Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 412- 422 DOI: 10.20956/j.v19i2.24182

## MacCormack method for solving one-dimensional bed-load sediment transport model

## Metode MacCormack untuk menyelesaikan model transpor sedimen permukaan dasar satu dimensi
Irfan Said 1 *, Agustinus Ribal 2 *, Khaeruddin 3 *
*Program Studi Magister Matematika, FMIPA-UNHAS
Email : irfansaid272@gmail.com 1 , agus.ribal@gmail.com 2 , khaeruddin@gmail.com 3
Received: 24 November 2022; Accepted: 22 December 2022; Published: 5 January 2023

## Abstract
In  this  work,  we  investigate  the  numerical  solution  of  one-dimensional  bed-load  sediment  transport  model using two steps finite difference method which so-called MacCormack method. Bed-load sediment transport model is composed by the shallow water equation and Exner equation. The Meyer-Peter and Muller (MPM) formula and Wu formula will be used to determine the Grass factor of the bed-load sediment transport. These governing  equations  will  be  discretized  into  predictor  and  corrector  steps  of  the  MacCormack  method.  The numerical  results  of  the  MacCormack  method  will  be  validated  with  an  analytical  solution  of  the  bed-load sediment  transport  model.  In  addition,  the  MacCormack  solution  will  also  be  compared  with  experimental solutions and another numerical  method solutions that have existed previously. The numerical results based on  MacCormack  method  give  excellent  results  in  which  the  numerical  and  the  analytical  results  are  hardly differentiated with RMSE of around 00042 𝑚 or 4,2 𝑚𝑚 .
Keywords :  Bed-load  sediment  transport  model,  Shallow  water  equation,  Exner  equation; MacCormack Method

## Abstrak
Penelitian  ini  menyelidiki  solusi  numerik  model  transpor  sedimen  permukaan  dasar  menggunakan  metode beda hingga dua step yang disebut metode MacCormack. Model transpor sedimen permukaan dasar dibangun atas persamaan air dangkal dan persamaan Exner. Formula Meyer-Peter dan Muller (MPM) dan formula wu akan  digunakan  untuk  menentukan  faktor  Grass  dari  transpor  sedimen  permukaan  dasar.  Persamaan pembangun  ini  didiskritisasi  kedalam  step  prediktor  dan  korektor  dari  metode  MacCormack.  Hasil  numerik metode MacCormack akan divalidasi dengan sebuah solusi analitik dari model transpor sedimen permukaan dasar.  Selain  itu,  solusi  metode  MacCormack  juga  akan  dibandingkan  dengan  solusi-solusi  eksperimen  dan solusi-solusi  metode  numerik  yang  telah  ada  sebelumnya.  Hasil  numerik  berdasarkan  metode  MacCormack memberikan  hasil  yang  sangat  baik  dimana  hasil  numerik  dan  hasil  analitik  hampir  tidak  dapat  dibedakan dengan RMSE sekitar 0,0042 𝑚 atau 4,2 𝑚𝑚 .
Kata kunci : Model transpor sedimen permukaan dasar, Persamaan air dangkal, Persamaan Exner, Metode MacCormack

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin

## 1. Pendahuluan
Transpor  sedimen  merupakan  salah  satu  fenomena  alam  yang  sangat  kompleks.  Sedimen dapat  didefinisikan  sebagai  material  terfragmentasi  dari  batuan  yang  terbentuk  dari  proses  fisika atau proses kimia. Proses transportasi sedimen disebabkan oleh efek gaya gravitasi serta oleh efek gesekan dengan udara atau aliran yang mengandung sedimen [2].
Klasifikasi  transpor  sedimen  di  dalam  sungai  biasanya  terbagi  ke  dalam  dua  bentuk fenomena  yang  berbeda:  transpor  sedimen  dasar  ( bed - load )  dan  transpor  sedimen  suspensi ( suspended load ).  Transpor  sedimen  dasar  ( bed - load )  merupakan  gerakan  butiran  sedimen  pada permukaan  dasar.  Butiran  sedimen  tersebut  bergerak  dengan  cara  bergeser,  berguling,  atau melompat  di  atas  permukaan  dasar.  Transpor  sedimen  suspensi  merupakan  butiran  sedimen  yang bergerak  didalam  aliran.  Proses  transpor  sedimen  ini  umumnya  terjadi  pada  lingkungan  yang memiliki aliran permukaan seperti sungai, pantai dan muara [17].
Transpor  sedimen  permukaan  dasar  umumnya  terdiri  oleh  pasangan  komponen hidrodinamik dan morfodinamik. Komponen hidrodinamik dimodelkan oleh persaman air dangkal, dimana  model  ini  digunakan  untuk  mempelajari  pergerakan  aliran  di  sungai,  saluran  air,  area pantai,  dan  sebagainya.  Komponen  morfodinamik  dimodelkan  dengan  persamaan  Exner  yang mengambarkan  konservasi  massa  antara  sedimen  pada  dasar  permukaan  dengan  sedimen  yang berpindah [17].
Hudson dan Sweby [7] menginvestigasi solusi numerik persamaan-persamaan pembangun transpor  sedimen  permukaan  dasar  menggunakan  metode  volume  hingga  skema  Roe.  Hasil-hasil solusi  numerik  dari  berbagai  variasi  formula  volume  hingga  dibandingkan  dengan  sebuah  solusi pendekatan yang dibangun. Solusi pendekatan tersebut valid dengan asumsi bahwa antara aliran air dan sedimen permukaan dasar memiliki tingkat interaksi yang lemah.
Dengan  metode  yang  serupa  namun  untuk  masalah  satu  dimensi,  Diaz,  dkk.    [2]  juga melakukan pendekatan numerik transpor sedimen permukaan dasar satu dimensi (yang selanjutnya akan ditulis 1D) yang dipengaruhi oleh aliran air. Hasil-hasil skema metode volume hingga berorde tinggi  kemudian  dibandingkan  dengan  solusi  analitik  maupun  dengan  data-data  eksperimen  yang telah  dilakukan  oleh  penelitian-penelitian  sebelumnya.  Demikian  juga,  Zhang  dan  Duan  [18] menggunakan  persamaan  air  dangkal  yang  dimodifikasi  dan  persamaan  Exner  sebagai  persamaan pembangun model transpor sedimen permukaan dasar. Dalam penelitiannya, mereka menggunakan persamaan  van  Rijn  sebagai  formula  untuk  menghitung  laju  transpor  sedimen.  Hasil  dari  skema numerik dibandingkan dengan solusi analitik maupun dengan data hasil observasi. Kedua penelitian diatas  menunjukkan  bahwa  skema  numerik  berorde  tinggi  cenderung  memberikan  akurasi  yang lebih baik.
Sebuah  solusi  analitik  diajukan  oleh  Berthon,  dkk.  [1]  untuk  model  persamaan  transpor sedimen  permukaan  dasar  1D  dalam  sistem  persamaan  air  dangkal.  Solusi  ini  valid  untuk digunakan pada beberapa model erosi seperti model Grass maupun model Meyer-Peter dan Muller (MPM).  Solusi  ini  dibangun  dengan  mengasumsikan  laju  dari  aliran  pada  sistem  persamaan  air dangkal berada dalam keadaan tunak ( steady ).
Kebanyakan  penelitian-penelitian  transpor  sedimen  dalam  beberapa  tahun  terakhir  masih terbatas pada bentuk persamaan 1D. Hal yang membedakan diantara penelitian-penelitian tersebut adalah skema dan modifikasi numerik volume hingga yang digunakan berbeda-beda. Gunawan dan Lhebrard  [5],  misalnya,  menggunakan  skema  numerik  yang  disebut  dengan  skema  relaksasi hidrostatik. Skema volume hingga ini memberikan rekonstruksi hidrostatik dari pemecah relaksasi. Sementara itu, Liu dan Beljadid [9] menyelesaikan pasangan persamaan transpor sedimen dengan metode volume hingga skema tipe Godunov central-upwind. Skema tersebut dibangun dalam grid segitiga  tidak  terstruktur  dengan  akurasi  orde  kedua.  Dua  skema  numerik  volume  hingga  juga diusulkan  oleh  Martinez-Aranda,  dkk.  berdasarkan  pada  pemecah  Roe  dan  pemecah  Roe  yang

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
ditambahkan  dengan  akurasi  orde  pertama  dalam  ruang  dan  waktu  [12][13].  Selain  itu,  Erami  & Firoozjaee [3] menggunakan skema elemen hingga metode discrete least squares meshless (DLSM) dan Firoozjaee & Sahebdel [4] menggunakan metode Element-free Galerkin dalam menyelesaikan model transpor sedimen permukaan dasar 1D.
Kebanyakan penelitian-penelitian sebelumnya menggunakan metode volume hingga dalam menyelesaikan  model  transpor  sedimen  1D.  Oleh  karena  itu,  pada  penelitian  ini  akan  difokuskan pada  penyelesaian  secara  numerik  menggunakan  pendekatan  beda  hingga  metode  MacCormack, kemudian  membandingkannya  dengan  hasil  eksperimen  maupun  hasil  numerik  penelitian sebelumnya.  Metode  MacCormack  dipilih  karena  metode  ini  merupakan  metode  beda  hingga eksplisit  dengan  akurasi  orde  kedua  dalam  ruang  dan  waktu  [10].    Metode  MacCormack  dapat digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  nonlinear  hiperbolik  1D  dan  memberikan  hasil  yang lebih  baik  dibandingkan  dengan  metode-metode  beda  hingga  eksplisit  lainnya  [6].  Selain  itu, Metode  MacCormack  mampu  untuk  memberikan  akurasi  yang  lebih  baik  dibandingkan  metode upwind dalam persoalan gelombang pecah yang dibangun dari persamaan air dangkal 1D [15] serta juga mampu memberikan hasil numerik yang akurat dalam fenomena bendungan runtuh 1D [11].
Berdasarkan  uraian-uraian  tersebut  diatas,  penelitian  ini  menyelidiki  solusi  numerik persamaan transpor sedimen permukaan dasar dengan menggunakan  metode MacCormack. Solusi numerik  yang  diperoleh  akan  divalidasi  dengan  solusi  analitik  dan  solusi  eksperimen  yang  telah diperoleh  pada  penelitian-penelitan  sebelumnya,  untuk  mengetahui  tingkat  akurasi  metode  yang digunakan.

## 2. Persamaan Pembangun
Persamaan transpor sedimen satu dimensi terdiri dari persamaan air dangkal dan persamaan Exner. Persamaan air dangkal diturunkan dari persamaan Navier-Stokes yang terdiri dari persamaan konservasi massa dan persamaan konservasi momentum [14]:
𝜕 𝜕𝑡 (ℎ) + 𝜕 𝜕𝑥 (ℎ𝑢) = 0 (1)
𝜕 𝜕𝑡 (ℎ𝑢) + 𝜕 𝜕𝑥 (ℎ𝑢 2 + 𝑔ℎ 2 2 ) = −𝑔ℎ 𝜕𝑍 𝑏 𝜕𝑥 − 𝜏 𝑥 𝜌 𝑤
dengan ℎ adalah kedalaman aliran ( 𝑚 ), 𝑢 adalah komponen  kecepatan  arah 𝑥 ( 𝑚/𝑠 ), 𝑔 adalah percepatan gravitasi ( 𝑚/𝑠 2 ), 𝑍 𝑏 adalah ketinggian permukaan dasar ( 𝑚 ), 𝜏 𝑥 adalah tegangan geser sepanjang 𝑥 ( 𝑘𝑔/𝑚𝑠 2 ), dan 𝜌 𝑤 adalah kepadatan fluida ( 𝑘𝑔/𝑚 3 ).
Persamaan Exner berupa persamaan konservasi massa untuk transpor sedimen permukaan dasar:
𝜕𝑍 𝑏 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜕𝑥 (𝑞 𝑏,𝑥 ) = 0 (2)
dengan 𝑞 𝑏,𝑥 merupakan laju volume permukaan dasar sepanjang 𝑥, ( 𝑚 2 /𝑠 ). Laju permukaan dasar dapat diekspresikan sebagai [14]:
𝑞 𝑏,𝑥 = 1 1 − 𝜀 𝐺 𝑝 |𝑢| 2 𝑢 (3)
Variabel 𝜀 adalah  porositas  dari  permukaan  dasar.  Sementara 𝐺 𝑝 merupakan  faktor  Grass  untuk menghitung interaksi antara aliran dan sedimen ke- 𝑝 dalam lapisan permukaan dasar.
Untuk komponen tegangan geser 𝜏 dapat diekpresikan dengan:
𝜏 𝑥 = 𝜌 𝑤 𝑔ℎ𝐶 𝑓 |𝑢|𝑢 (4)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
dengan 𝐶 𝑓 = 𝑛 2 ℎ −4/3 sebagai koefisien gesekan, dan 𝑛 adalah koefisien kekasaran manning.

## 3. Formula Empiris Laju Transpor Permukaan Dasar
Faktor  Grass 𝐺 𝑝 dihitung  menggunakan  model  yang  diusulkan  oleh  [14].  Oleh  karena 𝐺 𝑝 tidak seragam dalam ruang dan dapat diekspresikan dalam sebuah fungsi dari kedalaman ℎ , perisai tegangan tak berdimensi 𝜃 𝑝 , dan ketebalan lapisan transpor 𝜂 𝑝 sedimen kelas ke- 𝑝 :
𝐺 𝑝 = Γ 1 (ℎ)Γ 2 (𝜃 𝑝 )Γ 3 (𝜂 𝑝 ) (5)
Ekpresi dari fungsi Γ 1 , Γ 2 , dan Γ 3 dapat dilihat pada Tabel 1.
Pada  Tabel  1, 𝑑 𝑝 merupakan  diameter  bulir  untuk  sedimen  kelas  ke- 𝑝 , 𝑠 = 𝜌 𝑝 /𝜌 𝑤 adalah  rasio antara 𝜌 𝑝 kepadatan  bulir  sedimen  dan 𝜌 𝑤 kepadatan  fluida. 𝑛 𝑝 merupakan  koefisien  kekasaran manning  yang  dihitung  dengan 𝑛 𝑝 = 𝑑 𝑝 1/6 /21,1 , 𝑘 𝑑 dan 𝑘 𝑐 adalah  konstanta  perubahan  deposisi dan  erosi. 𝜃 𝑐 adalah  ambang  batas  perisai  tegangan,  dan ∆𝜃 𝑝 merupakan  selisih  perisai  tegangan untuk sedimen kelas ke- 𝑝 , yang dihitung dengan [14]:
∆𝜃 𝑝 = { 𝜃 𝑝 − 𝜃 𝑐 jika 𝜃 𝑝 > 𝜃 𝑐 0 lainnya (6)
Tabel 1 . Faktor interaksi Grass 𝐺 𝑝 untuk formula laju transpor sedimen [14].
formula 𝚪 𝟏 𝚪 𝟐 𝚪 𝟑 𝜽 𝒄 Meyer-Peter & Muller (MPM) 𝑛 𝑝 3 √𝑔
(𝑠 − 1)√ℎ
8√∆𝜃 𝑝
𝜃 𝑝 3/2 𝑠𝑘 𝑑 𝑘 𝑐 𝜂 𝑝 𝑑 𝑝 0,047 Wu (𝑛 𝑝 3 𝑛) 3/4 √𝑔 (𝑠 − 1)√ℎ 0,0053√∆𝜃 𝑝 𝜃 𝑐 2,2 𝜃 𝑝 3/2 𝑠𝑘 𝑑 𝑘 𝑐 𝜂 𝑝 𝑑 𝑝 0,030
Disini 𝜃 𝑝 dihitung dengan menggunakan keseimbangan antara kekuatan tegangan turbulen oleh aliran pada bulir sedimen di atas permukaan dasar dan kekuatan gravitasi:
𝜃 𝑝 = 𝑛 𝑝 2 |𝑢| 2 (𝑠 − 1)𝑑 𝑝 ℎ 1/3 (7)
Ketebalan lapisan transpor 𝜂 𝑝 untuk sedimen kelas ke- 𝑝 diperkirakan dengan:
𝜂 𝑝 = 𝑘 𝑒 𝑠𝑘 𝑑 ∆𝜃 𝑝 𝑑 𝑝 (8)

## 4. Metode MacCormack
Metode MacCormack merupakan metode beda hingga eksplisit dengan akurasi orde kedua dalam  ruang  dan  waktu.  Metode  ini  merupakan  pendekatan  beda  hingga  dua  langkah  berupa prediktor  dan  korektor.  Step  korektor  menggunakan  pendekatan  beda  maju,  sedangkan  step korektor menggunakan pendekatan beda mundur [10]. Diskritisasi step prediktor untuk persamaan (1) - (2) adalah sebagai berikut:
ℎ 𝑖 ∗ = ℎ 𝑖 𝑛 − Δ𝑡 Δ𝑥 (𝑞 𝑖+1 𝑛 − 𝑞 𝑖 𝑛 ) (9)
𝑞 𝑖 ∗ = 𝑞 𝑖 𝑛 − Δ𝑡 Δ𝑥 [(𝑞𝑢 + 𝑔ℎ 2 2 ) 𝑖+1 𝑛 − (𝑞𝑢 + 𝑔ℎ 2 2 ) 𝑖 𝑛 ] − Δ𝑡 Δ𝑥 𝑔ℎ 𝑖 𝑛 [𝑍 𝑏𝑖+1 𝑛 − 𝑍 𝑏𝑖 𝑛 ]

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
𝑍 𝑏𝑖 ∗ = 𝑍 𝑏𝑖 𝑛 − Δ𝑡 Δ𝑥 𝑟 [(𝐺 𝑝 𝑢 3 ) 𝑖+1 𝑛 − (𝐺 𝑝 𝑢 3 ) 𝑖 𝑛 ]
Sementara diskritisasi step korektor adalah sebagai berikut:
ℎ 𝑖 𝑛+1 = 1 2 [ℎ 𝑖 𝑛 + ℎ 𝑖 ∗ − Δ𝑡 Δ𝑥 (𝑞 𝑖 ∗ − 𝑞 𝑖−1 ∗ )] (10) 𝑞 𝑖 𝑛+1 = 1 2 (𝑞 𝑖 𝑛 + 𝑞 𝑖 ∗ − Δ𝑡 Δ𝑥 [(𝑞𝑢 + 𝑔ℎ 2 2 ) 𝑖 ∗ − (𝑞𝑢 + 𝑔ℎ 2 2 ) 𝑖−1 ∗ ] − Δ𝑡 Δ𝑥 𝑔ℎ 𝑖 ∗ [𝑍 𝑏𝑖 ∗ − 𝑍 𝑏𝑖−1 ∗ ]) − (𝑔ℎ𝐶 𝑓 𝑢 2 ) 𝑖 𝑛 𝑍 𝑏𝑖 𝑛+1 = 1 2 [𝑍 𝑏𝑖 𝑛 + 𝑍 𝑏𝑖 ∗ − Δ𝑡 Δ𝑥 𝑟 [(𝐺 𝑝 𝑢 3 ) 𝑖 ∗ − (𝐺 𝑝 𝑢 3 ) 𝑖−1 ∗ ]]
dengan 𝑞 = ℎ𝑢 dan 𝑟 = 1/(1 − 𝜀) .
Dalam banyak kasus, solusi yang diperoleh masih terdapat dispersi numerik yang membuat solusi menjadi kurang akurat. Dispersi numerik ini ditandai dengan adanya osilasi pada solusi. Cara sederhana untuk mengurangi osilasi pada solusi adalah dengan menambahkan bentuk damping orde dua  [6].  Bentuk damping ini  berupa 𝜓ℎ 𝑥𝑥 , 𝜔𝑞 𝑥𝑥 ,  dan 𝜁𝑍 𝑏𝑥𝑥 ditambahkan  masing-masing  pada persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan konservasi massa permukaan dasar. Dengan memperhatikan diskritisasi waktu, bentuk damping ini didiskritisasi beda tengah, sehingga diperoleh [11]:
ψΔ𝑡 Δ𝑥 2 [ℎ 𝑖+1 𝑛 − 2ℎ 𝑖 𝑛 + ℎ 𝑖−1 𝑛 ] (11)
ωΔ𝑡 Δ𝑥 2 [𝑞 𝑖+1 𝑛 − 2𝑞 𝑖 𝑛 + 𝑞 𝑖−1 𝑛 ] ζΔ𝑡 Δ𝑥 2 [𝑍 𝑏𝑖+1 𝑛 − 2𝑍 𝑏𝑖 𝑛 + 𝑍 𝑏𝑖−1 𝑛 ]
Persamaan  (11)  ditambahkan  pada  bagian  kanan  persamaan  (10).  Nilai 𝜓 , 𝜔 dan 𝜁 bisa  saja berubah tergantung dengan kondisi masalah yang dimiliki.

## 5. Hasil dan Pembahasan

## 5.1. Kasus Dengan Solusi Analitik
Sebuah  solusi  analitik  untuk  model  transpor  sedimen  satu  dimensi  diusulkan  oleh  [1]. Diasumsikan  bahwa  laju  aliran  bersifat 𝑞 = ℎ𝑢 bernilai  konstan  sepanjang  domain  dan  tidak  ada gesekan  pada  permukaan  dasar,  serta  laju  permukaan  dasar 𝑞 𝑏 = 𝐴 𝑔 𝑢 2 𝑢 dengan 𝐴 𝑔 = 1 1−𝜀 𝐺 𝑝 = konstan . Solusi analitik untuk model transpor sedimen 1 dimensi dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑢 = ( 𝛼𝑥 + 𝛽 𝐴 𝑔 ) 2 3 (12) ℎ = 𝑞 𝑢 𝑧 𝑏 0 ≡ 𝑧 𝑏 (𝑡 = 0) = 𝛾 − ( 𝑢 3 + 2𝑔𝑞 2𝑔𝑢 ) 𝑧 𝑏 (𝑡) = 𝑧 𝑏 0 − 𝛼𝑡

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
dengan 𝛼 , 𝛽 ,  dan 𝛾 merupakan  parameter  konstan, 𝑔 sebagai percepatan  gravitasi  dan 𝑧 𝑏 0 sebagai kondisi  awal  permukaan  dasar.  Untuk  kasus  ini  dipilih 𝛼 = 𝛽 = 0,005 , 𝛾 = 2 , 𝑞 = 1 𝑚 2 /𝑠 ,  dan 𝐴 𝑔 = 0,01 𝑠 2 /𝑚 ,  dengan  domain 𝑥 = [0,10] 𝑚 [14].  Perbandingan  solusi  analitik  dengan  solusi MacCormack  untuk  ketinggian  permukaan  atas ℎ + 𝑍 𝑏 dan ketinggian  permukaan  dasar 𝑍 𝑏 untuk 𝑡 = 10 𝑠 dapat dilihat pada Gambar 1.
Untuk  menganalisa  konvergensi  hasil  dari  solusi  metode  MacCormack  terhadap  solusi analitik, akan digunakan 6 (enam) step sizes ( ∆𝑥 ) yang berbeda, mulai dari ∆𝑥 = 0,1 hingga ∆𝑥 = 0,003125 , serta perbandingan ∆𝑡 ∆𝑥 = 0,1 . Syarat batas pada aliran masuk dan laju permukaan dasar bernilai  konstan  masing-masing 𝑞 = 1 𝑚 2 /𝑠 dan 𝑞 𝑏 = 0,005 𝑚 2 /𝑠 ,  sedangkan ℎ = 0,5665 m pada syarat batas aliran keluar. Untuk nilai faktor damping yang digunakan adalah 𝜓 = 𝜔 = 𝜁 = 0 .
Gambar 1 . Perbandingan solusi analitik dan solusi metode MacCormack untuk 𝑡 = 10 𝑠 dengan ∆𝑡 = 0,01 dan ∆𝑥 = 0,1 .
Tabel 2 . Analisis konvergensi metode MacCormack terhadap solusi analitik untuk 𝑡 = 10 𝑠 dari 6 (enam) ∆𝑥 yang berbeda.
Jumlah Grid ( 𝑵 ) ∆𝒙 Kedalaman ( 𝒉) Permukaan Dasar ( 𝒁 𝒃 ) Galat 𝑳 𝟏 Galat relatif 𝑳 𝟏 (%) Galat 𝑳 𝟏 Galat relatif 𝑳 𝟏 (%) 101 0,1 1,54E-02 0,0204 1,61E-02 0,0145 201 0,05 1,09E-02 0,0073 1,25E-02 0,0056 401 0,025 1,47E-02 0,0049 1,33E-02 0,0030 801 0,0125 2,48E-02 0,0042 1,91E-02 0,0022 1601 0,00625 4,62E-02 0,0039 3,27E-02 0,0019 3201 0,003125 8,93E-02 0,0037 6,09E-02 0,0017
Solusi numerik metode MacCormack diperoleh dari persamaan (9) – (11), sedangkan solusi analitik diperoleh dari persamaan (12) untuk 𝑡 = 10 𝑠 . Selanjutnya, galat dari solusi-solusi numerik metode MacCormack terhadap solusi analitik untuk 𝑡 = 10 𝑠 yang disajikan pada Tabel 2 dihitung menggunakan norm galat 𝐿 1 dengan:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
‖Galat‖ 𝐿 1 = ∑|𝑆 𝑖 − 𝑆 𝑖 ̂ | 𝑁 𝑖=1
(13)
dengan 𝑆 adalah  solusi  numerik  dan 𝑆̂ adalah  solusi  analitik,  serta 𝑁 adalah  jumlah  grid.  Untuk persentase galat relatif 𝐿 1 dihitung dengan:
Galat relatif 𝐿 1 = ‖Galat‖ 𝐿 1 ‖𝑆̂‖ × 100%
(14)
Tabel  2  menunjukkan  bahwa  solusi  numerik  metode  MacCormack  konvergen  terhadap  solusi analitik yang dapat dilihat dari semakin kecil ∆𝑥 yang digunakan, maka galat relatif yang diperoleh akan semakin kecil menuju 0.

## 5.2. Kasus Dengan Solusi Eksperimen
Hasil dari eksperimen ini diperoleh dari penelitian Spinewine & Zech [16] yang dituliskan ulang  oleh  Juez,  dkk  [8].  Saluran  memiliki  panjang  6  m  dan  digunakan  untuk  menyimulasikan bendungan runtuh.  Pasir  yang  digunakan  pada  permukaan  dasar  berupa  pasir  kasar dengan 𝑑 50 = 1,82 𝑚𝑚 ,  kepadatan 𝜌 𝑠 = 2683 𝑘𝑔/𝑚 3 ,  porositas 𝜀 = 0,47 dan  koefisien  Manning 𝑛 = 0,0165 𝑠𝑚 −1/3 .
Tabel 3. Kondisi awal dari eksperimen
Eksperimen ke- ℎ 𝑘𝑖𝑟𝑖 (𝑚) ℎ 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 (𝑚) 𝑍 𝑏𝑘𝑖𝑟𝑖 (𝑚) 𝑍 𝑏𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 (𝑚) 1 0,35 0,00 0,00 0,00 2 0,25 0,10 0,10 0,00
Eksperimen  dilakukan  dengan  dua  kondisi  awal  yang  berbeda.  Keadaan  awal  eksperimen pertama berupa kasus bendungan runtuh dengan tipe permukaan dasar kering ( dry bed ) dan kondisi permukaan  dasar  yang  datar.  Eksperimen  kedua  berupa  kasus  bendungan  runtuh  dengan  tipe permukaan  dasar  basah  ( wet  bed )  serta  ketinggian  awal  permukaan  dasar  yang  berbeda.  Untuk detailnya dapat dilihat pada Tabel 3.
Simulasi  numerik  telah  dilakukan  menggunakan  metode  MacCormack  dengan ∆𝑡 = 0,0001 dan ∆𝑥 = 0,01 , serta menggunakan formula Meyer-Peter dan Muller (MPM) dan formula Wu  untuk  menentukan  faktor  Grass  pada  permukaan  dasar  sedimen.  Hasil  simulasi  metode MacCormack  akan  dibandingkan  dengan  hasil  eksperimen  dan  hasil  numerik  dari  penelitian sebelumnya yang menggunakan .
Tabel 4. Root mean square error (RMSE) dari solusi numerik yang diperoleh pada Eksperimen pertama (Hasil MPM dan Wu menggunakan metode MacCormack; Hasil Juez merupakan hasil penelitian sebelumnya [8])
T RMSE ketinggian air (𝒉 + 𝒁 𝒃 ) ( 𝒎 ) RMSE permukaan dasar (𝒁 𝒃 ) ( 𝒎) Juez MPM WU Juez MPM WU 0,25 0,0148 0,0117 0,0117 0,0043 0,0048 0,0047 0,50 0,0091 0,0071 0,0073 0,0053 0,0054 0,0054 0,75 0,0088 0,0077 0,0079 0,0061 0,0063 0,0063 1,00 0,0080 0,0060 0,0062 0,0050 0,0051 0,0052 1,25 0,0072 0,0051 0,0052 0,0063 0,0059 0,0061 1,50 0,0071 0,0056 0,0056 0,0055 0,0049 0,0050

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
Solusi numerik metode MacCormack untuk eksperimen pertama dapat dilihat pada Gambar 2.  Kedua  solusi  metode  MacCormack  yang  diperoleh  dari  formula  MPM  dan  formula  Wu menunjukkan  hasil  yang  baik  terhadap  solusi  eksperimen  pertama.  Analisis  galat  solusi-solusi metode  MacCormack  dan  solusi  penelitian  sebelumnya  terhadap  solusi  eksperimen  pertama menggunakan root  mean  square  error (RMSE)  untuk  ketinggian  permukaan  atas ℎ + 𝑍 𝑏 dan ketinggian  permukaan  dasar 𝑍 𝑏 dapat  dilihat  pada  Tabel  4.  Hasil  numerik  yang  diperoleh menggunakan  metode  MacCormack  serupa  dengan  solusi  numerik  yang  telah  diperoleh  dari penelitian  sebelumnya  yang  menggunakan  metode  volume  hingga.    Nilai  faktor damping yang digunakan pada eksperimen pertama adalah 𝜓 = 𝜔 = 0,04 dan 𝜁 = 0,02 .
Gambar 2 . Perbandingan antara solusi eksperimen pertama [16], solusi numerik metode volume hingga [8], dengan solusi metode MacCormack menggunakan formula MPM dan formula Wu untuk 𝑡 = 0,25 , 𝑡 = 0,5 𝑠 , 𝑡 = 0,75 𝑠 , 𝑡 = 1 𝑠 , 𝑡 = 1,25 𝑠 dan 𝑡 = 1,5 𝑠 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
Gambar 3 . Perbandingan antara solusi eksperimen kedua [16], solusi numerik metode volume hingga [8], dengan solusi metode MacCormack menggunakan formula MPM dan formula Wu untuk 𝑡 = 0,25 , 𝑡 = 0,5 𝑠 , 𝑡 = 0,75 𝑠 , 𝑡 = 1 𝑠 , 𝑡 = 1,25 𝑠 dan 𝑡 = 1,5 𝑠 .
Serupa dengan hasil sebelumnya, solusi metode MacCormack menggunakan formula MPM dan formula Wu juga mampu memberikan hasil yang baik pada eksperimen kedua. Analisis galat dari solusi numerik metode MacCormack dan solusi numerik penelitian sebelumnya terhadap solusi eksperimen kedua menggunakan root mean square error (RMSE) untuk ketinggian permukaan atas ℎ + 𝑍 𝑏 dan ketinggian permukaan dasar 𝑍 𝑏 dapat dilihat pada Tabel 5. Analisis galat pada Tabel 5 menunjukkan  kedekatan  solusi-solusi  metode  MacCormack  dan  solusi  numerik  penelitian sebelumnya  dengan  solusi  eksperimen  kedua.  Perbandingan  antara  simulasi-simulasi  numerik dengan  solusi  eksperimen dapat dilihat  pada  Gambar  3.  Solusi-solusi  metode MacCormack  untuk esksperimen  kedua  serupa  dengan  solusi  numerik  penelitian  sebelumnya  yang  menggunakan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
metode volume hingga. Pada  eksperimen kedua  nilai faktor damping yang digunakan adalah 𝜓 = 𝜔 = 0,004 dan 𝜁 = 0,02 .
Tabel 5. Root mean square error (RMSE) dari solusi numerik yang diperoleh pada Eksperimen kedua (Hasil MPM dan Wu menggunakan metode MacCormack; Hasil Juez merupakan hasil penelitian sebelumnya [8])
T RMSE ketinggian air (𝒉 + 𝒁 𝒃 ) ( 𝒎 ) RMSE permukaan dasar (𝒁 𝒃 ) ( 𝒎 ) Juez MPM WU Juez MPM WU 0,25 0,0124 0,0135 0,0135 0,0068 0,0075 0,0075 0,50 0,0167 0,0172 0,0172 0,0055 0,0062 0,0063 0,75 0,0168 0,0158 0,0158 0,0051 0,0052 0,0053 1,00 0,0161 0,0152 0,0152 0,0042 0,0043 0,0046 1,25 0,0103 0,0095 0,0095 0,0044 0,0042 0,0047 1,50 0,0120 0,0102 0,0100 0,0048 0,0044 0,0051

## 6. Kesimpulan
Pada  penelitian  ini  telah  ditunjukkan  penyelesaian  model  transpor  sedimen  satu  dimensi menggunakan  metode  MacCormack.  Formula  Meyer-Peter  dan  Muller  (MPM)  dan  formula  Wu digunakan  untuk  memformulasikan  laju  transpor  permukaan  dasar.  Persamaan  pembangun  model transpor sedimen didiskritisasi kedalam step prediktor dan step korektor dari metode MacCormack. Penambahan  bentuk damping pada  masing-masing  persamaan  pembangun  transpor  sedimen dilakukan  untuk  mengurangi  dispersi  numerik  untuk  meningkatkan  akurasi  dari  metode MacCormack.
Solusi  metode  MacCormack  telah  diuji  pada  kasus  dengan  solusi  analitik  maupun  pada kasus-kasus  eksperimen  yang  telah  dilakukan  pada  penelitian-penelitian  sebelumnya.  Metode MacCormack  mampu  memberikan  hasil  yang  konvergen  terhadap  solusi  analitik  model  transpor sedimen  1D.  Pada  kasus-kasus  eksperimen,  solusi  numerik  metode  MacCormack  menunjukkan kedekatan terhadap solusi-solusi eksperimen yang ditunjukkan dengan analisis galat menggunakan root mean square error (RMSE). Disamping itu, metode MacCormack juga memberikan hasil yang serupa  dalam  kasus  transpor  sedimen  1D  dengan  solusi  numerik  dari  penelitian  sebelumnya  yang menggunakan metode volume hingga.

## Daftar Pustaka
[1] Berthon, C., Cordier, O., & Le, M., 2012. An analytical solution of the shallow water system coupled to the Exner Equation. Comptes Rendus Mathematique, Elsevier Masson , 183-186.
[2] Castro  Diaz,  M.,  Fernandez-Nieto,  E.,  &  Ferreiro,  A.,  2008.  Sediment  transport  models  in shallow  water  equations  and  numerical  approach  by  high  order  finite  volume  methods. Computer & Fluids , 299-316.
[3] Erami, F. E., & Firoozjaee, A. R., 2019. Numerical solution of bed load transport equations using  dicrete  least  squares  meshless  (DLSM)  method. Applied  Mathematical  Modelling . 1095-1109.
[4] Firoozjaee,  A.R.,  &  Sahebdel,  M.,  2017.  Element-free  Galerkin  method  for  numerical simulation  of  sediment  transport  equations  on  regular  and  irregular  distribution  of  nodes. Engineering Analysis with Boundary Elements . 108-116.
[5] Gunawan, P., & Lhebrard, X., 2015. Hydrostatic relaxation scheme for the 1d shallow water - exner equations in bedload transport. Computers & Fluids , 44-50.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Irfan Said, Agustinus Ribal, Khaeruddin
[6] Hoffmann, K., & Chiang, S., 2000. Computational fluid dynamics (Vol. I) . Wichita, Kansas: Engineering Education System.
[7] Hudson,  J.,  &  Sweby,  P.,  2003.  Formulations  for  numerically  approximating  hyperbolic systems governing sediment transport. Journal of Scientific Computing , 225-252.
[8] Juez,  C.,  Murillo,  J.,  &  García-Navarro,  P.,  2014.  A  2D  weakly-coupled  and  efficient numerical model for transient shallow flow and movable bed. Advances in Water Resources , 93-109.
[9] Liu, X., & Beljadid, A., 2017. A coupled numerical model for water flow, sediment transport and bed erosion. Computers & Fluids , 273-284.
[10] MacCormack,  R.,  1969.  the  effect  of  viscosity  in  hypervelocity  impact  cratering. AIAA Hypervelocity Impact Confer ence, 69-354.
[11] Magdalena, I., & Pebriansyah, M., 2022. Numerical treatment of finite difference method for solving dam break model on a wet-dry bed withan obsatcle. Results in Engineering , 100382.
[12] Martinez-Aranda,  S.,  Murillo,  J.  &  Garcia-Navarro,  P.,  2019.  A  comparative  analysis  of capacity and non-capacity formulations for the simulation of unsteady flows over finite-depth erodible beds. Advances in Water Resources . 91-112.
[13] Martinez-Aranda, S., Murillo, J., & Garcia-Navarro, P., 2019. A 1D numerical model for the simulation of unsteady and highly erosive flows in rivers. Computers & Fluids , 8-13.
[14] Martinez-Aranda,  S.,  Murillo, J.,  &  Garcia-Navarro,  P.,  2021.  Comparison  of  new  efficient 2D  models  for  the  simulation  of  bedload  transport  using  the  augmented  Roe  approach. Advances in Water Resources , 103931.
[15] Said,  I.,  Ribal,  A.,  &  Mahie,  A.,  2017.  Numerical  investigation  of  long-wave  breaking  on even bottom with linear friction. Far East Journal of Mathematical Sciences , 595-606.
[16] Spinewine, B., & Zech, Y., 2007. Small-scle laboratory dam break waves on movable beds. Journal of Hydraulic Research , 73-86.
[17] Wu, W., 2007 . Computational river dynamics . London: Taylor & Francis.
[18] Zhang,  S.,  &  Duan,  J.,  2011.  1D  finite  volume  model  of  unsteady  flow  over  mobile  bed. Journal of Hydrology , 57-68.