Topologi di Ruang Metrik Pseudo- b s (Topology in b s -Pseudo Metric Spaces)
Zahra Aulia Emeralda 1 ∗ , Christiana Rini Indrati 2
1 , 2 Universitas Gadjah Mada Email: 1 zahra.aulia.e@mail.ugm.ac.id, 2 rinii@ugm.ac.id *Penulis Korespondensi
Abstract. In this paper, we discuss about some properties of b s -pseudo metric and the topology in b s -pseudo metric space such as b s -convergence of a sequence, b s -Cauchy sequence, completeness of a b s -pseudo metric space, and b s -closed set.
Keywords: b s -pseudo metric, b s -convergence of a sequence, b s -Cauchy sequence, completeness of a b s -pseudo metric space, b s -closed set. Abstrak. Dalam tulisan ini dibahas mengenai beberapa sifat metrik pseudo- b s dan topologi dalam ruang metrik pseudo- b s di antaranya kekonvergenan- b s barisan, barisan Cauchy- b s , ruang metrik pseudo- b s lengkap, serta himpunan tertutup- b s . Kata Kunci: metrik pseudo- b s , kekonvergenan- b s barisan, barisan Cauchy- b s , ruang metrik pseudo- b s lengkap, himpunan tertutup- b s .

## I. PENDAHULUAN
Fungsi d : X × X → [0 , ∞ ) , dengan X 6 = ∅ , merupakan metrik jika untuk setiap x, y, z ∈ X berlaku (i) d ( x, y ) = 0 jika dan hanya jika x = y , (ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) , dan (iii) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) [7]. Perlemahan salah satu aksioma metrik tersebut mendefi- nisikan metrik- b dan juga metrik pseudo. Fungsi d disebut metrik- b jika untuk setiap x, y, z ∈ X berlaku (i) d ( x, y ) = 0 jika dan hanya jika x = y , (ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) , dan (iii) d ( x, z ) ≤ s [ d ( x, y )+ d ( y, z )] [4]. Sedangkan d disebut metrik pseudo jika untuk setiap x, y, z ∈ X berlaku (i) d ( x, x ) = 0 , (ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) , dan (iii) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) . Selanjutnya, per- lemahan salah satu aksioma dari metrik- b atau metrik pseudo mendefinisikan metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 .
Konsep metrik pseudo- b s diperkenalkan oleh Ali, dkk [2]. Untuk bilangan s ≥ 1 , kelu- arga F = { d k : k ∈ N } , yaitu keluarga metrik pseudo- b s pada suatu himpunan tak kosong X , beserta topologi di ruang metrik pseudo- b s ( X, d k ) untuk setiap k ∈ N digunakan untuk mendefinisikan struktur baru pada himpunan X yang disebut ruang gauge- b s . Dalam papernya tersebut, Ali, dkk. menyelidiki eksistensi titik tetap untuk fungsi bernilai himpunan di ruang gauge- b s [2]. Pada tahun 2017, Ali, dkk. memperbaiki tulisannya dengan menambahkan satu teorema yang menunjukkan eksistensi titik tetap dengan syarat fungsi f k : X → R , dengan definisi f k ( x ) = d k ( x, T ( x )) untuk setiap x ∈ X dan T merupakan fungsi bernilai himpunan dari X ke keluarga semua himpunan bagian tertutup- F dari X yang tidak kosong, merupakan fungsi semikontinu bawah untuk setiap k ∈ N [3]. Selain itu, dalam tulisan-tulisan lainnya yang merujuk ke [2], yaitu [1, 5, 6, 8, 9, 10], dibahas mengenai eksistensi titik tetap di ek- stensi ruang metrik- b dengan metode yang berbeda-beda. Nosheen Zikria, dkk.[11] membahas mengenai eksistensi titik tetap menggunakan kontraksi- G di perluasan ruang gauge- b . Pemben- tukan perluasan ruang gauge- b tersebut menggunakan konsep perluasan dari metrik pseudo- b s . Di antara tulisan-tulisan tersebut tidak ada yang secara khusus membahas mengenai sifat-sifat
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
104 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
topologi di ruang metrik pseudo- b s . Oleh karena itu, dari penelitian yang dilakukan oleh Ali, dkk., penulis termotivasi untuk menyelidiki lebih rinci mengenai beberapa sifat topologi pada ruang metrik pseudo- b s . Dalam tulisan ini, untuk s ≥ 1 , pertama-tama diberikan beberapa contoh ruang metrik pseudo- b s dan juga hubungan metrik pseudo- b s dengan metrik, metrik pseudo, dan metrik- b . Selanjutnya, diberikan contoh barisan di ruang metrik pseudo- b s , contoh dari barisan konvergen- b s , barisan Cauchy- b s dan hubungan antara konvergen- b s dan Cauchy- b s beserta bukti dan contohnya. Selanjutnya, konsep ruang metrik pseudo- b s lengkap termoti- vasi dari contoh barisan Cauchy- b s yang tidak konvergen- b s . Ruang metrik pseudo- b s lengkap merupakan ruang metrik pseudo- b s dengan sifat setiap barisan Cauchy- b s merupakan barisan konvergen- b s . Dalam tulisan ini diberikan contoh ruang metrik pseudo- b s lengkap. Kemudian, barisan di ruang metrik pseudo- b s digunakkan untuk mendefinisikan himpunan tertutup- b s . Penulis juga memberikan contoh himpunan tertutup- b s , sifat irisan dan gabungan dua him- punan tertutup- b s , sifat irisan sebarang himpunan tertutup- b s , dan pada bagian akhir tulisan ini diberikan sifat gabungan sebarang himpunan tertutup- b s .
Berdasarkan penjabaran di atas, diberikan definisi metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 sebagai berikut.
Definisi 1 [3, 2] Diberikan himpunan tak kosong X , s ≥ 1 , dan fungsi d : X × X → [0 , ∞ ) . Fungsi d disebut metrik pseudo- b s jika untuk setiap x, y, z ∈ X memenuhi
1. d ( x, x ) = 0 ,
2. d ( x, y ) = d ( y, x ) , dan
3. d ( x, z ) ≤ s [ d ( x, y ) + d ( y, z )] .
Selanjutnya, pasangan ( X, d ) disebut ruang metrik pseudo- b s .
Agar dapat memahami apa itu ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 , diperhatikan beber- apa contoh berikut.
Contoh 1 Berikut ini adalah contoh-contoh dari metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 .
1. Diberikan sebarang himpunan tak kosong X . Metrik diskrit p , yaitu
p ( x, y ) = ( 0 , x = y 1 , x 6 = y
dengan x, y ∈ X merupakan metrik pseudo- b 1 .
2. Fungsi m : R × R → [0 , ∞ ) , dengan
m ( x, y ) = ( x − y ) 2
untuk setiap x, y ∈ R , merupakan metrik pseudo- b 2 .
Bukti. (a) Diambil sebarang x ∈ R , diperoleh
m ( x, x ) = ( x − x ) 2 = 0 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
105 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
(b) Diambil sebarang x, y ∈ R , diperoleh
m ( x, y ) = ( x − y ) 2 = ( y − x ) 2 = m ( y, x ) .
(c) Diambil sebarang x, y, z ∈ R , diperoleh
m ( x, z ) = ( x − z ) 2 = ( x − y + y − z ) 2 ≤ ( | x − y | + | y − z | ) 2 = ( x − y ) 2 + 2 | x − y || y − z | + ( y − z ) 2 ≤ ( x − y ) 2 + (( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 ) + ( y − z ) 2 = 2[( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 ] = 2[ m ( x, y ) + m ( y, z )] .
3. Diberikan sebarang himpunan tak kosong X . Fungsi d ∗ dengan definisi d ∗ ( x, y ) = 0 untuk setiap x, y ∈ X merupakan metrik pseudo- b 1 .
4. [3] Diberikan himpunan X = C ([0 , ∞ )) , yaitu himpunan semua fungsi kontinu dari [0 , ∞ ) ke R , dan d ( x, y ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 , untuk setiap x, y ∈ X . Fungsi d merupakan metrik pseudo- b 2 .
Bukti. (a) Diambil sebarang x ∈ X , diperoleh
d ( x, x ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − x ( t )) 2 = 0
(b) Diambil sebarang x, y ∈ X , diperoleh
d ( x, y ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 = max t ∈ [0 , 1] ( y ( t ) − x ( t )) 2 = d ( y, x )
(c) Diambil sebarang x, y, z ∈ X , diperoleh
d ( x, z ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − z ( t )) 2 = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t ) + y ( t ) − z ( t )) 2 ≤ max t ∈ [0 , 1] ( | x ( t ) − y ( t ) | + | y ( t ) − z ( t ) | ) 2 = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 + 2 | x ( t ) − y ( t ) || y ( t ) − z ( t ) | + ( y ( t ) − z ( t )) 2 ≤ max t ∈ [0 , 1] [( x ( t ) − y ( t )) 2 + (( x ( t ) − y ( t )) 2 + ( y ( t ) − z ( t )) 2 ) + ( y ( t ) − z ( t )) 2 ] = max t ∈ [0 , 1] 2[( x ( t ) − y ( t )) 2 + ( y ( t ) − z ( t )) 2 ] =2[ max t ∈ [0 , 1] ( x − y ) 2 + max t ∈ [0 , 1] ( y − z ) 2 ] =2[ d ( x, y ) + d ( y, z )] .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
106 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Diperhatikan bahwa pada Contoh 1 di atas, fungsi p merupakan metrik, fungsi m meru- pakan metrik- b , dan fungsi d ∗ merupakan metrik pseudo. Ketiganya merupakan metrik pseudo- b s dengan s tertentu. Dengan demikian, muncul pertanyaan mengenai hubungan metrik, metrik- b , dan metrik pseudo dengan metrik pseudo- b s . Hubungan tersebut diberikan dalam Teorema 1 berikut ini.
Teorema 1 Diberikan himpunan tak kosong X dan fungsi d : X × X → [0 , ∞ ) .
1. Jika d merupakan metrik, maka d merupakan metrik pseudo- b 1 .
2. Jika d merupakan metrik- b dengan s ≥ 1 , maka d merupakan metrik pseudo- b s .
3. Jika d merupakan metrik pseudo, maka d merupakan metrik pseudo- b 1 .
Bukti. Diketahui X tidak kosong dan d : X × X → [0 , ∞ ) fungsi.
1. Diketahui d metrik, diperoleh aksioma pertama dan kedua metrik pseudo- b s terpenuhi. Diambil sebarang x, y, z ∈ X , karena d metrik, diperoleh
d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) = 1[ d ( x, y ) + d ( y, z )] = s [ d ( x, y ) + d ( y, z )] .
2. Diketahui d metrik- b , diperoleh aksioma pertama dan kedua metrik pseudo- b s terpenuhi. Karena d metrik- b , berarti terdapat s ≥ 1 sehingga untuk setiap x, y, z ∈ X berlaku
d ( x, z ) ≤ s [ d ( x, y ) + d ( y, z )] .
3. Diketahui d metrik pseudo, diperoleh aksioma pertama dan kedua metrik pseudo- b s ter- penuhi. Diambil sebarang x, y, z ∈ X , diperoleh
d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) = 1[ d ( x, y ) + d ( y, z )] = s [ d ( x, y ) + d ( y, z )] .
Berdasarkan sifat tersebut, setiap metrik, metrik- b , dan metrik pseudo merupakan metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 tertentu. Namun, sebaliknya belum tentu berlaku. Diperhatikan kem- bali bahwa pada Contoh 1, fungsi d bukan merupakan metrik, metrik- b , maupun metrik pseudo. Contoh 2 [3] Diberikan himpunan X = C ([0 , ∞ )) , yaitu himpunan semua fungsi kontinu dari [0 , ∞ ) ke R dan d ( x, y ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 , untuk setiap x, y ∈ X .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
107 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
1. Fungsi d bukan merupakan metrik pada X karena terdapat x, y, z ∈ X dengan x ( t ) = 0 , y ( t ) = 1 , dan z ( t ) = 2 untuk setiap t ∈ [0 , ∞ ) sehingga berlaku
d ( x, z ) = max t ∈ [0 . 1] (0 − 2) 2 = 4 ≥ 1 + 1 = max t ∈ [0 . 1] (0 − 1) 2 + max t ∈ [0 . 1] (1 − 2) 2 = d ( x, y ) + d ( y, z ) .
2. Fungsi d bukan merupakan metrik pseudo pada X karena terdapat x, y, z ∈ X dengan
x ( t ) = ( 0 , untuk 0 ≤ t ≤ 1 t − 1 , untuk t > 1 .
y ( t ) = 3 , dan z ( t ) = − 3 untuk setiap t ∈ [0 , ∞ ) sehingga berlaku
d ( y, z ) = max t ∈ [0 , 1] ( y ( t ) − z ( t )) 2 = 36 > 18 = 9 + 9 = max t ∈ [0 , 1] ( y ( t ) − x ( t )) + max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − z ( t )) = d ( y, x ) + d ( x, z ) .
3. Fungsi d juga bukan merupakan metrik- b pada X karena terdapat x, y ∈ X dengan
x ( t ) = ( 0 , untuk 0 ≤ t ≤ 1 t − 1 , untuk t > 1
dan
y ( t ) = ( 0 , untuk 0 ≤ t ≤ 1 2 t − 2 , untuk t > 1 .
Diperoleh x 6 = y karena ada t = 2 dengan x (2) = 1 6 = 2 = y (2) , tetapi
d ( x, y ) = max t ∈ [0 . 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 = max(0 − 0) 2 = 0 .
Untuk sebarang ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , setiap himpunan bagian A ⊆ X yang dilengkapi dengan metrik pseudo- b s merupakan ruang metrik pseudo- b s . Hal ini dikarenakan untuk setiap a 1 , a 2 , a 3 ∈ A ⊆ X berlaku
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
108 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
1. d ( a 1 , a 1 ) = 0 ,
2. d ( a 1 , a 2 ) = d ( a 2 , a 1 ) , dan
3. d ( a 1 , a 3 ) ≤ s [ d ( a 1 , a 2 ) + d ( a 2 , a 3 )] .
Selanjutnya, untuk r ≥ s ≥ 1 , setiap metrik pseudo- b s pada suatu himpunan tak kosong X merupakan metrik pseudo- b r pada X . Karena untuk setiap x, y, z ∈ X berlaku d ( x, z ) ≤ s [ d ( x, y ) + d ( y, z )] ≤ r [ d ( x, y ) + d ( y, z )] .
Secara umum, metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 bukan merupakan fungsi kontinu. Berikut ini diberikan contohnya.
Contoh 3 Diberikan X = N ∪ {∞} dan fungsi d : X × X → R dengan
d ( m, n ) =                       
0 , untuk m = n 1 m − 1 n , untuk m dan n genap atau m genap dan n = ∞ atau m = ∞ dan n genap
8 , untuk m dan n ganjil atau m ganjil dan n = ∞ atau
m = ∞ dan n ganjil 5 , lainnya.
Diperoleh ( X, d ) merupakan ruang metrik pseudo- b 3 tetapi fungsi d tidak kontinu di ( ∞ , 1) ∈ X × X . Didefinisikan fungsi f : X → R dengan f ( x ) = d (2 x, 1) untuk setiap x ∈ X . Dipilih ε 0 = 2 , diambil sebarang N > 0 . Berdasarkan sifat Archimedean, terdapat m N ∈ N sehingga N ≤ m N . Diperoleh
| f (2 m N ) − f ( ∞ ) | = | d (2 m N , 1) − d ( ∞ , 1) | = | 5 − 8 | = 3 > ε 0 .
Jadi, f tidak kontinu di ∞ . Akibatnya, d tidak kontinu di ( ∞ , 1) .
II. TOPOLOGI DI RUANG METRIK PSEUDO- b s
Pada bagian ini akan dibahas mengenai kekonvergenan- b s barisan, barisan Cauchy- b s , ru- ang metrik pseudo- b s lengkap, dan himpunan tertutup- b s .
Definisi 1 Diberikan s ≥ 1 dan ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) . Barisan di ruang metrik pseudo- b s adalah fungsi dari N ke X .
Dengan demikian, jika diberikan ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) dengan s ≥ 1 , fungsi f : N → X dengan f ( n ) = x n untuk setiap n ∈ N merupakan barisan di X . Barisan tersebut dapat dituliskan sebagai ( x n ) , { x n } , atau { x n } ∞ n =1 . Berikut ini diberikan contoh dari barisan di ruang metrik pseudo- b s .
Contoh 1 Diberikan himpunan X = C ([0 , ∞ )) , yaitu himpunan semua fungsi kontinu dari [0 , ∞ ) ke R dan d ( x, y ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 , untuk setiap x, y ∈ X . Untuk setiap n ∈ N

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
109 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
didefinisikan x n dengan
x n ( t ) = t n
untuk setiap t ∈ [0 , ∞ ) . Diperoleh { x n } merupakan barisan di X .
Berikut ini adalah definisi kekonvergenan- b s suatu barisan di ruang metrik pseudo- b s den- gan s ≥ 1 .
Definisi 2 Diberikan s ≥ 1 , ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , dan { x n } . Barisan { x n } dikatakan konvergen- b s ke x ∈ X jika untuk setiap ε > 0 terdapat n 0 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ n 0 berlaku
d ( x n , x ) < ε.
Selanjutnya, x disebut limit- b s barisan { x n } dan dinotasikan dengan x n → b s x .
Untuk selanjutnya, barisan { x n } di ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , dengan s ≥ 1 , dikatakan barisan konvergen- b s jika terdapat x ∈ X sehingga barisan { x n } konvergen- b s ke x . Berikut ini diberikan contoh barisan konvergen- b 2 .
Contoh 2 Diperhatikan kembali barisan pada Contoh 1. Barisan { x n } merupakan barisan kon- vergen- b 2 ke fungsi θ : [0 , ∞ ) → R dengan θ ( t ) = 0 untuk setiap t ∈ [0 , ∞ ) . Diambil sebarang ε > 0 , berdasarkan sifat Archimedes dapat ditemukan n 0 ∈ N sehingga 1 n 0 < ε . Akibatnya, untuk setiap n ∈ N dengan n ≥ n 0 berlaku
d ( x n , θ ) = max t ∈ [0 , 1] ( x n ( t ) − θ ( t )) 2 = max t ∈ [0 , 1] t n − 0 2 = max t ∈ [0 , 1] t n 2 ≤ 1 n 2 ≤ 1 n 0 2 ≤ 1 n 0 < ε.
Diberikan s ≥ 1 , { x n } barisan di ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) dan { n k } merupakan barisan di N dengan sifat
n 1 < n 2 < · · · < n k < · · · .
Barisan { x n k } disebut barisan bagian dari { x n } .
Lemma 1 Diberikan s ≥ 1 , ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , dan barisan { x n } . Jika barisan { x } konvergen- b s ke x ∈ X , maka { x n k } konvergen- b s ke x .
Tidak seperti dalam ruang metrik, limit- b s suatu barisan di ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 tidaklah tunggal. Diperhatikan kembali fungsi d ∗ pada Contoh 1. Sebarang barisan di himpunan X merupakan barisan konvergen- b 1 ke setiap anggota X .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
110 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Selain kekonvergenan- b s barisan pada ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 , perlu juga diketahui definisi serta contoh dari barisan Cauchy- b s . Definisi barisan Cauchy- b s dengan s ≥ 1 diberikan dalam Definisi 3 berikut.
Definisi 3 Diberikan s ≥ 1 , ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , dan { x n } . Barisan { x n } disebut barisan Cauchy- b s jika untuk setiap ε > 0 terdapat n 0 ∈ N sehingga untuk setiap m, n ≥ n 0 berlaku d ( x m , x n ) < ε.
Untuk lebih memahami apa yang dimaksud denngan barisan Cauchy- b s di ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 , perhatikan contoh berikut.
Contoh 3 Diperhatikan kembali barisan pada Contoh 1. Barisan { x n } merupakan barisan Cauchy- b 2 .
Bukti. Diambil sebarang ε > 0 , berdasarkan sifat Archimedes dapat ditemukan n 0 ∈ N se- hingga 4 ε < n 0 . Akibatnya, untuk setiap m, n ∈ N dengan m, n ≥ n 0 berlaku
d ( x m , x n ) = max t ∈ [0 , 1] ( x m ( t ) − x n ( t )) 2 = max t ∈ [0 , 1] t m − t n 2 ≤ max t ∈ [0 , 1] 2 t m 2 + t n 2 ! ≤ 2 1 m 2 + 1 n 2 = 4 n 2 0 ≤ 4 n 0 < ε.
Dalam ruang metrik, setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy. Sifat tersebut berlaku juga untuk ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 dan diberikan buktinya dalam Teo- rema 1 berikut.
Teorema 1 Diberikan s ≥ 1 dan ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) . Setiap barisan konvergen- b s merupakan barisan Cauchy- b s .
Bukti. Diambil sebarang barisan { x n } di X yang konvergen- b s , katakan ke x ∈ X , dan ε > 0 . Karena { x n } konvergen b s ke x , maka ada n 0 ∈ N sehingga untuk setiap n ∈ N dengan n ≥ n 0 berlaku
d ( x n , x ) ≤ ε 2 s .
Dengan demikian, untuk setiap m, n ∈ N dengan m, n ≥ n 0 berlaku
d ( x m , x n ) ≤ s [ d ( x m , x ) + d ( x n , x )] < s h ε 2 s + ε 2 s i = ε.
Jadi, { x n } merupakan barisan Cauchy- b s di X .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
111 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Contoh 4 Barisan { x n } dengan x n = 1 n + 1 , untuk setiap n ∈ N , merupakan barisan Cauchy di ruang metrik ((0 , 1) , m ) dengan m ( x, y ) = | x − y | untuk setiap x, y ∈ (0 . 1) tetapi barisan { x n } tidak konvergen di ruang tersebut. Mengingat bahwa setiap ruang metrik merupakan metrik pseudo- b s , maka Teorema 1 tidak berlaku sebaliknya.
Berdasarkan contoh di atas, dapat didefinisikan kelengkapan suatu ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) sebagai berikut.
Definisi 4 Diberikan s ≥ 1 , ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , dan { x n } . Ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy- b s merupakan barisan konvergen- b s .
Salah satu contoh ruang metrik pseudo- b 2 lengkap diberikan dalam Contoh 5 berikut ini.
Contoh 5 Diberikan himpunan A = C ([0 , 1]) , yaitu himpunan semua fungsi kontinu dari [0 , 1] ke R dan d ( x, y ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 , untuk setiap x, y ∈ X . Karena ( X, d ) dengan X = C ([0 , ∞ )) merupakan ruang metrik pseudo- b 2 (lihat kembali Contoh 1), maka ( A, d ) juga merupakan ruang metrik pseudo- b 2 . Diambil sebarang barisan Cauchy- b 2 di A dan sebarang ε > 0 , maka terdapat n 0 ∈ N sehingga untuk setiap m, n ∈ N dengan m, n ≥ n 0 berlaku
d ( x m , x n ) = max t ∈ [0 , 1] ( x m ( t ) − x n ( t )) 2 < ε 4 .
Akibatnya, untuk sebarang t ∈ [0 , 1] dan m, n ∈ N dengan m, n ≥ n 0 berlaku
| x m ( t ) − x n ( t ) | ≤ max t ∈ [0 , 1] | x m ( t ) − x n ( t ) | < √ ε 2 . (1)
Dengan demikian, { x n ( t ) } merupakan barisan Cauchy di R untuk setiap t ∈ [0 , 1] . Karena R merupakan ruang metrik lengkap, maka { x n ( t ) } konvergen ke suatu y t ∈ R . Dengan menggu- nakan ketunggalan limit barisan di R , dapat didefinisikan fungsi x : [0 , 1] → R dengan
x ( t ) = lim n →∞ x n ( t )
untuk setiap t ∈ [0 , 1] .
Diperhatikan kembali pertidaksamaan (1). Dengan mengambil n → ∞ , untuk sebarang t dan m ∈ N dengan m ≥ n 0 diperoleh
| x m ( t ) − x ( t ) | = | x m ( t ) − lim n →∞ x n ( t ) | ≤ √ ε 2 .
Akibatnya, berlaku
max t ∈ [0 , 1] | x m ( t ) − x ( t ) | ≤ √ ε 2 . (2)
Diperoleh barisan fungsi { x n } konvergen seragam ke x . Karena x n merupakan fungsi kontinu untuk setiap n ∈ N , maka x merupakan fungsi kontinu. Lebih lanjut, dari pertidaksamaan (2) diperoleh
max t ∈ [0 , 1] ( x m ( t ) − x ( t )) 2 ≤ ε 4 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
112 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Jadi, barisan { x n } merupakan barisan konvergen- b 2 . Dengan kata lain, ( A, d ) merupakan ruang metrik pseudo- b 2 lengkap.
Definisi himpunan tertutup- b s di suatu ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 diberikan dalam Definisi 5 berikut.
Definisi 5 Diberikan s ≥ 1 dan ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) . Himpunan A ⊆ X dikatakan tertutup- b s jika limit- b s setiap barisan di A yang konvergen- b s termuat di A .
Contoh 6 berikut ini merupakan contoh dari himpunan tertutup- b s di ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 .
Contoh 6 Diberikan himpunan X = C ([0 , ∞ )) dan d ( x, y ) = max t ∈ [0 , 1] ( x ( t ) − y ( t )) 2 , untuk setiap x, y ∈ X . Himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan tertutup- b 2 .
1. Untuk setiap x ∈ X , singleton { x } merupakan himpunan tertutup- b 2 .
2. A = x n : x n ( t ) = t n , n ∈ N , t ∈ [0 , ∞ ) ∪ { y ∈ X : y ( s ) = 0 , s ∈ [0 , 1] } merupakan himpunan tertutup- b 2 .
Sebarang gabungan dan irisan dua himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup di ruang metrik. Sifat tersebut juga berlaku di ruang metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 dan diberikan buktinya dalam Teorema 2 berikut ini.
Teorema 2 Diberikan s ≥ 1 dan ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) .
1. Jika A, B ⊆ X himpunan tertutup- b s , maka A ∪ B himpunan tertutup- b s .
2. Jika A, B ⊆ X himpunan tertutup- b s , maka A ∩ B himpunan tertutup- b s .
Bukti. Diambil sebarang A, B ⊆ X dengan A dan B tertutup- b s di X .
1. Diambil sebarang barisan { x n } di A ∪ B yang konvergen- b s , katakan ke x ∈ X . Karena A ∪ B memuat takterhingga banyaknya suku-suku barisan { x n } , maka salah satu dari A atau B memuat takterhingga banyaknya suku-suku barisan { x n } . Tanpa mengurangi keumuman, dimisalkan A memuat takterhingga banyaknya suku-suku barisan { x n } . Akibatnya, terdapat barisan bagian { x n k } yang termuat di A . Berdasarkan Lemma 1, barisan { x n k } konvergen- b s ke x . Diperoleh x ∈ A , karena A tertutup- b s . Jadi, x ∈ A ∪ B . Dengan kata lain, A ∪ B tertutup- b s .
2. Diambil sebarang barisan { x n } di A ∩ B yang konvergen- b s , katakan ke x ∈ X . Karena { x n } barisan di A ∩ B , maka { x n } barisan di A . Diketahui A tertutup- b s , barisan { x n } termuat di A , dan { x n } konvergen- b s ke x , diperoleh x ∈ A . Dengan cara yang sama, diperoleh x ∈ B . Dengan demikian, x ∈ A ∩ B . Jadi, diperoleh A ∩ B tertutup- b s .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
113 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa irisan dari sebarang himpunan tertutup- b s meru- pakan himpunan tertutup- b s .
Teorema 3 Diberikan s ≥ 1 dan ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) . Jika A i ⊆ X himpunan tertutup- b s untuk setiap i ∈ I , dengan I himpunan indeks, maka T i ∈ I A i himpunan tertutup- b s .
Bukti. Diambil sebarang barisan { x n } di T i ∈ I A i yang konvergen- b s , katakan ke x ∈ X . Karena { x n } barisan di T i ∈ I A i , maka { x n } barisan di A i untuk setiap i ∈ I . Diketahui untuk setiap i ∈ I , himpunan A i tertutup- b s , barisan { x n } termuat di A i , dan { x n } konvergen- b s ke x , diperoleh x ∈ A i untuk setiap i ∈ I . Jadi, diperoleh T i ∈ I A i tertutup.
Telah ditunjukkan bahwa irisan dari sebarang himpunan tertutup- b s merupakan himpunan tertutup- b s untuk s ≥ 1 . Namun, untuk gabungan dari sebarang himpunan tertutup- b s belum tentu merupakan himpunan tertutup- b s . Berikut ini diberikan contohnya.
Contoh 7 Diberikan himpunan R yang dilengkapi dengan metrik biasa h ( x, y ) = | x − y | un- tuk setiap x, y ∈ R . Karena setiap metrik merupakan metrik pseudo- b 1 , maka interval 1 k , 1 merupakan himpunan tertutup- b 1 untuk setiap k ∈ N . Akan ditunjukkan bahwa
[ k ∈ N 1 k , 1 = (0 , 1] .
Diambil sebarang x ∈ S k ∈ N 1 k , 1 , artinya terdapat k x ∈ N sehingga
x ∈ 1 k x , 1 ⇔ 0 < 1 k x ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 < x ≤ 1 ,
yang artinya x ∈ (0 , 1] . Diambil sebarang y ∈ (0 , 1] . Untuk y = 1 , diperoleh
y ∈ 1 2 , 1 ⊆ [ k ∈ N 1 k , 1 .
Untuk 0 < y < 1 , berdasarkan sifat Archimedean, terdapat k y ∈ N sehingga berlaku 1 < 1 y < k y . Akibatnya, diperoleh
1 < 1 y < k y ⇒ 1 k y < y < 1
yang artinya y ∈ h 1 k y , 1 i ⊆ S k ∈ N 1 k , 1 .
Selanjutnya, akan ditunjukkan (0 , 1] tidak tertutup- b 1 . Untuk setiap m ∈ N didefinisikan t m = 1 m . Diambil sebarang t ∈ (0 , 1] , dipilih ε 0 = t 2 dan diambil sebarang m ∈ N . Berdasarkan sifat Archimedean, terdapat m 1 ∈ N sehingga berlaku 2 x < m 1 ⇒ 1 m 1 < x 2 . Selanjutnya, dipilih m 2 = m 1 + m ≥ m diperoleh
x − 1 m 2 > x − 1 m 1 > x − x 2 = x 2 = ε 0 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
114 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Jadi, t m tidak konvergen di (0 , 1] . Dengan kata lain, himpunan S k ∈ N 1 k , 1 = (0 , 1] tidak tertutup- b 1 .

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan penjabaran pada bagian I, diperoleh metrik, metrik- b , dan metrik pseudo merupakan metrik pseudo- b s dengan s ≥ 1 tertentu dan pembuktiannya diberikan dalam Teo- rema 1. Namun, terdapat contoh metrik pseudo- b s bukan merupakan metrik, metrik pseudo, maupun metrik- b yang dapat dilihat pada Contoh 2. Selanjutnya, dari bagian II, diperoleh un- tuk ruang metrik pseudo- b s ( X, d ) , dengan s ≥ 1 , diperoleh sifat bahwa setiap barisan bagian dari barisan konvergen- b s merupakan barisan konvergen- b s dengan limit- b s barisan yang sama (Lemma 1) dan setiap barisan konvergen- b s merupakan barisan Cauchy- b s (Teorema 1) na- mun tidak berlaku sebaliknya. Selain itu, untuk sebarang dua himpunan tertutup- b s , irisan dan gabungannya merupakan himpunan tertutup- b s (Teorema 2). Lebih lanjut, irisan dari sebarang himpunan tertutup- b s merupakan himpunan tertutup- b s (Teorema 3), namun gabungan dari tak berhingga banyaknya himpunan tertutup- b s belum tentu merupakan himpunan tertutup- b s (Con- toh 7).

## REFERENSI
[1] Al-Mezel, Saleh, dan Ahmad, Jamshaid, Generalized Fixed-Point Results for Almost ( α , F σ )-Contractions with Applications to Fredholm Integral Inclusions, Symmetry , Vol. 11, 1068, 10.3390/sym11091068, 2019.
[2] Ali, M. U., Kamran, T., dan Postolache, M., Fixed point theorems for multivalued G- contractions in Hausdorff b -Gauge spaces, Journal of Nonlinear Science and Application , Vol. 8, pp. 847-855, 2015.
[3] Ali, M. U. dan Din, F.U. Discussion on α -contractions and related fixed point theorems in Hausdorff b -Gauge Spaces, Jordan Journal of Mathematics and Statistics(JJMS) , Vol. 10, No. 3, pp. 247-263, 2017.
[4] Czerwik, S. Contraction mappings in b-metric spaces. Acta Math Inform Univ Ostrav, Vol. 1, pp. 5–11, 1993.
[5] Mukheimer, Aiman, dkk., New theorems on extended b-metric spaces under new con- tractions, Nonlinear Analysis: Modelling and Control , Vol. 24, 10.15388/NA.2019.6.2, 2019.
[6] Nazam, Muhammad, dan Muhammad, Arshad, Common Fixed Point Theorem For Gen- eralized b-Order Rational Contraction With Application, International Journal of Mathe- matical Analysis , Vol. 8, 2017.
[7] Royden, H. L. dan Fitzpatrick, P. M. Real Analysis 4th Edition , Prentice Hall, Amerika Serikat, 2010.
[8] Sagheer, Dur-e-Shehwar, dan Kamran, Tayyab, (2015). C* C ∗ -Valued G-contractions and fixed points, Journal of Inequalities and Applications , 10.1186/s13660-015-0827-9, 2015.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
115 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
[9] Shatanawi, Wasfi, Abodayeh, Kamal, dan Mukheimer, Aiman, Some fixed point theorems in extended b-metric spaces, UPB Scientific Bulletin, Series A: Applied Mathematics and Physics , Vol. 80, pp. 71-78, 2018.
[10] Tiammee, Jukrapong, Suantai, Suthep, dan Yeol Je, Cho, Existence theorems of a new set- valued MT-contraction in b-metric spaces endowed with graphs and applications, Fixed Point Theory , Vol. 19, pp. 785-800. 10.24193/fpt-ro.2018.2.58, 2018.
[11] Zikria, Nosheen, dkk., Periodic and Fixed Points for Caristi-Type G-Contractions inEx- tended b-Gauge Spaces, Hindawi Journal of Function Spaces , Vol. 2021(1), pp. 1-9, 2021.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
116 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035