Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 10 No. 1, Juni 2018, hal. 1-16 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## ALGORITMA FUZZY GOAL PROGRAMMING UNTUK MASALAH PEMROGRAMAN BILEVEL MULTIOBJEKTIF

## Syarifah Inayati
Program Studi Statistika, Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta
syarifah.inayati@uny.ac.id
ABSTRACT. Bilevel  multiobjective  programming  problems  are  mathematical programming that solves the problem of planning with two decision makers (DM) in two level or hierarchical organization with the objective function of each organization can be more  than  one. In  this  paper,  we  discussed the  special  case  of this  problem  with  single decision  maker  at  the  upper  level  and  multiple  decision  makers  at  the  lower  level.  This problem can be solved using fuzzy goal programming (FGP) approach. In this approach, the membership function for the defined fuzzy goals of all objective functions of DMs at the  two  levels  was  developed  first  in  the  model  formulation  of  the  problem.  Thus  the membership function for vector of fuzzy goals of the decision variables controlled by the leader. Then FGP approach requires the leader to set goals for each objective that he/she wishes to attain. A preferred solution is then defined for minimizes the deviations from the set of goals. Numerical example is provided to illustrate the approach.
Keywords : multiobjective programming, bilevel programming, fuzzy goal programming.
ABSTRAK. Masalah  pemrograman bilevel multiobjektif,  yaitu  pemrograman matematika  yang  memecahkan  masalah  perencanaan  desentralisasi  dengan  dua pengambil keputusan atau Decision Making (DM) dalam dua level atau organisasi hirarki dengan fungsi tujuan dari masing-masing organisasi dapat lebih dari satu. Dalam makalah ini,  kami  membahas  suatu  permasalahan  yang  melibatkan  satu  pengambil  keputusan (tunggal) pada masalah tingkat atas dan dua atau lebih pengambil keputusan (ganda) pada masalah tingkat bawah. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan fuzzy  goal  programming (FGP).  Dalam  pendekatan  ini,  fungsi  keanggotaan  untuk mendefinisikan fuzzy  goal terhadap  fungsi  objektif  para  DM  pada  kedua  tingkat dikembangkan  pertama  dalam  model  perumusan  masalah.  Sedemikian  sehingga  fungsi keanggotaan  untuk  vektor fuzzy  goal terhadap  variable-variabel  keputusan  dikendalikan oleh leader . Kemudian leader menetapkan tujuan untuk setiap tujuan yang ingin dicapai. Solusi  yang  memuaskan  kemudian  didefinisikan  untuk  meminimumkan  penyimpangan- penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu.  Ilustrasi    contoh    numerik    diberikan    untuk memperlihatkan  prosedur  dari  algoritma  ini  dalam penyelesaian  masalah.
Kata Kunci : pemrograman multiobjektif, pemrograman bilevel , fuzzy goal programming .

## 1. Pendahuluan
Masalah  pemrograman bilevel merupakan  masalah  pemrograman multilevel dengan dua tingkat. Dalam permasalahan ini melibatkan dua pengambil keputusan/ Decision  Maker (DM)  yaitu  pengambil  keputusan  tingkat  pertama
( leader )  dan  pengambil  keputusan  tingkat  kedua  ( follower ).  Dasar  hubungan dalam  teknik  pemrograman bilevel adalah  bahwa leader menetapkan goal dan/atau  keputusan,  kemudian  meminta follower menghitung  solusi  optimal secara terpisah, dan kemudian hasil keputusan dari follower kemudian diserahkan dan dimodifikasi  oleh leader dengan pertimbangan keseluruhan keuntungan bagi organisasi. Proses dapat berlanjut hingga solusi yang optimal tercapai.
Pada  sebagian  besar  masalah  pemrograman bilevel ,  setiap  pengambil keputusan  mempunyai  tujuan  yang  tunggal  dengan  dihadapkan  masing-masing kendala yang dimiliki. Padahal, dalam kehidupan sehari–hari sering ditemui suatu permasalahan  pemrograman bilevel yang  mempunyai  tujuan  lebih  dari  satu  dan tujuan-tujuan  tersebut  perlu  diselesaikan  secara  simultan.  Sehingga  diperlukan suatu konsep penyelesaian permasalahan multiobjektif. Lebih lanjut, permasalahan  ini  dapat  dikembangkan  sebagai  masalah  pemrograman bilevel multiobjektif  yaitu  masalah  pemrograman bilevel dengan  fungsi  tujuan  dari masing-masing  organisasi  dapat  lebih  dari  satu.  Selanjutnya,  permasalahan  ini akan  diselesaikan  dengan  menggunakan  pendekatan Fuzzy Goal  Programming (FGP).

## 2. Formulasi Masalah Pemrograman Bilevel Multiobjektif
Dalam  penelitian  ini  dibatasi  untuk  permasalahan  pemrograman  bilevel multiobjektif  linier  ( Bi-level  Multi-objective  Linear  Programming /  BL-MOLP) yaitu  permasalahan  multiobjektif  yang  melibatkan  satu  pengambil  keputusan (tunggal) pada  masalah  tingkat  atas  (ULDM/ Upper  Level  Decision  Maker )  dan dua atau lebih pengambil keputusan (ganda) pada masalah tingkat bawah (LLDM/
Lower  Level  Decision  Maker ).  Sedangkan  untuk  fungsi  objektif  dari  masing- masing  pengambil  keputusan/ Decision  Making (DM)  beserta  kendala-kendala yang dimiliki adalah fungsi linear.
Pada  permasalahan  ini  diasumsikan  bahwa  terdapat  dua  tingkat  dalam struktur hierarki masalah dengan satu ULDM atau DM 0 dan sebanyak p DM pada LLDM k atau  DM k ,  dengan .  Misalkan  vektor-vektor  variabel
keputusan (
) dipartisi  antara  ULDM  dan  LLDM k ,  maka
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
ULDM memiliki kontrol atas vektor dan LLDM k dengan memiliki  kontrol  atas  vektor ,  dengan dan ( ) , .  Selanjutnya  diasumsikan  bahwa ( ) sebagai ( ) , (1) adalah  vektor  dari  fungsi  objektif  DM i , .  Lebih  lanjut  dalam  Baky
(2009)  permasalahan  pemrograman bilevel multiobjektif  dapat  dirumuskan sebagai berikut:
( upper level )
[ ] ( ) ( ( ) ( ) ( ))
dengan menyelesaikan
( lower level )
[ ] ( ) ( ( ) ( ) ( ))
[ ] ( ) ( ( ) ( ) ( ))
[ ] ( ) ( ( ) ( ) ( ))
{
( ) } (2)
dengan ( )
, , (3) dan adalah  jumlah  fungsi-fungsi  objektif  DM i , adalah
banyaknya  kendala,
( ) dan adalah konstan, adalah matriks koefisien berukuran .
3. Formulasi Model Fuzzy Goal Programming (FGP)
Untuk  merumuskan  model  FGP  dari  masalah  pemrograman bilevel multiobjektif, fuzzy goal dari  tujuan  dicari dengan menentukan solusi optimal individu. Dalam permasalahan ini, fuzzy goal dalam FGP dianggap sebagai tujuan dengan level aspirasi  tidak  tepat  yang  ditugaskan  untuk  masing-masing  tujuan
( ( ) ) . Fuzzy  goal kemudian ditandai  dengan fungsi keanggotaan asosiasi dengan  mendefinisikan  batas  toleransi  untuk pencapaian level aspirasi dari masing-masing fuzzy goal .

## 3.1. Konstruksi fungsi keanggotaan
Karena  semua  DM  memiliki  tujuan  untuk  meminimalkan  fungsi  objektif mereka sendiri dalam daerah feasibel yang telah didefinisikan oleh sistem kendala (2),  solusi  optimal  dari  masing-masing  DM  dapat  dihitung  secara  terpisah kemudian dapat diambil sebagai level aspirasi dari fuzzy goal asosiasi.
Misalkan, ( ) ;
adalah  solusi  optimal  dari  fungsi  objektif  para  DM  di  kedua  tingkat  yang ditentukan secara terpisah. adalah level aspirasi yang ditugaskan untuk masing-masing  fungsi  objektif ( ) (indeks  - ij berarti  bahwa
ketika untuk  masalah  DM 0 , ketika untuk  masalah DM 1 ,  dan ketika untuk  masalah  DM p ).  Dan  diberikan
( ) sebagai  solusi  optimal  masalah  tingkat  atas  dari  masalah MOLP.  Kemudian, fuzzy  goal dari  fungsi  objektif  para  DM  pada  kedua  tingkat dan vektor fuzzy goal dari variabel keputusan yang dikontrol oleh DM 0 dan DM k ,
dengan muncul sebagai ( ) dan dengan dan menunjukkan level aspirasi yang bersifat fuzzy , artinya dan menunjukkan versi fuzzy dari dan .
Dapat diperhatikan bahwa solusi ( ) ;
biasanya  berbeda  karena  pada  dasarnya  tujuan
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
antara  ULDM  dan  LLDM  adalah  saling  bertentangan.  Oleh  karena  itu,  dapat diasumsikan  bahwa  nilai ( ) , dan
dan semua nilai yang lebih besar
[ (
) dan ]
sebenarnya tidak dapat diterima untuk fungsi objektif
( ) ( ) .  Dengan  demikian, ( ) dapat  dianggap  sebagai  batas toleransi  atas dari fuzzy  goal untuk  fungsi-fungsi  objektif.  Sedemikian sehingga,  fungsi  keanggotaan ( ( )) untuk fuzzy  goal ke dapat dirumuskan sebagai berikut.
( ( ))   { ( )
( ) ( ) ( ) (4)
Berikut diberikan gambar fungsi keanggotaan (4).
Gambar 3.1. Fungsi keanggotaan dari fungsi objektif minimisasi
Untuk  membangun  fungsi  keanggotaan  untuk fuzzy  goal dari  variabel keputusan  yang  dikontrol  oleh  ULDM,  solusi  optimal  dari  masalah  tingkat  atas
MOLP, ( ) ( ) ,  harus  ditentukan  terlebih dahulu. Solusi optimal dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan FGP dari  Mohamed  (1997)  yang  menyelesaikan  masalah single-level MOLP,  dalam
makalah ini, untuk menyelesaikan masalah tingkat atas MOLP. Formulasi model FGP dari pendekatan ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

## ∑
dengan kendala
( )
( ) dan , (5) dengan menyatakan  deviasi  atas  dan  bawah  dari level aspirasi. Dan bobot menyatakan kepentingan relatif mencapai
level aspirasi  dari fuzzy  goal terhadap  batasan  yang  ditetapkan  dalam  situasi keputusan. Untuk menilai kepentingan relatif dari fuzzy goal dengan benar, skema pembobotan  yang  disarankan  oleh  Mohamed  (1997)  dapat  digunakan  untuk menetapkan  nilai-nilai
.  Dalam  formulasi  ini,  nilai-nilai  ini ditentukan sebagai berikut.
(6) Selanjutnya, ULDM memberikan suatu toleransi kepada vektor keputusan ( ) sedemikian  sehingga  LLDM  dapat  mencari  solusi optimalnya  di  dalam  daerah feasibel yang  lebih  luas,  perhatikan  Gambar  3.2 berikut.
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
Dapat  diperhatikan  pada  Gambar  3.2  bahwa dan ,
adalah  suatu  nilai  toleransi  negatif  dan  positif  maksimum  yang  dipertimbangkan oleh  ULDM  berdasarkan  pada  kebutuhan,  keinginan,  dan  situasi  praktis  dalam situasi  DM,  toleransi dan ini  belum  tentu  sama.  Maka  toleransi  ini  akan memberikan  para  DM  pada level yang  lebih  rendah  suatu  daerah feasibel yang diperluas  untuk  mencari  solusi  yang  memuaskan.  Kemudian  dengan  algoritma yang  diusulkan,  solusi  yang  memuaskan  dari  masalah  BL-MOLP  dapat  dicapai (Pramanik dan Roy, 2006) dan (Sinha, 2003).
Sedemikian  sehingga  fungsi  keanggotaan  linear  (Gambar  4.2)  untuk masing-masing komponen  dari  vektor  keputusan ( )
yang dikontrol oleh ULDM dapat dirumuskan sebagai berikut.
( ) { ( )
( ) (7)
Dapat  diperhatikan  bahwa  DM  mungkin  menginginkan  menggeser  rentang  dari . Berdasarkan Pramanik dan Roy (2006) dan Sinha (2003) pergeseran ini dapat dicapai.  Akibatnya,  dalam  ranah  keputusan fuzzy ,  pencapaian  dari fuzzy  goal dalam  artian fuzzy  goal dari  fungsi  objektif  DM  pada  kedua  tingkat  dan  vektor fuzzy  goal dari  variabel  keputusan  yang  dikontrol  oleh  ULDM  ke level aspirasi dari  masing-masing  fungsi  objektif  untuk  memperluas  kemungkinan  pencapaian solusi  optimal  sebenarnya  diwakili  oleh  pencapaian  kemungkinan  dari  masing- masing nilai keanggotaan ke tingkat tertinggi.
3.2. Pendekatan fuzzy goal programming (FGP) untuk masalah BL-MOLP
Dalam pendekatan Fuzzy Programming (FP), derajat tertinggi  dari fungsi keanggotaan  adalah  1.  Jadi,  seperti  dalam  Mohamed  (1997),  untuk  fungsi keanggotaan  yang  didefinisikan  dalam  (4)  dan  (7), flexible  membership  goal dengan level aspirasi sebesar 1 dapat disajikan sebagai berikut.

## ( ( ))
(8)
( ) (9)
atau ekuivalen dengan ( ) (10) ( ) (11) ( ) (12) dengan ( ) ( ) dan dengan , ,  dan dan deviasi  bawah  dan  atas  dari  setiap level aspirasinya.
Dalam Goal  Programming (GP)  konvensional,  variabel  deviasi  bawah dan/atau  atas  termasuk  dalam  fungsi  pencapaian  untuk  meminimalkan  mereka yang  bergantung  pada  jenis  fungsi  objektif  yang  akan  dioptimalkan.  Dalam pendekatan  ini,  hanya  variabel  deviasi  atas  untuk fuzzy goal dari  fungsi  objektif dan variabel  deviasi atas dan bawah untuk fuzzy goal dari  variabel  keputusan, dan yang
diperlukan  untuk  meminimumkan  keinginan  untuk  mencapai level aspirasi fuzzy goal .  Sementara  itu,  dapat  diperhatikan  bahwa  setiap  deviasi  bawah  dari fuzzy goal menunjukkan  pencapaian  penuh  nilai keanggotaan (Baky, 2009).
Dengan mengkaji Mohamed (1997), pendekatan FGP untuk masalah MOP dikembangkan oleh Baky (2009) untuk merumuskan FGP untuk Bi-level MOLP. Oleh  karena  itu,  mengingat  masalah  pencapaian  tujuan  dari goal pada  tingkat prioritas  yang  sama,  model  masalah fuzzy  bilevel  multiobjective  linear  goal programming yang  ekuivalen  dari  permasalahan  yang  dibahas  dapat  dirumuskan sebagai berikut.
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
∑ ∑ ∑ ∑ [ ( ) ( )] dengan kendala
(( ))
( ) ( )
( ) (  )
dengan merupakan  fungsi  pencapaian fuzzy yang  terdiri  dari  bobot  variabel deviasi  atas
dari fuzzy goal dan  variabel  deviasi
bawah  dan  deviasi  atas, dan
untuk fuzzy goal
dari  semua  variabel  ULDM,  dengan  bobot  numerik dan yang menyatakan kepentingan relatif dari pencapaian level aspirasi dari masing-masing fuzzy goal terhadap batasan yang ditetapkan dalam situasi keputusan.
Untuk  menilai  kepentingan  relatif  dari fuzzy goal dengan  benar,  skema pembobotan  yang  disarankan  oleh  Mohamed  (1997),  dapat  digunakan  untuk menetapkan nilai-nilai dan .
(14)
(15)

## 4. Algoritma FGP untuk menyelesaikan masalah BL-MOLP
Model  FGP  (13)  memberikan  keputusan  yang  paling  memuaskan  untuk semua DM pada dua tingkat dengan mencapai level aspirasi dari membership goal sejauh  mungkin  di  lingkungan  keputusan.  Dari  pembahasan  di  atas,  algoritma
pendekatan FGP untuk memecahkan masalah DBL-MOLP adalah sebagai berikut (Baky, 2009).

## Algoritma Pendekatan FGP
Langkah 1. Menghitung nilai individu minimum dan nilai individu maksimum dari semua fungsi objektif dalam dua tingkat terhadap batasan kendala yang diberikan.
Langkah 2. Menetapkan  level  aspirasi dan  batas  toleransi  atas dengan untuk  semua  fungsi  objektif  dalam  dua tingkat. Langkah 3. Mengevaluasi bobot
Langkah 4. Menentukan  fungsi  keanggotaan
( ( )) untuk
fungsi objektif tingkat atas.
Langkah 5. Merumuskan Model (5) untuk masalah MOLP dari DM 0 . Langkah 6. Memecahkan  Model  (5)  untuk  mendapatkan ( ) , ( ) Langkah 7. Menetapkan nilai-nilai toleransi maksimum negatif dan positif pada vektor keputusan ( ) yaitu dan ,
.
Langkah 8. Mengevaluasi
Langkah 9. Menentukan fungsi keanggotaan ( ) untuk vektor keputusan tingkat atas.
Langkah 10.  Menentukan fungsi keanggotaan ( ( ))
untuk fungsi objektif dari semua DM tingkat bawah.
Langkah 11.  Merumuskan Model (13) untuk masalah DBL-MOLP.
Langkah 12.  Menyelesaikan Model (13) untuk mendapatkan solusi kandidat untuk masalah DBL-MOLP.
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
Langkah 13.  Jika DM telah puas dengan solusi kandidat dalam langkah 12, lanjutkan ke Langkah 14, lainnya lanjutkan ke Langkah 15.
Langkah 14.  Berhenti dengan solusi yang memuaskan untuk masalah DBL-MOLP. Langkah 15.  Memodifikasi level aspirasi , dan batas toleransi atas
, untuk semua fungsi objektif dalam kedua level , kembali ke Langkah 3.

## Contoh
Diberikan masalah BL-MOLP sebagai berikut:
( upper level )
[ ] (
)
dengan
menyelesaikan
( lower level )
[ ] ( ) [ ] (
)
(16)
Penyelesaian: Pertama,  menghitung  solusi  optimal  individu  minimum  dan maksimum dari semua fungsi objektif pada level atas dan bawah terhadap batasan kendala  G  yang  diberikan  secara  terpisah.  Selanjutnya,  nilai  individu  minimum ( )  dapat  diambil  sebagai level aspirasi dan  nilai  individu  maksimum ( ) dapat diambil sebagai batas toleransi atas , dengan ketika dan ketika .  Kemudian  tentukan  pula  nilai  bobot . Batasan kendala G
Tabel 4.1. Nilai dan untuk setiap fungsi objektif atas dan bawah
( ) ( )
Sedemikian sehingga diperoleh model FGP (5) untuk masalah MOLP dari :
Dengan kendala
, untuk (17) Model  permasalahan  (17)  merupakan  masalah  program  linear  biasa,  diperoleh solusi  optimal ( )   (         ) dan  nilai  penyimpangan (variabel  deviasi) . Dari  solusi  optimal  ini,  ULDM  dapat  memutuskan .  Jika  ULDM ditetapkan toleransi positif dan negatif , maka diperoleh
, sehingga diperoleh rumusan model FGP untuk masalah BL-MOLP berdasarkan model (13) :
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
dengan kendala
, untuk dan (18)
Model permasalahan (18) merupakan masalah program linear biasa dengan solusi optimal (
)   (     ) dan nilai fungsi objektif
.
Selanjutnya  dengan  menggunakan  (4)  dapat  dicari  nilai  fungsi  keanggotaan  dari masing-masing fungsi objektif yaitu
(  ) ( ) (  ) (  )
( ) ( ) ( )
serta diperoleh nilai penyimpangan (variabel deviasi)
.
Berdasarkan nilai fungsi keanggotaan dari masing-masing fungsi objektif di atas, jika    diasumsikan  bahwa  DM  telah  merasa  puas  akan  hasil  optimumnya,  maka program nya berhenti ( STOP ). Namun demikian, apabila DM belum merasa puas akan  hasil  yang  diperoleh  maka  DM  dapat  kembali  memodifikasi level aspirasi
,  dan  batas toleransi  atas ,  untuk
ketika dan ketika
, untuk semua fungsi objektif dalam kedua level , kembali ke Langkah 3.

## 5. Kesimpulan
Dalam  penelitian  ini  masalah  pemrograman bilevel multiobjektif,  secara efektif  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan  pendekatan Fuzzy  Goal Programming (FGP).  Salah  satu  keuntungan  dari  pendekatan  ini  adalah  bahwa kemungkinan  menolak  solusi  lagi  dan  lagi  oleh  pengambil  keputusan  tingkat pertama  dan  reevaluasi  masalah  yang  berulang  kali  melalui  pendefinisian  ulang fungsi  keanggotaan  yang  ditimbulkan,  dalam  keperluan  untuk  mencapai keputusan  yang  memuaskan  tidak  muncul.  Selain  itu,  model  FGP  juga  memiliki peran  untuk  meminimalkan  kekesalan  tingkat  kepuasan  dari  kedua  kelompok pengambil  keputusan  sehingga  dapat  diperoleh  solusi  yang  paling    memuaskan bagi  kedua  pengambil  keputusan. Hal ini dapat dicapai dengan meminimumkan penyimpangan-penyimpangan  dari  masing-masing  definisi  fungsi  keanggotaan tujuan.
6. Daftar Pustaka
H.  S.  Shih,  Y.J.  Lai,  E.S.  Lee, Fuzzy  approach  for  multi-level  programming problems , Computers and Operations Research 23 (1) (1996), 73–91.
Ibrahim  A.  Baky, Fuzzy  goal  programming  algorithm  for  solving  decentralized bi-level  multi-objective  programming  problems , Fuzzy Sets  and  Systems, 160 (2009), 2701–2713.
Y.  J.  Lai, Hierarchical  optimization:  a  satisfactory  solution , Fuzzy Sets  and Systems, 77 (1996), 321–335.
S.  Pramanik,  T.  Kumar  Roy, Fuzzy  goal  programming  approach  to  multi-level programming  problems ,  European  Journal  of  Operational  Research, 176 (2006), 1151–1166.
S.  Sinha, Fuzzy  programming  approach  to  multi-level  programming  problems , Fuzzy Sets and Systems, 136 (2003), 189–202.
Alogoritma Fuzzy Goal Programming
R.  H.  Mohamed, The  relationship  between  goal  programming  and  fuzzy programming , Fuzzy Sets and Systems, 89 (1997), 215–222.