## PENGGUNAAN MODEL REGRESI QUASI LIKELIHOOD UNTUK MENGATASI MASALAH OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON
Robertus D. Guntur 1* , Keristina Br. Ginting 1* , Ganesha L. Putra 1 , Jeanete Y. Nenabu 1 ,
1. Program Studi Matematika FST UNDANA
*Penulis korespondensi: robertus_guntur@staf.undana.ac.id

## ABSTRAK
Salah  satu  masalah  utama  dalam  menganalisis  data  menggunakan  model  regresi poisson adalah overdispersi. Kehadiran kondisi ini dalam model menyebabkan estimasi koefisien  regresi  yang  diperoleh  cenderung  menyimpang  dari  nilai  parameter sebenarnya.  Tujuan  utama  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  menunjukkan  bagaimana menyelesaikan  masalah  overdispersi  dengan  menggunakan  model  regresi  quasi likelihood. Penelitian ini menggunakan data sekunder dengan ukuran sampel sebanyak 316.  Hasil  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  nilai  khi  kuadrat  pearson  dan  nilai Devians dalam pengujian Goodness of Fit pada regresi quasi likelihood mendekati nilai distribusi khi kuadrat dengan derajat bebas 313. Dengan demikian  penggunaan model regresi    Quasi  Likelihood  lebih  memadai  dari  pada  model  regresi  Poisson  dalam menangani data yang teroverdispersi.
Kata Kunci : Regresi poisson, overdispersi, regresi quasi likelihood

## 1. PENDAHULUAN
Pada umumnya salah satu metode peramalan yang sering digunakan adalah analisis  regresi.  Analisis  regresi  mempelajari  hubungan  fungsional  antara  variabel respon  dan  variabel  bebas  yang  dinyatakan  dalam  sebuah  persamaan  matematis. Variabel  yang  mudah  didapat  atau  tersedia  digolongkan  ke  dalam  variabel  bebas (variabel  prediktor),  sedangkan  variabel  yang  terjadi  karena  variabel  bebas  itu merupakan  variabel  tak  bebas  (variabel  respon).  Untuk  selanjutnya,  variabel  bebas dinyatakan dengan X 1 , X 2 , …, X k (k ≥ 1 ),  sedangkan variabel respon  dinyatakan dengan Y  [1]–[3].
Dalam analisis regresi, akan ditentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku  untuk  populasi  berdasarkan  data  sampel  yang  diambil  dari  populasi  yang bersangkutan.  Hubungan  fungsional  ini  akan  dituliskan  dalam  bentuk  persamaan matematis  yang  selanjutnya  disebut  sebagai  persamaan  regresi.  Analisis  regresi yang umumnya  digunakan  adalah  analisis  regresi  klasik,  dimana  variabel  responnya merupakan  data  kontinu  yang  mengikuti  distribusi  normal.  Namun  dalam perkembangannya,  model  regresi  klasik  ini  tidak  mampu  mengatasi  permasalahan-
permasalahan  dimana  variabel  respon  berupa  data  diskrit  dan  tidak  berdistribusi normal.
Solusi untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan menggunakan model linier  tergenalisir atau  biasa  disebut  Generalized  Linear  Model  (GLM).  Uji  asumsi  yang diterapkan  pada  GLM  tidak  mengharuskan  asumsi  kenormalan  dari  variabel  respon dan  juga  tidak  mengharuskan  kehomogenan  dari  variansinya    [4].  Salah  satu  model regresi yang termasuk dalam penerapan GLM adalah regresi Poisson.
Regresi  Poisson  digunakan  untuk  menganalisis  hubungan  antara  variabel respon yang berupa data diskrit dengan satu atau lebih variabel indepeden, dimana nilai mean  dan  variansinya  diasumsikan  sama  (equidispersi).  Pada  prakteknya  seringkali data cacah memperlihatkan variasi yang sangat besar dimana mean sampel lebih besar daripada variansi sampel (underdispersi) atau sebaliknya variansi sampel lebih besar dari pada mean sampel (overdispersi). Jika model Poisson standar tetap diterapkan pada data  yang  mengandung  overdispersi,  nilai  estimasi  parameternya  menjadi  kurang efisien. Karena overdispersi akan menghasilkan penduga atau taksiran koefisien regresi yang  cenderung  menyimpang  dari  nilai  parameter  sebenarnya.  Galat  baku  yang dihasilkan  juga  ternyata  underestimate.  Artinya  galat  baku  lebih  kecil  dari  nilai sesungguhnya  dan  sebagai  konsekuensinya  model  tersebut  akan  memberikan kesimpulan yang keliru dalam interprestasinya  [3].
Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  mengatasi  masalah overdispersi  pada  regresi  Poisson  adalah  dengan  pendekatan  model  regresi  quasi likelihood.  Dalam  model  regresi  quasi  likelihood    diasumsikan   i i Var y   ,  dimana  merupakan parameter dispersi. Berdasarkan uraian diatas maka penulis tertarik untuk mengkaji  tentang model regresi Quasi Likelihood dalam mengatasi masalah overdispersi pada regresi Poisson.

## 2. METODE

## 2.1 Sumber data
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  data  sekunder  yang  diperoleh  dari http://www.ats.ucla.edu/stat/sas/dae/poissonreg.csv .  Besarnya  sampel    sebanyak  316 siswa. Variabel responnya adalah jumlah hari ketidakhadiran siswa, sementara itu nilai ujian Matematika dan Seni ditetapkan sebagai variabel prediktornya.

## 2.2 Metode Analisis
Adapun langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Pemodelan awal dengan menggunakan model regresi Poisson.
Model  regresi  Poisson  diturunkan dari distribusi  Poisson dengan  memparameterisasi hubungan antara parameter mean dan variabel prediktor X [5]–[7] .  Sehigga persamaan distribusi Poisson dapat dinyatakan sebagai
        , , ; ! i Y i e P Y
Y     X β X β β
Bentuk   , i  X β diartikan  sebagai  mean  dianggap  sebagai  sebuah  fungsi  dari variabel-variabel prediktor 1 2 , ,..., N x x x dan β merupakan nilai koefisien regresi yang kemudian  ditaksir  dan  menyatakan  seberapa  besar  pengaruh  prediktor  terhadap variabel respon.
β diestimasi  dengan  menggunakan  metode  kuadrat  terkecil  biasa,  sehingga persamaan Likelihoodnya adalah
  ( 0 ; 1, 2,... i i ij i j L y x j          β 
2. Pengujian terjadinya over dispersi pada model regresi Poisson yang dihasilkan.
Dalam rangka hendak melihat apakah dalam pemodelan dengan model Poisson terdapat overdipersi  atau tidak dalam pengamatan yang diperoleh, hipotesis berikut  diujikan [5], [8]:  
  0 1 : var
versus : var H y H y    
Statistik ujinya diberikan oleh :
  2 1 2 1 ˆ ˆ 2 N i i i N i i i y y W         
W berdistribusi Khi-Kuadrat dengan derajat bebasnya 1. 0 H ditolak jika 2 0.05 (1). W  
3. Pengujian  Kecocokan Model ( Goodness of Fit ) pada regresi Poisson
Pengujian kecocokan model di uji dengan menggunakan statistik Khi-Kuadrat Pearson dan nilai devians [6]. Statistik Khi-Kuadrat Pearson dinyatakan sebagai berikut :
    2 2 1 ˆ var N i i i i y y       .
Nilai devians diperoleh dari
    ˆ 2 ;
;
D L y y L y   
dengan   ˆ; L y  dan   ; L y y merupakan  nilai log-likelihood  model  yang  dievaluasi dengan  nilai ˆ  dan y.  Untuk  model yang cukup  atau  memadai,  D  secara asimptotik akan sama dengan distribusi Khi-Kuadrat dengan derajat bebas N – p. Oleh karena itu,
jika  nilai  Khi-Kuadrat  Pearson  dan  Devians  model  hampir  sama  dengan  derajat bebasnya maka model itu dianggap memadai [7].
4. Pemodelan dengan menggunakan model regresi Quasi Likelihood
Untuk N observasi independen dengan parameter  tidak diketahui, diperoleh quasi likelihood sebagai berikut
    1 ; , ; , n n i i i Q y Q y       
Estimasi parameter β dalam model Regresi Quasi Likelihood diperoleh dari :   1 0 N i i i ij i j y Q x          
5. Pengujian  Kecocokan Model ( Goodness of Fit ) pada Quasi Likelihood
Pengujian  kecocokan  model  pada  regresi  Quasi  Likelihood  juga  di  uji  dengan menggunakan statistik Khi-Kuadrat Pearson  dan nilai devians seperti yang diuraikan dalam tahapan ketiga.

## 6. Membandingkan model yang dihasilkan.
Pada tahap ini dilakukan perbandingan antara nilai Khi Kuadrat Pearson dan devians yang  diperoleh  dari  model  regresi  Poisson  and  model  regresi  Quasi  Likelihood.  Suatu model dikatakan memadai jika nilai Khi Kuadrat Pearson dan devians mendekati nilai distribusi Khi Kuadrat  table dengan derajat bebas yang sesuai dengan data [6], [9], [10]

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Pemodelan dengan Regresi Poisson
Pemodelan dalam regresi poisson diawali dengan mengestimasi parameter model yang mana estimasi awal diperoleh dengan menggunakan metode regresi linear biasa pada data siswa sebanyak 316, dimana
1 56, 99 42, 45 1 37, 09 46,82 1 6, 75 13,13    
         X
M M M dan
4 4
12              Y M
sehingga diperoleh :
      1 0 1 ˆ
316 15405.31962 15820.15885 1836 15405.31962 851737.168 840845.3234 82680.05 15820.15885 840845.3234 893388.9825 84256.54 10.01924 0.02961
0.05524
   
  
                    
   
  
  β X'X X'Y Dengan demikian   (1)
1 2 ˆ exp 10.01924 0.02961 0.05524 i i i x x
    .
Estimasi selanjutnya adalah
          0 1 1 0 ˆ   β X'WX X'WY
9.014071997
0.029446932 0.05494032    
   
    
Iterasi  terus  berlanjut  hingga  konvergen  yaitu  jika       1 6 ˆ ˆ 10 ˆ r r r     β β β .  Taksiran
parameter  regresi  Poisson  diperoleh  pada  iterasi  ke  11  dan  hasilnya  disajikan  dalam Tabel 3.1.
Tabel 3.1. Hasil iterasi untuk koefisien regresi Poisson data nilai Matematika, Bahasa dan Seni, dan jumlah ketidakhadiran siswa
Iterasi
Parameter 0  1  2  0
10.0192 -0.0296 -0.0552 1 9.01407 -0.0294 -0.0549 2 8.00025 -0.029 -0.0541 3 6.96421 -0.0278 -0.0521 4 5.87691 -0.025 -0.0471 5 4.70461 -0.0192 -0.0369 6 3.4634 -0.0179 -0.0141 7 2.69848 -0.008 -0.0108 8 2.45261 -0.0051 -0.0094 9 2.43447 -0.0049 -0.0093 10 2.43438 -0.0049 -0.0093 11 2.43438 -0.0049 -0.0093
sehingga dengan model Poisson, data ini dapat direpresentasikan dengan persamaan
  ˆ ln 2.434381 0.0049 0.00927 i i i x x       .

## Estimasi standar error
Setelah  proses  iterasi  konvergen,  galat  baku  setiap  koefisien  dapat  diperoleh  dengan memperhatikan matriks I.
11 11 .00000 0.0 . 0.0 . . . . 0.      
  

I = X'W X = 1836 1 8268 5474 84256 54232 8268 5474 4333965 7 4231354 683 84256 54232 4231354 683 448775 473 Invers matriks ini adalah
1 1 11 11 0.00 0 0 . 0 0 0 . 0 . 0 0 0 . 0 0 . 0 . 0 . 0 . 0  
                                I = X'W X = 447 9 9 4 2 3 7E 5 4 4311E 5 4 2 3 7E 5 3 299 8E 6 2 3215E 6 4 4311E 5 2 3215E 6 3 2436E 6
Sehingga nilai standar error dari parameter model regresi poisson adalah
 
    0
1 2
0.004470909 0.066864855 3.29908E 06 0.001816337 3.2436E 06 0.001801001
SE SE SE   
       
Pengujian Signifikansi Model
Hipotesis yang digunakan adalah
0 1 : 0 melawan : 0 0,1,... j j H H j     
dengan statistik uji Wald-Kuadrat, yaitu
  2 2 ˆ ˆ j j Z SE     
      .
Statistik Wald Kuadrat yang diperoleh untuk 0 1 ,   dan 2  secara berturut-turut adalah 1325.505, 7.791 dan 26.465. Karena 2 0.05 (1) 3.84   maka semua parameter  berpengaruh secara signifikan dalam model regresi Poisson.

## 3.2 Pengujian overdispersi

## Hipotesis yang digunakan adalah
    0 1 : var versus : var . H y H y    
Dengan statistik uji
  2 1 2 1 ˆ ˆ 2 N i i i N i i i y y W          .
Dari  hasil perhitungan diperoleh nilai 99.6 W  , sementara 2 0,05 (1) 3,84.   Oleh
karena itu H 0 ditolak, dengan kata lain data mengalami overdispersi.

## 3.3 Pengujian  Kecocokan Model ( Goodness of Fit ) pada regresi Poisson
Pengujian kecocokan model pada regresi Poisson dilakukan dengan menghitung nilai Khi Kuadrat Pearson  dan nilai devians seperti diuraikan pada bagian berikut.
Nilai Khi Kuadrat Pearson untuk model Poisson adalah
∑ (𝑦 𝑖 − 𝜇̂ 𝑖 ) 2 𝑣𝑎𝑟(𝑦 𝑖 ) 𝑁 𝑖=1 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝜇̂ 𝑖 ) 2 𝜇̂ 𝑖 316 𝑖=1 = 2996 . 433
Nilai devians untuk model Poisson diperoleh dari :
   
            ˆ 2 ; ; ˆ ˆ 2 ln ln ! ln ln ! i i i i i i i i i i D L y y L y y y y y y y                                    ˆ 2 ln ˆ i i i i i i y y y                  
Maka nilai devians untuk model Poisson adalah
𝐷 = 2 [∑ 𝑦 𝑖 𝑙𝑛 ( 𝑦 𝑖 𝜇̂ 𝑖 ) − 𝑦 𝑖 + 𝜇̂ 𝑖 316 𝑖=1 ]
= 2[1. 15E + 03]
= 23 04.302

## 3.4 Pemodelan  dengan Regresi Quasi Likelihood
Sebagaimana  ditunjukkan  dalam  bagian  3.2  bahwa  data  terindikasi  overdispersi, sehingga pemodelan dengan model Quasi Likelihood dapat dilaksanakan. Estimasi awal diperoleh  dengan  menerapkan  metode  regresi  linear  biasa.  Seperti  pada  pemodelan dengan regresi Poisson diperoleh   0 0 ˆ 10.01924,  
  1 0 ˆ 0.02961    dan
  2 0 ˆ 0.05524
   , sehingga
  (1) 1 2 ˆ
exp 10.01924 0.02961 0.05524 i i i x x
 
  dan
dengan mengambil nilai 1,   maka     1 1 ˆ i i w   . Iterasi selanjutnya menjadi
                 
   
            0 1 1 0 1 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N N N N i i i i i i i i i i i i i i i N N N i i i i i i i i i i i i i i i i i N N N i i i i i i i i i i y w x x
w w x w x y w x w x w x x w x x x w x w x x w x                 
                                        
      β X'WX X'WY     1 2 0 1 1 2 2 1 1 0 ˆ ˆ N N i i i i i i i N y w x x x         
 
                              1 0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N N N N i i i i i i i i i i i i i i i N N N N i i i i i i i i i i i i i i i i i N N N i i i i i i i i i i i i y x x x x y x x x x x x x x x x x x x                                                                       
         2 2 1 0 1
ˆ ˆ 1.01116E 05 1.81102E 07 1.03923E 07 2194646.452 1.81102E 07 1.95823E 08 1.32976E 08 48043425.4 1.03923E 07 1.32976E 08 1.88507E 08 43075029.69
N i i i i i N y x       
 
                                                 


 9.014071997 0.029446932 0.05494032
                
    
Dengan kata lain, estimasi parameter regresi pada regresi Quasi Likelihood menghasikan nilai  yang  sama  seperti  pada  estimasi  parameter  regresi  Poisson.  Hasil  iterasi  untuk regresi Quasi Likelihood dapat dilihat pada tabel 3.2.
Tabel 3.2. Hasil iterasi untuk koefisien regresi Quasi Likelihood data nilai
Matematika, Bahasa dan Seni, dan jumlah ketidakhadiran siswa
Iterasi
Parameter 0  1  2  0
10.0192 -0.0296 -0.0552 1 9.01407 -0.0294 -0.0549 2 8.00025 -0.029 -0.0541 3 6.96421 -0.0278 -0.0521 4 5.87691 -0.025 -0.0471
5 4.70461 -0.0192 -0.0369 6 3.4634 -0.0179 -0.0141 7 2.69848 -0.008 -0.0108 8 2.45261 -0.0051 -0.0094 9 2.43447 -0.0049 -0.0093 10 2.43438 -0.0049 -0.0093 11 2.43438 -0.0049 -0.0093
Sehingga  dengan  model  Quasi  Likelihood,  data  ini  dapat  direpresentasikan  dengan persamaan
  ˆ ln 2.434381 0.0049 0.00927 i i i x x       .

## Estimasi standar error
Galat baku setiap koefisien dapat diperoleh dengan memperhatikan matriks

## I, yaitu
11 11 .00000 0.0 . 0.0 . . . . 0.           I = X'W X = 1836 1 8268 5474 84256 54232 8268 5474 4333965 7 4231354 683 84256 54232 4231354 683 448775 473 Invers matriks ini adalah
    1 1 11 11 0.00 0 0 . 0 0 0 . 0
. 0 0 0 . 0 0 . 0 . 0 . 0 . 0       
            
      I = X'W X = 447 9 9 4 2 3 7E 5 4 4311E 5 4 2 3 7E 5 3 299 8E 6 2 3215E 6 4 4311E 5 2 3215E 6 3 2436E 6
Untuk  regresi  Quasi  Likelihood,  galat  baku  setiap  koefisien  diperoleh  dari
mengalikan standar eror asal dengan   2 . N p   Sehingga diperoleh          0 2996.432736 0.004470909 316 3 0.066864855 9.573267527
0.640115143
SE   
       


         1 2996.432736 3.29908E 06 316 3 0.001816337 9.573267527 0.017388279 SE            
 
         2 2996.432736 3.2436E 06 316 3 0.001801001 9.573267527
0.017241463
SE 
          


Karena nilai standar erornya lebih besar, maka dapat dikatakan model ini adalah model yang lebih baik.

## Pengujian signifikansi model
Hipotesis yang digunakan adalah
0 1 : 0 melawan : 0 0,1,... j j H H j     
dengan statistik uji Wald, yaitu   2 2 ˆ ˆ j j Z SE    
       .
Statistik  Wald    yang  diperoleh  untuk 0 1 ,   dan 2  secara  berturut-turut adalah    14.463  dan  0.079serta  0,289.  Karena 2 0.05 (1) 3.84   maka  hanya 0  yang berpengaruh secara signifikan dalam model regresi Quasi Likelihood.
3.5 Pengujian  Kecocokan Model ( Goodness of Fit ) pada regresi Quasi Likelihood.
Pengujian  kecocokan  model  pada  regresi  Quasi  Likelihood  dilakukan  dengan menghitung nilai Khi Kuadrat Pearson  dan nilai devians seperti diuraikan pada bagian berikut.
Perhitungan Khi Kuadrat Pearson  dan nilai devians untuk model Quasi Likelihood adalah sebagai berikut :
Nilai Khi Kuadrat Pearson untuk model Quasi Likelihood adalah
      2 2 316 1 1 ˆ ˆ 313 ˆ var N i i i i i i i i y y y           
Sedangkan nilai devians yang diberikan oleh model regresi Quasi Likelihood adalah
    1 1 1 ˆ 2 ; ;
ˆ ˆ 2 ln ln ˆ 2 ln ˆ i i i i N N i i i i i i i N i i i i i i D Q y y Q y
y y y y y y y                                    
                

## 
Dengan demikian, devians untuk model Quasi Likelihood diperoleh
316 1 ˆ 2 ln ˆ 2 3.13E 02
=626
i i i i i i y D y y     
                

## 3.6 Perbandingan Model Quasi Likelihood terhadap model Poisson
Studi  ini  menunjukkan  bahwa  model  Poisson  dan  model  Quasi  Likelihood memberikan  nilai  yang  sama  untuk  koefisien-koefisien  regresinya, tetapi  tidak  untuk nilai standar errornya. Standar error koefisien regresi Poisson  lebih kecil daripada yang diberikan oleh model Quasi Likelihood. Hasil penelitian ini konsisten dengan penelitian sebelumnya  [11],  [12]  yang  menunjukkan  bahwa  penerapan  model  quasi  likelihood dalam regresi poisson mampu memperbaiki nilai standar error dari parameter model, dengan  menghasilkan  nilai  standar  error  parameter  yang  lebih  besar  dari  regresi poisson. Lebih lanjut penelitian ini menunjukkan bahwa nilai Khi Kuadrat Pearson dan devians  yang  diberikan  oleh  model  regresi  Poisson  adalah  2996.433  dan  2304.302. Sedangkan untuk model regresi Quasi Likelihood memberikan Khi Kuadrat Pearson dan devians sebesar 313 dan 626. Sementara itu  jika diambil    , maka 𝜒 2 313 = 355.26 . Karena nilai Khi Kuadrat Pearson dan devians dari model regresi Quasi Likelihood yang lebih  mendekati    nilai 2 313  maka  dapat  dikatakan  bahwa    model  regresi    Quasi Likelihood lebih memadai dari pada model regresi Poisson dalam menangani data yang teroverdispersi.

## 4. SIMPULAN
Model  regresi  Quasi  Likelihood  digunakan  sebagai  model  alternatif  untuk  menangani data yang terindikasi overdispersi. Dalam penelitian ini, nilai Khi Kuadrat Pearson dan nilai Devians dalam pengujian Goodness of Fit pada regresi Quasi Likelihood mendekati nilai  distribusi  Khi  Kuadrat  dengan  derajat  bebas  313.  Dengan  demikian    dapat dikatakan bahwa  model regresi  Quasi Likelihood lebih memadai dari pada model regresi Poisson dalam menangani data yang teroverdispersi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  R.  B.  Darlington  and  A.  F.  Hayes,  Regression  Analysis  and  Linear  Models:  Concepts, Applications,  and  Implementation.  Guilford  Publications,  2016.  [Online].  Available: https://books.google.co.id/books?id=YDgoDAAAQBAJ
[2]  D.  C.  Montgomery, E.  A.  Peck,  and  G. G.  Vining,  Introduction  to  Linear  Regression
Analysis. Wiley, 2015. [Online]. Available:
https://books.google.co.id/books?id=27kOCgAAQBAJ
[3]  G.  A.  F.  Seber  and  A.  J.  Lee,  Linear  Regression  Analysis.  Wiley-Interscience,  2003.
[Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=IdSwtAEACAAJ
[4]  I. M. Tirta, Model Statistika Linier. Jember: Universitas Jember, 2006.
[5]  R. Winkelmann, Econometric Analysis of Count Data. Springer Berlin Heidelberg, 2013.
[Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=BRjpCAAAQBAJ
[6]  J.  M.  Hilbe,  Modeling  Count  Data.  Cambridge  University  Press,  2014.  [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=aZLfAwAAQBAJ
[7]  R.  Winkelmann,  Count  Data  Models:  Econometric  Theory  and  an  Application  to  Labor Mobility. Springer Berlin Heidelberg, 2013. [Online]. Available:
https://books.google.co.id/books?id=-IjnCAAAQBAJ
[8]  R.  Zainordin,  “Count  Data  Analysis  using  Poisson  Regression  and  Handling  of Overdispersion. [http://eprints.utm.my/12417/1/RaihanaZainordinMFS2009.pdf].
Faculty  of  Science,  Universiti  Teknologi  Malaysia,”  Faculty  of  Science,  Universiti Teknologi Malaysia, Malaysia, 2009. [Online]. Available:
http://eprints.utm.my/12417/1/RaihanaZainordinMFS2009.pdf
[9]  J. M. Hilbe, Negative Binomial Regression. Cambridge University Press, 2011. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=DDxEGQuqkJoC
[10] A.  Agresti,  An  Introduction  to  Categorical  Data  Analysis.  Wiley,  2018.  [Online].
Available: https://books.google.co.id/books?id=pHZyDwAAQBAJ
[11] R.  A.  Puspita,  “Model  Regresi  Quasi-Likelihood  Untuk  Mengatasi  Masalah Overdispersi Pada Regresi Poisson.,” Universitas Diponegoro, Semarang, 2011.
[12] D. P. Prami Meitriani, K. G. Sukarsa, And I. P. E. N. Kencana, “Penerapan Regresi Quasi-Likelihood  Pada  Data  Cacah  (Count  Data)  Yang  Mengalami  Overdispersi Dalam Regresi Poisson,” E-J. Mat. Vol 2 No 2 2013DO - 1024843MTK2013v02i02p036,
May 2013, [Online]. Available:
https://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/article/view/6290