Desain Kendali Model Prediktif Kokoh pada Sistem Linier Interkoneksi The Robust Model Predictive Control Design for Linear Interconnected Systems
Nida Nur Afifah, Solikhatun *)
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada *E-mail: solikhatun@ugm.ac.id

## ABSTRACT
In  this  paper,  we  discuss  the  design  of  robust  model  predictive  control  for  linear  interconnected systems by several constraints. The linear interconnected system is a complex system that consists of several subsystems and the subsystem dynamic is influenced by the states or outputs of the other subsystems. The systems are controlled by formulating and applying the model predictive control on  each  subsystem.  We  formulate  the  optimization  problem  that  minimizes  the  cost  function  for each subsystem. The optimization problem is solved by  the gradient method to get the minimum cost function. Numerical simulation was conducted to show the effectiveness and performance of robust  model  predictive  control.  Based  on  the  results  of  the  numerical  simulation  and  test  of  the robustness, it can be shown that the robust model predictive control is effective to control the linear interconnected systems.
Keywords: Complex systems, model predictive control (MPC), robustness, cost function, gradient.

## PENDAHULUAN
Pada  era  Revolusi  Industri  4.0  telah  terjadi banyak kemajuan yang signifikan dalam segala bidang terutama bidang teknologi dan industri. Di  dalam  proses  teknologi  dan  industri  dapat dimodelkan  menjadi  sistem  kompleks  yang disusun  oleh  komponen-komponen  penting yang terdiri dari beberapa subsistem yang saling terkoneksi satu dengan yang lainnya. Hubungan antar subsistem disebut sebagai sistem interkoneksi.  Beberapa  contoh  aplikasi  dari sistem  interkoneksi  yaitu  pada  sistem  power, sistem  komunikasi,  sistem  transportasi,  dan proses  manufaktur.  Oleh  karena  itu,  sistem interkoneksi
merupakan
salah satu permasalahan  yang  penting  untuk  dipelajari. Seiring perkembangan zaman, sistem interkoneksi  menjadi  kajian  penelitian  yang terus  dikembangkan  (Narayanan et  al .  2018). Salah satu yang menjadi kajian penelitian pada bidang  ini  yaitu  kendali  dan  kestabilan  pada sistem interkoneksi.
Pada  penelitian  terkait  sistem  interkoneksi, telah  banyak  dikembangkan  berbagai  metode kendali untuk menstabilkan sistem interkoneksi. Pada  paper  ini  dikaji  tentang  bagaimana mendesain kendali model prediktif kokoh pada sistem  linier  interkoneksi.  Sistem  linier interkoneksi  merupakan sistem kompleks  yang terdiri  dari  beberapa  subsistem  yang  saling
terkoneksi satu sama yang lain. Keberadaan dari interkoneksi  diantara  sub-subsistem  akan membuat  sistem  menjadi  tidak  stabil.  Pada kendali  model  prediktif  dilakukan  prediksi keluaran  yang  akan  datang  sepanjang  horison prediksi menggunakan model matematika.
Kendali  model  prediktif  bekerja  dengan mengoptimalkan  fungsi  biaya.  Kendali  model prediktif  merupakan  salah  satu  kendali  yang populer dan strategis. Kajian dari kendali model prediktif dapat dilihat pada (Maciejowski, 2000 &  Camacho,  2007).    Kelebihan  dari  metode kendali  model  prediktif  (KMP)  dibandingkan dengan metode yang lain adalah KMP memiliki konsep  yang  intuitif  dan  penyetelannya  relatif mudah di pelajari. KMP dapat digunakan untuk mengendalikan  berbagai  proses  dari  yang sederhana sampai yang kompleks karena mudah diterapkan.  KMP  terdiri  dari  dua  kasus  yaitu KMP berkendala dan KMP tanpa kendala.  Pada umumnya  KMP  dirumuskan  dalam  masalah optimisasi  yang  berupa  fungsi  kuadratik  yang dibahas  oleh  Anton  &  Rorres  (2013);  Bazaraa (2016).  Selain itu, kendala pada masalah desain kendali dapat ditangani dan dirumuskan dengan sederhana selama proses desain secara sistematis.  Metode  KMP  sangat  berguna terutama saat referensi masa depannya diketahui.  Salah  satu  penerapannya  yaitu  pada robotik.
Gambar 1. Sistem interkoneksi
Diberikan  sistem  linier  interkoneksi  yang terdiri dari N subsistem yang diilustrasikan pada Gambar  1.  Misalkan 𝑦 𝑖 𝑑 (𝑘) melambangkan keluaran  referensi  dari  subsistem  ke- i saat k , 𝑦 𝑖 (𝑘) melambangkan  keluaran  subsistem  ke- i saat k , 𝑢 𝑖 (𝑘) melambangkan masukan subsistem ke- i saat k dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑁, 𝑘 = 0,1,2, … Misalkan masukan, keluaran, prediksi keluaran dan  keluaran  referensi  pada  masing-masing subsistem  bernilai  skalar.  Masalah  KMP diselesaikan  dengan  meminimumkan  fungsi biaya  (1)  pada  setiap  subsistem.  Fungsi  biaya dirumuskan sebagai berikut:
𝐽 𝑖 (𝑘) = ∑ (𝑦̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘)−𝑦 𝑖 𝑑 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘)) 2 ℎ𝑝 𝑖 𝑘𝑗=ℎ𝑤 𝑖 + 𝜆 𝑖 ∑ (Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘)) 2 ℎ𝑐 𝑖 −1 𝑘𝑗=0 (1)
dengan
ℎ 𝑤 𝑖 adalah horizon awal dari subsistem ke- i , ℎ 𝑝 𝑖 adalah horizon prediksi dari subsistem ke- i , ℎ 𝑐 𝑖 adalah horizon kendali dari subsistem ke- i , 𝜆 𝑖 adalah pembobot dari subsistem ke- i , Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) adalah  masukan  dari  subsistem ke- i ketika 𝑘 + 𝑘 𝑗 diketahui saat k , 𝑦̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) adalah keluaran dari subsistem ke- i ketika 𝑘 + 𝑘 𝑗 diketahui saat k , 𝑦 𝑖 𝑑 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) adalah  keluaran  referensi  dari subsistem ke- i ketika 𝑘 + 𝑘 𝑗 diketahui saat k. Diberikan sistem diskrit dalam bentuk ruang keadaan  yang disajikan oleh  Dalhaomi (2016), Ogata  (1995),  Buchevats  &  Gruyitch  (2022) dari  subsistem  ke- i , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 sebagai berikut:
𝑆 𝑖 : { 𝑥 𝑖 (𝑘 + 1) = 𝐴 𝑖 𝑥 𝑖 (𝑘) + 𝐵 𝑖 𝑢 𝑖 (𝑘) + 𝑝 𝑖 (𝑘) 𝑦 𝑖 (𝑘) = 𝐶 𝑖 𝑥 𝑖 (𝑘) (2)
dengan 𝑥 𝑖 (𝑘) adalah keadaan subsistem i saat 𝑘 , 𝑢 𝑖 (𝑘) adalah masukan subsistem i saat 𝑘 , 𝑦 𝑖 (𝑘) adalah keluaran subsistem i saat 𝑘 ,
𝑝 𝑖 (𝑘) = ∑ 𝐴 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 (𝑘), 𝑁 𝑗=1,𝑖≠𝑗 𝐴 𝑖 , 𝐵 𝑖 , 𝐴 𝑖𝑗 dan 𝐶 𝑖 adalah matriks-matriks dengan ukuran  sesuai.  Dibentuk  sistem  linier  diskrit dalam  bentuk  ruang  keadaan  linier  waktu invarian  yang  terdiri  dari  N  subsistem  sebagai berikut:
𝑆: { 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) (3)
dengan,
𝑥(𝑘) = [ 𝑥 1 (𝑘) 𝑥 2 (𝑘) ⋮ 𝑥 𝑁 (𝑘) ] , 𝑢(𝑘) = [ 𝑢 1 (𝑘) 𝑢 2 (𝑘) ⋮ 𝑢 𝑁 (𝑘) ] , 𝐴 = [ 𝐴 11 𝐴 12 𝐴 21 𝐴 22 ⋯ 𝐴 1𝑁 ⋯ 𝐴 2𝑁 ⋮ ⋮
𝐴 𝑁1 𝐴 𝑁2 ⋱ ⋮ ⋯ 𝐴 𝑁𝑁 ] ,
𝐵 = [ 𝐵 11 0 0 𝐵 22 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 𝐵 𝑁𝑁 ] ,
𝐶 = [ 𝐶 11 0 0 𝐶 22 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 𝐶 𝑁𝑁 ], dan 𝐴 𝑖𝑖 = 𝐴 𝑖 , 𝐵 𝑖𝑖 = 𝐵 𝑖 , 𝐶 𝑖𝑖 = 𝐶 𝑖 , seperti pada Persamaan (2) untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 . Sistem  linier  interkoneksi  (3)  dilambangkan dengan 𝑆 merupakan  gabungan  dari  sejumlah berhingga  subsistem 𝑆 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 .  Dengan kata  lain,  sistem  linier  interkoneksi  dapat disajikan sebagai
𝑆 = ⋃ 𝑆 𝑖 𝑁 𝑖=1 . (4)
Adapun  tujuan  dari  penelitian  ini  adalah mendesain  KMP 𝑢 yang  kokoh  terhadap gangguan  untuk  sistem  linier  interkoneksi  (3) yang  membawa  setiap  keluaran  subsistem sesuai  dengan  setiap  keluaran  referensi subsistem yang diberikan.

## METODE
Pada penelitian ini dilakukan kajian literatur tentang sistem  linier  interkoneksi  yang  merupakan  sistem kompleks yang terdiri dari beberapa subsistem yang terkoneksi satu dengan yang lain. Kemudian memilih metode  untuk  desain  kendali  yang  sesuai.  Karena sistem  linier  interkoneksi  terdapat  gangguan  pada sejumlah  berhingga  langkah  waktu  maka  diambil
kendali  model  prediktif  (KMP)  kokoh  yang  mana desain  KMP  tetap  mampu  mengendalikan  sistem linier  interkoneksi  dengan  gangguan  yang  terbatas. Berikut langkah-langkah untuk desain KMP:
1. Menentukan fungsi biaya yang akan dioptimalkan.  Parameter  penting  yang  harus diketahui adalah keluaran referensi untuk masing- masing  subsistem  berdasarkan  informasi  atau fenomena sistem.
2. Merumuskan  prediksi  keadaan  dan  prediksi keluaran  sistem  berdasarkan  keadaan  awal  pada masing-masing subsistem.
3. Merumuskan KMP dengan menggunakan metode gradien.
4. Melakukan  simulasi  untuk  melihat  apakah prediksi  keluaran  telah  mengikuti  keluaran referensi atau belum.
5. Menguji  kekokohan  dari  KMP  yang  diperoleh dengan memberikan sejumlah berhingga gangguan pada bagian interkoneksi.
6. Menganalisis hasil uji kekokohan KMP.
7. Membuat kesimpulan .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  ditentukan  prediksi keadaan  dan  prediksi  keluaran  Sistem  (3). Diberikan  nilai  keadaan 𝑥 𝑖 (𝑘) yang  dihitung berdasarkan  nilai  keadaan  dan  nilai  masukan sebelumnya  yaitu 𝑥 𝑖 (𝑘 − 1) dan 𝑢 𝑖 (𝑘 − 1) sehingga diperoleh prediksi keadaan yaitu:
𝑥̂ 𝑖 (𝑘|𝑘) = 𝑥 𝑖 (𝑘)
untuk setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 . Oleh karena itu prediksi pada interkoneksi diperoleh
𝑝̂ 𝑖 (𝑘|𝑘) = 𝑝 𝑖 (𝑘)
Prediksi keadaan dari subsistem- i sepanjang langkah waktu 𝑘 𝑗 = 1,2, … , ℎ 𝑝 𝑖 yaitu:
𝑥̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) = 𝐴 𝑖 𝑘𝑗 𝑥 𝑖 (𝑘) + ∑ 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 − 𝑚 − 1|𝑘) 𝑘𝑗−1 𝑚=0 + ∑ 𝐴 𝑖 𝑚 𝑝̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 − 𝑚 − 1|𝑘).
𝑘𝑗−1 𝑚=0
Oleh  karena  itu,  akan  terdapat  dua  kasus yaitu
1. Jika 𝑘 𝑗 < ℎ 𝑐 𝑖 maka
𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) = ∑ Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 − 𝑚|𝑘) 𝑘𝑗 𝑚=0 + 𝑢 𝑖 (𝑘 − 1) (5)
2. Jika 𝑘 𝑗 ≥ ℎ 𝑐 𝑖 maka
𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + ℎ 𝑐 𝑖 − 1|𝑘) = 𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + ℎ 𝑐 𝑖 |𝑘) = 𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + ℎ 𝑐 𝑖 + 1|𝑘)
= ⋯ = 𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + ℎ 𝑝 𝑖 |𝑘).
(6)
Jika  Persamaan  (5)  dan  (6)  disubstitusikan ke Persamaan (4) maka diperoleh
𝑥̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) = 𝐴 𝑖 𝑘𝑗 𝑥 𝑖 (𝑘) + ∑ 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ( ∑ Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 − 𝑚|𝑘) 𝑘𝑗 𝑚=0 𝑘𝑗−1 𝑚=0 + 𝑢 𝑖 (𝑘 − 1)) + ∑ 𝐴 𝑖 𝑚 𝑝̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 − 𝑚 − 1|𝑘).
𝑘𝑗−1
𝑚=0 (7)
Dari  Persamaan  (7)    diperoleh  prediksi keluaran yaitu
𝑦̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) = 𝐶 𝑖 𝑥̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 |𝑘) = 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑘𝑗 𝑥 𝑖 (𝑘) + ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ( ∑ Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 𝑘𝑗 𝑚=0 𝑘𝑗−1 𝑚=0 − 𝑚|𝑘) + 𝑢 𝑖 (𝑘 − 1)) +
∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝑝̂ 𝑖 (𝑘 + 𝑘 𝑗 − 𝑚 − 1|𝑘).
𝑘𝑗−1 𝑚=0 (8)
Persamaan (8) dapat disajikan dalam bentuk matriks sepanjang langkah waktu 𝑘 𝑗 = 1,2, … , ℎ 𝑝 𝑖 , sebagai berikut:
𝑌̂ 𝑖 = 𝜓 𝑖 𝑥 𝑖 (𝑘) + Υ 𝑖 Δ𝑈 𝑖 (𝑘) + Ω 𝑖 𝑢 𝑖 (𝑘 − 1) +𝜑 𝑖 𝑃 𝑖 , (9)
dengan 𝑌̂ 𝑖 =
[ 𝑦̂ 𝑖 (𝑘 + 1|𝑘) 𝑦̂ 𝑖 (𝑘 + 2|𝑘) ⋮ 𝑦̂ 𝑖 (𝑘 + ℎ 𝑝 𝑖 |𝑘)] , 𝜓 𝑖 = [ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 2 ⋮ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 −1 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 ⋮ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 ℎ𝑝 𝑖 ] , Δ𝑈 𝑖 (𝑘) =
[ Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘|𝑘) Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + 1|𝑘) ⋮ Δ𝑢̂ 𝑖 (𝑘 + ℎ 𝑐 𝑖 − 1|𝑘)] ,
Υ 𝑖 =
[ 𝐶 𝑖 𝐵 𝑖 0 𝐶 𝑖 (𝐴 𝑖 𝐵 𝑖 + 𝐵 𝑖 ) 𝐶 𝑖 𝐵 𝑖 ⋮ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ ⋱ 0 ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 −2 𝑚=0 ⋯ ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 −1 𝑚=0 ⋯ ⋮ ⋮
𝐶 𝑖 𝐵 𝑖 0 ⋯ 𝐶 𝑖 𝐵 𝑖 ⋮ ⋮ ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑝 𝑖 −1 𝑚=0 ⋯ ⋯ ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 −2 𝑚=0 ] Ω 𝑖 =
[ 𝐶 𝑖 𝐵 𝑖 𝐶 𝑖 (𝐴 𝑖 𝐵 𝑖 + 𝐵 𝑖 ) ⋮ ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 −2 𝑚=0 ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑐 𝑖 −1 𝑚=0 ⋮ ∑ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 𝑚 𝐵 𝑖 ℎ𝑝 𝑖 −1 𝑚=0 ] , 𝑃 𝑖 = [ 𝑝̂ 𝑖 (𝑘|𝑘) 𝑝̂ 𝑖 (𝑘 + 1|𝑘) ⋮ 𝑝̂ 𝑖 (ℎ 𝑝 𝑖 − 1|𝑘)] ,
𝜑 𝑖 = [ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 0 0 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 2 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 ℎ𝑝 𝑖 −1 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 ℎ𝑝 𝑖 −2 ⋱ ⋮ ⋯ 𝐶 𝑖 𝐴 𝑖 0 ] .
.
Fungsi  biaya  (1)  dapat  disajikan  dalam bentuk kuadratik
‖𝑋‖ Λ 2 = 𝑋 𝑇 Λ𝑋 sebagai berikut:
𝐽 𝑖 (𝑘) = ‖𝑌̂ 𝑖 − 𝑌 𝑖 𝑑 ‖ 𝑄𝑖 2 + ‖Δ𝑈 𝑖 (𝑘)‖ 𝑅𝑖 2 , (10)
dengan matriks pembobot 𝑄 𝑖 dan 𝑅 𝑖 simetri dan  definit  positif  dari  subsistem  ke- i dengan ukuran  yang  sesuai  dan 𝑌 𝑖 𝑑 adalah  vektor keluaran referensi
yang diharapkan.
Didedinisikan  eror  pelacakan  ( tracking  error ) yaitu  selisih  antara  pelacakan  referensi  dan prediksi  keluaran  ketika  respon  bebas  yaitu Δ𝑈 𝑖 (𝑘) = 0 .  Eror  pelacakan  dilambangkan dengan Γ 𝑖 dapat  disajikan  dengan  persamaan berikut:
Γ 𝑖 = 𝑌 𝑖 𝑑 − 𝜓 𝑖 𝑥 𝑖 (𝑘) − Ω 𝑖 𝑢 𝑖 (𝑘 − 1) − 𝜑 𝑖 𝑃 𝑖 . (11)
Persamaan  (9)  dan  (11)  disubstitusikan  ke Persamaan (10), maka akan diperoleh:
𝐽 𝑖 (𝑘) = ‖Υ 𝑖 Δ𝑈 𝑖 (𝑘) − Γ 𝑖 ‖ 𝑄𝑖 2 + ‖Δ𝑈 𝑖 (𝑘)‖ 𝑅𝑖 2 (12)
sehingga 𝐽 𝑖 (𝑘) = Δ𝑈 𝑖 (𝑘) 𝑇 Φ 𝑖 Δ𝑈 𝑖 (𝑘)−Δ𝑈 𝑖 (𝑘) 𝑇 Ψ 𝑖 + 𝜎 𝑖 (13)
dengan
𝜎 𝑖 = Γ 𝑖 𝑇 𝑄 𝑖 Γ 𝑖 , Ψ 𝑖 = 2Υ 𝑖 𝑇 𝑄 𝑖 Γ 𝑖 , dan Φ 𝑖 = 2Υ 𝑖 𝑇 𝑄 𝑖 Υ 𝑖 + 𝑅 𝑖 .
Selanjutnya,  KMP  pada  sistem  linier interkoneksi akan diperoleh dengan
meminimumkan Persamaan (10). Nilai optimal Δ𝑈 𝑖 (𝑘) diperoleh  dengan  mencari  titik  kritis dari  Persamaan  (10)  dan  menguji  minimalnya dengan  turunan  keduanya.    Gradien  dari Persamaan (13) terhadap Δ𝑈 𝑖 (𝑘) dan disamakan dengan nol maka diperoleh
𝜕𝐽𝑖(𝑘) 𝜕Δ𝑈𝑖(𝑘) = 0 ⇔ Δ𝑈 𝑖 (𝑘) = 1 2 Φ 𝑖 −1 Ψ 𝑖
Karena 𝜕2𝐽𝑖(𝑘) 𝜕2Δ𝑈𝑖(𝑘) = 2Φ 𝑖 dengan Φ 𝑖 matriks definit positif maka Δ𝑈 𝑖 (𝑘) = 1 2 Φ 𝑖 −1 Ψ 𝑖 merupakan peminimal Persamaan (10). Diambil
Δ𝑈 𝑖 (𝑘) = [1 0 … 0]Δ𝑈 𝑖 (𝑘)
Dengan kata lain
u 𝑖 (𝑘) = Δ𝑈 𝑖 (𝑘) + u 𝑖 (𝑘 − 1)
Contoh  1.  (Dalhaomi,  2016)  Diberikan sistem  linier  interkoneksi  yang  terdiri  dari  dua subsistem sebagai berikut:
𝐴 1 = 10 −2 [ 52 2.8 0 0 77.2 0.2 0 0 4.07 ] ,
𝐴 12 = 10 −2 [ 0.7 0 0 0 0 20
5 0 0 ] ,
𝐴 21 = 10 −2 [ 0 0 0 2 0 2 0 0 2 ],
𝐴 2 = 10 −2 [ 10.7 0 0 0 21 3.4 2 0 50 ] , 𝐵 1 = [ 0 0.001 0.787 ] , 𝐵 2 = [ 0.787 0 0.001 ],
dan
𝐶 1 = 𝐶 2 = [1 1 0]
Berdasarkan  pada  bentuk  ruang  keadaan pada    Persamaan  (3),  maka  sistem  linier interkoneksi dapat disajikan matriks 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 sebagai berikut:
𝐴 = 10 −2
[ 52 2.8 0 0 77.2 0.2 0 0 4.07 0.7 0 0 0 0 20 5 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 2 10.7 0 0 0 21 3.4 2 0 50 ]
𝐵 =
[
0 0 0.001 0 0.787 0 0 0.787 0 0 0 0.001] dan 𝐶 = [ 1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 ]. Selanjutnya,
diambil keadaan awal
𝑥(0) = [𝑥 1 (0), 𝑥 2 (0)] 𝑇 = [0,0] 𝑇 .
Misalkan  horison  kendali  dan  horison prediksi di setiap subsistem adalah ℎ 𝑝 1 = ℎ 𝑝 2 = 3 dan ℎ 𝑐 1 = ℎ 𝑐 2 = 3 dengan  matriks  pembobot untuk keadaan dan masukan sebagai berikut:
𝑄 1 = 𝑄 2 = [ 20 0 0
0 20 0
0 0 20 ]
dan
𝑅 1 = 𝑅 2 = [ 0.1 0 0 0 0.1 0
0
0 0.1 ]. Diketahui keluaran referensi untuk
subsistem  pertama 𝑦 1 𝑑 dan  keluaran  referensi untuk subsistem ke dua 𝑦 2 𝑑 disajikan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1.  Keluaran referensi  untuk  Subsistem 1 dan Subsistem 2
𝑘 𝑦 1 𝑑 𝑦 2 𝑑 0-100 0.4 0.4 101-200 0.2 0.2 201-300 0.5 0.5 301-400 0.7 0.7 401-500 0.5 0.4
Adapun  keluaran  prediksi  dan  keluaran referensi  dengan  KMP  untuk  masing-masing subsistem disajikan pada Gambar 2.
(a)
(b) (c)
(d)
Gambar  2.  (a)  Trayektori  kendali  prediktif yang  berasosiasi  dengan  subsistem  pertama 𝑢 1 (𝑘) . (b) Trayektori keluaran 𝑦 1 (𝑘) (      ) dan keluaran  referensi 𝑦 1 𝑑 (𝑘) (---)  dari  subsistem pertama. (c) Trayektori  kendali  prediktif  yang  berasosiasi dengan subsistem ke-dua 𝑢 2 (𝑘) . (d) Trayektori keluaran 𝑦 2 (𝑘) (        )  dan  keluaran  referensi 𝑦 2 𝑑 (𝑘) (---) dari subsistem ke-dua. Berdasarkan pada Gambar 2, dari hasil-hasil simulasi  numerik  dapat  dilihat  bahwa  terdapat perbedaan  antara  nilai  keluaran  dan  keluaran referensi  dari  masing-masing  subsistem  pada permulaan  interval  waktu  langkah    kendali.
Kemudian  dalam  waktu  yang  relatif  singkat, keluaran  dari  subsistem  mengikuti  keluaran referensi yang diberikan.
Kemudian  akan  diselidiki  kekokohan  dari KMP  yang  telah  didesain  dengan  memvariasi pada matriks interkoneksi 𝐴 12 dan 𝐴 21 . Setelah dilakukan percobaan untuk menguji kekokohan KMP  diperoleh  bahwa  variasi    sebesar  15  % pada  submatriks 𝐴 12 dan 𝐴 21 ketika 𝑘 = 50, 150, 250, 320 dan 𝑘 = 430 KMP  masih dapat  bekerja  dengan  baik.  Pada  awalnya terdapat  perbedaan  yang  signifikan  akibat gangguan  antara  keluaran  sistem  dan  keluaran referensi  seperti  ditunjukkan  pada  Gambar  3b dan  3d.  Kemudian  dalam  waktu  yang  relatif singkat  keluaran  sistem  akan  mendekati keluaran referensi. Matriks interkoneksi 𝐴 12 dan 𝐴 21 menjadi  salah  satu  sumber  utama  KMP menjadi  tidak  kokoh  karena  matriks  ini merepresentasikan hubungan interkoneksi suatu subsistem dengan subsistem lain. Keluaran dari suatu subsistem dipengaruhi oleh keadaan atau masukan  dari  subsistem  yang  lain.  Adapun grafik  dari  masukan  dan  keluaran  subsistem pertama dan subsistem ke-dua dengan gangguan pada interkoneksi disajikan pada Gambar 3.
(a)
(b)
(c) (d)
Gambar  3.  (a)  Trayektori  kendali  prediktif yang  berasosiasi  dengan  subsistem  pertama 𝑢 1 (𝑘) . (b) Trayektori keluaran 𝑦 1 (𝑘) (      ) dan keluaran  referensi 𝑦 1 𝑑 (𝑘) (---)  dari  subsistem pertama. (c) Trayektori kendali prediktif yang berasosiasi dengan subsistem ke-dua 𝑢 2 (𝑘) . (d) Trayektori  keluaran 𝑦 2 (𝑘) (        )  dan  keluaran referensi 𝑦 2 𝑑 (𝑘) (---) dari subsistem ke-dua .

## KESIMPULAN
Dalam  paper  ini  telah  dirumuskan  dan disajikan  pendekatan  baru  untuk  mendesain kendali  pada  sistem  linier  interkoneksi.  Pada awalnya  sistem  linier  interkoneksi  disajikan dalan suatu blok dan dianalisa secara langsung tanpa  dekomposisi.  Kemudian  sistem  linier interkoneksi  didekomposisi  menjadi  sub- subsistem  yang  terkoneksi  satu  sama  lain. Pendekatan KMP kokoh diperkenalkan dengan mendesain  KMP  kokoh  pada  masing-masing subsistem.  Untuk  setiap  subsistem  dilakukan proses optimisasi pada masing-masing subsistem  yang  terkait  dengan  subsistem tersebut dengan gangguan pada
interkoneksinya.
Pendekatan baru ini dikembangkan berdasarkan  pada  rumusan  fungsi  biaya  yang belum  melibatkan  hubungan  interkoneksi. Penelitian  selanjutnya  dapat  mengembangkan metode  kendali  yang  lain  atau  melibatkan hubungan  interkoneksi  pada  fungsi  tujuan. Untuk  membuktikan  kebenaran  dari  metode yang  diajukan,  dilakukan  simulasi  numerik. Dari  hasil-hasil  yang  diperoleh  menunjukkan bahwa  keefektifan  dari  strategi  kendali  yang telah dikembangkan karena KMP kokoh masih dapat  bekerja  dengan  baik  dengan  gangguan mencapai 15 % dari nilai parameter interkoneksi.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton H & Rorres C. 2013. Elementary Linear Algebra: Applications Version. 11th Edition. New Jersey: John Wiley and Sons.
Bazaraa MS et al . 2006. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, 3 rd
Edition. New Jersey: John Wiley and Sons. Buchevats  ZM  &  Gruyitch  LT.  2022 .  Linear Discrete-Time  Systems. Taylor  and  Francis Group. CRC Press.
Camacho  E.F.  &  Bordons  C.  2007. Model Predictive Control: Second Edition . London: Springer Verlag.
Dalhoumi et al . 2016.  Model Based Predictive Control For Linear Interconnected Systems. Proceeding of the 13th International Multi- Conference  on  Systems,  Signal,  and Devices . Maciejowski JM. 2000. Predictive Control with Constraint. USA: Prentice Hall. Narayanan et  al .  2018. Adaptive  optimal distributed control of linear interconnected systems. Prosiding IEEE Symposium series on Computational Intelligence.
Ogata  K.  1995. Discrete-Time  Control  System Second  Edition .  USA:  Prentice  Hall International.
142                                                       Desain Kendali Model …                             (Afifah, dkk)