## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646

## Dampak Perkuliahan Geometri Pada Penalaran Deduktif
Mahasiswa: Kasus Pembelajaran Teorema Ceva
1 Al Jupri, 2 Siti Fatimah, 3 Dian Usdiyana
1,2,3 Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pendidikan
Indonesia
email: aljupri@upi.edu

## Abstrak
Geometri  merupakan  salah  satu  cabang  matematika  yang  dapat mengembangkan  kemampuan  berpikir  deduktif  bagi  siapapun,  termasuk mahasiswa  calon  guru  matematika,  yang  mempelajarinya.  Kemampuan  ini diperlukan  oleh  calon  guru  matematika  untuk tugas  mereka  sebagai  pendidik matematika  di  kemudian  hari.  Oleh  karena  itu,  tujuan  dari  penelitian  ini adalah  untuk  menginvestigasi  dampak  proses  perkuliahan  geometri  pada kemampuan  penalaran  deduktif  mahasiswa  calon  guru  matematika.  Untuk mencapai  tujuan  ini,  penelitian  kualitatif  ini  dilakukan  dalam  bentuk observasi  proses  pembelajaran  dan  observasi  hasil  evaluasi  pada perkuliahan geometri  yang  melibatkan  56  mahasiswa  calon  guru  matematika  pada  salah satu program studi pendidikan matematika, di salah satu universitas negeri di kota  Bandung.  Topik  perkuliahan  geometri  yang  diobservasi  adalah  teorema Ceva,  sedangkan  evaluasi  yang  dilakukan  adalah  dalam  bentuk  tes  tertulis individu tentang penerapan teorema Ceva dalam pembuktian. Hasil penelitian menunjukkan  bahwa  proses  perkuliahan  geometri  yang  diamati  menekankan kepada  proses  pembuktian  teorema  dan  penerapannya  dalam  pembuktian pernyataan matematis. Selain itu, hasil tes menunjukkan bahwa dari sepuluh mahasiswa yang mampu menerapkan teorema Ceva dalam proses pembuktian dengan  benar,  ditemukan  beberapa  cara  pembuktian  berbeda  yang  meliputi penggunaan  konsep  kesebangunan  dan  konsep  trigonometri.  Hal  ini menunjukkan  kreativitas  berpikir  deduktif  mahasiswa  dalam  upaya melakukan  pembuktian  matematis.  Dapat  disimpulkan  bahwa  proses perkuliahan  geometri  yang  menekankan  kepada  pembuktian  teorema  dan pernyataan  matematis  berdampak  kepada  keluwesan  berpikir  deduktif mahasiswa dalam proses pembuktian.
Kata  kunci: berpikir  deduktif;  pembuktian  dalam  geometri;  pendidikan geometri; teorema Ceva; teori Van Hiele

## Abstract
Geometry is one of branches of mathematics that can develop deductive thinking ability for anyone, including students of prospective mathematics teachers, who learning  it.  This  deductive  thinking  ability  is  needed  by  prospective mathematics  teachers  for  their  future  careers  as  mathematics  educators.  This research therefore aims to investigate the influence of the learning process of a geometry  course  toward  deductive  reasoning  ability  of  students  of  prospective mathematics  teachers.  To  do  so,  this  qualitative  research  was  carried  out through an observation of the learning process and assessment of the geometry course,  involving  56  students  of  prospective  mathematics  teachers,  in  one  of mathematics  education  program,  in  one  of  state  universities  in  Bandung.  A geometry topic observed in the learning process was the Ceva’s theorem, and the assessment  was  in  the  form  of an individual  written  test  on the  application  of the  Ceva’s  theorem  in  a  proving  process.  The  results  showed  that  the  learning process  emphasizes  on  proving  of  theorems  and  mathematical  statements.  In

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
addition, the test revealed that te n students are able to use the Ceva’s theorem in a  proving  process  and  different  strategies  of  proving  are  found,  including  the use  of  properties  of  similarity  between  triangles  and  of  the  concept  of trigonometry.  This  indicates  a  creativity  of  student  deductive  thinking  in proving process. In conclusion, the geometry course that emphasizes on proving of  theorems  and  mathematical  statements  has  influenced  on  filexibility  of student deductive thinking in proving processes.
Keywords: C eva’s  theorem; deductive  thinking;  geometry  education;  proof  in geometry, Van Hiele theory

## A. Pendahuluan
Geometri  merupakan  salah  satu  topik  matematika  yang  berperan penting  dalam  pengembangan  kemampuan  penalaran  siswa  di  tingkat sekolah  (Kemdikbud,  2013).  Agar  hal  tersebut  bisa  dicapai,  maka diperlukan  guru-guru  matematika  yang  memiliki  bekal  dan  kemampuan yang  memadai.  Bekal  dan  kemampuan  ini,  dalam  proses  pendidikan  guru matematika,  dikembangkan  dalam  perkuliahan-perkuliahan  yang  memuat konten  geometri,  seperti  mata  kuliah  Geometri  Analitik,  Geometri Transformasi, dan Geometri (Jupri & Herman, 2017).
Secara khusus, mata kuliah Geometri membekali mahasiswa calon guru matematika  tidak  hanya  berupa  pengetahuan  faktual  dan  konseptual tentang  geometri,  melainkan  juga  kecakapan  berpikir  secara  logis,  kritis, dan  kreatif  yang  diperlukan  dalam  berbagai  aspek  kehidupan (Hershkowitz,  1998;  Howse  &  Howse,  2015;  Jupri  &  Syaodih,  2016). Kecakapan-kecakapan  ini,  salah  satunya,  dapat  dilatih  melalui  materi pembuktian  teorema-teorema  dalam  geometri  (Jupri,  2017a,  2017b). Pertanyaannya  adalah  bagaimanakah  proses  pembelajaran  dalam perkuliahan geometri untuk mahasiswa calon guru matematika yang dapat menumbuhkembangkan  kemampuan  berpikir  deduktif,  yang  meliputi kecakapan  berpikir  logis,  kritis,  dan  kreatif  tersebut?  Apa  dampak  dari proses  pembelajaran  geometri  tersebut  terhadap  kemampuan  penalaran deduktif mahasiswa?
Untuk  menjawab  dua  pertanyaan  di  atas,  artikel  ini  menyajikan  hasil penelitian  melalui  observasi  proses  pembelajaran  dan  observasi  hasil evaluasi perkuliahan geometri untuk mahasiswa program studi pendidikan matematika.  Oleh  karena  itu,  penelitian  ini  bertujuan  untuk menginvestigasi  dampak  proses  perkuliahan  geometri  pada  kemampuan penalaran  deduktif  mahasiswa  calon  guru  matematika,  terutama  dalam melakukan  pembuktian  dalam  geometri.  Sebagai  kasus,  topik  geometri yang  dikaji  dalam  observasi  tersebut  adalah  pembelajaran  teorema  Ceva. Teorema  Ceva,  sebagai  salah  satu  teorema  penting  dalam  geometri, berbunyi  bahwa: Tiga  garis  yang  ditarik  dari  titik-titik  sudut  A,  B,  dan  C pada △ 𝐴𝐵𝐶 dan  masing-masing  memotong  sisi  di  hadapan  titik  sudut segitiga pada titik L, M, dan N adalah konkuren (berpotongan di satu titik)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
jika  dan  hanya  jika  memenuhi 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 .  (Jupri,  2019;  Posamentier, 2002).
Kerangka  teori  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah karakteristik  penalaran  deduktif  dalam  matematika  dan  teori  Van  Hiele tentang  berpikir  geometri,  khususnya  tingkat  berpikir  deduksi  formal (Burger & Shaugnessy, 1986; Jupri & Syaodih, 2016).

## 1. Penalaran dalam Pembelajaran Matematika
Penalaran  adalah  proses  berpikir  dalam  upaya  menghubung- hubungkan antara dua hal atau lebih yang diketahui dengan menggunakan aturan-aturan  tertentu  untuk  memperoleh  suatu  kesimpulan  (Kusumah, 1986;  Soedjadi,  2000).  Secara  umum,  baik  dalam  matematika  ataupun bidang-bidang  lain,  penalaran  dapat  dikelompokkan  menjadi  dua  macam: penalaran  induktif  dan  penalaran  deduktif  (Heit  &  Rotello,  2010; Ruseffendi, 1991; Soedjadi, 2000).
Penalaran induktif adalah proses berpikir dalam membuat kesimpulan yang  bersifat  umum  berdasarkan  informasi  atau  data-data  yang  bersifat khusus  (Heit  &  Rotello,  2010;  Ruseffendi,  1991;  Soedjadi,  2000).  Ciri-ciri dari  bernalar  secara  induktif,  di  antaranya,  adalah:  menarik  kesimpulan berdasarkan  keserupaan  data  atau  proses;  penarikan  kesimpulan berdasarkan  beberapa  kasus  atau  contoh  yang  teramati;  dan  melihat  pola hubungan berdasarkan fakta-fakta yang ada.
Penalaran  deduktif  adalah  adalah  proses  berpikir  dalam  membuat kesimpulan yang bersifat umum berdasarkan aturan-aturan tertentu yang disepakati  (Heit  &  Rotello,  2010;  Kusumah,  1986;  Ruseffendi,  1991; Soedjadi,  2000).  Ciri-ciri  dari  bernalar  secara  deduktif,  di  antaranya, adalah:  melakukan  perhitungan  berdasarkan  aturan  atau  rumus  tertentu; menarik  kesimpulan  berdasarkan  aturan  logika;  dan  menyusun pembuktian matematis baik pembuktian langsung ataupun tidak langsung. Dalam  penelitian  ini,  kecakapan  penalaran  deduktif  akan  menjadi  hal utama  yang  ditelaah  berdasarkan  proses  pembelajaran  geometri.  Hal  ini terkait dengan teori Van Hiele, khususnya tingkat berpikir deduktif formal.

## 2. Teori Van Hiele
Menurut  Van  Hiele,  kemampuan  berpikir  dalam  geometri  dapat dikelompokkan ke dalam lima tingkatan (Burger & Shaugnessy, 1986; Jupri &  Syaodih,  2016).  Kelima  tingkatan  tersebut  berjenjang  dari  yang sederhana  hingga  paling  kompleks.  Pada  level  0  (visualisasi),  berpikir geometri  memiliki  ciri  bahwa  konsep  atau  obyek  geometri  baru  sebatas dikenal  bentuk  dan  namanya  tanpa  memperhatikan  sifat-sifatnya.  Pada level  1  (analisis),  berpikir  geometri  bercirikan  kepada  kemampuan mengidentifikasi  sifat-sifat  dari  obyek  atau  konsep  geometri  secara terpisah-pisah.  Pada  level  2  (abstraksi),  berpikir  geometri  bercirikan  pada kemampuan menemukan hubungan antar sifat-sifat dari konsep atau obyek

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
geometri  secara  terintegrasi.  Pada  level  3  (deduksi),  berpikir  geometri bercirikan  pada  kemampuan  dalam  membuktikan  sifat-sifat  obyek  atau konsep  geometri  yang  sudah  dikenal.  Akhirnya,  pada  level  4  (rigor), berpikir  geometri  bercirikan  kepada  kemampuan  untuk  membandingkan berbagai  sistem  geometri  tanpa  menggunakan  model-model  yang  bersifat konkret. Pada penelitian ini yang digunakan dalam proses analisis adalah karakteristik  berpikir  geometri  level  3  (deduksi)  sebab  menyangkut kemampuan berpikir deduktif dalam melakukan pembuktian.

## B. Metode Penelitian
Penelitian  kualitatif  ini  dilakukan  melalui  observasi  terhadap  proses pembelajaran pada mata kuliah Geometri, yang melibatkan 56 mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika yang merupakan mahasiswa calon guru  matematika,  di  salah  satu  universitas  negeri  di  kota  Bandung. Observasi  yang  dilakukan  meliputi  dua  tahap.  Tahap  pertama,  observasi pembelajaran  dilakukan  pada  perkuliahan  materi  teorema  Ceva  yang berlangsung  selama  150  menit.  Materi  yang  dibahas  pada  perkuliahan  ini meliputi  teorema  Ceva,  pembuktian  teorema  Ceva,  contoh  penerapan teorema  Ceva,  dan  latihan  soal.  Dari  observasi  tahap  pertama  ini  peneliti mencatat  alur  proses  pembelajaran,  mengumpulkan  dokumen  materi pembelajaran,  menyalin  catatan  perkuliahan  mahasiswa,  dan  melakukan dokumentasi.
Tahap  kedua,  observasi  dilakukan  terhadap  proses  evaluasi pembelajaran  dalam  bentuk  tes  individu  kepada  mahasiswa  peserta perkuliahan.  Pada  tes  individu  ini,  mahasiswa  diminta  untuk menyelesaikan  satu  soal  pembuktian  sifat  geometri  yang  melibatkan penggunaan  teorema  Ceva.  Soal  tes  yang  digunakan  disajikan  pada Gambar  1.  Tes  ini  dilakukan  selama  30  menit  setelah  mahasiswa dipandang  telah  memahami  teorema  Ceva  dan  penerapannya.  Selama proses  tes  individu  ini,  mahasiswa  diminta  menuliskan  seluruh  proses pembuktian yang dilakukan, termasuk coretan-coretannya. Seluruh lembar jawaban  mahasiswa  dari  hasil  tes  ini  dikumpulkan  untuk  proses  analisis data.
Gambar 1. Soal tes penerapan teorema Ceva
Dari  dua  tahap  observasi  tersebut,  seluruh  data  yang  terkumpul dianalisis  dengan  menggunakan  kerangka  teori  Van  Hiele  dan karakteristik  penalaran  deduktif.  Hasil  analisis  meliputi  alur  proses pembelajaran pada perkuliahan materi teorema Ceva, dan hasil tes terkait

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
penerapan  teorema  Ceva.  Hasil  tes  ini  meliputi  temuan  strategi pembuktian yang digunakan mahasiswa dalam menerapkan teorema Ceva; dan  temuan  terhadap  kesulitan  mahasiswa  dalam  menerapkan  teorema Ceva  pada  saat  yang  tepat.  Hasil-hasil  analisis  ini  kemudian  diringkas, diinterpretasikan, dan disajikan dalam artikel ini.

## C. Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan  hasil  analisis  data  observasi  dan  tes,  maka  bagian  ini menguraikan  dua  hal.  Uraian  pertama  berisi  hasil  analisis  proses pembelajaran  teorema  Ceva;  dan  uraian  kedua  berisi  hasil  analisis  tes tertulis tentang penerapan teorema Ceva pada proses pembuktian.

## 1. Proses Pembelajaran Teorema Ceva
Secara  umum  proses  pembelajaran  topik  teorema  Ceva  pada perkuliahan  geometri  yang  diamati  dapat  dibagi  ke  dalam  tiga  tahapan: penjelasan  dan  pembuktian  teorema;  contoh  penerapan  teorema  pada pembuktian; serta latihan soal. Proses berurutan ketiga tahapan ini adalah sebagai  berikut.  Pertama,  dosen  menjelaskan  bahwa  teorema  Ceva — yang berbunyi:
Tiga garis yang ditarik dari titik-titik sudut A, B, dan C pada △ 𝐴𝐵𝐶 dan  masing-masing  memotong  sisi  di  hadapan  titik  sudut  segitiga pada  titik  L,  M,  dan  N  adalah  konkuren  (berpotongan  di  satu  titik) jika  dan  hanya  jika  memenuhi 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 . (Jupri,  2019; Posamentier, 2002).
merupakan  suatu  pernyataan  matematis  yang  bersifat  biimplikatif  yang perlu  dibuktikan.  Artinya  adalah  bahwa  ada  dua  pernyataan  implikasi yang perlu dibuktikan. Pernyataan pertama yang perlu dibuktikan adalah: Pada △ 𝐴𝐵𝐶 , jika tiga segmen garis 𝐴𝐿 ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅, dan 𝐶𝑁 ̅̅̅̅ berpotongan di satu titik (konkuren ) , maka berlaku hubungan 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 . Pernyataan kedua yang perlu  dibuktikan  adalah: Jika  tiga  garis  yang  ditarik  dari  titik-titik  sudut 𝐴, 𝐵, dan 𝐶 pada △ 𝐴𝐵𝐶 dan masing-masing memotong sisi di hadapan titik sudut pada titik 𝐿, 𝑀, dan 𝑁 demikian sehingga berlaku 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 , maka 𝐴𝐿 ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅, dan 𝐶𝑁 ̅̅̅̅ konkuren.
Untuk  membuktikan  pernyataan  pertama,  ada  dua  kasus  yang  bisa ditinjau.  Kasus  ketika  titik  potong  ketiga  segmen  garis 𝐴𝐿 ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅, dan 𝐶𝑁 ̅̅̅̅ berada  di  dalam  daerah  segitiga,  dan  kasus  ketika  titik  potong  ketiga segmen  garis  (disebut  pula  tiga  garis  Cevian)  berada  di  luar  daerah segitiga. Meski ada dua kasus, proses pembuktian keduanya serupa, seperti uraian berikut.
Titik 𝑃 adalah  titik  potong  ketiga  garis  Cevian 𝐴𝐿 ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅ dan 𝐶𝑁 ̅̅̅̅ .  Lalu,

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
dikonstruksi  sebuah  garis  yang  sejajar 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ melalui  titik 𝐴, berpotongan dengan 𝐵𝑃 ̅̅̅̅ di 𝑅 ,  dan  berpotongan  dengan 𝐶𝑃 ̅̅̅̅ di 𝑆 .  Gambar  2(a) menggambarkan  kasus  titik  potong  tiga  garis  Cevian  di  dalam  daerah segitiga, dan Gambar 2(b) untuk kasus titik potong di luar daerah segitiga .
(a)
(b)
Gambar  2.  Dua  kasus  titik  potong  tiga  garis  Cevian  pada  segitiga ABC : (a) Titik potong di dalam; (b) Titik potong di luar
Dengan  menunjukkan  bahwa △ 𝐴𝑀𝑅 ∼△ 𝐶𝑀𝐵 ,  maka  diperoleh 𝐶𝑀 𝐴𝑀 = 𝐶𝐵 𝐴𝑅 . Dengan  menunjukkan  bahwa △ 𝐵𝑁𝐶 ∼△ 𝐴𝑁𝑆 ,  maka  diperoleh 𝐴𝑁 𝐵𝑁 = 𝑆𝐴 𝐶𝐵 . Dengan  menunjukkan △ 𝐶𝐿𝑃 ∼△ 𝑆𝐴𝑃 ,  maka  diperoleh 𝐶𝐿 𝑆𝐴 = 𝐿𝑃 𝐴𝑃 .    Dengan menunjukkan △ 𝐵𝐿𝑃 ∼△ 𝑅𝐴𝑃 ,  maka  diperoleh 𝐵𝐿 𝑅𝐴 = 𝐿𝑃 𝐴𝑃 .    Dari  dua  hasil terakhir, dapat disimpulkan bahwa 𝐶𝐿 𝑆𝐴 = 𝐵𝐿 𝑅𝐴 atau 𝐵𝐿 𝐶𝐿 = 𝑅𝐴 𝑆𝐴 .  Akhirnya, dengan mengalikan  dua  hasil  pertama  dan  hasil  paling  akhir  tersebut,  maka diperoleh 𝐶𝑀 𝐴𝑀 . 𝐴𝑁 𝐵𝑁 . 𝐵𝐿 𝐶𝐿 = 𝐶𝐵 𝐴𝑅 . 𝑆𝐴 𝐶𝐵 . 𝑅𝐴 𝑆𝐴 = 1 atau 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 .
Pembuktian pernyatan kedua, atau konvers dari teorema Ceva, adalah seperti  berikut.  Andaikan 𝐴𝐿 ̅̅̅̅ dan 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅ berpotongan  di  titik 𝑃 .  Lalu, dikonstruksi  garis 𝑃𝐶 ⃡ sehingga  berpotongan  dengan 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ di 𝑁′ .  Karena 𝐴𝐿 ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅ dan 𝐶𝑁′ ̅̅̅̅̅ berpotongan  di 𝑃 ,  maka  menurut  teorema  Ceva  berlaku 𝐴𝑁′ 𝑁′𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 .  Tetapi  kita  memiliki  hubungan 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 1 .  Akibatnya diperoleh 𝐴𝑁′ 𝑁′𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 = 𝐴𝑁 𝑁𝐵 . 𝐵𝐿 𝐿𝐶 . 𝐶𝑀 𝑀𝐴 atau 𝐴𝑁 ′ 𝑁 ′ 𝐵 = 𝐴𝑁 𝑁𝐵 .  Dengan  demikian 𝑁 dan 𝑁′ berimpit. Jadi, dapat disimpulkan bahwa 𝐴𝐿 ̅̅̅̅, 𝐵𝑀 ̅̅̅̅̅, dan 𝐶𝑁 ̅̅̅̅ konkuren .
Saat  proses  pembuktian  teorema  tersebut,  dosen  sesekali  bertanya kepada  mahasiswa  untuk  mengecek  apakah  mahasiswa  dapat  mengikuti proses  pembuktian  atau  tidak.  Akhirnya,  setelah  memberi  kesempatan kepada  mahasiswa  bertanya  dan  mencatat  proses  pembuktian  di  atas, dosen  menyediakan  dan  menuliskan  dua  soal  pembuktian  sebagai  latihan soal seperti pada Gambar 3.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646

## Gambar 3. Soal-soal latihan saat pembelajaran
Soal  (1)  dijadikan  sebagai  contoh  soal  oleh  dosen,  dan  soal  (2)  sebagai latihan bagi mahasiswa. Penyelesaian soal (1) dapat dilihat pada Gambar 4. Saat menjelaskan penyelesaian soal (1) tersebut, dosen selalu menanyakan kepada  mahasiswa  pada  tiap  langkah  proses  pembuktian.  Bila  mahasiswa tidak  bisa  langsung  menjawab,  dosen  membimbing  agar  mahasiswa  bisa menjawab pertanyaannya.
Gambar 4. Penyelesaian soal latihan (1)
Untuk  soal  (2),  dosen  memberi  kesempatan  kepada  mahasiswa  untuk mengerjakan  terlebih  dahulu.  Selama  proses  mengerjakan  soal  tersebut,

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
beberapa  mahasiswa  bertanya  materi  prasyarat  untuk  menjawab  soal tersebut,  seperti  sifat  lingkaran  dalam  suatu  segitiga  dan  sifat  panjang garis  singgung  segitiga  terhadap  lingkaran.  Namun,  mengingat  waktu perkuliahan yang sudah habis, soal tersebut tidak  dibahas  di kelas, tetapi dijadikan latihan mandiri di rumah.
Dari uraian proses pembelajaran di atas, dapat dikatakan bahwa proses pembelajaran  menekankan  kepada  aspek  pembuktian  teorema  atau pernyataan-pernyataan  matematis.  Proses  dosen  dalam  menjelaskan makna teorema dan pembuktiannya sejalan dengan apa yang disampaikan oleh  Mulyati  (2000)  dan  Hudojo  (2005),  di  mana  mahasiswa  dibimbing untuk  memahami  bagian-bagian  teorema  secara  terperinci.  Ditinjau  dari aspek penalaran, maka proses ini mengembangkan penalaran yang bersifat deduktif,  sebab  dalam  proses  pembuktian  digunakan  pernyataan- pernyataan  benar  yang  dapat  dihubung-hubungkan  untuk  sampai  kepada kesimpulan  (Heit  &  Rotello,  2010;  Kusumah,  1986;  Soedjadi,  2000). Menurut  tinjauan  teori  Van  Hiele,  dengan  melihat  konten  dan  proses sepanjang  pembelajaran  berlangsung,  tampak  bahwa  mahasiswa  dilatih untuk  berpikir  pada  level  berpikir  deduksi  (Burger  &  Shaugnessy,  1986; Jupri  &  Syaodih,  2016),  di  mana  proses  melakukan  dan  menemukan pembuktian merupakan aktivitas utama sepanjang proses pembelajaran.

## 2. Analisis Hasil Tes Penerapan Teorema Ceva
Tabel  1  menyajikan  hasil  analisis  terhadap  hasil  tes  uraian  tertulis mengenai penerapan teorema Ceva dalam proses pembuktian. Soal tes yang digunakan, seperti disajikan pada Gambar 1, adalah mengenai pembuktian bahwa garis-garis tinggi dari suatu segitiga adalah konkuren .

## Tabel 1. Hasil tes penggunaan teorema Ceva pada pembuktian (N = 56)
#Benar #Salah Strategi Pembuktian Penggunaan Kesebangunan Penggunaan Trigonometri #Benar #Salah #Benar #Salah 10 46 6 43 4 3
Dari  Tabel  1  tampak  bahwa  dari  56  mahasiswa  yang  mengikuti  tes, hanya  10  mahasiswa  (17,8%)  yang  dapat  melakukan  pembuktian  dengan benar,  khususnya  dalam  menerapkan  teorema  Ceva  pada  proses pembuktian  perpotongan  garis-garis  tinggi  suatu  segitiga.  Hasil  ini menunjukkan  bahwa  meskipun  proses  pembelajaran  pada  perkuliahan geometri  menekankan  pada  aktivitas  pembuktian,  secara  umum  tidak memberi  dampak  yang  kuat  pada  kemampuan  mahasiswa  calon  guru

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
matematika  dalam  melakukan  pembuktian.  Hal  ini  berarti  bahwa  hanya sebagian  kecil  mahasiswa  (17,8%)  yang  mencapai  kemampuan  penalaran deduktif yang diharapkan.
Ditinjau  dari  strategi  pembuktian  yang  digunakan,  kami  menemukan dua  strategi  pembuktian  berbeda  yang  digunakan  mahasiswa  calon  guru matematika:  pertama,  pembuktian  dengan  menggunakan  bantuan  konsep kesebangunan;  dan  kedua,  pembuktian  dengan  menggunakan  bantuan konsep  trigonometri.  Pembuktian  dengan  bantuan  konsep  kesebangunan yang  dilakukan  mahasiswa,  setelah  ditulis  ulang,  dapat  dilihat  pada Gambar  5;  sedangkan  pembuktian  dengan  bantuan  konsep  trigonometri dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 5. Pembuktian konkurensi garis-garis tinggi segitiga dengan konsep kesebangunan
Dari 49 mahasiswa yang menggunakan bantuan konsep kesebangunan dalam  pembuktian,  hanya  6  mahasiswa  yang  benar  melakukannya. Kekeliruan  yang  dilakukan  sebagian  besar  mahasiswa  yang  lain  adalah mereka  tidak  menemukan  pasangan  segitiga-segitiga  yang  sebangun dengan  tepat.  Penggunaan  konsep  kesebangunan  dalam  proses

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
pembuktian,  untuk  kemudian  menerapkan  teorema  Ceva,  dapat  diduga merupakan dampak langsung dari penggunaan konsep kesebangunan yang dicontohkan  oleh  dosen  dalam  proses  pembelajaran.  Hal  ini  menunjukkan bahwa  mahasiswa  secara  adaptif  dan  fleksibel  dapat  menerapkan penalaran  deduktif,  yang  mereka  pelajari  saat  pembelajaran,  ke  dalam konteks  berbeda  saat  tes.  Keluwesan  berpikir  deduktif  seperti  ini merupakan hal yang perlu dicapai oleh mahasiswa calon guru matematika sebagai bekal untuk mereka di masa depan (Jupri & Herman, 2017).
Gambar 6. Pembuktian konkurensi garis-garis tinggi segitiga dengan trigonometri
Beberapa  mahasiswa,  yang  gagal  menerapkan  konsep  kesebangunan, menggunakan  konsep  perbandingan  trigonometri  untuk  membuktikan konkurensi  garis-garis  tinggi  suatu  segitiga.  Gambar  6  menyajikan  contoh jawaban  menggunakan  konsep  trigonometri  dalam  pembuktian  (ditulis ulang  dari  salah  satu  pekerjaan  mahasiswa).  Penggunaan  konsep trigonometri dalam pembuktian, meski bukan dampak langsung dari proses pembelajaran, menunjukkan bahwa mahasiswa secara luwes menggunakan aneka  kecakapan  matematika  yang  dikuasainya  dalam  pembuktian  yang menuntut  kemampuan  penalaran  deduktif.  Kemampuan  seperti  ini,  selain menunjukkan  kematangan  bernalar  secara  deduktif  juga  memperlihatkan kemampuan kreatif dan berpikir tingkat tinggi dalam pemecahan masalah (Kusumah, 1986; Soedjadi, 2000).

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646

## D. Simpulan
Dari  uraian  pada  bagian  sebelumnya,  tentang  hasil  observasi  proses pembelajaran  dan  analisis  terhadap  hasil  tes  perkuliahan  geometri  untuk calon  guru  matematika,  maka  dapat  ditarik  paling  sedikit  dua  simpulan berikut.  Pertama,  proses  pembelajaran  geometri  yang  diamati,  secara struktur  terdiri  atas  tiga  tahapan:  penjelasan  dan  pembuktian  teorema, contoh penerapan teorema pada pembuktian, serta latihan soal; sedangkan secara  substantif,  proses  pembelajaran  pada  pokok  bahasan  teorema  Ceva yang  diamati  dapat  dikatakan  menekankan  kepada  proses  pembuktian teorema  dan  penerapannya  dalam  pembuktian.  Implementasi  dari  proses pembelajaran geometri seperti itu, menurut kami, dapat dipandang sebagai upaya untuk mengembangkan penalaran deduktif mahasiswa. Kemampuan bernalar  secara  deduktif  menunjukkan  kematangan  bermatematika  dan merupakan ciri dari kemampuan berpikir tingkat tinggi. Dalam pandangan kami, meski proses pembelajaran geometri yang telah dilaksanakan sudah cukup  baik, namun  proses  pembelajaran  tersebut  tampaknya  masih  dapat ditingkatkan.  Upaya  peningkatan  mutu  proses  pembelajaran  ini  dapat dilakukan,  misalnya,  dengan  mengembangkan  aktivitas  eksploratif  yang bersifat  induktif  untuk  menghantarkan  mahasiswa  kepada  tahap  proses berpikir  deduktif  secara  lebih  bermakna.  Saran  ini,  tampaknya,  dapat diinvestigasi lebih lanjut pada penelitian mendatang.
Kedua,  dari  analisis  hasil  tes  penerapan  teorema  Ceva  dalam  proses pembuktian  ditemukan  beberapa  strategi  pembuktian  berbeda.  Strategi pembuktian  dengan  menggunakan  konsep  kesebangunan  tampaknya merupakan dampak langsung dari proses pembelajaran, sebab penggunaan konsep tersebut telah dicontohkan oleh dosen dalam pembelajaran di kelas. Hal ini bermakna bahwa mahasiswa secara luwes menggunakan wawasan dan pengalaman yang telah diperoleh saat pembelajaran untuk melakukan pembuktian  pada  konteks  berbeda  saat  tes.  Sementara  itu,  strategi pembuktian  dengan  konsep  trigonometri  menunjukkan  kematangan berpikir  deduktif  mahasiswa  yang  secara  fleksibel  menggunakan  aneka kecakapan  matematis  yang  dimiliki  untuk  melakukan  pembuktian  dalam konteks yang dibutuhkan. Untuk penelitian lebih lanjut, tampaknya  perlu diselidiki  apakah  para  mahasiswa  akan  menggunakan  strategi-strategi pembuktian yang berbeda jika dosen memberi contoh penggunaan strategi pembuktian berbeda untuk suatu teorema saat pembelajaran.

## E. Daftar Pustaka
Burger,  W.  F.,  & Shaughnessy,  J. M.  (1986).  Characterizing  the  van  Hiele levels of development in geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17 (1), 31 – 48.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Heit, E., & Rotello, C. M. (2010). Relations between inductive reasoning and deductive  reasoning. Journal  of  Experimental  Psychology:  Learning, Memory, and Cognition, 36 (3), 805 – 812.
Hershkowitz,  R.  (1998).  About  reasoning  in  geometry.  In  C.  Mammana (Ed.), Perspective on the teaching of geometry for the 21 th century (pp. 29- 36) . Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers.
Howse,  T.  D.,  &  Howse,  M.  E.  (2015).  Linking  the  Van  Hiele  theory  to instruction. Teaching Children Mathematics, 21 (5), 305 – 313. Hudojo,  H.  (2005). Pengembangan  kurikulum  dan  pembelajaran matematika . Malang: UM Press.
Jupri, A., & Syaodih, E. (2016). Between formal and informal thinking: The use of algebra for solving geometry problems from the perspective of Van Hiele  theory. Jurnal  Pengajaran  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan Alam, 21 (2), 1-7.
Jupri, A., & Herman, T. (2017). Theory and practice of mathematics teacher education: An  explorative  study  at  the  department  of  mathematics education,  Indonesia  University  of  Education.  In Proceedings  of International  Conference  on  Mathematics  and  Science  Education. Atlantis Press.
Jupri,  A.  (2017a).  From  geometry  to  algebra  and  vice  versa:  Realistic mathematics education principles for analyzing geometry tasks. In AIP Conference  Proceedings (Vol.  1830,  No.  1,  pp.  050001-1-05001-5).  AIP Publishing.
Jupri,  A.  (2017b). Investigating  primary  school  mathematics  teachers’ deductive  reasoning  ability  through  Varignon’s  theorem .  In IOP  Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 895 (2017) 012080. Jupri, A. (2019). Geometri dengan pembuktian dan  pemecahan masalah . Jakarta: Bumi Aksara
Kemdikbud (2013). Kurikulum 2013. Kompetensi Dasar: Sekolah Menengah Pertama  (SMP)/Madrasah  Tsanawiyah  (MTs) .  Jakarta:  Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Kusumah, Y. S. (1986). Logika matematika elementer . Bandung: Tarsito. Mulyati,  S.  (2000).  Cara  menguasai  konsep,  definisi,  dan  teorema  dalam geometri. Matematika: Jurnal Matematika atau Pembelajarannya, 6 (2), 79-89.
Posamentier,  A.  S.  (2002). Advanced  Euclidean  Geometry:  Excursions  for Secondary Teachers and Students. New York: Key College Publishing. Ruseffendi, E.T. (1991). Pengantar kepada membantu guru mengembangkan kompetensinya  dalam  pengajaran  matematika  untuk  meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito. Soedjadi,  R.  (2000). Kiat  pendidikan  matematika  di  Indonesia.  Konstatasi keadaan  masa  kini  menuju  harapan  masa  depan .  Jakarta:  Dirjen DIKTI Departemen Pendidikan Nasional.