Vol. 14, No. 1,  46-53,  Juli  2017
Modifikasi Penaksir Robust dalam Pelabelan Outlier Multivariat
Erna Tri Herdiani 

## Abstrak
Outlier  adalah  suatu  observasi  yang  polanya  tidak  mengikuti  mayoritas  data.  Outlier  dalam kasus  multivariat  sangat  sulit  untuk  dideteksi,  khususnya  ketika  dimensi  lebih  dari  2. Kesulitan  ini  meningkat  ketika  data  set  berukuran  besar,  yakni  jumlah  variabel  menjadi besar. Metode-metode pendeteksian outlier telah lama berkembang dan beberapa digunakan untuk  pelabelan  outlier  sehingga  data  dapat  dipisahkan  antara  data  yang  dicurigai  sebagai outlier  dan  data  set  pada  umumnya.  Metode-metode  tersebut  adalah minimum  volume ellipsoid disingkat  MVE, minimun  covariance  determinant disingkat  MCD,  dan minimum vector  variance disingkat  MVV.  Dari  ketiga  metode  tersebut  MVV  memiliki  waktu perhitungan  yang  paling  cepat.  Berdasarkan  algoritma  MVV,  kriteria  mengurutkan  data menggunakan jarak mahalanobis, maka pada paper ini akan dimodifikasi kriteria pengurutan data  dengan  menghindari  penulisan  dalam  bentuk  invers  dari  matriks  variansi  kovariansi. Hasil yang diperoleh adalah metode MVV menjadi lebih cepat dengan menggunakan kriteria baru  dengan  kecermatan  yang  sama  dengan  MVV  sebelumnya  serta  akan  diaplikan  untuk data real dan data simulasi.
Kata  Kunci: Minimum  Vector  Variance  (MVV),  jarak  Mahalanobis,  invers matriks variansi kovariansi, trace matriks.

## 1. Pendahuluan
Pendeteksian  outlier  multivariat  menjadi  suatu  ilmu  yang  menantang  bagi  para  peneliti. Hal ini dikarenakan pendeteksian outlier dalam data multivariat tidaklah mudah. Masalah menjadi kompleks  ketika  terdapat  dua  atau  lebih  outlier  yang  berasal  dari  beberapa  variabel  yang  lebih dari dua (Rousseeuw & Van Zomeren, 1990). Kesulitan ini meningkat ketika data set berukuran besar  dengan  ditandai  besarnya  jumlah  variabel.  Untuk  masalah  seperti  ini,  Angiulli  &  Pizzuti (2005) telah menyatakan bahwa efisiensi perhitungan merupakan hal yang penting. Seperti halnya efektifitas  dari  proses  pendeteksian.  Senada  dengan  peneliti  ini,  pada  tahun  2001,  Ye  &  Chen pernah  mengungkapkan  bahwa  di  dalam  sistem  informasi  diperlukan  suatu  proses  pendeteksian outlier  yang  cepat  untuk  data  set  yang  besar,  karena  variabel  yang  terdapat  dalam  sistem informasi bisa terdiri dari ratusan bahkan sampai ribuan.
Metode-metode  pendeteksian  outlier  sudah  lama  berkembang  dan  beberapa  digunakan untuk  pelabelan  outlier  yaitu  memisahkan  beberapa  data  yang  dicurigai  sebagai  outlier  dengan data set pada umumnya. Metode-metode tersebut adalah metode proyeksi (Pena & Prieto, 2001), minimum  volume  ellipsoid atau  MVE  (Werner,  2003), minimum  covariance  determinant atau MCD (Rousseeuw & Van Driessen,1999), dan minimum vector variance atau MVV (Herwindiati, 2006).  Dari beberapa metode tersebut MVV merupakan metode yang lebih efisien.
Pada  paper  ini  akan  diusulkan  suatu  modifikasi  dari  metode  MVV.  Hal  yang melatarbelakanginya  adalah  pada  tahapan  algoritma  MVV  terdapat  suatu  tahapan  mengurutkan
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Erna Tri Herdiani
data  dengan  menggunakan  jarak  mahalanobis,  dimana  jarak  mahalanobis  dapat  dilihat  sebagai berikut:
    1 t i i d sqrt X X S X X           , i =1,2,..., n . (1)
dimana 1 2 , , , n X X X sampel acak dari suatu variabel acak   ~ , p X N   , dan secara berturut- turut X dan S adalah taksiran dari vektor mean sampel dan matriks variansi kovariansi sampel. Menurut Ye & Chen (2001), perhitungan komputasi dari persamaan (1) akan mengalami kendala jika  jumlah  variabel  dalam  jumlah  besar  yaitu  ratusan  atau  ribuan,  hal  itu  diakibatkan  karena adanya  perhitungan  invers  dari  matriks  variansi  kovariansi.  Oleh  karena  itu,  Djauhari  (2003) dalam  tulisannya  telah  menyatakan  bahwa  kuadrat  jarak  mahalanobis  dapat  dinyatakan  bukan dalam bentuk invers matriks variansi kovariansi, seperti di bawah ini:
    2 1 1 , t i i i i X X M d M S
X X S             
  , i =1,2,..., n .     (2)
Kriteria pengurutan data yang akan digunakan dalam paper ini adalah persamaan (1), (2) dan
i M , i =1,2,..., n , (3)
dimana kriteria ini telah digunakan oleh Djauhari & Umbara (2006)  untuk data depth.
Adapun  pembahasan  dalam  paper  ini  adalah  bagian  1  berisikan  pendahuluan  yang berisikan  latar  belakang  penulisan  dan  tujuan  dari  penulisan.  bagian  2,  berisikan  tentang  teori dasar dan penurunan dari kriteria yang diusulkan. Bagian 3, berisikan studi kasus untuk metode yang telah dimodifikasi, baik data real atau pun data simulasi. Akhir dari paper ini adalah bagian 4 yang berisikan kesimpulan.

## 2. Modifikasi Penaksiran Robust
Metode  penaksiran robust untuk  lokasi  dan dispersi telah  lama  berkembang  pesat.  Pada paper  ini,  metode  terbaru  yang  robust  akhir-akhir  ini  adalah  metode  minimum  vektor  variance (MVV). Berdasarkan Djauhari & Umbara (2006),  bahwa i M dapat menjadi kriteria baru dalam mengurutkan  data  multivariat.  Oleh  karena  itu,  penulis  mencoba  untuk  memodifikasi  MVV melalui perubahan urutan data multivariatnya.

## 2.1 Metode Minimum Vector Variance (MVV)
Kriteria  MVV  untuk  menaksir  lokasi  dan  dispersi,  pertama  kali  diperkenalkan  oleh Herwindiati  (2006)  dengan  mempertimbangkan  data  set   1 2 , , , n X X X X  dari  satu  observasi dengan variabel p dan H X  . Misalkan T MVV dan C MVV adalah taksiran MVV untuk parameter lokasi  dan  matriks  variansi  kovariansi.  Taksiran  diperoleh  berdasarkan  himpunan H .  Jumlah elemen  dari H adalah
1 2 n p h          data  yang  akan  memberikan  matriks  variansi  kovariansi
C MVV dengan nilai   2 MVV tr C minimum untuk semua kemungkinan himpunan yang mengandung

## Erna Tri Herdiani
h data. Oleh karena itu, secara berturut-turut taksiran MVV untuk parameter lokasi dan matriks variansi kovariansi adalah sebagai berikut:
1 MVV i i H T X h    dan    1 1 t MVV i MVV i MVV i H C X T X T h       .
Adapun algoritma untuk MVV adalah sebagai berikut:
1. Ambillah himpunan data yang terdiri dari 1
2 n p h        
 data, sebutlah himpunan data ini dengan nama H old .
2. Hitunglah  vektor  mean old H X dan  matriks  kovariansi old H S untuk  semua  data H old . Selanjutnya untuk i= 1, 2, ..., n hitunglah
      2 2 1 , old old old old old old t H H i H i H H i H d d X X X X S X X      .
3. Urutkan hasil perhitungan dari yang terkecil ke yang terbesar. Urutan ini akan memberikan permutasi indeks observasi  . Misalkan hasil pengurutan data tersebut adalah
   
  2 2 2 1 2
old old old H H H n d d d       .
4. Bentuklah  suatu  himpunan  baru  yang  terdiri  dari  h  observasi  dengan  indeks
      1 , 2 , , h    , dan berilah nama H new .
5. Hitunglah new H X , new H S dan
  2 , new new H i H d
X X seperti pada tahap 2. 6. Jika     2 2 new old H H Tr S Tr S  maka  proses  dikerjakan.  Jika
    2 2 new old H H Tr S Tr S  maka proses dilanjutkan sampai iterasi ke-k mencapai
    2 2 new old H H Tr S Tr S  .
7. Jika i H S adalah  matriks  kovariansi  dari iterasi  ke- k .  Pada  akhir iterasi  ke- k akan  dimiliki    

   1 2 1 2 2 2 2 k k H H H
H Tr S Tr S Tr S Tr S      .

## 2.2 Metode Modifikasi Minimum Vector Variance
Sebenarnya  ide  dasar  dari  modifikasi  metode  penaksiran  robust  ini  adalah  karena penulisan  dari  jarak  mahalanobis  yang  mengandung  invers  dari  matriks  variansi  kovariansi sampel, dimana menurut Ye & Chen (2001) dapat membuat lambatnya waktu perhitungan pada saat  variabel  yang  dilibatkan  cukup  besar  misalnya  ratusan.  Sedangkan  Djauhari  (2003)  telah membuat  suatu  penulisan  lain  dari  jarak  mahalanobis  yang  tidak  melibatkan  invers  matriks variansi kovariansi. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk  merubah kriteria MVV pada tahap 2 dari bentuk persamaan (1) dengan persamaan  (2).
Hasil  yang  diusulkan  dapat  juga  digunakan  untuk  menaksir  lokasi  dan  dispersi  dengan algoritma  sama  dengan  MVV  tetapi  kriteria  urutan  data  multivariatnya  saja  yang  berbeda. Selanjutnya  metode  ini  penulis  namakan  Modifikasi  Minimum  Vektor  Variance  (MVVM). Persamaan (2) menyatakan
Erna Tri Herdiani
    2 1 1 , t i i i i i
X X M
d M S
X X S
            
  ,
sehingga akan diperoleh suatu hubungan, jika 2 2 ; i j d d i j   maka i j M M  . Hal ini pun telah diungkapkan  oleh  Djauhari  &  Umbara  (2006).  Dengan  demikian,  pada  paper  ini  pun  akan diselidiki  bagaimana  algoritma  MVV  apabila  urutan  data  multivariat  dengan  menggunakan persamaan (3), yang selanjutnya metode ini disebut dengan MVVML.

## 3. Studi Kasus
Penulis  akan  menunjukkkan  keuntungan  dari  metode  MVVM  dalam  pelabelan  outlier multivariat. Pertama-tama akan diaplikasikan untuk data simulasi. Banyaknya data yang diambil 1075  data,  mereka  dibangkitkan  dari  distribusi  multivariat  gabungan,  dimana  1000  data  adalah berdistribusi  normal  standar   0, p N I ,  selanjutnya  disebut  data  clean  dan  sisanya  75  data berdistribusi   3, p N I yang  selanjutnya  disebut  data  kontaminan.  Proses  pembangkitan dilakukan sebanyak 500 kali. Hasilnya adalah sebagai berikut.
Tabel 1. Waktu Perhitungan dalam Detik.
No. Variabel Metode (Detik) MVV MVVM MVVML 1 2 40,8430 37,6410 35,907 2 5 55,2500 45,1250 39,313 3 10 81,2030 61,3430 47,875 4 20 167,4690 110,3280 76,422 5 30 297,0470 182,4530 118,141 6 40 446,2500 303,0310 172,391 7 60 1018,8 712,9380 406,234 8 80 1669,5 1314,3 794,360 9 100 3409,3 3257,5 1766,2
Jika Tabel 1 dinyatakan dalam bentuk grafik, hasilnya dapat dilihat dalam gambar berikut.

## Erna Tri Herdiani
Gambar 1. Waktu perhitungan dalam detik.
Dari  Tabel  1  dan  Gambar  1,  MVVML  merupakan  metode  tercepat  dibandingkan  dengan  MVV dan  MVVM.  Ketiga  metode  ini  pun  mampu  untuk  memisahkan  data  secara  jelas  antara  data kontaminan  dengan  data  clean,  walaupun  untuk  metode  MVVML  terjadi  terbalik  dimana  data clean ada di atas sedangkan data kontaminant terletak di bawah. Hal tersebut dapat terlihat dalam gambar di bawah ini.
Gambar 2. Jarak Mahalanobis berdasarkan Penaksiran Parameter MVV pada Data Simulasi. Gambar 3. Jarak Mahalanobis  berdasarkan Penaksiran Parameter MVVM pada Data Simulasi

## Erna Tri Herdiani
Gambar 4. Jarak Mahalanobis berdasarkan Penaksiran Parameter MVVML.
Apabila yang diperlukan dalam suatu kecepatan dalam menghasilkan taksiran lokasi dan dispersi maka sebaiknya menggunakan metode MVVML dalam pengolahan datanya.  Kemudian jika  penulis  aplikasikan  metode-metode  robust  di  atas  pada  data  real,  hasilnya  adalah  sebagai berikut. Data yang digunakan adalah data kuesioner yang menilai kinerja perkuliahan di Jurusan Matematika ITB pada tahun 2004, dimana variabel yang terlibat dalam pengolahan data ini terdiri dari 15.
Gambar 5. Jarak Mahalanobis berdasarkan Penaksiran Parameter MVV pada Data Real.
Gambar 6. Jarak Mahalanobis berdasarkan Penaksiran Parameter MVVM pada Data Real.

## Erna Tri Herdiani
Gambar 7. Jarak Mahalanobis berdasarkan Penaksiran Parameter MVVML pada Data Real.
Berdasarkan  data  real,  menurut  metode  MVV  dan  MVVM,  observasi  ke-14,  23,  27,  33 dan 50 merupakan yang dicurigai sebagai outlier dalam data real ini. Sedangkan menurut metode MVVML yang dapat dicurigai sebagai outlier dalam data adalah observasi ke-15, 26, 42, 47, dan 50.

## 4. Kesimpulan
Metode penaksiran robust yang dimodifikasi MVVML akan memberikan kecepatan yang lebih  dibandingkan  dengan  MVV dan MVVM.  Selain  itu berdasarkan  data real, observasi  yang memberikan  nilai  yang  paling  kecil  terlihat  jelas  dengan  ditunjukkan  arahnya  yang  berbeda dengan observasi lainnya yang memberikan nilai lebih bagus.

## Ucapan terima kasih
Penulis  mengucapkan  banyak  terima  kasih  kepada  Prof.  Dr.  Maman  A.  Djauhari  atas dorongannya  sehingga  memberikan  semangat  untuk  menulis  paper  ini,  tidak  lupa  juga  kepada Direktorat Pendidikan Tinggi yang telah memberikan Dana Penelitiannya melalui BPPS .

## Daftar Pustaka
[1] Angiulli,  F.,  Pizzuti,  C.,  2005,  Outlier  Mining  and  Large  High  Dimensional  Data  Sets, IEEE Transaction on Knowledge and Data Engineering , 17 (2), pp : 203-215.
[2] Djauhari,  M.A.,  2003,  Hubungan  norm  dan  determinan, Publication  intern  Data  Analysis Research Group , ITB.
[3] Djauhari,  M.A.,  Umbara,  R.  F.,  2006,  On  Mahalanobis  Depth  Function, paper  ini  telah dipresentasikan  di  International  Conference  on  Mathematics  and  Natural  Sciences (ICMNS) , Bandung, Indonesia, 29-30 November.

## Erna Tri Herdiani
[4] Herwindiati,  D.  E.,  2006,  A  New  Criterion  in  Robust  Estimation  for  Location  and Covariance  Matrix  and  Its  Application  for  Outlier  Labeling, Disertasi ,  Institut  Teknologi Bandung.
[5] Pena, D., Prieto, J.F., 2001, Multivariate Outlier Detection and Robust Covariance Matrix Estimation, Technometrics , 43(3), pp : 286-300.
[6] Rousseeuw, P.J., Leroy, A.M., 1987, Robust Regression and Outlier Detection , John Wiley & Sons.
[7] Rousseeuw,  P.J.,  Van  Zomeren,  B.C.,  1990,  Un  masking  Multivariate  Outliers  and Leverage  Points, Journal  of  The  American  Statistical  Association ,  Vol.  85,  No.  411,  pp  : 633-651.
[8] Rousseeuw, P.J., Van Driessen, K., 1999, A Fast Algorithm for the Minimum Covariance Determinant Estimator, Technometrics , Vol. 41, No. 3, pp : 212-223.
[9] Werner, M., 2003, Identification of Multivariate Outliers in Large Data Sets, PhD Thesis , University of Colorado Denver.
[10]  Ye,  N.,  Chen,  Q.,  2001,  An  Anomaly  Detection  Technique  Based  On  A  Chi  Square Statistic  for  Detecting  Intrusion  Into  Information  Systems, Quality  and  Realibility Engineering International, Qual. Realb. Engng. Int. , 17, 105-112.