## PENERAPAN PENDEKATAN MATEMATIKA REALISTIK DALAM MENGKONSTRUKSI ALGORITMA PERKALIAN SISWA SD
Oleh: Cut Morina Zubainur
Abstrak : Dalam penerapan PMRI di sekolah, siswa belajar secara mandiri atau berkelompok untuk  menentukan  strategi  penyelesaian  kontekstual.  Strategi  ini  dikembangkan  dan diciptakan sendiri oleh siswa ( free production ) dalam bentuk matematika informal (diagram, gambar, kode, simbol, dan lainnya) dan juga matematika formal seperti konsep dan algoritma yang  telah  mereka  pelajari  sebelumnya.  Guru  memfasilitasi  pembentukan  matematika informal menjadi matematika formal yang standar. Aktifitas belajar berlangsung secara maju melalui diskusi interaktif antara siswa dan guru. Pendekatan realistik merupakan pendekatan pembelajaran  matematika  yang  memberikan  kesempatan  kepada  siswa  untuk  terlibat  secara aktif  dan  mentalnya  dalam  mengkonstruksi  pengetahuan  yang  dikaitkan  dengan  pengalaman kehidupan  nyata  siswa.  Tulisan  ini  akan  membahas  contoh  soal  kontekstual  dan  alternatif jawaban  siswa  yang  muncul  pada  proses  pembelajaran  yang  bertujuan  mengkonstruksi algoritma  perkalian.  Proses  ini  diperlukan  untuk  menjembatani  siswa  dalam  melakukan perkalian  yang  hasilnya  bilangan  tiga  angka.  Perkalian  yang  hasilnya  bilangan  tiga  angka merupakan  salah  satu  kompetensi  dasar  yang  harus  dicapai  siswa  kelas  III  semester  1 berdasarkan  Kurikulum  Tingkat  Satuan  Pendidikan  (KTSP).  Alternatif  jawaban  siswa didasarkan pada pengamatan yang dilakukan terhadap siswa SD Negeri 69 Banda Aceh, SDIT Nurul Ishlah Banda Aceh, dan SD Negeri 3 Banda Aceh.
Kata kunci: penerapan, PMRI,mengkonstruksi, algoritma, perkalian
Pendekatan realistik merupakan pendekatan  pembelajaran  matematika  yang memberikan  kesempatan  kepada  siswa  untuk terlibat  secara  aktif  dan  mentalnya  dalam mengkonstruksi  pengetahuan  yang  dikaitkan dengan  pengalaman  kehidupan  nyata  siswa (Hadi, 2005). Pembelajaran matematika dengan  menggunakan  pendekatan  realistik pertama  sekali  dikembangkan  di  Belanda semenjak  tahun  1971  dengan  nama  RME ( Realistic Mathematics Education ) yang berdasar  pada  konsep  Fruedenthal  yang mengatakan  bahwa  matematika  merupakan aktivitas manusia (Fruedenthal dalam
Gravemeijer, 1994). RME di Indonesia dikenal dengan  Pendidikan  Matematika  Realistik Indonesia (PMRI).
PMRI  didasarkan  pada  argumen Freudental  (1973)  bahwa  matematika  harus tidak disajikan pada siswa dalam bentuk hasil- jadi ( a ready-made product ) tetapi siswa harus belajar  menemukan  kembali  konsep-konsep matematika tersebut. Siswa membentuk sendiri  konsep  dan  prosedur  matematika ( conceptual  mathematization ,  De  Lange,
1987)  melalui  penyelesaian  permasalahan yang  realistik  dan  kontekstual.  Hal  ini  sesuai dengan  pandangan  teori constructivism yang menyatakan  bahwa  pengetahuan  matematika tidak  dapat  diajarkan  oleh  guru  tetapi dibangun sendiri oleh siswa (Nur, 2001).
Menurut Gravemeijer (1994) terdapat tiga  prinsip  utama  dalam  PMRI,  yaitu  (1) penemuan  terbimbing  dan  bermatematika secara maju ( guided reinvention and progressive  mathematizartion ),  (2)  realitas ( realty principle) , dan (3) model pengembangan mandiri ( self-developed model ).
Prinsip  penemuan  terbimbing  berarti siswa diberikan kesempatan untuk menemukan sendiri konsep matematika dengan menyelesaikan berbagai soal kontekstual. Soal kontekstual ini mengarahkan siswa  membentuk  konsep,  menyusun  model, menerapkan  konsep  yang  telah  diketahui,  dan menyelesaikannya
berdasarkan kaidah matematika yang berlaku (Treffers & Goffree, 1985).  Berdasarkan  soal,  siswa  membangun model  dari  ( model  of )  situasi  soal  (dalam
Cut Morina Zubainur, S.Pd, M.Pd adalah Dosen Prodi Pendidikan Matematika FKIP Unsyiah
bentuk formal atau tidak), kemudian menyusun  model  matematika  untuk  ( model for ) menyelesaikannya hingga siswa mendapatkan pengetahuan formal matematika.
Prinsip  bermatematika  secara  maju
dapat  dibagi  atas  dua  komponen  yaitu bermatematika secara horizontal, siswa mengidentifikasi bahwa soal kontekstual harus ditransver  ke  dalam  soal  bentuk  matematika untuk  lebih  dipahami  lebih  lanjut.  Dalam bermatematika secara vertikal, siswa menyelesaikan bentuk matematika formal atau tidak  formal  dari  soal  kontekstual  dengan menggunakan  konsep,  operasi  dan  prosedur (aturan,  rumusan,  dan  kondisi)  matematika yang
berlaku.
Siswa
menunjukkan hubungandari rumus yang digunakan, membuktikan aturan matematika yang berlaku, membandingkan  model,  menggunakan  model yang berbeda, mengkombinasikan dan menerapkan  model, serta  merumuskan  konsep matematika  dan  mengeneralisasikannya  (De Lange, 1987).
Prinsip  realitas  ( realty  principle) menekankan  pentingnya  soal  kontekstual untuk memperkenalkan topik-topik matematika  kepada  siswa.  Soal  kontekstual didefinisikan
sebagai soal
yang merepresentasikan  hadirnya  lingkungan  yang nyata bagi siswa (Gravemeijer, 1999).
Pengertian nyata bukan sebatas apa nyata pada pandangan  siswa  tetapi  juga  semua  hal  yang dapat  dibayangkan  siswa,  terjangkau  oleh imajinasinya  (Van  den  Heuvel-Panhuizen, 1996).  Dalam  hal  ini  konteks  merujuk  pada situasi  dalam  hidup  sehari-hari,  situasi  yang bersifat  fantasi , dan  juga  soal  matematika  itu sendiri ( bare mathematical problems ).
Prinsip  ketiga  adalah  pengembangan model  mandiri  ( self-developed  model )  yang berfungsi  menjembatani  antara  pengetahuan matematika  tidak  formal  dan  formal  dari siswa. Dalam menyelesaikan masalah kontekstual dari situasi nyata, siswa menemukan  model  untuk  ( model  for )  bentuk tersebut  (bentuk  formal  matematika),  hingga mendapatkan  penyelesaian  masalah  tersebut dalam  bentuk  pengetahuan  matematika  yang standar.
Dalam  penerapan  PMRI  di  sekolah, siswa belajar secara mandiri atau berkelompok
untuk menentukan strategi penyelesaian kontekstual.  Strategi  ini  dikembangkan  dan diciptakan sendiri oleh siswa ( free production ) dalam  bentuk  matematika  informal  (diagram, gambar,  kode,  simbol,  dan  lainnya)  dan  juga matematika formal seperti konsep dan algoritma yang telah mereka pelajari sebelumnya. Guru  memfasilitasi pembentukan matematika  informal  menjadi  matematika formal yang standar. Aktifitas belajar berlangsung  secara  maju  melalui  diskusi interaktif antara siswa dan guru.
Pengembangan fenomena
pembelajaran dijelaskan oleh Streefland (1990)  dalam  teori  pengajaran  5  x  5  ( the  five tenets of the instructional theory of RME ).
a. Belajar  merupakan  aktivitas  konstruksi yang  distimulasikan  dengan  kekonkritan ( concreteness )  dan  mengajar  melibatkan penggunaan soal yang dikenal siswa.
b. Belajar merupakan proses jangka panjang yang bergerak dari konkrit menuju abstrak dan  mengajar  memfasilitasi  siswa  dari pengetahuan  matematika  tidak  formal menuju matematika formal.
c. Belajar  difasilitasi  oleh  refleksi  terhadap pola  pikir  mandiri  dan  pola  pikir  orang lain,  dan  mengajar  meliputi  pendorongan siswa untuk melihat kembali dan merefleksikannya dalam proses belajar.
d. Belajar melibatkan konteks sosial-budaya, jadi mengajar meliputi pemberian kesempatan berkomunikasi
dan bekerjasama  dalam  kelompok  kecil  atau diskusi kelas.
e. Belajar merupakan pengkonstruksian pengetahuan  dan  keterampilan  menuju bentuk  yang  terstruktur,  dan  mengajar melibatkan  berbagai  aspek  yang  saling berkaitan.
Berdasarkan  uraian  prinsip  RME  di atas,  maka  pembelajaran  matematika  yang dilaksanakan  di  kelas  hendaknya  memberikan kepada  siswa  situasi  masalah  yang  dapat mereka  bayangkan  atau  miliki  hubungan dengan dunia  nyata. Nyata  yang dimaksudkan dalam realistik selain dekat dengan kehidupan sehari-hari  siswa,  juga  dapat  dibayangkan (nyata  dalam  pikiran)  siswa.  Sehingga  proses pembelajaran  dapat  memberi  kesempatan kepada  siswa  mengkonstruksi  pemahamannya
tentang  matematika.  Hal  ini  diharapkan  dapat mengaktifkan  siswa,  melatih  siswa  berlaku demokratis,  membuat  kelas  menyenangkan, dan  memacu  guru  untuk  meningkatkan  hasil belajar siswa.
Pembahasan Prinsip  kedua  PMRI  menekankan pada pentingnya konteks dalam
memperkenalkan topik-topik matematika kepada  siswa.  Konteks  dimanfaatkan  sebagai bahan  ilustrasi  dari  soal  matematika.  Soal kontekstual dalam PMRI didefinisikan sebagai soal yang merepresentasikan hadirnya lingkungan yang nyata bagi siswa. Nyata yang dimaksud  adalah  semua  kondisi  dekat  dengan kehidupan  sehari-hari  siswa,  atau  dapat dibayangkan  (nyata  dalam  pikiran),  dan terjangkau  oleh  imajinasi  siswa.  Hal  yang perlu  dipertimbangkan  adalah  bahwa  soal kontekstual  tersebut  cocok  untuk  proses matematisasi,  dimana  siswa  dapat  mengenal situasinya dan dapat
menggunakan pengetahuan  mereka  untuk  memodelkan  dan menyelesaikannya.
Beberapa fungsi utama konteks menurut  pendapat  Van  den  Heuvel-Pahuizen (1996) adalah:
1. Konteks  membantu  agar  soal  dapat dipecahkan Soal  kontekstual  yang  disajikan  dengan menarik  akan  memudajkan  siswa  untuk membayangkan  soal  secara  visual  dan menangkap  maksud  soal  tersebut  serta dapat  mengilustrasikannya  dalam  bentuk yang berbeda (gambar dan bagan). Dalam hal  ini  siswa  dapat  menggunakan  model matematika  yang  formal  maupun  yang tidak  formal.  Bentuk  matematika  yang tidak formal
seperti membuat gambar/ilustrasi  tentang  soal  tersebut dalam  bentuk  berbeda  dari  semula. Misalnya  soal  yang  berkaitan  dengan suatu benda yang dikelompokan.
Kelompok-kelompok tersebut dapat digambarkan  dengan  gambar  lingkaran, sedangkan bendanya digambarkan dengan bundaran-bundaran dalan lingkaran tersebut  sebanyak  benda  yang  disebutkan dalam soal.
2. Konteks  menunjang  terbentuknya  ruang gerak dan transparansi soal Konteks  akan  memberikan  kesempatan bagi  siswa  menunjukkan  kemampuannya. Soal  tentang  perkalian  misalnya  jumlah penghapus  yang  ada  dalam  13  kemasan, dimana  tiap-tiap  kemasan  terdiri  dari  6 penghapus  merupakan  contoh  dimana siswa dapat menghasilkan konsep perkalian sebagai penjumlahan berulang.
3. Konteks dapat melahirkan berbagai variasi strategi
Konteks  soal  seperti  pada  butir  2  di  atas mengandung  saran  untuk  siswa  dalam menggunakan kemampuannya untuk menyusun  banyak  strategi  penyelesaian. Setiap strategi yang dirancang merupakan inspirasi  langsung  dari  soal  tersebut. Tingkat  kedalaman  dan  konsep  yang digunakan siswa mengindikasikan kedalaman  pengetahuan  matematika  yang telah dimilikinya.
Berikut  akan  diulas  contoh  soal kontekstual  dan  alternatif  jawaban  siswa  yang muncul  pada  proses  pembelajaran  yang bertujuan mengkonstruksi algoritma perkalian. Proses  ini  diperlukan  untuk  menjembatani siswa  dalam  melakukan  perkalian  yang hasilnya  bilangan  tiga  angka.  Perkalian  yang hasilnya  bilangan  tiga  angka  merupakan  salah satu  kompetensi  dasar  yang  harus  dicapai siswa  kelas  III  semester  1  berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP).  Alternatif  jawaban  siswa  didasarkan pada  pengamatan  yang  dilakukan  terhadap siswa SD Negeri 69 Banda Aceh, SDIT Nurul Ishlah  Banda  Aceh,  dan  SD  Negeri  3  Banda Aceh.

## Soal:
Humaira  akan  membagikan  pensil  kepada  13 orang  temannya  yang  kurang  mampu.  Tiap- tiap  teman-teman  Humaira  akan  mendapatkan 6  pensil.  Berapa  banyakkah  pensil  yang  harus disiapkan Humaira?
Berikut  akan  disajikan  strategi  yang digunakan siswa menyelesaikan soal tersebut.

## Strategi 1.
Satu anak akan mendapatkan 6 pensil Dua anak akan mendapatkan 12 pensil
Tiga anak akan mendapatkan 18 pensil Empat anak akan mendapatkan 24 pensil Lima anak akan mendapatkan 30 pensil Enam anak akan mendapatkan 36 pensil Tujuh anak akan mendapatkan 42 pensil
Delapan anak akan mendapatkan 48 pensil
Sembilan anak akan mendapatkan 54 pensil Sepuluh anak akan mendapatkan 60 pensil
Sebelas anak akan mendapatkan 66 pensil Dua belas anak akan mendapatkan 72 pensil Tiga  belas  anak  akan  mendapatkan  78  pensil Strategi 2.
13 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 12 12        12         12        12         12   + 6 24 24 24          + 6 72 6 + 78
Strategi 3. 13 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 60                                    18
60 18 + 78
Strategi 4. 13 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6
60                                  18
10 x 6 = 60
3 x 6 = 18 + 13 x 6 = 78
Dari  strategi  4  untuk  pembelajaran  pada pertemuan selanjutnya, siswa dapat dimotivasi sehingga bentuk
10 x 6 = 60 3 x 6 = 18 + 13 x 6 = 78 dapat  ditulis  dalam  bentuk  lain,  misalnya menjadi 13 = 10 + 3
6 =         6   x 10 + 8 60 + 0 70 + 8   =  78 Berdasarkan pengalaman, siswa merasa  kurang  nyaman  dengan  cara  (bentuk) penyelesaian di atas. Perasaan kurang nyaman tersebut  juga  ditunjukkan  siswa  saat  belajar penjumlahan  dengan  cara  tersebut  di  kelas  II
semester  1.  Hal  ini  memberikan  kesempatan kepada  guru  untuk  menggali  ide  siswa menuliskan  dalam  bentuk  lain  yang  lebih praktis. Bentuk yang lebih praktis misalnya
13 atau 13 6    x 6    x 18 18 60 6 78 78 Pengalaman siswa dalam menyelesaikan  soal  di  atas  dapat  digunakan untuk menyelesaikan perkalian yang menghasilkan  bilangan  tiga  angka.  Siswa mempunyai  strategi  jawaban  berbeda  dalam menyelesaikan perkalian yang hasilnya bilangan tiga angka berikut. 25 x 5 = ....
Jurnal Pendidikan Serambi Ilmu, Edisi September 2012, Volume 13  Nomor 2
Strategi 1. 10 x 5 =   50 10 x 5 =   50 5 x 5 =   25 + 25 x 5 = 125 Strategi 2. 20 x 5 =   50 5 x 5 =   25 + 25 x 5 = 125
Dari  strategi  2  di  atas,  siswa  dapat  dimotivasi sehingga bentuk 20 x 5 =   50
5 x 5 =   25 + 25 x 5 = 125
dapat  ditulis  dalam  bentuk  lain,  misalnya menjadi 25 =  20 + 5
5 =          5   x 20 + 5 100 +   0 + 0  +
100 + 20 + 5   =  125 Karena sebelumnya siswa telah memiliki  pengalaman  menemukan  cara  yang praktis dalam menyelesaian 13 x 6 = ...., guru dapat  memotivasi  siswa  menuliskan  bentuk  di atas  dalam  bentuk  lain  yang  lebih  praktis, misalnya 25 atau 25 5    x 5    x 25 25 100   + 10      + 125 125 Diharapkan  dari  pengalaman  di  atas siswa  akan  menemukan  alternatif  strategi untuk
menyelesaikan perkalian yang
menghasilkan  bilangan  tiga  angka  lainnya seperti 12 x 13 = ......
22 x 15 = ..... dst. Proses  di  atas  akan  dapat  terjadi  jika siswa  diberi  kesempatan  yang  cukup  untuk menemukan  alternatif  strategi  penyelesaian (mungkin  berbeda-beda  untuk  tiap-tiap  siswa) tanpa  merasa  tertekan.  Kesempatan  yang cukup  maksudnya  dari  segi  waktu  dan pemahaman terhadap materi prasyarat, misalnya  sebelum  menemukan  13  =  10  +  3
siswa perlu dilatih membuat soal penjumlahan bilangan  yang  hasilnya  13  (5  dengan  8,  7 dengan  6,  atau  5  dengan  6  dan  2,  dst).  Pada awalnya  pembelajaran  akan  berjalan  lambat. Namun kondisi ini lebih bermanfaat dibandingkan  jika  guru  langsung  menyajikan cara  cepat  (cara  yang  selama  ini  dilakukan), dimana siswa tidak memahami alasan penggunaan  cara    cepat  tersebut  dalam menyelesaikan  soal  yang  diberikan.  Siswa hanya  diminta  menghafal  dan  melakukan prosedur yang asing baginya.
Manfaat  lain  yang  dapat  diperoleh siswa antara lain adalah melalui proses seperti di  atas  guru  dapat  membangun  kepercayaan diri  siswa.  Karena  ternyata  soal  matematika dapat  diselesaikan  siswa  berdasarkan  ide  atau strategi  yang  muncul  dalam  dirinya.  Hal  ini diharapkan  akan  menumbuhkan  rasa  senang belajar  matematika  karena  sesuai  dengan tingkat berpikir siswa.

## Penutup
Pengetahuan  matematika  tidak  dapat diajarkan  oleh  guru  tetapi  dibangun  sendiri oleh  siswa.  Siswa  harus  belajar  menemukan kembali  dan  membentuk  sendiri  konsep- konsep  dan  prosedur  matematika  tersebut. Konteks  dapat  dimanfaatkan  sebagai  bahan ilustrasi  dalam  memperkenalkan  topik-topik matematika  kepada  siswa.  Soal  kontekstual hendaknya  dapat  menghadirkan  lingkungan yang  nyata  bagi  siswa,  artinya  dekat  dengan kehidupan  sehari-hari  siswa,  atau  dapat dibayangkan  (nyata  dalam  pikiran),  dan terjangkau  oleh  imajinasi  siswa.  Hal  yang perlu untuk proses matematisasi, dimana siswa dapat mengenal situasinya dan dapat menggunakan  pengetahuan  mereka  untuk memodelkan  dan  menyelesaikannya.  Konteks sangat  membantu  dalam  mengkonstruksi algoritma  perkalian  yang  hasilnya  bilangan tiga  angka.  Peran  guru  dalam  memfasilitasi pembentukan  matematika  informal  menjadi matematika  formal  yang  standar  melalui diskusi  interaktif  antara  siswa  dan  guru, merupakan suatu hal yang mutlak.

## Daftar Pustaka
De Lange, Jan. (1994). Assessing Mathematical Skills,

## Cut Morina, Penerapan Pendekatan Matematika Realistik
Understanding,  and  Thingking. In Richard  Lesh  and  J.  Lamon  (Ed),
Asessment of Authentic Performance in School Mathematics Texas A&M University,  College  Station,  Texas: AAAS Press. Gravemeijer, K.P.E. (1994) Developing Realistics  Mathematics  Education.
Utrecht, The Netherlands:
Freudenthal Institute.
Johar  R.,  (2001). Implementasi  belajar    anak.
Semarang: Grafika Press.
Johar  R.(2004). Strategi    belajar  mengajar  . Banda Aceh. FKIP  Unsyiah.
Muhammad  Noor  (2000). Strategi    belajar mengajar  . Surabaya  Pusat  Studi
Matematika  dan  IPA  Sekolah  Dasar dan Menengah
Mulyasa,  E  (2002). Kurikulum  berbasis kompetensi konsep dan implementasi. Bandung: Remaja Rosdakarya.
Mulyasa,  E  (2008). Kurikulum  berbasis kompetensi dalam prakteks. Bandung: Remaja Rosdakarya.
McNeil,  J.D.,  (1977), Curriculum:  a  compre- hensive  introduction .  Boston:  Little, Brown and Company.
Morina  Zubainur  Cut,dkk    (2008). Kurikulum integratif  pada  pembelajaran  tematik di  SD/MI Banda  Aceh  Unsyiah Darussalam.
Morrow,  L.M.,  Smith,  J.K.,  dan  Wilkinson, L.Ch., Ed., (1994). Integrated language arts: controversy to concensus. Massachusetts:  Allyn  & Bacon.
Nurdin Syafruddin, (2005). Mengenali profesional guru . Jakarta: Gramedia.
Nurdin  Abubakar  dan  Ikhsan,    (2003). Falsafah  pendidikan  dan  kurikulum .
Tanjung  Malim  Malaysia:  Quantum Books.
Sabda  Saifuddin,  (2006). Model  kurikulum terpadu  IPTEK  dan  IMTAK. Jakarta: Quantum  Teaching  Ciputat  Press Group.
Saedah  Siraj,  (2007) Pendidikan  anak-anak (Children education) (2nd ed.). Selangor, Malaysia: Alam Pintar.
Saedah  Siraj,  (2009). Pengurusan  kurikulum ( Curriculum  management). Selangor,
Malaysia: Alam Pintar
Saedah Siraj, Ahmad Sobri Shuib, & Halimah Salleh  (Eds.),  (2008). Pengajaran efektif (Effective teaching). [in writing]
Sanders,  J.R,  (1994), The    evaluation standards ,  2 nd Ed.,  Thousand  Oaks:
Sage Publications.
Santrock,  J.W,  (1994). Child  development . Edisi  VI.  Wisconsin:  Brown  & Benchmark.
Soefie,  Ibrahim,(2009) Penguasaan  konsep IPA  bagi  guru  sekolah  dasar Jurnal Serambi  Ilmu  No.  XII  Vol  3  thn  IV. 12-15.
Scriven,  M,  (1991). Evaluation  thesaurus,  4 th
Ed . Thousand Oaks: Sage Publications. Jurnal Pendidikan Serambi Ilmu, Edisi September 2012, Volume 13  Nomor 2