Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515

## MODEL STOKASTIK PADA PERTUMBUHAN EKONOMI DI KABUPATEN KARO
Ferdinand Sinuhaji 1) , Juli Loisiana Butarbutar 2)
1)2) Universitas Quality Berastagi Email : sinuhajiferdinand@gmail.com

## ABSTRAK
Tujuan  penelitian  adalah  menyusun  model  pertumbuhan  ekonomi  dikabupaten karo  dengan  stokastik  sehingga  dapat  meramalkan  jumlah  pertumbuhan  ekonomi kabupaten  karo  yang  akan  datang,  Membandingkan  nilai  dugaan  pertumbuhan  ekonomi yang  dibangun  stokastik  dengan  model  pertumbuhan  ekonomi  yang  umum  digunakan dalam teori ekonomi.
Metode  penelitian  dengan  analisis  data  menggunakan  model  yang  dibangun untuk  diterapkan  menganalisis  pertumbuhan  ekonomi  dikabupaten  karo  dan  menyusun model dengan asumsi matematika yang akan diterapkan kedalam model. Hasil penelitian adalah  pendugaan  PDRB  Kabupaten  Karo  berdasarkan  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten karo pada tahun 2019 yang akan datang adalah 14,22521 triliun Rupiah dan setahun kemudian atau yang belum diketahui adalah  14,72309 triliun Rupiah dan pendugaan jumlah pertumbuhan ekonomi dikabupaten karo pada tahun 2019 yang akan datang sebesar 4,95 %.
Setahun  kemudian  pendugaan  pertumbuhan  ekonomi  kabupaten  karo  diduga mencapai 3,49 %. Kesimpulan nilai pendugaan pertumbuhan penduduk dari model yang dibuat  pada  tahun  2011,  2012,  2013,  2014,  2015,  2016,  2017,  2018  mendekati  dengan nilai pertumbuhan penduduk yang sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar 4,9590 %. Kata Kunci : pertumbuhan ekonomi, model stokastik, analisis gerombol.

## ABSTRACT
The purpose of this research is to compile a model of economic growth in Karo District  with  stochasticity  so  that  it  can  predict  the  amount  of  economic  growth  in  the future Karo District. The research method with data analysis uses a model that was built to  be  applied  to  analyze  economic  growth  in  Karo  District  and  compose  a  model  with mathematical assumptions that will be applied into the model.
The results of the study are the estimation of the Karo Regency GRDP based on the  constant  2010  prices  according  to  the  forthcoming  expenditure  of  karo  district  in 2019, which is 14.22521 trillion Rupiahs and a year later or unknown is 14.72309 trillion Rupiahs and the estimation of the amount of economic growth in the Karo district in 2019 to come at 4.95%.
A  year  later  the  estimated  economic  growth  of  Karo  district  was  estimated  at 3.49%.  Conclusion  The  estimated  value  of  population  growth  from  the  model  made  in 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 is close to the actual population growth value with a MAPE value of 4.9590%.
Keywords: economic growth, stochastic model, cluster analysis.
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
Pendahuluan Rahardjo (2013), Pertumbuhan ekonomi  merupakan  upaya  peningkatan kapasitas produksi untuk mencapai penambahan output, yang
diukur menggunakan  Produk  Domestik  Broto (PDB)  maupun  Produk  Regional  Broto (PDRB)  dalam  suatu  wilayah.  Pada penelitian  ini  mengunakan  faktor  yang dapat mempengaruhi pertumbuhan ekonomi adalah nilai ekspor, pengeluaran
pemerintah, tenaga kerja.
BPS  Karo  (2016),  Di  kabupaten karo  laju  pertumbuhan  Produk  Domestik Regional Broto (PDRB) terdata mengalami kenaikan  dan  penurunan,  penurunan  ini wajar dikarenakan aktivitas gunung sinabung  yang  mengalami  erupsi  (letusan) pada  tanggal  27  Agustus  2010,  gunung sinabung  mengeluarkan  asap  dan  abu vulkanis, lalu 2013, 2015, 2016, dan masih dirasakan  sampai  tahun  2018  sehingga PDRB  nya  mengalami  penurunan  terlihat bahwa    tahun  2011  terdata  sebesar  5,75%, tahun  2012  terdata  sebesar  5,09%,  tahun 2013 terdata sebesar 4,95%, dan tahun 2016 mengalami  kenaikan  sebesar  5,17%.  BPS Karo  (2018),  Dari  sisi  pengeluaran, komponen  pengeluaran  konsumsi  rumah tangga (PKRT) memberi kontribusi terbesar yaitu 52,67%, kemudian komponen pembentukan  modal  tetap  broto  (PMTB)
sebesar 31,36% dan ekspor sebesar 26,83%. Penelitian  ini  menggunakan  PDRB  atas dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran  Kabupaten Karo sebagai indicator pertumbuhan ekonomi.
Metode Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian  ini  adalah  agregat  PRDB  atas dasar  konstan  tahun  2010 , yaitu  jumlah produksi  atau  pendapatan  atau  pengeluaran yang  dinilai  atas  dasar  harga  tetap  (harga pada  tahun  dasar)  yang  digunakan  dalam setahun.  Perhitungan  Produk  Dosmestik Regional  Broto  pada  penelitian  ini  secara konseptual menggunakan pendekatan pengeluaran.  Di  dalam  penelitian  ini digunakan data sekunder yang diambil dari Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  di  kabupaten karo.  Data  yang  diambil  adalah  data  tahun 2010 –  2017.  Pembangunan  model pertumbuhan  ekonomi  di  kabupaten  karo menggunakan  asumsi  –  asumsi  model pertumbuhan  stokastik.  Kemudian  langkah selanjutnya  melakukan analisis  gerombol
untuk mengetahui karakteristik di kabupaten karo. Analisis data yang dilakukan  mengunakan  model  yang  sudah dibuat  untuk  memperoleh  nilai  dugaan pertumbuhan  ekonomi  di  kabupaten  karo. Selain  menggunakan  data  PDRB,  faktor- faktor yang mempegaruhi terhadap pertumbuhan ekonomi  adalah  nilai  ekspor,  pengeluaran pemerintah,  tenaga  kerja  yang  akan disajikan menjadi variabel penelitian. Tabel 1. Variabel Penelitian Tahun Ekspor barang dan jasa Pengeluaran Konsumsi pemerintah Tenaga kerja 2013 3095,43 97760 206,048 2014 3235,00 100815 208,839 2015 3440,59 102867 228,207 2016 3602,60 102415 210,956 2017 3830,19 109171 218,038 BPS Karo (2018), Variabel penelitian  yang  digunakan  terdiri  dari variabel dependen dan variabel independen yang ditunjukan oleh pada tabel 1. Defenisi operasional  dari  masing  masing  variabel dependent dan independent yang digunakan dalam penelitian sebagai berikut.
1. Y  =  PDRB  atas  dasar  konstan (variabel dependent) 2. X 1 =  Nilai  Ekspor  Barang  dan Jasa (variabel independent)
3. X 2 =  Pengeluaran  konsumsi akhir Pemerintah (variabel independent)
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
4. X 3 =  Tenaga  Kerja  (variabel independent)
Rachmawati  dan  Bekti  (2013),
Asumsi pembuatan model stokastik pertumbuhan  ekonomi  dikabupaten  karo dengan menggunakan asumsi-asumsi dimana  PDRB  Kabaputen  Karo  digunakan untuk  menghitung  pertumbuhan  ekonomi. Di  mana  pada  penelitian  ini  adalah  dengan mengganti  ke  dalam  asumsi  matematika.
Misalkan {𝑋(𝑡, 𝑡 + ℎ) adalah  variabel  acak yang  menyatakan  jumlah  individu  pada selang waktu (𝑡, 𝑡 + ℎ) :
a. 𝑁(𝑡, 𝑡 + ℎ) menyatakan banyaknya kelompok pada waktu (𝑡, 𝑡 + ℎ) ,  dan 𝑁(𝑡, 𝑡 +
ℎ) merupakan  proses  Poison dengan  nilai  harapan (𝛼 + 𝜇 + 𝜃)ℎ,
b. dimana 𝛼 PDRB  atas  dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran kabupaten Karo pada  tahun 𝛼 , 𝜇 adalah PDRB  atas  dasar  harga konstan 2010 menurut pengeluaran kabupaten Karo pada  tahun 𝛼 –  1 ,  dan 𝜃 = 𝜃 1 − 𝜃 2 adalah  PDRB  atas dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten  Karo  pada  tahun 𝛼 (𝜃 1 ) dan PDRB atas dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran  kabupaten  karo pada tahun 𝛼 – 1 (𝜃 2 ))
c. Peubah acak 𝑋 𝑖 yang banyaknya banyaknya peristiwa  yang  terjadi  pada kelompok  ke-i.  banyaknya peristiwa  yang  terjadi  pada kelompok yang berbeda adalah  saling  bebas  dan berdistribusi peluang sama. d. Parameter {𝛼 𝑛 = 𝑛𝛼 + 𝜃 } dan 𝜇 𝑛 = 𝑛𝜇} adalah  urutan bilangan positif yang menyatakan  tingkat  PDRB atas  dasar  harga  konstan 2010  menurut  pengeluaran kabupaten  karo  pada  tahun 𝛼 ,  dan  PDRB  atas  dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran kabupaten karpada  tahun 𝛼 –  1 dengan
mengurangkan  PDRB  atas dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten  karo  pada  tahun 𝛼 –  1 kemudian  membagi dengan 100%, dengan keadaan  awal 𝑀(0) = 𝑖 dan 𝑀(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡)]. Untuk menentukan  nilai 𝑀(𝑡 + ℎ) digunakan nilai harapan dengan syarat 𝑋(𝑡), sehingga diperoleh persamaaan  : 𝑀(𝑡 + ℎ) = 𝐸[𝑋(𝑋(𝑡 + ℎ)] = 𝐸[𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))]].              (2.1)
Dengan  demikian,  dalam  selang waktu (𝑡, 𝑡 + ℎ) kemungkinan  peristiwa yang  terjadi  dalam  proses  PDRB  atas dasar  harga  konstan  2010  menurut pengeluaran kabupaten Karo pada tahun 𝛼 dan  PDRB  atas  dasar  harga  konstan 2010  menurut  pengeluaran  kabupaten Karo  pada  tahun 𝛼 –  1 dengan  PDRB atas  dasar  harga  konstan  2010  menurut pengeluaran  kabupaten  karo  pada  tahun 𝛼 – 1 kemudian membagi dengan 100% adalah  terjadi  penaikan  atau  kenaikan pertumbuhan  ekonomi,  atau  penurunan pertumbuhan ekonomi, atau tidak terjadi penaikan  atau  penurunan  pertumbuhan ekonomi.  Setiap  kejadian  terhadap ekonomi  mempunyai  peluang  penaikan atau kenaikan sebagai berikut :
a. Peluang untuk PDRB atas dasar harga  konstan  2010  menurut pengeluaran  kabupaten  karo pada tahun 𝛼 ,
1
∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼ℎ + 𝑜(ℎ)
dengan ℎ → 0.
b. Peluang untuk PDRB atas dasar harga  konstan  2010  menurut pengeluaran  kabupaten  karo
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
pada tahun 𝛼 – 1 , 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜇ℎ + 𝑜(ℎ)
dengan ℎ → 0.
c. Peluang untuk PDRB atas dasar harga  konstan  kabupaten  karo pada  tahun 𝛼 dikurangi PDRB atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten  karo  pada  tahun 𝛼 – 1 , 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)
dengan ℎ → 0. d. Peluang untuk tidak ada kenaikan dan penurunan PDRB atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten  karo  pada  tahun 𝛼 , dan  PDRB  atas  dasar  harga konstan 2010 menurut pengeluaran  kabupaten  karo pada  tahun 𝛼 –  1 dengan mengurangkan PDRB atas dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten  karo  pada  tahun 𝛼 –
1 kemudian  membagi  dengan
100%. 1 − 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)(𝛼 + 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ) dengan ℎ → 0.
Sehingga  jika 𝑋(𝑡) diketahui,  maka  jumlah pertumbuhan  ekonomi  pada  saat 𝑡 + ℎ adalah :
𝑋(𝑡 + ℎ) = [ (𝑋(𝑡) + ∑ 𝑋 𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 , dengan peluang 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼 + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ)
(𝑋(𝑡) − ∑ 𝑋 𝑖 𝑁(𝑡)
𝑖=1 , dengan peluang 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜇 + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ) (𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)(𝛼 + 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ)
]
Johnson  (2010),  Analisis  gerombol adalah analisis statistika peubah ganda yang digunakan apabila ada n buah individu atau objek  yang  mempunyai p peubah  dan n objek  tersebut  ingin  dikelompokan  ke dalam k kelompok  berdasarkan  sifat-sifat yang  diamati  sehingga  individu  yang terletak  dalam  satu  gerombol  memiliki kemiripan sifat yang lebih besar dibandingkan dengan individu yang terletak dalam  gerombol  lain.  Analisis  gerombol merupakan  salah  satu  teknik  multivariat metode interdependensi (saling ketergantungan).  Oleh  karena  itu,  dalam analisis  gerombol  tidak  ada  pembedaan antara variabel bebas ( independent variable )  dan  variabel  terikat  ( dependent variable ).  Analisis  gerombol  digunakan untuk  mengelompokkan  data  observasi yang  hanya  berdasarkan  pada  informasi yang  ditemukan  dalam  data,  di  mana  data tersebut  harus  menggambarkan  observasi dan  hubungannya.  Tujuan  dari  analisis  ini adalah  observasi  dalam  satu  kelompok
mirip  satu  sama  lain  dan  berbeda  dari observasi dalam kelompok lain. Tan (2010), Semakin  besar  kemiripan  ( homogenitas ) dalam  kelompok  dan  semakin  besar perbedaan  ( heterogenitas )  antar  kelompok maka  penggemborolan  akan  lebih  baik  dan lebih berbeda.
Pada  analisis  gerombol  dibedakan menjadi  metode  hinarki  ( Hierarchical
Clustering Method) dan metode non hinarki
(Nonhierarchical Clustering Method). Metode  hinarki  digunakan  apabila  belum ada  informasi  jumlah  gerombol  yang dipilih. Metode analisis gerombol membutuhkan  suatu  ukuran  ketakmiripan (jarak)  yang  didefinisikan  untuk  setiap pasang  objek  yang  akan  dikelompokkan. Johnson (2010) Jarak yang biasa digunakan dalam analisis penggerombolan diantaranya adalah Jarak Euclid.
Jarak Euclid paling sering
digunakan  untuk  analisis  gerombol.  Jarak Euclid  antara  dua  titik  dapat  diartikan dengan  baik.  Jarak  yang  digunakan  adalah
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
peubah  kontinu.  Jarak  Euclid  antara gerombol  ke -i dan  ke -j dari  peubah p peubah  diartikan  sebagai  : 𝑑(𝑖, 𝑗) =
[∑ ( 𝑥 𝑡𝑗 𝑝 𝑡−1 − 𝑥 𝑖 ̅ ) 2 ] 1 2
Dimana :
𝑑(𝑖, 𝑗) = jarak antara objek i ke objek j 𝑥 𝑡𝑗 =  nilai  tengah  pada  peubah  ke t gerombol ke j 𝑥 𝑖 = nilai tengah pada peubah ke t gerombol ke i
𝑝 = banyaknya peubah yang diamati
Everrit  (2011),  Motede  Hinarki dibedakan menjadi dua metode pengelompokan, yaitu metode penggabungan  dan  metode  pemecahan. Pada  penelitian  ini  digunakan  metode penggabungan untuk menganalisis gerombol. Proses penggabungan dua gerombol  diulangi  sampai  diperoleh  satu gerombol  yang  memuat  sumua  himpunan data.  Hasil  analisis  gerombol  dari  metode ini disajikan dalam bentuk dendogram.
Juanda (2012), Analisis tren adalah suatu  metode  analisis  statistika  yang digunakan  untuk  melakukan  suatu  estimasi atau  peramalan  pada  masa  yang  akan datang.  Analisis  tren  terdapat  tiga  model yaitu  tren  linear,  tren  kuadratik,  dan  tren eksponensial.  .
Draper  (2010),  Tren  linear  dimana kecenderungan  data  dimana  perubahannya berdasarkan  waktu  adalah  konstan.  Model yang  digunakan  adalah  persamaaan  tren linear:
𝑌 𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡
Keterangan :
𝑌 𝑡 = data time series pada periode t
𝑡 = waktu (Hari/bulan/tahun)
𝑎, 𝑏 = konstanta
Nilai 𝑎, 𝑏 diperoleh didapat dari :
𝑏 = ∑ 𝑌 𝑡 𝑡 𝑛 𝑡=1 − ∑ 𝑌 𝑡 ∑ 𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝑡=1 ∑ 𝑡 2 𝑛 𝑡=1 − (∑ 𝑡 𝑛 𝑡=1 ) 2 Dan
𝑎 = ∑ 𝑌
𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑛 − 𝑏 ∑ 𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑛 Tren kuadratik adalah kecenderungan data yang kurvanya berpola lengkungan. Secara matematika, tren kuadratik  merupakan  antara  peubah  tak bebas  dengan t dan t 2 .  Model  persamaan kuadratik yaitu :
𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑡 + 𝛽 2 𝑡 2
Keterangan :
𝑌 𝑡 = data time series pada periode t
𝑡 = waktu  (Hari/bulan/tahun)
𝛽 0 + 𝛽 1 𝑡 + 𝛽 2 𝑡 2 = konstanta
Tren eksponensial adalah kecenderungan  perubahan  data  semakin lama semakin bertambah
secara eksponensial.  Terdapat  dua  model  untuk tren  eksponensial  yaitu  :  Untuk  peubah diskrit  : 𝑌 𝑡 =  𝛽 0 +(1 + 𝛽 1 ) 𝑡 dan  untuk peubah kontinu : 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 𝑒𝛽 1 𝑡 . Keterangan:
𝑌 𝑡 = data time series pada periode t
𝑡 = waktu  (Hari/bulan/tahun)
𝛽 0 , 𝛽 1 = Konstanta
Pemilihan  model  analisis  tren  untuk mendapatkan nilai peramalan terbaik didasarkan  pada strandard  error  of  the estimate (SSE)  yang  paling  kecil.  Pada penelitian ini ukuran akurasi hasil peramalan  merupakan  ukuran  tentang tingkat  perbedaan  antara  hasil  peramalan dengan  nilai  yang  sebenarnya.  Pada penelitian  ini  ukuran  kesalahan  yang digunakan  adalah  MAPE  ( Mape  Absolute Persentage Error ), adapun persamaan nya :
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝑃𝐸 𝑖 | 𝑛 𝑛 𝑖 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 ∶ 𝑃𝐸 = ( 𝑥 𝑖 −𝐹 𝑖 𝑥 𝑖 )
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
Keterangan :
𝑥 𝑖 = data actual pada periode ke i
𝐹 𝑖 = nilai ramalan pada periode ke i
𝑛 = banyaknya periode waktu.

## Hasil dan Pembahasan
Dengan menggunakan asumsi-
asumsi yang ditelah dibangun dari persamaan (2.1) sehingga didapatkan model stokastik pertumbuhan ekonomi pada kabupaten  karo  : 𝑀 𝑡 = 𝜃 𝛼−𝜇 [𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 1] + 𝑒𝑖 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 . Bukti : 𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡) = [(𝑋(𝑡) +
∑ 𝑋 𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 ] [ 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼 + 𝜃]ℎ] + [(𝑋(𝑡) − ∑ 𝑋 𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 ] [ 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜇]ℎ] 𝑋(𝑡) [1 − 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)(𝛼 + 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ)] =
𝑋(𝑡) ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼 + 𝜃]ℎ +
𝑋(𝑡) ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜇]ℎ − 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜇]ℎ +
𝑋(𝑡) − 𝑋(𝑡) ∑ 𝑋𝑖 𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑋(𝑡)(𝛼 + 𝜇) + 𝜃 + 𝑜(ℎ) = 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼 − 𝑋(𝑡)𝜇 + 𝜃]ℎ + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ). Sehingga,
𝑀(𝑡 + ℎ) =
𝐸[𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)]] = 𝐸[𝐸[𝑥 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼 − 𝑋(𝑡)𝜇 + 𝜃]ℎ + 𝑋(𝑡)𝑜(ℎ)] = 𝐸[𝐸[𝑥 𝑖 ]𝑋(𝑡)𝛼 − 𝜇(𝑡)𝜇 + 𝜃]ℎ + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ) 𝑀(𝑡 + ℎ) = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)( 𝛼 −  𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ) 𝑀(𝑡 + ℎ) − 𝑀(𝑡)
= 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)( 𝛼 −  𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ)
𝑀(𝑡 + ℎ) − 𝑀(𝑡)
ℎ = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)( 𝛼 −  𝜇) + 𝜃] + 𝑜(ℎ) ℎ
Dengan menambahkan ℎ → 0 maka lim ℎ→0 0(ℎ) ℎ = 0
Jadi, lim ℎ→0 𝑀(𝑡+ℎ)−𝑀(𝑡) ℎ = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 −
𝜇) + 𝜃 =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑗 ]𝜃
Sehingga  diperoleh  persamaan  berikut  : 𝑀 ′ (𝑡) = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃
(2.2) Penyelesaian  persamaan  (1.8)  dengan menggunakan  persamaaan  difrensial  biasa [Forlow],
Misalkan ℎ(𝑡) =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑗 ]𝜃 (2.3) Maka ℎ ′ (𝑡) =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀 ′ (𝑡)(𝛼 − 𝜇).
Jadi  persamaan  (1.8)  dapat  ditulis  sebagai berikut : ℎ ′ (𝑡) =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀 ′ (𝑡)(𝛼 − 𝜇) ↔ ℎ ′ (𝑡) 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼 − 𝜇) = 𝑀 ′ (𝑡) ↔ ℎ ′ (𝑡) 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼 − 𝜇) = ℎ(𝑡) ↔ ∫ ℎ ′ (𝑡) ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝐸 [𝑋 𝑖 ](𝛼 − 𝜇)𝑑𝑡 ↔ 𝑙𝑜𝑔 ℎ(𝑡)] =   ∫ 𝐸 [𝑋 𝑖 ](𝛼 − 𝜇)𝑡 + 𝐶 ℎ(𝑡) = 𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡+𝐶 = 𝐾𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡
Dari persamaan (2.3), ℎ(𝑡) =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃 𝐾𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃 (2.4)
Dengan  nilai  awal M(0) = i ,  dimana t = 0 sehingga diperoleh : 𝐾 = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑖(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃 = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑖(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝜃 Kemudian  substitusikan  nilai  K  kedalam persamaaan (2.4): 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃 = 𝐾𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 ↔ 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃 =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑖(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 ↔ 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝛼 − 𝜇) =  𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑖(𝑡)(𝛼 − 𝜇) + 𝜃]𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃 𝑀(𝑡) = 𝐸[𝑋 𝑖 ][𝑖(𝛼 − 𝜇) + 𝜃𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 𝐸[𝑋 𝑖 ]𝜃
𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼 − 𝜇) = [𝑖 + 𝜃 (𝛼 − 𝜇) ] 𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 𝜃 (𝛼 − 𝜇)
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
= 𝑖𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 + 𝜃 (𝛼 − 𝜇) 𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 𝜃 (𝛼 − 𝜇)
= 𝑖𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 + 𝜃 (𝛼 − 𝜇) 𝑒 𝐸[𝑋 𝑗 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 𝜃 (𝛼 − 𝜇)
𝑀(𝑡) = 𝜃 (𝛼−𝜇) 𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 1] + 𝑖𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 (2.5) Sehingga diperoleh model stokastik pertumbuhan ekonomi pada kabupaten karo adalah :
𝑀 𝑡 = 𝜃 𝛼 − 𝜇 [𝑒 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 − 1] + 𝑒𝑖 𝐸[𝑋 𝑖 ](𝛼−𝜇)𝑡 .
BPS  Karo  (2015),  Pada  penelitian  ini dilakukan  penggerombolan  dengan  metode penggabungan. Data yang digunakan adalah data  PDRB  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten karo 2010- 2014  dan  BPS  Karo  (2018),  2013-2017 dapat dilihat pada Tabel 2. Hasil penggerombolan  dapat  dilihat  Tabel  3  dan gambar 1. Tabel 2. Data PDRB atas dasar harga konstan 2010, menurut pengeluaran Kabupaten Karo 2010 - 2017 N o KomponenPen geluaran (1) 2010 (2) 2011 (3) 2012 (4) 2013 (5) 2014 (6) 2015 (7) 2016 (8) 2017 (9) 1  Konsumsi RumahTangga 485275 5,22 507217 2,40 531565 1,23 5567, 18 5779 9,68 6123, 45 6468, 40 6810, 77 2  Konsumsi LNPRT 165941, 46 180153, 67 190706 ,10 204,0 6 218,0 9 217,3 1 223,2 1 234,3 4 3  Konsumsi Pemerintah 800163, 06 861630, 25 909181 ,46 977,6 0 1008, 15 1028, 67 1024, 15 1091, 71 4  PMTB 273194 3,10 288716 8,84 312209 8,03 3258, 35 3441, 71 3546, 25 3713, 20 3947, 98 5  Perubahan Inventori 568330, 79 374698, 75 663137 ,18 610,6 2 630,2 3 645,9 9 656,8 1 548,0 2 6  Ekspor 227523 4,23 264318 0,86 274733 2,87 3095, 43 3235, 00 3440, 59 3602, 60 3830, 19 7  Impor 216318 8,74 225755 3,55 268987 7,37 2947, 26 3018, 47 3121, 33 3193, 52 3317, 15 8 Total PDRB 923,117 9,13 976,145 1,21 10,258 22 10,76 599 11,31 439 11,88 093 12,49 487 13,14 585 Berdasarkan  tabel  2,  terlihat  bahwa sebahagian besar digunakan untuk memenuhi  kebutuhan  konsumsi  akhir rumah  tangga  (PK-RT).  Pengeluaran  untuk aktivitas pembentukan modal tetap broto (PMTB)  juga  mempunyai  kontribusi  besar. Data  yang  digunakan  untuk  mendapatkan hasil  cluster  dan  hasil  dendogram  adalah
PDRB  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut  pengeluaran  Kabupaten  Karo  per tahun 2010.
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
Tabel 3. Cluster Membership Case 3 Clusters 2 Clusters 1:Konsumsi Rumah Tangga 1 1 2:Konsumsi LNPRT 2 2 3:Konsumsi Pemerintah 2 2 4:Pembentukan modal tetap Broto 3 1 5:Perubahan Inventori 2 2 6:Ekspor 3 1 7:Impor 3 1
Gambar 1. Hasil dendogram dengan metode penggabungan
Berdasarkan hasil pada tabel 3 dan gambar
1 hasil dendogram dengan metode penggabungan diperoleh bahwa jika jaraknya ditentukan sebesar 25 maka setiap PDRB  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut  pengeluaran  Kabupaten  Karo dapat  digerombolkan  menjadi  1  gerombol. Sehingga  dapat  diasumsikan  bahwa  setiap PDRB  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut  pengeluaran  Kabupaten  Karo adalah Homogenitas (kesamaan) yang
tinggi  antar  anggota  dalam  satu  cluster (within-cluster). Pada peramalan PDRB pada
kabupaten  karo  yang  akan  datang  diambil data  pada  masa  lalu.  Data  masa  lalu  yang
diukur  secara  periodik  akan  membentuk suatu  deret  waktu  data  ( time  series ).  Deret waktu  adalah  rangkaian  data  yang  berupa nilai  pengamatan  terhadap  variabel  tunggal yang  diukur  selama  kurun  waktu  tertentu. Perhitungan  nilai  ramalan  PDRB  pada kabupaten  karo  menggunakan  analisis  tren. Juanda  (2012),  Analisis  tren  ini  terdapat  3 model  yaitu  tren linear,  tren  kuadratik,  dan tren eksponensial.
BPS  Karo  (2018),  Perhitungan
peramalan pertumbuhan PDRB di kabupaten  karo  dengan  menggunakan  nilai parameter  pada  tabel  4  dengan  melibatkan variabel penelitian.
Tabel 4. Nilai parameter pada PDRB Kabupaten Karo berdasarkan atas dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran kabupaten karo, dari tahun 2013-2017 Tahun PDRB Ekspor barang dan jasa  Pengeluaran konsumsi pemerintah Tenaga kerja
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
2013 10,76599 3095,43 97760 206,048 2014 11,31439 3235,00 100815 208,839 2015 11,88093 3440,59 102867 228,207 2016 12,49487 3602,60 102415 210,956 2017 13,14585 3830,19 109171 218,038 Tabel 5. Model summary R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate .929 .864 .818 40064.331 The independent variable is variabel x. Tabel 6. Coefficients Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. B Std. Error Beta variabel x 20.895 4.792 .929 4.360 .022 (Constant) -951915.406 492031.998 -1.935 .148 Tabel 7. Model summary R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate .945 .892 .785 43594.324 The independent variable is variabel x. Tabel 8. Coefficients Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. B Std. Error Beta variabel x 223.936 277.946 9.960 .806 .505 variabel x ** 2 -.001 .001 -9.032 -.731 .541 (Constant) - 11472221.408 14408794.873 -.796 .509 Hasil  output  tren  linear  pada  tabel  4  dan nilai  coefficients  pada  tabel  5  dan  hasil output tren Quadratic data PDRB Kabupaten  Karo  pada  tabel  6  dan  nilai coefficients pada tabel 7. Berdasarkan hasil yang  didapatkan  bahwa  nilai  SEE  yang paling kecil adalah 40064.331
dibandingkan dengan model tren quadratic. Jadi  model  linear  adalah  model  yang terbaik  untuk  mencari  nilai  peramalan PDRB  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut  pengeluaran  kabupaten  Karo  per tahun.  Nilai  koefisien  tahun 𝛽 0 = 20.895
dan 𝛽 1 = −951915.406 .  Dengan  demikian dapat diambil rumusnya 𝛼 𝑡 = 20.895 𝑒 −951915.406𝑡 atau  PDRB  = 20.895 +  ( − 951915.406 ).  Berdasarkan  tabel  5 koefisien  regresi  diatas  dapat  diketahui bahwa  nilai  sig  (0,022)  <  (0,05),  berarti variabel independent (pengeluaran konsumsi pemerintah) berpengaruh
terhadap  variabel  dependent  (PDRB). Berdasarkan  tabel  6  diketahui  bahwa  nilai R  sebesar  0.929  yang  mendekati  angka  1 artinya adalah antara nilai variabel independent  pada  hal  ini  adalah  yakni
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
periode tahun memiliki hubungan yang erat dengan  variabel  dependent  terikat  PDRB dan  nilai  R  Square  sebesar  0.892  yang artinya variasi nilai PDRB dapat dijelaskan
oleh  periode  tahun  sebesar  0.892  atau 89,2%  dan  sisanya  sebesar  10,8  % dijelaskan oleh variabel lain diluar model. Tabel 9. ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Sig. Regression 30516667535. 199 1 30516667535. 199 19.012 .022 Residual 4815451788.0 01 3 1605150596.0 00 Total 35332119323. 200 4 The independent variable is Indepent x. Berdasarkan pengujian ANOVA data
PDRB  kabupaten  karo  yang  pada  Tabel  8. Dengan  melihat  signifikansi  dari  PDRB. Nilai  sig  sebesar  0,022  yang  berarti  lebih kecil  dari  nilai  alpha  (0,05).  Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa variabel independent (pengeluaran pemerintah) berpengaruh  terhadap  variabel  dependent (PDRB).

## Gambar 2. Plot tren linear, quadratic dan eksponential
Membandingkan  hasil  model  yang  telah didapat  dengan  rumus  pendugaan  ramalan PDRB dengan menghitung dengan menggunakan  rumus  pertumbuhan  secara ( geometric ) sebagai berikut : Pn = Po (1 + r) n , Dimana :
Pn = Jumlah PDRB pada tahun n Po = Jumlah PDRB pada tahun dasar r    = Aturan pertumbuhan PDRB n   = Jangka waktu Hasil perhitungan dengan rumus berikut adalah :
𝑃 2018 = 𝑃 2015 (1 + 𝑟) 𝑛 13,74417 = 11,88093 (1 + 𝑟) 𝑛
(1 + 𝑟) 𝑛 = 13,74417 11,88093
(1 + 𝑟) 𝑛 = 1,156826
3 log  ( 1 + 3) = 1,156826
log  ( 1 + 𝑟) = 0,063268
4 log  ( 1 + 𝑟) = 0,015817
(1 + 𝑟) = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log  0,015817
(1 + 𝑟) = 1,035 𝑟 = 1,035 − 1 𝑟 = 0,035 𝑟 =  3,5 % Dengan demikian : 𝑃 2019 = 𝑃 2018 (1 + 𝑟) 𝑛
= 13,74417 (1 + 0,035) 1
= 13,74417 (1,035) 1
=  14,22521
𝑃 2020 = 𝑃 2018 (1 + 𝑟) 𝑛
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
= 13,74417 (1 + 0,035) 2
= 13,744,17 (1,035) 2
=  14,72309 Dengan demikian dapat dihitung peramalan PDRB  pada  tahun  yang  akan  datang  : Tabel 10. Hasil Peramalan Jumlah PDRB Kabupaten Karo berdasarkan atas dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran kabupaten karo pada tahun yang akan datang Tahun PDRB 2010 923,1179 2011 976,1451 2012 10,25822 2013 10,76599 2014 11,31439 2015 11,88093 2016 12,49487 2017 13,14585 2018 13,74417 2019 14,22521 2020 14,72309
Sehingga  peramalan  jumlah  PDRB berdasarkan  atas  dasar  harga  konstan  2010 menurut pengeluaran kabupaten karo untuk pada  tahun  2019  dan  2020  yang  belum diketahui  adalah  sebesar  14,22521  Triliun pada  tahun  2019  dan  sebesar  14,72309 Triliun pada tahun 2020.
Pendugaan  pertumbuhan  ekonomi pada  Kabupaten Karo perhitungan  nilai dugaan  pertumbuhan  ekonomi  per  tahun (periode)  di  kabupaten  karo  menggunakan model yang sudah dibangun yaitu persamaan  (2.5).  Dengan  nilai  parameter- parameter yang dapat dilihat pada Tabel 14. Setelah memperoleh
nilai dugaan
pertumbuhan ekonomi pada kabupaten karo kemudian  menghitung  nilai  kesalahan  nilai dugaan dengan menggunakan MAPE ( Mean  Absolute  Percentage  Error ).  BPS Karo  (2018),  Pertumbuhan  ekonomi  di kabupaten karo cenderung berfluktuatif dan meningkat  yakni  4,95%  pada  tahun  2013 menjadi 5,21% pada tahun 2017.
BPS  Karo  (2018),  Pertumbuhan ekonomi  dikabupaten  karo  mengalami trend penaikan dalam setiap tahun. Terdata pada tahun 2010 –  2018  bahwa pertumbuhan  ekonomi  tertinggi  pada  tahun 2017 sebesar 5,21 %. Tabel 11. Nilai Parameter Tahun PDRB atas dasar harga konstan 2010 menurut pengeluaran kabupaten karo 2010 9231179 2011 9761451 2012 10,25822 2013 10,76599 2014 11,31439 2015 11,88093 2016 12,49487 2017 13,14585 2018 13,74417
Tabel 12. Nilai dugaan pertumbuhan ekonomi
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515
Tahun Pertumbuhan ekonomi per tahun Nilai dugaan pertumbuhan ekonomi per Tahun Error 2011 5,74 - 2012 5,08 - 2013 4,95 5,41 9,2929 % 2014 5,09 5,01 1,5717  % 2015 5,01 5,02 0,1996 % 2016 5,17 5,05 2,3210  % 2017 5,21 5,09 2,3032  % 2018 4,55 5,19 14,0659 % MAPE 4,9590 %
Berdasarkan hasil pada tabel 11, bisa dilihat bahwa  nilai  dugaan  pertumbuhan  ekonomi per  tahun  pada  tahun  2013,  2014,  2015, 2016,  2017,  2018  dengan  nilai 𝛼 > 1, (𝛼 – 1) < 1 , 𝜃 < 0 dapat  dikatakan  cukup mendekati dengan nilai pertumbuhan ekonomi  sebenarnya  dengan  nilai  MAPE sebesar  4,9590 %. Membandingkan nilai pertumbuhan tingkat ekonomi dengan nilai dugaan rumus pertumbuhan ekonomi secara umum. Dengan menggunakan rumus sebagai berikut : 𝐺 𝑡 = 𝑃𝐷𝑅𝐵 𝑡 −𝑃𝐷𝑅𝐵 𝑡−1 𝑃𝐷𝑅𝐵 𝑡−1 𝑥100%
Sehingga didapat hasil perhitungan sebagai berikut :
Tabel 13. Pendugaan Pertumbuhan Ekonomi Kabupaten Karo
Tahun Proses Penghitungan Pertumbuhan Ekonomi 2011 {(Rp 9761451,21 – Rp 9231179,13)/Rp 9231179,13} x 100% 5,74 % 2012 {(Rp 1025822,50 – Rp 9761451,21)/Rp 9761451,21} x 100% 5,08 % 2013 {(Rp 10,76599 – Rp 10,25822)/Rp 10,25822} x 100% 4,95 % 2014 {(Rp 11,314,39 – Rp 10,765,99)/Rp 10,765,99 } x 100% 5,09 % 2015 {(Rp 11,88,093 – Rp 11,31,439)/Rp 11,31439} x 100% 5,01 % 2016 {(Rp 12,49487 – Rp 11,88093)/Rp 11,88,093} x 100% 5,17 % 2017 {(Rp 13,14,585 – Rp 12,49487)/Rp 12,49487} x 100% 5,21 % 2018 {(Rp 13,74417 – Rp 13,14585)/Rp 13,14585} x 100% 4,55 % 2019 {(Rp 14,22521 – Rp 13,74,417)/Rp 13,74417} x 100% 4,95 % 2020 {(Rp 14,72309 – Rp 14,22521)/Rp 14,22521} x 100% 3,49 % Sehingga pendugaan pertumbuhan ekonomi kabupaten  karo  adalah  pada  tahun  2019 adalah  4,95  %,  mengalami  kenaikan  0,4  % dibandingkan  tahun  2018  dan  peramalan
pertumbuhan  ekonomi  tahun  2020  sebesar 3,5 %.
Curere / Vol.03 / No.02 / Oktober 2019 / p-ISSN : 2597-9507/ e-ISSN : 2597-9515

## Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  nilai pendugaan  pertumbuhan  penduduk  dari model yang disusun pada tahun pada tahun 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018  mendekati  dengan  nilai  pertumbuhan penduduk  yang  sebenarnya  dengan  nilai MAPE  sebesar  4,9590  %.  Hasil  penelitian analisis data menunjukan bahwa pendugaan PDRB  Kabupaten  Karo  berdasarkan  atas dasar harga konstan 2010 menurut
pengeluaran  kabupaten  karo  pada  2019 yang  akan  datang  adalah  14,22521  triliun Rupiah  dan  setahun  kemudian  atau  yang belum  diketahui  adalah  14,72309  triliun Rupiah dan pendugaan jumlah pertumbuhan  ekonomi  dikabupaten  karo pada  tahun  2019  yang  akan  datang  sebesar 4,95 %. Setahun kemudian atau yang belum diketahui  adalah  diduga  pertumbuhan ekonomi kabupaten karo mencapai 3,49 %.

## Ucapan Terimakasih
Peneliti  mengucapkan  terimakasih atas  pendanaan  penelitian  dosen  pemula kepada  Direktorat  Riset  dan  Pengabdian Masyarakat  (DRPM)  kementrian  riset  dan teknologi dengan nomor kontrak T/49/L1.3.1/PT.01.03/2019 Daftar Pustaka Rahardjo Adisasmita, Teori-Teori Pembangunan  Ekonomi,  Pertumbuhan Ekonomi  dan  Pertumbuhan  wilayah, cetakan pertama, Graha Ilmu, Yogyakarta,2013, hlm. 4. BPS Kabupaten karo (2016). https://karokab.bps.go.id/ Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Kabupaten Karo.  2018.  Kabupaten  Karo  Dalam Angka. Katalog 1102001.1211 Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Kabupaten Karo. 2015. Produk Domestik Regional Broto Kabupaten Karo Menurut Pengeluaran 2010-2014. Katalog 9302020.1211. Johnson  RA,  Wichern  DW.  2007. Aplied Multivariate  Statistical  Analysis. Ed Ke- 6. Amerika (US): Pearson Prentice Hall.
Tan  P,  Steinbach  M,  Kumar  V.  2006.
Introduction  to  Data  Mining .  Boston:
Pearson Addison Wesley.
Everrit  BS,  Landau  S,  Leese  M,  Stahl  D. 2011. Cluster  Analysis .  Edisi  Ke-5. London: King’s College.
Juanda  B,  Junaidi.  2012. Ekonometrika Deret Waktu . Bogor: IPB Press. Draper N, Smith H. 1992. Analisis  Regresi Terapan .  Edisi  Ke-2.  Jakarta  (ID):  PT Gramedia. Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Kabupaten Karo. 2018. Produk Domestik Regional Broto Kabupaten Karo Menurut Pengeluaran 2013-2017. Katalog 9302020.1211. Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Kabupaten Karo. 2015. Produk Domestik Regional Broto Kabupaten Karo Menurut Pengeluaran 2010-2014. Katalog 9302020.1211. Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Kabupaten Karo.  2018.  Pertumbuhan  Ekonomi
Karo. No.01/07/1211/Thn.IX, Juli.