## MODEL MATEMATIKA KOMENSALISME ANTARA DUA SPESIES DENGAN SUMBER TERBATAS

## Friska Erlina, Yuni Yulida, Faisal
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani. Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan Email: friska_erlina12@yahoo.com

## ABSTRACT
ABSTRACT. Commensalism term used to describe the symbiotic relationship, one organism to eat foods that are not exploited by others. In a commensalism model, population is divided into two subpopulations: the subpopulation of commensal species and the subpopulation of host species. This model is one of them describes the relationship between who is remora fish and shark, which the remora fish as commensal species or species that benefit from the presence of host species, while the shark as host species or species who  does not get a profit or loss. In commensal species food sources and places to live are limited in the host species. Commensalism model  of two species is a differential equation system first order nonlinear. One way to determine the solution to use a numerical approach. This study aims to explain the formation of a commensalism model between the two species, determine the equilibrium and stability of the system in equilibrium, determine the solution of the model using numerical approach and create simulation model.
Commensalism   model  two  species   can  be  written    as   follows:
2 1 11 1 1 11 1 11 1 2 dN a N K a N a CN N dt = − + 2 2 22 2 2 22 2 dN a N K a N dt = −
In the model there are four commensalism equilibrium point is (0, 0), ( K 1 , 0), (0, K 2 ) and ( K 1 + CK 2 , K 2 ). The stability of the system at the equilibrium point at commensalism models is (0, 0) unstable and type of equilibrium point is a node point, ( K 1 , 0) and (0, K 2 ) unstable and type of equilibrium point is a saddle point, and ( K 1 + CK 2 , K 2 ) is asymptotically stable and type of equilibrium point is a node point. Solution approach to the variation t (time) to N 1 (a subpopulation of commensal species) and N 2 (a subpopulation of host species) in the commensalism model two species can be calculated numerically using the Runge-Kutta method fourth order  for the   initial value  and  some parameter values are  known.
Key  words : two species  commensalism model, equilibrium point, stability, Runge-Kutta fourth order method.

## 1. PENDAHULUAN
Komensalisme berarti “bersama-sama pada satu meja”. Istilah ini digunakan untuk menggambarkan hubungan simbiosis, yaitu satu organisme memakan makanan yang tidak dimanfaatkan oleh yang lain. Hubungan antara remora dengan ikan hiu merupakan contoh yang khas. Sirip dorsal remora berubah menjadi alat pengisap yang dipakai untuk melekatkan diri pada ikan hiu. Ikan hiu tersebut tidak merasa terganggu oleh hal ini, dan tidak mencoba
memangsa remora. Bila ikan hiu makan, remora dapat menangkap sisa-sisa makanan ikan hiu tersebut [9]
Pada model komensalisme populasi dibagi menjadi dua subpopulasi, yaitu subpopulasi spesies komensal dan subpopulasi spesies inang. Model ini salah satunya menggambarkan hubungan antara ikan remora dan ikan hiu, dimana ikan remora sebagai spesies komensal atau spesies yang diuntungkan dengan kehadiran spesies inang, sedangkan ikan hiu sebagai spesies inang atau spesies yang tidak mendapatkan kuntungan atau kerugian. Pada spesies komensal sumber makanan dan tempat tinggalnya terbatas pada spesies inang. Model komensalisme dua spesies ini merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Solusi eksak sistem persamaan diferensial nonlinier dapat juga ditentukan dengan menggunakan pendekatan numeric. [11]

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang digunakan bersifat studi literatur.  Prosedur  yang digunakan dalam penelitian ini adalah mengumpulkan dan mengkaji  bahan-bahan yang berkaitan dengan penelitian, menentukan asumsi-asumsi yang sesuai untuk model, menjelaskan terbentuknya  model,  menentukan titik ekuilibrium model, menentukan kestabilan titik ekuilibrium pada model , menentukan solusi numerik, membuat simulasi sistem dengan beberapa parameter  dan membuat kesimpulan penelitian.

## 3. TINJAUAN PUSTAKA

## 3.1 Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial biasa untuk orde satu dapat ditulis sebagai berikut:
) , ( y x f dx dy = (1)
dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel yang tidak bebas dan ) , ( y x f dapat berupa fungsi linier maupun nonlinier [8]

## 3.2 Sistem Persamaan Diferensial NonLinier
Bentuk sistem persamaan diferensial nonlinier orde-1  adalah  sebagai berikut:
) , , , , ( ) , , , , ( ) , , , , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n x x x t f dt dx x x x t f dt dx x x x t f dt dx     = = = (2)
n merupakan fungsi dari x 1 (t),…,x n (t) sehingga dx j (t) / dt = ( ) 1 , ( ), , ( ) j n f t x t x t  , j = 1,2,…, n .
Persamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut: 𝑑𝑑𝒙𝒙 𝑑𝑑𝑡𝑡 = f ( t , x ) (3)
dengan 𝒙𝒙 = P ( ) n x x x , , , 2 1  ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛 dan f = ( ) n n R f f f ∈ , , , 2 1  [6]

## 3.3 Model Lotka-Volterra Dua Spesies
Model Lotka-Volterra dimodelkan  oleh Alfred J. Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1926. Model ini sering digunakan untuk menggambarkan dinamika sistem biologis dengan dua spesies berinteraksi, satu pemangsa dan satu mangsa. Model ini menggambarkan evolusi pemangsa dan mangsa pada populasi ikan di laut Adriatik.
Pada model ini, X 1 dinyatakan sebagai populasi mangsa dan X 2 dinyatakan sebagai populasi pemangsa.  Diasumsikan bahwa tidak ada persaingan antar individu dalam spesies, maka laju pertumbuhan dari populasi mangsa yaitu
1 1 dX a X dt = . Nilai a > 0 karena populasi mangsa mempunyai persediaan makanan berlebihan dan karena itu jumlah mangsa bertambah banyak. Kehadiran pemangsa memungkinkan terjadinya kerugian bagi populasi mangsa yang menyebabkan laju pertumbuhan populasi mangsa menurun, sehingga dapat dinyatakan sebagai
1 2 1 dX a bX X dt = − . Laju pertumbuhan populasi pemangsa juga akan menurun tanpa hadirnya populasi mangsa karena populasi pemangsa tidak mempunyai persediaan makanan (mangsa), yang dituliskan dalam bentuk 2 2 dX c X dt = − . Kehadiran mangsa akan menyebabkan laju pertumbuhan populasi pemangsa meningkat yaitu
2 1 2 dX c dX X dt = − + . Berdasarkan asumsi di atas, maka model mangsa-pemangsa
Lotka-Volterra dapat diberikan sebagai berikut :
1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) dX a bX X dt dX
c dX X dt = − = − +
(4)
dengan a, b, c, d > 0 [2]

## 3.4 Titik Ekuilibrium dan Kestabilan Sistem
Definisi 3.4.1 [7] Titik 𝒙𝒙� ∈ R n disebut titik kesetimbangan (titik ekuilibrium)  persamaan (3) jika 𝒇𝒇 ( 𝑡𝑡 , 𝒙𝒙� ) = 𝟎𝟎 .
Matriks Jacobian persamaan (3) untuk dua peubah di titik ekuilibrium ( 𝒙𝒙� ) adalah sebagai berikut:
𝐽𝐽 ( 𝒙𝒙� ) = 𝐽𝐽 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 ˆ ˆ ( , ) f f x x x x f f x x ∂ ∂     ∂ ∂   = ∂ ∂     ∂ ∂   (5)
[4]
Berikut diberikan tabel stabilitas sistem linier untuk menentukan kestabilan sistem di titik ekuilibrium dan tipe titik ekuilibrium.
Tabel 1. Stabilitas Sistem Linier [13] Nilai eigen Tipe Titik Ekuilibrium Stabilitas 1 2 0 λ λ > >
Simpul
Tidak stabil 1 2 0 λ λ < < Simpul Stabil asimtotik 1 2 0 λ λ < < Sadel Tidak stabil 1 2 , a ib λ λ = ± 0 a > 0 a < Spiral Tidak stabil
Stabil asimtotik
1 2 , ib λ λ = ± (Pure Imajiner)
Center Stabil tetapi tidak stabil asimtotik

## 3.5  Metode Runge-Kutta Orde Empat
Penyelesaian persamaan diferensial biasa  dengan metode Runge-Kutta orde empat adalah proses mencari nilai fungsi y(x) pada titik x tertentu dari persamaan diferensial biasa ( , ) dy f x y dx = yang diketahui dengan menggunakan persamaan umum :
y n+1 = y n + h/6 [ k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ]
(6) dimana : n    = 0,1, 2, 3, 4, ….. k 1 = f (x n , y n ) k 2 = f (x n + ½ h, y n + ½ h.k 1 ) k 3 = f (x n + ½ h, y n + ½ h.k 2 ) k 4 = f (x n + h, y n + h. k 3 )
Langkah pertama: Penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan metode Runge-Kutta orde empat adalah mencari nilai h dan mencari nilai k 1 , k 2 , k 3 , dan k 4, dimana k 1 , k 2 , k 3 , dan k 4 merupakan slope.
Langkah kedua: Melakukan iterasi untuk mencari nilai y n+1 dengan persamaan (6) [10]

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Komensalisme Dua Spesies dengan Sumber Terbatas Adapun asumsi-asumsi yang akan digunakan adalah sebagai berikut:
1.  Subpopulasi spesies komensal dan subpopulasi spesies inang merupakan spesies yang berbeda.
2.  Tanpa adanya kompetisi, maka laju pertumbuhan subpopulasi  spesies komensal maupun spesies inang akan tumbuh secara logistik.
3.  Pada subpopulasi spesies komensal sumber makanan dan tempat tinggal terbatas pada subpopulasi spesies inang, sehingga menyebabkan terjadi interaksi antara spesies komensal dan spesies inang.
4.  Subpopulasi spesies komensal akan mendapatkan keuntungan berupa makanan dari spesies inang.
5.  Subpopulasi spesies inang tidak mendapatkan keuntungan atau kerugian dari kehadiran spesies komensal.
Dari asumsi-asumsi dan uraian di atas,  dapat dibentuk model
Komensalisme sebagai berikut:
2 1 11 1 1 11 1 11 1 2 dN a N K a N a CN N dt = − + 2 2 22 2 2 22 2 dN a N K a N dt = − (7)
dimana a 11 ( Laju pertumbuhan alami subpopulasi spesies komensal terhadap waktu t ), a 22 (Laju pertumbuhan alami subpopulasi spesies inang terhadap waktu t ), K 1 (Kapasitas batas subpopulasi spesies komensal), K 2 (Kapasitas batas subpopulasi spesies inang), C (Koefisien komensalisme).
4.2 Titik Ekuilibrium dan Kestabilan Model Titik  ekuilibrium pada model komensalisme persamaan (7) harus
memenuhi kondisi 1 0 dN dt = dan 2 0 dN dt = , sehingga diperoleh:
1 11 1 11 1 11 2 ( ) 0 N a K a N a CN − + = 2 22 2 22 2 ( ) 0 N a K a N − = (8)
Pada  model  komensalisme  diperoleh 4 titik ekuilibrium: E 1 = (0, 0), E 2 = ( K 1 , 0), E 3 = (0, K 2 ) dan E 4 = ( K 1 + CK 2 , K 2 ).
. Kestabilan model melalui linierisasi menggunakan matrik Jacobian. Dari

## Persamaan (7) diperoleh matrik Jacobian sebagai berikut
1 2 1 2 F F N N J G G N N ∂ ∂     ∂ ∂   = ∂ ∂     ∂ ∂   1 11 1 12 2 12 1 2 22 2 2 0 2 a a N a N a N a a N − +   =   −   (9)

## 1. Kestabilan untuk Titik Ekuilibrium (0, 0)
Matriks Jacobian di titik ekuilibrium E 1 = ( N 1 , N 2 ) = (0, 0) diperoleh dengan mensubsitusikan N 1 = 0 dan N 2 = 0 ke dalam persamaan (9), yaitu J ( E 1 ) dapat diperoleh sebagai berikut:
1 1 2 0 ( ) 0 a J E a   =     (10)
Persamaan karakteristik dari persamaan (10) yaitu:
1 ( ) 0 J E I λ − = 1 2 ( )( ) 0 a a λ λ ⇔ − − = (11)
dari persamaan (11) diperoleh λ 1 = a 1 , dengan a 1 > 0 sehingga λ 1 > 0 atau λ 2 = a 2 , dengan a 2 > 0 sehingga λ 2 > 0. Berdasarkan tabel 1, maka sistem tidak stabil di titik ekuilibrium (0, 0) karena λ 1 dan λ 2 keduanya bernilai positif dan tipe titik ekuilibriumnya adalah titik simpul.
2. Kestabilan untuk Titik Ekuilibrium ( K 1 , 0) Matriks Jacobian di titik ekuilibrium E 2 = ( N 1 , N 2 ) = ( K 1 , 0) diperoleh dengan mensubsitusikan N 1 = K 1 dan N 2 = 0 ke dalam persamaan (9), yaitu J ( E 2 ) dapat diperoleh sebagai berikut:
1 11 1 12 1 2 2 2 ( ) 0 a a K a K J E a −   =     (12)
Persamaan karakteristik dari persamaan (12) yaitu:
2 ( ) 0 J E I λ − = 1 11 1 2 ( 2 )( ) 0 a a K a λ λ ⇔ − − − = (13)
dari persamaan (13) diperoleh: λ 1 = – a 1 , dengan a 1 > 0 sehingga  λ 1 < 0 atau λ 2 = a 2 , dengan a 2 > 0 sehingga λ 2 > 0 . Berdasarkan tabel 1, maka sistem tidak stabil di titik ekuilibrium ( K 1 ,  0)  karena  salah satu  dari  λ 1 atau  λ 2 bernilai positif  yaitu λ 1 < 0 dan  λ 2 > 0 dan  tipe titik ekuilibriumnya adalah titik sadel.

## 3. Kestabilan untuk Titik Ekuilibrium (0, K 2 )
Matriks Jacobian di titik ekuilibrium E 3 = ( N 1 , N 2 ) = (0, K 2 ) diperoleh dengan mensubsitusikan N 1 = 0 dan N 2 = K 2 ke dalam persamaan (9), yaitu J ( E 3 ) dapat diperoleh sebagai berikut:
1 12 2 3 2 22 2 0 ( ) 0 2 a a K J E a a K +   =   −   (14)
Persamaan karakteristik dari persamaan (14) yaitu:
3 ( ) 0 J E I λ − = 1 12 2 2 22 2 ( )( 2 ) 0 a a K a a K λ λ ⇔ + − − − = (15)
dari persamaan (15) diperoleh: λ 1 = a 1 + a 12 K 2 , dengan a 1 , a 12 dan K 2 > 0 sehingga λ 1 > 0 atau λ 2 =  – a 2, dengan a 2 > 0 sehingga λ 2 < 0. Berdasarkan tabel 1, maka sistem tidak stabil di titik ekuilibrium           (0, K 2 ) karena salah satu dari λ 1 atau λ 2 bernilai positif yaitu λ 1 > 0 dan  λ 2 <  0 dan tipe titik ekuilibriumnya adalah titik sadel.
4. Kestabilan Sistem di Titik Ekuilibrium ( K 1 + CK 2 , K 2 )
Matriks Jacobian di titik ekuilibrium E 4 = ( N 1 , N 2 ) = ( K 1 + CK 2 , K 2 ) diperoleh dengan mensubsitusikan N 1 = K 1 + CK 2 dan N 2 = K 2 ke  dalam persamaan (9), yaitu J ( E 4 ) dapat diperoleh sebagai berikut:
1 11 1 11 2 12 2 12 1 12 2 4 2 22 2 2 2 ( ) 0 2 a a K a CK a K a K a CK J E a a K − − + +
  =   −   (16)
Persamaan karakteristik dari persamaan (16) yaitu:
4 ( ) 0 J E I λ − = 1 11 1 11 2 12 2 2 22 2 ( 2 2 )( 2 ) 0 a a K a CK a K a a K λ λ ⇔ − − + − − − = (17)
dari  persamaan (17) diperoleh: λ 1 =   – a 1 – a 12 K 2 , dengan a 1, a 12 dan K 2 > 0 sehingga λ 1 < 0 atau λ 2 =  – a 2, dengan a 2 > 0 sehingga λ 2 < 0. Berdasarkan tabel 1, maka sistem stabil asimtotik di titik ekuilibrium    ( K 1 + CK 2 , K 2 ) karena λ 1 dan λ 2 bernilai negatif dan tipe titik ekuilibriumnya adalah titik simpul.

## 4.3 Solusi Numerik Model Komensalisme Menggunakan Metode Runge- Kutta Orde Empat
Dengan mensubsitusikan nilai 1 1 11 , a K a = 2 2 22 a K a = dan 12 11 a C a = ke
persamaan (7), sehingga diperoleh:
2 1 1 1 11 1 12 1 2 dN a N a N a N N dt = − + 2 2 2 2 22 2 dN a N a N dt = − (18)
Solusi pendekatan dengan variasi t (waktu) terhadap N 1 (subpopulasi spesies komensal) dan N 2 (subpopulasi spesies inang) pada model komensalisme di interval [0,5] untuk 10 contoh kejadian dapat dihitung secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk nilai awal dan beberapa nilai parameter a 1 , a 2 , a 11 , a 22 , dan a 12 yang ditunjukkan pada tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 2. Nilai awal dan parameter untuk 10 kejadian
Kejadian a 1 a 11 a 12 a 2 a 22 N 1 (t= 0) N 2 (t= 0) 1. 1.5 0.05 0.02 1.7 0.007 2 1 2. 1.35 0.02 0.002 1.9 0.02 2 1 3. 2.3 0.04 0.1 2.5 0.05 3 1 4. 2.5 0.6 0.005 1.5 0.3 2 1 5. 1 0.007 0.003 2.25 0.03 3 1 6. 2 0.1 0.007 1.3 0.08 2 1 7. 1.2 0.009 0.0002 0.8 0.006 3 1 8. 0.25 0.004 0.05 0.75 0.003 2 1 9. 1 0.9 0.7 1.5 0.5 2 1 10. 2.5 0.32 0.0006 2 0.15 2 1

## Solusi Numerik untuk Kejadian 1
Misalkan nilai awal N 1 (0) = 2 dan N 2 (0) = 1 untuk t = 0 sampai t = 5 dan beberapa nilai parameter a 1 = 1.5, a 11 =0.05, a 12 = 0.02, a 2 = 1.7 dan a 22 = 0.007 Substitusikan nilai parameter di atas pada persamaan (18), sehingga diperoleh:
2 1 1 1 2 1 1 1 2 ( , , ) 1.5 0.05 0.02 dN f t N N N N N N
dt = = − + 2 2 2 1 2 2 2 ( , , ) 1.7 0.007 dN f t N N N N dt = = − (19)
Pada interval [0, 5] menggunakan ukuran langkah h =  0.1  dan    jumlah  iterasi n = (interval (2) – interval (1)) / h = (5 – 0) / 0.1 = 50.
Penyelesaian: Iterasi 1 :
Untuk memperoleh solusi dari sistem persamaan (19) adalah dengan menentukan nilai k 1 pada awal interval pada saat t = t 0 = 0: 1,1 1 (0, 2,1) 3 k f = = 1,2 2 (0, 2,1) 2 k f = =
Kemudian menentukan nilai N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) pada titik tengah dari  nilai k 1 pada saat t = t 0 + h /2 = 0 + 0.1/2 = 0.05:
1 1 1,1 (0.1) (0.05) (0) . 2 3 2 2 2 h N N k = + = + =
2 2 1,2 (0.1) (0.05) (0) . 1 2 1 2 2 h N N k = + = + =
Gunakan nilai N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) di atas untuk menentukan nilai k 2 pada  saat t = t 0 + h /2 = 0 + 0.1/2 = 0.05 :
2,1 1 (0.05, 2,1) 3 k f = = 2,2 2 (0.05, 2,1) 2 k f = =
Nilai di atas digunakan untuk menentukan nilai N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) pada titik tengah dari k 2 pada saat t = t 0 + h /2 = 0 + 0.1/2 = 0.05 :
1 1 2,1 (0.1) (0.05) (0) . 2 3 2 2 2 h N N k = + = + = 2 2 2,2
(0.1) (0.05) (0) . 1 2 1 2 2 h N N k = + = + =
Gunakan nilai N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) di atas untuk menentukan nilai k 3 pada saat t = t 0 + h /2 = 0 + 0.1/2 = 0.05 :
3,1 1 (0.05, 2,1) 3 k f = = 3,2 2 (0.05, 2,1) 2 k f = =
Nilai di atas digunakan untuk menentukan nilai N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) dari k 3 pada saat t = t 0 + h = 0.1: 1 1 3,1 (0.1) (0) . 2 3(0.1) 2 N N k h = + = + = 2 2 3,2 (0.1) (0) . 1 2(0.1) 1 N N k h = + = + =
Gunakan nilai N 1 ( t ) dan N 2 ( t ) di atas untuk menentukan nilai k 4 pada akhir interval pada saat t = t 0 + h = 0.1:
4,1 1 (0.1, 2,1) 3 k f = = 4,2 2 (0.1, 2,1) 2 k f = =
Solusi numerik sistem persamaan (19) pada saat t = t 0 + h = 0.1 pada kejadian1:
1 1 1,1 2,1 3,1 4,1 (0.1) (0) [ 2 2 ] 6 h N N k k k k = + + + + 0.1 2 [3 2(3) 2(3) 3] 6 = + + + + 2 = 2 2 1,2 2,2 3,2 4,2 (0.1) (0) [ 2 2 ] 6 h
N N k k k k = + + + + 0.1 1 [2 2(2) 2(2) 2] 6 = + + + + 1

## =
Selanjutnya solusi numerik variasi t terhadap N 1 dan N 2 untuk 50 iterasi diperlihatkan pada tabel 3 berikut ini:

## Tabel 3. Solusi numerik kejadian 1
t N 1 N 2 t N 1 N 2 t N 1 N 2 0 2 1 1.7 17 17 3.4 72 139
0.1 2 1 1.8 18 20 3.5 77 149 0.2 3 1 1.9 20 23 3.6 82 158 0.3 3 2 2.0 22 27 3.7 86 168 0.4 3 2 2.1 25 31 3.8 91 176 0.5 4 2 2.2 27 36 3.9 95 184 0.6 5 3 2.3 29 42 4.0 99 191 0.7 5 3 2.4 32 48 4.1 103 198 0.8 6 4 2.5 35 55 4.2 106 204 0.9 6 5 2.6 38 62 4.3 109 209 1.0 7 5 2.7 41 70 4.4 111 214 1.1 8 6 2.8 45 79 4.5 113 218 1.2 9 7 2.9 49 88 4.6 115 221 1.3 10 8 3.0 53
98 4.7 117 224 1.4 12 10 3.1 57
108 4.8 118 227 1.5 13 12 3.2 62
118 4.9 119 229 1.6 15 14 3.3 66
128 5.0 121 231

## 4.5  Simulasi Sistem
Variasi t (waktu) terhadap subpopulasi spesies komensal ( N 1 ) dan subpopulasi spesies inang ( N 2 ) dari persamaan (7) untuk 10 contoh kejadian yang solusi numeriknya telah diperoleh, dapat digambarkan dalam bentuk grafik dengan melakukan simulasi pada sistem tersebut dengan menggunakan nilai awal dan beberapa nilai parameter a 1 , a 2 , a 11 , a 22 , dan a 12 seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.
Simulasi untuk Kejadian 1:
Misalkan jumlah subpopulasi spesies komensal (ikan remora) dan  jumlah subpopulasi spesies inang (ikan hiu) pada saat t = 0 dinyatakan sebagai berikut: N 1 (0) = 2 ekor dan N 2 (0) = 1 ekor dan beberapa nilai  parameter a 1 =  1.5, a 11 =0.05, a 12 = 0.02, a 2 = 1.7 dan a 22 = 0.007. Simulasi parameter dapat di lihat pada grafik di bawah ini:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 50 100 150 200 250 Other Case time (t) N 1 dan N 2 ← t=1.6836, N1=N2=16.3846 N1 N2
Gambar 1. Simulasi untuk kejadian 1
Pada gambar 1, awalnya pertumbuhan subpopulasi spesies komensal (ikan remora) lebih meningkat dibandingkan pertumbuhan subpopulasi spesies inang (ikan hiu), sampai pada saat t = 1.6836 jumlah subpopulasi spesies komensal (ikan remora) dan subpopulasi  spesies  inang  (ikan  hiu)  sama. Setelah t = 1.6836,  pertumbuhan subpopulasi spesies inang (ikan hiu) mengalami peningkatan melebihi pertumbuhan subpopulasi spesies komensal (ikan remora). Hal ini terjadi karena terbatasnya jumlah konsumsi yang diperoleh subpopulasi spesies komensal (ikan remora) dari subpopulasi spesies inang (ikan hiu).

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1]    Anton, H. 1994. Aljabar Linier Elementer, Edisi kelima. Erlangga. Jakarta.
[2]    Arrowsmith, D.K., & Place, C.M. 1992. Dynamical Systems Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour. Chapman & Hall Mathematics. London.
[3]    Baigent, S. 2010. Lotka-Volterra Dynamics . http://www.ucl.ac.uk/~ucess 29/LTCC_LV2010.pdf
[4]     Bellomo,  N. & Preziosi L. 1995. Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation. CRC Press. Florida.
[5]     Borrelli, R.L. 1996. Differential Equations A modeling Perspective, Preliminary Edition. Published Simultaneously. Canada.
[6]     Braun, M. 1992. Differential Equation and Their Applications-Fourth Edition. Springer-Verlag. New York.
[7]    Engwerda, J., dkk. 2005. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. LTD. England.
[8]    Farlow, S.J. 1994. Differential  Equations and Their Applications. Dover Publications. United States of America.
[9]     Kimball, J.W. 1999. Biologi Jilid 3 Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta.
[10] Munif, A., dkk.1995. Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik. Guna Widya. Surabaya
[11]  Phanikumar. 2011. A two species commensalism model with limited resources- a numerical approach. ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences VOL. 6,No.2,February 2011.
[12]  Ross,  S. L. 1984. Differential Equation-Third Edition. Jhon Wiley & Sons,Inc. New York.
[13]    Steven, C. 2005. Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientist. Mc Graw-Hill International Edition. United States of America.