Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI

## Kemampuan Estimator Spline Linier dalam Analisis Komponen Utama
Samsul Arifin 1* , Anna Islamiyati 2 , Raupong 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia * Corresponding author, email: zula4717@gmail.com

## Abstract
In  the  formation  of  a  regression  model  there  is  a  possibility  of  a  relationship  between  one  predictor variable  with  other  predictor  variables  known  as  multicollinearity.  In  the  parametric  approach, multicollinearity  can  be  overcome  by  the  principal  component  analysis  method.  Principal  component analysis  (PCA)  is  a  multivariate  analysis  that  transforms  the  originating  variables  that  are  correlated into  new  variables  that  are  not  correlated  by  reducing  a  number  of  these  variables  so  that  they  have smaller dimensions but can account for most of the diversity of the original variables. In some research data that do not form parametric patterns also allows the occurrence of multicollinearity on the predictor variables. This study examines the ability of spline estimators in the analysis of the main components. The data  contained  multicollinearity  and  was  applied  to  diabetes  mellitus  data  by  taking  cholesterol  type factors  as  predictors.  Based  on  the  estimation  results,  one  main  component  is  obtained  to  explain  the diversity of variables in diabetes data with the best linear spline model at one knot point.
Keywords : Principal Component Analysis, Diabetes Data, Linear, Multicollinearity, Spline.

## Abstrak
Pada pembentukan model regresi terdapat kemungkinan adanya hubungan antara variabel prediktor satu dengan  variabel  prediktor  lainnya  yang  dikenal  dengan  istilah  multikolinearitas.  Pada  pendekatan parametrik, multikolinieritas dapat diatasi dengan metode analisis komponen utama. Analisis komponen utama  (AKU)  adalah  analisis  multivariat  yang  mentransformasi  variabel  asal  yang  saling  berkorelasi menjadi  variabel  baru  yang  tidak  berkorelasi.  AKU  bekerja  dengan  cara  mereduksi  sejumlah  variabel sehingga  mempunyai  dimensi  yang  lebih  kecil  namun  dapat  menerangkan  sebagian  besar  keragaman variabel  aslinya.  Pada  beberapa  data  penelitian  yang  tidak  membentuk  pola  parametrik  juga memungkinkan  terjadinya  multikolinearitas  pada  variabel  prediktornya.  Penelitian  ini  mengkaji  tentang kemampuan  estimator  spline  pada  analisis  komponen  utama.  Data  mengandung  multikolinieritas  dan diaplikasikan  pada  data  diabetes  melitus  dengan  mengambil  faktor  jenis  kolesterol  sebagai  variabel prediktornya. Berdasarkan hasil estimasi, diperoleh satu komponen utama untuk menjelaskan keragaman variabel pada data diabetes dengan model spline linier terbaik pada satu titik knot.
Kata Kunci : Analisis Komponen Utama, Data Diabetes, Linier, Multikolinearitas, Spline.

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  merupakan  salah  satu  metode  statistika  yang  digunakan  untuk menyelidiki  pola  hubungan  antara  variabel  respon  dan  variabel  prediktor.  Bentuk  pola hubungan  fungsional  antara  variabel  respon  dan  variabel  prediktor  dapat  diperkirakan dengan membuat scatter plot yang memuat informasi tentang kedua hubungan tersebut. Jika  pola  datanya  diketahui  dan  mengikuti  suatu  pola  tertentu  seperti  linier,  kuadratik, dan kubik maka dapat digunakan pendekatan regresi parameterik. Akan tetapi, jika pola hubungan  keduanya  tidak  dapat  diketahui  bentuknya  atau  tidak  tersedia  informasi

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama
Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
terkait  pola  datanya  maka  digunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik.  Hal  tersebut dikarenakan pendekatan regresi  nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi dalam membentuk kurva regresi [1].
Pada  pembentukan  model  regresi  terdapat  kemungkinan  adanya  hubungan  antara variabel  prediktor  satu  dengan  variabel  prediktor  lainnya  yang  dikenal  dengan  istilah multikolinearitas.  Multikolinieritas  menyebabkan  variabel  prediktor  yang  seharusnya berpengaruh  signifikan  terhadap  variabel  respon  akan  dinyatakan  sebaliknya  (tidak nyata  secara  statistik)  sehingga  mengakibatkan  tidak  akuratnya  pada  peramalan  [2]. Pada  pendekatan  parametrik,  multikolinieritas  dapat  diatasi  dengan  beberapa  metode diantaranya  regresi ridge dan  analisis  komponen  utama.  Analisis  komponen  utama (AKU)  adalah  analisis  multivariat  yang  mentransformasi  variabel  asal  yang  saling berkorelasi  menjadi  variabel  baru  yang  tidak  berkorelasi  dengan  cara  mereduksi sejumlah  variabel tersebut sehingga  mempunyai dimensi  yang  lebih kecil  namun dapat menerangkan sebagian besar keragaman variabel aslinya [3].
Beberapa  penelitian  yang  telah  menggunakan  AKU  diantaranya  Islamiyati  (2014) menggunakan AKU pada model regresi logistik [4], Melany (2017) menerapkan robust AKU  untuk  data  yang  mengandung outlier [5]  dan  Tharwat  (2017)  menerapkan  AKU pada  machine  learning  [6].  Akan  tetapi,  permasalahan  multikolinearitas  tidak  hanya terjadi  pada  pendekatan  regresi  parametrik.  Pada  beberapa  data  penelitian  yang  tidak membentuk  pola  parametrik  juga  memungkinkan  terjadinya  multikolinearitas  pada variabel  prediktornya.  Hoffman,  dkk  (2009)  menggunakan  AKU  pada  model  regresi nonparametrik  dengan  estimator  fungsi  kernel  [7].  Li  dan  Hsing  (2010)  menerapkan AKU pada analisis data longitudinal dengan regresi nonparametrik [8].
Pendekatan  regresi  nonparametrik  telah  banyak  dikembangkan  seperti  spline, kernel,  polinomial  lokal,  dan  fourier.  Diantara  pendekatan  regresi  nonparametrik  yang banyak  dikembangkan  hingga  saat  ini  adalah  spline.  Spline  pada  hakekatnya  adalah generalisasi  dari  fungsi  polinomial,  dimana  optimasinya  masih  mengadopsi  konsep dalam  pendekatan  regresi  parametrik.  Salah  satu  keunggulan  spline  adalah  dapat mengatasi  pola  data  yang  menunjukkan  adanya  perubahan  perilaku  pada  sub-sub interval  tertentu  dengan  bantuan  titik-titik  knot,  serta  kurva  yang  dihasilkan  relatif mulus  [9].  Malik  (2014)  mengestimasi  model  regresi  nonparametrik  multivariabel dengan  pendekatan  spline  pada  data  longitudinal  [10].  Akan  tetapi,  penelitian  tersebut belum  mempertimbangkan  multikolinearitas  yang  dapat  terjadi  pada  kasus multiprediktor.
Berdarkan  uraian  tersebut,  penulis  mengkaji  tentang  kemampuan  estimator  spline dalam  analisis  komponen  utama  pada  data  yang  mengandung  multikolinieritas. Selanjutnya, metode diaplikasikan pada data diabetes melitus dengan mengambil faktor kolesterol  sebagai  variabel  prediktornya.  Penelitian  ini  mengacu  pada  penelitian diabetes  sebelumnya  yang  menggunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik  dengan melibatkan faktor gula darah diet dan lama perawatan [11], faktor glukosa 2 jam setelah

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama
Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
makan [12], dan faktor berat badan [13]. Selanjutnya, hasil penelitian ini menghasilkan satu komponen utama dalam menjelaskan keragaman variansi data diabetes berdasarkan faktor kolesterol. Komponen utama yang dianalisis dengan spline linier diperoleh model optimal  pada  satu titik  knot.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  terdapat  dua  pola  perubahan gula darah yang berbeda dalam komponen utama yang terbentuk. Perubahan pola yang terbentuk  melalui  spline  AKU  diharapkan  dapat  memberikan  kontribusi  mendasar dalam permasalahan glukosa diabetes.

## 2. Material dan Metode
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  terapan  menggunakan  metode  regresi nonparametrik  spline  pada  data  yang  mengandung  multikolinearitas.  Data  yang digunakan  dalam  penelitian  ini  merupakan  data  primer,  yaitu  data  penderita  penyakit diabetes  yang  diperoleh  dari  Rumah  Sakit  Pendidikan  Universitas  Hasanuddin  tahun 2014-2018.  Variabel  yang  digunakan  terdiri  dari  dua  variabel  yaitu  glukosa  darah (mg/dL) sebagai variabel respon dan variabel prediktor yang terdiri dari kolesterol HDL (mg/dL), kolesterol LDL (mg/dL), dan kolesterol total (mg/dL).
Pendekatan  regresi  nonparametrik  merupakan  pendekatan  regresi  dimana  bentuk pola  datanya  tidak  diketahui  dan  hanya  diasumsikan  mulus  dalam  arti  termuat  dalam suatu  ruang  fungsi  tertentu  sehingga  mempunyai  sifat  fleksibilitas  yang  tinggi.  Model regresi nonparametrik seperti pada persamaan (1) berikut ini:
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (1)
dengan 𝑦 𝑖 adalah  variabel respon sedangkan 𝑓(𝑥 𝑖 ) merupakan kurva regresi dengan 𝑥 𝑖 sebagai  variabel  prediktor  dan 𝜀 𝑖 adalah  sisaan  yang  diasumsikan  independen berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 𝜎 2 .
Variabel  prediktor  pada  persamaan  (1)  diasumsikan  terjadi  multikolinearitas. Multikolinearitas adalah  suatu kondisi dimana terjadi korelasi  yang kuat antar variabel prediktor  yang  satu  dengan  yang  lainnya.  Salah  satu  cara  untuk  mengetahui  adanya multikolinearitas  dengan  melihat  nilai  korelasi  pada  variabel  prediktor  berdasarkan matriks  korelasi.  Multikolinearitas  ini  dapat  diatasi  dengan  metode  AKU  yang melibatkan  nilai  eigen  dan  vektor  eigen.  Dari  proses  AKU  diperoleh  komponen- komponen  utama  yang  memuat  variabel-variabel  prediktor.  Selanjutnya,  komponen utama  yang  terbentuk  dimodelkan  dengan  pendekatan  regresi  nonparametrik.  Model AKU pada regresi nonparametrik seperti pada persamaan (2) berikut ini:
𝑦 𝑖 = 𝑔(𝑤 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2)
dengan 𝑤 𝑖 adalah komponen utama yang terbentuk dari AKU. Fungsi spline linear pada setiap komponen utama yang terbentuk seperti pada persamaan (3) berikut ini:
𝑔(𝑤 𝑖 ) = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑤 𝑖 + ∑ 𝛽 (1+ℎ) (𝑤 𝑖 − 𝑘 ℎ ) + 𝑟 ℎ=1 (3)

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut ini:
𝒚 = 𝐖𝛃 + 𝛆
atau
[ 𝑦 1 𝑦 2 ⋮ 𝑦 𝑛 ] = [ 1 𝑤 1 (𝑤 1 − 𝑘 1 ) + 1 𝑤 2 (𝑤 2 − 𝑘 1 ) + ⋮ 1 ⋮ 𝑤 𝑛 ⋮ (𝑤 𝑛 − 𝑘 1 ) + ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ (𝑤 1 − 𝑘 𝑟 ) + (𝑤 2 − 𝑘 𝑟 ) + ⋮ (𝑤 𝑛 − 𝑘 𝑟 ) + ] [ 𝛽 0 𝛽 1 𝛽 ( 1+1 ) ⋮ 𝛽 ( 1+𝑟 ) ] + [ 𝜀 1 𝜀 2 ⋮ 𝜀 𝑛 ]
Untuk  memperoleh  penaksir 𝛃 dilakukan  optimasi least  square yaitu  dengan menyelesaikan persamaan berikut ini:
min (𝜺 ′ 𝜺) = min [(𝒚 − 𝐖𝛃) ′ (𝒚 − 𝐖𝛃)]
Memisalkan fungsi 𝑸(𝛃) = (𝒚 − 𝐖𝛃) ′ (𝒚 − 𝐖𝛃) , kemudian fungsi tersebut diturunkan terhadap 𝛃 dan  hasil  turunannya  disamadengankan  nol  maka  diperoleh  hasil  estimasi parameter 𝛃 seperti pada persamaan (4) berikut ini:
𝛃 ̂ = (𝐖 ′ 𝐖) −𝟏 𝐖 ′ 𝒚 (4)

## 3. Hasil dan Diskusi
Langkah  awal  yang  dilakukan  sebelum  memodelkan  glukosa  darah  adalah melakukan  statistik  deskriptif.  Statistik  deskriptif  ini  bertujuan  untuk  memberikan informasi awal mengenai variabel yang digunakan dalam penelitian. Statistik deskriptif yang digunakan seperti rata-rata, standar deviasi, minimum, dan maksimum seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Statistik deskriptif data diabetes melitus tahun 2014-2018
Variabel Rata-rata Standar deviasi Minimum Maksimum 𝒚 224,10 99,80 76 613 𝒙 𝟏 39,55 13,70 11 79,8 𝒙 𝟐 134,78 48,29 38 308 𝒙 𝟑 205,38 56,72 76 428 Sumber: Data diolah 2020
Untuk  melihat  pola  hubungan  yang  terbentuk  antara  glukosa  darah  ( 𝑦) dengan kolesterol  HDL (𝑥 1 ) ,  kolesterol  LDL (𝑥 2 ) ,  dan  kolesterol  total (𝑥 3 ) ,  divisualisasikan seperti  pada  Gambar  1.  Hasil  plot  menunjukkan  pola  hubungan  antara  variabel kolesterol  HDL,  kolesterol  LDL  dan  kolesterol  total  terhadap  glukosa  darah,  tidak membentuk  suatu  pola  tertentu  sehingga  estimasi  model  menggunakan  pendekatan regresi nonparametrik.
Selanjutnya,  dilakukan  uji  multikolinearitas  untuk  mengetahui  adanya  korelasi antar  variabel  prediktor.  Untuk  mengetahui  adanya  multikolinearitas  pada  variabel prediktor  digunakan  matriks  korelasi  seperti  pada  Tabel  2.  Matriks  korelasi

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
menunjukkan bahwa terdapat korelasi yang kuat antara variabel
𝑥 2 dengan  variabel 𝑥 3 yaitu 0,856. Hal  ini  menunjukkan terjadi  multikolinearitas  pada data  sehingga  metode  AKU  digunakan  dalam  mereduksi  variabel.  Jumlah  komponen utama  yang  terbentuk  digunakan  proporsi  variansi  kumulatif  minimal  80%.  Nilai proporsi  variansi  kumulatif  seperti  pada  Tabel  3  dan    diperoleh  satu  komponen  utama yang mampu menjelaskan keragaman variansi variabel sebesar 90,5%.
Gambar 1.  Scatter  plot  antara  glukosa  darah  dengan  variabel  prediktor  pada  data diabetes melitus tahun 2014-2018.
Tabel 2. Matriks korelasi pada data diabetes melitus tahun 2014-2018 Korelasi 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝒙 𝟏 1,000 0,285 0,430 𝒙 𝟐 0,285 1,000 0,856 𝒙 𝟑 0,430 0,856 1,000 Sumber: Data diolah, 2020 Tabel 3. Proporsi variansi dan proporsi variansi kumulatif 𝒘 𝟏 𝒘 𝟐 𝒘 𝟑 Proporsi variansi 0,905 0,071 0,024 Proporsi variansi kumulatif 0,905 0,976 1,000 Sumber: Data diolah, 2020

## 3.1 Pemilihan Titik Knot
Dalam  pendekatan  regresi  nonparametrik  spline,  dikenal  adanya  titik  knot  yaitu titik  perpaduan  bersama  dimana  terjadi  perubahan  pola  perilaku  kurva  pada  interval yang berbeda. Letak titik knot dan banyaknya knot merupakan hal yang sangat penting. Metode  GCV  digunakan  untuk  menentukan  titik  knot  optimum.  Pemilihan  titik  knot optimum  didasarkan  nilai  GCV  minimum.  Nilai  GCV  dari  pemodelan  dengan menggunakan satu titik knot dan dua titik knot seperti pada Tabel 4 dan Tabel 5. Model terbaik adalah model yang memberikan nilai GCV minimun.

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama
Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
Berdasarkan  Tabel  6  terlihat  bahwa  GCV  minimum  terdapat  pada  model  spline linier satu titik knot dengan nilai GCV sebesar 9.845,45. Titik knot yang terpilih adalah 273,35  pada  komponen  utama.  Hasil  dengan  satu  titik  knot  menunjukkan  adanya  dua pola perubahan glukosa pasien diabetes pada komponen utama yang terbentuk.
Tabel 4. Nilai GCV optimum dengan satu titik knot No Titik Knot Nilai GCV 𝑘 1 1 191,09 9.903,87 2 195,16 9.914,18 3 203,81 9.936,06 4 225,04 9.939,35 5 233,91 9.918,74 6 264,86 9.859,27 7 273,35 9.845,45 8 287,82 9.865,82 Sumber: Data diolah, 2020 Tabel 5. Nilai GCV optimum dengan dua titik knot No Titik Knot Nilai GCV 𝑘 1 𝑘 2 1 195,16 244,72 10.118,69 2 201,39 247,94 10.116,72 3 209,42 264,86 10.099,22 4 217,67 268,03 10.092,88 5 226,14 270,22 10.077,56 6 231,42 273,35 10.076,60 7 233,91 275,53 10.076,89 8 235,15 277,67 10.077,55 Sumber: Data diolah, 2020 Tabel 6. Perbandingan nilai GCV minimum Model Nilai GCV Model 1 titik knot 9.845,45 Model 2 titik knot 10.076,60 Sumber: Data diolah, 2020

## 3.2 Pemodelan Glukosa Darah dengan Estimator Spline Linear
Dari pemilihan titik knot diperoleh nilai GCV minimum dengan menggunakan satu titik  knot  yang  berada  pada  titik 𝑘 1 = 273,35 dengan  nilai  GCV  sebesar  9.845,45.

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama
Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
Adapun  estimasi  parameter  dan  estimasi  kurva  model  spline  linear  dengan  satu  titik knot adalah sebagai berikut:
𝑦̂ = 195,13 − 0,08𝑤 + 0,58(𝑤 − 273,35) +
Berdasarkan  hasil  estimasi  model  yang  bersesuaian  dengan  Gambar  2  menunjukkan terdapat dua pola perubahan kadar glukosa pasien diabetes pada komponen utama yang terbentuk.  Kedua  pola  menunjukkan  kecenderungan  naik,  namun  pola  kenaikan  antara pola  pertama  dan  kedua  yang  berbeda.  Pola  pertama  memiliki  kencederungan  naik perlahan sedangkan pola kedua meningkat tajam.
Gambar 2. Estimasi kurva model spline linear

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh  model  terbaik  yang  digunakan  untuk memodelkan  glukosa  darah  adalah  model  spline  linear  dengan  satu  titik  knot.  Model yang terbentuk seperti berikut ini:
𝑦̂ = 195,13 − 0,08𝑤 + 0,58(𝑤 − 273,35) +
Berdasarkan  hasil  estimasi  model,  variabel  prediktor  yang  termuat  dalam  komponen utama  meningkatkan  glukosa  darah  pada  pasien  diabetes  melitus  dengan  dua  pola peningkatan yang berbeda.

## Daftar Pustaka
[1]   Islamiyati, A. Spline Polynomial Truncated dalam Regresi Nonparametrik. Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi , 14 (1) : 54-60, 2017.
[2]    Daoud,  J.I.  Multicollinearity  and  Regression  Analysis. J.  Phys.  Conf.  Ser .  949 01200, 2017.
[3]    Johnson, R.A. & Wichern, D. W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis . Pentice Hall Inc, New Jersey.

## Kemampuan Estimator Spline dalam Analisis Komponen Utama
Samsul Arifin, Anna Islamiyati, Raupong
[4]    Islamiyati,  A.  Estimasi  Parameter  Model  Regresi  Logistik  Biner  Komponen Utama Non Linear dengan Maksimum Likelihood. Jurnal  Matematika, Statistika dan Komputasi , 11 (2) : 122-128, 2015.
[5]   Melany,  M.  Penerapan Robust  Principal  Component  Analysis untuk  data  yang mengandung Outlier. Skripsi . Universitas Hasanuddin, Makassar. 2017.
[6]    Tharwat, A. Principal Component Analysis-a Tutorial . ResearcGate. 2017.
[7]    Hoffman,  H.,  Schaal,  S.  &  Vijayakumar,  S.  Local  Dimensionality  Reduction  for Non-Parametric Regression. Neural Process Lett , 29 : 109-131, 2009.
[8]   Li, B.Y  &  Hsing, T.  Uniform Convergence Rates For Nonparametric Regression and Principal Component Analysis in Longitudinal Data. The Annals of Statistics , 38 (6) : 3321-3351, 2010.
[9]    Islamiyati, A. Regresi Spline Polynomial Truncated Biprediktor untuk Identifikasi Perubahan  Jumlah  Trombosit  Pasien  Demam  Berdarah  Dengue. Al  khwarizmi ,  7 (2) : 97-110, 2019.
[10]  Islamiyati,  A.,  Fatmawati  &  Chamidah,  N.  Estimation  of  Covariance  Matrix  on Bi-Response  Longitudinal  Data  Analysis  with  Penalized  Spline  Regression. Journal of Physics: Conf. Series. 979 pp 012093, 2018.
[11]   Islamiyati,  A.,  Fatmawati  &  Chamidah,  I.N.  Penalized  Spline  Estimator  with Multi  Smoothing  Parameters  in  Biresponse  Multipredictor  Regression  Model  for Longitudinal  Data. Songklanakarin  Journal  of  Science  and  Technology , In  Press SJST-2018-0423.R2, 2019.
[12]   Islamiyati,  A.,  Fatmawati  &  Chamidah,  I.N.  Changes  in  Blood  Glucosa  2  Hours After  Meals  in  Type  2  Diabetes  Patients  based  on  Length  of  Treatment  at Hasanuddin  University Hospital, Indonesia. Rawal  Medical Journal , 45 (1)  : 31- 3 4 , 2020.
[13]  Islamiyati,  A.,  Raupong  &  Anisa.  Use  of  Penalized  Spline  Linear  to  Identify Change in Pattern of Blood Sugar based on the Weight of Diabetes Patients. Int. J. Acad. Appl. Res ., 3 Issue 12 : 75-78, 2019.