eISSN 2722-9886   pISSN 1411-6669 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index
Penyelesaian  khusus  persamaan  diferensial  biasa  ordo  dua  linier  tak homogen dengan koefisien konstan untuk fungsi bagian demi bagian
( Particular solution of  2 nd order linier non homogeneous  ordinary differential equations with constant coefficients for piecewise functions )

## Gani Gunawan
Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Islam Bandung, Bandung, Indonesia
korespondensi: ggani9905@gmail.com
Received: 28-02-2023, accepted: 05-02-2024

## Abstract
Spring  mechanical vibration  motion system  with a damped degree of freedom and influenced by external  forces  is  mathematically  expressed  as  an  ordinary  differential  equation  of  order  of  two linear  constant  coefficients  that  are  not  homogeneous.  If  an  external  force  acts  on  a  stationary system  describe  as  a  continuous  function 𝑓(𝑡) for  any  time t ,  then  the  system  will  experience mechanical vibrational motion , which mathematically the equation of motion can be expressed as a  superposition.  The  equation  consists  of 𝑦 ℎ (𝑡) as  a  solution  to  a  homogeneous  form  with mechanical vibrations 𝑦 𝑝 (𝑡) as a solution to a particular form. In terms of the particular solution 𝑦 𝑝 (𝑡) this article will show a mathematical way when f ( t ) is a continuous function section by the part which is defined at an interval, such that the mechanical vibration motion equation 𝑦 𝑝 (𝑡) is at the same time a complete solution 𝑦 𝑐 (𝑡) of the equation the mechanical vibration system.
Keywords: Vibration, impulse functions, convolution MSC2020: 34A37

## 1. Pendahuluan
Bentuk  umum  dari  Persamaan  Diferensial  Biasa  (PDB)  ordo  dua  linier  tak  homogen koefisien konstan ditulis
𝑚𝑦" + 𝑐𝑦′ + 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡) (1)
dengan 𝑚, 𝑐, 𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓(𝑡) ≠ 0 .  Adapun Penyelesaian lengkap dari PDB (1)  seperti  yang  dinyatakan  dalam  kepustakaan  [ 1 ],  [ 2 ],  [ 3 ]  ditulis 𝑦 𝑐 (𝑡) adalah  berupa fungsi superposisi, yaitu
𝑦 𝑐 (𝑡) =   𝑦 ℎ (𝑡) + 𝑦 𝑝 (𝑡) (2) dengan 𝑦 ℎ (𝑡) adalah penyelesaian umum dari persamaan (1) dalam bentuk homogen, dan 𝑦 𝑝 (𝑡) adalah penyelesaian partikular.  Dalam hal penyelesaian partikular 𝑦 𝑝 (𝑡) dari persamaan  (1),  selama  ini  dilakukan  untuk  fungsi 𝑓(𝑡) tertentu  seperti  fungsi  bentuk
polynomial, eksponensial, trigonometri sinus dan cosinus, dimana penyelesaian partikular 𝑦 𝑝 (𝑡) ditentukan melalui metoda koefisien tak tentu dan metoda variasi parameter, seperti yang dinyatakan dalam kepustakaan [ 4 ] atau bahkan dapat ditentukan dengan pembentukan fungsi Green [ 5 ].
Permasalahan muncul ketika menentukan penyelesaian partikular 𝑦 𝑝 dari PDB (1) dengan 𝑓(𝑡) terdefinisi pada suatu interval dan merupakan fungsi bagian demi bagian pada interval tersebut.  Dimotivasi  dari  hasil  penelitian  sebelumnya  pada  kepustakaan  [ 6 ],  artikel  ini menyajikan suatu uraian pembahasan yang berkaitan dengan masalah tersebut. Ha sil penelitian akan dinyatakan dalam sebuah Proposisi 3.1.
Dalam aspek rekayasa  teknik [ 7 ], sistem gerak getaran mekanis pegas dengan konstanta pegas 𝑘 diikatkan  sebuah  benda  bermassa 𝑚 pada  pegas  tersebut  (sebuah  derajat kebebasan)  dengan  peredam 𝑐 dan  dipengaruhi  gaya  luar 𝑓(𝑡) ,  secara  matematis  dapat dinyatakan  sebagai  Persamaaan  Diferensial  Biasa  (PDB)  (1).  Pada  saat 𝑡 = 0 ,  sistem dalam keadaan tidak bekerja. Sistem akan bekerja untuk waktu yang sangat singkat  pada interval 0 < 𝑡 <  ketika ada gaya luar 𝑓(𝑡) beraksi pada sistem sebesar 𝐹 Selama gaya luar tersebut beraksi, kecepatan benda bergerak 𝑣(𝑡) akan timbul secara singkat dari 0 ke 𝑣(𝑡) , kemudian sistem bergerak dengan kecepatan konstan 𝑣(𝜀) dan tidak ada gaya luar berikutnya  yang  beraksi  pada  sistem  tersebut.  Dalam  hal  ini,  kecepatan 𝑣(𝜀) dapat dinyatakan dalam 𝐹, 𝜀 , dan 𝑚.
Menurut hukum Newton, gaya sebesar 𝐹 yang beraksi pada benda bermassa 𝑚 yang terikat kuat pada pegas akan sebanding dengan percepatan gerak getar benda pada sistem tersebut yang  konstan  sebesar a sedemikian  sehingga 𝐹 = 𝑚𝑎 dan 𝑣(𝑡) = 𝑎𝑡 untuk 0  𝑡   , akibatnya 𝑣(  ) = 𝑎  = 𝐹  𝑚 (lihat [ 8 ] dan [ 9 ]). Oleh karena itu, ketika sistem dalam keadaan belum mulai bekerja namun ada gaya luar yang beraksi pada sistem saat itu, maka secara matematis dapat dinyatakan sebagai PDB (1) dengan masalah nilai awal sebagai berikut 𝑚𝑦" + 𝑐𝑦′ + 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡); 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0. (3) Sedangkan saat benda mulai bergerak setelah ada gaya luar yang beraksi pada sistem dan tidak ada gaya aksi berikutnya pada sistem, secara matematis dinyatakan oleh
𝑚𝑦" + 𝑐𝑦′ + 𝑘𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 𝐹𝜀 𝑚 .                                  (4)
Jika diasumsikan 𝐹  𝑚 = 1 , maka persamaan (3) ditulis
𝑚𝑦” + 𝑐𝑦 ′ + 𝑘𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1. (5)
Selanjutnya,  karena  PDB  pada  persamaan  (3)  bersifat  linier,  sehingga  jika  penyelesaian dari persamaan (5) untuk 𝑡 > 0 adalah 𝑤(𝑡) , yaitu 𝑦(𝑡) = 𝑤(𝑡) dan 𝑤(𝑡) = 0 selain untuk 𝑡 > 0 ,  maka penyelesaian (4) untuk 𝑡 > 0 dapat ditulis
𝑦(𝑡) = 𝐹𝜀 𝑚 𝑤(𝑡). (6)
Dalam rekayasa teknik [ 10 ], penyelesaian 𝑤(𝑡) pada (6) dapat dipandang sebagai fungsi bobot dari  PDB  tersebut  yang  selanjutnya  dinamakan respon  input  satuan dari  sistem. Dalam aspek mekanika [ 11 ], [ 12 ], [ 13 ], besaran 𝐹𝜀 disebut impulse dari gaya ( 𝐹  𝑚 adalah impulse per satuan  massa), sehingga  jika diasumsikan 𝐹  𝑚 = 1,  maka  fungsi 𝑤(𝑡) adalah respon sistem terhadap impulse satuan pada saat 𝑡 = 0 . Sebagai ilustrasi matematis dapat diperlihatkan  bahwa  PDB 𝑦” +  2 𝑦 = 0 dengan  syarat  awal 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1 , mempunyai respon impulse satuan 𝑤(𝑡) adalah
𝑤(𝑡) = { 1 𝜔 sin𝜔𝑡, 𝑡 > 0, 0, untuk 𝑡 lainnya.
Dalam  hal  ini  fungsi  respon  impulse  satuan  dapat  ditentukan  melalui    penyelesaian homogen  dari  PDB  ilustrasi  tersebut,  yaitu 𝑦 ℎ (𝑡) = 𝑎 cos𝜔𝑡  +  𝑏 sin𝜔𝑡 setelah  syarat awal  disubstitusikan. Namun bagaimanakah bila PDB  pada ilustrasi  yang diberikan di  atas  adalah 𝑦” +  2 𝑦 = 𝑓(𝑡) dengan 𝑓(𝑡) adalah  fungsi  sembarang  yang  terdefinisi pada suatu interval terbatas, sedemikian sehingga 𝑓(𝑡) dapat berupa fungsi tangga, fungsi kontinu bagian demi bagian atau bahkan fungsi periodik.
Untuk  menjawab  persoalan  yang  telah  disebutkan  di  atas,  pembahasan  dapat  dilakukan dengan berdasar kepada prinsip superposisi , operator polynomial 𝐿 , operator diferensial 𝐷 ,  dan formula Leibniz . Dalam  hal  ini 𝐷 = 𝑑 𝑑𝑥 dan 𝐿 = 𝑚𝐷 2 + 𝑐𝐷 + 𝑘 sedemikian sehingga PDB (1) dapat dinyatakan dalam operator 𝐿 sebagai berikut, yaitu 𝐿(𝑦) = 𝑓(𝑡) .                                                    (7) Selanjutnya persamaan  matematis  sistem  gerak getaran  mekanis pegas dengan gaya luar sembarang 𝑓(𝑡) akan dinyatakan oleh (7). Berdasarkan prinsip superposisi  dalam kepustakaan [ 14 ], terdapat suatu fakta seperti yang dinyatakan pada Teorema 1.1.
Teorema 1.1 Jika 𝑓(𝑡) = 𝑓 1 (𝑡) + 𝑓 2 (𝑡) + ⋯ + 𝑓 𝑛 (𝑡) dan 𝑦 𝑖 adalah penyelesaian particular dari 𝐿(𝑦 𝑖 ) = 𝑓 𝑖 (𝑡) , untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, maka 𝑦 𝑝 = 𝑦 1 + 𝑦 2 + ⋯ 𝑦 𝑛 adalah penyelesaian partikular dari persamaan (3).
Dalam  hal  ini 𝑓(𝑡) bukan  merupakan  jumlah  berhingga  dari  beberapa  fungsi sederhana,    namun  atas  interval  berhingga.  Fungsi 𝑓(𝑡) dapat  diaproksimasi  oleh sejumlah fungsi yang demikian.
Adapun  pembuktian  dari  hasil  penelitian  dalam  arikel  ini,  dapat  ditunjukan  dengan mengunakan formula Leibniz sebagai akibat dari  Teorema 1.2.
Teorema  1.2 Misal 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah  fungsi  pada  2 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] dan 𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 kontinu pada  , maka
𝑑 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑏(𝑥) 𝑎(𝑥) 𝑑𝑡 = ∫ 𝜕𝑓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 𝑏 𝑎 𝑑𝑡. (8)
Bukti. Dalam kepustakaan [ 15 ], [ 16 ] dinyatakan bahwa aturan integral Leibniz ditulis 𝑑 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑏(𝑥) 𝑎(𝑥) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥, b(𝑥)) 𝑑 𝑑𝑥 𝑏(𝑥) − 𝑓(𝑥, 𝑎(𝑥)) 𝑑 𝑑𝑥 𝑎(𝑥) + ∫ 𝜕𝑓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 𝑏(𝑥) 𝑎(𝑥) 𝑑𝑡 (9)
dengan −∞ < 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) < ∞ . Dalam kasus fungsi 𝑎(𝑥) dan 𝑏(𝑥) adalah konstan, yaitu 𝑎(𝑥) = 𝑎 dan 𝑏(𝑥) = 𝑏 dengan 𝑎 dan 𝑏 suatu kontanta, maka dari persamaan (9) diperoleh 𝑑 𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 ) = ∫ 𝜕𝑓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 . 
Akibat dari Teorema 1.2, jika ditetapkan 𝑎(𝑥) = 𝑎 dan b (𝑥) = 𝑥 maka diperoleh 𝑑 𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 ) = 𝑓(𝑥, 𝑥) + ∫ 𝜕𝑓(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 (10)
yang merupakan formula Leibniz [ 17 ].

## 2. Metodologi
Metodologi  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi  literatur  ( literature  study )  yang mengkolaborasikan  antara  teori  vibrasi  pada  aspek  fisika  dan  dinamika,  serta  teori persamaan  diferensial  biasa  pada  aspek  matematika  teknik.  Adapun  tujuan  dari penenlitian ini untuk menentukan penyelesaian khusus atau penyelesaian lengkap dari PDB pada persamaan (3) melalui Proposisi 3.1. Proposisi 3.1 yang dinyatakan dalam penelitian ini  dimotivasi hasil penelitian pada kepustakaan [ 18 ],  dengan 𝑓(𝑡) adalah fungsi  bagian  demi  bagian  ( piecewise  function )  yang  terdefinisi  pada  suatu  interval yang terbatas.
Tahapan untuk menentukan penyelesaian khusus dari PDB pada persamaan (3) adalah sebagai berikut:
1. Konstruksi 𝑓(𝑡) yang  terdefinisi  untuk  interval  waktu 𝑡 ∈ [0, 𝑥] sedemikian sehingga untuk 𝑡 = 𝑥 , 𝑓(𝑡) menjadi fungsi bagian demi bagian  yaitu
𝑓(𝑡) = { 𝐹 1 (𝑡), 𝐹 2 (𝑡), jika  0 ≤ 𝑡 < 𝑡 1 , jika  𝑡 ≥ 𝑡 1 ;
2.   Menentukan fungsi respon impulse satuan 𝑤(𝑡) melalui  penyelesaian homogen dari PDB  pada  persamaan  (5)  dengan  syarat  awal 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1, sedemikian sehingga ℎ(𝑡) = 𝑤(𝑡);
3.   Menggunakan  konvolusi (𝑓 ∗ 𝑤)(𝑡) sebagai penyelesaian partikular 𝑦 𝑝 (𝑡) yaitu
(𝑓 ∗ 𝑤)(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡 𝑥
0 sedemikian sehingga 𝑦(𝑡) = 𝑦 𝑝 (𝑡) , yakni
𝑦(𝑡) =
{ ∫ 𝐹 1 (𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 1
0 ,                                            jika  0 ≤ 𝑡 < 𝑡 1 , ∫ 𝐹 1 (𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 1 0 + ∫ 𝐹 2 (𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏, 𝑡 𝑡 1 jika   𝑡 ≥ 𝑡 1 ;
4.   Menentukan parameter 𝜔 𝑑 , 𝜔 𝑛 , dan  melalui 𝑦 ℎ (𝑡) dari Persamaan (3);
5.   Menetapkan nilai konstanta 𝑚, 𝑐 dan 𝑘 untuk memvalidasi 𝑦(𝑡) dengan grafik sebagai penyelesaian khusus persamaan (3) yang merupakan persamaan gerak getaran mekanis pegas dengan satu derajat kebebasan yang dipengaruhi gaya luar .

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Misalkan 𝑡 termuat  pada  interval  waktu [0, 𝑥] ,  untuk  menentukan  penyelesaian partikular 𝑦 𝑝 (𝑡) dari persamaan (7) pada saat 𝑡 = 𝑥 , selanjutnya interval [0, 𝑥] dibagi menjadi n partisi dengan panjang partisi ∆𝑡 , yaitu 0 = 𝑡 0 < 𝑡 1 < 𝑡 2 <. . . < 𝑡 𝑖 < 𝑡 𝑖+1 < 𝑡 𝑛 = 𝑥 dengan 𝑡 𝑖+1 − 𝑡 𝑖 = ∆𝑡 .  Untuk  partisi  sembarang  ke- i ,  yaitu   1 , i i t t  dipunyai 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡) ≈ 𝑓(𝑡 𝑖 ) , selanjutnya jika dikonstruksi
𝑓(𝑡) = { 𝑓(𝑡 𝑖 ), 𝑡 ∈ [𝑡 𝑖 , 𝑡 𝑖+1 ] 0,  lainnya ;  𝑖 = 0, 1, . . , 𝑛 − 1
maka
𝑓(𝑡) ≈ 𝑓 0 (𝑡) + 𝑓 1 (𝑡)+. . . +𝑓 𝑛−1 (t) untuk 0 < 𝑡 < 𝑥. (9)
Karena 𝑤(𝑡) adalah respon sistem persamaan (7) terhadap impulse satuan pada saat 𝑡 = 0 , maka respon dari persamaan (6) terhadap  impulse  yang diberikan oleh 𝑓(𝑡) (dengan kata lain, penyelesaian partikular persamaan (7) yang bersesuaian dengan 𝑓 𝑖 (𝑡) ) menjadi 𝑓(𝑡 𝑖 )𝑤(𝑡 − 𝑡 𝑖 )∆𝑡. (10) Dalam hal ini 𝑤(𝑡) telah bergeser sejauh 𝑡 𝑖 satuan ke kanan karena impulse terjadi pada waktu 𝑡 𝑖 dari waktu awalnya pada saat 𝑡 = 0 . Perkalian dengan 𝑓(𝑡 𝑖 )∆𝑡 karena merupakan impulse yang terjadi sebenarnya, gaya 𝑓 𝑖 (𝑡) mempunyai besaran 𝑓(𝑡 𝑖 ) dan digunakan atas interval waktu ∆𝑡 .
Karena 𝑓(𝑡) dinyatakan  dalam  persamaan  (9),  dan  persamaan  (10)  memberikan  respon untuk  setiap 𝑓 𝑖 (𝑡) ,  maka  berdasarkan  prinsip  superposisi  penyelesaian  partikular 𝑦 𝑝 (𝑡) dapat dinyatakan oleh
𝑦 𝑝 (𝑡) = ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )𝑤(𝑡 − 𝑡 𝑖 )∆𝑡
𝑛−1 𝑖=0 ;  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥.
Sehingga untuk 𝑡 = 𝑥 , diperoleh
𝑦 𝑝 (𝑡) ≈ ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )𝑤(𝑡 − 𝑡 𝑖 )∆𝑡. 𝑛−1
𝑖=0 (11)
Dalam hal ini, Persamaan (11) merupakan jumlah yang mengaproksimasi definit integral. Jadi  jika  ditentukan  nilai  limit  pada  persamaan  (11)  untuk 𝑛 → ∞ ,  yaitu ∆𝑡 → 0 ,  maka diperoleh
lim ∆𝑡→0 ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )𝑤(𝑡 − 𝑡 𝑖 )∆𝑡 𝑛−1 𝑖=0 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0
atau
𝑦 𝑝 (𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 (12)
yang merupakan respon sistem untuk 𝑓(𝑡) . Sehingga persamaan (12) ini dapat dipandang sebagai penyelesaian lengkap (2) dari persamaan (3) atau dengan kata lain persamaan (12) adalah 𝑦 𝑐 (𝑡) khusus (penyelesaian khusus) untuk persamaan (1) yang memenuhi syar at awal yang diberikan sedemikian sehingga 𝑦 𝑝 (𝑡) seperti pada (12) berlaku untuk syarat awal 𝑦 𝑝 (0) = 0 dan 𝑦 𝑝 , (0) = 0 .
Dari  uraian  di  atas  didapat  sebuah  proposisi  yang  menunjukkan  suatu  kenyataan  yang menguatkan terhadap proposisi dalam kepustakaan [18].
Proposisi 3.1 Konvolusi pada persamaan (12) adalah penyelesaian khusus dari persamaan (7) dengan syarat awal seperti yang dinyatakan pada persamaan (3).
Bukti. Konvolusi pada Persamaan (12) dinyatakan oleh
𝑦 𝑝 (𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡
𝑥
0 .
Dengan menggunakan formula Leibniz diperoleh
𝑦 𝑝 , (𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑤(𝑥 − 𝑥) + ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤′(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 .
Menurut persamaan (6), karena 𝐹  𝑚 adalah faktor yang tidak nol sehingga untuk 𝑦(0) = 0 akan  didapat 𝑤(0) = 0 .  Akibatnya  suku  pertama  pada  persamaan  di  atas  adalah  sama dengan nol. Selanjutnya dengan menggunakan formula Lebniz kembali, didapat
𝑦 𝑝 ,, (𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑤′(𝑥 − 𝑥) + ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤"(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡.
𝑥 0
Karena  pada  persamaan  (6),  diasumsikan 𝐹  𝑚 =  1,  maka  untuk 𝑦′(0) = 1 diperoleh 𝑤′(0) = 1, sedemikian sehingga
𝑦 𝑝 ,, (𝑡) = 𝑓(𝑥) + ∫ 𝑓(𝑡) 𝑤"(𝑥 − 𝑡)𝑑𝑡. 𝑥

## 0
Dengan  mengambil 𝑚 = 1 pada  persamaan  (7)  dan  mensubtitusikannya  pada  PDB

## tersebut diperoleh
𝑦 𝑝 ,, + 𝑐𝑦 𝑝 , + 𝑘𝑦 𝑝 = 𝑓(𝑥) + ∫ 𝑓(𝑡)[𝑤"(𝑥 − 𝑡) + 𝑐𝑤′(𝑥 − 𝑡) + 𝑘𝑤(𝑥 − 𝑡)]𝑑𝑡. 𝑥

## 0
Karena untuk setiap variabel bebas 𝑢 dan 𝑤(0) = 0 , 𝑤′(0) = 1 maka berlaku
𝑤"(𝑢) + 𝑐𝑤′(𝑢) + 𝑘𝑤(𝑢) = 0,
berlaku juga untuk 𝑢 = 𝑥 − 𝑡 ,
𝑤"(𝑥 − 𝑡) + 𝑐𝑤′(𝑥 − 𝑡) + 𝑘𝑤(𝑥 − 𝑡) = 0.
Akibatnya
𝑓(𝑥) + ∫ 𝑓(𝑡)[𝑤"(𝑥 − 𝑡) + 𝑐𝑤′(𝑥 − 𝑡) + 𝑘𝑤(𝑥 − 𝑡)]𝑑𝑡 𝑥
0 = 𝑓(𝑥).
Jadi
𝑦 𝑝 ,, + 𝑐𝑦 𝑝 , + 𝑘𝑦 𝑝 = 𝑓(𝑥).

Proposisi 3.1 menunjukan bahwa integral konvolusi yang dinyatakan pada Persamaan (12) memenuhi  PDB  yang  dinyatakan  pada  Persamaan  (1)  dengan  syarat  awal  seperti  yang dinyatakan pada Persamaan (3). Bukti ini menguatkan terhadap fakta proposisi pada artikel kepustakaan [18]. Oleh karena itu,  jika 𝑓(𝑡) pada persamaan (7) adalah fungsi bagian demi bagian yang terdefinisi untuk interval, yaitu
𝑓(𝑡) = { 𝐹 1 (𝑡), 𝐹 2 (𝑡), jika  0 ≤ 𝑡 < 𝑡 1 , jika   𝑡 ≥ 𝑡 1 , (13)
maka Persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai berikut
𝑚𝑦 𝑝 ,, + 𝑐𝑦 𝑝 , + 𝑘𝑦 𝑝 = { 𝐹 1 (𝑡), 𝐹 2 (𝑡), jika   0 ≤ 𝑡 < 𝑡 1 , jika   𝑡 ≥ 𝑡 1 . (14)
Dengan menggunakan Proposisi 3.1, maka menurut artikel kepustakaan [6], penyelesaian Persamaan  (14)  dengan  syarat  awal 𝑦(0) = 0 , 𝑦′(0) = 0 dapat  dituliskan  dengan Persamaan (15)  sebagai berikut,
𝑦(𝑡) =
{ ∫ 𝐹 1 (𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 1
0
,                                             jika  0 ≤ 𝑡 < 𝑡 1 ,
∫ 𝐹 1 (𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 1 0 + ∫ 𝐹 2 (𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏, 𝑡 𝑡 1 jika   𝑡 ≥ 𝑡 1 . (15)
Persamaan (15) mengiterpretasikan bahwa sistem gerak getaran mekasnis  pegas dengan sebuah  derajat  kebebasan  dengan  syarat  awal  yang  diberikan,  seperti  dinyatakan  dalam Persamaan (3) merupakan sistem  gerak getaran pegas dengan pengaruh gaya  luar 𝑓(𝑡) terdenisi pada suatu interval yang terbagi saat 𝑡 𝑖 seperti dinyatakan dalam persamaan (14), dengan fungsi respon impulse satuan dari sistem dinyatakan oleh ℎ(𝑡) .
Sebagai ilustrasi,  pada sistem yang dalam kondisi awal diam ( 𝑦(0) = 0 , 𝑦′(0) = 0 )  ada aksi gaya luar 𝑓(𝑡) secara tiba-tiba dan konstan setelah waktu tertentu ( 𝑡 0 ) dapat dinyatakan dalam Persamaan (16).
𝑚𝑦" + 𝑐𝑦′ + 𝑘𝑦 = { 0, 𝐹 0 (𝑡), jika  0 ≤ 𝑡 < 𝑡 0 , jika  𝑡 ≥ 𝑡 0 . (16)
Sehingga menurut Proposisi 3.1 didapat
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐹(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
𝑡
0 (17)
dengan
ℎ(𝑡) = 𝐹 0 𝑚𝜔 𝑑 𝑒 −  𝜔 𝑛 𝑡 sin𝜔 𝑑 𝑡. (18)
Parameter pada Persamaan (18), seperti yang telah ditetapkan pada kepustakaan   [ 19 ] dapat dibentuk dari penyelesaian homogen persamaan (16), yaitu
𝜔 𝑑 = √ 𝑘 𝑚 − ( 𝑐 2𝑚 ) 2 (19)
dan
𝜔 𝑛 = 𝑐 2  𝑚 , (20)
dalam hal ini
 = 𝑐 2√𝑚𝑘 (21)
sedemikian sehingga
𝜔 𝑑 2 𝑚𝑘 +  2 𝑘 2 = 𝑘 2 , (22)
dengan  merupakan konstanta faktor redaman yang nilainya sebanding dengan koefisien redaman 𝑐 dan berbanding terbalik dengan akar kuadrat massa 𝑚 dan konstanta pegas 𝑘 . Oleh karena itu dengan mensubstitusi persamaan (18) ke (17) untuk 𝑡 > 𝜏 setelah sistem bekerja karena dampak dari adanya gaya luar yang  bekerja pada sistem, didapat
𝑦(𝑡) = ∫ 𝐹 0 1 𝑚𝜔 𝑑 𝑒 −  𝜔 𝑛 𝑡 sin𝜔 𝑑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 𝑡 0 (23)
atau
𝑦(𝑡) = 𝐹 0 𝑚𝜔 𝑑 𝑒 −  𝜔𝑡 ∫ 𝑒  𝜔 𝑛 𝜏 𝑡 𝑡 0 sin𝜔 𝑑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏. (24)
Dengan  menggunakan  teknik  pengintegralan  pada  kepustakaan  [ 20 ]  dan  persamaan trigonometri pada kepustakaan [ 21 ], maka pengintegralan pada Persamaan (24) diperoleh hasil sebagai berikut,
𝑦(𝑡) = 𝐹 0 𝑘 − 𝐹 0 𝑘√1 −  2 𝑒 −  𝜔 𝑛 (𝑡−𝑡 0 ) cos[𝜔 𝑑 (𝑡 − 𝑡 0 ) − 𝛿] ;    𝑡 ≥ 𝑡 0 , (25)
dengan 𝛿 = 𝑎𝑟𝑐tan (  √1−  2 ). Jelas  bahwa  hal  ini  mensyaratkan |  | < 1 agar  sistem bergerak  berada  pada  kondisi  di  bawah  redaman.  Persamaan  (25)  ini  merupakan penyelesaian dari Persamaan (16). Sebagai validasi dari penerapan Proposisi 3.1 yang telah
dihasilkan pada penelitian ini,  dimisalkan nilai-nilai konstanta pada Persamaan (16) adalah sebagai  berikut 𝑚 = 10 kg , 𝐹 0 = 30 N , 𝑘 = 1000 N/m , dan 𝑐 = 20 Ns/m ,  maka pada saat 𝑡 0 = 0 ,  dapat  digambarkan  grafik 𝑓(𝑡) pada  Persamaan  (16)  dan  grafik 𝑦(𝑡) pada Persamaan (25) seperti tampak pada Gambar 1.
(𝑎). 𝑓(𝑡) = { 0, 𝐹 0 (𝑡), 0 ≤ 𝑡 < 𝑡 0 𝑡 ≥ 𝑡 0 (𝑏). 𝑦(𝑡) = 𝐹 0 𝑘 − 𝐹 0 𝑘√1 −  2 𝑒 −  𝜔 𝑛 (𝑡−𝑡 0 ) cos[𝜔 𝑑 (𝑡 − 𝑡 0 ) − 𝛿] ;  𝑡 ≥ 0
Gambar 1. ( a ) grafik 𝑓(𝑡) ( b ) grafik 𝑓(𝑡)
Terlihat bahwa jika sistem gerak getaran mekenis pegas pada Persamaan (3) dipengaruhi gaya luar 𝑓(𝑡) yang merupakan fungsi bagian demi bagian seperti yang dinyatakan oleh Persamaan  (16)  (Gambar  1  ( a )),  maka  persamaan  gerak  getaran  pegas  tersebut  dapat diperoleh melalui Persamaan (24) yang merupakan bentuk konvolusi dari Persamaan (17). Dalam hal ini, grafik persamaan 𝑦(𝑡) pada Gambar 1 ( b ) menunjukan bahwa gerak getaran mekanis  pegas  mengalami  pergeseran  statis  ( static  displacement )  sebesar 𝐹 0 𝑘 dengan penurunan  simpang  getar  untuk  setiap  waktu t yang  dipengarui  faktor  redaman  < 1 adalah sebesar 𝐹 0
𝑘√1−  2 𝑒 −  𝜔 𝑛 (𝑡−𝑡 0 ) .

## 4.  Kesimpulan
Diperoleh suatu fakta seperti yang dinyatakan pada Proposisi 3.1, bahwa bilamana suatu persamaan  diferensial  biasa  linier  koefisien  konstan  yang  tak  homogen  seperti  pada Persamaan  (1)  dan  memenuhi  syarat 𝑦(0) = 0 , 𝑦′(0) = 0 dengan 𝑓(𝑡) adalah  fungsi bagian  demi  bagian  yang  terdefinisi  pada  suatu  interval  terbatas,  maka  penyelesaian partikular dari persamaan diferensial tersebut adalah suatu konvolusi antara 𝑓(𝑡) dan 𝑤(𝑡) , dengan 𝑤(𝑡) = ℎ(𝑡) adalah  fungsi  respon  impulse  satuan  dari  sistem.  Sedemikian sehingga  penyelesaian  partikular 𝑦 𝑝 (𝑡) sekaligus  merupakan  penyelesaian  khusus persamaan (1) dan ditulis sebagai sebuah konvolusi, yaitu 𝑦(𝑡) = (𝑓 ∗ ℎ)(𝑡) .

## Daftar Pustaka
[1] W.-C. Xie, “Applications of  linear differential equations,” Differ. Equations Eng. , pp. 188–243, 2012. [ CrossRef ]
[2] J. R. Chasnov, “Differential Equations Adapted for Coursera: Differential Equations for  Engineers,  Lecture  Notes  for  Coursera,”  p.  149,  Copyright © 2019-2022. [ GreenVersion ]
[3] S. V Sangeetha, R. Mrithula, S. H. Priya, V. G. Preetha, and S. K. Arts, “Application of  differential  equation  in  simple  harmonic  motion,”  vol.  4,  no.  2,  pp.  353–356, 2019. [ GreenVersion ]
[4] A. N. Hadi, E. Djauhari, A. K. Supriatna, and M. D. Johansyah, “Teknik penentuan solusi  sistem  persamaan  diferensial  linear  non-homogen  orde  satu,” Matematika , vol. 18, no. 1, pp. 29–40, 2019. [ CrossRef ]
[5] M. A. Fathurrohman Al Ayubi, Dorrah Aziz, “Menyelesaikan persamaan diferensial linier  orde- n non  homogen  dengan  fungsi  green."  Prosiding  Seminar  Nasional Metoda Kuantitatif, ISBN No. 978-602-98559-3-7, 2017. [ CrossRef ]
[6] G.  Gunawan,  “Prinsip  Duhamel  dan  teorema  konvolusi."  Prosiding  Seminar Nasional Matematika. UNPAR, AA 10-15, ISSN 1907-3909 Vol. 7. 2012.
[7] M. Z. Muis Alie, I. M. Suci, A. Rajmi, and A. M. A. Arafat, “Sistem  respon satu derajat  kebebasan  terhadap  beban  harmonik  pada  struktur  portal  2D,” J.  Penelit. Enj. , vol. 23, no. 2, pp. 136–140, 2019. [ CrossRef ]
[8] S. Saran, “Theory of vibrations,” Dyn. Soils Their Eng. Appl. , pp. 15–68, 2021, doi: 10.1201/9781003080039-2. [ CrossRef ]
[9] M. R. Aulia, “Osilasi teredam pada pegas dengan medium fluida,” J. Teach. Learn. Phys. , vol. 3, no. 1, pp. 22–26, 2018. [ CrossRef ]
[10]  D. Goutaudier et al. , “Impulse identification technique by estimating specific modal ponderations from vibration measurements," Journal of Sound and Vibration , 474 (115263), pp.1-20, 2020. [ GreenVersion ]
[11]  S. S. Law and J. F. Lin,  “Unit  impulse response  estimation  for structural damage detection under planar multiple excitations,” J. Appl. Mech. Trans. ASME , vol. 81, no. 2, 2014. [ CrossRef ]
[12]  A.  C.  Kemp  and  R.  J.  Telford,  “Transfer  functions,” Handb.  Sea-Level  Res. ,  pp. 470–499, 2015, doi: 10.1002/9781118452547.ch31.
[13]  J.  W.  Kirchner,  “Impulse  response  functions  for  nonlinear,  nonstationary,  and heterogeneous  systems,  estimated  by  deconvolution  and  demixing  of  noisy  time series,” Sensors , vol. 22, no. 9, 2022. [ CrossRef ]
[14]  N.  Fusco,  P.  Marcellini,  and  C.  Sbordone,  “Ordinary  Differential  Equations,” UNITEXT - La Mat. per 3 piu 2 , vol. 137, pp. 187–235, 2022, doi: 10.1007/978-3- 031-04151-8_4.
[15]  A. E. Hamza and M. H. Al-Ashwal, “Leibniz’s rule and Fubini’s theorem associated with power quantum difference operators,” Int. J. Math. Anal. , vol. 9, no. 53–56, pp. 2733–2747, 2015. [ GreenVersion ]
[16]  H.  Hernandez,  “Leibniz’s  rule  and  other  properties  of  integrals  of  randomistic variables,” ForsChem Res. Reports , vol. 4, no. 8, pp. 1–15, 2019. [ GreenVersion ]
[17]  P. Haile, “Differentiating an Integral,” pp. 1–2, 2018. [ GreenVersion ]
[18]  G. Gunawan, “Penerapan konvolusi pada persamaan diferensial linier orde dua tak homogen koefisien konstan,” BAREKENG J. Ilmu Mat. dan Terap. , vol. 15, no. 3, pp. 409–416, 2021. [ CrossRef ]
[19]  O.  S.  Manakova,  M.  A.  Mayorov,  and  A.  V.  Sidorov,  “Vibrations  in  engineering systems,” IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. , vol. 666, no. 1, 2019. [ CrossRef ]
[20]  M. Jandja and M. Lutfi,  “The  five columns rule  in solving definite  integration  by parts through transformation of integral limits,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1028, no. 1, 2018. [ CrossRef ]
[21]  I.  Andreev,  I.  Georgiev,  and  M.  Varbanova,  “One  approach  for  solving trigonometric equations using complex in the mathematical education,” TEM J. , vol. 8, no. 4, pp. 1339–1344, 2019. [ CrossRef ]