Journal of Didactic Mathematics 2023, 4(2), 65-76 Doi: 10.34007/jdm.v4i2.1851 https://mahesainstitute.web.id/ojs2/index.php/jdm journalofdidacticmathematics@gmail.com
Ways of thinking siswa dalam menyelesaikan masalah pola bilangan non rutin: Suatu penelitian fenomenologi hermeneutik
Aiyub*
Department of Mathematics Education, Universitas Islam Negeri Ar-Raniry, Banda Aceh, Indonesia, 23111
* Corresponding Author : aiyub@ar-raniry.ac.id
Abstract. This  study  was  conducted  with  the  aim  of  investigating  and  exploring students' ways of thinking (WoT) in solving non-routine number pattern problems.
This  study  used  a  qualitative  method  with  a  hermeneutic  phenomenological approach with grade 8 students at a junior high school in Banda Aceh. To achieve the  research  objectives,  data  collection  was  carried  out  using  a  written  test instrument  with  a  number  pattern  on  a  4-digit  palindrome,  structured documentation, and clinical interviews. The results of the study show that students' WoT  in  solving  non-routine  number  pattern  problems  is  that  there  are  four approaches  used  in  solving  non-routine  problems,  namely:  first,  determining  the special case; second, determining the pattern; third, using a mathematical model; and fourth, using a similar problem. The subject of critical reflection uses the three WoTs above except for using similar problems. The subject of explicit reflection uses the three approaches above except for using a mathematical model. While Subjects who cannot solve the problem only use the strategy of identifying special cases. Another finding is that the subject of critical reflection tends to use different strategies from those  given  by  the  teacher,  is  unique,  and  gives  reasons  for  algebraic  forms.  In contrast, explicit reflection subjects tend to be less flexible in using strategies and tend to use inductive or arithmetic reasons. To support students in their ability to pattern  and  think  algebraically,  teachers  must  accustom  students  to  solving  non- routine  mathematical  problems  in  various  contexts  of  learning  by  using  number patterns.
Historis Artikel: Diterima: 30 Juni 2023 Direvisi: 25 Juli 2023 Disetujui: 07 Agustus 2023
Keywords: Ways of thinking; solution to problem; number patterns;
palindrome
Sitasi: Aiyub, A. (2023). Ways of thinking siswa dalam menyelesaikan masalah pola bilangan non rutin: Suatu penelitian fenomenologi hermeneutik. Journal of Didactic Mathematics , 4 (2), 65-76. Doi: 10.34007/jdm.v4i2.1851

## PENDAHULUAN
Belajar matematika dewasa ini bukan hanya untuk menguasai materi matematika, tapi juga harus dapat mengembangkan pola pikir siswa untuk dapat menyelesaikan masalah matematika dan masalah dalam kehidupan yang lebih luas. Hal ini sesuai dengan yang dikemukakan Harel ( 2008 ) bahwa  matematika  terdiri  atas  dua  subhimpunan  yang  saling  melengkapi  yaitu  pertama  adalah himpunan  semua Ways  of  Understanding (selanjutnya  disingkat  sebagai  WoU)  yaitu  koleksi  atau struktur yang terdiri atas aksioma, definisi, teorema, bukti, masalah, dan solusi; dan kedua terdiri atas semua Ways of Thinking (selanjutnya disingkat sebagai WoT) yang merupakan karakteristik aksi mental  yang  mana  produk  dari  subhimpunan  pertama.  Dimana  aksi  mental  yang  dimaksud merupakan elemen dasar kognisi manusia yang tidak hanya dalam sains atau matematika, namun ada di setiap kehidupan kita.
Beberapa  aksi  mental  siswa  dalam  belajar  matematika  seperti  menafsirkan,  menduga, menyimpulkan,  membuktikan,  menjelaskan,  menata,  menggeneralisasi,  menerapkan, memprediksi, mengklasifikasi, mencari, memecahkan masalah, dan sebagainya (Suryadi, 2019a ). Harel  ( 2008 )  mengatakan  WoT  merupakan  karakterisktik  dari  aksi  mental  meliputi  bagaimana seseorang  memecahkan  masalah,  bagaimana  menafsirkan  suatu  simbol  matematika,  bagaimana membuktikan suatu pernyataan, apakah fleksibel dan bisa menghubungkan ke beberapa konsep yang  lain  atau  infleksibel  dan  terpaku  pada  satu  konsep,  dan  sebagainya.  Sedangkan  WoU
merupakan  produk  dari  aksi  mental  yang  meliputi  solusi  dari  suatu  masalah,  bukti  dari  suatu pernyataan, interpretasi siswa terhadap suatu simbol, suatu masalah, atau suatu konsep.
Harel  ( 2008 )  mengatakan  bahwa  tindakan  mental  manusia  dapat  dipelajari  dengan mengamati pernyataan dan tindakannya. Pernyataan dan tindakan seseorang dapat menandakan produk kognitif dari tindakan mental yang dilakukan oleh orang tersebut. Produk semacam itu adalah  cara  pemahaman  orang  yang  terkait  dengan  tindakan  mental  itu.  Pengamatan  berulang terhadap cara pemahaman seseorang yang terkait dengan tindakan mental yang diberikan dapat mengungkapkan  karakteristik  kognitif  tertentu  dari  tindakan  tersebut.  Karakteristik  seperti  itu disebut sebagai cara berpikir yang terkait dengan tindakan itu. Suryadi ( 2019a ) menggambarkan hubungan  antara  aksi  mental,  WoU,  dan  WoT  sebagai  model Triadic Aksi  Mental-WoT-WoU. Dimana aksi mental yang dilakukan siswa akan mewarnai WoT, WoT yang terbentuk pada siswa akan memfasilitasi proses terbentuknya WoU, selanjutnya WoU yang terbentuk pada siswa akan memperbaiki aksi mental yang dapat dilakukan siswa berikutnya.
Lebih lanjut, perbedaan antara WoU dan WoT dijelaskan oleh Harel ( 2008 ) melalui tiga aksi mental yaitu interpreting act (menafsirkan), problem solving act (memecahkan masalah), dan proving act (membuktikan). Ditinjau dari tindakan menafsirkan (interpreting act) , WoT meliputi bagaimana siswa menafsirkan, apakah fleksibel (multi interpretasi dan dapat menghubungkan dengan konsep lain) atau  infleksibel  (terpaku  pada  suatu  konsep),  apakah  referensial  (dapat  dihubungkan  dengan kenyataan) atau nonreferensial (tidak dapat dihubungkan dengan kenyataan), atau apakah siswa dapat  melakukan  manipulasi  aljabar.  Sedangkan WoU  meliputi  suatu  interpretasi  atau  arti  yang diberikan siswa terhadap suatu masalah, konsep, ataupun simbol.
Alasan  mengapa  WoT  siswa  begitu  menarik  untuk  diselidiki?  Pembelajaran  matematika kenyataannya berpikir matematis siswa tidak fokus pada kinerja tetapi pada preferensi individu. Pendekatan ini didasarkan pada teori WoT  (Harel, 2008 ). Bagi Harel WoT adalah karakteristik kognitif dari tindakan mental. Karakteristik seperti itu selalu disimpulkan dari pengamatan cara pemahaman produk kognitif dari tindakan mental. Ini bukan kemampuan, melainkan cara yang lebih disukai atau lebih akrab untuk menggunakan kemampuan yang dimiliki seseorang. Sebuah WoT mengacu pada bagaimana seseorang suka melakukan sesuatu. Dalam pengertian ini,  WoT tidak dikaitkan dengan seberapa baik sesuatu dilakukan, tetapi cara seseorang menyukai sesuatu untuk dilakukan. Dua kategori pengetahuan matematika yaitu WoT dan WoU sangat diperlukan dalam  konteks  kajian  pembelajaran  matematika  (Suryadi, 2019a ).  Dintinjau  dari  tindakan pemecahan  masalah (problem  solving  act) maka  WoT  yang  bersesuaian  adalah  bagaimana  siswa memilih pendekatan pemecahan masalah yang dimulai dari bagaimana menyederhanakan masalah, lalu menemukan kemungkinan yang dapat menjadi suatu solusi masalah, menemukan representasi yang cocok untuk masalah tersebut, atau bahkan menggunakan kata kunci dari masalah. Sedangkan WoU yang bersesuaian adalah solusi dari suatu masalah tersebut (Harel 2008 ; Suryadi, 2019a ). Pendekatan atau strategi (WoT) yang digunakan siswa dalam menyelesaikan suatu masalah, erat  kaitannya  dengan proses reflective  inquiry yaitu  proses  berpikir  yang  melibatkan pengalaman terdahulu dalam memahami asumsi dan implikasi suatu masalah. Dimana proses reflective inquiry ini dapat terjadi pada tiga level yaitu implicit reflection, explicit reflection, dan critical refletion (Suryadi, 2019b ). Suryadi menjelaskan, ketika seseorang berhadapan dengan suatu masalah, kemudian berpikir dan merujuk pada pengalaman, pengetahuan sendiri sampai ditemukan solusi dari masalah tersebut, maka  proses  tersebut  merupakan implicit  reflection ,  suatu  proses reflection level  pertama.  Selanjut seringkali seseorang dihadapkan pada suatu masalah yang tidak bisa diselesaikan dengan merujuk pada pengalaman dan pengetahuan sendiri. Pada situasi seperti ini, seseorang biasanya mencari informasi dari luar dirinya, dengan mengkaji pengetahuan eksplisit dari literatur juga berdiskusi dengan beberapa pihak  lain di lingkungannya sampai diperoleh jawaban atau solusi yang dicari. Proses ini dikenal sebagai explicit reflection , yang merupakan proses reflektif level dua. Adakalanya proses  pencarian  solusi  atas  masalah  yang  dihadapi  menemui  jalan  buntu.  Situasi  seperti  ini biasanya digambarkan sebagai “situasi kritis”, seperti keadaan sebuah kurva antara naik dan turun, atau antara naik dan lebih naik lagi. Pada situasi seperti itulah seseorang melakukan critical reflection ,
suatu proses reflective yang memicu daya kreatif manusia sampai ditemukan jawaban baru, yang tidak didasarkan atas pengetahuan eksplisit yang telah ada sebelumnya.
Berdasarkan  permasalahan  di  atas  penelitian  ini  akan  mengkaji  WoT  siswa  dalam menyelesaikan  masalah  pola  bilangan  non  rutin  berdasarkan  proses reflective  inquiri. Adapun pertanyaan dalam penelitian ini adalah bagaimanakah WoT siswa dalam menyelesaikan masalah pola bilangan non rutin?

## METODE
Jenis penelitian ini adalah penelitian kualitatif dengan menggunakan pendekatan Interpretasive Phenomenological  Analysis (IPA)  yang  bertujuan  untuk  memaknai  dan  menginterpretasi  suatu fenomena berdasarkan pengalaman manusia (Eatough & Smith, 2017 ). Di mana IPA berhubungan erat  dengan  fenomenologi  dan  hermeneutik  yang  berfokus  pada  pengalaman  seseorang. Sebagaimana dikatakan Ricoeur ( 1986 ) perlu memadukan kajian pengalaman dan kajian makna dan pemaknaan  dengan  pengalaman  tersebut  karena  saling  melengkapi.  Hal  ini  dipilih  untuk mengungkapkan  ragam  makna  dan  mendeskripsikan  proses  berpikir  matematis  siswa  dalam menyelesaikan  masalah  matematis  non  rutin  materi  pola  bilangan.  Adapun  kerangka  kajian penelitian ini berdasarkan Theory of  Situation Didactical of Mathematics (Brousseau, 2002 ). Penelitian ini dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2021/2022 dengan melibatkan sebanyak 30 siswa kelas 8 pada salah satu SMP di Banda Aceh. Penelitian ini menggunakan dua instrumen utama untuk mengumpulkan data yang dibutuhkan seperti soal tes tertulis masalah pola bilangan non rutin dan pedoman wawancara klinis semi terstruktur untuk menggali WoT dalam menyelesaikan masalah pola bilangan. Adapun masalah pola bilangan yang diberikan kepada siswa dalam penelitian yaitu masalah palindrom 4 angka seperti berikut ini:
“ Angka seperti 1331 disebut palindrom karena dapat dibaca sama baik dari depan maupun dari belakang. Seorang teman anda menyatakan bahwa semua palindrom 4 angka habis dibagi 11. Benarkah pernyataan teman anda tersebut? ”
Teknik  analisis  data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  berdasarkan  tahapan  yang dikembangkan  oleh  Creswell  ( 2007 )  yaitu data  managing,  reading-memoing,  describing-clasifying- interpreting,  dan representing-visualizing . Data  managing ,  yaitu  mengatur  data  ke  dalam file komputer untuk dianalisis, mentranskrip data rekaman dan wawancara siswa, dan mengetik catatan observasi. Reading-memoing yaitu membaca dan memaknai data yang terkumpul serta memberi mencatat atau memo di pinggir catatan lapangan atau transkrip atau di bawah foto untuk membantu dalam proses awal eksplorasi data. Describing-clasifying-interpreting, yaitu membentuk kode atau kategori mewakili inti dari analisis data. Peneliti membangun deskripsi rinci, mengembangkan tema atau dimensi, dan memberikan interpretasi berdasarkan pandangan mereka sendiri atau pandangan perspektif dalam literatur. Representing-visualizing , yaitu merepresentasikan hasil analisis data dalam bentuk teks, tabel, atau gambar.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari analisis hasil tes dan wawancara siswa dalam menyelesaikan masalah pola bilangan non rutin  dapat  diidentifikasi  empat  WoT  siswa  yaitu: (i) menentukan  apa  yang  diketahui,  yang ditanyakan, dan informasi yang diperlukan; (ii) mengidentifikasi pola atau aturan; (iii) menggunakan model matematika, dan; iv) menyelesaikan dengan  menggunakan masalah yang mirip. Dimana ke empat  WoT  siswa  tersebut  dapat  dikelompokkan  ke  dalam  tiga  kategori  siswa  yaitu  pertama kelompok siswa yang dapat menyelesaikan masalah secara unik (c ritical Reflection); kedua kelompok siswa yang dapat menyelesaikan masalah dengan bantuan scaffolding (explicit reflection), dan; ketiga kelompok  siswa  yang  tidak  dapat  menyelesaikan  masalah  yang  diberikan.  Pengkategorian  ini dilakukan karena WoT siswa sangat dipengaruhi oleh proses reflective inquiry yang dapat dilakukan siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  non  rutin  pola  bilangan  (Aiyub  et  al., 2022 ;  Aiyub, 2023 ;
Suryadi, 2019b ).  Berikut  paparan  data  ke  empat  WoT  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah matematis  palindron  4  yang  diberikan  di  mana  S1  (subjek  pertama)  mewakili  siswa  kategori kelompok critical refection ; S2 (subjek kedua) mewakili siswa kategori kelompok explicit reflection ; dan S3 (Subjek tiga) mewakili siswa kelompok yang tidak dapat menyelesaikan masalah.

## Mengidentifikasi kasus khusus dari yang masalah ditanyakan
Berdasarkan analisis hasil respon yang diberikan ketiga kategori siswa dalam menyelesaikan masalah pola bilangan non rutin memberikan respon dengan mengidentifikasi kasus khusus dari masalah yang diberikan. Ketiga kategori subjek penelitian memberikan contoh kasus khusus dari bilangan palindrom 4  angka untuk  ditunjukkan  habis  dibagi  11.  Mengidentifikasi  kasus khusus merupakan salah satu strategi atau pendekatan yang disering digunakan siswa dalam menyelesaikan masalah   (Herman, 2000 ;  NCTM 2000 ;  Polya, 1985 ).  Berikut ini  adalah  respon  yang  diberikan subjek S1 dari kategori kelompok critical reflection dalam menyelesaikan masalah palindrom 4 angka dengan mengidentifikasi dua contoh kasus khusus palindrom 4 angka yaitu 1221 dan 2442 yang menunjukkan habis dibagi 11.

## Gambar 1. WoT S1 dalam mengidentifikasi kasus khusus
Berdasarkan respon yang diberikan subjek S1 pada gambar 1 di atas menunjukkan subjek dapat memberikan kasus khusus dari palindrom 4 angka yang habis dibagi 11 dengan memberikan contoh  palindrom  4  angka  1221  dan  2442.  Selanjutnya  subjek  S1  mencoba  melihat  ke  dua palindrom 4 angka yang dipilih apakah habis dibagi 11? Berdasarkan kasus khusus yang dipilih S1 menunjukkan kedua palindrom tersebut yang dipilih ternyata dapat dibagi 11. Dimana palindrom 1221 dibagi 11 hasilnya 111, dan palindrom 2442 dibagi 11 hasilnya 222.
Seperti  halnya  Subjek  S1,  Subjek  S2  juga  menggunakan  strategi  penyelesaian  masalah palindrom ini dimulai dengan mengidentifikasi contoh khusus dari masalah palindrom 4 angka. Berikut respon S2 dalam mengidentifikasi kasus kusus dalam menyelesaikan masalah pola bilangan non rutin.
Gambar 2. WoT S2 dalam mengidentifikasi kasus khusus dalam menyelesaikan masalah Berdasarkan  respon  yang  diberikan  S2  pada  gambar  2  di  atas  menunjukkan  subjek  S2 mengidentifikasi kasus khusus dengan memilih tiga contoh palindrom 4 angka yaitu 1221, 2112,
4224. Selanjutnya subjek mencoba melihat ke empat palindrom 3 angka yang dipilih apakah habis dibagi  11?  Berdasarkan  kasus  khusus  yang  dipilih  subjek  S2  menunjukkan  ke  tiga  palindrom tersebut ternyata dapat dibagi 11.
Subjek S3 yang mewakili dari kelompok yang tidak dapat menyelesaikan masalah palindrom juga dapat mengidentifikasi kasus khusus dari palindrom 4 angka yang habis dibagi 11. Berikut ini respon  subjek  S3  saat  mengidentifikasi  kasus  khusus  untuk  menyelesaikan  masalah  dengan mengidentifikasi kasus khusus dari palindrom 4 angka.
Gambar 3. Respon S3 mengidentifikasi kasus khusus palindrom 4 angka yang habis dibagi 11 Berdasarkan respon yang diberikan S3 pada gambar 3 di atas menunjukkan subjek S3 dapat mengidentifikasi kasus khusus memilih dua contoh palindrom 4 angka yaitu 1221 dan 3883 dan menunjukkan bahwa kedua palindrom yang dipilih dapat dibagi atau habis dibagi 11.
Mengidentifikasi pola
Pendekatan atau strategi mengidentifikasi pola/aturan dari masalah palindrom 4 angka dapat digunakan oleh subjek S1 dan S2. Mengidentifikasi pola atau aturan merupakan salah satu strategi atau pendekatan yang disering digunakan siswa dalam menyelesikan masalah non rutin  (Herman, 2000 ;  NCTM 2000 ;  Polya, 1985 ).  Subjek  S1  dapat  mengidentifikasi  bahwa  palindrom  4  angka mempunyai pola yaitu angka pertama sama dengan angka ke empat merupakan kelipatan dari 11. Selanjutnya angka ke dua sama dengan angka ke tiga juga merupakan kelipatan dari 11. Sehingga S1 berkesimpulan bahwa karena angka pertama dan ke empat kelipatan 11 dan angka kedua dan ketiga kelipatan 11, maka palindrom 4 angka habis dibagi 11.
Gambar 4. Pendekatan mengidentifikasi pola S1 dalam menyelesaikan masalah pola bilangan Berdasarkan respon yang dicantumkan pada gambar di atas menunjukkan bahwa  subjek S1 menyelesaikan  masalah  pola  bilangan  dengan  menggunakan  pola  atau  aturan  yang  dapat diidentifikasi pada palindrom 4 angka. Subjek S1 mengatakan bahwa “angka pertama sama dengan angka ke empat dan merupakan kelipatan 11, sedangkan angka kedua sama dengan ke tiga dan
merupakan kelipatan 11” Berikut kutipan wawancara dengan S1 untuk menggal i informasi tentang strategi  penyelesaian  masalah  dengan  mengidentifikasi  pola  atau  aturan  yang  digunakan  pada masalah pola bilangan.
P : “Untuk masalah yang ke dua ini, S1 menggunakan pola apa ini?” S1  : “… Pada masalah ini, saya lihat angka pertama dan ke empat sama pak, berarti ini kelipatan dari 11. Begitu juga untuk angka kedua sama dengan angka ke tiga, berarti juga kelipatan 11”
P : “…Lalu apa gunanya pola ini untuk menunjukkan palindrom habis dibagi 11?” S1  : “…Iya karena angka -angka bisa dilihat kelipatan dari 11, sehingga palindrom 4 angka dapat dibagi 11 pak!”
Sedangkan S2 dapat menggunakan pola yang berlaku pada masalah pola bilangan. Ia dapat merumuskan pola dari suatu palindrom 4 angka dengan bantuan scaffolding dari peneliti. Berikut respon subjek S2 dalam menggunakan pola untuk menyelesaikan masalah pola bilangan setelah diberikan scaffolding .
Gambar 5. Respon S2 dalam menggunakan pola untuk menyelesaikan masalah pola bilangan Berdasarkan respon subjek S2 seperti yang dicantumkan pada gambar di atas menunjukan subjek dapat mengidentifikasi pola atau aturan yang terdapat pada palindrom 4 angka yaitu selisih satu palindrom dengan palindrom lainnya adalah 110, selain itu selisih palindrom paling besar pada suatu ribuan dengan palindrom terkecil dengan palindrom berikutnya adalah 11. Dalam tahap ini S2 memberi dua contoh seperti palindrom 2112 dikurangi 2002 hasilnya sama dengan 110, dan palindrom  1221  dikurangi  palindrom  1111  hasilnya  sama  dengan  11.  Dengan  pola  yang  dapat diidentifikasi  ini  S2  menyusun kalimat atau  pernyataan  matematika  dari panlindrom  2332  yang memiliki faktor 11.
Subjek  S3  juga  mencoba  untuk  mengidentifikasi  pola  dari  bilangan  palindrom  4  angka sehingga dapat ditunjukkan baha semua palindrom 4 angka dapat dibagi 11.  Berikut pola dapat diidentifikasi oleh subjek S3 dalam menunjukkan bahwa semua palindrom 4 angka habis dibagi 11.
Gambar 6. Respon S3 dalam mengidentifikasi pola menyelesaikan masalah palindrom 4 angka
Berdasarkan  respon  yang  berikan  subjek  S3  pada  gambar  6  di  atas  menunjukkan  bahwa subjek  S3  dapat  mengidentifikasi  salah  satu pola  dari  palindrom 4  angka  yaitu selisih  dari  satu palindrom ke palindrom selanjutnya adalah 110. Sedangkan untuk pola kelipatan dari 1001 tidak berhasil  diidentifikasi.  Berikut  adalah  kutipan  interaksi  Peneliti  dengan  S3  untuk  menggali informasi  tentang  pola  yang  dapat  diidentifikasi  oleh  subjek  S3  dalam  menyelesaikan  masalah palindrom 4 angka.
P : “ Bagaimana pola yang dapat dilihat dari bilangan palindrom 4 angka ?” S3  : “ Selisih satu palindrom ke palindrom berikutnya 110! ” P : “ Lalu bagaimana selisih palindrom paling besar dari suatu ribuan ke palindrom paling kecil dari ribuan berikutnya ?” S3  : “ 111 pak !” P : “…Coba diperiksa kembali, apa sudah benar hasilnya 111 ? ”
S3  : “ O iya 11 pak hasilnya !” P : “Lalu bilangan 1001 ini, polanya dari mana?” S3  : “Tidak tahu pak!
P : “Bagaimana  hubungan  palindrom  terkecil  dengan  palindrom  terkecil  pada ribuan selanjutnya?”
S3  : “Tidak tahu pak!” Berdasarkan respon yang diberikan dan kutipan hasil wawancara di atas menunjukkan subjek S3 belum dapat mengidentifikasi semua pola yang diperlu untuk dapat menunjukkan bahwa semua palindrom 4 angka habis dibagi 11. Hal ini menunjukkan subjek S3 belum dapat menyelesaikan masalah palindrom yang diberikan, sehingga dapat dikategorikan bagian dari kelompok siswa yang belum dapat menyelesaikan masalah.

## Membuat dan menggunakan model matematika
Setelah  dapat  mengidentifikasi  pola  atau  aturan  yang  berlaku  pada  palindorm  4  angka, selanjutnya subjek S1 menyusun suatu model matematika atau pernyataan matematika yang dapat dapat digunakan menujukkan semua palindrom 4 angka habis dibagi 11. Model matematika sering dipakai sebagai strategi untuk menyelesaikan masalah STEM (English, 2023 ). Seperti dicatat dalam beberapa  publikasi,  interdisipliner  sifat  pemodelan  matematika  membuatnya  ideal  untuk pemecahan masalah berbasis STEM (English, 2016 ; Maass, et al., 2019 ). Banyak definisi model dan pemodelan ada  dalam  literatur  (misalnya,  Brady et  al., 2015 ;  Muthukaruppan  et al., 2013 ). Untuk  artikel  ini, pemodelan  melibatkan pengembangan  inovasi  konseptual  dalam  menanggapi kebutuhan untuk menunjukkan palindrom 4 angka dalam habis dibagi 11. Pemodelan yang efektif membutuhkan  bergerak  melampaui  cara  berpikir  konvensional  yang  diterapkan  dalam  masalah sekolah yang khas (Lesh, et al., 2013 ) untuk memasukkan analisis kontekstual dan kritis. Berikut model matematika dapat disusun dan digunakan subjek S1 dalam menunjukkan bahwa palindrom 4 angka dapat ditunjukkan habis dibagi 11.
Gambar 7. Pendekatan memodelkan matematika S1 dalam menyelesaikan masalah pola bilangan
Berdasarkan respon yang dicantumkan pada gambar di atas menunjukkan bahwa  subjek S1 menyelesaikan masalah pola bilangan dengan menggunakan model matematika berdasarkan pola yang dapat diidentifikasi pada palindrom 4 angka. Berikut adalah kutipan wawancara dengan S1 untuk  menggali  informasi  tentang  strategi  penyelesaian  masalah  dengan  membuat  model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah palindrom 4 angka.
P : “ Bagaimana model matematika ini dapat disusun ?” S1  : “Model matematika dapat disusun dari contoh palindrom 2332 dapat disusun menjadi 2002 + 330 disusun menjadi (1001) 2 + (110)3 ” P : “…Lalu apa makna 11((91.n) + (10.a)) ?” S1  : “ Karena palindrom naan dapat ditunjukkan merupakan kelipatan 11, sehingga semua palindrom 4 angka dapat dibagi 11 pak!”
Berdasarkan respon yang diberikan dan kutipan hasil wawancara di atas menunjukkan subjek S1 dapat menyelesaikan masalah palindrom 4 angka dengan menggunakan alasan deduktif dalam bentuk  aljabar.  Hal  ini  dapat  dilakukan  subjek  S1  secara  unik  atau  kreatif  ,  sehingga  dapat dikategorikan bagian dari kelompok siswa critical refelction .

## Menyelesaikan dengan menggunakan masalah yang mirip
Pendekatan menyelesaikan dengan menggunakan masalah yang mirip digunakan salah satu subjek  S2  dalam  mengidentifikasi  syrategi  penyelesaian  masalah  palindrom  4  angka.  Hal  ini dilakukan subjek S2 dengan menggunakan konsep nilai tempat sehingga dapat ditunjukkan suatu palindrom 4 angka habis dibagi 11. Menggunakan masalah yang mirip merupakan salah satu strategi atau pendekatan yang dapat digunakan siswa dalam menyelesikan masalah (Herman, 2000 ; NCTM 2000 ; Polya, 1985 ). S2 dapat memberikan bukti aritmetika dalam menyelesaikan masalah palindrom 4 angka dengan bantuan scaffolding dari peneliti. S2 dapat menunjukkan semua palindrom 4 angka habis dibagi 11 dengan menggunakan nilai tempat dari suatu palindrom 4 angka. Berikut respon subjek S1 dalam memberikan bukti dalam menyelesaikan masalah pola bilangan.
Gambar 8. Respon S2 dalam menggunakan masalah yang mirip dengan konsep nilai tempat Berdasarkan  respon  yang  diberikan  S2  pada  gambar  8  di  atas,  menunjukkan  bahwa  S2 menjawab pertanyaan dari masalah palindrom 4 angka ini  dengan menggunakan argumen induktif dalam  bentuk  aritmetik  yaitu  dengan  menunjukkan  semua  palindrom  habis  dibagi  11  dengan menggunakan nilai tempat dari suatu palindrom 4 angka. Adapun solusi ini dapat dilakukan S2 dengan bantuan scaffolding dari peneliti.
Berikut  adalah  kutipan  interaksi  peneliti  dengan  S2  saat  memberikan scaffolding dalam menyelesaikan masalah non rutin palindro 4 angka.
P  : “Bisa dijelas kan nilai dari masing-masing posisi angka dari palindrom 2332 ?” S2  : “posisi angka 2 yang pertama bernilai ribuan, posisi angka pertama 3 bernilai ratusan dan 3 kedua bernilai puluhan, sedangkan posisi 2 yang kedua bernilai satuan ” P  : “Iya benar… Bisa dituliskan kalau dijabarkan seperti apa?” S2  :  Mencoba menjabarkan palindrom 2332 menjadi (1000)2 + (100)3 + (10)3 + (1)2 P  : “Baik.. Sekarang bagaimana bentuknya kalau yang mempunyai bilangan perkalian yang yang sama digabungkan?” S2  :  Mencoba menggabung menjadi (1001)2 + (110)3 P  : “Bisa dijabarkan angka 1001 dan 110 dalam bentuk perkalian dari 11?”
S2  :  Mencoba membagi angka 1001 dan 110 masing-masing dengan 11. P  : Berdasarkan hasil yang diperoleh, apa kesimpulannya yang dapat diambil?” S2  : “Semua  palindrom  4  angka  dapat  ditunjukkan  memiliki  faktor  11,  ini  menunjukkan bahwa semua pilndrom 4 angka habis dibagi 11
Berdasarkan respon yang diberikan subjek S2 dan kutipan interaksi peneliti dengan subjek S2 dalam membantu menyelesaikan masalah bilangan palindrom 4 angka, menunjukkan subjek S2 dapat  dikategorikan  bagian  dari  kelompok  siswa  yang  dapat  menyelesaikan  masalah  non  rutin dengan bantuan dari peneliti (explicit reflection).
Berikut  ini  rekapitulasi  hasil  analisis  data  penelitian  menurut  kategori  kelompok  subjek penelitian  berdasarkan  proses reflective  inquiri yang  dapat  dilakukan  siswa  dalam  menyelesaikan masalah non rutin pola bilangan.
Tabel 1. Rangkuman WoT berdasarkan kelompok siswa
No Subjek Penelitian Kategori Kelompok Masalah Pola Bilangan 1 Subjek 1 (S1) Critical Reflection 1. Mengidentifikasi kasus khusus dari yang masalah ditanyakan 2. Mengidentifikasi pola 3. Menggunakan Model Matematika 2 Subjek 2 (S2) Explicit Reflection 1. Mengidentifikasi kasus khusus dari yang ditanyakan 2. Mengidentifikasi pola 3. Menggunakan masalah yang mirib 3 Subjek 3 (S3) Belum dapat menyelesaikan masalah Mengidentifikasi  kasus  khusus  dari  yang ditanyakan
Berdasarkan  hasil  analisis  data  menunjukkan  bahwa  subjek  kategori critical  reflection dapat menggunakan tiga strategi atau pendekatan untuk menyelesaikan masalah palindrom 4 angka yang diberikan.  Pertama,  menentukan  contoh  kasus  khusus  dari  masalah  yang  ditanyakan;  kedua mengidentifikasi pola atau aturan yang berlaku dari masalah yang ditanyakan; dan terakhir ketiga menyusun dan menggunakan model matematika. Hal ini sesuai dengan yang dikatakan Herman ( 2000 )  bahwa  strategi  menentukan  contoh  kasus  khusus  sering  digunakan  untuk  memperjelas kemungkinan  solusi  yang  akan  diberikan.  Sedangkan  strategi  mengidentifikasi  pola  atau  aturan adalah salah satu strategi dalam menyelesaikan masalah matematika, dimana kita dapat mengamati informasi yang diberikan seperti gambar, angka, huruf, kata, warna, atau suara digunakan sebagai cara untuk menyusun kemungkinan strategi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang  diberikan.  Terakhir  ketiga  digunakan  strategi  membentuk  dan  menggunakan  model matematika untuk menyelesaikan masalah yang digunakan. Hal ini sesuai yang dikatakan English ( 2023 ) bahwa model matematika sering dipakai sebagai strategi untuk menyelesaikan masalah. Sedangkan subjek kategori explicit reflection menggunakan tiga strategi atau pendekatan dalam menyelesaikan masalah palindrom 4 angka, yaitu pertama menentukan nilai atau contoh khusus dari  yang  ditanyakan;  kedua  mengidentifikasi  pola  atau  aturan  dari  yang  ditanyakan;  dan ketiga menggunakan masalah yang mirip untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Hal ini seperti dikatakan Herman ( 2000 ) untuk menyelesaikan masalah yang sulit untuk diselesaikan karena di dalamnya  terkandung permasalahan  yang  cukup  kompleks  misalnya  menyangkut bilangan  yang sangat  besar,  bilangan  sangat  kecil,  atau  berkaitan  dengan  pola  yang  cukup  kompleks,  dapat dilakukan  dengan  menggunakan  analogi  melalui penyelesaian  masalah  yang  mirip  atau  masalah yang lebih mudah (Aiyub, 2023 ).
Sedangkan  untuk  kategori  subjek  yang  tidak  dapat  menyelesaikan  masalah  hanya  dapat mengidentifikasi nilai atau contoh kasus khusus dari solusi yang ditanyakan. Subjek kategori yang tidak dapat menyelesaikan masalah tidak dapat menentukan strategi yang dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa semua palindrom 4 habis dibagi 11, karena kesulitan dalam mengidentifikasi
pola  yang  diperlu  dalam  menyusun strategi penyelesaian.  Hal  ini  sesuai  dengan  yang  dikatakan Herman ( 2000 ) bahwa tanpa melalui latihan, sangat sulit bagi seseorang untuk menyadari bahwa dalam permasalahan yang dihadapinya terdapat pola yang bisa diungkap.
Temuan lain dalam penelitian ini WoT subjek critical refelction pada umumnya fleksibel dalam menggunakan  simbol  matematika,  mereka  cenderung  menggunakan  cara  yang  berbeda  dengan yang  digunakan  guru;  Mereka  menggunakan  petunjuk  pada  pertanyaan  untuk  memecahkan masalah,  dan  mereka  jarang  menggunakan  rumus  untuk  menyelesaikan  masalah,  mereka  tidak menggunakan contoh atau persepsi visual dalam menyelesaikan masalah, dan mereka cenderung mengikuti aturan  deduksi  atau  menggunakan penyelesaian aljabar. Hasil  ini  sesuai  dengan  hasil penelitian  Lee  et  al.  ( 2011 )  telah  memeriksa  kemampuan  anak-anak  yang  berkembang  dalam memecahkan  masalah  aljabar  terkait  dengan  kemahiran  mereka  dalam  pola.  Lee  et  al.  ( 2011 ) mengatakan bahwa kemahiran pada pola memprediksi kemahiran aljabar. Kecakapan pada tugas- tugas pola pada gilirannya diprediksi akan memperbarui kapasitas anak.
Sedangkan WoT yang digunakan subjek kategori explicit reflection dalam penelitian ini dalam menyelesaikan masalah cenderung kurang leluasa dan lebih berfokus dengan strategi yang diajarkan guru,  serta  cenderung  menggunakan  contoh,  atau  aturan  induktif  atau  penyelesaian  aritmetik. Secara umum penelitian ini sejalan dengan temuan (Harel & Sowder, 1998 ; Lee et al., 2011 ) bahwa skema penyelesaian yang umum digunakan di kalangan siswa adalah skema otoritatif dan skema empiris  yang  penyelesaiannya  bergantung  pada  contoh  atau  persepsi  visual  (Uyangör, 2019 ). Temuan ini juga sejalan hasil penelitian Lee et al. ( 2011 ) menunjukkan bahwa penalaran aljabar mungkin sulit jika anak memiliki kapasitas pembaruan dan fasilitas yang buruk dengan perhitungan atau kesulitan dalam mengenali dan menggeneralisasi aturan tentang pola.
Untuk mendukung siswa dari kategori explicit refeltion dalam memberikan WoT secara aljabar, guru harus merancang pembelajaran yang memperluas konteks  masalah dalam matematika agar siswa  terbiasa  menyelesaikan  verifikasi  aljabar  secara  simbolik.  Tall  ( 2008 )  menyatakan  bahwa transisi  ke  aksiomatik  formal  dapat  dibangun  melalui  pengalaman  tentang  perwujudan  dan simbolisme.  Kemudian  pembelajaran  harus  memberikan  kesempatan  kepada  siswa  untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai jenis pembuktian. Berbagai jenis masalah tersebut dapat memberikan  pengalaman  kepada  siswa  yang  dapat  digunakan  sebagai  media  transisi  berpikir. Untuk mendukung WoT siswa dari kategori yang tidak dapat menyelesaikan masalah, guru harus membiasakan  siswa  menyelesaikan  masalah  dengan  cara  megidentifikasi  pola  dan  dapat memperdiksi  semua  kesulitan  siswa  yang  mungkin  menjadi  kendala  siswa  dan  merumuskan kemungkinan scaffolding yang dapat membantu siswa dalam mengidentifikasi kemungkinan solusi menyelesaikan masalah baik secara aritmetik maupun aljabar atau simbolik.

## KESIMPULAN
WoT siswa dalam menyelesaikankan masalah pola bilangan non rutin ada empat strategi atau pendekatan  yang  digunakan  siswa  yaitu;  pertama  menentukan  kasus  khusus  dari  masalah  yang ditanyakan; kedua menentukan pola atau aturan dari masalah yang diberikan; ketiga menggunakan model matematika; dan terakhir keempat mengunakan masalah yang mirip dari yang ditanyakan. Subjek critical reflection menggunakan tiga WoT yaitu menentukan kasus khusus, mengidentifikasi pola yang berlaku dari masalah yang diberikan, dan menggunakan model matematika. Subjek explicit refelction mengidentifikasi  kasus  khusus;  mengidentifikasi  pola;  dan  menggunakan  masalah  yang mirib.  Sedangkan  siswa  yang  tidak  dapat  menyelesaikan  masalah  hanya  dapat  mengidentifikasi kasus khusus dari masalah yang ditanyakan.
Temuan  lainnya  terkait WoT subjek critical  refelction lebih  fleksibel  dan  cenderung menggunakan cara yang berbeda dengan yang digunakan guru (unik) dan cenderung meggunakan alasan  aljabar.  Sedangkan subjek  explicit  reflection kurang  leluasa  dalam  mengidentifikasi  strategi penyelesaian, dan cenderung menggunakan alasan induktif atau aritmetik. Untuk mendukung siswa dalam kemampuan pola dan berpikir secara aljabar guru harus membiasakan siswa menyelesaikan masalah matematis non rutin berbagai kontek dalam pembelajaran dengan menggunakan pola.

## DAFTAR PUSTAKA
Aiyub, A. (2023). Proses berpikir matematis dan berpikir kritis siswa dalam menyelesaikan masalah matematis non  rutin  berdasarkan  kerangka  teori  situasi  didaktis .  Disertasi  (S3).  Universitas  Pendidikan Indonesia.
Aiyub, A., Suryadi, D., Fatimah, S., & Kusnandi, K. (2022). Investigation of the critical thinking process in solving non-routine mathematical problems. European Online Journal of Natural and Social Sciences , 11 (4), 1212 – 1233.
Brady,  C.,  Lesh,  R.,  &  Sevis,  S.  (2015).  Extending  the  reach  of  the  models  and  modelling perspective: A course-sized research site. In G. A. Stillman et al. (Eds.), Mathematical Modelling in Education Research and Practice (pp. 55 – 66). Dordrecht: Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-319-18272-8_4
Brousseau, G. (2002). Theory of didactical situations in mathematics . In R. S. and V. W. Nicola Balacheff, Mantin  Cooper  (Ed.),  Kluwer  Academic  Publishers  (Edited  and).  Kluwer  Academic Publishers. https://doi.org/10.1007/0-306-47211-2 Creswell, J. W. (2007). Qualitative inquiry & research design: Choosing among five approaches (Second Eds) . Sage Publication, Inc.
Eatough,  V.,  &  Smith,  J.  (2017).  Interpretative  phenomenological  analysis.  In:  Willig,  C.  and Stainton-Rogers, W. (eds.) Handbook of qualitative psychology . Sage Publication Ltd. English, L. D. (2016). STEM education K-12: Perspectives on integration. International Journal of STEM Education , 3 (1), 1 – 8. https://doi.org/10.1186/s40594-016-0036-1 English,  L.  D.  (2023).  Ways  of  thinking  in  STEM-based  problem  solving. ZDM  -  Mathematics Education . https://doi.org/10.1007/s11858-023-01474-7
Harel, G. (2008). What is mathematics? A pedagogical answer to a philosophical question. In B. Gold  &  R. A.  Simons  (Eds.), Proof and  Other  Dilemmas:  Mathematics and  Philosophy .  United States of America: The Mathematical Association of America, Inc. https://doi.org/10.5948/upo9781614445050.018 Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from expl oratory studies. In A. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in collegiate mathematics education III (pp. 234-283).
Providence, RI: American Mathematical Society. https://doi.org/10.1090/cbmath/007/07 Herman,  T.  (2000). Strategi  pemecahan  masalah  (problem  solving)  dalam  pembelajaran  matematika .  In Makalah. Tidak Diterbitkan. http://file.upi.edu/Direktori Lee,  K.,  Ng,  S.  F.,  Bull,  R.,  Lee  Pe,  M.,  &  Ho,  R. H.  M.  (2011). Are  patterns  important?  An investigation of the relationships between proficiencies in patterns, computation, executive functioning, and algebraic word problems. Journal of Educational Psychology , 103 (2), 269 – 281. https://doi.org/10.1037/a0023068
Lesh, R., Riggs, C., English, L., & Sevis, S. (2013). Problem solving in the primary school (K-2) Let us know how access to this document benefits you. The Mathematics Enthusiast , 10 (1 – 2), 35 – 60.
Maass,  K.,  Geiger,  V.,  Romero  Ariza,  M.,  &  Goos,  M.  (2019).  The  role  of  mathematics  in interdisciplinary  STEM  education. ZDM  Mathematics  Education , 51 (6),  869 – 884. https://doi.org/10.1007/s11858-019-01100-5
Muthukaruppan, S., Eswari, A., & Rajendran, L. (2013). Mathematical modelling of a biofilm: The Adomian decomposition method. Natural
Science , 05 (04), 456 – 462. https://doi.org/10.4236/ns.2013.54059
NCTM. (2000). Principles standards and for school mathematics . Reston, VA: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Polya, G. (1985). How to solve it . In Princeton University Press (Second Edi).
Ricoeur,  P.  (1986). Lectures  on  ideology  and  utopia .  New  York:  Columbia  University  Press. https://archive.org/details/pdfy-oRPzWEh3nXrYxehT/page/n13/mode/2up
Suryadi, D. (2019a). Landasan filosofis penelitian desain didaktis (DDR) [philosophical foundations of didactic design research (DDR)] . Bandung: Gapura Press. Suryadi, D. (2019b). Penelitian desain didaktical (DDR) dan implementasinya . Bandung: Gapura Press. Tall, D. (2008). The transition to formal thinking in mathematics. Mathematics Education Research Journal , 20 (2), 5 – 24. https://doi.org/10.1007/BF03217474 Uyangör,  S.  M.  (2019).  Investigation  of  the  mathematical  thinking  processes  of  students  in mathematics education supported with graph theory. Universal Journal of Educational Research , 7 (1), 1 – 9. https://doi.org/10.13189/ujer.2019.070101