Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 16, No. 2, Desember 2019, 105-116 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v16i2.5872

## Pemodelan Dan Optimasi Multi-Tujuan Portofolio Saham Dengan Resiko Menggunakan Nadir Compromise Programming

## Subchan,  E. Rahmawati
Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Analitika Data Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya e-mail: subchan@matematika.its.ac.id
Diajukan:2 September 2019  Diperbaiki: 14 Nopember 2019 Diterima:12 Desember 2019

## Abstrak
Portofolio saham merupakan kumpulan aset yang dimiliki oleh perusahaan maupun perseorangan. Pada paper ini dibahas pemodelan dan optimasi portofolio saham dengan memperhatikan beberapa criteria, yaitu optimasi risiko, maksimum expected return dan minimum modal investasi. Pemodelan permasalahan menghasilkan  optimasi  multi-tujuan  yang  selanjutnya  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode Nadir Compromise  Programming .  Pada  penelitian  dianalisis  20  saham  dari  5  sektor.  Dari  hasil  optimasi dihasilkan 11 saham terpilih dengan nilai expected return maksimal dan modal investasi sebesar 7820,66. Berdasar Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) diperoleh expected return portofolio yang nilainya lebih besar daripada expected return pasar.
Kata kunci: Pemodelan portofolio saham, nadir compromise programming, optimasi multi-tujuan.

## Abstract
Stock  portfolio  is  a  collection  of  assets  from  companies  or  individuals.  In  order  to  achieve  the purpose of portfolio investment, it is required to optimize the problem. This paper discusses modelling and optimization of portfolio by considering several criteria, which are the risk, expected return and capital investment. In this paper a multi-objective portfolio optimization problem is modelled and then solved using the Nadir Compromise Programming method for 20 stocks in 5 sectors. Based on the simulation result, 11 stocks are selected with a maximum value of expected return and the capital investment is 7820.66. Based on Jakarta Stock Exchange, the expected return value of portfolio is greater than the expected return on the market.
Keywords : Stock portfolio modeling, nadir compromise programming, multi-objective optimization.

## 1 Pendahuluan
Saham adalah aset finansial yang paling menguntungkan dan menjadi unggulan di kalangan investor.  Saham  merupakan  salah  satu  aset  finansial  yang  diperdagangkan  di  pasar  modal. Investasi  pada  sektor  ini  menawarkan  tingkat  keuntungan  yang  tinggi  dibandingkan  dengan investasi  di  sektor  aset  real,  seperti  pembelian  aset  produktif,  pendirian  pabrik,  pembukaan

## Menggunakan Nadir Compromise Programming
pertambangan  dan  lainnya.  Namun  dalam  berinvestasi  semakin  tinggi  tingkat return yang ditawarkan  maka  semakin  tinggi  pula  tingkat  resiko  yang  dihadapi.  Investor  pada  umumnya menginginkan return yang maksimal dengan resiko yang minimal, sehingga sebelum menanamkan modalnya investor harus melakukan analisis agar tujuan dalam berinvestasi tercapai. Salah satu cara untuk meminimalkan resiko yaitu dengan melakukan diversifikasi atau penyebaran investasi dengan membentuk portofolio yang terdiri dari beberapa saham.
Portofolio  merupakan  kombinasi  atau  gabungan  dari  sekumpulan  aset,  baik  berupa  aset finansial  maupun  aset  real  yang  dimiliki  oleh  investor  [1,  2].  Portofolio  disusun  untuk mendapatkan  keuntungan  yang  maksimal,  sehingga  dalam  permasalahan  optimasi  portofolio terdapat  beberapa  fungsi  tujuan  yang  dipertimbangkan  investor,  yaitu  memaksimalkan  tingkat pengembalian yang diharapkan dan meminimalkan resiko [3].
Teori portofolio modern dicetuskan oleh Markowitz [7], dimana Markowitz menggunakan pemilihan  portofolio sebagai model optimasi yang dikenal dengan model mean-variance dengan melibatkan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return dan meminimumkan resiko [5, 6, 8]. Dalam permasalahan pemilihan portofolio dianalisa bagaimana mengalokasikan modal agar memperoleh keuntungan maksimal dengan resiko yang minimal [5, 6, 8]. Ciptaningrum [3] membahas tentang pemilihan portofolio dengan masalah optimasi dengan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected  return dan  meminimalkan  resiko  dengan  menggunakan  metode Compromise Programming sehingga didapatkan lima portofolio yang efisien.
Pada  paper  ini  digunakan Nadir  Compromise  Programming  (NCP) dalam  menyelesaikan permasalahan  multi-tujuan  pada  model  optimasi  portofolio. Nadir  Compromise  Programming adalah  pengembangan  dari  metode Compromise  Programming yang  dapat  digunakan  untuk mengoptimalkan permasalahan multi-tujuan, sehingga dapat menentukan portofolio yang optimal dari sekumpulan saham.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian  diawali  dengan  pengumpulan  data  dan  informasi.  Data  yang  digunakan  adalah data  sekunder  Indeks  Harga  Saham  Gabungan  (IHSG)  selama  4  tahun  yang  diperoleh  dari http://finance.yahoo.com/.  Data  yang  digunakan  meliputi  opening  price,  closing  price  dari  20 perusahaan. Perusahaan-perusahaan tersebut dibedakan menjadi lima sektor, yaitu sektor energi dan metal, finansial, jasa, manufaktur dan perkebunan (lihat Tabel 1).
Menghitung Return, Expected Return dan Koefisien Resiko
Dari hasil perhitungan return , dapat diketahui suatu saham untung atau rugi pada periode tertentu.  Setelah  diketahui return saham  pada  masing-masing  periode  maka  dapat  dihitung expected returnnya . Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan return history asset dengan return pasar menggunakan kovarian masing-masing saham.

## Pemodelan dan Optimasi Portofolio
Pada  tahap  ini  dirancang  model  optimasi  portofolio.  Dalam  pembentukan  portofolio, investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan resiko dan modal yang minimal. Oleh karena itu fungsi tujuan dari model optimasi portofolio terdiri dari 3 aspek, yaitu resiko, expected return dan  modal  investasi.  Sedangkan  fungsi  kendala  untuk  model  optimasi  portofolio  adalah koefisien resiko, jumlah proporsi dana yang diinvestasikan, serta batas atas dan batas bawah dana yang diinvestasikan.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut digunakan Nadir Compromise Programming . Pada tahap ini didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham.

## 3 Analisa dan Pembahasan
Pada bagian ini dibahas tentang analisa dan pembahasan dari metoda yang digunakan.
Perhitungan Return dan Expected Return Saham Individual
Hasil dari investasi diukur dari pengembalian ( return ) yang diperoleh dalam periode waktu tertentu, Pengembalian sama dengan perubahan  nilai  saham  dalam kurun waktu  tertentu  dibagi dengan nilai harga buka saham. Pengembalian saham individual dapat dihitung berdasarkan data historis harga saham yang dapat dihitung dengan:
𝑅 𝑖𝑗 = 𝐶𝑃−𝑂𝑃+𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑂𝑃 (1)
Berdasar pada nilai harga buka ( Open Price, OP) dan harga tutup ( Close Price, CP) selama 4 tahun diperoleh nilai expected return 𝑬(𝑹 𝒊 ) masing-masing saham dengan menggunakan persamaan:
𝐸(𝑅 𝑖 ) =   ∑ 𝐸(𝑅 𝑗 ) 𝑁 𝑁 𝑗=1 (2)
Hasil dari perhitungan expected return dapat dilihat pada Tabel 1 kolom 3.

## Perhitungan Koefisien Resiko
Sebelum menghitung koefisien resiko masing-masing saham, terlebih dahulu dihitung return pasar atau tingkat pengembalian pasar. Return pasar ( 𝑅 𝑚 ) yang diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dihitung dengan menggunakan persamaan:
𝑅 𝑚 = 𝐼𝐻𝑆𝐺 𝑡 −𝐼𝐻𝑆𝐺 𝑡−1 𝐼𝐻𝑆𝐺 𝑡−1
(3)
Koefisien resiko didapatkan dengan membandingkan kovarian saham- return pasar dengan varian return pasar. Sebelum menghitung nilai varian return pasar, terlebih dulu dihitung expected return pasar ( 𝐸(𝑅 𝑚 )) dengan menggunakan persamaan:
𝐸(𝑅 𝑚 ) =   ∑ 𝑅 𝑚 𝑁 𝑁 𝑚=1 (4)
Penelitian  diawali  dengan  pengumpulan  data  dan  informasi.  Data  yang  digunakan  adalah  data sekunder  Indeks  Harga  Saham  Gabungan  (IHSG)  selama  4  tahun  yang  diperoleh  dari http://finance.yahoo.com/.  Data  yang  digunakan  meliputi  opening  price,  closing  price  dari  20 perusahaan. Perusahaan-perusahaan tersebut dibedakan menjadi lima sektor, yaitu sektor energi dan metal, finansial, jasa, manufaktur dan perkebunan (lihat Tabel 1).

## Menghitung Return, Expected Return dan Koefisien Risiko
Dari hasil perhitungan return, dapat diketahui suatu saham untung atau rugi pada periode tertentu. Setelah  diketahui  return  saham  pada  masing-masing  periode  maka  dapat  dihitung  expected returnnya.  Koefisien  risiko  dihitung  dengan  membandingkan  return  history  asset  dengan  return pasar menggunakan kovarian masing-masing saham.

## Pemodelan dan Optimasi Portofolio
Pada  tahap  ini  dirancang  model  optimasi  portofolio.  Dalam  pembentukan  portofolio,  investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan risiko dan modal yang minimal. Oleh karena itu fungsi tujuan dari model optimasi portofolio terdiri dari 3 aspek, yaitu risiko, expected return dan modal investasi. Sedangkan fungsi kendala untuk model optimasi portofolio adalah koefisien risiko,  jumlah  proporsi  dana  yang  diinvestasikan,  serta  batas  atas  dan  batas  bawah  dana  yang diinvestasikan.  Untuk  menyelesaikan  permasalahan  tersebut  digunakan Nadir Compromise Programming . Pada tahap ini didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing- masing saham.

## 3 Analisa dan Pembahasan
Hasil dari investasi diukur dari pengembalian (return) yang diperoleh dalam periode waktu tertentu, Pengembalian sama dengan perubahan  nilai  saham  dalam kurun waktu  tertentu  dibagi dengan nilai harga buka saham. Pengembalian saham individual dapat dihitung berdasarkan data historis harga saham yang dapat dihitung dengan:
𝑅 𝑖𝑗 = 𝐶𝑃−𝑂𝑃+𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑂𝑃 (1)
Berdasar pada nilai harga buka (OP) dan harga tutup (CP) selama 4 tahun diperoleh nilai expected return 𝑬(𝑹 𝒊 ) masing-masing saham dengan menggunakan persamaan:
𝐸(𝑅 𝑖 ) =   ∑ 𝐸(𝑅 𝑗 ) 𝑁 𝑁 𝑗=1 (2)
Hasil dari perhitungan expected return dapat dilihat pada Tabel 1 kolom 3.

## Perhitungan Koefisien Risiko
Sebelum menghitung koefisien risiko masing-masing saham, terlebih dahulu dihitung return pasar atau tingkat pengembalian pasar. Return pasar ( 𝑅 𝑚 ) yang diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dihitung dengan menggunakan persamaan:
𝑅 𝑚 = 𝐼𝐻𝑆𝐺 𝑡 −𝐼𝐻𝑆𝐺 𝑡−1 𝐼𝐻𝑆𝐺 𝑡−1 (3) Tabel 1. Data-data hasil perhitungan 𝑖 Saham 𝐸(𝑅 𝑖 ) 𝐶𝑜𝑣(𝑅 𝑖′ 𝑅 𝑚 ) 𝛽 𝑖 𝑃 𝑖 Proporsi dana 1 ANTM (PT. Aneka Tambang) 0,011317 0,004598 1,425593 1370 0,1 2 ITMG (PT. Indo Tambangraya Megah) 0,031779 0,005218 1,617650 35500 0 3 PGAS (Perusahaan Gas Negara) 0,030578 0,002560 0,793521 5950 0,1 4 INCO (Vale Indonesia Tbk ) 0,012931 0,005126 1,589113 2375 0 5 PTBA (Tambang Batubara Bukit Asam) 0,019030 0,004243 1,315604 14400 0 6 BBRI (Bank Rakyat Indonesia) 0,033006 0,004633 1,436440 8750 0 7 BBNI (Bank Negara Indonesia) 0,044089 0,005020 1,556309 5050 0,1 8 BMRI (Bank Mandiri Tbk) 0,040642 0,005041 1,562884 10000 0 9 BBCA (Bank Central Asia Tbk) 0,021789 0,002964 0,910525 11400 0,1 10 UNTR (United Tractors Tbk) 0,039044 0,004363 1,352611 18200 0 11 TLKM (Telekomunikasi Indonesia) 0,014841 0,001866 0,578510 11000 0,1 12 HEXA (Hexindo Adiperkasa Tbk) 0,047049 0,003673 1,138862 5600 0,1 13 AKRA (AKR Corporindo Tbk) 0,052403 0,003850 1,193499 5000 0 14 INDF (Indofood Sukses Makmur Tbk) 0,0486686 0,004472 1,386301 7450 0,043214 15 KLBF (Kalbe Farma Tbk) 0,070469 0,003363 1,042594 1240 0,1 16 MYOR (Mayora Indah Tbk) 0,067446 0,004359 1,351373 27100 0 17 UNVR (Unilever Indonesia Tbk) 0,025267 0,000937 0,290526 22800 0,056786 18 ASII (Astra International Tbk) 0,063638 0,004581 1,420340 7900 0 19 LSIP (PP London Sumatra Indonesia Tbk) 0,0357573 0,003735 1,157929 1930 0,1 20 AALI (Astra Agro Lestari Tbk) 0,020352 0,002039 0,632100 18500 0,1

## Menggunakan Nadir Compromise Programming
Koefisien  risiko  didapatkan  dengan  membandingkan  kovarian  saham-return  pasar  dengan varian return pasar. Sebelum menghitung nilai varian return pasar, terlebih dulu dihitung expected return pasar ( 𝐸(𝑅 𝑚 )) dengan menggunakan persamaan:
𝐸(𝑅 𝑚 ) =   ∑ 𝑅 𝑚 𝑁 𝑁 𝑚=1 (4)
Selanjutnya  menghitung  varian  pasar (𝜎 𝑚 2 ) dengan  menggunakan  data return  market yang diperoleh  dari  hasil  perhitungan  pada  Persamaan  (3).  Setelah  menghitung return market dan expected  return  market ,  selanjutnya  dapat  dihitung  varians  pasar  dengan  menggunakan persamaan:
𝜎 𝑚 2 = ∑ (𝑅 𝑚𝑗 −𝐸(𝑅 𝑚 )) 2 𝑛 𝑗=1 𝑁 . (5)
Sedangkan  perhitungan  kovarian return saham  dan return pasar  dapat  dihitung  dengan menggunakan persamaan:
𝐶𝑜𝑣 (𝑅 𝑖 , 𝑅 𝑚 ) =   ∑ ∑ (𝑅 𝑖𝑗 −𝐸(𝑅 𝑖 ))(𝑅 𝑚𝑗 −𝐸(𝑅 𝑚 )) 𝑁 𝑁 𝑗=1 𝑛 𝑖=𝑚=1 . (6)
Dengan menggunakan Persamaan (6), didapatkan nilai kovarian return saham dengan return pasar  masing-masing  saham  yang  disajikan  pada  Tabel  1  kolom  4.  Selanjutnya  dapat  dihitung koefisien resiko ( 𝛽 ) masing-masing saham. Tabel 1 kolom 5 merupakan hasil nilai koefisien resiko masing-masing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan:
𝛽 𝑖 = 𝐶𝑜𝑣(𝑅 𝑖′ 𝑅 𝑚 ) 𝜎 𝑚 2 .                                                         (7)

## Model Optimasi Portofolio
Tujuan pembentukan portofolio adalah untuk mengurangi resiko dengan cara diversifikasi, yaitu  mengalokasikan  sejumlah  dana  pada  berbagai  alternatif  investasi.  Pemodelan  optimasi portofolio memperhatikan tiga aspek yaitu resiko, expected return dan modal investasi. Sedangkan variabel keputusannya adalah mendapatkan proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masing- masing saham dalam portofolio tersebut. Model optimasi portofolio saham didefinisikan sebagai berikut,

## Fungsi tujuan
Optimum resiko
Opt 𝑓 1 =   ∑ 𝛽 𝑖 𝑥 𝑖 20 𝑖=1 (8)
Maksimum expected return
Max 𝑓 2 =   ∑ 𝐸(𝑅 𝑖 ) 𝑥 𝑖 20 𝑖=1 (9)
Minimum modal investasi
min 𝑓 3 =   ∑ 𝑃 𝑖 𝑥 𝑖 20 𝑖=1 (10)
𝑥 𝑖 :   proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ke i

## Fungsi kendala
Kendala jumlah dana yang diinvestasikan dimodelkan sebagai berikut,
∑ 𝑥 𝑖 = 1 20 𝑖=1 (11)
Perumusan fungsi kendala jumlah dana pada lima sektor, yaitu 20 persen pada sektor energi dan metal (untuk saham 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5), 20 persen pada sektor finansial (untuk saham 𝑖 = 6, 7, 8, 9), 20 persen pada sektor jasa (untuk saham 𝑖 = 10, 11, 12, 13), 20 persen pada sektor manufaktur (untuk saham 𝑖 = 14, 15, 16, 17, 18) dan 20 persen untuk saham 𝑖 = 19, 20). Fungsi kendala dapat dituliskan sebagai berikut,
𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 0,2 ,
𝑥 6 + 𝑥 7 + 𝑥 8 + 𝑥 9 = 0,2 ,
𝑥 10 + 𝑥 11 + 𝑥 12 + 𝑥 13 = 0,2 , 𝑥 14 + 𝑥 15 + 𝑥 16 + 𝑥 17 + 𝑥 18 = 0,2 ,
𝑥 19 + 𝑥 20 = 0,2.
(12)
Batas bawah dan batas atas dana yang diinvestasikan,
0  ≤ 𝑥 𝑖 ≤ 0,1 , untuk 𝑖 = 1,2,3 … ,20 .                                         (13)

## Nadir Compromise Programming
Sebelum  merumuskan  kedalam Nadir  Compromise  Programming ,  maka  terlebih  dahulu dicari nilai Nadir dari fungsi tujuan maksimum dan minimum, dengan cara mengoptimasi masing- masing fungsi tujuan dengan fungsi kendala yang ada.
Nilai ideal dan Nadir expected return portofolio
Untuk  portofolio  yang  terdiri  dari  20  saham,  nilai  ideal expected return dapat  dituliskan sebagai berikut,
Max 0,011317 𝑥 1 +  0,031779  𝑥 2 +  0,030578  𝑥 3 +  0,012931  𝑥 4 +  0,019030  𝑥 5 + 0,033006  𝑥 6 + 0,044089 𝑥 7 +  0,040642 𝑥 8 +  0,021789 𝑥 9 +  0,039044 𝑥 10 +  0,014841 𝑥 11 + 0,047049 𝑥 12 + 0,052403 𝑥 13 +  0,0486686 𝑥 14 +  0,070469 𝑥 15 +  0,067446 𝑥 16 + 0,025267 𝑥 17 + 0,063638 𝑥 18 + 0,0357573 𝑥 19 + 0,020352 𝑥 20 ,
dengan kendala,
𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 0,2 ,
𝑥 6 + 𝑥 7 + 𝑥 8 + 𝑥 9 = 0,2 , 𝑥 10 + 𝑥 11 + 𝑥 12 + 𝑥 13 = 0,2 ,
𝑥 14 + 𝑥 15 + 𝑥 16 + 𝑥 17 + 𝑥 18 = 0,2 ,
𝑥 19 + 𝑥 20 = 0,2 ,
0 ≤ 𝑥 𝑖 ≤ 0,1                   𝑖 = 1,2,3 … ,20 .
Nilai  ideal expected  return 𝑓 2 pada  20  saham  adalah 𝑓 2 = 0,04405643.  Dalam  permasalahan multi-tujuan, nilai Nadir adalah nilai yang berlawanan dengan nilai ideal dan didapatkan dari nilai solusi yang terburuk.  Sehingga perhitungan untuk nilai Nadir maksimal expected return sebagai berikut,
Min 0,011317 𝑥 1 +  0,031779  𝑥 2 +  0,030578  𝑥 3 + 0,012931  𝑥 4 +  0,019030  𝑥 5 + 0,033006  𝑥 6 + 0,044089 𝑥 7 +  0,040642 𝑥 8 +  0,021789 𝑥 9 +  0,039044 𝑥 10 + 0,014841 𝑥 11 +  0,047049 𝑥 12 + 0,052403 𝑥 13 +  0,0486686 𝑥 14 + 0,070469 𝑥 15 + 0,067446 𝑥 16 + 0,025267 𝑥 17 +  0,063638 𝑥 18 + 0,0357573 𝑥 19 + 0,020352 𝑥 20 dengan kendala yang sama. Nilai Nadir expected return 𝑓 2 ∗ adalah 0,02629729.

## Nilai ideal dan Nadir modal investasi
Nilai ideal modal investasi dapat dituliskan sebagai berikut,
min 1370 𝑥 1 + 35500 𝑥 2 + 5950 𝑥 3 + 2375 𝑥 4 + 14400 𝑥 5 + 8750 𝑥 6 + 5050 𝑥 7 + 10000 𝑥 8 + 11400 𝑥 9 + 18200 𝑥 10 + 11000 𝑥 11 + 5600 𝑥 12 + 5000 𝑥 13 + 7450 𝑥 14 + 1240 𝑥 15 + 27100 𝑥 16 + 22800 𝑥 17 + 7900 𝑥 18 + 1930𝑥 19 + 18500 𝑥 20
dengan kendala yang sama. Dari hasil perhitungan diperoleh nilai ideal minimasi modal investasi adalah 𝑓 3 = 5726,5. Sedangkan closing price dari 20 saham disajikan pada Tabel 1 kolom 5.
Perhitungan untuk nilai Nadir minimasi dana dapat dituliskan sebagai berikut,
max 1370 𝑥 1 + 35500 𝑥 2 + 5950 𝑥 3 + 2375 𝑥 4 + 14400 𝑥 5 + 8750 𝑥 6 + 5050 𝑥 7 + 10000 𝑥 8 + 11400 𝑥 9 + 18200 𝑥 10 + 11000 𝑥 11 + 5600 𝑥 12 + 5000 𝑥 13 + 7450 𝑥 14 + 1240 𝑥 15 + 27100 𝑥 16 + 22800 𝑥 17 + 7900 𝑥 18 + 1930𝑥 19 + 18500 𝑥 20
dengan kendala yang sama. Nilai Nadir minimasi modal investasi adalah 𝑓 3 ∗ = 17083 .

## Fungsi Tujuan Nadir Compromise Programming
Untuk  memperoleh  penyelesaian  kompromi  dari  ketiga  fungsi  tujuan  digunakan Nadir Compromise  Programming .  Perhitungan  fungsi  tujuan Nadir  Compromise  Programming ini dilakukan dengan asumsi semua fungsi tujuan mempunyai bobot 𝑤 sama dan total nilai total bobot 𝑝 adalah satu, sehingga nilai 𝑤 1 = 1/3 (resiko), 𝑤 2 = 1/3 ( expected return ) dan 𝑤 3 = 1/3 (modal investasi)  maka  fungsi  tujuan Nadir  Compromise  Programming dapat  diformulasikan  sebagai berikut,
Min  [𝑤 1 (𝛿 1 + + 𝛿 1 − ) + 𝑤 2 (−𝛿 2 + ) + 𝑤 3 (−𝛿 3 − )] (14)
dengan kendala:
𝑓 1 − 𝛿 1 + = 1 ,
𝑓 1 + 𝛿 1 − = 1 ,
𝑓 2 − 𝛿 2 + = 𝑓 2 ∗ , 𝑓 3 + 𝛿 3 − = 𝑓 3 ∗ ,
𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 0,2 ,
𝑥 6 + 𝑥 7 + 𝑥 8 + 𝑥 9 = 0,2 , 𝑥 10 + 𝑥 11 + 𝑥 12 + 𝑥 13 = 0,2 ,
𝑥 14 + 𝑥 15 + 𝑥 16 + 𝑥 17 + 𝑥 18 = 0,2 ,
𝑥 19 + 𝑥 20 = 0,2 ,
0 ≤ 𝑥 𝑖 ≤ 0,1                   𝑖 = 1,2,3 … ,20 , 𝛿 1 + ≥ 0 ; 𝛿 1 − ≥ 0 ; 𝛿 2 + ≥ 0 ; 𝛿 3 − ≥ 0 ,
dengan,
𝑤 𝑘 : bobot preferensi tujuan ke- k , 𝛿 𝑘 + : variabel deviasi positif ke- k , 𝛿 𝑘 − : variabel deviasi negatif ke- k ,
𝑓 𝑘 : fungsi tujuan ke- k ,
𝑓 𝑘 ∗ : fungsi tujuan ke- k berdasarkan nilai Nadir ,
𝑥 𝑖 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham 𝑖 .

## Perhitungan Proporsi Dana
Perhitungan proporsi dana untuk masing-masing saham dapat dirumuskan sebagai berikut,
Min  [0.333 × (𝛿 1 + + 𝛿 1 − ) + 0.333 × (−𝛿 2 + ) + 0.333 ×   (−𝛿 3 − ) ]
dengan kendala:
1,425593𝑥 1 + 1,617650 𝑥 2 + 0,793521 𝑥 3 + 1,589113 𝑥 4 + 1,315604 𝑥 5 + 1,436440 𝑥 6 + 1,556309 𝑥 7 + 1,562884 𝑥 8 +  0,910525 𝑥 9 + 1,352611 𝑥 10 + 0,578510 𝑥 11
+ 1,138862 𝑥 12 + 1,193499 𝑥 13 + 1,386301 𝑥 14 +  1,042594 𝑥 15 +  1,351373 𝑥 16 + 0,290526 𝑥 17 +  1,420340 𝑥 18 +  1,157929 𝑥 19 + 0,632100 𝑥 20 − 𝛿 1 + = 1 1,425593𝑥 1 + 1,617650 𝑥 2 + 0,793521 𝑥 3 + 1,589113 𝑥 4 + 1,315604 𝑥 5 + 1,43644 𝑥 6 + 1,556309 𝑥 7 + 1,562884 𝑥 8 +  0,910525 𝑥 9 + 1,352611 𝑥 10 + 0,578510 𝑥 11
+ 1,138862 𝑥 12 + 1,193499 𝑥 13 + 1,386301 𝑥 14 +  1,042594 𝑥 15 +  1,351373 𝑥 16 + 0,290526 𝑥 17 +  1,420340 𝑥 18 +  1,157929 𝑥 19 + 0,632100 𝑥 20 + 𝛿 1 − = 1 0,011317𝑥 1 + 0,031779 𝑥 2 + 0,030578 𝑥 3 + 0,012931 𝑥 4 + 0,019030 𝑥 5 + 0,033006  𝑥 6 + 0,0 44089 𝑥 7 + 0,040642 𝑥 8 + 0,021789 𝑥 9 + 0,039044 𝑥 10 + 0,014841 𝑥 11 + 0,047049 𝑥 12 + 0,052403 𝑥 13 + 0,0486686 𝑥 14 +  0,070469 𝑥 15 +  0,067446 𝑥 16 + 0,025267 𝑥 17 + 0,063638 𝑥 18 +  0,0357573 𝑥 19 + 0,020352 𝑥 20 − 𝛿 2 + = 0,02629729
1370 𝑥 1 + 35500 𝑥 2 + 5950 𝑥 3 + 2375 𝑥 4 + 14400 𝑥 5 + 8750 𝑥 6 + 5050 𝑥 7 + 10000 𝑥 8 + 11400 𝑥 9 +18200 𝑥 10 + 11000 𝑥 11 + 5600 𝑥 12 + 5000 𝑥 13 + 7450 x 14 +  1240 𝑥 15 + 27100 𝑥 16 + 22800 𝑥 17 + 7900 𝑥 18 + 1930𝑥 19 + 18500 𝑥 20 + 𝛿 3 + = 17083 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 0,2 ,
𝑥 6 + 𝑥 7 + 𝑥 8 + 𝑥 9 = 0,2 , 𝑥 10 + 𝑥 11 + 𝑥 12 + 𝑥 13 = 0,2 ,
𝑥 14 + 𝑥 15 + 𝑥 16 + 𝑥 17 + 𝑥 18 = 0,2 ,
𝑥 19 + 𝑥 20 = 0,2 ,
0 ≤ 𝑥 𝑖 ≤ 0,1                   𝑖 = 1,2,3 … ,20 , 𝛿 1 + ≥ 0 ; 𝛿 1 − ≥ 0 ; 𝛿 2 + ≥ 0 ; 𝛿 3 − ≥ 0 .
Hasil  perhitungan  model Nadir  Compromise  Programming adalah 𝛿 1 + = 𝛿 1 − = 0 , 𝛿 2 + = 0,006865 dan 𝛿 3 − = 9262,34 dan  proporsi  dana  yang  diinvestasikan  pada  saham-saham  yang terpilih disajikan pada Tabel 1 kolom 7.
Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka portofolio optimal terbentuk dari 11 saham, yaitu:
Sektor Energi dan Metal
 Aneka Tambang (ANTM), proporsi dana sebesar 0.1
 Perusahaan Gas Negara (PGAS), proporsi dana sebesar 0.1

## Sektor Finansial
 Bank Negara Indonesia (BBNI), proporsi dana sebesar 0.1
 Bank Central Asia Tbk (BBCA), proporsi dana sebesar 0.1

## Sektor Jasa
 Telekomunikasi Indonesia (TLKM), proporsi dana sebesar 0.1
 Hexindo Adiperkasa (HEXA), proporsi dana sebesar 0.1

## Sektor Manufaktur
 Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF), proporsi dana sebesar 0.043214
 Kalbe Farma Tbk (KLBF), proporsi dana sebesar 0.1
 Unilever Indonesia Tbk (UNVR), proporsi dana sebesar 0.056786

## Sektor Perkebunan
 PP London Sumatra Indonesia Tbk (LSIP), proporsi dana sebesar 0.1
 Astra Agro Lestari Tbk (AALI), proporsi dana sebesar 0.1
Nilai expected return portofolio optimal adalah 0.033162 dan modal yang diinvestasikan adalah 7820.66.

## 4 Simpulan
Pada paper ini telah dimodelkan permasalahan optimasi pemilihan portofolio dalam bentuk optimasi multi-tujuan. Berdasarkan hasil optimasi dari 20 saham yang dijadikan objek penelitian diperoleh  11  saham  terpilih  untuk  membentuk  suatu  portofolio  yang  optimal.  Saham-saham tersebut adalah ANTM, PGAS, BBNI, BBCA, TLKM, HEXA, INDF, KLBF, UNVR, LSIP dan AALI.  Penyelesaikan  permasalahan  optimasi  multi-tujuan  ditentukan  dengan  menggunakan metode Nadir  Compromise  Programing dan  menghasilkan  nilai  resiko  portofolio  1, expected return 0.033162 dan besar modal investasi 7820.66.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Terimakasih kepada Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember atas dukungan dan kesempatan yang diberikan dalam melakukan penelitian ini.

## 6 Daftar Pustaka
[1] M. Amiri, M. Ekhtiari, and M. Yazdani, “Nadir compromise programming: A model for optimization of multi-objective portfolio problem,” Expert Syst. Appl. , 2011.
[2] K. Frajtova-Michalikova, E. Spuchľakova, and M. Misankova, “ScienceDirect Portfolio Optimization,” Procedia Econ. Financ. , 2015.
[3] T. A. Saputro and M. F. Qudratullah, “Optimasi Multi Objektif Pada Pemilihan Portofolio
Saham Syariah Menggunakan Compromise Programming (CP) dan Nadir Compromise Programming (NCP),” J. Fourier , 2017.
[4] H. Markowitz, “Portofolio Selection,” J. Finance , 1952.
[5] V. Ranković, M. Drenovak, B. Urosevic, and R. Jelic, “Mean-univariate GARCH VaR portfolio optimization: Actual portfolio approach,” Comput. Oper. Res. , 2016.
[6] I. Iscoe, A. Kreinin, H. Mausser, and O. Romanko, “Portfolio credit-risk optimization,” J. Bank. Financ. , 2012.
[7] M. J. Best, Portfolio Optimization . 2010.
[8] R. Zagst, J. Kehrbaum, and B. Schmid, “Portfolio optimization under credit risk,” Computational Statistics . 2003.
[9] M. Ehrgott and D. Tenfelde-Podehl, “Computing Nadir Values in Three Objectives,” 2001.