## GRAFIK PENGENDALI RAGAM SAMPEL UNTUK MONITORING VARIABILITAS PROSES PRODUKSI

## Sudarno
Jurusan Statistika FSM UNDIP Email: dsghani@gmail.com

## Abstract
The  control  chart  is  a  graphical  display  or  a  quality  characteristic  that  has  been  measured  or computed  from  a  sample  versus  the  sample  number  or  time.  The  variance  chart  is  used  to monitoring  variability  of  production  process.  It  is  an  altenative  way  to  check  variability  process rather than R chart or s chart. The problems will be done are find the parameters of variance chart, predict  process  capability,  verify  defect  per  million  opportunities  (DPMO)  of  process  result  and simulation  kinds  of  shift  sigma  values.  This  result  could  be  used  as  information  to  production process at the future time. The result of  discussion that upper conrol  limit = 0.0014, center line = 0.00073,  lower  control  limit  =  0.00028,  process  capability  =  1.003  and  DPMO  =  2,620  part  per million. These parameters used for information in the next production process.
Keywords: Variance Chart, Process Capability, Defect per million opportunities, Shift.

## 1. Pendahuluan
Grafik pengendali adalah grafik yang menggambarkan perubahan karakteristik  mutu terhadap  nomor  sampel  di  dalam  batas  kendalinya.Pada  proses  produksi,  biarpun perlakuannya sama ternyata secara fakta terjadi perbedaan kharakteristik mutu atau muncul variabilitas  produkyang  dihasilkan  terhadap  waktu.  Hal  ini  dapat  disebabkan  karena pengaruh  bahan  mentah,  mesin  ataupun  pelaksana  pekerjaan.  Proses  produksi  yang  baik adalah proses yang dapat menghasilkan produk yang sama. Untuk mendeteksi variabilitas produk  biasanya  menggunakan  grafik  pengendali R atau s .  Selain  itu  untuk  menguji variabilitas  atau  ragam  proses  dapat  menggunakan  grafik  pengendali  yang  lain.  Menurut [5]  untuk  memonitor ragam  dari  proses  Gaussian  digunakan  pendekatan  likelihood  rasio, sedangkan  pada  [1]  untuk  memonitor  ragam  digunakan  grafik  pengendali  CUSUM, bilamana  parameternya  telah  ditaksir.  Ragam  yang  diselidiki  berasal  dari  proses  dengan kharakteristik  mutu  yang  berdistribusi  normal.  Sedangkan  pada  tulisan  ini  akandibahas cara  memonitor  ragam  dari  proses  dengan  kharakteristik  mutu  berdistribusi  normal berdasarkan  ragam  yang  berdistribusi  chi-kuadrat,  yaitu  menggunakan  grafik  pengendali ragam  sampelatau  grafik s 2 .  Berdasarkan  grafik  pengendali  tersebut  dapat  diambil keputusan  apakah  proses  produksi  dalam  kondisi  stabil  atau  tidak  stabil.  Jika  kondisinya stabil,  maka  proses  produksi  dinyatakan  terkendali.  Tetapi  jika  kondisinya  tidak  stabil, maka  proses  produksi  perlu  dihentikan,  karena  akan  menghasilkan  banyak  produk  yang cacat. Hal ini akan merugikan perusahaan.
Dalam  sampel  terdapat  ragam  sampel,  yang  merupakan  ukuran  penyebaran  data terhadap  rataannya.  Secara  distribusi,  ragam  sampel  tidak  dapat  ditentukan  secara langsung.  Cara  yang  dipergunakan  untuk  mencari  distribusinya  menggunakan  pancingan distribusi W nS  2 2
 . Menurut [3] statistik W berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas n -1.  Berdasarkan  distribusi  dari W ,  dapat  dicari  distribusi  dari  ragam  sampel.  Dengan interval kepercayaan   1 , untuk α merupakan tingkat kesalahan didapat batas bawah dan
batas  atas  interval.  Batas-batas  tersebut  merupakan  batas  kendali  dari  grafik  pengendali ragam  sampel.  Grafik  pengendali  ragam  sampel  akan  dipergunakan  untuk  memonitor perubahan  ragamnya.  Jika  telah  didapat  keputusan  bahwa  proses  sudah  dalam  kendali, maka  dihasilkan  nilai  parameter-parameternya.  Parameter  tersebut  selanjutnya  berguna untuk menentukan kemampuan maupun peluang kejelekan proses.
Tulisan  ini  akanmemberikan  konsep  cara  menentukan  batas  kendali  grafik s 2 , menguji  kestabilan  proses,  menentukan  batas  kendali  proses,  menghitung  kemampuan proses dan memprediksi jumlah cacat dari produk. Selain itu melakukan simulasi beberapa pergeseran  ( shift )  terhadap  level  sigmanya  dari  hasil  tingkat  sigma  yang  didapat.  Hasil yang diperoleh adalah  batas kendali grafik  digunakan  untuk menentukan  batas spesifikasi produk,  kemampuan  proses  dan  DPMO  digunakan  untuk  mengukur  kebaikan  proses produksi dan menaksir jumlah produk cacat yang dihasilkan pada waktu yang akan datang.

## 2. Distribusi Keragaman dan Batas Pengendali Statistik
2.1. Distribusi dari 2 2 /  s n
Untuk  mengetahui  konsep  dasar  interval  kepercayaan  dan  batas  pengendali  ragam diperlukan teori tentang distribusi ragam berikut ini [3] : Misalkan n X X X , , , 2 1  menyatakan  suatu  sampel  acak  yang  berukuran n ,  dengan syarat 2  n dari  suatu  distribusi  normal  dengan  rataan  dan  ragam  populasi,  masing- masing µ dan σ 2 , yang disingkat ) , N( 2   . Akan dicari distribusi ragam dari sampel acak tersebut, yaitu distribusi
      n i i n x x 1 2 2 / S (1)
Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Pertama  diambil  distribusi  bersama  yaitu  dengan  cara X Y  1 , X X Y   2 2 , X X Y   3 3 , … , X X Y n n   . Selanjutnya dilakukan transformasi satu-satu terhadap inversnya, didapat
n y y y y x       3 2 1 1 2 1 2 y y x   3 1 3 y y x    n n y y x   1
Oleh  karena  itu  Jacobiannya  dapat  dicari  dan  menggunakan  pembuktian  secara  induktif didapat
n 1 0 1 0 1 1 1 - 1 - 1 J      
(2) Ternyata bahwa   
            n i n i i i n i i x n x x x x x x 1 1 2 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) (    , (3)
karena  
   n i i x x x 1 0 ) ( ) ( 2  .  Maka  fungsi  padat  peluang  bersama  dari  sampel  acak
n X X X , , , 2 1  dapat ditulis
, 2 ) ( 2 ) ( exp 2 1 ) , , , ( 2 2 2 1 2 2 1                               x n x x x x x f n i i n n  (4)
dengan n x x x x n / ) ( 2 1      dan n i x i , , 2 , 1 ,        .
Oleh  karena  itu,  karena x y  1 dan n y y x x       2 1 .  Maka  fungsi  padat  peluang bersama dari n Y Y Y , , , 2 1  adalah
, 2 ) ( 2 2 ) ( exp 2 1 ) ( ) , , , ( 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1                          
        y n y y y n y y y f n i i n n n   (5)
dengan n i y i , , 2 , 1 ,        .
Perhatikan  bahwa  fungsi  padat  peluang  bersama  di  atas  merupakan  perkalian  dari  fungsi padat peluang Y 1 , yaitu
, / 2 ) ( exp / 2 1 ) ( 2 2 1 2 1          n y n y f    , 1      y (6)
dan fungsi dari n y y , , 2  . Dengan demikian Y 1 harus independen dari ( n -1) variabel acak
n Y Y , , 2  dan  fungsi  dari
n y y , , 2  merupakan  fungsi  padat  peluang  bersama  dari
. , , 2 n Y Y  Hal ini berarti bahwa untuk
X Y  1 berlaku 1 2 2 2 2 1 ) ( ) ( W X n Y n         (7)
adalah independen terhadap
2 2 1 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( W X X Y Y Y n i i n i i n              
(8)
Karena  W 1 merupakan  kuadrat  dari  variabel  acak  berdistribusi  normal,  maka  W 1 berdistribusi 2 ) 1 (  .  Implikasinya  maka 2 1 2 1 W W X W n i i           
   adalah  berdistribusi
2 ) ( n  . Berdasarkan sifat independensi dari W 1 dan W 2 , didapat
      2 1 tW tW tW e E e E e E  (9) Hal ini merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi chi-kuadrat, sehingga berlaku       2 2 / 2 / 2 1 2 1 tW t n e E t t      , 2 1  t . (10)
Sehingga     2 / ) 1 ( 2 1 2 t n tW t e E     , 2 1  t . Berdasarkan sifat dari fungsi pembangkit momen dari distribusi chi-kuadrat dan Persamaan (1) dapat disimpulkan bahwa
2 ) 1 ( 2 2 2 ~ /   n S n W   (11)

## 2.2. Penentuan Batas Kendali Bawah dan Batas Kendali Atas
Misalkan variabel acak X berdistribusi normal dengan rataan  dan ragam 2  dari populasi  belum  diketahui.  Jika  diambil  ragam  sampel s 2 dihitung  dari  suatu  sampel  acak
yang  berupa n pengamatan.  Maka  interval  kepercayaan  (1-α)100%  dari  ragam  populasi berdasarkan uji hipotesis dua-arah adalah [6,7,8]
1 ), 2 / ( 1 2 2 1 , 2 / 2 ) 1 ( ) 1 (        n n s n s n      (12)
dimana 2 1 , 2 /  n   menyatakan titik persentasi dari distribusi chi-kuadrat berderajat bebas n -1 sedemikian hingga   2 / P 2 1 , 2 / 2 1 - n        n .
Selanjutnya  akan  dicari  interval  kepercayaan  dari  ragam  sampel s 2 .  Berdasarkan Persamaan (12) dapat dihasilkan bahwa
2 1 , 2 / 2 2 2 1 ), 2 / ( 1 2 1 s 1        n n n n       (13)
Karena  nilai  ragam  populasi  belum  diketahui,  maka  perlu  ditaksir  manggunakan  nilai ragam  rataan  sampel 2 s dari  data  sampel.  Sehingga  diperoleh  interval  kepercayaan  baru yang berupa
2 1 , 2 / 2 2 2 1 ), 2 / ( 1 2 1 s 1        n n n s n s     (14)
Batas interval kepercayaan untuk (1-α)100% untuk s 2 adalah
Batas bawah interval = 2 1 ), 2 / ( 1 2 1    n n s   (15)
Batas atas interval = 2 1 , 2 / 2 1   n n s   (16)
Karena  batas-batas  interval  kepercayaan  (1-α)100%  untuk  s 2 merupakan  batas-batas kendali, maka Persamaan (15) merupakan batas kendali bawah (BKB) dan Persamaan (16) merupakan batas kendali atas (BKA).

## 2.3. Kemampuan dan Jumlah Cacat dari Proses
Untuk  mengukur  kemampuan  dan  jumlah  prediksi  produk  cacat,  dapat  dilihat beberapa kuantitas berikut ini [6,7] . a. Kemampuan rasio proses
Notasi  C p ,  rumusnya  6 LSL USL C p   ,  dengan  USL  = Upper  Specification  Limit ,
LSL  = Lower  Specification  Limit .  Makin  besar  nilai  C p ,  kemampuan  proses  makin bagus.
b. Kemampuan rasio proses satu arah
Notasi  C pk ,  rumusnya              3 , 3 min LSL USL C pk ,  dengan  µ  =  rataan  populasi,
σ  =  simpangan  baku  populasi.  Biasanya  dipergunakan  untuk  menaksir  kejadian proses  dengan  perlakuan  pergeseran  ( shift ).  Makin  besar  nilai  C pk ,  kemampuan proses makin bagus.
c. Defect Per Million Opportunities
Notasi  DPMO,  rumusnya  DPMO  =  peluang  cacat  diluar  batas  spesifikasi,  dengan asumsi sebaran datanya berdistribusi normal standar.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pengendalian  variabilitas  produksi  biasanya  menggunakan  grafik  pengendali R atau s . Untuk ukuran sampel besar dan bervariasi ternyata grafik pengendali s lebih sensitif dari
pada grafik pengendali R . Sebagai alternatif untuk memonitor variabilitas proses produksi digunakan grafik pengendali ragam sampel s 2 yang disebut grafik pengendali s 2 .
Sehingga  menurut  Persamaan (15) dan (16)  tentang penentuan  batas  kendali dapat dibuat keputusan bahwa grafik pengendali s 2 mempunyai parameter:
BKA  = 2 1 , 2 / 2 1   n n s   GT       = 2 s (17)
BKB  = 2 1 ), 2 / ( 1 2 1    n n s   dimana: 2 1 , 2 /  n   dan 2 1 ), 2 / ( 1   n   masing-masing  menyatakan titik persentasi 2 /  atas dan titik  persentasi 2 /  bawah  dari  distribusi  chi-kuadrat  dengan  derajat  bebas n -1,  dan 2 s adalah rataan ragam sampel yang diperoleh dari pengolahan data sampel.
Untuk  memperjelas  pembahasan  akan  dibuat  grafik  pengendali s 2 beserta  uji independensi  dari  sampel  mesin  produksi  komponen  elektronik.Diketahui  jumlah  sampel sebanyak  20  pengamatan,  masing-masing  dihasilkan  dari  5  mesin  berbeda,  data selengkapnya  disajikan  pada  Tabel  1 [7] .  Ingin  diuji  hasil  keragaman  dari  nilai  komponen elektronik dalam percobaan tersebut.
Tabel1. Data Ukuran Komponen Elektronik (cm) No. Sampel Mesin 1 2 3 4 5 1 2,15 2,13 2,08 2,12 2,10 2 2,02 2,01 2,06 2,05 2,08 3 2,13 2,12 2,10 2,11 2,08 4 2,04 2,01 2,10 2,11 2,09 5 2,16 2,17 2,13 2,18 2,10 6 2,04 2,06 1,97 2,10 2,08 7 2,04 2,02 2,01 2,00 2,05 8 2,13 2,10 2,10 2,15 2,13 9 1,95 2,03 2,08 2,07 2,08 10 2,04 2,08 2,09 2,10 2,01 11 2,15 2,13 2,14 2,09 2,08 12 2,03 2,06 2,05 2,01 2,00 13 2,05 2,03 2,05 2,09 2,08 14 2,08 2,04 2,05 2,01 2,08 15 2,14 2,13 2,10 2,10 2,08 16 2,06 2,08 2,05 2,03 2,09 17 2,05 2,03 2,08 2,01 2,04 18 2,03 2,08 2,04 2,00 2,03 19 2,16 2,13 2,10 2,13 2,12 20 2,06 2,03 2,04 2,09 2,10 Sumber: Montgomery (2013).
Langkah  awal  untuk  memproses  data,  dilakukan  dengan  menguji  variabel  menggunakan distribusi normal univariat dan normal multivariat.
Langkah-langkah yang dilakukan pada pengujian ini adalah berikut ini:
1. Pengujian Normal Univariat dan Normal Multivariat
Uji normal univariat:
Hipotesis: H 0 : Semua sampel berdistribusi normal univariat H 1 : Ada sampel yang berdistribusi tidak normal univariat Jika diambil tingkat kesalahan 0,01 didapat hasil olahan sampel seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Uji Normalitas Masing-masing Mesin Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin 4 Mesin 5 N 20 20 20 20 20 Kolmogorov-Smirnov Z 0,194 0,734 0,619 0,865 1,383 Asymp.Sig(2-tailed) 0,374 0,654 0,838 0,443 0,044
Berdasarkan Tabel 2 maka mesin 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah berdistribusi normal univariat. Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  H 0 diterima,  artinya  semua  sampel  berdistribusi normal  univariat.  Selanjutnya  sampel  akan  diuji  menggunakan  distribusi  normal multivariat.
Uji normal multivariat [2,4] : Hipotesis: H 0 : Sampel berdistribusi normal multivariat H 1 : Ada sampel yang berdistribusi tidak normal multivariat Jika  diambil  tingkat  kesalahan  0,01  didapat  hasil  olahan  sampel,  nilai Kolmogorov- Smirnov  = 0.1797  dengan p-value =  0.4834,  sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  H 0 diterima,  artinya  sampel  berdistribusi  normal  multivariat.  Jadi  dapat  dikatakan  bahwa semua  sampel  berdistribusi  normal  univariat  dan  normal  multivariate,  asalkan  tingkat kesalahannya adalah 1%.

## 2. Pengujian Independensi Sampel
Uji independensi sampel: Hipotesis: H 0 : Semua sampel adalah dependen H 1 : Ada sampel yang independen Jika diambil tingkat kesalahan 0,05 didapat hasil olahan sampel,  2 hitung = 0,224 dengan asymp. sig = 0,994, sehingga H 0 diterima, artinya antar sampel saling berhubungan atau kharakteristik mutunya adalah sama.

## 3. Grafik Pengendali Ragam
Selanjutnya  komponen  elektronik  akan  diuji  keragamannya  menggunakan  grafik ragam s 2 .  Pada  pengujian  pertama  didapat  hasil  seperti  pada  Tabel  3.  Berdasarkan  tabel tersebut, dapat dihasilkan bahwa n = 20, 0009955 , 0 2  s . Jika diambil α = 5%, maka nilai
85 , 32 2 19 ; 025 , 0   dan 91 , 8 2 19 ; 975 , 0   .  Sehingga  parameter  grafik  pengendali s 2 masing- masing  adalah  BKA  =  0,001721;  GT  =  0,0009955  dan  BKB  =  0,000467.  Jika dibandingkan  terhadap  nilai  ragam  pada  Tabel  3,  terdapat  5  pengamatan  yang  berada  di luar  batas  pengendali,  masing-masing  keragaman  pada  pengamatan  {3,  4,  6,  7,  9}.  Oleh sebab  itu  proses  ini  dikatakan  belum  terkendali  dan  perlu  dilakukan  revisi  terhadap  titik sampel yang berada di luar batas kendali. Jika semua titik sampel yang berada di luar batas kendali  dieliminasi,  didapat  hasil  baru  dengan n =  15, 0007793 , 0 2  s .  Jika  diambil
α  =  5%,  maka  mempunyai  BKA  =  0,00145;  GT  =  0,0007793  dan  BKB  =  0,00031. Ternyata pada langkah ini masih terdapat satu titik sampel yang berada dekat dengan BPA, yaitu titik dengan  nilai  0,00143. Agar didapat hasil  keputusan  yang kuat dan pasti,  maka perlu  dilakukan  revisi  yang  kedua  dengan  membuang  titik  sampel  tesebut.Hasil  yang didapat  adalah n =  14, 0007329 , 0 2  s .  Jika  diambil  α  =  5%,  maka  didapat  parameter BKA = 0,0014; GT = 0,0007329 dan BKB = 0,00028.
Tabel 3. Data Nilai Keragaman dari Ukuran Komponen Elektronik No. Sampel Ragam No. Sampel Ragam 1 0,00073 11 0,00097 2 0,00083 12 0,00065 3 0,00037 13 0,00060 4 0,00185 14 0,00087 5 0,00107 15 0,00060 6 0,00250 16 0,00057 7 0,00043 17 0,00067 8 0,00047 18 0,00083 9 0,00307 19 0,00047 10 0,00143 20 0,00093
Pada  langkah  ini  bahwa  semua  titik  sampel  telah  berada  di  dalam  batas  kendali. Maka  proses  produksi  dapat  dikatakan  terkendali  secara  statistika,  karena  tidak  terdapat titik yang berada di luar atau dekat dengan batas kendali, berdistribusi acak, tidak terdapat run  yang  membahayakan  proses  produksi.  Dengan  menggunakan  program  Matlab [9] diperoleh grafik sebagai berikut:
Gambar 1. Grafik Pengendali Ragam Ukuran Komponen Elektronik
Parameter-parameter yang telah didapat dari hasil pengolahan proses produksi adalah BKA  =  0,0014;  GT  =  0,0007329  dan  BKB  =  0,00028.  Karena  simpangan  baku  populasi belum  diketahui,  maka  perlu  ditaksir  menggunakan  simpangan  baku  dan  ukuran  sampel.
0 5 10 15 2 4 6 8 10 12 14 16 x 10 -4 Nomor Sampel R a g a m P ro d u k E le k tr o n ik BPA = 0,0014 GT = 0,00073
BPB = 0,00028
Karena ukuran sampelnya adalah 5, didapat c 4 = 0,94 dan simpangan baku sampel adalah 0,00018755. Sehingga taksiran simpangan baku populasi adalah
0001995 , 0 94 , 0 00018755 , 0 ˆ    (18)
Dengan demikian nilai kemampuan rasio proses adalah
003 , 1 ) 0001995 , 0 ( 6 0012 , 0   p C (19)
Berdasarkan  nilai  C p =  1,003  berarti  setara  dengan  3,01  sigma,  diperoleh  nilai  DPMO sebagai berikut:
DPMO = 2(1 – 0,99869) = 2,62 x 10 -3 = 2.620 ppm (20)
Berdasarkan nilai DPMO dapat disimpulkan bahwa  terdapat cacat produk sebanyak 2.620 dari  satu  juta  produk  yang  dihasilkan.  Untuk  level  sigma  adalah  3,01σ,  jika  dilakukan bermacam-macam pergeseran diperoleh nilai C pk dan DPMO seperti pada Tabel 4.
Tabel 4. Hubungan Antara Pergeseran Terhadap Kemampuan Proses Pergeseran (σ) Level Sigma C pk DPMO -2,01 1 -0,167 691460 -1,01 2 0,167 308540 -0,01 3 0,5 66810 0,99 4 0,833 6210 1,99 5 1,167 230 2,99 6 1,5 3,4

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat dikatakan bahwa grafik pengendali ragam s 2 merupakan  alternatif  untuk  monitoringvariabilitas  sampel  dari  distribusi  normal.  Batas kendali  yang  dihasilkan  bergantung  dari  rataan  ragam  sampel  yang  berdistribusi  chi- kuadrat  dengan  derajat  bebas n -1.  Jika  proses  produksi  sudah  dinyatakan  terkendali menurut  statistika,  maka  didapat  parameter  dari  grafik  pengendali  ragam.  Selanjutnya berdasarkan  parameter tersebut  dapat  diukur  tingkat  kemampuan  proses  dan  nilai  DPMO yang  dicapai  dari  proses  tersebut.  Pada  akhirnya  dapat  dilakukan  prediksi  nilai  C pk dan DPMO untuk bermacam-macam pergeseran terhadap simpangan baku.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Castagliola,  P.,  and  Maravelakis,  P.E.,  A  CUSUM  Control  Chart  for  Monitoring  The Variance When Parameters are Estimated, Journal of Statistical Planning and Inference , 2011, Vol. 141: 1463 – 1478. URL: www.elsevier.com/locate/jspi .
2. Crawley, M.J., The R Book, John Wiley & Sons, Ltd., London, 2007.
3. Hogg,  R.V.,  and  Craig,  A.T., Introduction  to  Mathematical  Statistics ,  Fifth  Edition, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1995.
4. Johnson,  R.A.  and  Wichern,  D.W., Applied  Multivariate  Statistical  Analysis, Sixth Edition, Pearson Education, Inc., Canada, 2007.
5. Lazariv,  T.,  Schmid,  W.,  andZabolotska,  S.,  On  Control  Charts  for  Monitoring  The Variance  of  a  Time  Series, Journal  of  Statistical  Planning  and  Inference ,  2013,  No. 143: 1512 – 1526. URL: www.elsevier.com/locate/jspi .
6. Montgomery, D.C., Introduction Statistical  Quality Control , Fifth Edition, John  Wiley & Sons, Inc., New York, 2005.
7. Montgomery,  D.C., Statistical  Quality  Control :  A  Modern  Introduction,  Seventh Edition, John Wiley & Sons, Inc., Singapore, 2013.
8. Montgomery, D.C., and Runger, G.C., Applied Statistics and Probability for Engineers , Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2007.
9. Moore, H., MATLAB for Engineers, Prentice Hall, New Jersey, 2007.