## Pendekatan Metode Bayesian untuk Kajian Estimasi Parameter Distribusi Log-Normal untuk Non-Informatif Prior

## Evi Noor Diana dan Soehardjoepri
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : djoepri.its@gmail.com
Abstrak — Distribusi  Log-Normal  merupakan  salah satu  dari  beberapa  distribusi  kontinu.  Distribusi  Log- Normal  tersebut  memiliki  parameter  yang  harus  di estimasi  yaitu  parameter  mean  θ  dan  varians 𝛔 𝟐 . Penelitian  dilakukan  dengan  metode  Bayes  yaitu penggabungan  distribusi  sampel  dan  distribusi  prior, sehingga  diperoleh  distribusi  posterior.  Distribusi  prior yang  digunakan  adalah  non-informatif  prior.  Teknik penentuan  dari  non-informatif  prior  menggunakan metode  Jeffrey’s  dari  distribusi  Log-Normal  univariat.
Setelah  mendapatkan  distribusi  posterior,  menemukan distribusi marginal dari mean θ dan varians 𝛔 𝟐 . Setelah mendapatkan  distribusi  marginal,  langkah  selanjutnya adalah  mendapatkan  nilai  harapan  (ekspektasi)  dari distribusi  marginal.  Sehingga  akan  mendapatkan estimasi titik untuk mean θ dan varians 𝛔 𝟐 .
Kata  Kunci —  Distribusi  Log-Normal  ,  Fungsi Likelihood,  Non-Informatif  Prior,  Metode  Bayes, Distribusi Posterior.

## I. PENDAHULUAN
stimasi  adalah  suatu  metode  dimana  kita  dapat memperkirakan  nilai  dari  suatu  populasi  dengan menggunakan nilai dari sampel. Jenis estimasi ada dua yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Estimasi titik adalah  nilai  yang  berfungsi  untuk  suatu  pendugaan dari  parameter  populasi.  Estimasi  Interval  adalah interval  yang  menyatakan  keberadaan  dari  suatu parameter populasi [1]. Contoh sederhana, apabila kita ingin  menyebrang  jalan,  kita  menaksir  berapa kecepatan  kendaraan  yang  melewati  jalan  pada  saat itu. Sehingga kita dapat memutuskan akan menyebrang atau tidak. Untuk mengestimasi parameter suatu populasi maka diambil sebuah sampel yang  representatif,  sebelum  estimasi  dilakukan,  perlu diketahui  lebih  dulu  keadaan  populasi  variabel  acak tersebut  secara  apriori,  seperti bentuk  distribusinya, dan karakteristik  parameter-parameter  lain.  Walaupun kerapkali  informasi  tentang  populasinya  sangat minimal,  informasi  yang  diperoleh  secara  apriori  itu kemudian  dapat  ditambahkan  pula  dengan  informasi yang diperoleh dari sampel itu sendiri
Metode  Bayes  memandang  parameter  sebagai variabel  yang  menggambarkan  pengetahuan  awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut dengan
distribusi  prior.  Pemilihan  prior  secara  umum dilakukan  berdasarkan  diketahui  atau  tidaknya informasi mengenai  parameter. Jika  informasi mengenai  parameter  diketahui,  maka  prior  informatif, yaitu  prior  yang  memengaruhi  hasil  distribusi posterior dan bersifat sangat subjektif, sedangkan jika informasi  mengenai  parameter  tidak  tersedia,  maka digunakan prior non-informatif yang tidak memberikan  pengaruh  yang  signifikan  terhadap distribusi posterior, sehingga informasi yang diperoleh dari  data  amatan  bersifat  lebih  objektif.  Setelah pengamatan  dilakukan,  informasi  dalam  distribusi prior  dikombinasikan  dengan  informasi  dengan  data sampel  melalui  teorema  Bayes,  dan  hasilnya dinyatakan  dalam  bentuk  distribusi  yang  disebut distribusi posterior [2].
Sebuah  peubah  dapat  dimodelkan  sebagai  log- normal bila ia dapat dipandang sebagai hasil kali dari banyak  peubah  acak  bebas  (independen)  masing- masing  bernilai  positif.  Sebagai  contoh,  dalam keuangan,  peubah  ini  dapat  mewakili  pendapatan majemuk  dari  sederetan  perdagangan  atau  faktor diskonto  jangka  panjang  dapat  diturunkan  dari  hasil kali  faktor-faktor  diskonto  jangka  pendek.  Dalam komunikasi  nirkabel,  atenuasi  yang  disebabkan  oleh pembayangan atau pengaburan lambat dari benda acak sering dianggap berdistribusi Log-Normal.
Salah  satu  contoh  penelitian  yang  membahas estimasi  parameter  dengan  metode  Bayes  adalah penelitian  yang  dilakukan  oleh  Sultan  dan  Ahmad. Penelitiannya  menjelaskan  tentang  mendapatkan perbandingan  nilai  estimasi  titik  metode Maksimum Likelihood Estimator (MLE) dengan metode Bayesian .
Menggunakan distribusi Log-Normal dengan
diketahui distribusi prior ( informative prior) . Kemudian  dicari  fungsi  likelihood  lalu  dikalikan dengan  distribusi  prior  menjadi  distribusi  posterior. Setelah mendapatkan distribusi posterior, menemukan distribusi  marginal  dari  mean 𝜇 dan  varian 𝜎 2 . Langkah  selanjutnya  mendapatkan  nilai  harapan ( ekspektasi) dari distribusi marginal sehingga mendapatkan  estimasi  titik  untuk  mean 𝜇 dan  varians 𝜎 2 [3].
Berdasarkan penelitian tersebut, penelitian ini akan membahas  tentang  estimasi  parameter  distribusi  Log- Normal  untuk  non-informatif  prior.  Estimasi  titik didapatkan dengan menggunakan metode Bayes.
E

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## Distribusi Log-Normal
Misalkan  sebuah  peubah  acak  X  bilangan  real positif  ( 0 < 𝑥 < ∞ ).  Sedemikian  sehingga 𝑌 = ln 𝑥 merupakan  distribusi  Normal  dengan  rata-rata θ dan variansi 𝜎 2 . 𝑋 = 𝑒 𝑦 merupakan distribusi Log-Normal atau  dapat  ditulis  dengan 𝐿𝑁(𝜃, 𝜎 2 ) dan 𝑌 ≈ 𝑁(𝜃, 𝜎 2 ) . Karena  X  dan  Y  dihubungkan  oleh  relasi 𝑌 = ln 𝑥 , maka fungsi kepekatannya adalah sebagai berikut [1] :
𝑓(𝑥) = { 1 𝑥 𝜎√2𝜋 𝑒𝑥𝑝 [ − (ln x −𝜃) 2 2𝜎 2 ] ,     𝑥 > 0 0   ,          𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
(1)
Variabel acak positif X yang berdistribusi Log-Normal mempunyai  mean  exp (𝜃 + 𝜎 2 2 ) dan  varians exp( 2𝜃 + 𝜎 2 ) {exp( 𝜎 2 ) − 1} [1].

## Fungsi Likelihood
Fungsi  Likelihood  adalah  misalkan 𝑋 1 , 𝑋 2 , … . , 𝑋 𝑛 sampel  acak  dengan  fungsi  peluang 𝑓(𝑥 𝑖 ; θ) ,  i  =  1,  2, ...,  n.  Apabila  L  yaitu  fungsi  peluang  bersama  dari 𝑋 1 , 𝑋 2 , … . , 𝑋 𝑛 dipandang  sebagai  fungsi  dari θ dan 𝑥 1 , 𝑥 2 , … . , 𝑥 𝑛 sebagai bentangan tertentu maka [4]
𝐿(𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥 𝑖 ; θ) 𝑛 𝑖=1 (2)

## Non-Informatif Prior
Non-informatif berhubungan dengan situasi dimana  distribusi  prior  tidak  memiliki  basis  populasi. Hanya  terdapat  sedikit  informasi  prior  sehingga distribusi  prior  berperan  minimal  dalam  distribusi posterior. Salah satu bentuk pendekatan dari prior non- informatif  adalah  dengan  menggunakan  metode Jeffrey’s.  Distribusi  prior  untuk  satu  parameter 𝜃 adalah sekitar non informatif jika diambil proposional maka akar kuadrat dari informasi Fisher [2].
𝑓(𝜃) =   [𝐼(𝜃)] 1 2
(3)
dimana 𝐼(𝜃) merupakan nilai harapan informasi Fisher
𝐼(𝜃) = −𝐸 𝜃 [ 𝜕 2 log 𝑓(𝑥;𝜃) 𝜕𝜃 2 ] (4)

## Metode Bayes
Pendekatan  Bayes  dalam  mengestimasi  estimator dari parameter menggabungkan informasi dari sampel dengan informasi lain telah tersedia sebelumnya.
Besaran  parameter 𝜃 dalam  sebuah  populasi  yang memuat variabel acak x dapat digunakan dalam bentuk aturan peluang, yaitu sebagai berikut [5]:
𝑓(𝜃|𝑥) = 𝑓(𝑥|𝜃)𝑓(𝜃)
𝑓(𝑥)
(5)

## Distribusi Posterior
Distribusi posterior adalah penggabungan distribusi sampel dan distribusi prior [2].
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ~ 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑥 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓(θ| x) = 𝑓(x | θ) . 𝑓(𝜃)
(6)
dimana 𝑓(x | θ) merupakan fungsi likelihood dan 𝑓(𝜃) merupakan distribusi prior.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## Fungsi Likelihood
Jika 𝑋 1 , 𝑋 2 , … . , 𝑋 𝑛 adalah sampel acak berdistribusi Log-Normal dengan densitas 𝑓(𝑥 1 ;  𝜃, 𝜎 2 ) maka fungsi likelihoodnya didefinisikan dengan [5]:
𝐿(𝜃, 𝜎 2 ) = ∏ 𝑓(𝑥 𝑖 ; θ, 𝜎 2 ) 𝑛 𝑖=1 ( 1 √2𝜋 𝜎 2 𝑥 𝑖 2 ) 𝑛 𝑒𝑥𝑝 [− 1 2𝜎 2 ∑ (ln 𝑥 𝑖 − 𝜃) 2 𝑛 𝑖=1 ] (7)

## Non-informatif Prior
Distribusi  non-informatif  prior 𝑓(𝜗) dimana 𝜗 = (𝜃, 𝜎 2 ) ,  diasumsikan  bahwa 𝜃 dan 𝜎 2 adalah independen (bebas) sehingga 𝑓(𝜗) = 𝑓(𝜃)𝑓(𝜎 2 ). Menentukan  distribusi  non-informatif  prior 𝑓(𝜎 2 ) adalah sebagai berikut:
𝑓(𝑥; θ, 𝜎 2 ) = 1 𝑥𝜎√2𝜋 𝑒𝑥𝑝 [ − (ln 𝑥−𝜃) 2 2𝜎 2 ]
log 𝑓(𝑥; θ, 𝜎 2 ) = − 1 2 log 2𝜋   − 1 2 log 𝜎 2 − 1 2 log 𝑥 2 − ( (ln 𝑥 − 𝜃) 2 2𝜎 2 )
Jika 𝑢 = 𝜎 2 maka log 𝑓(𝑥; θ, 𝑢) = − 1 2 log 2𝜋   − 1 2 log 𝑢 − 1 2 log 𝑥 2 − ( (ln 𝑥 − 𝜃) 2 2𝑢 ) 𝑑  log 𝑓(𝑥; θ, 𝑢) 𝑑𝑢 = − 1 2𝑢 + (ln 𝑥 − 𝜃) 2 2𝑢 2 𝑑 2 log 𝑓(𝑥; θ, 𝑢) 𝑑𝑢 2 = 1 2𝑢 2 − (ln 𝑥 − 𝜃) 2 𝑢 3 𝑑 2 log 𝑓(𝑥; θ, 𝑢) 𝑑𝑢 2 = 1 2𝜎 4 − (ln 𝑥 − 𝜃) 2 𝜎 6 𝐼(𝜎 2 ) = −𝐸  [ 𝑑 2 log 𝑓(𝑥; θ, 𝑢) 𝑑𝑢 2 ] 𝐼(𝜎 2 ) = 1 2𝜎 4 𝑓(𝜎 2 ) = √𝐼(𝜎 2 ) ∝ 1 𝜎 2
Sedangkan nilai non-informatif prior untuk 𝑓(𝜃) = c (konstan) sehingga diperoleh
𝑓(𝜗) =  𝑓(𝜃)𝑓(𝜎 2 ) = 𝑐 𝑥 1 𝜎 2 ∝ 1 𝜎 2 (8)
Jadi nilai non-informatif prior
𝑓(𝜗) = 𝟏 𝝈 𝟐 (9)

## Distribusi Posterior
Setelah  mencari  fungsi  likelihood  dan  menentukan distribusi prior dari distribusi Log-Normal dapat dicari distribusi  posteriornya.  Kepadatan  posterior  bersama dari 𝜃 dan 𝜎 2 adalah diberikan
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟  ∝ 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 ∗ 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) ∝   𝑓(𝜗) ∗  𝐿(𝜃, 𝜎 2 ) (10)
Dari persamaan (1) dan (2) Kepadatan posterior bersama dari 𝜃 dan 𝜎 2 adalah diberikan
𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) ∝ (( 1 √2𝜋𝑥 𝑖 ) 𝑛 ( 1 𝜎 2 ) ( 𝑛 2 +1) ) 𝑥 (exp [− 1 2𝜎 2 ∑ (ln 𝑥 𝑖 − 𝜃) 2 𝑛 𝑖=1 ]) 𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) ∝    ( 𝑐 (𝜎 2 ) ( 𝑛 2+1) 𝑒𝑥𝑝 [− 𝛽 2𝜎 2 ])  𝒙 (exp [ −𝑛 2𝜎 2 (𝜃 − ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ) 2 ]) (11)
Dimana 𝛽 = (𝑛 − 1) ∑ ln 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 dan  c  adalah  konstanta normal.  [2]  menjelaskan  jika 𝑃(𝜃) menjadi  prior  dan 𝑃(𝑥|𝜃) menjadi  fungsi  likelihood,  fungsi  padat peluang  (pdf)  posterior 𝑃(𝜃|𝑥) diberikan 𝑃(𝜃|𝑥) = 𝑐 𝑃(𝜃)𝑃(𝑥|𝜃) , dimana c adalah konstanta normal. Lalu nilai dari c diperoleh dari 𝑐 = [∫ 𝑃(𝜃)𝑃(𝑥|𝜃)𝑑𝜃] −1 dimana c dapat menjadi
𝑐 −1 = ∫ ∫ 𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) 𝑑𝜃 𝑑𝜎 2 ∞ −∞ ∞ 0 𝑐 −1 = ∫ ∫ ( 1
(𝜎 2 ) ( 𝑛 2 +1) 𝑒𝑥𝑝 [− 𝛽 2𝜎 2 ])  𝑥 ∞ −∞ ∞
0
(exp [ −𝑛 2𝜎 2 (𝜃 − ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ) 2 ]) 𝑑𝜃 𝑑𝜎 2 (12)
Menggunakan transformasi 𝑡 = √𝑛 𝜎 (𝜃 − ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ) 𝑐 −1 = √ 2𝜋 𝑛 ∫ 𝑒𝑥𝑝[− 𝛽 2𝜎2 ] (𝜎 2 ) ( 𝑛+1 2 ) 𝑑𝜎 2 ∞ 0 𝑐 −1 = √ 2𝜋 𝑛 ( 𝛽 2 ) −( 𝑛−1 2 ) Γ  ( 𝑛−1 2 ) 𝑐 = √ 𝑛 2𝜋 ( 𝛽 2 ) ( 𝑛−1 2 ) 1 Γ ( 𝑛−1 2 ) (13)
Persamaan  (13)  di  subtitusikan  ke  persamaan  (11) menjadi
𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) = (√ 𝑛 2𝜋 (𝛽) ( 𝑛−1 2 ) Γ ( 𝑛−1 2 )(𝜎 2 ) ( 𝑛 2+1) 𝑒𝑥𝑝 [ −𝛽 2𝜎 2 ]) 𝑥 (exp [ −𝑛 2𝜎 2 (𝜃 − ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ) 2 ]) (14)

## Distribusi Posterior Marginal
Distribusi posterior marginal dari 𝜃 adalah integral terhadap 𝜎 2 dari persamaan (14) menjadi
𝑓(𝜃|𝑥) = ∫ 𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) 𝑑𝜎 2 ∞ 𝜎 2 =0 𝑓(𝜃|𝑥) = √ 𝑛 𝛽 1 𝐵( 1 2 , 𝑛−1 2 ) [1+ 𝑛 𝛽 (𝜃− ∑ ln 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ) 2 ] 𝑛 2 (15)
Distrribusi posterior marginal dari 𝜎 2 adalah integral terhadap 𝜃 dari persamaan (14) menjadi
𝑓(𝜎 2 |𝑥) = ∫ 𝑓(𝜃, 𝜎 2 |𝑥) 𝑑𝜃 ∞ 𝜃=−∞ 𝑓(𝜎 2 |𝑥) = (𝛽) ( 𝑛−1 2 ) 𝑒𝑥𝑝[ −𝛽 2𝜎2 ] (𝜎 2 ) ( 𝑛+1 2 ) (2) ( 𝑛−1 2 ) Γ ( 𝑛−1 2 ) (16)

## Estimasi Posterior
Hasil  dari  distribusi  posterior  marginal  dari 𝜃 adalah  diberikan  pada  persamaan  (6).  Sehingga estimasi posterior dari 𝜃 adalah sebagai berikut:
𝜃 ∗ = 𝐸(𝜃|𝑥) = √ 𝑛 𝛽 1 𝐵( 1 2 , 𝑛−1 2 ) ∫ 𝜃 𝑑𝜃 [1+ 𝑛 𝛽 (𝜃− ∑ ln 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ) 2 ] 𝑛 2 ∞ −∞ (17)
Misalkan: 𝑡 = √ 𝑛 (𝑛−1)𝑠 2 (𝜃 − 𝑥̅) √𝑛 − 1
𝜃 ∗ = ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 √𝑛−1𝐵( 1 2 , 𝑛−1 2 ) ∫ 𝑑𝑡 [1+ 𝑡2 𝑛−1 ] 𝑛 2 ∞ −∞ 𝜃 ∗ = ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛
(8)
Sekarang  distribusi  posterior  marginal  dari 𝜎 2 adalah  diberikan  pada  persamaan  (4.7).  Sehingga estimasi posterior dari 𝜎 2 adalah sebagai berikut:
𝜎 ∗2 = 𝐸(𝜎 2 |𝑥) = ∫ (𝛽) ( 𝑛−1 2 ) 𝑒𝑥𝑝[ −𝛽 2𝜎2 ] 𝜎 2
(𝜎 2 ) ( 𝑛+1 2 ) (2) ( 𝑛−1 2 ) Γ ( 𝑛−1 2 ) ∞ 0 𝑑𝜎 2
𝜎 ∗2 = (𝛽) ( 𝑛−1 2 ) (2) ( 𝑛−1 2 ) Γ ( 𝑛−1 2 ) ∫ 𝑒𝑥𝑝[ −𝛽 2𝜎2 ] (𝜎 2 ) ( 𝑛−1 2 ) ∞ 0 𝑑𝜎 2
𝜎 ∗2 = 𝜷 𝒏−𝟏 (9)
Kemudian estimasi posterior dari 𝜃 1 ∗ dan 𝜎 1 ∗2 adalah
𝜃 = exp [𝜃 ∗ + 𝜎 ∗2 2 ] 𝜃 1 ∗ = exp [ ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 + 𝛽 2(𝑛−1) ] (10)
Dan 𝜎 2 = exp[2𝜃 ∗ + 𝜎 ∗2 ](exp[𝜎 ∗2 ] − 1)
𝜎 1 ∗2 = exp [2 ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 + 𝛽 𝑛−1 ]  𝑥 (exp [ 𝛽 𝑛−1 ] − 1) (11)

## IV. PENUTUP
Dari analisa yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa  mengestimasi  parameter  dengan  menggunakan metode  Estimasi  Bayesian  untuk  mendapatkan estimasi titik. Nilai estimasi titik dari parameter mean θ varians 𝜎 2 diperoleh dengan bentuk
𝜃 1 ∗ = exp [ ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 + 𝛽 2(𝑛−1) ] 𝜎 1 ∗2 = exp [2 ∑ ln 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 + 𝛽 𝑛 − 1 ] (exp [ 𝛽 𝑛 − 1 ] − 1)

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Supranto, J. 2001. Statistika Teori  dan Aplikasi  Edisi  ke-6 . Jakarta: Erlangga.
[2]  George  E.  P.  Box  dan  George  C.  Tiao.  1973. Bayesian Inference  in  Statistical  Analysis .  Boston:  Addison-Wesley Publishing Company, 1973.
[3]  Sultan,  R.  dan  Ahmad,  S.  P.  2013. Comparison  of Parameters  of  Lognormal  Distribution  Based  On  the Classical  and  Posterior  Estimates . Journal  of  Modern Applied Statistical Methods. < http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/ >. Diakses pada tanggal 04 Maret 2016 pada pukul 08.10.
[4]  Walpole,  R.  E.  1995. Pengantar  Statistika  Edisi  ke-3 . Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
[5]  Sugito  dan  Ispriyanti,  D.  2010. Distribusi  Invers  Gamma Pada Inferensi Bayesian . Media Statistik, (2010, Desember), 59-68.