Protokol Otentikasi Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Grup Unit Atas Ring Endomorfisma END (ℤ 𝒑 × ℤ 𝒑 𝟐 )

## Muhamad Zaki Riyanto
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: muhamad.riyanto@uin-suka.ac.id

## Abstrak
Diberikan  suatu  bilangan  prima p ,  maka END (ℤ 𝒑 × ℤ 𝒑𝟐 ) adalah  ring  non-komutatif  dengan  elemen  satuan  dan memuat  sebanyak 𝒑 𝟓 elemen.  Climent  et.al.  (2011)  telah  menunjukkan  bahwa  ring END (ℤ 𝒑 × ℤ 𝒑𝟐 ) isomorfis dengan  ring 𝑬 𝒑 = {( 𝒂 𝒃 𝒑𝒄 𝒅 ) : 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ 𝒑 , 𝒅 ∈ ℤ 𝒑𝟐 } ,  serta  memberikan  penerapan  dari  ring  tersebut  dalam kriptografi, yaitu berupa protokol pertukaran kunci berdasarkan masalah dekomposisi. Pada makalah ini, protokol pertukaran kunci tersebut dikembangkan menjadi suatu protokol otentikasi. Fungsi dari protokol otentikasi adalah sebagai  sarana  untuk  membuktikan  kebenaran  identitas  pihak  pengirim  ( user )  kepada  pihak  penerima  ( server ). Dalam makalah ini diperkenalkan suatu protokol otentikasi yang didasarkan pada masalah konjugasi pada grup unit 𝑼(𝑬 𝒑 ) .  Penggunaan  grup  unit  unit 𝑼(𝑬 𝒑 ) didasarkan  pada  fakta  bahwa  grup  ini  memuat  sebanyak 𝒑 𝟑 (𝒑 − 𝟏) 𝟐 elemen. Apabila semakin besar bilangan prima p yang digunakan, maka diharapkan masalah konjugasi pada grup 𝑼(𝑬 𝒑 ) menjadi lebih sulit untuk dipecahkan.
Kata Kunci:

## Abstract
Let p be a prime number, then END (ℤ 𝒑 × ℤ 𝒑𝟐 ) is a non-commutative ring with unity and has 𝒑 𝟓 elements. Climent et.al. in 2011 proved that END (ℤ 𝒑 × ℤ 𝒑𝟐 ) is isomorphic to the ring 𝑬 𝒑 = {( 𝒂 𝒃 𝒑𝒄 𝒅 ) : 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ 𝒑 , 𝒅 ∈ ℤ 𝒑𝟐 } and gives an  application  to  a  key  exchange  protocol  based  on  the  decompostion  problem.  The  ring  has  an  important properties  about  the  number  of  unit  elements,  it  has 𝒑 𝟑 (𝒑 − 𝟏) 𝟐 unit  elements.  In  this  paper,  we  develop  an authentication protocol based on the conjugation problem over the unit group 𝑼(𝑬 𝒑 ) . If we use a big prime number, then the number of elements of 𝑼(𝑬 𝒑 ) is very big close to 𝒑 𝟓 , it may increase the security of the authentication protocol.
Keywords

## Pendahuluan
Perkembangan teknologi informasi dewasa ini telah berpengaruh pada hampir semua aspek kehidupan manusia,  tak  terkecuali  dalam  hal  berkomunikasi.  Dengan  adanya  internet,  komunikasi  jarak  jauh dapat dilakukan dengan cepat dan murah. Namun di sisi lain, ternyata  internet  tidak  terlalu aman karena merupakan jalur komunikasi umum yang dapat digunakan oleh siapapun sehingga sangat rawan terhadap penyadapan maupun pemalsuan. Oleh karena itu, keamanan informasi menjadi faktor utama yang harus dipenuhi.
Salah satu solusi untuk mengatasi hal tersebut adalah menggunakan kriptografi. Kriptografi adalah suatu  ilmu  yang  mempelajari  teknik-teknik  matematika  yang  berhubungan  dengan  aspek  keamanan informasi, seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, serta autentikasi data [1]. Tetapi tidak semua aspek keamanan informasi dapat diselesaikan dengan kriptografi. Aspek dalam kriptografi
yang  umum  dibahas adalah  tentang  keharasiaan  data,  yaitu  menggunakan  metode  enkripsi-dekripsi. Pesan  semula  (plainteks)  dienkripsi  menjadi  pesan  tersandi  (cipherteks)  menggunakan  suatu  metode tertentu dan suatu parameter rahasia yang disebut dengan kunci. Algoritma enkripsi yang dikenal luas selama ini adalah DES, AES, RSA dan ECC.
Selain itu juga dikenal protokol pertukaran kunci yang digunakan pada proses enkripsi dan dekripsi, yaitu kedua belah pihak yang melakukan enkripsi-dekripsi dapat menyepakati kunci yang sama. Salah satu  protokol  pertukaran  kunci  yang  dikenal  luas  adalah  protokol  pertukaran  kunci  Diffie-Hellman yang didasarkan pada masalah logaritma diskrit atas suatu grup siklik dengan order “besar”.
Selain aspek kerahasiaan, aspek otentikasi juga merupakan hal penting yang harus dipertimbangan pada saat proses pengiriman informasi dilakukan. Hal ini dilakukan agar tidak terjadi pemalsuan data pengirim. Banyak kasus pemalsuan identitas pengirim yang terjadi, seperti pemalsuan surat dan sms. Dalam perkembangannya, aspek otentikasi dapat diselesaikan menggunakan skema tanda tangan digital. Saat  ini,  tanda  tangan  digital  yang  dikenal  luas  adalah  tanda  tangan  RSA  dan  tanda  tangan  DSA. Tanda  tangan  RSA  yang  didasarkan  pada  masalah  faktorisasi  billangan  bulat  yang  “besar”.  Tanda tangan RSA bekerja  pada  ring ℤ 𝑝𝑞 dimana p dan q adalah bilangan prima “besar” yang berbeda. Tanda tangan DSA didasarkan pada masalah logaritma diskrit seperti pada protokol pertukaran kunci Diffie-Hellman.
Seiring dengan adanya perkembangan komputer kuantum, terjadi ancaman pada masalah faktorisasi dan  masalah  logaritma  diskrit,  walauapun  komputer  kuantum  tersebut  belum  dapat  diwujudkan. Diyakini  bahwa  kedua  masalah  tersebut  dapat  diselesaikan  dengan  mudah  menggunakan  komputer kuantum  di  masa  yang  akan  datang  [2].  Akibat  dari  adanya  ancaman  tersebut,  banyak  penilitian dilakukan  untuk  mencari  kandidat  skema  enkripsi-dekripsi,  tanda  tangan  digital,  maupun  protokol pertukaran kunci yang aman dari serangan komputer kuantum.
Salah satu penelitian yang dilakukan adalah dengan memanfaatkan masalah dalam teori grup, yaitu masalah konjugasi pada grup non-komutatif [3]. Dari masalah konjugasi dapat dikonstruksi protokol pertukaran  kunci  dan  dan  protokol  otentikasi.  Selain  itu  juga  dilakukan  penelitian  pada  masalah dekomposisi  pada  suatu  ring  berhingga,  penelitian  ini  dilakukan  untuk  mengkonstruksi  protokol pertukaran kunci. Salah satu ring yang digunakan adalah ring endomorfisma seperti yang dilakukan oleh Climent, Navarro dan Tartosa [4]. Pada makalah ini diperkenalkan suatu protokol otentikasi yang merupakan pengembangan dari  protokol  pertukaran  kunci  yang  didasarkan pada  masalah  konjugasi pada grup unit atas ring endomorfisma.
Ring Endomorfisma 𝑬𝑵𝑫(ℤ 𝒑 × ℤ 𝒑 𝟐 )
Diberikan p adalah suatu bilangan prima, dibentuk himpunan ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∈ ℤ 𝑝 , 𝑏 ∈ ℤ 𝑝 2 } , maka ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 adalah grup komutatif terhadap operasi penjumlahan biasa. Selanjutnya dibentuk END (ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 ) adalah  himpunan  semua  endomorfisma  pada  grup ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 .  Dapat  dilihat  bahwa himpunan END (ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 ) merupakan ring terhadap operasi komposisi fungsi.
Climent, Navarro dan Tartosa [4] telah menunjukkan bahwa terdapat suatu isomorfisma antara ring END (ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 ) dan ring
𝐸 𝑝 = {( 𝑎 𝑏 𝑝𝑐 𝑑 ) : 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 , 𝑑 ∈ ℤ 𝑝 2 }
dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan berbeda dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks pada umumnya, yaitu sebagai berikut
( 𝑎 1 𝑏 1 𝑝𝑐 1 𝑑 1 ) + ( 𝑎 2 𝑏 2 𝑝𝑐 2 𝑑 2 ) = ( (𝑎 1 + 𝑎 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 (𝑏 1 + 𝑏 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑝(𝑐 1 +   𝑐 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 2 (𝑑 1 + 𝑑 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 2 )
dan
( 𝑎 1 𝑏 1 𝑝𝑐 1 𝑑 1 ) ∙ ( 𝑎 2 𝑏 2 𝑝𝑐 2 𝑑 2 ) = ( (𝑎 1 𝑎 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 (𝑎 1 𝑏 2 + 𝑏 1 𝑑 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑝(𝑐 1 𝑎 2 +   𝑑 1 𝑐 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 2 (𝑝𝑐 1 𝑏 2 + 𝑑 1 𝑑 2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝 2 ).
Untuk  selajutnya,  penulisan  ring END (ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝 2 ) dapat  disebutkan  dengan  ring 𝐸 𝑝 .  Dapat  dilihat bahwa 𝐸 𝑝 memuat sebanyak 𝑝 5 elemen, serta memiliki elemen identitas penjumlahannya adalah 𝑂 = ( 0 0 0 0 ) dan elemen identitas perkaliannya adalah 𝐼 = ( 1 0 0 1 ) .
Diberikan 𝑀 = ( 𝑎 𝑏 𝑝𝑐 𝑑 ) ∈ 𝐸 𝑝 , dengan 𝑑 ∈ ℤ 𝑝 2 , maka d dapat ditulis sebagai 𝑑 = 𝑝𝑢 + 𝑣 dimana 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑝 . Salah satu fakta yang menarik terkait dengan elemen unit (invertibel) pada ring 𝐸 𝑝 diberikan pada teorema berikut ini.
Teorema 1. [4] Diberikan 𝑀 = ( 𝑎 𝑏 𝑝𝑐 𝑝𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝐸 𝑝 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑝 , maka M merupakan unit jika dan hanya jika 𝑎 ≠ 0 dan 𝑣 ≠ 0 . Lebih lanjut,
𝑀 −1 = ( 𝑎 −1 (−𝑎 −1 𝑏𝑣 −1 )𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑝[(−𝑣 −1 𝑐𝑎 −1 )𝑚𝑜𝑑 𝑝] 𝑝 [(𝑐𝑎 −1 𝑏(𝑣 −1 ) 2 − 𝑢(𝑣 −1 ) 2 − ⌊ 𝑣𝑣 −1 𝑝 ⌋ 𝑣 −1 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑝] + 𝑣 −1 ) .
Bukti: Dapat dilihat dalam [4].
Dalam kriptografi, semakin banyak pemilihan parameter rahasia yang digunakan, maka diharapkan dapat  meningkatkan keamanan dari sistem kriptografi yang digunakan. Jumlah elemen unit dari 𝐸 𝑝 memiliki sifat yang baik untuk membangun sistem kriptografi seperti diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 2. [4] Banyaknya elemen unit pada ring 𝐸 𝑝 adalah 𝑝 3 (𝑝 − 1) 2 .
Bukti: Diketahui bahwa suatu ( 𝑎 𝑏 𝑝𝑐 𝑝𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝐸 𝑝 merupakan elemen non-unit jika dan hanya jika 𝑎 = 0 atau 𝑣 = 0 . Banyaknya elemen dari 𝐸 𝑝 yang berbentuk ( 0 𝑏 𝑝𝑐 𝑝𝑢 + 𝑣 ) adalah 𝑝 4 , banyaknya elemen dari 𝐸 𝑝 yang berbentuk ( 𝑎 𝑏 𝑝𝑐 𝑝𝑢 ) adalah 𝑝 4 , dan banyaknya elemen dari 𝐸 𝑝 yang berbentuk
( 0 𝑏 𝑝𝑐 𝑝𝑢 ) adalah 𝑝 3 . Oleh karena itu, banyaknya elemen non-unit pada 𝐸 𝑝 adalah 2𝑝 4 − 𝑝 3 . Dengan demikian, banyaknya elemen unit pada 𝐸 𝑝 adalah 𝑝 5 − (2𝑝 4 − 𝑝 3 ) = 𝑝 3 (𝑝 − 1) 2 . ∎
Hal menarik yang dapat dilihat adalah bahwa probabilitas suatu elemen dari 𝐸 𝑝 merupakan unit adalah
𝑝 3 (𝑝 − 1) 2 𝑝 5 ⁄ = (𝑝 − 1) 2 𝑝 2 ⁄ ≈ 1 ,
yaitu hampir semua elemen dari 𝐸 𝑝 adalah unit [4].
Akibat  3.  Dibentuk 𝑈(𝐸 𝑝 ) adalah  himpunan  semua  unit  dari 𝐸 𝑝 ,  maka 𝑈(𝐸 𝑝 ) adalah  grup  non- komutatif dengan |𝑈(𝐸 𝑝 ) | = 𝑝 3 (𝑝 − 1) 2 .

## Protokol Pertukaran Kunci dan Protokol Otentikasi
Sistem kriptografi berupa skema enkripsi-dekripsi, tanda tangan digital, protokol pertukaran kunci dan otentikasi  seperti  RSA,  ElGamal  dan  Diffie-Hellman  memanfaatkan  permasalahan  dalam  matematika yang”sulit, seperti masalah faktorisasi dan masalah logaritma diskrit [1]. Tingkat keamanan dari sistem
kriptografi tersebut bergantung kepada tingkat kesulitan dalam menyelesaikan masalah tersebut, artinya semakin sulit menyelesaikan masalah yang digunakan berakibat semakin kuat tingkat keamanan sistem kriptografinya. Berikut ini diberikan skema protokol pertukaran kunci Diffie-Hellman.
Tabel 1 Protokol pertukaran kunci Diffie-Hellman.
Alice atau Bob mempublikasikan suatu grup siklik berhingga 𝑮 dengan elemen pembangun 𝒈 ∈ 𝑮 .
Alice Bob 1. Alice memilih secara rahasia 𝑎 ∈ ℕ
2. Alice menghitung 𝑔 𝑎
3. Alice mengirim 𝑔 𝑎 kepada Bob 4. Alice menerima 𝑔 𝑏 dari Bob 5. Alice menghitung
𝐾 𝐴 = (𝑔 𝑏 ) 𝑎 = 𝑔 𝑏𝑎
1. Bob memilih secara rahasia 𝑏 ∈ ℕ
2. Bob menghitung 𝑔 𝑏
3. Bob mengirim 𝑔 𝑏 kepada Alice 4. Bob menerima 𝑔 𝑎 dari Alice
5. Bob menghitung 𝐾 𝐵 = (𝑔 𝑎 ) 𝑏 = 𝑔 𝑎𝑏
Alice dan Bob telah menyepakati kunci rahasia 𝐾 = 𝐾 𝐴 = 𝐾 𝐵 .
Berdasarkan protokol pertukaran kunci Diffie-Hellman tersebut, dapat dikembangkan suatu protokol otentikasi yang didasarkan pada masalah logaritma diskrit sebagai berikut. Misalkan Alice sebagi pihak pembukti (prover) dan Bob sebagai pihak verifikator.
Tabel 2 Protokol otentikasi Diffie-Hellman.
Alice mempublikasikan suatu grup siklik berhingga 𝑮 dengan elemen pembangun 𝒈 ∈ 𝑮 .
Alice Bob 1. Alice memilih secara rahasia 𝑎 ∈ ℕ
2. Alice menghitung 𝑔 𝑎
3. Alice mengirim 𝑔 𝑎 kepada Bob 4. Alice menerima 𝑔 𝑏 dari Bob 5. Alice merespon dengan bukti
𝑃 = (𝑔 𝑏 ) 𝑎 = 𝑔 𝑏𝑎
dan mengirimkannya kepada Bob
1. Bob memilih secara rahasia 𝑏 ∈ ℕ
2. Bob menghitung 𝑔 𝑏
3. Bob mengirim tantangan 𝑔 𝑏 kepada Alice 4. Bob menerima 𝑔 𝑎 dari Alice 5. Bob memverifikasi apakah
(𝑔 𝑎 ) 𝑏 = 𝑃 ?
Tujuan  dari  protokol  otentikasi  adalah  sebagai  alat  untuk  melegitimasi  Alice  sebagai  user  untuk membuktikan identitasnya kepada Bob sebagai server melalui jalur komunikasi yang tidak aman.
Di  dalam  teori  grup  dikenal  suatu  masalah  yang  dinamakan  dengan  masalah  konjugasi  yang diberikan pada definisi berikut.
Definisi  4.  Diberikan 𝐺 adalah  suatu  grup  dan 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 .  Masalah  konjugasi  didefinisikan  sebagai masalah dalam menentukan suatu 𝑥 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑥 −1 𝑔𝑥 = ℎ .
Dalam Ko, Lee dkk [5] diberikan suatu protokol pertukaran kunci yang didasarkan pada masalah konjugasi  atas  grup  non-komutatif.  Walaupun  menggunakan  grup  non-komutatif,  tetapi  tetap memanfaatkan beberapa hal yang bersifat komutatif, seperti diberikan berikut.
Tabel 3 Protokol pertukaran kunci berdasarkan masalah konjugasi [5].
Alice atau Bob mempublikasikan suatu grup non-komutatif 𝑮 , suatu elemen 𝒘 ∈ 𝑮 dan 𝑯 suatu subgrup komutatif dari 𝑮 Alice Bob
1. Alice memilih secara rahasia 𝑎 ∈ 𝐻
2. Alice menghitung 𝑥 = 𝑎 −1 𝑤𝑎 3. Alice mengirim 𝑥 kepada Bob
4. Alice menerima 𝑦 dari Bob
5. Alice menghitung 𝐾 𝐴 = 𝑎 −1 𝑦𝑎
1. Bob memilih secara rahasia 𝑏 ∈ 𝐻
2. Bob menghitung 𝑦 = 𝑏 −1 𝑤𝑏 3. Bob mengirim 𝑦 kepada Alice
4. Bob menerima 𝑥 dari Alice
5. Bob menghitung 𝐾 𝐵 = 𝑏 −1 𝑥𝑏 Alice dan Bob telah menyepakati kunci rahasia 𝐾 = 𝐾 𝐴 = 𝐾 𝐵
Grup unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) dapat diterapkan pada protokol pertukaran kunci yang didasarkan pada masalah konjugasi tersebut, seperti diberikan dalam tabel berikut ini.
Tabel 4 Protokol pertukaran kunci berdasarkan masalah konjugasi atas grup unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) .
Alice atau Bob mempublikasikan bilangan prima 𝒑 , suatu elemen 𝑾 ∈ 𝑼(𝑬 𝒑 ) dan 𝑯 suatu subgrup komutatif dari 𝑼(𝑬 𝒑 ) Alice Bob 1. Alice memilih secara rahasia 𝐴 ∈ 𝐻 2. Alice menghitung 𝑋 = 𝐴 −1 𝑊𝐴
3. Alice mengirim X kepada Bob
4. Alice menerima Y dari Bob
5. Alice menghitung 𝐾 𝐴 = 𝐴 −1 𝑌𝐴
1. Bob memilih secara rahasia 𝐵 ∈ 𝐻
2. Bob menghitung 𝑌 = 𝐵 −1 𝑊𝐵 3. Bob mengirim 𝑌 kepada Alice
4. Bob menerima 𝑋 dari Alice
5. Bob menghitung 𝐾 𝐵 = 𝐵 −1 𝑋𝐵 Alice dan Bob telah menyepakati kunci rahasia 𝐾 = 𝐾 𝐴 = 𝐾 𝐵
Subgrup komutatif dari 𝑈(𝐸 𝑝 ) dapat dibentuk melalui subgrup siklik yang dibangun oleh suatu elemen dari 𝑈(𝐸 𝑝 ) , yaitu 𝐻 = {𝐴 𝑛 : 𝑛 ∈ ℤ} untuk suatu 𝐴 ∈ 𝑈(𝐸 𝑝 ) . Selain itu juga dapat dibentuk melalui center dari 𝐸 𝑝 yaitu
𝑍(𝐸 𝑝 ) = {( 𝑣 0 0 𝑝𝑢 + 𝑣 ) : 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑝 } .
Protokol Otentikasi pada Grup Unit
  p

## U E
Protokol  pertukaran  kunci  yang  didasarkan  pada  masalah  konjugasi  atas  grup  unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) dapat dikembangkan  menjadi protokol  otentikasi  yang  didasarkan  pada  masalah  konjugasi.  Secara  umum, protokol ini diberikan sebagai berikut.
Tabel 5 Protokol otentikasi berdasarkan masalah konjugasi [3].
Alice mempublikasikan suatu grup non-komutatif 𝑮 serta 𝑯 dan 𝑵 suatu subgrup dari 𝑮 sedemikian hingga 𝒉𝒏 = 𝒏𝒉 untuk setiap 𝒉 ∈ 𝑯 dan 𝒏 ∈ 𝑵 Alice Bob 1. Alice memilih 𝑠 ∈ 𝐻
2. Alice memilih 𝑤 ∈ 𝐺 3. Alice menghitung 𝑡 = 𝑠 −1 𝑤𝑠 4. Alice mengirim 𝑤 dan 𝑡 kepada Bob
5. Bob menerima 𝑤 dan 𝑡 dari Alice
6. Bob memilih 𝑟 ∈ 𝑁
7. Bob mengirimkan tantangan
𝑤 ′ = 𝑟 −1 𝑤𝑟 kepada Alice 8. Alice menerima 𝑤 ′ dari Bob 9. Alice merespon dengan mengirimkan 𝑤 ′′ = 𝑠 −1 𝑤 ′ 𝑠 kepada Bob
10. Bob mengecek apakah 𝑤 ′′ = 𝑟 −1 𝑡𝑟
Dapat  dilihat  bahwa  jawaban  yang  benar  dari  respon  Alice  adalah  dengan  mengecek  persamaan 1 w r tr    berlaku, yaitu 1 1 1 1 1 1 w s w s s r wrs r s wsr r tr             .
Berdasarkan  Tabel  5  di  atas,  dapat  dikonstruksi  suatu  protokol  otentikasi  yang  didasarkan  pada masalah  konjugasi  pada  grup  unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) .  Perbedaan  dengan  protokol  pertukaran  kunci  adalah penggunaan  dua  subgrup  dari 𝑈(𝐸 𝑝 ) yaitu H  dan  N  sedemikian  hingga  untuk  setiap S H  dan R N  memenuhi SR RS  . Dua subgrup tersebut dapat dikonstruksi melalui pemilihan dua elemen dari 𝑈(𝐸 𝑝 ) yang saling komutatif. Misalkan dipilih 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑈(𝐸 𝑝 ) sedemikian hingga AB=BA. Dibentuk subgrup siklik 𝐻 = {𝐴 𝑛 : 𝑛 ∈ ℤ} dan 𝑁 = {𝐵 𝑛 : 𝑛 ∈ ℤ} , maka untuk setiap S H  dan R N  berlaku SR RS  .  Berikut  ini  diberikan  protokol  otentikasi  berdasarkan  masalah  konjugasi  pada  grup  unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) .
Tabel 6 Protokol otentikasi berdasarkan masalah konjugasi pada grup unit   p U E .
Alice mempublikasikan bilangan prima 𝒑 serta 𝑯 dan 𝑵 suatu subgrup dari 𝑼(𝑬 𝒑 ) sedemikian hingga 𝑺𝑹 = 𝑹𝑺 untuk setiap 𝑺 ∈ 𝑯 dan 𝑹 ∈ 𝑵 Alice Bob 1. Alice memilih 𝑆 ∈ 𝐻 2. Alice memilih 𝑊 ∈ 𝑈(𝐸 𝑝 ) 3. Alice menghitung 𝑇 = 𝑆 −1 𝑊𝑆 4. Alice mengirim 𝑊 dan 𝑇 kepada Bob
5. Bob menerima 𝑊 dan 𝑇 dari Alice 6. Bob memilih 𝑅 ∈ 𝑁
7. Bob mengirimkan tantangan 𝑊 ′ = 𝑅 −1 𝑊𝑅 kepada Alice 8. Alice menerima 𝑊 ′ dari Bob 9. Alice merespon dengan mengirimkan 𝑊 ′′ = 𝑆 −1 𝑊 ′ 𝑆 kepada Bob
10. Bob mengecek apakah 𝑊 ′′ = 𝑅𝑟 −1 𝑇𝑅
Sebagai contoh kasus sederhana dari protokol ini diberikan berikut ini. Bob akan mengotentikasi Alice. Oleh karena itu, Alice dan Bob menggunakan protokol otentikasi seperti pada Tabel 6 di atas.
Alice  memilih  bilangan  prima 𝑝 = 2579 .  Alice  memilih  secara  rahasia 𝐴 = ( 123 0 0 45678 ) , 𝐵 = ( 910 0 0 11123 ) ∈ 𝑍(𝐸 2579 ) ∩ 𝑈(𝐸 2579 ) .  Selanjutnya,  Alice  membentuk  subgrup  siklik 𝐻 = 〈𝐴〉 dan 𝑁 = 〈𝐵〉 .  Alice  mempublikasikan 𝑝 = 2579 , 𝐻 dan 𝑁 .  Langkah  berikutnya  adalah  Alice  memilih
secara  rahasia 𝑆 = ( 123 0 0 45678 ) 2 = ( 2234 0 0 4641251 ) ∈ 𝐻 dan 𝑊 = ( 121 232 5158 15618 ) ∈
𝑈(𝐸 2579 ) . Alice menghitung
1 1 2234 0 121 232 2234 0
0 4641251 5158 15618 0 4641251 2123 0 121 232 2234 0 0 6473877 5158 15618 0 4641251
121 1269 . 6323708 15618 T S WS    
                                   Selanjutnya,  Alice  mengirimkan 𝑊 = ( 121 232 5158 15618 ) dan 𝑇 = ( 121 1269
6323708 15618 ) kepada  Bob. Di  lain  pihak,  Bob  menerima 𝑊 = ( 121 232 5158 15618 ) dan 𝑇 = ( 121 1269 6323708 15618 ) dari  Alice. Langkah berikutnya adalah Bob memilih secara rahasia 𝑊 = ( 910 0 0 11123 ) 4 = ( 1343 0
0 1158689 ) ∈ 𝑁 . Bob mengirimkan tantangan kepada Bob yaitu
1 1 1343 0 121 232 1343 0
0 1158689 5158 15618 0 1158689 699 0 121 232 1343 0 0 6489565 5158 15618 0 1158689
121 2511 . 1547400 15618 W R WR     
                                  
Alice  menerima  tantangan 𝑊 ′ = ( 121 2511 1547400 15618 ) dari  Alice,  maka  Alice  mengirimkan  respon kepada Bob yaitu
1
1 2234 0 121
2511 2234 0
0 4641251 1547400 15618 0 4641251 2123 0 121 232 2234 0 0 6473877 5158 15618 0 4641251
121 2377 . 1508715 15618 W R WR    
                                   
Bob  menerima  respon 𝑊 ′′ = ( 121 2377 1508715 15618 ) dari  Alice.  Untuk  melalukan  otentikasi,  Bob menghitung
1 1 1343
0 121 1269 1343 0 0 1158689 6323708 15618 0 1158689 699 0 121 1269 1343 0 0 6489565 6323708 15618 0 1158689
121 2377 . 1508715 15618
R TR
                                     
Bob memperoleh hasil bahwa 𝑊 ′′ = 𝑅 −1 𝑇𝑅 , yang berarti bahwa proses otentikasi berhasil.

## Penutup
Adanya protokol pertukaran kunci yang didasarkan pada masalah konjugasi dapat melahirkan adanya protokol otentikasi yang didasarkan pada masalah yang sama. Oleh karena itu, pemanfaatan grup unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) menjadi  baik  untuk  digunakan  dalam  protokol  otentikasi.  Hal  ini  dikarenakan  adanya penggunaan elemen unit pada konsep konjugasi serta banyaknya jumlah anggota dari grup unit 𝑈(𝐸 𝑝 ) . Semakin besar bilangan prima p yang digunakan akan mengakibatkan banyaknya pemilihan parameter rahasia yang semakin besar pula. Hal ini diharapkan dapat menjadikan pihak penyerang mengalami kesulitan karena harus menyelesaikan masalah konjugasi yang melibatkan banyak elemen dari grup unit 𝑈(𝐸 𝑝 ). Dalam  [4]  disarankan  menggunakan  bilangan  prima p  dengan  jumlah  digit  minimal sebanyak 60.

## Referensi
[1]  Menezes A.J., Van Oorschot P.C., dan Vanstone S.A., 1996, Handbook of Applied Cryptography , CRC Press, Boca Raton Florida.
[2]  Shor, P.W., 1997, Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithm on a Quantum Computer , SIAM Journal on Computing, 26(5), pp. 1484-1509.
[3]  Myasnikov A., Sphilrain V., dan Ushakov A., 2008, Group Based Cryptography , Birkhauser-Verlag, Basel.
[4]  Climent  J.J.,  Navarro  P.R.  dan  Tartosa  L.,  2011, On  the  Arithmetic  of  the  Endomorphisms  ring 𝐸𝑁𝐷(ℤ 𝑝 × ℤ 𝑝2 ) , Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 22(2), pp. 91-108.
[5]   Koo H.K., Lee S.J., Cheon J.H., Han J.W., Kang J.S. dan Park C., 2000, New Public-Key Cryptosystem Using Braid Groups , Advances in Cryptology – CRYPTO 2000 Vol.1880 of Lecture Notes in Computer Science, pp. 166-183.