PENERAPAN FUNGSI GAMMA DALAM PEMBUKTIAN 0! = 1
Amran Hapsan Dosen STKIP Pembangunan Indonesia Makassar 0852 5537 6956, E-mail : amranhapsan@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Pembuktian  0  !  =  1  dapat  dilakukan  dari  definisi  faktorial  itu  sendiri  yaitu    ! 1 n n n!   , jika masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan tersebut dibagi dengan  n  maka  kita  peroleh      n ! 1 n n n! n ! 1 n n n n!      .  Dari  persamaan  ini kita  bisa  dapatkan  0!  =  1  jika  nilai  n  diganti  dengan  1.  Dalam  jurnal  ini  akan dibahas  bagaimana  membuktikan  0!  =  1  melalui  penerapan  fungsi  gamma  yang melibatkan sifat-sifat operasi pada integral tak wajar.
Kata Kunci : Integral tertentu, integral tak wajar, fungsi gamma.

## A. PENDAHULUAN
Dalam matematika, fungsi gamma telah dikembangkan untuk menentukan sifat faktorial suatu bilangan asli n yaitu n! = 1 x 2 x 3 x ... x n. Melalui teorema fungsi gamma     ! 1    n n ini dapat digunakan untuk membuktikan 0! = 1.

## B. PEMBAHASAN

## INTEGRAL TAK TERTENTU
Permasalahan  kita  adalah  mencari  fungsi F yang  turunannya    adalah suatu  fungsi f yang  diketahui.  Jika  fungsi F yang  demikian  ada,  maka  fungsi tersebut disebut anti turunan dari fungsi f .
Definisi :  Fungsi  F  disebut antiturunan (integral tak tertentu) dari f pada suatu interval  I   jika ) ( ) ( ' ) ( x f x F x F dx d   untuk  semua x   di  dalam  I ,  yang
dinotasikan dengan   ). ( ) ( x F dx x f Contoh: 3 3 1 x x F  ) ( adalah antiturunan dari 2 x x f  ) ( , karena
). ( ) ( ' x f x x F   2
Tetapi  perhatikan  bahwa  fungsi 20 3 1 3   x x H ) ( juga  memenuhi 2 x x H  ) ( ' .
Ternyata,  sebarang  fungsi  berbentuk
C x x H   3 3 1 ) ( ,  dengan C konstanta
merupakan antiturunan dari f . Dengan demikian diperoleh . C x dx x    3 2 3 1
. ) ( C x C u      2 3 3 2 3 1 3 2 3 2
Teorema  :  Jika F antiturunan  (integral  tak  tertentu)  dari f pada    interval  I , maka  antiturunan  yang  paling  umum  adalah C x F  ) ( ,  dengan C konstanta
sebarang, dan dinotasikan dengan    . ) ( ) ( C x F dx x f

## TEKNIK PENGINTEGRALAN
Rumus-rumus  dasar  integral  tak  tertentu  yang  diberikan  di  atas  hanya dapat  digunakan  untuk  mengevaluasi  integral  dari  fungsi  sederhana  dan  tidak dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  integral  seperti   dx x x 3 2 1 3 atau
 dx xe x .  Pada  bab  ini  akan  dibahas  teknik-teknik  pengintegralan  untuk  fungsi- fungsi yang tidak sederhana.

## Integrasi substitusi
Untuk  menyelesaikan  integral  ini,  kita  dapat  melakukan  substitusi berdasarkan aturan berikut.
Aturan substitusi : Jika ) ( x g u  adalah fungsi terdiferensial dengan daerah hasil berupa selang  I  dan  f kontinu pada  I , maka    du u f dx x g x g f ) ( ) ( ' )) ( ( .
Dengan  aturan  di  atas,  maka  kita  dapat  menyelesaikan   dx x x 3 2 1 3 dengan mengambil 3 1 x u   ,  sehingga  diferensial u adalah dx x du 2 3  .  Dengan
demikian kita punyai
       du u dx x x dx x x 2 3 3 2 3 1 1 3

## Integrasi Parsial
Sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi.
Salah  satu  teknik  untuk  mengevalusai  integral  tersebut  adalah  dengan menggunakan  teknik  integrasi  bagian  demi  bagian  atau  sering  juga  digunakan istilah integral parsial.
Jika f dan g dua buah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
  ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f x g x f dx d   atau   ). ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( x f x g x g x f dx d x g x f  
Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing ruas dari persamaan ini, kita peroleh
       dx x f x g dx x g x f dx d dx x g x f ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( atau     . ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( dx x f x g x g x f dx x g x f
Persamaan  integral  ini  kita  sebut rumus  integrasi  parsial ,  yang selanjutnya  dengan  mengambil ) ( x f u  dan ) ( x g v  rumus  tersebut  dapat dituliskan dengan
    du v uv dv u .
Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut
Contoh 1: Selesaikan  dx x x sin . Penyelesaian: Pilih x u  dan dx x dv sin  , sehingga diperoleh
dx du  dan . cos sin 1 C x dx x v     
. sin cos sin cos ) cos ( ) cos ( sin 1 1 1 1 C x x x C x C x x C x x dx C x C x x dx x x                   Oleh karena itu
Pada ilustrasi di atas kita menambahkan konstanta 1 C ketika mendapatkan v dari dv . Tetapi pada akhirnya konstanta 1 C tersebut akan tereliminasi. Dengan demikian  untuk  selanjutnya  tidak  perlu  menuliskan  konstanta 1 C ketika mendapatkan v dari dv .  Yang  terkadang  membingungkan  adalah  bagaimana menentukan  bagian  mana  yang    harus  diturunkan  atau  mana  yang  diintegralkan. Untuk  menentukan  bentuk dv yang  akan  diintegralkan,  digunakan  aturan  urutan prioritas detail, yaitu
d v
e ksponensial
t rigonometri
a ljabar
i nvers trigonometri
l ogaritma
Pemilihan  bagian  yang  akan  diintegralkan  diprioritaskan  berdasarkan urutan dari atas ke bawah, sedangkan bagian yang diturunkan dari bawah ke atas.
Sebagai    contoh,  misalkan  akan  dicari  dx e x x 2 .  Pada  integran  terdapat  fungsi polinomial (aljabar) , 2 x dan fungsi eksponensial, x e .  Maka dipilih bagian untuk diintegralkan  adalah  fungsi  eksponensial,  yaitu dx e dv x  ,  dan  untuk  diturunkan tentu saja fungsi aljabar polinomial 2 x u  . Selanjutnya dapat digunakan langkah seperti dalam metode tabulasi.

## INTEGRAL TERTENTU
Sifat-sifat integral tertentu :
1. 0   a a dx x f ) ( . 2. dx x f dx x f a b b a     ) ( ) ( .
3. ) ( a b c dx c b a    , dengan c konstanta sembarang
4.       b a b a b a dx x g dx x f dx x g dx x f )] ( ) ( )] ( ) ( [ . 5.    b a b a dx x f c dx x cf ) ( ) ( , dengan c konstanta sembarang. 6.      b a b c c a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( . Contoh 2 : Tentukan . ) ( 4 1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1          dx dx x dx x

## INTEGRAL TAK WAJAR
Jika f terintegral pada [ a , b ] maka  b a dx x f ) ( disebut improper integral jika :
(i).    Batas pengintegralannya  tak hingga, atau
(ii). f mempunyai ketakkontinuan tak terhingga di [ a , b ]
Contoh: Hitung   1 2 1 dx x .
Penyelesaian
  1 2 1 dx x = 1 1 1 lim 1 lim 1 lim 1 1 2                     
       t x dx x t t t t t

## FUNGSI GAMMA
Fungsi Gamma yang dinyatakan oleh   n  didefinisikan sebagai
        0 1 du e u n u n .
Fungsi gamma ini yang dapat dipandang sebagai suatu fungsi dari bilangan n, memenuhi beberapa hubungan yang mengagumkan, antara lain:
     n n n     1
Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut:
 
           p u n u n du e u du e u n p 0 0 lim 1

##     
  n n du e u n p u n p p du u e n u n p e n p p p du n nu u e p u e n u p           
                                0 1 lim 0 1 lim 0 1 0 lim Terbukti bahwa     n n n     1 .      ! 1    n n
Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut:
 
          1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 lim lim                                                 n n du e u n du e u du e u n u n p u n u n n p du u e n u n p n u u e p p
Dengan rumus berulang ini, jika  bilangan bulat dan n    0 , maka
       du e u n n n n u n           0 1 ... 2 1  
Khususnya, jika n sebuah bilangan bulat positif, kita miliki
     du e n n n u        0 1 . 2 . 3 ... 2 1 Dan karena 1 0     du e u , akhirnya diperoleh
       ! 1 1 . 2 . 3 ... 2 1       n n n n
Karena alasan ini maka   n  kadang-kadang disebut fungsi faktorial.
   ! 1 n n   
Hubungan tersebut kita buktikan sebagai berikut.
  1 1 lim lim 0 0 0 1 1 1                            p e p p p u u u du e du e du e u Misalkan n = 1, 2, 3, ....dalam     n n n     1 . Maka     1 1 1 2     ,     ! 2 1 2 2 2 3       ,     ! 3 ! 2 3 3 3 4       .Terbukti bahwa   ! 1 n n    .   ! 0 1 1    (Terbukti)

## C. DAFTAR PUSTAKA
Stewart, James. 1998. ”Kalkulus”, Jilid 1 edisi 4, Erlangga. Leithold. 2000. ’Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik , Jilid 2 , Erlangga, 2000
Purcell  J.E  &  Dale  Varberg.1984. ”Kalkulus  dan  Geometri  Analitik, Jilid  1, Erlangga.