PENENTUAN ENERGI KEADAAN DASAR SISTEM ATOM HELIUM MUONIK EKSOTIS (𝑯𝒆 𝟐+ 𝝁 − 𝝁 − ) MENGGUNAKAN PRINSIP VARIASI
Elisabeth Boimau, Redi Pingak, Bernandus
Jurusan Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana, Kupang 85111 Indonesia Email: Elisabethboimau@gmail.com

## Abstrak
Telah  dilakukan  kajian  teoritik  penentuan  energi  keadaan  dasar  sistem  atom  helium  muonik  eksotis dengan pendekatan prinsip variasi. Ide dasar dari metode ini adalah memilih sebuah fungsi gelombang coba yang berisikan  sebuah  parameter  yang  bias  disesuaikan  nilainya  dan  meminimalkan  nilai  ekspektasi  operator Hamiltonian yang disebut energi rata-rata. Fungsi gelombang coba yang digunakan dalam penelitian adalah fungsi gelombang keadaan dasar ion hidrogenik (pendekatan orbital). Operator Hamiltonian sistem atom helium muonik eksotis  ini  dioperasikan  pada  fungsi  gelombang  coba  dan  nilai  energi  rata-rata  yang  diperoleh  diminimalkan sehingga diperoleh nilai energi keadaan dasar sistem ini sekitar −32,1 𝐾𝑒𝑉 . Nilai ini lebih besar dari pada nilai total  energi  keadaan  dasar  baik  pada  sistem  atom  helium (−78,8 𝑒𝑉) maupun  pada  sistem  atom 𝐻𝑒 2+ 𝑒 − 𝜇 − (−10,9 𝐾𝑒𝑉) . Hal ini disebabkan oleh perbedaan massa tereduksi sistem-sistem ini dalam pendekatan orbital.
Kata Kunci: Ion hidrogenik, Energi keadaan dasar, Fungsi gelombang coba, Pendekatan orbital, Prinsip Variasi.

## Abstract
The study on the determination  of  ground state energy of  exotic muonic  helium system by variational principle  approximation  has  been  done.  The  basic  ideas  of  this  method  are  to  choose  a  trial  wave  function consisting  of  an  adjustable  variational  parameter  and  to  minimize  the  expectation  value  of  its  Hamiltonian operator which is called the average energy. The trial wave function used is the ground state hydrogenic ion wave function (orbital approximation). The operator Hamiltonian of this system is operated on the trial wave function and its value is minimized, from which the ground state energy of this system was found to be about −32,1 𝐾𝑒𝑉 . This value is greater than that of both 𝐻𝑒 −78,8 𝑒𝑉 atom and 𝐻𝑒 2+ 𝑒 − 𝜇 − system −10,9 𝐾𝑒𝑉 . This difference is caused by the difference in the reduced masses of these systems in the orbital approximation.
Key words: Hydrogenic ions, Ground state energy, Trial wave function, Orbital approximation, Variational Principle.

## PENDAHULUAN
Teori  kuantum  dikembangkan  setelah mengamati  bahwa  benda  mikroskopik  seperti atom  dan  molekul,  mempunyai  perilaku  yang sangat berbeda dari perilaku benda makroskopik yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Hasil
dari perkembangan  teori  ini  melandasi  semua perkembangan teknologi bahkan sampai  pada skala nano [1].
Umumnya  materi  tersusun  atas  partikel- partikel elementer yang terdiri dari fermion dan boson. Fermion adalah kumpulan partikel atau sistem  partikel  yang  memenuhi  distribusi statistik  Fermi-Dirac,  yang  dicirikan  oleh berspin tengahan kelipatan ganjil bilangan bulat dan memenuhi asas larangan Pauli, sedangkan boson  adalah  kumpulan  partikel  atau  sistem
partikel  yang  memenuhi  distribusi  statistik Bose-Einstein  yang  berciri  berspin  bilangan bulat  dan  kelipatannya,  dan  tidak  memenuhi asas larangan Pauli [2].
Yang  termasuk  jenis  keluarga  fermion adalah  kuark  dan  lepton.  Lepton  merupakan partikel  elementer  yang  paling  sederhana  dan hampir  mendekati  partikel  titik.  Lepton memiliki  keluarga  sebagai  berikut  elektron (𝑒 − ) dan  neutrino  elektron (𝜈 𝑒 ) ,  muon (𝜇 − ) dan  neutrino  muon (𝜈 𝜇 ) ,  tau (𝜏) dan  neutrino tau (𝜈 𝜏 ) beserta  anti  partikelnya  masing- masing.
Penelitian  tentang  muon  telah  dilakukan sejak  tahun  1950’an  (Egan,  1981)  dan  mulai berkembang pesat sejak penggandaan produksi muon di NCC ( Nevis Columbia Cyclotron ) dan
CERN-Sc tahun 1957. Penelitian tentang muon ini  dapat  memberikan  penjelasan  teoritis  dan menemukan  aplikasi-aplikasi  yang  potensial pada beberapa bidang ilmu tertentu seperti pada fisika nuklir, fisika atom, fisika zat padat, ilmu kimia, dan metrologi [3].
Ketika  muon  berikatan  dengan  inti  atom helium sehingga terbentuk sistem atom helium muonik,  interaksi antar momen magnetik muon dan  momen  magnetik  elektron  menghasilkan struktur hiperhalus pada tingkat-tingkat energinya dan juga penelitian spektrum energi keadaan terikat sistem 3 partikel ini dibutuhkan untuk  menguji  teori  elektrodinamika  kuantum lebih lanjut [4].
Atom muonik sering disebut atom eksotis karena  memiliki  sebuah  partikel  tidak  stabil. Penangkapan muon oleh atom untuk membentuk  atom-atom  atau  molekul-molekul muonik  eksotis  telah  diteliti  secara  intensif. Salah  satunya  oleh  Eskandari  dan  Rezaie  [5], yang  menggunakan  syarat-syarat  batas  untuk menghitung  energi  keadaan  dasar  atom-atom helium muonik.
Salah  satu  kajian  penting  dalam  studi atom-atom eksotis ini adalah penentuan energi keadaan  dasarnya,  yang  dapat  ditentukan dengan beberapa metode, salah satunya adalah penggunaan syarat batas fungsi gelombang [5]. Selain  itu,  metode  lain  yang  dapat  digunakan adalah prinsip variasi.
Prinsip  variasi  adalah  salah  satu  cara untuk  menemukan  pendekatan  keadaan  eigen energi terendah atau energi keadaan dasar. Ide dasar  dari  metode  ini  adalah  nilai  ekspekstasi dari operator Hamiltonian  yang disebut energi rata-rata. Energi rata-rata ini harus lebih besar atau  sama  dengan  keadaan  energi  terendah sistem.  Karena  energi  terendah  sebagai  batas bawah dari nilai ekspektasi maka memungkinkan untuk memilih fungsi gelombang  “coba” (trial  wave  function) yang mengandung sejumlah parameter dan meminimasi  nilai  ekspektasi  Hamiltonian dengan  metode  variasi.  Dasar  metode  variasi adalah memilih sebuah fungsi gelombang yang tergantung pada satu atau lebih parameter dan menemukan  nilai-nilai  parameter  ini  dengan nilai harapan energi serendah mungkin.
Pada kajian ini, peneliti akan mengaplikasikan metode variasi pada penentuan energi keadaan dasar helium muonik eksotis.  Oleh  karena  itu,  peneliti  melakukan riset dengan judul “Penentuan Energi Keadaan
Dasar  Sistem  Atom  Helium  Muonik  Eksotis ( 𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) Menggunakan Prinsip Variasi ”

## DASAR TEORI

## Sistem Atom Berelektron Banyak
Atom  Helium  merupakan sistem atom berelektron  banyak  yang  paling  sederhana, atom  helium  terdiri  dari  dua  elektron  yang mengorbit di sekitar inti. Operator hamiltonian untuk sistem atom helium ini yaitu [6]:
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 ∇ 1 2 − ℏ 2 2𝑚 ∇ 2 2 − 2𝑒 2 4𝜋𝜀 0 𝑟 1 − 2𝑒 2 4𝜋𝜀 0 𝑟 2 + 𝑒 2 4𝜋𝜀 0 1 |𝑟 12 | (1)
Apabila solusi persamaan Schrodinger untuk  sistem  ini  adalah 𝜓(𝑟 1 , 𝑟 2 ) ,  maka persamaan  nilai  eigen  dapat  ditulis  sebagai berikut:
𝐻𝜓(𝑟 1 , 𝑟 2 ) = 𝐸𝜓(𝑟 1 , 𝑟 2 )            (2) Dengan 𝐸 energi total sistem.
Fungsi Gelombang Sistem 𝟐 Elektron Fungsi gelombang lengkap 𝜓(1,2,3 … 𝑛) dari  sistem 𝑛 partikel  dapat dinyatakan sebagai hasil kali fungsi gelombang ruang 𝜙(1) , 𝜙(2) , 𝜙(3), … 𝜙(𝑛) dari  masing- masing partikel dan fungsi spin setiap partikel. Jika  terdapat  sistem  dengan 2 elektron  maka fungsi  gelombang  sistem 2 elektron  tersebut merupakan  hasil  kali  fungsi  gelombang  ruang 𝜙(𝑟⃗ 1 , 𝑟⃗ 2 ) yang  merepresentasikan  koordinat elektron  dan  fungsi  spin 𝜒 (𝑠⃗ 1 , 𝑠⃗ 2 ) yang merepresentasi orientasi spinnya.
𝜓(1,2) = 𝜙(𝑟⃗ 1 , 𝑟⃗ 2 )𝜒(𝑠⃗ 1 , 𝑠⃗ 2 )
Dalam  mencari  solusi  persamaan
Schrodinger  diasumsikan  bahwa  elektron  dan inti  atom  tidak  memiliki  spin  sehingga  hanya memperhitungkan  interaksi  elektrostatis  antar inti  dengan  elektron  dan  elektron  dengan elektron yang dalam nantinya dalam kajian ini elektron  tersebut  digantikan  dengan  muon, sehingga didefinisikan suatu fungsi gelombang yang memberi representasi koordinat elektron. 𝜓(1,2) = 𝜙(𝑟⃗ 1 , 𝑟⃗ 2 )                  (3) Yang dalam pendekatan orbital, Persamaan (3) dapat ditulis sebagai berikut:
𝜓(1,2) = 𝜙(𝑟⃗ 1 )𝜙(𝑟⃗ 2 ) dimana 𝜙(𝑟⃗ 1 ) merupakan  fungsi  gelombang yang  merepresentasikan  elektron  1  dan 𝜙(𝑟⃗ 2 ) merupakan fungsi gelombang yang
merepresentasikan elektron 2.
Pendekatan Orbital (orbital approximation) Dalam  mencari  solusi  persamaan
Schrodinger  pada  Persamaan  (2)  di  atas  maka akan ditempuh suatu pendekatan yang dinamakan  pendekatan  orbital  atau  model elektron  independen  atom  helium,  dimana potensial  interaksi  antara  kedua  elektron diabaikan, artinya
𝑉 12 = 𝑒 2 4𝜋𝜀 0 𝑟 12 ≡ 0
Interaksi  antar  elektron  baru  pada  akhirnya diperhitungkan sebagai suatu koreksi saja.
Pendekatan  orbital  ini  merupakan pendekatan pertama dan yang paling sederhana dengan  hamiltonian sistem  atom  helium  dapat ditulis sebagai berikut:
𝐻 = 𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑉 1 + 𝑉 2 Fungsi gelombang untuk pendekatan orbital ini merupakan perkalian 2 fungsi gelombang atom hidrogen 𝜓 0 (𝑟 1 , 𝑟 2 ) ≡ 𝜓 100 (𝑟 1 )𝜓 100 (𝑟 2 ) = 8 𝜋𝑎 3 𝑒 − 2(𝑟 1 +𝑟 2 ) 𝑎
dimana 𝑎 merupakan jari-jari Bohr Apabila elektron dalam keadaan dasar, artinya 𝑛 = 1 ,  maka  energi  total  sistem  atom helium merupakan penjumlahan 2 energi sistem atom hidrogen pada keadaan dasar
𝐸 = (−13,6 𝑍 2 ) + (−13,6 𝑍 2 ) 𝑒𝑉 Dengan 𝑍 = 2 , sehingga diperoleh 𝐸 = −108,8 𝑒𝑉                        (4)
Sedangkan  pengamatan  menunjukkan  bahwa untuk  tingkat  dasarnya  energi  total  helium adalah:
𝐸 = −78,98 𝑒𝑉                         (5)
Hal  ini  disebabkan  karena  suku  interaksi elektron-elektron diabaikan.

## Potensial interaksi antar elektron
Berdasarkan  pendekatan  orbital  tetapi dimana 𝑉 12 diperhitungkan  sebagai  koreksi, andaikan bahwa 𝑉 12 hanya memberi kontribusi kecil  terhadap 𝐻 ,  maka 𝑉 12 dapat  dianggap sebagai  gangguan  saja  yang  tidak  banyak mengubah 𝜓(𝑟 1 , 𝑟 2 ) sehingga 𝑉 12 dapat ditentukan  melalui  penggunaan 𝜓(𝑟 1 , 𝑟 2 ) sebagai berikut:
〈𝑉 12 〉 = ∬ 𝜓 ∗ (𝑟 1 , 𝑟 2 ) 𝑒 2 4𝜋𝜀 0 𝑟 12 𝜓(𝑟 1 , 𝑟 2 )𝑑 3 𝑟 1 𝑑 3 𝑟 2 (6)
Untuk  menyelesaikan 𝑉 12 pada  Persamaan  (6) dapat  dimulai  dengan  pengintegralan  terhadap 𝑟 2 terlebih dahulu sehingga untuk tujuan ini, 𝑟 1 dianggap konstan. 𝑟 12 dapat dievaluasi dengan menggunakan rumus cosinus
|𝑟 12 | = √𝑟 1 2 + 𝑟 2 2 − 2𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜃 2 (7)
Dengan  memasukkan  Persamaan (7) ke Persamaan (6) maka diperoleh
〈𝑉 12 〉 = ( 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ) ( 8 𝜋𝑎 3 ) 2 (∫ 𝑒 − 4𝑟 1 𝑎 𝑑 3 𝑟 1 ) ∫ ∫ ∫ 𝑒 − 4𝑟 2 𝑎 𝑟 2 sin 𝜃 2 √𝑟 1 2 + 𝑟 2 2 − 2𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜃 2 2𝜋 𝜑 2 =0 𝜋 𝜃 2 =0 ∞ 𝑟 2 =0
𝑑𝜑 2 𝑑𝜃 2 𝑑𝑟 2 (8)
hasil integral terhadap 𝜑 2 ialah 2𝜋 , sedangkan hasil integral terhadap 𝜃 2 ialah sebagai berikut:
∫ sin 𝜃 2 √𝑟 1 2 + 𝑟 2 2 − 2𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜃 2 , 𝑑𝜃 2 0 𝜋
= √ √𝑟 1 2 + 𝑟 2 2 − 2𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜃 2 𝑟 1 𝑟 2 | 0 𝜋
dengan  memasukkan  nilai  batas,  maka diperoleh
= 1 𝑟 1 𝑟 2 [(𝑟 1 + 𝑟 2 ) − |𝑟 1 − 𝑟 2 |] = { 2 𝑟 1 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑟 2 < 𝑟 1 , 2 𝑟 2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑟 2 > 𝑟 1 , ( 9)
hasil  yang  diperoleh  pada  Persamaan  (9) dimasukkan  ke  Persamaan  (8)  sehingga diperoleh
〈𝑉 12 〉 = ( 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ) ( 8 𝜋𝑎 3 ) 2 (∫ 𝑒 − 4𝑟 1 𝑎 𝑑 3 𝑟 1 ) ( 𝜋𝑎 3 8𝑟 1 [1 − (1 + 2𝑟 1 𝑎 ) 𝑒 − 4𝑟 1 𝑎 ])          (10)
Persamaan (10) diintegralkan terhadap 𝑟 1 yang semula dianggap konstan
〈𝑉 12 〉 = ( 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ) ( 8 𝜋𝑎 3 ) ∫ [1 − (1 + 2𝑟 1 𝑎 ) 𝑒 − 4𝑟 2 𝑎 ] 𝑒 − 4𝑟 2 𝑎 r 1 sin 𝜃 1 𝑑𝑟 1 𝑑𝜃 1 𝑑𝜑 1
hasil dari integral 𝜃 1 dan 𝜙 1 ialah 4𝜋, dan hasil dari integral 𝑟 1 ialah
∫ [𝑟 1 𝑒 −4𝑟 1 /𝑎 − (𝑟 1 + 2𝑟 1 2 𝑎 ) 𝑒 −8𝑟 1 /𝑎 ] 𝑑𝑟 1 ∞ 0 = 5𝑎 2 128 (11)
dengan  memasukkan  Persamaan  (11)  ke Persamaan  (10),  diperoleh  nilai  potensial interaksi antar elektron
〈𝑉 12 〉 = 5 4𝑎 ( 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ) = − 5 2 𝐸 1 = 34 𝑒𝑉      (12)
Nilai potensial interaksi ini kemudian dijumlahkan  dengan  nilai  energi  total  pada Persamaan  (4)  yang  diperoleh  dengan  metode pendekatan  orbital,  sehingga  diperoleh  energi total  pada  keadaan  dasar  untuk  sistem  atom helium
〈𝐻〉 = −108,8 𝑒𝑉 + 34𝑒𝑉
= −74,8 𝑒𝑉                             (13)
Persamaan  (13)  merupakan  energi  total  yang diperoleh  dengan  memperhitungkan  suku interaksi  antar  kedua  elektron,  nilai  ini  tidak memenuhi  nilai  energi  keadaan  dasar  atom helium  secara  eksperimen  yang  ditunjukkan pada  Persamaan  (5),  sehingga  Griffiths  dalam bukunya  menyarankan  untuk  mengunakan fungsi gelombang coba berikut:
𝜓 1 (𝑟 1 , 𝑟 2 ) ≡ 𝑍 3 𝜋𝑎 3 𝑒 − 𝑍(𝑟 1 +𝑟 2 ) 𝑎 (14)
dimana 𝑍 sebagai sebuah parameter variasional dan 𝑎 sebagai jari-jari Bohr.
Mendapatkan nilai energi total berdasarkan prinsip Variasi
Fungsi  gelombang  pada  Persamaan (14) merupakan fungsi eigen dari Hamiltonian tak  terganggu  dengan 2 sebagai  pengganti 𝑍 didalam  suku  potensial  Coulomb,  sehingga Hamiltonian  pada  Persamaan  (1)  dapat  ditulis kembali sebagai berikut (Grifiths, 1994):
𝐻 = − ℏ 2 2𝑚 (∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) − 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ( 𝑍 𝑟 1 + 𝑍 𝑟 2 ) + 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ( (𝑍 − 2) 𝑟 1 + (𝑍 − 2) 𝑟 2 + 1 |𝑟 1 − 𝑟 2 | )
Nilai  ekspektasi  H  dapat  ditunjukan  oleh persamaan berikut:
〈𝐻〉 = 2𝑍 2 𝐸 1 + 2(𝑍 − 2) ( 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ) 〈 1 𝑟 〉 + 〈𝑉 12 〉             (15)
Dimana 〈1/𝑟〉 adalah nilai ekspektasi dari 1/𝑟 dalam  keadaan  dasar  atom  hidrogenik  (untuk kasus  1  partikel) 𝜓 100 ,  harga  ekspektasi  dari 1/𝑟 adalah
〈 1 𝑟 〉 = 𝑍 𝑎 (16)
Nilai ekspektasi dari 𝑉 12 telah dihitung pada sub bab sebelumnya yaitu pada Persamaan (12)
〈𝑉 12 〉 = 5𝑍 8𝑎 ( 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ) =   − 5𝑍 4 𝐸 1 (17)
Dengan  mensubtitusikan  Persamaan  (17)  dan (16) ke Persamaan (15) maka diperoleh:
〈𝐻〉 = [2𝑍 2 − 4𝑍(𝑍 − 2) − ( 5 4 ) 𝑍] 𝐸 1 = [−2𝑍 2 + ( 27 4 ) 𝑍] 𝐸 1 (18)
Menurut  prinsip  variasional,  kuantitas 〈𝐻〉 ini,  besarnya  bisa  melebihi  ataupun minimal sama dengan nilai Eg untuk setiap nilai Z . Nilai  teratas  dari  keadaan  terikat  terendah ketika 𝐻 diminimumkan adalah
𝑑 𝑑𝑍 〈𝐻〉 = [−4𝑍 + ( 27 4 )] 𝐸 1 (19)
Dari Persamaan (18), didapatkan
𝑍 = 27 16 = 1,69                          (20)
Nilai  Z  yang  diperoleh  pada  Persamaan  (20) dimasukkan  ke  Persamaan  (18),  sehingga diperoleh
〈𝐻〉 = 1 2 ( 3 2 ) 6 𝐸 1 = −77.5 𝑒𝑉       (21)
Persamaan  (21)  merupakan  nilai  energi keadaan  dasar  sistem  atom  helium  yang mendekati  nilai  energi  keadaan  dasar  atom helium secara eksperimen [6]

## Prinsip Variasi
Anggap  terdapat  kumpulan  keadaan (state) |𝜓 𝑘 ⟩ yang memenuhi persamaan berikut dan memiliki energi keadaan dasar 𝐸 0 [7] 𝐻|𝜓 𝑘 ⟩ = 𝐸 𝑘 |𝜓 𝑘 ⟩                         (22)
Dari  Persamaan  (22),  dapat  ditentukan  bentuk fungsional dari |𝜓 0 ⟩, yang sering disebut fungsi gelombang coba ( trial wave function ) |Ψ⟩ . Jika |Ψ⟩ memenuhi  syarat-syarat  batas  yang sama dengan |𝜓 𝑘 ⟩ , maka dapat ditulis
|Ψ⟩ = ∑ 𝑐 𝑘 |𝜓 𝑘 ⟩ 𝑘 ⟨𝜓 𝑘 |𝜓 𝑘 ⟩ = 𝛿 𝑘𝑘′ (23)
Anggap  kumpulan  keadaan  ini  komplit (complete  set)  dalam  suatu  limit  yang  jelas (well-defined  limit).  Maka  dapat  ditentukan nilai ekspektasi ternormalisasi dari H (Rayleigh
Quotient). Anggap ⟨Ψ|Ψ⟩ = 1
sehingga
∑ 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛 ∗ = 1 𝑛 yang  dapat  diperoleh  dengan menormalisasi koefisien
𝜀 = ⟨Ψ|𝐻|Ψ⟩ ⟨Ψ|Ψ⟩
𝜀 − 𝐸 0 = ∑ 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛 ∗ , ⟨𝜓 𝑛 |𝐻 ̂ − 𝐸 0 |𝜓 𝑛 ′ ⟩ 𝑛𝑛 ′ 𝜀 − 𝐸 0 = ∑ 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛 ∗ (𝐸 𝑛 − 𝐸 0 ) 𝑛 (24)
Dari  Persamaan  (24),  diperoleh 𝜀 ≥ 0 karena 𝐸 0 adalah energi keadaan dasar, sehingga dapat disimpulkan  bahwa 𝜀 − 𝐸 0 ≥ 0 maka 𝜀 selalu merupakan batas atas 𝐸 0 [7].

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian  ini  adalah  kajian  teoritis  yang berkaitan  dengan  permasalahan  yang  dikaji. Dalam  melakukan  kajian  ini  akan  dilakukan beberapa hal berikut :
1. Memvisualisasikan sistem muonik helium eksotis 𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − .
2. Menentukan  fungsi  gelombang  coba menggunakan orbital approximation .
3. Menormalisasikan fungsi gelombang coba-coba ini.
4. Menentukan  Hamiltonian  sistem  (dengan mengabaikan  efek  spin  dan  koreksi relativistik)  menggunakan  pendekatan Born-Oppenheimer.
5. Meminimumkan nilai ekspektasi Hamiltonian  yang  telah  diperoleh  pada
langkah  ke-4  untuk  mendapatkan  bentuk eksplisit dari parameter variasi.
6. Menentukan  nilai  energi  rata-rata  helium muonik  eksotis  ( 𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) dengan menggunakan prinsip variasi.
7. Membandingkan  dengan  energi  keadaan dasar helium ( 𝐻𝑒) dan (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) 8. Menginterpretasi hasil perbandingan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Sistem atom dalam kajian ini merupakan sistem atom helium muonik eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) , yang terdiri dari sebuah inti atom helium  dan  2  buah  muon  negatif.  Jika  pada sistem  atom  helium (𝐻𝑒) terdapat  2  buah elektron yang mengitari inti, maka pada sistem ini  kedua  elektron  tersebut  digantikan  oleh muon  yang  massanya ≅ 207 massa  elektron.
Dengan massa tereduksi sebesar
𝜇 ≈ 207 𝑚 𝑒 Dan jari-jari Bohr termodifikasi 𝑎 𝜇 − ,𝛼 𝑎 𝜇 − ,𝛼 ≅ 𝑎 0 414 (25)
Penentuan energi keadaan dasar sistem helium  muonik  eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) dalam kajian  ini  menggunakan  metode  pendekatan prinsip  variasi  yang  mana  penentuan  energi keadaan dasar ini didasari oleh teorema berikut [6] :
𝐸 𝑔 ≤   ⟨𝜓|𝐻|𝜓⟩ = 〈𝐻〉
Nilai ekspektasi Hamiltonian yang bergantung pada pilihan 𝜓 merupakan nilai energi keadaan dasar  yang  tidak  lebih  kecil  dari  nilai  eigen energi terendah 𝐸 𝑔 .
Fungsi Gelombang Coba Keadaan Dasar Sistem  Atom  Helium  Muonik  Eksotis (𝑯𝒆 𝟐+ 𝝁 − 𝝁 − )
Berdasarkan  metode  pendekatan  orbital,  maka penulis  memilih  fungsi  gelombang  ion hidrogenik  pada  keadaan  dasar (𝑛 = 1, 𝑙 = 0, 𝑚 = 0) sebagai  fungsi  gelombang  coba. Fungsi  ini  memberi  representasi  untuk  sistem dalam  kajian  ini,  namun  perlu  diingat  bahwa sistem  ini  merupakan  sistem  atom  muonik sehingga  radius  Bohr  pada  fungsi  gelombang tersebut  diganti    dengan  radius  Bohr termodifikasi. Oleh karena itu fungsi gelombang coba yang dipilih adalah
𝜙(𝑟⃗ 1 ) = 𝜙(𝑟 1 ) = 𝑁𝑒 − 𝛿𝑟 1 𝑎 𝜇−,𝛼 (26) dan
𝜙(𝑟⃗ 2 ) = 𝜙(𝑟 2 ) = 𝑁𝑒 − 𝛿𝑟 2 𝑎 𝜇−,𝛼 (27) dimana  N  merupakan  konstanta  normalisasi fungsi  gelombang  coba, 𝜙(𝑟 1 ) dan 𝜙(𝑟 2 ) merupakan  fungsi  gelombang  coba  yang merepresentasikan  muon  1  dan  muon  2, 𝛿 merupakan parameter variasi, 𝑎 𝜇 − ,𝛼 merupakan radius Bohr termodifikasi, 𝑟 1 dan 𝑟 2 merupakan jarak muon 1 dan muon 2 terhadap inti atom.
Nilai N pada Persamaan (26) dan (27) dapat  ditentukan  dengan  menggunakan  syarat normalisasi fungsi gelombang, sehingga diperoleh
𝜙(𝑟 1 ) = ( 𝛿 3 𝜋𝑎 𝜇 − ,𝛼 3 ) 1 2 𝑒 − 𝛿𝑟 1 𝑎 𝜇−,𝛼 (28)
𝜙(𝑟 2 ) = ( 𝛿 3 𝜋𝑎 𝜇 − ,𝛼 3 ) 1 2 𝑒 − 𝛿𝑟 2 𝑎 𝜇−,𝛼 (29)
Untuk  menyederhanakan  perhitungan,  maka dapat  dimisalkan 𝜆 = 𝛿/𝑎 𝜇 − ,𝛼 ,  dimana 𝛿 merupakan parameter variasi, sehingga Persamaan  (28)  dan  Persamaan  (29)  dapat disederhanakan menjadi
𝜙(𝑟 1 ) = ( 𝜆 3 𝜋 ) 1 2 𝑒 −𝜆𝑟 1 (30)
dan
𝜙(𝑟 2 ) = ( 𝜆 3 𝜋 ) 1 2 𝑒 −𝜆𝑟 2 (31)
Hamiltonian Sistem Atom Helium Muonik Eksotis . Berdasarkan pendekatan Born-
Oppenheimer  Hamiltonian  sistem  ini  dapat ditulis sebagai berikut:
𝐻 ̂ = − ℏ 2 2𝜇 ∇ 1 2 − ℏ 2 2𝜇 ∇ 2 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ( 𝑍 𝑟 1 + 𝑍 𝑟 2 − 1 𝑟 12 )  (32)
Dimana  pada  Persamaan  (32),  suku  pertama merupakan  operator  energi  kinetik  muon pertama,  suku  kedua  merupakan  operator energi  kinetik  muon  kedua,  suku  ketiga merupakan  operator  energi  potensial  muon pertama  dengan  inti  helium,  suku  keempat merupakan  operator  energi  potensial  muon kedua  dengan  inti  helium    dan  suku  kelima merupakan  energi  potensial  tolak  menolak
sebagai  akibat  adanya  interaksi  antar  kedua muon.
Untuk  penyederhanaan  perhitungan digunakan  satuan  atom  Hartree,  sehingga Persamaan (32 )  diatas  dapat  ditulis  sebagai berikut:
𝐻 ̂ = − 1 2 ∇ 1 2 − 1 2 ∇ 2 2 − 𝑍 𝑟 1 − 𝑍 𝑟 2 + 1 𝑟 12 Ide  dasar  dari  prinsip  variasi  adalah menentukan nilai ekpektasi dari operator energi H (Hamiltonian)  yang  disebut  energi  rata-rata yang nilainya sama atau lebih besar dari 𝐸 𝑔 dan memilih  sebuah  fungsi  gelombang  coba  yang mengandung  parameter  variasi,  seperti  yang telah  dijelaskan  pada  langkah  sebelumnya. Nilai  ekspektasi  Hamiltonian  ini  dapat  ditulis dalam notasi Dirac:
〈𝐻〉 = ⟨𝜓|− 1 2 ∇ 1 2 − 1 2 ∇ 2 2 − 𝑍 𝑟 1 − 𝑍 𝑟 2 + 1 𝑟 12 |𝜓⟩ (33
Untuk memudahkan analisis, maka persamaan (33)  akan  dibagi  menjadi  5  bagian  dan  dapat ditulis sebagai berikut:
〈𝐻〉 = ⟨𝜓|𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑉 1 + 𝑉 2 + 𝑉 12 |𝜓⟩
〈𝐻〉 = 〈𝜓|𝑇 1 |𝜓〉 + 〈𝜓|𝑇 2 |𝜓〉 + 〈𝜓|𝑉 1 |𝜓〉 +〈𝜓|𝑉 2 |𝜓〉 + 〈𝜓|𝑉 12 |𝜓〉)                  (34)
Dimana 𝑇 1 mewakili  operator  energi  kinetik muon  1, 𝑇 2 mewakili  operator  energi  kinetik muon 2, 𝑉 1 mewakili operator energi potensial muon 1 dengan inti atom, 𝑉 2 mewakili operator energi potensial  muon 2 dengan inti atom dan 𝑉 12 mewakili  operator  energi  potensial interaksi antar kedua muon.
Dengan
menggunakan fungsi gelombang  coba  pada  Persamaan  (30)  dan Persamaan  (31),  maka  nilai  ekpektasi  dari Hamiltonian  sistem  ini  yang  terdiri  dari  nilai ekspektasi  energi  kinetik  muon  1,  nilai ekpektasi energi kinetik muon 2, nilai ekpektasi energi  potensial  muon  1  terhadap  inti  atom helium, nilai ekspektasi energi potensial muon 2 terhadap inti atom helium dan nilai ekpektasi energi  potensial  interaksi  antar  kedua  muon dapat dievaluasi dan menghasilkan nilai secara berturut-turut ialah
1 2 𝜆 2 , 1 2 𝜆 2 , −𝜆𝑍, −𝜆𝑍 𝑑𝑎𝑛 5 8 𝜆          (35)
Dimana  pada  Persamaan  (35),  setiap  nilai ekspektasi merupakan fungsi 𝜆 yang didalamnya mengandung parameter variasi.
Aplikasi prinsip variasi untuk
memperoleh energi keadaan dasar.
Menentukan parameter variasi (𝜹)
Dengan memasukkan nilai-nilai ekspektasi yang telah diperoleh pada Persamaan  (35)  ke  Persamaan  (),  maka didapatkan
〈𝐻〉 = 𝜆 2 − 2𝜆𝑍 + 5 8 𝜆                 (36)
Pada  Persamaan (36) ,  variabel 𝜆 dapat dikembalikan ke bentuk awal dimana 𝜆 = 𝛿 𝑎 𝜇−,𝛼 , sehingga diperoleh
〈𝐻〉 = 𝛿 2 𝑎 𝜇 − ,𝛼 2 − 2𝑍 𝛿 𝑎 𝜇 − ,𝛼 + 5 8 𝛿 𝑎 𝜇 − ,𝛼 (37)
Langkah  selanjutnya  dari  perhitungan ini  ialah  meminimalkan  fungsi 〈𝐻〉 terhadap parameter variasi (𝛿) , dengan syarat 𝜕〈𝐻〉 𝜕𝛿 = 0
sehingga, diperoleh 𝜕〈𝐻〉 𝜕𝛿 = 2𝛿 𝑎 𝜇 − ,𝛼 2 − 2𝑍 𝑎 𝜇 − ,𝛼 + 5 8𝑎 𝜇 − ,𝛼 = 0 𝛿 = (𝑍 − 5 16 ) 𝑎 𝜇 − ,𝛼 (38)
Persamaan  (38)  merupakan  parameter  variasi yang akan menghasilkan energi terendah.
Menentukan 〈𝑯〉 untuk keadaan dasar.
Dengan  memasukkan  nilai  parameter variasi 𝛿 dari  Persamaan  (38)  ke  Persamaan (37), maka diperoleh:
〈𝐻〉 = ((𝑍 − 5 16) 𝑎 𝜇 − ,𝛼 ) 2 𝑎 𝜇 − ,𝛼 2 − 2𝑍 (𝑍 − 5 16) 𝑎 𝜇 − ,𝛼 𝑎 𝜇 − ,𝛼 + 5 (𝑍 − 5 16) 𝑎 𝜇 − ,𝛼 8𝑎 𝜇 − ,𝛼 〈𝐻〉 = (−𝑍 2 + 5 8 𝑍 − 25 256 ) (𝑎. 𝑢) 𝜇 − (39)
Dengan mengganti nilai 𝑍 pada Persamaan (39) dengan 2 yang merupakan nomor atom helium dan  sekaligus  mengindikasikan  jumlah  proton dalam inti atom helium, maka diperoleh:
〈𝐻〉 = −2,8476 (𝑎. 𝑢) 𝜇 − (40)
dimana
1 (𝑎. 𝑢) 𝑒 = 𝑒 2 4𝜋𝜀 0 𝑎 0 = 𝛼ℏ𝑐 𝑎 0 (41)
Dalam konteks ini diketahui bahwa 1(𝑎. 𝑢) 𝑒 ∝ 1 𝑎 0 ,  sedangkan  untuk  kajian  ini  digunakan satuan  atom  untuk  sistem  helium  muonik eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) yaitu  dengan  mengganti radius Bohr pada persamaan (41) dengan radius Bohr termodifikasi pada Persamaan (25)
𝑎 𝜇 − ,𝛼 ≈ 𝑎 0 414
Sehingga,
1 (𝑎. 𝑢) 𝜇 − ∝ 1 𝑎 𝜇 − ,𝛼 1( 𝑎. 𝑢 ) 𝜇 − ≈ 414 (𝑎. 𝑢) 𝑒 (42)
Maka Persamaan (40) menjadi
〈𝐻〉 = −2,8476 (414) (𝑎. 𝑢) 𝑒 〈𝐻〉 = −1178,9 (𝑎. 𝑢) 𝑒 Satuan energi sistem atomik memiliki hubungan  dengan 𝑒𝑉 yang  didefinisikan sebagai:
1 (𝑎. 𝑢) 𝑒 = 1 Hartree = 27,2 𝑒𝑉
Oleh  karena  itu  nilai  energi  keadaan  dasar untuk sistem ini diberikan oleh:
〈𝐻〉 = −32066,08 𝑒𝑉                 (43)
Persamaan  (43)  menunjukkan  bahwa  untuk melepaskan  2  muon  dari  sistem  dibutuhkan energi minimum berkisar −32 𝐾𝑒𝑉 .
Tabel  1  merupakan  hasil  perhitungan energi  total  untuk  sistem  atom  helium (𝐻𝑒), sistem atom helium  muonik (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) dan sistem atom helium muonik eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) .  Perhitungan  energi  total  untuk untuk  sistem  atom  helium (𝐻𝑒) telah  dikaji oleh  Thakkar  dan  Koga  (1994)  yang menunjukkan  nilai  energi  total  sistem  pada keadaan dasarnya adalah −2,903 (𝑎. 𝑢) 𝑒 yang bersesuaian  dengan  hasil  eksperimen  atau setara  dengan −78,8 𝑒𝑉 ,  sedangkan  untuk sistem atom helium muonik (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) yang terdiri dari sebuah inti atom helium, 1 elektron dan  1  muon,  telah  dikaji  oleh  Rezaie  (2010) dengan  menggunakan  syarat-syarat  batas fungsi gelombang dan didapati nilai energi total minimum sistem ini ialah −402,6 (𝑎. 𝑢) 𝑒 atau −10,9 𝐾𝑒𝑉 .  Selanjutnya  untuk  sistem  atom helium  muonik  eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) yang terdiri dari sebuah inti atom helium dan 2 buah muon,  telah  dikaji  juga  oleh  Eskandari  dan Rezaie  (2004)  dengan  menggunakan  syarat-
syarat  batas  fungsi  gelombang  dengan  nilai energi total yang diperoleh sebesar −2,7251(𝑎. 𝑢) 𝜇 , −2,7923(𝑎. 𝑢) 𝜇 dan −2,8206 (𝑎. 𝑢) 𝜇 , energi keadaan dasar ini jika dikonversi  ke  satuan  atom  elektron (𝑎. 𝑢) 𝑒 maka secara berturut-turut diperoleh −1128,1 (𝑎. 𝑢) 𝑒 , −1156,01 (𝑎. 𝑢) 𝑒 dan −1167,7 (𝑎. 𝑢) 𝑒 atau sekitar −30,1 𝐾𝑒𝑉 , −31,4 𝑘𝑒𝑉 dan −31,7 𝐾𝑒𝑉 secara  berturut-
turut.  Hasil  perhitungan  Eskandari  dan  Rezaie tidak  memberikan  hasil  berbeda  jauh  dengan perhitungan  nilai  energi  total  sistem  atom helium  muonik  eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) yang dikaji oleh penulis, dimana energi total keadaan dasar  sistem  yang  diperoleh  dalam  kajian  ini ialah −2,8476 (𝑎. 𝑢) 𝜇 ,  jika  dalam  satuan massa  elektron (𝑎. 𝑢) 𝑒 nilai  ini  setara  dengan
1178,9 (𝑎. 𝑢) 𝑒 atau sekitar −32,1 𝐾𝑒𝑉 .
Perbandingan energi keadaan dasar sistem atom helium (𝑯𝒆), (𝑯𝒆 𝟐+ 𝝁 − 𝒆 − ) dan (𝑯𝒆 𝟐+ 𝝁 − 𝝁 − )
Perbandingan energi keadaan dasar untuk ketiga sistem ini dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Perbandingan Energi Keadaan Dasar untuk Sistem Atom Helium (𝐻𝑒) , Helium Muonik (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ), dan Helium Muonik Eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) .
N o Sistem Energi keadaan dasar Referensi Teori Eksperimen (𝑎. 𝑢) 𝑒 (𝑎. 𝑢) 𝜇 eV eV 1 (𝐻𝑒) −2,903 ª - −78,9 −78,8ᵇ a [8] ᵇ [ 6 ] 2 (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) −402,6 𝒄 - −10950,7 - c [9] 3 (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) −1128,1 −2,7251 d −30686,7
- d [ 5 ] −1156,01 −2,7923 d −31443,4 - −1167,7 −2,8206 d −31761,9 - 4 (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) −1178,9 −2,8476 −32066,08 - Penulis
Berdasarkan perbandingan energi
keadaan  dasar  untuk  sistem  atom  helium (𝐻𝑒), helium  muonik (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) dan helium  muonik  eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) pada Tabel 4.1 didapati bahwa nilai energi total pada keadaan  dasarnya  untuk  sistem  atom  helium muonik  eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) lebih  besar dibandingkan  dengan  kedua  sistem  lainnya, dimana  untuk  melepaskan  2  muon  dari  sistem tersebut dibutuhkan energi sekitar −32,1 𝐾𝑒𝑉, energi  yang  dibutuhkan  ini  jauh lebih  besar  dari  energi  yang  dibutuhkan  untuk melepaskan 1 muon dan 1 elektron pada sistem atom  helium  muonik (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) dan  2 elektron pada sistem atom helium (𝐻𝑒) . Hal ini
dipengaruhi  oleh  besarnya  massa  kedua  kedua partikel  yang  terikat  pada  inti  atom,  dimana muon pada sistem atom helium muonik eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) memiliki  massa  yang  besarnya sekitar 207 𝑚 𝑒 . Selain itu, muon yang memiliki massa  lebih  besar  dari  elektron  tersebut  akan berada  pada  jarak  yang  lebih  dekat  ke  inti dibandingkan  dengan  elektron  sehingga  untuk melepaskannya  dibutuhkan  energi  yang  lebih besar.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  kajian  teoritik  yang  telah dilakukan, maka dapat disimpulkan:
1. Berdasarkan  pendekatan  orbital (orbital approximation) maka  fungsi  gelombang coba  ternormalisasi  untuk  sistem  atom helium  muonik  eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) merupakan fungsi gelombang atom hidrogen pada keadaan dasar yaitu sebagai berikut:
𝜙(𝑟 1 ) = ( 𝛿 3 𝜋𝑎 𝜇 − ,𝛼 3 ) 1 2 𝑒 − 𝛿𝑟 1 𝑎 𝜇−,𝛼 dan
𝜙(𝑟 2 ) = ( 𝛿 3 𝜋𝑎 𝜇 − ,𝛼 3 ) 1 2 𝑒 − 𝛿𝑟 2 𝑎 𝜇−,𝛼
2. Berdasarkan
pendekatan Born-
Oppenheimer  maka  operator  Hamiltonian untuk sistem atom helium muonik eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) ialah  sebagai  berikut  terdiri dari  operator  energi  kinetik  muon  1, operator  energi  kinetik  muon  2,  operator energi potensial muon 1 terhadap inti atom helium,  operator  energi  potensial  muon  2 terhadap  inti  atom  helium  dan  operator energi  potensial  interaksi  antar  kedua muon.
𝐻 ̂ = − ℏ 2 2𝜇 ∇ 1 2 − ℏ 2 2𝜇 ∇ 2 2 − 𝑒 2 4𝜋𝜖 0 ( 𝑍 𝑟 1 + 𝑍 𝑟 2 − 1 𝑟 12 )
3. Energi  total  keadaan  dasar  sistem  atom helium muonik eksotis (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) yang diperoleh menggunakan pendekatan prinsip variasi ialah −32066,08 𝑒𝑉 artinya  bahwa  untuk  melepaskan  2  muon dari  sistem  ini  dibutuhkan  energi  sebesar 32,1 𝐾𝑒𝑉
4. Nilai  energi  total  pada  keadaan  dasar sistem  atom  helium  muonik  eksotis
(𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝜇 − ) lebih  besar  dibandingkan dengan  energi  total  pada  keadaan  dasar sistem atom helium (𝐻𝑒) dan energi total sistem atom helium muonik (𝐻𝑒 2+ 𝜇 − 𝑒 − ) . Hal  ini  disebabkan  oleh  perbedaan  massa tereduksi sistem-sistem ini dalam pendekatan orbital.

## Saran
Pada penelitian ini hanya memperhitungkan  interaksi  antar  inti  dengan muon dan muon dengan muon, sedangkan efek
spin inti dan spin muon diabaikan. Oleh karena itu  dibutuhkan  penelitian  lebih  lanjut  dengan menambahkan  berbagai  koreksi  kedalam perhitungan  seperti  struktur  halus  yang dihasilkan oleh efek relativistik dan spin muon, pergeseran Lamb dan struktur hiperhalus  yang diakibatkan oleh efek spin inti.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Hardhienata,  H.  2014. Tutorial  mekanika Kuantum. Austria: Johanes Kepler University
2. Besier,  A.  1987. Konsep  Fisika  Modern . Jakarta : Penerbit Erlangga.
3. Putlitz,  zu  Gisbert.  1992.  Opening  of  the symposium  “The  Future  of  Muon  physics” Z-Phys. C-Particle and Fields , Vol 56, S3- S4.
4. Krutov,  A.A.  dan  A, P.  Martynenko.  2008. Ground state Hyperfine structure of muonic helium  atom. ” Physics  of  fundamental interactions ”, Moscow.
5. Eskandari,  M.  R,  dan  B.  Rezaie.  2004. Calculation of  the Ground-State Energy and Studies of Other Properties of Exotic Helium Atoms  With  the  Use  of  Boundary Conditions of Wave Function . Internasional Jurnal of Quantum Chemistry ,Vol 101, 320- 324.
6. Griffiths, D. 1994. Introduction to Quantum Mechanics . USA: Pretince Hall.Inc
7. Pingak,  R.  2015. Bahan  Ajar  Fisika Kuantum . Kupang: Universitas Nusa Cendana
8. Thakkar  A.J  dan  T.  Koga.  1994.  Ground state  energies  for  the  helium  isoelectronic series. Physical review A, Vol 50,854-856
9. Rezaie, B. 2010. Calculation of Energy and Other  Properties  of  Muonic  Helium  Atom Using  Boundary  Conditions  of  wave function. Commun.  Theor.  Physic. Vol 54,518-520.