## KARAKTERISTIK MATRIKS SOFT
Saman Abdurrahman Thresye FMIPA, Universitas Lambung Mangkurat e-mail: saman@ulm.ac.id

## ABSTRACT
A soft set is a concept of the set that plays an essential role in overcoming vagueness. The soft set is an extension of the fuzzy set concept. One of the products of the soft set is a soft matrix. A soft matrix is a matrix formed into a soft set's membership value whose entries are elements at {0,1}. This paper aims to introduce operations on soft matrices, i.e., intersection, union, and complements. Further, algebraic properties of soft matrix operations were investigated, commutative, associative, distributive laws, De Morgan’s laws, and absorption.
Keywords: soft matrix, union, intersection and complement

## ABSTRAK
Himpunan soft merupakan suatu konsep himpunan yang berperan penting dalam mengatasi ketidakpastian. Himpunan soft merupakan perluasan dari konsep himpunan fuzzy . Salah satu produk dari himpunan soft adalah matriks soft . Matriks soft adalah matriks yang dibentuk dari nilai keanggotaan himpunan soft yang entri-entrinya elemen di {0,1}. Paper ini, bertujuan memperkenalkan operasi-operasi pada matriks soft, yaitu irisan, gabungan, dan komplemen. Lebih lanjut, diselidiki sifat-sifat aljabar operasi matriks soft, yaitu komutatif, asosiatif, hukum distributive, hukum De Morgan’s, dan absorpsi.
Kata kunci: matriks soft , gabungan, irisan dan konplemen
Konsep himpunan fuzzy , pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965. Sejak itu, banyak peneliti tertarik untuk melanjutkan penelitian himpunan fuzzy , terutama mengaplikasikan pada disiplin ilmu lain. Salah satunya pada bidang aljabar, dimotori oleh Rosenfeld (1971), yang melahirkan konsep grup fuzzy . Penelitian Rosenfeld ini, memberikan warna baru pada penelitian bidang aljabar, dikarenakan konsep grup fuzzy oleh peneliti berikutnya, dijadikan dasar untuk membangun definsi ataupun sifat baru pada struktur aljabar yang lain. Salah satunya, Abdurrahman (2020) mengaplikasikannya pada struktur semiring.
Seiring dengan perkembangan zaman, ilmu pengetahuan dan teknologi semakin berkembang pesat, beberapa peneliti melakukan inovasi ataupun koreksi pada penelitian sebelumnya demi menghasilkan suatu konsep baru, diantaranya Molodtsov (1999) melakukan koreksi pada konsep himpunan fuzzy . Molodtsov menemukan kelemahan dan kesulitan pada himpunan fuzzy . Ia menilai, teori himpunan fuzzy hanya bisa menyelesaikan permasalahan dengan satu parameter saja, sehingga perlu ditambahkan kondisi lain, agar bisa menutupi kelemahan tersebut. Dari kondisi ini, Molodtsov memperkenalkan teori baru yang terbebas dari kelemahan dan kesulitan yang ditemukannya pada himpunan fuzzy , teori ini disebut dengan teori himpunan soft . Salah satu konsep yang dapat diturunkan dari konsep himpunan soft adalah matriks soft . Konsep matriks soft , berbeda dengan konsep matriks biasa, yang dikenal ada aljabar linear elementer. Dari bentuk matriksnya, matriks soft  sama dengan matriks biasa. Tetapi, Ia berbeda dari pendefinisian operasinya. Operasi yang dibagun pada matriks soft , diantaranya: operasi gabungan , operasi irisan dan operasi konplemen. Operasi-operasi yang dimiliki oleh matriks soft, sama dengan operasi himpunan dari segi penamaannya.
Berdasarkan fakta di atas, muncul suatu permasalahan, yaitu: Apakah dari nama yang sama pada operasi dan berbeda pada pendefinisian operasinya, mempunyai sifat yang analog? Dengan kata lain apakah sifat-sifat yang dimiliki himpunan, yaitu: Sifat involusi, sifat idempoten, sifat identitas, sifat konplemen, sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat De Morgan’s, sifat distributif dan sifat absorpsi (penyerapan), dimiliki oleh matriks soft? Pertanyaan inilah, yang menjadikan motivasi penelitian ini dilakukan.
Berdasarkan pertanyaan tersebut di atas, pada artikel ini akan diselidiki sifat involusi, sifat idempoten, sifat identitas, sifat konplemen, sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat De Morgan’s, sifat distributif dan sifat absorpsi (penyerapan) pada matriks soft , dengan cara menginduksi sifat-sifat pada himpunan.
METODE
Penelitian yang dilaksanakan adalah kajian teori, yang merujuk pada buku ataupun jurnal yang berhubungan dengan teori himpunan, himpunan soft dan matriks soft . Berikut ini, diberikan definisi yang mendukung pada bagian pembahasan.
Untuk memudahkan dalam penyebutan notasi dan tidak terjadi pengulangan pada notasi tersebut, berikut diberikan beberapa notasi, yaitu menyatakan himpunan semesta, menyatakan koleksi subhimpunan dari , dan dan adalah himpunan parameter dengan .
Definisi 2.1. (Maji et al., 2003; Molodtsov, 1999) Suatu pasangan disebut himpunan soft atas jika dan hanya jika adalah suatu pemetaan dari ke koleksi subhimpunan dari , dengan kata lain,
sedemikian sehingga
jika . Dalam hal ini, disebut approksimasi fungsi dari himpunan soft . Untuk setiap , himpunan disebut aproksimasi elemen dari himpunan soft
yang berkaitan dengan parameter . Selain itu , himpunan soft atas dapat dinotasikan sebagai:
.
Elemen-elemen dari himpunan soft yang memiliki aproksimasi elemen kosong, biasanya tidak dituliskan. Dalam himpunan soft dengan menggunakan himpunan parameter tunggal, penulisan dalam himpunan soft bisa dihilangkan, sehingga himpunan soft dapat ditulis sebagai himpunan soft . Selain itu, koleksi dari semua himpunan soft dengan menggunakan himpunan parameter tunggal dinotasikan dengan .
Contoh 2.1. Diberikan suatu himpunan soft yang mendeskripsikan tentang “ daya tarik rumah ”, yang menjadi pertimbangan untuk dibeli. Misalkan terdapat 6 rumah dalam semesta
, yang dipertimbangkan dan himpunan parameter , sebagai himpunan parameter penentu, dengan mahal,
indah, = dari kayu, = murah
dan dikelilingi pemandangan hijau. Fungsi diberikan oleh “rumah ( )” dengan ( ) akan diisi satu dari parameter . Bentuk bermakna “rumah (mahal)” dan nilai fungsinya adalah { adalah rumah mahal } Misalkan, , , , , dan , dapat dituliskan himpunan soft , terdiri atas koleksi deskripsi aproksimasi dari calon rumah, yaitu: rumah mahal, , rumah indah, , rumah dari kayu, , rumah murah, , dikelilingi pemandangan hijau, .
Setiap deskripsi aproksimasi mempunyai dua bagian, yaitu: predikat dan himpunan nilai aproksimasi. Jadi, aproksimasi “rumah mahal =
” mempunyai predikat “rumah mahal” dan himpunan nilai aproksimasinya “ ".
Definisi 2.2. (Ça ǧ man & Engino ǧ lu, 2010; Mondal & Pal, 2011; Vijayabalaji & Ramesh, 2013; Zhang, 2014) Misalkan adalah himpunan soft atas . i) Subset dari dapat didefinisikan oleh , yang disebut bentuk relasi dari . ii)  Fungsi karakteristik dinyatakan oleh: , dengan .
iii)  Jika dan , maka dapat disajikan dalam
bentuk tabel berikut:
iv)  Jika , maka didefinisikan suatu matriks , yang disebut matriks soft berordo dari himpunan soft atas . Menurut Definisi 2.2, himpunan soft merupakan karakteristik dari matriks . Ini berarti, himpunan soft
secara formal sama dengan matriks soft . Oleh karena itu, kita akan mengidentifikasi himpunan soft dengan matriks soft dan mengunakan dua konsep ini, yang dapat saling menggantikan.
Koleksi dari matriks soft berordo atas dinotasikan dengan . Selanjutnya, penulisan dinyatakan dengan . Kondisi , menyatakan bahwa suatu matriks soft berordo dengan dan . Contoh 2.2. Misalkan adalah himpunan semesta dan adalah himpunan parameter. Jika dan , , , maka himpunan soft , dan relasi dari adalah
.
Oleh karena itu, matriks soft
Berikut disajikan jenis-jenis matriks soft, berdasarkan entri-entri penyusun matriks soft nya.
Definisi 2.3. (Ça ǧ man & Engino ǧ lu, 2010) Jika
, maka disebut: i) Matriks soft nol, dinotasikan dengan , jika untuk setiap i dan j. ii) Matriks soft semesta, dinotasikan dengan , jika untuk setiap dan i. iii) Matriks soft semesta, dinotasikan dengan ,   jika untuk setiap i dan j. Contoh 2.3. Misalkan adalah himpunan semesta, adalah himpunan parameter dan . Jika dan , maka adalah matriks soft nol, yaitu: . Jika dan , , maka adalah matriks soft
semesta, yaitu:
. Jika dan untuk setiap , , maka adalah matriks
soft semesta, yaitu:
.
Berikutnya disajikan definisi adalah submatriks soft dari , dinotasikan oleh
, adalah proper submatriks soft dari , dinotasikan oleh
dan kesaman matriks soft dari dan
, dinotasikan oleh
.
Definisi 2.4. Diberikan matriks
.
i) Jika untuk setiap dan , maka . ii) Jika untuk setiap dan , terdapat , maka . iii) Jika untuk setiap dan , maka .
Pada teori himpunan dikenal adanya operasi gabungan , irisan dan konplemen, sedangkan pada logika matematika ada disjungsi , konjungsi dan negasi. Dari kondisi yang dimiliki himpunan dan logika matematika tersebut, diinduksi suatu definisi pada matriks soft , yaitu: operasi gabungan, operasi irisan dan operasi komplemen, yang berturut-turut dinotasikan oleh , dan
. Definisi 2.5. Diberikan matriks . Untuk setiap dan , didefinisikan: i) . ii) . iii) .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Lipschutz (1998) dan Michael (2016) menyatakan bahwa bahwa sifat involusi, sifat idempoten, sifat identitas, sifat konplemen, sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat De Morgan, sifat distributif dan sifat absorpsi (penyerapan) adalah sifat-sifat yang khas pada teori himpunan. Dari sifat-sifat khas ini, dijadikan dasar untuk mengkontruksi sifat-sifat pada matriks soft , dengan cara menginduksi sifat khas tersebut yang dipadukan dengan konsep logika matematika. Berikut disajikan sifat-sifat yang dinduksi dari sifat khas yang dimiliki oleh teori himpunan, diawali dengan sifat involusi.
Sifat involusi adalah salah satu sifat yang dimiliki oleh suatu himpunan dalam semesta , yaitu: . Kondisi ini, yang mendasari munculnya sifat involusi pada matriks soft , seperti disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi 3.1. Jika , maka . Bukti: Diambil sebarang . Berdasarkan Definisi 2.8 bagian (iii), untuk setiap dan , diperoleh:
. ■
Suatu himpunan sebarang merupakan himpunan bagian bagi dirinya sendiri, dan himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan. Dari fakta sifat himpunan ini, memunculkan suatu pertanyaan. Apakah sifat ini bisa berlaku pada matriks soft atau tidak? Dari pertanyaan ini, memunculkan sifat dari matriks soft yang analog dengan sifat himpunan tersebut, seperti yang disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi 3.2. Jika , maka dan . Bukti: Diambil sebarang . Karena , untuk setiap dan selalu dipenuhi kondisi: dan . Oleh Karena itu, berdasarkan Definisi 2.4, diperoleh: dan . ■
Berdasarkan hasil analisa proposisi 3.2, sifat yang diditanyakan kebenarannya di atas, dipenuhi oleh matriks soft, dengan kondisi matriks soft nol analog dengan himpunan kosong pada teori himpunan.
Berikutnya disajikan sifat yang menghubungkan antara matriks soft nol , matriks soft dan matriks soft semesta pada . Proposisi 3.3. Jika , maka . Bukti: Diambil sebarang . Mengingat untuk setiap dan , dipenuhi kondisi:
.
Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.4, diperoleh:
. ■ Relasi subset pada teori himpunan bersifat transitif, yaitu: jika dan , maka .
Kondisi ini, memunculkan pertanyaan berikutnya, apakah relasi subset pada matriks soft juga berlaku sifat transitif atau tidak? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, disajikan proposisi berikut ini.
Proposisi 3.4. Diberikan . Jika dan , maka . Bukti: Diambil sebarang . Misalkan untuk setiap dan , dipenuhi kondisi: dan .
Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 2.7, untuk setiap dan , dipenuhi kondisi: dan . Karena relasi bersifat transitif pada himpunan bilangan real , yang mengakibatkan dipenuhi kondisi:
Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.4, diperoleh:
. ■ Analog dengan Proposisi 3.4, berikut disajikan kesamaan dua matriks soft pada . Proposisi 3.5. Jika , maka dan jika dan hanya jika . Bukti: Diambil sebarang . Misalkan untuk setiap dan , dipenuhi kondisi: dan . Berdasarkan Definisi 2.4, untuk setiap dan , dipenuhi kondisi: dan . Karena relasi bersifat transitif pada himpunan bilangan real , yang mengakibatkan dipenuhi kondisi:
.
Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 2.4, diperoleh:
. Sebaliknya, untuk setiap dengan , maka , untuk setiap dan .
Selanjutnya, relasi bersifat transitif pada himpunan bilangan real , yang mengakibatkan terdapat bilangan real sedemikian sehingga
dan . Akibatnya, berdasarkan Definsi 2.4, dipenuhi kondisi: dan . ■ Analog dengan Proposisi 3.4, berikut disajikan kesamaan dua matriks soft pada . Proposisi 3.6. Jika , maka dan jika dan hanya jika . Bukti: Diambil sebarang dengan dan untuk setiap dan . Berdasarkan Definisi 2.4, dipenuhi kondisi: dan .
Oleh karena itu, berdasarkan kesamaan pada himpunan bilangan real
, diperoleh: .
Akibatnya,
Sebaliknya, untuk setiap dengan , maka , untuk setiap dan . Akibatnya, berdasarkan sifat kesamaan pada bilangan real dipenuhi  kondisi: dan . Oleh karena itu, berdasarkan Definsi 2.4, dipenuhi kondisi: dan . ■ Sifat idempoten adalah salah satu sifat yang dimiliki suatu himpunan , yang dikaitkan dengan operasi gabungan dan irisan, yaitu:
dan
.
Dari sifat ini, diinduksi sifat yang lain dari matriks soft, seperti yang disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi 3.7. Jika , maka dan . Bukti: Diambil sebarang . Berdasarkan Definisi 2.5, untuk setiap dan , diperoleh: ,
dan
. ■ Himpunan dalam semesta , mempunyai sifat identitas, yaitu: dengan identitas , dengan identitas , dengan identitas , dan dengan
identitas . Berdasarkan kondisi ini, dikontruksi sifat yang  lain dari matriks soft, seperti disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi 3.8. Jika , maka i) , ii) ,
iii) , dan
iv) Bukti: Diambil sebarang . Berdasarkan Definisi 2.5, untuk setiap dan , diperoleh: i) , ii) , iii) , dan iv) . ■
Sifat konplemen merupakan salah satu sifat yang terpat pada teori himpunan. Dari sifat ini, dapat diturunkan sifat yang lain dari matriks soft, yaitu:
Proposisi 3.9. Jika
maka
i) ii) iii) iv)
Bukti: Diambil sebarang
. Menggunakan kondisi Definisi 2.5, untuk setiap dan , diperoleh:
i) ii) iii) iv)
. ■
Sifat komutatif merupkan sifat banyak kita kenal pada operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan real. Sifat ini juga, dimiliki oleh teori himpunan pada operasi gabungan dan irisan, sehingga dari sifat ini, diturunkan sifat dari matriks soft set yang analog dengan sifat komutatif pada teori himpunan.
Proposisi 3.10 Jika maka i) . ii) . Bukti: Diambil sebarang . Dengan menggunakan kondisi Definisi 2.8, untuk setiap dan ,
diperoleh: i) . ii) . ■
Sifat asosiatif pada teori himpunan melibatkan operasi irisan atau gabungan dan tiga himpunan, yaitu: untuk sebarang himpunan
dan dalam semesta , berlaku: dan .
Dari sifat ini, dinduksi sifat lain dari matriks soft, seperti disajikan pada Proposisi 3.11.
Proposisi 3.11. Jika maka i) . ii) . Bukti: Diambil sebarang . Berdasarkan Definisi 2.5, untuk setiap dan , diperoleh:
i)
.
ii)

## . ■
Sifat De Morgan adalah salah satu sifat yang terkenal pada teori himpunan, dari sifat dapat diinduksi sifat lain, diantaranya pada logika matemtika. Berdasarkan fakta ini, dinduksi sifat De Morgan pada matriks soft, yang kebenarannya akan dibuktikan pada Proposisi 3.12.
Proposisi 3.12. Jika maka i) . ii) . Bukti: i) Diambil sebarang
. Berdasarkan Definisi 2.5, untuk setiap dan ,
diperoleh:
. ii) Diambil sebarang
. Berdasarkan Definisi 2.5, untuk setiap dan ,
diperoleh:
. ■
Berdasarkan  hasil  analisa  pembuktian  di  atas,  sifat  De  Morgan  berlaku  pada  matriks  soft. Berikut diberikan contoh, sebagai ilustrasi dari sifat De Morgan pada Proposisi 3.12.
Contoh 3.1. Jika
, dengan
dan , maka , dan
Jadi,
.
Selanjutnya,
, dan . Jadi, .
Sifat berikutnya yang dimiliki oleh teori himpunan adalah sifat distributif. Sifat ini, melibatkan dua operasi, yaitu: operasi irisan dan gabungan, dan melibatkan tiga himpunan, yaitu: untuk sebarang himpunan dan dalam semesta , berlaku: dan
Dari sifat distributif ini, diturunkan sifat baru pada matriks soft, seperti disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi 3.13. Jika maka i) . ii) . Bukti: i) Diambil sebarang
. Berdasarkan Definisi 2.8, untuk setiap dan , diperoleh:
. ii) Diambil sebarang
. Berdasarkan Definisi 2.5, untuk setiap dan diperoleh:
. ■
Berikut disajikan sifat absorpsi (penyerapan), yang diinduksi dari sifat absorpsi himpunan.
Proposisi 3.14. Jika
, maka , dan . Bukti: Untuk membuktikan , akan dibuktikan terlebih dahulu: . Karena untuk setiap dan , maka
.
Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 2.4, diperoleh:
.
Akibatnya, berdasarkan Proposisi 3.7, diperoleh:
.
Selanjutnya, untuk membuktikan
, akan dibuktikan terlebih dahulu: . Karena, untuk setiap dan , maka untuk setiap dan , berlaku:
.
Oleh karena itu, berdasarkan Definisi 2.4, diperoleh:
.
Akibatnya, berdasarkan Proposisi 3.7 dan Proposisi 3.8, diperoleh:
. ■
SIMPULAN Berdasarkan hasil analisa dari pembahasan, matriks soft memiliki sifat yang khas seperti yang dimiliki oleh teori himpunan, yaitu: Sifat involusi, sifat idempoten, sifat identitas, sifat konplemen, sifat komutatif, sifat asosiatif, hukum De Morgan, hukum distributif dan sifat absorpsi (penyerapan). Sifat-sifat dasar ini, harapan kedepannya dapat dijadikan dasar untuk penelitian matriks soft berikutnya.
REFERENSI Abdurrahman, S. (2020). ω – fuzzy subsemiring.pdf. Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, 21 (1), 1–10. https://doi.org/https://doi.org/10.33830/jmst.v21i1.673.2020 . Ça ǧ man, N. & Engino ǧ lu, S. (2010). Soft matrix theory and its decision making. Computers and Mathematics with Applications , 59 (10), 3308–3314. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010. 03.015 . Lipschutz, S. (1998). Set and Basic Operations on Sets. In Schaum's Outline of Theory and Problems of Set Theory (2nd ed, pp. 1–33). The McGraw-Hili Companies, Inc. Maji, P. K., Biswas, R., & Roy, A. R. (2003). Soft set theory. Journal Computers and Mathematics with Applications , 45 (4–5), 555–562. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(03)00016-6 . Michael, L. O. (2016). Set Theory. In A First Course In Mathematical Logic And Set Theory (pp. 117– 155). John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Molodtsov, D. (1999). Soft set theory first results. Journal Computers and Mathematics with Applications , 37 , 19–31. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0898122199000565. Mondal, S., & Pal, M. (2011). Soft matrices. African Journal of Mathematics and Computer Science Research , 7 (13), 379–388. https://doi.org/https://doi.org/10.5897/AJMCSR.9000057 .
Rosenfeld, A. (1971). Fuzzy groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications , 35 (3), 512– 517. https://doi.org/10.1016/0022-247X(71)90199-5 . Vijayabalaji, S., & Ramesh, A. (2013). A new decision making theory in soft matrices. International Journal of Pure and Applied Mathematics , 86 (6), 927–939. https://doi.org/http://dx.doi.org/ 10.12732/ijpam.v86i6.6 .
Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control , 8 (3), 338–353. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X . Zhang, Z. (2014). A new method for decision making based on soft matrix theory. Journal of Scientific Research and Reports , 3 (15), 2110–2117. https://doi.org/10.9734/jsrr/2014/10507 .