J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 2, Nopember 2018, 97-112
Analisis Model Matematika Orde Fraksional Penyebaran Worm Berbasis Wi-Fi Pada Smartphone
Mohammad Imam Utoyo 1 *, Er Ayu Nurafifah 2 , Miswanto 3 1,2,3 Departemen Matematika Universitas Airlangga Surabaya Indonesia 1 m.i.utoyo@fst.unair.ac.id
2 er.ayu.nurafifah-2014@fst.unair.ac.id,
3 miswanto@fst.unair.ac.id

## Abstrak
Worm merupakan  suatu  program  atau software (perangkat  lunak)  yang  memiliki  kemampuan mereplikasi  diri  dan  dapat  menyebabkan  kerusakan  pada  jaringan  komputer.  Pada  umumnya worm menginfeksi  jaringan  komputer,  namun  seiring  dengan  perkembangan  teknologi  menyebabkan munculnya worm jenis  baru  yaitu worm berbasis Wi-Fi ( Wireless  Fidelity )  yang  dapat  menginfeksi smartphone .  Salah  satu  upaya  penanggulangan worm adalah  dengan  menambahkan  sebuah node baru pada  jaringan Wi-Fi yaitu node karantina  untuk  meminimalisir  penyebaran worm pada smartphone . Model  matematika  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone dapat  digunakan  untuk mengetahui  dinamika  penyebaran worm .  Melalui  dinamika  penyebaran worm ,  dapat  dipelajari  faktor penghambat  infeksi worm .  Pada  penelitian  ini  dilakukan  analisis  kestabilan  titik  setimbang  model matematika  orde  fraksional  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone dengan  orde  turunan fraksional 𝛼 ∈ (0,1] .    Berdasarkan  analisis  model,  diperoleh  dua  titik  setimbang  yaitu  titik  setimbang bebas worm 𝑃 0 dan titik setimbang endemik 𝑃 1 . Titik setimbang bebas worm stabil asimtotis lokal jika basic  reproduction  number 𝑅 0 < 1 ,  sedangkan  titik  setimbang  endemik  stabil asimtotis lokal jika basic reproduction  number 𝑅 0 > 1 .    Kemudian  dilakukan  analisis  sensitivitas  dan  simulasi  numerik  dengan variasi  nilai  orde  fraksional 𝛼 untuk  mengetahui  dinamika  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone . Berdasarkan hasil simulasi numerik diperoleh hasil bahwa penambahan node karantina pada jaringan Wi-Fi dapat menurunkan populasi node terinfeksi dan meningkatkan populasi node yang pulih.
Kata Kunci : Worm Berbasis Wi-Fi , Model Matematika Orde Fraksional, Titik Setimbang, Kestabilan

## Abstract
Worm is a software that has the ability to replicate itself and it can cause damage on a computer network.  Generally,  the  worm  infects  computer  network,  but  along  with    development  of  technology causing  the  emergence  of  new  worm  that  is  a  Wi-Fi ( Wireless  Fidelity ) based  worm  that  can  infect smartphone.  One  of  the  ways  to  prevent  smarphone  from  worm  is  by  adding  a  new  node  to  the  Wi-Fi network,  that  is  quarantine  the  node  to  minimize  the  spread  of  worm  on  smartphone.  Mathematical models of Wi-Fi  based worm deployment can be used to determine the dynamics of the spread of Wi-Fi based worm in smartphone. Inhibiting factor of worm infection can be studied through the dynamics of the spread of worm. In this paper, we present a fractional model of the spread of Wi-Fi based worm in smartphone with the fractional order derivative 𝛼 ∈ (0,1] . After that, the stability of the equilibriums of fractional model can be determined. Based on the model analysis, we obtained two equilibriums, namely free-worm  equilibrium 𝑃 0 and  endemic  equilibrium 𝑃 1 .    The  free-worm 𝑃 0 is  locally  asymptotically stable if basic reproduction number 𝑅 0 < 1 , while the equilibrium 𝑃 1 is locally asymptotically stable if basic reproduction number 𝑅 0 > 1 . We also analyze the sensitivity of parameters to determine the most
influence parameter to the spread of Wi-Fi based worm. Furthermore, we perform numerical simulations with variations of 𝛼 to illustrate the dynamical of the spread of Wi-Fi based worm in smartphone.  Based on  the  numerical  simulations,  we  obtained  that  addition  of  quarantine  node  in  Wi-Fi  network  can decrease the population of infected nodes and increase the population of recovered nodes.
Keywords : Wi-Fi Based Worm, Fractional Mathematical Model, Equilibriums, Stability. .

## 1 Pendahuluan
Pada  saat  ini,  teknologi  mengalami  perkembangan  yang  cukup  pesat.    Sebagian  besar masyarakat menjadikan teknologi sebagai kebutuhan mendasar dalam aspek kehidupan mereka. Wi-Fi ( Wireless  Fidelity )  dan smartphone merupakan  salah  satu  perkembangan  teknologi  pada bidang komunikasi dan informasi. Wi-Fi ( Wireless Fidelity ) dikenal sebagai sentra hotspot yang dapat  memudahkan  manusia  untuk  berkomunikasi  atau  bertukar  informasi  dengan  kemampuan yang sangat cepat. Lebih dari 18 juta orang di seluruh dunia telah memanfaatkan teknologi Wi-Fi ( Wireless  Fidelity ) dan  setiap  hari  jumlahnya  semakin  bertambah  [1]. Dalam  beberapa  tahun terakhir, Wi-Fi ( Wireless Fidelity ) dan smartphone telah banyak memfasilitasi masyarakat untuk menjalani  kehidupan  sehari-harinya.  Berdasarkan  data  dari  KOMINFO,  lembaga  riset  digital marketing  Emarketer  memperkirakan  pada  tahun  2018  jumlah  pengguna  aktif smartphone di Indonesia mencapai lebih dari 100 juta orang [2].
Semakin  banyak  pengguna smartphone dan Wi-Fi yang  terhubung  ke  internet,  akan menyebabkan worm jenis baru dapat berkembang biak, salah satunya yaitu worm berbasis Wi-Fi ( Wireless Fidelity ) . Worm tersebut dikenal dengan sebutan Chameleon . Chameleon merupakan jenis worm berbasis Wi-Fi yang dapat menyebar melalui acces point pada satu jaringan Wi-Fi ke jaringan Wi-Fi yang  lain. Chameleon bekerja  tanpa  mengganggu  kinerja acces  point .  Namun, worm tersebut dapat mengumpulkan data-data penting pada saat melewati jaringan Wi-F i, seperti password,  kartu  kredit,  atau  akun  bank. Chameleon bereplikasi  tanpa  bantuan  manusia  dengan mencoba  memecahkan  kata  sandi  setiap  router Wi-Fi baru  yang  ditemuinya. Chameleon dapat diibaratkan seperti organisme yang menular secara biologis, melompat di antara jaringan Wi-Fi yang saling  tumpang tindih seperti penyakit di udara yang menyebar di antara manusia (Scharr dalam [3]).
Chameleon tidak dapat terdeteksi oleh antivirus karena antivirus hanya mampu melacak worm pada  internet  dan worm yang  berada  di  dalam  komputer. Chameleon bersembunyi  di antara  jaringan Wi-Fi dan  menginfeksi  jaringan Wi-Fi yang  tidak  terproteksi  password. Chameleon dapat  menyerang smartphone yang  terhubung  ke  jaringan Wi-Fi karena  mayoritas smartphone tidak  memiliki  cara  yang  efektif  untuk  mencegah  serangan worm ,  sehingga  hal
tersebut  menjadikan smartphone rentan  terhadap  serangan worm. Smartphone yang  terganggu oleh worm menyebabkan kerugian yang besar bagi pengguna smartphone seperti kebocoran data, kerusakan sistem dan kerugian finansial [3].
Beberapa  peneliti  telah  mempelajari  dinamika  penyebaran  worm.  Pada  penelitian sebelumnya, Yuan dkk [4] telah menjelaskan model matematika pada penyebaran worm dengan adanya masa inkubasi. Selain itu, Xiao dkk [3] mengkontruksi model penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone dengan  adanya  masa  karantina.  Xiao  dkk  [3]  membagi  populasi  node menjadi  lima  subpopulasi  yaitu,  populasi  node  yang  rentan  terhadap  worm (𝑆) ,  poulasi  node yang  terinfeksi  worm  tetapi  belum  bisa  menyebarkan  worm  ke  node  lain (𝐸) ,  populasi  node yang terinfeksi worm (𝐼) , populasi node yang dikarantina (𝑄) dan populasi node yang pulih (𝑅) . Dengan  menggunakan  model  matematika  dapat  diketahui  dinamika  penyebaran  worm berbasis Wi-Fi pada smartphone dan  karenanya  dapat  dipelajari  faktor  yang  dapat  mengurangi penyebaran  worm  berbasis Wi-Fi pada smartphone .    Model  penyebaran  worm  berbasis Wi-Fi pada smartphone telah  dikembangkan  oleh  Xiao  dkk  [3]  dalam  bentuk  Sistem  Persamaan Diferensial  Biasa  (SPBD)  non  linear.    SPBD  non  linear  tersebut  dapat  diperumum  menjadi Sistem  Persamaan  Diferensial  Orde  Fraksional  (SPDF)  dengan  mengubah  order  turunan pertamanya  yaitu 𝛼 = 1 menjadi 0 < 𝛼 ≤ 1 sebagaimana  telah  dilakukan  oleh  Das  dan  Gupta [5].  Pada  tahun  2016,  Angstmann  dkk  [6]  menganalisis  dan  memodifikasi  model  matematika SIR  yang  berbentuk  SPDB  non  linear  kedalam  bentuk  SPDF.  Secara  alami,  SPDF  berkaitan dengan faktor histori dari suatu penyebaran penyakit pada sistem biologis. Dengan menggunakan analisis kestabilan pada SPDF diperoleh syarat cukup untuk kestabilan titik setimbang endemik dari model matematika tersebut.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  pada  penelitian  ini  akan  dikembangkan  model  SPDF  dari model SPDB Xiao dkk [3].  Selanjutnya akan ditentukan titik setimbang dan kestabilannya, serta akan dilakukan simulasi numerik dan interpretasinya.

## 2 Metode Penelitian
2.1. Formulasi Model Matematika
Model  matematika  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone yang  ditulis  oleh Xiao  dkk  [3] terdiri  dari  lima  subpopulasi,  yaitu  populasi  node  yang  rentan  pada  saat 𝑡 ( 𝑆(𝑡)), populasi  node  yang  laten  pada  saat 𝑡 (𝐸(𝑡)), populasi  node  yang  terinfeksi worm pada  saat 𝑡 ( 𝐼(𝑡)), populasi  node  yang  telah  terinfeksi worm pada  saat 𝑡 dan  dikarantina  ( 𝑄(𝑡)), populasi
𝛾𝐼 𝜇𝑅 𝜇𝑄 𝜇𝐼 𝜇𝐸 𝛽𝑆𝐼 𝜇𝑁
S E
I Q R 𝜇𝑆 𝜂𝐸
𝜉𝐼 𝜑𝑄
node yang telah pulih pada saat 𝑡 (𝑅(𝑡) ). Asumsi yang digunakan untuk mengkonstruksi model adalah sebagai berikut :
1. Semua node rentan terhadap serangan worm .
2. Laju masuknya node baru ke populasi sama dengan laju kerusakan alami node dalam sistem.
Deskripsi parameter dan diagram transmisi pada model disajikan pada Tabel 1 dan Gambar 1 di bawah.
Tabel 1 Deskripsi Parameter Parameter Deskripsi Satuan 𝝁 Laju masuknya node baru ke populasi dan laju kerusakan alami 1/satuan waktu 𝜷 Laju kontak antara node yang rentan dengan node yang terinfeksi 1/node × satuan waktu 𝝋 Laju transisi dari node yang dikarantina menjadi node yang pulih 1/satuan waktu 𝜸 Laju transisi dari node yang terinfeksi menjadi node yang pulih 1/satuan waktu 𝜺 Laju transisi dari node laten menjadi node yang pulih 1/satuan waktu 𝜼 Laju transisi dari node laten menjadi node yang terinfeksi 1/satuan waktu 𝝃 Laju transisi dari node yang terinfeksi menjadi node yang dikarantina 1/satuan waktu
Diagram  transmisi  yang  menggambarkan interaksi  lima  kompartemen tersebut  disajikan pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1 Diagram Transmisi Model Matematika Penyebaran Worm Berbasis Wi-Fi Pada Smartphone
Keterangan :
: Mengurangi populasi asal dan menambah populasi yang dituju.
Berdasarkan  diagram  transmisi  pada  Gambar  1  di  atas,  Xiao  dkk  [3]  membangun  model matematika penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone sebagai berikut:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 =   −𝛽𝑆𝐼 + 𝜇𝑁 − 𝜇𝑆 (1a) 𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝜂𝐸 − 𝜀𝐸 − 𝜇𝐸 (1b) 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜂𝐸 − 𝜇𝐼 − 𝜉𝐼 − 𝛾𝐼 (1c) 𝑑𝑄(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜉𝐼 − 𝜑𝑄 − 𝜇𝑄 (1d) 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜀𝐸 + 𝛾𝐼 + 𝜑𝑄 − 𝜇𝑅 (1e)
dengan 𝜇, 𝛽 , 𝜑 , 𝛾 , 𝜀 , 𝜂 , 𝜉 > 0 , 𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑄(𝑡), 𝑅(𝑡) ≥ 0 dan 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 0 sehingga 𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑄(𝑡) + 𝑅(𝑡) konstan.
Persamaan  (1a)  menyatakan  laju  perubahan  populasi  node  yang  rentan  terhadap  waktu. Populasi node yang rentan bertambah karena adanya laju masuknya node baru pada populasi dan berkurang karena adanya laju interaksi  antara populasi node  yang rentan  dengan populasi  node yang terinfeksi worm . Selain itu, populasi node yang rentan berkurang karena adanya kerusakan alami  pada  node  yang  rentan  terinfeksi worm .  Persamaan  (1b)  menyatakan  laju  perubahan populasi node yang laten terhadap waktu.   Laju populasi ini bertambah karena adanya interaksi antara populasi  node  yang  rentan dengan populasi  node  yang telah terinfeksi worm , sedangkan berkurang karena adanya laju transisi dari populasi node yang laten menjadi populasi node yang terinfeksi worm . Selain itu, laju populasi ini berkurang karena adanya laju transisi dari populasi node  laten  menjadi  populasi  node  yang  pulih  dan  berkurang  karena  kerusakan  alami  pada populasi node yang laten.
Persamaan  (1c) menyatakan laju perubahan populasi node  yang terinfeksi worm terhadap waktu.   Laju populasi ini bertambah karena adanya laju transisi dari populasi node laten menjadi populasi node yang terinfeksi worm , sedangkan berkurang karena adanya kerusakan alami pada populasi  node  yang  terinfeksi worm ,  kemudian  berkurang  karena  adanya  laju  transisi  dari populasi  node  yang  terinfeksi worm menjadi  populasi  node  yang  dikarantina  dan  berkurang karena adanya laju transisi dari populasi node yang terinfeksi worm menjadi populasi node yang pulih.  Persamaan  (1d)  menyatakan  laju  perubahan  populasi  node  yang  dikarantina  terhadap

## Analisis Model Matematika Orde Fraksional Penyebaran Worm
waktu.      Laju  populasi  ini  bertambah  karena  adanya  laju  transisi  dari  populasi  node  yang terinfeksi worm menjadi  populasi  node  yang  dikarantina,  sedangkan  berkurang  karena  adanya laju  transisi  dari  populasi  node  yang  dikarantina  menjadi  populasi  node  yang  pulih  dan berkurang  karena  adanya  kerusakan  alami  pada  node  yang  dikarantina.  Persamaan  (1e) menyatakan  laju  perubahan  populasi  node  yang  pulih  terhadap  waktu.      Laju  populasi  ini bertambah karena adanya laju transisi dari populasi node yang laten menjadi populasi node yang pulih, kemudian bertambah karena adanya laju transisi dari populasi node yang terinfeksi worm menjadi  populasi  node  yang  pulih,  bertambah  karena  adanya  laju  transisi  dari  populasi  node terinfeksi worm yang  dikarantina  menjadi  populasi  node  yang  pulih  dan  berkurang  karena adanya kerusakan alami pada populasi node yang pulih.

## 2.2. Turunan Fraksional

## 2.2.1. Pengertian Turunan Fraksional
Pendekatan  turunan  fraksional  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  turunan fraksional Caputo.  Keuntungan menggunakan turunan fraksional Caputo adalah nilai awal pada persamaan  diferensial  orde  fraksional  dengan  turunan  Caputo  dalam  bentuk  orde  integer  yang memiliki kesamaan bentuk dengan persamaan diferensial orde integer [7].
Definisi  1 [7] Misalkan 𝛼 > 0 , 𝑡 > 0 dan 𝑛 ∈ ℕ .    Turunan  fraksional  Caputo 𝐷 𝛼 ≔ 𝑑 𝛼 𝑑𝑡 𝛼 , dengan order fraksional 𝛼 , untuk fungsi 𝑓(𝑡) didefinisikan sebagai :
𝐷 𝛼 𝑓(𝑡) = 𝐼 𝑛−𝛼 𝐷 𝑛 𝑓(𝑡) = { 1 𝛤(𝑛−𝛼) ∫ 𝑓 (𝑛) (𝑠) (𝑡−𝑠) 𝛼−𝑛+1 𝑑𝑠 𝑡 0 ,    𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛 𝑓 (𝑛) (𝑡)                             ,                  𝛼 = 𝑛 . (2)
dengan 𝛤(∙) adalah fungsi gamma.  Pada penelitian ini diasmsikan nilai 𝛼 ∈ (0,1] .

## 2.2.2. Kestabilan Lokal Titik Setimbang SPDF
Titik  setimbang  adalah  suatu  kondisi  ketika  laju  perubahan  suatu  subpopulasi  tertentu sepanjang  waktu  adalah  nol.    Analisis  kestabilan  dilakukan  dengan  menggunakan  pendekatan nilai eigen sehingga sifat kestabilan yang diperoleh merupakan kestabilan lokal.
Teorema 2 [8] Misalkan 𝐷 𝛼 𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑥) , 0 < 𝛼 ≤ 1 ,  dan 𝑥 ∈ ℝ 𝑛 , 𝒇 ∈ ℝ 𝑛 merupakan  SPDF non  linier.    Titik  setimbang 𝑥 ∗ merupakan  solusi  dari 𝑓(𝑥) = 0 . Titik  setimbang 𝑥 ∗ stabil asimtotis  lokal  jika  untuk  semua  nilai  eigen 𝜆 𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑛) dari  matriks  Jacobian 𝐴 = 𝜕𝒇 𝜕𝒙 yang dievaluasi di titik setimbang 𝑥 ∗ memenuhi |𝑎𝑟𝑔 𝜆 𝑗 | > 𝛼𝜋 2 .
2.2.3. Basic reproduction number (𝑅 0 )
Basic  reproduction  number (𝑅 0 ) merupakan  kuantitas  penting  dalam  kasus  infeksi epidemiologi  penyakit. Basic  reproduction  number 𝑅 0 didefinisikan  sebagai  rata-rata  jumlah infeksi sekunder yang disebabkan oleh infeksi primer tunggal pada populasi susceptible .  Dalam penelitian  ini,  metode  yang  digunakan  untuk  menentukan 𝑅 0 adalah  metode Next  Generation Matrix (NGM) yang dikembangkan oleh Driessche dan Watmough [9].

## 2.2.4. Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas parameter dilakukan untuk mengetahui parameter apa saja pada model yang  memiliki  pengaruh  besar  terhadap  laju  perubahan  model.    Analisis  sensitivitas  parameter dilakukan  dengan  menghitung  nilai  indeks  sensitivitas  dari  parameter  tersebut.    Indeks sensitivitas  dari Basic  reproduction  number 𝑅 0 adalah 𝜕𝑅 0 𝜕𝑚 𝑚 𝑅 0 dengan 𝑚 adalah  parameter  yang akan dianalisis [10].
2.2.5. Simulasi Numerik
Simulasi numeric dilakukan dengan menggunakan MATLAB R2009a.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Formulasi Model
Sebagaimana  yang  dilakukan  oleh  Das  dan  Gupta  [5]  dan  Angstmann  dkk  [6],  model matematika penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone yang yang disajikan pada (1a) - (1e)  dapat  diperumum  menjadi  SPDF  dengan  cara  mengubah  turunan  pertama  pada  SPDB menjadi  turunan  berorde 𝛼 dengan 𝛼 ∈ (0,1] .    Model  matematika  orde  fraksional  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone sebagai berikut:
𝑑 𝛼 𝑆 𝑑𝑡 𝛼 = −𝛽𝑆𝐼 + 𝜇𝑁 − 𝜇𝑆 (3a)
𝑑 𝛼 𝐸 𝑑𝑡 𝛼 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝜂𝐸 − 𝜀𝐸 − 𝜇𝐸 (3b)
𝑑 𝛼 𝐼 𝑑𝑡 𝛼 = 𝜂𝐸 − 𝜇𝐼 − 𝜉𝐼 − 𝛾𝐼 (3c)
𝑑 𝛼 𝑄 𝑑𝑡 𝛼 = 𝜉𝐼 − 𝜑𝑄 − 𝜇𝑄 (3d)
𝑑 𝛼 𝑅 𝑑𝑡 𝛼 = 𝜀𝐸 + 𝛾𝐼 + 𝜑𝑄 − 𝜇𝑅 (3e)
dengan 𝜇, 𝛽 , 𝜑 , 𝛾 , 𝜀 , 𝜂 , 𝜉 > 0 dan 0 < 𝛼 ≤ 1

## 3.2. Analisis Kestabilan Titik Setimbang
3.2.1. Titik Setimbang
Berdasarkan  Teorema  1,  titik  setimbang  pada  model  matematika  orde  fraksional penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone merupakan solusi dari system persamaan non linear:
104
−𝛽𝑆𝐼 + 𝜇𝑁 − 𝜇𝑆 = 0 (4a) 𝛽𝑆𝐼 − 𝜂𝐸 − 𝜀𝐸 − 𝜇𝐸 = 0 (4b) 𝜂𝐸 − 𝜇𝐼 − 𝜉𝐼 − 𝛾𝐼 = 0 (4c) 𝜉𝐼 − 𝜑𝑄 − 𝜇𝑄 = 0 (4d) 𝜀𝐸 + 𝛾𝐼 + 𝜑𝑄 − 𝜇𝑅 = 0 (4e)
Titik setimbang bebas worm 𝑃 0 merupakan suatu kondisi ketika tidak terjadi penyebaran worm .  Kondisi  ini  terjadi  ketika  tidak  ada node yang  terinfeksi worm (𝐸 = 𝐼 = 0) sehingga mengakibatkan  tidak  ada node yang  dikarantina.  Oleh  karena  itu,  dengan  mensubtitusikan 𝐸 = 𝐼 = 0 ke  dalam  persamaan  (4a)-(4b)  diperoleh  titik  setimbang  bebas worm 𝑃 0 = (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑄 0 , 𝑅 0 ) = (𝑁, 0,0,0,0) ,  dengan 𝑁 merupakan  jumlah  keseluruhan  populasi  node dalam sistem.
Titik  setimbang  endemik 𝑃 1 merupakan  suatu  kondisi  ketika  terjadi  penyebaran worm pada smartphone dengan  cara  menginfeksi  jaringan Wi-Fi yang  sedang  terhubung  dengan smartphone tersebut.  Kondisi  tersebut  terjadi  ketika 𝐼 ≠ 0 .  Berdasarkan  perhitungan  diperoleh titik  setimbang 𝑃 1 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑄 ∗ , 𝑅 ∗ ) = ( (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜉+𝛾+𝜇) 𝜂𝛽 , 𝜇(𝑁−𝑆 ∗ ) 𝜂+𝜀+𝜇 , 𝜇(𝑁−𝑆 ∗ ) 𝛽𝑆 ∗ , 𝜉𝐼 ∗ 𝜑+𝜇 , 𝜀𝐸 ∗ +𝛾𝐼 ∗ +𝜑𝑄 ∗ 𝜇 ) . Titik setimbang endemik eksis karena 𝑁 ≥ 𝑆 ∗ .

## 3.2.2. Analisis Kestabilan
Pada  subbab  in  dikaji  tentang  kestabilan  titik  setimbang  model  (3a)-(3e)  di  atas  dengan terlebih  dahulu  menghitung basic  reproduction  number 𝑅 0 .    Langkah  pertama  menentukan 𝑅 0 dengan menggunakan metode NGM [9] adalah dengan mengambil nilai 𝛼 = 1 dan menentukan matriks 𝑋 dengan  elemenya  terdiri  dari  populasi  yang  terinfeksi  dalam  model.  Populasi  ini merupakan  populasi  yang  dapat  menularkan  maupun  populasi  yang  tidak  dapat  menularkan penyakit kepada populasi lain. Oleh karena itu, 𝑋 = ( 𝐸 𝐼 ) .   Selanjutnya matriks 𝑑𝑋 𝑑𝑡 didekomposisi kedalam  bentuk 𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑋) − 𝑍(𝑋) dengan 𝐹(𝑋) menyatakan  matriks  transmisi  dan 𝑍(𝑋) menyatakan  matriks  transisi.  Matriks  transmisi 𝐹(𝑋) adalah  matriks  yang  elemennya  memuat interaksi antara populasi 𝑆 dengan populasi 𝐼 dari matriks 𝑋̇ .Sedangkan elemen matriks X yang tidak termasuk kedalam 𝐹(𝑋) menjadi elemen matriks 𝑍(𝑋) .   Hasil dekomposisi tersebut adalah
𝑑𝑋 𝑑𝑡 = ( 𝑑𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝐼 𝑑𝑡 ) = ( 𝛽𝑆𝐼 − 𝜂𝐸 − 𝜀𝐸 − 𝜇𝐸 𝜂𝐸 − 𝜇𝐼 − 𝜉𝐼 − 𝛾𝐼 ) = ( 𝛽𝑆𝐼 0 ) − ( 𝜂𝐸 + 𝜀𝐸 + 𝜇𝐸 −𝜂𝐸 + 𝜇𝐼 + 𝜉𝐼 + 𝛾𝐼 ) = 𝐹(𝑋) − 𝑍(𝑋) .
Oleh  karena  itu 𝐹(𝑋) = ( 𝛽𝑆𝐼 0 ) dan 𝑍(𝑋) = ( 𝜂𝐸 + 𝜀𝐸 + 𝜇𝐸 −𝜂𝐸 + 𝜇𝐼 + 𝜉𝐼 + 𝛾𝐼 ) .    Matriks  Jacobian  dari matriks 𝐹 dan 𝑍 terhadap 𝑋 di  titik  setimbang  bebas worm 𝑃 0 = (𝑁, 0,0,0,0) berturut-turut
adalah 𝔽 = ( 0 𝛽𝑁 0 0 ) dan ℤ = ( 𝜂 + 𝜀 + 𝜇 0 −𝜂 𝜇 + 𝜉 + 𝛾 ) .    Berdasarkan  hasil  ini  diperoleh
𝔽ℤ −1 = ( 𝛽𝜂𝑁 (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜇+𝜉+𝛾) 𝛽𝑁 𝜇+𝜉+𝛾 0 0 ) .      Nilai  eigen  matriks 𝔽ℤ −1 adalah 𝜆 1 = 𝛽𝜂𝑁 (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜇+𝜉+𝛾) dan
𝜆 2 = 0 .   Oleh karena itu, ℛ 0 = max{|𝜆|: 𝜆 nilai eige n dari 𝔽ℤ −1 } = 𝛽𝜂𝑁 𝑎𝑏 dengan 𝑎 = 𝜂 + 𝜀 + 𝜇 dan 𝑏 = 𝜇 + 𝜉 + 𝛾 .
Teorema  kestabilan  titik  setimbang  bebas worm model  orde  fraksional  (3a) − (3e) diberikan dalam teorema berikut.
Teorema  3 . Titik  setimbang  bebas  worm 𝑃 0 pada  model (3a) − (3e) stabil  asimtotis  lokal untuk setiap 𝛼 ∈ (0,1] jika dan hanya jika 𝑅 0 < 1 .
Bukti : Matriks Jacobian model (3a) − (3e) di sekitar titik setimbang bebas worm 𝑃 0 adalah
𝐴(𝑃 0 ) = ( −𝜇 0
−𝛽𝑁 0 0 0 −(𝜂 + 𝜀 + 𝜇) 𝛽𝑁 0 0 0 𝜂 −(𝜇 + 𝜉 + 𝛾) 0 0 0 0 𝜉 −(𝜑 + 𝜇) 0 0 𝜀 𝛾 0 −𝜇)
Nilai eigen dari matriks 𝐴(𝑃 0 ) merupakan akar persamaan karakteristik
(𝜆 + 𝜇) 2 (𝜆 + 𝜑 + 𝜇)[𝜆 2 + (𝑎 + 𝑏)𝜆 + 𝑎𝑏 − 𝜂𝛽𝑁] = 0 (5)
yang diperoleh dari det(𝜆𝐼 − 𝐴(𝑃 0 )) = 0 [11] dengan 𝑎 = 𝜂 + 𝜀 + 𝜇 dan 𝑏 = 𝜇 + 𝜉 + 𝛾 .
Berdasarkan  persamaan  (5)  diperoleh  bahwa  nilai  eigen  dari  matriks 𝐴(𝑃 0 ) adalah 𝜆 1 = 𝜆 2 = −𝜇 , 𝜆 3 = −𝜑 − 𝜇 ,  dan  dua  akar  lain  yang  merupakan  akar-akar  dari  persamaan polinomial:
𝜆 2 + 𝑚 1 𝜆 + 𝑚 2 = 0 (6)
dengan 𝑚 1 = 𝑎 + 𝑏 , 𝑚 2 = 𝑎𝑏 − 𝜂𝛽𝑁 .
Karena parameter 𝜇 dan 𝜑 diasumsikan bernilai positif, maka untuk setiap 𝑗 = 1,2,3 , 𝜆 𝑗 < 0 ,  sehingga  untuk  setiap 𝛼 ∈ (0,1] , |arg (𝜆 𝑗 )| = 𝜋 > 𝛼𝜋 2 , 𝑗 = 1,2,3 .  Karena 𝑚 1 > 0 ,  maka persamaan  (6)  tidak  mempunyai  akar  kompleks  dengan  bagian  real  positif.    Oleh  karena  itu untuk  menentukan  akar  persamaan  (6)  yang  memenuhi  kriteria  kestabilan  titik  setimbang  pada SPDF cukup dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz (Proposition 1 (ii) dalam [12]), yaitu 𝑚 1 , 𝑚 2 > 0 .  Karena syarat 𝑚 1 > 0 telah terpenuhi, maka syarat kestabilannya tinggal 𝑚 2 > 0 , yaitu 𝑎𝑏 − 𝜂𝛽𝑁 > 0 atau 𝑅 0 = 𝜂𝛽𝑁 𝑎𝑏 < 1 .    Berdasarkan  uraian  di  atas  diperoleh  bahwa  untuk setiap 𝛼 ∈ (0,1] , |arg (𝜆 𝑖 )| = 𝜋 > 𝛼𝜋 2 , 𝑖 = 4,5 jika dan hanya jika 𝑅 0 < 1 . ∎

## Analisis Model Matematika Orde Fraksional Penyebaran Worm
Selanjutnya diberikan teorema kestabilan titik endemik model orde fraksional (3a) − (3e) sebagai berikut.

## Teorema 4
Titik setimbang endemik
𝑃 1 = ( (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜉+𝛾+𝜇) 𝜂𝛽 , 𝜇(𝑁−𝑆 ∗ ) 𝜂+𝜀+𝜇 , 𝜇(𝑁−𝑆 ∗ ) 𝛽𝑆 ∗ , 𝜉𝐼 ∗ 𝜑+𝜇 , 𝜀𝐸 ∗ +𝛾𝐼 ∗ +𝜑𝑄 ∗ 𝜇 )
pada model (3a)-(3e) stabil asimtotis lokal  untuk setiap 𝛼 ∈ (0,1] jika dan hanya jika 𝑅 0 > 1 .
Bukti : Matriks Jacobian model (3a) − (3e) di sekitar titik setimbang bebas worm 𝑃 1 adalah
𝐴(𝑃 1 ) = ( −𝛽𝐼 ∗ − 𝜇 0 −𝛽𝑆 ∗ 0 0
𝛽𝐼 ∗ −(𝜂 + 𝜀 + 𝜇) 𝛽𝑆 ∗ 0 0 0 𝜂 −(𝜇 + 𝜉 + 𝛾) 0 0 0 0 𝜉 −(𝜑 + 𝜇) 0 0 𝜀 𝛾 0 −𝜇)
Nilai eigen dari matriks 𝐴(𝑃 1 ) merupakan akar persamaan karakteristik
(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + 𝜑 + 𝜇)[𝜆 3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝜆 2 + (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝜂𝛽𝑆 ∗ )𝜆 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝜇𝜂𝛽𝑆 ∗ ] = 0 (7) dengan 𝑎 = 𝜂 + 𝜀 + 𝜇 , 𝑏 = 𝜇 + 𝜉 + 𝛾 dan 𝑐 = 𝛽𝐼 ∗ + 𝜇 .
Berdasarkan persamaan (7) diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐴(𝑃 1 ) adalah 𝜆 1 = −𝜇 , 𝜆 2 = −𝜑 − 𝜇 , dan tiga akar yang lain merupakan akar-akar dari persamaan berikut:
𝜆 3 + 𝑚 1 𝜆 2 + 𝑚 2 𝜆 + 𝑚 3 = 0 (8)
dengan 𝑚 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 , 𝑚 2 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝜂𝛽𝑆 ∗ dan 𝑚 3 = 𝑎𝑏𝑐 − 𝜇𝜂𝛽𝑆 ∗ .
Karena parameter 𝜇 dan 𝜑 diasumsikan bernilai positif, maka 𝜆 1 , 𝜆 2 < 0 , sehingga untuk setiap 𝛼 ∈ (0,1] |arg(𝜆 𝑖 )| = 𝜋 > 𝛼𝜋 2 , 𝑖 = 1,2 . Selanjunya, misalkan 𝜆 𝑖 , 𝑖 = 3,4,5 merupakan akar dari (8).  Berdasarkan Proposition 1 (vi) dalam [12], jika |arg 𝜆 𝑗 | > 𝛼𝜋 2 , 𝑗 = 3,4,5 , maka 𝑚 3 > 0 . Karena
𝑚 3 = 𝑎𝑏𝑐 − 𝜇𝜂𝛽𝑆 ∗
= (𝜂 + 𝜀 + 𝜇)(𝜇 + 𝜉 + 𝛾) ( 𝜇(𝑁− (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜉+𝛾+𝜇)
𝜂𝛽 ) (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜉+𝛾+𝜇) 𝜂𝛽 + 1) − 𝜇(𝜂 + 𝜀 + 𝜇)(𝜉 + 𝛾 + 𝜇)
= (𝜂 + 𝜀 + 𝜇)(𝜇 + 𝜉 + 𝛾)𝜇 𝜂𝛽𝑁 (𝜂+𝜀+𝜇)(𝜉+𝛾+𝜇) − 𝜇(𝜂 + 𝜀 + 𝜇)(𝜉 + 𝛾 + 𝜇)
= (𝜂 + 𝜀 + 𝜇)(𝜇 + 𝜉 + 𝛾)𝜇(𝑅 0 − 1) = 𝑎𝑏𝜇(𝑅 0 − 1) > 0 .
maka 𝑅 0 > 1 . Sebaliknya misalkan 𝑅 0 > 1 .  Karena
𝑚 1 𝑚 2 − 𝑚 3 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝜂𝛽𝑆 ∗ ) − (𝑎𝑏𝑐 − 𝜇𝜂𝛽𝑆 ∗ ) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑎𝑏) − (𝑎𝑏𝑐 − 𝜇𝑎𝑏)
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) − 𝑎𝑏𝑐 + 𝜇𝑎𝑏
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑐𝑎 + (𝑏 + 𝑐)𝑏𝑐 + 𝜇𝑎𝑏 > 0 .
Karena 𝑚 1 > 0 , 𝑚 3 > 0 ,  dan 𝑚 1 𝑚 2 − 𝑚 3 > 0 ,  maka 𝑚 2 > 0 .    Kondisi 𝑚 1 > 0 , 𝑚 3 > 0 , 𝑚 3 > 0 ,  dan 𝑚 1 𝑚 2 − 𝑚 3 > 0 memenuhi  kriteria  Routh-Hurwitz  (( Proposition 1  (iii)  dalam [12]).  Dengan demikian, jika 𝑅 0 > 1 , maka titik setimbang 𝑃 1 stabil asimtotis lokal/. ∎

## 3.3. Analisis Sensitivitas
Nilai parameter yang digunakan untuk perhitungan indeks sensitivitas merujuk pada Tabel 3 ketika 𝑅 0 > 1 .   Untuk  bilangan 𝑅 0 = 𝜂𝛽𝑁 𝑎𝑏 dengan 𝑎 = 𝜂 + 𝜀 + 𝜇 dan 𝑏 = 𝜇 + 𝜉 + 𝛾 terdapat enam parameter yang akan dicari indeks sensitivitasnya yaitu 𝛽, 𝜂, 𝜀, 𝜇, 𝜉 dan 𝛾 > 0 .  Nilai Hasil  analisis  indeks  sensitivitas  parameter  dari 𝑅 0 terhadap  parameter  pada  model matematika orde fraksional  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone diberikan pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2 Indeks sensitivitas parameter Parameter Nilai Indeks Sensitivitas 𝛽 0.000006 1 𝜂 0.01 0,0006056 𝜀 0.00003 − 0,0000059 𝜇 0.0000003 − 0,0010280 𝜉 0.06 − 0,8656775 𝛾 0.03 − 0,1427959
Berdasarkan Tabel 2 diperoleh bahwa
a. Indeks sensitivitas untuk 𝛽 adalah 1, artinya  apabila laju kontak antara node rentan dengan node  terinfeksi  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%  akan  mengakibatkan 𝑅 0 bertambah (berkurang) sebesar 10%.
b. Indeks  sensitivitas  untuk 𝜂 adalah  0,0006056,  artinya  apabila  laju  transisi  dari    node  laten menjadi  node  terinfeksi  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%  akan  mengakibatkan 𝑅 0 bertambah (berkurang) sebesar 0,006%.
c. Indeks sensitivitas untuk 𝜀 adalah − 0,0000059, artinya apabila laju transisi  dari  node laten menjadi  node  node  pulih  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%  akan  mengakibatkan 𝑅 0 berkurang (bertambah) sebesar 0,0000059%.
d. Indeks  sensitivitas  untuk 𝜇 adalah − 0,0010280,  artinya  apabila  laju  masuknya  node  baru dalam  sistem  dan  laju  kerusakan  alami  pada  node  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%  akan mengakibatkan 𝑅 0 berkurang (bertambah) sebesar 0,01%.
e. Indeks  sensitivitas  untuk 𝜉 adalah − 0,8656775,  artinya  apabila  laju  masuknya  node  baru dalam  sistem  dan  laju  kerusakan  alami  pada  node  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%  akan mengakibatkan 𝑅 0 berkurang (bertambah) sebesar 8,7%.
f. Indeks  sensitivitas  untuk 𝛾 adalah − 0,1427959,  artinya  apabila  laju  masuknya  node  baru dalam  sistem  dan  laju  kerusakan  alami  pada  node  bertambah  (berkurang)  sebesar  10%  akan mengakibatkan 𝑅 0 berkurang (bertambah) sebesar 1,4%.
Berdasarkan analisis sensitivitas parameter di atas diperoleh bahwa parameter pada model yang memiliki pengaruh besar terhadap laju perubahan model adalah 𝛽 dan 𝜉 .

## 3.4. Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik terhadap model matematika  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone dengan menggunakan bantuan software MATLAB. Nilai parameter yang digunakan pada simulasi ini disajikan pada Tabel 3 berikut:
Tabel 3 Nilai parameter model matematika Parameter Nilai Sumber 𝜇 0.0000003 [11] 𝛽 𝛽 1 = 0.0000005 𝛽 2 = 0.000006 [11] Asumsi 𝜑 0.05 [11]
𝛾 𝛾 1 = 0.01 𝛾 2 = 0.03 [11] Asumsi 𝜀 0.00003 Asumsi 𝜂 𝜂 1 = 0.02 𝜂 2 = 0.01 Asumsi
𝜉 𝜉 1 = 0.05 𝜉 2 = 0.06 [11]
Asumsi

## 3.4.1. Simulasi Bebas Worm
Pada  simulasi  bebas worm ,  nilai  awal  yang  digunakan  adalah (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑄 0 , 𝑅 0 ) = (99000, 500, 500, 0, 0) . Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 3 (untuk 𝛽 = 𝛽 1 , 𝛾 = 𝛾 1 , 𝜂 = 𝜂 1 , 𝜉 = 𝜉 1 )  diperoleh 𝑅 0 = 0.832 < 1 yang  menunjukkan  bahwa  titik setimbang bebas worm stabil asimtotis lokal.  Simulasi dilakukan dengan mengambil nilai orde fraksional 𝛼 = 0,33, 0,58, 0,73, 0.95, dan 1 serta interval waktu selama 100 satuan waktu.
Berikut  hasil  simulasi  model  matematika  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone .
Gambar 2 . Grafik dinamika perubahan populasi model matematika penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone untuk 𝑅 0 < 1 dan nenerapa orde fraksional 𝛼 . Berdasarkan Gambar 2 pada setiap 𝛼 dapat dilihat bahwa populasi node rentan mengalami kenaikan,  populasi  node  laten  dan  populasi  node  terinfeksi  mengalami  penurunan  karena  tidak adanya  penyebaran worm pada  jaringan Wi-Fi ,  sehingga    populasi  node  yang  dikarantina mengalami  penurunan.  Oleh  karena  tidak  adanya  penyebaran worm pada  jaringan Wi-Fi maka populasi node pulih mengalami kenaikan. Hal tersebut mengindikasikan kondisi bebas worm . 3.4.2. Simulasi Kondisi Endemik
Nilai  awal  yang  digunakan  pada  simulasi  kondisi  endemik  adalah (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑄 0 , 𝑅 0 ) = (99000, 500, 500, 0, 0) . Berdasarkan
nilai parameter Tabel 3 (untuk
𝛽 = 𝛽 2 , 𝛾 = 𝛾 2 , 𝜂 = 𝜂 2 , 𝜉 = 𝜉 2 )  diperoleh 𝑅 0 = 6.646 > 1 yang  menunjukkan  bahwa  titik setimbang  endemik worm stabil  asimtotis  lokal.    Simulasi  dilakukan  dengan  mengambil  nilai
orde  fraksional 𝛼 = 0,33, 0,58, 0,73, 0.95, dan 1 serta  interval  waktu  selama  100  satuan waktu.
Berikut  hasil  simulasi  model  model  matematika  penyebaran worm berbasis Wi-Fi pada smartphone .
Gambar 3 .  Dinamika perubahan populasi model matematika penyebaran worm berbasis Wi-
Fi pada smartphone untuk 𝑅 0 > 1 dan beberapa orde fraksional 𝛼
Berdasarkan  Gambar  3  pada  setiap 𝛼 dapat  dilihat  bahwa  populasi  node  rentan mengalami penurunan dari kondisi awal yang diberikan sedangkan populasi node laten, populasi
node  terinfeksi,  populasi  node  yang  di  karantina  mengalami  kenaikan.  Oleh  karena  populasi node  laten  dan  populasi  node  terinfeksi  akan  di  karantina  oleh base  station  Wi-Fi ,  maka populasi node laten  dan populasi node terinfeksi akan menjadi populasi node pulih. Akibatnya, populasi  node  pulih  mengalami  kenaikan.  Hal  tersebut  mengindikasikan  kondisi  endemik  atau adanya penyebaran worm .
Berdasakan  Gambar  2  dan  Gambar  3  di  atas  diperoleh  bahwa  jika  otde 𝛼 semakin  besar, populasi akan mengalami kenaikan lebih cepat atau mengalami penurunan lebih lambat.

## 4 Simpulan
Berdasarkan simulasi  numerik  yang telah dilakukan, diperoleh bahwa pada  kondisi  bebas worm , yaitu 𝑅 0 < 1 , populasi node rentan mengalami kenaikan, populasi node laten dan populasi node terinfeksi mengalami penurunan karena tidak adanya penyebaran worm pada jaringan Wi- Fi , sehingga  populasi node yang dikarantina mengalami penurunan.  Oleh karena tidak adanya penyebaran worm pada  jaringan Wi-Fi maka  populasi  node  pulih  mengalami  kenaikan.  Hal terserbut mengindikasikan kondisi bebas worm .  Di sisi lain, pada kondisi endemik, yaitu 𝑅 0 > 1 ,  populasi  node  rentan  mengalami  penurunan  dari  kondisi  awal  yang  diberikan  sedangkan populasi node laten,  populasi node terinfeksi,  populasi node yang  di  karantina  mengalami kenaikan.  Oleh  karena  populasi node laten  dan  populasi node terinfeksi  akan  di  karantina  oleh base  station  Wi-Fi ,  maka    populasi node laten    dan  populasi node terinfeksi  akan  menjadi populasi node pulih.  Akibatnya,  populasi node pulih  mengalami  kenaikan.  Hal  tersebut mengindikasikan kondisi endemik atau adanya penyebaran worm .  Selain itu, dapat disimpulkan pula  bahwa  jika  otde 𝛼 semakin  besar,  populasi  akan  mengalami  kenaikan  lebih  cepat  atau mengalami penurunan lebih lambat.

## Daftar Pustaka
[1] A. Sukmaaji and Rianto, Jaringan Komputer . Yogyakarta: Andi Publisher, 2008.
[2] Kominfo, “Kemkominfo: Indonesia Raksasa Digital Asia. Kementrian Komunikasi dan Informatika Republik Indonesia.” .
[3] Xiao X., Fu P., Dou C., Li Q., Hu G., and Xia S., “Design and analysis of SEIQR worm propagation model in mobile internet,” J. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , vol. 43, pp. 341–350, 2017.
[4] Y. H. and C. G., “Network virus epidemic model with the point to group information propagation,” J. Appl. Math. Comput. , vol. 206, pp. 357–67, 2008.
112
[5] S. Das and P. K. Gupta, “A mathematical model on fractional Lotka-Volterra equations,” J. Theor. Biol. , vol. 277, pp. 1–6, 2011.
[6] C. N. Angstmann, H. B.I., and M. A.V., “A fractional-Order Infectivity SIR Model,” Physica A , vol. 2016, pp. 86–93, 2016.
[7] S. Z. Rida and A. A. M. Arafa, “New Method for Solving Linear Fractional Differential Equations,” Int. J. Differ. Equations , vol. 2011, p. 814132, 2011.
[8] M.S. Tavazoei, “A necessary condition for double scroll attractor existence in fractional- order systems,” Phys. Lett. A , vol. 367, pp. 102–113, 2007.
[9] V. den Driessche and J. Watmough, “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,” Math. Biosci. , vol. 180, pp. 29–48, 2002.
[10]  C. N., H. J.M., and C. J.M., “Determining Important Parameters In the Spread of Malaria Through the Sensitivity Analysis of a Mathematical Model,” Bull. Math. Biol. , vol. 70, pp. 1272–1296, 2008.
[11]  A. H. and R. C., Elementary Linear Algebra . United State: Wiley, 2014.
[12]  A. E., E.-S. A. M.A., and E.-S. Hala A.A., “On some Routh-Hurwitz conditions for fractional order differential equations and their applications in Lorenz, Rössler, Chua and Chen systems,” Phys. Lett. Sect. A Gen. At. Solid State Phys. , vol. 358, no. 1, pp. 1–4,
2006.