## DETERMINAN MATRIKS DENGAN ELEMEN BILANGAN FIBONACCI

## ORDER- 𝒌𝒌 YANG DIGENERALISASI

## Fadly Ramadhan, Thresye, Akhmad Yusuf
Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lambung Mangkurat Email : fadlyramadhan04@gmail.com

## ABSTRAK
Bilangan Fibonacci didefinisikan sebagai barisan bilangan yang suku-sukunya merupakan penjumlahan dua suku sebelumnya. Penelitian sebelumnya menjelaskan tentang bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- 𝑘𝑘 . Selanjutnya bilangan Fibonacci tersebut dibentuk dalam matriks berukuran 𝑘𝑘 × 𝑘𝑘 yang akan ditentukan nilai determinannya. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bentuk barisan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi, kemudian mengetahui  bentuk  matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi dan membuktikan teorema untuk menentukan determinan dari matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi. Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh  bentuk  barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi, diperoleh bentuk matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi dan diperoleh determinan dengan 4 kondisi yang berbeda.
Kata Kunci : Bilangan Fibonacci, bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi, matriks.

## ABTRACT
Fibonacci numbers are defined as a sequence of numbers that of his family is the sum of the previous two terms. Previous research describes the generalized order-k Fibonacci numbers. Furthermore, Fibonacci numbers are formed in a matrix of size k × k to be determined the value of the determinant. The purpose of this study was to determine the shape ranks of the generalized order-k Fibonacci numbers, then knowing the form of a square matrix whose elements form Fibonacci numbers of order-k generalized and proving theorems to determine the determinant of a square matrix whose elements form of the generalized order-k Fibonacci numbers. The results of this study are obtained form the sequence of the generalized order-k Fibonacci numbers, obtained form a square matrix whose elements form of the generalized order-k Fibonacci numbers and the determinant obtained with 4 different conditions.
Keywords : Fibonacci numbers, the generalized order-k Fibonacci numbers, matrix.

## 1. PENDAHULUAN
Karaduman [2] menjelaskan tentang bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- 𝑘𝑘 . Dalam penelitian tersebut, bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- 𝑘𝑘 hanya ditunjukaan untuk kondisi 𝑛𝑛 > 0 , dengan syarat batas yang telah ditentukan. Karaduman [3] mengembangkan penelitiannya mengenai bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- 𝑘𝑘 . Dalam penelitian ini, bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- 𝑘𝑘 tidak hanya ditunjukkan untuk kondisi 𝑛𝑛 > 0 , dengan syarat batas yang telah ditentukan.
Selanjutnya bilangan Fibonacci tersebut dibentuk dalam matriks berukuran 𝑘𝑘 × 𝑘𝑘 yang akan ditentukan nilai determinannya.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Matriks
Berikut diberikan definisi matriks :

## Definisi 2.1 [1]
Sebuah matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

## 2.2 Determinan Matriks
Berikut diberikan definisi dari determinan matriks, dan beberapa teorema mengenai determinan.
Definisi 2.2.1 [1]
Misalkan 𝐴𝐴 adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan didefinisikan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari 𝐴𝐴 . Jumlah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) dinamakan determinan 𝐴𝐴 .
Teorema 2.2.2 Anggap 𝐴𝐴 adalah suatu matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 . a) Jika 𝐵𝐵 adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari 𝐴𝐴 dikalikan dengan suatu skalar 𝑘𝑘 , maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐵𝐵 ) = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) . b) Jika 𝐵𝐵 adalah matriks yang dihasilkan ketika dua baris atau dua kolom dari 𝐴𝐴 dipertukarkan, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐵𝐵 ) = −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) . c) Jika 𝐵𝐵 adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu penggandaan dari suatu baris 𝐴𝐴 ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom  ditambahkan pada kolom lainnya, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐵𝐵 ) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 )
2.3 Bilangan Fibonacci Order- 𝒌𝒌 yang Digeneralisasi Karaduman [2] mendefinisikan 𝑘𝑘 barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi dengan bentuk
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑗𝑗=1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛 > 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘 … (1)
Bentuk 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 diatas hanya berlaku untuk 𝑛𝑛 > 0 , sedangkan untuk 𝑛𝑛 ≤ 0 dapat menggunakan syarat batas, berikut:
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 1 ; 𝑖𝑖 = 1 − 𝑛𝑛 0 ; 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 1 − 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 0
dimana 𝑐𝑐 𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘 adalah koefisien konstan dengan 𝑖𝑖 , 𝑛𝑛 bilangan bulat  dan 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖
merupakan bentuk ke- 𝑛𝑛 dari barisan ke- 𝑖𝑖 .

## 3. METODE PENELITIAN
Metode  penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah mengumpulkan dan mengkaji bahan-bahan yang berkaitan dengan matriks, determinan, bilangan Fibonacci, dan barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi. Kemudian memahami bentuk barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi. Selanjutnya, memahami bentuk matriks  persegi yang elemennya
berupa barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi. Kemudian membuktikan teorema untuk menentukan determinan dari matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisassi dan membuat kesimpulan penelitian.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Karaduman [2] mendefinisikan bentuk matrik 𝐺𝐺 𝑛𝑛 berukuran 𝑘𝑘 × 𝑘𝑘 dengan elemennya berupa bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi,sebagai berikut
𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛 3
… 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘
𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 1 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 2 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ … (2) Bentuk matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 pada persamaan (2) dapat disederhanakan ke dalam bentuk matriks yang berukuran 𝑘𝑘 × 1 , yaitu
𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑖𝑖 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑖𝑖 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘
Berdasarkan bentuk matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 pada persamaan (2) dapat dibentuk suatu matriks yang lebih besar dari 𝐺𝐺 𝑛𝑛 yaitu matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛+1 ,  yang merupakan perkalian antara matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 dengan matriks 𝐴𝐴 sebagai berikut
𝐺𝐺 𝑛𝑛+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑖𝑖 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑖𝑖 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ … (3) dengan 𝐴𝐴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Persamaan (3) dapat digeneralisasi ke dalam persamaan matriks dengan bentuk
𝐺𝐺 𝑛𝑛+1 = 𝐴𝐴𝐺𝐺 𝑛𝑛 … (4)
Dengan melakukan ekspansi pada persamaan (4) diperoleh
𝐺𝐺 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 … (5)
Teorema 4.1 Jika 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1 dan 𝐺𝐺 𝑛𝑛 berbentuk 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 3
… 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 1 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 2 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 1                ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
dengan
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑗𝑗=1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛 > 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘
dan syarat batas
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 1 ; 𝑖𝑖 = 1 − 𝑛𝑛 0 ; 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 1 − 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 0 .
Bukti:
Diketahui 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 pada persamaan (5) ,  maka  untuk menentukan determinan dari matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 maka cukup ditunjukkan dengan menentukan determinan dari matriks 𝐴𝐴 𝑛𝑛 . Diketahui matriks 𝐴𝐴 sebagai berikut 𝐴𝐴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Selanjutnya akan ditentukan determinan dari matriks 𝐴𝐴 , | 𝐴𝐴 | = � � 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 � � = � � 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1 × c k
Diketahui bahwa 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1 maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1
Sedemikian sehingga 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴 ) 𝑛𝑛 = ( − 1) 𝑛𝑛 untuk 𝑘𝑘 genap 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴 ) 𝑛𝑛 = 1 untuk 𝑘𝑘 ganjil sehingga terbukti bahwa
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒
1                ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
∎
Selanjutnnya berdasarkan persamaan (1) jika kondisi 𝑛𝑛 > 0 diabaikan dimisalkan sebagai 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 , maka 𝑘𝑘 barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi menjadi
𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑗𝑗=1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 1 ≤ 𝑖𝑖𝑘𝑘 … (6)
dengan syarat batas
𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = � 1 ; 𝑖𝑖 = 1 − 𝑚𝑚 0 ; 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 1 − 𝑘𝑘 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 0
dengan syarat awal 𝑔𝑔 0 1 = 1, 𝑔𝑔 1 1 = 1 , dan 𝑖𝑖 , 𝑚𝑚 merupakan bilangan bulat. Bentuk 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 pada persamaan (6) berlaku jika 𝑖𝑖 ≠ 1 − 𝑚𝑚 . Karaduman [3] berdasarkan bentuk matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 pada persamaan (2), maka bentuk matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 memilik bentuk yang serupa dengan matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 , sebagai berikut
𝐺𝐺 𝑚𝑚 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ … (7) Bentuk matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 pada persamaan (7) dapat disederhanakan ke dalam bentuk matriks yang berukuran 𝑘𝑘 × 1 , yaitu
𝐺𝐺 𝑚𝑚 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑖𝑖 ⋮ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑖𝑖 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘
… (8) Berdasarkan bentuk matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 pada persamaan (8) dapat dibentuk suatu matriks yang lebih besar dari 𝐺𝐺 𝑚𝑚 yaitu matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚+1 ,
𝐺𝐺 𝑚𝑚+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐺𝐺 𝑚𝑚+1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑖𝑖 ⋮ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+3 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑖𝑖 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘
… (9)
Matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚+1 pada persamaan (9) dapat dituliskan sebagai perkalian matriks 𝐴𝐴 dengan matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 pada persamaan (8)
𝐺𝐺 𝑚𝑚+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑖𝑖 ⋮ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑖𝑖 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘 … (10)
dengan 𝐴𝐴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Persamaan (10) dapat digeneralisasi ke dalam persamaan matriks dengan bentuk
𝐺𝐺 𝑚𝑚+1 = 𝐴𝐴𝐺𝐺 𝑚𝑚 … (11)
Dengan melakukan ekspansi pada persamaan (11) diperoleh
𝐺𝐺 𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 𝐺𝐺 1 … (12)
Teorema 4.2 Jika 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1 dan 𝐺𝐺 𝑚𝑚 berbentuk 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = � ( − 1) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 1                ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
Bukti:
Diketahui 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 𝐺𝐺 1 pada persamaan (12) , untuk menentukan determinan dari matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 maka cukup ditunjukkan dengan menentukan determinan dari matriks 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 dan determinan dari matriks 𝐺𝐺 1 .
Berdasarkan bukti dari teorema (2.1) diketahui bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1 × c k , sehinggga 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 ) = ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 )) 𝑚𝑚−1 = (( − 1) 𝑘𝑘−1 × c k ) 𝑚𝑚−1 .
Selanjutnya akan dibuktikan determinan dari matriks 𝐺𝐺 1 .
𝐺𝐺 1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 1 1 𝑔𝑔 1 2 𝑔𝑔 1 3 ⋯ 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 0 1 𝑔𝑔 0 2 𝑔𝑔 0 3 ⋯ 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘 𝑔𝑔 −1 1 𝑔𝑔 −1 2 𝑔𝑔 −1 3 ⋯ 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 2 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 3 ⋯ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 2 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 3 ⋯ 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑔𝑔 1 1 𝑔𝑔 1 2 𝑔𝑔 1 3 ⋯ 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 0 2 𝑔𝑔 0 3 ⋯ 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘 0 1 𝑔𝑔 −1 3 ⋯ 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘 0 0 0 ⋯ 1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Determinan dari matriks 𝐺𝐺 1 adalah sebagai berikut
| 𝐺𝐺 1 | = � � 𝑔𝑔 1 1 𝑔𝑔 1 2 𝑔𝑔 1 3 ⋯ 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 0 2 𝑔𝑔 0 3 ⋯ 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘 0 1 𝑔𝑔 −1 3 ⋯ 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘 0 0 0 ⋯ 1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 1 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘
Diketahui bahwa 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1 maka
( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 )) 𝑚𝑚−1 = (( − 1) 𝑘𝑘−1 ) 𝑚𝑚−1 dan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 1 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1
sehingga terbukti bahwa
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = � ( − 1) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 1                ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙 ∎ Teorema 4.3 Jika 𝐺𝐺 𝑛𝑛 berbentuk
𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
dimana
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑗𝑗=1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛 > 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘
dengan syarat batas
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 1 ; 𝑖𝑖 = 1 − 𝑛𝑛 0 ; 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 1 − 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 0 .
Bukti:
Diketahui 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝑛𝑛 pada persamaan (5) , untuk menentukan determinan dari matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 maka cukup ditunjukkan dengan menentukan determinan dari matriks 𝐴𝐴 𝑛𝑛 . Diketahui matriks 𝐴𝐴 sebagai berikut
𝐴𝐴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Selanjutnya akan ditentukan determinan dari matriks 𝐴𝐴 , | 𝐴𝐴 | = � � 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 � � = � � 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 ⋯ 𝑐𝑐 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1 × c k
Sehingga,
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴 ) 𝑛𝑛 = ( − 1) 𝑛𝑛 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 untuk 𝑘𝑘 genap 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐴𝐴 ) 𝑛𝑛 = ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 untuk 𝑘𝑘 ganjil
sehingga terbukti bahwa
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙 ∎ Teorema 4.4 Jika 𝐺𝐺 𝑚𝑚 berbentuk
𝐺𝐺 𝑚𝑚 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 3 ⋯ 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑚𝑚−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = � ( − 1) 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
Bukti:
Diketahui 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 𝐺𝐺 1 pada persamaan (12) , untuk menentukan determinan dari matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 maka cukup ditunjukkan dengan menentukan determinan dari matriks 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 dan determinan dari matriks 𝐺𝐺 1 .
Berdasarkan bukti dari teorema (2.1) diketahui bahwa 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1 × c k , sehinggga 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 ) = ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 )) 𝑚𝑚−1 = (( − 1) 𝑘𝑘−1 × c k ) 𝑚𝑚−1 .
Selanjutnya akan dibuktikan determinan dari matriks 𝐺𝐺 1 .
𝐺𝐺 1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 1 1 𝑔𝑔 1 2 𝑔𝑔 1 3 ⋯ 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 0 1 𝑔𝑔 0 2 𝑔𝑔 0 3 ⋯ 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘 𝑔𝑔 −1 1 𝑔𝑔 −1 2 𝑔𝑔 −1 3 ⋯ 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 2 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 3 ⋯ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 2 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 3 ⋯ 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑔𝑔 1 1 𝑔𝑔 1 2 𝑔𝑔 1 3 ⋯ 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 0 2 𝑔𝑔 0 3 ⋯ 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘 0 1 𝑔𝑔 −1 3 ⋯ 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘 0 0 0 ⋯ 1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Determinan dari matriks 𝐺𝐺 1 adalah sebagai berikut
| 𝐺𝐺 1 | = � � 𝑔𝑔 1 1 𝑔𝑔 1 2 𝑔𝑔 1 3 ⋯ 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 1 𝑘𝑘 1 𝑔𝑔 0 2 𝑔𝑔 0 3 ⋯ 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 0 𝑘𝑘 0 1 𝑔𝑔 −1 3 ⋯ 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 −1 𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 3−𝑘𝑘 𝑘𝑘 0 0 0 ⋯ 1 𝑔𝑔 2−𝑘𝑘 𝑘𝑘 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 1 ) = ( − 1) 𝑘𝑘−1 𝑐𝑐 𝑘𝑘
Karena diketahui 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 𝐺𝐺 1 , maka
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 𝑚𝑚 ) = (( − 1) 𝑘𝑘−1 × 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚−1 (( − 1) 𝑘𝑘−1 × 𝑐𝑐 𝑘𝑘 )
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 𝑚𝑚 ) = (( − 1) 𝑘𝑘−1 × 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 𝑚𝑚 ) = (( − 1) 𝑘𝑘−1 ) 𝑚𝑚 × ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚
sehingga terbukti bahwa
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = � ( − 1) 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙 ∎

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bentuk barisan dari bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi adalah
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑗𝑗 𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑗𝑗=1 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛 > 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑘𝑘
dengan syarat batas
𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = � 1 ; 𝑖𝑖 = 1 − 𝑛𝑛 0 ; 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 1 − 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 0
dimana 𝑐𝑐 𝑗𝑗 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑘𝑘 adalah koefisien konstan dengan 𝑖𝑖 , 𝑛𝑛 bilangan bulat dan 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑖𝑖 merupakan bentuk ke- 𝑛𝑛 dari barisan ke- 𝑖𝑖 .
2. Bentuk matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- 𝑘𝑘 yang digeneralisasi adalah 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑔𝑔 𝑛𝑛 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 1 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 2 ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 2 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−2 𝑘𝑘 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+2 𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 3 … 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘−1 𝑔𝑔 𝑛𝑛−𝑘𝑘+1 𝑘𝑘 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 3. Determinan yang ditentukan dari 4 teorema dalam penelitian ini dengan beberapa kasus sebagai berikut
a. Untuk matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 dengan 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1 diperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒
1                ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
b. Untuk matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 dengan 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1 diperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = � ( − 1) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 1                ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
c. Untuk matriks 𝐺𝐺 𝑛𝑛 dengan 𝑐𝑐 𝑗𝑗 ≠ 1 diperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑛𝑛 = � ( − 1) 𝑛𝑛 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑛𝑛 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙
d. Untuk matriks 𝐺𝐺 𝑚𝑚 dengan 𝑐𝑐 𝑗𝑗 ≠ 1 diperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐺𝐺 𝑚𝑚 = � ( − 1) 𝑚𝑚 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 ( 𝑐𝑐 𝑘𝑘 ) 𝑚𝑚 ; 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑘𝑘𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑛𝑛𝑗𝑗𝑖𝑖𝑙𝑙

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier . Edisi 7 Jilid 1. Interaksara, Batam.
[2]  Karaduman, Erdal. 2004. An Aplication of Fibonacci Numbers in Matrices. Applied Mathematics and Computation. 147: 903-908.
[3]  Karaduman, Erdal. 2005. On Determinants of Matrices With General Fibonacci Numbers Entries. Applied Mathematics and Computation. 167:
670-676.