## PENERPAN PETRI-NET PADA MODEL GERAKAN BERJALAN TROTTING ROBOT
BERKAKI EMPAT ( QUADRUPED )

## Tony Yulianto
Universitas Islam Madura, toni_yulianto65@ymail.com
Abstract. Nowadays many robots has produced not just on a few scale, but also on large for helping human on doing task everyday corresponding the function. By the way, the  function can be good functionate if the components,  which support to the robot,  can  be  good  functionate,  too,  like  the  other  one  is  robot  walked  way movement.  Here,  we  look  on  four  legs  of    robot  walked  movement  using  trotting, because  we  can  find  this  nowadays  and  the  trouble  is  kind  than  robot  walked movement  with  two  legs.  On  this  case,  we  will  use  max-plus  algebra  to  solve  this problem to get robot walked way model on trotting which is like what we want.
Keywords : max-plus algebra, trotting way movement, Petri net, four legs robot .
Abstrak. Selama ini sudah banyak robot diproduksi baik dalam skala kecil maupun besar  untuk  membantu  manusia  dalam  mengerjakan  pekerjaan  sehari-hari  manusia sesuai dengan fungsi masing-masing. Akan tetapi, fungsi-fungsi tersebut akan dapat berjalan  dengan  baik  apabila  komponen-komponen  yang  mendukung  pada  robot dapat  berjalan  dengan  baik,  seperti  salah  satunya  adalah  cara  gerak  berjalan  robot. Di sini, peneliti lebih menekankan gerak jalan robot empat kaki yang menggunakan trotting ,  karena  yang  banyak  umum  digunakan  dan  kesulitannya  juga  lumayan dibandingkan  robot  berjalan  dengan  dua  kaki.  Dengan  menggunakan  aljabar  max plus  akan  diperoleh  model  gerak  jalan  robot trotting tersebut  yang  sesuai  dengan yang diharapkan.
Kata Kunci : aljabar max plus, gerak jalan trotting, Petri net, robot empat kaki .

## 1 Pendahuluan
Pada  gerak robot berjalan dari sebuah robot berkaki dua biasa (kontinu), kaki kiri hanya  boleh  terangkat  ( lift  off )  dari  tanah  setelah  kaki  kanan  mendarat  ( touched down ),  untuk  memastikan  robot  tidak  jatuh  karena  kurangnya  penyangga
( support ).  Keperluan    sinkronisasi  ini  dapat  dimodelkan  dengan  evolusi  dari sistem kejadian diskrit dengan meringkaskan setiap siklus batas pada lingkaran ke dalam dua peristiwa berurutan dalam sirkuit tertutup [5]: lepas landas ( lift off ) dan mendarat  ( touchdown ).  Tiap  kaki  kemudian  dimodelkan  oleh  sebuah  siklus kejadian dan sinkronisasi antara kaki diberlakukan oleh koneksi antara tiap siklus kaki  yang digambarkan dalam Gambar 1. Sinkronisasi dari beberapa kaki adalah sangat  penting  khususnya  untuk  robot  pendaki,  dimana  kurangnya  penyangga dapat mengakibatkan konsekuensi yang berakibat fatal.
.
Gambar 1 . Sudut pandang dan pandangan dari atas pada robot berkaki empat yang dikembangkan di DCSC, TU Delft, terinspirasi oleh robot hexapod Rhex . Nomor romawi pada gambar kanan merepresentasikan urutan penomoran kaki.

## 2 Hasil dan Pembahasan
2.1 Cara Berjalan Trotting Robot Berkaki Empat ( Quadruped Gaits )
Gambar 2 mengilustrasikan salah satu cara berjalan untuk quadruped yakni jalan pelan  ( trotting )  [3]. Trotting ,  umumnya  digunakan  oleh  unta  dan  unta  betina, merupakan  cara  berjalan  bilateral,  yaitu,  kaki  kiri  depan  dan  belakang disinkronkan dan berlawanan fase dengan kaki kanan depan dan belakang.
Gambar  2 .  Evolusi  waktu  dari  cara  berjalan  untuk quadruped .  Kotak  yang  berarsir merepresentasikan posisi kaki ketika diam di tanah ( stance ), dan garis tebal padat merepresentasikan  kejadian liff  off .  Panah  pada  a)  merepresentasikan
kejadian yang harus berlangsung untuk setiap kejadian liff off dan touchdown agar terjadi
Keterangan dari Gambar 2: Waktu touchdown untuk kaki ke- i pada iterasi ke- k Waktu lift off untuk kaki ke- i pada iterasi ke- k Indeks untuk kaki Waktu yang dibutuhkan oleh kaki ketika berada di udara Waktu yang dibutuhkan oleh kaki ketika berada di tanah Parameter pergantian waktu untuk cara berjalan trotting

## 2.2 Graf Kejadian dengan Waktu
Tulis  teori  Petri  net  menyediakan  alat  intuitif  untuk  mewakili  DES  ( Discrete Event  System )  secara  grafis  yang  dinamakan  graf  Petri  net  [5].  Hal  ini  mudah untuk menghasilkan cara berjalan dengan mengembangkan suatu Petri net dalam waktu jika: 1) tiap kaki dimodelkan sebagai sebuah sirkuit dengan transisi lift off dan touchdown 2)  sinkronisasi  antar  kaki  diimplementasikan  dengan  melakukan fire kondisi  pada  transisi lift  off .  Selain  itu,  dengan  merancang  Petri  net  dapat diambil keuntungan dalam hal alat analisis dan sintesis aljabar max-plus . Sebuah sub  kelas  Petri  net  dengan  waktu  yang  disebut  graf  kejadian  secara  resmi  setara dengan  sistem linear max-plus [5].  Hal  ini  memungkinkan  untuk  desain  intuitif dari cara berjalan oleh graf kejadian dengan terjemahan langsung ke sistem linear max-plus dan sebaliknya [4].
Definisi  1. Sebuah  Petri  net  dengan  waktu   dikarakterisasikan  oleh  sebuah himpunan  place  ,  sebuah  himpunan  transisi  ,  sebuah  himpunan  garis   dari transisi  ke  place  dan  sebaliknya,  sebuah  tanda  awal  (initial  marking) ,  dan vektor  pemegang  waktu  .  Jika  tiap  place  memiliki  tepat  satu  transisi  upstream dan satu transisi downstream, maka Petri net dengan waktu disebut graf kejadian dengan waktu (timed event graph).
Dari  Gambar  2  terlihat  bahwa  kaki  ,  ,  ,  dan   memiliki  waktu lift  off dan touchdown yang  berbeda-beda.  Oleh  karena  itu,  pada  cara  berjalan trotting ini kaki  tidak  memiliki  waktu  kejadian  yang  sama,  sehingga  masing-masing  kaki bekerja sendiri-sendiri. Asumsikan tiga kaki berada di tanah bersama-sama.
Dengan  konstruksi  graf  kejadian  dari  cara  berjalan trotting dihasilkan  dari waktu dengan cara berjalan pacing adalah sebagai berikut [2]:
1) Untuk  tiap  kaki,  definisikan  sebuah  sirkuit  dengan  dua  peristiwa  ( event ): touchdown dan lift off . Antar peristiwa, tambahkan place untuk waktu ketika  kaki i berada  di  tanah  dan   untuk  saat  kaki  berada  di  udara.  Hal    ini ditunjukkan oleh dua sirkuit tebal bernomor seperti diilustrasikan pada Gambar
3:
Gambar  3. Place untuk waktu ketika kaki   berada di tanah dan   untuk saat akaki berada di udara.
2) Untuk  tiap  sinkronisasi  yang  dibutuhkan,  tambahkan  sebuah place antara transisi.  Hal  ini  penting  untuk  memastikan  bahwa  tiap place memiliki  sebuah garis upstream yang  unik  dan  sebuah  garis downstream yang  unik.  Sebagai
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
contoh, place berlabel menentukan  bahwa  transisi lift  off kaki  ' '  hanya boleh di- fire setelah kaki ' ' telah menyentuh tanah. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 4:
Gambar 4. Place antara transisi.
3) Inisialisasi  tanda  sedemikian  hingga  semua place yang  menyatakan  kaki sedang berada di tanah ( ground place ) memiliki sebuah token (robot memulai gerakan  dengan  semua  kaki  berada  di  tanah).  Selain  itu,  token  ditambahkan pada place tersinkronisasi  sedemikian  rupa  sehingga  semua  sirkuit  (tertutup) dapat  hidup  dan  tanda  awal  dapat  dilaksanakan.  Hal  ini  dapat  diilustrasikan oleh Gambar 5 dan 6:
Gambar 5. Inisialisasi tanda jika dilakukan.
jika kaki yang akan terangkat terlebih dahulu adalah kaki ' ' dan
Gambar 6. Inisialisasi tanda jika dilakukan.
jika kaki yang akan terangkat terlebih dahulu adalah kaki ' '. Jadi  secara  lengkapnya,  graf  kejadian  dengan  waktu  atau  Petri  net  dengan waktu  untuk  cara  berjalan trotting yang  bersumber  dari  cara  berjalan pacing dapat digambarkan pada Gambar 7:
Gambar 7 . Graf kejadian dengan waktu untuk cara berjalan trotting .
2.3    Model Aljabar Max-Plus Pada Petri-net Cara Berjalan Trotting
Mengikuti  langkah-langkah  yang  disajikan  di  atas,  adalah  mungkin  untuk mereproduksi banyak cara berjalan. Setelah graf kejadian dengan waktu dibangun, akan sangat mudah untuk menemukan sistem linear max-plus yang terkait [4]: ҡ j Ψ i ψ i υ j
1) Tiap  transisi dalam  graf  kejadian  dengan  waktu  diberikan  ke  sebuah variabel kejadian dalam aljabar max-plus .
2) Untuk tiap garis masuk ke transisi buat daftar dari
 Kejadian yang  mendahului  kejadian untuk  garis  tersebut  dan tambahkan j ke dalam suatu himpunan
 Konstanta waktu   dari place asal garis ini
 jumlah token   dari place asal garis ini
Kemudian tulis ekspresi: T 1
(1)
Sebagai  contoh,  lihat  transisi pada  Gambar  3.  Transisi  ini  memiliki  garis masuk tunggal dari transisi dengan konstanta waktu   dan nol token. Dengan demikian, Persamaan 1 untuk transisi ini adalah
Untuk  transisi terdapat  dua  garis  masuk  dari dan ,  dengan  masing- masing  konstanta  waktu
dan  satu  token  per place .  Dengan  demikian,
persamaan transisi untuk   adalah:
Mengikuti prosedur ini, maka diperoleh persamaan transisi untuk cara berjalan trotting yakni:
(2)
Himpunan  Persamaan  2  dapat  diubah  ke  dalam  struktur  persamaan dengan  substitusi  rekursif  [3].  Sebagai  contoh,
Persamaan 2 diupdate untuk   menjadi:
(3)
Mengikuti  proses  rekursif  yang  sama  pada  Persamaan  2  dan  3  untuk  variabel lainnya  pada  cara  berjalan trotting ,  dan  mendefinisikan  variabel  keadaan dengan
dapat diperoleh matriks sistem linear-max-plus untuk cara berjalan trotting , yang dinotasikan . Sehingga persamaan transisi untuk berjalan trotting diperoleh [1]:
(4)

## Untuk cara berjalan simetri diasumsikan bahwa
(5) Parameter  tambahan dan  sistem  matriks yang  didapat  dari
Persamaan 4 dan 5 diperkenalkan untuk penyederhanaan [4].
(6) Dengan  mengganti  parameter dan ,  maka  matriks pada
Persamaan 6 menjadi:
(7)
Menyelesaikan  sistem
dari  Persamaan  7  ketika
dengan menggunakan bantuan Matlab dengan semua waktu kejadian diinisialisasi ke nol dan 8 iterasi yang dapat dilihat pada Tabel 1, maka diperoleh:
Tabel 1 . Iterasi hasil pemodelan sistem menggunakan aljabar max plus Iterasi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 5 4 3 4 3 6 5 2 10 9 8 7 8 7 10 9
3 14 13 12 11 12 11 14 13 4 18 17 16 15 16 15 18 17 5 22 21 20 19 20 19 22 21 6 26 25 24 23 24 23 26 25 7 30 29 28 27 28 27 30 29 8 34 33 32 31 32 31 34 33
Pada  iterasi  pertama,  terlihat  bahwa  pada  detik  ke-3  terjadi lift  off kaki  ' ' kemudian pada detik ke-4 kaki  ' ' mengalami touchdown , lalu detik ke-5 kaki  ' ' lift  off yang  kemudian touchdown pada  detik  ke-6.  Begitu  seterusnya  sampai iterasi  ke-5  dengan  masing-masing  kejadian  memiliki  senggang  waktu  1  detik sesuai dengan nilai   yang diberikan.
Agar  lebih  mudah  dalam  membayangkan  proses  gerakan  pada  cara  berjalan trotting , berikut ini simulasi kejadian pada Petri net cara berjalan trotting dengan menggunakan software PIPE [3]:
1) Gerakan pertama pada Gambar 8 adalah ketika kaki ' ' siap melakukan lift off , sehingga pada Petri net transisi siap untuk di- fire .
Gambar 8. kaki   siap untuk melakukan lift off .
2) Setelah di- fire , maka yang terjadi adalah kaki ' ' berada di udara atau dalam kondisi flight sehingga  pada  Petri  net  terlihat  bahwa  pada  Gambar  9  token berpindah ke place dan transisi siap untuk di- fire atau kaki 'i' siap untuk melakukan touchdown .
Gambar  9. Token  berpindah  ke place dan  transisi   siap  untuk  di- fire atau  kaki 'i '  siap untuk melakukan touchdown .
3) Setelah di- fire , selanjutnya kaki ' ' berada di tanah sehingga sekarang giliran kaki  ' '  yang  siap  untuk  melakukan lift  off .  Terlihat  bahwa  pada  Gambar  10 token  berpindah  ke place untuk  menunjukkan  bahwa  kaki  ' '  hanya  boleh
lift off setelah kaki ' ' telah menyentuh tanah yang mana sudah terpenuhi karena satu token sudah berada di .
Gambar 10. Token berpindah ke place .
4) Setelah di- fire ,  maka  kaki  ' '  berada  di  udara  yang  terlihat  dari
berpindahnya  token  ke .  Transisi  berikutnya  yang  siap  di- fire pada  Gambar 11 adalah karena kaki ' ' siap melakukan touchdown .
Gambar 11. Kaki ' ' berada di udara yang terlihat dari berpindahnya token ke .
5) Setelah di- fire ,  maka  kondisi  robot  pada  Gambar  12  kembali  ke  gerakan pertama  yakni  kaki  ' '  siap  untuk  melakukan lift  off karena  kaki  ' '  telah menyentuh tanah.
Gambar 12. Kondisi robot kembali ke gerakan pertama yakni kaki ' ' siap untuk melakukan lift off .

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Seperti  yang  telah  disebutkan  sebelumnya  bahwa  kaki  ' '  memiliki  waktu kejadian lift off dan touchdown yang sama dengan kaki ' ' sedangkan kaki ' ' sama dengan kaki ' ', maka Petri net di atas sudah sesuai dengan model gerak berjalan trotting robot berkaki 4 pada Gambar 2.

## 3 Kesimpulan
Kesimpulan  dari  penelitian  ini  adalah  gerak  robot  empat  kaki  bisa  dimodelkan dengan  menggunakan  aljabar  max  plus  dan  memudahkan  pencarian  kaki  mana yang  akan  naik  dan  yang  akan  turun.  Saran  untuk  pengembangan  ke  depannya lebih dikembangkan lagi terhadap model gerak robot dengan kaki lebih dari empat.

## 4 Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas  Islam  Darul  ‘Ulum Lamongan dalam pengembangan kemampuan penelitian berkelanjutan dan wadah penelitian, serta dukungan dari mahasiswa lain dan orang-orang sekitar yang ikut banyak andil dalam proses pembuatan penelitian ini agar berjalan dengan baik dan lancar .

## Daftar Pustaka
[1]  Lopes,G.D, dkk. 2009.  Switching max-plus models for legged locomotion. IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics . China. 221– 226.
[2]  Erden, M. S., dan Leblebicioglu, K. 2008. Free gait generation with reinforcement learning for a six-legged robot. Robotics and Autonomous Systems . Vol. 56. 199-212.
[3]  Holmes, P., dkk. 2006.The dynamics of legged locomotion: Models,analyses, and challenges. SIAM review . Vol. 48. 2 : 207-304.
[4]  Subiono. 2012. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITS. Surabaya.
[6]  Boom, T. V., dan de Schutter, B. 2006. Modelling and control of event discrete systems using switching max-plus-linear systems. Control Engineering Practice. Vol.14. 10 : 1199-1211.