Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 21, No. 1, Maret 2024, 95-102 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v21i1.18986

## Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik Grup Abel
ℝ ⊕ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ℤ dan ℤ ⊕ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 ℝ
Eneng Riska Nuraeni 1 , Imam Nugraha Albania* 2 , Rizky Rosjanuardi 3 , Sumanang Muhtar Gozali 4 Jl. Dr. Setiabudhi No 229 Bandung 40154 1,2,3,4 Program Studi Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bandung e-mail: albania@upi.edu
Diajukan: 27 September 2023, Diperbaiki: 8 Januari 2024, Diterima: 23 Februari 2024

## Abstrak
Misalkan 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ adalah grup abel terurut total. Bentuk umum setiap subgrup dari 𝛤𝛤 1 adalah 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛ℤ , sedangkan bentuk umum subgrup dari 𝛤𝛤 2 adalah 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 dengan 𝐺𝐺 ≤ ℝ dan 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. Tujuan dari paper ini adalah memperoleh gambaran mengenai ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 . Metode yang digunakan yaitu diawali dengan menentukan subgrup-subgrup dari ℝ dan ℤ , kemudian menjumlahkan langsung subgrup-subgrup dari ℝ dan ℤ tersebut. Hasil jumlah langsung tersebut merupakan subgrup-subgrup tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 . Selanjutnya dilakukan uji sifat pengawetan urutan dari setiap bentuk subgrup tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 tersebut.  Dari metode tersebut diperoleh hasil bahwa satu-satunya ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 1 adalah subgrup {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan satu-satunya ideal urutan yang tak trivial dari 𝛤𝛤 2 adalah subgrup {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ meskipun setiap subgrup tak trivial dari ℝ dan ℤ masing- masing tidak memiliki sifat pengawetan urutan. Kesimpulan pada paper ini adalah satu-satunya ideal urutan tak trivial  pada ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ adalah {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ yang isomorfik dengan ℤ sebagai grup, sedangkan satu- satunya  ideal urutan tak trivial pada ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ adalah {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ yang isomorfik dengan ℝ sebagai grup. Kata Kunci : ideal urutan, subgrup, grup abel, urutan total, jumlah langsung leksikografik.

## Abstract
Let 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ and 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ be totally ordered abelian group. The general subgroup form of 𝛤𝛤 1 is 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛ℤ , while the general subgroup form of 𝛤𝛤 2 is 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 with 𝐺𝐺 ≤ ℝ and 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}. The aims is to get the description of tak trivial order ideal from 𝛤𝛤 1 and 𝛤𝛤 2 . The method in this study is by constructing subgroups of ℝ and ℤ , then summing it directly. The results are that the direct sums are tak trivial subgroups of 𝛤𝛤 1 and 𝛤𝛤 2 . Next, we examine order preserving properties on every single tak trivial subgroup of 𝛤𝛤 1 and 𝛤𝛤 2 . By this method, we get that the only non-trivial  order ideal of 𝛤𝛤 1 and 𝛤𝛤 2 are {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ and {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ respectively, even every non-trivial subgroup of ℝ and ℤ did not preserve ordering. The conclusion of this paper is the only non-trivial order ideal on ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ is {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ which is isomorphic to ℤ as a group, while the only non-trivial order ideal ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ is {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ which is isomorphic to ℝ as a group.
Keywords : order ideal, subgroup, totally ordereing, abelian groups, lexicographic direct sums.

## 1 Pendahuluan
Kajian grup terurut dalam matematika, khususnya yang berkaitan dengan grup abel terurut dan lapangan terurut mengalami perkembangan signifikan melalui berbagai penelitian dan terapannya. Grup terurut dalam banyak aspek matematika teoretis memperlihatkan konsep-konsep yang dapat diterapkan dalam berbagai situasi praktis. Misalnya, memahami aritmetika interval dan
Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik Grup Abel R ⊕ _lex  Z dan Z ⊕ _lex R
kalkulus dalam kerangka kerja lapangan dan grup abel padat terurut [1] . Sementara dalam [2] mendiskusikan hubungan antara aljabar-MV dan grup  terurut siklis secara parsial yang secara khusus berfokus pada grup terurut latis, yang membuka jalan untuk eksplorasi lebih lanjut dalam teori keputusan dan logika fuzzy, di mana struktur seperti aljabar-MV  berperan penting. Sedangakan dalam [3], dibahas bagaimana aksioma untuk grup abel terurut terpotong diturunkan dengan memodifikasi operasi penjumlahan yang mana aksioma ini menjadi segmen awal dari suatu grup abel terurut. Di lain pihak, kajian urutan leksikografik dalam matematika memainkan peran yang penting dalam berbagai terapan, seperti penggunaan urutan leksikografik dalam konteks basis Gröbner  [4]  dan data mining [5]. Begitu juga konsep ideal urutan yang banyak menarik minat peneliti, misalnya, ideal urutan digunakan dalam mengkarakterisasi lapangan dari latis vektor dengan fokus pada hasil peta ortomorfisma dari latis-latis tersebut [6], masalah syzygy (yakni hubungan antar generator dari suatu modul atas ring) [7], hasil kali tensor ideal urutan [8] dan konsep kombinatorial dari ideal urutan dalam himpunan terurut parsial [9].
Misalkan 𝐺𝐺 adalah grup abel di bawah operasi penjumlahan yang mengawetkan urutan di bawah operasi penjumlahan (compatibility law) [10], yaitu jika 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 maka 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 dan 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 untuk semua 𝑐𝑐 ∈ 𝐺𝐺 , maka 𝐺𝐺 disebut grup abel yang terurut total, contohnya adalah grup bilangan riil ℝ dengan operasi penjumlahan dengan urutan biasa “kurang dari atau sama dengan” ( “ ≤ ” ) . Misalkan ( 𝐴𝐴 , ≤ 𝐴𝐴 ) dan ( 𝐵𝐵 , ≤ 𝐵𝐵 ) adalah grup terurut, relasi ≤ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 pada 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 disebut urutan  leksikografi dengan definisi ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) ≤ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) jika dan hanya jika  salah satu dari pernyataan berikut dipenuhi:
i. 𝑎𝑎 < 𝐴𝐴 𝑥𝑥 ,
ii. 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 dan 𝑏𝑏 ≤ 𝐵𝐵 𝑦𝑦 .
Contoh grup abel yang terurut total oleh urutan leksikografik adalah jumlah langsung dari grup bilangan bulat yang dinotasikan dengan ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ di mana anggotanya adalah pasangan terurut ( 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) dengan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ∈ ℤ . Positive  cone dari ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dinotasikan dengan ( ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ ) + yaitu himpunan {( 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 )| 𝑐𝑐 > 0} ∪ {( 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 )| 𝑐𝑐 = 0 dan 𝑑𝑑 ≥ 0} .
Misalkan ( 𝛤𝛤 , ≤ ) adalah grup abel terurut total dan 𝐼𝐼 adalah subgrup dari 𝛤𝛤 . jika 𝑥𝑥 ∈ 𝛤𝛤 + dan 𝑦𝑦 ∈ 𝐼𝐼 + dengan 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 , berlaku 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼 , maka 𝐼𝐼 disebut  ideal urutan  [11],  [12],  [13].  Dalam  [14] ditunjukkan bahwa ideal urutan tak trivial satu-satunya dari ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ adalah 𝐼𝐼 = {(0, 𝑛𝑛 )| 𝑛𝑛 ∈ ℤ } . Perhatikan grup abel terurut total 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ . Dalam artikel ini 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 tidak secara trivial analog, dalam kasus ideal urutan, suku pertama menjadi signifikan, dalam kasus ini, ℝ adalah padat yang secara alamiah berbeda dari ℤ yang diskrit. Di lain pihak karakteristik dari subgrup ℤ secara klasik sudah dipahami sedangkan untuk ℝ karakterisasi

## 97
subgrupnya berbeda.  Akan dikaji  apakah 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 memiliki ideal urutan non trivial seperti ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ . Grup ℤ dan ℝ tidak memiliki ideal urutan tak trivial karena untuk setiap 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} , subgrup 𝑛𝑛ℤ dari ℤ tidak mengawetkan urutan, sehingga ideal urutan dari ℤ hanyalah {0} dan ℤ itu sendiri. Hasil yang sama diperoleh untuk grup abel terurut total ℝ , yaitu setiap subgrup dari ℝ adalah subhimpunan padat di ℝ atau subgrup siklik [15], di mana subgrup-subgrup tersebut tidak mengawetkan urutan.

## 2 Metode Penelitian
Ideal urutan pada grup ℤ dan ℝ dapat diperoleh dengan meninjau sifat pengawetan urutan pada setiap subgrupnya. Diperoleh bahwa sifat tersebut tidak terpenuhi oleh subgrup-subgrup non- trivialnya sehingga ideal urutan dari grup ℤ hanya {0} dan ℤ itu sendiri ( {0} dan ℝ ideal urutan dari grup ℝ ). Selanjutnya mengkonstruksi grup abel terurut total 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ . Berdasarkan contoh kasus ideal urutan dari grup abel terurut total ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ [14], serta meninjau sifat pengawetan urutan pada setiap subgrup dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 menggunakan pendekatan yang sama seperti pada grup ℤ dan ℝ dapat diperoleh gambaran mengenai ideal urutan yang tak trivial dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 .

## 3  Hasil dan Pembahasan
Menentukan ideal urutan pada ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ diawali dengan menentukan ideal urutan pada grup ℝ dan ℤ . Ideal urutan dari grup ℝ dan ℤ dapat ditentukan dari hasil mengidentifikasi dan meninjau sifat pengawetan urutan pada setiap subgrupnya.

## 3.1. Ideal urutan dari ℝ
Setiap subgrup 𝐺𝐺 dari grup terurut total ℝ secara umum memenuhi salah satu kondisi: 𝐺𝐺 adalah subhimpunan padat di ℝ atau 𝐺𝐺 adalah subgrup siklik dari ℝ [15]. Kita akan memanfaatkan Teorema ini untuk membuktikan Lema berikut.
Lema 1 Semua subgrup tak trivial dari ( ℝ , +, ≤ ) bukanlah ideal urutan .
Bukti Subgrup tak trivial 𝐺𝐺 dari ℝ adalah subhimpunan padat atau siklik [15]. Jika 𝐺𝐺 padat, maka berdasarkan sifat kepadatan dapat dipilih 𝑎𝑎 ∈ ℝ \ 𝐺𝐺 dan 𝑏𝑏 ∈ 𝐺𝐺 + dengan 0 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 . Hal ini berarti 𝐺𝐺 tidak mengawetkan urutan. Akibatnya, 𝐺𝐺 bukan ideal urutan. Jika 𝐺𝐺 siklik, maka 𝐺𝐺 = 〈𝑥𝑥〉 untuk suatu 𝑥𝑥 ∈ ℝ . Dengan kata lain 𝐺𝐺 = { 𝑥𝑥𝑛𝑛 | 𝑛𝑛 ∈ ℤ } = 𝑥𝑥ℤ .  Jika 𝑥𝑥 adalah bilangan rasional yang tidak sama dengan 0 atau ±1, maka 𝑥𝑥ℤ ⊂ ℚ . Pilih 0 < 𝑏𝑏 ∈ 𝑥𝑥ℤ . Berdasarkan sifat kepadatan bilangan irrasional, maka terdapat 𝑎𝑎 ∈ ℝ \ ℚ sedemikian sehingga 0 < 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 . Karena 𝑎𝑎 ∉ ℚ , maka 𝑎𝑎 ∉ 𝑥𝑥ℤ .
Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik Grup Abel R ⊕ _lex  Z dan Z ⊕ _lex R
Ini berarti 𝑥𝑥ℤ tidak mengawetkan urutan. Akibatnya, 𝑥𝑥ℤ = 𝐺𝐺 bukan ideal urutan dari ℝ . Jika 𝑥𝑥 ∈ ℝ \ ℚ maka 𝑥𝑥ℤ ⊂ ℝ \ ℚ . Pilih 0 < 𝑑𝑑 ∈ 𝑥𝑥ℤ . Berdasarkan sifat kepadatan bilangan rasional, maka terdapat 𝑐𝑐 ∈ ℚ sedemikian sehingga 0 < 𝑐𝑐 < 𝑑𝑑 . Karena 𝑐𝑐 ∉ ℝ \ ℚ , maka 𝑐𝑐 ∉ 𝑥𝑥ℤ . Hal ini berarti, 𝑥𝑥ℤ tidak mengawetkan urutan. Akibatnya, 𝐺𝐺 = 𝑥𝑥ℤ bukan ideal urutan dari ℝ .
Contoh 2 Misalkan 𝑆𝑆 𝛼𝛼 = { 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝛼𝛼 | 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ ℤ } untuk sembarang 𝛼𝛼 ∈ ℝ \ ℚ . Jelas bahwa 𝑆𝑆 𝛼𝛼 adalah subgrup dari ℝ . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝑆𝑆 𝛼𝛼 adalah padat. Andaikan 𝑆𝑆 𝛼𝛼 adalah siklik, maka 𝑆𝑆 𝛼𝛼 = ℤ + ℤ𝛼𝛼 = ℤ𝛽𝛽 untuk suatu 0 ≠ 𝛽𝛽 ∈ ℝ . Sehingga, diperoleh ℤ ⊆ ℤ𝛽𝛽 dan ℤ𝛼𝛼 ⊆ ℤ𝛽𝛽 . Akibatnya, 1 = 𝑛𝑛𝛽𝛽 dan 𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝛽𝛽 , untuk suatu 0 ≠ 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 ∈ ℤ . Sehingga, dapat diperoleh 𝛽𝛽 = 1 𝑛𝑛 dan 𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝛽𝛽 = 𝑚𝑚 � 1 𝑛𝑛 � = 𝑚𝑚 𝑛𝑛 ∈ ℚ . Hal ini kontradiksi dengan 𝛼𝛼 ∈ ℝ \ ℚ , sebagai akibatnya 𝑆𝑆 𝛼𝛼 adalah padat. Berdasarkan Lema 1, dapat dipilih 𝑥𝑥 ∉ 𝑆𝑆 𝛼𝛼 dan elemen tak nol 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝛼𝛼 ∈ 𝑆𝑆 𝛼𝛼 sedemikian sehingga 0 < 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝛼𝛼 . Ini berarti 𝑆𝑆 𝛼𝛼 tidak mengawetkan urutan, yakni bukan ideal urutan .

## 3.2 Subgrup dari ℝ ⊕ ℤ
Selanjutnya 𝛤𝛤 1 akan ditinjau sebagai grup terurut dengan urutan leksikografik.  Subgrup- subgrup dari 𝛤𝛤 1 memiliki bentuk 𝐽𝐽 = 𝐺𝐺 ⊕ 𝐻𝐻 di mana 𝐺𝐺 adalah subgrup dari ℝ dan 𝐻𝐻 = 𝑛𝑛ℤ untuk suatu 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} . Subgrup-subgrup tak trivial dari 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ adalah 𝐼𝐼 1 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ , 𝐼𝐼 2 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛ℤ , 𝐼𝐼 3 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 {0} , 𝐼𝐼 4 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛ℤ di mana 𝑛𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛𝑛 ≠ 1 , 𝐼𝐼 5 = 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 {0} , 𝐼𝐼 6 = 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ , dan 𝐼𝐼 7 = 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑛𝑛ℤ , di mana 𝑛𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛𝑛 ≠ 1 dan 𝐺𝐺 adalah subgrup padat di ℝ atau subgrup siklik.
Lema 3 Himpunan 𝐼𝐼 1 = { 0 } ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℤ adalah ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℤ .
Bukti 𝐼𝐼 1 subgrup dari 𝛤𝛤 1 . Selanjutnya, akan ditinjau sifat pengawetan urutan pada 𝐼𝐼 1 . Jika ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) ∈ 𝛤𝛤 1 + dan ( 0, 𝑚𝑚 ) ∈ 𝐼𝐼 1 + dengan ( 0,0 ) ≤ ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) ≤ ( 0, 𝑚𝑚 ) , artinya 𝑎𝑎 = 0 dan 𝑏𝑏 ≤ 𝑚𝑚 . Dengan kata lain, ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = (0, 𝑏𝑏 ) , maka ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) ∈ 𝐼𝐼 1 . Oleh karena itu, 𝐼𝐼 1 mengawetkan urutan. Karena 𝐼𝐼 1 subgrup dari 𝛤𝛤 1 dan mengawetkan urutan, maka 𝐼𝐼 1 adalah ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 .
Berbeda dengan 𝐼𝐼 1 , himpunan 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 , 𝐼𝐼 4 , 𝐼𝐼 5 , 𝐼𝐼 6 dan 𝐼𝐼 7 bukanlah ideal urutan. Perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh  4 Misalkan 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1}. Pada himpunan 𝐼𝐼 2 = 0 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑛𝑛ℤ , 𝐼𝐼 3 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 { 0 } dan 𝐼𝐼 4 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 𝑛𝑛ℤ dapat dipilih pasangan-pasangan terurut yang menunjukkan bahwa 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 , dan 𝐼𝐼 4 tidak mengawetkan urutan. Misalkan 𝑥𝑥 ∈ ℝ , pilih ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 − 1 ) ∈ 𝛤𝛤 1 + dan ( 0, 𝑛𝑛 ) ∈ 𝐼𝐼 2 + , perhatikan bahwa ( 0,0 ) < ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 − 1 ) < (0, 𝑛𝑛 ) . Diperoleh ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 − 1) = (0, 𝑛𝑛 − 1). Tetapi, ( 𝑛𝑛 − 1 ) ∉ 𝑛𝑛ℤ sehingga ( 0, 𝑛𝑛 − 1 ) ∉ 𝐼𝐼 2 . Jika dipilih ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 − 1 ) ∈ 𝛤𝛤 1 + dan ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 ) ∈ 𝐼𝐼 4 + , perhatikan bahwa (0,0) < ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 − 1) < ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 ) . Tetapi, ( 𝑛𝑛 − 1) ∉ 𝑛𝑛ℤ sehingga ( 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 − 1) ∉ 𝐼𝐼 4 . Jika dipilih � 1, 2 3 � ∈ 𝛤𝛤 1 + dan ( 2,0 ) ∈
𝐼𝐼 3
+ memenuhi ( 0,0 ) < � 1, 2 3 � < ( 2,0 ) tetapi � 1, 2 3 � ∉ 𝐼𝐼 3 . Hal ini menunjukkan bahwa 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 dan 𝐼𝐼 4 tidak mengawetkan urutan sehingga bukanlah ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 . Berdasarkan Lema 2, subgrup 𝐺𝐺 tidak mengawetkan urutan, sehingga 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 {0} juga tidak mengawetkan urutan. Akibatnya, 𝐼𝐼 5 = 𝐺𝐺 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 { 0 } bukan ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 . Perhatikan subgrup 𝐼𝐼 6 dan 𝐼𝐼 7 komponen pertamanya adalah elemen-elemen dari subgrup { 0 } ⊂ 𝐺𝐺 ⊂ ℝ dan komponen keduanya adalah 𝑛𝑛ℤ di mana 𝑛𝑛 ∈ ℕ . Oleh karena itu, untuk meninjau apakah subgrup-subgrup 𝐼𝐼 6 , dan 𝐼𝐼 7 adalah ideal urutan atau bukan, dapat menggunakan Lema 2 artinya selalu dapat dipilih ( 𝑥𝑥 , 0 ) ∈ 𝛤𝛤 1 + dan ( 𝑦𝑦 , 0 ) ∈ 𝐼𝐼 6 + yang memenuhi ( 0,0 ) < ( 𝑥𝑥 , 0 ) < ( 𝑦𝑦 , 0) tetapi 𝑥𝑥 ∉ 𝐼𝐼 6 + ( berlaku juga untuk 𝐼𝐼 7 + ) . Hal ini menunjukkan bahwa 𝐼𝐼 6 dan 𝐼𝐼 7 tidak mengawetkan urutan sehingga bukan ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 .
Diperoleh bahwa subgrup tak trivial  yang merupakan ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 hanyalah 𝐼𝐼 1 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℤ = {(0, 𝑛𝑛 )| 𝑛𝑛 ∈ ℤ } . Teorema di bawah ini menjamin bahwa ideal tak trivial dari 𝛤𝛤 1 hanyalah 𝐼𝐼 1 .
Berdasarkan Contoh 4  dan Lema 3  diperoleh bahwa 𝐼𝐼 1 adalah satu-satunya ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 . Dengan demikian kita peroleh Teorema berikut.
Teorema 5 Ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℤ hanyalah 𝐼𝐼 1 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℤ = {(0, 𝑛𝑛 )| 𝑛𝑛 ∈ ℤ } .
3.3 Grup Abel Terurut Total ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ
Positive cone dari 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℝ adalah 𝛤𝛤 2 + = {( 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 )| 𝑐𝑐 > 0 atau 𝑐𝑐 = 0 dan 𝑑𝑑 ≥ 0 } . Dengan menggunakan metode yang sama dengan kasus 𝛤𝛤 1 , diperoleh
Lema 6 [11] Semua subgrup tak trivial dari ( ℤ , +, ≤ ) bukanlah ideal urutan.
Lema 7 Subgrup 𝐼𝐼 1 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℝ = {( 0, 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ ℝ } adalah ideal urutan tak trivial dari grup abel terurut total 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℝ .
Bukti Perhatikan bahwa 𝐼𝐼 1 adalah subgrup tak trivial dari 𝛤𝛤 2 . Selanjutnya, misalkan ( 𝑚𝑚 , 𝑎𝑎 ) ∈ 𝛤𝛤 2 + dan ( 0, 𝑥𝑥 ) ∈ 𝐼𝐼 1 + dengan ( 0,0 ) ≤ ( 𝑚𝑚 , 𝑎𝑎 ) ≤ ( 0, 𝑥𝑥 ) , artinya 𝑚𝑚 = 0 dan 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 . Sehingga ( 𝑚𝑚 , 𝑎𝑎 ) = (0, 𝑎𝑎 ) di mana 𝑎𝑎 ∈ ℝ sehingga ( 0, 𝑎𝑎 ) ∈ 𝐼𝐼 . Jadi, 𝐼𝐼 1 adalah ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 2 .
Diperoleh bahwa hanya 𝐼𝐼 1 = {(0, 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ ℝ } yang merupakan ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 2 . Akan dibuktikan bahwa 𝛤𝛤 2 hanya memiliki satu ideal urutan tak trivial yaitu 𝐼𝐼 1 menggunakan teorema berikut ini.
Teorema 8 Ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℝ hanyalah 𝐼𝐼 1 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℝ = {(0, 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ ℝ } .

## 100
Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik Grup Abel R ⊕ _lex  Z dan Z ⊕ _lex R
Bukti Bentuk ideal urutan tak trivial untuk grup terurut total 𝛤𝛤 2 adalah subgrup-subgrup tak trivial berikut: 𝐼𝐼 1 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ = {(0, 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ ℝ } ; 𝐼𝐼 2 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 = {(0, 𝑦𝑦 )| 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 } dengan {0} ≠ 𝐺𝐺 < ℝ subhimpunan padat di ℝ atau subgrup siklik; 𝐼𝐼 3 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 {0} = {( 𝑚𝑚 , 0)| 𝑚𝑚 ∈ ℝ } ; 𝐼𝐼 4 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 = {( 𝑚𝑚 , 0)| 𝑚𝑚 ∈ ℝ } , dengan {0} ⊂ 𝐺𝐺 < ℝ subhimpunan padat di ℝ atau subgrup siklik; misalkan 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} , definisikan 𝐼𝐼 5 = 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 {0} = {( 𝑛𝑛𝑛𝑛 , 0)| 𝑛𝑛 ∈ ℤ } ; misalkan 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1 }, definisikan 𝐼𝐼 6 = 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ = {( 𝑛𝑛𝑛𝑛 , 𝑎𝑎 )| 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑎𝑎 ∈ ℝ } ; misalkan 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} , definisikan 𝐼𝐼 7 = 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 = {( 𝑛𝑛𝑛𝑛 , 𝑏𝑏 )| 𝑛𝑛 ∈ ℤ 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏 ∈ 𝐺𝐺 } dengan {0} ≠ 𝐺𝐺 < ℝ subhimpunan padat di ℝ atau subgrup siklik. Dari  Lema 1 diperoleh bahwa setiap subgrup tak trivial 𝐺𝐺 dari ℝ tidak mengawetkan urutan, sehingga terdapat 0 < 𝑥𝑥 ∈ ℝ dan 0 < 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 dengan 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦𝑦 tetapi 𝑥𝑥 ∉ 𝐺𝐺 . Dari sini dapat dipilih ( 0, 𝑥𝑥 ) ∈ 𝛤𝛤 2 + dan ( 0, 𝑦𝑦 ) ∈ 𝐼𝐼 2 + dengan ( 0,0 ) < ( 0, 𝑥𝑥 ) < ( 0, 𝑦𝑦 ). Karena 𝑥𝑥 ∉ 𝐺𝐺 , maka ( 0, 𝑥𝑥 ) ∉ 𝐼𝐼 2 . Misalkan 𝑚𝑚 ∈ ℤ , pilih ( 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 ) ∈ 𝛤𝛤 2 + dan ( 𝑚𝑚 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝐼𝐼 4 + dengan (0,0) < ( 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 ) < ( 𝑚𝑚 , 𝑦𝑦 ). Karena 𝑥𝑥 ∉ 𝐺𝐺 , maka ( 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 ) ∉ 𝐼𝐼 4 . Hal ini menunjukkan bahwa 𝐼𝐼 2 dan 𝐼𝐼 4 tidak mengawetkan urutan. Jadi, 𝐼𝐼 2 dan 𝐼𝐼 4 bukan ideal urutan dari 𝛤𝛤 2 . Misalkan 𝑥𝑥 ∈ ℝ , jika dipilih ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑥𝑥 ) ∈ 𝛤𝛤 2 + dan ( 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝐼𝐼 6 + . Perhatikan bahwa ( 0,0 ) < ( ( 𝑛𝑛 − 1), 𝑥𝑥 ) < ( 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 ) tetapi ( 𝑛𝑛 − 1 ) ∉ 𝑛𝑛ℤ sehingga � ( 𝑛𝑛 − 1 ) , 𝑥𝑥 � ∉ 𝐼𝐼 6 . Hal ini menunjukkan bahwa 𝐼𝐼 6 tidak mengawetkan urutan sehingga bukan ideal urutan dari 𝛤𝛤 2 . Berdasarkan Lema 7 diperoleh bahwa 𝑛𝑛ℤ di mana 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} tidak mengawetkan urutan, akibatnya , 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 0 juga tidak mengawetkan urutan. Jadi, 𝐼𝐼 5 bukan ideal urutan. Perhatikan untuk 𝐼𝐼 7 komponen pertama adalah anggota-anggota dari 𝑛𝑛ℤ untuk suatu 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} yang berlaku bahwa 𝑛𝑛ℤ bukan ideal urutan untuk setiap 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} karena  dapat dipilih ( 𝑛𝑛 − 1, 𝑥𝑥 ) ∈ 𝛤𝛤 2 + dan ( 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝐼𝐼 7 + . Perhatikan bahwa ( 0,0 ) < ( ( 𝑛𝑛 − 1), 𝑥𝑥 ) < ( 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 ) tetapi ( 𝑛𝑛 − 1 ) ∉ 𝑛𝑛ℤ sehingga � ( 𝑛𝑛 − 1 ) , 𝑥𝑥 � ∉ 𝐼𝐼 7 .
Misalkan 𝐾𝐾 = 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 di mana 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} dan 𝐺𝐺 ≤ 𝑅𝑅 . Andaikan 𝐾𝐾 ≠ 𝐼𝐼 1 ideal urutan tak trivial  dari 𝛤𝛤 2 . Dari  [11]  diperoleh bahwa himpunan ideal urutan terurut secara inklusi, sehingga 𝐾𝐾 ⊊ 𝐼𝐼 1 atau 𝐼𝐼 1 ⊊ 𝐾𝐾 . Jika 𝐾𝐾 ⊊ 𝐼𝐼 1 , perhatikan bahwa 𝐼𝐼 1 = {(0, 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ ℝ } dan 𝐾𝐾 ⊊ 𝐼𝐼 1 , artinya untuk setiap ( 𝑛𝑛𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) ∈ 𝐾𝐾 dengan 𝑛𝑛 ∈ ℕ dan 𝑛𝑛 ∈ ℤ , berlaku ( 𝑛𝑛𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) = ( 0, 𝑥𝑥 ) . Sehingga, 𝐾𝐾 = {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 dengan 𝐺𝐺 ⊊ ℝ . Karena 𝐾𝐾 ⊊ 𝐼𝐼 1 , maka terdapat (0, 𝑥𝑥 ) ∈ 𝐼𝐼 1 tetapi (0, 𝑥𝑥 ) ∉ 𝐾𝐾 untuk 𝑥𝑥 ∈ ℝ \ 𝐺𝐺 . Perhatikan bahwa 𝐾𝐾 tidak lain berbentuk 𝐼𝐼 2 yang berarti bukan ideal urutan dari 𝛤𝛤 2 . Jika 𝐼𝐼 1 ⊊ 𝐾𝐾 , perhatikan bahwa 𝐾𝐾 = 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐺𝐺 di mana 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} dan 𝐺𝐺 ≤ 𝑅𝑅 dengan 𝐼𝐼 1 = 0 ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 ℝ ⊂ 𝐾𝐾 = 𝑛𝑛ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 𝐺𝐺 , artinya 𝑛𝑛 ∈ ℕ \{1} dan 𝐺𝐺 = ℝ . Perhatikan bahwa 𝐾𝐾 tidak lain berbentuk 𝐼𝐼 6 yang berarti bukan ideal urutan dari 𝛤𝛤 2 . Jadi haruslah 𝐾𝐾 = 𝐼𝐼 1 .

## 4  Simpulan
Grup abel terurut total ℝ memiliki ideal urutan {0} dan ℝ ( {0} dan ℤ untuk grup abel ℤ ) artinya grup ℝ dan ℤ tidak memiliki ideal urutan yang tak trivial. Tetapi, jumlah langsung dari grup abel terurut total ℝ dan ℤ yaitu 𝛤𝛤 1 = ℝ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ dan 𝛤𝛤 2 = ℤ ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ memiliki ideal urutan yang tak trivial. Ideal urutan dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 dapat ditentukan dengan cara menentukan subgrup- subgrupnya terlebih dahulu. Subgrup dari 𝛤𝛤 1 dapat dikonstruksi dari menjumlahkan langsung subgrup-subgrup dari ℝ dan ℤ ( ℤ dan ℝ untuk 𝛤𝛤 2 ) artinya setiap subgrup dapat dinyatakan ke dalam bentuk 𝐽𝐽 = 𝐺𝐺 ⊕ lex 𝐻𝐻 untuk suatu 𝐺𝐺 ≤ ℝ dan 𝐻𝐻 ≤ ℤ (sebaliknya untuk 𝛤𝛤 2 ) . Selanjutnya tinjau sifat pengawetan urutan dari setiap subgrup dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 . Dari metode tersebut, diperoleh hasil bahwa satu-satunya ideal urutan tak trivial  dari 𝛤𝛤 1 dengan urutan leksikografik adalah {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℤ = {(0, 𝑚𝑚 )| 𝑚𝑚 ∈ ℤ } . Dengan cara yang serupa, diperoleh satu-satunya ideal urutan dari grup abel terurut total 𝛤𝛤 2 dengan urutan leksikografik adalah {0} ⊕ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ℝ = {(0, 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ ℝ } . Dari hasil tersebut, dapat diperoleh kesimpulan bahwa ideal urutan tak trivial dari 𝛤𝛤 1 isomorfik dengan ℤ sebagai grup sedangkan ideal urutan dari 𝛤𝛤 2 isomorfik dengan ℝ sebagai grup. Sehingga, ideal urutan tak trivial  dari 𝛤𝛤 1 dan 𝛤𝛤 2 masing-masing isomorfik dengan grup yang merupakan komponen kedua dari penjumlahan langsung leksikografik pada grup tersebut.

## 5  Ucapan Terima Kasih
Penelitian dibiayai oleh hibah penelitian PDUPT 2023 no: 1199/UN40.LP/PT.01.03/2023.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  T. Glavosits and Z. Karácsony, “Sums and products of intervals in ordered groups and fields,” Acta Univ Sapientiae Matem , vol. 13, no. 1, pp. 182–191, 2021.
[2]  G. Leloup, “MV-algebras and Partially Cyclically Ordered Groups,” Order , vol. 39, no. 2, pp. 323–359, 2022, doi: https://doi.org/10.1007/s11083-021-09578-z.
[3]  P. D’Aquino, J. Derakhshan, and A. Macintyre, “Truncations of ordered abelian groups,” Algebra universalis , vol. 82, no. 2, p. 27, 2021, doi: https://doi.org/10.1007/s00012-021- 00717-6.
[4]  I. Yengui, “The Gröbner ring conjecture in the lexicographic order case,” Mathematische Zeitschrift , vol. 276, pp. 261–265, 2014, doi: https://doi.org/10.1007/s00209-013-1197-y.
[5]  Y. Jin, Z. Tan, J. Chen, and S. Ma, “Discovery of approximate lexicographical order dependencies,” IEEE Trans Knowl Data Eng , vol. 35, no. 4, pp. 3684–3698, 2021, doi: https://doi.org/10.1109/TKDE.2021.3130227.

## 102
Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik Grup Abel R ⊕ _lex  Z dan Z ⊕ _lex R
[6]  M. A. Toumi, “When the Range of Every Orthomorphism is an Order Ideal,” Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society , vol. 43, pp. 4289–4302, 2020, doi: https://doi.org/10.1007/s40840-020-00922-x.
[7]  S. P. Dutta, “On a consequence of the order ideal conjecture,” J Pure Appl Algebra , vol.
219, no. 3, pp. 482–487, 2015, doi: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.05.006.
[8]  O. Gok, “Tensor Product of Order Ideals,” in International Mathematical Forum , 2021, pp. 131–136. doi: https://doi.org/10.12988/imf.2021.912251.
[9]  M. Chan, S. Haddadan, S. Hopkins, and L. Moci, “The expected jaggedness of order ideals,” in Forum of Mathematics, Sigma , Cambridge University Press, 2017, p. e9. doi: https://doi.org/10.1017/fms.2017.5.
[10]  K. R. Goodearl, Partially ordered abelian groups with interpolation , 20th ed., no. 20. American Mathematical Soc., 1986.
[11]  R. Rosjanuardi, “Primitive ideals of Toeplitz algebra of ordered groups,” J. Indones. Math. Soc.(MIHMI) Vol , vol. 14, pp. 111–118, 2008.
[12]  R. Rosjanuardi, S. M. Gozali, and I. N. Albania, “c-Convex Subgroups of Finite Dimensional Cyclically Ordered Free Abelian Groups,” Computer Science , vol. 18, no. 1, pp. 37–45, 2023.
[13]  S. Adji, I. Raeburn, and R. Rosjanuardi, “Group extensions and the primitive ideal spaces of Toeplitz algebras,” Glasgow Mathematical Journal , vol. 49, no. 1, pp. 81–92, 2007, doi: https://doi.org/10.1017/S0017089507003436.
[14]  R. Rosjanuardi and T. Itoh, “Characterisation of maximal primitive ideals of Toeplitz algebras,” Scientiae Mathematicae Japonicae , vol. 72, no. 2, pp. 121–126, 2010.
[15]  J. Singh, “Subgroups of the additive group of real line,” arXiv preprint arXiv:1312.7067 , 2013, doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1312.7067.