## JINOTEP Vol 6, No (1) Oktober (2019): 8-14
JINOTEP (Jurnal Inovasi Teknologi Pembelajaran) Kajian dan Riset Dalam Teknologi Pembelajaran http://journal2.um.ac.id/index.php/jinotep/index

## TEKNOLOGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS BERBASIS VISUAL
Muhammad Naufal Faris, Saida Ulfa, Henry Praherdhiono Universitas Negeri Malang

## Article History
Received: April 16, 2019 Accepted:May 10, 2019
Published:June 30, 2019

## Keywords
GeoGebra, Mathematics, Pythagorean Theorem, Discover, Proof

## Abstrak
Pythagoras merupakan seorang filsuf dan ahli matematika Yunani kuno. Salah satu kontribusi besar bagi sains dan matematika adalah Teorema Pythagoras. Teorema ini menyatakan  bahwa  kuadrat  si  si  miring  adalah  sama  dengan  jumlah  kuadrat  dari kedua  sisi  lainnya.  Teorema  Pythagoras  ditulis  sebagai  persamaan  yang menghubungkan panjang sisi a, b, dan c, yang sering dikenal dengan bentuk umum persamaan 𝒂 𝟐 +   𝒃 𝟐 =   𝒄 𝟐 .  Bukti  Teorema  Pythagoras  sangat  bervariasi.  Ada berbagai cara untuk membuktikan Teorema Pythagoras dengan skema pembuktian dari euclid bahkan di era digital dapat dibuktikan dengan menggunakan teknologi. Abad  ke  21  penggunaan  teknologi  merupakan  sebagai  sumber  pengembangan pembelajaran.  Progam  matematika  GeoGebra  merupakan  sebuah  perangkat  lunak gratis dan open source yang mampu digunakan dalam pembelajaran. Pembelajaran matematika  dapat  dipelajari  menggunakan  GeoGebra  seperti  aljabar,  geometri, kalkulus, dan statistik. GeoGebra juga merupakan perangkat lunak interaktif dalam proses  pembelajaran.  Artikel  ini  menyajikan  ilustrasi  visual  bagaimana  kita  dapat menggunakan  GeoGebra  untuk  pembelajaran  dalam  proses  menemukan  dan membuktikan Teorema Pythagoras.

## Abstract
Pythagoras, one of the most famous ancient Greek philosophers and mathematician. One  of  the  great  contributions  to  science  and  mathematics  was  the  Pythagorean Theorem. It states that the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides. The theorem Pythagoras be written as an equation relating the lengths sides c, b, and a, often known the "Pythagorean equation" a 2 + b 2 = c 2 . The evidence of the Pythagorean theorem varies greatly. There are various ways the euclid to prove Pythagoras Theorem a simple and complex even in the digital era can  use  of  technology.  In  the  21st  century  the  use  of  technology  as  a  source  of learning development. In Mathematics GeoGebra is free software and open source. Mathematics learning can be studied like algebra, geometry, calculus, and statistics.
GeoGebra  is  an  interactive  software  for  study  mathematics.  The  paper  presents illustrate how we can use GeoGebra to guide learners in the processes of discovering and Prove The Pythagorean Theorem. Corresponding author : Adress: Jl.Terusan Sigura – gura No.7 Lowokwaru, Malang. Instansi: Universitas Negeri Malang, Malang Jawa Timur Indonesia E-mail: naufal94math@gmail.com 2019 Universitas Negeri Malang p-ISSN 2406-8780 e-ISSN 2654-7953

## PENDAHULUAN
Salah  satu  Teorema  pertama  kali  ketika kita belajar matematika di Sekolah Dasar adalah Teorema  Pythagoras.  Teorema  ini  merupakan sebuah  pernyataan  matematis  yang  perlu membutuhkan  bukti  kebenarannya.  (Jose, Parada-Daza, Miguel, & Parada-Contzen, 2014) Pythagoras adalah seorang ahli matematika yang paling  terkenal  dan  sosok    yang  berpengaruh dalam bidang matematika. Sepanjang hidupnya, ia  suka  bepergian  ke  berbagai  tempat,  seperti Mesir  dan  Babel.  Pythagoras  mengajarkan kepada muridnya bahwa segala sesuatu di alam semesta  dapat  diekspresikan  dalam  angka. Karena  itu,  Pythagoras  dan  para  pengikutnya memuja angka dan rasio yang dapat diungkapkan oleh  angka-angka  ini.  Teorema  Pythagoras menunjukkan  bahwa  kuadrat  sisi  miring  dari segitiga  siku-siku  sama  dengan  jumlah  kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya masing-masing.
𝒂 𝟐 +   𝒃 𝟐 =   𝒄 𝟐 dimana  nilai  c  menggambarkan panjang sisi miring, a dan b panjang dari dua sisi segitiga  lainnya.  Teorema  yang  mudah  dihafal bagi  kebanyakan  orang.  Teorema  dasar  yang sederhana,  menarik  dan  sangat  berguna  untuk dipelajari.
Bukti Teorema Pythagoras sangat bervariasi.  (Bogomolny,  2016)  Ada  berbagai cara  untuk  membuktikan  teorema  Pythagoras dari skema  pembuktian  euclid.  Pada  era  digital ini  pembuktian  dapat  menggunaan  teknologi yaitu dengan kemampuan komputer.
Penggunaan  komputer  telah  diterapkan  untuk pembelajaran seperti dalam penggunaan software  GeoGebra.  Artikel  ini  menyajikan ilustrasi  bagaimana  kita  dapat  menggunakan GeoGebra  untuk  membimbing  dan  proses menemukan  serta  membuktikan  Teorema Pythagoras.  Sehingga  dapat  membantu  mereka meningkatkan  pengetahuan  mereka  sendiri  dan proses belajar yang efektif.

## TEOREMA PYTHAGORAS
Teorema  Pythagoras  berkaitan  erat pelajaran  bangun  datar  yaitu  sebuah  bangun segitiga  siku  –  siku.  Pada  segitiga  siku  –  siku dimana sisi a, sisi b merupakan panjang dari alas dan tinggi segitiga  dan sisi c merupakan sebuah panjang sisi miring, maka panjang dari sisi alas
segitiga  ditambah  panjang  sisi  tinggi  segitiga yang  keduanya  dikuadrat  dan  dijumlah merupakan  panjang  dari  sisi  miring  sebuah segitiga siku – siku. Hubungan ini  dirumuskan dengan 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 . Perhatikan pada gambar dibawah ini.
Jawab: :
𝑎 2 +   𝑏 2 = 𝑐 2 (4) 2 + (3) 2 = (5) 2

## 16    +   9     = 25
Teorema ini hanya berlaku untuk segitiga siku – siku. Dimana jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi a dan b adalah sama dengan kuadrat dari  sisi  miring  c.  Seperti  yang  pada  penerapn dikehidupan  sehari  –  hari oleh  (Carasco,  2016) John pulang dari sekolah, Dia berjalan 6 blok ke utara  dan  kemudian  8  blok  ke  barat.  Seberapa jauh  jarak  john  pulang  dari  sekolah?  Bentuk visual yang dapat dimodelkan seperti berikut.
Gambar 2 :Representasi Teorema Pythagoras
Gambar 1 : Segitiga Siku – Siku ABC
Answer:
𝑐 2 =   𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 2 =   6 2 + 8 2 𝑐 2 = 36 + 64
𝑐   =   √100
𝑐   = 10

## 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒 𝑟𝑢𝑚𝑎ℎ 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 10 𝑏𝑙𝑜𝑘
Penerapan  Teorema  Pythagoras  dikehidupan sehari  –  hari  merupakan  hasil  dari  sebuah kebenaran  dalam  permbuktian  teorema  dan penalaran  murni  Pythagoras.  Teorema  ini  juga membuat  banyak  orang  ingin  membuktikan kebenarannya melaui pendekatan dan penemuan. Pada geometri Euclid Teorema Pythagoras inilah yang memiliki banyak pembuktian. (Swaminathan,  2014)  dalam  penelitiannya  ada sekitar  500  bukti  yang  berbeda  yang  telah dinyatakan  oleh  Euclid.  Selain  bukti  secara aljabar  maupun  dengan  pendekatan  geometri secara  tertulis  bahkan  perkembangan  zaman diera digital  juga dapat dibuktikan secara visual dengan menggunakan teknologi yaitu memanfaatkan progam aplikasi GeoGebra.

## TEKNOLOGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Teknologi dalam pembelajaran merupakan sumber  belajar  yang  penting  bagi  siswa  dalam proses  pembelajaran  khususnya  pembelajaran matematika. Pentingnya menggunakan teknologi dalam  pengajaran  matematika  telah  didukung oleh Dewan Nasional Guru Matematika (NCTM, 2000)  Teknologi  merupakan  komponen  yang penting dalam lingkungan belajar. Salah satunya adalah  GeoGebra    yang  merupakan  program komputer  yang  digunakan  dalam  pembelajaran matematika  seperti  geometri,  statistik,  aljabar, kalkulus.  mulai  dari  sekolah  dasar  hingga universitas.  M.  Hohenwarter  menciptakan perangkat  lunak  GeoGebra  pada  tahun  2002 untuk  tujuan  belajar  dan  mengajar  matematika.
(Chrysanthou,  2008)  Kualitas  alat  dari  progam GeoGebra adalah:
 Perangkat  lunak  sumber  terbuka  dapat  di akses melalui www.geogebra.org
 Memiliki  pemilihan  bahasa  lebih  dari  50 bahasa.
 Cocok untuk digunakan untuk pembelajaran matematika di berbagai  umur yang berbeda.
 Memungkinan penggunan interaktif
 Memiliki  tools  untuk menambahkan animasi,  teks  dinamis  dan  dapat  bekerja mode online / offline
 Kompatibel dengan perangkat keras (aplikasi  tablet  GeoGebra,  iphone,  ipad, android,  aplikasi  google  play,  windows  8 atau  10)  dan  teknologi  perangkat  lunak (aplikasi  GeoGebra  chrom,  aplikasi  web GeoGebra)
 Dapat  diinstal  diberbagai  platform  seperti Windows,  Linux,  Mac,  Ubuntu  &  Debian, Fedora, open SUSE, UNIX, dan XO
 Memiliki kemampuan untuk berbagi materi dan  koneksi  dengan  orang  lain  di  ruang online menggunakan GeoGebraTube.
Sebagai  media  pembelajaran  matematika GeoGebra  dapat  memvisualisasikan  konsep matematika  serta  membangun  konsep  secara matematis. (Hohenwarter & Preiner, 2007) juga terdapat  sumber  belajar  terbuka  di  sekitar perangkat lunak matematika dinamis GeoGebra di  mana  pendidik  dapat  bergabung  dengan komunitas  online  untuk  membuat  dan memodifikasi  mathlets.  Semua  materi  di lingkungan  GeoGebra  ini  tunduk  pada  lisensi Creative  Commons  yang  memungkinkan  setiap orang  untuk  membuat  karya  yang  disesuaikan untuk tujuan non-komersial.
Pada percobaan yang dilakukan (Anabousy, 2015)  pengunaan  geogebra  sebagai  media pembelajaran  dapat  mengkonsolidasi  atau memperkuat  konsep  secara  terstruktur  serta meningkatkan  kepercayaan  diri  siswa  dalam mengkonstruksi  ketika  belajar  materi  teorema pyhtagoras.

## PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS BERBASIS VISUAL
Pembuktian  Teorema  Pythagoras  ini berdasarkan skema pembuktian dari Euclid yang telah  dikembangkan  dan  didesain  dengan
penggunaan progam geogebra
yang memungkinkan  adanya  animasi  bergerak. Berikut langkah – langkahnya.
1. Bangun sebuah segitiga siku – siku dan bentuk 3 bangun pada setiap sisinya.
Gambar 3: Segitiga siku – siku dengan 3 bangun pada setiap sisinya
Segitiga  siku  –  siku    ABC,  sisi  AB adalah alas segitiga, sisi AC adalah tinggi segitiga  dan  sisi  BC  adalah  sisi  miring segitiga dan bentuk 3 bangun pada setiap sisi segitiga siku  – siku.   Bangun persegi HIBA terletak pada sisi AB (alas). Bangun persegi  GACF  terletak  pada  sisi  AC (tinggi).  Bangun  persegi  BDEC  terletak pada sisi BC (sisi miring)
2. Bentuk sebuah Garis Paralel pada tools
GeoGebra lalu buat perpotongan dua garis..
Gambar 4 : Dua Garis Berpotongan di dalam persegi GACF.
Pada persegi GACF dibuat perpotongan  dua  garis  dan  buat  titik  L pada sisi AG dan titik K pada sisi AC dan titik  J  sebagai  titik  perpotongan  yang terletak  di  dalam  persegi  GACF kemudian sembunyikan dua garis dengan
menghilangkan  centang  pada  tampilan aljabar di GeoGebranya.
3. Bangun sebuah poligon dan berikan warna yang berbeda setiap poligon yang dibuat.
Gambar 5: Warna yang berbeda pada setiap  poligon
Tebentuk  4  poligon  didalam  persegi GACF.  Poligon  yang  tebentuk  adalah FJKC,  FJG,  GJL,  dan JKAL.  Kemudian masing-masing  poligon  memiliki  warna yang berbeda termasuk persegi HIBA.
4. Buat sebuah lingkaran dengan titik pusat di D dengan panjang jari – jari sama dengan garis FJ.
Gambar 6 :  Lingkaran dengan titik pusat di D
Pilih    icon  jangka  yang  terdapat  pada toolbox  GeoGebra  dan  bentuk  sebuah lingkaran dengan titik pusat F dengan jari jari FJ lalu pindahkan ke titik D sebagai titik pusat lingkaran.  Lalu  buat  titik  perpotongan  antara sisi  DE  dengan  keliling  lingkaran  dan terbentuk titik M.
12 JINOTEP (Jurnal Inovasi dan Teknologi Pembelajaran) Kajian dan Riset dalam Teknologi Pembelajaran  Vol 6, No (1), Oktober (2019), Hal. 8-14
5. Buat slider dan masukkan input Min = 0, Max = 1, Increment = 0.01, Speed = 3 pada Increasing
Gambar 7 : Tampilan Slider
6. Buat vector dengan memaskukan pada input Bar enters setiap vector and Translatsikan.
 u=a*Vector(J,E)
 v=a*Vector(J,D)
 v=a*Vector(J,B)
 tt=a*Vector (J,C)
 rr=a*Vector(B,M)
Gambar 8 : Translasi setiap polygon dengan vector
Setiap  masukan  pada  input  bar memvisualisasikan  garis  lurus  ke  arah kanan.  Pilih  ikon translasi objek  oleh vektor pada toolbox
GeoGebra
kemudian translasi poligon  oleh  vector sampai  mengarah  ke  persegi  BDEC. Setiap poligon men translasi kan ke arah persegi BDEC.
7. Sembunyikan  semua  vektor  dan  titik setelah  memindahkan  dan  penggunaan slider sebagai animasi pergerakan bukti secara  visual  Teorema  Pythagoras. Pembuktian dengan menggerakan slider ke kanan dari angka 0 sampai 1.
Gambar 9 : pergerakan slider ke angka 1
Men translasi kan  bangun  persegi HIBA  dan  persegi  GACF  yang  mana terdapat beberapa 4 poligon JKCF, JLAK, GLJ, GJF dengan menggerakan slider ke arah kanan a = 1.   (Mathematic94, 2018) Progam  geogebra  dapat  membutikan secara  visual  teorema  pythagoras  bahwa penjumlahan  dari  sebuah  bentuk  persegi dan  jumlah  poligon  memiliki  jumlah ukuran yang sama pada persegi BDEC.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
(Bogomolny, 2016) Secara aljabar, bukti Teorema  Pythagoras  menggunakan  skema dari Euclid seperti ini.
Gambar 10 : Skema dari Euclid
Berdasarkan bentuk sebuah kesebangunan segitiga diperoleh nilai 𝑥 𝑏 = 𝑏 𝑐 sehingga  diperoleh  nilai 𝑥 = 𝑏 2 𝑐 maka luas  dari  (i) = 𝑥. 𝑐 = 𝑏 2 𝑐 . 𝑐 =   𝑏 2 dengan cara yang sama luas dari (ii) = 𝑎 2 sehingga diperoleh  hasil 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 (i) + 𝑙𝑢𝑎𝑠 (ii) = 𝑐 2 Pada  Geometri  klasik  (Rosero,  2016) pembuktian Teorema Pythagoras menawarkan rumus luas suatu bangun yang berhubungan dengan segitiga dimana semua
pengukuran sudutnya diketahui tetapi hanya pengukuran satu sisi saja yang diketahui.
Dengan  menggunakan  geogebra  dapat dilakukan  menggunakan  prinsip  kesamaan luas bangun, sehingga menunjukan pergeseran  bayangan  seperti    pada  gambar 11.
Gambar 11 : Ukuran luas tiap poligon
Pada  gambar  11,  menunjukan  bahwa perubahan bentuk bangun datar karena strain atau peregangan dan translasi yang sama  – sama  tidak  mengubah  ukuran luas  bangun datar tersebut.
Perubahan  yang  bergerak  merupakan strain dan translasi . sebab pada Transformasi strain,  translasi, dan refleksi itu tidak mengubah luas bangun datar. Luas bangun  BDEC  =  26.37    dimana  ini merupakan  bagian  dari  sisi  miring. Penjumlahan  daripada  bangun  HIBA  + JKCF + LAKJ + GLJ + GJF = 26.37
Gambar 12 : Translasi pada persegi BDEC
Ini  adalah  salah  satu  bukti  dalam membuktikan
kebenaran Teorema
Pythagoras, dengan penggunaan GeoGebra. Siswa  dapat  menjelajahi  objek  geometris
secara visual dan dinamis untuk menghasilkan temuan mereka.
(Tuan  Minh  Pham,  2012)  Fitur  yang terdapat  pada  GeoGebra  dapat  dengan mudah  dijalankannya  secara  dinamis pengguna dengan mudah dapat menemukan titik,  garis  yang  sesuai  dengan  konfigurasi mereka dengan memilih objek pada toolbox dan pengguna dapat menarik dan melepaskan  objek  ini  untuk  menerapkan aturan  sesuai  intruksi.  Sependapat  dengan dalam  penelitian  yang  dilakukan  (Carević1 &  Denić2,  2017)  Bahwa  siswa  telah membuat karya yang telah mereka kerjakan dan  hasil  dari  visualisasi  tentang  prinsip  – prinsip  matematika  membuat  siswa  lebih jelas memahaminya. Hubungan representasi visual  membuat  siswa  lebih  mudah mengingatnya  serta  lebih  efektif  dalam menguasai bentuk rumus matematika.
Hasil  dari  sebuah  pembuktian memiliki  kemampuan  untuk  menghasilkan visualisasi  dari  output  objek  geometris dengan cepat dan akurat. Sesuai (Contreras, 2014) GeoGebra membimbing peserta didik untuk  menemukan  dan  memperluas  salah satu teorema yang paling indah dan elegan. GeoGebra  akan  membantu  siswa  untuk mengeksplorasi  konsep  lebih  detail  dan membantu mereka membangun dan mengembangkan pengetahuan mereka.

## KESIMPULAN
Artikel  ini,  menggambarkan  bagaimana kita menggunakan teknologi sebagai sumber belajar dalam proses pembelajaran sebagaimana  yang  telah  dibuktikan  tentang kebenaran  sebuah  Teorema  Pythagoras dengan program GeoGebra. Selain itu, siswa dan  guru  dapat  mengetahui  fungsi  sekaligus kegunaan  dan  tools  yang  terdapat  pada program  GeoGebra.  Dengan  menerapkan progam  GeoGebra  sebagai  media  dalam proses pembelajaran matematika akan melatih keterampilan mereka yang dapat meningkatkan  pemahaman  yan  mereka temukan sendiri. Penelitian yang telah dilakukan (Majerek1,  2014)  progam  GeoGebra  dapat membantu dalam mengajar matematika, serta digunakan  untuk  pengajaran  yang  aktif  dan berorientasi pada masalah dan menumbuhkan eksperimen dan penemuan baik di ruang kelas maupun  di  rumah.  sekaligus  membangun konsep,  menyelesaikan,  dan  memberikan
14 JINOTEP (Jurnal Inovasi dan Teknologi Pembelajaran) Kajian dan Riset dalam Teknologi Pembelajaran  Vol 6, No (1), Oktober (2019), Hal. 8-14
gambaran  setiap  masalah  yang  terdapat dimatematika.
Saya  mengajak  para  pembaca  untuk mencoba program GeoGebra  sehingga dapat memfasilitasi  para  pembaca  untuk  belajar matematika dan memahami konsep matematika dengan mudah. Dengan
melakukan  latihan  dengan  GeoGebra,  para pembaca  diharapkan  mendapatkan  sudut pandang  dan  paradigma  baru  tentang matematika  khususnya  bukti  Teorema Pythagoras.

## DAFTAR RUJUKAN
Anabousy, A. &. (2015). Constructing and consolidating mathematical knowledge in the geogebra environment by a pair of students. Psychology of Mathematics Education , (PME-39).
Bogomolny, A. (2016). Cut The Knot . (A. Powell, Producer, & University of Chicago Press, 1995) Retrieved July 2018, from Interactive Mathematics Miscellany: http://www.cut- the-knot.org/pythagoras/
Carasco, J. (2016). Basic-Mathematics . Retrieved July 2018, from Basic Mathematics Skills: https://www.basic- mathematics.com/pythagorean-theorem- word-problems.html
Carević1, M. M., & Denić2, D. N. (2017, October). Geogebra To Help In The Understanding And Memorizing. Serbia: Science and Higher Education in Function of Sustainable Development.
Chrysanthou, I. (2008, July 14). The Use Of Ict In Primary Mathematics In Cyprus: The Case Of Geogebra. International Perspectives In Mathematics Education .
Contreras, J. N. (2014). Discovering and Extending Viviani’s Theorem with GeoGebra. (V. ANTOHE, Ed.) GeoGebra International Journal of Romania, Vol. 3 No.1 .
Hohenwarter, M., & Preiner, J. (2007). Creating Mathlets with Open Source Tools. The Journal of Online Mathematics and Its Applications, 7 , Article ID 1574.
Jose, R., Parada-Daza, Miguel, I., & Parada-Contzen.
(2014). Pythagoras and The Creation of
Knowledge. Open Journal of Philosophy, 4 , 68-74. doi:http://dx.doi.org/10.4236/ojpp.2014.410 10
Majerek1, D. (2014). APPLICATION OF

## GEOGEBRA FOR TEACHING
MATHEMATICS. Advances in Science and Technology Research Journal, 8 , 51-54. doi:10.12913/22998624/567
Mathematic94, N. (2018, August ). Pythagorean Theorem . Retrieved from www.geogebra.org: https://www.geogebra.org/material/show/id/ sukabedj
May, V., & Courtney, S. (2016, February). Developing Meaning in Trigonometry. Illinois Mathematics Teacher, Vol 63, No 1 . Retrieved from journal.ictm.org/index.php/imt/article/down load/102/91
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston: National Council of Teachers of Mathematics.
Rosero, C. J. (2016). Euclidean And Napoleonian Theorems : Their Derivation From Pythagorean. International Journal of Current Research, 8 (3). Retrieved from http://www.journalcra.com
Swaminathan, S. (2014). The Pythagorean Theorem. Journal of Biodiversity, Bioprospecting, 1 (3), 1. doi:10.4172/2376-0214.1000128
Tuan Minh Pham, Y. B. (2012). A Combination of a Dynamic Geometry Software With a Proof Assistant for Interactive Formal Proofs. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 285 (2012) 43–55 , 1571-0661. doi:10.1016/j.entcs.2012.06.005