KAJIAN LITERATUR FASE ADIABATIK UNTUK MEMPERCEPAT DINAMIKA KUANTUM ADIABATIK PADA OSILATOR HARMONIK
Mayasari Hutagalung*, Iwan Setiawan dan Dedy Hamdani 1 Pendidikan Fisika, FKIP, Universitas Bengkulu, Bengkulu, Indonesia
* mayasarihutagalung15@gmail.com
Received 2022-09-15, Revised 2022-12-22, Accepted 2022-12-28 Available Online 2023-04-06, Published Regularly April 2023

## ABSTRACT
This research is a theoretical research by reviewing the literature that discusses the method of accelerating quantum dynamics adiabatically. This method for accelerating quantum dynamics is so-  called the fast- forward method. This method was proposed by Masuda and Nakamura in 2010. In this method, the ground state and first excited state wave function is modified by adding an additional term to the wave function which is called the adiabatic phase. This is done so that the time-dependent Schrodinger equation remains fulfilled.  The  accelerating  process  is  carried  out  using  an  adiabatic  parameter  that  goes  to  zero.  Fast- forward method is applied first to get the adiabatic phase. Furthermore, by reviewing the wave function at the ground state and first excited state we get the adiabatic phase which ensures that the harmonic oscillator can move from the initial state to the final state in a shorter time.
Keywords: Adiabatic Phase; Quantum Dynamics; Harmonic Oscillator; Fast-Forward

## ABSTRAK
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  teoritik  dengan  mengkaji  literatur  yang  membahas  tentang  metode percepatan dinamika kuantum secara adiabatik. Metode untuk mempercepat dinamika kuantum ini disebut metode fast-forward . Metode ini pertama kali di perkenalkan oleh Masuda dan Nakamura pada tahun 2010. Dalam  metode  ini,  fungsi  gelombang  pada  keadaan  dasar  dan  keadaan  eksitasi  pertama  dimodifikasi dengan menambahkan suku tambahan ke fungsi gelombang tersebut yang disebut dengan fase adiabatik. Hal  ini  dilakukan  agar  persamaan  Schrodinger  bergantung  waktu  tetap  terpenuhi.  Proses  mempercepat dilakukan dengan menggunakan parameter adiabatik yang menuju nol. Metode fast-forward diaplikasikan dengan terlebih dahulu untuk mendapatkan fase adiabatik. Selanjutnya dengan meninjau fungsi gelombang pada  keadaan  terendah  dan  keadaan  eksitasi  pertama  didapatkan  fase  adiabatik  yang  menjamin  osilator harmonik dapat bergerak dari keadaan awal ke keadaan akhir dalam waktu yang singkat.
Kata kunci: Fase Adiabatik; Dinamika Kuantum; Osilator Harmonik; Fast-Forward

## PENDAHULUAN
Mengoptimalkan  dan  memanipulasi  waktu  pembuatan  produk  yaitu  salah  satu  cara yang  dapat  digunakan  untuk  mempersingkat  waktu  perancangan  dari  produk  tersebut [1] . Penelitian  sebelumnya  melakukan  pengembangan  konsep  untuk  mempercepat  dinamika kuantum  adiabatic [2] .  Proses  mempercepat  waktu sangat  penting  untuk  mempertimbangkan percepatan  manipulasi  keadaan  kuantum  untuk  tujuan  manufaktur  dan  untuk  inovasi teknologi [3] . Manipulasi nanoteknologi bertujuan untuk menyesuaikan potensi atau konfigurasi yang  bergantung  pada  dinamika  fungsi  gelombang.  Konsep  adiabatik  diusulkan  untuk menghasilkan produk dalam waktu yang cepat dengan tidak mengubah ciri dari sistem [1], [4] .
Pada artikel ini, telah dilakukan pengembangan konsep untuk mempercepat dinamika kuantum dengan tidak mengubah ciri dari system yaitu dinamika kuantum adiabatik. Metode yang  dilakukan  yaitu  melalui  metode fast-forward yang  merupakan  metode  untuk menghasilkan suatu produk dengan mempersingkat skala waktu seperti proyeksi film cepat di layer [5] .  Teori fast-forward dikembangkan  lebih  lanjut  untuk  dinamika  kuantum  kuasi-statis atau adiabatic [6] . Sistem kuantum adiabatik merupakan benda mikro yang bersifat mikroskopis. Maksudnya ialah benda-benda yang tidak dapat dilihat secara langsung oleh mata telanjang, seperti  neutron,  proton,  atom,  elektron,  dan  sebagainya.  Salah  satu  contoh  sistem  adiabatik yaitu upaya memindahkan suatu partikel mikro material dari posisi awal ke posisi yang lain dalam  waktu  yang  singkat [7] untuk  mempercepat  sistem  mikroskopis  tersebut,  sistem  perlu dipertahankan  dengan  metode  adiabatic [8] .  Memanipulasi  dan  mengoptimalkan  dinamika sistem yang diberikan secara efektif merupakan salah satu subjek eksperimental dan teoritis besar dalam teknologi saat ini dan masa depan [9] .
Penelitian sebelumnya telah melakukan pengembangan konsep dinamika spin kuantum adiabatik dipercepat [7] . Selain teori fast-forward, ada metode lain juga yang bertujuan untuk mempercepat proses kuantum adiabatik yaitu shortcut to adiabaticity [4] .
Pada  mekanika  klasik,  osilator  harmonik  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan hubungan Hukum Hooke dan Hukum II Newton, tetapi secara kuantum suatu sistem partikel yang  berosilasi  harmonik  dapat  diselesaikan  dengan  mentransformasikan  persamaan Schrödinger tak bergantung waktu dalam satu dimensi [10] . Penelitian sebelumnya menyatakan bahwa  energi  osilator  harmonik  didapatkan  dengan  menyelesaikan  persamaan  gelombang Schrodinger osilator harmonik menggunakan fungsi pembangkit dari fungsi Hermit. Disebut sebagai  fungsi  pembangkit  karena  fungsi  ini  dapat  membangkitkan  fungsi  Hermit [11] .  Suatu sistem fisis mikroskopis yang berdimensi atom pada umumnya dimulai dengan mendefinisikan persamaan Schrödinger yang sesuai untuk sistem tersebut.  Selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan  ini  untuk  syarat  batas  yang  diberikan,  energi  eigen  dan  fungsi  gelombang  yang menggambarkan  keadaan  sistem  tersebut  dapat  diketahui.  Masuda  dan  Nakamura mempercepat  proses  adiabatik  dengan  metode fast-forward untuk  mempercepat  dinamika keadaan [12] . Hal ini dilakukan dengan mendapatkan fase adiabatik serta potensial tambahan.
Pada  penelitian  ini  peneliti  mencoba  mengaplikasikan  teori fast-forward untuk mempercepat dinamika kuantum dengan meninjau osilator harmonik. Teori ini bertujuan untuk mempercepat  evolusi  kuantum  yang  diketahui  dan  untuk  mendapatkan  keadaan  target  yang diinginkan  pada  skala  waktu  yang  lebih  pendek,  dengan  mempercepat  dinamika  kuantum standar [7] .  Upaya  untuk  mempercepat  evolusi  kuantum  pada  osilator  harmonik  dilakukan dengan mendapatkan fase adiabatik . Fase adiabatik ini akan didapatkan pada keadaan energi dasar (ground state) dan keadaan eksitasi pertama (first excited state) . Proses adiabatik terjadi ketika  parameter  eksternal  Hamiltonian  dari  sistem  diubah  secara  adiabatic [13] .  Menurut definisinya, adiabatik terjadi ketika keadaan sistem kuantum yang dijelaskan oleh Hamiltonian H ( t ) yang bergantung pada waktu [14] . Pengaplikasian dari teori fast-forward dapat ditemukan dalam mempercepat dinamika partikel Dirac, konstruksi dinamis invarian adiabatik klasik dan dinamika  spin  kuasi-adiabatik  dari  dinamika  stokastik [15] . Penelitian  ini  memfokuskan  pada upaya  mendapatkan  energi  tambahan  pada  sistem  osilator  harmonik  kuantum  dengan menggunakan metode fast-forward .

## METODE
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  dasar  yang    mengkaji  teori  fisika  yang  bersifat kuantitatif dengan melakukan studi literatur yang berkaitan dengan teori kuantum adiabatik. Studi  literatur  yang  dilakukan  terkait  dengan  metode fast-forward sebagai  penentu  untuk mendapatkan  fase  adiabatik.  Tahapan  dari  penelitian  ini  adalah  Pengkajian  teori  dari
persamaan  Schrödinger  yang  sudah  ada  kemudian  dikaji  oleh  metode fast-forwad yang mempercepat  dinamika  kuantum  adiabatik  pada  osilator  harmonik  untuk  mencari  fase adiabatik  atau  yang  dimisalkan  dengan  θ  yang  akan  didapatkan  pada  keadaan  energi  dasar (ground  state) dan  keadaan  eksitasi  pertama (first  excited  state) .  Hasil  pengkajian  teori diperoleh dari hasil yang dapat dipergunakan untuk mencari fase adiabatik θ tambahan dengan fase  adiabatik  θ  merupakan  sama.  Hasil  dari  pengkajian  teori  mengenai  fase  adiabatik  θ tambahan  yang  mempercepat  dinamika  kuantum  adiabatik  dibahas  secara  runtun  dan sistematis.  Hasil  dari  analisis  dan  pembahasan  kemudian  disimpulkan  untuk  menjawab rumusan masalah dalam penelitian ini.

## H ASIL DAN P EMBAHASAN
Dalam  mekanika  klasik,  persamaan  Schrödinger  dapat  mendeskripsikan  perilaku gelombang sebagai partikel yang tidak bisa dijelaskan pada mekanika klasik [16] . Sistem yang berosilasi  harmonik  dapat  diselesaikan  dengan  mentransformasikan  persamaan  Schrödinger tak  bergantung  waktu  dalam  satu  dimensi  ke  dalam  bentuk  persamaan  diferensial  Hermite untuk batas asimtotik dengan memperhatikan syarat ternormalisasinya fungsi gelombang [10] . Dapat  dinyatakan  bahwa  solusi  persamaan  Schrödinger  dengan  menggunakan  Hamiltonian adalah  solusi  ruang  momentum sedangkan  solusi  persamaan  Schrödinger  dengan menggunakan  Hamiltonian  disebut  solusi  ruang  koordinat.  Fungsi  gelombang  dalam  ruang koordinat dituliskan dengan ψ ( 𝑥⃗ ,t ) dan fungsi gelombang dalam ruang momentum dinyatakan dengan ψ (x,t) . Partikel kuantum yang bergerak secara harmonik dapat juga digunakan melalui persamaan Schrödinger satu dimensi.
Masuda dan Nakamura telah mengembangkan proses adiabatik teknik penskalaan ( fast- forward ) untuk mempercepat dinamika keadaan, dengan contoh pengaplikasiannya yaitu untuk transportasi partikel atau waktu tergantung pada potensial harmonik, dan partikel bermuatan dalam  medan  elektro-magnet.  Metode fast-forward juga  diaplikasikan  pada  sistem  yang bergerak, pada sistem orbital kuantum dengan mengaplikasiakan metode mendapatkan suku potensial tambahan.
Persamaan energi potensial pada Osilator Harmonik:
𝑉 = 1 2 𝑘𝑥 2 , (1)
dengan mengingat:
𝜔 = √ 𝑘 𝑚 (2)
dimana  V  merupakan  energi  potensial  Osilator  harmonik  dan 𝜔 kecepatan  sudut  osilator harmonik, maka potensial dapat juga dituliskan:
𝑉 = 1 2 𝑚𝜔 2 𝑥 2 . (3)
Dengan menggunakan Persamaan Schrödinger tak tergantung waktu, maka didapatkan yang dituliskan sebagai berikut:
Ĥ𝛹 = 𝐸𝛹 , (4)
dimana Ĥ merupakan Hamiltonian yang bernilai:
Ĥ = − ħ 2 2𝑚 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 𝑉 . (5)
Substitusikan persamaan (3) dan (5) ke dalam persamaan (4):
− ħ 2 2𝑚 𝜕 2 𝜕𝑥 2 𝛹 + 1 2 𝑚𝜔 2 𝑥 2 𝛹 = 𝐸𝛹 (6)
Dengan meninjau operator momentum:
𝑝 = −𝑖ħ 𝑑 𝑑𝑥 , (7)
sehingga didapatkan persamaan (6) menjadi:
1 2𝑚 [𝑝 2 + (𝑚𝜔𝑥) 2 ]𝛹 = 𝐸𝛹 . (8)
Untuk  mencari  solusi  fungsi  gelombang  persamaan  Schrödinger  tak  bergantung  waktu  dari sistem osilator harmonik, digunakan operator tangga sebagai berikut [17]
ɑ ± = 1 √2𝑚ħ𝜔 (∓𝑖𝑝 + 𝑚𝜔𝑥) , (9)
didapatkan juga solusi pada keadaan dasar menggunakan operator tangga:
ɑ − 𝛹 0 = 0 , (10)
ɑ − 𝛹 0 = 1 √2𝑚ħ𝜔 (𝑖𝑝 + 𝑚𝜔𝑥)𝛹 0 = 0 , (11)
dengan
[𝑖 (−𝑖ħ 𝑑 𝑑𝑥 ) + 𝑚𝜔𝑥] 𝛹 0 = 0 . (12)
Maka didapatkan fungsi gelombang keadaan dasar:
𝛹 0 = 𝐴 0 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 . (13)
Selanjutnya konstanta 𝐴 0 didapatkan dengan normalisasi:
∫ ∞ −∞ |𝛹| 2 𝑑𝑥 = 1 . (14)
𝐴 0 = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 , (15)
kemudian substitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan (13) maka fungsi gelombang pada keadaan dasar dapat dituliskan menjadi:
𝛹 0 (𝑥, 𝑡) = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 . (16)
x (x,t)
Grafik fungsi gelombang pada keadaan dasar 𝛹 0 (𝑥, 𝑡) untuk x mulai dari x= -3 sampai x=3 saat m=1, ω=1, п=1, dan ħ=1 dapat diamati melalui grafik pada Gambar 2. Fungsi gelombang pada keadaan  dasar  yang  menyatakan  bahwa  distribusi  probabilitas  partikel  berada  dalam  posisi tertentu.
Setelah mendapatkan  persamaan  fungsi  gelombang  pada  keadaan  dasar (ground  state) pada persamaan (16) terlebih dahulu mencari solusi fungsi gelombang adiabatik, dimana persamaan tersebut nantinya yang akan digunakan untuk mendapatkan fase adiabatik 𝜃 pada keadaan dasar (ground state) dan keadaan eksitasi pertama (first excited state) .
Solusi fungsi gelombang pada persamaan Schrödinger dapat dituliskan:
𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑛 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 𝑑𝑡 , (17)
agar  fungsi  gelombang  pada  persamaan  (17)  dapat  ditinjau  menjadi  fungsi  gelombang adiabatik, maka parameter t dimodifikasi menjadi R(t), dengan;
𝑅(𝑡) = 𝑅 0 + 𝜀𝑡 ,
(18)
dan 𝜀 → 0 (sangat kecil) kemudian ditambahkan θ yang merupakan fase adiabatik dan ε yaitu parameter  adiabatik  yang  menyebabkan  sistem  bergerak  lambat.  Fungsi  adiabatik  sekarang dapat dituliskan menjadi [3]
𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) , (19)
maka persamaan Schrödinger yang bersifat adiabatik dituliskan menjadi:
𝑖ħ 𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑡 = − ħ 2 2𝑚 0 𝜕 2 𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑥 2 + 𝑉(𝑥, 𝑅(𝑡))𝛹(𝑥, 𝑅(𝑡)) . (20)
Persamaan (20) diturunkan terlebih dahulu sisi kirinya:
𝑖ħ 𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑡 = 𝑖ħ (𝜀 𝜕𝐴 𝑛 (𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑅 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) ) , (21)
dengan
𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑡 = 𝜕𝑅 𝜕𝑡 𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑅 = 𝜀 𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑅 , (22)
maka didapatkan persamaan :
𝑖ħ 𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑡 = 𝑖ħ [ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 𝜀 − 𝑖 ħ 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝐸 𝑛 + 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) , (23)
𝑖ħ 𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡))
𝜕𝑡 = [𝑖ħ𝜀 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝐸 𝑛 − ħ𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) . (24)
Turunan sisi kanan persamaan (20) adalah :
− ħ 2 2𝑚 0 𝜕 2 𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑥 2 = − ħ 2 2𝑚 0 [ 𝜕 2 𝐴 𝑛 (𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑥 2 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡))𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) ] . (25)
Persamaan (25) diturunkan dua kali terhadap x, maka didapatkan turunan pertamanya yaitu:
𝜕𝛹(𝑥,𝑅(𝑡))
𝜕𝑥 = [ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 ] 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) , (26)
dengan menggunakan cara yang sama didapatkan turunan keduanya yaitu:
𝜕 2 𝛹(𝑥,𝑅(𝑡)) 𝜕𝑥 2 = [ 𝜕 2 𝐴 𝑛 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖𝜀 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 + (𝑖𝜀) 2 ( 𝜕𝜃 𝜕𝑥 ) 2 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) . (27)
Substitusikan  hasil  turunan  pada  persamaan  (24)  dan  hasil  turunan  pada  persamaan  (27)  ke dalam persamaan (20), maka didapatkan:
[𝑖ħ𝜀 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝐸 𝑛 − ħ𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) = − ħ 2 2𝑚 0 [ 𝜕 2 𝐴 𝑛 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖𝜀 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 + (𝑖𝜀) 2 ( 𝜕𝜃 𝜕𝑥 ) 2 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] 𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡))𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) +
𝑉(𝑥, 𝑅(𝑡))𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑒 −𝑖 ħ ∫ 𝑡 0 𝐸 𝑛 (𝑅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) , (28)
dan
𝑖ħ𝜀 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝐸 𝑛 − ħ𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = − ħ 2 2𝑚 0 [ 𝜕 2 𝐴 𝑛 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 +
𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖𝜀 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 + (𝑖𝜀) 2 ( 𝜕𝜃 𝜕𝑥 ) 2 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] + 𝑉(𝑥, 𝑅(𝑡))𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡)) . (29)
Mengingat bahwa pada persamaan Schrödinger tak bergantung waktu,
Ĥ𝐴 𝑛 = 𝐸 𝑛 𝐴 𝑛 , (30)
− ħ 2 2𝑚 0 𝜕 2 𝐴 𝑛 𝜕𝑥 2 + 𝑉𝐴 𝑛 = 𝐸 𝑛 𝐴 𝑛 , (31)
maka persamaan (29) dan (31) digabungkan sehingga dapat ditulis kembali menjadi:
𝑖ħ𝜀 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 − ħ𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = − ħ 2 2𝑚 0 [ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖𝜀 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 + (𝑖𝜀) 2 ( 𝜕𝜃 𝜕𝑥 ) 2 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))] (32)
Karena 𝜀 2 nilainya sangat kecil, maka persamaan yang mengandung 𝜀 2 dapat dihilangkan dan persamaan (32) dituliskan kembali menjadi:
𝑖ħ𝜀 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 − ħ𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = − ħ 2 2𝑚 0 [ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖𝜀 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖𝜀 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 ] , (33)
𝑖ħ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 − ħ 𝜕𝜃 𝜕𝑡 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = − ħ 2 2𝑚 0 [2 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝐴 𝑛 (𝑥, 𝑅(𝑡))𝑖 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 ] , (34)
lalu persamaan (34) dikalikan dengan 𝑖 ħ 𝐴 𝑛 ∗ agar dapat dibedakan antara fungsi real dan fungsi imajiner, didapatkan
−𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 − 𝑖 𝜕𝜃 𝜕𝑡 |𝐴 𝑛 | 2 = ħ 2𝑚 0 [2𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + |𝐴 𝑛 | 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 ] , (35)
kemudian persamaan (35) di kalikan dengan 2𝑚 0 ħ 2 maka didapatkan persamaaan:
− 2𝑚 0 ħ 𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 − 𝑖 2𝑚 0 ħ 𝜕𝜃 𝜕𝑡 |𝐴 𝑛 | 2 = 2𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + |𝐴 𝑛 | 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 . (36)
Pada persamaan (36) dipisahkan antara fungsi real dan imaginer, didapatkan:
2𝑚 0 ħ 𝑅𝑒 [𝐴 𝑛 𝜕𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝑅 ]   + 2𝑅𝑒 [𝐴 𝑛 𝜕𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝑥 ] 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + |𝐴 𝑛 | 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 = 0 , (37)
dan
2𝑚 0 ħ 𝐼𝑚 [𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑅 ] + 2𝐼𝑚 [𝐴 𝑛 ∗ 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 ] 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 2𝑚 0 ħ 𝜕𝜃 𝜕𝑡 |𝐴 𝑛 | 2 = 0 . (38)
Persamaan  diatas  merupakan  persamaan  untuk  menentukan  fase  adiabatik 𝜃 .  Karena  fungsi gelombang  yang  ditinjau  adalah  fungsi  real  maka  persamaan  yang  akan  digunakan  adalah persamaan (37).
Pada  osilator  harmonik  solusi  fungsi  gelombang  pada  keadaan  dasar  didapatkan  pada persamaan  (16).  Fungsi  gelombang  ini  akan  ditinjau  menjadi  fungsi  gelombang  adiabatik dengan  mengubah  parameter  waktu  t🡪R(t)  dan  dengan  menambahkan  fase  adiabatik 𝜃 . Sehingga persamaan (16) dituliskan menjadi:
𝛹 0 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) . (39)
Pada persamaan (39) dapat ditentukan nilai 𝐴 𝑛 :
𝐴 𝑛 = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 . (40)
Karena fungsi gelombang yang digunakan adalah fungsi real, maka 𝐴 𝑛 ∗ = 𝐴 𝑛 . Dari persamaan (37) parameter adiabatik R terlihat pada perubahan frekuensi (ω),
𝜔 = 𝜔 0 + 𝜀𝑡 , (41)
2𝑚 0 ħ [𝐴 𝑛 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝜔 ]   + 2 [𝐴 𝑛 𝜕𝐴 𝑛 𝜕𝑥 ] 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + |𝐴 𝑛 | 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 = 0 (42)
Lalu substitusikan persamaan (40) ke dalam persamaan (42), didapatkan:
2𝑚 0 ħ [( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝜕 𝜕𝜔 {( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 }]  + 2 [( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝜕 𝜕𝑥 {( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 }] 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + |( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 | 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 = 0 , (43)
sehingga didapatkan persamaan untuk menentukan fase adiabatik, sebagai berikut:
𝜕𝜃 𝜕𝑥 = ħ 2𝑚𝜔𝑥 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 − 𝑚𝑥 2ħ𝜔 + 1 4𝜔 2 𝑥 . (44)
Dengan  mengasumsikan  solusi  θ  adalah  fungsi  yang  bergantung 𝑥 2 atau  θ=B 𝑥 2 ,  maka didapatkan persamaan:
2𝐵𝑥 = ħ 2𝑚𝜔𝑥 2𝐵 − 𝑚𝑥 2ħ𝜔 + 1 4𝜔 2 𝑥 , (45)
𝐵ħ 𝑚𝜔𝑥 − 𝑚𝑥 2ħ𝜔 + 1 4𝜔 2 𝑥 − 2𝐵𝑥 = 0 , (46)
kemudian digabungkan suku yang sama sukunya didapatkan:
𝐵ħ 𝑚𝜔𝑥 + 1 4𝜔 2 𝑥 = 0 (47)
dan
− 𝑚𝑥 2ħ𝜔 − 2𝐵𝑥 = 0 , (48)
didapatkan nilai B:
𝐵 = − 𝑚 4ħ𝜔 , (49)
dari persamaan (49) dengan memasukkan nilai θ=B 𝑥 2 maka didapatkan nilai θ yaitu:
𝜃 = − 𝑚 4ħ𝜔 𝑥 2 . (50)
Sehingga didapatkan fungsi gelombang adiabatik pada keadaan dasar (ground state) dengan mensubstitusikan persamaan (50) ke dalam persamaan (39) adalah:
𝛹 0 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝑒 −𝑖𝜀 𝑚 4ħ𝜔 𝑥 2 (𝑥,𝑡) . (51)
Selanjutnya untuk mencari fase adiabatik 𝜃 dan fungsi gelombang pada keadaan eksitasi pertama (first excited state) digunakan juga cara yang sama seperti pada keadaan dasar (ground  state) .  Didapatkan  fungsi  gelombang  keadaan  eksitasi  pertama  pada  osilator harmonik yaitu [17]
𝛹 1 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = 𝐴 1 ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 . (52)
Gambar 2. fungsi gelombang pada keadaan eksitasi pertama
Grafik fungsi gelombang pada keadaan eksitasi pertama 𝛹 1 (𝑥, 𝑅(𝑡)) untuk x mulai dari x=-3 sampai x=3 saat m=1, ω=1, п=3,14 dan ħ=1 dapat diamati melalui grafik pada Gambar 3. fungsi gelombang  pada  keadaan  eksitasi  pertama  yang  menyatakan  bahwa  distribusi  probabilitas partikel berada dalam posisi tertentu.
Dengan  nilai 𝐴 1 = 1 maka  fungsi  gelombang  pada  keadaan  eksitasi  pertama  pada  fase adiabatik:
𝛹 1 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝑒 𝑖𝜀𝜃(𝑥,𝑡) , (53)
maka dapat ditentukan nilai 𝐴 𝑛 untuk keadaan eksitasi pertama:
x (x,R(t))
𝐴 𝑛 = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 . (54)
Dengan mensubstitusikan persamaan (54) ke dalam persamaan (42), didapatkan:
2𝑚 0 ħ [( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝜕 𝜕𝜔 {( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 }]  + 2 [( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝜕 𝜕𝑥 {( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 }] 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + |( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 | 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 = 0 , (55)
3𝑥 2 ( 𝜔 п ) 1 2 ( 𝑚 ħ ) 5 2 − 2𝑥 4 𝜔 3 2 п 1 2 ( 𝑚 ħ ) 7 2 + 4𝑥 п 1 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 𝜕𝜃 𝜕𝑥 − 4𝑥 3 п 1 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 5 2 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 2𝑥 2 п 1 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 = 0 . (56)
Persamaan (56) dikalikan dengan √п , didapatkan:
3𝑥 2 𝜔 1 2 ( 𝑚 ħ ) 5 2 − 2𝑥 4 𝜔 3 2 ( 𝑚 ħ ) 7 2 + 4𝑥 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 𝜕𝜃 𝜕𝑥 − 4𝑥 3 ( 𝑚𝜔 ħ ) 5 2 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 2𝑥 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 = 0 . (57)
Dengan mengasumsikan kembali solusi θ adalah fungsi yang bergantung 𝑥 2 atau θ=B 𝑥 2 , maka didapatkan persamaan (57):
3𝑥 2 𝜔 1 2 ( 𝑚 ħ ) 5 2 − 2𝑥 4 𝜔 3 2 ( 𝑚 ħ ) 7 2 + 4𝑥 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 2𝐵𝑥 − 4𝑥 3 ( 𝑚𝜔 ħ ) 5 2 2𝐵𝑥 + 2𝑥 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑥 2 2𝐵 = 0 , (58)
3𝑥 2 𝜔 1 2 ( 𝑚 ħ ) 5 2 − 2𝑥 4 𝜔 3 2 ( 𝑚 ħ ) 7 2 + 8𝐵𝑥 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 − 8𝐵𝑥 4 ( 𝑚𝜔 ħ ) 5 2 + 4𝐵𝑥 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 = 0 (59)
Kemudian digabungkan yang sama sukunya yaitu:
3𝑥 2 𝜔 1 2 ( 𝑚 ħ ) 5 2 + 8𝐵𝑥 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 + 4𝐵𝑥 2 ( 𝑚𝜔 ħ ) 3 2 = 0 , (60)
dan
−2𝑥 4 𝜔 3 2 ( 𝑚 ħ ) 7 2 − 8𝐵𝑥 4 ( 𝑚𝜔 ħ ) 5 2 = 0 , (61)
maka didapatkan nilai B:
𝐵 = − 𝑚 4ħ𝜔 , (62)
dari persamaan (62) dengan memasukkan nilai θ=B 𝑥 2 maka didapatkan nilai θ yaitu:
𝜃 = − 𝑚 4ħ𝜔 𝑥 2 . (63)
Sehingga  fungsi  gelombang  adiabatik  pada  keadaan  eksitasi  pertama (first  excited  state) dengan memasukkan persamaan (63) ke dalam persamaan (53) adalah:
𝛹 1 (𝑥, 𝑅(𝑡)) = ( 𝑚𝜔 𝜋ħ ) 1 4 𝑥√ 2𝑚𝜔 ħ 𝑒 − 𝑚𝜔 2ħ 𝑥 2 𝑒 −𝑖𝜀 𝑚 4ħ𝜔 𝑥 2 (𝑥,𝑡) . (64)
Pada  keadaan  dasar (ground  state) dan  keadaan  eksitasi  pertama (first  excited  state) kasus osilator  harmonik,  telah  didapatkan  fase  adiabatick  yang  menyebabkan  gerak  osilator harmonik pada keadaan yang dapat di percepat.

## KESIMPULAN
Pada  penelitian  ini  telah  didapatkan  fungsi  gelombang  adiabatik  dan  fase  adiabatik  dengan menambahkan suku tambahan pada fungsi gelombang yaitu fase adiabatik θ yang menjamin osilator  harmonik  dapat  bergerak  dalam  waktu  yang  singkat  dan  bergerak  secara  adiabatik tanpa mengubah sifat dan karakteristik partikel pada keadaan dasar ( ground state ) dan keadaan eksitasi  pertama (first  excited  state) selama  proses  mempercepat  berlangsung.  Dari  hasil penelitian ini didapatkan bahwa fase adiabatik untuk keadaan dasar ( ground state ) dan keadaan eksitasi pertama (first excited state) didapatkan nilai yang sama yaitu nilai 𝜃 = − 𝑚 4ħ𝜔 𝑥 2 yang mengindikasikan  bahwa  fase  adiabatik  (θ)  tidak  bergantung  pada  level  energi (state independent).

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terimakasih kepada Program Studi Pendidikan Fisika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Bengkulu yang telah memberikan izin kepada penulis untuk mengikuti kegiatan MBKM (Merdeka Belajar Kampus Merdeka)

## DAFTAR PUSTAKA
1. Benggadinda, A., & Setiawan, I. 2021. Metoda Fast Forward Untuk Mempercepat Dinamika Kuantum  Adiabatik  Pada  Spin Tunggal . JST (Jurnal  Sains Dan Teknologi), 10 (2),  274–280. https://doi.org/10.23887/jstundiksha.v10i2.39876
2. Hartmann, A., Mukherjee, V., Niedenzu, W., & Lechner, W. 2020. Many-body quantum heat engines  with  shortcuts  to  adiabaticity . Physical  Review  Research , 2 (2),  1–13. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.2.023145
3. Masuda, S., & Nakamura, K. 2010. Fast-forward of adiabatic dynamics in quantum mechanics. Proceedings  of  the  Royal  Society  A:  Mathematical,  Physical  and  Engineering  Sciences , 466 (2116), 1135–1154. https://doi.org/10.1098/rspa.2009.0446
4. Setiawan, I. 2019. Dinamika Spin Kuantum Adiabatik Dipercepat Pada Model Landau-Zener Dan Model Ising . Jurnal Kumparan Fisika , 2 (1), 57–64. https://doi.org/10.33369/jkf.2.1.57-64
5. Nakamura, K., Khujakulov, A., Avazbaev,  S., & Masuda, S. 2017. Fast forward of adiabatic control of tunneling states.
Physical
Review
A , 95 (6), 1–15. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.95.062108
6. Setiawan,  I.,  Gunara,  B.  E.,  &  Nakamura,  K.  2019. Accelerated  adiabatic  dynamics  in  a triangular  spin  cluster. Journal  of  Physics:  Conference  Series, 1204 (1),  1–12. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1204/1/012020
7. Aini, N. R. (2020). Sejarah Perkembangan Fisika (Kuantum) dari Klasik Hingga Modern . 4 (3), 57–71. https://doi.org/10.13140/RG.2.2.17085.08160
8. Guéry-Odelin, D., Ruschhaupt, A., Kiely, A., Torrontegui, E., Martínez-Garaot, S., & Muga, J. G.  2019.  Shortcuts  to  adiabaticity:  Concepts,  methods,  and  applications. Reviews  of  Modern Physics , 91 (4), 1–61. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.91.045001
9. Setiawan, I., Gunara, B. E., Avazbaev, S., & Nakamura, K.  2019. Fast-forward approach to adiabatic  quantum  dynamics  of  regular  spin clusters:  nature  of  geometry-dependent  driving interactions . 1–17.
10. Setianingsih, Y., Akhsan, H., & Andriani, N., 2017. Relasi rekursi dan ortogonalitas polinom hermite pada fungsi gelombang osilator harmonik kuantum dalam studi kasus ketidakpastian Heisenberg . Prosiding Seminar Nasional Pendidikan IPA , 1(1) , 163–170.
11. Sholihah, F. M., S, S., & Variani, V. I., 2016. Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode  Path  Integral  Hypergeometry  dan  Operator. Indonesian  Journal  of  Applied  Physics, 2 (02), 6–15. https://doi.org/10.13057/ijap.v2i02.1280
12. Chen, X., & Muga, J. G. 2010. Transient energy excitation in shortcuts to adiabaticity for the time-dependent  harmonic  oscillator .  Physical  Review  A  -  Atomic,  Molecular,  and  Optical Physics, 82 (5), 1–7. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.82.053403
13. Masuda, S., & Nakamura, K., 2010b. Fast-forward of quantum adiabatic dynamics in electro- magnetic field. Physics , 1–25. http://arxiv.org/abs/1004.4108
14. Chung, H. C., Martínez-Garaot, S., Chen, X., Muga, J. G., & Tseng, S. Y., 2019. Shortcuts to adiabaticity  in  optical  waveguides . Epl, 127 (3),  159–167.  https://doi.org/10.1209/0295- 5075/127/34001
15. Babajanova,  G.,  Matrasulov,  J.,  &  Nakamura,  K.,  2018.  Quantum  gas  in  the  fast  forward scheme  of  adiabatically  expanding  cavities:  Force  and  equation of  state . Physical  Review  E, 97 (4), 1–13. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.97.042104
16. Wahdah, N., Arman, Y., & Lapanporo, B. P., 2016. Penentuan Energi Keadaan Dasar Osilator Kuantum  Anharmonik  Menggunakan  Metode  Kuantum  Difusi  Monte  Carlo . Positron , 6 (2), 317–323. https://doi.org/10.26418/positron.v6i2.16837
17. Griffiths,  D.  (2005). Introduction  to  Quantum  Mechanics .  Reed  College.  Pearson  Education International. United States of America