https://ojs3.unpatti.ac.id/index.php/variance/

## ANALISIS SISTEM ANTRIAN PADA DIREKTORAT KEUANGAN UNIVERSITAS HALMAHERA

## Analysis Of The Queue System In The Directorate Of Finance Of Halmahera University
Meidy Kaseside 1* , Ravenska Tiffany Lahengking 2 , Mario Nikolaus Dalengkade 3 1,2,3 Program Studi Matematika, Fakultas Ilmu Alam dan Teknologi Rekayasa Universitas Halmahera Jln. Wari Raya, Tobelo, Halmahera Utara 97762, Maluku Utara, Indonesia
e-mail corresponding author : kasesidemeidy@gmail.com
Abstrak: Sistem antrian yang diterapkan di Direktorat Keuangan Universitas Halmahera merupakan single arrivals . Dimana sistem tersebut hanya memiliki satu unit server . Dari hasil pengamatan memperlihatkan setiap semester sewaktu pembayaran SPP maupun pembayaran lainnya, mengakibatkan panjangnya antrian yang  terjadi.  Fenomena  antrian  dan  waktu  layanan  yang  terjadi  di  Direktorat  Keuangan  Universitas Halmahera dapat dijabarkan menggunakan suatu konsep matematika mengenai distribusi peluang. Hasil uji Poisson  memperlihatkan 0,03 ≤ 0,9982 sehingga,  proses  antrian  di  Direktorat  Keuangan  Universitas Halmahera  berdistribusi  Poisson.  Sedangkan  analisis  waktu  layanan  yakni 4,606 > 0,352 maka, disimpulkan waktu layanan tidak berdistribusi eksponensial. Penyebab di tolaknya waktu layanan karena h 1 sejak pukul 09.00‒12.00 tidak ada antrian saat layanan di kantor Direktorat Keuangan.
Kata Kunci : Antrian , Distribusi Poisson , Distribusi Eksponensial .
Abstract: The queuing system applied at the Directorate of Finance of the University of Halmahera is single arrivals. Where the system has only one server unit. The observation shows that each semester during SPP payment or other payments, resulting in long queues that occur. The phenomenon of queuing and service time that occurs at the Directorate of Finance of the University of Halmahera can be described using a mathematical  concept  of  probability  distribution.  Poisson  test  results  showed  0.03  ≤  0.9982  so  that  the queuing process at the Directorate of Finance of the University of Halmahera was  Poisson distribution. While the analysis of service time is 4.606 > 0.352, it is concluded that service time has no exponential distribution. The reason for the decline in service time is because h 1 since 09.00‒12.00 there is no queue when the service is in the office of the financial directorate.
Keywords: Queue, Poisson Distribution, Exponential Distribution.

## 1. PENDAHULUAN
Antrian  dan  layanan  lazimnya  ditemukan  pada  suatu  fasilitas  pelayanan  yang  dapat  dijabarkan menggunakan suatu konsep matematika mengenai distribusi peluang [1,2]. Fenomena mengenai antrian dan waktu layanan merupakan distribusi identik serta independen [1]. Disamping itu antrian juga merupakan suatu proses renewal , sedangkan waktu layanan mengacu pada distribusi eksponensial atau deterministik (Poisson) [3].
Apabila  suatu  fenomena  antrian  mengikuti  pola  distribusi  Poisson  jika  mengikuti  aturan  sebagai berikut [3,4,5]:
a) Tidak terjadi layanan ganda dalam satu waktu yang sama.
b) Proses antrian bersifat acak.
c) Rerata jumlah antrian per interval waktu telah diketahui sebelumnya.
d) Apabila interval waktu  dibagi  ke dalam interval yang lebih kecil, sehingga pernyataan tersebut  harus memenuhi  :  1)  Probabilitas  antrian  yakni  kecil  dan  konstan;  2)  Probabilitas  antrian  (satu  atau  lebih antrian) selama interval waktu, harganya sangat kecil sehingga mendekati nol; 3) Jumlah antrian pada selang  interval  waktu  tertentu  tidak  bergantung  pada  interval  waktu  sebelum  dan  sesudah  layanan antrian.
Sedangkan fenomena waktu layanan mengikuti pola eksponensial jika memenuhi aturan sebagai berikut.
a) Waktu layanan bersifat acak.
b) Waktu layanan selanjutnya independen terhadap waktu layanan sebelumnya.
c) Waktu layanan dipengaruhi oleh jumlah antrian.
Baru-baru  ini  [6]  mengkaji  penerapakan  distribusi  Poisson  dan  eksponensial  guna  menghitung efisiensi  model  antrian  jalur  ganda  (M/M/c):(GD/∞/∞)  dengan  uji Chi  Square pada  pelayanan  nasabah. Dalam  laporan  tersebut  harga  distribusi  Poisson  yakni 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 =  3,95  dan 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 =  12,59,  serta  harga distribusi ekponensial 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 = 0,35, 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 = 12,59. Dari kedua distribusi tersebut dinyatakan 𝐻 0 diterima atau dengan kata lain setiap  server memiliki waktu  sibuk rata-rata 82,48% dari jam  kerja. Pihak lain [7] melaporkan kajian model antrain dalam pembuatan Surat Ijin Mengemudi (SIM) menggunakan distribusi Poisson  yakni 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 =  0,014, 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 =  0,711  sehingga  hipotesis 𝐻 1 diterima,  karena 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 ≤ 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 . Sedangkan distribusi eksponensial 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 = 1,979, 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 = 0,711, maka kriteria pengambilam keputusan yakni menolak 𝐻 0 untuk loket 1 karena 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 > 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 sama halnya dengan loket II, tapi menerima 𝐻 0 untuk loket III karena 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 = 0,368, dan 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 = 0,711.
Menelaah  kembali  mengenai  uraian  distribusi  Poisson  dan  eksponensial  serta  hasil  penelitian terdahulu di atas, maka penelitian mengenai sistem antrian yang terjadi di Direktorat Keuangan Universitas Halmahera sangat penting untuk diteliti. Karena penerapan sistem antrian di Direktorat Keungan Universitas Halmahera  yakni single  arrivals ,  mengakibatkan  terjadinya  antrian  yang  panjang  berdampak  pada  tidak efisiennya waktu pelayanan. Dari pada itu, hasil penelitian ini nantinya akan menjadi dasar pengambilan kebijakan untuk sistem yang diterapkan di Direktorat Keuangan Universitas Halmahera.

## 2. METODOLOGI

## 2.1. Metode Penelitian
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yakni  deskriptif,  yaitu  suatu  metode  penelitian  yang menginterprestasi  objek  sesuai  dengan  apa  adanya.  Penelitian  tersebut  sering  diungkapkan  sebagai  non- eksperimen,  karena  peneliti  tidak  melakukan  manipulasi  variabel  penelitian.  Sehingga  dengan menggunakan  metode  tersebut  memungkinkan  peneliti  menghubungkan  variabel  dan  menguji  hipotesis. Pelaksanaan penelitian ini yakni di Direktorat Keuangan Universitas Halmahera, dengan lamanya penelitian ialah empat hari terhitung sejak 04‒03‒2019 hingga 07‒03‒2019.

## 2.2. Prosedur Penelitian
Uraian prosedur pengambilan dan analisis data dalam penelitian ini yakni:
1. Menentukan model antrian. Antrian dalam penelitian ini yakni antrian secara individu ( single arrivals ).
2. Menghitung rerata jumlah antrian dan waktu layanan.
3. Menghitung rerata waktu antrian, menggunakan persamaan distribusi Poisson [3,4] yakni:
𝑃(𝑛) = 𝜆 𝑛 𝑒 −𝜆 𝑛! , 𝑛 = 0, 1, 2,                                                                              (1)
Dengan 𝑃(𝑛) = probabilitas 𝑛 waktu  antrian, 𝑛 = jumlah  orang  per  satuan  waktu, 𝜆 = rerata  waktu mengantri, 𝑒 = 2,71828 (Bilangan Navier).
4. Menghitung waktu pelayanan antrian, menggunakan persamaan eksponensial [3,4] yakni:
𝑃(𝑡) =   𝜇𝑒 −𝜇𝑡 , 𝑡 ≥ 0                                                                                         (2) 5. Uji kesesuaian Poisson. Uji Poisson digunakan untuk menghitung 𝜒 2 dari data ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4 (jumlah pengambilan sampel) dari data jumlah antrian menggunkan persamaan (3) [3,4]:
𝜒 2 = ∑ (𝜆 𝑖 − 𝜆̅) 𝜆̅ 𝐾 𝑖=1 (3)
Dengan K = banyaknya data pengamatan, 𝜆 𝑖 = jumlah antrian, 𝜆̅ = rerata jumlah antrian. Guna mendapat harga 𝜒 2 dari harga kecepatan antrian dengan hipotesisi sebagai berikut.
𝐻 1 = Kecepatan antrian mengikuti distribusi Poisson.
𝐻 0 = Kecepatan antrian tidak mengikuti distribusi Poisson.
Sehingga  kriteria  dalam  pengambilan  keputusan  yakni  menerima  harga  kecepatan  antrian  distribusi Poisson apabila 𝜒 2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≤ 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dalam hal lain keputusan ditolak.
6. Uji  kesesuaian  eksponensial.  Uji  eksponensial  digunakan  untuk  mencari 𝜒 2 dari  data  waktu  layanan yakni ℎ 1 ,  ℎ 2 ,  ℎ 3 , ℎ 4 (hari), dengan menggunakan persamaan (4.) [3,4]:
𝜒 2 = ∑ (𝜇 𝑖 − 𝜇 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 ) 2 𝜇 𝑖 𝐾 𝑖=1 (4)
Dengan K = banyak data pengamatan, 𝜇 𝑖 = rerata pelayanan waktu ke‒ i , 𝜇 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 = rerata pelayanan harapan waktu ke‒ i . Untuk  menemukan harga 𝜒 2 dari waktu layanan dengan menggunakan hipotesis sebagai berikut.
𝐻 1 = Waktu layanan tidak mengikuti distribusi ekponensial.
𝐻 0 = Waktu layanan mengikuti distribusi eksponensial.
Sehingga  kriteria  dalam  pengambilan  keputusan  yakni  menerima  data  rerata  palayanan  mengikuti distribusi eksponensial, apabila 𝜒 2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 ≤ 𝜒 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dalam kondisi sebaliknya keputusan ditolak.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Jumlah Antrian
Luaran analisis data antrian yang dipaparkan dalam Tabel 1, yakni rerata 𝜆(ℎ 𝑖 ) menyatakan tingkat kedatangan hari ke‒ i untuk i = 1, 2, 3, 4 per satuan waktu.
Tabel 1. Rerata Jumlah Antrian Hari/Waktu h 1 h 2 h 3 h 4 09.00–10.00 0 14 5 8 10.01–11.00 0 7 6 19 11.01–12.00 0 9 3 7 14.00–15.00 15 5 2 6 Rerata 𝝀 3,75 8,75 4 10
𝝀(𝒉 𝒊 ) = 𝝀 𝟏 + 𝝀 𝟐 + 𝝀 𝟑 + 𝝀 𝟒 𝒏 = 𝟐𝟔, 𝟓 𝟒 = 𝟔, 𝟔𝟐𝟓 𝒎𝒂𝒉𝒂𝒔𝒊𝒔𝒘𝒂 𝟔𝟎 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕 ⁄
Setelah diketahuinya harga 𝜆(ℎ 𝑖 ) dalam Tabel 1, maka perhitungan rerata waktu antrian dilanjutkan
menggunakan distribusi Poisson Persamaan (1) menghasilkan:
𝑃(𝑛) = 6,625 4 x2,71828 (−6,625) 4 = 1926,387 x 0,001 24 = 0,08
Hasil yang diperolah dengan menerapkan Persamaan  (1) yakni 0,08. Hasil ini mengartikan  bahwa rerata jumlah antrian per satuan waktu. Hasil penelitian ini memiliki kesamaan dengan [7] yang mengkaji model antrian pada pembuatan SIM.

## 3.2. Waktu Layanan
Luaran analisis waktu layanan disajikan dalam tabel 2, yakni rerata 𝜇(ℎ 𝑖 ) menyatakan waktu layanan yang  sedang  terjadi  persatuan  waktu  dimana i =  1,  2,  3,  4  (jumlah  data  pengamatan).  Sedangkan  nilai 𝜇 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 diperoleh dengan menggunakan persamaan (4) dimana t =1.
Tabel 2. Rerata Waktu Layanan dan Nilai 𝝁 𝒉𝒂𝒓𝒂𝒑𝒂𝒏 Hari / Waktu h 1 h 2 h 3 h 4 09.00 – 10.00 0 2,35 2,4 2,6 10.01 – 11.00 0 1,71 1,7 2 11.01 – 12.00 0 2,33 2,7 5,7 14.00 – 15.00 2,73 2 1,5 1,8 Rerata 𝝁 1,465 0,476 0,481 0,330 𝝁 𝒉𝒂𝒓𝒂𝒑𝒂𝒏 0,338 0,295 0,297 0,237
Tabel 2 memperlihatkan h 1 memiliki harga rerata dan 𝜇 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 yang terbesar yakni secara berturut‒ turut 1,465 serta 0,338. Hal ini disebabkan karena sejak pukul 09.00 hingga 12.00 tidak adanya antrian saat layanan. Sedangkan untuk h 2 , h 3 , dan h 4 berikutnya pada Tabel 2 menunjukkan terjadinya waktu layanan sejak pukul 09.00 hingga 15.00.

## 3.3. Uji Kesesuaian Poisson
Pengujian  kesesuaian  Poisson  dalam  penelitian  ini  guna  mencari  nilai 𝑥 2 .  Untuk  mencari  nilai tersebut  langkah  pertama  yakni  dengan  menentukan  harga  kecepatan  antrian  menggunakan  persamaan 𝜆(ℎ 𝑖 ) 60 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 x 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑎𝑛𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛 ⁄ , maka didapat harga kecepatan antrian yang dirangkum pada Tabel 3.
Tabel 3. Harga Kecepatan Antrian Hari h 1 h 2 h 3 h 4 𝝀 0,016 0,036 0,017 0,042
Dari  Tabel  3,  harga  kecepatan  antrian  tertinggi  yakni  pada h 4 sebesar  0,042  orang  per  menit. Sedangkan terendah pada h 1 sebesar 0,016 orang per menit. Pengujian selanjutnya yakni mencari 𝑥 2 dari data yang ditunjukan oleh Tabel 3 menggunakan Persamaan (3) menghasilkan 𝑥 2 = 0,029 2 0,028 = 0,03 ⁄ .
Berdasarkan  perhitungan 𝑥 2 yang  telah  diketahui  batas  harga  kritis  sebesar  0,03,  pengujian dilanjutkan kembali menggunakan taraf nyata 𝛼 = 0,05 dan jumlah data pengamatan dikurangi satu ( 𝑘 = (4 − 1) = 3 ), maka 𝑥 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0,9982 . Sehingga hipotesis diterima yakni menerima 𝐻 1 , karena 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 ≤ 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 dengan  pernyataan  lain  0,03 ≤ 0,992.  Hasil  penelitian  ini  sejalan  dengan  peneliti  terdahulu  yang mengkaji Model antrian pembuatan Surat Ijin Mengemudi (SIM) dan model antrian pada sistem pembayar [6,7].

## 3.4. Uji Kesesuaian Eksponensial
Pengujian eksponesial ditujukan guna mencari harga 𝑥 2 dari data waktu layanan h 1 , h 2 , h 3 , dan h 4 . Data hasil  perhitungan  yang  ditunjukan  oleh Tabel  2 khususnya  harga rerata 𝜇 dan 𝜇 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 merupakan data  kecepatan  layanan.  Sehingga  dengan  data  kecepatan  tersebut  dimasukan  ke  dalam  Persamaan  (4)
menghasilkan 𝑥 2 = 1,345 0,292 = 4,606 ⁄ . Berdasarkan hasil pengujian Persamaan (4) untuk 𝑥 2 = 4,606 , maka pengujian dilanjutkan kembali dengan taraf nyata 𝛼 = 0,05 dan menggunakan jumlah data dikurangi satu ( 𝑘 = (4 − 1) = 3) menghasilkan 𝑥 2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0,352 . Sehingga hipotesis 𝐻 0 ditolak, karena 𝑥 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 > 𝑥 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 atau 4,606 > 0,352. Ditolaknya data waktu layanan karena, dalam penelitian ini h 1 sejak pukul 09.00‒ 12.00 tidak ada antrian saat layanan di kantor Direktorat Keuangan. Argument yang dituangkan dari kalimat sebelumnya berbanding terbalik dengan hasil penelitian oleh [5,7,8,9].

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian hasil penelitian di atas, maka model antrian di Direktorat Keuangan Universitas Halmahera  yakni  secara  individu.  Disamping  itu  kecepatan  antrian  yang  tertinggi  pada h 4 sebesar  0,042 orang  per  menit.  Selanjutnya  dari  hasil  uji  kesesuaian  Poisson  menunjukkan  harga 0,03 ≤ 0,9982 mengindikasikan  harga  kecepatan  antrian  berdistribusi  Poisson.  Sedangkan  uji  eksponensial  berdasarkan data layanan waktu menunjukkan harga 4,606 > 0,352 mengindikasikan bahwa data waktu layanan tidak berdistribusi  eksponensial.  Walaupun  dari  hasil  penelitian  menunjukan  efisiensi  waktu  layanan  tidak berdistribusi eksponensial, tapi kedepannya Direktorat Keuangan Universitas Halmahera agar melakukan perubahan sistem antrian tunggal menjadi sistem antrian ganda.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]    Sugito.,  &  Mukid,  M.  A., Distribusi  Poisson  dan  Distribusi  Eksponensial  Dalam  Proses  Stokastik . Media Statistika, vol. 4, no. 2, pp. 113‒120, 2011.
[2] Hillier,  F.  S.,  &  Lieberman,  G. J., Introduction  To  Operations  Research  7 nd Edition .  McGraw‒Hill, Boston: 2001.
[3]  Kulkarni, V. G., Modeling, Analysis, Design, and Control of Stochastic Systems . Springer‒Verlag, New York: 1999.
[4]  Gross, D., Shortle, J. F., Thompson, J. M., & Harris, C. M., Fundamentals of Queueing Theory Fourth Edition . John Wiley end Sons, Inc. Canada: 2008.
[5] Wijayanti,  D.  E., Algoritma  Penentuan  Ukuran  Sampel  Eksak  Untuk  Distribus  Normal,  Distribusi Poisson Dan Dua Distribusi Binomial Dalam Model Keluarga Eksponensial . Jurnal Konvergensi, vol. 4, no. 1, pp. 27‒40, 2014.
[6]  Arina, R. S., Sinulingga, H. U & Ariswoyo, S., Analisis Sistem Antrian Pelayanan Nasabah Di Pt. Bank Negara Indonesia ( Persero ) Tbk Kantor Cabang Utama Usu . Saintia Matematika, vol. 02, no. 03, pp. 277–287, 2014.
[7]    Bahar,  M.  S.,  Mananohas,  M.  L.,  Montolalu  &  Chriestie  E.  J.  C., Model  Sistem  Antrian  dengan Menggunakan  PolaKedatangan  dan  Pola  Pelayanan  Pemohon  SIMdi  Satuan  Penyelenggaraan Adminstrasi SIM ResortKepolisian Manado . deCartesian, vol. 7, no. 1, pp. 15‒21, 2018.
[8]   Sumarno, M.., Langi, Y & Latumakulita, Luther., Model Antrian pada Sistem Pembayaran di Golden Pasar Swalayan Manado . deCartesian, vol. 4, no. 2, 180‒187, 2015.
[9]    Astria,  L.,  Sitepu,  H.  R  &  Darnius,  O., Analisa  Tingkat  Kepuasan  Masyarakat  Terhadap  Proses Pelayanan  Pembuatan  SIM ( Surat  Izin  Mengemudi ) Di  Satlantas  Polres  Tapanuli  Selatan .  Saintia Matematika, vol. 1, no. 5, pp. 435–444, 2013.