KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU 𝑪[𝒂, 𝒃]
Firdaus Ubaidillah 1 , Soeparna Darmawijaya, Ch. Rini Indrati
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: firdaus_u@yahoo.com

## ABSTRAK
Diberikan C [ a,b ] merupakan koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada selang tertutup [ a,b ]. C [ a,b ] merupakan ruang linear atas lapangan real. Dalam tulisan ini dibahas pengertian-pengertian norma, barisan konvergen, terbatas dan monoton, infimum dan supremum dan lain-lain yang semuanya disajikan dalam  bahasa  fungsi  kontinu.  Selain  itu  akan  ditunjukkan  bahwa  barisan  yang  terbatas  dan  monoton  di dalam  ruang  fungsi  kontinu C [ a,b ]  belum  tentu  konvergen.  Satu  sifat  yang  menjamin  sebuah  barisan memiliki supremum atau infimum akan dibahas.
Kata kunci : Barisan konvergen, Fungsi kontinu bernilai real, Ruang fungsi kontinu

## ABSTRACT
Let C[a,b] be a collection of all real-valued continuous functions on a closed interval [a, b]. The C[a,b] is a linear space over the real field. In this paper, we discussed some notions of norm, monotone, bounded and convergent sequence, infimum and supremum and others of which are presented in the language of continuous functions. They will also be shown that bounded and monotone sequence in the continuous functions space C[a,b] is not necessarily convergent. A property that ensures a sequence has a supremum or infimum will be discussed .
Keywords: Convergent sequence, Continuous real-valued function, Continuous function space

## PENDAHULUAN
Telah  banyak  dibahas  sifat-sifat  fungsi kontinu  bernilai  real  pada  selang  tertutup [𝑎, 𝑏] oleh Bartle dan Sherbert (2000), diantaranya sifat terbatas, mencapai nilai maksimum dan minimum,  dapat  didekati  dengan  fungsi  tangga, merupakan  fungsi  kontinu  seragam,  terintegral Riemann  dan  lain  sebagainya.  Dalam  tulisan  ini, 𝐶[𝑎, 𝑏] menyatakan koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada selang tertutup [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ , yakni 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ kontinu. Pembahasan beberapa sifat dasar 𝐶[𝑎, 𝑏] banyak  dijumpai  dalam  ruang Banach klasik diantaranya oleh Lindenstrauss dan Tsafriri  (1977),  Diestel  (1984),  Meyer-Nieberg (1991), Albiac dan Kalton (2006), dan lain-lain.
Jika didefinisikan penjumlahan dan perkali- an skalar di 𝐶[𝑎, 𝑏] berturut-turut
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔 ( 𝑥 )
untuk setiap 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐶 [ 𝑎 , 𝑏 ], 𝑥 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ], dan
( 𝛼𝑓 )( 𝑥 ) = 𝛼𝑓 ( 𝑥 )
untuk  setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝛼 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ,  maka 𝛼𝑓, (𝑓 + 𝑔) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] .  Oleh  karena  itu 𝐶[𝑎, 𝑏] merupakan  ruang  linear  atas  lapangan ℝ (Yeh,
2006).  Lebih  jauh,  jika  diberikan  norma  pada 𝐶[𝑎, 𝑏] yang didefinisikan
‖𝑓‖ ∞ = sup 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 |𝑓 ( 𝑥 ) |
untuk  setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] ,  maka (𝐶[𝑎, 𝑏], ‖∙‖ ∞ ) merupakan ruang Banach (Dales, 2003).
Dua  anggota 𝑓 dan 𝑔 di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan
i. 𝑓 = 𝑔 jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ; ii. 𝑓 < 𝑔 jika 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ; iii. 𝑓 ≤ 𝑔 jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] .
Berdasarkan  pengertian  di  atas,  mudah dipahami  bahwa 𝐶[𝑎, 𝑏] merupakan himpunan terurut  parsial ( partially  ordered  set )  terhadap relasi “ ≤ ”.
Dua  anggota 𝑓 dan 𝑔 di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan dapat dibandingkan ( comparable ) jika 𝑓 ≤ 𝑔 atau 𝑔 ≤ 𝑓 dan  dikatakan tidak  dapat dibandingkan ( incomparable ) jika tidak  berlaku 𝑓 ≤ 𝑔 dan 𝑔 ≤ 𝑓 .  Selanjutnya  jika  dianggap penting,  penulisan 𝑓 < 𝑔 dan 𝑓 ≤ 𝑔 berturut- turut dapat digantikan dengan 𝑔 > 𝑓 dan 𝑔 ≥ 𝑓 .
Selanjutnya  didefinisikan fungsi  nol ( null function ) 𝜃 dan fungsi satuan ( unit function ) 𝑒 di dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] berturut-turut dengan
𝜃(𝑥) = 0 dan 𝑒(𝑥) = 1
untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] . Karena  setiap 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] dan 𝑓 ≤ 𝑔 berlaku
i. 𝑓 + ℎ ≤ 𝑔 + ℎ
ii. 𝛾𝑓 < 𝛾𝑔 untuk setiap bilangan 𝛾 > 0 ,
maka  disimpulkan  bahwa 𝐶[𝑎, 𝑏] merupakan ruang  Riesz.  Lebih  jauh,  jika  didefinisikan perkalian  di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] ,  yakni (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) untuk  setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] dan  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] maka 𝑓𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] .  Oleh  karena  itu 𝐶[𝑎, 𝑏] merupakan  aljabar  Banach  dengan  unsur satuan 𝑒 (Dales, 2003 ).
Dalam  tulisan  ini,  akan  diperkenalkan pengertian norma dalam “bahasa” fungsi kontinu. Untuk  membedakan  pengertian  norma  pada umumnya  dengan  norma  dalam  bahasa  fungsi kontinu, untuk itu digunakan notasi norma*.
Definisi  1. (Darmawijaya,  2012) Sebuah  fungsi ‖∙‖ ∗ : 𝐶[𝑎, 𝑏] → 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan norma * (norm*) pada 𝐶[𝑎, 𝑏] jika ‖∙‖ ∗ memenuhi sifat-sifat
i. ‖𝑓‖ ∗ ≥ 𝜃 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] ; ‖𝑓‖ ∗ = 𝜃 jika dan hanya jika 𝑓 = 𝜃; ii. ‖𝛼𝑓‖ ∗ = |𝛼|‖𝑓‖ ∗ ,  untuk  setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] 𝛼 ∈ ℝ ; iii. ‖𝑓 + 𝑔‖ ∗ ≤ ‖𝑓‖ ∗ + ‖𝑔‖ ∗ ,  untuk  setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] .
Sekarang  didefinisikan  nilai  mutlak |∙| di dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] dengan
|𝑓|(𝑥) = |𝑓(𝑥)| , untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] .
Karena |∙| memenuhi semua sifat dalam Definisi 1, maka |∙| merupakan sebuah norma* pada 𝐶[𝑎, 𝑏].
Berkaitan  dengan  hal-hal  tersebut  di  atas, tujuan  dalam  tulisan  ini  adalah  membahas kekonvergenan  barisan  di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] dengan norma* |∙| yang dijelaskan di atas dalam “bahasa” fungsi  kontinu,  yang  mempunyai  arti  cukup bekerja  di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] .  Namun  begitu,  untuk memudahkan  pembuktian  teorema  dan  per- hitungan,  dalam  beberapa  kasus  akan  dibawa  ke fungsi real.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam  bagian  ini  akan  dibahas  beberapa definisi dan teorema yang akan digunakan untuk membahas  kekonvergenan  barisan  di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] .  Di  akhir  bagian  ini  dibahas  syarat  suatu barisan memiliki supremum atau infimum.
Untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] dan 𝛼 ∈ ℝ , yang dimaksud dengan fungsi
i. 𝑓 𝑔 adalah  fungsi  yang  didefinisikan 𝑓 𝑔 (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) asalkan 𝑔(𝑥) ≠ 0 ,
ii. 𝑓 ∨ 𝑔 adalah  fungsi  yang  didefinisikan dengan (𝑓 ∨ 𝑔)(𝑥) = sup⁡{𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)} ,
iii. 𝑓 ∧ 𝑔 adalah  fungsi  yang  didefinisikan dengan (𝑓 ∧ 𝑔)(𝑥) = inf⁡{𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)} , iv. √𝑓 adalah fungsi yang didefinisikan  dengan
√𝑓(𝑥) = √𝑓(𝑥) dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 ,
v. 𝑓 −1 = 𝑒 𝑓 jika 𝑓 > 𝜃 atau 𝑓 < 𝜃 ,
untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] .
Telah ditunjukkan oleh Bartle dan Sherbert (2000), bahwa jika 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] , maka 𝑓 ∨ 𝑔, ⁡⁡𝑓 ∧ 𝑔, √𝑓⁡(𝑓(𝑥) ≥ 0) dan 𝑓 𝑔 ⁡(𝑔(𝑥) ≠ 0) di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] . Oleh karena itu 𝐶[𝑎, 𝑏] merupakan sebuah aljabar ( algebra ),  lebih  jauh 𝐶[𝑎, 𝑏] sebuah aljabar Banach ( Banach algebra ) (Dales, 2003).
Berikut  diberikan  pengertian  himpunan terbatas ke atas, himpunan terbatas ke bawah dan himpunan terbatas di dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] .
Definisi  2 . Sebuah  himpunan 𝐴 ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] tidak kosong dikatakan
i. terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat 𝑞 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] sehingga ℎ ≤ 𝑞 untuk setiap ℎ ∈ 𝐴 ; selanjutnya 𝑞 disebut batas atas (upper bound) himpunan 𝐴 ; ii. terbatas  ke  bawah (bounded  below)  jika terdapat 𝑝 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] sehingga 𝑝 ≤ ℎ untuk setiap ℎ ∈ 𝐴 ;  selanjutnya 𝑝 disebut batas bawah (lower bound) himpunan 𝐴 ;
iii. terbatas (bounded) jika 𝐴 terbatas ke atas dan terbatas ke bawah atau himpunan 𝐴 dikatakan terbatas  jika  terdapat 𝑡 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] dan 𝑡 > 𝜃 sehingga |ℎ| ≤ 𝑡 untuk setiap ℎ ∈ 𝐴 .
Selanjutnya diperkenalkan pengertian batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari suatu himpunan.
Definisi 3 . Diberikan himpunan 𝐴 ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] tidak kosong.
i. Himpunan 𝐴 terbatas ke atas. Titik 𝑠 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] disebut batas atas terkecil (least upper bound) atau supremum 𝐴 jika 𝑠 adalah  batas  atas 𝐴 dan untuk setiap 𝑣 batas atas 𝐴 berlaku 𝑠 ≤ 𝑣 . Dalam kasus ini ditulis 𝑠 = 𝑠𝑢𝑝(𝐴). ii. Himpunan 𝐴 terbatas  ke  bawah.  Titik 𝑟 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] disebut batas bawah terbesar (greates lower  bound)  atau infimum 𝐴 jika 𝑟 adalah batas bawah 𝐴 dan untuk setiap 𝑢 batas bawah 𝐴 berlaku 𝑟 ≤ 𝑢 . Dalam kasus ini ditulis 𝑟 = 𝑖𝑛𝑓(𝐴).
Dari  pengertian  ini,  belum  tentu  benar bahwa setiap himpunan terbatas ke atas (bawah) memiliki  supremum  (infimum),  lihat  Contoh  10 dan  Contoh  11.  Dalam  kasus  himpunan 𝐴 ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] hingga,  maka 𝐴 memiliki  supremum  dan infimum, dan
sup(𝐴) = ⋁ ℎ∈𝐴 ℎ dan inf(𝐴) = ⋀ ℎ∈𝐴 ℎ .
Dalam  Definisi  4  berikut  ini  diberikan pengertian  dari  barisan  konvergen  dan  barisan Cauchy  di  dalam 𝐶[𝑎, 𝑏] dan  dilanjutkan  dengan sebuah contoh barisan konvergen (Contoh 5).
Definisi  4 . Sebuah  barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] dikata- kan
i. konvergen (converges)  jika  ada 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] sehingga untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan  asli 𝐾 sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku
|𝑓 𝑛 − 𝑓| < 𝜀𝑒.
Jika  demikian  halnya,  barisan {𝑓 𝑛 } dikatakan konvergen (convergent) ke 𝑓 atau barisan {𝑓 𝑛 } mempunyai limit 𝑓 untuk 𝑛 → ∞ dan dituliskan dengan
𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 = 𝑓.
ii. barisan Cauchy (Cauchy sequence) jika setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat  bilangan  asli 𝐾 sehingga untuk setiap 𝑚, 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku |𝑓 𝑚 − 𝑓 𝑛 | < 𝜀𝑒.
Contoh  5. Diberikan  barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[0,1] yang didefinisikan
𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 ,  untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1].
Barisan {𝑓 𝑛 } merupakan  barisan konvergen ke 𝜃 , sebab  jika  diberikan  bilangan 𝜀 > 0 sebarang maka dipilih  bilangan asli 𝐾 > 1/𝜀 , sehingga jika untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾⁡ diperoleh
|𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝜃(𝑥)| = | 𝑥 𝑛 − 0| = 𝑥 𝑛 ≤ 1 𝑛 ≤ 1 𝐾 < 𝜀.
Jadi lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 = 𝜃.
Selanjutnya  dibahas  beberapa  sifat  dasar barisan konvergen diantaranya ketunggalan limit barisan  dan  keterbatasan  barisan  yang  konver- gen berturut-turut disajikan dalam Teorema 6 dan Teorema 7.
Teorema 6 . Jika barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] konvergen, maka limit barisan {𝑓 𝑛 } tunggal. Bukti : Anggap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] sehingga barisan {𝑓 𝑛 } konvergen ke 𝑓 dan 𝑔 . Jadi untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat  dua  bilangan  asli 𝑛 0 dan 𝑚 0 sehingga
|𝑓 𝑛 − 𝑓| < 𝜀 2 𝑒 jika 𝑛 ≥ 𝑛 0
dan
|𝑓 𝑛 − 𝑔| < 𝜀 2 𝑒 jika 𝑛 ≥ 𝑚 0 .
Oleh  karena  itu  untuk  setiap  bilangan  asli 𝑛 ≥ 𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑛 0 , 𝑚 0 } diperoleh
|𝑓 − 𝑔| ≤ |𝑓 𝑛 − 𝑓| + |𝑓 𝑛 − 𝑔| < 𝜀 2 𝑒 + 𝜀 2 𝑒 = 𝜀𝑒. Jadi 𝑓 = 𝑔 . ∎
Teorema 7 . Jika barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] konvergen, maka {𝑓 𝑛 } terbatas.
Bukti :  Diberikan  barisan {𝑓 𝑛 } konvergen  ke 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] dan  sebarang  bilangan 𝜀 > 0. Terdapat bilangan  asli 𝐾 sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝐾 dipunyai
|𝑓 𝑛 − 𝑓| < 𝜀𝑒.
Untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾 diperoleh
|𝑓 𝑛 | = |𝑓 𝑛 − 𝑓 + 𝑓| ≤ |𝑓 𝑛 − 𝑓| + |𝑓| < 𝜀𝑒 + |𝑓|.
Selanjutnya diambil
𝑝 = (⋁|𝑓 𝑛 | 𝐾−1 𝑛=1 ) ⋁(𝜀𝑒 + |𝑓|).
Jadi diperoleh |𝑓 𝑛 | ≤ 𝑝 untuk setiap bilangan asli 𝑛 , atau dengan kata lain {𝑓 𝑛 } terbatas. ∎
Berikutnya  dibahas  pengembangan  lebih lanjut  sifat-sifat  kekonvergenan  barisan  yang disajikan dalam Teorema 8 dan Teorema 9.
Teorema  8 . Diberikan  sebarang  bilangan 𝛾 ∈ ℝ dan  barisan-barisan {𝑓 𝑛 }, {𝑔 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] konver- gen  berturut-turut  ke 𝑓 dan 𝑔 .  Maka  barisan {𝛾𝑓 𝑛 }, {𝑓 𝑛 + 𝑔 𝑛 } dan {𝑓 𝑛 𝑔 𝑛 } konvergen  berturut- turut ke 𝛾𝑓, 𝑓 + 𝑔 dan 𝑓𝑔. Lebih jauh, barisan
{ 𝑓 𝑛 𝑔 𝑛 : 𝑔 𝑛 > 𝜃⁡𝑎𝑡𝑎𝑢⁡𝑔 𝑛 < 𝜃⁡𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘⁡𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝⁡𝑛}
konvergen ke 𝑓 𝑔 bilamana 𝑔 > 𝜃 atau 𝑔 < 𝜃 .
Bukti : Di sini hanya akan dibuktikan untuk barisan {𝑓 𝑛 𝑔 𝑛 } konvergen ke 𝑓𝑔 saja.
Diberikan  barisan {𝑓 𝑛 }, {𝑔 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] konvergen berturut-turut ke 𝑓 dan 𝑔 . Berdasarkan Teorema 7,  terdapat 𝑝 > 𝜃 sehingga |𝑓 𝑛 | ≤ 𝑝 untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ .
Didefinisikan 𝑡 = 𝑝 ∨ |𝑔|. Diberikan  sebarang bilangan 𝜀 > 0. Karena {𝑓 𝑛 } konvergen  ke 𝑓 dan {𝑔 𝑛 } konvergen  ke 𝑔 ,  maka  terdapat  bilangan 𝐾 1 , 𝐾 2 ∈ ℕ sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾 1 berlaku
|𝑓 𝑛 − 𝑓| < 𝜀𝑒 2𝑡 dan jika 𝑛 ≥ 𝐾 2 berlaku
|𝑔 𝑛 − 𝑔| < 𝜀𝑒 2𝑡 .
Dipilih 𝐾 = sup⁡{𝐾 1 , 𝐾 2 } . Oleh karena itu jika 𝑛 ≥ 𝐾 maka diperoleh
|𝑓 𝑛 𝑔 𝑛 − 𝑓𝑔| ≤ |𝑓 𝑛 𝑔 𝑛 − 𝑓 𝑛 𝑔| + |𝑓 𝑛 𝑔 − 𝑓𝑔| = |𝑓 𝑛 ||𝑔 𝑛 − 𝑔| + |𝑓 𝑛 − 𝑓||𝑔| < 𝑡 𝜀𝑒 2𝑡 + 𝜀𝑒 2𝑡 𝑡 = 𝜀𝑒. Jadi {𝑓 𝑛 𝑔 𝑛 } konvergen ke 𝑓𝑔. ∎
Teorema 9 . Barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] konvergen jika dan hanya jika {𝑓 𝑛 } barisan Cauchy.
Bukti:  Syarat  perlu .  Diketahui {𝑓 𝑛 } konvergen, maka  terdapat 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] sehingga  untuk  setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli 𝐾 sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku
|𝑓 𝑛 − 𝑓| < 𝜀 2 𝑒.
Jadi untuk setiap bilangan asli 𝑛, 𝑚 ≥ 𝐾 diperoleh
|𝑓 𝑛 − 𝑓 𝑚 | ≤ |𝑓 𝑛 − 𝑓| + |𝑓 𝑚 − 𝑓| < 𝜀 2 𝑒 + 𝜀 2 𝑒 = 𝜀𝑒.
Syarat  cukup :  Diketahui {𝑓 𝑛 } barisan  Cauchy. Artinya,  untuk  setiap  bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan  asli 𝑁 sehingga  jika 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 benar bahwa
|𝑓 𝑛 − 𝑓 𝑚 | < 𝜀𝑒.
Jadi  untuk  setiap 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku |𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓 𝑚 (𝑥)| < 𝜀 untuk  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Ini  berarti untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , {𝑓 𝑛 (𝑥)} merupakan barisan Cauchy  di ℝ .  Oleh  karena  itu  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], barisan {𝑓 𝑛 (𝑥)} konvergen  di ℝ .  Selanjutnya didefinisikan 𝑓(𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 (𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Jadi  untuk  setiap  bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga jika 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku
|𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. (1)
Karena 𝑓 𝑁 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] ,  maka 𝑓 𝑁 kontinu  seragam pada [𝑎, 𝑏] .  Artinya,  untuk  setiap  bilangan 𝜀 > 0 terdapat  bilangan 𝛿 > 0 sehingga  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 maka berlaku
|𝑓 𝑁 (𝑥) − 𝑓 𝑁 (𝑦)| < 𝜀 3 . (2)
Berdasarkan  ketaksamaan  (1)  dan  (2),  untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 , diperoleh |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓 𝑁 (𝑥)| +|𝑓 𝑁 (𝑥) − 𝑓 𝑁 (𝑦)| +|𝑓 𝑁 (𝑥) − 𝑓(𝑦)|
< 𝜀 3 + 𝜀 3 + 𝜀 3 = 𝜀.
Jadi terbukti 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].
Selanjutnya,  berdasarkan  ketaksamaan  (1)  kare- na untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , berlaku |𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝜀/3 maka  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 diperoleh
|𝑓 𝑛 − 𝑓| ≤ 𝜀 3 𝑒 < 𝜀𝑒.
Jadi {𝑓 𝑛 } barisan konvergen. ∎
Barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan naik monoton ( nondecreasing ) jika setiap bilangan asli 𝑛 dipunyai
𝑓 𝑛 ≤ 𝑓 𝑛+1 . Barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan turun monoton ( nonincreasing )  jika  setiap  bilangan  asli 𝑛 dipunyai
𝑓 𝑛+1 ≤ 𝑓 𝑛 .
Sebuah  barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan mono- ton ( monotone ) jika {𝑓 𝑛 } naik monoton atau turun monoton.
Sebuah  barisan  yang  turun  (naik)  monoton dan  terbatas  ke  bawah  (ke  atas)  belum  tentu mempunyai infimum (supremum), seperti diberikan dalam dua contoh berikut.
Contoh  10 . Diberikan  barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[0,1] yang didefinisikan 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ dan setiap 𝑥 ∈ [0,1] . Akan  ditunjukkan bahwa  barisan {𝑓 𝑛 } turun (naik) monoton dan terbatas tetapi tidak mempunyai infimum.
Cukup jelas bahwa barisan {𝑓 𝑛 } terbatas sebab 𝜃 ≤ 𝑓 𝑛 ≤ 𝑒 dan turun monoton sebab 𝑓 𝑛+1 ≤ 𝑓 𝑛 untuk setiap 𝑛 . Barisan {𝑓 𝑛 (𝑥)} konvergen titik demi titik ke 𝑓(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ∈ [0,1) dan 𝑓(1) = 1 ,  tetapi 𝑓 ∉ 𝐶[0,1] .
Contoh 11 . Diberikan barisan {𝑔 𝑛 } ⊂ 𝐶[0,1] yang didefinisikan 𝑔 𝑛 (𝑥) = 𝑛𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑛 dan 𝑔 𝑛 (𝑥) = 1 untuk 1 𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 1 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ dan setiap 𝑥 ∈ [0,1] . Akan  ditunjukkan  bahwa  barisan {𝑔 𝑛 } naik  monoton  dan  terbatas  tetapi  tidak mempunyai supremum.
Cukup  jelas  bahwa  barisan {𝑔 𝑛 } terbatas  sebab 𝜃 ≤ 𝑔 𝑛 ≤ 𝑒 dan  naik  monoton  sebab 𝑔 𝑛 ≤ 𝑔 𝑛+1 untuk  setiap 𝑛 .  Barisan {𝑔 𝑛 (𝑥)} konvergen  titik demi titik ke 𝑔(𝑥) = 1 untuk 𝑥 ∈ (0,1] dan 𝑔(0) =
0 , tetapi 𝑔 ∉ 𝐶[0,1] .
Teorema  12 . Jika  barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] naik (turun)  monoton  dan  mempunyai  supremum (infimum)  maka  barisan {𝑓 𝑛 } konvergen  ke supremumnya (infimumnya).
Bukti :  Diberikan 𝑠 = sup⁡{𝑓 𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] . Untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 , terdapat bilangan asli 𝐾 sehingga 𝑠 − 𝜀𝑒 < 𝑓 𝐾 . Nyatanya bahwa barisan {𝑓 𝑛 } naik monoton, hal ini mengakibatkan 𝑓 𝐾 ≤ 𝑓 𝑛 untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾 , sehingga diperoleh 𝑠 − 𝜀𝑒 < 𝑓 𝐾 ≤ 𝑓 𝑛 ≤ 𝑠 < 𝑠 + 𝜀𝑒 untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾.
Oleh karena itu diperoleh |𝑓 𝑛 − 𝑠| < 𝜀𝑒 untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾. Jadi lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 = 𝑠.
Bukti untuk infimum serupa. ∎
Barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan naik seragam (uniformly nondecreasing )  jika  setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dipunyai 𝜃 ≤ 𝑓 𝑛+1 − 𝑓 𝑛 < 𝜀𝑒.
Barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] dikatakan turun  seragam (uniformly nonincreasing ) jika setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat  bilangan  asli 𝐾 sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝐾 dipunyai 𝜃 ≤ 𝑓 𝑛 − 𝑓 𝑛+1 < 𝜀𝑒.
Di  akhir  bagian  ini  diberikan  Teorema  13 yang menjamin suatu barisan memiliki supremum atau infimum.
Teorema  13 . Diberikan  barisan {𝑓 𝑛 } ⊂ 𝐶[𝑎, 𝑏] terbatas.
(i).  Jika {𝑓 𝑛 } naik  seragam  maka {𝑓 𝑛 } memiliki supremum. Lebih jauh, barisan {𝑓 𝑛 } konvergen ke supremumnya.
(ii).  Jika {𝑓 𝑛 } turun  seragam  maka {𝑓 𝑛 } memiliki infimum.  Lebih  jauh,  barisan {𝑓 𝑛 } konvergen ke infimumnya.
Bukti : (i). Diberikan barisan {𝑓 𝑛 } terbatas dan naik seragam.  Maka,  untuk  setiap  bilangan 𝜀 > 0 terdapat  bilangan  asli 𝑁 1 sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 1 dipunyai 𝜃 ≤ 𝑓 𝑛+1 − 𝑓 𝑛 < 𝜀𝑒⁡ ⇔ ⁡⁡0 ≤ 𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥) < 𝜀 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Karena {𝑓 𝑛 } terbatas maka untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] barisan {𝑓 𝑛 (𝑥)} terbatas  di ℝ. Oleh  karena  itu, terdapat bilangan 𝑓(𝑥) = sup⁡{𝑓 𝑛 (𝑥)} untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan  asli 𝑁 2 sehingga  jika 𝑛 ≥ 𝑁 2 maka berlaku
𝑓(𝑥) − 𝜀 3 < 𝑓 𝑛 (𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥) + 𝜀 3 atau
|𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀 3 . (3)
Jelas bahwa 𝑓 fungsi bernilai real yang terdefinisi pada [𝑎, 𝑏] . Selanjutnya diambil bilangan asli 𝑁 = sup⁡{𝑁 1 , 𝑁 2 } .  Karena 𝑓 𝑁 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] maka  terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 dipunyai |𝑓 𝑁 (𝑥) − 𝑓 𝑁 (𝑦)| < 𝜀 3 . (4)
Akibatnya, berdasarkan ketaksamaan (3) dan (4) disimpulkan bahwa jika setiap 𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 diperoleh |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓 𝑁 (𝑥)| + |𝑓 𝑁 (𝑥) − 𝑓 𝑁 (𝑦)| +|𝑓 𝑁 (𝑦) − 𝑓(𝑦)| < 𝜀 3 + 𝜀 3 + 𝜀 3 = 𝜀.
Jadi 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏].⁡ Bukti untuk infimum serupa. ∎

## REFERENSI
[1]  Albiac,  F.,  dan  Kalton,  NJ.,  (2006), Topics  in Banach  Space  Theory ,  Springer-Verlag,  New York.
[2]  Bartle,  R.G.  dan  Sherbert,  D.R.,  (2000), Introduction  to  Real  Analysis ,  3rd  edition, JohnWiley, New York.
[3]  Dales,  H.G.,  (2003), Introduction  Banach Algebras,  Operators,  and  Harmonic  Analysis, Cambridge University Press, Cambridge.
[4]  Darmawijaya,  S.,  (2012), Calculus  on  the Family  of  Continuous  Functions ,  Seminar Nasional  KNM  XVI,  Universitas  Padjadjaran Sumedang.
[5]  Diestel,  J.,  (1984), Sequences  and  Series  in Banach Spaces , Springer-Verlag, New York.
[6]  Lindenstrauss,  J.  dan  Tsafriri,  L.,  (1977), Classical  Banach  Spaces  II ,  Springer-Verlag, Berlin.
[7]  Meyer-Nieberg,  P.,  (1991), Banach  Lattices , Springer-Verlag, Berlin.
[8]  Yeh,  J.,  (2006), Real  Analysis:  Theory  of Measure and Integration , 2nd edition,  World Scientific Publishing, Singapore