J. of Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 1, No. 1 (2004), 63–68
Model Matematika dan Analisanya Dari Pemenuhan Kebutuhan Air Bersih di Suatu Kompleks Perumahan

## Basuki Widodo
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya b widodo@yahoo.com

## Abstrak
Air bersih merupakan kebutuhan manusia yang mendapatkan perhatian khusus untuk dipenuhi. Suatu kompleks perumahan tentu menginginkan tidak timbulnya masalah pada pemenuhan kebutuhan air bersihnya. Masalah yang sering dihadapi dalam pemenuhan ke- butuhan air bersih adalah waktu pemenuhan yang kurang baik atau terlalu lama. Hal ini salah satunya dapat disebabkan oleh debit yang kurang optimal dari PDAM yang menuju kompleks perumahan tersebut, dan jumlah rumah yang terlalu banyak dalam kompleks pe- rumahan tersebut. Karena itu perlu dibuatkan model matematikanya untuk menyelesaikan masalah tersebut. Didalam penelitian ini digunakan persamaan kontinuitas dan persamaan Bernoulli untuk pembuatan model matematika dari pemenuhan kebutuhan air bersih di suatu kompleks perumahan. Diperoleh hasil bahwa tekanan air berbanding terbalik dengan waktu pemenuhan.
Kata kunci : model matematika, air bersih, persamaan kontinuitas, persamaan Bernoulli

## 1 Latar Belakang
Air bersih merupakan salah satu kebu- tuhan masyarakat yang mendapatkan perha- tian khusus untuk dipenuhi (Al-Layla, 1997). Masalah yang sering dihadapi dalam pe- menuhan kebutuhan air bersih adalah waktu pemenuhan yang kurang baik atau terlalu lama. Hal ini dapat disebabkan oleh 2 hal, yaitu debit yang kurang optimal dari PDAM yang menuju kompleks perumahan tersebut dan jumlah rumah yang terlalu banyak dalam kompleks perumahan tersebut sehingga debit dari PDAM tidak akan memenuhi kebutuhan secara optimal.
Faktor-faktor penting yang mempengaruhi pemenuhan kebutuhan air bersih di suatu kom- pleks perumahan dapat disebabkan oleh 2 macam faktor. Pertama, disebabkan oleh debit
pada pipa transmisi yang memang kecil se- hingga tidak mencukupi untuk para pelang- gan. Faktor kedua adalah disebabkan oleh keadaan aliran, yaitu aliran berubah-ubah karena faktor-faktor yang terjadi dalam pipa dan selama air mengalir dalam pipa tersebut.

## 2 Permasalahan
Permasalahan pada kajian ini adalah: Bagaimanakah model matematika dari ma- salah pemenuhan kebutuhan air untuk rumah tangga pada suatu kompleks perumahan dari sistem aliran PDAM?
Basuki Widodo

## 3 Batasan Masalah
Pada penelitian ini, batasan masalah yang di- gunakan adalah:
a. Pemakaian air hanya untuk kebutuhan rumah tangga dan sistem distribusi jaringan pipa primer, pipa sekunder dan pipa tersier digunakan Dead End System.
b. Hanya dibahas satu arah aliran air dan dim- ulai pada pipa primer dan pelanggan tidak menggunakan alat bantu, misalnya pompa air dan lain sebagainya.
c. Memperhitungkan kehilangan tenaga dan adanya faktor gesekan.
d. Diameter Pipa:
– Pipa primer (Dp) = 250 mm
– Pipa sekunder (Ds)= 150 mm
– Pipa tersier (Dt) = 20 mm
e. Setiap percabangan pipa sekunder pada pipa primer (Lp) adalah 30 meter dan perca- bangan pipa tersier pada pipa sekunder (Ls) adalah 12 meter.
f. Panjang pipa tersier (Lt) adalah 8 meter.
g. Sudut elevasi, yaitu kemiringan lahan ter- hadap pipa induk, sebesar 30 ◦ .

## 4 Asumsi
Diasumsikan dalam penelitian ini adalah bahwa:
a. Ketebalan pipa diabaikan.
b. Tidak terjadi kebocoran.
c. Air mengalir terus-menerus dan berhenti ketika kebutuhan air telah tercukupi.
d. Volume pemenuhan setiap rumah per hari konstan, yaitu 1,5 m 3 /hari.

## 5 Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mencari model matematika dari ma- salah pemenuhan kebutuhan air bersih dan memprediksi jumlah pipa tersier, yaitu jum- lah cabang pipa sekunder, untuk mendapatkan waktu pemenuhan yang optimal.

## 6 Dasar Teori Dan Perumusan Model
a. Sistem Distribusi Perpipaan

## Pipa Primer
Pipa primer adalah pipa yang mempunyai diameter relatif besar, yang fungsinya mem- bawa air bersih dari instalasi pengolahan atau reservoir distribusi ke suatu kawasan (zona).
Pipa Sekunder (Arterial Main Pipe) Pipa sekunder merupakan pipa yang mem- punyai diameter lebih kecil dari pada pipa primer. Pipa sekunder disambung langsung pada pipa primer.

## Pipa Tersier
Pipa tersier mempunyai diameter lebih kecil dari pipa sekunder dan dapat disambungkan langsung ke pipa sekunder, gunanya untuk melayani pipa service.
Pipa Service/Pemberi Air (Service Connec- tion)
Pipa service mempunyai diameter yang relatif kecil.
Pipa ini dapat disam-
bungkan langsung pada pipa tersier yang di- hubungkan kepada pelanggan.
b. Sistem Distribusi Aliran

## Dead End System
Dead End System adalah sistem distribusi air dimana sebuah pipa utama ditempatkan pada jalan utama tegak lurus dengan jalan yang lebih kecil (pipa cabang) dan pipa cabang tersebut tidak saling berhubungan dengan bagian lain di akhir aliran, seperti pada Gambar 1.

## pipa sekunder pipa tersier
Gambar 1: Skema Sistem Distribusi Dead End
c. Gridiron System/Sistem Jejaring Gridiron System adalah distribusi air di- mana pipa cabang saling berhubungan satu sama lainnya.
d. Sistem Pipa Pararel
Sistem pipa pararel adalah kombinasi dua atau lebih pipa yang dihubungkan seperti
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
pada Gambar 2. Dalam sistem pipa pararel harus dipenuhi kondisi sebagai berikut:
Q = q 1 + q 2 + q 3 (1)
Q - 1 2 3 pipa sekunder pipa tersier
Gambar 2: Skema Sistem Pipa Paralel

## e. Aliran Air Melalui Pipa Faktor Gesekan
Menurut Wright dan Olson (1993), harga bilangan Reynolds yang diambil adalah Re = 40000. Bilangan Reynold (Re) tersebut merupakan bilangan Reynolds kritis atas untuk aliran di dalam pipa dengan debit besar atau aliran turbulen. Harga faktor gesek ( f ) aliran turbulen dengan bilangan Reynolds 40000 adalah 0,01. Kehilangan Tenaga Kehilangan tenaga yang terjadi pada pipa didefinisikan sebagai berikut:
– Kehilangan tenaga akibat perubahan di- ameter (dari besar ke kecil) dapat dihi- tung dengan persamaan:
h f = K c v 2 2 (2)
dengan K c = 0 , 4 ³ 1 − S b S a ´ (Mc Cabe dan kawan-kawan, 1999).
– Kehilangan tenaga karena sambungan an- tar pipa (fitting) dapat dihitung dengan persamaan
h f = K f v 2 2 (3)
(Mc Cabe dan kawan-kawan, 1999).

## Volume Pemenuhan Bak Tampung dan Debit
Volume pemenuhan bak tampung adalah jumlah kebutuhan air yang dibutuhkan suatu rumah tangga untuk suatu hari, yang dirumuskan sebagai
V = Q t (4)
(Streeter dan Wylie, 1993). Debit aliran adalah jumlah (volume) aliran yang melalui suatu penampang persatuan waktu yang dirumuskan sebagai berikut:
Q = V A (5)
Persamaan Bernoulli Bentuk differensial persamaan Euler adalah
dp ρ + g dz + v dv (6)
Integrasi dari persamaan (6) adalah
P ρ + g Z + 1 2 v 2 (7)
untuk suatu titik tertentu di dalam tabung atau pipa, umpamakan O dan O’, persa- maan (7) berbentuk
P 0 ρ + g Z 0 + 1 2 v 2 0 = P 0 0 ρ + g Z 0 0 + 1 2 v 2 0 0 (8)
(White, 1988). Persamaan (8) merupakan persamaan Bernoulli untuk aliran takmam- pat tanpa gesekan. Pada aliran ini terjadi kehilangan tenaga dalam aliran fluida an- tara titik O dan O’. Persamaan (8) dapat ditulis
P 0 ρ + g Z 0 + 1 2 v 2 0 = P 0 0 ρ + g Z 0 0 + 1 2 v 2 0 0 + hf
(9) (White, 1988).

## Persamaan Kontinuitas
Massa fluida yang masuk dan meninggalkan tabung pada satu satuan waktu adalah
m = ρ 1 V 1 A 1 = ρ 2 V 2 A 2 (10)
(Djojodiharjo, 1983). Jika debit ( Q ) didefin- isikan sebagai Q = AV , maka Persamaan (10) dapat berbentuk
m = ρ 1 Q 1 = ρ 2 Q 2 . (11)
Untuk aliran tak-mampu mampat maka ρ 1 = ρ 2 , sehingga
m = Q 1 = Q 2 (12)
f. Persamaan Bernouli Pada Pipa
Sambungan Pipa Induk-Pipa Primer Pipa induk diasumsikan memiliki kemiringan 30 ◦ terhadap lahan yang akan digunakan untuk membangun perumahan.
P 0 ρ + g Z 0 + 1 2 v 2 0 = P 0 0 ρ + g Z 0 0 + 1 2 v 2 0 0 + hf. (13)
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Basuki Widodo
P 0 merupakan tekanan awal berupa input dan diameter pipa tidak mengalami perubahan. Diantaranya belum terjadi per- cabangan. Pipa induk mengalami persam- bungan siku dengan pipa primer. Harga K f untuk persambungan siku tersebut adalah 0,9 sehingga
Q 0 = Q 0 0 Ap V 0 = Ap V 0 0 V 0 = V 0 0 (14)
hf = v 2 0 0 2 µ 4 f Z 0 0 / sin θ Dp ¶ + K f 1 2 v 2 0 0 = v 2 0 0 2 µ 4(0 , 001) 2 / sin 30 ◦ 0 , 25 ¶ + (0 , 9) 1 2 v 2 0 0 = 0 , 482 v 2 0 0
(Nole de Nevers, 1991)
Persamaan (13) selanjutnya dapat ditulis
P 0 0 = · P 0 1000 − 2 − 0 , 0482 v 2 0 ¸ 1000 (15)

## Sambungan Pipa Induk – Pipa Primer
Pada pipa primer diasumsikan dapat disam- bungkan 4 pipa sekunder.
6
7 1 2 4 5 0 3 Untuk titik 0–1 P 0 ρ + g Z 0 + 1 2 v 2 0 = P 1 ρ + g Z 1 + 1 2 v 2 1 + hf hf = v 2 1 2 µ 4 f 1 / 2 Lp DP ¶ + K f 1 2 v 2 1 = 1 , 65 v 2 0 P 0 ρ + g Z 0 + 1 2 v 2 0 = P 1 ρ + g Z 1 + 1 2 v 2 1 + v 2 1 2 µ 4 f 1 / 2 Lp DP ¶ + K f 1 2 v 2 1
titik 0–1 mengalami percabangan siku di titik 1 dengan titik 1–4 dan titik 1–6. Di- antara titik 0–1 belum terjadi percabangan
dan dipasang lurus horizontal sehingga V 0 = V 1 dan Z 0 = Z 1 , P 0 = P 0 0 .
P 1 = · P 0 0 1000 − 1 , 65 v 2 0 ¸ · 1000 (16)

## Untuk titik 1–4 dan titik 1–6
Titik 1–4 dan titik 1–6 merupakan pipa sekunder sehingga diameter mengalami perubahan. Titik 1–4 dan 1–6 dipasang lu- rus horizontal ( Z 1 = Z 4 ; Z 1 = Z 6 ). P 1 ρ + g Z 1 + 1 2 v 2 1 = P 4 ρ + g Z 4 + 1 2 v 2 4 + v 2 4 2 µ 4 f 1 / 2 Ls Ds ¶ + K C 1 1 2 v 2 4 K C 1 = 0 , 4 µ 1 − Ds 2 Dp 2 ¶ = 0 , 256 Q 0 = Q 4 + Q 6 + Q 2 Q 2 = Q 5 + Q 7 + Q 3
Asumsi Q 4 = Q 6 = 20% Q 0 Q 5 = Q 7 = 10% Q 0
Q 2 = 0 , 6 Q 0 Q 3 = 0 , 4 Q 0 Q 4 = 0 , 2 Q 0 As v 4 = 0 , 2 Q 0
(0 , 25) π Ds 2 v 4 = 0 , 2 Q 0 (0 , 25) π (0 , 15) 2 v 4 = 0 , 2 Q 0 v 4 = 0 , 2 Q 0 0 , 0176625
P 6 = P 4 = P 1 1000 + 0 , 5 v 2 0 − 1 , 428 µ 0 , 2 Q 0 0 , 0176625 ¶ · 1000 (17)
Untuk titik 1–2
P 1 ρ + g Z 1 + 1 2 v 2 1 = P 2 ρ + g Z 2 + 1 2 v 2 2 + v 2 2 2 µ 4 f 1 / 2 Ls Ds ¶ + K f 1 2 v 2 2 Q 2 = 0 , 6 Q 0 Ap v 2 = 0 , 6 Q 0 v 2 = 0 , 6 Q 0 0 , 0490625 P 2 = · P 1 1000 + v 2 0 2 − 2 . 15 µ 0 , 6 Q 0 0 , 0490625 ¶¸
1000 (18)
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Untuk titik 2–5 dan titik 2–7
P 2 ρ + g Z 2 + 1 2 v 2 1 = P 4 ρ + g Z 4 + 1 2 v 2 5 + v 2 5 2 µ 4 f 1 / 2 Ls Ds ¶ + K C 1 1 2 v 2 5 K C 1 = 0 , 256 Z 2 = Z 5 Z 2 = Z 7 P 5 = · P 2 1000 + v 2 2 2 − 1 , 428 v 2 5 ¸ 1000 Q 5 = 0 , 1 Q 0 As v 5 = 0 , 1 Q 0 (0 , 25) πDs 2 v
5 = (0 , 1) Q 0 (0 , 25) π (0 , 15) 2 v 5 = (0 , 1) Q 0 v 5 = (0 , 1) Q 0 0 , 0176625
P 7 = P 5 = " P 2 1000 + 1 2 µ 0 , 6 Q 0 0 , 0490625 ¶ 2 − 1 , 428 µ 0 , 1 Q 0 0 , 0176625 ¶ 2 # 1000 (19)
Untuk titik 2–3
P 2 ρ + g Z 2 + 1 2 v 2 2 = P 3 ρ + g Z 3 + 1 2 v 2 3 + v 2 3 2 µ 4 f 1 / 2 Ls Ds ¶ + K f 1 2 v 2 3 Q 3 = (0 , 4) Q 0 Ap v 3 = (0 , 4) Q 0 (0 , 25) π (0 , 25) 2 v 3 = (0 , 4) Q 0 v 3 = 0 , 4 Q 0 0 , 0490625 P 3 = " P 3 1000 + 1 2 µ 0 , 6 Q 0 0 , 0490625 ¶ 2 − 2 , 15 µ 0 , 4 Q 0 0 , 0490625 ¶ 2 # 1000 (20)
Sambungan Pipa Sekunder – Pipa Ter- sier
1 4 A B C D E G H I J L M N O

## Untuk titik 4–F
P 4 ρ + g Z 4 + 1 2 v 2 4 = P F ρ + g Z F + 1 2 v 2 F + v 2 F 2 µ 4 f 1 / 2 Lt Dt ¶ + K C 2 1 2 v 2 F K C 2 = 0 , 4 µ 1 − Dt 2 Ds 2 ¶ = 0 , 0393
v F = v u u u u u t 2 µ P 4 ρ + 1 2 v 2 4 ¶ 1 + µ 4 f Lt Dt ¶ + K C 2 = v u u u u u u t 2 " P 4 1000 + 1 2 µ 0 , 2 Q 0 0 , 0176625 ¶ 2 # 1 + µ 4(0 , 01) 8 0 , 02 ¶ + 0 , 393
v K = v F = v u u u u t 2 " P 4 1000 + 1 2 µ 0 , 2 Q 0 0 , 0176625 ¶ 2 # 17 , 393 (21)
Untuk titik 4–A
P 4 ρ + g Z 4 + 1 2 v 2 4 = P A ρ + g Z A + 1 2 v 2 A + v 2 A 2 µ 4 f 1 / 2 Ls Ds ¶ + K f 1 2 v 2 A Z 4 = Z A Sesuai dengan sistem pipa pararel Q 4 = Q F + Q K + Q A As v 4 = At v F + At v K + As v A v A = (0 , 15) 2 v 4 − (0 , 02) 2 v F − (0 , 02) 2 v K (0 , 15) 2
P A = " P 4 1000 + 1 2 µ 0 , 2 Q 0 0 , 0176625 ¶ 2
− 1 , 75 v 2 A # · 1000 (22)
Untuk titik A–G dan seterusnya dilakukan perlakuan yang sama dalam mendapatkan persamaan.
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Basuki Widodo

## 7 Hasil dan Pembahasan

## Pada Cabang Pipa Primer (titik 1–4 dan titik 1–6)
Berdasarkan persamaan yang ada dapat diper- oleh waktu pemenuhan kebutuhan air dan di- tampilkan dalam bentuk grafik dibawah ini.

## Gambar 1: Grafik Pemenuhan Kebutuhan Air Setiap Cabang Pipa Sekunder Untuk
Q 0 = 100m 3 /jam.
Berdasarkan grafik diatas dapat dapat di- jelaskan bahwa waktu pemenuhan air untuk jumlah cabang sekunder tidak terlalu banyak, yaitu sebanyak 5, relatif sama pada semua ca- bang sekunder namun waktu pemenuhan air akan berkurang dengan bertambahnya besar tekanan air dari PDAM.

## 8 Kesimpulan
Dari hasil penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa tekanan air berband- ing terbalik dengan waktu pemenuhan.

## Daftar Pustaka
[1] Al-Layla, M.A., Water Supply Engineering Design , cetakan 4, Ann Arbor Science Pub- lishers Inc, Singapore, 1997.
[2] Djojodiharjo, H., Mekanika Fluida , De- partemen Mesin ITB, Erlangga, Jakarta, 1983.
[3] McCabe, W.L., Smith, J.C. dan Harriot, P., Operasi Teknik Kimia , jilid 1, edisi 4, Er- langga, Jakarta, 1999.
[4] Nole de Nevers, Fluid Mechanics for Chem- ical Engineers , 2nd edition, McGraw-Hill,
Inc., Singapore, 1991.
[5] Streeter, V.I dan Wylie, E.B., Mekanika Fluida , . jilid 1 dan 2 (terjemahan), cetakan
4, Erlangga, Jakarta, 1993.
[6] White, F.M., Mekanika Fuida , jilid 1, edisi 2, Erlangga, Jakarta, 1988.
[7] Wright, S.J dan Olson, R.M., Dasar - Dasar Mekanika Fluida Teknik , edisi 5 (terjemahan), Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 1993.
————————

## Daftar Notasi
h f : kehilangan tenaga akibat perubahan diameter pipa K c : koefisien kehilangan energi utama
v : kecepatan air di permukaan meter/detik
S a : luas penampang area pipa kecil S b : luas penampang area pipa besar K f : koefisien kehilangan tenaga karena sambungan antar pipa V : kecepatan rata-rata air dalam pipa, meter 3 /detik Q : debit air (mass flowrate), meter 3 /detik t : waktu, detik A : luas penampang pipa, meter 2 P : tekanan, Pascal (Pa) ρ : densitas air, kg/meter 3 g : gaya gravitasi bumi, meter/detik 2
Z : ketinggian pipa terhadap pipa induk, meter m : massa air, kg
f : faktor gesekan terhadap dinding pipa
θ : sudut kemiringan pipa terhadap pipa induk, radian
Dp : diameter penampang pipa primer, meter Lp : panjang pipa primer, meter Ds : diameter penampang pipa sekunder, meter Ls : panjang pipa sekunder, meter Dt : diameter penampang pipa tersier, meter Lt : panjang pipa tersier, meter Re : bilangan Reynold
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004