Vol.16, No. 1, 97-106, July 2019 doi: 10.20956/jmsk.v16i1.6575
* Program Studi Matemamatika, Fakultas MIPA, Universitas Hasnauddin
1 yhoes18@gmail.com, 2 syamsuddint@gmail.com, 3 kasbawati@gmail.com

## ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN PEMANENAN AMBANG BATAS PADA POPULASI PEMANGSA
Yusrianto 1* , Syamsuddin Toaha 1* , Kasbawati 1*

## Abstract
This  study  examines  the  model  of  one  prey  and  one  predator  who  mutates  each  other.  The  predation function  of  predators  is  assumed  to  use  the  Holling  type  II  response  function.  Assuming  that  the existence  of  intraspecific  competition  in  predatory  population  and  theshold  harvesting  for  predatory population is carried out. In this model, an analysis of the actual conditions and stability of the interior balance  point  is  carried  out.  Analysis  of  the  interior  stability  balance  points  was  carried  out  by linearization method and by taking into account the eigenvalues of the Jacobian matrix obtained. There are ten equilibrium points of engagement obtained on the model, one of which can be interpreted. This point is stated as asymptotically stable. Based on the results of analysis using several parameters, it is known that there is a time when harvesting the threshold must be stopped because it has not fulfill the specified criteria for threshold.
Keyword : Prey-predator model threshold harvesting, equibrium point

## Abstrak
Penelitian ini mengkaji model satu mangsa dan satu pemangsa yang saling berkompetisi. Fungsi predasi dari pemangsa diasumsikan menggunakan fungs1 respon Holling tipe II. Dengan asumsi bahwa adanya kompetisi intraspesifik pada popuasi pemangsa serta dilakukan pemanenan ambang batas pada popuasi pemangsa.  Pada  model  tersebut  dilakukan  analisis  tentang  syarat  kewujudan  dan  kestabilan  titik keseimbangan  interior.  Analisis  kestabilan  titik  keseimbangan  interior  dilakukan  dengan  metode linearisasi dan dengan memperhatikan nilai eigen dari matriks Jacobi yang diperoleh. Terdapat sepuluh titik  kesetimbangan  yang diperoleh pada model, satu diantaranya dapat dinterpretasikan. Titik tersebut dinyatakan  stabil  asimtotik.  Berdasarkan  hasil  anasis  menggunakan  beberapa  parameter,  diketahui bahwa ada suatu waktu pemanenan ambang batas harus dihentikan karna sudah tidak memenuhi syarat kriteria ambang batas yang telah ditentukan.
Kata kunci : Model mangsa pemangsa, Pemanenan ambang batas, Titik kesetimbangan

## 1. Pendahuluan
Model  pertumbuhan  logistik  merupakan  model  pengembangan  dari  model  pertumbuhan eksponensial,  dengan  asumsi  bahwa  populasi  tidak  dapat  bertumbuh  tanpa  batas  karena  pertumbuhan populasi di pengaruhi oleh kepadatan populasi dan daya dukung lingkungan yang sifatnya terbatas,[5].
Pemodelan  matematika  pada  bidang  ekologi  sangat  menarik  untuk  dikaji  mengingat  banyaknya faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan dan kehidupan populasi mahluk hidup. Proses dinamika kehidupan  makhluk  hidup  (organisme)  dapat  dimodelkan  secara  matematis  dengan  menggunakan persamaan differensial yang melibatkan waktu yang kontinu atau waktu yang diskrit. Salah satu model matematika  yang  digunakan  dalam  menjelaskan  fenomena  alam  tersebut  adalah  model  populasi mangsa-pemangsa,[1].
Model  matematika  dapat  digunakan  untuk  menjelaskan  prilaku  fenomena  alam  yang  terjadi, memprediksi  prilaku  sistem  untuk  suatu  jangka  waktu  tertentu,  dan  dapat  juga  digunakan  untuk mengambil suatu kebijakan,[2].
Kompetisi  antar  pemangsa  dan  faktor  pemanenan  pada  populasi  sangatlah  penting  dalam  disiplin ilmu  ekologi.  Banyak  peneliti  yang  dapat  mengembangkan  hal-hal  menarik  dari  perilaku  dinamika dalam populasi ekosistem. Dengan memadukan dua aspek di atas yaitu aspek kompetisi antar pemangsa dan pemanenan, maka dinamika populasi dapat dinyatakan dalam suatu model. Selain kompetisi antar pemangsa  (kompetisi  interspesifik)  aspek  menarik  lainnya  adalah  kompetisi  antar  spesies  dalam  satu populasi  (kompetisi  intraspesifik),[3]  mengkaji  model  tiga  populasi  dalam  rantai  makanan  dengan kompetisi intraspesifik.
Selain  kompetisi  antar  populasi  pemanenan  juga  sangat  berpengaruh  dalam  pemodelan  dinamika populasi. Salah astunya yaitu pemanenan ambang batas. Dengan membiarkan predator tumbuh sampai populasi  menyentuh  ambang  dan  kemudian  memanen  hingga  melewati  ambang  ambang  batas  ,[4]. Penelitian lainnya tentang pemanenan ambang batas dapat dilihat dalam,[4,6,7].
Perbedaan  yang  mendasar  pada  penelitian  ini  dengan  beberapa  penelitian  sebelumnya  adalah penelitian  ini  mengkaji  model  satu  mangsa-satu  pemangsa  yang  melibatkan  kompetisi  intraspesifik serta pemanenan ambang batas pada populasi pemangsa

## 2. Pengembangan Model
Model mangsa pemangsa yang dikembangkan dalam penelitian ini yaitu model mangsa pemangsa oleh Rozenzweig-MacArthur [4] :
( )     ( ) ( ) (2.1)
Kemudian dikembangkan oleh Benjamin Lenard dan Jorge Rebaza [4]dengan menambahkan fungsi pemanenan ambang batas yaitu :
̇     * (     ) + (2.2) ̇     ( )    ( )
Dengan kriteria ambang batas :
Jika 𝑦 < 𝑇
Jika 𝑦 > 𝑇
Jika 𝑦 < 𝑦 𝑐
Jika 𝑦 > 𝑦 𝑐

## ( )
{ (   ) (   )
Berdasarkan  kedua  model  tersebut,  dilakukan  pengembangan  model  mangsa  pemagsa  dengan pemanenan ambang batas pada populasi pemangsa serta diasumsikan terjadinya kompetisi intraspesifik pada  populasi  pemangsa  Sehingga  model  mangsa  pemangsa  yang  dikembangkan  dalam  penelitian  ini yaitu :
( )     ( ) ( ) (2.3)
Normalisasi model mangsa pemangsa dengan pemanenan ambang batas pada populasi pemangsa :
(     )     ( ) ( ) (2.4) dimana , , ,
dan
.
Selanjutya  dengan  menambahkan  fungsi  pemanenan  ambang  batas  pada  populasi  pemangsa  sehingga model mangsa pemangsa yang diperoleh yaitu :
(     )     ( ) ( ) ( ) (2.5)
dimana ( ) adalah kriteria ambang batas yaitu :
( ) { (   ) (   )

## 3. Analisis Kestbilan Titik Kesetimbangan
a. Analisis titik kesetimbangan
Titik  kesetimbangan  non  negatif  dari  model  (2.5)  dengan ( ) ( ) ( ) ,  dimana > adalah sebagai berikut.
Pandang model mangsa peangsa berikut :
(     )     ( ) ( ) ( ) ( )
(3.1)
misalkan (    ) dan (    ) , diperoleh
(    )    (     )     ( ) (    )     ( ) ( ) ( ) (3.2)
dengan menyamakan dengan nol untuk masing-masing persamaan (   ) diperoleh
(    )    (     )     ( ) (    )     ( ) ( ) ( ) (   )
untuk (    ) diperoleh
(     )
(   )
untuk (    ) dan
(   )
diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
(3.5)
Persamaan  (3.5)  yang  diperoleh  merupakan  persamaan  polinom  berderajat  10  yang  sulit diselesaikan  dengan  cara  analitik.  Dengan  alasan  tersebut  maka  pencarian  titik  kesetimbangan dilakukan  dengan  menggunakan  simulasi  pada  aplikasi  Maple.  Maka  dari  itu  hanya  akan  dilakukan pendekatan pemberian nilai parameter untuk mencari titik kestimbangan (x,y) yang stabil.
Nilai  parameter  yang  digunakan  dalam  simulasi  yaitu dan
Pada bagian simulasi numerik ini,simulasi dilakukan hanya pada kestabilan titik kesetimbangan interior karena pada titik kesetimbangan itulah semua populasi eksis dan semua komponen (parameter) dalam model (2.5) dapat diinterpretasikan.
Titik kesetimbangan yang diperoleh untuk nilai (   ) = (0.9635154325, 0.4245035734)

## Yusrianto, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Gambar 3.1 Titik Kesetimabangan Populasi Mangsa dengan Kriteria Ambang Batas

## b. Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Matriks  Jacobi  dari  model  (2.5)  dengan ( ) ( ) ( ) ,  dimana > adalah  sebagai berikut.
[ ] (3.6) dengan (    ) ( (     )     ( )) ( ( )) (      ) (      ) (      ) (    ) ( (     )     ( )) ( ( )) (    ) (  ( ) ( ) ( ) ) (    )
(    ) (  ( ) ( ) ( ) ) (  ( ))
( )
Sehingga matriks Jacobian yang bersesuaian dengan sistem (2.5) adalah sebagai berikut.
[ (      )
(      )
(    ( )) ] (   )
Dengan mensusbtitusi
pada (3.7) diperoleh
(0.9324632963, 0.7648283811)
( )   * + (3.8)
dengan
( )
( )
(  ( )) ,
Dari matriks jacobi ( ) diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut
(3.9)
dimana
( )
(( ( ) )
(  ( )) )
( )
(( ( ) )( (  ( )) ) – ( ( ) )( ) . Untuk menjamin kestabilan
harus memenuhi kriteria Routh-Hurwitz, yakni
> dan >
a. > ( ) > b. >
( ) > Jadi, titik kesetimbangan stabil asimtotik jika memenuhi kondisi ( ) > ( ) > .

## 4. Simulasi Numerik
a. Parameter
Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi yaitu
Pada bagian simulasi numerik ini,simulasi dilakukan hanya padakestabilan titik kesetimbangan interior karena pada titik kesetimbangan itulah semua populasi eksis dan semua komponen (parameter) dalam model (2.5) dapat diinterpretasikan.
Titik kesetimbangan yang diperoleh yaitu = (0,9635154325, 0,4245035734).
Matriks Jacobi dari adalah
( ) [ ] Persamaan karakteristik yang dibentuk dari ( ) adalah Nilai eigen yang diperoleh adalah , .
Gambar 4.1 Kurva Trayektori Populasi Mangsa dengan Kriteria Ambang Batas
Gambar 4.2 Kurva Trayektori Populasi Pemangsa dengan Kriteria Ambang Batas
Gambar 4.3 Kurva Trayektori Model Populasi Mangsa Pemangsa dengan  Kriteria Ambang Batas
Dari gambar 4.1, dan gambar 4.2 menunjukkan kurva trayektori poulasi mangsa dan pemangsa untuk  nilai  parameter
.  sementara  gambar  4.3  menunjuka  arah  pergerakan  populasi  mangsa dan pemangsa menuju titik kesetimbangan untuk parameter .
b. Parameter
Nilai  parameter  yang  digunakan  dalam  simulasi  yaitu
Pada bagian simulasi numerik ini,simulasi dilakukan hanya padakestabilan titik keseimbangan interior karena pada titik keseimbangan itulah semua populasi eksis dan semua komponen (parameter) dalam model (4.7) dapat diinterpretasikan.
Titik keseimbangan yang diperoleh yaitu
= (0,8458311664, 1,612345710).
Matriks Jacobi dari adalah ( ) [ ] Persamaan karakteristik yang dibentuk dari ( ) adalah Nilai eigen yang diperoleh adalah , .
Gambar 4.4 Kurva Trayektori Populasi Mangsa dengan Kriteria Ambang Batas
Gambar 4.5 Kurva Trayektori Populasi Pemangsa dengan Kriteria Ambang Batas
Jika 𝑦 > 𝑦 𝑐 Jika 𝑦 ≤ 𝑦 𝑐 Jika 𝑦 > 𝑦 𝑐 Jika 𝑦 ≤ 𝑦 𝑐
Gambar 4.6 Kurva Trayektori Model Populasi Mangsa Pemangsa dengan  Kriteria Ambang Batas
Dari gambar 4.4, dan gambar 4.5 menunjukkan kurva trayektori poulasi mangsa dan pemangsa untuk nilai parameter
. sementara gambar 4.6 menunjuka arah pergerakan populasi pemangsa menuju  titik  kesetimbangan  untuk  parameter
.  karena  titik  equilibrium  berada  dibawah  ttik
sehingga  titik  equilibrium  pada  saat
tidak  terlihat.  Karena
> makapemanenan ambang batas pada
harus dihentiakan pada titik sebab sudah tidak memenuhi syarat pemanenan ambang batas ( ) .

## 5. Kesimpulan
a. Model satu mangsa-satu pemangsa dengan pemanenan optimal pada pemangsa adalah sebagai berikut
(     )     ( ) ( ) ( ) dengan ( )
{ ( ) ( )
b. Hasil simulasi dengan mengambil nilai parameter yang berbeda menunjukkan bahwa ada suatu kondisi  yang  menunjukkkan  bahwa  pemanenan  ambang  batas  pada  populasi  pemangsa  harus dihentikan karena sudah tidak memenuhi syarat ( ) yaitu
( )
{ ( )
( )

## Daftar pustaka
[1] Saenz, R.A. dan Hethcote, H.W., 2006. Competing Species Models with an Infectious Disease , J. Math. Biosci. Eng . 3 (1):219–235
[2] Toaha. S., 2013. Pemodelan Matematika Dalam Dinamika Populasi . Dua Satu Press: Makassar.
[3]  Ali  N.,  Haque  M.,  Venturino  E.  dan  Chakravarty  S.,  2017.  Dynamics  of  a  Three  Species  Ratio- Dependent  Food  Chain  Model  with  Intra-Specific  Competition  within  The  Top  Predator. Computers in Biology and Medicine. 85: 63-74.
[4]  Leard,  B  dan  Rebaza,  J.,  2010.  Analysis  of  Predator-Prey  Models  with  Continuous  Threshold Harvesting. Applied Mathematics and Computation. 217 : 5265-5278.
[5] Waluya, S.T., 2011. An Introduction to Differential Equations . Unnes Press: Semarang.
[6] Liu, Z. dan Tan, R., 2007. Impulsive Harvesting and Ttocking in a Monod–Haldane  Functional Response Predator–Prey System. Chaos, Solitons and Fractals . 34: 454–464.
[7] Lv.Y, Yuan R.dan Pei Y., 2013. Dynamic in Two Nonsmooth Predator-Prey Models with Threshold Harvesting . Springer-Verlag.