J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 2, Nopember 2007, 9–15

## MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
1 Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember
2 UNUD Denpasar

## Abstrak
Sistem dinamik dapat diterapkan dalam berbagai bidang kehidup- an, seperti pertumbuhan populasi, dan pertumbuhan ekonomi. Da- lam bidang ekonomi, sistem dinamik diterapkan dalam bentuk model siklus bisnis. Ada beberapa model siklus bisnis, salah satu diantara- nya model IS-LM. Dalam penelitian ini dianalisa model siklus bisnis IS-LM dengan parameter time delay . Perbedaan antara keputusan investasi dengan implementasinya menganjurkan untuk merumuskan model siklus bisnis IS-LM yang baru, yang memperlihatkan bahwa dinamika model sangat bergantung pada parameter time delay (waktu persiapan periode investasi). Dalam penelitian ini digunakan teorema bifurkasi Hopf untuk menunjukkan terjadinya limit cycle pada model IS-LM yang menggambarkan siklus dari model IS-LM. Katakunci: Bifurkasi Hopf, model IS-LM, siklus bisnis, time delay.

## 1. Pendahuluan
Sistem dinamik dapat dikembangkan dalam berbagai bidang kehidupan, se- perti bidang teknik, biologi, ekonomi, dan ilmu-ilmu sosial lainnya. Umum-
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
nya sistem dinamik dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial, dan dianalisa kestabilan lokal dan global dari sistem tersebut.
Salah satu model yang merupakan sistem dinamik dalam bidang eko- nomi, khususnya dalam ekonomi makro adalah model siklus bisnis. Model siklus bisnis ada beberapa macam, salah satunya adalah model siklus bisnis IS-LM yang melibatkan beberapa fungsi, seperti investasi ( I ), saving (S), permintaan akan uang (L), dan persediaan uang (M). Model ini telah ba- nyak dikembangkan, salah satunya oleh [2] yang menganalisa keberadaan orbit tertutup dengan menggunakan teorema bifurkasi Hopf [2].
Dari model tersebut, keputusan investasi hanya mempertimbangkan ke- jadian pada saat sekarang. Pada banyak aplikasi, diasumsikan suatu sis- tem yang menjadi perhatian, bahwa keadaan mendatang dari sistem tidak tergantung pada keadaan sebelumnya dan hanya ditentukan oleh keada- an saat ini. Apabila sistem tersebut dimodelkan dengan suatu persamaan yang menyatakan keadaan beserta percepatan perubahan keadaan tersebut, maka umumnya digunakan persamaan diferensial biasa atau persamaan di- ferensial parsial. Prinsip hubungan sebab akibat sering hanya merupakan suatu pendekatan awal untuk situasi sebenarnya, dan model yang lebih realistik harus meliputi keadaan sistem pada waktu sebelumnya [3].
Oleh karena itu dalam model siklus bisnis Kalecki, Kalecki mengasum- sikan bahwa bagian yang disimpan dari keuntungan adalah investasi dan pertumbuhan modal bergantung pada keputusan investasi sebelumnya. Ini merupakan periode persiapan atau time delay [1]. Dalam penelitian ini, dengan menggunakan ide dari Kalecki maka perumusan model siklus bisnis diperumum seperti berikut [7]:
• Y = α { I ( Y, K, r ) − S ( Y, r ) } • r = β L ( Y, r ) − − M • K = I ( Y ( t − T ) , K, r ) − δK (1)
dengan T adalah parameter time delay.
Investasi bergantung pada pendapatan pada waktu keputusan investa- si dibuat dan juga pada stok modal pada waktu investasi berakhir. Stok modal pada waktu investasi berakhir merupakan konsekuensi dari fakta
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
11
bahwa pada waktu t-T terdapat beberapa investasi yang akan berakhir an- tara waktu t-T dan t . Diasumsikan bahwa hasil stok modal dalam periode ini menjadi pertimbangan ketika investasi baru direncanakan. Dalam pe- nelitian ini akan diaplikasikan teorema bifurkasi Hopf untuk memprediksi kejadian dari limit cycle untuk parameter time delay.
Dari uraian diatas, maka permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah:
1. Kestabilan linier model siklus bisnis IS-LM ( ?? )
2. Perilaku penyelesaian model siklus bisnis IS-LM ( ?? ) dengan meng- gunakan teorema bifurkasi Hopf (menyelidiki keberadaan limit cycle ).

## 2. Model Siklus Bisnis IS-LM
Model siklus bisnis IS-LM merupakan suatu sistem dinamik dalam bidang ekonomi yang melibatkan fungsi investasi ( I ), fungsi saving ( S ), permintaan akan uang ( L ) dan persediaan uang ( M ).
Investasi bergantung pada pendapatan pada waktu keputusan investa- si dibuat dan juga pada stok modal pada waktu investasi berakhir. Stok modal pada waktu investasi berakhir merupakan konsekuensi dari fakta bahwa pada waktu t-T terdapat beberapa investasi yang akan berakhir an- tara waktu t-T dan t . Diasumsikan bahwa hasil stok modal dalam periode ini menjadi pertimbangan ketika investasi baru direncanakan.
Jika I adalah investasi, Y adalah gross product , K adalah stok modal, r adalah suku bunga ( interest rate ), α adalah index dalam pasar barang, S adalah saving , L adalah permintaan uang dan − M adalah persediaan uang maka fungsi investasi bergantung pada Y , K , dan r , sedangkan fungsi saving dan permintaan uang bergantung pada Y dan r . Sehingga laju pertumbuh- an gross product dapat dinyatakan sebagai index dalam pasar barang ( α ) dikalikan dengan selisih dari investasi dan saving. Begitu juga dengan laju pertumbuhan suku bunga ( interest rate ) dapat dinyatakan sebagai index dalam pasar uang ( β ) dikalikan dengan selisih antara permintaan uang dan persediaan uang. Sedangkan laju pertumbuhan stok modal dapat dinya- takan sebagai selisih dari investasi (yang didasarkan pada pendapatan pada
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
waktu periode investasi sebelumnya) dan stok modal yang mengalami pe- nurunan nilai sebesar δ .
Sehingga model siklus bisnis IS-LM [7] dapat dinyatakan sebagai:
• Y = α { I ( Y, K, r ) − S ( Y, r ) } • r = β L ( Y, r ) − − M • K = I ( Y ( t − T ) , K, r ) − δK (2)

## 2.1. Penelitian Terkait
[2] telah menggunakan teorema bifurkasi dalam membuktikan keberada- an limit cycle dalam model siklus bisnis IS-LM yang disebut juga sebagai Complete Keynesian System ([2]. Modelnya berbentuk:
• Y = α { I ( Y, r ) − S ( Y, r ) } • r = β L ( Y, r ) − − M (3)
Sedangkan [6] menggunakan teorema bifurkasi untuk memperlihatkan adanya limit cycle pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. Dalam peneli- tian ini model direpresentasikan dalam bentuk sistem persamaan diferensial time delay , dimana modelnya didasarkan pada model Kaldor dan ide da- ri Kalecki tentang time delay (Krawiec and Szydowski, 2001). Modelnya berbentuk:
• Y = α { I ( Y, K ) − S ( Y, K ) } • K = I ( Y ( t − T ) , K ) − δK (4)
[8] menyelidiki pengaruh delay pajak sebagai akibat dari kebijakan fi- scal. Pemilihan delay sebagai parameter bifurkasi digunakan untuk mem- pelajari arah dan stabilitas solusi perodik dari bifurkasi. Dalam penelitian ini diperlihatkan kapan sistem tersebut stabil berdasarkan parameter delay pajak diatas [8].

## 2.2. Model IS-LM
Diasumsikan bahwa fungsi Investasi I , fungsi Saving S , dan permintaan akan uang L bergantung secara linear pada argumen-argumennya. Suku
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
13
bunga r mempunyai hubungan yang berbanding terbalik dengan investasi sehingga semakin tinggi tingkat suku bunga maka investasi semakin turun. Stok modal mengalami penyusutan nilai sebesar δ , sehingga fungsi investa- si ( I ) dapat dinyatakan sebagai besarnya pendapatan (dalam hal ini gross product ) dikurangi modal dan suku bunga. Saving atau simpanan meru- pakan besarnya pendapatan ditambah suku bunga. Sedangkan pemintaan uang di pasar berbanding terbalik dengan suku bunga, semakin tinggi ting- kat suku bunga semakin turun permintaan akan uang di pasar, sehingga fungsi permintaan akan uang ( L ) dapat dinyatakan sebagai besarnya pen- dapatan ( gross product ) dikurangi besarnya suku bunga. Secara singkat dapat dinyatakan sebagai berikut:
I = ηY − δ 1 K − β 1 r S = l 1 Y + β 2 r L = l 2 Y − β 3 r (5)
dengan η, δ 1 , l 1 , l 2 , β 1 , β 2 , β 3 adalah konstanta-konstanta positif dalam interval [0,1].

## 2.3. Persamaan Karakteristik Model IS-LM
Berdasarkan persamaan (5) maka sistem (2) dapat dibentuk menjadi
• Y = α {{ η − l 1 } Y − { β 1 + β 2 } r − δ 1 K } • r = β l 2 Y − β 3 r − − M • K = ηY ( t − T ) − β 1 r − { δ + δ 1 } K (6)
Sistem (6) memuat persamaan diferensial tundaan, sehingga untuk memperoleh titik setimbangnya maka dipertimbangkan kasus tanpa tun- daan ( T = 0), dan karena sistem (6) merupakan sistem yang autonomous (secara eksplisit tidak bergantung pada t) maka elemen ηY ( t − T ) dengan T = 0 dapat dituliskan sebagai ηY . Oleh karena itu dengan memben- tuk • Y = 0, • r = 0, • K = 0, serta T = 0 didapatkan titik setimbang S = ¯ Y , ¯ r, ¯ K , dengan
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
¯ Y = − ( δβ 2 + δ 1 β 2 + δβ 1 ) ¯ M − β 3 l 1 δ 1 − β 3 l 1 δ − β 1 l 2 δ + β 3 ηδ − β 2 l 2 δ 1 − β 2 l 2 δ ¯ r = − ( − l 1 δ 1 − l 1 δ + ηδ ) ¯ M − β 3 l 1 δ 1 − β 3 l 1 δ − β 1 l 2 δ + β 3 ηδ − β 2 l 2 δ 1 − β 2 l 2 δ ¯ K = − ( l 1 β 1 + ηβ 2 ) ¯ M − β 3 l 1 δ 1 − β 3 l 1 δ − β 1 l 2 δ + β 3 ηδ − β 2 l 2 δ 1 − β 2 l 2 δ
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristik dari sistem (6). Persa- maan karakteristik dibentuk melalui:
| A − λI | = 0
dengan A adalah matriks koefisien dari sistem (6). Persamaan ketiga dari sistem persamaan (6) memuat parameter delay (tundaan) sehingga subs- titusinya berbeda dengan persamaan diferensial yang tidak memuat tun- daan (persamaan diferensial biasa). Dalam persamaan diferensial biasa, substitusi yang digunakan adalah y ( t ) = e λt . Sehingga untuk Y ( t − T ), substitusinya adalah
Y ( t − T ) = e λ ( t − T ) = e λt .e − λT = e − λT Y ( t )
dengan e − λT = konstanta.
Selanjutnya sistem (6) dapat ditulis sebagai
• Y = α {{ η − l 1 } Y − { β 1 + β 2 } r − δ 1 K } • r = β l 2 Y − β 3 r − − M • K = ηe − λT Y − β 1 r − { δ + δ 1 } K
Oleh karena itu | A − λI | = 0 menjadi
α { η − l 1 } − λ − α { β 1 + β 2 } − αδ 1 βl 2 − ββ 3 − λ 0 ηe − λT − β 1 − { δ + δ 1 } − λ = 0
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
sehingga persamaan karakteristik dari persamaan (6) berbentuk:
λ 3 + Aλ 2 + Bλ + C + Dλe − λT + Ee − λT = 0 (7)
dengan
A = δ + δ 1 + ββ 3 − α ( η − l 1 ) , B = ( δ + δ 1 ) ( ββ 3 − α ( η − l 1 )) + αβl 2 ( β 1 + β 2 ) − αββ 3 ( η − l 1 ) , C = − αββ 1 l 2 δ 1 − ( δ + δ 1 ) αβ ( β 3 ( η − l 1 ) − l 2 ( β 1 + β 2 )) ,
D = αηδ 1 ,
E = αββ 3 ηδ 1 .
Persamaan transendental (7) memuat e − λT sehingga tidak dapat dise- lesaikan secara eksak. Untuk itu perlu dilakukan pendekatan lain yaitu dengan pendekatan linear dan pendekatan dalam ruang kompleks.

## 2.4. Pendekatan Linear
Untuk time delay T yang kecil, pendekatan linear sangat cocok untuk mem- peroleh titik bifurkasi.
Untuk T yang sangat kecil maka e − λT ≈ 1 − λT , sehingga persamaan (7) menjadi
λ 3 + Aλ 2 + Bλ + C + Dλ (1 − λT ) + E (1 − λT ) = 0 λ 3 + Aλ 2 + Bλ + C + Dλ − Dλ 2 T + E − λT E = 0 λ 3 + ( A − DT ) λ 2 + ( B + D − ET ) λ + C + E = 0 (8)
Dengan teorema bifurkasi Hopf dan kriteria Routh-Hurwitz, maka ter- jadi bifurkasi Hopf pada nilai T = T 0 dengan
A − DT 0 > 0 , B + D − ET 0 > 0 , C + E > 0 (9)
dan
( A − DT 0 ) ( B + D − ET 0 ) = C + E (10)
Misalkan g ( λ, T ) = λ 3 + ( A − DT ) λ 2 + ( B + D − ET ) λ + C + E = 0 maka dapat ditentukan g pada T = T 0 , g ( λ, T 0 ) = λ 3 + sλ 2 + k 2 λ + k 2 s dengan s = ( A − DT 0 ) , k 2 = ( B + D − ET 0 ).
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
Nilai eigen dari persamaan (6) diperoleh dengan memfaktorkan g ( λ, T 0 ) = 0 yaitu:
g ( λ, T 0 ) = 0 λ 3 + sλ 2 + k 2 λ + k 2 s = 0 ( λ + s ) λ 2 + k 2 = 0
sehingga didapatkan
λ 0 ( T 0 ) = − s = − ( A − DT 0 ) , λ 1 , 2 ( T 0 ) = ± ik = ± i ( B + D − ET 0 ) 1 2
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa syarat transversal terpenuhi, yaitu Re d dT ( λ ( T 0 )) 6 = 0 Diferensiasi total g ( λ ( T ) , T ) menghasilkan
dg = 0 ∂g ∂λ dλ + ∂g ∂T dT = 0 dλ dT = − ∂g ∂T ∂g ∂λ = − − Dλ 2 − Eλ 3 λ 2 + 2 ( A − DT ) λ + B + D − ET
Dihitung turunan g untuk λ = λ 1 pada saat T 0 , diperoleh
d dT ( λ 1 ( T 0 )) = − − D ( ik ) 2 − E ( ik ) 3 ( ik ) 2 + 2 ( A − DT 0 ) ik + B + D − ET 0 = − Dk 2 − iEk x + y = − Dk 2 − iEk x + y · x − y x − y = − ( Dk 2 − iEk ) − 3 k 2 + B + D − ET 0 − i 2 k ( A − DT 0 ) ( − 3 k 2 + B + D − ET 0 ) 2 + (2 k ( A − DT 0 )) 2 , sehingga
d dT ( λ 1 ( T 0 )) = − ( Dk 2 − iEk )( x − y ) P 2 + R 2 (11)
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
dengan x = − 3 k 2 + B + D − ET 0 y = ( i 2 k ( A − DT 0 )) P = − 3 k 2 + B + D − ET 0 R = 2 k ( A − DT 0 ) Bagian real dari (11) adalah
Re d dT ( λ 1 ( T 0 )) = − Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 − 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) P 2 + R 2 .
Ada dua kemungkinan yang terjadi, yaitu
1. Re d dT ( λ 1 ( T 0 )) > 0 − Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 − 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) P 2 + R 2 > 0 ,
karena P 2 + R 2 pasti positif, maka haruslah
Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 − 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) < 0 Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 < 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) Dk 2 − 3 k 2 + k 2 < 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) − Dk 2 < E ( A − DT 0 ) ,
sehingga, Re d dT ( λ 1 ( T 0 )) > 0 ekivalen dengan
− D ( B + D − ET 0 ) < E ( A − DT 0 ) (12)
Perhatikan bahwa untuk D dan E positif, pertidaksamaan (10) terpe- nuhi jika kondisi ( A − DT 0 ) > 0 dan ( B + D − ET 0 ) > 0 terpenuhi.
2. Re d dT ( λ 1 ( T 0 )) < 0
Dengan cara yang sama seperti kemungkinan pertama, diperoleh
− Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 − 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) P 2 + R 2 < 0 karena P 2 + R 2 pasti positif, maka haruslah
Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 − 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) > 0 Dk 2 − 3 k 2 + B + D − ET 0 > 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) Dk 2 − 3 k 2 + k 2 > 2 Ek 2 ( A − DT 0 ) − Dk 2 > E ( A − DT 0 ) ,
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
sehingga, Re d dT ( λ 1 ( T 0 )) < 0 ekivalen dengan
− D ( B + D − ET 0 ) > E ( A − DT 0 ) (13)
untuk D dan E positif, pertidaksamaan (13) terpenuhi jika kondisi ( A − DT 0 ) < 0 dan ( B + D − ET 0 ) < 0 terpenuhi.
Kondisi terakhir ini tidak sesuai dengan kriteria Routh-Hurwitz, sehingga yang memenuhi adalah kemungkinan pertama ya- itu Re d dT ( λ 1 ( T 0 )) > 0, dan dapat disimpulkan bahwa Re d dT ( λ ( T 0 )) 6 = 0. Menurut teorema bifurkasi Hopf, hal ini men- jamin adanya limit cycle pada saat T = T 0 dengan A − DT 0 > 0 , B + D − ET 0 > 0 , C + E > 0 dan ( A − DT 0 ) ( B + D − ET 0 ) = C + E terpenuhi.

## 3. Pendekatan Dalam Ruang Kompleks (Analisa Bifurkasi Hopf )
Untuk time delay yang lebih panjang, pendekatan linear tidak efektif lagi digunakan, sehingga diperlukan pendekatan yang lain. Dengan mengambil λ = σ + iω , persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk bagian real dan bagian imajiner.
( σ + iω ) 3 + A ( σ + iω ) 2 + B ( σ + iω )+ C + D ( σ + iω ) e − ( σ + iω ) T + Ee − ( σ + iω ) T = 0
Sehingga bagian real persamaan (7) berbentuk
σ 3 − 3 σω + Aσ 2 − Aω 2 + Bσ + C + e − σT ( Dσ cos ωT + Dω sin ωT + E cos ωT ) = 0 ,
sedangkan bagian imajinernya adalah
3 σ 2 ω − ω 2 + 2 Aσω + Bω + e − σT ( Dω cos ωT − Dσ sin ωT − E sin ωT ) = 0 .
Untuk mendapatkan titik bifurkasi yang pertama, diambil σ = 0. Se- hingga bagain real dan bagian imajiner diatas direduksi menjadi
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
19
− Aω 2 + C + Dω sin ωT + E cos ωT = 0 (14)
− ω 3 + Bω + Dω cos ωT − E sin ωT = 0 (15)
Jika titik bifurkasi pertama adalah ( ω bif , T bif ), maka titik bifurkasi yang lain ( ω, T ) harus memenuhi
ωT = ω bif T bif + 2 nπ , n = 1 , 2 , ...
Selanjutnya kedua persamaan (14) dan (15) dibentuk menjadi
− Aω 2 + C = − Dω sin ωT − E cos ωT (16)
− ω 3 + Bω = − Dω cos ωT + E sin ωT (17)
Persamaan (16) dan (17) dikuadratkan, akan menghasilkan
Aω 4 − 2 ACω 2 + C 2 = D 2 ω 2 sin 2 ωT + 2 DωE sin ωT cos ωT + E 2 cos 2 ωT (18)
ω 6 − 2 Bω 4 + B 2 ω 2 = D 2 ω 2 cos 2 ωT − 2 DωE sin ωT cos ωT + E 2 sin 2 ωT (19)
Dengan menjumlahkan persamaan (18) dan (19), maka diperoleh
ω 6 + A 2 − 2 B ω 4 + B 2 − 2 AC ω 2 + C 2 = D 2 ω 2 sin 2 ωT + cos 2 ωT + E 2 sin 2 ωT + cos 2 ωT ,
karena sifat fungsi trigonometri yaitu sin 2 ωT + cos 2 ωT = 1, maka
ω 6 + A 2 − 2 B ω 4 + B 2 − 2 AC ω 2 + C 2 = D 2 ω 2 + E 2 ,
sehingga, didapatkan
ω 6 + A 2 − 2 B ω 4 + B 2 − 2 AC − D 2 ω 2 + C 2 − E 2 = 0 (20)
Persamaan (20) merupakan persamaan kubik dalam ω 2 dan sisi kiri dari persamaan ini bernilai positif untuk nilai ω 2 yang besar dan akan bernilai
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
negatif untuk ω = 0 dan C 2 < E 2 . Oleh karena itu, jika kondisi diatas terpenuhi, maka persamaan (20) mempunyai paling sedikit satu akar real positif.
Berikut ini Lemma yang menunjukkan bahwa suatu persamaan kubik mempunyai paling sedikit satu akar real positif.
Lemma 3.1 [5]
Syarat perlu dan cukup bahwa persamaan kubik z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3 = 0 dengan a 3 > 0 , mempunyai paling sedikit satu akar positif adalah:
1. berlaku salah satu dari
a. a 1 < 0 a 2 ≥ 0 dan, a 2 1 > 3 a 2 atau b. a 2 < 0
2. ∆ < 0 , dengan ∆ = 4 27 a 3 2 − 1 27 a 2 1 a 2 2 + 4 27 a 3 1 a 3 − 2 3 a 1 a 2 a 3 + a 3 3
Untuk membuktikan terjadi bifurkasi Hopf pada T = Tbif , maka perlu ditunjukkan bahwa Re d dT ( λ ( T )) T = T bif 6 = 0. Misalkan G ( λ ( T ) , T ) = λ 3 + Aλ 2 + Bλ + C + Dλe − λT + Ee − λT , maka diferensiasi G ( λ ( T ) , T ) menghasilkan
dG = 0 ∂G ∂λ dλ + ∂G ∂T dT = 0 dλ dT = − ∂G ∂T ∂G ∂λ = − − Dλ 2 e − λT − Eλe − λT 3 λ 2 + 2 Aλ + B − T Dλe − λT + De − λT − T Ee − λT = Dλ 2 + Eλ e − λT 3 λ 2 + 2 Aλ + B + ( D − DT λ − ET ) e − λT (21)
Untuk T = Tbif dan λ = iω bif
Re     d dT ( λ ( T )) T = T bif λ = iω bif     = 3 ω 3 bif ( ω 3 bif − Bω bif ) + Bω bif ( − ω 3 bif + Bω bif ) + 2 Aω 2 bif ( Aω 2 bif − C ) − D 2 ω 2 bif P 2 1 + Q 2 1
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2
21
= 3 ω 6 bif − 4 Bω 4 bif + B 2 ω 2 bif + 2 A 2 ω 4 bif − 2 ACω 2 bif − D 2 ω 2 bif P 2 1 + Q 2 1 = ω 2 bif 3 ω 4 bif + 2 ω 2 bif A 2 − 2 B + B 2 − 2 AC − D 2 P 2 1 + Q 2 1 dengan
P 1 = − 3 ω 2 bif + B + T bif − Aω 2 bif + C + D cos ω bif T bif Q 1 = 2 Aω bif + T bif − ω 3 bif + Bω bif − D sin ω bif T bif .
Misalkan x = ω 2 bif , maka persamaan (20) menjadi
f ( x ) = x 3 + A 2 − 2 B x 2 + B 2 − 2 AC − D 2 x + C 2 − E 2
dan
f 0 ( x ) = 3 x 2 + 2 A 2 − 2 B x + B 2 − 2 AC − D 2
Jika ω bif adalah akar positif terkecil dari persamaan (20) (kecuali jika merupakan akar kembar maka dipilih akar terkecil berikutnya), maka
f 0 ( x ) | T = T bif > 0 .
Oleh karena itu,
dσ dT T = T bif = ω 2 bif f 0 ω 2 bif P 2 1 + Q 2 1 > 0 ,
yang memperlihatkan bahwa syarat transversal terpenuhi, sehingga terbukti ter- jadi bifurkasi Hopf pada saat T = T bif .
Dari analisa bifurkasi Hopf diatas, jika Lemma 3.1 terpenuhi dan ω bif adalah akar positif terkecil dari persamaan (20) (kecuali jika merupakan akar kembar maka dipilih akar terkecil berikutnya), maka bifurkasi Hopf terjadi pada saat T melewati T bif . Contoh 1 Jika
α = 3 , β = 2 , δ = 0 . 1 , δ 1 = 0 . 5 , η = 0 . 3 , l 1 = 0 . 2 , l 2 = 0 . 1 , ¯ M = 0 . 05 , β 1 = β 2 = β 3 = 0 . 2 ,
model siklus bisnis IS-LM dengan persamaan diferensial tundaan
maka sistem (20) menjadi
• Y = 0 . 3 Y − 1 . 2 r − 1 . 5 K • r = 0 . 2 Y − 0 . 4 r − 0 . 1 • K = 0 . 3 Y ( t − T ) − 0 . 2 r − 0 . 6 K
Persamaan karakteristik (20) akan berbentuk:
λ 3 + 0 . 7 λ 2 + 0 . 18 λ + 0 . 012 + 0 . 45 λe − λT + 0 . 18 e − λT = 0
Dengan menggunakan persamaan (14) dan (15) maka diperoleh T bif = 0.740471. Karena Lemma 3.1 terpenuhi dan ω bif adalah akar positif terkecil dari persamaan (20), maka bifurkasi Hopf terjadi pada saat T melewati T bif = 0.740471, dengan nilai eigen
λ 0 ( T bif ) = − 0 . 382583 λ 1 , 2 ( T bif ) = ± 0 . 6993i
Oleh karena itu periode dari limit cycle adalah
∼ T = 2 π | λ ( T bif ) | = 2 π 0 . 6993 = 8 . 98496
yang menggambarkan bahwa periode dari sistem ekonomi (dalam hal ini model IS-LM) adalah sekitar 9 satuan waktu.
Selanjutnya akan ditampilkan hasil plotting time series dari Contoh 1 yaitu Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3.
Gambar 1: Grafik Penyelesaian Model IS-LM pada T bif = 0.740471
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2 23
Gambar 2: Grafik Penyelesaian Model IS-LM pada T = 0.4
Gambar 3: Grafik Penyelesaian Model IS-LM pada T = 1
Gambar 1 menunjukkan terjadi limit cycle pada T bif = 0.740471, hal ini meng- gambarkan periode dari model IS-LM sekitar 9. Gambar 2 menunjukkan struktur orbit di dalam limit cycle akan menjauhi limit cycle ( terlihat bahwa osilasinya teredam), sedangkan Gambar 3 menunjukkan struktur orbit di luar limit cycle ak- an menjauhi limit cycle (osilasinya semakin membesar). Secara sederhana dapat digambarkan bahwa limit cycle nya tidak stabil (Gambar 4)).
Lingkaran biru menunjukkan limit cycle dari model IS-LM (Gambar 1), se- dangkan orbit spiral di dalam limit cycle menunjukkan Gambar 2 dan orbit spiral di luar limit cycle menunjukkan Gambar 3. Sehingga dapat dikatakan bahwa bi- furkasi Hopf yang terjadi dalam Contoh 1 merupakan bifurkasi Hopf Subkritikal (tidak stabil).
Gambar 4: Ilustrasi sederhana dari limit cycle yang tidak stabil

## 4. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari analisa dan aplikasi bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis IS-LM adalah
1. Dari model diperoleh persamaan karakteristik yang tidak dapat diselesaikan secara eksak, sehingga perlu pendekatan lain yaitu pendekatan linear dan pendekatan dalam ruang kompleks (analisa bifurkasi Hopf).
2. Dengan pendekatan linear diperoleh persamaan karakteristik λ 3 + Aλ 2 + Bλ + C + Dλe − λT + Ee − λT = 0 dan tiga nilai eigen dengan sepasang nilai eigen kompleks yang bagian realnya nol. Bifurkasi Hopf terjadi jika A − DT 0 > 0 , B + D − ET 0 > 0 , C + E > 0 dan ( A − DT 0 ) ( B + D − ET 0 ) = C + E terpenuhi. Hal ini menjamin adanya limit cycle pada nilai T = T 0 .
3. Pada pendekatan dalam ruang kompleks (analisa bifurkasi Hopf), bifurkasi Hopf terjadi pada saat T melewati T bif .

## Pustaka
[1] Kalecki, M., A Macrodynamic Theory of Business Cycle , Econometrica.3,
(327-344), 1935
[2] Torre, V., Existence of Limit Cycle and Control in Complete Keynesian Sys- tem by Theory of Bifurcation , Econometrica.45 (1457-1466), 1977.
[3] Hale, J.K. and Lunel, S.M.V., Introduction to Functional Differential Equa- tions , Springer-Verlag New York, Inc., 1993.
IGN Rai Usadha 1 , Ni Ketut Tari T. 2 25
[4] Golubitsky, M. and Dellnitz, M., Linear Algebra and Differential Equations Using Matlab , Brooks/Cole Publishing Company, California, 1998.
[5] Khan, Q.J.A., Hopf Bifurcation in Multiparty Political Systems with Time Delay in Switching , Applied Mathematics Letter.13 (43-52), 2000.
[6] Kraweic, A. and Szydlowski, M., The Kaldor-Kalecki Model of Business Cycle as A Two-dimensional Dynamical System , Journal of Nonlinear Mathematical Physics.8 (266-271), 2001.
[7] Cai, J., Hopf Bifurcation in The IS-LM Business Cycle Model with Time Delay , Electronic Journal of Differential Equations.15 (1-6), 2005.
[8] Neamtu, M., Opris, D., Chilarescu, C., Hopf Bifurcation in A Dynamic IS-LM Model with Time Delay , asXiv:math.DS/0511322.1 (1-13), 2005.