## MODELISASI KOTAK TISU DENGAN PENGGABUNGAN KURVA BEZIER, KURVA HERMIT DAN HASIL DEFORMASI BENDA GEOMETRI
( Modeling of the Tisu Box by Combining Bezier Curve, Hermite Curve, and Geometry Object Deformation Results )

## Dian Safitri, Bagus Juliyanto, Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia
e-mail : dian330698@gmail.com, bagus.fmipa@unej.ac.id, firdaus_u@yahoo.com
Abstract. The  tissue  box  is  a  place  to  store  tissues  to  make  them  look  neat  and protect the tissues  from  dirt  and  dust.  Tissue  boxes  are  often  used  in  households, restaurants and also as room decorations. Therefore, the shapes of tissue boxes that are  being  developed  are  increasingly  varied  according  to  consumer  interests.  The tissue box consists of three main parts, namely the cover, body and base of the box. This research was carried out by developing variations in the shape of the tissue box components  using  the  Bezier  curve,  the  Hermit  curve  and  the  results  of  the deformation  of  geometric  objects.  The  deformation  techniques  used  are  rotation, dilation, and curve interpolation. Tissue box modeling processes  are  divided into four stages. The first, modeling the tissue box by dividing into three models, namely model A, model B and model C. The second, determining the size of the tissue box components  based  on  the  model.  The  third,  modeling  tissue  box  components. Finally, visualizing the results of the tissue box model by combining the components so that a variety of tissue box models are produced.
Keywords: Bezier curve, Hermit curve, translation, interpolation curve. MSC2020: 51A05

## 1. Pendahuluan
Kotak  tisu  merupakan  tempat  untuk  menyimpan  tisu  agar  terlihat  rapi  dan  melindungi tisu dari kotoran maupun debu. Pada umumnya kotak tisu terdiri dari tiga bagian utama, yaitu penutup, badan dan alas kotak. Bagian penutup kotak tisu biasanya terdapat lubang untuk jalan keluar tisu. Bagian badan kotak tisu berbentuk balok yang menutupi seluruh atau sebagian badan tisu. Bagian alas kotak tisu berupa persegi panjang dan ada beberapa desain kotak tisu yang menggunakan tambahan alas berupa kaki kecil.
Deformasi merupakan proses  perubahan bentuk  awal  dari suatu  benda menjadi bentuk yang  baru.  Perubahan  tersebut  meliputi  panjang,  tinggi,  lebar,  volume  dan  jari-jari. Deformasi  dapat  mengubah  sebagian  atau  seluruh  bentuk  benda.  Tanza,  dkk  [3]
melakukan inovasi perancangan kotak tisu yang dibuat bertingkat dengan empat variasi yaitu  trapesium  kecil,  trapesium  panjang,  kotak,  dan  trapesium  miring.  Berdasarkan penelitiannya,  kotak  tisu  berbentuk  trapesium  panjang  paling  banyak  diminati  oleh konsumen.  Kusno  [2]  mengembangkan  seni  dan  teknik  desain  relief  benda  industri kerajinan  onyx  dengan  bantuan  kurva  Hermit,  Bezier  dan  natural.  Triadi  [4]  dalam penelitiannya  mengaplikasikan  kurva  Bezier  berderajat  kurang  dari  atau  sama  dengan enam (𝑛 ≤ 6) pada  desain  botol  minuman.  Wahana  [5]  memodelisasi handle pintu dengan penggabungan kurva Bezier dan hasil deformasi tabung dengan teknik dilatasi, translasi, dan kurva Bezier berderajat genap ( 𝑛 = 2, 4, 6 dan 8). Pada penelitian ini akan dikembangkan penambahan variasi pada bentuk komponen-komponen kotak tisu dengan kurva Bezier, kurva Hermit dan hasil deformasi benda geometri. Teknik deformasi yang digunakan yaitu rotasi, dilatasi, dan interpolasi kurva.
Menurut  Kusno  [1],  bentuk  aljabar  dari  kurva  Hermit  kubik 𝐏(𝑢) dinyatakan  sebagai berikut:
𝐏(𝒖) = 𝐏(𝟎)𝑯 𝟏 (𝒖) − 𝐏(𝟏)𝑯 𝟐 (𝒖) + 𝐏 𝐮 (𝟎)𝑯 𝟑 (𝒖) + 𝐏 𝐮 (𝟏)𝑯 𝟒 (𝒖)            (1) dinotasikan 𝐏(𝑢) = 𝐏 0 𝐻 1 − 𝐏 1 𝐻 2 + 𝐏 0 𝑢 𝐻 3 + 𝐏 1 𝑢 𝐻 4 dengan fungsi-fungsi basis Hermit 𝐻 1 (𝑢), 𝐻 2 (𝑢), 𝐻 3 (𝑢) dan 𝐻 4 (𝑢) berharga sebagai berikut:
𝐻 1 (𝑢) = 2𝑢 3 − 3𝑢 2 + 1 𝐻 2 (𝑢) = −2𝑢 3 + 3𝑢 2 𝐻 3 (𝑢) = 𝑢 3 − 2𝑢 2 + 𝑢 𝐻 4 (𝑢) = 𝑢 3 − 𝑢 2
Bentuk  persamaan 𝐏(𝑢) disebut  penyajian  kurva  dalam  bentuk  geometrik, 𝐏 0 , 𝐏 1 , 𝐏 0 𝑢 dan 𝐏 1 𝑢 disebut  koefisien  geometrik,  serta  fungsi 𝐻 1 (𝑢) , 𝐻 2 (𝑢) , 𝐻 3 (𝑢) dan 𝐻 4 (𝑢) disebut basis Hermit.
Rumus umum kurva Bezier derajat 𝑛 dinyatakan dalam bentuk:
𝐂(𝒖) = ∑ 𝐏 𝒊 𝑩 𝒊 𝒏 (𝒖) 𝒏 𝒊=𝟎 (2)
parameter t dibatasi interval 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 , dengan
𝐵 𝑖 𝑛 (𝑢) = 𝐶 𝑖 𝑛 (1 − 𝑢) 𝑛−𝑖 . 𝑢 𝑖 , 𝑢 ∈ [0,1]
𝐶 𝑖 𝑛 = 𝑛! 𝑖!(𝑛−𝑖)! P 𝑖 = titik tetap dan kontrol kurva C(𝑢) (Kusno [1]).

## 2. Metodologi
Metode penelitian yang digunakan untuk memodelisasi kotak tisu sebagai berikut.
1. Menetapkan data ukuran sebuah kerangka balok.
2. Membangun  tiga  model  kotak  tisu  yaitu  kotak  tisu  model  A,  B  dan  C.  Kemudian menentukan ukuran bagian-bagian kotak tisu.
3. Modelisasi komponen kotak tisu berdasarkan modelnya.
4. Menggabungkan komponen-komponen kotak tisu.
5. Menyusun validasi program untuk memodelisasi kotak tisu dengan bantuan software Maple 18.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Modelisasi Penutup Kotak Tisu
a. Model A
Misalkan  diberikan  segmen  garis 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ dengan  ukuran 1,5 ≤ |𝐴𝐶 ̅̅̅̅| ≤ 3,5 satuan  pada sumbu z . Segmen garis 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ dibagi menjadi  dua bagian,  yaitu segmen garis 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dengan ukuran 1,5 satuan dan segmen garis 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dengan ukuran 2 satuan (Gambar 1).
Gambar 1. Segmen-segmen bagian penutup kotak tisu model A
a) Bagian penghubung segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅
Langkah untuk membangun bagian penghubung yaitu :
1) Duplikasi dan translasi titik 𝐴 dan 𝐵 sejauh k satuan searah sumbu x dan l satuan searah sumbu y . Misalkan titik 𝐴 ditranslasi sejauh 𝑘 1 = 12 satuan searah sumbu x dan 𝑙 1 = 7,5 satuan searah sumbu y . Titik 𝐴 1 ditranslasi sejauh 𝑘 2 = 12 satuan searah sumbu x dan 𝑙 2 = 7,5 satuan searah sumbu y .
2) Membangun kurva batas dengan titik 𝐴 1 dan 𝐵 1 sebagai titik tetap dan ditetapkan titik kelengkungan kurva yaitu 𝐵 1 ′(1; 0,5; 2,5) .
3) Kurva batas  pertama diduplikasi  dan direfleksi  terhadap bidang XOZ dan YOZ . Batas pertama direfleksi terhadap bidang XOZ . Selanjutnya, kurva batas pertama dan kedua direfleksi terhadap bidang YOZ.
4) Interpolasi pasangan kurva batas (Gambar 2).
Gambar 2. Permukaan bagian penghubung penutup model A
b) Bagian atas segmen 𝐵𝐶 ̅̅̅̅
Lubang  kotak  tisu  berbentuk  persegi  panjang  dengan  ukuran 7 ≤ 𝑝 ≤ 10 satuan searah sumbu x dan 1,5 ≤ 𝑙 ≤ 2 satuan searah sumbu y . Tahapan untuk membangun bagian atas penutup kotak tisu yaitu:
1) Membangun penutup datar
a) Duplikasi  titik 𝐵 1 dan  refleksi  terhadap  bidang XOZ dan YOZ sedemikian hingga dihasilkan titik baru 𝐵 2 , 𝐵 3 dan 𝐵 4 yang simetris.
b) Membangun segmen garis 𝐵 1 𝐵 2 ̅̅̅̅̅̅̅, 𝐵 2 𝐵 3 ̅̅̅̅̅̅̅, 𝐵 3 𝐵 4 ̅̅̅̅̅̅ dan 𝐵 4 𝐵 1
̅̅̅̅̅̅ .
c) Duplikasi dan translasi titik 𝐵 sedemikian hingga diperoleh empat titik baru untuk membangun lubang persegi panjang. Misalkan lubang persegi panjang berukuran 7 satuan searah sumbu x dan 2 satuan searah sumbu y .
d) Bangun segmen garis 𝐵 5 𝐵 6 ̅̅̅̅̅̅̅  , 𝐵 6 𝐵 7 ̅̅̅̅̅̅̅, 𝐵 7 𝐵 8 ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝐵 8 𝐵 5 ̅̅̅̅̅̅̅ .
e) Interpolasi pasangan segmen garis.
f) Bagian penghubung digabung dengan penutup datar (Gambar 3).

## Gambar 3. Penutup datar model A
2) Membangun penutup cembung Langkah untuk membangun bagian penutup cembung sama seperti membangun bagian penghubung segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ , yaitu:
a) Translasi titik 𝐶 sejauh k satuan searah sumbu x dan l satuan searah sumbu y . Pergeseran ini disesuaikan dengan ukuran lubang kotak tisu.
b) Membangun kurva batas dengan titik 𝐵 1 dan 𝐶 1 sebagai titik tetap.
c) Lakukan langkah pada butir (3) dan (4) pada modelisasi penutup kotak tisu model A bagian penghubung segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ .
d) Bagian penghubung digabungkan dengan penutup cembung (Gambar 4)
Gambar 4. Penutup cembung model A
3) Membangun penutup cekung
Penutup cekung dibangun dengan mengubah titik kelengkungan kurva batas yang mendekati kotak tisu yaitu 𝐶 1 ′(6, −3, 1) (Gambar 5).
Gambar 5. Penutup cekung model A
b. Model B
Misalkan  diberikan  segmen  garis 𝐷𝐻 ̅̅̅̅ dengan  ukuran 10 ≤ |𝐷𝐻 ̅̅̅̅| ≤ 12 satuan  pada sumbu z . Segmen 𝐷𝐻 ̅̅̅̅ dibagi menjadi empat bagian, yaitu 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ dengan ukuran 3 ≤ |𝐷𝐸 ̅̅̅̅| ≤
5 satuan, 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ dengan ukuran 1,5 ≤ |𝐸𝐹 ̅̅̅̅| ≤ 2 satuan, 𝐹𝐺 ̅̅̅̅ dengan ukuran 3 ≤ |𝐹𝐺 ̅̅̅̅| ≤ 5 satuan, dan 𝐺𝐻 ̅̅̅̅ dengan ukuran 0 ≤ |𝐺𝐻
̅̅̅̅| ≤ 2 satuan (Gambar 6).
Gambar 6. Segmen-segmen bagian penutup model B
a) Modelisasi bagian bawah segmen 𝐷𝐸 ̅̅̅̅
Segmen 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ dibangun  oleh  kurva  Bezier  berderajat 𝑛 dengan 𝑛 = 3,4,5 .  Berikut adalah langkah untuk modelisasi bagian bawah segmen 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ .
1) Duplikasi dan translasi titik 𝐷 dan 𝐸 sejauh 𝑘 satuan searah sumbu x dan 𝑙 satuan searah sumbu y .
2) Membangun  kurva  batas  pertama  dari  kurva  Bezier  berderajat 𝑛 dimana 𝑛 = 3,4,5 dengan 𝐷 1 dan 𝐸 1 sebagai titik tetap.
a) Kurva batas menggunakan kurva Bezier berderajat tiga dengan persamaan:
𝐂 𝟑 (𝑢) = 𝐏 0 (1 − 𝑢) 3 + 𝐏 1 (3𝑢(1 − 𝑢) 2 ) + 𝐏 2 (3𝑢 2 (1 − 𝑢)) + 𝐏 3 𝑢 3
b) Kurva batas menggunakan kurva Bezier berderajat empat dengan persamaan:
𝐂 𝟒 (𝑢) = 𝐏 0 (1 − 𝑢) 4 + 𝐏 1 (4𝑢(1 − 𝑢) 3 ) + 𝐏 2 (6𝑢 2 (1 − 𝑢) 2 ) + 𝐏 3 (4𝑢 3 (1 − 𝑢)) + 𝐏 4 𝑢 4
c) Kurva batas menggunakan kurva Bezier berderajat lima dengan persamaan:
𝐂 𝟓 (𝑢) = 𝐏 0 (1 − 𝑢) 5 + 𝐏 1 (5𝑢(1 − 𝑢) 4 ) + 𝐏 2 (10𝑢 2 (1 − 𝑢) 3 ) + 𝐏 3 (10𝑢 3 (1 − 𝑢) 2 ) + 𝐏 4 (5𝑢 4 (1 − 𝑢)) + 𝐏 5 𝑢 5
3) Lakukan langkah pada butir (3) dan (4) pada modelisasi penutup kotak tisu model A bagian penghubung segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ untuk menghasilkan permukaan (Gambar 7).
(a) Permukaan Bezier derajat tiga (b) Permukaan Bezier derajat empat (c) Permukaan Bezier derajat lima Gambar 7. Permukaan bagian bawah penutup model B
b) Modelisasi bagian tengah segmen 𝐸𝐹 ̅̅̅̅
Segmen 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ dibangun  oleh  kurva  Hermit  kubik.  Pemberian  kurva  Hermit  kubik diantara dua kurva Bezier ini bertujuan untuk memberikan sambungan kurva yang mulus. Sesuai dengan syarat kekontinuan kurva, titik pertemuan antara kurva Bezier dan Hermit harus sama. Selanjutnya, agar dihasilkan sambungan kurva yang mulus
dan  terdiferensialkan  pada  sambungannya,  maka  nilai  vektor  singgung  dari  kurva Bezier  harus  sama  dengan  vektor  singgung  kurva  Hermit.  Berikut  adalah  langkah untuk memodelisasi bagian tengah segmen 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ .
1) Menentukan  kekontinuan  kurva  antara  kurva  Bezier  bagian  bawah  dan  kurva Hermit bagian tengah. Kekontinuan sambungan kurva harus memenuhi kondisi kekontinuan parametrik, yaitu :
a) Kontinu orde nol, apabila dipenuhi
𝐂 𝑛 (1) = 𝐏 3 (0) .
b) Kontinu orde satu, apabila dipenuhi
𝐂 𝑛 𝑢 (1) = 𝐏 3 𝑢 (0)
2) Menentukan  kekontinuan  kurva  antara  kurva  Hermit  tengah  dan  kurva  Bezier atas.
3) Membangun  kurva  batas  dengan  kurva  Hermit  dengan  nilai  titik 𝐏(0), 𝐏(1), 𝐏 𝐮 (0) dan 𝐏 u (1) yang telah dihitung.
4) Lakukan langkah pada butir (3) dan (4) pada modelisasi penutup kotak tisu model A bagian penghubung segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ untuk menghasilkan permukaan (Gambar 8).
Gambar 8. Permukaan bagian tengah penutup model B
c) Modelisasi bagian atas segmen 𝐹𝐺 ̅̅̅̅
Segmen 𝐹𝐺 ̅̅̅̅ dibangun  oleh  kurva  Bezier  berderajat 𝑛 dengan 𝑛 = 3,4,5 .  Langkah modelisasi sama dengan langkah untuk memodelisasi bagian bawah segmen 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ . Hal yang membedakan yaitu segmen 𝐹𝐺 ̅̅̅̅ memiliki ketinggian yang berbeda dengan 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ .

## d) Modelisasi bagian penutup segmen 𝐺𝐻 ̅̅̅̅
Bagian  penutup  pada  kotak  tisu  model  B  dibuat  tiga  model  yang  berbeda,  yaitu penutup lubang datar, cembung dan cekung. Berikut contoh penggabungan bagian- bagian penutup kotak tisu model B (Gambar 9).
Gambar 9. Contoh hasil modelisasi bagian-bagian penutup model B

## c. Model C
Kotak tisu model C merupakan modelisasi kotak tisu penutup panjang deformasi balok. Deformasi yang dilakukan berupa dilatasi bagian alas dengan skala 𝑘 satuan, sedangkan bagian lubang tetap. Ukuran dan susunan dari penutup kotak tisu model C sama seperti
model B. Perbedaan kedua model yaitu translasi titik setiap segmen yang lebih luas pada model C. Berikut contoh modelisasi penutup kotak tisu model C (Gambar 10).
Gambar 10. Hasil modelisasi bagian-bagian penutup model C

## 3.2.  Modelisasi Badan Kotak Tisu
a. Model A
Misalkan diberikan segmen garis 𝐴𝐸 ̅̅̅̅ dengan ukuran 0 ≤ |𝐴𝐸 ̅̅̅̅| ≤ 10 satuan pada sumbu z . Segmen 𝐴𝐸 ̅̅̅̅ dibagi menjadi  empat bagian,  yaitu 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dengan ukuran 3 ≤ |𝐴𝐵 ̅̅̅̅| ≤ 3,5 satuan, 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dengan  ukuran 1 ≤ |𝐵𝐶 ̅̅̅̅| ≤ 2 satuan, 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ dengan  ukuran 3 ≤ |𝐶𝐷 ̅̅̅̅| ≤ 3,5 satuan, dan 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ dengan ukuran 1,5 ≤ 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ ≤ 2 satuan. (Gambar 11).
Gambar 11. Segmen-segmen bagian badan kotak tisu model A
Segmen 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ dibangun oleh kurva Bezier berderajat 𝑛 dengan 𝑛 = 3,4,5 . Bagian tengah segmen 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dibangun oleh kurva Hermit kubik. Bagian atas penghubung segmen 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ merupakan bagian ujung yang dibentuk dari selimut balok dan penghubung berupa bidang persegi panjang. Penggabungan hasil modelisasi dari bagian-bagian badan kotak tisu model A ditunjukkan oleh Gambar 12.
Gambar 12. Hasil modelisasi bagian badan kotak tisu model A

## b. Model B
Badan  kotak  tisu  model  B  dibangun  oleh  balok  tanpa  tutup  serta  bagian  alas  yang didilatasi dengan faktor skala 𝑘 1 = 𝑘 2 = 1 1 14 satuan dan 𝑘 3 = 1 satuan. Badan kotak tisu terletak dibagian dalam dan ditutupi oleh penutup kotak tisu (Gambar 13).
Gambar 13. Permukaan bagian badan model B

## c. Model C
Badan  kotak  tisu  model  C  dibangun  oleh  balok  tanpa  tutup  serta  bagian  alas  yang didilatasi dengan faktor skala 𝑘 1 = 𝑘 2 = 1 1 4 satuan dan 𝑘 3 = 1 satuan (Gambar 14).
Gambar 14. Permukaan bagian badan model C

## 3.3.  Modelisasi Kaki Kotak Tisu
a. Kaki Tabung
Kaki tabung dibentuk dengan memutar kurva searah sumbu z dengan persamaan: 𝑇(𝜃, 𝑧) =< 𝑅 cos 𝜃 , 𝑅 sin 𝜃 , 𝑧 1 > , 𝑅 = 1; 1 ≤ 𝑧 1 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 . Kaki  tabung  diduplikasi  dan  ditranslasi  dengan  titik  translasi 𝑡 1 (10,5; 6; 0) , 𝑡 2 (10,5; −6; 0), 𝑡 3 (−10,5; −6; 0) dan 𝑡 4 (−10,5; 6; 0) (Gambar 15).

## Gambar 15. Kaki tabung
b. Kaki Deformasi Tabung
Misalkan  diberikan  segmen  garis 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ dan  bangun  sebuah  tabung  yang  dideformasi dengan kurva Hermit pada sumbu z (Gambar 16).
Gambar 16. Segmen-segmen bagian kaki deformasi tabung
a) Model cembung-cembung
Pada  segmen  garis 𝐸𝐹 ′ ̅̅̅̅̅ dibangun  tabung  yang  dideformasi  searah  sumbu z .  Kurva hasil deformasi tersebut dibangun dengan titik 𝑃 0 (0,75; 0,75; −0,75),
𝑃 1 (0,75; 0,75; 0) dan 𝑃 0 ′ (0,75; 0,75; 0,65) .  Kurva  diputar  dengan  sumbu  putar z dengan persamaan:
𝑆 1 (𝑢, 𝜃) =< 𝑃 𝑥 (𝑢) cos 𝜃 , 𝑃 𝑦 (𝑢) sin 𝜃 , 𝑃 𝑧 (𝑢) > , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 (Gambar 17).
Gambar 17. Bagian cembung kaki deformasi tabung
Modelisasi kelengkungan kedua dengan diberikan segmen garis 𝐹 ′ 𝐹 ̅̅̅̅̅ searah sumbu z . Kurva  lengkung  pertama  diduplikasi  dan  ditranslasi  sejauh −0,75 satuan  searah sumbu z . Alas kaki dibangun dengan lingkaran. Kaki deformasi tabung diduplikasi dan ditranslasi (Gambar 18).
Gambar 18. Kaki deformasi tabung cembung-cembung
b) Model cekung-cembung
Pada  segmen garis 𝐸𝐹 ′ ̅̅̅̅̅ dibangun tabung  yang dideformasi  searah sumbu z dengan model  cekung  cembung.  Deformasi  tersebut  dibangun  dengan  titik  yang  telah ditentukan 𝑃 0 (0,75; 0,75; −0,75), 𝑃 1 (0,75; 0,75; 0) dan 𝑃 0 ′ (−0,75; −0,75; 0,50) . Modelisasi  kelengkungan  kedua  dikonstruksi  dengan  titik  yang  telah  ditentukan 𝑃 0 (0,75; 0,75; −1,5), 𝑃 1 (0,75; 0,75; −0,75) dan 𝑃 0 ′ (0,75; 0,75; 0,65) .  Kurva diputar dengan sumbu putar z . Selanjutnya membangun alas kaki dengan lingkaran.
Gabungan kaki yang sudah dibangun, diduplikasi dan ditranslasi (Gambar 19).
Gambar 19. Kaki deformasi tabung cekung-cembung

## c. Kaki Deformasi Tabung Dengan Kurva Bezier
Kaki model ini dibangun dengan kurva Bezier derajat tiga dan titik kontrol yang telah ditentukan. Kurva diputar dengan sumbu putar z dengan persamaan:
𝑆 1 (𝑢, 𝜃) =< 𝐶 3 (𝑢) 𝑥 cos 𝜃 , 𝐶 3 (𝑢) 𝑦 sin 𝜃 , 𝐶 3 (𝑢) 𝑧 > , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 .
Contoh kaki yang dibangun oleh kurva Bezier ditunjukkan oleh Gambar 20.
(a) model 1
(b) model 2
Gambar 20. Permukaan kaki deformasi tabung dengan kurva Bezier
Kaki yang telah dibangun, kemudian diduplikasi dan ditranslasi (Gambar 21).
(a) Model 1 (b) Model 2
Gambar 21. Kaki deformasi tabung dengan kurva Bezier
d. Kaki Balok Bezier
Modelisasi kaki balok Bezier dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
1) Membangun kurva Bezier dari ujung badan kotak tisu yang telah ada. Kurva Bezier yang digunakan yaitu kurva Bezier berderajat empat.
2) Duplikasi  kurva  batas  menjadi  tiga  kurva  dan  translasi  dengan  arah  yang  berbeda membentuk  persegi.  Kurva  pertama  ditranslasi  sejauh −2 satuan  searah  sumbu x , kurva kedua ditranslasi sejauh 2 satuan searah sumbu y dan kurva ketiga ditranslasi sejauh −2 satuan searah sumbu x dan sejauh 2 satuan searah sumbu y .
3) Interpolasi kurva batas.
4) Bangun sebuah persegi sebagai alas kaki dengan titik-titik persegi sama dengan titik ujung bawah kurva Bezier.
5) Duplikasi semua permukaan kaki, kemudian refleksi terhadap bidang XOZ dan YOZ . Hasil duplikasi pada bidang YOZ , kemudian diduplikasi dan refleksi terhadap bidang XOZ (Gambar 22).

## Gambar 22. Kaki balok Bezier
e. Kaki Lempengan Bezier
Berikut langkah untuk mengkonstruksi kaki lempeng Bezier.
1) Bangun sebuah segmen garis 𝐺𝐻 ̅̅̅̅ yang berimpit dengan ujung badan kotak tisu yang searah sumbu y . Kemudian segmen garis tersebut dibagi menjadi dua bagian.
2) Bangun kurva Bezier berderajat empat yang sejajar dengan segmen garis 𝐺𝐻 ̅̅̅̅ .
3) Translasi kurva sejauh 11 satuan searah sumbu x agar sejajar segmen garis 𝐺𝐻 ̅̅̅̅ .
4) Interpolasi  segmen  garis 𝐺𝐺 ′ ̅̅̅̅̅ dan  kurva 𝐶 4 (𝑢) sehingga  dihasilkan  pemukaan lempeng sebagai berikut (Gambar 23).

## Gambar 23. Permukaan kaki lempeng Bezier
5) Duplikasi  lempengan  yang  telah  dihasilkan,  kemudian  rotasi  sebesar 90 0 berlawanan arah jarum jam.
6) Dua lempeng yang telah dibangun, selanjutnya diduplikasi dan refleksi terhadap bidang XOZ dan YOZ sedemikian hingga berada pada setiap sudut badan kotak tisu (Gambar 24).
Gambar 24. Kaki lempeng Bezier

## 3.4.   Visualisasi Model Kotak Tisu
Pertama  akan  dibahas  mengenai  penggabungan  dari  komponen-komponen  kotak  tisu sesuai  dengan  model  yang  telah  ditentukan.  penggabungan  kotak  tisu  dibutuhkan kesimetrisan  melalui  sumbu  vertikal  dengan  tinggi 11 ≤ 𝑡 ≤ 13,5, 𝑡 merupakan  tinggi sumbu pemodelan. Penggabungan komponen disesuaikan dengan model kotak tisu.

## a. Kotak Tisu Model A
Komponen  kotak  tisu  model  A  mempunyai  urutan  dan  ukuran  masing-masing  yaitu bagian penutup 1,5 ≤ 𝑡 1 ≤ 3,5 satuan, bagian badan 8 ≤ 𝑡 2 ≤ 8,5 satuan dan bagian kaki 1,5 ≤ 𝑡 1 ≤ 2 satuan.  Komponen  kaki  dapat  ditambahkan  atau  tidak  ditambahkan  pada model kotak tisu (Gambar 25).
Gambar 25. Sumbu pemodelan kotak tisu model A

## b. Kotak Tisu Model B Dan C
Komponen  kotak  tisu  model  B  dan  C  mempunyai  urutan  dan  ukuran  yang  sama  yaitu bagian penutup 10 ≤ 𝑡 1 ≤ 12 satuan, bagian badan 5 ≤ 𝑡 2 ≤ 5,5 satuan dan bagian kaki 1,5 ≤ 𝑡 1 ≤ 2 satuan.  Komponen  kaki  dapat  ditambahkan  atau  tidak  ditambahkan  pada model kotak tisu (Gambar 26).
Gambar 26. Sumbu pemodelan kotak tisu model B dan C
Penggabungan dimulai dari bagian paling bawah. Pada penelitian ini, dihasilkan 39 model bagian penutup, 8 model bagian badan dan 7 model bagian kaki. Total kombinasi dari penggabungan  komponen  kotak  tisu  adalah  378  variasi.  Berikut  merupakan  beberapa hasil modelisasi komponen kotak tisu (Gambar 27).
Gambar 27. Hasil modelisasi kotak tisu

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian modelisasi kotak tisu, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
a. Bagian penutup dan badan kotak tisu dibangun menggunakan gabungan kurva Bezier berderajat 𝑛 dengan 𝑛 = 3,4,5 dan  kurva  Hermit  kubik.  Kurva  Hermit  diletakkan antara kurva Bezier agar menghasilkan sambungan kurva yang mulus. Badan kotak tisu juga dibangun menggunakan balok tanpa tutup dengan alas yang didilatasi. Kaki kotak  tisu  dibangun  menggunakan  benda-benda  geometri  dan  deformasi  benda geometri. Variasi kotak tisu yang dihasilkan sebanyak 378 variasi.
b. Visualisasi hasil modelisasi kotak tisu didapatkan dengan bantuan software Maple 18 pada komputer.

## Daftar Pustaka
[1] Kusno, (2010), Geometri Rancang Bangun Studi Tentang Desain dan Pemodelan Benda  dengan  Kurva  dan  Permukaan  Berbantu  Komputer ,  Jember:  Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember.
[2] Kusno,  Antonius  C.  P.,  dan  Mahros  D.,  (2007),  Modelisasi  Benda  Onyx  dan Marmer  melalui  Penggabungan  dan  Pemilihan  Parameter  Pengubah  Bentuk Permukaan Putar Bezier, Jurnal ILMU DASAR, 8(2), PP: 175-185.
[3] Tanza,  G.,  Clairine,  J,.  dan  Monica,  A.,  (2019),  Pengembangan  Bisnis  UMKM AMHA  Frame  dengan  Inovasi  Perancangan  Kotak  Tisu  Multifungsi  Batik  dan Kayu, Jurnal Pengabdian Masyarakat Wikrama Parahita , 3(1), PP: 5-12.
[4] Triadi, M.  B. F., Bagus, J., dan Firdaus, U., (2020), Aplikasi Kurva Bezier pada Desain Botol Minuman, Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika , 20(1), PP: 1-8.
[5] Wahana, N. P., Bagus, J., dan Firdaus, U., (2020), Modelisasi Handle Pintu dengan Penggabungan  Kurva  Bezier  dan  Hasil  deformasi  Tabung, Majalah  Ilmiah Matematika dan Statistika, 20(2), PP: 65-76.