Vol. 18, No. 1,  93-101,  September, 2021

## DOI: 10.20956/j.v18i1.14394

## *Program Studi Matematika, FMIPA-UNHAS
Email Address: 1 salsabilacaca.sa@gmail.com, 2 muhammadnur@unhas.ac.id, 3 newima@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Fixed Point Theorem on Contractive Mapping in Standard 2-Normed Spaces
Teorema Titik Tetap pada Pemetaan Kontraktif di Ruang Bernorma-2

## Standar
Salsabila Ammari 1* , Muh. Nur 2* , Naimah Aris 3*

## Abstract
This paper discussed about the proof of the fixed point theorem on the standard 2-normed spaces by using completeness. The completeness of the standard 2-normed spaces is shown by defining a new norm. Two linear independent vectors on standard 2-normed spaces are used to define the new norm, namely ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ which has been shown to be equivalent to standard norm.
Keywords: standard 2-normed spaces, completeness,  fixed point theorem.

## Abstrak
Pada  tulisan  ini  dibahas  pembuktian  teorema  titik  tetap  pada  ruang  bernorma-2  standar  dengan menggunakan  kelengkapan.  Kelengkapan  dari  ruang  bernorma-2  standar  ditunjukkan  dengan mendefinisikan norma baru. Dua buah vektor bebas linier pada ruang bernorma-2 standar digunakan untuk mendefinisikan  norma  baru,  yakni ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ yang  telah  ditunjukkan  ekuivalen  dengan norma standar.
Kata kunci: ruang bernorma-2 standar, kelengkapan, teorema titik tetap.

## 1.  PENDAHULUAN
Ruang  bernorma  merupakan  ruang  vektor  yang  didalamnya  terdapat  fungsi  norma  dan memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. Secara geometri, norma dapat dipandang sebagai alat ukur panjang dari suatu vektor.
Definisi 1.1 [10] Misalkan merupakan ruang vektor. Norma pada adalah fungsi ‖ ‖
sehingga untuk semua
dan berlaku:
1. ‖ ‖
2. ‖ ‖ jika dan hanya jika
3. ‖  ‖      ‖ ‖
4. ‖     ‖   ‖ ‖   ‖ ‖ .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Ruang bernorma tidak terbatas pada ruang bernorma, terdapat pula ruang bernorma-2 hingga ruang  bernorma-n  untuk  n .  Konsep  tentang  ruang  bernorma-2  pertama  kali  diperkenalkan oleh Gahler pada pertengahan tahun 1960-an [7].
Definisi 1.2 [3] Misalkan adalah ruang vektor riil berdimensi , dengan . Suatu fungsi bernilai  riil  tak  negatif  yang  didefinisikan  sebagai  suatu  pemetaan ‖ ‖ ,  sehingga untuk setiap memenuhi sifat-sifat dibawah ini:
1. ‖    ‖ jika dan hanya jika dan bergantung linier
2. ‖    ‖   ‖    ‖
3. ‖     ‖      ‖    ‖
4. ‖        ‖   ‖    ‖   ‖    ‖ ,
disebut sebagai norma-2 di , dan pasangan ‖      ‖ disebut suatu ruang bernorma-2.
Salah  satu  topik  yang  banyak  dikembangkan  oleh  peneliti  adalah  teorema  titik  tetap  pada pemetaan kontaktif di ruang Banach yang dilengkapi dengan norma-2. Beberapa penelitian yang telah  membahas  tentang  topik  tersebut  diantaranya  Gunawan  [5],  Nur,  [14],    serta  Rumlawang [17].  Oleh  karena  itu,  pada  penelitian  kali  ini  akan  membahas  kembali  mengenai  teorema  titik tetap pada pemetaan kontraktif di ruang bernorma-2 standar.

## 2. HASIL UTAMA

## 2.1 Ruang Bernorma-2 Standar
Definisi 2.1 [14] Misalkan adalah ruang hasil kali dalam dengan dimensi . Ruang vektor
yang dilengkapi dengan norma-2 standar, yang didefinisikan sebagai
‖    ‖   | 〈    〉 〈    〉
〈    〉 〈    〉|
dengan 〈      〉 menyatakan hasil kali dalam pada , merupakan ruang bernorma-2 standar.
Proposisi 2.1 Ruang bernorma-2 standar merupakan ruang bernorma-2.
Bukti. Ambil  sebarang dan .  Akan  ditunjukkan  bahwa ‖      ‖ yang  didefinisikan pada Definisi 2.1 memenuhi sifat-sifat norma-2.
1. Akan ditunjukkan bahwa ‖    ‖ jika dan hanya jika dan bergantung linier.
Misalkan ‖    ‖ .  Andaikan bebas  linier,  dengan  menggunakan  metode Gram-Schmidt diperoleh yang saling ortogonal. Dengan demikian, | 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉| | 〈      〉 〈      〉 〈      〉 〈      〉 | Karena saling ortogonal, maka 〈      〉   〈      〉 . Sehingga diperoleh,
| 〈      〉 〈      〉 〈      〉 〈      〉 |   〈      〉〈      〉
Dengan demikian,
| 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉| ‖    ‖   | 〈    〉 〈    〉
〈    〉 〈    〉|
Hal  ini  bertentangan  dengan  pemisalan  di  awal,  yakni ‖    ‖ sehingga pengandaian salah. Dengan demikian, bergantung linier.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Misalkan bergantung  linier.  Artinya,  dapat  ditulis dengan . Dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali dalam, diperoleh ‖    ‖ | 〈    〉  〈    〉 〈    〉 〈    〉 | Selanjutnya menggunakan sifat determinan, diperoleh ‖    ‖ 〈    〉 〈    〉
‖      ‖ memenuhi aksioma 1 norma-2.
2. Akan ditunjukkan bahwa ‖    ‖   ‖    ‖ .
‖    ‖   | 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉| | 〈    〉 〈    〉
〈    〉 〈    〉| ‖    ‖
‖      ‖ memenuhi aksioma 2 norma-2.
3. Akan ditunjukkan bahwa ‖     ‖      ‖    ‖ .
‖     ‖   | 〈    〉 〈     〉 〈     〉 〈      〉|
| 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉 |
| 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉|
‖    ‖
‖      ‖ memenuhi aksioma 3 norma-2.
4. Akan ditunjukkan bahwa ‖        ‖   ‖    ‖   ‖    ‖ .
Karena
‖    ‖   | 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉| 〈      〉
diperoleh,
‖        ‖ 〈              〉 〈      〉    〈      〉   〈      〉 Dengan menggunakan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, maka ‖        ‖ ‖    ‖ ‖    ‖‖    ‖   ‖    ‖
‖    ‖   ‖    ‖
Jadi, aksioma 4 norma-2 terpenuhi.
Dengan demikian, ‖      ‖ merupakan norma-2.
Misalkan ‖      ‖ ruang bernorma-2 standar dan { } adalah himpunan bebas linier di , didefinisikan sebuah fungsi di : ‖ ‖
‖ ‖   ‖ ‖ Proposisi 2.2 ‖  ‖ merupakan ruang bernorma, dengan ‖  ‖ yang telah didefinisikan pada Fungsi (4.1).
(4.1)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Bukti. Ambil  sebarang dan .  Akan  ditunjukkan  bahwa ‖  ‖ memenuhi  sifat-sifat norma.
1. ‖ ‖ dan ‖ ‖
jika dan hanya jika
.
Karena ‖      ‖ merupakan  norma-2,  maka ‖ ‖ dan ‖ ‖ .  Dengan demikian,
‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖
Selanjutnya,
Misalkan . Diperoleh bahwa ‖ ‖ dan ‖ ‖ . Dengan demikian,
‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ Misalkan ‖ ‖ maka diperoleh, ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖
Karena ‖ ‖ dan ‖ ‖ ,  maka ‖ ‖   ‖ ‖ .  Oleh  karena itu, . Dengan demikian, ‖ ‖ jika dan hanya jika . ‖  ‖ memenuhi sifat-1 norma.
2. ‖  ‖ ‖ ‖ .
‖  ‖ ‖ ‖   ‖ ‖
diperoleh,
‖  ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖      ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖
‖  ‖ memenuhi sifat-2 norma.
3. ‖     ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .
Karena
‖     ‖ ‖ ‖   ‖ ‖
diperoleh, ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
Dengan demikian, ‖     ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .
‖  ‖ memenuhi sifat-3 norma.
Karena ‖  ‖ memenuhi seluruh sifat norma, maka ‖  ‖ merupakan ruang bernorma.
Akibat 2.1 ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ , dengan { } adalah hasil Proses Gram-Schmidt dari { } juga merupakan norma di .

## 2.2 Kekonvergenan Norma-2 Standar Menggunakan Dua Vektor Bebas Linier
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa  norma-2  standar  dapat  diwakili  dengan  dua  buah vektor bebas linier.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Definisi  2.2 [5] Barisan di  ruang bernorma-2 ‖      ‖ dikatakan konvergen  ke dalam norma-2 jika dan hanya jika untuk setiap berlaku
‖ ‖
Teorema 2.1 Suatu barisan di konvergen ke pada norma-2 standar di jika dan hanya jika ‖ ‖ dan ‖ ‖ dengan { } bebas linier. Bukti. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa konvergen ke pada di norma-2 standar jika  dan  hanya  jika ‖ ‖ dan ‖ ‖ dengan { } himpunan bebas linier pada . Misalkan
konvergen  ke pada di  norma-2  standar,  maka ‖ ‖ untuk  setiap .  Karena ‖ ‖ berlaku  untuk  setiap ,  maka berlaku pula untuk dan dengan . Dengan demikian, ‖ ‖ dan ‖ ‖ . Akan ditunjukkan bahwa jika ‖ ‖ dan ‖ ‖ maka konvergen  ke di  norma-2  standar.  Jika konvergen  ke di  norma-2  standar, maka diperoleh ‖ ‖ untuk setiap . Misalkan ‖ ‖ untuk .  Dengan  menggunakan  Ketaksamaan Hadamard ‖    ‖   ‖ ‖‖ ‖ , maka diperoleh,
‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖ [‖ ‖   ‖ ‖]‖ ‖ Karena ‖ ‖ untuk ,  maka ‖ ‖ .  Dengan  demikian, konvergen ke di norma-2 standar. Selanjutnya,  ambil ,  akan  ditunjukkan  bahwa ‖ ‖ dan ‖ ‖ jika  dan  hanya  jika ‖ ‖ dan ‖ ‖ .
Karena { } merupakan hasil Gram-Schmidt dari { } , maka dapat ditulis
Berdasarkan sifat norma-2 diperoleh,
‖ ‖   ‖ ‖      ‖ ‖
dan
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Misalkan , maka diperoleh, ‖ ‖   ‖ ‖   | | ‖ ‖ dan ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Misalkan ‖ ‖ dan ‖ ‖ . Perhatikan bahwa, ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ sehingga diperoleh ‖ ‖ Selanjutnya perhatikan, ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Karena ‖ ‖ , maka ‖ ‖ . Misalkan ‖ ‖ dan ‖ ‖ . Dengan cara yang sama, diperoleh ‖ ‖ dan ‖ ‖ .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Dengan demikian , barisan di konvergen ke pada norma-2 standar di jika dan hanya jika ‖ ‖ dan ‖ ‖ .
Akibat 2.2 Ruang yang dilengkapi ‖  ‖ lengkap jika dan hanya jika yang dilengkapi ‖ ‖ lengkap.

## 2.3 Kelengkapan Norma-2 Standar
Selanjutnya,  akan  dibahas  mengenai  kelengkapan  norma-2  standar  dengan  menggunakan norma biasa.
Proposisi 2.3 ‖  ‖ ekuivalen dengan norma standar ‖  ‖ di , yakni ‖ ‖   〈    〉 . Artinya,
‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ Bukti. Ambil  sebarang .  Karena { } merupakan  hasil  Gram-Schmidt  dari { } , maka { } merupakan  himpunan  ortonormal  pada ,  diperoleh ‖ ‖ ‖ ‖ 〈 〉 dan ‖ ‖ ‖ ‖ 〈 〉
Berdasarkan Ketaksamaan Bessel ∑ 〈 〉 ‖ ‖ , diperoleh
‖ ‖ ‖ ‖ ∑〈 〉 ‖ ‖ 〈 〉 ‖ ‖ 〈 〉 ‖ ‖ ‖ ‖ Karena ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ maka ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖
Selanjutnya,  perhatikan  bahwa ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖   ∑ ‖ ‖ .  Dengan menggunakan Ketaksamaan Hadamard ‖    ‖   ‖ ‖‖ ‖ diperoleh,
∑‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖
Ingat bahwa { } merupakan himpunan ortonormal pada sehingga ‖ ‖ untuk . Dengan demikian,
∑‖ ‖ ‖ ‖           ‖ ‖
Jadi, diperoleh bahwa ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ .
‖  ‖ ekuivalen dengan ‖  ‖ .
Definisi  2.3 [5] Barisan dikatakan  Cauchy  apabila  untuk  setiap dan  untuk  setiap terdapat sehingga ‖ ‖ untuk  setiap .  Jika  setiap  barisan Cauchy di ‖      ‖ konvergen ke suatu
, maka dikatakan lengkap.
Teorema 2.2 Barisan di konvergen pada ruang bernorma-2 standar ‖      ‖ jika dan hanya jika barisan itu konvergen di ruang bernorma ‖  ‖ , dan barisan di Cauchy di ruang bernorma-2 standar ‖      ‖ jika dan hanya jika barisan itu Cauchy di ruang bernorma ‖  ‖ . Bukti.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Pertama-tama  akan  ditunjukkan  bahwa  barisan di konvergen  pada  ruang
bernorma-2  standar ‖      ‖ jika  dan  hanya  jika  barisan  itu  konvergen  di  ruang  bernorma ‖  ‖ . Misalkan  diketahui konvergen  ke dalam  ruang  norma-2 ‖      ‖ .  Berdasarkan Teorema  2.1,  diperoleh ‖ ‖ dan ‖ ‖ . Perhatikan bahwa, ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Karena ‖  ‖ ekuivalen  dengan ‖  ‖ ,  maka
‖ ‖ .  Berdasarkan  definisi kekonvergenan, maka
konvergen ke pada ruang bernorma ‖  ‖ . Ambil  sebarang
.  Misalkan
konvergen  ke dalam  ruang  norma ‖  ‖ ,  maka diperoleh  bahwa  untuk  setiap
terdapat
,  sehingga ‖ ‖ ‖ ‖ untuk . Menurut Ketaksamaan Hadamard, diperoleh,
‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖ untuk  setiap Dengan  demikian, konvergen  ke dalam  ruang  norma-2 ‖      ‖ .
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa  barisan
d i Cauchy  di  ruang  bernorma-2 standar ‖      ‖ jika dan hanya jika barisan itu Cauchy di ruang bernorma ‖  ‖ . Misalkan  diketahui
Cauchy  di  ruang  norma-2 ‖      ‖ ,  diperoleh  bahwa ‖ ‖ . Berdasarkan Teorema 2.1 maka ‖ ‖ dan ‖ ‖ . Perhatikan bahwa, ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Karena  sebelumnya  telah  ditunjukkan  bahwa ‖  ‖ ekuivalen  dengan ‖  ‖ ,  maka
‖ ‖ . Atau dapat ditulis, terdapat untuk setiap sehingga ‖ ‖ untuk . Akibatnya Cauchy di ruang bernorma ‖  ‖ . Ambil  sebarang .  Misalkan Cauchy  di  ruang  bernorma ‖  ‖ ,  maka ‖ ‖ ‖ ‖ untuk . Menurut Ketaksamaan Hadamard, diperoleh, ‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖ untuk  setiap Dengan  demikian, juga  Cauchy  di  ruang  bernorma-2 ‖      ‖ . Teorema 2.2 terbukti. Akibat  2.3 Ruang  bernorma-2  standar ‖      ‖ lengkap  jika  dan  hanya jika ruang  bernorma standar ‖  ‖ adalah lengkap.

## 2.2 Teorema Titik Tetap pada Pemetaan Kontraktif di Ruang Bernorma-2 Standar
Dengan menggunakan hasil-hasil pada subbab sebelumnya, akan dibuktikan teorema titik tetap pada pemetaan kontraktif di ruang bernorma-2 standar.
Teorema  2.3 Misalkan ‖      ‖ merupakan  ruang  Banach-2. { } merupakan  himpunan bebas  linier  dan memenuhi ‖ ‖    ‖ ‖ untuk  setiap dimana dan konstan, maka T mempunyai titik tetap yang tunggal.
Bukti .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
Ambil  sebarang  himpunan  bebas  linier { } di ‖      ‖ ,  pada  Proposisi  2.2  telah ditunjukkan  bahwa ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ dan ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖ merupakan norma  pada ,  dengan { } adalah  hasil  Gram-Schmidt  dari { } .  Karena ‖      ‖ merupakan ruang bernorma-2 yang lengkap, maka berdasarkan Akibat 2.3, ‖  ‖ adalah ruang bernorma  yang  lengkap.  Diketahui  pula  dari  Proposisi  2.3  bahwa ‖  ‖ ekuivalen  dengan ‖  ‖ , akibatnya ‖  ‖ lengkap. Lebih jauh pada Akibat 2.2, ‖  ‖ adalah lengkap.
Selanjutnya,  misalkan ‖ ‖    ‖ ‖ untuk  setiap dimana dan konstan. Perhatikan bahwa untuk setiap , ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖    ‖ ‖ ‖     ‖ Karena ‖
‖ ‖     ‖ , maka kontraktif terhadap ‖  ‖ . Karena kontraktif terhadap ‖  ‖ dan ‖  ‖ lengkap, maka memiliki titik tetap yang tunggal.

## 3.  KESIMPULAN
Kekonvergenan  dan  kelengkapan  dari  ruang  bernorma-2  standar  ditunjukkan  dengan mendefinisikan  norma  baru.  Dua  buah  vektor  bebas  linier  pada  norma-2  standar  digunakan untuk  mendefinisikan  norma  baru,  yakni ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ yang  telah  ditunjukkan ekuivalen  dengan  norma  standar  yakni  norma  yang  diinduksi  dari  hasil  kali  dalam. Ekuivalensi dan kelengkapan yang telah ditunjukkan digunakan untuk membuktikan teorema titik tetap.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Anton, H. Rorres, C., 2005. Elementary Linear Algebra . Newyork: John Wiley & Sons Inc.
[2]  Conway, J., 1997. A Course in Functional Analysis . Newyork: Springer-Verlag.
[3]  Gӓhler, S., 1964. Lineare 2-Nomierte Rӓume . Math Nachr ,  Vol. 28, No. 1, 1-43.
[4]  Gunawan, H., 2001. The Space of -Summable Sequences and Its Natural -Norm . Bull Australia Math Soc , Vol. 64, No. 1, 137-147.
[5]  Gunawan,  H., Mashadi.  2001.  On  Finite  Dimensional  2-Normed  Spaces. Soochow  Journal of Mathematics , Vol. 27, No. 3, 321-329.
[6]  Haase,  M.,  2010. Functional  Analysis:  An  Elementary  Introduction .  Rhode  Island  : American Mathematical Society Providance.
[7]  Handayani,  A.,  2013. Skripsi: Barisan  pada  Ruang  Norm-2 .  Jurusan  Matematika  Fakultas Sains dan Teknologi UIN Malang.
[8]  Harikrishnan, K., Ravindran, T., 2011. Some Properties of Accretive Operators in Linier 2- Normed Space. Int. Mathematical Forum, Vol. 3, No. 59, 2941-2947.
[9]  Imrona, M., 2002. Aljabar Linier Elementer . Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Salsabila Ammari, Muh. Nur, Naimah Aris
[10]  Kreyszig,  E.,  1978. Introductory  Functional  Analysis  With  Application .  Newyork:  John Wiley dan Sons Inc.
[11]  Lidiyani,  Y.,  Shiddiq,  M.,  2017.  Teorema  Titik  Tetap  untuk  Pemetaan  Kontraksi-F  yang Diperumum  pada  Ruang  Seperti-Metrik-b. Jurnal  Matematika  Murni  dan  Terapan “Epsilon” , Vol. 11, No.2, 36-46.
[12]  Manuhutu,  J.,  Lesnussa,  A.,  Batkunde,  H.,  2014.  Ruang  Norm-2  dan  Ruang  Hasil  Kali Dalam-2 . Jurnal Matematika Integratif , Vol. 10, No. 2, 139-145.
[13]  Nur,  M.,  2011. Tesis : Teorema  Titik  Tetap  di  Ruang  Norm-n  Standar .  Institut  Teknologi Bandung.
[14]  Nur, M., 2012. Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar. Jurnal Matematika Statistika dan Komputasi , Vol. 13, No. 1, 1-6.
[15]  Resmawan., 2019. Materi Kuliah Aljabar Linear . Math UNG, Universitas Negeri Gorontalo.
[16]  Rudin, W., 1991. Functional Analysis . Singapore: McGraw-Hill.
[17]  Rumlawang,  F.  Y.,  2020.  Fixed  Point  Theorem  in  2-Normed  Spaces . Tensor  Pure  and Applied Mathematic’s Journal , Vol. 1, No. 1, 41-46.
[18]  Rynne, B.P., Youngson, M. A., 2000. Linier Functional Analysis . London: Springer-Verlag.