## Aplikasi Model Kerugian Agregat dan Teori Kebangkrutan (Ruin Theory) Dalam Penentuan Peluang Kebangkrutan (Probability of Ruin)

## Sri Dewi Anugrawati
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, sridewi.anugrawati@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,  Kerugian  dalam  suatu  perusahaan  yang sangat berpengaruh pada kemampuan perusahaan itu untuk bertahan  (senantiasa  beroperasi).  Pada  artikel  ini  dibahas mengenai  aplikasi  model kerugian yang digunakan untuk memprediksi  waktu  sampai  suatu  perusahaan  akan mengalami kebangkrutan. Model kerugian yang digunakan adalah  model  kerugian  agregat  dengan  model  risiko kolektif. Penentuan waktu sampai kerugian pertama terjadi melibatkan teori kebangkrutan dan model kerugian klaim dengan    frekuensi  berdistribusi  Poison  dan  keparahan berdistribusi eksponensial, Pareto, dan Gamma
Kata Kunci: ruin theory, peluang kebangkrutan

## 1. PENDAHULUAN
Teori  kebangkrutan  ( ruin  theory )  adalah salah  satu  topik  yang  banyak  digunakan  dalam bidang  aktuaria  untuk  menentukan  peluang kebangkrutan suatu perusahaan asuransi dengan melibatkan  modal  dan  pembayaran  klaim  polis para nasabah (pemegang polis) asuransi.
Penelitian  mengenai  teori  kebangkrutan telah  banyak  dilakukan  oleh  berbagai  ahli  dan peneliti dalam bidang statistika, matematika, dan terkhusus  aktuaria.  Penelitian  yang  dilakukan oleh  Gerber  &  Shiu  [6]  terkait  waktu kebangkrutan, surplus seketika saat kebangkrutan  dan  defisit  saat  kebangkrutan dengan menggunakan model risiko klasik. Yang dan Sendova [10] juga melakukan kajian terkait waktu  kebangkrutan  dengan  menggunakan persamaan  Lundberg  dan  transformasi  Laplace terhadap waktu kebangkrutan tersebut. Ling dan Sendova  [9]  juga  melakukan  kajian  terhadap waktu  kebangkrutan  dengan  menggunakan model  kebangkrutan compund  binomial .  Ling dan  Sendova[9]  juga  mengkaji  distribusi gabungan dari variabel waktu kebangkrutan dan jumlah  klaim  sampai  kebangkrutan  dengan menggunakan model risiko klasik
Kebangkrutan  pada  perusahaan  umumnya disebabkan karena ketidakmampuan perusahaan memenuhi  kewajiban  keuangan  di  waktu  yang telah  ditentukan. The  Federal  Bankcruptcy  Act mendefinisikan  kejadian  kebangkrutan  sebagai
saat  dimana  valuasi  properti  agregat  tidak  bisa digunakan untuk membayar utang perusahaan [2]
Banyak dari perusahaan mengalami kebangkrutan dikarenakan tidak ada pemasukan, utang  yang  bertambah  banyak,  dan  aset  yang berkurang. Oleh karena itu analisis risiko terkait kebangkrutan  perusahaan  dipandang  perlu dilakukan  kajian  yang  lebih  banyak  terutama prediksi  terkait  kapan  suatu  perusahaan  bisa mengalami kebangkrutan dengan melihat modal atau  surplus,  aset,  dan  kewajiban  suatu perusahaan.
Pada  artikel  ini,  model  risiko  yang  akan digunakan  adalah  model  risiko  klasik  dengan fokus  pada  perusahaan  asuransi  untuk  melihat pekuang  terjadinya  kebangkrutan  pada  suatu perusahaan

## 2. MODEL KEBANGKRUTAN
Modal  kebangkrutan  yang  digunakan pada  artikel  ini  adalah  model  kebangkrutan ganda dalam B¨uhlmann [3] dan Avanzi[1]
Formula surplus pada model kebangkrutan ganda ( dual ruin model )
didefenisikan sebagai berikut
( ) ( ) ( ) , , 0 R t u u c t S t t = − +  (2.1)
Dimana 0 u  adalah  modal  awal  atau  surplus awal  dari  perusahaan, ( ) 0 c t  adalah  tingkat biaya di waktu ke-t dan ( ) S t adalah pendapatan agregat dari waktu 0 sampai waktu ke-t. Formula untuk ( ) S t dituliskan sebagai
( ) ( ) 0 , 0 N t t t S t X t = =   (2.2)
Dengan t X adalah  besaran  klaim  (kewajiban yang harus dibayarkan oleh perusahaan di waktu ke-t dan ( ) N t adalah jumlah kewajiban/klaim di waktu ke-t [3]. Model ini berlaku secara umum pada  perusahaan  yang  sesekali  mendapatkan
Aplikasi Model Kerugian Agregat dan Teori Kebangkrutan (Ruin Theory ) Dalam Penentuan Peluang Kebangkrutan ( Probability of Ruin ) • 74
keuntungan  dimana  jumlah  dan  besaran keuntungan  dapat  dimodelkan  oleh ( ) S t .
Perusahaan  asuransi  umumnya  menggunakan model  2.1 dengan mengasumsikan 0 c  sebagai tingkat  premi  konstan  dan ( ) S t sebagai  proses klaim  agregat. ( ) S t dapat  diasumsikan  sebagai proses Poison majemuk dengan parameter  dan fungsi kepadatan peluang ( ) , 0 p y y  [1]
Distribusi  majemuk  seperti  distribusi Poison  majemuk  dapat  diperoleh  dengan menggabungkan
2 distribusi Poison. Menggabungkan dalam hal ini bermakna fungsi pembangkit  peluang  ( probability  generation function ) dari distribusi gabungan tersebut yang dinotasikan dengan ( ) S P z dan dituliskan sebagai berikut ( ) ( ) S N X P z P P z   =   dimana ( ) N P z dan ( ) X P z disebut  distribusi primer dan distribusi sekunder. Dalam hal ini jika distribusi  sekunder  dan  primernya  adalah distribusi  Poison  maka ( ) S P z berdistribusi Poison majemuk. Dalam ilmu aktuaria, distribusi Poison termasuk dalam distribusi kelas (a, b, 0) dengan fungsi probabilitas
1 , 1, 2,... k k b p a p k k −   = + =    

## Teorema 1
Jika  distribusi  primer  adalah  anggota  dari distribusi  kelas  (a,  b,  0)  maka  dapat  digunakan formula rekursif untuk menghitung
1 0 1 , 1, 2, 3, 1 k j k j k j j b g a f g k
a f k − =   = + =   −    
Formula  ini  disebut  formula  rekursi  Panjer dengan
0 0 0 1 n n k g p p f  = = + 
Bukti: lihat Dickson[5] Misalkan
( ) 0 1 k N k k P z p z p  = = + 
maka
( ) 1 1 1 1 1 k N k k k k k P z kz p b kz a p k  − =  − − = =   = +       ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k N k a kz p b z p a kz p bP z   − − − − = =  − − = = + = +    Perhatikan bahwa 1 1 k k = − + maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ' 1 1 ' k k N k k N k k k k N N k N N N P z a k z p a z p bP z az k z p aP z bP z
azP z aP z bP z   − −
− − = =  − − = = − + + = − + + = + +    sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' N N N P z a z P z a b P z =   + + Selanjutnya ( ) ( ) ( ) ' ' ' S N X N P z P P z P z   =  
Dengan  menggunakan  persamaan  ()  dan persamaan diatas maka diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' S X N X N X X X S S X P z aP z P P z a b P P z P z aP z P z a b P z P z
   
= + +     = + + karena S P dan X P adalah  fungsi  pembangkit peluang maka
( ) 0 j S j j P z z g  = = 
dan
( ) 0 k X k k P z z f  = =  sehingga ( ) ' 1 0 j S j j P z j z g  − = =    dan
( ) ' 1 0 k X k k P z k z f  − = =   Oleh karena itu
( ) ( ) ' 1 0 1 0 0 1 0 0 j S j j k j k j k j j k j k j k P z j z g a z f z g a b z g k z f  − =   − = =   − = = =      
=             + +               
Atau jika dikalikan dengan z maka ( ) ' 1 0 j S j j z P z z j z g  − =  =    dimana ( ) 1 0 0 0 0 0 0 j j j j j j k j k j k j j j j k k k z j z g j z g
a z f j z g a b z g k z f   − = =   = =  =  =    =
     
=             + +     
             
Untuk menentukan formula , 1, 2,3, j g j = pada persamaan  diatas,  dapat  ditentukan  dengan mengidentifikasi koefisien dari z yang berpangkat.  Pada  sisi  kiri  koefisien  dari j z adalah j j g  . Pada sisi kanan, perkalian pertama pada  jumlahan  di  sisi  kanan  dapat  ditentukan dengan menggunakan j z dengan mengalikan k z pada  jumlahan  pertama  dengan  koefisien j k z − pada  jumlahan  kedua  dengan 0,1, 2,3, , k j = sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 j j k j k k j j j k k j j k j k k j j j k k j g a f j k g a b k f g a f j g a f j k g a b k f g − = − = − = − =  = − + +   =    + − + +      
sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 j j k k j k j j j j k k a f j g a j k a b k
f g bk g a f g a f j = − − = −    = − + +    = + +    −     
Pada  model  kerugian  sebelumnya,  peluang kejadian  kebangkrutan  ( eventual  ruin )  dapat diberikan oleh
( ) ( ) 0 P S t 
Dengan model N berdistribusi geometrik. Model peluang  kebangkrutan  ini  sering  juga  disebut model peluang kebangkrutan Beekman Definisi 2.1
Kebangkrutan terjadi di waktu t jika ( ) ; 0 R t u  untuk  pertama  kalinya  di  waktu  ke-t,  dengan 1 t  Definisi 2.2 Jika  surplus  awal  sebesar u maka  variabel random ( ) T u adalah  waktu  kebangkrutan
dimana
( ) ( ) ( ) min 1: , 0 T u t R t u =   (2.3)
Hal  ini  berarti  selama  terdapat  t  berhingga sedemikian sehingga ( ) , 0 R t u  maka
kebangkrutan  pasti  terjadi.  Namun  perlu diperhatikan bahwa nilai dari ( ) T u mungkin saja tidak  memiliki  nilai  yang  finite  sehingga  pada kasus ini ( ) T u dianggap sebagai variabel random yang  improper.  Untuk  menganalisa  fungsi surplus sebelumnya, maka kita harus menentukan  peluang ( ) T u memiliki  nilai  yang finite  atau  dengan  kata  lain  disebut  peluang kebangkrutan ultima Definisi 2.3 Jika surplus awal sebesar u , peluang kebangkrutan  ultima  ( probability  of  ultimate ruin )  yang  dinotasikan  dengan ( ) u  adalah peluang ( ) T u bernilai finite (berhingga) dimana ( ) ( ) ( ) Pr u T u  =   (2.4)
Selanjutnya
Aplikasi Model Kerugian Agregat dan Teori Kebangkrutan (Ruin Theory ) Dalam Penentuan Peluang Kebangkrutan ( Probability of Ruin ) • 76
Definisi 2.4 Jika surplus awal sebesar u , peluang kebangkrutan di waktu ke-t, dinotasikan dengan ( ) ; t u  didefinisikan sebagai berikut ( ) ( ) ( ) ; Pr t u T u t  =  (2.5)
Kedua peluang tersebut merupakan ukuran risiko kebangkrutan yang sangat penting [11]

## 3. MODEL RISIKO DISKRIT NON HOMOGEN
Pada  model  risiko  diskrit  non  homogen, premi  diasumsikan  tidak  seragam  dan  jumlah klaim memiliki distribusi saling bebas yang tidak stasioner.  Didefinisikan ( ) 0, 0 R u u =  .  Pada
konteks  suku  bunga, ( ) c t dan ( ) S t adalah besaran nilai terdiskon (nilai sekarang) di waktu ke-0.
Jika t Y adalah total klaim yang terjadi di waktu   1, t t − dengan  kata  lain t Y adalah variabel
random non negatif,
( ) 1 2 t c t c c c = + + + ,  dimana t c adalah  premi terdiskon di waktu ke-t, ( ) 0 1 a = , dan ( ) ( ) 1 1 , 0 t j j a t i t = = +   ,
Jika  premi  diterima  di  awal  periode, perkembangan  surplus  suatu  perusahaan  dapat digambarkan sebagai berikut
( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 t t t j t j Y Y R t u u p p i i i Y p i i − −   = + − + −   + + +     + + −   + +   
Maka premi
( ) ( ) 1 t p c t a t = − (2.6)
Jika premi diterima di akhir periode, perkembangan  surplus  suatu  perusahaan  dapat digambarkan sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 t t t j j R t u u p Y p Y i i i p Y i − − = + − + −  + + + + + − +  Maka premi ( ) ( ) t p c t a t = (2.7)
Jika premi diterima pada tingkat premi seragam per  unit  waktu,  dianggap  premi  tersebut  masuk dalam  pertengahan  periode.  Oleh  karena  itu perkembangan  surplus  suatu  perusahaan  dapat digambarkan sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 t t t j j t t Y R t u u p i i Y p i i i Y p i i i − −    
= + −   + +
   
  + −  +   + +       + + − +   + +   

## Maka premi
( ) ( )( ) 1 2 1 1 t t p c t a t i = − + (2.8)
Adapun t X pada  persamaan  (2.2)    berdasarkan persamaan  (2.6),  (2.7),  dan  (2.8)  dapat didefinisikan sebagai berikut [4]
( ) t t Y X a t =

## 4. KOMPUTASI NUMERIK
Pada  bagian  ini  akan  dilakukan  komputasi numerik untuk menentukan peluang ruin dengan model  Beekman  namun  frekeunsi  klaim menggunakan distribusi Poison lalu ditampilkan pada grafik. Misalkan kejadian klaim berdistribusi  Poison  dengan 2  = dengan berbagai  distribusi  keparahan  ( severity )  klaim sebagai berikut
Tabel 4.1 Tabel distribusi klaim dan keparahan klaim
Frekuensi klaim
Keparahan klaim Poison ( ) 2  = Gamma ( ) 10, 1   = = Eksponensial ( ) 0, 05  = Pareto ( ) 10, 0, 25   = =
Grafik  berikut  menggambarkan  peluang aggeragat  yang  diperoleh  dari  distribusi frekuensi klaim dan keparahan klaim beradasarkan tabel diatas.
Gambar 4.1 Grafik distribusi peluang klaim agregat dengan keparahan klaim bersitribusi gamma
Gambar 4.2 Grafik distribusi peluang klaim agregat dengan keparahan klaim bersitribusi eksponensial
Gambar 4.3 Grafik distribusi peluang klaim agregat dengan keparahan klaim bersitribusi Pareto Dengan mengggunakan model peluang kebangkrutan  Beekman,  surplus 𝑢 bernilai  0 hingga  100,  dan  rate  premi  1,2  maka  maka diperoleh  grafik  peluang  kebangkrutan  untuk model  kerugian  agregat    dengan  keparahan sebelumnya sebagai berikut
Gambar 4.4 Grafik peluang kebangkrutan dengan frekuensi klaim berdistribusi Poison dan keparahan klaim berdistribusi Gamma

## 5. KESIMPULAN
Risiko klaim memegang peranan penting dalam  penentuan  peluang  kebangkrutan  suatu perusahaan.  Model  surplus  yang  menjadi  dasar penentuan peluang kebangkrutan dapat dibentuk dari  biaya  atau  premi,  modal  awal  ataupun surplus  dan  model  besaran  klaim.  Distribusi- distribusi  dari  keparahan  klaim  dan  frekuensi klaim  dengan  besaran  parameter  yang  berbeda menentukan peluang kebangkrutan yang berbeda pula

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Avanzi, B., U. Gerber, H., & S.W. Shiu, E. (2007).  Optimal  dividends  in  the  dual
Aplikasi Model Kerugian Agregat dan Teori Kebangkrutan (Ruin Theory ) Dalam Penentuan Peluang Kebangkrutan ( Probability of Ruin ) • 78
model. Insurance: Mathematics and Economics, 41(1), 111–123. https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2006. 10.002 [2] Baxter, N. D. (1967). LEVERAGE, RISK OF  RUIN  AND  THE  COST  OF CAPITAL. The Journal of Finance, 22(3), 395–403. https://doi.org/10.1111/j.1540- 6261.1967.tb02975.x
[3] B¨uhlmann,  H.,  1970.  Mathematical Methods in Risk Theory. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
[4] Castañer,  A.,  Claramunt,  M.  M.,  Gathy, M.,  Lefèvre,  C.,  &  Mármol,  M.  (2013).
Ruin  problems  for  a  discrete  time  risk model  with  non-homogeneous  conditions. Scandinavian  Actuarial  Journal,  (2),  83– 102. https://doi.org/10.1080/03461238.2010.54 6144
[5] Dickson,  D.  C.  M.  (2005).  Insurance  risk and ruin. Insurance Risk and Ruin (pp. 1– 229). Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/CBO97805116241 55
[6] Gerber, H. U., & Shiu, E. S. W. (1998). On the  time  value  of  ruin. North  American Actuarial Journal , 2(1), 48–72. https://doi.org/10.1080/10920277.1998.10 595671
[7] Klugman, S. A., Panjer, H. H., & Willmot, G.  E.  (2019).  Loss  models:  from  data  to decisions, 5th edition. John Wiley & Sons.
[8] Shiu,  E.  S.  W.  (1988).  Calculation  of  the probability of eventual ruin by Beekman’s convolution series. Insurance Mathematics and Economics, 7(1), 41–47. https://doi.org/10.1016/0167-
6687(88)90095-9
[9] Li, S., & Sendova, K. P. (2013). The finite- time ruin probability under the compound binomial  risk  model .  European  Actuarial Journal , 3(1), 249–271. https://doi.org/10.1007/s13385-013-0063-
y
[10] Yang,  C.,  &  Sendova,  K.  P.  (2014).  The ruin  time  under the  Sparre-Andersen  dual model. Insurance:  Mathematics  and Economics , 54(1), 28–40.
https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2013.
10.012
[11] Tse,  Y.  (2009). Ruin  theory.  In  Nonlife
Actuarial  Models:  Theory,  Methods  and Evaluation (International Series on Actuarial Science , pp. 143-168). Cambridge:  Cambridge  University  Press. doi:10.1017/CBO9780511812156.009
.