## RANCANGAN PEMODELAN INVERSI NON-LINIER 2-D DAN GRADIEN HORISONTAL ANOMALI GRAVITASI BUMI BERBASIS MATLAB (STUDI KASUS: MODEL SEMI-INFINITE HORIZONTAL SHEET DAN FAULTED VERTICAL SHEET)
Richard Lewerissa 1 , Ari Setiawan 2 dan Sismanto 3
1. Mahasiswa S3 Ilmu Fisika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 2,3. Dosen Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta E-mail: rich_lewe@yahoo.com

## Abstrak
Penelitian  ini  dilakukan  untuk  merancang  suatu  pemodelan  ke  depan  (forward  modeling)  dan pemodelan inversi (inverse modeling) untuk mendapatkan respon anomali gravitasi dan parameter model  bawah  permukaan  bumi  berdasarkan  beberapa  model  benda  anomali  yaitu  model  semi- infinite  horizontal  sheet  dan  faulted  vertical  sheet  menggunakan  perangkat  lunak  MATLAB. Perancangan  pemodelan  ini  dibuat  nantinya  diharapkan  dapat  diterapkan  untuk  mendeteksi keberadaan patahan atau sesar dibawah permukaan bumi berdasarkan data anomali gravitasi baik data  primer  ataupun  sekunder.  Inversi  anomali  gravitasi  dilakukan  menggunakan  pendekatan metode inversi non-linier untuk menyelesaikan model matematika benda anomali bawah permukaan pada penelitian ini inversi model inversi dilakukan menggunakan model inversi bebas dan inversi terkonstain  untuk  mencari  beberapa  parameter  model  seperti  densitas  batuan,  kedalaman  dan ketebalan benda anomali.
Kata kunci: Anomali Gravitasi; pemodelan ke depan; pemodelan Inversi

## Abstract
This study was conducted to design a forward and inverse modeling to obtain the response of gravity anomalies and subsurface model parameters based on some models  of anomalous object such as semi-infinite horizontal sheet and vertical faulted sheet models using matlab software. The design of this models are expected to be applied to detect the presence of faults below the earth's surface by  gravity  anomaly  data  in  this  case  primary  and  secondary  data.  Gravity  anomaly  inversion performed  using  the  non-linier  inversion  approach  to  solve  the  mathematical  model  of  the subsurface  anomalous  object.  In  this  research  inversion  models  performed  using  unconstrain inversion and constrain inversion to look for some model parameters such as rock density, depth and thickness of anomalous object.
Keywords: Gravity anomaly; forward modeling; inverse modeling

## PENDAHULUAN
Data medan potensial umumnya dianalisis  menggunakan  transformasi  linier, metode  spektral,  teknik  inversi  dan  metode analisis sinyal. Metode analisis sinyal umumnya  menggabungkan  turunan  horizontal dan  vertikal  dari  medan  gravitasi  untuk mendefinisikan bentuk benda [1],[3]. Transformasi linier dapat memfasilitasi interpretasi  geologi,  yangmana  memberikan pengetahuan  mendalam  tentang  sifat  alami sumber.  Transformasi  linier  digunakan  untuk
kontinuasi  ke  atas  dan  ke  bawah,  reduksi  ke kutub  dan  konversi  medan  gravitasi  ke  medan magnetik.  Metode  spektral  menggunakan energi spektrum dari anomali untuk menentukan  kedalamana  rata-rata  dari  model blok persegi atau benda dengan bentuk prisma. Di  sisi  lain  metode  inversi  digunakan  untuk menentukan  parameter  model  berdasarkan respon  yang  cenderung  sama  dengan  data observasi.  Proses  inversi  adalah  suatu  proses pengolahan  data  lapangan  yang  melibatkan penyelesaian  matematika  dan  statistik  untuk
mendapatkan informasi parameter fisis kondisi bawah permukaan bumi. Dalam proses inversi biasanya  dilakukan  analisis  terhadap  data lapangan dengan melakukan pencocokan kurva (curva fitting) antara data lapangan dan model matematika.  Tujuan  metode  inversi  adalah untuk  memperkirakan  parameter  fisis  kondisi bawah  permukaan  yang  tidak  diketahui sebelumnya [5].
Metode  inversi  menghasilkan  respon yang  tidak  unik,  sehingga  dapat  menghasilkan banyak  respon  yang  berbeda  yang  memenuhi syarat dilakukannya inversi. Teknik pemodelan inversi  untuk  data  anomali  gravitasi  telah banyak  dilakukan  baik  terhadap  data  primer anomali  gravitasi  bumi  yang  telah  dikoreksi maupun  terhadap  data  anomali  gravitasi regional  dan  residual  serta  data  sekunder anomali  Bouguer  lengkap.  Pada  penelitian  ini dilakukan  perancangan  pemodelan  ke  depan (forward  modeling) dan  pemodelan  inversi (inverse modeling) serta gradien horisontal orde satu 2-D data anomali gravitasi. Pemodelan ke depan  dan  pemodelan  inversi  menggunakan pendekatan  model  benda  anomali  bawah permukaan  berbentuk  model semi-infinite horizontal  sheet dan  model faulted  vertical sheet ,  yangmana  pendekatan  model  tersebut dilakukan untuk mendeteksi keberadaan struktur  patahan  atau  sesar  di  suatu  wilayah berdasarkan metode gravitasi.

## METODE
Hubungan antara data dengan parameter model  secara  umum  dapat  dinyatakan  oleh persamaan (1):
d = g (m) (1)
Persamaan  tersebut  dapat  digunakan  untuk menyatakan  hubungan  non  linier  antara  data dengan  parameter  model.  Dalam  hal  ini  g adalah  suatu fungsi  pemodelan  ke  depan  yang merupakan  fungsi  tak-linier  dari  parameter model.  Ekspansi  Taylor  orde  pertama  fungsi g(m) disekitar  suatu  model,  misalnya m 0 , menghasilkan persamaan (2):
𝒈(𝒎) ≈ 𝒈(𝒎 𝟎 ) + 𝛁𝒈| 𝒎=𝒎 𝟎 [𝒎 − 𝒎 𝟎 ] (2)
Dimana ∇𝑔| 𝑚=𝑚 0 menyatakan gradien fungsi g
(m) yang  dievaluasi  pada m  =  m 0 . Dalam memahami dan mengevaluasi persamaan 2 dan
notasi  yang  digunakan,  perlu  diingat  karakter vektor dari fungsi g(m).
Selanjutnya  dengan  mengabaikan  ekspansi Taylor orde yang lebih tinggi maka tanda (≈) dapat  diganti  dengan  tanda  (=).  Mengingat bahwa g (m) adalah fungsi pemodelan ke depan yang  menghasilkan  data d maka  persamaan  2 dapat  dituliskan  kembali  dalam  bentuk persamaan (3):
d = g (m 0 ) + 𝐉 𝟎 ∆ m 0 (3)
dimana 𝐉 𝟎 = [𝝏𝒈 𝒊 / 𝝏𝒎 𝒋 ] 𝒎 𝟎 disebut  sebagai matriks  Jacobi  dengan  komponen  berupa turunan  parsial  fungsi g  (m) terhadap  setiap elemen  parameter  model m yang  dievaluasi pada m  =  m 0 dan ∆ m 0 =  [m  –  m 0 ] .  Matriks Jacobi sering disebut dengan matriks sensitivitas.  Persamaan  (2)  dan  (3)  dapat diartikan  sebagai  prediksi  data  untuk  suatu model m yang  didekati  dengan  prediksi  data untuk  model m 0 dengan  faktor  koreksi  berupa aplikasi  matriks  Jacobi  pada  selisih  antara kedua model tersebut, yaitu ∆ m 0 . Persamaan 3 dapat  dituliskan  kembali  dalam  bentuk  yang mirip  dengan  persamaan  yang  berlaku  pada hubungan  linier  antara  data  dengan  parameter model,  yaitu d  =  Gm sehingga  diperoleh persamaan (4):
d – g(m 0 ) = 𝐉 𝟎 ∆ m 0 atau ∆ d 0 = 𝐉 𝟎 ∆ m 0 (4)
Persamaan  (4)  menyatakan  hubungan linier antara ∆ d 0 = d – g (m 0 ) dengan ∆ m 0 yang dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan konsep  yang  sama  dengan  inversi  linier.  Pada inversi  dicari  model m yang  membuat  selisih antara  data  dengan  respon  model d  – Gm minimum.  Pada  inversi  non  linier  yang diformulasikan  melalui  pendekatan  linier sebagaimana  pada  persamaan  (4)  dicari solusi ∆ m 0 yang  menghasilkan (d  –  (g(m 0 )  + 𝑱 𝟎 ∆ m 0 )) minimum. Kuantitas yang diminimumkan  adalah  selisih  antara  data pengamatan  dengan  data  perhitungan,  namun data perhitungan diperoleh dengan menggunakan pendekatan orde pertama ekspansi  Taylor.Solusi  inversi non-linier dengan  pendekatan  linier  dapat  diturunkan berdasarkan  analogi  solusi  inversi  linier  dapat diturunkan  berdasarkan  analogi  dengan  solusi inversi  linier.  Sehingga  diperoleh  persamaan (5):
∆ m 0 = [ 𝐉 𝟎 T 𝐉 𝟎 ] -1 𝐉 𝟎 T (d – g(m 0 )) (5)
Bentuk  persamaan  (5)  identik  dengan bentuk persamaan inversi linier, namum dalam hal ini matriks Kernel diganti menjadi matriks Jacobi. Dengan memperhatikan definisi ∆ m 0 = [m  –  m 0 ] maka  solusi  pada  persamaan  (5) tersebut dapat diartikan sebagai suatu perturbasi terhadap  model  m 0 untuk  memperoleh  model yang  lebih  baik  yaitu m ,  sehingga m  =  m 0 + ∆ m 0 . Model  m  dianggap  lebih  baik  karena menghasilkan respons yang lebih dekat dengan data  yang  ditunjukkan  oleh (d  –  (g(m 0 )  + 𝐉 𝟎 ∆ m 0 )) minimum.
Penelitian  ini  secara  umum  dibagi menjadi  dua  tahapan  penting  yaitu  tahapan pemodelan  ke  depan  dan  tahapan  pemodelan inversi . Pemodelan  ke  depan  dilakukan  untuk mendapatkan  data  teoritik  atau  data  sintesis berdasarkan  parameter  model  fisis.  Nilai  data teoritis atau sintesis pada pemodelan ke depan dihitung  menggunakan  persamaan  (6),  (7) untuk  model semi-infinite  horizontal  sheet dan persamaan  (8)  untuk  model faulted  vertical sheet :
∆𝑔 𝑧 = 13.34(∆𝜌)(∆ℎ)( 𝜋 2 + 𝑡𝑎𝑛 −1 [ 𝑥 𝑧 ]) (6)
∆𝑔 𝑧 = 13.34(∆𝜌)(∆ℎ)( 𝜋 2 − 𝑡𝑎𝑛 −1 [ 𝑥 𝑧 ]) (7)
∆𝑔 𝑧 = 2𝐺(∆𝜌)(𝑡) [𝜋 + 𝑡𝑎𝑛 −1 ( 𝑥 𝑧 1 ) − 𝑡𝑎𝑛 −1 ( 𝑥 𝑧 2 )] (8)
Turunan  horisontal  orde  satu  dari anomali  gravitasi  merupakan  perubahan  nilai anomali gravitasi dari suatu titik ke titik lainnya secara  horisontal  dengan  jarak  tertentu.  FHD memiliki  karakteristik  tajam  berupa  nilai masksimum  dan  minimum  pada  kontak  benda anomali,  sehingga  dapat  digunakan  untuk menunjukkan  batas  suatu  struktur  geologi berdasarkan anomali gravitasi. Turunan horisontal  dari g(x,y) akan  mudah  diestimasi menggunakan  metode  beda  hingga  dan pengukuran  diskrit  dari g(x,y) .  Turunan horisontal  orde  satu  dihitung  menggunakan persamaan (9):
𝑑𝑔(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 ≈ 𝑔 𝑖+1,𝑗 −𝑔 𝑖−1,𝑗
2∆𝑥 (9) Proses perancangan seluruhnya
menggunakan perangkat lunak MATLAB.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan  ke  depan  dilakukan  dengan membuat  beberapa  model  uji,  yang  nantinya
tiap-tiap  model  uji  akan  menghasilkan  respon anomali medan gravitasi (g) di permukaan bumi dan  model  penampang  bawah  permukaan. Adapun  model  yang  diujikan  pada  penelitian yaitu  model semi-infinite  horizontal  sheet dan model faulted  vertical  sheet .  Model semi- infinite horizontal sheet terdiri atas dua bagian yaitu  model  negatif semi-infinite  horizontal sheet dan  positif semi-infite  horizontal  sheet . Pemodelan  ke  depan  dilakukan  dengan menggunakan bantuan perangkat lunak MATLAB  untuk  mendapatkan  data  sintesis atau  teoritik.  Model semi-infinite  horizontal sheet dibuat masing-masing terdiri atas lintasan negatif  tak  berhingga  sampai  positif  tak berhingga. Berdasarkan persamaan (6) dan (7), dihitung respon anomali gravitasi dipermukaan bumi, yangmana respon ini akan menghasilkan data  sintetik  atau  data  teoritik  yang  akan digunakan pada pemodelan inversi. Parameter- parameter  model  yang  digunakan  untuk pemodelan  ke  depan  model semi-infinite horizontal  sheet adalah  sebagai  berikut : ρ_model  =  2.67  g/cm 3 ,  h_model  =  1  km, z_model = 3 k m, x_model = 0.6 km, panjang lintasan pengukuran = 10 km dibagi dengan spasi 0.5 km.
Berdasarkan parameter input yang dibuat maka  respon  anomali  gravitasi  dan  model bawah  permukaan  yang  dihasilkan  untuk pemodelan ke depan model negatif semi-infinite horizontal sheet ditunjukkan pada gambar 1 (a).
Nilai  respon  anomali  gravitasi  model  negatif semi-infinite  horizontal  sheet dengan  nilai anomali  gravitasi  berkisar  antara  21.31  mGal hingga  94.38  mGal,  profil  anomali  mencapai nilai  maksimum  ke  arah  lintasan  negatif  tak berhingga dan mencapai nilai minimum ke arah lintasan positif tak berhingga. Model penampang bawah permukaan pada kedalaman 3  km  hingga  4  km  dengan  ketebalan  1  km ditunjukkan  dengan  model sheet melintang (warna  biru)  sebagai  model  awal.  Penampang sheet bermula pada titik nol memanjang ke arah negatif tak berhingga. Turunan horisontal orde satu  anomali  gravitasi  merupakan  perubahan nilai  gravitasi  dari  titik  ke  titik  lainnya  secara horisontal  dengan  jarak  tertentu,  umumnya digunakan  untuk  menunjukkan  batas  suatu struktur geologi berdasarkan anomalinya. Pada penelitian  FHD  dilakukan  pada  data  anomali gravitasi model negatif semi-infinite horizontal sheet , seperti yang ditunjukkan pada gambar 1 (b). Nilai turunan horisontal orde satu berkisar
antara -11.75 mGal/km hingga -2.84 mGal/km. Model  positif semi-infinite  horizontal  sheet ditunjukkan  pada  gambar  2  (a).  Nilai  respon anomali  gravitasi  model  positif semi-infinite horizontal  sheet berkisar  antara  17.52  mGal hingga 90.58 mGal.
Gambar 1. (a) Grafik respon anomali gravitasi model negatif semi-Infinite horizontal sheet dan model  penampang  bawah  permukaan;  (b) Grafik  turunan  horisontal  orde  satu  model negatif semi-infinite horizontal sheet.
Profil anomali mencapai nilai maksimum ke  arah  lintasan  positif  tak  berhingga  dan mencapai  nilai  ninimum  ke  arah  negatif  tak berhingga. Model penampang bawah permukaan pada kedalaman 3 km hingga 4 km dengan  ketebalan  1  km  ditunjukkan  dengan model sheet melintang  (warna  biru)  sebagai model  awal.  Penampang sheet bermula  pada titik  nol  memanjang  ke  arah  positif  tak berhingga.  FHD  dilakukan  pada  data  anomali gravitasi model positif semi-infinite horizontal sheet , seperti yang ditunjukkan pada gambar 2
(b). Nilai turunan horisontal orde satu berkisar antara 2.84 mGal/km hingga  11.75 mGal/km. Struktur patahan dapat diaproksimasi oleh dua model semi-infinite horizontal sheet, sheet yang pertama  berpindah  secara  vertikal  terhadap sheet yang lain model ini dikenal dengan faulted vertical sheet .
Gambar 2. (a) Grafik respon anomali gravitasi model positif semi-infinite horizontal sheet dan model  penampang  bawah  permukaan;  (b) Grafik  turunan  horisontal  orde  satu  model positif semi-infinite horizontal sheet.
Pemodelan ke depan untuk model faulted vertical sheet dihitung menggunakan
persamaan (8) dengan parameter input sebagai berikut: ρ_model = 2.67 gr/cm 3 , ketebalan_sheet  =  1  km,  z_model_1  =  3  k  m, z_model_2= 4 km, panjang lintasan pengukuran =  20  km  dibagi  dengan  interval  1  km. Berdasarkan parameter input yang dibuat maka dihitung  nilai  respon  anomali  gravitasi  dan model bawah permukaan yang dihasilkan oleh pemodelan  ke  depan  model faulted  vertical sheet ditunjukkan pada gambar 3 (a).
(a) (b) (a) (b)
Nilai  respon  anomali  gravitasi  model faulted  vertical  sheet berdasarkan  pemodelan ke  depan  berkisar  antara  106.84  mGal  hingga 116.84  mGal.  Profil  anomali  mencapai  nilai puncak  minimum  pada  penampang  dengan kedalaman 4 km dan mencapai nilai maksimum pada penampang dengan kedalaman 3 km. FHD dilakukan  pada  data  anomali  gravitasi  model faulted vertical sheet , seperti yang ditunjukkan pada gambar 3 (b). Nilai turunan horisontal orde satu berkisar antara -0.35 mGal/km hingga 2.73 mGal/km.
Gambar 3. (a) Grafik respon anomali gravitasi model faulted  vertical  sheet dan  model penampang  bawah  permukaan;  (b)  Grafik turunan  horisontal  orde  satu  model faulted verticalsheet

## Pemodelan Inversi (Inverse Modeling)
Pemodelan  inversi  pada  penelitian  ini dilakukan  menggunakan  data  sintetis  atau teoritik  hasil  pemodelan  ke  depan  masing- masing  untuk  model  negatif  dan  positif semi- infinite  horizontal  sheet dan  model faulted vertical  sheet .Pada  pemodelan  inversi  yang menjadi  tujuan  utama  yang  dicari  adalah parameter model berdasarkan data sintetis atau
teoritik hasil pemodelan ke depan, untuk model negatif semi-infinite horizontal sheet parameter model  yang  dicari  yaitu  densitas  batuan  (ρ), kedalaman model sheet (z), dan posisi lintasan (x).  Metode  inversi  non-linier  dengan pendekatan linier pada penelitian ini menggunakan  estimasi  parameter  model  awal yang  cukup  dekat  dengan  solusi  yang  dicari. Parameter  model  yang  digunakan  sebagai parameter  tebakan  awal  dan  parameter  model hasil  inversi  ditunjukkan  pada  tabel  1.Nilai parameter model yang dicari melalui pemodelan  inversi  mendekati  nilai  parameter model tebakan awal khususnya pada parameter densitas  batuan  dan  kedalaman  model sheet , sedangkan  memiliki  perbedaan  nilai  jarak lintasan.Nilai  anomali  gravitasi  hasil  kalkulasi berdasarkan tebakan awal berkisar antara 18.56 mGal  hingga  89.07  mGal  sedangkan  nilai anomali  gravitasi  hasil  inversi  model  negatif semi-infinite  horizontal  sheet berkisar  antara
19,28 mGal hingga 88.85 mGal.Jika dibandingkan  dengan  nilai  anomali  gravitasi hasil pemodel kedepan tidak memiliki perbedaan  yang  cukup  signifikan  sebesar  ±  3 mGal. Nilai anomali gravitasi hasil pemodelan ke  depan  berkisar  antara  21.  31  mGal  hingga 94.38  mGal.  Nilai error yang  dihasilkan  dari hasil inversi sebesar 4.46. Grafik kurva respon anomali  gravitasi  hasil  pemodelan  ke  depan (titik biru) dan hasil pemodelan inversi (kurva merah) ditunjukkan pada gambar 4.
Tabel 1. Hasil inversi model negatif semi- infinite horizontal sheet Parameter model tebakan awal Densitas batuan (gr/cm 3 ) Kedalaman (km) Jarak lintasan (km) error 2.50 2.80 0.50 4.46 Parameter model hasil inversi Densitas batuan (gr/cm 3 ) Kedalaman (km) Jarak lintasan (km) error 2.45 2.70 0.80 4.46
Tampak  kurva  anomali  hasil  pemodelan  ke depan dan inversi hampir berimpit atau cocok. Model sheet bawah  permukaan  hasil  inversi ( sheet merah)  mengalami  sedikit  perubahan dari  model sheet hasil  pemodelan  ke  depan ( sheet biru)  dikarenakan  adanya  perubahan kedalaman sheet sebesar 0.1 km.
(a)
(b)
Parameter  model  yang  dicari  untuk model  positif semi-infinite  horizontal  sheet parameter yaitu densitas batuan (ρ), kedalaman model sheet (z), dan posisi lintasan (x). Metode inversi  non-linier  dengan  pendekatan  linier pada  model  ini  juga  menggunakan  estimasi parameter model awal yang cukup dekat dengan solusi  yang  dicari.  Parameter  model  yang digunakan sebagai parameter tebakan awal dan parameter model hasil inversi ditunjukkan pada tabel  2.  Nilai  parameter  model  yang  dicari melalui  pemodelan  inversi  mendekati  nilai parameter  model  tebakan  awal  untuk  ketiga parameter yaitu densitas batuan dan kedalaman model sheet. Nilai  anomali  gravitasi  hasil kalkulasi  berdasarkan  tebakan  awal  berkisar antara  15.70  mGal  hingga  86.21  mGal sedangkan nilai anomali gravitasi hasil inversi model  positif semi-infinite  horizontal  sheet berkisar antara 15,58 mGal hingga 85.65 mGal. Jika  dibandingkan  dengan  nilai  anomali gravitasi  hasil  pemodel  kedepan  nilai  anomali gravitasi hasil inversi tidak memiliki perbedaan yang  cukup  signifikan  kurang  lebih  1  mGal. Nilai  anomali  gravitasi  hasil  pemodelan  ke depan berkisar antara 17.51 mGal hingga 90.58 mGal.  Nilai error yang  dihasilkan  dari  hasil inversi  sebesar  2.81.  Grafik  kurva  respon anomali  gravitasi  hasil  pemodelan  ke  depan (titik biru) dan hasil pemodelan inversi (kurva merah)  ditunjukkan  pada  gambar  5.  Tampak kurva  anomali  hasil  pemodelan  ke  depan  dan inversi hampir berimpit atau cocok.
Gambar  4.  Grafik  respon  anomali  gravitasi model  negatif semi-infinite  sheet dan  model bawah permukaan hasil inversi
Parameter  model  yang  dicari  untuk model  positif semi-infinite  horizontal  sheet parameter yaitu densitas batuan (ρ), kedalaman model sheet (z), dan posisi lintasan (x). Metode inversi  non-linier  dengan  pendekatan  linier pada  model  ini  juga  menggunakan  estimasi parameter model awal yang cukup dekat dengan solusi  yang  dicari.  Parameter  model  yang digunakan sebagai parameter tebakan awal dan parameter model hasil inversi ditunjukkan pada tabel  2.  Nilai  parameter  model  yang  dicari melalui  pemodelan  inversi  mendekati  nilai parameter  model  tebakan  awal  untuk  ketiga parameter yaitu densitas batuan dan kedalaman model sheet. Nilai  anomali  gravitasi  hasil kalkulasi  berdasarkan  tebakan  awal  berkisar antara  15.70  mGal  hingga  86.21  mGal sedangkan nilai anomali gravitasi hasil inversi model  positif semi-infinite  horizontal  sheet berkisar antara 15,58 mGal hingga 85.65 mGal. Jika  dibandingkan  dengan  nilai  anomali gravitasi  hasil  pemodel  kedepan  nilai  anomali gravitasi hasil inversi tidak memiliki perbedaan yang  cukup  signifikan  kurang  lebih  1  mGal. Nilai  anomali  gravitasi  hasil  pemodelan  ke depan berkisar antara 17.51 mGal hingga 90.58 mGal.  Nilai error yang  dihasilkan  dari  hasil inversi  sebesar  2.81.  Grafik  kurva  respon anomali  gravitasi  hasil  pemodelan  ke  depan (titik biru) dan hasil pemodelan inversi (kurva merah)  ditunjukkan  pada  gambar  5.  Tampak kurva  anomali  hasil  pemodelan  ke  depan  dan inversi hampir berimpit atau cocok.
Tabel 2. Hasil inversi model positif semi- infinite horizontal sheet Parameter Model Tebakan Awal Densitas batuan (gr/cm 3 ) Kedalaman (km) Jarak lintasan (km) error 2.50 2.80 0.50 2.81 Parameter Model Hasil Inversi Densitas batuan (gr/cm 3 ) Kedalaman (km) Jarak lintasan (km) error 2.47 2.76 0.40 2.81
Model sheet bawah  permukaan  hasil inversi  ( sheet merah)  mengalami  sedikit perubahan dari model sheet hasil pemodelan ke depan  ( sheet biru)  dikarenakan  adanya perubahan kedalaman sheet sebesar 0.1 km.
Parameter  model  yang  dicari  pada pemodelan  inversi  model faultedvertical  sheet yaitu  densitas  batuan  (ρ)  dan  ketebalan sheet (h).  Pada  model  ini  dilakukan  pemodelan inversi  non-linier  dengan  pendekatan  linier dengan  estimasi  parameter  model  awal  yang cukup  dekat  dengan  solusi  yang  dicari. Parameter  model  yang  digunakan  sebagai parameter  tebakan  awal  dan  parameter  model hasil inversi ditunjukkan pada tabel 3.
Gambar  5.  Respon  anomali  gravitasi  model positif semi-infinite horizontal sheet dan model bawah permukaan hasil inversi
Tabel 3. Hasil Inversi Model Faulted Vertical Sheet Parameter model tebakan awal Densitas Batuan (gr/cm 3 ) Ketebalan sheet (km) error 2.70 0.95 4.40 Parameter model hasil inversi Densitas batuan (gr/cm 3 ) Ketebalan sheet (km) error 2.76 2.96 4.40
Nilai  parameter  model  yang  dicari melalui  pemodelan  inversi  mendekati  nilai parameter  model  tebakan  awal  untuk  ketiga parameter  yaitu  densitas  batuan  dan  ketebala model sheet. Nilai  anomali  gravitasi  hasil kalkulasi  berdasarkan  tebakan  awal  berkisar antara  102.64  mGal  hingga  112.35  mGal sedangkan nilai anomali gravitasi hasil inversi model faulted  vertical  sheet berkisar  antara 107.00 mGal hingga 117.13 mGal.
Jika  dibandingkan  dengan  nilai  anomali gravitasi  hasil  pemodel  kedepan  nilai  anomali gravitasi  hasil  inversi  hampir  memiliki  nilai yang  sama,  Nilai  anomali  gravitasi  hasil pemodelan  ke  depan  berkisar  antara  106.89 mGal  hingga  116.95  mGal.  Nilai error yang dihasilkan dari hasil inversi sebesar 4.4.
Gambar  6.  Respon  anomali  gravitasi  model faulted  vertical  sheet dan  model  bawah permukaan hasil inversi
Grafik  kurva  respon  anomali  gravitasi  hasil pemodelan  ke  depan  (titik  biru)    dan  hasil pemodelan inversi (kurva merah) berimpit atau fit ditunjukkan pada gambar 6.

## SIMPULAN DAN SARAN
Pemograman  berbasis  MATLAB  untuk pemodelan  ke  depan  dan  inversi  non liniermodel semi-infinite  horizontal  sheet dan faulted  vertical  sheet telah  dibuat  dan  dapat diujikan meskipun hasil inversi belum
maksimal. Kurva respon anomali gravitasi dan model sheet bawah permukaan hasil pemodelan ke depan daninversi untuk model semi-infinite horizontal  sheet dan faulted  vertical  sheet mendekati cocok atau fit dengan kesalahan atau penyimpangan nilai antara 2 – 4 mGal.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Blakely, R.J., Potential Theory in Gravity and  Magnetic  Applications ,  Cambridge University Press, USA. 1995.
[2]   Darmawan,  A.  Rekonseptualisasi  dan pemograman reduksi data gravitasi serta pemetaan ke koordinat teratur (gridding) menggunakan bahasa pemograman Visual  Basic.  Skripsi,  Jurusan  Fisika. FMIPA. UGM Yogyakarta. 2010.
[3]   Ekinci, L, Y., 2D focusing of gravity data wit  the  use  of  parameter  variation  as  a stoping  criterion.  Journal  of  the  Balkan Geophysical  Society,  Vol.11,  No.1,
Desember 2008, p,1-9. Turkey. 2008.
[4]   Grandis,  H  dan  Dahrin,  D.  Constrain Two-Dimensional  Inversion  of  Gravity. J. Math. Fund. Sci., Vol.46, No.1, pp 1-
13.  ITB  Journal  Publisher.  Bandung.
2014
[5]   Nurwidyanto,  I,  M,  dan  Setiawan,  A, 2011.  Inversi  linier  leastsquare  dengan Matlab  (Studi  Kasus  Model  Gravitasi Bola  Berlapis).  Berkala  Fisika,  Vol  14, No. 3, Juli 2011, hal 93 -100. ISSN: 1410
– 9662. 2011
[6]   Reynolds,  M,  J. An  Introduction  to
Applied  and  Environmental  Geophysics.
John Wiley  Sons, Inc. USA. 1997.