Teorema : Teori dan Riset Matematika , 8 (1), 64 – 70, Maret 2023 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2023 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/7797

## PRESERVASI CROSS-RATIO OLEH TRANSFORMASI MÖBIUS
Iden Rainal Ihsan *
Universitas Samudra, Jln. Prof. Dr. Syarief Thayeb, Meurandeh, Langsa Lama, Kota Langsa, Aceh, Indonesia Email: irainalihsan@unsam.ac.id*
* Corresponding Author

## ABSTRACT
The Möbius transform is a function in the extended complex plane (ℂ ∞ ) which has the property of preserving the cross- ratio value of four different points in ℂ ∞ . This study is needed to enrich the discussion of geometry by expanding on algebraic studies.  In this article, we discuss this property by showing that a Möbius transformation which maps 𝑧 𝑖 → 𝑧 𝑖 ′ ; 𝑧 𝑖 ℂ ∞ , (𝑖 = 1,2,3,4) will imply the equality of cross-ratio values (𝑧 1 , 𝑧 2 ; 𝑧 3 , 𝑧 4 ) = (𝑧 1 ′, 𝑧 2 ′; 𝑧 3 ′, 𝑧 4 ′) . Then it is also discussed the existence of a Möbius transformation caused by the similarity of the cross-ratio values of two different quadruples.
Keywords: Cross-ratio, Preservation, Möbius Transformation

## ABSTRAK
Transformasi Möbius merupakan suatu fungsi di bidang kompleks yang diperluas (ℂ ∞ ) yang memiliki sifat preservasi nilai cross- ratio dari empat titik berbeda di ℂ ∞ . Kajian ini diperlukan untuk perkaya bahasan geometri dengan memperluas pada kajian aljabar. Pada artikel ini dibahas sifat tersebut dengan menunjukkan bahwa suatu transformasi Möbius yang memetakan 𝑧 𝑖 → 𝑧 𝑖 ′ ; 𝑧 𝑖 ℂ ∞ , (𝑖 = 1,2,3,4) akan berimpilikasi pada kesamaan nilai cross-ratio (𝑧 1 , 𝑧 2 ; 𝑧 3 , 𝑧 4 ) = (𝑧 1 ′, 𝑧 2 ′; 𝑧 3 ′, 𝑧 4 ′) . Kemudian dibahas juga eksistensi suatu transformasi Möbius yang diakibatkan oleh kesamaan nilai cross-ratio dari dua quadruple yang berbeda.
Kata kunci: Cross-ratio, Preservasi, Transformasi Möbius
Dikirim: 5 Juni 2022; Diterima: 17 Maret 2023; Dipublikasikan: 31 Maret 2023 Cara sitasi: Ihsan, I. R. (2023). Preservasi cross-ratio oleh transformasi möbius. Teorema: Teori dan Riset Matematika, 8 (1), 64-70. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v8i1.7797

## PENDAHULUAN
Transformasi  Möbius  merupakan  salah  satu  objek  matematika  yang  memiliki  sifat-sifat  yang menarik untuk dibahas, terutama dari sudut pandang geometri. Sebagaimana telah dibahas pada beberapa kajian terdahulu, transformasi Möbius memiliki sifat preservasi lingkaran dan garis (Muhammad et al ., 2022; Niamsup, 2000; Yang, 2008). Selain sifat preservasi yang telah disebutkan, terdapat juga sifat yang terakait dengan eksistensi titik tetap ( fixed point ) pada transformasi Möbius, seperti suatu transformasi Möbius dapat dikonstruksi  secara  tunggal  berdasarkan  hasil  pemetaan  tiga  titik  berlainan  di  bidang  kompleks  yang diperluas (ℂ ∞ = ℂ ∪ {∞}) (Ihsan, 2015, 2016; Olsen, 2010; Zaragoza, 2019). Pada  sifat  preservasi  lingkaran  dan  garis,  transformasi  Möbius  memetakan  lingkaran  menjadi lingkaran di 𝐶 ∞ (Muhammad et al ., 2022). Timbul suatu pertanyaan, transformasi Möbius yang bagaimana yang dapat memetakan suatu lingkaran tertentu ke lingkaran lain?. Pertanyan tersebut terjawab dengan memanfaatkan sifat di geometri Euclid terkait geometri lingkaran, yakni tiga titik berbeda secara tunggal menentukan suatu lingkaran (Olsen, 2010). Hal ini melatarbelakangi munculnya suatu pembahasan konsep yang disebut cross-ratio . Pembahasan tersebut menjadi inti dari artikel ini yang akan menitik beratkan pada suatu sifat khusus, yakni preservasi cross-ratio oleh transformasi Möbius.
Ketertarikan penulis dalam membahas sifat preservasi sebagaimana yang dimaksud terstimulasi dengan potensi transformasi Möbius baik secara terapan maupun konsep. Sebagai contoh, dalam proses mengidentifikasi transisi fase pemecah simetri paritas-waktu yang terjadi dalam sistem putaran linier yang digerakkan  oleh  torsi  transfer  putaran  sebagai  transisi  antara  kelas hiperbolic dan loxodromic dari transformasi  Möbius,  dengan  titik  kritis transisi yang  sesuai  dengan  transformasi  parabola menetapkan pemahaman  transisi  fase  non-ekuilibrium  sebagai  transisi  topologi  dalam  ruang  konfigurasi  (Galda  & Vinokur, 2017). Kemudian, (Chaveroche et al ., 2019) menunjukkan bahwa kompleksitas Efficient Möbius Transformations ( EMT)  selalu lebih rendah daripada kompleksitas algoritma yang mempertimbangkan seluruh lattice , seperti Fast Möbius Transform (FMT) untuk semua transformasi Dempster-Shafer Theory (DST). Kedua hal tersebut merupakan dalah satu pemanfaatan konsep transformasi Möbius pada bidang fisika dan probalitas.
Ketertarikan penulis juga muncul karena potensi pengayaan konsep matematika, khususnya pada bidang aljabar dan geometri. Kebermanfaatan akan dirasakan dalam  pengajaran matematika yang  mana  dapat  menjadi  salah  satu  konsep  yang  mengaitkan  aljabar  dan  geometri  satu dengan lainnya. Aljabar dan geometri memiliki hubungan yang sangat kuat dalam hal pengajaran matematika di  sekolah.  Peserta  didik  yang  memiliki  kemampuan  geometri  yang  lebih  baik  akan  memiliki kemampuan aljabar yang baik pula, begitu pula sebaliknya (Suwito et al ., 2016).
Artikel ini disajikan dengan susunan sistematika yakni bagian awal menyajikan pendahuluan yang  merupakan  unsur novelty dari  kajian.  Pembahasan  mengenai  transformasi  Möbius,  yang merupakan  landasan  pustaka  kajian,  mulai  dari  pendefinisian  hingga  pembahasan  sifat-sifat  dan teorema-teorema yang dapat mendukung  pembahasan utama. Bagian utama dari artikel ini, yakni pembahasan  sifat  preservasi cross-ratio pada  transformasi  Möbius,  dijabarkan  pada  hasil  dan pembahasan. Selanjutnya, bagian kesimpulan dan rekomendasi merupakan bahasan terakhir pada artikel ini. Sebagai visualisasi sederhana, pada  Gambar  1 ditampilkan representasi geometris dari transformasi Möbius di bidang kompleks.
Gambar 1. Representasi geometris transformasi Möbius (Sumber: https://www.geogebra.org/m/GhaSJw3t)

## Transformasi Möbius dan Cross-ratio
Transformasi Möbius merupakan salah satu transformasi di bidang kompleks yang diperluas (ℂ ∞ ) . Dikedepankan oleh Auguste Ferdinand Möbius, transformasi ini dikenal juga dalam istilah lain, yaitu homographic  transformations,  fractional  linear  transformations, atau bilinear  transformations (Ihsan, 2015; Muhammad et al ., 2022; Olsen, 2010) . Berikut adalah pendefinisan transformasi Möbius
Definisi 1. (Zaragoza, 2019) Suatu transformasi Möbius 𝑀: 𝐶 ∞ → 𝐶 ∞ adalah suatu pemetaan sedemikian sehingga
𝑀(𝑧) = 𝑎𝑧+𝑏 𝑐𝑧+𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐶 dan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
Misalkan  diberikan  bentuk 𝑤 = 𝑀(𝑧) = 𝑎𝑧+𝑏 𝑐𝑧+𝑑 (dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐶 dan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 ), 𝑀(𝑧) mengasosiasikan sebuah titik tunggal (unik) 𝑤 ∈ ℂ ∞ dengan sebarang 𝑧 ∈ ℂ ∞ kecuali untuk 𝑧 = − 𝑑 𝑐 dengan 𝑐 ≠ 0 (Olsen, 2010).
Definisi 2. Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ ∞ yang  tidak  semuanya  sama.  (Salah  satu)  nilai Cross-ratio berdasarkan keempat titik tersebut didefinisikan sebagai berikut:
(𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑) = (𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑑)

## (𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑐)
Nilai  yang  dipaparkan  pada  definisi  bukanlah  satu-satunya  nilai cross-ratio .  Berdasarkan aturan perkalian, konfigurasi Cross-ratio pada empat titik akan ada sebanyak 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 . Akan tetapi apabila kita tinjau lebih terperinci akan ada beberapa kelompok nilai Cross-ratio yang bernilai sama. Misalkan (𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑) = 𝜆 ∈ ℂ ∞ , dapat ditinjau bahwa
(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑑) (𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑐) = (𝑏 − 𝑑)(𝑎 − 𝑐) (𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑑) = (𝑐 − 𝑎)(𝑑 − 𝑏) (𝑐 − 𝑏)(𝑑 − 𝑎) = (𝑑 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎) (𝑐 − 𝑏)(𝑑 − 𝑎) = 𝜆
sehingga diperoleh
(𝑏, 𝑎; 𝑑, 𝑐) = (𝑐, 𝑑; 𝑎, 𝑏) = (𝑑, 𝑐; 𝑏, 𝑎) = 𝜆
Selanjutnya, dapat kita analisis nilai cross-ratio lain dari empat titik berbeda yang sebelumnya dibahas (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ ∞ ) . Perhatikan bahwa
(𝑎, 𝑏; 𝑑, 𝑐) = (𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑐) (𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑑) = (𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑑) (𝑏 − 𝑑)(𝑎 − 𝑐) = (𝑐 − 𝑏)(𝑑 − 𝑎) (𝑐 − 𝑎)(𝑑 − 𝑏) = (𝑑 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏) (𝑑 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎)
Kemudian, dapat dicari hubungan (𝑎, 𝑏; 𝑑, 𝑐) dengan (𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑) sebagai berikut
(𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑐)
(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑑) = 1 (𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑑) (𝑎 − 𝑑)(𝑏 − 𝑐) = 1 𝜆
Dengan cara yang sama, dari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ ∞ dapat diperoleh enam kesamaan kelompok nilai Cross-ratio sebagai berikut (misal (𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑) = 𝜆 ∈ ℂ ∞ )
1. (𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑) = (𝑏, 𝑎; 𝑑, 𝑐) = (𝑐, 𝑑; 𝑎, 𝑏) = (𝑑, 𝑐; 𝑏, 𝑎) = 𝜆
2. (𝑎, 𝑏; 𝑑, 𝑐) = (𝑏, 𝑎; 𝑐, 𝑑) = (𝑐, 𝑑; 𝑏, 𝑎) = (𝑑, 𝑐; 𝑎, 𝑏) = 1 𝜆
3. (𝑎, 𝑐; 𝑏, 𝑑) = (𝑏, 𝑑; 𝑎, 𝑐) = (𝑐, 𝑎; 𝑑, 𝑏) = (𝑑, 𝑏; 𝑐, 𝑎) = 1 − 𝜆
4. (𝑎, 𝑐; 𝑑, 𝑏) = (𝑏, 𝑑; 𝑐, 𝑎) = (𝑐, 𝑎; 𝑏, 𝑑) = (𝑑, 𝑏; 𝑎, 𝑐) = 1
1−𝜆
5. (𝑎, 𝑑; 𝑏, 𝑐) = (𝑏, 𝑐; 𝑎, 𝑑) = (𝑐, 𝑏; 𝑑, 𝑎) = (𝑑, 𝑎; 𝑐, 𝑏) = 𝜆−1
𝜆
6. (𝑎, 𝑑; 𝑐, 𝑏) = (𝑏, 𝑐; 𝑑, 𝑎) = (𝑐, 𝑏; 𝑎, 𝑑) = (𝑑, 𝑎; 𝑏, 𝑐) = 𝜆 𝜆−1

## METODE PENELITIAN
Studi ini adalah kajian literatur dan studi analisis secara matematis yang sifatnya mengembangkan penelitian dan studi relevan yang sudah dikaji sebelumnya yakni sifat preservasi lingkaran dan garis pada transformasi Möbius (Muhammad et al ., 2022) dan titik tetap transformasi Möbius (Ihsan, 2016). Pada kajian ini diperkenalkan mengenai konsep cross-ratio pada transformasi Möbius yang memiliki koneksi dengan  konsep  titik  tetap  dan  memiliki  sifat  preservasi.  Kajian  dilakukan  dengan  langkah-langkah sebagai berikut:
1. Melakukan studi literatur ( literature review ) mengenai transformasi Möbius di ℂ ∞ ;
2. Mendefinisikan cross-ratio pada transformasi Möbius;
3. Membuktikan sifat preservasi cross-ratio pada transformasi Möbius.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dipaparkan  hasil  kajian  mengenai  sifat  preservasi cross-ratio oleh transformasi Möbius. Pembahasan dilakukan dengan menyatakan sifat preservasi dalam bentuk teorema yang kemudian dibuktikan secara formal. Terdapat dua teorema, yang pertama menyatakan implikasi dari transformasi Möbius terhadap kesamaan nilai cross-ratio dari empat titik berbeda di ℂ ∞ dengan nilai cross-ratio dari masing-masing hasil pemetaan keempat titik yang dimaksud. Teorema dan pembahasan yang kedua, sebagai suplemen,  dibahas  juga mengenai  kesamaan  nilai cross-ratio dari  dua  quadruple bilangan-bilangan di ℂ ∞ yang berbeda satu dengan lainnya berimplikasi pada eksistensi suatu transformasi Möbius yang memetakan pasangan quadruple yang diberikan. Secara lebih teoritis dan jelas, disajikan pembahasan teorema-teorema tersebut sebagi berikut:
Teorema 1. Misalkan 𝑀 merupakan  transformasi  Möbius.  Jika 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , 𝑧 4 empat  titik  berbeda  di ℂ ∞ , maka berlaku (𝑀(𝑧 1 ), 𝑀(𝑧 2 ); 𝑀(𝑧 3 ), 𝑀(𝑧 4 )) = (𝑧 1 , 𝑧 2 ; 𝑧 3 , 𝑧 4 ) .
Bukti:
Misalkan 𝑀 = 𝑎𝑧+𝑏 𝑐𝑧+𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ ∞ dengan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 .  Untuk 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 , 𝑧 4 ∈ ℂ ∞ berturut-turut diperoleh 𝑀(𝑧 1 ) = 𝑎𝑧 1 +𝑏 𝑐𝑧 1 +𝑑 ;  𝑀(𝑧 2 ) = 𝑎𝑧 2 +𝑏 𝑐𝑧 2 +𝑑 ;  𝑀(𝑧 3 ) = 𝑎𝑧 3 +𝑏 𝑐𝑧 3 +𝑑 ; dan 𝑀(𝑧 4 ) = 𝑎𝑧 4 +𝑏 𝑐𝑧 4 +𝑑 . Cross-ratio yang  melibat  keempat  titik  tersebut,  salah  satunya  adalah (𝑀(𝑧 1 ), 𝑀(𝑧 2 ); 𝑀(𝑧 3 ), 𝑀(𝑧 4 )) yang dapat dijabarkan sebagai berikut:
(𝑀(𝑧 1 ), 𝑀(𝑧 2 ); 𝑀(𝑧 3 ), 𝑀(𝑧 4 )) = [ 𝑎𝑧 3 + 𝑏 𝑐𝑧 3 + 𝑑 − 𝑎𝑧 1 + 𝑏 𝑐𝑧 1 + 𝑑 ] [ 𝑎𝑧 4 + 𝑏 𝑐𝑧 4 + 𝑑 − 𝑎𝑧 2 + 𝑏 𝑐𝑧 2 + 𝑑 ] [ 𝑎𝑧 3 + 𝑏 𝑐𝑧 3 + 𝑑 − 𝑎𝑧 2 + 𝑏 𝑐𝑧 2 + 𝑑 ] [ 𝑎𝑧 4 + 𝑏 𝑐𝑧 4 + 𝑑 − 𝑎𝑧 1 + 𝑏 𝑐𝑧 1 + 𝑑 ] = [ (𝑎𝑧 3 + 𝑏)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) − (𝑎𝑧 1 + 𝑏)(𝑐𝑧 3 + 𝑑) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑧 4 + 𝑏)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) − (𝑎𝑧 2 + 𝑏)(𝑐𝑧 4 + 𝑑) (𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑧 3 + 𝑏)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) − (𝑎𝑧 2 + 𝑏)(𝑐𝑧 3 + 𝑑) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑧 4 + 𝑏)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) − (𝑎𝑧 1 + 𝑏)(𝑐𝑧 4 + 𝑑) (𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ]
= [ (𝑎𝑧 3 𝑐𝑧 1 + 𝑎𝑑𝑧 3 + 𝑏𝑐𝑧 1 + 𝑏𝑑) − (𝑎𝑧 1 𝑐𝑧 3 + 𝑎𝑑𝑧 1 + 𝑏𝑐𝑧 3 + 𝑏𝑑) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑧 4 𝑐𝑧 2 + 𝑎𝑑𝑧 4 + 𝑏𝑐𝑧 2 + 𝑏𝑑) − (𝑎𝑧 2 𝑐𝑧 4 + 𝑎𝑑𝑧 2 + 𝑏𝑐𝑧 4 + 𝑏𝑑) (𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑧 3 𝑐𝑧 1 + 𝑎𝑑𝑧 3 + 𝑏𝑐𝑧 1 + 𝑏𝑑) − (𝑎𝑧 1 𝑐𝑧 3 + 𝑎𝑑𝑧 1 + 𝑏𝑐𝑧 3 + 𝑏𝑑) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑧 4 𝑐𝑧 1 + 𝑎𝑑𝑧 4 + 𝑏𝑐𝑧 1 + 𝑏𝑑) − (𝑎𝑧 1 𝑐𝑧 4 + 𝑎𝑑𝑧 1 + 𝑏𝑐𝑧 4 + 𝑏𝑑) (𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] = [ (𝑎𝑑𝑧 3 + 𝑏𝑐𝑧 1 ) − (𝑎𝑑𝑧 1 + 𝑏𝑐𝑧 3 ) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑑𝑧 4 + 𝑏𝑐𝑧 2 ) − (𝑎𝑑𝑧 2 + 𝑏𝑐𝑧 4 ) (𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑑𝑧 3 + 𝑏𝑐𝑧 2 ) − (𝑎𝑑𝑧 2 + 𝑏𝑐𝑧 3 ) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑑𝑧 4 + 𝑏𝑐𝑧 1 ) − (𝑎𝑑𝑧 1 + 𝑏𝑐𝑧 4 ) (𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] = [ (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 3 − 𝑧 1 )(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 4 − 𝑧 2 ) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑)(𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 2 + 𝑑) ] [ (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 3 − 𝑧 2 )(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 4 − 𝑧 1 ) (𝑐𝑧 3 + 𝑑)(𝑐𝑧 2 + 𝑑)(𝑐𝑧 4 + 𝑑)(𝑐𝑧 1 + 𝑑) ] = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 3 − 𝑧 1 )(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 4 − 𝑧 2 ) (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 3 − 𝑧 2 )(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)(𝑧 4 − 𝑧 1 ) = (𝑧 3 − 𝑧 1 )(𝑧 4 − 𝑧 2 ) (𝑧 3 − 𝑧 2 )(𝑧 4 − 𝑧 1 ) = (𝑧 1 , 𝑧 2 ; 𝑧 3 , 𝑧 4 ) ∎
Berdasarkan pembuktian teorema tersebut, dapat dikatakan nilai cross-ratio dari sebarang empat titik berbeda  di ℂ ∞ akan  sama  dengan  nilai cross-ratio setiap  hasil  pemetaan  transformasi  Möbius terhadap titik-titik tersebut (dengan urutan yang bersesuaian).
Pada bagian ini kan dipaparkan juga pembahasan mengenai kesamaan nilai cross-ratio dari dua quadruple yang berbeda yang berimplikasi pada eksistensi uatu transformasi Möbius yang memetakan titik-titik pada satu quadruple ke quadruple yang lain (secara berurutan). Secara sederhana, misal (𝑎, 𝑏; 𝑐, 𝑑) = (𝑎 ′ , 𝑏 ′ ; 𝑐 ′ , 𝑑′) dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑎 ′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ , 𝑑 ′ ∈ ℂ ∞ (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 berbeda satu dengan yang lain, begitu pula 𝑎 ′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ , 𝑑′) , akan ada suatu transformasi Möbius 𝑀 sedemikian sehingga 𝑀(𝑎) = 𝑎 ′ ; 𝑀(𝑏) = 𝑏 ′ ; 𝑀(𝑐) = 𝑐′ dan 𝑀(𝑑) = 𝑑′ . Secara formal, konsep ini dituliskan dalam teorema sebagai berikut:
Teorema 2. Misalkan 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ ∞ dengan 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 berbeda satu dengan yang lain, kemudian 𝑧 ′ , 𝑎 ′ , 𝑏′, 𝑐′ ∈ ℂ ∞ dengan 𝑧 ′ , 𝑎′, 𝑏′, 𝑐′ berbeda satu dengan yang lain. Jika (𝑧, 𝑎; 𝑏, 𝑐) = (𝑧 ′ , 𝑎′; 𝑏′, 𝑐′) ,  maka  terdapat  suatu  transformasi  Möbius 𝑀 ,  sehingga 𝑀(𝑧) = 𝑧′;  𝑀(𝑎) = 𝑎 ′ ; 𝑀(𝑏) = 𝑏 ′ ; dan 𝑀(𝑐) = 𝑐′
Bukti: Diketahui
(𝑧, 𝑎; 𝑏, 𝑐) = (𝑧 ′ , 𝑎 ′ ; 𝑏′, 𝑐′)
dengan demikian, dapat diperoleh persamaan (beserta penjabaran) sebagai berikut:
(𝑧 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)
(𝑧 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏) = (𝑧′ − 𝑏′)(𝑎′ − 𝑐′) (𝑧′ − 𝑐′)(𝑎′ − 𝑏′)
(𝑧 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑎′ − 𝑏′)(𝑧′ − 𝑐′) (𝑧 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏)(𝑎′ − 𝑐′) = (𝑧′ − 𝑏′) (𝑧 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑎′ − 𝑏′)(𝑧′ − 𝑐′) (𝑧 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏)(𝑎′ − 𝑐′) = (𝑧′ − 𝑏′)
Misalkan (𝑎 − 𝑐)(𝑎′ − 𝑏′)(𝑧′ − 𝑐′) = 𝜃 dan (𝑎 − 𝑏)(𝑎′ − 𝑐′) = 𝛿 . Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
(𝑧 − 𝑏)𝜃 (𝑧 − 𝑐)𝛿 = (𝑧′ − 𝑏′) (𝑧 − 𝑏)𝜃 (𝑧 − 𝑐)𝛿 + 𝑏′ = 𝑧′ (𝑧 − 𝑏)𝜃 + 𝑏 ′ 𝛿(𝑧 − 𝑐) (𝑧 − 𝑐)𝛿 = 𝑧′
(𝜃𝑧 − 𝜃𝑏) + (𝑏 ′ 𝛿𝑧 − 𝑏 ′ 𝛿𝑐) 𝛿𝑧 − 𝛿𝑐 = 𝑧′
(𝜃 + 𝑏 ′ 𝛿)𝑧 − (𝜃𝑏 + 𝑏 ′ 𝛿𝑐) 𝛿𝑧 − 𝛿𝑐 = 𝑧′
Untuk  menunjukkan  persamaan  di  atas  merupakan  suatu  bentuk  transformasi  Möbius  perlu  diselidiki keberlakuan (𝜃 + 𝑏 ′ 𝛿)(−𝛿𝑐) − (−(𝜃𝑏 + 𝑏 ′ 𝛿𝑐)𝛿) ≠ 0 (sesuai definisi 1). Perhatikan ruas kanan ketaksamaan tersebut
(𝜃 + 𝑏 ′ 𝛿)(−𝛿𝑐) − (−(𝜃𝑏 + 𝑏 ′ 𝛿𝑐)𝛿) = (−(𝜃𝑐 + 𝑏 ′ 𝛿𝑐) − [−(𝜃𝑏 + 𝑏 ′ 𝛿𝑐)])𝛿 = (−𝜃𝑐 − 𝑏 ′ 𝛿𝑐 + 𝜃𝑏 + 𝑏 ′ 𝛿𝑐)𝛿 = (𝑏 − 𝑐)𝜃𝛿
Perhatikan bahwa 𝑏 − 𝑐 ≠ 0 , karena berdasarkan pemisalan 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 merupakan anggota ℂ ∞ yang berbeda satu dengan yang lainnya. Argumentasi yang sama juga dapat digunakan untuk mengklaim bahwa 𝑎 − 𝑐 ≠ 0 dan 𝑎 − 𝑏 ≠ 0 .  Kemudian,  pemisalan 𝑧′, 𝑎′, 𝑏′, 𝑐′ merupakan  anggota ℂ ∞ yang  juga berbeda  satu  dengan  lainnya,  dapaty  dipergunakan  sebagai  argumentasi  untuk  klaim  nilai 𝑎 ′ − 𝑏 ′ ; 𝑧 ′ − 𝑐 ′ ; dan 𝑎′ − 𝑐′ semuanya tidak sama dengan nol. Dengan demikian bisa kita peroleh implikasi 𝜃 ≠ 0 dan 𝛿 ≠ 0. Dapat  kita  simpulkan (𝑏 − 𝑐)𝜃𝛿 ,  yang  mana  berimplikasi  juga  pada (𝜃+𝑏 ′ 𝛿)𝑧−(𝜃𝑏+𝑏 ′ 𝛿𝑐) 𝛿𝑧−𝛿𝑐 = 𝑧′ merupakan bentuk transformasi Möbius (dalam hal ini 𝑀(𝑧) = 𝑧 ′ ) . Dengan konfigurasi nilai cross-ratio yang lain, dapat dikonstruksi dan ditunjukkan 𝑀(𝑎) = 𝑎 ′ ; 𝑀(𝑏) = 𝑏 ′ ; dan 𝑀(𝑐) = 𝑐′ .    Jadi  terbukti  kesamaan (𝑧, 𝑎; 𝑏, 𝑐) = (𝑧 ′ , 𝑎′; 𝑏′, 𝑐′) berimplikasi  pada  eksistensi suatu tranformasi Möbius 𝑀 sedemikian sehingga 𝑀(𝑧) = 𝑧 ′ ;  𝑀(𝑎) = 𝑎 ′ ; 𝑀(𝑏) = 𝑏 ′ ; 𝑑𝑎𝑛 𝑀(𝑐) = 𝑐 ′ ∎

## KESIMPULAN
Berdasarkan uraian pada bagian sebelumnya, terdapat suatu simpulan mengenai sifat preservasi cross-ratio oleh transformasi  Möbius.  berdasarkan  teorema  1,  dapat  disimpulkan  bahwa  transformasi Möbius  memiliki  sifat  preservasi  nilai cross-ratio. Telah  dibuktikan  bahwa  nilai cross-ratio dari  empat bilangan (titik) berbeda di ℂ ∞ sama dengan nilai cross-ratio dari hasil pemetaan transformasi Möbius empat bilangan tersebut dalam urutan yang bersesuaian. Kemudian dari pembuktian teorema 2, dapat disimpulkan bahwa jika ada dua quadruple bilangan (titik) berbeda di ℂ ∞ dengan nilai yang sama, berimplikasi pada eksistensi  suatu  transformasi  Möbius  yang  memetakan  titik-titik  pada  quadruple  satu  ke  duadruple lainnya dengan urutan yang bersesuaian.
REKOMENDASI
Terdapat beberapa hal yang direkomendasikan untuk kajian atau kajian lanjutan. Pertama, sangat direkomendasikan untuk dilakukan suatu kajian mengenai sifat-sifat transformasi Möbius dari sudut pandang aljabar. Secara lebih khusus, sebagai rekomendasi yang kedua, adalah pengkajian tentang struktur grup transformasi Möbius.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Pada  kesempatan  ini  dihaturkan  banyak  terima  kasih  kepada  semua  pihak  yang  telah membantu rangkaian kajian mengenai transformasi Möbius oleh penulis. Khusus diucapkan banyak terima kasih kepada tim dosen program studi pendidikan matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Samudra atas segala masukan dan diskusinya.

## DAFTAR PUSTAKA
Chaveroche,  M.,  Davoine,  F.,  &  Cherfaoui,  V.  (2019).  Efficient  möbius  transformations  and  their applications to d-s theory. 13th International Conference on Scalable Uncertainty Management (SUM 2019) , 390 – 403. https://doi.org/10.1007/978-3-030-35514-2_29
Galda,  A.,  &  Vinokur,  V.  M.  (2017).  Linear  dynamics  of  classical  spin  as  möbius  transformation. Scientific Reports , 7 (1). https://doi.org/10.1038/s41598-017-01326-x
Ihsan, I. R. (2015). Klasifikasi geometris dari transformasi möbius . Institut Teknologi Bandung.
Ihsan, I. R. (2016). Titik tetap(fixed point) padatransformasi möbius. Euclid , 3 (1), 485 – 490.
Muhammad,  G.  M., Ihsan,  I. R.,  & Priyanda,  R.  (2022).  Sifat  preservasi  lingkaran  dan  garis  pada transformasi möbius. Jambura Journal of Mathematics , 4 (2), 200 – 208.
Niamsup, P. (2000). A characterization of  möbius transformations. Internat. J. Math. & Math. Sci. , 24 (10). https://doi.org/10.1155/S0161171200010255
Olsen, J. (2010). The geometry of möbius transformations . University of Rochester.
Suwito,  A., Yuwono,  I.,  Parta,  I.  N.,  &  Irawati,  S.  (2016).  The  linkage  of  problem  solving  between geometry  and  algebra:  what  is  their  correlation? International  Conference  on  Mathematics, Science, and Education , 2016 (Icmse).
Yang, S. (2008). A characterization of Möbius transformations. Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences , 84 (2), 35 – 38.
Zaragoza, L. G.-M. (2019). Möbius transformations . University of Seville.