## APLIKASI PROGRAM MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR EIGEN)
Muh. Said L
Jurusan Fisika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar, muhammadsaidlanto83@gmail.com

## Abstrak
Software Matlab diaplikasikan dalam pemecahan kasus fisika menggunakan program perhitungan nilai dan vektor eigen. Kasus fisika yang dipecahkan adalah suatu benda yang bergerak secara osilator terdiri dari  sistem  empat  massa  dan  empat  pegas.  Tujuan  aplikasi  program  ini  adalah  untuk  menentukan seberapa besar simpangan pegas, sehingga nilai (harga) dan vektor eigen dapat diperoleh. Metode yang dilakukan  adalah  memanfaatkan  persoalan  nilai  dan  vektor  eigen  untuk  menghitung  simpangan  pegas dalam  program  Matlab.  Pada  kasus  gerak  osilator,  penentuan  besar  masing-masing  sistem  massa  dan konstanta pegas telah ditetapkan sesuai sistem. Persamaan gerak untuk sistem massa dan pegas masing- masing  ditinjau  setiap  titik  massa  dan  fungsi  yang  digunakan  adalah t j i e a t q  . ) ( 1  , yang disebut sebagai  fungsi  anzats,  kemudian  didiferensialkan  dua  kali  terhadap  waktu.  Dengan  menggunakan aplikasi program Matlab maka hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dengan memanfaatkan perintah eig (eigen) program matlab dapat menunjukkan secara perhitungan akurat hasil running (eksekusi) nilai dan vektor eigen.
Kata kunci: Matlab, dinamika, osilator, simpangan,  nilai dan vektor eigen
1. Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan  dari  fenomena  real  yang  dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika.  Pada  umumnya  perumusan  model matematika  ini  berupa  fungsi.  Dalam  banyak kasus,  tidak  semua  model  matematika  tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode analitik, sehingga digunakan  metode  numerik  untuk  mencari penyelesaiannya.  Metode  numerik  adalah  teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan  matematik  sehingga  dapat  dipecahkan dengan  operasi  perhitungan  atau  aritmetik  biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi).
Pada  umumnya  metode  numerik  tidak mengutamakan  diperolehnya  jawab  yang  eksak (tepat),  tetapi  mengusahakan  perumusan  metode yang  menghasilkan  jawab  pendekatan  yang berbeda dari jawab yang eksak sebesar suatu nilai yang  merupakan  galat  dari  metode  yang digunakan.  Namun  demikian,  hasil  perhitungan dengan metode numerik cukup dapat memberikan solusi pada persoalan yang dihadapi.
Salah satu penerapan dari metode numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen dan vektor eigen. Metode numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan untuk menemukan nilai eigen dan vektor  eigen  dari  suatu  matriks.  Cara  yang
digunakan  dalam  metode  numerik  ini  termasuk unik  karena  dalam  penyelesaiannya  hanya diperlukan  operasi-operasi  aljabar  biasa.  Hanya saja,  dalam  penghitungannya  tidak  cukup dilakukan  sekali  tetapi  harus  dilakukan  berulang- ulang sampai  ditemukan nilai  yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya.
Nilai eigen banyak digunakan untuk mendapatkan  solusi  berbagai  bidang.  Karena permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya,  maka  berbagai  metode  yang digunakan untuk  menemukan nilai  eigen menjadi penting  untuk  dipelajari.  Metode  numerik memberikan suatu  cara  alternatif  yang digunakan untuk  menemukan  nilai  eigen  dan  vektor  eigen dari  suatu  matriks,  salah  satunya  yaitu  metode pangkat.
Dalam  mencari  nilai  eigen  dan  vektor  eigen menggunakan metode pangkat,  akan memerlukan proses  iterasi  yang  sangat  panjang  untuk menemukan  hasil  yang  mendekati  nilai  yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan,  maka  semakin  baik  hasil  yang diperoleh .

## 1.2 Rumusan Masalah
Rumusan  masalah  dari  penelitian  ini adalah:
1) Bagaimana  menyelesaikan  persoalan  nilai  dan vektor  eigen  dengan  menggunakan  aplikasi bahasa pemrograman Matlab?
http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
2) Seberapa  besar  nilai  dan  vektor  eigen  pada proses  pemecahan  kasus  dinamika  (gerak osilator)  sistem  massa  dan  pegas  dengan menggunakan  aplikasi  bahasa  pemrograman Matlab?

## 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan  yang  telah  dicapai  dalam  penelitian ini adalah:
1) Untuk mengetahui
langkah-langkah penyelesaian  persoalan  nilai  dan  vektor  eigen dengan menggunakan aplikasi bahasa pemrograman Matlab.
2) Untuk  mengetahui  besar  nilai  dan  vektor eigen pada proses pemecahan kasus dinamika (gerak  osilator)  sistem  massa  dan  pegas dengan menggunakan aplikasi bahasa pemrograman Matlab.
1.2. Tinjauan Pustaka

## 1.2.1 Definisi Nilai dan Vektor Eigen
Salah  satu  penerapan  matriks  pada  persoalan fisika,  dapat  dijumpai  dalam  bentuk  persamaan
x Ax   .  Dengan  A  =  a ij adalah  matriks  bujur sangkar berorde (n) dan  adalah suatu bilangan (skalar).  Untuk  solusi trivial x  =  0  berapapun harga  akan memenuhi,  dan biasanya solusi  ini tidak  banyak  gunanya  dalam  fisika.  Untuk  solusi non-trivial yaitu  x  0,  harga  yang  memenuhi persamaan  tersebut  disebut nilai  eigen atau  nilai karakteristik  dari  matriks  A  dan  solusi  yang bersesuaian  dengan  persamaan  yang  diberikan
x Ax   disebut  vektor  eigen  atau  vektor karakteristik dari A.
Jika  persamaan  tersebut  dinyatakan  dalam bentuk sistem persamaan yang terpisah, misalnya:
                 
                    
         
       
    n n nn n n n n n x x x x x x a a a a a a a a a a a a . . . . . . ... . . . ... ... 2 1 2 1 3 2 1 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11  atau: n n nn n n n n n n n n n x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a                         ... . . . ... ... ... 3 3 2 2 1 1 3 3 3 33 2 32 1 31 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11
Jika  ruas  kanan  dipindahkan  ke  ruas  kiri, maka persamaannya menjadi:
0 ) ( ... . . . 0 ... ) ( 0 ... ) ( 0 ... ) ( 3 3 2 2 1 1 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11                         n nn n n n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a    

## 1.2.2 Metode Jacobi
Salah  satu  metode  untuk  memecahkan persoalan  nilai  dan  vektor  eigen  adalah  metode Jacobi .  Metode  ini  merupakan  metode  bentuk diagnolisasi  suatu  matriks  dengan  menggunakan sistem  koordinat.  Misal  ditentukan  koordinat  dua dimensi sebagai berikut:
    cos sin sin cos 2 1 2 2 1 1 x x A x x A     (1.1)
Persamaan  di  atas  dapat  dinyatakan  dalam bentuk matriks:
                   
2 1 2 1 cos sin sin cos x x A A     (1.2)
atau  dapat  diungkapkan  dalam  bentuk  persamaan secara umum yaitu:
Tx A  (1.3)
Matriks             cos sin sin cos T memiliki  matriks
transpose:
            cos sin sin cos T T (1.4)
Pada  matriks  T  persamaan  (1.2)  dan  T T
persamaan (1.4) dapat diperlihatkan sifat
http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
perkalian matriks yang disebut matriks diagonal.Matriks  ini  dapat  digunakan  untuk persamaan eigen.
1 atau . .     T T I T T T T T T T

## 1.2.3 Kasus  Fisika:  Gerak  Osilator  Sistem Empat Massa dan Lima Pegas
Berikut  satu  kasus  untuk  memecahkan persamaan dinamika pada sistem massa dan pegas seperti gambar dibawah ini.
Gambar 1.1 : Tinjauan sistem empat massa dan lima pegas (Sumber: Dokumen pribadi)
Tinjauan pada setiap titik massa, diperoleh
0 ) ( ) ( 4 5 3 4 3 4 2 2 1 4 2 1 1 1          q k k k q k q k q k k k q m  0 ) ( ) ( 4 5 3 3 3 2 3 2 1 2 2 2        q k k q k q k k q k q m   0 ) ( 4 5 3 4 3 2 3 1 4 3 3       q k q k k q k q k q m   0 4 5 4 4   q k q m  
Fungsi  anzats  yang  digunakan  adalah: t j i e a t q  . ) ( 1  dengan  i  =  1,  2,  3;  dan  j  =  bilangan  kompleks bernilai 1  ,  adalah  simpangan  pegas.  Jika fungsi  ini  didiferensialkan  dua  kali  terhadap waktu maka diperoleh:
t j i e a t q   . . ) ( 1    
Masukkaan  hasil  diferensial  tersebut  kemasing- masing  tinjuan  setiap  titik  massa,  sehingga dibentuk
menjadi:
0 ) ( ) ( 4 5 3 4 3 4 2 2 1 4 2 1 1 1 2           a k k k a k a k a k k k a m 
0 ) ( ) ( 4 5 3 3 3 2 3 2 1 2 2 2 2         a k k a k a k k a k a m  0 ) ( 4 5 3 4 3 2 3 1 4 3 3 2        a k a k k a k a k a m  0 4 5 4 4 2    a k a m 
Pada  kasus  sistem  massa  dan  pegas  diatas, akan  ditentukan  masing-masing  nilai  konstanta pegas dan pegas yang digunakan yaitu: m 1 = 10 kg;   m 2 = 20 kg; m 3 = 30 kg; m 4 = 40 kg ; k 1 =  10  kgN/m;  k 2 =  k 3 =  20  kgN/m;  k 4 =  25 kgN/m dan k 5 = 15 kgN/m
Masing-masing  nilai  di  atas  disubtitusi kepersamaan tinjauan setiap titik massa:
0 60 25 20 55 10 4 3 2 1 1 2       a a a a a  0 35 20 40 20 20 4 3 2 1 2 2       a a a a a  0 15 45 20 25 30 4 3 2 1 3 2       a a a a a  0 15 40 4 4 2    a a 
Dari  empat  tinjauan  tersebut,  maka  dapat dinyatakan dalam bentuk:
0 2    Ba Aa  Dengan              40 0 0 0 0 30 0 0 0 0 20 0 0 0 0 10 Aa dan                     15 0 0 0 15 45 0 2 25 35 20 40 20 60 25 20 55 Ba
Untuk  menentukan  nilai  simpangan  pegas, dapat  dihitung  dengan  menggunakan  persoalan nilai  dan  vektor  eigen.  Nilai  adalah  vektor eigen.

## 1.3 Manfaat Penelitian
Penelitian  ini  bermanfaat  bagi  mahasiswa fisika khususnya  yang meminati fisika komputasi dan  komputasi  sains  di  bidang  pendidikan  atau teknologi pendidikan
2. Metode Penelitian
2.1.Perangkat Lunak dan Keras yang digunakan
Dalam  proses  uji  pemrograman  komputer yang dilakukan dalam penelitian ini menggunakan perangkat  lunak  dan  perangkat  keras.  Proses  uji coba  dilakukan  pada  sebuah  PC  dengan  intel  (R) atom  (TM)  CPU  N270  @  1,60  GHz  798  MHz dengan  memori  0,99  GB.  Sistem  operasi  yang digunakan  adalah  Microsoft  Windows  XP Profesional  SP2  version  2002  dan  bahasa pemrograman  yang  telah  digunakan  adalah  pada aplikasi metode yaitu MATLAB 6.5

## 2.2. Variabel Penelitian
Data parameter yang dibutuhkan adalah:
1) Variabel  bebas:  nilai  massa  dan  konstanta pegas,  kedua  parameter  ini  sangat  diperlukan untuk  proses  pemodelan  dalam  peninjauan gerak osilator dengan  sistem empat massa dan
m 2 m 3 m 4 m 1 k 1 k 4 k 2 k 3 k 5
http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
lima  pegas  sesuai  dengan  kasus  yang ditentukan seperti pada gambar 1.1.
2) Variabel  terikat:  penentuan  nilai  dan  vektor eigen  dengan  menggunakan  aplikasi  program Matlab.
3) Variabel kontrol: fungsi yang digunakan dalam memecahkan  kasus  ini  adalah  fungsi  anzats, kasus  gerak  osilator  dengan  sistem  empat massa  dan  lima  pegas  yang  ditentukan  dan bahasa pemrograman yang difokuskan menggunakan Matlab.

## 3.3. Prosedur Penelitian
Prosedur  penelitian  ini  dilakukan  sebagai berikut:
1) Membuat  model  kasus  gerak  osilator  dengan sistem  empat  massa  dan  lima  pegas  seperti pada  gambar  1  di  atas,  kemudian  menetapkan masing-masing  nilai  massa  dan  konstantanya (nilai  tidak  boleh  menggunakan  data  acak namun  perlu  diperhitungkan  sesuai  dengan tingkat  keakuratan  data).  Meninjau  setiap massa  dan  memodelkan  kedalam  bentuk persamaan diferensial orde dua.
2) Menggunakan  fungsi anzats
t j i e a t q  . ) ( 1 
sebagai fungsi pemecahan kasus dan mendiferensialkan dua kali terhadap waktu.
3) Selanjutnya  hasil  diferensial  tersebut  ke masing-masing  persamaan  setiap  massa  (point
b),  selanjutnya  mensubstitusi  nilai  massa  dan konstanta pegas kemudian menghitungnya dan membuat  model  matriks  sebagai  langkah terakhir sebelum masuk dalam proses pembuatan program.
4) Dari  program  yang  telah  dibuat  maka selanjutnya  me- running program  tersebut dengan  menginput  semua  elemen-elemen matriks  tersebut,  dan  langkah  selanjutnya mencetak  kedua  matriks  yang  pada  akhirnya nilai dan vektor eigen diperoleh

## 3.4 Algorima Program

## MULAI
Siapkan ruang untuk matriks A Masukkan jumlah baris dan kolom Input elemen matriks A Tidak Siapkan ruang untuk matriks B Masukkan jumlah baris dan kolom Input elemen matriks B Tidak Cetak Matriks B SELESAI Tidak Menentukan vektor eigen Omega= sqrt(ones(1,n)./lambda) Tidak Menentukan vektor eigen Lambda=eig(A)
Cetak hasil nilai dan vektor eigen Cetak Matriks M
http://journal.uin-alauddin.ac.id/indeks.php/PendidikanFisika
Gambar 1.2 : Skema algoritma program komputasi yang digunakan

## 3. Hasil dan Pembahasan
Dengan  melihat  skema  algoritma  program seperti  pada  gambar  1.2,  maka  dibuat  menjadi satu  program  komputasi  untuk  menentukan  nilai dan vektor eigen berdasarkan kasus  fisika berupa gerak  osilator  dengan  sistem  empat  massa  dan lima  pegas,  sehingga  diperoleh  hasil  eksekusi nilainya.  Berikut  hasil running program  dapat ditampilkan  pada  jendela command  window setelah ditekan F5 sebagai berikut: ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + ++ ++ ++ PERSOALAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN ++ ++  ================================ ++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + Siapkan ruang untuk matriks A Masukkan jumlah baris=4
Masukkan jumlah kolom=4
####    INPUT ELEMEN MATRIKS A   #### A1,1
=10 A1,2 =0 A1,3 =0 A1,4 =0 A2,1 =0 A2,2 =20 A2,3 =0 A2,4 =0 A3,1 =0 A3,2
=0 A3,3 =30 A3,4 =0 A4,1 =0 A4,2 =0 A4,3 =0
A4,4 =40
Matriks A
A = 10     0     0     0 0    20     0     0
0     0    30     0
0     0     0    40
Siapkan ruang untuk matriks B Masukkan jumlah baris=4 Masukkan jumlah kolom=4
#### INPUT ELEMEN MATRIKS B ####
B1,1
=50000
B1,2 =-20000 B1,3
=-25000
B1,4
=60000
B2,1
=-20000
B2,2
=40000
B2,3
=-20000
B2,4
=35000
B3,1
=-25000
B3,2
=-20000 B3,3 =45000 B3,4 =-15000 B4,1 =0 B4,2 =0 B4,3 =0
B4,4
=15000
Matriks B B= 50000   -20000   -25000   60000 -20000   40000   -20000   35000
-25000  -20000    45000  -15000
0        0         0     15000 ================================== ========= Nilai Eigen ============ ==================================
lambda =
0.0129    0.0002    0.0004    0.0027
==================================
==========Vektor Eigen ===========
================================== Omega =

## 8.7902   76.3876   50.8691   19.3649
Dari  hasil  penentuan  dengan  menggunakan aplikasi  program  dapat  diketahui  bahwa  nilai eigen (lambda) diperoleh 0.0129; 0.0002; 0.0004; 0.0027  dan  vektor  eigen  (omega)  dihasilkan 8.7902; 76.3876; 50.8691; 19.3649.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  pemrograman  di  atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
1) Untuk  menyelesaikan  persoalan  nilai  dan vektor  eigen  dengan  menggunakan  aplikasi bahasa  pemrograman  Matlab  dapat  dilakukan dengan  memanfaatkan  perintah  eig  yaitu lambda=eig(A,B)  untuk  menentukan  nilai eigen  dan  omega  =sqrt  (ones(1,y)./lambda) untuk menentukan vektor eigen.
2) Pada proses pemecahan kasus dinamika (gerak osilator)  sistem  massa  dan  pegas  dengan menggunakan  aplikasi  bahasa  pemrograman Matlab  diperoleh  besar  nilai  eigen  =  0.0129; 0.0002;  0.0004;  0.0027  dan  vektor  eigen 8.7902; 76.3876; 50.8691; 19.3649.
Saran  dalam  penelitian  ini,  diperlukan beberapa  kasus  sistem  dinamika  yang  berbeda keadaannya,  untuk  membandingkan  sejauh  mana gerak osilator tersebut mampu melakukan  osilasi yang diinginkan. Selain itu diperlukan pemahaman  konsep  dasar  penentuan  nilai  eigen dan  vektor  eigen  secara  perhitungan  langsung tanpa menggunakan aplikasi bahasa pemrograman

## 5. Daftar Pustaka
A.Machin,  2014, Implementasi  Pendekatan Saintifik,  Penanaman  Karakter  dan
Konservasi pada Pembelajaran Materi Pertumbuhan . (Online), JPPI 3 (1) (2014) 28–35 (http://journal.unnes.ac.id/nju/ index.php/jpii,  diakses  29  September
2014).
Aminuddin,  Jamrud.  2008. Dasar-Dasar Fisika Komputasi Menggunakan
MATLAB . Yogyakarta: Gava Media.
Etter,  D.M.  1993. Engineering  Problem Solving  with  MATLAB. Prentice  Hall. Englewood Cliff. New Jersey 07632
Giancoli, Douglas C,. 2001. Fisika . Jilid 1. Ed. 5. Erlangga. Jakarta
Gunaidi,  A.A,.  2006. MATLAB  Programming .
Bandung: Informatika.
Halliday,  David  &  Robert  Resnick.  1990. Fisika  Jilid  1  dan  2 (Alih  bahasa: Pantur  Silaban  dan  Erwin  Sucipto), Edisi ke-3. Jakarta: Erlangga.
Supriyanto  Suparno,  2009, Komputasi  untuk Sains  dan  Teknik .  Edisi  3.  Jakarta:
Departemen
Fisika-FMIPA,
Univeristas Indonesia.