## ANALISIS KESTABILAN SISTEM DINAMIK PARTIKEL DALAM MEDAN POTENSIAL HARDCORE DOUBLE YUKAWA
Herry F. Lalus dan Yusniati H. Muh. Yusuf
Prodi Fisika, FKIP, Universitas Nusa Cendana, Jl. Adisucipto-Penfui, Kupang, 85000, Indonesia E-mail: herrylalus@staf.undana.ac.id

## Abstrak
Paper  ini  mengkaji  sistem  dinamik  partikel  yang  bergerak  dalam  pengaruh  medan  potensial Hardcore Double Yukawa (HCDY) [1]. Kajian ini  difokuskan pada analisis kondisi  stabil  sistem dinamik  dengan  memanfaatkan  sifat  kestabilan  linear.  Massa  partikel  dalam  sistem  ini  ditinjau sebagai  fungsi  koordinat,  sehingga  berbentuk  lebih  umum.    Potensial  HCDY  digunakan  dalam mengkonstruksi Hamiltonian sistem dan selanjutnya dipakai untuk menentukan matriks Jacobinya. Selanjutnya, nilai eigen matriks menjadi dasar menganalisis kestabilan sistem dinamik ini. Untuk sistem  dengan  potensial  jenis  ini,  hanya  dimungkinkan  dua  jenis  kestabilan,  yaitu  saddle  dan rotor. Syarat-syarat untuk kedua jenis kestabilan ini juga ditampilkan.
Kata kunci: potensial Hard Core Double Yukawa; sistem dinamik; keadaan stabil

## Abstract
This  paper  discusses  the  dynamical  sistem  of  particle  that  move  under the  influence  of  the  Hard Core  Double  Yukawa  (HCDY)  potential  field[1].  This  study  focuses  on  analyzing  the  stable condition of the dynamical sistem by utilizing the nature of linear stability. The mass of particle in this system is depend on coordinate function, so its form is more general. The HCDY potential is used  in  constructing  the  Hamiltonian  system  and  then  used  to  determine  the  Jacobian  matrix. Futhermore,  the  matrix  eigenvalue  is  the  basis  for  analyzing  the  stability  of  this  dyanamical system.    For  systems  with  this  type  of  potential,  only  two  types  of  stability  are  possible,  namely saddle and rotor. The conditions for both types of stability are also displayed.

## Keywords: Hard Core Double Yukawa potential; dynamical system; stability

## PENDAHULUAN
Potensial  Yukawa  adalah  potensial  yang terdapat  dalam  model  inti  atom,  yang pertama kali  diusulkan  pada  tahun  1935  oleh  seorang ilmuan Jepang bernama Hideki Yukawa untuk menjelaskan  model  atom  James  Chadwick, yang  menyatakan  bahwa  inti  atom  terdiri  dari neutron  dan  proton.    Potensial  ini  merupakan model  potensial  inti  yang  bertanggungjawab dalam  salah  satu  interaksi  paling  mendasar  di alam yaitu interaksi kuat ( strong interaction )[2,3].
Dewasa  ini,  model  potensial  Yukawa telah  banyak  dikaji  dalam  berbagai  bidang fisika seperti Mekanika Kuantum[4,5,6], Termodinamika[7], Gravitasi dan Dark
Energy [8], dan Mekanika Fluida[9]. Salah satu jenis  modifikasi  potensial  Yukawa  yang menarik adalah Potensial HCDY. Potensial ini adalah salah satu modifikasi potensial Yukawa standar,  dan  bisa  didapati  pada  fenomena  fisis seperti  model  inti,  mekanika  fluida    dan
statistik termodinamika [1,9]. Potensial HCDY yang  dikaji  dalam  paper  ini  adalah  bentuk potensial  yang  terdapat  pada  persamaaan  (4) pada[1], yang memiliki bentuk eksplisit :
𝑉(𝑟) = − 1 𝑟 (𝐾 1 𝑒 −𝜆 1 (𝑟−1) − 𝐾 2 𝑒 −𝜆 2 (𝑟−1) ) (1)
untuk 𝑟 ≥   1; di  mana 𝐾 1 , 𝐾 2 , 𝜆 1 , dan 𝜆 2 adalah  konstanta  positif.  Model  potensial  ini menjadi sangat penting karena bentuknya yang relatif  berbeda  dan  juga  belum  banyak  kajian yang dilakukan tentangnya.
Jika  suatu  partikel  bermassa m masuk dalam  pengaruh  medan  potensial  ini,  maka tentunya  partikel  tersebut  akan  mengalami gaya  yang  diberikan  medan  potensial  ini kepadanya.  Bentuk  potensial  ini  sangat berpengaruh  terhadap  model  dinamika  dari partikel  yang  masuk  ke  dalamnya.  Tentunya, ini adalah suatu hal yang sangat menarik untuk dikaji  model  dinamikanya.  Satu  hal  yang
dipastikan juga bahwa dinamika partikel dalam medan  ini  tentunya  berbeda  dengan  dinamika partikel yang sama ketika masuk dalam medan potensial Yukawa standar.
Jika kita memperhatikan bentuk persamaan  (4)  pada[1],  bentuk  potensial  ini jelas  cukup  berbeda  dengan  model  potensial Yukawa  standar[2-9].  Dalam  potensial  inipun, faktor  konstanta 𝜆 juga  ada  dua  jenis.  Ini adalah  salah  satu  letak  perbedaan  yang  cukup mendasar.  Potensial  ini  selanjutnya  digunakan untuk  mengkonstruksi  Hamiltonian  sistem yang  ditinjau.  Hamiltonian  ini  menjadi  dasar untuk  menentukan  persamaan  geraknya  dan juga  menganalisis  keadaan  dinamika  sistem yang bersangkutan.
Tidak  semua  persamaan  gerak  sistem dinamik  memiliki  solusi  eksak  analitik,  atau jikapun  ada,  tidak  semuanya  dapat  dengan mudah  diperoleh  dengan  metode-metode  yang telah dikembangkan saat ini.  Salah satu alasan paling  mendasar  adalah  karena  kompleksitas persamaan  gerak  itu  sendiri.  Persamaan  gerak yang  semakin  kompleks,  biasanya  semakin sulit  dicari  solusi  eksak  analitiknya.  Karena itu,  sebagai  salah  satu  alternatif  untuk  melihat keadaan  dinamiknya,  dapat  digunakan  metode pendekatan,  atau  dapat  juga  dengan  mencari solusinya  pada  keadaan  stabil,  yang  tentunya bergantung  pada  syarat-syarat  kestabilannya. Syarat-syarat  ini  dapat  diperoleh  dari  nilai eigen  matriks  Jacobi  yang  dibentuk  dari linearisasi  uraian  Taylor  di  sekitar  titik  stabil sistem.
Paper  ini  difokuskan  pada  analisis kestabilan  dari  sistem  dinamik  untuk  partikel yang bergerak dalam pengaruh medan potensial  HCDY.  Keadaan  dinamik  sistem  ini dinyatakan  dalam  ruang  fasa  yang  memuat koordinat  umum q dan  momentum p .  Massa partikel ditinjau lebih umum, yaitu 𝑚 ≡ 𝑚(𝑞).

## SISTEM DINAMIK DAN KEADAAN STABIL

## Sistem Dinamik
Keadaan  dinamik  suatu  sistem  dapat secara  lengkap  dinyatakan  dalam  ruang  fasa. Secara matematis [10],
𝑢 = ( 𝑢 1 𝑢 2 … 𝑢 𝑁 )      ∈ ℝ 𝑁 , (2)
di  mana 𝑥 𝑖 memuat  berbagai  variabel  dinamik termasuk  koordinat  posisi  dan  momentum, yang  dengan  jelas  bergantung  pada  waktu 𝑡 . Sistem  yang  ditinjau  adalah  sistem  klasik, sehingga  berlaku  sifat  deterministik.  Karena itu,  jika  keadaan  awal 𝑢(𝑡 0 ) sistem  diketahui, maka  kita  akan  dapat  menentukan  keadaaan pada waktu 𝑡  𝑡 0 .
Karena 𝑢 bergantung 𝑡 maka  untuk setiap 𝑡 ,  keadaan  dinamik  dapat  dinyatakan dalam bentuk
𝑑 𝑑𝑡 𝑢(𝑡) = 𝑢̇ = 𝑓(𝑢(𝑡), 𝑡; 𝛾) (3)
di mana, 𝑓 merupakan fungsi umum nonlinear yang  memuat  koordinat 𝑢 .  Fungsi  ini  sering juga  disebut  sebagai  medan  vektor,  dan bergantung  waktu.  Sedangkan 𝛾 merupakan parameter kontrol sistem. Parameter-parameter ini  berpengaruh  terhadap  karakter  dinamik sistem.
Secara  khusus,  untuk  suatu  sistem dinamik yang dikarakterisasi oleh Hamiltonian sistem,  di  mana  jika  terdapat 𝑁 buah  derajat kebebasan dengan koordinat umum 𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑁 dan  momentum 𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑁 , maka  persamaan  geraknya  dapat  dinyatakan oleh[11]
𝑞̇ 𝑖 = {𝑞 𝑖 , 𝐻} ;  𝑝̇ 𝑖 = {𝑝 𝑖 , 𝐻}. (4)
Tanda  kurung  kurawal  pada  persamaan  (4) merupakan Poisson brackets , dengan
{𝑞 𝑖 , 𝑞 𝑗 } = 0 = {𝑝 𝑖 , 𝑝 𝑗 }; {𝑞 𝑖 , 𝑝 𝑗 } = 𝛿 𝑖𝑗 ,  (5)
di  mana 𝛿 𝑖𝑗 adalah  simbol  delta-Kronecker, sehingga
𝑞̇ 𝑖 = {𝑞 𝑖 , 𝐻} = 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝑗 {𝑞 𝑖 , 𝑝 𝑗 } = 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝑖 (6)
dan
𝑝̇ 𝑖 = {𝑝 𝑖 , 𝐻} = 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝑗 {𝑝 𝑖 , 𝑞 𝑗 } = − 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝑖 . (7)
Maka,  keadaan  dinamiknya  dapat  dinyatakan dalam ruang fasa
𝑢 =
( 𝑝 1 … 𝑝 𝑁 𝑞 1 … 𝑞 𝑁 ) . (8)
Dengan memanfaatkan bentuk pada persamaan (3),  (6)  dan  (7),  kemudian  mengubahnya  ke dalam  bentuk  matriks,  maka  evolusi  sistem terhadap fungsi waktunya berbentuk
𝑢̇ = 𝐼 (− 𝜕𝐻 𝜕𝑞 1 , … , − 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝑁 ; 𝜕𝐻 𝜕𝑝 1 , … , 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝑁 ) 𝑇 (9)
di  mana, 𝐼 adalah  matriks  identitas,  dan 𝑇 adalah transpos.

## Keadaan Stabil
Jika  suatu  sistem  dalam  keadaan setimbang, dengan[10] 𝑓(𝑢 0 ) = 0, (10)
maka 𝑢(𝑡) = 𝑢 0 = konstan,  di  mana 𝑢 0 merupakan  titik  kritis.  Untuk  menganalisis solusi stabil sistem ini, perlu ditinjau trayektori 𝑢(𝑡) di  sekitar  titik  kritis 𝑢 0 . Selanjutnya didefinisikan suatu kuantitas bernilai kecil
𝜖(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢 0 (11)
yang  merupakan  jarak  trayektori  setiap  saat terhadap  titik  kritis.  Maka,  evolusi  setiap 𝜖 terhadap waktu adalah
𝑑𝜖 𝑖 𝑑𝑡 = 𝜖̇ 𝑖 = 𝑢̇ 𝑖 = 𝑓(𝑢 𝑖 ) (12)
karena 𝑢 0 ̇ = 𝑓(𝑢 0 ) = 0 untuk  semua 𝑖 .
Selanjutnya,  persamaan  (12)  diekspansi  di sekitar 𝑢 0 diperoleh
𝜖̇ 𝑖 = 𝑓 𝑖 (𝑢 0 ) + 𝜕𝑓 𝑖 𝜕𝑢 𝑗 | 𝑢 0 (𝑢 𝑗 − 𝑢 0 ) + 1 2! 𝜕 2 𝑓 𝑖 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢 𝑘 | 𝑢 0 (𝑢 𝑗 − 𝑢 0 )(𝑢 𝑘 − 𝑢 0 ) + ⋯ (13)
Persamaan  (13)  dilinearisasi,  dan  dengan mengingat  persamaan  (10),  maka  persamaan (13) menjadi
𝜖̇ 𝑖 = 𝜕𝑓 𝑖 𝜕𝑢 𝑗 | 𝑢 0 (𝑢 𝑗 − 𝑢 0 ). (14)
Untuk  sistem  dinamik  dengan 𝑢 𝑗 = (𝑝, 𝑞) , maka 𝑢 0𝑗 = (𝑝 0𝑗 , 𝑞 0𝑗 ) . Maka pernyataan lengkap 𝜖̇ adalah
𝜖̇ = ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑝 | 𝑢 0 𝜕𝑓 1 𝜕𝑞 | 𝑢 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑝 | 𝑢 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑞 | 𝑢 0 ) ( 𝑝 − 𝑝 0 𝑞 − 𝑞 0 ). (15)
Terlihat  bahwa 𝜖̇ = 𝑀𝜖 ,  di  mana 𝑀 adalah matriks  2  x  2  pada  persamaan  (15),  yang disebut  juga  matriks Jacobi .  Keadaan  stabil untuk sistem ini dapat didilihat dari nilai eigen matriks M . Karena matriks Jacobi ini berorde 2 x  2,  maka  hanya  akan  terdapat  maksimal  dua buah nilai eigen. Jika dimisalkan bahwa kedua nilai  eigen  tersebut  adalah 𝜇 1 dan 𝜇 2 ,  maka terdapat  beberapa  jenis  kemungkinan  jenis kestabilan. Pertama, jika 𝜇 1 dan 𝜇 2 bernilai riil dan keduanya negatif, maka jenis kestabilannya adalah stable node. Kedua, jenis unstable  node ,  jika 𝜇 1 dan 𝜇 2 bernilai  riil  dan keduanya  positif.  Ketiga,  jenis saddle ,  jika 𝜇 1 dan 𝜇 2 bernilai  riil  dan  berbeda  tanda. Keempat,  jenis stable  spiral ,  jika 𝜇 1 = 𝜇 2 ∗ , bagian  riil  bernilai  negatif.  Kelima,  jenis unstable  spiral ,  jika 𝜇 1 = 𝜇 2 ∗ ,  bagian  riil bernilai positif. Keenam, jenis rotor , jika 𝜇 1 = 𝜇 2 ∗ , dan murni imajiner [10].

## SISTEM  DINAMIK  DALAM  MEDAN POTENSIAL HCDY
Berdasarkan  persamaaan  (1),  maka Hamiltonian sistem dapat ditulis
𝐻 = 𝑝 2 2𝑚 − 1 𝑟 (𝐾 1 𝑒 −𝜆 1 (𝑟−1) − 𝐾 2 𝑒 −𝜆 2 (𝑟−1) ). (16)
Dari  Hamiltonian  ini  dapat  diketahui  bahwa matriks Jacobinya berbentuk
𝑀 = ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑝 | 𝑢 0 𝜕𝑓 1 𝜕𝑟 | 𝑢 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑝 | 𝑢 0 𝜕𝑓 2 𝜕𝑟 | 𝑢 0 ) , (17)
di mana
𝜕𝑓 1 𝜕𝑝 = 𝑝 𝑚 2 𝜕𝑚 𝜕𝑟 , (18)
𝜕𝑓 2 𝜕𝑝 = 1 𝑚 , (19)
𝜕𝑓 2 𝜕𝑟 = − 𝑝 𝑚 2 𝜕𝑚 𝜕𝑟 , (20)
𝜕𝑓 1 𝜕𝑟 = 𝑝 2 2𝑚 ( 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 − 1 𝑚 ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 ) + 𝐾 1 𝑟 3 (1 + 2𝜆 1 𝑟 + 𝜆 1 2 𝑟 2 )𝑒 −𝜆 1 (𝑟−1) − 𝐾 2 𝑟 3 (1 + 2𝜆 2 𝑟 + 𝜆 2 2 𝑟 2 )𝑒 −𝜆 2 (𝑟−1) . (21)
Kemudian, mencari nilai eigen matriks
det(𝑀 − 𝜇𝐼) = | 𝜕𝑓 1 𝜕𝑝 − 𝜇 𝜕𝑓 1 𝜕𝑟 𝜕𝑓 2 𝜕𝑝 𝜕𝑓 2 𝜕𝑟 − 𝜇 | 𝑢 0 = 0 , (22)
maka diperoleh
𝜇 2 − 2𝜂𝜇 + 𝛽 = 0, (23)
dengan solusi
𝜇 1,2 = 𝜂 ± √𝜂 2 − 𝛽, (24)
di mana
𝜂 = 1 2 𝑇𝑟(𝑀) (25)
dan 𝛽 = 𝜕𝑓 1 𝜕𝑝 𝜕𝑓 2 𝜕𝑟 − 𝜕𝑓 1 𝜕𝑟 𝜕𝑓 2 𝜕𝑝 = 𝑝 2 2𝑚 4 (𝑚 − 2) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 − 𝑝 2 2𝑚 2 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 − 𝐾 1 𝑚𝑟 3 (1 + 2𝜆 1 𝑟 + 𝜆 1 2 𝑟 2 )𝑒 −𝜆 1 (𝑟−1) + 𝐾 2 𝑚𝑟 3 (1 + 2𝜆 2 𝑟 + 𝜆 2 2 𝑟 2 )𝑒 −𝜆 2 (𝑟−1) . (26)
Persamaan  (26)  menunjukkan  bahwa  massa benda harus bernilai lebih besar dari pada nol.
Artinya,  tidak  diperbolehkan  bagi  partikel seperti  foton,  partikel  hipotesis  graviton,  atau partikel  apapun  yang  bermassa  diam  nol. Untuk  partikel  jenis  ini,  tidak  berlaku  analisis ini.
Karena 𝜂 = 0 , maka
𝜇 1,2 = ±√−𝛽. (27)
Berdasarkan  persamaan  (27),  kita  hanya memiliki  dua  kemungkinan  jenis  kestabilan, yaitu saddle dan rotor. Jenis saddle terjadi jika 𝛽  0, sedangkan  jenis rotor terjadi  jika 𝛽 0 .  Kajian  untuk  kedua  jenis  keadaan  stabil  ini dibagi ke dalam dua buah domain, yaitu untuk 𝑟 = 1 dan 𝑟  1 . Untuk 𝑟 = 1 ,
𝛽 = [ 𝑝 2 2𝑚 4 (𝑚 − 2) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 − 𝑝 2 2𝑚 2 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 − 𝐾 1 𝑚 (𝜆 1 + 1) 2 + 𝐾 2 𝑚 (𝜆 2 + 1) 2 ]| 𝑟=1 , (28)
dan untuk 𝑟  1 , 𝛽 = [ 𝑝 2 2𝑚 4 (𝑚 − 2) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 − 𝑝 2 2𝑚 2 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 − 𝐾 1 𝑚𝑟 3 (1 + 2𝜆 1 𝑟 + 𝜆 1 2 𝑟 2 )𝑒 −𝜆 1 (𝑟−1) + 𝐾 2 𝑚𝑟 3 (1 + 2𝜆 2 𝑟 + 𝜆 2 2 𝑟 2 )𝑒 −𝜆 2 (𝑟−1) ]| 𝑟1 . (29)
Pertama, kita menganalisis beberapa persyaratan  untuk  jenis saddle. Karena  secara fisis, 𝐾 1 , 𝐾 2 , 𝜆 1 , 𝜆 2 harus bernilai positif, maka terdapat  beberapa  contoh  kemungkinan  syarat keadaan ini pada 𝑟 = 1 , yaitu
1. Jika 𝜆 1 𝜆 2 ; 𝐾 1 ≥ 𝐾 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0
; 0  𝑚(𝑟 = 1) ≤ 2 . 2. Jika 𝐾 1 𝜆 1 ≥ 𝐾 2 𝜆 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0 ; 0 𝑚(𝑟 = 1) ≤ 2 .
3. Jika 𝐾 1 = 𝐾 2 ; 𝜆 1 = 𝜆 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 1 𝑚 (1 − 2 𝑚 ) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟=1 ; 𝑚(𝑟 = 1)  0.
Untuk 0  𝑚(𝑟 = 1)  2 , suku 𝑝 2 2𝑚 4 (𝑚 − 2)  ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2
| 𝑟=1 bernilai
negatif,  sehingga  nilai 𝛽 bernilai negatif  jika 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0. Untuk 𝑚(𝑟 = 1) = 2 ,  nilai 𝛽 murni  hanya
suku − 𝑝 2 2𝑚 2 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 , sehingga  agar 𝛽
bernilai  negatif,  maka 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0. Sedangkan,  untuk 𝑚  2 ,  suku
𝑝 2 2𝑚 4 (𝑚 − 2)  ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟=1 bernilai positif,  sehingga  agar 𝛽 negatif,  maka
| 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 |  | 1 𝑚 (1 − 2 𝑚 ) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟=1 | .
Masih  terdapat  cukup  banyak  syarat  yang dapat diperoleh berdasarkan persamaaan (28).
Untuk 𝑟  1 , keadaan saddle memiliki beberapa contoh kemungkinan syarat kestabilan, yaitu
1. Jika 𝜆 1 𝜆 2 ; 𝐾 1 ≥ 𝐾 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 0 ; 0  𝑚(𝑟  1) ≤ 2 .
2. Jika 𝐾 1 = 𝐾 2 ; 𝜆 1 = 𝜆 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 1 𝑚 (1 − 2 𝑚 ) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟1 ; 𝑚(𝑟  1)
0. Untuk 0  𝑚(𝑟  1)  2 ,  suku
𝑝 2 2𝑚 4 (𝑚 − 2)  ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟1 bernilai
negatif,  sehingga  nilai 𝛽 bernilai negatif  jika 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 0. Untuk 𝑚(𝑟  1) = 2 ,  nilai 𝛽 murni  hanya
suku − 𝑝 2 2𝑚 2 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 , sehingga  agar 𝛽
bernilai  negatif,  maka 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 0. Sedangkan,  untuk 𝑚  2 ,  suku
𝑝 2
2𝑚 4 (𝑚 − 2)  ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟1 bernilai
positif,  sehingga  agar 𝛽 negatif,  maka
| 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 |  | 1 𝑚 (1 − 2 𝑚 ) ( 𝜕𝑚 𝜕𝑟 ) 2 | 𝑟1 | .
Sama  dengan  pada 𝑟 = 1 ,  untuk  domain  ini masih  terdapat  banyak  kemungkinan  syarat kestabilannya  yang  dapat  dengan  mudah ditentukan berdasarkan persamaan (29).
Dapat  dilihat  bahwa,  untuk  syarat kestabilan pada 𝑟 = 1 dan 𝑟  1 terutama pada syarat  pertama  dari  masing-masing  titik  atau daerah evaluasi syarat yang sama untuk 𝑚 dan 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 ,  perbedaannya  cukup  mendasar,  yaitu pada  syarat  hubungan  nilai  magnitudo 𝜆 1 dan 𝜆 2 .  Pada 𝑟 = 1 mengharuskan 𝜆 1 𝜆 2 , sedangkan  untuk 𝑟  1 ,  mengharuskan  yang sebaliknya,  yaitu 𝜆 1 𝜆 2 .  Hal  ini  karena keberadaan  eksponensial  pada 𝛽 membuat suku  yang  memuatnya  lebih  cepat  menuju  nol pada 𝑟 yang semakin besar, sehingga membuat faktor 1 + 2𝜆 1,2 𝑟 + 𝜆 1,2 2 𝑟 2 tidak  menjadi dominan pada penentuan syarat kestabilannya.
Syarat  ketiga  pada 𝑟 = 1 memiliki bentuk  yang  sama  dengan  syarat  kedua  pada 𝑟  1 ,  karena  ketika 𝐾 1 = 𝐾 2 ; 𝜆 1 = 𝜆 2 ; 𝛽 memiliki  bentuk  yang  sama  untuk  kedua domain  ini.  Karena  itu,  untuk  pemilihan keadaan  ini,  kelakuan  partikel  dalam  medan potensial untuk 𝑟 = 1 sama dengan 𝑟  1 atau dapat  disingkat,  untuk  syarat  jenis  ini, domainnya menjadi 𝑟 ≥ 1.
Keadaan saddle adalah  keadaan  yang memiliki  tafsiran  fisis  yang well  known sehingga  lebih  difokuskan  pada  paper  ini. Ketika  partikel  bermassa m(r) tertentu  masuk dalam  pengaruh  medan  potensial,  maka perilaku partikel dalam medan akan bergantung  pada  bentuk  potensial  tersebut. Berdasarkan  semua  hasil  eksperimen,  lintasan partikel  dalam  medan  ini  bersesuaian  dengan bentuk saddle. Karena  itu,  telah  ditampilkan beberapa syarat untuk 𝛽 yang diperlukan.
Secara  fisis,  sistem  ini  memungkinan untuk partikel yang meluruh, sehingga 𝜕𝑚/𝜕𝑟 bernilai  negatif,  namun  karena  suku  ini dikuadratkan,  maka  hasilnya  selalu  bernilai positif.  Sedangkan  untuk 𝜕𝑚/𝜕𝑟 bernilai positif,  yang  secara  fisis  dapat  ditafsir  sebagai reaksi  dengan  partikel  lain  sehingga  terjadi penambahan    massa  partikel,  untuk  kajian  ini cukup dibatasi karena tentunya akan melibatkan  interaksi  dengan  potensial  lain, yang  tidak  dibahas  dalam  paper  ini.  Untuk partikel  bermassa  konstan  (tidak  meluruh) semua  suku  yang  memuat 𝜕𝑚/𝜕𝑟 = 0 , sehingga 𝛽 bernilai 𝐾 2 𝑚 (𝜆 2 2 + 2𝜆 2 + 1) −
𝐾 1 𝑚 (𝜆 1 2 + 2𝜆 1 + 1) , yang berarti bahwa keadaan saddle untuk  partikel  jenis  ini memenuhi  syarat 𝜆 1 𝜆 2 ; 𝐾 1 ≥ 𝐾 2 dan 𝑚 0. Perlu  diingat  bahwa,  besar  defleksi  partikel dari  arah  datang  sangat  bergantung  juga  pada paramater impaknya, namun untuk hal ini tidak dibahas di sini.
Keadaan saddle lebih dominan dibahas karena lebih banyak fakta eksperimen menunjukkan  dinamika  untuk  keadaan  ini. Namun  bukan  berarti  bahwa  tidak  akan dibahas  keadaan  rotor.  Keadaan  ini  juga dibahas  dengan  berbagai  batasan  tertentu karena secara fisis, sulit ditafsir.
Kedua,  kita  meninjau  kestabilan  jenis rotor. Syarat  untuk  keadaan  ini  adalah kebalikan  dari  syarat  untuk saddle ,  yaitu  kita harus  mencari  syarat  untuk  menghasilkan 𝛽 0 . Karena itu, tanpa memperpanjang pembahasan,  beberapa  contoh  syarat  untuk keadaan  ini  juga  dapat  dibagi  dalam  dua bagian  yaitu,  untuk 𝑟 = 1 dan  untuk 𝑟  1 . Untuk 𝑟 = 1 ,
1. Jika 𝜆 1 𝜆 2 ; 𝐾 1 ≤ 𝐾 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0 ; 𝑚(𝑟 = 1) ≥ 2 .
2. Jika 𝐾 1 𝜆 1 ≤ 𝐾 2 𝜆 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0 ; 𝑚(𝑟 = 1) ≥ 2 .
3. Jika 𝐾 1 = 𝐾 2 ; 𝜆 1 = 𝜆 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟=1 0 ; 𝑚(𝑟 = 1) ≥ 2 .
Untuk 𝑟  1 ,
1. Jika 𝜆 1 𝜆 2 ; 𝐾 1 ≤ 𝐾 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 0 ; 𝑚(𝑟  1) ≥ 2 .
2. Jika 𝐾 1 = 𝐾 2 ; 𝜆 1 = 𝜆 2 ; 𝜕 2 𝑚 𝜕𝑟 2 | 𝑟1 0 ;
𝑚(𝑟  1) ≥ 2.
Kita  masih  dapat  memilih  berbagai  syarat  lain untuk  kestabilan  jenis  ini,  baik  untuk 𝑟 = 1 maupun  untuk 𝑟  1 .  Tentunya  tidak  hanya terbatas  pada 𝑚(𝑟 ≥ 1) ≥ 2 ,  namun  dapat juga untuk 0  𝑚(𝑟 ≥ 1)  2 . Kestabilan rotor secara sepintas terlihat  sepertinya  dapat  mengarahkan  kita untuk  melihat  kemungkinan  lintasan  jenis  lain partikel  dari  kebanyakan  fakta  eksperimen. Namun, dalam  skala  maksroskopik,  kestabilan jenis  ini  bisa  diperoleh  pada  fenomena  planet- planet  mengelilingi  matahari.  Tetapi  harus
diingat  bahwa,  pada  fenomena  tersebut, potensialnya  berbeda  dengan  potensial  jenis ini.  Hal  ini  juga  dapat  diperoleh  pada  model atom  Sommferfeld,  namun  sekali  lagi,  bentuk potensialnya  berbeda  dengan  potensial  ini. Dengan  alasan  ini,  kami  menduga  bahwa  jika syarat  kestabilan  di  atas  dipenuhi,  maka kemungkinan akan menghasilkan partikel yang memiliki  kestabilan  ini,  walaupun  sekali  lagi, ini cukup berbeda dengan fenomena fisis hasil eksperimen.  Kami  berharap,  akan  ada  bukti eksperimen yang mendukung dugaan kami ini. Hasil  ini  sangat  mungkin  dibuktikan  secara eksperimen,  namun  tentunya  dengan  melihat syarat-syarat  yang  lebih  lengkap  secara  fisis yang harus dipilih, termasuk faktor massa diam partikel  tersebut  dan  interaksinya  terhadap medan  lain  seperti  interaksi  antar  muatan Coulomb atau antar muatan warnanya, ataupun faktor fisis lainnya.

## SIMPULAN
Berdasarkan  kajian  yang  dilakukan terhadap  potensial HCDY ,  diperoleh  bahwa partikel yang masuk dalam medan potensial ini hanya  memiliki  dua  kemungkinan  kestabilan yaitu  kestabilan saddle dan rotor .  Analisis syarat  keadaan  stabil  untuk  kedua  jenis kestabilan  ini  juga  telah  dilakukan  untuk masing-masing  domain  keberlakuannya. Telah juga  dilakukan  analisis  dan  tafsiran  fisis  yang bersesuaian dengan kedua jenis kestabilan ini.

## DAFTAR PUSTAKA
1 Mehrdad, K. , G. A. Parsafar,  R. Hashim. 2010.  An  Analytical  direct  corelation function  for  hard  core  double  Yukawa Potential . Journal  of  Non-Crystalline Solids .doi:10.1016/j.jnoncrysol.2010.08.02
4.
2 Don,  Lincoln.  2004. Understanding  the Universe:  From  Quarks  to  the  Cosmos . Singapore:  World  Scientific.  pp. 75– 78. ISBN 978-9812387035.
3 Laurie,  M. Brown.  1986.  "Hideki Yukawa and the Meson Theory". Physics Today . 39(12):55–62.  doi  :  10.1063/1.
881048.
4 Abdelmadjid,
Maireche. 2017.
Investigation on the Relativistic
Interactions  in  One-Electron  Atoms  with Modified  Yukawa  Potential  for  Spin  ½ Particles. International  Frontier  Science Letters. Vol. 11.
5 O.J.  Oluwadare,  K.E.    Thylwe,  and  K.J. Oyewumi.    2016.  Non-Relativistic  Phase Shift  for  Scattering  on  Generalized  Radial Yukawa Potentials. Commun. Theor. Phys. Vol 65, No. 4.
6 M.  R.  Shojaei  and  N.  R.  Bakht.  2016. Calculation  of  Energy  Spectrum  of  12C Isotope  with  Modified  Yukawa  Potential by  Cluster  Models. Pramana  –  J.  Phys .
87:54. DOI 10 1007/s12043-016-1261-3.
7 U.  S.  Okorie,  E.E.  Ibekwe,  A.  N.  Ikot, M.C.  Onyeaju,  and  E.  O.  Chukwuocha. 2018.  Thermodynamics  Properties  of  the Modified Yukawa Potential. Journal of the
Korean Physical Society . Vol. 73. Issue 9, pp. 1211-1218.
8 Z.  Berezhiani,  F.  Nesti,  L.  Pilo,  and  N. Rossi.  2010.  Gravity  Modification  with Yukawa-type  Potential  :  Dark  Matter  and Mirror  Gravity. arXiv:0902.0144v2  [hep- th] 13 Dec 2010 .
9 R.  Garcia  and  D.  Gonzalez.  2006.
Performance  of  the  Double  Yukawa Potential  in  the  Variational  Theory  of Simple  Liquids. Journal  Physics  and
Chemistry of Liquids . Vol. 18. Issue 2.
10 W.  Greiner.  2003. Classical  Mechanics  : Systems  of  Particles  and  Hamiltonian Dynamics . New York : Springer.
11 A. Das. 1989. Integrable Models .
Singapore : World Scientific Publishing.