## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Koreksi pada artikel Hayati dkk.: Teori Titik Tetap untuk Tipe
Kannan yang Diperumum dalam Ruang b -Metrik Modular Lengkap

## Afifah Hayati dan Noor Sofiyati

## Volume 6, Issue 2, Pages 182–186, August 2024
Diterima 4 Juli 2024, Direvisi 18 Juli 2024, Disetujui 22 Juli 2024, Diterbitkan 1 Agustus 2024 To Cite this Article : A. Hayati dan N. Sofiyati,“Koreksi pada artikel Hayati dkk.: Teori Titik Tetap untuk Tipe Kannan yang Diperumum dalam Ruang b -Metrik Modular Lengkap”, Jam- bura J. Math , vol. 6, no. 2, pp. 182–186, 2024, https://doi.org/10.37905/jjom.v6i2.26441
© 2024 by author(s)

## JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index Ǽ Journal Abbreviation : Jambura J. Math. Х Frequency : Biannual (February and August) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/jjom ʢ Online ISSN : 2656-1344 ǽ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/oai  Google Scholar ID : iWLjgaUAAAAJ Ͳ Email : info.jjom@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan Teknologi

## Koreksi pada artikel Hayati dkk.: Teori Titik Tetap untuk Tipe Kannan yang Diperumum dalam Ruang

## b -Metrik Modular Lengkap
Afifah Hayati 1 , ∗ dan Noor Sofiyati 1
1 Program Studi Matematika, Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto, Purwokerto, Indonesia
ABSTRAK. Artikel ini merupakan komentar untuk penelitian yang dilakukan oleh Hayati dkk. yang telah dipubli- kasikan pada Jambura Journal of Mathematics volume 5 nomor 2 tahun 2023. Diperoleh bahwa terjadi kesalahan dalam proses pembuktian teorema titik tetap untuk pemetaan tipe Kannan yang diperumum dalam ruang b -metrik modular. Kesalahan tersebut menjadikan eksistensi titik tetap dalam teorema tersebut tidak terjamin. Dengan me- nambahkan sifat konveks untuk b -metrik modular, teorema titik tetap tersebut tetap berlaku.
ABSTRACT. This article is a commentary on research that is conducted by Hayati et al. which was published in Jambura Journal of Mathematics volume 5 number 2 in 2023. It was found that there is an error occurred in the process of proving the fixed point theorems for generalized Kannan type mappings in modular b -metric spaces. This error makes the existence of the fixed point in the theorem is not valid. By adding the convex property to the modular b -metric, the fixed point theorems still holds.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of JJoM: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Teorema titik tetap yang berkembang pesat saat ini meru- pakan perumuman dari prinsip kontraksi Banach yang membe- rikan teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi dalam ruang metrik [1, 2] . Beberapa faktor yang mempengaruhi pengembang- an tersebut adalah munculnya berbagai perumuman dari peme- taan kontraksi dan perumuman dari ruang yang strukturnya lebih umum dari ruang metrik. Salah satu perumuman dari pemetaan kontraksi diberikan oleh Kannan pada tahun 1969 dan dikenal se- bagai pemetaan Kannan [3] . Selanjutnya, berbagai pengembang- an teorema titik tetap untuk pemetaan tipe Kannan di ruang me- trik diberikan oleh Górnicki [4] . Lebih lanjut, beberapa perumum- an dari ruang metrik adalah ruang b -metrik yang diperkenalkan oleh Czerwik pada tahun 1993 [5] , ruang metrik modular yang diperkenalkan oleh Chistyakov [6] , dan ruang b -metrik modular yang diperkenalkan oleh Ege dan Alaca [7] . Pengembangan dari teorema titik tetap yang diberikan oleh Górnicki dikembangkan ke dalam ruang b -metrik modular menggunakan fungsi subaddtive altering distance oleh Haokip dan Goswami [8] . Selain itu, berba- gai penelitian baik untuk yang ruang lebih umum dari ruang me- trik maupun pemetaan yang lebih umum dari pemetaan kontraksi telah dilakukan sebelumnya seperti yang terdapat pada [9–13] .
Pengembangan teorema titik tetap juga dilakukan oleh Ha- yati dkk. [14] ke dalam ruang b -metric modular. Namun, dalam pembuktian teorema titik tetap yang dilakukan, terdapat kesa-
∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Diterima 4 Juli 2024
Direvisi 18 Juli 2024
Disetujui 22 Juli 2024
Diterbitkan 1 Agustus 2024

## KATA KUNCI
Ruang b -Metrik Modular Fungsi Altering Distance Pemetaan Tipe Kannan

## KEYWORDS
Modular b -Metric Spaces Altering Distance Function Kannan Type Mappings
lahan pembuktian yang menyebabkan eksistensi titik tetap tidak terjamin. Oleh karena itu, dalam artikel ini, diberikan koreksi pada proses pembuktian tersebut dengan menambahkan syarat sifat konveks pada b -metrik modularnya.

## 2. Metode
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Penelitian dilakukan dengan mengoreksi kesalahan pa- da teorema titik tetap untuk pemetaan tipe Kannan yang dipe- rumum di ruang b -metrik modular yang dikerjakan oleh Hayati dkk. [14] . Dalam proses pembuktian yang dilakukan, ditemuk- an kesalahan dimana salah satu pertidaksamaan yang dijabarkan dalam proses pembuktian seharusnya tidak berlaku. Diperluk- an kondisi tambahan untuk b -metrik modular, yaitu sifat konveks pada b -metrik modular, agar eksistensi titik tetap dalam teorema tersebut tetap terjamin.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Sebelum memberi perbaikan pembuktian, perlu diingat kembali definisi ruang b -metrik modular yang diberikan oleh Ege dan Alaca [7] sebagai berikut.
Definisi 1. Diketahui X himpunan tak kosong dan s ∈ R dengan s ≥ 1 . Pemetaan ν : (0 , ∞ ) × X × X → [0 , ∞ ] disebut b -metrik modular jika untuk setiap x, y, z ∈ X me- menuhi aksioma-aksioma berikut:
Email : afifahhayati.mail@gmail.com (A. Hayati) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index / E-ISSN : 2656-1344 © 2024 by the Author(s).
1. ν λ ( x, y ) = 0 , untuk setiap λ > 0 ⇔ x = y , 2. ν λ ( x, y ) = ν λ ( x, y ) , untuk setiap λ > 0 , dan 3. ν λ + µ ( x, y ) ≤ s [ ν λ ( x, z ) + ν λ ( z, y )] , untuk setiap λ, µ > 0 .
Selanjutnya, pasangan ( X, ν ) disebut ruang b -metrik mo- dular. Lebih lanjut, didefinisikan pula himpunan bagian X ∗ ν = x ∈ X : ∃ λ = λ ( x ) > 0 sehingga ν λ ( x, x 0 ) < ∞ , untuk suatu x 0 ∈ X .
Selain itu, diberikan konsep barisan di dalam ruang b - metrik modular yang merujuk pada Ege dan Alaca [7] . Akan tetapi, pendefinisian barisan Cauchy di dalam ruang b -metrik modular yang diberikan oleh Ege dan Alaca [7] berbeda dengan pendefini- sian barisan Cauchy di dalam artikel yang diberikan oleh Hayati dkk. [14] . Konsep barisan konvergen, barisan Cauchy, dan ruang b -metrik modular lengkap serupa dengan konsep barisan yang di- berikan oleh Büyükkaya dan Öztürk [15] .
Definisi 2. Diketahui ( X, ν ) ruang b -metrik modular.
1. Barisan x n di dalam X ∗ ν dikatakan konvergen- ν ke x ∈ X ∗ ν jika untuk setiap λ > 0 berlaku ν λ ( x n , x ) → 0 , untuk n → ∞ . 2. Barisan x n di dalam X ∗ ν disebut barisan Cauchy- ν ke x ∈ X ∗ ν jika untuk setiap λ > 0 berlaku ν λ ( x n , x m ) → 0 , untuk n, m → ∞ . 3. Ruang b -metrik modular X ∗ ν dikatakan lengkap- ν jika setiap barisan Cauchy- ν di dalam X ∗ ν konvergen- ν dan limitnya di dalam X ∗ ν .
Teorema titik tetap untuk pemetaan tipe Kannan yang di- berikan oleh Hayati dkk. [14] menggunakan fungsi subadditive altering distance yang diberikan oleh Khan dkk. [16, 17] .
Definisi 3. Fungsi ϕ : [0 , ∞ ) → [0 , ∞ ) disebut fungsi suba- dditive altering distance jika 1. Fungsi ϕ kontinu,
2. Fungsi ϕ naik tegas,
3. ϕ ( t ) = 0 ⇔ t = 0 , dan 4. ϕ ( x + y ) ≤ ϕ ( x ) + ϕ ( y ) , untuk setiap x, y ∈ [0 , ∞ ) .
Dalam pembuktian teorema titik tetap tersebut, digunakan dua sifat dari fungsi subadditive yang diberikan oleh Corazza [18] dan Hayati dkk. [14] .
Sifat 1. [18] Jika ϕ : [0 , ∞ ) → [0 , ∞ ) subaddtive , maka untuk setiap bilangan bulat positif n dan x ∈ [0 , ∞ ) berlaku
ϕ ( nx ) ≤ nϕ ( x ) (1)
Bukti. Pembuktian dapat dilihat dalam artikel Hayati dkk. [14] .
Sifat 2. [14] Diberikan λ > 0 , b -metrik modular ν pada X ,
dan ruang b -metrik modular X ∗ ν . Jika ϕ : [0 , ∞ ) → [0 , ∞ ) subadditive , maka untuk setiap k ∈ (0 , 1) dan x, y ∈ X ∗ ν dengan
ϕ ( ν λ ( x, y )) ≤ k ϕ ( ν λ ( a, b )) , untuk suatu a, b ∈ X ∗ ν , (2)
berakibat
ν λ ( x, y ) ≤ k ′ ν λ ( a, b ) , untuk suatu k ′ ∈ (0 , 1) . (3)
Bukti. Pembuktian dapat dilihat dalam artikel Hayati dkk. [14] .
Dalam proses pembuktian yang diberikan, Hayati dkk. [14] menuliskan bahwa untuk x 0 ∈ X ∗ ν dan barisan x n dengan
x n +1 = T x n , n = 0 , 1 , 2 , . . .
berakibat untuk setiap m, n ∈ N dengan m > n berlaku
ν λ ( x n , x m ) ≤ s ν λ ( x n , x n +1 ) + s 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + . . .
+ s m − n ν λ ( x m − 1 , x m ) . (4)
Pertidaksamaan (4) seharunya tidak berlaku berdasarkan aksio- ma 3 pada Definisi 1 . Agar teorema tetap tersebut berlaku, perlu ditambahkan sifat konveks pada suatu b -metrik modular. Chis- tyakov [6] memberikan definisi sifat konveks yang melekat pada suatu metrik modular. Berdasarkan hal tersebut, diberikan sifat konveks yang melekat pada suatu b -metrik modular.
Definisi 4. Diberikan ruang b -metrik modular ( X, ν ) . Suatu b-metric modular ν dikatakan konveks- ν jika untuk setiap x, y, z ∈ X dan λ, µ > 0 berlaku
ν λ + µ ( x, y ) ≤ s ( λ λ + µ ν λ ( x, z ) + µ λ + µ ν µ ( z, y ) ) (5)
Lebih lanjut, secara khusus, untuk setiap λ > 0 dan x, y, z ∈ X berlaku
ν λ ( x, y ) = ν λ 2 + λ 2 ( x, y ) ≤ s ( λ 2 λ 2 + λ 2 ν λ ( x, z ) + λ 2 λ 2 + λ 2 ν µ ( z, y ) ) ⇔ ν λ ( x, y ) ≤ s ( λ 2 λ ν λ ( x, z ) + λ 2 λ ν µ ( z, y ) ) ⇔ ν λ ( x, y ) ≤ s ( 1 2 ν λ ( x, z ) + 1 2 ν µ ( z, y ) ) . (6)
Dengan demikian, terorema titik tetap untuk pemetaan ti- pe Kannan yang diperumum dalam ruang b -metrik modular ada- lah sebagai berikut.
Teorema 1. Diberikan λ > 0 , b -metrik modular ν pada X yang konveks- ν , dan X ∗ ν lengkap- ν dengan koefisien s ≥ 1 . Jika T : X ∗ ν → X ∗ ν pemetaan tipe Kannan- ν λ yang diperumum, yaitu
terdapat p ∈ ( 0 , 1 2 s +1 ) dan fungsi subadditive altering distance ϕ yang memenuhi
ϕ ( ν λ ( T x, T y )) ≤ p { ϕ ( ν λ ( x, y )) + ϕ ( ν λ ( x, T x ))
+ ϕ ( ν λ ( y, T y )) } (7)
untuk setiap x, y ∈ X ∗ ν , maka T mempunyai titik tetap z ∈ X dan untuk setiap x ∈ X ∗ ν , barisan T n x konvergen- ν ke z dan untuk q = 2 p 1 − p < 1 ,
ν λ ( T n +1 x, T n x ) ≤ q n ν λ ( x, T x ) , n = 0 , 1 , 2 , . . . (8)
Bukti. Proses pembuktian dibagi menjadi tiga bagian, yaitu akan ditunjukkan bahwa:
1. T mempunyai titik tetap z , 2. z Tunggal, dan 3. untuk setiap x ∈ X ∗ ν , barisan T n x konverge- ν ke z dan untuk q = 2 p 1 − p < 1 berlaku
ν λ ( T n +1 x, T n x ) ≤ q n ν λ ( x, T x ) , n = 0 , 1 , 2 , . . .
Kesalahan terjadi dalam proses pembuktian poin 1. Sedangkan pembuktian poin 2 dan 3 sudah tepat. Berikut ini perbaikan da- lam pembuktian poin 1.
Akan ditunjukkan bahwa T mempunyai titik tetap z . Di- ambil sebarang x ∈ X ∗ ν dan diambil u = T x . Telah dibuktikan bahwa
ϕ ( ν λ ( u, T u )) ≤ 2 p 1 − p ϕ ( ν λ ( x, T x )) . (9)
Selanjutnya, untuk q = 2 p 1 − p , diperoleh
ϕ ( ν λ ( u, T u )) ≤ q ϕ ( ν λ ( x, T x )) dengan q < 1 , (10)
sehingga menurut Sifat 2 , berakibat
ν λ ( u, T u ) ≤ q ′ ν λ ( x, T x ) , untuk suatu q ′ < 1 . (11)
Tanpa mengurangi arti, diasumsikan bahwa q ′ = q .
Selanjutnya, diambil sebarang x 0 ∈ X . Dibentuk barisan x n dengan x n +1 = T x n , n = 0 , 1 , 2 , . . . .
Dapat dibuktikan bahwa untuk setiap m, n ∈ N ∪ { 0 } dengan m > n berlaku
ν λ ( x n , x m ) ≤ s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + · · · + ( s 2 ) m − n ν λ ( x m − 1 , x m ) . (12)
Perlu diingat bahwa ν konveks- ν . Jika m − n = 1 , maka diperoleh
ν λ ( x n , x n +1 ) ≤ s 2 [ ν λ ( x n , x n ) + ν λ ( x n , x n +1 )] = s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) .
Jika m − n = 2 , maka diperoleh
ν λ ( x n , x n +2 ) ≤ s 2 [ ν λ ( x n , x n +1 ) + ν λ ( x n +1 , x n +2 )]
≤ s 2 [ ν λ ( x n , x n +1 ) + s 2 [ ν λ ( x n +1 , x n +1 ) + ν λ ( x n +1 , x n +2 )] ] = s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) . Jika m − n = 3 , maka diperoleh
ν λ ( x n , x n +3 ) ≤ s 2 [ ν λ ( x n , x n +1 ) + ν λ ( x n +1 , x n +3 )] ≤ s 2 [ ν λ ( x n , x n +1 ) + s 2 [ ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + ν λ ( x n +2 , x n +3 )] ] = s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +2 , x n +3 ) ≤ s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + ( s 2 ) 3 [ ν λ ( x n +2 , x n +2 ) + ν λ ( x n +2 , x n +3 )] = s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + ( s 2 ) 3 ν λ ( x n +2 , x n +3 ) .
Jika proses dilanjutkan, maka untuk setiap m, n ∈ N ∪ 0 dengan m > n , berlaku
ν λ ( x n , x m ) ≤ s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + · · · + ( s 2 ) m − n ν λ ( x m − 1 , x m ) .
Selanjutnya, diperhatikan bahwa untuk n = 0 , 1 , 2 , . . . ber- laku x n +1 = T x n . Dalam pembuktian yang diberikan oleh Hayati dkk. [14] , telah ditunjukkan bahwa untuk n = 0 , 1 , 2 , . . . berlaku
ν λ ( x n , x n +1 ) ≤ q n ν λ ( x 0 , T x 0 ) . (13)
Berdasarkan Pertidaksamaan (12) dan (13) , diperoleh untuk setiap m, n ∈ N ∪ 0 dengan m > n berlaku
ν λ ( x n , x m ) ≤ s 2 ν λ ( x n , x n +1 ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n +1 , x n +2 ) + . . . + ( s 2 ) m − n ν λ ( x m − 1 , x m ) ≤ s 2 q n ν λ ( x 0 , T x 0 ) + ( s 2 ) 2 q n +1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) + . . . + ( s 2 ) m − n q m − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) = q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) sq 2 + q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) ( sq 2 ) 2 + . . . + q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) ( sq 2 ) m − n = q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) ( sq 2 + ( sq 2 ) 2 + · · · + ( sq 2 ) m − n ) ≤ q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) ( sq 2 + ( sq 2 ) 2 + · · · + ( sq 2 ) m − n + ( sq 2 ) m − n +1 + · · · + ( sq 2 ) m ) = q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) ( sq 2 + ( sq 2 ) 2 + · · · + ( sq 2 ) m ) .
JJoM | Jambura J. Math
Diperhatikan bahwa p < 1 2 s +1 ⇔ 2 sp + p < 1 ⇔ 2 sp < 1 − p ⇔ 2 sp 1 − p < 1 dan q = 2 p 1 − p < 1 , maka 0 < sq 2 < sq = 2 sp 1 − p < 1 . Akibatnya, karena 0 < sq 2 < 1 , maka untuk m → ∞ , diperoleh
sq 2 + ( sq 2 ) 2 + · · · + ( sq 2 ) m → sq 2 1 − sq 2 = sq 2 − sq
sehingga untuk m → ∞ diperoleh
ν λ ( x n , x m ) ≤ q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) ( sq 2 + ( sq 2 ) 2 + · · · + ( sq 2 ) m ) → q n − 1 ν λ ( x 0 , T x 0 ) sq 2 − sq = s q n 2 − sq ν λ ( x 0 , T x 0 ) .
Lebih lanjut, karena 0 < q < 1 , maka untuk n → ∞ berlaku q n → 0 . Akibatnya, untuk n, m → ∞ berlaku
ν λ ( x n , x m ) → 0 .
Dengan kata lain, barisan x n merupakan barisan Cauchy- ν di da- lam X ∗ ν . Karena X ∗ ν lengkap- ν , maka terdapat x ∈ X ∗ ν sehingga untuk n → ∞ berlaku
ν λ ( x n , z ) → 0 .
Selanjutnya, diperhatikan bahwa untuk setiap n ∈ N berlaku
ν λ ( T z, z ) ≤ s 2 [ ν λ ( T z, T x n ) + ν λ ( T x n , z )] ≤ s 2 [ ν λ ( T z, T x n ) + s 2 [ ν λ ( T x n , x n ) + ν λ ( x n , z )] ] = s 2 ν λ ( T z, T x n ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( T x n , x n ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n , z ) .
Tanpa mengurangi arti, diambil s ≥ 2 dan s 2 bilangan asli sehing- ga menurut Sifat 1 , diperoleh
ϕ ( ν λ ( T z, z )) ≤ ϕ ( s 2 ν λ ( T z, T x n ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( T x n , x n ) + ( s 2 ) 2 ν λ ( x n , z ) ) ≤ ϕ ( s 2 ν λ ( T z, T x n ) ) + ϕ (( s 2 ) 2 ν λ ( T x n , x n ) ) + ϕ (( s 2 ) 2 ν λ ( x n , z ) ) ≤ s 2 ϕ ( ν λ ( T z, T x n )) + ( s 2 ) 2 ϕ ( ν λ ( T x n , x n )) + ( s 2 ) 2 ϕ ( ν λ ( x n , z )) .
Karena T pemetaan tipe Kannan- ν λ yang diperumum, maka un-
tuk setiap n ∈ N berlaku
ϕ ( ν λ ( T z, z )) ≤ s 2 ϕ ( ν λ ( T z, T x n )) + ( s 2 ) 2 ϕ ( ν λ ( T x n , x n )) + ( s 2 ) 2 ϕ ( ν λ ( x n , z )) ≤ sp 2 { ϕ ( ν λ ( z, x n )) + ϕ ( ν λ ( z, T z )) + ϕ ( ν λ ( x n , T x n )) } + ( s 2 ) 2 ϕ ( ν λ ( T x n , x n )) + ( s 2 ) 2 ϕ ( ν λ ( x n , z )) .
sehingga untuk setiap n ∈ N berlaku
ϕ ( ν λ ( T z, z )) − sp 2 ϕ ( ν λ ( T z, z )) ≤ ( sp 2 + ( s 2 ) 2 ) ϕ ( ν λ ( z, x n )) + ( sp 2 + ( s 2 ) 2 ) ϕ ( ν λ ( x n , T x n )) ⇔ ( 1 − sp 2 ) ϕ ( ν λ ( T z, z )) ≤ ( sp 2 + ( s 2 ) 2 ) ( ϕ ( ν λ ( z, x n )) + ϕ ( ν λ ( x n , T x n ))) ⇔ ( 1 − sp 2 ) ϕ ( ν λ ( T z, z )) ≤ ( sp 2 + ( s 2 ) 2 ) ( ϕ ( ν λ ( z, x n )) + ϕ ( q n ν λ ( T x 0 , x 0 )) .
Diperhatikan bahwa untuk n → ∞ berlaku ν λ ( z, x n ) → 0 serta ϕ kontinu dan ϕ ( t ) = 0 ⇔ t = 0 , maka untuk n → ∞ berlaku
ϕ ( ν λ ( z, x n )) → 0 .
Karena 0 < q < 1 , ϕ kontinu, dan ϕ ( t ) = 0 ⇔ t = 0 , maka untuk
ϕ ( q n ν λ ( T x 0 , x 0 )) → 0 .
Akibatnya, untuk n → ∞ berlaku
( 1 − sp 2 ) ϕ ( ν λ ( T z, z )) → 0 .
Dengan demikian, diperoleh ( 1 − sp 2 ) ϕ ( ν λ ( T z, z )) = 0 . Selan- jutnya, diperhatikan bahwa p < 1 2 s +1 < 1 2 s . Karena p < 1 2 s , maka sp < 1 2 sehingga sp 2 < 1 4 < 1 . Karena 1 − sp 2 ̸ = 0 , maka ϕ ( ν λ ( T z, z )) = 0 . Lebih lanjut, karena ϕ ( t ) = 0 ⇔ t = 0 , maka ν λ ( T z, z ) = 0 . Jadi, diperoleh T z = z .
Beberapa akibat dari perbaikan Teorema 1 adalah sebagai berikut.
Akibat 1. Diberikan λ > 0 , b -metrik modular ν pada X yang konveks- ν , dan ruang b -metrik modular lengkap X ∗ ν dengan koe- fisien s ≥ 1 . Jika T : X ∗ ν → X ∗ ν pemetaan yang memenuhi
ν λ ( T x, T y ) ≤ p { ν λ ( x, y ) + ν λ ( x, T x ) + ν λ ( y, T y ) }
untuk setiap x, y ∈ X ∗ ν dengan p < 1 2 s +1 , maka T mempunyai titik tetap tunggal z ∈ X ∗ ν dan untuk setiap x 0 ∈ X ∗ ν , barisan T n x 0 konvergen ke z .
Bukti. Pembuktian sama dengan pembuktian yang diberikan oleh Hayati dkk. [14] .
Akibat 2. Diberikan λ > 0 , b -metrik modular ν pada X yang konveks- ν , dan ruang b -metrik modular lengkap X ∗ ν dengan ko- efisien s ≥ 1 . Jika T : X ∗ ν → X ∗ ν pemetaan kontinu yang me- menuhi sifat terdapat fungsi subadditive altering distance ϕ dan p < 1 2 s +1 sehingga untuk setiap x, y ∈ X ∗ ν dan untuk suatu k ∈ N berlaku
ϕ ( ν λ ( T k x, T k y )) ≤ p { ϕ ( ν λ ( x, y )) + ϕ ( ν λ ( x, T k x )) + ϕ ( ν λ ( y, T k y ))}
dan T k x = x , maka T mempunyai titik tetap tunggal.
Bukti. Pembuktian sama dengan pembuktian yang diberikan oleh Hayati dkk. [14] .
Akibat 3. Diberikan λ > 0 , b -metrik modular ν pada X yang konveks- ν , dan ruang b -metrik modular lengkap X ∗ ν dengan ko- efisien s ≥ 1 . Jika T : X ∗ ν → X ∗ ν suatu pemetaan yang me- menuhi terdapat p < 1 2 s +1 sehingga untuk setiap x, y ∈ X ∗ ν berlaku
{ 1 + ν λ ( T x, T y ) } 1 p < (1 + ν λ ( x, y )) (1 + ν λ ( x, T x ))
(1 + ν λ ( y, T y )) ,
maka T mempunyai titik tetap tunggal z ∈ X ∗ ν dan untuk setiap x ∈ X ∗ ν , barisan T n x konvergen ke z serta untuk q = 2 p 1 − p berlaku
ν λ ( T n +1 x, T n x ) ≤ q n ν λ ( x, T x ) , n = 1 , 2 , . . . .
Bukti. Pembuktian sama dengan pembuktian yang diberikan oleh Hayati dkk. [14] .

## 4. Kesimpulan
Kesalahan pada pembuktian teorema titik tetap untuk pe- metaan tipe Kannan yang diperumum di ruang b -metrik modular telah dikoreksi. Teorema berlaku dengan menambahkan syarat sifat konveks yang dipenuhi oleh b -metrik modularnya. Syarat tersebut juga perlu ditambahkan untuk akibat-akibat dari teore- ma titik tetap tersebut agar akibat-akibat tersebut tetap berlaku. Oleh karena itu, dalam penelitian selanjutnya mengenai pengem- bangan teorema titik tetap untuk pemetaan tipe Kannan meng- gunakan fungsi subadditive altering distance di ruang b -metrik mo- dular maupun ruang yang lebih umum perlu mempertimbangkan sifat konveks untuk menjamin eksistensi titik tetapnya.
Kontribusi Penulis. Afifah Hayati: Konseptualisasi, metodologi, analisis formal, penulisan — persiapan draf awal. Noor Sofiyati: Penulisan — tinjauan dan penyuntingan, visualisasi, supervisi. Semua penulis telah membaca dan menyetujui versi manuskrip yang diterbitkan.
Ucapan Terima Kasih. Para penulis menyampaikan terima kasih kepada editor dan reviewer atas pembacaan yang cermat, kritik yang mendalam,
dan rekomendasi yang praktis untuk meningkatkan kualitas tulisan ini.
Pembiayaan. Penelitian ini tidak menerima pembiayaan eksternal.
Konflik Kepentingan. Para penulis menyatakan tidak ada konflik kepen- tingan yang terkait dengan artikel ini.

## Referensi
[1] S. Banach, “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur applica- tion aux équations intégrales,” Fundamenta mathematicae , vol. 3, no. 1, pp.
133–181, 1922. [Online]. Available: http://eudml.org/doc/213289 .
[2] R. P. Agarwal, M. Mehan, and D. O’Regan, Fixed Point Theory and Applications . Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
[3] R. Kannan, “Some Results on Fixed Points-II,” The American Mathemati- cal Monthly , vol. 76, no. 4, pp. 405–408, 1969. [Online]. Available: ht- tp://www.jstor.org/stable/2316437 .
[4] J. Górnicki, “Fixed point theorems for Kannan type mappings,” Journal of Fixed Point Theory and Applications , vol. 19, pp. 2145–2152, 2017, doi: 10.1007/s11784-017-0402-8 .
[5] S. Czerwik, “Contraction Mappings in b-metric Spaces,” Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis , vol. 1, no. 1, pp. 5–11, 1993.[Online]. Available: https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/120469 .
[6] V. V. Chistyakov, “Modular metric spaces, I: Basic concepts,” Nonlinier Analysis , vol. 72, pp. 1–14, 2010, doi: 10.1016/j.na.2009.04.057 .
[7] M.E. Ege and C. Alaca, “Some Results for Modular b-Metric Spaces and an Application to System of Linear Equations,” Azerbaijan Jour- nal of Mathematics , vol. 8, no. 1, pp. 3–14, 2018. [Online]. Available: https://azjm.org/volumes/0801/0801-1.pdf .
[8] N. Haokip and N. Goswami, “Some fixed point theorems for generalized Kannan type mappings in b-metric spaces,” Proyeccioness, Journal of Mathe- matics , vol. 38, no. 4, pp. 763–782, 2019, doi: 10.22199/issn.0717-6279- 2019-04-0050 .
[9] A. Hayati, L. Harini, A. Winarni, and N. Muhassanah, “Teori Titik Tetap un- tuk Pemetaan ( ψ, φ ) Ω -Kontraksi pada Ruang p-Metrik Modular Berorder,” Pythagoras: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , vol. 17, no. 2, 2022, doi: 10.21831/pythagoras.v17i2.52985 .
[10] L. Harini, “Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Kannan Pada Ruang Metrik Modular Teritlak,” Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) , vol. 11, no. 2, pp. 11–18, 2019, doi: 10.20884/1.jmp.2019.11.2.2269 .
[11] L. Harini, H. P. Lestari, and Caturiyati, “Some fixed point theorems in genera- lized modular metric space,” in AIP Conference Proceedings , American Institute of Physics Inc., 2022. doi: 10.1063/5.0107775 .
[12] M. Oztürk, F. Golkarmanesh, A. Büyükkaya, and V. Parvaneh, “Generalized Almost Simulative ˆ Z Θ Ψ ∗ − Contraction Mappings in Modular b − Metric Spa- ces,” Journal of Mathematical Extension , vol. 17, no. 2, pp. 1–37, 2024, doi: 10.30495/JME.2023.2424 .
[13] P. Tyagi, S. S. Chauhan, N. Mani, and R. Shukla, “F − Modular b − Metric Spa- ces and Some Analogies of Classical Fixed Point Theorems,” International Journal of Analysis and Applications , vol. 22, 2024, doi: 10.28924/2291-8639- 22-2024-66 .
[14] A. Hayati, N. Sofiyati, and D. L. Kartika, “Teori Titik Tetap untuk Tipe Kannan yang Diperumum dalam Ruang b-Metrik Modular Lengkap,” Jambura Journal of Mathematics , vol. 5, no. 2, 2023, doi: 10.34312/jjom.v5i2.20571 .
[15] A. Büyükkaya and M. Öztürk, “Some Common Fixed Point Results for ZE − Contractions in Modular b − Metric Spaces,” Topological Algebra and its Applications , vol. 10, no. 1, pp. 195–2015, 2022, doi: 10.1515/taa-2022-0127 .
[16] M. S. Khan, M. Swaleh, and S. Sessa, “Fixed point theorems by altering dis- tances between the points,” Bull Aust Math Soc , vol. 30, pp. 1–9, 1984, doi: 10.1017/S0004972700001659 .
[17] H. Faraji and K. Nourouzi, “A Generalization of Kannan and Chatter- jea Fixed Point Theorems on Complete b-Metric Spaces,” Sahand Com- munications in Mathematical Analysis , vol. 6, no. 1, pp. 77–86, 2017, doi: 10.22130/scma.2017.23831 .
[18] P. Corazza, “Introduction to Metric-Preserving Functions,” The Americ- an Mathematical Monthly , vol. 106, no. 4, pp. 309–323, 1999, doi: 10.2307/2589554 .