Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.7, No.2, Juli 2021, pp. 139~145
DOI:10.31605/saintifik.v7i2.335
ISSN 2622-8904 (online)

## Analisis Model Mangsa Pemangsa dengan Fungsi Respon Holling Tipe II dan Adanya Mangsa Sakit
Fardinah *1 , Laila Qadrini 2 , Meryta Febrilian Fatimah 3 1,2,3 Universitas Sulawesi Barat e-mail: 1* fardinah@unsulbar.ac.id, 2 laila.qadrini@unsulbar.ac.id, 3 merytaff@unsulbar.ac.id

## Abstrak
Interaksi antara dua populasi yang bersifat mangsa dan pemangsa dapat digambarkan dalam suatu model  mangsa  pemangsa.  Dalam  kenyataannya,  pemangsa  memerlukan  waktu  untuk  berburu  dan mengkonsumsi  mangsanya  yang  dapat  dinyatakan  dalam  model  fungsi  respon  Holling  Tipe  II.  Selain  itu, dapat  pula  dijumpai  dalam  suatu  lingkungan  adanya  populasi  mangsa  yang  sakit  yang  mengakibatkan kematian  karena  penyakit  tersebut.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menganalisis  kestabilan  model  mangsa pemangsa  dengan  fungsi  respon  Holling  Tipe  II  yang  terdiri  dari  tiga  subpopulasi  yaitu  mangsa  sehat, mangsa  sakit  dan  pemangsa.  Jenis  kestabilan  ditentukan  berdasarkan  karakteristik  nilai  eigen  yang diperoleh dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Dari penelitian ini diperoleh bahwa tanpa adanya mangsa sakit maka populasi tidak akan pernah eksis sedangkan populasi akan eksis jika ketiga subpopulasi ada dan memenuhi syarat hubungan parameter yang digunakan dalam model tersebut.
Kata Kunci: Model Mangsa Pemangsa, Fungsi Respon Holling Tipe II, Kriteria Routh-Hurwitz

## 1. PENDAHULUAN
Pemodelan  matematika  merupakan  cabang  ilmu  matematika  yang  merepresentasikan  atau  menjelaskan masalah  di  kehidupan  nyata  kedalam  bentuk  matematika.  Pemodelan  matematika  biasanya  selalu  dikaitkan dengan  cabang  ilmu  yang  lain  seperti  biologi, fisika,  kesehatan,  dan  teknik  (S.  Kant  dan  V.  Kumar, 2017). Dalam  cabang  ilmu  biologi,  salah  satu  bidang  ilmu  yang  mengalami  perkembangan  adalah  ekologi. Perkembangan  model  matematika  realistik  dalam  ilmu  ekologi  sangat  baik  dalam  merefleksikan penggunaannya  untuk  mendeskripsikan  permasalahan  pada  interaksi  populasi  dengan  model  matematika yang salah satunya adalah model mangsa pemangsa. Di ekosistem seringkali kelompok mangsa diasumsikan tertangkap dan termangsa oleh pemangsa ketika terjadi predasi (Dawes dan Souza, 2013).
Model  mangsa  pemangsa  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Alfred  Lotka  dan  Vito  Volterra  pada tahun  1926  yang  selanjutnya  dikenal  dengan  model  Lotka-Voltera.  Model  Lotka-Voltera  adalah  model predator-prey yang  paling  sederhana  (A.  J.  Lotka,1925).  Model  mangsa  pemangsa  kemudian  terus mengalami perkembangan salah satunya adalah bentuk interaksi antara mangsa dan pemangsa yang dikenal dengan fungsi respon. Fungsi respon dalam ekologi diartikan sebagai jumlah makanan yang dikonsumsi oleh pemangsa  sebagai  fungsi  kepadatan  makanan  (Panja  et  al.,  2017).  Tahun  1953  Holling  memperkenalkan fungsi respon yang dikenal sebagai fungsi respon Holling tipe I, tipe II dan tipe III ( Mortoja et al., 2018).
Fungsi respon yang digunakan dalam artikel ini yaitu fungsi respon Holling tipe II. Fungsi respon ini menetapkan bahwa kepadatan populasi pemangsa tidak hanya bergantung pada populasi mangsa, namun juga pada populasi pemangsa  itu  sendiri  (Arditi dan Ginzburg, 1989).  Fungsi respon Holling  tipe II terjadi pada pemangsa yang membutuhkan waktu dalam mencari dan mengkonsumsi mangsanya. Sehingga dalam tipe II ini  penggunaan  waktu  mulai  diperhitungkan  dengan  sifat  pemangsa  yang  tidak  mencari  mangsa  pengganti ketika mangsa utama punah (Panigoro, 2014).
Selain  model  ekologi,  masalah  epidemiologi  merupakan  salah  satu  topik  hangat  dalam  pemodelan matematika.  Pemodelan  matematika  dalam  epidemiologi  memberikan  pemahaman  tentang  mekanisme mendasar  yang  mempengaruhi  penyebaran  penyakit.  Pada  beberapa  tahun  terakhir  penelitian  akan  ekologi
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
dan epidemiologi banyak dilakukan, meski dua bidang ini berbeda kontribusinya terhadap ilmu pengetahuan namun ada kesamaan diantara keduanya yaitu mencakup makhluk hidup (Maisaroh, Siti, dkk, 2020).
Penelitian mengenai model mangsa pemangsa dengan melibatkan populasi mangsa yang sakit telah dilakukan  beberapa  peneliti  sebelumnya.  Hetchcote  et.al  (2004)  meneliti  model  mangsa  pemangsa dengan pertumbuhan  logistik  dan  menggabungkan  infeksi  dengan  pola  model  SIR  (S usceptible,  Infectible, Recovered ).  Sinha  et.al  (2010)  memodelkan  mangsa  pemangsa dengan  pertumbuhan  logistik  pada  mangsa dan  infeksi  pada  mangsa  dipengaruhi  oleh  lingkungan  dengan  pola  SIS.  Saadah,  Siti,  dkk  (2019)  meneliti model  interaksi  mangsa  pemangsa  dengan  fungsi  respon  rasio  dependent  Holling  Tipe  II  dan  perilaku  anti pemangsa. Maisaroh, Siti, dkk, (2020) meneliti mengenai  Analisis Kestabilan Model Predator-Prey dengan Infeksi  Penyakit  pada Prey dan  Pemanenan  Proporsional  pada Predator tapi  dengan  menggunakan  fungsi repon  Holling  Tipe  I. Meskipun  modifikasi  yang  dilakukan  tidak  terlalu  signifikan  yaitu  pada  tipe  fungsi respon  yang  digunakan,  namun  hasil  analisis  memperlihatkan  bahwa  terjadi  perubahan  signifikan  pada dinamika dari model dibandingkan model rujukan.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur  dengan  prosedur  penelitian diberikan sebagai berikut:
1. Membangun model berdasarkan asumsi yang diperoleh dari literatur yang telah dikaji
2. Menentukan titik kesetimbangan model
3. Menganalisis titik kesetimbangan model
4. Melakukan simulasi model

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan  didefinisikan   t x adalah  populasi  mangsa  sehat  pada  suatu  habitat  pada  waktu t,   t y adalah  populasi  mangsa  sakit  pada  suatu  habitat  pada  waktu t dan   t z adalah  populasi  pemangsa  pada habitat yang sama dengan populasi mangsa pada waktu t.
Asumsi yang digunakan dalam model ini sebagai berikut:
1. Hanya  mangsa  sehat  yang  dapat  tumbuh.  Tanpa  adanya  pemangsa,  mangsa  sehat  tumbuh  secara eksponensial sebesar .
2. Infeksi  antar  mangsa  terjadi  akibat  interaksi,  jumlahnya  sebanding  dengan  hasil  kali  jumlah  kedua populasi  dengan  konstanta  .  Infeksi  akan  menyebabkan  kematian  pada  populasi  mangsa  sakit  secara proporsional sebesar  .
3. Pemangsa berinteraksi dengan mangsa sehat dan mangsa sakit mengikuti fungsi respon Holling Tipe II
4. Terjadi kematian alami pada populasi mangsa sehat dan mangsa sakit sebesar dan pemangsa sebesar 5. Populasi bersifat tertutup
Berdasarkan  asumsi  tersebut  diperoleh  model  mangsa  pemangsa  dengan  fungsi  respon  Holling  Tipe  II  dan adanya mangsa sakit yaitu:
(1)
Titik kesetimbangan persamaan (1) diperoleh dengan menentukan solusi dari
.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Dari persamaan tersebut diperoleh titik kesetimbangan sebagai berikut:
(i) (     )
(ii) ( (   ) (    ) ) dengan syarat dan (iii) ( ) dengan syarat (iv) ( ) dimana
adalah solusi dari sistem:
( ) ( )
Selanjutnya  akan  dipelajari  dinamika  di  sekitar  titik-titik  kesetimbangan  tersebut.  Untuk  mengidentififikasi kestabilan  lokal  dari  titik  kesetimbangan,  dilakukan  pelinearan  terhadap  model  (1).  Hasil  peliniearan memberikan matriks Jacobian dari model (1) yaitu sebagai berikut:
[ ( (    ) (    ) )
( (    ) (    ) ) (    ) (    )
]
(2)
Dengan mensubstitusi ke matriks Jacobian (2) diperoleh:
[ ] yang memberikan nilai eigen , dan . Dengan demikian titik kesetimbangan stabil dengan syarat . Dengan mensubstitusi ke matriks Jacobian (2) diperoleh:
[ (     ) (     )
(      ) (     )(      ) (     ) (      ) ] yang memberikan nilai eigen (   ) (    ) , (   ) √( (   ) ) (   )(    ) dan
(   ) √( (   ) ) (   )(    ) .  Dengan  demikian  titik  kesetimbangan tidak  stabil  karena (   ) sehingga .
Dengan mensubstitusi ke matriks Jacobian (2) diperoleh:
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
[
(     )
(     ) (     ) (     ) (     ) (     ) (     ) (     ) (     ) ] yang  memberikan  nilai  eigen (   ) (   ) (   ) (   ) , dan dengan
√ (     )(     ) . Dengan demikian titik kesetimbangan stabil dengan syarat (   ) (   ) (   ) (   ) .
Dengan mensubstitusi ke matriks Jacobian (2) diperoleh:
[ ( ) ( ) ] dimana ( ( ) ( ) ) , ( ( ) ( ) ) dan
.  Dengan  kriteria  Routh-Hurwitz  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan akan  stabil dengan syarat dan dimana ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) .
Untuk  memperkuat  hasil  analisis  yang  diberikan  sebelumnya,  dilakukan  simulasi  numerik  terhadap model  (1).  Karena  keterbatasan  data  yang  ada,  pemilihan  parameter  disesuaikan  dengan  kondisi  kestabilan yang diberikan pada hasil sebelumnya.
Simulasi titik kesetimbangan E1 dipilih parameter sebagai berikut.
Diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 1. Simulasi numerik disekitar titik kesetimbangan E 1
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Berdasarkan  analisis  kestabilan  yang  dilakukan  sebelumnya  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan E 1  stabil asimtotik  lokal  dengan  syarat  tertentu  seperti  yang  terlihat  pada  gambar  1.  Dari  gambar  tersebut  terlihat bahwa semua subpopulasi menuju kepunahan.
Simulasi titik kesetimbangan E2 dipilih parameter sebagai berikut.
Diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 2. Simulasi numerik disekitar titik kesetimbangan E2
Berdasarkan  analisis  kestabilan  yang  dilakukan  sebelumnya  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan E2 tidak stabil  seperti  yang  terlihat  pada  gambar  2.  Dari  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  kehidupan  populasi  tanpa adanya sub populasi mangsa sakit tidak akan pernah terjadi.
Simulasi titik kesetimbangan E3 dipilih parameter sebagai berikut.
Diperoleh gambar sebagai berikut:
Gambar 3. Simulasi numerik disekitar titik kesetimbangan E3
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Berdasarkan  analisis  kestabilan  yang  dilakukan  sebelumnya  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan E3 stabil seperti yang terlihat pada gambar 3. Dari gambar tersebut terlihat bahwa jika kita mengambil nilai awal yang cukup  dekat  dengan  E3  maka  subpopulasi  pemangsa  menuju  kepunahan  sehingga  yang  tersisa  adalah subpopulasi mangsa sehat dan mangsa sakit.
Simulasi titik kesetimbangan E4 dipilih parameter sebagai berikut.
Diperoleh gambar sebagai berikut:

## Gambar 4. Simulasi numerik disekitar titik kesetimbangan E4
Berdasarkan  analisis  kestabilan  yang  dilakukan  sebelumnya  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan  E4  stabil seperti yang terlihat pada gambar 4. Dari gambar tersebut terlihat bahwa jika kita mengambil nilai awal yang cukup  dekat  dengan  E4  maka  subpopulasi  mangsa  sehat,  subpopulasi  mangsa  sakit  dan  subpopulasi pemangsa tidak ada yang mengalami kepunahan.

## 4. KESIMPULAN
Model  mangsa  pemangsa  dengan  fungsi  respon  Holling  Tipe  II  dan  adanya  mangsa  sakit  seperti ditunjukkan  dalam  model  (1).  Hasil  analisis  menunjukkan  bahwa  terdapat  empat  titik  kesetimbangan  yaitu titik  kepunahan  semua  subpopulasi,  titik  kepunahan  mangsa  sakit,  titik  kepunahan  pemangsa,  dan  titik eksistensi  semua  subpopulasi.  Kepunahan  seluruh  populasi  mungkin  saja  dapat  tercapai  dan  kepunahan mangsa sakit tidak akan pernah terjadi. Selain itu hal yang mungkin juga terjadi adalah kepunahan pemangsa dan eksistensi semua subpopulasi jika memenuhi kondisi yang disyaratkan. Di akhir artikel telah ditunjukkan simulasi  numerik  berupa  potret  fase  dan  deret  waktu  di  sekitar  setiap  titik  kesetimbangan  serta  interpretasi biologisnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Arditi,  R.,  and  Ginzburg,  L.  R,  1989,  Coupling  in  Predator-Prey  Dynamics:  Ratio-Dependence. Journal  of Theoretical Biology , vol. 139, hal 311–326.
Dawes, J. H. P., and Souza, M. O, 2013, A Derivation of Holling’s Type I, II and III Functional Responses in Predator-Prey Systems, Journal of Theoretical Biology , vol. 327, hal 11–22.
Hethcote, H.W., Wang,W., Han,L., Zhien Ma, 2004, A predator–prey model with infected prey, Theoretical Population Biology, vol 66, hal 259 – 268. Maisaroh,  Siti.,  Resmawan.,  Rahmi,  Emli.,  2020,  Analisis  Kestabilan  Model Predator-Prey dengan  Infeksi Penyakit pada Prey dan Pemanenan Proporsional pada Predator, Jambura J. Biomath. vol 1, hal 8-15.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Mortoja, S. G., Panja, P., & Mondal, S. K., 2018, Dynamics of a Predator-Prey Model with Stage Structure on Both Species and Anti-Predator Behavior, Informatics in Medicine Unlocked , vol 10, hal 50–57. Panigoro,  H.  S.,  2014,  Analisis  Dinamik  Sistem  Predator-Prey  Model  Leslie-Gower  dengan  Pemanenan Secara Konstan Terhadap Predator. Euler , vol 2 , hal 1–12.
Panja, P., Mondal, S. K., & Chattopadhyay, J., 2017, Dynamical Effects of Anti-predator Behaviour of Adult Prey  in  a  Predator-Prey  Model  with  Ratio-Dependent  Functional  Response, Asian  Journal  of Mathematics and Physics , vol 1, hal 19–32.
S. Kant  and  V.  Kumar,  2017,  Stability  analysis  of  predator–prey  system  with  migrating  prey  and  disease infection in both species, Applied Mathematical Modelling , vol. 42, hal 509–539.
Sinha,S.,  Misra,  O.P.,  Dhar,J.,  2010,  Modelling  a  predator–prey  system  with  infected  prey  in  polluted environment, Applied Mathematical Modelling , vol 34, hal 1861–1872.