## Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang 𝑏 -Metrik
Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : sunarsini@matematika.its.ac.id
Abstrak— Dalam  paper  ini,  dibahas  mengenai  ruang b-metrik  yang  merupakan  generalisasi  dari  ruang  metrik. Bahasan yang menarik untuk dikaji dalam ruang b-metrik diantaranya  adalah  mengenai  konvergensi  barisan  serta teorema titik tetap. Untuk mendapatkan teorema titik tetap dalam  ruang  b-metrik,  perlu  ditunjukkan  bahwa  ruang  b- metrik  tersebut  lengkap.  Pada  paper  ini,  ditunjukkan bahwa ruang b-metrik 𝓵 𝟏 𝟐 merupakan ruang b-metrik yang lengkap,  sehingga  didapatkan  pula  teorema  titik  tetap dalam ruang b-metrik 𝓵 𝟏 𝟐 .. Kata Kunci—Ruang Metrik, Ruang b-Metrik, Konvergensi Barisan, Teorema Titik Tetap.

## I. PENDAHULUAN
alam  mempelajari  ilmu  pengetahuan  tentu  di dalamnya mempelajari matematika. Analisis fungsional merupakan salah satu cabang dari matematika analisis.  Konsep  umum  yang  dibahas  dalam  analisis fungsional  diantaranya  ruang  metrik,  ruang  bernorma, ruang Banach, ruang hasil kali dalam, dan ruang Hilbert.
Pembahasan  dalam  analisis  fungsional  pun  mulai berkembang,  salah  satunya  tertuju  pada  perumuman ruang  metrik  serta  pengembangan  teorema  titik  tetap pada ruang-ruang tertentu.
Masalah  konvergensi  barisan  merupakan  salah  satu bagian  yang  cukup menarik pada pembahasan di dalam analisis  fungsional.  Khususnya  barisan  di  dalam  ruang metrik dan ruang b -metrik.
Teorema  titik  tetap  atau  teorema  pemetaan  kontraktif merupakan  hal  yang  penting  dalam  pembahasan mengenai  ruang  metrik.  Teorema  ini  menunjukkan bahwa titik tetap dari pemetaan pada ruang metrik itu ada dan  tunggal.  Teorema  ini  pertama  kali  dibuktikan  oleh Stefan Banach pada tahun 1920.
Selain  itu,  pengembangan  teorema  titik  tetap  pada ruang b -metrik pun banyak diteliti. Konsep dari ruang b - metrik diperkenalkan dan dipelajari pada tahun 1989 oleh Bakhtin  [9].  Bakhtin  memperkenalkan  ruang b -metrik sebagai generalisasi dari ruang metrik.
Dengan  menggunakan  gagasan  ini,  pada  tahun  1993 Czerwik  [8]  menampilkan  suatu  generalisasi  dari teorema titik tetap Banach pada ruang b-metrik.
Dalam  paper  ini,  akan  dikaji  mengenai  konvergensi barisan dan teorema titik tetap pada ruang b -metrik.

## Ruang b-Metrik
Sebelum membahas mengenai ruang b-metrik, terlebih dahulu  perlu  dijelaskan  mengenai  pengertian  ruang metrik  serta  konvergensi  dalam  ruang  metrik.  Hal
tersebut  merupakan  ide  dasar  dari  konsep  ruang 𝑏 - metrik.
Definisi  1.1[3]  Misalkan 𝑋 suatu  himpunan  tak  kosong. Didefinisikan  metrik  atau  fungsi  jarak  sebagai  fungsi bernilai  real 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ yang  memenuhi  sifat-sifat berikut.
Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 , berlaku:
(M1) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 .
(M2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 .
(M3) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) .
(M4) 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧) .
Jika 𝑑 metrik  di 𝑋 ,  maka  pasangan (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik.
Contoh  1.2  [3] Pada  himpunan ℝ dapat  didefinisikan metrik 𝑑: ℝ × ℝ → ℝ dengan 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ .
Berikutnya  diberikan  definisi  mengenai  barisan konvergen dalam ruang metrik.
Definisi  1.3[3]  Suatu  barisan (𝑥 𝑛 ) dari  titik-titik  dalam suatu ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 , dinotasikan dengan 𝑥 𝑛 → 𝑥 untuk 𝑛 → ∞ atau lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑥
jika barisan bilangan real tak-negatif 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥) → 0 saat 𝑛 → ∞ ;  dengan  kalimat  lain,  untuk  setiap 𝜀 > 0 , terdapat 𝑁 ∈ ℕ sedemikian sehingga 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥) < 𝜀 untuk 𝑛 ≥ 𝑁 .
Berikut  diberikan  definisi  mengenai  barisan  Cauchy pada ruang metrik.
Definisi  1.4[3] Misalkan (𝑋, 𝑑) suatu  ruang  metrik. Suatu  barisan (𝑥 𝑛 ) dari  titik-titik  di 𝑋 merupakan barisan Cauchy jika untuk sebarang 𝜀 > 0 terdapat 𝑁 ∈ ℕ sedemikian hingga 𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) < 𝜀 apabila 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 .
Selanjutnya diberikan definisi mengenai ruang metrik lengkap.
Definisi  1.5[3] Misalkan (𝑋, 𝑑) suatu  ruang  metrik  dan 𝐸 ⊆ 𝑋 .  Himpunan 𝐸 dikatakan  lengkap  apabila  setiap barisan  Cauchy  di 𝐸 mempunyai  limit  di 𝐸 .  Jika 𝑋 lengkap maka dikatakan (𝑋, 𝑑) ruang metrik lengkap.
Contoh  1.6 Himpunan  bilangan  real ℝ dengan  metrik 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| adalah  suatu  metrik  lengkap.  Hal  ini dapat  dibuktikan  sebagai  berikut:  misal (𝑥 𝑛 ) dengan 𝑥 𝑛 = 1 − 1 𝑛 dan 𝑛 = 1,2, … adalah  barisan  Cauchy  pada (ℝ, 𝑑) dan (𝑥 𝑛 ) konvergen  ke 1 ∈ ℝ maka  terbukti bahwa (ℝ, 𝑑) adalah ruang metrik lengkap.
D
Berikut  ini  diberikan  definisi  mengenai  pemetaan kontraktif dalam ruang metrik.
Definisi  1.7[5] Diberikan (𝑋, 𝑑) adalah  ruang  metrik. Pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 disebut  kontraktif  pada (𝑋, 𝑑) jika terdapat  bilangan  real 0 < 𝑘 < 1 untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 yang memenuhi 𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝑘𝑑(𝑥, 𝑦) .
Setelah  mendapatkan  konsep  mengenai  ruang  metrik, berikut akan diberikan definisi ruang b -metrik.
Definisi  1.8[1]  Diberikan 𝑋 adalah  suatu  himpunan  tak kosong  dan  diberikan 𝑠 ≥ 1 bilangan  riil.  Suatu  fungsi 𝑑 𝑏 : 𝑋 × 𝑋 → ℝ disebut b-metrik, untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 , berlaku
(BM1) 𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) ≥ 0 ,
(BM2) 𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦 ,
(BM3) 𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 𝑏 (𝑦, 𝑥)
(BM4) 𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑧) ≤ 𝑠[𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) + 𝑑 𝑏 (𝑦, 𝑧)]
Pasangan (𝑋, 𝑑 𝑏 ) disebut ruang b-metrik. .

## II. METODOLOGI PENELITIAN
Tahap  pertama  dari  penelitian  ini  adalah  mengkaji mengenai  konvergensi  barisan  pada  ruang b -metrik, kemudian  akan  ditunjukkan  bahwa  ruang b -metrik 𝑙 1 2 adalah  bukan  merupakan  suatu  ruang  metrik  dengan syarat  suatu  nilai 𝑠 yang  telah  didapatkan.  Langkah berikutnya adalah melakukan pengkajian mengenai ruang b -metrik 𝑙 1 2 .
Setelah didapatkan mengenai konvergensi barisan pada ruang b -metrik  berikut  kelengkapannya,  selanjutnya dikaji  mengenai  teorema  titik  tetap  pada  ruang b -metrik 𝑙 1
2 .

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## Konvergensi Barisan pada Ruang b-Metrik
Pada bagian ini akan diselidiki mengenai bagaimanakah konvergensi barisan pada ruang b- metrik.
Definisi  3.1[1]  Diberikan (𝑋, 𝑑 𝑏 ) ruang  b-metrik. Barisan {𝑥 𝑛 } pada 𝑋 dikatakan  konvergen  jika  dan hanya  jika  terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 dan ∀𝜀 > 0 terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 didapatkan 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥) < 𝜀 . Dalam hal ini dapat ditulis lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑥 .
Berikut ini diberikan beberapa teorema yang berkaitan dengan konvergensi barisan pada ruang b -metrik.
Teorema  3.2 Diberikan (𝑋, 𝑑 𝑏 ) ruang b -metrik.  Jika barisan (𝑥 𝑛 ) , (𝑦 𝑛 ) di  dalam 𝑋 yang  masing-masing konvergen  ke 𝑥 dan 𝑦 maka  barisan (𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 )) konvergen ke 𝑠𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) , untuk suatu 𝑠 ≥ 1 . Teorema  3.3  Jika (𝑥 𝑛 ) barisan  di (𝑋, 𝑑 𝑏 ) konvergen maka (𝑥 𝑛 ) memiliki limit tunggal.
Selanjutnya,  akan  didefinisikan  mengenai  konsep barisan  Cauchy  pada  ruang b -metrik  yang  masih berkaitan dengan kekonvergenan dalam ruang b -metrik.
Definisi 3.4[1] Diberikan (𝑋, 𝑑 𝑏 ) merupakan ruang b- metrik. Barisan (𝑥 𝑛 ) pada 𝑋 disebut barisan Cauchy jika dan  hanya  jika  untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑁 ∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 didapatkan 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) < 𝜀 .
Definisi  3.5[1]  Ruang  b-metrik (𝑋, 𝑑 𝑏 ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchynya konvergen.
Dari Definisi 3.4  diperoleh  teorema  mengenai barisan Cauchy berikut ini.
Teorema  3.6 Diberikan (𝑋, 𝑑 𝑏 ) ruang 𝑏 -metrik.  Jika (𝑥 𝑛 ) Barisan  konvergen  di (𝑋, 𝑑 𝑏 ) ,  maka (𝑥 𝑛 ) merupakan barisan Cauchy.
Ruang b-Metrik ℓ 1 2
Setelah mengetahui konsep-konsep mengenai ruang b - metrik  dan  konvergensinya,  pada  bagian  ini  akan diselidiki  mengenai  ruang ℓ 𝑝 (0 < 𝑝 < 1) khususnya 𝑝 = 1 2 .
Definisi 3.7[1] Himpunan ℓ 1
2
ℓ 1 2 = {𝑥 = (𝑥 𝑛 ); 𝑥 𝑛 ∈ ℝ ∶ ∑|𝑥 𝑛 | 1 2 ∞ 𝑛=1 < ∞}
Dari Definisi 3.7 diperoleh teorema sebagi berikut.
Teorema  3.8 Diberikan  himpunan ℓ 1 2 .  Jika 𝑑 𝑏 : ℓ 1 2 × ℓ 1 2 → ℝ dengan 𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) = (∑ |𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 | 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 maka 𝑑 𝑏 merupakan b -metrik  dengan 𝑠 = 2 2 = 4 .  Lebih  lanjut,
(ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) merupakan ruang b -metrik.
Selanjutnya  akan  diberikan  mengenai  konvergensi barisan Cauchy pada ruang b -metrik ℓ 1 2 dan sifat lengkap dari  ruang b -metrik (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) ,  seperti  tertuang  dalam teorema dibawah ini.
Teorema  3.9 Diberikan (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) ruang b -metrik.  Jika
(𝑥 𝑛 ) barisan  konvergen  di (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) ,  maka (𝑥 𝑛 ) merupakan barisan Cauchy.

## Bukti.
Ambil (𝑥 𝑛 ) sebarang  barisan  di  ruang 𝑏 -metrik (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) .  Untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑁 ∈ ℕ dan 𝑠 = 4 , sehingga  untuk  setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥) < 𝜀 8 dan 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑚 , 𝑥) < 𝜀 8 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥) artinya
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥) = (∑|𝑥 𝑛 − 𝑥| 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 < 𝜀 8 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑚 , 𝑥) artinya
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑚 , 𝑥) = ( ∑ |𝑥 𝑚 − 𝑥| 1 2 ∞ 𝑚=1 ) 2 < 𝜀 8 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≤ 4[𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥) + 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑚 , 𝑥)] ≤ 4 [( ∑ [|𝑥 𝑛 − 𝑥| + |𝑥 𝑚 − 𝑥|] 1 2 ∞ 𝑛,𝑚=1 ) 2 ] ≤ 4 [(∑|𝑥 𝑛 − 𝑥| 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 + ( ∑ |𝑥 𝑚 − 𝑥| 1 2 ∞ 𝑚=1 ) 2 ] < 4 [ 𝜀 8 + 𝜀 8 ] = 𝜀 jadi 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) < 𝜀
Sehingga  terbukti  bahwa (𝑥 𝑛 ) merupakan  barisan Cauchy.
Teorema  3.10 Ruang (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) merupakan  ruang b - metrik yang lengkap.

## Bukti.
Ambil  sebarang  barisan  Cauchy (𝑥 𝑛 ) di ℓ 1 2 dengan
𝑥 𝑛 = (𝑥 𝑛1 , 𝑥 𝑛2 , 𝑥 𝑛3 , … ) ,  maka  untuk  setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝑁 sehingga untuk 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 , berlaku
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) = (∑ |𝑥 𝑚𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 | 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 < 𝜀 (1)
Ini  memenuhi  untuk  setiap 𝑗 = 1,2, … sehingga didapatkan
|𝑥 𝑚𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 | < 𝜀 (2)
Sekarang  ambil 𝑗 tetap.  Dari  (2)  terlihat  bahwa (𝑥 𝑛𝑗 ) adalah  barisan  Cauchy  di ℝ ,  karena ℝ merupakan  suatu ruang  metrik  lengkap,  sehingga  untuk  setiap  barisan Cauchynya  konvergen,  katakan  konvergen  ke 𝑥 𝑗 ∈ ℝ sehingga 𝑥 𝑛𝑗 → 𝑥 𝑗 saat 𝑛 → ∞ .  Dengan  menggunakan limit  ini,  didefinisikan 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … ) dan  akan ditunjukkan bahwa 𝑥 ∈ ℓ 1 2 dan 𝑥 𝑛 → 𝑥 .
Dari (1) didapatkan untuk setiap 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑘 ≥ 1 , diperoleh
∑|𝑥 𝑚𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 | 1 2 < 𝜀 1 2 𝑘 𝑗=1 jika 𝑚 → ∞ dan 𝑘 → ∞ , untuk 𝑛 ≥ 𝑁 . didapatkan
∑ |𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 | 1 2 < 𝜀 1 2 ∞ 𝑗=1 (3)
Ini menunjukkan bahwa 𝑥 − 𝑥 𝑛 = (𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 ) ∈ ℓ 1 2 .
Karena 𝑥 𝑛 ∈ ℓ 1 2 ,  maka  berdasarkan  Ketaksamaan
Minkowski
(∑ |𝑥 𝑛𝑗 + (𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 )| 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 ≤ (∑ |𝑥 𝑛𝑗 | 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2 + (∑ |𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑛𝑗 | 1 2 ∞ 𝑗=1 ) 2
karena 𝑥 𝑛 ∈ ℓ 1 2 dan 𝑥 − 𝑥 𝑛 ∈ ℓ 1 2 ,  maka 𝑥 = 𝑥 𝑛 + 𝑥 − 𝑥 𝑛 ∈ ℓ 1 2 .
Pada  persamaan  (3)  merepresentasikan [𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑥 𝑛 )] 𝑝 , sehingga  persamaan  tersebut  menunjukkan  bahwa 𝑥 𝑛 →
𝑥 ,  dan  karena (𝑥 𝑛 ) merupakan  sebarang  barisan  Cauchy di ℓ 1 2 , maka hal ini menunjukkan kelengkapan dari ℓ 1 2 .
Teorema Titik Tetap pada Ruang b-Metrik ℓ 1 2
Pada bagian ini, akan diberikan beberapa teorema titik tetap dari ruang b -metrik ℓ 1 2 . Secara umum, teorema titik tetap pada ruang b -metrik telah diuraikan pada [7].
Teorema pertama  mengenai prinsip kontraktif  Banach pada ruang b -metrik ℓ 1 2 .
Teorema 3.11(Teorema Titik Tetap Banach)
Diberikan (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) ruang b-metrik yang lengkap dengan konstanta 𝑠 = 2 2 = 4 dan 𝑇: ℓ 1 2 → ℓ 1 2 suatu  pemetaan kontraktif dengan batasan 𝑘 ∈ [0,1/4) dan 𝑘𝑠 < 1 . Jika barisan (𝑥 𝑛 ) ∈ ℓ 1 2 dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 =   𝑇 𝑛 𝑥 0 , 𝑛 = 1,2, … . sehingga 𝑑 𝑏 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝑘𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) maka  terdapat 𝑥 ∗ ∈ ℓ 1 2 sedemikian  hingga 𝑥 𝑛 → 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ adalah titik tetap tunggal 𝑇 .
Bukti:
Ambil  sebarang 𝑥 0 ∈ ℓ 1 2 dan (𝑥 𝑛 ) suatu  barisan  pada
ℓ 1 2 dengan
𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 =   𝑇 𝑛 𝑥 0 , 𝑛 = 1,2, …
Karena 𝑇 adalah  suatu  pemetaan  kontraktif  dengan konstanta 𝑘 ∈ [0,1/4) maka didapatkan 𝑑 𝑏 (𝑇 2 𝑥 0 , 𝑇 2 𝑥 1 ) ≤ 𝑘𝑑 𝑏 (𝑇𝑥 0 , 𝑇𝑥 1 ) ≤ 𝑘 2 𝑑 𝑏 (𝑥 0 , 𝑥 1 ) ≤ 𝑘 2 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2 jadi 𝑑 𝑏 (𝑇 2 𝑥 0 , 𝑇 2 𝑥 1 ) ≤   𝑘 𝑛 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa (𝑥 𝑛 ) adalah barisan Cauchy pada ℓ 1 2 .
Diberikan 𝑚, 𝑛 > 0 dan 𝑚 > 𝑛 ,
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) < 4 (∑|𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 + 4 2 (∑|𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛+2 | 1 2 ) 2 +4 3 (∑|𝑥 𝑛+2 − 𝑥 𝑛+3 | 1 2 ) 2 + ⋯ < 4𝑘 𝑛 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2 + 4 2 𝑘 𝑛+1 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2 +4 3 𝑘 𝑛+2 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2 + ⋯ = 4𝑘 𝑛 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2 [1 + 4𝑘 + (4𝑘) 2 + (4𝑘) 3 + ⋯ ] (4)
Kemudian ambil 𝑛, 𝑚 → ∞ pada (4), didapatkan
lim 𝑚,𝑛→∞ 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = lim 𝑚,𝑛→∞ (∑|𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 = 0
Sehingga, (𝑥 𝑛 ) adalah  barisan  Cauchy  pada ℓ 1 2 .
Berdasarkan  kelengkapan  dari ℓ 1 2 maka (𝑥 𝑛 ) konvergen ke 𝑥 ∗ ∈ ℓ 1 2 .  Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa 𝑥 ∗ adalah titik tetap tunggal dari 𝑇 . karena
𝑇𝑥 ∗ = lim 𝑛→∞ 𝑇 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑇 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ adalah titik tetap dari 𝑇 . Perlu ditunjukkan bahwa titik tetapnya tunggal.
Anggap 𝑥 ′ adalah  titik  tetap  yang  lain  dari 𝑇 ,  maka 𝑇𝑥 ′ = 𝑥 ′ .
𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑥 ′ ) = 𝑑 𝑏 (𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ′ ) ≤ 𝑘 (∑|𝑥 ∗ − 𝑥 ′ | 1 2 ) 2 (5)
Persamaan  (5)  menunjukkan  bahwa 𝑘 ≥ 1 namun dalam  hal  ini  kontradiksi  dengan 𝑘 ∈ [0,1/4) .  Sehingga titik tetapnya adalah tunggal.
Berikutnya akan diberikan teorema mengenai teorema titik tetap tipe Kannan pada ruang b -metrik ℓ 1 2 .
Teorema 3.12(Teorema Titik Tetap Kannan)
Diberikan (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) ruang b-metrik yang lengkap dengan konstanta 𝑠 = 2 2 = 4 dan 𝑇: ℓ 1 2 → ℓ 1 2 suatu  pemetaan untuk setiap 𝜇 ∈ [0, 1/2) . Jika barisan (𝑥 𝑛 ) ∈ 𝑋 dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 =   𝑇 𝑛 𝑥 0 , 𝑛 = 1,2, … .  sedemikian  hingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℓ 1 2 berlaku
𝑑 𝑏 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝜇[𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑑 𝑏 (𝑦, 𝑇𝑦)] (6)
maka  terdapat 𝑥 ∗ ∈ ℓ 1 2 sedemikian  hingga 𝑥 𝑛 → 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ adalah titik tetap tunggal 𝑇 . Bukti:
Ambil  sebarang 𝑥 0 ∈ ℓ 1 2 dan (𝑥 𝑛 ) suatu  barisan  pada
ℓ 1 2 dengan
𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 =   𝑇 𝑛 𝑥 0 , 𝑛 = 1,2, …
Dengan menggunakan ketaksamaan (6) didapatkan 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 𝑑 𝑏 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) ≤ 𝜇[𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )] = 𝜇 [(∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 ] ≤ 𝜇 𝜇 − 1 (∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 jadi 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝜇 𝜇−1 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 )
dan didapatkan
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ ( 𝜇 𝜇 − 1 ) 𝑛 (∑|𝑥 0 − 𝑥 1 | 1 2 ) 2
Karena 𝜇 ∈ [0, 1/2) maka 𝜇 𝜇−1 ∈ [0,1) .  Sehingga, 𝑇 merupakan suatu pemetaan kontraktif.
Dari  Teorema  3.11  telah  ditunjukkan  bahwa (𝑥 𝑛 ) adalah  barisan  Cauchy  pada ℓ 1 2 dan  merupakan  barisan konvergen.  Anggap  bahwa (𝑥 𝑛 ) konvergen  ke 𝑥 ∗ ∈ ℓ 1 2 sehingga didapatkan 𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) ≤ 4[𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑥 𝑛 ) + 𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ∗ )] = 4 [(∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 ] ≤ 4 (∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + 4𝜇[(∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 ]
Dan didapatkan
𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) ≤ 4 1−4𝜇 (∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + 4𝜇 1−4𝜇 (∑|𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 (7)
Dari (7), didapatkan
𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) ≤ 4 1−4𝜇 (∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + 4𝜇 1−4𝜇 ( 𝜇 𝜇−1 ) 𝑛 (∑|𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 (8)
Diberikan 𝑛 → ∞ pada (8) sehingga
lim 𝑛→∞ 𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = lim 𝑛→∞ (∑|𝑥 ∗ − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 = 0
Oleh karena itu, 𝑥 ∗ = 𝑇𝑥 ∗ dan menunjukkan bahwa 𝑥 ∗ adalah titik tetap tunggal dari 𝑇 .
Berikutnya akan diberikan teorema mengenai teorema titik tetap tipe Chatterjea pada ruang b -metrik ℓ 1 2 .
Teorema  3.13(Teorema  Titik  Tetap  Chatterjea) Diberikan (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) ruang b-metrik yang lengkap dengan konstanta 𝑠 = 2 2 = 4 dan 𝑇: ℓ 1 2 → ℓ 1 2 suatu  pemetaan untuk  setiap 𝜆 ∈ [0, 1/8) dan 𝑠𝜆 < 1 8 .  Jika  barisan (𝑥 𝑛 ) ∈ ℓ 1 2 dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 =   𝑇 𝑛 𝑥 0 , 𝑛 = 1,2, … . sedemikian hingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℓ 1 2 berlaku
𝑑 𝑏 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝜆[𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑇𝑦) + 𝑑 𝑏 (𝑦, 𝑇𝑥)] (9)
maka  terdapat 𝑥 ∗ ∈ ℓ 1 2 sedemikian  hingga 𝑥 𝑛 → 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ adalah titik tetap tunggal 𝑇 .
Bukti: Ambil  sebarang 𝑥 0 ∈ ℓ 1 2 dan (𝑥 𝑛 ) suatu  barisan  pada
ℓ 1 2 dengan
𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 =   𝑇 𝑛 𝑥 0 , 𝑛 = 1,2, …
Dengan menggunakan ketaksamaan (9) didapatkan
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 𝑑 𝑏 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = (∑|𝑇𝑥 𝑛−1 − 𝑇𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 ≤ 𝜆 [(∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑇𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 𝑛−1 | 1 2 ) 2 ] = 𝜆 [(∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 ] ≤ 4𝜆 [(∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 ]
Dan didapatkan
𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 4𝜆 1 − 4𝜆 (∑|𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2
Karena 𝜆 ∈ [0, 1/8) maka 4𝜆 1−4𝜆 ∈ [0,1) .  Sehingga, 𝑇 merupakan suatu pemetaan kontraktif.
Dari  Teorema  3.11  dan  Teorema  3.12  telah ditunjukkan  bahwa (𝑥 𝑛 ) adalah  barisan  Cauchy  pada ℓ 1 2
dan merupakan barisan konvergen ke 𝑥 ∗ ∈ ℓ 1 2 .
Kemudian,  akan  ditunjukkan  bahwa 𝑥 ∗ adalah  titik tetap dari 𝑇 .
𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) ≤ 4 [(∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛+1 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 ] = 4 (∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 + 4 (∑|𝑇𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 ≤ 4 (∑|𝑥 ∗ − 𝑥 𝑛+1 | 1 2 ) 2 + 4𝜆 [(∑|𝑥 ∗ − 𝑇𝑥 𝑛 | 1 2 ) 2 + (∑|𝑥 𝑛 − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 ]
Sehingga didapatkan
𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) ≤ 4𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑥 𝑛+1 ) + 4𝜆𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑥 𝑛+1 ) + 4𝜆𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ∗ )] (10)
Diberikan 𝑛 → ∞ pada (10) sehingga
𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) ≤ 4𝜆 (∑|𝑥 ∗ − 𝑇𝑥 ∗ | 1 2 ) 2 (11)
Ketaksamaan  (11)  salah,  kecuali 𝑑 𝑏 (𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0 , sehingga didapatkan 𝑥 ∗ = 𝑇𝑥 ∗ .

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat  diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika (𝑥 𝑛 ) , (𝑦 𝑛 ) barisan  di  dalam  ruang b -metrik (𝑋, 𝑑 𝑏 ) yang  masing-masing  konvergen ke 𝑥 dan 𝑦 ,  maka (𝑑 𝑏 (𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 )) konvergen  ke 𝑠𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) , untuk suatu 𝑠 ≥ 1 .
2. Jika (𝑥 𝑛 ) barisan  konvergen  di  ruang b -metrik (𝑋, 𝑑 𝑏 ) maka (𝑥 𝑛 ) memiliki limit tunggal 3. Ruang (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) merupakan  ruang b -metrik  yang lengkap terhadap b -metrik
𝑑 𝑏 (𝑥, 𝑦) =
(∑ |𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 | 1 2 ∞ 𝑛=1 ) 2 .
4. Diperoleh  3  teorema  titik  tetap  pada  ruang b - metrik lengkap (ℓ 1 2 , 𝑑 𝑏 ) yaitu:
a. Teorema Titik Tetap Banach
b. Teorema Titik Tetap Kannan
c. Teorema Titik Tetap Chatterjea

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Dubey, A.K., Shukla, R., Dubey, R.P., 2014. “Some Fixed  Point  Results  in b -Metric  Spaces”. Asian Journal  of  Mathematics  and  Applications 2014. 0147.
[2] Alghamdi,  M.A,  Hussain,  N.,  Salimi,  P.,  2013. “Fixed Point and Coupled Fixed Point Theorems on b -Metric-like  Space”. Journal  of  Inequalities  and Application 1. 402.
[3] Yunus,  M.  2005.  Modul  Ajar  Pengantar  Analisis Fungsional. Surabaya: Jurusan Matematika ITS.
[4] Bartle,  R.G.  Sherbet,  D.R.  2010. Introduction  to Real  Analysis  (Fourth  Edition) .  John  Wiley  and Sons, Inc., United States of America.
[5] Kreyszig,  E.  1978. Introductory  Fungsional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons. Inc.
[6] Amini  Harandi,  A.  2012.  “Metric-like  Spaces, Partial Metric Space and Fixed Points” Fixed Point Theory Application 1. 204.
[7] Kir, M., Kiziltunc, H. 2013. “On Some Well Known Fixed Point Theorems in b -Metric Spaces”. Turkish Journal of Analysis and Number Theory 1. 13-16. [8] Czerwik, S. 1993. “Contaction Mappings in b -metric spaces”. Acta Math . Inform. Univ. Ostrav. 1, 5-11.
[9] Bakhtin,  IA.  1989.  “The  Contraction  Mapping Principle  in  Quasimetric  spaces”. Functional Analysis, vol 30 . 26-37.