JURNAL GAUSSIAN, Volume 11, Nomor 1, Tahun 2022, Halaman 153 - 162 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
PREDIKSI HARGA SAHAM MENGGUNAKAN GEOMETRIC BROWNIAN MOTION WITH JUMP DIFFUSION DAN ANALISIS RISIKO DENGAN EXPECTED SHORTFALL (Studi Kasus: Harga Penutupan Saham PT. Waskita Karya Persero Tbk.)
Nidaul Khoir 1 , Di Asih I Maruddani 2* , Dwi Ispriyanti 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *email: maruddani@live.undip.ac.id

## ABSTRACT
Investment is an activity that is quite popular among investors in recent years. One of the forms of investment in the financial sector is investing in the capital market by buying stocks in a company. The level of profit from stock investment activities can be seen from the value of stock returns. Factors that can affect the value of stock returns are stock prices. However, stock prices often experience unpredictable changes so that they experience fluctuating movements with increasing time and developing situations, therefore a stock price model is needed to predict stock prices in the future period. The Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion’s method is more appropriate to be used in predicting stock prices if there is a jump in stock price data. Predicted stock prices can be used as a basis for measuring the value of investment risk. The results of data processing indicate that the stock return data of PT. Waskita Karya Persero Tbk has a kurtosis value > 3 which means there is a jump  in stock return data so that it  is  more accurately  modeled using the  Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion’s method. The prediction results have a good level of accuracy based on the MAPE value of 18,733%. Furthermore, in order to measure the  investment risk of the predicted stock price of PT. Waskita Karya Persero Tbk used the Expected Shortfall Historical Simulation’s method with a significance level of α =  5%,  the  results  were  0,10939,  and  for  the  significance  level  α  =  10%,  the  results  were  0,07596.  The calculation results show that the greater the trust level used, the greater the risk borne by investors.
Keywords : Jump Diffusion Process, Expected Shortfall, Risk, Extreme Value

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  merupakan  hal  yang  cukup  digemari  beberapa  tahun  terakhir  ini  oleh masyarakat  Indonesia.  Menurut  Tandelilin  (2001),  investasi  merupakan  komitmen  atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang dilakukan saat ini, dengan tujuan memperoleh sejumlah keuntungan di masa mendatang. Investasi yang saat ini sedang digemari investor khususnya di bidang finansial adalah investasi di pasar modal. Salah satu surat berharga yang diperdagangkan di pasar modal yang bersifat kepemilikan adalah saham.
Investor  dalam  melakukan  investasi  saham  dapat  melakukan  beberapa  strategi  agar memperoleh  keuntungan  yang  diharapkan.  Salah  satu  cara  investor  untuk  mengetahui seberapa besar tingkat keuntungan dari kegiatan investasi saham adalah dengan melihat nilai return saham.  Harga  saham  sering  mengalami  perubahan  yang  tidak  dapat  diprediksi sehingga  mengalami  pergerakan  yang  fluktuatif  dan  berakibat  pada  tidak  pastinya  nilai return saham  dan  seringkali  terdapat  lompatan  ( jump ),  oleh  karena  itu  diperlukan  suatu model  matematis  untuk  memprediksi  harga  saham  di  masa  yang  akan  datang.  Investasi saham selain dapat memberikan keuntungan juga mengandung unsur risiko. Metode yang dapat digunakan untuk mengukur risiko adalah Expected Shortfall .
Penelitian  terhadulu  mengenai  metode Geometric  Brownian  Motion  with  Jump Diffusion yang menjadi referensi dalam penelitian ini antara lain Maruddani dan Trimono (2017) yang melakukan penelitian mengenai prediksi harga saham PT. Astra Agro Lestari Tbk.  dengan Jump  Diffusion model.  Hasil  penelitian  ini  menyatakan  bahwa  metode Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion lebih tepat digunakan untuk memodelkan
dan memprediksi harga saham PT. Astra Agro Lestari Tbk. karena menghasilkan nilai error pemodelan yang lebih kecil yaitu 2,60% dibandingkan dengan metode Geometric Brownian Motion yaitu 11,26%. Penelitian mengenai analisis risiko menggunakan metode Expected Shortfall yang menjadi referensi dalam penelitian ini antara lain Saepudin et al. (2017) yang melakukan penelitian mengenai Analisis Risiko Investasi Saham Tunggal Syariah dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall. Hasil penelitian ini menyatakan nilai Expected Shortfall (ES) untuk tingkat kepercayaan 99%, 95%, 90% diperoleh nilai sebesar 0.039415, 0.030608,  0.026110.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  perhitungan  analisis  risiko menggunakan Expected Shortfall memperlihatkan semakin besar tingkat kepercayaan yang digunakan semakin besar risiko yang akan ditanggung oleh investor. Data yang digunakan pada penelitian ini adalah harga penutupan saham ( closing price ) dari saham PT. Waskita Karya Persero Tbk periode 2 Januari 2020 sampai dengan 29 Januari 2021 dengan tujuan untuk  memprediksi  harga  saham  menggunakan Geometric  Brownian  Motion  with  Jump Diffusion berdasarkan  nilai return saham  periode  sebelumnya  serta  untuk  menganalisis risiko harga saham prediksi dengan Expected Shortfall .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Saham
Saham  merupakan  surat  berharga  sebagai  bentuk  penyertaan  modal  seseorang  atau badan usaha dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Menurut Anoraga dan Pakarti (2001),  harga  saham  didefinisikan  sebagai  harga  pada  pasar real serta  harga  yang  paling mudah untuk ditentukan.
Menurut  Jogiyanto  (2000), return saham  merupakan  hasil  yang  akan  diperoleh  dari investasi serta dibedakan menjadi dua yaitu realized return dan expected return . Menurut Tsay (2005), untuk menghitung nilai return saham diformulasikan sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 )
dengan:
𝑅 𝑡 = return aset pada waktu ke-t 𝑃 𝑡 = harga aset pada waktu ke-t 𝑃 𝑡−1 = harga aset pada waktu ke-(t-1)
Menurut Hull (2009), volatilitas harga saham didefinisikan sebagai nilai standar deviasi dari return saham.  Apabila  ada  sejumlah n  return ,  nilai  rata-rata return saham  dapat ditentukan sebagai berikut:
𝑅̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖 𝑛 𝑖=1
Return dari rata-rata kemudian digunakan untuk mengestimasi varian tiap periode yaitu:
𝑠 2 = 1 𝑛 − 1 ∑(𝑅 𝑖 − 𝑅̅) 2 𝑛 𝑖=1
Akar dari 𝑠 2 (varian) merupakan estimasi volatilitas harga saham.
Skewness merupakan ukuran kemiringan yang terdapat pada suatu bilangan yang dapat menunjukkan adanya suatu kemiringan atau tidaknya pada distribusi frekuensi. Jika kurva pada suatu distribusi memiliki ekor memanjang ke kanan maka dikatakan menceng kanan (positif) dan jika sebaliknya maka dikatakan menceng kiri (negatif). Perhitungan skewness adalah sebagai berikut (Surya dan Situngkir, 2006):
(1) (2) (3)
𝛾 1 = 1 𝑛 ∑ (𝑥 𝑖 − 𝑥 ̅) 3 𝑛 𝑖=1 𝑠 3
Kurtosis  adalah  derajat  keruncingan  pada  suatu  distribusi  dan  secara  umum  diukur relative terhadap distribusi normal. Pada kurtosis, kurva  yang berbentuk seperti distribusi normal  disebut  mesokurtik  dengan  nilai  kurtosis  =  3,  kurva  yang  lebih  runcing  disebut leptokurtik yang memiliki nilai kurtosis >3 dan yang lebih datar disebut platikurtik dengan nilai kurtosis <3. Perhitungan skewness adalah sebagai berikut (Surya dan Situngkir, 2006):
𝛾 2 = 1 𝑛 ∑ (𝑥 𝑖 − 𝑥 ̅) 4 𝑛 𝑖=1 𝑠 4
Peak  Over  Threshold merupakan  salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk mengidentifikasi adanya nilai ekstrem pada suatu data dengan menentukan nilai patokan atau disebut threshold ( 𝑢 ). Data yang melebihi dari nilai threshold disebut dengan nilai esktrem. Menurut Chaves dan Embrechts (2002), metode POT ( Peak Over Threshold ) yang tergolong mudah dan praktis serta menghasilkan nilai ambang batas yang cukup akurat adalah dengan metode kuantil 10% dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengurutkan seluruh data pengamatan dari nilai terbesar ke nilai terkecil.
2. Menghitung  banyak  data  yang  melebihi  batas 𝑢 dengan  menggunakan  rumus 𝑘 = 10%  ×  𝑛 dengan 𝑛 merupakan  total  dari  pengamatan,  sehingga  data  yang  berada  di urutan 1 hingga 𝑘 merupakan nilai ekstrem.
3. Menentukan nilai ambang batas 𝑢 dengan rumus 𝑢 = 𝑘 + 1 . Sehingga data yang berada pada urutan ke- (𝑘 + 1) merupakan nilai ambang batas 𝑢 .
4. Dari data return in sample dilakukan pemotongan k data terendah dan k data tertinggi untuk dilanjutkan ke prosedur berikutnya.
2.2. Proses Stokastik dan Gerak Brown
Proses  stokastik  adalah  himpunan  peubah  acak {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} dengan 𝑡 menyatakan waktu  dan 𝑋(𝑡) menyatakan  keadaan  pada  waktu  ke- 𝑡 .  Himpunan  T  pada  suatu  proses stokastik  disebut  dengan  himpunan  indeks.  Jika  pada  himpunan  T  merupakan  himpunan terhitung 𝑡 ∈ [0, 𝑇] , maka proses stokastik yang digunakan adalah proses stokastik diskrit yang dinyatakan dalam bentuk {𝑋(𝑡); 𝑡 = 0,1,2, … } . Jika pada himpunan T merupakan suatu interval  waktu 𝑡 ∈ [0, ∞] ,  maka  proses  stokastik  yang  digunakan  adalah  proses  stokastik kontinu yang dinyatakan dalam bentuk {𝑋(𝑡); 𝑡 ≥ 0} . Macam-macam Gerak Brown adalah sebagai berikut:
1. Gerak Brown
Menurut Dmouj (2006), suatu proses stokastik dengan {𝑊(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} dikatakan sebagai Gerak Brown jika memenuhi kriteria sebagai berikut:
a. 𝑊(0) = 0
b. Untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ,  variabel  acak  yang  diberikan  oleh  perubahan 𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑠) berdistribusi normal dengan mean µ = 0 dan varian 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠)
c. Untuk 0 ≤ 𝑠 < 𝑡 < 𝑢 < 𝑣 ≤ 𝑇 ,  perubahan 𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑠) adalah  saling  bebas (independen).
2. Gerak Brown Standar
Menurut  Higham  (2001),  proses  stokastik {𝑊(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} dikatakan  Gerak  Brown Standar jika proses tersebut memenuhi kriteria sebagai berikut:
a. 𝑊(0) = 0
(4) (5)
b. Untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 ,  variabel acak  yang diberikan oleh perubahan secara ekuivalen 𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑠) ~ √𝑡 − 𝑠 𝑁(0,1) ,  dengan  keterangan 𝑁(0,1) merupakan  distribusi Normal dengan mean 0 dan varian 1
c. Untuk 0 ≤ 𝑠 < 𝑡 < 𝑢 < 𝑣 ≤ 𝑇 ,  perubahan 𝑊(𝑡) − 𝑊(𝑠) dan 𝑊(𝑣) − 𝑊(𝑢) saling bebas (independen).
3. Gerak Brown dengan Drift
Gerak Brown dengan suku drift memiliki persamaan sebagai berikut (Dmouj, 2006): 𝐵(𝑡) = 𝜇(𝑡) + 𝜎 𝑊(𝑡)
dengan 𝜇(𝑡) merupakan nilai rata-rata dan 𝜎 adalah nilai standar deviasi dari proses t, 𝑊(𝑡) = 𝑍√𝑡 dengan Z adalah bilangan random dari distribusi Normal standar.
4. Gerak Brown Geometri
Jika diberikan
model Gerak
Brown dengan suku drift
𝐵(𝑡) = 𝜇 ∗ (𝑡) + 𝜎 𝑊(𝑡) ; 𝑡 ≥ 0 dengan parameter drift 𝜇 ∗ = 𝜇 − 1 2 𝜎 2 , parameter varian 𝜎 2 dan 𝑊(𝑡) merupakan proses Gerak Brown yang dimulai pada 𝑊(0) = 0 (Dmouj, 2006). Pada pemodelan harga saham, suatu proses stokastik {𝑃(𝑡); 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown  Geometri  jika 𝐵(𝑡) = 𝑙𝑛 𝑃(𝑡) 𝑃(𝑡−1) dengan 𝐵(𝑡) merupakan return saham  pada waktu ke-t.
Menurut Higham (2006), persamaan diferensial stokastik untuk model Jump Diffusion memiliki persamaan sebagai berikut:
𝑑𝑋 𝑡 = 𝑓(𝑋 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝑔(𝑋 𝑡 )𝑑𝑊 𝑡 + (𝑡, 𝑋 𝑡 )𝑑𝐽 𝑡 dengan 𝑋 𝑡 merupaka proses stokastik, 𝑊 𝑡 merupakan Gerak Brown standar, 𝐽 𝑡 merupakan proses jump , 𝑡 merupakan  jangka  waktu, 𝑓(𝑋 𝑡 ) merupakan  koefisien drift ,  dan 𝑔(𝑋 𝑡 ) merupakan koefisien difusi.
Berdasarkan Hull (2009), apabila terdapat peubah acak 𝑋 𝑡 yang mengikuti proses 𝐼𝑡𝑜̂ mempunyai persamaan:
𝑑𝑋 𝑡 = 𝛼(𝑋, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎(𝑋, 𝑡)𝑑𝑊 𝑡
dengan 𝑊 𝑡 merupakan Gerak Brown Standar, nilai 𝜇 dan 𝜎 merupakan parameter dari 𝑋 dan 𝑡 .  Pada teorema 𝐼𝑡𝑜̂ ,  apabila terdapat  fungsi 𝐺 = 𝐺(𝑋, 𝑡) ,  maka  fungsi 𝐺 akan mengikuti persamaan sebagai berikut:
𝑑𝐺 = ( 𝜕𝐺 𝜕𝑋 𝑡 𝛼𝑋 𝑡 + 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝐺 𝜕𝑋 𝑡 2 𝜎 2 𝑋 𝑡 2 ) 𝑑𝑡 + 𝜕𝐺 𝜕𝑋 𝑡 𝜎𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡
Berdasarkan  Matsuda  (2004),  persamaan  diferensial  stokastik  pada Geometric  Brownian Motion with Jump Diffusion dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑑𝑋 𝑡 = (𝛼 − 𝜆)𝑋 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 + 𝑋 𝑡 𝑑𝐽 𝑡 dengan 𝑊 𝑡 adalah  gerak  Brown  Standar, 𝐽 𝑡 adalah  proses jump standar  dan  dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝐽 𝑡 = ∑ (𝑌 𝑖 − 1) 𝑁 𝑡 𝑖=1 dan 𝑑𝐽 𝑡 = (𝑌 𝑁 𝑡 − 1)𝑑𝑁 𝑡 𝑁 𝑡 merupakan  Proses  Poisson  dengan  intensitas  lompatan 𝜆 dengan 𝑊 𝑡 , 𝑁 𝑡 ,  dan 𝑌 𝑗 saling bebas. 𝑊 𝑡 adalah Gerak Brown, nilai µ dan 𝜎 adalah parameter dari 𝑋 dan 𝑡 . Pada Proses Itô untuk  model Geometric  Brownian  Motion  with  Jump  Diffusion ,  jika  terdapat  fungsi 𝐺 = 𝐺(𝑋, 𝑡) , maka fungsi 𝐺 mengikuti persamaan berikut:
𝑑𝐺 = ( 𝜕𝐺 𝜕𝑋 𝑡 𝛼𝑋 𝑡 + 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + 1 2 𝜕 2 𝐺 𝜕𝑋 𝑡 2 𝜎 2 𝑋 𝑡 2 ) 𝑑𝑡 + 𝜕𝐺 𝜕𝑋 𝑡 𝜎𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 + (𝐺(𝑋 𝑡 − + ∆𝑋 𝑡 ) − 𝐺𝑋 𝑡 − ))
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
(11)
Misal fungsi 𝐺 = 𝑙𝑛𝑋 𝑡 , dengan 𝜕𝐺 𝜕𝑋 𝑡 = 1 𝑋 𝑡 , 𝜕 2 𝐺 𝜕𝑋 𝑡 2 = − 1 𝑋 𝑡 2 , 𝜕𝐺 𝜕𝑡 = 0 , diperoleh:
𝑑𝐺 = ((𝛼 − 𝜆) ∙ 1 𝑋 𝑡 ∙ 𝑋 𝑡 + 0 + 1 2 ∙ (− 1 𝑋 𝑡 2 ) ∙ 𝜎 2 𝑋 𝑡 2 ) 𝑑𝑡 + (𝜎 ∙ 1 𝑋 𝑡 ∙ 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 ) + (𝐺(𝑋 𝑡 − + ∆𝑋 𝑡 ) − 𝐺𝑋 𝑡 − )) 𝑑𝐺 = (𝛼 − 𝜆 − 𝜎 2 2 ) 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡 + (𝐺(𝑋 𝑡 − + ∆𝑋 𝑡 ) − 𝐺𝑋 𝑡 − ))
Jika perubahan harga saham periode sekarang dengan periode sebelumnya merupakan satu hari  dengan 𝑡 0 < 𝑡 1 < 𝑡 2 < ⋯ < 𝑡 𝑛 ,  maka  didapatkan  model  akhir  harga  saham  dengan Jump Diffusion sebagai berikut:
𝑋̂(𝑡 𝑖 ) = 𝑋̂(𝑡 𝑖−1 )exp [(𝛼̂ − 𝜎̂ 2 2 − 𝜆̂) (𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 ) + 𝜎̂√𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 𝑍 𝑖−1 + 𝑁 𝑖 ]
2.3. MAPE ( Mean Absolute Percentage Error )
Menurut Makridakis (1999), perhitungan nilai MAPE adalah sebagai berikut:
𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑ |𝑃𝐸 𝑖 | 𝑛 𝑖=1 𝑛
dengan:
|𝑃𝐸 𝑖 | = | 𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 𝑦 𝑖 | × 100%
dengan 𝑦 𝑖 merupakan nilai aktual pada waktu ke- 𝑖 . 𝑦̂ 𝑖 merupakan nilai prediksi (peramalan) pada waktu ke- 𝑖 dan 𝑛 merupakan banyaknya data observasi.
Tabel 1. Skala Penilaian Akurasi MAPE
Nilai MAPE Akurasi Peramalan MAPE < 10% Akurasi peramaan sangat baik
10% ≤ 𝑀𝐴𝑃𝐸 < 20%  Akurasi peramalan baik
20% ≤ 𝑀𝐴𝑃𝐸 ≤ 50%  Akurasi peramalan masih dalam batas wajar
MAPE > 50% Akurasi peramalan tidak akurat

## 2.4. Expected Shortfall (ES)
Menurut  Rockafellar  dan  Uryasev  (2000), Conditional  Value  at  Risk merupakan suatu  ukuran  risiko  yang  memperhitungkan  kerugian  melebihi  tingkat  VaR. Expected Shortfall dikatakan koheren apabila memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut dengan V merupakan peubah acak bilangan real:
1. Invarian Terhadap Translasi
Untuk setiap 𝑋 ∈ 𝑉 dan semua bilangan real 𝑐 berlaku:
𝐸𝑆(𝑋 + 𝑐) = 𝐸𝑆(𝑋) + 𝑐
2. Sub-additive
Untuk setiap 𝑋 1 , 𝑋 2 ∈ 𝑉 berlaku:
𝐸𝑆(𝑋 1 + 𝑋 2 ) ≤ 𝐸𝑆(𝑋 1 ) + 𝐸𝑆(𝑋 2 )
3. Positif Homogen
Untuk setiap 𝑎 ≥ 0 dan untuk setiap 𝑋 ∈ 𝑉 berlaku: 𝐸𝑆(𝑎𝑋) = 𝑎 𝐸𝑆(𝑋)
4. Kemonotonan
(12)
(13) (14)
Untuk setiap 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑉 dengan 𝑋 ≤ 𝑌 berlaku:
𝐸𝑆(𝑋) ≤ 𝐸𝑆(𝑌)
Bentuk umum dari Expected Shortfall dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸𝑆 𝛼 (𝑋) = 𝐸[−𝑋| − 𝑋 ≥ 𝑉𝑎𝑅 (𝛼) (𝑋)] = − 1 𝛼 ∫ 𝐹 𝑥 −1 (𝑝)𝑑𝑝 𝛼

## 0
Menurut  Jadhav et  al. (2009),  estimasi Expected  Shortfall dengan  simulasi  historis  dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸̂𝑆 (𝛼) (𝑋) = − 1 [𝑛𝛼] ∑ 𝑋 𝑖 [𝑛𝛼] 𝑖=1
dengan:
n : banyak data return harga saham. 𝑋 𝑖 : statistika terurut data return harga saham.
[𝑛𝛼] : bilangan integer yang nilainya ≤ 𝑛𝛼 .

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data dan Variabel Data
Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yaitu data harga penutupan  saham  PT.  Waskita  Karya  Persero  Tbk.  pada  periode  2  Januari  2020  sampai dengan 29 Januari 2021 yang diambil dari website http://yahoo.finance.com .

## 3.2. Tahapan Analisis
Program komputer yang digunakan untuk penelitian ini adalah RStudio. Adapun tahapan analisis yang dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan data harga penutupan saham yang akan digunakan dalam penelitian pada PT. Waskita Karya Persero (Tbk.) periode 2 Januari 2020 - 29 Januari 2021.
2. Menentukan data in sample dan out sample.
3. Menghitung nilai return saham data in sample.
4. Menghitung kurtosis untuk mengetahui adanya data ekstrem pada data return saham in sample .
5. Melakukan  uji  normalitas  data in  sample  return saham  dengan  menggunakan  uji Kolomogorov-Smirnov.
6. Melakukan Peak Over Threshold data in sample return saham.
7. Melakukan  estimasi  parameter  model  harga  saham Geometric  Brownian  Motion  with Jump Diffusion.
8. Melakukan pemodelan harga saham dengan metode Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion .
9. Melakukan  prediksi  harga  saham out  sample dengan  metode Geometric  Brownian Motion with Jump Diffusion .
10. Menghitung nilai error prediksi data out sample menggunakan metode MAPE.
11. Mengestimasi dan menghitung nilai Expected Shortfall return harga saham prediksi.
12. Intepretasi nilai Expected Shortfall.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Penentuan Data In Sample dan Data Out Sample
(15) (16)
Data in  sample ditentukan  sebanyak  202  data  dari  periode  2/1/2020  sampai  dengan 27/10/2020.  Data out  sample ditentukan sebanyak  60  data  dari  periode  2/11/2020  sampai dengan  29/1/2021.  Data in  sample digunakan  untuk membangun  model  harga  saham  dan data out sample digunakan untuk validasi model.

## 4.2. Uji Normalitas Kolmogorov-Smirnov
Uji  normalitas  dilakukan  dengan  dengan  menggunakan  uji  kolmogorov-smirnov  dan diperoleh nilai 𝐷 = 0,45648 dan nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 2,2 × 10 −16 . Karena nilai 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 lebih  besar  dari  batas  kesalahan 𝛼 = 5% ,  maka  data in  sample  return saham  tidak berdistribusi normal.
4.3. Peak Over Threshold Data in Sample Return Saham
Peak Over Threshold digunakan untuk melihat jump yang terjadi pada data in sample return saham. Indikasi adanya jump dapat dilihat dari nilai kurtosi s pada perhitungan statistik deskriptif.  Nilai  kurtosis  dianggap  sebagai  indikator  awal  yang  dapat  menunjukkan keberadaan jump . Apabila nilai kurtosis berada di atas 3 ( leptokurtosis ) maka data tersebut dianggap mengandung jump atau nilai ekstrem. Selain dengan nilai kurtosis dapat dibuktikan juga dengan menggunakan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov.
Berdasarkan tabel 2, pada data in sample return saham terindikasi adanya jump karena memiliki nilai kurtosis lebih besar dari 3 serta tidak berdistribusi normal.
Tabel 2. Statistik Deskriptif Data in Sample Return Saham Parameter Nilai Skewness 0,40304 Kurtosis 5,07662 Selanjutnya,  dilakukan  perhitungan  jumlah worse  case data  dengan extreme  value menggunakan metode Peak Over Threshold karena pada data in sample return terdapat jump , dengan nilai kuantil 10% ditentukan nilai ambang batas atas dan nilai ambang batas bawah yang terdapat pada tabel 3.
Tabel 3. Nilai Kuantil Ambang Batas Data Return Saham Kuantil Nilai Kuantil ambang batas bawah Kuantil ambang batas atas -0,05449 0,04410
Berdasarkan tabel 3, diperoleh  nilai kuantil ambang batas  bawah -0,05449. Sebanyak 20 data bernilai negatif merupakan jump . Nilai kuantil ambang batas memiliki nilai 0,4410. Sebanyak 20 data bernilai positif merupakan jump . Sehingga dari data tersebut dilakukan pemotongan 20 data terendah dan 20 data tertinggi untuk dilanjutkan ke prosedur berikutnya.
4.4. Estimasi nilai parameter model Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion PT. Waskita Karya Persero Tbk.
Parameter dalam model Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion meliputi nilai ekspetasi return saham (𝜇) , nilai volatilitas return saham ( 𝜎) , nilai intensitas jump (𝜆) , nilai rata-rata  selisih jump (𝑘) ,  dan  nilai  standar  deviasi  selisih jump (𝛿) .  Return  saham  yang digunakan adalah return saham data in sample. Berdasarkan tabel 4 diperoleh nilai estimasi parameter sebagai berikut:
Tabel 4. Estimasi Nilai Parameter Model GBM Jump
Parameter Nilai
Rata-rata return saham (𝜇) 0,00353 Volatilitas return saham ( 𝜎) 0,04262 Intensitas jump (𝜆) -0,00148 Rata-rata selisih jump (𝑘) 0,01016 Standar deviasi selisih jump (𝛿) 0,02330
Berdasarkan persamaan (28), maka model harga saham Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion PT. Waskita Karya Persero Tbk. adalah sebagai berikut:
𝑋 ̂( 𝑡 𝑖 ) = 𝑋 ̂( 𝑡 𝑖−1 ) exp [( 0,00353 − 0,00182 2 − (−0,00148) ) ( 𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 ) + 0,04262 √ 𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 𝑍 𝑖−1 + 𝑁 𝑖 ]

## 4.5. Prediksi harga saham PT. Waskita Karya Persero Tbk.
Setelah diperoleh nilai estimasi parameter dan model harga saham adalah melakukan prediksi harga saham. Prediksi harga saham dilakukan untuk mengetahui besar harga saham dan pergerakannya untuk 60 periode ke depan, yaitu mulai tanggal 2 November 2020 sampai dengan 29 Januari 2021. Hasil prediksinya disajikan pada tabel 5.
Tabel 5. Harga Saham Aktual dan Prediksi PT. Waskita Karya Persero Tbk. n
Tanggal Aktual
Prediksi n Tanggal Aktual Prediksi 1 2 02 Nov 2020 720 780 31 15 Des 2020 1190 1191 03 Nov 2020 755 822 32 16 Des 2020 1210 1178 3 04 Nov 2020 735 835 33 17 Des 2020 1455 1232 4 5 05 Nov 2020 750 900 34 18 Des 2020 1500 1247 06 Nov 2020 750 933 35 21 Des 2020 1510 1410 6 09 Nov 2020 790 890 36 22 Des 2020 1415 1477 7 10 Nov 2020 880 935 37 23 Des 2020 1395 1605 8 11 Nov 2020 930 901 38 28 Des 2020 1400 1609 9 12 Nov 2020 915 926 39 29 Des 2020 1485 1749 10 13 Nov 2020 940 924 40 30 Des 2020 1440 1778 11 16 Nov 2020 1020 979 41 04 Jan 2021 1500 1805 12 17 Nov 2020 1005 1047 42 05 Jan 2021 1505 1928 13 18 Nov 2020 1025 1065 43 06 Jan 2021 1660 1903 14 19 Nov 2020 1060 1021 44 07 Jan 2021 1670 1890 15 20 Nov 2020 1025 1064 45 08 Jan 2021 1650 1885 16 23 Nov 2020 1095 1090 46 11 Jan 2021 1665 2021 17 24 Nov 2020 1085 1077 47 12 Jan 2021 1660 2227 18 25 Nov 2020 1045 1112 48 13 Jan 2021 1715 2391 19 26 Nov 2020 1055 1056 49 14 Jan 2021 1685 2306 20 27 Nov 2020 1110 1032 50 15 Jan 2021 1890 2156 21 30 Nov 2020 1040 1109 51 18 Jan 2021 1920 2206 22 01 Des 2020 1070 1077 52 19 Jan 2021 1790 2146 23 02 Des 2020 1135 1066 53 20 Jan 2021 1850 2277 24 03 Des 2020 1165 1072 54 21 Jan 2021 1825 2183 25 04 Des 2020 1165 1059 55 22 Jan 2021 1700 2212 26 07 Des 2020 1200 1008 56 25 Jan 2021 1585 1901 27 08 Des 2020 1180 1073 57 26 Jan 2021 1475 1912 28 10 Des 2020 1155 1145 58 27 Jan 2021 1630 1834
29 11 Des 2020 1160 1137 59 28 Jan 2021 1520 1957 30 14 Des 2020 1200 1137 60 29 Jan 2021 1415 1843

## 4.6. Penentuan Nilai MAPE
MAPE  ( Mean  Absolute Percentage  Error )  merupakan metode  yang  dapat  digunakan untuk  mengevaluasi  nilai  peramalan  serta  membantu  menyimpulkan  sejauh  mana  akurasi peramalan  yang  dilakukan.  Melalui  bantuan  software RStudio ,  diperoleh  nilai  MAPE prediksi harga saham PT. Waskita Karya Persero Tbk. dengan metode Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion sebesar 13,00474% (akurasi peramalan baik).
4.7. Expected Shortfall dengan Simulasi Historis untuk Return Harga Saham Prediksi
Setelah melakukan perhitungan MAPE harga saham prediksi untuk mengetahui akurasi data,  langkah  selanjutnya  adalah  menganalisis  risiko  dengan Expected  Shortfall (ES) simulasi historis untuk masing-masing tingkat kepercayaan dan diperoleh hasil pada tabel 6.
Tabel 6. Hasil Perhitungan Expected Shortfall dengan Simulasi Historis.
Tingkat Kepercayaan (1-α) Nilai Expected Shortfall 98% 0,15152 95% 0,10939 90% 0,07596 80% 0,05693
Pada  tingkat  kepercayaan  95%  diperoleh  nilai  ES  sebesar  0,10939  (bernilai  positif dengan  asumsi  nilai  ES  tetap  menunjukkan  kerugian  yang  akan  diterima).  Hal  ini  dapat diartikan  ada  keyakinan  95%  bahwa  kerugian  yang  akan  diterima  investor  tidak  akan melebihi 10,939% dalam jangka waktu satu hari setelah tanggal 29 Januari 2021 atau dapat dikatakan ada kemungkinan 5% bahwa kerugian investasi pada saham PT. Waskita Karya Persero Tbk. sebesar 10,939%. Apabila dana investasi awal sebesar Rp 1.000.000.000, maka estimasi kerugian yang akan diderita oleh investor akan mencapai Rp 109.390.000.
Pada  tingkat  kepercayaan  90%  diperoleh  nilai  ES  sebesar  0,07596  (bernilai  positif dengan  asumsi  nilai  ES  tetap  menunjukkan  kerugian  yang  akan  diterima).  Hal  ini  dapat diartikan  ada  keyakinan  90%  bahwa  kerugian  yang  akan  diterima  investor  tidak  akan melebihi 7,596% dalam jangka waktu satu hari setelah tanggal 29 Januari 2021 atau dapat dikatakan ada kemungkinan 10% bahwa kerugian investasi pada saham PT. Waskita Karya Persero Tbk. sebesar 7,596%. Apabila dana investasi awal sebesar Rp 1.000.000.000, maka estimasi kerugian yang akan diderita oleh investor akan mencapai Rp 75.960.000. Sehingga dapat  dikatakan  bahwa  semakin  besar  tingkat  kepercayaan  yang  digunakan  maka  akan semakin besar pula kerugian yang akan diterima.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  telah  dipaparkan  pada  bab  sebelumnya diperoleh kesimpulan bahwa:
1. Metode Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion dapat digunakan pada data- data dengan return tidak berdistribusi normal dengan asumsi yang harus dipenuhi yaitu nilai  kurtosis  harus  diatas  3  karena  menunjukkan  adanya  lompatan/ jump .  Dari  model yang diperoleh akan didapatkan perkiraan harga saham di masa mendatang, selain itu juga diperoleh grafik pergerakan harga saham periode 2 Januari 2020 – 29 Januari 2021.
2. Dengan menggunakan metode Geometric Brownian Motion with Jump Diffusion untuk memprediksi  harga  saham  PT.  Waskita  Karya  Persero  Tbk.  diperoleh  model  sebagai berikut:
𝑋̂(𝑡 𝑖 ) = 𝑋̂(𝑡 𝑖−1 )exp [(0,00353 − 0,00182 2 − (−0,00148)) (𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 )
+ 0,04262√𝑡 𝑖 − 𝑡 𝑖−1 𝑍 𝑖−1 + 𝑁 𝑖 ]
dengan nilai MAPE atau kesalahan prediksi sebesar 13,00474% yang dapat diartikan bahwa akurasi peramalan masuk dalam kategori baik.
3. Dari hasil perhitungan nilai Expected Shortfall (ES) untuk tingkat keperccayaan 95% diperoleh  nilai  sebesar  0,10939  dan  untuk  tingkat  kepercayaan  90%  diperoleh  nilai sebesar 0,07596 sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar tingkat kepercayaan yang digunakan makan akan semakin besar pula tingkat kerugian akan diterima oleh investor.

## DAFTAR PUSTAKA
Abidin, S.N.Z dan Jaffar, M.M. 2014. Forecasting Share Prices of Small Size Companies in Bursa  Malaysia  Using  Geometric  Brownian  Motion. Applied  Mathematics  and Information Sciences . Vol 8(1), 107-112. Brigo et  al. 2008.  A  Stochastic  Processes  Toolkit  for  Risk  Management. Journal of  Risk Management in Financial Institutions . Vol 1(4), 5-13. Cont,  R  dan  Tankov,  P.  2004. Financial  Modelling  with  Jump  Processes. Chapman  & Hall/CRC Financial Mathematics Series.
Dmouj, A. 2006. Stock Price Modelling: Theory and Practice . Amsterdam: BMI Paper. Hunt, P.J. dan Kennedy, J.E. 2004. Financial Derivatives in Theory and Practice. Revised Edition. United Kingdom: John Wiley & Sons.
Ilyas, Agustia Isti, Puspita, E, Rachmatin, Dewi. 2018. Prediksi Harga Saham Menggunakan Model Jump Diffusion . Jurnal EurekaMatika. Vol 6(1), 33-42. Jadhav, Deepak, Ramanathan, T.V., dan Naik-Nimbalkar, U.V. 2009. Modified Estimators of the Expected Shortfall . Journal of Emerging Market Finance . Vol. 8(2), 87-107. Maruddani, D.A.I., dan Trimono. 2017. Prediksi Harga Saham PT. Astra Argo Lestari Tbk. dengan Jump Diffusion Model. Jurnal Riset Akuntansi Mercu Buana. Vol 3(1), 57-67. Maruddani, D.A.I., dan Trimono. 2021. Valuation of Portfolio Blue Chip Stocks in Indonesia using Value-at-Risk based on n-Dimensional Geometric Brownian Motion . Thailand Statistician . Vol 19(3), 501-510. Matsuda, K. 2014. Introduction to Merton Jump Diffusion Model. Working Paper. Rockafellar, R.T., dan Uryasev, S. 2000. Optimization of Conditional Value at Risk. Journal of Risk . Vol. 2(3)
Scherbacov. 2013. A Survey of Forecast Error Measures. World Applied Science Journal . Vol. 3(24), 171-176.
Taylor,  H.M. dan  Karlin, S. 1998. An Introducing to Stochastic Modeling. Third  Edition . United States of America: Academic Press.
Trimono  dan  Maruddani,  D.A.I.  2017.  Valuasi  Harga  Saham  PT.  Aneka  Tambang  Tbk. Sebagai Peraih IDX Best Blue 2016. Statistika: Journal of Theoritical Statistics and Its Application . Vol. 17(1), 33-43.