## Analisis Proses Pemahaman Relasional Mahasiswa Ditinjau dari Kesulitan dalam Menyelesaikan Soal Induksi Matematika
Umi Dristian 1  , Abd Qohar 2 , I Made Sulandra 3 , Lathiful Anwar 4
1, 2,3.4 S2 Pendidikan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang Jl. Semarang No.5, Malang , Indonesia umidristian21@email.com

## Abstract
Understanding  is  an  understanding  of  the  procedures  or  concepts  used  to  solve  problems  and  knowing  the reasons  for  using  these  procedures  or  concepts.  Solving  math  induction  problems  requires  a  better  relational understanding because students often experience difficulties in the proof process. Therefore, the purpose of this study  is  to  analyze  and  describe  the  process  of  students'  relational  understanding  in  terms  of  difficulties  in solving  mathematical  induction  problems.  This  research  approach  is  descriptive  qualitative.  The  research subjects were students of mathematics education at State University of Malang. The research instruments used were test questions and interview guidelines. The results of the study concluded that students already have a good relational understanding, this is evidenced by the answers in working on math induction questions. The subject is able to carry out the procedure as a whole well in both the base and induction steps and get the right answers. However, in working on the test questions, the subject still experienced difficulties in the induction step,  especially  in  proving  the  n=k+1  assumption  to  be  true.  This  was  confirmed  by  the  subject  through interviews, that the subject experienced difficulties in the induction step. In addition, the subject also said that there  were  several  factors  that  caused  difficulties  in  working  on  induction  questions  including  a  lack  of understanding  of  questions  and  mastery  of  prerequisite  materials  such  as  weak  induction,  arithmetic  series, algebra,  fractions  and  exponents.  However,  overall,  the  subject's  relational  understanding  is  good,  because  it can explain the procedure and the reasons for using it in solving mathematical induction problems.
Keywords: Mathematical induction, difficulty, Relational understanding

## Abstrak
Pemahaman adalah pemahaman mengenai prosedur atau konsep yang digunakan untuk menyelesaikan soal serta mengetahui alasan menggunkan prosedur atau konsep tersebut. Dalam menyelesaikan soal induksi matematika membutuhkan pemahaman relasional yang lebih baik  karena seringkali mahasiswa mengalami kesulitan dalam proses pembuktian. Oleh sebab itu tujuan penelitian ini menganalisis dan mendeskripsikan proses pemahaman relasional  mahasiswa  ditinjau  dari  kesulitan  dalam  menyelesaikan  soal  induksi  matematika.  Pendekatan penelitian  ini  adalah  kualitatif  deskriptif.  Subjek  penelitian  adalah  mahasiswa  pendidikan  matematika Universitas  Negeri  Malang.  Instrumen  penelitian  yang  digunakan  berupa  soal  tes  dan  pedoman  wawancara. Hasil  penelitian  menyimpulkan  bahwa  mahasiswa  sudah  memiliki  pemahaman  relasional  dengan  baik,  hal  ini dibuktikan  dengan  jawaban  dalam  mengerjakan  soal  induksi  matematika.  Subjek  mampu  melakukan  prosedur secara  keseluruhan  dengan  baik  pada  langkah  basis  maupun  langkah  induksi  dan  memperoleh  jawaban  yang tepat.  Namun  dalam  mengerjakan  soal  tes  subjek  masih  mengalami  kesulitan  pada  langkah  induksi,  terutama dalam  membuktikan  asumsi 𝑛 = 𝑘 + 1 benar.  Hal  ini  dikonfirmasi  subjek  melalui  wawancara,  bahwa  subjek mengalami kesulitan pada langkah induksi. Selain itu subjek juga mengatakan bahwa ada beberapa faktor yang menyebabkan  terjadi  kesulitan  dalam  mengerjakan  soal  induksi  diantaranya  kurangnya  pemahaman  akan  soal dan  penguasaan  materi  prasyarat  seperti  induksi  lemah,  deret  aritmetika,  aljabar,  pecahan  maupun  bentuk pangkat.  Namun  demikian  secara  keseluruhan  pemahaman  relasional  subjek  baik,  karena  dapat  menjelaskan prosedur beserta alasan menggunkannya dalam menyelesaikan soal induksi matematika.
Kata kunci: Induksi matematika, kesulitan, pemahaman relasional
Copyright (c) 2023 Umi Dristian, Abd Qodar, I Mode Sulandra, Lathiful Anwar  Corresponding author: Umi Dristian Email Address: umidristian21@gmail.com (Jl. Keben 2 Timur No 16, Malang) Received 17 April 2023, Accepted 01 May 2023, Published 05 May 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i2.2416

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  ilmu  pengetahuan  yang  tersusun  secara  deduktif  aksiomatik  yang artinya  bahwa  matematika diawali dengan  istilah  yang  belum didefinisikan (Utomo &  Huda,  2020) .
Temuan  istilah  seperti  sifat  dan  prinsip  dalam  matematika  tidak  semuanya  diperoleh  melalui pemikiran deduktif  melainkan  juga  melalui  proses  pemikiran  induktif  yang  berdasarkan  pada pengalaman yang dimiliki, namun untuk proses pembuktian kebenaran tetap menggunakan pemikiran deduktif (Suratno,  2020). Sebagai  sebuah  ilmu  yang  terstruktur  matematika disusun  dari  pernyataan dasar  yang  disebut  aksioma  atau  postulat  dan  disusun  kembali  menjadi  sebuah  teorema  akan dibuktikan  dengan  proses  pemikiran  deduktif  sehingga  dapat  diterima  dan  berlaku  secara  umum (Akmaliyah, 2021). Salah satu materi berdiri sebagai sebuah aksioma adalah induksi matematika yang merupakan  sebuah  metode  pembuktian  matematis  yang  diperkenalkan  kepada  siswa  pada  jenjang sekolah menengah atas dan mahasiswa (Firmasari & Sulaiman, 2019). Induksi matematika merupakan materi  yang  bergubungan  dengan  sifat-sifat  dasar  pada  bilangan  asli.  Mahasiswa  seringkali mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal induksi matematika.
Kesulitan  dalam  menyelesaikan  soal  induksi  matematika  merupakan  suatu  kesukaran matematika  yang  meliputi  banyak  hal  salah  satunya  kemampuan  kognitif  mahasiswa.  Menurut Hassan,  (2016)  penyebab  kesulitan  matematika  adalah  kesalahan  hitung,  prosedur  pengerjaan  yang keliru dan pemahaman yang kurang. Kesulitan yang dialami mahasiswa tersebut harus segera diatasi, hal  ini  dikarenakan  materi  induksi  matematika  adalah  salah  materi  yang  menggunakan  pembuktian dasar  yang  harus  dipahami  sejak  awal,  karena  prinsip  pembuktian  ini  akan  digunakan  pada  mata kuliah  selanjutnya  (Hassan,  2016).  Oleh  sebab  itu  mahasiswa  perlu  membekali  diri  dengan kemampuan memahami materi yang lebih baik. Mengetahui kesulitan yang dialami mahasiswa dalam menyelesaikan  soal  induksi  matematika  merupakan  salah  satu  upaya  untuk  dapat  melihat  proses pemahaman  relasional  mahasiswa  (Pitriani  &  Afriansyah,  2017).  Skemp  (1978)  mengartikan pemahaman  relasional  adalah  pemahaman  akan  prosedur  yang  digunakan  beserta  alasan menggunakan  prosedur.  Pemahaman  relasional  sangat  diperlukan  saat  menggunakan  pembuktian dengan  induksi matematika.  Hal  ini  sejalan  dengan yang  dikemukan  (Utomo & Huda,  2020)  bahwa pemahaman  relasional  yang  terjadi  proses  pembuktian  dengan  induksi  matematika  merupakan pemahaman akan prosedur yang digunakan serta alasan menggunakan prosedur tersebut.
Pemahaman  relasional  yang  dimiliki  mahasiswa  dapat  membantu  untuk  mengaitkan  antara konsep  akan  temukan  dengan  konsep  yang  telah  diketahui  sebelumnya,  kemudian  mahasiswa  dapat menjelaskan  karakteristik  kedua  konsep  tersebut  (Agustini  &  Endah,  2022).  Mengingat  pentingnya pemahaman  relasional  bagi  mahasiswa,  maka  diharapkan  mahasiswa  terus  belajar  untuk mengembangkan pemahaman relasional agar dapat mengerti materi yang diajarkan (Utomo & Huda, 2020).  Pemahamanan  relasional  memiliki  beberapa  indikator  yang  dijadikan  sebagai  tolak  ukur  dan penilian untuk mendekripsikan bagaimana pemahaman relasional yang dimiliki oleh mahasiswa.
Menurut  Douglas  &  Davis,  (2015)  terdapat  dua  kategori  pemahaman  relasional  mahasiswa yaitu kategori prosedural dan konsepstual. Setiap kategori terdapat beberapa indikator yang menjadi tolak  ukur  untuk  mendeskripsikan  pamahaman  relasional  mahasiswa. Kedua  kategori  yang  tersebut akan  digunakan  pada  penelitian  ini,  kategori  prosedural  yang  digunakan  terdiri  dari  duat  indikator
yaitu: (1) kemampuan melakukan prosedur secara keseluruhan dan (2) kelancaran dalam melakukan prosedur.  Sedangkan  kategori  konseptual  yang  digunakan  terdiri  dari  dua  indikator  yaitu:  (1) memperoleh  hasil  yang  tepat  dan  (2)  memiliki  pengetahuan  prasyarat  yang  dibutuhkan  dalam melakukan prosedur.
Penelitian  mengenai  pemahaman  relasional  pernah  dilakukan  oleh  Haryandi & Reni, (2022) menyimpulkan  bahwa  siswa  dengan  pemahaman  relasional  yang  baik  bisa  menyelesaikan  masalah menggunakan konsep yang tepat dan mengetahui alasan menggunkan konsep serta bisa menjelaskan setiap  langkah-langkah  yang  digunakan  pada  penyelesaian  masalah.  Penilitian  dengan  topik  yang berkaitan juga dilakukan oleh Taufik, (2016) menyimpulkan bahwa mahasiswa mengalami kesulitan yang  dialami  mahasiswa  dengan  pembuktian  induksi  matematika  terjadi  pada  saat  memanipulasi bentuk aljabar untuk membuktikan kebenaran dari hipotesis induksi, kesulitan yang dialami tepatnya pada langkah induksi. Proses pembuktian diawali dengan menuliskan informasi penting terdapat pada soal,  kemudian  membuat  asumsi  dan  pernyataan  yang  akan  dibuktikan.  Setelah itu  mahasiswa  yang membuktikan kebenaran dari hipotesis induksi yang dibuat yaitu 𝑃(𝑘 + 1) , dengan mengansumsikan 𝑃(𝑘) benar.
Berdasarkan  hasil  penelitian  terdahulu  dapat  disimpulkan  bahwa  pentingnya  memiliki pemahaman  relasional  dalam  belajar  matematika  baik  bagi  siswa  maupun  mahasiswa.  Dalam pembelajaran  matematika  tidak  hanya  dituntut  mengetahui  sebuah  konsep  tetapi  juga  harus mengetahui  alasan  menggunakan  konsep  dan  dapat  menjelaskannya  dengan  tepat.  Berdasarkan pemaparan latar belakang di atas, rumusan masalah penelitian ini yaitu bagaimana proses pemahaman relasional mahasiswa ditinjau dari kesulitan dalam menyelesaikan soal induksi matematika dan tujuan penelitian  untuk  menganalisis  dan  mendeskripsikan  pemahaman  relasional  mahasiswa  ditinjau  dari kesulitan dalam menyelesaikan soal induksi matematika.

## METODE
Penelitian ini menggunkan pendekatan kualitatif deskriptif. Penelitian ini lebih memfokuskan pada  proses  menyelesaikan  soal  dengan  melihat  sifat  realita  serta  hubungan  timbal  balik  peneliti dengan subjek,  (Drew, dkk., 2017). Adapun langkah-langkah dalam mengumpulkan data terdiri dari dua  tahapan  yaitu:  (1)  tahap  perencanaan,  merupakan  tahap  peneliti  mempersiapkan  segala  segala sesuatu  yang  berkaitan  dengan  penelitian  seperti  menentukan  lokasi  penelitian,  menghubungi  dosen pendidikan  matematika  yang  mengampu  mata  kuliah  matematika  diskrit  dan  menentukan  jadwal penelitian  dan  (2)  tahap  pelaksanaan  tindakan,  dilaksanakan  sesuai  dengan  tempat  dan  jadwal penelitian  yang  telah  ditentukan,  pada  tahap  ini  peneliti  melaksanakan  penelitian  di  kelas  dengan mengajarkan  materi  induksi  matematika,  kemudian  peneliti  membuat  soal  tes  yang  akan  diberikan kepada  subjek  penelitian  untuk  dikerjakan,  kemudian  jawaban  siswa  dianalisis  terlebih  dahulu  dan dideskripsikan kemudian dilakukan wawancara dengan subjek penelitian.
Tempat pengambilan data dilakukan di Universitas  Negeri Malang dengan subjek penelitian dua  orang  mahasiswa  program  studi  pendidikan  matematika  semester  tiga.  Pemilihan  subjek menggunakan teknik non-random purposive sampling yang berdasarkan pada ketentuan bahwa setiap subjek  harus  memenuhi  kriteria  berikut:  (1)  Subjek  bersedia  mengikuti  penelitian  dan  (2)  subjek bersedia  memberikan  pendapat  terkait  hal-hal  yang  ditanyakan  penelitian.  Pertimbangan  dalam pemilihan  kedua  subjek  juga  berdasarkan  aktivitas  subjek  pada  proses  perkuliahan  berlangsung. Subjek  S1  diambil  dari  kategori  mahasiswa  yang  aktif  dan  mampu  merepresentasikan  pengetahuan yang  dimiliki  kepada  mahasiswa  lain.  Sedangkan  subjek  S2  diambil  dari  kategori  mahasiswa  yang kurang  aktif  dalam  proses  perkuliahan  di  kelas.  Dari  kedua  subjek,  peneliti  ingin  mengetahui bagaimana  proses  pemahaman  ralasional  yang  dialami  serta  kesulitan  subjek  dalam  menyelesaikan soal-soal induksi matematika.
Tahap  analisis  pada  penelitian  ini  terdiri  dari  reduksi  data,  penyajian  data,  dan  penarikan kesimpulan.  Pada  tahap  reduksi  data  peneliti  memilih  dua  jawaban  subjek  yang  akan  dianalisis. Kemudian  dilakukan  wawancara  kepada  kedua  subjek  untuk  mengkonfirmasi  preoses  pemahaman yang dialami dan kesulitan dalam menyelesaikan soal induksi berdasarkan langkah basis dan langkah induksi.  Jawaban  kedua  subjek  ditampilkan  dalam  bentuk  gambar  dan  dideskripsikan  berdasarkan indikator  pemahaman  relasional  yang  ditinjau  dari  kesulitan  dalam  menyelesaikan  soal  induksi matematika.  Setiap  pekerjaan  subjek  disertai  dengan  cuplikan  wawancara.  Tahap  penarikan kesimpulan dilakukan peneliti untuk menginterpretasi setiap jawaban subjek dan cuplikan wawancara berdasarkan mengenai kesulitan dalam menyelesaikan soal induksi matematika.

## HASIL DAN DISKUSI
Berdasarkan jawaban subjek menyelesaikan soal induksi matematika yang diamati pada setiap indikator  pemahaman  relasional  diperoleh  informasi  bahwa  kedua  subjek  yang  dipilih  memiliki pemahaman  relasional  yang  baik.  Namun  masih  ada  beberapa  prosedur  penyelesaian  yang  kurang lengkap.  Subjek  mengalami  beberapa  kesulitan  menyelesaikan  soal,  hal  ini  diketahui  berdasarkan jawaban  dan  didukung  dengan  hasil  wawancara.  Jawaban  kedua  subjek  kemudian  ditampilkan  dan didekripsikan  berdasarkan  tahapan  penyelesaian.  Berikut  jawaban  S1  dalam  menyelesaikan  soal nomor satu seperti pada Gambar 1.
Berdasarkan  jawaban  yang  ditulis  S1  pada  indikator  kemampuan  melakukan  prosedur  secara keseluruhan dan memperoleh hasil yang tepat. Disimpulkan pada soal nomor 1, S1 dapat melakukan prosedur induksi matematika dengan tepat. Pembuktian pada soal nomor 1 terdapat dua langkah yang digunakan  yaitu  langkah  basis  dan  langkah  induksi.  Pada  langkah  basis  subjek  S1  mampu membuktikan  bahwa 𝑛 = 1 berlaku  untuk 𝑛 3 + 2𝑛 habis  dibagi 3 ,  dan  pada  langkah  induksi  S1 mengansumsikan  benar  untuk 𝑛 = 𝑘 .  Kemudian  S1  bisa  membuktikan  bahwa 𝑛 = 𝑘 + 1 benar dengan  menggunkan  asumsi 𝑛 = 𝑘, sehingga  terbukti 𝑛 3 + 2𝑛 dapat  dibagi 3 untuk  semua 𝑛 ∈ 𝑁 .Kemudian setelah membuktikan soal nomor 1 benar, S1 melanjutkan pembuktian ke soal nomor 2
dan diperoleh jawaban seperti pada Gambar 2.
Gambar 1 Jawaban Soal Nomor 1 oleh S1
Gambar 2 Jawaban Soal Nomor 2 oleh S1
Berdasarkan  jawaban  di  atas  membuktikan  bahwa  pada  indikator  kemampuan  melakukan prosedur secara keseluruhan dan memperoleh hasil yang tepat dapat dilakukan dengan baik oleh  S1. S1  melakukan  prosedur  induksi  matematika  dengan  tepat  dalam  mengerjakan  soal  nomor  2. Pembuktian  soal  nomor  2,  S1  menggunakan  dua  langkah  yaitu  langkah  basis  dan  langkah  induksi. Pada  langkah  basis  S1  membuktikan  bahwa  bilangan  bulat  positif 𝑛 ≥ 1 bernilai  benar  jika disubstitusikan  pada 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 .  Prosedur  yang  digunakan  S1  dalam  menjawab  soal  yaitu  dengan mengansumsikan 𝑆(1), 𝑆(2), 𝑆(3) benar untuk langkah basis. Sehingga diperoleh hasil 1 untuk S(1), 5 untuk S(2) dan 14 untuk S(3). Dari hasil yang diperoleh kemudian S1 menuliskan dalam bentuk 𝑢 1 ,
S1  dapat  membuktikan langkah basis benar dengan 𝑆(1) dapat dibagi 3 S1  mengansumsikan 𝑆(𝑛) benar dan membuktikan 𝑆(𝑛 + 1) dapat dibagi 3 S1  dapat  membuktikan langkah basis benar untuk 𝑆(1) habis  dibagi 6 S1 mengansumsikan 𝑆(𝑛) benar dan membuktikan 𝑆(𝑛 + 1) habis dibagi 6
𝑢 2 dan 𝑢 3 .  Sehingga  memperoleh  nilai 𝑆(1) = 𝑢 1 , S(2) =   𝑢 1 + 𝑢 2 sehingga  diperoleh 5 =  1 + 𝑢 2 , dari persamaan tersebut ditemukan 𝑢 2 = 4 = 2 2 . Dengan cara yang sama subjek S1 juga menemukan 𝑢 3 = 9 = 3 2 .
Langkah  induksi  memerlukan  proses  berpikir  dan  pemahaman  yang  lebih  baik  untuk menemukan  ide-ide  yang  kemudian  disusun  untuk  menemukan  pembuktian  yang  benar  untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 (Taufik,  2016).  Pada  langkah  induksi  subjek  S1  mengawali  dengan  membuat  asumsi 𝑛 = 𝑘 benar, sehingga diperoleh persamaan yang dituliskan dalam bentuk 1 + 4 + ⋯ + 𝑘 2 = 𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1) 6 . Pada  langkah  basis  belum  terlalu  mengalami  kesulitan  karena  pada  langkah  ini  subjek  hanya mensubstitusikan 𝑛 = 1 benar untuk persamaan yang ada pada soal. Setelah itu S1 melanjutkan pada tahap  berikutnya  yaitu  mengansumsikan  benar  untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 ,  dan  diperoleh  persamaan 1 + 4 + ⋯ + 𝑘 2 + (𝑘 + 1) 2 = (𝑘+1)((𝑘+1)+1)(2(𝑘+1)+1) 6 .  Dari  pembuktian  tersebut  dapat  disimpulkan  bahwa bilangan  bulat  positif 𝑛 ≥ 1 bernilai  benar  jika  disubstitusikan  pada 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 . Jawaban  yang ditemukan  oleh  S1  sudah  tepat,  namun  dalam  proses  menemukan  jawaban  tersebut  S1  mengalami beberapa  kesulitan  diantaranya  kesulitan  dalam  memanipulasi  bentuk  ajabar  dan  melakukan perhitungan,  hal  ini  diungkapan  S1  dalam  wawancara  yang  dilakukan.  Berdasarkan  jawaban  S1 membuktikan bahwa subjek mampu melakukan prosedur secara keseluruhan baik pada langkah basis dan langkah induksi sehingga memperoleh hasil yang tepat. Kemudian peneliti melakukan wawancara dengan S1 untuk mengetahui pemahaman pada indikator kelancaran dalam melakukan prosedur serta kesulitan dalam menyelesaikan soal, berikut hasil wawancara dengan S1.
P :  Apakah ada kesulitan yang kamu alami saat mengerjakan soal nomor 1 dan nomor 2?
S1 :  Iya  bu  ada,  yaitu  pada  langkah  induksi,  sering  kali  saya  kesulitan  dalam membuktikan kebenaran dari ruang kiri dan kanan.
P :  Apakah tingkat kesulitan pada nomor 1 dan 2 sama atau berbeda?
S1 :  Berbeda  bu,  menurut  saya  yang  lebih  sulit  adalah  soal  nomor  2  karena bentuknya  pecahan  dan  saya  bingung  saat  memanipulasi  bentuk  aljabar pada  langkah  induksi.  Sedangkan  pada  soal  nomor  1  saya  tidak  terlalu mengalami kesulitan.
Berdasarkan  hasil  wawancara  dapat  disimpulkan  bahwa  S1  mengalami  kesulitan  pada  soal nomor 1 dan nomor 2, S1 mengatakan kesulitan terjadi pada langkah induksi. S1 mengalami kesulitan saat membuktikan ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama. Selain itu S1 juga mengalami kesulitan saat memamipulasi  bentuk  aljabar  pada  langkah  induksi.  S1  mengatakan  bahwa  soal  nomor  1  dan  2 memiliki  tingkat  kesulitan  yang  berbeda.  Soal  nomor  2  dianggap  lebih  sulit  dari  pada  nomor  1. Kesulitan  yang  dialami  mahasiswa  saat  menyelesaikan  soal  induksi  matematika  seringkali  terdapat pada  pemahaman  konsep  dan  prosedur  pada  langkah  induksi  (Ardiawan,  2016). Dan  juga  bisa
disebabkan  karena  kurangnya  pemahaman  siswa  mengenai  materi  prasyarat  yang  dibutuhkan  dalam menyelesaikan  soal  induksi  matematika.  Hal  ini  diungkapkan  subjek  melalui  wawancara  yang dilakukan,  berikut  adalah  cuuplikan  wawancara  langsung  peneliti  dengan  S1  mengenai  indikator memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan prosedur.
\
Berdasarkan hasil wawancara yang dilakukan peneliti dengan S1 diperoleh informasi bahwa S1 perlu untuk menguasai materi prasyarat dalam menyelesaiakan soal induksi matematika. Adapun materi prasyarat yang harus dikuasai yaitu operasi bilangan bulat, prosedur induksi dan pengetahuan tentang  induksi  lemah.  Jawaban  jawaban  S2  dalam  menyelesaikan  soal  nomor  1  dapat  dilihat  pada Gambar 3.

## Gambar 3 Jawaban Soal Nomor 1 oleh S2
Jawaban  S2  pada  soal  nomor  1  membuktikan  bahwa  indikator  kemampuan  melakukan prosedur  secara  keseluruhan  dan  memperoleh  hasil  yang  tepat  dapat  dikuasai  oelh  subjek.  S2 melakukan  perrhitungan  dengan  tepat  sehingga  menghasilkan  jawaban  yang  benar.  Tahapan  yang dilakukan  S2  saat  mengerjakan  soal  nomor  satu  diawali  dengan  langkah  basis.  Pada  langkah  basis disoal nomor satu. S2 membuktikan bahwa 𝑆(𝑛 0 ) benar, dengan mensubstitusikan 𝑛 0 = 1 dan 𝑛 1 = 2 sehingga  diperoleh 𝑆(1) = 1 3 + 2(1) = 3 dan  untuk 𝑆(2) = 1 3 + 2(2) diperoleh 𝑆(2) = 12 .  Hasil tersebut  bernilai  benar  untuk 𝑛 3 + 2𝑛 habis  dibagi 3. Kemudian  pada  langkah  induksi  subjek  S2 mengasumsikan  benar  untuk 𝑆(𝑛 0 ), 𝑆(𝑛 0 + 1), … 𝑆(𝑘) .  Selain  itu  subjek  S2  juga  mengansumsikan
P :  Apakah  dalam  menyelesaikan  soal  kamu  membutuhkan  materi  prasyarat yang harus dikuasai?
S1 :  Iya Bu, benar sekali
P :  Jelaskan  materi  prasayarat  apa  saja  yang  harus  dikuasai  untuk menyelesaikan soal nomor 1 dan nomor 2?
S1 :  Seperti  materi  operasi  bilangan  bulat,  prosedur  induksi  dan  pengetahuan tentang induksi lemah, karena pada soal nomor 1 dan 2 merupakan induksi kuat.
benar  untuk 𝑆(𝑘 + 1) dan  diperoleh  hasil (𝑘 3 + 2𝑘) + 3(𝑘 2 + 𝑘 + 1) terbukti  benar.  Karena diasumsikan  benar  untuk (𝑘 3 + 2𝑘) ,  maka 3(𝑘 2 + 𝑘 + 1) juga  benar  dan  habis  dibagi  3  sehingga 𝑛 3 + 2𝑛 terbukti  benar  habis  dibagi  3.  Selain  itu  jawaban  S2  mengerjakan  soal  nomor  2  juga membuktikan bahwa subjek menguasai indikator kemampuan melakukan prosedur secara keseluruhan dan  memperoleh  hasil  yang  tepat  dapat.  Jawaban  S2  soal  nomor  2  yang  dituliskan  oleh  S2  dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4 Jawaban Soal Nomor 2 oleh S2
Berdasarkan  jawaban  S2  mengerjakan  soal  nomor  dua  diperoleh  informasi  bahwa  S2 melakukan prosedur pengerjaan yang tepat. Ada dua langkah yang digunakan S2 dalam mengerjakan soal  nomor  2  yaitu  langkah  basis  dan  langkah  induksi.  Pada  langkah  basis  subjek  mengansumsikan benar  untuk 𝑛 = 1 sehingga 𝑆(1), 𝑆(2) disubstitusikan  ke 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 , memperoleh 𝑆(1) = 1 , 𝑆(2) = 5 . Karena S merupakan simbol dari deret sehingga S2 memisalkan 𝑢 1 sebagai suku ke-1 dan 𝑢 2 suku  ke-2.  Dengan  mensubstitusikan 𝑆(2) = 5 dan 𝑢 1 = 1, dengan  demikian  diperoleh 𝑆(2) = 𝑢 1 + 𝑢 2 .  Kemudian 𝑢 1 = 1 disubstitusikan  sehingga  didapat 𝑢 2 = 4 .  Pada  langkah  induksi  S2 mengansumsikan 𝑛 = 𝑘 benar  dan  diperoleh 𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1) 6 juga  bernilai  benar.  Kemudian  S2 membuktikan 𝑛 = 𝑘 + 1 dan diperoleh (𝑘+1)((𝑘+1)+1)((𝑘+1)+1) 6 benar. Dengan demikian disimpulkan bahwa 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 untuk 𝑛 ≥ 1 adalah bilangan bulat terbukti benar.
Berdasarkan  jawaban  S2  pada  soal  nomor  1  dan  nomor  2  membuktikan  bahwa  S2  mampu melakukan  prosedur  secara  keseluruhan  baik  pada  prosedur  basis  dan  prosedur  induksi,  sehingga memperoleh  hasil  yang  tepat.  Sedangkan  untuk  mengetahui  apakah  subjek  mengalami  kelancaran dalam melakukan prosedur saat mengerjakan soal nomor 1 dan nomor 2, maka dilakukan wawancara dengan S2.
P :  Apakah dalam menyelesaikan soal nomor 1 dan 2 kamu mengalami kesulitan?
S2 :  Iya bu, saya mengalami
P :  Pada langkah apakah kamu mengalami kesulitan?
S1 dapat membuktikan langkah  basis benar untuk 𝑆(1) habis dibagi 6 Pada langkah induksi S2 mengansumsikan
𝑆(𝑛) benar  dan membuktikan 𝑆(𝑛 + 1) habis dibagi 6
S2 :  Saya  mengalami  kesulitan  pada  langkah  induksi,  terkadang  binggung  ketika memanipulasi bentuk aljabar dari pernyataan agar bernilai benar.
P :  Apakah tingkat kesulitan pada no 1 dan 2 sama atau berbeda?
S2 :  Iya ka, yang lebih sulit itu no 2, karena pada pembuktian n = k + 1 , terkadang saya bingung cara membuktikan ruas kiri atau kanan bias sama dan juga bentuk soalnya pecahan jadi saya jadi membuat saya kesulitan untuk membuktikkannya. Sedangkan nomor 1 saya hampir tidak mengalami kesulitan.
Berdasarkan  jawaban  subjek  S2  pada  soal  nomor  1  dan  soal  nomor  2  terbukti  bahwa kemampuan  dalam  melakukan  pembuktian  matematis  secara  keseluruhan  dapat  dilakukan  dengan baik. Seperti pada langkah basis maupun induksi. Selain itu juga S1 bisa menjelaskan jawaban yang ditulis. Hal ini menunjukkan bahwa S2 memiliki pemahaman relasional baik. Selain itu kesulitan yang dialami subjek S2 dalam mengerjakan soal nomor 1 dan dua tidak terlalu banyak, sehingga S2 dapat menemukan  jawaban  yang  tepat.  Berdasarkan  jawaban  S1  dan  S2  menyimpulkan  bahwa  subjek memahami  maksud  soal  dengan  benar  dan  dapat  melakukan  perhitungan  dengan  tepat  serta  bisa menjelaskan  alasan  menggunakan  konsep  atau  prosedur  dalam  perhitungan.  Dengan  demikian pemahaman yang dimiliki S1 dan S2 disebut sebagi pemahaman relasional (Sidik, 2016). Pemahaman relasional  dapat  mengembangkan  kemampuan  dalam  matematika  seperti  kemampuan  pemahaman konsep  matematika  dengan  benar,  kemampuan  menggunakan  prinsip  atau  konsep  matematika, kemampuan  melihat  masalah  secara  keseluruhan  dan  kemampuan  induktif  mahasiswa  (Abdullah  & Fita, 2021).
Namun  demikian  dalam  mengerjakan  soal induksi matematika  subjek juga  harus  menguasai materi  dasar  tentang  induksi  matematika.  Materi  dasar  yang  harus  dikuasai  merupakan  materi prasyarat  yang  dibutuhkan  dalam  melakukan  prosedur  saat  menyelesaikan  soal  induksi.  Hal  ini diungkapkan subjek pada saat wawancara dengan peneliti.
P :  Apakah  dibutuhkan  pengetahuan  mengenai  materi  prasyarat  dalam menyelesaikan soal induksi?
S2 :  Iya bu, membutuhkan
P :  Jelaskan  pengetahuan  prasayarat  apa  yang  perlu  miliki  untuk  menyelesaikan soal no 1 dan 2?
S2 :  Pengetahuan  prasyarat  yang  harus  dikuasai  yaitu  materi  deret  aritmetika, bentuk  aljabar,  operasi  perpangkatan,  materi  pecahan.  prosedur  induksi  dan pengetahuan tentang induksi lemah.
Dari hasil wawancara dengan S2, dalam menyelesaikan soal induksi matematika pada nomor 1 dan nomor 2, subjek membutuhkan pemahaman mengenai materi prasyarat. S2 menjelaskan bahwa materi  prasyarat  yang  perlu  dikuasai  yaitu  materi  deret  aritmetika,  operasi  perpangkatan,  materi pecahan dan pengetahuan tentang materi induksi lemah. Hal ini dibutuhkan karena seringkali subjek
mangalami  kesulitan  saat  membuktikan  kebenaran  pada  langkah  induksi.  Kesulitan  yang  sering dialami  subjek  yaitu  memanipulasi  aljabar,  menghitung  nilai  dari  suatu  operasi  dan  kesulitan  dalam memindahkan  konstanta  maupun  variabel  dari  satu  langkah  ke  langkah  berikutnya  (Ilhamuddin  & Ernawati,  2020).  Subjek  mengalami  kesulitan  karena  kurang  memahami  prsyarat  dengan  baik sehingga  diperlukan  pemahaman  yang  lebih  mengenai  materi  prasyarat  dalam  mempelajarai  materi induksi  matematika  (Albania,  dkk.,  2022) . Namun  demikian  subjek  bisa  menjelaskan  bagaimana langkah  dalam  menyelesaikan  soal  induksi  dan  bahkan  bisa  memberikan  penjelasan  mengenai kesulitan  yang  dihadapi  dalam  menjawab  soal,  hal  ini  yang  disebut  sebagai  pemahaman  relasional. Subjek  perlu  meningkatkan  pemahaman  relasional  agar  bisa  lebih  memahami  maksud  soal  dan  bisa menemukan jawaban yang tepat.
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan mengenai analisis proses pemahaman relasional mahasiswa  ditinjau  dari  kesulitan  dalam  menyelesaikan  soal  induksi  matematika.  Kesulitan  yang dihadapi siswa pada setiap indikator pemahaman relasional dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Kesulitan Siswa pada Indikator Pemahaman Relasional
Indikator Kesulitan yang dihadapi Kemampuan  melakukan  prosedur secara keseluruhan Subjek kesulitan dalam menggunakan konsep matematika  lainnya,  yaitu  konsep  perpangkatan  dan konsep pecahan Kelancaran dalam melakukan prosedur Subjek kesulitan untuk memanipulasi aljabar, melakukan  perhitungan,  dan  memindahkan  konstanta serta variabel dari langkah satu ke langkah berikutnya. Memperoleh hasil yang tepat Subjek  sering  lupa  menuliskan  kesimpulan  dari  setiap langkah  dan  subjek  kesulitan  dalam  membuktikan kebenaran pada langkah induksi Pengetahuan mengenai materi prasyarat Subjek  kesulitan  dalam  mengingat  kembali  materi prasyarat seperti materi deret aritmetika, bentuk aljabar, operasi perpangkatan, materi pecahan. prosedur induksi dan pengetahuan tentang induksi lemah.
Dalam  upaya  meningkatkan  pemahaman  relasional  dan  mengatasi  kesulitan  dalam menyelesaikan  soal  induksi,  mahasiswa  harus  lebih  sering  berlatih  mengerjakan  soal-soal  induksi matematika. Agar pemahaman relasional mahasiswa dapat terus berkembang. Mengingat pemahaman relasional  merupakan  pemahaman  yang  menuntut  mahasiswa  agar  dapat  menjelaskan  alasan menggunakan  konsep  matematika.  Selain  itu  pemahaman  relasional  berkaitan  dengan  kemampuan dalam  pembuktian  seperti  induksi  matematika,  karena  merupakan  dasar  untuk  beberapa mata  kuliah bidang matematika (Sulaiman & Siska, 2016).

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  di  telah  dijelaskan  dapat  disimpulkan  bahwa  subjek penelitian sudah memiliki pemahaman relasioanal dengan baik. Hal ini terbukti terbukti dari jawaban S1  dan  S2  yang  sudah  bisa  menggunakan  pembuktian  dengan  induksi  matematika  dengan  baik  dan
sudah mampu  membuktikan  sebuah  asumsi  bernilai  benar  baik  pada  langkah  basis maupun  langkah induksi. Namun pada pada langkah induksi S1 maupun S2 mengalami beberapa kesulitan. Kesulitan yang  dialami  S1  dan  S2  terjadi  saat  membuktikan  suatu  asumsi 𝑛 = 𝑘 + 1 bernilai  benar  ketika disubstitusikan  ke  soal  nomor  1  maupun  soal  nomor  2.  Selin  itu  kesulitan  juga  terjadi  saat memanipulasi bentuk aljabar untuk menyamakan ruas kiri dan ruas kanan. Namun secara keseluruhan pada indikator kemampuan melakukan prosedur secara keseluruhan dan memperoleh hasil yang tepat dapat dilakukan dengan baik oleh S1 dan S2.
Sedangkan  untuk  indikator  kelancaran  melakukan  prosedur  dan  indikator  memiliki pengetahuan prasyarat yang dibutuhkan dalam melakukan prosedur subjek juga mengalami beberapa kesulitan. Hal ini berdasarkan hasil wawancara yang dilakukan peneliti dengan S1 dan S2. Dari hasil wawancara menyimpulkan bahwa S1 dan  S2 mengalami beberapa kesulitan dalam pembuktian pada langkah  induksi.  S1  maupun  S2  mengatakan  bahwa  soal  nomor  1  dan  nomor  2  memiliki  tingkat kesulitan yang berbeda. Soal nomor dua dianggap sulit oleh subjek S1 maupun subjek S2 kerena pada soal  nomor  2  mengguakan  bentuk  pecahan  sehingga  menyulitkan  pada  saat  pembuktian  dilangkah induksi. Saat mengerjakan soal nomor 1, subjek hampir tidak mengalami kesulitan pada langkah basis maupun langkah induksi.
Subjek S1 dan subjek S2 juga mengatakan bahwa mereka harus memiliki pengetahuan yang lain sebagi pengetahuan prasyarat dalam menyelesaikan soal induksi. Karena pada soal nomor 1 dan 2 merupakan  materi  induksi  kuat,  sehingga  mereka  perlu  mempelajari  menguasai  materi  prasyarat seperti induksi lemah, deret aritmetika, bentuk pecahan dan operasi aljabar agar memudahkan untuk menjawab soal.  Oleh sebab  itu  dalam mempelajari materi mengenai induksi mahasiswa  tidak hanya berfokus  pada  satu  materi  melainkan  harus  bisa  menghubungkan  dan  mencari  relasi  antara  materi- materi yang lainya.
Harapan  peneliti  bagi  peneliti  berikutnya  agar  dapat  menemukan  solusi  untuk  mengatasi kesulitan  yang  dihadapi  siswa  maupun  mahasiswa  dalam  mempelajari  materi  induksi.  Peneliti  juga mengharapkan agar penelitian ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca sebagai referensi maupun perbandingan  untuk  penelitian  selanjutnya.  Tentunya  penelitian  yang  berkaitan  dengan  topik pemahaman  relasional  mahasiswa  dalam  menyelesaikan  soal  induksi  matematika.  Sehingga  dapat menciptakan inovasi-inovasi yang menarik dalam dalam mengatasi kesulitan belajar terutama belajar matematika. Dengan demikian akan tercipta ilmuan-ilmuan yang berkualitas dan berintegritas dengan tetap memperhatikan kaidah dalam melalukan suatu penelitian.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Dr.  Abd  Qohar,  selaku  penulis  kedua,  I  Made Sulandra,  selaku  penulis  ketiga  dan  Lathiful  Anwar  selaku  penulis  keempat  yang  dengan  setia bekerjasama  dan  mendampingi  proses  penulisan  jurnal  ini  sehingga  dapat  diselesaikan  dengan  tepat waktu.

## REFERENSI
Abdullah,  A.  A.,  &  Fita,  N.  (2021).  Effectiveness  of  Contextual  Teaching  and  Learning  on  The Ability to Mathematical Relational Understanding in Junior High School. Jurnal Mathematics Education Learning And Teaching, 10 (2), 198–205.
Agustini,  A.,  &  Endah,  B.  R  (2022).  Profil  Berpikir  Relasional  Siswa  Sma  Dalam  Memecahkan Masalah  Matematika  Ditinjau  Dari  Gaya  Belajar  Auditor. Jurnal  Ilmiah  Pendidikan Matematika , 11(3), 794–811.
Akmaliyah, M. (2021). Analisis Kemampuan Pembuktian Matematis Mahasiswa Melalui Pendekatan Deduktif  Pada  Mata  Kuliah  Geometri. Jurnal  Pendidikan  Guru  Matematika , 53 (9),  1689– 1699.
Albania,  I.,  Reka,  I.  K.,  &  Rizky,  R.  (2022).  Analisis  Kesulitan  Siswa  Dalam  Menyelesaikan  Soal Induksi Matematika. Jurnal Program Studi Pendidikan Matematika, 11(4), 3777-3789.
Ardiawan, Y. (2015). Analisis kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan soal induksi matematika di IKIP PGRI Pontianak. Jurnal Pendidikan Informatika dan Sains , 4(1), 147-163
Atiqoh, K. S. N., & M, H. (2021). Miskonsepsi Mahasiswa pada Induksi Matematika Menggunakan Certainty of Response Index (CRI). Jurnal Padegogik , 4 (2), 43–51.
Douglas,  A.,  &  Davis,  M.  R.  (2015).  Understanding  student  satisfaction  and  dissatisfaction:  An interpretive study in the UK Higher Education Context. Studies in Higher Education, 40 (2), 329-349.
Drew,  Clifford,  Michael,  Hardman,  &  John,  Hosp,  (2017).  Penelitian  Pendidikan  Merancang  dan Melaksanakan Penelitian pada Bidang Pendidikan. Jakarta : PT. Indeks.
Firmasari, S., & Sulaiman, H. (2019). Kemampuan Pembuktian Matematis Mahasiswa Menggunakan Induksi  Matematika. Journal  of Medives :  Journal  of  Mathematics  Education  IKIP  Veteran Semarang , 3 (1), 1–9.
Haryadi,  R.,  &  Reni,  A.  (2022).  Analisis  Kesulitan  Mahasiswa  dalam  Menyelesaikan  Soal Pemahaman Matematis pada Mata Kuliah Teori Peluang. Jurnal Pendidikan dan Matematika,
11(2), 218-227.
Hafiz,  M.,  &  Khamida,  S.  N.  A.  (2021).  Miskonsepsi  Mahasiswa  pada  Induksi  Matematika Menggunakan Certainty of Response Index (CRI). Jurnal Padegogik, 4(2), 43-51.
Ilhamuddin., & Ernawati. (2020). Deskripsi Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Matematika Pokok  Bahasan  Induksi  Matematika.  Jurnal  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika , 9(2), 80-91.
Johan, S., & Albi, A. (2018). Metodologi penelitian kualitatif . Sukabumi: CV Jejak (Jejak Publisher).
Kurniawan,  A.  T.  H.,  &  Rudhito,  M.  A.  (2016).  Kemampuan  Berpikir  Relasional  Siswa  dalam Mengerjakan  Soal  Kontekstual  dengan  Pendekatan  Realistik  Pada  Topik  Fungsi Linear. PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika, 622-632
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics .
Pitriani,  R.,  &  Afriansyah,  E.  A.  (2017).  Persepsi  dalam  Pembelajaran  Pendekatan  Keterampilan Proses terhadap Kemampuan Koneksi Matematis Siswa. Jurnal Gantang, 1(2), 15-24.
Sidik,  G.  S.  (2016).  Analisis  Proses  Berpikir  Dalam  Pemahaman  Matematis  Siswa  Sekolah  Dasar Dengan Pemberian Scaffolding. Jurnal Pendidikan Sekolah Dasar , 2 (2), 192–204.
Skemp,  R.  R  (2006). Relational  Understanding  and  Instrumental  Understanding.  Journal  Nayional Council of Teachers of Mathemati cs (NCTM), 12(2), 88-95.
Sulaiman  &  Siska.  (2019).  Kemampuan  Pembuktian  Matematis  Mahasiswa  Menggunakan  Induksi Matematika. Journal of Medives, 3(1).
Taufik,  A.  (2016).  Diagnosis  Kesulitan  Mahasiswa  di  Universitas  Kuningan  dalam  Pembuktian Menggunakan  Induksi Matematika  Beserta  Upaya  Mengatasinya Menggunakan Scaffolding. Jurnal Edukasi Dan Sains Matematika, 2(1), 42-54
Utomo, D. P., & Huda, M. (2020). Pemahaman Relasional Analisis Proses Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika. Bildung , 01 (01), 1–65.