SISTEM DEDUKTIF AKSIOMATIS DALAM MATEMATIKA DAN MATEMATIKA SEKOLAH
Amin  Suyitno

## Jurusan   Pendidikan  Matematika Universitas Negeri Semarang

## ABSTRACT
In  school  mathematics,  words  definition,  axiom,  or  theorem  tend  to  be  avoided.  Expert  of mathematics education (in Indonesia) seem to have fear, so that the words definition, axiom, or theorem are taboo to appear in a Mathematics Textbook  for students.  Seem to worry if the words such as definition, axiom, or theorem that appear in math textbook s, then students in Indonesia is estimated to be scared and stay  away  from  mathematics.  Really?  Are  not  definitions,  axioms,  or  theorems  are  the  strong  pillars supporting the beautiful buildings of Mathematical structure, able to distinguish it  from other sciences? Mathematics  has  the  characteristics:  (1)  abstract  objects,  (2)  based -on  agreements,  (3)  fully  using deductive  think ing,  and  (4)  consistent,  which  is  preceded  by  the  previous truths. If consistent with the characteristics of this mathematics, the school mathematics should also reflect these characteristics.
Key words :  axoims, define

## A. Pendahuluan
Dalam  pelajaran  matematika  di  sekolah,  kata-kata  definisi,  aksioma,  atau  teorema cenderung dihindari. Walaupun, definisi, aksioma, ataupun teorema tersebut sesungguhnya  sudah  dipakai.  Kenyataannya,  para  ahli  pendidikan  matematika  (di Indonesia)  tampaknya  memiliki  ketakutan  yang  berlebihan,  sehingga  kata    definisi, aksioma,  ataupun  teorema  tersebut  tabu  untuk  dimunculkan  dalam  sebuah  Buku  Pelajaran Matematika.  Tampaknya  dikhawatirkan,  jika  kata-kata  seperti  definisi,  aksioma,  ataupun teorema  tersebut  muncul  dalam  buku  pelajaran  matematika  di  sekolah,  maka  siswa-siswa di  Indonesia  diperkirakan  akan  ketakutan  dan  lari  menjauhi  matematika.  Benarkah? Bukankah  definisi,  aksioma,  ataupun  teorema-teorema  merupakan  tiang-tiang  yang kokoh,  penyangga  bangunan  yang  indah  dari  struktur  Matematika,  yang  mampu membedakannya  dari  ilmu-ilmu  yang  lain?
Di  zaman  yang  seperti  ini,  di  mana  anak-anak  Indonesia  sudah  mampu  berperan secara  signifikan  di  kancah  lomba  olimpiade  tingkat  internasional,  komputer/internet sudah  mewabah,  dan  teknologi/komunikasi  sudah  menjadi  santapan  sehari-hari,  ternyata munculnya  kata-kata  definisi,  aksioma,  ataupun  teorema  di  dalam  buku  pelajaran matematika  masih  dianggap  monster  yang  paling  mengerikan,  sehingga  kemunculan
kata-kata  tersebut  di  buku  pelajaran  matematika  diprediksikan  akan  membuat  siswa  di Indonesia  menjadi  ketakutan  untuk  mempelajari  matematika.  Kalau  UUD  yang menyangkut  keberadaan  suatu  negara  dan  hajad  hidup  seluruh  bangsa  saja  masih  dapat diamandemen,  mengapa  munculnya  kata-kata  definisi,  aksioma,  ataupun  teorema- teorema  masih  dianggap  monster  yang  menakutkan?  Padahal,  munculnya  definisi, aksioma,  ataupun  teorema  dalam  pelajaran  matematika  di  sekolah,  jelas  tidak  akan seketat dengan  isi  kajian  sebuah  buku  yang  dipakai  Perguruan  Tinggi  bidang  matematika.
Sebaiknya  juga  perlu  diingat  bahwa  sampai  saat  ini,  Prodi/Jurusan  Pendidikan Matematika  memiliki  animo  pendaftar  yang  mencapai  jumlah  ribuan.  Orang  boleh  beradu argumentasi.  Namun  kenyataannya,  matematika  tetap  memiliki  penggemar  yang  tidak pernah  surut.  Sebaiknya, definisi  lingkaran , definisi  pecahan ,  tak  harus  diganti  dengan istilah pengertian lingkaran, pengertian pecahan, dan sejenisnya  apapun  alasannya.

## B. Matematika dan Ciri-cirinya
Cukup banyak definisi tentang  matematika.  Diantaranya,  ada  pihak  yang berpendapat  bahwa  matematika  adalah  ”ilmu  tentang  bilangan”,  di  pihak  lain berpendapat  bahwa  matematika  adalah  ”ilmu  yang  mempelajari  tentang  tentang  bangun- bangun  abstrak”.  Bahkan,  ada  yang  tidak  setuju  bahwa  matematika  dimasukkan  dalam kategori  ”ilmu”  karena  penemuan  rumus-rumus  matematika  ada  yang  proses ditemukannya  melalui  ketidaksengajaan  atau  sekedar  coba-coba  ( triar  and  error ). Akibatnya,  kata  ”ilmu  matematika”  tidak  pernah  kita  jumpai.  Namanya  cukup ”matematika”  tanpa  didahului  dengan  kata  ”ilmu”.  Kembali  ke  definisi  matematika,  H.W Fowler,  seperti  yang  ditulis      dalam  buku  The  Liang  Gie  (1999)  berpendapat  bahwa ” Mathematics  is  the  abstract  science  of  space  and  number ”,  Marshaal  Walker berpendapat bahwa “ Mathematics may be defined as the study of abstract structures and their  interrelations ”.  Dienes  (dalam  Herman  Hudoyo,  1988)  memandang  matematika sebagai  studi  tentang  struktur,  pengklasifikasian  struktur,  dan  pengkategorisasian hubungan-hubungan  di antara  struktur.
Walaupun  banyak  sekali  definisi  tentang  matematika,  bahkan  The  Liang  Gie  berhasil mengumpulkan  lebih  dari  127  definisi  yang  berbeda  tentang  matematika,  tetapi  tidak  ada satu  definisipun  yang  bisa  disepakati  oleh  semua  pihak.  Namun,  berdasarkan  definisi-
definisi  yang  diajukan  oleh  para  ahli,  Soedjadi  dan  Masriyah  (1994)  dapat  menarik  empat ciri  pokok  yang  sama  tentang  matematika.  Keempat  ciri  pokok  matematika  tersebut adalah  (1)  matematika  memiliki  objek  kajian  yang  abstrak,  (2)  matematika  mendasarkan diri  pada  kesepakatan-kesepakatan,  (3)  matematika  sepenuhnya  menggunakan  pola  pikir deduktif,  dan  (4)  matematika  dijiwai  dengan  kebenaran  konsisten  yaitu  kebenaran  yang didahului  oleh  kebenaran-kebenaran  sebelumnya.
Misalnya  “bilangan  dua”.  Mata  kita  dua.  Telinga  kita  dua.  Sepeda  kita  dua.  Lalu, apakah  bilangan  dua  itu?  Jelas,  bilangan  dua  adalah  objek  abstrak  dan  ”2”  disepakati merupakan  lambang  atau  simbol  “bilangan  dua”.  Sedangkan  2,  tanpa  tanda  petik disepakati  untuk  dimaknai  sebagai bilangan dua.
Perhatikan  ilustrasi  berikut.
1) ∆∆  + ∆ = ∆∆∆  (salah,  ∆ adalah  simbol,  jadi  tidak  dapat dijumlahkan).
2) 22 + 2 = 222    (salah,  sebab bilangan  dua, dianggap  simbol).
3) 22 + 2 = 24      (benar,  operasi  + memang  berlaku  pada bilangan).
4) ”22”  + ”2”  ≠ ”24”  (benar,  ”2”  menyatakan  simbol,  bukan  bilangan  dua).
Apakah  “titik”  itu?  Titik  tidak  bisa  didefinisikan,  titik  juga  objek  abstrak  dalam matematika/geometri.  Hall  dan  Stevens  (1919)  menulis  bahwa  “ A  point  is  a  position.  It has  no  size,  length,  width,  or  thickness,  and it is infinitely small .” Jika titik sulit digambar (sebab: and  point  is  infinitely  small ),  apalagi  garis,  segitiga,  atau  kubus.  Perhatikan lambang  atau  simbol-simbol  berikut:  ”=”,  ”2”,  “ ”,  atau  ”∆”.  Simbol-simbol  tersebut merupakan  kesepakatan-kesepakatan  dalam  matematika.  Jika  suatu  definisi  sudah diterima,  maka  definisi  tersebut  merupakan  kesepakatan  yang  akan diterima.
Matematika,  berpola  pikir  deduktif.  Artinya,  pola  pikir  matematika  berangkat  dari hal  yang  umum,  menuju  ke  hal-hal  yang  khusus.  Sistem  deduktif  dalam  matematika, dikenal  2  istilah  penting,  yaitu  istilah  ”PENGERTIAN”  dan  istilah  ”PERNYATAAN. Pengertian  dibedakan  atas  2  hal,  yaitu Pengertian  Pangkal dan Pengertian  Bukan Pangkal . Pengertian  pangkal adalah  unsur  atau  elemen  dalam  matematika  yang  harus kita  terima  sebagai  fakta  tanpa  harus  didefinisikan  ( undefined  terms ).  Contoh  pengertian pangkal  adalah:  pengertian  bilangan  DUA,  pengertian  TITIK,  pengertian  GARIS, pengertian  BIDANG,  dan  sebagainya.  Jadi,  TITIK  cukup  digambar  dan  tidak  perlu didefinisikan.  Dapatkah  kita  mendefinisikan  TITIK  sebagai:  ”Titik  adalah sesuatu yang
tidak  punya  panjang,  tidak  punya  lebar,  tidak  punya  ketebalan,  dan  kecil  tak  berhingga”? Lalu,  jika  definisi  itu  kita  terima,  pastilah  akan  muncul  pertanyaan  baru  lagi.  Apakah SESUATU  itu?  Bagaimana  menggambar  titik  tersebut  jika  titik  tersebut  tidak  memiliki panjang,  lebar,  maupun  ketebalan?  TITIK  memang  objek  abstrak  dalam  matematika sehingga  seharusnya  memang  tidak  bisa  digambar.  Jadi,  konsep  tentang  titik,  garis,  atau bidang  haruslah  kita  terima  sebagai  sebuah  fakta  dalam  matematika.  Pengertian  pangkal amat  diperlukan  agar tidak  terjadi  ”berputar-putar  dalam  dalam  pendefinisian”.
Pengertian  bukan  Pangkal dalam  matematika,  dikenal  sebagai definisi. Definisi adalah  ungkapan  yang  diperlukan  untuk  membatasi  suatu  konsep  dalam  matematika. Contoh  definisi:  Trapesium  adalah  segiempat  yang  mempunyai  tepat  sepasang  sisi sejajar.  Jadi  trapesium  merupakan  salah  satu  term/istilah  dalam  matematika  yang  perlu dan  dapat  didefinisikan  ( defined  terms ).  Definisi  dalam  matematika  amat  dibutuhkan, untuk  menghindari  dari  peristiwa  ”berputar-putar  dalam  pembuktian”.  Definisi  digunakan untuk  mengklasifikasikan  mana  objek  yang  merupakan  contoh  dan  mana  objek  yang bukan  contoh.
Definisi  dibedakan  atas 3 jenis:
1) Definisi  Analitik ,  yaitu  definisi  yang  menyebutkan  genus  proksimum  dan  diferensia spesifika.

## Contoh:`
Persegipanjang adalah jajarjenjang yang salah satu sudutnya 90 0 .
Genus  proksimum  (keluarga  terdekat):  Jajargenjang.  Diferensia  spesifika  (perbedaan yang  spesifik):  Salah  satu  sudutnya  90 0 .
2) Definisi Genetik , yaitu  definisi  yang  menunjukkan  terjadinya  konsep itu.
Contoh:
Jaring-jaring  limas  adalah  bangun  yg  terjadi  bila  suatu  limas  dipotong  menurut rusuk-rusuk  tegaknya  dan  bidang-bidang  sisi  tegaknya  direbahkan  ke  arah  luar sampai  ke bidang  yang  memuat  bidang  alasnya.
3) Definisi dalam  bentuk  rumus ,  dinyatakan  dalam  notasi-notasi  matematika. Contoh:  Definisi  n faktorial  yang  langsung  ditulis:
n! = n(n  – 1)! dilengkapi  dengan  0! = 1! = 1.

## Unsur-unsur  Definisi:
Unsur-unsur  definisi  adalah  (1) latar  belakang,  (2) genus,  (3) istilah  (konsep  yang didefinisikan),  dan (4) atribut.
Contoh:
Segitiga samasisi  adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
Latar  belakangnya:  bangun  datar,  genusnya:  segitiga,  konsep  yang  didefinisikan:  segitiga samasisi,  atributnya:  ketiga  sisinya  sama  panjang.
Pernyataan  Pangkal disebut  juga  dengan  AKSIOMA,  yakni  pernyataan  yang kebenarannya  tanpa  bukti.  Kebenarannya,  langsung  kita  terima  saja.  Contoh  aksioma adalah:  Melalui  2 buah  titik  hanya  dapat dibuat  tepat sebuah  garis.
Aksioma  dibedakan  atas 2 jenis,  yaitu:
1. Pernyataan  benar  yang  diterima  sebagai  kebenaran  tanpa  bukti  ( self evident truth ). Contoh:
Melalui  dua buah  titik  dapat dibuat  tepat sebuah  garis.
2. Pernyataan  yang  disepakati  kebenarannya  dan  dapat  menghasilkan  pernyataan- pernyatan  lain  yang  benar  secara logik  ( non self evident truth ).
Contoh:
Suatu  himpunan  tak kosong  G dengan  operasi  biner  “ ”  disebut  Grup  jika  dan hanya jika  memenuhi  aksioma-aksioma  berikut  ini.
(1)  Tertutup,  (  a, b   G)( ! c   G) a    b = c.
(2)  Asosiatif,  (  a, b, c   G) (a    b)    c = a    (b    c).
(3)  Ada elemen  identitas  (ditulis  dengan  e), (  e   G) (  a   G) e   a = a    e = a.
(4)  Tiap  elemen  G memiliki  invers  dalam  G, (  a   G)(  a 1 G)  a 1 a = a     a 1 = e.
Sebagai  suatu  sistem,  kumpulan  aksioma  harus  memiliki  syarat:
1) Konsisten,  artinya  aksioma  tersebut  bernilai  benar.
2) Independen,  artinya  antara  aksioma  satu  dengan  aksioma  yang  lain  saling  lepas. Aksioma  yang  satu  bukan  menjadi  syarat  keberadaan  aksioma  yang  lain.
3) Lengkap,  artinya  aksioma  satu  sama  lain  saling  melengkapi  untuk  pembuktian teorema-teorema  berikutnya.
4) Ekonomis,  artinya  bahwa  kalimat  pembentuknya  menggunakan  kata-kata  yang singkat,  efektif,  jelas,  dan tidak  tumpang  tindih.
Pernyataan  Bukan  Pangkal ,  disebut  juga  dengan  teorema,  dalil,  rumus,  atau  sifat. Kebenaran  sebuah  teorema  atau  sebuah  sifat,  haruslah  dibuktikan.  Ciri  matematika  ke- empat,  matematika  dijiwai  dengan  kebenaran  konsisten  yaitu  kebenaran  yang  didahului oleh  kebenaran-kebenaran  sebelumnya.  Dengan  ciri  ini,  maka  bukti  deduktif  dalam matematika  harus  urut.  Untuk  membuktikan  Teorema  3,  tidak  boleh  menggunakan Teorema  4  atau  5.  Teorema  3  harus  dibuktikan  dengan  menggunakan  teorema-teorema atau  aksioma-aksioma,  atau  definisi  sebelumnya.  Untuk  membuktikan  Teorema  3  ini, maka  kebenaran  Teorema  1 dan 2 harus  sudah  terbukti.
Selain  teorema,  dalam  pernyatan  bukan  pangkal  ini  juga  dikenal  dengan  istilah  Lema ( lemma ), dan Teorema  Akibat  ( corollary) .
Lema: adalah  teorema  yang  pemakaiannya  amat  terbatas.  Biasanya  dimunculkan  hanya untuk  keperluan  terbatas,  yakni  untuk  membuktikan  suatu  teorema  tertentu.  Ada  yang menyebut,  lema  sebagai  “setengah  teorema”.  Penulisan  lema,  dapat  dituliskan  sebelum teorema  yang  membutuhkannya,  atau  dituliskan  di  tengah-tengah  pembuktian  teorema utamanya.

## Contoh:
Dikutip  dari Introduction to Real Analysis , Robert G. Bartle  (1992:101),
3.5.2 Lemma. If X = ( n x ) is a convergent sequence of real numbers, then X is a Cauchy sequence.
3.5.3 Lemma: A Cauchy sequence of real numbers is bounded.
3.5.4 Cauchy  Convergence Criterion. A sequence of real numbers is convergent if and only if it is a Cauchy sequence
Lemma  3.5.2 dan 3.5.3 sangat  diperlukan  dan  hanya  diperlukan  untuk  membuktikan
Teorema  3.5.4.
Korolari: suatu  teorema  yang  muncul  sebagai  akibat  dari  teorema  sebelumnya.
Contoh:
1. Theorem. If ab > 0, then either (i) a > 0 and b > 0,
or (ii)  a < 0 and b < 0.
2. Corollary. If ab < 0, then either (i) a < 0 and b > 0,
or (ii)  a > 0 and b < 0.
Jadi,  urutan  penyajian  matematika  akan  dimulai  dengan  Pengertian  Pangkal ( undefined  terms ),  diikuti  dengan  dengan  aksioma-aksioma,  definisi,  dan  selanjutnya diikuti  dengan  teorema-teorema  (juga  lema  atau  korolari).  Harus  urut  dan  tidak  boleh tumpang  tindih.
Karena  bukti  teorema  didahului  oleh  sistem  aksioma,  maka  aksioma  ini  merupakan landasan  berpikir  matematika.  Berdasarkan  alasan  inilah,  matematika  disebut  sebagai sistem  deduktif-aksiomatik.  Herman  Hudoyo  (1988)  mengemukakan  bahwa  aksioma- aksioma  yang  digunakan  untuk  menyusun  sistem  matematika  akan  menentukan  bentuk sistem  matematika  itu  sendiri.

## C. Matematika Sekolah
Perlu  dibedakan  antara  matematika  dengan  matematika  sekolah.  Yang  dimaksud dengan  Matematika  Sekolah  adalah    matematika  yang  diajarkan  di  sekolah.  Pengertian sekolah  di  sini,  adalah  jenjang  pendidikan  dasar  dan  menengah,  termasuk  madrasah. Karena  matematika  sekolah  adalah  matematika  yang  diajarkan  di  sekolah/madrasah  maka tidak  semua  materi  matematika  diajarkan  di  sekolah.  Pemilihan  materi-materi  yang  akan diajarkan  di  sekolah,  pemilihannya  didasarkan  atas  pertimbangan-pertimbangan  sebagai berikut.
(1) Disesuaikan  dengan  dengan  materi  pelajaran  matematika  yang  diajarkan  di  sekolah- sekolah  di luar  negeri,  khususnya  di  negara  maju.
(2) Materi  matematika  tersebut  diharapkan  dapat  menumbuhkembangkan  kemampuan- kemampuan  para siswa.
(3) Dengan  mempelajari  materi  matematika  tersebut  diharapkan  dapat  membentuk pribadi  siswa.
(4) Materi  matematika  dipilih  yang  diharapkan  dapat  membawa  siswa  untuk  mampu mengikuti  perkembangan  iptek.
Dalam  matematika  sekolah,  juga  dikenal  objek  matematika.  Objek  matematika  ada dua,  yaitu  objek  langsung  dan  objek  tak  langsung.  Objek  langsung:  fakta,  konsep,  prinsip, dan  skill. Fakta ,  adalah:  konvensi  sembarang  dalam  matematika.  Misalnya:  2,  =,  >,  +, dan  sebagainya. Konsep adalah  ide  abstrak  yang  dapat  digunakan  untuk  mengadakan klasifikasi/penggolongan. Misalnya, konsep segitiga. Dengan memberikan definisi tentang  segitiga,  maka  akan  dapat  dibedakan  mana  bangun  datar  yang  berupa  segitiga  dan mana  bangun  datar  yang  bukan  segitiga. Prinsip merupakan  hubungan  fungsional  dari konsep-konsep.  Salah  satu  wujud  prinsip,  adalah  teorema.  Sedangkan skill merupakan keterampilan mental untuk menjalankan prosedur, guna menyelesaikan suatu masalah/persoalan  matematik  yang  diwujudkan  dalam  bentuk  urutan  algoritma  yang benar.
Dengan  mengingat  objek  langsung  dalam  matematika  ini,  maka  jelas  amat berbeda  cara  guru  dalam  menjelaskan  objek  langsung  matematika.  Fakta  diberikan dengan  cara  dihafalkan.  Konsep  dan  prinsip  seharusnya  dengan  cara  deduktif  terbatas (disesuaikan  dengan  tingkat  perkembangan  intelektual  siswa),  dan  skill  melalui  latihan terprogram.
Sedangkan  objek  tak  langsung  matematika  adalah: (1)  kemampuan  untuk  melakukan bukti  teorema  ( theorem  proving ),  (2)  kemampuan  dalam  memecahkan  masalah  ( problem solving ),  (3)  kemampuan  untuk  menularkan  cara  belajar  matematika  yang  dapat  ditranfer ke  pelajaran  yang  lain  ( transfer  of  learning ),  (4)  kemampuan  untuk  mengembangkan intelektual  melalui  belajar  matematika  ( intellectual  development ),  (5)  kemampuan  untuk bekerja  secara  individu  ( working  individually ),  (6)  kemampuan  untuk  bekerja  dalam kelompok  ( working  in  group ),  dan  (7)  memiliki  sikap  positif  ( positive  attitudes ).  Guru perlu  melatih  para  siswanya  agar  objek  tak  langsung  matematika  ini  dapat  dimiliki  oleh
para  siswa.  Salah  satu  caranya,  dengan  memberikan  pelajaran  matematika  secara  deduktif terbatas,  artinya  dengan  tetap  memperhatikan  perkembangan  intelektual  para siswa.

## D. Pola Pikir  Deduktif dalam  Matematika Sekolah
Pada  prinsipnya,  matematika  sekolah  jelas  merupakan  bagian  matematika.  Oleh karena  itu,  maka  seharusnya  ”tempat”  matematika  sekolah  juga  berada  dalam  naungan ”rumah”  matematika  yang  dihiasi  dengan  tiang-tiang  ornamen  matematika  yang  amat kokoh  dan  indah,  yang  berupa  pola  pikir  deduktif.  Pola  pikir  deduktif  ini  akan  membawa konsekuensi  dengan  munculnya  kata  definisi,  aksioma,  dan  teorema  yang  kemunculannya jelas  harus  disesuaikan  dengan  tingkat  berpikir  para siswa.
Pada  kurikulum  1994,  pola  pikir  deduktif  sempat  dimunculkan  dalam  salah  satu materi  pokok  matematika,  yaitu  Kesejajaran.  Sayang  tidak  berumur  panjang.  Marilah  kita amati  penggalan  keindahan  pola  deduktif  dalam  uraian  di  sebuah  buku  pelajaran matematika.  Buku  ini  ditulis  oleh  M.  Cholik  Adinawan  dan  Sugijono  (1999)  yang dipersiapkan  untuk  siswa  SMP.

## GARIS-GARIS  SEJAJAR
Dua  garis  yang  terletak  pada  satu  bidang  datar  yang  jaraknya  selalu  tetap  atau  sama dan jika  diperpanjang  tidak  berpotongan,  disebut  garis-garis  sejajar.

## Sifat-sifat  Garis Sejajar
Untuk  mempelajari  sifat-sifat  garis  sejajar,  digunakan  pernyataan-pernyataan  yang telah  diakui  kebenarannya  tanpa  suatu  pembuktian  yang  disebut aksioma .  Aksioma- aksioma  itu,  merupakan  dasar untuk  pembuktian  sifat-sifat  garis  sejajar.

## Aksioma 1.
Melalui  dua buah titik yang berbeda dapat dibuat tepat satu garis lurus.

## Aksioma 2.
Melalui sebuah titik di luar suatu garis hanya dapat dibuat tepat satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.

## Teorema 1.
Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.
Teorema  1 dapat dibuktikan  sebagai  berikut.
Diketahui:  Garis  a//b dan garis m memotong  garis  a di titik  A
Buktikan  : Garis  m juga  memotong  garis  b.
Bukti:
Dan  seterusnya.
Jika  uraian  deduktif  dari  materi  pokok  Kesejajaran  ini  diteruskan,  maka  akan  sampai pada soal  berikut.
Perhatikan  gambar  berikut. . a b P Melalui  titik  P di  luar  garis a ,
hanya  dapat dibuat  tepat satu garis b yang  sejajar  dengan garis  tersebut. a b m A Jika  garis m tidak  memotong  garis b ,  maka berarti  garis m sejajar  dengan  garis b. Akibatnya,  melalui  titik A dapat  dibuat  dua garis,  yaitu a dan m yang  sejajar  dengan b . Hal  ini  bertentangan  dengan  aksioma  2.
Jadi,  garis m tidak  sejajar  dengan  garis b , melainkan  garis m memotong  garis b.
∆ABC  samakaki  dengan  AC = BC dan AB//CD.  Jika
= 80 0 , maka  besar = …. a. 40 0
b. 50 0 c. 65 0 d. 70 0
A B C D .
Dari  uraian  di  atas,  tampak  betapa  indah  struktur  dan  bangunan  matematika  sekolah. Dalam  konteks  latihan  soal,  penggunaan  pola  pikir  deduktif  tidak  perlu  dirisaukan  dengan harus  menuliskan  aksioma  atau  teorema  yang  digunakan.  Pengerjaan  soal-soal  UN  tetap berjalan  biasa  tanpa  dipengaruhi  oleh  sistem  penyajian  matematika  yang  semi  deduktif ini.

## E. Beberapa Kesalahan Pola Pikir  Deduktif dalam  Matematika Sekolah
Bila  matematika  sekolah  akan  disusun  dengan  pola  pikir  deduktif  maka  matematika sekolah  juga  perlu  ditulis  dengan  memulainya  dari  hal  yang  umum  menuju  ke  hal-hal yang  khusus.  Jadi,  urutan  penyajian  matematika  sekolah  harus    dimulai  dengan Pengertian  Pangkal  ( undefined  terms ),  diikuti  dengan  dengan  aksioma-aksioma,  definisi, dan  selanjutnya  diikuti  dengan  teorema-teorema.  Teorema  disusun  secara  urut  dan  tidak boleh  tumpang  tindih.
Akibat  para  mahasiswa  Pendidikan  Matematika  (juga  guru  pelajaran  matematika) tidak/kurang  dibekali  dengan  pengetahuan  tentang  pola  pikir  deduktif  ini,  maka  buku- buku  pelajaran  matematika  atau  ”LKS  Matematika”  yang  beredar  di  sekolah-sekolah  juga penataannya  menjadi  aneh  dan  tumpang  tindih.  Maksud  tumpang  tindih,  antara  definisi dengan  teorema  dijadikan  satu.  Hal  yang  seharusnya  amat  dihindari  dalam  matematika. Contoh  definisi  yang  salah  karena  tumpang  tindih  (Amin  Suyitno,  2004):
” Jajar  genjang  adalah  segiempat  yang  mempunyai  dua  pasang  sisi-sisi  berhadapan sejajar dan sama panjang ”.
Kesalahannya, definisi dan  sifat/teorema  dijadikan  satu  dalam  sebuah  definisi. Seharusnya:
Definisi: Jajar  genjang  adalah  segiempat  yang  mempunyai  dua  pasang  sisi-sisi berhadapan  sejajar.
Sifat/teorema: Jika  sebuah  segiempat  adalah  jajar  genjang  maka  sisi-sisi  yang  berhadapan sama  panjang.
Definisi  jelas  tanpa  bukti,  sedangkan  Sifat  atau  Teorema  harus  dibuktikan  atau  dapat dibuktikan  kebenarannya.

## F. Penutup
Matematika  memiliki  ciri:  (1)  objek  yang  dikaji  abstrak,  (2)  mendasarkan  diri  pada kesepakatan-kesepakatan,  (3)  sepenuhnya  menggunakan  pola  pikir  deduktif,  dan  (4) matematika  dijiwai  dengan  kebenaran  konsisten  yaitu  kebenaran  yang  didahului  oleh kebenaran-kebenaran  sebelumnya.  Jika  konsisten  dengan  ciri  matematika  ini,  maka matematika  sekolah  juga  harus  disusun  dengan  mencerminkan  ciri-ciri  tersebut.
Di  zaman  yang  seperti  ini,  di  mana  anak-anak  Indonesia  sudah  mampu  berperan secara  signifikan  di  kancah  lomba  olimpiade  tingkat  internasional,  komputer/internet sudah  mewabah,  dan  teknologi/komunikasi  sudah  menjadi  santapan  sehari-hari,  maka munculnya  kata-kata  definisi,  aksioma,  ataupun  teorema  di  dalam  buku  pelajaran matematika  jangan  dianggap  monster  yang  paling  mengerikan.
Kalau  UUD  yang  menyangkut  keberadaan  suatu  negara  dan  hajad  hidup  seluruh bangsa  saja  masih  dapat  diamandemen,  maka  munculnya  kata-kata  definisi,  aksioma, ataupun  teorema-teorema  jangan  dianggap  monster  yang  menakutkan.  Munculnya definisi,  aksioma,  ataupun  teorema  dalam  pelajaran  matematika  di  sekolah,  jelas  tidak akan  seketat  dengan  isi  kajian  sebuah  buku  yang  dipakai  Perguruan  Tinggi  bidang matematika.  Namun,  ciri  pokok  matematika  dengan  pola  pikir  deduktif  tidak  perlu dihilangkan  dalam  matematika  sekolah.

## Daftar Pustaka
Adinawan,  Cholik  M  dan  Sugijono,   (1999),  ”Matematika  untuk  SLTP  Kelas  2 ”, Jakarta: Penerbit Erlangga.
Bartle,  Robert  G,  (1992),  ”Introduction  to  Real  Analysis”, New  York:  John Wiley  & Sons. Inc.
Hall,  HS  dan  Stevens,  FH,  (1919),  ”A  School  Geometry”,  London:  Macmillan and Co, Limited.
Hudoyo,  Herman.  (1988),  ”Proses  Belajar  Mengajar  Matematika ”,  Malang: IKIP Malang Press.
Soedjadi,  R  dan  Masriyah, (1994), ”Pembelajaran Matematika”, Surabaya: IKIP Surabaya.
Suyitno,  Amin,  (2004),  “Dasar- dasar  dan  Proses  Pembelajaran  Matematika ”, Semarang:  FMIPA Unnes.
The  Liang  Gie,  (1999),  ”Filsafat  Matematika  –  Pengantar  Perkenalan” . Yogyakarta:  Pusat Belajar  Ilmu  Berguna  (PUBIB).