Vol. 20, No. 3, May 2024, pp. 680-692 DOI: 10.20956/j.v20i3.33261
Implementation of Jump Diffusion to Predict Stock Prices and Risk Analysis Using Value At Risk and Expected
Shortfall
(Case Study: PT. Indofood Sukses Makmur Tbk)
Implementasi Jump Diffusion Untuk Memprediksi Harga Saham Serta Analisis Risiko Menggunakan Value At Risk Dan Expected Shortfall (Studi Kasus: PT. Indofood Sukses Makmur Tbk)
Feby Seru 1 *, Miftachul Jannah 2 , Tiku Tandiangnga 3
1,2,3 Departement of Mathematic, Universitas Cenderawasih, Indonesia Email : febyseru.math@gmail.com 1 , miftachuljannah291@gmail.com 2 , tiku.tandiangnga@gmail.com 3
Received: 5 March 2024 , revised: 21 April 2024 , accepted: 22 April 2024

## Abstract
Stock prices often fluctuate; therefore, a model is needed to predict the stock price. One of the models that can be used to predict stock prices when experiencing a jump is Jump Diffusion. In addition to predicting, investment is inseparable from the risks that may be borne, so it is also necessary  to  measure  risk.  This  study  aims  to  implement  the  Jump  Diffusion  Model  in predicting  the  stock  price  of  PT  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  and  conduct  a  risk  analysis  of the  prediction  results  using  Value  at  Risk  (VaR)  and  Expected  Shortfall  (ES).  In  this  study,  a model  was  obtained  that  was  used  to  predict  the  share  price  of  PT  Indofood  Sukses  Makmur Tbk  with  a  Mean  Absolute  Percentage  Error  (MAPE)  value  of  6.41%.  This  shows  that  the accuracy of the stock price prediction results is included in the very good category. In addition, the VaR value of the prediction results with a confidence level of 90%, 95%, and 99% is 0.0292, 0.0372, and 0.0523, and the ES value is 0.0402, 0.0474, and 0.0613.
Keywords: Jump Diffusion Model, Stock Return, Investment, Prediction, Risk Analysis

## Abstrak
Harga  saham  sering  mengalami  fluktuasi  oleh  karena  itu  diperlukan  suatu  model  untuk memprediksi harga saham tersebut. Salah satu model yang dapat digunakan untuk memprediksi harga  saham  saat  mengalami  lompatan  adalah Jump  Diffusion .  Selain  memprediksi,  investasi tidak terlepas dari adanya risiko yang mungkin ditanggung sehingga perlu juga untuk dilakukan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
pengukuran risiko. Penelitian ini bertujuan untuk mengimplementasikan Model Jump Diffusion dalam  memprediksi  harga  saham  PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk,  serta  melakukan  analisis risiko  dari  hasil  prediksi  tersebut  menggunakan Value  at  Risk (VaR)  dan Expected  Shortfall (ES). Pada  penelitian  ini  diperoleh  suatu  model  yang  digunakan  untuk  memprediksi  harga saham  PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  dengan  nilai Mean  Absolute  Percentage  Error (MAPE)  sebesar  6,41%.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  tingkat  keakuratan  hasil  prediksi  harga saham  termasuk  ke  dalam  kategori  sangat  baik.  Selain  itu,  diperoleh Nilai VaR  hasil  prediksi dengan tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99% berturut-turut adalah ; , dan nilai ES sebesar ; .
Kata kunci: Model Jump Diffusion, Return Saham, Investasi, Prediksi, Analisis Risiko

## 1.  PENDAHULUAN
Investasi  adalah  suatu  tindakan  terhadap  sejumlah  dana  atau  sumber  daya  lainnya  yang dilakukan dengan tujuan untuk memperoleh sejumlah keuntungan di masa mendatang. Terdapat dua  jenis  investasi,  yaitu  investasi  terhadap  aset real ( real  asset )  dan  investasi  terhadap  aset finansial  ( financial asset ).  Aset real merupakan  aset  fisik  atau  aset  yang  memiliki  wujud, sedangkan  aset  finansial  merupakan  aset  yang  tidak  memiliki  wujud.  Contoh  aset real seperti rumah, tanah dan emas. Sedangkan contoh aset finansial seperti saham, obligasi dan reksa dana. Investasi terhadap aset finansial yang sedang berkembang yaitu investasi di pasar modal, dengan salah satu produk yang paling banyak diperdagangkan adalah saham [6].
Menurut Azis dkk [2] , saham merupakan tanda kepemilikan investor atas investasinya pada suatu  perusahaan  dan  merupakan  salah  satu  bentuk  investasi  yang  paling  diminati  karena  dapat memberikan  tingkat  keuntungan  yang  menarik.  Salah  satu  cara  agar  investor  dapat  mengetahui seberapa besar hasil investasi saham adalah dengan melihat nilai return saham. Menurut Ruppert [14], return saham  adalah  tingkat  pengembalian  atas  hasil  yang  diperoleh  dari  melakukan investasi.  Harga  saham  sering  mengalami  fluktuasi  sehingga  menghasilkan  nilai return saham yang  tidak  pasti.  Terdapat  beberapa  faktor  eksternal  maupun  internal  yang  mempengaruhi fluktuasi  harga  saham  seperti  kinerja  perusahaan,  risiko,  dividen,  tingkat  suku  bunga,  kondisi perekonomian,  kebijakan  pemerintah,  laju  inflasi  serta  penawaran  dan  permintaan  [2].  Adanya ketidakpastian nilai return saham, maka diperlukan suatu prediksi.
Prediksi  merupakan  kegiatan  penaksiran  hal  yang  mungkin  akan  terjadi  di  masa  depan. Prediksi  dilakukan  dengan  menggunakan  informasi  dari  masa  lalu  yang  dapat  diuraikan  secara sistematis. Untuk memprediksi harga saham maka diperlukan model matematis. Salah satu model yang  digunakan  untuk  memprediksi  harga  saham  di  masa  yang  akan  datang  berdasarkan  harga saham masa lalu adalah Model Gerak Brown Geometrik (GBG) [5]. Realibilitas terkait model ini juga  sudah  pernah  di  teliti  oleh  Sinha  [17]  dalam  memprediksi  S&P500  nilai  index.  Namun, Model GBG kurang akurat untuk memprediksi harga saham pada kondisi fluktuasi harga saham yang  memiliki  lompatan.  Adanya  lompatan  terjadi  jika  fluktuasi  harga  saham  mengalami penurunan  atau  kenaikan  secara  drastis.  Untuk  mengatasi  hal  ini,  maka  digunakan  Model Geometric Brownian Motion With Jump atau Model Jump Diffusion [3]. Untuk mengukur tingkat keakuratan atau persentase kesalahan model maka digunakan MAPE ( Mean Absolute Percentage Error ).  MAPE  adalah  rata-rata  persentase  absolut  dari  kesalahan  peramalan.  Jika  nilai  MAPE yang diperoleh semakin kecil maka model peramalan tersebut semakin baik [1].
Penelitian-penelitian  telah  dilakukan  untuk  memprediksi  harga  saham  menggunakan  Model Jump Diffusion diantaranya oleh Trimono & Maruddani [19], yang memprediksi harga saham PT. Aneka  Tambang  Tbk  (ANTM.JK)  menggunakan  model  GBG  dan Jump  Diffusion .  Hasil penelitian  yang  diperoleh  yaitu  model Jump  Diffusion memberikan  hasil  prediksi  yang  lebih akurat  daripada  Model  GBG.  Hal  ini  ditunjukkan  dengan  nilai  MAPE Jump  Diffusion (1,95%)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
yang  lebih  kecil  daripada  nilai  MAPE  Model  GBG  (11,01%).  Penelitian  selanjutnya  dilakukan oleh Ilyas dkk [9] dengan menggunakan Model Jump Diffusion untuk memprediksi harga saham Bank Negara Indonesia (BBNI). Hasil penelitian yang diperoleh menunjukkan akurasi peramalan harga  saham  Bank  Negara  Indonesia  (BBNI)  termasuk  ke  dalam  kategori  sangat  baik  dengan MAPE  sebesar  1,76%.  Pada  tahun  2022,  Khoir  dkk  [11]  menggunakan  model Jump  Diffusion untuk memprediksi harga saham PT. Waskita Karya Persero Tbk (WSKT). Hasil penelitian yang diperoleh  yaitu  model  ini  memprediksi  harga  saham  beberapa  perusahaan  dengan  kategori  baik dengan MAPE sebesar 13,00474%.
Berinvestasi  saham,  selain  memberikan  keuntungan  juga  tidak  terlepas  dari  adanya  risiko yang  mungkin  terjadi  selama  melakukan  investasi,  sehingga  diperlukan  pengelolaan  risiko  [7]. Terdapat dua metode yang dapat digunakan untuk menganalisis risiko yaitu Metode Value at Risk (VaR)  dan Expected  Shortfall (ES)  [18]. VaR  adalah  kerugian  yang  dapat  ditoleransi  dengan tingkat  kepercayaan  tertentu.  VaR  merupakan  metode  pengukuran  risiko  yang  cukup  diminati, namun  VaR  juga  memiliki  kelemahan  yaitu  VaR  hanya  mengukur  keuntungan  atau  kerugian, tanpa  memperhitungkan  kerugian  yang  paling  buruk.  Padahal,  terdapat  kemungkinan  bahwa kerugian  yang  terjadi  lebih  besar  dari  Nilai  VaR  yang  sudah  ditetapkan  [13].  Untuk  mengatasi kelemahan VaR maka digunakan ES. ES didefinisikan sebagai ekspektasi dari ukuran risiko yang nilainya lebih besar dari VaR. Keunggulan ES dibandingkan dengan VaR yaitu ES adalah ukuran risiko yang memperhitungkan potensi kerugian yang melebihi VaR [15].
Penelitian-penelitian  untuk  menghitung  nilai  risiko  telah  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti diantaranya  Molino  dan  Carlo  pada  tahun  2020  [12].  Pada  penelitiannya  Molino  dan  Carlo memprediksi  VaR  dan  CVaR  menggunakan  data  pasar  opsi  dan  menggunakan  empat  teknik ekonometrik  yang  berbeda.  Penelitian  selanjutnya  dilakukan  oleh  Saepudin  dkk  [15]  dengan menghitung  nilai  VaR  dan  ES  untuk  mengetahui  besarnya  risiko  pada  PT.  Unilever  Indonesia Tbk  (UNVR.JK)  dengan  menggunakan  tingkat  kepercayaan  90%,  95%  dan  99%.  Hasil perhitungan  menunjukkan  bahwa  nilai  ES  lebih  tinggi  dari  nilai  VaR.  Pada  tahun  2022,  selain memprediksi harga saham menggunakan Model Jump Diffusion , Khoir dkk [11] juga melakukan perhitungan ES pada PT. Waskita Karya Persero Tbk (WSKT) menggunakan tingkat kepercayaan 90% dan 95%. Pada tahun 2023, Seru [16] melakukan analisis risiko VaR dan CVaR pada hasil prediksi  harga  saham  PT.  Astra  International  Tbk  dengan tingkat  kepercayaan  90%,  95%  dan 99%.
PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  merupakan  perusahaan  yang  bergerak  dalam  industri pengolahan  makanan  di  Indonesia.  Pada  tahun  2020  pergerakan  harga  saham  PT.  Indofood Sukses  Makmur  Tbk  (INDF.JK)  mengalami  penurunan  drastis,  yang  diakibatkan  oleh  adanya pandemi  Covid-19.  Penurunan  harga  saham  yang  terjadi  mengindikasikan  adanya  lompatan. Berdasarkan  hal tersebut, maka  penelitian  ini  bertujuan  mengaplikasikan  model Jump  Diffusion untuk  memprediksi  harga  saham  pada  PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk,  serta  menganalisis tingkat  risiko  dari  hasil  prediksi  tersebut  menggunakan Value  at  Risk (VaR)  dan Expected Shortfall (ES).

## 2. METODE
Data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data  penutupan  harga  saham  harian  PT. Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  (INDF.JK)  periode  Mei  2019  sampai  dengan  Juni  2020,  yang diperoleh dari www.finance.yahoo.com. Data yang diperoleh dibagi menjadi 2 bagian yaitu 75% sebagai data in-sample dan 25% sebagai data out-sample.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Miftachul Jannah
Model Jump Diffusion Model jump  diffusion merupakan  pengembangan  dari  model  Gerak  Brown  Geometrik, khusus untuk mengatasi adanya “guncangan” pasar yang mengakibatkan perubahan "besar" dan tiba-tiba pada harga sekuritas berisiko dan hampir tidak dapat dimodelkan dengan deviasi besar dari komponen difusi [3]. Persamaan diferensial stokastik untuk Model Jump Diffusion dituliskan sebagai berikut [9] :
(2.1)
dengan merupakan perubahan harga saham, merupakan harga saham saat , merupakan nilai drift, merupakan nilai volatilitas, merupakan Gerak Brown standar, dan merupakan proses jump. Selanjutnya pada Persamaan (2.1), kedua ruas dibagi dengan sehingga diperoleh:
(2.2)
dimana,
( )     ( )     ( )      ( ) (2.3) Sehingga Persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai berikut: ( ) (2.4)
Persamaan stokastik (2.1) diselesaikan menggunakan Teorema Ito sebagai berikut:
Teorema 2.1 Jika terdapat suatu fungsi (    ) , maka fungsi akan mengikuti persamaan berikut:
( ) ( ( )    ( ))
Misalkan  fungsi ( ) merupakan  variabel  terdiferensiasi  dari  variabel dan maka menurut Teorema 2.1:
( )   ( ( ) ( ) ( ) )      ( ( ) ) ( ( ) ( )) (2.5) dengan merupakan  harga  saham  sebelum  terjadi  lompatan,
merupakan  Gerak  Brown Standar  dan  nilai dan merupakan  parameter.  Selanjutnya  dimisalkan ( ) maka diperoleh ( ) , ( ) , dan ( ) , sehingga Persamaan (2.5) menjadi:
( )   ( ( ) ( ) ( ) )   ( ( ) ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( )    ( )] ( ) [ ( )    ( )] (2.6)
Berdasarkan Persamaan (2.3), maka Persamaan (2.6) dapat dituliskan sebagai:
( )   ( ) [ ( )    ( )]

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
(   ( ))       (( ) [ ( )    ( )]) (( ) [ ( )    ( )]) (( ) [ ( )    ( )]) (2.7)
Jika perubahan harga saham periode berjalan dengan periode sebelumnya adalah satu hari dengan maka Persamaan (2.7) menjadi:
(( ̂ ̂ ̂) (    (     ))    ̂√    (     ) ) (2.8) dengan merupakan harga saham saat , merupakan harga saham saat
, parameter ̂ , ̂ ̂ masing-masing  merupakan  parameter  drift,  volatilitas,  dan  intensitas jump . merupakan data  acak  berdistribusi  Normal  baku  saat
,  dan merupakan  data  acak berdistribusi  Normal  saat .  Persamaan  (2.8)  merupakan  model  harga  saham  dengan jump diffusion.
Berikut merupakan langkah-langkah untuk memprediksi harga saham dengan menggunakan model Jump Diffusion :
1. Menentukan data in-sample dan out-sample.
2. Menghitung nilai return saham data in-sample menggunakan persamaan berikut: ( ) (2.9) dengan merupakan return saham  saat , merupakan  harga  saham  saat ,  dan merupakan harga saham saat .
3. Melakukan  uji  normalitas  data in-sample return saham  menggunakan  uji  Kolmogorov- Smirnov dengan hipotesis sebagai berikut:
: Data return berdistribusi normal
: Data return tidak berdistribusi normal
Statistik Uji:
| ( )    ( )| (2.10)
dengan:
( ) : Fungsi distribusi yang diasumsikan berdistribusi normal
( ) : Fungsi distribusi kumulatif dari data sampel
Kriteria Pengujian:
Jika , maka diterima yang menunjukkan bahwa data sampel berdistribusi Normal, sebaliknya  jika ,  maka
ditolak  yang  menunjukkan  bahwa  data  sampel  tidak berdistribusi  Normal.  Uji Kolmogorov-smirnov  dapat  dilakukan  menggunakan  SPSS  dengan  kriteria pengujian  sebagai  berikut:  jika  nilai ,  maka diterima  yang  menunjukkan  data sampel berdistribusi Normal. Sedangkan jika , maka ditolak yang menunjukkan data sampel tidak berdistribusi Normal.
4. Menghitung nilai skewness dan kurtosis data in-sample.
5. Menentukan  nilai  ekstrim  dengan  metode Peak  Over  Treshold (POT)  pada  data in-sample return saham dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Mengurutkan seluruh data dari yang terbesar hingga terkecil.
b. Menghitung banyaknya data ekstrim dengan menggunakan persamaan:
(2.11)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
dengan adalah  total  data  pengamatan  sehingga  diperoleh  data  pada  urutan  pertama hingga k merupakan nilai ekstrem.
c. Menentukan ambang batas ( threshold ) u dengan persamaan:
(2.12) sehingga data pada urutan ke- (     ) merupakan nilai ambang batas .
d. Melakukan pemotongan data terendah dan data tertinggi pada data return in-sample . 6. Melakukan estimasi parameter
sebagai berikut:
a. Parameter menyatakan nilai volatilitas dan diestimasi menggunakan persamaan berikut [20]:
̂ (2.13) dengan merupakan standar deviasi data return saham dan merupakan selang waktu.
b. Parameter menyatakan nilai drift dan diestimasi menggunakan persamaan berikut [20]:
̂ ̅ ̂
(2.14)
dengan ̅ merupakan mean return.
c. Parameter menyatakan  nilai  intensitas jump dan  diestimasi  menggunakan  persamaan berikut [9]:
̂ ∑ (2.15)
dengan merupakan data jump .
d. Parameter menyatakan  nilai  rata-rata  selisih jump dan  diestimasi  menggunakan persamaan berikut [9]:
̂ ∑ (2.16) dengan merupakan selisih data jump
e. Parameter menyatakan  standar  deviasi  selisih jump dan  diestimasi  menggunakan persamaan berikut [9]:
̂   √ ∑ ( ) (2.17)
7. Memprediksi harga saham menggunakan jump diffusion menggunakan Persamaan (2.8).
8. Menghitung nilai MAPE untuk masing-masing iterasi menggunakan persamaan berikut:
∑ | |
(2.18)
Dengan merupakan  nilai  aktual  harga  saham  pada  waktu  ke- t dan merupakan  nilai prediksi harga saham pada waktu ke- t yang diperoleh pada langkah 7. Menurut Chang dkk [4], untuk mengetahui akurasi peramalan dapat dilihat pada Tabel 2.1 berikut:
Tabel 2.1 . Tingkat akurasi prediksi pada MAPE Nilai MAPE Akurasi Peramalan MAPE Akurasi peramalan sangat baik Akurasi peramalan baik Akurasi peramalan masih dalam batas wajar MAPE Akurasi peramalan tidak akurat

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES)
Menurut Jorion  [10],  Value  at  Risk  (VaR)  merupakan  suatu  metode  untuk  mengukur  risiko dengan  memprediksi  kerugian  maksimum  yang  terjadi  pada  waktu  tertentu  dengan  tingkat kepercayaan tertentu atas suatu portofolio. Terdapat 3 metode untuk menghitung nilai VaR yaitu metode simulasi historis, metode variance-covariance , dan simulasi monte carlo. Pada penelitian ini, digunakan VaR dengan simulasi Monte Carlo. Sedangkan ES merupakan ukuran risiko uang menghitung  besarnya  kerugian  yang  melebihi  VaR.  ES  digunakan  untuk  mengatasi  kelemahan yang terjadi pada VaR. Berikut merupakan langkah-langkah untuk menghitung nilai VaR dan ES:
1. Menghitung nilai return prediksi harga saham.
2. Melakukan  uji  normalitas  data return hasil  prediksi saham  dengan  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov.
3. Mengestimasi  parameter dan yang  diperoleh  dari  mean  dan  standar  deviasi  pada  data return hasil prediksi.
4. Mensimulasi nilai return dengan membangkitkan data acak berdistribusi normal dengan nilai estimasi  parameter  yang  diperoleh  dari  langkah  ke-tiga.  Pada  penelitian  ini,  data  yang dibangkitkan  sebanyak  100 dan  diulang  500  kali  sehingga  diperoleh  distribusi  empiris  dari return hasil simulasi sebanyak 500 data.
5. Menghitung nilai VaR pada masing-masing tingkat kepercayaan. VaR didefinisikan sebagai [18]:
( )       *    (     ) Pada data berdistribusi normal, VaR dapat dirumuskan sebagai berikut [15] : (   ) (     ) (2.19) dengan (  ) merupakan invers fungsi distribusi Normal. Pada penelitian ini digunakan tingkat kepercayaan sebesar 90%, 95% dan 99%, sehingga diperoleh 500 nilai VaR yaitu untuk masing-masing tingkat kepercayaan.
6. Menghitung  rata-rata  VaR untuk  masing-masing  tingkat  kepercayaan  yang  diperoleh  dari langkah ke-lima untuk mendapatkan konsistensi nilai VaR .
7. Menghitung nilai ES yang didefinisikan sebagai [18]:

## ( )
∫    ( )
Pada data berdistribusi normal, ES dapat dirumuskan sebagai berikut [15] :
( ( (   )) )   √ (2.20)
dengan (  ) merupakan fungsi kepadatan peluang distribusi Normal. Pada perhitungan ES digunakan tingkat kepercayaan 90%, 95% dan 99%.

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## Pemodelan Harga Saham Menggunakan Jump Diffusion
Pada penelitian ini,  data penutupan harga saham harian PT. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF.JK) dibagi menjadi dua 2 bagian yaitu sebanyak 209 data sebagai in-sample dan 83 data sebagai out-sample. Berikut  merupakan  grafik  data in-sample pada  harga  saham  harian  PT. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF.JK):

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
Gambar 3.1. Grafik Data Harga Saham PT. Indofood Sukses Makmur Tbk
Berdasarkan Gambar 3.1, diketahui bahwa pergerakan saham PT. Indofood Sukses Makmur Tbk  mengalami  fluktuasi.  Selain  itu  juga  terdapat  beberapa  penurunan  harga  saham  yang signifikan  pada  bulan  Maret  hingga  Juni  2020,  sehingga  terindikasi  adanya  lompatan  pada  data tersebut.  Berikut  merupakan  grafik  nilai return saham  dari  data in-sample PT.  Indofood  Sukses Makmur Tbk.:
Gambar 3.2. Plot Return Saham
Berdasarkan Gambar 3.2, pergerakan return saham juga mengalami fluktuasi bahkan sempat mengalami  kerugian  yang  cukup  signifikan.  Kerugian  yang  dialami  disebabkan  oleh  adanya Pandemi  Covid-19  yang  masuk  ke  Indonesia  pada bulan Maret  2020.  Selanjutnya  dilakukan  uji Kolmogorov-Smirnov  pada  data return saham  menggunakan  SPSS  dan  diperoleh
,  sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  data return saham  PT.  Indofood  Sukses Makmur Tbk berdistribusi Normal.
Nilai skewness dan  kurtosis  yang  diperoleh  sebesar
dan
.  Menurut Ghozali  [8],  nilai  skewness  yang  berada  pada  rentang  nilai sampai  dengan menunjukkan data tersebut berdistribusi Normal. Berdasarkan nilai skewness yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa  data return saham  PT.  Indofood  Sukses Makmur  Tbk  berdistribusi  Normal.  Hal  ini juga sesuai  dengan  uji  Kolmogorov-Smirnov  yang  telah  dilakukan  sebelumnya.  Sedangkan  menurut Trimono  &  Maruddani  [19],  jika  nilai  kurtosis  lebih  dari  3  menunjukkan  bahwa  pada  data tersebut  terindikasi terdapat  lompatan.  Berdasarkan  nilai  kurtosis  yang  diperoleh  dapat disimpulkan  bahwa  data return saham  PT.  Indofood Sukses  Makmur  Tbk  menunjukkan  adanya lompatan sehingga data saham PT. Indofood Sukses Makmur Tbk  (INDF.JK) dapat dimodelkan menggunakan  model jump  diffusion . Model  Jump  diffusion  digunakan  ketika  harga  saham mengalami lonjakan (jump) harga dan data harga saham bersifat fluktuatif.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Miftachul Jannah
Pada model jump diffusion pemotongan data ekstrem , dilakukan menggunakan metode Peak Over  Treshold (POT)  yaitu  nilai    ambang    batas    bawah    dan    ambang    batas    atas    yang ditentukan  dengan  menggunakan nilai kuantil 10% :
dan nilai ambang batas Sebanyak 21 data return saham bernilai negatif yang nilainya lebih rendah dari kuantil ambang batas  bawah  merupakan  data jump dan  sebanyak  21  data return saham  bernilai  positif  yang nilainya  lebih  tinggi  dari  kuantil  ambang  batas  atas  merupakan  data jump .  Jadi  diperoleh sebanyak  42  data jump yang  akan  digunakan  untuk  mengestimasi  nilai  intensitas jump dengan nilai ambang batas sebagai berikut:
Tabel 3.1 . Nilai Ambang Batas Ambang Batas Nilai Bawah -0,01783 Atas 0,02083
Setelah  diperoleh  42  data jump ,  selanjutnya  dihitung  selisih  data  tersebut,  yang  kemudian  akan digunakan  untuk  mengestimasi  nilai  rata-rata  dan  standar  deviasi  selisih jump .  Dengan menggunakan  Persamaan  (2.13)-(2.17)  diperoleh  nilai  estimasi  parameter sebagai berikut:
Tabel 3.2. Nilai Estimasi Parameter Parameter Nilai ̂ ̂ ̂ ̂
̂
Berdasarkan  nilai  parameter  pada  Tabel  3.2  maka  diperoleh  model  harga  saham  dengan Jump Diffusion sebagai berikut:
(( (        ) ) (    (     )) √    (     ) ) (3.1)
Persamaan  (3.1)  merupakan  model Jump  Diffusion dari  data  harga  saham  PT.  Indofood Sukses  Makmur  Tbk  periode  1  Mei  2019  sampai  24  Februari  2020.  Selanjutnya  dilakukan prediksi harga saham untuk periode 25 Februari 2020 hingga 30 Juni 2020 menggunakan Jump Diffusion .
Prediksi Harga Saham Menggunakan Jump Diffusion
Perhitungan  prediksi  harga  saham  menggunakan  model Jump  Diffusion dilakukan menggunakan Persamaan (3.1) dan diulangi sebanyak  50 kali. Setiap perhitungan menghasilkan nilai prediksi  yang  berbeda  karena  adanya  data  acak yang  terdapat pada  model Jump  Diffusion . Selanjutnya  untuk  mengetahui  keakuratan  hasil  prediksi,  maka  dilakukan  perhitungan  MAPE menggunakan Persamaan (2.18) pada masing-masing hasil prediksi. Data aktual yang digunakan pada perhitungan MAPE adalah data out-sample dan diperoleh nilai MAPE terkecil berada pada iterasi  ke-2  yaitu  sebesar  6,41%.  Berikut  merupakan  gambar  perbandingan  harga  saham  aktual dengan harga saham prediksi dengan nilai MAPE terkecil:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
Gambar 3.1. Perbandingan Hasil Prediksi Harga Saham dengan Harga Saham Aktual
Gambar  3.1  menunjukkan  bahwa  hasil  prediksi  harga  saham  telah  mendekati  nilai  aktual meskipun masih terdapat beberapa bagian yang memiliki perbedaan nilai yang signifikan. Namun berdasarkan Tabel (2.1) tingkat akurasi hasil prediksi termasuk dalam kategori sangat baik yaitu kurang  dari  10%,  sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  hasil  prediksi  harga  saham  PT.  Indofood Sukses  Makmur  Tbk  menggunakan  model jump  diffusion ,  sangat  baik.  Hasil  tersebut  sesuai dengan penelitian yang dilakukan oleh Khoir dkk [11].
Analisis Value at Risk dan Expected Shortfall Pada  penelitian  ini,  perhitungan Value  at  Risk (VaR)  dilakukan  dengan  menggunakan Simulasi Monte Carlo. Metode ini dipilih karena metode tersebut dapat menghitung bermacam- macam  susunan  eksposur  dan  risiko,  serta  fleksibel  untuk  menggabungkan  variasi  waktu  pada volatilitas, fat  tails ,  dan  skenario  yang  ekstrem  [10].  Langkah  pertama  yang  dilakukan  untuk menghitung  VaR  dengan  simulasi  Monte  Carlo  adalah  menghitung  nilai return hasil  prediksi harga  saham  yang  telah  diperoleh,  kemudian  melakukan  uji  normalitas  terhadap  data return tersebut.  Uji  normalitas  dilakukan  menggunakan  Kolmogorov-Smirnov  dan  diperoleh
.  Berdasarkan  hasil  tersebut,  dapat  disimpulkan  bahwa  nilai return hasil  prediksi  saham  PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  berdistribusi  normal.  Langkah selanjutnya  adalah  menghitung  mean  dan  standar  deviasi  data return saham  prediksi  dan diperoleh ̂                  ̂ .  Nilai  parameter  tersebut  kemudian  digunakan untuk membangkitkan data acak berdistribusi Normal  sebanyak 100 data dan diulangi sebanyak 500 kali agar diperoleh  hasil yang lebih akurat, stabil, dan representatif dari distribusi potensial return saham.  Selanjutnya  menghitung  nilai  VaR  untuk  masing-masing  pengulangan menggunakan  Persamaan  (2.19)  dengan  tingkat  kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%,  sehingga diperoleh 500 nilai VaR. Setiap data acak yang dibangkitkan akan menghasilkan nilai VaR yang berbeda,  sehingga  untuk  mendapatkan  konsistensi  dari  nilai  VaR,  maka  diambil  nilai  rata-rata dari  500  nilai  VaR  yang  diperoleh.  Hasil  perhitungan  rata-rata  nilai  VaR  untuk  masing-masing tingkat kepercayaan dapat dilihat pada Tabel 3.3.
Tabel 3.3 . Nilai VaR Tingkat Kepercayaan Rata-rata VaR 90% 95% 99%

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Miftachul Jannah
Pada  Tabel  3.3,  diperoleh  bahwa  rata-rata  VaR  untuk  tingkat  kepercayaan  90%  sebesar yang menunjukkan bahwa ada keyakinan 90%, kerugian yang terjadi tidak akan melebihi 2,92% dari investasi  yang  dilakukan  dalam  jangka  waktu  satu  hari  ke  depan.  Misalkan  investor menginvestasikan  dana  awal  sebesar  Rp.  100.000.000  maka  terdapat  keyakinan  90%  kerugian maksimal yang dialami investor sebesar Rp. 2.920.000 dalam jangka waktu 1 hari setelah tanggal 30  Juni  2020.  Hal  ini juga  berlaku  untuk  tingkat  kepercayaan  95%  dan  99%.  Berdasarkan  nilai pada Tabel 3.3, nilai VaR tertinggi berada pada tingkat kepercayaan 99%.
Setelah diperoleh nilai VaR, langkah selanjutnya yaitu menghitung Expected Shortfall (ES) untuk tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%. Nilai ES diperlukan untuk mengetahui besarnya kerugian  yang  mungkin  terjadi  melebihi  nilai  VaR.  Perhitungan  ES  dilakukan  menggunakan Persamaan (2.20) untuk masing-masing tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%  dan diperoleh hasil seperti pada Tabel 3.4.
Tabel 3.4 . Nilai ES untuk Tingkat Kepercayaan 90%, 95%, dan 99% Tingkat Kepercayaan Nilai ES 90% 95% 99% Pada Tabel 3.4, untuk tingkat kepercayaan 90% diperoleh ES sebesar yang  menunjukkan  bahwa  ada  keyakinan  sebesar  90%,  kerugian  yang  akan  terjadi melebihi nilai VaR yaitu sebesar 4,02% dalam jangka waktu satu hari kedepan. Misalkan investor melakukan  investasi  awal  sebesar  Rp.  100,000,000  maka  ada  keyakinan  sebesar  90%,  kerugian yang  akan  diderita  mencapai  Rp.  2.920.000  dan  masih  terdapat  kemungkinan  untuk  terjadi kondisi  yang  lebih  buruk  dengan  kerugian  maksimal  sebesar  Rp.  4.020.000.  Hal  tersebut  juga berlaku  untuk  tingkat  kepercayaan  95%  dan  99%.  Pada  Tabel  3.4,  ES  memiliki  nilai  tertinggi pada tingkat kepercayaan 99%.
Berdasarkan  nilai  VaR  dan  ES  yang  diperoleh,  menunjukkan  bahwa  semakin  besar tingkat kepercayaan  maka  semakin  besar  juga  risiko  yang  ditanggung.  Hasil  tersebut  sesuai  dengan penelitian  yang  dilakukan  oleh  Khoir  dkk  [11].  Dengan  demikian,  tingkat  kepercayaan . mempengaruhi manajemen risiko dalam berinvestasi. Investor dengan tingkat kepercayaan rendah terhadap  risiko . mungkin  cenderung  mengambil  posisi  yang  lebih  konservatif . dan  menghindari risiko  yang  lebih  besar,  sementara  investor  yang  memiliki . tingkat  kepercayaan  yang  tinggi mungkin  bersedia  mengambil . risiko  yang  lebih  besar  untuk  mencapai  hasil  investasi . yang  lebih tinggi.  Tingkat  kepercayaan  membantu  investor  dalam . menentukan  batasan  risiko  yang  dapat diterima . dan strategi manajemen risiko yang tepat.

## 4.  KESIMPULAN DAN SARAN
Hasil  prediksi  harga  saham  PT.  Indofood  Sukses  Makmur  Tbk  menggunakan  model Jump Diffusion memiliki  keakuratan  yang  sangat  baik.  Hal  ini  ditunjukkan  dengan  nilai  MAPE  yang diperoleh yaitu kurang dari 10%. Berdasarkan analisis risiko menggunakan VaR dan ES dengan tingkat  kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%  diperoleh  bahwa  tingkat  kepercayaan  mempengaruhi besarnya  risiko  yang  ditanggung.  Semakin  besar  tingkat  kepercayaan  yang  diambil,  maka semakin besar pula risiko yang akan ditanggung.
Pada  penelitian  ini,  penulis  melakukan  prediksi  dan  pengukuran  risiko  pada  aset  tunggal, sedangkan  salah  satu  cara  untuk  meminimalisir  risiko  adalah  dengan  membentuk  portofolio (diversifikasi).  Oleh  karena  itu,  penulis  merekomendasikan  untuk  melakukan  penelitian

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Miftachul Jannah
selanjutnya  mengenai  perhitungan  prediksi  pada  aset  portofolio,  pengukuran  risiko  pada  aset portofolio dan membentuk portofolio yang optimal.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]. Abidin, S. N. Z., & Jaffar, M. M., 2012. Forecasting Share Prices of Small Size Companies in Bursa Malaysia Using Geometric Brownian Motion. An International Journal of Applied Methematics & Information Sciences , Vol. 6, No. 1, 1–7.
[2]. Azis,  M.,  Mintarti,  S.,  &  Nadir,  M.,  2015. Manajemen  Investasi  Fundamental,  Teknikal, Perilaku Investor dan Return Saham (Ed. 1). Yogyakarta: Deepublish. Jung, E., Lenhart S. &  Feng  Z.,  2002.  Optimal  Control  of  Treatments  in  a  Two-Strain  Tuberculosis  Model. Disc. & Cont. Dynamical Systems–Series B , Vol. 2, No. 4, 473-482.
[3] . López,  José  E. Figueroa  & Jeffrey Nisen.,  2013.  Optimally  Thresholded  Realized  Power Variations for Lévy Jump Diffusion Models. Stochastic Processes and their Applications , Vol. 123, No. 7, 2648–2677.
[4].     Chang,  P.  C.,  Wang,  Y.  W.,  &  Liu,  C.  H.,  2007.  The  Development  of  A  Weighted Evolving  Fuzzy  Neural  Network  For  PCB  Sales  Forecasting. Expert  Systems  with Applications , Vol. 32, No. 1, 86–96.
[5]. Ditasari, P., Rohaeti, E., & Kamila, I., 2022. Aplikasi Geometric Brownian Motion dengan Jump Diffusion dalam Memprediksi Harga Saham Liquid Quality 45. Euler : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains Dan Teknologi , Vol. 10, No. 1, 111–119.
[6].     Fika, N., 2022. Penentuan Value At Risk Saham PT. Telkom Indonesia TBK Menggunakan Model Jump Diffusion Pada Simulasi Monte Carlo . Skripsi: Universitas Hasanuddin.
[7].     Fitaloka, E., Sulistianingih, E., & Perdana, H., 2018. Pengukuran Value at Risk (VaR) Pada Portofolio  dengan  Simulasi  Monte  Carlo. Buletin  Ilmiah  Math.  Stat.  Dan  Terapannya (Bimaster) , Vol. 7, No. 2, 141–148.
[8].   Ghozali,  I.,  2016. Aplikasi  Analisis  Multivariete  dengan  program  IBM  SPSS  23 (Ed.  8). Universitas Diponegoro, Semarang.
[9].      Ilyas,  I.  A.,  Puspita,  E.,  &  Rachmatin,  D.,  2018.  Prediksi  Harga  Saham  Menggunakan Model Jump Diffusion. EurekaMatika , Vol. 6, No. 1, 33–42.
[10].    Jorion, P., 2007. Value at Risk: The New Bemchmark in Controlling Market Risk, Third Edition. In The Mc Graw-Hill Companies, New York.
. [11].  Khoir, N., Asih, D., Maruddani, I., & Ispriyanti, D., 2022. Prediksi Harga Saham Menggunakan Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion dan Analisis Risiko dengan Expected Shortfall (Studi Kasus: Harga Penutupan Saham PT. Waskita Karya Persero Tbk.) , Vol. 11, No. 1, 153–162.
[12].   Molino, A., dan Carlo S., 2020. Forecasting Value at Risk and Conditional Value at Risk Using Option Market Data. Journal Of Forecasting , Vol. 40, No. 7, 1–24.
[13]   Prihatiningsih, D. R., Maruddani, D. A. I., & Rahmawati, R., 2020. Value at Risk (VaR) dan  Conditional  Value  at  Risk  (CVaR)  dalam  Pembentukan  Portofolio  Bivariat Menggunakan Copula Gumbel. Jurnal Gaussian , Vol. 9, No. 3, 326–335.
[14]  Ruppert,  D.,  2011. Statistical  Data  Analysis  for  Financial  Engineering .  Springer-Verlag, New York.
[15].      Saepudin,  Y.,  Yasin,  H.,  &  Santoso,  R.,  2017.  Analisis  Risiko  Investasi Saham  Tunggal Syariah dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES). Jurnal Gaussian , Vol. 6, No. 2, 271–280.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Miftachul Jannah
[16].  Seru, F., 2023. Analisis Risiko VaR dan CVaR Pada Hasil Prediksi Harga Saham PT. Astra International Tbk. Silogisme: Kajian Ilmu Matematika Dan Pembelajarannya , Vol. 8, No. 1, 23–30.
[17].      Sinha,  Amit  K.,  2021.  The  Reliability  of  Geometric  Brownian  Motion  Forecasts  of S&P500 Index Values. Jurnal of Forecasting , Vol. 40, No. 8, 1–19.
[18].  Su,  Q.,  Zhongling  Q.,  Liang  P.,  dan  Gengsheng  Q.,  2020.  Efficiently  Backtesting Conditional  Value-at-Risk  and  Conditional  Expected  Shortfall. Journal  of  the  American Statistical Association , Vol. 116, No. 536, 2041-2052.
[19].      Trimono,  &  Maruddani,  D.  A.  I.,  2017.  Valuasi  Harga  Saham  PT  Aneka  Tambang  Tbk sebagai Peraih IDX Best Blue 2016. Jurnal Statistika , Vol. 17, No. 1, 33–43.
[20].    Zakia,  H.  I.,  2017. Prediksi  Harga  Komoditas  Minyak  Mentah  Menggunakan  Model Geometric Brownian Motion . Tesis: Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.