## -RING KELAS INTERVAL NATURAL

## -RING OF NATURAL CLASS OF INTERVAL
Dyana Patty 1 § , Henry W. M. Patty 2
1 Prodi Matematika FMIPA Universitas Pattimura Ambon, Indonesia [pattydyana@gmail.com]
2 Prodi Matematika FMIPA Universitas Pattimura Ambon, Indonesia [henrywmpatty81@gmail.com] § Corresponding Author
Received Mei 2020; Accepted Juni 2020; Published Juni 2020;

## Abstrak
Artikel ini memperkenalkan kelas baru interval yang disebut kelas interval natural. Perlu dijelaskan bahwa kelas dalam  artikel  ini  bukanlah  kelas  yang  terbentuk  karena  relasi  ekuivalensi  dan  kata  natural  tidak  merujuk  pada himpunan bilangan asli. Diberikan adalah interval tutup dari atau atau atau dengan . Interval tutup disebut interval naik jika , interval tutup disebut interval turun jika
dan interval tutup disebut interval merosot jika . Hal yang sama juga berlaku untuk interval buka, interval buka tutup dan interval  tutup  buka.  Koleksi  interval  naik,  interval  turun  dan  interval  merosot  selanjutnya  disebut  kelas  interval natural.  Dalam  artikel  ini  akan  dibahas  struktur  ring  yang  dibangun  oleh  kelas  interval  natural  beserta sifat- sifatnya . Lebih lanjut akan diberikan syarat cukup agar suatu ring kelas interval natural merupakan -ring kelas interval natural.
Kata  Kunci :  Interval  merosot,  interval  naik,  interval  turun,  ring  kelas  interval  natural, -ring  kelas interval natural.

## Abstract
This paper introduces a new class of interval called the natural class of interval. Throughout this paper, the word class does not refer to class that formed by equivalence relation, and the word natural does not refer to the set of natural numbers. Let be a closed interval from or or or where . If then define as increasing closed interval. If
then is decreasing closed intervals and if then  define as degenerate closed interval. The same thing applied to an open interval, half open  and half closed interval. Let the collection  of  all  increasing  intervals,  decreasing  intervals  and  degenerate  intervals  defined  as  natural  class  of interval.  This  paper  discuss  about  structure  of  ring  generated  by  natural  class  of  interval  and their properties. Furthermore  w e also give  several conditions of ring of natural class of interval to be -ring of natural class of interval.
Keywords : decreasing intervals, degenerate intervals, increasing intervals, ring of natural class of interval, -ring of natural class of interval.

## 1. Pendahuluan
Dalam  struktur  aljabar  abstrak,  telah diketahui bahwa himpunan semua bilangan bulat , terhadap operasi penjumlahan merupakan grup
komutatif,  terhadap operasi perkalian merupakan semigrup  dan  terhadap  operasi  penjumlahan  dan perkalian  berlaku  sifat  distributif  kiri  dan
distributif  kanan.  Struktur  aljabar  ini  selanjutnya disebut  ring  bilangan  bulat  dan  dinotasikan dengan
[6].  Jika  suatu  struktur  aljabar umumnya  dibangun  dari  himpunan  bilangan, himpunan matriks dan himpunan fungsi [7], maka pada  tahun  2010  Kandasamy,  Smarandache  dan Chetry membangun suatu grupoid dari himpunan interval  [2].  Selanjutnya  pada  tahun  2011 Kandasamy  dan  Smarandache  melanjutkan dengan  membangun  semigrup  interval  [3]  dan semiring  interval  [4].  Termotivasi  dari  struktur- struktur tersebut, di tahun yang sama, Kandasamy dan  Smarandache  kemudian  membahas  struktur aljabar  ring  yang  dibangun  oleh  kelas  interval natural.
Diberikan adalah  interval  tutup atau atau atau dengan .  Interval tutup disebut  interval  naik  jika , disebut interval turun jika dan disebut  interval  merosot  jika .  Hal  yang
sama  juga  berlaku  untuk  interval  buka,  interval setengah  buka  dan  interval  setengah  tutup. Koleksi  interval  naik,  interval  turun  dan  interval merosot selanjutnya disebut kelas interval natural atau dengan kata lain kelas interval natural terdiri dari  koleksi  interval  naik,  interval  turun  dan
interval merosot. Kelas interval natural selanjutnya merupakan  ring  terhadap  operasi penjumlahan dan perkalian interval.
Jika diberikan ring kelas interval natural dan  dapat  ditemukan dimana adalah
lapangan  maka  ring  kelas  interval  natural disebut -ring  kelas  interval  natural.  Tetapi lapangan tidak  selalu  dapat  ditemukan.  Untuk itu  dalam  penelitian  ini  akan  diberikan  beberapa
syarat cukup agar suatu ring kelas interval natural merupakan -ring  kelas  interval  natural.  Konsep -ring  kelas  interval  natural  selanjutnya  dapat dijadikan dasar untuk membangun -ring matriks kelas interval natural dan -ring polinomial kelas interval natural.

## 2. Sifat-Sifat  Ring  Kelas  Interval Natural
Subbab  ini  akan  menyajikan  definisi  ring kelas  interval  natural  dan  elemen-elemen  yang mempunyai  sifat  khusus  pada  ring  kelas  interval natural.  Pertama  akan  diberikan  definisi  ring kelas interval sebagai berikut.
Definisi  2.1. [5] Misalkan { } adalah kelas  interval  buka  natural dan  didefiniskan operasi dan pada sebagai berikut : untuk  setiap .  Himpunan merupakan ring terhadap operasi dan yang selanjutnya disebut ring kelas interval buka natural dan dinotasikan dengan { } .
Selanjutnya  dalam  keseluruhan  penelitian ini  himpunan pada  Definisi  2.1  dapat  diganti
dengan atau atau dengan dan interval  natural  buka dapat  diganti  dengan interval  natural  tutup atau  interval  setengah
buka atau interval setengah tutup .
Sama halnya dengan ring, pada ring kelas interval  natural  juga  terdapat  beberapa  elemen yang  mempunya  sifat  khusus  seperti  elemen
pembagi nol, unit, elemen idempoten dan elemen nilpoten.  Sebarang  ring  kelas  interval  natural selalu  memiliki  elemen  pembagi  nol  yaitu dan .  Dapat  ditunjukkan  bahwa  himpunan semua pembagi nol dan
adalah ideal.
Teorema  2.2. [5] Misalkan  diberikan
{ ( )     } adalah ring kelas interval natural komutatif  dengan  elemen  satuan  dan .
Berlaku sifat-sifat berikut.
1. { } ideal di .
2. { } ideal di .

## B UKTI
1. Akan  ditunjukkan { }
ideal di . i. Diambil sebarang dengan .  Akan  ditunjukkan . ii. Diambil sebarang dengan . Akan ditunjukkan . Jadi ideal di .
2. Akan ditunjukkan { }
ideal di .
i. Diambil sebarang dengan .  Akan  ditunjukkan . ii. Diambil sebarang dengan
.  Akan  ditunjukkan .
Jadi ideal di .
Berikut  didefiniskan  ring  faktor  kelas interval  natural    yang  dibentuk  oleh  ideal dan ideal pada Teorema 2.2.
Definisi 2.3. Misalkan { } adalah ring  kelas  interval  natural dengan . Ring ( ⁄      ) dan ( ⁄      ) disebut  ring faktor  kelas  interval  natural  yang  dibentuk  oleh ideal { } dan  ideal { } .
Berikut  ini  diberikan  contoh  ring  faktor kelas interval natural.
Contoh  2.4. Misalkan { } adalah ring  kelas  interval  natural.  Selanjutnya  diberikan
{                                 } .
Berdasarkan Teorema 2.1 diperoleh adalah ideal di . Selanjutnya akan dibentuk ring faktor ⁄ .
Pertama-tama  akan  didaftarkan  elemen  ring { } yaitu :

## { }
Selanjutnya elemen ring faktor ⁄ adalah

## ⁄
{ }
Terlihat bahwa | ⁄ | .
Berdasarkan  Contoh  2.4  diperoleh  sifat umum  terkait  order  dan  karakteristik  ring  faktor kelas interval natural dengan .
Teorema  2.5. [5] Misalkan  diberikan
{ } adalah ring kelas interval natural komutatif  dengan  elemen  satuan  dimana dan banyaknya elemen pada adalah . Jika
dan adalah  ideal-ideal  di maka  ring  faktor
⁄ dan ⁄ adalah  ring  berhingga  dengan order dan  memiliki  karakteristik . B UKTI Diketahui adalah .  Selanjutnya  karena , dan  eksistensi  elemen netral maka  diperoleh | ⁄ | | ⁄ |
. Ring faktor kelas interval natural ⁄ dan ⁄ . Diperhatikan
bahwa  untuk  setiap terdapat sedemikian  sehingga .  Jadi  ring  faktor ⁄ dan ⁄ memiliki
karakteristik . Berikut  ini  diberikan  contoh  ring  faktor kelas  interval  natural dengan adalah bilangan komposit. Contoh  2.6. Diberikan { } ring kelas  interval  natural  komutatif  dengan  elemen satuan  dan  misalkan { } ideal  di .  Dapat  dibentuk  ring  faktor ⁄
{
{ }} .  Selanjutnya  ring  faktor ⁄
memiliki elemen pembagi nol dan unit.
Elemen pembagi nol di ⁄ adalah dan
karena
.
. Elemen  unit  di ⁄ adalah karena .
Berdasarkan  Contoh  2.6  diperoleh  sifat umum  terkait  elemen  pembagi  nol  dan  elemen unit  pada  ring  faktor  kelas  interval  natural dengan adalah bilangan komposit.
Teorema  2.7. [5] Misalkan  diberikan { } adalah ring  kelas interval natural komutatif dengan elemen satuan dimana adalah bilangan  komposit.  Jika { } dan { } adalah  ideal-ideal di maka ⁄ dan ⁄ memiliki  elemen pembagi nol dan unit.

## B UKTI
Diambil  sebarang ⁄ dengan dan .  Elemen ⁄ dan ⁄ merupakan elemen  pembagi  nol  di ⁄ karena  terdapat
dan ⁄ sedemikian sehingga dan
.  Hal  yang  sama  juga  berlaku untuk ring faktor ⁄ yaitu elemen pembagi nol di ⁄ adalah dan . Teorema  2.8. [5] Misalkan  diberikan
{ } adalah ring kelas interval natural komutatif dengan elemen satuan dimana adalah bilangan  komposit.  Jika { } dan { } adalah  ideal-ideal di maka ⁄ dan ⁄ memiliki elemen unit.

## B UKTI
Diambil  sebarang ,  elemen
unit  di ⁄ dan ⁄ adalah
dan . Diperhatikan bahwa
Hal  yang  sama  juga  berlaku  untuk ⁄ yaitu
elemen unit di ⁄ adalah .
Selanjutnya  akan  diberikan  sifat  yang berkaitan  dengan  elemen  idempoten  dan  elemen
nilpoten  di  ring  faktor  kelas  interval  natural ⁄
dan ⁄ .
Teorema  2.9. [5] Misalkan  diberikan
{ } adalah ring kelas interval natural komutatif  dengan  elemen  satuan  dimana adalah  bilangan  komposit  dan { } serta { } adalah ideal-ideal  di .  Jika ,  untuk  setiap  p prima ganjil maka ⁄ dan ⁄ memiliki elemen idempoten.

## B UKTI
Diambil  sebarang ⁄ dengan dan prima ganjil.  Akan ditunjukkan . Diperhatikan bahwa Karena  diketahui prima  ganjil  maka adalah  genap.  Dari  sini  diperoleh genap.  Selanjutnya  karena diperoleh yaitu merupakan elemen idempoten di ⁄ .  Sedangkan merupakan  elemen
idempoten di ⁄ .
Jika  pada  Teorema  2.9, dan adalah bilangan genap maka diperoleh sifat  yang berkaitan  dengan  elemen  nilpoten  pada  ring
faktor kelas interval natural.
Teorema  2.10. [5] Misalkan  diberikan
{ } adalah ring kelas interval natural komutatif  dengan  elemen  satuan  dimana adalah  bilangan  komposit  dan { } serta { } adalah ideal-ideal  di .  Jika
,  untuk  setiap  p genap  maka ⁄ dan ⁄ memiliki  elemen nilpotent.

## B UKTI
Diambil  sebarang ⁄ dengan dan genap.    Akan  ditunjukkan . Diperhatikan bahwa Karena diketahui genap maka adalah ganjil.  Dari  sini  diperoleh genap. Selanjutnya  karena diperoleh yaitu merupakan  elemen  nilpoten  di ⁄ .  Elemen
nilpoten di ⁄ adalah .

## 3. -Ring Kelas Interval Natural
Konsep -ring merupakan salah satu konsep struktur aljabar yang diperkenalkan oleh Florentin Smarandache  dan  Padila  Raul  pada  tahun  1998.
Jika diberikan ring dan dapat ditemukan dimana adalah lapangan maka ring disebut - ring [1]. Selanjutnya pada tahun 2011 Kandasamy dan  Florentin  mengembangkan  struktur -ring pada  kelas  interval  natural.  Pada  bagian  awal akan  dijelaskan  tentang  definisi  lapangan  kelas interval natural dan dilanjutkan dengan definisi - ring kelas interval natural.
Definisi  3.1. [5] Diberikan  ring  kelas  interval
natural { } .  Ring disebut lapangan kelas interval natural jika setiap elemen tak  nol  di merupakan  unit,  yaitu  untuk  setiap {                     } terdapat sedemikian sehingga ,  dimana adalah elemen identitas di .
Berikut  diberikan  contoh  lapangan  kelas interval  natural  untuk  memperjelas  definisi  di atas.
Contoh 3.2. Diberikan ring kelas interval natural { } .  Akan  ditunjukkan  ring merupakan  lapangan  kelas  interval  natural. Elemen tak nol di adalah
{                          } . Dari sini diperoleh
Diperhatikan  bahwa  invers  setiap  elemen  tak  nol adalah  dirinya  sendiri.  Jadi adalah  lapangan kelas interval natural.
Selanjutnya diberikan definisi -ring kelas
interval natural.
Definisi  3.3. [5] Diberikan  ring  kelas  interval natural { } .  Ring disebut - ring  kelas  interval  natural  jika  memuat subhimpunan  sejati sedemikian  sehingga nerupakan  lapangan  kelas  interval  natural terhadap operasi yang sama dengan .
Contoh 3.4. Diberikan ring kelas interval natural
{ } . Terdapat
{ } dimana adalah  ring  dan  elemen  identitas  di adalah . Akan ditunjukkan setiap elemen tak
nol di merupakan unit. Diperoleh,
Diperhatikan  bahwa  setiap  elemen  tak  nol merupakan invers terhadap dirinya sendiri. Jadi merupakan  lapangan.  Sehingga, adalah -ring kelas interval natural.
Dari  pendefinisian  di  atas  jelas  bahwa tidak semua ring kelas interval natural merupakan -ring  kelas interval  natural,  sehingga  diperlukan syarat  cukup  suatu  ring  disebut -ring  kelas interval natural.
Teorema 3.5. [5] Untuk sebarang bilangan prima di ,  ring  kelas  interval { ( )     } merupakan -ring kelas interval natural.
Hal  yang  sama  juga  berlaku  untuk  ring
{ ( )     } atau { ( )     } atau
{ ( )     } . B UKTI
Misakan { { }} .  Akan ditunjukkan merupakan  lapangan.  Diambil sebarang .  Akan  ditunjukkan terdapat sedemikian sehingga Diperhatikan bahwa invers setiap elemen tak nol di adalah dirinya sendiri. Dari sini diperoleh Diperoleh lapangan,  jadi adalah -ring kelas interval natural.
Berikut  ini  diberikan  syarat  cukup -ring kelas  interval  natural  yang  berkaitan  dengan ring faktor.
Teorema  3.6. [2] Diberikan  ring  kelas  interval natural { ( )     } dengan prima. Jika { } adalah  ideal  di maka  ring faktor ⁄ adalah -ring kelas interval natural.

## B UKTI

## Diperhatikan  bahwa  elemen  dari  ring  faktor
⁄   {
{ }} .  Selanjutnya  sesuai  dengan
Teorema  2.7  diperoleh  ring  faktor ⁄ memiliki
unit. Misalkan diambil { }
⁄ .  Akan  ditunjukkan merupakan  lapangan. Diambil  sebarang
dimana
. Sesuai dengan Teorema  3.5 diperoleh merupakan unit di . Dari sini diperoleh unit  di .  Jadi merupakan  lapangan  sehigga ring  faktor  kelas  interval  natural ⁄ adalah - ring.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Beberapa hasil penting atau sifat  yang dapat dijadikan  kesimpulan  dan  saran  dalam  adalah sebagai berikut :
1. Struktur  ring  dapat  dibangun  dari  kelas interval natural.
2. Struktur -ring  kelas  interval  natural merupakan  kejadian  khusus  dari  struktur ring.
3. Jika merupakan ring kelas interval natural dengan prima dan { }
adalah  ideal  di maka  ring  faktor ⁄
adalah -ring kelas interval natural.
4. Penelitian  ini  masih  bisa  dilanjutkan  untuk membangun  struktur  yang  lain  pada  kelas interval  natural  yaitu  struktur  ring  matriks kelas  interval  natural  dan  ring  polinomial kelas interval natural.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Pada artikel ini penulis ucapkan terima kasih kepada :
1. Pengelola Rumah Jurnal UIN Imam Bonjol Padang.
2. MAp  Journal  Program  Studi  Matematika UIN Imam Bonjol Padang.
3. Rekan-rekan Dosen Program Studi Matematika FMIPA Universitas Pattimura.
4. Para  penulis  MAp  Journal  Program  Studi Matematika UIN Imam Bonjol Padang.

## Daftar Pustaka
[1]  Kandasamy, W. B. V., (2002). Smarandache Rings . United States of Amerika :  The American Research Press..
[2]  Kandasamy, W. B. V., Smarandache, F., Chetry, M. K. (2010). Interval Grupoids. United States of Amerika: Infolearnquest.
[3] Kandasamy, W. B. V., Smarandache, F. (2011). Intervals Semigroups. United States of Amerika: Kappa and Omega.
[4]  Kandasamy, W. B. V., Smarandache, F. (2011). Intervals Semirings. United States of Amerika: Kappa and Omega.
[5]  Kandasamy, W. B. V., Smarandache, F. (2011). Algebraic Structures Using Natural Class of Intervals . United States of Amerika : The Educational Publisher, Inc.
[6]  Malik, D. S., Mordeson, J. N., Sen, M. K (2007). Introduction to Abstract Algebra . United States of America : Scientific Word.
[7]  Wahyuni, S., Wijayanti, I. E., Susanti, Y. (2016). Teori Ring dan Modul. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press