Vol. 8, No.2,  86-91,  Januari  2012
Ruang Norm- dan Ruang Hasil Kali Dalam-
Muh. Nur 
Abstrak
Pada  tulisan  ini,  akan  dipelajari  ruang  norm- dan  ruang  hasil  kali  dalam- . Setelah  itu, menunjukkan  bahwa  setiap  ruang  hasil  kali  dalam- merupakan  ruang  norm- tetapi sebaliknya  tidak  berlaku.  Dengan  menggunakan  Hukum  jajaran  genjang  dapat  diperiksa bahwa  suatu  suatu  norm- dapat  di  induksi  atau  tidak  dari  hasil  kali  dalam- .  Lebih  jauh, mengkonstruksi  hasil  kali  dalam- yang  bersesuaian  digunakan  Hukum  Polarisasi.  Terakhir, ditunjukkan  kekonvergenan  pada  norm- mengakibatkan  kekonvergenan  pada  hasil  kali dalam- .
Kata Kunci : Ruang norm- , ruang hasil kali dalam- , Hukum Polarisasi.

## Abstract
In this article, we will study an -normed space and an -inner product space.  We then show that every the -normed space is the -inner product space but otherwise does not hold. Using the  parallelogram  law  it  can  be  checked  that  an -norm  can  be  induced    or  not  from  the - inner product.  Moreover, constructing the -inner product corresponds with the  Polarization Law. In adittion, it is shown that the convergence the -norm implies the -inner product.
Keywords: -Normed space, -inner product space, Polarization Law .

## 1. Pendahuluan
Pada  setiap  ruang  hasil  kali  dalam (   〈   〉) dapat  didefinisikan  suatu  norm  vektor (dinotasikan ‖ ‖  ‖ ‖ )  yakni ‖ ‖   〈   〉 .  Norm  vektor  merupakan    perumuman  dari konsep  panjang  vektor  yang  telah  dikenal.  Dengan  pendefinisian  norm  seperti  di  atas,  dapat dikatakan  bahwa  setiap  ruang  hasil  kali  dalam  merupakan  ruang  norm,  dengan  norm  yang  di induksi  dari  hasil  kali  dalamnya.  Namun  secara  umum,  ruang  norm  bukanlah  ruang  hasil  kali dalam. Untuk lebih jelasnya lihat [6].
Konsep  tentang  ruang  norm-2  pertama  kali  dikembangkan  oleh  Gähler  [1]  pada pertengahan  tahun  1960-an  dan  ruang  hasil  kali  dalam-2  pertama  kali  diperkenalkan  oleh Diminnie,  Gähler  dan White  [2]  pada tahun  1970.  Sementara  perumuman  untuk    ruang  norm- dikembangkan oleh Gähler  di akhir dekade 1960-an dan ruang hasil kali dalam- dikembangkan oleh Misiak [5] di tahun 1989.
Dalam tulisan ini pertama akan didefinisikan ruang norm- dan ruang hasil kali dalam- lalu  menunjukkan  setiap  ruang  hasil  kali  dalam- merupakan  ruang  norm- namun  tidak sebaliknya.  Lebih jauh  lagi  kita dapat  memeriksa  suatu  norm- dapat di induksi dari  hasil  kali dalam- atau  tidak  dengan  menggunakan  Hukum  jajaran  genjang.  Apabila  norm- yang didefinisikan memenuhi kesamaan jajaran genjang, berarti norm- tersebut dapat di induksi dari
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
hasil kali dalam- . Untuk mengkonstruksi hasil kali dalam- yang bersesuaian dapat digunakan kesamaan  Polarisasi.  Terakhir  akan  disinggung  sedikit  mengenai  kekonvergenan  pada  ruang norm- dan hasil kali dalam- .

## 2. Pembahasan

## 2.1. Ruang Norm-
Misalkan adalah ruang vektor real berdimensi dimana . Suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan sebagai suatu  pemetaan ‖       ‖ , sehingga untuk setiap memenuhi sifat dibawah ini:
1. ‖ ‖ 0 jika dan hanya jika bergantung linear; 2. ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap permutasi ( ) dari (        ) ; 3. ‖ ‖ | |‖ ‖ untuk setiap ; 4. ‖ ‖ ‖ ‖     ‖ ‖ ,  disebut  sebagai  norm- di .
Pasangan (   ‖       ‖) disebut suatu ruang norm- .
Sebagai  contoh adalah    ruang  vektor  real  berdimensi dimana
.  Definisikan
fungsi ‖       ‖ di sebagai berikut:
‖ ‖   [    ( 〈 〉 〈 〉 〈 〉   〈 〉 )] (1)
merupakan  norm- pada (lihat  [4]).  Secara  geometris,  jika  dipilih diperoleh ‖ ‖ 〈 〉 merupakan panjang vektor . Untuk diperoleh ‖ ‖   *‖ ‖ ‖ ‖ 〈 〉 + yang  mempresentasikan  luas  jajaran  genjang  yang direntang  oleh dan di .  Dengan  demikian  secara  umum ‖ ‖ mempresenatisikan ‘volume’  paralelpedium  yang  direntang  oleh
.  Dengan  menggunakan  sifat  1-4  dari
definisi norm- di atas serta
‖ ‖     ‖ ( ∑ )   ∑ ‖                 ( )
maka perhatikan proposisi berikut.
Proposisi 1. Jika (   ‖       ‖) adalah ruang norm- maka
1. ‖
‖ untuk setiap 2. ‖ ‖   ‖ ∑ ‖ untuk  setiap dan .

## 2.2 Ruang Hasil Kali Dalam-
Misalkan adalah ruang vektor berdimensi dimana . Suatu fungsi bernilai real ⟨    |        ⟩ di sehingga untuk setiap
dan memenuhi sifat-sifat
dibawah ini:

## Muh. Nur
1. ⟨ | ⟩ ; ⟨ | ⟩ jika  dan  hanya  jika bergantung linear; 2. ⟨ | ⟩   ⟨ | ⟩ untuk setiap permutasi ( ) dari ) ;
3. ⟨ | ⟩   ⟨ | ⟩ ; 4. ⟨ | ⟩    ⟨ | ⟩ ; 5. ⟨ | ⟩   ⟨ | ⟩   ⟨ | ⟩ , disebut sebagai ruang hasil kali dalam- di .
Pasangan (   ⟨    |        ⟩) disebut ruang hasil kali dalam- .
Proposisi 2. ( Ketaksamaan Cauchy-Schwarz ) Jika (   ⟨    |        ⟩) merupakan ruang hasil kali dalam- , maka |⟨ | ⟩|   ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ( ) Bukti: Ambil sebarang . Maka untuk setiap ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩     ⟨ | ⟩   ⟨ | ⟩ ( ) .
Untuk itu, diskriminan ( ) haruslah tak positif. Akibatnya
⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩⟨ | ⟩ . Akibatnya |⟨ | ⟩|   ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ .
Dengan  menggunakan  sifat-sifat  pada  definisi  ruang  hasil  kali  dalam- (   ⟨    |        ⟩) dan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
‖ ‖      ⟨ | ⟩ ( )
adalah norm- pada X.
Proposisi 3. Jika  suatu  norm - diperoleh  dari  hasil  kali  dalam - untuk  setiap berlaku  hukum  jajaran  genjang,  yakni ‖ ‖ ‖ ‖ (‖ ‖ ‖ ‖ ) dan kesamaan Polarisasi yakni ⟨ | ⟩ ( ‖ ‖ ‖ ‖ )               ( ) Bukti: Diketahui bahwa ‖ ‖ = ⟨ | ⟩ dan ‖ ‖ = ⟨ | ⟩ . Dengan menjumlahkan dan mengurangkan diperoleh kesamaan yang diinginkan.
Teorema 1. Jika (   ⟨    |        ⟩) adalah ruang norm- dan ‖       ‖ memenuhi hukum jajaran genjang maka
, | - ( ‖ ‖ ‖ ‖ )                ( )
merupakan hasil kali dalam- pada .
Bukti: Untuk sifat  1 a ,  1 b ,  2  dan 3  langsung  dari  definisi norm - .  Sekarang  tinggal  ditunjukkan  sifat  4 dan 5. Dari hukum jajaran genjang diperoleh
‖ ‖ ‖ ‖ (‖ ‖ ‖ ‖ ) .
Dengan  mengganti  nilai dengan  nilai – setelah  itu,  kedua  persamaan  dikurangkan  lalu menggunakan persamaan
, | -     ‖ ‖ ‖ ‖ maka diperoleh , | -   , | -     ,    | - (7) Misalkan diperoleh ,     | -     ,    | - .  Akibatnya  Persamaan  (7) menjadi
, | -   , | -     ,     | - . (8) Misalkan dan , maka  Persamaan (8) menjadi ,    | -   , | -     ,     | -                                ( )
Untuk membuktikan sifat terakhir  dibagi menjadi 3 kasus yakni
 Dengan menggunakan induksi matematika dan Persamaan (9) diperoleh , | -     , | - untuk sebarang . Untuk diperoleh , | -     , | - Untuk dimana diperoleh ,(  ) | -     , | - sehingga , | - ( ‖ ‖ ‖ ‖ ) = ( ‖ ‖ ‖ ‖ ) = ( ‖ ‖ ‖ ‖ ) = , | - Jadi ,(  ) | -       , | - dimana m  Untuk   sebarang dimana dan diperoleh , | - [ | ] [ | ] [ | ]
 Untuk  sebarang
.  Misalkan ( ( )) adalah  barisan  bilangan  rasional  yang konvergen ke . Akibatnya , | -   , ( ( ) ) | - . Dengan menggunakan kekontinuan norm- diperoleh
Muh. Nur
[ ( ( )    ) | ] ‖ ( ( )    ) ‖ ‖ ( ( )    ) ‖ (‖( ( )    ) ‖   ‖( ( )    ) ‖ ) ,( ( )    ) | - Dengan kata lain , ( ) | -   , | - . Akibatnya , | - , ( ) | - ( ), | - , | - untuk setiap . Jadi , | - merupakan hasil kali dalam- . 1.3
Kekonvergenan di Ruang Norm- dan Ruang Hasil Kali Dalam-
Barisan ( ( )) di  ruang  norm- (   ‖       ‖) dikatakan  konvergen  ke apabila untuk  setiap , ‖ ( ) ‖ .  Dengan  kata  lain  vector disebut limit barisan ( ( )) apabila untuk setiap terdapat sehingga ‖ ( ) ‖ untuk  setiap
,  dikasus  ini  dituliskan ( ) .  Misalkan
(   ⟨    |        ⟩) ruang  hasil  kali  dalam- dan ‖ ‖      ⟨ | ⟩ adalah  norm- yang  di  induksi  dari  hasil kali  dalam- .  Barisan ( ( )) dikatakan  konvergen  secara  lemah  ke (dalam hasil kali dalam- ) apabila untuk setiap , ⟨ ( ) | ⟩ bila .
Teorema 2. Misalkan (   ‖       ‖) adalah  ruang  norm- maka  limit  dari  suatu  barisan  yang  konvergen adalah tunggal.
Bukti: Andaikan dan adalah  limit  dari ( ( )) dimana .  Untuk  setiap ,  untuk setiap terdapat sehingga ‖ ( ) ‖ dan ‖ ( ) ‖ untuk  setiap .  Pilih ‖ ‖ dimana bebas  linear. Dengan menggunakan sifat norm- yang ke-4 diperoleh ‖ ‖   ‖( ( ) )   (     ( )) ‖ ‖ ( ) ‖   ‖ ( ) ‖ ‖ ‖ untuk setiap . Ini mustahil terjadi akibatnya .
Proposisi 4. Misalkan (   ⟨    |        ⟩) ruang  hasil  kali  dalam- .  Jika ( ( )) konvergen  secara  lemah  ke- dan maka
.
Bukti:
Andaikan .  Dari  hipotesis  diperoleh ⟨ ( ) | ⟩   ⟨ | ⟩ dan ⟨ ( ) | ⟩   ⟨ | ⟩ bila untuk setiap . Karena limit
barisan bilangan real adalah tunggal sehingga untuk setiap , ⟨ | ⟩ . Kontradiksi dengan Sifat (  ) norm- , sehingga . � Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh |⟨ ( ) | ⟩|   ‖ ( ) ‖‖ ‖ . Untuk itu perhatikan proposisi berikut.

## Proposisi 5.
Jika ( ( )) konvergen ke- dalam norm- maka ( ( )) konvergen secara lemah ke- .
Kebalikan dari proposisi di atas tidak berlaku. Lebih jauh lihat [3].

## 2. Kesimpulan
Setiap  ruang  hasil  kali  dalam- merupakan  ruang  norm- .  Namun  secara  umum,  ruang norm- bukanlah  ruang  hasil  kali  dalam- .  Dengan  hukum  jajaran  genjang  dapat  diketahui apakah  suatu  ruang  norm- juga  merupakan  ruang  hasil  kali  dalam- atau  tidak.  Dengan demikian konsep atau sifat yang berlaku pada ruang hasil kali dalam- belum tentu berlaku pada ruang  norm- .  Kekonvergenan  pada  norm- mengakibatkan  kekonvergenan  pada  hasil  kali dalam- , tetapi sebaliknya tidak berlaku.

## Daftar Pustaka
[1]    Gähler S., 1965. Lineare 2-Normierte Rume. Math. Nachr ., 28, 1-43.
[2]     Diminnie C., Gähler S. and  White A., 1973. 2-inner Product Spaces. Demonstratio. Math . 6, 525-536.
[3]     Gunawan H., 2002. On convergence in -Inner product spaces. Bull. Malaysian Math. Sci. Soc .
[4]    Gunawan H. dan  Mashadi M.,  2001.  On n-Normed Spaces. Int. J. Math. Sci . 27, 321-329.