Abstrak — Pemeliharaan  sistem  dan  peralatan–peralatan dalam  suatu  perusahaan  merupakan  salah  satu  faktor  penting dalam mendukung produktivitas dan kualitas produk yang baik. Pemeliharaan  peralatan  produksi  dengan  melakukan  kontrol keandalan (reliabilitas) dapat mengurangi gangguan pada sistem produksi sehingga mampu mengoptimalkan pendapatan keuntungan  bagi  perusahaan.  PDAM  (Perusahaan  Daerah  Air Minum) Kota Malang, selaku penyedia layanan air bersih sering kali  menemui  kendala  dalam  proses  produksi  air  akibat kerusakan  pada  pompa submersible, sehingga  mengalami kerugian yang cukup besar. Sebagai upaya mengurangi kerugian dengan  mencegah  kerusakan  pompa submersible ,  PDAM  Kota Malang  perlu  untuk  mengetahui  nilai  reliabilitas  pompa  untuk menjadwalkan  waktu  pemeliharaan  dengan  tepat.  Penelitian  ini dilakukan  untuk  mendapatkan  nilai  reliabilitas  dari  model estimasi relibilitas dengan metode Bayes menggunakan distribusi terbaik.  Data  yang  digunakan  adalah  data  waktu  antar  waktu kerusakan  pompa submersible pada  Rumah  Pompa  Wendit  I PDAM  Kota  Malang.  Model  yang  diperoleh  diterapkan    untuk mendapatkan  nilai  reliabilitas  pompa  yaitu  nilai  reliabilitas Pompa I adalah 0.403, Pompa II adalah 0.69464  dan Pompa III adalah  0.7701.  Sedangkan  nilai  reliabilitas  untuk  sitem perpompaan  pada rumah pompa  Wendit I PDAM Kota Malang adalah 0.9581.
Kata Kunci — Metode Bayes, Pompa Submersible, Reliabilitas.

## I. PENDAHULUAN
ERUSAHAAN  yang  bergerak  di  bidang  jasa  maupun produksi produk sangat memperhatikan kualitas pelayanan dan  kualitas  produk  untuk  memuaskan  pelanggan  demi mendapat  keuntungan  yang  memungkinkan.    [1].  Salah  satu faktor  yang  memiliki  potensi  besar  dalam  meningkatkan produktivitas dan profitabilitas yang optimal adalah membentuk  manajemen  pemeliharaan  yang  tepat  [2]. Pemeliharaan  peralatan  produksi  dengan  melakukan  kontrol keandalan  (reliabilitas)  dapat  mengurangi  gangguan  pada sistem produksi sehingga mampu mengoptimalkan pendapatan keuntungan bagi perusahaan [3].
PDAM  Kota  Malang  merupakan  salah  satu  perusahaan milik  daerah  yang  mempunyai  peran  penting  dalam melaksanakan  pengelolahan  dan  memberikan  pelayanan  air bersih  untuk  meningkatkan  kesajahteraan  masyarakat  kota Malang. PDAM kota Malang hampir setiap bulan  mengalami
gangguan  pada  pompa  air  baku  sehingga  mengakibatkan kerugian  yang  cukup  besar.  Oleh  karena  itu,  sebelum dilakukan  penjadwalan  pemeliharaan,  PDAM  Kota  Malang perlu  untuk  mengetahui  nilai  reliabilitas  dari  pompa submersible agar  dapat  mencegah  terjadinya  kerugian  PDAM akibat kerusakan pompa. Penelitian Tugas Akhir ini dilakukan untuk mengetahui model estimasi reliabilitas guna mendapatkan nilai reliabiltas pompa submersible .
Pada  penelitian  ini  akan  didapatkan  model  estimasi reliabilitas  distribusi  weibull  dan  model  estimasi  reliabilitas distribusi  lognormal  dengan  metode Bayes .  Data  yang digunakan adalah data waktu antar waktu kerusakan pompa I, pompa II dan pompa III pada rumah pompa Wendit I PDAM Kota  Malang  dari  Januari  2008  hingga  Februari  2017.  Data tersebut  akan  diuji  kecocokan  distribusinya  menggunakan Index  of  Fit dan Goodness  of  Fit untuk  menentukan penggunaan  distribusi  terbaik  dalam  mengestimasi  reliabilitas pompa submersible air baku. Distribusi yang digunakan dalam menentukan  model  estimasi  reliabilitas  dengan  metode Bayes dalam  penelitian  ini  adalah  distribusi  weibull  dan  distribusi lognormal.  Model  estimasi  reliabilitas  yang  digunakan  dalam mencari  nilai  reliabilitas  pompa submersible pada  rumah pompa Wendit I PDAM Kota Malang apada tanggal 15 Maret 2017 sebagai salah satu output dari penelitian Tugas Akhir ini, diharapkan  dapat  menjadi  bahan  pertimbangan  PDAM  Kota Malang  dalam  menentukan  waktu  pemeliharaan  maupun waktu pergantian pompa submersible PDAM Kota Malang.

## II. DASAR TEORI

## A. Metode Bayes
Sebuah  model  statistik Bayes terbentuk  dari  parameter model statistik 𝑓(𝑡|𝜃) dan distribusi prior 𝜋(𝜃). Secara umum peluang  dengan  menggunakan  teorema Bayes dideskripsikan dengan keadaan jika 𝐴 dan 𝐸 adalah kejadian di mana (𝐸) ≠ 0 , 𝑃(𝐴|𝐸) dan 𝑃(𝐸|𝐴) saling berhubungan. Berikut iniadalah peluang terjadi peristiwa E dengan syarat A [3] :
𝑃(𝐴|𝐸) = 𝑃(𝐸|𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐸) (1)

## B. Fungsi Reliabilitas
Reliabilitas  adalah  peluang  sebuah  komponen  atau  suatu sistem  akan  bekerja  sesuai  fungsinya  pada  jangka  waktu tertentu ketika digunakan dibawah kondisi operasional tertentu

## Penerapan Metode Bayes dalam Menentukan Model Estimasi Reliabilitas Pompa Submersible pada Rumah Pompa Wendit I PDAM Kota Malang
Widya Arrya Septiana, Soehardjoepri
Departemen Matematika, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 e-mail : widya.arrya@gmail.com, djoepri.its@gmail.com
P
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 6, No.2, (2017) 2337-3520 (2301-928X Print)                    A 19
[4].Berdasarkan intensitas kerusakannya, distribusi probabilistik  yang  digunakan  dalam  menentukan  nilai reliabilitas  dibagi  menjadi  dua,  yaitu  apabila  model  nilai kerusakan  konstan  dapat  menggunkan  distribusi  eksponensial sedangkan  apabila  model  nilai  kerusakan  tidak  konstan  dapat distribusi weibull, normal dan lognormal.

## 1) Distribusi Eksponensial
Sebuah  variabel  acak  kontinu  dikatakan  sebagai  variabel acak  eskponensial  dengan  parameter 𝜆 jika  fungsi  peluang kepadatannya sebagai berikut [4] :
𝑓(𝑡) =   { 1 𝜆 𝑒 − t 𝜆 ;  jika 0 < 𝑡  < ∞ 0                ;  t yang lain
(2)
Jika 𝑡 merupakan  waktu  kerusakan,  maka  fungsi keandalannya (𝑅(𝑡)) sebagai berikut:
𝑅(𝑡) =   𝑒 − 𝑡 𝜆 (3)
2) Distribusi Weibull
Jika diberikan parameter bentuk 𝜃 dan parameter lokasi 𝛽 serta 𝑡 adalah  waktu  kerusakan  maka  fungsi  padat peluang (𝑓(𝑡)) distribusi weibull  sebagai berikut :
𝑓(𝑡) =   { 𝛽 𝜃 𝑡 𝛽−1 𝑒 − 𝑡𝛽 𝜃 ;  jika 0 < 𝑡  < ∞ 0                 ;  t yang lain (4) (2.5)
Jika 𝑡 merupakan  waktu  kerusakan,  maka  fungsi keandalannya (𝑅(𝑡)) sebagai berikut:
𝑅(𝑡) =   𝑒 −( 𝑡 𝜃 ) 𝛽 (5)
3) Distribusi Lognormal
Sebuah  variabel  acak 𝑇 berdistribusi  lognormal  dengan rata-rata 𝜇 dan  varian 𝜎 2 serta 𝑡 adalah  waktu  kerusakan mesin sehingga fungsi padat peluang (𝑓(𝑡)) distribusi lognormal sebagai berikut :
𝑓(𝑡) =   { 1 𝑡𝜎√2𝜋 𝑒 − 1 2 ( ln(𝑡)− 𝜇 𝜎 ) 2 ;  jika 0 < 𝑡  < ∞      (6)
0                                 ;  𝑡 yang lain
Fungsi  reliabiltas distribusi lognormal untuk 𝑡 merupakan waktu kerusakan sebagai berikut [5]:
𝑅(𝑡) = ϕ ( 𝜇 −ln(𝑡) 𝜎 ) ; (7)
Dalam  penelitian  ini  digunakan  estimasi Bayes. Estimasi reliabilitas (𝑅(𝑡) ∗ ) dengan  metode Bayes pada  distribusi tertentu dengan parameter 𝜃 1 dan 𝜃 2 didefinisikan sebagai [14] :
𝑅(𝑡) ∗ = 𝐸(𝑅(𝑡)|𝑇) = ∬ 𝑅(𝑡) 𝜋(𝜃 1 , 𝜃 2 |𝑇)𝑑𝜃 1 𝑑𝜃 2 (8)
dengan,
𝐸(𝑅(𝑡)|𝑇) : Nilai ekspektasi atas T dengan syarat 𝑅(𝑡) , 𝑅(𝑡) : Fungsi reliabilitas distribusi peluang tertentu, 𝜋(𝜃 1 , 𝜃 2 |𝑇) : Distribusi posterior parameter 𝜃 1 dan 𝜃 2 .

## C. Fungsi Reliabilitas Sistem Paralel
Dua  atau  lebih  komponen  dalam  sistem  dikatakan terkonfiguarasi  paralel  apabila  kerja  satu  komponen  tidak mempengaruhi  komponen  yang  lain.  Reliabilitas  sistem dengan konfigurasi paralel dirumuskan dengan [4]:
𝑅 𝑠 (𝑡) = 1 − ∏ (1 −  𝑅 𝑖 (𝑡)) 𝑛 𝑖=1 ; 0 < 𝑖 ≤ 𝑛
(9) di mana,
𝑅 𝑖 (𝑡) : Nilai reliabilitas komponen ke – 𝑖
D. Index of Fit dan Goodness of Fit
Pada  penelitian  ini  akan  digunakan Least  Square  Curve berdasarkan Linear  Regression pada  sumbu  Y  dengan menggunakan  aplikasi Weibull  6.0 dan  mengurutkan  nilai 𝑟 (nilai Index  of  Fit )  terbesar  sampai  terkecil  dari  keempat distribusi  yang  diuji.  Data  waktu  kerusakan  atau  waktu pemeliharaan  cocok  pada  distribusi  yang  memiliki  nilai 𝑟 tertinggi.  Berikut  ini  merupakan  rumus 𝑟 dan 𝐹(𝑡 𝑖 ) yang digunakan [4]:
𝑟 = 𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 −(∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 )(∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) √[𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 𝑛 𝑖=1 −(∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2 ][𝑛 ∑ 𝑦𝑖2 𝑛 𝑖=1 −(∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2 ] (10) 𝐹(𝑡 𝑖 ) = 𝑖−0.3 𝑛+0.4 ; 0 < 𝑖 ≤ 𝑛
Setiap  distribusi  memiliki  definisi 𝑥 𝑖 dan 𝑦 𝑖 berbeda., Berikut ini merupakan definisi 𝑥 𝑖 dan 𝑦 𝑖 sesuai distribusi yang diuji, dimana 𝑡 𝑖 merupakan waktu antar waktu kerusakan ke 𝑖 dan 0 < 𝑖 ≤ 𝑛 [4].
a. Distribusi Weibull 𝑥 𝑖 = ln 𝑡 𝑖 𝑦 𝑖 = ln [ln ( 1 1−𝐹(𝑡𝑖) )] (11)
b. Distribusi Normal
𝑥 𝑖 = 𝑡 𝑖 , 𝑦 𝑖 = 𝜙 −1 [𝐹(𝑡 𝑖 )] (12)
c. Distribusi Lognormal 𝑥 𝑖 = ln 𝑡 𝑖 , 𝑦 𝑖 = 𝜙 −1 [𝐹(𝑡 𝑖 )] d. Distribusi Eksponensial 𝑥 𝑖 = 𝑡 𝑖 𝑦 𝑖 = ln ( 1 1−𝐹(𝑡 𝑖 ) ) (13)
Sedangkan Goodness  of  Fit yang  digunakan  adalah  uji Mann untuk  mengetahui  data  kerusakan  pada  pengamatan sesuai dengan distribusi weibull [4].
𝐻 0 : Data kerusakan terdistribusi weibull 𝐻 1 : Data kerusakan tidak terdistribusi weibull Statistik uji pada Mann sebagai:
𝑀 = 𝑘1 ∑ [ (ln 𝑡𝑖+1−ln 𝑡𝑖)
𝑀𝑖 ] 𝑟−1 𝑖=𝑘1+1
𝑘2 ∑ [ (ln 𝑡𝑖+1−ln 𝑡𝑖)
𝑀𝑖 ] 𝑘1 𝑖=1 (14) 𝑀 𝑖 = 𝑍 𝑖+1 − 𝑍 1 (15)
𝑍 𝑖 = ln [− ln (1 − 𝑖−0,5 𝑛+0,25 )] (16)
𝑘 1 = ⌊ 𝑛 2 ⌋   ;  𝑘 2 = ⌊ 𝑛−1 2 ⌋ (17) 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 =   𝐹 𝛼,2𝑘1,2𝑘2 (18) dengan,
𝑡 𝑖 : Waktu kerusakan ke 𝑖 ,
𝑀
: Sebuah taksiran, 𝑛 : Banyaknya data, 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 : Nilai presentase distribusi F,
𝛼 :  Batas  kesalahan  maksimal,  dalam  penelitian  ini peneliti menggunakan 𝛼 = 0,05.
Kriteria uji kecocokan weibull adalah jika 𝑀 < 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka 𝐻 0 diterima, artinya data kerusakan terdistribusi weibull.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 6, No.2, (2017) 2337-3520 (2301-928X Print)                    A 20

## E. Fungsi Likelihood
Fungsi likelihood banyak digunakan dalam menentukan estimasi, termasuk pada proses estimasi dengan metode Bayes . Informasi yang dibawa oleh pengamatan 𝑡 tentang 𝜃 semuanya  terkandung  dalam  fungsi 𝑙(𝜃|𝑡) [6].  Fungsi likelihood sebagai berikut [7] :
𝐿(𝜃 1 , 𝜃 2 |𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑛 ) = ∏ 𝑓(𝑡) 𝑛 𝑖=1 , (19)
dengan,
𝜃 𝑖 : Parameter distribusi tertentu,
𝑡 𝑖 : Waktu antar waktu kerusakan ke 𝑖 , 𝑓(𝑡) : Fungsi padat peluang distribusi tertentu.

## F. Distribusi Non Informatif Prior
Distribusi Prior Non informatif mengandung makna bahwa tidak adanya informasi distribusi probabilitas yang digunakan sebelumnya. Pendekatan
Jeffrey digunakan untuk mendapatkan  distribusi  prior  distribusi  prior  non  informative [7].  Didefinisikan 𝛿 = (𝜃, 𝜑) di  mana 𝜃 dan 𝜑 merupakan parameter  distribusi  tertentu.  Distribusi  non  informatif  prior untuk parameter 𝜃 dengan data berukuran 𝑛 berdasarkan pada Informasi Fisher (Ι(𝜃)) sebagai berikut [8] :
Ι(𝜃) = − 𝑛𝐸 [ 𝜕2 log 𝑓(𝑡) 𝜕𝜃2 ] , (20)
𝑓(𝜃) = √Ι(𝜃) ,
dengan,
𝐸 [ 𝜕2 log 𝑓(𝑇|𝜃) 𝜕𝜃2 ] : Nilai ekspektasi dari 𝜕2 log 𝑓(𝑇|𝜃) 𝜕𝜃2 , 𝑓(𝑡) : PDF distribusi tertentu 𝜃 : Parameter dari distribusi tertentu.
Jika 𝑔(𝜑) merupakan  fungsi  parameter  lokasi  yang diasumsikan  nilai 𝑔(𝜑) mendekati  c,  maka  diperoleh distribusi prior (𝜋(𝜃)) adalah sebagai berikut: 𝜋(𝜃) = 𝑓(𝜃)𝑔(𝜑) , dengan, 𝑓(𝜃) : Nilai non-informatif prior dari parameter 𝜃 , 𝑔(𝜑) : Nilai non-informatif prior dari parameter 𝜑
G. Distribusi Posterior
Inferensi  berdasarkan  distribusi 𝜃 bersyarat 𝑇 di  mana 𝜋(𝜃 1 , 𝜃 2 |𝑇) merupakan  simbol  dari  distribusi  posterior  dari parameter 𝜃 1 dan 𝜃 2 dapat didefinisikan dengan [6]:
𝜋(𝜃 1 , 𝜃 2 |𝑇) = 𝐿(𝜃1,𝜃2|T) 𝜋(𝜃) ∫ ∫ 𝐿(𝜃1,𝜃2|T) 𝜋(𝜃)𝑑𝜃1𝑑𝜃2 , (21)

## H. Markov Chain Monte Carlo
Markov  Chain  Monte  Carlo (MCMC)  merupakan  metode simulasi  untuk  membangkitkan  peubah  –  peubah  acak menggunakan  rantai  Markov.  Teknik  simulasi  ini  banyak digunakan  dalam  menyelesaikan  permasalahan  akibat  tidak dapat  disimulasi  secara  langsung.  Hal  tersebut  sering  terjadi dalam  menyelasaikan  masalah  pada  multiparameter  maupun multidimensi  khususnya  pada  inferensi Bayesian .  Salah  satu prinsip  penggunaan Marcov  Chain yaitu  dengan Gibbs Sampler dengan menggunakan aplikasi OpenBugs [9] .

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Uji Kecocokan Data Berdasarkan Index of Fit dan Goodness of Fit
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  Tugas  Akhir  ini adalah  data  waktu  antar  waktu  kerusakan  ketiga  pompa submersible yang disimbolkan dengan 𝑡 𝑖 di mana 0 < 𝑖 ≤ 82 , artinya  jumlah  data  waktu  antar  waktu  kerusakan  ketiga pompa  masing  -  masing  sebanyak 82. Analisis  kecocokan distribusi dengan data tersebut dilakukan dengan membandingkan  nilai index  of  fit (nilai 𝑟 )  distribusi  weibull, distribusi  normal,  distribusi  lognormal  dan  distribusi eksponensial pada pompa I, II dan III.
Tabel 1 Hasil Penghitungan Nilai 𝒓 ( Index of fit ) Pump Dist. Weibull Dist. Normal Dist. Log- normal Dist. Eksponensi al Nilai 𝒓 Terbesar I 0.9464 0.8516 0.9410 0.888 Distribusi Weibull II 0.9355 0.8379 0.8965 0.8511 Distribusi Weibull III 0.9297 0.8347 0.8728 0.8317 Distribusi Weibull
Berdasarkan  proses  penghitungan  diperoleh  nilai 𝑟 (index of  fit) mengunakan  (2.9)  yang  dapat  direpresentasikan  pada Tabel 4.1. Nilai 𝑟 tertinggi pada pompa I, pompa II dan pompa III  dimiliki  oleh  distribusi  weibull.  Hal  ini  berarti  data 𝑡 𝑖 pompa  I,  pompa  II  dan  pompa  III  terdistribusi  weibull. Sehingga, Goodness of Fit dilakukan menggunakan uji Mann , yang mana 𝛼 = 0.05 dengan hipotersis sebagai berikut:
𝐻 0 : Data 𝑡 𝑖 pompa I , pompa II dan pompa III terdistribusi weibull
𝐻 1 : Data 𝑡 𝑖 pompa I, pompa II dan pompa III tidak terdistribusi weibull,
Hasil enghitungan pada Tabel 2.2 menujukkan bahwa 𝑀 < 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 . Hal  ini  mengakibatkan 𝐻 0 diterima,  artinya  data 𝑡 𝑖 pompa  I,  pompa  II  dan  pompa  III  terdistribusi  weibull.  Jadi dapat  disimpulkan  bahwa  untuk  mencari  estimasi  reliabilitas pompa  III  digunakan  model  estimasi  reliabilitas  dengan distribusi weibull 2 parameter menggunakan metode Bayes.
Tabel 2 Hasil Uji Mann untuk Pompa I, Pompa II dan Pompa III
Pompa 𝒌 𝟏 𝒌 𝟐 𝑭 𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍 (𝑭 𝟎.𝟎𝟓,𝟖𝟐,𝟖𝟎 ) 𝑴 I 41 40 > 1.4 0.779299 II 41 40 > 1.4 0.6009 III 41 40 > 1.4 0.6030

## B. Model Estimasi Reliabilitas Distribusi Weibull
Model  estimasi  reliabilitas  distribusi  weibull  didapatkan dengan  melakukan  transformasi  dengan  metode  transformasi univariate dengan rumus sebagai berikut:
𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑔 −1 (𝑦)) | 𝜕 𝜕𝑦 𝑔 −1 (𝑦)|
Jika  pada  fungsi  padat  peluang  distribusi  weibull  (1) dimisalkan 𝑦 =  𝑡 𝛽 dan 1 𝜃 = 𝜑 maka diperoleh :
𝑔 −1 (𝑦) = 𝑦 1 𝛽 𝑓(𝑔 −1 (𝑦)) = 𝛽𝜑𝑦 (1− 1 𝛽 ) 𝑒 −𝜑𝑦 𝑓(𝑦) = (𝜑𝑒 −𝜑𝑦 ) = ( 1 𝜃 𝑒 − 1 𝜃 𝑦 ) (2)
Setelah  didapatkan  hasil  transformasi  yaitu  persamaan (3.1),  terlihat  bahwa  persamaan  tersebut  berbentuk  fungsi padat  peluang  distribusi  eksponensial.  Proses  selanjutnya adalah  mendapatkan  fungsi  likelihood  ( 𝐿(𝜃|𝑦 𝑖 )) dari  fungsi padat  peluang  eksponensial  (2.1)  di  mana 0 < 𝑖 ≤ 𝑛 sebagai berikut:
𝐿(𝜃|𝑦 𝑖 ) = ∏ ( 1 𝜃 𝑒 − 1 𝜃 𝑦𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 = 1 𝜃𝑛 𝑒 − 1 𝜃 ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 (3)
Distribusi  prior  dari  distribusi  eksponensial  berdasarkan sehingga diperoleh Informasi Fisher sebagai berikut :
Ι(𝜃) = 2𝑛 𝜃2 (4)
Maka distribsi prior dengan metode Jeffrey diperoleh  :
𝜋(𝜃) = √Ι(𝜃)    = √2𝑛 𝜃
Tahap selanjutnya adalah menentukan distribusi posterior dengan  mensubsitusikan  fungsi  likelihood  yang  telah diperoleh  (3.2)  dan  distribusi  prior  (3.3)  ke  dalam  rumus distribusi posetior (2.13) sebagai berikut.
𝜋(𝜃|𝑇) = √2𝑛 ( 1 𝜃 𝑛 𝑒 − 1 𝜃 ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) ( 1 𝜃 ) √2𝑛 ∫ ( 1 𝜃 𝑛 𝑒 − 1 𝜃 ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) ( 1 𝜃 ) ∞ −∞ 𝑑𝜃 = (∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 ( 1 𝜃𝑛+1 𝑒 − ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜃 )
2Γ(𝑛) (5) Model
estimasi reliabilitas diperoleh dengan mensubsitusikan distribusi posterior yang diperoleh dan fungsi reliabilitas distribusi eksponensial (2.2) terhadap rumus model estimasi reliabilitas (2.7) diperoleh :
𝑅(𝑡) ∗ = 𝐸(𝑅(𝑡)|𝑇)
= ∫ 𝑒 − 𝑦 𝜃 ∞ −∞ (∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 ( 1 𝜃 𝑛+1 𝑒 − ∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜃 ) 2Γ(𝑛) 𝑑𝜃 = (∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 ((∑ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 )+𝑦) 𝑛 (6)
Karena 𝑦 =  𝑡 𝑖 𝛽
Maka  diperoleh  Model  estimasi  Reliabilitasnya  sebgai berikut:
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛
((∑ 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 )+ 𝑡𝛽) 𝑛 (7)
Berdasarkan  model  estimasi  reliabilitas  yang  telah diperoleh,  model  tersebut  masih  mengandung  parameter 𝛽 yang belum diketahui estimasi nilainya. Estimasi parameter 𝛽 ditentukan  dengan  metode  MCMC  menggunakan software OpenBugs karena distribusi posterior yang diperoleh infisible . Hal  pertama  yang  dilakukan  dalam  mengestimasi  nilai parameter 𝛽 menggunakan OpenBugs adalah  dengan
membentuk  algoritma,  di  mana  diasumsikan  distribusi  prior dari 𝜃~𝐸𝑥𝑝𝑒𝑛𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙 (0.01)  dan 𝛽~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 (0.1,0.001) dengan  menginput  data 𝑡 𝑖 pompa  I,  pompa  II  dan  pompa  III. Nilai distribusi posterior dibangkitkan dengan metode MCMC sebanyak  100.000  sehingga  diperoleh  hasil  secara  statistik seperti pada Tabel 4.6.
Tabel 3
Hasil Uji Statistik Parameter 𝜷 Menggunakan OpenBugs Pompa Mean Standar Deviasi 5% dari SD MC Error I 2.325 0.1687 0.0084 0.0022 II 2.349 0.1699 0.0085 0.0020 III 2.321 0.1697 0.0084 0.0023
Berdasarkan  definisinya,  estimasi  parameter  dengan metode Bayes merupakan  nilai  ekspektasi  dari  posterior, artinya  nilai  parameter  mendekati  nilai  rata  -  rata  distribusi posteriornya  [10].  Langkah  selanjutnya  adalah  memastikan apakah nilai bangkitan posterior yang telah didapatkan bersifat konvergen. Berdasarkan Tabel 4.6 dapat diketahui bahwa nilai 0.05  dari  standar  deviasi  distribusi  posterior  lebih  besar disbanding Markov Chain Error maka dapat disimpulkan data bangkitan tersebut konvergen[11].

## Gambar 1 Trace Plot Pompa I, Pompa II dan Pompa III
Selain  itu  kekonvergenan  sebuah  data  dapat  diuji  dengan mengamati trace  plot yang  terdapat  Gambar  3.1  Berdasrkan ketiga trace  plot tersebut  dapat  disimpulkan  bahwa  data tersebut konvergen karena tidak ada trend atau kecenderungan
(a) History I
(b) History II ( c) History III
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 6, No.2, (2017) 2337-3520 (2301-928X Print)                    A 22
dalam trace plot. Oleh karena itu, berdasarkan Tabel 3.3dapat diketahui  bahwa  parameter 𝛽 untuk  pompa  I  adalah  ,  untuk pompa II adalah dan untuk pompa III adalah. Sehingga model reliabilitas masing – masing pompa sebagai berikut :
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 ((∑ 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 )+ 𝑡𝛽) 𝑛 (8)
di mana , 𝛽 = 2.325 untuk pompa I
𝛽 =  2.349 untuk pompa II
𝛽 = 2.321 untuk pompa III

## C. Model Estimasi Relibilitas Distribusi Lognormal
Selain  distribusi  weibull,  distribusi  lognormal  banyak digunakan dalam menentukan nilai reliabilitas. Oleh karena itu dalam  penelitian  ini  dibahas  bagaimana  mendapatkan  model reliabilitas  menggunakan  distribusi  lognormal  dengan  metode Bayes .
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  dilakukan  Evi  (2016) diperoleh  estimasi  parameter 𝜇 distribusi  lognormal  sebagai berikut [12]:
𝜇 ∗= 𝑒 − 𝛽 2𝜎2
2( 2 𝛽 ) ( 𝑛−1 2 )Γ(𝑛−1 2 )(𝜎2) ( 𝑛+1 2 ) (9)
Dan distribusi posterior marginal parameter 𝜎 2 :
𝜋(𝜎 2 |𝑡 𝑖 ) = 𝑒 − 𝛽 2𝜎2 2( 2 𝛽 ) ( 𝑛−1 2 )Γ(𝑛−1 2 )(𝜎2) ( 𝑛+1 2 ) (10)
Berdasarkan persamaan (3.6) diperolehestimasi parameter 𝜎 2 sebagai berikut :
𝜎 2 ∗= 𝐸(𝜎 2 |𝑡 𝑖 ) = ∫ 𝜎 2 𝜋(𝜎 2 |𝑡 𝑖 ) 𝑑𝜎 2 ∞ −∞
= ∫ 𝜎 2 𝑒 − 𝛽 2𝜎2 2 ( 2 𝛽 ) ( 𝑛−1 2 ) Γ ( 𝑛 − 1 2 ) (𝜎 2 ) ( 𝑛+1 2 ) 𝑑𝜎 2 ∞ −∞ = 𝛽 2 ( Γ ( 𝑛 − 3 2 ) ( 𝑛 − 3 2 ) Γ ( 𝑛 − 3 2 ) ) = (𝑛−1) ∑ (ln 𝑡𝑖)2 𝑛 𝑖=1 𝑛2−3𝑛 (11)
Selanjutnya, model estimasi reliabilitas didapatkan dengan mensubsitusikan  estimasi  parameter  (3.5)  dan  (3.7)  ke  dalam persamaan (2.6), sehingga diperoleh:
𝑅(𝑡) = ϕ ( ∑ ln 𝑡 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 −ln(𝑡) (𝑛 − 1) ∑ (ln 𝑡 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 2 − 3𝑛 ) = ϕ ( (𝑛−3) (∑ ln 𝑡𝑖 𝑛 𝑖=1 −n ln(𝑡)) (𝑛−1) ∑ (ln 𝑡𝑖)2 𝑛 𝑖=1 ) (12)

## D. Hasil Estimasi Reliabilitas Pompa Submersible PDAM Kota Malang
Langkah  selanjutnya  adalah  menganalisis  reliabilitas pompa I, pompa II dan Pompa III pada rumah pompa Wendit I PDAM  Kota  Malang  dengan  model  estimasi  reliabilitas  yang telah  diperoleh  (3.4).  Pada  penelitian  ini  didapatkan  estimasi reliabilitas  pompa  pada  tanggal  15  Maret  2017.  Berikut  ini
merupakan  nilai  estimasi  reliabilitas  pompa  I  yang  memiliki total data 𝑡 𝑖 sebanyak 82 :
𝑡 = 15 𝑀𝑎𝑟𝑒𝑡  − 31 𝐽𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖  (𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑠𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡 𝑛 )
= 43
di mana , 𝛽 = 2.321 untuk pompa I
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡 𝑖 (2.345) 82 𝑖=1 ) 82
((∑ 𝑡 𝑖 (2.321) 82 𝑖=1 ) +  𝑡 (2.321) ) 82
= ( 5550006.8713
5550006.8713 + 6184.1538 ) 82
= 0.4030 (13) Berikut  ini  merupakan  nilai  estimasi  reliabilitas  pompa  II yang memiliki total data 𝑡 𝑖 sebanyak 82 :
𝑡 = 15 𝑀𝑎𝑟𝑒𝑡  − 14 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 (𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑠𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) = 29
di mana , 𝛽 =  2.345 untuk pompa II
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡 𝑖 (2.345) 82 𝑖=1 ) 82 ((∑ 𝑡 𝑖 (2.345) 82 𝑖=1 ) +  𝑡 (2.345) ) 82 = ( 613178.5 613178.5 + 2723.785 )
82
= 0.6952 (14) Berikut ini merupakan nilai estimasi reliabilitas pompa III yang memiliki total data 𝑡 𝑖 sebanyak 82 :
𝑡 = 15 𝑀𝑎𝑟𝑒𝑡  − 18 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖(𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑠𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡 𝑛 ) = 25
di mana , 𝛽 = 2.32 untuk pompa III
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡 𝑖 (2.345) 82 𝑖=1 ) 82 ((∑ 𝑡 𝑖 (2.345) 82 𝑖=1 ) +  𝑡 (2.345) ) 82 = ( 551014.2 551014.2 + 1756.381 ) 82
= 0.7701 = 3 (15) Selanjutnya,  adalah  menentukan  reliabilitas  dari  sistem perpompaan  rumah  pompa  Wendit  I  dengan  menggunakan rumus(2.8) berikut :
𝑅 𝑠 (𝑡) = 1 − [(1 −  𝑅 1 (𝑡))(1 −  𝑅 2 (𝑡))(1 −  𝑅 3 (𝑡))] = 1 − [(1 − 0.4030)(1 − 0.6952)(1 − 0.7703)]
= 1 − 0.0417
= 0.9583 (16)
Maka  dapat  diketahui  bahwa  nilai  reliabilitas  sistem perpompaan  rumah  pompa  Wendit  I  PDAM  Kota  Malang adalah 0.9581.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarakan  hasil  analisis  dan  pembahasan  dapat disimpulkan  bahwa  model  estimasi  reliablitas  distribusi
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 6, No.2, (2017) 2337-3520 (2301-928X Print)                    A 23
weibull  dengan  metode Bayes secara  umum  adalah
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 ((∑ 𝑡𝑖 𝛽 𝑛 𝑖=1 )+ 𝑡𝛽) 𝑛 (1) di mana nilai estimasi 𝛽 tergantung pada kasus yang akan ditangani.  Sedangkan,  model  estimasi  reliabilitas  untuk distribusi  lognormal  dengan  metode Bayes secara  umum adalah
𝑅(𝑡) ∗ =  ϕ ( (𝑛−3) (∑ ln 𝑡𝑖 𝑛 𝑖=1 −n ln(𝑡))
(𝑛−1) ∑ (ln 𝑡𝑖)2 𝑛 𝑖=1 ) (2)
Model estimasi reliabilitas yang telah diperoleh diterapkan pada  studi  kasus  dalam  mendapatkan  nilai  reliabilitas  ketiga pompa submersible pada rumah pompa Wendit I PDAM Kota Malang.  Berdasarkan  uji  kecocokan  data  ketiga  pompa tersebut terdistribusi weibull, maka model estimasi reliabilitas yang digunakan adalah
𝑅(𝑡) ∗ = (∑ 𝑡𝑖 𝛽 82 𝑖=1 ) 82 ((∑ 𝑡𝑖 𝛽 82 𝑖=1 )+ 𝑡𝛽) 82 (3)
di mana , 𝛽 = 2.325 untuk pompa I
𝛽 =  2.349 untuk pompa II
𝛽 = 2.321 untuk pompa III
Hasil  perhutngan  yang  diperoleh  berupa  nilai  relibilitas  pada tanggal  15  Maret  2017  untuk  pompa  I  adalah 0.4030 ,  nilai reliabilitas pompa II adalah 0.6952 dan nilai relibilitas pompa III  adalah 0.7703 .  Sedangkan  nilai  relibilitas  system perpompaan  pada  rumah  pompa  Wendit  I  PDAM  Kota Malang  adalah 0.9583 .  Karena  nilai  reliabilitas  system perpompaan mendekati 1 maka dapat dikatakan sistemperpompaan  rumah  pompa  Wendit  I  PDAM  Kota Malang sangat baik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Mobley,  R  K;  Hinggins,  L  R  dan  Wikoff  D  J.  (2008).  Maintanance Engineering Handbook. New York: McGraw-Hill.
[2] Sheut  C.  dan  Krajewski.  (1993).  A  Decision  Model  For  Corrective Maintenance  Management.  Kansas  State  university,  Departement  of Management,  Collage  of  Bussines  Adminisration,  Manhattan,  KS 66506, USA.
[3] Robert,  C.  P.  (1994).  The  Bayes  Choice.  Springer-Verlag  New  York Inc. New York.
[4]   Ebeling,  C.  E.  (1996).  An  Introduction  to  Reliability  and Maintainability Engineering. The McGraw-Hill Companies. Singapore.
[5] Rausand, M dan Hoyland, A. (2004). System Reliability Theory .Edisi ke 2. USA: John Wiley and Son.
[6] Sinha,  S.K  dan  Kale,  B.K.  (1980).  Life  Testing  and  Reliability Estimation. Wile Eastern limited, NewDelhi.
[7] Walpole,  R.E  dan  Myer,  R.  H.  (1995).  Ilmu  Peluang  dan  Statistika untuk Insinyur dan Ilmuan.Edisi ke-4. ITB, Bandung.
[8]   Hogg,  r.v  DAN  Craig,  A.T.(2005).  Introduction  of  Mathematical Statistics. Edisi ke-6. New Jersey : Pearson Prentice Hall.
[9] Ntzoufras,  Ioannis.  (2009).  Bayesian  Modeling  Using  WinBugs. Canada : John Wiley dan Sons,Inc.
[10]  Puza,  Borek.  (2015).  Bayesian  Method  for  Statistical  Analysis. Australian National University. Australia: ANU eView.
[11]  Ntzoufras,  Ioannis.  (2009).  Bayesian  Modeling  Using  WinBugs. Canada : John Wiley dan Sons,Inc.
[12]  Diana,  E.  N.  dan  Soehardjoepri.  (2016).  Pendekatan  Metode  Bayes untuk  Kajian  Estimasi  Parameter  Distribusi  Log-Normal  untuk  Non-
Informatif  Prior.  Jurusan  Matematika,  FMIPA,  Institut  Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Surabaya.