## PEMODELAN MATEMATIKA DAN SIMULASI NUMERIK LEMPAR LEMBING
Rani Rotul Muhima 1) , Maftahatul Hakimah 2)
1,2 Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Informasi, Institut Teknologi Adhitama Surabaya Email: 1 rrmuhima85@gmail.com, 2 hakimah_mafta@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Lempar  lembing  merupakan  salah  satu  cabang  olahraga  atletik.  Hasil  lemparan  dalam  lempar lembing  tergantung  beberapa  faktor,  antara  lain  kekuatan,  kecepatan,  persiapan  fisik  dan psikologis  pelempar.  Teknik  melakukan  lemparan,kondisi  cuaca  saat  melakukan  lemparan,  jenis lembing yang digunakan, kondisi lapangan juga berpengaruh pada hasil lemparan . Pengembangan model  matematikagerak  lembing  setelah  dilempar  pada  makalah  ini  bertujuan  untuk mengoptimalkan hasil lemparan pelempar lembing. Pengoptimalan hasil lemparan dititikberatkan pada  pemilihan  kecepatan  awal  lemparan  dan  sudut  arah  lemparan.  Model  matematika dikembangkan  dalam  bentukdua  dimensi.  Tiga  paremeter  yang  dikaji  dalam  model  matematika gerak  lembing,  yaitu:  geometri,  massa  dan  gaya  aerodinamika.  Persamaan Nonlinear  Three Degrees  of  Freedom  (3  DOF) digunakan  untuk  model  matematika  gerak  lembing.  Karakteristik aerodinamika  lembing  dianalisa  menggunakan  metode  analitik,  empiris  dan  hasil-hasil eksperimen.  Karakteristik  tersebutdihitung  dengan  memasukkan  geometri  umum  lembing. Geometri lembing  yang digunakan pada makalah ini adalah geometri lembing wanita.Simulasi numerik  dari  model  matematika  dilakukan    dengan  variasi  kecepatan  awal  lemparan  dan  arah lemparan.  Hasil  simulasi  numerik  gerak  lempar  lembing  disajikan  dalam  bentuk  grafik  dan diperoleh  tinggi maksimum H sebesar  28,62  m dan  jangkauan maksimum x sebesar157,476 m pada kecepatan awal V 0 =40 m/s dan sudut lemparan θ 0 = 35 deg.
Kata Kunci : gerak lembing, model matematika, aerodinamika, simulasi numerik, 2D.

## ABSTRACT
Javelin  throw  is  one  of  the  sport  of  athletics.  Results  in  the  javelinthrow  depends  on  several factors,  such  as  strength,  speed,  physical  preparation,  and  psychological  thrower.  Technical thrower, the weather conditions when making the throw, javelin used species, field conditions also affect the results of the throw. Development of mathematical models of motion javelin after being thrown  on  the  paper  aims  to  optimize  the  results  throw  javelin  thrower. . Optimization  of  the results  focused  on  the  selection  of  the  initial  speed  of  the  throw  and  angle  of  direction  of  the throw. The mathematical model of javelin motion developed in 2D. Three parameter were studied in  the  mathematical  model  of  javelin  throw:  geometry,  mass,  and  aerodynamic  forces. NonlinearThree Degrees of Freedom(3DOF) equations of motion  used in the mathematical model of  javelin motion. Javelin aerodynamic characteristics were analyzed using the analytical method, emperical  and  results  of  the  experimental.  The  characteristic  was  calculated  by  including  the general geometry of the javelin. Geometri of javelin that used in this paper was the geometry of female javelin. The model was simulated for different initial velocities and throwing angles. The simulation  results  are  presented  in  graphical  form  and  maximum  height  H  =  28,62  m  and maximum  rangevalue  R  =  157,476    m  was  obtained  at  the  initial  velocity  V 0 =  40  m/s  and  the pitch angle θ 0 = 35 deg.
Keywords: javelin throw, mathematical model, aerodynamics, numerical simulation, 2D.

## PENDAHULUAN
Lempar lembing merupakan salah  satu  dari  nomor  lempar  yang terdapat pada cabang olahraga atletik [1]. Alat yang  digunakan  dalam  olah raga ini berbentuk  panjang  dan  bulat  dengan berat  tertentu  yang  terbuat  dari  kayu, bambu atau metal dan disebut lembing.
Hasil  lemparan  dalam  lempar lembing  tergantung  beberapa  faktor, antara lain kekuatan, kecepatan, persiapan  fisik,  dan  psikologis  pelempar. Teknik  melakukan  lemparan,  kondisi cuaca  saat  melakukan  lemparan,  jenis lembing yang digunakan, kondisi
lapangan juga mempengaruhi hasil lemparan[2]. Penelitian tentang lempar
lembing  yang  mengkaji  pengembangan teknologi lempar telah banyak dilakukan. Penelitian  [1]  menganalisis  gerak  lempar lembing yang benar dengan sudut elevasi yang  tepat  dari  segi  biomekanika  dan kinesiologi.  Penelitian  [3]  memberikan model gerak lembing untuk mengoptimalkan hasil lemparan. Penelitian  [4]  mengkaji  karakteristik aerodinamika  tiga  jenis  lembing  dan menentukan  sudut  lempar  yang  optimal pada  masing  masing  jenis  lembing.
Penelitian [2] memodelkan gerak lembing setelah dilempar bersama vibrasi elastis  transfersalnya  secara  matematik dengan  mempertimbangkan  geometri, massa dan gaya aerodinamika.
Penelitian  ini  menyajikan  model matematika gerak lembing setelah dilempar menggunakan
persamaan Nonlinear  Three  Degrees  of  Freedom  (3 DOF) .  Model  gerak  lembing  yang disajikan  mengkaji  geometri,  massa  dan gaya aerodinamika.
Gaya  aerodinamika  yang  bekerja pada  lembing  memainkan  peran  utama dalam  mempengaruhi  cara  lembing bergerak di udara[4]. Beberapa penelitian  tentang  perhitungan  dan analisa  karakteristik    aerodinamika sebelumnya telah banyak dilakukan. Penelitian [4] melakukan penelitian terkait karakteristik aerodinamika lembing secara eksperimental. Penelitian secara eksperimental selain memerlukan waktu yang lama juga biaya yang cukup tinggi. Penelitian[5] mengkaji perhitungan  dan  analisa  karakteristik aerodinamika  pada  pelat  datar  dan daerah endwall dengan  menggunakan CFD. Software CFD memiliki ketelitian yang  cukup  tinggi  dalam  perhitungan dan  analisa  karakteristik  aerodinamika. Kelemahan  CFD  adalah  waktu  yang diperlukan  dalam  proses  perhitungan karakteristik  aerodinamika  juga  cukup lama, meskipun dibandingkan penelitian  secara  eksperimental  relatif singkat.  Pada  penelitian  [6], Software Digital Datcom digunakan untuk menghitung dan menganalisa karakteristik  aerodinamika  roket  RX
250 LAPAN. Ketelitian Digital Datcom lebih  rendah  daripada  CFD  tetapi proses  perhitungan  dapat  dilakukan dengan  cepat  dan  mudah  dengan  hasil yang  cukup  akurat.  Digital  Datcom secara  khusus  dibuat  untuk  USAF (United  States  Air  Force)  menggunakan metode  analitik,  empiris  dan  hasil-hasil eksperimen[6]. Karakteristik aero- dinamika  lembing  pada  penelitian  ini dihitung  menggunakan  perangkat  lunak Digital  Datcom  dengan  memasukkan geometri umum lembing.
Simulasi  numerik  persamaan gerak  lembing  yang  telah  diformula- sikan  dilakukan  dengan  variasi  sudut awal,  kecepatan  awal  lemparan.  Dari hasil  simulasi  diperoleh  sudut awal  dan kecepatan awal lemparan yang optimal.

## METODE
Sistem Koordinat Lembing Terhadap  Kerangka  Acuan  dan Hubungan Kinematika
Mengikuti  [2],  sistem  koordinat lembing  terhadap  kerangka  acuan  bumi digambarkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Sistem Koordinat Lembing terhadap Kerangka Acuan Bumi [2]
OXZ : kerangka acuan bumi
CX g Z g :  kerangka  acuan  yang  berpusat di  titik  pusat  massa  lembing, paralel  dengan  kerangka  acuan bumi CX l Z l : sistem koordinat lembing V 0 : kecepatan awal lemparan U,W :  unsur  unsur  kecepatan  pada sistem koordinat lembing
: sudut antara CX g dan CX l
: sudut serang
q : kecepatan angular lembing m : massa lembing Dari Gambar 1, hubungan kinematika antara sistem koordinat lembing dengan kerangka acuan:
- Kecepatan linier lembing
2 2 2 0 W U V   (1) ) cos( 0      V x V x  (2)         sin 0 V z V z  (3)
- Sudut serang       
U W arctan  (4)
q     (5)

## Persamaan  Gerak  Lembing  di Udara Setelah Dilempar
Gerak  lembing  setelah  dilempar lebih  mendekati  gerak  dua  dimensi. Sehingga,  pada  penelitian  ini  digunakan persamaan Nonlinear  Three  Degree  of Freedom (3  DOF).  Persamaan  3DOF terdiri atas dua persamaan gerak translasi dan  satu  persamaan  gerak  rotasi  [6]. Masing-masing  persamaan  merupakan persamaan diferensial orde satu. Berdasarkan  hukum  Newton  II, gaya  total  dan  momen  gaya  total  yang bekerja pada lembing dalam Persamaan 6 adalah:               l l l V dt dV m dt mV d F    l l l l I I I M             (6)
Persamaan 6 diuraikan menjadi:
          Vr Wq dt dU m F x           Wp Ur dt dV m F y
          Uq Vp dt dW m F z (7)
  yy zz xx xx I I qr dt dI p dt dp I L       zz xx yy yy I I pr dt dI q dt dq I
M    
  xx yy zz zz I I pq dt dI r dt dr I
N     (8)
Gaya  yang  bekerja  pada  lembing adalah gaya gravitasi bumi ( F g ) dan gaya aerodinamika  ( F a ).  Persamaan  gerak lembing untuk kasus dua dimensi dengan trayektori  pada  bidang  XZ  diperoleh dengan memasukkan harga V = p = r = 0 pada Persamaan 7, sehingga diperoleh:
         Wq dt dU m F F ax gx          Uq dt dW m F F az gz (9)
Persamaan  9  merupakan  persamaan gerak  translasi.  Persamaan  8  pada  kasus dua dimensi menjadi;
dt dq I M yy  (10)
Persamaan  10  merupakan  persamaan gerak  rotasi  yang  diperoleh  dengan memasukkan  harga V = p = r =  0  dan nilai I xx = I yy = I zz = konstan. Persamaan 9 dan 10 merupakan persamaan 3 DOF.
Mengikuti persamaan gaya gravitasi  bumi,  gaya  aerodinamika,  dan momen  gaya aerodinamika, Persamaan 9 dan 10 menjadi:
         Wq dt dU m C ldV mg x 2 2 1 sin  
         Uq dt dW m C ldV mg z 2 2 1 cos   dt dq I cC SV yy m  2 2 1  (11)
dengan, m : massa lembing = 600 g g : percepatan gravitasi
= 2 0 1           bumi R H g
 : kerapatan udara
l : panjang lembing
S : luas  acuan (penampang lembing) c : panjang acuan (diameter lembing) V : kecepatan
z x C C , : koefisien aerodinamika
m C : koefisien momen aerodinamika
yy I : momen inersia
Dari Persamaan 5, 9 dan 10, maka:
0 U dt Wq m F F
U ax gx
             0 W dt Uq m F F
W az gz
            
0 2      t d I M yy (12)
Persamaan 2 dan 3 menjadi:
    0 0 ) cos( x dt V x       
0 0 ) sin( z dt V z   (13)
Persamaan  12  dan  13  merupakan  solusi numerik  persamaan  3DOF  dari  gerak lembing.

## Perhitungan  Parameter  Aerodina- mika Lembing
Perhitungan  parameter  aerodina- mika lembing  pada  penelitian ini menggunakan  perangkat  lunak  Datcom. Dengan  memasukkan  geometri  lembing pada  perangkat  lunak  Datcom,  diperoleh parameter  aerodinamika  lembing  yang digunakan dalam persamaan 3DOF.

## Gambar 2. Skema Geometri Lembing [4]
Skema geometri lembing pada Gambar 2 dijelaskan  secara  rinci  pada  Tabel  1. Geometri  lembing  yang  digunakan  pada penelitian  ini  adalah  geometri  lembing untuk wanita.

## Tabel 1. Geometri lembing untuk wanita[2]
Geometri lembing (cm) Panjang total lembing ( l ) 220 Panjang mata lembing ( l 1 ) 33 Diameter d 1 1,8 Panjang ujung -pusat massa lembing ( l 3 ) Panjang ujung - pegangan lembing ( l 2 ) 92 85 Panjang pegangan ( l 4 ) Diameter pada pegangan d 3
Diameter d 2 14 2,3 2,2
Geometri  lembing  untuk  data input pada  perangkat  lunak  Datcom ditunjukkan    Tabel  2.  Model  lembing hasil data input pada Datcom ditunjukkan Gambar 3.
Tabel  2.  Data input geometri  lembing  pada Datcom X (cm) Zupper (cm) Zlower (cm) 0 0 0 5 0,4763 -0,4763 10 0,64539 -0,64539 15 0,75433 -0,75433 20 0,82722 -0,82722 25 0,87315 -0,87315 30 0,89627 -0,89627 33 0,9 -0,9 55 1 -1 75 1,1 -1,1 85 1,1 -1,1 85 1,15 -1,15 99 1,15 -1,15 99 1,1 -1,1 165 1,1 -1,1 170 1 -1 180 0,8 -0,8 200 0,4 -0,4 220 0,1 -0,1 220 0 0
Gambar 3. Model lembing dari ac3dview
Datcom

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Gambar  4,5,  dan  6  merupakan grafik  koefisien  aerodinamika  lembing terhadap  sudut  serang  untuk  berbagai bilangan  Mach.  Koefisien  aerodinamika C D ,  C L ,  C m diperoleh  dari  perhitungan Datcom. Nilai C L pada Gambar 5 dan C m pada  gambar  6  tidak  berubah  untuk kenaikan bilangan Mach, hal ini disebabkan  rentang  bilangan  Mach  yang tidak signifikan. Lembing dalam keadaan stabil  statik  pada  keadaan  sudut  serang dengan  nilai  C m negatif.  Pada  gambar  6, keadaan  stabil  statik  pada  rentang - 8 o < α < 0 o .
Gambar 7 mempresentasikan hasil  simulasi  pada θ =35  deg  dengan variasi  kecepatan  awal  lemparan.  Untuk V 0 =20  m/s  diperoleh  tinggi  maksimum ( H ) = 8,505 m,  jangkauan maksimum ( x ) =  41,579  m  dengan t =  2,575  s.  Untuk V 0 =25 m/s, H = 12,433 m, x = 61,962 m, t =  3,092  s.  Untuk V 0 =30  m/s  diperoleh H =  16,891  m, x =  89,635  m, t =3,759  s. Untuk V 0 =35  m/s,  diperoleh H =  22,342 m, x =119,451  m, t =  4,337  s.  Untuk V 0 = 40  m/s, H = 28,62  m, x =157,476 m, t = 5,019 s. Gambar 8 mempresentasikan hasil  simulasi  pada V 0 =  25  m/s  dengan variasi  sudut  awal  lemparan.  Untuk θ 0 =20 deg diperoleh H = 5,459 m, x = 45,661 m dengan t = 1,97 s. Untuk θ 0 =25 deg, H =  7,463  m, x =  52,7  m, t = 2,373  s.Untuk θ 0 =30  deg, H =  9,73  m, x =  58,418  m, t =  2,581s.  Untuk θ 0 =35 deg, H =  12,243  m, x =  62,554  m, t = 3,192 s. Untuk θ 0 = 40 deg diperoleh H = 14,928 m, x = 64,944 m pada t = 3,405 s.
Gambar 4. Grafik koefisien aerodinamika(C D )  lembing terhadap sudut serang untuk berbagai bilangan Mach
Gambar 5. Grafik koefisien aerodinamika(C L )  lembing terhadap sudut serang untuk berbagai bilangan Mach
Gambar 6. Grafik koefisien aerodinamika(C m )  lembing terhadap sudut serang untuk berbagai bilangan Mach
0 20 40 60 80 100 120 140 160 -5 0 5 10 15 20 25 30 Jangk auan (m) T in g g i (m ) Vo=20 m/s Vo=25 m/s Vo=30 m/s Vo=35 m/s Vo=40 m/s
Gambar 7. Hasil simulasi gerak lempar lembing pada θ 0 =35 deg dengan variasi kecepata  awal lemparan
0 10 20 30 40 50 60 70 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Jangkauan (m) T in g g i (m ) 20 deg 25 deg 30 deg 35 deg 40 deg
Gambar 8. Hasil simulasi gerak lempar lembing pada V 0 =25 m/s dengan variasi sudut lemparan ( θ )

## SIMPULAN
Hasil  simulasi  numerik  gerak lempar  lembing  menunjukkan  tinggi maksimum H sebesar    28,62    m  dan jangkauan maksimum x sebesar 157, 476 mdiperolehpada  kecepatan  awal V 0 =40 m/s dan sudut θ 0 = 35 deg.
Praktek  di  lapangan,  kecepatan awal  lemparan  yang  digunakan  para pelempar  lembing  tidak  lebih  dari  (30- 35)  m/s.  Model  gerak  yang  disajikan dapat  membantu  pelempar  mengop- timalkan  jarak  maksimum  lemparan khususnya  dalam  pemilihan  sudut  awal lemparan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  A.S.B.  Suwadj,  “Analisis  Gerak Lempar Lembing”, E-Journal Kesehatan dan Olahraga Universitas Negeri Surabaya , vol. 2, no. 1, pp. 93-105, 2014. [2]  J.  Maryniak,  and  L.  Kozdras,
“Mathematical Modeling and Numerical  Simulation  of  javelin Throw ” , Human  Movement ,  vol.  10 no.1, pp. 16-20, 2009.
[3] L.  Hatton,  “Optimising  The Javelin  Throw  in  The  Presence of  Prevailing  Winds”, Faculty of Computing, Information
Systems and
Mathematics,
University  of  Kingston ,  2007, Website: http://www. leshatton.org /javelin_2005.html diakses 27 Januari 2011.
[4]   H. Chowdhury, F. Alam, A.
Muscara,  and  I.  Mustary,  “An
Experimental  Study  of  New  Rule
Javelins”, 6 th Asia-Pacific  Congress on  Sports  Technology, pp.  485-490, 2013.
[5] G.  Nugroho,  and  F.  Imaduddin,
“PenentuanKarakteristik  Aero- dinamika  Aliran  Melalui  Airfoil
Joukowski/  Pelat  Datar  pada Daerah Endwall”, Jurnal
Teknologi  dan  kejuruan, vol.31, no.1, pp. 39-49, 2008.
[6]  S.S.  Wibowo,“Perhitungan  Karak- teristik  Aerodinamika  dan  Analisis Dinamika dan Kestabilan Gerak Dua Dimensi  Pada  Modus  Longitudinal
Roket  RX  250  LAPAN”, Tugas Akhir Departemen Teknik Penerbangan, ITB, Bandung , 2002.