Abstrak—  Penyakit  demam  berdarah  merupakan penyakit yang terjadi pada manusia yang penularannya melalui  vektor  (perantara)  nyamuk  dan  penyakit endemik  dengan  angka  kematian  yang  tinggi  di  daerah Surabaya.  Penyakit  demam  berdarah  menunjukkan peningkatan  dalam  jumlah  kasus  dan  luas  daerah  yang berjangkit. Dikarenakan informasi mengenai penyebaran  penyakit  demam  berdarah  yang  kurang maka  perlu dilakukan  kegiatan  surveilans  penyakit demam  berdarah. Metode  yang  digunakan  pada  Tugas Akhir  dengan  mengkonstruksi  kombinasi  dari  dua model  non  linear  populasi  individu  yaitu  kelompok susceptible,  infected,  exposed,  dan  recovered  dan populasi  vektor  yaitu  aquatic  phase,  susceptible  dan infected serta menganalisis kestabilan dan bifurkasi dari model.  Dalam  tahap  ini  membahas  tentang  kestabilan dari  titik-titik  kesetimbangan, yang  digunakan  untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Selanjutnya  membahas  analisis  bifurkasi  pada  model penyakit  demam  berdarah  dengan  menentukan  basic reproduction  number (𝓡 𝟎 ) yang  akan  disimulasikan dengan  pemrograman  matematika.  Sehingga  akan didapatkan  informasi  tentang  hasil 𝓡 𝟎 ,  dan  rate transmission  terhadap  kestabilan  dan  bifurkasi  serta peta penyebaran penyakit demam berdarah di Surabaya berdasarkan data yang diperoleh.
Kata  kunci — Model  Epidemiologi  SEIR,  Bilangan Reproduksi Dasar, Bifurkasi, Metode Runge-Kutta

## I. PENDAHULUAN
etiap tahun penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD)  semakin  bertambah  dengan jumlah  kasus  yang  cukup  banyak.  Demam Berdarah Dengue (DBD)  merupakan  salah  satu penyakit berbahaya yang dapat menyebabkan kematian.  Penyakit  ini  disebabkan  oleh  virus dengue dan  hanya  dapat  menular  melalui  gigitan  nyamuk, oleh  karena  itu  penyakit  ini  termasuk  kelompok Anthropod Borne Diseases . Virus dengue dibawa oleh vector ,  yaitu  nyamuk Aedes  Aegypti dan  nyamuk Aedes  Albopictus .  Namun, vector utama  pembawa virus dengue adalah  nyamuk Aedes  Aegypti .  Virus merupakan parasit berukuran  mikroskopik  yang tidak memiliki  perlengkapan  selular  untuk  bereproduksi sendiri,  sehingga  virus  mencari  sel  inang  untuk melangsungkan  hidup.  Ketika  virus  mendapatkan  sel inang  untuk  melangsungkan  hidup,  virus  akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru [1].
Negara  Indonesia  berada  di  urutan  kedua setelah  Thailand  ,  bahkan  hingga  pertengahan Februari 2009 terdapat 8,386 orang terinfeksi penyakit DBD di seluruh Indonesia dengan kematian mencapai
169  orang  [2].  Di  Indonesia,  penyakit  DBD  pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1968, dengan kasus 58 orang anak, 24 diantaranya meninggal ( Case Fatality  Rate/ CFR  =  41,3%).  Sejak  itu,  DBD menunjukkan  kecenderungan  peningkatan  jumlah kasus  dan  luas  daerah  jangkitnya. Hal  ini  diduga terjadi  karena  kurangnya  informasi  mengenai  tempat, waktu  dan  lokasi  penyebaran  penyakit  DBD  di  Kota Surabaya.  Oleh  karena  itu  perlu  dilakukan  kegiatan surveilans  penyakit  DBD.  Kegiatan  surveilans  yang meliputi  proses  pengumpulan,  pengolahan,  analisis, interpretasi,  dan  distribusi  data  penyakit  yang dilakukan  secara  sistematis  dan  terus  –  menerus disebut  surveilans  epidemiologi.  Pengembangan sistem  surveilans epidemiologi  umumnya  bertujuan untuk  memantau  kecenderungan  perubahan  dalam intervensi,  deteksi  dan  prediksi  Kejadian  Luar  Biasa (KLB),  evaluasi  program  pencegahan  dan  proyeksi pelayanan  kesehatan.  Data  surveilans  epidemiologi yang dihasilkan, sebagian masih diolah secara manual dengan  penyajian  terbatas  dalam  bentuk  tabel  dan grafik [3].
Matematika  memberikan  salah  satu  solusi penyelesaian  penyebaran  penyakit  demam  berdarah dengan  memodelkan  penyebaran  penyakit  ke  dalam bentuk  matematis  menggunakan  tipe  model SEIR . Model SEIR (Susceptibles,  Exposed,  Infected, Recovered) pada  awalnya  dikembangkan  untuk mengetahui  laju  penyebaran  dan  kepunahan  suatu wabah penyakit dalam populasi dan bersifat endemik.
Dalam  penelitian  ini  akan  dilakukan  analisis  pada model  penyakit  demam  berdarah dengan  menyelidiki adanya kestabilan dari setiap titik endemik, titik bebas penyakit  dan  menentukan  bilangan  reproduksi  ( ℛ 0 ) untuk  model  penyakit  demam  berdarah  serta menganalisis  bifurkasi.  Selanjutnya  merumuskan penyelesaian  numerik  dari  model  epidemiologi tersebut dan akan disimulasikan.

## II. METODOLOGI PENELITIAN
A. Mengkonstrulsi Model Epidemiologi SEIR Demam Berdarah Di Surabaya
Tahap mengkaji model epidemiologi SEIR demam berdarah  di  Surabaya  dilakukan  untuk  memahami model  epidemiologi SEIR demam  berdarah  yang terdiri  dari  4  kelompok  manusia  yaitu susceptible, exposed,  infected, dan recovered dan  3  kelompok nyamuk yaitu , aquatic phase, susceptible dan infected. B. Mencari  Titik  Kesetimbangan  dan  Bilangan Reproduksi Dasar

## Analisis Bifurkasi Pada Model Epidemiologi SEIR Demam Berdarah Di Surabaya
Desy Kusuma Ningsih, Hariyanto, dan Setijo Winarko Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia email : hariyanto@matematika.its.ac.id , setijo_winarko@yahoo.com
S
Pada tahap ini dilakukan analisis model epidemiologi  SEIR  demam  berdarah  sehingga didapatkan  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit,  titik kesetimbangan  endemik  dan  bilangan  reproduksi dasar.

## C. Menganalisis Kestabilan Lokal
Tahap  ini  akan  dicari  kestabilan  lokal  dari  titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan  endemik  dengan  memasukkan  nilai kesetimbangan  kedalam  matriks  Jacobian,  sehingga didapatkan  nilai  akar-  akar  karakteristik  dari  matriks Jacobiannya  untuk  mengetahui  kestabilan  asimtotik lokal pada titik – titik tersebut.
D. Analisis dan Pembahasan
Tahap  ini  dilakukan  analisa  stabilitas  dan bifurkasi  pada  model  epidemiologi  SEIR  demam berdarah di Surabaya.
E. Kesimpulan dan Saran Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan  diambil  suatu  kesimpulan  dan  saran  sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Model Epidemiologi SEIR Demam Berdarah
Model  epidemik  epidemiologi  SEIR  demam berdarah sebagai berikut :
a. Populasi  dibagi  menjadi  4  kelompok  manusia yaitu[4]:
 𝑆 ℎ adalah populasi susceptible (kelompok individu yang rentan terhadap penyakit demam berdarah).  𝐸 ℎ adalah  populasi exposed (kelompok  individu yang  terkena  virus  demam  berdarah  namun  tidak tampak penyakitnya).
 𝐼 ℎ adalah  populasi infected (kelompok  individu yang terinfeksi penyakit demam berdarah).  𝑅 ℎ adalah populasi recovered (kelompok individu yang menjadi sembuh dari virus demam berdarah).
b. Populasi  dibagi  menjadi  3  kelompok  nyamuk yaitu[5]:
 𝐴 𝑚 adalah  populasi aquase  phase (kelompok nyamuk  pada  tahap  air  yaitu  telur,  larva,  dan pupa).
 𝑆 𝑚 adalah populasi susceptible (kelompok nyamuk yang rentan).
 𝐼 𝑚 adalah  populasi infected (kelompok  nyamuk yang terinfeksi).
c. 𝜇 ℎ adalah  menyatakan  angka kematian alami dari populasi  individu  dan 𝜇 𝑚 menyatakan  angka kematian alami dari populasi nyamuk.
d. 𝐵 adalah  rata  –  rata  harian  gigitan  nyamuk  (per hari).
e. 𝛽 ℎ adalah  laju  penularan  melalui  gigitan  nyamuk yang  terinfeksi  dan 𝛽 𝑚 adalah  laju  penularan  dari individu terinfeksi yang digigit oleh nyamuk. f. 𝑝 adalah nilai persentase nyamuk terinfeksi.
g. 𝛾 ℎ adalah  laju  proporsi  individu  yang  terjangkit infeksi virus demam berdarah.
h. 𝜂 ℎ menyatakan  laju individu  yang  sembuh  karena memperoleh  treatmen  dan 𝜂 𝑚 menyatakan  laju pertumbuhan larva menjadi dewasa . i. 𝜇 ℎ ∗ menyatakan  jumlah  kelahiran  pada  populasi manusia  dan 𝜑 menyatakan  banyaknya  telur  – telur pada masing – masing deposit per kapita .
j. 𝑘 menyatakan banyaknya larva per individu.
Dari model epidemiologi SEIR tersebut didapatkan diagram kompartemen sebagai berikut
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Epidemiologi SEIR Demam Berdarah
Model dapat dituliskan sebagai berikut : 𝑑𝑆ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ − 𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 𝑆ℎ 𝑁ℎ − 𝑝𝑆 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ (1)
𝑑𝐸ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 𝑆ℎ 𝑁ℎ + 𝑝𝑆 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛾 ℎ 𝐸 ℎ (2)
𝑑𝐼ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐸 ℎ − (𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ )𝐼 ℎ (3) 𝑑𝑅ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜂 ℎ 𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ (4)
𝑑𝐴𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜑 (1 − 𝐴𝑚 𝑘𝑁𝑚 ) (𝑆 𝑚 + 𝐼 𝑚 ) − (𝜂 𝑚 + 𝜇 𝑚 )𝐴 𝑚 (5) 𝑑𝑆𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜂 𝑚 𝐴 𝑚 − (𝐵𝛽 𝑚 𝐼ℎ 𝑁ℎ + 𝜇 𝑚 ) 𝑆 𝑚 (6) 𝑑𝐼𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐵𝛽 𝑚 𝐼ℎ 𝑁ℎ 𝑆 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚 (7) 𝑆 ℎ (0) ≥ 0, 𝐸 ℎ (0) ≥ 0, 𝐼 ℎ (0) ≥ 0, 𝑅 ℎ (0) ≥ 0, 𝐴 𝑚 (0) ≥ 0, 𝑆 𝑚 (0) ≥ 0, 𝐼 𝑚 (0) ≥ 0 dengan jumlah populasi 𝑆 ℎ (𝑡) + 𝐸 ℎ (𝑡) + 𝐼 ℎ (𝑡) + 𝑅 ℎ (𝑡) = 𝑁 ℎ (𝑡) (8)
Persamaan  untuk  (8)  dapat  ditulis  menjadi 𝑅 ℎ (𝑡) = 𝑁 ℎ (𝑡) − 𝑆 ℎ (𝑡) − 𝐸 ℎ (𝑡) − 𝐼 ℎ (𝑡) ,  karena  tiga persamaan  pertama  tidak  mengandung 𝑅 ℎ (𝑡) maka dapat  direduksi  persamaan  laju  populasi Recovered dengan  mensubstitusikan 𝑅 ℎ (𝑡) = 𝑁 ℎ (𝑡) − 𝑆 ℎ (𝑡) − 𝐸 ℎ (𝑡) − 𝐼 ℎ (𝑡) ke  dalam  persamaan  (8),  sehingga diperoleh persamaan baru menjadi : 𝑑𝑆ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ − (𝐵𝛽 ℎ 𝐼𝑚 𝑁ℎ + 𝑝 + 𝜇 ℎ ) 𝑆 ℎ (9)
𝑑𝐸ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = (𝐵𝛽 ℎ 𝐼𝑚 𝑁ℎ + 𝑝)𝑆 ℎ − (𝜇 ℎ +𝛾 ℎ )𝐸 ℎ (10)
𝑑𝐼ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐸 ℎ − (𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ )𝐼 ℎ (11)
𝑑𝐴𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜑 (1 − 𝐴𝑚 𝑘𝑁ℎ ) (𝑆 𝑚 + 𝐼 𝑚 ) − (𝜂 𝑚 + 𝜇 𝑚 )𝐴 𝑚 (12)
𝑑𝑆𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜂 𝑚 𝐴 𝑚 − (𝐵𝛽 𝑚 𝐼ℎ 𝑁ℎ + 𝜇 𝑚 ) 𝑆 𝑚 (13) 𝑑𝐼𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐵𝛽 𝑚 𝐼ℎ 𝑁ℎ 𝑆 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚 (14)

## B. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  adalah suatu  keadaan  tidak  terjadi  penyebaran  penyakit menular  dalam  suatu  populasi  sehingga 𝐼 ℎ = 0, 𝐼 𝑚 = 0
Titik kesetimbangan model didapatkan dengan
𝑑𝑆 ℎ (𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐸 ℎ (𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼 ℎ (𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐴 𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑆 𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝐼 𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0
dari  persamaan (9) − (14) sehingga  didapatkan  titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 0 =
( 𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 0, 𝐴 𝑚 , 𝑆 𝑚 , 0) adalah
𝐸 0 = { 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ (𝑝 + 𝜇 ℎ ) , 𝑝 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ (𝑝 + 𝜇 ℎ )(𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ ) , 0, 𝑘𝑁 𝑚 ℳ 𝜑𝜂 𝑚 , 𝑘𝑁 𝑚 ℳ 𝜇 𝑚 𝜑 , 0}
dengan ℳ = −(𝜂 𝑚 𝜇 𝑚 + 𝜇 𝑚 𝜇 𝑚 − 𝜑𝜂 𝑚 )

## C. Titik Kesetimbangan Endemik
Titik  kesetimbangan  endemik  adalah  suatu keadaan  dimana  terjadi  infeksi  penyakit  di  dalam populasi sehingga 𝐼 ℎ ≠ 0 dan 𝐼 𝑚 ≠ 0 . Titik Kesetimbangan Endemik didapatkan dengan 𝑑𝑆ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐸ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐴𝑚(𝑡) 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑆 𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝐼 𝑚 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0
dari persamaan (9) − (14) sehingga didapatkan titik kesetimbangan endemik 𝐸 0 ∗ = (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝐴 𝑚 ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ) dengan
𝑆 ℎ ∗ = 𝜇ℎ𝑁ℎ 2 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ
𝐸 ℎ ∗ = ( 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ (𝜇ℎ+𝛾ℎ) ) ( 𝜇ℎ𝑁ℎ 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ )
𝐼 ℎ ∗ = 𝛾ℎ (𝜂ℎ+𝜇ℎ) ( 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ
(𝜇ℎ+𝛾ℎ) ) ( 𝜇ℎ𝑁ℎ 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ )
𝐴 𝑚 ∗ = 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚 ∗ (𝜇 ℎ 𝐵𝛽 𝑚 𝛾 ℎ (𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 ∗ +𝑝𝑁 ℎ )+𝜇 𝑚 (𝜂 ℎ +𝜇 ℎ )(𝜇 ℎ +𝛾 ℎ )(𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 ∗ +𝑝𝑁 ℎ +𝜇 ℎ 𝑁 ℎ )) 𝜂 𝑚 𝜇 ℎ 𝛾 ℎ 𝐵𝛽 𝑚 (𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 ∗ +𝑝𝑁 ℎ ) 𝑆 𝑚 ∗ = 𝜇𝑚𝐼𝑚 ∗ (𝜂ℎ+𝜇ℎ)(𝜇ℎ+𝛾ℎ)(𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ) 𝜇ℎ𝛾ℎ𝐵𝛽𝑚(𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ)

## D. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan Reproduksi Dasar (Basic
Reproduction  Number) diperlukan  sebagai  parameter untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit.
Didefinisikan sebagai berikut[6] : ℱ 𝑖 adalah  laju  kemunculan  suatu  infeksi  baru  pada kompartemen 𝑖 𝒱 𝑖 − adalah  laju  dari  perpindahan  individu  keluar  dari kompartemen 𝑖 𝒱 𝑖 + adalah  laju  dari  perpindahan  individu  masuk  ke dalam kompartemen 𝑖 𝒱 𝑖 = 𝒱 𝑖 − − 𝒱 𝑖 + 𝐹 = [ 0 0 𝐵𝛽 ℎ
0 0 0 0 𝐵𝛽 𝑚 0 ]
𝑉 = [ 𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ 0 0 −𝛾 ℎ 𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ 0 0 0 𝜇 𝑚 ]
Maka Basic Reproduction Number dari model adalah : ℛ 0 = 𝜌(𝐹𝑉 −1 ) ℛ 0 = √ 𝛾 ℎ 𝐵²𝛽 𝑚 𝛽 ℎ (𝛾 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ )𝜇 𝑚 dengan rate transmission
𝛽 ℎ ≥ 𝛽 ℎ𝑚𝑖𝑛 = (1 + 𝜇 ℎ 𝛾 ℎ ) (𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ )𝜇 𝑚 𝐵²𝛽 𝑚

## E. Kestabilan  Lokal  Titik  Kesetimbangan  Bebas
Penyakit
Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui  tingkat  penyebaran  suatu  penyakit.Model epidemiologi  SEIR  demam  berdarah  di  Surabaya merupakan model persamaan yang tak linier, sehingga perlu  dilakukan  pelinieran  dengan  menggunakan ekspansi  deret  Taylor  pada  persamaan  (9)  sampai (14).
Matriks Jacobian persamaan (9) sampai (14) di titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 0 = ( 𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 0, 𝐴 𝑚 , 𝑆 𝑚 , 0) menjadi
𝐽(𝐸 0 ) = [ 𝑎 𝑏 0
0 0 0 0 𝑐 𝑑 0 0 0 0 0 𝑒 0 −𝑓 𝑓 0 0 0 𝑔 ℎ 0 0 0 0 𝑖 𝑗 0 −𝑘 𝑘 0 𝑖
0 𝑗 ] dengan 𝑎 = −𝑝 − 𝜇 ℎ , 𝑏 = 𝑝 , 𝑐 = −𝜇 ℎ −𝛾 ℎ , 𝑑 = 𝛾 ℎ , 𝑒 = −𝜂 ℎ − 𝜇 ℎ , 𝑓 = 𝐵𝛽𝑚𝑘ℳ 𝜇𝑚𝜑 , 𝑔 = − ℳ 𝜇𝑚 − 𝜇 𝑚 − 𝜂 𝑚 , ℎ = 𝜂 𝑚 , 𝑖 = 𝜑 − ℳ 𝜂𝑚 , 𝑗 = −𝜇 𝑚 , dan 𝑘 = 𝜇ℎ𝐵𝛽ℎ 𝑝+𝜇ℎ Selanjutnya  dicari  persamaan  karakteristik  dengan menggunakan
|𝐽(𝐸 0 ) − 𝜆𝐼| = 0
Maka  akan  diperoleh  akar-akar  karakteristiknya sebagai berikut
𝜆 6 + 𝑎 1 𝜆 5 + 𝑎 2 𝜆 4 + 𝑎 3 𝜆 3 + 𝑎 4 𝜆 2 + 𝑎 5 𝜆 + 𝑎 6 = 0 dengan 𝑎 1 = 2𝑔 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑒 𝑎 2 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑒 − 2𝑎𝑔 + 𝑐𝑒 − 𝑐𝑔 + 𝑒𝑔 + 2𝑔𝑗 + 𝑗 2 + ℎ𝑖 𝑎 3 = 𝑎𝑐𝑔 − 𝑎𝑐𝑒 − 𝑎𝑒𝑔 − 2𝑎𝑔𝑗 − 𝑎𝑗 2 + 𝑐𝑒𝑔 − 2𝑐𝑔𝑗 − 𝑐𝑗 2 − 𝑐ℎ𝑖 − 2𝑒𝑔𝑗 − 𝑒𝑗 2 − 𝑒ℎ𝑖 − 𝑔𝑗 2 − ℎ𝑖𝑗 + 𝑑𝑓𝑘 𝑎 4 = 2𝑎𝑐𝑔𝑗 + 𝑎𝑐𝑗 2 − 𝑎𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑐ℎ𝑖 + 2𝑎𝑒𝑔𝑗 + 𝑎𝑒𝑗 2 + 𝑎𝑒ℎ𝑖 + 𝑎𝑔𝑗 2 + 𝑎ℎ𝑖𝑗 − 𝑎𝑑𝑓𝑘 + 2𝑐𝑒𝑔𝑗 + 𝑐𝑒𝑗 2 + 𝑐𝑒ℎ𝑖 + 𝑐𝑔𝑗 2 − 𝑐ℎ𝑖𝑗 + 𝑒𝑔𝑗 2 + 𝑒ℎ𝑖𝑗 − 𝑑𝑓𝑔𝑘 − 𝑑𝑓𝑗𝑘 + 𝑏𝑑𝑓𝑘 𝑎 5 = 𝑎𝑑𝑓𝑔𝑘 + 𝑎𝑑𝑓𝑗𝑘 − 𝑐𝑒𝑔𝑗 2 − 2𝑎𝑐𝑒𝑔𝑗 − 𝑎𝑐𝑒𝑗 2 − 𝑎𝑐𝑒ℎ𝑖 − 𝑎𝑐𝑔𝑗 2 − 𝑎𝑐ℎ𝑖𝑗 − 𝑎𝑒𝑔𝑗 2 − 𝑎𝑒ℎ𝑖𝑗 − 𝑐𝑒ℎ𝑖𝑗 + 𝑑𝑓𝑔𝑗𝑘 − 𝑑𝑓ℎ𝑖𝑘 − 𝑏𝑑𝑓𝑔𝑘 − 𝑏𝑑𝑓𝑗𝑘 𝑎 6 = 𝑎𝑐𝑒𝑔𝑗 2 + 𝑎𝑐𝑒ℎ𝑖𝑗 − 𝑎𝑑𝑓𝑔𝑗𝑘 + 𝑎𝑑𝑓ℎ𝑖𝑘 + 𝑏𝑑𝑓𝑔𝑗𝑘 − 𝑏𝑑𝑓ℎ𝑖𝑘
Titik kesetimbangan bebas penyakit dari model (4.9)  –  (4.14)  dikatakan  stabil  jika  akar  –  akar persamaan karakteristik dari suatu matriks
mempunyai  nilai  eigen  dengan  bagian  real  negatif. Dengan  rumus  Routh  –  Hurwitz  dapat  dituliskan dalam tabel berikut ini :
Tabel 1 Routh – Hurwitz Bebas Penyakit
𝑎 0 𝑎 2 𝑎 4 𝑎 6 𝑎 8 = 0 𝑎 10 = 0 𝑎 1 𝑎 3 𝑎 5 𝑎 7 = 0 𝑎 9 = 0 𝑎 11 = 0 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑏 4 0 0 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 0 0 0 𝑑 1 𝑑 2 0 0 0 0
𝑒 1 0 0 0 0 0
dengan
𝑏 1 = 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 𝑎1 , 𝑏 2 = 𝑎1𝑎4−𝑎0𝑎5 𝑎1 , 𝑏 3 = 𝑎1𝑎6−𝑎0𝑎7 𝑎1 = 𝑎 6 ,
𝑏 4 = 𝑎1𝑎8−𝑎0𝑎9 𝑎1 = 0, 𝑐 1 = 𝑏1𝑎3−𝑏2𝑎1 𝑏1 , 𝑐 2 = 𝑏1𝑎5−𝑏3𝑎1
𝑏1 ,
𝑐 3 = 𝑏1𝑎7−𝑏4𝑎1 𝑏1 = 0 , 𝑑 1 = 𝑐1𝑏2−𝑐2𝑏1
𝑐1 ,
𝑑 2 = 𝑐1𝑏3−𝑐3𝑏1 𝑐1 = 𝑏 3 , dan 𝑒 1 = 𝑑1𝑐2−𝑑2𝑐1 𝑑1  Nilai 𝑎 1 positif  ( 𝑎 1 > 0 )  jika 𝑝 + 3𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ + 𝜂 ℎ > ℳ 𝜇𝑚 + 𝜇 𝑚 + 𝜂 𝑚
 Nilai 𝑏 1 akan  bernilai  positif ( 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 𝑎1 > 0) jika
𝑎 2 bernilai positif (𝑎 2 > 0)  Nilai 𝑐 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑏 1 𝑎 3 > 𝑏 2 𝑎 1 maka akibatnya nilai 𝑎 3 > 0  Nilai 𝑑 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑐 1 𝑏 2 > 𝑐 2 𝑏 1 maka  akibatnya  nilai 𝑏 2 > 0 jika 𝑎 1 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 5  Nilai 𝑒 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑑 1 𝑐 2 > 𝑑 2 𝑐 1 maka akibatnya nilai 𝑐 2 > 0 jika 𝑏 1 𝑎 5 > 𝑏 3 𝑎 1 Dari  tabel  Routh-Hurwitz  dapat  dilihat  bahwa variabel-  variabel pada kolom pertama  memiliki  nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan bebas  penyakit  untuk  model  epidemiologi  SEIR demam  berdarah  terbukti  stabil  asimtotik  lokal  jika memenuhi 𝑎 1 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 0 𝑎 3 , 𝑏 1 𝑎 3 > 𝑏 2 𝑎 1 , 𝑐 1 𝑏 2 > 𝑐 2 𝑏 1 , dan 𝑑 1 𝑐 2 > 𝑑 2 𝑐 1 .

## F. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik
Kestabilan  lokal  titik  endemik  dilakukan pelinieran terlebih dahulu sebelum melakukan analisis kestabilan.
Matriks Jacobian persamaan (9) sampai (14) di titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 0 ∗ = (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝐴 𝑚 ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ )
𝐽(𝐸 0 ∗ ) = [ 𝑎 𝑏 0 0 0 0 0 𝑐 𝑑 0 0 0 0 0 𝑓 0 −𝑔 𝑔 0 0 0 ℎ 𝑖 0 0 0 0 𝑗 −𝑘 + 𝑙 𝑘 −𝑚 𝑚 0 𝑗 0 𝑙 ] dengan
𝑎 = − 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ 𝑁ℎ − 𝑝 − 𝜇 ℎ , 𝑏 = 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ 𝑁ℎ + 𝑝, 𝑐 = −𝜇 ℎ −𝛾 ℎ ,
𝑑 = 𝛾 ℎ , 𝑓 = −𝜂 ℎ − 𝜇 ℎ , 𝑔 = 𝐵𝛽𝑚𝑆𝑚 ∗ 𝑁ℎ ,
ℎ = − 𝜑 𝑘𝑁𝑚 (𝑆 𝑚 ∗ + 𝐼 𝑚 ∗ ) − (𝜂 𝑚 + 𝜇 𝑚 ), 𝑖 = 𝜂 𝑚 ,
𝑗 = 𝜑 (1 − 𝐴𝑚 ∗ 𝑘𝑁𝑚 ), 𝑘 = 𝐵𝛽𝑚𝐼ℎ ∗ 𝑁ℎ , 𝑙 = −𝜇 𝑚 , dan 𝑚 = 𝐵𝛽ℎ𝑆ℎ ∗

## 𝑁ℎ
Selanjutnya  dicari  persamaan  karakteristik  dengan menggunakan
|𝐽(𝐸 0 ) − 𝜆𝐼| = 0
Maka  akan  diperoleh  akar-akar  karakteristiknya sebagai berikut 𝜆 6 + 𝑎 1 𝜆 5 + 𝑎 2 𝜆 4 + 𝑎 3 𝜆 3 + 𝑎 4 𝜆 2 + 𝑎 5 𝜆 + 𝑎 6 = 0 dengan masing – masing nilai untuk 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 , 𝑎 5 , dan 𝑎 6 adalah 𝑎 1 = 𝑓 − 𝑎 − 𝑐 − ℎ + 𝑘 𝑎 2 = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑓 + 𝑎ℎ − 𝑎𝑘 + 𝑐𝑓 + 𝑐ℎ − 𝑐𝑘 − 2𝑐𝑙 + 𝑓ℎ + 𝑓𝑘 + 2𝑓𝑙 − ℎ𝑘 − 2ℎ𝑙 + 𝑘𝑙 + 𝑙 2 + 2𝑙 𝑎 3 = 2𝑎𝑐𝑙 − 𝑎𝑐𝑓 − 𝑎𝑐ℎ + 𝑎𝑐𝑘 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑎𝑓𝑘 − 2𝑎𝑓𝑙 + 𝑎ℎ𝑘 + 2𝑎ℎ𝑙 − 𝑎𝑘𝑙 − 𝑎𝑙 2 − 2𝑎𝑙 − 𝑐𝑓ℎ + 𝑐𝑓𝑘 + 2𝑐𝑓𝑙 + 𝑐ℎ𝑘 + 2𝑐ℎ𝑙 − 𝑐𝑘𝑙 − 𝑐𝑙 2 + 𝑓ℎ𝑘 + 2𝑓ℎ𝑙 − 𝑓𝑘𝑙 + 𝑓𝑙 2 − ℎ𝑘𝑙 − ℎ𝑙 2 − 2𝑖𝑗𝑙 − 𝑖𝑗𝑘 + 𝑑𝑔𝑚 𝑎 4 = 𝑎𝑐𝑓ℎ − 𝑎𝑐𝑓𝑘 − 2𝑎𝑐𝑓𝑙 − 𝑎𝑐ℎ𝑘 − 2𝑎𝑐ℎ𝑙 + 𝑎𝑐𝑘𝑙 + 𝑎𝑐𝑙 2 − 𝑎𝑓ℎ𝑘 − 2𝑎𝑓ℎ𝑙 + 𝑎𝑓𝑘𝑙 − 𝑎𝑓𝑙 2 + 𝑎ℎ𝑘𝑙 + 𝑎ℎ𝑙 2 + 2𝑎𝑖𝑗𝑙 + 𝑎𝑖𝑗𝑘 − 𝑎𝑑𝑔𝑚 − 𝑐𝑓ℎ𝑘 − 2𝑐𝑓ℎ𝑙 + 𝑐𝑓𝑘𝑙 + 𝑐𝑓𝑙 2 + 𝑐ℎ𝑘𝑙 + 𝑐ℎ𝑙 2 + 2𝑐𝑖𝑗𝑙 + 𝑐𝑖𝑗𝑘 + 𝑓ℎ𝑘𝑙 + 𝑓ℎ𝑙 2 + 2𝑓𝑖𝑗𝑙 + 𝑓𝑖𝑗𝑘 − 2𝑑𝑔𝑘𝑚 + 𝑑𝑔ℎ𝑚 − 𝑑𝑔𝑙𝑚 + 𝑏𝑔𝑚 𝑎 5 = 𝑐𝑓ℎ𝑘 + 2𝑎𝑐𝑓ℎ𝑙 − 𝑎𝑐𝑓𝑘𝑙 − 𝑎𝑐𝑓𝑙 2 − 𝑎𝑐ℎ𝑘𝑙 − 𝑎𝑐ℎ𝑙 2 − 2𝑎𝑐𝑖𝑗𝑙 − 𝑎𝑐𝑖𝑗𝑘 − 𝑎𝑓ℎ𝑘𝑙 − 𝑎𝑓ℎ𝑙 2 − 2𝑎𝑓𝑖𝑗𝑙 − 𝑎𝑓𝑖𝑗𝑘 − 𝑎𝑑𝑔ℎ𝑚 + 𝑎𝑑𝑔𝑙𝑚 − 𝑐𝑓ℎ𝑘𝑙 − 𝑐𝑓ℎ𝑙 2 − 2𝑐𝑓𝑖𝑗𝑙 − 𝑐𝑓𝑖𝑗𝑘 + 2𝑑𝑔ℎ𝑘𝑚 + 𝑑𝑔ℎ𝑙𝑚 − 𝑑𝑖𝑗𝑚 + 𝑏𝑑𝑔𝑘𝑚 − 𝑏𝑔ℎ𝑚 + 𝑏𝑔𝑘𝑚 + 𝑏𝑔𝑙𝑚 𝑎 6 = 𝑎𝑐𝑓ℎ𝑘𝑙 + 𝑎𝑐𝑓ℎ𝑙 2 + 2𝑎𝑐𝑓𝑖𝑗𝑙 + 𝑎𝑐𝑓𝑖𝑗
Titik kesetimbangan endemik dari model (4.9) –  (4.14)  dikatakan  stabil  jika  akar  –  akar  persamaan karakteristik dari suatu matriks mempunyai nilai eigen dengan bagian real negatif jika dan hanya jika 𝑎 1 > 0 , 𝑏 1 > 0 , 𝑐 1 > 0 , 𝑑 1 > 0 ,  dan 𝑒 1 > 0 .  Dengan  rumus Routh – Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel berikut ini :
Tabel 2 Routh – Hurwitz Endemik 𝑎 0 𝑎 2 𝑎 4 𝑎 6 𝑎 8 = 0 𝑎 10 = 0 𝑎 1 𝑎 3 𝑎 5 𝑎 7 = 0 𝑎 9 = 0 𝑎 11 = 0 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑏 4 0 0 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 0 0 0
𝑑 1 𝑑 2 0 0 0 0 𝑒 1 0 0 0 0 0 dengan 𝑏 1 = 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 𝑎1 , 𝑏 2 = 𝑎1𝑎4−𝑎0𝑎5 𝑎1 , 𝑏 3 = 𝑎1𝑎6−𝑎0𝑎7 𝑎1 = 𝑎 6 , 𝑏 4 = 𝑎1𝑎8−𝑎0𝑎9 𝑎1 = 0, 𝑐 1 = 𝑏1𝑎3−𝑏2𝑎1 𝑏1 , 𝑐 2 = 𝑏1𝑎5−𝑏3𝑎1 𝑏1 ,
𝑐 3 = 𝑏1𝑎7−𝑏4𝑎1 𝑏1 = 0 , 𝑑 1 = 𝑐1𝑏2−𝑐2𝑏1
𝑐1 ,
𝑑 2 = 𝑐1𝑏3−𝑐3𝑏1 𝑐1 = 𝑏 3 , dan 𝑒 1 = 𝑑1𝑐2−𝑑2𝑐1 𝑑1  Nilai 𝑎 1 positif  ( 𝑎 1 > 0 )  jika 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ 𝑁ℎ + 𝑝 + 𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ + 𝜑 𝑘𝑁𝑚 (𝑆 𝑚 ∗ + 𝐼 𝑚 ∗ ) + 𝜂 𝑚 + 𝜇 𝑚 + 𝐵𝛽𝑚𝐼ℎ ∗ 𝑁ℎ > 𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ
 Nilai 𝑏 1 akan bernilai positif ( 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3
𝑎1 > 0) jika 𝑎 2 bernilai positif (𝑎 2 > 0)  Nilai 𝑐 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑏 1 𝑎 3 > 𝑏 2 𝑎 1 maka akibatnya nilai 𝑎 3 > 0  nilai 𝑑 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑐 1 𝑏 2 > 𝑐 2 𝑏 1 maka  akibatnya  nilai 𝑏 2 > 0 jika 𝑎 1 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎
5  Nilai 𝑒 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑑 1 𝑐 2 > 𝑑 2 𝑐 1 maka  akibatnya  nilai 𝑐 2 > 0 jika 𝑏 1 𝑎 5 > 𝑏 3 𝑎 1 Dari  tabel  Routh-Hurwitz  dapat  dilihat  bahwa variabel-  variabel pada kolom pertama  memiliki  nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan endemik  untuk  model  epidemiologi  SEIR  demam berdarah terbukti stabil asimtotik lokal jika memenuhi 𝑎 1 > 0, 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 0 𝑎 3 , 𝑏 1 𝑎 3 > 𝑏 2 𝑎 1 , 𝑐 1 𝑏 2 > 𝑐 2 𝑏 1 , dan 𝑑 1 𝑐 2 > 𝑑 2 𝑐 1 .

## G. Analisa Bifurkasi
Dalam  hal  ini,  menggunakan  titik  kesetimbangan endemik 𝑓(𝐼 𝑚 ) untuk  mencari  persamaan ℛ 0 yang optimum untuk membuat kurva bifurkasinya.
Diketahui 𝑓(𝐼 𝑚 ) sebagai berikut
𝑓(𝐼 𝑚 ∗ ) = 𝐴𝐼 𝑚 ∗4 + 𝐵𝐼 𝑚 ∗3 + 𝐶𝐼 𝑚 ∗2 + 𝐷𝐼 𝑚 ∗ = 0 Selanjutnya akan disimulasikan untuk menghasilkan  kurva  bifurkasi  dengan  sumbu  (x,y). Pada  gambar  (4.1)  merupakan  hasil  kurva  bifurkasi dengan 𝜇 ℎ = 0.000385, 𝜇 𝑚 =  0.1 , 𝐵 = 0.8 , 𝛽 𝑚 = 0.375 , 𝑝 = 0.09 , 𝛾 ℎ = 0.1667 , 𝜂 𝑚 = 0.08 , 𝜑 = 0.0369128 , 𝑘 = 3 , 𝑁 ℎ = 480.000, 𝜂 ℎ = 7, 𝛽 ℎ = 2.9236 . Dapat dilihat pada gambar berikut
Gambar 1 . Kurva Bifurkasi Gambar  1  menunjukkan  bahwa  saat 𝐼 𝑚2 ≥ 0 adanya  bifurkasi  maju  maka  terjadi  penyebaran demam  berdarah  oleh  nyamuk.  Sehingga  penyakit akan menyebar dan tidak dapat ditangani.

## H.Solusi Numerik dan Simulasi
Metode numerik  yang digunakan  adalah  metode numerik  Runge-  Kutta  orde  empat.  Parameter  dan nilai  awal  yang  digunakan  disajikan  dalam  tabel berikut ini :
Tabel 3. Nilai Parameter NO Parameter Nilai Parameter 1 𝐵 0.8 2 𝜑 0.1 3 𝛾 ℎ 0.1667
4 𝜇 ℎ 0.0000385 5 𝜇 𝑚 0.1 6 𝛽 ℎ 2.92356 7 𝛽 𝑚 0.375 8 𝜂 ℎ 7 9 𝜂 𝑚 0.08 10 𝑝 0.09 11 𝜅 3
Tabel 4. Nilai Awal dari masing-masing Populasi 1
Hasil  simulasi  dengan  mengambil  parameter dan nilai awal berdasarkan yang terdapat pada Tabel 1 dan  Tabel  2  menghasilkan ℛ 0 = 1 ,  yang  berarti simulasi  model  berada  pada  keadaan  endemik. Didapatkan grafik kestabilan sebagai berikut:
Gambar  2. Grafik  Populasi  Manusia  pada  Dinamika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah di Surabaya
Gambar  3. Grafik  Populasi  Nyamuk  pada  Dinmika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah di Surabaya
Pada Gambar 2 dan Gambar 3 t-nya diperpanjang hingga  mencapai  100  hari,  dengan 𝑁 = 100, ℎ = 0.01 .  Dari  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  populasi manusia  yaitu Susceptible,  Exposed dan Infected. Pada  populasi  nyamuk yaitu Aquase  Phase, Susceptible, dan Infected sudah menunjukkan ke arah titik  setimbang  dan  stabil  pada  titik  tersebut.  Untuk
No Sub populasi ketika 𝒕 = 𝟎 Nilai awal (per jiwa) 1 𝑆 ℎ 70 2 𝐸 ℎ 25 3 𝐼 ℎ 5 4 𝐴 𝑚 300 5 𝑆 𝑚 600 6 𝐼 𝑚 50 7 𝑁 ℎ 100
populasi Susceptible grafik  populasi  ini  menuju  satu titik  yaitu 𝑆 ℎ = 0.426 dan  stabil  pada  titik  tersebut. Ini  artinya  pada  populasi  tersebut  sudah  tidak  terjadi lagi  penyebaran  penyakit.  Pada  populasi 𝐸 ℎ dan 𝐼 ℎ grafik populasi ini menuju satu titik yaitu  0.2294 dan 0.00054631  serta  konstan  pada  titik  tersebut.  Ini artinya pada populasi 𝐸 ℎ dan 𝐼 ℎ ini lama – lama akan habis.  Pada  populasi 𝐴 𝑚 dan 𝑆 𝑚 pergerakan  grafik yaitu 0.03 dan  0.2277  yang  berarti  populasi 𝐴 𝑚 dan 𝑆 𝑚 menunjukkan  ke  arah  titik  setimbang  dan  stabil pada  titik  titik  tersebut.  Sedangkan  pada  populasi 𝐼 𝑚 menuju  ke  arah  titik  setimbang  yaitu  0.5187  dan konstan.  Hal  ini  berarti  populasi 𝐼 𝑚 akan  mengalami kematian sehingga tidak terjadi penyebaran.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan  pada penulisan  tugas  akhir  ini,  maka  dapat  diambil kesimpulan sebagai berikut 1. Dengan  mempelajari  fenomena  yang  ada  dan diberikan  beberapa  definisi,  diperoleh  konstruksi model  penyebaran  demam  berdarah  sebagai berikut
𝑑𝑆ℎ 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ ∗ 𝑁 ℎ − 𝐵𝛽 ℎ 𝑆ℎ 𝑁ℎ 𝐼 𝑚 − 𝑝𝑆 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ 𝑑𝐸ℎ 𝑑𝑡 = 𝐵𝛽 ℎ 𝑆ℎ 𝑁ℎ 𝐼 𝑚 + 𝑝𝑆 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛾 ℎ 𝐸 ℎ 𝑑𝐼ℎ 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐸 ℎ − (𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ )𝐼 ℎ 𝑑𝐴𝑚 𝑑𝑡 = 𝜑 (1 − 𝐴𝑚 𝑘𝑁𝑚 ) (𝑆 𝑚 + 𝐼 𝑚 ) − (𝜂 𝑚 + 𝜇 𝑚 )𝐴 𝑚 𝑑𝑆𝑚 𝑑𝑡 = 𝜂 𝑚 𝐴 𝑚 − (𝐵𝛽 𝑚 𝐼ℎ 𝑁ℎ + 𝜇 𝑚 )𝑆 𝑚 𝑑𝐼𝑚 𝑑𝑡 = 𝐵𝛽 𝑚 𝐼ℎ 𝑁ℎ 𝑆 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚
2. Model  epidemiologi SEIR demam  berdarah  di Surabaya  yang  telah  dianalisis  mempunyai  dua titik  setimbang  dan  analisis  kestabilan  sebagai berikut :
a. Titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 0 = (𝑆 ℎ
0 , 𝐸 ℎ 0 , 𝐼 ℎ 0 , 𝑅 ℎ 0 , 𝐴 𝑚 0 , 𝑆 𝑚 0 , 𝐼 𝑚 0 ) 𝐸 0 = { 𝜇ℎ ∗ 𝑁 ℎ (𝑝+𝜇ℎ) , 𝑝𝜇ℎ ∗ 𝑁 ℎ (𝑝+𝜇ℎ)(𝜇ℎ+𝛾ℎ) , 0, 𝑘𝑁𝑚ℳ 𝜑𝜂𝑚 , 𝑘𝑁𝑚ℳ 𝜇𝑚𝜑 , 0}
b. Titik kesetimbangan endemik 𝐸 0 ∗ = (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝐴 𝑚 ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ) dengan
𝑆 ℎ ∗ = 𝜇ℎ ∗ 𝑁 ℎ 2 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ 𝐸 ℎ ∗ = ( 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ (𝜇ℎ+𝛾ℎ) ) ( 𝜇ℎ ∗ 𝑁 ℎ 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ ) 𝐼 ℎ ∗ = 𝛾ℎ (𝜂ℎ+𝜇ℎ) ( 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ (𝜇ℎ+𝛾ℎ) ) ( 𝜇ℎ ∗ 𝑁 ℎ 𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ )
𝐴 𝑚 ∗ = 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚 ∗ (𝜇 ℎ 𝐵𝛽 𝑚 𝛾 ℎ (𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 ∗ +𝑝𝑁 ℎ )+𝜇 𝑚 (𝜂 ℎ +𝜇 ℎ )(𝜇 ℎ +𝛾 ℎ )(𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 ∗ +𝑝𝑁 ℎ +𝜇 ℎ 𝑁 ℎ )) 𝜂 𝑚 𝜇 ℎ ∗ 𝛾 ℎ 𝐵𝛽 𝑚 (𝐵𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 ∗ +𝑝𝑁 ℎ ) 𝑆 𝑚 ∗ = 𝜇𝑚𝐼𝑚 ∗ (𝜂ℎ+𝜇ℎ)(𝜇ℎ+𝛾ℎ)(𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ+𝜇ℎ𝑁ℎ) 𝜇ℎ ∗ 𝛾ℎ𝐵𝛽𝑚(𝐵𝛽ℎ𝐼𝑚 ∗ +𝑝𝑁ℎ)
Jika ℛ 0 < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit ada  dan  bersifat  stabil  asimtotik,  artinya  setiap individu  yang  terinfeksi  memproduksi  kurang  dari satu  individu  terinfeksi  baru,  dengan  kata  lain  dapat
diprediksi  bahwa  infeksi  akan  bersih  dari  populasi. Sedangkan jika ℛ 0 > 1 maka kedua titik kesetimbangan  ada,  akan  tetapi  titik  ketimbangan endemik bersifat stabil asimtotik dan titik kesetimbangan  bebas  penyakit  tidak  stabil,  artinya setiap  individu  yang  terinfeksi  memproduksi  lebih dari  satu  individu  terinfeksi  baru,  dengan  kata  lain dapat  diprediksi  bahwa  infeksi  akan  menyebar  pada populasi.  Dengan  bilangan  reproduksi  dasar (ℛ 0 ) yaitu :
ℛ 0 = √ 𝛾 ℎ 𝐵²𝛽 𝑚 𝛽 ℎ 𝜇 𝑚 (𝛾 ℎ + 𝜇 ℎ )(𝜂 ℎ + 𝜇 ℎ ) dan rate transmission
𝛽 ℎ ≥ 𝛽 ℎ𝑚𝑖𝑛 = (1 + 𝜇ℎ 𝛾ℎ ) (𝜂ℎ+𝜇ℎ)𝜇𝑚
𝐵²𝛽𝑚 dengan nilai 𝜂 ℎ = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 − 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 , yang diperoleh dari data Dinas Kesehatan Kota Surabaya
3. Perubahan  jenis  kurva  bifurkasi  dipengaruhi  oleh perubahan nilai ℛ 0 yang mempengaruhi nilai A,B, C,  dan  D  sehingga  nilai  titik  puncaknya  pun berubah.  Bifurkasi  maju  terjadi  pada  saat  titik puncak  dari  sistem  persamaan 𝑓(𝐼 𝑚 ) yaitu  pada saat 𝐼 𝑚 bernilai real positif.
4. Simulasi  model  epidemiologi SEIR demam berdarah  dengan  menggunakan  metode  numerik Runge-Kutta menghasilkan grafik dari kesetimbangan jika nilai  h = 0.01. Serta pengaruh dari input nilai awal pada populasi ,jika nilai awal pada  populasi  lebih  sedikit  maka  waktu  untuk menuju titik setimbang semakin cepat.

## V. DAFTAR PUSTAKA
[1] Radhianti,  R.  2012. “Simulasi  dan  Analisa Kestabilan  Model  Matematika  Mengenai Proses  Transmisi  Virus  Dengue  di  dalam Tubuh  Manusia”. Bandung  :  Skripsi  Jurusan Matematika UIN Gunung Djati.
[2] Rangkuti,  Y.M  dan  Side,  S.  2013. “Solusi Numerik Pemodelan Matematika SIR dan SEIR untuk  Penularan  Demam  Berdarah  dengan Metode  Semi  Analitik  di  Sulawesi  Selatan”. Medan  :  Laporan  Akhir  Tahun  I  Penelitian Fundamental  Jurusan  Matematika  Universitas Negeri Medan.
[3] Widi,  C.A,  Nataliani,  Y,  dan  Hendry.  2011. “Deteksi  Dan  Prediksi  Daerah  Endemis Demam  Berdarah  Dengue  (Dbd)  Dengan Pemodelan  Matematis  Susceptible,  Infected, Recovered  (SIR)  (Studi  Kasus  :  Kabupaten Semarang)”. Semarang  :  Tugas  Akhir  Jurusan Teknologi Informasi Aiti.
[4] Noorani,  M.S.M.  2012. “SEIR  Model  For Transmission  Of  Dengue  Fever  In  Selangor Malaysia”. Selangor  :  International  Journal  of Modern Physics. Vol. 9
[5] Rodrigues, Helena Sofia, Monteiro, M. Teresa T,  dan  Torres,  Delfim  F.M.  2013. “Sensitivity Analysis in a Dengue Epidemiological Model ”. Portugal : Conference Paper.
[6] Driessche,  P.  v.,  &  Wetmough,  J.  (2002),
" Reproduction  Numbers  and  Sub-Threshold
Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission ", Mathematical Biosciences, Vol. 180, hal. 29-48.