Vol. 13, No. 2,  112-121,  Januari  2017
Aplikasi Pemetaan Kucing Arnold pada Logo UNHAS
Arman Efendi 

## Abstrak
Pemetaan ini memetakan bujursangkar
    1 0 , 1 0 | ,      y x y x S secara satu-satu dan pada  menggunakan  transformasi     1 mod 2 , , y x y x y x T    .  Misalkan   y x , adalah
titik  pixel,  yaitu
200 n x  dan 200 m y  ,  dengan 199 , ... , 1 , 0  n dan 199 , ... , 1 , 0  m ,
maka dapat dibuktikan bahwa terdapat bilangan terkecil   p  yang merupakan perioda dari   S T .  Artinya,  untuk  setiap  titik  piksel   y x , berlaku       y x y x T p , ,   .  Pada
khususnya, jika p = 200 maka bilangan asli terkecil   p  = 150.
Kata Kunci : Pemetaan Kucing Arnold, logo UNHAS .

## 1. Pendahuluan
Berbagai  gejala  alam  menampilkan  prilaku  yang  rumit,  tak  dapat  diperkirakan,  tampak acak (random). Misalnya perubahan musim, aliran turbulen pada gelombang lautan. Karena tidak ada  hubungan  yang  jelas  antara  sebab  dan  akibat,  maka  gejala-gejala  semacam  ini  dikatakan memiliki elemen acak.
Dalam  banyak  kasus,  keacakan  yang  nampak  sesungguhnya  mengandung  keteraturan. Keacakan ( randomness ) demikian yang kemudian disebut dengan istilah galau ( chaos ). Pemetaan Kucing Arnold adalah salah satu dari sekian banyak jenis chaos . Pemetaan ini dinamakan  pemetaan  kucing  Arnold  setelah  seorang  matematikawan  Rusia  Vlamindir  I  Arnold yang pertama menjelaskan tentang pemetaan chaos dengan menggunakan diagram seekor kucing. Pemetaan Kucing Arnold merupakan pemetaan yang didasarkan atas pemetaan dari satu titik pada bidang datar ke titik yang lain dengan suatu transformasi tertentu.
Pada  penelitian  ini  akan  dipelajari  prilaku chaotic dari  perubahan  grafik,  dalam pembahasan ini dilakukan perubahan (transformasi) terhadap grafik yang awalnya adalah grafik logo UNHAS. Kembalinya grafik logo UNHAS ke bentuk semula setelah dikenai beberapa kali transformasi tertentu dari R 2 ke R 2 merupakan hasil yang seharusnya terjadi.

## 2. Model Kucing Arnold
Suatu  pemetaan  terhadap  satuan  bujur  sangkar  pada bidang- XY dan  konsep  perhitungan modulus  digunakan  untuk  menjelaskan  konsep  pemetaan  Kucing  Arnold.  Hukum  Algoritma Hasil Bagi Eucklid yang menyatakan bahwa apabila diberikan bilangan bulat a dan bilangan asli m ,  maka  bias  dicari  bilangan  bulat q dan r sedemikian  rupa  sehingga r mq a   ,  dengan
 SMA Negeri 1 Tanrilili Maros, email: armanefendi@gmail.com .
Arman Efendi
m r   0 . Dalam hal ini ditulis m r a mod  . Apabila 0  a dan semua bilangan diatas di bagi m diperoleh
m r q m a   .
Di sini ditulis
1 mod m r m a  . Jika mq a r   , maka dalam bilangan sistem perhitungan modulus dapat  di  tulis m r a mod  .  Sebagai  akibatnya  untuk  setiap  titik  bilangan  riil x ,  titik x mod  1 berapa pada interval [0,1) dan untuk setiap koordionat ( x,y ), titik ( x,y ) mod 1 berada pada daerah bujur  sangkar     1 0 , 1 0 ,      y x y x S .  Perhatikan  batas  atas  dan  batas  kanan  daerah bujursangkar tidak termuat dalam bujur sangkar S. Pemetaan Kucing Arnold adalah transformasi S S T  : yang didefenisikan dengan rumus
    1 mod 2 , , : y x y x y x T    .
Atau dalam bentuk notasi matriks
1 mod 2 1 1 1                          y x y x T .
Untuk memahami geometri Pemetaan Kucing Arnold, kesamaan di atas ditulis dalam bentuk
1 mod 1 0 1 1 1 1 0 1                                y x y x T ,
yang mengekspresikan Pemetaan Kucing Arnold sebagai komposisi pemekaran ( shear ) pada arah x dengan penambahan sebesar y , diikuti oleh pemekaran pada arah y dengan penambahan sebesar x, dan  akhirnya  disetarakan  dengan  bilangan  dalam  mod  1  sehingga T memetakan  semua  titik dalam bujur sangkar S kembali ke S .
Gambar 1. Posisi Kucing Arnold Pertama.
Sebagai  ilustrasi,  akan  dibahas  efek  Pemetaan  Kucing  Arnold  pada  bujur  sangkar  yang berisi  gambar  kucing  pada  Gambar  1.  Dapat  dibuktikan  bahwa  kedua  proses  penyetaraan,  yaitu penghitungan mod 1 yang dikerjakan langsung setelah pemekaran dan penghitungan mod 1 yang dikerjakan  setelah  kedua  pemekaran  selesai,  akan  memberikan  hasil  yang  sama  seperti  yang diperlihatkan  melalui  ilustrasi  gambar-gambar  berikut.  Langkah-langkahnya  adalah  sebagai berikut.

## Arman Efendi
Langkah 1. Pemekaran pada arah x dengan penambahan sebesar y . Posisi Kucing Arnold setelah mengalami pemekaran pertama     y y x y x , ,   , dapat dilihat dalam Gambar 2. Dalam notasi matriks                     y y x y x 1 0 1 1 .
Gambar 2. Posisi Kucing Arnold Setelah
Mengalami Pemekaran Pertama,     y y x y x , ,   .
Langkah 2. Pemekaran pada arah y dengan penambahan sebesar x . Posisi Kucing Arnold setelah mengalami  pemekaran  kedua     y x x y x   , , , dapat  dilihat  dalam  Gambar  3.  Dalam  notasi matriks                     y x x y x 1 1 0 1 .
Gambar 3. Posisi Kucing Arnold Setelah
Mengalami Pemekaran Kedua,     y x x y x   , , .
Langkah 3. Hasil akhir disetarakan mod 1, dapat dilihat pada Gambar 4.
    y x x y x   , ,     1 mod , , y x y x 
Gambar 4. Hasil Akhir Setelah Pemekaran yang Disetarakan mod 1.
Efek  geometri  dari  perhitungan  mod  1  adalah  untuk  memecahkan  parallelogram  (yang berwarna gelap) pada Gambar 3, dan menggabungkan semua potongan hasil pemecahan tersebut dalam bujur sangkar satuan     1 0 , 1 0 | , 2       y x R y x S pada Gambar 4.
Gambar-gambar  tersebut  memberikan  ilustrasi  pemetaan  Arnold  dengan  mengerjakan kedua  pemekaran  terlebih  dahulu  dan  akhiri  dengan  perhitungan  mod  1.  Untuk  implementasi komputer, penghitungan-penghitungan modulo 1 pada tiap langkah pemekaran akan lebih efisien dibanding penghitungan–penghitungan pada bagian paling akhir setelah semua pemekarn selesai, walaupun secara teoritis kedua cara penghitungan tersebut memberi hasil yang sama.
Fakta  di  atas  disebabkan  karena    nilai  bilangan  pada  komputer  selalu  terbatas (menghindari overflow )  dan  operasi  penghitungan  bilangan  bulat  yang  kecil  nilainya  jauh  lebih mudah dan efisien daripada bilangan-bilangan bulat yang besar. Illustrasi hasil Pemetaan Kucing Arnold  apabila  penghitungan  modulus  1  dilakukan  langsung  setelah  pemekaran  adalah  sebagai berikut.
Langkah 1. Pemekaran pada arah x dengan penambahan sebesar y , kemudian disetarakan dengan mod 1, ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Posisi Kucing Arnold Setelah Pemekaran Pertama dan Disetarakan mod 1,     1 mod , , y y x y x   .
Langkah 2. Pemekaran pada arah y dengan penambahan sebesar x , kemudian disetarakan dengan mod 1, ditunjukkan pada Gambar 6.
Gambar 6. Posisi Kucing Arnold Setelah Pemekaran Kedua dan Disetarakan mod 1,
    1 mod , , y x x y x   .
Dalam tulisan ini, Pemetaan Kucing Arnold terhadap sebuah gambar akan berkali-kali dilakukan, dan  pada  umumnya  setiap  pemetaan  memberikan  hasil  berupa  gambar  yang  tampaknya  tak beraturan  (gambar  yang chaotic ).  Untuk  sembarang  bilangan  bulat  tak  negatif k terdapat a k ,b k ,c k ,d k  Z p sedemikian rupa sehingga
              k k k k k k d c b a p p A mod 2 1 1 1 mod . Jika
            p k y p k x ) ( ) (
adalah titik pixel hasil iterasi ke k terhadap titik pixel awal
            p y p x ) 0 ( ) 0 (
maka diperoleh
kesamaan matriks ⌊ ( ) ( ) ⌋        [ ] [ ( ) ( ) ]

## 3. Titik Pixel
Pemetaan yang bersifat chaotic seperti Pemetaan Kucing Arnold biasanya muncul dalam model fisik dimana suatu operasi yang sama dikerjakan secara berulang-ulang.

## Arman Efendi
Gambar 7. Hasil-hasil Pemekaran Setelah Mengalami 25 Kali Iterasi.
Gambar 7 yang dibuat dalam komputer memperlihatkan efek 25 iterasi. Pemetaan Kucing Arnold pada unit bujur sangkar S . Secara umum, jika terdapat p pixel persisinya (baris atau kolom), maka dalam  bujursangkar  satuan  tersebut  terdapat p 2 titik  pixel  yang  secara  seragam,  dua  pixel  yang berdampingan berjarak p 1 satuan ke arah x maupun y . Jadi titik pixel dalam bujur sangkar satuan memiliki bentuk koordinat       p n p m , , dengan m dan n adalah bilangan bulat antara 0 sampai p –1.
Pemetaan  Kucing  Arnold  membawa  titik  pixel  pada  bujur  sangkar  satuan S ke  titik  pixel  yang lain dalam S . Maka, dengan bentuk koordinat       p n p m , terbentuklah matriks seperti berikut 1 mod 2 1 mod 2 1 1 1
                                              p n m p n m p n p m p n p m T .
Jadi  hasil  pemetaan  di  atas  yaitu  pasangan  terurut
1 mod 2 ,         p n m p n m juga  berbentuk
      p n p m ' , ' dengan m’ dan n’ berada pada range 0,1,2,…, p -1.

## 4. Simulasi Grafik Logo UNHAS
Pada  bagian  ini  akan  diillustrasikan  efek  pemetaan  kucing  Arnold  pada  Logo  UNHAS (lihat Gambar 8), yang digambarkan pada bujur sangkar yang berisi logo UNHAS dengan pixel sebanyak 200 per sisi. Titik pixel berbentuk       200 , 200 n m , dengan persamaan 1 mod 2 1 mod 2 1 1 1
                                              p n m p n m p n p m p n p m T , menjadi 1 mod 200 2 200 1 mod 200 200 2 1 1 1 200 200                                         n m n m n m n m T .
Jadi terdapat 40.000 pixel yang didapatkan dari rumus p 2 dimana p = 200.
Gambar 8. Gambar Logo UNHAS.
Jadi  perhitungan  untuk  gambar–gambar  berikut  memperlihatkan  perubahan-perubahan  akibat iterasi yang dilakukan pada logo UNHAS ini.
Arman Efendi
Gambar 9. Hasil Iterasi ke 4.
Gambar 10. Hasil Iterasi ke 75.
Gambar 11. Hasil Iterasi ke 130.
Arman Efendi
Gambar 12. Hasil Iterasi ke 149.
Gambar 13. Hasil Iterasi ke 150.

## 5. Kesimpulan
Pemetaan Kucing Arnold adalah transformasi, S S T  : dengan
  } 1 0 , 1 0 | , {      y x y x S dan     1 mod 2 , , y x y x y x T    .  Jika  ( x,y )  adalah  titik  pixel
maka untuk suatu bilangan asli n , ) , ( ) , ( '' y x y x T  tetapi
  ) , ( ),..., , ( , ), , ( ) , ( 1 2 y x T y x y x T y x y x T n     .  Dalam  hal  ini, n disebut  perioda  dari  titik pixel ( x,y ). Secara umum, bujur sangkar S terdiri atas p titik pixel yang sebaris dan p titik pixel yang sekolom dan setelah melalui beberapa kali iterasi akhirnya kembali ke bentuk semula untuk pertama kalinya.
5.2. Saran
Penelitian  ini  dapat  dikembangkan  untuk  jumlah p yang  lebih  banyak  agar  lebih  akurat dan dikembangkan untuk matriks yang berbeda

## Daftar Pustaka
Anton,  H.  dan  Rorres,  C.,  1994. Elementary  Linier  Algebra:  Application  Version , Seventh Edition . Jhon Wiley & Sons Inc., New York.
Cullen,  C.G.  dan  Sumantri,  B.,  1992. Aljabar  Linear  dengan  Penerapannya , Cetakan  Pertama . Jakarta.
Ivan  dan  Zuckerman,  H.S.,  1962. An  Introduction  to  The  Theory  of    Numbers , Second  Edition. New York, London.
Nalwan,  A.,  1996. Pemrograman  Animasi  dan  Game  Profesional  1 .  Elex  Media  Komputindo, Jakarta.
Setiawan, S., 1991. Chaos , Edisi Pertama . Andi Offset, Yogyakarta.