JPFS 5 (2) 2022 68 - 74

## Jurnal Pendidikan Fisika dan Sains (JPFS)
Journal homepage: http:// journal.unucirebon.ac.id/index.php/jpfs
Analisis Persamaan Energi Menggunakan Metode Parametrik Nikiforov- Uvarov Untuk Atom Berelektron Tunggal Dengan potensial Hulthen
Nani Sunarmi* 1
1 Program Studi Tadris Fisika, FTIK  UIN Sayyid Ali Rahmatullah Tulungagung
* nanisunarmi@gmail.com
DOI: https://doi.org/10.52188/jpfs.v5i2.275 Accepted: 13 Juli 2022 Approved: 28 September 2022 Published: 30 September 2022

## ABSTRAK
Solusi  persamaan  Schrodinger  dari  sistem  partikel  dapat  memberikan  infomasi  karakteristik  dari partikel  tersebut.  Solusi  persamaan  Schrodinger  dapat  memberikan  persamaan  gelombang  dan persamaan  energi  dari  partikel.  Persamaan  energi  partikel  diperoleh  berdasarkan  persamaan Schrodinger  bagian  radial.  Penyelesaian  persamaan  Schrodinger  yang  melibatkan  potensial  khusus dilakukan  dengan  menggunakan  metode  aproksimasi.  Salah  satu  potensial  khusus  dalam  sistem atomik  yang  cukup penting  adalah potensial  Hulthen.  Potensial Hulthen banyak dikaji dalam sistem molekuler serta pada kasus plasma pada atom hidrogen. Penyelesaian persamaan  Schrodinger  untuk atom  berelektron  tunggal  dengan  potensial  Hulthen  dapat  diselesaikan  dengan  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov.  Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov  dipilih  karena  bentuk  dari  persamaan Schrodinger   dari sistem dapat direduksi menjadi bentuk umum persamaan diferensial orde dua tipe hipergeometri.    Penyelesaian  persamaan  energi  sistem  dilakukan  dengan  memisahkan  bagian  radial dari  persamaan  Schrodinger.  Persamaan  Schrodinger  bagian  radial  yang  telah  dipisahkan mengandung  suku  potensial  Hulthen  dan  suku  persamaan  energi.  Persamaan  Schrodinger  bagian radial    dirubah  menjadi    persamaan  diferensial  orde  dua  tipe  hipergeometri  yang  mengandung parameter-parameter yang memenuhi Metode Parametrik Nikiforov-Uvarov. Dengan mensubstitusikan  persamaan  parameter  ke  dalam  persamaan  eigen  nilai  energi  diperoleh  persamaan energi  partikel .    Persamaan  tingkat  energi atom  berelektron  tunggal  dengan  potensial  Hulthen yang telah diperoleh bergantung pada bilangan kuantum utama , serta screening parameter
Kata kunci: Persamaan Energi, Potensial Hulthen, Metode Parametrik Nikiforov-Uvarov

## ABSTRACT
The  solution  of  the  Schrodinger  equation  of  a  particle  system  can  provide  information  about  the characteristics  of  the  particle.  Solutions  to  the  Schrodinger  equation  can  provide  both  the  wave equation and the energy equation of the particle. The particle energy equation is obtained based on the radial  section  of  the  Schrodinger  equation.  The  solution  to  the  Schrodinger  equation  involving  a special  potential  is  carried  out  using  the  approximation  method.  One  of  the  special  potentials  in atomic  systems  that  is  quite  important  is  the  Hulthen  potential.  The  Hulthen  potential  has  been extensively studied in molecular systems as well as in the case of plasma in the hydrogen atom. The solution to the Schrodinger equation for a single-electron atom with a Hulthen potential can be solved by  the  Nikiforov-Uvarov  parametric  method.The  Parametric  Nikiforov-Uvarov  method    was  chosen because  the  form  of  the  Schrodinger  equation  of  the  system  can  be  reduced  to  a  general  form  of  a hypergeometric-type second order differential equation. Solving the energy equation of the system is done  by  separating  the  radial  part  of  the  Schrodinger  equation.  The  equation  for  the  radial  part  that has been separated contains the Hulthen potential term and the energy equation term. The radial part of the Schrodinger equation is converted into a second-order differential equation of hypergeometric- type  containing  parameters  that  meet  the  Parametric  Nikiforov-Uvarov  Method.  By  substituting  the parameter  equation  into  the  energy  value  eigen  equation,  the  energy  equation  of  the  particle is
obtained. The energy level equation for a single-electron atom with  the Hulthen potential that has been obtained depends on the principal quantum number , and the screening parameter .
Keyword : Energy Equation, Hulthen Potential, The Parametric Nikiforov-Uvarov Method
@2022 Pendidikan Fisika FKIP Universitas Nahdlatul Ulama Cirebon __________________________________________________________________________________

## PENDAHULUAN
Persamaan  Schrodinger  menjadi  salah  satu  kajian  yang  penting  dalam  Fisika  Kuantum. Penyelesaian    persamaan  Schrodinger  dapat  memberikan  informasi  terkait  prilaku  sistem  fisis  yang dikaji  (Ahmed  &  Buragohain,  2010).  Penyelesaian  persamaan  Schrodinger  dilakukan  untuk memperoleh  persamaan  gelombang  dan  persamaan  energinya.  Dalam  beberapa  kasus,  persamaan Schrodinger  dapat  diselesaikan  secara  eksak  akan  tetapi  dalam  beberapa  kasus  lain  hanya  dapat dilakukan dengan metode aproksimasi  (Antia dkk., 2020). Metode aproksimasi tersebut di antaranya Metode  WKB  (Omugbe,  2020),    AIM  (Ikhdair  &  Falaye,  2013),  SUSY  QM  (Purohit  dkk.,  2021), Nikiforov-Uvarov  (Fitriani  &  Suparmi,  2017)  dll.      Metode  aproksimasi  umumnya  digunakan  untuk sistem yang melibatkan potensial khusus misalnya Hulthen-Hellmann  (Akpan dkk., 2021), Potensial Quadratik  Yukawa  dan  Eckart  (Antia  dkk.,  2020),  Wood-Saxon  (Suparmi  dkk.,  2021),  Kratzer (Onyenegecha dkk., 2021),  dll.
Potensial  yang  menjadi  tinjauan  dalam  penelitian  ini  adalah  potensial  Hulthen.  Potensial Hulthen digunakan dalam beberapa cabang fisika misalnya pada Fisika Nuklir, Fisika Partikel , Fisika Atom,  Molekuler  dan  Fisika  Kimia  (Berkdemir,  2012).  Selain  itu,  potensial  Hulthen  juga  dikenal sebagai potensial yang menggambarkan efek penyaringan plasma pada atom hidrogen yang tertanam dalam  plasma  yang  digabungkan  secara  lemah  (Bahar  dkk.,  2016).    Potensial  Hulthen  memiliki jangkauan pendek dan memiliki perilaku seperti potensial Coulomb untuk nilai kecil dan menurun secara  eksponensial  untuk  nilai besar.  Bentuk  dari  potensial  Hulthen  dapat  dituliskan  dengan persamaan berikut (Berkdemir, 2012):
( ) (1)
dengan dikenal  sebagai  screening  parameter  dan merupakan  nomor  atom.  Solusi  eksak  dari persamaan Schrodinger untuk partikel dalam potensial Hulthen hanya dapat
. Sedangkan untuk solusi persamaan Schrodinger untuk dilakukan dengan menggunakan metode aproksimasi.
Persamaan Schrodinger  bebas waktu secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
, ( )-   ( )      ( ) (2)
di  mana  faktor  di  dalam  kurung  menyatakan  operator  hamiltonan ̂ dari  suatu  sistem.  Pengertian operator  hamiltonan  sendiri  merupakan  operator  yang  mewakili  jumlah  energi  kinetik  dan  energi potensial  dari  partikel.  Berdasarkan  hal  tersebut  maka  persamaan  (2)  juga  dapat  dinotasikan  dalam bentuk persamaan  yang melibatkan operator hamiltonan ̂ berikut:
̂  ( )      ( )
(3)
Persamaan  (3)  tidak  lain  merupakan  persamaan  nilai  eigen  karena  operator ̂ terhadap  fungsi gelombang ( ) tidak menghasilkan fungsi baru melainkan hanya menghasilkan suatu fungsi dengan suatu bilangan yang disebut dengan .  Nilai memiliki persyaratan tidak boleh bernilai sembarang dan  bersifat    diskrit.  Hal  tersebut  yang  disebut  dengan  Pengkuantuman  Energi.  Pengkuantuman    ini menjadi salah satu konsep yang penting pada fisika kuantum. Pengkuantuman energi mengakibatkan energi partikel tidak boleh memiliki  nilai sembarang  serta pada keadaan terikat energi partikel harus terkuantisasi (Sutopo, 2005).
Pada kasus atom berelektron tunggal,  atom ini memiliki satu elektron yang mengitari proton sebagai  inti.  Persamaan  Schrodinger  dalam  sistem  ini  tidaklah  memiliki  bentuk  sama  dengan persamaan  (2)  melainkan  memiliki  bentuk  yang  lebih  kompleks  akibat  ditinjau  menggunakan
koordinat  bola.  Persamaan  Schrodinger  untuk  atom  berelektron  tunggal  dapat  dituliskan  (Siregar, 2018)
(       )    (       )  (       )      (       ) (4)
dengan menyatakan  massa  tereduksi  dari  dua  partikel  yakni  elektron  dan  inti  atom  serta  operator Laplacean dinyatakan dengan
( ) ( ) (5)
Berdasarkan  persamaan  (4),  persamaan  Schrodinger  sistem  tersebut  dapat  dibagi  menjadi  3  bagian yakni  bagian  Radial ( ) dan  bagian  sudut (    ) yang  terdiri  oleh  bagian  Zenithal  ( )  dan Azimuthal  ( ).  Sedangkan  fungsi  gelombang (       ) dapat  dituliskan  berdasarkan  bagiannya menjadi (       )    ( ) (    ) .  Untuk  mendapatkan  persamaan  energi  partikel  dari  persamaan Schrodinger dilakukan dengan menyelesaikan persamaan schrodinger bagian Radial.  Sistem Partikel dengan  kondisi  khusus  misalnya  dipengaruhi  potensial  tertentu  maka  perlu  mempertimbangkan apakah  potensial  tersebut  mempengaruhi  pada  bagian  Radial  atau  mempengaruhi  pada  bagian  sudut atau keduanya. Karena dalam proses penyelesaiannya ketiga bagian tersebut baik Radial, Zenithal dan Azimuthal  akan  diselesaikan  secara  terpisah.  Berdasarkan  persamaan  dari  potensial  Hulthen  yang ditunjukan  oleh  persamaan  (1),  potensial  Hulthen  hanya  mengandung  suku  bervariabel  Radial  ( ) maka  potensial  ini  hanya  akan  mempengaruhi  persamaan  Schrodinger  pada  bagian  Radial  sehingga persamaan  Schrodinger  untuk  sistem  atom  berelektron  tunggal  yang  dipengaruhi  potensial  Hulthen dapat dituliskan
(       )    ( ) (       )      (       ) (6)
Dengan  demikian  solusi  persamaan  Schrodinger  bagian  azimutal  dan  zenital  pada  atom  berelektron tunggal  dengan  potensial  Hulthen  memiliki  bentuk  yang  sama  dengan  solusi  pada  atom  hidrogen. Sedangkan untuk persamaan bagian Radial akibat muncul suku potensial Hulthen di dalamnya, solusi untuk  persaaan  ini  tidak  dapat  diperoleh  secara  eksak  melainkan  memerlukan  pendekatan  dengan menggunakan  metode  yang  sesuai.  Bentuk  persamaan  Schrodinger  bagian  radial  untuk  atom berelektron tunggal dengan potensial Hulthen dapat dituliskan sebagai berikut:
( ) ( ) . (     ) /  ( ) (7)
Persamaan  tersebut  memiliki  bentuk  persamaan  diferensial  orde  2  tipe  hipergeometrik  yang  mana dalam  proses  penyelesaiannya  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  Parametrik  Nikiforov- Uvarov.  Penelitian  bertujuan  untuk  menentukan  persamaan  energi  dari  atom  berelektron  tunggal dengan potensial Hulthen menggunakan metode Parametrik Nikiforov-Uvarov.

## METODE PARAMETRIK NIKIFOROV-UVAROV
Metode  Nikiforov-Uvarov  (NU)  merupakan  metode  yang  didasarkan  pada  penyelesaian persamaan diferensial orde 2 tipe hipergeometri melalui ortogonalitas fungsi khusus.  Untuk potensial tertentu,  persamaan  Schrodinger  dalam  koordinat  bola  dapat  direduksi  menjadi  persamaan  umum dalam  bentuk  tipe  hipergeometri  dengan  transformasi  koordinat dan  kemudian  dapat diselesaikan  secara  sistematis  untuk  menemukan  solusi  yang  tepat.  Bentuk  umum  persamaan diferensial orde 2 tipe hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut (Nikiforov & Uvarov, 1988):
( ) ̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( )
(8)
dengan polinomial berderajat satu ̅( ) dan polinomial berderajat dua ( ) dan ̅( ) . Penerapan metode Nikiforov-Uvarov dapat dilakukan dengan dua cara yakni secara konvensional  atau parametrik  yang lebih  dikenal  dengan  metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov.  Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov sendiri merupakan generalisasi metode Nikiforov-Uvarov menggunakan parameter-parameter khusus.
Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov  memiliki  kelebihan    dalam  menghitung  persamaan  tingkat energi  dengan  lebih  tepat  untuk  beberapa  sistem  kuantum  yang  dipecahkannya  (Antia  dkk.,  2020). Persamaan diferensial orde dua untuk metode Parametrik Nikiforov-Uvarov dituliskan sebagai berikut (Ita dkk., 2017);
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) (9)
Jika  dibandingkan  dengan  metode  Nikiforov-Uvarov  konvensional  pada  persamaan  (8)  maka diperoleh ̅( ) , ( ) dan ̅( ) sebagai berikut:
̅( ) ( )    ( ) ̅( )     [ ] (10)
Parameter  pada  persamaan  (9)  menjadi  alat  yang  penting  dalam  memperoleh  nilai  eigen    yang  tidak lain  adalah  persamaan dan  fungsi  eigen  yang  tidak  lain  adalah ( ) .  Parameter pada persamaan  (9)  adalah  konstanta  parametrik.  Untuk  konstanta  parametrik  yan  lain  ditentukan  dengan persamaan berikut (Okon dkk., 2021):
( ) (11) ( )
(12) (13)
(14) (15) (16) √ (17) [√ √ ] (18) √ (19) [√ √ ] (20)
Sedangkan untuk persamaan energi dapat ditentukan dengan persamaan (Okon dkk., 2020) berikut:
(      ) (      )[√ √ ]    (     ) √ (21)
Persamaan  tersebut  tidak  lain  adalah  persamaan  yang  digunakan  untuk  mencari  eigen  nilai  energi. Hasil akhir persamaan gelombang dapat diketahui dengan menggunakan persamaan
( )    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (22)
dengan adalah konstanta normalisasi dan ( ) adalah polinomial Jacobi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan  energi  dari  sistem  atom  berelektron  tunggal  dengan  potensial  Hulthen  dikaji menggunakan  metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov.  Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov  dipilih karena Persamaan Scrodinger bagian radial sistem dapat direduksi menjadi persamaan diferensial orde dua  tipe  hipergeometri.  Persamaan  Scrodinger  bagian  radial  yang  ditunjukan  oleh  persamaan  (7) belum  memenuhi  bentuk  persamaan  diferensial  orde  dua  tipe  hipergeometri.    Untuk  dapat menerapkan  metode  parametrik  Nikiforov-Uvarov  maka  persamaan  tersebut  perlu  dirubah  sehingga memenuhi  persamaan  (8)  sehingga    dapat  didefinisikan  parameter-parameter  yang  diperlukan  untuk menentukan  persamaan  energi  sistem.  Untuk  merubah  persamaan  (7)  agar  memenuhi  bentuk persamaan (8) dilakukan pendekatan dengan permisalan berikut:
( ) ( ) (23)
sehingga persamaan persamaan Scrodinger bagian radial berubah menjadi persamaan berikut:
( ) 0 . (     ) /1  ( ) (24)
Persamaan  (24)  didekati  dengan  aproksimasi  untuk  suku  bagian  sentrifugalnya  berikut  (Berkdemir, 2012):
(     ) (     ) ( ) (25)
Dengan  menggantikan (   ) dengan (   )
( ) dan  melakukan  tranformasi dan  juga
merubah ( )    ( ) maka persamaan (24) berubah menjadi
( )
(     ) ( )
(     ) [ (     ) (          )     ] (26)
dimana
(27) (28) (     ) (29)
Persamaan (26) telah memenuhi bentuk dari persamaan  diferensial orde 2 tipe hipergeometrik sesuai dengan  persamaan  (8)  dan  jika  dibandingkan  dengan  persamaan  (9)  maka  diperoleh  parameter- parameter dari metode Parametrik Nikiforov-Uvarov  berikut:
(30)
(31) (32) (33) (34) (     ) (35) (          ) (36) (37) (38) √ (39) [√          √ ] (40) √ (41) [√          √ ] (42)
Persamaan  Energi  ditentukan  dengan  menggunakan  persamaan  (21)  dan  memasukkan  parameter- parameter  yang  telah  diperoleh  untuk  sistem  atom  elekron  tunggal  dengan  potensial  Hulthen  yang ditunjukan oleh persamaan (30)-(42) sehingga diperoleh persamaan berikut:
(      )√ (          √ ) √ (43)
Dengan mengingat bahwa persamaan energi termuat dalam permisalan maka untuk mendapatkan persamaan  energi maka  persamaan  yang  memuat harus  dipisahkan  dalam  satu  ruas  yang  sama sehingga diperoleh
√
(      )√ (          √ ) (44)
Jika  persamaan , , disubtitusikan  sesuai  dengan  persamaan  (27),  (28),  (29)  dan  dengan manipulasi matematis maka diperoleh persamaan energi dari sistem atom berelektron tunggal dengan potensial hulthen adalah
[ (         ) (         ) ] (45)
dimana bilangan  yang  menyatakan  jumlah  simpul  dalam  fungsi  gelombang  radial, menyatakan bilangan kuantum  azimuthal dan persamaan
(         )
(46)
tidak  lain  menunjukan  persamaan  untuk  bilangan  kuantum  utama  yang  menyatakan  kulit  dimana elektron  berada  dalam  atom.  Bilangan  kuantum memiliki  nilai sehingga  bilangan kuantum  ini  hanya  memiliki  nilai  dari  0  sampai  dengan
.  Persamaan  energi  yang  diperoleh pada persamaan (45) dapat dituliskan kembali
* + (45)
Persamaan tingkat energi yang telah diperoleh bergantung pada bilangan kuantum utama , serta screening parameter .  Jika nilai parameter
persamaan energi pada  sistem tersebut dapat tereduksi menjadi persamaan energi pada sistem dengan potensial Coulomb (Berkdemir, 2012)
* + (46)

## KESIMPULAN
Solusi  eksak  dari  persamaan  Schrodinger  dapat  dilakukan  hanya  pada  kasus  sistem  yang melibatkan  potensial  dalam  bentuk  sederhana.  Kasus  dengan  potensial-potensial  khusus  dengan bentuk  yang  cukup  rumit  tidak  dapat  diperoleh  solusi  eksak.  Solusi  untuk  sistem  dengan  potensial khusus tersebut dapat dilakukan dengan aproksimasi menggunakan metode matematis tertentu. Untuk sistem dengan dengan potensial Hulthen, solusi persamaan energi dapat diperoleh dengan melakukan aproksimasi  menggunakan  Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov.  Hal  tersebut  dilakukan  dengan mengubah  persamaan  Scrodingger  bagian  radial  menjadi  persamaan  diferensial  orde  dua  tipe hipergeometri.  Berdasarkan  persamaan  diferensial  orde  dua  tipe  hipergeometri  yang  sesuai  dengan Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov  akan  diperoleh  parameter-parameter  yang  digunakan  untuk mendefinisikan  persamaan  energi.  Persamaan  energi  diperoleh  dengan  mensubstitusikan  parameter- parameter  ke  dalam  persamaan  yang  memuat  eigen  nilai  energi  pada  Metode  Parametrik  Nikiforov- Uvarov. Dengan melakukan manipulasi matematis diperoleh persamaan  energi yang ditunjukan oleh persamaan  (45).  Persamaan  tingkat  energi  yang  telah  diperoleh  bergantung  pada  bilangan  kuantum utama , serta screening parameter .

## REFERENSI
Ahmed,  S.  A.  S.,  &  Buragohain,  L.  (2010).  Exact  S-wave  Solution  of  Schr  odinger  Equation  for Quantum Bound State Non-Power Law Systems. Bulg. J. Phys , 37 , 133–143.
Akpan,  I.  O.,  Inyang,  E.  P.,  &  William,  E.  S.  (2021).  Approximate  solutions  of  the  Schrödinger equation  with  Hulthén-Hellmann  potentials  for  a  quarkonium  system. Revista  Mexicana  de Fisica , 67 (3), 482–490. https://doi.org/10.31349/RevMexFis.67.482
Antia,  A.  D.,  Okon,  I.  B.,  Akankpo,  A.  O.,  &  Usanga,  J.  B.  (2020).  Non-Relativistic  Bound  State Solutions of Modified Quadratic Yukawa plus &lt;i&gt;q&lt;/i&gt;-Deformed Eckart Potential. Journal of Applied Mathematics
and Physics , 08 (04), 660–671. https://doi.org/10.4236/jamp.2020.84051
Bahar, M. K., Soylu, A., & Poszwa, A. (2016). The Hulthén Potential Model for Hydrogen Atoms in Debye Plasma. IEEE Transactions on Plasma Science , 44 (10), 2297–2306. https://doi.org/10.1109/TPS.2016.2604421
Berkdemir,  C.  (2012).  Theoretical  Concepts  of  Quantum  Mechanics.  In Theoretical  Concepts  of Quantum Mechanics . InTech. https://doi.org/10.5772/2075
Fitriani,  S.  N.,  &  Suparmi.  (2017).  Solusi  Persamaan  Dirac  Dengan  Spin  Simetri  Untuk  Potensial Scarf  Ii  Hiperbolik  Terdeformasi-Q  Plus  Tensor  Tipe  Coulomb  Dengan  Menggunakan  Metode Nikiforov Uvarov. Kappa Journal , 1 (1), 13. https://doi.org/10.29408/kappa.v1i1.407
Ikhdair,  S.  M.,  &  Falaye,  B.  J.  (2013).  Approximate  analytical  solutions  to  relativistic  and nonrelativistic  Pöschl-Teller  potential  with  its  thermodynamic  properties. Chemical  Physics , 421 , 84–95. https://doi.org/10.1016/j.chemphys.2013.05.021
Ita, B. I., Louis, H., & Magu, T. O. (2017). Bound State Solutions of the Klein Gordon Equation with Woods-Saxon  Plus  Attractive  Inversely  Quadratic  Potential  Via  Parametric  Nikiforov-Uvarov Method. World Scientific News , 74 , 280–287.
Nikiforov,  A.  F.,  &  Uvarov,  V.  B.  (1988). Special  Functions  of  Mathematical  Physics:  A  Unified Introduction with Applications .
Okon,  I.  B.,  Antia,  A.  D.,  Akankpo,  A.  O.,  &  Essien,  I.  E.  (2020).  Eigen-Solutions  to  Schrodinger Equation  with  Trigonometric  Inversely  Quadratic  Plus  Coulombic  Hyperbolic  Potential.
Physical Science International Journal , 24 (3), 61–75.
https://doi.org/10.9734/psij/2020/v24i330183
Okon,  I.  B.,  Omugbe,  E.,  Antia,  A.  D.,  Onate,  C.  A.,  Akpabio,  L.  E., &  Osafile,  O.  E.  (2021).  Spin and  pseudospin  solutions  to  Dirac  equation  and  its  thermodynamic  properties  using  hyperbolic Hulthen  plus  hyperbolic  exponential  inversely  quadratic  potential. Scientific  Reports , 11 (1),  1– 21. https://doi.org/10.1038/s41598-020-77756-x
Omugbe,  E.  (2020).  Non-relativistic  Energy  Spectrum  of  the  Deng-Fan  Oscillator  via  the  WKB Approximation  Method. Asian  Journal  of  Physical  and  Chemical  Sciences ,  26–36. https://doi.org/10.9734/ajopacs/2020/v8i130107
Onyenegecha, C. P., Njoku, I. J., Omame, A., Okereke, C. J., & Onyeocha, E. (2021). Dirac equation and  thermodynamic  properties  with  the  Modified  Kratzer  potential. Heliyon , 7 (9),  e08023. https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e08023
Purohit,  K.  R.,  Parmar,  R.  H.,  &  Rai,  A.  K.  (2021).  Energy  and  momentum  eigenspectrum  of  the Hulthén-screened cosine Kratzer potential using proper quantization rule and SUSYQM method. Journal of Molecular Modeling , 27 (12). https://doi.org/10.1007/s00894-021-04965-0
Siregar, R. E. (2018). Fisika Kuantum . Universitas Padjajaran.
Suparmi,  A.,  Permatahati,  L.  K.,  Faniandari,  S.,  Iriani,  Y.,  &  Marzuki,  A.  (2021).  Study  of  Bohr Mottelson  Hamiltonian  with  minimal  length  effect  for  Woods-Saxon  potential  and  its thermodynamic properties. Heliyon , 7 (5), e06861. https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e06861
Sutopo.  (2005).  Pengantar  Fisika  Kuantum.  In Jurusan  Fisika  FMIPA  UM .  Jurusan  Fisika  FMIPA UM.