(Sebuah kajian dari Geometri Non Euclid)
Mujiasih, S.Pd., M.Pd

## ABSTRAK
Geometri  yang  diajarkan  di  sekolah/madrasah,  bahkan  di  perguruan  tinggi  umumnya  merupakan  geometri  yang dikenal dengan nama Geometri Euclidus. Ciri khas geometri ini, ditandai dengan rumus yang amat terkenal yaitu bahwa:  Jumlah  sudut  dalam  setiap  segitga  adalah  180 0 .  Sampai  pada  akhirnya  muncullah  Geometri  yang “berbeda”  dengan  geometri  yang  yang  sudah  ada.  Salah  satunya,  adalah  Geometri  yan  diketemukan  oleh Lobachevsky.  Geometri  ini  dikenal  dengan  nama  Geometri  Lobachevsky  atau  Geometri  Hiperbolik.  Dalam Geometri Lobachevsky, dapat dibuktikan bahwa jumlah sudut dalam setiap segitiga kurang (lebih kecil) dari 180 0 .
Kata kunci: Geometri Lobachevsky, Geometri Hiperbolik

## PENDAHULUAN
Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793 – 1856) adalah seorang profesor matematika yang mengajar di  Universitas  Kazan.  Lobachevsky  bersama  dengan  Gauss  dan  Bolyai  merupakan  tokoh-tokoh  yang mengenalkan Geometri Non Euclid. Untuk menghormatinya, maka geometri yang dikenalkannya disebut dengan  Geometri  Lobachevsky  atau  Geometri  Hiperbolik.  Selain  Lobachevsky,  ada  tokoh  lain  yang menemukan  Geometri  Non  Euclid  yang  berbeda  dengan  Lobachevsky,  yakni  Riemann  dan  geometri temuan Riemann disebut juga dengan Geometri Eliptik.
Geometri  Lobachevsky  dapat  dikarakteristikkan  sebagai  salah  satu  tipe  Geometri  Netral.  Jadi, teorema-teorema  Geometri  Netral  berlaku  untuk  Geometri  Lobachevsky  sehingga  teorema-teorema Geometri  Netral  banyak  digunakan  dalam  pembuktian  teorema-teorema  Geometri  Lobachevsky.  Oleh karena  itu,  penguasaan  terhadap  materi  Geometri  Netral  sebenarnya  merupakan  prasyarat  dalam mempelajari Geometri Lobachevsky.

## Postulat Kesejajaran Lobachevsky
Untuk memulai pembahasan tentang Geometri Lobachevsky, perlu diberikan terlebih dahulu sebuah postulat kesejajaran Geometri Lobachevsky ini.

## Postulat tersebut adalah sebagai berikut.
Ada  paling  sedikit  dua  garis  lurus  yang  sejajar  dengan  suatu  garis  tertentu,  di  mana  kedua  garis  tadi melalui sebuah titik di luar garis tertentu tersebut.
Gb. 1
Gagasan  Lobachevsky,  Gauss,  dan  Bolyai  adalah  sebagai  berikut.  Perhatikan  Gb.  1  di  atas.  Diketahui sebuah garis r dan sebuah titik A di luar garis r .
p 1 adalah  sinar  garis  pertama  yang  tidak  memotong  garis r pada  arah  kanan.  Terlihat  bahwa  sinar-sinar tersebut bergerak berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Maka, q 1 adalah sinar garis terakhir yang tidak memotong garis r pada arah kiri. Sinar-sinar p 1 dan q 1 disebut sebagai sinar-sinar garis yang sejajar dengan garis r (Gb. 1).

## Ilustrasi.
Perhatikan gambar Gb. 2 berikutini.
AB adalah sebuah tali busur. P adalah sebuah titik di dalam lingkaran dan berada di luar AB. Kita buat tali- tali busur lainnya yang melalui P dan tidak memotong AB.
Pada gambar, tali-tali busur CD, EF, GH, dan IJ tidak memotong  AB.  Sedangkan  tali  busur  UV,  SB,  XY berpotongan dengan AB.
Dengan demikian, dikatakan bahwa CD, EF, GH, dan IJ sejajar dengan AB.
Jelasnya, Geometri Lobachevsky dikembangkan
Menurut Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, dua garis dikatakan sejajar jika keduanya hampir berpotongan.
r p 1 q 1 A A B C C E E G G I S U X D F H J V Y P Gb.2
dari  dari  Geometri  Netral.  Oleh  karena  itu,  Geometri  Lobachevsky  merupakan  salah  satu  tipe  Geometri Netral.  Dalamhalini,  teorema-teorema  Geometri  Netral  berlaku  untuk  Geometri  Lobachevsky  dan  akan digunakan dalam pembuktian-pembuktiannya. Dalam tulisan ini, GeometriNetral tidak dibahas.

## Teorema Non Metrik
Untuk  membuktikan  bahwa  dalam  Geometri  Lobachevsky  berlaku:  jumlah  sudut  dalam  setiap segitiga  lebih  kecil  dari  180 0 ,  maka  berikut  ini  akan  dikaji  terlebih  dahulu  urutan  teorema-teorema pendukungnya.
Teorema  non  metrik  Geometri  Lobachevsky  (Teorema  1),  merupakan  suatu  teorema  dasar  yang tidak  melibatkan  ide-ide  metrik  seperti  jarak,  ketegaklurusan,  ataupun  luasan.  Karena  itu,  maka  teorema dasar ini disebut dengan Teorema Non Metrik.

## Teorema 1
Sebarang garis berada seluruhnya dalam interior suatu sudut.
Bukti:
 Misalkan k adalah suatu garis. Pilih titik P, di luar garis k.
 Berdasarkan  postulat  kesejajaran  Lobachevsky,  ada  paling  sedikit  dua  garis m dan n yang  berbeda, yang melalui P dan sejajar k .
 Garis-garis m dan n memisahkan  bidang  menjadi  4  daerah,  yang  masing-masing  daerah  merupakan interior dari sudut di titik P .
 Perhatikan gambar 3 di atas.
Misalkan  daerah-daerah  ini  sebagai  interior  APB ,  APB’,  A’PB ,  dan  A’PB’ .  Dalam  hal  ini, pada garis m titik P terletak di antara A dan A ’, sedangkan pada garis n, titik P terletak di antara B dan B ’.
 Misalkan Q adalah  sebarang  titik  pada  garis k. Karena k tidak  memotong m atau n maka Q tidak terletak pada m atau n , sehingga Q berada dalam salah satu interior. Misalkan Q terletak pada interior  A’PB . Persoalannya, di manakah k berada?
A B B’ A’ P Q m n k Gb. 3
 Karena sebarang titik Q berada dalam interior  A’PB dan karena k tidak memotong sisi PA’ maupun PB , maka k terletak dalam interior  A’PB.

## Akibat Teorema 1.
Terdapat  tak  berhingga  banyaknya  garis-garis  sejajar  terhadap  sebuah  garis  tertentu,  yang  dapat  dibuat melalui sebuah titik tertentu di luar garis tertentu tadi.
Bukti:
Perhatikan gambar 4 diatas.
 Misalkan k adalah garis yang diketahui dan P adalah titik di luar k yang diketahui pula.
 Berdasarkan  postulat  kesejajaran  Lobachevsky,  ada  paling  sedikit  dua  garis m dan n yang  berbeda, yang melalui P dan sejajar k .
 Misalkan pada garis m , titik P terletak di antara A dan A ’, sedangkan pada garis n , titik P terletak di antara B dan B ’.
(lihat gambar di atas). Sehingga diperoleh interior  APB,  APB’ ,
 A’PB , dan  A’PB ’.
 Karena k tidak  memotong PA’ maupun PB maka  menurut  teorema  1,  garis k seluruhnya  terletak dalam interior  A’PB .
 Tentukan  sebarang  titik R pada  interior  dari  APB. Dengan  demikian  garis PR termuat  seluruhnya dalam interior  APB dan  A’PB’ serta tidak akan bertemu k yang berbeda dalam interior  A’PB . Jadi PR sejajar k .
 Karena titik R diambil sebarang, maka berakibat ada garis-garis PR yang banyaknya tak terhingga.
Dua Segitiga yang Jumlah Sudut-sudutnya Berbeda .

## Jumlah Sudut-sudut Segitiga dalam Geometri Lobachevsky
Teorema 1 menunjukkan bagaimana kedudukan atau sifat-sifat non metrik dalam Geometri Lobachevsky berbeda dengan pemikiran-pemikiran Euclides. Teorema 2 di bawah ini, akan menunjukkan jumlah sudut- sudut dalam segitiga yang terjadi, karena adanya perubahan postulat kesejajaran.
Sebelumnya akan dibahas 2 lemma berikut ini.
A B B’ A’ P R m n k Gb. 4

## Lemma 1
Jumlah  dua  sudut  suatu  segitiga  kurang  dari  atau  sama  dengan  besar  sudut  luar  yang  tidak  bersisian dengan keduanya.
Bukti:
Perhatikan ∆ ABC di atas.
Akan dibuktikan
2 C B A     
Berdasarkan teorema Saccheri-Legendre (Teorema 1 Geometri Netral) diperoleh:
) 1 ...( .......... .......... .......... .......... .......... 180 1 o C B A       o C C C C 180 sehingga , suplemen 2 1 1 2       ) 2 ( .......... .......... .......... .......... .......... .......... 180 2 1 C
C o    
Dari (1) dan (2) diperoleh:
o o C B A 180 180 2        2 C B A      .
Catatan
B A 
  adalah jumlah dua sudut  ABC .
2 C  adalah sudut luar yang tidak bersisian dengan A  dan B  .

## Lemma 2
Misalkan k suatu garis, P suatu titik yang tidak terletak pada  garis k , dan Q suatu titik pada k . Misalkan dibuat  sisi PQ ,  maka  terdapat  sebuah  titik R pada  garis k di  sebelah  kanan  sisi PQ ,  sedemikian  hingga PRQ  sekecil yang diinginkan.
Bukti:
A 2 1 B C Q P R k
 Misalkan a adalah sebarang sudut (tidak dipersoalkan bagaimana kecilnya),
 Akan  ditunjukkan  bahwa  terdapat  titik R pada k ,  di  sebelah  kanan  sisi PQ sedemikian  hingga a PRQ   .
 Kita susun barisan sudut:
. . . , , , 3 2 1 Q PR Q PR Q PR

##   
Setiap sudut tidak lebih besar dari setengah sudut yang mendahuluinya.
Perhatikan gambar dibawah ini.
Misalkan R 1 adalah titik pada k , di kanan sisi PQ sedemikian hingga PQ QR  1 .
Tarik garis 1 PR , maka 1 PQR  sama kaki dan 1 1 1 b Q PR QPR    
Misalkan b adalah sudut luar dari 1 PQR  pada titik sudut Q .
Berdasarkan Lemma 1, diperoleh:
b b b b    1 1 1 2 Sehingga: ) 1 ........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2 1 1 b b 
Selanjutnya dibuat lagi
1 2 1 PR R R  , maka 2 1 R PR  sama kaki.
Akibatnya: 2 2 2 1 2 1 b Q PR P R R PR R       .
Berdasarkan lemma 1 maka:
1 2 1 2 1 b P R R PR R     1 2 2 b b b  
1 2 2 1 b b 
Dengan menggunakan (1) diperoleh :
b b b b 2 1 2 2 1 2 1 . 2 1 2 1   
P b 1 b 2 b 3
b R 1
Q R 2
R 3 b 1 b 3 b 2 k
Bila  proses  di  atas  diulangi  sebanyak  n  kali,  maka  diperoleh  titik n R pada k ,  di  sebelah  kanan  sisi PQ sedemikian hingga:
b Q PR b n n n 2 1    Pilih n cukup besar, maka b n 2 1 semakin kecil, sehingga :
a b n  2 1
, a = sudut kecil yang diketahui.
Dengan mengambil n R R  , maka lemma 2 di atas dipenuhi/terbukti.

## Teorema 2
Ada sebuah segitiga yang jumlah sudut-sudutnya kurang dari o 180 .
Bukti:
o Misalnya ditentukan garis l dan titik P di luar garis l . Diperoleh garis m yang melalui P dan sejajar l. Misalkan PQ tegak lurus l di Q dan tegak lurus m di P .
o Menurut postulat kesejajaran Lobachevsky, ada garis lain n yang melalui P sejajar l. Salah satu sudut yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip.
o Ambil titik X pada n sehingga QPX  lancip.
Ambil titik Y pada m sehingga a XPY   maka a QPX o    90 .
o Berdasarkan lemma 2, ambil titik R pada l yang sepihak dengan X terhadap PQ sehingga a PRQ   . Perhatikan PQR  :
o PQR 90  
a QRP  
a RPQ o    90 +
o RPQ QRP PQR 180       . Y X P Q R n m l  90 o - 

## Teorema 3
Jumlah sudut-sudut setiap segitiga kurang dari o 180 .

## Bukti:
o Akibat 2 teorema 6 dalam Geometri Netral (tidak dibahas dalam tulisan ini):
Jika ada sebuah segitiga  yang jumlah sudutnya kurang dari o 180 maka setiap segitiga jumlah sudut- sudutnya kurang dari o 180 .............................(1)
o Teorema 2 Geometri Lobachevsky yang mengatakan:
”Ada sebuah segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari o 180 .........(2)
Berdasarkan (1) dan (2) maka jumlah sudut setiap segitiga kurang dari o 180 .
Dengan  demikian,  terbukti:  Dalam  Geometri  Lobachevsky  berlaku  bahwa  jumlah  sudut  dalam  setiap segitiga lebih kecil dari 180 0 .

## Akibat Sampingan
Berdasarkan Teorema 3 di atas, maka muncul akibat sampingan, yang dikenal dengan istilah Teorema Akibat ( Corrolary ).
Akibat dari Teorema 3:
Akibat 1 .
Jumlah sudut-sudut setiap segiempat kurang dari o 360 .

## Bukti:
 Perhatikan gambar dibawah ini.
Akandibuktikan bahwa bahwa
o D C B A 360         .
o Hubungkan titik A dan C
o Menurut teorema 3 maka:
o C B A 180 1 1       A D B C 1 2 2 1
o Sehingga diperoleh:
o C B A 180 1 1       o C D A 180 2 2       + o C C D B A A 360 2 1 2 1            J adi o C D B A 360         .
Akibat 2.
Tidak ada persegi panjang.

## Bukti:
Pada definisi persegi panjang dalam geometri netral mengatakan:
Suatu segiempat disebut persegi panjang apabila setiap sudutnya adalah sudut siku-siku.
Hal ini berarti bahwa jumlah sudut-sudut segiempat harus sama dengan o 360 . Bertentangan dengan akibat 1.

## Jadi tidak ada persegi panjang
Konsekuensi logis dari seluruh postulat dan teorema di atas dapat digunakan untuk membuktikan bahwa ada dua segitiga yang jumlah besar sudut-sudutnya berbeda.

## Contoh soal:
Buktikan bahwa ada dua segitiga yang jumlah sudut-sudutnya berbeda.
Bukti:
Perhatikan gambar berikut: A B C D
jumlah besar sudut-sudut b ACD  
3) teorema 1 (Akibat 360 o b a   b a o   360
Misalkan o b 180  , maka:
o a 180  atau o a 180  atau o a 180  .
Dalam hal ini o a 180  dan o a 180  tak mungkin terjadi, karena bertentangan dengan teorema 3.
Jadi, o a 180  dan o b 180  . Akibatnya, diperoleh 3 kemungkinan nilai, yaitu:
b a  atau b a  atau b a  .
Jadi, bila b a  atau b a  maka ada dua segitiga yang jumlah sudut-sudutnya berbeda.

## KESIMPULAN
Dari uraian di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan.
1. Terbukti bahwa dalam Geometri Lobachevsky berlaku bahwa jumlah sudut dalam setiap segitiga lebih kecil dari 180 0 .
2. Menurut  Lobachevsky,  Gauss,  dan  Bolyai,  dua  garis  dikatakan  sejajar  jika  keduanya hampir berpotongan.
3. Dalam Geometri Lobachevsky, didak dijumpai adanya Persegi panjang.

## DAFTAR PUSTAKA
De Ban, M.A dan Bos, J.C. 1974. Ilmu Ukur (diterjemahkan oleh Sutedja). Jakarta: PT. Pradnya Paramita.
Hall, H.S dan Stevens, F.H. 1919. A School Geometry . London: Macmillan and Co, Limited.
Haroll, E Wolfe. 1945. Non Euclidean Geometry. New York: Rinehart and Winston Inc.
Muharti, Hw. 1986. Sistem-sistem Geometri. Jakarta: Universitas Terbuka (UT).
Ray Hemmings. 1985. Majalah ”Mathematics Teaching” June 1985 – Lobachevsky on Micro. Australia.
Rawuh. 1994. Geometri. Jakarta: Universitas Terbuka (UT).
Soemadi, H. 2000. Sistem Geometri. Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA Unesa.
Taskin, Gafur dan Kirikci, Mustafa. 2005. Pre-Geometry. Istanbul: Zambak Publishing.
Prenowitz, Walter. 1985. Basic Concept of Geometry. London: Blaisdell Publishing Company.