## PENGARUH PANJANG TES DAN UKURAN CONTOH PADA PENDUGAAN PARAMETER MODEL IRT
Siti Hasanah 1 , Dewi Zulyani Pomalingo 2 , Anang Kurnia 3 , Alona Dwinata 4
Statistika dan Sains Data, IPB University 1,2,3
Pendidikan Matematika, Universitas Maritim Raja Ali Haji 4 Email: stathasanah@apps.ipb.ac.id

## Abstrak
IRT  ( item  response  theory )  dapat  menjelaskan  hubungan  antara  jawaban  seseorang  terhadap  butir dengan  variabel  laten  ( ability ).  Jumlah  butir  atau  soal  latihan  yang  diberikan  oleh  seorang  guru  SD hingga  SMA  biasanya  tidak  begitu  banyak.  Begitu  pun  dengan  jumlah  siswa  yang  biasanya  terbagi dalam  kelas  berbeda,  berjumlah  antara  30  hingga  35 siswa di tiap  kelasnya.  Penelitian ini  dilakukan pada  Juni  2023  dan  bertujuan  untuk  mengetahui  pengaruh  ukuran  contoh  dan  panjang  tes  terhadap pendugaan  parameter model  IRT  1  PL  pada  data  berukuran  kecil.  Parameter  yang  dianalisis  melalui model  IRT  1  PL  mencakup  parameter  butir  ( item) yaitu difficulty dan  parameter ability .  Data didapatkan  dari  bangkitan  hasil  simulasi.  Simulasi  pembangkitan  data  dengan  beberapa  skenario digunakan  dalam  mengkonstruksi  model  IRT  1  PL,  yaitu  berdasarkan  panjang  tes  (10,  15,  20)  dan ukuran contoh (32, 64). Hasil penelitian ditunjukkan dengan keeratan dugaan parameter θ ( ability ) dan parameter  sebenarnya  yang  semakin  tinggi  seiring  meningkatnya  panjang  tes.  Saat  Panjang  tes dianggap  tetap,  keeratan  dugaan  parameter difficulty semakin  tinggi  dengan  ukuran  contoh  yang meningkat pada skala kecil.
Kata Kunci : Item Response Theory , IRT 1 PL,  Ukuran Contoh, Panjang Tes, Parameter Logistik

## Abstract
IRT (Item Response Theory) can explain the relationship between a person's response to an item and a latent  variable  (ability).  The  number  of  items  or  exercise  questions  given  by  an  elementary  to  high school teacher is usually not very large. The same goes for the number of students, who are usually divided into different classes, ranging from 30 to 35 students per class. This study was conducted in June  2023  and  aims  to  determine  the  influence  of  sample  size  and  test  length  on  the  estimation  of parameters  in  the  item  response  theory ( IRT ) 1  PL  model  with  small-sized  data.  The  parameters analyzed  through  the  IRT  1  PL  model  include  item  parameters,  namely  difficulty,  and  ability parameters.  The  data  were  obtained  from  generation  of  simulation  results.  Data  generation simulations with several scenarios were used to construct the IRT 1 PL model, based on test lengths (10,  15,  20)  and  sample  sizes  (32,  64).  The  research  results  are  indicated  by  the  closeness  of  the estimated  parameter  θ  (ability)  to  the  true  parameter,  which  increases  as  the  test  length  increases. When  the  test  length  is  considered  constant,  the  closeness  of  the  estimated  difficulty  parameter increases with an increase in the sample size in small-scale scenarios.
Key Words : Item Response Theory, IRT 1 PL, Sample Size, Test Length,  Logistic Parameter

## PENDAHULUAN
Pengukuran adalah proses mengidentifikasi satu  atribut  yang  dilakukan  pada  satu waktu [1]. Dua teori pengukuran butir yang masih  terus  berkembang  sampai  saat  ini yaitu  teori  tes  klasik  atau classical  test theory (CTT)  dan  teori  tes  modern  atau item response theory (IRT). Teori pengukuran ini dimanfaatkan untuk merancang dan menganalisis alat ukur atau tes.  IRT  adalah  paradigma  psikometrik
untuk  konstruksi,  penilaian,  dan  analisis formulir  serta  item  tes  [2]. Item  response theory memerlukan  lebih  banyak  asumsi tetapi  juga  memberikan  informasi  yang lebih  lengkap  dibandingkan classical  test theory [3]. IRT  merupakan  metode  yang lebih  terbarukan  sebagai  usaha  menangani kelemahan-kelemahan yang ada pada CTT [4].  Beberapa  asumsi  pada  IRT  adalah unidimensi,  antar  butir  saling  bebas,  dan butir tidak mempengaruhi respon
seseorang berdasarkan karakteristik
individu seperti latar belakang budaya atau jenis  kelamin.  Karakteristik  kelompok peserta  tes  mengalami  perubahan  jika kelompok  tersebut  menempuh  tes  yang berbeda [5].
IRT adalah sebuah model probabilitas yang dapat menjelaskan hubungan antara respon seseorang  terhadap  sebuah  butir  dengan variabel  laten  (kemampuan/ ability atau sifat/ trait )  yang  diukur  oleh  tes  tersebut [6].  Pada  IRT dapat  digunakan  model karakteristik  butir  di  antaranya  model  IRT 1 Parameter Logistik (IRT 1PL). Parameter pada  IRT  model  1  PL  adalah  tingkat kesukaran butir ( difficulty )
dan kemampuan peserta ( ability ). Model khusus  dari IRT 1 PL saat  parameter daya beda  bernilai  1  adalah  model rasch . Terdapat banyak model IRT yang dikembangkan  untuk  keadaan  khusus  dan tidak berlaku umum [7]. Penelitian kali ini berfokus pada model IRT 1 PL non rasch.
Dalam konteks analisis IRT ( Item Response  Theory ),  respon  dari  setiap  butir soal  diambil  dari  jawaban  yang  diberikan oleh  responden  atau  peserta  tes.  Jawaban ini biasanya berupa pilihan ganda, benar/salah, atau jenis respon lainnya yang telah  ditentukan  sebelumnya  dalam  desain soal.  Setiap  jawaban  yang  diberikan  oleh peserta  akan  direkam  dan  dianalisis  untuk menentukan parameter butir (seperti tingkat  kesulitan)  dan  parameter  individu (seperti kemampuan peserta) menggunakan model IRT yang sesuai. Dengan memperhitungkan pola jawaban dari sejumlah  peserta  dan  pertanyaan  tertentu, model  IRT  dapat  memberikan  estimasi yang  akurat  tentang  kemampuan  individu dan karakteristik butir soal, serta hubungan antara keduanya.
Dengan demikian, informasi yang diperoleh  dari  respon  peserta  sangat penting  dalam  proses  analisis  IRT,  karena
akan  menjadi  dasar  bagi  pembuatan estimasi parameter-parameter yang diperlukan  dalam  evaluasi  dan  pembuatan keputusan pendidikan.
Model IRT 1 PL [8] :
𝑃 𝑖 = 𝑒 (𝜃−𝑏 𝑖 ) 1 + 𝑒 (𝜃−𝑏 𝑖 ) ;  𝑖 = 1,2,3. . 𝑛 dimana, 𝑃 𝑖 adalah peluang peserta tes yang memiliki  kemampuan  ( 𝜃 )  dipilih  secara acak dapat menjawab butir 𝑖 dengan benar, 𝜃 adalah  tingkat  kemampuan  peserta, 𝑏 𝑖 adalah indeks kesulitan butir ke-i, 𝑒 adalah bilangan  natural  yang  nilainya  mendekati 2,718, dan 𝑛 adalah banyaknya butir dalam tes. Pada model IRT 1 PL, paramater yang dilibatkan  hanya  parameter difficulty ( 𝑏 𝑖 ). Secara  teoretis,  nilai 𝑏 𝑖 terletak  pada rentang -∞ dan + ∞. Suatu  butir dikatakan baik jika nilai 𝑏 𝑖 berkisar antara –2 dan +2 [8].  Jika  nilai 𝑏 𝑖 mendekati  –2,  maka indeks  kesulitan  butir  sangat  rendah  atau dengan  kata  lain  tipe  soal  sangat  mudah, sedangkan  jika  nilai 𝑏 𝑖 mendekati  +2 maka  indeks  kesulitan  butir  sangat  tinggi. Pengaruh  Panjang  tes  pada  data  simulasi berukuran  besar  telah  diteliti  oleh  [3]  dan [9].  Penelitian  oleh  menggunakan  model IRT  2  PL  dengan  banyaknya  contoh  200, 400,  dan  1000  [3].  Hasil  dari  penelitian adalah kestabilan dugaan parameter difficulty dipengaruhi oleh sample size , dan kestabilan  parameter ability dipengaruhi oleh  ukuran test  length [3].    Pendugaan parameter perlu dilakukan untuk memperoleh parameter populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan data sampelnya [10]. Semakin besar sample size dan  ukuran test  length ,  maka  pendugaan parameter semakin stabil. Penelitian lainnya  juga  menggunakan  model  IRT  2 PL  dengan  banyaknya  contoh  1000  dan ukuran test length 20, 40, dan 60 [9]. Hasil dari  penelitian  penelitian  tersebut  adalah semakin  panjang  tes  yang  digunakan, estimasi parameter kemampuan model 2PL semakin  akurat.  Penelitian  ini  memiliki tujuan yang sangat relevan dengan kondisi
yang  umum  terjadi  di  lapangan,  terutama dalam  konteks  tes  pada  siswa  sekolah dasar  dan  menengah.  Pada  kenyataannya, jumlah  butir  soal  dan  jumlah  peserta  tes pada  level  pendidikan  tersebut  biasanya berukuran kecil. Oleh karena itu, penelitian ini  bertujuan  untuk  menggali  pengaruh panjang  tes  dan  ukuran  contoh  terhadap dugaan  parameter  butir  ( difficulty )  dan parameter θ atau  kemampuan  individu ( ability )  pada  data  dengan  ukuran  yang kecil.
Hasil  dari  penelitian  ini  diharapkan  dapat memberikan  wawasan  yang  berharga  bagi pembuat  kurikulum,  guru,  dan  para pengambil keputusan pada bidang pendidikan.  Dengan  memahami  pengaruh panjang  tes  dan  ukuran  contoh  terhadap estimasi  parameter  dalam  model  IRT, mereka  dapat  membuat  keputusan  yang lebih  baik  dalam  merancang  soal-soal latihan  yang  efektif  dan  relevan  untuk siswa.  Dengan  kata  lain,  temuan  dari penelitian ini dapat menjadi masukan yang berharga  dalam  proses  pengembangan kurikulum dan penyusunan materi pelajaran di sekolah.
Diharapkan  bahwa  dengan  pemahaman yang lebih baik  tentang  bagaimana ukuran contoh  dan  panjang  tes  memengaruhi estimasi  parameter  dalam  model  IRT, maka  pengajaran  dan  pembelajaran  di sekolah  dapat  menjadi  lebih  efektif  dan efisien.  Hal  ini  akan  membantu  siswa dalam memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang materi pelajaran serta meningkatkan  kemampuan  mereka  dalam menghadapi  tes  dan  evaluasi.  Sehingga, penelitian  ini  memiliki  potensi  untuk memberikan dampak positif yang signifikan  dalam  meningkatkan  kualitas pendidikan di tingkat dasar dan menengah.

## METODE
Data  yang  digunakan  dalam  analisis  ini adalah  hasil  dari  simulasi  yang  dilakukan
menggunakan  perangkat  lunak  Wingen 3.1.15. Simulasi pembangkitan data dilakukan dengan mempertimbangkan beberapa kriteria utama. Pertama, kemampuan  peserta  ( θ , ability )  diambil dari  distribusi  normal  dengan  mean  0  dan standar  deviasi  1  ( θ ~ N(0,1) ).  Kedua, parameter  butir  yang  menggambarkan tingkat kesulitan ( b ) diambil dari distribusi seragam  dalam  rentang  [-2,  2]  ( b ~ U [-2,
2]).  Data  dibangkitkan  dalam  variasi ukuran  contoh,  yaitu  sebanyak  32  dan  64, serta  dalam  variasi  panjang  tes,  yakni  10, 15,  dan  20  butir  soal.  Model  yang digunakan  untuk  menganalisis  data  ini adalah  model  IRT  1  PL.  Selanjutnya, pengaruh  dari  ukuran  contoh  dan  panjang tes  terhadap  estimasi  parameter  dianalisis melalui  dua  metrik  utama:  nilai  korelasi dan Root  Mean  Square  Error (RMSE). Korelasi digunakan untuk menilai seberapa erat  hubungan  antara  parameter  yang diestimasi dengan nilai sebenarnya, sementara RMSE digunakan untuk mengevaluasi  seberapa  besar  kesalahan estimasi  yang  terjadi  dalam  mengukur parameter tersebut.
Dengan  menggunakan  data  hasil  simulasi ini,  analisis  akan  mengungkap  bagaimana variasi  ukuran  contoh  dan  panjang  tes mempengaruhi kualitas  estimasi parameter dalam  konteks  model  IRT  1  PL.  Ini  akan memberikan  wawasan  dalam  pemahaman tentang  bagaimana  pemodelan  IRT  dapat digunakan untuk mengukur dan menganalisis  kemampuan  peserta  dalam tes  dengan  berbagai  skenario  ukuran contoh  dan panjang tes.  Nilai  RMSE  yang semakin  kecil  menunjukkan  estimasi  yang diujicobakan semakin akurat [11].

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil  pemodelan  IRT  1  PL  untuk  data dengan ukuran contoh ( N ) 32 dan 64 dapat dilihat  pengaruhnya  terhadap  parameter butir melalui nilai korelasi dan RMSE pada Tabel 1.

## Tabel 1. Pengaruh Ukuran Contoh pada Dugaan Parameter Difficulty
Semakin  meningkatnya  ukuran  contoh, terlihat  bahwa  keeratan  antara  parameter dugaan difficulty dengan parameter sebenarnya  semakin  tinggi,  seperti  yang terungkap  dalam  Tabel  1.  Meskipun demikian, perlu dicatat bahwa nilai RMSE pada  contoh-contoh  berukuran  kecil  ini menunjukkan  tingkat  konsistensi  yang kurang.  Secara  khusus,  pada  panjang  tes n =10,  terdapat  sebuah  anomali  dimana nilai  RMSE  untuk  ukuran  contoh N =64 justru lebih besar. Meskipun demikian, jika kita  mengambil  rata-rata  dari  ketiga panjang  tes  tersebut,  ukuran  contoh  64 ternyata  memiliki  nilai  rata-rata  RMSE yang lebih kecil. Fenomena ini menggambarkan kompleksitas dalam interpretasi data ketika mengkaji hubungan antara  ukuran  contoh  dan  keakuratan estimasi  parameter.  Selain  itu,  ada  hal menarik  lain  yang  terungkap,  yaitu pengaruh  panjang  tes  terhadap  pendugaan parameter  kesulitan  butir.  Menurut  Tabel 1, semakin panjang suatu tes, nilai korelasi antara  parameter  kesulitan  butir  dengan panjang  tes  semakin  menurun.  Untuk pemahaman yang lebih mendalam, perbedaan  ini  dapat  dilihat  secara  visual melalui Gambar 1.

## Gambar 1. Grafik Pengaruh Panjang
Tes terhadap Difficulty
Dengan  demikian,  kesimpulan  yang  dapat diambil  adalah  bahwa  baik  ukuran  contoh maupun  panjang  tes  merupakan  faktor penting yang perlu dipertimbangkan secara cermat dalam menganalisis dan menginterpretasi data tes.
Pengaruh  panjang  tes  pada  kemampuan peserta ( θ ) dapat dilihat melalui Tabel 2.

## Tabel 2. Pengaruh Panjang Tes pada Dugaan Parameter Ability
No  Ukuran
Contoh Panjang Tes Korelasi RMSE 1. 32 10 0,6068 5,5857 2. 32 15 0,8642 3,1833 3. 32 20 0,8686 3,1160 4. 64 10 0,7926 5,0274 5. 64 15 0,8376 4,3492 6. 64 20 0,8454 4,3980
Berdasarkan analisis yang tercantum dalam Tabel  2,  dapat  diamati  bahwa  terdapat korelasi  dalam  hubungan  antara  parameter kemampuan  ( ability )  dengan  panjang  tes. Dengan meningkatnya panjang tes, terlihat bahwa korelasi parameter ability cenderung meningkat secara linier. Fenomena ini menunjukkan bahwa semakin  panjang  tes,  semakin  akurat  pula kemampuan  individu  dalam  diukur.  Tak hanya  itu,  pada  contoh  dengan  ukuran  64, terdapat pola yang serupa yang mengindikasikan  bahwa  hubungan  antara parameter  dugaan  dan  nilai  sebenarnya semakin  kuat  seiring  dengan  peningkatan panjang  tes.  Hal  ini  menandakan  bahwa pengukuran terhadap kemampuan individu menjadi lebih tepat seiring dengan peningkatan  panjang  tes.  Selain  itu,  perlu dicatat  bahwa  nilai Root  Mean  Square Error (RMSE)  dari  parameter θ terhadap parameter  sebenarnya  juga  menunjukkan kecenderungan  yang  menarik.  Dengan meningkatnya  panjang  tes,  terlihat  bahwa RMSE tersebut mengalami penurunan. Hal ini  menunjukkan  bahwa  semakin  panjang tes,  semakin  kecil  pula  kesalahan  estimasi antara  parameter  yang  diukur  dengan  nilai
No Korelasi RMSE N n=10  n=15  n=20  n=10  n=15  n=20 1.  32  0,89  0,80  0,61 5,79  22,33  85,17 2.  64  0,99  0,99  0,78  42,56  1,33  65,86
sebenarnya.  Oleh  karena  itu,  hasil  dari analisis  ini  menyoroti  pentingnya  panjang tes  dalam  meningkatkan  akurasi  dalam mengukur kemampuan individu.

## SIMPULAN
Ukuran contoh berpengaruh pada parameter kesulitan butir meskipun sample berukuran  kecil.  Peningkatan  ukuran contoh pada skala kecil juga meningkatkan keakuratan pendugaan
parameter kemampuan pada model IRT 1PL. Panjang tes berpengaruh terhadap parameter kemampuan peserta tes dan kesulitan butir. Peningkatan  panjang  tes  pada  skala  kecil linier  dengan  peningkatan  korelasi ability , namun berbanding terbalik dengan korelasi kesulitan butir.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] B.  Sumintono,  “Model  Rasch  untuk Penelitian  Sosial  Kuantitatif,”  in Kuliah  umum  di  Jurusan  Statistika , Surabaya,  2014.  [Online].  Available: https://core.ac.uk/display/162013734 ?utm_source=pdf&utm_medium=ba nner&utm_campaign=pdf- decoration-v1 [2] N. A. Thompson, “Ability
Estimation  with  Item  Response Theory,” Assesment  Syst.  Corp. ,  pp. 1–11,  2009,  [Online].  Available: www.assess.com
[3] R.  Budiarti,  “Pengaruh  Sample  Size (N)  dan  Test  Length  (n)  terhadap Item Parameter Estimate dan Examinee  Parameter  Estimate,  suatu
Studi  Simulas,” J.  Math.  Its  Appl. , vol.  12,  no.  1,  pp.  25–36,  Jul.  2013, doi: 10.29244/jmap.12.1.25-36.
[4] M. Tarigan and F. Fadillah, “Analisis
Item  Response  Theory  Raven’s Coloured  Progressive  Matrices  pada Sampel Anak Usia Dini,” PSIKODIMENSIA , vol. 20, no. 2, pp. 158–169, Dec. 2021, doi:
10.24167/psidim.v20i2.3101.
[5] S.  DS,  “Pengaruh  Panjang  Tes  dan
Ukuran  Sampel  terhadap  Kekekaran Estimasi Parameter pada Teori Respon Butir (Item Response Theory),” Cakrawala  Pendidik. ,  vol.
3, 2006, doi: 10.21831/cp.v1i3.8593.
[6] F.  Fajrianthi,  W.  Hendriani,  dan  B. G.  Septarini,  “Pengembangan  Tes Berpikir Kritis dengan dengan Pendekatan  Item  Response  Theory,” J.  Penelit.  dan  Eval.  Pendidik. ,  vol. 20, no. 1, pp. 45–55, Jun. 2016, doi: 10.21831/pep.v20i1.6304.
[7] M.  C.  Edwards,  “An  Introduction  to Item  Response  Theory  Using  the Need  for  Cognition  Scale,” Soc. Personal.  Psychol.  Compass ,  vol.  3,
no.  4,  pp.  507–529,  2009,  doi: 10.1111/j.1751-9004.2009.00194.x. [8] Hambleton, Swaminathan, and Rogres, Item  Response  Theory .
Boston MA: Kluwer Inc, 1985.
[9] I.  Falani  dan  S.  A.  Kumala, “Kestabilan Estimasi Parameter
Kemampuan  pada  Model  Logistik Item  Response  Theory  Ditinjau  dari Panjang  Tes,” SAP  (Susunan  Artikel Pendidikan) , vol. 2, no. 2, Dec. 2017,
doi: 10.30998/sap.v2i2.2028. [10]  S.  A.  Purba,  “Estimasi  Parameter Data Berdistribusi Normal Menggunakan Maksimum Likelihood Berdasarkan Newton Raphson,” J. Sains Dasar , vol. 9, no. 1,  pp.  16–18,  Feb.  2021,  doi: 10.21831/jsd.v9i1.38564.
[11]  Rahayu,  W.,  “Metode  Estimasi Parameter  dan  Meter  Equating  pada Ukuran  Sampel  Kecil  Berdasarkan Item  Respons  Theory,” Prosiding Semirata2015 , pp. 315–324.