Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 1 of 10

## TAHAPAN BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENGONSTRUKSI BUKTI MATEMATIS
Syukma Netti Universitas Bung Hatta syukmaneti@bunghatta.ac.id

## Abstrak
Mengonstruksi  bukti  matematis  merupkan  bentuk  khusus  dari pemecahan  masalah  sehingga  perlu  proses  berpikir  yang  sedikit  berbeda. Penelitian ini bertujuan untuk merumuskan tahapan berpikir mahasiswa dalam menelesaikan masalah pembuktian. Metoda penelitian yang digunakan adalah metoda  kualitatif.  Pengumpulan  data  dilakukan  dengan  memberikan  satu masalah  pembuktian  kepada  10  orang  mahasiswa.  Mahasiswa  diminta melakukan think aloud ketika sedang berupaya  mengonstruksi bukti. Semua aktifitas di rekap dengan camera video. Hasil kerja yang dianalisis adalah yang hasil  konstruksi  bukti  yang  valid.  Temuan  dari  penelitian  ini  adalah  ada  5 tahapan  berpikir  mahasiswa  ketika  berupaya  menghasilkan  konstruksi  bukti yang valid, yaitu (1) memahami masalah pembuktian, (2) membuat  koneksi dan  menyeleksi,  (3)  Menemukan  ide  utama,(4)  merangkai  bukti  dan menimpulkan, dan (5) melakukan re f leksi.
Kata kunci : konstruksi bukti, proses berpikir, f ungsi komposisi.

## Abstract
Constructing mathematical proofs is a special case of problem solving so it needs a slightly different thinking process. This study aims to formulate the stages of student thinking in solving the problem of proof. The research method used is qualitative  method. Data collection was done by giving two models of proof problem to 17 students. Students were asked to think aloud while trying to construct of proof. All activities were recaps with video camera. The results of the analyzed work were those of valid proof construction. The findings  of  this  study  were  five  stages  of  student  thinking  when  attempt  to construct a valid construction proof, namely (1) understanding the problem of proof,  (2)  making  connections  and  selecting,  (3)  finding  the  main  idea,  (4) assembling evidence and concluding, and (5) doing reflection.
Keywords : Constructing proof , thinking process , composition function
Sitasi: Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa dalam Mengonstruksi Bukti Matematis. Matematika dan Pembelajaran , 6(1), 1-10 .
ISSN 2303-0992 ISSN online 2621-3176 Jurnal Matematika dan Pembelajaran Volume 6, No. 1 , Juni 2018 , h. 1 - 10
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 2 of 10

## PENDAHULUAN
Kemampuan mengonstruksi bukti matematis merupakan keahlian yang penting yang harus dimiliki oleh matematikawan dan mahasiswa matematika (Dreyfus, 2017; Susanna, 1994; Weber, 2001). Susanna (1994) menyatakan bahwa kemampuan mengonstruksi bukti merupakan  kemampuan  yang  harus  dimiliki  oleh  matematikawan.  Weber  (2001) menjelaskan  bahwa  kemampuan  mengonstruksi  bukti  merupakan  keterampilan  penting bagi  semua  matematikawan. Alcock  &  Weber  (2001)  menyatakan  bahwa  tujuan  utama pembelajaran  matematika  lanjut  adalah  meningkatkan  kemampuan  mahasiswa  untuk mengonstruksi bukti formal..
Penelitian terkait kajian konstruksi bukti telah dilakukan oleh beberapa ahli (Arbib, 1990;  Selden  &  Selden,  1996,  2003,  2008,  2014;  Weber,  2001,  2006;  Torregrosa &Quesada, 2008; Stylianides & Stylianides, 2009; Tabach, M. dkk, 2009). Arbib (1990) membahas tentang pendekatan artifisial intelegensi untuk mengonstruksi bukti. Selden & Selden (1987, 2003, 2008, 2014) membahas tentang konstruksi bukti dan mendesain model pembelajaran yang efektif dalam pembelajaran bukti. Stylianides & Stylianides (2009) dan Tabach, M. dkk (2009) membahas kemampuan konstruksi bukti pada guru dan calon guru. Konstruksi bukti dipandang sebagai bentuk khusus dari pemecahan masalah. Weber
(2005) menyatakan bahwa aktifitas yang berkenaan dengan pembuktian dapat dipandang sebagai pemecahan masalah dengan tingkat kompleksitas yang lebih tinggi karena harus meyakinkan orang lain dan diri sendiri. Furinghetti, F., & Morselli, F. (2009). menyatakan bahwa  bukti  merupakan  kasus  khusus  dari  pemecahan  masalah.  Mengingat  kekhususan dari  konstruksi  bukti  matematis  yaitu  meyakinkan  seseorang  secara  logis  tentang kebenaran  sebuah  pernyataan  matematis,  maka  tahapan  kostruksi  bukti  matematis membutuhkan  tahapan  berpikir  tersendiri.  Tahapan  berpikir  dalam  pemecahan  masalah dirasa kurang sesuai untuk memecahkan masalah pembuktian.
Penelitian lain yang juga membahas tahapan dalam mengonstruksi bukti matematis adalah  Bekalties  dkk  (2016)  dan  Weber  (2004).    Kedua  peneliti  sama-sama  mengaji prosedur mengonstruksi bukti dalam pembelajaran bukti. Bekelties menyebutnya kerangka kerja  bukti  sedangkan  weber  2004  menyebutnya  prosedur  untuk  mengonstruksi  bukti. Penelitian  ini  lebih  fokus  pada  proses  berpikir  mahasisiwa  dalam  mengonstruksi  bukti. Sehingga tujuan penelitian ini adalah mendeskripsikan tahapanproses berpikir mahasiswa dalam mengonstruksi bukti matematis.

## METODE
Penelitian  ini  mendeskripsikan  proses  berpikir  mahasiswa  ketika  berupaya mengonstruksi bukti matematis. Oleh karena itu, metoda penelitian yang digunakan adalah metoda  penelitiian  kualitatif  (Creswell,  2012).  Subjek  penelitian  ini  adalah  10  orang mahasiswa jurusan matematika di Universitas Negeri Malang yang telah lulus matakuliah analisis  riil  dan  kalkulus.  Mereka  diberi  satu  masalah  pembuktian  yang  harus  mereka selesaikan. Selama mengerjakan masalah pembuktian, mereka diminta untuk menyuarakan apa yang mereka pikiran ( think aloud ). Peneliti mengamati dan  merekam prilaku subjek secara  audiovisual  dengan  menggunakan  kamera  video.    Selanjutnya,  dilakukan
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 3 of 10
wawancara untuk memperjelas proses berpikir mereka. Berikut ini adalah masalah pembuktian yang diberikan kepada subjek:
Fokus  penelitian  adalah  menganalisis  tahap  yang  dilakukan  oleh  subjek  (siswa), sehingga hasil konstruksi bukti yang dianalisis adalah hasil konstruksi bukti yang valid. Dalam penelitian ini, didapat dua hasil kerja mahasiswa yang valid.  Maka proses berpikir dalam mengonstruksi bukti yang  di paparkan dalam artikel ini adalah hasil pengamatan terhadap dua orang mahasiswa.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  merumuskan  tahapan  berpikir  mahasiswa  dalam mengonstruksi bukti matematis. Untuk mendapatkan data, diminta mahasiswa melakukan menyelesaikan dua masalah pembuktian dengan cara think aloud . Berdasarkan data dari hasil kerja mahasiswa, diidentifikasi aktifitas fisik dan mental yang dilakukan mahasiswa untuk mengetahui tahap berpikirnya. Tabel berikut merupakan hasil pengamatan prilaku mahasiswa dalam mengonstruksi bukti matematis
Tabel 1. Hasil pengamatan dan wawancara terhadap Subjek I
Subjek I Hasil Pengamatan Hasil Konstruksi Bukti Membaca masalah pembuktian secara keseluruhan.
Let A, B and C are subset in real number. 𝑓: 𝐴  → 𝐵 and 𝑓: 𝐵  → 𝐶 . If 𝑓 and 𝑔 are injective function, then prove that 𝑔 ∘ 𝑓 is bijective function too.
S1 langsung dapat  menentukan apa yang harus dibuktikan.
Namun, untuk menyelesaikan S1 perlu membaca satu persatu bagian dari soal secara pelan-pelan  sambil menuliskan bagian yang dianggap penting menyelesaikan soal pembuktian ini..
𝑓: 𝐴  → 𝐵𝑓 is injective function 𝑓: 𝐵  → 𝐶𝑔 is injective function
Misalkan A, B, dan C adalah subset dalam bilangan real. Dan f: A → B dan g: B → C adalah fungsi injeksi, maka buktikan bahwa g o f adalah fungsi bijective juga.
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 4 of 10
Menuliskan definisi f dan g injektif. Pertama dengam memandang (𝑎 1 , 𝑎 2 ) sebagai pasangan berurutan, tapi kemudian sadar lalu mengganti dengan ∀𝑎 1 , 𝑎 2 ∈ 𝐴 , jika 𝑓(𝑎 1 ) = 𝑓(𝑎 2 ) maka 𝑎 1 =   𝑎 2 , g injektif : ∀𝑏 1 , 𝑏 2 ∈ 𝐵 , jika 𝑔(𝑏 1 ) = 𝑔( 𝑏 2 ) maka 𝑏 1 =   𝑏 2
Setelah berhasil menuliskan definisi fungsi fungsi injektif untuk kedua fungsi, terlihat S1 berpikir lama, dia memikirkan bagaimana definisi ini digunakan untuk menunjukan bahwa 𝑔 ∘ 𝑓 is bijective function.
Setelah lama berpikir akhirnya S1 mencoba membuat diagram venn untuk mencoba menemukan hubungan antara f, g dan 𝑔 ∘ 𝑓 .
Dengan diagram venn tersebut akhirnya S1 berhasil menemukan hubungan ketiga unsur tersebut dengan mendefinisikan fungsi h atau 𝑔𝑜𝑓 injektif sebagai berikut ℎ = 𝑔𝑜𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 S1 juga langsung bisa menemukan definisi h injektif , yaitu ∀𝑎 1 , 𝑎 2 ∈ 𝐴 jika ℎ(𝑎 1 ) = ℎ(𝑎 2 ) maka 𝑎 1 = 𝑎 2 Dengan berhasilnya S1 mengaitkan hubungan antara f, g dan 𝑔 ∘ 𝑓 . Dan berhasil merumuskan definisi 𝑔𝑜𝑓 injektif S1 dapat dengan lancar menuliskan langkah berikutnya yaitu sebagai berikut:
ℎ(𝑎 1 ) = ℎ(𝑎 2 ) 𝑔𝑜𝑓(𝑎 1 )) =  𝑔𝑜𝑓(𝑎 2 ) 𝑔(𝑓(𝑎 1 )) =  𝑔(𝑓(𝑎 2 ))   → 𝑓(𝑎 1 ) =  𝑓(𝑎 2 ) → 𝑎 1 =   𝑎 2 S1 berhasil menunjukan bahwa untuk ℎ(𝑎 1 ) = ℎ(𝑎 2 ) didapatkan
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 5 of 10
𝑎 1 =   𝑎 2 , sehingga dengan yakin S1 menyimpulkan bahwa benar terbukti bahwa 𝑔𝑜𝑓 adalah fungsi injektif.
Setelah selesai menuliskan kesimpulan dengan memberi tanda terbukti pada bagian akhir, terlihat S1 membaca ulang soal dan semua hasil kerjanya, sebelum dia melihat ke peneliti dan mengatakan udah buk, udah terbukti.
Hasil kerja dan proses berpikir S2 hampir sama dengan proses berpikir S1 dengan sedikit perbedaan dalam penulisan. Berikut hasil pengamatan dan wawancara terhadap S2
Tabel 2. Hasil pengamatan dan wawancara terhadap Subjek II.
Subjek II
Hasil Pengamatan Hasil Konstruksi Bukti Membaca dan memahami
masalah pembbuktian dan menuliskan yang diketahui. g o f satu-satu S2 mencoba memikirkan definisi dan teorema yang terkait dengan masalah pembuktian. S2 lalu menuliskan definisi f dan g injektif. Pertama dengam Cuma mengambil satu 𝑥 ∈ 𝐴 , tapi kemudian sadar lalu mengganti dengan ∀𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐴 , jika 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 ) maka 𝑥 1 =   𝑥 2 , g injektif : ∀𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐵 , jika 𝑔(𝑥 1 ) = 𝑔( 𝑥 2 ) maka 𝑥 1 =   𝑥 2
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 6 of 10 Dengan waktu yang tidak terlalu lama, sekitar 5
menit, S2 dapat menemukan cara bagaimana pernyataan yang diberikan harus dibuktikan. S2 sempat salah dalam membuat keputusan tetapi cepat sadar. Awalnya menetapkan 𝑔°𝑓; 𝐵 → 𝐶 dan 𝑓(𝑥 1 ), 𝑓(𝑥 2 ) ∈ 𝐵 .
Cepat disadari bahwa g o f : 𝐴 → 𝐶 , sehingga berhasil memetapkan g o f injektif berarti ∀𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐴 → (𝑔𝑜𝑓)(𝑥 1 ) = (𝑔𝑜𝑓)(𝑥 2 ) Adit 𝑥 1 = 𝑥 2 Dari temuan pada tahap di atas dengan mudah S2 dapat menunjukan bahwa pernyataan tersebut benar dengan merangkai pernyataan berikut::
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥 1 ) = (𝑔𝑜𝑓)(𝑥 2 ) 𝑔(𝑓(𝑥 1 )) = 𝑔(𝑓(𝑥 2 )) → 𝑓(𝑥 1 ) = 𝑓(𝑥 2 ) → 𝑥 1 = 𝑥 2
∴ 𝑔𝑜𝑓 injektif.
Sekilas, S2 membaca ulang dan mencek lagi apa yang telah ditulis , lalu memutuskan, ya yakin... Dengan ucapan sudah terbukti buk .
Data dalam tabel di atas merupakan gabungan 3 data tentang proses konstruksi bukti mahasiswa dalam  menghasilka konstruksi bukti yang  valid yaitu data pengamatan, data wawancara dan data hasil kerja mahasiswa. Ketiga cara pengambilan data tersebut sangat
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 7 of 10
cukup  untuk  menggambarkan  proses  berpikir  mahasiswa.  Selama  pengamatan,  peneliti sudah membuat dugaan bahwa proses berpikirnya ada 5 tahap sesuai dengan jumlah baris dalam  tabel  di  atas.  5  tahap  tersebut  tidak  ditemukan  kesesuaian  dengan  tahapan pemecahan masalah dari Polya (1955) dan tiga fase penanganan pertanyaan dengan teliti ( tackling question conscientiously ) dari Mason, Burton & Stacey dkk (2010). Empat prinsip pemecahan masalah dari Polya adalah (1) memahami masalah, (2) menemukan rencana pemecahan,  (3)  menjalankan  pemecahan,  dan (4)  melihat  kembali.  Sedangkan  tiga  fase penanganan masalah Mason, Burton & Stacey (2010) yang merupakan pengembangan dari prinsip pemecahan masalah dari Polya, yaitu entry, attack dan review. Penanganan masalah dari  Mason,  Burton  &  Stacy  (2010)  merupakan  perluasan  dari  prinsip  pemecahan  dari Polya, yang menekankan pada saat menghadapai kebuntuan.
Dengan  melakukan  perbandingan  data  temuan  pada  kedua  tabel  di  atas  dengan prinsip pemecahan masalah dari Polya (1955) dan tiga fase penanganan pertanyaan dengan teliti  dari  Mason,  Burton  &  Stacey  dkk  (2010),  peneliti  merumuskan  tahapan  proses berpiikir  mahasiswa  dalam  menghasilkan  konstruksi  bukti  yang  valid.  Ditemukan  5 tahapan berpikir mahasiswa ketika sedang berupaya menghasilkan konstruksi bukti yang valid. Kelima tahapan berpikir dapat dijelaskan sebagai berikut.
1. Memahami masalah pembuktian
Pada  tahap  ini,  awalnya  mahasiswa  membaca  masalah  pembuktian  secara sekilas untuk mendapatkan maksud dari masalah yang diberikan secara keseluruhan. Kemudian, mereka membaca lagi untuk fokus pada makna dari masing-masing bagian bagian yang diketahui, seperti maksud dari injektif. Pada kebanyakan mahasiswa yang tidak berhasil mengonstruksi bukti yang valid diawali dengan tidak mengerti beberapa istilah  yang  ada  pada  masalah  pembuktian.  Setelah  mendapatkan  maknanya  baru mereka menulisakan unsur-unsur yang diketahui seperti yang terlihat pada hasil kerja subjek pada baris pertama pada tabel 1 dan tabel 2. Kedua subjek menghabis waktu yang hampir sama dalam menjalankan tahap ini.
2. Membuat Koneksi dan menyeleksi
Setelah  kedua  subjek  berhasil  memahami  setiap  unsur  dalam  masalah pembuktian,  mereka  mencoba  mencari  konsep  dan  prinsip  yang  berkaitan  dengan unsur-unsur  yang  diketahui,  seperti  definisi  dari  fungsi  bijektif.  Hal  ini  harus dilakukan agar  dapat dibangun hubungan antara unsur-unsur yang diketahui dengan konklusi yang akan dibuktikan. Jadi, dalam hal ini yang harus diuraikan bukan saja unsur-unsur  yang  diketahui  tetapi  juga  konklusi  dari  penyataan  pada  masalah pembuktian. Mahasiswa harus dapat menguraikan keduanya dengan baik. Tahap ini sedikit berbeda dengan tahap membuat rencana penyelesaian dari prinsip pemecahan masalah  dari  Polya  karena  penekanan  pada  masalah  pembuktian.  Tahap  ini  lebih menekankan pada mengurai premis dan konklusi untuk melihat relasinya dan untuk tujuan membangun rangkaian pembuktian.
3. Menemukan ide Utama
Menemukan ide utama maksudnya adalah menemukan satu konsep yang dapat mengaitkan  antara  unsur-unsur  yang  ada  pada  premis  dengan  konklusi.  Dalam penelitian  ini  kedua  subjek  memliki  ide  yang  berbeda  dalam  mengaitkan  antara premis-premis dan konklusi. Kedua subjek juga menghabiskan waktu yang cukup jauh
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 8 of 10
berbeda dalam menemukan ide utamanya. S2 lebih cepat dalam menemukan ide utama dan  idenya  juga  cukup  sederhana.  S1  membutuhkan  waktu  hampir  setengah  jam bahkan membutuhkan gambar diagram venn untuk dapat melihat hubungan premis dan konklusi secara nyata. Bagian ini merupakan bagian yang sangat penting dalam tahap mengonstruksi bukti karena tahap ini sangat menentukan apakah pembuktian bisa berhasil atau tidak. Dalam penelitian ini, tahap ini juga merupakan tahap yang sangat menarik karena pada tahap ini kedua subjek memiliki cara yang berbeda dan sama-sama benar.
Ide utama dari S1 Ide utama dari S2
4. Merangkai Bukti dan menyimpulkan
Membuktian sebuah pernyataan memiliki berbagai cara, salah satu dengan cara pembuktian  langsung.  Pembuktian  langsung  adalah  dengan  cara  mengaikan  secara langsung antara premis (p) dengan konklusi (q). Secara simbol penulisan  rangkaian pembuktian  langsung  dapat  dinyatakan  seperti  rangkaian  berikut 𝑝 ⟹ 𝑝 1 ⟹ 𝑝 2 ⟹ ⋯   ⟹ 𝑝 𝑛 ⟹ 𝑞 . Dimana 𝑝 𝑖 ⟹ 𝑝 𝑗 adalah definisi atau teorema-teorema yang saling terkait. Maka pada tahap ini mahasiswa harus memiliki pengetahuan yang baik tentang defini dan teorema yang dibutuhkan untuk dirangkai agar dapat dihasilkan bukti yang valid. Dari tabel 1 dan tabel 2 di atas dapat dilihat bahwa rangkaian bukti kedua subjek memuat  definisi  fungsi  komposisi  dan  definisi  fungsi  injektif.  Mereka  tidak menggunakan simbol yang sama. Jadi dalam tahap ini, mahasiswa juga harus mampu membuat  koneksi  antara  satu  konsep  dengan  konsep  lain  atau  antara  satu  teorema dengan teorema lainnya.
5. Merefleksi
Mencek  dan  meninjau  ulang  keseluruhan  pekerjaan, mulai  dari  membaca  ulang masalah pembuktian hingga hasil hasil konstruksi yang telah dikerjakan dengan tujuan untuk memastikan bahwa kesimpulan yang dibuat memang benar-benar telah sesuai.
Hasil  penelitian  yang  hampir  mendekati  sama  dengan  temuan  ini  adalah  hasil penelitian Weber (2004). Namun, dalam penelitiannya Weber (2004) tidak dalam kontek proses  berpikir  tapi  sebagai  prosedur  dalam  mengonstruksi  bukti  matematis.  Perbedaan yang lain adalah Weber tidak  menguraikan secara rinci tahapan dalam mengaplikasikan teorema dan konsep yang telah dimiliki.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Perbedaan  yang  signifikan  antara  proses  berpikir  dalam  menyelesaikan  masalah dengan proses berpikir dalam mengonstruksi bukti adalah pada bagaimana proses berpikir pada setiap tahap yang orientasinya adalah membangun rangkaian langkah-langkah untuk
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 9 of 10
menunjukan suatu pernyataan benar. Sedangkan, pada pemecahan masalah biasa adalah lebih  fokus  pada  menemukan  cara  untuk  mendapatkan  apa  yang  diinginkan  soal.  Hal tersebut  mengakibatkan  tahapan  proses  berpikirnya  jadi  lebih  banyak  yaitu  5  tahapan proses  berpikir.  5  tahapan  proses  berpikir  dalam  mengonstruksi  bukti  itu  adalah  (1) memahami masalah pembuktian, (2) membuat koneksi dan menyeleksi, (3) Menemukan ide utama,(4) merangkai bukti dan menimpulkan, dan (5) melakukan refleksi.
Berdasaran kesimpulan dapat disarankan pada dosen atau guru yang mengajarkan materi  tentang  pembuktian  agar  mengenalkan  5  tahapan  proses  berpikir  dalam mengonstruksi  bukti  matematis.  Dalam  mengajarkan  juga  dibiasakan  untuk  digunakan sehingga mahasiswa memiliki pemahaman dan arahan yang baik dalam mempelajari dan mengerjakan masalah pembuktian.

## DAFTAR RUJUKAN
Arbib,  A.M.  (1990).  A  Piagetian  Perspective  on  Mathematical  Construction. Synthesis , Volume 84, Issue 1, pp 43–58 doi:10.1007/BF00485006.
Benkhalti, A & Selden, A, & Selden, J  (2016). Proof Frameworks--A Way to Get Started, (online) https://www.researchgate.net/publication/299532808 diakses April 2016 DOI: 10.13140/RG.2.1.4160.9368
Creswell,  J.W.  (2012). Educational  Research:  Planning,  Conducting  and Evaluating  Quantitative  and  Qualitatitive  Research ,  Fourth  edition  , Boston, Amsterdam , Delhi. Pearson.
Dreyfus, T & Gabel, M. (2017). Affecting the Flow of a Proof by Creating Presence- Case  Study  in  Number  theory.  Educational  Studies  Mathematics.  Vol  96 Issue 2 pp 187-205. Spinger
Furinghetti,  F.,  &  Morselli,  F.  (2009).  Every  unsuccessful  problem  solver  is unsuccessful  in  his  or  her  own  way: Affective  and  cognitive  factors  in proving. Educational Studies of Mathematics, 70 , 71-90.
Mason,  J.,  Burton,  L.,Stacey,  K.  (2010). Thinking  Mathematically. Edisi  kedua. Prentice Hall. Harlow
Netti,  S.  Nusantara,  T.,  Subanji,  Abadyo  &  Anwar,  L.  (2016).  The  Failure  to Construct  Proof  Based  on Assimilation  and Accommodation  Framework from Piaget. International Education Studies ; Vol. 9, No. 12; 2016
Polya,  G.  (1973). How  To  Solve  It. Edisi  kedua.  Cetakan  kedua.  Princeton University Press ISBN 0-691-08097-6.
Selden,  A  &  Selden,  J.  (1996).  The  Role  Of  Logic  In  The  Validation  Of Mathematical  Proofs.presented  at  the  DIMACS Symposium  on  Teaching
Netti, S. 2018. Tahapan Berpikir Mahasiswa ... Matematika dan Pembelajaran, 6(1), 10 of 10
Logic and Reasoning, Rutgers University,25 - 26 July 1996.
Selden,  A.  &  Selden,  J.  (2003).  Validations  of  proofs  written  as  texts:  Can undergraduates  tell  whether  an  argument  proves  a  theorem? Journal  for Researchin Mathematics Education , 34 , 4-36.
Selden, A.  &  Selden,  J.  (2008).  Overcoming  students’  difficulties  in  learning  to understand  and  construct  proofs.  In  M.  Carlson  &  C.  Rasmussen  (Eds.), Making  the  connection:  Research  and  teaching  in  undergraduate mathematics (pp.95-110).  Washington,  DC:  Mathematical Association  of America.
Selden,  J.,  Benkhalti, A  & Annie  Selden.  (2014). An Analysis  Of Transition-To- Proof Course Students’ Proof Constructions With A View Towards Course Redesign(online)  : https://www.researchgate.net/publication/268278836. Diakses Desember 2016 .
Selden,  A.  (2004).  How  Students  Learn  to  Construct  and  Understand  Proofs Presented  in AAAS  Symposium  The  Changing  Nature  of  Proof  in Mathematics:  Past,  Present,  Future ,  February  di  New  Mexico  State University.
Selden, A. & Selden, J. (2015). A Theoretical Perspective for Proof Construction. CERME 9 Proceeding. (didownload melalui www.researchgate.net tanggal 12 Pebruari 2016.
Tabach, M & Levenson, E & Barkai, R & Tsamir, P. Tirosh, D & Dreyfus, T .(2009). Teachers’ Knowledge of Students’ Correct and IncorrectProof Constructions in  Fou-Lai  Lin,  Feng-Jui  Hsieh  Gila  Hanna,  Michael  de  Villiers  (Eds) Proceeding ICMI 19th The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University Taipei, Taiwan.
Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proofs: the need for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics , 48, 101-119.
Weber, K. (2004). A Framework for Describing the Processes that Undergraduates Use  to  Construct  Proofs. Proccedings  of  the  28th  Confrence  of  the International Group for the Psychology of Mathematics Education . Vol 4. pp. 425-432.
Weber,  K.  (2006)  .  Investigating  and  teaching  the  processes  used  to  construct proofs.  In  F.  Hitt,  G.  Harel  &  S.  Hauk  (Eds.), Research  in  Collegiate Mathematics  Education.  VI (pp.197-232).  Providence:  RI:  American Mathematical Society. DOI: 10.1090/cbmath/013/07.