Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.6, No.2, Juli 2020, pp. 149~157
DOI:10.31605/saintifik.v6i2.270
ISSN 2622-8904 (online)

## Teori Titik Tetap Pemetaan C-kontraktif di Ruang Metrik Kompleks
Ahmad Ansar* 1 , Hikmah 2 1,2 Universitas Sulawesi Barat e-mail: * 1 ahmad.ansar@unsulbar.ac.id , 2 hikmah@unsulbar.ac.id

## Abstrak
Konsep  titik  tetap  suatu  pemetaan  sangat  terkait  dengan  ruang abstrak  pemetaan  tersebut  berada. Ruang metrik kompleks merupakan perumuman dari ruang metrik.  Dalam tulisan ini, dijelaskan mengenai eksistensi dan ketunggalan titik tetap pemetaan C-kontraktif di ruang metrik kompleks  Selanjutnya, hasil yang diperoleh  diperluas  pada  pemetaan  C-kontraktif  lemah  dan  ditunjukkan  eksistensi  dan  ketunggalan  titik tetapnya di ruang metrik kompleks.
Kata kunci— titik tetap, C-kontraktif, metrik kompleks

## 1. PENDAHULUAN
Teori  titik  tetap  merupakan  salah  satu  subjek  yang  banyak  dikaji  dalam  bidang  matematika  analisis dikarenakan  memiliki  banyak  aplikasi  dalam  bidang  ekonomi,  teknik,  biologi  dan  sistem  dinamik.  Dalam bidang  ekonomi  teori  titik  tetap  digunakan  dalam  menentukan  titik  ekulibrium  dari  fungsi  permintaan  dan penawaran.  Selanjutnya,  konsep  titik  tetap  digunakan  dalam  menentukan  solusi  persamaan  diferensial nonlinear .
Konsep titik tetap dibangun oleh dua komponen utama yaitu pemetaan kontraktif dan ruang dimana pemetaan kontraktif berada. Perkembangan teori ini dimulai dari pemetaan kontraksi Banach di ruang metrik yang dirumuskan oleh Stephan Banach. Selanjutnya, teori ini mengalami perkembangan dengan melakukan perluasan atau peumuman terhadap  pemetaan kontraktif dan ruangnya. Salah satu perluasan konsep pemetaan kontraktif  adalah  pemetaan  kontraktif  lemah  ( weakly  contractive  mapping )  dan  pemetaan  C-kontraktif. Selanjutnya, pemetaan C-kontraktif diperumum menjadi pemetaan C-kontraktif lemah. Dalam ruang metrik lengkap  dapat  ditunjukkan  eksistensi  dan  ketunggalan  titik  tetap  pemetaan  C-kontraktif  dan  pemetaan  C- kontraktif lemah.
Dilain pihak ruang metrik juga mengalami perumuman. Ruang metrik kompleks  merupakan bentuk perumuman  dari  ruang  metrik.  Di  dalam  ruang  metrik  eksistensi  titik  tetap  pemetaan  C-kontraktif  dan  C- kontraktif  lemah  dapat ditunjukkan. Sementara  eksistensi  pemetaan  C-kontraktif  dan  C-kontraktif  lemah  di ruang  metrik  kompleks  belum  dilakukan  penelitian  lebih  mendalam.  Oleh  karena  itu,  penulis  merasa  perlu untuk  mengakaji  lebih  dalam  terkait  eksistensi  titik  tetap  pemetaan  C-kontraktif  dan  C-kontraktif  lemah  di ruang  metrik  kompleks.  Dalam  penelitian  ini  dirumuskan  teorema  titik  tetap  pemetaan  C-kontraktif  dan teorema titik tetap pemetaan C-kontraktif lemah di ruang metrik kompleks.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian studi literatur. Dalam penelitian dikumpulkan berbagai buku dan artikel-artikel dari berbagai jurnal yang membahas konsep ruang metrik kompleks dan pemetaan C-kontraktif. Selanjutnya, dirumuskan  teorema  titik  tetap  pemetaan  C-kontraktif  dan  C-kontraktif  lemah di  ruang  metrik kompleks.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Pada bagian ini akan dijelaskan teori pendukung dalam  menenjukkan eksistensi titik tetap pemetaan C-kontraktif lemah di ruang metrik kompleks.

## 2.1. Ruang Metrik Bernilai Kompleks
Ruang metrik bernilai kompleks atau ruang metrik kompleks dirumuskan oleh Azam et al. Diberikan himpunan semua bilangan kompleks dan 1 2 , z z  . Didefinisikan urutan parsial pada dengan
1 2 z z jika  dan hanya jika ( ) ( ) 1 2 Re Re z z  dan ( ) ( ) 1 2 Im Im z z 
Dalam tulisan ini, notasi
+ didefinisikan sebagai
  dan z x iy x y
+ + + = = +  
Menggunakan urutan parsial tersebut didefinisikan ruang metrik kompleks. Berikut diberikan definisi ruang metrik kompleks.
Definisi 2.1 Diberikan  himpunan  tak  kosong X .  Pemetaan : c d X X  → disebut  metrik  kompleks  pada X apabila untuk setiap , , x y z  memenuhi
i. ( ) 0 , c d x y
ii. ( ) , 0 c d x y = jika dan hanya jika x y =
iii. ( ) ( ) , , c c d x y d y x = iv. ( ) ( ) ( ) , , , c c c d x y d x z d z y + Pasangan ( ) c d X , disebut ruang metrik kompleks.
Berikut  diberikan  definisi  barisan  konvergen  dan  barisan  Cauchy  di  ruang  metrik  kompleks  serta teorema terkait sesuai yang dijelaskan oleh Azam et.al.

## Definisi 2.2
Diberikan  ruang  metrik  kompleks ( ) c d X , ,  barisan   n x X  dan x X  .  Barisan   n x dikatakan konvergen  ke x ,  apabila  untuk  setiap c  dengan 0 c terdapat N  sehingga  untuk  setiap n N  berlaku ( ) , n d x x c .
Barisan   n x yang konvergen ke x ditulis lim n n x x → = dan x disebut titik limit dari   n x .
Teorema 2.3
Diberikan  ruang  metrik  kompleks ( ) c d X , dan    barisan   X x n  .  Barisan   n x konvergen  ke x jika  dan hanya jika ( ) ,
0 c n d x x → untuk n → 
Definisi 2.4. Diberikan ruang metrik kompleks ( ) c d X , dan  barisan   X x n  . Barisan   n x dikatakan barisan Cauchy, apabila  untuk  setiap c  dengan 0 c terdapat N  sehingga  untuk  setiap N n  berlaku ( ) ,
c n n m d x x c + untuk m  .
Jika  setiap  barisan  Cauchy  konvergen  di ( ) c d X , ,  maka ( ) c d X , disebut  ruang  metrik  kompleks lengkap.
Teorema 2.5
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Diberikan ruang metrik kompleks ( ) c d X , dan  barisan   X x n  . Barisan   n x adalah barisan Cauchy jika dan hanya jika ( ) , 0 c n m d x x → untuk n → 

## 3.2 Pemetaan Kontraktif dan Titik Tetap
Diberikan ( ) d X , ruang  metrik.  Pemetaan : T X X → disebut  pemetaan  kontraktif  apabila  terdapat bilangan 0 1 k   sehingga untuk setiap , x y X  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ,
, d T x T y kd x y  (1)
Untuk  setiap x X  didefiniskan ( ) ( ) ( ) 1 n n T x T T x + = .  Titik x X  disebut  titik  tetap  fungsi : T X X → apabila ( ) T x x = .Menggunakan  pemetaan  kontraktif  di  ruang  metrik  lengkap,  maka  dapat ditunjukkan bahwa T mempunyai titik tetap tunggal. Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Titik Banach seperti yang dijelaskan Banach dalam artikelnya.
Teorema 2.6 Jika ( ) d X , merupakan  ruang  metrik  lengkap  dan : T X X → merupakan  pemetaan  kontraktif  maka T mempunyai titik tetap tunggal.
Pemetaan kontraktif dapat diperumum dengan menggunakan fungsi naik monoton yang kontinu dan dikenal dengan pemetaan kontraksi lemah. Hal ini sesuai dengan yang dijelaskan Rhoades sebagai berikut.

## Definisi 2.7
Diberikan ( ) d X , ruang  metrik.  Pemetaan : T X X → disebut  pemetaan  kontraktif  lemah  apabila  terdapat fungsi  )  ) : 0, 0,   →  kontinu, naik monoton dan memenuhi ( ) 0 t  = jika dan hanya jika 0 t = sehingga untuk setiap , x y X  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,
,
d T x T y d x y
d x y   − (2)
Teorema 2.8 Jika ( ) d X , merupakan  ruang  metrik  lengkap  dan : T X X → merupakan  pemetaan  kontraktif  maka T mempunyai titik tetap tunggal.

## 3.3 Pemataan C-kontraktif
Chatterjea  merumuskan  konsep  C-kontraktif  dan  menunjukkan  eksistensi  titik  tetapnya  di  ruang metrik.

## Definisi 2.9
Diberikan ( ) d X , ruang  metrik.  Pemetaan : T X X → disebut  pemetaan  C-kontraktif  apabila  terdapat
1 0 2 k   sehingga untuk setiap , x y X  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,
, d T x T y k d x T y d T x y    +   (3)

## Teorema 2.10
Jika ( ) d X , merupakan  ruang  metrik  lengkap  dan : T X X → merupakan  pemetaan  C-kontraktif  maka T mempunyai titik tetap tunggal.
Selanjutnya, Choudhury menunjukkan eksistensi dan ketunggalan titik tetap pemetaan C-kontraktif di ruang metrik.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## Definisi 2.11
Diberikan ( ) d X , ruang metrik. Pemetaan : T X X → disebut pemetaan C-kontraktif lemah apabila terdapat fungsi  )  ) 2 : 0, 0,   →  kontinu dan memenuhi ( ) , 0 x y  = jika dan hanya jika 0 x y = = sehingga untuk setiap , x y X  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , ,
, , , 2 d T x T y d x T y d T x y d x T y d T x y     + −   (4) Teorema 2.12
Jika ( ) d X , merupakan  ruang  metrik  lengkap  dan : T X X → merupakan  pemetaan  C-kontraktif  lemah maka T mempunyai titik tetap tunggal..

## 3. TEORI TITIK TETAP DI RUANG METRIK KOMPLEKS
Pada bagian ini ditunjukkan titik tetap pemetaan C-kontraktif di ruang metrik kompleks.

## Definisi 3.1
Diberikan ( ) c d X , ruang metrik kompleks. Pemetaan : T X X  → disebut pemetaan C-kontraktif  di ruang metrik kompleks apabila terdapat
1 2 0 k   sehingga untuk setiap , x y X  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ), c c c d T x T y
k d x T y d T x y
  +   (5)
Dengan menggunakan definisi di atas, maka Teorema 2.10 dapat diperluas di ruang metrik kompleks lengkap. Teorema 3.2
Diberikan ( ) c d X , ruang  metrik  kompleks  lengkap.  Jika X X T → : merupakan  pemetaan  C-kontraktif, maka T mempunyai titik tetap yang tunggal.
Bukti:
Ambil sebarang X x  0 . Untuk setiap n  didefinisikan barisan ( ) ( )
1 0 1 + + = = n n n x x T x T Jika ( ) n n n x T x x = = + 1 , maka n x merupakan titik tetap T .
Jika 1 +  n n x x , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n d x x d T x T x
k d x T x d x T x k d x x d x x kd x x k d x x d x x + − − − − + − + − + =   +
 
= +     = +   

Diperoleh
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 0 1 1 , . , , . , 1 , 1 , 1 c n n c n n c n n c n n c n n n c k d x x k d x x k d x x d x x k k d x x k k d x x k + − + − − − − −  
  −    
  −  
Oleh karena itu, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 , ,
,
, , ... , , , ... , , 1 ...
, c n n m c n n c n n m c n n c n n c n m n m n n n m k k k c c c k k k n m k k k c k k k n k k c k k d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x d x x
d x x d x x + + + + + + + + − +
+ + − − − − − − − − − − − + + + + + + +   = + +  
   
Karena        2 1 , 0 k , maka        − 2 1 , 0 1 k k
. Akibatnya untuk  → n , diperoleh
( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 lim , lim , 0 n k c n n m c k n n d x x d x x + − → →   = (6)
Jadi barisan   n x adalah barisan Cauchy di X , sehingga   n x adalah barisan konvergen.  Misalkan barisan   n x konvergen ke X x  . Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , ,
, , 1 , , 1 , c c n c n c n c n c n c n c n c n d x T x d x x d x T x d x x k d x T x d x T x k d x x kd x T x
k d x x + + + + + +   = + +   = + + +
Untuk  → n ,  maka ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 lim ,
lim 1 , 0 c c n n n d x T x k d x x + → →   + =
(7)
Oleh  karena  itu, ( ) ( ) 0 , lim =  → x T x d c n atau ( ) ( ) , 0 c d x T x = atau ( ) x x T = .  Jadi X x  adalah  titik  tetap pemetaan T . Andaikan X z  adalah titik tetap yang lain yaitu ( ) z z T = . Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,
, , 2 , c c c c c c c d z x d T z T x k d z T x d x T z k d z x d x z k d z x
=   +
 
= +     =     Karena        2 1 , 0 k ,  maka ( ) ( ) , 2 , c c d z x kd z x  hanya  berlaku  jika ( ) , 0 c d z x = atau x z = .  Jadi T mempunyai titik tetap tunggal.
Teorema  di  atas  dapat  diperluas  menggunakan  pemetaan  C-kontraktif  lemah.  Berikut  diberikan  definisi pemetaan C-kontraktif lemah di ruang metrik kompleks.

## Definisi 3.3
Diberikan ( ) , c X d ruang  metrik  kompleks.  Pemetaan : T X X → disebut  pemetaan  C-kontraktif  lemah apabila untuk setiap , , x y z X  berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , , ,
2 c c c c c
d T x T y d x T y d T x y d x T y d T x y     + −   (8)
dengan :  + + +  → merupakan  fungsi  kontinu  sehingga ( ) 1 2 , 0 z z  = jika  dan  hanya  jika
1 2 0 z z = = .
Menggunakan definisi di atas, maka Teorema 2.12 dapat diperluas di ruang metrik kompleks lengkap seperti yang dijelaskan dalam teorema berikut.

## Teorema 3.4
Diberikan ( ) c d X , ruang  metrik  kompleks  lengkap.  Jika X X T → : merupakan  pemetaan  C-kontraktif lemah, maka T mempunyai titik tetap yang tunggal. Bukti:
Diambil sebarang 0 x X  . Untuk setiap n  didefinisikan ( ) 1 n n T x x + = .
Jika
( ) 1 n n n x x T x + = = , maka n x adalah titik tetap dari pemetaan T .
Misalkan 1 n n x x +  . Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ,
, , , , 2 1 , , , 0 2 1 , , , , 0 2 1 , , 2 c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n d x x d T x T x
d x T x d x T x d x T x d x T x
d x x d x x
d x x d x x d x x
d x x d x x
   + − − − − −
− + − + − + − + − + =   + −   = − + −     +    
Jadi untuk setiap n  berlaku
( ) ( ) 1 1 , , c n n c n n d x x d x x + − (9)
Berdasarkan  urutan parsial  di yang  telah  didefinisikan  sebelumnya,  maka  barisan ( )   1 , c n n d x x + dengan ( ) ( ) 1 Re , c n n d x x + merupakan  barisan  bilangan  real  positif  yang  turun  monoton  dan ( ) ( ) 1 Im , c n n d x x +
merupakan  barisan  bilangan  real  positif  yang  turun  monoton.  Akibatnya,  barisan ( ) ( )   1 Re , c n n d x x + dan barisan ( ) ( )   1 Im , c n n d x x + merupakan  barisan  yang  konvergen.  Misalkan  barisan
( )   1 , c n n d x x + konvergen  ke z x iy = +  dengan ( ) ( ) 1 Re , c n n d x x + konvergen  ke x  dan ( ) ( ) 1 Im , c n n d x x + konveregen ke y  .
Akan ditunjukkan bahwa 0 z = . Perhatikan bahwa
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 , , , , , 2 1 ,
2 1 , , 2 c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n d x x d T x T x
d x T x d x T x d x T x d x T x
d x x
d x x d x x
 + − − − − − − + − + =   + −
  +    
Untuk n →  , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 lim , lim , 1 lim , , 2 1 2 c n n c n n n n c n n c n n n z d x x d x x d x x d x x
z z z + − + → → − + → = +     = + = Jadi ( ) 1 1 1 2 lim , c n n n d x x z − + → = atau ( ) 1 1 lim , 2 c n n n d x x z − + →
=
Karena ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1
, , , , , 0 2 c n n c n n c n n c n n
d x x d x x d x x d x x  + − + − + + −     dan ( )   1 , c n n d x x +
konvergen  ke z x iy = +  ,  maka  untuk n →  diperoleh ( ) 2 , 0 z z z  − atau ( ) 2 , 0 0 z  .  Karena
:  + + +  → kontinu  dan  memenuhi ( ) , 0 x y 
= jika  dan  hanya  jika 0 x y = = ,  maka 0 z = .  Jadi barisan ( )   1 , c n n d x x + konvergen ke 0.
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa barisan   n x X  adalah barisan Cauchy.
Andaikan   n x X  bukan  barisan  Cauchy,  berarti  terdapat 0 c  dengan 0 0 c sehingga  terdapat subbarisan   k n x dan     k m n x x  dengan k k n m k   sehingga untuk setiap k  berlaku
( ) 0 , k k c n m d x x c (10)
Untuk bilangan asli k n terkecil yang memenuhi k k n m  dan memenuhi (10), maka berlaku ( ) 1 0 , k k c n m d x x c − (11)
Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1 ,
, , , , 2 1 , , , , , 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k c n m c n m c n m c m n c n m c m n c n m c m n c n m c m n c d x x
d T x T x d x T x d x T x d x T x d x T x
d x x d x x d x x d x x   − − − − − −
− − − −
− − − − =   + −
   
= + −
 
Selanjutnya,
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 , , , , k k k k k k k k c m n c m n c n n c n n c d x x
d x x d x x c d x x − − − + +
Untuk k →  , ( ) ( ) 0 0 1 0 0 lim , lim , 0 k k k k c m n c n n k k
c d x x c d x x
c c − → → + = + = Jadi ( ) 0 lim , k k c m n k d x x c → =
Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 , , ,
, , , k k k k k k k k k k k k c m n c m m c m n c m m c m n c n n d x x d x x d x x d x x d x x d x x − − − − − − − + + + dan ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , k k k k k k c m n c m m c m n
d x x d x x d x x − − +
Diperoleh ( ) ( ) 0 1 1 0 , 0 , k k k k c m n c m n c d x x d x x − − + + = dan ( ) 1 0 , 0 k k c m n d x x c − +
Jadi ( ) 1 0 lim , k k c m n k d x x c − → =
Untuk k k n m  , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 , 1 , , , , ,
2 k k k k k k k k k k c m n c m n c n m c m n c n m c d x x
d x x d x x d x x d x x  − − − −   = + −  
Untuk k →  , maka diperoleh ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 , 2 c c c c c  + − (12)
Akibatnya, ( ) 0 0 , 0 c c  = atau 0 0 c = .  Jadi  barisan   n x X  adalah  barisan  Cauchy.  Karena X adalah ruang metrik kompleks lengkap, maka terdapat x X  sehingga barisan   n x konvergen ke x .
Selanjutnya, ditunjukkan bahwa pemetaan T mempunyai titik tetap tunggal. Perhatikan bahwa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , ,
,
1 , , , , , ,
2 c c n c n c n c n c n c n c n c n c n d x T x
d x x d x T x
d x x d T x T x d x x d x T x d x T x d x T x d x T x  + + + + + = +   + + −  
Karena  merupakan fungsi kontinu, maka untuk n →  diperoleh
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , 0 , , 0 2 1 , , , 0 2 1 , 2 c c c c c c d x T x d x T x d x T x d x T x d x T x
d x T x     + + −   = − Hal ini berarti ( ) ( ) , 0 c d x T x = . Akibatnya, ( ) T x x = . Jadi T mempunyai titik tetap.
Andaikan * x dan * x adalah titik tetap dari pemetaan T dengan * * x x  .  Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * * * *
* * * * * * * * * * , , 1 ,
, , , , 2 , , , , c c c c c c c c c d x x d T x T x
d x T x d x T x d x T x d x T x d x x d x x d x x   =   + −
  = − Akibatnya, ( ) ( ) ( ) * * * * , , , 0 c c d x x d x x  . Kontradiksi dengan :  + + +  → .
Oleh karena itu, * * x x = . Jadi T mempunyai titik tetap yang tunggal.

## 4. KESIMPULAN
Ruang  metrik  kompleks  merupakan  perumuman  dari  ruang  metrik  dengan  menggunakan  metrik bernilai  kompleks.  Dalam  artikel  ini,  ditunjukkan  bahwa  pemetaan  C-kontraktif  dan  pemetaan  C-kontraktif lemah memiliki titik tetap yang tunggal di ruang metrik kompleks.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, J., Azam, A., & Saejung, S., 2014. Common fixed point results for contractive mappings in complex valued metric spaces. Fixed Point Theory Appl., 67,:https://fixedpointtheoryandapplications.springer open.com/track/pdf/10.1186/1687-1812-2014-67.
Azam, A., Fisher, B.,  and Khan, M., 2011,  Common fixed point theorems in complex valued metric spaces,
Numer. Funct. Anal. Optim., vol. 32, no. 3, pp. 243–253.
Banach, S., 1922, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrals, Fund. Math., vol. 3, pp. 133 -181.
Chatterjea, S. K., 1972,  Fixed Point Theorems, C. R. Acad. Bulg. Sci., vol. 25, pp. 727–730, 1972.
Choudhury, S., 2009, Unique Fixed Point Theorem for Weakly C-contractive Mappings, Kathmandu Univ. J. Sci. Eng. Technol., vol. 5, no. I, pp. 6–13.
Rhoades, B. E., 2001, Some Theorems on Weakly Contractive Maps, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, vol. 47, no. 4, pp.2683 - 2693.