Vol. 6, No.1, 15-19,  Juli  2009
Ciri-ciri Ideal prim   dan Gelanggang Polinom Miring
Amir Kamal Amir 

## Abstrak
Gelanggang polinom miring atas R dengan variabel x adalah gelanggang
0 [ ; , ] { ( ) | } n n i
R x f x a x a a R        , dengan aturan perkalian ( ) ( ), xa a x a a R       ,
dengan  adalah  suatu  endomorfisma  dan  adalah  suatu derivatif   .  Dalam  paper  ini akan diinvestigasi dua hal, yaitu karakteristik atau ciri-ciri ideal I dari R yang akan merupakan
ideal prime   dari R ,  dan  ciri-ciri  dari  gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   yang merupakan gelanggang prim.
Kata Kunci: Gelanggang polinom  miring, ideal  prim, prime   .

## 1. Gelanggang Polinom Miring
Definisi  dari  gelanggang  polinom  miring  (gelanggnag  tak  komutatif)  ini  pertamakali diperkenalkan oleh Ore (1933), yang mengkombinasikan ide awal dari Hilbert (kasus 0   ) dan Schlessinger  (kasus 1   ).  Sejak  kemunculan  artikel  dari  Ore  ini,  gelanggang  polinom  miring telah  memerankan  peran  yang  penting  dalam  teori  gelanggang  tak  komutatif  dan  telah  banyak peneliti yang bergelut dalam teori gelanggang tak komutatif menginvestigasi bentuk  gelanggang tersebut  dari  berbagai  sudut  pandang,  seperti  teori  ideal,  teori  order,  teori  Galois,  dan  aljabar homologi.

## Definisi 1.
Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1,  adalah suatu endomorfisma pada R, dan  adalah suatu derivatif   , yaitu
(i).  adalah suatu endomorfisma pada  R, dengan R  sebagai  grup penjumlahan,
(ii). ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b a b       untuk setiap , . a b R 
Gelanggang polinom miring atas R dengan variabel x adalah gelanggang
  R a a x a xa R a a x a x f x R i n n          ), ( ) ( dengan , ) ( ] , ; [ 0 
    .
Suatu  elemen  p  dari  gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   mempunyai  bentuk  kanonik
0 , {0,1, }, , 1, , . r i i i i p a x r a R i r         Z
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
Teorema 1. Misalkan [ ; , ] R x   adalah suatu gelanggang polinom miring, maka
1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m i m i i a a a a          ,
untuk setiap a R  dan  m = 1,2, ... .

## Bukti:
Pembuktian menggunakan induksi. Persamaan di atas jelas untuk m = 1.
Misalkan  persamaan  di  atas  benar  untuk m  =  k ,  akan  ditunjukkan  bahwa  persamaan  tersebut benar untuk m=k+ 1 .
Persamaan benar untuk m=k artinya
1
1 0 ( ) ( ) ( ) k k i k i i a a a a          .
Selanjutnya untuk m = k+ 1 diperoleh 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k a a a a a        1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . k k i k i m i k i i
i a a a a a a a            
   

Teorema 2. Misalkan [ ; , ] R x   adalah  suatu  gelanggang  polinom  miring.  Jika  R  adalah  gelanggang komutatif maka ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) a a b b b a        , untuk semua , a b R  .
Bukti:
Jalankan  pada persamaan ba ab  diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a a b a b          . Dari persamaan ini diperoleh ( ( )) ( ) ( ( )) ( ). a a b b b a     
 

## Teorema 3.
Diberikan  suatu  gelanggang  R  dan  pemetaan-pemetaan , : R R    .  Misalkan  pemetaan
2 : ( ) R M R   didefenisikan dengan aturan ( ) ( ) ( ) 0 r r r r         
 ,  maka  adalah suatu homomorfisma  gelanggang jika dan hanya jika  dan  berturut-turut adalah endomorfisma gelanggang dan  -derivatif  seperti yang didefinisikan untuk suatu gelanggang polinom miring.
Bukti : ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 r s r s r s r s
r r s s r s r s         
 
                        
.
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
( ) ( ). rs rs rs
rs r s r s r s rs r r s s r s
r s     
      
      
  
                

2.  Ideal prim   dari Gelanggang Polinom Miring [ ; , ]
R x  
Definisi 2.
Misalkan [ ; , ] R x   adalah  suatu  gelangang  polinom  miring.  Suatu ideal   dari R  adalah suatu  ideal  I  dari  R  sedemikian  sehingga ( ) I I   . Suatu ideal   prim    (atau prim   ) adalah  suatu ideal   sejati  I  dari    R  sedemikian  sehingga  jika    J,  K  adalah ideal   yang memenuhi JK I  , maka J I  atau K I  .  Dalam  kasus  0  adalah  suatu prim  
ideal dari R, kita katakan R adalah suatu  gelanggang prim   .
Teorema 4. Misalkan  adalah suatu automorfisma dari gelanggang R, dan misalkan I adalah suatu ideal sejati dari R sedemikian sehingga ( ) . I I  
I adalah prime   jika dan hanya jika untuk sembarang , , a c R I   terdapat b R  dan t  Z sedemikian sehingga I c ab t  ) (  .
Bukti: (  ) Misalkan A,  C adalah ideal   yang  tidak  berada  dalam  ideal I .  Pilih  elemen-elemen a A I   dan c C I   ,    maka  terdapat b R  dan t  Z sedemikian  sehingga ( ) t ab c I   .
Kasus I. Jika 0, t  maka ( ) t c C   sehingga dari ( ) t ab c I   diperoleh AC I  . Kasus  II.  Jika 0, t  maka  dari ( ) t ab c I   diperoleh ( ) ( ) ( ) . t t t a b c I I        
Dalam kasus ini, ( ) t a A    sehingga AC I  . Dari kasus I dan II disimpulkan bahwa I adalah suatu ideal prime   .
Amir Kamal Amir
(  ) Misalkan I adalah prime   dan , . a c R I   Himpunan-himpunan 0 ( ) i i A R a R      dan
0 ( ) j j C R c R      adalah ideal   yang tidak berada dalam ideal I , sehingga AC I  .
Konsekuensinya, ( ) ( ) i j a b c I    untuk suatu , 0, i j  sehingga ( ) ( ) . i t i a b c I     

## 3. Karakteristik dari Gelanggang Polinom Miring Prim
Sebelum  masuk  ke  karakteristik  dari  gelanggang  polinom  miring  prim  disajikan  dulu defenisi tentang annihilator yang dibutuhkan dalam pembuktian teorema.
Definisi 3.
Misalkan X  adalah suatu himpunan bagian dari suatu gelanggang R, maka
  . ( ) | 0 r ann X r R Xr    disebut  annihilator  kanan  dari  X  dan
  . ( ) | 0 l ann X r R rX   
disebut annihilator kiri dari  X.
Teorema 5. Misalkan [ ; , ] T R x    dan  untuk  setiap  elemen-elemen  taknol , a b R  ,  terdapat  suatu bilangan  bulat  taknol    n    sedemikian  sehingga ( ) 0 n aR b   atau ( ) 0 n aR b   ,  maka    T adalah suatu gelanggang prim.
Bukti:
Andaikan T adalah  bukan  suatu  gelanggang  prim,  maka T memuat  ideal-ideal  taknol A dan B sedemikian  sehingga 0 AB  .  Tanpa  mengurangi  berlaku  umumnya  pembuktian  kita  bisa memisalkan A = l.ann(B) dan B = r.ann(A).
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa 0. A R   Untuk  menunjukkan  hal  ini,  akan  akan ditunjukkan  bahwa ( ) m m u A    atau  dengan  kata  lain ( ) 0 m m u B    .  Namun  demikian untuk menunjukkkan bahwa ( ) 0 m m u B    , kita cukup menunjukkan bahwa ( ) 0 m m u C    dimana C = r.ann(u).
Pilih suatu elemen u A  yang mempunyai derajat minimal, katakan m , dan koefisien awal m u . Andaikan ( ) 0 m m u C    ,  pilih v C  dengan ( ) 0 m m u v    ,    derajat  minimal n ,  dan koefisien awal adalah n v . Karena v C  , maka kita mempunyai 0 uv  dan ( ) 0. m m n u v   Dari sini terlihat bahwa ( ) . n der uv m  Sifat keminimalan dari m menyebabkan 0. n uv  Hal ini mengakibatkan ( ) 0. n n u v v x   Ini berarti bahwa 0 n n v v x   adalah suatu elemen dari C dengan  derajat  kurang  dari n ,  sehingga  dengan  sifat  keminimalan  derajat v yaitu n ,  maka
0, n n v v x   sehingga ( )( ) 0. m n m n u v v x     Namun  demikian,  karena ( ) 0 m m n u v   ,

## Amir Kamal Amir
maka diperoleh ( ) 0, m m n u v    sehingga dari persamaan ( )( ) 0 m n m n u v v x     diperoleh
( ) 0. m m u v    Hal  ini  kontradiksi  dengan  pemilihan v .  Dengan  demikian  haruslah
( ) m m u A    atau 0. A R

##  
Dengan  langkah  dan  logika  yang  analog  dengan  di  atas,  dengan  mudah  dapat  juga  ditunjukkan bahwa 0. B R   Sekarang  kita  sudah  mempunyai 0 A R   dan 0. B R   Selanjutnya
pilih  elemen-elemen  taknol a A R   dan . b
B R   Dengan  menggunakan  hipotesis  dari teorema,  terdapat  bilangan  bulat  taknegatif n dan  suatu  elemen r R  sedemikian  sehingga
( ) 0 n aR b   atau ( ) 0 n aR b   .
Kasus I. Jika n = 0 , maka 0 arb  dan 0 AB  . Kontradiksi dengan pernyataan lebih awal bahwa AB = 0 .
Kasus  II.  Jika n  >  0 ,  maka ( ) [ ] ( ) 0 n n n n arx b ar b x ar b       ,  sehingga  diperoleh  lagi
0 AB  . Kontradiksi juga dengan pernyataan lebih awal bahwa AB = 0 .
Dari dua kasus di atas disimpulkan bahwa T haruslah suatu gelanggang prim.

## 4. Kesimpulan
Dari paparan di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa:
1. Untuk memeriksa apakah suatu ideal ideal   I merupakan suatu ideal prime   , cukup diperiksa  bahwa  untuk  sembarang , , a c R I   terdapat b R  dan t  Z sedemikaina sehingga ( ) n ab c I   .
2. Untuk memeriksa apakah suatu gelanggang polinom miring [ ; , ] T R x    merupakan suatu gelanggang  prim,  cukup  diperiksa    bahwa    untuk  setiap  elemen-elemen  taknol , a b R  , terdapat  suatu  bilangan  bulat  taknol n sedemikian  sehingga ( ) 0 n aR b   atau
( ) 0 n aR b   .

## Daftar Pustaka
[1] Goodearl, K.R., 1992, Prime ideals in skew polinomial ring and quantized Weyl algebras, J. of Algebra , 150: 324-377.
[2] Goodearl, K.R. & Letzter, E.S., 1994, Prime ideals in skew and q -skew polynomial rings, Memori of The A.M.S , 109.
[3] McConnel, J.C. & Robson, J.C., 1987, Noncommutative Noetherian Rings , John Wiley & Sons.
[4] Ore, O., 1933, Theory of non-Commutative polynomials, Annals of Math , 34: 480-508.