## Basis teoretis dari metode grid yang ditumpangkan
Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5
1,2,5 Universitas HKBP Nommensen Pematangsiantar, Indonesia
3 Universitas HKBP Nommensen, Indonesia
4 Universitas Negeri Medan, Indonesia dirmantogu@gmail.com 1 , yoeloctobepurba@gmail.com 2 , juliaster.marbun@uhn.ac.id 3 rubensiagian775@gmail.com 4 , kevinsiahaan52@gmail.com 5

## Abstrak
Masalah pemodelan sifat anisotropik yang benar dari bahan komposit sampai hari ini tidak sepenuhnya terungkap. Ini memaksa para insinyur dan ilmuwan untuk menyederhanakan deskripsi parameter fisik dan mekanik untuk menentukan perilaku mekanik padatan yang dapat dideformasi. Ini terutama berlaku untuk  viskositas.  Akibatnya  dalam  kompleks  analisis  perangkat  lunak  elemen  hingga,  sifat-sifat  ini dimodelkan  secara  turun-temurun  fungsi  yang  sebanding  dengan  tensor  elastisitas  awal,  yang  dalam beberapa  kasus  bukan  asumsi  yang  benar.  Adapun  untuk  menghilangkan  kekurangan  tersebut berdasarkan  metode  elemen  hingga,  maka  metode  grid  yang  ditumpangkan  diusulkan,  yang memungkinkan  untuk  memodelkan  sifat  fisik  dan  mekanik,  khususnya  viskoelastik,  dengan mempertimbangkan  tingkat  anisotropi.  Metode  ini  memungkinkan  untuk  memecahkan  sejumlah masalah dalam teori viskoelastisitas anisotropik, menghasilkan diperoleh hasil yang benar. Makalah ini menyajikan  pembenaran  teoretis  untuk  metode  ini,  yang  didasarkan  pada:  pertimbangan  total  energi fungsional dari benda cacat, untuk masalah statis dan dinamis linier teori elastisitas dan viskoelastisitas. Pendekatan terhadap masalah ini menetapkan aturan untuk memperoleh parameter tegangan-regangan keadaan benda yang dapat dideformasi sesuai dengan kekhasan metode kisi-kisi yang ditumpangkan dan skenario yang mungkin diidentifikasi aplikasinya.
Kata  Kunci : Metode  grid,  pemodelan  sifat  anisotropik,  model  sifat  fisik  dan  mekanik,  teori  elastisitas  dan viskoelastisitas.

## Abstract
The problem of modeling the correct anisotropic properties of composite materials to date has not been fully revealed. This forced engineers and scientists to simplify the description of physical and mechanical parameters to determine the mechanical behavior of deformable solids. This is especially true for viscosity. As a result in complex finite element software analysis, these properties are modeled from generation to generation of functions that are proportional to the initial elasticity tensor, which in some cases is not a correct assumption. As for eliminating these shortcomings based on the finite element method, the superimposed grid method is proposed, which makes it possible to model physical and mechanical properties, especially viscoelastic, taking into account the degree of anisotropy. This method makes it possible to solve a number of problems in the theory of anisotropic viscoelasticity, yielding correct results. This paper presents a theoretical justification for this method, which is based on: consideration of the total functional energy of the deformed body, for linear static and dynamic problems of elasticity and viscoelasticity theory. This approach to this problem establishes the rules for obtaining the stress-strain parameters of the deformable state of the body according to the peculiarities of the superimposed grating method and the possible scenarios identified for its application.
Keywords: Grid  method,  anisotropic  property  modeling,  physical  and  mechanical  properties  model,  theory  of elasticity and viscoelasticity
 Corresponding author : Sudirman T.P. Lumbangaol Email      : dirmantogu@gmail.com
Volume 8 No 1
Juli 2022
Diterima: 25 April 2022 Direvisi: 10 Juni 2022 Diterbitkan: 18 Juli 2022
Basis teoritis dari metode grid yang ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485

## PENDAHULUAN
Saat  memodelkan  perilaku  mekanis  elemen  komposit  struktur  dan  mesin,  para insinyur  dan  ilmuwan  akan  menghadapi  sejumlah  masalah  yang  berkaitan  dengan kebutuhan untuk memperhitungkan anisotropi fisik sifat-sifat komposit (Sari, 2019). Untuk kasus  perilaku  elastis  mereka  sudah  cukup  berkembang  terkhusus  dalam  aparatus matematika,  namun  untuk  sifat  yang  lebih  kompleks  seperti  plastisitas,  creep, viskoelastisitas, ada kekurangan metode umum pemodelan mereka (Widiastuti, 2018)
Adapun  sejumlah  situasi  di  mana  kebutuhan  untuk  memperhitungkan  tingkat keseluruhan dari anisotropi, misalnya, sifat viskoelastik yang perlu diperhatikan. Beberapa peneliti  telah  mengangkat  masalah  ini  dan  dengan  perlunya  menerapkan  model viskoelastisitas  anisotropik  untuk  memecahkan  masalah  praktis  dan  melakukan pernyataan  masalah  Fahmy,  (2019);Amiri-Rad,  Pastukhov,  Govaert,  &  van  Dommelen, (2019);Mizukami, Ikeda, & Ogi, (2019). Beberapa paper yang dituliskan para ilmuwan dan insinyur diatas telah membuktikan perlunya pemodelan anisotropik viskoelastisitas untuk masalah  biomekanik.  metode  untuk  menyelesaikan  yang  nonlinier  model  viskoelastik anisotropik adalah dengan menggambarkan perilaku mekanik komposit berserat. Adapun dengan  menerapkan  teori  viskoelastisitas  anisotropic    adalah  untuk  memodelkan mekanisme  membran  biologis  dan  menyajikan  solusi  untuk  kasus  keadaan  tegangan bidang Ai et al., (2020);Nguyen & Hwu, (2020). Peneliti juga telah menyelidiki perambatan gelombang  pada  pelat  tipis  viskoelastik  isotropik  transversal  dalam  penyelesaian  eliptik masalah  nilai  batas,  yang  juga  dirumuskan  dalam  bidang  frekuensi-ruang  dengan penggunaan elemen hingga prosedur Galerkin.
Penelitian  ini  menunjukkan  penerapan  fungsi  Green  untuk  solusi  anisotropik  dari model  bahan  viskoelastik,  dan  juga  para  peneliti  telah  menerapkan  metode  batas  untuk mempertimbangkanan  anisotropik  benda  datar  viskoelastik  dengan  cacat.  Telah dipresentasikan pula algoritma perbedaan hingga ruang-waktu  untuk pemodelan tubuh isotropik transversal dengan sumbu vertikal simetri. Namun, tidak semua algoritma yang diusulkan  dapat  diterapkan  bentuk  geometris  objek  apa  pun  dan  dimensi  masalah (Irviantina et al., 2017). Untuk memecahkan masalah ini kompleks perangkat lunak analisis elemen hingga, dan metode untuk memperhitungkan sifat viskoelastik anisotropik, yang disebut metode grid superimposed (MNS)  akan diusulkan. Adapun Metode ini telah diuji pada  berbagai  model  perhitungan,  dan  diterapkan  untuk  memecahkan  masalah  nyata dalam mekanika material komposit. paper ini akan mempertimbangkan aspek teoretis dari metode kisi-kisi yang ditumpangkan, yang memungkinkan tidak hanya menggunakannya sebagai  alat  teknis,  tetapi  juga  untuk  menerapkan  algoritma  perhitungan  yang  tertutup dalam mekanisme deformasi benda anisotropik.
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485

## METODE
Dalam menyederhanakan deskripsi parameter fisik dan mekanik untuk menentukan perilaku mekanik padatan yang dapat dideformasi. properti ini dimodelkan dari generasi ke generasi fungsi yang sebanding dengan  tensor elastisitas awal, yang dalam beberapa kasus bukan asumsi yang benar untuk menghilangkan kekurangan ini berdasarkan metode elemen hingga Wibawa, (2018);Putra et al., (2020), maka metode grid yang ditumpangkan diusulkan,  yang  membuatnya  mungkin  untuk  memodelkan  sifat  fisik  dan  mekanik, khususnya viskoelastik, dengan mempertimbangkan tingkat anisotropi masalah statis dan dinamis  linier  dari  teori  elastisitas  dan  viskoelastisitas.  Pendekatan  untuk  masalah  ini menetapkan aturan untuk memperoleh parameter tegangan-regangan dari keadaan benda yang  dapat  dideformasi  sesuai  dengan  kekhasan  metode  kisi  yang  ditumpangkan  dan kemungkinan skenario yang diidentifikasi untuk penerapannya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## a. Prasyarat untuk pengembangan metode grid yang ditumpangkan
Bahan komposit yang diperkuat polimer (PACM) memiliki skema penguatan arah tertentu,  jadi  sifat  mekaniknya  tergantung  pada  arah  beban  yang  diterapkan.  Hasilnya adalah anisotropi sifat elastis dan viskoelastik, yang dinyatakan oleh hubungan tensor di komponen menurut jenisnya (Nurfajri et al., 2019).
  0 ( ) , , t kl ij ijkl kl d t C t T d d         
(1)
Dimana   , ijkl C t T adalah komponen yang bergantung pada waktu dan suhu dari tensor relaksasi  bahan  viskoelastik; ( ) ij t  adalah  komponen  tensor  tegangan; ( ) kl t  komponen tensor  deformasi  (Zhu  et  al.,  2020).  Sedangkan  untuk  PACM  dengan  struktur  tulangan ortogonal,  sifat  viskoelastiknya  adalah  ortotropik  (Al-Shetwi  et  al.,  2020).  Kemudian hubungan fisik dalam persamaan (1) dalam notasi Voigt  akan mengambil bentuk berikut:
        11 11 1133 1111 1122 22 22 1122 2222 2233 33 33 1133 2233 3333 2323 23 0 23 1313 13 1212 12 / ( ) 0 0 0
/ ( ) 0
0 0
/ ( ) 0 0 0 0
0 ( ) 0 0 0 / 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) t d d t C C C d d t C C C d d t C C C C t d d C t d C t                
  
                                                13 12 . / / d d d d      
   
                  (2)
Untuk  bahan  polimer  yang  sering  dianggap  adalah  isotropik,  sedangkan  hubungan dalam  persamaan  (2),  akan  disederhanakan  sehingga  hanya  2  komponen  yang  tidak diketahui yang tersisa dalam tensor relaksasi. Maka dimungkinkan untuk memilih lapisan
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
dan bagian deviator dari tensor relaksasi, yang sangat berguna karena untuk bahan polimer viskositas  karakteristik  bagian  yang  berubah  bentuk  (penyimpang)  sambil mempertahankan bagian volume (lapisan) relatif konstan dari waktu ke waktu. Kemudian bentuk tensor dari hubungan tersebut ditulis sebagai berikut:
        0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 , t t de d t G t I K t d d d                (3)
Dimana untuk ˆ( ) t  adalah tegangan tensor peringkat kedua;   ˆ ( ), K G t t adalah geser dan  bagian  volume  dari  tensor  relaksasi,  biasanya  tergantung  pada  suhu;  deviator  dan deformasi lapisan dan unit tensor. Selanjutnya akan ditulis dalam bentuk;
11 12 13 21 22 23 31 32 33 ˆ e              
            (4)
Perlu dicatat bahwa seringkali hubungan dalam persamaan (3) diambil sebagai dasar dan  untuk  kasus-kasus  bahan  anisotropik,  karena  saat  ini  tidak  ada  algoritma  universal untuk memecahkan masalah viskoelastisitas anisotropik dengan mendefinisikan hubungan dalam  persamaan  (2).  Di  sisi  lain,  dengan  adanya  kemungkinan  untuk  menghadirkan modul relaksasi dengan dari deret Prony eksponensial, maka ketergantungan waktunya dapat digeneralisasi untuk komponen tensor relaksasi hubungan fisik (1) dalam kasus tiga dimensi, yaitu;
( ) exp , m ijkl ijkl ijkl m m ijkl t C t C    
          (5)
Dimana ijkl C adalah  koefisien  tensor  kekakuan  elastis;  m  adalah  koefisien  tensor kekakuan  elastisitas; m ijkl  koefisien  viskositas  untuk  anggota  seri  Proni;  dan m ijkl  adalah waktu  relaksasi  di  anggota  seri  Proni  (Nguyen  &  Hwu,  2020a).    Selanjutnya  dengan menggunakan  metode  yang  dikenal  untuk  memformat  ulang  hubungan  fisik  dalam persamaan (1), dapat direpresentasikan secara setara dalam bentuk;
    0 ( ) exp , t m ij ijkl kl ijkl kl m kl m ijkl t t C t k d                                        
(6)
Dimana untuk
m ijkl m ijkl m ijkl k    adalah koefisien viskositas umum  untuk anggota deret
Proni, dan akhirnya kita mendapatkan;
       
, , , ijkl ref ijkl T ijkl ijkl C t T C t T   (7)
Dimana   ref ijkl T adalah    suhu  relatif,  umumnya  berbeda  untuk  arah  yang  berbeda;   T ijkl  adalah  fungsi  geser,  dalam  kasus  umum  dari  jenis  yang  berbeda  atau  dengan koefisien yang berbeda untuk yang berbeda arah. Jika kita mempertimbangkan bahan di
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
mana sifat viskoelastik sebanding dengan elastis, maka beberapa koefisien dari relasi dalam persamaan (7) dan (8) akan disederhanakan ;
    ; ;
; . m ijkl m m ijkl m ref ref ijkl T T ijkl a a T T                (8)
Seperti yang disebutkan sebelumnya, untuk kasus bahan viskoelastik isotropic, relasi dalam bentuk tensor memiliki bentuk berdasarkan persamaan (3) Bagian geser dan volume dari tensor relaksasi dalam persamaan (3) juga diwakili oleh deret Proni, yaitu;
0 0 ( ) exp ; ˆ ˆ ( ) exp , K K G G G k K n K n nK G G n G n n t K t K a a t G t G a a                   
        
                         (9)
Adapun Bentuk sifat viskoelastik  ini juga berlaku untuk software ANSYS® Mechanical. Tetapi terlepas dari kenyataan bahwa sifat viskoelastik material dalam produk perangkat lunak ini adalah isotropik, karakteristik elastis masih dapat diatur secara anisotropis.

## a. Inti dari metode grid yang ditumpangkan
Kami  telah  menyajikan  model  reologi  bahan  viskoelastik    dalam  kasus  satu  dimensi dalam bentuk model persamaan Maxwell umum, seperti yang ditunjukkan pada persegi panjang biru pada Gambar. 1. Jika secara paralel untuk menggabungkan model seperti itu dengan  analog  dari  model  elastis  yang  ditandai  dengan  garis  hijau,  maka  kami  akan menerima model yang baru dalam konteks reologi gabungan (Gonano et al., 2015).
Dalam model ini, dua elemen elastis dengan kekakuan K dan ke dapat diganti secara ekivalen  dengan  satu  elemen  elastis  dengan  kekakuan  K e =  K  +  k e .  Selanjutnya  dengan analogi kombinasi model reologi untuk metode elemen hingga  adalah metode grid yang ditumpangkan ditawarkan. Ini terdiri dari fakta bahwa dua diciptakan di tempat volume identik yang sama. Kemudian mereka secara berurutan dibagi menjadi kisi elemen hingga -  masing-masing  volume  dengan  propertinya.  Karena  algoritma  untuk  membuat  kisi elemen  hingga  (CE)  bekerja  dengan  cara  yang  sama  untuk  volume  identik  dengan pengaturan partisi elemen hingga yang sama, maka node dan elemen kedua grid spasial akan bertepatan dengan satu sama lain (Lee et al., 2019).
Langkah selanjutnya adalah menggabungkan semua node. Jadi, node yang diperoleh sesuai dengan dua kelompok elemen secara bersamaan, jumlahnya setelah penggabungan menjadi dua kali lebih kecil, dan jumlah elemen tetap sama. Dengan pemikiran ini, model elemen hingga gabungan akan menjadi berubah bentuk bersama-sama, dan masing-masing lapisan  grid  CE  akan  memberikan  kontribusinya  sendiri  terhadap  potensi  energi.  Dia berarti  bahwa  unsur-unsur  dari  setiap  kelompok  bahan  akan  berada  dalam  keadaan
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
tegangan individu di bidang gerakan yang sama. Medan tegangan tensor   yang dihasilkan dalam model adalah jumlah tegangan tensor untuk setiap kelompok elemen
Gambar 1. Ilustrasi metode grid yang ditumpangkan: a - model reologi gabungan; dan  - penggabungan grid yang cocok
Adapun  Teknik  ini  dibangun  dengan  menggunakan  paket  perangkat  lunak  analisis elemen  hingga  ANSYS ® ; Academic  Research  Mechanical ,  yang  dirancang  khusus  untuk melakukan  analisis  elemen  hingga  mekanika  padat  yang  dapat  dideformasi,  dan didistribusikan secara gratis oleh ANSYS, Inc. melalui Internet di situs resmi mereka.

## b. Formulasi metode grid yang ditumpangkan untuk masalah elastisitas
Adapun Pada bagian ini akan dibuat pembuktian teoritis untuk masalah elastisitas statik linier, yang kemudian dapat digeneralisasikan ke fenomena lain  dari mekanika padatan anisotropic  yang dapat dideformasi.
Dengan membiarkan hubungan geometris dalam ruang Euclidean tiga dimensi  dengan koordinat 1 2 3 , , x x x menjadi tercatat sebagai :
= Du  (10)
Dimana  adalah vektor regangan dengan komponen yang identik dengan komponen vektor  regangan  pada  persamaan  (2); u adalah  vektor  perpindahan; D adalah  matriks operator  diferensial  dengan  koefisien  yang  memastikan  pemenuhan  hubungan  Cauchy (Matveev, 2016).
Adapun  hubungan  fisis  untuk  kasus  benda  elastis  linier  disederhanakan  menjadi bentuk:
= С   (11)
Dimana  adalah vektor tegangan dengan komponen yang identik dengan komponen vektor  tegangan  pada  (2); С adalah  matriks  elastis  dengan  komponen  identik  dengan komponen tensor kekakuan elastis di rasio (5). Maka fungsi Lagrange untuk benda elastis tiga dimensi  akan ditulis sebagai berikut:
  1 , 2 u T T T T V V S W u D CD udv f udV p udS       (12)
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
Dimana W adalah energi potensial deformasi elastis; V adalah volume yang ditempati oleh  benda  elastis; u S adalah  bagian  dari  permukaan  luar  tubuh  di  mana  tidak  ada deformasi; f adalah vektor beban volumetrik; p adalah vektor beban permukaan.
Diketahui bahwa untuk menemukan keadaan stres-regangan yang sebenarnya, maka fungsi ini  harus memperkecil. Perangkat lunak elemen hingga modern didasarkan pada prosedur  minimalisasi  kompleks.  Menurut  prosedur  pengambilan  sampel,  vector perpindahan direpresentasikan sebagai superposisi linier produk perpindahan nodal  dari model elemen hingga dan fungsi orthogonal  bentuk;
, u nU  (13)
Dimana n adalah  vektor  bentuk  fungsi; U adalah  matriks  perpindahan  nodal. Selanjutnya  dengan  Menerapkan  persamaan  proyeksi  ke  persamaan  fungsional  kita peroleh:
      1 , 2 u T T T T T V V S W u n D CDn udv f n udV p n udS       (14)
Pertimbangkan M grid elemen hingga, yang masing-masing sesuai dengan fungsi energi elastisnya sendiri akan terdeformasi;
      1 , 2 m m um T T T T T m m m m m m m m m V V S W U n D C Dn u dv f n u dV
p n u dS       (15)
Dimana 1.. ; m M  m V adalah volume body yang sesuai dengan kisi elemen hingga ke- m; um S adalah bagian dari permukaan luar kisi elemen hingga ke-m yang sesuai dari tubuh, yang tidak ada deformasi; m W adalah energi potensial deformasi elastis dari kisi elemen hingga  ke-m; m U adalah  matriks  perpindahan  nodal  dari  kisi  elemen  hingga  ke-m; m f adalah vektor beban volume kisi elemen hingga ke-m; m p adalah vektor beban permukaan kisi elemen hingga ke-m; m C adalah matriks elastis dari kisi elemen hingga ke-m. Biarkan M sesuai dengan jumlah komponen signifikan dalam matriks kekakuan C. Tulis matriks C m untuk aturan berikut;
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
1111 1122 1122 1 2 1133 1133 3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C                                             M 1212 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;...  C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C                                   (16)
Jelas  bahwa,  pertama,  matriks  seperti  itu,  dengan  mempertimbangkan  kepositifan komponennya, adalah positif didefinisikan dan, kedua, aturan dipenuhi untuk mereka;
1 . M m M C C    (17)
Selanjutnya  mari  kita  asumsikan  bahwa  semua  M  kisi  elemen  hingga  menempati volume yang sama yang dibatasi oleh satu dan permukaan yang sama, yang analog dengan konstruksi kisi-kisi semacam itu berdasarkan satu volume dalam paket perangkat lunak analisis elemen hingga. Ini akan menyebabkan penyederhanaan dalam sistem, yaitu;
; . m um u V V S S   (18)
Jika kita merumuskan persyaratan bahwa perpindahan simpul dari semua kisi elemen hingga  adalah  sama,  yang  analog  dengan  penggabungan  node  grid  dalam  kompleks perangkat lunak analisis elemen hingga, ditulis dalam sebagai berikut;
1 2 ... ... . m m U U U
U U       (19)
Selanjutnya  dengan  ringkas  semua  ekspresi  dalam  sistem,  dan  dengan mempertimbangkan persyaratan berdasarkan persamaan yang telah disebutkan diatas;
1 1 1 1 1 . 2 u M M M M T T T T T m m m m m m m m V V S W U n D C Dn UdV
f n UdV p n UdS                                           
       (20)
Mempertimbangkan aturan dan dengan asumsi bahwa;
1 1 ; , M M m m m m f f p p       (21)
kita sampai pada ekspresi;
     
1 1 , 2 M T T T T T m m V V Su W U n D CDn UdV f n UdV p n UdS    
    (22)
Dan dengan dilakukanya perbandingan, maka kita peroleh;
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
1 M m m W W    (23)
Kesetaraan  ini  berarti  bahwa  jumlah  energi  potensial  dari  semua  kisi  elemen  hingga dengan simpul yang menyatu dan sifat fisik yang dijelaskan oleh matriks C m setara dengan energi  satu  elemen  hingga  kisi-kisi  dengan  sifat  fisik  yang  dijelaskan  oleh  matriks  C. Dengan  demikian  akan  meminimalkan  energi  body  yang  tercermin  oleh  model  elemen hingga gabungan juga setara dengan meminimalkan energi tubuh, yang dipantulkan oleh kisi elemen hingga tunggal. Menurut hubungan persamaan geometris, deformasi setiap kisi elemen hingga adalah identik dan ditentukan oleh perpindahan sendi, yaitu , m    dan stres pada hubungan fisik didefinisikan sebagai berikut;
. m m C    (24)
Selanjutnya  dengan  menjumlahkan  semua  ekspresi  dalam  system,  maka  akan didapatkan;
1 1 . M M m m m m C              (25)
Selanjutnya  juga  dengan  melakukan  perbandingan  hubungan  persamaan,  maka  kita akan peroleh;
1 M m m m      (26)
Jadi, jumlah keadaan tegangan di semua kisi elemen hingga gabungan adalah ekuivalen keadaan  tegangan  dalam  kisi  elemen  hingga  tunggal,  dan  berdasarkan  permukaan  dan volume yang dihasilkan beban juga ditentukan oleh jumlah beban tersebut pada masing- masing grid elemen hingga
c. Perumusan metode grid yang ditumpangkan untuk masalah nonstasioner
Fungsionalitas energi total benda elastis dengan mempertimbangkan gaya inersia dan gaya disipasi internal akan ditulis dalam bentuk;
  1 1 , 2 2 u T T T T T T V V V V S W u D CD udV u MudV u BudV f udV p udS           (27)
Dimana M I   adalah matriks kepadatan; B bI  adalah matriks disipasi; I adalah matriks  tunggal;  adalah  kepadatan; b adalah  koefisien  disipasi; u adalah  vektor kecepatan; u adalah vektor percepatan. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk anggota yang sesuai dengan gaya inersia dan disipatif, adalah mungkin untuk membuat penilaian  yang  sama  seperti  untuk  komponen  struktur  yang  sesuai  dengan  gaya  elastis Petrović et al., (2018);Yamauchi et al., (2017). Kemudian matriks densitas dan disipasi yang dihasilkan untuk model elemen hingga gabungan akan ditulis sebagai jumlah dari matriks yang sama dari setiap model grid;
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
1 1 , . M M m m m m M M B B       (28)
Dalam kasus perilaku viskoelastik linier material, ketergantungan dengan analogi rasio, berdasarkan persamaan (1) akan ditulis sebagai;
  0 . t d C t d d         (29)
Selanjutnya dengan Membandingkan ekspresi, kita dapat menulis energi potensial dari benda viskoelastik sebagai berikut:
  0 1 . 2 u t T T T V S d W u D C t D ud dV p udS d          (30)
Ketergantungan  integral  dalam  hubungan  ini  mengarah  pada  kebutuhan  untuk solusi  numerik  persamaan  integral    dalam  bentuk  prosedur  iteratif.  Setiap  iterasi memecahkan  masalah  yang  sama  masalah  statis  normal,  tetapi  dengan  matriks  C  yang sesuai dengan titik waktu tertentu. Sehingga jelas bahwa komplikasi seperti itu tidak dapat mempengaruhi kemungkinan penjumlahan matriks relaksasi bahan dalam model elemen hingga  gabungan,  yaitu  tidak  akan  melanggar  aturan,  yang  dalam  hal  ini  akan  terlihat seperti ini;
1 ( ) ( ). M m m C t C t    (30)
Akibatnya, MOE secara teoritis akan masuk akal untuk memecahkan masalah teori viskoelastisitas.

## Diskusi hasil dan Penerapannya
Hasil yang diperoleh dalam paper ini menunjukkan validitas teoritis  dari metode grid yang ditumpangkan, yang juga memungkinkan untuk menerapkannya dengan solusi masalah stasioner linier dan non-stasioner mekanika benda padat anisotropik yang berubah bentuk.  Yang  paling  tepat  adalah  penggunaannya  untuk  memecahkan  masalah nonstasioner teori viskoelastisitas di mana tingkat anisotropi dari sifat-sifat turun-temurun bahan sama sekali tidak tergantung pada tingkat anisotropi sifat elastis, yang menyebabkan kompleksitas  pemecahan  masalah  dan  mengarah  pada  penggunaan  asumsi  yang  tidak selalu sehat secara fisik (Papa et al., 2020).
Selain itu, dimungkinkan untuk mengembangkan teknologi ini untuk mengurangi perkiraan waktu dalam memecahkan masalah mekanika benda anisotropik, bahkan dengan algoritma universal yang sudah ada. MOE yang diusulkan dapat diimplementasikan baik pada tahap antarmuka pengguna dan diintegrasikan ke dalam algoritma elemen hingga, yang akan menyederhanakan penggunaannya dalam praktik rekayasa. Ini ditegaskan oleh pembenaran yang diberikan dalam pekerjaan. Perlu dicatat, bagaimanapun, bahwa skema di  atas  berlaku  untuk  masalah  linier  mekanika  padat,  yang  berubah  bentuk.  Untuk
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
menerapkan  metode  grid  yang  ditumpangkan  untuk  menyelesaikan  masalah  nonlinier, maka diperlukan: modifikasi dan pembuktian tambahan.

## KESIMPULAN
Metode  grid  yang  ditumpangkan,  yang  awalnya  dibangun  untuk  kompleksitas perangkat  lunak  analisis  elemen  hingga  untuk  memperluas  kemampuannya  dalam pemodelan viskoelastisitas anisotropik bahan, tidak hanya secara praktis tetapi juga secara teoritis.  Ini  memungkinkan  kita  untuk  membicarakannya  sebagai  modernisasi  metode elemen  hingga,  yang  dalam  beberapa  kasus  sangat  menyederhanakan  algoritma  untuk memecahkan masalah elemen hingga, terutama dalam kasus di  mana mengatur matriks relaksasi  dari  bahan  viskoelastik  atau  merayap  sehingga  masing-masing  komponennya, diungkapkan oleh fungsi turun-temurun, umumnya independen dari orang lain. Dengan demikian,  kebaruan  ilmiah  yang  terbukti  dan  nilai  praktis  dari  metode  ini,  yang  dapat diperluas  ketika  diterapkan  pada  pemodelan  sifat  fisik  dan  mekanik  material  lainnya selama: perhitungan elemen hingga.

## Daftar Pustaka
Ai, Z. Y., Zhao, Y. Z., & Liu, W. J. (2020). Fractional derivative modeling for axisymmetric consolidation of multilayered cross-anisotropic viscoelastic porous media. Computers &
Mathematics with Applications , 79 (5), 1321–1334. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.08.033
Al-Shetwi, A. Q., Hannan, M. A., Jern, K. P., Mansur, M., & Mahlia, T. M. I. (2020). Grid- connected  renewable  energy  sources:  Review  of  the  recent  integration  requirements and control methods. Journal of Cleaner Production , 253 , 119831. https://doi.org/10.1016/j.jclepro.2019.119831
Amiri-Rad,  A.,  Pastukhov,  L.  V.,  Govaert,  L.  E.,  &  van  Dommelen,  J.  A.  W.  (2019).  An anisotropic  viscoelastic-viscoplastic  model  for  short-fiber  composites. Mechanics  of Materials , 137 , 103141. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019.103141
Fahmy,  M.  A.  (2019).  Modeling  and  Optimization  of  Anisotropic  Viscoelastic  Porous Structures  Using  CQBEM  and  Moving  Asymptotes  Algorithm. Arabian  Journal  for Science and Engineering , 44 (2), 1671–1684. https://doi.org/10.1007/s13369-018-3652-x Gonano,  C.  A.,  Zich,  R.  E.,  &  Mussetta,  M.  (2015).  Definition  for  polarization  P  and magnetization M fully consistent with Maxwell’s equations. Progress In Electromagnetics Research B , 64 , 83–101.
Irviantina, S., Sirait, P., Chandra, R., & Tono, L. (2017). Kajian Algoritma Upgraded Artificial Bee Colony dalam Pencarian Solusi Square Jigsaw Puzzle. Jurnal SIFO Mikroskil , 18 (1),
11–20.
Lee,  J.  C.-W.,  Weigandt,  K.  M.,  Kelley,  E.  G.,  &  Rogers,  S.  A.  (2019).  Structure-Property
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
Relationships via Recovery Rheology in Viscoelastic Materials. Physical Review Letters , 122 (24), 248003. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.122.248003
Matveev,  A.  D.  (2016).  Multigrid  finite  element  method  in  stress  analysis  of  three- dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering , 158 (1), 012067. https://doi.org/10.1088/1757- 899X/158/1/012067
Mizukami,  K.,  Ikeda,  T.,  &  Ogi,  K.  (2019).  Measurement  of  velocity  and  attenuation  of ultrasonic  guided  wave  for  real-time  estimation  of  cure-dependent  anisotropic viscoelastic  properties  of  carbon  fiber-reinforced  plastics. Ultrasonics , 99 ,  105952. https://doi.org/10.1016/j.ultras.2019.105952
Nguyen, V. T., & Hwu, C. (2020a). Boundary element method for contact between multiple rigid  punches  and  anisotropic  viscoelastic  foundation. Engineering  Analysis  with Boundary Elements , 118 , 295–305. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2020.07.001 Nguyen,  V.  T.,  &  Hwu,  C.  (2020b).  Time-stepping  method  for  frictional  contact  of anisotropic viscoelastic solids. International Journal of Mechanical Sciences , 184 , 105836. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2020.105836
Nurfajri, N., Arwizet, K., Jasman, J., & Arafat, A. (2019). Analisis Kekuatan Tarik Komposit Serabut Kelapa dan Ijuk dengan Perlakuan Alkali (NaOH). Ranah Research: Journal of Multidisciplinary Research and Development , 1 (4), 791–797.
Papa, I., Russo, P., Astarita, A., Viscusi, A., Perna, A. S., Carrino, L., & Lopresto, V. (2020). Impact  behaviour  of  a  novel  composite  structure  made  of  a  polymer  reinforced composite with a 3D printed metallic coating. Composite Structures , 245 , 112346.
Petrović,  N.,  Pjevalica,  N.,  &  Janda,  Ž.  (2018).  Optimal  choice  of  the  number  of  even harmonics demodulated from the excitation current of a sensor for precise dc voltage component detection in low voltage distributive grid as a strategy for suppression of the systematic error due to the grid voltage fluctuation. Zbornik Radova, Elektrotehnički Institut" Nikola Tesla" , 28 (28), 25–40.
Putra,  A.  D.,  Rohman,  M.,  &  Wahab,  A.  (2020).  Analisis  Desain  Excavator  Bucket Menggunakan Metode Elemen Hingga dengan Material Baja. Vol , 16 , 4–7.
Sari, N. H. (2019). Teknologi Papan Komposit Diperkuat Serat Kulit Jagung . Deepublish.
Wibawa, L. A. N. (2018). Desain dan Analisis Kekuatan Rangka Tempat Sampah di Balai LAPAN Garut Menggunakan Metode Elemen Hingga. TURBULEN Jurnal Teknik Mesin ,
1 (2). http://dx.doi.org/10.36767%2Fturbulen.v1i2.352
Widiastuti, A. P. (2018). Analisis Perbandingan Desain Struktur Perkerasan Lentur Menggunakan Metode Empiris Dan Metode Mekanistik Empiris Pada Ruas Jalan Legundi-Kanigoro-Planjan (Comparison  Analysis  Of  Pavement  Structure  Design  Using  Empirical  And  Empirical- Mechanistic Method) .
Yamauchi,  Y.,  Uehara,  T.,  Kijima,  S.,  &  Yamashita,  M.  (2017).  Plane  Formation  by Synchronous Mobile Robots in the Three-Dimensional Euclidean Space. Journal of the ACM , 64 (3), 1–43. https://doi.org/10.1145/3060272
Zhu, F., Pan, E., Qian, Z., & Luo, Z. (2020). Waves in a generally anisotropic viscoelastic
Basis teoritis dari metode grid yang  ditumpangkan - Sudirman T.P. Lumbangaol 1  , Yoel Octobe Purba 2 , Juliaster Marbun 3 , Ruben Cornelius Siagian 4 , Kevin William Andri Siahaan 5 doi: 10.53565/pssa.v8i1.485
composite laminated bilayer: Impact of the imperfect interface from perfect to complete delamination. International  Journal  of  Solids  and  Structures , 202 ,  262–277. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2020.05.031