Analisa Linier Eliminasi Gauss-Jordan Untuk Analisis Struktur Rangka Batang Segitiga

## Sederhana
Rita Nasmirayanti 1 , Rafki Imani 2 , Utami Dewi Arman 3 , Afrilda Sari 4 Fakultas Teknik Universitas Putra Indonesia “YPTK” Padang 1,2,3,4
Email: tathen94@gmail.com 1 , rafimani17@yahoo.co.id 2 , udewi2679@gmail.com 3 , afrildasari@yahoo.com 4 DOI: http://dx.doi.org/10.31869/rtj.v5i1.2975
Abstrak: Penelitian  ini  dilakukan  untuk  menampilkan  performa  metode  numerik  dalam  analisa struktur.  Operasi  perhitungan  analisa  struktur  ini  menggunakan  Metode  Eliminasi  Gauss-Jordan terhadap sebuah struktur rangka batang segitiga sederhana yang sudah diidealisasikan. Beban luar yang  diasumsikan  berupa  beban  terpusat  pada  nodal-2  sebesar  2  ton  dan  ditumpu  oleh  tumpuan sendi  pada  nodal-1  dan  tumpuan  roll  pada  nodal-3.  Perhitungan  dimulai  dengan  pemberian  beban luar terpusat, kemudian menghitung gaya reaksi yang dihasilkan oleh tumpuan dan gaya-gaya dalam pada  batang  dengan  Metode  Eliminasi  Gauss-Jordan.  Dari  hasil  analisis  diperoleh  besar  reaksi tumpuan pada nodal-1 sebesar H 1 = 2 ton ke kiri dan V 1 =0,86603 ton ke bawah, reaksi tumpuan di nodal-3  adalah sebesar  V 3 =0,86603 ton  ke  atas.Sedangkan  gaya-gaya  dalamyang  diperoleh  adalah F 1 =1  ton  dengan  batang  tertarik,  F 2 =0,73025  ton  dengan  batang  tertekan  dan  F 3 =1,5  ton  dengan batang tertarik.  Hasil  analisa  ini  mengindikasikan  bahwa  perhitungan  dengaliminasi  Gauss-Jordan memberikan hasil pendekatan yang cukup baik dibandingkan dengan analisa eksak.
Keywords: Metode  numerik,  Metode  Eliminasi  Gauss-Jordan,  analisa  struktur,  struktur  rangka batang segitiga.

## PENDAHULUAN
Permasalahan  dengan  penggunaan  model matematis  banyak  dijumpai  dalam  kehidupan sehari-hari.  Misalnya,  di  bidang  teknik  sipil, dimana  persoalan  perhitungan  struktur  sebuah gedung  tentunya  membutuhkan  waktu  yang panjang dan sangat melelahkan. Dalam bidang struktur ketekniksipilan, melakukan perhitungan  dan  analisis  struktur  pada  sebuah rangka  batang  sederhana  mungkin  dapat dilakukan  dengan  proses  matematis  dan analitik  biasa.  Namun  ketika  dihadapkan  pada kondisi  riil  di  lapangan,  permasalahan  dalam melakukan  perhitungan  pada  sebuah  struktur bangunan  yang  kompleks,  menjadi  sulit dilakukan  dengan  metode  analitik  biasa (Nurhadiyono & Rahayu, 2012).
Pertimbangan  pengaruh  beban  gempa, beban  angin  dan  beban  dinamik  lainnya  pada struktur  dengan  sifatnya  yang  berulang  dan periodik,  akan  menyulitkan  perencana  dalam melakukan  proses  perhitungan  strukturnya secara  analitik  biasa.  Permasalahan  lainnya adalah,  terkadang  perhitungan  tersebut  tidak memiliki  formulasi  yang  pasti  bahkan  tidak memiliki  rumus  yang  baku.  Pada  kondisi  ini, metode  numerik  menjadi  pilihan  untuk melakukan analisa pada struktur tersebut [1].
Secara  harfiah  metode  numerik  adalah suatu  metode  perhitungan  yang  melibatkan angka-angka  [2].  Secara  umum  metode numerik  adalah  suatu  metode  yang  digunakan untuk  merumuskan  masalah  matematis  agar dapat  diselesaikan  dengan  operasi  aritmatika atau  perhitungan  biasa  sepeti  tambah,  kurang, kali,  dan  pembagian.  Dalam  metode  numerik ini,  hasil  yang  diperoleh  berupa  angka pendekatan yang bukan berupa nilai eksak [3].
Analisa  numerik  ini  menjadi  diminati seiring perkembangan teknologi, karena kemunculan program komputer dengan software-software perhitungan  yang  semakin canggih,  dapat  dimanfaatkan  untuk  membantu para engineer melakukan  analisa  struktur. Analisa  struktur  adalah  sebuah  perhitungan yang  dilakukan  untuk  memperoleh  gaya-gaya dalam  akibat  gaya  luar  yang  bekerja,  maupun untuk  menetukan  besar  tegangan  yang  terjadi [4]. Proses  analisa  struktur  pada  sebuah konstruksi  dengan  metode  numerik  ini  salah satunya  dapat  dilakukan  dengan  Sistem Persamaan Linear (SPL). Dalam permasalahan analisa  struktur  ini,  operasi  SPL  dilakukan secara  simultan,  karena  memiliki  banyak variabel  yang  perlu  diperhitungkan.  Dalam penelitian  ini,  akan  dilakukan  sebuah  analisis
struktur pada sebuah rangka struktur sederhana segitiga  dengan  performa  metode  numerik, yaitu  SPL  dengan  Metode  Eliminasi  Gauss- Jordan.  Metode  ini  dipilih  karena  proses operasinya  yang  mudah  dan  sederhana, sehingga perencana tidak mengalami kesulitan tertentu dalam perhitungannya. Dalam pengoperasiannya  di  lapangan,  disarankan untuk menggunakan software komputer tertentu agar proses analisis dapat diselesaikan lebih cepat.
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
merupakan  SPL  yang  dikembangkan  dari Metode  Eliminasi  Gauss  Naif/Biasa.  Dalam analisanya,  Metode  Gauss-Jordan  dilakukan dengan  operasi  matriks.  Bentuk  umum perkalian matriks-nya adalah,      B x A  (1)
dimana [5],
             
                                                   n n mn m m m n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a       3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 ... ... ... ... (2) dengan  [ A ]  adalah  matriks n m  ,  [ x ]  adalah matriks 1  n dan  [ B ]  adalah  matriks  kolom. [ A ]  dan  [ B ]  sudah  diketahui  sedangkan  [ x ] adalah variabel yang akan ditentukan nilainya.
Proses  aljabar  dari  Metode  Eliminasi Gauss-Jordan  adalah  dengan  memodifikasi matriks [ A ] menjadi matriks Identitas [ I ] yang bernilai 1 pada diagonalnya, dan yang lainnya adalah  bernilai  nol,  sehingga  tidak  perlu melakukan substitusi mundur dalam perhitungannya [6], sehingga:
                                                                 n n b b b b x x x x      3 2 1 3 2 1 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 1
(3)

## 1 METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  ini  adalah  metode analisa  struktur  rangka  batang  segitiga sederhana  yang  dilakukan  dengan  metode numerik yaitu Metode Eliminasi Gauss-Jordan dari  SPL.  Rangka  batang  segitiga  sederhana yang  akan  dianalisis  adalah  seperti  yang ditunjukkan  oleh  Gambar  1  di  bawah.  Pada
analisa struktur ini akan dilakukan perhitungan untuk  menentukan  besarnya  gaya-gaya  dalam yang  terjadi  akibat  pengaruh  beban  luar terpusat sebesar 2 Ton pada nodal-2.
Gambar 1. Struktur rangka batang segitiga sederhana.
Langkah-langkah  untuk  menyelesaikan analisa ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat model,
yaitu dengan menggambarkan Diagram Benda Bebasnya, DBB  ( Free  Body  Diagram ,  FBD),  lalu tumpuannya digantikan dengan gaya reaksi, dengan  arahnya  boleh  diasumsikan.  Jika nilai  gaya  reaksi  bernilai  negatif  maka arahnya akan berubah.
2. Menggambar  gaya-gaya  pada  setiap  titik simpulnya,  dimana  gaya  pada  batang  tarik positif  dan  gaya  pada  batang  tekan  adalah negatif.
3. Menghitung  gaya-gaya  pada  tumpuan  dan gaya  dalam  batang  dengan  Persamaan Dasar Kesetimbangan (PDK), dimana:
    0 ; 0 V H F F (4)
Dengan F H adalah  gaya-gaya  pada  arah horizontal  dan F V adalah  gaya-gaya  pada  arah vertikal,  dengan  satuannya  adalah  ton. Perjanjian  tanda  untuk  perhitungan  ini ditetapkan sebagai berikut:
a. Arah  horizontal  ke  kanan  adalah  positif, dan sebaliknya.
b. Arah  vertikal  ke  atas  adalah  positif,  dan sebaliknya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Diagram Benda Bebas (DBB) dari struktur Gambar 2 adalah:
Gambar 2. Diagram Benda Bebas (DBB)
struktur rangka batang segitiga sederhana. dan gambar gaya-gaya dalamnya adalah:
Gambar 3. Diagram gaya dalam batang.
Nodal-1:       0 60 cos 0 1 3 o 1 H F F F H (5)      0 60 sin 0 1 o 1 V F F V (6)
Nodal-2:
      0 2 30 sin 60 sin 0 o 1 o 2 F F
F H (7)
      0 60 cos 30 cos 0 o 2 o 1 F F F V (8) Nodal-3:
     
0 30 cos 0 o 2 3 F F F H (9)      0 30 sin 0 3 o 2 V F F V (10)
Langkah  selanjutnya  adalah,  persamaan (5) sampai (10) disusun dalam bentuk matriks, sehingga:
                 
          


        

         

##     
  


     0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 30 sin 0 0 0 0 1 30 cos 0 0 0 0 0 60 cos 30 cos 0 0 0 0 60 sin 30 sin 0 1 0 0 0 60 sin 0 0 1 1 0 60 cos 3 1 1 3 2 1 V V H F F F          
       



        

       


       

##  

##        

## 

## 
     0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 5 , 0 0 0 0 0 1 7 , 8 0 0 0 0 0 5 , 0 7 , 8 0 0 0 0 7 , 8 5 , 0 0 1 0 0 0 7 , 8 0 0 1 1 0 5 , 0 3 1 1 3 2 1 V V H F F F
Sehingga dengan modifikasi Metode Eliminasi Gauss-Jordan diperoleh:
                 
    
        
                   
            86603 , 0 86603 , 0 2 5 , 1 73205 , 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 3 2 1 V V H F F F
Dari perhitungan di atas, maka gaya-gaya pada tumpuan  dan  gaya-gaya  dalam  diperoleh adalah: sehingga bentuk struktur menjadi:
PENUTUP Dari perhitungan di atas dapat disimpulkan:
1. Besar  gaya-gaya  reaksi  tumpuan  pada nodal 1 dan 3 serta gaya-gaya dalam batang diperoleh:
F 1 = 1 ton (batang tarik) F 2 = 1,73025 ton (batang tekan)
F 3 = 1,5 ton (batang tarik) H 1 = 2 ton (horizontal ke kiri),
V 1 = 0,86603 ton (vertikal ke bawah) V 3 = 0,86603 ton (vertikal ke atas).
2. Besar  reaksi  tumpuan  pada H 1 dan V 1 bernilai negatif berturut-turut sebesar 2 ton dan  0,86603  ton,  artinya  asumsi  arah pertama  berubah  menjadi  arah  sebaliknya untuk mengimbangi kestabilan struktur.
3. Penerapan  Metode  Eliminasi  Gauss-Jordan dalam  analisa  struktur  rangka  batang segitiga  yang  memiliki  Sistem  Persamaan Linear Simultan seperti contoh kasus dalam penelitian ini, dapat menghemat waktu dan memudahkan perhitungan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] G.  H.  Rompas,  S.  E.  Wallah,  R.  S. Windah,  and  S.  O.  Dapas,  “Kestabilan Solusi  Numerik  Sistem  Berderajat Kebebasan  Tunggal  Akibat  Gempa dengan  Metode  Newmark,” Jurnal
Teknik  Sipil ,  vol.  3,  no.  1,  pp.  1–7, 2015.
[2] P.  C.  Siswipraptini,  and  Rifarhan,
“Media Pembelajaran Integrasi Numerik  Dengan  Metode  Kuadratur
Gauss,” Jurnal  Ilmiah  FIFO ,  vol.VI, No. 1pp. 43–48, 2014.
[3] R.  Munir,  Metode  Numerik, Bandung: Penerbit Informatika , 2015.
[4] T. Boen and F. X. Supartono, "Analisa Struktur  dengan  Metode  Matriks," UI- Press,  Cet.  Ketiga,  Fak.  Teknik,  Univ. Indonesia , 1980
[5] Agus Setiawan, “Diktat Kuliah Analisis Numerik,” Diktat  Progr.  Stud.  Tek. Sipil , pp. 1–41, 2016.
[6] M.  A.  Choiron,  BAB  I.  "Pengantar
Metode Numerik," pp. 1–60, 2012.