## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10653
Ruang Fase Tereduksi Grup Lie 𝐀𝐟𝐟 (𝟏)
Edi Kurniadi 1*
1 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor, Sumedang, Jawa Barat 45363, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: edi.kurniadi@unpad.ac.id

## ABSTRAK 1
Dalam artikel ini dipelajari ruang fase tereduksi dari suatu grup Lie khususnya untuk grup Lie affine Aff(1) berdimensi 2. Tujuannya adalah untuk mengidentifikasi ruang fase tereduksi dari Aff(1) melalui orbit coadjoint buka di titik tertentu pada ruang dual 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ dari aljabar Lie 𝔞𝔣𝔣(1) .  Aksi  dari  grup  Lie Aff(1) pada  ruang  dual 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ menggunakan  representasi coadjoint .  Hasil  yang  diperoleh  adalah  ruang  Fase  tereduksi Aff(1) tiada  lain  adalah  orbit coadjoint- nya yang buka di ruang dual 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ . Selanjutnya, ditunjukkan pula bahwa grup Lie affine Aff(1) tepat mempunyai dua buah orbit coadjoint buka.  Hasil yang diperoleh dalam penelitian  ini  dapat  diperluas  untuk  kasus  grup  Lie  affine Aff(𝑛) berdimensi 𝑛(𝑛 + 1) dan untuk kasus grup Lie lainnya.
Kata Kunci: Ruang Fase Tereduksi; Grup Lie Affine; Orbit Coadjoint ; Representasi Coadjoint

## ABSTRACT
In this paper, we study a reduced phase space for a Lie group, particularly for the 2-dimensional affine Lie group which is denoted by Aff(1) . The work aims to identify the reduced phase space for Aff(1) by open coadjoint orbits at certain points in the dual space 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ of the Lie algebra 𝔞𝔣𝔣(1) . The group action of Aff(1) on the dual space 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ is considered using coadjoint representation. We obtained that the reduced phase space for the affine Lie group Aff(1) is nothing but its open coadjoint orbits. Furthermore,  we  show  that  the  affine  Lie  group Aff(1) exactly  has  two  open  coadjoint  orbits  in 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ . Our result can be generalized for the 𝑛(𝑛 + 1) dimensional affine Lie group Aff(𝑛) and for another Lie group.
Keywords: The Reduced Phase Space; Affine Lie Groups; Coadjoint Orbits; Coadjoint Representations
Format Sitasi:
E. Kurniadi , “ Ruang Fase Tereduksi Grup Lie Aff (1) ,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 2, pp.180-186, 2021

## 1.  Pendahuluan
Metode  orbit  memegang  peranan  penting  dalam  konstruksi  representasi  suatu  grup Lie  [1].  Secara  garis  besar,  metode  orbit  diterapkan  dengan  cara  menentukan representasi  berdimensi  1  dari  grup  Lie  bagian  dan  kemudian  menginduksinya  ke kasus  representasi  grup  Lie  yang  diinginkan.  Dimensi  aljabar  Lie  bagian  ini merupakan dimensi maksimal yang subordinate terhadap suatu titik di orbit coadjoint-
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 E. Kurniadi | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 3 June 2021 | Accepted: 22 June 2021 | Online: 24 June 2021

## Ruang Fase Tereduksi Grup Lie Aff (1)
nya  yaitu  codimensinya  setengah  dari  dimensi  orbit coadjoint. Dalam  metode  ini, prinsip dasarnya adalah aksi suatu grup Lie 𝐺 pada suatu ruang dual 𝔤 ∗ dari aljabar Lie 𝔤 dari 𝐺 .  Dengan  kata  lain,  aksi  grup  Lie  tersebut  dapat  dinyatakan  sebagai pemetaan Ad ∗ (𝑔): 𝔤 ∗ ∋ ∆↦ Ad ∗ (𝑔)∆∈ 𝔤 ∗ untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 . Hubungan antara 𝔤 dengan 𝔤 ∗ diberikan  oleh 〈Ad ∗ (𝑔)∆, 𝑋〉 = 〈∆, Ad(𝑔 −1 )𝑋〉, untuk  setiap 𝑋 ∈ 𝔤 .  Aksi  tersebut dinamakan aksi coadjoint dan himpunan semua  aksi coadjoint tersebut dinamakan orbit coadjoint .  Khususnya  untuk 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ ,  orbit coadjoint diberikan  oleh Ad ∗ (𝐺)𝑓 = 𝐺. 𝑓 = {Ad ∗ (𝑔)𝑓  ; 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ } ⊂ 𝔤 ∗ .  Hubungan  antara  orbit adjoint dan coadjoint telah  diteliti sebelumnya dalam [2].
Karakteristik atau sifat-sifat orbit coadjoint sangat menarik untuk dipelajari khususnya sifat-sifat  yang  berkaitan  dengan  geometri.  Semua  orbit coadjoint bersifat  manifold simplektik  dan  berdimensi  genap.  Lebih  jauh,  orbit coadjoint mempunyai  struktur simplektik 𝐺 -invarian  kanonik.  Artinya,  dalam  setiap  orbit coadjoint dapat didefinisikan differential 2- form yang  bersifat 𝐺 -invarian, non-degenerate, dan  tutup. Di sisi  lain,  keterbukaan  suatu  orbit coadjoint berkaitan  erat  dengan  notasi  aljabar  Lie Frobenius dari grup Lie Frobenius [3]-[5]. Struktur aljabar simetrik kiri dalam [6] juga dapat diselidiki eksistensinya untuk aljabar Lie Frobenius.
Penelitian tentang aksi coadjoint telah banyak dilakukan oleh para peneliti sebelumnya seperti  orbit coadjoint nilpoten  dalam small  characteristic [7],  aljabar  Lie  konstraksi dengan orbit coadjoint generik berdimensi dua  [8], orbit coadjoint untuk motion groups dan coherent state [9], dan orbit coadjoint untuk Lie groupoids [10] . Berbeda dengan hasil- hasil sebelumnya, dalam artikel ini dibahas terlebih dahulu ruang fase tereduksi grup Lie khususnya grup Lie affine Aff (1) berdimensi 2 melalui pemetaan momentum dan representasi coadjoint. Konstruksi  tersebut  menunjukkan  bahwa  ruang  kuosien  dari peta invers pemetaan momentum dengan stabilizer grupnya pada suatu titik di ruang dual aljabar Lie-nya ternyata orbit coadjoint dari grup Lie affine Aff(1) .
Lebih  jauh,  notasi reduced phase  space atau  ruang  fase  tereduksi  diperkenalkan dalam matematika  fisika  [11].  Misalkan 𝐺 grup Lie  dengan aljabar  Lie 𝔤 dan  ruang  dual 𝔤 ∗ . Selanjutnya, misalkan 𝑃 manifold simplektik dengan simplektik form- nya 𝜔 dan 𝐽: 𝑃 → 𝔤 ∗ pemetaan momentum. Untuk titik 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ , diperoleh 𝐽 −1 (𝑓) = {𝑥 ∈ 𝑃 ;  𝐽(𝑥) = 𝑓} yang bersifat invarian. Ruang fase tereduksi diberikan oleh ruang kuosien 𝐽 −1 /𝐺 𝑓 dengan 𝐺 𝑓 adalah  stabilizer  dari 𝐺 di  titik 𝑓 .  Berkenaan  dengan  ruang  fase  tereduksi  tersebut, menurut [11] ruang fase tereduksi 𝐽 −1 (𝑓)/𝐺 𝑓 tersebut dapat diidentifikasi oleh 𝐺/𝐺 𝑓 ≃ 𝐺. 𝑓 = Ad ∗ (𝐺)𝑓 yang  tidak  lain  adalah  orbit coadjoint di 𝔤 ∗ .  Dengan  kata  lain, menentukan  ruang  fase  tereduksi  untuk  grup  Lie  adalah  kasus  menentukan  orbit coadjoint- nya pada suatu titik tertentu di 𝔤 ∗ melalui aksi atau representasi coadjoint -nya. Dalam artikel ini, hasil yang sudah diperoleh dalam [11] yaitu identifikasi ruang fase tereduksi yang diidentifikasi oleh 𝐺/𝐺 𝑓 ≃ 𝐺. 𝑓 = Ad ∗ (𝐺)𝑓 ⊆ 𝔤 ∗ , diterapkan untuk kasus grup  Lie 𝐺 = Aff(1) yaitu  grup  Lie  berdimensi  2.    Tujuannya  adalah  untuk menentukan  ruang  fase  tereduksi  grup  Lie  affine Aff(1) dengan  cara mengidentifikasinya  melalui  perhitungan  orbit coadjoint- nya.  Hal  ini  menjadi  sangat penting  karena  konstruksi  suatu  orbit coadjoint melalui  representasi coadjoint- nya ternyata  bisa  diperoleh  juga  melalui  konstruksi  ruang  fase  tereduksinya.  Gagasan perhitungan  orbit coadjoint ini  dapat  dikaji  lebih  jauh  khususnya  yang  berkaitan dengan  konstruksi  ruang  fase  tereduksi Aff(1) yang  tidak  lain  adalah  orbit coadjoint - nya.  Penerapan  pada  grup  Lie  affine  disebabkan  karena  grup  Lie  affine  ini memberikan banyak kontribusi baik pada cabang matematika atau pada bidang ilmu
lainnya  ([12],  [13],  dan  [14]).  Hal  ini  menjadi motivasi  untuk  mempelajari  aljabar  Lie affine khususnya Aff(1) .
Artikel ini ditulis dengan menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut: Bagian pertama adalah pendahuluan yang menjelaskan tentang kajian yang sudah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya, motivasi dan latar belakang penelitian, dan signifikansi penelitian.  Bagian  ke  dua  adalah  Metode  penelitian  yaitu  langkah-langkah  dalam penelitian ini  dan landasan teori yang digunakan dalam membahas hasil utama dalam penelitian  ini.  Lebih  spesifik  bahwa  metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah studi literatur atau kajian pustaka. Bagian ke tiga adalah hasil dan pembahasan yaitu membuktikan bahwa ruang fase tereduksi dari grup Lie affine Aff (1) tiada lain orbit coadjoint yang  buka  di  ruang  dual 𝔞𝔣𝔣 (1) ∗ yang  merupakan  ruang  dual  vektor dari 𝔞𝔣𝔣 (1) .  Masih  dalam  bagian  ini,  diberikan  juga  diskusi  untuk  penelitian selanjutnya.  Hasil  yang  diperoleh  diperluas  untuk  kasus  grup  Lie  affine Aff (𝑛) berdimensi 𝑛(𝑛 + 1) .  Masalah  yang  muncul  untuk  menentukan  ruang  fase  tereduksi dari Aff (𝑛) adalah  formula  umum  orbit coadjoint- nya.  Diduga  bahwa  secara  umum Aff(𝑛) mempunyai tepat 2 orbit coadjoint sebagi hasil perluasan dari kasus Aff (1) yang telah diperoleh dalam penelitian ini.

## 2.  Metode
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Pertama dipelajari tentang  grup  Lie Aff (𝑛) khususnya  untuk 𝑛 = 1 dan  sifat-sifatnya  termasuk  cara mendapatkan  orbit coadjoint -nya  dan  keterbukaannya  di 𝔞𝔣𝔣 (1) ∗ ,  ke  dua  dipelajari tentang  ruang  fase  tereduksi  yang  dapat  diidentifikasi  oleh  orbit coadjoint- nya. Selanjutnya, dalam penelitian ini diperoleh ruang fase tereduksi untuk grup Lie Aff (1) adalah orbit coadjoint -nya.
Sebelum  melangkah  dalam  pembahasan,  berikut  ini  dibahas  tentang  landasan  teori yang  digunakan  dalam  penelitian  ini.  Grup  Lie  affine  berdimensi  2 Aff (1) ,  orbit coadjoint, ruang fase tereduksi untuk grup Lie.
Definisi 1 [15].  Transformasi di ℝ yang berbentuk
𝜓 𝑎,𝑏 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 (1)
disebut  dengan  transformasi  affine.  Himpunan  yang  memuat  semua  transformasi affine  di ℝ seperti  pada  persamaan  (1)  membentuk  grup  Lie  berdimensi  dua  yang disebut dengan grup Lie affine dan dinotasikan oleh Aff (1) .
Perhatikan  bahwa  grup  Lie Aff (1) ini  dapat  dipandang  sebagai  grup  matriks  yang berukuran 2 × 2 dan sebagai objek geometri di ℝ 4 . Dengan kata lain, transformasi 𝜓 𝑎,𝑏 dapat dikaitkan dengan matriks 2 × 2 dalam bentuk
Ψ 𝑎,𝑏 = ( 𝑎 𝑏 0 1 ). (2)
Grup  Lie Aff (1) ini  grup  tidak  sederhana  dan  tidak  kompak  [15].  Selanjutnya, dipandang dari objek geometri, grup Lie Aff (1) ini adalah himpunan bagian dari ℝ 4 yang tidak terbatas atau unbounded. Sifat lainnya adalah grup ini tidak abelian karena
terdapat 𝜓 1,2 dan 𝜓 2,1 di Aff (1) tetapi 𝜓 1,2 ∘ 𝜓 2,1 ≠ 𝜓 2,1 ∘ 𝜓 1,2 , dan grup ini adalah non- unimodular.
Di sisi lain, aljabar Lie dari Aff (1) dinyatakan sebagai 𝔞𝔣𝔣 (1) , yaitu ruang vektor dari semua matriks berbentuk
𝜏 𝑎,𝑏 : = ( 𝛼 𝛽 0 0 ) , 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. (3)
Tentu saja, diperoleh juga ( 𝛼 𝛽 0 0 ) = 𝛼 ( 1 0 0 0 ) + 𝛽 ( 0 1 0 0 ) = 𝛼𝑋 1 + 𝛽𝑋 2 . Aljabar Lie dari grup Lie affine Aff(1) ini dinotasikan oleh 𝔞𝔣𝔣(1) = Span{𝑋 1 , 𝑋 2 } dengan bracket Lie-nya diberikan oleh matriks komutator [𝑋 1 , 𝑋 2 ] = 𝑋 1 𝑋 2 − 𝑋 2 𝑋 1 = 𝑋 2 . Ruang dual dari 𝔞𝔣𝔣 (1) dinotasikan  oleh 𝔞𝔣𝔣 (1) ∗ = Span{𝑋 1 ∗ , 𝑋 2 ∗ } yang  hubungan  ke  duanya dapat  dinyatakan oleh 〈𝑋 𝑖 ∗ , 𝑋 𝑗 〉 = 𝛿 𝑖𝑗 .  Dalam hal ini, ruang dual 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ dapat diidentifikasi oleh matriks berbentuk
Ψ 𝑥,𝑦 ∗ ≔ 𝑥𝑋 1 ∗ + 𝑦𝑋 2 ∗ =    ( 𝑥 0 𝑦 0 ) , 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. (4)
Yaitu 𝑋 1 ∗ = ( 1 0 0 0 ) dan 𝑋 2 ∗ = ( 0 0 1 0 ) .
Karena  Grup  Lie Aff (1) dapat  dipandang  sebagai  grup  matriks,  notasi  aksi coadjoint juga dapat dinyatakan untuk grup matriks.
Definisi 2 [1]. Misalkan 𝐺 grup matriks dengan aljabar Lie-nya adalah 𝔤 ⊂ M(n, ℝ) di mana M(𝑛, ℝ) ruang  vektor  matriks 𝑛 × 𝑛 .  Representasi adjoint adalah  matriks konjugasi yang dinyatakan oleh
Ad(𝑔)𝑋 = 𝑔𝑋𝑔 −1 , 𝑔 ∈ 𝐺, 𝑋 ∈ 𝔤. (5)
Dual  dari  representasi adjoint ini  adalah  representasi coadjoint dan dinyatakan  oleh Ad ∗ (𝑔): = Ad(𝑔 −1 ) ∗ .  Jadi,  nilai  linear  fungsional 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ oleh  representasi coadjoint di titik 𝑋 ∈ 𝔤 diberikan oleh 〈Ad ∗ (𝑔)𝑓, 𝑋〉 = 〈𝑓, Ad(𝑔 −1 )𝑋〉 . Himpunan semua aksi codjoint ini  dinamakan  orbit coadjoint .  Selanjutnya,  orbit coadjoint buka  di  ruang  dual 𝔤 ∗ jika stabilizer dari 𝔤 trivial. Dengan kata lain
𝔰𝔱𝔞𝔟 𝔤 (𝑓) = {𝑋 ∈ 𝔤  ; 〈𝑓, [𝑋, 𝑌]〉 = 0, ∀𝑌 ∈ 𝔤} = {0} (6)
dengan 𝑓 ∈ 𝔤 ∗ .

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Dalam  bagian  ini  dibuktikan  bahwa  ruang  fase  tereduksi  grup  Lie Aff (1) dapat diidentifikasi  oleh  orbit coadjoint -nya.  Secara  umum  telah  diperoleh  bahwa  terdapat dua orbit coadjoint dari grup Lie Aff (1) yang tergantung pada titik-titik yang dipilih di 𝔤 ∗ yang bersifat buka dan hasil ini tidak lain adalah ruang fase tereduksi dari Aff (1) . Dengan kata lain, melalui representasi coadjoint, grup Lie Aff (1) mempunyai tepat dua
orbit coadjoint buka di ruang 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ . Sebelumnya, diberikan perhitungan orbit coadjoint dari Aff (1) sebagai berikut :
Lema 3 [1]. Orbit coadjoint grup Lie Aff (1) dinyatakan dalam bentuk
1. Dua orbit coadjoint  berdimensi 2
𝔒 ±  𝑋 2 ∗ = {𝑥𝑋 1 ∗ + 𝑦𝑋 2 ∗ ; ±𝑦 > 0} (7)
2. Titik-titik di bidang atau orbit coadjoint berdimensi nol
𝔒 𝑥 = {(𝑥, 0)   ; 𝑥 ∈ ℝ} (8)
Bukti. Untuk  menghitung  ini,  kita  gunakan  persamaan  (5)  di  atas  yaitu  dengan menghitung  aksi coadjoint- nya.  Misalkan Ψ 𝑎,𝑏 ∈ Aff(1) dan Ψ 𝑥,𝑦 ∗ ∈ 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ ,  dengan bentuk matriksnya dinyatakan oleh persamaan (2) dan (4) masing-masing. Perhatikan bahwa
Ad ∗ (Ψ 𝑎,𝑏 ): 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ ∋ Ψ 𝑥,𝑦 ∗ ↦ Ψ 𝑥+𝑎 −1 𝑏𝑦,𝑎 −1 𝑦 ∗ ∈ 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ . (9)
Selanjutnya,  untuk 𝑦 ≠ 0 ,  diperoleh  orbit coadjoint seperta  dinyatakan  dalam persamaan  (7), yaitu  orbit coadjoint berdimensi  2.  Di  sisi  lain,  untuk 𝑦 = 0 ,  diperoleh orbit coadjoint berupa titik-titik di bidang, dalam hal ini orbit coadjoint- nya berdimensi nol seperti dinyatakan dalam persamaan (8). ∎
Lema 4. Orbit coadjoint berdimensi 2 dari Aff(1) seperti dinyatakan dalam persamaan (7) buka di 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ dan Aff(1) tepat mempunyai 2 buah orbit coadjoint yang buka.
Bukti. Untuk  membuktikan  pernyataan  ini,  cukup  dihitung  untuk  kasus 𝔒 𝑋 2 ∗ = {𝑥𝑋 1 ∗ + 𝑦𝑋 2 ∗ ;  𝑦 > 0} dan sisanya mengikuti cara pembuktian kasus ini. Pilih 𝑓 = 𝑋 2 ∗ ∈ 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ . Dengan  menggunakan  persamaan  (6),  dapat  dihitung  stabilizer 𝔰𝔱𝔞𝔟 𝔤 (𝑓) terhadap bracket Lie [𝑋, 𝑌] = 𝑌 . Karena 𝑋, 𝑌 ∉ 𝔰𝔱𝔞𝔟 𝔤 (𝑓) maka 𝔰𝔱𝔞𝔟 𝔤 (𝑓) = {0} . Jadi, 𝔒 𝑋 2 ∗ buka.  Cara  yang  sama  bisa  digunakan  untuk  menunjukkan  bahwa 𝔒 −𝑋 2 ∗ = {𝑥𝑋 1 ∗ + 𝑦𝑋 2 ∗ ; −𝑦 > 0} juga buka di 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ . Oleh karena sifat keterbukaan ke dua orbit coadjoint tersebut, maka orbit coadjoint 𝔒 dari Aff(1) yang buka di 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ tepat hanya dua yaitu 𝔒 = 𝔒 𝑋 2 ∗ dan 𝔒 = 𝔒 −𝑋 2 ∗ . ∎
Lema 5. Ruang fase tereduksi dari grup Lie affine 𝐺 ≔ Aff(1) berdimensi 2 dapat diidentifikasi oleh 2 buah orbit coadjoint yang buka  di ruang dual vektor 𝔤 ∗ = 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ dari aljabar Lie 𝔤 ≔ 𝔞𝔣𝔣(1) .  Dengan  kata  lain, 𝐽 −1 (𝑓)/𝐺 𝑓 ≃  𝐺/𝐺 𝑓 ≃ 𝐺. 𝑓 = Ad ∗ (𝐺)𝑓 = 𝔒 ±  𝑋 2 ∗ ⊆ 𝔤 ∗ dengan 𝑓 = ±𝑋 2 ∗ ∈ 𝔞𝔣𝔣(1) ∗ .
Bukti. Pembuktian  Lema  5  ini  mengikuti  hasil  yang  sudah  diperoleh  pada  [11]. Misalkan 𝑃 manifold simplektik dengan simplektik form- nya 𝜔 dan 𝐽: 𝑃 → 𝔤 ∗ pemetaan momentum yaitu pemetaan yang didefinisikan sebagai berikut :
𝐽 ∶ 𝑃 → 𝔤 ∗ (10) untuk  setiap 𝑋 ∈ 𝔤 , d𝐽̂(𝑋) = 𝑖 𝑋 𝑝 𝜔 dengan 𝐽̂(𝑋): 𝑃 ∋ 𝑝 ↦ 𝐽̂(𝑋)(𝑝) = 𝐽(𝑝). 𝑋 ∈ ℝ dengan 𝑖 𝑋 𝑃 𝜔 adalah turunan interior dan 𝑋 𝑝 generator infinetesimal berkorepondensi dengan 𝑋 . Misalkan 𝐺 beraksi  secara  transitif  pada 𝑃 dengan  aksi  Hamiltonian, maka  peta 𝐽(𝑃)
adalah orbit coadjoint di 𝔤 ∗ . Dalam kasus ini, pemetaan momentum dalam persamaan (10) diberikan untuk 𝑃 = T ∗ 𝐺 .  Selanjutnya, 𝐽 −1 (𝑓 + ) = {𝑝 ∈ 𝑃  ;  𝐽(𝑝) = 𝑓 + } dengan 𝑓 + = 𝑋 2 ∗ .  Dengan  menghitung 𝐺 𝑓 + ,  diperoleh  bahwa 𝐽 −1 (𝑓 + )/𝐺 𝑓 + tidak  lain  adalah  orbit coadjoint 𝔒 𝑋 2 ∗ .  Untuk 𝑓 _ = −𝑋 2 ∗ , diperoleh juga bahwa 𝐽 −1 (𝑓 _ )/𝐺 𝑓 _ ≃   𝔒 −𝑋 2 ∗ . ∎
Hasil  yang  diperoleh  dapat  diperluas  untuk  mengidentifikasi  ruang  fase  tereduksi grup  Lie  affine Aff(𝑛) berdimensi 𝑛(𝑛 + 1) .  Diduga  bahwa Aff(𝑛) mempunyai  tepat dua buah orbit coadjoint buka.

## 4.  Kesimpulan
Dalam  artikel  ini  telah  dibuktikan  bahwa  ruang  fase  tereduksi  dari  grup  Lie  affine Aff (1) dapat  diidentifikasi  oleh  orbit coadjoint buka  di  ruang  dual  vektor 𝔞𝔣𝔣 (1) ∗ . Selanjutnya, dibuktikan bahwa grup Lie affine Aff (1) tepat mempunyai dua buah orbit coadjoint buka dan karena sifat keterbukaan ke dua orbit coadjoint tersebut, maka orbit coadjoint 𝔒 dari Aff (1) yang buka di 𝔞𝔣𝔣 (1) ∗ tepat hanya dua yaitu 𝔒 = 𝔒 𝑋 2 ∗ dan 𝔒 = 𝔒 −𝑋 2 ∗ .

## Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas  Padjadjaran  yang  telah mendanai  penelitian  ini  melalui  Riset  Percepatan  Lektor  Kepala  (RPLK)  tahun  2021 dengan Nomor kontrak 1959/UN6.3.1/PT.00/2021.

## Referensi
[1] A.  A.  Kirillov,  “Lectures  on  the  Orbit  Method,  Graduate  Studies  in Mathematics,” Am. Math. Soc. , vol. 64, 2004.
[2] P. Arathoon, “A bijection between the adjoint and coadjoint orbit of a semidirect product,” Differ. Geom. Its Appl. , vol. 62, pp. 267-282, 2019.
[3] M.  A.  Alvarez  and  et  al,  “Contact  and  Frobenius  solvable  Lie  algebras  with abelian nilradical,” Comm. Algebra. , vol. 46, pp. 4344 – 4354, 2018.
[4] A.  Diatta  and  B.  Manga,  “On  properties  of  principal  elements  of  frobenius  lie algebras,” J. Lie Theory , vol. 24, no. 3, pp. 849 – 864, 2014.
[5] A.  Diatta,  B.  Manga,  and  A.  Mbaye,  “On  systems  of  commuting  matrices  , Frobenius  Lie  algebras  and  Gerstenhaber’s  Theorem,”  no.  February,  pp.  0– 12, 2020.
[6] D.  Burde,  “Left -symmetric  algebras,  or  pre-Lie  algebras  in  geometry  and physics,” Cent. Eur. J. Math. , vol. 4, no. 3, pp. 323 – 357, 2015.
[7] T.  Xue,  “Nilpotent  coadjoint  orbits  in  small  characteristic,” J.  Algebr. ,  vol.  397, pp. 111-140, 2014.
[8] D.  Beltita  and  B.  Cahen,  “Contractions  of  Lie  algebras  with  2 -dimensional generic coadjoint orbits,” Linear Algebra Appl. , vol. 466, pp. 41--63, 2015.
[9] M. Ben Halima, “Coadjoint Orbits of Certain Motion Groups and The ir Coherent States,” vol. 9251, no. August, 2016.
[10] Lang, Honglei and Z. Liu, “Coadjoint orbits of Lie groupoids,” J. Geom. Phsysics , vol. 129, pp. 217-232, 2018.
[11]  R.  Abraham  and  J.  E.  Marsden, Foundations  of  Machanics ,  Second  Edi.  Canada: Addison-wesley Publishing Company, 1978.
[12] Ayala,V,  A.  Da  Silva,  and  M.  Ferreira,  “Affine  and  bilinear  systems  on  Lie groups,” Syst. &Control Lett. , vol. 117, pp. 23-29, 2018.
[13] J.  Souza,  “Sufficient  conditions  for  dispersiveness  of  invariant  control  affine s ystem on the Heisenberg group,” Syst. &Control Lett. , vol. 124, pp. 68-74, 2019.
[14] W.  Rump,  “Affine  stucture  of  decomposable  solvable  groups,” J.  Algebr. ,  vol. 556, pp. 725-749, 2020.
[15]  J. Stillwell, Naive Lie Theory . New York: Springer-Verlag, 2008.
This  article  is  an  open  access-article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof.  Dr. Ing. B.J. Habibie, Moutong, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.