## BIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET
Rubono Setiawan Mahasiswa S–2  Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada Email : rubono_4869@yahoo.co.id

## Abstrak
Di  dalam  suatu  model  epidemi  dengan  waktu  tundaan  diskrit,  jika  berubahnya waktu  tundaan  dapat  mengakibatkan  perubahan  sifat  kestabilan  dari  titik  ekuilibrium penyakitnya, maka dikatakan terjadi bifurkasi Hopf di titik ekuilibrium penyakit tersebut. Secara umum bifurkasi membicarakan tentang perubahan struktur orbit dari suatu sistem persamaan  diferensial  seiring  dengan  perubahan  nilai  parameternya.  Didalam  analisa kestabilan titik ekuilibrium model epidemi dengan waktu tundaan diskrit , waktu tundaan dianggap sebagai parameter bifurkasi. Kemudian bifurkasi yang berkaitan dengan adanya nilai eigen kompleks murni disebut bifurkasi Hopf (Andronov – Hopf).
Kata kunci : bifurkasi Hopf , waktu tundaan , nilai eigen kompleks murni.

## PENDAHULUAN

## Latar Belakang
Teori  bifurkasi  merupakan  teori  yang  membicarakan  tentang  perubahan  struktur orbit dari sistem persamaan diferensial seiring dengan perubahan nilai parameternya. Di dalam  model  matematika  (epidemi),  bifurkasi  untuk  model  epidemi  dapat  dilengkapi dengan  adanya  waktu  tundaan.  Waktu  tundaan  dapat  dipandang  sebagai  parameter bifurkasi, hal ini dapat dilihat dalam jurnal-jurnal yang membahas tentang model epidemi dengan  waktu  tundaan.  Hal  ini  dimungkinkan  karena  adanya  waktu  tundaan,  perubahan kestabilan  dari  titik  ekuilibrium  penyakit,  sehingga  apabila  hal  tersebut  terjadi  maka dapat dikatakan bahwa model epidemi  tersebut mengalami bifurkasi di titik ekuilibrium penyakit  ketika  suatu  nilai  waktu  tundaan  tertentu,  yang  nantinya  nilai  waktu  tundaan
tersebut disebut nilai kritis tundaan. Lebih khusus bifurkasi tersebut merupakan bifurkasi Hopf.

## Rumusan Masalah
Di  dalam  artikel  ini  akan  dibahas  mengenai  bifurkasi  Hopf  ,  yang  akan  dibahas pada  bab  pembahasan  bagian  1.  Selanjutnya  khusus  mengenai  Bifurkasi  Hopf  didalam model epidemi dengan tundaan akan dibahas pada bab pembahasan bagian 2.

## Tujuan dan Manfaat
Tujuan  penulisan  artikel  ini  adalah  untuk  mengatahui  gambaran  umum  tentang bifurkasi  Hopf.  Kemudian  dapat  diterapkan  penggunaannya  di  dalam  analisa  kestabilan suatu model epidemi dengan waktu tundaan.

## PEMBAHASAN

## Bifurkasi Hopf dalam Sistem Dinamik Kontinu
Teori  bifurkasi  membicarakan  tentang  perubahan  struktur  orbit  dari  sistem persamaan  diferensial  /  dinamik  kontinu  seiring  dengan  perubahan  nilai  parameter. Diberikan sistem dinamik kontinu yang autonom berikut :
( ) µ , x f x = • , ∈ x n R , ∈ α 1 R
( ) 1 . 1 dengan f adalah  fungsi smoothing yang berkaitan dengan x dan α . Misalkan * x x = adalah titik ekuilibrium hiperbolik dari sistem tersebut untuk * µ µ = . Lebih lanjut  dapat mengganti nilai dari parameter dan mengamati perubahan dari ekuilibrium.
Secara  umum  hanya  terdapat  dua  hal  yang  dapat  menyebabkan  perubahan  sifat hiperbolik  dari  ekuilibrium  menjadi  tidak  hiperbolik,  yaitu  adanya  nilai  eigen  real  yang menuju  nol  dan  didapat 1 λ =  0  atau  nilai  eigen  kompleks  yang  menuju  garis  imaginer sehingga  akan  didapat  nilai  eigen  kompleks  dengan  bagian  real  nol  yaitu * 2 , 1 ω λ i ± = , 0 * > ω ,  kedua  hal  ini  terjadi  untuk  suatu  nilai  tertentu  dari  parameter.  Bila  terjadi  hal tersebut  maka  akan  terjadi  perubahan  struktur  dari  ekuilibrium  menjadi  tidak  stabil  dan ekuilibrium  akan  mengalami  bifurkasi  di  nilai  parameter  tersebut  .  Sehingga  kita  dapat memberikan definisi – definisi berikut.
Definisi 1.1. Nilai Bifurkasi ( Verhulst, 1990)
(i) Nilai  parameter * µ µ = disebut  nilai  bifurkasi  jika  terdapat  solusi  nontrivial  pada
sistem ( ) 1 . 1 . 2 yang terdefinisi didalam persekitaran ( ) ∈ * *, µ x n R × n R
(ii) Titik ( ) * *, µ x dengan ( ) 0 * *, = µ x f disebut  titik  bifurkasi  jika  pada  titik ( ) * *, µ x terjadi perubahan struktur orbitnya.
Definisi 1.2. Bifurkasi Hopf ( Kuznetsov, 1998)
Bifurkasi  yang  terjadi  berkaitan  dengan  adanya  nilai  eigen * 2 , 1 ω λ i ± = , 0 * > ω disebut bifurkasi Hopf (Andronov – Hopf).
Sehingga  bifurkasi  Hopf  membahas  matriks  Jacobian  yang  berkaitan  dengan linearisasi  dari  sistem ( ) 1 . 1 yang  mempunyai  sepasang  nilai  eigen  imaginer  murni  dan nilai eigen lainnya mempunyai bagian real yang tidak sama dengan nol yang selanjutnya dipelajari  struktur  orbit  disekitar * x yang  berubah  sebagai  akibat  perubahan  nilai parameter µ .  Untuk  bifurkasi  Hopf  diperlukan 2 ≥ n ,  atau  dengan  kata  lain  bifurkasi Hopf dapat terjadi pada sistem ( berparameter ) yang berdimensi 2 atau lebih.
Kemudian  akan  diberikan  gambaran  tentang  terjadinya  Bifurkasi  Hopf  pada  suatu sistem  dinamik  kontinu.  Perhatikan  kembali  sistem ( ) 1 . 1 ,  misalkan 0 * = x adalah  titik ekuilibrium  sistem ( ) 1 . 1 ketika 0 = µ dengan  nilai  eigen * 2 , 1 ω λ i ± = , 0 * > ω .  Dengan teorema  fungsi  implisit  maka  dapat  ditunjukkan  bahwa  sistem  tersebut  mempunyai  titik ekuilibrium tunggal ( ) µ * x dalam suatu persekitaran dari titik asal untuk semua nilai µ yang  cukup  kecil.  Kemudian  dapat  melakukan  pergeseran  koordinat  dan  menempatkan titik  ekuilibrium  ini  di  titik  asal,  sehingga  tanpa  mengurangi  keumuman  bahwa 0 * = x adalah  titik  ekuilibrium  dari  sistem ( ) 1 . 1 untuk  nilai µ yang  cukup  kecil.  Dengan linearisasi didapat  sistem linearisasi sebagai berikut :
( ) x A x µ = • ( ) 2 .
1
Matriks jacobian ( ) µ A dapat ditulis sebagai :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )       = µ µ µ µ µ d c b a A
( ) 3 . 1
dengan ( ) ( ) ( ) µ µ µ c b a , , dan ( ) µ d adalah  fungsi  licin  dalam µ .  Kemudian  nilai  eigen dari matriks ( ) µ A didapat dari persamaan karakteristik :
0 2 = + − q p λ λ ( ) 4 . 1 dengan ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ traceA b a p p = + = = dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ c b d a q q − = = = det ( ) µ A
Agar terjadi bifurkasi Hopf, haruslah : ( ) 0 0 = p dan det ( ) 0 * 0 2 > = ω q
Untuk nilai α yang cukup kecil dapat dibentuk :
( ) ( ) µ µ φ p 2 1 = , ( ) ( ) ( ) µ µ µ ω 2 4 2 1 p q − =
Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
( ) ( ) µ λ µ λ = 1 , ( ) ( ) µ λ µ λ = 2
dengan
( ) ( ) ( ) µ ω µ φ µ λ i + = , ( ) 0 0 = µ , ( ) 0 * 0 > = ω ω

## Bifurkasi Hopf dalam Model Epidemi dengan Tundaan Diskrit
Di  dalam  model  epidemi  sebagai  contoh  model  S  I  R,  kita  dapat  memasukkan waktu inkubasi penyakit sebagai waktu tundaan diskrit  (Cappaso, 1993) ke dalam model tersebut.  Sehingga  akan  didapat  model  berbentuk  sistem  persamaan  diferensial  tundaan (PDT). Kemudian waktu tundaan τ dapat dipandang sebagai parameter bifurkasi.
Misalkan diberikan sistem PDT sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) ( ) τ − = • t x t x f t x , ( ) 1 . 2
maka persamaan karateristik dari sistem ( ) 1 . 2 di suatu titik ekuilibrium adalah : ( ) ( ) ( ) 0 , 2 1 = + ≡ ∆ − λτ λ λ τ λ e P P ( ) 2 . 2
dengan τ adalah lama waktu tundaan (diskret) yang ditambahkan pada model persamaan diferensial  yang  bersangkutan,  dengan ( ) λ P dan ( ) λ Q berupa  polinomial  dalam λ , sehingga persamaan ( ) 2 . 2 dapat ditulis kembali dalam bentuk :
( ) ∑ ∑ = − = + = ∆ M j j j j N j j b e a 0 0 , λ λ τ λ λτ ( ) 3 . 2 Ketika waktu tundaannya ada atau 0 ≠ τ , misalkan akar karakteristik dari persamaan ( ) 2 . 2 adalah ω λ i = , R ∈ ω dan  diasumsikan 0 > ω ,  maka  persamaan ( ) 2 . 2 akan menjadi : ( ) ( ) 0 2 1 = + − ωτ ω ω i e i P i P ( ) 4 . 2
Bila bagian real dan imaginer dari persamaan (2.4) dipecah dan suku eksponensial ditulis dalam bentuk trigonometri maka akan didapat persamaan :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 sin cos 2 2 1 1 = − + + + ωτ ωτ ω ω ω ω i iQ R iQ R ( ) 5 . 2
dengan :
( ) ( ) j j j j a R 2 2 1 1 1 ω ω + ∑ − = ; ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 + + ∑ − = j j j j a Q ω ω dan
( ) ( ) j j j j b R 2 2 1 2 1 ω ω + ∑ − = ; ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 + + ∑ − = j j j j b Q ω ω
Kemudian agar persamaan ( ) 5 . 2 berlaku, maka jumlah bagian  real dan bagian imaginer dari persamaan ( ) 5 . 2 haruslah sama dengan nol, sehingga akan didapat persamaan :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 cos sin 0 ) sin( cos 2 2 1 2 2 1 = + − = + + ωτ ω ωτ ω ω ωτ ω ωτ ω ω Q R Q Q R R ( ) 6 . 2
Dengan mengkuadratkan kedua persamaan (2.6) kemudian menjumlahkan hasilnya maka akan didapat :
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 ω ω ω ω Q R Q R + = + ( ) 7 . 2
Jika terdapat akar real positif  yang merupakan solusi dari ( ) 7 . 2 maka akan terdapat suatu nilai τ yang berkaitan dengan suatu * * µ ω ± = yang merupakan solusi persamaan
( ) 6 . 2 .  Bila * ω ditemukan  maka  dengan  mudah  dapat  ditemukan  suatu  nilai  terkecil * τ τ = yang  memenuhi  persamaan ( ) 6 . 2 .  Lebih  lanjut * τ τ = disebut  nilai  kritis tundaan.
Selanjutnya  jika  ditemukan  nilai  kritis  tundaan  * τ sehingga  terdapat  nilai  eigen yang berada pada  garis imaginer * ω λ i ± = , 0 * > ω , selanjutnya jika dipenuhi kondisi transversal    yaitu ( ) 0 Re * *, >      
= = τ τ ω λ λ λ i d d sign (Kuang,  1993),  maka  akan  terjadi perubahan sifat kestabilan dari titik ekuilibrium penyakit karena berubahnya nilai waktu tundaan  sebagai  parameter  bifurkasi.  Titik  ekuilibrium  penyakit  akan  tetap  stabil  untuk
* τ τ < dan menjadi tidak stabil ketika * τ τ > .
Bila  kondisi  tersebut  dipenuhi  artinya  akan  terjadi  perubahan  struktur  orbit disekitar titik ekuilibrium ketika * τ τ = , sehingga sistem tersebut mengalami bifurkasi di titik ekuilibrium ketika * τ τ = .  Lebih lanjut karena bifurkasi terjadi terkait adanya nilai eigen  pada  garis  imaginer  /  nilai  eigen  kompleks  murni,  maka  bifurkasinya  adalah bifurkasi Hopf.
Tetapi  perlu  diiingat  bahwa  tidak  semua  model  epidemi  dengan  waktu  tundaan diskret  dapat  terjadi  bifurkasi  Hopf  di  titik  ekuilibrium  penyakitnya.  Sebagai  contoh model  SIR  untuk  populasi  konstan  ( Vital  Dynamics )  yang  dilengkapi  dengan  waktu tundaan  diskret  merupakan  contoh  model  epidemi  yang  tidak  akan  mengalami  bifurkasi Hopf di titik ekuilibriumnya karena pada model ini berubahnya waktu tundaan tidak akan menyebabkan perubahan kestabilan pada titik ekuilibrium penyakitnya.

## SIMPULAN
Dengan  mengganggap  waktu  tundaan τ sebagai  parameter  bifurkasi  maka didapatkan  bifurkasi  Hopf  dalam  model  epidemi  dengan  waktu  tundaan  yang  berbentuk sistem  PDT.  Bifurkasi  Hopf  terjadi  di  titik  ekuilibrium  penyakit  ketika  nilai  waktu tundaan τ sama  dengan  suatu  nilai  kritis  tundaan * τ .  Hal  ini  dapat  terjadi  jika berubahnya  nilai τ dapat  menyebabkan  perubahan  kestabilan  dari  titik  ekuilibrium penyakitnya  sehingga  dapat  ditemukan  suatu  nilai * τ dan  dipenuhinya  kondisi transversal.  Apabila  nilai * τ tersebut  ditemukan  maka ( ) * *, τ x disebut  titik  bifurkasi karena  pada  titik  tersebutlah  terjadi  perubahan  struktur  orbit  dari  sistem  PDT    sehingga berakibat  titik  ekuilibrium  penyakit  yang  awalnya  stabil  ketika * τ τ < menjadi  tidak stabil ketika * τ τ > .

## DAFTAR PUSTAKA
Cappaso,V. 1993. Mathematical Structures of Epidemic Systems. Vol 97 Lecture- Notes in Biomathematics . Berlin: Springer – Verlag.
Jin-Zhu Zhang, Zhen Jin, Quan-Xing Liu & Zhi-Yu Zhang. 2008. Analysis of a Delayed SIR  Model  with  Nonlinear  Incidence,  Discrete  Dynamics  in  Nature  and  Society, Vol. 2008, Article ID 636153 , Hindawi Publishing Corporation.
Kuang,Y. 1993. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, Vol.191 of Mathematics in Science and Engineering . Boston: Academic Press.
Kuznetsov,  Y.A.  1998.  Elements  of  Applied  Bifurcations  Theory,  Second  Editon , Applied Mathematical Sciences 112. New York: Springer – Verlag.
R. Setiawan. 2009. Analisa Kestabilan Ekuilibrium Model Matematika Berbentuk Sistem Persamaan Diferensial Tundaan dengan Waktu Tundaan Diskret. Prosiding Semnas Matematika  dan  Pend.Matematika,  UNY:  Yogyakarta,  5  Desember  2009,  ISBN: 978-979-16353-3-2, hal : 1064 – 1077.
Verhulst,  F.  1990. Nonlinear  Differential  Equations  and  Dyanmical  Systems .  Berlin: Springer -Verlag.
Wiggins, S. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos , Text in Applied Mathematics . New York:  Springer –Verlag.