Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.8 No.2 (2014) Hal. 6 - 14

## PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT

## Mariatul Kiftiah
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak, Kalimantan Barat 78124
Email : kiftiahmariatul@math.untan.ac.id

## ABSTRACT
In this paper, a new concept about Ciric-Matkowski contraction mapping in ordered metric space (related to ≤ ) is contructed. Different from the metric space, the Ciric-Matkowski contraction mapping in ordered metric space does not imply that the mapping to be  continous. Next, some fixed point theorem of the Ciric-Matkowski contraction mapping in ordered metric space which is continous and not are proved. The result shows that the theorems do not guarantee the existence and uniqueness fixed point in ordered metric space. Adding comparable condition in it space then its mapping have a unique fixed point.
Keywords: fixed point,metric space,contraction mapping.

## ABSTRAK
Dalam penelitan ini, dibangun konsep pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski di ruang metrik terurut (terhadap relasi urutan ≤ ). Berbeda dengan ruang metrik, pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski di ruang metrik terurut tidak selalu kontinu. Selanjutnya, dalam penelitan  ini  dibangun beberapa teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski yang kontinu dan tak kontinu. Hasil penelitian menunjukkan teorema tersebut tidak menjamin ketunggalan  titik tetap di ruang metrik terurut. Dengan menambahkan sifat komparabel pada dua anggota dalam ruang metrik terurut maka dapat ditunjukkan bahwa pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski memiliki titik tetap tunggal.
Kata kunci : titik tetap, ruang metrik, pemetaan kontraksi

## 1. PENDAHULUAN
Konsep pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski diperkenalkan oleh L.J.Ciric (1981) dan J.Matkowski (1980). Pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski merupakan pemetaan dari ruang metrik ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ke dirinya sendiri ( self-mapping ) dengan sifat untuk setiap 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dengan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 dan 𝜀𝜀 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) < 𝜀𝜀 + 𝛿𝛿 berakibat 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � ≤ 𝜀𝜀 . Dalam penelitiannya, Ciric- Matkowski memberikan syarat cukup yang menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraksi yang terdefinisi dalam ruang metrik lengkap.
Konsep ruang metrik terus mengalami perkembangan. Untuk suatu himpunan terurut parsial ( 𝑋𝑋 , ≤ ) dan suatu metrik d sedemikian sehingga ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik maka ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) merupakan ruang metrik terurut terhadap relasi urutan ≤ . Beberapa ilmuwan dalam penelitiannya telah membuktikan eksistensi dan ketunggalan pemetaan kontraksi di ruang metrik terurut. Salah satunya adalah Harjani [1] yang berhasil membuktikan eksistensi dan ketunggalan pemetaan kontraksi Meir-Keeler di ruang metrik terurut. Dalam penelitiannya, Matkowski [2] mendefinisikan pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski sebagai perluasan dari pemetaan kontraksi Meir-Keeler.  Berdasarkan gagasan yang dilakukan oleh Harjani  dan Matkowski, maka dalam paper ini akan  dibangun konsep pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski pada ruang metrik terurut. Lebih lanjut, akan dikaji eksistensi dan ketunggalan titik tetap dari pemetaan kontraksi tersebut pada ruang metrik terurut.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1  Himpunan Terurut Parsial
Himpunan terurut parsial merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan relasi “ ≤ ” dan memenuhi beberapa aksioma relasi. Berikut ini diberikan definisi Himpunan terurut parsial.
Definisi 2.1.1 [3] Relasi “ ≤ ” pada himpunan tak kosong X dikatakan urutan parsial (partial order) jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 berlaku :
(i) 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥 (sifat refleksif)
(ii) Jika 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 maka 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 (sifat antisimetris) (iii) Jika 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 dan 𝑦𝑦 ≤ 𝑧𝑧 maka 𝑥𝑥 ≤ 𝑧𝑧 (sifat transitif) Lebih lanjut, ( 𝑋𝑋 , ≤ ) disebut himpunan terurut parsial.
Contoh 2.1.2 Diberikan ℝ adalah himpunan semua bilangan real.
( ℝ , ≤ ) merupakan himpunan terurut parsial, sebab " ≤ " memenuhi sifat refleksif, antisimetris dan transitif pada ℝ .

## Definisi 2.1.3 [3]
Diberikan ( 𝑋𝑋 , ≤ ) himpunan terurut parsial. Untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 disebut komparabel jika 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 atau 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 . Jika 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 dan 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 maka 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 . Untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 yang tidak komparabel disebut dengan inkomparabel.

## 2.2 Ruang Metrik Terurut
Untuk membahas Ruang Metrik Terurut diawali dengan membahas konsep ruang metrik.

## Definisi 2.2.1 [4]
Diberikan sebarang himpunan tak kosong X. Fungsi 𝑑𝑑 : 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → ℝ disebut metrik pada X jika memenuhi sifat-sifat :
(M1) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 0 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑 ℎ𝑗𝑗𝑑𝑑𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) > 0, 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑠𝑠 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦
(M2) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 ), 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑠𝑠 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋
(M3) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝑦𝑦 ) , 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑗𝑗𝑗𝑗𝑠𝑠 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋
Himpunan X yang dilengkapi  dengan suatu metrik 𝑑𝑑 disebut  ruang metrik  dan dituliskan dengan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) atau X asalkan metriknya telah diketahui.
Selanjutnya, pengertian barisan konvergen dan barisan Cauchy di dalam ruang metrik diberikan pada definisi berikut.
Definisi 2.2.2 [4] Diberikan  ruang metrik ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) . a. Barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊆ 𝑋𝑋 dikatakan konvergen ke 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 , ditulis dengan 𝑙𝑙𝑗𝑗𝑙𝑙 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 0 jika untuk setiap 0 > ε ada 𝑑𝑑 0 ∈ ℕ sehingga untuk setiap ∈ n ℕ dengan 𝑑𝑑 ≥ 𝑑𝑑 0 berlaku 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) < 𝜀𝜀 .
Dalam hal ini x disebut limit barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } . b. Barisa 𝑑𝑑 { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊆ 𝑋𝑋 disebut barisan Cauchy, jika untuk setiap 0 > ε ada 𝑑𝑑 0 ∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑙𝑙 , 𝑑𝑑 ∈ ℕ dengan 𝑙𝑙 , 𝑑𝑑 ≥ 𝑑𝑑 0 berlaku 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) < 𝜀𝜀 . c. Ruang metrik yang setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen disebut ruang metrik lengkap.
Pada ruang metrik didefinisikan konsep fungsi tak turun sebagai berikut.

## Definisi 2.2.3 [4]
Diberikan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik dan fungsi 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 . Fungsi 𝑓𝑓 dikatakan  tak turun jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 berlaku 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 ⟹ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 )
Definisi 2.2.4  [2] Diberikan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik dan pemetaan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 . Pemetaan 𝑓𝑓 dikatakan memenuhi  kontraksi Ciric-Matkowski  jika untuk setiap 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 > 𝜀𝜀 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dengan 𝜀𝜀 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) < 𝛿𝛿 dan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 berakibat 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � ≤ 𝜀𝜀 .
Definisi 2.2.6  [6] Diberikan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik dan pemetaan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 . Pemetaan 𝑓𝑓 dikatakan memenuhi  kontraksi Meir-Keeler  jika untuk setiap 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 > 𝜀𝜀 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dengan 𝜀𝜀 ≤ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) < 𝛿𝛿 dan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 berakibat
𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � < 𝜀𝜀 .
Selanjutnya, dibawah ini didefinisikan Ruang Metrik Terurut.

## Definisi 2.2.7 [3]
Diberikan ( 𝑋𝑋 , ≤ ) himpunan terurut parsial dan d metrik pada X. Himpunan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) disebut dengan ruang metrik terurut terhadap relasi ≤ . Selanjutnya, jika ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik lengkap maka ruang metrik terurutnya  disebut dengan ruang metrik terurut lengkap.
Contoh 2.2.8 Diberikan 𝑋𝑋 = ℝ . Didefinisikan relasi urutan 𝑅𝑅 = {( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ), 𝑥𝑥 ∈ ℝ } , maka ( ℝ , 𝑅𝑅 ) himpunan terurut parsial. Selanjutnya, ( 𝑋𝑋 , d) merupakan ruang metrik terhadap metrik 𝑑𝑑 : 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = | 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 | ,  untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ ℝ
Karena ( ℝ , 𝑑𝑑 ) merupakan ruang metrik lengkap maka ( ℝ , 𝑑𝑑 ) merupakan ruang metrik terurut lengkap terhadap relasi 𝑅𝑅 .

## 3.  METODE PENELITIAN
Materi penelitian yang digunakan dalam penelitian ini bersumber dari literatur, baik dari buku teks maupun dari paper yang terkait. Penelitian ini dilakukan dengan membangun pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski pada ruang metrik terurut. Kemudian diselidiki kekontinuan pemetaan tersebut. Di akhir penelitian ini dikaji syarat cukup yang menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski pada ruang metrik terurut.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1  Pemetaan Kontraksi Ciric-Matkowski pada Ruang Metrik Terurut
Pada bagian ini konsep pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski di Ruang Metrik
Terurut didefinisikan.

## Definisi 4.1.1
Diberikan ( 𝑋𝑋 , ≤ ) himpunan terurut parsial, suatu metrik d sedemikian sehingga ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik terurut ( terhadap relasi ≤ ) dan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 pemetaan. Pemetaan 𝑓𝑓 dikatakan memenuhi  kontraksi Ciric-Matkowski  jika  untuk setiap 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dengan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 dan 𝜀𝜀 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) < 𝜀𝜀 + 𝛿𝛿 berakibat 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � ≤ 𝜀𝜀 .
Dari Definisi 4.1.1, dapat dilihat bahwa 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 komparabel. Hal ini berarti dengan mengambil 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) , maka diperoleh 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) , untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dengan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 .
Untuk lebih jelasnya, di bawah ini diberikan contoh fungsi kontraksi tipe Ciric-Matkowski di ruang metrik terurut.

## Contoh 4.1.2
Diberikan 𝑋𝑋 = {3 𝑑𝑑 } 𝑛𝑛=0 ∞ ∪ � 3 𝑑𝑑 + 1 + 1 𝑛𝑛+1 � 𝑛𝑛=0 ∞
Didefinisikan relasi urutan 𝑅𝑅 = {( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ), 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 } , maka ( 𝑋𝑋 , 𝑅𝑅 ) himpunan terurut parsial.
Selanjutnya, ( 𝑋𝑋 , d) merupakan ruang metrik terhadap metrik 𝑑𝑑 : 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = | 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 |
, untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 Didefinisikan pemetaan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 dengan
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 1, jika 𝑥𝑥 = 3 𝑑𝑑 + 1 + 1 𝑑𝑑 + 1 0, jika 𝑥𝑥 = 3 𝑑𝑑
Diambil sebarang 𝜀𝜀 > 0 . Dipilih
𝛿𝛿 = � 1, jika  0 < 𝜀𝜀 < 1 2 𝜀𝜀 + 1, jika   1 ≤ 𝜀𝜀 < ∞
maka 𝛿𝛿 > 𝜀𝜀 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 dengan 𝜀𝜀 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) < 𝛿𝛿 dan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 berakibat 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � ≤ 𝜀𝜀 . Dengan kata lain, f memenuhi pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski.

## 4.2  Eksistensi Titik Tetap untuk Pemetaan Kontraksi Ciric-Matkowski
Dari  Contoh  4.1.2, menunjukkan tidak selalu berlaku bahwa f pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski di ruang metrik terurut merupakan pemetaan kontinu. Oleh karena itu, untuk membuktikan eksistensi titik tetap dari pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski di ruang metrik teurut ditambahkan syarat cukup bahwa f kontinu. Berikut teorema yang menjamin eksistensi titik tetap tersebut.

## Teorema 4.2.1
Diberikan ( 𝑋𝑋 , ≤ ) himpunan terurut parsial, suatu metrik d sedemikian sehingga ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik lengkap ( terhadap  relasi ≤ ) dan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 suatu pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski. Jika kedua kondisi berikut terpenuhi :
1. Pemetaan f kontinu dan tak turun
2. Terdapat 𝑥𝑥 𝑜𝑜 ∈ 𝑋𝑋 sehingga 𝑥𝑥 𝑜𝑜 ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑜𝑜 ) maka 𝑓𝑓 mempunyai titik tetap.
Bukti.
Diberikan 𝑥𝑥 0 ∈ 𝑋𝑋
sehingga 𝑥𝑥 0 ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) . Untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } didefinisikan barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊆ 𝑋𝑋 dengan 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) Akan ditunjukkan { 𝒙𝒙 𝒏𝒏 } merupakan barisan tak turun. Karena 𝑓𝑓 tak turun maka 𝑥𝑥 0 ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑥𝑥 1 yang berakibat 𝑥𝑥 1 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑥𝑥 2 . Jadi, untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } diperoleh 𝑥𝑥 0 ≤ 𝑥𝑥 1 ≤ 𝑥𝑥 2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ≤ ⋯ Jadi, { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } merupakan barisan tak turun.
Akan ditunjukkan 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒏𝒏→∞ 𝒅𝒅 ( 𝒙𝒙 𝒏𝒏 , 𝒙𝒙 𝒏𝒏+𝟏𝟏 ) = 𝟎𝟎 . Jika 𝑥𝑥 𝑛𝑛 0 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 0 +1 , untuk suatu 𝑑𝑑 0 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } , maka 𝑓𝑓 mempunyai titik tetap yaitu 𝑥𝑥 𝑛𝑛 0 ∈ 𝑋𝑋 . Jika 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ≠ 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 , untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } , maka diperoleh 𝑥𝑥 0 < 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < ⋯ < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < ⋯ Karena 𝑑𝑑 metrik pada 𝑋𝑋 maka 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) > 0 , untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } . Selanjutnya, karena 𝑓𝑓 memenuhi pemetaan kontraksi Ciric maka 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ), 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 )) < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 )
Dengan kata lain, { 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 )} 𝑛𝑛=0 ∞ merupakan barisan turun dan terbatas ke bawah. Berarti ada 𝜀𝜀 0 ≥ 0 dengan 𝜀𝜀 0 = inf �𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) ∶ 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } �
sehingga lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 𝜀𝜀 0 .
Akan ditunjukkan 𝜀𝜀 0 = 0 .  Andaikan 𝜀𝜀 0 > 0 . Karena f pemetaan kontraksi Ciric maka ada 𝛿𝛿 0 > 0 sehingga 𝜀𝜀 0 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) < 𝜀𝜀 0 + 𝛿𝛿 0 . Selanjutnya, karena lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 𝜀𝜀 0 maka ada 𝑁𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝜀𝜀 0 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 , 𝑥𝑥 𝑁𝑁+1 ) < 𝜀𝜀 0 + 𝛿𝛿 0 . Akibatnya diperoleh 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁+1 , 𝑥𝑥 𝑁𝑁+2 ) ≤ 𝜀𝜀 0 . Timbul kontradiksi dengan 𝜀𝜀 0 = inf �𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) ∶ 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } � . Jadi, 𝜀𝜀 0 = 0. Hal ini berarti lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 0. Selanjutnya akan ditunjukkan { 𝒙𝒙 𝒏𝒏 } merupakan barisan Cauchy.
Diambil sebarang 𝜀𝜀 > 0 . Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan 𝛿𝛿 ≤ 𝜀𝜀 .
Karena lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 0, maka ada K ∈ ℕ sehingga untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ ℕ dengan 𝑑𝑑 > K berlaku 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) < 𝛿𝛿 . Diambil sebarang 𝑙𝑙 , 𝑑𝑑 ∈ ℕ dengan 𝑙𝑙 , 𝑑𝑑 > K . Tanpa mengurangi keumuman diasumsikan 𝑙𝑙 > 𝑑𝑑 , maka 𝑙𝑙 = 𝑑𝑑 + 𝑠𝑠 , untuk suatu 𝑠𝑠 ∈ ℕ . Untuk menunjukkan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } barisan Cauchy maka akan ditunjukkan
𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � = 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) ≤ 𝜀𝜀
Pernyataan akan dibuktikan dengan induksi matematika. Akan ditunjukkan benar untuk 𝑠𝑠 = 1 . Karena 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) dan 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) < 𝜂𝜂 maka 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) < 𝛿𝛿 ≤ 𝜀𝜀 .
Selanjutnya, jika pernyataan dianggap benar untuk 𝑠𝑠 , yaitu 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � ≤ 𝜀𝜀 , akan ditunjukkan pernyataan tersebut benar pula untuk 𝑠𝑠 + 1 . 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) + 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � < 𝛿𝛿 + 𝜀𝜀
Ada dua kasus:
1. Jika 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � > 𝜀𝜀 .
Hal ini berarti 𝜀𝜀 < 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � < 𝛿𝛿 + 𝜀𝜀 . Karena 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 < 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 maka diperoleh 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝+1 � ≤ 𝜀𝜀 2. Jika 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � ≤ 𝜀𝜀 .
Karena 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 < 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 maka diperoleh 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝+1 � < 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+𝑝𝑝 � ≤ 𝜀𝜀 Jadi, { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } merupakan barisan Cauchy. Karena 𝑋𝑋 lengkap maka ada 𝑢𝑢 ∈ 𝑋𝑋 sehingga lim 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑢𝑢 . Karena 𝑓𝑓 kontinu maka
𝑢𝑢 = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 )
Jadi, ada 𝑢𝑢 ∈ 𝑋𝑋 yang merupakan titik tetap 𝑓𝑓 .
Dari Teorema 4.2.1 di atas, dapat dilihat bahwa eksistensi titik tetap di ruang metrik terurut ditentukan oleh kekontinuan pemetaan 𝑓𝑓 .  Pada teorema berikut membuktikan  bahwa dengan mengasumsikan suatu kondisi kekonvergenan pada barisan tak turun di ruang metrik terurut, kekontinuan pemetaan 𝑓𝑓 tidak lagi menjadi syarat cukup untuk eksistensi titik tetap.

## Teorema 4.2.2
Diberikan ( 𝑋𝑋 , ≤ ) himpunan terurut parsial, suatu metrik d sedemikian sehingga ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik lengkap ( terhadap relasi ≤ ) dan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 suatu pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski. Jika ketiga kondisi berikut terpenuhi :
1. Pemetaan f  tak turun
2. Terdapat 𝑥𝑥 𝑜𝑜 ∈ 𝑋𝑋 sehingga 𝑥𝑥 𝑜𝑜 ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑜𝑜 ) 3. Untuk setiap { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } barisan yang konvergen dengan lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = 0 , maka terdapat subbarisan �𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 � ⊆ { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian sehingga 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 ≤ 𝑥𝑥 , untuk setiap 𝑗𝑗 ∈ ℕ maka 𝑓𝑓 mempunyai titik tetap.
Bukti.
Diberikan 𝑥𝑥 0 ∈ 𝑋𝑋
sehingga 𝑥𝑥 0 ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) . Untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } didefinisikan barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊆ 𝑋𝑋 dengan 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) Sejalan dengan Teorema b, dapat ditunjukkan bahwa 1. { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } merupakan barisan tak turun 2. lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 0
3. { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } merupakan barisan Cauchy Selanjutnya, karena 𝑋𝑋 lengkap maka ada 𝑢𝑢 ∈ 𝑋𝑋 sehingga lim 𝑛𝑛→∞ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑢𝑢 . Karena { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } ⊆ 𝑋𝑋 barisan tak turun  maka menurut yang diketahui terdapat subbarisan �𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 � ⊆ { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sedemikian sehingga 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 ≤ 𝑢𝑢 , untuk setiap 𝑗𝑗 ∈ ℕ .
Ada dua kasus:
1. Jika 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘0 = 𝑢𝑢 , untuk suatu 𝑗𝑗 0 ∈ ℕ , maka untuk setiap 𝑗𝑗 ≥ 𝑑𝑑 𝑘𝑘 0 diperoleh
𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘0 ≤ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ≤ 𝑢𝑢
Jadi, 𝑥𝑥 𝑘𝑘 = 𝑢𝑢 , untuk setiap 𝑗𝑗 ≥ 𝑑𝑑 𝑘𝑘 0 . Lebih lanjut, 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘0 = 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘0+1 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘0 ) . Dengan kata lain, 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘0 = 𝑢𝑢 merupakan titik tetap untuk 𝑓𝑓 . 2. Jika 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 < 𝑢𝑢 , untuk setiap 𝑗𝑗 ∈ ℕ , maka dengan mengambil 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 , 𝑧𝑧 ) maka diperoleh
𝑑𝑑 �𝑓𝑓�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 � , 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) � = 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 +1 , 𝑓𝑓 ( 𝑧𝑧 ) � < 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 , 𝑧𝑧� = 𝜀𝜀
Karena lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 , 𝑢𝑢� = 0 maka lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 +1 , 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) � = 0 . Selanjutnya, karena �𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 +1 � ⊆ { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } dan lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑢𝑢 ) = 0 diperoleh
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑢𝑢 ) = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 +1 , 𝑢𝑢� = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑�𝑓𝑓�𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 � , 𝑢𝑢� = 0
Dengan menggunakan ketunggalan limit fungsi diperoleh 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) = 𝑢𝑢 . Dengan kata lain, 𝑢𝑢 merupakan titik tetap untuk 𝑓𝑓 . Jadi terbukti bahwa 𝑓𝑓 mempunyai titik tetap.

## 4.3  Ketunggalan Titik Tetap untuk Pemetaan Kontraksi Ciric-Matkowski
Teorema 4.2.1 dan Teorema 4.2.2  tidak menjamin ketunggalan titik tetap di ruang metrik terurut. Berikut merupakan contoh dari pemetaan kontraksi Ciric- Matkowski 𝑓𝑓 di ruang metrik terurut mempunyai titik tetap tidak tunggal.

## Contoh 4.3.1
Diberikan 𝑋𝑋 = {( 𝑗𝑗 , 0), (0, 𝑗𝑗 )} ⊆ ℝ 2 . , dengan 𝑗𝑗 ∈ ℝ + . Didefinisikan relasi urutan di ℝ 2 dengan
( 𝑗𝑗 , 𝑙𝑙 ) ≤ ( 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) ⇔ 𝑗𝑗 ≤ 𝑦𝑦 dan 𝑙𝑙 ≤ 𝑧𝑧 ( 𝑋𝑋 , ≤ ) merupakan himpunan terurut parsial dimana untuk setiap 𝑠𝑠 , 𝑞𝑞 ∈ 𝑋𝑋 akan komparabel jika dan hanya jika 𝑠𝑠 = 𝑞𝑞 . Didefinisikan 𝑑𝑑 2 metrik Euclidean di 𝑋𝑋 yaitu 𝑑𝑑 2 ( 𝑠𝑠 , 𝑞𝑞 ) = � ( 𝑞𝑞 1 − 𝑠𝑠 1 ) 2 + ( 𝑞𝑞 2 − 𝑠𝑠 2 ) 2
dengan 𝑠𝑠 = ( 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 ) dan 𝑞𝑞 = ( 𝑞𝑞 1 , 𝑞𝑞 2 )
.
Diperoleh ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 2 ) merupakan ruang metrik lengkap. Selanjutnya didefinisikan pemetaan identitas 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 dengan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) , maka 𝑓𝑓 kontinu, tak turun dan 𝑓𝑓 memenuhi pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski. Lebih lanjut, ( 𝑗𝑗 , 0) ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑗𝑗 , 0) dan
𝑑𝑑 2 ( 𝑓𝑓 ( 𝑗𝑗 , 0), ( 𝑗𝑗 , 0)) = 𝑑𝑑 2 ( 𝑓𝑓 ( 𝑗𝑗 , 0), (0, 𝑗𝑗 )) = 0 Jadi ( 𝑗𝑗 , 0) dan (0, 𝑗𝑗 ) merupakan titik tetap untuk 𝑓𝑓 . Dengan kata lain, 𝑓𝑓 memiliki titik tetap tidak tunggal.
Dengan menambahkan kondisi komparabel pada setiap dua anggota di 𝑋𝑋 sebagai syarat cukup pada kedua teorema di atas, maka ketungalan titik tetap dari pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski  dapat dibuktikan kebenarannya. Berikut diberikan teorema yang menjamin ketungalan titik tetap dari pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski.

## Teorema 4.3.2
Diberikan ( 𝑋𝑋 , ≤ ) himpunan terurut parsial, suatu metrik d sedemikian sehingga ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) ruang metrik lengkap ( terhadap relasi ≤ ) dan 𝑓𝑓 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 suatu pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski yang memenuhi kondisi 1 dan 2 pada Teorema  dan kondisi 1, 2, 3 pada Teorema. Jika untuk setiap x , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 , terdapat 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 sedemikian sehingga 𝑧𝑧 komparabel dengan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑 𝑦𝑦 ,  maka 𝑓𝑓 mempunyai titik tetap tunggal.
Bukti. Andaikan terdapat 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 merupakan titik tetap untuk f, dengan 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 . Ada dua kasus: 1. Misalkan 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 komparabel.
Diasumsikan 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 (dengan cara yang sama dapat ditunjukkan untuk 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥 ). Dengan mengambil 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) , dan mengingat bahwa f memenuhi pemetaan kontaksi Ciric-Matkowski maka
𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) � < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝜀𝜀
Timbul kontradiksi. 2. Misalkan 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 inkomparabel.
Menurut yang diketahui, terdapat 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 sedemikian sehingga 𝑧𝑧 komparabel dengan 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 . Diasumsikan 𝑥𝑥 < 𝑧𝑧 (dengan cara yang sama dapat ditunjukkan untuk 𝑧𝑧 < 𝑥𝑥 ). Karena 𝑓𝑓 tak turun maka 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ) , untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ ℕ . Lebih lanjut diperoleh a. Jika 𝑓𝑓 𝑛𝑛 0 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 0 ( 𝑧𝑧 ) , untuk suatu 𝑑𝑑 0 ∈ ℕ ,  dan  karena 𝑥𝑥 titik tetap untuk 𝑓𝑓 maka 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑥𝑥 , untuk setiap 𝑑𝑑 ≥ 𝑑𝑑 0 . Akibatnya lim 𝑛𝑛→∞ 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑥𝑥 .
b. Jika 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 < 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ) ,  untuk setiap 𝑑𝑑 ∈ ℕ , dan karena f memenuhi pemetaan kontaksi Ciric-Matkowski maka dengan mengambil 𝜀𝜀 = 𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 )) diperoleh
𝑑𝑑�𝑓𝑓 𝑛𝑛+1 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 𝑛𝑛+1 ( 𝑧𝑧 ) � = 𝑑𝑑�𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛+1 ( 𝑧𝑧 ) � ≤ 𝑑𝑑�𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ) � = 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ))
Jadi, { 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 )) } merupakan barisan turun dan terbatas ke bawah. Berarti ada 𝜀𝜀 0 ≥ 0 dengan 𝜀𝜀 0 = inf{ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 )) ∶ 𝑑𝑑 ∈ ℕ } sehingga lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 )) = 𝜀𝜀 0 .
Akan ditunjukkan 𝜀𝜀 0 = 0 . Andaikan 𝜀𝜀 0 > 0 . Karena f pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski maka ada 𝛿𝛿 0 > 0 sehingga  untuk 𝑥𝑥 < 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 ) maka 𝜀𝜀 0 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 )) < 𝜀𝜀 0 + 𝛿𝛿 0 . Selanjutnya, karena lim 𝑛𝑛→∞ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑧𝑧 )) =
𝜀𝜀 0 maka ada 𝑁𝑁 ∈ ℕ sehingga 𝜀𝜀 0 < 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑁𝑁 ( 𝑧𝑧 )) < 𝜀𝜀 0 + 𝛿𝛿 0 . Akibatnya diperoleh 𝑑𝑑�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), 𝑓𝑓 𝑁𝑁+1 ( 𝑧𝑧 ) � ≤ 𝜀𝜀 0 . Timbul kontradiksi dengan 𝜀𝜀 0 = inf{ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) ∶ 𝑑𝑑 ∈ ℕ }.
Jadi, 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 . Dengan kata lain, titik tetap 𝑓𝑓 tunggal.

## 5.  KESIMPULAN
Pada  ruang metrik terurut, pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski tidak berakibat bahwa pemetaan tersebut  kontinu. Oleh karena itu,  kekontinuan pemetaan  merupakan syarat cukup untuk menjamin eksistensi titik tetap. Di sisi lain, syarat kekontinuan pada pemetaan dapat dihilangkan dengan menambahkan sifat kekonvergen barisan tak turun di ruang metrik terurut. Dengan demikian, eksistensi titik tetap untuk pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski yang tak kontinu dijamin keberadaannya. Lebih lanjut, ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraksi Ciric-Matkowski dapat ditunjukkan dengan menambahkan sifat komparabel pada dua anggota dalam ruang metrik terurut.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Harjani, J., et al. 2011. Fixed Point Theorem for Meir-Keeler Contractions in ordered Metric spaces, Fixed Point Theory and Applications , 1 (83) 1-8.
[2]  J. Matkowski. 1980. Fixed point theorems for contractive mappings in metric spaces, Cas. Pest. Mat. (105)341–344.
[3]    Trotter,  W.T.  1992.  Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension Theory. J. Hopkins University Press: U.S.
[4]  Royden, H.L. 1989. Real Analysis. 3rd ed . Macmillan Publishing Company: New York.
[5]  Ciric, L., 1981.  A New Fixed-Point Theorem For Contractive Mappings. Publications De L’Institut Mathematique (N.S). 30 (44), 25–27
[6]  Meir, A, Keeler. E. 1969. A Theorem On Contraction Mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications . (28)326–329.