## Jurnal Kajian Pembelajaran Matematika
VOLUME 2 NOMOR 2, OKTOBER 2018 ISSN: 2549 – 8584 (online). http://journal2.um.ac.id/index.php/jkpm

## PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MEMBUKTIKAN PROPOSISI: KONSEPTUALISASI-GAMBAR

## Lathiful Anwar, Syaiful Hamzah Nasution, Sudirman, Susiswo
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
Email : lathiful.anwar.fmipa@um.ac.id

## Abstract
Evidence is an absolute feature of mathematics and a key component in mathematics education. Although the evidence is very important, the fact is that the evidence is something that is difficult to teach or learn. One of the difficulty factors is the inadequacy of conceptual concepts and the inability to use definitions to structure evidentiary structures. This paper will describe the thinking process of students in proving a geometric proposition. Four concept of image conceptualization framework is used as a tool to explore students' thinking processes in proving a geometric proposition. One student's work and vignette, FMZ, was analyzed to provide a visualization of the image-conceptualization process used by FMZ in identifying a proposition. The results of the analysis confirm that the ability to construct evidence is related to the ability to conceptualize images, find local-local conceptualizations (traits / conclusions related to one part of the image) and global conceptualization and link relational relationships between local conceptualizations and global conceptualization into a series of statements supporting propositions / conclusion which will be proven to be a series of logical statements.
Keywords: conceptualizations of images, geometric propositions, proofs, thinking processes

## Submit : 17 November 2017, Publish: Oktober 2018

## PENDAHULUAN
NCTM  (2000)  menekankan  pentingnya  geometri  dengan  menyatakan  "ide-ide  geometris  berguna dalam mewakili dan memecahkan masalah dalam bidang matematika dan dalam situasi dunia nyata". Studi geometri  membantu  siswa  mengembangkan  keterampilan  berpikir  kritis,  penalaran  deduktif,  dan  argumen yang logis. Dengan demikian, hal ini membantu siswa efisien memecahkan masalah yang mereka hadapi dalam kehidupan sehari-hari (Van de Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013). Dengan ini, geometri adalah salah satu jembatan antara obyek konkrit dan pemikiran abstrak. Namun, beberapa hasil penelitian menunjukkan bahwa siswa tidak belajar geometri secara bermakna dan efisien (Oflaz, Bulut, & Akcakin, 2016).
Bukti  merupakan  fitur  penting  dalam  matematika  dan  berperan  sebagai  komponen  kunci  dalam Pendidikan matematika (Jone, 2000; Miyazaki, Fujita, & Jones, 2017), bagain fundamental dari proses berpikir matematis  (Kwoen,  2002).  Bukti  merupakan  hal  terpenting  dalam  memahami  matematika  secara  jelas  dan efektif.  Dan  memahami  sebagai  aspek  dasar  dalam  Pendidikan  disadari  sebagai  tujuan  penting  dari  semua proses belajar dan pembelajaran matematika dalam Pendidikan matematika (Ozmantar, 2017).
Namun pada kenyataannya, bukti sulit untuk diajarkan dan dipelajari. Berdasarkan hasil wawancara dengan  mahasiswa  yang  belajar  pembuktian  matematika,  mereka  menemui  banyak  kesulitan  dalam menyelesaikan masalah terkait pembuktian suatu pernyataan matematis. Penelitian yang yang dilakukan oleh Moore (1994) menyimpulkan bahwa ada tujuh factor yang menyebabkan siswa kesulitan untuk mengonstruksi suatu  bukti  yakni  ketidakmampuan  siswa  dalam  menyatakan  definisi,  konsep  image  yang  tidak  tepat, ketidakmampuan dalam menggunakan definsi untuk menginstruksi bukti, tidak kompeten dalam memahami bahasa matematis dan simbol.
Proses berpikir mahasiswa dalam menyelesaikan suatu permasalahan dapat diklasifikasikan menjadi beberapa  tingkatan  atau  level  yang  berbeda  sesuai  dengan  kemampuannya.  Level  kemampuan  mahasiswa selalu menjadi perhatian dosen (Guven & Baki, 2010), tidak terkecuali pada materi geometri. Salah satu cara untuk  mengetahui  tingkatan  kemampuan  mahasiswa  adalah  dengan  melihat  proses  berpikir  dalam menyelesaikan masalah geometri.
Mengetahui  proses  berpikir  mahasiswa  dalam  memecahkan  suatu  masalah  adalah  hal  penting  bagi dosen.  Dalam  tulisan  ini,  framework  4  prinsip  konseptualisasi  gambar  digunakan  sebagai  alat  untuk mengeksplorasi proses berpikir siswa dalam membuktikan suatu proposisi geometris. Proses konseptualisasi suatu  subjek  yang  berhasil  membuktikan  suatu  proposisi  dipilih  untuk  memberikan  suatu  ilustrasi  proses konseptualisasi  yang  terjadi  pada  saat  membuktikan  sutu  proposisi.  Dengan  mengetahui  proses  berpikir mahasiswa,  dosen  dapat  melacak  letak  dan  jenis  kesalahan  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa  dalam  proses
pemecahan masalah. Kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa dapat dijadikan sumber informasi belajar dan pemahaman bagi mahasiswa. Selain itu dosen dapat merancang pembelajaran yang sesuai dengan kemampuan mahasiswa.

## METODE
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yang bertujuan untuk mendeskripsikan proses berpikir (transisi  ke  berpikir  formal)  subjek  penelitian  dalam  mengkonstruksi  bukti  dari  suatu  proposisi  geometri dengan menggunakan kerangka konseptualisasi gambar sebagai kerangka kerja dalam merekam atau memotret transisi  berpikir  subjek  penelitian  dan  level  pemahaman  struktur  pembuktian  sebagai  acuan  dalam menganalisis  level  pemahamannya.  Untuk  mendukung  proses  analisisnya,  peneliti  menggunakan  empat prinsip  konseptualisasi  yang  dikemukakan  Handscomb  (2006)  untuk  menganalisis/menginterpretasi tulisan/bukti tertulis dari subjek sebagai representasi berpikirnya dan model pemahaman struktur bukti yang dikembangkan oleh Miyazaki, Fujita, & Jones (2017) untuk mengases level pemahaman struktur pembuktian geometri.
Subjek  penelitian  adalah  mahasiswa  tahun  pertama  jurusan  matematika  angkatan  2016/2017  yang mengampu matakuliah Matematika Dasar III yang diampu oleh salah satu peneliti. Tidak semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Dasar III yang akan dianalisis, peneliti hanya menggunakan sample sebanyak  6  mahasiswa  yang  merepresentasikan  heterogintas  atas  kemampuan  penalaran  dan  gender. Klasifikasi kemampuan penelaran didasarkan pada nilai tes UTS subjek penelitian.
Instrumen  penelitian  yang  digunakan  meliputi  soal,  Interview,  rekaman  (Video-Audio).  Soal  yang diajadikan acuan adalah soal Ujian Tengah Semester yang diambil (diterjemahkan) dari latihan soal di buku “Geometry, A Contemporary Course”. Jawaban (tertlis) subjek atas soal UTS tersebut dijadikan acuan untuk memotret  proses  berpikir  siswa  adalah  jawaban  tertulis  soal  ujian  tengah  semester  tentang  pembuktian proposisi.    Interview  dilakukan  dengan  tujuan  untuk  menkonfirmasi  tulisan  subjek  pada  jawaban  sehingga menjadi data pelengkap untuk menginterpretasi berpikirnya subjek penelitian. Jenis interview yang digunakan adalah interview semi-structured interview (internal validity terkait pengumpulan data), dimana pertanyaan interview  didasarkan  atas  respon  yang  diberikan  oleh  subjek.  Proses  interview  akan  direkam  secara  audio- visual,  data  audio  selanjutkan  dibuatkan  transkrip  pembicaraan  sedangkan  audio  untuk  menginterpretasi bihaviour/Bahasa  tubuh  subjek  untuk  mendukung  interpretasi  berpikirnya  subjek  dengan  tujuan  menjada reliabilitas koleksi data.
Data  hasil  Ujian  Tengah  Semester  dianalisis  untuk  mengetahui  proses  berpikir  mahasiswa  dalam mengkonstrusi  bukti  proposisi.  Analisis  data  hasil  interview  dilakukan  dengan  langkah  reduksi  data, pemaparan data yang meliputi pengklasifikasi dan identifikasi data, dan menarik kesimpulan dari data yang telah  dikumpulkan  dan  memverifikasi  kesimpulan  tersebut.  Untuk  menjaga  validitas  data  analis,  kami menggunakan data triangulasi meliputi audio-video recording, tulisan/pekerjaan siswa, catatan siswa selama interview.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Pembuktian Geometris
Dalam  tulisannya  Dumas  and  McCharthy  (2014)  menyatakan  bahwa  pengertian atau  definisi  bukti matematis bergantung pada konteksnya. Ada dua sudut pandang tentang bukti matematis, yakni dalam konteks formal  dan  praktis.  Dalam  konteks  formal,  bukti  matematis  dipandang  sebagai  serangkaian  pernyataan matematis dalam bentuk aksioma deduktif logis yang mengikuti pernyataan sebelumnya. Sedangkan dalam konteks  praktis,  bukti  matematis  didefinisikan  sebagai  argument  matematis  yang  bersifat  persuasive  yang meyakinkan  pengetahuan  orang  lain  tentang  sebuah  kebenaran  dari  pernyataan  matematis  (Dumas  & McCarthy, 2014 pg. 69).
Dalam konteks matematika sekolah, bukti matematis didefinisikan sebagai argument matematis yang merupakan  rangkaian  pernyataan  yang  mendukung  atau  menyangkal  sebuah  klaim  yang  memiliki  tiga karakteristik. Karakteristik pertama adalah bukti sebagai kumpulan pernyataan yang diterima kebenarannya seperti  teorema,  aksioma  dan  definisi. Karakteristik  kedua  adalah  mode  argumentasi  yang  meliputi  aturan- aturan  inferensi  logis  (syllogism,  universal  instantiation),  bukti  langsung,  bukti  tak  langsung/kontradiksi. Karakteristik  yang  terakhir  adalah  mode  representasi  argumentasi  seperti  naratif,  diagramatik,  simbolik (Stylianides, 2007).
Tall  (1995)  berpendapat  bahwa  pembuktian  Euclid  merupakan  langkah  awal  yang  bagus  untuk mengembangkan ketelitian bukti logis. Tall (1999) dalam artikel lainnya menyatakaan bahwa bukti euclid bias
dipandang sebagai suatu bukti generic verbal yang berlaku untuk seluruh gambar geometris yang  memiliki sifat  yang  diberikan.  Pada  kebanyakan  masalah  bukti  geometris,  premis  biasanya  diberikan  dalam  bentuk verbal  atau  informasi  simbolis  bersama  dengan  gambar  geometrisnya.  Dengan  kata  lain,  bentuk  dari masalah/problem  di  pembuktian  geometris  biasanya  berbentuk  “Diberikan 𝑋 ,  tunjukkan  bahwa 𝑌 ,  dimana makna gambar dari 𝑋 dan 𝑌 tertanam didalamnya. Dengan demikian, tujuan dari proses pembuktian adalah mengkonstrukci serangkain pernyataan/argument dari 𝑋 ke 𝑌 yang didukung penalaran deduktif. Oleh karena itu, proses mental dalam mengonstruksi bukti  harus menintegrasikan dua macam informasi: informasi visual dan informasi konseptual yang merepresentasikan premis yang sudah diberikan secara eksplisit (Ufer, Heinze, & Reiss, 2009).

## Gambar, Konsep dan Konseptualisasi Gambar
Konten dari apa yang dipikirkan akan disebut sebagai representasi mental (a mental representation). Untuk  tujuan  investigasi  berpikir  geometris,  ada  tiga  representasi  mental  yang  relevan  yakni  persepsi (percepts), gambar (images), dan konsep (concepts). Persepsi (percept) didefiniskan sebagai representasi dari stimulus yang diterima (Handscomb, 2005). Karena persepsi ada sebagai representasi dalam fikiran, operasi mental bisa menunjukkan sifat-sifat dari persepsi seperti warna, bentuk, dan seterusnya.
Gambar  (image)  didefinisikan  sebagai  suatu  mental  representasi  yang  memberi  reaksi  pada pengalaman dari pengamatan pada keberadaan dari stimulan visual dari mata. Seperti halnya persepsi, hal ini memungkinkan untuk berpikir dari gambar sebagai yang diproyeksikan pada matriks/acuan mental, tapi dalam hal ini data yang diproyeksikan sudah disimpan dalam pikiran. Persepsi bisa saja salah untuk suatu gambar, sebagai contoh halusinasi, mimpi dan semua mengindikasikan bahwa gambar bisa salah untuk suatu persepsi, namun bukti-bukti eksperimental menunjukkan bahwa kebalikannya yang benar.
Ketika situasi geometris diberikan secara verbal, hal ini mungkin penting untuk membayangkan suatu gambar yang berkesesuaian (korespondingnya) dalam rangka untuk menyediakan masukan intuitif pada proses bernalar.  Gambar  tersebut  mungkin  di  transfer  ke  media  eksternal,  seperti  gambar  pada  kertas,  untuk memantapkannya.  Lebih  lanjut  konstruksi  mungkin  bisa  divisualisasikan  dan  ditambahkan  pada  gambar tersebut untuk menyelesaikan masalah, atau berbagai transformasi mungkin dibayangkan. Selanjutnya, dalam penelitian  ini,  kata  gambar  (image)  digunakan  untuk  menggantikan  kata  gambar  geometris,  dengan pemahaman bahwa hal ini bisa merujuk pada persepsi, gambar, atau keduanya tergantung pada konteksnya.
Pikiran  membutuhkan  suatu  cara  untuk  merepresentasikan  sesuatu  yang  abstrak,  konsep  umum. Gambar tidak akan bisa, tapi kata-kata bisa melakukan fungsi tersebut. “Kucing” tidak merujuk pada suatu binatang dan “persegi” tidak merujuk pada suatu bentuk tertentu. Walaupun, kata-kata tersebut merujuk pada keseluruhan kelas dari objek yang berbagi sifat-sifat tertentu. Konsep mendefinisikan representasi mental yang menaruhnya pada bentuk Bahasa. Suatu konsep bersifat abstrak dan umum. Selanjutnya istilah konsep dalam penelitian ini akan selalu merujuk pada suatu pernyataan.
Gambar dan konsep adalah dua cara pikiran menyimpan informasi geometris. Teori dual-code yang dikemukakan oleh Paivio (dalam Handscomb, 2005)) menyatakan bahwa representasi di simpan dalam dua format, yakni gambar visual dan konsep verbal.
Konseptualisasi gambar (conceptualization of an image) adalah representasi konseptual tentang suatu gambar (image) (Handscomb, 2006). Konseptualisasi ini berisi satu atau lebih pernyataan dan pernyataan ini akan disimpulkan menjadi sifat-sifat. Suatu gambar (image) biasanya akan memiliki beberapa sifat-sifat, dan himpunan bagian dari sifat-sifat tersebut adalah konseptualisasi.
Sebagai ilustrasi: sebuah pintu yang dipandang sebagai persegi panjang mempunyai empat sisi karena pintu adalah persegi panjang dan fakta bahwa persegi panjang mengharuskan bahwa dia memiliki empat sisi; “empat sisi” merupakan sifat utama. Dilain pihak, pintu yang dipandang sebagai suatu persegi panjangyang kebetulan  berwarna  coklat  karena  “warna  coklat”  bukan  sifat  yang  mengikuti  fakta  bahwa  itu  merupakan persegi panjang. Dalam hal ini, gambarnya (image) adalah pintu dan konsepnya adalah “persegi panjang.”
Konseptualisasi dalam perspektif lain adalah apa yang dikemukakan oleh Godfrey (dalam Handscomb, 2005)  yakni  “geometrical  ‘eye’”.  Dia  merujuk  pada  perkembangan  siswa  bahwa  kekuatan  dari  sifat penglihatan geometris adalah mengurai/melepaskan sifat-sifat tersebut dari gambarnya.
Konseptualisasi K dari suatu gambar G ditunjukkan pada Gambar 1. Pada gambar ini terlihat bahwa gambar  oval  yang  bawah  mewakili  representasi  gambar  (G),  oval  yang  atas  mewakili  representasi konseptualisasi (K), panah lurus mewakili pembentukan konseptualisasi, dan panah lengkung, yang muncul pada gambar berikutnya, mewakili proses deduksi/menyimpulkan.

## Gambar 1. Gambar konseptualisasi
Ada empat prinsip dalam proses konseptualisasi, diantaranya:

## a. Prinsip 1
Misalkan K dan J adalah dua konseptualisasi dari suatu gambar G, maka gabungan dari sifat-sifat K dan J juga merupakan konseptualisasi dari G. Prinsip mengikuti langsung dari definisi konseptualisasi. Hal ini memberikan sebuah metode penggabungan konseptualisasi. Gambar 2 menunjukkan Prinsip 1 konseptualisasi.
Gambar 2. Prinsip 1 konseptualisasi

## b. Prinsip 2
Jika K adalah suatu konseptualisasi dari suatu gambar G, dan J adalah himpunan bagian dari K, maka J juga merupakan konseptualisasi dari G. Gambar 3 menunjukkan Prinsip 2 konseptualisasi

## Gambar 3. Prinsip 2 konseptualisasi

## c. Prinsip 3
Jika K adalah konseptualisasi dari gambar G, dan sifat dari J bisa disimpulkan dari sifat K, maka J juga merupakan konseptualisasi dari G. prinsip ketiga berarti bahwa sebarang tambahan sifat dari geometer menyimpulkan dari sifat-sifat suatu gambar akan menjadi sifat dari gambar. Prinsip 3 seperti hipetsa silogisme dari bentuk 𝑃 → 𝑄 dan 𝑄 → 𝑅 sehingga 𝑃 → 𝑅 , kecuali bahwa jika C adalah konseptualisasi dari G bukan suatu penarikan kesimpulan logis. Gambar 4 menunjukkan Prinsip 3 konseptualisasi.

## Gambar 4. Prinsip 3 konseptualisasi

## d. Prinsip 4
Jika gambar H memuat gambar G, dan K adalah konseptualisasi dari G, maka K adalah konseptualisasi H.  dengan  kata  lain,  jika  suatu  sifat  benar  untuk  sebagain  dari  gambar,  maka  hal  tersebut  benar  untuk keseluruhan gambar. Validitas dari prinsip ini masih dipertanyakan. Namun, selanjutnya akan didiskusikan, gambar geometris bisa dijelaskan menjadi suatu sistem hingga suatu titik, garis, dan kurva. Jika suatu sifat benar dari suatu system, maka itu pasti benar pada suatu system yang sama dengan penambahan suatu titik, garis  atau  kurva,  dan  prinsip  4  akan  mengikuti  pembuktian  induksi.  Gambar  5  menunjukkan  Prinsip  4 konseptualisasi.

## Gambar 5. Prinsip 4 konseptualisasi
Hal ini mungkin untuk memeulai dengan reprsentasi konseptual C dan kemudian bentuk gambar G sehingga  C  mengkonseptualisasi  gambar  G.  Dalam  hal  ini,  G  adalah  percontohan  ( Instantiation )  dari  C. Sebagai contoh, diberikan suatu konsep “persegi”, seorang siswa mungkin menggambar segiempat sama sisi dengan empat sisi berukuran sama dan empat sudut berukuran sama. “persegi” mengkopseptualisasi gambar, dan gambar adalah percontohan dari “persegi”. Konseptualisasi dan percontohan adalah operasi invers.

## Pemahaman Bukti Geometris
Dalam artikelnya, Miyazaki, Fujita and Jones (2017) menyatakan bahwa ada tiga aspek penting dalam buktidan pembuktian meliputi pemahaman bukti sebagai sebuah struktur objek, melihat bukti sebagai sebuah proses intellectual dan pemahaman akan peran dan makna bukti dan pembuktian. Dengan memandang sebuah bukti  sebagai  suatu  struktur  objek  memungkinkan  seseorang  untuk  mengetahui  komponen-komponen  dari bukti dan hubungan diantara mereka, bagaiman komponen tersebut membentuk bukti dan bagaimana struktur ini  dibutuhkan.  Dalam  konteks  bukti  geometris,  struktur  bukti  dilihat  sebagai  jaringan,  network,  proposisi singular  dan  universal  antara  premis  dan  kesimpulan  yang  dihubungkan  oleh  penalaran  logis  universal instantiation dan hypothetical syllogism (Miyazaki, Fujita, Jones, & Iwanaga, 2017). Proposisi universal dalan konteks  ini  meliputi  aksioma,  teorema  dan  definisi  yang  digunakan  untuk  mendukung  penarikan kesimpulan/klaim. Singular proposisi dalam hal ini merupakan pernyataan-pernyatan yang terbentuk dalam proses konstruksi bukti.
Miyazaki, Fujita and Jones (2017) mengemukakan bahwa ada tiga level pemahaman struktur bukti, yakni level pra-struktural, level parsial-struktural dan level holistik-struktural. Pada level pra-struktural, siswa memandang sebuah bukti sebagai kumpulan objek simbolis tanpa makna. Siswa gagal untuk mengidentifikasi komponen-komponen  bukti  seperti  singular  proposisi,  universal  proposisi,  premis,  kesimpulan  serta penghubung  antar  komponen-komponen  tersebut  seperti  universal  instantiation  dan  hypothetical  syllogism. Ketika  siswa  sudah  mulai  mengenal  komponen  struktur  bukti,  maka  level  pemahaman  mereka  berada  di sublevel  parsial-struktural  elemental.  Namun,  mengetahui  komponen  saja  tidak  cukup  untuk  memahami
struktur bukti. Siswa butuk untuk mengetahui penalaran deduktif seperti hypothetical syllogism dan universal instantiation  sebagai  alasan  pendukung  untuk  menyimpulkan  premis.  Pada  sub-level  partial-struktural relasional, siswa sudah mengerti hypothetical syllogism dan universal instantiation dan mampu menggunakan teorema, aksioma atau definisi sebagai alas an pendukung, tetapi mereka mengkonstruksi atau menerima bukti yang  memuat  ‘logical  circularity’.  Disisi  yang  lain,  mereka  memahami  silogisme  tetapi  tidak  memahami universal  instantiation  yang  bias  disimpulkan.  Pada  level  ketiga,  holistic-struktural,  siswa  memahami komponen,  hubungan  antar  mereka  dan  bagaimana  menghubungkan  mereka.  Kemudian,  mereka  mampu mengonstruksi bukti dan sadar akan hubungan hirarkis antara teorema dan konstruksi bukti mereka.
Dalam  mengonstruksi  bukti  geometris  formal,  siswa  atau  penyusun  bukti  membutuhkan  beberapa kemampuan  khusus,  meliputi  kemampuan  konseptualisasi  global,  konseptualisasi  local,  deduksi  local  dan deduksi  global  (Handscomb,  2006).  Konseptualisasi  global  terkait  dengan  kemampuan  dalam  mengaitkan sifat-sifat dengan suatu gambar/bangun geometris. Hasil dari global konseptualisasi bisa diarahkan pada sifat umum.  Kemampuan  konseptualisasi  local  terkait  pemahaman  akan  hubungan  anatar  komponen-komponen gambar, seperti sifat-sifat yang memiliki empat sisi sama besar dan empat sudut yang sama besar mungkin bisa  dikonseptualisasikan  dari  suatu  gambar  persegi.  Kemampuan  deduksi  local  terkait  dengan  penarikan kesimpulan  dari  satu  konseptualisasi  ke  konseptualisasi  yang  lain.  Lokal  konseptualisasi  bisa  berwujud definisi,  eliminasi,  deduksi  aljabar,  dan  proposisi  (hasil  dari  deduksi  global  sebelumnya).  Sedangkan kemampuan deduksi global terkait dengan kemampuan dalam membuktikan proposis geometris. Dalam hal ini,  ketika  deduksi  lokal-deduksi  lokal  dirangkai  berdasarkan  rencana  strategi,  maka  hasilnya  disebut konseptualisasi global.

## Problematika dalam Penalaran Berbasis Gambar
Banyak siswa menemui kesulitan dalam belajar geometri. Dalam hal ini, peneliti mengklaim bahwa ada banyak kesalahan geometris yang dilakukan siswa sebagai hasil dari konseptualisasi dari data incidental gambar ( incidental image data ). Hal itu yang menyebabkan jabakan/kerumitan dari penalaran berbasis gambar. Secara umum, ada beberapa kategori besar terjadinya kesalahan(Handscomb, 2005).

## a. Konsep yang diasosiasikan dengan sifat-sifat incidental (KASI)
Insidental data merupakan pemicu kesulitan siswa dalam memahami konsep, khususnya di geometri. Sebagai contoh, miskonsepsi bahwa jajargenjang tidak mempunyai sudut siku-siku terus terjadi karena gambar yang dijadikan contoh sebagai salahsatu jajargenjang pada kebanyakan buku teks tidak menunjukkan sudutnya siku-siku.  Masalah  ini  tampaknya  disebabkan  oleh  abstraksi  empiris  yang  tidak  akurat  pada  tahap  formasi konsep sebagai akibat sedikitnya percontohan ( instatiation ) yang diberikan pada siswa untuk menyimpulkan konsep secara benar.

## b. Konseptualisasi dari sifat-sifat incidental (KSI)
Kebutuhan akan validitas dari penalaran berbasis gambar adalah bahwa hanya diagram skematis dan sifat-sifat skematis yang diperbolehkann untuk dikonseptualisasi dari gambar. Kesalahan mengidentifikasi hal- hal yang dibutuhkan merupakan sumber dari kesalahan konseptualisasi.
Contoh konseptualisasi dari sifat-sifat incidental misalnya seorang siswa mengasumsikan bahwa dua garis kongruen karena keduanya terlihat kongruen dari gambarnya; sedangkan contoh konseptualisasi global dari  sifat  incidental  yakni  ketika  gambar  dari  segiempat  dikonseptualisasi  sebagai  persegi,  ketika  hal  ini seharusnya untuk merepresentasikan lebih ke bentuk umumnya.

## Hasil Penelitian dan Pembahasan Proses Berpikir Mahasiswa
Untuk  mendemontrasikan  model  pengembangan  konsep-gambar  (image-concept  model  devoloped) dalam  pembuktian  Euclid,  penelitian  ini  menganalisis  pekerjaan  siswa  dalam  membuktian  suatu proposisi/pernyataan. Gambar 6 berikut salah satu contoh pernyataan/proposisi yang dibuktikan oleh subjek penelitian.

## Gambar 6. Soal untuk Subjek Penelitian
Pada saat mengerjakan pembuktian, subjek diminta mensuarakan yang dipikirkannya (think aloud). Hal ini berguna untuk menginterpretasi apa yang sebenarnya dipikirkan oleh subjek selama membuktikan atau mendapatkan  pernyataan  yang  mendukung  proses  pembuktiannya.  Dan  untuk  melihat  struktur/skema berpikirnya, subjek diminta menuliskan skema analisnya terlebih dahulu sebelum menuliskan pembuktiannya dalam  bentuk  tabel.  Berikut  ini  contoh  pembuktian  yang  dilakukan  oleh  salahsatu  subjek  penelitian  yakni subjek FMZ.
Setelah membaca pernyataan yang diberikan, gambar yang mentertai pernyataan yang diberikut dan kesimpulan yang akan ditunjukkan kebenarannya, FMZ membuat garis seperti yang terlihat pada Gambar 7.
Gambar 7. Salah Satu Pekerjaan Subjek Ujicoba
Berikut  transcript  pada  saat  FMZ  melakukan  think  aloud  yang  terjadi  pada  saat  subjek  mengerjakan pembuktian tersebut:
FMZ :   berdasarkan gambar yang diberikan, dari dua titik O dan B serta titik O dan C dapat dibuat garis OB dan OC. Dan berdasarkan definisi jari-jari, maka dapat disimpulkan bahwa ruas garis OB dan OC adalah jari-jari lingkaran O.  Oh ya…berdasarkan teorema bahwa semua jari-jari kongruen, jadi ruas garis OB dan ruas garis OC kongruen.
Setelah mensuarakan yang dipikirkannya, FMZ menulis skema analisisnya seperti yang terlihat pada Gambar 8 berikut.
Gambar 8. Skema Analisis Subjek Ujicoba
Berdasarkan  pernyataan  dan  tulisan  FMZ  dapat  diinterpretasi  bahwa  Subjek  FMZ  membuat konseptualisasi gambar, untuk kasus ini, konseptualisasi yang dibuat adalah konseptualisasi prinsip 3 bahwa jika “ruas garis 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ adalah jari-jari lingkaran” mengkonseptualisasi gambar, dan “ruas garis 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ adalah  jari-jari  lingkaran”  berakibat  bahwa  “ 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ ”,  maka  “ 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶 ̅̅̅̅ ”  juga  merupakan konseptualisasi gambar. Secara visual, konseptualisasi image yang dibuat oleh FMZ direpresentasikan oleh Gambar 9 berikut .

## Gambar 9. Konseptualisasi Prinsip 3 oleh FMZ
Dalam konteks pemahaman struktur bukti, FMZ menggunakan universal instantiation dari proposisi universal,  dalam  hal  ini  adalah  teorema  jari-jari  untuk  membuat  kesimpulan  dari  premis  yang  diberikan sehingga  membentuk  suatu  proposisi  singular  yakni  “  jika 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ adalah  jari-jari  lingkaran 𝑂 , maka 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ (Miyazaki, Fujita, & Jones, 2016).
Berdasarkan gambar 8 yang dibuat oleh FMZ melalui proses melengkapi identitas gambar berdasarkan pernyataan  yang  diberikan  dan  gambar  yang  diberikan  dalam  pernyaatan  awal  (soal),  FMZ  memunculkan pernyataan-pernyataan baru lainnya yang dituliskan dalam bentuk skema. Berikut transkrip pada saat FMZ melakukan think aloud :
FMZ  :   karena diberkan ruas garis AB dan AC kongruen dan tadi juga didapat kesimpulan bahwa OB dan OC kongruen….daaan…menurut aksioma sifat refleksif maka AO kongruen AO, maka menurut teorema sisi-sisi-sisi dapat disimpulkan bahwa segitiga ABO dan segitiga ACO kongruen.
Pada  saat  mensuarakan  pikirannya,  FMZ  menuliskan  skema  analisisnya  seperti  yang  terlihat  pada Gambar 10 berikut.

## Gambar 10. Skema Analisis yang dibuat FMZ
Berdasarkan  pernyataan  (transkrip)  dan  tulisan  (skema  analisis)  dapat  disimpulkan  bahwa  FMZ membuat  konseptualisasi  gambar,  prinsip  3,  bahwa  jika  “OB  kongruen  OA,  AB  kongruen  AC  dan  AO kongruen AO” mengkonseptualisasi gambar, dan “OB kongruen OA, AB kongruen AC dan AO kongruen AO” berakibat “segitiga ABO dan segitiga ACO kongruen”, maka “segitiga ABO dan segitiga ACO kongruen” merupakan konseptualisasi gambar juga. Secara visualisasi konseptualisasi tersebut disajikan oleh Gambar 11 berikut ini.
Gambar 11. Visualisasi Konseptualisasi Gambar yang dilakukan oleh FMZ
Secara lengkap dekonstruksi bukti proposisi yang dilakukan subjek FMZ disajikan pada Gambar 12 berikut.
Gambar 12. Dekonstruksi Pembuktian Proposisi
Subjek bisa menerapkan konseptualisasi prinsip 3 untuk menjamin bahwa suatu pernyataan/sifat-sifat baru  merupakan  konseptualisasi  konseptualisasi  local.  Selanjutnya,  menggunkan  prinsip  4  konseptualisasi, konseptualisasi  atau  pernyataan  baru  yang  menyertai  merupakan  konseptualisasi  dari  gambar  keseluruhan. (global diagram). Kemudian, focus pembuktian berganti pada bagian baru dari gambar untuk menghasilkan local deduksi lainnya. Local deduksi-lokal deuksi tersebut saling terkait tergantung pada global argument yang dimaksud.
Menarik untuk dicatat bahwa sifat-sifat atau lokal deduktif bersifat relasional. Sebagai contoh garis terkait dengan lingkaran dalam hal jari-jari lingkaran dan tali busur, dua segitiga terkait dengan kekongruenan segitiga,  dan  seterusnya.  Local  konseptualisasi,  ralasional,  mengacu  pada  hubungan  relational  diantara komponen-komponen  gambar  (image).  Komponen-kompoenen  yang  bervariasi  pada  proses  pembuktian deduktif diidentifikasi sebagai local dan global konseptualisasi.
Lebih  jauh,  jika  analis  jawaban  FMZ  menggunakan  kerangka  kerja  pemahama  struktur  bukti  dari Miyazaki, maka dapat disimpulkan bahwa level pemahaman struktur bukti dari FMZ dikategorikan berada di level  holistic-struktural.  Dalam  hal  ini  FMZ  sudah  bias  melihat  sebuah  bukti  secara  menyeluruh,  dimana premis  dan  kesimpulan  terkoneksi  secara  logis  via  universal  instantiation  dan  hypothetical  syllogism (Miyazaki, Fujita, & Jones, 2015).

## PENUTUP
Kemampuan untuk membuktikan terdiri dari kemampuan dalam mengonstruksi bukti dan menvalidasi bukti. Mengonstruksi bukti terkait dengan kemampuan membuat konseptualisasi gambar, menemukan lokal- lokal  konseptualisasi  (sifat/kesimpulan  terkait  salah  satu  bagian  dari  gambar)  dan  global  konseptualisasi. Menvalidasi biasanya menekankan pada proses mengkaitkan hubungan relational antara local konseptualisasi dan  global  konseptualisasi  menjadi  serangkain  pernyataan  yang  mendukung  proposisi/konklusi  yang  akan dibuktikan  menjadi  serangkaian  pernyataan  yang  logis.  Dengan  kata  lain  menvalidasi  adalah  kegiatan melanjutkan secara linier dari awal sampai akhir dari suatu bukti tertulis, mungkin saja diulang berkali-kali. Urutan linier ini tidak selalu terjadi dalam proses konstruksi bukti.
Jika  diberikan  suatu  proposisi  untuk  dibuktikan, seseorang  bisa  mulai  pada  bagian  awal saja  tetapi juga bisa dimulai dari dibagian akhir bukti sebelum mengembangkan bagian tengahnya. Selain itu, banyak bukti  memiliki  struktur  hirarkis  berdasarkan  lokal  deduksi  (sub  bukti)  dan  lokal  konseptualisasi  (sub konstruksi)  yang  muncul  selama  proses  konstruksi  bukti.  Menvalidasi  berarti  juga  bertanya  dan  menjawab pertanyaan, menyetujui klaim, membangun sub bukti, mengingat atau menemukan dan menafsirkan teorema lain  dan  definisi,  sesuai  dengan  petunjuk  (misalnya,  untuk  mempertimbangkan  atau  nama  sesuatu),  dan perasaan sadar (tapi mungkin nonverbal) dari kebenaran atau kesalahan.

## DAFTAR RUJUKAN
Dumas, B. A., & McCarthy, J. E. (2014). Transition to Higher Mathematics: Structure and Proof . Saint Louis, Missouri: Washington University in St. Louis. https://doi.org/10.7936/K7Z899HJ
Guven,  B.,  &  Baki,  A.  (2010).  Characterizing  student  mathematics  teachers’  levels  of  understanding  in spherical  geometry. International  Journal  of  Mathematical  Education  in  Science  and  Technology , 41 (8), 991–1013. https://doi.org/10.1080/0020739X.2010.500692
Handscomb, K. (2005). IMAGE-BASED REASONING IN GEOMETRY . SIMON FRASER UNIVERSITY.
Handscomb, K. (2006). PRINCIPLES OF CONCEPTUALIZATION FOR  IMAGE-BASED REASONING IN GEOMETRY. In Proceedings of the Twenty Eighth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 418–420). Mérida, México: Universidad Pedagógica Nacional.
Jone, K. (2000). The student experience of mathematical proof at university level. Inter-Nat. J. Math. Ed. Sci. Tech . https://doi.org/10.1080/002073900287381
Kwoen, J. (2002). Philosophical perspective on proof in mathematics education. Philos-Ophy of Mathematics Education Journal , 16 .
Miyazaki,  M.,  Fujita,  T.,  &  Jones,  K.  (2017).  Students’  understanding  of  the  structure  of  deductive  proof.
Educational Studies in Mathematics , 94 (2), 223–239.
Miyazaki, M., Fujita, T., Jones, K., & Iwanaga, Y. (2017). Designing a Web-based Learning Support System for  Flow-chart  Proving  in  School  Geometry. Digital  Experiences  in  Mathematics  Education , 3 (3), 233–256.
Moore, R. C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics , 27 (3), 249– 266. https://doi.org/10.1007/BF01273731
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. School Science and Mathematics , 47 (8), 868–279. Retrieved from www.nctm.org
Oflaz, G., Bulut, N., & Akcakin, V. (2016). Pre- Service Classroom Teachers ’ Proof Schemes in Geometry : A Case Study of Three Pre-service Teachers. Eurasian Journal of Educational Research , (63), 133– 152. https://doi.org/10.14689/ejer.2016.63.8
Ozmantar,  M.  F.  (2017).  A  Historical  Analysis  of  Primary  Mathematics  Curricula  in  Terms  of  Teaching Principles. International  Journal  of  Research  in  Education  and  Science ,  327–327. https://doi.org/10.21890/ijres.327890
Stylianides, A. J. (2007). Proof and Proving in Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education , 38 (3), 289–321. https://doi.org/10.1007/978-94-007-2129-6
Tall,  D.  (1995).  Cognitive  development  ,  representations  and  proof.  In Justifying  and  Proving  in  School Mathematics (pp. 27–38). London.
Tall, D. (1999). The Cognitive Development of Proof: Is Mathematical Proof For All or For Some? Conference of the University of Chicago School Mathematics Project , 1–18.
Ufer, S., Heinze, A., & Reiss, K. (2009). Mental models and the development of geometric proof competency. Pme  33:  Proceedings  of  the  33Rd  Conference  of  the  International  Group  for  the  Psychology  of Mathematics Education, Vol 5 , 5 , 257–264.
Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2013). Elementary and middle school mathematics : teaching developmentally . Boston: Pearson Education Inc.