JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 3, Tahun 2021, Halaman 388 - 401 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
IMPLEMENTASI MODEL ACCELERATED FAILURE TIME (AFT) BERDISTRIBUSI LOG-LOGISTIK PADA PASIEN PENYAKIT JANTUNG BAWAAN
Dwi Nooriqfina * , Sudarno 2 , Rukun Santoso 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail (dwinooriqfina@students.undip.ac.id)

## ABSTRACT
Log-Logistic Accelerated Failure Time (AFT) model is survival analysis that is used when the survival time follows  Log-Logistic  distribution.  Log-Logistic  AFT  model  can  be  used  to  estimate  survival  time,  survival function, and hazard function. Log-Logistic AFT model was formed by regressing covariates linierly against the log of survival time. Regression coefficients are estimated using maximum likelihood method. This study uses data from Atrial Septal Defect (ASD) patients, which is a congenital disease with a hole in the wall that separates the top of two chambers of the heart by using sensor type III. Survival time as the response variable, that is the time from patient was diagnosed with ASD until the first relapse and uses age, gender, treatment status  (catheterization/surgery),  defect  size  that  is  the  size  of  the  hole  in  the  heart  terrace,  pulmonary hypertension status, and pain status as predictor variables. The result showed that variable gender, treatment status, defect size, pulmonary hypertension status, and pain status affect the first recurrence of ASD patients, so it is found that category of female, untreated patient, defect size ≥12mm, having pulmonary hypertension, having chest pain tend to have first recurrence sooner than the other category.
Keywords : Atrial Septal Defect, Survival Analysis, Log-Logistic Accelerated Failure Time Model.

## 1. PENDAHULUAN
Atrial  Septal  Defect (ASD)  atau  defek  septum  atrium  adalah  kelainan  akibat  adanya lubang  pada  septum  intersisial  yang  memisahkan  antrium  kiri  dan  kanan.  Atrial  Septal Defect (ASD) merupakan salah satu jenis dari penyakit jantung bawaan yang paling sering ditemukan  adalah  yaitu  dengan  insidensi  10%  pada  pasien  dewasa  dan  0,8%  pada  pasien bayi. ASD  merupakan kelainan  yang  membutuhkan penangan  yang harus dilakukan sejak dini dengan treatment kateterisasi ataupun pembedahan. Pada tahun 2019 RSUP Dr. Kariadi Semarang  memiliki  274  pasien  penderita  ASD  yang  menjalani  rawat  jalan  ataupun  rawat inap. Pasien penderita ASD tersebut terdiri atas 11 pasien bayi, 91 pasien anak-anak dan 179 pasien usia, dengan rentang usia 1 hari hingga 69 tahun.
Analisis  survival  merupakan  metode  yang  memanfaatkan  data  dengan  informasi kronologis dari suatu kejadian atau peristiwa (event). Analisis survival memiliki perbedaan dengan  analisis  statistika  lainnya  yaitu  pada  konsep  penyensoran.  Penyensoran  terjadi apabila kejadian memiliki informasi tentang waktu survival individu, tetapi tidak tahu secara pasti waktu survival-nya, maka data tersebut termasuk data tersensor (Kleinbaum & Klein, 2005). Model Log-Logistik Accelerated Failure Time (AFT) merupakan salah metode yang dapat  digunakan  pada  analisis  survival  jika  data  waktu  survival  diketahui  mengikuti distribusi  Log-Logistik.  Metode  parametrik  tersebut  dapat  digunakan  untuk  mengetahui pengaruh suatu variable bebas terhadap waktu survival dan melihat nilai suatu variabel bebas dalam  mempercepat  terjadinya  suatu  peristiwa.  Penelitian  tugas  akhir  ini  adalah menganalisis faktor-faktor yang mempengaruhi waktu kekambuhan pasien penderita Atrial Septal Defect (ASD) serta kondisi dari faktor-faktor tersebut dalam mempercepat terjadinya kekambuhan  dengan  menggunakan  metode  parametrik  berdistribusi  Log-Logistik Accelerated Failure Time (AFT).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1  Analisis Survival
Analisis survival merupakan metode yang digunakan untuk menggambarkan analisis data dalam bentuk waktu dimulai dari waktu asal terdefinisi sampai kejadian tertentu terjadi (Collet,  2004).  Data  waktu  pada  analisis  survival  digambarkan  atau  ditandai  oleh  tiga fungsi, yaitu fungsi ketahanan hidup, fungsi kepadatan peluang, dan fungsi kegagalan.

## 2.1.1  Fungsi Padat Peluang
Fungsi  padat  peluang  dinotasikan  dengan 𝑓(𝑡) dan  didefinisikan  sebagai probabilitas  suatu  individu  gagal  pada  interval  waktu 𝑡 sampai 𝑡 + ∆𝑡 atau  peluang kegagalan dalam interval per satuan waktu. Fungsi kepadatan peluang dinyatakan dengan
0 (objek gagal pada interval ( ) ( ) lim t P t t f t
t      
      (1)
𝑇 merupakan variabel acak non-negatif dalam interval [0, ∞) dan 𝐹(𝑡) merupakan fungsi  distribusi  kumulatif  kontinu  dari 𝑇 . Fungsi  ini  didefinisikan  sebagai  peluang  suatu individu  mengalami  kejadian  sebelum  waktu 𝑡 dan  dituliskan  dengan  persamaan  sebagai berikut:
𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡) (2)
2.1.2  Fungsi Tahan Hidup
Variabel  random  menyatakan  waktu  ketahanan  hidup  sebuah  objek  disimbolkan dengan 𝑇 dan  fungsi  ketahanan  hidupnya  dinotasikan  dengan 𝑆(𝑡) yang  menunjukan probabilitas  suatu  individu  bertahan  hidup  lebih  dari  waktu 𝑡 ,  dengan 𝑡 > 0 .  Maka 𝑆(𝑡) dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝑆(𝑡) = 𝑃(individu bertahan lebih dari waktu 𝑡)
= 𝑃(𝑇 > 𝑡) )
= 1 − 𝑃(individu gagal sebelum waktu 𝑡)
= 1 − 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡) 𝑆(𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) (3)

## 2.1.3  Fungsi Kegagalan
Fungsi  kegagalan  didefinisikan  sebagai  tingkat  kegagalan  bersyarat  yaitu probabilitas suatu individu gagal bertahan dalam interval waktu yang sangat pendek dari 𝑡 sampai 𝑡  + ∆𝑡 ,  jika diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hingga waktu 𝑡 . Fungsi  kegagalan  dari  waktu  tahan  hidup 𝑇 dinotasikan  dengan ℎ(𝑡) dan  didefinisikan sebagai berikut:
ℎ(𝑡) = lim ∆𝑡 →0 [ 𝑃[ seorang individu gagal pada interval waktu (𝑡.𝑡+∆𝑡) jika diketahui indivudu tersebut telah brtahan hingga waktu 𝑡 ]
∆𝑡 ]
Fungsi kegagalan juga dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑡) dan fungsi padat peluang 𝑓(𝑡) , yaitu sebagai berikut: ℎ(t) = 𝑓 (t)
1−𝐹 (t) = 𝑓 (t) 𝑆 (t) (4)

## 2.1.4  Data Tersensor
Penyensoran  terjadi  apabila  kejadian  memiliki  informasi  tentang  waktu survival individu,  tetapi  tidak  tahu  secara  pasti  waktu survival nya.  Tiga  tipe  penyensoran  yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu sebagai berikut:
1. Sensor tipe I
Sensor tipe I adalah tipe penyensoran ketika semua 𝑛 objek masuk pada waktu yang sama dan percobaan akan dilakukan selama waktu 𝑇 yang telah ditentukan dan akan berakhir setelah
mencapai waktu 𝑇 , jika tidak ada objek yang hilang secara tiba-tiba maka waktu tahan hidup observasi tersensor sama dengan lama waktu pengamatan.
2. Sensor tipe II
Sensor  tipe  II  adalah  tipe  penyensoran  ketika  semua  objek  yang  diteliti (𝑛) masuk  pada waktu  yang  bersamaan  dan  pengujian  akan  dihentikan  sampai 𝑟 dari 𝑛 unit  mengalami kematian.
3. Sensor tipe III
Sensor tipe III adalah tipe penyensoran ketika objek yang diteliti masuk ke dalam percobaan pada waktu yang berlainan selama periode waktu tertentu. Beberapa objek yang gagal atau mati sebelum pengamatan berakhir dapat diketahui waktu tahan  hidupnya,  beberapa objek yang lain keluar sebelum pengamatan berakhir dan sebagian lagi ada objek yang tetap hidup sampai batas waktu terakhir pengamatan.

## 2.1.5  Distribusi Log-Logistik
Distribusi  Log-Logistik  berasal  dari  distribusi  Logistik  dengan  variabel  random 𝑌 yang mempunyai fungsi densitas peluang
1 2 ( ) exp[ ] ( ) ( ) {1 exp[ ]} y f y y y       m s s , - ¥ < ¥ m s (5)
Variabel  random 𝑇 dikatakan  mengikuti  distribusi  Log-Logistik  jika  mempunyai  fungsi densitas sebagai berikut:
1 2 ( ) (1 ) k k e kt f t e t      (6)
Dengan 𝑘 =   1/ σ, 𝜃 = (−𝜇/σ)
Fungsi distribusi kumulatif :  ( ) 1 k k e t F t e t     (7)
Fungsi tahan hidup : 𝑆(𝑡) = 1 1 k e t   (8)
Fungsi kegagalan : 1 ( ) 1 k k e kt h t e t      (9)

## 2.1.6  Estimasi Parameter
1. Estimasi Parameter Secara Umum
Maximum Likelihood Estimation (MLE) merupakan metode  yang digunakan untuk menaksir parameter yang tidak diketahui dari suatu populasi.  Misalkan 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 adalah sampel  random  dari  populasi  dengan  fungsi  kepadatan  peluang 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 |𝛽) dan 𝛽 merupakan  parameter  yang  dapat  berbentuk  tunggal  namun  juga  dapat  berbentuk  vector yaitu 𝜷 sehingga fungsi likelihoodnya sebagai berikut:
1 2 1 2 1 ( , ,..., | ) ( | , ,..., ) n P i P i L f x          x (10)
Untuk menentukan tasiran parameter dengan menggunakan MLE, terlebih dahulu mencari fungsi log likelihood dari persamaan (10), seperti yang tercantum pada persamaan berikut:
  1 2 1 2 1 log ( , ,..., | ) log ( | , ,..., ) n P i P i l L
f x           x (11)
Bila  fungsi  likelihoodnya  terdefinisikan  dalam 𝛽 1 , 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑝 ,  maka  calon  estimator maksimum likelihood yang mungkin adalah
1 2 ˆ ˆ ˆ , ,..., p    sehingga
1 2 ( , ,..., | ) 0 P j l      
 x 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (12)
Untuk  pembuktian  bahwa  ˆ j  benar-benar  memaksimumkan  fungsi  likelihood,  dapat dibuktikan yaitu dengan menunjukan bahwa matrik Hessian bernilai definit  negatif. Matrik
Hessian adalah  matrik simetri  yang  berisi persilangan turunan parsial dari 2 j s l     dengan 1, 2,..., j p  dan 1, 2,..., s p  . Bentuk matrik Hessian adalah sebagai berikut: 2 2 1 1 1 2 2 1 p p p p l l H l l            
                         (13)
Matrik turunan kedua tersebut bernilai definit negatif jika 0, T H   X X X . 2. Estimasi parameter data tahan hidup tersensor tipe III
Apabila 𝑓(𝑡; 𝜃) adalah fungsi probabilitas bersama dimana t adalah realisasi dari 𝑇 , maka fungsi likelihood dari 𝜃 dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝐿(𝜃|𝒕) = 𝑓(𝑡; 𝜃) (14)
Untuk data survival yang diasumsikan independen dan identik serta lengkap, apabila ada 1 2 3 , , ,..., n t t t t observasi, fungsi likelihood dapat ditulis : 𝐿(𝜃|𝒕) =   ∏ 𝑓(𝑡 𝑖 ; 𝜃) 𝑛 𝑖=1 (15)
Untuk  data survival tidak  lengkap  dengan  kemungkinan  tersensor  tipe III dapat direpresentasikan  sebagai  pasangan  nilai  observasi survival dengan  status tersensornya yaitu ( 𝑡 𝑖 , 𝛿 𝑖 ), 𝑖  =  1, 2, 3, … , 𝑛 dengan  0 jika i tersensor
1 jika i mendapat event i  
Dengan  asumsi  masing-masing  ( 𝑇 𝑖 , 𝛿 𝑖 )  independent  satu  dengan  yang  lain,  fungsi likelihood untuk data tersensor tipe III adalah :
𝐿(𝜃|𝑡) =   ∏ 𝑓(𝑡 𝑖 |𝜃) 𝛿 𝑖 𝑆(𝑡 𝑖 |𝜃) 1−𝛿 𝑖 𝑛 𝑖=1 (16)
Dengan 𝜃 = (𝜃 1 , 𝜃 2 , … , 𝜃 𝑝 ) adalah 𝑝 parameter yang akan destimasi, 𝑓(𝑡 𝑖 |𝜃) adalah fungsi densitas untuk 𝑖 yang mendapatkan kejadian dan 𝑆(𝑡 𝑖 |𝜃) adalah fungsi tahan hidup untuk 𝑖 yang tidak mendapat kejadian.

## 2.2  Log-Logistik Accelerated Failure Time (AFT)

## 2.2.1  Model Log-Logistik AFT
Model  Accelerated  Failure  Time  (AFT)  memiliki  asumsi  bahwa  efek  kovariat multiplikatif  terhadap  waktu  survival.  Model  AFT  dapat  dibentuk  sebagai  model  linier dengan  tranformasi  log  pada  variabel  random T atau  dapat  dikatakan  bahwa  model  AFT mengasumsikan hubungan antara log waktu survival T linier  dengan kovariat. Misal T adalah waktu survival, X adalah vektor dari kovariat dan T β adalah vektor koefisien regresi, maka model AFT dapat ditulisan dalam persamaan sebagai berikut:
ln Y T W       T β X (17)
  exp T W      T β X (18)
dengan  adalah  intersep,  adalah  parameter  skala, W adalah  error  yang diasumsikan  bersidtribusi  logistik.  Berdasarkan  persamaan  fungsi  survival,  maka  model AFT (17) dapat dituliskan dalam persamaan sebagai berikut:
( ) ( ) (exp( ) exp( )) S t P T t P W t         T β X (19)
Apabila  semua X bernilai  0  (baseline),  maka T β X akan  bernilai  0  pula,  dan exp( ) 1   T β X , asehingga fungsi baseline untuk model AFT sebagai berikut:
0 ( ) (exp( ) ) S t P W t      (20)
Sehingga hubungan antara persamaan (19) dan (20) yaitu sebagai berikut:
0 0 ( ) ( exp( )) (exp( ) ) S t S t S t     T T β X β X (21)
diperoleh fungsi kegagalan model AFT sebagai berikut:
0 ( ) exp( ) (exp( ) ) h t h t    T T
β X β X (22) 1. Model Log-Logistik AFT tanpa efek kovariat
Misal  variabel  random  waktu  survival T berdistribusi  Log-Logistik  dengan parameter   , k  . Berikut akan dibahas terlebih dahulu model Log-Logistik AFT tanpa efek kovariat  sehingga  persamaan  (17)  menjadi ln Y T W      dengan  transformasi  log waktu survival ln Y T  , maka bentuk persamaan fungsi survival sebagai berikut:
1 ( ) 1 Y yk S y e     (23)
dengan W adalah error yang memiliki bentuk fungsi survival sebagai berikut:
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 exp( ( ) ) W
Y S w P W w P Y w S w
w k       
             1 ( ) 1 exp W S w w   (24)
Maka bentuk fungsi densitas untuk W adalah sebagai berikut:
  2 exp( ) ( ) 1 exp( ) W w f w w  
(25)
2. Model Log-Logistik AFT dengan efek kovariat:
Fungsi survival untuk Y sebagai berikut:
( ) ( ) Y W y y S y P Y y P W
S                          T T β X β X Berdasarkan persamaan (24) maka diperoleh: 1 ( ) 1 exp Y S y y             T β X (26) Fungsi densitas Y sebagai berikut:
2 exp ( ) ( ) 1 exp Y Y y d f y S y dy y       
                        T T β X β X (27)
Berdasarkan persamaan (21) dan (22) diperoleh fungsi survival dan fungsi kegagalan untuk model Log-Logistik AFT untuk waktu survival T yaitu: Fungsi survival model Log-Logistik AFT:
  0 1 ( ) (exp( ) ) 1 k k S t S t e t        T T β X β X (28)
Fungsi kegagalan model Log-Logistik AFT:
  ( ) 1 0 ( ) exp( ) (exp( ) ) 1 k k k k e kt h t h t e t             T T β X T T β X β X β X (29)

## 2.2.2  Estimasi Parameter pada Distribusi Log-Logistik Tersensor Tipe III
Untuk mengestimasi parameter pada model Log-Logistik AFT dengan menggunakan metode maksimum likelihood, perhatikan model log linier waktu ln Y T W       T β X
Berdasarkan persamaan (26) dan (27) maka fungsi likelihoodnya adalah:
    1 1 1 2 1 ( ) ( ) exp 1 1 exp 1 exp i i i i n Y i Y i i n i L f y S y y
y y              
     
                                                         T T T β X β X β X Bentuk logaritma natural dari fungsi likelihood tersebut adalah: 1 2 1 exp 1 ln ln 1 exp 1 exp i i n i y l L y y    
  

   
 
                                                                          T T T β X β X β X   2 1 exp 1 ln 1 ln (30) 1 exp 1 exp n i i i y l
y y          
                                                                            T T T β X β X β X Estimasi  parameter  dengan  menggunakan  persaman  (30)  diperoleh  dengan  cara menyelesaikan persamanaan: 0 l     (31)
Estimasi  parameter  dengan  menggunakan  persaman  (30)  diperoleh  dengan  cara menyelesaikan persamanaan: 0 l     (32)
Estimasi  parameter j  untuk 1, 2,..., j p  dengan  menggunakan  persaman  (30)  diperoleh dengan cara menyelesaikan persamanaan: 0 j l     (33)
Berdasarkan fungsi log likelihood terlihat bahwa estimasi parameter  ,  , dan j  tidak  dapat  diselesaikan  secara  eksak,  sehingga  diperlukan  penyelesaiaan  secara  numerik
menggunakan metode Newton-Raphson dengan bantuan software yang diselesaikan secara komputasi.
Berikut  ini  akan  dijelaskan  prosedur Newton-Raphson untuk  menaksir  parameter pada model Log-Logistik AFT dengan data tersensor tipe III. Misal matriks ˆ a adalah matriks kolom ukuran 2 p  yang berisi taksiran parameter 1 , , ,..., p     maka diperoleh bentuk matriks ˆ a sebagai berikut:
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p                        a (34)
Matriks   1 , , ,..., p     G adalah  matriks  kolom  ukuran 2 p  yang  berisikan  turunan pertama  fungsi  log-likelihood  terhadap  parameter 1 , , ,..., p     .  Maka  matriks   1 , , ,..., 0 p
     G bersesuaian dengan persamaan (31) sampai (33). Jika 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., p    
adalah  taksiran  parameter
1 , , ,..., p     yang  memaksimumkan  fungsi  likelihood,  maka matriks   1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., 0 p      G adalah:
                1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., , , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ ˆ , , p p p p p p p p p l l l l                               
       
 
                             G G G G
G   0 0 0 0 ˆ ,..., ˆ p p      
                                        
 
  
  (35)
Matriks   1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., p     H merupakan matriks berukuran       2 2 p p    yang berisikan turunan  fungsi  pada  matriks   1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., p     G terhadap 1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., p     ,  maka  matriks
  1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., p     H adalah:   1 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., ˆ ˆ p p p p p G G G G  
           
                    
H (36)
Prosedur Newton-Raphson untuk mencari taksiran ˆ a sehingga   1 ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,..., 0 p      G adalah sebagai berikut:
1. Input:
- Batas toleransi (tol)
-   Taksiran awal ( (0) ˆ a )
2. Pada setiap iterasi ke- r
- Hitung taksiran baru untuk   ˆ r
a :             1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , ,...,
, , ,..., r r r r p p            
    
 a a H G - Hitung error taksiran:
      1 ˆ ˆ r r r error    a a
- Periksa kondisi berikut:
  r error tol  , lanjut ke iterasi berikutnya
  r error tol  , iterasi selesai
3. Output
- Taksiran untuk ˆ a adalah ( ) ˆ r a - Error dari taksiran yang diperoleh adalah   r error
- Iterasi yang dilakukan adalah sebanyak r
Dengan metode Newton-Raphson maka taksiran untuk ˆ a pada persamaan (34) adalah ( ) ˆ r a

## 2.2.3  Uji Kecocokan Distribusi Log-Logistik
Hipotesis : 𝐻 0 ∶ Data sampel hasil observasi dianggap berasal dari populasi yang berdistribusi Log-Logistik
𝐻 1 ∶ Data  sampel  hasil  observasi  dianggap  berasal  dari  populasi  yang  tidak berdistribusi Log-Logistik
Tingkat signifikansi : 𝛼  =  5%
Statistik Uji:
  2 , 1 1 1 (2 1) ln ( ) ln(1 ( )) n n p i n i i A n i F t F t n
         
dengan r p n 
Kriteria Penolakan: 𝐻 0 ditolak jika nilai 2 1 , , n p n p A D   

## 2.2.5  Ujian Signifikansi Parameter
1. Pengujian Secara Serentak
Hipotesis
𝐻 0 : 𝛽 1 = 𝛽 2 = ⋯ = 𝛽 𝑃 = 0 (secara  bersam-sama  variabel  independent  tidak berpengaruh terhadap variabel dependen)
𝐻 1 : minimal  ada  satu 𝛽 𝑗 ≠ 0, dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (minimal  ada  satu  vaiabel independent yang berpengaruh secara simultan terhadap variabel dependen) Taraf Signifikansi: 𝛼  =  5%
Statistik Uji: ˆ 2 ln(0) ln ( ) G L       

dengan: ln 𝐿(0) :log partial likelihood dari model tanpa variabel independen ˆ ln ( ) L  :log partial likelihood dari model yang terdiri dari p variabel  independen
Kriteria Penolakan: 𝐻 0 ditolak jika   2 , db p G    c atau p-value < α  dengan p adalah banyaknya parameter β
2. Pengujian Secara Parsial
Hipotesis
𝐻 0 : 𝛽 𝑗 = 0, dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (variabel independent j tidak berpengaruh terhadap variabel dependen)
𝐻 1 : 𝛽 𝑗 ≠ 0, dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (vaiabel  independent  j  berpengaruh  terhadap variabel dependen) Taraf Signifikansi: α = 5%
Statistik Uji:
ˆ ˆ j j Z SE    dengan var j j SE      Kriteria Penolakan: 0 H ditolak jika / 2 | | Z Z   atau p-value < α

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1 Jenis dan Sumber Data
Jenis data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari dokumen rekam  medis  pasien  penderita  penyakit  jantung  bawaan  jenis Atrial  Septal  Defect yang menjalani rawat inap atau rawat jalan di RSUP Dr. Kariadi  Kota Semarang periode Januari 2019  sampai  Desember  2019  yang  berjumlah  113  data.  Pengambilan  data  dilakukan  di bagian rekam medis selama 1 bulan dengan cara pencatatan ulang variabel - variabel yang diperlukan untuk data masing -masing pasien.

## 3.2 Variabel Penelitian
Variabel  yang  digunakan  terdiri  atas  lama  waktu  tahan  hidup  ( survival ),  status sensor, usia, jenis kelamin, status treatment , ukuran defect , status hipertensi pulmonal, dan status nyeri. Variabel yang menyatakan penyensoran adalah variabel status sensor dengan penyensoran  tipe  III.  Penyensoan  berdasarkan  data  waktu  tiap  individu  mulai  diberi penanganan yang masing-masingnya dimulai dari waktu yang berbeda-beda hingga pasien mengalami kekambuahan pertama atau sampai akhir penelitian yaitu Desember 2019.

## 3.3 Analisis Data
Analisis data pada penelitian ini menggunakan software RStudio 3.6.0, Minitab 17 dan Microsoft Excel 2016.  Langkah-langkah analisis yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan input data
2. Melakukan analisis deskriptif
3. Melakukkan uji kecocokan distribusi Log-Logistik untuk data waktu tahan hidup
4. Melakukan estimasi parameter menggunakan MLE
5. Melakukan uji signifikansi parameter
6. Membentuk model AFT
7. Melakukan interpretasi model AFT yang telah terbentuk

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada penelitian ini, event didefinisikan sebagai kekambuhan pertama pasien penderita ASD, sehingga untuk definisi fungsi survival , fungsi kepadatan peluang, fungsi kumulatif dan fungsi hazard didefinisikan sebagai berikut:
1. ( ) S t :  Probabilitas  pasien  penderita  ASD  tidak  mengalami  kekambuhan  pertama lebih dari waktu t .
2. ( ) f t :  Probabilitas pasien  mengalami kekambuhan pertama dalam  interval waktu t sampai t t   .
3. ( ) F t :  Probabilitas pasien mengalami kekambuhan pertama sebelum waktu t .
4. ( ) h t :  Rate  kegagalan  pasien  mengalami  kekambuhan  pertama  dalam  interval waktu t sampai t t   , jika diketahui pasien tersebut tidak mengalami kekambuhan pertama hingga waktu t .

## 4.1 Uji Distribusi Waktu Survival
Berdasarkan  hasil  perhitungan menggunakan software Minitab 17 diperoleh nilai 2 hitung A (Anderson-Darling)  pada  distribusi  Log-Logistik  sebesar  0,395  dengan  nilai
0.95 113;0,9 1,3581
D  (berdasarkan Tabel Koziol and Byar). Sehingga pada taraf signifikansi 5%,
0 H ditolak  karena 2 0.95 106;0,9 hitung A D  .  Dapat  disimpulkan  bahwa  waktu survival pasien penderita ASD berdistribusi Log-Logistik.
4.2 Analisis Survival dengan Model Regresi AFT Log-Logistik 4.2.1 Regresi AFT Log-Logistik Model Awal Tabel 1. Hasil Estimasi Koefisien Regresi AFT Log-Logistik Model Awal Variabel Estimasi Koefisien Intercept ( )  4.52962
1 X (Usia) - 0.00347
2 X (Laki-laki) 0.53800 3 X (Kateterisasi/Operasi) 0.71326 4 X (≥12mm) -0.76395 5 X (Ada Hipertensi Pulmonal) -0.33645 6 X (Ya Nyeri) -0.87516 Scale (  ) 0.517
8, 7613        1 1, 9342 k   
Berdasarkan  pada  Tabel  2  dengan  rumus (18), (28) dan (29) maka  diperoleh: -Estimasi waktu survival model awal sebagai berikut:
1 2 3 4 5 6 ˆ exp(4,52962 0,00347 0,538 0, 71326
0, 76395 0,33645 0,87516 )
T
X X X X X X 
  
  
-Estimasi fungsi survival model awal sebagai berikut:
1 2 3 1,9324 1 4 5 6 ˆ( | ) [1 exp( 8,7613 1,9324(0,00347 0,538 0, 71326 0, 76395 0,33645 0,87516 )) ]
S t X
X X X
X X X t          
-Estimasi fungsi kegagalan model awal sebagai berikut:
1 2 3 1,9324 1 4 5 6 1 2 3 1,9324 4 5
6
8, 7613 1,9324(0, 00347
0,538 0, 71326 exp 1,9324 0, 76395 0,33645 0,87516 ˆ( | ) 1 exp( 8, 7613 1,9324(0, 00347 0,538 0, 71326 0, 76395 0,33645 0,87516 ))
X X X t X X X h t X X X X X X X t                               
1. Uji Serentak (Rasio Likelihood)
Berdasarkan  hasil  pada output software RStudio, diperoleh  hasil perhitungan untuk nilai dari uji rasio likelihood sebagai berikut:
ˆ 2[ln (0) ln ( ) 2[ 572, 3 ( 554, 7)] 35, 2 dengan p-value=4,2e-06 G L L G G       
   Pada taraf signifikansi 5%   , 0 H ditolak karena nilai 2 (5%;6) 35, 2 12,592 G     dan  nilai 4, 2 06 0, 05 p value e       .  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  terdapat minimal satu variabel bebas yang berpengaruh terhadap variabel terikat.
2. Uji Parsial
Berdasarkan  hasil  pada  output software RStudio  diperoleh  nilai Z dan p-value masing-masing variabel bebas pada Tabel 3:
Tabel 2. Hasil Regresi AFT Log-Logistik Model Awal Variabel Z p-value Keputusan Intercept 20.89 < 2e-16 0 H ditolak 1 X (Usia) -0.65 0.5148 0 H diterima 2 X (Laki-laki) 2.51 0.0122 0 H ditolak 3 X (Kateterisasi/Operasi) 2.72 0.0066 0 H ditolak 4 X (≥12mm) -4.03 5.7e-05 0 H ditolak 5 X (Ada Hipertensi Pulmonal) -1.85 0.0645 0 H ditolak 6 X (Ya Nyeri) -2.05 0.0406 0 H ditolak Berdasarkan  tabel  3   pada  tingkat  signifikansi 5%   , 0 H ditolak untuk variabel jenis  kelamin, treatment ,  ukuran defect ,  hipertensi  pulmonal  dan  nyeri  karena  nilai 0,025 | | 1,96 Z Z   dan 0, 05 p value     .  Sementara  untuk  variabel  usia 0 H diterima karena nilai 0,025 | | 1,96 Z Z   dan 0, 05 p value     . Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa  variabel  jenis  kelamin, treatment ,  ukuran defect ,  hipertensi  pulmonal  dan  nyeri berpengaruh secara signifikan terhadap waktu survival pasien penderita ASD.

## 4.2.2 Regresi AFT Log-Logistik Model Akhir
Berdasarkan  model  awal,  variabel  bebas  usia  tidak  signifikan  terhadap  waktu survival pasien penderita ASD, maka dari itu variabel usia dikeluarkan  dari  model  dengan seleksi backward sehingga  estimasi  yang  didapat  dengan  hanya  variabel  jenis  kelamin, treatment , ukuran defect , hipertensi pulmonal dan nyeri seperti pada Tabel 7 berikut:
Tabel 3. Hasil Estimasi Koefisien Regresi AFT Log-Logistik Model Akhir
Variabel Estimasi Koefisien Intercept ( )  4.4451
2 X (Laki-laki) 0.5393 3 X (Kateterisasi/Operasi) 0.7259 4 X (≥12mm) -0.7640 5 X (Ada Hipertensi Pulmonal) -0.3557 6 X (Ya Nyeri) -0.8921

## Scale (σ)
0.518 8, 5813        1 1, 93 k   
Berdasarkan  pada  Tabel  4  dengan  rumus (18), (28) dan (29) maka  diperoleh: -Estimasi waktu survival model awal sebagai berikut:
2 3 4 5 6
ˆ exp(4,4451 0,5393 0,7259 0,764 0,3557 0,8921 ) T X X X X X      
-Estimasi fungsi survival model sebagai berikut:
2 3 1,93 1 4 5 6
ˆ( | ) [1 exp( 8,5813 1,93( 0,5393 0, 7259 0, 764 0, 3557 0,8921 )) ] S t X X X X X X t           -Estimasi fungsi kegagalan model sebagai berikut:
2 3 1,93 1 4 5 6 2 3 1,93 4 5 6
8, 5813 1, 93( 0, 5393 0, 7259
exp 1, 93
0, 764 0, 3557 0,8921 ) ˆ( | ) 1 exp( 8, 5813 1, 93( 0, 5393 0, 7259
0, 764 0, 3557 0,8921 ))
X X t X X X h t X
X X X X X t                               

## 1. Uji Serentak (Rasio Likelihood)
Berdasarkan  persamaan  hasil  hasil  pada output software RStudio,  diperoleh  hasil perhitungan untuk nilai dari uji rasio likelihood sebagai berikut:
ˆ 2[ln (0) ln ( ) 2[ 572, 3 ( 555)] 34, 6 dengan p-value=1,8e-06 G L L G G       
 

## 
Pada  taraf  signifikansi 5%   , 0 H ditolak  karena  nilai 2 (5%;6) 34, 6 11, 070 G    dan  nilai 1,8 06 0, 05 p value e       .  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  terdapat minimal satu variabel bebas yang berpengaruh terhadap variabel terikat.
2. Uji Parsial
Berdasarkan  hasil  pada  output software RStudio  diperoleh  nilai  Z  dan p-value masing-masing variabel bebas pada Tabel 5:
Tabel 4. Hasil Regresi AFT Log-Logistik Model Akhir Variabel Z p-value Keputusan Intercept 25.74 < 2e-16 0 H ditolak 2 X (Laki-laki) 2.51 0.0121 0 H ditolak 3 X (Kateterisasi/Operasi) 2.75 0.0059 0 H ditolak 4 X (≥12mm) -1.97 0.0488 0 H ditolak 5 X (Ada Hipertensi Pulmonal) -4.02 5.7e-05 0 H ditolak 6 X (Ya Nyeri) -2.09 0.0363 0 H ditolak
Berdasarkan  tabel  5   pada  tingkat  signifikansi 5%   , 0 H ditolak untuk variabel jenis kelamin, treatment ,  ukuran defect ,  hipertensi  pulmonal  dan  nyeri  karena  nilai 0,025 | | 1,96 Z Z   dan 0, 05 p value     .  Oleh  karena  itu  dapat  disimpulkan  bahwa
variabel jenis kelamin, treatment , ukuran defect , hipertensi pulmonal dan nyeri berpengaruh secara signifikan terhadap waktu survival pasien penderita ASD.
4.2.3 Intepretasi Model Terbaik
Intepretasi  model  digunakan  untuk  mengetahui acceleration  factor dan fungsi survival jika diketahui variabel bebasnya. Berikut model  yang telah terbentuk dari  model terbaik yaitu:
-Estimasi waktu survival model awal sebagai berikut:
2 3 4 5 6
ˆ exp(4,4451 0,5393 0,7259 0,764 0,3557 0,8921 ) T X X X X X      
-Estimasi fungsi survival model sebagai berikut:
2 3 1,93 1 4 5 6 ˆ( | ) [1 exp( 8,5813 1,93( 0,5393 0, 7259 0, 764 0, 3557 0,8921 )) ] S t X X X X X X t           -Estimasi fungsi kegagalan model sebagai berikut:
2 3 1,93 1 4 5 6 2 3 1,93 4 5 6 8, 5813 1, 93( 0, 5393 0, 7259
exp 1, 93
0, 764 0, 3557 0,8921 ) ˆ( | ) 1 exp( 8, 5813 1, 93( 0, 5393 0, 7259
0, 764 0, 3557 0,8921 )) X X t X X X h t X
X X X X X t                               
Diperoleh nilai acceleration  factor untuk masing-masing variable bebas:
- Pasien  ASD  dengan  jenis  kelamin  laki-laki  memiliki  nilai  akselerasi  0,5832  kali  dari pasien  dengan  jenis  kelamin  perempuan.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  pasien perempuan, secara rata-rata akan mengalami kekambuhan pertama lebih cepat.
- Pasien ASD  yang telah  menjalani treatment memiliki  nilai akselerasi 0,4839 kali dari pasien yang belum menjalani treatment . Sehingga dapat disimpulkan bahwa pasien yang belum menjalani treatment , secara rata-rata akan mengalami kekambuhan pertama lebih cepat.
- Pasien ASD dengan ukuran defect 12 mm  memiliki nilai akselerasi 2,1468 kali dari pasien  dengan  ukuran defect 12 mm  .  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  pasien dengan ukuran defect 12 mm  , secara rata-rata akan mengalami kekambuhan pertama lebih cepat.
- Pasien  ASD  dengan  hipertensi  pulmonal  memiliki  nilai  akselerasi 1, 4272 kali  dari pasien  tanpa  hipertensi  pulmonal.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  pasien  dengan hipertensi pulmonal, secara rata-rata akan mengalami kekambuhan pertama lebih cepat.
- Pasien ASD dengan kondisi  nyeri pada bagian dada memiliki  nilai akselerasi 2, 4402 kali dari pasien tanpa nyeri pada bagian dada. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pasien dengan kondisi nyeri pada bagian dada, secara rata-rata akan mengalami kekambuhan pertama lebih cepat.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian pada bagian hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai bahwa  faktor-faktor  yang  mampu  mempengaruhi  kekambuhan  pertama  pasien  penderita ASD dengan menggunakan metode AFT Log-Logistik adalah variabel jenis kelamin, status treatment , ukuran defect ,  status  hipertensi  pulmonal,  dan  status  nyeri,  dengan penjabaran sebagai berikut:
- Pasien  dengan  jenis  kelamin  perempuan,  secara  rata-rata  akan  mengalami kekambuhan pertama lebih cepat dibandingkan pasien dengan jenis kelamin laki- laki.
- Pasien  yang  belum  menjalani treatment ,  secara  rata-rata  akan  mengalami kekambuhan  pertama  lebih  cepat  dibandingkan  pasien  yang  telah  menjalani treatment .
- Pasien  dengan  ukuran defect ≥ 12𝑚𝑚 ,  secara  rata-rata  akan  mengalami kekambuhan  pertama  lebih  cepat  dibandingkan  pasien  dengan  ukuran defect < 12𝑚𝑚 .
- Pasien dengan  hipertensi  pulmonal, secara rata-rata akan mengalami kekambuhan pertama lebih cepat dibandingkan pasien yang tanpa hipertensi pulmonal.
- Pasien  dengan  kondisi  nyeri  pada  bagian  dada,  secara  rata-rata  akan  mengalami kekambuhan  pertama  lebih  cepat  dibandingkan  pasien  tanpa  nyeri  pada  bagian dada.

## DAFTAR PUSTAKA
Athoillah, I., Wuryandari, T. & Sudarno, 2012. Model Regresi Data Tahan Hidup Tersensor Tipe III Berdistribusi Log-Logistik. Jurnal Gaussian Vol. I, No.1: hal 84-92.
Collet, D., 2004. Modelling Survival Data in Medical Research. 2nd ed. London: Chapman and Hall.
Danardono, 2012. Analisis Data Survival. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada. Harlan, J., 2017. Analisis Survival. Depok: Gunadarma. Hosmer,  D.  W.,  Lemeshow,  S.  &  May,  S.,  2008. Applied  Survival Analysis:   Regression Modelling of Time-to-Event Data. 2nd ed. New Jersey: John Wiley and Sons, Inc.. John  ,  P.  K.  &  Melvin  ,  L.  M.,  2003. Survival  Analysis:  Techniques  for  Censored  and Turncated Data. 2nd ed. New York: Springer-Verlag New York. Kleinbaum, D. G. & Klein, M., 2005. Survival Analysis: A Self-Leranin Text. 2nd ed. New York: Springer.
Kusumawardhani,  G.  E.,  Suyono  &  Santi,  V.  M.,  2018. Analisis  Suvival  dengan  Model Regresi  pada  Data  Tersensor  Berdistribusi  Log-Logistik. Jurnal  Statistika  dan Aplikasinya (JSA) Vol. II, No. 2: hal 28-35. Lawless,  J.  F.,  2003. Statistical  Models  and  Methods  for  Lifetime  Data. 2nd  ed.  Canada: John Wiley and Sons, Inc.
Lee, E. T. & Wang, J. W., 2003. Statistical Methods for Survival Data Analysis. 3rd ed. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
Mufidah, A. S. & Purhadi, 2016. Analisis Survival pada Pasien Deman Berdarah Dengue (DBD) di RSU Haji Surabaya. Jurnal Sains dan Seni Vol V, No. 2. Naysilla,  A.  M.,  2017. Komplikasi  pada  Pasien  Atrial  Septal  Defect  Dewasa  dengan Survivalitas Alami. Indonesia Jurnal Chest Vol. IV, No. 4: hal 23-34. Wardhana,  W.  &  Boom,  C. E.,  2017. Penanganan  Perioperatif  Pasien  Penyakit  Jantung Kongenital  Dewasa  dengan  ASD,  Suspek  Hipertensi  Pulmonal,  LV  Smallish. Jurnal Anastesiologi Indonesia Vol. IX, No. 2: hal 71-86.