JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 1,  Tahun 2018, Halaman 96-109 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## PERAMALAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API MENGGUNAKAN METODE ARIMA, INTERVENSI DAN ARFIMA
(Studi Kasus : Penumpang Kereta Api Kelas Lokal EkonomiDAOP IV Semarang)
Helmi Panjaitan 1 , Alan Prahutama 2 , Sudarno 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : alan.prahutama@gmail.com

## ABSTRACT
Autoregressive  Integrated  Moving  Average  (ARIMA)  is  stationary  time  series  model  after  differentiation. Differentiation value of ARIMA method is an integer so it is only able to model in the short term. The best model  using  ARIMA  method  is  ARIMA([13];  1;  0)  with  an  MSE  value  of  1,870844.  The  Intervention method is a model for time series data which in practice has extreme fluctuations both up and down. In the data  plot  the  number  of  train  passengers  was  found  to  be  extreme  fluctuation.  The  data  used  was  fro m January  2009  to  June  2017  where  fluctuation  up  significantly  in  January  2016  (T=85  to  T=102)  so  the intervention model that was suspected was a step function. The best model uses the Intervention step function is ARIMA ([13]; 1; 1) (b=0; s=18; r=0) with  MSE of 1124. Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average  (ARFIMA)  method  is  a  development  of  the  ARIMA  method.  The  advantage  of  the  ARFIMA method  is the  non-integer differentiation  value  so that it can overcome  long  memory effect that can  not be solve with the ARIMA method. ARFIMA model is capable of modeling high changes in the long term (long term persistence) and explain long-term and short-term correlation structures at the same time. The number of  local  economy  class  train  passengers  in  DAOP  IV  Semarang  contains  long  memory  effects,  so  the ARFIMA method is used to obtain the best model. The best model obtained is the ARMA(0; [1,13]) model with the differential  value  is 0,367546, then the  model  can  be written  into ARFIMA (0;  d;  [1,13]) with an MSE value of 0,00964. Based on the analysis of the three methods, the best method of analyzing the number of  local  economy class train passengers  in  DAOP IV Semarang  is the  ARFIMA  method with the  model  is ARFIMA (0; 0,367546; [1,13]).
Keywords: Train Passengers, ARIMA, Intervention, ARFIMA, Forecasting

## 1. PENDAHULUAN
Transportasi  merupakan  bidang  kegiatan  yang  sangat  penting  dalam  kehidupan masyarakat Indonesia. Pentingnya transportasi bagi masyarakat Indonesia disebabkan oleh beberapa  faktor  antara  lain,  keadaan  geografis  Indonesia  yang  terdiri  dari  ribuan  pulau kecil  dan  besar,  perairan  yang  terdiri  dari  sebagian  besar  laut,  sungai  dan  danau  yang memungkinkan  pengangkutan  dilakukan  melalui  darat,  perairan,  dan  udara  guna menjangkau seluruh wilayah Indonesia (Abdulkadir, 1998).
Berdasakan  KAI  (2014),  Badan  Usaha  Milik  Negara  (BUMN)  yang menyelenggarakan  jasa  angkutan  perkeretaapian  adalah  PT  Kereta  Api  Indonesia  (PT KAI).  PT  KAI  berkewajiban  menyelenggarakan Public  Service  Obligation  (PSO) yaitu salah  satunya  dengan  memberikan  subsidi  kepada  beberapa  kereta  api.  PT  KAI memprioritaskan KRL dan KA ekonomi jarak dekat untuk pemberian subsidi. Hal tersebut membuat  perlunya  untuk  memprediksikan  jumlah  penumpang  kereta  api  kelas  lokal ekonomi  guna  meningkatkan  pelayanan  maupun  kenyamanan  konsumen.  Data  jumlah penumpang sendiri merupakan salah satu data runtun waktu yang dapat diprediksi nilainya untuk beberapa tahap ke depan.
Dalam  praktik,  seringkali  ditemui  data  runtun  waktu  yang  berfluktuasi  ekstrem. Fluktuasi  ekstrem  tersebut  dapat  disebabkan  oleh  berbagai  faktor,  baik  eksternal maupun internal yang mempengaruhi pola data. Salah satu metode dalam runtun waktu yang dapat digunakan  untuk  mengatasi  masalah  tersebut  adalah  analisis  intervensi.  Metode  ini  dapat digunakan untuk memodelkan dan meramalkan data yang mengandung intervensi baik dari faktor  internal  maupun  eksternal.  Di  dalam  model  intervensi  terdapat  dua  fungsi  yaitu
fungsi step dan pulse .  Fungsi step merupakan  suatu  bentuk  intervensi  yang  terjadi  dalam kurun  waktu  yang  panjang,  sedangkan  fungsi pulse adalah  suatu  bentuk  intervensi  yang terjadi  hanya  dalam  waktu  sesaat  (Wei,  2006).Menurut  Cahyandari  dan  Erviana  (2015), adakalanya  suatu  data  runtun  waktu  menunjukkan  pola  memori  jangka  panjang  ( long memory ), ini terlihat dari nilai-nilai autokorelasi pada plot ACF  yang turun secara lambat untuk jarak waktu (lag) yang semakin meningkat dan hasil perhitungan dari statistik Husrt (H) yang  terletak  dalam  interval  0,5<H<1.  Identifikasi  ini  mengindikasikan  bahwa  nilai dari koefisien pembeda bernilai pecahan, sehingga model yang paling cocok adalah model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA).

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## 2.1 Kereta Api
Berdasarkan  Republik  Indonesia  (1998),  Peraturan  Pemerintah  Nomor  69  Tahun 1998 tentang prasarana dan sarana kereta api, meyebutkan bahwa moda transportasi kereta api  memiliki  karakteristik  dan  keunggulan  khusus.  Beberapa  keunggulan  dari  kereta  api adalah kemampuannya dalam mengangkut baik penumpang maupun barang secara massal, hemat  energi,  hemat  dalam  penggunaan  ruang,  memiliki  faktor  keamanan  yang  tinggi, tingkat  pencemaran  yang  rendah,  serta  lebih  efisien  untuk  angkutan  jarak  jauh.Stasiun besar  yang  berada  di  bawah  kendali  DAOP  IV  Semarang  adalah  Stasiun  Semarang Tawang,  Stasiun  Semarang  Poncol,  Stasiun  Tegal,  Stasiun  Pekalongan,  Stasiun  Cepu, Stasiun  Ngrombo,  dan  Stasiun  Ambarawa  (stasiun  kereta  wisata).  Sedangkan  stasiun berkelas  menengah  diantaranya  Stasiun  Brumbung,  Stasiun  Kedungjati,  Stasiun Gambringan, Stasiun Weleri, Stasiun Comal, Stasiun Batang Baru dan Stasiun Pemalang. Gudang  kereta  api  berada  di  kompleks  Stasiun  Semarang  Poncol,  sedangkan  dipo lokomotif  berada  di  sebelah  timur  Stasiun  Semarang  Poncol.Berdasarkan  KAI  (2018), kereta  api  kelas  lokal  ekonomi  dibawah  kendali  DAOP  IV  Semarang  terdiri  dari  KA Kalijaga  (Stasiun  Semarang  Poncol  Stasiun  Solo  Balapan),  KA  Kaligung  (Stasiun Semarang  Poncol  Stasiun  Brebes),  KA  Blorajaya  (Stasiun  Semarang  Poncol  Stasiun Cepu) dan KA Kedung Sepur (Stasiun Semarang Poncol  Stasiun Ngrombo).

## 2.2 Analisis Time Series
Menurut Makridakis dkk. (1995), analisis time series adalah pengamatan sekarang (Z t ) tergantung pada satu atau beberapa  pengamatan sebelumnya (Z t-k ). Dengan kata lain, model time  series dibuat  karena  secara  statistik  ada  korelasi  (dependensi)  antar  deret pengamatan . Tujuan analisis time series antara lain memahami dan menjelaskan mekanisme tertentu, meramalkan suatu nilai di masa depan dan mengoptimalkan sistem kendali.

## 2.3 Stasioneritas
Menurut  Makridakis  dkk.(1995),  dalam  pembentukan  model time  series ,  data  di asumsikan stasioner terhadap mean dan varian, yang konstan untuk semua waktu. Metode Box-Cox digunakan sebagai salah satu alternatif untuk menstasionerkan data dalam varian, sedangkan  untuk  menstasionerkan  data  dalam mean salah  satu  caranya  adalah  dengan proses differencing .
2.4 Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Matriks  autokorelasi  suatu  runtun  waktu  stasioner  yang  panjangnya  k  dalam Soejoeti (1987) adalah sebagai berikut:
𝑘 ~ 𝑃 = [ 1 𝜌 1 𝜌 2 ⋯ 𝜌 𝑘−1 𝜌 1 1 𝜌 1 ⋯ 𝜌 𝑘−2 𝜌 2 𝜌 1 1 ⋯ 𝜌 𝑘−3 . . . ⋯ . . . . ⋯ .
. . . ⋯ . 𝜌 𝑘−1 𝜌 𝑘−2 𝜌 𝑘−3 ⋯ 1 ]
Secara umum nilai fungsi autokorelasi parsial (PACF) pada lag ke-k adalah:
∅ 𝑘𝑘 = | 1 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 1 1 𝜌 1 ⋮ 𝜌 𝑘−1 ⋮ 𝜌 𝑘−2 ⋮ 𝜌 𝑘−3 … 𝜌 𝑘−2 𝜌 1 ⋯ 𝜌 𝑘−3 𝜌 2 ⋱ … ⋮ 𝜌 1 ⋮ 𝜌 𝑘 | | 1 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 1 1 𝜌 1 ⋮ 𝜌 𝑘−1 ⋮ 𝜌 𝑘−2 ⋮ 𝜌 𝑘−3 … 𝜌 𝑘−2 𝜌 𝑘−1 ⋯ 𝜌 𝑘−3 𝜌 𝑘−2 ⋱ … ⋮ 𝜌 1 ⋮ 1 |

## 2.5. Model Time Series ARIMA
Model time series ARIMA dapat dibedakan menjadi:
a. Model AR dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑍 𝑡 = ∅ 1 𝑍 𝑡−1 + ∅ 2 𝑍 𝑡−2 + …. + ∅ 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 b. Model MA dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑍 𝑡 = 𝑎 𝑡 – 𝜃 1 𝑎 𝑡−1 – 𝜃 2 𝑎 𝑡−2 - …. – 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞 c. Model ARMA dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑍 𝑡 = ∅ 1 𝑍 𝑡−1 + ∅ 2 𝑍 𝑡−2 +….+ ∅ 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 − 𝜃 1 𝑎 𝑡−1 −𝜃 2 𝑎 𝑡−2 − …. −𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞
2.6 Model Time Series Tidak Stasioner
2.6.1. Model Autoregressive Integrated Moving Average atau ARIMA
Bentuk umum model ini adalah: ∅ 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 =   𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡

## 2.6.1.1 Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Model ARIMA
Pengujian signifikansi parameter dapat dilakukan dengan langkah berikut:
1. AR ( Autoregressive )
Hipotesis: 𝐻 0 : ∅ 𝑖 = 0 (parameter AR tidak berpengaruh terhadap model) 𝐻 1 : ∅ 𝑖 ≠ 0 (parameter AR berpengaruh terhadap model) 2. MA ( Moving Average )
Hipotesis:
𝐻 0 : 𝜃 𝑖 = 0 (parameter MA tidak berpengaruh terhadap model) 𝐻 1 : 𝜃 𝑖 ≠ 0 (parameter MA berpengaruh terhadap model) Statistik uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟) 𝑖 𝑆𝐸(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟) dengan 𝑆𝐸(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟) = √ 1−(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟) 2 𝑛 Kriteria uji baik untuk AR atau MA adalah 𝐻 0 ditolak apabila |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼 2 (𝑛−𝑝) atau p- value < α
2.6.1.2 Uji Asumsi Residual Model ARIMA
a. Uji White Noise Residual Model ARIMA
Asumsi  dasar  bahwa  residual  bersifat white  noise artinya  tidak  terdapat  korelasi antar residual dengan mean sama dengan nol dan varian konstan. Uji independensi residual ( white noise ) dapat dilakukan dengan menggunakan statistik uji Ljung-Box. Hipotesis:
𝐻 0 : 𝜌 1 = 𝜌 2 = ⋯ = 𝜌 𝑘 (residual white noise ) 𝐻 1 :  Minimal ada satu nilai 𝜌 𝑘 ≠ 0; k =1, 2, ⋯ , k (residual tidak white noise ) Statistik Uji:
𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ (𝑛 − 𝑘) −1 𝜌̂ 𝑘 2 𝑘 𝑖=1
Kriteria Uji:
𝐻 0 ditolak apabila 𝑄 >  2 (𝛼;𝑘−𝑝) atau p-value < α
b. Uji Normalitas Residual Model ARIMA
Uji normalitas menggunakan uji Kolmogorov Smirnov . Hipotesis yang diuji adalah residual berdistribusi normal.
Hipotesis: 𝐻 0 ∶ 𝐹(𝑎 𝑡 ) = 𝐹 0 (𝑎 𝑡 ) untuk semua nilai 𝑎 𝑡 (residual data berdistribusi normal) 𝐻 1 ∶ 𝐹(𝑎 𝑡 ) ≠ 𝐹 0 (𝑎 𝑡 ) untuk  sekurang-kurangnya  sebuah  nilai 𝑎 𝑡 (residual  data  tidak berdistribusi normal)
Statistik Uji: 𝐷 = 𝑠𝑢𝑝|𝑆(𝑎 𝑡 ) − 𝐹 0 (𝑎 𝑡 )| Kriteria uji: 𝐻 0 ditolak apabila 𝐷 > 𝐷 1−𝛼 2 ⁄ atau 𝐻 0 ditolak jika p-value < α
c. Uji Homoskedastisitas Residual Model ARIMA
Uji homoskedastisitas digunakan untuk menguji kehomogenan ragam dari residual. Uji Lagrange  Multiplier (LM)  dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  adanya  proses ARCH/GARCH dengan cara meregresikan kuadrat dari residual model.
𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 = ⋯ = 𝜎 𝑛 2 , (varian residual sama) 𝐻 1 : minimal ada satu nilai 𝜎 𝑡 2 ≠ 0, t=1,2,…,n (varian residual tidak sama) Statistik uji:
𝐿𝑀 = (𝑆𝑆𝑅 0 −𝑆𝑆𝑅 1 )/𝑘 𝑆𝑆𝑅 1 /(𝑛−2𝑘−1) Kriteria Uji: 𝐻 0 ditolak apabila 𝐿𝑀 >  2 (𝛼;𝑘) atau p-value < α

## 2.6.1.3 Evaluasi Model Terbaik
Dalam penelitian ini, evaluasi model dilakukan dengan melihat nilai Mean Squared Error (MSE).  Penentuan  model  terbaik  untuk  peramalan  data  runtun  waktu  dapat menggunakan Mean  Squared  Error). Semakin  kecil  nilai  MSE  yang  diperoleh  berarti semakin baik model yang digunakan. Rumus MSE didefinisikan sebagai berikut:
𝑀𝑆𝐸 = ∑ (𝑍 𝑡 − 𝑍̂ 𝑡 ) 2 𝑛 𝑡=1 𝑛 − 𝑝

## 2.6.1.4 Peramalan
Peramalan  berdasarkan  suatu  model  dengan  menurunkan  distribusi  bersyarat observasi  yang  akan  datang  jika  diketahui  observasi  yang  lalu.  Data  yang  sudah
ditransformasi,  harus  dikembalikan  ke  bentuk  data  awal  untuk  mendapatkan  nilai  sesuai data awal.
2.6.2. Model Autoregressive Integrated Fractionally Moving Average atau ARFIMA Model ARFIMA (p,d,q) dapat dituliskan sebagai:
∅ 𝑝 (𝐵)(1 − B) 𝑑 𝑍 𝑡 =   𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡 , dengan d merupakan bilangan pecahan
∇ 𝑑 = (1 − 𝐵) 𝑑 = ∑ ( 𝑑 𝑗 ) ∞ 𝑗=0 (−1) 𝑗 (𝐵) 𝑗
dengan ( 𝑑 𝑗 ) = 𝑑! 𝑗!(𝑑−𝑗)! =  (d+1)  (j+1)  (d−j+1) dimana  (x) merupakan fungsi gamma.
Sehingga diperoleh:
(1 − 𝐵) 𝑑 = (𝑑 0 ) (−1) 0 (𝐵) 0 + (𝑑 1 ) (−1) 1 (𝐵) 1 + (𝑑 2 ) (−1) 2 (𝐵) 2 + …
(1 − B) 𝑑 = 1 − 𝑑𝐵 − 1 2 (1 − 𝑑)𝑑𝐵 2 − 1 6 (1 − 𝑑)(2 − 𝑑)𝑑𝐵 3 + ⋯

## 2.6.2.1 Identifikasi pola long memory
Bila fungsi autokorelasi antara 𝑍 𝑡 dengan 𝑍 𝑡+𝑘 turun lambat secara hiperbolik maka dapat  di  identifikasi  adanya  ketergantungan  jangka  panjang  dalam  data  yang  merupakan ciri  dari  data memori  jangka  panjang  ( long  memory ).  Atau  dapat  dibuktikan  dengan  nilai statistik Hurst  Exponen  (H) yang  berada  pada  interval  0,5<H<1,  dapat  dihitung  dengan mengikuti rumus berikut:
1. Menghitung nilai rata-rata data ( mean )
𝜇 = 1 𝑛 ∑ 𝑍 𝑡 𝑛 𝑡=1 2. Menghitung simpangandari masing-masing data
𝑍(𝑎𝑑𝑗) 𝑡 = 𝑍 𝑡 − 𝜇 dengan t=1,2,…,n
3. Menghitung simpangan kumulatif data
𝑍 𝑡 ∗ = ∑ 𝑍(𝑎𝑑𝑗) 𝑖 𝑡 𝑖=1 4. Menghitung rentangan data
𝑅 𝑡 = max(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ , … , 𝑍 𝑡 ∗ ) − min(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ , … , 𝑍 𝑡 ∗ )
5. Menghitung standar deviasi dari masing-masing data
𝑆 𝑡 = √ 1 𝑡 ∑ (𝑍 𝑖 − 𝜇) 2 𝑡 𝑖=1
6. Menghitung rescaled range statistics (R/S)
(𝑅/𝑆) 𝑡 = 𝑅 𝑡 /𝑆 𝑡
7. Menentukan nilai H melalui statistik R/S dari data deret waktu
(𝑅/𝑆) 𝑡 = 𝑐 . 𝑡 𝐻 log(𝑅/𝑆) 𝑡 = 𝑐 + H log 𝑡 dengan: c= suatu konstanta H=Eksponensial Hurst dan  menaksir  nilai H melalui  metode Ordinary  Least  Square (OLS),  ditunjukkan pada persamaan berikut:
𝐻 = ∑ (𝑋 𝑡 − 𝜇 𝑥 𝑡 )(𝑌 𝑡 − 𝜇 𝑌 𝑡 ) 𝑛 𝑡=1 ∑ (𝑋 𝑡 − 𝜇 𝑥 𝑡 ) 2 𝑛 𝑡=1

## 2.6.2.2 Estimasi Parameter Pembeda
Menurut  Idris  dkk.  (2014)  metode  yang  digunakan  dalam  estimasi  parameter pembeda (d) adalah metode Geweke Porter-Hudak (GPH). Langkah-langkahnya adalah:
1. Menentukan nilai m dengan persamaan rumus m = 𝑛 0,5 dengan n adalah banyaknya data pengamatan
2. Menentukan nilai 𝜔 dengan persamaan rumus
𝜔 𝑖 = 2𝜋𝑖 𝑛 dengan 𝜋 = 3,14dani = 1, 2, …, m
3. Menghitung nilai 𝛾 0 dengan rumus
𝛾 0 = ∑ (𝑍 𝑡 −𝑍̅) 2 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 dengan t = 1, 2, …, n
4. Menentukan nilai dari 𝐼 𝑧 (𝜔 𝑖 ) 𝐼 𝑧 (𝜔 𝑖 ) = 1 2𝜋 {𝛾 0 + 2 ∑ 𝛾 𝑡 cos (𝑡. 𝜔 𝑖 ) 𝑛−1 𝑡=1 } 5. Menentukan 𝑋 𝑖 sebagai variabel bebas
𝑋 𝑖 = 𝑙𝑛 ( 1 4𝑠𝑖𝑛 2 (𝜔 𝑖 /2) )
6. Menentukan 𝑌 𝑖 sebagai variabel tak bebas
𝑌 𝑖 = ln [𝐼 𝑍 (𝜔 𝑖 )]
Kemudian  dibuat  persamaan  regresi  antara 𝑋 𝑖 dan 𝑌 𝑖 yaitu 𝑌 𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑋 𝑖 .  Nilai estimasi d adalah nilai koefisien pada parameter 𝑋 𝑖 atau nilai dari b.

## 2.7 Analisis Intervensi
Menurut Wei (2006), bentuk umum dari model intervensi adalah:
𝑍 𝑡 = ∑ 𝜔 𝑠𝑗 (𝐵)𝐵 𝑏 𝑗 𝛿 𝑟𝑗 (𝐵) 𝑘 𝑗=1 𝐼 𝑗𝑡 + 𝜃 𝑞 (𝐵) ∅ 𝑝 (𝐵) 𝑎 𝑡
Secara umum ada dua macam model intervensi, yaitu model fungsi step dan model fungsi pulse . Fungsi step adalah suatu bentuk intervensi yang terjadinya dalam kurun waktu yang panjang. Secara matematik, bentuk intervensi step ini biasanya dinotasikan sebagai berikut:
𝐼 𝑡 = 𝑆 𝑡 = { 0, 𝑡 < 𝑇

## 1, 𝑡 ≥ 𝑇
Sedangkan fungsi pulse adalah suatu bentuk intervensi yang terjadinya hanya dalam suatu waktu tertentu. Secara matematis, bentuk intervensi fungsi pulse ini biasanya dinotasikan sebagai berikut:
𝐼 𝑡 = 𝑃 𝑡 = { 0, 𝑡 ≠ 𝑇

## 1, 𝑡 = 𝑇

## 2.7.1 Orde Intervensi
Menurut  Nuvitasari  dkk.  (2009),  plot  residual  ARIMA  sebelum  intervensi digunakan  untuk  menentukan  orde  model  intervensi  ( b , s ,  dan r ).  Batas  yang  digunakan untuk menentukan garis signifikansi adalah ±2𝜎 . Orde b merupakan waktu tunda hingga dampak intervensi mulai terjadi. Orde s merupakan lamanya suatu intervensi berpengaruh pada data setelah b periode, dan orde r menunjukkan lag setelah b dan s periode pada saat data  sudah  membentuk  pola  yang  jelas.  Dengan  adanya  kesulitan  praktis  dalam mengartikan prinsip-prinsip orde s dan r , maka dapat ditentukan bahwa 𝑟 + 𝑠 adalah sama
dengan  banyaknya  lag  yang  autokorelasinyasignifikan  sehingga  dapat  dilakukan  proses coba-coba  untuk  memilih  orde b , s dan r yang  menghasilkan  model  terbaik  untuk peramalan.

## 2.7.2 Estimasi Parameter dan Uji Signifikansi Model Intervensi
Nuvitasari  dkk.  (2009)  mengemukakan  bahwa  estimasi  parameter  untuk  model intervensi dihitung berdasarkan bentuk umum dari model fungsi transfer sebagai berikut:
(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 = 𝜔 𝑠 (𝐵) 𝑏 𝛿 𝑟 (𝐵) 𝐼 𝑡 + 𝜃 𝑞 (𝐵) ∅ 𝑝 (𝐵)(1−𝐵) 𝑑 𝑎 𝑡
atau dapat dituliskan sebagai: 𝛿 𝑟 (𝐵)∅ 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 = ∅ 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝜔 𝑠 (𝐵) 𝑏 𝐼 𝑡 + 𝛿 𝑟 (𝐵)𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡 maka diperoleh residualnya adalah:
𝑎 𝑡 = 𝛿 𝑟 (𝐵)∅ 𝑝 (𝐵)𝑍 𝑡 − ∅ 𝑝 (𝐵)𝜔 𝑠 (𝐵)𝐼 𝑡−𝑏 𝛿 𝑟 (𝐵)𝜃 𝑞 (𝐵)
dengan asumsi 𝑎 𝑡 adalah 𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎 𝑎 2 ), maka:
𝑆(𝛿, 𝜔, 𝜃, ∅) = ∑ [ 𝛿 𝑟 (𝐵)∅ 𝑝 (𝐵)𝑍 𝑡 − ∅ 𝑝 (𝐵)𝜔 𝑠 (𝐵)𝐼 𝑡−𝑏 𝛿 𝑟 (𝐵)𝜃 𝑞 (𝐵) ] 2 𝑛
𝑡=1
Untuk mendapatkan dugaan parameter digunakan metode ordinary least square yaitu:
𝑆(𝛿, 𝜔, 𝜃, ∅) = ∑ 𝑎 𝑡 2 𝑛 𝑡=1

## 3. METODOLOGI PENELITIAN

## 3.1. Jenis dan Sumber Data
Jenis data yang digunakan sebagai studi kasus merupakan data sekunder yaitu data jumlah  penumpang  kereta  api  kelas  lokal  ekonomi  yang  diperoleh  dari  PT  Kereta  Api Indonesia  (KAI)  Daerah  Operasi  IV  Semarang.  Data  yang  diambil  ialah  data  bulanan periode Januari 2009 sampai Juni 2017.

## 3.2. Variabel Penelitian
Variabel  penelitian  yang  digunakan  dalam  metode  ARIMA  dan  ARFIMA  adalah jumlah  penumpang  kereta  api  ( 𝑍 𝑡 ) .  Variabel  penelitian  yang  digunakan  pada  metode intervensi step terdiri  dari  satu  variabel  yaitu  jumlah  penumpang  kereta  api  sebelum  dan sesudah terjadinya kenaikan drastis. Secara matematis variabel intervensi fungsi step dapat dinotasikan sebagai berikut:
𝐼 𝑡 = 𝑆 𝑡 = { 0, 𝑡 < 𝑇 1, 𝑡 ≥ 𝑇
T adalah waktu terjadinya intervensi yaitu kenaikan ekstrem jumlah penumpang kereta api pada  saat  T=85  (Januari  2016)  yang  diduga  terjadi  karena  peningkatan Public  Service Obligation (PSO) melalui subsidi yang meningkat sebesar 21,24%.

## 3.3. Teknik Pengolahan Data
3.3.1 Metode ARIMA
1. Membuat plot time series data jumlah penumpang kereta api
2. Melakukan transformasi apabila data tidak stasioner dalam varian
3. Melakukan  pembedaan  ( differencing )terhadap  data  apabila  tidak  stasioner  dalam mean
4. Membuat  plot  ACF  dan  PACF  data  yang  telah  dilakukan  transformasi  dan pembedaan ( differencing )
5. Melakukan pemodelan dengan metode ARIMA.
6. Melakukan uji signifikansi dan uji asumsi parameter model ARIMA.
7. Melakukan evaluasi model ARIMA terbaik dengan melihat MSE yang terkecil.
8. Melakukan peramalan berdasarkan model ARIMA terbaik.

## 3.3.2 Metode Intervensi
Langkah-langkah  pemodelan  intervensi  hampir  sama  dengan  ARIMA.  Namun, dalam  intervensi  terlebih  dahulu  dianalisis  model  sebelum  intervensi,  lalu  menentukan orde intervensi dan melakukan estimasi parameter model intervensi.

## 3.3.3 Metode ARFIMA
Langkah-langkah  pemodelan  ARFIMA  hampir  sama  dengan  ARIMA.  Namun, dalam  ARFIMA  perlu  dibuktikan  apakah  terdapat  efek long  memory atau  tidak,  apabila terdapat  efek long  memory maka  diolah  menggunakan  ARFIMA.  Kemudian  dilakukan estimasi pembeda (d) pada data.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Metode ARIMA

## 4.3.1 Stasioneritas
Data  jumlah  penumpang  tidak  stasioner dalam  varian,  diperoleh  nilai  =0,5 maka dilakukan  transformasi.  Setelah  dilakukan  transformasi,  nilai  diperoleh  =0,5.  Maka dilakukan  transformasi  yang  kedua  diperoleh  =1.  Maka  data  sudah  stasioner  dalam varian.  Selain  itu  dilakukan  pengecekan stasioneritas  dalam mean. Diperoleh  bahwa  data tidak  stasioner  dalam mean ,  maka  perlu  dilakukan differencing .  Setelah  dilakukan differencing , data sudah stasioner dalam mean .

## 4.3.2 Estimasi Parameter dan Uji Signifikansi model ARIMA
Model ARIMA yang mungkin terbentuk adalah: 1.   ARIMA (0, 1, 1) 9.   ARIMA ([13], 1, 1) 2.   ARIMA (0, 1, [13]) 10.   ARIMA ([13], 1, [13]) 3.   ARIMA (0, 1, [1,13]) 11.   ARIMA ([13], 1, [1,13]) 4.   ARIMA (1, 1, 0) 12.   ARIMA ([1,13], 1, 0) 5.   ARIMA (1, 1, 1) 13.   ARIMA (([1,13], 1, 1) 6.   ARIMA (1, 1, [13]) 14.   ARIMA ([1,13], 1, [13]) 7.   ARIMA (1, 1, [1,13]) 15.   ARIMA (([1,13], 1, [1,13]) 8.  ARIMA ([13], 1, 0)
Dari model tersebut dilakukan uji signifikansi parameter, sehingga  pada taraf signifikansi  =  5%,  terdapat  parameter  model  yang  signifikan  dan  tidak  signifikan.  Model  yang signifikan ialah ARIMA (0,1,[13]) dan ARIMA ([13],1,0).

## 4.3.3 Evaluasi asumsi residual Model ARIMA
a. Uji White Noise Residual Mode ARIMA Pada taraf signifikansi  = 5%, kedua model yang signifikan yaitu model ARIMA (0, 1, [13]) dan ARIMA ([13], 1, 0) memenuhi asumsi white noise residual.
b. Uji Normalitas Residual Model ARIMA Model  ARIMA  (0,1,[13])  dan  ARIMA  ([13],1,0)  tidak  memenuhi  asumsi normalitas residual.
c. Uji Homoskedastisitas Residual Model ARIMA
Model ARIMA (0,1,[13]) dan ARIMA ([13],1,0) memenuhi asumsi homoskedastisitas residual yang artinya memiliki varian residual yang sama.

## 4.3.4 Evaluasi Model ARIMA
Model Signifikansi Parameter White Noise Normalitas  Homoskedastisitas MSE ARIMA(0,1,[13]) Ya Ya Tidak Ya 1,899554 ARIMA([13],1,0) Ya Ya Tidak Ya 1,870844
Sehingga  model  terbaik  untuk  data  jumlah  penumpang  kereta  api  DAOP  IV Semarang dengan menggunakan metode ARIMA adalah model ARIMA ([13],1,0) dengan bentuk persamaan:
𝑍 𝑡 = 𝑍 𝑡−1 − 0,250632𝑍 𝑡−13 + 0,250632𝑍 𝑡−14 + 𝑎 𝑡

## 4.3.5 Peramalan Model ARIMA
Hasil Peramalan Jumlah Penumpang Model ARIMA ([13],1,0) Bulan Hasil Peramalan Jul-17 145.253 Agu-17 134.440 Sep-17 142.249 Okt-17 141.900 Nov-17 147.596 Des-17 149.607 4.2 Metode Intervensi
4.2.1. Pemodelan data sebelum intervensi
Berikut  merupakan  plot  time  series  data  penumpang  sebelum  dan  sesudah intervensi:

## 4.2.1.1 Stasioneritas
Data jumlah penumpang sebelum intervensi tidak stasioner dalam varian, diperoleh nilai  =0,5  maka  dilakukan  transformasi.  Setelah  dilakukan  transformasi,  nilai  diperoleh
 =1.  Maka  data  sudah  stasioner  dalam  varian.  Selain  itu  dilakukan  pengecekan stasioneritas  dalam mean. Diperoleh  bahwa  data  tidak  stasioner  dalam mean ,  maka  perlu dilakukan differencing . Setelah dilakukan differencing , data sudah stasioner dalam mean .
4.2.1.2 Estimasi Parameter dan Uji Signifikansi model ARIMA sebelum Intervensi
Model ARIMA yang mungkin terbentuk adalah: 1.   ARIMA (0, 1, 1) 9.   ARIMA ([13], 1, 1) 2.   ARIMA (0, 1, [13]) 10.   ARIMA ([13], 1, [13]) 3.   ARIMA (0, 1, [1,13]) 11.   ARIMA ([13], 1, [1,13]) 4.   ARIMA (1, 1, 0) 12.   ARIMA ([1,13], 1, 0)
5.   ARIMA (1, 1, 1) 13.   ARIMA (([1,13], 1, 1) 6.   ARIMA (1, 1, [13]) 14.   ARIMA ([1,13], 1, [13]) 7.   ARIMA (1, 1, [1,13]) 15.   ARIMA (([1,13], 1, [1,13])
8.  ARIMA ([13], 1, 0)
Model  yang  signifikan  ialah  ARIMA  (0,1,1),  ARIMA  (0,1,[13]),  ARIMA  (0,1,[1,13]), ARIMA  (1,1,0),  ARIMA  (1,1,[13]),  ARIMA  ([13],1,0),  ARIMA  ([13],1,1)  dan  ARIMA ([1,13],1,0).

## 4.2.1.3 Evaluasi asumsi residual Model ARIMA sebelum Intervensi
a. Uji White Noise Residual Model ARIMA sebelum Intervensi Pada taraf signifikansi  = 5%, model yang memenuhi asumsi white noise residual adalah ARIMA (0,1, 1),  ARIMA (0,1,[1,13]), ARIMA (1,1,0),  ARIMA (1,1,[13]), ARIMA ([13],1,1) dan ARIMA ([1,13],1,0).
b. Uji Normalitas Residual Model ARIMA sebelum Intervensi Model ARIMA sebelum intervensi tidak memenuhi asumsi normalitas residual.
c. Uji Homoskedastisitas Residual Model ARIMA sebelum Intervensi Semua model memenuhi asumsi homoskedastisitas artinya model tersebut memiliki varian residual yang sama.

## 4.2.1.4 Evaluasi Model ARIMA sebelum Intervensi
Model Signifikansi Parameter White Noise Normalitas Homo- skedastisitas MSE ARIMA (0, 1, 1) Ya Ya Tidak Ya 1218,622 ARIMA (0, 1, [13]) Ya Tidak Tidak Ya 1184,900 ARIMA (0, 1, [1,13]) Ya Ya Tidak Ya 1049,082 ARIMA (1, 1, 0) Ya Ya Tidak Ya 1222,511 ARIMA (1, 1, [13]) Ya Ya Tidak Ya 1087,421 ARIMA ([13], 1, 0) Ya Tidak Tidak Ya 1128,761 ARIMA ([13], 1, 1) Ya Ya Tidak Ya 1044,231 ARIMA ([1,13], 1, 0) Ya Ya Tidak Ya 1069,586
Metode  ARIMA  terbaik  sebelum  intervensi  adalah  adalah  ARIMA  ([13],1,1).  Persamaan dari model tersebut adalah:
𝑍 𝑡 = 𝑍 𝑡−1 − 0,384553𝑍 𝑡−13 + 0,384553𝑍 𝑡−14 + 𝑎 𝑡 + 0,300783𝑎 𝑡−1

## 4.2.2. Penentuan Orde Intervensi
Dapat  diketahui  bahwa  intervensi  yang  terjadi  dimulai  pada  saat  T=85  atau  pada bulan  Januari  2016  yang  menyebabkan  dampak  yang  bersifat  jangka  panjang  terhadap jumlah  penumpang  kereta  api  sehingga  model  intervensi  yang  diduga  ialah  intervensi fungsi step .Pada  T=85  (Januari  2016)  yang  artinya  intervensi  mulai  terjadi  pada  saat  itu juga  sehingga  waktu  tunda  (b)  adalah  0.  Orde s merupakan  lamanya  sutu  intervensi berpengaruh  pada  data  setelah  b  periode.  Dapat  dilihat  bahwa  plot-plot  residual  respon yang  keluar  dari  garis  signifikansi  merupakan  banyaknya  intervensi  sehingga  diperoleh nilai s adalah  18.  Menurut  Makridakis  dkk.  (1995),  orde r dapat  ditentukan  dengan  nilai maksimum r+s adalah  banyaknya  lag  keluar  yang  signifikan.  Berdasarkan  analisis tersebut, maka diperoleh model intervensi dengan dugaan orde b=0, s=18, r=0.

## 4.2.3. Analisis Intervensi
4.2.3.1 Estimasi Parameter dan Uji Signifikansi model Intervensi
Dilakukan dilakukan uji signifikansi parameter, sehingga  pada taraf signifikansi  = 5%, Model yang signifikan ialah ARIMA([13],1,1) dengan orde b=0, s=18, r=0.

## 4.2.3.2 Evaluasi asumsi residual Model Intervensi
a. Uji White Noise Residual ModelIntervensi Pada  taraf  signifikansi  =  5%,  model intervensi  ARIMA  ([13],1,1)  dengan  b=0, s=18,  dan  r=0  memenuhi  asumsi white  noise residual  atau  tidak  terdapat  korelasi antar residual.
b. Uji Normalitas Residual Model Intervensi ModelARIMA  ([13],1,1)  dengan  b=0,  s=18,  dan  r=0  tidak  memenuhi  asumsi normalitas residual.
c. Uji Homoskedastisitas Residual Model Intervensi Model ARIMA ([13],1,1), b=0 s=18 r=0 memenuhi asumsi homoskedastisitas atau varian residual sama.

## 4.2.3.3 Evaluasi Model Intervensi
Persamaan dari model ARIMA ([13], 1, 1), b=0 s=18 r=0 ialah:
𝑍 𝑡 = 𝑍 𝑡−1 + 227,55798 𝑆 𝑡 − 0,1 𝑆 𝑡−18 + ( 𝑎 𝑡 − 0,34723𝑎 𝑡−1 ) (1 − 𝐵 + 0,37157 𝐵 13 − 0,37157 𝐵 14 ) dengan:
𝑆 𝑡 = { 0, 𝑡 < (𝑇 = 85) 1, 𝑡 ≥ (𝑇 = 85) dimana T=85 merupakan intervensi yang terjadi pada bulan Januari 2016

## 4.2.3.4 Peramalan Model Intervensi
Hasil Peramalan Jumlah Penumpang Model ARIMA ([13], 1, 1), b=0 s=18 r=0 :
Bulan Hasil Peramalan Juli 2017 152.528 Agustus 2017 135.468 September 2017 147.913 Oktober 2017 147.370 November 2017 156.061 Desember 2017 159.045
-50000 0 50000 100000 150000 200000 Diagram Residual Respon Intervensi Resid…

## 4.3 Metode ARFIMA

## 4.3.1 Identifikasi Long Memory
Pada gambar tersebut, dapat dilihat bahwa lag yang muncul turun lambat secara hiperbolik. Secara  visual  dapat  dikatakan  bahwa  data  mengandung  efek  memory  jangka  panjang. Identifikasi  model  secara  formal  dapat  dilihat  melalui  perhitungan  nilai Hurst  Exponent (H). Nilai  H  sebesar  0,69,  karena  nilai Hurst terletak  pada  interval  0,5<H<1  maka  dapat disimpulkan bahwa terdapat memori jangka panjang pada data.

## 4.3.2 Estimasi Parameter Pembeda (d)
Estimasi nilai d dilakukan menggunakan program R dengan metode GPH (Geweke and Porter-Hudak) . Diperoleh nilai d sebesar 1,222974 dan dilakukan diferensiasi terhadap data sesuai dengan nilai d tersebut.

## 4.3.3 Estimasi Parameter dan Uji Signifikansi model ARFIMA
Dari model tersebut dilakukan uji signifikansi parameter, pada taraf signifikansi  = 5%, terdapat parameter model yang signifikan dan tidak signifikan. Model yang signifikan ialah ARFIMA (0, d, [1,13]).

## 4.3.4 Evaluasi asumsi residual Model ARFIMA
a. Uji White Noise Residual Model ARFIMA Model  ARFIMA  (0,  d,  [1,13])  memenuhi  asumsi white  noise residual  karena memiliki p-value yang lebih besar dari  = 5%
b. Uji Normalitas Residual Model ARFIMA Model ARFIMA (0, d, [1,13]) tidak memenuhi asumsi normalitas.
c. Uji Homoskedastisitas Residual Model ARFIMA Pada saat taraf signifikansi  = 5%, dapat disimpulkan bahwa model ARFIMA (0, d, [1,13]) memenuhi asumsi homoskedastisitas residual.

## 4.3.5 Evaluasi Model ARFIMA
Nilai  MSE  dari  model  ARFIMA  (0,  d,  [1,13])  adalah  0,00964.  Bentuk persamaannya adalah:
𝑍 𝑡 = (1 + 0,666414𝐵 + 0,304954𝐵 13 ) 𝑎 𝑡
(1 − 𝐵) 0,367546
dengan (1 − B) 0,367546 dapat didekati dengan ekspansi binomial sebagai berikut:
(1 − B) 0,367546 = 1 − 0,367546𝐵 − 0,116228𝐵 2 − 0,063246𝐵 3 + ⋯
26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag Au to co rre la tio n

## 4.3.6 Peramalan dengan Metode ARFIMA
Hasil Peramalan Jumlah Penumpang Model ARFIMA (0, d, [1,13]) Bulan Hasil Peramalan Juli 2017 129.543 Agustus 2017 121.919 September 2017 123.230 Oktober 2017 124.348 November 2017 132.299 Desember 2017 143.719

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan pada hasil analisis penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
1. Model  ARIMA  yang  terbentuk  adalah  ARIMA  ([13],1,0)  dengan  MSE  sebesar 1,870844. Model tersebut ditulis dengan persamaan:
𝑍 𝑡 = 𝑍 𝑡−1 − 0,250632𝑍 𝑡−13 + 0,250632𝑍 𝑡−14
2. Model Intervensi fungsi step yang terbentuk adalah ARIMA ([13],1,1) b=0, s=18, r=0, dengan MSE sebesar 1124. Dapat ditulis dengan persamaan:
𝑍 𝑡 = 𝑍 𝑡−1 + 227,55798𝑆 𝑡 − 0,1𝑆 𝑡−18
+ (𝑎 𝑡 − 0,34723𝑎 𝑡−1 )
(1 − 𝐵 + 0,37157𝐵 13 − 0,37157𝐵 14 )
3. Model  ARFIMA  yang  terbentuk  pada  adalah  ARFIMA  (0,d,[1,13])  dimana d=0,367546.  Nilai  MSE  model  tersebut  adalah  0,00964,  dapat  ditulis  dengan persamaan:
𝑍 𝑡 = (1 + 0,666414𝐵 + 0,304954𝐵 13 ) 𝑎 𝑡 (1 − 𝐵) 0,367546
(1 − B) 0,367546 = 1 − 0,367546𝐵 − 0,116228𝐵 2 − 0,063246𝐵 3 + ⋯
4. Dari metode ARIMA, Intervensi dan ARFIMA, metode terbaik dalam meramalkan jumlah  penumpang  adalah  metode  ARFIMA  karena  memiliki  MSE  terkecil  yaitu 0,00964 dengan model ARFIMA (0,d,[1,13]) dimana d=0,367546.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdulkadir, M. 1998. Hukum Pengangkutan Niaga . Bandung: Citra Aditya Bakti.
Cahyandari,  R.,  dan  Erviana,  R.  2015. Peramalan  Kurs  Jual  Uang  Kertas MataUangSingapore
Dollar (SGD) terhadap Rupiah Menggunakan ModelARFIMA(Autoregressive  Fractionally  Integrated  Moving  Average). Kubik Vol.1, No.1.
Chatfield, C. 2000. Time Series Forecasting. Florida: CRC Press. Hosking, J. R. M. 1981. Fractional Differencing. Biometrika, Vol.68 Page 165-176.
KAI.  2014. Pemerintah  Subsidi  Penumpang  KA  Kelas  Ekonomi . https://www.kereta- api.co.id . Diakses: 10 Mei 2018. KAI. 2018. Angkutan Penumpang . https://www.kereta-api.co.id . Diakses: 10 Mei 2018. Makridakis, S., Wheelright, S.C., dan McGee V. E. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jilid  satu.  Edisi  kedua.  Terjemahan  dari:  Ir.  Untung  Sus  Andriyanto,  M.Sc.  dan  Ir Abdul Basith, M.Sc . Jakarta: Erlangga.
Nuvitasari, E., Suhartono., dan Wibowo, S. H. 2009. Analisis Intervensi Multi Input Fungsi Step dan Fungsi Pulse untuk Peramalan Kunjungan Wisatawan ke Indonesia . Thesis. Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.
Rosadi,  D.  2012. Ekonometrika  &  Analisis  Runtun  Waktu  Terapan  denganEviews. Yogyakarta: Andi.
Soejoeti, Z. 1987. Materi Pokok Analisis Runtun Waktu . Jakarta:Karunika. Suhartono. 2007. Teori dan Aplikasi Model Intervensi Fungsi Pulse . Jurnal Ilmiah MatStat, Vol.7, No.2.
Republik  Indonesia.  1998. Peraturan  Pemerintah  Nomor  69  Tahun  1998  tentang prasarana dan sarana kereta api. Jakarta. Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods . Canada: Addison Wesley Publishing Company.