 𝑀 ke 𝑆 tetap sementara tingkat kesadaran bahaya alkohol menurun maka akan mencapai keadaan endemi adiksi alkohol.

## SIMPULAN
Model telah dimodifikasi sehingga mempertimbangkan populasi peminum alkohol moderat  serta  mempertimbangkan  pengaruh  tingkat  kesadaran  akan  dampak  negatif alkohol.  Diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas  adiksi  alkohol  dan  titik  kesetimbangan endemi adiksi alkohol yang eksis dengan syarat tertentu. Dilakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan  endemik  menggunakan  kriteria  kestabilan  Routh  Hurwitz.  Simulasi numerik dilakukan untuk mendukung hasil analisis dinamik yang telah dilakukan. Keadaan bebas adiksi alkohol dapat dicapai dengan meningkatkan kesadaran akan bahaya alkohol serta mengurangi tingkat transmisi  dari  populasi bukan peminum alkohol ke  populasi peminum moderat.

## DAFTAR PUSTAKA
Adu, I. K., Osman, M. A., & Yang, C. (2017). Mathematical Model of  Drinking Epidemic.
British Journal of Mathematics & Computer Science, 1-10.
Agrawal, A., Tenguria, A., & Modi, G. (2018). Role of Epidemic Model to Control Drinking Problem. International Journal of Scientific Research in Mathematical and Statistical Sciences, 324-337.
Bouajaji,  R.,  Abta,  A.,  Laarabi,  H.,  &  Rachik,  M.  (2021).  Optimal  Control  of  a  Delayed Alcoholism Model with Saturated Treatment . Differential Equations and Dynamical Systems, 1-16.
Darajat. (2023). Dynamical Analysis Of Cervical Cancer Disease Model With Treatment. M
A T H L I N E JURNAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA, 113-122.
Departemental  News  World  Health  Organization.  (2023). Landmark  public  health decisions by WHO on essential medicines for alcohol use disorders. WHO Media Team.
Khajji,  B.,  Kouidere,  A.,  Balatif,  O.,  &  Rachik,  M.  (2020).  MATHEMATICAL  MODELING, ANALYSIS  AND  OPTIMAL  CONTROL  OF  AN  ALCOHOL  DRINKING  MODEL  WITH LIVER COMPLICATION. Commun. Math. Biol. Neurosci, 1-29.
Khajji, B., Labzai, A., Balatif, O., & Rachik, M. (2020). Mathematical Modeling and Analysis of  an  Alcohol  Drinking  Model  with  the  Influence  of  Alcohol  Treatment  Centers. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 1-12.
Mayengo, M. (2023). Modeling the prevalence of alcoholism with compulsory isolation treatment facilities. Results in Physics.
Sher, M., Shah, K., Sarwar, M., & a., A. m. (2023). Mathematical analysis of fractional order alcoholism model. Alexandria Engineering Journal, 281-291.