## SIMULASI PENYELESAIAN TINGKAT ENERGI SISTEM MOLEKUL DALAM PENGARUH POTENSIAL KRATZER DENGAN METODE PARAMETRIK NIKIFOROV-UVAROV
Nani Sunarmi 1)
1) Program Studi Tadris Fisika, FTIK, Universitas Islam Negeri Sayyid Ali Rahmatullah, Tulungagung, Jawa Timur, Indonesia
Corresponding author : Nani Sunarmi E-mail : nanisunarmi@gmail.com
Diterima 15 Oktober 2022, Direvisi 16 November 2022, Disetujui 16 November 2022

## ABSTRAK
Telah dilakukan kajian terhadap potensial Kratzer pada sistem molekul dengan menggunakan metode Parametrik  Nikiforov-Uvarov.  Penelitian  bermaksud  mendapatkan  persamaan  tingkat  energi  sistem dalam pengaruh potensial Kratzer  dan melakukan simulasi terhadap persamaan tingkat energi tersebut untuk  molekul  oksigen,  iodin,  karbon  monoksida,  nitrogen  monoksida.    Penyelesaian  tingkat  energi sistem diperoleh dengan memisahkan persamaan Schrodinger sistem partikel menjadi 3 bagian yakni radial,  zenithal  dan  azimuthal.  Penyelesaian  tingkat  energi  diperoleh  dengan  meninjau  persamaan Schrodinger  sistem  partikel  bagian  radial.  Penyelesaian  persamaan  tingkat  energi  dilakukan  dengan menerapkan  metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov.  Penyelesaian  terhadap  persamaan  Schrodinger sistem partikel bagian radial dilakukan  dengan mereduksi persamaan menjadi persamaan diferensial tipe  hipergeometri.      Komputasi  numerik  dan  simulasi  grafik  tingkat  energi  dilakukan  dengan menggunakan Matlab. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh penyelesaian persamaan tingkat energi bergantung parameter energi disosiasi, panjang ikatan kesetimbangan, bilangan kuantum serta massa molekul.    Molekul  iodin  memiliki  tingkat  energi  paling  rendah  dibandingkan  molekul  oksigen,  karbon monoksida, nitrogen monoksida.
Kata kunci: tingkat energi; potensial kratzer; metode parametrik nikiforov-uvarov.

## ABSTRACT
A study of the Kratzer potential in molecular systems has been carried out using the Nikiforov-Uvarov Parametric method. The research aims  to obtain the  energy  level  equations of the system under the influence of the Kratzer potential and carry out simulations of these energy level equations for oxygen, iodine, carbon monoxide, nitrogen monoxide molecules. The solution for the energy level of the system is obtained by separating the Schrodinger equation of the particle system into 3 parts, namely radial, zenithal  and  azimuthal.  The  solution  for  energy  levels  is  obtained  by  considering  the  Schrodinger equation of the radial section particle system. Solving the energy level equation is done by applying the Nikiforov-Uvarov  Parametric  method.  The  solution  to  the  Schrodinger  equation  of  the  radial  section particle system is carried out by reducing the equation to a hypergeometric type differential equation. Numerical computations and graphical simulations of energy levels are carried out using Matlab. Based on  the  research  results,  it  was  found  that  the  solution  to  the  energy  level  equation  depends  on  the parameters  of  dissociation  energy,  equilibrium  bond  length,  quantum  number  and  molecular  mass. Iodine molecule has the lowest energy level compared to oxygen molecules, carbon monoxide, nitrogen monoxide.
Keywords: energy level; kratzer potential; nikiforov-uvarov parametric method.

## PENDAHULUAN
Teori dualisme gelombang-partikel memiliki  implikasi  salah  satunya  merubah konsep  energi  dari  bernilai  konstinu  menjadi diskret  (Sutopo,  2005).  Berdasarkan  teori dualisme  gelombang,    perilaku  dan  sifat  fisis sistem  partikel    dapat  digambarkan  oleh persamaan  fungsi  gelombang    yang  diperoleh melalui  penyelesaian  persamaan  Schrodinger
(Siregar, 2018).  Persamaan Penyelesaian  dari persamaan Schrodinger tidak hanya memberikan penyelesaian dalam bentuk persamaan fungsi gelombang sistem tetapi juga menghasikan persamaan tingkat energi (Sunarmi, 2022). Persamaan  Schrodinger  dari  suatu sistem  partikel  seringkali  melibatkan  potensial khusus. Penelitian berkaitan persamaan
Schrodinger  dengan  potensial  telah  banyak dikaji  di  antaranya  melibatkan  potensial Coulomb  (Karomah  et  al.,  2021),  Osilator Harmonik  (Rusmini  et  al.,  2022),    Kratzer (Onyenegecha  et  al.,  2021).  Selain  itu, potensial  yang  dikaji  juga  dapat  berupa gabungan  dari  beberpa  jenis  potensial  seperti Hulthen-Hellmann  (Akpan  et  al.,  2021), Potensial Quadratik Yukawa dan  Eckart  (Antia et  al.,  2020),  Wood-Saxon  (Suparmi  et  al., 2021),  Hulthen-Non  Sentral  Posch  Teller (Sunarmi  et  al.,  2013)  dan  lain-lain.  Semakin banyak potensial yang terlibat maka persamaan Schrodinger  menjadi  semakin  rumit  dan penyelesaian yang diperoleh dilakukan dengan metode aproksimasi. Metode tersebut diantara Metode Wentzel –Kramers–Brillouin  (Omugbe,
2020), Asymptotic Iteration Method (Ikot et al., 2020), Supersymmetric  Quantum  Mechanics (Purohit et al., 2021), Nikiforov-Uvarov (Fitriani & Suparmi, 2017).
Potensial  sistem  partikel  yang  ditinjau dalam  penelitian  ini  adalah  potensial  Kratzer. Potensial  Kratzer  memainkan  peran  penting dalam  kimia  molekuler  dan  kuantum  dan digunakan  untuk  menggambarkan  struktur molekul  dan  interaksinya  (Setare  &  Karimi, 2007).  Selain  itu,  potensial  Kratzer  digunakan sebagai model potensial untuk menggambarkan getaran antar inti atom dalam molekul  diatomik  (Ikot  et  al.,  2020).  Bentuk umum  potensial  Kratzer  sebagai  berikut (Berkdemir, 2012):
𝑉(𝑟) = 𝐴 − 𝐵 𝑟 + 𝐶 𝑟 2 (1)
dengan
parameter 𝐴, 𝐵, 𝐶 merupakan kontansta yang berhubungan dengan potensial Kratzer.  Ketika  nilai 𝐴 dan 𝐶 bernilai  0  maka potensial  ini  tereduksi  menjadi  potensial Coulomb.  Atau  dengan  kata  lain  potensial Coulomb merupakan salah satu bentuk khusus dari  potensial  Kratzer.  Modifikasi  potensial Kratzer dilakukan dengan   mengatur parameter 𝐴 = 𝐷 𝑒 , 𝐵 = 2𝐷 𝑒 𝑟 𝑒 , 𝐶 =   𝐷 𝑒 𝑟 𝑒 2 dan menjadi potensial  Kratzer termodifikasi. 𝐷 𝑒 merupakan energi  disosiasi  yang  tidak  lain  adalah  jarak vertikal antara batas disosiasi dan titik minimum dari  kurva  potensial,  yang  ditemukan  pada kesetimbangan  dengan  panjang  ikatan  antar atom 𝑟 = 𝑟 𝑒 .
Potensial    potensial  Kratzer  menjadi penting untuk ditinjau karena potensial Kratzer merupakan  model  yang  paling  tepat  untuk mengambarkan  interaksi  dari  struktur  molekul dalam  mekanika  kuantum.  Pada  beberapa penelitian  bentuk  umum  potensial    potensial Kratzer  mengalami  modifikasi  dengan shifting parameters yang dapat disesesuaikan (Ibrahim et al., 2022). Penelitian lainya juga mengambungkan  potensial Kratzer  salah satunya mengkaji gabungan  potential Kratzer -
potential ring  shaped (Ikhdair  &  Sever,  2008) dengan  metode  Nikiforov-Uvarov . Terdapat pula  penelitian  lain    yang  mengkaji  potensial Kratzer yang  telah  dimodifikasi dengan penambahan  parameter    dengan  metode Nikiforov-Uvarov  (Ibrahim  et  al.,  2022).  Ketiga penelitian  tersebut  menggunakan  metode Nikiforov-Uvarov  dengan  bentuk  potensial Kratzer  telah  dimodifikasi.  Metode  Nikiforov- Uvarov  merupakan  metode  yang  banyak digunakan  pada  penyelesaian  persamaan diferensial  orde  2  tipe  hipergeometri  (Nikiforov & Uvarov, 1988). Akan tetapi metode Nikiforov- Uvarov    memiliki  langkah  yang  panjang  dan cukup rumit. Metode ini dikembangkan menjadi lebih sederhana yang dikenal dengan parametrik  yang  lebih  dikenal  dengan  metode Parametrik  Nikiforov-Uvarov  (PNU).  Selain menggunakan metode Nikiforov-Uvarov terdapat  pula  yang  menerapkan  metode  lain yakni Asymptotic  Iteration  Method pada potensial Kratzer yang mengalami pengembangan  dengan  adanya  parameter slope  energi  (Ikot  et  al.,  2020).  Potensial Kratzer  pada  penelitian  ini  berbeda  dengan penelitian yang telah disebutkan, pada penelitian  ini  dikaji  bentuk  umum  tanpa modifikasi  dari  potensial  Kratzer  seperti  yang ditunjukan oleh persamaan (1) dengan metode yang  digunakan  adalah  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah untuk memperoleh penyelesaian persamaan  tingkat  energi  dari  sistem  dalam pengaruh  potensial  Kratzer    tanpa  modifikasi serta  melakukan  simulasi  tingkat  energi  untuk molekul O 2 , I 2 , CO, NO. Pemilihan  molekul tersebut dilakukan sebagai contoh kasus.

## METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan dua tahapan.  Tahap  pertama  adalah  menentukan persamaan  energi  sistem  dengan  potensial Kratzer menggunakan metode Metode Parametrik Nikiforov-Uvarov. Persamaan tingkat  energi  diperoleh  dari  persamaan schrodingger  bagian  radial  yang  didapatkan melalui pemisahan variabel. Tahap selanjutnya adalah  melalukan  komputasi  numerik  dan simulasi  terhadap  persamaan  tingkat  energi yang diperoleh dari tahap pertama menggunakan  aplikasi  Matlab.  Molekul  yang akan ditinjau tingkat energinya adalah  molekul O 2 , I 2 , CO, NO .

## Metode Parametrik Nikiforov-Uvarov
Metode Nikiforov-Uvarov (NU) merupakan  metode  yang  didasarkan  pada penyelesaian persamaan diferensial orde 2 tipe hipergeometri  melalui  ortogonalitas  fungsi khusus.    Untuk  potensial  tertentu  dalam
koordinat  bola,  persamaan  Schrodinger  dapat direduksi  menjadi  persamaan  umum  dalam bentuk tipe hipergeometri. Hal tersebut dilakukan  dengan  mentransformasi  koordinat dengan pendekatan 𝑟 → 𝑠 dan kemudian dapat diselesaikan secara sistematis untuk menemukan  solusi  yang  tepat.  Bentuk  umum persamaan diferensial orde 2 tipe hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut (Nikiforov & Uvarov, 1988):
𝜕 2 𝜓(𝑠) 𝜕𝑠 2 + 𝜏̅(𝑠) 𝜎(𝑠) 𝜕𝜓(𝑠) 𝜕𝑠 + 𝜎̅(𝑠) 𝜎 2 𝜓(𝑠) = 0 (2)
dengan  polinomial  berderajat  satu 𝜏̅(𝑠) dan polinomial  berderajat  dua 𝜎(𝑠) dan 𝜎̅(𝑠) . Penerapan  metode  Nikiforov-Uvarov  dapat dilakukan  dengan  dua  cara  yakni  secara konvensional  atau  parametrik  yang  lebih dikenal  dengan  metode  Parametrik  Nikiforov- Uvarov (PNU). Metode PNU sendiri merupakan generalisasi metode Nikiforov-Uvarov menggunakan  parameter-parameter  khusus. Metode  Parametrik  Nikiforov-Uvarov  memiliki kelebihan    dalam  menghitung  persamaan tingkat  energi  dengan  lebih  tepat  untuk beberapa sistem kuantum yang dipecahkannya (Antia et al., 2020). Persamaan diferensial orde dua untuk metode Parametrik Nikiforov-Uvarov dituliskan sebagai berikut (Ita et al., 2017);
𝜓"(𝑠) + 𝑐 1 −𝑐 2 𝑠 𝑠(1−𝑐 3 𝑠) 𝜓′(𝑠) + [−𝜒 1 𝑠 2 +𝜒 2 𝑠−𝜒 3 ] 𝑠 2 (1−𝑐 3 𝑠) 2 𝜓(𝑠) = 0. (3)
Jika  dibandingkan  dengan  metode  Nikiforov- Uvarov  konvensional  pada  persamaan  (2) maka  diperoleh 𝜏̅(𝑠) , 𝜎(𝑠) dan 𝜎̅(𝑠) sebagai berikut:
𝜏̅(𝑠) = 𝑐 1 − 𝑐 2 𝑠 (4)
𝜎(𝑠) = 𝑠(1 − 𝑐 3 𝑠) (5)
𝜎̅(𝑠) =   [−𝜒 1 𝑠 2 + 𝜒 2 𝑠 − 𝜒 3 ] (6)
Parameter  pada  persamaan  (3)  menjadi  alat yang  penting  dalam  memperoleh  nilai  eigen yang tidak lain adalah persamaan 𝐸 dan fungsi eigen  yang  tidak  lain  adalah 𝜓(𝑠) .  Parameter 𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝑐 3 pada persamaan (3) adalah konstanta parametrik. Untuk konstanta parametrik yan lain ditentukan dengan persamaan berikut (Okon et al., 2021):
𝑐 4 = 1/2(1 − 𝑐 1 ) (7) 𝑐 5 = 1/2(𝑐 2 − 2𝑐 3 ) (8)
𝑐 6 =   𝑐 5 2 + 𝜒 1 (9) 𝑐 7 = 2 𝑐 4 𝑐 5 − 𝜒 2 (10)
𝑐 8 = 𝑐 4 2 + 𝜒 3 (11)
𝑐 9 = 𝑐 3 𝑐 7 + 𝑐 3 2 𝑐 8 + 𝑐 6 (12)
𝑐 10 = 𝑐 1 + 2𝑐 4 + 2√𝑐 8 (13)
𝑐 11 = 𝑐 2 − 2𝑐 5 + 2[√𝑐 9 + 𝑐 3 √𝑐 8 ] (14)
𝑐 12 = 𝑐 4 + √𝑐 8 (15) 𝑐 13 = 𝑐 5 −  [√𝑐 9 + 𝑐 3 √𝑐 8 ]. (16)
Sedangkan  untuk  persamaan  energi  dapat ditentukan  dengan  persamaan  (Okon  et  al., 2020) berikut:
𝑐 2 𝑛 − (2𝑛 + 1)𝑐 5 + (2𝑛 + 1)[√𝑐 9 + 𝑐 3 √𝑐 8 ] +𝑛(𝑛 − 1)𝑐 3 + 𝑐 7 + 2𝑐 3 𝑐 8 + 2√𝑐 8 𝑐 9 = 0 (17)
Persamaan tersebut tidak lain adalah persamaan  yang  digunakan  untuk  mencari eigen  nilai  energi.  Hasil  akhir  persamaan gelombang dapat diketahui dengan
menggunakan persamaan 𝜓(𝑠) = 𝜙(𝑠)𝜒 𝑛 (𝑠) = 𝑁 𝑛 𝑠 𝑐 12 (1 − 𝑐 3 𝑠) 𝑐 13 𝑃 𝑛 (𝑐 10 ,𝑐 11 ) (1 − 2𝑐 3 𝑠) (18)
dengan 𝑁 𝑛 adalah  konstanta  normalisasi  dan 𝑃 𝑛 (𝑐10,𝑐11) adalah polinomial Jacobi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian Persamaan
Schrodinger Radial  Sistem  Partikel  dengan  Potensial Kratzer
Persamaan  Schrodinger  untuk  sistem partikel  dengan  potensial  Kratzer  dapat dituliskan sebagai berikut:
[− ℏ 2 2𝜇 ∇ 2 + 𝑉(𝑟)] Ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝐸 Ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙). (19)
Potensial  Kratzer  pada  persamaan  (1)  hanya memiliki  bagian  radial  maka  persamaan Schrodinger  persamaan  (19)  ditinjau  hanya pada  bagian  radial  saja.  Bentuk  persamaan Schrodinger  bagian  radial  potensial  Kratzer dituliskan sebagai berikut:
𝑑 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 2 + 2 𝑟 𝑑𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 + 2𝜇 ℏ 2 (𝐸 − [𝐴 − 𝐵 𝑟 + 𝐶 𝑟 2 ] − ℏ 2 ℓ(ℓ + 1) 2𝜇𝑟 2 ) 𝑅(𝑟) = 0 (20)
Persamaan bagian radial pada persamaan (20) merupakan persamaan diferesial orde dua tipe hipergeometrik.
Persamaan  tingkat  energi  dari  sistem partikel  dapat  diketahui  dengan  melakukan penyelesaian  pada  persamaan  Schrodinger bagian radial. Penyelesaian bagian ini dilakukan dengan melakukan reduksi persamaan (20) menjadi persamaan diferensial tipe  hipergeometri.  Persamaan  (20)  dapat ditulis ulang sebagai berikut:
𝑑 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 2 + 2 𝑟 𝑑𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 + 1 𝑟 2 [ 2𝜇 (𝐸−𝐴) ℏ 2 𝑟 2 + 2𝜇 𝐵 ℏ 2 𝑟 −   ( 2𝜇 𝐶 ℏ 2 +
ℓ(ℓ + 1))] 𝑅(𝑟) = 0. (21) Persamaan (21) tersebut dapat disederhanakan 𝑑 2 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 2 + 2 𝑟 𝑑𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 + 1 𝑟 2 [−𝛼𝑟 2 +  𝛽𝑟 − 𝛾]𝑅(𝑟) = 0. (22) dimana
𝛼 = − 2𝜇 (𝐸 − 𝐴) ℏ 2 (23)
𝛽 = 2𝜇 𝐵 ℏ 2 (24)
𝛾 = 2𝜇 𝐶 ℏ 2 + ℓ(ℓ + 1). (25)
Persamaan (22) telah memenuhi bentuk umum persamaan  diferensial orde dua  untuk metode Parametrik Nikiforov-Uvarov seperti ditunjukan oleh  persamaan  (3).  Dengan  demikian  maka parameter-parameter pada metode Parametrik Nikiforov-Uvarov dapat peroleh sebagai berikut:
𝑐 1 = 2 (26) 𝑐 2 = 0 (27) 𝑐 3 = 0 (28) 𝑐 4 = −1/2 (29) 𝑐 5 = 0 (30) 𝑐 6 =  𝛼 (31) 𝑐 7 = − 𝛽 (32) 𝑐 8 = 1/4 + 𝛾 (33) 𝑐 9 = 𝛼 (34) 𝑐 10 = 1 + 2 √1/4 + 𝛾 (35) 𝑐 11 = 2√𝛼 (36) 𝑐 12 = −1/2 + √1/4 + 𝛾 (37) 𝑐 13 = −√𝛼. (38) Persamaan
tingkat energi
ditentukan menggunakan persamaan (17) dengan mensubtitusikan parameter yang telah diperoleh  pada  persamaan  (26-38).  Hasil subtitusi tersebut sebagai berikut:
(2𝑛 + 1)√𝛼 −  𝛽 + 2√(1/4 + 𝛾)𝛼 = 0 (39)
Berdasarkan persamaan tersebut maka diperoleh hubungan antara 𝛼 dan 𝛽 𝛼 = 𝛽 2
[(2𝑛 + 1) + 2√(1/4 + 𝛾)] 2 .
(40)
Persamaan  tingkat  energi  terdapat  pada 𝛼 sehingga untuk memperoleh persamaan tersebut maka 𝛼, 𝛽, 𝛾 perlu disubtitusikan pada persamaan  (40).    Penyelesaian  persamaan energi  tingkat  pada  sistem  Partikel  dengan potensial  Kratzer  dengan  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov
𝐸 = 𝐴 − 𝜇𝐵 2 2ℏ 2 [𝑛 + 1 2 + √( 2𝜇 𝐶 ℏ 2 + (ℓ + 1 2 ) 2 )] 2 . (41)
Persamaan tingkat energi yang diperoleh pada persamaan  (41)  bergantung  pada  parameter parameter 𝐴, 𝐵, 𝐶 serta 𝑛 dan ℓ .  Bilangan 𝑛 menyatakan bilangan kuantum vibrasional dan
ℓ menyatakan  bilangan  kuantum    azimuthal. Paremeter 𝐴, 𝐵, 𝐶 untuk  berbeda-beda  untuk setiap  molekul.  Pada  penelitian  ini  dipilih  nilai 𝐴 = 0, 𝐵 = 2𝐷 𝑒 𝑟 𝑒 , 𝐶 =   𝐷 𝑒 𝑟 𝑒 2 sehingga diperoleh persamaan penyelesaian tingkat energi sistem dalam  pengaruh  potensial  Kratzer  pada persamaan (42).
𝐸 = − 𝜇 𝐷 𝑒 2 𝑟 𝑒 2 ℏ 2 [𝑛 + 1 2 + √( 2𝜇 𝐷 𝑒 𝑟 𝑒 2 ℏ 2 + (ℓ + 1 2 ) 2 )] 2 (42)
dengan  nilai 𝐷 𝑒 , 𝑟 𝑒 merupakan  parameter spektrokopi  dari  molekul.  Parameter  tersebut ditunjukan oleh tabel berikut (Ikot et al., 2020): Tabel 1 . Parameter spektroskopi dari berbagai molekul diatomik.
Melekul 𝑫 𝒆 (eV) 𝒓 𝒆 ( Å ) 𝝁 (amu) O 2 5,156658828  1,2080   7,997457504 I 2 1,581791863   2,6620  63,45223502 CO 10,84514471   1,1282  6,860586000 NO 8,043782568   1,1508  7,468441000 Simulasi Numerik Persamaan Tingkat Energi sistem  dengan Potensial Kratzer
Simulasi  tingkat  energi  untuk  molekul O 2 , I 2 , CO, NO dilakukan  dengan  menggunakan aplikasi Matlab berdasarkan persamaan energi yang  telah  diperoleh  pada  persamaan  (42) serta  parameter  spektrokopi  yang  ditunjukan oleh  tabel  1.  Bilangan  kuantum 𝑛 dan ℓ divariasikan  dari  1-5.  Perhitungan  eigen  nilai energi  untuk  molukel  dilakukan  dengan menggunakan komputasi numerik menggunakan  Matlab.  Eigen  nilai  energi molekul  hasil  perhitungan  komputasi  numerik ditunjukan oleh tabel 2. Simulasi  grafik  eigen nilai energi  ditunjukan oleh  grafik 1.
Tabel 2 . Komputasi Numerik Eigen nilai energi molekul O 2 , I 2 ( eV )
𝑛 ℓ 𝐸 O2 (eV) 𝐸 O2 (eV) (Ikot et al., 2020) 𝐸 I2 (eV) 𝐸 I2 (eV) (Ikot et al., 2020) 1 0 -5.066640862 -5.066640766 -1.573687090 -1.573687115 1 -5.066292035 -5.066291936 -1.573677864 -1.573677890 2 0 -5.007960645 -5.007960488 -1.568319230 -1.568319272 1 -5.007617860 -5.007617702 -1.568310051 -1.568310094 2 -5.006932430 -5.006932272 -1.568291695 -1.568291737 3 0 -4.950293978 -4.950293764 -1.562978787 -1.568291737 1 -4.949957097 -4.949956880 -1.562969656 -1.562969715 2 -4.949283472 -4.949283254 -1.562951393 -1.562951452 3 -4.948273380 -4.948273160 -1.562924000 -1.562924059 4 0 -4.893617655 -4.893617382 -1.557665576 -1.557665652 1 -4.893286542 -4.893286268 -1.557656491 -1.557656567 2 -4.892624452 -4.892624178 -1.557638322 -1.557638398 3 -4.891631654 -4.891631378 1.557611068 -1.557611144 4 -4.890308555 -4.890308272 -1.557574731 -1.557574807
Tabel 2 . Komputasi Numerik Eigen nilai energi molekul O 2 , I 2 ( eV ) 𝑛 ℓ 𝐸 O2 (eV) 𝐸 O2 (eV) (Ikot et al., 2020) 𝐸 I2 (eV) 𝐸 I2 (eV) (Ikot et al., 2020) 5 0 -4.837909126 -4.837908798 -1.552379412 -1.552379504 1 -4.837583651 -4.837583322 -1.552370373 -1.552370466 2 -4.836932834 -4.836932504 -1.552352296 -1.552352389 3 -4.835956938 -4.835956606 -1.552325181 -1.552325274 4 -4.834656362 -4.834656026 -1.552289029 -1.552289121 5 -4.833031632 -4.833031292 -1.552243841 -1.552243934
Tabel 3 . Komputasi Numerik Eigen nilai energi molekul CO, NO ( eV )
𝑛 ℓ 𝐸 CO (eV) 𝐸 CO (eV) (Ikot et al., 2020) 𝐸 NO (eV) 𝐸 NO (eV) (Ikot et al., 2020) 1 0 -10.693839344 -10.69383928 -7.921456252 -7.921456326 1 -10.693370644 -10.69337058 -7.921043237 -7.921043312 2 0 -10.594759935 -10.59475984 -7.841482992 -7.841483114 1 -10.594297734 -10.59429764 -7.841076216 -7.841076336 2 -10.593373452 -10.59337335 -7.840262791 -7.840262914 3 0 -10.497051145 -10.49705101 -7.762714735 -7.762714900 1 -10.496595322 -10.49659519 -7.762314072 -7.762314236 2 -10.495683796 -10.49568366 -7.761512872 -7.761513040 3 -10.494316805 -10.49431667 -7.760311383 -7.760311552 4 0 -10.400687807 -10.40068763 -7.685127393 -7.685127602 1 -10.400238247 -10.40023807 -7.684732723 -7.684732928 2 -10.399339243 -10.39933907 -7.683943504 -7.683943714 3 -10.397991031 -10.39799086 -7.682759981 -7.682760192 4 -10.396193961 -10.39619379 -7.681182520 -7.681182728 5 0 -10.305645333 -10.30564512 -7.608697479 -7.608697730 1 -10.305201921 -10.30520171 -7.608308681 -7.608308928 2 -10.304315211 -10.30431500 -7.607531205 -7.607531456 3 -10.302985435 -10.30298523 -7.606365292 -7.606365544 4 -10.301212937 -10.30121273 -7.604811300 -7.604811550 5 -10.298998178 -10.29899796 -7.602869710 -7.602869968
Gambar 1 .Perbandingan eigen nilai energi molekul O 2 , I 2 , CO, NO ( ℓ = 0 )
Eigen  nilai  energi  molekul O 2 , I 2 , CO, NO memiliki  nilai  negatif  yang  bermakna  energi tersebut merupakan energi ikat sistem partikel. Berdasarkan  hasil  komputasi  numerik  pada eigen nilai energi molekul O 2 , I 2 , CO, NO dengan bilangan kuantum yang sama eigen nilai energi pada  keempat  molekul  memiliki  nilai  yang beragam.  Hal  ini  dikarenakan  persamaan tingkat energi sistem memiliki kebergantungan pada  parameter 𝐷 𝑒 , 𝑟 𝑒 dan 𝜇 yang  berbeda setiap  molekulnya.    Simulasi  perbandingan perbedaan  eigen  nilai  energi    yang  ditunjukan oleh gambar 1, menunjukan grafik kebergantungan tingkat energi terhadap bilangan 𝑛. Semakin  besar  nilai 𝑛 yang menunjukan posisi elektron terhadap inti maka nilai energi mengarah menuju 𝐸 bernilai positif. Hal  ini  bermakna  semakin  jauh  elektron terhadap  inti  atom  maka  energi  ikat  terhadap inti  semakin  kecil.  Berdasarkan  tabel  2  dan  3 didapati  bahwa  molekul I 2 memiliki  tingkat energi  paling  rendah  dibandingkan O 2 , CO, NO.
Selain itu, berdasarkan tabel 2 dan 3 diperoleh perbandingan  perhitungan  penelitian  dan perhitungan dengan menggunakan Asymptotic Iteration  Method ketika  faktor  pengembangan dengan parameter slope energi bernilai 0 (Ikot et  al.,  2020).  Komputasi  numerik  eigen  nilai energi  molekul O 2 , I 2 , CO, NO dengan  metode Parametrik  Nikiforov-Uvarov    bersesuaian hingga  ketelitian  5  angka  dibelakang  koma dengan Asymptotic Iteration Method.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  kajian  yang  dilakukan diperoleh  penyelesaian  persamaan  tingkat energi  yang  ditunjukan  oleh  persamaan  (42) yang  bergantung  parameter 𝐷 𝑒 , 𝑟 𝑒 ,  bilangan kuantum 𝑛 , ℓ serta 𝜇 .  Simulasi  dan  komputasi terhadap  tingkat  energi  pada  molekul  karbon dioksida,  iodin,  karbon  monoksida,  nitrogen monoksida  menunjukan  bahwa  molekul  iodin memiliki tingkat energi paling rendah dibanding molekul lainnya.

## DAFTAR RUJUKAN
Akpan,  I.  O.,  Inyang,  E.  P.,  &  William,  E.  S.
(2021).  Approximate  solutions  of  the Schrödinger equation with Hulthén-
Hellmann  potentials  for  a  quarkonium system. Revista Mexicana de Fisica , 67 (3), 482 –490. https://doi.org/10.31349/RevMexFis.67.4 82
Antia,  A.  D.,  Okon,  I.  B.,  Akankpo,  A.  O.,  &
Usanga,  J.  B.  (2020).  Non-Relativistic Bound  State  Solutions  of  Modified Quadratic Yukawa plus &lt;i&gt;q&lt;/i&gt;- Deformed  Eckart  Potential. Journal  of Applied Mathematics and Physics , 08 (04),
660 –671. https://doi.org/10.4236/jamp.2020.84051
Berkdemir,  C.  (2012).  Theoretical  Concepts  of Quantum  Mechanics.  In Theoretical Concepts of Quantum Mechanics . InTech. https://doi.org/10.5772/2075
Fitriani,  S.  N.,  &  Suparmi.  (2017).  Solusi Persamaan  Dirac  Dengan  Spin  Simetri Untuk  Potensial  Scarf  Ii  Hiperbolik Terdeformasi-Q Plus Tensor Tipe
Coulomb  Dengan  Menggunakan  Metode Nikiforov Uvarov. Kappa Journal , 1 (1), 13. https://doi.org/10.29408/kappa.v1i1.407 Ibrahim,  N.,  Okorie,  U.  S.,  Sulaiman,  N., Rampho,  G.  J.,  &  Ramantswana,  M. (2022).  Solutions  of  the  Schrodinger equation  of  the  shifted  screened  Kratzer potential and its thermodynamic functions using  the  extended  Nikiforov –Uvarov method.
Frontiers
in Physics , 10 (September), 1 –12. https://doi.org/10.3389/fphy.2022.988279 Ikhdair,  S.  M.,  &  Sever,  R.  (2008).  Exact solutions of the modified kratzer potential plus  ring-shaped  potential  in  the  D- dimensional  Schrödinger  equation  by  the nikiforovuvarov method. International Journal of Modern Physics C , 19 (2), 221 – 235. https://doi.org/10.1142/S0129183108012 030
Ikot, A. N., Okorie, U., Ngiangia, A. T., Onate, C. A., Edet, C. O., Akpan, I. O., & Amadi, P. O.  (2020).  Bound  state  solutions  of  the Schrödinger equation with energy- dependent molecular Kratzer potential via asymptotic  iteration  method. Ecletica
Quimica , 45 (1), 65 –76.
https://doi.org/10.26850/1678-
4618eqj.v45.1.p65-76
Ita, B. I., Louis, H., & Magu, T. O. (2017). Bound State  Solutions  of  the  Klein  Gordon Equation with Woods-Saxon Plus Attractive  Inversely  Quadratic  Potential Via  Parametric  Nikiforov-Uvarov  Method. World Scientific News , 74 , 280 –287. Karomah,  S.  A.,  Jannah,  A.  R.,  Aini,  N.  R., Zumarotin,  R.,  &  Sunarmi,  N.  (2021). Visualisasi Rapat Peluang Posisi Elektron terhadap  Sudut  pada  Atom  Deuterium. Newthon-Maxwell Journal of Physics , 2 (2), 35 –44. Nikiforov, A. F., & Uvarov, V. B. (1988). Special Functions  of  Mathematical  Physics:  A Unified  Introduction  with  Applications . Birkhauser Verlag Basel.
Okon,  I.  B.,  Antia,  A.  D.,  Akankpo,  A.  O.,  & Essien,  I.  E.  (2020).  Eigen-Solutions  to Schrodinger  Equation  with  Trigonometric Inversely  Quadratic  Plus  Coulombic
Hyperbolic  Potential. Physical  Science International Journal , 24 (3), 61 –75. https://doi.org/10.9734/psij/2020/v24i330 183
Okon, I. B., Omugbe, E., Antia, A. D., Onate, C. A., Akpabio, L. E., & Osafile, O. E. (2021). Spin  and  pseudospin  solutions  to  Dirac equation and its thermodynamic properties  using  hyperbolic  Hulthen  plus hyperbolic exponential inversely quadratic potential. Scientific  Reports , 11 (1),  1 –21. https://doi.org/10.1038/s41598-020- 77756-x
Omugbe,  E.  (2020).  Non-relativistic  Energy Spectrum  of  the  Deng-Fan  Oscillator  via the  WKB  Approximation  Method. Asian Journal of Physical and Chemical Sciences , 26 –36. https://doi.org/10.9734/ajopacs/2020/v8i1 30107
Onyenegecha,  C.  P.,  Njoku,  I.  J.,  Omame,  A.,
Okereke,  C.  J.,  &  Onyeocha,  E.  (2021). Dirac equation and thermodynamic properties  with  the  Modified  Kratzer potential. Heliyon , 7 (9), e08023. https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e08 023
Purohit, K. R., Parmar, R. H., & Rai, A. K. (2021). Energy and momentum eigenspectrum of the  Hulthén-screened  cosine  Kratzer potential  using  proper  quantization  rule and  SUSYQM  method. Journal  of Molecular Modeling , 27 (12). https://doi.org/10.1007/s00894-021- 04965-0
Rusmini, E., Fauziah, F. A., Arianto, N. F., Izzah, D.  H.,  Jayanti,  S.  D.,  Hasanah,  R.,  &
Sunarmi,  N.  (2022).  Visualisasi  osilator
harmonik  kuantum  dengan  polinomial hermitte menggunakan simulasi
pemrograman  matlab. Jurnal  MIPA  dan Pembelajarannya ,
2 (3), 183 –189.
https://doi.org/10.17977/ um067v2i3p183- 189
Setare,  M.  R.,  &  Karimi,  E.  (2007).  Algebraic approach to the Kratzer potential. Physica Scripta , 75 (1), 90 –93.
https://doi.org/10.1088/0031- 8949/75/1/015
Siregar,  R.  E.  (2018). Fisika  Kuantum .
Universitas Padjajaran.
Sunarmi, N. (2022). Analisis Persamaan Energi
Menggunakan Metode Parametrik
Nikiforov-Uvarov Untuk Atom Berelektron
Tunggal  Dengan  potensial  Hulthen  .
Jurnal  Pendidikan  Fisika  dan  Sains (JPFS) , 5 (2 SE-), 68 –74. https://doi.org/10.52188/jpfs.v5i2.275
Sunarmi,  N.,  Suparmi,  S.,  &  Cari,  C.  (2013).
Solusi  Persamaan  Schrödinger  untuk Potensial  Hulthen  +  Non-Sentral  Poschl- Teller  dengan  Menggunakan  Metode Nikiforov-Uvarov. Indonesian  Journal  of
Applied Physics , 3 (2), 169 –180. https://doi.org/10.13057/ijap.v3i02.1266 Suparmi, A., Permatahati, L. K., Faniandari, S., Iriani,  Y.,  &  Marzuki,  A.  (2021).  Study  of Bohr  Mottelson  Hamiltonian  with  minimal length  effect  for  Woods-Saxon  potential and its thermodynamic properties. Heliyon ,
7 (5),
e06861.
https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e06 861
Sutopo.  (2005).  Pengantar  Fisika  Kuantum.  In Jurusan Fisika FMIPA UM . Jurusan Fisika FMIPA UM.