Copyright©  2019: Author
Accepted: 2020-06-18

## PEMODELAN KEBERGANTUNGAN DALAM MENGKONSTRUKSI DISTRIBUSI BIVARIAT COPULA FRANK PADA DATA MARGINAL DISKRIT MELALUI TRANSFORMASI NORMAL STANDAR DAN JITTERS
( Modelling Of Dependence to Construct a Frank Copula Bivariate Distribution on Discrete Marginal Data by Jitters and Standard Normal Transformation )
Andi Fitriawati, S.Pd., M.Si 1* , Dani Al Mahkya, S.Si., M.Si 2 , Radot MH Siahaan, S.Si., M.Si 3 , Dian Anggraini, S.Si., M.Sc 4 1,2,3,4 Program Studi Sains Aktuaria, Jurusan Sains, Institut Teknologi Sumatera Jl. Terusan Ryacudu, Lampung Selatan, 35365, Lampung, Indonesia
e-mail : andi.fitriawati@at.itera.ac.id 1* , dani.almahkya@at.itera.ac.id 2 , radot.siahaan@at.itera.ac.id 3 , dian.anggraini@at.itera.ac.id 4
Abstrak: Data  diskrit  merupakan  data  empirik  hasil  realisasi  variabel  acak  diskrit  maupun  kontinu. Ketika  memiliki  dua  jenis  data  diskrit,  seringkali  ingin  dikonstruksi  distribusi  bivariatnya  untuk berbagai keperluan, baik fungsi peluang maupun fungsi distribusinya. Namun, saat data yang dimiliki terdapat  kebergantungan,  maka  mengkonstruksi  distribusi  bivariatnya  tidaklah  mudah.  Oleh  sebab itu,  digunakan  Copula.  Permasalahan  lain  timbul  ketika  data  yang  dimiliki  tidak  hanya  memiliki kebergantungan  tetapi  juga  berasal  dari  marginal  diskrit.  Berdasarkan  teorema  Sklar,  penggunaan Copula  dalam  mengkonstruksi  distribusi  bivariat  pada  marginal  diskrit  akan  menghasilkan  suatu Copula C yang tidak unik. Akibatnya akan menimbulkan interpretasi yang tidak jelas, terutama untuk sifat  kebergantungannya.  Oleh  sebab  itu,  diperlukan  suatu  teknik  untuk  mengkonstruksi  distribusi bivariat  dari  data  tersebut,  yaitu  dengan  mengkontinukan  distribusi  marginalnya.  Mengkontinukan distribusi marginalnya dilakukan melalui transformasi normal standar dan jitters. Hasil transformasi mampu  mempresentasikan  data  aslinya.  Hal  ini  terlihat  dari  perilaku  penyebaran  data  dan  ukuran kebergantungan  dari  data  hasil  transformasi  dengan  data  aslinya  adalah  sama.  Ukuran kebergantungan  yang  digunakan,  yaitu  Korelasi  Pearson  dan  Kendall’s  tau.  Selanjutnya,  hasil transformasi ini kemudian digunakan untuk mengkontruksi distribusi bivariat dari data yang dimiliki menggunakan Copula. Copula yang digunakan adalah Copula Frank dengan asumsi bahwa data tidak memiliki  kebergantungan  ekor  atas  maupun  bawah.  Jadi,  fungsi  peluang  bivariat  dan/atau  fungsi distribusi  bivariat  dari  data  hasil  transformasi  mempresentasikan  fungsi  peluang  bivariat  dan/atau fungsi  distribusi  bivariat  dari  data  aslinya.  Seluruh  prosesnya  akan  diilustrasikan  melalui  data simulasi.
Kata  Kunci: Marginal  diskrit,  tranformasi  normal  standar,  jitters,  Korelasi  Pearson,  Kendall’s  tau, Copula Frank.
Abstract: Discrete data is an empirical data as realizations of either discrete or continuous random variables.  When  having  two  types  of  discrete  data,  often  want  to  be  constructed  their  bivariate distribution for various purposes, either probability function or distribution function. However, when having  data  dependence,  then  to  construct  its  bivariate  distribution  is  not  easy.  Therefore,  used Copula.  Another  problem  arises  when  the  data  that  is  owned  not  only  has  dependencies  but  also comes from discrete marginal. Based on Sklar's theorem, the use of Copula in constructing bivariate distribution  on  discrete  marginal  will  result  in  a  non-unique  Copula  C.  Consequently  it  will  cause unclear  interpretation,  especially  for  the  dependency.  Therefore,  it  is  necessary  that  a  technique  to construct  the  bivariate  distribution  from  the  data  by  continuing  the  marginal  distribution.  To continuing the marginal distribution is done through standard normal transformation and jitters. The results  of  transformations  are  able  to  present  the  original  data.  It  is  seen  from  their  correlation  is
same, both of Pearson correlation and Kendall’s tau. Furthermore, the results of this transformation are  then  used  to  construct  bivariate  distribution  of  data  owned  using  Copula.  The  copula  used  is Frank Copula with assuming that the data does not have the upper or lower tail dependent. Thus, the bivariate probability function and/or the bivariate distribution function from the transformation result present the bivariate probability function and/or the bivariate distribution function from the original data. We provide examples of simulated data to illustrate such construction.
Keywords: Discrete marginal, standard normal transformation, jitters, Pearson correlation, Kendall’s tau, Frank Copula.

## 1. PENDAHULUAN
Data  diskrit  merupakan  data  empirik  hasil  realisasi  variabel  acak  diskrit  maupun  kontinu.  Hal menarik  yang  ingin  diketahui  ketika  memiliki  dua  jenis  data  diskrit,  yaitu  peluang  (dan/atau  peluang kumulatif) kedua jenis data tersebut dapat terjadi secara bersamaan. Berkaitan dengan hal ini, maka perlu dikonstruksi distribusi bivariatnya, baik fungsi peluang maupun fungsi distribusi (peluang kumulatif).
Untuk  memudahkan  dalam  mengkonstruksi  distribusi  bivariat,  seringkali  diasumsikan  bahwa  data berasal  dari  dua  variabel  yang  saling  bebas.  Sehingga  mengkonstruksi  fungsi peluang  bivariatnya  hanya perlu  melakukan  perkalian  dari  kedua  fungsi  peluang  marginalnya.  Realitanya  adalah  tidak  semua  data bisa  diasumsikan  saling  bebas  satu  sama  lain.  Apalagi  jika  data  tersebut  memiliki  sifat  kebergantungan yang  cukup  kuat.  Sifat  kebergantungan  ini  bahkan  menjadi  salah  satu  persoalan  yang  banyak  dipelajari dalam probabilitas dan statistika [3].
Sifat  kebergantungan  pada  data  merupakan  suatu  komponen  penting  dalam  proses penginterprestasian  yang  tidak  boleh  diabaikan.  Oleh  sebab  itu,  tidaklah  benar  jika  dua  jenis  data  yang memiliki  kebergantungan  selalu  diasumsikan  berasal  dari  dua  variabel  yang  saling  bebas  ketika  ingin mengkonstruksi  distribusi  bivariatnya.  Mengkonstruksi  distribusi  bivariat  dari  data  yang  memiliki kebergantungan  memang  tidaklah  mudah.  Apalagi  ketika  data  tersebut  berasal  dari  dua  distribusi  yang berbeda. Meskipun demikian, hal tersebut tetap harus dilakukan. Oleh sebab itu, diperlukan suatu metode untuk memodelkan kebergantungan data dalam mengkonstruksi distribusi bivariatnya.
Copula  adalah  salah  satu  alat  populer  yang  digunakan  untuk  mengkonstruksi  distribusi  bivariat, terutama  pada  data  yang  memiliki  kebergantungan.  Hal  ini  dikarenakan  kelebihan  dari  Copula  yang mampu memodelkan sifat kebergantungan data. Dalam mengkonstruksi distribusi bivariat dengan Copula diperlukan distribusi marginalnya. Misalkan * + dan * + merupakan dua jenis himpunan data diskrit yang berasal dari variabel acak dan dengan fungsi distribusi berturut-turut adalah dan Selanjutnya, untuk  mengkonstruksi  distribusi  bivariat  Copula  dari  variabel  acak dan maka  perlu  dilakukan transformasi pada setiap variabel acaknya, melalui fungsi distribusinya, menjadi variabel acak baru yang berdistribusi uniform standar. Sehingga, fungsi distribusi bivariat Copula didefinisikan sebagai (    )
( ) ; dimana
dan serta
dengan support [0,1].
Lebih  jauh,  teorema  Sklar  menyatakan  bahwa  jika  diberikan  suatu  fungsi  distribusi  bivariat dengan marginal dan kontinu maka akan terdapat suatu Copula C yang unik. Artinya, teorema ini menjamin keunikan suatu Copula pada marginal kontinu tetapi tidak pada marginal diskrit. Hal ini berarti bahwa  penggunaan  Copula  dalam  mengkonstruksi  distribusi  bivariat  pada  marginal  diskrit  ( dan diskrit)  akan  menghasilkan  suatu  Copula  C  yang  tidak  unik.  Ketidak-unikan  ini  akan  menimbulkan interprestasi  yang  tidak  jelas,  terutama  sifat  kebergantungannya  [1].  Dapat  dikatakan  bahwa mengkonstruksi distribusi bivariat dari marginal kontinu menggunakan Copula tidaklah masalah. Namun, tidak untuk marginal diskrit.
Oleh  sebab  itu,  perlu  diuraikan  suatu  teknik  mengkonstruksi  distribusi  bivariat  Copula  dalam memodelkan kebergantungan pada marginal diskrit agar mampu menghasilkan suatu Copula C yang unik. Idenya,  yaitu    mengkontinukan  distribusi  marginal  diskritnya  terlebih  dahulu.  Hasil  distribusi  marginal kontinu  inilah  yang  kemudian  dikonstruksi  menggunakan  Copula.  Sehingga,  distribusi  bivariat  Copula yang dihasilkan bisa unik sesuai teorema Sklar.
Mengkontinukan  suatu  distribusi  dapat  dilakukan  melalui  proses  transformasi  normal  standar. Hampir semua distribusi dari suatu data (terutama data berukuran besar) dapat dihampiri dengan distribusi normal standar. Ketika diperoleh bahwa data mengikuti suatu distribusi diskrit tertentu, maka data tersebut dapat ditransformasikan menjadi berdistribusi normal standar. Dengan kata lain, data berdistribusi diskrit tersebut telah dikontinukan menjadi distribusi kontinu normal standar. Selain transformasi normal standar, mengkontinukan  suatu  distribusi  diskrit  dapat  juga  dilakukan  dengan  transformasi  jitters.  Transformasi jitters telah digunakan oleh Madsen dan Fang [4] ketika mengkontinukan data diskritnya. Hal yang sama juga digunakan oleh Shi dan Valdez [8] untuk mengkontinukan data longitudinalnya.
Data  hasil  transformasi  normal  standar  maupun  jitters  harus  mampu  mempresentasikan  data  yang aslinya.  Sehingga,  distribusi  bivariat  dari  data  hasil  transformasi  mampu  mempresentasikan  distribusi bivariat  data  aslinya.  Oleh  karena  itu,  data  hasil  transformasi  harus  memiliki  karakteristik  maupun  sifat kebergantungan  yang  sama  dengan  data  aslinya.  Untuk  membuktikan  hal  ini,  maka  akan  dilakukan analisis terkait perilaku penyebaran data hasil transformasi terhadap data yang aslinya. Hal ini dapat juga terlihat dari ukuran kebergantungan antara data transformasi dan data aslinya adalah sama.
Adapun  ukuran  kebergantungan  yang  digunakan,  yaitu  korelasi  Pearson  dan  Kendall’s  tau.  Nilai korelasi Pearson dan Kendall’s tau yang diperoleh dari data transformasi normal standar diharapkan sama dengan  nilai  korelasi  Pearson  dan  Kendall’s  tau  dari  data  yang  aslinya.  Sama  halnya  dengan  nilai Kendall’s tau dari data hasil jitters juga diharapkan sama dengan nilai Kendall’s tau dari data aslinya.
Penelitian ini akan memaparkan suatu teknik memodelkan kebergantungan dalam  mengkonstruksi distribusi  bivariat  Copula  pada  data  marginal  diskrit  melalui  transformasi  normal  standar  dan  jitters. Adapun Copula yang akan digunakan pada penelitian ini adalah Copula Frank. Copula ini dipilih dengan asumsi bahwa data tidak memiliki kebergantungan ekor atas maupun ekor bawah. Semua prosesnya akan diilustrasikan melalui data simulasi yang dibangkitkan dari distribusi binomial dan poisson.

## 2. METODOLOGI

## 2.1. Sumber Data
Data  yang  digunakan  adalah  data  simulasi  dari  distribusi  binomial  (100,  0.25)  dan  poisson  (20) yang  masing-masing  berukuran  200.  Hal  ini  sesuai  dengan  pernyataan  Roscoe  (1975)  yang  dikutip Sekaran [7] bahwa ukuran sampel minimum 30.

## 2.2. Variabel Penelitian
Beberapa variabel yang akan digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:
: Data berdistribusi binomial (100, 0.25)
: Data berdistribusi poisson (20)
: Data hasil transformasi normal standar dari
: Data hasil transformasi normal standar dari
: Data hasil transformasi jitters dari
: Data hasil transformasi jitters dari

## 2.3. Tahapan Penelitian
Adapun tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengidentifikasi model transformasi normal standar dan jitters.
2. Uji nilai Korelasi Pearson dan Kendall’s tau dari hasil transformasi terhadap data aslinya.
3. Mengidentifikasi karakteristik Copula Frank.
4. Membangkitkan data dari distribusi binomial dan poisson.
5. Melakukan  transformasi  normal  standar  dan  jitters  pada  data  dengan  tujuan  agar  data  menjadi berdistribusi kontinu.
6. Mengamati perilaku penyebaran data hasil transformasi terhadap data yang aslinya.
7. Menganalisis nilai ukuran kebergantungan data hasil transformasi terhadap data yang aslinya
8. Mengkonstruksi distribusi bivariat dari data hasil transformasi menggunakan Copula Frank.
9. Membandingkan  nilai  peluang  yang  diperoleh  dari  data  transformasi  normal  standar  dan  jitter terhadap data aslinya.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Transformasi Normal Standar
Misalkan  {x}  merupakan  data  diskrit  berukuran  n,  n  30.  Data  diskrit  ini  berasal  dari  marginal diskrit .  Untuk  memperoleh yang  kontinu,  maka  dilakukan  transformasi  normal  standar  sebagai berikut:
(1)
Adapun fungsi peluangnya, yaitu:
( ) ( ) √ (2)
dimana (   ) .

## 3.2. Jitters
Misalkan {x} merupakan data diskrit yang berasal dari marginal diskrit . Untuk memperoleh yang kontinu, maka dilakukan transformasi jitters. Diperoleh:
(3)
dimana (   ) . Adapun fungsi distribusinya, yaitu: ( )    ( ) ∑  ( |     ) (     ) ∑  ( ) (     ) ∑*     ( )+ (     )
∑*     ( )+ (     )
∑*     ( )+ (     ) , -
∑ *     ( )+ (     )
, - { ( , ])   (             )+   ( , -) (    , -)
( [ ])   ( , -) (    , -)
Sehingga diperoleh:
( )    ( [ ])   ( , -) (    , -) ([ ])   ( , -) (, -) (4)
Fungsi peluangnya yang bersesuaian, yaitu:
( )    (    [ ])    ([ ]) (5)

## 3.3. Nilai Korelasi Pearson dan Kendall’s Tau Data Transformasi Normal Standar
Hasil  transformasi  normal  standar  mampu  mempresentasikan  data  aslinya.  Hal  ini  dapat  terllihat dari  ukuran  kebergantungannya.  Ukuran  kebergantungan  yang  digunakan,  yaitu  Korelasi  Pearson dan Kendall’s Tau . Nilai korelasi Pearson sama dengan . Berikut pemaparannya: ( ) ( ) ,   (    )      ( )      ( )      ( ) (    ) (6) Demikian juga untuk nilai dari sama dengan , seperti pemaparan berikut: (          )    ,( )( )    - *( ) ( )    + [( ) ( )    ]    ,( )( )    - (          ) (7) Sehingga diperoleh: (          ) (          ) (          ) (          ) (          ) (          ) (8)
Persamaan (6) dan (8) menunjukkan bahwa nilai Korelasi Pearson maupun Kendall’s tau untuk data hasil transformasi dengan data aslinya adalah sama. Dengan kata lain, kebergantungan yang terjadi antar data yang hasil transformasi sama dengan kebergantungan yang terjadi antar data aslinya. Dapat dikatakan bahwa data hasil transformasi normal standar mampu mempresentasikan data aslinya.

## 3.4. Nilai Kendall’s Tau Data Hasil Jitters
Data hasil jitters juga mampu mempresentasikan data aslinya. Hal ini dapat dibuktikan melalui dua cara. Cara pertama, dibuktikan dengan menunjukkan bahwa orde concordant antar data hasil jitters sama dengan  orde concordant antar  data  slinya.  Cara  kedua,  dibuktikan  dengan  membandingkan  nilai  dari dan .
Untuk cara pertama, misalkan terdapat dua variabel acak dan . Dapat dikatakan bahwa ( ) lebih concordant daripada ( ) , dinotasikan ( ) ( ) , jika: ( ) ( ) (9) Misalkan dan masing-masing dikontinukan menjadi dan oleh dan melalui proses jitters. Jika ( ) ( ) , maka diperoleh:
( )    ( ) ∬ ( ) ,   - ( ) ( ) ∬ ( ) ,   - ( ) ( ) ( ) (10) Sehingga, ( ) ( ) ( ) ( ) (11)
Dari  persamaan  (11)  terbukti  bahwa  jika ( ) lebih concordant daripada ( ) maka ( )
juga lebih concordant daripada ( ) . Jadi, terbukti bahwa orde concordant antar data hasil jitterss sama dengan orde concordant antar data yang aslinya.
Untuk cara kedua, misalkan dan merupakan variabel acak kontinu hasil jitters oleh dan . Diperoleh bahwa:
(          )      ,( )( )    - ,( )( )    - , - ,( )( )    - , - ,( )    - , - ,( )    - , - ,( )    - , - ,( )    - ,( )( )    - (12) Karena dan adalah variabel acak kontinu dengan peluang simetri sekitar nol, maka: (          ) (   )    ,( )( )    - (   )    (          ) (13)
Dengan demikian,
( ) (          ) (          ) (          ) (          )    (   ) (          )    (   )    (          ) (14) Jika (   ) maka . Dapat dikatakan bahwa hasil jitters mampu mempresentasikan nilai aslinya.

## 3.5. Copula Frank
Copula  Archimedean  merupakan  salah  satu  jenis  Copula  yang  dikonstruksi  dari  fungsi  generator  (t), dimana t dengan support [0,1]. Adapun bentuk basis dari Copula Archimedean pada kasus bivariat, yaitu:
(    )  (  ( )  ( )) (15)
Salah  satu  jenis  Copula  Archimedean  yang  akan  digunakan  untuk  mengkonstruksi  distribusi bivariat  pada  penelitian  ini,  yaitu  Copula  Frank.  Karakteristik  dari  Copula  Frank  disajikan  pada  tabel berikut.

## Tabel 1. Karakteristik Copula Frank
(    ) ( ( )( ) ) ∫  ( )  ( ) ( )
 ( ) ( )  ( ) (    ( ) ) 0
Tabel  1  menunjukkan  bahwa  Copula  Frank  terdefinisi  untuk ,    - .  Artinya,  Copula  ini mampu memodelkan kebergantungan positif maupun negatif. Informasi lainnya yang dapat diperoleh dari tabel tersebut, yaitu mengenai hubungan antara Kendall’s tau ( ) dengan  parameter  Copula  ( ).  Nilai berbanding  lurus  dengan  nilai .  Artinya,  semakin  besar  nilai maka  semakin  besar  pula  nilai dan sebaliknya. Hal ini diilustrasikan sebagai berikut:
Gambar 1. Ilustrasi Hubungan Antara Parameter Copula ( ) dan Kendall’s Tau ( )
Selain  itu,  semakin  besar  nilai maka  semakin  besar  pula  nilai  fungsi  peluang  dan  fungsi distribusinya.  Hal  yang  sama  juga  berlaku  untuk  nilai -nya  karena berbanding  lurus  dengan  nilai . Berikut  ilustrasi  dari  fungsi  peluang  dan  fungsi  distribusi  dengan  nilai secara berturut-turut sebagai berikut:
Gambar 2. Visualisasi Fungsi Peluang dan Fungsi Distribusi Copula Frank dengan
Dari gambar 2 terlihat bahwa Copula Frank memberikan peluang yang hampir sama pada nilai-nilai yang  rendah  maupun  tinggi,  dengan  kata  lain  tidak  ada  kebergantungan  ekor  atas  maupun  ekor  bawah. Tidak adanya kebergantungan ekor atas juga ditunjukkan oleh nilai
. Sedangkan tidak adanya kebergantungan  ekor  bawah  juga  ditunjukkan  oleh  nilai
.  Sehingga  Copula  jenis  ini  cocok digunakan untuk memodelkan data yang tidak memiliki kebergantungan ekor atas maupun ekor bawah.
Lebih  lanjut,  adanya  kaitan  antara  nilai  t  dengan  fungsi  generator  ( ) .  Semakin  besar  nilai  t menuju 1 maka semakin kecil nilai  ( ) menuju 0 untuk suatu nilai atau tertentu. Hal ini berarti bahwa  ( ) merupakan  fungsi  monoton  turun  yang  terdefinisi  untuk ,   - ,  dengan  ( ) .  Berikut ilustrasinya untuk :
Gambar 3. Ilustrasi Hubungan Antara t dengan Fungsi Generator untuk
Lebih jauh, nilai berbanding terbalik dengan nilai fungsi generator  ( ) . Artinya, semakin besar nilai maka semakin kecil nilai  ( ) . Hal yang sama juga berlaku untuk nilai , karena berbanding lurus dengan . Berikut ilustrasinya:
Gambar 4. Ilustrasi Hubungan dengan Fungsi Generator

## 3.6. Simulasi
Data simulasi {x} dan {y} berasal dari dua distribusi diskrit yang berbeda. Distribusi dari {x} dan {y}  berturut-turut  adalah  binomial  (100,0.25)  dan  poisson  (20).  Masing-masing  data  berjumlah  200. Adapun penyebaran datanya dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 5. Scatter Plot Data
Pada  gambar  5  terlihat  bahwa  data  menyebar  di  sekitar  nilai  (25,20).  Sedangkan,  ukuran kebergantungannya, yaitu dan . Nilai kebergantungan yang diperoleh menunjukkan bahwa kedua jenis data memiliki kebergantungan positif yang relatif cukup kuat.
Kedua jenis data yang dimiliki berdistribusi marginal diskrit. Sehingga perlu dilakukan transformasi agar  diperoleh  distribusi  marginal  kontinu.  Transformasi  dilakukan  dengan  menggunakan  pendekatan normal standar dan jitters. Adapun penyebaran data hasil transformasinya sebagai berikut
Gambar 6. Scatter Plot Data Transformasi Normal Standar dan Jitter (Kiri ke Kanan)
Gambar 6 (sebelah kiri) menunjukkan bahwa perilaku penyebaran data transformasi normal standar terlihat sama  dengan  perilaku  penyebaran  data  aslinya  pada  Gambar  5.  Ukuran  kebergantungannya juga sama, yaitu dan . Pada data transformasi normal standar, data menyebar di sekitar nilai (0, 0). Nilai (0, 0) ini mempresentasikan nilai (25, 20) pada data aslinya. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai lainnya, (x * , y * ) mempresentasikan (x, y). Dengan demikian, data transformasi normal standar mampu mempresentasikan data aslinya.
Gambar 6 (sebelah kanan) menunjukkan bahwa perilaku penyebaran data transformasi jitter terlihat agak sedikit berbeda dengan perilaku penyebaran data aslinya pada Gambar 5. Setelah dilakukan analisis lebih  lanjut,  ditemukan  beberapa  pasangan  data  yang  bernilai  sama,  yaitu dan .
Sedangkan,  pada  data  hasil  jitter  tidak  ditemukan  lagi  pasangan  data  yang  sama,  artinya
dan
.
Pada Gambar 5, semua pasangan data yang bernilai sama diplot oleh scatter yang saling tumpang tindih.  Sehingga  terlihat  seolah-olah  hanya  diplot  oleh  satu scatter .  Sedangkan  pada  Gambar  6, scatter pasangan  data  yang  awalnya  bernilai  sama  tersebut  menjadi  berbeda  karena  nilainya  juga  menjadi berbeda. Oleh sebab itu, scatter yang awalnya tumpang tindih jadi sedikit bergeser. Salah satu contohnya adalah data yang dilingkari pada masing-masing Gambar 5 dan Gambar 6. Pada Gambar 5, pasangan data yang dilingkari adalah pasangan data ke-31 yang bernilai (20,10) dan pasangan data ke-141 yang bernilai sama  (20,10).  Kedua  pasangan  data  ini  seolah-olah  hanya  diplot  oleh  satu scatter ,  tetapi  sebenarnya scatter- nya  saling  tumpang  tindih.  Selanjutnya,  pada  Gambar  6,  pasangan  data  yang  dilingkari  adalah pasangan data ke-31 yang menjadi bernilai (19.561, 9.937) dan pasangan data ke-31yang menjadi bernilai (19.332, 9.703). Sehingga, scatter dari dua pasangan data ini tidak lagi sama atau tumpang tindih, tetapi saling bergeser (menjauh satu sama lain). Perbedaan ini terjadi karena nilai dan . Oleh sebab itu, pada Gambar 5 untuk daerah yang dilingkari hanya terlihat dua scatter . Sedangkan pada Gambar  6  untuk  daerah  yang  dilingkari  menjadi  tiga scatter karena  dua scatter yang  awalnya  saling tumpang tindih menjadi saling menjauh. Selain dua pasangan data ke-31 dan ke-31, yaitu (20,10), masih beberapa pasangan data lainnya yang juga bernilai sama. Banyaknya pasangan data yang awalnya bernilai sama,  ketika  ditransformasikan  oleh  proses  jitter  menjadi  sedikit  berbeda  inilah  yang  menyebabkan penyebaran  data  hasil  jitter  pada  Gambar  6  menjadi  sedikit  berbeda  dari  penyebaran  data  aslinya  pada Gambar  5.  Seandainya dan ,  maka  penyebaran  data  hasil  jitters  akan  mirip  dengan penyebaran data aslinya.
Lebih  lanjut,  data  transformasi  jitter  memiliki  nilai
.  Nilai  antara dan sedikit berbeda.  Perbedaan  tersebut  disebabkan  oleh  adanya  data
(atau ).  Berdasarkan
persamaan  (8),  menentukan  nilai  Kendall’s  tau  berbasis  pada  konsep concordance ,  yaitu  dengan menentukan banyaknya pasangan yang concordant dan discordant . Dapat dikatakan bahwa ( ) dan ( ) adalah concordant jika ( )( ) Sedangkan ( ) dan ( )
adalah discordant jika ( )( ) . Artinya, untuk data (atau ) tidak
terhitung  sebagai  pasagan  yang concordant maupun discordant .  Namun,  setelah  proses  jitters,  data
(atau ) menjadi (atau ). Data (atau )
kemudian  akan  terhitung  sebagai  pasangan concordant atau discordant .  Hal  ini  tentu  menyebabkan terjadinya  perubahan  banyaknya  pasangan  yang concordant maupun discordant pada  data  hasil  jitter terhadap data aslinya. Akibatnya, nilai -nya menjadi berubah.
Pada  penelitian  ini,  data (atau )  sebanyak  21.  Setelah  melalui  transformasi jitter,  dari  21  data  tersebut  12  data  menjadi  data concordant dan  9  data  menjadi discordant. Banyaknya data yang concordant dan discordant tersebut saling meniadakan sehingga tersisa 2 data yang concordant . Artinya,  data concordant pada  hasil  jitters  lebih  banyak  2  dibandingkan  data  aslinya.  Perubahan banyaknya  data  yang concordant pada  data  jitters  inilah  yang  menyebabkan  nilai dan berbeda. Meskipun  demikian,  perbedaannya  tidaklah  signifikan.  Sehingga,  masih  dapat  dikatakan  bahwa  data transformasi jitter mampu mempresentasikan data aslinya.
Langkah selanjutnya, yaitu menentukan fungsi distribusi dan fungsi peluang dari data transformasi. Fungsi peluang dari data transformasi normal standar didefinisikan oleh Persamaan (2), sedangkan fungsi distribusinya merupakan kumulatif dari fungsi peluangnya. Adapun fungsi peluang dari data transformasi jitter didefinisikan oleh Persamaan (5), sedangkan fungsi distribusinya didefinisikan oleh Persamaan (4).

## 3.7. Mengkonstruksi Distribusi Bivariat Copula Frank Hasil Transformasi
Berdasarkan Tabel 1, fungsi distribusi bivariat Copula Frank didefinisikan sebagai berikut:
(    ) ( ( )( ) ) (16)
Fungsi peluangnya yang bersesuaian, yaitu:
(    ) (   ) ( ) ( ( )( )) ) (17)
Adapun  pemodelan  kebergantungan  pada  fungsi  distribusi  bivariat  Copula  Frank  dari  data transformasi normal standar maupun jitters, sebagai berikut:
( )   (       ) ( ( )( ) ) (18) ( )   (       ) ( . / ( ) ) (19)
Fungsi peluangnya yang bersesuaian, yaitu:
( ) ( ) ( ) ( ( )( )) ) (20) ( ) ( ) ( ) ( ( )( )) ) (21) dimana: dan ; dan Dapat  dikatakan  bahwa (    ) ( ) atau (    ) ( ) .  Artinya,  nilai  fungsi distribusi  bivariat  Copula  Frank  dari  hasil  transformasi  normal  standar  dapat  mempresentasikan  fungsi distribusi bivariat dari data aslinya. Demikian juga nilai fungsi distribusi bivariat Copula Frank dari hasil jitters dapat mempresentasikan fungsi distribusi bivariat dari data aslinya. Hal ini diilustrasikan melalui 17 data simulasi pada tabel berikut.
Tabel 2. Data Asli, Data Hasil Transformasi Normal Standar, Data Hasil Jitters, Fungsi Distribusi Bivariat Copula Frank Hasil Transformasi Normal Standar dan Fungsi Distribusi Bivariat Copula Frank Hasil Jitters
( ) ( ) 29 26 0.213333 0.3 28.71313 25.86202 0.385577 0.769576 29 18 0.213333 -0.1 28.10464 17.77236 0.294472 0.304143 30 24 0.266667 0.2 29.55941 23.10503 0.375321 0.702766 29 26 0.213333 0.3 28.4568 25.86445 0.385577 0.75631 30 21 0.266667 0.05 29.81198 20.7636 0.339936 0.563449 29 25 0.213333 0.25 28.55535 24.63553 0.374762 0.725841 30 25 0.266667 0.25 29.59641 24.692 0.386763 0.772453 29 27 0.213333 0.35 28.76573 26.27283 0.396154 0.781483 20 19 -0.26667 -0.05 19.77843 18.7111 0.21486 0.07348 26 16 0.053333 -0.2 25.49124 15.07945 0.245067 0.109606 28 20 0.16 0 27.37321 19.62963 0.30784 0.413216 26 18 0.053333 -0.1 25.57648 17.65583 0.266134 0.235201 31 12 0.32 -0.4 30.02779 11.67359 0.23769 0.030937 22 23 -0.16 0.15 21.00788 22.12007 0.269871 0.167557 24 19 -0.05333 -0.05 23.02156 18.16999 0.256229 0.171094
Dari  Tabel  2,  diperoleh  informasi  bahwa (     ) jika  menggunakan  transformasi normal  standar.  Namun, jika  menggunakan jitters  maka (     ) .  Selain  itu,  dari tabel  ini juga  terlihat  bahwa  untuk ,  jika maka dan
.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa
perilaku  data  asli,  data  hasil  transformasi  normal  standar  dan  data  hasil  jitters  adalah  sama.  Selain  itu, untuk ,  jika ( ) ( ) maka ( ) ( ) .  Hal  ini  juga menunjukkan bahwa nilai fungsi distribusi dari data hasil transformasi normal standar dan jitters memiliki perilaku yang sama. Hal yang sama juga ditunjukkan oleh Gambar 7.
Gambar 7. Plot (    ) Terhadap ( ) , ( ) Terhadap ( ) , (    ) Terhadap ( ) , ( ) Terhadap ( ) (Kiri ke Kanan, atas ke Bawah)
Selain itu, dapat juga dikatakan bahwa (    ) ( ) atau (    ) ( ) . Artinya, nilai fungsi peluang bivariat Copula Frank dari hasil transformasi normal standar dapat mempresentasikan fungsi peluang bivariat dari data aslinya. Demikian juga  nilai fungsi peluang bivariat Copula Frank dari hasil  jitters  dapat  mempresentasikan  fungsi  peluang  bivariat  dari  data  aslinya.  Hal  ini  diilustrasikan melalui 17 data simulasi pada tabel berikut.
Tabel 3. Data Asli, Data Hasil Transformasi Normal Standar, Data Hasil Jitters, Fungsi Peluang Bivariat Copula Frank Hasil Transformasi Normal Standar dan Fungsi Peluang Bivariat Copula Frank Hasil Jitters
( ) ( ) 29 26 0.213333 0.3 28.71313 25.86202 1.028939 1.233902 29 18 0.213333 -0.1 28.10464 17.77236 1.007656 0.930599 30 24 0.266667 0.2 29.55941 23.10503 1.026718 1.182034 29 26 0.213333 0.3 28.4568 25.86445 1.028939 1.221946 30 21 0.266667 0.05 29.81198 20.7636 1.016726 1.069659 29 25 0.213333 0.25 28.55535 24.63553 1.026811 1.201108 30 25 0.266667 0.25 29.59641 24.692 1.029736 1.239156 29 27 0.213333 0.35 28.76573 26.27283 1.030906 1.243241 20 19 -0.26667 -0.05 19.77843 18.7111 1.016726 1.02528 26 16 0.053333 -0.2 25.49124 15.07945 1.010951 0.940828 28 20 0.16 0 27.37321 19.62963 1.014406 1.0145 26 18 0.053333 -0.1 25.57648 17.65583 1.013287 0.983019 31 12 0.32 -0.4 30.02779 11.67359 0.974626 0.716131 22 23 -0.16 0.15 21.00788 22.12007 1.007122 0.890537 24 19 -0.05333 -0.05 23.02156 18.16999 1.015743 1.032247
Dari  Tabel  3,  diperoleh  informasi  bahwa (     ) jika  menggunakan  transformasi normal  standar.  Namun,  jika  menggunakan  jitters  maka (     ) .  Selain  itu,  dari  Tabel  3 juga terlihat bahwa untuk
, jika ( ) ( ) maka ( ) ( ) . Hal ini  berarti  bahwa  nilai  peluang  dari  data  hasil  transformasi  normal  standar  dan  jitters  memiliki  perilaku yang sama. Hal yang sama juga ditunjukkan oleh Gambar 8.
Gambar 8. Plot (    ) Terhadap ( ) , ( ) Terhadap ( ) , (    ) Terhadap ( ) , ( ) Terhadap ( ) (Kiri ke Kanan, Atas ke Bawah)

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis diperoleh bahwa model fungsi peluang bivariat Copula Frank dan fungsi distribusi bivariat Copula Frank yang diperoleh dari hasil transformasi normal standar dan jitters mampu mempresentasikan fungsi peluang bivariat dan fungsi distribusi bivariat dari data aslinya, terutama dalam memodelkan sifat kebergantungannya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Genest, C., & Neslehova, J., A Primer on Copulas for Count Data . ASTIN Bulletin 37(2), 475-515: 2007
[2]  Guegan, D., & Ladoucette, S.A., Dependence Modelling of The Joint Extremes in a Portfolio Using Archimedean Copulas: Application to MSCI indices. Cahiers de la Maison des Science Economiques: 2004
[3]  Jogde, K., Concepts of Dependence, in Encyclopedia of Statistical Sciences, Vol.1, S.  Kotz dan N.L, Johnson. John Wiley & Sons, New York: 1982
[4]  Madsen, L., & Fang, Y., Joint Regression Analysis for Discrete Longitudinal Data. Biometrics, 67(3), 1175-1176: 2010ASTIN
[5]  Nelsen, B., An Introduction to Copulas. Springer: 2006
[6]  Rice, J.A., Mathematical Statistic and Data Analysis . Duxbury Press: 1995
[7]  Sekaran, Uma., Metode Penelitian Bisnis. Salemba Empat, Jakarta: 2006
[8]  Shi,  P.,  &  Valdez,  E.A., Longitudinal  Modeling  of  Insurance  Claim  Counts  Using  Jitters . Scandinavian Actuarial Journal: 2012