## Estimasi Parameter pada Model Poisson Generalized Autoregressive Moving Average
(GARMA) dengan Algoritma IRLS Studi Kasus: Peramalan Jumlah Kecelakaan di Jalan Tol Surabaya-Gempol
Agil Desti Fauzia dan Laksmi Prita Wardhani Departemen Matematika, Fakultas Matematika Komputasi dan Sains Data,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : laksmiprita61@gmail.com
Abstrak — Peramalan  adalah  pengolahan  data  masa  lalu  untuk mendapatkan estimasi data masa depan.  Data yang digunakan pada  penelitian  ini  adalah  data count. Pada  kasus  data count metode  peramalan  pada  umumnya  seperti  ARIMA  kurang tepat  digunakan. Benjamin,  dkk.  mengembangkan  sebuah model  peramalan  yaitu Generalized  Autoregessive  Moving Average (GARMA)  dengan  menggunakan  fungsi  penghubung ( link  function )  dengan  data  diasumsikan  mengikuti  Distribusi Poisson  sehingga  disebut  juga  Poisson  GARMA (𝒑, 𝒒) .  Pada model  tersebut  terdapat  beberapa  parameter  yang  tidak diketahui. Parameter yang dimaksud diestimasi menggunakan metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE)  dengan optimasi Algoritma Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS). Model  Poisson  GARMA  ini  diterapkan  pada  data  jumlah kejadian kecelakaan di jalan tol Surabaya-Gempol ruas Waru- Sidoarjo.  Hasil  yang  didapat  yaitu  model  khusus  Poisson GARMA (𝟏, 𝟏) dengan 3 parameter yaitu parameter konstanta ( 𝜷 𝟎 ) ,  Autoregressive  ( 𝝓) ,  dan  Moving  Average  ( 𝜽 ).  Kriteria pemilihan model terbaik menggunakan AIC.
Kata  Kunci — Data count ,  Distribusi  Poisson,  Fungsi  Link, Poisson GARMA ( p, q ), Algoritma IRLS.

## I. PENDAHULUAN
ETODE time series adalah metode peramalan dengan menggunakan  analisa  plot  hubungan  antara  variabel yang  akan  diperkirakan  dengan  variabel  waktu.  Peramalan adalah  pengolahan  data  masa  lalu  untuk  mendapatkan estimasi  data  masa  depan  atau  yang  akan  datang.  Terdapat beberapa    jenis  data  yang  dikenal  seperti  nominal,  ordinal, interval,  dan  juga  data  hitung  ( count ).  Untuk  data  hitung biasanya  ditemukan  pada  suatu  kasus  atau  pada  sampel percobaan.  Data  jenis  ini  paling  sering  menyebabkan  data tidak  menyebar  normal  [1]. Untuk  mengatasi  hal  tersebut, kajian  pemodelan  peramalan  runtun  waktu  dikembangkan dan salah satunya diterapkan pada data deret hitung ( count ). Contoh data deret hitung ( count ) yang sering ditemui antara lain:  jumlah  kecelakaan  di  jalan  raya  yang  terjadi  dalam sebulan,  jumlah  anak  ikan  yang  menetas  pada  perlakuan khusus di laboratorium, jumlah pertandingan sepakbola yang tertunda karena hujan pada satu musim liga, jumlah serangan hama pada 1 hektar sawah, dan lain-lain [2].
Benjamin,  dkk.  mengembangkan  model Generalized Autoregressive Moving Average (GARMA) untuk data-data yang  mengikuti  distribusi  non-Gaussian  seperti  Distribusi
Poisson [3]. Model GARMA merupakan pengembangan dari perluasan Generalize  Linier  Models (GLM)  dimana  model GARMA  menghubungkan  komponen  ARMA  dengan variabel  prediktor  ke  transformasi  parameter  rata-rata  dari distribusi data  dengan menggunakan fungsi link . Fungsi link ini digunakan untuk memastikan bahwa distribusi data tetap dalam  domain  bilangan  riil  positif,  sehingga  memiliki ketepatan prediksi yang lebih akurat [4]. Pada penelitian ini dilakukan  estimasi  mengenai  model  GARMA  dimana  data yang  digunakan  diasumsikan  mengikuti  distribusi  Poisson atau disebut Poisson GARMA (𝑝, 𝑞) dengan studi kasus yaitu data  jumlah    kecelakaan  di  jalan  tol  Surabaya-Gempol  ruas Waru-Sidoarjo dalam batasan waktu tertentu.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Model ARMA
Model  Autoregressive  Moving  Average  (ARMA) merupakan  model  ARIMA  tanpa  proses  pembedaan  atau ARIMA (𝑝, 0, 𝑞) .  Secara  matematis  model  ARMA (𝑝, 𝑞) ditulis sebagai berikut:
𝑌 𝑡 = 𝜙 1 𝑋 𝑡−1 +. . . +𝜙 𝑝 𝑋 𝑡−𝑝 + 𝑒 𝑡 − 𝜃 1 𝑒 𝑡−1 −. . . −𝜃 𝑞 𝑒 𝑡−𝑞 (1)
dengan: 𝜙 1 : Parameter Autoregressive 𝜃 1 : Parameter Moving Average

## B. Model Poisson Data Count
Distribusi  bersyarat  dari  hasil  observasi 𝑦 𝑡 ,  untuk 𝑡 = 1,2,3, … , 𝑛 diberikan
pada himpunan 𝐻 𝑡 = {𝑥 𝑡 , . . . , 𝑥 1 , 𝑦 𝑡−1 , . . . , 𝑦 1 , 𝜇 𝑡−1 , . . . , 𝜇 1 } , yang merupakan keluarga  eksponensial.  Fungsi  kepadatan  peluang  dari distribusi Poisson sebagai berikut:
𝑓(𝑥; 𝜇) = 𝑒 −𝜇𝑡 𝜇 𝑦𝑡 𝑦 𝑡 ! ; 𝑦 = 0,1,2, . . . . , 𝑛 (2)
dengan:
𝑦 𝑡 = 0,1,2, … 𝑡 = 1,2,3, … , 𝑛 𝐸(𝑌 𝑡 ) =   𝜇 𝑡 𝑉𝑎𝑟[𝑌 𝑡 ] = 𝜇 𝑡
Model  Poisson  diperoleh  dari  bentuk  eksponensial  dari distribusi Poisson yaitu sebagai berikut:
𝑓(𝑦 𝑡 ; 𝛽|𝐻 𝑡−1 ) = exp{𝑦 𝑡 ln 𝜇 𝑡 − 𝜇 𝑡 − ln 𝑦 𝑡 !} (3)
M
untuk = 1,2, . . . , 𝑛 ; 𝐸(𝑌 𝑡 |𝐻 𝑡−1 ) = 𝜇 𝑡 ; 𝑏(𝜃 𝑡 ) = 𝜇 𝑡 = exp (𝜃 𝑡 ) ; 𝑉𝑎𝑟(𝜇 𝑡 ) = 𝜇 𝑡 dan 𝜔 𝑡 = 1 dengan bentuk link kanonik : (𝜇 𝑡 ) = 𝜃 𝑡 = ln 𝜇 𝑡 = 𝜂 𝑡 (4)
dan 𝜂 𝑡 = 𝒁 𝑡−1 ′ 𝜷 , 𝜷 merupakan  parameter  yang  tidak diketahui.

## C. Model GARMA
Model  GARMA  dikenalkan  pertama  kali  oleh  Benjamin, dkk. Yairu sebagai berikut[3]:
𝑔(𝜇) = 𝒁 𝑡−1 𝑇 𝜷 = 𝑿 𝑡−1 𝑇 𝜷 + 𝜏 𝑡 (5)
dengan
𝜏 𝑡 = ∑ 𝜙 𝑗 𝒜(𝑦 𝑡−𝑗 , 𝑥 𝑡−𝑗, 𝛽) + 𝑝 𝑗=1 ∑ 𝜙 𝑗 ℳ(𝑦 𝑡−𝑗 , 𝜇 𝑡−𝑗 ) 𝑞 𝑗=1 (6)
𝜏 𝑡 :komponen AR dan MA
𝐴 :fungsi yang mempresentasikan bentuk autoregressive ℳ :fungsi yang mempresentasikan bentuk moving average 𝜙 𝑇 :parameter autoregressive ; 𝜙 𝑇 = (𝜙 1 , 𝜙 2 , . . . , 𝜙 𝑝 ) 𝜃 𝑇 :parameter moving average ; 𝜽 𝑇 =   (𝜃 1 , 𝜃 2 , . . . , 𝜃 𝑝 )
Bentuk  sub  model  parsimoni  dari  model  GARMA (𝑝, 𝑞) yang didefinikan oleh Benjamin,  dkk.(2003) adalah sebagai berikut :
𝑔(𝜇) = 𝒁 𝑡−1 𝑇 𝜷 𝑔(𝜇) = 𝑿 𝑡−1 𝑇 𝜷 + ∑ 𝜙 𝑗 {𝑔(𝑦 𝑡−𝑗 ) − 𝑋 𝑡−𝑗 𝑇 𝛽} 𝑝 𝑗=1 (7) + ∑ 𝜙 𝑗 {𝑔(𝑦 𝑡−𝑗 ) − 𝜂 𝑡−𝑗 𝛽} 𝑞 𝑗=1 D. Poisson GARMA (𝑝, 𝑞)
Model Poisson
GARMA (𝑝, 𝑞) dikembangkan berdasarkan  model  GARMA (𝑝, 𝑞) dengan  asumsi  data berdistribusi Poisson. Diberikan 𝑦 𝑇 = (𝑦 𝑡 , 𝑦 𝑡+1 , … , 𝑦 𝑡+𝑛 ) adalah  model  data  deret  waktu.  Jika 𝑦 𝑡 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜇 𝑡 , 𝛼) maka 𝐸(𝑦 𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑦 𝑡 ) = 𝜇 𝑡 dan 𝛼 → 0 . Jika 𝑔 adalah fungsi logaritma natural (7) maka:
ln(𝜇) =   𝑿 𝑡−1 𝑇 𝜷 + ∑ 𝜙 𝑗 {ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ − 𝑿 𝑡−𝑗 𝑇 𝜷} 𝑝 𝑗=1 (8) + ∑ 𝜙 𝑗 { ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ 𝜇 𝑡−𝑗 } 𝑞 𝑗=1 dimana 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ = max (𝑦 𝑡−𝑗 , 𝑐) dan 0 < 𝑐 ≤ 1 .  Jika  terdapat nilai 0 pada nilai 𝑦 𝑡−𝑗 maka akan diganti dengan 𝑐 [3].

## E. Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Metode Maximum  Likelihood  Estimation adalah  metode pendugaan  yang  memaksimumkan  fungsi  likelihood  [5]. Dalam penelitian ini metode MLE digunakan untuk menduga parameter Poisson GARMA. Adapun fungsi Likelihood 𝐿(𝜃) sebagai berikut
𝐿(𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥 𝑖 |𝜃) 𝑛 𝑡=1 (9)
Untuk  mempermudah  perhitungan  secara  matematis, umumnya digunakan fungsi log- likelihoood.
𝑙(𝜃) = ln 𝐿(𝜃) = ∑ ln 𝑓(𝑥 𝑖 |𝜃) 𝑛 𝑖=1
(10)
Syarat  cukup  agar  fungsi  dari partial  log-likelihood maksimum adalah :
𝜕𝑙(𝜇 𝑡 ) 𝜕𝛽 0 = 0 ; 𝜕𝑙(𝜇 𝑡 ) 𝜕𝜙 𝑗 = 0 ; 𝜕𝑙(𝜇 𝑡 ) 𝜕𝜃 𝑗 = 0
Karena ketika digunakan metode MLE masih menghasilkan bentuk close form maka dilanjutkan dengan  iterasi  numerik yaitu dengan optimasi menggunakan Algoritma IRLS.

## F. Algoritma Iteratively Reweighted Least Square (IRLS)
Adapun  langkah-langkah  algoritma  IRLS  untuk mendapatkan  taksiran  parameter  persamaan  (8)  adalah sebagai berikut [6].
1. Inisialisasi,  memilih  nilai  awal  untuk 𝛽̂ (0) dengan menggunakan  metode Ordinary  Least  Square (OLS) untuk 𝑡 = 2,3,4 … , 𝑇.
𝛽̂ (0) = (𝑥 𝑇 𝑥) −1 (𝑥 𝑇 𝑦 𝑡 ∗ ) 𝑥 dan 𝑦 didefinisikan sebagai berikut :
𝑥 = [ 1 𝑥 11 … 𝑥 𝑘1 1 𝑥 12 … 𝑥 𝑘2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥 1𝑛 … 𝑥 𝑘𝑛 ] dan 𝑦 = [ ln 𝑦 1 ∗ ln 𝑦 2 ∗ ⋮ ln 𝑦 𝑇−1 ∗ ] 2. Menghitung nilai 𝝁 ̂ (𝟎)
𝝁 ̂ (𝟎) = exp(𝑿 𝒕 𝑻 𝜷) 𝝁 ̂ (𝟎) = 𝛽̂ (0) (0) + 𝛽̂ (1) (0) ln 𝑦 𝑡−1 ∗ 3. Menghitung nilai 𝑊
𝑊 (1) = [ 1 𝝁 ̂ 𝟎 (𝟎)
1 𝝁 ̂ 𝟏 (𝟎) ⋱ 1 𝝁 ̂ 𝑻−𝟏 (𝟎) ]
4. Menghitung nilai 𝑧 yakni sebagai berikut :
𝑧 (1) = 𝜼 𝑡 (1) + 𝑦 𝑡 + 𝝁 ̂ 𝟎 𝝁 ̂ 𝟎 𝜼 𝑡 (1) = 𝑿𝛽̂ (1)
5. Menghitung estimasi
𝜷 ̂ (𝑘+1) = (𝑿 𝑻 𝑾 (𝒌+𝟏) 𝑿) −1 𝑿 𝑻 𝑾 (𝒌+𝟏) 𝑧 (𝑘+1)
6. Ulangi langkah sampai dengan e menggunakan nilai 𝜷 ̂ (𝟏)
sehingga akan diperoleh nilai baru 𝜷 ̂ (𝟐)
7. Update 𝑘 ke 𝑘 + 1 dan ulangi langkah b sampai diperoleh toleransi sebagai berikut :
| 𝛽̂ (𝑡) −   𝛽̂ (𝑡−1) | < 𝜀 𝛽

## III. METODOLOGI PENELITIAN
Pada  penelitian  ini,  data  yang  digunakan  adalah  data jumlah  kejadian  kecelakaan  di  jalan  Tol  Surabaya-Gempol ruas  Waru-Sidoarjo  dari  bulan  Januari  tahun  2012  hingga Agustus  tahun  2017    dengan  jumlah  data  sebesar  68.  Data tersebut  diperoleh  dari  pihak  pengelola  jalan  tol  P.T.  Jasa Marga  Variabel  Y  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini
(15)
adalah jumlah kecelakaan di jalan Tol Surabaya-Gempol ruas Waru-Sidoarjo.
Table 1. Variabel Penelitian Tahun Bulan Jumlah Kecelakaan (Y) 2012 Januari 𝑌 1 Februari 𝑌 2 ⋮ ⋮ Desember 𝑌 12 2013 Januari 𝑌 13 Februari 𝑌 14 ⋮ ⋮ Desember 𝑌 24 ⋮ ⋮ ⋮
2017 Januari 𝑌 61 Februari 𝑌 62
⋮ Agustus 𝑌 68
Langkah-langkah  analisis  yang  digunakan  untuk  mencapai tujuan penelitian yakni sebagai berikut:
1. Pengumpulan data Pada  tahap  ini  dilakukan  pengumpulan  data  jumlah kecelakaan  di  jalan  Tol  Surabaya-Gempol  ruas  Waru- Sidoarjo dari P.T. Jasa Marga.
2. Studi Literatur Pada  tahap  ini  dilakukan  studi  literatur  untuk mendukung  penelitian.  Bahan-bahan  referensi  yang digunakan berupa buku, jurnal, tugas akhir, thesis dan juga  media  elektronik  (internet)  yang  sesuai  dan berhubungan dengan permasalahan yang dibahas.
3. Mengkaji cara mendapatkan penaksir parameter model Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞) menggunakan  metode  MLE dengan optimasi Algoritma IRLS.
4. Melakukan  peramalan  model  Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞) pada  data  jumlah  kecelakaan  di  jalan  tol  Surabaya- Gempol ruas Waru-Sidoarjo.

## IV. ANALISA DAN PEMABAHASAN
A. Estimasi Parameter Model Poisson GARMA (𝑝, 𝑞)
Pada  penelitian  ini,  variabel  prediktor 𝑥 diabaikan sehingga menurut Marinho dan Ricardo (2015) 𝑋 𝑡−1 𝑇 𝛽 dapat diganti  dengan  suatu  konstanta 𝛽 0 .  Sehingga  persamaan menjadi:
ln(𝜇 𝑡 ) = 𝛽 0 + ∑ 𝜙 𝑗 {ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ } + 𝑝 𝑗=1 ∑ 𝜃 𝑗 { ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ 𝜇 𝑡−𝑗 } 𝑞 𝑗=1 (11)
dimana 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ = max (𝑦 𝑡−𝑗 , 𝑐) dan 0 < 𝑐 ≤ 1 .
Jika persamaan dibentuk kedalam matriks, maka bentuk matrik sebagai berikut:
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :
𝜇 𝑡 = exp [𝛽 0 + ∑ 𝜙 𝑗 {ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ } 𝑝 𝑗=1 + ∑ 𝜃 𝑗 { ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ 𝜇 𝑡−𝑗 } 𝑞 𝑗=1 ]
(12)
Dalam  mencari  estimasi  parameter  model  Poisson GARMA (𝑝, 𝑞) langkah  awal  yang  dilakukan  yaitu  dengan
mengasumsikan bahwa variabel respon 𝑦 pada data jumlahan mengikuti distribusi Poisson . Sesuai dengan persamaan (9) bentuk partial likelihood dari  distribusi  Poisson  sebagai berikut:
𝑃𝐿(𝛾) =   ∏ exp(−𝜇 𝑡 (𝛾))𝜇 𝑡 (𝛾) 𝑦𝑡 𝑦 𝑡 ! 𝑛 𝑡=1 (13)
persamaan  diatas  dibentuk  kedalam partial  log-slikelihood (10) sehingga diperoleh:
𝑙(𝛾) = ∑ 𝑦 𝑡 𝑛 𝑡=1 ln 𝜇 𝑡 (𝛾)
− ∑ 𝜇 𝑡 (𝛾) − 𝑛 𝑡=1 ∑(𝑦 𝑡 𝑛 𝑡=1 !) (14)
Persamaan (12) disubtitusikan kedalam persamaan (14) sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut:
𝑙(𝛾) = ∑ 𝑦 𝑡 𝑛 𝑡=1 ln {exp (𝛽 0 + ∑ 𝜙 𝑗 {ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ } 𝑝 𝑗=1 + ∑ 𝜃 𝑗 { ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ 𝜇 𝑡−𝑗 } 𝑞 𝑗=1 )} − ∑ {exp (𝛽 0 + ∑ 𝜙 𝑗 {ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ } 𝑝 𝑗=1 𝑛 𝑡=1 + ∑ 𝜃 𝑗 { ln 𝑦 𝑡−𝑗 ∗ 𝜇 𝑡−𝑗 } 𝑞 𝑗=1 )} − ∑(𝑦 𝑡 𝑛 𝑡=1 !)
Untuk  memaksimumkan  fungsi  pada  persamaan  (15) maka  dilakukan  turunan  pertama  terhadap  parameter. Misalkan parameter yang diestimasi adalah 𝜸 = (𝛽 0 , 𝜙 𝑗 , 𝜃 𝑗 ) . Persamaan  hasil  turunan  pertama  tersebut  tidak  bisa diselesaikan  secara  analitik  karena  tidak  memenuhi  syarat cukup dari metode MLE sehingga untuk mengestimasi 𝜸 = (𝛽 0 , 𝜙 𝑗 , 𝜃 𝑗 ) digunakan  optimasi  algoritma Iteratively Reweighted  Least  Square (IRLS).  Iterasi  yang  dilakukan pada  algoritma  IRLS  berhenti  ketika  didapatkan  parameter yang konvergen.
A.  Pemodelan  Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞) terhadap  Jumlah Kejadian  Kecelakaan di Jalan Tol Surabaya-Gempol ruas Waru-Sidoarjo.
Dalam  melakukan  identifikasi  model  Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞) langkah  yang  dilakukan  sama  dengan  identifikasi model  ARIMA.  Dengan  kata  lain  model  Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞) diperoleh  berdasarkan  model  sementara  ARIMA. Proses dari identifikasi model sebagai berikut:
Pada  Gambar  1  terlihat  bahwa  data  belum  stasioner terhadap  varians  maupun mean .  Stasioneritas  data  terhadap varian  dilakukan  dengan  transformasi  Box-Cox  dimana dikatakan stasioner ketika nilai = 1 .  Nilai 𝜆 yang diperoleh dalam  Box-Cox  plot  mempengaruhi  formula  transformasi yang  digunakan  untuk  mengubah  data  asli  menjadi transformasi agar menghasilkan nilai 𝜆 = 1 . Terlihat pada Gambar 2 bahwa nilai 𝜆 ( round value ) adalah 0.5, sehingga perlu dilakukan transfromasi Box-Cox dengan formula √𝑌 𝑡 . berdasarkan tabel berikut:
Table 2. Transformasi Box-Cox
Nilai λ Transformasi Box – Cox -1
1 𝑌 𝑡 ⁄ -0.5 1 √𝑌 𝑡
⁄
0 ln 𝑌 𝑡
0.5
√𝑌 𝑡 1
𝑌 𝑡
Gambar 1. Plot data time series jumlah kejadian kecelakaan.
Gambar 2. Plot Transformasi Box-Cox.
Gambar 3. Transformasi Box-Cox.
Gambar 4. Plot ACF Data Hasil Transformasi.
Pada  Gambar  3  terlihat  hasil  formula √𝑌 𝑡 menghasilkan nilai 𝜆 = 1 sehingga  data  telah  stasioner  terhadap  varian. Selanjutnya stasioneritas data pada mean dapat dilihat dengan plot ACF dan PACF dari data hasil trnasformasi Box-Cox.
Dari  Gambar  4  dan  5  mengidentifikasikan  bahwa  data sudah  stasioner  dalam mean .  Hal  ini  terlihat  dari  plot  ACF yang memiliki pola tentative karena tidak ada lag yang keluar dari significant limit . Dengan melihat gambar tersebut dapat dilakukan  dugaan  beberapa  kemungkinan  sementara  model yang terbentuk. Model tersebut yaitu ARMA (1,1) , ARMA (1,0), dan ARMA (0,1).
Untuk  mendapatkan  model  terbaik  dilakukan  uji signifikasi  parameter  dan  uji  diagnostik  yang  dilanjutkan dengan overfitting .
Table 3. Overfitting Signifikasi Parameter Model ARMA Parameter Keputusan (1,1) 𝜙 1 = 0.8708 Signifikan 𝜃 1 = 0.9613 Signifikan (1,0) 𝜙 1 = −0.119 Tidak Signifikan (0,1) 𝜃 1 = 0.01334 Tidak Signifikan
Pada Tabel 3 terlihat bahwa diantara tiga model yang ada setelah  melakukan  proses overfitting, hanya    satu  model ARMA  sementara  yang  memenuhi  signifikasi  dalam parameter,  dengan  syarat  jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka parameter dalam model signifikan sehingga satu model yang signifikan  tersebut  dilanjutkan  pada  pengujian  diagnostik untuk menentukan model terbaik.
Table 4. Uji Asumsi residual White Noise Model ARMA 𝐷 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 Keputusan (1,1) 2.058 Tidak Normal
dari Tabel 4 diperoleh bahwa residual dalam model tersebut independen yaitu tidak saling berkolerasi.
Table 5. Uji Asumsi Normalitas Model ARMA 𝑄 𝜒 2 Keputusan (1, 1) 9.67735 18.30704 White Noise
dari  Tabel  5  diperoleh  bahwa  data  juga  tidak  memenuhi asumsi normalitas karena nilai 𝐷 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐷 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dengan nilai 𝐷 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 yaitu 2.058 .  Karena  data  tidak  memenuhi  asumsi residual berdistribusi normal amak dilakukan deteksi outlier. Hasil dari deteksi  outlier pertama sudah menunjukkan bahwa residual berdistribusi normal yang dapat dilihat pada Gambar 6.
Sesuai  dengan  yang  telah  dijelaskan  sebelumnya  bahwa model  Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞) diperoleh  dari  model sementara  ARMA (𝑝, 𝑞) .  Model  terbaik  setelah  dilakukan overfitting adalah ARMA (1,1) yang berarti diperoleh model khusus Poisson GARMA (1,1).
Dari  model  Poisson  GARMA (1,1) didapatkan  estimasi parameter sebagai berikut:
Parameter 𝑆𝐸 𝛽 0 =-5,627 0,000 𝜙 1 = 0,980 0,000 𝜃 1 = -1,359 0,097
Jadi  diperoleh  persamaan  model  Poisson  GARMA (1,1) untuk  Jumlah  Kejadian  Kecelakaan  di  Jalan  Tol  Surabaya- Gempol Ruas Waru-Sidoarjo sebagai berikut:
[ ln(𝜇 1 ) ln(𝜇 2 ) ln(𝜇 3 ) ⋮ ln(𝜇 𝑇 )] = [ 1 ln 𝑦 0 ∗ ln 𝑦 0 ∗ /𝜇 0 1 ln 𝑦 1 ∗ ln 𝑦 1 ∗ /𝜇 1 1 ln 𝑦 2 ∗ ln 𝑦 2 ∗ /𝜇 2 ⋮ ⋮ ⋮ 1 ln 𝑦 𝑇−1 ∗ ln 𝑦 𝑇−1 ∗ /𝜇 𝑇−1 ] [ 5,627 0,980 −1,359 ]
dengan persamaan model:
𝜇 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝( 5,627 + 0,980 1 {𝑙𝑛 𝑦 𝑇−1 ∗ } − 1,359 1 {𝑙𝑛 𝑦 𝑇−1 ∗ 𝜇 𝑇−1 })
model diatas digunakan untuk melakukan peramalan untuk 8 bulan kedepan.
A. Hasil Peramalan Data Jumlah Kejadian Kecelakaan di Jalan  Tol  Surabaya  Gempol  Ruas  Waru-Sidoarjo dengan Poisson GARMA (𝑝, 𝑞)
Peramalan  model  Poisson  GARMA (1, 1) dilakukan dengan  menggunakan  software  Matlab  R2013a.    Pada peramalan  model  Poisson  GARMA  ini  digunakan  60  data sebagai in - sample dan  8  data  sebagai out-sample. hasil peramalan dari data jumlah kecelakaan dijalan tol Surabaya- Gempol ruas Waru-Sidoarjo sebagai berikut :
Table 6 Hasil Peramalan Model Poisson GARMA (1,1) Actual Forecasting Poisson GARMA 2 2,067 2 2,094 3 2,456 0 0,122 1 0,892 0 0,121 1 0,77 0 0,015
Dari hasil permalan diatas didapatkan nilai AIC dan Devian sebagai berikut :
𝐴𝐼𝐶 = 763,900574, 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑛 = 12,932771
Plot grafik hasil dari forecasting dengan data aktual dapat dilihat pada Gambar 7.
V. KESIMPULAN Berdasarkan analisis dan pembahasan, dapat disimpulkan:
1. Estimasi  parameter  model  Poisson  GARMA (𝑝, 𝑞)
dilakukan  dengan  menggunakan  metode  MLE  karena diasumsikan  mengikuti  suatu  distribusi  eksponensial. karena  metode  MLE  menghasilkan  bentuk  yang  tidak close form dilakukan optimasi Algoritma IRLS sampai parameter  tersebut  konvergen.  Algoritma  IRLS  untuk menentukan estimasi 𝜸 sebagai berikut:
𝜸 ̂ (𝑘+1) = (𝑿 𝑻 𝑾 (𝒌+𝟏) 𝑿) −1 𝑿 𝑻 𝑾 (𝒌+𝟏) 𝑧 (𝑘+1)
2. Hasil aplikasi Model Poisson GARMA yang diterapkan pada  data  jumlah  kejadian  kecelakaan  dijalan  Tol Surabaya-Gempol ruas Waru-Sidoarjo dibangun melalui  identifikasi  model  terbaik  ARMA  yang kemudian  diperoleh  model  Poisson  GARMA (1,1) dengan persamaan sebagai berikut:
𝜇 𝑡 = exp( 5,627 + 0,980 1 {ln 𝑦 𝑇−1 ∗ } − 1,359 1 {ln 𝑦 𝑇−1 ∗ 𝜇 𝑇−1 })
dengan  hasil  estimasi  parameter  yaitu  parameter konstanta 𝛽 0 sebesar  5,627,  parameter  AR 𝜙 1 sebesar 0,980,  dan  parameter 𝜃 1 sebesar - 1,359.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] William  W.S.  Wei, Time  Series  Analysis :  Univariate  and Multivariate Methods , 2nd ed. Greg Tobin, 2006.
[2] A. Collin Cameron dan Pravin K. Trivedi, Regression Analysis of Count Data . New York, 1998.
[3] M. A. Benjamin, R. A. Rigby, D. M. Stasinopoulos, Journal of the American  Statistical  Association  Generalized  Autoregressive Moving Average Models Average Models ,no. 2003.
[4] Asrirawan, Generalized  Seosonal  Autoregressive  and  Moving Average  For  Forecasting  The  Number  of  Dengue  Hemorrhagic Fever (DHF) Patrient in Surabaya , 2014. [5]  F.  A.  Widjajati,  M. D.  Saputri,  dan  N.  Asiyah,  “Sifat-Sifat  Generalisasi  Distribusi,” no. 1, hal. 13–22, 1829.
[6] K. Fokianos dan B. Kedem, “Prediction and Classification of Non- stationary  Categorical  Time  Series  *,”  vol.  296,  hal.  277–296, 1998.

## (16)
Gambar 5. Plot ACF Data Hasil Transformasi.
Gambar 6 . Uji Normalitas ARMA (1,1) dengan Outlier.
Gambar 7 . Plot Data aktual dan peramalan.