JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 4, Tahun 2020, Halaman 411 - 420 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
ESTIMASI CADANGAN KLAIM MENGGUNAKAN GENERALIZED LINEAR MODEL (GLM) DAN COPULA
Yuciana Wilandari 1,2* , Sri Haryatmi Kartiko 3 , Adhitya Ronnie Effendie 3 1 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro
2 Prodi S3 Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada 3 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Gadjah Mada *yuciana.wilandari@gmail.com

## ABSTRACT
In the articles of this will be discussed regarding the estimated reserves of the claim using the Generalized Linear Model (GLM) and Copula. Copula is a pair function distribution marginal becomes a function of distribution of multivariate. The use of copula regression in this article is to produce estimated reserves of claims. Generalized Linear Model (GLM) used as a marginal model for several lines of business. In research it is used three kinds of line of business that is individual, corporate and professional. The copula used is the Archimedean type of copula, namely Clayton and Gumbel copula. The best copula selection method is done using Akaike Information Criteria (AIC). Maximum Likelihood Estimation (MLE) is used to estimate copula parameters. The copula model used is the Clayton copula as the best copula. The parameter estimation results are used to obtain the estimated reserve value of the claim.
Keywords : Claim  Reserve, Copula, Generalized Linear Model

## 1. PENDAHULUAN
Klaim  asuransi  merupakan  proses  pengajuan  yang  dilakukan  oleh  peserta  asuransi untuk  mendapatkan  uang  pertanggungan  setelah  peserta  melaksanakan  seluruh kewajibannya  kepada  perusahaan  asuransi  berupa  penyelesaian  pembayaran  premi  sesuai dengan  kesepakatan  yang  telah  dilakukan  sebelumnya.  Banyaknya  klaim  yang  diajukan oleh  peserta  asuransi  dapat  dikatakan  sebagai suatu bentuk risiko kerugian bagi perusahaan asuransi.  Oleh  karena  itu,  suatu  perusahaan  asuransi  harus  dapat  mengelolanya  dengan baik  agar  tidak  mengalami  kerugian/kebangkrutan.  Pada  beberapa  jenis  asuransi pembayaran  klaim  dapat  dilakukan  dalam  satu  kali  pembayaran  dengan  jangka waktu yang tidak  lama  setelah  klaim  dilaporkan.  Namun  pada  beberapa  jenis  asuransi  yang  lain, pembayaran  klaim  dilakukan  lebih  dari  satu  kali  pembayaran  serta  membutuhkan  waktu yang  cukup  lama  untuk  penyelesiannya  terhitung  sejak  pengajuan  klaim  dilakukan.  Dalam bidang  asuransi  hal  ini  dikenal  dengan  istilah long  tailed  business ,  dimana  waktu penundaan  antara  terjadinya  klaim  sampai  dengan  penyelesaiannya  terhitung  lama mungkin  lebih  dari  satu  tahun,  misalnya  seperti  asuransi  tanggung  gugat,  asuransi malpraktik  medis,  asuransi pesawat terbang, dan reasuransi.
Akibat  adanya  rentang  waktu  saat  pengajuan  klaim sampai penyelesaian pembayaran klaim  dalam long  tailed  business terjadilah  hutang  klaim.  Untuk  mengatasi  hutang  klaim suatu  perusahaan  asuransi  harus  memiliki  dana  khusus  yang  disiapkan  untuk  melunasi hutang  klaim.  Hal  ini  dikenal  dengan  istilah  cadangan  klaim  (Mack,  1993).  Estimasi cadangan  klaim  memegang  peranan  penting  dalam  suatu  perusahaan  asuransi,  hal  ini dikarenakan  jika  suatu  perusahaan  asuransi  tidak  dapat  mengestimasi  cadangan  klaim dengan baik  maka perusahaan dapat mengalami  kebangkrutan.
Beberapa  model  telah  dikembangkan  untuk  menentukan  cadangan  klaim,  seperti dalam  England  dan  Verral  (2002)  serta  Wüthrich  dan  Merz  (2008)  cadangan  klaim ditentukan  dengan  menggunakan  metode  klasik  untuk single  line  of  business .  Sedangkan dalam  penelitian  Pevšta  dan  Okhrin  (2014)  dibahas  tentang  estimasi  cadangan  klaim  untuk
single  line  of  business yang  mengasumsikan  adanya  ketergantungan antar eror dari besar klaim  karena  berkembangnya  waktu  dalam  satu  tahun  kejadian,  dimana  dependensinya dimodelkan  dengan  model Conditional  Mean  and  Variance (CMV)  dan  copula.  Namun, pada  praktiknya  hampir  setiap  perusahaan  asuransi  memiliki  berbagai  macam line  of business .  Dari  sini  dapat  diasumsikan  bahwa  setiap line  of  business memiliki ketergantungan  satu  sama  lain.  Oleh  karena  itu  untuk  menentukan  nilai  cadangan  dari keseluruhan line  of business perlu diketahui dengan jelas hubungan antar line of business . Dalam  penelitian  Shi  dan  Frees  (2011)  ketergantungan  antar line  of  business dapat dimodelkan  dengan  regresi  copula.  Sedangkan  menurut  Valentovičová  (2015)  dan  Rahmah (2019)  untuk  menentukan  cadangan klaim pada kasus  dua line of business dapat dilakukan dengan  memodelkan  data  klaim  menggunakan Generalized  Linear  Model (GLM),  dan ketergantungan  antar line  of  business dapat  diestimasi  menggunakan  copula.  Sehingga tujuan  dari  penulisan  artikel  ini  adalah  menentukan  estimasi  cadangan  klaim  beberapa line of business menggunakan Generalized Linear Model (GLM) dan copula, dalam hal ini tiga line of business .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Generalized Linear Model (GLM)
McCullagh  dan  Nelder  (1989)  menyatakan  bahwa  GLM  merupakan  perluasan  dari model  linear  dimana  variabel  responnya  tidak  harus  berdistribusi  normal.  Variabel  respon biasanya  mengikuti  anggota  distribusi  keluarga  eksponensial  seperti  Normal,  Poisson, Binomial,  Gamma,  dan  Inverse  Gaussian.  Dalam  GLM mean dari  variabel  responnya berhubungan  dengan  kombinasi  linear  kovariat  melalui  fungsi  penghubung  ( link  function ).
GLM memiliki  3 karakteristik  utama, yaitu:
1. Asumsi  distribusi,  dengan  variabel  respon  (variabel  dependen)  merupakan  variabel random 𝑌 1 , 𝑌 2 , …, 𝑌 𝑛 dengan 𝐸[𝑌 𝑖 ] = 𝜇 𝑖 diasumsikan  mempunyai  fungsi  densitas  dari keluarga eksponensial.
2. Komponen  sistematik,  prediktor  linear  menghubungkan  dan  memberi  spesifikasi pengaruh  variabel  penjelas 𝑿 𝑖 ke mean dari  variabel respon 𝑌 𝑖 . Dengan 𝜂 𝑖 merupakan kombinasi  linear  antara  koefisien  regresi 𝜷 yang  merupakan  vektor  parameter berukuran 𝑝 × 1 ,  dan 𝑿 𝑖 yang  merupakan  vektor  kovariat  berukuran 𝑝 × 1 ,  dapat ditulis: 𝜂 𝑖 = 𝒙 𝑖 𝑇 𝜷 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑥 𝑖𝑝 (1)
dengan 𝜷 = (𝛽 0 , 𝛽 1 , 𝛽 2 , …, 𝛽 𝑝 ) 𝑇 dan 𝒙 𝒊 = (1, 𝑥 𝑖1 , 𝑥 𝑖2 ,…, 𝑥 𝑖𝑝 ) 𝑇
3. Fungsi  penghubung  ( link  function )  adalah  fungsi  yang  menghubungkan  nilai 𝐸(𝑌 𝑖 ) = 𝜇 𝑖 dengan 𝜂 𝑖 . 𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝒙 𝑖 𝑇 𝜷 (2)
Oleh karena itu,  bentuk  GLM dari 𝑌 𝑖 dapat ditulis: 𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝜂 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑥 𝑖𝑝 (3)

## 2.2. Copula Archimedean
Copula  Archimedean  merupakan  jenis  copula  yang  memiliki  bentuk  yang  cukup sederhana,  copula  Archimedean  seringkali  digunakan  dalam  pengaplikasian  teori keuangan,  dan  asuransi.  Menurut  Nelsen  (2006)  bentuk  copula  Archimedean  adalah sebagai berikut:
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑 −1 (𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣))
(4)
untuk 0 ≤ 𝑢 dan 𝑣 ≤ 1 ,  dengan 𝜑 merupakan  pembangkit  ( generator )  dari 𝐶 dengan 𝜑(0) = ∞ dan 𝜑(1) = 0 .
a. Copula Clayton
Copula  Clayton  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Clayton  (1978).  Fungsi pembangkit  ( generator )  dari  copula  Clayton  adalah 𝜑(𝑢) = 1 𝜃 (𝑢 −𝜃 − 1) . Untuk  kasus copula  dua dimensi  (bivariat),  fungsi  copula  Clayton  dapat ditulis  sebagai berikut:
𝐶 𝐶𝑙𝑎𝑦 (𝑢,𝑣) = (𝑢 −𝜃 + 𝑣 −𝜃 − 1) − 1 𝜃 (5)
Dengan  menderivatifkan  Persamaan  (5)  terhadap 𝑢 dan 𝑣 ,  maka  diperoleh  fungsi  densitas copula  Clayton  sebagai berikut:
𝑐 𝐶𝑙𝑎𝑦 (𝑢, 𝑣) = (1+𝜃)(𝑢 −𝜃 +𝑣 −𝜃 −1) −( 1 𝜃 +2) (𝑢𝑣) 𝜃+1 (6)

## b. Copula Gumbel
Copula  Gumbel  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Gumbel  (1960).  Fungsi pembangkit  ( generator )  dari  copula  Gumbel  adalah 𝜑(𝑢) = (− 𝑙𝑛 𝑢) 𝜃 . Untuk  kasus  copula dua dimensi  (bivariat),  fungsi  copula  Gumbel  dapat ditulis  sebagai berikut:
𝐶 𝐺𝑢 (𝑢, 𝑣) = 𝑒𝑥𝑝 {−[(− ln 𝑢) 𝜃 + (− ln 𝑣) 𝜃 ] 1 𝜃 } (7)
Dengan  menderivatifkan  Persamaan  (7)  terhadap 𝑢 dan 𝑣 ,  maka  diperoleh  fungsi  densitas copula  Gumbel  sebagai berikut:
𝑐 𝐺𝑢 (𝑢,𝑣) = 𝑐 𝐺𝑢 (𝑢,𝑣)𝑢 −1 𝑣 −1 (ln𝑢) 𝜃−1 (ln𝑣) 𝜃−1
[(−ln 𝑢) 𝜃 + (−ln 𝑣) 𝜃 ] −2+ 1 𝜃 {[(−ln 𝑢) 𝜃 + (−ln 𝑣) 𝜃 ] 1 𝜃 + 𝜃 − 1} (8)

## 2.3. Pemodelan Data Klaim
Dinotasikan  besar  pembayaran  klaim incremental sebagai 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) ,  dengan 𝑖 ∈ {1,2, . . . , 𝐼} dan 𝑗 ∈ {1,2, . . . , 𝐽} , 𝑛 dalam 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) menunjukkan  besar  pembayaran    klaim incremental pada line of business ke- 𝑛 , dengan 𝑛 ∈ {1,2, . . . , 𝑁} . Diasumsikan bahwa 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) merupakan  besar  pembayaran  klaim incremental yang  terstandarisasi,  dapat ditulis sebagai berikut:
𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) = 𝑋̃ 𝑖,𝑗 (𝑛) 𝜔 𝑖 (𝑛) (9)
dengan 𝑋̃ 𝑖,𝑗 (𝑛) merupakan besar pembayaran klaim incremental asli pada line of business ke- 𝑛 ,  dan 𝜔 𝑖 (𝑛) merupakan  variabel exposure pada  periode  kejadian  ke- 𝑖 untuk line  of business ke- 𝑛 .  Variabel exposure yang  akan  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah banyaknya  polis.  Diasumsikan  bahwa 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) memiliki  fungsi  distribusi 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) .  Sesuai  dengan Shi  dan Frees (2011),  maka fungsi  distribusi 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) dapat ditulis  sebagai berikut:
𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) = 𝑃 {𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) ≤ 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) } = 𝐹 (𝑛) (𝜂 𝑖,𝑗 (𝑛) ;𝛾 (𝑛) ) (10)
dengan 𝑛 ∈ {1,2, . . . , 𝑁} dan 𝛾 (𝑛) merupakan parameter dispersi, sedangkan parameter 𝜂 𝑖,𝑗 (𝑛) merepresentasikan komponen  sistematik  dari distribusi.
Diasumsikan  terdapat  dua  variabel  prediktor  yang  bersifat  independen  yaitu periode kejadian  dan  periode  perkembangan,  dinotasikan  dengan 𝛼 𝑖 (𝑛) , 𝑖 ∈ {1,2, . . . , 𝐼} dan 𝛿 𝑗 (𝑛) , 𝑗 ∈ {1,2, . . . , 𝐽} .  Maka  dapat  dibentuk  komponen  sistematik  dari  model  GLM  untuk line  of business ke- 𝑛 pada segitiga run-off sebagai berikut:
𝜂 𝑖,𝑗 (𝑛) = 𝜁 (𝑛) + 𝛼 𝑖 (𝑛) + 𝛿 𝑗 (𝑛) ; 𝑛 ∈ {1,2, . . . , 𝑁} (11)
dengan 𝜁 (𝑛) adalah intercept dan 𝛼 𝑖 (𝑛) = 𝛿 𝑗 (𝑛) = 0 .
Persamaan  (11)  akan  digunakan  untuk  mengestimasi  parameter.  Oleh  karena  itu, berdasarkan konsep GLM  dapat dibentuk  parameter dari model  GLM sebagai berikut:
𝜷 (𝐼+𝐽−1)×1 (𝑛) = (𝜁 (𝑛) ,𝛼 2 (𝑛) , …, 𝛼 𝐼 (𝑛) ,𝛿 2 (𝑛) ,… , 𝛿 𝐽 (𝑛) ) 𝑇

## 2.4. Regresi Copula
Setelah  nilai  parameter  dari  GLM  pada  masing-masing line  of  business diketahui, selanjutnya  diasumsikan  bahwa  antar line  of  business memiliki  ketergantungan.  Menurut Shi  dan  Frees  (2011),  untuk  mengestimasi  struktur  dependensi  antar line  of  business digunakan  model  regresi  copula.  Model  GLM  terbaik  dari  masing-masing line  of  business yang terpilih  selanjutnya  akan digunakan  sebagai marginal  dalam  distribusi  gabungan. Berdasarkan  Teorema  Sklar,  Fungsi  distribusi  gabungan  dari  besar  pembayaran  klaim incremental yang terstandarisasi (𝑋 𝑖,𝑗 (1) , … , 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑁) ) dapat ditulis  sebagai berikut:
𝐹 𝑖,𝑗 (𝑥 𝑖,𝑗 (1) ,…, 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) ) = 𝑃{𝑋 𝑖,𝑗 (1) ≤ 𝑥 𝑖,𝑗 (1) ,…, 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑁) ≤ 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛𝑁) } = 𝐶 (𝐹 𝑖,𝑗 (1) (𝑥 𝑖,𝑗 (1) ),… ,𝐹 𝑖,𝑗 (𝑁) (𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) )) (12)
dengan 𝐹 𝑖,𝑗 (1) , … , 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑁) merupakan  fungsi  distribusi  marginal  dari  besar  pembayaran  klaim incremental yang terstandarisasi (𝑋 𝑖,𝑗 (1) , … , 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑁) ) .
Misalkan 𝜂 𝑖,𝑗 (𝑛) dan 𝛾 (𝑛) dengan 𝑛 ∈ {1,2, . . . , 𝑁} ,  merupakan  parameter  yang  tidak diketahui  yang  akan  diestimasi  untuk  segitiga run-off masing-masing line of business , dan 𝜽 merupakan  vektor  parameter  dari  fungsi  copula.  Sehingga  vektor  parameter  dari  model regresi copula yang akan diestimasi dapat dinotasikan 𝝓 , dengan 𝝓 = (𝜷 (1) , … , 𝜷 (𝑁) , 𝛾 (1) , … , 𝛾 (𝑁) ;𝜽) 𝑇 .
Untuk  mengestimasi  parameter  dari  model  akan  digunakan  metode  maksimum likelihood.  Fungsi  densitas  dari  distribusi  gabungan  untuk  pembayaran  klaim incremental yang  terstandarisasi  dengan  diketahui  fungsi  copula  seperti  dalam  Persamaan  (12),  dapat ditulis  sebagai berikut:
𝑓 𝑖,𝑗 (𝑥 𝑖,𝑗 (1) , … , 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) ) = 𝑐 (𝐹 𝑖,𝑗 (1) (𝑥 𝑖,𝑗 (1) ), … , 𝐹 𝑖 ,𝑗 (𝑁) (𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) ) ;𝜽) ∏ 𝑓 𝑖,𝑗 (𝑛) 𝑁 𝑛=1 (13)
dengan 𝑓 𝑖,𝑗 (𝑛) dinotasikan  sebagai  fungsi  densitas  dari  distribusi  marginal 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) ,  sehingga dapat ditulis 𝑓 𝑖,𝑗 (𝑛) = 𝑓 (𝑛) (𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) , 𝜂 𝑖,𝑗 (𝑛) ; 𝛾 (𝑛) ) untuk 𝑛 ∈ {1,2, . . . , 𝑁} .
Setelah  fungsi  distribusi  gabungan  ditentukan,  maka  fungsi  likelihood  dan  fungsi  log likelihood  untuk 𝑥 𝑖,𝑗 (1) ,… , 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) dari  sampel  random 𝑋 𝑖,𝑗 (1) , …, 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑁) dengan (𝑖, 𝑗) ∈ {(𝑖, 𝑗); 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝐼} dapat didefinisikan  sebagai berikut:
𝐿 (𝜙;𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) ) = ∑ ∑ 𝑐 (𝐹 𝑖,𝑗 (1) (𝑥 𝑖,𝑗 (1) ) , … , 𝐹 𝑖 ,𝑗 (𝑁) (𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) ); 𝜽) 𝐼−𝑖 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 ∏ 𝑓 𝑖,𝑗 (𝑛) 𝑁 𝑛=1 (14)
dan
ℓ(𝜙;𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) ) = ∑ ∑ log𝑐(𝐹 𝑖,𝑗 (1) (𝑥 𝑖,𝑗 (1) ),…, 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑁) (𝑥 𝑖,𝑗 (𝑁) );𝜽) 𝐼−𝑖 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 + ∑ ∑ ∑ log 𝑓 𝑖,𝑗 (𝑛) 𝑁 𝑛=1 𝐼=𝑖 𝑗=1 𝐼 𝑖=1
(15)
Dengan  demikian,  estimator  dari  metode  maksimum  likelihood 𝜙̂ dapat  diperoleh  sebagai berikut:
𝝓 ̂ = arg max 𝝓 (𝝓, 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) ) (16)

## 3. METODE PENELITIAN
Data  yang  digunakan  untuk  mengestimasi  cadangan  klaim  menggunakan  GLM  dan Copula  adalah  data  klaim  asuransi  tanggung  gugat  yang  ditampilkan  dalam  bentuk  segitiga
run-off agregat incremental yang  terstandarisasi  untuk  perseorangan,  perusahaan  dan profesional.  Data  besar  pembayaran  klaim  asuransi  tanggung  gugat  untuk  periode  Januari 2011  sampai  dengan  Desember  2011  dari  masing-masing line  of  business yang  disajikan dalam bentuk  segitiga run-off agregat incremental terstandarisasi.
Berikut  adalah  langkah-langkah  untuk  mengestimasi  cadangan  klaim  beberapa line  of business menggunakan GLM  dan Copula:
1. Data  yang  akan  digunakan  jenis  data  asuransi  tanggung  gugat  dan  disajikan  dalam bentuk  segitiga run-off agregat incremental .
2. Dinotasikan 𝑋 𝑖,𝑗 (𝑛) ,  merupakan  besar  pembayaran  klaim incremental yang terstandarisasi  pada line of business ke- 𝑛 .
3. Menentukan  distribusi  untuk  data pada masing-masing line of business .
4. Menetapkan  model  marginal  yang  sesuai.  Disini  besar  pembayaran  klaim menggunakan  GLM  gamma  untuk  masing-masing line  of  business . Mengestimasi parameter model  marginal  (GLM) menggunakan  MLE.
5. Mengestimasi  parameter copula  pada regresi copula  dengan asumsi sebagai berikut a. Estimator  dari mean dinotasikan 𝜇̂ 𝑖,𝑗 (𝑛) dan  estimator  parameter  dispersi  dinotasikan
𝛾̂ (𝑛) , masing-masing  diperoleh  dari hasil  estimasi  parameter model  GLM terpilih.
b. Fungsi  distribusi  yang akan diestimasi  yaitu 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) .
c. Diasumsikan 𝑢 𝑖,𝑗 (𝑛) berdistribusi  uniform,  diperoleh  dengan  menyatakan  nilai fungsi  distribusi 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) dari  besar  pembayaran  klaim incremental yang terstandarisasi,  yaitu:
𝑢 𝑖,𝑗 (𝑛) = 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) (𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) ) .
d. Parameter  dari  copula 𝜽 diestimasi  menggunakan  metode  maksimum  likelihood dengan memaksimumkan  fungsi  densitas copula 𝑐 (𝑢 𝑖,𝑗 (1) , 𝑢 𝑖,𝑗 (2) , …, 𝑢 𝑖,𝑗 (𝑁) ;𝜽) .
Langkah-langkah  regresi  copula  dilakukan  untuk  kelas  copula  Archimedean  yaitu copula  Clayton  dan Gumbel.  Untuk pemilihan  copula  terbaik akan digunakan  AIC.
6. Setelah  terpilih  copula  terbaik,  maka  dapat  dilakukan  estimasi  cadangan  klaim dengan langkah-langkah  sebagai berikut:
i. Notasi (𝑢 𝑖,𝑗 (1) ,𝑢 𝑖,𝑗 (2) ,…, 𝑢 𝑖,𝑗 (𝑁) ) dibangun    berdasarkan  copula  terpilih  untuk  periode kejadian 𝑖 dan periode perkembangan 𝑗 dengan 𝑖 + 𝑗 > 𝐼 . ii. Notasi 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) adalah  besar  pembayaran  klaim incremental terstandarisasi  yang disimulasikan  sebagai fungsi  invers dari 𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) , maka dapat ditulis :
𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) = (𝐹 𝑖,𝑗 (𝑛) ) (−1) (𝑢 𝑖,𝑗 (𝑛) ) .
Proses  simulasi  diulang  sebanyak 𝐵 kali,  kemudian  hasil  dari  simulasi digunakan  untuk  mengestimasi  cadangan klaim.
iii. Besar klaim  yang belum  dibayarkan  dapat dinotasikan  dengan:
∑ ∑ 𝑥 𝑖,𝑗 (𝑛) 𝜔 𝑖 (𝑛) 𝐽 𝑗=𝐼−𝑖+2 𝑁 𝑛=1

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Estimasi Parameter GLM
Tahap  awal  dari  metode  GLM  adalah  mengestimasi  parameter  variabel  independen, yaitu  variabel  periode  kejadian  dan  variabel  periode  perkembangan.  Sebelumnya  terlebih dahulu  dilakukan  uji  korelasi  untuk  melihat  apakah  ada  depedensi  antara  perseorangan, perusahaan  dan  profesional.  Hasil  korelasi  ketiganya  adalah  terdapat  depedensi  antara perseorangan  dan  perusahaan  yaitu  0,94206,  antara  perusahaan  dan  profesional  yaitu 0,94539  serta  antara  perorangan  dan  profesional  yaitu  0,96071.  Selanjutnya  mengestimasi parameter  variabel  periode  kejadian  dan  variabel  periode  perkembangan  dengan memodelkan  data  dari  masing-masing line  of  business menggunakan  GLM  gamma. Dengan  menggunakan  program 𝑅 ,  diperoleh  hasil  estimasi  parameter  dari  masing-masing line of business seperti terlihat pada Tabel 1. Tabel 1. Hasil Estimasi  Parameter GLM
Perorangan Perusahaan Profesional Perorangan Perusahaan Profesional 𝜁 5,27633 5,32227 5,24882 𝛼 2 -0,09133 -0,04036 0,03418 𝛿 2 -0,18847 -0,18631 -0,15488 𝛼 3 0,00200 0,03183 0,01182 𝛿 3 -0,24878 -0,22359 -0,19776 𝛼 4 0,02412 0,04670 0,03543 𝛿 4 -0,22127 -0,27526 -0,20009 𝛼 5 0,03831 0,04775 0,07947 𝛿 5 -0,57054 -0,59520 -0,52942 𝛼 6 0,16595 0,13320 0,14071 𝛿 6 -0,87076 -0,91747 -0,84188 𝛼 7 0,23862 0,20845 0,23681 𝛿 7 -1,18924 -1,22901 -1,17065 𝛼 8 0,40326 0,34757 0,38969 𝛿 8 -1,55218 -1,61694 -1,55703 𝛼 9 0,54251 0,57417 0,61655 𝛿 9 -2,04997 -2,13190 -2,04757 𝛼 10 0,94889 0,95340 0,92782 𝛿 10 -2,92843 -2,94837 -2,86648 𝛼 11 1,32797 1,36281 1,38368 𝛿 11 -3,57904 -3,65057 -3,60522 𝛼 12 2,14928 2,04218 2,11887 𝛿 12 -4,70063 -4,79391 -4,60738
Setelah  diperoleh  nilai  parameter  untuk  masing-masing line  of  business ,  maka  data dari  masing-masing line  of  business perorangan,  perusahaan  dan  profesional  yang  telah dimodelkan  menggunakan  GLM  gamma digunakan  sebagai model  marginal  copula.

## 4.2. Estimasi Parameter Copula
Tahap  awal  dalam  memodelkan  copula  yaitu  fungsi  distribusi  marginal  dari masing-masing line  of  business dimodelkan  menggunakan  GLM  gamma.  Berdasarkan hasil  estimasi  parameter  GLM  pada  Tabel  1  diperoleh  parameter 𝜷 ̂ (𝑛) dan 𝜸 ̂ (𝑛) ,  dengan 𝜷 ̂ (𝑛) = (𝜁 (𝑛) ,𝛼 2 (𝑛) , …, 𝛼 12 (𝑛) ,𝛿 2 (𝑛) ,… , 𝛿 12 (𝑛) ) 𝑇 dan 𝜸 ̂ (𝑛) merupakan  parameter  dispersi  untuk 𝑛 = 1,2,3 . Tahap selanjutnya mengestimasi parameter model copula 𝝓 = (𝜷̂ (1) , 𝜷 ̂ (2) ,𝜷 ̂ (3) , 𝜸 ̂ (1) , 𝜸 ̂ (2) ,𝜸 ̂ (3) ) menggunakan metode maksimum likelihood sesuai dengan  Persamaan  (16).  Untuk  memilih  copula  terbaik  digunakan  AIC,  dimana  hasil dengan  nilai  AIC  terkecil  yang  dipilih  sebagai  model  terbaik.  Hasil  estimasi  parameter  dari model  copula  disajikan  pada  Tabel  2.    Berdasarkan  tabel  tersebut  diperoleh  bahwa  copula Clayton  merupakan  model  copula  terbaik  dengan  nilai  AIC  lebih  kecil  dari  nilai  AIC copula  Gumbel.  Setelah  terpilih  model  terbaik,  maka  tahap  selanjutnya  yaitu  melakukan simulasi  sebanyak 1000 kali  dengan  menggunakan  copula  Clayton  berdasarkan  GLM
gamma  untuk  mencari  estimasi  cadangan  klaim  masing-masing line  of  business perorangan,  perusahaan dan profesional.
Tabel 2. Hasil Estimasi  Parameter Copula
Estimator Copula Clayton Copula Gumbel Perorangan  Perusahaan  Profesional  Perorangan Perusaha an Profesional 𝜁 5,27639 5,31288 5,23846 5,27638 5,31301 5,23846 𝛼 2 -0,09138 -0,04359 0,03385 -0,09143 -0,04390 0,03385 𝛼 3 0,00186 0,03009 0,01077 0,00191 0,02979 0,01077 𝛼 4 0,02444 0,04529 0,03616 0,02398 0,04530 0,03617 𝛼 5 0,03818 0,04635 0,07909 0,03833 0,04631 0,07909 𝛼 6 0,16569 0,13218 0,14082 0,16608 0,13201 0,14082 𝛼 7 0,23859 0,20707 0,23736 0,23872 0,20685 0,23736 𝛼 8 0,40329 0,34664 0,39025 0,40341 0,34642 0,39025 𝛼 9 0,54264 0,57198 0,61517 0,54261 0,57168 0,61517 𝛼 10 0,94889 0,95159 0,92860 0,94897 0,95276 0,92861 𝛼 11 1,32795 1,36180 1,38453 1,32768 1,36189 1,38453 𝛼 12 2,14927 2,04216 2,12033 2,14923 2,04223 2,12034 𝛿 2 -0,18870 -0,18540 -0,15437 -0,18852 -0,18560 -0,15438 𝛿 3 -0,24863 -0,22286 -0,19688 -0,24882 -0,22307 -0,19688 𝛿 4 -0,22096 -0,27495 -0,19963 -0,22142 -0,27482 -0,19963 𝛿 5 -0,57062 -0,59494 -0,52840 -0,57058 -0,59485 -0,52840 𝛿 6 -0,87113 -0,91625 -0,84051 -0,87074 -0,91636 -0,84051 𝛿 7 -1,18925 -1,22880 -1,16996 -1,18907 -1,22872 -1,16996 𝛿 8 -1,55217 -1,61609 -1,55854 -1,55201 -1,61613 -1,55853 𝛿 9 -2,04981 -2,13408 -2,04817 -2,04980 -2,13420 -2,04817 𝛿 10 -2,92844 -2,94763 -2,86602 -2,92819 -2,94766 -2,86601 𝛿 11 -3,57903 -3,65112 -3,60379 -3,57937 -3,65104 -3,60379 𝛿 12 -4,70064 -4,79392 -4,60592 -4,70068 -4,79386 -4,60591 𝛾 0,99424 0,51793 0,00031 0,99424 0,51793 0,00031 1,2 0,0001 1,000119 1,3 0,0001 1 2,3 0,0001438081 1 LL -664,439 -664,436 AIC -1230,878 -1230,872
Hasil  estimasi  cadangan  klaim  per  periode  kejadian  untuk  masing-masing line  of business perorangan,  perusahaan  dan  profesional  dengan  menggunakan  GLM  dan  copula disajikan  dalam  Tabel  3,  4  dan  5,  dimana  estimasi  cadangan  klaimnya  terletak  pada segitiga  bawah pada masing-masing  tabel.
Tabel 3. Estimasi  Cadangan Klaim  Per Periode Kejadian Klaim  Menggunakan  GLM- Copula  Untuk Line of Business Perorangan (dalam ribuan) Periode Kejadian Periode Perkembangan T otal per Periode Kejadian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 201101 3301 2570 2438 2599 1849 1351 1005 720 446 191 95 30 201102 3143 2510 2213 2299 1586 1136 811 553 345 151 76 26 26 201103 3180 2649 2531 2554 1804 1323 1007 677 428 157 90 29 120 201104 3126 2673 2509 2687 1915 1424 1023 692 404 176 94 30 299 201105 2997 2598 2486 2500 1758 1385 971 702 400 160 86 28 674 201106 3270 2704 2663 2695 1928 1350 997 711 421 186 91 30 1439 201107 3134 2614 2528 2571 1801 1358 1000 676 403 172 92 28 2371 201108 3208 2808 2526 2475 1763 1314 991 664 413 169 92 29 3672 201109 3008 2421 2289 2413 1679 1253 918 655 387 162 79 27 5160 201110 3184 2698 2503 2481 1893 1355 968 681 431 177 91 29 8106 201111 2932 2339 2287 2304 1643 1195 861 623 383 151 81 26 9553 201112 3325 2758 2561 2638 1853 1359 1006 728 427 182 94 31 13638 T otal 45057
Tabel  3  menunjukkan  bahwa  perusahaan  asuransi  harus  menyiapkan  dana  cadangan  pada bulan  Januari  2012  (periode  perkembangan  ke-12)  untuk  menyelesaikan  klaim  yang  terjadi pada  bulan  Februari  2012  (periode  kejadian  ke-2)  sebesar  26.  Kemudian  perusahaan asuransi  harus  menyiapkan  dana  cadangan  pada  bulan  Januari  2012  (periode perkembangan  ke-11)  sebesar  90  dan  pada  bulan  Februari  2012  (periode  perkembangan ke-12)  sebesar  29  untuk  menyelesaikan  klaim  yang  terjadi  pada bulan Maret 2012 (periode kejadian  ke-3),  dan  seterusnya.  Sehingga  diperoleh  total  hasil  estimasi  cadangan  klaim asuransi  tanggung  gugat untuk line of business perorangan menggunakan  GLM dan copula sebesar 45.057.
Tabel 4. Estimasi  Cadangan Klaim  Per Periode Kejadian Klaim  Menggunakan  GLM- Copula  Untuk Line of Business Perusahaan (dalam ribuan) Periode Kejadian Periode Perkembangan T otal per Periode Kejadian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 201101 3190 2821 2725 2771 2023 1376 1000 689 396 180 94 29 201102 3071 2653 2654 2397 1783 1310 985 663 391 163 80 26 26 201103 3443 2820 2613 2531 1777 1349 970 666 435 185 89 28 117 201104 3457 2923 2693 2649 1887 1372 969 673 374 173 88 28 289 201105 3412 2767 2566 2542 1832 1312 936 633 381 168 85 27 660 201106 3401 2767 2685 2628 1881 1381 1042 669 407 173 88 29 1366 201107 3491 2812 2764 2541 1790 1307 976 654 401 179 85 27 2323 201108 3174 2801 2585 2480 1812 1316 945 648 382 170 86 27 3573 201109 3553 2887 2769 2424 1850 1376 997 670 408 181 88 27 5596 201110 3390 2738 2855 2632 1826 1349 971 680 400 178 88 28 8153 201111 3479 2765 2661 2571 1864 1339 1000 668 404 178 89 28 10802 201112 3175 2658 2476 2410 1742 1263 934 619 368 168 83 26 12747 T otal 45652
Tabel 5. Estimasi  Cadangan Klaim  Per Periode Kejadian Klaim  Menggunakan  GLM- Copula  Untuk Line of Business Profesional (dalam ribuan)
Periode Kejadian Periode Perkembangan T otal per Periode Kejadian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 201101 9240 7972 7722 7703 5610 4088 3012 2067 1257 528 260 95 201102 10019 8533 8076 8073 5782 4241 3072 2077 1300 574 268 98 98 201103 9373 8086 7861 7904 5589 3995 2824 1901 1173 535 251 92 344 201104 9574 8185 7741 7816 5605 4121 2939 1961 1206 534 255 94 884 201105 9405 8383 7888 7679 5613 4163 3002 2080 1227 541 259 95 212 201106 9413 8370 7881 7826 5563 4120 2960 1990 1220 538 258 95 4100 201107 9410 8039 7645 7791 5555 4069 2895 1963 1203 531 254 93 6939 201108 9677 8125 7957 7877 5714 4117 2965 2008 1231 543 260 95 11219 201109 9982 8106 7797 7795 5604 4100 2952 2001 1226 541 259 95 16777 201110 9462 8175 7896 7745 5576 4080 2935 1989 1219 538 257 94 24433 201111 9493 7999 7662 7635 5499 4025 2895 1964 1203 531 254 93 31761 201112 9545 8105 7767 7748 5577 4083 2937 1991 1220 538 257 94 40318 T otal 138996
Dari  Tabel  4  terlihat  bahwa  perusahaan  asuransi  harus  menyiapkan dana cadangan pada  bulan  Januari  2012  untuk  menyelesaikan  klaim  yang  terjadi  pada  bulan  Februari 2012 sebesar  26.  Kemudian  perusahaan  asuransi  harus  menyiapkan  dana  cadangan  pada  bulan Januari  2012  sebesar  89  dan  pada  bulan  Februari  2012  sebesar  28  untuk  menyelesaikan klaim  yang  terjadi  pada  bulan  Maret  2012,  dan  seterusnya.  Sehingga  diperoleh  total  hasil estimasi  cadangan  klaim  asuransi  tanggung  gugat  untuk line  of  business perusahaan menggunakan  GLM dan copula  sebesar 45.652.
Table 6. Perbedaan Estimasi  Cadangan Klaim  Menggunakan  GLM dan GLM-Copula
Periode Kejadian GLM-Copula GLM Perorangan Perusahaan Profesional Perorangan  Perusahaan Profesional 201102 25.790 25.985 98.132 25.544 26.682 98.992 201103 119.515 117.298 343.743 118.091 116.134 347.150 201104 299.018 289.332 883.644 296.314 294.264 891.689 201105 674.042 660.081 2.122.227 694.929 674.806 2.145.258 201106 1.438.454 1.365.939 4.100.406 1.429.784 1.383.428 4.146.370 201107 2.370.626 2.322.596 6.938.814 2.349.854 2.344.559 7.006.771 201108 3.672.277 3.572.861 11.219.432 3.703.251 3.580.024 11.322.496 201109 5.159.578 5.596.236 16.777.347 5.105.137 5.636.783 16.963.511 201110 8.106.005 8.153.003 24.433.350 8.109.349 8.229.972 24.645.668 201111 9.553.526 10.801.481 31.760.873 9.500.656 10.917.059 32.044.693 201112 13.637.903 12.747.433 40.317.947 13.727.996 12.815.800 40.658.249 Total 45.056.733 45.652.247 138.995.915 45.060.905 46.019.512 140.270.846
Sedangkan  pada  Tabel  5  menunjukkan  bahwa  perusahaan  asuransi  harus menyiapkan  dana  cadangan  pada  bulan  Januari  2012  untuk  menyelesaikan  klaim  yang
terjadi  pada  bulan  Februari  2012  sebesar  98.  Kemudian  perusahaan  asuransi  harus menyiapkan  dana  cadangan  pada  bulan  Januari  2012  sebesar  251  dan  pada  bulan Februari 2012  sebesar  92  untuk  menyelesaikan  klaim  yang  terjadi  pada  bulan  Maret  2012  dan seterusnya.  Sehingga  diperoleh  total  hasil  estimasi  cadangan  klaim  asuransi  tanggung gugat  untuk line  of  business profesional  menggunakan  GLM  dan  copula  sebesar  138.996. Selanjutnya  diberikan  perbedaan  estimasi  cadangan  klaim  per  periode  kejadian menggunakan  GLM  dan  GLM-Copula  seperti  terlihat  pada  Tabel  6.  Tabel  tersebut menunjukkan  bahwa  estimasi  cadangan  klaim  menggunakan  GLM-copula  nilainya  lebih kecil  dibandingkan  menggunakan  GLM untuk  semua line of business .

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  diperoleh  kesimpulan  bahwa  terdapat  korelasi antar line  of  business perorangan,  perusahaan  dan  profesional  menunjukkan  bahwa ketiganya  saling  berhubungan  sehingga  model  copula  dapat  digunakan  untuk  memodelkan dependensi  antar line  of  business .  Model  marginal  yang  digunakan  adalah  model  GLM gamma  untuk  masing-masing line  of  business .  Model  copula  yang  digunakan  adalah copula  Clayton  sebagai copula terbaik.

## DAFTAR PUSTAKA
England,  P.  D.,  and  Verrall,  R. J. 2002. Stochastic Claims Reserving in General Insurance .
British Actuarial Journal , 102(8):443-544.
Mack,  T.,  1993.  Distribution-free  Calculation  of  the  Standard  Error  of  Chain  Ladder Method Reserves Estimates. ASTIN Bulletin . Volume 23, 213-225. McCullagh,  P.  dan  Nelder,  J.A.  1989. Generalized  Linear  Models  2nd Edition . London. Chapman and Hall.
Nelsen, R.B. 2006. An Introduction to Copulas 2nd Edition . New York. Springer Science and Business  Media, Inc.
Pevšta,  M.  dan  Okhrin,  O.  2014.  Conditional  Least  Squares  and  Copulae  in  Claims Reserving  for  a  Single  Line  of  Business. Journal  of  Insurance:  Mathematics  and Economics . Volume 56 (2014),  28–37. Rahmah,  M.A.  2019. Estimasi  Cadangan  Klaim  Menggunakan  Copula  Berdasarkan Generalized  Linear  Model  (GLM)  untuk  Multiple  Line  Of  Business .  Tesis. Universitas  Gadjah  Mada.
Shi,  P.  dan  Frees,  E.  2011.  Dependent  Loss Reserving  using Copulas. ASTIN Bulletin . 41: 449-486.
Valentovičová,  K.  2015. Claim  Reserving  With  Copulae  For  Multiple Line of Business . Master Thesis. Charles University  in Prague.
Wüthrich,  M  dan  Merz,  M.  2008. Stochastic  Claims  Reserving  Methods  in  Insurance . Canada. John Wiley  and Sons.