## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler DOI: https://doi.org/10.37905/euler.v11i2.22761 Desember 2023, Vol. 11, No. 2, pp. 248-261

## Analisis Dinamik Model SIRC pada Transmisi Hepatitis B dengan Sirosis Hati
Ririn Febriyanti 1* , Bayu Prihandono 2 , Mariatul Kiftiah 3
1,2,3 Program Studi Matematika, Universitas Tanjungpura, Pontianak, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: ririnfebriyanti@student.untan.ac.id

## Abstrak
Hepatitis B merupakan infeksi pada organ hati yang dapat menyebabkan sirosis hati.  Sirosis hati dapat  terjadi  akibat  terbentuknya  jaringan  parut  pada  individu  yang  terkena  hepatitis  B  yang berkepanjangan. Transmisi hepatitis B dapat terjadi melalui dua cara yaitu horizontal dan vertikal. Dalam  penelitian  ini,  permasalahan  tersebut  dimodelkan  menggunakan  model SIRC ,  dimana populasi dikelompokan menjadi empat sub-populasi yaitu sub-populasi  rentan ( S ) , terinfeksi ( I ), sembuh atau mendapat kekebalan akibat vaksinasi ( R ) dan terkena sirosis hati ( C ). Dari analisis diperoleh  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  ( 𝐸 1 ) ,  titik kesetimbangan  endemik (𝐸 2 ). Bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) diperoleh  dengan  menggunakan Next Generation Matrix. Hasil analisis menunjukan jika 𝑅 0 < 1 , maka titik kesetimbangan bebas penyakit  stabil  asimtotik  lokal,  yang  berarti  bahwa  transmisi  hepatitis  B  pada  sirosis  hati  tidak menyebar. Sedangkan jika 𝑅 0 > 1 yang berarti bahwa transmisi hepatitis B pada sirosis hati yang dipengaruhi oleh kontak antara individu rentan dan terinfeksi menyebar. Untuk mendukung hasil analisis  secara  analitik,  diberikan  simulasi  numerik  untuk  menggambarkan  prilaku  dari  model SIRC .
Kata Kunci: Virus Hepatitis B; Titik Kesetimbangan; Bilangan Reproduksi Dasar

## Abstract
Hepatitis B is an infection of the liver that can cause liver cirrhosis. Liver cirrhosis can occur due to  the  formation  of  scar  tissue  in  individuals  who  have  prolonged  hepatitis  B.  Transmission  of hepatitis B can occur in two ways, namely horizontal and vertical. In this research, this problem is modeled in a mathematical model using the SIRC model, where the population is grouped into four sub-populations, namely susceptible (S), infected (I), cured or immune due to vaccination (R) and cirrhosis. liver (C). From the analysis, two equilibrium points were obtained, namely the disease- free equilibrium point (𝐸 1 ), the endemic equilibrium point (𝐸 2 ). The basic reproduction number (𝑅 0 ) is obtained using the Next Generation Matrix. The analysis results show that if 𝑅 0 < 1 , then the  disease-free  equilibrium  point  is  locally  asymptotically stable,  which  means  that  hepatitis  B transmission  in  liver  cirrhosis  does  not  spread.  Meanwhile,  if 𝑅 0 > 1 ,  then  the  disease-free equilibrium  point  is  locally  asymptotically  stable,  which  means  that  hepatitis  B  transmission  in liver cirrhosis does not spread. Meanwhile, if 𝑅 0 >  1 , this means that hepatitis B transmission in liver cirrhosis is influenced by contact between susceptible and infectious individuals. To support the results of the analytical analysis, numerical simulations are provided to describe the behavior of the SIRC model.
Keywords: Hepatitis B Virus; Equilibrium Point; Basic Reproduction Number

## 1. Pendahuluan
Matematika  merupakan  ilmu  pengetahuan  yang  bersifat  deduktif,  dimana  konsep  yang  ada didalamnya  memiliki  sifat  hirarki,  terstruktur,  logis,  dan  sistematis.  Peran  matematika  yang diterapkan dalam ilmu lain sangat beragam, diantaranya ilmu Penerapan ilmu matematika ke bidang Pemodelan  matematika.  Pemodelan  matematika  merupakan  penerapan  yang  bisa  dilakukan  dalam kehidupan  sehari-hari.  Pada  dasarnya  pemodelan  matematika  merupakan  salah  satu  alat  untuk
mempresentasikan  masalah  dalam  dunia  nyata  ke  bentuk  persamaan  matematika.  Persamaan  yang paling banyak digunakan ialah persamaan diferensial. Persamaan diferensial memuat satu atau lebih turunan  dari  suatu  fungsi  [1].  Pemodelan  matematika  pula  banyak  dikembangkan  dalam  berbagai bidang seperti dalam bidang sains.
Perkembangan  model  matematika  dalam  bidang  sains  banyak  digunakan  dalam  berbagai bidang  ilmu  seperti  ilmu  fisika,  biologi,  kesehatan,  ilmu  sosial  dan  lainya.  Salah  satu  model matematika yang dikembangkan ialah model epidemi. Epidemi merupakan suatu kondisi yang mirip dengan  wabah  atau  dapat  dikatakan  bahwa  penyakit  menular  yang  dengan  cepat  berjangkit  dan menimbulkan  banyak  korban.  Model  matematika  mengenai  epidemiologi  ini  akan  memungkinkan untuk memprediksi dinamika pada suatu populasi, dengan faktor-faktor epidemi, dinamika awal, dan dampak  dari  adanya  vaksinasi  [2].  Penyakit  yang  berpotensi  menjadi  epidemi  di  suatu  wilayah misalnya  pada  penyakit  HIV/AIDS,  hepatitis,  tuberkolosis  dan  lainya.  Penyakit-penyakit  tersebut mampu menjadi wabah dalam suatu populasi karena penyebarannya yang sangat cepat. Salah satu model  epidemi  dalam  penyebaran  penyakit  ialah  penyebaran  penyakit  hepatitis  B  yang  dapat menyebabkan sirosis hati. Penyebaran penyakit ini dapat dirumuskan kedalam model matematika.
Hepatitis  B  adalah  suatu  penyakit  peradangan  pada  organ  hati.  Umumnya  hepatitis  B disebabkan oleh suatu virus, yaitu virus hepatitis B (HBV) virus ini termasuk family Hepadnaviridae . Infeksi  hepatitis  B  dibagi  menjadi  dua  fase  yaitu  infeksi  akut  dan  infeksi  kronis.  Hepatitis  B  akut merupakan  infeksi  jangka  pendek  yang  terjadi  dalam  jangka  waktu  kurang  dari  6  bulan  pertama setelah  seseorang  masa  inkubasi,  hepatitis  B  kronis  merupakan  penyakit  yang  terjadi  diakibatkan berkembanganya hepatitis B akut yang menjadi sirosis hati atau kanker hati [3]. Menurut WHO, pada tahun  2015  diperkirakan  sekitar  240  juta  orang  hidup  dengan  hepatitis  B  akut  dan  780.000  orang meninggal setiap tahunnya akibat terinfeksi virus hepatitis B, 650.000 diakibatkan oleh sirosis hati dan kanker hati dan 130.000 yang diakibatkan oleh hepatitis B akut. Indonesia menduduki peringkat ke-3  dengan  jumlah  penderita  yang  terkena  hepatitis  di  dunia  yang  berjumlah  13  juta  penduduk, sedangkan Kalimantan Barat pada tahun 2017 terdapat 689 orang yang terinfeksi virus hepatitis B akut maupun kronis dan sebanyak 25 orang yang terkena sirosis hati akibat hepatitis B  [4]. Dalam penelitian ini membahas tentang transmisi hepatitis B terhadap sirosis hati di kota Pontianak dimana transmisi merupakan penularan virus hepatitis B yang akan berkembang menjadi sirosis hati.
Transmisi atau penularan hepatitis B dibagi menjadi dua yaitu, transmisi secara horizontal dan vertikal. transmisi secara horizontal dapat terjadi melalui cairan tubuh, pengunaan alat suntik yang tercemar, tato, transfusi darah, penggunaan pisau cukur dan sikat gigi secara bersama dengan orang yang terinfeksi hepatitis B, transmisi secara vertikal yaitu,melalui ibu yang terkena hepatitis B pada bayi [3]. Di Indonesia hepatitis B pencegahan infeksi hepatitis B dapat dilakukan dengan pemberian vaksinasi hepatitis B pada bayi, anak-anak dan orang dewasa dan dapat juga dengan cara menghindari interaksi antara penderita hepatits B.
Model  matematika  banyak  dikembangkan  oleh  beberapa  peneliti  dalam  mengamati  dan mempelajari  dinamika  penyebaran  dinamika  penularan  hepatitis. Humolungo  and  Paudi  [5] membahas tentang model matematika SIUC dengan menambahkan parameter vaksinasi. Zhang dan Zhou [6] membahas tentang model penyebaran hepatitis B dengan tipe SEICR serta menerapkan laju penularan secara vertikal dan horizontal. Selanjutnya Dano dan Keno [7] membahas tentang model matmatika SICRA pada kasus  pemodelan efek gabungan infeksi  hepatitis B dan konsumsi  alkohol berat terhadap perkembangan dinamika sirosis hati dengan menambahkan sub-populasi individu yang mengonsumsi alkohol. Beberapa pembahasan model serupa terkait penebaran hepatitis B dilakukan dengan metode dan pertimbangan berbeda [8][9][10].
Model matematika yang dibahas dalam penelitian ini mengacu pada model Zhang and Zhou [6] dan model Dano dan Keno [7]. Modifikasi dilakukan dengan menambahkan kelas populasi sirosis hati  yang  tidak  dipertimbangkan  pada  model  sebelumnya.  Sirosis  hati  adalah  kondisi  medis  yang ditandai oleh adanya kerusakan parah pada jaringan hati yang menghambat fungsi normal hati dan dapat  menyebabkan  berbagai  komplikasi  serius.  Sirosis  hati  biasanya  merupakan  tahap  akhir  dari berbagai  penyakit  hati  kronis  seperti  hepatitis.  Pada  penelitian  ini,  dibahas  model  tipe  SIRC  pada penyebaran Hepatitis B dengan mempertimbangakan adanya sirosis hati.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian  dilakukan  melalui  studi  literatur  yang  terkait  dengan  pemodelan  matematika  dan penyakit hepatitis B yang berkembang menjadi sirosis hati.
Adapun langkah-langkah penelitian dilakukan sebagai berikut:
1) Me l mbe l ntukan mode l l mate l matika transmisi he l patitis B pada sirosis hati.
2) Me l ne l ntukan titik ke l se l timbangan be l bas pe l nyakit dan titik ke l se l timbangan e l nde l mik.
3) Melakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan model.
4) Me l ne l ntukan bilangan re l produksi dasar (𝑅 0 ) me l nggunakan Ne l xt Ge l ne l ration Matrix .
5) Me l lakukan simulasi nume l rik dan interpretasinya.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Model matematika
Total  populasi (𝑁) pada  model  matematika  transmisi  hepatitis  B  pada  sirosis  hati  dengan populasi  tertutup  ini  dikelompokan  menjadi  empat  subpopulasi: susceptible (𝑆) merupakan  sub- populasi  individu  rentan  terhadap  virus  hepatitis  B, Infected (𝐼) merupakan  sub-populasi  individu yang  telah  terinfeksi  virus  hepatitis  B, Removed (𝑅) merupakan  sub-populasi  individu  yang  telah sembuh atau mendapatkan kekebalan akibat vaksinasi, dan Cirrhosis of the liver (𝐶) merupakan sub- populasi  individu  hepatitis  B  yang  menjadi  berkembangan  menjadi  individu  sirosis  hati  sehingga disebut model 𝑆𝐼𝑅𝐶 .
Asumsi-asumsi  yang  digunakan  dalam  proses  pemodelan  penyebaran  virus  hepatitis  B  pada sirosis hati sebagai berikut:
1. Populasi  bersifat  tertutup,  artinya  perubahan  individu  hanya  bergantung  pada  kelahiran  dan kematian alami. Tidak ada migrasi ataupun emigrasi didalam populasi.
2. Populasi  bersifat  homogen,  artinya  setiap  individu  mempunyai  kemungkinan  yang  sama melakukan kontak dengan individu dalam satu populasi.
3. Virus ditularkan melalui interaksi antara individu terinfeksi dan individu rentan.
4. Diasumsikan bahwa efesiensi vaksinasi adalah 100% dan dapat diartikan setiap individu yang divaksinasi akan kebal dari penyakit dan masuk ke subpopulasi R.
5. Individu  dewasa  yang  terkena  infeksi  hepatitis  B  akut  dapat  sembuh  dengan  sendirinya  dan memberi kekebalan secara permanen karena telah memiliki  antibodi terhadap virus hepatitis B.
6. Individu yang telah sembuh tidak akan tertular virus hepatitis B.
7. Pe l nyakit sirosis hati dapat te l rjadi akibat te l rbe l ntuknya jaringan parut pada individu he l patitis B yang berkepanjangan.
8. Individu yang te l rke l na sirosis hati dapat se l mbuh.
Tabel 1. Keterangan parameter
Pernyataan Simbol Tingkat kelahiran alami Tingkat kontak antar individu terinfeksi dan individu rentan Tingkat kematian alami Tingkat populasi individu rentan divaksinasi
Tingkat individu terinfeksi menjadi sirosis hati Tingkat kematian akibat sirosis hati
Tingkat kesembuhan alami dari individu terifeksi Tingkat kematian individu terinfeksi Tingkat kesebuhan individu yang terkena sirosis hati
Tingkat penularan dari individu sirosis hati ke individu rentan
Λ 𝛽 𝜇 𝛾 𝜔 𝛿 𝛼 𝜎 𝜏 𝜁
Secara  sekamatis,  Dinamika  Transmisi  he l patitis  B  pada  sirosis  hati  dide l skripsikan  dalam diagram alir yang disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram Alir Transmisi Hepatitis B pada sirosis hati
Berdasarkan  Gambar  1,  dapat  dikontruksikan  mode l l  mate l matika  transmisi  he l patitis  B  pada sirosis hati yang be l rbe l ntuk siste l m pe l rsamaan dife l re l nsial nonline l ar se l bagai be l rikut;
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Λ𝑁 − 𝛽 𝑁 𝑆𝐼 − 𝛾𝑆 − 𝜇𝑆 − 𝜁 𝑁 𝑆𝐶 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑁 𝑆𝐼 − 𝛼𝐼 −  𝜔𝐼 − 𝜎𝐼 − 𝜇𝐼 + 𝜁 𝑁 𝑆𝐶 𝑑𝐶 𝑑𝑡 =  𝜔𝐼 − 𝜏𝐶 − (𝜇 + 𝛿)𝐶
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜏𝐶 +  𝛾𝑆 + 𝛼𝐼 − 𝜇𝑅

## 3.2 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Titik  kelseltimbangan  belbas  pelnyakit (𝐸 1 )  melnunjukan  bahwa  dalam  suatu  populasi  tidak  ada populasi yang telrinfelksi helpatitis B, yang dapat diartikan tidak ada kontak antara sub-populasi yang tidak telrkelna helpatitis B dan yang telrkelna helpatitis B. akibatnya sub-populasi positif helpatitis B tidak akan  melningkat  selhingga  pada  suatu  waktu  sub-populasi  telrinfelksi  helpatitis  B,  sub-populasi  yang belrkelmbang melnjadi sirosis hati akan hilang atau habis. selhingga dipelrolelh
𝐼 = 𝐶 = 0. 𝑺 𝑰 i 𝑪 𝑹 Λ𝑁 𝜇𝑆 𝜇𝐼 𝜎𝐼 𝜇𝑅 𝛿𝐶 𝜇𝐶 𝛼𝐼 𝜔𝐼 𝛾𝑆 𝛽𝐼𝑆 𝑁 𝜏𝐶 𝜁 𝑁 𝑆𝐶
( (2) Type equation here. )
(1)
Sellanjutnya  delngan  melnsubsitusikan  pelrsamaan  (2)  kel  sistelm  (1)  selhingga  dipelrolelh  titik kelseltimbangan belbas pelnyakit selbagai belrikut 𝐸 1 = (𝑆 1 , 𝐼 1 , 𝑅 1 , 𝐶 1 ) = ( Λ𝑁 (𝛾+𝜇) ,0, γΛ𝑁 (𝛾+𝜇)𝜇 , 0).

## 3.3 Titik Kesetimbangan Endemik
Titik kelseltimabangan elndelmik pelnyakit (𝑬 2 ) melnunjukan dalam suatu populasi ada individu yang telrinfelksi pelnyakit [11], artinya sub-populasi helpatitis B, dan sirosis hati sellalu ada. Selhingga dipelrolelh
𝐼 ≠ 0, 𝑅 ≠ 0
Sellanjutnya  delngan  melnsubsitusikan  pelrsamaan  (3)  kelsistelm  (1)  selhingga  dipelrolelh  titik kelseltimbangan endemik selbagai belrikut 𝐸 2 = (𝑆 2 , 𝐼 2 , 𝐶 2 , 𝑅 2 ) dengan
𝑆 2 = (𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇)𝑁 𝛽 𝐼 2 = 𝑁(Λ𝛽 − 𝛼𝛾 − 𝛼𝜇 − 𝛾𝜇 − 𝛾𝜔 − 𝛾𝜎 − 𝜇 2 − 𝜇𝜔 − 𝜇𝜎) 𝛽(𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇) 𝐶 2 = 𝑁𝜔(Λ𝛽 − 𝛼𝛾 − 𝛼𝜇 − 𝛾𝜇 − 𝛾𝜔 − 𝛾𝜎 − 𝜇 2 − 𝜇𝜔 − 𝜇𝜎) 𝛽(𝛼𝛿 + 𝛼𝜇 + 𝛿𝜇 + 𝛿𝜔 + 𝛿 𝜎 + 𝜇 2 + 𝜇𝜔 + 𝜇𝜎 + 𝜇𝜏 + 𝜔𝜏 + 𝜎𝜏)
𝑅 2 = ( 𝛾𝑁(𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇) 𝛽𝜇 ) + ( 𝑁𝛼𝜔(Λ𝛽 − 𝛼𝛾 − 𝛼𝜇 − 𝛾𝜇 − 𝛾𝜔 − 𝛾𝜎 − 𝜇 2 − 𝜇𝜔 − 𝜇𝜎) 𝛽𝜇(𝛼𝛿 + 𝛼𝜇 + 𝛿𝜇 + 𝛿𝜔 + 𝛿 𝜎 + 𝜇 2 + 𝜇𝜔 + 𝜇𝜎 + 𝜇𝜏 + 𝜔𝜏 + 𝜎𝜏) )

## 3.4 Bilangan Reproduksi Dasar (𝑅 0 )
Bilangan reproduksi dasar yang dilambangkan dengan 𝑅 0 adalah suatu ambang batas terjadinya wabah  penyakit  dan  disebut  juga  rasio  atau  angka  Reproduksi  Dasar  [12].  Dengan  bilangan Reproduksi  Dasar  dapat  ditentukan  ada  atau  tidaknya  penyebaran  penyakit  dalam  suatu  populasi. Bilangan  Reproduksi  Dasar  dicari  dengan  menentukan  nilai  eigen  terbesar  dari  metode Next Generation Matrix [13]. Dalam menentukan metode Next Generation Matrix Langkah pertama yang harus  dilakukan  adalah  ambil  persamaan-persamaan  yang  menggambarkan  kasus  terinfeksi  yaitu pada sistem 𝐼 dan 𝐶 ,
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑁 𝑆𝐼 − 𝛼𝐼 −  𝜔𝐼 − 𝜎𝐼 − 𝜇𝐼 + 𝜁 𝑁 𝑆𝐶 𝑑𝐶 𝑑𝑡 =  𝜔𝐼 − 𝜏𝐶 − (𝜇 + 𝛿)𝐶
Langkah  pertama  yang  harus  dilakukan  adalah  ambil  persamaan-persamaan  yang menggambarkan kasus terinfeksi yaitu pada sistem 𝐼 dan 𝐶
𝐽 = [ 𝜕( 𝑑𝐼 𝑑𝑡 ) 𝜕𝐼 𝜕( 𝑑𝐼 𝑑𝑡 ) 𝜕𝐶 𝜕( 𝑑𝐶 𝑑𝑡 ) 𝜕𝐼 𝜕( 𝑑𝐶 𝑑𝑡 ) 𝜕𝐶 ]
Langkah selanjutnya melakukan pelinearan terhadap sistem terinfeksi pada titik ekuilibrium bebas penyakit
𝐽 (𝐼,𝐶) = [ 𝜕( 𝛽 𝑁 𝑆𝐼−𝛼𝐼− 𝜔𝐼−𝜎𝐼−𝜇𝐼+ 𝜁 𝑁 𝑆𝐶 ) 𝜕𝐼 𝜕( 𝛽 𝑁 𝑆𝐼−𝛼𝐼− 𝜔𝐼−𝜎𝐼−𝜇𝐼+ 𝜁 𝑁 𝑆𝐶 ) 𝜕𝐶 𝜕(𝜔𝐼−(𝜇+𝛿)𝐶) 𝜕𝐼
𝜕(𝜔𝐼−𝜏𝐶−(𝜇+𝛿)𝐶) 𝜕𝐶 ] = [ 𝛽 𝑁 𝑆 − 𝛼 − 𝜔 − 𝜎 − 𝜇 𝜁 𝑁 𝑆 𝜔 −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) ]
(3)
(4) (5)
Subsitusikan  titik  bebas  penyakit  yang  telah  diperoleh  yaitu (𝑆 1 , 𝐼 1 , 𝑅 1 , 𝐶 1 ) = ( Λ𝑁 (𝛾+𝜇) ,0, γΛ𝑁 (𝛾+𝜇)𝜇 , 0) kedalam matriks Jacobian sehingga
= [ 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 ( 𝛾 + 𝜇 ) ) − 𝛼 − 𝜔 − 𝜎 − 𝜇 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 ( 𝛾 + 𝜇 ) ) 𝜔 − ( 𝜏 + 𝜇 + 𝛿 ) ].
Langkah  selanjutnya,  dekomposisi  matriks  Jacobian  ( 𝐽) menjadi 𝐽 = 𝐹 − 𝑉 ,  dengan 𝐹 matriks transmisi dengan 𝑉 matriks transisi maka diperoleh
𝐹 = [( 𝛽 Λ ( 𝛾 + 𝜇 ) ) 𝜁 Λ ( 𝛾 + 𝜇 ) 0 0 ]       dan 𝑉 = [ 𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇 0 −𝜔 ( 𝜏 + 𝜇 + 𝛿 ) ] .
Langkah selanjutnya menghitung 𝑉 −1 sehingga diperoleh
𝑉 −1 = [ − (𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) − 𝜁Λ (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)
− 𝜔(𝛾 + 𝜇) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) − (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇)
(𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)]
.
Langkah selanjutnya menghitung 𝑅 0 dengan 𝑅 0 = 𝜌(𝐹𝑉 −1 ) sehingga diperoleh
𝐹𝑉 −1 = [( βΛ (𝛾 + 𝜇) ) (𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) + ( 𝜁Λ ( 𝛾 + 𝜇 ) ) 𝜔 ( 𝛾 + 𝜇 ) ( 𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇 )( 𝜏 + 𝜇 + 𝛿 )( 𝛾 + 𝜇 ) 0 0 0 ].
Langkah  selanjutnya  mencari  nilai  eigen  matriks  dengan  cara 𝜆𝐼 − 𝐹𝑉 −1 sehingga  diperoleh  dari persamaan berikut:
𝑑𝑒𝑡|𝜆𝐼 − 𝐹𝑉 −1 | = 0 [ 𝜆 0 0 𝜆 ] −   [( βΛ (𝛾 + 𝜇) ) (𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) + ( 𝜁Λ (𝛾 + 𝜇) ) 𝜔(𝛾 + 𝜇) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) 0 0 0 ] = 0 |𝜆𝐼 − 𝐹𝑉 −1 | = 0 ⟺ [𝜆 + ( βΛ (𝛾 + 𝜇) ) (𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇)
(𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) + ( 𝜁Λ (𝛾 + 𝜇) ) 𝜔(𝛾 + 𝜇) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) 0 0 𝜆 ] = 0 (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇)𝜆 − Λ(𝜁𝜔 + 𝜏β + 𝜇β + 𝛿β)𝜆 (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) = 0
Sehingga diperoleh λ 1 = − (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇) (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇) dan 𝜆 2 = Λ(𝜁𝜔+𝜏β+𝜇β+𝛿β) (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇)
Karena  bilangan  reproduksi  dasar  diperoleh  dari  radius  spektal  atau  nilai  eigen  terbesar,  maka diperoleh:
𝑅 0 = Λ(𝜁𝜔 + 𝜏β + 𝜇β + 𝛿β) (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇)

## 3.5 Analisis Titik Kesetimbangan
Sistem  (1)  merupakan  sistem  persamaan  diferensial  nonlinear,  sehingga  untuk  menentukan kestabilan  pada  titik  kesetimbangan  perlu  pelinearisasian,  karena  untuk  mengetahui  kestabilan masing-masing  masing  titik  kesetimbangan  model  dapat  menggunakan  sistem  yang  telah dilinearisasikan. Dengan melinearisasikan sistem (1) diperoleh matriks Jacobian berikut
𝐽 = [ − 𝛽𝐼 𝑁 − 𝛾 − 𝜇 − 𝛽 𝑁 𝑆 0                        − 𝜁 𝑁 𝑆 𝛽𝐼 𝑁 + 𝜁 𝑁 𝐶 𝛽 𝑁 𝑆 − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇 0 𝜁 𝑁 𝑆 𝛾 0 𝛼 𝜔 −𝜇 𝜏
0                −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)]
(11)
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
Teorema  1. Jika 𝑅 0 < 1 ,  dan βΛ ( 𝜁𝜔 β + 𝜏 + 𝜇 + 𝛿) < (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) maka titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 1 stabil asimtotik lokal.
Bukti: Diketahui 𝑅 0 < 1. Akan dibuktikan kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit dari sistem (1) stabil asimtotik lokal.  Pertama akan ditentukan matriks jacobian dari sistem (1). Hal ini dilakukan dengan  linearisasi  dis  ekitar  titik  kesetimbangan  dari  sistem  (1)  yaitu,  langkah  selanjutnya subsitusikan  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit 𝐸 1 = (𝑆 1 , 𝐼 1 , 𝑅 1 , 𝐶 1 ) = ( Λ𝑁 (𝛾+𝜇) ,0, γΛ𝑁 (𝛾+𝜇)𝜇 , 0) ke dalam matriks jacobian (3) sehingga:
𝐽 = [ −𝛾 − 𝜇 − 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 0                      − 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 0 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇 0 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 𝛾 0 𝛼 𝜔 −𝜇                                         𝜏 0                    −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) ]
𝐽 (𝐸 1) = [ −𝛾 − 𝜇 − 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 0                      − 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 0 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇 0 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 𝛾 0 𝛼 𝜔 −𝜇                                         𝜏 0                    −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) ]
Langkah selanjutnya menggunakan ekspansi kofaktor, diketahui 𝐽 mempunyai 𝜆 1 = −𝛾 − 𝜇 < 0 . Selanjutnya selidiki nilai eigen dari sub-matrik 𝐽 1
𝐽 1 = [ 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇 0 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 𝛼 −𝜇 𝜏
𝜔 0 −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) ]
sistem disekitar titik kesetimbangan 𝐸 1 akan stabil asimtotik jika sub-matriks 𝐽 1 mempunyai trace negatif (𝑡𝑟( 𝐽 1 ) < 0) dan determinanya positif (𝑑𝑒𝑡( 𝐽 1 ) > 0) (orang), yang berarti
𝑡𝑟( 𝐽 1 ) < 0 ⟺ (𝛽 ( Λ (𝛾 + 𝜇) ) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇) + (−𝜇) + (−𝜏 − 𝜇 − 𝛿) < 0
⟺ ( 𝛽Λ (𝛾 + 𝜇) ) < 𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜏 + 𝛿 + 3𝜇 (𝑑𝑒𝑡( 𝐽 1 ) > 0) ⟺ 𝜇 ((( 𝛽Λ (𝛾 + 𝜇) ) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇) (−(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)) (( 𝜁Λ (𝛾 + 𝜇) )) (𝜔)) > 0
⟺ 𝜇(𝛽Λ(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) + 𝜁Λ𝜔) (𝛾 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇) <  1
Oleh  karena  itu,  jika ( 𝛽Λ (𝛾+𝜇) ) < 𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜏 + 𝛿 + 3𝜇 dan 𝛽Λ(𝜏+𝜇+𝛿)+𝜁Λ𝜔 (𝛾+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛼+ 𝜔+𝜎+𝜇) < 1 maka 𝜆 2 < 0, 𝜆 3 < 0 dan 𝜆 4 < 0 . Sehingga terbukti jika, ( 𝛽Λ (𝛾+𝜇) ) < 𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜏 + 𝛿 + 3𝜇 dan 𝑅 0 < 1 maka sistem disekitar titik kesetimbangan stabil asimtotik lokal. ■ Setelah analisis 𝑅 0 disekitar titik kesetimbangan bebas penyakit, selanjutnya akan ditentukan kriteria  kestabilan  sistem  disekitar  titik  kesetimbangan 𝐸 2 . Untuk  menganalisis  kestabilan  sistem
(12)
(13)
disekitar titik kesetimbangan 𝐸 2 , subsitusikan 𝐸 2 kedalam matrix Jacobian nilai eigen (𝜆) dari sistem (1) pada titik kesetimbangan 𝐸 2 diperoleh jika dan hanya jika | 𝐽 (𝐸 (2) − 𝜆𝐼| = 0 , dengan 𝐼 merupakan matriks identitas [14].
𝐽 =
[ −𝛾 − 𝜇 − 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 0                      − 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 0 𝛽 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇 0 𝜁 𝑁 ( Λ𝑁 (𝛾 + 𝜇) ) 𝛾 0 𝛼 𝜔 −𝜇 𝜏 0 −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) ]
|𝐽 (𝐸 2 ) − 𝜆𝐼| = 0 ⟺     [ 𝐽 11 𝐽 12 𝐽 13 𝐽 14 𝐽 21 𝐽 22 𝐽 23 𝐽 24 𝐽 31 𝐽 41 𝐽 32 𝐽 42 𝐽 33 𝐽 43 𝐽 34 𝐽 44 ] = 0
Dengan
𝐽 11 = −𝛽 Λ(𝑅 0 − 1) 𝑅 0 (𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇) − 𝛾 − 𝜇 − 𝜆 𝐽 12 = − 𝛽Λ 𝑅 0 (𝛾 + 𝜇) 𝐽 13 = 0 𝐽 14 = − 𝜁Λ 𝑅 0 (𝛾 + 𝜇) 𝐽 11 =  𝛽 Λ(𝑅 0 − 1) 𝑅 0 (𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇) + 𝜁Λ(𝑅 0 − 1) 𝑅 0 (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)
𝐽 12 = 𝛽𝑁Λ 𝑅 0 (𝛾 + 𝜇) − 𝛼 −  𝜔 − 𝜎 − 𝜇 − 𝜆
𝐽 13 = 0 𝐽 14 = 𝜁𝑁Λ 𝑅 0 (𝛾 + 𝜇)
𝐽 11 = 𝛾 𝐽 12 = 𝛼 𝐽 13 = −𝜇 − 𝜆 𝐽 14 =  𝜏 𝐽 11 = 0 𝐽 12 = 𝜔 𝐽 13 = 0
𝐽 14 = −(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) − 𝜆
Dengan demikian diperoleh persamaan karakteristik
𝜆 4 𝑎 0 + 𝜆 3 𝑎 1 + 𝜆 2 𝑎 2 + 𝜆 𝑎 3 +  𝑎 4 = 0
dengan
𝑎 0 = 1
𝑎 1 = 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 + 4𝜇 + 𝜔 + 𝑝 − 𝑟 + 𝜎 + 𝜏
𝑎 2 = 𝛿𝛼 + 𝛼𝛾 + 3𝜇𝛼 + 𝑝𝛼 + 𝜏𝛼 + 𝛿𝛾 + 3𝜇𝛿 + 𝛿𝜔 + 𝛿𝑝 − 𝛿𝑟 + 𝛿𝜎 + 3𝛾𝜇 + 𝛾𝜔 − 𝛾𝑟 + 𝛾𝜎 + 𝛾𝜏 + 6𝜇 2 + 3𝜇𝜔 + 3𝜇𝑝 − 3𝜇𝑟 + 3𝜇𝜎 + 3𝜇𝜏 + 𝜔𝑝 − 𝜔𝑠 + 𝜏𝜔 + 𝑝𝜎 + 𝜏𝑝 + 𝑞𝑟 − 𝜏𝑟 + 𝜏𝜎
𝑎 3 = 𝛼𝛿𝛾 + 2𝛼𝛿𝜇 + 𝛼𝛿𝑝 + 2𝛼𝛾𝜇 + 𝛼𝛾𝜏 + 3𝜇 2 𝛼 + 2𝛼𝜇𝑝 + 2𝛼𝜇𝜏 + 𝛼𝑝𝜏 + 2𝛿𝛾𝜇 + 𝛿𝛾𝜔 − 𝛿𝛾𝑟 + 𝛿𝛾𝜎 + 3𝜇 2 𝛿 + 2𝛿𝜇𝜔 + 2𝛿𝜇𝑝 − 2𝛿𝜇𝑟 + 2𝛿𝜇𝜎 + 𝛿𝜔𝑝 + 𝛿𝑝𝜎 + 𝛿𝑞𝑟 + 3𝛾𝜇 2 + 2𝛾𝜇𝜔 − 2𝛾𝜇𝑟 + 2𝛾𝜇𝜎 + 2𝛾𝜇𝜏 − 𝛾𝜔𝑠 + 𝛾𝜔𝜏 − 𝛾𝑟𝜏 + 𝛾𝜎𝜏 + 4𝜇 3 + 3𝜇 2 𝜔 + 3𝜇 2 𝑝 − 3𝜇 2 𝑟 + 3𝜇 2 𝜎 + 3𝜇 2 𝜏 + 2𝜇𝜔𝑝 − 2𝜇𝜔𝑠 + 2𝜇𝜔𝜏 + 2𝜇𝑝𝜎 + 2𝜇𝑝𝜏 + 2𝜇𝑞𝑟 − 2𝜇𝑟𝜏 + 2𝜇𝜎𝜏 − 2𝜔𝑝𝑠 + 𝜔𝑝𝜏 − 𝜔𝑞𝑠 + 𝑝𝜎𝜏 + 𝑞𝑟𝜏
(6)
𝑎 4 = 𝛼𝛿𝛾𝜇 + 𝛼𝛿𝜇 2 + 𝛼𝜇 2 𝑝 + 𝛼𝜇 2 𝜏 + 𝛼𝜇𝑝𝜏 + 𝛿𝛾𝜇 2 + 𝛿𝛾𝜇𝜔 − 𝛿𝛾𝜇𝑟 + 𝛿𝛾𝜇𝜎 + 𝛿𝜇 2 𝜔 + 𝛿𝜇 2 𝑝 − 𝛿𝜇 2 𝑟 + 𝛿𝜇 2 𝜎 + 𝛿𝜇𝜔𝑝 + 𝛿𝜇𝑝𝜎 + 𝛿𝜇𝑞𝑟 + 𝛾𝜇 3 + 𝛾𝜇 2 𝜔 − 𝛾𝜇 2 𝑟 + 𝛾𝜇 2 𝜎 + 𝛾𝜇 2 𝜏 + 𝛾𝜇 2 𝑝𝛼 − 𝛾𝜇𝜔𝑠 + 𝛾𝜇𝜔𝜏 − 𝛾𝜇𝑟𝜏 + 𝛾𝜇𝜎𝜏 + 𝜇 4 + 𝜇 3 𝜔 + 𝜇 3 𝑝 − 𝜇 3 𝑟 + 𝜇 3 𝜎 + 𝜇 3 𝜏 + 𝜇 3 𝜏𝛼 + 𝜇 2 𝜔𝑝 − 𝜇 2 𝜔𝑠 + 𝜇 2 𝜔𝜏 + 𝜇 2 𝑝𝜎 + 𝜇 2 𝑝𝜏 + 𝜇 2 𝑞𝑟 − 𝜇 2 𝑟𝜏 + 𝜇 2 𝜎𝜏 − 2𝜇𝜔𝑝𝑠 + 𝜇𝜔𝑝𝜏 − 𝜇𝜔𝑞𝑠 + 𝜇𝑝𝜎𝜏 + 𝜇𝑞𝑟𝜏 + 𝛼𝛿𝜇 + 𝛼𝛾𝜇
Teorema  2. Jika 𝑅 0 > 1 dan βΛ ( 𝜁𝜔 β + 𝜏 + 𝜇 + 𝛿) > (𝛼 + 𝜔 + 𝜎 + 𝜇)(𝜏 + 𝜇 + 𝛿)(𝛾 + 𝜇) maka sistem 1 disekitar titik ekuilibrium 𝐸 2 stabil asimtotik lokal.
Bukti: Akan dibuktikan semua nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik ekuilibrium 𝐸 2 mempunyai bagian real yang negatif, akan dibuktikan semua akar-akar dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif, akan dibuktikan jika determinan dari matriks Hurwitz bernilai positif maka persaman karakteristik merupakan Polinomial Hurwits, akan dibuktikan 𝑎 0 > 0 , 𝑎 1 > 0 , 𝑎 4 > 0 dan 𝑎 3 (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 ) − 𝑎 1 2 𝑎 4 > 0
Akan ditunjukan bahwa 𝑎 0 > 0 dimana 𝑎 0 = 1 maka 𝑎 0 > 0 terpenuhi.
Akan ditunjukan bahwa 𝑎 1 > 0 dimana
𝑎 1 = 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 + 4𝜇 + 𝜔 + 𝑝 − 𝑞 + 𝜎
Dimana 𝑝 = Λ(𝑅 0 −1) 𝑅 0 (𝛼+ 𝜔+𝜎+𝜇) 𝑟 = 𝛽Λ 𝑅 0 (𝛾+𝜇) , 𝑞 = 𝜁Λ(𝑅 0 −1) 𝑅 0 (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿) dan 𝑠 = 𝜁Λ 𝑅 0 (𝛾+𝜇) sehingga
𝑎 1 = 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 + 4𝜇 + 𝜔 + Λ(𝑅 0 − 1) 𝑅 0 (𝛼 +  𝜔 + 𝜎 + 𝜇) − 𝛽𝑁Λ 𝑅 0 + 𝜎 + 𝜏
Karena 𝑅 0 = Λ(𝜁𝜔+𝜏β+𝜇β+𝛿β) (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇) ,
⟺ (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇)𝑅 0 Λ = Λ𝜁𝜔 + βΛ(𝜏 + 𝜇 + 𝛿) maka
𝑎 1 = 1 𝜁𝜔 + 𝛿𝛽 + 𝜇𝛽 + 𝜏𝛽 (𝛾𝜁𝜔 + 𝛾𝛽𝛿 + 𝛾𝛽𝜇 + 𝛾𝛽𝜏 + 𝛾(𝑅 0 )𝛽𝛿 + 𝛾(𝑅 0 )𝛽𝜇 + 𝛾(𝑅 0 )𝛽𝜏 + 𝜇(𝑅 0 )𝛽𝛿 + 𝜇(𝑅 0 )𝛽𝜇 + 𝜇(𝑅 0 )𝛽𝜏 + 𝜁𝛼𝜔 + 𝜁𝛿𝜔 + 4𝜁𝜇𝜔 + 𝜁𝜔 2 + 𝜁𝜔𝜎 + 𝜁𝜔𝜏 + 𝛽𝛿 2 + 4𝛽𝛿𝜇 + 2𝛽𝛿𝜏 + 3𝛽𝜇 2 + 4𝛽𝜇𝜏 + 𝛽𝜏 2
Karena 𝑅 0 > 1 , sehingga syarat 𝑎 1 > 0 terpenuhi
Akan ditunjukan bahwa 𝑎 4 > 0 dimana
𝑎 4 = 𝛼𝛿𝛾𝜇 + 𝛼𝛿𝜇 2 + 𝛼𝛿𝜇𝑝 + 𝛼𝛾𝜇 2 + 𝛼𝛾𝜇𝜏 + 𝛼𝜇 3 + 2𝜇 2 𝑝 + 𝛼𝜇 2 𝜏 + 𝛼𝜇𝑝𝜏 + 𝛿𝛾𝜇 2 + 𝛿𝛾𝜇𝜔 − 𝛿𝛾𝜇𝑞 + 𝛿𝛾𝜇𝑞 + 𝛿𝛾𝜇𝜎 + 𝛿 + 𝛿𝜇 2 𝜔 + 𝛿𝑝 − 𝛿𝜇 2 𝑞 + 𝛿𝜇 2 𝜎 + 𝛿𝜇𝜔𝑝 + 𝛿𝜇𝑝𝜎 + 𝛿𝜇𝑞𝑟 + 𝛾𝜇 3 + 𝛾𝜇 2 𝜔 − 𝛾𝜇 2 𝑞 + 𝛾𝜇 2 𝜎 + 𝛾𝜇 2 𝜏 + 𝛾𝜇𝜔𝜏 − 𝛾𝜇𝑞𝜏 + 𝛾𝜇𝜎𝜏 + 𝜇 4 + 𝜇 3 𝜔 + 𝜇 3 𝑝 − 𝜇 3 𝑞 + 𝜇 3 𝜏 + 𝜇 2 𝜔𝑝 + 𝜇 2 𝑝𝜎 + 𝜇 2 𝑝𝜏 + 𝜇 2 𝑞𝑟 − 𝜇 2 𝑞𝜏 + 𝜇 2 𝜎𝜏 + 𝜇𝜔𝑝𝜏 + 𝜇𝑝𝜎𝜏 + 𝜇𝑞𝑟𝜏
1
𝛾𝑟𝛿 + 𝛿𝜇𝑟 + 𝛾𝜇𝑟 + 𝛾𝜔𝑠 + 𝛾𝑟𝜏 + 𝜇 2 𝑟 + 𝜇𝜔𝑠 + 𝜇𝑟𝜏 + 2𝜔𝑝𝑠 + 𝜔𝑞𝑠 (𝛼𝛿𝛾 + 𝛼𝛿𝜇 + 𝛼𝜇𝑝 + 𝛼𝜇𝜏
+ 𝛼𝑝𝜏 + 𝛾𝛿𝜇 + 𝜔𝛾𝛿 + 𝜎𝛾𝛿 + 𝛿𝜇𝜔 + 𝛿𝜇𝑝 + 𝛿𝜇𝜎 + 𝜔𝑝𝛿 + 𝜎𝑝𝛿 + 𝑞𝑟𝛿 + 𝛾𝜇 2 + 𝜔𝛾𝜇 + 𝛾𝜇𝜎 + 𝛾𝜇𝜏 + 𝛾𝜇𝑝𝛼 + 𝜔𝛾𝜏 + 𝜎𝛾𝜏 + 𝜇 3 + 𝜔𝜇 2 + 𝑝𝜇 2 + 𝜇 2 𝜎 + 𝜏𝜇 2 + 𝜇 2 𝜏𝛼 + 𝜔𝑝𝜇 + 𝜇𝜔𝜏 + 𝜇𝑝𝜎 + 𝑝𝜏𝜇 + 𝜇𝑞𝑟 + 𝜇𝜎𝜏 + 𝜔𝑝𝜏 + 𝜎𝑝𝜏 + 𝑞𝑟𝜏 + 𝛼𝛿 + 𝛼𝛾 > 1
Karena 𝑅 0 > 1 , sehingga syarat 𝑎 4 > 0 terpenuhi
Selanjutnya, akan dibuktikan 𝑎 3 (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 ) − 𝑎 1 2 𝑎 4 > 0
Bukti:
𝑚 1 2 𝑛 4 + 𝑚 1 𝑚 2 𝑚 3 + 2𝑚 1 𝑚 4 𝑛 1 + 𝑚 1 𝑛 2 𝑛 3 + 𝑚 2 𝑛 1 𝑛 3 + 𝑚 3 𝑛 1 𝑛 2 + 𝑛 1 2 𝑛 4 + 2𝑚 3 𝑛 3 𝑚 1 2 𝑚 4 + 𝑚 1 𝑚 3 𝑛 3 + 𝑚 1 𝑚 3 𝑛 2 + 2𝑚 1 𝑛 1 𝑛 4 + 𝑚 1 𝑚 3 𝑛 1 + 𝑚 4 𝑛 1 2 + 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 + 𝑚 3 2 + 𝑛 3 2 > 1
dimana ∶ 𝑚 1 = 𝛼𝛿𝛾 + 2𝛼𝛿𝜇 + 𝛼𝛿𝑝 + 2𝛼𝛾𝜇 + 𝛼𝛾𝜏 + 3𝛼𝜇 2 + 2𝛼𝜇𝑝 + 2𝛼𝜇𝜏 + 𝛼𝑝𝜏 + 2𝛿𝛾𝜇 + 𝛿𝛾𝜔 𝑚 2 = 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 + 4𝜇 + 𝜔 + 𝑝 + 𝜎 𝑚 3 = 𝛼𝛿 + 𝛼𝛾 + 3𝛼𝜇 + 𝛼𝑝 + 𝛼𝜏 + 𝛿𝛾 + 3𝛿𝜇 + 𝛿𝜔 + 𝛿𝑝 + 𝛿𝜎 + 3𝛾𝜇 + 𝛾𝜔 + 𝛾𝜎 + 𝛾𝜏 + 6𝜇 2 + 3𝜇𝜔 + 3𝜇𝜎 + 3𝜇𝜏 + 𝜔𝑝 + 𝜔𝜏 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝜏 + 𝑞𝜏 + 𝜎𝜏 𝑚 4 = 𝛼𝛿𝛾𝜇 + 𝛼𝛿𝜇 2 + 𝛼𝛿𝜇𝑝 + 𝛼𝛾𝜇 2 + 𝛼𝛾𝜇𝜏 + 𝛼𝜇 3 + 𝛼𝜇 2 𝑝 + 𝛼𝜇 2 𝜏 + 𝛼𝜇𝑝𝜏 + 𝛿𝛾𝜇 2 + 𝛿𝛾𝜇𝜔 + 𝛿𝛾𝜇𝜎 + 𝛿𝜇 3 + 𝛿𝜇 2 𝜔 + 𝛿𝜇 2 𝑝 + 𝛿𝜇 2 𝜎 + 𝛿𝜇𝜔𝑝 + 𝛿𝜇𝑝𝜎 + 𝛾𝜇 3 + 𝛾𝜇 2 𝜔 + 𝛾𝜇 2 𝜎 + 𝛾𝜇 2 𝜏 + 𝛾𝜇𝜔𝜏 + 𝛾𝜇𝜎𝜏 + 𝜇 4 + 𝜇 3 𝜔 + 𝜇 3 𝑝 + 𝜇 3 𝜎 + 𝜇 3 𝜏 + 𝜇 2 𝜔𝑝 + 𝜇 2 𝜔𝜏 + 𝜇 2 𝑝𝜎 + 𝜇 2 𝑝𝜏 + 𝜇 2 𝜏𝜎 + 𝜇𝜔𝑝𝜏 + 𝜇𝑝𝜎𝜏 𝑛 1 = 𝑞 𝑛 2 = 𝛿𝑞 + 𝛾𝑞 + 3𝜇𝑝 + 3𝜇𝑞 + 𝑞𝜏 𝑛 3 = 𝛿𝛾𝑞 + 2𝛾𝜇𝑞 + 𝛾𝑞𝜏 + 3𝜇 2 𝑞 + 2𝜇𝑞𝜏 𝑛 4 = 𝛿𝛾𝜇𝑞 + 𝛿𝜇 2 𝑞 + 𝛾𝜇 2 𝑞 + 𝛾𝜇𝑞𝜏 + 𝜇 3 𝑞 + 𝜇 2 𝑞𝜏 Karena 𝑎 3 (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 ) − 𝑎 1 2 𝑎 4 > 0, sehingga syarat untuk 𝑎 3 (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 0 𝑎 3 ) − 𝑎 1 2 𝑎 4 > 1 terpenuhi.  dengan  demikian  terbukti  bahwa  pada  saat 𝑅 0 > 0 ,  titik  kestimbangan  endemik  stabil asimtotik. Hal tersebut menunjukan individu yang terinfeksi virus hepatitis B akan selalu ada  dan tingkat penyebaranya stabil asimtotik lokal.■

## 3.6 Simulasi Numerik
Simulasi dilakukan menggunakan program matematika dan dengan memberikan masing-masing nilai parameter. Simulasi ini bertujuan untuk memberikan gambaran geometris terkait dengan hasil transmisi hepatitis B pada sirosis hati yang telah dianalisis. Dalam penelitian transmisi hepatitis B pada  sirosis  hati  dianalisis  dengan  menggunakan  parameter-parameter  yang  diambil  dari  kota Pontianak dan diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Sedangkan masing-masing nilai parameter yang diberikan untuk memuat simulasi disajikan dalam Tabel 2 dan Tabel 3.
Tabel 2. Nilai parameter untuk Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Parameter simbol Nilai Sumber Tingkat kelahiran alami Λ 0.06 [15] Tingkat kontak antar individu terinfeksi dan individu rentan 𝛽 0.00009 [15] Tingkat kematian alami 𝜇 0.0005 [8] Tingkat populasi individu rentan divaksinasi 𝛾 0.001 [16] Tingkat individu terinfeksi menjadi sirosis hati 𝜔 0.000003 [4] Tingkat kematian akibat sirosis hati 𝛼 0.00002 [4]
Karena 𝑅 0 = Λ(𝜁𝜔+𝜏β+𝜇β+𝛿β) (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇) ,  maka  jika  disubsitusikan  nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  1 diperoleh 𝑅 0 = 0.3423993061 . Hasil simulasi pada kondisi ini diperoleh
Berdasarkan Gambar 2 dapat dilihat jumlah sup-populasi rentan mengalami peningkatan, hal ini terjadi karena adanya kelahiran alami  dari sub-populasi rentan dan tidak adanya individu  yang terkena  penyakit,  sehinga  dari 𝑡 = 0 sub-populasi  rentan  terus  meningkat.  sub-populasi  terinfeksi dalam  kurung  waktu  mengalami  penurunan,  hal  ini  karena  adanya  tingkat  sub-populasi  terinfeksi yang sembuh secara alami serta adanya tingkat sub-populasi individu yang terinfeksi menjadi sirosis hati,  sehingga  menuju  ke  nol  disekitar 𝑡 = 25 bulan  hingga  seterusnya  jumlah  individu  terinfeksi mengalami penurunan yang diakbatkan oleh adanya kematian alami serta kematian yang diakibatkan oleh sirosi hati. sub-populasi removed mengalami peningkatan. Hal ini terjadi karena meningkatnya individu  pada  sub-populasi  rentan  dengan  tingkat  vaksinasi  dan  terdapat  individu  yang  terinfeksi menjadi removed yang  diakibatkan  adanya  kesembuhan  alami  sehingga  jumlah  individu removed mengalami peningkatan, sehinga dari 𝑡 = 0 sub-populasi rentan terus meningkat. sub-populasi sirosis hati mengalami penurunan, hal ini terjadi karena adanya tingkat kematian alami dan tingkat kematian yang diakibatkan sirosis hati serta terdapatnya tingkat individu yang sembuh dari sirosis hati, sehinga menuju ke nol sekitar 𝑡 = 10 bulan sub-populasi rentan terus meningkat.
Berdasarkan hal tersebut, maka jumlah sub-populasi transmisi hepatitis B pada sirosis hati pada keadaan bebas penyakit akan stabil.
Selanjutnya melakukan simulasi pada parameter kesetimbangan endemik yang disajikan dalam Tabel 3.
Tabel 3. Nilai parameter untuk Titik Kesetimbangan Endemik Parameter Simbol Nilai Sumber Tingkat kelahiran alami Λ 0.06 [15] Tingkat  kontak  antar  individu  terinfeksi  dan  individu rentan 𝛽 0.009 [15] Tingkat kematian alami 𝜇 0.0005 [8] Tingkat populasi individu rentan divaksinasi 𝛾 0.001 [16] Tingkat individu terinfeksi menjadi sirosis hati 𝜔 0.003 [4] Tingkat kematian akibat sirosis hati 𝛼 0.002 [4]
Gambar 2 . Simulasi numerik titik kesetimbangan bebas penyakit
Karena 𝑅 0 = Λ(𝜁𝜔+𝜏β+𝜇β+𝛿β) (𝛼+𝜔+𝜎+𝜇)(𝜏+𝜇+𝛿)(𝛾+𝜇) ,  maka  jika  disubsitusikan  nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  2 diperoleh 𝑅 0 = 6.332562986 . hasil simulasi pada kondisi ini diperoleh
Berdasarkan  Gambar  3.  Dapat  dilihat  jumlah  sup-populasi  rentan  stabil  dalam  waktu 𝑡 = 25 bulan. Hal ini terjadi karena belum terdapat individu yang terkena terinfeksi hepatitis B. sehinga dalam kurung waktu 𝑡 = 25 menuju ke 𝑡 = 50 bulan sub-populasi rentan terus meningkat. Hal ini disebabkan  adanya  kelahiran  alami,  selanjutnya  pada  waktu 𝑡 = 5 menuju  ke 𝑡 = 75 mengalami penurunan  kembali.  Hal  ini  disebabkan  terjadinya  individu  yang  terinfeksi  hepatitis  B  yang jumlahnya terus  meningkat,  sehinga disekitar 𝑡 = 100 bulan sub-populasi rentan terus meningkat. Selanjutnya  sekitar 𝑡 = 125 dengan  adanya  vaksinasi  sub-populasi  rentan  akan  menyebabkan stabilnya sub-populasi rentan. Sub-Populasi terinfeksi diawal grafik yang meningkat, hal ini karena adanya tingkat kontak interaksi antara individu terinfeksi dan individu rentan sehingga berpindahnya individu  dari  sub-populasi  rentan  menjadi  terinfeksi  mengakibatkan  individu  pada  sub-populasi terinfeksi  mengalami  peningkatan,  sehinga  dari  nol 𝑡 = 0 terus  meningkat.  Sub-populasi removed mengalami  peningkatan.  Hal  ini,  terdapat  akibat  adanya  individu  yang  terinfeksi  menjadi  sembuh yang  diakibatkan  adanya  kesembuhan  alami.  Serta  mengalami  peningkatan.  Hal  ini  terjadi  karena meningkatnya  individu  pada  sub-populasi  rentan  yang  di  vaksinasi,  sehinga  dari  nol 𝑡 = 0 sub- populasi removed terus  meningkat.  Sub-populasi  sirosis  hati  awalnya  meningkat,  hal  ini  karena terdapat  individu  terinfeksi  menjadi  sirosis  hati.  Dalam  kurung  waktu 𝑡 = bulan  jumlah  individu terinfeksi mengalami penurunan, hal ini diakibatkan terjadinya kematian alami serta kematian yang diakibatkan sirosis hati, serta meningkat diakibatkan tidak adanyanya individu yang sembuh dalam kurung waktu sekitar 𝑡 = 100.
Berdasarkan hal tersebut, maka jumlah sub-populasi transmisi hepatitis B pada sirosis hati pada keadaan endemik akan stabil dan menjukan berkurangnya transmisi hepatitis B pada sirosis hati.

## 4. Kesimpulan
Model matematika transmisi hepatitis B pada sirosis hati memiliki 2 titik kesetimbangan yaitu, titik  kesetimbangan  bebas  penyakit (𝐸 1 ) yang  stabil  asimtotik  lokal  jika 𝑅 0 < 1 dan  titik
Grafiks_Endemik
Gambar 3. simulasi numerik titik kesetimbangan endemik
kesetimbangan endemik (𝐸 2 ) yang stabil asimtotik lokal jika 𝑅 0 > 1. Model matematika transmisi hepatitis  B  pada  sirosis  hati  menunjukan  apabila  nilai  reproduksi  dasar  kurang  dari  satu,  penyakit hepatitis tidak akan menyebar, dengan kata lain untuk jangka waktu tertentu populasi akan bebas dari penyakit. Namun apabila adanya peningkatan interaksi antara individu terinfeksi dan individu rentan, akan mengakibatkan naiknya individu  terinfeksi, dengan kata lain akan menjadi  epidemi  sehingga individu terinfeksi dan penularan akan tetap ada dalam populasi.

## Referensi
[1] I. S. Sair, “Solusi Numerik Model Penyebaran pada Penyakit Hepatitis B dI Provinsi Sulawesi Selatan Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat,” 2018.
[2] T.  Khan,  Z.  Ullah,  N.  Ali,  and  G.  Zaman,  “Modeling  and  control  of  the  hepatitis  B  virus spreading using an epidemic model,” Chaos Solitons Fractals , vol. 124, pp. 1–9, Jul. 2019, doi: 10.1016/j.chaos.2019.04.033.
[3] CDC, “Hepatitis B FAQs | CDC,” Centers for Disease Control and Prevention. Accessed: Feb. 18, 2023. [Online]. Available: https://www.cdc.gov/hepatitis/hbv/bfaq.htm
[4] R. P. Triananda, M. A. Yuswar, and Robiyanto, “Pola penggunaan obat-obatan pada pasien Ssirosis hati rawat inap RSUD Dr. Soedarso Pontianak.” jurnal  mahasiswa  farmasi fakultas kedokteran Untan , 2019.
[5] K. Humolungo and R. Paudi, “Model Matematika SIUC pada Kasus Kanker Serviks dengan Vaksinasi,” Euler  J.  Ilm.  Mat.  Sains  Dan  Teknol. ,  vol.  7,  no.  1,  pp.  32–36,  Jun.  2019,  doi: 10.34312/euler.v7i1.10331.
[6] S. Zhang and Y. Zhou, “The analysis and application of an HBV model,” Appl. Math. Model. , vol. 36, no. 3, pp. 1302–1312, 2012, doi: 10.1016/j.apm.2011.07.087.
[7] L. B. Dano, K. P. Rao, and T. D. Keno, “Modeling the Combined Effect of Hepatitis B Infection and Heavy Alcohol Consumption on the Progression Dynamics of Liver Cirrhosis,” J. Math. , vol. 2022, pp. 1–18, Apr. 2022, doi: 10.1155/2022/6936396.
[8] M.  A.  Muniroh,  T.  Trisilowati,  and  W.  M.  Kusumawinahyu,  “Analisis  Dinamik  Model Hepatitis B dengan Sirosis Hati,” Limits J. Math. Its Appl. , vol. 19, no. 1, p. 101, May 2022, doi: 10.12962/limits.v19i1.11060.
[9] S.  Side,  M.  S.  Wahyuni,  and  Muh.  Rifki,  “Solusi  Numerik  Model  SIR  pada  Penyebaran Penyakit Hepatitis B dengan Metode Perturbasi  Homotopi di Provinsi Sulawesi  Selatan,” J. Math. Comput. Stat. , vol. 3, no. 2, p. 79, Oct. 2020, doi: 10.35580/jmathcos.v3i2.20122.
[10]  N.  ’Ain  Supu,  Saltina,  K.  Palalu,  and  R.  Ismail,  “Model  Epidemi  SICKR  pada  Penyebaran Penyakit Hepatitis B dan Kanker Hati,” Open Science  Framework, preprint, Jan. 2021. doi: 10.31219/osf.io/9j5er.
[11]  L.  Perko, Differential  equations  and  dynamical  systems ,  3rd  ed.  in  Texts  in  applied mathematics, no. 7. New York: Springer, 2001.
[12]  O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G. Roberts, “The construction of next-generation matrices for compartmental epidemic models,” J. R. Soc. Interface , vol. 7, no. 47, pp. 873–885, Jun. 2010, doi: 10.1098/rsif.2009.0386.
[13]  R. Resmawan dan N. Nurwan, "Konstruksi Bilangan Reproduksi Dasar pada Model Epidemik SEIRS-SEI  Penyebaran  Malaria  dengan  Vaksinasi  dan  Pengobatan," Jurnal  Matematika
Integratif , vol. 13, no. 2, pp. 105-114, 2017. doi
: https://doi.org/10.24198/jmi.v13.n2.12332.105-114
[14]  R. C. Anton, “Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi. Edisi 8 Jilid 1.”
[15]  BPS  kota  pontianak,  “BPS  Kota  Pontianak.”  Accessed:  Jun.  20,  2023.  [Online].  Available: https://pontianakkota.bps.go.id/indicator/12/31/2/jumlah-penduduk.html
[16]  Pontianak dataset, “Data Hasil Capaian Imunisasi HB0 Di Kota Pontianak  - Satu data  Kota Pontianak.” Accessed: Jun. 20, 2023. [Online]. Available:
https://data.pontianak.go.id/dataset/hasil-capaian-imunisasi-hb0