## PEMETAAN KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS SEBAGAI PRASYARAT MATA KULIAH ANALISIS RIIL MAHASISWA PENDIDIKAN MATEMATIKA
Krisna S. Perbowo 1 , Trisna R. Pradipta 2
Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA 1 krisna_satrio@uhamka.ac.id 2 troymath@uhamka.ac.id

## ABSTRAK
Masalah  tentang  kemampuan  pembuktian  matematis  telah  banyak  dikaji  oleh  para  ahli pendidikan  matematika  baik  di  dalam  maupun  di  luar  negeri.  Studi  pendahuluan  ini  untuk memetakan  kemampuan  pembuktian  matematis  mahasiswa  yang  sangat  berperan  penting  dalam mempelajari mata kuliah analisis riil dan menganalisis learning obstacle yang dihadapi. Penelitian ini  menggunakan  pendekatan  kualitatif  yang  lebih  menekankan  pada  kajian  interpretative  namun dalam  hal  tertentu  akan  disajikan  secara  deskriptif  kuantitatif.  Data  penelitian  ini diperoleh melalui tes diagnostik terkait pembuktian matematis bentuk langsung, contrapositive , tidak langsung/ kontradiksi, dan counterexample . Subjek  penelitian  ini  merupakan  mahasiswa  yang mengikuti  mata  kuliah  analisis  riil  yang  dipilih  secara purposive  sampling .  Hasil  penelitian  ini menunjukkan  bahwa:  (1)  kebanyakan  mahasiswa  tidak  ingat  tentang  bentuk-bentuk  pembuktian; (2)  mahasiswa  tidak  mampu  membuat  pembuktian  matematika  bentuk  kontrapositif  dan kontradiksi;  dan  (3)  dominan  mahasiswa  tidak  mampu  mengaplikasikan  pembuktian  bentuk counterexample .  Salah  satu  faktor  penyebab  rendahnya  kemampuan  pembuktian  matematis mahasiswa  tersebut  menurut  hasil  wawancara  dengan  mahasiswa,  bahwa  mereka  lupa  dan  belum terbiasa  dalam  membuat  pembuktian  matematika  dan  belum  banyak  memahami  tentang pembuktian matematika.
Kata  Kunci  : Pembuktian  Matematis, Learning  Obstacle ,  Kemampuan  Pembuktian  Matematis,
Analisis Riil .

## PENDAHULUAN
Pendidikan  merupakan  salah  satu  elemen  penting  dalam  kemajuan  suatu  bangsa. Bangsa  yang  ingin  maju  haruslah  memajukan  pendidikannya  terlebih  dahulu.  Karena melalui pendidikan, individu dapat memperoleh ilmu, pengetahuan, dan keterampilan guna meningkatkan  kemampuan  berpikir,  berusaha,  dan  penguasaan  teknologi.  Sehingga diharapkan  individu  tersebut  dapat  memenuhi  segala  kebutuhan  dengan  segala keterampilan yang dimiliki. Salah satu upaya untuk memajukan pendidikan adalah dengan mempersiapkan  tenaga-tenaga  pendidik  atau  calon  guru  yang  handal  dan  professional, karena fungsi guru menurut Undang-Undang No. 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen adalah untuk meningkatkan mutu pendidikan nasional.

## Jurnal Pendidikan Matematika
Selain keterampilan mengajar, keterampilan berpikir rasional dan terstruktur sangat dibutuhkan  terutama  bagi  calon  guru  matematika.  Salah  satu  mata  kuliah  yang  melatih mahasiswa  pendidikan  matematika  untuk  berpikir  rasional  deduktif  dan  sistematis  adalah mata  kuliah  analisis  riil  (Mutaqin,  2010).  Mata  kuliah  analisis  riil  diberikan  pada mahasiswa semester VI yang telah memenuhi mata kuliah prasyarat diantaranya Pengantar Dasar Matematika dan Kalkulus Peubah Banyak.
Mata  kuliah  analisis  riil  termasuk  dalam  kategori  mata  kuliah  yang  dinilai  sangat sulit  bagi  mahasiswa  pendidikan  matematika  (Darmadi,  2011;  Mutaqin,  2010).    Salah satunya  dikarenakan  Analisis  Riil  banyak  membahas  pembuktian-pembuktian  teorema yang  sangat  memerlukan  berpikir  analitis  yang  tinggi  (Bartle,  1975).  Sedangkan  selama perkuliahan  mahasiswa  tidak  banyak  bersinggungan  dengan  proses  analisis  teorema  atau pembangunan argumen menggunakan teorema yang ada di dalam matematika.
Matematika  di  tingkat  perguruan  tinggi  menuntut  mahasiswa  calon  guru matematika agar mencapai tahap mathematical maturity (kedewasaan matematis). Di tahap ini  mahasiswa  tidak  lagi  hanya  mendalami  pemecahan  masalah  yang  telah  diketahui metode  dan  algoritmanya,  namun  lebih  kepada  menulis  pembuktian  dan  menghasilkan counterexample yang melibatkan objek dan konsep yang abstrak, serta melakukan aktivitas matematis dengan algoritma yang tidak didefinisikan (Kurtz, 1992).
Dengan  melihat  perkembangan  pembelajaran  Analisis  Riil  dan  berbagai  kesulitan yang  muncul  dari  diri  mahasiswa,  maka  peneliti  merasa  perlu  untuk  memetakan kemampuan  pembuktian  matematis  yang  sangat  berperan  penting  dalam  mempelajari subjek Analisis Riil.

## KAJIAN TEORI

## Analisis Riil
Menganalisis  sistem  bilangan  riil  maknanya  adalah  untuk  memahami  bagian- bagian,  himpunan,  barisan,  fungsi,  dan  hubungan  antarbagian  bilangan  riil  sehingga diperoleh pengertian dan sifat-sifat secara tepat dan menyeluruh (Darmadi, 2011; Bartle & Sherbert, 2011). Subjek matematika yang secara khusus membahas tentang analisis terkait system bilangan riil adalah analisis riil.
Analisis  riil  merupakan  salah  satu  subjek  yang  dipelajari  oleh  mahasiswa matematika murni  atau matematika  terapan  maupun  pendidikan  matematika  di  perguruan tinggi.  Tujuan  dari  mempelajari  adalah  untuk  mengembangkan  kemampuan  berpikir
deduktif,  kemampuan  analisis  situasi  matematis,  dan  mengembangkan  ide  matematis dalam  beragam  konteks  (Bartle  &  Sherbert,  2011).  Untuk  mempelajari  analisis  riil diperlukan  beberapa  kemampuan  prasyarat  seperti  penalaran,  logika  dan  pembuktian matematik  yang  diperoleh  dari  mempelajari  subjek  pengantar  dasar  matematika  dan kalkulus.
Dengan memperoleh pengalaman dari mempelajari analisis riil akan meningkatkan mathematical  maturity (kedewasaan  matematis)  mahasiswa  yang  sangat  berguna  dalam proses berpikir tingkat tinggi.

## Kemampuan Pembuktian Matematis
Salah  satu  sifat  dari  matematika  adalah  terstruktur  secara  deduktif  aksiomatik. Kebenaran  yang ada didalam matematika didasari oleh kebenaran sebelumnya  yang telah disepakati. Struktur  yang ada di dalam matematika diawali dengan definisi, aksioma atau postulat, dan teorema.
Teorema yang muncul harus melalui proses pembuktian matematis secara deduktif untuk memeriksa bahwa teorema berlaku secara umum pada sistemnya. Terkadang untuk menemukan  sifat  atau  prinsip  yang  ada  dalam  matematika  tidak  selalu  diperoleh  dengan proses  berpikir  deduktif,  namun  juga  diperoleh  dengan  proses  berpikir  induktif.  Baik perolehannya  dari  hasil  berpikir  deduktif  dan  induktif,  kebenarannya  matematika  tidak boleh hanya berasal dari asumsi umum hasil berpikir induktif. Selain kemampuan berpikir deduktif dan induktif, untuk bisa memiliki kemampuan pembuktian matematis diperlukan pemahaman dan penguasaan konsep dasar matematika yang baik (Santosa, 2013). Adapun menurut Selden & Selden (2003) kemampuan pembuktian matematis meliputi:
1. Kemampuan menyusun pembuktian.
2. Kemampuan memvalidasi bentuk pembuktian.

## Learning Obstacle
Salah  satu  aspek  yang  perlu  menjadi  pertimbangan  bagi  pengajar  adalah  adanya learning  obstacle .  Brown  (2008)  mendefinisikan obstacle sebagai  suatu  cara  pemahaman ( way  of  knowing )  yang  secara  produktif  berfungsi  pada  beberapa  seting  pembelajaran, sementara  hal  tersebut  mendukung  terbentuknya  kesalahan  pada  cara  pemahaman  yang lainnya. Produktivitas atau keberhasilan ini dikatakan cara pemahaman yang mengakar bila hal tersebut sulit untuk diubah. Itulah yang dinamakan dengan obstacle .

## Jurnal Pendidikan Matematika
Obstacle memiliki  tiga  bentuk,  yaitu: ontogenis,  didaktis, dan epistemologis . Hambatan ontogenis berkaitan  dengan  hambatan  yang  muncul  karena  perkembangan siswa, hal ini akibat dari tingkat perkembangan anak. Hambatan didaktis adalah hambatan yang  muncul  sebagai  akibat  dari  cara  pengajaran  dan  oleh  karena  itu  dapat  dihindari melalui  pengembangan  pendekatan  instruksional  alternatif  atau  desain  didaktis  alternatif. Hambatan Epistemologis berkaitan  dengan  sesuatu  yang  timbul  akibat  dari  pendekatan pengajaran, asal mulanya adalah dari konsep itu sendiri (yang diajarkan), dengan kata lain untuk  mengatasi  hambatan  tersebut  adalah  bagian  dari  konstruksi  kebermaknaan  suatu konsep (Brown, 2008).
Learning  obstacle yang  bersifat epistemologis merupakan  salah  satu  aspek  yang diperlukan pengajar dalam mengembangkan Antisipasi Didaktis dan Pedagogis (ADP). Ini bukan  berarti  dengan  memodifikasi  desain  didaktis  (atau setting )  pengajar  tidak  lagi membuat  hambatan  didaktis  yang  sama  melainkan  dengan  membuat  alternatif  desain didaktis  (atau setting ),  pengajar  dapat  mengurangi  kemungkinan  munculnya  hambatan yang  sama,  selain  itu  hal  ini  juga  dapat  memperbesar  kemungkinan  proses  diagnostik peserta didik (Brown, 2008).

## METODE PENELITIAN

## Pendekatan Penelitian
Penelitian  ini  membutuhkan  data  yang  bersifat  kualitatif,  namun  tidak  tertutup kemungkinan  dalam  hal  tertentu  akan  disajikan  secara  deskriptif  kuantitatif.  Dalam penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, yaitu pendekatan dalam mengolah data mulai  dari  mereduksi,  menyajikan,  memverifikasi,  dan  menyimpulkan  data,  dengan  tidak menggunakan  perhitungan-perhitungan  secara  matematis  dan  statistik,  melainkan  lebih menekankan pada kajian interpretatif (Moleong, 2007).
Peneliti  membuat  gambaran  kompleks  bersifat  holistik,  menganlisis  kata-kata, melaporkan  pandangan-pandangan  para  informan  secara  rinci,  dan  melakukan  penelitian pada  suatu  konteks  khusus  yang  alamiah.  Hal  ini  dikarenakan  yang  menjadi  objek penelitiannya seringkali bersifat unik, kasuistis, dan tidak ada duanya. Untuk memperoleh pemahaman  mendalam  dari  fenomena/kasus  yang  terjadi  secara  ilmiah  yang  berkaitan dengan  kajian  di  atas,  maka  peneliti  berperan  sebagai  instrumen  utama  dalam pengumpulan  data  dengan  cara  mengobservasi  langsung  subjek  yang  diteliti  (Irawan, 2007); pandangan peneliti berperan sebagai instrumen untuk memahami dan menjelaskan
situasi  hambatan  belajar  ( learning  obstacle )  mahasiswa  pendidikan  matematika  FKIP dalam  melakukan  pembuktian  matematik.  Hal  ini  sebagaimana  yang  dijelaskan  oleh Moleong (2007) bahwa hanya manusia sajalah yang dapat berhubungan dengan responden atau objek lainnya, dan hanya manusia sajalah yang mampu memahami kaitan kenyataan- kenyataan di lapangan.

## Teknik Pengumpulan Data
Penelitian  meliputi  identifikasi kesulitan/hambatan  belajar  mahasiswa  dan pemetaan  kemampuan  pembuktian matematik mahasiswa.  Kesulitan-kesulitan  mahasiswa pada  pembuktian  matematik  yang  diajukan  dilihat  dari  sudut  pandang  karakteristik kesulitan  mahasiswa.  Sedangkan  data  kemampuan  pembuktian  matematik  diperoleh melalui  tes  diagnostik  terkait  pembuktian  matematik  bentuk  langsung, contrapositive , tidak  langsung/kontradiksi,  dan counterexample .  Instrumen  tes  diagnostik  pembuktian matematik telah melalui tahap validasi pakar agar mendapatkan instrumen yang memenuhi kriteria  valid  dan  reliabel.  Jawaban  pertanyaan  tes  digunakan  sebagai  sumber  data.  Data yang  tidak  terungkap  melalui  tes  diperdalam  dengan  mempergunakan  wawancara (Moleong, 2007) dan kajian kepustakaan (Irawan, 2007).

## Subjek Penelitian dan Sumber Data
Subjek  penelitian  ini  merupakan  mahasiswa  pendidikan  matematika  semester  VI yang  mengikuti  mata  kuliah  Analisis  Riil  tahun  ajaran  2015/2016.  Sumber  data  yang dipergunakan  untuk  kepentingan  analisis  dalam  penelitian  ini  dibagi  dalam  dua  kategori, yaitu:  1)  hasil  tes  responden  terkait  pembuktian  matematik,  2)  sumber  responden,  dipilih secara purposive  sampling ,  yang  didasarkan  pada  kriteria:  memiliki  peran  penting pembelajaran analisis riil, memiliki pengetahuan berharga sesuai dengan kajian penelitian, dan memiliki keinginan bekerja sama serta berbagi informasi tentang kajian penelitian.

## Teknik Analisis Data
Data  yang  terkumpul  dalam  penelitian  ini  berupa  data  verbal.  Analisis  data menggunakan model interaktif dari Milles dan  Hubarmen (Supriatna, 2011), analisis data dilakukan mengikuti tahap-tahap berikut:
1. Pengumpulan data
Pada  tahap  ini  data  kesulitan-kesulitan  responden  terkait  pembuktian  matematis diperoleh  dari  hasil  tes,  data  yang  tidak  terungkap  melalui  tes  diperdalam  dengan menggunakan teknik wawancara dan dokumentasi.
2. Reduksi data
Data yang diperoleh di lapangan selanjutnya dipilih sesuai dengan tujuan permasalahan yang  ingin  dicapai.  Dari  hasil  kegiatan  mereduksi  data  ini,  data  terpilih  kemudian dipisahkan  dari  data  yang  tidak  perlu.  Akan  tetapi,  data  tersebut  tidak  dihilangkan. Maksudnya,  data  lain  yang  terungkap  lewat  pengambilan  data  tetap  dipertimbangkan untuk mendukung data utama. Selanjutnya, data setiap aspek diteliti.
3. Penyajian data
Dalam  tahap  ini,  data  akan  disajikan  secara  kuantitatif  deskriptif  yaitu  dalam  bentuk tabel dan presentase, adapun aspek-aspek yang diteliti sesuai identifikasi penelitian.

## 4. Penarikan kesimpulan
Dari  gambar  1  menunjukan  bahwa  penarikan  kesimpulan  diperoleh  setelah  kegiatan mereduksi  data  dan  menyajikan  data.  Kesimpulan  merupakan  hasil  kegiatan mengaitkan pertanyaan-pertanyaan penelitian dengan data yang diperoleh di lapangan.
Setelah data terkumpul, analisis akan dilakukan dengan cara induktif, mendekatkan data temuan pada teori landasan, sebagaimana yang dijabarkan oleh Miles dan Huberman (Supriatna, 2011) langkah-langkah dan analisisnya adalah sebagai berikut:
1. Mengidentifikasi  kesulitan-kesulitan  mahasiswa (learning  obstacles) pada  pembuktian matematik.
2. Mengidentifikasi kemampuan pembuktian matematis mahasiswa.
3. Menarik kesimpulan.
Pengumpulan data Reduksi data Penarikan kesimpulan Penyajian data
Gambar 1. Komponen-komponen Analisis Data

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Kemampuan  mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian  matematik  meliputi, pembuktian  langsung  bentuk  implikasi,  pembuktian contrapositive, pembuktian  tidak langsung berupa bentuk reductio ad absurdum atau kontradiksi.
Mahasiswa diberikan dua masalah berupa teorema yang berbeda. Masalah pertama, mahasiswa melakukan 3 macam pembuktian dari sebuah teorema seperti berikut. Teorema:
“Jika x dan y bilangan genap, maka x + y merupakan bilangan genap”
Untuk jenis pembuktian langsung diperoleh sebagaimana gambar 2 berikut.

## Gambar 2. Persentase Kemampuan Pembuktian Bentuk Implikasi Mahasiswa
Berdasarkan  gambar  2  diketahui  dominan  mahasiswa  yaitu  40%  mampu memberikan bukti yang lengkap dan benar, sedangkan hanya 3%  yang memberikan bukti tidak lengkap sehingga pembuktian tercapai.
Untuk  jenis  pembuktian  bentuk  kontrapositif  diperoleh  sebagaimana  gambar  3 berikut.
Gambar 3. Persentase Kemampuan Pembuktian Bentuk Kontrapositif Mahasiswa

## Jurnal Pendidikan Matematika
Dominan  mahasiswa  yaitu  79%  tidak  mampu  menuliskan  pembuktian  teorema sama sekali, dan tidak ada mahasiswa yang dapat memberikan bukti teorema menggunakan bentuk kontrapositif.
Untuk  jenis  pembuktian  bentuk  kontradiksi  diperoleh  sebagaimana  gambar  4 berikut.
Gambar 4. Persentase Kemampuan Pembuktian Bentuk Implikasi Mahasiswa
Dominan  mahasiswa  yaitu  83%  tidak  mampu  menuliskan  pembuktian  teorema sama sekali, sedangkan hanya 6% mahasiswa yang dapat memberikan bukti secara lengkap dan benar.
Terkait  bentuk  pembuktian counterexample di  sini  tidak  muncul  dikarenakan penggunaan  bentuk  pembuktian counterexample digunakan  pada  premis/teorema  yang bernilai salah.
Dari hasil pengujian kemampuan matematik berdasarkan dua bentuk masalah, yaitu memberikan  bukti  matematik  dan  validasi  bentuk  pembuktian  terlihat  kemampuan mahasiswa dalam melakukan pembuktian matematik yang meliputi, pembuktian langsung bentuk  implikasi,  pembuktian contrapositive, pembuktian  tidak  langsung  berupa  bentuk reductio ad absurdum atau kontradiksi masih sangat rendah.
Bentuk  pembuktian  yang  paling  sulit  dilakukan  oleh  mahasiswa  adalah  bentuk kontrapositif  dan  kontradiksi,  hal  ini  terlihat  dari  tidak  mahasiswa  yang  mampu memberikan  pembuktian  bentuk  kontrapositif  sama  sekali,  sedangkan  hanya  6% mahasiswa yang mampu memberikan bentuk pembuktian kontradiksi.
Di  lain  pihak,  mahasiswa  terlihat  lebih  mudah  untuk  melakukan  pembuktian langsung  bentuk  implikasi.  Sebagaimana  data  menunjukkan  sebanyak  40%  mahasiswa yang mampu menyajikan bentuk pembuktian langsung secara lengkap dan benar.
Kemudian,  ketika  mahasiswa  diuji  untuk  memvalidasi  dan  membedakan  bentuk pembuktian,  diperoleh  rendahnya  pemahaman  mahasiswa  terkait  bentuk  pembuktian matematik.  Hal  ini  terlihat  dari  10  item  yang  diujikan  paling  banyak  hanya  6  mahasiswa (18%) yang mampu memvalidasi dan membedakan bentuk pembuktian.
Indikasi  kesukaran  dalam  kemampuan  pembuktian  ini  sejalan  dengan  yang dinyatakan  oleh  Kurtz  (1992),  “ a  major  part  of  the  difficulty (dalam  melakukan pembuktian-pen) seems  to  be  due  to  an  imprecise  knowledge  of  the  fundamentals  of mathematics;  logic,  sets,  relations,  and  functions ”.  Kurangnya  penguasaan  materi prasyarat sangat mempengaruhi penguasaan mahasiswa dalam pembuktian matematik.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan di atas, dapat dikemukakan beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Dominan  mahasiswa  yang  tidak  bisa  menjawab  karena  lupa  atau  tidak  ingat  tentang bentuk  pembuktian,  padahal  pada  beberapa  mata  kuliah,  mahasiswa  melakukan pembuktian matematik.
2. Mahasiswa tidak mampu membuat pembuktian matematis bentuk kontrapositif.
3. Kebanyakan  mahasiswa  tidak  mampu  membuat  pembuktian  matematika  bentuk kontradiksi.
4. Mahasiswa  tidak  mampu  mengaplikasikan  pembuktian  bentuk counterexample dikarenakan  mahasiswa  menganggap counterexample hanya digunakan  pada  premis yang bernilai salah.

## REKOMENDASI
1. Perlunya  perhatian  lebih  ketika  mengenalkan  pembuktian  matematik  (dalam  hal  ini terutama pada mata kuliah Pengantar Dasar Matematika).
2. Perlunya  penelitian  yang  menganalisis  lebih  lanjut  terkait obstacle (hambatan)  dalam mempelajari pembuktian matematis.
3. Para  dosen  perlu  bersinergi  dalam  memberikan  penguatan  dan  pengingat  terhadap bentuk pembuktian yang digunakan dalam pembelajaran mata kuliah yang diampu.

## Jurnal Pendidikan Matematika

## REFERENSI
Bartle, R.G. & Sherbert, D.R. (2011). Introduction to Real Analysis – 4 th Edition.  Illinois: John Wiley & Sons.
Bartle.  R.G.  (1975).  The  Elements  of  Real  Analysis. Second  Edition .  New  York:  John Wiley & Sons.
Brown, S.A. (2008). Exploring Epistemological Obstacle To The Development of Mathematics Induction . Proceeding of The 11 th Conference For Research on Undergraduate Mathematics Education. San Diego.
Darmadi.  (2011).  Prosiding  dari  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan Matematika: Matematika  dan  Pendidikan  Karakter  dalam  Pembelajaran . Yogyakarta: Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
Irawan, P. (2007). Penelitian Kualitatif & Kuantitatif Untuk Ilmu-Ilmu Sosial . Depok: DIA FISIP UI.
Kurtz, D.C. (1992). Foundations of Abstract Mathematics. Singapore: McGraw-Hill.
Moleong, L.J. (2007). Metodologi Penelitian Kualitatif . Bandung: Rosda.
Mutaqin,  A.  (2010).  Mengapa  Harus  Belajar  Analisis  Real.  Diperoleh  dari https://anwarmutaqin.wordpress.com/2010/03/05/mengapa-harus-belajar-analisis- real/ (2016, 25 April).
Santosa, C.A.H.F. (2013). Mengatasi Kesulitan Mahasiswa Ketika Melakukan Pembuktian Matematis Formal. Jurnal Pengajaran MIPA, 18 (2), 152-160.
Selden, A & Selden, J. (2003). Validations of Proofs Considered as Texts: Can Graduates Tell  Whether  an  Argument  Proves  a  Theorem?. Journal  for  Research  in Mathematics Education, 34 (1), 4-36. Supriatna, T. (2011). Pengembangan Desain Didaktis Bahan Ajar Pemecahan Masalah Matematis Luas Daerah Segitiga Pada Sekolah Menengah Pertama . Tesis SPs. UPI. Bandung: Tidak Diterbitkan.
Undang-Undang No. 14 Tahun 2005 Tentang Guru dan Dosen.