## MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY
PADA INFECTED (Terinfeksi Penyakit)

## Ferdinand Sinuhaji
Dosen Universitas Quality Berastagi
Email : sinuhajiferdinand@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  mengindentifikasi  apakah  time  delay pada infected (terinfeksi penyakit) mempegaruhi  atau  tidak  mempengaruhi  stabilitas  pada  kesetimbangan  bebas penyakit  dan  pada  kesetimbangan  endemic  penyakit.  Time  delay  dalam  pengertian  pada penelitian ini adalah pada waktu infected (terinfeksi penyakit) . Time delay pada penelitian ini  di  fokuskan  pada  model  spesifik  tunggal,  dengan  menghitung  keadaan  sementara  dan keadaan permanen dari penyebaran penyakit.
Model SIRS yang digunakan pada penelitian ini dengan asumsi bahwa semua individu yang telah  sembuh  tidak  mempunyai  kekebalan  yang  permanen terhadap  penyakit, sehingga  akan kembali  masuk  ke  dalam  kelas  rentan  penyakit  model  epidemi  SIRS  ini  membagi  populasi menjadi empat subpopulasi yaitu Susceptible, Infective, Recovered dan Susceptible . Penelitian  ini  dilakukan  dengan  merevisi  kompartemen  model  epidemi  SIRS  yang selanjutnya  digunakan  untuk  menentukan  persamaan  pembangunan  model  yang direpresentasikan  dalam  sistem  persamaan  differensial.  Sistem  tersebut  menggambarkan interaksi antara subpopulasi dengan populasi lainnya.
Hasil penelitian diketahui bahwa kesetimbangan bebas penyakit stabil global untuk semua  > 0  ketika  jumlah  bilangan R 0 <  1 .  Dapat  dikatakan,  time  delay  periode pada infected (terinfeksi  penyakit) tidak  dapat  mempengaruhi  kestabilan  kesetimbangan  bebas  penyakit.
Dengan kata lain, pengaruh time delay pada infected (terinfeksi penyakit) dapat diabaikan untuk R 0 < 1 . Namun, ketika, R 0 > 1 kestabilan kesetimbangan endemi akan dipengaruhi oleh time delay periode pada infected (terinfeksi penyakit) .
Kata kunci : sirs, model epidemi sirs, time delay pada infected .

## Abstract
This study aims to identify whether the healing time delay period affects or does not affect the stability of disease-free equilibrium and the equilibrium of disease endemic. Time delay in the sense  of  this  study  is  the  time  period  of infected .  Time  delay  in  this  study  is  focused  on  a single specific model, by calculating the temporary and permanent state of the spread of the disease.
The SIRS model used in this study with the assumption that all individuals who have infected do not have permanent immunity to the disease, so they will return to the disease-prone class. The SIRS epidemic model divides the population into four subpopulations namely Susceptible, Infective, Recovered and Susceptible.
This  research  was  conducted  by  revising  the  SIRS  epidemic  model  compartment  which  was then used to determine the model development equations represented in differential equation systems. The system describes the interaction between subpopulations with other populations. The results show that global disease-free equilibrium is stable for all  > 0 when the number of numbers is R 0 <1. It can be said that the time delay of the infected period cannot affect the stability  of  disease-free  equilibrium.  In  other  words,  the  effect  of  the  time  delay infected period  can  be  negligible  for  R 0 <1.  However,  when,  R 0 >  1  the  stability  of  endemic equilibrium will be affected by the time delay of the infected period.
Keywords: sirs, sirs epidemic model, time delay infected period.

## Pendahaluan
Model  matematika  adalah  model  yang menggambarkan suatu permasalahan dalam persamaan  matematika.  Persamaan  model matematika
merupakan
pendekatan terhadap suatu fenomena fisik. Pada model matematika tiruan tersebut disajikan
dengan  mendeskripsikan  fenomena  alam dengan  satu  set  persamaan.  Kecocokan model terhadap fenomena tersebut bergantung dari ketetapan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan  fenomena  alam  yang ditirukan. Time  delay  adalah  pemodelan masalah  nyata  dalam  arti  persamaan diferensial tunda atau persamaan diferensial dengan argument yang diperlambat. Pada umumnya time delay (  ) dimasukan ke dalam suatu insidensi yang ada dalam model sebagai sebuah parameter,  dimana  parameter  tersebut kerapkali  menyebabkan  perubahan  pada sifat  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan, sehingga  analisis  yang  dilakukan  adalah mengindentifikasi apakah time delay infected  tersebut  menyebabkan  perubahan pada sifat kestabilan dari titik kesetimbangan atau tidak.
Epidemi merupakan suatu keadaan berjangkitnya  suatu  penyakit  menular dalam  populasi  pada  suatu  tempat  yang melebihi  perkiraan  yang  normal  dalam periode  yang  singkat.  Bila  penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun  dengan  faktor  penyebabnya maka  dikatakan endemik, kemudian  bila penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran yang sangat luas maka disebut pandemik . Model teori epidemi untuk penyakit diilustrasikan pada gambar dibawah ini Gambar 1. Model Epidemi SIRS Model epidemic sirs menggambarkan  bahwa  individu  yang terinfeksi  penyakit (Invected), kemudian sembuh (Recovered), setelah  sembuh, individu memperoleh kekebalan sementara terhadap penyakit tersebut. Seiring berjalan waktu kekebalan tersebut menghilang atau berkurang, mengakibatkan individu yang rentan terserang  penyakit  tersebut  dapat  kembali terinfeksi  penyakit  yang  sama.  Sistem persamaan diferensialnya menjadi :
, R SI dt ds      (1) , VI SI dt dI    (2) R VI dt dR    (3)
Rumusan  masalah  pada  penelitian ini  membahas  bagaimana  menurunkan model  matematisnya  untuk  epidemi  SIRS dengan  time  delay  periode  terinfeksi penyakit  sehingga  menghasilkan  model epidemi, dari model epidemi tersebut akan terbentuk suatu sistem persamaan diferensial.
Dari  persamaan  diferensial  yang sudah  terbentuk  tadi  dapat  dicari  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik kesetimbangan epidemi kemudian menganalisis kestabilannya. Kemudian mengindentifikasi apakah  time  delay  periode pada infected (terinfeksi penyakit) tersebut mempengaruhi  atau  tidak  mempengaruhi stabilitas pada kesetimbangan bebas penyakit  dan  pada  kesetimbangan  endemi
penyakit dengan memodifikasi pada dinamika transmisinya. Tujuan penelitian ini adalah
mengindentifikasi apakah time delay periode pada infected (terinfeksi penyakit) mempengaruhi  atau  tidak mempengaruhi stabilitas pada kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  pada kesetimbangan endemic penyakit.
Tinjauan Pustaka A. Diferensial Autonomous (Boyce dan Diprima ((2001)
Misalkan  suatu  persamaan  diferensial autonomous dinyatakan sebagai berikut m = Y (x) (4)
Dengan Y adalah  fungsi  kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial  kontinu.  Pada  persamaan  (4) disebut  persamaan  diferensial autonomous karena  tidak  mendatangkan t di  dalam. Apabila (4) dapat ditulis dalam bentuk :
) 5 ( , ... . . , ... , ... 2 2 1 1 21 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 n nm n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x    
       
Dengan  a i,j adalah  bilangan  rill  maka system  (4)  merupakan  system  persamaan diferensial autonomous linear.
B. Persamaan Difrensial Jenis  persamaan  diferensial  dapat
dibedakan menjadi dua jenis yaitu persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial.
1. Suatu  persamaan  diferensial  disebut persamaan  diferensial  biasa  jika  semua turunanya  dengan  satu  peubah  saja.
Contoh : dx/dt = 5x + ty . 2. Suatu  persamaan  diferensial  disebut persamaan difrensial parsial jika
turunannya  dengan  dua  atau  lebih peubah.  Contoh  :  d 2 v/dx 2 +  d 2 y/dy 2 = 2/c 2 dv/dt.
C. Pada  titik  kesetimbangan  dan kestabilan (Haberman (1987)) Dengan menggunakan  titik  kesetimbangan  maka suatu  sistem  dapat  lebih  memudahkan
untuk  mengamati  perilaku  kestabilannya. Berikut ini adalah definisi titik
kesetimbangan.
Pengertian  1 Titik  kesetimbangan adalah  sebuah keadaan  dari  suatu  sistem yang  tidak  berubah  terhadap  waktu.  Jika sistem dinamika dituangkan dalam bentuk persamaan diferensial  maka  titik kesetimbangan  dapat  diperoleh  dengan mengambil  turunan  pertama  yang  sama dengan nol. Suatu titik m ˆ  R disebut titik kesetimbangan dari system  persamaan m = F  (x),  jika  memenuhi  persamaan  f  (m*) =  0,  Dalam  sistem  epidemologi  dikenal titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan titik kesetimbangan endemik.
Titik kesetimbangan
bebas penyakit  adalah  dimana  sudah  tidak  ada lagi  penyakit  yang  menyerang  dalam populasi  sedangkan  titik  kesetimbangan endemik  adalah  dimana  penyakit  selalu menetap dalam populasi. Berikut ini adalah definisi  kestabilan  titik  kesetimbangan menurut  (Guckenheimer  dan  Holmes (1983)).

## Pengertian 2
1. Kestabilan  titik  kesetimbangan  dari sistem m  Fx dan m 0 adalah  titik  asal.  2.
Kestabilan disebut stabil asimtotik, jika m * stabil dan terdapat b  0 3. Kestabilan  disebut  tidak  stabil,  jika terdapat  suatu  0  sedemikian  sehingga untuk  sebarang  terdapat  sebuah 0   m 0 .  Jika  kondisi  awal  berada  sangat  dekat dengan  kestabilan  dan  solusi  sistem cenderung  mendekati  titik  kesetimbangan kestabilan,  maka  sistem  disebut  stabil asimtotik.  Jika  sifat  solusi  menjauh  dari titik  kesetimbangan  kestabilan  akibat perubahan  kecil  pada  kondisi  awal  maka sistem disebut tidak stabil.
Teorema  1 (Finizio  dan  Ladas  (1982)) Jika matriks A pada  sistem  persamaan  (1) adalah matriks koefisien dengan nilai eigen
, ,..., , 2 1 n    maka  titik  kesetimbangan
m* disebut :
1. Stabil, jika (  1 )  0 ,  i  1, 2 ,3 ..., n 2. Stabil asimtotik, (  1 )  0 ,  i  1, 2 ,3 ..., n 3. Tidak stabil, (  s )  0 , untuk suatu s
Pada teorema (1) dapat dipergunakan untuk menentukan  kestabilan  lokal  suatu  titik kesetimbangan.  Titik  kesetimbangan  yang stabil  atau  stabil  asimtotik  hanya  pada suatu  daerah  tertentu  dalam  lingkup  solusi sistem  dikatakan  stabil  lokal  atau  stabil asimtotik.  Titik  kesetimbangan  dikatakan stabil  global  atau  stabil  asimtotik  global jika titik kesetimbangan tersebut atau stabil asimtotik pada setiap lingkup solusi sistem.
D. Reproduksi dasar (R 0 ) (Hethcote (2000)) Bilangan reproduksi dasar ( R 0 ) merupakan parameter yang penting dalam  matematika epidemilogi  yang  merupakan  ambang batas (threshold) terjadinya  penyebaran penyakit . Bilangan  ini  diperoleh  dengan cara  menentukan  nilai  eigen  matriks jacobian  pada  titik  kesetimbangan  bebas penyakit (disease  free  equilibrium) dan titik  kesetimbangan  endemic (endemic equilibrium). (Liu (2013)) ( R 0 ) adalah nilai yang  menunjukkan  apakah  penyebaran penyakit  menjadi  epidemi  atau  tidak epidemi pada suatu populasi.
) ( 1  
    d d b R o (6)

## E.
Model Epidemi SIRS (Enatsu dan Messina, 2012),
Infeksi penyakit dikatakan endemic apabila setiap  orang  yang  terinfeksi  penyakit  akan menularkan  ke  individu  yang  lain.  Ketika individu  tersebut  tidak  hilang  dan  jumlah orang  yang  terinfeksi  bertambah,  maka infeksi  tersebut  dikatakan  berada  dalam keadaan endemic. Model SIRS ( Susceptible  Invected  Recovered  Susceptible) adalah  model  epidemic  yang mengasumsikan  bahwa  individu  yang sembuh  tidak  memiliki  kekebalan  alami terhadap  penyakit  yang  bersangkutan sehingga  individu  yang  sembuh  akan kembali  menjadi  individu  yang  rentan penyakit.  Model  SIRS  menggambarkan bahwa  individu  yang  telah  terinfeksi penyakit  ( invected ),  kemudian  sembuh (recovered ),  setelah  sembuh,  individu memperoleh kekebalan sementara terhadap penyakit  tersebut.  Seiring  berjalan  waktu kekebalan  tersebut  akan  menghilang  atau
berkurang,  mengakibatkan  individu  yang rentan  terserang  penyakit  dapat  kembali terinfeksi penyakit yang sama.
F. Penambahan dinamika transmisi
(Huitao  et  al  (2013))  dalam penelitiannya pada media coverage memodifikasi  dinamika  transmisi  menjadi seperti berikut :
, ) ( ) ( )) ( ( 2 1            t I m t I t I g (7)
Dimana  >  0  adalah  time  delay  pada infected (terinfeksi  penyakit) yang mewakili  periode  laten  media  pada coverage.  Penulis  memodifikasi  dinamika tranmisi  menjadi  seperti  berikut,  secara umum  model  epidemic  SIRS  dapat dirumuskan menjadi :
, ) ( . ) ( ) ( , ) ( R d I dt dR I d S I g dt dI R S I g dS b dt dS                 (8)
Kemudian  model  (10),  menjadi  seperti berikut ini (11):
, ) ( , ) ( , 2 1 2 1 R d I dt dR I d SI mI I dt dI R SI mI I dS b dt dS                                    
Sehingga  dinamika  transisi  pada penularan  penyakit  dapat  dimodifikasi sebagai berikut ini :
) ( ) ( )) ( ( 2 1            t mI t I t I g (9)
di  mana  penulis  mendefinisikan   0 adalah  time  delay  periode  kesembuhan yang diartikan sebagai waktu periode pada infected (terinfeksi penyakit) dari individu invected sampai  menjadi  individu recovered .
G. Titik kesetimbangan bebas Penyakit ( E 0 )
Titik kesetimbangan bebas penyakit  ( disease  free  equilibrium) adalah suatu  keadaan  dimana  tidak  terjadi penyebaran  penyakit  dalam  populasi. Pertama terlebih
menentukan titik kesetimbangan  bebas  penyakit,  misalkan titik  tersebut  dituliskan  E 0 =  ( S 0, I 0 ,R 0 ).
Karena  populasi  bebas  dari  penyakit  maka I 0 =  0,  yaitu  suatu  keadaan  dimana  titik terjadi  infeksi  pada  populasi.  Untuk mencari titik kesetimbangan bebas penyakit dimana 0   . Teorema 1, untuk setiap time delay pada infected (terinfeksi penyakit) , 0   penulis  mempergunakan  :
1. Titik kesetimbangan bebas penyakit (E 0 ) adalah stabil asimtotik local jika R 0 < 1 . 2. Titik kesetimbangan bebas penyakit (E 0 ) adalah tidak stabil jika R 0 > 1 . H. Pada titik kesetimbangan epidemic ( E*)
Jika semua individu rentan maka S
=  (S 0 )= , d b dan  karena  rentang  waktu
hidup  manusia  yang  terinfeksi  adalah
, ( 1     d d bearti
) ( 1 0       d d b R

## I. Asumsi Pemodelan
Dalam  pemodelan  epidemic  SIRS sesuai  dengan  model  klasik  epidemic  SIR dengan asumsi :
1. Populasi  diasumsikan  terbuka  (ada proses migrasi), yaitu ada populasi yang masuk dan keluar dari populasi tersebut.
2. Individu  yang  telah  sembuh R(t)
diasumsikan tidak mempunyai kekebalan  yang  permanen  terhadap penyakit  yang  bersangkutan,  sehingga akan  masuk  kembali  ke  dalam  kelas
rentan penyakit S(t) dengan laju konstan

## Y
3. Individu  yang  telah  sembuh  dari  sakit memiliki kekebalan sementara.
4. Semua parameter diasumsikan positif
5. Time  delay  yang  diartikan  sebagai waktu periode invected sampai menjadi
individu recovered .

## Hasil dan pembahasan
A. Hasil Penelitian
Penurunan  model  epidemi  SIRS dengan  time  delay  periode    pada infected (terinfeksi  penyakit) adalah  sebagai berikut :
1. Laju perubahan populasi Susceptible per satuan  waktu  dipengaruhi  oleh  laju pertambahan  rekruitmen  pada  populasi manusia (b). Populasi Susceptible sepanjang waktu (t) akan berkurang akibat laju  kematian  alami  pada Susceptible (dS)(t) dan dipengaruhi kekuatan penyebaran  infeksi  pada Susceptible 1  dan akan berkurang akibat adanya  I/
2  + mI dengan dipengaruhi  time  delay
periode kesembuhan dan kekuatan penyebaran  infeksi  dipengaruhi  pada recorvered
 dan  berpengaruh  laju  antara  individu yang  terjangkit  penyakit  menjadi  individu terinfeksi  kemudian  individu  yang  telah sembuh maka dapat ditulis :
                 t mI t I t dS b dt t dS ( ( ) ( ) ( 2 1
2.    Laju  perubahan  populasi Invected per satuan waktu dipengaruhi oleh pertambahan  populasi  invected  sepanjang waktu (t) akibat  kekuatan  penyebaran infeksi pada susceptible 1 
Dan  akan  berkurang  akibat  adanya I/ 2  + mI dengan  dipengaruhi time  delay  periode pada infected (terinfeksi  penyakit) betambahnya  populasi Invected per  satuan waktu  dipengaruhi  faktor  laju  kematian alami,  laju  kesembuhan tiap  individu  yang sakit menjadi individu rentan, laju kematian  tiap  individu  yang  disebabkan oleh penyakit pada populasi yang terinfeksi penyakit invected ) ( ) t I d     dan  laju perubahan  yang  rentan  menjadi  terinfeksi pada popolasi Invected , maka dapat ditulis :
Curere / Vol.4 / No.1 / April 2020 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 t I t S t mI t I dt t dI      
        
2. Laju  perubahan populasi Recovered per satuan waktu dipengaruhi oleh pertambahan  populasi Recovered per satuan  waktu  merupakan  akibat  laju perubahan  status  dari  terinfeksi  penyakit terhadap  populasi Invected ) )( ( t I  dan berpegaruh antara individu yang terjangkit penyakit menjadi individu terinfeksi kemudian individu yang telah sembuh.
Selain  itu,  berkurangnya  populasi Recovered per  satuan  waktu  dipengaruhi oleh  laju  kematian  alami  tiap  individu d
pada populasi Recovered dan laju kehilangan kekebalan tiap individu terhadap  penyakit  dan  akan  kembali menjadi  individu  rentan  penyakit ,  maka dapat ditulis ) ( ) ) ( ) ( t R d t I dt t dR      B. Pembahasan Contoh model epidemi Sirs dengan time delay periode kesembuhan Contoh  pertama  dan  contoh  kedua membahas sistem persamaan epidemi SIRS
dengan  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) dengan memperhatikan kestabilan titik kesetimbanganya.  Contoh  ini  bertujuan memberikan  gambaran  mengenai  sistem persamaan  epidemi  SIRS  dengan  time delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) dengan memberikan dan memperhatikan  nilai-nilai  untuk  masing- masing  parameter  sesuai  dengan  kondisi nilai  bilangan  reproduksi  dasar R 0 dalam teorema-teorema yang telah diberikan.
Dalam  penelitian  ini  dianalisis kesetimbangan  dan  kestabilan  untuk  dua kondisi, yaitu ketika R 0  1 pada saat  > 0 ,  dimana  kesetimbangan  bebas  penyakit stabil  karena  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) tidak dapat mempengaruhi  kestabilan  kesetimbangan bebas  penyakit  dan  ketika R 0  1 , kestabilan  kesetimbangan  endemi  akan dipengaruhi  oleh  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi  penyakit) .  Pada
contoh ketiga akan membahas model SIRS dengan tanpa time delay periode kesembuhan. Contoh ini bertujuan
untuk memperbandingkan  model  SIRS dengan  time  delay  periode  kesembuhan dan tanpa time delay periode pada infected (terinfeksi penyakit) .  Contoh 1 Jika R 0  1 Perilaku sistem persamaan epidemi SIRS  dengan  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) diperlihatkan dengan pertama kali menentukan nilai parameternya. Nilai-nilai parameter  adalah  sebagai  berikut  dimana
nilai b =  40, d =  0,09, 1  =  0,0006, 2  = 0,00054, m =  70, 8 , 0   , 09 , 0   , 08 . 0   Dengan 986 /  d b ,  sesuai  dengan  (6) penulis menghitung R 0 = 0,7481 < 1 selain itu penulis mendapatkan bebas penyakit E 0
= (869,0,0) Dari teorema ,diketahui diketahui bahwa titik kesetimbangan  bebas  penyakit E 0 adalah stabil asimtotik lokal untuk setiap saat time delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit)   Contoh 2 Jika R 0 > 1
Perilaku sistem persamaan epidemi
SIRS  dengan  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) diperlihatkan dengan pertama kali menentukan nilai parameternya. Nilai-nilai parameter  adalah  sebagai  berikut  : b =  50, d = 0,05, 1  = 0,0005, 2  = 0,00054, m = 70, 8 , 0 
 , 09 , 0   , 08 . 0   Dengan 986 /  d b ,  sesuai  dengan  (6)  penulis menghitung R 0 =  0,7456  >  1  selain  itu penulis  mendapatkan  bebas  penyakit E 0 =
(896,0,0) dan titik kesetimbangan 0 E
=  (278.0759,    53.1432,    59.7131).  Dengan demikian    dari  teorema  (1)  diketahui bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit ( E 0 ) adalah  tidak  stabil  asimtotik  lokal untuk  setiap  saat  time    delay  periode  pada infected (terinfeksi  penyakit) 0   dan titik  kesetimbangan E * adalah stabil untuk   [0,75.12576).
Curere / Vol.4 / No.1 / April 2020 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
Contoh  3 Model  Sirs  tanpa  time delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit).
Salah  satu  perbedaan  dengan  time delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) dan  tanpa  time  delay  periode pada infected (terinfeksi  penyakit)
terletak pada metode yang akan digunakan untuk  menganalisis  model  dengan  time delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) dengan tanpa time delay periode pada infected (terinfeksi  penyakit) . Menganalisis  untuk  model  dengan  time delay  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) biasanya  lebih  kompleks  dan masih jarang metode yang telah ditemukan. Diberikan  nilai  parameter  pada  contoh ketiga : b = 40, d = 0,09, 4 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0007 , 0        g dengan 716 /  d b didapatkan hasilnya R 0 =  0,7746  <  1 dan R 0 =  7,5866  >  1. Jika R 0 >  1 titik  kesetimbangan E * =( 182.5610.46.6817,60.3476).  Sekarang akan diperbandingkan dengan model
dengan  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi  penyakit) .  Setelah  dihitung nilai R 0  1  dan  hasil R 0  1  hasilnya adalah  sama  dengan  time  delay  periode pada infected (terinfeksi  penyakit) . Kemudian  diketahui  jika R 0  1  pada  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  ( E 0 )  tanpa time delay periode pada infected (terinfeksi  penyakit) juga  sama  yaitu adalah  stabil  asimtotik  dapat  dikatakan bahwa  pengaruh  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi  penyakit) tidak mempengaruhi.  Ketika, R 0 >  1 titik kesetimbangan  bebas  penyakit  ( E 0 )  dan titik  kestabilan  kesetimbangan  endemic akan  dipengaruhi  oleh  time  delay  periode pada infected (terinfeksi penyakit) .
Gambar  2.  Lintasan  dari I(t) dengan . 75 , 55 , 35 , 25 , 15 , 5  
Pada  Gambar  2  diambil  dari  berdasarkan titik kesetimbangan bebas penyakit dengan memberikan  time  delay  Infected  dari  5 sampai  75  yang  menunjukan  bahwa (E 0 ) stabil.
Gambar 3. Lintasan Grafik dari solusinya.

## Gambar 4. Lintasan dan grafik system

## Contoh 4 Pendekatan dengan kuantitatif
Pada bagian ini akan membandingkan hasil hasil  analisis  data  yang  telah  didapatkan sebelumnya  dengan  menggunakan  secara kuantitatif  sehingga  diperoleh  signifikansi hubungan  antar  parameter  yang  diteliti.
Untuk menghitung R 0 < 1, diberikan  : b = 40, d =  0,2, 1  =  0,25, 2  =  0,04, m =  0,3
10   , 10   , 2 . 0   Dengan  hanya
memiliki titik keseimbangan bebas penyakit  ( E 0 =  200,0,0)  seseuai  dengan persamaan  (6),  didapatkan  hasilnya R 0 = 2.4853  >  1. Hasil  yang  diperoleh  ini  jika dibandingkan  dengan  hasil  sebelumnya didapatkan bahwa R 0 < 1, dan berdasarkan persamaan  (6),  diketahui  bahwa  titik kesetimbangan  beba  penyakit E 0 adalah tidak  stabil  asimtotik  local  jika R 0 <  1.
Dimana  jika  dibandingkan  dengan  hasil analisis sebelumnya seharusnya
berdasarkan  persamaan  8,  bahwa  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  ( E 0 )  adalah stabil asimtotik local untuk setiap saat time delay  infected . 0   Untuk  menghitung R 0 <  1, diberikan  : b =  40, d =  0,2, 1  = 0,25, 2  =  0,04, m =  0,3 10   , 10   ,
2 . 0   Dengan  hanya  memiliki  titik
keseimbangan  bebas  penyakit  ( E 0 = 200,0,0)  seseuai  dengan  persamaan  7, didapatkan  hasilnya R 0 =  2.4853  >  1. Hasil yang diperoleh ini jika dibandingkan dengan  hasil  analisis  sebelumnya  sangat bertolak  belakang  dimana  hasil  sebelunya didapatkan bahwa R 0 > 1.

## Kesimpulan Dan Saran
Berdasarkan hasil dan pembahasan dalam  penelitian  ini  menunjukan  bahwa kesetimbangan bebas penyakit stabil global untuk  semua   1,  ketika  bilangan reproduksi  dasar R 0  1.  Dapat  di simpulkan,  time  delay  pada  periode  pada infected (terinfeksi penyakit) tidak dapat mem  pengaruhi  kestabilan  kesetimbangan bebas penyakit. Dengan kata lain pengaruh time delay periode pada infected (terinfeksi  penyakit) dapat  diabaikan untuk R 0  1.  Namun  ketika R 0  1 kestabilan  kesetimbangan  endemic  akan dipengaruhi  oleh  time  delay  periode  pada infected (terinfeksi  penyakit) .  Saran peneliti membuka dan memberikan peneliti lainnya yang tertarik dengan model sirs ini untuk selanjutnya meneliti kembali dengan menambah  variabel  parameter  dan  nilai pada parameternya.

## Daftar Pustaka
Boyce,  W.  E  dan  Diprima,  R.  C.  (2001).
Elementary  Diffrensial  Equation and  Boundary  Problems ,  Seventh edition,
Enatsu, Y. and Messina, E. (2012). Global Dynamics  of  a  Delayed  SIRS Epidemic Model with Class of Non Linear  Incidence  Rates. Applied Mathematics  and  Computation, Volume 218, No 9, 5327--5336. Hethcote, H. W. (2000). Mathematics of Infectious Diseases , SIAM, Vol. 42, 599--653. Huitao, Zhou. and Yiping, Lin. (2013). An SIRS Epidemic Model Incorporating Media Coverage with Time Delay. Discreate
Dynamics  in  Nature  and  Society ,
Volume 2013, Hindawi publishing Corporation. Sinuhaji,  F.  (2015).  Model  Epidemi  SIRS
Dengan Time Delay. Jurnal Visipena, Vol 6, No 1. Sinuhaji,  F.  (2018).  Model  Epidemi  SIRS dengan Time Delay Periode Kesembuhan. Jurnal Curere, Vol 2,
No 2.