PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN PROBLEM POSING UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN KONSEP TEORI BILANGAN BAGI MAHASISWA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2015/2016
1 Yunita Septriana Anwar, 2 Abdillah, 3 Dewi Pramita
1, 2, 3 Dosen Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Mataram Email : na2_math@yahoo.com

## ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk untuk meningkatkan pemahaman konsep Teori Bilangan bagi mahasiswa program studi pendidikan matematika tahun akademik 2015/2016 FKIP UM Mataram.  Penelitian ini merupakan penelitian tindakan kelas  yang  dilaksanakan    dalam  dua siklus  dan  disesuaikan  dengan  cakupan  materi  Keterbagian  pada  matakuliah Teori  Bilangan.  Setiap  siklus  meliputi  tahapan-tahapan  kegiatan,  yaitu  perencanaan,  pelaksanaan  tindakan, observasi, evaluasi, dan refleksi. Subjek penelitian adalah mahasiswa semester satu berjumlah 20  mahasiswa. Hasil penelitian  menunjukkan  peningkatan  hasil  belajar  dan  aktivitas  baik  dalam  kesiapan  mahasiswa  dalam  mengikuti pembelajaran,  proses  diskusi,  hingga  mempresentasikan  hasil  kerja  kelompoknya.  Pada  siklus  I,  rata-rata  skor aktivitas sebesar 12,45 dengan kategori aktif dan siklus II rata-rata skor 13,35 dengan kategori aktif. Sedangkan hasil belajar  pada  siklus  I  diperoleh  rata-rata  kelas  sebesar  68,75  dimana  sebanyak  50%  mahasiswa  memperoleh  nilai diatas  70.  Pada  siklus  II  terjadi  peningkatan  hasil  belajar  dengan  rata-rata  kelas  sebesar  70,06  dimana  sebanyak 66,67%  mahasiswa  memperoleh  nilai  diatas  70  meskipun  nilai  ini  belum  mencapai  indikator  keberhasilan  yang ditetapkan. Ada beberapa faktor penyebab belum tercapainya indikator keberhasilan ini salah satunya keterbatasan waktu penelitian dan ada beberapa mahasiswa yang tidak hadir ketika evaluasi dilakukan.
Kata kunci : Problem Posing , Teori Bilangan, Keterbagian

## I. PENDAHULUAN
Teori  Bilangan  merupakan  salah  satu matakuliah wajib dalam kurikulum program studi pendidikan  matematika  di  seluruh  perguruan tinggi  di  Indonesia.  Teori  Bilangan  merupakan sebagai  cabang  matematika  secara  umum membahas bilangan dan sifat-sifatnya. Pengetahuan  tentang  Teori  Bilangan  sangat penting  dalam  kehidupan  sehari-hari,  terutama komputasi  numerik,  bidang  ilmu  komputer,  dan algoritma  komputasi  (Sukirman,  2006).  Teori Bilangan  sering  dijadikan  hobi  karena  sifatnya menggali  rasa  ingin  tahu  serta  melatih kecerdasan  logika  matematika.  Lebih  jauh konsep  Teori  Bilangan  juga  menjadi  dasar  dari pengembangan  beberapa  cabang  matematika lain seperti kriptografi yang merupakan pengembangan dalam matematika terapan.
Dewasa ini pembelajaran Teori Bilangan yang  dilaksanakan  di  program  studi  pendidikan Matematika  FKIP  UM  Mataram  masih  belum mampu memfasilitasi mahasiswa untuk memahami  konsep  Teori  Bilangan  secara  utuh. Umumnya,  pada  setiap  pertemuan  dosen
menjelaskan  definisi atau teorema, memberikan contoh-contoh  yang  berkaitan  dengan  definisi atau membuktikan teorema, memberikan latihan,  dan  di  akhir  pembelajaran  dosen memberikan tugas. Mahasiswa umumnya kurang  berani  mengkomunikasikan  gagasan- gagasan yang mereka miliki dan orientasi dosen lebih  banyak  tercurah  pada  target  tercapainya materi perkuliahan. Ini mengakibatkan pembelajaran  menjadi  kurang  bermakna  dan konsep  Teori  Bilangan  dipahami  hanya  sebagai hafalan.  Hingga  saat  ini  latihan  keterampilan bernalar, memecahkan masalah, berkomunikasi, dan  koneksi  dalam  matematika  memang  belum membudaya.  Kebanyakan  mahasiswa  terbiasa melakukan kegiatan belajar dengan mendengarkan  penjelasan  dosen,  menyalinnya, dan kemudian menghafalkannya.
Problem Posing merupakan suatu model  pembelajaran  yang  menekankan  pada kegiatan  membentuk  soal  yang  dilakukan  oleh mahasiswa sendiri (Budiasih dan  Kartini, 2002). Soal tersebut kemudian diupayakan untuk dicari jawabannya  baik  oleh  individu  maupun  pihak
lain  seperti  dosen  ataupun  mahasiswa  yang lainnya.
Problem Posing
memberikan keleluasaan  mahasiswa  untuk  belajar  secara mandiri dengan merumuskan masalahnya sendiri  dan  menyelesaikan  masalah  yang diajukan. Problem  Posing dapat  pula  dipahami sebagai  perumusan  ulang  soal  yang  ada menjadi  beberapa  soal  yang  lebih  sederhana agar  mudah  dipecahkan.  Hal  ini  terjadi  pada pemecahan soal yang rumit sehingga pengajuan soal  merupakan  salah  satu  langkah  dalam rencana  pemecahan  soal.  Sebagai  contoh, misalkan  mahasiswa  diberikan  soal:  “Buktikan jika , maka untuk setiap bilangan-bilangan  bulat dan ”.  Untuk memecahkan  permasalahan  ini  mahasiswa dapat diinstruksikan untuk membuat pertanyaan yang mengarah pada penyelesaian soal tersebut,  misalkan  “Apakah  syarat  dari ?”,  “Apakah  berlaku dan ?”,  atau “Syarat  apa  yang  harus  dipenuhi  agar
?”.  Tipe Problem  Posing ini  disebut within- solution posing atau pengajuan di dalam solusi. Salah  satu  kelebihan Problem  Posing adalah dapat mendidik mahasiswa berpikir kritis, aktif dalam pembelajaran, serta melatih mahasiswa dalam menganalisis masalah matematika.  Melalui  jawaban  yang  didapatkan dari  permasalahan  mereka  akan  lebih  memacu mahasiswa  dalam  menggali  masalah  dan mencari  jawabannya sehingga diharapkan kemampuan mahasiswa  dapat  meningkat  untuk memecahkan  masalah  tingkat  lanjut.  Oleh karena  itu,  akan  dilakukan  penelitian  untuk menerapkan  model  pembelajaran Problem Posing untuk meningkatkan pemahaman konsep Teori Bilangan bagi mahasiswa program studi  pendidikan  matematika  tahun  akademik 2015/2016.
Permasalahan  yang  akan  dikaji  dan ditelaah dalam penelitian ini adalah “Bagaimana penerapan model pembelajaran Problem Posing dapat  meningkatkan  pemahaman  konsep  Teori Bilangan bagi mahasiswa program studi pendidikan matematika tahun akademik 2015/2016?”.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Tinjauan Matakuliah Teori Bilangan
Teori  Bilangan  merupakan  salah  satu dasar  dalam  matematika  dengan  himpunan semesta  pembicaraan  adalah  semua  himpunan semua  bilangan  bulat.  Teori  Bilangan  telah menarik perhatian ilmuwan selama ribuan tahun, paling  sedikit  sejak  2500  tahun  yang  lalu.  Awal kebangkitan  Teori  Bilangan  modern  dipelopori
oleh  Pierre  de  Fermat  (1601-1665),  Leonhard Euler  (1707-1783),  J.L.  Lagrange  (1735-1813), A.M.  Legendre  (1752-1833),  Carl  Friedrich Gauss  (1777-1853),  Dirichlet  (1805-1859), Dedekind  (1831-1916),  Riemann  (1826-1866), Giuseppe  Peano  (1858-1932),  Poisson  (1866- 1962),  dan  Hadamard  (1865-1963).  Gauss sebagai  salah  satu  pelopor  Teori  Bilangan begitu  terpesona  terhadap  keindahan  dan kecantikan Teori Bilangan, dan untuk melukiskannya  Gauss menyebut  Teori  Bilangan sebagai the  quenn  of  Mathematics (Muhsetyo, 1997).
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  dan teknologi  dewasa  ini  sebetulnya  mempunyai kaitan  erat  dengan  perkembangan  sistem numerasi, yaitu dalam hal menyatakan, menghubungkan dan mengoperasikan bilangan. Bilangan  itu  sendiri  mewakili  kuantitas  yang merupakan  hasil  pengukuran,  jumlah  benda atau  barang,  nilai  imbal  atau  tukar  dari  suatu transaksi, dan bentuk-bentuk kegiatan lain  yang memerlukan bilangan sebagai alat komunikasi.
Topik-topik  yang  dibahas  dalam  Teori Bilangan meliputi keterbagian, faktorisasi bilangan  bulat,  kekongruenan,  dan  teorema Fermat  dan  Wilson.  Penguasaan  topik-topik  ini akan  sangat  membantu  mahasiswa  dalam belajar  aljabar  khususnya  yang  berkaitan dengan  aritmatika.  Di  samping  itu,  akan membantu  juga  dalam  mempelajari  bahasan dalam matematika seperti Struktur Aljabar (Teori Grup  dan  Ring)  dan  Aljabar  Linier.  Bahkan akhir-akhir ini Teori Bilangan diperluas penggunaannya  dalam  Kriptografi  dan  Ilmu Komputer.

## B. Problem Posing
Problem  Posing merupakan  perumusan ulang  soal  yang  ada  menjadi  beberapa  soal yang  lebih  sederhana  agar  mudah  dipecahkan (Suyatno,  2009). Problem  Posing memberikan keleluasaan  mahasiswa  untuk  belajar  secara mandiri dengan merumuskan masalahnya sendiri  dan  menyelesaikan  masalah  yang diajukan. Silver dan Cai (1996) mengklasifikasikan Problem Posing menjadi: (1)
pengajuan pre-solusi ( pre-solution posing ) dimana  mahasiswa  membuat  soal  dari  situasi yang  diadakan,  (2)  pengajuan  didalam  solusi ( within - solution  posing )  dimana  mahasiswa merumuskan  ulang  soal  seperti  yang  telah diselesaikan  sebagai  penyederhanaan  dari  soal yang  sedang  diselesaikan,  (3)  pengajuan setelah  solusi  ( post-solution  posing )  dimana mahasiswa  memodifikasi  tujuan  atau  kondisi
soal  yang  sudah  diselesaikan  untuk  membuat soal yang baru.
Kadir  (2011)  menjelaskan  langkah- langkah  pembelajaran  dengan Problem  Posing sebagai berikut:
1. Mahasiswa mendengarkan
dan memperhatikan  penjelasan  dosen  tentang materi perkuliahan.
2.  Mahasiswa memperhatikan bagaimana cara membuat soal dan penyelesaiannya.
3.  Mahasiswa menanyakan hal-hal yang dirasakan belum jelas.
4. Mahasiswa membuat soal sebanyak mungkin  dari  masalah  yang  diberikan
dosen dan mempresentasikannya di depan kelas serta menyelesaikannya.
5. Mahasiswa  membuat  soal  atau  masalah kembali  kemudian  menukarkannya  dengan mahasiswa yang lain dan menyelesaikannya. Kemampuan mahasiswa
dalam membuat soal dapat dilihat dari dua aspek, yaitu respon mahasiswa dan kesukaran soal. Respon siswa dapat dikelompokkan menjadi pertanyaan matematika,  pertanyaan  non  matematika,  dan pernyataan.  Sedangkan  tingkat  kesukaran  soal dikelompokkan berdasarkan struktur matematika (semantik) seperti dalam tabel berikut.

## Tabel 1. Rubrik Penilaian Tes Tingkat Kemampuan Siswa Memecahkan Masalah secara Individu
No Karakteristik Soal Nilai 1. Kemampuan memahami masalah a.  Kemampuan membuat soal  Mahasiswa tidak membuat soal
 Soal dapat dijawab langsung dari informasi yang diberikan dan soal dapat dijawab tanpa menggunakan langkah-langkah
 Soal tidak dapat dijawab langsung dari informasi yang diberikan dan hanya diperlukan satu langkah penyelesaian untuk menjawab soal  Soal tidak dapat dijawab langsung dari informasi yang diberikan dan hanya diperlukan dua langkah penyelesaian untuk menjawab soal
 Soal tidak dapat dijawab langsung dari informasi yang diberikan dan hanya diperlukan tiga langkah penyelesaian untuk menjawab soal
 Soal tidak dapat dijawab langsung dari informasi yang diberikan dan hanya diperlukan empat atau lebih langkah penyelesaian untuk menjawab soal
0
1 2 3 4 5

## b.  Kemampuan menjawab soal
 Mahasiswa tidak menulis hal yang diketahui dan ditanyakan
 Mahasiswa hanya menulis hal yang diketahui namun tidak lengkap  Mahasiswa menulis hal yang diketahui secara lengkap  Mahasiswa hanya menulis hal yang ditanyakan namun tidak lengkap  Mahasiswa menulis hal yang ditanyakan secara lengkap 0 1 2 1 2
2. Kemampuan membuat rencana penyelesaian
 Mahasiswa tidak mengubah soal kebentuk matematika atau menulis rumus
 Mahasiswa dapat mengubah soal kedalam model matematika  Mahasiswa menuliskan rumus yang akan ditanyakan 0 1 1
3. Kemampuan melaksanakan rencana penyelesaian
 Mahasiswa tidak mengganti variabel pada rumus dengan angka yang sesuai dan tidak melakukan pengerjaan operasi matematis selanjutnya
 Mahasiswa mengganti variabel pada rumus dengan angka yang sesuai
 Mahasiswa mengganti variabel pada rumus dengan angka yang sesuai beserta besarannya  Mahasiswa melakukan pengerjaan operasi matematis namun keliru dan tidak sampai pada hasil akhir  Mahasiswa melakukan pengerjaan operasi matematis secara benar namun tidak sampai pada hasil akhir  Mahasiswa melakukan pengerjaan operasi matematis secara benar dan sampai pada hasil akhir 0 1 2 1 2 3 4. Kemampuan  mengembalikan  jawaban  kedalam konteks soal yang ditanyakan
 Mahasiswa tidak menuliskan kesimpulan jawaban  Mahasiswa menuliskan kesimpulan jawaban namun kurang tepat  Mahasiswa menuliskan kesimpulan jawaban dengan benar 0 1 2 Nilai Maksimal 18 Kelebihan  dari Problem  Posing adalah (1) dapat mendidik mahasiswa berpikir kritis dan aktif  dalam  pembelajaran,  (2)  perbedaan pendapat  antara  mahasiswa  dapat  diketahui sehingga  mudah  diarahkan  pada  diskusi  yang sehat,  (3)  belajar  menganalisis  suatu  masalah, (4)  mendidik  mahasiswa  untuk  percaya  diri. Hariati (2011) mengungkapkan terdapat beberapa  kekurangan  dari Problem  Posing yaitu:  (1)  tidak  setiap  pertanyaan  yang  diajukan oleh  siswa  merupakan  suatu  pertanyaan  yang berbobot  karena  pertanyaan  berkualitas  tidak muncul begitu saja, (2) perlu waktu untuk belajar mengajukan  pertanyaan  yang  baik,  (3)  untuk mengajukan  suatu  pertanyaan  yang  berkualitas perlu banyak latihan.

## C. Hubungan Problem  Posing dengan
Pemahaman Konsep Teori Bilangan
Ketika mahasiswa membuat soal, mahasiswa  sebelumnya  harus  memahami  soal dengan  baik. Mengingat soal  yang  dibuat harus diselesaikan,  tentu  mahasiswa  akan  berusaha untuk dapat membuat perencanaan penyelesaian  yang  dapat  berupa  pembuatan model
matematika untuk kemudian menyelesaikannya.
Pemahaman  konsep  Teori  Bilangan yang  dimaksud  dalam  penelitian  ini  adalah
kemampuan  mahasiswa  dalam  memecahkan soal  atau  membuktikan  teorema  dalam  Teori Bilangan yang mengikuti tahapan: (a) memahami  masalah  yaitu  mengungkapkan  apa yang  diketahui  dan  ditanyakan  dalam  soal,  (b) membuat  rencana  penyelesaian  yang  dapat berupa  model  matematika,  (c)  melaksanakan rencana  penyelesaian  sehingga  mendapat jawaban  dari  soal  tersebut,  (d)  mengembalikan jawaban kedalam konteks soal yang ditanyakan.
Dalam memecahkan soal atau membuktikan  teorema  dalam  Teori  Bilangan, pembuatan soal merupakan salah satu alternatif dalam  menguatkan  kemampuan  pemecahan masalah  Teori  Bilangan  dan Problem  Posing dapat menjadi tolak ukur kemampuan mahasiswa  dalam  pemahaman  konsep  Teori Bilangan.

## III. METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian
Jenis  penelitian  ini  adalah  penelitian tindakan  kelas  ( classroom  action  research ). Penelitian  tindakan  kelas  merupakan  proses investigasi  terkendali  yang  berdaur  ulang  dan bersifat  reflektif  mandiri  yang  dilakukan  oleh dosen  atau  guru  yang  memiliki  tujuan  untuk melakukan  perbaikan  terhadap  sistem,  cara kerja,  proses,  isi,  kompetensi,  atau  situasi
pembelajaran  (Susilo,  2009).  Faktor-faktor  yang diselidiki  dalam  penelitian  ini  meliputi  faktor mahasiswa  meliputi  aktivitas  dan  pemahaman konsep mahasiswa dalam memecahkan masalah  Teori  Bilangan  melalui  penerapan Problem  Posing dan  faktor  aktivitas  dosen dalam  keterlaksanaan  pembelajaran  melalui penerapan Problem Posing dalam
pembelajaran.
Penelitian  ini  dilaksanakan  dalam  dua siklus  disesuaikan  dengan  cakupan  materi Keterbagian  pada  matakuliah  Teori  Bilangan. Setiap siklus meliputi tahapan-tahapan kegiatan, yaitu  perencanaan,  pelaksanaan  tindakan, observasi, evaluasi, dan refleksi.
1. Perencanaan Pada tahap perencanaan, peneliti melakukan  kegiatan  yang  diperlukan  untuk mendukung kelancaraan pelaksanaan penelitian,  yaitu:  menyusun  RPP  yang berbasis Problem Posing , menyusun lembar  kerja  mahasiswa  (LKM)  yang mendukung RPP, menyusun lembar observasi  aktivitas  mahasiswa  dan  dosen, dan  menyusun  soal  evaluasi  untuk  tiap siklus penelitian.

## 2. Pelaksanaan Tindakan
Pada  tahap  pelaksanaan  tindakan,
peneliti melaksanakan pembelajaran berbasis Problem Posing . Kegiatan pembelajaran  dilakukan  dalam  tiga  siklus, dengan  masing-masing  siklus  terdiri  atas tiga  pertemuan.  Pada  siklus  I,  materi  yang dibahas  adalah  relasi  keterbagian  pada pertemuan  pertama,  kemudian  evaluasi siklus I. Pada siklus II, materi yang dibahas adalah  faktor  persekutuan  terbesar  (FPB) dengan  tindakan  perbaikan  yang  dilakukan setelah refleksi dari siklus I. Pada siklus III, materi  yang  dibahas  adalah  kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dengan tindakan  perbaikan  yang  dilakukan  setelah refleksi dari siklus I dan II.
3. Tahap Observasi dan Evaluasi
Kegiatan  observasi  dilakukan  selama berlangsungnya pembelajaran dikelas
untuk mengetahui  aktivitas mahasiswa  dan dosen selama proses pembelajaran.
Komponen  pengamatan  terhadap  aktivitas dosen, meliputi sejauh mana prinsip-prinsip pembelajaran  dengan Problem  Posing diterapkan  dalam  proses  pembelajaran. Sedangkan  aktivitas  mahasiswa  bertujuan untuk mengetahui kesesuaian antara tindakan  yang  dilakukan  dosen  dengan
aktivitas  mahasiswa  dalam  pembelajaran dengan Problem Posing .

## 4. Tahap Refleksi
Pada  tahap  ini  yang  dilakukan  adalah merefleksi  tindakan  yang  telah  dilakukan dengan  melihat  hasil  observasi  dan evaluasi untuk mengidentifikasi kekurangan yang  ada  dan  menganalisisnya  kemudian dilakukan  langkah-langkah  perbaikan  pada siklus selanjutnya.

## B.  Analisis Data
1. Data Tingkat Pemahaman Konsep

## Mahasiswa dalam Memecahkan Masalah Teori Bilangan
Setelah  diperoleh  data  dari  tes  yang dilakukan,  tingkat  pemahaman  mahasiswa dalam  memecahkan  masalah  dalam  Teori Bilangan dianalisis sebagai berikut:
dengan :   skor kemampuan mahasiswa memecahkan masalah  dalam  skala sampai  dengan :   skor kemampuan pemecahan masalah mahasiswa :  skor  ideal  kemampuan pemecahan masalah mahasiswa. Sedangkan menentukan kemampuan mahasiswa  memecahkan  masalah  secara klasikal sebagai berikut:
dengan
:  kemampuan  mahasiswa memecahkan masalah secara klasikal
:  jumlah  mahasiswa  yang mendapatkan nilai
: jumlah mahasiswa.
2. Data Aktivitas Mahasiswa dan Dosen Data  aktivitas  mahasiswa  dianalisis dengan menilai setiap deskriptor dari setiap indikator aktivitas belajar, kemudian menentukan  rata-rata  skor  aktivitas  belajar mahasiswa  dan  dikonsultasikan  dengan pedoman  kategori  aktivitas  belajar  sebagai berikut:

## Tabel 2. Pedoman kategori aktivitas belajar
Interval Kategori Sangat aktif Aktif Cukup Aktif
Kurang Aktif
Sangat Kurang Aktif

## C.  Indikator Keberhasilan
Indikator  keberhasilan  dari  penelitian  ini adalah a. aktivitas  belajar  mahasiswa  dikatakan meningkat jika terjadi peningkatan rata-rata skor  aktivitas  untuk  setiap  siklusnya  dan minimal berkategori aktif.
b. Pemahaman
mahasiswa dalam memecahkan  masalah  Teori  Bilangan meningkat hingga rata-rata skor kemampuan pemahaman pemecahan masalah mahasiswa lebih besar atau sama dengan dan ketuntasan klasikal mencapai .

## IV.  HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A.  Hasil Penelitian
1. Pelaksanaan Tindakan Siklus I a.  Perencanaan Perencanaan  pada  siklus  I  meliputi penyusunan
rencana pelaksanaan pembelajaran, menyusun instrumen pembelajaran  berbasis Problem  Posing , menyiapkan  tes  untuk  mengetahui  tingkat kemampuan mahasiswa dalam pemecahan masalah,  menyiapkan  pedoman  penilaian tes, menyiapkan  lembar  observasi  aktivitas mahasiswa dan dosen.
b.  Pelaksanaan
Pelaksanaan  tindakan  pada  siklus  I pertemuan  pertama  membahas  mengenai definisi dan sifat-sifat dasar dalam keterbagian.  Dosen  membuka  pelajaran dengan  salam  dan  absensi,  dosen  juga memotivasi  siswa  dengan  memberikan semangat.  Selanjutnya  dosen  memberikan apersepsi  dengan  mengingatkan  kembali mengenai  sifat-sifat  dasar  dari  himpunan bilangan bulat
terhadap
operasi penjumlahan,  pengurangan,  perkalian,  dan pembagian.
Setelah  apersepsi,  dosen  menanyakan kepada  mahasiswa  mengenai  keterbagian dengan sisa dan tanpa sisa dalam bilangan bulat.  Beberapa  mahasiswa  memberikan jawaban namun
belum maksimal.
Kemudian  dosen  mengklarifikasi  jawaban mahasiswa dan memperkuat dengan menjelaskan  definisi,  notasi,  dan  sifat-sifat dasar  keterbagian  melalui  slide  presentasi yang telah dipersiapkan.
Setelah menyajikan informasi mengenai  keterbagian,  dengan  bantuan
slide  presentasi  dosen  menginformasikan dengan  singkat  mengenai  definsi  dan tahapan  model Problem  Posing .  Dosen juga  menjelaskan  cara  membuat  soal  dari situasi  (teorema)  seperti  teorema  berikut ini:
Teorema  1.: Jika dan ,  maka
untuk setiap
Untuk  membuktikan  teorema  ini,  akan sangat membantu sekali jika dapat disederhanakan dengan menyusun pertanyaan-pertanyaan  sederhana  yang memudahkan mahasiswa dalam membuktikan teorema-teorema dalam
keterbagian  seperti  beberapa  pertanyaan berikut: Pertanyaan: (1)  Apa  artinya ?  (2)  Apa artinya ?  (3)  Apa  artinya ?  (4) Bilangan  bulat yang  mana  sehingga merupakan kelipatan  ? Jawaban: (1)  Terdapat sehingga ,  (2)  Terdapat sehingga ,  (3)  Terdapat sehingga , (4)  Karena dengan Pembuktian  dalam  Teorema  1  sebagai berikut: Bukti: Diberikan dan .  Ini  berarti terdapat sehingga ,  dan terdapat sehingga .  Akan ditunjukkan , yaitu dengan menunjukkan terdapat sehingga . Perhatikan bahwa: dengan .  Sehingga terdapat sehingga .  Dengan kata lain . Untuk  melihat  kemampuan  mahasiswa dalam membuktikan teorema-teorema dalam keterbagian, dosen membagi mahasiswa kedalam enam kelompok heterogen  yang  terdiri  dari  tiga  sampai empat mahasiswa. Setiap kelompok diberikan  lembar  kerja  mahasiswa  (LKM) yang  berisi  satu  teorema  yang  berbeda- beda setiap kelompoknya. Kemudian untuk membuktikan  teorema  yang  diberikan, mahasiswa  berdiskusi  dengan  temannya untuk menyusun langkah pembuktian dengan menyederhanakan teorema menjadi  beberapa  pertanyaan-pertanyaan sederhana  yang  membantu  mahasiswa dalam  membuktikan  teorema  seperti  salah satu kelompok berikut:
Gambar 1.
Pada  pertemuan  kedua  di  siklus  I, dosen  menukar  secara  acak  pertanyaan dari  masing-masing  kelompok.  Setiap kelompok  harus  menjawab  pertanyaan yang  disusun  oleh  kelompok  lain  dan kemudian
membuktian teorema
berdasarkan pertanyaan yang disusun oleh kelompok yang lain, seperti berikut ini.
Gambar 2.
Kemudian
mahasiswa mempresentasikan  hasil  diskusi  berupa jawaban-jawaban  atas  pertanyaan  seputar teorema yang diperoleh dan kelompok yang lain  memberi  tanggapan  berupa  masukan maupun  pertanyaan  jika  terdapat  bagian pembuktian  yang  tidak  dipahami.  Dosen memberikan  penguatan  dan  penegasan jawaban  diakhir  diskusi  dan  bersama menarik  kesimpulan  apa  yang  telah dipelajari.
c.  Hasil Observasi Hasil observasi aktivitas belajar mahasiswa  siklus  I  disajikan  pada  tabel berikut:

## Tabel 3. Hasil observasi aktivitas belajar mahasiswa siklus I
No Indikator Rata-Rata skor Pert. 1  Pert. 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Kesiapan mahasiswa dalam mengikuti pembelajaran Aktivitas  mahasiswa dalam apersepsi Aktivitas  mahasiswa dalam  mengerjakan LKM Aktivitas  mahasiswa dalam membuat soal dan penyelesaiannya Aktivitas  mahasiswa dalam mempersentasikan hasil kerja kelompok Partisipasi mahasiswa dalam menyimpulkan  hasil belajar 2,0 2,0 2,0 2,3 2,0 2,0 2,3 2,0 2,0 2,3 2,0 2,0 Jumlah skor pertemuan 12,3 12,6 Rata-rata skor 12,45 Kategori aktivitas Aktif

## d.  Evaluasi
Evaluasi  dilakukan  pada  6  November 2015  dengan  jumlah  mahasiswa  yang mengikuti tes adalah 19 orang dengan nilai tertinggi  adalah  100  sedangkan  nilai
terendah  adalah  37,5.  Rata-rata  kelas diperoleh  sebesar  68,75  dimana  sebanyak 50,0%  mahasiswa  memperoleh  nilai  diatas 70.

## e.  Refleksi
Proses pembelajaran mata kuliah Teori Bilangan  pada  siklus  I  difokuskan  agar mahasiswa dapat memahami materi keterbagian dan mengaplikasikan sifat-sifat keterbagian  dalam  pembuktian  teorema- teorema  dalam  keterbagian.  Dari  hasil pengamatan,  dosen  sudah  menerapkan pembelajaran  sesuai  dengan  langkah- langkah Problem Posing . Dari hasil tindakan  yang  sudah  dilaksanakan,  masih perlu  adanya  perbaikan-perbaikan  sebagai berikut:
1.  Dalam  menjelaskan  materi  sebaiknya dosen  memperkuat  definisi  dengan memberikan    lebih  banyak  contoh- contoh yang relevan untuk menegaskan  syarat-syarat  keterbagian sehingga melekat dalam benak mahasiswa  yang  selanjutnya  nanti banyak  digunakan  dalam  pembuktian teorema lanjut dalam keterbagian.
2.  Dalam penyusunan soal ketika
membuktian teorema, mahasiswa terlebih  dahulu  harus  memahami  fakta apa yang diberikan dan apa yang akan dibuktikan  dalam  teorema,  kemudian berdiskusi dengan teman sekelompoknya untuk menyusun pertanyaan-pertanyaan yang mengarah dalam pembuktian teorema.
3.  Untuk  LKM  yang  berisi  teorema  yang cukup  kompleks,  dosen  sebaiknya menambahkan  catatan-catatan  kecil untuk  membantu  pembuktian  teorema yang  memanfaatkan  teorema  lain dalam pembuktiannya.
2. Pelaksanaan Tindakan Siklus II a.  Perencanaan Perencanaan tindakan siklus II merupakan  rancangan  yang  telah  disusun berdasarkan hasil refleksi siklus I. Langkah- langkah    perencanaan  siklus  II  meliputi penyusunan rencana
pelaksanaan pembelajaran,
menyusun instrumen pembelajaran  berbasis Problem  Posing , menyiapkan  tes  untuk  mengetahui  tingkat kemampuan mahasiswa dalam pemecahan masalah,  menyiapkan  pedoman  penilaian tes, menyiapkan  lembar  observasi  aktivitas mahasiswa dan dosen.

## b.  Pelaksanaan
Pada  siklus  II  membahas  mengenai definisi dan sifat-sifat dalam faktor persekutuan  terbesar  (FPB)  dan  kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Dosen membuka  pelajaran  dengan  mengingatkan kembali  definisi  keterbagian  dan  beberapa teorema  keterbagian  yang  nanti  akan digunakan  dalam  pembuktian  sifat-sifat dalam FPB dan KPK.
Selanjutnya, dosen menanyakan kepada  mahasiswa  mengenai  FPB  dan KPK  yang    telah  dikenal  semenjak  di sekolah dasar. Beberapa mahasiswa masih mengingat  dengan  baik  definisi  FPB  dan KPK.    Kemudian  dosen  menegaskan jawaban  mahasiswa  dengan  mengaitkan FPB  dan  KPK  dengan  keterbagian  yang telah dipelajari sebelumnya. Dengan bantuan  slide  presentasi  yang  telah disusun,  dosen  menjelaskan  definisi  dan beberapa  contoh  FPB  dan  KPK  dalam bilangan bulat.
Setelah menyajikan informasi mengenai  FPB  dan  KPK,  dosen  kembali menjelaskan  cara  membuat  soal  dari beberapa  teorema  yang  berhubungan dengan FPB dan KPK sebagai berikut ini:
Teorema  2.1: Jika ,  maka untuk setiap .
Untuk  membuktikan  teorema  ini,  disusun pertanyaan-pertanyaan  sederhana  yang memudahkan  mahasiswa  dalam  proses pembuktian:
Pertanyaan: (1)  Apa  artinya ? (2) Apa artinya ? (3)  Jika merupakan  faktor  persekutuan  dari dan sedangkan merupakan  faktor persekutuan  terbesar  dari dan ,  apa yang bisa disimpulkan dari dan ?
Jawaban: (1)  Ini  berarti dan ,  jika
terdapat faktor  persekutuan  dari dan
maka
,  (2)  Ini  berarti dan ,  jika terdapat faktor  persekutuan  dari dan maka ,  (3)  diperoleh
atau  terdapat sehingga . Pembuktian  dalam  Teorema  2.1  sebagai berikut: Bukti: Diberikan . Akan ditunjukkan .  Misalkan ,  dari  definisi  FPB  berarti dan .
Karena maka terdapat sehingga atau . Dengan cara yang sama  terdapat sehingga atau
.  Ini  berakibat merupakan
faktor  persekutuan  dari dan .  Karena ,  maka yaitu  terdapat sehingga . Sehingga haruslah ,  mengingat maka . Dengan kata lain yang membuktikan teorema ini.
Untuk  melihat  kemampuan  mahasiswa dalam membuktikan teorema-teorema dalam  FPB  dan  KPK,  dosen  kembali membagi mahasiswa kedalam enam kelompok  heterogen  yang  terdiri  dari  tiga sampai empat mahasiswa. Setiap kelompok diberikan lembar kerja mahasiswa (LKM) yang berisi satu teorema yang  berbeda-beda  setiap  kelompoknya. Kemudian  untuk  membuktikan  teorema yang  diberikan,  mahasiswa  berdiskusi dengan temannya untuk menyusun langkah pembuktian dengan menyederhanakan teorema  menjadi  beberapa  pertanyaan- pertanyaan  sederhana  yang  membantu mahasiswa  dalam  membuktikan  teorema, seperti salah satu kelompok berikut:
Gambar 3.
Jawaban yang diberikan oleh kelompok yang lain, seperti berikut ini.
Gambar 4. Kemudian mahasiswa
mempresentasikan  hasil  diskusi  berupa jawaban-jawaban  atas  pertanyaan  seputar teorema yang diperoleh dan kelompok yang lain  memberi  tanggapan  berupa  masukan maupun  pertanyaan  jika  terdapat  bagian pembuktian  yang  tidak  dipahami.  Dosen memberikan  penguatan  dan  penegasan jawaban  diakhir  diskusi  dan  bersama menarik  kesimpulan  apa  yang  telah dipelajari.
c.  Hasil Observasi
Hasil  observasi  aktivitas  belajar mahasiswa  siklus  II  disajikan  pada tabel berikut:
Tabel 4. Hasil observasi aktivitas belajar mahasiswa siklus II No Indikator Rata-Rata skor Pert. 1 Pert. 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Kesiapan  mahasiswa dalam mengikuti pembelajaran Aktivitas  mahasiswa dalam apersepsi Aktivitas  mahasiswa dalam  mengerjakan LKM Aktivitas  mahasiswa dalam  membuat  soal dan penyelesaiannya Aktivitas  mahasiswa dalam mempersentasikan hasil kerja kelompok Partisipasi mahasiswa dalam menyimpulkan  hasil belajar 2,3 2,0 2,3 2,3 2,0
2,0
2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 Jumlah skor pertemuan 12,9 13,8 Rata-rata skor 13,35 Kategori aktivitas Aktif

## d.  Hasil Evaluasi
Evaluasi  dilakukan  pada  11  November 2015  dengan  jumlah  mahasiswa  yang mengikuti tes adalah 18 orang dengan nilai tertinggi  adalah  100  sedangkan  nilai terendah  adalah    62,5.  Rata-rata  kelas diperoleh sebesar  70,06 dimana sebanyak 66,67% mahasiswa memperoleh nilai diatas 70.
e.  Refleksi Proses pembelajaran mata kuliah Teori Bilangan  pada  siklus  II  difokuskan  agar mahasiswa  dapat  memahami  materi  faktor persekutuan  terbesar  (FPB)  dan  kelipatan persekutuan
terkecil (KPK)
dan mengaplikasikan  sifat-sifat  FPB  dan  KPK dalam  pembuktian  teorema-teorema  yang memuat  sifat  lanjut  FPB  dan    KPK.  Dari hasil pengamatan, dosen sudah menerapkan  pembelajaran  sesuai  dengan langkah-langkah Problem Posing . Dari hasil yang  dicapai  pada  siklus  II  terjadi peningkatan  aktivitas  dan  hasil  belajar tetapi belum mencapai indikator
keberhasilan  yang  diharapkan.    Karena semua  siklus  telah  dilaksanakan  maka penelitian  dihentikan  di  siklus  II  walaupun masih belum mencapai indikator keberhasilan.

## B.  Pembahasan
Indikator  ketercapaian  dalam  penelitian ini adalah peningkatan aktivitas dan hasil belajar berupa pemahaman mahasiswa dalam memecahkan masalah Teori Bilangan.  Aktivitas belajar  mahasiswa  dikatakan  meningkat  jika terjadi peningkatan rata-rata skor aktivitas untuk setiap  siklusnya  dan  minimal  berkategori  aktif. Sedangkan  untuk  pemahaman  mahasiswa dalam  memecahkan  masalah  Teori  Bilangan ditetapkan  lebih  besar  atau  sama  dengan dan ketuntasan klasikal mencapai . Nilai ini diambil berdasarkan hasil observasi pra tindakan yang dilakukan dosen pada matakuliah sebelumnya dan juga mempertimbangkan referensi  dan  fasilitas  pembelajaran  yang tersedia.
Dari pelaksanaan tindakan pada siklus I dan  II  menunjukkan  peningkatan  hasil  belajar dan  aktivitas  baik  dalam  kesiapan  mahasiswa dalam  mengikuti  pembelajaran,  proses  diskusi, hingga mempresentasikan hasil kerja kelompoknya.  Pada  siklus  I,  rata-rata  skor aktivitas  sebesar  12,45  dengan  kategori  aktif. Pada  siklus  II  terjadi  peningkatan  aktivitas dimana  rata-rata  skor  13,35  dengan  kategori aktif.  Sedangkan  hasil  belajar  pada  siklus  I diperoleh  rata-rata  kelas  sebesar  68,75  dimana sebanyak  50%  mahasiswa  memperoleh  nilai diatas  70.  Pada  siklus  II  terjadi  peningkatan hasil  belajar  dengan  rata-rata  kelas  sebesar 70,06  dimana  sebanyak  66,67%  mahasiswa memperoleh  nilai  diatas  70  meskipun  nilai  ini belum  mencapai  indikator  keberhasilan  yang ditetapkan.
Penerapan model Problem Posing pada materi  keterbagian  sebenarnya  cukup  dapat memberikan  peningkatan  aktivitas  dan  hasil belajar mahasiswa. Secara individu, mahasiswa mulai  belajar  mengkomunikasikan  ide  atau pendapatnya  ketika  merancang  soal.  Pada proses  merancang  soal  sebagai  tahapan Problem Posing , mahasiswa diharuskan memahami permasalah terlebih dahulu sebelum membentuk  soal.  Dalam  memahami  masalah mahasiswa  menjadi  terbiasa  membaca  kembali referensi  yang  diberikan  sehingga  definisi  dan sifat-sifat  dasar  keterbagian  tertanam  dengan baik dalam pikiran mereka sehingga mahasiswa dapat membentuk soal berdasarkan
permasalahan  yang  diberikan.  Ini  diperlukan mengingat  Teori  Bilangan  pada  dasarnya membahas  mengenai  konsep  bilangan  bulat yang  termuat  dalam  definsi  dan  teorema- teorema.  Pada  tahap  evaluasi  siklus  II  terdapat dua  orang  mahasiswa  yang  tidak  dapat  hadir dikarenakan sakit dan juga dikarenakan keterbatasan  waktu  dalam  penelitian  ini,  dosen belum  bisa  melakukan  evaluasi  susulan  untuk kedua  mahasiswa  tersebut  sehingga  penelitian ini belum dapat mencapai indikator keberhasilan yang telah ditetapkan.

## V. KESIMPULAN DAN SARAN A.  Kesimpulan
Penerapan
Problem Posing masih
belum dapat meningkatkan kemampuan mahasiswa dalam memecahkan masalah dalam Teori  Bilangan  dimana  pada  siklus  I,  rata-rata skor  aktivitas  sebesar  12,45  dengan  kategori aktif dan meningkat pada siklus II sebesar 13,35 dengan  kategori  aktif.  Sedangkan  hasil  belajar pada  siklus  I  diperoleh  rata-rata  kelas  sebesar 68,75  dimana  sebanyak  50%  mahasiswa memperoleh nilai diatas 70. Pada siklus II terjadi peningkatan hasil belajar dengan rata-rata kelas sebesar  70,06  dimana  sebanyak  66,67% mahasiswa  memperoleh  nilai  diatas  70  dimana nilai  ini  belum  mencapai  indikator  keberhasilan yang ditetapkan. Ada beberapa faktor penyebab belum  tercapainya  indikator  keberhasilan  ini salah  satunya  keterbatasan  waktu  penelitian dan  ada  beberapa  mahasiswa  yang  tidak  hadir ketika evaluasi dilakukan.

## B.  Saran
Untuk dapat membuat soal dan menjawab  pembuktian  teorema  diperlukan latihan  yang  lebih  banyak  dengan  memberikan porsi  waktu  yang  cukup  untuk  menerapkan model Problem Posing .

## DAFTAR PUSTAKA
Budiasih,  E.  &  Kartini.  2002. Penerapan Pendekatan Problem Posing (Pembentukan Soal) pada Topik Perhitungan  Kimia  di  Kelas  II  SMU Cawu  I .  Proceeding  National  Science
Education Seminar Malang: JICA- IMSTEP. Kadir. 2011. Implementasi Pendekatan Pembelajaran  Problem  Posing  dan Pengaruhnya  Terhadap  Hasil  Belajar Matematika .  Jurnal  Pendidikan  dan Kebudayaan, 17(2).
Muhsetyo, Gatot. 1997. Teori Bilangan . Jakarta : PGSM.
Silver,  E.  &  Cai,  J.  1996. An  Analysis  of Aritmatic  Problem  Posing  by  Middle School  Students .  Journal  for  Research In Mathematics Education, V.27.
Sudjana.  1996. Metode  Statistik .  Bandung  : Tarsito.
Sukirman.  2006. Pengantar  Teori  Bilangan . Yogyakarta : Adhi Publisher.
Susilo, H., dkk. 2009. Penelitian Tindakan Kelas.
Bayumedia: Malang. Suyatno. 2009. Menjelajah Pembelajaran Inovatif .  Sidoarjo:  Masmedia  Buana Pustaka.