## Estimasi Variabel Keadaan Gerak Longitudinal Pesawat Terbang Menggunakan Metode Fuzzy Kalman Filter
Resi Arumin Sani, Erna Apriliani, dan Mohammad Isa Irawan Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : april@matematika.its.ac.id, mii@its.ac.id
Abstrak—Pesawat terbang merupakan sarana transportasi  udara  yang  memiliki  enam  derajat  kebebasan gerak (DOF) yaitu sistem gerak yang dikontrol oleh aileron, elevator  dan  rudder.  Gerak  longitudinal  pesawat  terbang dikontrol  oleh  sistem  elevator.  Sistem  pengendalian  gerak pesawat terbang dengan mempertimbangkan adanya suatu noise,  sehingga  dibutuhkan  estimator  yang  digunakan untuk  mengestimasi  gerak  pesawat  terbang.  Estimasi dilakukan  dengan  metode  Kalman  Filter  dan  kombinasi Logika  Fuzzy-Kalman  Filter  yang  disebut  Fuzzy  Kalman Filter,  serta  optimal  smoothing.  Berdasarkan  hasil penelitian,  nilai  Root  Mean  Square  Error  (RMSE) menunjukkan  bahwa  metode  Fuzzy  Kalman  Filter  relatif lebih  kecil  daripada  metode  Kalman  Filter  pada  semua variabel  gerak  longitudinal  pesawat  terbang.  Peningkatan error  variabel  masing-masing  yaitu  kecepatan  translasi  ke depan 62,4 %, kecepatan translasi ke atas 0,7 %, kecepatan sudut  pitch  0,009  %  dan  sudut  pitch  1,7  %.  Namun berdasarkan waktu komputasi, metode Kalman Filter lebih cepat dengan waktu 𝟎, 𝟏𝟔𝟐𝟖 𝒔 dibandingkan Fuzzy Kalman Filter yang membutuhkan waktu 𝟎, 𝟐𝟖𝟎𝟐 𝒔 .
Kata  Kunci—  Gerak  Pesawat  Terbang,  Kalman  Filter, Fuzzy Kalman Filter, Optimal Smoothing.

## I. PENDAHULUAN
esawat terbang merupakan sarana transportaasi udara yang  diperlukan  bagi  khalayak  umum.  Pesawat terbang      memiliki  enam  derajat  kebebasan  gerak  ( six degree  of  freedom ).  Sistem  kontrol  gerak  pesawat terbang  dibagi  menjadi  tiga  yaitu  sistem aileron ,  sistem elevator dan  sistem rudder .  Berdasarkan  arah,  gerak terbang  pesawat  terdapat  dua  yaitu  gerak  longitudinal dan  gerak  lateral.  Dengan  adanya  faktor-faktor  internal dan  eksternal  dari  pesawat  yang  dapat  menghambat kestabilan pesawat terbang saat terbang di udara. Sistem pengendalian  pesawat  terbang  yang  telah  dirancang sesuai kebutuhan dengan tingkat pengukuran yang akurat akan terdapat adanya suatu noise [1],[6].
Noise  tersebut  ukurannya  sangat  kecil.  Noise  tersebut dapat  terjadi  pada  noise  sistem  dan  noise  pengukuran. Meskipun  ukurannya  sangat  kecil,  noise-noise  tersebut dapat  menghambat  kinerja  dari  sistem  pengendalian gerak  pesawat.  Untuk  mengetahui  tingkat  noise  pada sistem gerak pesawat terbang tersebut diperlukan adanya suatu  pendekatan  yang  lebih  akurat  dari  sebelumnya. Suatu  pendekatan  yang  dilakukan  yaitu  berupa  adanya estimator.  Estimator  digunakan  untuk  memprediksi
variabel-variabel  kontrol  gerak  pesawat  terbang  dengan adanya noise tersebut [7].
Kalman  Filter  merupakan  metode  yang  berhasil digunakan  dalam  estimasi  dan  identifikasi  variabel  [9]. Fuzzy Kalman  Filter  merupakan suatu metode fusi yang berasal  dari  Logika  Fuzzy  dan  Kalman  Filter.  Logika Fuzzy  merupakan  metodde  penalaran  yang  dapat menangani masalah ketidakpastian pada dunia nyata [2]. Sedangkan  Kalman  Filter  merupakan  metode  estimasi variabel  keadaan  dari  sistem  linear  dinamik  [3].  Pada penelitian  ini  membahas  tentang  estimasi  variabel keadaan gerak longitudinal pesawat terbang menggunkan metode Fuzzy Kalman Filter.

## II. PEMBAHASAN

## Menentukan Model Sistem dan Model pengukuran
Model  sistem  dan  model  pengukuran  dapat  ditulis sebagai berikut [3]:
𝑥 𝑘+1 = 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝐺 𝑘 𝑤 𝑘 𝑧 𝑘 = 𝐻 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝑣 𝑘 dimana 𝑤 𝑘 ~𝑁(0, 𝑄 𝑘 ) dan 𝑣 𝑘 ~𝑁(0, 𝑅 𝑘 ) .  Variabel  keadaan yang  meliputi  yaitu  kecepatan  translasi  ke  depan  ( 𝑢 ), kecepatan translasi ke atas ( 𝑤 ), kecepatan sudut pitch ( 𝑞 ) dan sudut pitch ( 𝜃 ).

## Implementasi Kalman Filter
Penerapan  metode  Kalman  Filter  yang  digunakan dalam  waktu  diskrit.  Tahap-tahap  yang  dilakukan  untuk metode Kalman Filter yaitu [3] 1. Pelinearan
Sistem  model  gerak  longitudinal  pesawat  terbang dilakukan pelinearan dengan metode jacobian.
2. Pendiskritan
Pendiskritan  dengan  metode  beda  hingga  maju  yaitu [4]
𝑥̇ = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ≈ 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 ∆𝑡 3. Tahap Prediksi dan Tahap Koreksi Pada  tahap  ini  akan  diperoleh  perhitungan  nilai estimasi dan kovarian error.

## Implementasi Fuzzy Kalman Filter
Tahap-tahap  yang  dilakukan  untuk  metode  Fuzzy Kalman Filter yaitu 1. Pendiskritan Pendiskritan  dengan  metode  beda  hingga  maju  yaitu [4]
P
𝑥̇ = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ≈ 𝑥 𝑘+1 − 𝑥 𝑘 ∆𝑡 2. Proses Fuzzifikasi
Pada  tahap  ini  merupakan  proses  fuzzifikasi  untuk menentukan  fungsi  keanggotaan  dari  masing-masing variabel  Fuzzy.  Fungsi  keanggotaan  yang  diterapkan menggunakan  fungsi  keanggotaan  linear  yaitu  pada saat maksimum dan minimum [2],[4],[5] .
 Jika variabel minimum, maka fungsi
keanggotaan
𝜇 𝑥 1 = (𝑥 − 𝑥 − ) (𝑥 + − 𝑥 − )  Jika variabel maksimum, maka fungsi keanggotaan
𝜇 𝑥 2 = (𝑥 + − 𝑥) (𝑥 + − 𝑥 − ) 3. Menentukan Aturan Dasar Logika Fuzzy Pada  tahap  ini,  aturan  dasar  Logika  Fuzzy  diperoleh dari  kombinasi  dari  variabel-variabel  minimum  dan variabel-variabel  maksimum.  Penentuan  aturan  dasar berdasarkan  dari  varibel  yang  difuzzikan.  Aturan dasar terbentuk yaitu 2 𝑛 dengan n merupakan jumlah variabel yang difuzzikan. Sehingga terdapat 2 𝑛 aturan yang akan digunakan untuk penerapan Fuzzy Kalman Filter [4],[5].
4. Penerapan Algoritma Kalman Filter Pada  tahap  ini  dilakukan  estimasi  dengan  algoritma Kalman  Filter  pada  waktu  diskrit  dengan  model sistem  dan  model  pengukuran  diperoleh  melalui proses  fuzzifikasi  dan  aturan  dasar  Logika  Fuzzy [4],[5].
5. Defuzzifikasi
Proses  defuzzifikasi  merupakan  proses  filter  untuk memperoleh  hasil  estimasi  akhir.  Rumus  bobot  yang diperoleh  berdasarkan  himpunan-himpunan  Fuzzy yang  terbentuk  dari  kombinasi  fungsi  keanggotaan dari  variabel-variabel  Fuzzy  sesuai  aturan  dasar. Rumus  bobot  tersebut  diperoleh  dari  jumlah  dari setiap  himpunan  Fuzzy  yang  dikalikan  dengan  hasil estimasi  masing-masing  kemudian  dibagi  dengan jumlah dari himpunan-himpunan Fuzzy [4],[5].
𝑥 𝑘+1 = 𝜌 1 𝑥 𝑘+1 1 + 𝜌 2 𝑥 𝑘+1 2 + ⋯ + 𝜌 𝑖 𝑥 𝑘+1 𝑖 𝜌 1 + 𝜌 2 + ⋯ + 𝜌 𝑖
dimana 𝑖 = 2 𝑛 .

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Persamaan Gerak Longitudinal Pesawat Terbang
Gerak  longitudinal  pesawat  terbang  dipengaruhi  oleh kecepatan  translasi  ke  depan  ( 𝑢 ),  kecepatn  translasi  ke atas  ( 𝑤 ),  kecepatan  sudut pitch ( 𝑞 )  dan  sudut pitch ( 𝜃 ).
Persamaan gerak longitudinal pesawat terbang  diperoleh sebagai berikut:
𝑢̇   = 𝑋 𝑢 𝑢 + 𝑋 𝑤 𝑤 − 𝑤𝑞 − 𝑔𝜃 + 𝑋 𝛿 𝑒 𝛿 𝑒 + 𝑋 𝛿 𝑇 𝛿 𝑇 𝑤̇ = 𝑍 𝑢 𝑢 + 𝑍 𝑤 𝑤 + 𝑈 0 𝑞 + 𝑞𝑢 + 𝑍 𝛿 𝑒 𝛿 𝑒 + 𝑍 𝛿 𝑇 𝛿 𝑇 (1)
𝑞̇   = (𝑀 𝑢 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝑢 )𝑢 + (𝑀 𝑤 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝑤 )𝑤 +
(𝑀 𝑞 + 𝑀 𝑤̇ 𝑈 0 )𝑞 + 𝑀 𝑤̇ 𝑞𝑢 + (𝑀 𝛿 𝑒 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝛿 𝑒 )𝛿 𝑒 +(𝑀 𝛿 𝑇 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝛿 𝑇 )𝛿 𝑇 𝜃̇   = 𝑞
(1)
Dengan memisalkan [6]:
𝑀 ̌ 𝑢 = 𝑀 𝑢 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝑢 𝑀 ̌ 𝛿 𝑒 = 𝑀 𝛿 𝑒 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝛿 𝑒 𝑀 ̌ 𝑤 = 𝑀 𝑤 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝑤 𝑀 ̌ 𝛿 𝑇 = 𝑀 𝛿 𝑇 + 𝑀 𝑤̇ 𝑍 𝛿 𝑇 𝑀 ̌ 𝑞 = 𝑀 𝑞 + 𝑀 𝑤̇ 𝑈 0
Dan  untuk  outputnya  berdasarkan  penelitian  yang dirujuk,  variabel  yang  dapat  diamti  yaitu 𝑤, 𝑞 sehingga diperoleh [6]
𝑧 = [ 𝑤 𝑞 ]
1. Diskritisasi
Berdasarkan persamaan (1) untuk memperoleh sistem persamaan  waktu  diskrit  dengan  cara  melakukan proses  pendiskritan  dengan  menggunakan  metode beda  hingga  maju.  Sehingga  diperoleh  persamaan gerak  longitudinal  pesawat  terbang  waktu  diskrit yaitu
𝑢 𝑘+1 = (𝑋 𝑢 ∆𝑡 + 1)𝑢 𝑘 + 𝑋 𝑤 ∆𝑡 𝑤 𝑘 − ∆𝑡 𝑤 𝑘 𝑞 𝑘 − 𝑔∆𝑡 𝜃 𝑘 +𝑋 𝛿 𝑒 ∆𝑡 𝛿 𝑒 + 𝑋 𝛿 𝑇 ∆𝑡 𝛿 𝑇 𝑤 𝑘+1 = 𝑍 𝑢 ∆𝑡 𝑢 𝑘 + (𝑍 𝑤 ∆𝑡 + 1)𝑤 𝑘 + 𝑈 0 ∆𝑡 𝑞 𝑘 + ∆𝑡𝑞 𝑘 𝑢 𝑘 +𝑍 𝛿 𝑒 ∆𝑡 𝛿 𝑒 + 𝑍 𝛿 𝑇 ∆𝑡 𝛿 𝑇 𝑞 𝑘+1 = 𝑀 ̌ 𝑢 ∆𝑡 𝑢 𝑘 + 𝑀 ̌ 𝑤 ∆𝑡 𝑤 𝑘 + (𝑀 ̌ 𝑞 ∆𝑡  + 1)𝑞 𝑘 +
𝑀 𝑤̇ ∆𝑡 𝑞 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑀 ̌ 𝛿 𝑒 ∆𝑡 𝛿 𝑒 + 𝑀 ̌ 𝛿 𝑇 ∆𝑡 𝛿 𝑇 𝜃 𝑘+1 = ∆𝑡 𝑞 𝑘 + 𝜃 𝑘 (2)
2. Pembentukan Sistem Diskrit Stokastik Sistem persamaan gerak longitudinal pesawat terbang sebenarnya memuat noise, sehingga dapat dibentuk:
𝑢 𝑘+1 = (𝑋 𝑢 ∆𝑡 + 1)𝑢 𝑘 + 𝑋 𝑤 ∆𝑡 𝑤 𝑘 − ∆𝑡 𝑤 𝑘 𝑞 𝑘 − 𝑔∆𝑡 𝜃 𝑘 +𝑋 𝛿 𝑒 ∆𝑡 𝛿 𝑒 + 𝑋 𝛿 𝑇 ∆𝑡 𝛿 𝑇 + 𝜉 1 𝑘 𝑤 𝑘+1 = 𝑍 𝑢 ∆𝑡 𝑢 𝑘 + (𝑍 𝑤 ∆𝑡 + 1)𝑤 𝑘 + 𝑈 0 ∆𝑡 𝑞 𝑘 + ∆𝑡𝑞 𝑘 𝑢 𝑘 +𝑍 𝛿 𝑒 ∆𝑡 𝛿 𝑒 + 𝑍 𝛿 𝑇 ∆𝑡 𝛿 𝑇 + 𝜉 1 𝑘 𝑞 𝑘+1 = 𝑀 ̌ 𝑢 ∆𝑡 𝑢 𝑘 + 𝑀 ̌ 𝑤 ∆𝑡 𝑤 𝑘 + (𝑀 ̌ 𝑞 ∆𝑡  + 1)𝑞 𝑘 + 𝑀 𝑤̇ ∆𝑡 𝑞 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑀 ̌ 𝛿 𝑒 ∆𝑡 𝛿 𝑒 + 𝑀 ̌ 𝛿 𝑇 ∆𝑡 𝛿 𝑇 + 𝜉 2 𝑘 𝜃 𝑘+1 = ∆𝑡 𝑞 𝑘 + 𝜃 𝑘 + 𝜉 3 𝑘 (3)
Output  juga  memuat  noise  pengukuran,  sehingga output pada waktu diskrit yaitu
𝑧 𝑘 = [ 𝑤 𝑘 𝑞 𝑘 ] + 𝜂 𝑘
Dengan 𝜉 𝑘 merupakan noise sistem dan 𝜂 𝑘 merupakan noise pengukuran.

## Implementasi Kalman FIlter
Metode  Kalman  Filter  digunakan  untuk  sistem  diskrit yang  linear.  Sehingga  dengan  melakukan  pelinearan terhadap  sistem  model  pada  persamaan  (2)  dengan metode jacobian yaitu
𝑥 𝑘+1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 𝐽 𝑥 = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑢 𝑘 𝜕𝑓 1 𝜕𝑤 𝑘 𝜕𝑓 1 𝜕𝑞 𝑘 𝜕𝑓 1 𝜕𝜃 𝑘 𝜕𝑓 2 𝜕𝑢 𝑘 𝜕𝑓 2 𝜕𝑤 𝑘 𝜕𝑓 2 𝜕𝑞 𝑘 𝜕𝑓 2 𝜕𝜃 𝑘 𝜕𝑓 3 𝜕𝑢 𝑘 𝜕𝑓 3 𝜕𝑤 𝑘 𝜕𝑓 3 𝜕𝑞 𝑘 𝜕𝑓 3 𝜕𝜃 𝑘 𝜕𝑓 4 𝜕𝑢 𝑘 𝜕𝑓 4 𝜕𝑤 𝑘 𝜕𝑓 4 𝜕𝑞 𝑘 𝜕𝑓 4 𝜕𝜃 𝑘 ]
𝐽 𝑢 = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝛿 𝑒 𝜕𝑓 1 𝜕𝛿 𝑇 𝜕𝑓 2 𝜕𝛿 𝑒 𝜕𝑓 2 𝜕𝛿 𝑇 𝜕𝑓 3 𝜕𝛿 𝑒 𝜕𝑓 3 𝜕𝛿 𝑇 𝜕𝑓 4 𝜕𝛿 𝑒 𝜕𝑓 4 𝜕𝛿 𝑇 ]
Selanjutnya  dengan  menambahkan  noise  pada  sistem dan  pengukuran  yang  sesuai  pada  persamaan  (3). Penerapan algoritma Kalman Filter yaitu sebagai berikut [3]:
 model sistem dan model pengukuran
𝑥 𝑘+1 = 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝐺𝜉 𝑘 𝑧 𝑘 = 𝐻𝑥 𝑘 + 𝜂 𝑘 𝑥 0 ~𝑁(𝑥̅ 0 , 𝑃 𝑥 0 ) , 𝜉 𝑘 ~𝑁(0, 𝑄 𝑘 ) , 𝜂 𝑘 ~𝑁(0, 𝑅 𝑘 )  inisialisasi
𝑥̂ 0 = 𝑥̅ 0 , 𝑃 0 = 𝑃 𝑥 0  tahap prediksi ( time update ) 𝑃 𝑘 ̅ +1 = 𝐴 𝑘 𝑃 𝑘 𝐴 𝑘 𝑇 + 𝐺 𝑘 𝑄 𝑘 𝐺 𝑘 𝑇 𝑥̂ 𝑘 ̅ +1 = 𝐴 𝑘 𝑥̂ 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘  tahap koreksi ( measurement update ) 𝐾 𝑘+1 = 𝑃 𝑘 ̅ +1 𝐻 𝑘+1 𝑇 (𝐻 𝑘+1 𝑃 𝑘 ̅ +1 𝐻 𝑘+1 𝑇 + 𝑅 𝑘+1 ) −1 𝑃 𝑘+1 = (𝐼 − 𝐾 𝑘+1 𝐻 𝑘+1 )𝑃 𝑘 ̅ +1 𝑥̂ 𝑘+1 = 𝑥̂ 𝑘 ̅ +1 + 𝐾 𝑘+1 (𝑧 𝑘+1 − 𝐻 𝑘+1 𝑥̂ 𝑘 ̅ +1 )

## Implementasi Fuzzy Kalman Filter
Langkah-langkah  dari  metode  Fuzzy  Kalman  Filter, sebagai berikut:
1. Fuzzifikasi
Variabel-variabel  yang  melalui  proses  fuzzifikasi yaitu  kecepatan  translasi  ke  depan  ( 𝑢 ),  kecepatan ranslasi  ke  atas  ( 𝑤 )  dan  kecepatan  sudut pitch ( 𝑞 ). Dengan proses fuzzifikasi, variabel tersebut ditentukan  pada  interval  masing-masing,  sebagai berikut:
𝑢 ∈ [𝑢 − , 𝑢 + ] 𝑤 ∈ [𝑤 − , 𝑤 + ] 𝑞 ∈ [𝑞 − , 𝑞 + ]
Dimana 𝑥 − pada  saat  minimum  dan 𝑥 + pada  saat maksimum.
Sehingga diperoleh fungsi keanggotaannya yaitu  Jika 𝑥 minimum
𝜇 𝑥 𝑚𝑖𝑛 = (𝑥−𝑥 − ) (𝑥 + −𝑥 − )  Jika 𝑥 maksimum
𝜇 𝑥 𝑚𝑎𝑥 = (𝑥 + −𝑥) (𝑥 + −𝑥 − )
Dimana 𝑥 adalah variabel-variabel Fuzzy. Berikut ini adalah  diagram  blok  sistem  Fuzzy  model  gerak longitudinal pesawat terbang.
Gambar 1. Diagram blok sistem Fuzzy untuk Model Gerak Longitudinal Pesawat Terbang 2. Aturan Dasar Logika Fuzzy
Berdasarkan  aturan  dasar  Logika  Fuzzy,    variabel- variabel  yang  termuat  dalam  Fuzzifikasi  sehingga diperoleh 8 aturan. Sesuai aturan dasar Logika Fuzzy, yaitu:
𝑟𝑢𝑙𝑒 𝑖 ∶ 𝐼𝐹 … 𝑇𝐻𝐸𝑁 …
Maka : rule 1 : IF 𝑢 = 𝑢 − & 𝑤 = 𝑤 − & 𝑞 = 𝑞 − THEN 𝐴 1 rule 2 : IF 𝑢 = 𝑢 − & 𝑤 = 𝑤 − & 𝑞 = 𝑞 + THEN 𝐴 2
⋮ rule 8 : IF 𝑢 = 𝑢 + & 𝑤 = 𝑤 + & 𝑞 = 𝑞 + THEN 𝐴 8 3. Algoritma Fuzzy Kalman Filter
Berdasarkan  proses  fuzzifikasi  dan  aturan  dasar Logika  Fuzzy,  sistem  gerak  longitudinal  pesawat terbang  diperoleh  terdapat  8  aturan  yang  akan diterapkan pada algoritma Fuzzy Kalman Filter.
Rule ke- 𝑖 :
𝐴 𝑖 = [ 𝑋 𝑢 ∆𝑡 + 1 (𝑍 𝑢 + 𝑞 𝑘 𝑗 )∆𝑡 𝑀 ̌ 𝑢 ∆𝑡 0 𝑋 𝑤 ∆𝑡 𝑍 𝑤 ∆𝑡 + 1 𝑀 ̌ 𝑤 ∆𝑡 0 −∆𝑡𝑤 𝑘 𝑗 𝑈 0 ∆𝑡 (𝑀 ̌ 𝑞 + 𝑀 𝑤̇ ∆𝑡𝑢 𝑘 𝑗 )∆𝑡  + 1
∆𝑡 −𝑔∆𝑡 0 0 1 ]
dengan 𝑗 yaitu pada saat minimum dan maksimum.
 model sistem dan model pengukuran 𝑥 𝑘+1 𝑖 = 𝐴 𝑘 𝑖 𝑥 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝐺𝜉 𝑘 𝑧 𝑘 = 𝐻𝑥 𝑘 + 𝜂 𝑘 𝑥 0 ~𝑁(𝑥̅ 0 , 𝑃 𝑥 0 ) , 𝜉 𝑘 ~𝑁(0, 𝑄 𝑘 ) , 𝜂 𝑘 ~𝑁(0, 𝑅 𝑘 )  inisialisasi
𝑥̂ 0 = 𝑥̅ 0 , 𝑃 0 = 𝑃 𝑥 0  tahap prediksi ( time update ) 𝑃 𝑘 ̅ +1 𝑖 = 𝐴 𝑘 𝑖 𝑃 𝑘 (𝐴 𝑘 𝑖 ) 𝑇 + 𝐺 𝑘 𝑄 𝑘 𝐺 𝑘 𝑇 𝑥̂ 𝑘 ̅ +1 𝑖 = 𝐴 𝑘 𝑖 𝑥̂ 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘  tahap koreksi ( measurement update )
𝐾 𝑘+1 𝑖 = 𝑃 𝑘 ̅ +1 𝑖 𝐻 𝑘+1 𝑇 (𝐻 𝑘+1 𝑃 𝑘 ̅ +1 𝑖 𝐻 𝑘+1 𝑇 + 𝑅 𝑘+1 ) −1
𝑃 𝑘+1 𝑖 = (𝐼 − 𝐾 𝑘+1 𝑖 𝐻 𝑘+1 )𝑃 𝑘 ̅ +1 𝑖 𝑥̂ 𝑘+1 𝑖 = 𝑥̂ 𝑘 ̅ +1 𝑖 + 𝐾 𝑘+1 𝑖 (𝑧 𝑘+1 − 𝐻 𝑘+1 𝑥̂ 𝑘 ̅ +1 𝑖 )
Dimana 𝑖 = 1,2, … , 8 . 4. Defuzzifikasi
Berdasarkan  rumus  bobot  rata-rata,  sebagai  berikut [11]:
𝑥̂ 𝑘+1 = 𝜌 1 𝑥̂ 𝑘+1 1 + 𝜌 2 𝑥̂ 𝑘+1 2 + ⋯ + 𝜌 8 𝑥̂ 𝑘+1 8 𝜌 1 + 𝜌 2 + ⋯ + 𝜌 8
Dimana  nilai  dari  masing-masing 𝜌 𝑖 ditentukan  dari kombinasi fungsi keanggotaan sesuai aturan.
𝜌 1 = 𝜇 𝑢 𝑚𝑖𝑛 . 𝜇 𝑤 𝑚𝑖𝑛 . 𝜇 𝑞 𝑚𝑖𝑛 𝜌 2 = 𝜇 𝑢 𝑚𝑖𝑛 . 𝜇 𝑤 𝑚𝑖𝑛 . 𝜇 𝑞 𝑚𝑎𝑥 ⋮ 𝜌 8 = 𝜇 𝑢 𝑚𝑎𝑥 . 𝜇 𝑤 𝑚𝑎𝑥 . 𝜇 𝑞 𝑚𝑎𝑥
Simulasi
Pada  penelitian  ini,  error  model  pada  variabel  Fuzzy yang  digunakan  yaitu 10% dari  kondisi  awal  [4],[5]. Berikut ini adalah anggota dari varibel Fuzzy yaitu:
𝑢 ∈ [𝑢 − 10%𝑢, 𝑢 + 10%𝑢]
𝑤 ∈ [𝑤 − 10%𝑤, 𝑤 + 10%𝑤]
𝑞 ∈ [𝑞 − 10%𝑞, 𝑞 + 10%𝑞]
Pada  kasus  ini  diberikan  kondisi  awal  yaitu 𝑢(0) = 1,5 𝑚 𝑠 ⁄ , 𝑤(0) = 0,75 𝑚 𝑠 ⁄ , 𝑞(0) = 0,1 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ⁄ , 𝜃(0) = 0,05 𝑟𝑎𝑑 . Dengan mengambil nilai rata-rata hasil estimasi yang  dilakukan  10  kali,  hasil  estimasi  ditunjukkan sebagai berikut:
Gambar 2. Hasil Estimasi 𝑢 pada KF dan FKF
Gambar 3. Hasil Estimasi 𝑤 pada KF dan FKF
Gambar 4. Hasil Estimasi 𝑞 pada KF dan FKF
Gambar 5. Hasil Estimasi 𝜃 pada KF dan FKF
Berdasarkan  perhitungan nilai  RMSE  dari  hasil  estimasi pada  metode  Kalman  Filter  dan  Fuzzy  Kalman  Filter diperoleh yaitu
Tabel 1. Nilai RMSE untuk Kalman Filter dan Fuzzy
Kalman Filter Variabel RMSE KF FKF 𝑢 0,092166 0,034619 𝑤 0,023070 0,022908 𝑞 0,00109609 0,00109599 𝜃 0,002600 0,002555
Terlihat bahwa pada setiap variabel gerak longitudinal pesawat terbang metode Fuzzy Kalman Filter relatif lebih kecil  nilai  error  rata-ratanya  daripada  Kalman  Filter. Namun Kalman Filter lebih cepat dengan waktu 0,1628 s daripada Fuzzy Kalman Filter dengan waktu 0,2802 s.

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
1. Hasil  estimasi  menunjukkan  bahwa  setiap variabel  gerak  longitudinal  pesawat  terbang metode Fuzzy Kalman  Filter  lebih baik  daripada metode  Kalman  Filter.  Nilai  RMSE  juga menunjukkan  bahwa  error  rata-rata  dari  metode Fuzzy Kalman Filter lebih kecil daripada metode Kalman Filter. Peningkatan error yaitu kecepatan translasi ke depan 62,4 %, kecepatan translasi ke atas  0,7  %,  kecepatan  sudut pitch 0,009  %  dan sudut pitch 1,7 %.
2. Berdasarkan  waktu  komputasi  menunjukkan bahwa metode Kalman Filter hanya membutuhkan  waktu 0,1628 𝑠 lebih  baik daripada  metode  Fuzzy  Kalman  Filter  yang membutuhkan waktu 0, 2802 𝑠 .

## Saran
Model  gerak  longitudinal  pesawat  terbang merupakan sistem model nonlinear. Oleh karena itu, untuk penelitian selanjutnya  dapat  digunakan  dengan  metode  Extended Kalman  Filter.  Dengan  melakukan  kombinasi  metode Logika Fuzzy dan Extended Kalman Filter.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] D. McLean, Automatic Flight Control Systems . UK: Prentice Hall International (1990).
[2] H.  J.  Zimmermann, Fuzzy  Set  Theory  and  Its Aplications .  Second  Revised  Edition.  United  States:
Kluwer Academic Publishers (1992), 2nd ed.
[3] F.  L.  Lewis, Optimal  Estimation  with  An Introduction to Stochastic Control Theory . School of Electrical Engineering Georgia Institute of Technology Atlanta. Georgia: (1998).
[4] H.  Mahmuri,  “Estimasi  Perkembangan  Sel  Kanker Menggunakan  Fuzzy  Kalman  Filter,”  Tesis  Jurusan Matematika  Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember, Surabaya (2011).
[5] G.  Chen,  Q.  Xie,  and  L.  S.  Shieh,  “Fuzzy  Kalman Filter,” Journal Information of Information Sciences. No. 109 (1997) hal. 197-209.
[6] A.  Sukandi,  “Pengendalian  Gerak  Longitudinal Pesawat  Terbang  dengan  Metode Decoupling ,” Jurusan  Teknik  Mesin  Politeknik  Negeri  Jakarta (2010).
[7] N.  L.  Gozali,  A.  S.  Aisjah  and  E.  Apriliani, “Estimasi  Variabel  Dinamik  Kapal  Menggunakan Metode Kalman Filter,” Jurnal Teknik POMITS Vol.
2,  No.  1,  Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember Surabaya, (2013).
[8] E.  Apriliani,  Subchan,  F.  Yunaini,  and  S.  Hartini, “Estimation  and  Control  Design  of  Mobile  Robot Position,”  Far  East  Journal  of  Mathematical Sciences (FJMS), PUSPHA PUBLISHER, Surabaya (2013).
[9] A.  Riski,  M.  I.  Irawan,  E.  Apriliani,  “Identifikasi Instrumen  Gamelan  Jawa  Menggunakan  Jaringan Fungsi  Basis  Radial  dengan  Metode  Pelatihan Extended  Kalman  Filter,”  Prosiding  Seminar Nasional Matematika, Universitas Jember,  (2014).