Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 169 of 192

## KARAKTERISTIK PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENGONSTRUKSI BUKTI KETERBAGIAN
Patma Sopamena* *Jurusan Pendidikan Matematika IAIN Ambon HP. 085243088129, email: patma.sopamena@iainambon.ac.id

## Abstract
Assimilation outline and accommodation from Piaget is used to evaluate student’s thinks  process.  According  to  Piaget,  assimilation  is  integration  process  of  new stimulation through the change of old scheme or the construction or new scheme to adapt with accepted stimulation. The sampling is done by Think-Out-Loud (TOL). From  results  of  this  research  is  found  that  the  process  thought  the  student  IAIN Ambon in constructing proof evidence had two characteristics, that is: (a) almost complete, that is when the student construct but proof is not in accordance with the sub-structure  of  the  problem  (the  process  of  algebra)  in  the  process  of  the assimilation and accommodation, (b) incomplete because incomplete the process of the assimilation that is the process of thinks simplest and incomplete the process of accommodation.
Key word : Thinking Process, Construction, Proof
Sitasi :  Sopamena,  P.  2017.  Karakteristik  Proses  Berpikir  Mahasiswa  dalam Mengonstruksi Bukti Keterbagian. Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 169-192.

## A. PENDAHULUAN
Kajian  tentang  perkembangan  kognitif  seringkali  mengacu  pada  teori perkembangan  intelektual  dari  Piaget.  Dalam  penelitiannya  Piaget  mempelajari tahapan perkembangan berpikir pada anak, dan mengkaji bagaimana seorang anak mengonstruksi pengetahuan. Ia yakin bahwa dengan cara ini akan dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan  Epistimologi,  seperti  “bagaimana  kita  memperoleh pengetahuan” dan ”bagaimana kita tahu apa yang kita ketahui”.
Vincent  Ruggiero  (1988)  mengartikan  berpikir  sebagai  “segala  aktivitas mental  yang  membantu  merumuskan  atau  memecahkan  masalah,  membuat keputusan,  atau  memenuhi  keinginan  untuk  memahami.  Berpikir  juga  diartikan sebagai suatu pencarian jawaban dan suatu pencapaian makna”.
Berkaitan dengan bukti, kebanyakan pakar menganggap bukti sebagai unsur pokok pada mata pelajaran matematika dan praktek matematikawan. Menurut fakta, Ross (1998) berpendapat bahwa “esensi matematika terletak pada buktinya”.  Bukti

## ISSN 2303-0992
Jurnal Matematika dan Pembelajaran
Volume 5, No. 2, Desember 2017, h. 169-192
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 170 of 192
diharapkan bisa memainkan peran  yang lebih dominan di  kurikulum  matematika sekolah  dan  menjadi  bagian  dari  pendidikan  matematika  di  semua  jenjang pendidikan.  Namun  demikian,  hal  tersebut  membuat  tuntutan-tuntutan  signifikan pada  guru-guru  matematika  sebab  beberapa  pendekatan  yang  didesain  untuk mempertinggi peran bukti di ruang kelas memerlukan usaha serius.
Banyak  tulisan  menunjukkan  berbagai  macam  peran  “bukti”  dalam matematika, diantaranya; (1) untuk memverifikasi bahwa suatu pernyataan adalah benar,  (2)  menjelaskan  mengapa  pernyataan  itu  benar,  (3)  mengomunikasikan pengetahuan matematika, dan (4) menemukan atau menciptakan matematika baru atau  mensistematisasikan  pernyataan-pernyataan  ke  dalam  sistem  aksiomatika (Bell,  1976;  de  Villers,  1999;  Hanna,  1983,  1990)  dalam  Lulu  Healey  &  Celia Hoyles 1 .
Peran  bukti  dalam  memverifikasikan  suatu  pernyataan  adalah  benar memerlukan sedikit elaborasi. Tentu saja sebagian ilmuwan akan mempertanyakan bahwa peran utama bukti dalam matematika adalah untuk menunjukkan kebenaran suatu  hasil  atau  kebenaran  suatu  pernyataan.  Menurut  Hersh  (1993), matematikawan tertarik dengan pertanyaan “yang lebih daripada apakah dugaan itu adalah benar, matematikawan ingin mengetahui mengapa ini adalah benar”. Selain itu,  bukti  yang  berfungsi  untuk  menjelaskan  mengapa  suatu  pernyataan  adalah benar,  kerap  kali  dipertahankan  pada  level  dugaan  tingkat  tinggi.  Status  bukti dipertinggi  jika  ini  bisa  memberikan  pengetahuan  tentang  mengapa  proposisi  itu adalah benar (Bell, 1976) dalam Lulu Healey & Celia Hoyles 2000.
Di  dalam  komunitas  matematika,  kebanyakan  memandang  bukti  sebagai “suatu bentuk wacana  (Wheeler, 1990), yakni sebagai alat untuk mengomunikasikan  matematika  kepada  matematikawan  lainnya  (Alibert  & Thomas, 1991; Balacheff, 1991) dalam Lulu Healey & Celia Hoyles 2000. Bukti juga memainkan peran penting dalam  menemukan atau menciptakan matematika baru. Sebagaimana yang ditunjukkan oleh Villiers (1999) “terdapat banyak contoh dalam  sejarah  matematika  di  mana  hasil-hasil  baru  ditemukan  atau  diciptakan
1 Lulu Healey & Celia Hoyles, 2000. A Study of Proof Conceptions in Algebra, Universitas London, UK. JRME, 3(4) 2000)
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 171 of 192
secara  deduktif  (misalnya,  geometri  non-Euclidean)”.  Selain  itu,  peran  bukti  ini bermanifestasi dalam hubungan bukti terhadap pemecahan masalah dan perkiraan (Polya, 1957).
Penalaran dan bukti dalam matematika merupakan dua aspek penting yang harus mendapat penekanan pada siswa SMA/MA atau mahasiswa tahun pertama. Hal  ini  sejalan  dengan  prinsip  dan  standar  matematika  sekolah  yang direkomendasikan oleh  NCTM  ( National Council  of Teacher  of  Mathematics ) di Amerika  Serikat. NCTM (2000)  memberikan  prinsip  dan  standar  untuk  siswa SMA/MA, bahwa penalaran dan bukti harus menjadi aspek yang mendasar. Siswa dituntut  untuk  dapat  membangun  dan  menilai  suatu  penalaran  dan  bukti  dalam matematika.  Di  dalam  bukti  kadang-kadang  juga  memberikan  inspirasi  untuk pemecahan  masalah  yang  berkaitan  dengan  generalisasi  ( generalization )  dari teorema yang dibuktikan.
Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Eric J. Knuth 2 yakni konsepsi guru  matematika  sekolah  menengah  tentang  bukti,  bahwa  kebanyakan  guru memiliki  pandangan  terbatas  terhadap  sifat  bukti  dalam  matematika  dan menunjukkan  pemahaman  yang  tidak  cukup  tentang  konstruksi  bukti.  Penelitian lain  yang dilakukan oleh  Lulu  Healey  & Celia  Hoyles 3 berkaitan konsepsi siswa tentang bukti pada aljabar, bahwa siswa mempunyai konsepsi yang berbeda tentang bukti,  antara  lain;  ada  siswa  yang  membuktikan  secara  narasi,  ada  yang membuktikan secara induktif, dan ada pula yang membuktikan secara deduktif.
Dari penelitian-penelitian tersebut di atas, hanya mendeskripsikan tentang bagaimana konsepsi guru maupun siswa tentang bukti tanpa melihat proses berpikir siswa  dan  guru  dalam  mengkostruksi  bukti.  Karena  itu  penelitian  ini  akan menindaklanjuti  dengan  mengkaji  bagaimana  proses  berpikir  mahasiswa  dalam mengkonstruksi  bukti  dengan  menggunakan  kerangka  kerja  asimilasi  dan akomodasi.  Proses  berpikir  pada  pembuktian  matematika  ini  dikaji  berdasarkan kerangka kerja asimilasi dan akomodasi dari Piaget. Dalam hal ini, ketika seseorang
2 Eric.  J.  Knuth,  2002.  Secondary  School  Mathematics  Teacher’s  Conceptions  of  Proof, JRME , 5(33), University of Wisconsin-Madison.
3 Lulu Healey & Celia Hoyles, op. cit.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 172 of 192
berinteraksi dengan lingkungan, akan terjadi proses adaptasi. Pada saat beradaptasi, seseorang mengalami dua proses kognitif, yaitu asimilasi dan akomodasi.
Menurut  Piaget  (Brooks  and  Brooks,  1993), assimilation  is  the incorporation of new events into intelligence as a scheme or concept. Dalam proses asimilasi, stimulus diinterpretasikan berdasarkan skema yang sudah dimiliki oleh seseorang. Dalam hal ini, asimilasi merupakan proses pengintegrasian stimulus ke dalam skema yang sudah dimiliki oleh seseorang.
Akomodasi  merupakan  proses  pengintegrasian  stimulus  baru  melalui pembentukan  skema  baru  untuk  menyesuaikan  dengan  stimulus  yang  diterima. Piaget (Brooks and Brooks, 1993) menegaskan bahwa In accommodation, existing schemes  are  modified  to  account  for  new  information. Dalam  memecahkan masalah,  proses  adaptasi  (asimilasi  dan  akomodasi)  terus  berlangsung  sampai terjadi keseimbangan ( equilibrium ).
Pada  proses  asimilasi,  struktur  masalah  sudah  sesuai  dengan  struktur berpikir  (skema)  yang  dimiliki  oleh  siswa,  sehingga  stimulus  tersebut  dapat diinterpretasi  secara  langsung  oleh  siswa.  Dalam  hal  ini  terjadi  pengintegrasian stimulus  ke  dalam  skema  yang  sudah  dimiliki.  Ketika  struktur  masalah  belum sesuai  dengan  skema  yang  dimiliki,  maka  akan  terjadi  proses  modifikasi  skema lama atau pembentukan skema baru sehingga struktur masalah dapat diitegrasikan ke skemanya. Dalam proses pemecahan masalah, proses asimilasi dan akomodasi bisa terjadi secara bersama-sama.
Proses  asimilasi  dan  akomodasi  berlangsung  sampai  terjadi  kondisi equilibrium . Ketika seseorang telah memperoleh penyelesaian, namun belum puas dengan penyelesaian itu (karena masih dirasakan ada kekurangan), maka pada diri orang tersebut masih terjadi disequilibrasi . Kondisi ini akan mendorong seseorang untuk  mengadakan  refleksi  (pegecekan  kembali)  terhadap  jawaban  yang  sudah diperolehnya. Sebaliknya, ketika seseorang telah puas dengan jawabannya, maka proses berpikir orang tersebut sudah mencapai kondisi equilibrium .

## B. METODE PENELITIAN

## 1. Jenis dan Pendekatan Penelitian
Penelitian  ini  akan  mengungkap  proses  berpikir  mahasiswa  dalam mengkonstruksi  pembuktian  keterbagian.  Proses  berpikir  dikaji  menggunakan kerangka  kerja  asimilasi  dan  akomodasi.  Asimilasi  merupakan  proses pengintegrasian stimulus ke dalam skema yang dimiliki oleh seseorang. Akomodasi merupakan  proses  pengintegrasian  stimulus  baru  melalui  perubahan  skema  lama atau pembentukan skema baru untuk menyesuaikan dengan stimulus yang diterima. Karena data  yang dikumpulkan adalah data verbal, maka penelitian ini tergolong penelitian kualitatif-eksploratif 4 .

## 2. Subjek Penelitian
Penelitian  ini  dilakukan  pada  mahasiswa  matematika  IAIN  Ambon Semester  IV  yang  memprogram  mata  kuliah  teori  bilangan.  Subjek  penelitian sebanyak 6 orang, yang diambil berdasarkan tingkat kepandaiannya diantaranya; 2 orang  pada  tingkat  tinggi,  2  orang  pada  tingkat  sedang,  dan  2  orang  dari  tingkat kurang  yang  dibuktikan  dengan  daftar  nilai  matakuliah  Geometri  euclide,  serta berdasarkan kelancaran berkomunikasi (informasi dari dosen matakuliah tersebut). Pemilihan subjek  yang terbatas  hanya 6 orang dikarenakan keterbatasan  peneliti, dan juga agar pengamatan menjadi lebih rinci dan mendalam.
Dalam penelitian ini, seorang mahasiswa akan menyelesaikan masalah bukti (instrument  lembar  kerja)  dan  mengungkapkan  secara  keras  apa  yang  sedang  ia pikirkan ( Think Out Louds ). Setelah mahasiswa tersebut memperoleh penyelesaian, peneliti memeriksa kebenaran jawaban mahasiswa.

## 3. Prosedur Pengumpulan Data
Penelitian  ini  mengkaji  proses  berpikir  mahasiswa  dalam  memecahkan masalah  bukti  dengan  kerangka  asimilasi  dan  akomodasi.  Pengumpulan  data dilakukan  dengan  memberikan  masalah  kepada  seorang  mahasiswa  untuk diselesaikan. Dalam proses penyelesaian, mahasiswa mengungkapkan secara keras
4 Subanji, 2007. Proses Berpikir Penalaran Kovariasional Pseudo dalam Mengkonstruksi  Grafik Fungsi Kejadian Dinamika Berkebalikan . Disertasi tidak dipublikasikan, Unesa Surabaya
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 174 of 192
apa  yang  sedang  ia  pikirkan.  Peneliti  merekam  ungkapan  verbal  mahasiswa  dan mencatat  perilaku  (ekspresi)  mahasiswa,  termasuk  hal-hal  yang  dilakukan  oleh mahasiswa,  ketika  menyelesaikan  masalah  tersebut.  Pengumpulan  data  semacam ini,  tergolong  dalam  metode Think  Out  Loud (Olson,  Duffy,  dan  Mck,  1988) 5 . Untuk masalah yang sama, peneliti lain (Erricson and Simon, 1996; Calder & Sarah, 2002) menggunakan istilah Think Alouds . Metode ini dilakukan dengan meminta subjek  penelitian  untuk  menyelesaikan  masalah  sekaligus  menceritakan  proses berpikirnya.
Metode Think Aloud merupakan salah satu cara khusus untuk mengungkap proses  berpikir  seseorang 6 .  Namun  demikian  metode  ini  memiliki  beberapa keterbatasan, sebagai berikut: (1) kesulitan mengungkap proses berpikir siswa yang mengalami kesulitan mengutarakan pikirannya secara verbal. (2) keterbatasan pada apa  yang  dapat  diingat.  (3)  kemampuan  siswa  untuk  menjelaskan  atau menjustifikasi dari perilakunya sendiri.

## C. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Dalam  penelitian  ini  dikaji  dan  dideskripsikan  secara  kualitatif  proses berpikir  mahasiswa.  Untuk  itu  dipaparkan  tiga  kelompok  subjek  penelitian  yang memiliki karakteristik berbeda, yang selanjutnya disebut kelompok atas, kelompok sedang,  dan  kelompok  bawah.  Subjek  yang  dimasukkan  dalam  kelompok  atas adalah subjek 1 (S1) dan subjek 2 (S2). Subjek yang dimasukkan dalam kelompok sedang  adalah  subjek  3  (S3)  dan  subjek  4  (S4).  Subjek  yang  dimasukkan  dalam kelompok  bawah  adalah  subjek  5  (S5)  dan  subjek  6  (S6).  Ketiga  karakteristik subjek  ini,  selanjutnya  digunakan  untuk  mengeksplorasi  teori  terjadinya  proses berpikir mahasiswa. Selanjutnya akan dipaparkan struktur berpikir dan terjadinya proses konstruksi mahasiswa untuk masing-masing subjek di kelompok atas, subjek di  kelompok  sedang,  dan  subjek  di  kelompok  bawah.  Tulisan  ini  selanjutnya mengkaji proses konstruksi kelompok atas.
5 Ibid. Hlm. 62
6 Ibid.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 175 of 192

## 1. Analisis  Proses  Konstruksi  Mahasiswa  Terhadap  Bukti  Keterbagian Subjek Kelompok Atas
Mahasiswa yang menjadi subjek kelompok atas  adalah subjek 1 (S1) dan subjek 2 (S2). Dalam hal menyelesaikan masalah bukti, proses konstruksi S1 dan S2 cukup lengkap. S1 dan S2 mampu menginterpretasikan struktur masalah yang diberikan berdasarkan  skema  yang  dimiliki  dengan  cepat.  Sebenarnya  S1  dan  S2  mampu membentuk  struktur  berpikir  (asimilasi  dan  akomodasi)  sesuai  dengan  struktur masalah yang diberikan, namun jawaban yang dituliskan (kesimpulan bukti) tidak sesuai, terutama ketidak telitian S1 dan S2 ketika melakukan proses aljabar yang ditandai  dengan “simpul  yang  diblok” ,  sehingga  menghasilkan  jawaban  salah. Dalam hal ini, S1 dan S2 langsung melakukan refleksi ulang terhadap jawaban yang dituliskan, Ketika peneliti menanyakan kemantapan jawaban yang dihasilkan dan apa yang dipikirkan. Dalam hal ini dirasakan adanya ketidaksesuaian, sehingga S1 dan S2 membenahi jawabannya dalam waktu yang relatif cepat. Akhirnya S1 dan S2 dapat menyelesaikan masalah dengan menghasilkan jawaban benar.
Mahasiswa yang menjadi subjek kelompok atas  adalah subjek 1 (S1) dan subjek 2 (S2). Dalam hal menyelesaikan masalah bukti, proses konstruksi S1 dan S2 cukup lengkap. S1 dan S2 mampu menginterpretasikan struktur masalah yang diberikan berdasarkan skema  yang dimiliki dengan cepat. Sebenarnya S1 dan S2 mampu  membentuk  struktur  berpikir  (asimilasi  dan  akomodasi)  sesuai  dengan struktur  masalah  yang  diberikan,  namun  jawaban  yang  dituliskan  (kesimpulan bukti)  tidak  sesuai,  terutama  ketidak  telitian  S1  dan  S2  ketika  melakukan  proses aljabar, sehingga menghasilkan jawaban salah. Dalam hal ini, S1 dan S2 langsung melakukan  refleksi  ulang  terhadap  jawaban  yang  dituliskan,  Ketika  peneliti menanyakan kemantapan jawaban yang dihasilkan dan apa yang dipikirkan. Dalam hal  ini  dirasakan  adanya  ketidaksesuaian,  sehingga  S1  dan  S2  membenahi jawabannya  dalam  waktu  yang  relatif  cepat.  Akhirnya  S1  dan  S2  dapat menyelesaikan masalah dengan menghasilkan jawaban benar.

## 2. Proses Konstruksi Bukti Keterbagian dari Subjek  S1
Dalam  memecahkan  masalah  bukti  ini,  S1  mengaktifkan  asimilasi  dan akomodasi  secara  maksimal,  sehingga  struktur  berpikir  yang  dihasilkan  cukup
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 176 of 192
kompleks dan sesuai dengan struktur masalah yang dihadapi. Ketika menghadapi masalah  ini,  S1  membangun  struktur  berpikir  secara  bertahap  dengan menginterpretasi  masalah  bagian  perbagian  secara  tepat.  Namun  ketika mengkonstruksi  bukti  (sebagai  hasil  akhir  dari  proses  berpikir  mahasiswa),  S1 melakukan kesalahan. Kesalahan terjadi dalam mengintepretasikan proses aljabar. Adapun  struktur  konstruksi  S1  dalam  memcahkan  masalah  bukti  dapat digambarkan seperti Diagram1 berikut.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 177 of 192
Diagram 1. Struktur  Konstruksi Bukti S1 As(mas) As(mas, renstra) As(mas) As(mas, renstra) As(mas) As(mas) As(mas) As(mas) As(mas) As(mas) As(mas) Deq, Ref As(mas) Deq,Ref Ak(renstra,stra) As(mas) Eq r = 0 r = 1 r = 2 Definisi keterbagian Teorema algoritma pembagian n 3 + 12n 2 + 11n = 3x, untuk suatu x   Z 3|n 3 + 12n 2 + 11n Mengonstruksi bukti Keterbagian n = 3p + 1 n = 3p substitusi n = 3p + 2 Definisi keterbagian selesai n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 +54p 2 + 67p +26)
n 3 + 12n 2 + 11n = (3p+1)(9p 2 +6p+1)+108p 2 +72+12+33p+11 n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 +36p 2 +11p)
Kenapa ?
n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 +54p 2 + 71p +26) Kenapa ? n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 +45p 2 + 38p + 8) Ak(renstra,stra)

## 3. Asimilasi dan Akomodasi dalam Proses Berpikir S1
Untuk  menganalisis  terjadinya  poses  asimilasi  dan  akomodasi  dapat dilakukan dengan mengkaji pembentukan struktur konstruksi (Diagram 4.1), ketika S1  menghadapi  masalah  dengan  struktur  seperti  Diagram  2.5.1,  dalam  proses berpikir  S1  terjadi  disequilibrasi  ( S1  terlihat  diam  dan  memikirkan  sesuatu ), sehingga  berlanjut  pada  proses  asimilasi  dan  akomodasi.  Terjadinya  proses asimilasi dan akomodasi dapat digambarkan pada Diagram 2 berikut.

## Diagram 2 Terjadinya Asimilasi dan Akomodasi dalam Proses Berpikir S1
Keterangan:
a = masalah yang diajukan: ”mengkonstruksi
bukti keterbagian” j : r = 1 b : definisi keterbagian k : r = 2 b’:  induksi matematika
l : n = 3t Asimilasi masalah Akomodasi rencana penylesaian, dan akomodasi strategi Refleksi ulang Asimilasi masalah milasi melaksanakan strategi Asimilasi menentukan strategi Asimilasi masalah S t r u k t u r M a s a l a h b r’ q s r Selesai j p o m l k i a c f e d b s’ P r o s e s k o n s t r u k s I s 1 r j b’ a h g c f e d b q p o m l k i s b Selesai
c : Teorema algoritma pembagian m :  n = 3t + 1
d : 3|n 3 + 12n 2 + 11n o : n = 3t + 2 e : ↔
p : substitusi
f : n 3 + 12n 2 + 11n = 3x, untuk suatu x ∈ Z t : n 3 + 12n 2 + 11n = 3 (9t 3 + 36t 2 + 11t)
g : 0 ≤ < 3 q : n 3 + 12n 2 + 11n = 3 (9t 3 + 45t 2 + 38t+8) h : n = 3t + r s : n 3 + 12n 2 + 11n = 3 (9t 3 + 54t 2 + 71t + 26) i : r = 0
Ketika menghadapi masalah bukti yang strukturnya seperti Diagram 2.5.1, S1 sudah berhasil membentuk substruktur berpikir yang cukup lengkap. Dalam hal ini S1 telah melakukan proses asimilasi, akomodasi, dan analitik secara baik.  S1 bisa  memahami  masalah  secara  langsung,  definisi  keterbagian,  dan  teorema algoritma  pembagian.  Struktur  masalah  yang  sudah  dikenal  antara  lain:  masalah yang  diajukan,  yakni  mengkonstruksi  bukti  keterbagian  (a),  definisi  keterbagian (b), isi definisi  keterbagian (d,e,f), teorema algoritma pembagian (c), isi teorema algoritma  pembagian  serta  sebagian  syaratnya  (i,  j,  k),  melakukan  manipulasi aljabar  (l,m,o,p).  Dalam  hal  ini  S1  membentuk  struktur  konstruksi  yang  cukup lengkap, namun substruktur  yang terbentuk tidak  sepenuhnya diimplementasikan pada jawaban. Hal ini terjadi terutama ketika S1 melakukan proses hitungan aljabar. Dalam hal ini S1 tidak teliti dengan apa yang ia kerjakan, proses berpikir S1 lebih didominasi  oleh  kebiasaan  “yang  penting  sudah  mendapatkan  jawaban”.    Awal terjadinya  ketidaksesuaian  penggunaan  substruktur  berpikir  digambarkan  pada Diagram  4.2,  dengan “simpul  yang  diblok” ,  oleh  karena  itu  proses  berpikir  S1 terjadi disequilibrasi tentang hitungan aljabar dan S1 langsung melakukan refleksi ulang  terhadap  jawaban  tersebut  sehingga  proses  berpikir  berlanjut  pada  proses akomodasi,  seperti yang terlihat pada hasil kerja S1 berikut
Gambar 1a hasil kerja S1
dan diubah menjadi,
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 180 of 192
Gambar 1b hasil kerja S1
Dalam menyelesaikan masalah konstruksi bukti ini, proses berpikir S1 telah mampu  memahami  masalah  dengan  syarat-syarat  dari  masalah  tersebut, sebagaimana pernyataan dari S1 berikut.
S1:  membuktikan  bahwa  3|n 3 +  12n 2 +  11n  untuk  semua  anggota  himpunan bilangan bulat.
Selanjutnya S1 merencanakan penyelesaian masalah (menentukan strategi) untuk  menyelesaikan  masalah  bukti  keterbagian  ini,  yakni  S1  memilih  definisi keterbagian dan dilanjutkan dengan algoritma pembagian, oleh karena itu S1 telah melakukan  proses  asimilasi  memahami  masalah  (As(mas)  dan  proses  asimilasi merencanakan  penyelesaian  masalah  (As(renstra)),  dan  asimilasi  menyelesaikan masalah (As(stra)), sebagaimana pernyataan S1 sebagai berikut
S1: 3|n 3 + 12n 2 + 11n, jika dan hanya jika n 3 + 12n 2 + 11n = 3x, untuk suatu x ∈ Z, selanjutnya misalkan r = 0 maka n = 3p, r = 1 maka n = 3p + 1, dan r = 2 maka n = 3p+ 2.
Selanjutnya  telah  mampu  memahami  masalah  dengan  mensubstitusikan (mengganti) nilai n =3p, n = 3p + 1, dan n = 3p + 2 ke persamaan, karena itu S1 telah  melakukan  proses  asimilasi  memahami  masalah  (As(mas)),  sebagaimana pernyataan S1 berikut ini
S1:  untuk  r  =  0,  n  =  3p  maka + 12 + 11 = (3 ) + 12(3 ) + 11(3 ) , dan seterusnya untuk r = 1 dan r = 2.
S1 melakukan lompatan bukti pada saat  proses konstruksi, yaitu pada saat S1  menterjemahkan  syarat  dari  teorema  algoritma  pembagian  (S1  mengabaikan kombinasi  linear ( = 3 + ) ,  dan  syarat 0 ≤ < 3 ),  namun  S1  langsung menterjemahkan 0 ≤ < 3 dengan mengambil r = 0, r = 1, dan r = 2, karena itu
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 181 of 192
S1  telah  melakukan  asimilasi  masalah  (As(mas)),  yang  dilanjutkan  dengan asimilasi melaksanakan rencana penyelesaian (As(stra)).
Ketika S1  melakukan proses hitungan  aljabar, terjadi disquilibrasi namun S1  langsung  melakukan  refleksi  ulang  yang  dilanjutkan  dengan  melakukan akomodasi  rencana  penyelesaian  (Ak(renstra)),  dan  akomodasi  menyelesaikan masalah  (Ak(stra)).  Selanjutnya  S1  melakukan proses  penyelesaian  aljabar dengan cepat seperti digambarkan pada hasil kerja S1 berikut
Gambar 1c hasil kerja S1
diubah menjadi,
Gambar 1d hasil kerja S1
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 182 of 192
Selanjutnya S1 tidak melakukan kesimpulan bagian perbagian dari hitungan aljabar ke definisi keterbagian,  bahwa: n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 + 36p 2 + 11p) (t), n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 + 45p 2 + 38p + 8) (s), dan n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3
+ 54p 2 + 71p + 26) (q). Setelah S1 melakukan refleksi ulang, selanjutnya S1 telah mampu menyimpulkan bagian perbagian dan kesimpulan akhir dari masalah bukti ini  (b).  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  S1  telah mampu  membentuk  substruktur (struktur  berpikir)  yang  sempurna  sesuai  dengan  struktur  masalah melalui proses asimilasi, akomodasi, dan analitik.

## 4. Proses Konstruksi Bukti Keterbagian dari Subjek S2
Sebagaimana  S1,  S2  juga  dalam  menghadapi  masalah  bukti  ini,  sebagian struktur masalah sudah dikenal oleh S2. Dalam penelitian ini S2 melakukan refleksi langsung dalam proses penyelesaian bukti. S2 menggunakan struktur pengetahuan yang sudah dimiliki untuk menyelesaikan masalah, meskipun struktur berpikir yang dimiliki  tersebut  tidak  lengkap.  Strukur  konstruksi  S2  dalam  menyelesaikan masalah bukti keterbagian ini dapat digambarkan seperti Diagram 3 berikut.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 183 of 192
Diagram 3. Struktur Konstruksi Bukti S2
5. Asimilasi dan Akomodasi dalam Proses Konstruksi S2
Untuk  menganalisis  terjadinya  poses  asimilasi  dan  akomodasi  dapat dilakukan dengan mengkaji pembentukan struktur konstruksi (Diagram 4.1), ketika S2  menghadapi  masalah  dengan  struktur  seperti  Diagram  2.5.1.  pada  saat menghadapi masalah, dalam proses berpikir S2 terjadi disequilibrasi, yakni ketika S2  melakukan  proses  aljabar.  Sehingga  berlanjut  pada  proses  asimilasi  dan
As(mas, renstra) As(mas) As(mas) As(mas, renstra) As(mas) As(mas) As(mas) As(mas) As(mas) (Deq,Ref) Ak(renstra,stra) As(mas) As(mas) As(mas) Eq n = 3p n = 3p + 2 Definisi keterbagian selesai n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 +54p 2 + 71p +26) n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 + 9p 2 + 11p +8)
n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 +36p 2 +11p ) Kenapa n = 3p + 1 substitusi Definisi keterbagian Teorema algoritma pembagian n 3 + 12n 2 + 11n = 3x, untuk suatu x Z 3|n 3 + 12n 2 + 11n
Mengkonstruksi bukti Keterbagian
n 3 + 12n 2 + 11n = 3(9p 3 + 45p 2 + 38p +8)
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 184 of 192
akomodasi.  Terjadinya  proses  asimilasi  dan  akomodasi  dapat  digambarkan  pada Diagram 4 berikut.
Diagram 4. Terjadinya Asimilasi dan Akomodasi dalam Proses Konstruksi

## S2
Ketika S2 menyelesaikan masalah, sebagian struktur masalah sudah dikenal S2. Struktur masalah yang sudah dikenal antara lain: masalah yang diajukan, yakni
r j b ’ a h g c f e d b q p o m l k i s b Selesai b q s r Selesai m p o l a c f e d b s’ Asimilasi masalah Asimilasi menentukan strategi Asimilasi melaksanakan strategi Asimilasi masalah Refleksi ulang Akomodasi masalah Asimilasi masalah S t r u k t u r M a s a l a h P r o s e s   k o n s t r u k s I   s 2
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 185 of 192
mengkonstruksi bukti keterbagian (a), memilih definisi keterbagian  (b), isi definisi keterbagian dengan syaratnya (d,e,f), teorema algoritma pembagian (c), isi teorema algoritma  pembagian  serta  sebagian  syaratnya  (i,  j,  k),  melakukan  manipulasi aljabar (l,m,o,p).
Proses  konstruksi  yang  dilakukan  S2  adalah  memahami  masalah  secara langsung,  karena  itu  S2  telah  melakukan  proses  asimilasi  masalah  (As(mas)), setelah  memahami  masalah  selanjutnya  S2  langsung  menentukan  strategi  yang dipakai  untuk  menyelesaikan  bukti  keterbagian,  dalam  hal  ini  S2  menggunakan definisi keterbagian yang dilanjutkan dengan algoritma pembagian. Karena itu S2 telah  melakukan  proses  asimilasi  merencanakan  penyelesaian  (As(mas,  renstra)), selanjutnya  S2  menyelesaikan  masalah  bukti  keterbagian  dengan  rencana penyelesaian (strategi yang telah ditentukan, karena itu S2 telah melakukan proses asimilasi  melaksanakan  rencana  penyelesaian  (As(stra)),  seperti  pernyataan  S2 berikut.
S2: 3|n 3 + 12n 2 + 11n jika dan hanya jika n 3 + 12n 2 + 11n = 3x untuk suatu  x anggota bilangan bulat.

## Selanjutnya
S2: n 3 + 12n 2 + 11n = n (n 2 + 12n + 11)
KetikaS2  melakukan  proses  algoritma  pembagian,  S2  mengabaikan  salah satu syarat dari algoritma, yaitu 0 ≤ < 3. S2 langsung memisalkan nilai n = 3p, dan  n  =  3p  +  1,  dan  selanjutnya  S2  tidak  teliti  dalam  mengganti  nilai-  nilai  n tersebut, seperti terlihat pada pernyataan dan hasil kerja berikut.
S2: untuk n = 3p maka n 3 + 12n 2 + 11n = 3p (3p 2 + 12. 3p + 11),dan  untuk n = 3p + 1 maka n 3 + 12n 2 + 11n = 3p + 1 ((3p + 1) 2 + 12( 2p + 1 ) + 11)
Walaupun  kesimpulan  kedua  hasil  substitusi  mengarah  kepada  definisi keterbagian, tetapi S2 tidak teliti pada proses konstruksi (hasil substitusi) dan tidak melakukan refleksi ulang. Selanjutnya, ketika S2 mengganti nilai n = 3p + 2 pada proses  aljabarnya  tidak  lengkap  (salah),  sehingga  terjadi  disequilibrasi  (dengan
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 186 of 192
“ simpul  diblok” )  namun  S2  langsung  melakukan  refleksi  ulang  terhadap  proses aljabarnya,  yang dilanjutkan dengan melakukan akomodasi rencana penyelesaian (Ak(renstra))  dan  akomodasi  penyelesaian  masalah  (Ak(stra))  serta  asimilasi masalah  (As(mas))  dengan penyelesaian  aljabar  dalam  waktu  yang  singkat . Seperti pada pernyataan dan hasil kerja S2 berikut.
Gambar 2a hasil kerja S2
dan diubah menjadi,
Gambar 2b hasil kerja S2
Selanjutnya untuk n = 3p +2,
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 187 of 192
Akhirnya S2 memperoleh jawaban yang benar, dan menyimpulkan bahwa 3 membagi  n 3 + 12n 2 + 11n untuk semua anggota himpunan bilangan bulat. Hal ini menunjukkan  bahwa  S1  telah mampu  membentuk  substruktur  (struktur berpikir)  yang  lengkap  sesuai  dengan  struktur  masalah melalui  proses asimilasi, akomodasi, dan analitik.

## 6. Analisis Perbandingan antara Proses Konstruksi S1 dan S2
Untuk  menganalisis  perbandingan  antara  proses  konstruksi  S1  dan  S2 dibandingkan dengan Diagram 2.5.1 dapat digambarkan pada Diagram 5 berikut:
Diagram 5. Perbandingan proses Konstruksi Bukti antara S1 dan S2
Terjadinya asimilasi Terjadinya akomodasi dan asimilasi Terjadinya asimilasi Terjadinya asimilasi b q s r Seles ai m p o l a c f e d b s ’ b r ’ q s r Seles ai j p o m l k i a c f e d b s ’ P R O S E S K O N S T R U K S I S 2
P R O S E S K O N S T R U K S I S 1
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 188 of 192
Kesamaan Proses konstruksi antara S1 dan S2 muncul ketika  mereka sama- sama  mampu  melakukan  proses  berpikir  yang    hampir  lengkap  sesuai  dengan struktur  masalah  yang  digambarkan  pada  Diagram  2.5.1,  yakni  ketika  mereka langsung  bisa    menentukan  strategi  penyelesaian,  melaksanakan  penyelesaian, menggunakan algoritma pembagian, dan  ketidaktelitian ketika melakukan proses aljabar,  tetapi  mampu  merefleksi  ulang  terhadap  proses  aljabarnya  dengan cepat dan  tepat .    Kesamaan  proses  konstruksi  S1  dan  S2  seperti  digambarkan  pada Diagram 6 berikut.
Diagram 6 Model  Proses Konstruksi Kelompok Atas b q s r Selesai m p o l a c f e d b s’
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 189 of 192

## 7. Proses  konstruksi  mahasiswa  terhadap  bukti  keterbagian  berdasarkan kerangka konseptual asimilasi dan akomodasi
Dalam penelitian konstruktivisme, proses  belajar merupakan suatu proses pembentukan pengetahuan yang harus dikonstruksi oleh pebelajar. Menurut Piaget bahwa  pengetahuan  yang  dibentuk  adalah  pengetahuan  yang  dibangun  dalam pikiran seseorang dengan kegiatan asimilasi dan akomodasi sesuai dengan skema yang  dimilikinya.  Hal  ini  ditegaskan  pula  oleh  (Hudojo,  1998)  bahwa  Belajar merupakan  proses  membangun  atau  mengkonstruksi  pemahaman  sesuai  dengan kemampuan yang dimiliki seseorang.
Selanjutnya  dalam  penelitian  dikembangkan  proses  berpikir  pebelajar (mahasiswa) dengan menggunakan kerangka kerja asimilasi dan akomodasi Piaget, yang  penjelasannya  dikaitkan  dengan  empat  langkah  proses  pemecahan  masalah oleh Polya  yang tergambar pada Tabel 2.6.1 tentang kerangka konseptual  proses asimilasi  dan  akomodasi  yaitu,  (1)  memahami  masalah;  (2)  merencanakan pemecahan masalah; (3) melaksanakan pemecahan masalah; dan (4) mengevaluasi hasil pemecahan masalah.
Proses konstruksi mahasiswa dalam hal ini subjek, baik subjek kelompok atas,  subjek  kelompok  sedang,  maupun  subjek  kelompok  bawah  terhadap  bukti keterbagian mempunyai karakteristik berbeda-beda, namun mengalami disequilbrasi  yang  hampir  sama  yaitu  ketika  subjek  melakukan  proses  aljabar, sehingga dalam proses berpikirnya terjadi proses asimilasi dan akomodasi.
Proses  konstruksi  bukti  subjek  kelompok  atas  terutama  S1  hampir  sesuai dengan  struktur  masalah  pada  diagram  2.5.1.  hanya  saja  S1  langsung menginterpretasikan syarat 0 ≤ < 3 dengan mengganti nilai r = 0, r = 1, dan r = 3 ke dalam nilai = 3 + . Demikian halnya dengan S2 langsung mengganti nilai n = 3p, n = 3p + 1, dan n = 3p + 2. Karena itu subjek kelompok atas melakukan proses  asimilasi,  yang  dilanjutkan  dengan  proses  akomodasi  ketika  subjek kelompok  atas  mengalami  disequilibrasi  dan  langsung  melakukan  refleksi  ulang pada  sebagian  proses  aljabar  dengan  melakukan  proses  akomodasi  rencana penyelesaian dan melakukan penyelesaian, sampai akhirnya mampu menyimpulkan bukti keterbagian dengan sempurna (benar). Oleh karena itu proses berpikir subjek
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 190 of 192
kelompok  atas sedikit  mengalami  ketidaksempurnaan  terhadap  substruktur masalah.
Perbedaan antara proses berpikir antara kelompok atas, sedang, dan kurang adalah ketika refleksi ulang pada proses aljabar. Ketika kelompok atas melakukan proses penyelesaian aljabar waktu yang diperlukan tidak terlalu lama ditandai dengan panah tipis, sedangkan pada kelompok sedang dan kelompok bawah dalam melakukan penyelesaian  aljabar  mengalami  pemikiran  yang  ekstra  sehingga penyelesaiannya memerlukan waktu yang lambat . Pada kelompok bawah juga terjadi  disequilibrasi  pada  awal  proses  berpikir yakni  ketika  akan  memilih strategi penyelesaian bukti.

## D. KESIMPULAN DAN SARAN

## 1. Kesimpulan
Dari  hasil  kajian  terhadap  proses  berpikir  mahasiswa  dalam  mengkonstruksi bukti  keterbagian  dan  berdasarkan  tujuan  dari  penelitian  ini  dapat  disimpulkan sebagai berikut.
Proses  berpikir  mahasiswa  IAIN  Ambon  dalam  mengkonstruksi  bukti keterbagian khususnya subjek kelompok atas memiliki dua karakteristik, yaitu:  (1) hampir lengkap, dan (2) tidak lengkap. Pertama , proses berpikir mahasiswa yang dikategorikan hampir lengkap, yakni ketika mahasiswa mengkonstruksi bukti tetapi tidak  sesuai  dengan  substruktur  masalah  dalam  proses  asimilasi,  yakni  ketika mahasiswa mengkonstruksi submasalah proses aljabar. Setelah refleksi ulang yang dilanjutkan dengan proses akomodas, yakni menentukan dan melaksanakan rencana penyelesaian  lain  pada  proses  aljabar,  mahasiswa  mampu  mengkonstruksi  bukti sesuai dengan struktur masalah sehingga memperoleh jawaban benar (sempurna). Kedua , ketidaklengkapan terjadi karena ketidaksempurnaan proses asimilasi yang merupakan  proses  berpikir  paling  sederhana,  yakni  mahasiswa  mengalami disequilibrasi ketika menentukan rencana penyelesaian (definisi keterbagian) dan mengkonstruksi submasalah proses aljabar, setelah refleksi ulang yang dilanjutkan dengan  proses  akomodasi,  mahasiswa  hanya  mampu  mengkonstruksi  sebagian struktur berpikir yang sesuai dengan substruktur masalah dan memperoleh jawaban (kesimpulan) yang benar (S6).
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 191 of 192

## 2. Saran
Dari temuan hasil penelitian ini, dapat disarankan bahwa kajian penelitian ini masih terbatas, yaitu mengkonstruksi bukti keterbagian, karena itu masih sangat terbuka  peluang  penelitian  lanjutan  terutama  berkaitan  dengan:    (1)  bagaimana proses  bernalar  ( resoning )  mahasiswa  ketika  mengkonstruksi  bukti  selain  materi keterbagian;  (2)  desain  pembelajaran  yang  berkaitan  dengan  proses  pembuktian matematika.

## E. DAFTAR PUSTAKA
Eric.  J.  Knuth,  2002. Secondary  School  Mathematics  Teacher’s  Conceptions  of Proof , JRME, No. 5 Vol.33, University of Wisconsin-Madison Hodojo, H., 1990. Strategi Belajar Mengajar Matematika, Malamg: IKIP Malang --------------1998. Pembelajaran matematika menurut pandangan konstruktivistik. Makalah Disajikan dalam Seminar Nasional Upaya-Upaya Meningkatkan  Peran  Pendidikan  Matematika  dalam  Menghadapi  Era Globaliasasi. Malang: Tidak Diterbitkan.
Ipung Yuwono, 2004. Lompatan dalam Bukti Teorema Limit Fungsi Trigonometri, Jurnal MIPA Tahun 33, Malang Januari 2004, ISSN 0854-8269
Lulu  Healey  &  Celia  Hoyles,  2000.  A  Study  of  Proof  Conceptions  in  Algebra , Universitas London, UK. JRME , 3(4).
Mahusetyo,  G.,  2008. Teori  Bilangan  (Modul) ,  Jurusan  Pendidikan  Malang  PPs Universitas Negeri Malang.
McCown,  R.R.,  1992. Educational  psychology  and  classroom  practice:  a partnership, Unitate States of America: Allyn and Bacon Moleong, L.J., 2000. Metodologi Kualitatif , Bandung: PT. Remaja Rosdakarya NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics
Nurhadi, dkk, 2003. Pembelajaran Kontekstual dan Pembelajarannya dalam KBK, Malang: Univesritas Negeri Malang
Nur, M. 1998. Pengembangan perangkat pembelajaran dalam rangka menunjang implementasi kurikulum 1994 di Indonesia . Makalah Disampaikan pada Improving  Teaching  Proficiency  of  Indonesia  Junior  and  Senior Secondary  Science  Teacher  pada  SEAMEO-RECSAM.  Malaysia:
Tidak Diterbitkan.
Matematika dan Pembelajaran , 5(2), 192 of 192
Ruseffendi, E.T, 1991. Pengantar Membantu Guru Mengembangkan Kompetensi dalam  Pengajaran  Matematika  untuk  Meningkatkan  CBSA, Bandung: Tarsito
Subanji,  2007. Proses  Berpikir  Penalaran  Kovariasional  Pseudo  dalam Mengkonstruksi  Grafik  Fungsi  Kejadian  Dinamika  Berkebalikan . Disertasi tidak dipublikasikan, Unesa Surabaya
----------, 2009. Pengembangan Pembelajaran Matematika Yang Berorientasi pada Problem  Solving  Melalui  Meaning  Based  Approach, makalah disampaikan  pada  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan Matematika, Malang: tidak diterbitkan
Suparno,  P.  1996. Filsafat  konstruktivisme  dalam  pendidikan .  Yogyakarta: Kanisius.