## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646

## Kendali LQR pada sistem transmisi data
dengan sumber jaringan jamak
1 Dita Anies Munawwaroh, 2 Bayu Sutanto, 3 Achmad Fahrul Aji, 4 Siti Khabibah
1,2 Teknik Mesin, Politeknik Negeri Semarang Jalan Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, Indonesia
3 Teknik Elektro, Politeknik Negeri Semarang Jalan Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, Indonesia
4 Departemen Matematika, Universitas Diponegoro Jalan Prof. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, Indonesia
* email korespondensi: dita.anies.m@gmail.com

## Abstrak
Pada  penelitian  ini,  akan  dibahas  mengenai  penggunaan  kontrol  Linear  Quadratik Regulator (LQR) pada sistem transmisi data dengan sumber jaringan jamak (lebih dari satu sumber). Teknik kontrol LQR berbentuk diskrit. LQR merupakan salah satu metode untuk mengoptimalkan fungsi objektif yang berbentuk kuadratik dan memiliki kendala. Pada penelitian ini, terbukti bahwa LQR dapat mengoptimalkan tingkat transmisi data pada sistem. Asumsi yang digunakan pada sistem ini adalah data akan diterima 100 % meskipun data memiliki waktu tunggu. Pada analisa sifat dan kestabilan, terlihat bahwa system akan optimal dan stabil asimtotik.
Kata kunci : LQR, sistem diskrit; sistem transmisi data; sumber jaringan jamak
Abstract
In this study, we discussed about controlling data transmission system with multi-source networks. The control technique used in this research is quadratic linear regulator with discrete time. Quadratic linear regulator is optimal control with objective function in the quadratic form and has linear constraint. The control technique is used to optimize data transmission  rate.  Assumed,  the  data  will  be  received    100  %,  although  the  data transmission process has delayed time. From the stability analysis and the properties, the rule of control will make it optimum and asymptotic stable.
Keywords: LQR; discrete time; data transmission system; multi-source networks

## A. Pendahuluan
Transmisi  data  adalah  bagian  dari  sistem  telekomunikasi  yang berhubungan dengan proses transfer data atau informasi diantara peralatan digital dari media komunikasi. Proses transmisi terdiri dari 3 bagian yaitu sumber data, media komunikasi dan penerima.  Masalah pada perambatan data  pada  jaringan  adalah  membutuhkan  waktu  dalam  proses  perjalanan data tersebut. Meskipun demikian, data yang dibutuhkan harus sampai pada penerima sesuai dengan waktru yang ditentukan. Sehingga, proses transmisi data  ini  membutuhkan  perencanan  dan  kontrol.  Perencanaan  bertujuan untuk  membangun  system  jaringan  yang  dapat  menjaga  aliran  data  dari sumber  kepada  penerima.  Sedangkan,  kontrol  bertujuan  agar  sistem transmisi data berjalan secara optimal.
Kunci dari teknologi adalah informasi, proses dan distribusi (Tanenbaum & Wetherall, 2010). Dari perkembangan teknologi, dapat dilihat penemuan

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
dari  jaringan  telepon,  radio,  televisi,  komputer  dan  satelite  komunikasi. Bedasarkan titik yang terhubung dapat dibedakan dengan kabel dan tanpa kabel (Ignaciuk & Bartoszewicz, 2013). Perbandingan dari bermacam-macam teknik kontrol pada transmisi dengan kabel telah dibahas oleh (Morawski & Zajaczkowski, 2010). Serta, sistem transmisi data tanpa kabel dibahas oleh (Harshavardana, Dravida, & Bondi, 1992).
Sumber tunggal dan sumber jamak pada sistem transmisi data dengan menggunakan  kontrol linier pergeseran titik telah dibahas pada (Ignaciuk & Bartoszewicz, 2008 a ) dan (Ignaciuk & Bartoszewicz, 2008 b ). Pada keadaan idela, aliran trasnmisi dapat dikatakan lancar dan mulus. Tetapi jika asumsi tersebut  tidak  terjadi,  maka  dapat  dikatakan  sistem  tersebut  terjadi penyumbatan  hal  ini  telah  dibahas  oleh  (Ignaciuk,  2008).  Setelah  itu, (Bartoszewicz  &  Lesniewski,  2013)  telah  melakukan  penelitian  tentang sistem  transmisi  dengan  jaringan  tunggal,  tetapi  ditambahkan  asumsi bahwa hanya  % data yang dapat diterima oleh penerima. Kemudian, jika ditambah  dengan  asumsi  bahwa  100%  data  diperoleh  penerima  telah dilakukan  oleh  (Munawwaroh  &  Sutrisno,  2014)  dengan  mengaplikasikan kendali  LQR.  Kendali  LQR  pun  dapat  diaplikasikan  pada  sistem pergudangan dengan sumber jamak (Ignaciuk & Bartoszewicz, 2012).

## B. Metode Penelitian
Penulis  mengaplikasikan  kendali  LQR  pada  sistem  transmisi  data dengan sumber jamak. Data dihasilkan dari sumber lebih dari satu (jamak) yang membutuhkan waktu tunggu.Teori dan dasar kontrol LQR didasarkan pada penjelasan dari (Olsder, 1994) and (Ogata, 1995). Dalam proses kontrol LQR membutuhkan penyelesaian matriks yang dibahas pada (Mital, 1976). Analisa kestabilan pada sistem diskrit mengacu pada (Kwakernaak & Sivan, 1972).  Serta,  terdapat  simulasi  numerik  dengan  menggunakan  MATLAB 7.6.0 (R2008a).

## C. Hasil dan Pembahasan
Pada bab hasil dan pembahasan, akan dibahas mengenai pembentukan model matematika, penyelesaian dengan LQR, analisa kestabilan , sifat-sifat yang  berlaku  pada  sistem  transmisi  dengan  sumber  jamak,  dan  simulasi numerik.

## 1. Pemodelan Matematika
Proses  transmisi  data  berasal  dari sumber  jamak  yang kemudian  data disalurkan melalui transmitter yang memproduksi gelombang ekeltromagnetik yang melewati barisan sistem transmisi. Data yang sampai pada penerima akan berbentuk sinyal dan dikombinasi dalam bentuk yang sesuai  dengan  tujuan.  Data  akan  dikirim  pada  penerima  tanpa mempertimbangkan prioritas, tetapi tetap membutuhkan waktu hingga data

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
diterima  oleh  penerima. Diasumsikan  bahwa  semua  data  yang  dikirimkan akan diterima 100 % oleh penerima.
Proses  transmisi  tersebut  akan  dibentuk  dalam  model  matematika. Pertama, diasumsikan bahwa suatu jaringan akan mendapat sumber jamak, dengan  jumlah p sumber,  dengan 1, 2, 3,..., p m = .  Sumber  akan  mengirim data  dengan  waktu  diskrit  mengikuti kT ,  dengan 1, 2, 3,... k = .  Kemudian,
p RTT waktu  tunggu  untuk  setiap  sumber p ,  dengan
1 2 p p p RTT T T = + , 1 p T adalah waktu tunggu yang dibutuhkan untuk sumber data menerima sinyal dari pengontrol, dan 2 p T adalah waktu tunggu untuk sumber data mengirim data  yang  dibutuhkan.  Selanjutnya, p RTT diasumsikan  sebagai  perkalian dari periode dan suatu integer, p p RTT n xT = , dan diasumsikan mengikuti 1 2 1 ... m m RTT RTT RTT RTT −     . (1)
Serta memenuhi
1 1 m p p  = =  agar kebutuhan data terpenuhi. Hal tersebut dianggap bahwa
: p j p p L jT a  = =  , serta berlaku 1 1 m n j j a = =  . (2)
Namun,  jika  data  tidak  terkirim  pada  waktu  tunggu jT ,  maka j a akan bernilai nol.
Kedua,  akan  didefiniskan  terlebih dahulu  mengenai  variabel  yang  ada pada sistem. Jumlah data yang dibutuhkan adalah ( ) u kT , jumlah data yang ada pada simpul jaringan adalah adalah ( ) y kT , jumlah data yang terkirim adalah ( ) h kT , serta semuanya bergantung pada waktu kT . Jaringa memilki kapsitas  maksimum  untuk  dilewati  dalam  setiap  simpul,  katakanlah d y , dan  makasimal  data  yang  dapat  dikirim  adalah max d .  Sehingga,  dapat dituliskan berikut ( ) ( ) max 0 h kT d kT d    .
Ketiga, akan dijelaskan  untuk menentukan jumlah data yang tersedia pada simpul jaringan ( ) x kT yang tersedia pada waktu kT . Untuk sebarang waktu 0 kT  , didapatkan persamaan berikut.
( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 m n k j k j j i i y kT a u kT h iT − − − = = = = −    (3)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
dengan  vector  keadaan  adalah ( ) ( ) ( )
( ) 1 2 ... T n kT x kT x kT x kT =     x ,
dimana
( ) 1 x kT is data yang ada pada simpul jaringan dengan waktu tunggu kT , then
( ) i x kT is data yang dibutuhkan untuk waktu 1 k n i − + − , dengan 1 p n n = + .
Selanjutkan, akan dibangun  persamaan ruang keadaan dan persamaan keluaran dengan sistem diskrit LTI.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ; , T k T kT kT h kT
y kT kT + = + +     = x Gx Hu v
C x (4)
dengan G adalah  matriks  keadaan  berukuran nxn , , , v H C adalah  vektor dengan ukuran 1 nx , mengikuti berikut.
1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 ; ;
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 n n a a a − −    
            = =                 G H K K K K K O K M K K 1 1 0 0 ; . 0 0 0 0 −        
        = =    
            v C M M (5)
Tujuan  dari  linier  kuadratik  adalah  menentukan  aturan  kontrol  yang dapat membawa kondisi awal 0 0 = x menuju ( ) d kT = x x taknol untuk k =  . Sebuah  indeks  performansi  yang  bersesuaian  dengan  persamaan  ruang keadaan dan persamaan keluaran, yaitu
( ) ( ) ( )   2 2 0 . d k J u u kT w y y kT  = = + −      (6)
Indeks perfomansi pada persamaan (6) merupakn fungsi biaya. Fungsi biaya adalah seluruh biaya yang timbul selama proses transmisi data, dengan w adalah konstanta positif.
Hal yang berbeda, pada linier kuadratik regulator adalah sebuah aturan kontrol yang membawa keadaan awal tak nol menuju keadaan nol. Sehingga, disinilah perlu adanya pendefinisian variabel baru, yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; . ss d ss d ss kT kT kT y kT y kT y y kT y u kT u kT u u kT = − = −
= − = −
= − = x x x x x % % % (7)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
Selanjutnya,  didapatkan  persamaan  ruang  keadaan  dan  persamaan keluaran dengan menggunakan variabel baru pada persamaan (7), sebagai berikut.
( ) 1 ( ) ( ) ( ), k k kT u kT h kT + = + +     x Gx H v % % % (8)
( ) ( ) , T y kT kT = C x % % (9)
dengan G, H, v and C masih  sesuai  dengan  persamaan  (2).    Selanjutnya, akan digunakan LQR untuk ( ) u kT % yang meminimalkan indeks performansi yang baru, yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 [ ] 2 T T k J u kT kT u kT u kT  = = +  x Qx
R % % % % % (10)

## 2. Penyelesaian dengan LQR

## Diberikan kontrol umpan balik yaitu
( ) ( ) ( ), u kT kT kT = − K x % % (11)
dengan ( ) kT K adalah  matriks  umpan  balik.  Persamaan  Riccati  digunakan untuk mendapatkan sebuah vektor kontrol ( ) u kT % yang optimal . Asumsukan bahwa
( ) ( ) ( ) , kT kT kT
 = P x % (12)
dengan P adalah  matriks  simetris  positif.  Sehingga  dengan  mengikuti operasi matriks yang berlaku akan diperoleh hasil nilai matriks pada P dan K , yaitu
1 . T T −     P = G P I + HH P H + Q (13) 1 . T T −     K = H P I + HH P G (14)
Diberikan matriks simetris positif yaitu
11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 , n n n n n n nn p p p p p p p p
P p p p p
p p p p  
 
    =         K K K K K K O K K (15)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
Iterasi  matriks  digunakan  untuk  mendapatkan  matriks P yang  dibentuk dalam 11 p and w , sebagai berikut.
( ) ( ) 1 1 11 1 ; n n n j j p a p n j w − − = = − −  ( ) ( ) 1 2 1 11 1 ; n n n n j j p a a p n j w − − − = = − −  ( ) ( ) 2 1 3 11 1 1 ; n n n j n j j j p a a p n j w − − − = = = − −   ( ) ( ) 3 1 4 11 1 1 ; n n n j n j j j p a a p n j w − − − = = = − −   ( ) ( ) 4 1 5 11 1 1 ; n n n j n j j j p a a p n j w − − − = = = − −   . . . . . . . . . ( ) ( ) 1 1 11 1 1 ; n n nn n j n j j j p a a p n j w − − − − = = = − −   dan 1 1 1 11 11 1 1 1 1 1 . n n j j j j p w ja p w ja − − − = =       = + + − + −                
(16)
Dari persamaan (14) , didapatkan matriks K , yaitu
( ) 1 1 2 1 ...
... 1 , n n a a a  − − = + +    
K (17)
Dengan
( ) 4 2 w w w  + − = (18)
Sehingga dengan persamaan (7), diperoleh matriks umpan balik yaitu
( ) ( ) ( ) 1 1 m n k d j j i k j u kT y y kT a u iT  − = = −   = − −      
(19)

## 3. Analisa Kestabilan
Kestabilan  pada  sistem  diskrit  LTI,  seperti  pada  persamaan  (4),  dapat dianalisa  dnegan  menggunakan  vektor  Eigen  yang  dihasilkan  dari persamaan karakterisktik berikut.
( ) 0,
z − = I G - HK (20)
dengan I adalah  matriks  identitas.  Sistem  akan  stabil  jikan  nilai  Eigen memenuhi
1. n   (21)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
Disisi  lain,  terdapat  ketentuan  bahwa 0 2 
  − .  Dengan  demikian, sistem pada persamaan (4) terjamin stabil secara asimtotik, karena sistem memiliki  yang  positif  dan  selalu  lebih  kecil  dari  satu,  sesuai  dengan persamaan (18).

## 4. Sifat-sifat pada Sistem Transmisi dengan Sumber Jamak
Pembahasan ini akan menjelaskan mengenai sifat-sifat sistem transmisi dengan sumber jamak. Teorema pertama akan menjelaskan bahwa jumlah data  yang  ada  pada  simpul  jaringan  tidak  akan  melebihi  kapasitas maksimum pada simpul tersebut.
Teorema 1. Jika persamaan (19) diaplikasikan pada sistem diskrit LTI pada persamaan  (4),  maka  jumlah  data  pada  simpul  jaringan  selalu memenuhi ( ) d y kT y  , 0 k   .
Bukti.
Jika  pemenuhan  data  membutuhkan  waktu  tunggu 1 RTT ,    maka jaringan  akan  kosong  saat 1 kT RTT  .  Pembuktian  selanjutnya  akan digunakan induksi matematika. Untuk 1 q = , didapatkan ( ) 1 d y T y  . Untuk sebarang integer q , berlaku ( ) d y qT y  . Untuk 1 k q = + , akan dibuktikan berlaku ( ) 1 d y q T y +      . Misalkan,
( ) ( ) ( ) 1 1 m n k d j j i k j u qT y y kT a u iT  − = = −   = − −       ,
disubstitusikan pada persamaan (3), didapat
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . m n q k d j j i k j i u qT y a u iT h iT  − − = = − =   = − +       
Karena
1 1 m n j j a = =  , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 m n q d d j j i q j y q T y y y qT a h iT h qT    − = = − + = − − + −
− −       ( ) ( ) ( ) 1 1 . d d y y y qT    − − + −
Diperoleh ( ) 1 d y q T y +      ,  untuk  setiap 1 p q n  + .  Dengan  menggunakan induksi matematika diperroleh ( ) d y kT y  , 0 k   .
Selanjutnya,  teorema  kdua  akan  menjamin  bahwa  jumlah  data  pada simpul  jaringan  akan  selalu  memenuhi  jumlah  data  yang  dibutuhkan penerima.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
Teorema  2. Jika  persamaan  (19)  diaplikasikan  untuk  sistem  diskrit  LTI pada  persamaan  (4)  dan  kapasitas  maksimum  pada  simpul  jaringan  akan memenuhi
max
1 1 1 m d p p p y d L T   =    +      ,
Selanjutnya  jumlah  data  pada  simpul  jaringan  akan  selalu  positif  tegas untuk sebarang 1 m k n  + .
Bukti.
Diberikan waktu tunggu . p p RTT n T = . Kebutuhan data akan terpenuhi setelah  waktu  tunggu  tersebut.  Pembuktian  induksi  matematika  akan digunakan  untuk  terorema  ini.  Untuk 1 q = ,  berlaku ( ) 1 0 y T  .  Untuk sebarang  integer  positif q ,  diperoleh ( ) 0 y qT  .  Untuk 1 k q = + ,  akan dibuktikan bahwa ( ) 1 0 y q T +      . Misalkan, ( ) ( ) ( ) 1 1 m n k d j j i k j u qT y y kT a u iT  − = = −   = − −       ,
disubstitusikan pada persamaan (3), diperoleh
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . m n q k d j j i k j i u qT y a u iT h iT  − − = = − =   = −
+       
Karena
1 1 m n j j a = =  , maka ( ) ( ) ( ) 1 1 1 m n q d j j i q j y q T y a h iT h qT   − = = − +  − −       ( ) ( ) 1 1 1 m n q d j j i q j y a h iT h qT   − = = −    −
−       Misalkan diambil sebarang k , ( ) max 0 h kT d   , maka
( ) max 1 1 1
m d p p p y q T y d L    =     +  −
+                . Karena max 1 1 1 m d p p p y d L T   =    +      , diperoleh
( ) max 1 1 1 0 m d p p p y q T y d L    =     +  − +              
  .
Dengan menggunakan induksi matematika, kita dapat membuktikan bahwa jumlah data pada simpul jaringan akan selalu postif tegas untuk sebarang
1 m k n  + .

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
Pada  teorema  ketiga  untuk  menjamin  bahwa  jumlah  data  yang dibutuhkan oleh penerima kaan selalu non-negatif dan terbatas.
Teorema 3 . Jika persamaan (19) diaplikasikan pada sistem diskrit LTI pada persamaan  (4),  maka  jumlah  data  yang  dibutuhkan  oleh  penerima  selalu non-negatif dan terbatas mengikuti
( ) ( ) max 0 max , d u kT y d   
Bukti.
Induksi matematika akan digunakan untuk membuktikan teorema ini. Untuk 1 q = ,  berlaku ( ) ( ) max 0 1 max , d u T y d    .  Untuk  sebarang  integer positif q ,  berlaku ( ) ( ) max 0 max , d u qT y d    .  Untuk 1 k q = + ,  akan dibuktikan bahwa ( ) ( ) max 0 1 max , d u q T y d 
 +      . Misalkan,
( ) ( ) ( ) 1 1 m n k d j j i k j u qT y y kT a u iT  − = = −   = − −       ,
disubtituskan pada persamaan (3), diperoleh
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . m n q k d j j i k j i u qT y a u iT h iT  − − = = − =   = − +        ( ) ( ) ( ) u qT u qT h qT   = − + . Karena ( ) max 0 h qT d   , ( ) ( ) max 0 max , d d u qT y    ,  dan ( ) 0,1   ,  maka terbukti  bahwa ( ) ( ) max 0 1 max , d u q T y d 
 +      .    Dengan  menggunakan
induksi  matematika,  terbukti  bahwa  jumlah  data  yang  dibutuhkan  selalu bernilai non-negatif dan terbatas ( ) ( ) max 0 max , d u kT y d    .

## 5. Simulasi Numerik
Dengan mengkonstruksi jaringan seperti pada model yang didiskusikan diatas,  pertama  diambil  periode  diskrit  1  ms,  dan  waktu  tunggu  untuk  4 sumber adalah 1 RTT = 5 ms , 2 RTT = 8 ms,
3 RTT = 8 ms, 4 RTT = 10 ms. Dengan kata  lain m = 4,  dan  sistem  membutuhkan n = 11.    Elemen  pada  baris pertama matriks G adalah 1 a =1/5, 2 a =1/8, 3 a =3/8, 4 a =3/10. Jumlah data maksimum adalah max d = 50 kb, dan kapasitas yang pada simpul jaringan adalah d y = 481 kb (berdasarkan Teorema 2). Diasumsikan data diterima 100 % oleh penerima.
Pada  Gambar  1(a)  menunjukkan  bahwa  jumlah  data  yang  ada  pada jaringan  tidak  akan  melebihi  kapasitas  jaringan,  yaitu d y .  Hal  tersebut sejalan dengan Teorema 2 bahwa jumlah data yang ada pada jaringan selalu pisitif  tegas.  Pengontrol ( ) u kT harus  dapat  mengontrol  jumlah  data  agar tidak  melebihi  kapasitas  tetapi  tatp  dapat  memenuhi  jumlah  data  yang

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
dibutuhkan.
Hal tersebut
ditunjukkan pada Gambar 1(b), yang dijamin pada Teorema 2 dan Teorema 3.
(a)                                                                         (b)
Gambar 1. (a) Jumlah data pada jaringan ( ) y kT untuk setiap k [second],
(b) Jumlah data yang dibutuhkan ( ) u kT untuk setiap k [second]

## D. Simpulan
Dari  hasil  dan  pembahasan,  dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  system transmisi  data  dnegan  sumber  jaringan  jamak  dapat  dikontrol  dengan menggunakan kontrol linier, khususnya dengan menggunakan kendali LQR. Dengan  menggunakan  kendali  tersebut,  dapat  sekaligus  meminimalkan fungsi biaya pada jaringan dan stabil asimtotik.

## E. Daftar Pustaka
Bartoszewicz,  A.,  &  Lesniewski,  P.    (2013).  Linear  Quadratic  Optimal Congestion  Control  Strategy  for  Connection-oriented  Networks  with Lossy Links, IEEE Transaction Control Systems Technology . Harshavardhana,  P.,  Dravida,  S.,  &  Bondi,  A.B.(1992).  Congestion  Control for Connectionless Networks via Alternate Routing. IEEE Xplore . Ignaciuk, P., & Bartoszewicz, A. (2008 a ). Linear Quadratic Optimal Descrete- Time Sliding Mode Controller for Connection-Oriented Communication Networks. IEEE Transaction Control Systems Technology , 55(11).
Ignaciuk, P., & Bartoszewicz, A. (2008 b ). Linear Quadratic Optimal Sliding Mode  Congestion  Control  in  Multi-Source  Connection-Oriented  Data Transmission Networks, IEEE .
Ignaciuk,  P.  (2008).  Congestion  Control  in  Connection-Oriented  Data Transmission Networks (Doctorate Dissertation). Technical University of Lodz.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 12, No. 3 Desember 2021 e-ISSN 2579-7646
Ignaciuk, P., & Bartoszewicz, A. (2012). Linear-Quadratic Optimal Control of Periodic-Review Perishable Inventory Systems. IEEE , 20(5).
Ignaciuk,    P.,  &    Bartoszewicz,    A.  (2013). Congestion  Control  in  Data
Transmission  Networks Sliding  Mode  and  Other  Design, Communication and Control Engineering . London : Springer-Verlag. Kwakernaak & Sivan. (1972). Linear Optimal Control Systems . New York : Wiley-Interscience.
Mital,  K.V.  (1976). Optimization  Methods  in  Operations  Research  and Systems Analysis . New Delhi : Wiley Eastern Limited. Morawski,  M.,  &  Zajaczkowski,  A.M.  (2010).  Approach  to  The  design  of Robust Networked Control Systems. Int.J.Appl.Math.Compt.Sci , 20(4), 689-698.
Munawwaroh, D.A., & Sutrisno. (2014). Kendali LQR Diskrit untuk Sistem Transmisi Data dengan Sistem Jaringan Tunggal. Jurnal Matematika , 17(3), 104-111.
Ogata,K. (1995). Discrete Time Control Systems . New Jersey : Prentice-Hall. Olsder, G.J. (1994). Mathematical Systems Theory . Delft : The Netherlands.
Tanenbaum, A.S., & Wetherall, D.J. (2010). Computer Networks . New Jersey : Prentice-Hall.