## PEWARNAAN SISI PADA GRAF YANG BERHUBUNGAN DENGAN SIKEL
Wahyuni Abidin, S.Pd., M.Pd
Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
E-Addr.
Masni

## Mahasiswa Jurusan Matematika UINAM
Info:
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2014
Artikel No.: 10
Halaman: 69 - 75 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM

## ABSTRAK
Pewarnaan sisi pada graf G adalah pemberian warna untuk setiap sisi pada graf  sehingga  tidak  ada  dua  sisi  yang  dipisahkan  oleh  sebuah  titik mempunyai  warna  sama.  Penelitian  ini  dilakukan  dengan  tujuan  untuk mengetahui  rumus  umum  pewarnaan  sisi  pada  graf  yang  berhubungan dengan sikel berdasarkan pewarnaan  sisi dengan algoritma welch powell . Dalam  kajian  ini,  penulis  menggunakan  graf  yang  berhubungan  dengan sikel  yakni  graf  roda,  graf  gear,  graf  helm,  graf  helm  tertutup  dan  graf bunga. Berdasarkan hasil pembahasan dapat diperoleh bahwa rumus umum untuk pewarnaan sisi pada graf yang berhubungan dengan sikel yaitu rumus umum  untuk graf  Roda adalah χ(𝑊 𝑛 ) = 𝑛 . Rumus umum pewarnaan  sisi pada  graf  Gear  adalah χ(𝐺 𝑛 ) = 𝑛 ,  sedangkan  pada  graf  Helm  adalah χ(𝐻 𝑛 ) = n + 1 untuk 𝑛 = 3 , χ(𝐻 𝑛 ) = n untuk 𝑛 > 3 .  Rumus  umum pewarnaan sisi pada graf Helm Tertutup adalah χ(𝐻 ̂ 𝑛 ) = n + 1 untuk 𝑛 = 3 , χ(𝐻 ̂ 𝑛 ) = n untuk 𝑛 > 3 ,  sedangkan  pada  graf  Bunga  adalah χ(𝐹 𝑛 ) = 2n .
Kata  Kunci:  Pewarnaan  Sisi,  Graf,  Sikel,  Welch  Powell  dan  Indeks Kromatik

## 1. PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  salah  satu  cabang  ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu yang lain dan  selalu  menghadapi  berbagai  macam fenomena  yang  semakin  kompleks.  Hal  ini disebabkan oleh kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi,  serta  matematika  merupakan  suatu proses teori dan aplikasi ilmu yang memberikan suatu  bentuk  dan  manfaat. Matematika  juga merupakan  ratu  dari  segala  ilmu  pengetahuan, sehingga  matematika  tidak  dapat  dilepaskan  dari berbagai  ilmu  yang  ada  dan  matematika  juga membantu dalam kehidupan sehari-hari.
Perhitungan  dalam  matematika  menjadi  sebuah dasar  bagi  desain  ilmu  teknik,  fisika,  kimia maupun disiplin ilmu yang lainnya. Para ahli dari berbagai disiplin ilmu, menggunakan matematika  untuk  berbagai  keperluan  yang berkaitan  dengan  keilmuan  mereka.  Misalnya para ahli fisika menggunakan matematika untuk mengukur  kuat  arus  listrik,  merancang  pesawat ruang  angkasa,  menganalisis  gerak,  mengukur kecepatan, dan lain-lain.
Dewasa ini semakin banyak muncul penggunaan model matematika maupun penalaran matematika sebagai alat bantu dalam menyelesaikan  permasalahan  yang  dihadapi dalam  berbagai  disiplin  ilmu.  Teori  graf merupakan  salah  satu  cabang  matematika  yang penting  dan  banyak  manfaatnya  karena  teori- teorinya  dapat  diterapkan  untuk  memecahkan masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari.  Dengan mengkaji dan menganalisa model atau rumusan teori  graf  dapat  diperlihatkan  peranan  dan kegunaannya dalam memecahkan permasalahan. Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat  sederhana,  yaitu  diambil  aspek-aspek yang  diperlukan  dan  dibuang  aspek-aspek lainnya.
Terkait  dengan  pernyataan  di  atas,  pewarnaan sisi  pada  graf  merupakan  salah  satu  dari  materi pada teori graf yang berkembang dan mendapat perhatian  saat  ini.  Dengan  mengkaji  dan menganalisis  suatu  pewarnaan  sisi  pada  graf tertentu,  akan  didapat  suatu  perumusan  yang akan lebih memudahkan proses
pengaplikasiannya ke dunia nyata.
Pewarnaan  sisi  dari  graf 𝐺 adalah  sebuah pemetaan  warna-warna  ke  titik-titik  dari 𝐺 sedemikian hingga sisi yang terhubung langsung mempunyai  warna-warna  yang berbeda. Graf 𝐺 berwarna 𝑛 jika terdapat sebuah pewarnaan dari 𝐺 yang  menggunakan 𝑛 warna.  Dalam pewarnaan sisi erat kaitannya dengan penentuan indeks  kromatik,  yaitu  masalah  menentukan banyak  warna  minimum  yang  diperlukan  untuk mewarnai  sisi-sisi  pada  graf  sehingga  dua  sisi yang  terhubung  langsung  mempunyai  warna yang berbeda.
Bahasan  mengenai  pewarnaan  pada  graf tidak hanya difokuskan pada beberapa jenis graf itu  sendiri,  akan  tetapi  juga  dapat  diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari yang dapat membantu  dan  memudahkan  kita.  Diantaranya pada  pemasangan  kabel  telefon,  pada  masalah penjadwalan, pewarnaan peta dan masih banyak lagi.  Untuk  pewarnaan  sisi  pada  beberapa  jenis graf, contohnya adalah pewarnaan sisi pada graf roda, graf gear, graf helm, graf helm tertutup, dan graf bunga.
Beberapa kajian terdahulu telah membahas  tentang  pewarnaan  titik  pada  graf tertentu  seperti  yang  dibahas  oleh  Shofiyatul Hasanah  tahun  2007  dalam  tulisannya  yang berjudul  aplikasi  pewarnaan  graf  terhadap penjadwalan  kuliah  di  jurusan  matematika  UIN Malang,  dan  Abdul  Ghofurtahun  2008  dalam tulisannya  yang  berjudul  pewarnaan  titik  pada graf yang berkaitan dengan sikel.
Ada beberapa pewarnaan dalam suatu graf, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah.  Dalam  penelitian  ini  penulis  akan mengambil  salah  satu  topik  dari  pewarnaan- pewarnaan  pada  graf  tersebut  yaitu  pewarnaan sisi.  Pewarnaan  sisi  adalah  salah  satu  masalah mendasar pada graf, sehingga tidak ada dua sisi yang  dipisahkan  oleh  sebuah  titik  mempunyai warna  sama.  Berbanding  terbalik  dengan perwarnaan  titik  yang  tidak  ada  dua  titik  yang disambungkan  oleh  sebuah  sisi  yang  memiliki warna yang sama.
Berdasarkan perbedaan tersebut, penulis tertarik mengambil  pewarnaan  sisi  untuk  diaplikasikan kembali ke graf yang berhubungan dengan sikel untuk mengetahui apakah indeks kromatik yang
akan  dihasilkan  pewarnaan  sisi  akan  sama dengan pewarnaan titik. Sehingga penulis dapat merumuskan judul yang diteliti yaitu “ Pewarnaan Sisi pada Graf yang Berhubungan dengan Sikel ”.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Definis Graf
Definisi  2.1. Graf  adalah  diagram  yang  terdiri dari  noktah-noktah  yang  disebut  titik  dan dihubungkan oleh garis-garis yang disebut  sisi, serta setiap sisi menghubungkan tepat dua titik.
Graf 𝐺 adalah  pasangan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dengan 𝑉(𝐺) himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek  yang  disebut  titik,  dan 𝐸(𝐺) himpunan  (mungkin  kosong)  pasangan  tak berurutan  dari  titik-titik  berbeda  di 𝑉(𝐺) yang disebut  sisi.  Himpunan  titik  di 𝐺 dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan  himpunan  sisi  dinotasikan dengan 𝐸(𝐺) .  Sedangkan  banyak  unsur  di 𝑉 disebut  order  dari 𝐺 dan  dilambangkan  dengan 𝑝(𝐺) dan  banyaknya  unsur  di 𝐸 disebut  ukuran dari 𝐺 dan dilambangkan dengan 𝑞(𝐺). Jika graf yang  dibicarakan  hanya  graf 𝐺 ,  maka  orde  dan ukuran  dari 𝐺 tersebut  cukup  ditulis  dengan 𝑝 dan 𝑞 .
Definisi 2.2. Graf 𝑯 disebut subgraf dari 𝑮 jika himpunan titik di 𝑯 adalah subset dari himpunan titik-titik di 𝑮 dan himpunan sisi-sisi di 𝑯 adalah subset  dari  himpunansisi  di 𝑮 .  Dapat  ditulis 𝑽(𝑯) 𝑽(𝑮) dan 𝑬(𝑯) 𝑬(𝑮). Jika 𝑯 adalah subgraf 𝑮 , maka dapat ditulis 𝑯𝑮 .

## Graf Terhubung
Definisi 2.3. Sisi 𝒆 = (𝒖, 𝒗) dikatakan menghubungkan  titik 𝒖 dan 𝒗 Jika 𝒆 = (𝒖, 𝒗) adalah  sisi  di  graf 𝑮 ,  maka 𝒖 dan 𝒗 disebut terhubung langsung (adjacent), 𝒗 dan 𝒆 serta 𝒖 dan 𝒆 disebut  terkait  langsung  (incident),  dan titik 𝒖 dan 𝒗 disebut  ujung  dari 𝒆 .  Dua  sisi berbeda 𝒆 𝟏 dan 𝒆 𝟐 disebut terhubung langsung (adjacent),  jika  terkait  langsung  pada  satu  titik yang  sama.  Untuk  selanjutnya,  sisi 𝒆 = (𝒖, 𝒗) akan ditulis 𝒆 = 𝒖𝒗 .

## Algoritma Welch-Powell
Algoritma Welch Powell adalah suatu cara yang efisien untuk mewarnai sebuah graf 𝐺 .
Langkah-langkah dalam algoritma Welch Powell
1. Urutkan sisi-sisi dari G dalam urutan jumlah sisi  yang  terhubung  secara  menurun.  Urutan ini  mungkin  tidak  unik  karena  beberapa  sisi yang terhubung mungkin mempunyai jumlah yang sama.
2. Gunakan satu warna tertentu untuk mewarnai sisi pertama. Secara berurut, setiap sisi dalam tabel  yang  tidak  terhubung  langsung  dengan sisi sebelumnya diwarnai dengan warna ini.
3. Ulangi  langkah  2  di  atas  untuk  sisi  yang terhubung dengan urutan jumlah sisi terbesar yang belum diwarnai.
4. Ulangi  langkah  3  di  atas  sampai  semua  sisi dalam tabel terwarnai

## SIKEL
Sikel merupakan sebuah jejak tertutup yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda.

## Graf Sikel
Definisi 2.4. Graf sikel adalah graf yang terdiri dari  satu  sikel.  Graf  sikel  dinotasikan 𝑪 𝒏 , dimana 𝒏 itu adalah jumlah titik.

## Graf yang Berhubungan dengan Sikel
1. Graf Roda ( Wheel Graph )
Definisi  2.5. Graf  Roda 𝑾 𝒏 adalah  graf  yang memuat  sikel  yang  setiap  titik  pada  sikel terhubung langsung dengan titik pusat .
Teorema 2.1. Graf roda 𝑾 𝒏 memiliki 𝒏 + 𝟏 titik dan 𝟐𝒏 sisi.

## Graf Gear
Definisi 2.6. Graf gear adalah graf roda dengan tambahan  sebuah  titik  diantara    tiap-tiap pasangan  dari  titik-titik  graf  yang  terhubung langsung pada sikel luar.
Teorema 2.2. Graf gear 𝑮 𝒏 memiliki 𝟐𝒏 + 𝟏 titik dan 𝟑𝒏 sisi.
Graf Helm
Definisi  2.7. Graf  Helm 𝑯 𝒏 adalah  graf  yang didapatkan  dari  sebuah  graf  roda  dengan menambahkan  sisi  anting-anting  pada  setiap titik di sikel luar .
Teorema  2.3. Graf  Helm 𝑯 𝒏 memiliki 𝟐𝒏 + 𝟏 titik dan 𝟑𝒏 sisi.

## Graf Helm Tertutup
Definisi  2.8. Graf  Helm  Tertutup  adalah  graf yang  diperoleh  dari  sebuah  graf  Helm  dengan menghubungkan  tiap  titik  anting-anting  untuk membentuk sikel.
Teorema  2.4. Graf  Helm 𝑯 ̂ 𝒏 memiliki 𝟐𝒏 + 𝟏 titik dan 𝟒𝒏 sisi .
Graf Bunga (Flower Graph)
Definisi  2.9. Graf  Bunga  adalah  graf  yang diperoleh dari graf helm dengan menghubungkan  tiap-tiap  titik  anting-anting  ke titik pusat dari graf helm.
Teorema  2.5. Graf  Bunga 𝑭 𝒏 memiliki 𝟐𝒏 + 𝟏 titik dan 𝟒𝒏 sisi .

## Pewarnaan pada Graf
Ada  tiga  macam  pewarnaan  graf,  yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah.  Tetapi  dalam  hal  ini  penulis  hanya memfokuskan kajian tentang pewarnaan sisi.

## Pewarnaan Titik (Vertex Coloring)
Definisi  2.10. Pewarnaan  titik  adalah  memberi warna  pada  titik-titik  suatu  graf  sedemikian sehingga tidak ada dua titik terhubung langsung mempunyai warna yang sama .
Pewarnaan Sisi (Edge Coloring)
Definisi 2.11. Suatu pewarnaan sisi-k untuk graf 𝑮 adalah  suatu  penggunaan  sebagian  atau semua 𝒌 warna untuk mewarnai semua sisi di 𝑮 sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberi warna yang berbeda.

## Pewarnaaan Wilayah (Area Coloring)
Definisi 2.12. Pewarnaan 𝒏 wilayah merupakan pewarnaan graf 𝑮 yang dapat diwarnai dengan 𝒏 atau warna minimum, sehingga wilayah yang terhubung  langsung  dapat  diwarnai  dengan warna yang berbeda .

## 3. METODE PENELITIAN
Adapun  prosedur    yang  akan  dilakukan  pada penelitian  ini  untuk  mencapai  tujuan  yang diinginkan adalah sebagai berikut:
1. Menggambarkan  graf  yang  berhubungan dengan sikel.
2. Melakukan  pewarnaan  sisi  pada  graf  yang berhubungan  dengan  sikel  menggunakan algoritma welch powell .
3. Menghitung  banyak  warna  sisi  sebagai indeks kromatik.
4. Merumuskan  indeks  kromatik  pada  graf yang  berhubungan  dengan  sikel  secara umum  kemudian  memberikan  solusi  pada rumus tersebut berdasarkan gambar,
teorema, dan definisi.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Merumuskan  Indeks  Kromatik  pada  Graf Roda
Berdasarkan  hasil  dari  pewarnaan  graf  roda tersebut maka diperoleh:
𝜒(𝑊 3 ) = 3 ; 𝜒(𝑊 4 ) = 4 ; 𝜒(𝑊 5 ) = 5 ; 𝜒(𝑊 6 ) = 6 ; 𝜒(𝑊 7 ) = 7 ; 𝜒(𝑊 8 ) = 8 ; 𝜒(𝑊 9 ) = 9 ; 𝜒(𝑊 10 ) = 10 ; … ; 𝜒(𝑊 𝑘 ) = 𝑘 ;  … ; 𝜒(𝑊 𝑛−1 ) = 𝑛 − 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus umum untuk graf roda adalah:
χ(𝑊 𝑛 ) = 𝑛
Merumuskan  Indeks  Kromatik  pada  Graf Gear
Berdasarkan  hasil  dari  pewarnaan  graf gear tersebut maka diperoleh:
𝜒(𝐺 3 ) = 3; 𝜒(𝐺 4 ) = 4 ; 𝜒(𝐺 5 ) = 5 ′ 𝜒(𝐺 6 ) = 6;  𝜒(𝐺 7 ) = 7;  𝜒(𝐺 8 ) = 8;  𝜒(𝐺 9 ) = 9 ; 𝜒(𝐺 10 ) = 10; … . 𝜒(𝐺 𝑘 ) = 𝑘; …  𝜒(𝐺 𝑛−1 ) = 𝑛 − 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus umum untuk graf gear adalah:
χ(𝐺 𝑛 ) = 𝑛

## Merumuskan  Indeks  Kromatik  pada  Graf Helm
Berdasarkan  hasil  dari  pewarnaan  graf  helm tersebut maka diperoleh:
𝜒(𝐻 3 ) = 4 𝜒(𝐻 4 ) = 4 𝜒(𝐻 5 ) = 5 𝜒(𝐻 6 ) = 6 𝜒(𝐻 7 ) = 7 𝜒(𝐻 8 ) = 8 𝜒(𝐻 9 ) = 9 𝜒(𝐻 10 ) = 10 ⋮           ⋮ 𝜒(𝐻 𝑘 ) = 𝑘 ⋮           ⋮
𝜒(𝐻 𝑛−1 ) = 𝑛 − 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus umum untuk graf helm adalah:
𝜒(𝐻 𝑛 ) = { 𝑛 + 1, 𝑛 = 3 𝑛,                𝑛 > 3

## Merumuskan  Indeks  Kromatik  pada  Graf
Helm Tertutup
Berdasarkan  hasil  dari  pewarnaan  graf  helm tertutup tersebut maka diperoleh:
𝜒(𝐻 ̂ 3 ) = 4 𝜒(𝐻 ̂ 4 ) = 4 𝜒(𝐻 ̂ 5 ) = 5 𝜒(𝐻 ̂ 6 ) = 6 𝜒(𝐻 ̂ 7 ) = 7 𝜒(𝐻 ̂ 8 ) = 8 𝜒(𝐻 ̂ 9 ) = 9 𝜒(𝐻 ̂ 10 ) = 10 ⋮           ⋮ 𝜒(𝐻 𝑘 ) = 𝑘 ⋮           ⋮ 𝜒(𝐻 𝑛−1 ) = 𝑛 − 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus umum untuk graf helm tertutup adalah:
𝜒(𝐻 ̂ 𝑛 ) = { 𝑛 + 1, 𝑛 = 3 𝑛,                𝑛 > 3
Merumuskan  Indeks  Kromatik  pada  Graf Bunga
Berdasarkan  hasil  dari  pewarnaan  graf  bunga tersebut maka diperoleh:
𝜒(𝐹 3 ) = 6 𝜒(𝐹 4 ) = 8 𝜒(𝐹 5 ) = 10 𝜒(𝐹 6 ) = 12 𝜒(𝐹 7 ) = 14 𝜒(𝐹 8 ) = 16 𝜒(𝐹 9 ) = 18 𝜒(𝐹 10 ) = 20 ⋮            ⋮ 𝜒(𝐹 𝑘 ) = 𝑘 ⋮            ⋮ 𝜒(𝐹 𝑛−1 ) = 𝑛 − 1
Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus umum untuk graf bunga adalah:
χ(𝐹 𝑛 ) = 2n

## Pembahasan
Pewarnaan sisi dari graf 𝐺 merupakan pemetaan warna-warna ke titik dari 𝐺 , sedemikian sehingga sisi yang terhubung langsung, mempunyai warna yang  berbeda,  pewarnaan  sisi  erat  kaitannya dengan  pemetaan  indeks  kromatik.  Untuk  graf yang berhubungan dengan sikel di antaranya graf roda, graf gear, graf helm, graf helm tertutup, dan graf  bunga.  Memiliki  kajian  indeks  kromatik yang  berbeda-beda  karena  perbedaan  struktur dari graf masing-masing. Sebagai syarat mutlak banyaknya  indeks  kromatik  minimum  dari pewarnaan  graf  yaitu 𝑚 ≤ 𝜒(𝐺𝑛) ≤ 𝑚 + 1, dengan 𝑚 merupakan  derajat  maksimum  dari graf 𝐺 ,  maka  untuk  semua  graf  yang berhubungan dengan sikel (graf roda, graf gear, graf  helm,  graf  helm  tertutup  dan  graf  bunga) hanya  memenuhi  indeks  kromatik 𝜒(𝐺𝑛) = 𝑚,
karena  semua  graf  yang  berhubungan  dengan sikel  tidak  memenuhi  derajat  maksimum  untuk tiap titiknya.
Sebagai  perbandingan  indeks  kromatik  untuk kelima  graf  yang  berhubungan  dengan  sikel maka  terlihat  graf  roda  dan  graf  gera  memiliki bilangan kromatik yang sama, walaupun banyak titiknya  berbeda  namun  derajat  maksimum  dari keduanya  sama.  Hal  itu  dikarenakan  graf  roda memeliki derajat maksimum yang diperoleh dari titik  pusat  yang  terhubung  kesemua  titik  (titik graf  roda = 𝑛 + 1 ),  sedangkan  graf  gear  yang memiliki  titik 2𝑛 + 1 hanya  menghubungkan titik  ke  titik  pusat  sehingga  keduanya  memiliki derajat maksimum yang  sama. Selanjutnya graf helm  dan  hel  tertutup  juga  memiliki  indeks kromatik  yang  sama,  itu  di  karenakan  derajat maksimumnya  sama.  Berbeda  dengan  graf  gear dan  graf  roda,  untuk    graf  helm  dan  graf  helm tertutup pada 𝑛 = 3, derajat maksimumnya tidak berada di tititk pusat dengan derajat maksimumnya adalah 𝑛 + 1 sehingga untuk 𝑛 = 3, maka indeks kromatik = 4, sedangkan untuk 𝑛 > 3 sama dengan graf roda dan graf gear yang derajat  maksimumnya = 𝑛. Pada  graf  bunga yang  memiliki 2𝑛 + 1, semua  titik  selain  titik pusat terhubung langsung ke titik pusat sehunnga derajat  maksimum  dari  graf  bunga  adalah 2𝑛, sehingga indeks kromatinya pun 2𝑛.
Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  indeks kromatik  dari  graf  yang  berhubungan  dengan sikel tergantung pada besarnya derajat maksimum dari tiap graf tersebut.

## 5. PENUTUP

## Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  pembahasan  pada  Bab  IV, maka  dapat  diambil  kesimpulan,  bahwa  rumus umum pewarnaan sisi pada graf yang berhubungan dengan sikel berdasarkan pewarnaan  sisi  dengan  menggunakan  algoritma welch powell sebagai berikut:
1. Rumus umum untuk jumlah pewarnaan sisi pada graf roda, adalah:
χ(𝑊 𝑛 ) = 𝑛
2. Rumus umum untuk jumlah pewarnaan sisi pada graf gear, adalah:
χ(𝐺 𝑛 ) = 𝑛
3. Rumus umum untuk jumlah pewarnaan sisi pada graf helm, adalah:
𝜒(𝐻 𝑛 ) = { 𝑛 + 1,       𝑛 = 3 𝑛,                𝑛 > 3
4. Rumus umum untuk jumlah pewarnaan sisi pada graf helm tertutup, adalah:
𝜒(𝐻 ̂ 𝑛 ) = { 𝑛 + 1,      𝑛 = 3 𝑛,                𝑛 > 3
5. Rumus umum untuk jumlah pewarnaan sisi pada graf bunga, adalah:
χ(𝐹 𝑛 ) = 2n

## Saran
Pada penelitian ini, penulis hanya memfokuskan pada  pokok  bahasan  masalah  pewarnaan  sisi pada graf yang berhubungan dengan sikel, antara lain  Graf  Roda,  Graf  Gear,  Graf  Helm,  Graf Helm Tertutup, dan Graf Bunga yaitu penentuan indeks kromatiknya. Maka dari itu, untuk peneliti selanjutnya, penulis menyarankan kepada pembaca untuk mengaplikasikan hasil pewarnaan sisi ini pada suatu permasalahan yang dapat diselesaikan menggunakan pewarnaan sisi, terkhusus  pada  permasalahan  yang  berkaitan dengan graf yang berhubungan dengan sikel.
Azizah,  Nilna  Niswatin,  Abdusakir,  dkk.  2009 Teori graf . Malang: UIN Malang
Baizal  Abdurahman  ZK.  2002. Matematika diskrit Telkom: Sekolah Tinggi

## Teknologi Telkom
6. DAFTAR PUSTAKA
Budayasa  I  ketut.  2007. Teori  graph  dan aplikasinya . Unesa University Press Fitria,  Lala.  2007. Pelabelan  Super  Sisi  Ajaib (Super Edge Magic Labeling) padaGraph star K1, n (n bilangan asli). UIN Malang:
Skripsi, tidak diterbitkan
Gallian,  J.  A.  2007." Dynamic  Survey  DS6:
Graph Labeling ." Electronic J. Combinatorics , DS6. http://mathworld.wolfram.com/www. combinatori cs.org/Surveys/ds6. pdf. Diakses pada tanggal 22 Juni 2013
Gofur, Abdul Pewarnaan Titik Pada Graf Yang berkaitan  Dengan  Sikel http://lib.uin- malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/0321 0049.pdf (diakses  pada  tanggal  29  Juli 2013)
Hasanah, Shofiyatul. 2007. Aplikasi Pewarnaan Graf  Terhadap  Penjadwalan  Kuliah  Di Jurusan  Matematika  UIN  Malang .UIN Malang: Skripsi Hasanah,  Syifaul.  2008. Digraf  Dari  Tabel Cayley  Grup  Dihedral. UIN  Malang: Skripsi, tidak diterbitkan Imam KokokWahyuniWijaya. 2008. Pewarnaan pada Graf Buku dan Graf Tangga http://lib. uin-malang.ac.id/? mod=th_detail&id=
03510021  (diakses  pada  tanggal  29  Juli 2013). h.26
Kerami,  Djati  dan  Cormentyna  Sitanggang.
2003. Kamus  Matematika .  Jakarta:  Balai Pustaka
Lipschutz,  Seymour  Marc  Larcs  Lipson.  2002.
Matematika  Diskrit  2. Jakarta:  Salemba Teknika
Munir, Rinaldi.  2009. Matematika Diskrit Edisi 3. Bandung: Informatika Bandung
Nurhayati,  Dwi  Mei.  2007. Aplikasi  Metode Takagi-Sugenopada  Cara  Kerja  Mesin Cuci. UIN Malang: Skripsi, tidak diterbitkan.
Oktamira.2008. Pewarnaan  Sisi  Pada  Grafh Bukti  http://oktamira.files.wordpress.com /2010/12/pewarnaan-sisipada-graph.docx.
Diakses pada tanggal 22 Agustus 2013
Priatna  Nanang.  2008. Pewarnaan  Graf (Pama4208/Modul  6) .  Malang:  IKIP Malang
Purwanto,  1998. MatematikaDiskrit .  Malang: IKIP Malang.
Rahman, Afzalur. 1992. Al Qur’an SumberIlmuPengetahuan . Jakarta:
RinekaCipta.
Suryanto.1986. Materi  Pokok  Pengantar  Teori
Graph . Jakarta:Karunika Universitas terbuka
Wibisono,  Samuel.  2004. Matematika  Diskrit Edisi Pertama . Yogyakarta: GrahaIlmu