Vol. 6, No. 1 (2024), pp. 11-16 p-ISSN 2656-6303 – e-ISSN 2656-9876 URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
Bidang Penelitian : Tanggal Masuk: 18–01-2024; Revisi: 04-03-2024 Diterima: 19-03-2024

## MENENTUKAN INVERS DRAZIN DENGAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON
Nora Yoshinta Sigalingging 1* , Fransiskus Fran 2 , Nilamsari Kusumastuti 3 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Tanjungpura 1,2,3 norayoshinta.s@student.untan.ac.id *
Abstrak – Setiap  matriks  tidak  selalu  memiliki invers.  Matriks  yang  memiliki  invers  disebut matriks  non-singular  dan  matriks  yang  tidak memiliki  invers  disebut  matriks  singular. Tetapi,  matriks  singular  dapat  ditentukan invers tergeneralisasinya. Invers tergeneralisasi  adalah  konsep  aljabar  linear yang  digunakan  dalam  menentukan  invers dari  matriks  singular.  Salah  satu  invers tergeneralisasi  yaitu  invers  Drazin  dari  suatu matriks  singular 𝑪 dilambangkan 𝑪 𝑫 .  Pada penelitian  ini  membahas  cara  menentukan invers  Drazin  yang  merupakan  salah  satu invers  tergeneralisasi  dengan  teorema  Cayley Hamilton. Langkah-langkah untuk menentukan  invers  Drazin  menggunakan teorema  Cayley  Hamilton,  dimulai  dengan mencari  indeks  suatu  matriks  singular 𝑪 . Indeks  suatu  matriks  merupakan  bilangan bulat  non-negatif  terkecil 𝒑 yang  memenuhi kondisi 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑪 𝒑 ) = 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑪 𝒑+𝟏 ) . Selanjutnya, dengan diperoleh indeks matriks dapat  ditentukan  matriks 𝑨 dan 𝑴 dengan menggunakan koefisien polinomial karakteristik  dari  matriks 𝐂 .  Matriks 𝑨 adalah  matriks  yang diperoleh  dari 𝒂 𝒑+𝟏 𝑪 𝒑 + 𝒂 𝒑 𝑪 𝒑−𝟏 + ⋯ + 𝒂 𝟐 𝑪 + 𝒂 𝟏 𝑰 𝒏 dan 𝑴 adalah matriks yang diperoleh dari −𝑪 𝒏−𝟐 − 𝒂 𝒏−𝟏 𝑪 𝒏−𝟑 − ⋯ − 𝒂 𝒑+𝟐 𝑪 𝒑 .  Untuk  menentukan invers  Drazin  dapat  dihitung  dengan 𝑪 𝑫 = 𝑨 −𝟏 𝑴 .
Kata Kunci – Invers  Drazin, Teorema  Cayley Hamilton, Invers Tergeneralisasi, invers matriks singular, matriks 𝒏 × 𝒏 .

## I. PENDAHULUAN
Invers  matriks  merupakan  salah  satu konsep  penting  dalam  aljabar  linear.  Invers matriks  digunakan  untuk  menyelesaikan berbagai  masalah  dalam  matematika,  fisika, teknik  dan  bidang  ilmu  lainnya  seperti menyelesaikan  sistem  persamaan  linear, perhitungan kinematika dan dinamika partikel,  perhitungan  stuktur  bangunan  dan jembatan,  pengelolaan  sinyal  dan  lain sebagainya.  Namun,  perlu  diperhatikan bahwa  tidak  semua  matriks  memiliki  invers. Tetapi,  matriks  singular  dapat  ditentukan invers  tergeneralisasinya  [1].  Matriks  yang memiliki invers disebut matriks non-singular dan  matriks  yang  tidak  memiliki  invers disebut  matriks  singular.  Matriks  singular memiliki  determinan  nol  dan  tidak  dapat diselesaikan inversnya dengan metode invers biasa.
Invers tergeneralisasi terbagi dalam beberapa  jenis,  diantaranya  adalah  invers Moore-Penrose  [2],  invers  satu  sisi  [3], invers  Bott-Duffin  [4]  dan  invers  Drazin. Invers  Drazin  pertama  kali  diperkenalkan oleh  Michael  P  Drazin  pada  tahun  1985. Pengaplikasian invers Drazin dapat digunakan  pada  rantai  Markov,  kriptografi dan  sistem  persamaan  linear  [5].  Ada beberapa  metode  yang  digunakan  untuk menentukan  menentukan  invers  Drazin, diantaranya  metode  Leverrier  Faddev  [6], metode semi iterative tipe BI-CG [7], bentuk kanonik  Jordan  [5]  dan  teorema  Cayley Hamilton  [8].  Penelitian  ini  menganalisis
cara  menentukan  invers  Drazin  dengan teorema Cayley Hamilton.
Untuk  menentukan  invers  Drazin  dengan teorema  Cayley  Hamilton  dapat  dilakukan dengan  memenuhi  beberapa  kondisi  khusus [9].  Invers  Drazin  dari  matriks 𝐶 berordo 𝑛 × 𝑛 atas 𝐶 diperoleh  dengan  menentukan nilai  karakteristik  dari  matriks 𝐴 dan multiplisitas aljabar dari masing-masing nilai karakteristik  [5].  Adapun  langkah-langkah dalam  menentukan  matriks  invers  Drazin dengan menggunakan teorema Cayley Hamilton  yaitu  langkah  pertama,  dicari indeks 𝑝 dari  suatu  matriks  yang  memenuhi kondisi  bahwa 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝+1 ) dengan 𝑝 ≤ 𝑛 − 1 .  Langkah  selanjutnya, menentukan  koefisien 𝑎 𝑘 pada  polinomial karakteristik  dari  matriks 𝐶 .  Setelah  itu, mencari  matriks 𝐴 .  Kemudian,  menentukan koefisien 𝑏 𝑘 pada  polinomial  karakteristik dari  matriks 𝐴 .  Selanjutnya,  menentukan invers  matriks 𝐴 −1 dengan  teorema  Cayley Hamilton.  Setelah  itu,  menentukan  matriks 𝑀 .  Langkah  terakhir  adalah  menentukan matriks invers Drazin 𝐶 𝐷 [9].

## II. LANDASAN TEORI
Berikut  teori-teori  pendukung  dalam pembahasan  menentukan  matriks  Invers Drazin dengan Teorema Cayley Hamilton.
II.1  Invers Matriks Definisi II.1 [10] Diberikan 𝐴 matriks 𝑛 × 𝑛 dan  jika  terdapat  matriks 𝐵 𝑛 × 𝑛 yang memenuhi 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 ,  maka  matriks 𝐴 disebut invertible dan 𝐵 disebut  sebagai invers dari 𝐴 .
II.2 Rank dan Nulitas Definisi  II.2 [11]  Rank  dari  suatu  matriks berordo 𝑛 × 𝑛 adalah jumlah maksimum dari vektor  baris  atau  vektor  kolom  yang  bebas linear.  Rank  dari  suatu  matriks  merupakan dimensi  dari  vektor  baris  atau  vektor  kolom non-zero pada matriks tersebut.
Definisi II.3 [11] Nulitas adalah dimensi dari ruang  nol (nullspace) pada  suatu  matriks. Ruang  nol  adalah  himpunan  semua  vektor kolom 𝑥 yang memenuhi persamaan
homogen 𝐴𝑥 = 0 .  Nulitas  dinyatakan  oleh 𝑛𝑢𝑙𝑙(𝐴) .
Teorema  II.4 [10]  Diberikan  matriks 𝐴 adalah  suatu  matriks  dengan 𝑛 kolom,  maka 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) + 𝑛𝑢𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠(𝐴) = 𝑛 .

## II.3 Perpangkatan Matriks
Definisi II.5 [11] Diberikan 𝐴 adalah sebuah matriks persegi, maka pangkat bilangan bulat (𝑛) dimana 𝑛 > 0 dari 𝐴 adalah  sebagai berikut:
(1) 𝐴 0 = 𝐼 (2) 𝐴 𝑛 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 … . 𝐴 , dimana 𝐴 sebanyak 𝑛.
(3) Jika A punya invers, 𝐴 −𝑛 = (𝐴 −1 ) 𝑛 .

## II.4 Teorema Cayley Hamilton
Teorema  II.6 [12] Setiap  matriks  persegi 𝑛 × 𝑛 memenuhi persamaan karakteristiknya 𝐴 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐴 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝐴 2 + 𝑎 1 𝐴 + 𝑎 0 𝐼 = 0.
Teorema II.7 [8]
Jika persamaan karakteristik dari matriks 𝐴 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 memiliki bentuk 𝑑𝑒 𝑡[𝜆𝐼 − 𝐴] = 𝜆 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝜆 +𝑎 0 dan matriks 𝐴 punya invers, maka invers dari matriks 𝐴 memenuhi persamaan 𝑎 0 (𝐴 −1 ) 𝑛 + 𝑎 1 (𝐴 −1 ) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝐴 −1 +𝐼 𝑛 = 𝑎 0 𝐴 −𝑛 + 𝑎 1 𝐴 1−𝑛 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝐴 −1 +𝐼 𝑛 = 0

## III. PEMBAHASAN
Berikut  akan  dibahas  mengenai  invers Drazin,  teorema  Cayley  Hamilton  pada invers  Drazin,  serta  bagaimana  menentukan invers  Drazin  dari  suatu  matriks  dengan menggunakan teorema Cayley Hamilton.
III.1 Invers Drazin Definisi  III.1 [13]  Diberikan  matriks 𝐶 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 dengan  mengatakan  bilangan  bulat non-negatif 𝑝 disebut  indeks  dari  matriks 𝐶 jika memenuhi 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝+1 ) .
Teorema  III.2 [14]  Diberikan  matriks 𝐶 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 . Jika matriks 𝐶 merupakan matriks non singular  maka  indeks  dari  matriks 𝐶 adalah 0.
Definisi  III.3 [15]  Diberikan  matriks 𝐶 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 , 𝐶 𝐷 disebut  invers  Drazin  dari 𝐶 jika memenuhi kondisi-kondisi berikut:
(1) 𝐶𝐶 𝐷 = 𝐶 𝐷 𝐶 (2) 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 = 𝐶 𝐷 (3) 𝐶 𝑝+1 𝐶 𝐷 = 𝐶 𝑝 ,  dimana 𝑝 adalah  indeks matriks 𝐶 .
Adapun  teorema  yang  menunjukkan  sifat- sifat invers Drazin adalah:
Teorema  III.4 [5]  Diberikan  matriks 𝐶 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 adalah  matriks  non  singular.  Matriks 𝐶 𝐷 merupakan  invers  Drazin  dari  matriks 𝐶 jika  dan  hanya  jika  matriks 𝐶 −1 merupakan invers dari 𝐶 .
Pada  tahun  2003,  Israel  dan  Greville  telah menunjukkan bahwa invers Drazin dari suatu matriks  adalah  tunggal.  Misalkan  matriks 𝐴 dan  matriks 𝐵 adalah  invers  Drazin  dari matriks 𝐶 .  Maka,  dengan  menggunakan Definisi III.3.
𝐴 = 𝐴𝐶𝐴 = 𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴 = 𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴 = ⋯ = 𝐴(𝐶𝐴) 𝑝 = 𝐴 𝑝+1 𝐶 𝑝
Kemudian,  mengalikan 𝐴 𝑝+1 𝐶 𝑝 dengan (𝐵𝐶)
sampai (𝐵𝐶) 𝑝+1
𝐴 = 𝐴 𝑝+1 (𝐵𝐶)𝐶 𝑝 = 𝐴 𝑝+1 (𝐵𝐶𝐵𝐶)𝐶 𝑝 = ⋯ =
𝐴 𝑝+1 (𝐵𝐶) 𝑝+1 𝐶 𝑝 = 𝐵 𝑝+1 𝐶 2𝑝+1 𝐴 𝑝+1 = 𝐵 𝑝+1 𝐶 𝑝 (𝐴𝐶) 𝑝+1 = 𝐵 𝑝+1 𝐶 𝑝 (𝐴𝐶) = 𝐵 𝑝+1 𝐶 𝑝 = (𝐵𝐶) 𝑝 𝐵 = ⋯ = 𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵 =

## 𝐵𝐶𝐵 = 𝐵

## III.2  Teorema  Cayley  Hamilton  Pada Invers Drazin
Suatu  matriks  dapat  mempunyai  invers  atau tidak  berdasarkan  persamaan  karakteristiknya. Teorema  Cayley  Hamilton  dapat  digunakan unutk menentukan invers matriks yang digunakan ke invers Drazinnya. Akan ditunjukkan  teorema  tentang  teorema  Cayley Hamilton.
Teorema III.5 [9] Misalkan 𝑑𝑒 𝑡[𝜆𝐼 − 𝐶] = 𝜆 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝜆 (1)
Dimana 𝐶 𝐷 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 adalah  invers  Drazin pada matriks 𝐶 , maka persamaan karakteristiknya
(𝐶 𝐷 ) 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 (𝐶 𝐷 ) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 (𝐶 𝐷 ) 2 +𝑎 1 𝐶 𝐷 = 0 BUKTI. Pada  persamaan  (1)  peubah  fungsi 𝜆 disubstitusi  dengan  matriks 𝐶 diperolehlah persamaan karakteristik pada matriks 𝐶
𝐶 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 2 + 𝑎 1 𝐶 = 0 Selanjutnya, mengalikan sebelum dan sesudah  persamaan  dengan  matriks  invers Drazin 𝐶 𝐷 sehingga didapatlah
𝐶 𝐷 𝐶 𝑛 𝐶 𝐷 + 𝐶 𝐷 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−1 𝐶 𝐷 + ⋯ + 𝐶 𝐷 𝑎 2 𝐶 2 𝐶 𝐷 + 𝐶 𝐷 𝑎 1 𝐶𝐶 𝐷 = 0 (2)
Pada Definisi III.3 diketahui bahwa
𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 = 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 = 𝐶 𝐷 𝐶
Karena 𝐶 𝐷 𝐶 𝑘 𝐶 𝐷 = 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 𝐶 𝑘−1 = 𝐶 𝐷 𝐶 𝑘−1 (3) Sehingga  pada  Persamaan  (2)  dengan menggunakan Persamaan (3) diperoleh 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 𝐶 𝑛−1 + 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−2 + ⋯ + 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 𝑎 2 𝐶 + 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 𝑎 1 = 0 (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝐶 𝑛−1 + (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−2 + ⋯ + (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝑎 2 𝐶 + (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝑎 1 = 0 𝐶 𝐷 𝐶 𝑛−1 + 𝐶 𝐷 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−2 + ⋯ + 𝐶 𝐷 𝑎 2 𝐶 + 𝐶 𝐷 𝑎 1 = 0 (4)
Kemudian mengalikan Persamaan (4) dengan (𝐶) 𝐷 𝐶 𝐷 𝐶 𝑛−1 𝐶 𝐷 + 𝐶 𝐷 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−2 𝐶 𝐷 + ⋯ + 𝐶 𝐷 𝑎 2 𝐶𝐶 𝐷 + 𝐶 𝐷 𝑎 1 𝐶 𝐷 = 0 (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝐶 𝑛−2 + (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 + ⋯ + (𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐷 )𝑎 2 + (𝐶 𝐷 𝐶 𝐷 )𝑎 1 = 0 𝐶 𝐷 𝐶 𝑛−2 + 𝐶 𝐷 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 + ⋯ + 𝐶 𝐷 𝑎 2 +(𝐶 𝐷 ) 2 = 0 Dengan  mengulangi  sebanyak 𝑛 − 2 kali, sehingga akan memperoleh (𝐶 𝐷 ) 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 (𝐶 𝐷 ) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 (𝐶 𝐷 ) 2 + 𝑎 1 𝐶 𝐷 = 0 ∎

## III.3  Menentukan  Invers  Drazin  Suatu Matriks
Diberikan  suatu  matriks  singular 𝐶 ∈ ℝ 𝑛×𝑛 dengan indeks 𝑝 memenuhi kondisi 𝑝 ≤ 𝑛 − 1 dan persamaan karakteristiknya 𝑑𝑒 𝑡[𝜆𝐼 − 𝐶] = 𝜆 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝜆 2 +𝑎 1 𝜆 (5)
Selanjutnya  Persamaan  (5)  dikalikan  dengan (𝐶 𝐷 ) 2 , 𝐶 𝐷 adalah invers Drazin dari matriks 𝐶 , didapat
𝐶 𝑛 (𝐶 𝐷 ) 2 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−1 (𝐶 𝐷 ) 2 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 2 (𝐶 𝐷 ) 2 + 𝑎 1 𝐶(𝐶 𝐷 ) 2 = 0 ⇔ 𝐶 𝑛−1 𝐶 𝐷 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−2 𝐶 𝐷 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶𝐶 𝐷 +𝑎 1 𝐶 𝐷 = 0 (6) Dengan menggunakan Definisi III pada poin
(3) dimana 𝐶 𝑝+1 𝐶 𝐷 = 𝐶 𝑝 , sehingga diperoleh sebagai berikut.
𝐶 𝑛−2 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶𝐶 𝐷 + 𝑎 1 𝐶 𝐷 ⇔ 𝐶 𝑛−2 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 + 𝑎 𝑛−2 𝐶 𝑛−4 +𝑎 𝑛−3 𝐶 𝑛−5 + ⋯ + 𝑎 𝑛−𝑝+2 𝐶 𝑛−𝑝
+𝑎 𝑛−𝑝+1 𝐶 𝑛−𝑝−1 + 𝑎 𝑛−𝑝 𝐶 𝑛−𝑝−2 +𝑎 𝑛−𝑝−1 𝐶 𝑛−𝑝−3 + ⋯ + 𝑎 𝑝+2 𝐶 𝑝 +(𝑎 𝑝+1 𝐶 𝑝 + 𝑎 𝑝 𝐶 𝑝−1 + 𝑎 𝑝−1 𝐶 𝑝−2 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 + 𝑎 1 𝐼 𝑛 )𝐶 𝐷 = 0 Misalkan −𝑀 = 𝐶 𝑛−2 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 + ⋯ + 𝑎 𝑝+2 𝐶 𝑝 𝑀 = −(𝐶 𝑛−2 + 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 + ⋯ + 𝑎 𝑝+2 𝑝) = −𝐶 𝑛−2 − 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 − ⋯ − 𝑎 𝑝+2 𝐶 𝑝 𝐴 = 𝑎 𝑝+1 𝐶 𝑝 + 𝑎 𝑝 𝐶 𝑝−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 + 𝑎 1 𝐼 𝑛 Dimisalkan 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) ≠ 0 ,  maka  matriks 𝐴 memiliki invers.
−𝑀 + 𝐴𝐶 𝐷 = 0 𝐴𝐶 𝐷 = 𝑀 𝐶 𝐷 = 𝐴 −1 𝑀
langkah-langkah secara lengkap dalam mencari invers Drazin menurut penelitian [9] adalah sebagai berikut:
(i). Dicari nilai 𝑝 pada matriks 𝐶 yang memenuhi 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝+1 ).
(ii).Menentukan koefisien 𝑎 𝑘 dari polinomial karakteristik pada matriks 𝐶 , dimana persamaan karakteristik matriks 𝐶 adalah 𝑑𝑒 𝑡[𝜆𝐼 − 𝐶] = 𝜆 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 dengan 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1.
(iii).Menentukan matriks 𝐴 dengan 𝑑𝑒 𝑡(𝐴) ≠ 0 𝐴 = 𝑎 𝑝+1 𝐶 𝑝 + 𝑎 𝑝 𝐶 𝑝−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 + 𝑎 1 𝐼 𝑛 .
(iv).Menentukan koefisien 𝑏 𝑘 dari polinomial karakteristik pada matriks 𝐴 , dimana persamaan karakteristik matriks
𝐴 adalah 𝑑𝑒 𝑡[𝜆𝐼 − 𝐴] = 𝜆 𝑛 + 𝑏 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏 2 𝜆 2 + 𝑏 1 𝜆 dengan 𝑘 = 0,1,2,3, … 𝑛 − 1.
(v).Menentukan matriks 𝐴 −1 dengan teorema Cayley Hamilton
𝐴 −1 = − 1 𝑏 0 𝐴 𝑛−1 − 𝑏 𝑛−1 𝑏 0 𝐴 𝑛−2 − ⋯ − 𝑏 2 𝑏 0 𝐴 − 𝑏 1 𝑏 0 𝐼 𝑛 .
(vi). Menentukan matriks 𝑀 𝑀 = −𝐶 𝑛−2 − 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 − ⋯ − 𝑎 𝑝+2 𝐶 𝑝 .
(vii).Menentukan matriks invers Drazin 𝐶 𝐷 , dengan 𝐶 𝐷 = 𝐴 −1 𝑀.
Contoh  III.6 Diberikan  suatu  matriks singular 𝐶 berordo 3 × 3 𝐶 = [ −1 2 0 1 0 1 2 −2 1 ]
Tentukan invers Drazin dari matriks 𝐶 .
Penyelesaian: Diketahui bahwa 𝑑𝑒𝑡 (𝐶) = 0 . Langkah  1 Akan  dicari  nilai 𝑝 yang memenuhi kondisi 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝+1 ) Dimisalkan nilai 𝑝 adalah 1. 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 2 )
Karena memenuhi maka indeks 𝑝 = 1 .
Langkah 2 Menentukan polinomial karakteristik dari matriks 𝐶 .
𝑑𝑒𝑡 (𝜆𝐼 − 𝐶) = | 𝜆 + 1 2 0 −1 𝜆 −1 −2 2 𝜆 − 1 | = (𝜆 + 1) | 𝜆 −1 2 𝜆 − 1 | − (−2) |−1 −1 −2 𝜆 − 1 | = 𝜆 3 − 𝜆 Didapatlah 𝑎 2 = 𝑎 0 = 0, 𝑎 1 = −1 Langkah 3 Menentukan matriks 𝐴 Dengan 𝑝 = 1, 𝑎 0 = 0, 𝑎 1 = 2 dan 𝑎 2 = −3 maka
𝐴 = 𝑎 𝑝+1 𝐶 𝑝 + 𝑎 𝑝 𝐶 𝑝−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 + 𝑎 1 𝐼 𝑛 𝐴 = 𝑎 1 𝐼 3 = −1𝐼 3 = −1 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]    = [ −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ]
Diketahui 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = −1 ≠ 0. Langkah 4 Menentukan polinomial
karakteristik dari matriks 𝐴 𝑑𝑒𝑡 (𝜆𝐼 − 𝐴) = | 𝜆 + 1 0 0 0 𝜆 + 1 0 0 0 𝜆 + 1 |
= (𝜆 + 1) | 𝜆 + 1 0 0 𝜆 + 1 | = 𝜆 3 + 3𝜆 2 + 3𝜆 + 1
Didapatlah 𝑏 0 = 1, 𝑏 1 = 𝑏 2 = 3
Langkah 5 Menentukan 𝐴 −1
𝐴 −1 = − 1 𝑏 0 𝐴 𝑛−1 − 𝑏 𝑛−1 𝑏 0 𝐴 𝑛−2 − ⋯ − 𝑏 2 𝑏 0 𝐴 − 𝑏 1 𝑏 0 𝐼 𝑛 𝐴 −1 = − 1 𝑏 0 𝐴 2 − 𝑏 2 𝑏 0 𝐴 − 𝑏 1 𝑏 0 𝐼 3 = −1 [ −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ] 2 − 3 [ −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ] − 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = [ −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ]
Langkah 6 Menentukan matriks 𝑀 𝑀 = −𝐶 𝑛−2 − 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 − ⋯ − 𝑎 𝑝+2 𝐶 𝑝 𝑀 = −𝐶 = − [ −1 2 0 1 0 1 2 −2 1 ] = [ 1 −2 0 −1 0 −1 −2 2 −1 ]
Langkah  7 Menentukan  matriks  invers Drazin 𝐶 𝐷 = 𝐴 −1 𝑀 = [ −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ] [ 1 −2 0 −1 0 −1 −2 2 −1 ] = [ −1 2 0 1 0 1 2 −2 1 ]
Sehingga,  diperoleh  matriks  invers  Drazin dari matriks 𝐶 adalah [ −1 2 0 1 0 1 2 −2 1 ].
Contoh  III.7 Diberikan  suatu  matriks singular 𝐶 berordo 3 × 3 𝐶 = [ 1 1 − 𝑖 0 1 + 𝑖 3 0 2 −𝑖 0 ]
Tentukan invers Drazin dari matriks 𝐶 .
Penyelesaian: Diketahui bahwa 𝑑𝑒𝑡 (𝐶) = 0
Langkah  1 Akan  dicari  nilai 𝑝 yang memenuhi kondisi 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 𝑝+1 ) Dimisalkan nilai 𝑝 adalah 1 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐶 2 ) Karena memenuhi maka indeks 𝑝 = 1 . Langkah 2
Menentukan polinomial karakteristik dari matriks 𝐶 .
𝑑𝑒𝑡 (𝜆𝐼 − 𝐶) = | 𝜆 − 1 −1 + 𝑖 0
−1 − 𝑖 𝜆 − 3 0 −2 𝑖 𝜆 | = (𝜆) | 𝜆 − 1 −1 + 𝑖 −1 − 𝑖 𝜆 − 3 | = 𝜆 3 − 4𝜆 2 + 𝜆 Didapatlah 𝑎 2 = −4, 𝑎 1 = 1 dan 𝑎 0 = 0 Langkah 3 Menentukan matriks 𝐴 Dengan 𝑝 = 1, 𝑎 0 = 0, 𝑎 1 = 1 dan 𝑎 2 = −4 maka
𝐴 = 𝑎 𝑝+1 𝐶 𝑝 + 𝑎 𝑝 𝐶 𝑝−1 + ⋯ + 𝑎 2 𝐶 + 𝑎 1 𝐼 𝑛 𝐴 = 𝑎 2 𝐶 + 𝑎 1 𝐼 3 = −4𝐶 + 1𝐼 3 = −4 [ 1 1 − 𝑖 0 1 + 𝑖 3 0 2 −𝑖 0 ] + [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = [ −3 −4 + 4𝑖 0 −4 − 4𝑖 −11 0 −8 4𝑖 1 ] Diketahui 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) = 1 ≠ 0.
Langkah 4 Menentukan polinomial karakteristik dari matriks 𝐴 𝑑𝑒𝑡 (𝜆𝐼 − 𝐴) = | 𝜆 + 3 4 − 4𝑖 0 4 + 4𝑖 𝜆 + 11 0 8 −4𝑖 𝜆 − 1 | = (𝜆 − 1) | 𝜆 + 3 4 − 4𝑖 4 + 4𝑖 𝜆 + 11 | = 𝜆 3 + 13𝜆 2 − 13𝜆 − 1
Didapatlah 𝑏 0 = −1, 𝑏 1 = −13 dan 𝑏 2 = 13 Langkah 5 Menentukan 𝐴 −1
𝐴 −1 = − 1 𝑏 0 𝐴 𝑛−1 − 𝑏 𝑛−1 𝑏 0 𝐴 𝑛−2 − ⋯ − 𝑏 2 𝑏 0 𝐴 − 𝑏 1 𝑏 0 𝐼 𝑛 𝐴 −1 = − 1 𝑏 0 𝐴 2 − 𝑏 2 𝑏 0 𝐴 − 𝑏 1 𝑏 0 𝐼 3 = 1 [ −3 −4 + 4𝑖 0 −4 − 4𝑖 −11 0 −8 4𝑖 1 ] 2 +13 [ −3 −4 + 4𝑖 0 −4 − 4𝑖 −11 0 −8 4𝑖 1 ] − 13 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
= [ −11 4 − 4𝑖 0 4 + 4𝑖 −3 0 −72 − 16𝑖 32 − 20𝑖 1 ] Langkah 6 Menentukan matriks 𝑀 𝑀 = −𝐶 𝑛−2 − 𝑎 𝑛−1 𝐶 𝑛−3 − ⋯ − 𝑎 𝑝+2 𝐶 𝑝 𝑀 = −𝐶 = − [ 1 1 − 𝑖 0 1 + 𝑖 3 0 2 −𝑖 0 ] = [ −1 −1 + 𝑖 0 −1 − 𝑖 −3 0 −2 𝑖 0 ] Langkah  7 Menentukan  matriks  invers
Drazin 𝐶 𝐷 = 𝐴 −1 𝑀 = [ −11 4 − 4𝑖 0 4 + 4𝑖 −3 0 −72 − 16𝑖 32 − 20𝑖 1 ]
[ −1 −1 + 𝑖 0 −1 − 𝑖 −3 0 −2 𝑖 0 ] = [ 3 −1 + 𝑖 0 −1 − 𝑖 1 0 18 + 4𝑖 −8 + 5𝑖 0 ] Sehingga,  diperoleh  matriks  invers  Drazin dari matriks 𝐶 adalah [ 3 −1 + 𝑖 0 −1 − 𝑖 1 0 18 + 4𝑖 −8 + 5𝑖 0 ].

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh kesimpulan bahwa  invers  dari  matriks  singular  dapat ditentukan dengan menentukan invers Drazin menggunakan  Teorema  Cayley  Hamilton dengan memenuhi kondisi 𝑝 ≤ 𝑛 − 1.

## REFERENSI
[1] L.  Khasanah  and  B.  Irwanto,  "Menentukan Invers  Drazin  Dari  Matriks  Singular," Jurnal Matematika, vol. 14, no. 3, pp. 137-142, 2011.
[2] M. N. Hijriati and T. , "Invers Tergeneralisasi Moore-Penrose," Jurnal  Epsilon, pp.  78-92,
2021.
[3] M.  P.  Drazin,  "Left  And  Right  Generalized Inverses," Linear Algebra And Its Applications, vol. 510, no. 1, pp. 64-78, 2016.
[4] B.  Israel,  "Generalized  Inverses  And  The Bott-Duffin  Network  Anaysis," Journal  of Mathematical  Analysis  and  Applications, vol.
7, no. 1, pp. 428-435, 1963.
[5] E.  Sulistyono,  S.  Martha  and  E.  W.
Ramadhani, "Invers Drazin dari Suatu Matriks dengan Menggunakan Bentuk Kanonik Jordan," Buletin  Ilmiah  Math.  Stat.  dan
Terapannya (Bimaster), vol. 5, no. 3, pp. 221- 228, 2016.
[6] S. and I. Suryani, "Menentukan Invers Drazin Dari  Matriks  Singular  Dengan  Metode Leverrier Faddeev," Buletin Ilmiah Math. Stat. dan  Terapannya  (BIMASTER), vol.  1,  no.  1, pp. 27-38, 2015.
[7] A.  Sidi  and  V.  Kluzner,  "A  BIG-CG  Type Iterative  Method  For  Drazin-Inverse  Solution Of Singular Inconsistent Nonsymmetric Linear  Systems  Of  Arbitary  Index," The Electronic  Journal  Of  Linear Algebra, vol.  6, no. 1, pp. 72-94, 2015.
[8] T.  Kaczorek,  "Cayley-Hamilton  theorem  for Drazin  inverse  matrix  and  standard  inverse matrices," Bulletin  of  The  Polish  Academy  of Sciences  Technical  Sciences, vol.  64,  no.  4, pp. 793-797, 2016.
[9] T.  Kaczorek,  "Extension  of  Cayley-Hamilton theorem  and  a  procedure  for  computation  of the Drazin inverse matrices," IEEE, pp. 70-72,
21 9 2017.
[10] H.  Anton  and  C.  Rorres,  Aljabar  Linear Elementer  Versi  Aplikasi  Edisi  Kedelapan Jilid 1, Jakarta: Erlangga, 2004.
[11] Ruminta,  Matriks  Persamaan  Linier  dan Pemograman  Linier  Edisi  Revisi,  Bandung: REKAYASA SAINS, 2014.
[12] S.  Lipschutz  and  M.  Lipson,  Schaum's Outlines  Aljabar  Linear  Edisi  Ketiga,  Jakarta: Erlangga, 2004.
[13] L.  Zhang,  "A  characterization  of  the  Drazin inverse," Linear Algebra and its Applications, pp. 183-188, 2001.
[14] M.  Nikuie,  M.  K.  Mirnia  and  Y.  Mahmoudi, "Some  results  about  the  index  of  matrix  and Drazin  inverse," Mathematical  Sciences, vol. 4, no. 3, pp. 283-294, 2010.
[15] J.  E.  Gentle,  Matrix  Algebra  Theory, Computations  and  Applications  iin  Statistics Second  Edition,  USA:  Springer  International, 2017.