PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN  SEBAGAI  RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU
Supandi a
a Program  Studi  Pendidikan  Matematika  FPMIPA IKIP PGRI  Semarang Jl.  Dr. Cipto-Lontar  No1  Semarang  Telp.  (024)8316377 Faks (024) 8448217

## Abstrak
Rantai  Mark ov  wak tu  k ontinu  yang  merupak an bagian dari proses stok astik . Pembahasan diawali dengan pengertian  dasar  yang  dipak ai  secara  umum  termasuk   teorema  dan  lemma  tentang  persamaan  differensial Kolmogorof    yang  berk aitan  dengan  rantai  Mark ov  wak tu  k ontinu. Aplik asi rantai mark o v wak tu k ontinu dibahas  dalam  paper  ini  untuk   proses  k elahiran dan k ematian yaitu  pada sistem M/M/s ( M/M/1) sebagai gambaran dari secara nyata.
Kata k unci : Rantai Mark ov wak tu k ontinu, Persamaan Differensial Kolmogorov, .

## 1. Pendahuluan
Proses  stokastik  {X(t),  t T}  adalah  suatu  barisan  kejadian  yang  memenuhi  kaidah- kaidah  peluang  yang  didefinisikan  sebagai  barisan  peubah  acak  X(t).  Himpunan  T  sebagai ruang  parameter  atau  ruang  indeks  dari  proses  stokastik  X  dan  himpunan  semua  nilai  X(t) yang  mungkin   sebagai  peluang  keadaan dari  X.
Alam  semesta  ini  bersifat  stokastik  yang  memunculkan  tak  hingga  proses  stokastik,  dengan klasifikasi  proses stokastik  tersaji  dalam  Tabel  1.
Dasar  dari  rantai  markov  adalah  proses  menghitung  yang  didefinisikan  sebagai  berikut; proses  {N(t),  t    0}  sebagai  proses  menghitung  apabila  N(t)  menyatakan  banyaknya  peristiwa yang  terjadi  pada  selang  waktu    [0,t].  Sedangkan  {N(t),  t    0}  adalah  proses  Poisson  bila suatu  proses  menghitung  dengan  waktu  antar  kejadian  yang  bebas  dan  berdistribusi eksponensial,  serta  memiliki  kenaikan-kenaikan  yang  stasioner.  Distribusi  eksponensial menggambarkan  distribusi  waktu  antara  kejadian  yang  saling  bebas  dan  terjadi  dengan  laju nyang  konstan.
Tabel  1. Klasifikasi  proses Markov
Ruang  Keadaan Diskrit Kontinu Parameter Diskrit Rantai  Markov  dengan indeks parameter diskrit Proses  markov  dengan indeks   parameter Diskrit Kontinu Rantai  Markov    dengan indeks  parameter Kontinu Proses  markov  dengan indeks  parameter Kontinu
Proses  markov  adalah  suatu    proses  stokastik  dengan  sifat  jika  keadaan  untuk  saat sekarang  diketahui  atau  diberikan  maka  peluang  keadaan  dari  proses  pada  waktu  yang  akan datang  tidak  dipengerahui  oleh  keadaaan  pada  waktu  sebelumnya.  Rantai  markov  adalah proses  Markov  dengan  peluang  keadaan  diskrit  tetapi  indeks  parameternya  dapat  diskrit  atau kontinu.

## 2. Rantai Markov waktu  Kontinu
Pandang  suatu  proses  stokastik  waktu  kontinu  {X(t),t [0, ),  t R  }  dengan  ruang keadaan  S  berupa  himpunan    bulat  non  negatif.  Proses  {X(t),t [0,  ),  t  R  }  dikatakan suatu rantai  Markov  dengan  indeks  parameter  waktu  kontinu  jika  setiap  s,t    0    dan  untuk  setiap bilangan  bulat  non  negatif   i,j, x(u)  dan  0   u   s didefinisikan  sebagai  berikut
P (X(t+s)  = j X(s)  = i, X(u)  =x(u),  0  u s)  =  P(X(t+s)  = j X(s)  = P ij (t)        (1)
Suatu  proses  stokastik  {X(t),t [0,  ),  t  R  }waktu  kontinu  disebut  rantai  markov  waktu kontinu  bila  proses  stokastk  tersebut  mempunyai  sifat  Markovian.  Sifat  Markovian merupakan  distribusi  bersyarat  dari  keadaan  di  waktu  mendatang  t+s,  diberikan  keadaan  pada waktu  saat  ini  s  dan  semua  keadaan  pada  waktu  lampau,  dimana  peluang  dari  keadaan diwaktu  mendatang  t+s  hanya  bergantung  pada  keadaan  saat  ini  s  dan  tidak  bergantung  pada keadaan pada waktu  lampau.
Jika  peluang  P  (X(t+s)  =  j X(s)  =  i)  tidak  bergantung  dari  nilai  s  maka  rantai  Markov  waktu kontinu  dikatakan  mempunyai  peluang  transisi  yang  homogen  atau  stasioner.
Rantai  Markov  waktu  kontinu  dikatakan  waktu  homogen  jika  untuk  sebarang  s    t  dan sebarang  keadaan  i.j   S berlaku
P ij (s,t) = P( X(t)  = j X(s)  = i, P( X(t-s)  =j    X(0 ) = i )                        (2)
Pada  rantai  Markov  diketahui    bahwa  transisi  dari  proses  terjadi  setiap  satu  satuan  waktu. Tidak  demikian    halnya  untuk  proses  Markov.  Misalkan  proses  Markov  yang  diteliti berpindah  ke  keadaan  –i  pada  waktu  t 0 .  Misalkan  setelah  s  waktu  kemudian  proses  masih berada  di  keadaan  yang  sama  (  peluang  transisi  tidak  terjadi  ).  Kemudian  timbul  pertanyaan berapa  peluang  proses  tersebut  masih  berada  di  keadaan  yang  sama  selama    t  waktu  dari pengamatan  terakhir.  Karena  proses  Markov  maka  dengan  sifat  Markoviannya  bahwa peluang  proses  tersebut  tetap  berada  di  keadaan  i  pada  selang  waktu  [s,  s+t]  adalah  peluang bersyarat  proses  tersebut  berada  di  keadaan  i  pada  selang  waktu  [s,  s+t]  diberikan  proses berada di keadaan  i pada waktu  s.
Asumsikan  bahwa  P ij (s,t)  kontinu  di  t=0  yaitu  peluang  transisi  stasioner  yang didefinisikan  ssebagai  berikut
i j ij t 0 1, i = j δ = lim P (t)= 0, i j
Rantai  Markov  waktu  kontinu  disebut  suatu  proses  stokastik    {X(t),t [0, ),  t R  } merupakan  suatu  proses Markov bila  unutk  setiap  transisi  di keadaan i  mempunyai  sifat:
(i).  Lamanya  proses  waktu  berada  di  keadaan  ke  i  sebelum  melakukan  transisi  ke  keadaan lain  adalah  berdistribusi  eksponensial  dengan  parameter  (  misal  sebut  rate  )  v i =  1/ i untuk    0   v i dan,
(ii).  Bila  proses  tersebut  berpindah  ke  keadaan  j  dengan  peluang    P ij dimana    P ij =  1  dan  P ii = 0 untuk  setiap  i.
Pada  keadaan  i  untuk  rate    v i = disebut  keadaaan  seketika  (  instantaneous  state  ), dengan  asumsi    0    v i untuk  setiap  i.  Dalam  kondisi  seperti  ini  maka  keadaan  i  disebut absorbing yaitu  bila  sekali  masuk  suatu  keadaan  maka  tidak  pernah  meninggalkan  keadaan tersebut.
Rantai  Markov waktu  kontinu  disebut  proses kelahiran  dann  kematian  bila (i).  Keadaan S = {1,2.,3,.....}
(ii).  q ij = 0 untuk  i-j   > 1
Dengan  demikian  proses  kelahiran  dan  kematian  adalah  rantai  markov  waktu  kontinu denan  ruang  keadaan  {0,1,2,3,.....}  untuk  transisi  dari  keadaan  i  hanya  dapat  berpindah  ke
keadaan  i-1  atau  i+1.  Rantai  markov  ini  dinamakan  demikian  karena  pada  proses  ini direpresentasikan  dengan  suatu  ukuran  populasi  yang  bertambah  satu  dikarenakan  satu  proses kelahiran  dan sebaliknya  berkurang  satu  disebabkan  satu  proses kematian.
(iii).  Misal  diberikan i = q i, i+1 proses kelahiran   dan i =q i, i-1 proses kematian (iv).  Nilai  { i , i  0 } disebut  rate kelahiran  dan { i,  i  1} disebut  rate kematian (v).  Karena ij i
j S q = v  diperoleh   v i = i + i dan
i i,i+1 i,i-1 i i λ P = =1- P λ +μ

## 3. Persamaan  Diferensial Kolmogorov
Didefinisikan  peluang  dari  keadaan ke-i menuju  keadaan ke-j pada saat i  sebagai  berikut P ij (t) = P( X(t+s)  = j X(s)  = i )
Dan  misalkan  proses  Poisson    untuk  i j,  maka  peluang  dari  keadaan  i  ke  menuju keadaan  j pada saat t adalah
P ij (t) = P(kejadian  j-i  dari  panjang  selang  t )
= j-i (λt) (j-i)!
Lemma  1. Peluang  dari  dua atau  lebih   transisi  pada saatt  adalah  O(t)
i j i t 0 i j i j t 0 1-P (t) (i). lim = q t
P (t)
(ii). lim = q , i j t
Lemma  2.
Misalkan  X(t),t [0,  ),  t R  }  rantai  Markov  waktu  kontinu  dengan  ruang  keadaan  S,  rate
ij i j S (q ) , dengan  peluang  transisi ij i j S (P (t)) , . Maka untuk  setiap  s,t berlaku
ij
ik kj
k=0 P (t+s)= P (t)P (s)
Dari  Lemma  2,  jika  ada  s  dan  t,  sehingga  P ij (s)    >  0  dan  P ij (t)  >  0,  maka  i j  saling berkomunikasi.  Apabila  rantai  Markov  irreducible  maka  P ij (t)  >  0  ,  t  >0,      i  dan  j.  Rantai
Markov  dengan  peluang  transisi  P ij (t)  homogen  adalah j ij t π lim P (t), j S .  Untuk  rantai Markov  waktu  kontinu  yang  irreducible  maka
j j j j S π 0, j S, null recurent atau transient
π 0, j S, π 1, positif recurent
Pada  rantai  Markov  diskrit  untuk  menentukan  apakah  rantai  markov  irreducible  mempunyai distribusi  stasioner  ( pada waktu  yang  lama  ) dengan  memeriksa
j i ij π π P , j S
Dengan  P ij peluang  transisi  stau  langkah  dengan j π merupakan  sistem  persamaan  linier homogen  dan  memberikan  penyelesaian  yang  tidak  tunggal.  Dan  jika  penyelesaian  tersebut ada, maka  penyelesaian  untuk  waktu  yang  lama  ( panjang)  akan  berdistribusi  stasioner..
Pada  rantai  markov  kontinu,  peluang  transisi  digantikan  oleh  intensitas  transisi  yang didefinisikan seperti pada Lemma 1. Dengan menggunakan  persamaan  Chapman Kolmogorov   dapat ditentukan  distribusi  peluang  pada saat t+h.
Untuk  menentukan  distribusi  peluang  di  waktu  t+h  dapat  juga  dengan  mengkondisikan terhadap  keadaan  di  waktu    yang  telah    lalu  dan  di  waktu  mendatang,  yang  secara  berturut- turut  dengan  menggunakan  persamaan    Backward  Kolomogorof  dan  persamaan  Forward Kolmogorof.
ij ik kj i ij k i
ij kj ik j ij k j P' (t)= q P (t)-v P (t), i,j,t 0
P' (t)= q P (t)-v P (t),
i,j,t 0
Dan
ij ik ij i ij k j P (s,t)= q (s)P (s,t)-q (s)P (t), i,j,t 0 persamaan Backword Kolmogorof t ij kj ik j ij k P (s,t)= q (t)P (s,t)-q (t)P (t), i,j,t 0 persamaan Forward Kolmogorof
i t

## 4. Distribusi  Limit  dan  Persamaan  Kesetimbangan
Misalkan  {X(t),  t [0, ),  t R}  adalah  suatu  proses  Markov  dan  misalkan  pula  {En,  n =  0,1,2,....}    embedded  rantai  Markov  dari  proses  markvo  tersebut,  yaitu  rantai  Markov  yang diturunkan  dari  proses  {X(t),  t [0, ),  t R}.  Transisi  dari  {En,  n  =  0,1,2,....}  merupakan transisi  dari  {X(t),  t   [0, ), t   R} dengan  tidak  memperhatikan  waktu  antar  transisinya.
Asumsikan  bahwa  rantai  {En,  n  =  0,1,2,....}  bersifat Ireeducible dan positif  recurent . Dengan  asumsi  tersebut  maka
j ij t P lim P (t)
ada dan tidak  tergantung  pada i.
Untuk  mendapatkan  limit  P j , pandang  sistem  persamaan   differensial  Kolomogorov  Forward
j kj ik j i j
k j Pi (t)= q P (t) - v P (t)
Untuk  t maka dengan  mengubah  urutan  limt  dan penjumlahan  diperoleh j kj ik j i j t
t k j kj k j j k j lim   Pi (t)= lim q P (t) - v P (t) q P - v P
Karena Pij(t)  fungsi  yang  terbatas  maka  akan  konvergen  ke titik  0, sehingga  diperoleh
kj k j j j j kj k k j k j 0
q P - v P atau v P q P , j                                         (3)
j j
dan P 1                                                                                            (4) Dengan  demikian  distribusi  peluang  limit  dari  {X(t),  t [0, ),  t R}  ada  yaitu  P j .  Nilai  P j mempunyai  interpretasi  yaitu  sebagai  proporsi  waktu  proses  Markov  {X(t),  t [0, ),  t    R} berada  pada  keadaan  j.  Peluang  P j dinamakan  juga  sebagai  peluang  stasioner  karena  jika distribusi  peluang  dari  keadaan  awala  sama  dengan  P j .  Sehingga  untuk  semua  t  proses  akan berada di keadaan  j dengan  peluang  P j , dan didefinisikan  dengan
j j v P m         ( laju  proses meninggalkan  keadaan j )
kj k k j q P = s     ( laju  proses memasuki  keadaan j )
Dengan  demikian  maka  persamaan  (3)  dan  (4)  dikenal  dengan  persamaan  kesetimbangan ( balance  equation  )

## 5. Penerapan  Dua Proses Kelahiran  dan  Kematian
1.1 Antrian  M/M/s
Pandang  antrian  di loket  sebuah  bank,  dengan  diagram  M/M/s  sebagai  berikut: SISTEM  M/M/s X(t)                                                                                Pelayanan Kedatangan                                                                         min (n,s)x 1
2 X X ... X X
Dengan  asumsi  :
1. Antrian  dengan  s  server  secara  paralel  (  bila  secara  seri  disebut  sistem  sekuensial  atau tandem  )
2. Pelanggan  datang  ke-sejumlah  s server  mengikuti  proses Poisson  dengan  rate
3. Waktu  antar  kedatangan  pelanggan  berdistribusi  eksponensial  dan  iid  (  independence identics  distibution  ) dengan  mean  1/
4. Jika  sebarang  server  bebas, maka  pelanggan  dapat langsung  dilayani
5. Bila  Server sedang  sibuk,  maka pelanggan  antri  ( menunggu  dalam  garis  antrian  )
6. Bila  server  seleseai  melayani  pelanggan,  pelanggan  meninggalkan  sistem  dan selanjutnya  pelanggan  berikutnya  dalam  garis  antrian  yang  dilayani
7. Waktu  pelayanan  setiap  server  berdistribusi  eksponensial  dan iid  dengan  mean  1/ ( mean  rate pelayanan )
MisalkanX(t)  banyaknya  pelanggan  dalam  sistem  pada  saat  t.  Untuk  sistem  M/M/s,  proses {X(t),  t   0} merupakan  proses kelahiran  dan kematian  yang  didefiniskan  dengan  :
n λ = λ, n 0
Dimana  bila  n  s  ,  maka  semua  n-pelanggan  terlayani  dan  bila  n    s,  maka  paling  sedikit  satu pelanggan  menunggu  dalam  antrian.  Akan  ditentukan  kriteria  agar  statistical  equilibrium tercapai,  misalkan    P(X(t)=n)=  p n (t).  Equilibrium  ini  tercapai  pada  saat  t  menuju  tak  hingga,
n nμ , 1 n s
μ sμ , n s( n=s+1,s+2,... )
sehingga    p n =  lim  p n (t).  Nilai  p n dapat  ditentukan  dengan  menggunakan  persamaan kesetimbangan  , yaitu rate in= rate out .
Untuk  state 0 : 1 o 1 o λ μp = λp p = p μ
Untuk  state 1 :
1 i-1
i+1 ( λ+iμ)p λp +(i+1)μp
Untuk  state 1 maka  untuk
1 0 2
2 1 3 s-1 2 i 1 (λ+μ)p = λp +2μp
i 2 (λ+2μ)p = λp +3μp
...
i s 1 (λ+(s-1)μ)p = λp +sμp s s
Penyelesaian  steady-state  dari  persamaan  kelahiran  dan kematian  dengan
1 2 n
1 2 3 s n λ =λ =λ =λ, n
μ =μ, μ =2μ, μ =3μ, ....., μ =sμ
μ = sμ , n> s
Maka ada yaitu  /s    atau  < s .
Penyelesaian  umum  dari  proses kelahiran  dan kematian  :
n n n-1 n-2 0
n
n n-1 1 n-s n λ , n=0, ...,s λ λ ...λ n!μ
p = μ μ ...μ λ , n=s,s+1, ... s s!μ
Trafiiic  intensitas  untuk  sistem  adalah rate kedatangan λ ρ= = maximum rate selesai pelayanan sμ
Sehingga  peluangnya  menjadi
n n n n-s (sρ) , n=0,1..., s-1,s n! p = (sρ) ρ , n=s,s+1, ...
s!
Dengan  kata lain  peluang  steady-state  ( stasioner  ) yaitu
n
0 n n
0 n-s 1 λ p , n=0,1...,s-1,s n! μ p =
1
λ p , n s μ s!s
Dan  dengan  menggunakan  hubungan p n =1 untuk  n dari  0 menuju  tak hingga  diperoleh
0 n n s-1 n=0
1 p
, tanpa trafficintensitas 1 λ 1 λ sμ + n! μ s! μ sμ-λ
1 0 n n n s-1 n-s n=0 n=0 n=s n s-1 n=0 1 π = 1+ p (sρ) (sρ) ρ n! s!
1
= , dengan traffic intensitas (sρ) sρ + n! s!(1-ρ)
Jika 1 maka  sistem  tidak  konvergen  untuk  steady  state
n
0 n n 0 n-1 0 (sρ) π , n=0,1,2,...s n! π = p π = (sρ) ρ π , n=s,s+1,... s! s
Peluang  semua  s-  server  sibuk  pada  sebagian  waktu  (  termasuk  peluang  kedatangan pelanggan  antri  yaitu
s-1 2 0 n n=s p λ λ λ P(X x) p + +.... (s-1)! μ μ μ
s-1 λ λ μ
(s-1)!(sμ-λ)
Rata-rata  banyaknya  pelanggan  dalam  antrian  adalah
s 2 3 0 Q n n=s p λ λ λ λ L = (n-s)p 2 3 ... s! μ sμ μ μ s 0 2 λ p λ sμ
s! μ λ 1 sμ s 2 λ λμ μ ( 1)!(sμ λ) s
Rata-rata  banyaknya  pelangggan  dalam  sistem  adalah
s 1
s 1
n n n n n n 0 n=s n=s n=s n=s n=s L np np np np p (n-s)p n s s 1 n n Q
n=s n=s np p L s = s 2 s-1 0 Q λ sμ μ λ
2 λ 3 λ (s-1) λ p ( ) 1+ ( )+ ( ) +...+ ( ) + +L μ 2! μ 3! μ (s-1)! μ (s-1)!(sμ-λ) = s s-1 0 s-2 n 0 0 Q
n 0 λ λ sμ p μ μ λ 1 λ λ ( )p ( ) p +L μ ! μ (s-1)!(sμ-λ) μ (s-1)! n
= s-1 s-1 n Q 0 n 0 λ 1 λ λ (sμ-sμ λ) L ( )p ( ) μ ! μ μ (s-1)!(sμ-λ) n =
s s-1 n Q 0 n 0 λ 1 λ
1 λ sμ
L ( )p ( ) μ ! μ s! μ (sμ-λ) n
= Q λ L ( ) μ
Untuk  waktu  antri  sebarang  pelanggan  adalah
P(X=0) = p 0 +p 1 +...+ p s-1 = 1 – P(X s)
Bila  X >0  maka  fungsi  kepadatan  peluangnya  adalah
-(sμ-λ)x 0 s μp λ f (x)= se , x 0 (s-1)! s
Mean waktu  antri  yaitu
s Q 0 2 λ μ μ p (s-1)(sμ-λ)
Dan  mean  waktu  tunggu  dalam  sistem  diperoleh  W = W Q + 1/

## 1.2 Antrian  M/M/1

## SISTEM
Banyaknya pelanggan dalam sistem  (4) Banyaknya pelayanan  (5)
Dengan  skema  sistem  M/M/1 sebagai  berikut:
Input
: (1) dan (3)
Ukuran  efektivitas : (2) dan (4)
Variabel  Keputusan  : parameter  (5) dan (6)
Asumsi  :
(i).  Pandang  sistem  antrian  dengan  satu  server  dimana  pelanggan  datang  berdasarkan  suatu proses  Poisson  dengan  laju .  Misalkan  T=  waktu  antar  kedatangan  pelanggan berdistribusi  ekspoensial  dan iid,maka
P(T  t ) = 1- e - t ,  t   0
(ii).  Mean waktu  antar  kedatangan  adalah  1/
(iii).  Waktu  pelayanan  untuk  seorang  pelanggan  berdistribusi  eksponensial.  Misalkan  S= waktu  pelayanan,  dan =  mean  rate  pelayanan    (  banyaknya  pelayanan    per  satuan waktu)  , maka
E(S) = 1/   = mean  waktu  pelayanan  , dan
P(S   t ) = 1-e - t , t  0
(iv).  Misalkan  A(t)= banyaknya  kedatangan   pada selang  waktu  [0,t],  maka
(v).  Misalkan  L(t)  =  banyaknya  pelanggan  dalam  sistem  (  dalam  antrian  dan  dalam pelayanan)  pada waktu  t, t   0.

## 1.2.1 Pendekatan  Statistical  Equilibrium
Untuk  sistem  M/M/1,  proses i =  q i,i-1 merupakan  suatu  proses  Markov.  Jika  statistical equlibrium  tercapai  maka  p n = lim  p n (t), sehingga  akan diperoleh:
Untuk  state  0 :
1 0 1 0 λ μp = λp p = p μ
Untuk  state 1 :
2 0 0 1 0 1 1 0 2 2 0 λ (λ+μ) p -λp (λ+μ)p -λp λ μ μp p λp μp p p μ μ μ Untuk  state 2 : 3 2 2 1 3 3 0 λ μp p λp μp p p μ Untuk  state n : 1
n+1 n-1 n+1 0 λ μ p μp λp , n 0 p p μ n n
Untuk  menyelesaikan  sistem  ini  diperlukan  hubungan  yaitu
i i 0 p 1.Misalkan = / , maka  diperoleh  hubungan
i
i 0 0 i 0 i 0 λ .p 1 ρ .p 1 μ
Dan  dengan  normalisasi  didapatkan    p 0 = 1- = 1- p 0 dan p n = n (1-  ), n  1, dengan p 0 adalah  peluang  waktu  idle,  sedangkan    adalah  peluang  waktu  sibuk.  Dengan  demikian maka  statistical  equilibrium  tercapai  bila    =  /   <  1.  Jika    <1,  maka  ekspetasi  banyaknya pelanggan  pada sistem  antrian  adalah
i i-1
0 0 0 i 0 i 0
i 0
L=E[L(t)] i.pi i.p .ρ = p ρ i.p .ρ 0 0 2 2 1 1 1 p ρ + = p 1-ρ (1-ρ) (1-ρ)
1 λ = 1-ρ μ-λ
Dan
2 2 n 0 ρ Var[L(t)] (n-L) π = (1-ρ)2 N
n
Misalkan  E(R)  menyatakan  ekspetasi  waktu  respon    sebarang  pelanggan.  Dengan menggunakan  Little  Formula  (  L= W)  yaitu  state  dari  rata-rata  banyaknya  pekerjaan  dalam
sistem  antrian  dalam  steady-state  adalah  sama  dengna  perkalian  rate  kedatangan  dan  rata-rata waktu  respon,  maka
ρ E(N) ρ λ/μ 1/μ 1 1-ρ E(N)= λ.E(R) E(R) = = λ λ λ(1-ρ) λ/(1-λ/μ) 1-ρ μ-λ
Karena E(R)  = W + E(S) , maka  diperoleh
W= E(R)-E(S) = 1/μ 1 1-(1-ρ) ρ λ
- = 1-ρ μ (1-ρ)μ (1-ρ)μ μ(μ-λ)
Dan
2
Q λ
L = λW μ(μ-λ)
Dimana   W menyatakan  ekspetasi  dari  waktu  tunggu  sebarang  pelanggan
S  menyatakan  ekspetasi  waktu  pelayanan  seorang  pelanggan L Q menyatakan  ekspetasi  banyaknya  pelanggan  yang  mengantri

## 6. Studi  Kasus Dua Proses Kelahiran  dan Kematian
Suatu  komputer  di  Laboratorium  rata-rata  menerima  30  perintah  tiap  menit,  dan diasumsikan  perintah-perintah  tersebut  mengikuti  proses  Poisson.  Komputer  tersebut mengerjakan  perintah  dengan  disiplin  antrian  FCFS  (  fisrt  come  first  service)  dan  waktu pengerjaan  satu  perintah  berdistribusi  eksponensial  dengan  mean  1/40  menit.  Bila  pihak laboratorium  ingin  meningkatkan  pelayanan  komputer  tersebut  maka  dapat  dilakukan  dengan dua alternatif  yaitu  :
(i).  Membeli  satu  komputer  yang  sama  dengan  komputer  yang  lama (ii). Mengganti komputer lama  dengan  satu  komputer  baru  dengan  kemampuan menyelesaikan  50 pekerjaan  salam  satu menit.
Dari  kasus  diatas  dapat diperoleh  informasi  yaitu  :
Alternatif  (i)  merupakan  sistem  M/M/2,  yaitu  dengan  persamaan  kesetimbangan  :
k k 0 k-1 1 p = ρ P 2 dan i i=0 P =1

## Maka diperoleh
2 3 k+1 0 0 0 0 0
2 k 1 1 1
1= P + ρP + ρ P + ρ P + ...+ ρ P +... 2
2
2
Karena trafic  intensitas  dari
t rate kedatangan λ ρ = = maximum rate selesai pelayanan sμ
Maka diperoleh
k+1 2 3 t
0 t 0 t 2ρ
P [1+2ρ + 2ρ + 2ρ + ...+ 2ρ +... ] P 1
1 1 ρ t t t
Sehingga  diperoleh  Po yaitu  peluang  waktu  idle  (tidak  sibuk)  yaitu
t 0 t t t 1 ρ 1 P 2 ρ 1 ρ 1 1 ρ Dengan  trafic  intensitas t 30 30 ρ = = 0.3 1 2(50) 100 dan 0 1 0.3 P 0.538 1 0.3
Rata-rata  banyaknya  perintah  dalam  antrian  adalah
s 2 Q 2 2 λ λμ( ) (30)(50)(0.6) μ
L = 0.1102 (s-1)!(sμ-λ) (2 1)!(2 50 30)
Rata-rata  banyaknya  perintah  dalam  sistem  adalah
t 2 2 t 2ρ 2(0.3) E[L]= =
0.659 1-ρ 1 (0.3)
Rata-rata  waktu  respon dari  satu  perintah  adalah
2 t 2 E[R]= = 0.0439 μ(1-ρ )
Dengan  rata-rata waktu  tunggu  satu perintah  adalah
s Q 0 2 λ μ( ) μ = P 0.00197
(s-1)(sμ-λ)

## W
Dan    rata-rata  waktu  tunggu  sistem  yaitu  W  =  W Q +1/     =  0.00197    +    0.02    =  0.02197. Dengan  demikian  diperoleh  L =  W = 30(0.00197) = 0.659
Alternatif  (ii)  merupakan  sistem  M/M/1,  dengan  trafic  intensitas  dan  rata-rata  panjang antrian  perintah  yang  harus  diselesaikan  komputer  tersebut  berturut  turut  adalah
t λ 30 ρ =
0.75 1 sμ 40 dan L= λ 30 E[L]= = 3 μ-λ 40 30 perintah
Sedangkan  rata-rata  waktu  respon dari  satu  perintah  adalah
1 1
E[R]= = 0.1 μ λ 40 30 menit Dan  rata-rata waktu  tunggu  dari satu  perintah  yaitu μ 30 W= 0.075 μ(μ-λ) 40(40 30) menit
Sehingga  diperoleh  rata-rata banyaknya  perintah  yang  mengantri   yaitu  L Q = 30(0.075) = 2.25
Dengan  demikian  jika  diterapkan  dari  kedua  alternatif  tersebut  diatas  maka  lebih  baik memilih  parameter  ukuran  kualitas  pelayanan  untuk  sistem  M/M/2,  yaitu  dengan  menambah satu  komputer  yang  sama  dengan  komputer  yang  lama.

## 7. Kesimpulan
Dari  rantai  Markov  waktu  kontinu  dapat  diketahui  dan  dipelajari  sifat  (kelakuan)  suatu proses  stokastik  setelah  proses  tersebut  berjala    dalam  selang  waktu  yang  panjang  maupun singkat.  Sehingga  dapat  diklasifikasikan  dan  di  berikan  perlakuan  (  treatment)  yang  tepat terhadap  permasalahan  dari  suatu  proses  stokastik  yang  ada.  Persamaan  differensial Kolmogorof  merupakan  sistem  untuk  mendapatkan  distribusi  peluang  di  waktu  t+h  dengna mengkondisikan   terhadap  keadaan di  waktu-waktu  mendatang  dan sebelumnya.

## Daftar Pustaka
Geza  Scay, 2007, Introduction  to Probability  with  Statistical  Aplication,  Birkhauser,  Boston Ross, M. Sheldom  , 2000 , Introduction  to Models  Probability,  John  Wiley  & Sons, Inc Ross, M. Sheldom  , 1986 , Stochastics  Process, John  Wiley  & Sons, Inc
Taylor,  M.  Howard  and  Karlin,  Samuel,  1975,  A  Fisrt  Course  in  Stochastics  Processes, Academic  Press, Inc
Zastawniak,  T. and Brzezniak,  Z, 2003, Basic  Stochastic  Processes, Springer