## MATRIKS DIAGONAL DALAM KAJIAN PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

## Try Azisah Nurman
Dosen Jurusan Matematika Fak. Sains dan Teknologi
UIN Alauddin Makassar
Email: chicha_chirwan@yahoo.com
Abstract: This  paper  discusses  the  methods  of  algebraic  functions  on  the settlement limit of indeterminate forms. Limit is a mathematical method used to  describe  the  effect  of  variable  functions  move  closer  to  a  point  on  a particular  function.  The  goal  is  to  determine  the  specific  characteristics  of the  methods  of  algebraic  functions  on  the  settlement  limit  of  indeterminate forms.  The  methods  used  is  a  special  method  that  consists  of  factoring methods,  methods  of  multiplication  herd,  and  the  division  with  the  highest rank method, and the method of L' Hopital. By using the methods mentioned above, then we obtain the specific characteristics of the methods of algebraic functions  settlement  limit  on  the  indeterminate  form  are  1.  Factoring methods: (a) The numerator is the result of squaring the binomial equation of the denominator. Where, (i) If the binomial equation using the difference operation,  then  its  points  is  positive.  (ii)  If  the  binomial  equations  using addition operation, then its points is negative. (b) the constant factor of each of  the  numerator  and  denominator  equally.  One  of  which  is  a  three  tribal equation in the form ax 2 + bx + c , the value of b it is the sum of the value of the  constant  multiplication.  (c)  If  the  numerator  and  denominator  are  both binomial  equations  with  difference  operation,  where  the  variables  and constants  in  the  numerator  is  the  square  of  the  variable  and  constant denominator.  Or  conversely,  variables  and  constants in  the  denominator is the  square  of  the  variable  and  constant  numerator.  (d)  If  the  equation  is  a difference  of  two  fractions  where  the  denominator  is  a  binomial  variables and constants in the denominator is the result of one of the squaring of the variables and constants in the denominator of the other. (e) If the equation in the  form  of  fragments  which  all  contain  the  same  variables.  (f)  If  the equation is in the form of two parts, where the coefficients and constants in the numerator or the same multiplication factor, so that when the coefficients and constants removed it will form one of the factors that equation equal to that of the denominator. 2. A herd Multiplication method: (a) If the equation is the difference of two roots. (b) If the equation in the form of the difference or  fractions  containing  amount  root  form.  Both  the  numerator  and  the denominator. 3. Distribution by Top Rank methods: (a) If the equation in the form ∞/∞. (b) If a polynomial equation of degree 3, 4, 5,... etc. Which is hard to  be  factored.  4.  L'  Hopital  method:  if  the  limit  point  is  substituted  then produces the indeterminate form 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , except if the derivative of the  function  at  the  root  of  the  denominator  in  the  form  similar  to  the  form factor function in the numerator. Vice versa, the derivative of the function at
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 375
the  root  of  the  numerator  shaped  form  factor  similar  to  the  function  in  the denominator.
Key words: Limit, indeterminate forms, L' Hopital method.

## I. PENDAHULUAN
erkembangan  peradaban  manusia  tidak  terlepas  dari  ilmu-ilmu  dasar ( Basic  Sciences )  sebagai  logika  berpikir.  Matematika  telah  banyak mengajarkan  manusia  mengenal  dan  menjelaskan  fenomena-fenomena yang terjadi di sekelilingnya. Dengan matematika manusia dapat mempelajari dan sekaligus  mendapatkan  pemodelan  atas  fenomena  yang  terjadi  atau  diamatinya. (Harahap,  2005,  h.3)  Dalam  Al-Qur’an  memuat  banyak  ayat  tentang  isyarat- isyarat matematika, antara lain terdapat pada  Q.S. Al-A’raf/7:142.
                                                                                                          
                                                                                   

## Terjemahnya:
Dan  telah  kami  janjikan  kepada  Musa  (memberikan  Taurat)  sesudah berlalu waktu tiga puluh malam, dan kami sempurnakan jumlah malam itu dengan sepuluh (malam lagi), Maka sempurnalah waktu yang telah ditentukan Tuhannya empat puluh malam. Dan berkata Musa kepada saudaranya yaitu Harun: "Gantikanlah aku dalam (memimpin) kaumku, dan perbaikilah, dan janganlah  kamu  mengikuti  jalan  orang-orang  yang  membuat  kerusakan” (Depag RI, 2005) .
Melalui ayat di atas Allah SWT. memberitahukan Nabi Musa AS. tentang lamanya  waktu  diturunkannya  kitab  Taurat  yaitu  selama  40  hari  lewat  operasi penjumlahan  matematika yaitu 30 + 10 = 40.
Ayat di atas memberikan gambaran bahwa tidak semua orang tahu tentang perhitungan,  dimana  perhitungan  sering  kali  diperdebatkan.  Oleh  karena  itu, matematika  sebagai  bahasa  simbol  yang  bersifat  universal  memegang  peranan penting dalam perkembangan suatu teknologi. Matematika sangat erat hubungannya dengan  kehidupan  nyata.  Banyak  penyelesaian  masalah  dalam  kehidupan  nyata membutuhkan  metode-metode  matematika.  Di  dalam  kehidupan  nyata  kadang- kadang  terdapat  masalah  yang  sukar  diselesaikan  dalam  sistemnya.  Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu disusun suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya. Berbicara tentang bagaimana merumuskan suatu
P
376 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )
model  matematika  dari  masalah  yang  terjadi  di  dunia  nyata,  baik  melalui penalaran  intuitif  tentang  fenomena  tersebut,  atau  dari  suatu  hukum  fisika  yang berdasarkan  pada  bukti  yang  didapat  dari  percobaan-percobaan.  Persoalan  yang muncul  dari  dalam  bidang  fisika  matematika  sering  dapat  diturunkan  ke  dalam suatu persamaan diferensial.  Persamaan diferensial  merupakan salah satu  cabang matematika yang termasuk kelompok analisis.
Secara  umum,  persamaan  diferensial  adalah  suatu  persamaan  yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dari satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan diferensial pertama kali diperkenalkan oleh Leibniz pada Tahun 1676. Persamaan  diferensial  sering  sekali  muncul  dalam  model  matematika  yang mencoba  menggambarkan  keadaan  kehidupan  nyata.  Persamaan  diferensial dibedakan  menjadi  dua  yaitu  persamaan  diferensial  biasa    ( ordinary  differential equation )  dan  persamaan  diferensial  parsial  ( partial  differential  equation ).  Salah satu klasifikasi yang jelas adalah dengan melihat apakah fungsi yang tak diketahui tergantung pada satu atau lebih turunan fungsi. Jika hanya satu disebut persamaan diferensial  biasa  dan  jika  fungsi  yang  tak  diketahui  lebih  dari  satu  disebut persamaan diferensial parsial (Stewart, 2003). Dimana banyaknya turunan fungsi disimbolkan dengan  .
Penyelesaian  sistem  Persamaan  Diferensial  (PD)  sederhana  dapat  diatasi melalui  pendekatan  elementer  terhadap  sistem  persamaan  diferensial.  Persamaan diferensial  difokuskan  pada  penentuan  penyelesaian  dari  persamaan  diferensial. Ada banyak persamaan diferensial yang rumit diperoleh bentuk penyelesaiannya. Namun,  untuk  menyelesaikan  suatu  sistem  persamaan  diferensial  yang  lebih rumit,  matriks  sangat  dianjurkan  digunakan  untuk  sistem  PD  dengan . Matriks dan khususnya pendiagonalan dalam aljabar linear merupakan salah satu metode  yang  secara  umum  jauh  lebih  efisien  untuk  memecahkan  suatu  sistem persamaan diferensial sederhana maupun rumit.(Rahman, dkk., 2007)

## II. KAJIAN TEORITIS

## A. Matriks
Matriks  adalah  suatu  kumpulan  bilangan  yang  disusun  dalam  baris  dan kolom,  sehingga  berbentuk  persegi  panjang  atau  bujur  sangkar,  dan  ditulis diantara  dua  tanda  kurung  dan  dicetak  tebal  yaitu atau .  H. (Cambage,1980) Bentuk umum suatu matriks adalah:
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 377
1. Jenis-jenis matriks
a. Matriks Bujur Sangkar , jika baris dan kolom sama.
b. Matriks  Segitiga ,  ada  dua  jenis  matriks  segitiga  yaitu  matriks  segitiga  atas ( upper  triangular )  dan  matriks  segitiga  bawah  ( lower  triangular ).  Jika  suatu matriks bujur sangkar yang semua elemennya terletak di bawah diagonal sama dengan nol,  maka disebut  matriks segitiga atas. Sedangkan jika dalam  sebuah matriks bujur sangkar, semua elemen terletak diatas diagonal sama dengan nol, maka disebut matriks segitiga bawah.
c. Matriks  Diagonal ,  jika  semua  elemen  di  atas  dan  di  bawah  diagonal  suatu matriks bujur sangkar sama dengan nol maka disebut matriks diagonal.
d. Matriks Identitas , jika diagonal suatu matriks bujur sangkar sama dengan satu, dan semua elemen lainnya sama dengan nol, maka disebut matriks identitas.
e. Matriks Skalar , jika suatu matriks
f. Matriks  Transpos ,  diperoleh  dengan  menukar  elemen-elemen  baris  menjadi elemen-elemen kolom atau sebaliknya.
2. Operasi Matriks
a. Penjumlahan  dan  Pengurangan  Matriks,  jika  kedua  matriks  itu  memiliki  ordo yang  sama.  Jumlah
ialah  suatu  matriks C yang  diperoleh  dengan menjumlahkan  elemen-elemen  yang  bersesuaian  letaknya.  Selisih  dua  matriks adalah  suatu  matriks  baru
,  yang  diperoleh  dengan  mengurangkan
elemen yang bersesuaian letaknya.
b. Perkalian Matriks
1) Perkalian  Matriks  dengan  Skalar,  jika suatu  skalar,  maka  matriks
diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks   dengan .
2) Perkalian  Matriks  dengan  Matriks,  jika adalah  matriks dan adalah matriks , maka hasil kali adalah matriks yang entri-
entrinya ditentukan sebagai  berikut. Untuk mencari entri dalam baris   dan kolom   dari pilihlah baris   dari matriks   dan kolom   dari matriks  . Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama- sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.(Anton, 1987, 25)
378 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )

## B. Matriks Elementer
Definisi 1:   Suatu  matriks dinamakan  matriks    elementer    jika  matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) yakni dengan  melakukan  sebuah  operasi  baris  elementer  tunggal. .(Anton, 1987, 25)
Contoh
Di bawah ini didaftarkan tiga matriks elementer dan penggunaan operasi baris yang  akan  mengembalikan  matriks  elementer  yang  diberikan  pada  matriks satuan.
1 0 ( ) 0 3 i        1 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 1 0 0 1 0 0 ii          
  1 0 3 ( ) 0 1 0 0 0 1 iii        
 

## C. Determinan dan Invers matriks

## 1. Determinan
Determinan  adalah  nilai  real  yang  dihitung  berdasarkan  nilai  elemen- elemennya, ditulis  dengan simbol  det ( ) atau . Jika nilai  determinan itu nol, matriks  bujur  sangkar  tersebut  singular,  artinya  tidak  memiliki  invers.  Jika  nilai determinan  suatu  matriks  tidak  nol,  berarti  matriks    tersebut  nonsingular,  yaitu matriks tersebut mempunyai invers.(Sutojo dkk, 2010, 125)
a. Determinan  matriks  ordo
dapat  ditentukan  dengan  cara  nilai  elemen diagonal utamanya dikurangkan dari kedua elemennya.(Mckim dkk. 1984, 305)
b. Determinan matriks ordo ditentukan dengan aturan Sarrus :
c. Determinan  matriks  ordo
dihitung  dengan  menggunakan  Ekspansi
Laplace.
2. Sifat-sifat Determinan:
a.  Nilai suatu determinan transpose sama dengan nilai determinan .
b.  Jika salah satu baris/kolom semua unsurnya nol maka nilai determinan =0.
c.  Jika dua baris/kolom ditukar tempatnya maka nilai determinan tandanya berubah.
Matriks di samping diperoleh dari matriks satuan dengan mempertukarkan baris kedua dan baris keempat dari  .
Matriks di samping diperoleh dari matriks satuan dengan menambahkan tiga kali baris ketiga dari   pada baris pertama.
Matriks di samping diperoleh dari matriks satuan dengan mengalikan baris kedua dari   dengan -3.
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 379
d.  Jika ada dua baris/kolom unsur-unsurnya bernilai sama maka nilai determinan tersebut sama dengan nol.
e.  Jika  salah  satu  baris/kolom  semua  unsurnya  berfaktor
maka    bisa dikeluarkan dari determinan sebagai faktor.
f.  Jika  ada  dua  baris/kolom  unsur-unsurnya  sebanding  maka  nilai  determinan tersebut sama dengan nol.
g.  Jika salah satu baris/kolom ditambah dengan   kali baris/kolom yang lain maka nilai determinan tidak berubah.
h.  Jika  ada  salah  satu  baris/kolom  semua  unsurnya  terdiri  dari    suku,  maka determinan  bisa  didekomposisi  atas    suku  pula  dengan  setiap  suku  dari masing-masing  unsur  baris/kolom  determinan  semula  menempati  unsur baris/kolom dari masing-masing suku dari determinan hasil dekomposisi secara bersesuaian.(Latra, 2004, 6)

## 3. Invers Matriks
Bila suatu matriks bujur sangkar   dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan  matriks  identitas,  yaitu
maka  dikatakan
merupakan invers atau   merupakan invers  . Misal B merupakan invers dari . Maka notasi yang digunakan . Suatu matriks yang mempunyai invers dikatakan  matriks invertibel (dapat  dibalik).(Mursita,  2011)  Invers  dari  sebuah matriks  adalah  tunggal  atau  hanya  ada  satu  dan  berlaku  sifat: .
Matriks  yang  mempunyai  invers  adalah  matriks  yang  nonsingular.(Sutojo  dkk,
2010,  153)  Dengan  mudah  untuk  menetapkan  bahwa  jika
ada,  maka .(Rao dan Helge, 1999, 494)
Untuk menentukan nilai  invers suatu matriks, berdasarkan  rumus  berikut: Cambage, 1980, 32)
1 11 21 2 12 22 1 1 2 3 ( ) n n n n n C C C C C C adj C C C    
                    
       A A A A A A A A A A A A
dengan catatan .
4. Sifat-sifat invers:
a. b.
380 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )
c.
d. simetris jika dan hanya jika A simetris.

## D. Kebebasan Linear
Definisi  2    Jika
adalah  himpunan  vektor,  maka persamaan vektor
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni
Jika  ini  adalah  satu-satunya  pemecahan,  maka S dinamakan  himpunan bebas linear ( linearly independent ). Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan himpunan tak bebas linear ( linearly dependent ).(Anton, 1987, 151)

## E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diketahui A matriks berukuran , vektor tak–nol berukuran , ∈ R n . Karena A berukuran , maka akan berupa vektor yang berukuran juga.  Bila  terdapat  skalar  λ,  λ ∈ R sedemikian  hingga ( A x menghasilkan  vektor  yang  besarnya  λ  kali x ).  Semua  nilai  λ  yang  memenuhi persamaan tersebut sehingga ada nilai yang nyata (bukan vektor 0 saja) disebut nilai  eigen (karakteristik).(Firdausy2011)
dikatakan  vektor  eigen  yang bersesuaian dengan λ.(Jhonson, 2002, 60)
Untuk  menentukan  nilai eigen yang  berukuran maka  dituliskan kembali sebagai atau ekuivalen dengan ... (2.1)
Supaya  λ  menjadi  nilai eigen maka  harus  ada  penyelesaian  tak  nol    dari persamaan (2.1). Persamaan (2.1) akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika:
det( ) 0    I A
ini  dinamakan  persamaan  karakteristik  .  Skalar  yang  memenuhi  persamaan  ini adalah  nilai eigen dari A .  Bila  diperluas,  maka  determinan adalah polinom   yang dinamakan polinom karakteristik dari  .

## F. Diagonalisasi Matriks
Definisi 3:  Matriks kuadrat   dinamakan dapat diagonalisasi ( diagonalizable ) jika  terdapat  matriks yang  dapat  dibalik  sehingga diagonal; matriks   dikatakan mendiagonalisasi
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 381

## G. Persamaan Diferensial
Definisi 4:  Persamaan  diferensial  adalah  suatu  persamaan  yang  memuat  satu atau  lebih  turunan  fungsi  yang  tidak  diketahui.  Jika  persamaan diferensial  memiliki  satu  peubah  tak  bebas  maka  disebut Persamaan  Diferensial  Biasa  (PDB).  Sedangkan  jika  peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan  Diferensial Parsial
(PDP).(Yulianty, 2011)
Dikenalkan  suatu  istilah  dalam  Persamaan  Diferensial  (PD)  yaitu  orde. Orde dari PD adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada PD.(Mursita, 2006, 191) Khususnya, suatu persamaan yang berbentuk
Dimana menyatakan  turunan terhadap yang  ke ,  disebut persamaan  diferensial  berorde  .  Adapun  bentuk  umum  persamaan  diferensial biasa linear (PDBL) orde-  yaitu:
Dengan dan adalah  koefisien persamaan  diferensial.  Bila
disebut    PDBL  homogen,  sebaliknya  jika tidak  disebut  PDBL tak homogen.  Bila tidak dapat  dinyatakan seperti bentuk  di atas dikatakan PD tidak linear.

## 1. Jenis-jenis Persamaan Diferensial
Jenis-jenis  persamaan  diferensial  khususnya  persamaan  diferensial  orde satu dan orde dua yaitu:
a. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu atau , fungsi dari  .
Suatu  persamaan  jenis  ini  selalu  dapat  diselesaikan.  Pertama-tama dikalikan kedua ruas dengan faktor integral
yang menghasilkan
Kemudian  ruas  kiri  sebagai  turunan  dari
,  sehingga  persamaan mengambil bentuk
Pengintegralan kedua ruas menghasilkan
Sehingga
382 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )
Karena  bentuk  di  atas  merupakan  integral  tak  tentu  maka  solusi  masih mengandung   dan disebut solusi umum PD. Solusi khusus PD dapat ditentukan dengan  mensubtitusikan  nilai  awal
yang  diberikan  ke  dalam  solusi umum, untuk menghitung besar nilai  .(Mursita, 2006, 193)
b. Variabel yang dapat dipisahkan
Suatu PD orde satu, peubah  dan   dapat dipisahkan. Sehingga peubah dapat dikelompokkan dengan dan peubah   dapat dikelompokkan dengan pada ruas yang berbeda. Sehingga solusi umum PD terpisah, dengan memisahkan kedua peubah dan kemudian mengintegralkan kedua ruas.
Bentuk umum: = atau Dapat dijadikan bentuk dan suatu fungsi hanya dari  , suatu fungsi hanya dari  .( Riogilang, 1983, 3)
c. Persamaan Diferensial Homogen
Bentuk umum: . Dinamakan Persamaan diferensial homogen  jika dan homogen  dan  berderajat  sama.  Persamaan  ini dapat  diselesaikan  dengan  subtitusi
atau
,  sehingga  didapatkan
. (Riogilang, 1983, 7) (S(v))
menjadi:
atau
d. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Homogen
Pada bagian ini dibuat dua anggapan penyederhanaan:
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 383
1) adalah konstanta, dan 2) secara identik adalah nol (kasus homogen).
Jadi tugas awal yang harus diselesaikan adalah
Untuk  menyelesaikan  suatu  persamaan  orde  pertama  diperlukan  suatu pengintegralan  dan  menuju  kesuatu  penyelesaian  umum  dengan  suatu  konstanta sebarang.  Dari  persamaan  orde  pertama,  diharapkan  penyelesaian  suatu persamaan orde kedua mencakup dua pengintegralan dan karena ini penyelesaian umum  akan  mempunyai  dua  konstanta  sebarang.  Hal  ini  benar,  ternyata  suatu persamaan  diferensial  linear  homogen  orde  kedua  selalu  mempunyai  dua penyelesaian  fundamental dan ,  yang  saling  bebas  satu  sama  lain (yakni,  fungsi  yang  satu  bukan  kelipatan  fungsi  yang  lainnya).  Dari  kelinearan operator , adalah suatu penyelesaian juga. Persamaan  bantu:  Karena kelihatannya  sangat  mungkin bahwa akan  merupakan  suatu  penyelesaian  terhadap  persamaan  diferensial untuk  suatu  pilihan    yang  sesuai.  Untuk  menguji  kemungkinan  ini,  pertama dituliskan persamaan itu dalam bentuk operator
... (2.5)
Sekarang
Ungkapan yang belakangan adalah nol, asal saja
... (2.6)
Terdapat  tiga  kasus  yang  ditinjau,  berpadanan  terhadap  persamaan  bantu yang  mempunyai  dua  akar  real  berlainan,  akar  tunggal  berulang,  atau  akar-akar kompleks saling konjugat.( Purcell dan Dale, 1987, 441)
1) Akar-akar Real Berlainan, maka penyelesaian umum adalah
2) Akar  Berulang   maka  penyelesaian  umum  terhadap
adalah
3) Akar -akar  Kompleks  Saling  Konjugat maka  penyelesaian  umum terhadap adalah
384 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )

## H. Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)
Permasalahan  dari  suatu  model  matematis  yang  berbentuk  persamaan diferensial  yang  lebih  dari  satu  fungsi  tak  diketahui  membutuhkan  suatu  bentuk khusus  dari  persamaan  diferensial  yang  disebut  sistem  PD.Bentuk  umum  dari sistem PD orde satu didefinisikan sebagai berikut:
Dimana dan adalah  fungsi  yang  spesifik  dalam  interval  . Persamaan  (2.7)  disebut  SPDL  orde  satu.  Jika ,  maka
sistem  disebut  homogen  dan  selain  itu  disebut  nonhomogen.( Rahman,  dkk,  2007, 112)
Definisi  5:  Penyelesaian  sistem  PD  (2.7)  dalam  interval I adalah n buah fungsi yang masing-masing dapat diturunkan pada interval I ,  dan  jika  disubtitusikan  ke  dalam  persamaan  (2.7)  membuat  identitas  dalam t untuk semua I. ( Abdul Rahman, 2007, 123)
Pengembangan  teori  dari  sistem  penyelesaian  umum  dari  sistem  PD  linear  orde satu  adalah  merumuskan  masalah  dari  pemecahan  sistem  PD  linear  dengan  pendekatan ruang vektor, dengan mengubah persamaan (2.7) menjadi bentuk matriks sebagai berikut:
Secara  umum  masalah  nilai  awal  (MNA)  dari  SPDL  rumusnya  dapat diberikan  sebagai  permasalahan  matriks  :
dengan kondisi awal .
a. Mengubah PD Tingkat   ke Bentuk Sistem PD Orde Satu
b. Penyelesaian Umum dari Sistem Persamaan Linear Orde Satu.
c. Penyelesaian Sistem PD Homogen
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 385

## III. PEMBAHASAN

## 1. Penerapan Matriks Diagonal
Pada bagian ini, akan ditelaah bagaimana memecahkan sistem persamaan diferensial yang berbentuk:
1 11 1 12 2
1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ' ' ' n n n n n n n nn n
y a y a y a y
y a y a y a y
y a y a y a y                     
Dimana 1 1 2 2 ( ), ( ), , ( ) n n y f x y f x y f x     adalah  fungsi-fungsi  yang  akan
ditentukan  dan adalah  konstanta-konstanta.  Sistem  persamaan  diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk notasi matriks seperti berikut:
1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 ' ' ' n n n n n nn n y a a a y y a a a y y a a a y                               
              
atau  secara lebih singkat '  Y AY dengan:
1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 1 2 ' ' ' , , ' n n n n n nn n y a a a y y a a a y y a a a y
                                                Y A Y Untuk  menangani  sistem '  Y AY yang  matriks tidak  diagonal,  dibuat substitusi  untuk    yang  akan  menghasilkan  sebuah  sistem  baru  dengan  sebuah matriks koefisien diagonal.
Tipe substitusinya adalah:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n y p u p u p u
y p u p u p u
y p u p u p u                   

atau pada notasi matriks,
386 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains ) 1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2 n n n n n nn n y p p p u y p p p u y p p p u            
                                  atau lebih singkat ditulis  Y PU
Pada  substitusi  ini  fungsi P ij adalah  konstanta-konstanta  yang  akan ditentukan  sedemikian  rupa  sehingga  sistem  baru  yang  melibatkan  fungsi-fungsi
1 u , 2 u ,  , n u yang  tidak  diketahui  mempunyai  matriks  koefisien  diagonal.  Jika tipe substitusi didiferensialkan akan menjadi:
' '  Y PU Jika  dibuat  substitusi dan pada  sistem  asalnya  maka kita dapatkan: atau dimana . Jika  diinginkan  bahwa  matriks  koefisien yang  baru tersebut  diagonal,  maka  harus  memilih sebagai  sebuah  matriks  yang mendiagonalisasi  .(Anton, 1987, 304)
Dengan  menggunakan  matriks  diagonal,  carilah  penyelesaian  Masalah Nilai Awal (MNA) persamaam diferensial berikut:
1 1 2 2 3 3 ' 3 ' 2 ' 5 y y y y y y   

dimana
, , dan .
Pemecahan:
Bentuk matriksnya yaitu:
1
1 2 2 3 3 ' 3 0 0 ' 0 2 0 0 0 5 ' y y y y y y                                 atau
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 387 3 0 0 ' 0 2 0 0 0 5             Y Y
karena  masing-masing  persamaan  hanya  melibatkan  satu  fungsi  tak  diketahui, didapat pemecahan persamaan tersebut dengan sendiri-sendiri yaitu:
3 1 1 2 2 2 5 3 3 x x x y c e y c e y c e    
atau dalam notasi matriks
3
1 1 2 2 2 5 3 3 x x x c e y y c e y c e      
          
      Y Dari kondisi awal yang diberikan, didapatkan 0 1 1 1
1 (0) y c e c    0 2 2 2
4 (0) y c e c    0 3 3 3
2 (0) y c e c    
sehingga pemecahan yang memenuhi MNA adalah
3 1 2 2 5 3 4 2 x x x y e y e e y   
                     Y atau 3 1 x y e  , 2 2 4 , x y e   5 3 2 x y e  
Dengan  menggunakan  matriks  diagonal,  carilah  penyelesaian  umum persamaan differensial berikut:
Pemecahan: Misalkan dan . Sehingga
dan . Adapun bentuk matriks yang  diperoleh yaitu: 0 1 2 1         A A dapat  terdiagonalisasi  oleh  sebarang  matriks P yang  kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen dari A yang bebas linear. Karena
388 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains ) 2 0 0 1 1 det( ) 0 2 1 2 1 ( 1) 2
2                                   
      I A Sehingga diperoleh nilai eigen yaitu dan . Menurut  definisi 1 2 x x        x
adalah sebuah vektor eigen bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika   adalah sebuah pemecahan tak trivial dari ( ) 0    I A x , yakni dari 1 2 1 0 2 1
0 x x                         Untuk 1 2 1 1 0 2 2 0 x x                      dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan dan
jadi
1 1 1 t t t               p
adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 1 1   Untuk 1 2 2 1 0 2 1 0 x x      
                
dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan
dan
jadi
1 1 2 2 2 1 t t t                 p
adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 2 2   
Jadi
1 2 1 1 1         P mendiagonalisasi   dan
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 389
2 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 0 1 1 0 1 2 1 0 2 1 1                                 D P AP maka substitusi  Y PU dan ' '  Y PU Menghasilkan sistem persamaan diagonal yang baru, yaitu 1 0 ' 0 2          U DU U
atau
1 1 2 2 ' , ' 2 u u u u   
Pemecahan sistem ini adalah
2
1 1 2 2 , x x
u c e u c e   
atau
1 2 2 x x c e c e           U
Sehingga persamaan Y = PU menghasilkan Y sebagai pemecahan baru
2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x c e c e y c e y c e c e c e                                      Y atau 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 x x x x y c e c e y c e c e      

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN

## A. Kesimpulan
Untuk menyelesaikan sistem persamaan differensial dengan menggunakan matriks diagonal, diperlukan beberapa syarat yang harus dipenuhi oleh persamaan differensial untuk dapat dijadikan ke dalam matriks diagonal.
Syarat  yang  harus  terpenuhi  yaitu  jika  terdapat  matriks (berukuran )  yang  dapat  didiagonalkan,  jika  dan  hanya  jika mempunyai    vektor eigen  yang  bebas  linier,  dan  vektor-vektor  eigen  matriks   itu  adalah  kolom- kolom matriks    yang mendiagonalkan . Maka  terdapat  matriks tak singular sehingga pendiagonalan matriks sama dengan
.
390 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )

## B. Saran
Dalam artikel ini, penulis membatasi ruang lingkup persamaan differensial yang dapat diselesaikan menggunakan matriks diagonal. Oleh karena itu, penulis berharap  kepada  pembaca  untuk  dapat  melanjutkan  penelitian  sampai  pada persamaan differensial pada orde yang lebih tinggi.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton,  Howard. Aljabar  Linear  Elementer  edisi  kelima .  Bandung:  Erlangga, 1987.
dan  Chris  Rorres. Aljabar  Linear  Elementer  Versi  Aplikasi  Edisi Kedelapan Jilid 2. Jakarta: Erlangga, 2005.
Anonim. Matriks  Diagonal . http://www.google.co.id/#q=matriks+diagonal&hl= id& biw=1280 &bih=663&prmd=ivns&ei=cqPYTbWjGczjrAeA87jyBQ& start=40&sa=N&fp=e1b137162826fbb2. (12 mei 2011).
Cambage,  H  Rawi  M .  Matriks/  Determinan .  Ujung  Pandang:  FPMIPA  IKIP, 1980.
Departemen Agama RI. Al-Qur’an dan Terjemahannya. Surabaya: Karya Utama,
2005.
Firdausy,  Kartika. Nilai  Eigen  dan  Vektor  Eigen .  http://blog.uad.ac.id  /kartikaf/ files/2009/06/nilai-eigen.pdf (15 mei 2011).
Johnson,  Richard  A. Applied  Multivariate  Statistical  Analysis .  United  States  of Amerika: Prentice Hall, 2002.
Kangedi. Matriks  dan Opersinya . http://lecturer.eepisits.edu/~kangedi/materi%20 kuliah/materi%20aljabar%20linier/Bab%20I%20Matriks%20dan%20Oper asinya.pdf (12 mei 2011).
Latra, I Nyoman. Model Linear . Surabaya: FMIPA-ITS, 2004.
Leon,  Steven  J. Aljabar  Linear  dan  Aplikasinya  Edisi  Kelima .  Jakarta:  Penerbit Erlangga, 2001.
Lipschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. Aljabar Linear Edisi Ketiga . Jakarta: Penerbit Erlangga, 2004.
Try Azisah Nurman , Matriks Diagonal dalam Kajian Penyelesaian Diferensial _ 391
Mckim,  James,  Benedict  Pollina  dan  Raymond  Mcgivney. College  Algebra. California: Wadsworth Publishing Company, 1984.
Mursita,  Danang .  Invers  Matriks. http://www.geocities.ws/dmursita  /matek/1-
3.pdf (22 mei 2011).
. Matematika  Dasar  untuk  Perguruan  Tinggi .  Bandung:  Rekayasa  Sains, 2006.
Negoro, ST dan Harahap. B. Ensiklopedia Matematika. Bogor: Ghalia Indonesia,
2005.
Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2 Edisi Kelima . Jakarta: Penerbit Erlangga, 1987.
Rahman,  Abdul.  H.M  Ghalib  dan  Nursalam, Persamaan  Differensial  Biasa .
Alauddin: Press, 2007.
Rao, C. Radhakrishna dan Helge Toutenburg, Linear Models and Generalizations Least Squares and Alternatives. Germany: Springer, 1999.
Riogilang, Rh. Persamaan Differensial. Bandung: Binacipta, 1983.
Santoso,  Widiarti. Persamaan  Differensial  Biasa  Dengan  Penerapan  Modern Edisi Kedua . Jakarta: Erlangga, 1988.
Steward, James. Kalkulus I Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta: Erlangga, 2003.
Sutojo,  T.  dkk. Teori  dan  Aplikasi  Aljabar  Linier  &  Matriks .  Yogyakarta: Penerbit ANDI, 2010.s
Yuliants, Persamaan  Differensial  Orde  I. http://yuliants.blog.ittelko.ac.id/blog/ files/ 2010/02/02-Persamaan-Differensial-Orde-I.pdf (25 Mei 2011).
392 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 3 , November 2014 ( Edisi Sains )