## PENDAHULUAN
Kegunaan  rak  diantaranya  adalah  untuk menempatkan  barang.  Di  dalam  rak,  barang dapat  disusun  dan  ditata  dengan  praktis  dan efisien,  sehingga  dapat  dilihat  dari  berbagai arah.  Yang  dimaksud  barang  disini  adalah: barang  rumah  tangga  (berupa  barang  pakai, pecah belah, pot bunga), barang kantor, barang toko  ataupun  etalase.  Bentuk  rak  umumnya menggunakan  objek-objek  geometri  bidang sederhana  (segiempat,  lingkaran,  dan  elips). Struktur  komponen  yang  digunakan  (bagian penyangga dan bagian tiang rak) masih bersifat tunggal dan datar. Arah penataan penyusun rak terdiri  atas  arah  horizontal  saja,  sehingga bidang  permukaan  terlihat  sama  dan membosankan.
Tika (2011) melakukan pemodelan rak built in dengan enam ide rak kompak. Jenis rak built in cukup  f l e k s i b e l  d a n multi  fungsi. Kendalanya  bentuk  dan  ukuran r a k built  in harus terlebih dahulu disesuaikan dengan posisi ruangan. Jenis rak yang lain, yaitu: rak bunga. Wiwit (2012) mengenalkan prosedur konstruksi rak pot bunga menggunakan kurva dan operasi geometri.  Kelemahannya  hasil  modelisasi  rak hanya  arah  tegak  (vertikal),  kurang  bervariasi sudut  pandang  dan  bidang  permukaannya masih terbatas. Dari beberapa keterbatasan ini, maka  selanjutnya  perlu  dikembangkan  model rak dengan penataan berbentuk miring ataupun
melingkar. Permasalahannya  adalah,  pertama, bagaimana  mengkonstruksi  komponen  rak bagian  penyangga  (kaki)  rak  berbentuk lengkung dan tidak tunggal. Kedua, bagaimana mengkonstruksi  bagian  utama  (tiang)  rak sehingga  bentuknya  dapat tegak,  miring, memutar, simetris, dan setimbang.

## METODE
Metode penelitian untuk desain komponen rak penataan  barang  secara  garis  besar  dilakukan dalam  dua  tahap.  Pertama,  mengkonstruksi bagian  penyangga  (kaki)  rak  berbentuk lengkung  dan  ti dak  t unggal.  Kedua, mengkonstruksi  bagian  utama  (tiang)    rak, sehingga  bentuknya  tegak,  miring,  memutar, simetris,  dan  setimbang.  Masing-masing dengan  menggunakan  bantuan  kurva  dan permukaan   natural, Hermit , ataupun kuadratik Bezier . Selanjutnya  disajikan  hasil  validasi visual  bentuk  desain  rak  penataan  barang dengan menggunakan software komputer.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Desain Komponen Penyangga/Kaki Rak A. Berbasis Kerangka Kubus Ditetapkan data kerangka kubus ABCD.EFGH dengan    panjang  rusuk 25 cm ⩽ a ⩽ 50 cm , AB/ / OY dan BC // OX Pusat  bidang  alas  bawah O (0,0,0)  dan pusat alas atas P (0,0, a ).

## Desain Komponen Rak Penataan Barang dengan Kurva
dan Permukaan Parametrik

## Rack Storage Component Design by Parametric Curves and Surfaces
Puji Astuti dan Kusno *)
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Jember
*) Email: k usno.fmipa@unej.ac.id

## ABSTRACT
The purpose of study is to obtain procedures of designing several models of rack support and pole component, so that the shape are varies, symmetrical, graded, and balance. The results show that the procedure of designing rack support component can be done by taking some data of a space frame construction of the cube, triangular prism, or cone, then we set a few points on the frame to build piece of parametric curve. Finally we interpolate the curves to find a rack support surfaces. As  for  the  rack  pole  component,  the  procedures  are:  we  extract  data  of  straight  line  segments, oblique or helical shape, then we enumerate the lines into several sub-segments, and then breaks it down to build the trending, chain, and graded curve to get a balance rack pole .
Keywords: rack component, support, pole,  natural, hermit, quadratic Bezier curve.

## a.   Model Kaki Rak Sejajar
Berdasar  dari  data  kerangka  kubus  tersebut dapat didesain kaki rak model sejajar berikut.
1. Menetapkan beberapa  titik  pada  pasangan rusuk-rusuk  sejajar  kubus  diantaranya: Kasus 6 titik A, B, C, P 1 dan P 3 , kasus 8  titik A,  B,  C,  D,  P 1 , P 2 , P 3 ,dan P 4 , kasus 12  titik I,  J,  K,  L,  M,  N, Q,  R,
P 1 , P 2 , P 3 ,dan P 4 , atau  kasus  9  titik k o n t r o l kelengkungan  kurva  Bezier kuadratik. Dipilih koordinat:
P 1 ( ½ ( x E + x F )+ ½ ( y E + y F )+ ½ ( z E + z F )) , P 2 ( ½ ( x F + x G )+ ½ ( y F + y G )+ ½ ( z F + z G )) , P 3 ( ½ ( x G + x H )+ ½ ( y G + y H )+ ½ ( z G + z H )) , P 4 ( ½ ( x E + x H )+ ½ ( y E + y H )+ ½ ( z E + z H )) , O 1 ( ½ ( x A + x B )+ ½ ( y A + y B )+ ½ ( z A + z B )) , O 2 ( ½ ( x A + x C )+ ½ ( y B + y C )+ ½ ( z B + z C )) , O 3 ( ½ ( x C + x D )+ ½ ( y C + y D )+ ½ ( z C + z D )) , O 4 ( ½ ( x A + x D )+ ½ ( y A + y D )+ ½ ( z A + z D )) ,
dengan   tempat  kedudukan:
⃗ OI = ⃗ OO 1 + ( 1 − λ ) ⃗ OA , ⃗ OJ = ⃗ OO 1 + ( 1 − λ ) ⃗ OB , ⃗ OK = ⃗ OO 2 + ( 1 − λ ) ⃗ OB , ⃗ OL = ⃗ OO 2 + ( 1 − λ ) ⃗ OC , ⃗ OM = ⃗ OO 3 + ( 1 − λ ) ⃗ OC , ⃗ ON = ⃗ OO 3 + ( 1 − λ ) ⃗ OD , ⃗ OQ = ⃗ OO 4 + ( 1 − λ ) ⃗ OA , ⃗ OR. = ⃗ OO 4 + ( 1 − λ ) ⃗ OD dengan  λ ϵ [0, ½].
2.  Dengan formula: E XOY ( t )=〈 r 1 cos t , r 2 sin t , 0 〉 ,
E XOZ ( t )=〈 r 1 cos t , 0, r 2 sin t 〉 , E YOZ ( t )=〈 0, r 1 cos t ,r 2 sin t 〉 untuk a ⩽ r ⩽ b ; c ⩽ r 1 , r 2 ⩽ d , r 1 ≠ r 2 dan 0 ⩽ t ⩽ 2π menarik  kurva dari  titik  hasil  perlakuan  (1)  antara  lain sebagai berikut.
• Dengan pusat O 1 dan O 3 ditarik busur ̂ AP 1 B dan ̂ CP 3 D dari  data  6 titik,  maka  diperoleh  bentuk  setengah elips  dengan  sumbu  mayor a satuan dan  sumbu  minor      ½ a satuan  yang kongruen.
• Data  8  titik  dapat  ditarik  busur
̂ AP 1 B , ̂ BP 2 C , ̂ CP 3 D , dan ̂ AP 4 D diperoleh  bentuk  setengah elips  yang  kongruen  dengan  pusat
O 1 , O 2 , O 3 , dan O 4 .
• Data 9 titik kontrol kelengkungan kurva Bezier kuadratik Q = ( x0 , y0 , z ) bangun kurva  Bezier  kuadratik  untuk  tiap pasangan titik kontrol ( A i , P , B i ’). • Data 12 titik, membangun elips berpusat di O 1 ,O 2 , O 3 , d a n O 4 d i p e r o l e h  b u s u r ̂ IP 1 J , ̂ KP 2 L ,
̂ MP 3 N , dan ̂ QP 4 R , memberikan  bentuk  potongan  setengah elips dengan sumbu mayor a satuan dan s u m b u  m i n o r ( 1 − λ ) a satuan dengan 0 ⩽ λ ⩽ 1.
(a)
(b)
Gambar 1 Contoh model kaki rak sejajar
3.  Membangun  permukaan  lengkung  hasil interpolasi  kurva  ruang  melalui  persamaan berikut:
S ( u , v )=( 1 − v ) C 1 ( u )+ vC 2 ( u ) dengan  0 ⩽ u ⩽ 1  dan 0 ⩽ v ⩽ 1, C 1 ( u ) dan C 2 ( u ) , merupakan kurva batas.
Pada Gambar 1 di atas  disajikan beberapa hasil visual  untuk  validasi  model  kaki  rak  sejajar tersebut.

## b.  Model Kaki Rak Berpotongan
Tahapan  desain  kaki  rak  model  berpotongan dilakukan  menurut urutan berikut ini.
1.  Menentukan titik potong pusat simetris kaki rak:
• Kasus 5 titik A, B, C, D dan satu titik pusat sisi atas P (0,0, a ). • Kasus 6 titik A, B, C, D, P dan Q terletak pada segmen garis OP (sumbu Z) dengan koordinat titik Q ( 0,0, z ⃗ OQ + ( 1 − λ ) ⃗ OP ) untuk   ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a.
• Kasus  9  titik, ( A,C ) , ( B,D ) , ( I,K ) , ( J,L ), dan P (0,0, a ). Dua pasang titik   ( I,K ) , dan ( J,L ) terletak  pada  diagonal A C dan BD berjarak l  dari  titik A, B, C, D atau titik A, B, C, D, P, dan  titik I, J, K, L terletak pada  rusuk  tegak  AE,  BF,  CG,  DH berjarak l dari titik A, B, C, D dengan λ ϵ [¼, ½].
• Kasus 10 titik, A, B, C, D dan I, J, K, L terletak  pada  titik  tengah  rusuk  sisi  alas AB,  BC,  CD, dan AD ,  titik P dan Q terletak  pada  segmen  garis OP (sumbu Z ) .  K o o r d i n a t  t i t i k P (0,0, a )  d a n Q ( 0,0, z ⃗ OQ + ( 1 − λ ) ⃗ OP ) d e n g a n ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a. • Menetapkan 8 titik pada rusuk alas, titik I, J, K, L pada titik tengah rusuk sisi alas AB, BC, CD, AD ,  dan  titik M, N, O, P . Pasangan  titik ( M,O )  dan  ( N,P ) terletak pada diagonal EG dan FH berjarak l dari titik E, F, G, H dengan λ ϵ [¼, ½].
2. Dengan formula elips dan lingkaran menarik kurva  dari  titik  hasil  perlakuan  (1)  antara lain sebagai berikut.
• Dengan  pusat O ditarik  busur
̂ APC dan ̂ BPD dari data 5 titik, maka dapat  diperoleh  bentuk  setengah  elips, dengan  sumbu  mayor  adalah a satuan
dan  sumbu  minor  ½ a √ 2   satuan yang kongruen.
• Data 6 titik, membangun elips berpusat d i O t a r i k b u s u r ̂ APC , ̂ AQC , ̂ BPD , dan ̂ BQD member ikan  bentuk  potongan  setengah  elips yang  kongruen  dengan  sumbu  mayor s ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a. s a t u a n  d a n  s u m b u minor ½ a √ 2 .
• Data 9 titik, membangun elips berpusat di O ( 0 , 0 , 0 ) t a r i k b u s u r ̂ APC , ̂ IPK , ̂ BPD ,dan ̂ JPL memberik an  bentuk  potongan  setengah  elips  yang kongruen dengan sumbu mayor a satuan dan sumbu minor ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a. Atau dari  data  9  titik  membangun  elips b e r p u s a t  d i  t i t i k O tari k  busur ̂ AP , ̂ BP , ̂ CP , ̂ DP , ̂ IP , ̂ JP , ̂ KP , dan ̂ LP sehingga  memberikan  bentuk potongan  seperempat  elips  yang ko n g r u e n  de ng a n  s u m b u  m a yo r ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a satuan  dan  sumbu minor   ½ a √ 2 .
• Data 10 titik, membangun elips berpusat d i  t i t i k  a s a l  t a r i k  b u s u r
̂ APC , ̂ BPD , ̂ IQK , dan ̂ JQL memberi kan bentuk potongan setengah elips yang kongruen  dengan  sumbu  mayor a satuan,  sumbu  minor ½ a √ 2 dan sumbu  mayor a satuan,  sumbu  minor ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a.
• M e m b a n g u n  k u r v a  l e n g k u n g
̂ AP , ̂ BP , ̂ CP , ̂ DP , ̂ IP , ̂ JP , ̂ KP , dan ̂ LP dari  data  10  titik  , sehingga  memberikan  bentuk  kurva l e n g k u n g  y a n g  k o n g r u e n  d a n bersilangan.
3.  Membangun  permukaan  lengkung  hasil interpolasi kurva ruang melalui persamaan berikut:
S ( u , v )=( 1 − v ) C 1 ( u )+ vC 2 ( u ) dengan 0 ⩽ u ⩽ 1 dan  0 ⩽ v ⩽ 1, C 1 ( u ) dan C 2 ( u ) , merupakan kurva batas.
Contoh hasil visualisasi model kaki rak berpotongan dan bersilangan diperlihatkan dalam Gambar 2 berikut.
(a)

## (b)
Gambar 2 Contoh model kaki rak  berpotongan dan bersilangan

## B. Berbasis kerangka prisma segitiga
Ditetapkan  data  kerangka  prisma ABC.DEF d e n g a n  p a n j a n g  r u s u k 25 cm ⩽ a ⩽ 50 cm .  Titik P pada  titik  berat sisi  alas  atas  berkoordinat P (0,0, a )  dan OX memotong tegak lurus ditengah-tengah AB .

## a. Model Kaki Rak tidak Berpotongan
Pada sisi tegak yang saling sejajar ditetapkan 6 titik  dan  dengan  persamaan  segmen  garis m e n e t a p k a n p a s a n g a n t i t i k AP 1 B , BP 2 C , AP 3 C dengan P 1 ( ½ ( x D + x E )+ ½ ( y D + y E )+ ½ ( z D + z E )) , P 2 ( ½ ( x E + x F )+ ½ ( y E + y F )+ ½ ( z E + z F )) , P 3 ( ½ ( x D + x F )+ ½ ( y D + y F )+ ½ ( z D + z F )) .

## b. Model Kaki Rak Berpotongan
Tahapan  desain  kaki  rak  model  berpotongan dilakukan  menurut urutan berikut ini.
1.  Menentukan  titik  potong  simetris  kaki  rak antara lain sebagai berikut .
• Kasus 4 titik, menetapkan titik A, B, C dan P.
• Kasus  5  Titik,  menetapkan  tiga  titik A, B,  C, dan  titik P dan Q terletak  pada segmen  garis OP (sumbu Z ).  Koordinat titik    dengan Q ( 0,0, z ⃗ OQ + ( 1 − λ ) ⃗ OP ) ¼ a ⩽ λ ⩽ ½ a. .
• Kasus  7 Titik  ,  menetapkan  tiga  pasang titik ( A,K ), ( B,L ), ( C,M )  ,  dan P atau 3
pasang  titik ( AP,KP ), ( BP,LP ), dan ( CP,MP )  terletak pada rusuk tegak AD, BE , dan CF . Titik K, L, dan M berjarak λ  d a r i  t i t i k A ,  B ,  d a n C .  Atau menetapkan   titik A, B ,  dan C , P, dan t i t i k K,  L,  M terletak  pada  proyeksi garis  berat , berjarak l  dari  titik A,  B , dan C dengan λ ϵ [¼, ½].
2.  Dengan  formula elips  dan  lingkaran, menarik  kurva  lengkung  dari  arah  yang b e r l a w a n a n  ( m e n y i l a n g )  u n t u k mendapatkan  potongan  elips  dan  potongan lingkaran  yang  simetris,  tekniknya  sebagai berikut.
• Dengan pusat O (0,0,0) tarik busur AP 1 B, BP 2 C,  AP 3 C dari  data  6  titik,  maka diperoleh bentuk setengah elips, dengan sumbu  mayor a satuan    dan  sumbu minor a satuan  yang kongruen.
• Data 4 titik, diperoleh bentuk seperempat elips,  dengan  sumbu  mayor a satuan dan  sumbu  minor ⅓ a √ 3 satuan yang kongruen.
• Data 5 titik, membangun elips berpusat di
O ( 0 , 0 , 0 ) t a r i k b u s u r ̂ AP , ̂ AQ , ̂ BP , ̂ BQ , ̂ CP ,dan ̂ CQ m e m b e r i k a n  b e n t u k  p o t o n g a n seperempat elips yang kongruen dengan sumbu  mayor 1 / 6 a √ 3 ⩽ λ ⩽ ⅓ a √ 3 satuan  dan  sumbu  minor ⅓ a √ 3 satuan.
• Dari  data  7  titik,  membangun  elips b e r p u s a t  d i O (0,0,0)  tarik  busur ̂ AP , ̂ KP , ̂ BP , ̂ LP , ̂ CP , dan ̂ MP m e m b e r i k a n  b e n t u k  p o t o n g a n seperempat elips yang kongruen dengan sumbu  mayor 1 / 6 a √ 3 ⩽ λ ⩽ ⅓ a √ 3 satuan dan sumbu minor  ⅓ a √ 3. 3.Membangun  permukaan  lengkung  hasil interpolasi kurva   ruang dari hasil perlakuan ( 1 )  d a n  ( 2 )  m e l a l u i  p e r s a m a a n
S ( u , v )=( 1 − v ) C 1 ( u )+ vC 2 ( u ) dengan 0 ⩽ u ⩽ 1 d a n 0 ⩽ v ⩽ 1, C 1 ( u ) dan C 2 ( u ) merupakan kurva  batas. Beberapa  contoh  hasil  simulasi dengan cara ini diperlihatkan dalam Gambar 3 berikut ini.
(a) (b)
Gambar 3  Contoh model kaki rak pada prisma
segitiga

## C. Berbasis Kerucut Terpancung
Ditetapkan  dua  kerucut  terpancung  vertikal berurutan  dengan  panjang  jari-jari  bagian  alas bawah 15 cm ⩽ c ⩽ 25 cm jari-jari bagian alas t e n g a h    d a n  15 cm ⩽ a ⩽ 25 cm jari-jari ba g i a n  a l a s  a t a s 15 cm ⩽ b ⩽ 25 cm Pada b i d a n g Y O Z ditetapkan  koordinat  titik A ( 0, a , 0 ) , B ( 0, b , t 1 ) dan C ( 0, c , t 2 ) ; serta t 2 ⩽ 0 ⩽ t 1 .
a. Kasus titik A , B , dan C segaris Berdasarkan  data  tersebut  dibangun  kaki  rak menurut perlakuan berikut. 1. Menetapkan titik P 1 ( ½ ( x A + x B )+ ½ ( y A + y B )+ ½ ( z A + z B )) dan P 2 ( ½ ( x A + x C )+ ½ ( y A + y C )+ ½ ( z A + z C )) . 2. Dengan formula: E XOY ( t )=〈 r 1 cos t , r 2 sin t , 0 〉 E XOZ ( t )=〈 r 1 cos t , 0, r 2 sin t 〉 , E YOZ ( t )=〈 0, r 1 cos t , r 2 sin t 〉 untuk a ⩽ r ⩽ b , c ⩽ r 1 ; r 2 ⩽ d , r 1 ≠ r 2 dan 0 ⩽ t ⩽ 2π  titik puncak A , B , dan C ; serta titik pusat P 1 dan P 2 ditarik busur ̂ AP 1 B dan ̂ AP 2 C ,  m a k a  d a p a t diperoleh  bentuk  potongan-potongan  elips dan potongan lingkaran bentuk:  cembung- cekung,  cekung-cembung,  cembung- cembung, cekung-cekung.
3 .   Rotasi hasil perlakuan (1) dan (2) terhadap sumbu Z melalui persamaan:
( x ' y ' z ' ) = ( x c o s θ − y s i n θ x s i n θ + y c o s θ z ) diperoleh  kurva  bentuk  cekung  dan/atau cembung.
b. Kasus titik A, B, dan C tidak segaris. Seperti kasus (a), untuk titik A, B, dan C tidak segaris  maka  diperoleh  potongan  elips  dan potongan  lingkaran,  sehingga  berbentuk cekung-cembung,  cembung-cekung,  cembung- cembung,  dan  bentuk  cekung-cekung. Kemudian  hasil  tersebut  dirotasi  terhadap sumbu Z didapat model kaki rak.
Untuk  validasi,  pada  Gambar  4  berikut disajikan  hasil  visual  dari  penerapan  langkah- langkah (1) sampai dengan (3).
(a) (b) (c)
(d)
Gambar 4. Contoh model kaki rak kerucut terpancung
Desain Komponen Utama (Tiang) Rak A. Berbasis Segmen Garis Posisi Tegak
Ditetapkan  data  segmen  garis  vertikal AB de ng a n  k e t i n ggi a n 50 cm ⩽ t ⩽ 200 cm . Selanjutnya dibangun beberapa model tiang rak dalam dua kasus berikut.
a.  Kasus Jumlah Sub Segmen Genap
1.  Menetapkan  segmen  garis AB dicacah menjadi n bagian  dan  agar    jarak    antar  pilar ideal  dipilih nilai n = 4, n = 6, atau n = 8.
2. Mengelompokkan sub segmen garis hasil perlakuan (1) ke  dalam dua jenis,  antara lain berikut ini.
Dari T 0 , T 1 , T 2 , ... , T n menjadi:
i) ( T 0 T 2 ,T 4 T 6 , … ,T 4 n T 4 n + 2 T 2 T 4 ,T 6 T 8 , … ,  T 4 n + 2 T 4 n + 4 ) ii) ( T 0 T 2 , T 4 T 5 , T 6 T 7 , … ,T 8 n T 8 n + 2 ,   T 8 n + 4 T 8 n + 5 , T 8 n + 6 T 8 n + 7 T 2 T 4 ,T 5 T 6 ,  T 7 T 8 … ,  T 8 n + 2 T 8 n + 4 , T 8 n + 5 T 8 n + 6 , T 8 n + 7 T 8 n + 8 ) iii) ( T 0 T 2 , T 3 T 4 , T 6 T 7 , … , T 8 n T 8 n + 2 , T 8 n + 3 T 8 n + 4 ,T 8 n + 6 T 8 n + 7 T 2 T 3 , T 4 T 6 ,  T 7 T 8 , … ,   T 8 n + 2 T 8 n + 6 , T 8 n + 4 T 8 n + 6 , T 8 n + 7 T 8 n + 8 )
Melalui persamaan: a 1 A 1 + a 1 A 1 + ... + a i A i = b 1 B 1 + b 1 B 1 + ... + b j B j dengan A i  dan Bj masing-masing  beban  di bagian  kiri  dan  kanan  segmen AB ,  diperoleh bentuk setimbang. 3. Membangun  deretan   kurva  data  hasil (2) dengan potongan elips, lingkaran, atau segmen garis melalui persamaan
E XOY ( t )=〈 r 1 cos t , r 2 sin t , 0 〉 E XOZ ( t )=〈 r 1 cos t , 0, r 2 sin t 〉 , E YOZ ( t )=〈 0, r 1 cos t , r 2 sin t 〉 untuk a ⩽ r ⩽ b , c ⩽ r 1 ; r 2 ⩽ d , r 1 ≠ r 2 dan 0 ⩽ t ⩽ 2π   dengan  cara  antara  lain  arah berlawanan  dan  homogen  atau  tidak homogen.
4. Dengan  persamaan ( x ' y '
z ' ) = ( x co s θ − y s i nθ x s i nθ + y c o s θ z )
rotasi hasil perlakuan (1), (2), dan (3) terhadap sumbu simetri AB dengan cara antara lain rotasi   ⅔π.
b. Kasus Jumlah Sub Segmen Ganjil
1.  Menetapkan  segmen  garis AB dicacah menjadi n bagian  dan  dipilih  nilai n =  3,  5, 7, ....
2.  Mengelompokkan sub segmen garis dalam 2 jenis, antara lain: Dari T 0 , T 1 ,T 2 , … , T n menjadi:
i) ( T 0 T 1 , T 2 T 3 , T 4 T 5 , T 6 T 6.5 , … , T 2 n T 2 n + 1 , T 1 T 2 , T 3 T 4 ,  T 5 T 6 , T 6.5 T 7 , … ,   T 2 n + 1 T 2 n + 2 , ) dengan n = 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, ... Sedang untuk n = 4 i + 3 , dengan i = 0, 1, 2, ….
berlaku ( T 2 n T 2 n + 1 2 T 2 n + 1 2 T 2 n + 1 ) ii)
dengan n = 0, 1, 2, 3, ….
Melalui  persamaan ( x' y ' z ' ) = ( x co s θ − y s i nθ x s i nθ + y c o s θ z )
diperoleh  bentuk  simetris  dan  setimbang dengan membagi salah satu sub segmen dari data  terletak  di  antara T n − 1 dan T n menjadi  2  bagian  yang  sama  dengan koordinat T ( 0,0, t n − ½ ) .
3. Dari data hasil   perlakuan  (2)  membangun deretan  kurva  dari  potongan  elips,  lingkaran, atau segmen garis melalui persamaan
E XOY ( t )=〈 r 1 cos t , r 2 sin t , 0 〉 E XOZ ( t )=〈 r 1 cos t , 0, r 2 sin t 〉 , E YOZ ( t )=〈 0, r 1 cos t , r 2 sin t 〉 untuk a ⩽ r ⩽ b , c ⩽ r 1 ; r 2 ⩽ d , r 1 ≠ r 2 dan 0 ⩽ t ⩽ 2π dengan  cara  antara  lain  arah berlawanan dan tidak  homogen.
4. Dengan persamaan ( x' y ' z ' ) = ( x co s θ − y s i nθ x s i nθ + y c o s θ z )
rotasi hasil perlakuan (1), (2), dan (3) terhadap sumbu simetri AB dengan cara antara lain rotasi  ½ π.
Pada  Gambar  5  berikut  disajikan  hasil visualisasi  penerapan  langkah-langkah  kasus (a) dan (b) tersebut.
( T 0 T 2 , T 4 T 5 , T 6 T 6.5 , … , T 7 n T 7 n + 2 ,T 7 n + 4 T 7 n + 5 , T 7 n + 6 T 7 n + 6.5 , T 2 T 4 ,T 5 T 6 ,  T 6.5 T 7 , … ,   T 7 n + 2 T 7 n + 4 , T 7 n + 5 T 7 n + 6 , T 7 n + 6.5 T 7 n + 7 , )
(a) (b) (c) (d)
Gambar 5 Contoh tiang rak berbasis segmen garis
B. Berbasis Heliks Ditetapkan  data  heliks  (Liu,  1992)  dengan ketinggian 50 cm ⩽ t ⩽ 200 cm dan diameter 30 cm ⩽ 2r ⩽ 50 cm pada  arah  sumbu OZ dengan  titik T 0 sampai  dengan T n .
Posisi T 0 = 0 dan titik awal kurva C 0 di bidang XOY; serta titik         akhir kurva adalah C n .  Kurva  heliks C 0 C n dan T 0 T n t e r b a g i  h o m o g e n  k e  d a l a m [ C 0 C 1 ,C 1 C 2 , ... , C n − 1 C n ] d a n [ T 0 T 1 , T 1 T 2 , ... ,T n − 1 T n ] .    Selanjutnya dibangun beberapa model tiang rak dalam dua kasus berikut.
a. Kasus melingkar. Dengan formula H L ( t ) = r cos t i + r sin t j + t k = ( rcos ( t ) , rsin ( t ) , t ) , membangun kurva  heliks  dengan  jari-jari  konstan r  =  a dengan a =  20  dan  sudut 0 ⩽ u ⩽ 6 π . Dilain  pihak setiap u = 2π , 4π ,  6 π diberi potongan bidang lingkaran dengan r = 20.
b. Kasus mengerucut. Dengan formula H L ( t ) = r cos t i + r sin t j + t k = ( rcos ( t ) , rsin ( t ) , t ) , membangun kurva heliks dengan jari-jari tidak konstan
( r 1 ⩾ r 2 ⩾ ... ⩾ r n ⩾ 10 ) , dengan r ∗( 1 − v ) dan sudut 0 ⩽ u ⩽ 6 π . Dilain pihak setiap u = 2π , 4π , 6 π  diberi potongan bidang lingkaran dengan r = 20.
Pada  Gambar  6  berikut  disajikan  contoh hasil  validasi  visual  dari  penerapan  langkah- langkah (a) dan kasus (b) tersebut.

## C. Berbasis Segmen Garis Posisi Miring
Ditetapkan  data  segmen  garis AB dengan ketinggian 50 cm ⩽ t ⩽ 200 cm dalam  posisi miring.  Pada  bidang YOZ ditetapkan koordinat titik A (0, a ,0)    dan  titik B (0,0, b ).  Selanjutnya dibangun  beberapa  model  tiang  rak  dengan langkah-langkah berikut.
a.  Berdasarkan  kesetimbangan  persamaan τ A + τ B + τ C = τ D + τ E membangun sumbu  tumpuhan  (sumbu  poros)  segmen g a r i s AB di  titik C ,    melalui
persamaan  titik  tengah  pada  garis,  maka k o o r d i n a t t i t i k C ( ½ ( x A + x B )+ ½ ( y A + y B )+ ½ ( z A + z B )) sehingga diperoleh segmen garis menjadi 2 bagian setimbang.
b.  Menetapkan  segmen  garis AB dicacah menjadi n bagian  dan  agar  tiap  pilar  ideal dipilih nilai n = 4, 6, 8.
c. Membangun  variasi  pada  satu  pilar  dan mengisi  dengan  bentuk  potongan  kurva (elips,  lingkaran,  segmen  garis)  melalui persamaan elips dan lingkaran.
Gambar 6 Contoh model tiang rak berbasis heliks
Gambar 7 Contoh model tiang rak posisi miring
d. Dengan persamaan ( x ' y ' z ' ) = ( x + k 1 y + k 2 z + k 3 ) translasi
hasil perlakuan (3) untuk mengisi setiap pilar  yang lain.
Pada  Gambar  7  di  atas  disajikan  contoh  hasil validasi visual dari penerapan langkah-langkah kedua kasus tersebut.
Dari  beberapa prosedur  modelisasi komponen  kaki  rak  dan  komponen  tiang  rak dimaksud  dapat  dievaluasi  beberapa  hal berikut.
a.  Sehubungan  dengan  penerapan  prosedur pada kaki rak berbasis kerangka kubus dan kerangka  prisma  segitiga,  dapat  dihasilkan model  kaki  rak  yang  fleksibel.  Hal  ini disebabkan  oleh  pemilihan  harga λ. Penggunaan  parameter λ  yang  berbeda dalam  selang  [0,1],  maka  akan  diperoleh
beberapa  model  kaki  rak  dengan  memiliki ukuran,  arah,  dan  bentuk  yang  berbeda, sehingga  dapat  memberikan    beragam model kaki rak (Gambar 8a, 8b, 8c).
b.  Kaki  rak  dan  tiang  dapat  dikonstruksi dengan  beragam  kurva  dan  menghasilkan beragam  model  bentuk  rak  dengan  arah bervariasi (Gambar 9).
c.  Konstruksi  kaki  rak  berbasis  kerucut
terpancung  memberikan  kesempatan  untuk menggabungkan  antar  kaki  rak  dengan operasi  delatasi  dan  translasi,  sehingga menghasilkan  rak  bersusun  dan  bercabang. Keuntungannya  adalah  hitungannya sederhana  dan  menghasilkan  model  rak simetris,  sebangun,  dan  multimuka (Gambar 10).
d. Tiang  rak  yang  dimodelisasi  dapat memberikan  sudut  pandang  yang  beragam, antara  lain:  model  pilin,  arah  memutar, bergelombang, dan berantai (Gambar 11).
Gambar 8. Variasi bentuk komponen knop hasil teknik deformasi
Gambar 9. Model rak berarah

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat diambil kesimpulan bahwa untuk memodelisasi komponen  rak  penataan  barang  dengan  kurva dan  permukaan    dapat  dilakukan  sebagai berikut.  Pertama,  konstruksi  penyangga  rak dapat  dilakukan  melalui  data  sebuah  ruang konstruksi  dari  kerangka  kubus,  prisma segitiga,  atau  kerucut  terpancung.  Selanjutnya menetapkan  beberapa  titik  pada  kerangka tersebut untuk membangun beberapa potongan kurva.  Terakhir  menginterpolasi  beberapa pasangan  kurva  untuk  membangun  permukaan guna  membentuk  kaki  rak.  Kedua,  konstruksi tiang rak dapat dilakukan melalui data segmen garis  tegak,  miring  atau  berbentuk  heliks. Kemudian dilakukan pencacahan segmen garis dan  heliks  menjadi  beberapa  sub  segmen. Beberapa  sub  segmen  dikelompokkan  untuk
membangun  kurva  berarah,  berantai,  dan bersusun  sehingga  diperoleh  beragam  bentuk tiang rak.

## DAFTAR PUSTAKA
Kusno.  2010. Geometri  Rancang  Bangun . Jember: Jember University Press. Liu, J.Y., Yan, H.S. 1992. Geometry Design of Trapezoidal  Threaded  Variable  Pitch  Lead Screws, Computers  &  Math.  wit h Applications. 23(1):65-73. Tika, N.P. 2011. Enam  Ide Rak Kompak. Juni. Jakarta: Penerbit Tabloid Nova. http://m.tabloidnova.com/Nova/Griya/Interi or/6-Ide-Rak -Kompak . Wiwit, S. 2012. Desain Rak Pot Bunga . Tesis. Jember:  Jurusan  Matematika  FMIPA Universitas Jember.
Gambar 10. Model rak bersusun
Gambar 11. Model rak sudut pandang beragam