Usulan Model Robust Newsvendor Problem Untuk Multi Produk dan

## Mempertimbangkan Permintaan Diskrit (Studi Kasus: Toko Roti X di Bandung)
Fran Setiawan  ) , Paulina Kus Ariningsih, dan Stefanie Widya
Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Katolik Parahyangan, Jalan Ciumbuleuit No 94, Bandung, 40141, Indonesia
DOI: 10.20961/performa.17.1.22506

## Abstrak
Jumlah usaha yang tidak mempunyai bangunan khusus untuk berjualan di Indonesia adalah sebanyak 18,9 juta usaha. Salah satu usaha yang tidak mempunyai bangunan khusus untuk berjualan  adalah pedagang keliling. Jumlah pedagang keliling yang cukup banyak membuat produktivitas dan daya saing usaha perlu ditingkatkan. Permasalahan yang dihadapi oleh pedagang keliling adalah menentukan jenis dan jumlah dari tiap-tiap jenis barang yang harus dibawa setiap harinya. Jika barang yang dibawa terlalu banyak dapat menimbulkan overstock yang mengakibatkan barang sisa tidak dapat dijual pada periode penjualan berikutnya. Jika barang yang dibawa terlalu sedikit dapat menimbulkan  kekurangan sehingga menimbulkan shortage yang  dapat  mengakibatkan  hilangnya  kesempatan  melakukan  penjualan  ataupun  kesempatan mendapatkan profit untuk suatu jenis barang tertentu di wilayah tertentu. Pada penelitian ini permasalahan diatas akan dimodelkan sebagai permasalahan robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit . Model ini menentukan jumlah optimal yang harus dibawa oleh pedagang keliling setiap harinya untuk setiap jenis produk yang dapat memaksimalkan ekspektasi profit dari kemungkinan terburuk yang dapat terjadi ketika hanya diketahui beberapa informasi dari distribusi permintaan. Setelah mengembangkan model, kemudian dibuat program penyelesaian model dengan menggunakan software Octave. Studi kasus yang digunakan adalah pedagang roti keliling sebuah toko roti di Bandung. Hasil dari implementasi model yang sudah dikembangkan dapat meningkatkan rata-rata ekspektasi profit yang  didapatkan  oleh  pedagang  keliling  pertama  dan  pedagang  keliling  kedua  berturut-turut  sebesar  126.77%  dan 268.3987% dari rata-rata profit yang didapatkan oleh kedua pedagang keliling saat ini.
Kata kunci : pedagang keliling, robust, multiproduct newsvendor problem, discrete demand

## Abstract
In Indonesia, the number of businesses that do not have a special building is 18.9 million business. One business that does not have a special building is a peddler. A considerable number of peddlers make the productivity and competitiveness of peddlers need to be improved. The problem faced by the peddler is to determine the type and the amount of each type of goods that must be brought each day. If the goods brought too many can cause overstocks that result in remaining goods can  not  be  sold  in  the  next  sales  period.  If  the  goods  brought  too  few  can  cause  shortages  that  can  lead  to  loss  of opportunities to make sales or profit for a particular type of goods in a particular region. In this research, this problem will be modeled as a robust multi-product newsvendor problem with discrete demand. This model determines the optimal number  that  everyday  peddler  must  bring  for  each  type  of  product  that  maximizes  the  expected  profit  from  the  worst possibility that can occur when only some information from the demand distribution is known. After developing the model, then made a model completion program using Octave software. The case study used in this research is peddler of a bakery shop in Bandung. The results of the implementation of the developed model can increase the average of expected profit obtained by the first and second peddlers by 126.77% and 268.3987% respectively of the average current profit earned by the both peddlers.
Keywords : peddler, robust, multiproduct newsvendor problem, discrete demand

## 1.   Pendahuluan
Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  telah  melakukan  sensus  ekonomi  pada  pertengahan  tahun  2016  untuk mengetahui gambaran tentang struktur ekonomi suatu negara menurut wilayah, lapangan usaha dan skala usaha. Dari sensus yang diadakan setiap 10 tahun sekali ini, tercatat jumlah usaha non-pertanian mencapai 26.7 juta usaha.  Angka  ini  meningkat  17,6  persen  atau  sebanyak  4  juta  jika  dibandingkan  jumlah  usaha  hasil  sensus ekonomi tahun 2006 sebanyak 22.7 juta usaha. Dari 26.7 juta usaha non-pertanian, tercatat sebanyak 7,8 juta usaha menempati bangunan khusus usaha, sementara 18,9 juta usaha tidak menempati bangunan khusus usaha.
Berdasarkan data diatas dapat dilihat bahwa di Indonesia banyak terdapat jenis usaha yang tidak menempati bangunan khusus usaha seperti pedagang keliling, usaha didalam rumah tempat tinggal, usaha kaki lima dan
sebagainya. Oleh karena itu, produktivitas dan daya saing usaha perlu ditingkatkan karena banyaknya jumlah pesaing pada jenis usaha tersebut. Pedagang keliling adalah pedagang yang menjajakan barang yang dijualnya menggunakan  gerobak  atau  box  dan  keliling  disuatu  wilayah  pasar  tertentu.  Contoh  pedagang  keliling  di Indonesia adalah pedagang roti keliling, pedagang sayur keliling, pedagang es krim keliling dll.
Barang  yang  dibawa  dan  dijajakan  oleh  pedagang  keliling  biasanya  terdiri  dari  berbagai  jenis  produk, misalnya  saja  pada  pedagang  roti  keliling  dimana  produk  yang  dijual  terdiri  dari  roti  cokelat,  roti  keju,  roti tawar, roti strawberry, roti nanas, roti sarikaya dll. Masalah yang umumnya dihadapi oleh penjual keliling adalah terjadinya kelebihan suatu jenis barang tertentu sehingga menimbulkan overstock ataupun kekurangan sehingga menimbulkan  shortage  yang  dapat  mengakibatkan  hilangnya  kesempatan  melakukan  penjualan  ataupun kesempatan mendapatkan profit untuk suatu jenis barang tertentu di wilayah tertentu. Misalnya saja pedagang keliling A membawa 10 buah roti cokelat ke wilayah pemasaran X dan permintaan roti cokelat diwilayah X sebanyak 12 buah. Hal ini berarti pedagang keliling A kehilangan kesempatan untuk menjual dan mendapatkan profit 2 buah roti cokelat sementara mungkin pedagang keliling B yang menjual ke wilayah pemasaran Y pada akhir masa keliling masih terdapat kelebihan persediaan roti cokelat yang tidak laku terjual.
Permasalahan  diatas  dapat dimodelkan  sebagai  permasalahan newsvendor  problem untuk  multi  produk. Menurut Choi (2012), permasalahan tukang loper koran ( newsvendor problem ) merupakan permasalahan dasar pemodelan persediaan yang bersifat stokastik. Permasalahan ini sudah banyak diteliti sejak abad ke-18 dan telah diaplikasikan  secara  luas  dalam  permasalahan  rantai  pasok  untuk  produk  yang  bersifat  umur  pendek ( perishable ).  Contoh  produk  yang  memiliki  umur  pendek  adalah  koran  yang  tidak  dapat  dijual  lagi  pada keesokan harinya, kue atau roti yang di produksi pada hari ini yang akan tidak enak lagi untuk keesokan harinya, pohon  natal  yang  hanya  akan  dibeli  orang  pada  musim  natal,  produk  fashion  yang  hanya  dapat  dijual  pada musim jualnya saja, dll. Mulai dari tahun 1950, permasalahan ini banyak diteliti dalam ranah penelitian riset operasi dan model banyak dikembangkan untuk disesuaikan dengan kasus nyata. Model paling sederhana dari permasalahan  ini  adalah  bagaimana  tukang  loper  koran  memutuskan  akan  memesan  sejumlah  berapa  koran kepada agen koran dimana permintaan koran belum diketahui secara pasti. Koran yang tidak terjual pada hari itu akan habis masa jualnya. Tukang loper koran kemudian menentukan jumlah pesanan koran yang optimal yang dapat memaksimalkan profit atau meminimasi biaya yang mungkin terjadi.
Multi-product  newsvendor  problem  adalah  permasalahan  dimana  pada  awal  suatu  periode  masa  jual, pedagang akan memutuskan berapa jumlah optimal dari masing-masing barang yang akan dibeli atau dibawa dalam suatu periode masa jual untuk memaksimalkan ekspektasi profit secara keseluruhan (Turken et al in Choi, 2012). Untuk setiap jenis produk permintaan diasumsikan permintaan bersifat stokastik berupa variabel acak dengan probability density function f i dan cumulative distribution function F i . Beberapa penelitian mengenai muti-product newsvendor problem mengarah kepada adanya batasan, misalnya batasan kapasitas atau kapasitas budget yang dimiliki. (Hadley dan Whitin, 1963; Nahmias dan Schmidt, 1984; Lau and Lau, 1996; Abdel-Malek et al, 2004; dll).
Tradisional newsvendor problem mengasumsikan bahwa parameter dari distribusi probabilitas permintaan sudah diketahui. Pemodelan robust dipilih karena dalam prakteknya sering kali sulit bagi pembuat keputusan untuk  dapat  mengetahui  karakteristik  dari  distribusi  permintaan  sehingga  akhir-akhir  ini  beberapa  peneliti menggunakan  model robust untuk  mengatasi  permasalahan  kurangnya  informasi  mengenai  distribusi permintaan. Pemodelan robust memungkinkan kita untuk menentukan jumlah pesanan optimal untuk kejadian terburuk  yang  mungkin  terjadi  ( worst  case )  ketika  hanya  tersedia  beberapa  informasi  tentang  distribusi permintaan (Yu et al, 2004). Robust newsvendor problem pertama kali diteliti oleh Scarf (1958), penelitian ini menghasilkan bentuk close-form untuk menentukan jumlah pesanan optimal yang memaksimumkan ekspektasi profit  berdasarkan  kemungkinan  terburuk  dari  distribusi  permintaan  dengan  hanya  diketahui  rata-rata  dan variansi.  Gallego  dan  Moon  (1993),  membuktikan  rumusan  yang  dihasilkan  oleh  Scarf  untuk  newsvendor problem ketika hanya diketahui rata-rata dan variansi dari permintaan dan mengembangkan rumusan tersebut kedalam  tiga  kasus,  pertama  dimana  ada  kesempatan  pembelian  kedua,  ada  biaya  tetap  ketika  melakukan pembelian dan ada beberapa jenis produk.
Beberapa  penelitian  mengenai robust  newsvendor  problem yang  ada  saat  ini  mengasumsikan  bahwa permintaan  merupakan  variabel  acak  kontinu,  sedangkan  permintaan  untuk  banyak  produk  bersifat  diskrit. Contohnya permintaan konsumen terhadap suatu roti bersifat diskrit, permintaan untuk roti coklat dalam 1 hari sebanyak  10  buah, roti stroberi  sebanyak  8  buah,  dll.  Penelitian  mengenai  permasalahan robust  newsvendor problem dengan mempertimbangkan permintaan diskrit baru dilakukan oleh Yu et al (2014). Yu et al berhasil menghasilkan suatu model untuk menentukan jumlah pesanan optimal untuk permasalahan robust newsvendor problem with discrete demand, dimana pembuat keputusan memaksimalkan profit dari kemungkinan terburuk.
Berdasarkan  permasalahan  yang  dijelaskan  diatas,  maka  penelitian  ini  mencoba  menyelesaikan permasalahan  diatas  untuk  meningkatkan  produktivitas  dan  daya  saing  pedagang  keliling.  Pada  penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Yu et al (2014) belum dilakukan implementasi pada kasus nyata tetapi baru hanya sebatas pada kasus hipotetik pada penelitian yang dilakukan oleh Scarf (1958) sehingga pada penelitian ini akan dilakukan implementasi pada kasus nyata. Studi kasus pada penelitian ini adalah pada pedagang roti
keliling sebuah toko roti di Bandung. Penelitian ini nantinya akan dibuat model matematis untuk membantu pedagang keliling memutuskan berapa banyak barang yang akan dibawa untuk setiap jenisnya sehingga dapat memaksimalkan perkiraan ( expected ) profit. Model yang dibangun merupakan extended model dari newsvendor problem yaitu robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit.

## 2. Metode Penelitian
Bagian  ini  berisikan  penjelasan  tentang  bagaimana  penelitian  ini  dilakukan  (metodologi  penelitian). Penelitian ini dimulai dengan identifikasi masalah, perumusan masalah, studi literatur, penentuan batasan dan asumsi penelitian, pengembangan model, validasi model, pembuatan algoritma penyelesaian model, pembuatan program  penyelesaian  model,  verifikasi  program,  pengumpulan  data,  implementasi  model,  hasil  dan pembahasan, dan penarikan kesimpulan. Penjelasan masing-masing tahapan penelitian adalah sebagai berikut:
a. Identifikasi masalah
Pada  tahap  ini  peneliti  mengidentifikasi  permasalahan  yang  dihadapi  oleh  pedagang  keliling  yang membawa  beberapa  jenis  barang perishable dengan  tidak  diketahui  parameter  dari  distribusi probabilitas permintaan. Permintaan produk berupa diskrit. Permasalahan yang dihadapi adalah jumlah barang  dari  tiap  jenis  barang  yang  dibawa  atau  dibeli  diawal  periode  bisa  terlalu  banyak  sehingga menimbulkan  kerugian  apabila  tidak  terjual  karena  tidak  dapat  dijual  lagi  pada  periode  penjualan berikutnya dan terlalu sedikit sehingga pedagang kehilangan kesempatan untuk mendapatkan profit
b. Perumusan masalah
Pada tahap ini peneliti merumuskan masalah dari penelitian ini yaitu berapa jumlah yang harus dibawa dari masing-masing jenis barang untuk memaksimalkan profit.
c. Studi literatur
Pada  tahap  ini  peneliti  melakukan  studi  literatur  mengenai newsvendor  problem,  muti-product newsvendor  problem,  robust  newsvendor  problem dan robust  multi-product  newsvendor  problem untuk melihat state of the art dari newsvendor problem yaitu belum adanya penelitian membahas kasus multi-product newsvendor problem with discrete demand dan menemukan kontribusi dari penelitian ini  yaitu  mengembangkan  model robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan mempertimbangkan permintaan diskrit.
d. Penentuan batasan dan asumsi penelitian
Pada tahap ini peneliti menentukan batasan dan asumsi penelitian yaitu tidak ada batasan kapasitas dan batasan budget yang dimiliki oleh pedagang.
e. Pengembangan model
Pada tahap ini peneliti mengembangkan model robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit. dengan mengembangkan model robust newsvendor problem with discrete demand yang dibuat oleh Yu et al (2014).
f. Validasi model
Pada  tahap  ini  model  yang  sudah  dikembangkan  kemudian  dilakukan  validasi  apakah  model  yang sudah  dikembangkan  sudah  sesuai  dengan  permasalahan robust newsvendor  problem untuk  multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit.
g. Pembuatan algoritma penyelesaian model
Pada tahap ini peneliti membuat algoritma penyelesaian model untuk menyelesaikan model tersebut secara enumerasi.
h. Pembuatan program penyelesaian model
Pada tahap ini peneliti membuat program penyelesaian model secara enumerasi berdasarkan algoritma penyelesaian model yang sudah dibuat sebelumnya
i. Verifikasi program
Pada tahap ini peneliti melakukan verifikasi program untuk melihat apakah program yang dibuat sudah benar  dengan  membandingkan  hasil  dari  program  dengan  hasil  dari  penelitian  dari  Yu  et  al  (2014) dengan membuat permasalahan pada peneltian Yu et al menjadi permasalahan multi-product.
j. Pengumpulan data
Pada  tahap  ini  dilakukan  pengumpulan  data  pada  pedagang  keliling  sebuah  toko  roti  di  Bandung. Penelitian  ini  menggunakan  studi  kasus  pada  suatu  toko  roti  di  Bandung,  Data  yang  dikumpulkan adalah  data  penjualan  kedua  pedagang  keliling  toko  roti  tersebut  pada  bulan  Oktober  2017  hingga Maret 2018, data harga jual tiap jenis roti, biaya produksi tiap jenis roti, dan jumlah roti yang tersisa dari kedua pedagang keliling untuk setiap jenis roti.
k. Implementasi model
Pada tahap ini akan dilakukan implementasi model pada kasus nyata yaitu pedangang keliling sebuah toko roti di Bandung. Model akan diimplementasikan untuk menentukan jenis dan jumlah roti yang harus dibawa setiap harinya oleh pedagang keliling agar profit yang didapat maksimal.
l. Hasil dan pembahasan
Pada tahap  ini  peneliti  akan  melaporkan  hasil implementasi  model  pada  kasus nyata  dan  kemudian melakukan analisis terhadap hasil yang diperoleh
m. Penarikan kesimpulan
Pada tahap ini peneliti menarik kesimpulan mengenai hasil pemecahan masalah yang dihadapi oleh pedagang keliling.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Pengembangan Model, Asumsi dan Notasi
Model  yang  dikembangkan  adalah robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan mempertimbangkan  permintaan  diskrit. Model  ini  merupakan  pengembangan  dari  model robust newsvendor problem with discrete demand yang dimodelkan oleh Yu et al (2014). Permasalahan robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit dalam penelitian ini adalah seorang pedagang roti  keliling  harus  memutuskan  jenis  dan  jumlah  roti  yang  harus  ia  bawa  setiap  harinya  agar  profit  yang didapatkannya maksimal. Permasalahan yang dihadapi adalah jika terlalu banyak membawa satu jenis roti maka terdapat  roti  sisa  yang  tidak  dapat  dijual  kembali  dikemudian  hari  sedangkan  jika  membawa  terlalu  sedikit, pedagang kehilangan kesempatan untuk mendapatkan keuntungan. Pada penelitian ini diasumsikan pedagang keliling  hanya  mengetahui  beberapa  titik  permintaan  diskrit  dari  tiap  jenis  roti,  rata-rata  dari  titik-titik permintaan diskrit, variansi dari titik-titik permintaan diskrit dan tidak mengetahui probabilitas dari masing- masing titik permintaan diskrit tersebut. Distribusi probabilitas diskrit dari permintaan tidak diketahui.
Secara matematis, permasalahan ini digambarkan sebagai berikut, diasumsikan bahwa F l adalah distribusi probabilitas diskrit yang tidak diketahui dari produk l dengan hanya diketahui beberapa titik permintaan untuk produk l yaitu 𝑋 𝑙1 , 𝑋 𝑙2 , … , 𝑋 𝑙𝑛 dan 𝐹 𝑙 𝜖  (𝜇 𝑙 , 𝜎 𝑙 2 ) . 𝜇 𝑙 adalah  rata-rata dari  permintaan  produk l dan 𝜎 𝑙 2 adalah variansinya. Probabilitas masing-masing titik permintaan 𝑃 𝑙1 , 𝑃 𝑙2 , … , 𝑃 𝑙𝑛 tidak diketahui. Pengambil keputusan yang dalam kasus ini adalah pedagang keliling akan memutuskan berapa jumlah dari masing-masing jenis roti yang akan dibawa (𝑞 𝑙 ). 𝐷 𝑙 adalah permintaan stokastik dari produk l. Pedagang keliling membawa tiap jenis roti yang biaya produksinya sebesar 𝑐 𝑙 dan dijual dengan harga jual 𝑝 𝑙 . Ketika 𝑞 𝑙 > 𝐷 𝑙 setiap jenis dan jumlah roti yang tersisa diakhir masa jual akan dijual dengan harga 𝑠 𝑙 Model robust ini akan diselesaikan dalam dua tahap seperti pada model robust newsvendor model with continuous demand oleh Scarf (1958) didalam Yu et al  (2014).  Model  matematis  untuk robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan  mempertimbangkan permintaan diskrit adalah sebagai berikut:
𝑚𝑎𝑥 𝑞 𝑙 𝑚𝑖𝑛 𝐹𝜖  (𝜇 𝑙 , 𝜎 𝑙 2 ) ∑ 𝐸[𝜋(𝑞 𝑙 , 𝐷 𝑙 )] 𝑚 𝑙=1 (1)
Pertama, selesaikan terlebih dahulu masalah pertama ( inner problem ) (M1) dari model robust . Model dari permasalahan pertama adalah sebagai berikut: 𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑖𝑛 𝐸[𝜋(𝑞 𝑙 , 𝐷 𝑙 )] = ∑ (𝑝 𝑙 − 𝑠 𝑙 )(∑ min(𝑞 𝑙 , 𝑋 𝑙𝑘 ) 𝑃 𝑙𝑘 − 𝑐 𝑙 −𝑠 𝑙 𝑝 𝑙 −𝑠 𝑙 𝑞 𝑙 ) 𝑛 𝑘=1 𝑚 𝑙=1 (2)
subject to
𝑃 𝑙1 , … , 𝑃 𝑙𝑛 ≥ 0                            ∀𝑙 ∈ 𝑚 (3) ∑ 𝑃 𝑙𝑘 = 1                               ∀𝑙 ∈ 𝑚 𝑛 𝑘=1 (4) ∑ 𝑥 𝑙𝑘 𝑃 𝑙𝑘 = 𝜇 𝑙 ∀𝑙 ∈ 𝑚 𝑛 𝑘=1 (5) ∑ 𝑥 𝑙𝑘 2 𝑃 𝑙𝑘 = 𝜇 𝑙 2 + 𝜎 𝑙 2 ∀𝑙 ∈ 𝑚 𝑛 𝑘=1 (6)
Model primal diatas kemudian akan diubah menjadi model dualnya untuk menganalisis masalah pertama (M1). Berikut ini adalah model dual dari model primal M1
𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝑦 1 + 𝜇 𝑙 𝑦 2 + (𝜇 𝑙 2 + 𝜎 𝑙 2 )𝑦 3 𝑚 𝑙=1 (7)
subject to
∑ 𝑦 1 + 𝑥 𝑙𝑘 𝑦 2 + 𝑥 𝑙𝑘 2 𝑦 3 ≤ ∑ (𝑝 𝑙 − 𝑠 𝑙 ) (𝑚𝑖𝑛(𝑞 𝑙 , 𝑥 𝑙𝑘 ) − 𝑐 𝑙 −𝑠 𝑙 𝑝 𝑙 −𝑠 𝑙 𝑞 𝑙 ) ∀𝑘 = 1, … , 𝑛 𝑚 𝑙=1 𝑚 𝑙=1 (8)
𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 𝑈𝑅𝑆 (9)
Berdasarkan analisa pada model dual diatas yang ekuivalen dengan teori dasar pemrograman linear yang menyatakan  bahwa  ada solusi  optimal  sedemikian  rupa  sehingga  jumlah  variabel  bukan  nol  tidak  lebih  dari jumlah kendala. Oleh karena itu untuk model pemrograman primalnya, jumlah variabel bukan nol 𝑃 𝑘 ∗ tidak lebih dari tiga. Hal ini menunjukkan bahwa probability mass terkonsentrasi pada tiga titik. Oleh karena itu kita cukup
hanya dengan menganalisis distribusi tiga titik. Dari distribusi tiga titik ini kemudian kita akan mendapatkan bentuk close-form dari 𝜋(𝑞 𝑙 ) . Setelah mendapatkan bentuk close-form dari 𝜋(𝑞 𝑙 ) kemudian kita menyelesaikan masalah kedua ( outer problem ) (M2) dari robust model yaitu 𝑚𝑎𝑥 𝑞 𝑙 𝜋(𝑞 𝑙 ) (10)
Fungsi 𝜋(𝑞 𝑙 ) merupakan fungsi piecewise linear function dan disitu terdapat jumlah order robust optimal 𝑞 𝑙 ∗ yang memaksimalkan 𝜋(𝑞 𝑙 ) . Kita tidak dapat memperoleh rumusan dari 𝑞 𝑙 ∗ karena nilainya ditentukan oleh nilai titik permintaan. Kita dapat membuat program enumerasi untuk mendapatkan nilai 𝑞 𝑙 ∗ . Algoritma program enumerasi untuk menyelesaikan model diatas dapat dilihat pada bagian 3.2.

## 3.2. Algoritma penyelesaian
Berdasarkan analisis pada model dual permasalahan pertama (M1) pada model robust, langkah selanjutnya adalah  membuat  algoritma  penyelesaian  untuk  model robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan mempertimbangkan permintaan diskrit. Berdasarkan analisis pada model dual pada penelitian yang dilakukan oleh Yu et al (2014), hanya diperlukan untuk mempertimbangkan tiga titik permintaan yang berdekatan untuk masing-masing  produk l . Untuk  memenuhi dual  feasibility , paling  tidak  dua dari tiga titik  permintaan  harus berdekatan. Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut:
1. Untuk setiap produk l , pilih secara sembarang tiga titik permintaan 𝑥 𝑙𝑖 , 𝑥 𝑙𝑖+1 , 𝑥 𝑙𝑗 dimana 𝑥 𝑙𝑖 dan 𝑥 𝑙𝑖+1 berdekatan. Tentukan apakah distribusi tiga titik ini memenuhi primal feasibility atau tidak. Jika tidak maka cari atau ambil tiga titik lainnya. Jika memenuhi primal feasibility maka lanjut ke tahap 2. 2. Cari interval nilai fixed q yang layak untuk memastikan terpenuhinya dual feasibility
3. Dapatkan bentuk close-form dari π(q) pada interval dual feasible dari nilai fixed q 4. Lanjutkan untuk produk berikutnya
Asumsikan probabilitas untuk ketiga titik permintaan adalah sebagai berikut
𝑃 𝑙𝑗 ∗ = 𝜎 𝑙 2 +(𝜇 𝑙 −𝑥 𝑙𝑖 )(𝜇 𝑙 −𝑥 𝑙𝑖+1 ) (𝑥 𝑙𝑗 −𝑥 𝑙𝑖 )(𝑥 𝑙𝑗 −𝑥 𝑙𝑖+1 )
(11)
𝑃 𝑙𝑖 ∗ = 𝜎 𝑙 2 +(𝜇 𝑙 −𝑥 𝑙𝑗 )(𝜇 𝑙 −𝑥 𝑙𝑖+1 ) (𝑥 𝑙𝑖 −𝑥 𝑙𝑗 )(𝑥 𝑙𝑖 −𝑥 𝑙𝑖+1 ) (12)
𝑃 𝑙𝑖+1 ∗ = 𝜎 𝑙 2 +(𝜇 𝑙 −𝑥 𝑙𝑗 )(𝜇 𝑙 −𝑥 𝑙𝑖 ) (𝑥 𝑙𝑖+1 −𝑥 𝑙𝑗 )(𝑥 𝑙𝑖+1 −𝑥 𝑙𝑖 ) (13)
𝑃 𝑙𝑘 ∗ = 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛, 𝑘 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑖 + 1 (14)
Kemudian dibagi 𝑥 𝑙𝑗 < 𝑥 𝑙𝑖 dan 𝑥 𝑗 > 𝑥 𝑙𝑖+1 ke dalam kasus 1 dan kasus 2. Kasus 1: untuk sembarang 2 ≤ i ≤ n-1, 1 ≤ j ≤ i-1 dan fixed q jika max {(𝑥 𝑙𝑖 − 𝜇 𝑙 )(𝜇 𝑙 − 𝑥 𝑙𝑗 ), (𝑥 𝑙𝑖+1 − 𝜇 𝑙 )(𝜇 𝑙 − 𝑥 𝑙𝑖 )} ≤ 𝜎 𝑙 2 ≤   (𝑥 𝑙𝑖+1 − 𝜇 𝑙 )(𝜇 𝑙 − 𝑥 𝑙𝑗 ) (15)
dan 𝑥 𝑙𝑖 𝑥 𝑙𝑖+1 −𝑥 𝑙𝑗−1 𝑥 𝑙𝑗 (𝑥 𝑙𝑖 +𝑥 𝑙𝑖+1 )−(𝑥 𝑙𝑗−1 +𝑥 𝑙𝑗 ) < 𝑞 𝑙 ≤ 𝑥 𝑙𝑖 𝑥 𝑙𝑖+1 −𝑥 𝑙𝑗 𝑥 𝑗+1 (𝑥 𝑙𝑖 +𝑥 𝑙𝑖+1 )−(𝑥 𝑙𝑗 +𝑥 𝑙𝑗+1 ) , for 2 ≤ j ≤ i-1 (16)
𝑥 𝑗 < 𝑞 𝑙 ≤ 𝑥 𝑙𝑖 𝑥 𝑙𝑖+1 −𝑥 𝑙𝑗 𝑥 𝑙𝑗+1 (𝑥 𝑙𝑖 +𝑥 𝑙𝑖+1 )−(𝑥 𝑙𝑗 +𝑥 𝑙𝑗+1 ) , for j = 1 (17)
Maka 𝜋(𝑞 𝑙 ) = (𝑝 𝑖 − 𝑠 𝑖 )𝑥 𝑙𝑗 𝑃 𝑙𝑗 ∗ + [(𝑝 𝑖 − 𝑠 𝑖 )(1 − 𝑃 𝑙𝑗 ∗ ) − (𝑐 𝑖 − 𝑠 𝑖 )𝑞 𝑖 ] (18)
Kasus 2: untuk sembarang 1 ≤ i ≤ n-2, i + 2 ≤ j ≤ n dan fixed q jika max {(𝑥 𝑙𝑖+1 − 𝜇 𝑙 )(𝜇 𝑙 − 𝑥 𝑙𝑖 ), (𝑥 𝑙𝑗 − 𝜇 𝑙 )(𝜇 𝑙 − 𝑥 𝑙𝑖+1 )} ≤ 𝜎 𝑙 2 ≤   (𝑥 𝑙𝑗 − 𝜇 𝑙 )(𝜇 𝑙 − 𝑥 𝑙𝑖 ) (19)
dan 𝑥 𝑙𝑗−1 𝑥 𝑙𝑗 −𝑥 𝑙𝑖 𝑥 𝑙𝑖+1 (𝑥 𝑙𝑗−1 +𝑥 𝑙𝑗 )−(𝑥 𝑙𝑖 +𝑥 𝑙𝑖+1 ) < 𝑞 𝑙 ≤ 𝑥 𝑙𝑗 𝑥 𝑙𝑗+1 −𝑥 𝑙𝑖 𝑥 𝑖+1 (𝑥 𝑙𝑗 +𝑥 𝑙𝑗+1 )−(𝑥 𝑙𝑖 +𝑥 𝑙𝑖+1 ) , for i+2 ≤ j ≤ n-1
(20)
𝑥 𝑙𝑗−1 𝑥 𝑙𝑗 −𝑥 𝑙𝑖 𝑥 𝑙𝑖+1 (𝑥 𝑙𝑗−1 +𝑥 𝑙𝑗 )−(𝑥 𝑙𝑖 +𝑥 𝑙𝑖+1 ) ≤ 𝑞 𝑙 < 𝑥 𝑗 , for j = n (21)
Maka 𝜋(𝑞 𝑙 ) = (𝑝 𝑖 − 𝑠 𝑖 )(𝑥 𝑙𝑖 𝑃 𝑙𝑖 ∗ + 𝑥 𝑖+1 𝑃 𝑙𝑖+1 ∗ ) + [(𝑝 𝑖 − 𝑠 𝑖 )𝑃 𝑙𝑗 ∗ − (𝑐 𝑖 − 𝑠 𝑖 )𝑞 𝑖 ] (22)
Setelah didapatkan nilai 𝜋(𝑞 𝑙 ) selanjutnya adalah menyelesaikan masalah kedua (M2) dari model robust. 𝜋(𝑞 𝑙 ) merupakan  piecewise  linear  function  dan  terdapat  solusi  robust  optimal  untuk  jumlah  order 𝑞 𝑙 ∗ yang memaksimalkan 𝜋(𝑞 𝑙 ) . Nilai jumlah order ini ditentukan oleh nilai dari titik permintaan. Pembaca yang tertarik untuk menetahui pembuktian rumus dan langkah-langkah diatas dapat melihat pada penelitian yang dilakukan oleh  Yu  et  al  (2014).  Pada  penelitian  ini  algoritma  diatas  akan  dibuat  programnya  menggunakan software Octave untuk menemukan nilai 𝑞 𝑙 ∗ .

## 3.3. Validasi model dan verifikasi program penyelesaian model
Model robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit yang sudah dikembangkan beserta program penyelesaiannya akan dilakukan validasi dan verifikasi untuk mengetahui
apakah  model  yang  telah  dikembangkan  sudah  benar  yaitu  dapat  memberikan  solusi  permasalahan robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit. Validasi dan verifikasi dilakukan dengan menggunakan data yang dibuat oleh Scarf (1958) pada penelitian Yu et al (2014). Data yang digunakan untuk validasi dan verifikasi tersebut dapat dilihat pada tabel 1 dibawah ini
Tabel 1. Data yang digunakan untuk validasi dan verifikasi
p c s µ σ X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 q* 50 35 25 1000 500 100 500 1100 1500 2000 1288.7 100 300 500 1000 2000 999.6 100 200 1300 1800 2000 1300.1
Tabel 1 diatas memberikan ada sebuah produk dengan 3 pola permintaan yang masing-masing memiliki 5 titik permintaan (dinotasikan sebagai X 1 , X 2 , X 3 , X 4 dan X 5 ). Pola permintaan pertama memiliki titik permintaan 100, 500, 1100, 1500, 2000. Pola permintaan kedua memiliki titik permintaan 100, 300, 500, 1000, 2000. Pola permintaan ketiga memiliki titik permintaan 100, 200, 1300, 1800, 2000. Produk tersebut memiliki harga jual p = 50, harga beli c = 35 dan apabila tidak laku akan dijual dengan harga s = 25. Rata-rata permintaan (μ) sebesar 1000  dan  standar  deviasi  permintaan  (σ)    500.  Kolom  q*  menunjukkan  jumlah  order robust optimal  hasil penelitian Yu et al (2014) untuk produk tersebut.
Dalam penelitian ini, untuk keperluan validasi dan verifikasi, data tersebut nantinya akan dianggap sebagai data dengan 3 jenis produk dengan pola permintaan pertama dianggap sebagai pola permintaan produk pertama, pola permintaan kedua dianggap sebagai pola permintaan produk kedua dan pola permintaan ketiga dianggap sebagai pola permintaan produk ketiga karena penelitian ini akan menyelesaikan permasalahan multi produk. Data tersebut kemudian diselesaikan dengan menggunakan program penyelesaian model yang dibuat dengan menggunakan software Octave. Berikut adalah hasil penyelesaian kasus diatas oleh software Octave v_Optimum =
9.4717e+003 1.0831e+004  1.1843e+004 q_Optimum = 1288.69    999.60   1300.10 tv_optimum =   3.2145e+004
Dari hasil penyelesaian kasus diatas oleh software octave dapat dilihat bahwa hasil dari software Octave untuk multiproduct sama dengan hasil pada penelitian yang dilakukan oleh Yu et al (2014) untuk single product dan  nilai 𝑞 𝑙 ∗ masih  berada  dalam  rentang  nilai  titik  permintaan.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit yang telah dikembangkan sudah  valid  dan  program  penyelesaian  model  sudah  terverifikasi  sehingga  dapat  digunakan  untuk menyelesaikan  kasus  nyata  permasalahan robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan mempertimbangkan permintaan diskrit.

## 3.4. Studi Kasus
Model dan program penyelesaian yang sudah valid dan  terverifikasi kemudian akan diimplementasikan pada  kasus  nyata  permasalahan robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan  mempertimbangkan permintaan  diskrit.  Kasus  nyata  pada  penelitian  ini  diambil  dari  sebuah  toko  roti  di  Bandung  dengan menentukan  jumlah  dan jenis  roti  yang  harus  dibawa  oleh  kedua  pedagang  keliling  toko  roti  tersebut setiap harinya. Toko roti ini memiliki 2 pedagang keliling yang setiap hari berjualan. Data yang digunakan adalah data penjualan  roti  dan  data  sisa  roti  setiap  harinya  pada  bulan  Juli  2017  sampai  dengan  Januari  2018.  Sebelum dilakukan pengolahan data dengan menggunakan program penyelesaian, data yang telah dikumpulkan dari roti X  diamati  terlebih  dahulu  untuk  menentukan  apakah  data  dapat  langsung  dilakukan  pengolahan  data.  Dari pengamatan  yang  dilakukan,  ditemukan  bahwa  terdapat  perbedaan  jenis  roti  yang  dibawa  oleh  pedagang keliling setiap harinya. Pada hari Senin, Kamis dan Sabtu kedua pedagang keliling hanya membawa 20 jenis roti.  Pada  hari  Selasa  dan  Rabu  kedua  pedangang  keliling  membawa  21  jenis  roti.  Pada  hari  Jumat  kedua pedagang keliling membawa 19 jenis roti. Untuk pengamatan lebih lanjut, dilakukan uji Kruskal-Wallis untuk melihat apakah terdapat perbedaan hasil penjualan pada hari Senin, Kamis, Sabtu dan pada hari Selasa, Rabu untuk  masing-masing  pedagang  keliling.  Berikut  adalah  hipotesis  awal  dan  hipotesis  tandingan  pada  uji Kruskal-Wallis yang dilakukan.
H 0 : tidak terdapat perbedaan penjualan antar hari H 1 : terdapat perbedaan penjualan minimal antar 2 hari Nilai alpha (α) yang digunakan adalah 0.05
Uji Kruskal-Wallis dilakukan dengan menggunakan software Minitab. Hasil dari uji Kruskal-Wallis untuk hari Senin, Kamis dan Sabtu untuk pedagang pertama dapat dilihat pada Gambar 1 dibawah ini

## Gambar 1. Hasil uji Kruskal-Wallis hari Senin, Kamis dan Sabtu pedagang pertama
Dapat dilihat pada gambar 1 diatas bahwa P-Value hasil uji Kruskal-Wallis adalah sebesar 0.035. P-Value yang diperoleh kurang dari nilai α sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan jumlah penjualan pada hari Senin, Kamis, dan Sabtu. Pengujian juga dilakukan untuk pedagang kedua dan untuk penjualan pada hari Rabu dan Selasa. Rekapitulasi hasil uji Kruskal-Wallis dapat dilihat pada tabel 2 dibawah ini
Tabel 2. Rekapitulasi hasil uji Kruskal-Wallis untuk kedua pedangang keliling
Hari Pedagang Pertama Kedua P-Value Kesimpulan P-Value Kesimpulan Senin, Kamis, Jumat 0.035 Tolak H 0 0.208 Tidak menolak H 0 Selasa, Rabu 0.656 Tidak menolak H 0 0.519 Tidak menolak H 0
Tabel  2  menunjukkan  bahwa  kesimpulan  dari  uji  Kruskal-Wallis  hari  Senin,  Kamis,  dan  Sabtu  pada pedagang pertama adalah tolak H 0 yang berarti terdapat perbedaan jumlah penjualan pada hari Senin, Kamis, dan Sabtu sehingga keputusan untuk ketiga hari tersebut tidak bisa disamakan. Kesimpulan untuk uji Kruskal- Wallis  hari  Senin,  Kamis,  dan  Sabtu  pada  pedagang  kedua  dan  hari  Selasa  dan  Rabu  pada  kedua  pedagang adalah tidak menolak H 0 yang berarti tidak terdapat perbedaan penjualan sehingga keputusan untuk hari tersebut dapat disamakan .
Oleh karena hasil uji Kruskal-Wallis pada hari Senin, Kamis dan Sabtu adalah terdapat perbedaan jumlah penjualan, maka perlu untuk diketahui lebih lanjut apakah ada perbedaan jumlah penjualan untuk setiap hari senin  setiap  minggunya,  hari  Kamis  setiap  minggunya  dan  hari  Sabtu  setiap  minggunya.  Hasil  pengujian Kruskal-Wallis dapat dilihat pada Tabel 3 dibawah ini
Tabel 3. Rekapitulasi hasil uji Kruskal-Wallis untuk tiap hari Senin, Kamis dan Sabtu setiap harinya untuk
pedagang pertama Hari P-Value Kesimpulan Senin 0.457 Tidak menolak H 0 Kamis 0.462 Tidak menolak H 0 Sabtu 0.462 Tidak menolak H 0
Dari tabel 3 dapat dilihat bahwa dari kesimpulan uji Kruskal-Wallis didapatkan hasil tidak menolak H 0 yang  berarti  tidak  terdapat  perbedaan  jumlah  penjualan  per  hari  Senin,  Kamis  dan  Sabtu  setiap  minggunya. Berdasarkan  hasil  dari  seluruh  uji  Kruskal-Wallis  yang  dilakukan  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  total keputusan mengenai jumlah dan jenis roti yang harus dibawa setiap harinya oleh kedua pedagang keliling roti berjumlah 8 keputusan. Hal ini berarti akan ada 8 keputusan yang berbeda-beda untuk kedua pedagang keliling berdasarkan hari apa mereka akan berjualan. Ke-8 keputusan itu dapat dilihat pada tabel 4 dibawah ini
Tabel 4. Rekapitulasi keputusan yang harus dibuat untuk kedua pedagang keliling toko roti X
Pedagang Pertama Kedua 1. Jumlah dan jenis roti hari Senin 1. Jumlah dan jenis roti hari Senin, Kamis, dan Sabtu 2. Jumlah dan jenis roti Selasa dan Rabu 2. Jumlah dan jenis roti hari Selasa dan Rabu 3. Jumlah dan jenis roti Kamis 3.  Jumlah dan jenis roti hari Jumat
4. Jumlah dan jenis roti Jumat
5. Jumlah dan jenis roti Sabtu
Setelah didapatkan berapa banyak jumlah keputusan mengenai jumlah dan jenis roti yang harus dibawa setiap  hari  oleh  kedua  pedagang  keliling  roti  X,  maka  selanjutnya  adalah  mengimplementasikan  program penyelesaian robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit untuk mencari  solusi  pada  tiap-tiap  keputusan  diatas  yaitu  berapa  jumlah  dan  jenis  roti  yang  akan  dibawa  setiap harinya. Solusi dari program penyelesaian model untuk pedagang keliling pertama dan pedagang keliling kedua dapat dilihat pada tabel 5 dan 6 dibawah ini
Tabel 5. Solusi program penyelesaian model untuk pedagang keliling pertama
Pedagang keliling pertama Senin Selasa dan Rabu Kamis Jumat Sabtu Jenis roti q* Jenis roti q* Jenis roti q* Jenis roti q* Jenis roti q* 1 1.00501 1 1.003 1 1.001 1 2.4985 1 1.003 2 2.00601 2 1.00701 2 1.00601 2 0 2 1.006 3 2.5025 3 1.003 3 1.00501 3 2.00601 3 1.006 4 1.003 4 1.001 4 1.001 4 1.001 4 1.002 5 1 5 0 5 1 5 1 5 1.003 6 0 6 1.002 6 1.001 6 0 6 1.001 7 1.001 7 1.002 7 0 7 1.001 7 1.006 8 1.001 8 1.001 8 1.001 8 1.001 8 1.003 9 1.003 9 1.001 9 2 9 1.001 9 1.001 10 1.003 10 1.003 10 1.003 10 1 10 1.003 11 1.001 11 1.001 11 0 11 1.001 11 1.001 12 1.001 12 1.003 12 1.001 12 0 12 1.001 13 1.001 13 1.003 13 0 13 1.001 13 1.003 14 1 14 1.003 14 1.003 14 1.003 14 1.003 15 2 15 1.001 15 1.003 15 2 15 1.001 16 1.003 16 1.001 16 2 16 0 16 1.998 17 1.003 17 1 17 1 17 1 17 1 18 1 18 0 18 0 18 1 18 1 20 1 19 1 20 0 20 1 20 1 21 1 20 1.001 21 1 21 1 21 1

## Tabel 6. Solusi program penyelesaian model untuk pedagang keliling kedua
Pedagang keliling kedua Senin, Kamis, Sabtu Selasa dan Rabu Jumat Jenis roti q* Jenis roti q* Jenis roti q* 1 1.001 1 1.001 1 1.001 2 0 2 0 2 5.00901 3 2.002 3 2.002 3 2.002 4 2.999 4 2.999 4 2.002 5 1 5 1 5 1 6 1.003 6 1.003 6 1.003 7 0 7 0 7 0 8 1.003 8 1.003 8 1.003 9 1 9 1 9 1 10 1 10 1 10 1 11 1 11 1 11 1 12 1 12 1 12 2 13 2 13 1.003 13 2 14 2 14 2 14 2 15 1 15 1 15 1 16 1 16 1 16 1 17 1 17 1 17 1 18 1 18 1 18 1 20 1 19 1 20 1
Pedagang keliling kedua Senin, Kamis, Sabtu Selasa dan Rabu Jumat Jenis roti q* Jenis roti q* Jenis roti q* 21 1 20 1 21 1
Selanjutnya dilakukan perbandingan ekspektasi profit dari hasil robust newsvendor problem untuk multi produk  dan  mempertimbangkan  permintaan  diskrit  dengan  rata-rata  profit  per  hari  yang  didapatkan  oleh pedagang keliling berdasarkan keputusan saat ini yaitu berdasarkan pengalaman dari pemilik selama bulan Juli 2017 sampai dengan Januari 2018. Data perbandingan profit pedagang keliling pertama dan pedagang keliling kedua dapat dilihat pada tabel 7 dan 8 dibawah ini
Tabel 7. Perbandingan ekspektasi profit model usulan dengan rata-rata profit saat ini untuk pedagang
keliling pertama Pedagang pertama Hari Rata-rata profit saat ini Ekspektasi profit model usulan Persentase profit Senin Rp15,557.90 Rp39,297.00 156,63% Selasa dan Rabu Rp13,238.41 Rp32,050.00 142,1% Kamis Rp15,348.00 Rp28,965.00 88,72% Jumat Rp10,959.01 Rp30,148.00 175,1% Sabtu Rp20,400.00 Rp35,780.00 75,4%

## Tabel 8. Perbandingan ekspektasi profit model usulan dengan rata-rata profit saat ini untuk pedagang
keliling kedua Pedagang kedua Hari Rata-rata profit saat ini Ekspektasi profit model usulan Persentase profit Senin, Kamis, Sabtu Rp9,271.43 Rp39,602.00 372,14% Selasa, Rabu Rp12,703.92 Rp38,750.00 205,02% Jumat Rp13,118.18 Rp48,935.00 273,03%
Berdasarkan tabel 7 dan 8 dapat dilihat bahwa ekspektasi profit tiap hari yang bisa didapatkan oleh kedua pedagang  keliling  dengan  menggunakan robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan mempertimbangkan permintaan diskrit lebih tinggi dari pada rata-rata profit kedua pedagang saat ini dengan menggunakan keputusan hanya berdasarkan perkiraan dan pengalaman dari pemilik.

## 4. Simpulan
Penelitian  ini  berhasil  mengembangkan  model robust newsvendor  problem untuk  multi  produk  dan mempertimbangkan permintaan diskrit untuk menyelesaikan permasalahan pada pedagang keliling. Model ini menentukan jumlah optimal yang harus dibawa oleh pedagang keliling setiap harinya untuk setiap jenis produk yang memaksimalkan ekspektasi profit dari kemungkinan terburuk yang dapat terjadi ketika hanya diketahui beberapa informasi dari distribusi permintaan.
Studi kasus pada penelitian ini adalah pedagang keliling suatu toko roti di Bandung. Hasil implementasi dari  model  yang  sudah  dikembangkan  dapat  meningkatkan  rata-rata  ekspektasi  profit  yang  didapatkan  oleh pedagang keliling pertama dan pedagang keliling kedua berturut-turut sebesar 126.77% dan 268.3987% dari rata-rata profit yang didapatkan oleh kedua pedagang keliling saat ini.
Saran untuk penelitian selanjutnya adalah membuat model robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit dengan memperhatikan batasan kapasitas. Hal ini disebabkan karena pedagang keliling pada umumnya memiliki tempat untuk membawa barang dagangan yang terbatas. Selain itu dapat dilakukan perbaikan model yang dapat memberikan solusi akhir jumlah barang robust optimal yang harus dibawa oleh pedagang keliling juga bernilai diskrit, bukan kontinu.

## Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terimakasih kepada toko roti X yang mengizinkan kami melakukan penelitian di toko  roti  X  dan  boleh  mengambil  beberapa  data  yang  kami  perlukan  untuk  melakukan  implementasi  model robust newsvendor problem untuk multi produk dan mempertimbangkan permintaan diskrit pada kasus nyata.

## Daftar Pustaka
Choi, T-M. (2012). Handbook of Newsvendor Problem: Models, Extensions and Applications. International Series in Operations Research & Management Science, Springer, New York .
Gallego, G. and Moon, I. (1993).  The distribution free newsboy problem: review and extensions. Journal of the Operational Research Society , Vol 44(8), hal.825-834.
Qin, Y., Wang, R., Vakharia, A.J., Chen, Y., Seref, M.M.H. (2011). The Newsvendor Problem: Review and Directions for Future Research. European Journal of Operational Research, 213, hal.361-374. Scarf, H. (1958). A min-max solution of an inventory problem. in Arrow, K., Karlin. S., and Scarf, H. Studies in The Mathematical Theory of Inventory and Production . Stanford University Press, California. Turken,  N.,  Tan,  Y.,  Vakharia,  A.J.,  Wang,  L.,  Wang,  R.,  Yenipazarli,  A.  (2012).  The  Multi-product Newsvendor  Problem:  Review,  Ekstension,  and  Directions  for  Future  Research. Handbook  of Newsvendor Problem: Models, Extensions and Applications, Springer, New York.
Yu,  H.,  Zhai,  Jia.,  Sun,  C.  (2014).  Robust  Newsvendor  Problem  with  Discrete  Demand. 11th  International Conference on Service System and Service Management (ICSSSM) , IEEE, Beijing, China.