Vol. 7, No.2,  98-107,  Januari 2011
Analisis Numerik Model Epidemiologi SIR dengan Faktor Difusi
Kasbawati 

## Abstrak
Model  SIR  merupakan  salah  satu  model  dasar  dalam  model  epidemiologi  yang  banyak digunakan  dan  dikembangkan  dalam  pemodelan  penyakit  menular  atau  sejenisnya.  Pada umumnya, model SIR yang dikembangkan tidak melibatkan faktor difusi atau efek spasial dari populasi  yang  diamati.  Dalam  penelitian  ini,  akan  dikaji  mengenai  model  SIR  dengan memasukkan  efek  spasial  atau  efek  difusi  ke  dalam  model.  Dengan  adanya  faktor  difusi tersebut,  tidak  hanya  perubahan  populasi  terhadap  waktu  yang  dapat  diamati,  tetapi  juga seberapa  cepat  populasi  menyebar,  khususnya  populasi  yang  infektif.  Model  SIR  dengan faktor  spasial  tersebut  akan  dianalisis  dan  disimulasikan  dengan  menggunakan  pendekatan metode beda hingga.
Kata Kunci : Model SIR, persamaan difusi, metode beda hingga FTCS.

## 1. Pendahuluan
Pada  jaman  ini  berbagai  jenis  penyakit  menular  bermunculan  seiring  dengan perkembangan teknologi dan gaya hidup yang semakin berubah. Hal ini menjadi suatu fenomena yang menarik untuk diteliti, bukan hanya dalam dunia kedokteran tetapi juga bagi para sebagian matematikawan  yang  bergerak  di  bidang  pemodelan  matematika,  khususnya  dalam  pemodelan epidemiologi.  Secara  matematika,  baik  proses  penularan  maupun  cara  penanggulangan  suatu penyakit  yang  infektif  dapat  dianalisis  dan  dikaji  dengan  memanfaatkan  teori-teori  yang  ada dalam dunia matematika.
Model  epidemiologi  merupakan  salah  satu  model  matematika  yang  banyak  digunakan untuk memodelkan suatu kasus penyakit atau kasus lain yang bersifat menular. Pada umumnya, model ini banyak berfokus pada dinamik dari transmisi atau perpindahan ciri atau karakter antara individu dengan individu, populasi dengan populasi, komunitas dengan komunitas, daerah dengan daerah bahkan negara dengan negara. Ciri atau karakter yang berpindah tersebut dapat berbentuk penyakit  seperti  influenza,  malaria,  tuberkulosis,  HIV;  berupa  karakteristik  genetik  seperti gender,  ras,  penyakit  genetik;  dan  berbagai  bentuk  lainnya  (Brauer  &  Carlos-Chavez,  2001). Istilah  yang  banyak  didengar  baik  dalam  dunia  kesehatan  maupun  dalam  dunia  pemodelan epidemiologi di antaranya adalah epidemik dan endemik. Epidemik merupakan sebuah fenomena dimana  sebuah  penyakit  tiba-tiba  muncul  dalam  suatu  populasi  dan  menjangkit  secara  cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian akan muncul kembali dalam interval waktu tertentu  (penyakit  yang  muncul  secara  temporal).  Sedangkan  endemik  merupakan  sebuah fenomena dimana sebuah penyakit yang muncul akan selalu ada dalam suatu populasi (Diekmann & Heesterbeek, 2000).
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 , Tamalanrea Makassar, email: kasbawati@gmail.com

## 2. Model Epidemiologi SIR
Penguraian  model  epidemiologi  ke  dalam  bahasa  matematika  pada  umumnya menggunakan  bentuk  persamaan  differensial  yang  dibangun  dari  asumsi  bahwa  setiap  fungsi dalam kompartemen  model  merupakan fungsi yang  kontinu. Selain itu diasumsikan pula bahwa proses epidemik yang terjadi merupakan bentuk yang deterministik yaitu kelakukan dari populasi dan  aturan  yang  membangun  perkembangan  model  seluruhnya  ditentukan  dari  latar  belakang epidemik  tersebut.  Kompartemen  model  yang  dimaksud  di  atas  umumnya  dibagi  menjadi beberapa  bagian.  Pembagian  tersebut  pertamakali  diperkenalkan  oleh  Kermack-Mckendrick tahun  1927,  yang  disebut  sebagai  model  kompartemen  ( compartmental  model ).  Kompartemen dalam  model  epidemiologi  umumnya  dibagi  menjadi  tiga  yaitu susceptible  population , dilambangkan  dengan S ( t ),  yaitu  populasi  sehat  yang  rentan  sehingga  dapat  terinfeksi  penyakit; Infective  population ,  dilambangkan  dengan I ( t ),  yaitu  populasi  yang  terinfeksi  pada  saat t dan dapat  menularkan  penyakit  melalui  kontak  dengan  populasi  sehat;  dan Removed  population , dilambangkan  dengan R ( t )  yaitu  populasi  yang  pernah  terinfeksi  dan  kemudian  sembuh.  Akan tetapi  kesembuhan  tersebut  dapat  permanen  atau  sebaliknya.  Metode  removal  merupakan  suatu proses  perpindahan  populasi  yang  terinfeksi  menjadi  populasi  yang  sehat  yang  dapat  dilakukan melalui isolasi, imunisasi, recovery atau melalui kematian (Brauer & Carlos-Chavez, 2001).
Model  epidemiologi  yang  akan  dibahas  dalam  makalah  ini  adalah  model  S-I-R ( Susceptible-Infective-Removed ), yang berbentuk:
, ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ ~ R I d R d I I N I S d I d S N I S N d S d                   
(1)
dimana pembentukan model tersebut didasarkan pada asumsi-asumsi sebagai berikut:
1. Populasi yang diamati diasumsikan tertutup sehingga faktor imigrasi dan emigrasi diabaikan. Jadi rata-rata jumlah populasi yang masuk ke dalam sistem akan sama dengan rata-rata jumlah populasi yang keluar dari tiap kelas sehingga diperoleh R I S N ~ ~ ~    .
2. Seorang  yang  sehat  akan  terinfeksi  dan  masuk  ke  dalam  populasi  yang  infektif  hanya  jika berinteraksi dengan populasi yang infektif.
3. Rata-rata kontak ( c ) didefinisikan sebagai rata-rata interaksi secara acak antara populasi Sehat dan  populasi  Infektif  per  satuan  waktu,  dengan  peluang  berhasilnya  kontak  sebesar  (konstan). Interaksi ini dapat digambarkan dalam bentuk perkalian antara S ~ dan I ~ yaitu
, ~ ~ ~ N I S  dengan   c  ~ . Bentuk N I ~ menyatakan proporsi dari I ~ yang dapat menginfeksi S ~ .
4. Ada  sebanyak  ~   persen  populasi  infektif  yang  sembuh  persatuan  waktu,  dengan  asumsi bahwa  kesembuhannya  permanen  sehingga  tidak  dapat  terjangkiti  penyakit  yang  sama kembali. Asumsi ini berlaku untuk beberapa jenis penyakit tertentu.
5. Semua parameter dan variabel model diasumsikan positif.
Diagram  kompartemen  model  yang  menggambarkan  hubungan  ketiga  populasi  dapat  dilihat dalam Gambar 1.
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model SIR.
Pada  umumnya,  model  SIR  yang  banyak  dikembangkan  saat  ini  tidak  meninjau  faktor spasial  atau  faktor  difusi  sistem.  Dalam  makalah  ini,  akan  diulas  mengenai  model  SIR  dengan memasukkan faktor spasial kedalammnya sehingga model awal yang berbentuk sistem persamaan differensial  tak  linier,  berubah  menjadi  model  yang  berbentuk  sistem  persamaan  differensial parsial  tak  linier.  Jika  dilakukan  pengembangan  pada  model  dalam  persamaan  (1)  dengan memasukkan faktor difusi pada tiap kompartemen maka diperoleh model yang baru dalam bentuk persamaan differensial parsial, yaitu
. ~ ~ ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 2 x R k R I R x I k I I N I S I x S k S N I S N S                                  
(2)
dengan k merupakan konstanta difusi.
Misalkan , ~ , ~ N I I N S S   N R
R ~  ,  
    ~ , ~   ,   x x ~ 2 / 1   , dan   t maka diperoleh model yang lebih sederhana dan tak bergantung dimensi, yaitu
, . , , 1 2 2 2 2 2 2 x R k R I t R x I k I I SI t I x S k S SI t S                            (3) dengan ), , ( ), , ( ), , ( t x R R t x I I t x S S    dan  koefisen  difusi  ( k )  diasumsikan  sama  untuk tiap  kompartemen.  Selanjutnya  akan  dicari  dan  dianalisis  solusi  model  dalam  persamaan  (3) secara  numerik  dengan  memanfaatkan  metode  beda  hingga  untuk  mengaproksimasi  solusi persamaan differensial parsial untuk masalah difusi.

## 3. Metode Beda Hingga FTCS
Metode beda hingga forward time centered space (FTCS) merupakan salah satu metode beda hingga yang dapat digunakan untuk mengaproksimasi solusi dari masalah difusi. Misalkan u ( x,t ) merupakan solusi dari suatu persamaan difusi satu dimensi. Dalam metode ini, aproksimasi untuk  perubahan u terhadap  waktu  ( time )  menggunakan  pendekatan forward  time  difference , yaitu
t u u t u n j n j n j       1 , (4)
dan  perubahan u terhadap  jarak  ( space )  menggunakan  pendekatan centered  space  difference , yaitu
2 1 1 2 2 2 x u u u x u n j n j n j n j         . (5)
Indeks j merepresentasikan  koordinat x dan  indeks n merepresentasikan  koordinat t .  Kestabilan dari  metode  ini  terjadi  jika 2 / 1 0   d ,  dengan 2 x t k d    dan k merupakan  koefisien  difusi.
Hasil ini diperoleh dengan menggunakan  metode Von Neumann dimana penguraian lebih detail masalah kestabilan metode FTCS dapat dilihat di (Hoffman, 1992).
Tinjau  persamaan  (3).  Aproksimasi  persamaan  difusi  tersebut  dengan  menggunakan persamaan (4) dan (5), menghasilkan persamaan beda

   
       , 2 , 2 ) 1 ( , 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j R R R D R I t R R I I I D I I S t I I S S S D S I S t S S                                    
(6)
dengan 2 x t k D    .
Aproksimasi syarat awal adalah
0 1 0 1 0 1 , , R R I I S S j j j    . (7)
Aproksimasi syarat batas kiri adalah
   
        , , ) 1 ( , 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n R R D R I t R R I I D I I S t I I S S D S I S t S S                            (8)
dan untuk syarat batas kanan adalah
   
        . , ) 1 ( , 1 1 1 1 1 1 1 n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J n J R R D R I t R R I I D I I S t I I S S D S I S t S S                               (9)
Jadi  aproksimasi  solusi  yang  dihasilkan  dalam  persamaan  (6)  akan  stabil  jika
2 / 1 0 2      x t k D .
Setelah  proses  diskritisasi  dilakukan,  selanjutnya  dilakukan  penyusunan  algoritma program yang secara lengkap dapat dilihat dalam Gambar 2. Simulasi program dilakukan dengan menggunakan software Matlab 7.0.4.
Gambar 2. Algoritma Metode Beda Hingga untuk Mengaproksimasi Solusi Model SIR dengan Faktor Difusi.

## 4. Hasil Dan Pembahasan
Pada simulasi ini, nilai parameter  yang digunakan adalah dan yang diperoleh  dari  (Kasbawati  &  Gunawan,  2007).  Parameter  tersebut  merupakan  parameter  yang menghasilkan  kondisi  yang  tak  endemik.  Misalkan  jumlah  populasi  pada  saat  awal  adalah 1 = (0) dan 2, = (0) 10, = (0) R I S (jumlah  dalam  konteks  yang  tak  berdimensi),  maka diperoleh grafik solusi numerik model yang dapat dilihat dalam gambar berikut.

## Kasbawati
(a)                                                             (b)
(c)
Gambar 3. Grafik Solusi: (a). S ( x , t ), (b). I ( x , t ), dan (c). R ( x , t ) Terhadap Waktu untuk Beberapa Nilai x .
Dari grafik solusi tersebut terlihat bahwa jumlah populasi yang sehat (Gambar 3a) pada saat awal menurun  secara  drastis  dan  kemudian jumlahnya  konvergen  ke  nilai S =  1, pada  saat t semakin besar.  Ini  berarti  bahwa  jumlah  populasi  sehat  dalam  sistem  tidak  akan  pernah  habis,  bahkan kekonvergenan jumlah tersebut menunjukkan kondisi bahwa pada akhirnya semua populasi 100% sehat  (tidak  ada  populasi  yang  infektif  dan  recover  karena  mengingat  jumlah S + I + R =1,  dalam konteks besaran yang tak berdimensi). Kekonvergenan S ke 1 berarti bahwa pada akhirnya sistem akan terbebas dari kasus infeksi. Hal tersebut juga dapat dilihat pada Gambar 3b dimana jumlah populasi  yang  infektif pada  saat  awal  meningkat  secara drastis,  dan  mencapai puncak  pada  saat t =1,  dengan jumlah  maksimum I =  5,6,  tetapi  kemudian  menurun  secara  drastis menuju I =0.  Ini menunjukkan  bahwa  ada  saat  dimana  populasi  yang  infektif jumlahnya  sangat  besar  dan  secara cepat  kemudian  menghilang  dari  dalam  sistem.  Kondisi  yang  sama  terjadi  pada  populasi  yang recover  atau  sembuh  (Gambar  3c),  dimana  jumlah  populasi  yang  sembuh  mengalami  jumlah maksimum  pada  saat  awal, t =1,  dan  kemudian  menurun  dan  konvergen  ke  nilai R =0,  akibat ketiadaan  individu  yang  terinfeksi.  Selanjutnya,  penyebaran  ketiga  populasi  terhadap  jarak ( space ), khususnya penyebaran populasi yang infektif, dapat dilihat dalam gambar berikut.
0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t S (x ,t ) 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 t I( x ,t ) 2 4 6 8 10 12 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 t R (x ,t )
Gambar 4. Grafik Solusi Model Terhadap Waktu pada Posisi x =50.
(a)                                                            (b)
(c)
Gambar 5. Grafik Solusi: (a). S ( x , t ), (b). I ( x , t ), dan (c). R ( x , t ), terhadap Jarak ( x ) untuk Beberapa Nilai t yang Berbeda.
Dari  Gambar  5  terlihat  bahwa  pada  saat  yang  berbeda-beda,  tiap  populasi  menyebar  dengan bentuk penyebaran yang tidak berubah bentuk (konstan). Jadi perambatan solusi dari tiap model
0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t S(50,t) I(50,t) R(50,t) 0 5 10 15 0 5 10 15 x S (x ,t ) t=1 t=20 t=30 t=50 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 x I( x ,t ) t=1 t=20 t=30 t=50 2 4 6 8 10 12 14 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x R (x ,t ) t=1 t=20 t=30 t=50

## Kasbawati
bergerak  tanpa  berubah  bentuk  dengan  kecepatan  propagasi  yang  konstan  untuk  nilai t yang berbeda.  Hal  yang  menarik  terjadi  pada  saat t =50,  perambatan  solusi  berakhir  pada  jumlah populasi  yang  konvergen  ke  0,  untuk x yang  semakin  besar,  khususnya  untuk  populasi  yang infektif (Gambar 5b). Ini menunjukkan bahwa penyebaran populasi yang infektif suatu saat akan berhenti sehingga proses perpindahan dan penyebaran virus penyebab penyakit dapat dicegah dari sistem.
(a) (b) (c)
Gambar 6. Kurva Solusi Model untuk Populasi Sehat (a); Populasi Infektif (b); dan Populasi yang Recover (c) Terhadap Jarak dan Waktu.

## 5. Kesimpulan
Dari pembahasan sebelumnya telah diuraikan mengenai model SIR dengan faktor difusi. Faktor  difusi  yang  dimasukkan  ke  dalam  model  dapat  digunakan  untuk  menyelidiki  bentuk penyebaran  populasi,  khususnya  populasi  yang  infektif  dalam  sistem  yang  diamati.  Dari  hasil simulasi  yang  dilakukan  terlihat  bahwa  dengan  menggunakan  nilai parameter  yang  telah  dipilih tersebut, diperoleh hasil bahwa ada saat dimana populasi yang infektif akan hilang dari sistem. Ini berarti bahwa, secara umum, ada kemungkinan kondisi tak endemik dapat terwujud dalam sistem. Sebaliknya, tidak menutup kemungkinan pula kondisi yang endemik dapat tercipta dalam sistem. Jika dikaitkan dengan kondisi nyata yang terjadi untuk kasus penyakit menular, terjadinya kondisi endemik  atau  tak  endemik  suatu  sistem  sangat  bergantung  pada  besar  kontak  yang  dilakukan. Dalam hal ini bergantung pada jumlah rata-rata interaksi yang terjadi antara populasi yang sehat dengan populasi yang infektif.

## Daftar Pustaka
Brauer,  F.  dan  Carlos-Chavez,  C.,  2001. Mathematical  Models  in  Population  Biology  and Epidemologi . Springer-Verlag Inc., New York.
Castillo-Chaves,  C.,  Feng,  Z.,  dan  Huang,  W.,  2002.  On  the  computation  of  R 0 and  its  role  on global stability. IMA, Volume 125, pp. 229 – 250, Springer-Verlag, New York.
Diekmann, O. dan Heesterbeek, J.A.P., 2000. Mathematical Epidemiology of Infectious Disease. John Wiley & Sons Ltd., Chicester.
Diekmann,  O.,  Heesterbeek,  J.A.P.,  dan  Metz,  J.A.J.,  1990.  On  The  defnition  and  the computation  of  the  basic  reproductive  ratio  R 0 in  models  for  infectious  disease  in heterogeneous populations. Journal of Mathematical Biology . Springer-Verlag, New York.
Hoffman,  J.D.,  1992. Numerical  Method  for  Engineers  and  Scientists .  McGraw-Hill  Inc., Singapura.
Kasbawati  dan  Gunawan,  A.G.,  2007.  A  simple  diffusion  model  of  the  spread  of  smoker population. Proceeding  Seminar  Nasional  Matematika, Vol.2,  pp.  145-150,  Universitas Parahyangan, Bandung.