## Penerapan Metode Runge-Kutta Orde 4 dalam Analisis Rangkaian RLC

## Rika Favoria Gusa
JurusanTeknik Elektro,Fakultas Teknik,Universitas Bangka Belitung rika_favoria@yahoo.com

## ABSTRACT
The  existence  of  inductor  and  capacitor  in  RLC  circuit  without  source,  at  least,  creates  system  that  has characteristic of second order differential equation. Differential equation can be solved using 4th order Runge- Kutta  method.  RLC  circuits  without  source  that  have  same  configuration  yet  different  elements  value  will  give different  responses.  It  makes  RLC  circuit  analysis  become  difficult.  The  solving  steps  of  the  equation  of  RLC circuit  without  source  that  is  a  second  order  differential  equation  begun  with  making  2  first  order  differential equations based on the RLC circuit equation. The next step is typing solving steps using 4th order Runge-Kutta method based on 2 first order differential equationsin Matlab to get the natural response  graphic of series RLC circuit and parallel RLC circuit in a short time. By solving the equation of series RLC circuit without source and parallel RLC circuit without  source, known that the using of the 4th order Runge-Kutta method in RLC circuit analysis give results (natural response) with high accuracy compared with the exact values of natural response. For the parallel RLC circuit discussed, the highest error is 0,0023 (0,23%). For the series RLC circuit discussed, there is no error.
Keywords : RLC seri circuit, RLC paralel circuit, Runge-Kutta orde 4

## INTISARI
Terdapatnya induktor dan kapasitor dalam rangkaian RLC tanpa sumber setidak-tidaknya menghasilkan sistem yang bercirikan  sebuah  persamaan  diferensial  orde  kedua.Penyelesaian  persamaan  diferensial  dapat  dilakukan  dengan menggunakan  metode Runge-Kutta orde 4.  Rangkaian-rangkaian  RLC  tanpa  sumber  yang  mempunyai  konfigurasi sama  tetapi  memiliki  harga  elemen  yang  berbeda  akan  menghasilkan  tanggapan  yang  berbeda.  Hal  ini  membuat analisis  rangkaian  RLC  menjadi  sukar.  Langkah-langkah  penyelesaian  persamaan  rangkaian  RLC  tanpa  sumber yang  merupakan  persamaan  diferensial  orde  kedua  diawali  dengan  membuat  dua  persamaan  diferensial  orde pertama berdasarkan persamaan rangkaian RLC tersebut. Selanjutnya, dilakukan penyelesaian menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 dengan bantuan program Matlab sehingga dapat diketahui jenis dan grafik tanggapan alami dari rangkaian  RLC  seri  maupun  rangkaian  RLC  paralel  tersebutdalam  waktu  yang  singkat.  Dengan  melakukan penyelesaian  terhadap  beberapa  persamaan  rangkaian  RLC  seri  maupun  rangkaian  RLC  paralel  tanpa  sumber, diperoleh  bahwa  penerapan  metode  Runge-Kutta  orde  4  dapat  memberikan  hasil  (nilai  tanggapan  alami)  dengan tingkat ketelitian yang tinggi jika dibandingkan dengan nilai penyelesaian eksaknya. Untuk rangkaian RLC paralel tanpa sumber yang dibahas, selisih ( error ) terbesar bernilai 0,0023 (0,23%).Untuk rangkaian RLC seri tanpa sumber yang dibahas, tidak terdapat selisih ( error ) terhadap nilai eksaknya.
Kata kunci: Rangkaian RLC seri, Rangkaian RLC paralel, Runge-Kutta orde 4

## I. PENDAHULUAN
Banyak  permasalahan  di  dunia  nyata harus  dimodelkan  untuk  dapat  dianalisis  dan ditentukan  solusinya.  Model  yang  dibuat menjadikan analisis masalah lebih mudah serta dapat menghemat waktu, biaya dan mengurangi  resiko.  Selain  model  fisik, terdapat model matematis yang dapat diselesaikan  baik  dengan  analisis  maupun simulasi  [1].  Model  matematis  umumnya
mengandung  persamaan  diferensial  yang derajat  kesulitannya  meningkat  sebanding dengan kompleksitas masalah yang dimodelkan. Kesulitan menyelesaikan persamaan diferensial  dapat  diatasi  dengan  menggunakan metode numerik, salah satunya  adalah metode Runge-Kutta.
Metode Runge-Kutta memberikan  hasil  ketelitian  yang  tinggi  dan tidak  memerlukan  turunan  fungsi.  Persamaan pendulum misalnya, yang merupakan
persamaan  diferensial  nonlinier  orde  dua, dapat  diselesaikan  menggunakan  metode Runge-Kutta  orde  4  dengan  ketelitian  yang tinggi [2].
Persamaan lain yang merupakan persamaan diferensial orde dua ialah persamaan  rangkaian  RLC.  Rangkaian  RLC banyak  digunakan  antara  lain  sebagai  model yang  sesuai  untuk  bagian-bagian  jaringan komunikasi  dan  desain  filter.  Rangkaian- rangkaian  RLC  yang  mempunyai  konfigurasi sama  tetapi  memiliki  harga  elemen  yang berbeda  akan  menghasilkan  tanggapan  yang berbeda.  Hal  ini  membuat  analisis  rangkaian RLC menjadi sukar.
Untuk  mempermudah  analisis,  dapat digunakan  perhitungan  berbasis  komputer menggunakan metode Runge Kutta orde 4 [3]. Dengan  cara  ini,  juga  dapat  diperoleh  grafik waktu terhadap tanggapan alaminya. Dari data dan  grafik  tanggapan  alami,  dapat  diketahui hubungan  R  dan  α  yang  menentukan  jenis redaman rangkaian karena jenis redaman akan berubah sesuai dengan perbandingan α dan ω 0 . Dalam  penelitian  yang  dilakukan  ini,juga diterapkan  metode  Runge-Kutta  orde  4  dalam analisis  rangkaian  RLC.  Tujuannya  adalah untuk  mengetahui  tanggapan  alami  dari rangkaian  RLC  seri  maupunrangkaian  RLC paralel dengan nilai komponen yang bervariasi.  Dengan  bantuan  program  Matlab, dapat  diketahui  jenis  tanggapan  dan  grafik tanggapannya  dalam  waktu  yang  singkat sehingga analisis menjadi lebih mudah.

## II. LANDASAN TEORI

## A. Metode Runge-Kutta Orde 4
Penyelesaian persamaan diferensial
adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan  diferensial  dan  juga  memenuhi kondisi  awal  yang  diberikan  pada  persamaan tersebut.  Di  dalam  penyelesaian  persamaan diferensial  secara  analitis,  biasanya  dicari penyelesaian umum yang mengandung konstanta sembarang dan kemudian mengevaluasi  konstanta  tersebut  sedemikian sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal.
Metode penyelesaian persamaan diferensial  secara  analitis  terbatas  pada persamaan-persamaan  dengan  bentuk  tertentu dan  biasanya  hanya  untuk  menyelesaikan persamaan  linier  dengan  koefisien  konstan sedangkan metode penyelesaian numerik tidak ada  batasan  mengenai  bentuk  persamaan diferensial. Penyelesaian persamaan diferensial  dengan  metode  numerik  dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan.  Untuk  mendapatkan  hasil  yang lebih  teliti  maka  jarak  (interval)  antara  titik- titik  yang  berurutan  tersebut  dibuat  semakin kecil.
Salah satu metode penyelesaian persamaan  diferensial  secara  numerik  ialah Metode  Runge-Kutta.  Metode  Runge-Kutta memberikan  hasil  ketelitian  yang  tinggi  dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:
x ) x , y , x ( y y 1 Δ Δ Φ i i i i    (1)
dengan  ( x i , y i ,  x ) adalah fungsi pertambahan  yang  merupakan  kemiringan rerata pada interval.
Metode  Runge-Kutta  orde  4  banyak digunakan  karena  mempunyai  ketelitian  lebih tinggi  dibandingkan  dengan  metode  Runge- Kutta  orde  yang  lebih  rendah.  Metode  ini mempunyai bentuk:
x ) k k 2 k 2 k ( 6 1 y y 4 3 2 1 1 Δ i i       (2)
dengan:
) y , x ( f k 1 i i  ) x k 2 1 y , x 2 1 x ( f k 1 2 Δ Δ i i    ) x k 2 1 y , x 2 1 x ( f k 2 3 Δ Δ i i    ) x k y , x x ( f k 3 4 Δ Δ i i   

## B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Secara Numerik
Asumsikan  persamaan  diferensial  orde dua sebagai
′′ = ( , , ′ ) (3)
dengan kondisi awal ( ) = dan ′ ( ) = .
Untuk  menyelesaikannya,  diperkenalkan variabel baru = ′ ( ) sehingga ′ = ′′ , maka persamaan  diferensial  orde  dua  dapat  ditulis sebagai  pasangan  persamaan  diferensial  orde satu, yaitu:
′ = (4) ′ = ( , , ′ ) (5)
dengan  batasan  kondisi  awal ( ) = dan ( ) = .

## C. Rangkaian RLC
Tanggapan alami suatu rangkaian ditentukan  seluruhnya  oleh  jenis  elemen  pasif di  dalam  rangkaian,  oleh  cara-cara  bagaimana elemen rangkaian saling dihubungkan dan oleh syarat  awal  yang  dihasilkan  oleh  energi  yang disimpan  [4].  Terdapat  tiga  jenis  tanggapan alami rangkaian RLC yaitu:
1. Terlalu redam, terjadi jika frekuensi neper α lebih besar dari frekuensi resonan ω 0 .
2. Redaman  kritis,  terjadi  jika  frekuensi neper  α  sama  dengan  frekuensi  resonan ω 0 .
3. Kurang redam, terjadi jika frekuensi neper α lebih kecil dari frekuensi resonan ω 0 .
Jenis  tanggapan  alami  rangkaian  RLC tergantung  dari  nilai  elemen  resistor,  induktor dan kapasitor di dalamnya.

## D. Rangkaian Paralel Tanpa Sumber
Persamaan  rangkaian  RLC  paralel  tanpa sumber dapat dituliskan sebagai berikut :
′′ + ′ + = 0 (6)
dengan
: tegangan yang melintasi rangkaian
R : nilai resistor dalam rangkaian L : nilai induktor dalam rangkaian C : nilai kapasitor dalam rangkaian

## E. Rangkaian Seri Tanpa Sumber
Persamaan  rangkaian  RLC  seri  tanpa sumber dapat dituliskan sebagai berikut :
′′ + ′ + = 0 (7)
dengan    adalah  arus  yang  mengalir  dalam rangkaian.

## III. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  diawali  dengan  studi literatur mengenai metode Runge-Kutta orde 4 untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial orde  dua,    dilanjutkan  dengan  penyelesaian beberapa  rangkaian  RLC  (seri  dan  paralel) tanpa  sumber  baik  secara  analitik  maupun numerik untuk mengetahui tanggapan alaminya.  Kemudian,  dilakukan  perancangan program  dan  uji  coba  program  tersebut  untuk beberapa  rangkaian  RLC  sehingga  dapat diketahui tanggapan alami dari masing-masing rangkaian.

## IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

## A. Rangkaian RLC Paralel Tanpa Sumber
Berdasarkan  persamaan  (4),  persamaan (5) dan persamaan (6), diperoleh persamaan
′ = = 1 ∗ dan ′ = − 1 − 1
Dimisalkan nilai R = 6 Ω, L = 7 H dan C =  1/42  F  serta  diketahui  nilai  tegangan  awal rangkaian =  0  dan  arus  awal  induktor    = 10  A  [4].  Dapat  diketahui  bahwa  jenis tanggapan  alami  rangkaian  ini  adalah  terlalu redam  karena  nilai = lebih  besar  dari
= √ .  Gambar  1  memperlihatkan  grafik tanggapan alami rangkaian RLC paralel ini.
Berdasarkan nilai-nilai di atas, maka
= ′ = 1 = 420  /
sehingga  dapat  dibuat  langkah  penyelesaian menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde  4 sebagai berikut (dengan h=0,1) :
1. untuk k=0
= = − 1 − 1 = + ℎ 2 = − 1 + ℎ 2 − 1 + ℎ 2 = + ℎ 2 = − 1 + ℎ 2 − 1 + ℎ 2 = + ℎ = − 1 ( + ℎ ) − 1 ( + ℎ ) = + ℎ 6 [ + 2 + 2 + ] = + ℎ 6 [ + 2 + 2 + ]
2. untuk k = 1 dst, ulangi langkah a. Dengan menuliskan
persamaan- persamaan  di  atas  dalam  M-file  program Matlab,  maka  dapat  diperoleh  nilai  tegangan rangkaian  (tanggapan  alami)  dalam  rentang waktu tertentu.
Penyelesaian  eksak  untuk  tanggapan alami rangkaian RLC paralel di atas adalah
( ) = 84( − ) volt
Tabel  1  menunjukkan  perbandingan  nilai tanggapan  alami ( ) yang  dihitung  dengan metode Runge-Kutta orde 4 terhadap penyelesaian  eksaknya.Terlihat  bahwa  hasil penyelesaian  menggunakan  metode  Runge- Kutta  orde  4  memiliki  selisih  (error)  terbesar bernilai  0,0023 (0,23%)  terhadap nilai penyelesaian  eksaknya.  Hal  ini  menunjukkan bahwa hasil penyelesaian menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  4  memiliki  tingkat ketelitian yang tinggi.
Tabel 1. Tanggapan alami rangkaian RLC paralel Waktu (detik) Tegangan ( ) (volt) Selisih ( error ) Runge-Kutta Orde 4 Nilai eksak 0 0 0 0 1 30,6914 30,6937 -0,0023 2 11,3677 11,3676 0,0001 3 4,1821 4,1821 0 4 1,5385 1,5385 0 5 0,5660 0,5660 0 6 0,2082 0,2082 0 7 0,0766 0,0766 0 8 0,0282 0,0282 0 9 0,0104 0,0104 0 10 0,0038 0,0038 0
Gambar 1. Grafik tanggapan alami rangkaian RLC paralel

## B. Rangkaian RLC Seri Tanpa Sumber
Berdasarkan persamaan (7), dituliskan dua persamaan  diferensial  orde  satu  sebagai berikut :
′ = =
dan
′ = − − 1
Dimisalkan nilai R = 2kΩ, L = 1 H dan C
=  1/401µF  serta  diketahui  nilai  arus  awal rangkaian =  2mA  dan  tegangan  awal kapasitor
= 2V [4]. Dapat diketahui bahwa
jenis  tanggapan  alami  rangkaian  ini  adalah kurang  redam  karena  nilai = lebih  kecil dari = √ .  Gambar  2  memperlihatkan grafik tanggapan alami rangkaian RLC seri ini.
Berdasarkan nilai-nilai di atas, maka :
= ′ = = − = −2 /
sehingga  dapat  dibuat  langkah  penyelesaian menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde  4 sebagai berikut (dengan h=0,00001) :
1. untuk k = 0
= = − − 1 = + ℎ 2
= − + ℎ 2 − 1 + ℎ 2 = + ℎ 2 = − + ℎ 2 − 1 + ℎ 2 = + ℎ = − ( + ℎ ) − 1 ( + ℎ ) = + ℎ 6 [ + 2 + 2 + ] = + ℎ 6 [ + 2 + 2 + ] 2. untuk k = 1 dst, ulangi langkah a.
Dengan menuliskan persamaan- persamaan  di  atas  dalam  M-file  program Matlab,  maka  dapat  diperoleh  nilai  arus rangkaian  (tanggapan  alami)  dalam  rentang waktu tertentu.
Penyelesaian eksak untuk tanggapan alami rangkaian RLC seri di atas adalah :
( ) = 2 cos 20000 mA
Tabel  2  menunjukkan  perbandingan  nilai tanggapan  alami ( ) yang  dihitung  dengan metode Runge-Kutta orde 4 terhadap penyelesaian  eksaknya.  Terlihat  bahwa  hasil penyelesaian  menggunakan  metode  Runge- Kutta  orde  4  memiliki  nilai  yang  sama  persis dengan nilai penyelesaian eksaknya (tidak ada selisih/ error ). Tabel 2. Tanggapan alami rangkaian RLC seri Waktu (ms) Arus ( ) (mA) Selisih ( error ) Runge-Kutta Orde 4 Nilai eksak 0 2 2 0 0,1 -0,8 -0,8 0 0,2 -1,1 -1,1 0 0,3 1,4 1,4 0 0,4 -0,2 -0,2 0 0,5 -1 -1 0 0,6 0,9 0,9 0 0,7 0,1 0,1 0 0,8 -0,9 -0,9 0 0,9 0,5 0,5 0 1 0,3 0,3 0
Gambar 2. Grafik tanggapan alami rangkaian RLC seri

## V. PENUTUP
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan,  dapat  disimpulkan  bahwa  metode Runge-Kutta  orde  4  dapat  diterapkan  dalam analisis  rangkaian  RLC  paralel  tanpa  sumber maupun rangkaian RLC seri tanpa sumber.
Dengan menuliskan langkah-langkah penyelesaian  menggunakan  metode  Runge- Kutta  orde  4  dalam  program  Matlab,  dapat diketahui jenis dan grafik tanggapan alami dari rangkaian-rangkaian  tersebut  di  atas  dalam waktu  yang  singkat  sehingga  analisis  menjadi lebih mudah.
Metode  Runge-Kutta  orde  4  memberikan hasil ketelitian yang tinggi. Hal ini dibuktikan dengan  selisih  hasil  penyelesaian  dengan metode  Runge-Kutta  orde  4  terhadap  nilai eksaknya yang sangat kecil yaitu sama dengan atau  lebih  kecil  dari  0,0023  (0,23%)  untuk rangkaian  RLC  paralel  yang  dibahas  dan  nol untuk rangkaian RLC seri yang dibahas.

## REFERENSI
[1] Subakti,  I.,  2006,  “Metode  Numerik”, Teknik  Informatika  Institut  Teknologi Sepuluh November, Surabaya
[2] Utami, R. P., 2005, “Metode Runge-Kutta untuk  Solusi  Persamaan  Pendulum”, Prodi  Matematika  FMIPA  Universitas Negeri Semarang.
[3] Murjannah,  W.S.S.,  Prihanto,  A.,  2013, “Implementasi  Rangkaian  RLC  dengan Metode  Runge-Kutta  Orde  4”,  Jurnal
Inovasi  Fisika  Indonesia  Universitas Negeri Surabaya.
[4] Hayt,  W.  H.,  dkk.,  2006,  “Rangkaian Listrik”, jilid 1 edisi 4, Penerbit Erlangga, Jakarta.