SQUARE : Journal of Mathematics and Mathematics Education
http://dx.doi.org/10.21580/square.2024.6.1.20441

## Penentuan Portofolio Saham Optimal Menggunakan Metode Markowitz Sebagai Dasar Keputusan Investasi
Muhammad Rifki Nisardi 1* , Hartina Husain 2 , Kusnaeni 3 ,Aprizal Resky 4 1,2,3,4 Institut Teknologi Bacharuddin Jusuf Habibie, Parepare, Indonesia
* muhammadrifkinisardi@ith.ac.id

## ABSTRAK
Portofolio  saham  merupakan  kombinasi  dari  dua  atau  lebih  sekuritas  saham  yang  diinvestasikan pada periode waktu  dan  kondisi  tertentu. Pada  penelitian  ini  dilakukan  analisa  kombinasi  saham yang dapat dibentuk menjadi sebuah portofolio optimal menggunakan metode Markowitz. Metode Markowitz  merupakan  sebuah  metode  yang  digunakan  untuk  memaksimalkan  keuntungan  dan meminimalkan  resiko  dari  suatu  portofolio.  Metode  menggunakan  formulasi  matematis  yang memiliki  kelebihan  untuk  menyesuaikan  tingkat  toleransi  risiko  dan expected  return guna memeproleh portofolio yang optimal.  Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data harga penutupan  bulanan  ( Closing  Price )  pada  saham  dari  lima  perusahaan  yang  dipilih  yaitu  ICBP, BBCA,  TLKM,  BBNI  dan  INCO  periode  Juni  2019-Desember  2022.  Berdasarkan  hasil  yang diperoleh,  terdapat  rekomendasi  portofolio  yang  diperoleh  yaitu  portofolio  dengan  risiko  paling rendah atau Minimum Variance Portofolio (MVP) . MVP yang diperoleh terdiri dari ICBP 36.10%, BBCA 36.28%, TLKM 17.84%, INCO 8.39% dan BBNI 1.39%. Kombinasi proporsi saham tersebut menghasilkan expected return 8.58% dan risk portofolio sebesar 21.52%. Kata Kunci : Metode Markowitz, Minimum Variance Portofolio, Portofolio Optimal

## ABSTRACT
A  stock  portfolio  is  a  combination  of  two  or  more  securities  invested  over  a  specific  period  and under certain conditions. This study analyzes the combination of stocks that can be formed into an optimal  portfolio  using  the  Markowitz  method.  The  Markowitz  method  is  employed  to  maximize returns  and  minimize  the  risks  associated  with  a  portfolio.  This  method  uses  a  mathematical formulation  that  allows  for  adjustments  based  on  risk  tolerance  levels  and  expected  returns  to achieve an optimal portfolio. The data used in this study comprises the monthly closing prices of stocks from five selected companies, namely ICBP, BBCA, TLKM, BBNI, and INCO, for the period from June 2019 to December 2022. The findings indicate a recommended portfolio with the lowest risk,  known  as  the  Minimum  Variance  Portfolio  (MVP).  The  MVP  comprises  the  following proportions: ICBP 36.10%, BBCA 36.28%, TLKM 17.84%, INCO 8.39%, and BBNI 1.39%. This combination of stock proportions yields an expected return of 8.58% and a portfolio risk of 21.52%. Keywords: Markowitz method, Minimum Variance Portfolio, Portfolio Optimization.

## 1. PENDAHULUAN
Investasi merupakan kegiatan menanamkan sejumlah modal guna memperoleh keuntungan di masa depan. Dalam berinvestasi, seorang investor memiliki preferensi masing-masing dan tujuan atas pilihan investasi yang dibuat, termasuk memilih jenis investasi yang akan dipilih. Terdapat beberapa jenis instrumen investasi yang dapat dipilih, salah satunya adalah investasi pada  asset  keuangan  berupa  saham.  Saham  adalah  pemilikan  di  perusahaan  yang  memberi pemegangnya hak atas dividen dan peran dalam keputusan perusahaan. Membeli saham bisa menguntungkan bila nilai perusahaan naik, tapi juga berisiko kehilangan nilai saat perusahaan mengalami penurunan. Hal tersebut membuat investor akan cenderung mempertimbangkan dua hal penting dalam berinvestasi saham,yaitu bagaimana untuk memaksimalkan keuntungan dan disisi  lain  dapat  meminimalkan  risiko  yang  akan  diperoleh.  Pada  market  saham,  umumnya semakin tinggi tingkat keuntungan yang diinginkan, maka semakin tinggi potensi risiko yang harus  siap  ditanggung  oleh  investor  dan  berlaku  sebaliknya  (Hasan  et  al.,  2019;  Siregar  & Pangruruk, 2021).
Salah  satu  cara  yang  dapat  dilakukan  oleh  seorang  investor  untuk  mengurangi  risiko investasi pada instrument saham adalah dengan melakukan diversifikasi. Diversifikasi adalah suatu  cara  untuk  membentuk  sebuah  portofolio  saham  dengan  menempatkan  investasi  ke beberapa perusahaan, sehingga risiko portofolio dapat dikurangi (Balqis et al., 2021; Birungi & Muthoni, 2021). Diversifikasi yang dilakukan oleh investor merupakan suatu hal yang penting untuk  memperoleh  risiko  yang  lebih  kecil  tanpa  mengurangi  tingkat  return  yang  diterima. Diversifikasi portofolio dapat dilakukan secara acak maupun menggunakan metode optimasi portofolio.  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  adalah  dengan  metode  Markowitz (Nainggolan et al., 2020; Putri, 2018).
Metode Markowitz merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan alokasi untuk membentuk portofolio saham yang optimal dengan mempertimbangkan beberapa beberapa fungsi kendala.  Penelitian tentang metode Markowitz untuk pembentukan portofolio optimal  telah  banyak  dilakukan  oleh  berbagai  peneliti  (Chaweewanchon  &  Chaysiri,  2022; Hasbiah et al., 2022; Melta & Murni, 2021; Yunita, 2018). Pada penelitian oleh Yunita (2018), peneliti  menggunakan  model  Markowitz  untuk  membentuk  portofolio  yang  optimal  dengan menggunakan data pada indeks saham Jakarta Islamic Index. Pada penelitian tersebut, penulis mengambil data harga peneutupan saham dari tahun 2013 – 2018. Hasil yang diperoleh adalah terdapat  10  saham  yang  masuk  ke  dalam  portofolio  optimal  yaitu  AKRA  (3.4%),  ADRO (3.3%), ICBP (4.7%), INCO (2.6%), MYRX (13.6%), PTPP (4.9%), PWON (11.3%), TPIA (1%), UNTR (15.7%) dan UNVR (39.5%). Rata-rata tingkat pengembalian portofolio adalah sebesar 1.22% dan resiko portofolio adalah sebesar 0.0312.
Selanjutnya, penelitian yang dilakukan oleh Melta & Murni (2021) menggunakan model Markowitz  dengan  Metode  Sharpe  untuk  membentuk  portofolio  optimal  dengan  mengambil data pada saham Jakarta Islamic Index periode Agustus – November 2020. Hasil yang diperoleh dari penelitian tersebut diperoleh 5 saham yang masuk kedalam porotfolio optimal yaitu CTRA (5.32%), INCO (40.78%), SCMA (2.97%), SMGR (0.23%) and TPIA (50.7%) dengan rata-rata pengembalian 0.3760021 % dan portofolio risiko 0.010933%.
Kemudian,  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Hasbiah  dkk.,  2022  melakukan  penelitian mengenai Model Markowitz dalam memberikan keputusan investasi saham pada index LQ45 di BEI. Peneliti menggunakan data saham pada periode Februari 2017  – Januari 2021. Pada penelitian tersebut, analisis dilakukan dengan menggunakan harga saham penutupan (Closing price) bulanan sampai mendapatkan porotfolio optimal. Terdapat 11 saham yang membentuk portofolio  optimal  ini  dengan  rata-rata  pengembalian  porotfolio  sebesar  0.12%  dan  standar deviasi  sebesar  3.41%.  Metode  Markowitz  memformulasikan  teori  dengan  prinsip  untuk
memaksimalkan  tingkat  keuntungan  dengan  risiko  yang  konstan  dan  meminimalkan  risiko dengan  tingan  keuntungan  yang  konstan.  Kemudian,  dengan  dua  prinsip  tersebut  akan menghasilkan  berbagai  portofolio  optimal  yang  mungkin  dipilih  oleh  investor  dengan kombinasi return dan risiko tertentu. Kumpulan portofolio tersebut umumnya disebut dengan efficient frontier. (Chaweewanchon & Chaysiri, 2022; Kulali, 2016)
Penelitian ini mengambil data harga penutupan saham mulai Juni 2019 hingga Desember 2022 pada lima perusahaan yaitu Indofood CBP Sukses Makmur Tbk PT (ICBP), Bank Central Asia Tbk PT (BBCA), Telkom Indonesia PT (TLKM), Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk PT (BBNI) dan Vale Indonesia Tbk PT (INCO). Pemilihan lima saham tersebut dikarenakan pergerakan  kelima  saham  tersebut  yang  cenderung  stabil  dalam  jangka  waktu  yang  cukup panjang,  khususnya  di  tengah-tengah  masa  COVID-19  yang  berdampak  pada  koreksi  pada pasar saham nasional. Selain itu, pemilihan lima saham tersebut berasal dari  beberapa sektor yang  berbeda.  Hal  tersebut  dilakukan  untuk  mendiversifikasi  instrumen  investasi  sehingga dapat  mengurangi  risiko  yang  harus  ditanggung  investor.  Dengan  menerapkan  metode Markowitz,  investor  dapat  memperoleh  gambaran  proporsi  setiap  saham  untuk  memperoleh sebuah  portofolio  dengan  potensi  risiko  minimum.  Perhitungan  MVP  dengan  metode Markowitz  diselesaikan  dengan  bantuan software visual  studio  code  dengn  bahasa pemrograman python.

## 2. LITERATUR REVIEW

## Teori Portofolio

## 2.1 Menghitung Return Tiap Saham
Menurut Maruddani dan Purbowati (2009) dalam (Muthohiroh et al., 2021), return adalah salah satu faktor yang memotivasi seseorang untuk berinvestasi karena dari return, investor bisa melihat  hasil  investasi  yang  dilakukan.  Semakin  tinggi  return,  maka  semakin  besar  pula keuntungan  yang  diperoleh  seorang  investor.  Rumus  untuk  menghitung  return  adalah (Muthohiroh et al., 2021):
𝑅 𝑖,𝑡 = ln ( 𝑃 𝑖𝑡 𝑃 𝑖(𝑡−1) ) (1)
𝑅 𝑖,𝑡 = Return saham ke- 𝑖 pada waktu ke - 𝑡 𝑃 𝑖𝑡 = Harga penutupan saham ke – 𝑖 pada waktu ke - 𝑡 𝑃 𝑖(𝑡−1) = Harga penutupan saham ke – 𝑖 pada waktu ke – (𝑡 − 1)

## 2.2 Menghitung Expectde Return Saham
Expected Return adalah tingkat keuntungan yang diharapkan untuk diperoleh oleh seorang investor di masa yang akan datang. Untuk memperkirakan tingkat keuntungan dari suatu aset dapat dilakukan dengan cara menghitung expected return atas aset tersebut  (Melta & Murni, 2021)
𝐸(𝑅 𝑖 ) = ∑ 𝑅 𝑖,𝑡 𝑛 𝑖=1 𝑛 (2)

## 2.3 Menghitung Varians dan Standar Deviasi Saham
Perhitungan varians dan standar deviasi merupakan ukuran yang digunakan untuk melihat sebaran  atau  penyimpangan  suatu  data.  Dalam  investasi  saham,  risiko  dapat  dilihat  dari seberapa  besar  tingkat  perbedaan  antara  return  yang  terealisasi  dengan  ekspektasi  return. Semakin besar perbedaan antara keduanya maka semakin besar pula risiko yang dimiliki oleh
aset tersebut. Varians dan standar deviasi dapat digunakan untuk menghitung risiko dari suatu aset  investasi  tertentu.  Persamaan  untuk  menghitung  standar  deviasi  dan  variansi  secara matematis adalah sebagai berikut (Hasbiah et al., 2022):
𝜎 𝑖 2 = 1 𝑛 ∑ (𝑅 𝑖,𝑡 − 𝐸(𝑅 𝑖 )) 2 (3) 𝜎 𝑖 = √𝜎 𝑖 2
Keterangan: 𝜎 𝑖 2 : Varians saham ke-i 𝜎 𝑖 : standar deviasi saham ke-i

## 2.4 Menghitung Kovarians Dua Saham
Kovarian adalah sebuah ukuran untuk mengukur arah pergerakan dua buah variabel. Rumus untuk menghitung kovarian adalah sebagai berikut(Yunita, 2018) :
𝐶𝑜𝑣(𝑅 𝐴 , 𝑅 𝐵 ) =   𝜎 𝑅 𝐴 ,𝑅 𝐵 = ∑ [(𝑅 𝐴𝑖 − 𝐸(𝑅 𝐴 )) ∙ (𝑅 𝐵𝑖 − 𝐸(𝑅 𝐵 ))] 𝑛 𝑛 𝑖=1 Keterangan: 𝐶𝑜𝑣(𝑅 𝐴 , 𝑅 𝐵 ) : kovarian return antar saham dalam portofolio 𝑅 𝐴𝑖 : Return realisasi saham A kondisi ke- 𝑖 𝑅 𝐵𝑖
: Return realisasi saham B kondisi ke- 𝑖
𝐸(𝑅 𝐴 ) : Expected return saham A 𝐸(𝑅 𝐵 ) : Expected return saham B

## 2.5 Menghitung Korelasi Dua Saham
Koefisien  korelasi  digunakan  untuk  menunjukkan  seberapa  besar  hubungan  pergerakan antar  dua  variabel  relative terhadap  masing-masing  deviasinya.  Untuk  menghitung  koefisien korelasi dapat menggunakan rumus berikut (Yunita, 2018):
𝑟 𝐴𝐵 = 𝜌 𝐴𝐵 = 𝜎 𝑅𝐴,𝑅𝐵 𝜎 𝑅𝐴 ∙𝜎 𝑅𝐵 (4)
Keterangan:
𝑟 𝐴𝐵 : kofisien korelasi return antar saham dalam portofolio 𝜎 𝑅 𝐴 ,𝑅 𝐵 : kovarian saham A dan B 𝜎 𝑅 𝐴 : kovarian saham A 𝜎 𝑅 𝐵 : kovarian saham B

## 2.6 Teori Portofolio Markowitz
Metode  Markowitz  merupakan  metode  yang  digunakan  untuk  menentukan  proporsi dana  pada  saham-saham  yang  terdapat  pada  suatu  portofolio.  Untuk  menentukan  proporsi masing-masing saham, dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian optimasi. Pada  penelitian  ini  digunakan  bantuan  Bahasa  pemrograman  Python  untuk  menyelesaikan masalah  penetuan  proporsi  saham  yang  optimal.  Nantinya  akan  diperoleh  sebuah kombinasi yang  menghasilkan  portofolio  dengan  risiko  terkecil  dari  kelima  saham  tersebut.  Sehingga, fungsi objektif yang digunakan adalah fungsi risiko portofolio berdasarkan model Markowitz yang diformulasikan kedalam penyelesaian optimasi sebagai berikut(Yunita, 2018)
min ⬚ ∑ 𝑤 𝑖 𝜎 𝑖 2 + ∑ ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝜎 𝑖𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 (6)
dengan kendala-kendala
(1) ∑ 𝑤 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1
(2) 𝑤 𝑖 ≥ 0 untuk setiap i=1 sampai dengan n
(3) ∑ 𝑤 𝑖 𝑅 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑅 𝑝

## 3. METODE PENELITIAN
Pada  Tabel  1,  data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data  penutupan  harga saham dari 5 perusahaan yang ada di Bursa Efek Indonesia. Lima perusahaan ini dipilih dari 3 jenis industri sebagai bentuk diversifikasi dari portofolio yang dibuat. Berikut adalah data nama perusahaan yang digunakan sebagai sampel pada penelitian ini.
Tabel 1. Nama dan Bidang Industri Perusahaan No Kode Saham Nama Perusahaan Sektor Industri 1 ICBP Indofood CBP Sukses Makmur Tbk PT Consumer Goods 2 BBCA Bank Central Asia Tbk PT Finance 3 TLKM Telkom Indonesia PT Infrastructure 4 BBNI Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk PT Finance 5 INCO Vale Indonesia Tbk PT Mining
Pada penelitian ini, data yang digunakan merupakan data sekunder yang diambil dari harga penutupan  saham  untuk  masing-masing  5  perusahaan  tersebut  dari  situs  Yahoo  Finance ( www.yahoofinance.com ) mulai dari periode Juni 2019  – Desember 2022.  Adapun langkah- langkah pada penelitian ini adalah
1. Mengumpulkan data harga penutupan saham harian dari 5 perusahan.
2. Mengubah data harga penutupan harian menjadi data return
3. Menghitung koefisien korelasi untuk setiap emiten saham
4. Menghitung return rata-rata, varian, dan std.deviasi
5. Menentukan proporsi portofolio saham
6. Mensimulasi  sejumlah  kombinasi  pembobotan  dan  meninjau  efficient  frontier  yang terbentuk.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada penelitian ini, peneliti menggunakan data harga penutupan saham dari lima perusahaan yang telah dipaparkan sebelumnya. Dengan menggunakan bantuan software visual studio code dengan bahasa pemrograman python, grafik pergerakan harga penutupan untuk setiap saham perusahaan pada Tabel 1 dapat dilihat pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1. Pergerakan Harga Saham Untuk setiap Perusahaan
Data  pergerakan  harga  saham  untuk  kelima  perusahaan  menunjukkan  grafik  yang cenderung memiliki trend meningkat (Gambar 1). Kemudian dengan menggunakan Persamaan (2) diperoleh expected Return untuk setiap masing-masing saham sebagai berikut :
Tabel 2.Expected Return Kelima Saham No Saham Expected Return Varians Std Deviasi 1 ICBP 0.000124 0.017512 0.132333 2 BBCA 0.000504 0.016765 0.12948 3 TLKM 0.000136 0.019637 0.140132 4 BBNI 0.000133 0.023644 0.153766 5 INCO 0.000871 0.031155 0.176508
Selanjutnya,  adapun  matriks  korelasi  untuk  kelima  saham  tersebut  disajikan  pada Gambar  2 sebagai berikut:
Gambar 2. Matriks korelasi untuk setiap saham
Berdasarkan  Gambar  2,  nilai  korelasi  yang  diperoleh  dari  5  saham  tersebut  memiliki nilai  yang  positif  serta  nilai  korelasi  yang  cenderung  rendah  atau  cukup  kuat.  Semua  nilai matriks  korelasi  yang  diperoleh  lebih  besar  dari  nol  dan  mengindikasikan  portofolio  yang disusun berdasarkan 5 saham ini tidak terdiversikasi dengan baik. Dengan nilai korelasi positif, saham-saham  tersebut  menunjukkan  dinamika  pergerakan  harga  yang  serupa  dimana  harga kelima saham tersebut cenderung bergerak kearah yang sama.

## Gambar 3. Proporsi Portofolio dengan Variansi Minimum
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh,  dengan  menggunakan  metode  Markowitz  diperoleh portofolio dengan nilai variance minimum seperti pada Gambar 3. Portofolio tersebut memiliki proporsi untuk ICBP 36.10%, BBCA 36.28%, TLKM 17.84%, INCO 8.39% dan BBNI 1.39%. Kombinasi proporsi saham tersebut menghasilkan expected return dan risk portofolio masing- masing  sebesar  8.58%  dan  21.52%.  Hal  tersebut  berarti  bahwa  ketika  seorang  investor menginvestasikan  modalnya  pada  pasar  saham  dengan  pemilihan  saham  dan  proporsi  diatas maka  keuntungan  yang  diharapkan  oleh  investor  berkisar  8.58%  dari  total  dana  investasi dengan potensi risiko sekitar 21.52%. Jika dibandingkan dengan aset tunggal, misalnya INCO dengan expected  return 0.0871%  dengan  risiko  16.75%  nilai  risiko  yang  diperoleh  oleh portofolio memang lebih besar, tetapi tingkat pengembalian yang diharapkan dari portofolio ini jauh lebih besar dibandingkan dengan investasi yang dilakukan pada satu saham perusahaan saja.
Gambar 4. Efficient Frontier Curve
Kemudian Gambar 4 merupakan kurva Efficient Frontier. Efficient Frontier adalah suatu kurva yang dibentuk pada diagram kartesius yang menggambarkan kombinasi risiko portofolio pada sumbu  X  dan  nilai  return  portofolio  di  sumbu  Y.  Hasil  yang  diperoleh  pada  Gambar  4 menunjukkan simulasi yang melibatkan 5000 kombinasi portofolio menghasilkan sebuah kurva yang berwarna orange dimana kurva ini menjadi kombinasi portofolio yang dapat dipilih oleh investor  karena  menghasilkan  tingkat  return  yang  lebih  tinggi  pada  risiko  yang  sama. Sedangkan, titik merah merupakan portofolio denga risiko yang paling minimum. Terlihat, titik merah  merupakan  kombinasi  portofolio  MVP  yang  diperoleh,  yaitu expected  return sekitar 8.58% dan portofolio risk sebesar 21.52%.

## 5. SIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  yang  telah  diperoleh,  dapat  disimpulkan bahwa besar proporsi dana yang layak diinvestasikan untuk 5 saham yang dipilih berdasarkan metode  Markowitz  sehingga  membentuk  portofolio  dengan  risiko  terkecil  adalah  ICBP
36.10%,  BBCA  36.28%,  TLKM  17.84%,  INCO  8.39%  dan  BBNI  1.39%.  Dengan  proporsi tersebut,  besar expected  return dan risk  portofolio yang  terbentuk  adalah  masing-masing sebesar 8.58% dan 21.52%.

## DAFTAR PUSTAKA
Balqis, V. P., Subiyanto, S., & Supian, S. (2021). Optimizing Stock Portfolio with Markowitz Method as a Reference for Investment Community Decisions. International Journal of Research in Community Services , 2 (2), 71–76. https://doi.org/10.46336/ijrcs.v2i2.213
Birungi, C., & Muthoni, L. (2021). Analysis of Risk Measures in Portfolio Optimization for the Uganda Securities Exchange. Journal of Financial Risk Management , 10 (02), 135–152. https://doi.org/10.4236/jfrm.2021.102008
Chaweewanchon, A., & Chaysiri, R. (2022). Markowitz Mean-Variance Portfolio Optimization with  Predictive  Stock  Selection  Using  Machine  Learning. International  Journal  of Financial Studies , 10 (3), 64. https://doi.org/10.3390/ijfs10030064
Hasan, N., Pelleng, F. A. O., & Mangindaan, J. V. (2019). Analisis Capital Asset Pricing Model (CAPM)  Sebagai  Dasar  Pengambilan  Keputusan  Berinvestasi  Saham  (Studi  pada Indeks Bisnis-27 di Bursa Efek Indonesia). JURNAL ADMINISTRASI BISNIS , 8 (1), 36. https://doi.org/10.35797/jab.8.1.2019.23498.36-43
Hasbiah,  S.,  Anwar,  A.,  &  Bado,  B.  (2022).  Model  Markowitz  Dalam  Keputusan  Investasi Saham  Pada  Index  Lq45  di  Bursa  Efek  Indonesia. JEKPEND:  Jurnal  Ekonomi  dan Pendidikan , 5 (1), 69. https://doi.org/10.26858/jekpend.v5i1.24709
Kulali, D. I. (2016). Portfolio Optimization Analysis with Markowitz Quadratic Mean-Variance Model. European Journal of Business and Management .
Melta,  F.,  &  Murni,  D.  (2021). Pembentukan  Portofolio  Optimal  Model  Markowitz Menggunakan Metode Sharpe (Studi Kasus pada Saham Jakarta Islamic Index) . 6 (3).

## Muthohiroh,  U.,  Rahmawati,  R.,  &  Ispriyanti,  D.  (2021). PENDEKATAN  METODE MARKOWITZ UNTUK OPTIMALISASI PORTOFOLIO DENGAN RISIKO EXPECTED  SHORTFALL  (ES)  PADA  SAHAM  SYARIAH  DILENGKAPI  GUI MATLAB . 10 (3).
Nainggolan,  Y.  T.,  Juliana,  A.,  &  Alantina,  C.  A.  (2020).  Analisis  Value  At  Risk  Dalam Pembentukan  Portofolio  Optimal  (Studi  Kasus  Perusahaan  Perbankan  Di  Indonesia). Jurnal Manajemen , 10 (2), 124–136. https://doi.org/10.30656/jm.v10i2.2433
Putri, V. Y. (2018). Effectiveness of Portfolio Selection Using Markowitz Model and Broker Recommendation in Indonesia Stock Exchange (Mining, Agriculture, and Infrastructure Industry). KnE Social Sciences , 3 (11), 1603. https://doi.org/10.18502/kss.v3i11.2872
Siregar,  B.,  &  Pangruruk,  F.  A.  (2021). Portfolio  Optimization  Based  on  Clustering  of Indonesia Stock Exchange: A Case Study of Index LQ45 . 1 (1).
Yunita,  I.  (2018).  MARKOWITZ  MODEL  DALAM  PEMBENTUKAN  PORTOFOLIO OPTIMAL  (STUDI  KASUS  PADA  JAKARTA  ISLAMIC  INDEX). Jurnal Manajemen Indonesia , 18 (1). https://doi.org/10.25124/jmi.v18i1.1262