## Penggunaan Matriks Sirkulan dalam Modifikasi Metode Hill Cipher

## Sisilia Sylvinani
Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran, sisilia.sylviani@unpad.ac.id

## Fahmi Candra Permana
Program Studi Pendidikan Multimedia, Universitas Pendidikan Indonesia
ABSTRAK , Metode Hill Cipher adalah salah satu teknik kriptografi  klasik  yang  digunakan  untuk  mengenkripsi teks.  Namun,  metode  ini  memiliki  beberapa  kelemahan, seperti ketika ukuran matriks kunci tidak memenuhi syarat tertentu. Dalam artikel ini, dibahas modifikasi metode Hill Cipher  dengan  memanfaatkan  matriks  sirkulan  untuk mengatasi  kelemahan  tersebut.  Pada  metode  Hill  Cipher, teks terbagi menjadi blok-blok yang memiliki ukuran yang sama  dengan  matriks  kunci.  Kemudian,  matriks  kunci digunakan  untuk  mengenkripsi  setiap  blok  teks.  Namun, jika  ukuran  matriks  kunci  tidak  memenuhi  syarat  bahwa determinan  matriks  kunci  harus  relatif  prima  dengan ukuran  alfabet,  maka  metode  ini  tidak  dapat  diterapkan. Matriks  sirkulan  adalah  matriks  khusus  di  mana  elemen- elemennya  diatur  sedemikian  rupa  sehingga  jika  satu elemen  digeser,  elemen-elemen  lainnya  akan  mengikuti pola tertentu. Dalam artikel ini ditunjukkan bahwa dengan menggunakan  matriks  sirkulan,  dapat  dihasilkan  matriks kunci yang memenuhi syarat determinan untuk metode Hill Cipher.
Kata Kunci: Hill Cipher, kriptografi, matriks sirkulan

## 1. PENDAHULUAN
Dalam dunia yang semakin terhubung dan tergantung  pada  teknologi  digital,  keamanan informasi  menjadi  isu  yang  sangat  penting. Seiring  dengan  berkembang  pesatnya  dunia digital  saat  ini,  kekhawatiran  tentang  tingkat keamanan dari data yang disimpan atau dikirim secara  digital  juga  merupakan  hal  menjadi perhatian.  Data  sensitif  dan  rahasia  harus dilindungi agar tidak jatuh ke tangan yang salah dan  disalahgunakan.  Oleh  karena  itu,  teknik kriptografi hadir sebagai sarana untuk melindungi  dan  mengamankan  data.  Untuk menjawab  tantangan  tersebut,  banyak  metode yang  ditawarkan,  salah  satunya  adalah  dengan menggunakan Kriptografi.
Secara umum, kriptografi merupakan ilmu atau  seni  mengirim  dan  menerima  pesan  yang dirahasiakan  atau  dikodekan  (Baumslag  et  al., n.d.).  Kriptografi telah ada selama berabad-abad, dan  seiring  dengan  perkembangan  teknologi, metode  kriptografi  juga  mengalami  evolusi.
Salah  satu  teknik  kriptografi  klasik  yang  masih digunakan  hingga  saat  ini  adalah  metode  Hill Cipher.  Metode  ini  pertama  kali  diperkenalkan oleh Lester S. Hill pada tahun 1929 dan menjadi populer  karena  kecepatan  dan  keamanannya. Pesan  asli  yang  akan  dirahasiakan  atau disembunyikan disebut sebagai plainteks sedangkan pesan yang disembunyikan atau yang sudah berbentuk sandi disebut sebagai cipherteks.  Adapun  proses  merubah  suatu plainteks  ke  cipherteks  disebut  dengan  proses enkripsi,  sedangkan  proses  sebalikanya  atau dengan kata lain merubah cipherteks ke plainteks disebut sebagai proses dekripsi.
Algoritma kriptografi terbagi ke dalam dua kategori  yaitu  simetris  dan  asimetris.  Kategori yang  pertama,  Algoritma  kriptografi  simetris ialah  algoritma  yang  memanfaatkan  kunci  yang identik  untuk  melakukan  proses  enkripsi  dan dekripsi. Sedangkan algoritma kriptografi asimetris  ialah  algoritma  yang  memakai  kunci yang  berbeda  untuk  melakukan  proses  enkripsi dan  dekripsi.  Didalam  artikel  ini  dibahas mengenai  salah  satu  algoritma  kriptografi simetris  yaitu  Hill  cipher  berbasis  matriks sirkulan.
Hill cipher merupakan merupakan algoritma  block  cipher  dimana  plainteks  dibagi menjadi  blok-blok  yang  memiliki  ukuran  yang sama, alat pembuka atau kuncinya adalah matriks yang  invertible  dan  berukuran 𝑛 𝑥 𝑛 ,  dengan 𝑛 merupakan ukuran blok (El et al., n.d.) . Namun, Hill  cipher  memiliki  kekurangan  yang  cukup signifikan  yaitu  plainteks  dan  cipherteksnya sangat  rentan  untuk  dapat  diakses  oleh  orang lain. Dengan demikian informasi rahasia seperti kunci  dan  kodenya  dapat  diketahui  dengan mudah.  Oleh  karena  itu  metode  Hill  Cipher sudah  tidak  digunakan  lagi  dalam  proses pengiriman  pesan  rahasia.  Namun  demikian, secara  pedagogic,  Hill  Cipher  masih  memiliki peranan yang penting dalam kriptologi, terutama
karena kombinasi keamanan dan fleksibilitasnya yang tergantung pada konsep aljabar linier.
Beberapa  alasan  mengapa  Hill  Cipher masih  memegang  peranan  penting  diantaranya adalah  penggunaan  matriks  sebagai  kunci enkripsi.  Proses  enkripsi  melibatkan  perkalian matriks dan operasi modulo, yang memanfaatkan sifat-sifat  aljabar  linier.  Kemudian,  keamanan Hill Cipher tergantung pada kesulitan memecahkan persamaan matriks, yang merupakan  masalah  yang  rumit  dan  sulit dipecahkan  jika  ukuran  matriks  (kunci)  cukup besar.  Penelitian  terkait  Hill  Cipher  terus dilakukan dalam rangka meningkatkan kemanan dari  hill  cipher  yang  masih  terus  digunakan dikarenakan  penggunaan  matriks  sebagai  kunci memberikan  keunikan  dan  fleksibilitas  dalam desain  kunci.  Untuk  itu,  dalam  artikel  ini  akan dibahas  beberapa  pengembangan  dari  metode tersebut.
Metode Hill Cipher menggunakan matriks kunci  sebagai  kunci  enkripsi.  Teks  yang  akan dienkripsi  dibagi  menjadi  blok-blok  yang memiliki  ukuran  yang  sama  dengan  matriks kunci.  Setiap  blok  teks  diubah  menjadi  vektor kolom dan dikalikan dengan matriks kunci. Hasil perkalian tersebut menghasilkan teks terenkripsi. Meskipun metode Hill Cipher memiliki keunggulan, seperti kemampuan untuk mengenkripsi  data  dengan  cepat  walaupun metode  ini  juga  memiliki  beberapa  kelemahan yang  perlu  diperhatikan.  Salah  satu  kelemahan utamanya adalah pemilihan ukuran matriks kunci yang memenuhi syarat-syarat tertentu.
Salah  satu  syarat  penting  dalam  metode Hill  Cipher  adalah  determinan  matriks  kunci harus  relatif  prima  dengan  ukuran  alfabet  yang digunakan.  Jika  determinan  matriks  kunci  tidak memenuhi syarat ini, matriks invers dari matriks kunci  tidak  akan  ada,  dan  metode  Hill  Cipher tidak  dapat  diterapkan.  Kelemahan  ini  menjadi kendala dalam penggunaan metode Hill Cipher, terutama ketika ingin mengenkripsi teks dengan ukuran  yang  tidak  kompatibel  dengan  matriks kunci yang tersedia. Ini mengurangi fleksibilitas metode Hill Cipher dalam mengenkripsi berbagai jenis  teks  dengan  ukuran  yang  beragam.  Untuk mengatasi  kelemahan  ini,  diusulkan  modifikasi metode  Hill  Cipher  dengan  memanfaatkan konsep matriks sirkulan.
Matriks  sirkulan  adalah  matriks  persegi yang setiap baris atau kolomnya dapat dihasilkan dengan memutar baris atau kolom sebelumnya ke posisi  berikutnya  tanpa  mengubah  urutan elemennya,  dan  sifat  ini  memiliki  aplikasi penting dalam perkalian matriks, invers matriks, pemrosesan sinyal, dan aljabar linier, memberikan  kontribusi  dalam  pengolahan sinyal,  analisis  numerik,  dan  perancangan algoritma. Dengan menggunakan matriks sirkulan,  dapat  dibangun  suatu  matriks  kunci yang memenuhi syarat determinan dengan lebih fleksibel.

## 2. METODOLOGI
Adapun  metode  penelitian  yang  digunakan adalah sebagai berikut:
1. Langkah pertama dalam penelitian ini adalah melakukan  studi  literatur  yang  mendalam tentang metode Hill Cipher, konsep matriks sirkulan, dan penelitian terkait lainnya. Studi literatur akan memberikan pemahaman yang kuat  tentang  dasar-dasar  teori  yang  terkait dengan topik penelitian ini.
2. Selanjutnya,  akan  dianalisis  secara  rinci kelemahan  metode  Hill  Cipher  terkait dengan  pemilihan  ukuran  matriks  kunci. Akan  ditinjau  syarat-syarat  yang  harus dipenuhi oleh matriks kunci dan konsekuensinya  jika  syarat-syarat  tersebut tidak terpenuhi.
3. Kajian  Konsep  Matriks  Sirkulan  yang ditinjau dari segi aljabar.
4. Berdasarkan  pengetahuan  yang  diperoleh dari  studi  literatur  dan  analisis  kelemahan metode  Hill  Cipher,  dirancang  modifikasi metode  Hill  Cipher  dengan  menggunakan matriks sirkulan.
5. Berdasarkan  hasil  dan  analisis  yang diperoleh,  dilakukan  diskusi  terhadap  hasil kajian ini.
Melalui  pendekatan  metodologi  ini,  diperoleh pemahaman yang komprehensif tentang penggunaan  matriks  sirkulan  dalam  modifikasi metode  Hill  Cipher.  Metodologi  ini  memberi peluang  untuk  menganalisis  keefektifan  dan keamanan  modifikasi  ini,  serta  memberikan panduan untuk pengembangan lebih lanjut.
Di sisi lain, Pertanyaan-pertanyaan berikut menjadi  fokus  kajian  yang  disajikan  dalam artikel  ini  adalah,  yang  pertama,a  Bagaimana sifat-sifat matriks sirkulan? Kemudian Pertanyaan  Penelitian  yang  kedua  adalah Bagaimana implementasi matriks sirkulan dalam modifikasi  metode  hill-cipher?  Pertanyaan Penelitian  yang  terakhir  adalah  Bagaimana Algoritma  hasil  modifikasi  metode  hill-cipher dengan menggunakan matriks sirkulan?
Untuk  menjawab  pertanyaan  penelitian pertama dilakukan tinjauan pustaka yang relevan dengan  definisi  dan  sifat-sifat  dari  matriks sirkulan. Untuk menjawab pertanyaan penelitian kedua  dilakukan  penelitian  terkait  dengan  cara menggabungkan  secara  efektif  suatu  matriks sirkulan  ke  dalam  metode  hill  cipher.  Terakhir, untuk  menyelidiki  pertanyaan  penelitian  ketiga, dilakukan  implementasi  matriks  sirkulan  ke dalam metode hill cipher ke dalam algoritma

## 3. PEMBAHASAN
Hill  cipher  merupakan  algoritma  blok cipher  polialfabet  yang  berbasis  transformasi linier (Reddy et al., 2012). Teks cipher dituliskan sebagai 𝐶 = 𝐾𝑃 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ,  di  mana 𝐾 adalah matriks kunci, 𝑃 adalah plaintext, dan 𝐶 adalah ciphertext,  dan  proses  decoding  dituliskan sebagai:
𝑃 = 𝐾 −1 𝐶 𝑚𝑜𝑑 𝑚
Nilai dari m yang digunakan dalam Hill cipher  adalah  26,  namun  nilainya  dapat  diubah sesuai dengan keperluan. Kunci dari Hill cipher adalah 𝐺𝐿 (𝑛, 𝑍 𝑚 ) yang merupakan sekumpulan matriks berukuran 𝑛 𝑥 𝑛 yang invertible terhadap 𝑍 𝑚 .  Peluang  terambilnya  matriks  persegi  yang invertible adalah satu, untuk nilai modula prima yang  besar.  Sementara  nol  untuk  modula komposit dengan pembagi prima yang berbeda- beda.  Jadi,  kesalahan  dalam  mengambil determinan  yang  memiliki  faktor  dari  modulus, dapat  dikurangi  dengan  mengambil  bilangan prima  sebagai  modulusnya.  Sehingga,  bilangan prima  dapat membuat matriks kunci yang lebih banyak daripada bilangan komposit.
Kerahasiaan  Hill  cipher  biasanya didasarkan pada kunci matriks K dengan Rank n. Tujuan  utama  dari  Hill  cipher  adalah  untuk mencegah  diketahuinya  plaintext.  Adapun
kekurangan-kekurangan dari metode Hill Cipher adalah sebagai berikut:
1. Hill  Cipher  sangat  sensitif  terhadap perubahan  pada  data  teks  asli  yang  akan dienkripsi.  Jika  ada  perubahan  sedikit  pun pada  teks  asli,  maka  hasil  enkripsi  akan sangat berbeda. Hal ini membuat Hill Cipher tidak  tahan  terhadap  kesalahan  transmisi data,  seperti  kesalahan  pengetikan  atau kerusakan data saat transmisi.
2. Hill Cipher rentan terhadap serangan known plaintext,  di  mana  penyerang  memiliki pengetahuan tentang pasangan teks terenkripsi dan teks asli yang sesuai. Dalam Hill Cipher, jika penyerang memiliki cukup banyak pasangan plaintext-terenkripsi, mereka  dapat  menganalisis  pola  dan mencoba  memecahkan  matriks  kunci. Dengan matriks kunci yang terungkap, teks terenkripsi dapat dengan mudah didekripsi.
3. Hill  Cipher  menggunakan  matriks  kunci sebagai  komponen  penting  dalam  proses enkripsi dan dekripsi. Ukuran matriks kunci bergantung  pada  ukuran  blok  teks  yang dienkripsi.  Namun,  semakin  besar  ukuran matriks  kunci,  semakin  kompleks  operasi matematika  yang  terlibat  dalam  proses enkripsi dan dekripsi. Ini dapat mengakibatkan peningkatan overhead komputasi  dan  mempengaruhi  efisiensi metode Hill Cipher, terutama saat mengenkripsi atau mendekripsi teks dengan ukuran yang besar.
4. Hill  Cipher  dirancang  untuk  mengenkripsi teks  dalam  alfabet  tertentu,  seperti  alfabet Inggris  dengan  huruf  kapital.  Metode  ini tidak secara langsung dapat diterapkan pada teks  dengan  karakter  khusus,  angka,  atau alfabet  lainnya.  Jika  digunakan  untuk mengenkripsi teks dalam bahasa atau sistem lain yang memiliki aturan karakteristik yang berbeda,  perlu  dilakukan  penyesuaian khusus dalam implementasinya.
5. Hill  Cipher  bekerja  dengan  membagi  teks asli  menjadi  blok-blok  n  huruf,  di  mana  n adalah  ukuran  matriks  kunci.  Kelemahan yang  muncul  adalah  bahwa  setiap  blok hanya dipengaruhi oleh matriks kunci yang sama. Jika ada kesamaan pola atau korrelasi
yang terdeteksi di dalam blok-blok tersebut, penyerang dapat menggunakan informasi ini untuk menganalisis dan  memecahkan matriks kunci.
Penting
untuk mempertimbangkan kelemahan-kelemahan  ini  saat  menggunakan metode  Hill  Cipher  dan  mengidentifikasi skenario  di  mana  metode  ini  mungkin  tidak memberikan  keamanan  yang  optimal.  Dalam beberapa  kasus,  alternatif  lain  seperti  algoritma kriptografi modern dapat lebih direkomendasikan.  Modifikasi  metode  Hill Cipher  dengan  menggunakan  matriks  sirkulan melibatkan  perubahan  pada  langkah-langkah enkripsi  dan  dekripsi.  Penggunaan  matriks sirkulan  dalam  proses  ini  bertujuan  untuk meningkatkan keamanan sistem dengan mengurangi  kelemahan  metode  Hill  Cipher terhadap serangan known plaintext.
Matriks sirkulan ialah matriks yang setiap barisnya  dirotasikan  satu  entri  ke  kanan  relatif terhadap  vektor  baris  sebelumnya  dengan  entri diagonalnya  yang  sama.  Matriks  sirkulan  dapat ditulis sebagai :
dan dinotasikan dengan 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑙(𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛−1 ).
Sebuah  matriks  sirkulan 𝑛 𝑥 𝑛 disebut sirkulan  utama jika 𝑔𝑐𝑑 vektor  barisnya  adalah 1.  Sebagai  contohnya,  matriks  sirkulan 4 𝑥 4 dengan  vektor  baris (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) adalah  sirkulan utama jika 𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = 1. Misalkan 𝐺 ialah sebuah matriks, Matriks koefisien 𝐺 dinotasikan dengan 𝐺 𝑐 dan didefinisikan sebagai 𝑐𝑖𝑟𝑐(𝑐𝑖𝑟𝑐(𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 1), 𝑐𝑖𝑟𝑐(𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 2), . . , 𝑐𝑖𝑟𝑐(𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑛)), dimana baris 1, baris 2,..., baris n adalah vektor baris  dari  matriks 𝐺 dan 𝑐𝑖𝑟𝑐(𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑖) adalah matriks  sirkuler  dari  baris  i.  Sebagai  contohnya jika 𝐺 adalah  matriks 2 𝑥 2 maka 𝐺 𝐶 adalah matriks 4 𝑥 4.
Modifikasi  Hill  Cipher  dapat  melibatkan representasi  kunci  kriptografi  sebagai  matriks sirkulan.  Sifat-sifat  khusus  matriks  sirkulan, seperti  kemudahan  dalam  perkalian  dan  invers, dapat  memengaruhi  kekuatan  dan  keamanan kunci.  Dalam  proses  enkripsi  Hill  Cipher, matriks  kunci  digunakan  untuk  mengalikan vektor teks terbuka.
Jika matriks kunci diubah menjadi matriks sirkulan, perkalian matriks dapat diimplementasikan dengan lebih efisien menggunakan  algoritma  seperti  Transformasi Fourier  Cepat  (FFT).  Sifat  invers  matriks sirkulan  dapat  digunakan  dalam  proses  dekripsi Hill Cipher. Memanfaatkan kemudahan menghitung  invers  matriks  sirkulan  dapat meningkatkan  efisiensi  dalam  proses  dekripsi dan mengurangi kompleksitas algoritma. Teorema  circulant,  yang  menyatakan  bahwa setiap matriks sirkulan dapat diagonalisasi dalam basis dari vektor-eigen sirkulan, dapat memberikan  wawasan  yang  berguna  dalam analisis keamanan modifikasi Hill Cipher.
Implementasi  matriks  sirkulan  dalam modifikasi  metode  Hill  Cipher  melibatkan penggunaan  matriks  kunci  yang  memiliki  sifat- sifat khusus dari matriks sirkulan. Berikut adalah beberapa  langkah  yang  dilakukan  diantaranya yang  pertama  adalah  penentuan  Matriks  Kunci Sirkulan. Matriks kunci Hill Cipher diubah agar memiliki  struktur  matriks  sirkulan.  Ini  dapat dilakukan  dengan  menyusun  matriks  kunci sedemikian  rupa  sehingga  setiap  baris  atau kolom  dapat  dihasilkan  dengan  rotasi  sirkular dari  baris  atau  kolom  sebelumnya.  Selanjutnya yang  kedua  adalah  adanya  Efisiensi  Perkalian Matriks.
Keuntungan  utama  implementasi  matriks sirkulan terletak pada efisiensi perkalian matriks. Dalam  metode  Hill  Cipher  yang  dimodifikasi, perkalian  matriks  dapat  dioptimalkan  dengan memanfaatkan  sifat-sifat  aljabar  linier  matriks sirkulan.  Kemudian,  yang  ketiga adalah Penggunaan  Invers  Matriks  Sirkulan  dalam Dekripsi.  Jika  matriks  kunci  diubah  menjadi
matriks  sirkulan,  invers  matriks  sirkulan  dapat digunakan  dalam  proses  dekripsi.  Hal  ini  dapat meningkatkan efisiensi dalam perhitungan invers matriks dan mengurangi kompleksitas algoritma dekripsi.
Teorema  circulant  dapat  digunakan  untuk menganalisis  keamanan  modifikasi  Hill  Cipher yang  melibatkan  matriks  sirkulan.  Konsep  ini dapat  memberikan  wawasan  mengenai  struktur kunci  dan  keamanan  kriptografi  secara  umum. Lebih lanjut lagi, implementasi matriks sirkulan dapat  mempengaruhi  cara  kunci  kriptografi dikombinasikan secara linear dalam metode Hill Cipher  yang  dimodifikasi.  Pemilihan  dan pengembangan  kunci  dapat  dioptimalkan  untuk meningkatkan  keamanan.  Untuk  memberikan gambaran,  berikut  ini  adalah  contoh  sederhana proses  enkripsinya.  Misalkan  plainteks  "halo dunia" dan matriks kunci sirkulan berikut:
| 2 | 3 | 1 | | 1 | 2 | 3 |
Panjang  plainteks  adalah  10  karakter,  sehingga matriks kunci juga harus memiliki ukuran 10x10.
| h | a | l | o | d | u | n | i | a | | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | Matriks plainteks dikalikan dengan matriks kunci secara element-wise.
| h | a | l | o | d | u | n | i | a | | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | | 14 | 23 | 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | 41 | 44 | Hasil perkalian merupakan cipherteks.
| 14 | 23 | 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | 41 | 44 |
Adapun  untuk  proses  dekripsi,  digambarkan sebagai berikut. Misalkan cipherteks "142326293235384144"  dan  matriks  kunci sirkulan yang sama dengan contoh sebelumnya. | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 6 | 2 | 9 | 3 | 2 | | 3 | 5 | 3 | 8 | 4 | 1 | 4 | 4 | Matriks  cipherteks  dikalikan  dengan  matriks invers kunci secara element-wise.
| 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 6 | 2 | 9 | 3 | 2 | | 3 | 5 | 3 | 8 | 4 | 1 | 4 | 4 | | 14 | 23 | 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | 41 | 44 | Hasil perkalian merupakan plainteks. | h | a | l | o | d | u | n | i | a |

## Algoritma
Bagian  ini  akan  menjelaskan  tentang modifikasi  pada  Hill  cipher  yang  berbasis matriks sirkulan, dimana sebuah matriks sirkulan
utama dikirimkan sebagai alat untuk memecahkan  kode  yang  sifatnya  rahasia  dan sebuah  matriks 𝐺 non-singular  dipilih  sebagai sebuah  kunci  publik  sehingga  determinan  dari matriks  koefisien 𝐺 𝑐 adalah  nol.  Algoritmanya ialah sebagai berikut :
1. Pilih sebuah matriks 𝐺 non-singuler dengan orde 𝑛 𝑥 𝑛 sebagai  sebuah  kunci  publik sehingga determinan 𝐺 𝑐 =  0
2. Pilih  sebuah  matriks  sirkulan  utama 𝐴 sebagai kunci rahasianya.
3. Hitung kunci 𝐾 = 𝐴𝐺𝐴 −1 𝑚𝑜𝑑 𝑃 .
4. Enkripsi :
5. 𝑀 𝑖 adalah blok plaintext ke-i dengan ukuran
n.
6. 𝐶 𝑖 adalah blok ciphertext ke 𝑖 .
7. 𝐶 𝑖 = 𝐾𝑀 𝑖 + 𝑉 𝑖 𝑇 𝑚𝑜𝑑 𝑃 ,  dimana 𝑉 𝑖 adalah baris ke −𝑖 dari matriks sirkuler utama 𝐴 .
8. Dekripsi :
9. Hitung 𝐾 −1 = 𝐴𝐺 −1 𝐴 −1 𝑚𝑜𝑑 𝑃 10. 𝑀 𝑖 = 𝐾 −1 (𝐶 𝑖 − 𝑉 𝑖 𝑇 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑃
Disini 𝑉 adalah  baris  pertama  dari  matriks sirkulan  utama  A.  Untuk  setiap  blok  enkripsi plaintext,  digunakan  sebuah  vektor  kolom  V yang ditanspos kan menjadi bentuk vektor baris. ini  akan  meminimalisir  teraksesnya  ciphertext oleh  pihak  ketiga,  selama  modulanya  angka prima.  Ini  mengurangi  kapasitas  kunci  yang dibutuhkan dari 𝑛 2 elemen 𝑍 𝑝 menjadi hanya 𝑛 elemen,  karena  matriks  sepenuhnya  ditentukan oleh  baris  pertamanya.  Ini  juga  mengurangi lamanya waktu yang dibutuhkan untuk menghitung perkalian matriks.
Keamanan dari kriptosistem yang dikemukakan  ini  dibuat  berdasarkan  pemikiran terhadap  tingkat  kesulitan  dalam  penyelesaian fungsi  polinomial  multi-variabel  yaitu 𝐾 = 𝐴𝐺𝐴 −1 𝑚𝑜𝑑 𝑃 . Ini akan sulit untuk diselesaikan jika  modulanya  ialah  angka  prima  yang  besar. Sederhanakan  rumus  tersebut  menjadi 𝐺 𝑐 𝑋 = 𝑌 𝑚𝑜𝑑 𝑃 dimana  elemen  X  adalah  elemen- elemen dari matriks A dan 𝐴 −1 , elemen Y adalah elemen matriks K. Sebagai contohnya : A adalah matriks sirkulan utama 2 𝑥 2 , 𝐺 adalah matriks non-singular 2 𝑥 2 , dan kemudian rumus tersebut menjadi
Kemudian,  dilakukan  implementasi  algoritma tersebut  dalam  script  program  menggunakan Bahasa  C++,  adapaun  hasil  program  tersebut digambarkan di bawah ini.
Gambar 1. Contoh Output Program Modifikasi Hill Chiper dengan Matriks Sirkulan
Gambar  1  menguraikan  hasil  implementasi algoritma tersebut. Program tersebut mengimplementasikan  bagaiaman  melakukan proses  enkripsi  dan  dekripsi  dengan  modifikasi Hill  Cipher  berbasis  matriks  sirkulan.  Secara garis besar cara kerjanya adalah, terlebih dahulu tentukan  matriks  kunci  yang  akan  digunakan. Kemudian  pilih  proses  yang  akan  dilakukan Apakah  enkripsi  atau  dekripsi.  Setelah  itu diminta  untuk  menginputkan  pesan  atau  kode yang  ingin  diproses.  Setelah  itu  hasilnya  akan keluar.  Program  tersebut  dapat  menjadi  alat bantu  dalam  proses  pengiriman  sandi  menjadi lebih efektif dan edisien.

## 4. KESIMPULAN
Telah dilakukan kajian modifikasi metode Hill cipher yang memanfaatkan matriks sirkulan sebagai  alat  bantu  di  dalamnya.  Algoritma  ini menggunakan  kunci  rahasia  dalam  bentuk matriks sirkulan utama dan sebuah kunci publik dalam bentuk matriks, sehingga determinan dari matriks  koefisiennya  ialah  nol.  Algoritma  yang dikemukakan ini mempunyai invers matriks dan perkalian  sebagai  satu-satunya  operasi  yang
mana  tidak  membutuhkan  operasi  tambahan lainnya.  Kriptosistem ini mencegah teraksesnya plaintext  dan  ciphertext  oleh  pihak  ketiga.  Ini juga mencegah teraksesnya ciphertext oleh pihak ketiga, selama modulanya ialah angka prima.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penelitian ini didanai oleh Hibah Internal Unpad Riset  Percepatan  Lektor  Kepala  (RPLK)  tahun 2023 dengan Nomor Kontrak 1549/UN6.3.1/PT.00/2023

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Baumslag,  G.,  Fine,  B.  1948-,  Kreuzer,
M.,  &  Rosenberger,  G.  (n.d.).  A  Course in Mathematical Cryptography.
[2] Bakr,  M.  A.,  Mokhtar,  M.  A.,  & Takieldeen,  A.  E.  S.  (2018).  Elliptic curve cryptography modified Hill Cipher dependent on circulant matrix. International Journal of Industrial
Electronics  and  Electrical  Engineering, 6(1), 24-29.
[3] El, M. A., Bakr, H., Mokhtar, M. A., El, A., & Takieldeen, S. (n.d.). Elliptic Curve Cryptography  Modified  Hill  Cipher dependent on Circulant Matrix.
[4] ElHabshy, A. A. (2019). Augmented Hill Cipher.  Int.  J.  Netw.  Secur.,  21(5),  812- 818.
[5] Koukouvinos, C., & Simos, D. E. (2013).
Encryption schemes based on Hadamard matrices with circulant cores. Journal of Applied
Mathematics and Bioinformatics, 3(1), 17. [6] Maxrizal,  M.  (2019).  Hill  Cipher Cryptosystem  over  Complex  Numbers. Indonesian  Journal  of  Mathematics Education, 2(1), 9-13.
[7] Rauhut, H., Romberg, J., & Tropp, J. A.
(2012).  Restricted  isometries  for  partial random  circulant  matrices.  Applied  and Computational Harmonic Analysis, 32(2), 242-254.
[8] Reddy,  K.  A.,  Vishnuvardhan,  B., Madhuviswanatham, & Krishna, A. V. N. (2012). A Modified Hill Cipher Based on Circulant
Matrices. Procedia Technology, 4, 114–118.Ary, D., Jacobs, L.C.  &  Razavieh,  A.  1976.  Pengantar 1 2 3 4 11 2 1 4 3 12 3 4 1 2 21 4 3 2 1 22 g g g g k ac g g g g k ad g g g g k bc g g g g k bd                   =                  
Penelitian  Pendidikan.  Terjemahan  oleh Arief  Furchan.  1982.  Surabaya:  Usaha
nasional
[9] Yu, F., Kumar, S., Gong, Y., & Chang, S. F.  (2014,  June).  Circulant  binary embedding.  In  International  conference on  machine  learning  (pp.  946-954).
PMLR.ALIF,  A.,  2013.  Komputasi cerdas  untuk  pemula.  Malang:  ABC Press.