## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi

## Simulasi Harga Opsi Call Asia Dengan Suku Bunga Tidak Konstan
Isti Kamila 1* , Ani Andriyati 2
1,2 Program Studi Matematika, Universitas Pakuan, Bogor, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: mila.istikamila@gmail.com

## Abstrak
Pada  dunia  keuangan,  hal  yang  menarik  bagi    investor  saat  ini  adalah  memprediksi  harga  Opsi Call Asia  yang  wajar  yaitu  tidak  menyebabkan  penjual  maupun  pembeli  opsi  mengalami kerugian.  Asumsi  bunga  konstan  lebih  sering  digunakan  penelitian  terdahulu  sebagai  asumsi dalam  memprediksi  harga  Opsi Call Asia.  Hal  ini  tidak  sejalan  dengan  fakta  bahwa  pergerakan suku bunga tidak konstan. Penggunaan asumsi yang kurang tepat akan mempengaruhi keakuratan hasil  prediksi.  Dalam  mengatasi  persoalan  tersebut  maka  penelitian  ini  bertujuan  untuk memprediksi  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku  bunga  tidak  konstan  dengan  menggunakan simulasi  Monte  Carlo.  Model  suku  bunga  tidak  konstan  yang  digunakan  adalah  Cox-Ingersoll- Ross (CIR) karena model ini menghasilkan suku bunga yang positif. Penelitian ini diawali dengan screening data suku bunga yang berdistribusi Normal. Data tersebut digunakan untuk menentukan parameter model suku bunga CIR. Selanjutnya dilakukan simulasi harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak konstan dan diakhiri dengan menganalisis grafik hasil simulasi harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak konstan. Hasil simulasi harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak  konstan  konvergen  pada  nilai  $170,82.  Berdasarkan  grafik  harga  Opsi Call Asia  dengan harga strike yang  berbeda,  semakin  besar  harga strike menyebabkan  harga  Opsi Call Asia semakin  besar  yang  sesuai  dengan  karakteristik  harga  Opsi Call Asia.  Selain  itu,  dengan memperpanjang jangka waktu jatuh tempo, maka harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak konstan semakin besar sesuai dengan karakteristik harga Opsi Call Asia.
Kata Kunci: Opsi Call Asia; Suku Bunga Tidak Konstan; Monte Carlo

## Abstract
In the financial world, the thing that is interesting for investors today is to predict a reasonable Asian Call Option price that does not cause the seller or buyer of the option to experience losses. The  constant  interest  assumption  is  more  often  used  by  previous  research  as  an  assumption  in predicting  the  price  of  Asian  Call  Options.  This  is  not  in  line  with  the  fact  that  interest  rate movements  are  not  constant.  The  use  of  incorrect  assumptions  will  affect  the  accuracy  of prediction results. In overcoming this problem, this study aims to predict the price of Asian Call Options with non-constant interest rates using Monte Carlo simulation. The non-constant interest rate model used is Cox-Ingersoll-Ross (CIR) because this model produces positive interest rates. This study begins with a screening of Normally distributed interest rate data. The data is used to determine  the  parameters  of  the  CIR  interest  rate  model.  Next,  an  Asian  Call  Option  price simulation with non-constant interest rates was carried out and ended by analyzing a graph of the Asian Call Option price simulation results with non-constant interest rates.  The simulated price result  of  the  Asian  Call  Option  with  non-constant  interest  rates  converged  at  the  value  of $170.82. Based on the price chart of Asian Call Options with different strike prices, the larger the strike  price  causes,  the  larger  the  Asian  Call  Option  price,  which  corresponds  to  the  price characteristics of the Asian Call Option. In addition, by extending the maturity period, the price of  Asian  Call  Options  with  non-constant  interest  rates  is  greater  according  to  the  price characteristics of Asian Call Options.
Keywords: Asian Call Option; Non-constant Interest Rate; Monte Carlo

## 1. Pendahuluan
Kegiatan  berinvestasi  dilakukan  oleh  investor  untuk  mencapai  tujuan  keuangan  investor  di masa  depan.  Ada  banyak  instrumen  yang  dapat  digunakan  untuk  berinvestasi  dan  salah  satunya adalah produk deriviatif. Produk derivarif merupakan sebuah kontrak yang nilainya tergantung pada nilai  aset  yang  mendasarinya  [1].  Produk  derivatif  ini  memberikan  hak  atau  kewajiban  pada pemegangnya  untuk  membeli  atau  menjual  aset  yang  mendasarinya.  Aset  dasar  pada  produk derivatif bisa berupa aset riil atau aset keuangan [2]. Aset keuangan yang menjadi aset dasar pada produk derivatif adalah saham dan obligasi. Salah satu produk derivatif adalah opsi [3].
Opsi memberikan pemegangnya hak untuk menjual atau membeli aset yang mendasarinya di masa depan dengan suatu harga tertentu yang telah disepakati sebelumnya [4]. Opsi terbagi menjadi beberapa jenis yaitu opsi standar dan opsi eksotik. Opsi eksotik berbeda dengan opsi standar karena menawarkan produk untuk menyelesaikan setiap risiko pada  masalah manajemen dengan berbagai cara  [5].  Salah  satu  opsi  eksotik  yang  paling  aktif  saat  ini  adalah  Opsi Call Asia  yang  penentuan harganya lebih rumit dibandingkan dengan Opsi Eropa [6]. Opsi Call Asia adalah kontrak keuangan derivatif  yang  memberikan  hak  bagi  pemegangnya  untuk  membeli  asset  yang  mendasarinya  yang nilainya  tergantung  pada  rata-rata  aritmatika  dari  aset  yang  mendasarinya  selama  periode  waktu tertentu  [7].  Opsi  sangat  diminati  investor  karena  dapat  melindungi  nilai  aset  yang  mendasarinya atau yang lebih dikenal dengan hedging [8]. Hal ini dikarenakan opsi dapat melindungi aset investor jika harga aset yang mendasarinya mengalami penurunan atau kenaikan harga secara tiba-tiba.
Hal yang menarik bagi para investor saat ini adalah memprediksi harga Opsi Call Asia yang wajar  yaitu  tidak  menyebabkan  penjual  maupun  pembeli  opsi  mengalami  kerugian.  Ada  beberapa model  dan  metode  dalam  memprediksi  harga  opsi  yaitu  model  Binomial,  model  Black-Scholes, metode Monte Carlo, dan metode Beda Hingga [9]. Pada penelitian ini, metode Monte Carlo dipilih untuk  memprediksi harga Opsi Call Asia karena  metode ini baik  digunakan pada  sifat  harga Opsi Call Asia yang bergantung pada rata-rata harga aset yang mendasarinya [10].
Pada  penelitian  sebelumnya,  prediksi  harga  Opsi Call Asia  dengan  menggunakan  metode Monte Carlo menghasilkan harga Opsi Call Asia yang konvergen pada suatu nilai [11]. Selain itu, pada penelitian lain, penggunaan metode Monte Carlo menghasilkan harga Opsi Call Asia dengan standar error yang  mendekati  nol  [12].  Namun  kelemahan  pada  penelitian-penelitian  sebelumnya masih menggunakan asumsi suku bunga konstan. Hal ini tidak sesuai dengan keadaan suku bunga yang  berfluktuasi.  Penggunaan  asumsi  yang  tidak  tepat  akan  mempengaruhi  keakuratan  hasil prediksi. Keunggulan dari penelitian ini adalah prediksi harga Opsi Call Asia dengan menggunakan suku bunga tidak konstan. Suku bunga tidak konstan akan diprediksi dengan menggunakan model suku bunga Cox-Ingersoll-Ross (CIR) karena model ini menghasilkan suku bunga yang positif [13].
Oleh  karena  itu,  tujuan  penelitian  ini  adalah  membuat  simulasi  Monte  Carlo  untuk menentukan  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku  bunga  tidak  konstan.  Model  suku  bunga  tidak konstan yang digunakan adalah Cox-Ingersoll-Ross (CIR).

## 2. Metode Penelitian

## 2.1. Data
Data  yang  digunakan  adalah  data  sekunder  yaitu  data  bulanan  suku  bunga  Bank  Indonesia dari  bulan Januari 2020 sampai dengan Mei 2021. Selain itu, penelitian ini juga menggunakan data simulasi S 0 = 100; 𝜎 = 0,25; T = 24 dan K = 120.
2.2. Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

## 2.1.1 Screening data
Pada  tahap  ini  dilakukan  pengujian  normalitas  data  suku  bunga  dengan  menggunakan  uji Shapiro - Wilk . Uji normalitas Shapiro - Wilk merupakan salah satu metode uji normalitas yang efektif dan  valid  digunakan  untuk  sampel  berjumlah  kecil  [14] . Hipotesis  uji  normalitas  disusun  sebagai berikut:
H 0 : Data berdistribusi Normal H 1 : Data tidak berdistribusi Normal dengan kriteria pengujian:
Jika nilai p > 5%, maka Ho diterima yaitu populasi berdistribusi Normal Jika nilai p<5%, maka Ho ditolak yaitu populasi tidak berdistribusi Normal
2.1.2 Melakukan simulasi harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak konstan
Simulasi  harga  Opsi Call Asia  diawali  dengan  menentukan  suku  bunga  tidak  konstan  yaitu diawali dengan menentukan parameter-parameter model suku bunga Cox-Ingersoll-Ross .
𝑘̂ = 𝑛 2 − 2𝑛 + 1 + ∑ 𝑟 𝑡+1 ∑ 1 𝑟 𝑡 − 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1 ∑ 𝑟 𝑡 ∑ 1 𝑟 𝑡 − (𝑛 − 1) ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1
(𝑛 2 − 2𝑛 + 1 − ∑ 𝑟 𝑡 ∑ 1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1 ) ∆𝑡 (1)
𝜃̂ = (𝑛 − 1) ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑛−1 𝑖=1 − ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑖=1 ∑ 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑖=1
(𝑛 2 − 2𝑛 + 1 + ∑ 𝑟 𝑡+1 ∑ 1 𝑟 𝑡 − 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1 ∑ 𝑟 𝑡 ∑ 1 𝑟 𝑡 − (𝑛 − 1) ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛−1 𝑖=1 ) (2)
𝜎̂ 𝑟 = √ 1 𝑛 − 2 ∑ ( 𝑟 𝑡+1 − 𝑟 𝑡 √𝑟 𝑡 − 𝜃̂ √𝑟 𝑡 + 𝑘̂√𝑟 𝑡 ) 2 𝑛−1 𝑖=1 (3)
Keterangan Notasi:
𝑘̂ 𝜃̂ 𝜎̂ 𝑟 𝑛 𝑟 𝑡 : kecepatan 𝑟(𝑡) kembali menuju 𝜃̂
: rata-rata jangka panjang tingkat suku bunga
: volatilitas dari tingkat suku bunga
: banyaknya data suku bunga
: suku bunga ke- 𝑡
Parameter 𝑘̂ , 𝜃̂ , dan 𝜎̂ 𝑟 selanjutnya  akan  digunakan  untuk  simulasi  nilai  suku  bunga  tidak konstan  pada  model  CIR.  Selanjutnya  melakukakan    simulasi  nilai  suku  bunga  tidak  konstan dengan  menggunakan  Monte  Carlo  untuk  membangkitkan  bilangan  acak  normal  baku 𝜀 𝑡 .  Adapun model suku bunga CIR adalah sebagai berikut.
𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑡−1 + 𝑘 ̂(𝜃̂ − 𝑟 𝑡−1 )∆𝑡 + 𝜎 𝑟 √𝑟 𝑡−1 ∆𝑡𝜀                                                  (4)
Keterangan Notasi:
∆𝑡 𝜀 𝑟 𝑡 : selang waktu
: epsilon yang berdistribusi normal baku dengan 𝜀~𝑁(0,1)
: suku bunga ke −𝑡
Kemudian,  Monte  Carlo  digunakan  kembali  untuk  membangkitkan  bilangan  acak  normal baku  yang  kemudian  digunakan  untuk  menentukan  harga  aset  dengan  menggunakan  persamaan berikut.
𝑆(𝑡 𝑗 ) = 𝑆(𝑡 𝑗−1 ) exp ((𝑟 𝑡 − 𝜎 2 2 ) ∆𝑡  +  𝜎𝜀√∆𝑡)                                     (5)
Keterangan Notasi:
𝑆(𝑡 𝑗 ) 𝑆(𝑡 𝑗−1 )
𝜎 ∆𝑡 𝜀
: Harga aset pada waktu ke- 𝑡 𝑗
: Harga aset pada waktu ke- 𝑡 𝑗−1
: volatilitas underlying asset : selang waktu
: epsilon yang berdistribusi normal baku dengan 𝜀~𝑁(0,1)
Hasil simulasi harga aset dengan berbagai bilangan acak tersebut merupakan harga aset pada tiap  subinterval  waktu.  Kemudian  ditentukan  rataan  harga  aset  pada  tiap  simulasi  ke- i dengan menggunakan persamaan berikut:
𝑆̅ 𝐴 (𝑖) = ∑ 𝑆 𝑡 𝑗 (𝑖) 𝑑 𝑗=1 𝑑 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.                                                                (6)
Keterangan Notasi:
𝑆𝑆̅ 𝐴 (𝑖)
𝑑 : rataan harga aset pada simulasi ke- 𝑖
: banyaknya sub interval waktu
Selanjutnya sampel payoff Opsi Call Asia tiap simulasi untuk Opsi Call Asia dihitung sebagai berikut:
𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑙 (𝑖) = max(𝑆̅ 𝐴 (𝑖) − 𝐾, 0).                                                                            (7)
Keterangan Notasi:
𝐴 𝑐𝑎𝑙𝑙 (𝑖)
𝐾 : payoff Opsi Call Asia simulasi ke- 𝑖
: harga strike
Payoff Opsi Call Asia diperoleh dari rata-rata sampel payoff Opsi Call Asia dari hasil simulasi dengan menggunakan rumus berikut:
𝜇 𝐴 ̂ = ∑ 𝐴 (𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑛 .                                                                                            (8)
Keterangan Notasi:
𝜇 𝐴 ̂ 𝑛 : rata-rata payoff Opsi Call Asia
: banyaknya simulasi
Sehingga harga Opsi Call Asia merupakan nilai sekarang dari payoff tersebut yaitu:
𝑐 =  𝑒𝑥𝑝(−𝑟 𝑡 𝑇)𝜇 𝐴 . ̂                                                                                   (9)

## Keterangan Notasi:
𝑐 𝑇 : harga Opsi Call Asia : waktu jatuh tempo
2.1.3 Melakukan  analisis  perubahan  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku  bunga  tidak  konstan terhadap  perubahan  nilai  parameter  waktu  jatuh  tempo  dan  harga strike .  Pada  tahapan  ini, akan  dianalisis  pergerakan  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku  bunga  tidak  konstan berdasarkan grafik harga Opsi Call Asia terhadap parameter waktu jatuh tempo yang berbeda. Selain  itu,  pada  tahapan  ini  juga  dianalisis  kemonotonan  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku bunga tidak konstan melalui plot harga Opsi Call Asia terhadap parameter harga strike yang berubah-ubah.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Screening Data
Bagian  screening  data  dilakukan  untuk  menguji  data  suku  bunga  yang  berdistribusi  normal. Hal  ini  dilakukan  karena  asumsi  suku  bunga  yang  digunakan  pada  model  CIR  adalah  suku  bunga berdistribusi  Normal.  Dengan  menggunakan  metode Saphiro-Wilk pada  data  suku  bunga  bulan Januari 2020 sampai dengan Mei 2021dihasilkan nilai p-value seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Uji Normalitas Suku Bunga Jenis Uji Nilai Statistik uji Db P -value Shapiro – Wilk 0,913 17 0,112
Hasil uji normalitas pada Tabel 1 menunjukkan nilai p-value 0,112 lebih besar dari nilai 𝛼 = 0,05 maka H 0 diterima , sehingga dapat dikatakan bahwa data suku bunga berditribusi Normal.  Oleh karena data suku  bunga bulanan yang dimulai dari  Januari 2020 sampai dengan  Mei 2021. dipilih sebagai data yang diinputkan dalam proses simulasi Monte Carlo.

## 3.2 Simulasi Harga Opsi Call Asia dengan Suku Bunga Tidak Konstan
Pada  bagian  ini  dilakukan  simulasi  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku  bunga  tidak  konstan sehingga  diperoleh  kekonvergenan  harga  Opsi Call Asia  dengan  simulasi  yang  semakin  besar. Tabel 2 merupakan hasil simulasi Monte Carlo untuk menentukan harga Opsi Call Asia. Nilai error dihitung  berdasarkan  persentase  selisih  harga  opsi  pada  tiap  simulasi  terhadap  harga  opsi  pada simulasi  optimal  dengan  mempertimbangkan  kapasitas memory komputer  maksimum  yaitu  pada simulasi M = 300.000 [15]. Pada tabel berikut dapat dilihat bahwa harga Opsi Call Asia konvergen pada suatu nilai yaitu $ 170,82. Simulasi ini dilakukan dengan menginput beberapa parameter pada persamaan (5), (7), dan (9) yaitu S 0 = 100; 𝜎 = 0,25; T = 24 dan K = 120.
Tabel 2 . Hasil simulasi harga Opsi Call Asia M Harga Opsi Call Asia ($) Error 10 165,69725 0,030004331 100 165,66653 0,030184167 1.000 165,66102 0,030216423 10.000 165,66102 0,030216423 100.000 170,64839 0,001020239 300.000 170,82267 0
3.3 Simulasi Harga Opsi Call Asia Dengan Suku Bunga Tidak Konstan Terhadap Perubahan Nilai Parameter Waktu Jatuh Tempo
Pada bagian ini, hasil simulasi harga Opsi Call Asia ditentukan dengan nilai parameter S 0 = 100; 𝜎 = 0,25;  dan K = 120 tetap namun  jangka waktu  jatuh temponya berbeda.  Hal  ini dilakukan untuk menganalisis pergerakan harga Opsi Call Asia jika jangka waktu jatuh tempo diperpanjang. Adapun hasil simulasi harga Opsi Call Asia dengan jangka waktu jatuh tempo yang berbeda dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Harga Opsi Call Asia dengan jangka waktu jatuh tempo yang berbeda
T Harga Opsi Call Asia 5 40,692168 10 64,306603 15 89,651280 20 118,43578 25 152,03748 30 191,96665 35 240,06511 40 298,67859 45 370,85921
Gambar  1  adalah  plot  dari  hasil  simulasi  harga  Opsi Call Asia  dengan  jangka  waktu  jatuh tempo yang berbeda.
Gambar 1. Grafik Opsi Call Asia
Berdasarkan Gambar 1,  dapat dilihat bahwa harga opsi semakin besar seiring dengan naiknya harga strike .  Hal  ini  sejalan  dengan  karakteristik  harga  Opsi Call Asia  yang  semakin  besar  jika harga strike ditingkatkan [13].
3.4 Simulasi Harga Opsi Call Asia dengan Suku Bunga Tidak Konstan Terhadap Perubahan Nilai Parameter Harga Strike
Pada  bagian  ini,  hasil  simulasi  harga  Opsi Call Asia  ditentukan  dengan  menginput  nilai parameter S 0 =  100; 𝜎 =  0,25;  dan T =  24  tetap  namun  harga strike nya  berbeda  pada  persamaan
(5),(7), dan (9). Adapun hasil simulasi harga Opsi Call Asia dengan harga strike yang berbeda dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4 .  Harga Opsi Call Asia dengan Harga Strike Yang Berbeda
Harga Strike ( K ) Harga Opsi Call Asia 120 170,82267 125 167,26787 130 163,80633 135 160,43524 140 157,15133 145 153,95440 150 150,84227 155 147,81280 160 144,86299
Gambar  2  adalah  plot  dari  hasil  simulasi  harga  Opsi Call Asia  terhadap  harga strike yang berbeda.
Gambar 2. Harga Opsi Call Asia dengan harga strike yang berbeda
Berdasarkan Gambar 2 terlihat bahwa harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak konstan semakin kecil seiring  dengan pertambahan jangka waktu  jatuh tempo opsi.  Hal  ini sejalan dengan karakteristik harga Opsi Call Asia yang semakin kecil jika waktu jatuh temponya diperpanjang [13].

## 4. Kesimpulan
Simulasi harga Opsi Call Asia dengan suku bunga tidak konstan konvergen pada suatu nilai yaitu $170,82. Jika dilihat dari grafik harga opsi dengan harga strike yang berbeda, semakin besar harga strike menyebabkan  harga  Opsi Call Asia  semakin  besar  sesuai  dengan  karakteristik  harga Opsi Call Asia.  Selain  itu,  dengan  memperpanjang  jangka  waktu  jatuh  tempo,  maka  harga  Opsi Call Asia  dengan  suku  bunga  tidak  konstan  semakin  besar  juga  sesuai  dengan  karakteristik  harga Opsi Call Asia.

## Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih kepada Yayasan Pakuan Siliwangi Jalan Pakuan No.1 Ciheuleut PO BOX 452 Bogor 16144 sebagai sponsor pendanaan penelitian ini.

## Referensi
[1] L.  Marroni  and  I.  Perdomo, Pricing  and  Hedging  Financial  Derivatives:  A  Guide  for Practitioners . New Jersey: John Wiley and Sons Ltd, 2014.
[2] A. J. M. Z. Bodie, A. Kane, Investment . New York: McGraw-Hill, 2011.
[3] R.W. Kolb and J. A. Overdahl, Financial Derivatives . New Jersey: John Wiley and Sons Ltd 2003.
[4] P.  Willmot, Derivatives:  The  Theory  and  Practice  of  Financial  Engineering .  New  Jersey: John Wiley and Sons Ltd, 2007.
[5] R. Tompkins, "Option Explained 2 ", in Finance and Capital Markets Series , Berlin: Springer, 1994.
[6] J. Han and Y. Hong, “Review of Asian Options,” OALib , vol. 09, no. 02, pp. 1–8, 2022, doi: 10.4236/oalib.1108358.
[7] N. Kahalé, “General multilevel Monte Carlo methods for pricing discretely monitored Asian options,” Eur.  J.  Oper.  Res. ,  vol.  287,  no.  2,  pp.  739–748,  2020,  doi: 10.1016/j.ejor.2020.04.022.
[8] P. Wilmott, Introduces Quantitative Finance, 2 nd ed. New Jersey: John Wiley and Sons Ltd, 2007.
[9] J. A. P. Sumampouw, C. E. J. C. Montolalu, and T. Manurung, “Metode Quasi Monte Carlo Dengan Barisan Bilangan Acak Halton Dalam Menentukan Nilai Kontrak Opsi Tipe Binary Pada  Saham  PT.  Gudang  Garam,  Tbk.,” d’CARTESIAN ,  vol.  9,  no.  2,  p.  140,  2021,  doi: 10.35799/dc.9.2.2020.29147.
[10]  L.  Xu,  H.  Zhang,  and  F.  L.  Wang,  “Pricing  of  Arithmetic  Average  Asian  Option  by Combining Variance Reduction and Quasi-Monte Carlo Method,” Mathematics , vol. 11, no. 3, pp. 1–14, 2023, doi: 10.3390/math11030594.
[11]  P. Atika, R. Lestari, and Y. Asdi, “Penerapan Simulasi Monte Carlo Dalam Penentuan Harga Opsi Asia,” J. Mat. UNAND , vol. 6, no. 3, p. 40, 2017, doi: 10.25077/jmu.6.3.40-46.2017.
[12]  F.  Zubedi,  N.  Achmad,  S.  L.  Mahmud,  and  R.  Mowuu,  “Penentuan  Harga  Beli  Opsi  Asia Menggunakan Monte Carlo-Antithetic Variate dan Monte Carlo-Control,” Euler  J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol. , vol. 10, no. 1, pp. 7–14, 2022, doi: 10.34312/euler.v10i1.12055.
[13]  I. Kamila, E. H. Nugrahani,  and D. C. Lesmana, “Metode Monte Carlo Untuk Menentukan Harga Opsi Barrier Dengan Suku Bunga Takkonstan,” J. Math. Its Appl. , vol. 16, no. 1, pp. 55–68, 2017, doi: 10.29244/jmap.16.1.55-68.
[14]  N. M. Razali and Y. Bee Wah, “Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests,” J. Stat. Model. Anal. , vol. 2, no. 1, pp. 13–14, 2011.
[15]  D.  P.  Aggraini,  D.  C.  Lesmana,  and  B.  Setiawaty,  “Aplikasi  Simulasi  Monte  Carlo  Untuk Menentukan Nilai Opsi Asia Dengan Menggunakan Metode Control Variate Pada Komoditas Pertanian,” J. Math.  Its Appl. , vol.  16, no. 1, pp. 69–82, 2017, doi: 10.29244/jmap.16.1.69- 82.