Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 1, Juli 2020, 35-50 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i1.6680
Pembuktian Sifat non-Hausdorff dari Grup Lie 𝑮𝑳 𝒏, ℂ Bertindak pada 𝑴 𝒏, ℂ
Rif’an Amrozi 1 *, Subiono 2 1,2 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Analitika Data, ITS Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail: 1 rifanamrozimath@gmail.com, 2 subiono2008@matematika.its.ac.id
Diajukan:3 Maret 2020,  Diperbaiki: 23 Juni 2020, Diterima:24 Juni 2020

## Abstrak
Pada  penelitian  ini  dibahas  grup  Lie  General  Linear 𝐺𝐿 𝑛, ℂ bertindak  secara  konjugasi  pada manifold 𝑀 𝑛, ℂ . Himpunan semua orbit dari tindakan grup Lie tersebut dideskripsikan melalui bentuk kanonik Jordan yang merupakan ruang kuasi. Telah diduga jika 𝑋 dan 𝑌 adalah matriks-matriks di 𝑀 𝑛, ℂ dengan nilai-nilai eigen yang sama tetapi memiliki bentuk kanonik Jordan yang berbeda, maka irisan dari persekitaran  orbit  dari 𝑌 dan  persekitaran  orbit  dari 𝑋 tidak  kosong.  Namun,  pembuktian  lengkap  dari dugaan tersebut belum ada. Pada paper ini, diberikan pembuktian formal dugaan tersebut dengan perturbasi matriks, yaitu ruang kuasi yang berbentuk kanonik Jordan tersebut adalah suatu ruang non-Hausdorff.
Kata Kunci : grup Lie, bentuk kanonik Jordan, Hausdorff, 𝐺𝐿 𝑛, ℂ , perturbasi matriks.

## Abstract
In this research, we discuss the action General Linear Lie Group 𝐺𝐿 𝑛, ℂ on manifold 𝑀 𝑛, ℂ . The set of all orbits of this action is described through the Jordan canonical form which is a quasi-space. Already guessed if 𝑋 and 𝑌 are matrices in 𝑀 𝑛, ℂ with the same eigenvalues having different Jordan canonical form, then the intersection of the neighborhood of 𝑋 and the neighborhood of 𝑌 is not empty. However, complete proof of that hypothesis does not exist yet. In this paper, we provide a proof that is thought to be related to the perturbation matrix, so that the quasi space described through Jordan canonical form is a non-Hausdorff space.
Keywords: Lie group, Jordan canonical form, Hausdorff, 𝐺𝐿 𝑛, ℂ , matrix perturbation.

## 1 Pendahuluan
Suatu  ruang  topologi 𝑆 adalah  Haussdorff  jika  diberikan  dua  buah  titik  yang  berbeda misalkan 𝑥, 𝑦 di  dalam 𝑆 ,  ada  himpunan  terbuka 𝑈, 𝑉 yang  saling  disjoin  sedemikian  hingga 𝑥 ∈  𝑈 dan 𝑦 ∈  𝑉 . Sehingga secara makna sifat Hausdorff dapat dipandang sebagai keterpisahan suatu ruang topologi. Misal 𝑀 𝑀 𝑛, ℂ himpunan seluruh matriks persegi berukuran 𝑛 𝑛 dan 𝐺 𝐺𝐿 𝑛, ℂ subhimpunan 𝑀 dengan determinan matriks tak nol, orbit di dalam 𝑀/𝐺 dengan operasi  konjugasi  berbentuk  kanonik  Jordan.  Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah  matriks-matriks  di 𝑀 dengan nilai-nilai eigen yang sama tetapi memiliki bentuk kanonik Jordan yang berbeda,  irisan
persekitaran orbit dari 𝑌 dan persekitaran orbit dari 𝑋 tidak kosong, dengan kata lain 𝑀/𝐺 non- Hausdorff. Sebenarnya dalam buku [1] sudah dibahas dugaan ini, namun hanya disajikan dalam bukti intuitif.
Grup  Lie  suatu  kajian  fundamental  dalam  aljabar  dan  mempunyai  beberapa  aplikasi diantaranya  adalah  penggunaan  grup  Lie  untuk  menyelesaikan  masalah  optimisasi  dalam Pemrosesan  Sinyal  Buta  (PSB),  termasuk  Analisis  Komponen  Independen  (AKI)  dan  Analisis Subruang Independen (ASI) [2]. Selain itu dalam [2] dibahas fundamental grup Lie dan aljabar Lie, geometri masalah dalam PSB serta ide-ide dasar teknik optimasi berdasarkan grup Lie.  Juga diberikan algoritma optimisasi berdasarkan sifat-sifat grup Lie ditandai oleh fakta bahwa selama gerakan optimasi, mereka memastikan ikatan permanen dengan ruang pencarian. Sifat ini sangat signifikan dalam hal stabilitas dan dinamika algoritma pengoptimalan. Geometri khusus masalah seperti AKI dan ASI bersama dengan homogenitas ruang pencarian memungkinkan penggunaan teknik  optimasi  berdasarkan  sifat-sifat  grup  Lie  ortogonal 𝑂 𝑛 dan  spesial 𝑆𝑂 𝑛 .    Ide  yang menarik  adalah  gerakan  optimasi  dalam  sub-parameter  komutatif  satu-parameter  dan  sub-sub- tropis toral yang memastikan kompleksitas komputasi yang rendah dan algoritma berkecepatan tinggi.
Pembahasan tentang ruang Hausdorff juga masih menjadi penelitian yang sedang didalami. Seperti  dalam  paper  [3],  yang  membahas  tentang  konsep  baru  ruang  Hausdorff  yaitu soft bitopological Hausdorff space (SBT Hausdorff space). Setelah didefinisikan hal-hal baru seperti:
SBT point, fungsi kontinu SBT, dan SBT homeomorphism , didalamnya juga dianalisis bagaimana suatu ruang SBT termasuk ruang Hausdorff atau non-Hausdorff.
Grup General Linear pada tensor yang merupakan bentuk lebih umum dari 𝐺𝐿 𝑛, ℂ juga masih menjadi objek yang masih terus diteliti, hal ini ditunjukan dengan adanya paper [4] yang juga  membahas  aplikasi  tindakan  grup  general  linear  pada  kriptografi.  Tindakan  grup  yang diperoleh  digunakan  untuk  membangun  suatu  skema  untuk  enkripsi public-key .  Pada  paper tersebut  digunakan  tindakan  grup  natural  yang  merepresentasikan  pergantian  basis,  sedangkan dalam penelitian ini adalah konjugasi.
Tindakan grup pada suatu manifold mendapat perhatian dalam 4 dekade terakhir. Pada paper [5]  disajikan  beberapa open question tentang  tindakan  grup  yang  berfokus  pada  manifold berdimensi satu.
Pembahasan  kelas  konjugasi  matriks  dalam  paper  ini  menjadi  utama.  Di  sisi  lain,  kelas konjugasi  dari  fungsi-fungsi diffeomorphisms dalam  paper  [6]  diteliti  tentang  syaratnya  untuk eksistensi suatu barisan ataupun lintasan kontinu dalam suatu topologi 𝐶 .
Seperti yang diketahui, bahwa sistem keamanan dan kriptografi menjadi penting pada era digital. Terakhir, selain  dapat memberikan bukti formal tentang sifat non-Hausdorff dari ruang kuasi 𝑀/𝐺 diharapkan  penelitian  ini  juga  dapat  memberikan  manfaat  tentang  variasi  enkripsi public-key pada bidang ilmu kriptografi.

## 2 Metode Penelitian
Pada bagian ini akan dijelaskan langkah-langkah pengerjaan paper tentang pembuktian sifat non-Hausdorff  pada  grup  Lie 𝐺𝐿 𝑛, ℂ bertindak  pada  manifold 𝑀 𝑛, ℂ ,  yang  secara  singkat dibagi menjadi 4 tahapan:
2.1 Menentukan hasil tindakan grup Lie
Pada bagian ini ditunjukan bahwa tindakan grup Lie 𝐺𝐿 𝑛, ℂ pada 𝑀 𝑛, ℂ dengan aturan konjugasi memenuhi aksioma tindakan grup. Selanjutnya ditunjukan bahwa hasil tindakan grup tersebut orbit-orbitnya berbentuk kanonik Jordan.
2.2  Menyajikan langkah-langkah contoh mendekomposisi Jordan suatu matriks
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  generalisasi  vektor  eigen  dan  rantai  Jordan. Pembahasan langsung diaplikasikan dengan mendekomposisi suatu matriks berukuran 3 3 .
2.3 Menyajikan langkah-langkah perturbasi pada ruang kuasi
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  bukti  bagaimana  untuk  suatu  perubahan  yang  sangat kecil/perturbasi  pada  suatu  orbit,  sebarang  bentuk  kanonik  Jordan  dapat  didiagonalkan. Selanjutnya akan dibuktikan sifat non-Hausdorff dari ruang kuasi yang dibahas.
2.4  Penarikan Kesimpulan
Pada tahap yang terakhir, akan diberikan kesimpulan dari penelitian yang dilakukan yaitu sifat non-Hausdorff dari ruang kuasi terbukti secara formal.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Tindakan grup Lie
Subhimpunan 𝐺 𝐺𝐿 𝑛, ℂ dari himpunan 𝑀 𝑀 𝑛, ℂ bertindak secara konjugasi pada 𝑀 . Tindakan ini adalah 𝐺 𝑀 → 𝑀 , dimana 𝑔, 𝑚 → 𝑔𝑚𝑔 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 dan setiap 𝑚 ∈ 𝑀 . Seluruh sifat/aksioma definisi tindakan grup telah dipenuhi, yaitu:
1) Untuk sebarang 𝑚 𝑚 , ∈ 𝑀, dengan mengambil 𝑒 𝐼 (matriks identitas berukuran
𝑛 𝑛 ), diperoleh 𝑒. 𝑚 𝐼. 𝑚 𝐼 𝑚 , 𝐼 𝑚 , 𝑚.
2) Untuk setiap 𝑔 , 𝑔 ∈ 𝐺 dan setiap 𝑚 ∈ 𝑀, berlaku
𝑔 . 𝑔 . 𝑚 𝑔 . 𝑔 𝑚𝑔
𝑔 𝑔 𝑚𝑔 𝑔
𝑔 𝑔 𝑚 𝑔 𝑔
𝑔 𝑔 𝑚 𝑔 𝑔
𝑔 . 𝑔 . 𝑚.
Melalui tindakan ini, hasil tindakannya dapat dikelompokkan menjadi klas-klas ekivalen.
Teorema  1. [7] (Dekomposisi  Jordan) Misal 𝐴 suatu matriks dengan entri-entri bilangan kompleks. Maka ada suatu matriks invertible 𝑃 sedemikian hingga

## 𝑃 𝐴𝑃
𝐽 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 ,
dimana 𝐽 adalah blok Jordan dari 𝐴 dengan nilai eigen dari 𝐴 pada diagonal. Blok Jordan ditentukan secara unik oleh 𝐴.
Berdasarkan  jaminan  Teorema  Dekomposisi  Jordan  dengan  mengambil  matriks 𝑃 pada persamaan 𝑃 𝐴𝑃 sebagai matriks pada 𝐺 , dan karena untuk setiap elemen 𝑔 ∈ 𝐺 punya invers, maka orbit tindakannya adalah bentuk kanonik Jordan. Himpunan orbit-orbit tersebut selanjutnya kita notasikan dengan 𝑀/𝐺 .
Sebagai  gambaran  misal 𝑚 , 𝑚 ∈ 𝑀 memiliki  bentuk  Jordan  yang  sama 𝐽 .  Berdasarkan Teorema dekomposisi Jordan, yaitu ada matriks invertible 𝑔 sedemikian hingga 𝑚 𝑔 𝐽𝑔 , dan ada matriks invertible 𝑔 sedemikian hingga 𝑚 𝑔 𝐽𝑔 . Tindakan konjugasi 𝐺 pada M membuat matriks 𝑚 dan 𝑚 terletak pada orbit yang sama, yaitu klas konjugasi
𝐾 𝐽 𝑔𝐽𝑔 |𝑔 ∈ 𝐺 ,
yaitu dengan mengambil 𝑔 𝑔 untuk 𝑚 dan 𝑔 𝑔 untuk 𝑚 , diperoleh 𝑔 𝐽𝑔 𝑔 𝐽 𝑔 ∈ 𝐾 𝐽 , 𝑔 𝐽𝑔 𝑔 𝐽 𝑔 ∈ 𝐾 𝐽 .

## 3.2 Dekomposisi Jordan
Berikut diberikan langkah-langkah dalam  mendapatkan matriks 𝑃 ∈ 𝐺𝐿 𝑛, ℂ sedemikian hingga 𝐽 𝑃 𝐴𝑃, ∀𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, ℂ ,  sebagaimana  dijamin  eksistensinya  oleh  Teorema Dekomposisi Jordan.
1. Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴 .
2. Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linier dari matriks 𝐴 . Jika banyak vektor sama dengan ukuran  matriks, maka proses selesai, bentuk  matriks 𝑃 sebagai kolom-kolom dari vektor-vektor tersebut, jika hal tersebut terjadi maka bentuk kanonik Jordan dari 𝐴 adalah matriks diagonal. jika tidak, lanjut ke langkah selanjutnya.
3. Dapatkan  bilangan  terkecil 𝑛 ∈ ℕ ,  sedemikian  hingga  banyaknya  vektor-vektor pembangun Ker 𝐴 𝜆𝐼 , tidak bertambah lagi jika 𝑛 ditambah satu. Vektor-vektor 𝑣 yang  memenuhi 𝐴 𝜆𝐼 𝑣 0 tetapi 𝐴 𝜆𝐼 𝑣 0 disebut  vektor  eigen tergeneralisir dengan rank 𝑛 .
4. Susun  vektor-vektor    rantai  Jordan  yang  didapat  menjadi  kolom-kolom  matriks 𝑃 dengan urutan vektor dengan rank yang lebih besar terletak pada kanan vektor rank satu kurangnya pada rantai Jordan yang sama. Misal 𝑥 adalah vektor eigen tergeneralisir dengan rank 𝑚 dengan nilai eigen 𝜆 . [8] Rantai Jordan yang dibangun oleh 𝑥 adalah himpunan vektor-vektor bebas linear.
𝑥 , 𝑥 , ⋯ , 𝑥 , yang didapat melalui 𝑥 𝐴 𝜆𝐼 𝑥 , 𝑥 𝐴 𝜆𝐼 𝑥 𝐴 𝜆𝐼 𝑥 , ⋮ 𝑥 𝐴 𝜆𝐼 𝑥 𝐴 𝜆𝐼 𝑥 .
Berikut  disajikan  contoh  mendapatkan  matriks 𝑃 sedemikian  hingga 𝐽 𝑃 𝐴𝑃 untuk suatu matriks 𝐴 dengan 𝐽 bentuk kanonik Jordan dari 𝐴.
Contoh 1. Pandang matriks
𝐴 1 3 1 1 5 1
2 6 0 .
Selanjutnya  akan  dicari  matriks 𝑃 sedemikian  hingga 𝑃 𝐴𝑃 bentuk  kanonik  Jordan.  Berikut langkah-langkahnya:
1. Dengan menghitung det 𝐴 𝜆𝐼 , diperoleh persamaan karakteristik dan diketahui bahwa seluruh nilai eigen dari matriks 𝐴 adalah 2 dengan multiplisitas aljabarnya 3.
2. Dengan menentukan Ker 𝐴 𝜆𝐼 , diperoleh vektor-vektor eigennya yaitu 1 0 1 , 0 1 3 .
3. Karena 𝐴 𝜆𝐼 matriks nol, berarti 2 adalah 𝑛 terkecil, disini dapat dipilih sebarang satu vektor pembangun asalkan bebas linear dengan dua vektor di awal, vektor ini merupakan vektor eigen tergeneralisir, dalam pengerjaan ini dipilih
𝑥 0 0 1 .
Lalu dicari rantai Jordannya
𝑥 𝐴 2𝐼 𝑥 1 3 1 1 5 1 2 6 0 0 0 1
1 1 2 . Diperoleh 1 1 2 , 0 0 1 .
Untuk rantai Jordan yang lain dapat dipilih sebarang vektor eigen diawal yang bebas linear dari rantai Jordan yang sudah terpilih. Karena untuk memenuhi tinggal satu vektor lagi, vektor  eigen  ini  sama  halnya  dengan  vektor  eigen  tergeneralisir  dengan  rank  satu. Diperoleh
1
0
1 .
4. Sehingga diperoleh matriks 𝑃 yaitu 𝑃 1 0 1 1 0 0 2 1 1 . Dapat diperiksa 𝑃 𝐴𝑃 0 1 0 1 3 1 1 1 0 1 3 1 1 5 1
2 6 0 1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1 0 0 2 0 0 0 2 𝐽.
Setelah  mengetahui  bentuk  elemen-elemen 𝑀/𝐺 ,  berikutnya  akan  dibahas  bagaimana mengambil  persekitaran  pada  orbit-orbit 𝑀/𝐺, kemudian  akan  diarahkan  eksistensi  irisannya untuk pembuktian sifat non-Hausdorff 𝑀/𝐺 dengan perturbasi matriks.
3.3 Perturbasi Matriks
Diberikan  suatu  matriks 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛, ℂ ,  suatu  matriks 𝐴 ∗ ∈ 𝑀 𝑛, ℂ diperoleh  dengan menambahkan entri-entrinya dengan suatu bilangan yang relatif kecil atau memberikan perubahan sedikit entri-entri pada matriks 𝐴. Dalam hal ini artinya matriks 𝐴 mengalami perturbasi sehingga menjadi matriks 𝐴 ∗ .
Contoh  2. Misal 𝐴 3 1 0 2 , diberikan 𝜀 0,05 ,  sehingga  untuk |𝐴 𝐴 ∗ | 𝜀 dapat  dipilih 𝛿 𝛿 𝛿 𝜀 dimana 𝛿 0,01 dan 𝛿 0,02 , berakibat 𝐴 ∗ dapat ditentukan
𝐴 ∗ 3 𝛿 1 0 2 𝛿 2,99 1 0 1,98 . Karena |𝐴 𝐴 ∗ | 3 1 0 2 2,99 1 0 1,98 0,01 0 0 0,02 |0,01| |0| |0,02| |0| 0,02236 0,05 𝜀.
Sekarang misalkan 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛, ℂ adalah dua matriks yang memiliki nilai-nilai eigen yang sama  dan  memenuhi 𝐴 𝑔 𝐽 𝑔
, 𝐵 𝑔 𝐽 𝑔
dengan 𝐽 dan 𝐽 berturut-turut bentuk kanonik Jordan matriks 𝐴 dan 𝐵. Terlihat 𝐴 dan 𝐵 memiliki bentuk Jordan yang berbeda, sehingga pada 𝑀/𝐺, 𝐴 dan 𝐵 terletak pada orbit yang berbeda. Misalkan 𝐽 𝐽 𝜆 ⊕ 𝐽 𝜆
⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐽 𝜆
0 ⋯ 0 0 𝐽 𝜆 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝐽 𝜆 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dengan 𝐽 𝜆 , untuk 𝑖 1,2, ⋯ , 𝑠 , adalah blok-blok Jordan ke- 𝑖 yang eigennya 𝜆 dengan ukuran blok 𝑛 𝑛 dan 0
adalah matriks dengan ukuran 𝑛 𝑛 . 𝐽 𝜆 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 0 𝜆 1 ⋯ 0 0 0 0 𝜆 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝜆 1 0 0 0 ⋯ 0 𝜆 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .
Dengan cara yang serupa dapat ditentukan juga 𝐽 .
Selanjutnya,  diberikan  perturbasi 𝜀 pada  kedua  matriks 𝐽 dan 𝐽 , sehingga  matriks 𝐽 setelah mengalami perturbasi menjadi 𝐽 ∗
𝐽 ∗ 𝐽 ∗ 𝜆 ⊕ 𝐽 ∗ 𝜆 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 ∗ 𝜆 ,
yaitu setiap elemen pada diagonal utama matriks dikurangi 𝛿 , sehingga jika diperhatikan setiap blok ke- 𝑗, ∀𝑗 1,2, ⋯ , 𝑠, akan terlihat
𝐽 ∗ 𝜆 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜆 𝛿 1 0 ⋯ 0 0 0 𝜆 𝛿 1 ⋯ 0 0 0 0 𝜆 𝛿 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝜆 𝛿 1 0 0 0 ⋯ 0 𝜆 𝛿 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ,
dengan  syarat 𝛿 , ∀𝑖 1,2, ⋯ , 𝑛 ,  menghasilkan  nilai 𝜆 𝛿 yang  seluruhnya  berbeda  dan memenuhi
|𝛿 | 𝜀.
Dengan cara yang serupa dapat ditentukan juga 𝐽 ∗ .
𝐽 ∗ 𝐽 ∗ 𝜆 ⊕ 𝐽 ∗ 𝜆 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 ∗ 𝜆 .
Pada 𝐽 ∗ dan 𝐽 ∗ , karena  setiap  hasil 𝜆 𝛿 berbeda,  setiap  entri  pada  diagonal  utama menjadi  berbeda.  Berdasarkan  sifat  di  Aljabar  Linier,  suatu  matriks  yang  seluruh  nilai-nilai eigennya berbeda maka similar dengan matriks diagonal. Mengingat matriks blok Jordan adalah matriks  segitiga,  nilai-nilai  eigennya  dapat  diketahui  dari  entri-entri  pada  diagonal  utama. Akibatnya 𝐽 ∗ dan 𝐽 ∗ sama-sama  similar  dengan  matriks  diagonal  atau  bentuk  Jordan  dengan ukuran tiap  bloknya adalah satu. Sehingga dapat ditulis
𝐽 ∗ 𝐽 ∗ 𝜆 ⊕ 𝐽 ∗ 𝜆 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 ∗ 𝜆 𝑃 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 𝑃 ∼ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 .
Begitu juga dengan 𝐽 ∗
𝐽 ∗ ∼  𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 ⊕ ⋯ ⊕ 𝐽 𝜆 𝛿 .
Oleh karena 𝐽 ∗ dan 𝐽 ∗ sama-sama ekivalen dengan matriks blok-blok Jordan berukuran satu- satu, maka 𝐽 ∗ dan 𝐽 ∗ ekivalen atau dapat ditulis
𝐽 ∗ ∼ 𝐽 ∗ .
Untuk menunjukan sifat non-Hausdorff ruang kuasi 𝑀/𝐺 hanya diperlukan suatu eksistensi irisan  dua  persekitaran  orbit  berbeda  agar  bertentangan  dengan  definisi  ruang  Hausdorff.  Pada penelitian ini irisan tersebut adalah bentuk diagonal. Keberagaman nilai-nilai eigen menjadi kunci
agar  suatu  matriks  dapat  didiagonalkan.  Hal  itulah  yang  menjadi  alasan  digunakan  perturbasi hanya pada entri-entri diagonal utama.
Dari itu, ambil sebarang persekitaran pada dua orbit berbeda matriks-matriks dengan nilai- nilai eigen yang sama tapi memiliki bentuk kanonik Jordan berbeda, yaitu himpunan buka pada topologi standar 𝑀/𝐺 dengan ukurannya 𝜀 . Himpunan buka tersebut mempunyai arti sama dengan perturbasi 𝜀 0 . Padahal untuk setiap perturbasi 𝜀 0 memuat orbit matriks diagonal nilai-nilai eigen  bersesuaian  yang  sama,  dan  matriks  diagonal  tersebutlah  yang  menjadi  irisan  setiap himpunan  buka.    Karena  ketiadaan  dua  buah himpunan  buka yang  saling  asing  tersebut,  maka 𝑀/𝐺 bersifat non-Hausdorff.
Teorema berikut digunakan untuk mempermudah dalam mendapatkan matriks 𝑃 dari suatu matriks 𝐴 yang berbentuk khusus mirip blok Jordan sedemikian hingga 𝑃 𝐴𝑃 matriks diagonal.
Teorema ini akan digunakan untuk mendapatkan matriks 𝑃 pada contoh di bagian akhir.
Teorema 2. Misalkan 𝐴 suatu matriks berukuran 𝑛 𝑛 yang memenuhi kondisi:
1. Seluruh entri pada diagonal utama berbeda.
2. Seluruh entri pada super diagonal atas, yaitu entri-entri tepat satu baris diatas diagonal utama, bernilai 1.
3. Seluruh entri selain pada diagonal utama dan super diagonal atas bernilai nol.
Yaitu 𝐴 dapat ditulis menjadi
𝐴 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎 1 0 ⋯ 0 0 0 𝑎 1 ⋯ 0 0 0 0 𝑎 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑎 1 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .
Jika 𝐽 adalah bentuk kanonik Jordan dari 𝐴, maka matriks 𝑃 , dengan sifat 𝑃 𝐴𝑃 𝐽 , dapat ditentukan oleh
𝑃 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡1 1 1 𝑎 𝑎 ⋯ 1 ∏ 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑎 1 ⋯ 1 ∏ 𝑎 𝑎 0 0 𝑎 𝑎 ⋯ 1 ∏ 𝑎 𝑎 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .
Bukti: Karena 𝐴 matriks segitiga atas maka nilai-nilai eigennya terletak pada entri-entri diagonal utama,  yaitu 𝑎 , ∀𝑖 1,2, ⋯ , 𝑛. Sekarang  akan  dicari  vektor-vektor  eigennya,  karena  diketahui
∀𝑖 1,2, ⋯ , 𝑛 seluruh 𝑎 berbeda, maka seluruh eigennya juga berbeda, berakibat untuk setiap ruang eigen 𝐸 hanya dibangun satu eigen vektor. Selanjutnya akan dicari masing-masing vektor eigennya.
𝐸 =Ker 𝐴 𝑎 𝐼 =Ker ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 𝑎 𝑎 1 ⋯ 0 0 0 0 𝑎 𝑎 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑎 1 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ =span ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 ⋮ 0 0⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ . 𝐸 =Ker 𝐴 𝑎 𝐼 =Ker ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎 𝑎 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 𝑎 𝑎 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑎 1 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ =span ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 𝑎 𝑎
0 ⋮ 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ . 𝐸 =Ker 𝐴 𝑎 𝐼 =Ker ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎 𝑎 1
0 ⋯ 0 0 0 𝑎 𝑎 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑎 1 0 0 0 ⋯ 0 𝑎 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ =span ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 𝑎 𝑎 ⋮
0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ . ⋮
𝐸
=Ker 𝐴 𝑎 𝐼 =Ker ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑎 𝑎 1 0 ⋯ 0 0 0 𝑎 𝑎 1 ⋯ 0 0 0 0 𝑎 𝑎 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑎 1 0 0 0 ⋯ 0 0⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ =span ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ∏ ∏ ∏ ⋮ 1 𝑎 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ .
Sehingga diperoleh vektor-vektor eigennya:
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 ⋮ 0 0⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 𝑎 𝑎 0 ⋮ 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 𝑎 𝑎 1 𝑎 𝑎 ⋮ 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , ⋯ , ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 ∏ 𝑎 𝑎 1 ∏ 𝑎 𝑎 1 ∏ 𝑎 𝑎 ⋮ 1 𝑎 𝑎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .
Maka dapat dibentuk matriks 𝑃 dengan kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen yang didapat.

## ∎
Berikut disajikan contoh dari uraian yang telah dibahas.
Contoh 3. Pandang matriks 𝐴 ∈ 𝑀 3, ℂ
𝐴 5 2𝑖 1 𝑖 1 𝑖 3 3𝑖 7 3 3𝑖 4 4𝑖 4 4𝑖 7𝑖 .
Selanjutnya akan dicari matriks 𝑃 sedemikian hingga 𝑃 𝐴𝑃 bentuk kanonik Jordan. Berikut langkah-langkahnya:
1. Dengan  menghitung |𝜆𝐼 𝐴|, diperoleh  polinomial  karakteristiknya ∆ 𝜆 𝜆 4 3𝑖 lalu didapat polinomial minimumnya 𝑚 𝜆 𝜆 4 3𝑖 , maka seluruh nilai  eigen  dari  matriks 𝐴 adalah 4 3𝑖 dengan  multiplisitas  aljabarnya  3,  dan  bentuk kanonik Jordan dari 𝐴 bukan matriks diagonal.
2. Selanjutnya dicari vektor-vektor eigennya yaitu
1 0 1 , 0 1 1 . 3. Karena 𝐴 𝜆𝐼 matriks nol, berarti 2 adalah 𝑛 terkecil, disini dapat dipilih sebarang satu vektor pembangun asalkan bebas linear dengan dua vektor eigen di awal, dalam pengerjaan ini dipilih
𝑥 0 0 1 , lalu dicari rantai Jordannya 𝑥 = 𝐴 4 3𝑖 𝐼 𝑥 = 1 𝑖 1 𝑖 1 𝑖 3 3𝑖 3 3𝑖 3 3𝑖 4 4𝑖 4 4𝑖 4 4𝑖 0 0 1
= 1 𝑖 3 3𝑖 4 4𝑖 . Diperoleh 1 𝑖 3 3𝑖 4 4𝑖 , 0 0 1 .
Untuk rantai Jordan yang lain dapat dipilih sebarang vektor eigen di awal yang bebas linear dari rantai Jordan yang sudah terpilih. Karena untuk memenuhi tinggal satu vektor lagi, vektor  eigen  ini  sama  halnya  dengan  vektor  eigen  tergeneralisir  dengan  rank  satu. Diperoleh
0
1
1 .
4. Sehingga  dengan  menyusun  vektor-vektor  eigen  tergeneralisir  sebagai  kolom-kolom matriks 𝑃 diperoleh
𝑃 1 𝑖 0 0 3 3𝑖 0 1 4 4𝑖 1 1 , dan bentuk kanonik Jordan dari 𝐴, yaitu matriks 𝐽 𝑃 𝐴𝑃 𝐽 4 3𝑖 1 0 0 4 3𝑖 0 0 0 4 3𝑖 .
Sekarang pandang matriks 𝐵 ∈ 𝑀 3, ℂ 𝐵 4 3𝑖 𝑖 1 0 4 3𝑖 1 3𝑖 0 0 4 3𝑖 .
Selanjutnya akan dicari matriks 𝑃 sedemikian hingga 𝑃 𝐵𝑃 bentuk kanonik Jordan. Berikut langkah-langkahnya:
1. Dengan  menghitung |𝜆𝐼 𝐵|, diperoleh  polinomial  karakteristiknya ∆ 𝜆 𝜆 4 3𝑖 lalu didapat polinomial minimumnya 𝑚 𝜆 𝜆 4 3𝑖 , maka seluruh nilai  eigen  dari  matriks 𝐵 adalah 4 3𝑖 dengan  multiplisitas  aljabarnya  3,  dan  bentuk kanonik Jordan dari 𝐵 bukan matriks diagonal.
2. Selanjutnya dicari vektor-vektor eigennya yaitu
1 0 0 .
3. Karena 𝐵 𝜆𝐼 bukan matriks nol, sedangkan 𝐵 𝜆𝐼 matriks nol berarti 3 adalah 𝑛 terkecil, disini dapat dipilih satu vektor pembangun
𝑥 0 0 1 . Lalu dicari rantai Jordannya 𝑥 = 𝐵 4 3𝑖 𝐼 𝑥
= 0 𝑖 1 0 0 1 3𝑖 0 0 0 0 0 1 = 1 1 3𝑖
0 , 𝑥 = 𝐵 4 3𝑖 𝐼 𝑥
= 0 𝑖 1 0 0 1 3𝑖 0 0 0 1 1 3𝑖 0 = 3 𝑖 0
0 .
Diperoleh
3 𝑖 0 0 , 1 1 3𝑖 0 , 0 0 1 .
4. Sehingga  dengan  menyusun  vektor-vektor  eigen  tergeneralisir  sebagai  kolom-kolom matriks 𝑃 yaitu
𝑃 3 𝑖 1 0 0 1 3𝑖 0 0 0 1 ,
dan bentuk kanonik Jordan dari 𝐵, yaitu matriks 𝐽 𝐽 4 3𝑖 1 0 0 4 3𝑖 1 0 0 4 3𝑖 .
Maka 𝐴 dan 𝐵 adalah contoh dari matriks-matriks yang memiliki nilai-nilai eigen yang sama tapi memiliki bentuk kanonik Jordan yang berbeda. Berakibat jika 𝑀 𝑀 3, ℂ dan 𝐺 𝐺𝐿 3, ℂ , maka pada 𝑀/𝐺 , 𝐴 dan 𝐵 terletak pada orbit yang berbeda.
Misal diambil 𝜀 0,001 dengan 𝛿 , ∀𝑖 1,2,3 diberikan oleh 𝛿 0,001; 𝛿 0,002; 𝛿 0,0005;
didapat
|𝛿 | 0,00000525 0,001 𝜀.
Lalu perturbasi 𝜀 kedua matriks 𝐽 dan 𝐽 menjadi 𝐽 ∗ dan 𝐽 ∗ , sehingga diperoleh
𝐽 ∗ 4 3𝑖 𝛿 1 0 0 4 3𝑖 𝛿 0 0 0 4 3𝑖 𝛿 3,999 3𝑖 1 0 0 3,998 3𝑖 0 0 0 3,9995 3𝑖 𝑃 ∗ 𝐷 ∗ 𝑃 ∗
∼ 𝐷 ∗ .
Dengan matriks diagonal 𝐷 ∗ adalah
𝐷 ∗ 3,999 3𝑖 0 0 0 3,998 3𝑖 0 0 0 3,9995 3𝑖 .
Untuk  mendapatkan  matriks 𝑃 ∗ dapat  menggunakan  Teorema  2.  Perhatikan  bahwa  pada 𝐽 ∗ terdapat 2 blok diagonal (misal didefinisikan  matriks blok 𝐴 dan 𝐴 ) yang memenuhi kriteria teorema tersebut.
𝐴 3,999 3𝑖 1 0 3,998 3𝑖 , 𝐴 3,9995 3𝑖 .
Dengan Teorema 2 diperoleh matriks 𝑃 dan 𝑃 sedemikian hingga berlaku 𝑃 𝐴 𝑃 dan 𝑃 𝐴 𝑃 keduanya matriks diagonal.
𝑃 1 1 0 3,998 3𝑖 3,999 3𝑖 1 1 0 0,001 , 𝑃 1 . Sehingga dapat dibentuk matriks 𝑃 ∗ dengan blok-blok diagonalnya adalah 𝑃 dan 𝑃 .
𝑃 ∗ 𝑃 ⊕ 𝑃 1 1 0 0 0,001 0 0 0 1 .
Begitu juga untuk 𝐽 ∗ , diperoleh
𝐽 ∗ 4 3𝑖 𝛿 1 0 0 4 3𝑖 𝛿 1 0 0 4 3𝑖 𝛿 3,999 3𝑖 1 0 0 3,998 3𝑖 1 0 0 3,9995 3𝑖 𝑃 ∗ 𝐷 ∗ 𝑃 ∗
∼ 𝐷 ∗ .
Dengan matrik diagonal 𝐷 ∗ adalah
𝐷 ∗ 3,999 3𝑖 0 0 0 3,998 3𝑖 0 0 0 3,9995 3𝑖 .
Dengan cara yang seperti mendapatkan 𝑃 ∗ , gunakan Teorema 2 lalu diperoleh 𝑃 ∗
𝑃 ∗ 1 1 1 0,0005 0 0,001 1 0 0 0,0015 . Karena 𝐷 ∗
𝐷 ∗ sehingga 𝐽 ∗ ∼   𝐽 ∗ . Maka  dengan  perturbasi 𝜀 ,  persekitaran 𝐴 dan 𝐵 sama- sama memuat orbit matriks diagonal, berakibat irisannya tidak kosong.

## 4 Simpulan
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan  yang  telah  disampaikan,  maka  dapat  disimpulkan hipotesis  Kirilov  pada  bukunya  [1],  bahwa  sifat  non-Hausdorff  ruang  hasil  tindakan  grup  Lie 𝐺𝐿 𝑛, ℂ bertindak secara konjugasi pada 𝑀 𝑛, ℂ adalah benar.
Pada penelitian selanjutnya, diharapkan juga dikaji bagaimana sifat 𝑇 dan 𝑇 pada ruang hasil tindakan grup Lie 𝐺𝐿 𝑛, ℂ bertindak pada 𝑀 𝑛, ℂ secara konjugasi, atau bahkan 𝑇 namun untuk topologi yang berbeda dengan tindakan yang berbeda pula.  Pengetahuan tentang sifat-sifat hasil  tindakan  grup yang  didapat  dapat  diaplikasikan  untuk  variasi  pembentuk public-key pada Kriptografi ataupun di ilmu fisika General Relativity .

## 5 Daftar Pustaka
[1] J. Alexander Kirilov, Introduction to Lie Groups and Lie Algebras . Cambridge University Press, 2008.
[2] D. Mika and J. Jozwik, “Lie group methods in blind signal processing,” Sensors (Switzerland) , vol. 20, no. 2, 2020, doi: 10.3390/s20020440.
[3] G. Şenel, “A New Approach to Hausdorff Space Theory via the Soft Sets,” Math. Probl. Eng. , vol. 2016, 2016, doi: 10.1155/2016/2196743.
[4] Z. Ji, Y. Qiao, F. Song, and A. Yun, “General Linear Group Action on Tensors: A Candidate for Post-quantum Cryptography,” Lect. Notes Comput. Sci. (including Subser. Lect. Notes Artif. Intell. Lect. Notes Bioinformatics) , vol. 11891 LNCS, pp. 251–281, 2019, doi: 10.1007/978-3-030-36030-6_11.
[5] A. Navas, “Group actions on 1-manifolds: A list of very concrete open questions,” Proc. Int. Congr. Math. ICM 2018 , vol. 3, pp. 2053–2083, 2018.
[6] É. Farinelli, “Conjugacy classes of diffeomorphisms of the interval in C1-regularity,” Fundam. Math. , vol. 237, no. 3, pp. 201–248, 2017, doi: 10.4064/fm594-8-2014.
[7] F. Zhang, Matrix Theory Basic Results and Techniques Second Edition . Springer, 2011.
[8] R. Bronson, MATRIX METHODS An Introduction Second Edition . Academic Press, Inc., 1991.