## CONJECTURING DALAM PEMECAHAN MASALAH GENERALISASI POLA
Sutarto 1 , Intan Dwi Hastuti 2
1, Dosen pendidikan Matematika IKIP Mataram sutarto_zadt@ymail.com
2 Mahasiswa S3 Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang intanhastuti@ymail.com
Abstrak: Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengeksplorasi  proses conjecturing siswa  dalam pemecahan  masalah  generalisasi  pola. Jenis  penelitian  ini  adalah  deskriptif eksploratif.  Subjek penelitiannya  adalah  6  siswa  kelas  VIII    SMP  Negeri  5  Malang,  pada  tahap  pertama  siswa menyelesaikan masalah generalisasi pola dan pada tahap kedua siswa diwawancara berdasarkan lembar jawaban masing-masing. Hasil penelitian  menunjukkan: 1) tidak semua tahapan proses conjecturing dilakukan,  2)  proses  conjecturing  terjadi  secara linear dan zigzag dan  3) memahami masalah merupakan titik awal untuk pemecahan masalah generalisasi pola.
Kata Kunci: Conjecturing , pemecahan masalah, Generalisasi pola .

## PENDAHULUAN
Pemecahan masalah dan conjecturing merupakan  bagian  penting dari kegiatan matematika. Hal ini sesuai dengan  yang  dikemukan  oleh  Cañadas,
Deulofeu, Figueiras, Reid, & Yevdokimov (2007) yaitu banyak
peneliti  telah  menyarankan  bahwa pemecahan  masalah  dan conjecturing adalah  bagian  penting  dari  kegiatan matematika.  Menurut  NCTM  (2000) pemecahan  masalah  merupakan  salah satu  bagian  dari  standar  matematika sekolah.  Lebih  lanjut  dijelaskan  bahwa berpikir  matematis  dan  keterampilan penalaran,
termasuk membuat conjectures adalah  penting  karena berfungsi sebagai dasar untuk
mengembangkan  wawasan  baru  dan meningkatkan kajian lebih lanjut. Sedangkan menurut Sutarto, dkk (2014) conjecturing berperan dalam pembelajaran  matematika  yaitu:  (1) conjecturing sebagai jalan dalam menyelesaikan masalah (2) conjecturing sebagai proses yang
membantu  siswa  dalam  memahami materi,  dan  (3) conjecturing sebagai proses  yang  melatih  siswa  dalam bernalar.
Pemecahan masalah dan conjecturing merupakan  dua  hal  yang saling berhubungan. Cañadas, Deulofeu, Figueiras,  Reid,  &  Yevdokimov  (2007) pemecahan  masalah  dan conjecturing sebagai  kegiatan  matematika  yang terjalin  dalam  banyak  cara.  Dalam NCTM  (2000)  pemecahan  masalah berarti  terlibat  dalam  tugas  yang  solusi belum  diketahui  sebelumnya.  Lebih lanjut  dijelaskan  bahwa    melakukan matematika berarti melibatkan penemuan, conjecture adalah  jalur utama untuk penemuan. Proses investigasi terjadi dalam proses problem solving,  dalam  proses  investigasi  salah satu  tahapanya  adalah  perumusan  dan pengujian conjecture (Yeo  &  Yeap, 2010).
Conjecture merupakan  suatu pernyataan  yang  dihasilkan  dari  proses penalaran  tapi  kebenarannya  belum dapat  dipastikan.  Menurut  Stacey, Burton,  &  Mason  (2010) conjecture adalah pernyataan yang masuk akal, tapi ya  ng  kebenarannya  belum  dapat dipastikan,  dengan  kata  lain,  belum diyakini  kebenarannya  namun  tidak memiliki contoh penyangkal. Canada & Castro  (2005)  menyatakan  bahawa
conjecture adalah pernyataan berdasarkan  fakta  empiris,  yang  belum divalidasi. Cañadas, Deulofeu,
Figueiras,  Reid,  &  Yevdokimov  (2007) menyatakan  bahwa  proses  c onjecturing menggunakan  berbagai  jenis  penalaran. Salah  satu  penalaran  yang  digunakan dalam    proses  c onjecturing adalah penalaran induktif.
Penalaran induktif adalah proses melihat  keteraturan  yang  dimulai  dari contoh-contoh tertentu dan
menghasilkan  generalisasi.  Menurut Pólya  (1967) bahwa penalaran induktif adalah  metode  menemukan  sifat  dari fenomena  dan  menemukan  keteraturan dengan  cara  yang  logis.  Canada  & Castro (2005) menyatakan bahwa penalaran  induktif  dalam  pendidikan matematika  adalah  proses  penalaran yang dimulai dengan kasus-kasus tertentu  dan  menghasilkan  generalisasi.
Penalaran induktif mengacu pada pendeteksian keteraturan dan ketidakteraturan dalam rangka membentuk aturan dan membuat generalisasi (Klauer & Phye, 2008). Hasil  penelitian  tentang  tahapan penalaran induktif. Pólya (1967)
menunjukkan  empat  langkah  proses penalaran  induktif:  pengamatan  kasus- kasus  tertentu,  merumuskan conjecture berdasarkan  kasus  tertentu  sebelumnya dan verifikasi conjecture dengan kasus- kasus  tertentu  yang  baru.  Dalam konteks  induksi  empiris  dari  bilangan berhingga  kasus  diskrit,  Reid  (2001) menjelaskan  tahapan  ini:  pengamatan pola, conjecturing (dengan  keraguan) bahwa  pola-pola  ini  berlaku  secara umum, pengujian conjecture , dan generalisasi conjecture .  Canada  & Castro  (2005)  tujuh  tahapan  yang menjelaskan  proses  penalaran  induktif: mengamati kasus-kasus tertentu,
mengorganisasikan kasus-kasus
tertentu, mencari dan memprediksi pola, merumuskan conjecture ,  memvalidasi
conjecture ,  meggeneralisasi conjecture ,
dan membenarkan conjecture umum. Penalaran induktif penting dalam  pemecahan  masalah.  Menurut Koedinger dan Anderson (Papageorgiou &  Christou,  2005)  bahwa  penalaran induktif berperan penting dalam matematika  dan  pemecahan  masalah. Pólya (1967) menyatakan bahwa penalaran  induktif  sangat  penting  dari sudut pandang ilmiah karena memungkinkan kita untuk memperoleh pengetahuan ilmiah.
Sedangkan  menurut  Harverty,  dkk (2000)  mengutip  beberapa  penelitian lain  yang  melihat  penalaran  induktif sebagai faktor penting untuk pemecahan masalah, belajar konsep, belajar matematika, dan pengembangan keahlian.  Penalaran  induktif  digunakan dalam proses conjecturing. Proses conjecturing melalui penalaran  induktif    adalah  proses menghasilkan conjecture melalui tahapan  penalaran  induksi.    Menurut Cañadas,  Deulofeu,  Figueiras,  Reid,  & Yevdokimov (2007) bahwa c onjecturing dalam menyelesaikan masalah dapat dilakukan dengan conjecturing tipe  induksi  empiris  dari sejumlah berhingga kasus diskrit. Lebih lanjut  dikatakan  bahwa  c onjecturing melalui  penalaran  induktif  dapat  dibuat berdasarkan  pengamatan  dari  bilangan berhingga  kasus  diskrit,  dimana  pola yang  diamati  konsisten.  Selanjutnya Cañadas  &  Castro  (2005)  dalam Cañadas,  Deulofeu,  Figueiras,  Reid,  & Yevdokimov (2007) menyatakan bahwa tujuh tahapan kategorisasi untuk menggambarkan conjecturing tipe induksi empiris dari sejumlah berhingga kasus diskrit: mengamati kasus,
mengorganisir  kasus,  mencari  dan memprediksi pola,
merumuskan
conjecture , memvalidasi conjecture
tersebut, generalisasi conjecture tersebut, dan membenarkan
generalisasi. Tahapan Conjecturing tersebut  merupakan  tahapan  penalaran induksi yang dikemukakan oleh Cañadas & Castro (2005) dan dijadikan salah satu tipe conjecturing. Penjelasan tujuh tahapan kategorisasi untuk menggambarkan
conjecturing tipe  induksi  empiris  dari sejumlah  berhingga  kasus  diskrit  atau conjecturing melalui penalaran induktif. Ketika mengamati  kasus titik  awal kasus tertentu adalah pengalaman dengan kasus-kasus tertentu dari masalah  yang  diajukan. Mengorganisir kasus melibatkan  penggunaan  strategi untuk  melakukan  sistematisasi  dan memfasilitasi  pekerjaan  dengan  kasus- kasus  tertentu.  Strategi  yang  paling umum  digunakan  adalah  organisasi kasus-kasus  tertentu  dengan  daftar  data atau  tabel. Mencari  dan  memprediksi pola ketika seseorang mengamati pengulangan  dan  situasi  yang  biasa yang  bersifat  gambaran  bahwa  pola mungkin berlaku untuk kasus berikutnya  yang  tidak  diketahui  dengan pasti. Merumuskan  conjecture, berarti membuat  pernyataan  tentang  semua kemungkinan kasus yang terjadi, berdasarkan  fakta-fakta  empiris,  tetapi dengan  unsur  keraguan. Memvalidasi conjecture ,  ketika  siswa  merumuskan conjecture dengan  keraguan,  mereka yakin  tentang  kebenaran conjecture mereka  untuk  kasus-kasus  tertentu tetapi tidak untuk yang lain. Generalisasi  conjecture, hal  ini  terkait dengan  perubahan  pada  pernyataan yang diyakini. Melihat contoh tambahan tidak cukup untuk membenarkan generalisasi,  membenarkan  generalisasi conjecture mencakup  pemberian  alasan yang  menjelaskan conjecture tersebut, mungkin  dengan  maksud  meyakinkan orang  lain  bahwa  generalisasiny  benar. Jika  diperlukan,  orang  bisa  membuat bukti matematis sebagai justifikasi yang
menjamin kebenaran conjecture tersebut.
Pemecahan  masalah  generalisasi pola  merupakan  aspek  penting  dalam matematika  yang  terdapat  dalam  setiap topik  dan  merupakan  sesuatu  yang disorot  dalam  pengajaran  di  hampir semua tingkatan (Dindyal, 2007).
Generalisasi  pola  dapat  berkontribusi pada  pengembangan  kemampuan  yang berkaitan  dengan  pemecahan  masalah, melalui  penekanan  analisis  kasus-kasus tertentu,  mengorganisasikan  data  secara sistematis, conjecturing dan menggeneralisasi (Barbosa, 2011). Sedangkan menurut  Küchemann  (2010) menyatakan  generalisasi  harus  menjadi inti  dari  kegiatan  matematika  di sekolah.
Dalam  kurikulum  2013  terkait pola,  generalisasi,  dan conjecturing merupakan  kompetensi  dasar  yang diberikan  di  SMP/MTs  kelas  VII,  VIII dan  IX,  ini  menunjukkan  bahwa  pola, generalisasi dan conjecturing merupakan  kompetensi  yang  penting dan  harus  di  miliki  oleh  siswa. Kenyataannya  menggeneralisasi  pola, dan  membangun conjecture dalam penyelesaian  masalah  masih  dirasakan sulit  oleh  siswa.  Hal  ini  senada  dengan yang  disampaikan  oleh  Sutarto,  dkk (2014) bahwa siswa mengalami kesulitan  dalam  proses  membangun conjecture yaitu  siswa  mengalami kesulitan dalam mengamati kasus (3,57%), mengorganisir kasus (17,86%),  mencari  dan  memprediksi pola  (53,57%),  merumuskan conjecture
(64,29  %),  memvalidasi conjecture
(71,43%), generalisasi conjecture (82,86%), dan membenarkan generalisasi (92,86%).
Berdasarkan  uraian  ini  sangat penting  untuk  mendeskripsikan  proses conjecturing dalam pemecahan masalah generalisasi  pola  sehingga  guru  dapat memahami dengan benar proses
conjecturing yang dilakukan oleh siswa . Selanjutnya guru dapat membantu siswa membuat, memperbaiki,
dan
mengeksplorasi conjecture .

## METODE
Jenis  penelitian  yang  digunakan untuk mendeskripsikan proses
conjecturing dalam pemecahan masalah generalisasi  pola  pada  siswa  kelas  VIII SMP Negeri 5 Malang adalah deskriptif eksploratif  dengan  memberikan  lembar masalah  generalisasi  pola  “Tentukan banyaknya  diagonal  dari  segitiga beraturan?” untuk diselesaikan kepada 6 siswa.  Pada  tahap  pertama  siswa menyelesaikan  masalah  generalisasi pola  dan  pada  tahap  kedua  siswa diwawancara berdasarkan lembar jawaban masing-masing untuk mengetahui  proses conjecturing yang dilakukan.  Soal  ini  termasuk  masalah matematika  karena  penyelesaian  yang benar  tidak  diketahui  oleh  siswa sehingga  ini  merupakan  masalah  bagi mereka. Untuk  mendeskripsikan proses conjecturing dalam pemecahan masalah generalisasi  pola  lembar  jawaban  siswa dikumpulkan,  selanjutnya  diwawancara dan  dianalisis  satu  persatu  untuk melihat proses berpikirnya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Proses conjecturing yang dilakukan  oleh  siswa  dalam  pemecahan masalah generalisasi pola tentang “Tentukan  banyaknya  diagonal  dari segitiga beraturan?”  menunjukkan adanya  perbedaan  antara  subjek  yang satu  dengan  subjek  yang  lainnya. Perbedaan  proses conjecturing ini terjadi  karena  faktor  pengetahuan  awal dan pengelaman mereka sebelumnya.
Berdasarkan  hasil    wawancara dan  analisis  lembar  jawaban  siswa diperoleh  gambaran  tentang  proses conjecturing dalam pemecahan masalah
generalisasi  pola  pada  masing-masing siswa:

## Hasil kerja S1 dalam mengamati kasus
Hasil  wawancara  yang  dilakukan  pada subjek  S1  menunjukkan  bahwa  S1 tidak  memahami  maksud  dari  masalah yang  diberikan,  tapi  S1  mengetahui bahwa  segi  tiga  tidak  mempunyai diagonal  dan  segi  empat  memiliki  dua diagonal. Subjek S1 tidak bisa melanjutkan  pada  tahapan  selanjutnya, karena  tidak  memahami  maksud  dari masalah.
Hasil kerja S2 dalam merumuskan conjecture Hasil wawancara yang dilakukan pada subjek S2 menunjukkan bahwa  S2  mulai  dengan  mengamati kasus  dan  langsung  mencari  dan memprediksi pola tetapi karena mengalami  kebingungan  S2  kembali mengorganisir kasus dengan menggambar segi tiga dengan diagonalnya nol, segi empat
diagonalnya  dua,  segi  lima  diagonalnya 5,  segi  enam  diagonalnya  9,  segi  tujuh diagonalnya  14  seperti  yang  terlihat pada  gambar  1.  Tahap  selanjutnya  S2
merumuskan conjecture bahwa  rumus ke    adalah Dan  melakukan validasi  dengan  mensubstitusi  segi empat  ( ke hasilnya  sesuai  dengan  banyaknya diagonal  pada  segi  empat.  Selanjutnya S2  membuat  generalisasinya  dengan meyakini  bahwa adalah benar. Peneliti bertanya apakah berlaku  untuk  segi-segi
beraturan lainnya, S2 menjawab iya pak tapi  saat  S2  mencoba  dengan  segi  5 diaganol  yang  di  dapat  3  tidak  sesuai dengan  tahapan  mengorganisir  kasus yaitu segilima diagonalnya lima.
Hasil kerja S3 dalam merumuskan conjecture
Wawancara yang dilakukan pada subjek S3 menunjukkan bahwa S3 mengamati  kasus  dengan  menjawab pertanyaan  masalah  ini  mencari  rumus untuk menentukan jumlah diagonal segi beraturan  ini  terkait  pola  bilangan, dengan  pengetahuannya  tentang  segi beraturan  dan  diagonal  selanjutnya  S3 mencari  dan  memprediksi  pola  dengan menggambar  menggambar  segi  tiga diagonalnya nol, segi empat
diagonalnya  dua,  segi  lima  diagonalnya 5,  segi  enam  diagonalnya  9  dan mengurutkan  segi  beraturan  dengan jumlah  diagonalnya  dan  mengetahui diagonal  segi  tujuh  dan  segi  delapan tanpa  menggambar.  Subjek  S3.  Pada tahap selanjutnya S3 telah merumuskan conjecture bahwa  jumlah  diagonal  dari
segi  n  beraturan  adalah dengan  unsur  keraguan.  Pada  tahap memvalidasi conjecture S3 menggambar  lagi  segi  tujuh  untuk memastikan bahwa segi tujuh diagonalnya 14 ternyata benar.
Kemudian  S3  menggeneralisasi  dengan adanya  perubahan  keyakinan  bahwa  S3 meyakini  bahwa conjecturenya benar. Dalam  membenarkan conjecture S3 memberikan  contoh  tambahan  dengan mensubstitusi  segi  enam  pada  rumus yang  telah  ditemukan  dan  hasilnya benar  dengan  maksud  meyakinkan peneliti bahwa conjecturenya benar.

## Hasil kerja S4 dalam Mengamati kasus dan Mengorganisir kasus
Hasil wawancara yang dilakukan pada subjek S4 menunjukkan bahwa  subjek  S4  mengamati  kasus dengan menggambar dua segi beraturan,  dan  melanjutkan  ke  tahap mengorganisir kasus dengan
mengurutkan  segi    beraturan  dengan jumlah  diagonalnya,  subjek  S4  telah menggambar  diagonal  sampai  dengan segi  delapan  beraturan,  tapi  subjek  S4 tidak  mencari  dan  menemukan  polanya sehingga tidak dapat melanjutkan ketahapan berikutnya.
Hasil kerja S5 dalam merumuskan conjecture Hasil wawancara yang dilakukan pada subjek S5 menunjukkan bahwa  S5  mulai  dengan  mengamati kasus  dan  langsung  mencari  dan memprediksi  pola  dengan  menggambar segi  tiga  dengan  diagonalnya  nol,  segi empat  diagonalnya  dua,  segi  lima diagonalnya  5,  segi  enam  diagonalnya 9,  Tahap  selanjutnya  S2  mencoba merumuskan conjecture bahwa  jumlah dari  diagonal  segi  n  rumusnya  adalah dan  langsung  divalidasi  tapi dugaannya  salah.  Subjek  S2  tidak melanjutkan  ke  tahapan  berikutnya karena  kesulitan  dalam  merumuskan dugaannya  walaupun  subjek  sudah menemukan pola bilangannya.

## Hasil kerja S6 dalam mengamati kasus
Hasil  wawancara  yang  dilakukan  pada subjek  S6  menunjukkan  bahwa  S6 tidak  memahami  maksud  dari  masalah yang  diberikan.  S6  hanya  menggambar segi empat dan tidak memahami tentang diagonal. Subjek S6 tidak bisa
melanjutkan ketahapan selanjutnya, karena  tidak  memahami  maksud  dari masalah.
Dari uraian hasil wawancara dan analisis lembar jawaban  masing-masing
siswa dapat digambarkan proses pelaksanaan tahapan conjecturing dalam  pemecahan  masalah  generalisasi pola  seperti  yang  terlihat  pada  diagram 1. Gambaran proses tersebut menunjukkan  cara  berpikirnya  siswa dalam menyelesaikan masalah generalisasi  pola  berdasarkan  tahapan proses conjecturing tipe induksi empiris dari  sejumlah  berhingga  kasus  diskrit atau melalui penalaran induktif.
Ta h a p a n Pro se s
Co n jec tu rin g
Membenarkan Generalisasi Generalisasi Conjecture Memvalidasi Conjecture Merumuskan Conjecture Mencari dan Memprediksi pola
Mengorganisir kasus Mengamati kasus S1         S2 S3 S4 S5 S6 Subjek Diagram 1. Proses pelaksanaan tahapan proses conjecturing dalam pemecahan masalah generalisasi pola
berdasarkan  diagram  1  dapat dilihat bahwa dalam proses conjecturing tidak semua tahapan terjadi seperti yang dilakukan  oleh  subjek  S3  dan  S5. Subjek tersebut tidak melakukan tahapan  mengorganisir  kasus.  Proses conjecturing tidak  hanya  terjadi  secara
linear seperti  yang  terjadi  pada  S3  dan S5, tapi proses conjecturing juga terjadi secara zigzag seperti  yang  dilakukan oleh  S2.  Subjek  S1  dan  S6  tidak melanjutkan ke tahap berikutnya karena subjek tersebut tidak memahami masalah yang diberikan. KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan,
dapat diperoleh kesimpulan  bahwa  1)  tidak  semua tahapan  proses conjecturing dilakukan,
2)  proses  conjecturing  terjadi  secara linear dan zigzag dan  3)  memahami masalah  merupakan  titik  awal  untuk pemecahan masalah generalisasi pola.

## DAFTAR RUJUKAN
Barbosa,  A.  2011.  Patterning  problems: sixth  graders’  ability  to  generalize.
Proceedings of the CERME 7 International Conference Canada,  M.C.,  &  Martinez,  E,  C.  2005.  A proposal of categorisation for Analysing inductive reasoning Solving. Proceedings of the CERME 4
International Conference (pp. 41-409) . Sant Feliu de Guíxols, Spain. Cañadas,  M.C.,  Deulofeu,  J.  Figueiras,  L., Reid,  D.,  &  Yevdokimov,  O.  2007: The  Dugaan  Process:  Perspectives  in Theory  and  Implications  in  Practice:
Journal  Of  Teaching  And  Learning , 2007, VOL. 5, NO.1 Dindyal,  J.  2007.  High  School  Students’ Use  of  Patterns  and  Generalisations. Proceedings  of  the  Fifth  Congress  of the  European  Society  for  Research  in Mathematics  Education ,  2007,  pp.
844-851
Harverty  ,  L.  A.,  Koedinger,  K.  R.,  Klahr, D.,  &  Alibali,  M.  W.  (2000).  Solving inductive reasoning problems in mathematics:  No-so-trivial  pursuit. Cognitive Science Vol 24 Klauer,  K.  J.,  &  Phye,  G.  D.  (2008). Inductive reasoning: A training approach.  Review  of  Educational Research, 78, 85 – 123 Küchemann,  D.  2010.  Using  patterns generically to see structure. Pedagogies:  An  International  Journal
V ol.  5,  No.  3,  July–September  2010,
233–250
Lee,  K.H.,  &  Sriraman,  B.  2010.  Dugaan via  reconceived  classical  analogy: Educational  Studies  in  Mathematic ,
DOI 10.1007/s10649-010-9274-1
Lin,  P.J.,  &  Tsai,  W.H.  2013.  A  Task
Design for Dugaan in PrimaryClassroom Contexts.
Proceedings  of  ICMI  Study  22 (Vol. 1) . Oxford Martha,  G.  &  Alma,  B.  2011.  Using Multiple  Representations  to  Make  and Verify  Dugaan . US-China  Education Review  B  3  (2011)  430-437  Earlier title:  US-China  Education  Review, ISSN 1548-6613 Dafid  publishing .
Nasional Council of Teacher of Mathematics.  2000. Principles  and standards  for  school  mathematics. Reston, VA: NCTM.
Reid, D.A., & Scotia, N. 2002. Conjectures and Refutations in Grade 5 Mathematics .  Journal  of  Research Mathematics  and  Education ,  Vol.  33, No.1.5-29 Stacey,  Burton,  & Mason. 2010. Thingking Mathematically Second Edition . Pearson Education Limited. Sutarto,  dkk.  2014.  Identifikasi  kesulitan siswa  dalam  membangun conjecturing pada  pemecahan  masalah  matematika. Preceding Seminar Nasional Pendidikan  UTY  ISBN  978-979-1334- 33-4 Sutarto,  dkk.  2014.  Peran conjecturing dalam pembelajaran matematika. Preceding Seminar Nasional matematika dan Pendidikan Matematika USD. Yeo,  J.B.W.,  & Y eap,  B.H.  2010. Characterising the Cognitive Processes Mathematical Investigation . International  Journal  for  Mathematics Teaching  and  Learning. ISSN  1473  – 0111.  Articles  published to  date  5  Oct 2010. Yevdokimov , S. 2005. About A Constructivist Approach For Stimulating  Students’  Thinking  To Produce Dugaan And Their Proving In Active Learning Of Geometry. Proceedings of the CERME 4 International  Conference (pp.  469-
480). Sant Feliu de Guíxols, Spain