Volume I, Nomor 2, Agustus 2015, Halaman 101–105

## TERBENTUKNYA KONSEPSI MATEMATIKA PADA DIRI ANAK DARI PERSPEKTIF TEORI REIFIKASI DAN APOS

## Kusaeri
Jurusan PMIPA UIN Sunan Ampel Surabaya, Jl. A. Yani 117 Surabaya erinda_1@ yahoo.co.id

## ABSTRAK
Tujuan penting pembelajaran matematika adalah  membantu anak  memahami  konsep. Dengan memahami  konsep,  anak  dapat  mengembangkan  kemampuan  penalaran  dan  memecahkan masalah  matematika  secara  baik.  Sebaliknya,  proses  pembelajaran  yang  hanya  menekankan pada  latihan  ( drill )  tanpa  penanaman  konsep  yang  memadai  berakibat  anak  cenderung menggunakan  pengetahuan  prosedurnya  ketika  dihadapkan  dengan  suatu  problem. Kecenderungan ini membawa dampak bila urutan prosedur pada soal diubah atau dimodifikasi, anak akan mengalami kegagalan menyelesaikannya. Untuk itulah, tulisan ini menguraikan dua teori tentang terbentuknya konsepsi matematika, yakni teori reifikasi dan teori APOS. Dengan mencermati  kedua teori tersebut, diharapkan  guru semakin menyadari bagaimana seharusnya melakukan  proses  pembelajaran  matematika.  Pada  teori  reifikasi,    proses  terbentuk-nya konsepsi  pada  diri  anak  melalui  tahapan  interiorisasi,  kondensasi,  dan  reifikasi.  Pada  teori APOS,  terbentuknya  konsepsi  objek  matematika  pada  diri  anak  sebagai  hasil  dari  suatu rangkaian aksi, proses, objek dan skema.
Kata Kunci: Teori Reifikasi, Teori APOS, Mat

## PENDAHULUAN
Konsep  merupakan  unsur  terkecil  dan  mendasar  dari  proses  berpikir  (Goodwin,  2006). Belajar  matematika  tidak  lain  adalah  belajar konsep  dan  struktur  matematika  (Baroody  dkk.,  2007). Oleh karenanya, tujuan penting pembelajaran matematika adalah membantu anak memahami konsep, bukan hanya sekedar mengingat fakta, prosedur dan algoritma yang terpisah-pisah (Santrock, 2008). Untuk  memecahkan  masalah  dalam  matematika,  seorang  anak  harus  mengetahui  aturan-aturan  yang relevan, dan aturan-aturan itu didasarkan pada konsep-konsep yang diperolehnya.
Dengan  konsep,  anak  dapat  mengembangkan  kemampuan  penalaran  matematika.  Konsep juga  sebagai  pilar  dalam  pemecahan  masalah  matematika.  Sehingga,  memahami  dan  menguasai konsep  merupakan  hal  penting  bagi  anak  dalam  belajar  matematika.  Artinya,  bila  anak  tidak memahami konsep dengan baik, mereka akan kesulitan ketika dihadapkan pada problem matematika yang menuntut penalaran.
Contoh berikut memberikan gambaran bagaimana seorang anak yang tidak menguasai konsep secara  baik.  Misalkan  nama  anak  itu  adalah  Andri.  Contoh  ini  dimodifikasi  dari  artikel  yang  ditulis Saul (2008).  Andri  adalah  seorang  siswa  kelas  VIII  suatu  SMP  di  Surabaya  yang  memiliki kemampuan  rata-rata.  Ia  dapat  menyelesaikan  persamaan  linear  seperti  2 x –  3  =  17  dengan  cara mengganti x suatu  bilangan  tertentu.  Ia  mencoba  mengganti x dengan  bilangan  4,  dan  mencoba mengganti ke persamaan sehingga didapat 2 × 4 – 3 = 5. Ternyata hasilnya terlalu kecil, karena yang dibutuhkan 17. Ia juga mencoba bilangan 30, ternyata  didapatkan hasil lebih dari 17 karena 2 × 30 – 3  =  57.  Andri  terus  mencoba  mengganti x dengan  beberapa  bilangan,  sampai  akhirnya  didapatkan penyelesaian  persamaan  linear  tersebut.  Akan  tetapi,  dengan  cara  yang  sama  Andri  tidak  mampu menyelesaikan  persamaan  2,3 x +  3,02  =  17,83.  Bahkan  untuk  persaman  3 x –  3  =  17  ia  juga  tidak
mampu  menyelesaikannya.  Namun,  bila  diberikan  suatu  bilangan,  ia  dapat  menyatakan  bahwa bilangan itu merupakan penyelesaian persamaan atau bukan.
Bila  mencermati  kasus  Andri,  sangat  mungkin  banyak  anak  mirip  dengannya.  Andri mengetahui  bagaimana  mengganti  variabel x .  Ia  juga  mengetahui  bahwa  persamaan  2 x –  3  =  11 menjadi  pernyataan  yang  bernilai  benar bila x diganti  7  dan  menjadi  pernyataan  yang  bernilai  salah bila x diganti  5.  Kesimpulanya,  Andri  tidak  memiliki  konsep  yang  cukup  dalam  menyelesaikan persamaan. Ia hanya terampil dalam menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar.
Kondisi  demikian  sebagai  dampak  dari  proses  pembelajaran  yang  hanya  menekankan  pada latihan ( drill ) tanpa diimbangi dengan penanaman konsep yang memadai. Akibatnya, anak cenderung menggunakan  pengetahuan  prosedurnya  ketika  dihadapkan  dengan  suatu  problem.  Padahal  jenis pemahaman ini hanya mendorong kemampuan mengingat ( memory ) semata, dan anak yang berhasil dalam hal ini adalah mereka yang dapat mengingat secara detail prosedur-prosedur dalam urutan yang benar. Kecenderungan ini membawa dampak bila urutan prosedur pada soal diubah atau dimodifikasi, anak akan mengalami kegagalan menyelesaikannya (Kusaeri, 2012).
Menyikapi hal yang demikian, tulisan  ini akan membahas dua teori dari sekian banyak teori tentang  terbentuknya  konsepsi  matematika  pada  diri  anak.  Kedua  teori  itu  adalah  teori  reifikasi  dan teori  APOS. Sebelum  membahas  kedua  teori  akan  diuraikan  terlebih  dahulu  unsur-unsur  konsep. Sebab, komponen ini menjadi bagian penting dalam memahami kedua teori.

## UNSUR-UNSUR KONSEP
Zetterberg  menguraikan  tiga  komponen  yang  membentuk  konsep,  yakni:  simbol,  objek  dan konsepsi  (Ihalauw,  2008),  sebagaimana  diperlihatkan  pada  Gambar  1.  Pengkategorian  ini  tidak diperuntukkan  secara  khusus  pada  matematika,  namun  tidak  salah  bila  diadopsi  untuk  konteks matematika.

## Gambar 1. Hubungan Ketiga Unsur Konsep
Unsur pertama konsep adalah simbol. Setiap disiplin ilmu memiliki simbol tersendiri. Dalam matematika  terlihat  dengan  jelas  banyak  simbol  yang  digunakan,  baik  simbol  berupa  angka,  huruf ataupun  rangkaian  angka  dan  huruf.  Rangkaian  simbol  dalam  matematika  membentuk  model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan atau yang lainnya.  Model matematika  ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 merupakan dua contoh simbol dari konsep persamaan.
Objek  merupakan  unsur  kedua  dari  konsep.  Objek  yang  dipelajari  pada  matematika merupakan sesuatu yang abstrak, sering juga disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran.  Objek  dasar  itu  berupa  fakta,  operasi  dan  prinsip  (Begle,  1979).  Fakta  berupa  konvensi- konvensi  yang  diungkap  dengan  simbol  tertentu.  Operasi  berupa  pengerjaan  hitung,  pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain. Prinsip dapat berupa fakta, konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun  operasi. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai  objek  dasar  matematika.  Dengan  demikian,    prinsip  merupakan  objek  matematika  yang kompleks.  Dalam  kaitannya  dengan  objek  konsep,  maka  materi-materi  persamaan,  pertidaksamaan atau yang lainnya merupakan objek dari konsep.
Diberikan KONSEPSI SIMBOL OBJEK KONSEP Dikandung dalam Ditunjuk oleh
Unsur ketiga konsep adalah konsepsi. Seorang anak yang berusaha memahami suatu konsep melalui  membaca  atau  mendengarkan  penjelasan  dari  guru,  mereka  akan  memiliki  pemahaman tentang  konsep,  dinamakan    konsepsi.  Dalam  kamus  Bahasa  Indonesia,  konsepsi  dimaknai  sebagai pengertian, pendapat atau paham (Depdiknas, 2008). Sfard (1991)  mendefinisikan  konsepsi sebagai bentuk  representasi  internal  tentang  konsep,  yang  dimiliki  seorang  anak  atau  menjadi  unsur  dari jaringan pengetahuan seorang anak.
Kedua pengertian di atas menunjukkan bahwa konsepsi merupakan pemahaman anak tentang suatu konsep, bersifat subjektif atau personal, serta akan menjadi bagian jaringan pengetahuan anak. Dengan demikian, sangat dimungkinkan terbentuknya konsepsi pada diri setiap anak tergantung pada keluasan jaringan informasi yang dimilikinya.

## TEORI REIFIKASI
Teori  reifikasi  dikemukakan  oleh  Sfard.  Menurut  Sfard  (1991)  konsep-konsep  matematika berkaitan  dengan  dua  macam  konsepsi,  yakni  konsepsi  operasional  dan  struktural.  Konsepsi operasional merupakan konsepsi yang mengandung makna proses, algoritma atau kegiatan. Konsepsi struktural  merupakan  konsepsi  yang  menggambarkan  suatu  konsep  sebagai  suatu  yang  statis,  yang terdapat pada suatu tempat dan di suatu saat.
Dalam  proses  pembentukan  konsepsi,  terjadinya  konsepsi  operasional  mendahului  terjadinya konsepsi  struktural.  Terbentuknya  konsepsi  struktural  melalui  proses  yang  panjang  dan  sering  kali sulit  (Suryanto,  1997:87-88).  Berdasarkan  kedua  jenis  konsepsi  tersebut,  Sfard  (1991:18)  membagi proses  pembentukan  konsepsi  pada  diri  anak  melalui  serangkaian  tahapan,  yakni  interiorisasi ( interiorization) , kondensasi ( condensation) , dan reifikasi ( reification) .
Interiorisasi  merupakan  suatu  tahapan  di  mana  anak  melakukan  operasi  terhadap  objek-objek matematika pada tahapan yang rendah (Sfard, 1991). Suatu proses dikatakan telah terinteriorisasi bila anak  melakukan  operasi  tanpa  berpikir  selama  melakukan  proses  operasi  tersebut.  Sebagai  contoh, dalam  menyelesaikan  persamaan  satu  variabel,  bila  seorang  anak  dapat  menemukan  penyelesaian suatu persamaan,  maka dapat dikatakan bahwa konsep tersebut telah terinteriorisasi pada diri anak. Mengapa?  Karena  pada  kasus  ini,  sebenarnya  anak  telah  mengingat  proses  yang  diperlukan  guna menyelesaikan persamaan.  Namun, tanpa mengingat proses yang seharusnya dilakukan, anak sudah bisa menyelesaikan persamaan yang dimaksud.
Kondensasi adalah suatu kondisi di mana proses yang kompleks telah terbentuk pada diri anak. Sfard (1991) menggambarkan tahapan kondensasi sebagai tahapan yang ditandai dengan munculnya konsepsi  baru.  Anak  dianggap  telah  sampai  pada  tahapan  ini  bilamana  konsepsi  baru  benar-benar menyatu  dalam  proses  penyelesaian  masalah.  Pada  tahapan  ini,  anak  mampu  mengombinasikan proses, membuat perbandingan dan generalisasi. Hal terpenting pada tahapan ini adalah meningkatnya kemampuan anak dalam menyajikan konsep secara berbeda.
Tahapan  terakhir  adalah  reifikasi.  Reifikasi  merupakan  suatu  tahapan  di  mana  anak  dapat menerima  konsep  matematika  sebagai  suatu  objek  yang  lengkap  beserta  karakteristik  yang dimilikinya.  Konsep  yang  telah  ter-reifikasi  dapat  disimpan  dan  dikaitkan  dengan  kategori-kategori yang  dimilikinya.  Karakteristik  dari  kategori  tersebut  juga  dapat  dibandingkan  dengan  yang  lain. Sfard  (1991)  berpendapat  bahwa  reifikasi  merupakan  tahapan  paling  sulit  bagi  anak  untuk mencapainya. Ia menjelaskan bahwa umumnya anak telah memiliki objek-objek abstrak pada tahapan di bawahnya, sebelum mereka mulai melakukan pemrosesan objek tersebut pada tahapan yang lebih tinggi.  Untuk  memahami  suatu  hirarki,  suatu  tahapan  tidak  akan  bisa  dicapai,  bila  semua  tahapan sebelumnya belum dilakukan.

## TEORI APOS
Proses  terbentuknya  konsepsi  objek  matematika  pada  diri  anak  juga  dapat  digambarkan sebagai hasil dari suatu rangkaian Action-Process-Object-Schema ( APOS ). APOS adalah sebuah teori konstruktivis  tentang  bagaimana  seorang  anak  belajar  suatu  konsep  matematika.  Teori APOS didasarkan  pada  hipotesis  tentang  hakekat  pengetahuan  matematis  ( mathematical  knowledge )  dan bagaimana  pengetahuan  tersebut  berkembang  (Suryadi,  2008).  Pandangan  teoritik  ini  dikemukakan oleh  Dubinsky  pada  2001,  yakni  pengetahuan  matematis  seorang  anak  pada  hakekatnya  merupakan kecenderungan  yang  dimilikinya  untuk  merespon  situasi  masalah  matematis  yang  dihadapi  melalui refleksi atas masalah itu.
Refleksi  itu  dilakukan  melalui  konsepsi  aksi,  proses,  dan  objek  matematis  serta mengorganisasikan  hal  tersebut  dalam  skema  yang  dapat  digunakan  memecahkan  masalah  yang dihadapinya.  Istilah-istilah  aksi  ( action ),  proses  ( process ),  objek  ( object ),  dan  skema  ( schema )  pada hakekatnya merupakan suatu konstruksi mental seorang anak dalam upaya memahami sebuah konsep matematik.  Objek yang  telah  tersimpan  dalam  memori  seorang  anak  sebagai  pengetahuan  akan diproses bila terjadi aksi yang diakibatkan adanya stimulus tertentu.
Menurut  teori  ini,  ketika  seorang  anak  berusaha  memahami  suatu  konsep  matematika  maka prosesnya  dimulai  dari  suatu  aksi  mental  terhadap  konsep  matematika.  Selanjutnya  dilakukan pengkonstruksian suatu skema tentang konsep matematika tertentu yang tercakup dalam masalah yang diberikan. Cooley dkk (2007) menguraikan keempat proses terjadinya konsepsi di atas yang diuraikan sebagai berikut.
Konsepsi  aksi adalah  suatu  transformasi  objek-objek  matematika  berdasarkan  pada  sebuah algoritma  tertentu  untuk  memperoleh  objek  matematika  lainnya.  Hal  itu  dialami  anak  pada  saat menghadapi suatu problem matematika serta berusaha menghubungkannya dengan pengetahuan yang telah  dimiliki  sebelumnya.  Seorang  anak  dikatakan  mengalami  suatu  aksi,  apabila  anak  itu memfokuskan proses mentalnya pada upaya untuk memahami suatu konsep yang diberikan. Seorang anak yang memiliki pemahaman lebih mendalam tentang suatu konsep, mungkin akan melakukan aksi yang lebih baik atau dapat juga fokus perhatiannya keluar dari konsep yang diberikan.
Konsepsi  proses  merupakan  transformasi  internal  tentang  suatu  objek.  Seorang  anak dikatakan  berada  pada  konsepsi  proses,  apabila  berpikirnya  terbatas  pada  ide  matematik  yang dihadapi, ditandai dengan munculnya kemampuan untuk membicarakan ( to describe ) atau melakukan refleksi  atas  konsep  matematika  tersebut.  Proses-proses  baru  dapat  dikonstruksi  dari  proses  lainnya melalui suatu koordinasi serta pengaitan antar proses.
Untuk  mengonstruk  sebuah  konsepsi  objek,  seorang  anak  perlu  berkaca  pada  aksi  yang diterapkan  pada  suatu  proses  tertentu  dan  menjadi  sadar  tentang  proses  sebagai  suatu  totalitas. Seorang  anak  dikatakan  telah  memiliki  sebuah  konsepsi  objek tentang  konsep  matematika  apabila mereka  telah  mampu  memperlakukan  konsep  itu  sebagai  sebuah  objek  kognitif  yang  mencakup kemampuan  untuk  melakukan  aksi  atas  objek  tersebut  serta  memberikan  penjelasan  tentang  sifat- sifatnya. Selain itu, anak tersebut juga telah mampu melakukan penguraian kembali ( de-encapsulate ) suatu objek menjadi proses sebagaimana asalnya pada saat sifat-sifat dari objek yang dimaksud akan digunakan.
Suatu  skema  matematika  merupakan  kumpulan  dari  konsepsi  aksi,  proses,  dan  objek  serta skema yang telah terkonstruk sebelumnya, sehingga membentuk struktur matematika yang diperlukan untuk  memecahkan  suatu  problem  matematika.  Skema  ini  selanjutnya  berkembang  menjadi  relasi baru  antara  konsepsi  aksi,  proses,  dan  objek  yang  baru  dengan  konsepsi  sebelumnya  serta  skema lainnya yang terkonstruk.
Kedua teori pembentukan konsepsi matematika di atas, bila dicermati tampak ada perbedaan. Misalkan,  tahap  pertama  yang  disebut  Sfard  sebagai  “proses  interiorisasi”  merupakan  tahap  kedua dari  teori  APOS  dari  Dubinsky.  Namun  secara  umum,  kedua  teori  memiliki  kesamaan.  Mereka memulainya  dengan aksi pada  objek  yang  telah  diketahui  (objek  fisik  maupun  mental),  dilatihkan menjadi prosedur rutin langkah demi langkah, dan hal tersebut dipandang sebagai proses. Selanjutnya, hal itu dianggap sebagai entitas yang dapat digunakan pada level yang lebih tinggi untuk memberikan siklus berikutnya dalam pembentukan konsepsi (Pegg & Tall, 2010).

## SIMPULAN
Paparan  sebelumnya  mengisyaratkan  bahwa  kedua  teori  (teori  reifikasi  dan  teori  APOS) selain  memiliki  perbedaan  namun  juga  memiliki  kesamaan  pandangan.  Anak  akan  melakukan pemrosesan  objek-objek  matematika  pada  tahapan  di  bawahnya,  sebelum  melakukan  pemrosesan objek  tersebut  pada  tahapan  yang  lebih  tinggi.  Artinya,  pembentukan  konsepsi  matematika berlangsung secara hirarkis yakni suatu tahapan tertentu tidak akan bisa dicapai, bila semua tahapan sebelumnya tidak dilalui secara sempurna. Bila ada tahapan tertentu tidak dilaluinya, maka sering kali timbul miskonsepsi pada diri anak dalam memahami konsep-konsep matematika.

## DAFTAR RUJUKAN
Barody, A.J., Feil, Y. & Johnson, A.R. 2007. An  Alternative Reconceptualization of Procedural and Conceptual Knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 38, 115-131.
Begle,  E.G.  1979. Critical  Variabel  in  Mathematic  Education:  Finding  from  a  Survey  of  the Empirical Literature. Washington: Mathematical Association of America and National Council of Teachers of Mathematics.
Cooley, L., Trigueros, M. & Baker, B. 2007. Schema Thematization: A Framework and an Example. Journal for Research in Mathematics Education, 38, 370-392.
Depdiknas. 2008. Kamus Bahasa Indonesia. Jakarta: Pusat Bahasa.
Goodwin,  G.P.  2006. How  Individuals  Learn  Simple  Boolean  System  and  Diagnose  their  Faults. Disertasi Doktor Tidak Diterbitkan, Princeton University.
Ihalauw,  J.  2008. Konstruksi  Teori:  Komponen  dan  Proses. Jakarta:  PT  Gramedia  Widiasarana Indonesia.
Kusaeri.  2012. Pengembangan  Tes  Diagnostik  dengan  Menggunakan  Model  DINA  untuk Mendapatkan  Informasi  Salah  Konsepsi  dalam  Aljabar. Disertasi  Tidak  Diterbitkan. Yogyakarta: Program Pascasarjana Universitas Negeri Yogyakarta.
Pegg,  J.  &  Tall,  D.  2010.  The  Fundamental  Cycle  of  Concept  Construction  Underlying  Various Theoretical  Frameworks.  Dalam  B.  Sriraman  &  L.  English  (Eds). Theory  of  Mathematics Education I (pp. 173-192). New York: Springer.
Saul, M. 2008. Algebra: The Mathematics and the Pedagogy. Dalam C.E. Greenes & R. Rubenstein (Eds), Algebra  and  Algebraic  Thinking  in  School Mathematics,  ( pp.  63-79).  Reston, VA: The National Council of  Teachers Mathematics, Inc.
Sfard,  A.  1991.  On  the  Dual  Nature  of  Mathematics  Conceptions:  Reflections  on  Processes  and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
Suryanto.  1997. Kesulitan instrinsik matematika. Jurnal Kependidikan , 27, 75-98.
Suryadi, D. 2008. Metapedadidaktik dalam Pembelajaran Matematika: Suatu Strategi Pengembangan Diri  Menuju  Guru  Profesional. Pidato  Pengukuhan  Guru  Besar  Pendidikan  Matematika, tanggal 22 Oktober 2008. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.