## Perbandingan Ideal Prima Pada Gelanggang Polinomial Bilangan Bulat dan Gelanggang Polinomial Bilangan Bulat Modulo
Daisyah Alifian Fatahilah 1
1 Prodi Matematika, FMIPA, Universitas mataram, daisfatahillah2@gmail.com
Abstract. A ring 𝑅 can be formed into a new ring, called a polynomial ring or what is  often  called  an 𝑅[𝑥] ring.  For 𝑅[𝑥] = ℤ 𝑛 [𝑥] is  a  polynomial  ring  which  is  often referred to as an integer polynomial ring modulo n. The polynomial ring of R is the set of all polynomials with constants in the form of elements in 𝑅 .  In 2019 Maulana et al discussed the prime ideal properties of Gaussian integers. In this article, we will give a comparison of the prime ideal properties in the modulo integer polynomial ring with the integer polynomial ring, where if the prime ideal in integers is not necessarily prime ideal in the modulo integer ring.
Keywords: ring polynomial, integers modulo, prime ideal
Abstrak. Suatu  gelanggang 𝑅 dapat  dibentuk  gelanggang  baru,  yaitu  gelanggang polinomial  atau  yang  sering  disebut  dengan  gelanggang 𝑅[𝑥] .  Untuk 𝑅[𝑥] = ℤ 𝑛 [𝑥] merupakan  suatu  gelanggang  polinom  yang  sering  disebut  sebagai  gelanggang polinom bilangan bulat modulo 𝑛 . Gelangang polinom atas 𝑅 adalah himpunan semua polinom dengan konstantan berupa unsur di 𝑅 .  Pada tahun 2019 Maulana dkk telah membahas mengenai sifat- sifat ideal prima pada bilangan bulat Gauss. Pada artikel ini  akan  diberikan  perbandingan  sifat-sifat  ideal  prima  pada  gelanggang  polinom bilangan bulat modulo dengan gelanggang polinom bilangan bulat,,dimana jika ideal prima pada bilangan bulat belum tentu ideal  prima pada gelanggang bilangan bulat modulo.
Kata Kunci: gelanggang polinom, bilangan bulat modulo, ideal prima

## 1  Pendahuluan
Ideal  prima  merupakan  abstraksi  bilangan  prima  yang  diperkenalkan  oleh Dedekind pada tahun 1871. Sifat-sifat ideal prima telah dibahas oleh Maulana dkk (2019). Sifat-sifat ideal prima pada gelanggang polinom perna diberikan oleh Amir (2011). Artikel kali ini penulis lebih memfokuskan pada perbandingan ideal prima pada  gelanggang  polinom  bilangan  bulat  dengan  ideal  prima  pada  gelanggang polinom bilangan bulat modulo. Sebelum diuraikan sifat-sifat mengenai ideal prima pada gelanggang polinom bilangan bulat modulo dan gelanggang polinom bilangan bulat, akan dikenalkan beberapa definisi dan sifat-sifat dasar.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Definisi  1.1 Bilangan  prima merupakan  bilangan  bulat  positif  yang  lebih  besar dari 1 yang hanya dapat di bagi oleh 1 dan dirinya
Definisi  1.2 Misalkan 𝑅 suatu  gelanggang,  subhimpunan  tak  hampa 𝐼 ⊆ 𝑅 dikatakan ideal jika memenuhi:
a. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝐼
b. ∀𝑎 ∈ 𝐼 dan ∀𝑟 ∈ 𝑅 , 𝑎𝑟, 𝑟𝑎 ∈ 𝐼
Salah satu ideal yang penting adalah ideal prima, yang merupakan abstraksi dari bilangan prima. Definisi ideal prima akan diberikan sebagai berikut.
Definisi 1.3 Misalkan 𝑅 suatu gelanggang komutatif dan 𝐼 suatu ideal dari 𝑅 . Ideal 𝐼 disebut ideal prima jika 𝐼 ≠ 𝑅 dan ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dengan 𝑎𝑏 ∈ 𝑅 berimplikasi bahwa 𝑎 ∈ 𝐼 atau 𝑏 ∈ 𝐼 .
Apabila  diberikan  suatu  gelanggang  komutatif  dapat  dibuat  gelanggang  baru yang  dinamakan  gelanggang  polinomial.  Definisi  gelanggang  polinomial  akan diberikan sebagai berikut.
Definisi  1.4 Misalkan 𝑅 suatu  gelanggang  komutatif,  suatu  polinom  dengan variabel 𝑥 atas 𝑅 adalah  suatu  pernyataan  dalam  bentuk 𝑝(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 dengan 𝑎 0 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 ∈ 𝑅 , 𝑎 𝑛 ≠ 0 dan 𝑛 ∈ ℕ .
Selanjutnya 𝑎 0 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 dikatakan  koefesien  dari  polinom 𝑝(𝑥) dan 𝑛 adalah derajat  dari  polinom 𝑝(𝑥) ,  atau  dinotasikan  dengan 𝑑𝑒𝑟(𝑝(𝑥) = 𝑛 .    Himpunan semua polimon dengan koefesien dari gelanggang 𝑅 membentuk suatu gelanggang dengan operasi tambah dan dan kali polinom, dan dinamakan gelanggang polinom dengan notasi 𝑅[𝑥] .
Teorema  1.1 Apabila 𝑝 1 (𝑥), 𝑝 2 (𝑥) ∈ 𝑅[𝑥] ,  maka  berlaku 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥)) = 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) + 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥) .
Teorema 1.2 Misalkan 𝑅 suatu daerah integral, maka 𝑅[𝑥] juga daerah integral.

## 2 Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  perbandingan  ideal  prima  pada  gelanggang polinom  bilangan  bulat  dan  gelanggang  polinom  bilangan  bulat  modulo.    Yakni ideal prima pada galanggang polinom bilangan bulat akan tetapi tidak dijamin ideal prima terhadap gelanggang polinom bilangan bulat modulo.
Teorema 2.1 . Ideal 〈𝑥〉 adalah ideal prima di ℤ[𝑥] tapi tidak selalu merupakan ideal prima pada ℤ 𝑛 [𝑥] .
Bukti:   Misal 〈𝑥〉 = {𝑘𝑥|𝑘 ∈ ℤ} ideal  dari ℤ .    Untuk 𝑝 1 (𝑥), 𝑝 2 (𝑥) ∈ ℤ[𝑥] .    Untuk kasus 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 0 ,  jelas  berakibat  salah  satu  polinom  adalah  polinom  nol

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
berdasarkan Teorema 1.2.  Oleh karena itu asumsikan 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) ≠ 0 .  Misalkan 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) ∈ 〈𝑥〉 ,  artinya 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 𝑘𝑥 untuk  suatu 𝑘 ∈ ℤ .  Berdasarkan Teorema 1.1, 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥)) = 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) + 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥) = 𝑑𝑒𝑟(𝑘𝑥) = 1 .
Kasus  pertama,  misalkan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) = 0 dan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥)) = 1 ,  akibatnya  bisa dimisalkan 𝑝 1 (𝑥) = 𝛼 0 dan 𝑝 2 (𝑥) = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 .    Jadi  diperoleh 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 𝛼 0 𝛽 0 + 𝛼 0 𝛽 1 𝑥 = 𝑘𝑥 , akibatnya 𝛼 0 𝛽 0 = 0 atau 𝛼 0 = 0 atau 𝛽 0 = 0 . Untuk 𝛼 0 = 0 didapatkan 0 = 𝑝 1 (𝑥) ∈ 〈𝑥〉 ,  dan  untuk 𝛽 0 = 0 diperoleh 𝑝 2 (𝑥) = 𝛽 1 𝑥 ∈ 〈𝑥〉 . Akibatnya 〈𝑥〉 adalah ideal prima.
Kasus  kedua  misalkan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) = 1 dan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥)) = 0 ,  akibatnya  bisa dimisalkan 𝑝 1 (𝑥) = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑥 dan 𝑝 2 (𝑥) = 𝛽 0 .    Jadi  diperoleh 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 𝛼 0 𝛽 0 + 𝛼 1 𝛽 0 𝑥 = 𝑘𝑥 , akibatnya 𝛼 0 𝛽 0 = 0 atau 𝛼 0 = 0 atau 𝛽 0 = 0 .  Untuk 𝛽 0 = 0 didapatkan 0 = 𝑝 2 (𝑥) ∈ 〈𝑥〉 ,  dan  untuk 𝛼 0 = 0 diperoleh 𝑝 1 (𝑥) = 𝛼 1 𝑥 ∈ 〈𝑥〉 . Akibatnya 〈𝑥〉 adalah ideal prima.
Pada gelanggang polinom ℤ 𝑛 [𝑥] , ideal 〈𝑥〉 tidak dijamin suatu ideal prima, sebagai contoh  penangkal  pilih 𝑛 = 8 , 𝑝 1 (𝑥) = 2 dan 𝑝 2 (𝑥) = 4 .    Mudah  dilihat  bahwa 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 0 ∈ 〈𝑥 + 1〉 tapi 𝑝 1 (𝑥), 𝑝 2 (𝑥) ∉ 〈𝑥〉 . ∎
Teorema 2.2 Ideal 〈𝑥 + 1〉 adalah ideal prima di ℤ[𝑥] tapi tidak selalu merupakan ideal prima pada ℤ 𝑛 [𝑥] .
Bukti: Misal 〈𝑥 + 1〉 = {𝑘(𝑥 + 1)|𝑘 ∈ ℤ} ideal dari ℤ .  Untuk 𝑝 1 (𝑥), 𝑝 2 (𝑥) ∈ ℤ[𝑥] . Untuk  kasus 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 0 ,  jelas  berakibat  salah  satu  polinom  adalah  polinom nol  berdasarkan  Teorema  1.2.    Oleh  karena  itu  asumsikan 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) ≠ 0 . Misalkan 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) ∈ 〈𝑥 + 1〉 ,  artinya 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 𝑘(𝑥 + 1) untuk  suatu 𝑘 ∈ ℤ .  Berdasarkan  Teorema  1.1, 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥)) = 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) + 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥) = 𝑑𝑒𝑟(𝑘(𝑥 + 1)) = 1 .
Kasus  pertama,  misalkan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) = 0 dan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥)) = 1 ,  akibatnya  bisa dimisalkan 𝑝 1 (𝑥) = 𝛼 0 dan 𝑝 2 (𝑥) = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 .    Jadi  diperoleh 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 𝛼 0 𝛽 0 + 𝛼 0 𝛽 1 𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ,  akibatnya 𝛼 0 𝛽 0 = 𝛼 0 𝛽 1 = 𝛾 .  Jadi  diperoleh 𝑝 2 (𝑥) = 𝛾 + 𝛾𝑥 = 𝛾(𝑥 + 1) ∈ 〈𝑥 + 1〉 .  Akibatnya 〈𝑥〉 adalah ideal prima.
Kasus  kedua  misalkan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 1 (𝑥)) = 1 dan 𝑑𝑒𝑟(𝑝 2 (𝑥)) = 0 ,  akibatnya  bisa dimisalkan 𝑝 1 (𝑥) = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑥 dan 𝑝 2 (𝑥) = 𝛽 0 .    Jadi  diperoleh 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 𝛼 0 𝛽 0 + 𝛼 1 𝛽 0 𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ,  akibatnya 𝛼 0 𝛽 0 = 𝛼 1 𝛽 0 = 𝛾 .  Jadi  diperoleh 𝑝 1 (𝑥) = 𝛾 + 𝛾𝑥 = 𝛾(𝑥 + 1) ∈ 〈𝑥 + 1〉 .  Akibatnya 〈𝑥〉 adalah ideal prima. Pada  gelanggang  polinom ℤ 𝑛 [𝑥] ,  ideal 〈𝑥 + 1〉 tidak  dijamin  suatu  ideal  prima, sebagai  contoh  penangkal  pilih 𝑛 = 8 , 𝑝 1 (𝑥) = 2 dan 𝑝 2 (𝑥) = 4 .    Mudah  dilihat bahwa 𝑝 1 (𝑥)𝑝 2 (𝑥) = 0 ∈ 〈𝑥 + 1〉 tapi 𝑝 1 (𝑥), 𝑝 2 (𝑥) ∉ 〈𝑥〉 . ∎

## 3 Kesimpulan
Dapat disimpulkan bahwa ideal prima pada gelanggang polinom bilangan bulat belum  tentu  ideal  prima  pada  gelanggang  polinom  bilangan,  sehingga  dari pembahasan yang telah dipaparkan bahwa sifat-sifat ideal prima pada gelanggang polinom adalah:
1. Ideal 〈𝑥〉 ideal prima di ℤ[𝑥] tapi belum tentu ideal prima pada ℤ 𝑛 [𝑥] .
2. Ideal 〈𝑥 + 1〉 ideal prima di ℤ[𝑥] tapi belum tentu ideal prima pada ℤ 𝑛 [𝑥] .
4 Daftar Pustaka
[1]  Alfian,  M.  R.,  Maulana,  F.,  Switrayni,  N.  W.,  Aini,  Q.,  Putri,  D.  N.,  & Wardhana,  I.  G.  A.  W.  (2022).  Prime  submodul  of  an  integer  over  itself. EIGEN MATHEMATICS JOURNAL , 27-30.
[2]  Dummit,  D.  S.  and  Foote  R.  M.  (2004).  Abstract  Algebra.Third  Edition, JohnWiley & Sons, New York.
[2]  Durbin, John R. (2000). Modern Algebra An Introduction, Fourth Edition.New York : John Wiley & Sons.
[3]  Fraleigh,  J.  B.  (2014).  A  First  Course  in  Abstract  Algebra  Seventh Edition.United States of America : Pearson Education Limited.
[4]    Gazir  S,  A.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  Switrayni,  N.  W.,  &  Aini,  Q.  (2019). SUBGRUP  DARI  GRUP  TORSI  YANG  DIBANGUN  SECARA  HINGGA PADA C. Jurnal Pendidik Indonesia (JPIn) , 2(1), 41-43.
[5]  Gazir, A., & Wardhana, I. G. A. W. (2019). Subgrup Non Trivial Dari Grup Dihedral. Eigen Mathematics Journal , 73-76.
[6]  Humera, B., and Raza Z. 2012. On Subgroups Lattice of Quasidihedral Group. International Journal of Algebra , Vol. 6, no. 25.
[7]    Juliana,  R.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  &  Irwansyah.  (2021,  February).  Some characteristics of cyclic prime, weakly prime and almost prime submodule of Gaussian integer modulo over integer. AIP Conference Proceedings (Vol. 2329 , No. 1, p. 020004.
[7]  Maulana, F., Wardhana, I. G. A. W., Switrayni, N. W., Aini, Q.2018. Bilangan Prima  dan  Bilangan  Tak  Tereduksi  pada  Bilangan  Bulat  Gauss. Prosiding Seminar Nasional APPPI II : 383-387.
[8]    Maulana,  F.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  &  Switrayni,  N. W. (2019).  Ekivalensi Ideal  Hampir  Prima  dan  Ideal  Prima  pada  Bilangan  Bulat  Gauss. Eigen Mathematics Journal , 1-5.
[9]  Muh. Irwan. 2015. Quaternion and it’s properties, Jurnal Matematika Statistika dan Analisis Vol 3 , No 1.
[10]  Misuki,  W.  U.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  &  Switrayni,  N.  W.  (2021,  March). Some Characteristics of Prime Cyclic Ideal On Gaussian Integer Ring Modulo. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering Vol. 1115, No. 1 , p. 012084
[10]  Rahayu,  S.,  Soviana,  M.,  Yanita,  and  Nazra  A.  2019.  Some  Properties  of Representation of Quaternion Group. Prosiding in International Conference on Basic Sciences and Its Applications, KnE Engineering : 266–274.
[11]  Switrayni,  N.  W.,  Wardhana,  I.  G.  A.  W.,  &  Aini,  Q.  (2022).  ON  CYCLIC DECOMPOSITION  OF  Z-MODULE  M_  {m×  r}(Z_n). Journal  of Fundamental Mathematics and Applications (JFMA), 5(1) , 47-51.
[10] Wardhana, I. G. A. W., Astuti, P., & Muchtadi-Alamsyah, I. (2016). On almost prime  submodules  of  a  module  over  a  principal  ideal  domain. JP  Journal  of Algebra, Number Theory and Applications , 38(2), 121.
[11] Wardhana, I., & Astuti, P. (2015). Karakteristik Submodul Prima Lemah dan Submodul Hampir Prima pada. Jurnal Matematika & Sains , 19(1), 16-20.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
[12] Wardhana, I. G. A. W., Nghiem, N. D. H., Switrayni, N. W., & Aini, Q. (2021, November). A note on almost prime submodule of CSM module over principal ideal  domain. Journal  of  Physics:  Conference  Series  Vol.  2106 ,  No.  1,  p. 012011.
[13]  Wardhana,  I.  G.  A.  W.  (2022).  The  Decomposition  of  a  Finitely  Generated Module  over  Some  Special  Ring. JTAM  (Jurnal  Teori  dan  Aplikasi Matematika), 6(2) , 261-267.