Eksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap pada Pemetaan Kontraksi Tergeneralisasi dalam Ruang b-Metrik
1 Afif Budi Andy B., 1 Naimah Aris, 1 Budi Nurwahyu

## Abstract
A b -metric space is generalization of the metric space. One interesting topic in the b-metric space is the fixed point. In this article, we proved existence and uniqueness of the fixed points for some generalized contraction in the b-metric space, including the generalization of rational contraction mapping. Some examples are given to support the theory of fixed points in the b- metric space.
Keywords: metric space, b-metric space, fixed point, generalization contraction mapping, rational contraction mapping

## Abstrak
Ruang  b-metrik  merupakan  generalisasi  dari  ruang  metrik.  Salah  satu  bahasan  yang menarik untuk dikaji dalam ruang b-metrik adalah teorema titik tetap. Pada penelitian ini, ditunjukkan syarat cukup untuk menjamin bahwa eksistensi dan ketunggalan titik tetap  untuk  beberapa  pemetaan  kontraksi  tergeneralisasi  dalam  ruang  b-metrik, termasuk  generalisasi  pemetaan  kontraksi  dalam  bentuk  rasional.  Beberapa  contoh diberikan untuk menjamin keberadaaan dan ketunggalan titik tetap di ruang b-metrik. Kata  kunci: Ruang  Metrik,  Ruang  b-Metrik,  Titik  Tetap,  Generalisasi  Pemetaan kontraksi, Pemetaan kontraksi rasional. .

## 1.  Pendahuluan
Analisis  fungsional  merupakan  salah  satu  bidang  ilmu  matematika  yang  berperan  dalam bidang  analisis.  Salah  satu  toeri  dalam  analisis  fungsional  yang  cukup  banyak  kegunaannya adalah  teori  titik  tetap.  Teori  titik  tetap  berawal  dari  munculnya  Prinsip  Kontraksi  Banach  pada tahun  1922,  menyatakan  keberadaan  dan  ketunggalan  suatu  titik  tetap  fungsi  kontraksi  dalam ruang metrik lengkap. Teori titik tetap dapat digunakan untuk menjamin eksistensi solusi masalah nilai awal dan syarat batas persamaan differensial berbentuk linier maupun nonlinier.
Beberapa  masalah  tidak  dapat  diselesaikan  dalam  ruang  metrik,  khususnya  kekonvergenan fungsi terukur terhadap suatu ukuran. Sehingga [3] menjelaskan ruang b-metrik yang merupakan generalisasi dari ruang metrik
Pada tahun 1971 [2] memperkenalkan generalisasi kontraksi dan eksistensi titik tetapnya pada ruang  metrik  lengkap.  Kemudian,  [7]  menggunakan  generalisasi  kontraksi  untuk  menunjukkan eksistensi titik tetap pada b-ruang metrik dengan menambahkan beberapa syarat.
1 Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
250-260
208-218
Selanjutnya akan ditentukan syarat cukup keberadaan dan ketunggalan titik tetap untuk beberapa fungsi kontraksi tergeneralisasi dalam ruang b-metrik.

## 2.  Tinjauan Pustaka

## 2.1. Ruang Metrik
Definisi 2.1 Diberikan 𝑋 adalah himpunan tak kosong, maka fungsi
𝑑: 𝑋  ×  𝑋 ⟶ [0, ∞)
adalah metrik jika memenuhi kondisi untuk setiap, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋
1. 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0
2. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦
3. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) (sifat simetris)
4. 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) (Ketidaksamaan Segitiga).
Himpunan 𝑋 dilengkapi dengan suatu metrik (𝑋, 𝑑) , disebut ruang metrik.

## 2.2. Ruang b -Metrik
Definisi  2.2 [6]  Misalkan 𝑋 adalah  himpunan tak  kosong  dan 𝑘 ≥ 1 adalah  bilangan  real  maka fungsi 𝑏: 𝑋  ×  𝑋 ⟶ [0, ∞) adalah b- metrik jika memenuhi kondisi,
1. 𝑏(𝑥, 𝑦) ≥ 0 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
2. 𝑏(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦
3. 𝑏(𝑥, 𝑦) = 𝑏(𝑦, 𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (sifat simetris)
4. 𝑏(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑘[𝑏(𝑥, 𝑧) + 𝑏(𝑧, 𝑦)] untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 (ketidaksamaan segitiga)
Himpunan 𝑋 yang  dilengkapi  dengan  suatu b- metrik,  dituliskan  dengan (𝑋, 𝑏) disebut  ruang 𝑏 - metrik .
2.3. Barisan di Ruang b -Metrik
Definisi  2.3 [5]  Diberikan  ruang b- metrik (𝑋, 𝑏) .  Barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 dikatakan konvergen jika terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 maka lim 𝑛⟶∞ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥) = 0 ,  yang  artinya  untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑝 ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑝 berlaku 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥) < 𝜀. Definisi  2.4 [5]  Diberikan  ruang b- metrik (𝑋, 𝑏) .  Barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 dikatakan  barisan Cauchy apabila lim 𝑛,𝑚⟶∞ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0 ,  artinya  untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑝 ∈ ℕ sedemikian  sehingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑝 berlaku
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) < 𝜀 . Definisi  2.5 [5]  Ruang b- metrik (𝑋, 𝑏) dikatakan  lengkap  apabila  setiap  barisan  Cauchy  di 𝑋 selalu konvergen di 𝑋 .

## 2.4. Fungsi Kontraksi
Definisi  2.9 [1] Diberikan (𝑋, 𝑑) ruang  metrik.  Fungsi 𝑇: 𝑋 → 𝑋 disebut  memenuhi  kondisi Lipschitz jika terdapat bilangan riil positif 𝐿 sehingga berlaku 𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤  𝐿𝑑(𝑥, 𝑦),
Fungsi 𝑇 demikian disebut Lipschitzian dan bilangan riil 𝛼 disebut konstanta Lipschitz.
Definisi 2.10 [1] Diberikan (𝑋, 𝑑) suatu ruang metrik. Fungsi 𝑇: 𝑋 → 𝑋 disebut fungsi kontraksi pada 𝑋 jika  terdapat  bilangan  riil  positif 𝛼 dengan 0 ≤ 𝛼 < 1 sehingga  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku:
𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤  𝛼𝑑(𝑥, 𝑦).
Definisi  2.11 [2]  Diberikan (𝑋, 𝑑) suatu  ruang  metrik.  Fungsi 𝑇: 𝑋 → 𝑋 disebut  generalisasi fungsi  kontraksi  pada 𝑋 jika  terdapat  bilangan  riil  positif 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 dengan sup{𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 2. 𝛿} < 1 sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku:
𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤  𝛼𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝛽𝑑(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝛾𝑑(𝑦, 𝑇𝑦) + 𝛿[𝑑(𝑥, 𝑇(𝑦)) + 𝑑(𝑦, 𝑇(𝑥))].

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Syarat Barisan Cauchy di b-Metrik
Lemma 3.1 Jika (𝑋, 𝑏) adalah ruang b-metrik lengkap dengan 𝑘 ≥ 1 dan {𝑥 𝑛 } ⊂ 𝑋 merupakan barisan dalam ruang b-metrik yang memenuhi persamaan berikut
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ), (3.1)
untuk 𝑛 ∈ ℕ dan 0 ≤ 𝛼𝑘 < 1 maka {𝑥 𝑛 } adalah barisan Cauchy pada 𝑋 . Bukti.
Berdasarkan Persamaan (3.1) untuk sebarang 𝑛 ∈ ℕ dapat disederhanakan, sehingga diperoleh, 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝛼 2 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 ) ⋮ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ). (3.2)
Selanjutnya,  ambil  sebarang 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ∈ {𝑥 𝑛 } .  Jika 𝑚 > 𝑛 ,  dengan  menggunakan  ketidaksamaan segitiga pada ruang b- metrik diperoleh, 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≤ 𝑘[𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑚 )] = 𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑚 ) ≤ 𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘 2 [𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + 𝑏(𝑥 𝑛+2 , 𝑥 𝑚 )] = 𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘 2 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + 𝑘 2 𝑏(𝑥 𝑛+2 , 𝑥 𝑚 ) ⋮ ≤ 𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘 2 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + 𝑘 3 𝑏(𝑥 𝑛+2 , 𝑥 𝑛+ 3 ) + … + 𝑘 𝑚−𝑛−1 [𝑏(𝑥 𝑚−2 , 𝑥 𝑚−1 ) + 𝑏(𝑥 𝑚−1 , 𝑥 𝑚 )] = 𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘 2 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + 𝑘 3 𝑏(𝑥 𝑛+2 , 𝑥 𝑛+ 3 ) + … + 𝑘 𝑚−𝑛−1 𝑏(𝑥 𝑚−2 , 𝑥 𝑚−1 ) + 𝑘 𝑚−𝑛−1 𝑏(𝑥 𝑚−1 , 𝑥 𝑚 ) ≤ 𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘 2 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + 𝑘 3 𝑏(𝑥 𝑛+2 , 𝑥 𝑛+ 3 ) + … + 𝑘 𝑚−𝑛−1 𝑏(𝑥 𝑚−2 , 𝑥 𝑚−1 ) + 𝑘 𝑚−𝑛 𝑏(𝑥 𝑚−1 , 𝑥 𝑚 ),
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
berdasarkan Persamaan (3.2) sehingga 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) menjadi, 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≤ 𝑘𝛼 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑘 2 𝛼 𝑛+1 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑘 3 𝛼 𝑛+2 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛+2 , 𝑥 𝑛+ 3 ) +
… + 𝑘 𝑚−𝑛−1 𝛼 𝑚−2 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑘 𝑚−𝑛 𝛼 𝑚−1 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) ≤ (1 + 𝑘𝛼 + 𝑘 2 𝛼 2 + ⋯ + 𝑘 𝑚−𝑛−1 𝛼 𝑚−𝑛−1 )𝑘𝛼 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) ≤ ( 1−𝑘 𝑚−𝑛 𝛼 𝑚−𝑛 1−𝑘𝛼 ) 𝑘𝛼 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) ≤ ( 1 1−𝑘𝛼 ) 𝑘𝛼 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ).
Karena 0 ≤ 𝑘𝛼 < 1 maka 0 ≤ 𝛼 < 1 sehingga jika diambil limit 𝑚, 𝑛 → ∞ maka
𝑙𝑖𝑚 𝑛,𝑚→∞ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0
diperoleh {𝑥 𝑛 } adalah barisan Cauchy pada ruang b- metrik (𝑋, 𝑏) . ∎

## 3.2. Titik Tetap di Ruang b-Metrik.
Teorema  3.1 Diberikan  ( 𝑋, 𝑏) adalah  ruang  b-metrik  lengkap  dengan  koefisien 𝑘 ≥ 1 dan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 suatu fungsi yang memenuhi persamaan berikut 𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝛼. 𝑏(𝑥, 𝑦) + 𝛽. 𝑏(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝛾. 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦) + 𝜇[𝑏(𝑥, 𝑇𝑦) + 𝑏(𝑦, 𝑇𝑥)], (3.3)
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dan 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇 ≥ 0 , dengan syarat
𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝛾 + (𝑘 2 + 𝑘)𝜇 < 1, maka 𝑇 mempunyai titik tetap yang tunggal.
Bukti.
Diambil  sebarang 𝑥 0 ∈ 𝑋 ,  kemudian  didefinisikan  fungsi 𝑇: 𝑋 → 𝑋 memenuhi  Persamaan  (3.3) dan  didefinisikan  barisan {𝑥 𝑛 } ⊂ 𝑋 merupakan  pemetaan  rekusif  dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 ,  sehingga diperoleh
𝑥 0 , 𝑥 1 = 𝑇𝑥 0 , 𝑥 2 = 𝑇𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 , …, berdasarkan barisan {𝑥 𝑛 } dan fungsi 𝑇 dapat diketahui bahwa 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 𝑏(𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ). (3.4)
Langkah I. Akan ditunjukkan 𝑇 merupakan pemetaan kontraktif.
Karena fungsi 𝑇 memenuhi Persamaan (3.3) maka berdasakan Persamaan (3.4) diperoleh 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛽 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛−1 ) + 𝛾 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) +  𝜇 ∙ [𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) + 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛−1 )],
≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛽 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛾 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) +  𝜇 ∙ [𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 )] = 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛽 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛾 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) +  𝜇 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛽 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛾 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜇 ∙ 𝑘 ∙ [𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )] ≤ (𝛼 + 𝛽 + 𝜇 ∙ 𝑘) (1 − 𝛾 − 𝜇 ∙ 𝑘) ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ).

## Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
Jadi
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝜆 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 )
dengan 𝜆 = (𝛼+𝛽+𝜇∙𝑘) (1−𝛾−𝜇∙𝑘) .
Berdasarkan  Persamaan  tersebut,  untuk  sebarang 𝑛 ∈ ℕ hasil  di  atas  dapat  disederhanakan sehingga diperoleh,
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝜆 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ),
≤ 𝜆 2 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 ),
⋮ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )   ≤ 𝜆 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) . (3.5)
Karena fungsi 𝑇 memenuhi Persamaan (3.3), berlaku syarat
𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝛾 + (𝑘 2 + 𝑘)𝜇 < 1, sehingga diperoleh
𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝑘 2 𝜇 < 1 − 𝛾 − 𝑘𝜇, 𝑘(𝛼 + 𝛽 + 𝑘𝜇) < 1 − 𝛾 − 𝑘𝜇, 𝛼 + 𝛽 + 𝜇 ∙ 𝑘 1 − 𝛾 − 𝜇 ∙ 𝑘 < 1 𝑘 ,
diperoleh bahwa 0 < 𝜆 < 1 . Jadi 𝑇 merupakan pemetaan kontraktif.
Langkah II. Akan ditunjukkan 𝑇 mempunyai titik tetap. Karena  berdasarkan  Persamaan  (3.3) yang  merupakan  pemetaan  kontraktif  dengan 0 ≤ 𝜆 < 1 , sehingga memenuhi syarat untuk menggunakan Lemma 3.1 maka diperoleh bahwa barisan {𝑥 𝑛 } adalah barisan Cauchy pada ruang b- metrik lengkap.
Karena  ruang b- metrik 𝑋 lengkap  maka  barisan {𝑥 𝑛 } konvergen,  maka  terdapat 𝑢 ∈ 𝑋 sehingga,
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢)   → 0 untuk 𝑛 → ∞ . (3.6)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑢 merupakan titik tetap fungsi 𝑇 . Diambil  sebarang 𝑢, 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ∈ 𝑋 ,  dengan  menggunakan  sifat  ketaksamaan  segitiga b- metrik dapat diketahui bahwa 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑘(𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑇𝑢)),
= 𝑘(𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑢)),
Karena 𝑇 memenuhi Persamaan (3.3), maka diperoleh 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑘𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘(𝛼𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝛽𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) + 𝛾𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) +   𝜇(𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑢, 𝑇𝑥 𝑛 ))),
≤ 𝑘𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘(𝛼𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝛽𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛾𝑏(𝑢, 𝑇𝑢)+ 𝜇[𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 )]), ≤ 𝑘𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘(𝛼𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝛽𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛾𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝜇[𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝑘𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 )]) ≤ 𝑘𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘(𝛼𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝛽𝜆 𝑛 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝛾𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝜇[𝑘𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝑘𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 )]),
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
≤ 𝑘𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘𝛼𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝑘𝛽𝜆 𝑛 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑘𝛾𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) +   𝑘 2 𝜇𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝑘 2 𝜇𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝑘𝜇𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝑘 + 𝑘𝜇 (1 − 𝑘𝛾 − 𝑘 2 𝜇) 𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑘𝛼 + 𝑘 2 𝜇 (1 − 𝑘𝛾 − 𝑘 2 𝜇) ∙ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) + 𝑘𝛽𝜆 𝑛 (1 − 𝑘𝛾 − 𝑘 2 𝜇) 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ),
sehingga dengan menggunakan Persamaan (3.5) dan (3.6), akibatnya untuk 𝑛 → ∞ diperoleh 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) = 0.
Jadi 𝑇𝑢 = 𝑢 , berarti 𝑢 titik tetap 𝑇 .
Langkah III. Akan ditunjukkan ketinggalan titik tetap fungsi 𝑇 . Andaikan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 , 𝑢 ≠ 𝑣 adalah  titik  tetap  fungsi 𝑇 yang  berbeda  maka 𝑇𝑢 = 𝑢 , 𝑇𝑣 = 𝑣 ,  dan 𝑏(𝑢, 𝑣) > 0 . Karena 𝑇 memenuhi Persamaan (3.3), maka berlaku
𝑏(𝑇𝑢, 𝑇𝑣) ≤ 𝛼. 𝑏(𝑢, 𝑣) + 𝛽. 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝛾. 𝑏(𝑣, 𝑇𝑣) + 𝜇[𝑏(𝑢, 𝑇𝑣) + 𝑏(𝑣, 𝑇𝑢)]
≤ 𝛼. 𝑏(𝑢, 𝑣) + 𝛽. 𝑏(𝑢, 𝑢) + 𝛾. 𝑏(𝑣, 𝑣) + 𝜇[𝑏(𝑢, 𝑣) + 𝑏(𝑣, 𝑢)] 𝑏(𝑢, 𝑣) ≤ (𝛼 + 2𝜇)𝑏(𝑢, 𝑣),
sehingga diperoleh
(1 − (𝛼 + 2𝜇))𝑏(𝑢, 𝑣) ≤ 0.
Karena 𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝛾 + (𝑘 2 + 𝑘)𝜇 < 1 , maka 𝛼 + 2𝜇 < 𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝛾 + (𝑘 2 + 𝑘)𝜇 < 1, diperoleh 1 − (𝛼 + 2𝜇) > 0 maka
𝑏(𝑢, 𝑣) = 0.
Jadi 𝑢 = 𝑣 , sehingga terjadi kontradiksi. Jadi titik tetap fungsi 𝑇 adalah tunggal.

## Teorema 3.1 menghasilkan beberapa akibat, yaitu:
Akibat  3.1 Diberikan  ( 𝑋, 𝑏) adalah  ruang  b-metrik  lengkap  dengan  koefisien 𝑘 ≥ 1 dan 𝑇 adalah 𝑇: 𝑋 → 𝑋 suatu fungsi yang memenuhi persamaan berikut 𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝛼. 𝑏(𝑥, 𝑦) + 𝛽. 𝑏(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝛾. 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦),
(3.7)
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dan 𝛼, 𝛽, 𝛾 ≥ 0 , dengan syarat 𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝛾 < 1 maka fungsi 𝑇 mempunyai titik tetap yang tunggal. ∎
Bukti. Jika 𝜇 = 0 pada  Persamaan  3.3  akibatnya  dengan  mengikuti  langkah  yang  sama  pada pembuktian  titik  tetap  pada  Teorema  3.1  maka  akan  diperoleh  fungsi 𝑇 mempunyai  titik  tetap tunggal.
Akibat  3.2 Diberikan  ( 𝑋, 𝑏) adalah  ruang  b-metrik  lengkap  dengan  koefisien 𝑘 ≥ 1 dan 𝑇 adalah 𝑇: 𝑋 → 𝑋 suatu fungsi yang memenuhi persamaan berikut
𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝛼. 𝑏(𝑥, 𝑦) (3.8)
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dan 𝛼 ≥ 0 , dengan syarat 𝑘𝛼 < 1 maka 𝑇 mempunyai titik tetap yang tunggal.
Bukti. Jika 𝛽 = 𝛾 = 𝜇 = 0 pada Persamaan 3.3 akibatnya dengan mengikuti langkah yang sama pada  pembuktian  titik  tetap  pada  Teorema  3.1  maka  akan  diperoleh  fungsi 𝑇 mempunyai  titik tetap tunggal.

## Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
Teorema  4.2 Diberikan  ( 𝑋, 𝑏) adalah  ruang  b-metrik  lengkap  dengan  koefisien 𝑘 ≥ 1 dan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 suatu fungsi yang memenuhi persamaan berikut
𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝛼. (𝑏(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦)) 2 . 𝑏(𝑥, 𝑦) 1 + 2 . 𝑏 2 (𝑥, 𝑇𝑥) + 2 . 𝑏 2 (𝑦, 𝑇𝑦) (4.10)
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 ,  dan 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇 ≥ 0 ,  dengan  syarat 𝑘𝛼 < 1 maka  fungsi 𝑇 mempunyai  titik  tetap  yang tunggal.
Bukti.
Diambil sebarang 𝑥 0 ∈ 𝑋 , kemudian didefinisikan fungsi 𝑇: 𝑋 → 𝑋 memenuhi Persamaan (4.10) dan  didefinisikan  barisan {𝑥 𝑛 } ⊂ 𝑋 merupakan  pemetaan  rekusif  dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 ,  sehingga diperoleh
𝑥 0 , 𝑥 1 = 𝑇𝑥 0 , 𝑥 2 = 𝑇𝑥 1 , 𝑥 3 = 𝑇𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 , …
berdasarkan barisan {𝑥 𝑛 } dan fungsi 𝑇 dapat diketahui bahwa
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 𝑏(𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ). (4.11)
Langkah I. Akan ditunjukkan 𝑇 merupakan pemetaan kontraktif.
Karena fungsi 𝑇 memenuhi Persamaan (4.10) maka berdasakan Persamaan (4.11) diperoleh
𝑏(𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) ≤ 𝛼. (𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛−1 ) + 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )) 2 . 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛−1 ) + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) ,
sehingga diperoleh
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼. (𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )) 2 . 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼.(𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 )+𝑏 2 (𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )+2𝑏(𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 )𝑏(𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )) .𝑏(𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 ) 1+2.𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 )+2.𝑏 2 (𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼.(𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 )+𝑏 2 (𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )+2𝑏(𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 )𝑏(𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )).𝑏(𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 ) 1+2.𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 ,𝑥 𝑛 )+2.𝑏 2 (𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 ) .
Karena (𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) − 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )) 2 ≥ 0 maka (𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )) ≥ 2𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 )𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ),
sehingga diperoleh
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼. 2(𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )). 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) . ≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ).
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
Berdasarkan  Persamaan  tersebut  untuk  sebarang 𝑛 ∈ ℕ ,  maka  hasil  diatas  dapat  disederhanakan sehingga diperoleh,
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝛼 2 ∙ 𝑏(𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 ) ⋮ 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 𝛼 𝑛 ∙ 𝑏(𝑥 0 , 𝑥 1 ) (4.12)
Berdasarkan syarat 𝑘𝛼 < 1 , maka
𝛼 < 1 𝑘 ,
diperoleh bahwa 0 < 𝛼 < 1 . Jadi 𝑇 merupakan pemetaan kontraktif .
Langkah II. Akan ditunjukkan 𝑇 mempunyai titik tetap.
Karena berdasarkan Persamaan (4.10) yang merupakan pemetaan kontraktif dengan 0 ≤ 𝛼 < 1 ,  sehingga  memenuhi  syarat  untuk  menggunakan  Lemma  4.1  maka  diperoleh  bahwa barisan {𝑥 𝑛 } adalah  barisan  Cauchy  pada  ruang b- metrik  lengkap.  Karena  ruang b- metrik 𝑋 lengkap maka barisan {𝑥 𝑛 } konvergen, maka terdapat 𝑢 ∈ 𝑋 sehingga,
𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) → 0 untuk 𝑛 → ∞ . (4.13)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑢 merupakan titik tetap fungsi 𝑇 .
Diambil  sebarang 𝑢, 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ∈ 𝑋 ,  dengan  menggunakan  sifat  ketaksamaan  segitiga b- metrik dan pemetaan 𝑇 , dapat diketahui bahwa
𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑘(𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑥 𝑛+1 , 𝑇𝑢)) ,
= 𝑘(𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑢)) ,
sehingga dengan menggunakan Persamaan (4.10), maka
𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑘 (𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛼. (𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) + 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢)) 2 . 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) + 2. 𝑏 2 (𝑢, 𝑇𝑢) ), ≤ 𝑘 (𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛼. (𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢)) 2 . 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 2. 𝑏 2 (𝑢, 𝑇𝑢) ), ≤ 𝑘 (𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛼.( 𝑏 2 (𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )+𝑏 2 (𝑢,𝑇𝑢)+2𝑏(𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )𝑏(𝑢,𝑇𝑢)).𝑏(𝑥 𝑛 ,𝑢) 1+2.𝑏 2 (𝑥 𝑛 ,𝑥 𝑛+1 )+2.𝑏 2 (𝑢,𝑇𝑢) ).
Karena (𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) − 𝑏(𝑢, 𝑇𝑢)) 2 ≥ 0 , maka
(𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑏 2 (𝑢, 𝑇𝑢)) ≥ 2𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )𝑏(𝑢, 𝑇𝑢),
sehingga diperoleh
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) ≤ 𝑘 (𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛼. (2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 2. 𝑏 2 (𝑢, 𝑇𝑢)). 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 2. 𝑏 2 (𝑢, 𝑇𝑢) )
≤ 𝑘(𝑏(𝑢, 𝑥 𝑛+1 ) + 𝛼. 𝑏(𝑥 𝑛 , 𝑢)),
dengan menggunakan Persamaan (4.13), maka untuk 𝑛 → ∞ , diperoleh
𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) = 0
Jadi 𝑇𝑢 = 𝑢 , berarti 𝑢 titik tetap 𝑇 .
Langkah III. Akan ditunjukkan ketinggalan titik tetap fungsi 𝑇 .
Andaikan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 , 𝑢 ≠ 𝑣 adalah  titik  tetap  fungsi 𝑇 yang  berbeda  maka 𝑇𝑢 = 𝑢 , 𝑇𝑣 = 𝑣 ,  dan 𝑏(𝑢, 𝑣) > 0 .  Karena 𝑇 memenuhi Persamaan (4.10), maka berlaku
𝑏(𝑇𝑢, 𝑇𝑣)   ≤ 𝛼. (𝑏(𝑢, 𝑇𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑇𝑣)) 2 . 𝑏(𝑢, 𝑣)
1 + 2. 𝑏 2 (𝑢, 𝑇𝑢) + 2. 𝑏 2 (𝑣, 𝑇𝑣) ,
sehingga diperoleh
𝑏(𝑢, 𝑣) ≤ 𝛼. (𝑏(𝑢, 𝑢) + 𝑏(𝑣, 𝑣)) 2 . 𝑏(𝑢, 𝑣) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑢, 𝑢) + 2. 𝑏 2 (𝑣, 𝑣) ,
maka
𝑏(𝑢, 𝑣) = 0
jadi 𝑢 = 𝑣 , sehingga terjadi kontradiksi. Jadi titik tetap fungsi 𝑇 adalah tunggal. ∎
Contoh 3.1 Diberikan  ruang  b-metrik ( ℝ , 𝑏) dengan 𝑘 = 2 didefinisikan 𝑏(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| 2 . Misalkan 𝑋 = [0, 1 4 ] ⊂ ℝ dan 𝑇𝑥 = 1 3 𝑥 2 , ∀𝑥 ∈ 𝑋, maka 𝑇 memenuhi  syarat  kontraksi tergeneralisasi Persamaan 3.3 dan memiliki titik tetap.

## Bukti.
Diambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 ,
𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = 𝑏 ( 1 3 𝑥 2 , 1 3 𝑦 2 ) = | 1 3 𝑥 2 − 1 3 𝑦 2 | 2 ,
sehingga
| 1 3 𝑥 2 − 1 3 𝑦 2 | 2 = |𝑥 + 𝑦| 2 9 |𝑥 − 𝑦| 2 .
Karena 0 < 𝑥 < 1 4 dan 0 < 𝑦 < 1 4 , maka
|𝑥 + 𝑦| 2 ≤ 1 4 ,
sehingga diperoleh
| 1 3 𝑥 2 − 1 3 𝑦 2 | 2 ≤ 1 36 |𝑥 − 𝑦| 2
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
≤ 1 36 |𝑥 − 𝑦| 2 + 1 7 |𝑥 − 1 3 𝑥 2 + 𝑦 − 1 3 𝑦 2 | 2 = 1 36 |𝑥 − 𝑦| 2 + 1 7 | 1 2 (𝑥 − 𝑥 2 3 ) + 1 2 (𝑦 − 𝑦 2 3 ) + 1 2 (𝑥 − 𝑦 2 3 ) + 1 2 (𝑦 − 𝑥 2 3 )| 2 = 1 36 |𝑥 − 𝑦| 2 + 1 28 |(𝑥 − 𝑥 2 3 ) + (𝑦 − 𝑦 2 3 ) + (𝑥 − 𝑦 2 3 ) + (𝑦 − 𝑥 2 3 )| 2 ≤ 1 36 |𝑥 − 𝑦| 2 + 2 28 |(𝑥 − 𝑥 2 3 ) + (𝑦 − 𝑦 2 3 )| 2 + 2 28 |(𝑥 − 𝑦 2 3 ) + (𝑦 − 𝑥 2 3 )| 2 ≤ 1 36 |𝑥 − 𝑦| 2 + 4 28 |𝑥 − 𝑥 2 3 | 2 + 4 28 |𝑦 − 𝑦 2 3 | 2 + 2 28 |(𝑥 − 𝑦 2 3 ) + (𝑦 − 𝑥 2 3 )| 2 .
Jadi 𝑇 merupakan  kontraksi  tergeneralisasi  yang  sesuai  Persamaan  3.3  pada  Teorema 3.1,sehingga diperoleh 𝛼 = 1 36 , 𝛽 = 𝛾 = 4 32 , 𝛿 = 2 32 , dengan
2𝛼 + 2𝛽 + 𝛾 + 6𝛿 = 2 36 + 8 28 + 4 28 + 12 28 = 115 126 < 1.
Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk fungsi 𝑇𝑥 = 1 3 𝑥 2 . Definisikan {𝑥 𝑛 } sebagai barisan di 𝑋 dengan
𝑥 𝑛 = 𝑇(𝑥 𝑛−1 ) = 1 3 𝑥 𝑛−1 2 .
Ambil 𝑥 = 1 5 ∈ 𝑋 , sehingga diperoleh
𝑥 1 = 𝑇𝑥 0 = 𝑇 ( 1 5 ) = 1 75 = ( 1 5 ) ( 1 15 ), 𝑥 2 = 𝑇𝑥 1 = 𝑇 ( 1 75 ) = 1 16875 = ( 1 5 ) ( 1 15 ) 3 , ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 = 𝑇 (( 1 15 ) 2 𝑛−1 −1 ( 1 5 )) = 1 3 (( 1 5 ) ( 1 15 ) 2 𝑛−1 −1 ) 2 = ( 1 5 ) ( 1 15 ) 2 𝑛 −1
Karena 𝑇 merupakan  kontraksi  tergeneralisasi  yang  sesuai  dengan  Persamaan  3.3  sehingga berdasarkan  pada  Teorema  3.1  mengakibatkan {𝑥 𝑛 } merupakan  barisan  Cauchy  di 𝑋 dan  oleh karena itu {𝑥 𝑛 } konvergen ke suatu titik di 𝑋 .  Sekarang akan ditunjukkan limit {𝑥 𝑛 } untuk 𝑛 → ∞ , maka
lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = lim 𝑛→∞ ( 1 5 ) ( 1 15 ) 2 𝑛 −1 = 0,
sehingga diperoleh titik tetap 𝑇 adalah 0 ∈ 𝑋 .

## 4.  Kesimpulan
1. Pemetaan 𝑇 pada  suatu  ruang b -metrik  lengkap  dengan  koefisien 𝑘 ≥ 1 mempunyai titik tetap tunggal, jika fungsi 𝑇 memenuhi kondisi berikut
𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝛼. 𝑏(𝑥, 𝑦) + 𝛽. 𝑏(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝛾. 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦) +𝜇[𝑏(𝑥, 𝑇𝑦) + 𝑏(𝑦, 𝑇𝑥)],
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇 ≥ 0 , dengan syarat 𝑘𝛼 + 𝑘𝛽 + 𝛾 + (𝑘 2 + 𝑘)𝜇 < 1 .
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu
2. Pemetaan 𝑇 pada  suatu  ruang b -metrik  lengkap  dengan  koefisien 𝑘 ≥ 1 mempunyai titik tetap tunggal, jika fungsi 𝑇 memenuhi kondisi berikut
𝑏(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 𝛼. (𝑏(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑏(𝑦, 𝑇𝑦)) 2 . 𝑏(𝑥, 𝑦) 1 + 2. 𝑏 2 (𝑥, 𝑇𝑥) + 2. 𝑏 2 (𝑦, 𝑇𝑦) ,
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dan 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜇 ≥ 0 , dengan syarat 𝑘𝛼 < 1 .

## Daftar Pustaka
[1] Agarwal,  Ravi  P.,  Meehan,  M.  Dan  O’Re gan,  D.  2 004.  ” Fixed  Point  Theory  and Applications. ” London: Cambridge University Press.
[2] Ciric,  Ljubomir  B.  1971.  ” Generalized  Contraction  and  Fixed- Point  Theorems”. Publication De L’Institut Mathematique.
[3] Czerwik, S. 1993. “ Contraction  Mapping  in  b-Metric Space” .  Acta  Math.  Inf.  Univ Ostravinsis, 5-11.
[4] Dubey,  A.K.,  Shukla,  R.  dan  Dubey,  R.  P.  (2014).  “ Some  Fixed  Point  results  in  b- metric space”. Asian J.Math. Appl, 1-6. India.
[5] Kir, Mehmet dan Kiziltunc, H. 2013. ” On Some Well Known Fixed Point Theorms in b- metric  Spaces”. Turkish  Jurnal  of  Analysis  and  Number  Theory  Vol.  1.  Turki. Science and Education Publishing.
[6] Nurwahyu, Budi. 2017. ” Fixed Point Theorems for Generalized Contraction in Quasi 𝛼𝑏 - Metric Spaces”. FJMS Volume 101. Allahabad:India. Pushpa Publishing House.
[7] Sarwar,  M.,  &  Rahman,  M.  U.  (2015).  “ Fixed  Point  Theorms  For  Ciric’s  And Generelized Contraction in b-Metric Spaces ”. International Journal of Analysis and Application Volume 7, 70-78. India.
[8]  Rahmasari,  C.,  Sunarsini,  dan  Sad jidon.  ” Konvergensi  Barisan  dan  Teorema  Titik Tetap pada ruang b-Metrik ”. Jurnal Sains dan Seni ITS. Surabaya: Indonesia.
Afif Budi Andy B., Naimah Aris, Budi Nurwahyu