Metode Runge Kutta Dalam Penyelesaian .………………………….......…. (Hagni Wijayanti, dkk)

## METODE RUNGE KUTTA DALAM PENYELESAIAN MODEL RADANG AKUT
Hagni Wijayanti 1) , Sri Setyaningsih 2) , Mardika Wati 3)
1,2,3) Program Studi Matematika, FMIPA-UNPAK, Bogor

## ABSTRAK
Metode  Runge  Kutta  adalah  metode  penyelesaian  masalah  nilai  awal  persamaan diferensial dengan pendekatan iterasi numerik, sehingga sangat efisien jika penyelesaiannya dengan menggunakan pemrograman komputer, yang dalam penelitian ini diimplementasikan  pada  software  Mathematica  versi  7.0.  Model  radang  akut  adalah  suatu model  persamaan  diferensial  non  linier  yang  telah  dibuat  berupa  persamaan  populasi patogen,  persamaan    populasi    fagosit  ketika  diaktifkan,  dan  persamaan  laju  kerusakan jaringan.  Solusi  model  radang  akut    dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  metode    Runge Kutta, sehingga dapat ditunjukkan perilaku dinamik pada populasi patogen, populasi fagosit ketika diaktifkan, dan laju kerusakan jaringan.
Kata kunci  : Metode Runge Kutta,  Model  Radang  Akut,   Populasi  Patogen,   Populasi Fagosit ketika Diaktifkan, Laju Kerusakan Jaringan .

## PENDAHULUAN
Peranan  matematika  sebagai  alat dalam  menyelesaikan  berbagai  masalah sangat penting. Permasalahan dalam berbagai  bidang  pada  dunia  nyata  dapat diselesaikan dengan membuat model matematika  dan  mencari  solusinya.  Salah satu  model  matematika  yang  banyak digunakan adalah model persamaan diferensial.  Beberapa  penelitian  telah dilakukan  untuk  memperoleh  solusi  dari masalah  yang  dimodelkan  dalam  bentuk persamaan  diferensial.  Solusi  dari  masalah tersebut  dapat  diselesaikan  secara  analitis dan  secara  numerik.  Salah  satu  metode untuk  memperoleh  solusi  dari  model matematika secara numerik adalah Metode Runge Kutta.
Menurut  Sasongko  (2010),  Metode Runge  Kutta adalah suatu metode numerik yang  digunakan  untuk  menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan ketelitian  yang  cukup  tinggi.  Metode  ini sangat  umum  digunakan  untuk  menyelesai kan  bentuk  persamaan  diferensial  biasa, baik  linier  maupun  nonlinear  dengan permasalahan  kondisi  awal.  Dalam  hal ini, Metode  Runge  Kutta  digunakan  untuk
menyelesaikan  suatu  model  matematika pada  radang  akut  yang  telah  dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial.
Menurut  Muhdor  (2007),  radang akut adalah reaksi awal dari tubuh terhadap pengaruh-pengaruh  yang  merusak  ditandai dengan  tanda  klasik  dari  peradangan- bengkak,  kemerahan,  nyeri,  panas,  dan kehilangan fungsi-ketika terjadinya infiltrasi jaringan oleh leukosit dan plasma. Pengaruh-pengaruh  tersebut  bisa  disebab- kan  karena  adanya  patogen,  bakteri  atau benda asing lainnya. Reaksi ini merupakan upaya  pertahanan  tubuh.  Model  yang  ada pada  radang  akut  terdiri  dari  sistem persamaan  diferensial  nonlinear  yang tergantung  pada  variabel-variabel  yang menggambarkan  perubahan  dari  populasi patogen,  populasi  fagosit  yang  diaktifkan, seperti  neutrofil  yang  diaktifkan,  dan  laju kerusakan jaringan.
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah untuk memperoleh solusi model matematika  pada  radang  akut  dengan menggunakan Metode Runge Kutta, sehingga  dapat  memberikan  gambaran tentang  perilaku  dinamik  pada  populasi
patogen, populasi fagosit ketika diaktifkan, dan laju kerusakan jaringan.

## BAHAN DAN METODE
Metodelogi penelitian yang
dilakukan  adalah  untuk  merancang  dan mengimplementasikan  metode runge Kutta pada model radang akut, sehingga diperoleh  solusi  model  radang  akut. Tahapan-tahapan  pelaksanaan  penelitian adalah sebagai berikut:

## Perencanaan
Pada  tahap  perencanaan  yaitu melakukan  pengumpulan  data.  Data  yang dikumpulkan merupakan data yang berhubungan  dengan  model  matematika pada  radang  akut,    diperoleh  dari  internet dan  buku.  Data  akan  digunakan  untuk perencanaan pembuatan simulasi.

## Analisis
Pada  tahap  analisis  dilakukan pengindentifikasian permasalahan dan menarik  kesimpulan  dari  proses  analisis yang  dilakukan.  Identifikasi  model  radang akut sebagai masalah yang harus diselesaikan dan mengetahui apa yang akan dilakukan  untuk  menyelesaikan  masalah tersebut.  Penyelesaian  masalah  persamaan diferensial  nonlinear  dapat  dilakukan dengan  metode  Runge  Kuta.  Metode Runge Kutta adalah  metode iterasi numerik,  sehingga  penyelesaian  dengan pemrograman komputer akan sangat efektif.
Perancangan Pada
tahap perancangan menggunakan metode Runge Kutta dengan memasukkan  parameter-parameter  model radang  akut.  Pada  tahap  ini  dilakukan pembuatan  flowchart  yang  menunjukkan alur kerja pada pemrograman komputer.

## Implementasi
Tahap  implementasi  merupakan proses  pengaplikasian  hasil  perancangan pemrograman komputer untuk memperoleh
solusi model radang akut dengan menggunakan Mathematica versi 7.0.

## Uji Coba
Tahap ini berfungsi untuk mengkoreksi  sistem  yang  dibuat  apakah sudah memenuhi kriteria kerja. Tahapan ini menguji validasi yaitu hasil dari keseluruhan proses matematis
dibandingkan  dengan  perhitungan  secara manual untuk beberapa iterasi.

## Penggunaan
Setelah  melalui  tahap  pengujian, maka  dapat  diperoleh  solusi  model  radang akut  yang  dapat  menggambarkan  tentang perilaku  dinamik  pada  populasi  patogen, populasi fagosit ketika diaktifkan, dan laju kerusakan jaringan

## HASIL DAN PEMBAHASAN Model Matematika Pada Radang Akut
Model  yang  ada  pada  radang  akut terdiri  dari  sistem  persamaan  diferensial nonlinear  yang  tergantung  pada  variabel- variabel  yang  menggambarkan  level-level dari  populasi  patogen  ( P ),  populasi  fagosit yang diaktifkan ( N* ) seperti neutrofil yang diaktifkan, dan laju kerusakan jaringan ( D ). Patogen  adalah  parasit  yang  mampu menimbulkan penyakit pada inangnya atau bahan yang menimbulkan penyakit. Fagosit adalah  sel-sel  yang  berfungsi  mematikan mikroorganisme asing di sekitarnya dengan cara  meluluhkannya  ke  dalam  plasma selnya,  misalnya  sel  darah  putih  memakan kuman. Parameter-parameter yang
digunakan untuk membentuk model matematika adalah:
M ( t )  = populasi  respon  lokal  non-spesifik pada waktu t P ( t )  = populasi patogen pada waktu t N* ( t ) = populasi fagosit  yang diaktifkan pada waktu t D ( t )  = kerusakan jaringan pada waktu t k pg = banyaknya pertumbuhan patogen P ∞ = populasi maksimum patogen
Metode Runge Kutta Dalam Penyelesaian .………………………….......…. (Hagni Wijayanti, dkk)
k pm = banyaknya respon lokal non-
spesifik ( M ) menghilangkan patogen s m = sumber penghasil respon lokal non- spesifik
μ m =  banyaknya  kerusakan  respon  lokal non-spesifik k mp =banyaknya respon lokal non- spesifik dihabiskan patogen
k pn = banyaknya  fagosit  yang  diaktifkan mengkonsumsi patogen
s nr = sumber  penghasil  fagosit  yang beristirahat
μ nr =  banyaknya  kerusakan  fagosit  yang beristirahat
μ n = banyaknya  kerusakan  fagosit  yang diaktifkan
k dn = banyaknya  kerusakan  maksimum yang  diproduksi  oleh  fagosit  yang diaktifkan
μ d = banyaknya pengurangan kerusakan, kombinasi  perbaikan,  resolusi  dan regenerasi jaringan
k nn = aktifasi  fagosit  yang  beristirahat oleh fagosit yang diaktifkan
sebelumnya dan sitokin-sitokinnya
k np =aktifasi  fagosit  yang  beristirahat oleh patogen
k nd =  aktifasi  fagosit  yang  beristirahat oleh kerusakan jaringan
s dn = menentukan  level  fagosit  yang diaktifkan  yang  dibutuhkan  untuk menyebabkan  kerusakan  hingga setengah maksimumnya Model  matematika  pada  radang akut adalah:
P N k P k P s k P P P k dt dP pn mp m m pm pg * 1              * * ) * ( ) ( * N D k P k N k D k P k N k s dt t dN n nd np nn nr nd np nn nr         
D N s N k dt dD d dn dn           6 6 6 *
*
Model  ini  terdiri  dari  satu  sistem persamaan  diferensial  nonlinear  yang bergantung  pada  variabel-variabel  yang menyatakan  tingkat  patogen  ( P ),  fagosit yang  diaktifkan  ( N* )  dan  laju  kerusakan jaringan ( D ).
Kemudian diberikan parameter pada persamaan diferensial tersebut
(Reynold, 2006), yaitu: k pg = 0.6/jam
P ∞ = 20 x 10 6 / cc k pm = 0.6/unit M /jam
s m = 0.005 unit M /jam μ m = 0.002/jam
k mp = 0.01/unit P /jam k pn = 1.8/unit N* /jam s nr = 0.08 unit NR /jam μ nr = 0.12/jam μ n = 0.05/jam
k dn = 0.35 unit D /jam μ d = 0.02/jam
k nn = 0.01/unit N* /jam k np = 0.1/unit P /jam k nd = 0.02/unit D /jam s dn = 0.46656 x 10 -13 unit N*
Sehingga model radang akut menjadi:
P N P P x x P P dt dP * 8 . 1 01 . 0 002 . 0 005 . 0 6 . 0 10 20 1 6 . 0 6            * 05 . 0 02 . 0 1 . 0 * 01 . 0 12 . 0 ) 02 . 0 1 . 0 * 01 . 0 ( 08 . 0 * N D P N D P N dt dN        D N N dt dD 02 . 0 * 10 x 0.46656 * 35 . 0 6 13 - 6         

## Metode Runge Kutta
Metode  Runge  Kutta  adalah  suatu metode  numerik  yang  digunakan  untuk menyelesaikan  masalah  nilai  awal  atau masalah  nilai  batas  pada  persamaan differensial  linear  atau  nonlinear.  Metode Runge  Kutta  orde  empat  mempunyai persamaan yaitu
1  i y = i y +  ) , , ( h y x i i h
dengan, i y = nilai sebelumnya
Metode Runge Kutta Dalam Penyelesaian .………………………….......…. (Hagni Wijayanti, dkk)
1  i y = nilai selanjutnya dengan
ukuran langkah h h =  ukuran langkah  ) , , ( h y x i i disebut  suatu  fungsi  inkremen yang dapat di interpretasikan sebagai suatu slope  rata-rata  sepanjang  interval.  Fungsi inkremen dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut :
 ) , , ( h y x i i = (1/6)( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 )
dengan setiap setiap k besarnya adalah :
) , ( 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ) , ( 3 4 2 3 1 2 1 hk y h x f k hk y h x f k h k y h x f k y x f k i i i i i i i i                       Semua harga k berhubungan secara rekurensi,  artinya 1 k muncul  dalam persamaan  untuk 2 k ,  yang  muncul  lagi dalam persamaan untuk 3 k dan seterusnya.
Rekurensi  ini  membuat  Metode  Runge Kutta efisien untuk kalkulasi oleh komputer. Flowchart  yang  menunjukkan  alur kerja metode Runge Kutta dengan penempatan  parameter-parameter  model radang akut terlihat pada gambar 1.
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Menentukan  nilai  awal  dari  populasi patogen,  populasi  fagosit  yang  telah diaktifkan  dan  keruskan  jaringan  yaitu nilai  awal 1 0  P , 0 * 0  N dan
0 0  D .  Menentukan  nilai  ukuran langkahnya h = 0.5.
2. Inisialisasi i = 0
3. Inisialisasi  persamaan
) *, , , ( ), *, , , ( ), *, , , ( D N P x r D N P x g D N P x f 4. Inisialisasi sistem
persamaan diferensial:
P N P P x x P P dt dP * 8 . 1 01 . 0 002 . 0 005 . 0 6 . 0 10 20 1 6 . 0 6            * 05 . 0 02 . 0 1 . 0 * 01 . 0 12 . 0 ) 02 . 0 1 . 0 * 01 . 0 ( 08 . 0 * N D P N D P N dt dN        D N N dt dD 02 . 0 * 10 x 0.46656 *
35 . 0 6 13 - 6          5. Perhitungan untuk i = 0 sampai n- 1
6. Menghitung 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , , , m m m m l l l l k k k k ) , ( 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ) , ( 3 4 2 3 1 2 1 hk y h x f k hk y h x f k h k y h x f k y x f k i i i i i i i i                       ) , ( 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ) , ( 3 4 2 3 1 2 1 hk y h x g l hk y h x g l h k y h x g l y x g l i i i i i i i i                       ) , ( 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ) , ( 3 4 2 3 1 2 1 hk y h x r m hk y h x r m h k y h x r m y x r m i i i i i i i i      
                7. Menghitung 1 1
1 , * ,    i i i D N P h k k k k P P i i             ) 2 2 ( 6 1 4 3 2 1 1 h k k k k N N i i             ) 2 2 ( 6 1 * * 4 3 2 1 1 h k k k k D D i i             ) 2 2 ( 6 1 4 3 2 1 1 8. Simpan nilai
1 1 1 , * ,    i i i D N P karena
akan  digunakan  dalam  perhitungan pada iterasi selanjutnya.
9. Mengulangi  langkah  6  sampai  dengan 8,
10. Lanjutkan i
Gambar 1. Flowchart Metode Runge Kutta
Selanjutnya implementasikan langkah- langkah  penyelesaian  dengan  mengguna- kan Mathematica versi 7.0. , dan diperoleh hasil seperti tampak pada gambar .
Selanjutnya  dari  titik-titik    (P,N* dan  D)  dapat  dilihat  perilaku  dinamik untuk  populasi  patogen,  populasi  fagosit yang  telah  diaktifkan  dan  banyaknya kerusakan jaringan.
0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 Waktu P o p u la si _ P at o g en Gambar 2 . Grafik Populasi Patogen 0 10 20 30 40 50 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Waktu P op ul as i_ F ag os it Gambar 3 . Grafik Populasi Fagosit yang telah diaktifkan 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8 10 Waktu K er u sa k an _ ja ri n g an Gambar 4 . Grafik Laju Kerusakan Jaringan 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8 10 Waktu P at og en P op ul as i
Gambar 5 . Grafik Gabungan 3 variabel
Pada Gambar 2, 3 dan 4 menunjukkan perilaku dinamik dari patogen  ( P ),  fagosit  yang  diaktifkan  ( N* ), dan kerusakan jaringan ( D ) terhadap waktu selama  50  jam.  Populasi  patogen  pada awalnya  bergerak  naik,  hal  ini  disebabkan karena  belum  ada  fagosit  yang  diaktifkan. Kemudian pada perkembangan selanjutnya,
Selesai h D N P , , * , 0 0 0 Inisialisasi i = 0 Inisialisasi ) *, , , ( ), *, , , ( ), *, , , ( D N P x r D N P x g D N P x f for  i =0 to n-1 Next  i Hitung 1 1 1 , * ,    i i i D N P Hitung k,l,m Inisialisasi sistem PD Mulai
Metode Runge Kutta Dalam Penyelesaian .………………………….......…. (Hagni Wijayanti, dkk)
populasi  patogen  terus  bergerak  turun, karena  pada  keadaan  ini  sudah  ada  fagosit yang  diaktifkan.  Ini  bisa  dilihat  pada gambar 3, yaitu gambar yang menunjukkan populasi  fagosit  yang  diaktifkan  terhadap waktu.  Fagosit  terus  bergerak  naik  setelah ada  patogen  yang  menginfeksi.  Sesuai dengan  fungsinya,  bahwa  fagosit  akan memakan dan memusnahkan patogen yang masuk  ke  dalam  tubuh.  Selama  sistem imun  dalam  tubuh  tetap  kuat,  maka semakin banyak patogen yang dimusnahkan, sehingga pada waktu tertentu patogen akan musnah.
Pada gambar 4 menunjukkan banyaknya  kerusakan  jaringan.  Hal  ini merupakan  kerusakan  yang  ditimbulkan karena fagosit yang diaktifkan oleh adanya patogen.  Karena  selain  memusnahkan patogen,  fagosit  juga  dapat  menyebabkan kerusakan  jaringan.  Dalam  jumlah  yang sedikit,  fagosit  yang  diaktifkan  tidak menyebabkan  adanya  kerusakan  yang signifikan.  Akan  tetapi,  ketika  fagosit mengakumulasi  dalam  respon  terhadap infeksi,  fagosit  yang  diaktifkan  akan menambah  kerusakan  jaringan.  Ini  juga dapat  dilihat  pada  gambar  4  bahwa banyaknya  kerusakan  jaringan  semakin naik, hal ini karena fagosit yang diaktifkan juga semakin meningkat.
Pada  gambar  5  dapat  dilihat gabungan dari perubahan populasi pathogen,  perubahan  populasi  fagosit ketika diaktifkan dan perubahan banyaknya kerusakan  jaringan.  Terlihat  bahwa  tidak ada  titik  potong    yang  menghubungkan populasi  pathogen,  populasi  fagosit  ketika diaktifkan dan banyaknya kerusakan jaringan.

## KESIMPULAN
Metode  Runge  Kutta  merupakan metode numerik yang dapat menyelesaikan persamaan  diferensial  dengan  langkah- langkah iterasi yang baik untuk diselesaikan dengan
menggunakan komputer.  Masalah  persamaan  diferensial
nonlinear  dalam  model  matematika  pada radang akut secara analitis sulit diselesaikan,  tetapi  dengan  Metode  Runge Kutta  dapat  diselesaikan  dan  lebih  efisien dengan  mengimplementasikannya  pada pemrograman Mathematica versi 7.
Solusi masalah persamaan diferensial  nonlinear  pada  radang  akut diperoleh  dengan  memberi  nilai  awal  dan ukuran langkah untuk patogen, fagosit dan kerusakan  jaringan.  Selanjutnya  dapat dimasukkan  kedalam  bentuk  umum  dari Metode Runge Kutta. Solusi tersebut dapat digambarkan  dalam  grafik  perubahan populasi  patogen,  fagosit  dan  kerusakan jaringan  terhadap  waktu  yang  dapat diimplementasikan  dalam  pemrograman Mathematica versi 7.

## DAFTAR PUSTAKA
Aryulina, Diah, dkk. 2004. Biologi SMA untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.
Conte, S. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik Suatu  Pendekatan  Algoritma  Edisi Ketiga . Jakarta: Erlangga.
Hariyanto. 1992. Persamaan Diferensial Biasa . Jakarta: Universitas Terbuka.
Pamuntjak,  R.J,  Santosa  Widiarti.  1990.
Persamaan Diferensial Biasa .
Bandung: ITB.
Munir,  R.  2003. Metode  Numerik .  Bandung  : Informatika Bandung.
Raymond  P.  Canale,  Steven  C.  Chapra.  1991. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan  Pada  Komputer  Pribadi . Jakarta: Universitas Indonesia Press.
Reynolds,  Angela,  dkk.  2006. A  reduced mathematical  model  of  the  acute inflammatory  response:  I.  Derivation of model and analysis of antiinflammation .  New  York:  Orchard Publications.
Robert  D.  Skeel,  Jerry  B.  Keiper.  1993. Elementary Numerical Computing with Mathematica . McGraw-Hill Inc.
Sasongko,  S.  2010. Metode  Numerik  dengan Scilab. Yogyakarta : ANDI Yogyakarta. Syamsidar,  H.  2009. Metode  Dekomposisi Adomian Untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian . Bogor: Institut Pertanian Bogor.