## OPERATOR SELF ADJOINT PADA RUANG HILBERT

## Gunawan
Universitas Muhammadiyah Purwokerto, gun.oge@gmail.com
Abstract. In  this  article,  will  discuss  definition,  examples,  algebra  properties,  and  some characteristic  of  self-adjoint  operators  on  Hilbert  space.  In  the  Hilbert  space  there  are  types  of bounded  linear  operators  such  as  adjoint  operators  and  self-adjoint  operators.  To  investigate characteristic  of  self-adjoint  operator  required  concepts  of  Hilbert  space,  operators  on  Hilbert spaces,  Riesz  representation  theorem,  and  adjoint  operators  on  Hilbert  space.  It  then  takes  a thought  to  investigate  the  characteristic  of  self-adjoint  operators.  Discussion  of  self-adjoint operators more emphasis on understanding the definition, algebra properties, and characteristic of self-adjoint operators on Hilbert space. The results obtained are algebra properties of self-adjoint operators  such  as  addition,  subtraction,  scalar  multiplication,  and  multiplication  of  self-adjoint operators. In addition, some characteristic associated with self-adjoint operators on Hilbert space.
Keywords : Riesz representation theorem, adjoint operators, self adjoint operators, Hilbert space.
Abstrak . Pada artikel ini akan dibahas mengenai definisi, contoh, sifat- sifat aljabar, dan beberapa karakteristik  operator self  adjoint pada  ruang  Hilbert.  Pada  ruang  Hilbert  terdapat  jenis-jenis operator linear terbatas diantaranya operator adjoint dan operator self adjoint . Untuk menyelidiki karakteristik  operator self  adjoint diperlukan  konsep  ruang  Hilbert,  operator  pada  ruang  Hilbert, Teorema  representasi  Riesz,  dan  operator adjoint pada  ruang  Hilbert.  Hal  tersebut  kemudian membawa pemikiran untuk menyelidiki karakteristik operator self adjoint . Pembahasan mengenai operator self  adjoint lebih  ditekankan  pada  memahami  definisi,  sifat-  sifat  aljabar,  dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Hasil penelitian yang diperoleh adalah sifat- sifat  aljabar  operator self  adjoint diantaranya  sifat  penjumlahan,  pengurangan,  perkalian  dengan skalar, dan perkalian operator self adjoint . Selain itu, beberapa karakteristik yang berkaitan dengan operator self adjoint pada ruang Hilbert.
Kata kunci: teorema representasi Riesz, operator adjoint, operator self adjoint, ruang Hilbert.

## 1 Pendahuluan
Di  dalam  analisis  khususnya  analisis  fungsional,  beberapa  ruang  yang  sering dibicarakan  adalah  ruang linear ,  ruang  bernorma,  ruang  Banach,  ruang    pre- Hilbert,  dan  ruang  Hilbert.  Ruang  pre-Hilbert  merupakan  ruang linear X yang dilengkapi  dengan  fungsi  yang  memetakan  setiap  anggota X X  ke  suatu bilangan  kompleks  dan  memenuhi  aksioma-aksioma  tertentu.  Fungsi  inilah  yang kemudian  dikenal  dengan  produk  skalar  ( inner  product )  pada X .  Ruang  pre- Hilbert  yang lengkap disebut  ruang Hilbert.  Pemetaan dari suatu  ruang linear ke ruang linear yang  lain  atau  dari  suatu  ruang linear ke  ruang linear yang  sama disebut operator. Diberikan ruang Hilbert X dan Y atas lapangan yang sama, yaitu F .  Lapangan F yang  dimaksud  pada  tulisan  ini  adalah atau .  Operator
: T X Y  dikatakan linear jika  untuk  setiap
, x y X  dan F   berlaku
( ) ( ) ( ) T x y T x T y    dan ( ) ( ) T x T x    .  Operator  linear : T X Y  dikatakan
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
terbatas jika terdapat konstanta 0 M  sehingga ( ) T x M x  untuk setiap x X  . Himpunan  semua  operator  linear  terbatas  dari X ke Y ditulis   , B X Y .  Lebih lanjut, dalam hal X = Y ,   , B X X dituliskan     atau
B X B Y .
Diberikan ruang Hilbert H atas lapangan F , himpunan semua operator linear terbatas  dari H ke H ditulis   B H ,  dan ( ) T B H  .  Lapangan F yang dimaksudkan di tulisan ini adalah   (bilangan kompleks). Operator linear kontinu T yang  memiliki  sifat * T T  dengan *
T adjoint operator T disebut  sebagai operator  positif.  Pada  ruang  Hilbert  terdapat  jenis-jenis  operator linear terbatas diantaranya  operator adjoint dan  operator self  adjoint .  Untuk  menyelidiki karakteristik operator self adjoint diperlukan konsep ruang Hilbert, operator pada ruang  Hilbert,  teorema  representasi  Riesz,  dan  operator adjoint pada  ruang Hilbert.
Hal  tersebut  kemudian  membawa  pemikiran  untuk  menyelidiki  karakteristik operator T yang memiliki sifat * T T  dengan *
T adjoint operator T . Pembahasan mengenai karakteristik operator self adjoint pada tulisan ini, lebih ditekankan pada memahami definisi, sifat- sifat aljabar, dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Rumusan masalah yang dibuat adalah bagaimana karakteristik atau sifat-sifat  operator self  adjoint .  Dalam  penelitian  ini  hanya  dibatasi  pada  ruang Hilbert.  Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  memberikan  pemahaman  dan pengetahuan  mengenai  sifat-  sifat  dan  karakteristik  operator self  adjoint pada ruang  Hilbert.  Pembahasan  mengenai  operator self  adjoint pada  ruang  Hilbert bermanfaat  membantu  mengembangkan  ilmu  matematika  dan  aplikasinya, khususnya analisis fungsional.
Pembahasan  tentang  operator self  adjoint pada  ruang  Hilbert  diawali  dengan pendefinisian  teorema  representasi  Riesz,  operator adjoint ,  dan  operator self adjoint ,  kemudian  dilanjutkan  dengan  pembahasan  mengenai  karakteristik operator self  adjoint pada  ruang  Hilbert.  Dalam  pendefinisian  operator adjoint diperlukan  penjelasan  mengenai  teorema  representasi  Riesz.  Untuk  pembahasan tentang konsep ruang Hilbert, operator adjoint , dan operator self adjoint diacu dari buku  [3],  [4],  dan  [1].  Selanjutnya,  dalam  pembahasan  mengenai  operator  pada ruang  Hilbert  diperlukan  penjelasan  mengenai  konsep  konsep  pemetaan linear kontinu pada ruang bernorma diacu dari buku [3] dan [4]. Selanjutnya, [1] dalam bukunya  secara  lengkap  membahas  tentang  operator  pada  ruang  Hilbert. Pembahasan mengenai karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert diacu dari buku [2] dan [4].

## 2 Hasil dan Pembahasan
Pada bab ini dibahas tentang definisi, contoh, sifat-sifat aljabar, dan karakteristik operator self adjoint pada ruang Hilbert. Untuk menyelidiki karakteristik operator self  adjoint pada  ruang  Hilbert,  terlebih  dahulu  akan  disampaikan  mengenai teorema  representasi  Riesz,  operator adjoint ,  dan  beberapa  sifat  operator self adjoint pada ruang Hilbert.

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan

## 2.1 Operator Adjoint Pada Ruang Hilbert
Untuk  dapat  mendefinisikan  operator adjoint ,  dalam  sub-bab  berikut  terlebih dahulu dibahas mengenai eksistensi representasi Riesz. Selain itu, dalam sub-bab berikut  dipahami  bahwa   B H adalah  himpunan  semua  operator linear terbatas pada ruang Hilbert H .
Teorema  1  ( Teorema  Representasi  Riesz) . Diketahui  H  ruang  Hilbert.  Jika  T sebarang  fungsional  linear  terbatas  pada  H  maka  terdapat  dengan  tunggal sehingga  ( ) , , y H T x x y x H     . Bukti: Diketahui T sebarang fungsional linear terbatas. Misalkan
  ( ) : ( ) 0 A N T x H T x     .  Diperoleh A ruang  bagian  tertutup H .  Karena A ruang bagian tertutup dari H , maka H A A    . Selanjutnya,
1) Jika T = O maka diambil y   sehingga teorema terbukti.
2) Jika T O  maka A H  .  Karena  jika A  =  H maka  untuk  sebarang x H  berakibat T = O . Oleh karena itu, A H  maka   A    . Jadi, dapat diambil
  \ z A    . Karena   A A     maka ( ) T z   . Dibentuk 2 ( ).
T z z y A
z    ,
diperoleh :
2 2 ( ). ( ) , , , ( )
T z z T z z y z z z T z z z    .
Untuk , maka , ( ). y A y y y T y      Untuk x H  , x dapat  ditulis sebagai ( ) ( ) ( ) ,  dengan A, sebab ( )
( ) ( )
( ) ( )
= ( ) ( ) 0. ( ) ( ) T x T x T x x y x y x y T y T y T y T x T x x y T x T y T y T y
                       
  Karena ( ) ( ) T x x y T y        orthogonal terhadap y , maka :
( ) , 0 ( ) ( ) , , 0 ( )
( ) , , ( ) , ( ) T x x y y T y T x x y y y T y T x x y y y T y
x y T x     
 
 
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Diperoleh ( ) , , T x x y x H    . Selanjutnya akan dibuktikan y tunggal. Diambil
sebarang ' y H  maka ( ) , ' , . T x x y x H    Karena ( ) , T x x y  maka  untuk setiap x H  diperoleh:
, , '
, , ' 0
, ' 0
' 0 '
x y x y x y x y
x y y y y y y 
  
  
    
Jadi, y tunggal. Dengan demikian ( ) , , T x x y x H    . ■
Teorema 2. Diketahui H dan K ruang Hilbert. Untuk setiap : T H K  operator linear  kontinu,  maka  terdapat  dengan  tunggal  operator  linear  kontinu
* : T K H  sehingga untuk setiap x H  dan y K  , berakibat
* ( ), , ( ) T x y x T y  .
Bukti:
Diambil  sebarang ( , ) dan . c T L H K y K   Dibentuk  fungsional y  pada H dengan ( ) ( ), , . y x T x y x H     Fungsional y  merupakan  fungsional linear kontinu pada H sebab:
1) Untuk setiap 1 2 , dan skalar x x H   diperoleh:
  1 2 1 2 1 2 1 2 ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) y y y x x T x x y T x y T x y x x
          dan   1 1 1
1 ( ), ( ), ( )
y y x T x y T x y x        
2) Untuk setiap x H  diperoleh:
( ) ( ),
( ) y x T x y
T x y T x y    
Karena  untuk  setiap y K  , y  merupakan  pemetaan linear kontinu  pada H, maka menurut Teorema 1, terdapat dengan tunggal ' y H  sehingga untuk setiap x H  berlaku ( ) , ' y x x y   .  Berarti  jelas  bahwa  untuk  setiap y K  menentukan  dengan  tunggal ' y H  .  Jadi  terdapat  operator * : T K H  dengan
* ( ) ', T y y y K    . Oleh karena itu diperoleh :
* ( ) ( ), , ' , ( ) y x T x y x y x T y
   
Jelas bahwa * T tunggal. Selanjutnya, operator * T linear dan kontinu, sebab :
1) Untuk setiap 1 2 , , ,  dan  ,  skalar y y K x H     diperoleh:
2) Untuk setiap x H  diperoleh:
* 1 2 1 2 1 2 * * 1 2 * * * * * * 1 2 1 2 , ( ) ( ),
= ( ), ( ), = ( ), ( ),
= , ( ) , ( ) , ( ) , ( )
x T y y T x y y T x y T x y
T x y T x y
x T y x T y x T y x T y
           
       
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
a. Jika x   maka,
2 * * * * * 0 ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) 0. T T T TT T T            
b. Jika x   maka,
2 * * * *
*
* ( ) ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ) . T x T x T x x TT x T x T x T x T x      Diambil M T  . Diperoleh 0 M  , sehingga * ( ) . T x M x  Jadi, * T terbatas.
Dengan  demikian,  terbukti  bahwa  untuk  setiap ( , ) c T L H K  terdapat  dengan tunggal * ( , ) c T L K H  sehingga:
* ( ), , ( ) , dan . T x y x T y x H y K     ■
Definisi 1. Operator linear kontinu * T seperti yang dijelaskan pada Teorema 2.2 disebut operator adjoint dari T.
Setelah disampaikan mengenai operator adjoint , berikut ini akan dibahas sifat- sifat operator adjoint pada ruang Hilbert.
Teorema 3. Diketahui H dan K ruang Hilbert. Jika   , , c S T L H K  dan λ skalar,
maka pernyataan- pernyataan berikut ini berlaku.
a. * ( ), , ( ) T y x y T x  , untuk setiap , x H y K   b.   * * * S T S T    c.   * * * T T    d.   * * T T 
Bukti:
a. Diambil sebarang , x H y K   .
* * ( ), , ( ) ( ), , ( ) . T y x x T y T x y y T x
  
b. Diambil sebarang x H  * * * * * ( ) ( ), , ( )( )
, ( ) ( ) = , ( ) , ( ) ( ), ( ), ( )( ), .
S T x x x S T x x S x T x x S x x T x S x x T x x S T x x
          Jadi, * * * ( ) . S T S T   
c. Diambil sebarang x H  .
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
* * * * * * ( ) ( ), , ( ) , ( ) ( ), ( ) , . T x x x T x x T x T x x T x x         
Jadi, * * * ( ) . T T   
d. Diambil sebarang x H  .
* * * ( ) ( ), , ( ) ( ), . T x x x T x T x x  
Jadi, * * ( ) . T T  ■
Teorema  4. Diketahui  H,  K,  dan  L  ruang  Hilbert.  Jika
  , c T L H K  dan   , c S L K L  maka   * * * ST T S  .
Bukti:
Diambil sebarang x H  .
* * * * ( ) ( ), , ( ) ( ), ( ) ( ), . ST x x x ST x S x T x T S x x   
Jadi, * * * ( ) . ST T S  ■

## 2.2 Karakteristik Operator Self Adjoint Pada Ruang Hilbert
Berikut  ini  akan  disamapaikan  mengenai  karakteristik  operator self  adjoint pada ruang  Hilbert.  Pembahasan  mengenai  karakteristik  operator self  adjoint lebih difokuskan  pada  definisi,  sifat-  sifat  aljabar,  dan  sifat-  sifat  lain  yang  berkaitan dengan operator self adjoint pada ruang Hilbert.
Definisi 2. Diketahui H ruang Hilbert dan ( ) T B H  . Operator T dikatakan self- adjoint jika * T T  .
Teorema  5. Diketahui  H  ruang  Hilbert  dan , ( ) S T B H  .  Jika  S,  T  self  adjoint maka 1) S T 
2) , T   
3) ,  dengan ST ST TS 
masing- masing merupakan self adjoint.
Bukti:
1) Diambil sebarang x H  . * * * * * * * ( )( ), ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) , ( ) = , ( ) , ( ) ( ), ( ), ( ) , ( ) , S T x x S x T x x S x x T x x x S x x T x x S x x T x S x x T x x S T x x S T x x              
Jadi, * ( ) S T S
T    . Dengan demikian, S T  self adjoint.
2) Diambil sebarang x H  .
  * * *
* * *
, , , , ( ), ( ) , Tx x x T x x T x x Tx T x x T x x           
Jadi, * ( ) T T    . Dengan demikian, T  self adjoint.
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
3) Diambil sebarang x H  . * * *
* ( ), ( ), ( ) , , ( ) , ( ) ( ) ( ), ST x x T x S x x T S x x TS x x ST x ST x x      Jadi,   * ST ST  . Dengan demikian, ST self adjoint. ■ Teorema  6. Diketahui  H  ruang  Hilbert  dan ( ) T B H  .  Pernyataan-  pernyataan berikut ekuivalen:
1) T self adjoint 2) ( ), , ( ) , , T x y x T y x y H   
3) ( ), , ( ) , T x x x T x x H    4) ( ), bilangan real,
T x x x H   . Bukti:
1) 2)  Diambil sebarang , x y H  . Diperoleh:
* ( ), ( ), , ( ) T x y T x y x T y
  . Jadi, ( ), , ( ) , , T x y x T y x y H    .
2) 3)  Jelas dari yang diketahui.
3) 4)  Diambil sebarang x H  :
( ), , ( ) ( ), T x x x T x
T x x   . Diperoleh ( ), bilangan real T x x x H   .
4) 1)  Diambil sebarang x H  : * ( ), ( ), , ( ) ( ), T x x T x x x T x T x x    . Jadi, untuk setiap x H  , * T T  ( T self adjoint) . ■ 3 Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  di  atas,  kesimpulan  yang  dapat  diambil  adalah  jika diberikan H ruang  Hilbert  atas  lapangan F ,  maka  operator linear kontinu T dikatakan self  adjoint apabila  operator T memenuhi  sifat * T T  ,  dengan * T operator adjoint T .  Lebih  lanjut,  apabila   dan , ( ) S T B H  self  adjoint ,  maka
      , , dan T
ST
S T   merupakan operator self adjoint . Selain itu, jika T operator self adjoint , maka ( ), T x x real, x H   .

## Daftar Pustaka
[1]  Berberian,  S.K.    1961. Introduction  to  Hilbert  Spaces .  Oxford  University Press. New York.
[2]   Furuta,  T.  2002. Invitation  to  Linear  Operators .  Taylor  and  Francis.  New York.
[3]   Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley and Sons. New York.
[4]   Weidmann,  J.  1980. Linear  Operators  in  Hilbert  Spaces .  Springer-Verlag. New York.