P-ISSN: 2614-3038 Volume 07, Nomor 03, Agustus-November 2023, pp. 2595-2604
Proses Pemodelan Matematis Siswa dalam Memecahkan Masalah Program Linear
Zida Amalia 1 , Sudirman 2  , Tjang Daniel Chandra 3
1, 2, 3 Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang Jl. Semarang No 5, Kota Malang, Indonesia zidaa64@gmail.com

## Abstract
Studies have shown that high school students in various countries, including Indonesia, face major difficulties in  solving  word  problems,  especially  in  algebra  and  involving  mathematization.  One  part  of  this  process  is mathematical modeling. Based on these issues in mathematical modeling, it is necessary to study and find out the process of building mathematical models with appropriate steps to achieve optimal results when solving problems.  The  objective  of  this  research  is  to  analyze  the  mathematical  modeling  processes  of  students  in solving linear programming problems. This research used a qualitative approach with the case study method. The research subjects were three high school students who had different answers as they built mathematical models  to  solve  linear  programming  problems.  The  instruments  used  in  this  research  comprised  test  sheets with  linear  programming  problems,  as  well  as  interview  guidelines.  The  modeling  steps  for  solving  linear programming problems in this study involved identifying decision variables, constructing constraint functions and  objective  functions,  and  verifying  the  created  constraint  functions  and  objective  functions.  The  results showed that the steps were performed entirely differently or not completely. The step of identifying decision variables was performed by all three subjects, while the step of constructing constraint functions and objective functions  was  performed  by  two  subjects,  and  the  step  of  verifying  constraint  functions  and  objective functions was performed by only one subject.
Keywords: Mathematical model; Mathematical modeling; Problem solving

## Abstrak
Beberapa  penelitian  menunjukkan  bahwa  siswa  sekolah  menengah  di  berbagai  negara  termasuk  Indonesia, menghadapi  kesulitan  utama  dalam  memecahkan  masalah  soal  cerita,  terutama  dalam  topik  aljabar  ketika proses  matematisasi.  Proses  ini  salah  satunya  melibatkan  pemodelan  matematis.  Berdasarkan  permasalahan pemodelan  matematis  tersebut,  perlu  dikaji  untuk  mengetahui  bagaimana  proses  membangun  model matematika  dengan  langkah-langkah  yang  tepat  agar  dapat  mencapai  hasil  yang  optimal  saat  memecahkan masalah. Penelitian ini memiliki tujuan untuk menganalisis bagaimana proses siswa memodelkan matematika dalam  memecahkan  masalah  program  linear.  Penelitian  ini  menggunakan  pendekatan  kualitatif  dengan metode studi kasus. Subjek penelitian adalah 3 siswa SMA dengan hasil jawaban berbeda ketika melakukan pemodelan  matematis  dalam  memecahkan  masalah  program  linear.  Instrumen  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  meliputi  lembar  tes  masalah  program  linear  dan  pedoman  wawancara.  Langkah  pemodelan memecahkan  masalah  program  linear  pada  penelitian  ini  yaitu  mengidentifikasi  variabel  keputusan, mengonstruksi fungsi kendala dan fungsi tujuan, memverifikasi fungsi kendala dan fungsi tujuan yang telah dibuat.  Hasil  penelitian  menunjukkan  terdapat  perbedaan  melakukan  seluruhnya  atau  belum  seluruhnya langkah yang digunakan. Langkah mengidentifikasi variabel keputusan dilakukan oleh ketiga subjek, langkah mengonstruksi fungsi kendala dan fungsi tujuan dilakukan oleh dua subjek sedangkan langkah memverifikasi fungsi kendala dan fungsi tujuan hanya dilakukan oleh satu subjek.
Kata kunci: Memecahkan masalah; Model matematika; Pemodelan matematis
Copyright (c) 2023 Zida Amalia, Sudirman, Tjang Daniel Chandra  Corresponding author: Sudirman Email Address: sudirman.fmipa@um.ac.id (Jl. Semarang No 5, Kota Malang, Indonesia) Received 04 July 2023, Accepted 08 August 2023, Published 15 August 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i3.2675

## PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang harus dikuasai oleh siswa pada tingkat pendidikan dasar dan menengah. Matematika termasuk salah satu mata pelajaran yang menekankan pada penyelesaian masalah dunia nyata. Penerapan matematika dalam dunia nyata direpresentasikan
dalam bentuk model matematika. Seperti yang dijelaskan oleh Dym (2004) bahwa model matematika adalah representasi atau deskripsi dari suatu keadaan yang menggambarkan keadaan tersebut dalam bentuk matematika.
Menurut  Hartono  (2017),  model  matematika  memiliki  arti  yang  berbeda  dengan  pemodelan matematis.  Pemodelan  merujuk  pada  proses  pembentukan  model  matematika  (Suharyono  & Rosnawati,  2020).  Sementara  model  matematika  merupakan  produk  atau  hasil  dari  pemodelan matematis yang berupa representasi abstrak dalam bentuk simbol, persamaan, grafik, tabel, diagram, atau  gambar  matematika  lainnya  yang  mewakili  permasalahan  di  luar  matematika  (Muzaki  & Masjudin, 2019). Melalui pembelajaran menggunakan pemodelan matematika, siswa akan diberikan soal  cerita  dengan  konteks  yang  relevan  dalam  kehidupan  sehari-hari  dan  mereka  memecahkan masalah  tersebut  dengan  merepresentasikan  masalah  dari  situasi  dunia  nyata  ke  dalam  model matematika.
Kompetensi  untuk  membangun  model  matematika  saat  ini  menjadi  bagian  penting  dari kompetensi  seseorang  (Sekerák,  2010).  Hal  ini  disebabkan  oleh  fakta  bahwa  sebanyak  apapun konsep  matematika  yang  dipahami  oleh siswa,  konsep  tersebut  tidak  akan  berguna jika  siswa  tidak dapat  mengaplikasikannya.  Dengan  demikian,  kompetensi  pemodelan  matematis  penting  untuk dikuasai  oleh  siswa  dan  guru  perlu  mengetahui  bagaimana  kompetensi  pemodelan  matematis siswanya yang menjadi modal untuk mengaplikasikannya dalam masalah sehari-hari.
Ternyata  ditemukan  permasalahan  mengenai  kompetensi  pemodelan  matematis  ini  seperti kesulitan  siswa  untuk  menguasainya.  Fakta  ini  terungkap  dalam  penelitian  yang  dilakukan  oleh Holmes, dkk (2017); Baysal & Sevinc (2022); Aforklenu & Bukari (2023); Jupri & Drijvers (2016) yang  menunjukkan  bahwa  siswa  sekolah  menengah  di  berbagai  negara  termasuk  Indonesia, menghadapi kesulitan utama dalam menyelesaikan masalah soal cerita, terutama dalam topik aljabar. Padahal  aljabar adalah  bagian  dari  standar  konten  dalam  pembelajaran matematika  (NCTM,  2000). Sepeng & Sigola (2013) juga menyatakan bahwa kesulitan siswa dapat diidentifikasi dari kesalahan mereka dalam menentukan langkah-langkah penyelesaian. Selain itu siswa juga mengalami kesulitan dalam  membaca  dan  memahami  kalimat-kalimat  dalam  soal  cerita  (Sepeng  &  Sigola,  2013).  Hasil penelitian  oleh  Jupri  &  Drijvers  (2016)  menyimpulkan  bahwa  siswa  menghadapi  tantangan  dalam menyelesaikan  soal  cerita  terkait  dengan  aljabar,  terutama  dalam  hal  penerapan  operasi  aritmatika, pemahaman konsep variabel dan ekspresi aljabar, pemahaman yang berbeda tentang arti tanda sama dengan  dan  pemahaman  mematematisasi.  Proses  mematematisasi  melibatkan  siklus  pemahaman masalah,  merumuskan  model  matematika  dari  masalah,  memecahkan  masalah  yang  diwujudkan dalam pemodelan matematika, dan menginterpretasikan solusi.
Berdasarkan permasalahan pemodelan matematis tersebut perlu untuk mengetahui bagaimana proses membangun model matematika dengan langkah-langkah yang tepat agar dapat mencapai hasil yang  optimal  saat  memecahkan  masalah.  Adapun  langkah-langkah  pemodelan  matematis  menurut Sekerák (2010) yaitu: 1) mengidentifikasi titik awal yang diperlukan untuk membuat sebuah model;
2) mengonstruksi model matematika; dan 3) memverifikasi model yang telah dibuat. Sementara mata pelajaran yang harus dikuasai oleh siswa pada tingkat pendidikan menengah yang berkaitan dengan aljabar  yaitu  materi  program  linear.  Selain  itu,  materi  program  linear  memuat  konteks  soal  cerita berkaitan dengan proses matematisasi sehingga dapat mengakses proses pemodelan matematis siswa. Oleh  karena  itu,  langkah-langkah  pemodelan  matematis  terkait  masalah  program  linear  pada penelitian  ini  yaitu:  1)  mengidentifikasi  variabel  keputusan;  2)  mengonstruksi  fungsi  kendala  dan fungsi tujuan; dan 3) memverifikasi fungsi kendala dan fungsi tujuan yang telah dibuat.
Berdasarkan  penelitian  mengenai  program  linear,  banyak  permasalahan  ditemukan  seperti kesulitan  siswa  dalam  menyelesaikan  soal    (Tiara  dkk,  2021),  analisis  kesalahan  dalam menyelesaikan  soal  (Elsa  &  Sudihartinih,  2020),  (Sukoriyanto  dkk,  2021),  (Kaeng  dkk,  2021)  dan (Zulhendri  dkk,  2022).  Beberapa  penelitian  yang  berkaitan  dengan  materi  program  linear  tersebut menunjukkan bahwa topik ini menarik untuk diteliti karena banyaknya masalah yang muncul ketika siswa mengonstruksi model matematika. Selain itu, peneliti melaksanakan wawancara terhadap guru mata pelajaran matematika di MAN 2 Kota Malang terkait proses siswa ketika memecahkan masalah program linear. Berdasarkan hasil wawancara, guru tersebut menjelaskan bahwa permasalahan utama siswa ketika memecahkan masalah program linear yaitu kesulitan memahami masalah terutama soal cerita dengan kalimat panjang dan mengubahnya menjadi bahasa matematika atau membentuk model matematika.  Oleh  karena  itu  peneliti  perlu  menganalisis  proses  pemodelan  matematis  siswa  dalam memecahkan  masalah  program  linear,  yang  dianalisis  menggunakan  langkah-langkah  pemodelan matematis yang belum pernah dieksplorasi oleh peneliti lain.

## METODE
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif dengan metode studi kasus. Creswell (2012) menjelaskan  studi  kasus  adalah  strategi  penelitian  yang  bertujuan  untuk  menyelidiki  secara  teliti suatu  fenomena  dengan  mengumpulkan informasi  lengkap  melalui  berbagai  prosedur  pengumpulan data.  Penelitian  ini  bertujuan  mendeskripsikan  proses  pemodelan  matematis  siswa  ketika memecahkan masalah program linear.
Menurut  Creswell  (2018)  karakteristik  penelitian  kualitatif  meliputi:  (1)  lingkungan  alami, dimana  peneliti  mengumpulkan  data  di  lokasi  dimana  partisipan  mengalami  isu  atau  masalah  yang diteliti; (2) peneliti berperan sebagai instrumen utama dalam pengumpulan data yang dapat dilakukan melalui  dokumentasi,  observasi,  atau  wawancara  dengan  partisipan;  (3)  beragam  sumber  data,  di mana  peneliti  kualitatif  biasanya  mengumpulkan  data  dari  berbagai  sumber,  sehingga  variasi  data dapat  diperoleh.  Dengan  demikian,  peneliti  berperan  sebagai  instrumen  utama  dalam  pengumpul data.  Selain  itu,  peneliti  bertanggung  jawab  sebagai  perencana,  pelaksana,  penafsir  data  dan pelaporan hasil dari penelitian yang dilakukan.
Penelitian dilakukan pada tanggal 15 sampai 27 Mei 2023. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa SMA yang telah mempelajari materi program linear. Peneliti menggunakan metode purposive
sampling untuk menentukan subjek penelitian. Purposive sampling merupakan metode pengambilan subjek  penelitian  kualitatif  yang  ditentukan  oleh  peneliti  dengan  memilih  individu  dan  lokasi  yang baik untuk mempelajari atau memahami suatu fenomena (Creswell, 2012). Subjek yang dipilih yaitu 3  siswa  kelas  XI  di  MAN  2  Kota  Malang  dengan  hasil  jawaban  berbeda  ketika  melakukan pemodelan matematis dalam memecahkan masalah program linear.
Instrumen  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yaitu  lembar  tes  masalah  program  linear  dan pedoman wawancara. Pemberian tes digunakan peneliti untuk melihat proses pemodelan matematis siswa dalam memecahkan masalah program linear. Pedoman wawancara digunakan sebagai panduan dalam  melaksanakan  wawancara  untuk  memperoleh  data  yang  lebih  mendalam  proses  pemodelan matematis siswa dan menggali data yang belum muncul.
Instrumen  tes  berisi  satu  masalah  konstektual  terkait  materi  program  linear.  Sedangkan pedoman  wawancara  berisi  pertanyaan  umum  yang  merupakan  pertanyaan  bersifat  wajib  diberikan kepada subjek penelitian dan berisi pertanyaan insidental yang merupakan pertanyaan lanjutan yang bisa  berkembang  sesuai  dengan  hasil  pekerjaan  siswa.  Kedua  instrumen  tersebut  divalidasi  oleh validator  ahli  yaitu  satu  dosen  S2  Pendidikan  Matematika  Universitas  Negeri  Malang  dengan kualifikasi pendidikan minimal strata 3.
Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini yaitu teknik analisis data kualitatif yang dijelaskan  oleh  Creswell  (2018),  terdiri  dari  beberapa  tahapan,  yakni:  1)  mempersiapkan  dan mengorganisir  data;  2)  mengeksplorasi  dan  melakukan  pengkodean  pada  data;  3)  mendeskripsikan data;  4)  menyajikan  dan  melaporkan  temuan  penelitian;  5)  menafsirkan  temuan  penelitian;  serta  6) memvalidasi keakuratan hasil temuan penelitian.

## HASIL DAN DISKUSI
Tahap  awal,  lembar  tes  masalah  program  linear  diberikan  kepada  24  siswa,  kemudian diperoleh 16 siswa yang dapat dianalis proses pemodelan matematisnya dengan tiga ragam jawaban yang dikategorikan A, B dan C untuk memetakan ragam jawaban yang muncul.
Keterangan:
A= Model berupa beberapa fungsi kendala dan satu fungsi tujuan B= Model berupa beberapa fungsi kendala dan dua fungsi tujuan C= Berupa variabel-variabel
Kemudian dilakukan wawancara  dengan mengambil satu subjek dari  setiap kelompok variasi jawaban  yang  ada.  Tiga  subjek  yang  diperoleh  merupakan  subjek  yang  memiliki  kemampuan komunikasi  yang  baik  dan  bersedia  untuk  dilakukan  proses  wawancara.  Adapun  soal  tes  masalah program linear yang diberikan seperti berikut.
Suatu pabrik gula perlu meminimalkan biaya pengiriman dari dua pabrik utamanya di Kota Malang dan Kota Batu. Semua pesanan grosir dari luar kota dikirim dari dua pabrik tersebut. Agen di Kota
Jombang memesan 80 ton gula dan di hari yang sama agen di Kota Mojokerto memesan 75 ton gula. Pabrik di Kota Malang memiliki gula yang siap dikirim sebanyak 100 ton dan pabrik di Kota Batu memiliki  70  ton  gula  yang  siap  kirim.  Biaya  pengiriman  tiap  ton  gula  ke  Kota  Jombang 𝑅𝑝 35.000,00  dari  Kota  Malang  dan 𝑅𝑝 55.000,00  dari  Kota  Batu.  Biaya  pengiriman  tiap  ton  gula  ke Kota Mojokerto 𝑅𝑝 40.000,00 dari Kota Malang dan 𝑅𝑝 45.000,00 dari Kota Batu. Berapa ton gula yang harus dikirim dari setiap pabrik untuk meminimalkan biaya?
Pemodelan Matematis Subjek A (SA)
Berikut  jawaban  SA  dalam  memodelkan  matematika  masalah  program  linear  dapat  disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Jawaban SA dalam memodelkan matematika.
Secara tertulis maupun verbal, pada proses mengidentifikasi variabel keputusan, SA membuat daftar  informasi  yang  ada  pada  soal  lalu  disajikan  dalam  bentuk  tabel  terlebih  dahulu.  Meskipun tabel tersebut tidak disertakan garis pembatasnya namun sudah cukup memberi informasi bahwa data pada  soal  tersebut  memang  dikelompokkan  secara  teratur.  Hal  tersebut  sesuai  dengan  langkah pemodelan  Sekerák  (2010),  bahwa  langkah  awal  yang  dilakukan  untuk  memodelkan  matematika yaitu  memutuskan  informasi  mana  yang  relevan  dan  penting  untuk  dimasukkan  ke  dalam  model. Sementara  tabel  yang  digunakan  termasuk  alat  representasi  yang  dapat  mengembangkan  dan memperdalam pemahaman siswa tentang konsep dan hubungan matematika (NCTM, 2000).
Pada  proses  mengonstruksi  fungsi  kendala  dan  fungsi  tujuan,  baik  secara  tulisan  maupun verbal,  SA  membentuk  empat  variabel  dengan  melihat  informasi  yang  ada  pada  tabel  yang  telah dibuat yaitu mewakili banyak gula yang dikirim dari tiap pabrik ke agen masing-masing kota yang memesan  gula.  SA  membentuk  model  fungsi  kendala  berupa  sistem  pertidaksamaan  linear  yang menunjukkan banyak gula yang akan dikirim ke agen masing-masing kota yang memesan gula dari tiap  pabrik.  Sistem  pertidaksamaan  linear  lainnya  menunjukkan  bahwa  banyak  gula  yang  akan dikirim  tidak  bernilai  negatif.  SA  juga  membentuk  fungsi  kendala  berupa  sistem  persamaan  linear yang menunjukkan banyak gula yang dipesan masing-masing kota datang dari dua pabrik berbeda.
Selanjutnya  SA  memodifikasi  bentuk  sistem  persamaan  linear  dan  sistem  pertidaksamaan linear,  saling  mengaitkan  keduanya,  mensubstitusikan  variabel-variabel  yang  akan  dieleminasi. Sehingga  terbentuklah  sistem  pertidaksamaan  linear  yang  baru.  SA  menentukan  satu  fungsi  tujuan
meminimalkan  biaya  pengiriman  gula  dengan  empat  variabel  berbeda.  Secara  verbal  SA memaparkan  empat  variabel  tersebut  merupakan  banyak  gula  yang  dikirimkan  dari  pabrik  ke  agen kota  yang  memesan.  Kemudian  ia  mensubstitusikan  variabel  tadi  dengan  persamaan  yang  telah diolah  sebelumnya  sehingga  menjadikan  fungsi  tujuan  tersebut  menjadi  dua  variabel.  Hasil pemodelan SA sudah lengkap mencakup seluruh informasi yang ada pada soal.
Berdasarkan  hal  tersebut,  proses  SA  dalam  mengonstruksi  fungsi  kendala  dan  fungsi  tujuan sesuai  dengan  langkah  pemodelan  Sekerák (2010),  yaitu  dengan  konversi  informasi  yang  diperoleh pada tahap sebelumnya ke dalam bahasa matematika yang mana informasi pada soal disajikan dalam bentuk  tabel  sehingga  memudahkan  mengonstruksi  model  dan  terbentuk  berbagai  jenis  pemodelan yang  lebih  kompleks  daripada  subjek  lainnya.  Hasil  representasi  matematis  bisa  berupa  berbagai jenis persamaan dan pertidaksamaan (Sekerák, 2010). Proses yang dilakukan SA juga sejalan dengan Mousoulides,  dkk  (2008)  bahwa  masalah  dapat  dimanipulasi  dengan  mengidentifikasi  variabel  dan meghubungkannya dengan masalah, akan membantu siswa untuk menganalisis dan menggabungkan sifat-sifat matematika yang diperlukan untuk membangun model matematika.
Pada proses memverifikasi fungsi kendala dan fungsi tujuan, dilakukan wawancara berikut:
P : Mengapa menggunakan tanda ≥ ? SA :
Karena di pabrik Malang hanya ada stok 100 ton yang bisa dikirim ke agen di Kota Jombang dan Mojokerto, itu sudah maksimum. Begitu juga untuk pabrik Batu, maksimal 70 ton
P : Untuk model ini, mengapa menggunakan tanda = ? SA :
Karena agen di Jombang membutuhkan 80 ton gula dari kedua pabrik begitu juga Mojokerto membutuhkan 75 ton dari kedua pabrik
Lalu secara verbal SC memaparkan alasan mengubah pertidaksamaan 70 ≥ 𝑎 + 𝑏 menjadi 85 ≤ 𝑥 + 𝑦 dengan  substitusi  bertujuan  untuk  proses  selanjutnya  ketika  menggambar  daerah  himpunan penyelesaian di bidang kartesius yang mana membutuhkan dua macam variabel saja. Penjelasan SA tersebut  sesuai  dengan  langkah  pemodelan  Sekerák  (2010),  yaitu  mempertimbangkan  kesesuaian antara  model  dengan  situasi  yang  diberikan  di  masalah,  sesuai  aturan  matematis  sehingga  cukup menggambarkan  situasi  aslinya.  Sejalan  dengan  Eric  (2009)  yaitu  melakukan  evaluasi  terhadap model  yang  telah  dibuat  dengan  menganalisis  struktur  model  tersebut  dan  membandingkan  solusi yang dihasilkan oleh model dengan data dan pertanyaan. Selain itu proses yang dilakukan SA dengan memahami  dan  menyederhanakan  masalah  menunjukkan  bahwa  SA  memiliki  pemahaman  konsep yang  relevan  dan  menggunakan  informasi  dari  latar  belakang  pengetahuannya  (Mousoulides  dkk, 2008).

## Pemodelan Matematis Subjek B (SB)
Pada  proses  mengidentifikasi  variabel  keputusan,  secara  verbal  SB  menjelaskan  dengan memilah-milah  informasi  apa  saja  yang  ada  pada  soal  sebelum  dilakukan  pemodelan.  Hal  tersebut
sesuai  dengan  langkah  pemodelan  Sekerák  (2010),  bahwa  langkah  awal  yang  dilakukan  untuk memodelkan  matematika  yaitu  memutuskan  informasi  mana  yang  relevan  dan  penting  untuk dimasukkan ke dalam model. Adapun jawaban SB dalam memodelkan matematika masalah program linear disajikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Jawaban SB dalam Memodelkan Matematika
Pada proses mengonstruksi fungsi kendala dan fungsi tujuan, baik dari tulisan maupun verbal, SB  memilih  variabel 𝑎 dan 𝑏 mewakili  banyaknya  gula  yang  dipesan  oleh  agen  di  masing-masing kota. Sementara 𝑥 dan 𝑦 mewakili banyak ton gula yang siap kirim dari masing-masing pabrik. SB membentuk  dua  fungsi  tujuan  untuk  masing-masing  agen  kota  yang  memesan  gula,  berangkat  dari informasi  pada  soal  yaitu  biaya  pengiriman  dari  masing-masing  pabrik  dikalikan  banyak  gula  yang akan dikirim menuju agen satu kota yang memesan gula. SB juga membentuk fungsi kendala berupa sistem  persamaan  linear,  berangkat  dari  informasi  pada  soal  bahwa  gula  akan  dikirimkan  dari  dua pabrik  di  kota  tersebut  dengan  banyak  gula  yang  dipesan  dari  agen  luar  kota.  Hal  tersebut  sesuai dengan langkah pemodelan Sekerák (2010), yaitu mengonstruksi model matematika dengan konversi informasi  yang  diperoleh  pada  tahap  sebelumnya  ke  dalam  bahasa  matematika  yang  hasilnya  salah satunya  berbentuk  persamaan.  Sejalan  dengan  penelitian  Mousoulides,  dkk  (2008)  bahwa  masalah dapat  dimanipulasi  dengan  mengidentifikasi  variabel  dan  meghubungkannya  dengan  masalah, membantu  siswa  untuk  menganalisis  dan  menggabungkan  sifat-sifat  matematika  yang  diperlukan untuk membangun model matematika. Namun pemodelan yang dibuat SB ini masih belum lengkap karena terdapat informasi yang seharusnya masih bisa untuk dimodelkan.
Pada proses memverifikasi fungsi kendala dan fungsi tujuan, dilakukan wawancara berikut:
P : Mengapa menggunakan tanda = ?
SB : Karena di pabrik Malang hanya ada stok 100 ton yang Karena banyaknya gula yang dikirim tidak bisa kurang atau lebih dari banyaknya gula yang dipesan.
Penjelasan SB tersebut sesuai dengan langkah pemodelan Sekerák (2010) yaitu proses memverifikasi model dengan mempertimbangkan kesesuaian antara model dengan situasi yang diberikan di masalah dan sesuai aturan matematis sehingga cukup menggambarkan situasi aslinya.
Namun,  pemodelan  fungsi  tujuan  yang  diperoleh  SB  ini  tidak  sesuai  dengan  situasi  yang diberikan  di masalah karena  SB  memodelkan  dua fungsi  tujuan  yang  seharusnya  hanya satu fungsi tujuan saja.   Sehingga SB tidak sejalan pada proses memverifikasi model menurut   Sekerák (2010)
yang  harus  mempertimbangkan  kesesuaian  antara  model  dengan  situasi  yang  diberikan  di  masalah dan sesuai aturan matematis sehingga menggambarkan situasi aslinya. Proses yang dilakukan SB ini sejalan  dengan  penelitian  Tiara  dkk  (2021)  dan  Elsa  &  Sudihartinih  (2020),  bahwa  ditemukan kesulitan  siswa  dalam  penggunaan  konsep  menentukan  model  matematika  dan  ditemukan  banyak kesalahan siswa dalam transformasi yaitu kesalahan dalam membangun model matematika.

## Pemodelan Matematis Subjek C (SC)
Pada  proses  mengidentifikasi  variabel  keputusan,  secara  verbal  SC  menjelaskan  dengan memilah-milah informasi apa saja yang ada pada soal. SC memfokuskan pada informasi banyak gula yang dipesan agen di masing-masing kota dan biaya pengiriman dari pabrik ke masing-masing kota. Hal tersebut sesuai dengan langkah pemodelan Sekerák (2010), bahwa langkah awal yang dilakukan untuk  memodelkan  matematika  yaitu  memutuskan  informasi  mana  yang  relevan  dan  penting  untuk dimasukkan ke dalam model. Adapun jawaban SC dalam memodelkan matematika masalah program linear disajikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Jawaban SC dalam memodelkan matematika.
Pada proses mengonstruksi fungsi kendala daan fungsi tujuan, baik dari tulisan maupun verbal, SC berangkat dari memilih variabel 𝑃 dan 𝑄 . Terlihat juga dari garis-garis percabangan yang dibuat oleh SA. Lalu SC menjelaskan 𝑅 − 𝑃, 𝑅 − 𝑄, 𝑆 − 𝑃, 𝑆 − 𝑄 merupakan biaya pengiriman dari pabrik ke agen masing-masing kota yang memesan gula.
P : Apa maksudnya simbol P, Q, R, S?
SC : P itu agen di Jombang, Q itu agen di Mojokerto, R itu pabrik di Malang dan S itu pabrik di Batu. P : Maksudnya yang dimisalkan itu apanya?
SC : Namanya aja, biar mudah menyelesaikan P
: Nama kota aja?
SC : Iya.
Penjelasan  SC  tersebut  sejalan  dengan  Sukoriyanto  &  Desmayanti  (2021),  bahwa  ditemukan kesalahan  siswa  saat  menentukan  variabel  pemisalan  yang  disebabkan  karena  kemampuan menggunakan bahasa matematika yang masih kurang.
Pada  proses  ini  SC  mengidentifikasi  variabel-variabel  yang  diperoleh  tersebut  namun  belum sampai  ke  tahap  mengonstruksi  fungsi  kendala  dan  fungsi  tujuan.  Hal  tersebut  tidak  memenuhi dengan langkah pemodelan Sekerák (2010), yaitu mengonstruksi model matematika dengan konversi informasi  yang  diperoleh  pada  tahap  sebelumnya  ke  dalam  bahasa  matematika.  Sejalan  dengan penelitian Mousoulides,  dkk  (2008)  bahwa  identifikasi  variabel  belum  termasuk  model matematika
karena  identifikasi  variabel  itu  sendiri  yang  berguna  untuk  membantu    menganalisis  dan menggabungkan sifat-sifat matematika untuk membangun model matematika. Proses yang dilakukan SC  juga  sejalan  dengan  penelitian  Kaeng,  dkk  (2021)  bahwa  terdapat  siswa  yang  tidak  mampu membangun  model  matematika.  Hal  tersebut  disebabkan  siswa  kurang  memahami  materi  yang diberikan,  sehingga  ketika  diberikan  soal,  siswa  kurang  memahami,  yang  membuat  siswa  kesulitan menentukan  nilai  apa yang  sesuai  untuk  membuat model  matematika.  Tentunya  SC juga  tidak  bisa melakukan  proses  memverifikasi  fungsi  kendala  daan  fungsi  tujuan  karena  belum  sampai  pada langkah mengonstruksi model.

## KESIMPULAN
Kesimpulan dari hasil penelitian dan pembahasan tentang proses pemodelan matematis siswa dalam  memecahkan  masalah  program  linear  yaitu  terdapat  perbedaan  proses  pemodelan  pada  tiga ragam  jawaban.  Subjek  pertama  melakukan  seluruh  langkah  pemodelan  yaitu  mengidentifikasi variabel  keputusan  dengan  menggunakan  tabel,  mengonstruksi  fungsi  kendala  dan  fungsi  tujuan dengan  pengoperasian  aljabar  dan  substitusi  dan  memverifikasinya.  Subjek  kedua  melakukan  dua langkah pemodelan yaitu yaitu mengidentifikasi variabel keputusan dengan memilah-milah informasi pada  soal  dan  mengonstruksi  fungsi  tujuan  namun  belum  lengkap  dalam  mengonstruksi  fungsi kendala. Sementara subjek ketiga hanya melakukan langkah mengidentifikasi variabel keputusan.
Berdasarkan  hasil  penelitian,  saran  yang  dapat  peneliti  berikan  untuk  penelitian  selanjutnya dapat  dilengkapi  dengan  pemberian scaffolding terhadap  siswa  yang  memiliki  pemahaman  kurang dalam mengonstruksi model dan memverifikasi model yang telah dibuat dengan mempertimbangkan kesesuaian antara model dengan situasi yang diberikan di masalah, sesuai aturan matematis sehingga cukup menggambarkan situasi aslinya.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Peneliti mengucapkan terima kasih semua pihak yang telah membantu peneliti menyelesaikan penelitian ini, terutama kepada kedua orang tua dan kepada kedua dosen pembimbing, Dr. Sudirman, M.Si  dan  Drs.  Tjang  Daniel  Chandra  ,  M.Si,  Ph.D,  yang  telah  memberikan  bimbingan  dan  arahan dalam proses penyusunan artikel ini.

## REFERENSI
Aforklenu, D. K., & Bukari, H. I. (2023). Algebra word problem difficulties : A case study in Tema Education  Metropolis  in  Ghana. Journal  of  Mathematics  and  Science  Teacher , 3 (1),  1–9. https://doi.org/https://doi.org/10.29333/mathsciteacher/13133
Baysal, E., & Sevinc, S. (2022). The role of the Singapore bar model in reducing students ’ errors on algebra  word  problems. International  Journal  of  Mathematical  Education  in  Science  and Technology , 53 (22), 1–21. https://doi.org/10.1080/0020739X.2021.1944683
Creswell,  J.  W.  (2012). Educational  Research:  Planning,  Conducting,  and  Evaluating  Quantitative and  Qualitative  Research (P.  A.  Smith,  C.  Robb,  &  M.  Buchholtz  (eds.);  4th  ed.).  Pearson Education.
Creswell,  J.  W.,  &  Creswell,  J.  D.  (2018).  Research  Design:  Qualitative,  Quantitative  adn  Mixed Methods Approaches. In Journal of Chemical Information and Modeling (Fifth, Vol. 53, Issue 9). SAGE.
Dym,  C.  L.  (2004). Principles  of  Mathematical  Modelling (H.  Barbara  (ed.);  2nd  ed.).  Elsevier Academic Press.
Elsa, Ih. A., & Sudihartinih, E. (2020). Error Analysis of High School Students on Linear Program Topics  Based  on  Newman  Error  Analysis  Hanne  Ayuningtias  Elsa,  Eyus  Sudihartinih.
Mathematics Education Journals , 4 (1), 7–16.
https://doi.org/https://doi.org/10.22219/mej.v4i1.11466
Eric,  C.  C.  M.  (2009). Mathematical  Modelling  as  Problem  Solving  for  Children  in  the  Singapore Mathematics Classrooms . 32 (1), 36–61.
Hartono, J. A. (2017). Pentingnya Pemodelan Matematis Dalam Pembelajaran Matematika. Seminar Nasional  Matematika:  Peran  Alumni  Matematika  Dalam  Membangun  Jejaring  Kerja  Dan Peningkatan Kualitas Pendidikan, .
Holmes, V., Spence, K., Finn, J., Ingram, S. M., & Horton, L. (2017). Conquering Worrisome Word Problems  –  Algebra  Success. International  Journal  of  Learning,  Teaching  and  Educational Research , 16 (6), 89–100.
Jupri,  A.,  &  Drijvers,  P.  (2016).  Student  difficulties  in  mathematizing  word  problems  in  Algebra. Eurasia  Journal  of  Mathematics,  Science  and  Technology  Education , 12 (9),  2481–2502. https://doi.org/10.12973/eurasia.2016.1299a
Kaeng,  F.  F.,  Mangobi,  J.  U.  L.,  &  Regar,  V.  E.  (2021).  Analysis  of  student  error  in  solving  story problems  in  linear  program  materials. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 1968 (1),  1–5. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1968/1/012022
Mousoulides, N. G., Christou, C., & Sriraman, B. (2008). A Modeling Perspective on the Teaching and  Learning  of  Mathematical  Problem  Solving. Mathematical  Thinking  and  Learning , 10 (3), 293–304. https://doi.org/10.1080/10986060802218132
Muzaki,  A.,  &  Masjudin,  M.  (2019).  Analisis  Kemampuan  Literasi  Matematis  Siswa. Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika , 8 (3), 493–502. https://doi.org/10.31980/mosharafa.v8i3.557
NCTM,  N.  C.  of  T.  f  M.  (2000).  Principles  and  Standards  for  School  Mathematics.  In Nucl.  Phys. (Vol. 13, Issue 1).
Sekerák,  J.  (2010).  Phases  of  mathematical  modelling  and  competence  of  high  school  students. Teaching of Mathematics , 13 (2), 105–112.
Sepeng,  P.,  &  Sigola,  S.  (2013).  Making  sense  of  errors  made  by  learners  in  mathematical  word problem solving. Mediterranean Journal of Social Sciences , 4 (13), 325–333.
https://doi.org/10.5901/mjss.2013.v4n13p325
Suharyono, E., & Rosnawati, R. (2020). Analisis Buku Teks Pelajaran Matematika SMP ditinjau dari Literasi  Matematika. Mosharafa:  Jurnal  Pendidikan  Matematika , 9 (3),  451–462. https://doi.org/10.31980/mosharafa.v9i3.819
Sukoriyanto, S., & Desmayanti, N. (2021). Analysis of student errors in solving linear programming problems  based  on  Newman’s  procedures  in  terms  of  writing  mathematical  communication capabilities. AIP Conference Proceedings , 2330 , 1–7. https://doi.org/10.1063/5.0043383
Tiara,  T.,  Usman,  U.,  &  Ahsan,  M.  (2021).  Analysis  of  Students  ’  Difficulties  in  Solving  Story Problems on Linear Programming Material At Sman 3 Sidrap Analisis Kesulitan Siswa Dalam Menyelesaikan  Soal  Cerita  Pada  Materi  Program  Linear  Di  Sman  3  Sidrap. PRINSIP Pendidikan Matematika , 4 (1), 9–17. https://doi.org/https://doi.org/10.33578/prinsip.v4i1.95
Zulhendri,  Ahmad  Fauzan,  Made  Arnawa,  Edwin  Musdi,  &  Yerizon.  (2022).  Analysis  Of Mathematics  Student  Error  To  Solve  Problems  Of  Linear  Programs. International  Journal Of Humanities Education and Social Sciences (IJHESS) , 1 (5), 774–780. https://doi.org/10.55227/ijhess.v1i5.156