Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 16, No. 2, Desember 2019, 147-157 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v16i2.5818

## Penerapan Metode Runge-Kutta dan Iterasi Variasional dalam Simulasi Transmisi Tuberkulosis
Gabariela Purnama Ningsi 1 , Sudi Mungkasi 2
1 Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Katolik Indonesia Santu Paulus Ruteng, Manggarai, Flores, Nusa Tenggara Timur, Indonesia
2 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Mrican, Tromol Pos 29, Yogyakarta 55002, Indonesia e-mail: ningsilatib5@gmail.com, sudi@usd.ac.id

## Abstrak
Matematika dapat diterapkan untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu masalah yang dapat diselesaikan dengan menerapkan matematika adalah tentang laju transmisi penyakit  menular.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menyelesaikan  sistem  persamaan  laju  transmisi Tuberkulosis  (TB)  model  epidemi Susceptible-Infected-Recovered (SIR)  yang  berbentuk  sistem persamaan  diferensial  nonlinear.  Metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  sistem  persamaan diferensial  ini  adalah  metode  Runge-Kutta  orde  empat  (RK4)  dan  metode  iterasi  variasional  (VIM) standar. Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode numerik yang dilengkapi praktik  simulasi  menggunakan  MATLAB.  Hasil  penelitian  adalah  bahwa:  pertama,  metode  RK4 menghasilkan solusi model SIR yang realistis untuk sebarang waktu; kedua, selisih antara solusi RK4 dan solusi  VIM  cukup  kecil  untuk  nilai  waktu  yang  cukup  kecil;  ketiga,  waktu  yang  cukup  besar mengakibatkan solusi VIM menjadi tidak realistis .
Kata Kunci : metode Runge-Kutta, iterasi variasional, persamaan diferensial, transmisi Tuberkulosis

## Abstract
Mathematics can be applied to solve a number of problems in everyday life. One problem that can be  solved  by  applying  mathematics  is  that  of  the  rate  of  transmission  of  infectious  diseases.  This  study aims  to  resolve  the  rate  of  Tuberculosis  (TB)  transmission  of  the  Susceptible-Infected-Recovered  (SIR) epidemic  model  in  the  form  of  a  system  of  non-linear  differential  equations.  The  methods  to  solve  this system  of  differential  equations  are  the  fourth-order  Runge-Kutta  method  (RK4)  and  the  standard variational  iteration  method  (VIM).  The  research  method  in  this  study  is  numerical  method  which  is completed with simulations using MATLAB. Our results are: first, the RK4 method produces a realistic solution  to  the  SIR  model  for  any  time  value;  second,  the  difference  between  the  RK4  solution  and  the VIM  solution  is  sufficiently  small  for  sufficiently  small  time  value;  third,  sufficiently  large  time  value leads to that the VIM solution becomes unrealistic.
Keywords : Runge-Kutta method, variational iteration, differential equation, Tuberculosis transmission

## 1 Pendahuluan
Persamaan diferensial sudah menjadi salah satu kajian ilmu matematika yang tidak hanya digunakan  dalam  matematika  itu  sendiri,  tetapi  juga  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari,  serta  masalah  dalam  bidang  kajian  ilmu  yang  lain  yaitu ekonomi,  industri,  fisika,  biologi,  ilmu  komputer,  dll.  [1-3].  Persamaan  diferensial  biasa nonlinear merupakan suatu persamaan diferensial yang memenuhi sifat bahwa fungsi yang tidak
diketahui hanya bergantung pada satu variabel bebas, dan sistem tersebut memuat suku nonlinear atas fungsi atau turunan fungsi yang tidak diketahui.
Salah  satu  masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari  serta  dalam  bidang  biologi  yang  dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial nonlinear adalah masalah tentang transmisi penyakit  menular.  Masalah  ini  dapat  dibawa  ke  dalam  model Susceptible-Infected- Recovered (SIR).  Dalam  model  SIR  [4,  5],  populasi  yang  diteliti  dikategorikan  dalam  tiga kelompok yang diberi label ܵ , ܫ , dan ܴ . Di sini, ܵ(ݐ) merupakan kelompok individu yang rentan ( Susceptible )  terhadap  penyakit  yaitu  orang  yang  belum  terinfeksi  pada  saat  waktu ݐ ; ܫ(ݐ) merupakan kelompok individu yang terinfeksi ( Infected ) pada saat waktu ݐ , kelompok infeksi ini mampu  menularkan  penyakit  kepada  kelompok  rentan  jika  terjadi  kontak  langsung; ܴ(ݐ) merupakan  kelompok  individu  yang  sudah  pernah  terinfeksi  dan  sembuh  ( Recovered )  dari penyakit tersebut, serta tidak akan terinfeksi lagi (sembuh permanen).
Makalah  ini  akan  menyelesaikan  model  SIR  transmisi  Tuberkulosis  (TB)  dengan menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde  empat  (RK4)  dan  metode  iterasi  variasional  (VIM) standar.  Metode  Runge-Kutta  merupakan  salah  satu  metode  numerik  yang  dapat  digunakan untuk  menyelesaikan  masalah  nilai  awal.  Metode  iterasi  variasional  merupakan  suatu  metode yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  linear  dan  nonlinear  yang  akan memperkirakan  solusi  dengan  cepat  dan  mudah  [6,  7].  Hasil  simulasi  kedua  metode  tersebut akan dianalisis apakah realistis ataukah tidak.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian ini mempelajari model transmisi TB dan simulasi numeriknya. Model TB yang dipelajari  adalah  model  yang  telah  dibuat  oleh  Side  [8].  Untuk  menyelesaikan  model  tranmisi TB,  mula-mula  model  matematika  dikonstruksi  ke  dalam  bentuk  konsep  metode  numerik  [9], yang  dalam  hal  ini  adalah  metode  RK4  dan  VIM.  Simulasi  numerik  dilakukan  dengan menggunakan kedua metode tersebut yang diprogram ke dalam perangkat lunak MATLAB.

## 2.1 Model SIR Transmisi TB
Side  [8]  telah  membentuk  sistem  persamaan  diferensial  nonlinear  untuk  memodelkan transmisi TB dengan menggunakan konsep SIR sebagai berikut:
݀ݔ ݀ݐ = ߤ ௛ − ߚ ௛ ݔ − ߛߚ ௛ ݔݕ − ߤ ௛ ݔ (1)
݀ݕ ݀ݐ = ߚ ௛ ݔ − ߙݕ
݀ݖ ݀ݐ = ߛߚ ௛ ݔݕ − ߟݖ
dimana
ݔ(ݐ) = ܵ ௛ ܰ ௛ , ݕ(ݐ) = ܫ ௛ ܰ ௛ , ݖ(ݐ) = ܫ ௜ ܰ ௛ ,
dan
ߙ = ߤ ௛ + ߜ ௛ , ߟ = ߤ ௛ + ߮ ௛ , ܰ ௛ = ܵ ௛ + ܫ ௛ + ܫ ௜ + ܴ ௛
serta keterangan variabel dan parameter diringkas dalam Tabel 1.
Tabel 1. Variabel dan parameter model laju transmisi TB dengan konsep epidemi SIR sebagaimana dalam Side [8]
Variabel dan parameter Keterangan ܵ ௛ Jumlah manusia yang rentan ܫ ௛ , ܫ ௜ Jumlah manusia yang terinfeksi I dan II ܴ ௛ Jumlah manusia yang sembuh ܰ ௛ Konstanta jumlah seluruh populasi manusia ߤ ௛ Rasio kelahiran atau kematian populasi manusia ߚ ௛ Rasio manusia yang rentan ߛ Rasio manusia yang diduga akan terinfeksi I ke infeksi II ߜ ௛ Rasio manusia yang terinfeksi I ke populasi sembuh ߮ ௛ Rasio manusia yang terinfeksi II ke populasi sembuh

## 2.2 Metode Iterasi Variasional
Metode  iterasi  variasional  (VIM)  diperkenalkan  oleh  He  [10]  untuk  menyelesaikan persamaan  diferensial.  VIM  merupakan  hasil  modifikasi  metode  pengali  Lagrange  yang  telah terbukti dapat menemukan solusi  yang cepat dan mudah perhitungannya [10, 11]. Dalam VIM, terdapat  tiga  konsep  utama  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  suatu  persamaan  diferensial yaitu  pengali  Lagrange,  fungsi  koreksi,  dan  variasi  terbatas  [3].  Untuk  menyelesaikan  sistem persamaan diferensial (1), makalah ini mengikuti tulisan Rangkuti, dkk. [12].
Untuk  menggambarkan  prosedur  dalam  metode  iterasi  variasional,  dipandang  persamaan diferensial dalam bentuk operator sebagai berikut:
ܮߤ ௜ (ݐ) + ܰߤ ௜ (ݐ) = ݃ ௜ (ݐ),          ݅ = 1,2, … , ݊. (2)
Di  sini, ܮ adalah  operator  linear, ܰ adalah  operator  nonlinear,  dan ݃ ௜ (ݐ) adalah  bentuk persamaan  diferensial  nonhomogen.  Menurut  metode  iterasi  variasional,  syarat  dari  barisan
150

## Penerapan Metode Runge-Kutta dan Iterasi Variasional
dalam Simulasi Transmisi Tuberkulosis
(ߤ ௜ (ݐ)) dibuat sedemikian rupa sehingga barisan ini menuju solusi eksak dari model matematika tersebut. Komponen ߤ ௜ (ݐ) dapat dihitung dengan fungsi koreksi sebagai berikut:
ߤ ௜,௡ାଵ (ݐ) = ߤ ௜,௡ (ݐ) + න ߣ ௜ ൣܮߤ ௜,௡ (ݏ) + ܰߤ ప,௡ (ݏ) ෫ − ݃ ௜ (ݐ)൧݀ݏ. ௧
଴ (3)
Di  sini, ߣ ௜ , ݅ = 1,2, … , ݊ adalah  pengali  Lagrange  yang  dapat  diidentifikasi  secara  optimal melalui  teori  variasional,  indeks ݊ menunjukkan  hampiran  urutan  ke- ݊ , ߤ ప,௡ (ݏ) ෫ menotasikan variasi terbatas, yaitu ߜߤ ప,௡ (ݏ) ෫ = 0 , dan ߜ adalah turunan variasional [11].
Fungsi koreksi dari sistem persamaan diferensial (1) akan diperoleh sebagai berikut:
ݔ(݊ + 1) = ݔ ௡ + න ߣ ଵ ൤ ݀ݔ ௡ ݀ݏ − ߤ ௛ + ߚ ௛ ݔ ௡ + ߛߚ ௛ ݔ ௡ ݕ ௡ ෧ + ߤ ௛ ݔ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ (4)
ݕ(݊ + 1) = ݕ ௡ + න ߣ ଶ ൤ ݀ݕ ௡ ݀ݏ − ߚ ௛ ݔ ௡ ෦ + ߙݕ ௡ ൨ ݀ݏ ௧
଴ (5)
ݖ(݊ + 1) = ݖ ௡ + න ߣ ଷ ൤ ݀ݖ ௡ ݀ݏ − ߛߚ ௛ ݔ ௡ ݕ ௡ ෧ + ߟݖ ௡ ൨ ݀ݏ ௧
଴ (6)
dimana ݔ ௡ ෦, ݕ ௡ ෦, dan ݖ ௡ ෦ merupakan  variasi  terbatas  yaitu ߜݔ ௡ ෦ = 0, ߜݕ ௡ ෦ = 0, dan ߜݖ ௡ ෦ = 0 .  Dari persamaan (4)-(6) didapatkan persamaan berikut:
ߜݔ(݊ + 1) = ߜݔ ௡ + ߜ න ߣ ଵ ൤ ݀ݔ ௡ ݀ݏ − ߤ ௛ + ߚ ௛ ݔ ௡ + ߛߚ ௛ ݔ ௡ ݕ ௡
෧ + ߤ ௛ ݔ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴
= ߜݔ ௡ + ߜ න ߣ ଵ ൤ ݀ݔ ௡ ݀ݏ − ߤ ௛ + ߚ ௛ ݔ ௡ + ߤ ௛ ݔ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ (7) ߜݕ(݊ + 1) = ߜݕ ௡ + ߜ න ߣ ଶ ൤ ݀ݕ ௡ ݀ݏ − ߚ ௛ ݔ ௡ ෦ + ߙݕ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ = ߜݕ ௡ + ߜ න ߣ ଶ ൤ ݀ݕ ௡ ݀ݏ + ߙݕ ௡ ൨ ݀ݏ ௧
଴ (8)
ߜݖ(݊ + 1) = ߜݖ ௡ + ߜ න ߣ ଷ ൤ ݀ݖ ௡ ݀ݏ − ߛߚ ௛ ݔ ௡ ݕ ௡ ෧ + ߟݖ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴
= ߜݖ ௡ + ߜ න ߣ ଷ ൤ ݀ݖ ௡
݀ݏ + ߟݖ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ (9)
Dengan menggunakan integral parsial, persamaan (7)-(9) akan menjadi:
ߜݔ(݊ + 1) = ߜݔ ௡ + ߜߣ ଵ ݔ ௡ − නሾ(ݔ ௡ ߜߣ ᇱ ଵ − ߜߣ ଵ (ߚ ௛ + ߤ ௛ )ݔ ௡ ) + ߜߣ ଵ ߤ ௛ ሿ݀ݏ ௧ ଴ (10)
ߜݕ(݊ + 1) = ߜݕ ௡ + ߜߣ ଶ ݕ ௡ − නሾߜߣ′ ଶ ݕ ௡ ሿ݀ݏ ௧ ଴ + නሾߙߜߣ ଶ ݕ ௡ ሿ݀ݏ ௧ ଴ (11)
ߜݖ(݊ + 1) = ߜݖ ௡ + ߜߣ ଷ ݖ ௡ − නሾߜߣ′ ଷ ݖ ௡ ሿ݀ݏ ௧ ଴ + නሾߟߜݖ ௡ ሿ݀ݏ ௧
଴ (12)
atau
ߜݔ(݊ + 1) = ߜݔ ௡ (1 + ߣ ଵ ) − නൣ((ߣ ᇱ ଵ − (ߚ ௛ + ߤ ௛ )ߣ ଵ )ݔ ௡ ߜ) + ߜߣ ଵ ߤ ௛ ൧݀ݏ ௧ ଴ (13)
ߜݕ(݊ + 1) = ߜݕ ௡ (1 + ߣ ଶ ) − නሾ(ߣ ᇱ ଶ − ߣ ଶ ߙ)ߜݕ ௡ ሿ݀ݏ ௧
଴
(14)
ߜݖ(݊ + 1) = ߜݖ ௡ (1 + ߣ ଷ ) − නሾ(ߣ ᇱ ଷ − ߟ)ߜݖ ௡ ሿ ௧ ଴ ݀ݏ (15)
Dengan  demikian,  untuk  setiap  variasi ߜݔ ௡ , ߜݕ ௡ , ߜݖ ௡ dan ߜݔ′ ௡ , ߜݕ′ ௡ , ߜݖ′ ௡ diperoleh  kondisi stasioner sebagai berikut:
ߜݔ ௡ : ൫1 + ߣ ଵ (ݐ)൯│ ௦ୀ௧ = 0
ߜݔ ௡ : (ߣ ᇱ ଵ − (ߚ ௛ + ߤ ௛ )ߣ ଵ )│ ௦ୀ௧ = 0
(16)
ߜݕ ௡ : ൫1 + ߣ ଶ (ݐ)൯│ ௦ୀ௧ = 0
ߜݕ ௡ : (ߣ ᇱ ଶ − ߣ ଶ ߙ)│ ௦ୀ௧ = 0 ߜݖ ௡ : ൫1 + ߣ ଷ (ݐ)൯│ ௦ୀ௧ = 0 ߜݖ ௡ : (ߣ ᇱ ଷ − ߟ)│ ௦ୀ௧ = 0
Solusi dari persamaan-persamaan (16) di atas adalah sebagai berikut:
ߣ ଵ (ݐ) = −1
ߣ ଵ (ݏ) = −݁ (ఉ ೓ ାఓ ೓ )(௦ି௧) (17)
ߣ ଶ (ݐ) = −1 ߣ ଶ (ݏ) = −݁ ఈ(௦ି௧)
ߣ ଷ (ݐ) = −1 ߣ ଷ (ݏ) = −1 + ߟ(ݏ − ݐ)
Substitusi nilai penggali Lagrange (17) ke dalam persamaan (4)-(6) menghasilkan skema iterasi variasional:
ݔ(݊ + 1) = ݔ ௡ − න ൤ ݀ݔ ௡ ݀ݏ − ߤ ௛ + ߚ ௛ ݔ ௡ + ߛߚ ௛ ݔ ௡ ݕ ௡ + ߤ ௛ ݔ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ (18)

## Penerapan Metode Runge-Kutta dan Iterasi Variasional
dalam Simulasi Transmisi Tuberkulosis
ݕ(݊ + 1) = ݕ ௡ − න ൤ ݀ݕ ௡ ݀ݏ − ߚ ௛ ݔ ௡ + ߙݕ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ (19)
ݖ(݊ + 1) = ݖ ௡ − න ൤ ݀ݖ ௡ ݀ݏ − ߛߚ ௛ ݔ ௡ ݕ ௡ + ߟݖ ௡ ൨ ݀ݏ ௧ ଴ (20)

## 3 Hasil dan Pembahasan
Untuk menyelesaikan sistem persamaan (1) dengan menggunakan metode RK4 dan VIM, diperlukan  data  awal  dan  nilai  parameter.  Penelitian  ini  mengambil  data  awal  dan  parameter seperti yang terlihat dalam Tabel 2.
Tabel 2. Nilai awal dan parameter transmisi TB dari penelitian Side [8] dengan beberapa variasi Kondisi Awal dan Parameter  Nilai Kondisi Awal dan
Nilai Parameter ܰ ௛ 8386763 ܵ ௛ 8377828 ܫ ௛ 8000 ܫ ௜ 939 ܴ ௛ 4 ݔ(ݐ ଴ ) = ݔ ଴ 8377828 8386763 ݕ(ݐ ଴ ) = ݕ ଴ 8000 8386763 ݖ(ݐ ଴ ) = ݖ ଴ 939 8386763 ߤ ௛ 0.000046 ߚ ௛ 0.326666 ߛ 0.123111 ߜ ௛ 0.041230 ߮ ௛ 0.003700

## 3.1 Penyelesaian Sistem Transmisi TB Model SIR dengan Metode RK4
Penyelesaian  RK4  diperoleh  dengan  menggunakan  data  awal  dan  nilai  parameter  yang terdapat  pada  Tabel  2.  Dengan  menggunakan  program  MATLAB  dapat  diperoleh  grafik  solusi numerik RK4 sistem transmisi TB model SIR seperti ditunjukkan dalam Gambar 1 untuk rentang waktu [0, 500] dan lebih jelasnya pada Gambar 2 untuk rentang waktu [0, 5].
Gambar 1. Grafik solusi sistem transmisi TB menurut metode RK4 untuk waktu [0, 500]
Gambar 2. Grafik solusi sistem transmisi TB menurut metode RK4 untuk waktu [0, 5]
Dengan menerapkan data awal dan nilai parameter pada Tabel 2 pada persamaan (18)-(20), diperoleh  solusi  numerik  dari  sistem  persamaan  diferensial  transmisi  TB  (1).  Dengan menerapkan  MATLAB,  dapat  diperoleh  grafik  solusi  VIM  lima  iterasi  dari  sistem  persamaan diferensial transmisi TB seperti yang dibahas dalam subbagian berikut.

## Penerapan Metode Runge-Kutta dan Iterasi Variasional dalam Simulasi Transmisi Tuberkulosis

## 3.2 Analisis Hasil Simulasi RK4 dan VIM
Dari Gambar 1 dan Gambar 2, tampak bahwa semakin banyak manusia yang terinfeksi TB, maka  jumlah  manusia  dari  populasi  yang  rentan  terhadap  penyakit  tersebut  akan  semakin menurun  hingga  akhirnya  semua  anggota  populasi  terinfeksi  juga  turun  seiring  berjalannya waktu.  Hal  ini  berarti  bahwa  penanganan  transmisi  TB  dapat  dikatakan  berhasil,  sebab populasinya  konvergen  menuju  100%  sembuh  permanen.  Berdasarkan  hasil  perhitungan  dari kedua  metode  numerik  yang  digunakan,  dapat  dilihat  perbandingan  untuk  nilai ݔ(ݐ), ݕ(ݐ), dan ݖ(ݐ) dari simulasi seperti yang terlihat pada Gambar 3, Gambar 4, dan Gambar 5.
Dari Gambar 3 sampai dengan Gambar 5, kedua solusi yang dihasilkan oleh metode RK4 dan  VIM  hampir  berhimpit  satu  sama  lain  untuk  waktu  yang  cukup  kecil.  Namun  demikian, secara  umum,  kedua  solusi  mempunyai  perbedaan  nilai  yang  semakin  jelas  untuk  nilai  waktu yang semakin besar.
Gambar 3. Grafik solusi ݔ(ݐ) menggunakan metode RK4 dan VIM untuk interval waktu [0, 8]
Gambar 4. Grafik solusi ݕ(ݐ) menggunakan metode RK4 dan VIM untuk interval waktu [0, 8]
Gambar 5. Grafik solusi ݖ(ݐ) menggunakan metode RK4 dan VIM untuk interval waktu [0, 8]
Berdasarkan  analisis  relevansi  yang  dilakukan  oleh  Mungkasi  dan  Wiryanto  [13],  VIM standar kurang relevan untuk digunakan menyelesaikan model matematika apa bila nilai variabel bebasnya cukup besar. Dalam hal penelitian transmisi TB ini, variabel bebas dalam model adalah variabel  waktu.  Dengan  demikian,  solusi  yang  dihasilkan  oleh  VIM  untuk  nilai  waktu  yang cukup besar adalah kurang realistis, karena metodenya sendiri kurang relevan untuk diterapkan jika nilai waktunya cukup besar [14]. Hal ini dapat dilihat dalam Gambar 3 yang menunjukkan
156

## Penerapan Metode Runge-Kutta dan Iterasi Variasional
dalam Simulasi Transmisi Tuberkulosis
bahwa  nilai ݔ(ݐ) yang  dihasilkan  oleh  VIM  adalah  negatif.  Selain  itu,  pada  Gambar  4  dapat dilihat  bahwa  VIM  memberikan  nilai ݕ(ݐ) yang  bernilai  lebih  dari  satu.  Hasil  ini  memberi konfirmasi bahwa VIM standar menghasilkan solusi yang tidak realistis untuk nilai waktu yang cukup besar.
Sebagai  catatan,  Gambar  5  tidak  menunjukkan  gejala  seperti  pada  Gambar  3  maupun Gambar  4.  Seandainya  rentang  waktu  dari  Gambar  5  ini  dibuat  lebih  besar,  maka  gejala ketidakrealistisan  solusi  VIM  standar  akan  terlihat  seperti  halnya  yang  ditunjukkan  dalam Gambar  3  dan  Gambar  4.  Lebih  lanjut,  solusi  VIM  dalam  penelitian  ini  terbatas  pada  iterasi kelima. Untuk mendapatkan hasil VIM yang lebih realistis di suatu nilai waktu yang cukup besar diperlukan  iterasi  VIM  yang  lebih  tinggi  yang  tidak  hanya  berhenti  pada  iterasi  kelima.  Akan tetapi,  apabila  iterasi  diteruskan  ke  tahap  yang  lebih  tinggi,  perhitungan  untuk  mendapatkan solusi VIM akan semakin panjang.

## 4 Simpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan, dapat disimpulkan bahwa:
a. Metode RK4 menghasilkan solusi model SIR yang realistis untuk sebarang waktu.
b. Selisih antara solusi RK4 dan solusi VIM sangat kecil untuk nilai waktu yang kecil.
c. Semakin besar nilai waktu  yang digunakan dalam VIM standar, solusi  yang diperoleh akan menjadi tidak realistis.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Kedua  penulis  berterima  kasih  kepada  semua  pihak  yang  terlibat,  khususnya  Universitas Katolik  Indonesia  Santu  Paulus  Ruteng  dan  Universitas  Sanata  Dharma  Yogyakarta  atas pendanaan yang diberikan untuk penelitian ini.

## 6 Daftar Pustaka
[1] R.  Haberman, Mathematical  Models:  Mechanical  Vibrations,  Population  Dynamics,  and Traffic Flow, Philadelphia: SIAM, 1998.
[2] M.  Y.  Li  dan  Z.  Shuai,  “Global-Stability  Problem  for  Coupled  Systems  of  Differential Equations on Networks,” Journal of Differential Equations, vol. 248, no. 1, pp. 1–20, 2010.
[3] B. D. Yuliyanto dan S. Mungkasi, “Variational Iteration Method for Solving the Population Dynamics Model of Two Species,” Journal of Physics: Conference Series, vol. 795, no. 1,
art. 012044, 2017.
Gabariela Purnama Ningsi, Sudi Mungkasi
[4] F.  Brauer  dan  C.  C.  Chavez, Mathematical  Models  in  Population  Biology  and Epidemiology, New York: Springer, 2012.
[5] J. D. Murray, Mathematical Biology: I. An Introduction, New York: Springer, 2002.
[6] F. Shakeri dan M. Dehghan, “Numerical Solution of a Biological Population Model Using He’s  Variational  Iteration  Method,” Computers  and  Mathematics  with  Applications, vol. 54, no. 7-8, pp. 1197–1209, 2007.
[7] J.  H.  He  dan  X.  H.  Wu,  “Variational  Iteration  Method:  New  Development  and Applications,” Computers  and  Mathematics  with  Applications, vol.  54,  no.  7-8,  pp.  881– 894, 2007.
[8] S.  Side,  “A  Susceptible-Infected-Recovered  Model  and  Simulation  for  Transmission  of Tuberculosis,” Advanced Science Letters, vol. 21, no. 2, pp. 137–139, 2015.
[9] J. C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Chichester: Wiley, 2008.
[10] E.  Salehpoor,  H.  Jafari,  dan  M.  A.  Afrapoli,  “Revised  Variational  Iteration  Method  for Solving  Systems  of  Ordinary  Differential  Equations,” Applications  and  Applied Mathematics: An International Journal, Special Issue no.1, pp. 110–121, 2010.
[11] S.  Abbasbandy  dan  E.  Shivanian,  “Application  of  the  Variational  Iteration  Method  for System  of  Nonlinear  Volterra’s  Integro-Differential  Equations,” Mathematical  and Computational Applications, vol. 14, no. 2, pp. 147–158, 2009.
[12] Y.  M.  Rangkuti,  S.  Side,  dan  M.  S.  M.  Noorani,  “Numerical  Analytic  Solution  of  SIR Model of Dengue Fever Disease in South Sulawesi using Homotopy Perturbation Method and  Variational  Iteration  Method,” Journal  of  Mathematical  and  Fundamental  Sciences, vol. 46, no. 1, pp. 91–105, 2014.
[13] S. Mungkasi dan L. H. Wiryanto, “On the Relevance of a Variational Iteration Method for Solving  the  Shallow  Water  Equations,” AIP  Conference  Proceedings, vol.  1707,  no.  1, art. 050010, 2016.
[14] G.  P.  Ningsi, Penerapan  Metode  Euler,  Metode  Heun,  dan  Metode  Iterasi  Variasional dalam  Menyelesaikan  Sistem  Transmisi  Tuberkulosis, Tesis,  Yogyakarta:  Universitas Sanata Dharma, 2019.