## EKSISTENSI SELEKTOR TERUKUR  PADA  FUNGSI BERNILAI HIMPUNAN  DI DALAM RUANG BANACH TAK SEPARABEL

## Mohamad Muslikh
Jurusan Matematika F.MIPA Universitas Brawijaya mslk@ub.ac.id, mslk59@yahoo.co.id
ABSTRACT . In the Kuratowski-Ryll Nardzewski theorem, measurable selector of the set- valued  functions  exist  if  the  value  of  set-valued  function  is  a  subset  of  a  separable  Banach spaces.  In  this  article  show  that  the  set-valued  function  has  a  measurable  selector  in  non separable Banach spaces.
Keywords :  set valued function, measurable selector
ABSTRAK. Dalam  Teorema  Kuratowski-Ryll  Nardzewski,    selector  terukur  dari    fungsi bernilai himpunan  dijamin  ada  apabila daerah nilai  fungsi bernilai himpunan merupakan himpunan  bagian  dari  ruang  Banach    yang  separabel.  Pada  artikel  ini  ditunjukkan  bahwa fungsi bernilai himpunan mempunyai selektor terukur di dalam ruang Banach  tak separabel. Kata Kunci : fungsi bernilai himpunan, selektor terukur

## 1. PENDAHULUAN
Pengembangan  teori  eksistensi  selektor  terukur  seringkali  dikaitkan  dengan kebutuhan aplikasi, seperti pada Teori Kontrol, inklusi diferensial, model matematika ekonomi  dan  pengintegralan  fungsi  bernilai  himpunan.  Khususnya  dalam pengintegralan  fungsi  bernilai  himpunan,  para  peneliti  telah  lama  sekali mendambakan suatu teorema seleksi tanpa separabelitas. Selama ini, mereka bekerja dengan  mengandalkan  teorema  Kuratowski  -  Ryll  Nardzewski  yang  mana  kita ketahui  bahwa  teorema  tersebut  hanya  berlaku  untuk  kasus  separabel  saja.  Dalam artikel  ini  persyaratan  separable  akan  dihilangkan  dan  kemudian  akan  ditunjukkan adanya selektor terukur untuk fungsi bernilai himpunan dimana nilai-nilainya berupa himpunan tertutup terhadap ruang Banach tak separabel.
Pekerjaan  sejenis  telah  dihasilkan  oleh  Cascales  dkk  (Cascales,  2010)  ,  akan tetapi  mereka  mengambil  nilai-nilainya  berupa  himpunan  kompak  lemah  ( weakly compact ) di dalam ruang Banach tak separabel.
Pada artikel ini, notasi 𝑋 adalah ruang Banach real, pasangan (Ω ,Σ ,μ ) adalah ruang ukuran lengkap kecuali ada pemberitahuan tambahan. Untuk ruang Banach real (𝑋, ‖ . ‖) dinotasikan 𝐵 𝑋 sebagai unit  bola tertutup dan 𝑆 𝑋 sebagai permukaan bola ( sphere ) satuan. Untuk himpunan 𝐷 ⊂ 𝑋 didefinisikan diameter himpunan 𝐷 sebagai, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐷) = 𝑠𝑢𝑝 𝑥,𝑦∈𝐷 ‖𝑥 − 𝑦‖
Notasi 2 𝑋 adalah  koleksi  semua  himpunan  bagian  tak  kosong  dari 𝑋 . Sedangkan 𝑐𝑙(𝑋) adalah koleksi semua himpunan bagian tak kosong tertutup dari 𝑋 dan 𝑘(𝑋) koleksi  semua  himpunan  bagian  kompak  tak  kosong  dari 𝑋. Pemetaan berbentuk 𝐹 ∶ Ω ⟶ 2 𝑋 disebut  fungsi  bernilai  himpunan  yaitu  fungsi  yang  nilai- nilainya berupa himpunan bagian tak kosong dari 𝑋. Fungsi ( single valued ) 𝑓: Ω ⟶ 𝑋 dikatakan selector dari 𝐹 jika untuk setiap 𝜔 ∈ Ω, 𝑓(𝜔) ∈ 𝐹(𝜔) .
Definisi 1.1. Diberikan ruang terukur (Ω, Σ) dan ruang Banach 𝑋 separabel . Fungsi bernilai  himpunan 𝐹 ∶ Ω ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) dikatakan terukur ( measurable )  jika  untuk  setiap himpunan terbuka 𝑈 ⊂ 𝑋, prapeta 𝐹 −1 (𝑈) = {𝜔 ∈ Ω ∣ 𝐹(𝜔) ∩ 𝑈 ≠ ∅} ∈ Σ .
Keterukuran  s et  valued  function 𝐹 yang  demikian  sering  kali  disebut  terukur Effros ( Effros measurable ) [Cascales, 2010]. Jika selection 𝑓 dari 𝐹 terukur, maka 𝑓 disebut selection terukur dari 𝐹.
Teorema  eksistensi  selektor  terukur  dari  suatu  fungsi  bernilai  himpunan pertama  kali  diperkenalkan  oleh  K.  Kuratowski    dan  C.  Ryll  Nardzewski.  Berikut teorema yang dimaksud.
52                                                                                                                        Mohamad Muslikh
Teorema 1.2 . (Kuratowski –Ryll Nardzewski, 1965). Diberikan ruang terukur (𝛺, 𝛴) dan  ruang  Banach 𝑋 separabel.  Jika  fungsi  bernilai  himpunan 𝐹: 𝛺 ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) terukur Effros, maka 𝐹 memuat selektor terukur 𝑓.
Teorema  1.2.  di  atas,  menjadi  perhatian  kami.  Apakah  dengan  menghilangkan pembatas  separabilitas pada  daerah  nilainya,  eksistensi  selektor  terukur  masih berlaku? Baiklah terlebih dahulu kita tinjau hasil-hasil berikut.
Untuk  fungsi  bernilai  himpunan 𝐹 yang terukur  Effros  dengan  nilai-nilai 𝐹 tertutup di dalam ruang Banach separabel, dapat dikarakterisasikan   sebagai  berikut:
Teorema  1.3. (Castaing  dan  Validier,  1977).  Diberikan (𝛺, 𝛴, 𝜇) ruang  ukuran lengkap,  ruang Banach 𝑋 separabel  dan fungsi bernilai himpunan 𝐹: 𝛺 ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) . Maka pernyataan berikut ekuivalen
(i) F terukur Effros
(ii) Terdapat barisan selektor terukur 𝑓 𝑛 : 𝛺  ⟶ 𝑋 dari 𝐹 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ sedemikian sehingga untuk setiap 𝜔 ∈ 𝛺 berlaku 𝐹(𝜔) = 𝑐𝑙{𝑓 𝑛 (𝜔)}
Pernyataan bagian (ii) di atas dikenal sebagai representasi Castaing.
Fungsi 𝑓: Ω ⟶ 𝑋 dikatakan terukur  kuat ( strongly  measurable )  jika  terdapat barisan fungsi sederhana φ 𝑛 : Ω ⟶ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑓 = lim 𝑛 φ 𝑛 (μ- a.e ) .  Jika ruang  Banach 𝑋 separabel  dan    fungsi  bernilai  himpunan 𝐹: Ω ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) terukur Effros,  maka 𝐹 memuat selektor-selektor terukur kuat, sebab dengan menggunakan teorema  Kuratowski  -  Ryll  Nardzewski,  akan  diperoleh  selektor  terukur 𝑓 dari 𝐹.
Kemudian  dengan  bantuan  teorema  keterukuran  dari  Pettis  [Diestel  dan  Uhl  1977] disimpulkan selektor f terukur kuat.

## 2. FUNGSI BERNILAI HIMPUNAN YANG MEMUAT SELEKTOR TERUKUR KUAT.
Dalam  bagian  pertama  ini  disajikan  fungsi  bernilai  himpunan  yang mempunyai selektor – selektor terukur kuat  dalam kontek ruang Banach  separabel . Dimisalkan koleksi ∑ = {𝐴 ∈ Σ ∣  𝜇(𝐴) > 0} +
dan koleksi ∑ = {𝐵 ⊂ 𝐴 ∣  𝐴 ∈ ∑ + } + 𝐴 . Selanjutnya kita perhatikan definisi berikut
Definisi 2.1.
Fungsi  bernilai  himpunan 𝐹: Ω ⟶ 2 𝑋 dikatakan  mempunyai  sifat  (P)  ,  jika  untuk setiap ϵ >  0  dan  setiap 𝐴 ∈ ∑ + terdapat  himpunan 𝐵 ∈ ∑ + 𝐴 dan 𝐷 ⊂ 𝑋 dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐷) ≤ 𝜖 sedemikian sehingga 𝐹(𝜔) ∩ 𝐷 ≠ ∅ untuk setiap 𝜔 ∈ 𝐵.
Dalam  hal  fungsi  saja,  sifat  (P)  sebagaimana  pada  Definisi  2.1.  merupakan karakterisasi  lain  dari  fungsi-fungsi  yang  terukur  kuat.  Berikut  proposisi  yang menyatakan hal tersebut.
Proposisi    2.2. . (Cascales,  2010)Untuk fungsi 𝑓: 𝛺 ⟶ 𝑋 , maka pernyataan  berikut ekuivalen
(i) Fungsi  f   memenuhi sifat (P).
(ii) Untuk setiap ϵ > 0 dan setiap 𝐴 ∈ ∑ + terdapat himpunan 𝐵 ∈ ∑ + 𝐴 dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝑓(𝐵)) ≤ 𝜖 .
(iii) Fungsi 𝑓 terukur kuat.
Sedangkan  hubungannya  dengan  fungsi  bernilai  himpunan  disajikan  sebagai berikut.
Proposisi 2.3. ( Cascales, 2010 ). Dimisalkan fungsi bernilai himpunan 𝐹: 𝛺 ⟶ 2 𝑋 .
(i) Jika  ada  fungsi  bernilai  himpunan 𝐺: 𝛺 ⟶ 2 𝑋 yang  memenuhi  sifat  (P) sedemikian  sehingga 𝐺(𝜔) ⊂ 𝐹(𝜔) μ  –a.e.  untuk  ω ∈ Ω  ,  maka 𝐹 juga memenuhi sifat (P).
54                                                                                                                        Mohamad Muslikh
(ii) Jika 𝐹 memuat selektor-selektor terukur kuat,  maka 𝐹 memenuhi sifat (P)
Di  sini  dapat  kita  simpulkan  bahwa,  jika 𝑋 separabel  dan  fungsi  bernilai himpunan 𝐹: Ω ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) terukur  Effros,  maka 𝐹 mempunyai  sifat  (P),  sebab 𝐹 memuat selektor terukur kuat sebagaimana telah diuraikan pada bagian pendahuluan. Dengan  demikian  berdasarkan  Proposisi  2.3  bagian  (ii),  maka  kesimpulan  di  atas benar.  Sebaliknya  belum  tentu  berlaku,  yaitu  ada  fungsi  bernilai  himpunan  yang mempunyai sifat (P) namun tidak terukur Effros. Sebagai contoh sederhana dapat kita ambil fungsi bernilai himpunan 𝐹: [0,1] ⟶ 𝑘(ℝ) yang didefinisikan sebagai 𝐹(𝑡) = [0, ℎ(𝑡)] , dengan fungsi ℎ: [0,1] ⟶ ℝ + tidak terukur. Nampak bahwa 𝐹 mempunyai selector  terukur 𝑓 = 0 ∈ 𝐹 dan  tentu 𝐹 mempunyai  sifat  (P),  akan  tetapi 𝐹 tidak terukur Effros, sebab untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ , himpunan
𝐹 −1 ((𝛼, +∞)) = {𝑡 ∈ [0,1] ∣ 𝐹(𝑡) ∩ (𝛼 , +∞) ≠ ∅}
= {𝑡 ∈ [0,1] ∣ ℎ(𝑡) > 𝛼}
Sekarang  akan  kita  tinjau  hasil-hasil  eksistensi  selector  terukur  yang  telah dikerjakan  oleh  penulis  lain  dalam  kontek  ruang  Banach  tak  separabel.  B.  Cascales dan  kawan-kawan  dalam  artikelnya  [  Cascales,  2010]  menyatakan  hasilnya  sebagai berikut.
Teorema  2.4 . Dimisalkan (𝛺, 𝛴, 𝜇) ruang  ukuran  lengkap,    ruang  Banach 𝑋 tak separabel  dan  fungsi  bernilai  himpunan 𝐹: 𝛺 ⟶ 𝑤𝑘(𝑋) ,  dimana 𝑤𝑘(𝑋) koleksi semua  hipunan  bagian  tak  kosong  yang  kompak  lemah  dari 𝑋 .  Maka  pernyataan berikut ekivalen
(i) F memuat selektor yang terukur kuat.
(ii) F memenuhi sifat (P).
(iii) Terdapat himpunan 𝛺 0 ∈ 𝛴 dengan 𝜇(𝛺 0 ) = 0 , sub ruang separabel 𝑌 ⊂ 𝑋 dan  fungsi  bernilai  himpunan 𝐺 ∶ 𝛺 ∖ 𝛺 0 ⟶ 𝑤𝑘(𝑌) yang  terukur  Effros sedemikian sehingga 𝐺(𝜔) ⊂ 𝐹(𝜔) untuk setiap 𝜔 ∈ (𝛺 ∖ 𝛺 0 ).
Eksistensi Selektor Terukur pada Fungsi Bernilai Himpunan                                              55
Bukti Teorema 2.4 dapat dibaca dalam [Cascales, 2010].
Berikutnya,    D.  Barcenas  dan  W.Urbina  [Barcenas,  1997)  memperkenalkan Definisi fungsi  bernilai  himpunan terukur  di  dalam  ruang  Banach  tak  separabel. Definisi tepatnya sebagai berikut.

## Definisi 2.5.
Dimisalkan (Ω, Σ, μ) ruang ukuran lengkap dan ruang Banach 𝑋 tak separabel. Fungsi bernilai himpunan 𝐹: Ω  ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) dikatakan terukur – μ,  jika terdapat barisan fungsi terukur-μ 𝑓 𝑛 : Ω ⟶ 𝑋 dan himpunan Ω 0 ∈ Σ dengan 𝜇(Ω 0 ) = 0 maka berlaku
𝐹(𝜔) = 𝑐𝑙{𝑓 𝑛 (𝜔)}, ∀𝜔 ∈ (Ω ∖ Ω 0 )
Definisi ini mirip dengan karakterisasi fungsi bernilai himpunan yang terukur dalam  pengertian  Effros  (  lihat  Teorema  1.3  ).  Hanya  saja  definisi  di  atas, mengabaikan  nilai-nilai 𝐹 pada  himpunan  yang  berukuran  nol.  Dengan  Definisi tersebut, D. Barcenas dan W. Urbina mengkarakterisasikan fungsi bernilai himpunan 𝐹: Ω  ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) terukur dalam pengertian Definisi 2.5  sebagai berikut.
Teorema  2.6. (Barcenas  dan  Ubrina,  1997) . Diberikan 𝑋 ruang  Banach  tak separabel, (𝛺, 𝛴, 𝜇) ruang  terukur  yang  lengkap  dengan  ukuran  berhingga  dan fungsi bernilai himpunan 𝐹: 𝛺  ⟶ 𝑐𝑙(𝑋) . Maka pernyataan di bawah ini ekivalen (i) F terukur dalam pengertian Definisi 2.5.
(ii) Terdapat 𝛺 0 ∈ 𝛴 dengan 𝜇(𝛺 0 ) = 0 sedemikian  sehingga  ruang  bagian tertutup 𝑌 = [∪ 𝜔∈𝛺\𝛺 0 𝐹(𝜔)] yang  dibangkitkan  oleh ∪ 𝜔∈𝛺\𝛺 0 𝐹(𝜔) separabel dan untuk setiap himpunan terbuka 𝑈 ⊂ 𝑌, 𝐹 −1 (𝑈) ∈ 𝛴.
Bukti Teorema 2.6 dapat dibaca dalam artikelnya [Barcenas, 1997].
Berikut ini adalah  hasil utama dalam artikel ini.
Teorema 2.7. Diberikan 𝑋 ruang Banach tak separabel dan (𝛺, 𝛴, 𝜇) ruang ukuran lengkap  .  Jika  fungsi  bernilai  himpunan 𝐹: 𝛺  ⟶ 𝑐𝑙(𝑋 ) terukur  dalam  pengertian Definisi 2.5, maka 𝐹 memuat selektor terukur kuat.
Bukti.
Karena 𝐹 terukur  dalam  pengertian  Definisi  2.5,  maka  menurut  Teorema  2.6  , terdapat Ω 0 ∈ Σ dengan 𝜇(Ω 0 ) = 0 sedemikian sehingga ruang bagian tertutup 𝑌 = [∪ 𝜔∈Ω\Ω 0 𝐹(𝜔)] ⊂ 𝑋 dan 𝑌 separable.    Definisikan fungsi  bernilai  himpunan 𝐺: Ω  ⟶ 𝑐𝑙(𝑌) dengan
𝐺(𝜔) = { 𝐹(𝜔),  jika 𝜔 ∈ (Ω ∖ Ω 0 ) ,
{0},    jika 𝜔 ∈ Ω 0 ,
dan fungsi 𝑔 𝑛 : Ω ⟶ 𝑋 dengan
𝑔 𝑛 (𝜔) = { 𝑓 𝑛 (𝜔),  jika 𝜔 ∈ (Ω ∖ Ω 0 ),
0       ,  jika 𝜔 ∈ Ω 0 ,
Dimana 𝑓 𝑛 : Ω ⟶ 𝑋 barisan fungsi terukur sedemikian sehingga
𝐹(𝜔) = 𝑐𝑙{𝑓 𝑛 (𝜔)}, ∀𝜔 ∈ (Ω ∖ Ω 0 ) .
Karena μ lengkap, maka setiap 𝑔 𝑛 terukur dan
𝐺(𝜔) = 𝑐𝑙{𝑔 𝑛 (𝜔)}, ∀𝜔 ∈ Ω .
Karena 𝑌 separabel , maka menurut Teorema 1.3, fungsi bernilai himpunan 𝐺 terukur Effros,  sehingga 𝐺 memuat  selektor terukur kuat  sebagaimana  yang dijelaskan pada pendahuluan. Karena itu, 𝐹 memuat selektor terukur kuat. 

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  hasil  utama  yang  diperoleh,  dapat  disimpulkan  bahwa  Teorema Kuratowski-Ryll  Nardzewski  masih  berlaku  tanpa  pembatasan  separabilitas  pada daerah  ruang  nilainya.    Kesimpulan  yang  kedua  adalah,  fungsi  bernilai  himpunan 𝐹: Ω  ⟶ 𝑐𝑙(𝑋 ) yang  terukur  dalam  pengertian  Definisi  2.5.  mempunyai  sifat  (P)
Eksistensi Selektor Terukur pada Fungsi Bernilai Himpunan                                              57
(lihat  Proposisi 2.3.). Adapun saran  yang bisa kami berikan dalam artikel ini adalah mengembangkan  hasil  pada  Teorema  2.7,  untuk  fungsi  bernilai  himpunan F yang nilai-nilainya di dalam 𝑘(𝑋).

## UCAPAN TERIMA KASIH
Disampaikan  ucapan  terima  kasih  kepada  DP2M  Dirjen  Dikti  Kementerian Pendidikan  dan  Kebudayaan  RI  yang  telah  memberikan  dana  untuk  mendukung pelaksanaan Penelitian Fundamental dengan nomor kontrak 0636/023- 04.2.16/15/2011R  dan 121/D3/PL/2011.

## DAFTAR PUSTAKA
Aubin, J. P. dan Franskowska, H (1990) Set-Valued Analysis , Birkhauser, Boston.
Barcenas,  D.  dan  Urbina,  W.  (1997) Measurable  Multifunctions  in  Nonseparable Banach spaces, SIAM J. Math. Anal, Vol. 28, No. 5 11 (1), 1212-1226.
Cascales,  B.,  Kadets,  V.  dan  Rodriguez,  J.  (2010) Measurability  and  Selections  of Multi-functons in Banach spaces , Journal of Convex Analysis, 17. No.1, 229- 240.
Castaing, C. dan Valadier, M. (1977) Convex Analysis Measurable Multifunctions , Lecture Notes in Math. 580, Springer -Verlag, Berlin.
Diestel,  J.  and  Uhl,  J.J.  Jr.  (1977)., Vektor  Measure ,  American  Mathematical Society, Providence, R.I No. 15.
Kuratowski,  K. dan  Ryll-Nardzewski, C. (1965) A General  Theorem on  Selectors ,
Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 13, 397- 403 .
58                                                                                                                        Mohamad Muslikh