## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 2, No. 1, 2020, pp. 13-22.

## Hubungan Dimensi Metrik Ketetanggaan dan Dimensi Metrik Ketetanggan Lokal Graf Hasil Operasi Kali Korona
Virdina Rahmayanti 1 , Moh. Imam Utoyo 2 & Liliek Susilowati 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
3 Corresponding author: liliek-s@fst.unair.ac.id
Abstract. Adjacency  metric  dimension  and  local  adjacency  metric  dimension  are  the  development  of metric dimension. The purpose of this research is to determine the adjacency metric dimension of corona graph between any connected graph G and non-trivial graph H denoted by dim A ( G ⊙ H ), to determine the local adjacency metric dimension of corona graph between any connected graph G and non-trivial graph H denoted by dim A,l ( G ⊙ H ), and to determine the correlation between adjacency metric dimension and local adjacency metric dimension of corona product graph operations. In this research, it is found out that the value of adjacency metric dimension  of G ⊙ H graph is affected by the basic characteristic of H and the domination  characteristic.  Meanwhile,  the  value  of  local  adjacency  metric  dimension  of G ⊙ H graph  is only  affected  by  the  basic  characteristic  of H . Futhermore,  it  is  found  a  correlation  of  adjacency  metric dimension and local adjacency metric dimension of corona product graph between any connected graph G and non-trivial graph H .
Keywords: adjacency  metric  dimension,  corona  product  graph,  correlation  of  adjacency  metric dimension, correlation of local adjacency metric dimension, local adjacency materic dimension.

## 1 Pendahuluan
Bagian  dari  teori  graf  yang  terus  berkembang  adalah  dimensi  metrik.  Konsep  dimensi metrik diperkenalkan oleh Harary pada tahun 1976. Penelitian mengenai dimensi metrik telah  dilakukan  antara  lain  oleh  Chartrand, et  al. [1]  yang  menemukan  beberapa karakterisasi dari dimensi metrik.  Iswandi et al. [2] meneliti dimensi metrik graf yang mempunyai titik dengan derajat satu.
Selanjutnya, Jannesari dan Omoomi [3] mengembangkan konsep dimensi metrik menjadi dimensi  metrik  ketetanggaan.  Pada  tahun  2013,  Rodriguez  dan  Fernau  [4] menggabungkan konsep dimensi metrik lokal dan dimensi metrik ketetanggaan menjadi dimensi metrik ketetanggaan lokal.
Perkembangan  dimensi  metrik  pada  graf  hasil  operasi  antara  lain  dimensi  metrik ketetanggaan pada graf dengan operasi hasil kali korona oleh Rodriguez dan Fernau [4], dimensi  metrik  pada  graf  dengan  operasi  hasil  kali comb oleh  Saputro,  dkk  [5]  dan
keterkaitan antara dimensi metrik dan dimensi metrik lokal pada graf hasil operasi kali akar oleh Susilowati, dkk [6].
Dalam  penelitian  Rodriguez  dan  Fernau  tahun  2013  [4]  telah  dibahas  dimensi  metrik ketetanggaan graf operasi hasil kali korona dan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf hasil operasi kali korona.  Dalam penelitian ini, dikaji ulang yang telah dihasilkan dalam jurnal Rodriguez dan melengkapi bukti dimensi metrik ketetanggaan dan dimensi metrik ketetanggaan  lokal  graf  hasil  operasi  kali  korona  dengan  menggunakan  bahasa  sendiri beserta hubungannya.

## 2 Dimensi Metrik Ketetanggaan Graf Hasil Operasi Kali Korona
Menurut Rodriguez dan Fernau [4], Untuk graf terhubung G , 𝑁 𝐺 (𝑤) adalah notasi yang menyatakan  himpunan  semua  titik  yang  bertetangga  dengan  titik 𝑤 pada  graf G . Himpunan W adalah himpunan pembeda ketetanggaan ( adjacency resolving set ) jika untuk  setiap  dua  titik 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺) − 𝑊 terdapat 𝑤 ∈ 𝑊 sedemikian  sehingga |𝑁 𝐺 (𝑤) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Himpunan pembeda ketetanggaan dengan kardinalitas minimum disebut basis metrik ketetanggaan untuk  graf G dan kardinalitasnya disebut dimensi metrik  ketetanggaan yang  dinotasikan 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺) .  Akibatnya,  kardinalitas  minimal dimensi metrik ketetanggan adalah 1.
Misalkan 𝑉(𝐺) = {𝑣 𝑖 |𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} dan 𝑉(𝐻) = {𝑢 𝑗 |𝑗 = 1,2,3, … , 𝑚} dengan 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 2 . Titik pada graf 𝐺 ⨀ 𝐻 terdiri atas dua bagian yaitu induk dan daun. Induk adalah titi-titik pada graf 𝐺 dan daun adalah titik-titik pada graf 𝐻 . Induk dari graf 𝐺 ⨀ 𝐻 dinotasikan  dengan 𝐺 0 dengan 𝑉(𝐺 0 ) = {𝑣 𝑖0 |𝑣 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺)} .  Salinan  graf 𝐻 pada  titik 𝑣 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 disebut  daun  ke- 𝑖 dan  dinotasikan  dengan 𝐻 𝑖 dan 𝑉(𝐻 𝑖 ) = {𝑣 𝑖𝑗 |𝑢 𝑗 ∈ 𝑉(𝐻)} , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 .
Teorema 2.1 Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 dan 𝐻 adalah graf non-trivial .  Jika  terdapat  basis  ketetanggan 𝐵 dari 𝐻 dan  merupakan  himpunan dominasi, dan jika untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) − 𝐵 yang memenuhi 𝐵 ⊈ 𝑁 𝐻 (𝑣) , maka
𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) .
Bukti. Misalkan 𝐵 𝑖 adalah basis dari 𝐻 𝑖 .
Pilih 𝑊 = ⋃ 𝐵 𝑖 𝑛 𝑖=1 .  Diambil  sebarang  dua  titik 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐻) − 𝑊 maka  terdapat empat kemungkinan yaitu (i) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) (ii) 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑗 ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 dan 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} , (iii) 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) , dan (iv) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) .
(i) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) . Karena 𝐵 𝑖 adalah basis ketetanggaan dari 𝐻 𝑖 , terdapat 𝑡 ∈ 𝑆 𝑖 sehingga 𝑡𝑥  ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑦 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) atau 𝑡𝑥 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑦 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑢 𝑖 ) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 .  Oleh  karena  itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
(ii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑗 ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 .  Karena 𝐵 𝑖 adalah himpunan dominasi dari 𝐻 𝑖 , terdapat 𝑡 ∈ 𝑆 𝑖 sehingga 𝑡𝑥  ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑦 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑡) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
(iii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) . Terdapat 𝑡 ∈ 𝑆 𝑖 sehingga 𝑡𝑥  ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑦 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑡) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
(iv) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) . Terdapat 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 sehingga 𝑥 = 𝑣 𝑖 dan 𝑦 = 𝑣 𝑗 .  Dipilih 𝑡 ∈ 𝐵 𝑖 .  Karena 𝑡𝑣 𝑖 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑣 𝑗 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑡) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 }| = |𝑁(𝑡) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
Berdasarkan  uraian  di  atas  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan 𝐺⨀𝐻 .
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa 𝑊 merupakan himpunan pembeda ketetanggaan 𝐺⨀𝐻 dengan kardinalitas minimal. Diambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑊 , maka  terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} , sehingga 𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 .  Akan  ditunjukkan  bahwa 𝑊\{𝑥} bukan  himpunan  pembeda ketetangaan. Karena 𝐵 𝑖 adalah basis dari 𝐻 𝑖 , maka 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} bukan himpunan pembeda ketetanggaan  dari 𝐻 𝑖 .  Akibatnya  terdapat  dua  titik 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑟 ≠ 𝑡 sehingga untuk  setiap 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 \{𝑥} , |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 . Diambil  sebarang 𝑠 ∈ 𝑊\{𝑥} .  Karena 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} maka 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐻 ) − 𝑊\{𝑥} . Terdapat dua kemungkinan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} atau 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 dengan 𝑗 ≠ 𝑖 .
(i) Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} , berdasarkan uraian sebelumnya |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 .
(ii) Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 dan 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 ,  maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 0 ≠ 1 .
Berdasarkan  kasus  di  atas,  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan. Oleh karena itu, 𝑊 merupakan basis ketetanggaan dengan 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) .
Teorema 2.2 Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 dan 𝐻 adalah graf non-trivial .  Jika  terdapat  basis  ketetanggan  dari 𝐻 yang  merupakan  himpunan dominasi, untuk setiap basis ketetanggaan 𝐵 di 𝐻 terdapat 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) − 𝐵 yang memenuhi 𝐵 ⊆ 𝑁 𝐻 (𝑣) , maka
𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) + 𝛾(𝐺) .
Bukti. Misalkan 𝐵 𝑖 adalah  sebarang  basis  ketetanggaan  lokal  dari 𝐻 𝑖 . 𝐷 = {𝑣 𝑛 𝑘 |𝑘 = 1,2,3, … , 𝛾(𝐺)} merupakan  himpunan  dominasi  dari  graf 𝐺 .  Berdasarkan penamaan titik-titik hasil kali korona, 𝐷 0 = {𝑣 𝑛 𝑘 0 |𝑘 = 1,2,3, … , 𝛾(𝐺)} ⊆ 𝐺 0 .
Pilih 𝑊 = ⋃ 𝐵 𝑖 ⋃ 𝐷 0 𝑛 𝑖=1 . Diambil sebarang dua titik 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐻) − 𝑊 maka terdapat tiga  kemungkinan  yaitu  (i) 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 dan 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ,  (ii) 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dengan 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ,  dan  (iii) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) .
(i) Misalkan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑗 ) terdadat 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} dan 𝑟, 𝑠 ∈ {1,2,3, … , 𝑚} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 dan 𝑟 ≠ 𝑠 sehingga 𝑥 = 𝑣 𝑖𝑟 dan 𝑦 = 𝑣 𝑗𝑠 . Terdapat 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑊 sehingga 𝑣 𝑖𝑡 𝑣 𝑖𝑟 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑣 𝑖𝑡 𝑣 𝑗𝑠 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑣 𝑖𝑡 ) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑗𝑠 }| = |𝑁(𝑣 𝑖𝑡 ) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 .  Oleh  karena  itu 𝑥, 𝑦 memiliki  pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
(ii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) dengan 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} .  Terdapat 𝑣 𝑛 𝑘 0 ∈ 𝐷 0 sehingga 𝑣 𝑛 𝑘 0 𝑥 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) sehingga |𝑁(𝑣 𝑛 𝑘 0 ) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
(iii) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) maka terdapat 𝑖, 𝑗 ∉ {𝑛 1 , 𝑛 2 , 𝑛 3 , … , 𝑛 𝛾(𝐺) } dengan 𝑖 ≠ 𝑗 sehingga 𝑥 = 𝑣 𝑖 dan 𝑦 = 𝑣 𝑗 . Dipilih 𝑣 𝑛 𝑘 0 ∈ 𝐷 0 . Karena 𝑣 𝑛 𝑘 0 𝑣 𝑖 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻)
dan 𝑣 𝑛 𝑘 0 𝑣 𝑗 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑣 𝑛 𝑘 0 ) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 }| = |𝑁(𝑣 𝑛 𝑘 0 ) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan di 𝑊 .
Berdasarkan  uraian  di  atas  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan 𝐺⨀𝐻 .
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa 𝑊 merupakan himpunan pembeda ketetanggaan 𝐺⨀𝐻 yang  mempunyai  kardinalitas  minimal.  Diambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝑊 .  Akan  ditunjukkan bahwa 𝑊\{𝑥} bukan himpunan pembeda ketetanggaan. Terdapat dua kemungkinan yaitu terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} , sehingga 𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 atau 𝑥 ∈ 𝐷 0 .
(i) Misalkan terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} , sehingga 𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 . Karena 𝐵 𝑖 adalah basis dari 𝐻 𝑖 , maka 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} bukan himpunan pembeda dari 𝐻 𝑖 . Akibatnya terdapat dua titik 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑟 ≠ 𝑡 sehingga untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐵 𝑖 \{𝑥} , |𝑁(𝑢) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 . Diambil sebarang 𝑠 ∈ 𝑊\{𝑥} . Terdapat tiga kemungkinan, yaitu 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} , 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 dengan 𝑗 ≠ 𝑖 atau 𝑠 ∈ 𝐷 0 .
a. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} ,  berdasarkan  kasus  di  atas  maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 .
b. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 . Karena 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 , maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 0 ≠ 1 .
c. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐷 0 , maka terdapat 𝑘 ∈ {1,2,3, … , 𝛾(𝐺 0 )} sehingga 𝑠 = 𝑣 𝑝 𝑘 0 . Terdapat  dua  kemungkinan  yaitu 𝑝 𝑘 ≠ 𝑖 atau 𝑝 𝑘 = 𝑖 .  Untuk 𝑝 𝑘 ≠ 𝑖 diperoleh  bahwa |𝑁(𝑣 𝑝 𝑘 0 ) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 0 ≠ 1 sebab 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} , sedangkan untuk 𝑝 𝑘 = 𝑖 diperoleh bahwa |𝑁(𝑣 𝑝 𝑘 0 ) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 2 ≠ 1 .
(ii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝐷 0 . Karena 𝐷 0 adalah himpunan dominasi dari 𝐺 0 , maka 𝐷 0 \{𝑥} bukan  himpunan  dominasi  minimal  dari 𝐺 0 .  Ada 𝑢 ∈ 𝐺 0 ,  sehingga  untuk setiap 𝑧 ∈ 𝐷 0 \{𝑥} , 𝑧 tidak  bertetangga  dengan 𝑢 .  Karena 𝑢 ∈ 𝐺 0 ,  maka terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} sehingga 𝑢 = 𝑣 𝑖0 .  Dipilih 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 . Berdasarkan pemilihan 𝑢 dan 𝑦 diperoleh bahwa 𝑢, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 ⊙ 𝐻) − 𝑊\{𝑥} . Diambil  sebarang 𝑠 ∈ 𝑊\{𝑥} .  Terdapat  dua  kemungkinan,  yaitu 𝑠 ∈ 𝐷 0 ∖ {𝑥} atau 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 .
a. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐷 0 ∖ {𝑥} .  Berdasarkan  pemilihan 𝑢 dan 𝑦 diperoleh |𝑁(𝑠) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 0 ≠ 1 .
b. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 .  Berdasarkan  pemilihan 𝑢 diperoleh 𝑢𝑠 ∈ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) , sedangkan 𝑦𝑠 ∈ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) sebab 𝐵 𝑖 merupakan  basis  dari 𝐻 𝑖 .  Oleh karena itu |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖𝑗 }| = 2 ≠ 1 .
Berdasarkan  kasus  di  atas,  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan.  Oleh  karena  itu, 𝑊 merupakan  basis  ketetanggaan  dengan  ketetanggaan lokal dengan 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) + 𝛾(𝐺) .
3 Dimensi Metrik Ketetanggaan Lokal Graf Hasil Operasi Kali Korona
Untuk  graf  terhubung 𝐺 , 𝑁 𝐺 (𝑠) adalah  notasi  yang  menyatakan  himpunan  semua  titik yang bertetangga dengan titik 𝑠 pada graf 𝐺 . Himpunan S adalah himpunan pembeda ketetanggaan  lokal ( local  adjacency  resolving  set )  jika  untuk  setiap  dua  titik  yang bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺) − 𝑆 terdapat 𝑠 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga |𝑁 𝐺 (𝑠) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Himpunan  pembeda  ketetanggaan  lokal  dengan  kardinalitas  minimum  disebut basis metrik ketetanggaan lokal untuk  graf G dan kardinalitasnya disebut dimensi  metrik ketetanggaan  lokal yang  dinotasikan 𝑑𝑖𝑚 𝐴,𝑙 (𝐺) .  Akibatnya,  kardinalitas  minimal dimensi metrik ketetanggaan lokal adalah 1.
Misalkan 𝑉(𝐺) = {𝑣 𝑖 |𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} dan 𝑉(𝐻) = {𝑢 𝑗 |𝑗 = 1,2,3, … , 𝑚} dengan 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 2 . Titik pada graf 𝐺 ⨀ 𝐻 terdiri atas dua bagian yaitu induk dan daun. Induk adalah titi-titik pada graf 𝐺 dan daun adalah titik-titik pada graf 𝐻 . Induk dari graf 𝐺 ⨀ 𝐻 dinotasikan  dengan 𝐺 0 dengan 𝑉(𝐺 0 ) = {𝑣 𝑖0 |𝑣 𝑖 ∈ 𝑉(𝐺)} .  Salinan  graf 𝐻 pada  titik 𝑣 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 disebut  daun  ke- 𝑖 dan  dinotasikan  dengan 𝐻 𝑖 dan 𝑉(𝐻 𝑖 ) = {𝑣 𝑖𝑗 |𝑢 𝑗 ∈ 𝑉(𝐻)} , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 .
Teorema 3.1 Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 dan 𝐻 adalah graf non-trivial .  Jika  terdapat  basis  ketetanggan 𝐵 dari 𝐻 dan  merupakan  himpunan dominasi, dan jika untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) − 𝐵 yang memenuhi 𝐵 ⊈ 𝑁 𝐻 (𝑣) , maka
𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) .
Bukti. Misalkan 𝐵 𝑖 adalah sebarang basis ketetanggaan lokal dari 𝐻 𝑖 .
Pilih 𝑊 = ⋃ 𝐵 𝑖 𝑛 𝑖=1 . Diambil sebarang dua titik yang bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 ⊙ 𝐻) − 𝑊 maka terdapat tiga kasus yaitu (i) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) , (ii) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan (iii) 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ), 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) .
(i) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) .  Karena 𝐵 𝑖 adalah  basis  ketetanggaan  lokal  dari 𝐻 𝑖 maka terdapat 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ⊆ 𝑊 sehingga |𝑁(𝑠) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan lokal di 𝑊 .
(ii) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) maka  terdapat 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 sehingga 𝑥 = 𝑣 𝑖 dan 𝑦 = 𝑣 𝑗 .  Dipilih 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ,  karena 𝑠𝑣 𝑖 ∈ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) dan 𝑠𝑣 𝑗 ∉ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 }| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan lokal di 𝑊 .
(iii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) .  Karena 𝑆 𝑖 ⊈ 𝑁 𝐻 𝑖 (𝑦) ,  sehingga  untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆 𝑖 − 𝑁 𝐻 𝑖 (𝑦) maka 𝑠𝑥 ∉ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) dan 𝑠𝑦 ∈ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) . Akibatnya, |𝑁(𝑠) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 .  Oleh  karena  itu 𝑥, 𝑦 memiliki  pembeda ketetanggaan lokal di 𝑊 .
Berdasarkan  uraian  di  atas  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan lokal 𝐺 ⊙ 𝐻 .
Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda  ketetanggaan  lokal 𝐺⨀𝐻 dengan  kardinalitas  minimal.  Diambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝑊 ,  maka    terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} ,  sehingga 𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 .  Akan  ditunjukkan  bahwa 𝑊\{𝑥} bukan  himpunan pembeda  ketetanggaan  lokal.  Karena 𝐵 𝑖 adalah  basis  dari 𝐻 𝑖 ,  maka 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} bukan himpunan pembeda dari 𝐻 𝑖 . Akibatnya terdapat dua titik bertetangga 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑟 ≠ 𝑡 sehingga untuk setiap 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 \{𝑥} , |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 . Diambil sebarang 𝑠 ∈ 𝑊\{𝑥} .  Karena 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} maka 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐻 ) − 𝑊\{𝑥} . Terdapat dua kemungkinan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} atau 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 dengan 𝑗 ≠ 𝑖 .
(i) Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} , berdasarkan uraian sebelumnya |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 .
(ii) Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 dan 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 ,  maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 0 ≠ 1 .
Berdasarkan  kasus  di  atas,  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan  lokal.  Oleh  karena  itu, 𝑊 merupakan  basis  ketetanggaan  lokal  dengan 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺 ⊙ 𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) .
Teorema 3.2 Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 dan 𝐻 adalah graf non-trivial .  Jika  terdapat  basis  ketetanggan  dari 𝐻 yang  merupakan  himpunan dominasi, untuk setiap basis ketetanggaan 𝐵 di 𝐻 terdapat 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) − 𝐵 yang memenuhi 𝐵 ⊆ 𝑁 𝐻 (𝑣) , maka
𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) + 𝛾(𝐺) .
Bukti. Misalkan 𝐷 = {𝑣 𝑛 𝑘 |𝑘 = 1,2,3, … , 𝛾(𝐺)} merupakan himpunan dominasi dari graf 𝐺 . Berdasarkan penamaan titik-titik hasil kali korona, 𝐷 0 = {𝑣 𝑛 𝑘 0 |𝑘 = 1,2,3, … , 𝛾(𝐺)} ⊆ 𝐺 0 . 𝐵 𝑖 adalah sebarang basis ketetanggaan lokal dari 𝐻 𝑖 .
Pilih 𝑊 = ⋃ 𝐵 𝑖 ⋃ 𝐷 0 𝑛 𝑖=1 . Diambil sebarang dua titik bertetangga 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺⨀𝐻) − 𝑊 maka terdapat tiga kemungkinan  yaitu (i) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) , (ii) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) , dan (iii) 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) .
(i) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) .  Karena 𝐵 𝑖 adalah  basis  ketetanggaan  lokal  dari 𝐻 𝑖 maka terdapat 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ⊆ 𝑊 sehingga |𝑁(𝑠) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan lokal di 𝑊 .
(ii) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) maka terdapat 𝑖, 𝑗 ∉ {𝑛 1 , 𝑛 2 , 𝑛 3 , … , 𝑛 𝛾(𝐺) } dengan 𝑖 ≠ 𝑗 sehingga 𝑥 = 𝑣 𝑖 dan 𝑦 = 𝑣 𝑗 .  Dipilih 𝑡 ∈ 𝐷 0 .  Karena 𝑡𝑣 𝑖 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑣 𝑗 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑡) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 }| = |𝑁(𝑡) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 .  Oleh  karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan lokal di 𝑊 .
(iii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺 0 ) dan 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) maka terdapat 𝑖 ∉ {𝑛 1 , 𝑛 2 , 𝑛 3 , … , 𝑛 𝛾(𝐺) } dan 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑚} sehingga 𝑥 = 𝑣 𝑖 dan 𝑦 = 𝑣 𝑗 .  Dipilih 𝑡 ∈ 𝐷 0 .  Karena 𝑡𝑣 𝑖 ∈ 𝐸(𝐺⨀𝐻) dan 𝑡𝑣 𝑗 ∉ 𝐸(𝐺⨀𝐻) maka |𝑁(𝑡) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 }| = |𝑁(𝑡) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 1 . Oleh karena itu 𝑥, 𝑦 memiliki pembeda ketetanggaan lokal di 𝑊 .
Berdasarkan uraian di atas maka 𝑊 merupakan himpunan pembeda ketetanggaan lokal graf 𝐺⨀𝐻 .
Selanjutnya,  ditunjukkan  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda  ketetanggaan  lokal 𝐺⨀𝐻 yang  mempunyai  kardinalitas  minimal.  Diambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝑊 .  Akan ditunjukkan bahwa 𝑊\{𝑥} bukan himpunan pembeda ketetanggaan lokal. Terdapat dua kemungkinan yaitu terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} , sehingga 𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 atau 𝑥 ∈ 𝐷 0 .
(i) Misalkan terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} , sehingga 𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 . Karena 𝐵 𝑖 adalah basis dari 𝐻 𝑖 , maka 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} bukan himpunan pembeda dari 𝐻 𝑖 . Akibatnya terdapat
dua titik bertetangga 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑟 ≠ 𝑡 sehingga untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐵 𝑖 \{𝑥} , |𝑁(𝑢) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 .  Diambil  sebarang 𝑠 ∈ 𝑊\{𝑥} . Terdapat tiga kemungkinan, yaitu 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} , 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 dengan 𝑗 ≠ 𝑖 atau 𝑠 ∈ 𝐷 0 .
a. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} ,  berdasarkan  kasus  di  atas  maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| ≠ 1 .
b. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑗 . Karena 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} dengan 𝑖 ≠ 𝑗 , maka |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 0 ≠ 1 .
c. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐷 0 , maka terdapat 𝑘 ∈ {1,2,3, … , 𝛾(𝐺 0 )} sehingga 𝑠 = 𝑣 𝑝 𝑘 0 .
Terdapat  dua  kemungkinan  yaitu 𝑝 𝑘 ≠ 𝑖 atau 𝑝 𝑘 = 𝑖 .  Untuk 𝑝 𝑘 ≠ 𝑖 diperoleh bahwa |𝑁(𝑣 𝑝 𝑘 0 ) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 0 ≠ 1 sebab 𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 ∖ {𝑥} ,  sedangkan  untuk 𝑝 𝑘 = 𝑖 diperoleh  bahwa |𝑁(𝑣 𝑝 𝑘 0 ) ∩ {𝑣 𝑖𝑟 , 𝑣 𝑖𝑡 }| = 2 ≠ 1 .
(ii) Misalkan 𝑥 ∈ 𝐷 0 . Karena 𝐷 0 adalah himpunan dominasi dari 𝐺 0 , maka 𝐷 0 \{𝑥} bukan  himpunan  dominasi  minimal  dari 𝐺 0 .  Ada 𝑢 ∈ 𝐺 0 ,  sehingga  untuk setiap 𝑧 ∈ 𝐷 0 \{𝑥} , 𝑧 tidak  bertetangga  dengan 𝑢 .  Karena 𝑢 ∈ 𝐺 0 ,  maka terdapat 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛} sehingga 𝑢 = 𝑣 𝑖0 .  Dipilih 𝑦 ∈ 𝑉(𝐻 𝑖 ) − 𝐵 𝑖 . Berdasarkan pemilihan 𝑢 dan 𝑦 diperoleh bahwa 𝑢, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺 ⊙ 𝐻) − 𝑊\{𝑥} . Diambil sebarang 𝑠 ∈ 𝑊\{𝑥} . Terdapat dua kemungkinan, yaitu 𝑠 ∈ 𝐷 0 ∖ {𝑥} atau 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 .
a. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐷 0 ∖ {𝑥} .  Berdasarkan  pemilihan 𝑢 dan 𝑦 diperoleh |𝑁(𝑠) ∩ {𝑥, 𝑦}| = 0 ≠ 1 .
b. Misalkan 𝑠 ∈ 𝐵 𝑖 .  Berdasarkan  pemilihan 𝑢 diperoleh 𝑢𝑠 ∈ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) , sedangkan 𝑦𝑠 ∈ 𝐸(𝐺 ⊙ 𝐻) sebab 𝐵 𝑖 merupakan  basis  dari 𝐻 𝑖 .  Oleh karena itu |𝑁(𝑠) ∩ {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖𝑗 }| = 2 ≠ 1 .
Berdasarkan  kasus  di  atas,  diperoleh  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda ketetanggaan  lokal.  Oleh  karena  itu, 𝑊 merupakan  ketetanggaan  lokal  dengan 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺 ⊙ 𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) + 𝛾(𝐺) .
4 Hubungan Dimensi Metrik Ketetanggaan dan Dimensi Metrik Ketetanggan Lokal pada Graf Operasi Hasil Kali Korona
Hubungan dimensi metrik ketetanggaan graf 𝐺 ⊙ 𝐻 dengan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf 𝐺 ⊙ 𝐻 diperoleh dari Teorema 4.1.1 dengan Teorema 4.2.1, hubungan tersebut disajikan dalam akibat berikut.
Akibat 4.3.1 Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 dan 𝐻 adalah graf non-trivial .  Jika  terdapat  basis  ketetanggan 𝐵 dari 𝐻 dan  merupakan  himpunan dominasi, dan jika untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) − 𝐵 , 𝐵 ⊈ 𝑁 𝐻 (𝑣) , maka
𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) = 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻)
Hubungan dimensi metrik ketetanggaan graf 𝐺 ⊙ 𝐻 dengan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf 𝐺 ⊙ 𝐻 diperoleh dari Teorema 4.1.2 dengan Teorema 4.2.2, hubungan tersebut disajikan dalam akibat berikut.
Akibat 4.3.2 Misalkan 𝐺 adalah sebarang graf terhubung berordo 𝑛 ≥ 2 dan 𝐻 adalah graf non-trivial .  Jika  terdapat  basis  ketetanggan  dari 𝐻 yang  merupakan  himpunan dominasi, untuk setiap basis ketetanggaan 𝐵 di 𝐻 terdapat 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) − 𝐵 yang memenuhi 𝐵 ⊆ 𝑁 𝐻 (𝑣) , maka
𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) − 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) − 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) = |𝑉(𝐺)|

## 5 Kesimpulan
Hasil yang diperoleh dari penelitian ini yaitu :
1. Dimensi metrik ketetangaan graf hasil operasi kali korona.
a. Dimensi  metrik  ketetanggaan  graf  hasil  operasi  kali  korona  dari  graf terhubung 𝐺 dengan graf 𝐻 non-trivial adalah 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) .
b. Dimensi  metrik  ketetanggaan  graf  hasil  operasi  kali  korona  dari  gtaf terhubung 𝐺 dengan graf non-trivial 𝐻 adalah 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) + 𝛾(𝐺) .
2. Dimensi metrik ketetanggaan lokal graf hasil operasi kali korona.
a. Dimensi  metrik  ketetanggaan  lokal  graf  hasil  operasi  kali  korona  dari  graf terhubung 𝐺 dengan graf 𝐻 non-trivial adalah 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) = 𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) .
b. Dimensi  metrik  ketetanggaan  lokal  graf  hasil  operasi  kali  korona  dari  gtaf terhubung 𝐺 dengan  graf non-trivial 𝐻 adalah 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) =
𝑛. 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) + 𝛾(𝐺) .
3. Hubungan dimensi metrik ketetangaan dengan dimensi metrik ketetanggaan lokal graf hasil operasi kali korona adalah.
a. Hubungan dimensi  metrik  ketetanggaan lokal graf hasil operasi  kali korona dari  graf  terhubung 𝐺 dengan  graf non-trivial 𝐻 dengan  basis  dari 𝐻 merupakan himpunan dominasi adalah
𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻) 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻) = 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) 𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) .
b. Hubungan dimensi  metrik  ketetanggaan lokal graf hasil operasi  kali korona dari  graf  terhubung 𝐺 dengan  graf non-trivial 𝐻 dengan  basis  dari 𝐻 merupakan himpunan dominasi adalah 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐺⨀𝐻)−𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐺⨀𝐻) 𝑑𝑖𝑚 𝐴 (𝐻)−𝑑𝑖𝑚 𝐴𝑙 (𝐻) = |𝑉(𝐺)| .

## 6 Daftar Pustaka
[1] Chartrand, G. dan Lesniak, L., 2000, Graph and Digraph , Third Edition , Chapman & Hall/CRC. Florida.
[2] Iswandi, H., Baskoro, E.T., dan Simanjuntak, R., 2011. On The Metric Dimension of Corona Product of Graph, Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS), 52(2): 155-170.
[3] Jannesari,  M.  dan  Omoomi,  B.,  2012,  The  Metric  Dimension  of  Lexicographic Product  of  Graphs, Discrete  Mathematics ,  Volume  312,  Number  22,  pp.  3349- 3356.
[4] Rodriguez-Velazquez,  J.  A.  dan  Fernau,  H.,  2013,  On  the  (adjacency)  metric dimension  of  corona  and  strong  product  graphs  and  their  local  variants, combinatorial and computational results .
[5] Saputro, S. W., Mardiana, N. dan Purwasih, I. A., 2013, The Metric Dimension of Comb  Product  Graphs, Graph  Theory  Conference  in  honor  of  Egawa’s  60th birthday.
[6] Susilowati, L., Salamin, Utoyo, M. I. dan Estuningsih, N., 2015, The Similarity of Metric Dimension and Local Metric Dimension of Rooted  Product Graph, Far East Journal  of  Mathematical  Sciences  (FJMS), Volume  97,  Number  7,  2015,  Pages 841-856.