## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 1, No. 2, 2019, pp. 64-73.

## Dimensi Metrik Kuat Lokal Graf Hasil Operasi Kali Kartesian
Nurma Ariska Sutardji 1 , Liliek Susilowati 2,* & Utami Dyah Purwati 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga
*Corresponding author: liliek-s@fst.unair.ac.id
Abstract. The strong local metric dimension is the development result of a strong metric dimension study,  one  of  the  study  topics  in  graph  theory.  Some  of  graphs  that  have  been  discovered  about strong local metric dimension are path graph, star graph, complete graph, cycle graphs, and the result corona product graph. In the previous study have been built about strong local metric dimensions of corona product graph. The purpose of this research is to determine the strong local metric dimension of cartesian product graph between any connected graph G and H , denoted by dim sl ( G x H ). In this research, local metric dimension of G x H is influenced by local strong metric dimension of graph G and local strong metric dimension of graph H . Graph G and graph H has at least two order.
Keywords: local strong metric dimension, cartesian product, bipartite graph, complete graph, cycle graph.

## 1 Pendahuluan
Konsep teori graf pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler, seorang matematikawan asal Swiss yang berhasil menemukan solusi terhadap suatu permasalahan jembatan yang ada pada kota Konigsberg. Euler memodelkan permasalahan tersebut dalam bentuk graf, yaitu titik sebagai daratan dan sisi sebagai jembatan yang menghubungkan dua titik [1]. Teori  graf  dikenal  sebagai  teori  yang  dapat  memodelkan  setiap  permasalahan  menjadi bentuk  titik  dan  garis.  Pengaplikasian  ilmu  Teori  Graf  dalam  kehidupan  sehari-hari mencakup banyak hal antara lain yaitu mencari rute tercepat dari suatu lokasi ke lokasi lain  dan  menentukan  rute  perjalanan  disuatu  tempat  wisata  agar  semua  tempat  dapat dilewati  tanpa  mengulang  perjalanan.  Karena  banyaknya  kegunaan  teori  graf  dalam kehidupan, maka penelitian mengenai teori graf terus dilakukan. Salah satu bagian yang terus berkembang dalam teori graf adalah dimensi metrik.
Dimensi  metrik  pertama  kali  dikenalkan  oleh  Harary  dan  Melter  pada  tahun  1976  [2]. Harary mendefinisikan dimensi metrik melalui himpunan pembeda. Himpunan pembeda adalah himpunan yang menyajikan representasi yang berbeda pada setiap titik yang ada pada graf tersebut. Himpunan pembeda  yang memiliki kardinalitas terkecil dari graf 𝐺 disebut  dengan  dimensi  metrik  graf 𝐺 .  Penelitian  mengenai  dimensi  metrik  telah
dilakukan antara lain oleh [1] mengenai karakterisasi dimensi metrik pada graf serta [3] mengenai dimensi metrik graf operasi korona.
Pada tahun 2010, [4]  mengembangkan konsep dimensi  metrik  menjadi  dimensi  metrik lokal. Konsep ini menyatakan setiap dua titik bertetangga di graf 𝐺 memiliki representasi yang  berbeda  terhadap  suatu  himpunan  pembeda  lokal.  Konsep  dimensi  metrik dikembangkan  lebih  lanjut  oleh  [5]  yang  membangun  definisi  dimensi  metrik ketetanggaan dan [6] yang mendefinisikan dimensi metrik ketetanggaan lokal. Definisi ini dibangun dengan mendefinisikan jarak antara dua titik hanya dengan 0, 1, dan 2 yang secara  berurutan  menyatakan  jarak  titik  terhadap  dirinya  sendiri,  jarak  dua  titik  yang saling bertetangga, dan jarak dua titik yang tidak bertetangga.
Selanjutnya, [7] mengembangkan konsep dimensi metrik menjadi dimensi metrik kuat. Beberapa  penelitian  tentang  dimensi  metrik  kuat  yang  telah  dilakukan  yaitu  dimensi metrik kuat pada graf hasil operasi korona oleh [8], dimensi metrik kuat pada graf hasil operasi akar oleh [9] serta dimensi metrik kuat pada graf hasil operasi kartesian oleh [10].
Dimensi metrik juga dikembangkan pada graf hasil operasi, penelitian mengenai dimensi metrik  pada  hasil  operasi  antar  graf  telah  dilakukan  antara  lain  oleh  [11]  mengenai dimensi metrik dari graf hasil operasi korona. Dua tahun kemudian, [2] meneliti mengenai dimensi metrik graf hasil operasi kali comb. Selanjutnya, [12] mengenai dimensi metrik ketetangaan dan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf hasil  operasi korona dan graf hasil kali kuat.  Pada tahun 2016, [13] melanjutkan penelitian mengenai  kekomutatifan operasi korona dan graf hasil operasi kali comb secara dimensi metrik dan secara dimensi metrik lokal.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  beberapa  hasil  yang  telah  ditemukan  dari  pengembangan konsep dimensi metrik yaitu dimensi metrik lokal, dimensi metrik ketetangaaan, dimensi metrik  ketetanggaan  lokal,  serta  dimensi  metrik  kuat.  Diantara  beberapa  hasil  operasi, belum  ditemukan  penelitian  mengenai  dimensi  metrik  kuat  lokal  hasil  operasi  kali kartesian. Oleh karena itu pada penelitian ini dibangun konsep dimensi kuat lokal pada graf hasil operasi kartesian.
Definisi  1.1 [14] Misalkan 𝐺 1 dan 𝐺 2 adalah  dua  buah  graf, hasil  kali  kartesian (cartesian  product) 𝐺 1 × 𝐺 2 adalah  graf  yang  himpunan  titiknya 𝑉(𝐺 1 ) × 𝑉(𝐺 2 ) dan himpunan garisnya dua titik 𝑢 1 𝑢 2 dan 𝑣 1 𝑣 2 bertetangga (adjacent) di 𝐺 1 × 𝐺 2 jika dan hanya jika memenuhi syarat sebagai berikut:
1. 𝑢 1 = 𝑣 1 dan 𝑢 2 𝑣 2 ∈ 𝐸(𝐺 2 ) atau 2. 𝑢 2 = 𝑣 2 dan 𝑢 1 𝑣 1 ∈ 𝐸(𝐺 1 ) Definisi  1.2 [14] Interval antara  titik 𝑢 dan  titik 𝑣 dinotasikan 𝐼[𝑢, 𝑣] merupakan himpunan yang beranggotakan semua titik yang termuat dalam lintasan terpendek 𝑢 − 𝑣 .
Definisi 1.3 [15] Titik w disebut pembeda kuat lokal pasangan titik yang bertetangga 𝑢, 𝑣 jika terdapat 𝑣 ∈ 𝐼[𝑢, 𝑤] atau terdapat 𝑢 ∈ 𝐼[𝑣, 𝑤] .
Definisi 1.4 [15] Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung. Himpunan 𝑊 ⊆ 𝑉(𝐺) dengan 𝑊 ≠ ∅ disebut himpunan  pembeda  kuat  lokal dari 𝐺 jika  setiap  dua  titik  yang bertetangga pada graf 𝐺 mempunyai pembeda kuat lokal di 𝑊 . Himpunan pembeda kuat lokal dari 𝐺 dengan kardinalitas minimal disebut basis metrik kuat lokal graf 𝐺 . Banyaknya titik pada basis metrik kuat lokal graf 𝐺 disebut dimensi metrik kuat lokal graf 𝐺 , dinotasikan 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺).
Teorema 1.5 [15] Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 , maka berlaku i 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺) = 1 jika dan hanya jika 𝐺 adalah graf bipartit. ii 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺) = 𝑛 − 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝐾 𝑛 .
2 Dimensi Metrik Kuat  Lokal Graf Hasil Operasi Kali Kartesian
Lemma  2.1 Jika 𝑥 ∈ 𝐼(𝑢, 𝑦) dan 𝑦 ∈ 𝐼(𝑢, 𝑣) maka 𝑥 ∈ 𝐼(𝑢, 𝑣) . Bukti  : Andaikan 𝑥 ∉ 𝐼(𝑢, 𝑣) ,  sedangkan 𝑥 ∈ 𝐼(𝑢, 𝑦) ,  maka 𝑦 ∉ 𝐼(𝑢, 𝑣) .  Kontradiksi dengan pernyataan 𝑦 ∈ 𝐼(𝑢, 𝑣) .
Teorema 2.1 Misalkan 𝐺 adalah graf bipartit terhubung berordo paling sedikit dua dan 𝐻 adalah graf  terhubung
berordo paling sedikit dua,  maka 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺 × 𝐻) = 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) . Bukti  : Misalkan 𝑉(𝐺) = {𝑢 𝑖 | 𝑖 = 1,2, 3, … , 𝑚} dengan 𝑚 ≥ 2 , 𝑉(𝐻) = {𝑣 𝑗 | 𝑗 = 1,2, … , 𝑛} dengan 𝑛 ≥ 3 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) = 𝑘 , 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } basis dari 𝐻 , karena 𝐺 bipartit 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺) = 1 dengan 𝐵 = {𝑢 1 } merupakan basis dari 𝐺 . Graf 𝐺 merupakan graf bipartit sehingga 𝑉(𝐺) dapat dipartisi menjadi 𝑈 1 ≠ ∅ dan 𝑈 2 ≠ ∅ sehingga setiap garis di 𝑉(𝐺) menghubungkan  dua  titik  di 𝑈 1 dan 𝑈 2 .    Misalkan 𝑈 1 = {𝑣 𝑝 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺): 𝑖 = 2,3, … , 𝑟} dan 𝑈 2 = {𝑣 𝑞 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺): 𝑖 = 2,3, … , 𝑠} dengan 𝑟 + 𝑠 = 𝑚.
Dipilih 𝑆 = {𝑐 1𝑛 1 , 𝑐 1𝑛 2 , … , 𝑐 1𝑛 𝑘 } sehingga |𝑆| = 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) .  Diambil  sebarang  dua titik  bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 × 𝐻) .  Berdasarkan  definisi  hasil  kali  kartesian  diperoleh bahwa terdapat dua kemungkinan pasangan titik yaitu
1) Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) .
2) Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dengan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) .
Akan  ditunjukkan  bahwa  setiap  kemungkinan  pasangan  titik  tersebut  mempunyai pembeda kuat lokal di 𝑆 .
Kasus  1. Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) . Terdapat dua kasus, yaitu 𝑖 = 1 dan 𝑖 ≠ 1 .
Jika 𝑖 = 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑐 1𝑛 𝑠 ∈ 𝑆 sehingga 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 .
Jika 𝑖 ≠ 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka  terdapat 𝑣 𝑛 𝑠 ∈ 𝑇 sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan  pembeda  kuat  lokal  dari 𝑣 𝑗 dan 𝑣 𝑙 . Oleh karena itu, 𝑣 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑛 𝑠 ) atau 𝑣 𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑛 𝑠 ). Berdasarkan definisi 𝐺 × 𝐻 diperoleh 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ). 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) dan 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) .  Berdasarkan Lemma  4.1 dapat  disimpulkan 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) sehingga 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan  pembeda kuat lokal dari dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 .
Kasus  2. Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dengan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) . Terdapat dua kemungkinan, yaitu 𝑗 = 1 dan 𝑗 ≠ 1 .
1. Jika 𝑗 = 1 terdapat dua kemungkinan 𝑥 ∈ 𝑆 atau 𝑥 ∉ 𝑆
Jika 𝑥 ∈ 𝑆 akibatnya 𝑦 ∈ 𝐼(𝑥, 𝑦) maka 𝑥 ∈ 𝑆 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 .
Jika 𝑥 ∉ 𝑆 akibatnya  terdapat 𝑐 1𝑛 𝑠 ∈ 𝑆 sehingga 𝑥 ∈ 𝐼(𝑦, 𝑐 1𝑛 𝑠 ) ,  maka 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 .
2. Jika 𝑗 ≠ 1 akibatnya  terdapat 𝑢 𝑖 , 𝑢 𝑘 ∈ 𝐺 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan basis  kuat  lokal  dari 𝐻 . 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , sehinga 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑘𝑗 , 𝑐 11 ) atau 𝑐 𝑘𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 11 ) . Berdasarkan Lemma 2.1 dapat disimpulkan bahwa 𝑐 11 ∈ 𝐼(𝑐 𝑘𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 11 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) sehingga 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan  pembeda  kuat  lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 .
Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa 𝑆 merupakan  himpunan  pembeda  kuat  lokal  dari  graf 𝐺 × 𝐻 dengan kardinalitas minimal. Diambil sebarang 𝑆 ′ ⊆ (𝐺 × 𝐻) dengan |𝑆 ′ | < |𝑆| maka kardinalitas maksimal dari 𝑆 ′ adalah |𝑆| − 1 . Akibatnya terdapat 𝑏 ∈ 1,2, … |𝑉(𝐺)| sehingga maksimal 𝑘 − 1 titik di 𝐻 𝑏 yang menjadi elemen di 𝑆 ′ . karena 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) = 𝑘 , maka terdapat dua titik yang bertetangga 𝑣 𝑝 , 𝑣 𝑞 ∈ 𝑉(𝐻 𝑏 ) yang tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ . Akibatnya dua titik yang bertetangga 𝑐 1𝑝 , 𝑐 1𝑞 di 𝐺 × 𝐻 tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ .
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa S merupakan himpunan pembeda kuat lokal yang  memiliki  kardinalitas  minimal.  Sehingga S merupakan  basis  kuat  lokal  graf 𝐺 × 𝐻 . ∎
Teorema 2.2 Misalkan 𝐻 adalah sebarang graf terhubung dengan ordo paling sedikit dua dan 𝐶 𝑚 adalah graf siklus berordo gasal, maka 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐶 𝑚 × 𝐻) = 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 𝐶 𝑚 + 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 𝐻 − 1 Bukti  : Misalkan 𝑉(𝐶 𝑚 ) = {𝑢 𝑖 | 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} dengan 𝑢 1 = 𝑢 𝑚 , 𝑉(𝐻) = {𝑣 𝑗 | 𝑗 = 1,2, … , 𝑛} dengan 𝑛 ≥ 2 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) = 𝑘 , 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } basis  dari 𝐻 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐶 𝑚 ) = 2 , 𝑃 = {𝑢 1 , 𝑢 𝑚+1 2 } merupakan  basis  dari 𝐶 𝑚 .  Misalkan 𝑆 =
{𝑐 1𝑛 1 , 𝑐 1𝑛 2 , … , 𝑐 1𝑛 𝑘 , 𝑐 𝑚+1 2 𝑛 1 } dengan |𝑆| = 𝑘 + 1 . Diambil sebarang dua titik bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 × 𝐻) . Berdasarkan definisi hasil kali kartesian diperoleh bahwa terdapat dua kemungkinan pasangan titik yaitu
1) Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) .
2) Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dengan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) .
Akan  ditunjukkan  bahwa  setiap  kemungkinan  pasangan  titik  tersebut  mempunyai pembeda kuat lokal di 𝑆 .
Kasus  1. Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) . Terdapat dua kemungkinan, yaitu 𝑖 = 1 dan 𝑖 ≠ 1 .
Jika 𝑖 = 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 . oleh karena itu, 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 . Jika 𝑖 ≠ 1 akibtanya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 dan 𝑣 𝑙 . Oleh karena itu, 𝑣 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑛 𝑠 ) atau 𝑣 𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑛 𝑠 ). Berdasarkan definisi 𝐺 × 𝐻 diperoleh 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ). 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) dan 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) .  Berdasarkan Lemma  2.1 dapat  disimpulkan bahwa 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) ,  sehingga 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan  pembeda  kuat lokal dari dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 .
Kasus  2. Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dengan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) . Terdapat dua kasus, yaitu 𝑗 = 1 dan 𝑗 ≠ 1 .
1. Jika 𝑗 = 1 terdapat dua kemungkinan 𝑥 ∈ 𝑆 atau 𝑥 ∉ 𝑆
Jika 𝑥 ∈ 𝑆 akibatnya 𝑦 ∈ 𝐼(𝑥, 𝑦) maka 𝑥 ∈ 𝑆 merupakan pembeda kuat lokal dari
𝑥, 𝑦 .
Jika 𝑥 ∉ 𝑆 akibatnya  terdapat 𝑐 1𝑛 𝑠 ∈ 𝑆 sehingga 𝑥 ∈ 𝐼(𝑦, 𝑐 1𝑛 𝑠 ) ,  maka 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan  pembeda  kuat  lokal  dari 𝑥, 𝑦 ,    atau  terdapat 𝑐 𝑚+1 2 𝑛 1 ∈ 𝑆 sehingga 𝑥 ∈ 𝐼(𝑦, 𝑐 𝑚+1 2 𝑛 1 ) maka 𝑐 𝑚+1 2 𝑛 1 merupakan  pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 .
2. Jika 𝑗 ≠ 1 . Terdapat 𝑢 𝑖 , 𝑢 𝑘 ∈ 𝐺 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 dan 𝑣 𝑙 . Oleh karena itu, 𝑣 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑛 𝑠 ) atau 𝑣 𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑛 𝑠 ). Berdasarkan definisi 𝐺 × 𝐻 dan 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , maka 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑘𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑘𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) . Oleh sebab itu, 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 .
Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa 𝑆 merupakan  himpunan  pembeda  kuat  lokal  dari  graf 𝐺 × 𝐻 dengan kardinalitas minimal. Diambil sebarang 𝑆 ′ ⊆ (𝐺 × 𝐻) dengan |𝑆 ′ | < |𝑆| maka kardinalitas maksimal dari 𝑆 ′ adalah |𝑆| − 1 . Tanpa Mengurangi keumuman bukti, akibatnya  terdapat 𝑎 ∈ 1,2, … |𝑉(𝐻)| sehingga maksimal satu  titik di 𝐺 𝑎 yang menjadi elemen  di 𝑆 ′ . Karena 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺) = 2 ,  akibatnya  terdapat  dua  titik 𝑢 𝑝 , 𝑢 𝑞 ∈ 𝑉(𝐺 𝑎 ) yang tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ . Akibatnya terdapat dua titik 𝑐 𝑝1 , 𝑐 𝑞1 di 𝐺 × 𝐻 yang tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ . Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa S merupakan himpunan pembeda kuat lokal yang memiliki kardinalitas minimal. Sehingga S merupakan basis kuat lokal graf 𝐶 𝑚 × 𝐻 . ∎
Teorema 2.3 Misalkan 𝐾 𝑚 adalah graf lengkap berordo m dan 𝐻 adalah graf  terhubung berordo lebih dari dua, maka
𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐾 𝑚 × 𝐻) = 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 𝐾 𝑚 + 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 𝐻 − 1 Bukti  : Misalkan 𝑉(𝐾 𝑚 ) = {𝑢 𝑖 | 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} , 𝑉(𝐻) = {𝑣 𝑗 | 𝑗 = 1,2, … , 𝑛} dengan 𝑛 ≥ 2 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) = 𝑘 , 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } basis dari 𝐻 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐾 𝑚 ) = 𝑚 − 1 , 𝑁 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑚−1 } merupakan basis kuat lokal dari 𝐾 𝑚 . Misalkan 𝑆 = {𝑐 1𝑛 1 , 𝑐 1𝑛 2 , … , 𝑐 1𝑛 𝑘 , 𝑐 2𝑛 1 , 𝑐 3𝑛 1 , … , 𝑐 𝑚−1𝑛 1 } . |𝑆| = 𝑚 + 𝑘 − 2 . Diambil sebarang dua titik bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 × 𝐻) . Berdasarkan definisi hasil kali kartesian diperoleh bahwa terdapat dua kemungkinan pasangan titik, yaitu
1. Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) .
2. Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 ,  dan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) .
Akan  ditunjukkan  bahwa  setiap  kemungkinan  pasangan  titik  tersebut  mempunyai pembeda kuat lokal di 𝑆 . Kasus  1. Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) . Terdapat dua kasus, yaitu 𝑖 = 1 dan 𝑖 ≠ 1 .
Jika 𝑖 = 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 . Oleh karena itu, 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 . Jika 𝑖 ≠ 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 dan 𝑣 𝑙 . Oleh karena itu, 𝑣 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑛 𝑠 ) atau 𝑣 𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑛 𝑠 ). Berdasarkan definisi 𝐺 × 𝐻 diperoleh 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ). 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) dan 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) .  Berdasarkan Lemma  2.1 dapat  disimpulkan bahwa 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) sehingga 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan  pembeda  kuat lokal dari dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 .
Kasus 2. Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) . Terdapat dua kasus, yaitu 𝑗 = 1 dan 𝑗 ≠ 1 .
1. Jika 𝑗 = 1 akibatnya 𝑦 ∈ 𝐼(𝑥, 𝑦) maka 𝑥 ∈ 𝑆 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 .
2. Jika 𝑗 ≠ 1 akibatnya 𝑢 𝑖 , 𝑢 𝑘 ∈ 𝐺 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan basis kuat lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat  lokal  dari 𝑣 𝑗 dan 𝑣 𝑙 .  Oleh  karena  itu, 𝑣 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑛 𝑠 ) atau 𝑣 𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑛 𝑠 ). Berdasarkan  definisi 𝐺 × 𝐻 dan 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , maka 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑘𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑘𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) . Oleh sebab itu, 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 .
Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa 𝑆 merupakan  himpunan  pembeda  kuat  lokal  dari  graf 𝐾 𝑚 × 𝐻 dengan kardinalitas minimal. Diambil sebarang 𝑆 ′ ⊆ (𝐾 𝑚 × 𝐻) dengan |𝑆 ′ | < |𝑆| maka  kardinalitas  maksimal  dari 𝑆 ′ adalah |𝑆| − 1 .  Tanpa  Mengurangi  keumuman bukti, akibatnya terdapat 𝑏 ∈ 1,2, … |𝑉(𝐾 𝑚 )| sehingga maksimal 𝑘 − 1 titik di 𝐻 𝑏 yang menjadi  elemen di 𝑆 ′ . Karena 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) = 𝑘 , akibatnya terdapat  dua titik 𝑣 𝑝 , 𝑣 𝑞 di 𝐻 𝑏 yang tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ . Sehingga terdapat dua titik 𝑐 1𝑝 , 𝑐 1𝑞 di 𝐺 × 𝐻 yang tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ .
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa S merupakan himpunan pembeda kuat lokal yang memiliki kardinalitas minimal. Sehingga S merupakan basis kuat lokal graf 𝐾 𝑚 × 𝐻 . ∎ Berdasarkan Teorema  2.1 , Teorema 2.2 , dan Teorema 2.3 diperoleh
Teorema 2.4 Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung berordo paling sedikit dua dan graf 𝐻 adalah graf  terhubung berordo paling sedikit dua, maka
𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺 × 𝐻) = 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 𝐺 + 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 𝐻 − 1 Bukti : Misalkan 𝑉(𝐺) = {𝑢 𝑖 | 𝑖 = 1,2, … , 𝑚} 𝑉(𝐻) = {𝑣 𝑗 | 𝑗 = 1,2, … , 𝑛} dengan 𝑛 ≥ 2 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐻) = 𝑘 , 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } basis  dari 𝐻 , 𝑑𝑖𝑚 𝑠𝑙 (𝐺) = 𝑡 , 𝑊 =
{𝑢 𝑥 1 , 𝑢 𝑥 2 , … , 𝑢 𝑥 𝑡 } merupakan basis dari 𝐺 . Misalkan 𝑆 =
{𝑐 1𝑛 1 , 𝑐 1𝑛 2 , … , 𝑐 1𝑛 𝑘 , 𝑐 2𝑛 1 , 𝑐 3𝑛 1 , … , 𝑐 𝑡−1𝑛 1 } . Diambil sebarang dua titik bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 × 𝐻) .  Berdasarkan  definisi  hasil  kali  kartesian  diperoleh  bahwa  terdapat  dua kemungkinan pasangan titik yaitu
1. Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) .
2. Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dengan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) .
Akan  ditunjukkan  bahwa  setiap  kemungkinan  pasangan  titik  tersebut  mempunyai pembeda kuat lokal di 𝑆 .
Kasus  1. Terdapat 𝑗, 𝑙 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 , dengan 𝑣 𝑗 𝑣 𝑙 ∈ 𝐸(𝐻) . Terdapat dua kasus, yaitu 𝑖 = 1 dan 𝑖 ≠ 1 .
Jika 𝑖 = 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 . oleh karena itu, 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 . Jika 𝑖 ≠ 1 akibatnya 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑙 ∈ 𝐻 dan 𝑇 = {𝑣 𝑛 1 , 𝑣 𝑛 2 , … , 𝑣 𝑛 𝑘 } merupakan  basis  kuat  lokal dari 𝐻 maka terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑘} sehingga 𝑣 𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑣 𝑗 dan 𝑣 𝑙 . Oleh karena itu, 𝑣 𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑙 , 𝑣 𝑛 𝑠 ) atau 𝑣 𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑛 𝑠 ). Berdasarkan definisi 𝐺 × 𝐻 diperoleh 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ). 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ) dan 𝑐 𝑘𝑛 𝑠 ∈ 𝐼 ( 𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) .  Berdasarkan Lemma  2.1 dapat  disimpulkan bahwa 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑙 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑖𝑙 ∈ 𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) sehingga 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan  pembeda  kuat lokal dari dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑖𝑙 .
Kasus 2. Terdapat 𝑖, 𝑘 ∈ {1,2, … , 𝑚} dan 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 , 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 , dan 𝑢 𝑖 𝑢 𝑘 ∈ 𝐸(𝐺) . terdapat dua kasus, yaitu 𝑗 = 1 dan 𝑗 ≠ 1 .
1. Jika 𝑗 = 1 terdapat dua kemungkinan 𝑥 ∈ 𝑆 atau 𝑥 ∉ 𝑆
Jika 𝑥 ∈ 𝑆 , akibatnya 𝑦 ∈ 𝐼(𝑥, 𝑦) maka 𝑥 ∈ 𝑆 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 .
Jika 𝑥 ∉ 𝑆 ,  akibatnya  terdapat 𝑐 1𝑛 𝑠 ∈ 𝑆 sehingga 𝑥 ∈ 𝐼(𝑦, 𝑐 1𝑛 𝑠 ) ,  maka 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 ,  atau terdapat 𝑐 𝑚𝑛 1 ∈ 𝑆 sehingga 𝑥 ∈ 𝐼(𝑦, 𝑐 𝑡𝑛 1 ) maka 𝑐 𝑡𝑛 1 merupakan  pembeda kuat lokal dari 𝑥, 𝑦 .
2. Jika 𝑗 ≠ 1 akibatnya 𝑢 𝑖 , 𝑢 𝑘 ∈ 𝑉(𝐺) dan 𝑊 = {𝑢 𝑥 1 , 𝑢 𝑥 2 , … , 𝑢 𝑥 𝑡 } merupakan basis dari 𝐺 maka  terdapat 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑡} sehingga 𝑢 𝑚 𝑠 merupakan  pembeda  kuat lokal  dari 𝑢 𝑖 dan 𝑢 𝑘 .  Oleh  karena  itu, 𝑢 𝑖 ∈ 𝐼 ( 𝑢 𝑘 , 𝑢 𝑡 𝑠 ) atau 𝑢 𝑘 ∈ 𝐼 ( 𝑢 𝑖 , 𝑢 𝑡 𝑠 ). Berdasarkan  definisi 𝐺 × 𝐻 diperoleh  bahwa 𝑐 𝑖𝑗 ∈ 𝐼(𝑐 𝑘𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) atau 𝑐 𝑘𝑗 ∈
𝐼(𝑐 𝑖𝑗 , 𝑐 1𝑛 𝑠 ) . Oleh sebab itu, 𝑐 1𝑛 𝑠 merupakan pembeda kuat lokal dari 𝑥 = 𝑐 𝑖𝑗 dan 𝑦 = 𝑐 𝑘𝑗 .
Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa 𝑆 merupakan  himpunan  pembeda  kuat  lokal  dari  graf 𝐺 × 𝐻 dengan kardinalitas minimal. Diambil sebarang 𝑆 ′ ⊆ (𝐺 × 𝐻) dengan |𝑆 ′ | < |𝑆| maka kardinalitas maksimal dari 𝑆 ′ adalah |𝑆| − 1 . Akibatnya terdapat 𝑏 ∈ 1,2, … |𝑉(𝐺)| sehingga maksimal 𝑘 − 1 titik di 𝐻 𝑏 yang menjadi elemen di 𝑆 ′ .
Akibatnya  terdapat  dua  titik  yang  bertetangga 𝑣 𝑝 , 𝑣 𝑞 ∈ 𝑉(𝐻 𝑏 ) yang  tidak  memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ . Akibatnya dua titik yang bertetangga 𝑐 1𝑝 , 𝑐 1𝑞 di 𝐺 × 𝐻 tidak memiliki pembeda kuat lokal di 𝑆 ′ . Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa S merupakan himpunan pembeda kuat lokal yang  memiliki  kardinalitas  minimal.  Sehingga S merupakan  basis  kuat  lokal  graf 𝐺 × 𝐻 . ∎

## 3 Kesimpulan
Dalam menentukan dimensi metrik kuat lokal graf hasil kartesian dari graf umum, terlebih dahulu  ditentukan  dimensi  metrik  graf  umum  dan  graf    khusus,  sehingga  diperoleh dimensi metrik kuat lokal graf 𝐺 × 𝐻 umum yaitu jumlah dimensi metrik kuat lokal graf 𝐺 dan 𝐻 – 1.

## 4 Saran
Berdasarkan hasil pembahasan pada bab sebelumnya, penelitian ini dapat dikembangkan untuk menentukan dimensi metrik kuat lokal pada graf hasil operasi kartesian tingkat k, operasi k-comb, dan sebagainya.

## 5 Daftar Pustaka
[1]   Chartrand,  G.  and  Lesniak,  L.,  2000, Graphs  and  Digraphs ,  Third Edition,Chapman & Hall/CRC, Florida.
[2] Saputro, S.W., Mardiana, N., and Purwasih, I.A., 2013, The Metrik Dimension of Comb  Product  Graphs ,  Graph  Theory  Conference  in  honor  of  Egwa’s  60th birthday.
[3] Iswandi, H., Simanjutak, and Baskoro. 2011. On The Metric Dimension of Corona Product  Graphs .  Prosiding  Seminar  Matematika  dan  Pendidikan  Matematik  1  : 196-201.
[4] Okamoto,  F.,  Crosse,  L.,  Phinezy,  B.,  and  Kalamazoo,  2010, The  Lokal  Metrik Dimension of a Graph , Mathematica Bohemica, 135:3, 239-255.
[5] Jannesari, M., and Omoomi, B., 2012, The Metrik Dimension of the Lexicographic Product of Graphs, Discrete Mathematics, 312, 3349-3356.
[6] Rodriguez-Valazquez,  J.A.,  Fernau,  H.,  2013, On  The  (adjacency)  Metrik Dimension  of  Corona  Product  Graphs  and  Their  Lokal  Variants ,  Combinatorial and Computational Results, Arxiv 1309.2275.vl (Math Co).
[7] Sebo, A. and Tannier, E., 2004, On Metrik Generator of Graphs , Mathematics of Operator Research, 29:2, 383-393.
[8] Kuziak,  D.,  Yero,  I.G.,  and  Rodriguez-Valazquez,  J.A.,  2013a, On  The  Strong Metrik  Dimension  of  Corona  Product  Graphs  and  Join  Graphs ,  Discrete  Appl. Math., 161, 1022-1027.
[9] Kuziak,  D.,  Yero,  I.G.,  and  Rodriguez-Valazquez,  J.A.,  2013b, Strong  Metrik Dimension  of  Rooted  Product  Graphs ,  International  Journal  of  Computer Mathematics., 93:8, 1265-1280.
[10]  Rodriguez-Valazquez, J.A., Yero, I.G., Kuziak, D., Oellermann, O.R., 2014, On the Strong  Metrik  Dimension  of  Cartesian  and  Direct  Product  Graphs ,  Dicrete Mathematics, 335, 8-19.
[11]  Yero,  I.G.,  Kuziak,  D.,  and  Rodriguez-Valazquez,  J.A.,  2011, On  The  Metrik Dimension  of  Corona  Product  Graphs ,  Computers  and  Mathematics  with Apllications, 68, 2793-2798.
[12]  Rodriguez-Valazquez,  J.A.,  A.  Gabriel,  Barragan-Ramirez,  and  Gomez,  C.G., 2016, On The Lokal Metrik Dimension of Corona Product Graphs , Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 39, 157-173.
[13]  Susilowati, L., Slamin, Utoyo, M. I., and Estuningsih, N. 2016. The Similarity of Metric Dimension and Local Metric Dimension of Rooted Product Graph . Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS) 97: 841-856.
[14]  Oellermann, O.R, Peters-Fransen, J., 2007, The Strong Metrik Dimension of Graphs and Digraphs , Discrete Appl. Math., 155, 356-364.
[15]  Susilowati, L., Rosfiana, A., Purwati, U.D., 2018, The Local Metric Dimension and The Strong Metric Dimension of Corona Product Graph Order-k Discrete Applied Mathematics , Manuscript Number DA9697, submitted.