## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler DOI: https://doi.org/10.37905/euler.v11i2.23094 Desember 2023, Vol. 11, No. 2, pp. 351-360

## Modifikasi Garis Singgung Untuk Mempercepat Iterasi Pada Metode Newton Raphson
Maxrizal 1*
1 Jurusan Sistem Informasi, Institut Sains Dan Bisnis Atma Luhur, Pangkalpinang, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email:maxrizal@atmaluhur.ac.id

## Abstrak
Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode untuk mencari solusi atau akar persamaan nonlinear. Metode ini dikenal lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode yang lain dan lebih  efektif  dalam  menemukan  akan  ganda.  Pada  penelitian  ini,  akan  ditunjukkan  modifikasi Newton  Raphson  menggunakan  modifikasi  pada  persamaan  garis  singgung.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  untuk  setiap  iterasi  ke- n diperoleh  selisih  kecepatan  modifikasi  Newton Raphson sebesar 1 n +  .  Lebih lanjut, diperoleh konvergensi Newton Raphson adalah 2 1 n n e Ae + 
dan konvergensi untuk modifikasi Newton Raphson adalah
2 3 1 n n n e Be Ce +  + .
Kata Kunci: Newton Raphson; Persamaan Nonlinear; Modifikasi Newton

## Abstract
The Newton-Raphson method is one of the methods to find solutions or roots of nonlinear equations. This method converges faster than other methods and is more effective in finding doubles. In this study,  it  will  be  shown  that  the  Newton-Raphson modification  uses  modifications  to  the  tangent equation. The results show that for every nth  iteration, the speed difference of  Newton  Raphson modification  is 1 n +  .  Furthermore,  the  convergence  of  Newton  Raphson  is 2 1 n n e Ae +  ,  and  for Newton Raphson modification is 2 3 1 n n n e Be Ce +  + .
Keywords: Newton Raphson; Nonlinear Equations; Newton Modification

## 1. Pendahuluan
Suatu  persamaan  non  linear ( ) 0 f x = dapat  diselesaikan  dengan  beberapa  metode  numerik. Salah satu metode yang efektif dan populer adalah metode pencarian akar Newton Raphson. Metode ini  memanfaatkan  gradien  garis  singgung  melalui  suatu  titik  awal  dengan  absis 0 x .  Selanjutnya dengan menggunakan prinsip perulangan (iterasi),
( )
( ) 1 ' n n n n f x x x f x + = − , solusi persamaan non linear dapat  ditemukan  hingga  galat  atau error tertentu.  Pencarian  akar  juga  dapat  dihentikan  jika  hasil perhitungan suatu akar atau solusi telah konstan pada beberapa perulangan.
Metode Newton Raphson dikenal lebih cepat konvergen dibandingkan dengan metode Secant [1] dan lebih efektif dalam menemukan akan ganda [2]–[4]. Karena tingkat konvergensi dan iterasi yang  relatif  cepat  maka  metode  Newton  Raphson  banyak  dikembangkan  untuk  mencari  solusi permasalahan  persamaan  nonlinear fuzzy [5] , persamaan  nonlinear  atas  bilangan  kompleks  [6]. mengestimasi  volatilitas  saham  [7],  [8].  Selain  itu,  metode  Newton  Raphson  juga  dimodifikasi berdasarkan formulanya untuk mendapatkan tingkat konvergensi yang lebih baik dari pada Newton Raphson asli [9]–[12].
Chauhan [9] menambahkan konsep evaluasi bagi dua pada taksiran akar pada metode Newton Raphson.  Dalam  penelitiannya  dipilih  sebarang 0 x dan  menghitung 1 x dengan  konsep  Newon Raphson.  Selanjutnya,  digunakan  nilai  fungsi ( ) 1 f x dan  nilai  evaluasi  turunan  pada ( ) 1 0 1 2 x x + . Konsep  modifikasi  yang  diperkenalkan  ini  merupakan  perbaikan  modifikasi  pada  yang  dilakukan oleh  McDougall  dan  Wotherpoon  [11].  Lebih  lanjut,  Juhari  [10]  dalam  penelitiannya  juga mendeskripsikan  metode  modifikasi  Newton  Secant  dengan memperbaiki  garis.  Walaupun tingkat konvergensinya lebih baik, secara komputasi akan memerlukan kerja komputasi yang cukup lama. Karena penelitian itu menggabungkan dan memodifikasi kedua algoritma dalam satu iterasi.
Selain  itu,  terdapat  modifikasi  varian  metode  Newton  dengan  menggunakan  interpolasi Lagrange  orde  dua  [13],  dan  matriks  Jacobian  [12].  Penelitian  lainnya  mengembangkan  metode Newton-Steffensen dengan melibatkan interpolasi Lagrange dan selisih terbagi untuk menghilangkan fungsi  turunan  dan  meningkatkan  orde  konvergensi  [14].  Beberapa  penelitian  ini  memodifikasi Newton  Raphson  dengan  menggabungkan  dengan  metode  lain  seperti  Secant  dan  Interpolasi Lagrange.  Selanjutnya,  terdapat  penelitian  tentang  penentuan  nilai  awal  pada  metode  Newton- Raphson yang dimodifikasi, dengan tujuannya untuk mengetahui pengaruh dalam menentukan akar persamaan yang memiliki akar ganda [15].
Pada penelitan ini, dikembangkan metode Newton Raphson dengan memberi modifikasi pada garis  singgung  kurva ( ) f x .  Modifikasi  dilakukan  dengan  membuat  garis  baru  yang  berpotongan tegak  lurus  dengan  garis  singgung  pertama.  Selanjutnya,  perpotongan  garis  itu  dengan  persamaan garis singgung yang kedua merupakan taksiran untuk akar atau solusi. Tujuan utama penelitian ini adalah melakukan modifikasi pada metode Newton Raphson untuk menghasilkan iterasi lebih cepat sehingga  diperoleh  solusi  dari  suatu  persamaan  non  linear  dengan  tingkat  konvergensi  yang  lebih baik.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  studi  pustaka.  Kami  memodifikasi  metode  Newton Raphson  dengan  dengan  menambahkan  parameter  berupa  suatu  persaman  garis  singgung  untuk memunculkan titik taksiran baru. Berikut algoritma baku untuk metode Newton Raphson:
1) Menetukan nilai awal atau initial point 0 x
2) Menghitung ( ) 0 f x dan tentukan fungsi turunan pertama ( ) 0 ' f x 3) Jika ( ) 0 ' 0 f x  , hitung nilai taksiran akar yaitu
( ) ( ) 1 ' n n n n f x x x f x + = −
4) Cek konvergensi terhadap x toleransi atau lakukan iterasi sampai ditemukan i x yang konstan.
Pada  penelitian  ini,  dilakukan  modifikasi  pada  metode  Newton  Raphson  dengan  mengubah formula  untuk  taksiran  dengan  menambahkan  suatu  parameter * n x .  Konsep  ini  diperoleh  dengan menganalisis beberapa sifat dari garis singgung kurva.
Menentukan
Membuat
persamaan garis melalui Menentukan perpotongan kedua garis sehingga diperoleh Membuat persamaan garis melalui
Selanjutnya,  digunakan  software  Matlab dalam  mengolah  data  perhitungan  iterasi,  akar  atau solusi, dan galat.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Modifikasi Newton Raphson
Metode Newton Raphson menggunakan gradien garis singgung dari suatu titik pada suatu kurva ( ) f x . Metode ini menggunakan suatu nilai awal 0 x dan menghitung nilai taksiran dengan rumus
( ) ( ) 1 ' n n n n f x x x f x + = −
Langkah-langkah iterasi untuk Newton Raphson, yaitu:
1) Tentukan nilai awal atau initial point 0 x
2) Hitung ( ) 0 f x dan tentukan fungsi turunan pertama
( ) 0 ' f x
3) Jika ( ) 0 ' 0 f x  , hitung nilai taksiran akar yaitu
( ) ( ) 1 ' n n n n f x x x f x + = −
4) Cek konvergensi terhadap x toleransi atau lakukan iterasi sampai ditemukan i x yang konstan.
Perhatikan  bahwa  pada  metode  Newton  Raphson,  harus  dipenuhi  syarat ( ) ' 0 n f x  . Selanjutnya, pada penelitian ini, kami menambahkan suatu langkah untuk membuat konvergensi pada Newton Raphson menjadi lebih cepat.
Berdasarkan Gambar 2, terdapat suatu fungsi nonlinear ( ) f x . Dipilih sebarang ( ) ( ) 0 0 , x f x . Kita  memiliki  garis  singgung 1 l yang  melalui  titik
( ) ( ) 0 0 , x f x yaitu ( ) 1 0 ' m f x =
.  Selanjutnya
dibentuk
( ) ( ) 0 * 0 0 0 ' f x x x f x = − yang merupakan persamaan pada Newton Raphson biasa.
Gambar 2. Ilustrasi Modifikasi Newton Raphson yang diusulkan
Dengan  demikian  diperoleh  garis  singgung 2 l yang  melalui
( ) ( ) * * 0 0 , x f x dengan  gradien ( ) * 2 0 ' m f x = . Kita bentuk garis singgung 2 l , yaitu
( ) ( ) ( )( ) ( ) * * 0 2
0
* * * 0 0 0 ' y f x m x x y f x x x f x − = − = − +
Selanjutnya dibentuk persamaan garis 3 l yang melalui ( ) * 0 , 0 x dan tegak lurus garis singgung
1 l , dengan gradien
( ) * 1 0 1 ' m f x = − . Kita bentuk
( ) ( ) ( ) * * 1 0 * 0 0 0 1 ' y m x x
y x x f x − = − = − −
Perhatikan bahwa kita akan mencari perpotongan antara garis singgung 2 l dan garis 3 l . Kita misalkan titik potong keduanya adalah ( ) ( ) 1 1 , x f x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 1 0 0 1 0 0 0 * * * 0 0 1 0 0 * 0 0 * 1 0 * 0 0 1 ' ' 1 ' ' ' ' ' 1 x x f x x x f x f x
f x f x x x f x f x f x x x f x f x − = − + −   − = + −       = + +
Perhatikan bahwa  untuk suatu nilai awal 0 x , kita telah menemukan persamaan rekursif baru untuk memodifikasi Newton Raphson yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 1 * ' ' ' ' 1 n n n n n n n n n n f x x x f x f x f x x x f x f x +  = −     = +  + 
Dengan demikian, langkah-langkah iterasi untuk modifikasi Newton Raphson, yaitu:
1) Tentukan nilai awal atau initial point 0 x
2) Hitung ( ) 0 f x dan tentukan fungsi turunan pertama
( ) 0 ' f x 3) Jika ( ) 0 ' 0 f x  , hitung nilai taksiran akar yaitu
( ) ( ) * ' n n n n f x x x f x = − 4) Hitung nilai taksiran akar yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 * ' ' ' 1 n n n n n n f x f x x x f x f x + = + +
5) Cek konvergensi terhadap x toleransi atau lakukan iterasi sampai ditemukan i x yang konstan.

## 3.2 Analisis Konvergensi Newton Raphson dan Modifikasi Newton Raphson
Pada  bagian  ini,  kita  menganalisa  formula  Newton  Raphson  asli  dan  Modifikasi  Newton Raphson dari iterasi ke- 0 sampai ke- 3 , sebagai sampel. Pada iterasi ke- 0 , kedua metode, baik itu Newton Raphson asli ataupun Modifikasi Newton Raphson diberikan nilai awal yang sama yaitu 0 x . Selanjutnya,  kita  mengamati  perbedaan  pada  iterasi  ke- 1 sampai  ke- 3 .  Kita  dapat  melihat  bahwa setiap iterasi ke- 1 n + pada Modifikasi Newton Raphson pasti memuat Newton Rapshon asli. Berikut ini hasil analisa disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Perbandingan Newton Raphson dan Modifikasi Newton Raphson Iterasi ke-  Newton Raphson  Modifikasi Newton Raphson
0 0 x 0 x 1 ( ) ( ) 0 1 0 0 ' f x x x f x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ' ' ' ' ' 1 ' f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x   −       = − +         − +     2 ( ) ( ) 1 2 1 1 ' f x x x f x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ' ' ' ' ' 1 ' f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x   −       = − +         − +     3 ( ) ( ) 2 3 2 2 ' f x x x f x = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' 1 ' f x f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x   −       = − +         − +    
Jika  kita  misalkan ( ) ( ) 0 1 0 0 ' f x x x f x = − pada  Newton  Raphson  asli  maka 1 ˆ x pada  Modifikasi
Newton  Raphson  adalah
( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 ' ˆ ' ' 1 f x f x x x f x f x = + + .  Hal  ini  juga  berlaku  untuk  semua  iterasi,
sehingga  untuk ( ) ( ) 1 ' n n n n f x x x f x + = − pada  Newton  Raphson  asli  maka  pada  Modifikasi  Newton
Raphson  adalah ( ) ( )
( ) ( ) 1 1 1 1 ' ˆ ' ' 1 n n n n n n f x f x x x f x f x + + + + = + + .  Dengan  demikian  untuk  setiap  iterasi  ke- n diperoleh selisih kecepatan Modifikasi Newton Raphson sebesar
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ' ˆ ' ' 1 n n n n n n n n f x f x x x x x f x f x + + + + + +   − = + −     +  
atau
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ' ' 1 n n n n n f x f x f x f x + + +  = + .
Jadi  berdasarkan  analisis  formula,  Modifikasi  Newton  Raphson  lebih  cepat  mencapai konvergensi sebesar 1 n +  .
Selanjutnya,  kita  akan  menganalisa  konvergensi  dari  Newton  Raphson.  Kita  misalkan n n x e  = + dan 1 1 n n x e  + + = + . Berdasarkan formula Newton Raphson, kita peroleh

## ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ' ' ' " n n n n n n n n n n n n f x x x f x f e e e f e f e f e e f e f    
    + + + = − + + = + − + + +     = − + +  
 
Karena ( ) 0 f  = maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 ' ' " ' " ' ' " " ' " " " 1 ' ' n n n n n n n n n n n n n n n e f e e f e f
e f e f e f e f e f e f e f e f f e f e e f f         
 
    + + + − + = − + + − = − + = +   = +       Karena ( ) ( ) ( ) ( ) 1 " " 1 1 ' ' n n e f e f f f    
−   
 + = − −             maka
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 " "
1 ' ' " ' " ' n n n n n n n f e f e e f f f e e f f e e f
   
    + + +   = − −      


Dengan demikian, konvergensi pada Newton Raphson adalah
2 1 n n e Ae +  , dengan ( ) ( ) " ' f A f   = .
Selanjutnya,  kita  akan  menguraikan  konvergensi  pada  modifikasi  Newton  Raphson.  Perhatikan
bahwa  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * 1 * ' ' ' ' 1 n n n n n n n n n n f x x x f x f x f x x x f x f x +  = −     = +  + 
. Berdasarkan  formula  ini,  formula  Newton  Raphson
asli termuat di dalamnya.  Kita misalkan n n x e  = + dan 1 1 n n x e  + + = + . Kita misalkan * * n n x e  = + yang merupakan nilai dari Newton Raphson asli.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 *
* * 1 * * * 1 *
' ' ' 1 ' ' ' 1 ' ' " ' " ' " 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x f x x x f x f x f e f e e e f e f e f e f f e f e e f e f f e f
              + + + = + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + +
Karena ( ) 0 f  = maka
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * * * 1 2 2 * * 1 2 2 2 * * * *
*
1
' ' " ' ' " " 1 ' ' " 1 ' ' " "
n n n n n n n n n n n n n n n n n n e f e e f f e e f e e f f e e f e e e f e e f f f e e f f e e f 
 
           + − + +  + + +
+ +      + + + + + +     Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 * 1 ' ' " 1 ' ' " n n n f e e f f f e f f       −    
+ + + + = − − −     maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * * * 1 2 * * * 1
' ' " 1 ' ' " ' ' " n n n n n n n n n n n e e e f e e f f f e f f e e e f e e f f          + +    
 + + − − −        + +  
Perhatikan bahwa * 2 n n e Ae  dengan ( ) ( ) '' ' f A f   = , sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * * * 1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 ' ' " '' '' ' '' ' " ' ' '
''
'' ' ''
''
'' ' '' n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e e e f e e f f
f f f f f f e e e e e f f f f e e f f e f e f f e f f e f e f
e Be Ce 
                     + + + + +    + +  
 
 + +        + +    + +      +
Dengan  demikian,  konvergensi  pada  modifikasi  Newton  Raphson  adalah
2 3 1 n n n e Be Ce +  + , dengan ( ) ( ) ( ) ( ) '' '' ' f B f f f    
  = +     dan ( ) 2
'' C f  = .  Secara  umum,  kita  peroleh  konvergensi
Newton  Raphson  adalah 2 1 n n e Ae +  dan  konvergensi  untuk  modifikasi  Newton  Raphson  adalah
2 3 1 n n n e Be Ce +  + .

## 3.3 Contoh Perhitungan Newton Raphson dan Modifikasi Newton Raphson
Pada bagian ini, kita akan mencari solusi persamaan nonlinear ( ) 4 3 2 2 f x x x = − − . Perhatikan bahwa ( ) 3 2 ' 4 6 f x x x = − . Kita akan memberikan beberapa nilai awal a dan b . Kita menghentikan iterasi jika telah ditemukan n x yang konstan.
Tabel 2. Perbandingan Perhitungan Newton Raphson (NR) dan Modifikasi Newton Raphson (MNR) untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 2
𝑓 𝑖 0 x
Metode n n x 𝑓(𝑥 𝑛 ) Galat  2 MNR 2 2,190 0, 000 0, 002 NR 3 2,190 0, 000 0, 002 10 MNR 6 2,190 0, 000 0, 000 NR 9 2,190 0, 001 0, 003 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 2 50 MNR 8 2,190 0, 001 0, 007 NR 15 2,190 0, 000 0, 001 100 MNR 10 2,190 0, 000 0, 000 NR 18 2,190 0, 000 0, 000 500 MNR 12 2,190 0, 001 0, 007 NR 23 2,190 0, 001 0, 000 Keterangan: i f : persamaan nonlinear dengan 1, 2, 3, i =
0 x : nilai awal
n : banyak iterasi
n x : solusi atau akar dari fungsi
( ) n f x : fungsi dari solusi
 : error 1
1 n n n x x x  + + − =
Berdasarkan Tabel 2., kita dapat menyimpulkan bahwa tingkat konvergensi Modifikasi Newton Raphson  lebih  baik.  Selain  itu,  pada  beberapa  nilai  awal  galat  yang  dihasilkan  oleh  Modifikasi Newton Raphson semakin kecil.
Selanjutnya,  kita  menerapkan  Modifikasi  Newton  Raphson  untuk  mencari  akar  dari  suatu bilangan. Kita akan mencari nilai dari 3 12 . Kita perlu memisalkan menjadi
1 3 3 12 12 x x =  − . Kita peroleh persamaan non-linear ( ) 3 12 f x x = − . Dengan demikian, ( ) 2 ' 3 f x x = .
Tabel 3. Perbandingan Perhitungan Newton Raphson (NR) dan Modifikasi Newton Raphson (MNR) untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 12
i f 0 x
Metode n n x 𝑓(𝑥 𝑛 ) Galat  1 MNR 4 2, 289 0, 000 0, 000 NR 6 2, 289 0, 000 0, 000 3 12 10 MNR 4 2, 289 0, 000 0, 003 NR 7 2, 289 0, 000 0, 000 100 MNR 7 2, 289 0, 000 0, 001 NR 12 2, 289 0, 000 0, 003

## Keterangan:
i f : persamaan nonlinear dengan 1, 2, 3, i =
0 x : nilai awal
n : banyak iterasi
n x : solusi atau akar dari fungsi
( ) n f x : fungsi dari solusi
 : error 1
1 n n n x x x  + + − =
Berdasarkan  Tabel  3,  kita  peroleh  bahwa 3 2, 289428485 12 = ,  dengan  tingkat  konvergensi yang lebih baik pada Modifikasi Newton Raphson.

## 4. Kesimpulan
Penelitian  ini  menghasilkan  modifikasi  pada  Newton  Raphson  dengan  memodifikasi  garis singgung.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  diperoleh  formula  untuk  Modifikasi  Newton
Raphson yaitu ( ) ( ) * ' n n n n f x x x f x = − dan ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 * ' ' ' 1 n n n n n n f x f x x x f x f x + = + + . Perhatikan bahwa untuk metode
Newton Raphson asli selalu termuat pada iterasi modifikasi Newton Raphson.  Untuk setiap iterasi ke- n diperoleh  selisih  kecepatan  Modifikasi  Newton  Raphson  sebesar
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ' ' 1 n n n n n f x f x f x f x + + +  = + .
Lebih lanjut, kita peroleh bahwa konvergensi Newton Raphson adalah 2 1 n n e Ae +  dan konvergensi
untuk modifikasi Newton Raphson adalah
2 3 1 n n n e Be Ce +  + .

## Referensi
[1] E.  Sunandar  and  I.  Indrianto,  “Perbandingan  Metode  Newton-Raphson  &  Metode  Secant Untuk Mencari Akar Persamaan Dalam Sistem Persamaan Non-Linier,” Petir , vol. 13, no. 1, pp. 72–79, 2020, doi: https://doi.org/10.33322/petir.v13i1.893.
[2] P.  Batarius,  “Perbandingan  Metode  Newton-Raphson  Modifikasi  dan  Metode  Secant Modifikasi  Dalam  Penentuan  Akar  Persamaan,” Prosiding,  Semin.  Nas.  Ris.  Dan  Teknol. Terap. , vol. 8, no. Ritektra 8, pp. 53–63, 2018.
[3] J.  Ritonga  and  D.  Suryana,  “Perbandingan  Kecepatan  Konvergensi  Akar  Persamaan  Non Linier  Metode  Titik  Tetap  dengan  Metode  Newton  Raphson  Menggunakan  Matlab,” Inf. (Jurnal  Inform.  dan  Sist.  Informasi) ,  vol.  11,  no.  2,  pp.  51–64,  2019,  doi: https://doi.org/10.37424/informasi.v11i2.17.
[4] H.  Y.  Salwa, et  al. ,  “Perbandingan  Metode  Newton  Midpoint  Halley,  Metode  Olver  dan Metode Chabysave Dalam Penyelesaian Akar-Akar Persamaan Non-Linear,” Indones. J. Eng. , vol. 3, no. 1, pp. 1–15, 2022.
[5] W.  Megarani,  D.  Aziz,  A.  Amanto,  and  L.  Zakaria,  “Algoritma  Penyelesaian  Persamaan Nonlinear Fuzzy dengan Metode Modifikasi Newton-Raphson,” Siger , vol. 1, no. 2, pp. 63– 69, 2020, doi: http://dx.doi.org/10.23960%2Fjsm.v1i2.2676.
[6] A.  S.  H.  Ong,  “PenerapanMetode  Newton  Raphson  Untuk  Pencarian  Akar  Pada  Fungsi Kompleks,” J. Sci. Technol. Trop. , vol. 5, no. 1, p. 3, 2009, doi: https://doi.org/10.15548/jostech.v3i1.5685.
[7] I. A. E. Rahayuni, K. Dharmawan, and L. P. I. Harini, “Perbandingan Keefisienan Metode
Newton-Raphson,  Metode  Secant,  Dan  Metode  Bisection  Dalam  Mengestimasi  Implied Volatilities  Saham,” E-Jurnal Mat. , vol. 5, no. 1, p. 1, 2016, doi: https://doi.org/10.24843/MTK.2016.v05.i01.p113.
[8] D. Ferrari et al. , “Menguji Keefisienan Metode Newton-Raphson, Metode Secant, dan Metode Bisection  dalam  Memprediksi  Implied  Volatilities  Saham  PT.  Bank  Central  Asia  Tbk,” J. Komput. dan Teknol. Inf. , vol. 1, no. 1, pp. 1–7, 2023, doi: https://doi.org/10.26714/.v1i1.11287.
[9] A.  Chauhan,  “A  Study  of  Modified  Newton-Raphson  Method,” J.  Univ.  Shanghai  Sci. Technol. , vol. 23, no. 8, pp. 129–134, 2021, doi: https://doi.org/10.51201/jusst/21/08359.
[10]  J. Juhari, “On the Modification of Newton-Secant Method in Solving Nonlinear Equations for Multiple Zeros of Trigonometric Function,” CAUCHY J. Mat. Murni dan Apl. , vol. 7, no. 1, pp. 84–96, Nov. 2021, doi: https://doi.org/10.18860/ca.v7i1.12934.
[11]  T.  J.  McDougall  and  S.  J.  Wotherspoon,  “A  simple  modification  of  Newton’s  method  to achieve convergence of order 1+ √2,” Appl. Math. Lett. , vol. 29, pp. 20–25, Mar. 2014, doi: https://doi.org/10.1016/j.aml.2013.10.008.
[12]  D. Wang and Z. Zhang, “High-efficiency nonlinear dynamic analysis for joint interfaces with Newton–Raphson iteration process,” Nonlinear Dyn. , vol. 100, no. 1, pp. 543–559, 2020, doi: https://doi.org/10.1007/s11071-020-05522-9.
[13]  Wartono  and  R.  Rasela,  “Modifikasi  Varian  Metode  Newton  dengan  Orde  Konvergensi Tujuh,” J.  Sains  Mat.  dan  Stat. ,  vol.  2,  no.  2,  pp.  32–38,  2016, doi: http://dx.doi.org/10.24014/jsms.v2i2.3136.
[14]  Nizam M Y, “Modifikasi Metode Newton-Steffensen Bebas Turunan,” vol. 2, no. November, pp. 390–396, 2015.
[15]  P. Batarius, “Nilai Awal Pada Metode Newton-Raphson Yang Dimodifikasi Dalam Penentuan Akar  Persamaan,” Pi  Math.  Educ.  J. ,  vol.  1,  no.  3,  pp.  108–115,  2018, doi: https://doi.org/10.33322/petir.v13i1.893.