## PENENTUAN JENIS FUNGSI BASIS RADIAL DALAM
DUAL RECIPROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD
(On The Choice of Radial Basis Function in Dual Reciprocity Bondary Element Method)

## Millatuz Zahroh
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember Jalan Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia Email: millatuz@unej.ac.id
Abstract. Problems  involving  modified  Helmholtz  equation  are  considered  in  this paper. To solve the problem numerically, dual reciprocity boundary element method (DRBEM) is employed.  Some  stages have  been  passed,  using  reciprocal relation  to approximate boundary integral and domain integral in modified Helmholtz equation . Finally, linear equation system is obtained in the form of matrix. A MATLAB program is used to calculate the solutions of ϕ(x, y). Then, solutions of ϕ(x, y) are compared between the exact solution and the numerical solution of modified Helmholtz equation. The numerical results are based on the using of three types of radial basis function to approximate domain integral, such as polinomial, poliharmonik spline and linear types. The solutions show that the polinomial and poliharmonik spline types are more stable and approach to exact solution than linear types.
Keywords: DRBEM, modified Helmholtz equation, radial basis function MSC2020 : 65J05

## 1. Pendahuluan
Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM) adalah metode komputasi numerik yang  digunakan  untuk  menyelesaikan Persamaan  Diferensial  Parsial (PDP) yang diformulasikan  dalam  bentuk  persamaan  integral,  pada permasalahan  terkait  fisika matematis dan teknik [3]. Seperti, persamaan Laplace, persamaan Helmholtz, persamaan konveksi-difusi, persamaan potensial dan aliran viskos, serta persamaan elektrostatik dan elektromagnetik.
Metode DRBEM sebenarnya merupakan  pengembangan  dari  metode Boundary  Element Method (BEM) yaitu metode pendiskritisasian batas domain untuk mengevaluasi persamaan integralnya. Ide utama BEM adalah solusi dari PDP diekspresikan dalam persamaan integral batas yang menggandung solusi fundamental dari PDP tersebut. Namun, tidak semua PDP mudah  dicari  solusi  fundamentalnya,  contohnya  pada  persamaan  Helmholtz, yang  solusi fundamentalnya sulit dicari dan tidak tunggal. Oleh kerena itu, dikembangkanlah DRBEM.
Penentuan Jenis Fungsi Basis Radial dalam Dual Reciprocity Boundary ... Zahroh, M .
Prosedur penurunan persamaan Helmholtz menggunakan DRBEM dilakukan dua kali relasi reciprocal dalam teorema Gauss-Green. Pertama, digunakan untuk memperoleh persamaan integral  batas  dan  yang  kedua  untuk  memperoleh  pendekatan  integral  domain. Dalam mengaproksimasi integral domain diperlukan suatu fungsi, yaitu berupa fungsi basis radial.
Fungsi basis radial  adalah  suatu fungsi barisan  teknik  interpolasi  eksak  untuk  mencari pendekatan permukaan dari tiap titik sampel yang akan dihitung. Terdapat beberapa fungsi basis  radial diantaranya,  tipe gaussian, tipe polinomial, tipe mulitikuadratik, tipe poliharmonik spline, tipe thin plate spline , dan lain sebagainya. Dalam beberapa penelitian memanfaatkan DRBEM yang dilakukan oleh Ang [2], Sholekhuddin [4], dan Zahroh [5], tipe  fungsi  basis  radial  yang  digunakan  adalah  tipe  polinomial. Penelitian  selanjutnya diarahkan  untuk  mengetahui keakurasian  fungsi  basis  radial  yang  lain  disamping  tipe polinomial
Paper ini membahas perbandingan tiga tipe basis radial yaitu basis radial tipe polinomial 1 + + , tipe poliharmonik spline dan tipe linear 1 + . Tiga fungsi basis radial ini dipilih sedemikian  sehingga  nilai  matriks  yang  dievaluasi  atas  jarak  tiap  titik  kolokasi  hasil diskritisasi  tidak  menghasilkan  matriks  singular.    Kekonvergenan  dan  besarnya  error dibandingkan dengan solusi eksaknya. Hasil ini didapatkan melalui perhitungan numerik DRBEM pada  persamaan  Helmholtz termodifikasi untuk  memberikan  gambaran dalam penentuan fungsi basis radial pada bidang-xy.
Diberikan Persamaan Helmholtz termodifikasi dua dimensi
+ = ( , ) − ℎ( , )
dengan syarat batas
= ( , ) untuk ( , ) ∈ = ( , ) untuk ( , ) ∈
dengan C dan C adalah dua buah kurva yang tidak berpotongan sedemikian sehingga

## C ∪ C = C
Relasi reciprocal dilakukan  untuk  mengubah  persamaan  Helmholtz  menjadi  persamaan integral sebagai berikut

## Ф( , ; , )
( , ) − ( , ) Ф( , ; , )

## = Ф( , ; , )( − ℎ ( , ))
dengan nilai ф( , ; , ) merupakan solusi fundamental Laplace dan ( , ) adalah solusi persamaan Helmholtz yang akan dicari nilainya pada domain ∪
Dalam menentukan  nilai  integral  domain  atas ,  diperlukan  pendekatan  menggunakan fungsi basis radial. Fungsi basis radial yang berpusat di ( , ) adalah sebuah fungsi yang berbentuk ( , ; , ) = ( ( , ; , )), dengan ( , ; , ) = ( − ) + ( − ) . Dapat dikatakan, ( , ; , ) adalah fungsi yang bergantung pada jarak antara titik
( , ) dan ( , ) . Dalam penelitian ini dilakukan pendekatan menggunakan tiga tipe fungsi basis radial yaitu
 Polinomial = 1 + ( , ; , ) + ( , ; , )
 Poliharmonik spline = ( , ; , )
 Tipe Linear
= 1 + ( , ; , )
Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi basis radial dan dipilih titik kolokasi ( ) , ( )
dengan = 1,2, … , , + 1, … , + . merupakan  jumlah  titik  kolokasi  yang terletak pada kurva dan merupakan titik kolokasi yang terletak pada domain. Sehingga diperoleh pendekatan
Ф( , ; , ) ( ) , ( ) − ℎ ( ) , ( ) ≈ ( ) Ф( , ; , ) ( ( ) , ( ) ; ( ) , ( ) ) ( ) adalah konstanta yang akan dicari nilainya dan ( ( ) , ( ) ; ( ) , ( ) ) merupakan fungsi basis radial dengan titik pusat ( ) , ( ) .
Dengan demikian
( ) = ( ( ) , ( ) ; ( ) , ( ) ) ( ) , ( ) − ℎ ( ) , ( )
Penentuan Jenis Fungsi Basis Radial dalam Dual Reciprocity Boundary ... Zahroh, M .
Dalam melakukan relasi reciprocal kedua maka, diperlukan suatu fungsi tertentu, misalkan fungsi ( , ; , ) , sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi persamaan
( , , , ) + ( , , , ) = ( , , , )
Selanjuntnya, persamaan fungsi ( , ; , ) diubah ke persamaan sistem koordinat kutub dan diinginkan solusi adalah solusi yang axisimetris atau tidak bergantung pada sudut, maka didapatkan
( , ; , ) = 1 4 ( , ; , ) + 1 16 ( , ; , ) +
1 25 ( , ; , )
( , ; , ) = 1 25 ( , ; , ) ( , ; , ) = 1 4 ( , ; , ) + 1 9 ( , ; , )
Kemudian, dilakukan relasi reciprocal kedua hingga diperoleh
dengan
dan
( ) , ( ) ; ( ) , ( ) = ( ) , ( ) ; ( ) , ( )
Menggunakan formulasi integral setelah dilakukan pendiskritisasian pada batas domain C diperoleh persamaan integral batas

## dengan
Berikutnya, dengan mensubtitusikan solusi persamaan integral domain dan integral batas, maka diperoleh
Akhirnya,  dengan mensubtitusikan  titik-titik  kolokasi pada  batas  domain  dan  interior domain diperoleh sistem persamaan linier (SPL) atas persamaan Helmholtz termodifikasi sebagai berikut
Koefisien ( ) , ( ) ,dan ( ) untuk = 1,2, . . . , adalah,
Sedangkan  untuk = + 1, + 2, . . . , + , koefisien ( ) ,  dan ( ) sebagai berikut,
Koefisien ( ) untuk = 1,2, . . . , + , = 1,2, . . . , + adalah,
Dan
( ) , ( ) ; ( ) , ( ) = ( ) , ( ) ; ( ) , ( ) ѱ , ; ( ) , ( )
Dalam  hal  ini, Dual  Reciprocity  Boundary  Element  Method (DRBEM)  digunakan  untuk menyelesaikan persamaan sederhana Helmholtz termodifikasi yang telah diketahui solusi eksaknya. Dari Ang [1] diketahui
Dengan syarat batas
Dan diketahui solusi eksaknya adalah

## 2. Metodologi

## 3. Hasil dan Pembahasan
Dual  Reciprocity  Boundary  Element  Method (DRBEM)  digunakan  untuk  menyelesaikan persamaan Helmhotz termodifikasi  yang telah diketahui solusi eksaknya  dalam Ang [1]. Domain  memiiki  bentuk  geometri  persegi,  sehingga  pemilihan  jumlah  titik  pada  batas domain  merupakan  titik  yang  berkelipatan  empat  untuk , , , dan . Selanjutnya pemilihan jumlah titik interior berupa bilangan kuadrat. Hal ini dimaksudkan agar titik-titik kolokasi yang dipilih menyebar rata pada daerah
Dilakukan dua kali pemilihan jumlah titik kolokasi pada evaluasi DRBEM tiap tipe fungsi basis radial. Pertama titik kolokasi batas domain = 20 dan interior domain = 25 , dan yang kedua = 80 dan = 81 . Selanjutnya dicari solusi ( , ) pada domain sepanjang sumbu = 0,5 dan  dibandingkan  solusi  numerik  DRBEM  dengan  tiga  tipe  fungsi  basis radial terhadap nilai eksaknya pada dua macam pemilihan titik kolokasi dan diperoleh grafik sebagai berikut
Gambar  1 (a,b)  menunjukkan  bahwa grafik solusi  eksak ( , ) persamaan  Hemhotz termodifikasi didekati oleh grafik solusi numerik DRBEM berupa tiga tipe fungsi  radial basis,  yaitu  tipe  polinomial,  poliharmonik  spline  dan  linear. Pada  Gambar  1(a) dan  1(b) dengan titik  kolokasi  sejumlah  55  titik dan  161  titik,  terlihat  bahwa grafik  solusi  yang didekati dengan fungsi basis radial tipe polinomial dan poliharmonik spline cenderung lebih mendekati solusi eksak dibanding tipe linear. Selain itu, terlihat pula tipe polinomial lebih medekati solusi eksak dibanding tipe poliharmonik spline.
Selanjutnya,  hasil  perhitungan  numerik ( , ) digunakan  untuk  mengevaluasi  solusi persamaan  Helmhotz  termodifikasi  pada  titik-titik  tertentu  untuk  dibandingkan  dengan solusi eksanya. Sehingga maksimal error di semua titik kolokasi dapat direpresentasikan pada fungsi basis radial tipe polinomial, poliharmonikspline dan linear. Dengan demikian, hal tersebut dapat dijadikan acuan dalam  menentukan keakurasian fungsi basis radial.
Tabel 1. Maksimal error tiga tipe fungsi basis radial dengan titik kolokasinya Tipe Fungsi Basis
Radial Maksimal Error = 20 dan = 25 = 80 dan = 81 1 + + 0.1691 0.0341 0.157 0.0329 1 + 0.1614 0.0893
Maksimal error di seluruh domain pada tipe polinomial, poliharmonik spline dan tipe linear pada titik kolokasi sejumlah 55 dan 161 ditunjukkan pada Tabel 1. Dari tabel tersebut dapat diketahui bahwa maksimal error pada pendekatan fungsi basis radial, tipe multikuadratik paling kecil dibanding dengan pendekatan fungsi basis radial yang lain. Sedangkan  tipe linear menghasilkan error yang relatif lebih besar dibanding fungsi basis radial lain. Selain itu, dapat diperhatikan pula, semakin banyak titik kolokasi yang di- input baik pada batas domain ataupun pada interior maka semakin kecil pula nilai errornya.
Gambar 1 (a,b). Grafik perbandingan solusi eksak dengan solusi numerik DRBEM berupa tiga tipe fungsi basis radial
(a) = 80 dan = 81 (b) = 20 dan = 25

## 4. Kesimpulan
Permasalahan dalam persamaan Helmholtz termodifikasi telah diselesaikan secara numerik dengan  memanfaatkan Dual  Reciprocity  Boundary  Element  Method (DRBEM). Penyelesaian integral domain pada DRBEM, didekati dengan tiga tipe fungsi radial basis yaitu  tipe  polinomial,  tipe poliharmonik spline  dan  tipe  linear,  hingga  diperoleh  solusi numerik ( , ) dibandingkan dengan solusi eksaknya.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa fungsi basis radial tipe polinomial dan poliharmonik spline cenderung lebih mendekati solusi eksak dibanding tipe linear, dan tipe polinomial lebih medekati solusi eksak dibanding tipe poliharmonik spline.  Selain itu, diperoleh urutan nilai maksimal error pada permasalahan ini yaitu poliharmonik spline < polinomial < linear

## Daftar Pustaka
[1] Ang,  W.T., (2007), A  Beginners  Course  in  Boundary  Element  Methods ,  Universal Publishers, Florida.
[2] Ang, WT, (2002), A Laplace transformation dual-reciprocity boundary element method for a class of two-dimensional microscale thermal problems, Engineering Computations 19, PP: 467-478.
[3] Katsikadelis,  J.T., (2002), Boundary  Element:  Theory  and  Applications ,  Elsevier Science, Oxford.
[4] Solekhudin  I, (2016), Water  infiltration  from  periodic  trapezoidal  channels  with different types of root-water uptake, Far East Journal of Mathematical Sciences 100, PP: 2029-2040.
[5] Zahroh,  M dan I  Solekhudin, (2019), Steady  state  conditions predictions  of  time- dependent  infiltration  problems:  an  LTDRM  with  a  predictor-corrector  scheme approach, Journal of Physics: Conference Series 1280 , PP: 022-039
Penentuan Jenis Fungsi Basis Radial dalam Dual Reciprocity Boundary ... Zahroh, M .