## Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah Pada Ruang
Metrik Parsial

## Weakly Contractive Mapping and Weakly Kannan Mapping in Partial
Metric Space
Sunarsini *) , Sadjidon, Annisa Rahmita S. Departemen Matematika, Fakultas Matematika Komputasi dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
* E-mail: sunarsini@matematika.its.ac.id

## ABSTRACT
In the article the concept of metric space could be expanded, one of which is a partial metric space. In  the  metric  space,  the  distance  of  a  point  to  itself  is  equal  to  zero,  while  in  the  partial  metric space  need  not  be  equal  to  zero.The  concept  of  partial  metric  space  is  used  to  modify  Banach's contraction  principle.  In  this  paper, we  discuss  weakly  contractive  mapping  and  weakly  Kannan mapping  which  are  extensions  of  Banach's  contraction  principle  to  partial  metric  space  together some  related  examples.  Additionally,  we  discuss  someLemmas  which  are  shows  an  analogy between  Cauchy  sequences  in  partial  metric  space  with  Cauchy  sequences  in  metric  space  and analogy between the complete metric space and the complete partial metric space.
Keywords: Cellulose metric  space,  partial  metric  space,  weakly  contraction  mapping,  weakly Kannan mapping.

## PENDAHULUAN
Ruang  metrik  parsial  merupakan  salah  satu perluasan dari konsep ruang metrik. Salah satu ilmuwan komputer yang pertama kali mengenalkan  sebuah  konsep  ruang  metrik parsial  adalah  Matthews.  Lewat  tulisannya yang  berjudul  “Partial  Metric  Topology”
Matthews (1994) menjabarkan hasil
penelitiannya  mengenai  topologi  ruang  metrik parsial.  Di  dalam  penelitiannya,  prinsip kontraksi Banach diperluas untuk menunjukkan keberadaan  dan  ketunggalan  titik  tetap  dari suatu  pemetaan  kontraktif  pada  ruang  metrik parsial. Hasil  penelitiannya  tersebut  dijadikan pedoman  oleh  para  peneliti  selanjutnya  dalam mengembangkan  konsep  ruang  metrik  parsial. Diawali  dengan (Ruiz  &  Antonio  2010), mereka memperluas  prinsip  kontraksi  Banach pada  ruang  metrik  yang  digagas  oleh Kannan (Kannan  1968). Berpedoman  pada  hasil penelitian  yang  dilakukan  oleh (Dugundji & Granas  1978) terkait  pengembangan  pemetaan kontraktif  menjadi  pemetaan  kontraktif  lemah, mereka memperluas teorema Kannan ke dalam pemetaan
Kannan lemah.Kemudian, berdasarkan  hasil  penelitian  yang  dilakukan oleh  Matthews,  Dugundji  dan  Granas  serta Ruiz, (Alghamdi et  al., 2012) melakukan penelitian  untuk  menyelidiki  bahwa pemetaan kontraktif lemah dan Kannan lemah pada ruang metrik  dapat  dikonstruksi  ke  dalam  ruang metrik parsial.
Dari  penelitian-penelitian  di  atas,  maka tujuan  utama  paper  ini  adalah  mengkonstruksi metrik  pada  ruang  metrik  parsial,  membahas lemma-lemma  yang  menunjukkan  analogi antara  barisan  Cauchy  pada  ruang  metrik parsial  dengan  barisan  Cauchy  pada  ruang metrik,  analogi  antara  ruang  metrik  lengkap dengan  ruang  metrik  parsial  lengkap  serta contoh-contoh  yang  terkait  dengan  pemetaan kontraktif lemah dan pemetaan Kannan lemah.

## METODE
Pada  bagian  ini  diberikan  beberapa  definisi  yang berkaitan  dengan  konsep  ruang  metrik  parsial, meliputi definisi ruang metrik, ruang metrik parsial, pemetaan  kontraktif  lemah  dan  pemetaan  Kannan lemah  pada  ruang  metrik,  definisi  konvergensi barisan  dan  barisan  Cauchy  pada  ruang  metrik parsial, definisi ruang metrik parsial lengkap.
Definisi  1 (Kreyszig,  E  1978)  Diberikan  himpunan tak kosong . Fungsi : x → ℝ dikatakan metrik pada X jika untuk setiap , , ∈ memenuhi (M1) d(x, y) ≥ 0
(M2) d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y
(M3) d(x, y) = d(y, x)
(M4) ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) Pasangan ( , ) dikatakan sebagai ruang metrik.
Contoh  2 (Kreyszig,  E  1978)  Diberikan  himpunan ℝ . Fungsi d: ℝ x ℝ → ℝ yang  didefinisikan  sebagai d(x, y) = |x − y| untuk  setiap x, y ∈ ℝ merupakan metrik pada ℝ .
Definisi  3 (Dugundji  & Granas  1978) Diberikan (X, d) ruang  metrik.  Pemetaan f: X → X dinamakan
pemetaan  kontraktif  lemah  jika  terdapat α: X x X → [0,1) sedemikian  hingga  untuk  setiap 0 ≤ a ≤ b , sup{α(x, y): a ≤ d(x, y) ≤ b} < 1
Dan d(f(x), f(y)) ≤ α(x, y)d(x, y) untuk  setiap x, y ∈ X .
Definisi  4 (Ariza-Ruiz  &  Antonio  2010) Diberikan (X, d) ruang  metrik.  Pemetaan f: X → X dinamakan pemetaan  Kannan  lemah  jika  terdapat α: X x X → [0,1) sedemikian  hingga  untuk  setiap 0 ≤ a ≤ b , sup{α(x, y): a ≤ d(x, y) ≤ b} < 1 dan
d(f(x), f(y)) ≤ ( , ) d x, f(x) + d(y, f(y)) untuk
setiap x, y ∈ X .
Definisi 5 (Matthews 1994) Diberikan himpunan tak kosong X . Fungsi p: X x X → ℝ dikatakan  metrik parsial  pada X jika  untuk  setiap x, y, z ∈ X memenuhi (MP1) x = y jika dan hanya jika p(x, x) = p(x, y) = p(y, y) ;
(MP2) p(x, x) ≤ p(x, y) ;
(MP3) p(x, y) = p(y, x) ; (MP4) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) .
Pasangan (X, p) dikatakan  sebagai  ruang  metrik parsial.
Definisi  6 (Matthews  1994)  Jika  diberikan (X, p) ruang metrik parsial dan {x } adalah barisan pada X untuk setiap n ∈ ℕ , maka (i). {x } konvergen  ke    titik x ∈ X pada X jika  dan hanya jika p(x, x) = lim → p(x , x) ; (ii). {x } dikatakan  barisan  Cauchy  pada (X, p) jika lim , → p(x , x ) ada dan berhingga;
(iii). (X, p) dikatakan  lengkap  jika  setiap  barisan Cauchy {x } pada X konvergen  ke    titik x ∈ X sehingga p(x, x) = lim , → p(x , x ) .
Definisi  7 (Matthews  1994) Diberikan (X, p) ruang metrik  parsial.  Pemetaan f: X → X dinamakan pemetaan  kontraktif  jika  terdapat α ∈ ℝ , 0 ≤ α < 1 sedemikian  hingga p(f(x), f(y)) ≤ αp(x, y) untuk setiap x, y ∈ X .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini, dibahas mengenai  analogi ruang  metrik  dan  ruang  metrik  parsial. Ditunjukkan  pula  beberapa  contoh  terkait pemetaan  kontraktif  lemah  dan  pemetaan Kannan  lemah  pada  ruang  metrik  dan  ruang metrik parsial.
Dari (Matthews  1994), diperoleh analogi antara  ruang  metrik  dan  ruang  metrik  parsial. Hal tersebut tertuang pada teorema berikut ini.
Teorema  8 Diberikan (X, p) ruang  metrik parsial. Jika d : X x X → ℝ dengan d (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y). ..(1) untuk setiap x, y ∈ X , maka d adalah  metrik
pada X . Bukti:
Seperti  pada  Definisi  1,  maka d harus memenuhi (M1), (M2), (M3) dan (M4) untuk setiap x, y, z ∈ X .
Dari  Definisi  5 (MP2) dan (MP3) diperoleh (M1).  Selanjutnya  dengan  (MP2), (MP3) dan (MP1) diperoleh (M2).  Untuk  memperoleh (M3)  dari  (MP3).  Terakhir  dari (MP4) diperoleh  (M4). Terbukti  bahwa d adalah metrik pada X . Dari  Teorema  8,  terlihat  bahwa p adalah metrik  parsial  pada X dan d adalah  metrik pada  ruang  metrik  parsial (X, p) (  metrik  yang dibangun oleh metrik parsial). Dengan menggunakan p dan d ,  dibentuk  lemma- lemma  yang  menunjukkan  analogi  antara barisan  Cauchy  pada  ruang  metrik  dan  barisan Cauchy pada ruang metrik parsial, serta analogi antara  ruang  metrik  lengkap  dan  ruang  metrik parsial lengkap.
Lemma  9 Diberikan (X, p) ruang  metrik parsial  dan (X, d ) ruang  metrik,  dengan d adalah  metrik  yang  didefinisikan  pada  (1). Barisan {x } ∈ℕ adalah  barisan  Cauchy  pada (X, p) jika  dan  hanya  jika {x } adalah  barisan Cauchy pada (X, d ) .
Bukti:
(⟹)
Jika { } ∈ℕ adalah barisan Cauchy pada ( , ) ,  maka  sesuai  Definisi  6 (ii),
, → ( , ) ada  dan  berhingga.  Karena
( , ) adalah  ruang  metrik  dengan
adalah
metrik  yang  dibangun  oleh  metrik  parsial seperti  pada (1)  maka , →
( , ) =
2 , → ( , ) − → ( , ) − → ( , ) atau 2 , → ( , ) = , → ( , ) + → ( , ) + → ( , )
Karena , → ( , ) ada  dan  berhingga,
maka 2 , → ( , ) juga ada dan berhingga, sehingga
, → ( , ) +
→ ( , ) + → ( , )
ada dan berhingga, artinya , → ( , )
,
→ ( , ) dan → ( , ) juga  ada dan  berhingga.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa { } ∈ℕ juga  merupakan  barisan  Cauchy  pada ( , ) .
(⟸)
Karena
adalah  metrik  yang  dibangun  oleh metrik  parsial  seperti  pada  (1),  maka jika { } ∈ℕ adalah  barisan  Cauchy  pada ( , ) , diperoleh → ( , ) = 2 , → ( , ) − → ( , ) − → ( , ) ada dan berhingga. Sehingga,  jelas  bahwa 2 , → ( , ) , → ( , ) dan →
( , ) ada  dan
berhingga.  Karena 2 , → ( , ) ada  dan berhingga,  maka , → ( , ) ada  dan
berhingga,  artinya { } ∈ℕ juga  merupakan barisan Cauchy pada ( , ) .
Lemma 10 Diberikan (X, p) ruang  metrik parsial  dan (X, d ) ruang  metrik,  dengan d adalah  metrik  yang  didefinisikan  pada  (1). (X, p) lengkap  jika  dan  hanya  jika (X, d ) lengkap.  Sehingga,  jika  diberikan  barisan {x } ∈ℕ pada (X, p) maka untuk x ∈ X , lim → d (x , x) = 0 jika  dan  hanya  jika
p(x, x) = lim → p(x , x) = lim , → p(x , x ) .
Bukti: (⟹) Jika ( , ) merupakan  ruang  metrik  parsial lengkap,  maka  sesuai  Definisi 6 (iii), setiap barisan  Cauchy { } ∈ℕ pada ( , ) konvergen ke titik ∈ sehingga ( , ) = → ( , ) = , → ( , ) . Karena
{ } ∈ℕ adalah  barisan  Cauchy  pada ( , ) , maka  berdasarkan  Lemma 9, { } ∈ℕ juga merupakan  barisan  Cauchy  pada ( , ) , sehingga { } ∈ℕ konvergen  ke titik ∈ , artinya ( , ) adalah  ruang  metrik  lengkap. Karena adalah  metrik  yang  dibangun  dari metrik  parsial  seperti  pada  (1),  maka ( , ) = 2 ( , ) − ( , ) − ( , ) = 0 atau dengan kata lain → ( , ) = 0 .
(⟸)
Jika ( , ) adalah  ruang  metrik  lengkap dengan adalah  metrik  yang  dibangun dari metrik  parsial  seperti  pada  (1),  maka setiap barisan  Cauchy { } ∈ℕ pada ( , ) konvergen ke titik ∈ sehingga ( , ) = → ( , ) = , → ( , ) . Karena
adalah  metrik  yang  dibangun  dari  metrik parsial  seperti  pada  (1),  maka ( , ) = 2 ( , ) − ( , ) − ( , ) = 0 atau  dengan kata  lain
→
( , ) = 0 .  Karena { } ∈ℕ adalah  barisan  Cauchy  pada ( , ) ,  maka
berdasarkan Lemma 9, { } ∈ℕ juga merupakan barisan  Cauchy  pada ( , ) ,  sehingga { } ∈ℕ konvergen  ke titik ∈ ,  artinya ( , ) adalah ruang  metrik  parsial  lengkap.  Karena ( , ) adalah  ruang  metrik  parsial  lengkap,  dari Definisi 6 (iii)  diperoleh  bahwa ( , ) =
→ ( , ) = , → ( , ) .

## Pemetaan Kontraktif Lemah dan Pemetaan Kannan Lemah pada Ruang Metrik Parsial
Pada  bagian  inidiberikan  pengertian  pemetaan kontraktif lemah  dan pemetaan  Kannan lemah pada ruang metrik parsial,  contoh pemetaan yang  merupakan  pemetaan  kontraktif  lemah pada  ruang  metrik  parsial,  namun  bukan merupakan  pemetaan  kontraktif  lemah  pada ruang  metrik. Diberikan pula  contoh pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang  metrik parsial,  namun  bukan  merupakan pemetaan Kannanlemah pada ruang metrik.
Terlebih dahulu diberikan definisi
pemetaan  kontraktif  lemah  dan  pemetaan Kannan  lemah  pada  ruang  metrik  parsial.  Dari (Alghamdi et  al.  2012),  diperoleh  definisi pemetaan kontraktif lemah sebagai berikut.
Definisi  11 Diberikan (X, p) ruang  metrik parsial. Pemetaan f: X → X
dinamakan pemetaan  kontraktif  lemah  jika  terdapat α: X x X → [0,1) sedemikian hingga untuk setiap 0 ≤ a ≤ b , sup{α(x, y): a ≤ p(x, y) ≤ b} < 1 dan p(f(x), f(y)) ≤ α(x, y)p(x, y) untuk setiap x, y ∈ X .
Dengan  menggunakan  Definisi  11  dan Definisi  3  dapat  diperoleh  contoh  pemetaan yang merupakan  pemetaan  kontraktif  lemah pada  ruang  metrik  parsial,  namun  bukan merupakan  pemetaan  kontraktif  lemah  pada ruang metrik.
Contoh 12: Diberikan metrik parsial, dengan
: [0,1]x[0,1] → ℝ didefinisikan sebagai ( , ) = { , } untuk  setiap , ∈ [0,1] .
Jika  fungsi : [0,1] → [0,1] dengan ( ) = untuk setiap ∈ [0,1] dan fungsi : [0,1] x [0,1] → [0,1) dengan ( , ) = untuk  setiap , ∈ [0,1] ,  maka merupakan pemetaan  kontraktif  lemah  pada  ruang  metrik parsial ([0,1], ) .Hal  ini  dapat  ditunjukkan sebagai  berikut.Terlihat  bahwaterdapat yang memenuhi Definisi 11,yaitu:
sup{ ( , ): ≤ ( , ) ≤ }
= sup{ ( , ): ≤ max{ , } ≤ } =1/2<1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , sehingga ( ), ( ) = , = max ,
= 1 2 max { , } = 1 2 (max{ , })
≤ 1 2 max { , } = ( , ) ( , ) untuk setiap , ∈ [0,1] . Artinya,
merupakan    pemetaan  kontraktif  lemah  pada ruang metrik parsial ([0,1], ) . Contoh 13: Diberikan metrikdengan : [0,1] x [0,1] → ℝ dengan ( , ) = | − | untuk  setiap , ∈ [0,1] dan adalah metrik  parsial,
: [0,1] x [0,1] → [0,1] yang didefinisikan sebagai ( , ) = { , } untuk setiap , ∈ [0,1] . Jika fungsi : [0,1] → [0,1] dengan ( ) = untuk  setiap ∈ [0,1] dan  fungsi
: [0,1] x [0,1] → [0,1) dengan
( , ) = untuk  setiap , ∈ [0,1] ,  maka
bukan  merupakan    pemetaan  kontraktif  lemah pada ruang metrik ([0,1], ) . Hal ini
dapat ditunjukkan
dengan kontradiksi.Andaikan merupakan  pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik ([0,1], ) , maka  terdapat yang  memenuhi  Definisi 3, yaitu sup{ ( , ): ≤ ( , ) ≤ }
= sup{ ( , ): ≤ | − | ≤ } =1/2<1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , sehingga ( ), ( ) = − = = ( )( ) = | − | ≤ | − | = ( , )| − |
= ( , ) ( , )
untuk setiap
, ∈ [0,1] . Jadi, diperoleh ≤ ( , ) untuk  setiap , ∈ [0,1] .  Selanjutnya, diambil , ∈ [0,1] dengan = 1 dan = 1 , sehingga
= =1 ≤ ( , ) = (1,1)
Hal  ini  kontradiksi  dengan  kenyataan  bahwa ( , ) < 1 .  Akibatnya, bukan  merupakan pemetaan  kontraktif  lemah  pada  ruang  metrik ([0,1], ) . Selanjutnya, dari (Alghamdi et  al., 2012), juga  diperoleh  definisi  pemetaan  Kannan lemah sebagai berikut.
Definisi  14 Diberikan (X, p) ruang  metrik parsial. Pemetaan
f: X → X dinamakan pemetaan Kannan lemah jika terdapat
α: X x X → [0,1) sedemikian  hingga  untuk
setiap 0 ≤ a ≤ b , sup{α(x, y): a ≤ p(x, y) ≤ b} < 1 dan p f(x), f(y) ≤ p f(x), f(y)
≤ ( , ) [ ( , ( )) + ( , ( ))] untuk  setiap
, ∈ .
Dengan  menggunakan  Definisi  14  dan Definisi  4  dapat  diperoleh  contoh  pemetaan yang merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang  metrik parsial,  namun  bukan  merupakan pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.
Contoh 15: Diberikan metrik parsial, dengan
: [0,1] x [0,1] → ℝ yang didefinisikan sebagai ( , ) = { , } untuk  setiap , ∈ [0,1] . Jika fungsi : [0,1] → [0,1] dengan ( ) =
untuk setiap ∈ [0,1] dan fungsi : [0,1] x [0,1] → [0,1) dengan ( , ) = ( ), ( ) ( , ) , { , } ≠ 0 0 , { , } = 0 untuk  setiap , ∈ [0,1] ,  maka merupakan
pemetaan  Kannan  lemah  pada  ruang  metrik parsial ([0,1], ). Hal  ini  dapat  ditunjukkan sebagai  berikut.  Karena  fungsi didefinisikan seperti  pada  Contoh  12,  maka  diperoleh
( , ) = ( ), ( )
( , )
≤ untuk  setiap , ∈
[0,1] . Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwaterdapat yang  memenuhi  Definisi  11,
yaitu sup{ ( , ): ≤ ( , ) ≤ }
= sup{ ( , ): ≤ max{ , } ≤ =1/2 <1
untuk setiap 0 ≤ ≤ , sehingga
( ), ( ) =
+ 1 , + 1 = max + 1 , + 1 ≤ ( , ) 2 [ + ]
= ( , ) 2 max , + 1 + , + 1
= ( , ) 2 , ( ) + , ( ) ≤ 1 2 2 [ + ] = 1 4 [ + ] = 1 4 max , + 1 + max , + 1 = 1 4 , ( ) +
, ( ) untuk  setiap , ∈ .  Artinya, merupakan pemetaan  Kannan  lemah  pada  ruang  metrik parsial ([0,1], ) .
Contoh  16: Diberikan metrik,  dengan
: [0,1] x [0,1] → ℝ didefinisikan  sebagai ( , ) = | − | untuk  setiap , ∈ [0,1] .
Jika fungsi
: [0,1] → [0,1] dengan ( ) = untuk setiap ∈ [0,1]
dan fungsi
: [0,1] x [0,1] → [0,1) dengan
( , ) =
( ), ( ) ( , ) , { , } ≠ 0
0 , { , } = 0 untuk  setiap , ∈ [0,1] dengan metrik parsial, : [0,1] x [0,1] → ℝ yang didefinisikan sebagai ( , ) = { , } untuk  setiap , ∈ [0,1] ,  maka bukan merupakan    pemetaan  Kannan  lemah  pada ruang metrik ([0,1], ) .Hal ini dapat ditunjukkan  sebagai  berikut. Karena  fungsi didefinisikan  seperti  pada  Contoh 12,  maka diperoleh ( , ) = ( ), ( ) ( , ) ≤ untuk setiap , ∈ [0,1] .  Andaikan merupakan pemetaan  Kannan  lemah  pada  ruang  metrik
([0,1], ) ,    maka  terdapat yang  memenuhi Definisi 4, yaitu
sup{ ( , ): ≤ ( , ) ≤ }
= sup{ ( , ): ≤ | − | ≤ } =1/2<1 untuk setiap 0 ≤ ≤ , sehingga
( ), ( ) = + 1 − + 1
= ( + 1) − ( + 1)
( + 1)( + 1) ≤ ( , ) 2 + 1 + + 1 = ( , ) ( ( ) + ( ) ) = ( , ) 2 − + 1 + − + 1 = ( , ) 2 , ( ) + , ( )
≤ 1 2 2 + 1 + + 1 = 1 4 + 1 + + 1
= ( ( ) + ( ) ) = 1 4 − + 1 + − + 1 = 1 4 , ( ) + , ( ) untuk  setiap , ∈ [0,1] .  Selanjutnya,  diambil
, ∈ [0,1] dengan = 1 dan = 0 ,  maka diperoleh
(1), (0) = − 0 = ≤ ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) 1 − =
= (1,0) 2 [|1 − (1)| + |0 − (0)|] = (1,0) 2 1, (1) + 0, (0) sehingga ≤ ( , ) atau 2 ≤ (1,0) . Hal ini
kontradiksi dengan kenyataan bahwa ( , ) < 1 untuk setiap , ∈ [0,1] . Akibatnya, bukan pemetaan  Kannan  lemah  pada  ruang  metrik ([0,1], ) .

## KESIMPULAN
Dari  pembahasan  di  atas  dapat  disimpulkan bahwa fungsi jarak ( metrik) dapat dikonstruksi pada  ruang  metrik  parsial.  Adanya  analogi antara  barisan  Cauchy  pada  ruang  metrik  dan barisan Cauchy pada ruang metrik parsial, serta analogi antara ruang metrik lengkap dan ruang metrik  parsial  lengkap.  Dapat  diberikancontoh pemetaan  kontraktif  lemah  pada  ruang  metrik parsial, tetapi bukan pemetaan kontraktif lemah pada ruang metrik. Selain itu, dapat diberikancontoh pemetaan Kannan lemah pada ruang  metrik  parsial,  tetapi  bukan  pemetaan Kannan lemah pada ruang metrik.

## DAFTAR PUSTAKA
Ariza-Ruiz,  D  &Antonio  Jim ́ nez-Melado. 2010.  A  Continuation  Method  for  Weakly
Kannan Maps. Fixed Point Theory andApplications,Article ID 321594:1-12.
Alghamdi,  Maryam  A,  Naseer  S,  Oscar  V. 2012.  On  Fixed  Point  Theory  in  Partial Metric  Spaces.Fixed Point  Theory  and Applications. 175:1-25.
Dugundji,  J  dan  A.  Granas.  1978.Weakly Contractive  Maps  and  Elementary  Domain Invariance  Theorem*. Bull.  Greek  Math.
Soc. 19: 141-151.
Kannan,  R.  1968.  Some  Results  On  Fixed Points.
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society. 60:71-76.
Kreyszig,  E.  1978. Introductory  Functional Analysis  with  Aplication.    Canada:  John
Wiley and Sons, Inc.Canada.
Matthews,  SG.  1994. Partial Metric  Topology.
Annals  of  the  New  York  Academy  of Sciences, 183 - 197.