AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 3 Desember 2023 e-ISSN 2579-7646

## Statisticam approaches for consistency index in analytical hierarchy process
1 Amalia Handayani, 2 Farikhin, 3 Bayu Surarso 1,2,3 Department of Mathematics, Faculty of Sciences and Mathematics, Diponegoro University, Semarang, 50275, Indonesia
Email: Amaliahanda99@gmail.com , farikhin.math.undip@gmail.com , bayus@lecturer.undip.ac.id

## Abstrak
The  Analytical  Hierarchy  Process  (AHP)  is  a  flexible  model  that  provides individuals or groups with the opportunity to define issues by making their own assumptions and obtaining desired solutions. AHP establishes a framework for decision-making or problem-solving. In AHP, an RI (Random Index) value plays a crucial role in determining the consistency of a problem. Many researchers have proposed different random index values using the Saaty Scale. In this study, we also  propose  new  random  index  values  using  the  Saaty  Scale.  The  discovered random index values can be tested on randomly determined reciprocal matrices. The experiment in this research was conducted using matrix orders ranging from 3x3 to 15x15. The proposed RI values were compared to the matrix consistency levels of other researchers who conducted experiments with similar numbers and matrix  orders.  In  the  case  of  1000  experiments,  our  values  showed  a  slight improvement compared to those of Golden and Wang. For the 2500-experiment case, our values were similar to those reported by Lane and Verdine. Lastly, in the 100,000-experiment case, our values exhibited a slight improvement compared to  those  obtained  by Alonso  and  Lamata.  We  welcome  further  suggestions  and encourage future research in this field.
Kata kunci : Random Index, Analytic Hierarchy Process, proposed RI values, experiment case, Statistical Approaches, Consistency Index

## A. Pendahuluan
Saaty  (1993)  menyatakan  bahwa Analytical  Hierarchy  Process (AHP) adalah  suatu  model  yang  mempunyai  sifat  keluwesan  untuk  memberikan kesempatan kepada individu atau kelompok untuk mendefinisikan persoalan dengan  cara  membuat  asumsi  mereka  masing-masing  dan  memperoleh pemecahan atau solusi yang diinginkan. Analytical Hierarchy Process (AHP) memberi  suatu  kerangka  dalam  pengambilan  keputusan  atau  pemecahan masalah.    Kusrini  (2007)  menyatakan  bahwa  dalam  metode Analytical Hierarchy Process (AHP) terdapat alur kerja atau langkah sebagai berikut : Mendeskripsikan  masalah  dan  tujuan,  Membuat  skala  atau  hierarki  dari permasalahan yang diangkat, Untuk menentukan tingkat prioritas kriteria dan  alternatif  atau  data,  Mensintesis  matriks  perbandingan  berpasangan, Menghitung  lamda  ( 𝜆 )  maks,  Menghitung  tingkat  Consistensi  Indeks  (CI), Menentukan Random Index (RI), Menghitung tingkat Rasio Konsistensi atau Consistency Ratio (CR) , Mengecek tingkat konsistensi.
Sebagaimana  diketahui  bahwa  rasio  konsistensi  digunakan  untuk pengambilan keputusan dengan metode Analytical Hierarchy Process (AHP).
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 3 Desember 2023 e-ISSN 2579-7646
Konsistensi ini sama dengan indeks konsistensi dibagi dengan indeks acak. Beberapa  peneliti  telah  mengusulkan  indeks  acak  sebagai  hasil  simulasi numerik  dengan  jumlah  matriks  yang  bervariasi  untuk  matriks  orde  3 sampai 15. Makalah ini, kami menyelidiki untuk menentukan indeks acak sebagai simulasi numerik dari percobaan sebanyak 1000, 2500 dan 100.000. Hasil indeks acak diterapkan pada beberapa pengambilan keputusan dalam konteks Analytical Hierarchy Process (AHP). Analytical Hierarchy Process (AHP) digunakan untuk memilih faktor- farktor  yang  penting  untuk  pengambilan  keputusan  yang  di  usulkan  oleh Saaty. Analytical  Hierarchy  Process (AHP)  menggunakan  matriks perbandingan  berpasangan  timbal  balik,  dimana  harus  memenuhi  kondisi konsistensi.  Jika  tidak  memenuhi  kondisi  konsistensi  maka  akan  di definisikan ulang matriks.
Vargas  (2007)  dalam  penenelitiannya  menghitung  Consistensi  Rasio    (CR) dengan membandingkan Random Index (RI) miliknya  dan Saaty . Dengan memberikan contoh matriks resiprokal ordo 3 :
                1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
matriks ini memiliki CR= 0,054 sehingga tidak konsisten. Menurut aturan Saaty, CR yang diterima harus lebih dari 0,10.  Akan tetapi menurut Golden dan Wang  tentang masalah aturan 10% terlalu restriktif untuk n>3.
Vargas  (2008)  menyatakan  bahwa  untuk  mendapatkan  distribusi teoretis  dari  nilai  eigen utama  dari  matriks  resiprokal  (positif)  yang  tidak dapat  ditelusuri  secara  matematis,  kami  menggunakan  simulasi  untuk memperkirakannya.  Artikel  ini  menjelaskan  teknik  statistic  baru  RI  (x)=
1 max   x x  untuk  mendapatkan Random  Index (RI)  untuk  matriks  ordo  3 sampai ordo 15.

## B. Metode Penelitian
Penelitian  pada  artikel  ini  menggunakan  percobaan  berulang  dengan bantuan softwere Phyton. Fuzzy Analytical Hierarchy Process (AHP) banyak digunakan dalam berbagai bidang.  Kajian historis dari beberapa Random Index (RI)  yang digunakan dan cara mengestimasi index dapat dilihat pada penelitian  Alonso  dan  Lamata.    Beberapa  peneliti  telah  menghitung  dan memperoleh Random Index (RI)  yang berbeda tergantung pada simulasi dan ordo matriks. Beberapa peneliti yang menjadi perbandingan Random Index (RI)    kami  dengan  menggunakan  skala  Saaty  adalah  Lane  dan  Verdine  ,
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 3 Desember 2023 e-ISSN 2579-7646
Golden dan Wang serta Alonso dan Lamata. Dimana jumlah percobaan dan ordo matriks yang berbeda. Percobaan pada Lane dan Verdine sebanyak 2500 kali dengan ordo kecuali 11, 13, 15.

## C. Hasil dan Pembahasan
Percobaan  yang  dilakukan  untuk  menentukan Random  Index (RI) dilakukan  berapakali.    Percobaan  Golden  dan  Wang  sebanyak dilakukan1000, pada Lane dan Verdine  dilakukan sebanyak 2500 kali dan pada Alonso dan Lamata sebanyak 100000 kali. Semua percobaan dilakukan dengan menggunakan ordo matriks yang sama banyaknya. Percobaan yang dilakukan dengan menggunakan rumus random index milik Saaty.
RI (x)= 1 max   x x  (1)
Kami  juga  menggunakan  skala  yang  sama  yang  digunakan  Saaty
      9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 , 6 1 , 7 1 , 8 1 , 9 1 dalam melakukan percobaan.

## Tabel 1. Nilai Ri(n)

## Nilai Percobaan RI
n Golden, Wang Proposal Lane,Verdine Proposal Alonso, Lamata Proposal 1000 1000 2500 2500 100000 100000 3 0.5799 0.5176 0.52 0.50 0.5243 0.5221 4 0.8921 0.8830 0.87 0.88 0.8815 0.8844 5 1.1159 1.1277 1.1 1.11 1.1086 1.1094 6 1.2358 1.2461 1.25 1.24 1.2479 1.2495 7 1.3322 1.3298 1.34 1.35 1.3417 1.3389 8 1.3954 1.4008 1.4 1.42 1.4056 1.4023 9 1.4537 1.4465 1.45 1.46 1.4499 1.4516 10 1.4882 1.4703 1.49 1.49 1.4854 1.4859 11 1.5117 1.50397 1.5141 1.5133 12 1.5356 1.5375 1.54 1.53 1.5365 1.5362 13 1.5571 1.5599 1.5551 1.5543 14 1.5714 1.5641 1.57 1.57 1.5713 1.5703 15 1.5831 1.58095 1.5838 1.5834
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 3 Desember 2023 e-ISSN 2579-7646
Gambar 1.  Perbandingan nilai Random Index (RI)  yang diperoleh Golden dan Wang dan Proposal Random Index (RI)
Pada  percobaan  yang  dilakukan  sebanyak  1000  kali,  nilai Random Index (RI) yang di dapat tidak jauh berbeda dengan nilai Random Index (RI) yang sudah ada. Sebagai contoh pada ordo 3 nilai Random Index (RI) di dapat sebesar 0.5176 lebih kecil 0,0623 dari Golden dan Wang. Begitu juga dengan nilai Random Index (RI) pada ordo matriks yang lain, nilai Random Index (RI) yang di peroleh tidak jauh berbeda.
Gambar 2.   Perbandingan nilai Random Index (RI)  yang diperoleh Verdine dan Lane dan Proposal Random Index (RI)
Pada  percobaan  yang  dilakukan  sebanyak  2500  kali,  nilai Random Index (RI) yang di dapat tidak jauh berbeda dengan nilai Random Index (RI) yang sudah ada. Sebagai contoh pada ordo 3 nilai Random Index (RI) di dapat sebesar 0.50 lebih kecil 0,03 dari Verdine dan Lane. Begitu juga dengan nilai Random  Index (RI)  pada  ordo  matriks  yang  lain,  nilai Random  Index (RI) yang di peroleh tidak jauh berbeda.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 3 Desember 2023 e-ISSN 2579-7646
Gambar 3.  Perbandingan nilai Random Index (RI)  yang diperoleh Alonso dan Lamata  dan Proposal Random Index (RI)
Pada percobaan yang dilakukan sebanyak 100.000 kali, nilai Random Index (RI) yang di dapat tidak jauh berbeda dengan nilai Random Index (RI) yang sudah ada. Sebagai contoh pada ordo 3 nilai Random Index (RI) di dapat sebesar  0,5221  lebih  kecil  0,0022  dari  Alonso  dan  Lamata.  Begitu  juga dengan nilai Random Index (RI) pada ordo matriks yang lain, nilai Random Index (RI) yang di peroleh tidak jauh berbeda.
Hasil  ini  menunjukkan  bahwa  nilai  dapat  berubah  dengan  banyak eksperimen  yang  berbeda.  Pada  percobaan  RI  sebanyak  1000  Golden  dan Wang cenderung memiliki nilai yang tinggi. Pada percobaan 2500 Lane dan Vardine  cenderung  memiliki  nilai  yang  hamper  sama.  Pada  percobaan  RI 100.000 Alonso dan Lamata memiliki nilai yang cenderung tinggi.

## D. Simpulan dan Saran
Dalam  artikel  ini  kami  telah  menyajikan  metode  estimasi  untuk mengusulkan  nilai  RI  yang  baru  untuk  menolak  atau  menerima  matriks dalam  Analisis    Hirarki  Proses  dengan  menggunakan  skala  Saaty. Selanjutnya  nilai  RI  kami    membandingkan  tingkat  konsistensi  matriks dengan  konsistensi  matriks  milik  peneliti  lain.  Dengan  banyak  percobaan dan jumlah orde yang sama. Untuk percobaan ke 1000 memiliki nilai yang sedikit lebih baik daripada Golden dan Wang, pada percobaan ke 2500 kami memiliki  nilai  yang  hamper  mirip  dengan  Lane  dan  Vardine,  serta  pada percobaan ke 100000 memiliki nilai yang  sedikit lebih baik daripada Alonso dan Lamata.
Kami  sangat  berterimakasih  jika  ada  peneliti  selanjutnya  yang memberi saran terhadap penelitian kami dan berharap akan ada penelitian lanjutan.

## E. Daftar Pustaka
Alonso, J. A., & Lamata, M. T. (2006). Consistency in the Analytic Hierarchy Process:  A  New  Approach.  International  Journal  of  Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 445-459.
Golden, B. L., Wang, Q. (1989). An alternate measure of consistency. In B.L. Golden, E.A. Wasil, P.T. Harker (Eds.), The Analytic Hierarchy Process: Applications and Studies, Springer-Verlag.
Chen, X., et al. (2020). Controlling the worst consistency index for hesitant fuzzy linguistic preference relations in consensus optimization models. Computers & Industrial Engineering, 143, 106423.
Lane,  E.  F.,  &  Verdini,  W.  A.  (1989).  A  Consistency  test  for  AHP  decision makers. Decision Science, 20, 575-590.
Ji, P., & Jiang, R. (2003). Scale Transitivity in the AHP. The Journal of the Operational Research Society, 54(9), 896-905.
Khameneh,  A.  Z.,  et  al.  (2022).  Consistency  of  total  fuzzy  relations:  New algorithms to detect and repair inconsistent judgments. Expert Systems With Applications, 209, 118234.
Kubler, S., et al. (2018). Measuring inconsistency and deriving priorities from fuzzy  pairwise  comparison  matrices  using  the  knowledge-based consistency index. Knowledge-Based Systems, 162, 147-160.
Vargas,  L.  G.  (2007).  The  consistency  index  in  reciprocal  matrices:
Comparison of deterministic and statistical approaches.
Ma,  D.,  &  Zheng,  X.  (1991).  9/9  -  9/1  Scale  Method  of  AHP.  In  2nd  Int. Symposium on AHP (Vol. 1). University of Pittsburgh: Pittsburgh, pp. 197–202.
Monsuur,  H.  (1996).  An  intrinsic  consistency  threshold  for  reciprocal matrices. European Journal of Operational Research, 92(2), 387-391.
Narti, et al. (2019). Pengambilan keputusan memilih sekolah dengan metode AHP. Jurnal informatika, 6(2), 143-150.
Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill.
Saaty, T. L. (1987). The analytic hierarchy process-what it is and how it is used. Journal of Mathematical Modeling, 9, 161–176.
Saaty, T. L. (1990). How to make a decision: the analytic hierarchy process.
European Journal of Operational Research, 48, 9–26.
Salo, A. A., & Hamalainen, R. P. (1997). On the Measurement of Preferences in the Analytic Hierarchy. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 6(5), 309-319.
Shyamprasad, V., & Kousalya, P. (2020). Role of Consistency and Random Index Numerical Optimization in Engineering and Sciences, 233-239.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 3 Desember 2023 e-ISSN 2579-7646
Triantaphyllou, E., Lootsma, F. A., Pardalos, P. M., & Mann, S. H. (1994). On the  Evaluation  and  Application  of  Different  Scales  For  Quantifying pairwise  comparisons  in  fuzzy  set.  Journal  of  Multi-Criteria  Decision Analysis, 3(3), 133-155.
Vargas,  L.  G.  (2008).  The  consistency  index  in  reciprocal  matrices: Comparison. European Journal of Operational Research 191 , 454-463.