## ANTI SUBGRUP FUZZY
Ahmad Yasir,  Saman Abdurrahman, Nurul Huda Program Studi Matematika  Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email: Ahmad.yasir.syahti@gmail.com

## ABSTRAK
Subgrup yaitu himpunan bagian tidak kosong dari suatu grup 𝐺𝐺 dan merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan grup 𝐺𝐺 . Perpaduan antara konsep aljabar dengan konsep fuzzy disebut subgrup fuzzy . Pada tahun 1998 R. Biswas memperkenalkan konsep lower level subset dari subset fuzzy, anti subgrup fuzzy, dan lower level subgrup. Tujuan dari penelitian ini membuktikan subset fuzzy dari grup adalah subgrup fuzzy jika dan hanya jika komplemen dari subset fuzzy adalah anti subgrup fuzzy dan membuktikan jika subset fuzzy adalah anti subgrup fuzzy maka lower level subset juga anti subgrup fuzzy . Metode yang digunakan studi literatur.  Hasil dari penelitian ini adalah jika diberikan 𝐺𝐺 grup, suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 di 𝐺𝐺 disebut anti subgrup fuzzy maka berlaku 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≤ max {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . Kemudian diberikan 𝜇𝜇 subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 jika dan hanya jika komplemen dari subgrup fuzzy (µ c ) adalah anti subgrup fuzzy. Jika suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 dari 𝑆𝑆 dan untuk 𝑡𝑡 ∈ [0,1] maka lower level subset dari 𝜇𝜇 adalah himpunan 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � = {𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆|𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡} , kemudian jika diberikan μ anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 maka suatu subgrup 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � , 𝑡𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) , disebut lower level subgrup dari 𝜇𝜇 . Selanjutnya jika 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 maka 𝐴𝐴 𝜇𝜇�𝑡𝑡 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 dengan 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒), 1].
Kata Kunci : Lower level subset, Anti subgrup fuzzy, Lower Level Subgrup.

## ABSTRACT
Subgroup is not empty subsets of a group 𝐺𝐺 and a group of the same operation with 𝐺𝐺 .  The combination between the  concepts of algebra with fuzzy is fuzzy subgroups.  In 1998 R. Biswas introduced the concept of  lower  level subset of a subset fuzzy , anti fuzzy subgroup, and lower levels subgroups.  The purpose of this study is to prove that fuzzy subset of a group is a fuzzy subgroup iff the complement of this fuzzy subset is anti fuzzy subgroup and if fuzzy subset is an anti fuzzy subgroup then lower level subsets are also anti fuzzy subgroups. The research is conducted by literature study. The results of this reseacrh, if let 𝐺𝐺 be a group, a fuzzy subset 𝜇𝜇 of 𝐺𝐺 is called a fuzzy subgroup  then for 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 : 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≥ min {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≥ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) . Then, 𝜇𝜇 is a fuzzy subgroup of the group 𝐺𝐺 iff its complement 𝜇𝜇 𝑐𝑐 is an anti fuzzy subgroups of 𝐺𝐺 .  Let 𝜇𝜇 be a fuzzy set of 𝑆𝑆 , for 𝑡𝑡 ∈ [0,1] , the lower level subset of 𝜇𝜇 is the set 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � = {𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆|𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡}, and let 𝜇𝜇 is anti fuzzy subgroup of group 𝐺𝐺 , then for 𝑡𝑡 ∈ [0,1] such that 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) , 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � is a subgroup of 𝐺𝐺. If 𝜇𝜇 is an anti fuzzy subgroup o f 𝐺𝐺 , then 𝐴𝐴 𝜇𝜇𝑡𝑡 ��� is also an anti fuzzy subgroup of 𝐺𝐺 where 𝑡𝑡 ∈ [0,1] and 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒).
Keywords : Fuzzy subset, Fuzzy  Subgroups , Lower Level subsets, Lower Level Subgroup, Anti Subgroup Fuzzy

## 1. PENDAHULUAN
Subgrup yaitu himpunan bagian tidak kosong dari suatu grup 𝐺𝐺 dan merupakan grup terhadap operasi yang sama dengan grup 𝐺𝐺 . Subset fuzzy adalah pemetaan dari himpunan tak kosong ke selang [0,1]. Subset fuzzy dikatakan subgrup fuzzy jika memenuhi 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≥ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺.
Pada tahun 1998 R. Biswas memperkenalkan konsep lower level subset dari subset fuzzy , anti subgrup fuzzy dari grup , lower level subgrup. Anti subgrup fuzzy adalah subset fuzzy yang  memenuhi 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≤ max{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≤
𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺. Dari beberapa konsep di atas maka penulis tertarik untuk melakukan penelitian mengenai anti subgrup fuzzy.
Definisi 1.1 [4] Suatu himpunan tidak kosong 𝐺𝐺 dikatakan grup, jika terdapat suatu operasi biner ∗ (pada umumnya, 𝐺𝐺 × 𝐺𝐺 → 𝐺𝐺 ) memenuhi sifat-sifat berikut ini:
i). jika 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 maka 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 (tertutup)
ii). jika 𝑎𝑎, 𝑎𝑎, 𝑐𝑐 ∈ 𝐺𝐺 maka 𝑎𝑎 ∗ (𝑎𝑎 ∗ 𝑐𝑐) = (𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎) ∗ 𝑐𝑐 ∈ 𝐺𝐺 (hukum asosiatif) iii). ∃ 𝑒𝑒 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑎𝑎 ∗ 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∀ 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 (identitas)
iv). ∀ 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 ∃ 𝑎𝑎 −1 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 −1 = 𝑎𝑎 −1 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒 (invers)
Teorema 1.2 [3] Jika 𝐺𝐺 suatu grup, maka (𝑎𝑎 −1 ) −1 = a untuk setiap a ∈ 𝐺𝐺 .
Teorema 1.3 [5] Diberikan suatu grup 𝐺𝐺 dan 𝐻𝐻 subset tak kosong di 𝐺𝐺 . Himpunan 𝐻𝐻 merupakan subgrup di 𝐺𝐺 jika dan hanya jika 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝐻𝐻 untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐻𝐻 .
Definisi 1.4 [7] Diberikan 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈  ℱ𝒫𝒫( 𝑆𝑆 ) , jika 𝛼𝛼(𝑎𝑎) ≤ 𝛽𝛽(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆 , maka 𝛼𝛼 ⊆ 𝛽𝛽.
Jika 𝛼𝛼 ⊆ 𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑚𝑚 𝛼𝛼 ≠ 𝛽𝛽 , maka 𝛼𝛼 ⊂ 𝛽𝛽 .
Definisi 1.5 [7] Diberikan 𝜇𝜇 subset fuzzy di S dan 𝑡𝑡 ∈ [0,1] , himpunan 𝜇𝜇 𝑡𝑡 = {𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆 | 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≥ 𝑡𝑡} disebut level subset dari 𝑆𝑆 yang berkaitan dengan 𝜇𝜇 .
Definisi 1.6 [1] Komplemen dari subset fuzzy 𝜇𝜇 di S dinotasikan 𝜇𝜇 𝑐𝑐 , dengan 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎) = 1 − 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆 . Definisi 1.7 [7] Jika suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 dari grup G disebut subgrup fuzzy maka berlaku:
i). 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . ii). 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≥ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . Lemma 1.8 [7] Jika 𝜇𝜇 suatu subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 maka berlaku:
i). 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≥ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . ii). 𝜇𝜇(𝑎𝑎) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . Teorema 1.9 [6] Suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 dari grup 𝐺𝐺 disebut subgrup fuzzy jika dan hanya jika 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≥ min {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} untuk setiap a,b ∈ 𝐺𝐺 . Definisi 1.10 [2] Diberikan 𝐺𝐺 grup dan A subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Subgrup 𝐴𝐴 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑡𝑡 ≤ 𝐴𝐴(𝑒𝑒) , disebut dengan level subgrup di A.

## 2. METODOLOGI
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini dengan membuktikan
lemma dan teorema pendukung serta proposisi yang berkaitan dengan grup, subset fuzzy dan anti subgrup fuzzy.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Anti Subgrup Fuzzy
Definisi 3.1.1 Jika diberikan 𝐺𝐺 grup, suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 dari 𝐺𝐺 disebut dengan  anti subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 maka  untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 berlaku:
i) 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)},
𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) .
Proposisi 3.1.2 Jika diberikan 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 maka untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏 : i) 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) , ii) 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎) . Bukti : i)Diketahui 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Akan dibuktikan 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺. Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 ,  berdasarkan Definisi 1.1 bagian iv) terdapat 𝑎𝑎 −1 ∈ 𝐺𝐺 sehingga 𝑒𝑒 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 . Berdasarkan Definisi 3.1.1 bagian i) dan ii) berlaku 𝜇𝜇(𝑒𝑒) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max  { 𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 )} = 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ,  sehingga 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) .  Jadi terbukti 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . ii)Diketahui 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Akan dibuktikan 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎). Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 karena 𝐺𝐺 grup, terdapat 𝑎𝑎 −1 ∈ 𝐺𝐺 dan berdasarkan Teorema 1.2 𝑎𝑎 = (𝑎𝑎 −1 ) −1 maka 𝜇𝜇(𝑎𝑎) = 𝜇𝜇((𝑎𝑎 −1 ) −1 ) .  Berdasarkan Definisi 3.1.1  bagian ii) 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎), sehingga berlaku 𝜇𝜇((𝑎𝑎 −1 ) −1 ) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) dan  akibatnya diperoleh 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ). ∎
Proposisi 3.1.3 Diberikan 𝜇𝜇 adalah subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 jika dan hanya jika komplemen dari subset fuzzy (𝜇𝜇 𝑐𝑐 ) adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Bukti : (⟹) Diketahui 𝜇𝜇 subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Akan dibuktikan komplemen dari subset fuzzy adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Berdasarkan Definisi 3.1.1 untuk membuktikan 𝜇𝜇 𝑐𝑐 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 harus memenuhi 2 kondisi berikut: 1) Diambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 dan 𝜇𝜇 subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 , sehingga berdasarkan Definisi 1.6 dan Definisi 1.7 bagian i)  diperoleh: 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎𝑎𝑎) = 1 − 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) ≤ 1 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 {𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎), 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎)} . 2) Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 menurut Definisi 1.1 terdapat 𝑎𝑎 −1 , 𝑒𝑒 ∈ 𝐺𝐺 sehingga 𝑒𝑒𝑎𝑎 −1 = 𝑎𝑎 −1 . Berdasarkan Definisi 1.6 dan Teorema 1.9 diperoleh: 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎 −1 ) = 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑒𝑒𝑎𝑎 −1 ) = 1 − 𝜇𝜇(𝑒𝑒𝑎𝑎 −1 ) ≤ 1 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑒𝑒), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑒𝑒), 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎)} = 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎),
(⟸)
Diketahui komplemen dari subset fuzzy adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺. Akan dibuktikan 𝜇𝜇 adalah subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Berdasarkan Definisi 1.7  untuk membuktikan 𝜇𝜇 subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 harus memenuhi 2 kondisi berikut:
1)Diambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 dan 𝜇𝜇 𝑐𝑐 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 , sehingga berdasarkan Definisi 1.6  dan Definisi 3.1.1 bagian i) berlaku: 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎) = 1 − 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎𝑎𝑎) ≥ 1 − 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎), 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎)} ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} . 2) Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 Definisi 1.1 terdapat 𝑎𝑎 −1 , 𝑒𝑒 ∈ 𝐺𝐺 sehingga 𝑒𝑒𝑎𝑎 −1 = 𝑎𝑎 −1 . Menurut diketahui 𝜇𝜇 𝑐𝑐 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 berdasarkan Definisi 1.6 dan Definisi 3.1.1 bagian i) dan ii) diperoleh:
𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 ) = 𝜇𝜇(𝑒𝑒𝑎𝑎 −1 ) = 1 − 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑒𝑒𝑎𝑎 −1 ) ≥ 1 − 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑒𝑒), 𝜇𝜇 𝐶𝐶 (𝑎𝑎)} ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑒𝑒), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} = 𝜇𝜇(𝑎𝑎). ∎
Proposisi 3.1.4 Diberikan 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑚𝑚, 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} . Bukti : (⟹) Diketahui 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Akan dibuktikan 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} . Diambil 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 menurut Teorema 1.3 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝐺𝐺 dan berdasarkan Definisi 3.1.1. bagian i) dan Proposisi 3.1.2 bagian ii) diperoleh:
𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 )} = 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} .
(⟸) Diketahui 𝐺𝐺 grup dan 𝜇𝜇 subset fuzzy di 𝐺𝐺 dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚 {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 . Akan dibuktikan 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Untuk membuktikan 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 , hanya perlu membuktikan 𝜇𝜇 𝑐𝑐 subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Diambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 berdasarkan Teorema 1.3 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝐺𝐺 . Menurut Definisi 1.6 dan yang diketahui 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} akibatnya: 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) = 1 − 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≥ 1 − 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 {𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎), 𝜇𝜇 𝑐𝑐 (𝑎𝑎)} . Menurut Teorema 1.9 𝜇𝜇 𝑐𝑐 adalah subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 dan menurut Proposisi 3.1.3 akibatnya 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺. ∎

## 3.2 Lower Level Subgrup
Definisi 3.2.1 Jika suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 dari 𝑆𝑆 dan untuk 𝑡𝑡 ∈ [0,1] maka lower level subset dari 𝜇𝜇 adalah himpunan 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 = {𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆|𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡} .
Proposisi 3.2.2 Jika diberikan 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 kemudian untuk 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒),1] sehingga 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) maka 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 adalah subgrup di 𝐺𝐺 . Bukti : Diketahui 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺. Akan dibuktikan 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 adalah subgrup di 𝐺𝐺 .  Untuk membuktikan 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 subgrup di 𝐺𝐺 akan  dibuktikan  bahwa 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 bukan himpunan kosong dan untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 sedemikian sehingga 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 . Diambil 𝑒𝑒 ∈ 𝐺𝐺 karena 𝜇𝜇 adalah  anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 , berdasarkan Proposisi 3.1.2 bagian i) dan Definisi 3.2.1 sehingga 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡 , akibatnya 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡 , sehingga 𝑒𝑒 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 . Diambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 sehingga 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡 & 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡 dan karena 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 menurut Proposisi 3.1.4 sedemikian sehingga: 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max  {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} = 𝑡𝑡 ,
diperoleh 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝑡𝑡 , sedemikian sehingga 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 . ∎

## Proposisi 3.2.3
Jika diberikan 𝐺𝐺 grup, 𝜇𝜇 subset fuzzy di 𝐺𝐺 dan 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 adalah subgrup di 𝐺𝐺 untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒),1] 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) maka 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Bukti : Diketahui 𝜇𝜇 subset fuzzy di 𝐺𝐺 , dengan 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 subgrup di 𝐺𝐺 untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒),1] dan 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) .  Akan dibuktikan 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 .  Diambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 misal 𝜇𝜇(𝑎𝑎) = 𝑡𝑡 1 & 𝜇𝜇(𝑎𝑎) = 𝑡𝑡 2 dengan 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒),1] dan 𝑡𝑡 1 ≤ 𝑡𝑡 2 . Diambil sebarang 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 2 menurut Teorema 1.3 sehingga 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 2 diperoleh 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ 𝑡𝑡 2 . Selanjutnya, menurut Proposisi 3.1.2 bagian ii) diperoleh: max{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎 −1 )} = max{𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)} = 𝑡𝑡 2 , sehingga 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max  {𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)}
. ∎
Definisi 3.2.4 Jika diberikan 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 maka suatu subgrup 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑡𝑡 ≥ 𝜇𝜇(𝑒𝑒) , disebut lower level subgrup dari 𝜇𝜇 .
Proposisi 3.2.5 Diberikan 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 dan  dua lower level subgrup 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑚𝑚 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 (dengan 𝑡𝑡 1 < 𝑡𝑡 2 ) untuk 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 =  𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 jika dan hanya jika tidak terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑡𝑡 1 < 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 .
Bukti : (⟹) Diketahui 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 , 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 dan 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 adalah lower level subgrup di 𝐺𝐺 , 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 =  𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 dengan 𝑡𝑡 1 < 𝑡𝑡 2 dan 𝑡𝑡 1 , 𝑡𝑡 2 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒), 1].
Akan dibuktikan tidak terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑡𝑡 1 < 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 . Andaikan 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑡𝑡 1 < 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 diperoleh 𝜇𝜇(𝑎𝑎) > 𝑡𝑡 1 dan 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 . Akibatnya menurut Definisi 3.2.1  diperoleh 𝑎𝑎 ∉   𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 dan 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 , sedemikian sehingga 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 ≠  𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 . Kontradiksi dengan yang diketahui 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 =  𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 , akibatnya pengandaian salah, jadi  tidak terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑡𝑡 1 < 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 .

## (⟸)
Diketahui 𝜇𝜇 anti subgrup fuzzy dan 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 & 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 adalah lower level subgrup dengan 𝑡𝑡 1 < 𝑡𝑡 2 dan 𝑡𝑡 1 , 𝑡𝑡 2 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒), 1] , kemudian tidak terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑡𝑡 1 < 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 . Akan dibuktikan 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 =   𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 . i) Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 , menurut yang diketahui 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 lower level subset sehingga 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 1 dengan 𝑡𝑡 1 < 𝑡𝑡 2 diperoleh 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 dan 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 . Dengan kata lain 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 ⊂  𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 . ii) Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 2 sehingga 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡 2 , karena menurut diketahui  tidak terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian sehingga 𝑡𝑡 1 < 𝜇𝜇(𝑎𝑎) < 𝑡𝑡 2 . Akibatnya 𝑡𝑡 1 ≮ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) diperoleh 𝜇𝜇(𝑎𝑎) ≤ 𝑡𝑡 1 dan 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 1 . ∎
3.3 Fuzzifikasi dari Lower Level Subset Definisi 3.3.1 Diberikan himpunan tak kosong S, 𝜇𝜇 subset  fuzzy di 𝑆𝑆 dan lower level subset dari 𝜇𝜇 adalah 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � . Fuzzifikasi dari 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � adalah subset fuzzy 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 yang  didefinisikan
𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) ≔ �𝜇𝜇(𝑎𝑎)           , 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 ∈  𝜇𝜇 𝑡𝑡 � 0                  , 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑡𝑡𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 ∉   𝜇𝜇 𝑡𝑡 �  𝑏𝑏𝑚𝑚 tuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆 .
𝑑𝑑 an berlaku 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 ⊆ 𝜇𝜇 dan �𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 � ������� 𝑡𝑡 = 𝜇𝜇 𝑡𝑡 � .
Proposisi 3.3.2 Jika diberikan 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 maka 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 dengan 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒), 1].
Bukti : Diketahui 𝜇𝜇 adalah anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 . Akan dibuktikan 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 anti subgrup fuzzy di 𝐺𝐺 , dengan 𝑡𝑡 ∈ [𝜇𝜇(𝑒𝑒), 1]. Menurut Definisi 3.3.1 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 lower level subset, menurut Proposisi 3.1.2  bagian i) 𝜇𝜇(𝑒𝑒) ≤ 𝜇𝜇(𝑎𝑎) dan Proposisi 3.2.2 diperoleh 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 subgrup di grup 𝐺𝐺. Diambil sebarang 𝑚𝑚, 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 . i) Jika 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈  𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 maka menurut Teorema 1.3 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 , selanjutnya menurut definisi keanggotaan dari 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 diperoleh 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎),  𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎) dan 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) . Menurut Proposisi 3.1.4 diperoleh: 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max�𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝜇𝜇(𝑎𝑎)� = max� 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎)�
sehingga 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max �𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎)�.
ii)Jika 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∉   𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 maka menurut Definisi 3.3.1 diperoleh 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) = 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) = 0 dan 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≥ 0. Menurut Proposisi 3.1.4 diperoleh max �𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎)� = 0, sehingga 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max �𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎)�.
iii) Jika 𝑎𝑎 ∈ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 dan 𝑎𝑎 ∉ 𝜇𝜇̅ 𝑡𝑡 maka menurut Definisi 3.3.1 diperoleh 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) = 𝜇𝜇(𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎) = 0 dan 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≥ 0. Menurut Proposisi 3.1.4  diperoleh max �𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎)� = 𝜇𝜇(𝑎𝑎), sehingga 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 ) ≤ max �𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎), 𝐴𝐴 𝜇𝜇� 𝑡𝑡 (𝑎𝑎)� . ∎

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh sebagai berikut:
1. Diberikan subset fuzzy dari grup adalah subgrup fuzzy jika dan hanya jika komplemen dari subset fuzzy adalah anti subgrup fuzzy
2. Jika subset fuzzy adalah anti subgrup fuzzy maka lower level subset juga anti subgrup fuzzy .
.
5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Biswas, R.1990. Fuzzy subgroups and anti fuzzy subgroups .  Fuzzy Sets and Systems vol 35, 121-124.
[2] Das, P. S. 1981. Fuzzy Groups and Level Subgroups. Jurnal of Mathematical Analysis dan Applications 84 , 264-269.
[3] Dummit, David S. & Richard M. Foote. 2004. Abstract Algebra, 3 rd ed. John Wiley and Sons, Inc. United States Of America.
[4] Garrett, Paul. B. 2007. Abstract Algebra. Chapman & Hall/CRC. London, New York.
[5] Judson, Thomas W.  2009. Abstract Algebra Theory and Applications . Stephen F. Austin State University, Texas.
[6] Kandasamy, W.  B. V.  2003. Samarandache Fuzzy Algebra . American Research Pers, Rehoboth.
[7] Malik, D. S. & Mordeson, John N. 1998. Fuzzy Commutative Algebra . Creighton University, Omaha.