## ANALISIS FAKTOR-FAKTOR  YANG MEMPENGARUHI BANYAKNYA KLAIM ASURANSI KENDARAAAN BERMOTOR MENGGUNAKAN MODEL REGRESI ZERO-INFLATED POISSON (Studi Kasus di PT. Asuransi Sinar Mas Cabang Semarang Tahun 2010)
Muhammad Taufan 1 , Suparti 2 , Agus Rusgiyono 2
1 Alumni  Jurusan Statistika FSM UNDIP
2 Staf Jurusan Statistika FSM UNDIP

## Abstract
Poisson  regression  is  one of  model that is  often  used  to  model  the  relationship between  response variables  in  the  form  of  discrete  data  with  a  set  of  predictor  variables in  the form  of  continuous, discrete,  category,  or  mixture  data.  In  Poisson  regression  assumes  that  the  mean  of  the  response variable equal to the variance (equidispersion). But in reality, sometimes found a condition called overdispersion, that the variance value is greater than the mean. One of the cause of overdispersion is  excess  zero  in  the  response  variable.  One  of  model  that  can  be  used  to  overcome  this overdispersion problem is Zero-Inflated Poisson (ZIP) regression  model. This model is applied on a case study of motor vehicle insurance in the branch of PT. Asuransi Sinar Mas in Semarang in 2010 to determine the effect of age of car and types of coverage to number of claims filed by the policyholder to the branch of PT. Asuransi Sinar Mas in Semarang. In this case, the occurrence of zeros  due to  many  policyholders  did  not  file  a claim  to  the  branch  of  PT.  Asuransi  Sinar  Mas  in Semarang.  From  the  analytical  result  obtained  the  conclution  that  the  age  of  car  and  types  of coverage affect number of claims filed by the policyholder to the branch of PT. Asuransi Sinar Mas in Semarang in 2010.
Keywords : Poisson Regression, Overdispersion, Zero-Inflated Poisson (ZIP) Regression

## 1. Pendahuluan
Dewasa ini industri  asuransi  di  tanah air tumbuh cukup menggembirakan. Sejalan dengan pertumbuhan ekonomi nasional yang semakin baik,  kinerja industri ini juga makin baik.  Dalam  lima  tahun  terakhir  industri  asuransi  tumbuh  rata-rata  di  angka  20%.  Sejak tahun 2005, kinerja keuangan industri asuransi nasional memberikan trend positif dengan pertumbuhan  yang cukup tinggi. Setiap tahun pertumbuhan rata-rata premi bruto asuransi sebesar  23%.  Begitu  pula  pertumbuhan  aset  sekitar  25  %  setiap  tahun [9] .    Menurut  data Badan  Pengawas  Pasar  Modal  dan  Lembaga  Keuangan  (Bapepam-LK)  tahun  2010,  aset industri asuransi pada semester pertama 2010 mengalami peningkatan 18.5% pada asuransi umum  dan  peningkatan  23.37%  pada  asuransi  jiwa  dibandingkan  dengan  periode  yang sama  tahun  2009.  Besarnya  peluang  pangsa  pasar  dan  potensi  pemasaran  asuransi  di Indonesia,  membuat  jumlah  perusahaan  asuransi  meningkat.  Industri  perasuransian  tahun 2010 diisi oleh 367 perusahaan perasuransian yang terdiri dari 142 perusahaan asuransi dan perusahaan reasuransi serta 234 perusahaan penunjang usaha asuransi [2] .
Dengan semakin banyaknya perusahaan asuransi, akan terjadi persaingan di antara mereka.  Mereka  berlomba-lomba  memasarkan  produknya  kepada  masyarakat.  Berbagai layanan dan ragam produk ditingkatkan demi mendapatkan konsumen. Hal ini juga terjadi pada  perusahaan  asuransi  kendaraan  bermotor [2] .  Salah  satu  layanan  yang  ditawarkan adalah  tentang  proses  pengajuan  klaim.  Sekarang  proses  pengajuan  klaim  asuransi  lebih mudah  dibandingkan  beberapa  waktu  yang  lalu,  sehingga  para  konsumen  tidak  merasa sungkan dalam mengajukan klaim kepada pihak asuransi [11] .
Berawal  dari  keadaan  tersebut,  dalam  tulisan  ini  dibahas  hasil  penelitian  tentang analisis faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya klaim yang diajukan pemegang polis kepada  pihak  perusahaan  asuransi.  Salah  satu  metode  untuk  menganalisis  faktor-faktor tersebut  adalah  dengan  menggunakan  analisis  regresi.  Analisis  regresi  digunakan  untuk menganalisis  data  variabel  respon  yang  berupa  data  diskrit  maupun  kontinu.  Karena banyaknya klaim asuransi merupakan variabel respon yang berupa data diskrit maka salah satu model regresi yang dapat digunakan adalah model regresi Poisson [3] .
Regresi  Poisson  adalah  suatu  metode  statistika  yang  digunakan  untuk  melakukan analisis  terhadap  data  diskrit  ( count  data )  yang  menyatakan  banyaknya  suatu  kejadian yang  jarang  terjadi  dalam  suatu  era  dan  selang  waktu  tertentu.  Suatu  ciri  dari  distribusi Poisson  adalah  adanya  equidispersi,  yakni  keadaan  dimana  nilai  mean  dan  varians  dari variabel  respon  bernilai  sama.  Namun  pada  prakteknya,  kadang-kadang  ditemukan  suatu keadaan  yang disebut  overdispersi,  yakni  nilai  variansnya lebih besar dari nilai  meannya. Salah satu penyebab terjadinya overdispersi adalah adanya terlalu banyak nilai nol ( excess zero )  pada  variabel  respon.  Salah  satu  metode  yang  digunakan  dalam  mengatasi  masalah overdispersi  akibat  adanya  terlalu  banyak  nol  ( excess  zero )  pada  variabel  respon  adalah metode regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) [3] .
Dalam penelitian ini data yang digunakan adalah data tentang asuransi mobil tahun 2010  yang  diperoleh  dari  PT.  Asuransi  Sinar  Mas  Cabang  Semarang  yang  meliputi  data banyaknya  klaim  yang  diajukan  pemegang  polis  kepada  pihak  PT.  Asuransi  Sinar  Mas Cabang  Semarang,  umur  mobil  dan  jenis  pertanggungan.  Sehingga    rumusan  masalah dalam  tulisan  ini  adalah  menentukan  model  regresi Zero-Inflated Poisson  (ZIP)  dalam mengatasi masalah overdispersi akibat excess zero pada regresi Poisson untuk mengetahui pengaruh  umur  mobil  dan  jenis  pertanggungan  terhadap  banyaknya  klaim  yang  diajukan pemegang  polis  kepada  pihak  PT.  Asuransi  Sinar  Mas  Cabang  Semarang  tahun  2010. Adapun  jenis  pertanggungan  asuransi  meliputi All  Risk,  Total  Lost  Only (TLO)  serta gabungan  antara  All  Risk  dan Total  Lost  Only (TLO).  Tujuan  dari  penelitian  ini  untuk menganalisis faktor-faktor yang mempengaruhi banyaknya klaim yang diajukan pemegang polis  kepada  pihak  PT.  Asuransi  Sinar  Mas  Cabang  Semarang  tahun  2010  menggunakan pemodelan regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP).

## 2. Tinjauan Pustaka
2.1 Generalized Linear Model (GLM)
Generalized  Linear  Model (GLM)  merupakan  perluasan  dari  proses  pemodelan linier untuk pemodelan data yang mengikuti distribusi probabilitas selain distribusi normal, seperti Poisson, Binomial, multinomial, dan lain-lain.
Generalized Linear Model didefinisikan ke dalam tiga komponen [10] , yaitu:
1. Komponen Acak
Variabel  respon Y = ( y 1 , y 2 , …, y n ) dalam suatu n observasi diasumsikan saling bebas dan  memiliki  distribusi  yang  termasuk  dalam  keluarga  eksponensial,  dengan  fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:
               ) ; ( ) ( ) ( exp ) , ; (       i i i i i i y c a b y y f (1)
Parameter  i disebut dengan parameter natural. Parameter  disebut dengan parameter dispersi.
2. Komponen Sistematis
Misalkan x i1 ,…,x ip menunjukkan  nilai  dari  sejumlah p variabel  prediktor  untuk observasi  ke- i .  Komponen  sistematis  yang  merupakan  komponen  kedua  dalam  GLM, menghubungkan  parameter   i  dengan  variabel  prediktor  menggunakan  prediktor linier.
ip p i i x x         ... 1 1 0
    p j ij j i x 1 1 0    (2)
dengan i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, ..., p Atau dalam bentuk matriks dapat dinyatakan dengan
 = X  dengan  adalah vektor  ( n x 1 ) dari observasi,  X adalah matriks ( n x c )  dari variabel prediktor  [X  =  ( x 1 , x 2 ,… x n ) T ],  dan  adalah    matriks    ( c x 1 )  dari  koefisien  regresi, dengan c = p+1.
3. Fungsi Link
Fungsi  link  adalah  suatu  fungsi  yang  menghubungkan  komponen  acak  dengan komponen  sistematis.  Diketahui µ i =  E(y i ) .  Model  yang  menghubungkan µ i dengan prediktor linier  i , dinyatakan dengan
  i i g    =  j ij j x 
dengan fungsi g menunjukkan fungsi link . Suatu fungsi link disebut fungsi link kanonik jika g(µ i ) = θ i   j ij j i x  
dengan  i merupakan parameter kanonik.

## 2.2 Regresi Poisson
Model  regresi  Poisson  adalah  model  regresi  nonlinier  yang  berasal  dari  distribusi Poisson yang biasanya digunakan untuk menganalisis data dengan respon berupa variabel diskrit yang nilainya berupa integer tidak negatif.
Misalnya y i , i =  1,2,…  merupakan    jumlah  kejadian  yang  muncul  dalam  selang waktu  dengan rata-rata µ i . Jika Y adalah variabel  acak Poisson dengan  parameter µ > 0, maka fungsi massa peluangnya adalah :
! y µ e µ) ; y ( f y -µ  , y = 0,1,2,… (3)
dengan E( y ) = Var( y ) = µ
Persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk       ! y ln ln y exp ) ; y ( f i i i i             ! y ln b y exp i i i i     
Persamaan  tersebut  merupakan  suatu  bentuk  persamaan  fungsi  distribusi  keluarga eksponensial  pada  persamaan  (1),  dengan θ i = ln ( µ i ), b (  i )  =  i = exp (  i ), a (  )  =  1, c ( y i ,  ) = - ln ( y i ! ), E( y i ) = b’ (  i ) = exp (  i ) =  i dan Var( y i ) = b” (  i ) a (  ) = exp (  i ) =  i
Berdasarkan  konsep  GLM  untuk  distribusi  Poisson  bahwa  pada  saat g(  i ) sama dengan parameter natural  i ( ( ) ln( ) ( i i i g      ), sehingga kanonikal link (fungsi yang mentransformasikan  nilai  mean  ke  parameter  natural)  adalah  log  natural  link ) ln( ) ( i i g    .  Sehingga  hubungan dengan  prediktor  linier  i dinyatakan  dengan
i i    ) ln( . Dengan menggunakan fungsi link log natural tersebut diperoleh model regresi Poisson dalam bentuk:
) ... exp( ... ln ln 1 1 0 1 1 0 ip p i i ip p i i i i x x x x
                  
(4)

## 2.2.1 Estimasi Parameter Regresi Poisson
Penaksiran koefisien  parameter regresi  Poisson menggunakan metode maksimum likelihood    yaitu  dengan  melakukan  turunan  parsial  fungsi  ln-likelihood  terhadap parameter  yang  akan  diestimasi  dan  diiterasikan  dengan  menggunakan  metode Iterative Reweighted  Least  Square (  IRWLS  ).  Adapun  fungsi  ln-likelihood  untuk  regresi  Poisson adalah
            n i n i i i n i i i ! y ln ln y ) ; y ( L ln 1 1 1
(5)
Estimasi awal dari β dapat diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) yakni   Y X X X T T 1 ˆ    (6)
Untuk  estimasi  selanjutnya  dari β digunakan  metode Iterative  Reweighted  Least  Square (IRWLS). Diperoleh persamaan sebagai berikut:
b (m+1) = ( X T W (m) X ) -1 X T W (m) z (m) (7)

## 2.2.2 Pengujian Kesesuaian Model Regresi Poisson
Untuk    menguji  kesesuaian  /  ketepatan  model  regresi  Poisson  dapat  digunakan statistik uji rasio likelihood dengan prosedur pengujian seperti berikut:
Hipotesis:
H 0 : β 1 = β 2 = … = β p = 0 H 1 :  paling sedikit terdapat satu β j ≠ 0, dengan j = 1, 2, …, p Statistik uji:
2 ) ( 1 0 ~ ln 2 p L L G         
dengan L 0 adalah likelihood tanpa variabel bebas dan L 1 adalah likelihood dengan variabel bebas.
Kriteria Uji:  H 0 ditolak jika statistik uji

## 2.2.3 Pengujian Signifikansi Parameter Regresi Poisson secara Individu
Jika  uji  kesesuaian  model  menunjukkan  bahwa  model  regresi  Poisson  dapat digunakan  maka  selanjutnya  dilakukan  uji  signifikansi  terhadap  masing-masing  koefisien regresi dengan uji Wald dengan prosedur pengujiannya sebagai berikut Hipotesis:
H 0 :  j = 0
H 1 :  j ≠ 0, untuk suatu j = 1, 2, …, p
Statistik uji:
Kriteria Uji:    H 0 ditolak jika statistik uji

## 2.2.4 Overdispersi
Suatu ciri dari distribusi Poisson adalah adanya equidispersi, yakni keadaan dimana nilai  mean  dan  varians  dari  variabel  respon  bernilai  sama.  Namun  pada  prakteknya, kadang-kadang ditemukan suatu keadaan yang disebut overdispersi, yakni nilai variansnya lebih besar dari nilai meannya [3] .
Untuk  menguji  asumsi  equidispersi  pada  regresi  Poisson  dilakukan  dengan  melihat nilai statistik Pearson’s chi square yang dibagi dengan derajat bebasnya ( n-p-1 ).
1 ˆ 2    p n   dengan     n i i i i y 1 2 2 ) ˆ var( ) ˆ (   
Apabila nilai taksiran dispersi sama dengan satu, maka asumsi equidispersi terpenuhi. Data dikatakan mengalami overdispersi apabila nilai taksiran dispersi lebih dari satu. Sedangkan data dikatakan mengalami underdispersi apabila nilai taksiran dispersi kurang dari satu [1] .

## 2.3 Regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP)
Salah  satu  penyebab  terjadinya    overdispersi    adalah    lebih    banyak    observasi bernilai  nol  daripada  yang    ditaksir  untuk    model  Regresi  Poisson.  Salah    satu    metode analisis  yang  diusulkan  untuk  lebih  banyak observasi bernilai nol daripada yang ditaksir adalah model regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) [7] . Jika  y i adalah  variabel  random  independen  yang  mempunyai  distribusi  ZIP, nilai nol pada observasi diduga muncul dalam dua cara yang sesuai untuk keadaan ( state ) yang  terpisah.  Keadaan pertama disebut zero state terjadi  dengan  probabilitas ω i dan menghasilkan hanya observasi bernilai nol, sementara keadaan kedua disebut Poisson state terjadi  dengan  probabilitas   (1- ω i )  dan  berdistribusi  Poisson dengan mean µ i [7] .  Proses dua  keadaan  ini  memberikan  distribusi  campuran    dua    komponen    dengan    fungsi probabilitas  sebagai  berikut :
, untuk y i = 0 P ( Y = yi ) =
, untuk y i > 0, 0 ≤ ≤ 1 (8)
Lambert (1992) menyarankan model gabungan untuk µ dan ω [8] ,yakni :
X β dan = X γ (9)

## 2.3.1 Estimasi Parameter Regresi Zero-Inflated Poisson
Estimasi  parameter  regresi  ZIP  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE).  Metode  ini  biasanya  digunakan  untuk  menaksir parameter suatu model yang diketahui fungsi densitasnya.
Dari persamaan (9) didapat:
) x exp( µ T i i   ,    T i T i x x i e e   1 dan   T i x i e    1 1 ) 1 ( (10)
Selanjutnya persamaan (10) disubstitusikan ke persamaan (8) didapat:
    T i T i x x e e 1 )) (exp( 1 1   T i T i x x e e   ,  untuk y i = 0 P(Y = y i ) = (11)
! ) ))( (exp( 1 1 i y x x x y e e e i T i T i T i      ,   untuk y i > 0
Selanjutnya dari persamaan (11) dibuat persamaan ln-likelihood sehingga diperoleh: Untuk y i = 0, fungsi ln L ( β, γ | y i ) yakni:
        n i x n i x x T i T i T i e e e 1 1 ) 1 ln( )) exp( ln(   
Untuk y i > 0 , fungsi ln L ( β, γ | y i ) yakni:
  
       n i n i i x x n i i T i y e e y x T i T i 1 1 1 ! ln ) 1 ln( ) ) (    (12)
Penjumlahan  fungsi  ln-likelihood  pada  persamaan  (12)  akan  menyulitkan  perhitungan karena tidak diketahui nilai nol mana  yang berasal dari zero state dan mana  yang berasal dari  Poisson state ,  sehingga  fungsi  ln-likelihood  ini  tidak  dapat  diselesaikan  dengan metode numerik biasa.
Untuk  memaksimalkan  fungsi  ln-likelihood  (12)  digunakan  algoritma  EM ( Expectation  Maximization )  yang  merupakan  salah  satu  metode  optimasi  yang  banyak digunakan sebagai alternatif dalam memaksimumkan fungsi Likelihood yang mengandung data  hilang  ( missing ) [6] .  Algoritma  ini  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Dempster,  Laird, dan Rubin(1977) [5] .
Misalkan variabel Y berkaitan dengan variabel indikator Z yaitu: 1, jika y i berasal dari zero state Z = 0, jika y i berasal dari Poisson state
Permasalahannya  adalah  jika  nilai  variabel  respon y i =  1,2,3,…,  maka  nilai z i =  0. Sedangkan  jika  nilai  variabel  respon y i =  0,  maka  nilai z i mungkin  0  mungkin  1.  Oleh karena itu, nilai z i dianggap hilang.
Untuk  mengatasi  hal  ini  dilakukan  estimasi  parameter  dengan  algoritma  EM. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1.  Menentukan distribusi dari variabel Z P( z i = 1) = ω i P( z i = 0) = 1- ω i Sehingga z i ~ Binomial (1, ω i ), E( z i ) = ω i dan var( z i ) = ω i (1- ω i ) 2.  Membentuk distribusi gabungan antara y i dan z i yaitu       i i i i i i i z y f z f z y f | , | ,        i i i i i z y f z f   , | , 1 |  =   ) 1 ( ) 1 ( ! ) exp( ) ( 1 i I i i z i y i i z i z i y                 (13)
Kemudian  substitusikan  persamaan  (9)  ke  persamaan  (13)  hingga  didapat  persamaan ln-likelihood:
 ) , | , ( ln z y L           n i T i T i i x x z 1 ) exp( 1 ln  
     n i T i T i i i x x y z 1 )) exp( )( 1 (       n i i i y z 1 ! ln ) 1 ( (14)
Persamaan  (14)  biasa  disebut complete  data  likelihood .  Persamaan  ini  yang  akan dimaksimumkan  menggunakan  algoritma  EM,  dimana  parameter β dan γ dapat diestimasi secara terpisah, dengan menuliskan persamaan (14) menjadi:
) , , , ( ln z y L   ) , , ( ln ) , , ( ln z y L z y L         n i i i y z 1 ) ! ln( ) 1 ( dengan          n i T i T i i x x z z y L 1 ) exp( 1 ln ) , , ( ln    (15)
dan
     n i T i T i i i x x y z z y L 1 )) exp( )( 1 ( ) , , ( ln    (16)

## 3.  Tahap ekspektasi
Ganti variabel z i dengan z i (k) yang merupakan ekspektasi dari z i ) , , | ( ) ( ) ( ) ( k k i i k i y z E z    ) , , | 1 ( ) ( ) ( k k i i y z P    
Untuk y i = 0, )) exp( exp( 1 1 ) ( ) ( ) ( k T i k T i k i x x z       Untuk y i > 0, 0 ) (  k i z
Sehingga persamaaan (15) dan (16) menjadi
         n i k T i k T i k i k k x x z z y L 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( 1 ln ) , , ( ln    (17)
     n i k T i k T i i k i k k x x y z z y L 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) exp( )( 1 ( ) , , ( ln    (18)

## 4.  Tahap maksimalisasi
Memaksimalkan  dan  pada  persamaan  (17)  dan  (18)  dengan  menghitung ) 1 (  k  dan ) 1 (  k  dengan metode Newton-Raphson.
Misalkan ) ( k  dan ) ( k  adalah  aproksimasi  metode  maksimum  likelihood  untuk mengestimasi dan  ˆ . Dengan menggunakan metode  Newton Rhapson maka :
    ) ( 1 ) ( ) ( 1 k k k k U H       (19)
dan
    ) ( 1 ) ( ) ( 1 k k k k U H       (20)
dimana H adalah turunan kedua dari ) , , ( ln ) ( ) ( k k z y L  dan ) , , ( ln ) ( ) ( k k z y L  , U adalah turunan pertama dari ) , , ( ln ) ( ) ( k k z y L  dan ) , , ( ln ) ( ) ( k k z y L  .
5.  Ganti β (k) dan ) ( k  dengan β (k+1) dan ) 1 (  k  pada iterasi selanjutnya, kemudian kembali lakukan tahap ekspektasi.
6.  Tahap ke-3 dan ke-4 ini dilakukan berulang-ulang sampai diperoleh penaksir parameter yang konvergen (| β (k) - β (k+1) | ≤ ε dan | ) 1 ( ) (   k k   | ≤ ε, biasanya ε = 10 -5 ).

## 2.3.2 Pengujian Kesesuaian Model Regresi ZIP
Pengujian  kesesuaian  model  regresi  ZIP  adalah  dengan  menggunakan  Likelihood Ratio ( LR ) Test dengan prosedur pengujian [8] sebagai berikut: Hipotesis:
H 0 : β 1 = β 2 = … = β p = γ 1 = γ 2 = … = γ p = 0 H 1 : paling sedikit ada satu β j ≠ 0 atau γ j ≠ 0, dengan j = 1, 2, …, p dengan β j adalah parameter model ln( µ ) = X β ke- j , γ j adalah parameter model logit( ω ) = X γ ke- j .
Statistika uji:    G  = 2 ln
2 ) 2 ( ~ p 
Kriteria uji: Tolak H 0 pada taraf signifikansi α jika G hitung >

## 2.3.3 Pengujian Signifikansi Parameter Regresi ZIP secara Individu
Prosedur untuk menguji signifikansi parameter secara individu sebagai berikut: a.  Uji signifikansi parameter model ln( µ ) = X β Hipotesis:
H 0 : j  = 0
H 1 : j  ≠ 0
untuk suatu j = 1, 2, …, p
Statistika uji:
2 ) 1 ( 2 ~ ) ˆ ( ˆ             j j j SE W
Kriteria uji: Tolak H 0 pada taraf signifikansi α jika b.  Uji signifikansi parameter model logit( ω ) = X γ Hipotesis: H 0 : γ j = 0 H 1 : γ j ≠ 0 untuk suatu j = 1, 2, …, p
Statistika uji:   2 ) 1 ( 2 ~ ˆ ˆ             j j j SE W
Kriteria uji: Tolak H 0 pada taraf signifikansi α jika

## 3.   Metodologi Penelitian

## 3.1 Data Penelitian
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  berupa  data  sekunder  tentang  asuransi mobil  yang diperoleh dari PT. Asuransi Sinar Mas Cabang Semarang. Data  yang diambil adalah  data  asuransi  mobil  dari  bulan  Januari  sampai  bulan  Desember  tahun  2010.  Data yang digunakan berupa data banyaknya klaim yang diajukan pemegang polis kepada pihak PT. Asuransi Sinar Mas Cabang Semarang, umur mobil, dan jenis pertanggungan asuransi. Jenis pertanggungan asuransi terdiri dari All Risk , Total Lost Only ( TLO ), serta gabungan antara All Risk dan Total Lost Only (TLO).

## 3.2 Variabel Penelitian
Variabel penelitian yang digunakan dalam penelitian ini berupa variabel respon (Y) yakni  banyaknya  klaim  yang  diajukan  kepada  pihak  PT.  Asuransi  Sinar  Mas  Cabang Semarang dan variabel prediktor (X) yang meliputi:
1. umur mobil (X 1 ).
2. jenis  pertanggungan  asuransi,  merupakan  variabel dummy dengan  tiga  kategori. Sehingga variabel dummy yang dapat dibentuk adalah sebanyak dua kategori, yaitu:
1, untuk jenis pertanggungan Total Lost Only
X 2 = 0, untuk jenis pertanggungan lainnya
1, untuk jenis pertanggungan gabungan All Risk dan Total Lost Only X 3 = 0, untuk jenis pertanggungan lainnya

## 4. Hasil dan Pembahasan

## 4.1 Analisis Deskriptif Data
Deskripsi  data  banyaknya  klaim  asuransi  mobil  yang  diajukan  kepada  pihak PT. Asuransi Sinar Mas Cabang Semarang selama tahun 2010 tertera dalam Tabel 1.
Tabel 1 . Deskrisi Data Penelitian
Banyakny a Klaim Umur Mobil Jenis Pertanggungan Total Lost Only (TLO) Gab. All Risk dan Total Lost Only (TLO) Total Observasi 406 406 406 406 Mean 0.30 4.73 0.54 0.25 Standar Deviasi 0.607 2.683 0.499 0.431 Nilai Minimum 0 1 0 0 Nilai Maksimum 3 12 1 1
Data  asuransi  mobil  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  sebanyak  406  data. Adapun  rata-rata  dan  standar  deviasi  dari  banyaknya  klaim  yang  diajukan  kepada  pihak PT.  Asuransi  Sinar  Mas  Cabang  Semarang  untuk  polis  yang  terdaftar  pada  bulan  Januari sampai  Desember  2010  adalah  masing-masing  sebesar  0.30  dan  0.607,  yang  berarti  dari 100  kejadian  terdapat  30  kejadian  pengajuan  klaim,  dengan  banyaknya  klaim  berjumlah maksimal tiga kali. Umur mobil yang diasuransikan berkisar antara satu hingga dua belas tahun  dengan  rata-rata  umur  mobil  berkisar  empat  tahun  dengan  standar  deviasi  sebesar 2.683.

## 4.2 Pemodelan Regresi Poisson
Berdasarkan  hasil  pengolahan  dengan  software  SAS  9.0,  diperoleh  estimasi parameter model regresi Poisson seperti terlihat pada Tabel 2.
Dari Tabel 2, diperoleh model regresi Poisson:
ln (µ) = -0.6189 + 0.0014 X 1 – 1.5286 X 2 - 0.0798X 3 atau µ = exp (-0.6189 +0.0014 X 1 – 1.5286 X 2 - 0.0798X 3 )
Setelah  didapatkan  model  regresi  Poisson,  selanjutkan  dilakukan  uji  asumsi equidispersi  pada  regresi  Poisson.  Apabila  asumsi  equidispersi  terpenuhi,  maka  dapat dilakukan pengujian model regresi Poisson, tetapi jika terjadi overdispersi, maka dilakukan pemodelan kembali dengan menggunakan metode regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP).
Tabel 2. Estimasi Parameter Regresi Poisson
Parameter DF Estimate SE Wald 95% Confidence Limits Chi- Square Pr > ChiSq Intercept 1 - 0.6189 0.2046 - 1.0198 - 0.2179 9.15 0.0025 x 1 1 0.0014 0.0396 - 0.0763 0.0790 0.00 0.9727 x 2 1 - 1.5286 0.2566 - 2.0315 - 1.0257 35.49 < .0001 x 3 1 - 0.0798 0.2053 - 0.4823 0.3226 0.15 0.6974 Scale 0 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000

## 4.3 Pengujian Asumsi Equidispersi pada Regresi Poisson
Untuk menguji asumsi equidispersi pada model regresi Poisson dilakukan uji dengan cara  membagi  nilai Pearson  chi-square dengan  derajat  bebasnya.  Jika  nilai Pearson Chi-Square dibagi  dengan  derajat  bebasnya  sama  dengan  satu,  maka  asumsi  equidispersi terpenuhi.  Apabila nilainya  lebih besar dari satu,  maka diindikasikan terjadi  overdispersi. Sedangkan  apabila  nilainya  kurang  dari  satu,  maka  diindikasikan  terjadi  underdispersi [1] . Berdasarkan pengolahan dengan software SAS 9.0 diperoleh tabel berikut:
Tabel 3. Pearson Chi-Square Model Regresi Poisson
Pearson χ 2 DF Pearson χ 2 /DF 419.1976 402 1.0428
Dari  Tabel  3,  dapat  diketahui  bahwa  nilai Pearson  Chi-Square model  dibagi  derajat bebasnya adalah 1.0428. Nilai tersebut lebih besar dari satu yang berarti dapat disimpulkan bahwa data mengalami overdispersi.

## 4.4 Pemodelan Regresi Zero-Inflated Poisson
Berdasarkan  pengolahan  dengan  software  SAS  9.0,  diperoleh  estimasi  parameter pada model regresi Zero-Inflated Poisson (ZIP) sebagai berikut:
Tabel 4. Estimasi Parameter Regresi ZIP
Parameter  Estimate
SE DF
t Value Pr |t| Alpha Lower Upper a 0 2.0024  0.6435 406 3.11  0.0020 0.05 0.7374 3.2673 a 1 - 0.6896  0.1991 406 - 3.46  0.0006 0.05 - 1.0809  - 0.2983 a 2 1.4520  0.8539 406 1.70  0.0898 0.05 - 0.2265 3.1306 a 3 - 1.7910  0.8972 406 - 2.00  0.0466 0.05 - 3.5548  - 0.0271 b 0 0.6420  0.3052 406 2.10  0.0360 0.05 0.0421 1.2419 b 1 - 0.1750  0.0587 406 - 2.98  0.0031 0.05 - 0.2904  - 0.0595 b 2 - 1.0034  0.4186 406 - 2.4  0.0170 0.05 - 1.8264  - 0.1804 b 3 - 0.5049  0.2683 406 - 1.88  0.0606 0.05 - 1.0323 0.0225
Berdasarkan Tabel 4, maka model ln( µ ) = X β yakni : ln ( µ ) = 0.6420 – 0.1750 X 1 – 1.0034 X 2 - 0.5049 X 3 Model logit( ω ) = X γ yakni : logit ( ω ) = 2.0024 – 0.6896 X 1 – 1.4520 X 2 – 1.7910 X 3

## 4.5 Kesesuaian Model Regresi Zero-Inflated Poisson
Uji  kesesuaian  model  digunakan  untuk  mengetahui  kesesuaian  atau  kecocokan model regresi Zero-Inflated Poisson. Berdasarkan  hasil  pengolahan dengan software  SAS 9.0 diperoleh:
Tabel 5. Nilai Fits Statistics Regresi ZIP -2 Log Likelihood 501.3 AIC (smaller is better) 517.3 AICC (smaller is better) 517.7 BIC (smaller is better) 549.4
Dari Tabel 5 dapat diketahui bahwa nilai G hitung = 501.3. Sedangkan dari tabel  χ 2 , nilai χ 2 (0.05;6) = 12.59. Karena nilai G hitung > χ 2 (0.05;6) , maka H 0 ditolak. Sehingga model regresi ZIP  dapat  digunakan  untuk  mengetahui  pengaruh  umur  mobil  dan  jenis  pertanggungan terhadap banyaknya klaim yang diajukan pemegang polis kepada pihak PT. Asuransi Sinar Mas Cabang Semarang tahun 2010.
4.6 Signifikansi Parameter Regresi Zero-Inflated Poisson a. Model ln( µ ) = X β
Berdasarkan Tabel 4 diperoleh hasil analisis: 1. Pengaruh X 1 (umur mobil) terhadap Y (banyaknya klaim)
Nilai  t 1 hitung  =    -2.98  sehingga    nilai W 1 =  8.8804.  Sedangkan  dari  tabel  χ 2 ,  nilai χ 2 (0.05;1) =  3.841.  Karena  nilai W 1 >  χ 2 (0.05;1) ,  maka  H 0 ditolak.  Sehingga  umur  mobil berpengaruh terhadap banyaknya klaim.
2. Pengaruh X 2 (jenis pertanggungan TLO) terhadap Y (banyaknya klaim)
Nilai  t 2 hitung  =    -2.40  sehingga    nilai W 2 =  5.76.  Sedangkan  dari  tabel  χ 2 ,  nilai χ 2 (0.05;1) =  3.841.  Karena  nilai W 2 >  χ 2 (0.05;1) ,  maka  H 0 ditolak.  Sehingga  jenis pertanggungan TLO berpengaruh terhadap banyaknya klaim.
3.  Pengaruh  X 3 (jenis  pertanggungan  gabungan  antara All  Risk dan  TLO)  terhadap  Y (banyaknya klaim)
Nilai  t 3 hitung  =    -1.88  sehingga    nilai W 3 =  3.5344.  Sedangkan  dari  tabel  χ 2 ,  nilai χ 2 (0.05;1) =  3.841.  Karena  nilai W 3 <  χ 2 (0.05;1) ,  maka  H 0 diterima.  Sehingga  jenis pertanggungan  gabungan  antara All  Risk dan  TLO  tidak  berpengaruh  terhadap banyaknya klaim.
b. Model logit( ω ) = X γ
Berdasarkan tabel 4 diperoleh hasil analisis: 1. Pengaruh X 1 (umur mobil) terhadap Y (banyaknya klaim)
Nilai  t 1 hitung  =    -3.46  sehingga    nilai W 1 =  11.9716.  Sedangkan  dari  tabel  χ 2 ,  nilai χ 2 (0.05;1) =  3.841.  Karena  nilai W 1 >  χ 2 (0.05;1) ,  maka  H 0 ditolak.  Sehingga  umur  mobil berpengaruh terhadap banyaknya klaim.
2. Pengaruh X 2 (jenis pertanggungan TLO) terhadap Y (banyaknya klaim)
Nilai t 2 hitung =  1.70 sehingga  nilai W 2 = 2.89. Sedangkan dari tabel χ 2 , nilai  χ 2 (0.05;1) =  3.841.  Karena  nilai W 2 <  χ 2 (0.05;1) ,  maka  H 0 diterima.  Sehingga  jenis  pertanggungan TLO tidak berpengaruh terhadap banyaknya klaim.
3.  Pengaruh  X 3 (jenis  pertanggungan  gabungan  antara All  Risk dan  TLO)  terhadap  Y (banyaknya klaim)
Nilai  t 3 hitung  =    -2.00  sehingga    nilai W 3 =  4.00.  Sedangkan  dari  tabel  χ 2 ,  nilai χ 2 (0.05;1) =  3.841.  Karena  nilai W 3 >  χ 2 (0.05;1) ,  maka  H 0 ditolak.  Sehingga  jenis pertanggungan  gabungan  antara All  Risk dan  TLO  berpengaruh  terhadap  banyaknya klaim.

## 4.7 Interpretasi Model
Berdasarkan uji signifikansi parameter regresi ZIP diperoleh model: ln ( µ ) = 0.6420 – 0.1750 X 1 – 1.0034 X 2 - 0.5049 X 3 dan logit ( ω )= 2.0024 – 0.6896 X 1 – 1.4520 X 2 – 1.7910 X 3 Artinya bahwa:
1. Setiap perubahan satu tahun dalam umur mobil menyebabkan penurunan nilai harapan banyaknya klaim sebesar exp(-0.1750) kali.
2. Setiap  pemilihan  jenis  pertanggungan  TLO  menyebabkan  penurunan  nilai  harapan banyaknya klaim sebesar exp(-1.0034) kali jenis pertanggungan All Risk .
3. Setiap  pemilihan  jenis  pertanggungan  gabungan  TLO  dan All  Risk menyebabkan penurunan  nilai  harapan  banyaknya  klaim  sebesar  exp(-0.5049)  kali  jenis pertanggunggan All Risk .
4. Setiap  perubahan  satu  tahun  dalam  umur  mobil  menyebabkan  penurunan  resiko  tidak mengajukan klaim sebesar exp(-0.6896) kali.
5. Setiap  pemilihan  jenis  pertanggungan  .  TLO    menyebabkan  penurunan  resiko  tidak mengajukan klaim sebesar exp(-1.4520) kali. jenis pertanggunggan All Risk
6. Setiap  pemilihan  jenis  pertanggungan  gabungan All  Risk dan  TLO    menyebabkan penurunan  resiko  tidak  mengajukan  klaim  sebesar  exp(-1.7910)  kali  jenis pertanggunggan All Risk

## 5.   Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis terhadap model regresi Zero Inflated Poisson (ZIP) dapat disimpulkan  bahwa  umur  mobil  dan  jenis  pertanggungan Total  Lost  Only (TLO)  serta pertanggungan  gabungan  All  Risk  dan Total  Lost  Only (TLO)  berpengaruh  terhadap banyaknya pengajuan klaim  asuransi di  PT. Asuransi  Sinar Mas Cabang  Semarang tahun 2010. Adapun  model regresi ZIP yang dihasilkan adalah:
ln ( µ ) = 0.6420 – 0.1750 X 1 – 1.0034 X 2 - 0.5049 X 3 dan logit ( ω )= 2.0024 – 0.6896 X 1 – 1.4520 X 2 – 1.7910 X 3 dengan:
X 1 : umur mobil X 2 : jenis pertanggungan Total Lost Only (TLO) X 3 : jenis pertanggungan gabungan All Risk dan Total Lost Only (TLO)
Dari  model  regresi  ZIP  diperoleh  hasil  bahwa  setiap  perubahan  satu  unit  dalam umur mobil menyebabkan penurunan nilai harapan banyaknya klaim sebesar exp(-0.1750) kali  dan  penurunan  resiko  tidak  mengajukan  klaim  sebesar  exp(-0.6896)  kali.  Setiap pemilihan  jenis  pertanggungan  TLO  menyebabkan  penurunan  nilai  harapan  banyaknya klaim  sebesar  exp(-1.0034)  kali  dan  penurunan  resiko  tidak  mengajukan  klaim  sebesar exp(-1.4520)  kali  jenis  pertanggunggan All  Risk .  Sedangkan  setiap  pemilihan  jenis pertanggungan  gabungan All  Risk dan  TLO    menyebabkan  penurunan  nilai  harapan banyaknya klaim sebesar exp(-0.5049) kali dan penurunan resiko tidak mengajukan klaim sebesar exp (-1.7910) kali jenis pertanggunggan All Risk .

## DAFTAR PUSTAKA
1.   Agresti,  A., Categorical  Data  Analysis ,  Second  Edition,  John  Wiley  and  Sons,  Inc., New York, 2002.
2.   Bapepam-LK,. 2010 Annual Report , Bapepam-LK, Jakarta, 2010
3.   Cameron,  A.C.,  and  Trivedi,  P.K., Regression  Analysis  of  Count  Data ,  Cambridge University Press,New York, 1998.
4.   DeMaris,  A., Regression  with  Social  Data  :  Modeling  Continuous  and  Limited Response Variables , John Wiley and Sons, Inc., New Jersey, 2004.
5.   Dempster,  A.,  Laird,  N.M.,  and  Rubin,  D.B,  Maximum  Likelihood  from  Incomplete Data  via  EM  Algorithm, Journal  of  The  Royal  Statistical  Society ,  Series  B (Methodological), 1977, Vol. 39, No.1: 1-38.
6.   Hall,  D.B.,  and  Shen,  J.,  Robust  Estimation  for  Zero-Inflated  Poisson  Regression, Scandinavian Journal of Statistics , Blackwell Publishing Ltd., 2009 : 1-16.
7.   Jansakul,  N.  and  Hinde,  J.P.,  Score  Tests  for  Zero-Inflated  Models, Computational Statistics and Data Analysis , 2002, Vol.40 : 75-96.
8.   Lambert,  D.,  Zero-Inflated  Poison  Regression  with  an  Application  to  Defects  in Manufacturing, Technometrics , 1992, Vol.34 : 1-14.
9.   Marketeers, Bagaimana  Prospek  Industri  Asuransi  pada  Tahun  2011 ,  2010,    URL: http://the-marketeers.com/archives/bagaimana-prospek-industri-asuransi-pada-tahun- 2011.html, diakses 28 Juni 2011.
10.  McCullagh,  P.,  and  Nelder,  J.A., Generalized  Linear  Models ,  Second  Edition, Chapman and Hall, London, 1989.
11.  Surabaya  Post, Industri  Asuransi  Tepis  Stigma  Persulit  Klaim ,  2011,  URL: http://www.surabayapost.co.id, diakses 20 Oktober 2011.