## REPRESENTASI MATEMATIS SISWA SMP KELAS 8 DAN SISWA SMA KELAS 10 DALAM MENGERJAKAN SOAL CERITA
Varetha Lisarani 1* , Abd. Qohar 2
1, 2 Pendidikan dan Pengajaran Agama Katolik, Sekolah Tinggi Agama Katolik Negeri Pontianak Jalan Parit H. Muksin II, Sungai Raya, Kab. Kubu Raya, Kalimantan Barat, 78121, Indonesia
2 Pendidikan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Malang Jalan Semarang No.5, Sumbersari, Kec. Lowokwaru, Kota Malang, Jawa Timur 65145, Indonesia
e-mail: 1 betzyvarethalisarani@gmail.com; Submitted: March 16, 2021 Revised: April 18, 2021 Accepted: April 24, 2021 corresponding author *

## Abstrak
Penelitian  ini  menggunakan  pendekatan  penelitian  kualitatif  yang  bertujuan  menjelaskan  bagaimana representasi  matematis  digunakan  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  berupa  soal  cerita  yang  didesain untuk dapat diselesaikan dengan berbagai bentuk representasi. Data diperoleh dari dua orang subjek yaitu satu orang siswa SMP kelas VIII yang mewakili Key Stage 3 menurut tingkatan kelas di US dan satu orang siswa  SMA  kelas  X  yang  mewakili Key  Stage 4.  Menurut  hasil  analisis,  siswa  kelas  8  lebih  cenderung menggunakan  representasi  eksternal  berupa  gambar  dan  data-kata  yang  digunakan  untuk merekam/menuliskan  ide  yang  diperolehnya  dari  masalah  yang  diberikan  namun  belum  dioptimalkan penggunaannya  sebagai  alat  bantu  menemukan  solusi,  sedangkan  siswa  kelas  10  lebih  memilih mengoptimalkan  representasi  internal  untuk  memvisualisasikan  situasi  yang  diperoleh  dari  masalah kemudian  menuliskan  prosesnya  memecahkan  masalah  secara  sistematis  menggunakan  representasi eksternal berupa ekspresi aljabar.
Kata Kunci : representasi matematis, soal cerita
8 th AND 10 th GRADER’S MATHEMATICAL REPRESENTATION IN SOLVING WORD PROBLEMS

## Abstract
This  is  a  qualitative  research  aimed  to  explain  how  students  use  mathematical  representation  in  solving word problems that is designed to be solvable using various form of representation. Data of this research was  collected  from  2  subjects:  a  8 th grader  representing  students  of  Key  Stage  3  and  a  10th  grader representing that of Key Stage 4. Based on the analysis of the data collected, eighth grade student in this research  tended  to  use  pictorial  and  word  representation  to  record  ideas  he/she  obtained  from  the  given problem, but  he/she  was  not  able to optimize the role of representation to solve problems. On the other hand, tenth grade student in this research tended to optimize internal representation to visualize the situation of the problem, then wrote his/her steps to solve problem systematically, using external representation in form of algebraic expression.
Keywords : mathematical representation, word problems

## 1. Pendahuluan
Dalam  matematika,  kita  menerjemahkan objek  realistis  menjadi  objek  sebagai  model,  di mana model adalah representasi dari aspek esensial suatu  objek  nyata  (Akita  &  Saito,  2014).  Karena matematika  bersifat  abstrak,  tidaklah  mungkin untuk  mengakses  objek  matematika  tanpa penggunaan  representasi  (Duval,  2006).  Dalam masyarakat masa kini dengan pesatnya perkembangan  ilmu  pengetahuan  dan  teknologi, manusia membutuhkan kemampuan untuk menggunakan  bahasa  untuk  mengekspresikan
idenya,  dan  representasi  matematis  digunakan untuk  komunikasi  eksternal  yang  dimaksud  (Zhe, 2012).  Keterampilan  proses  berfikir  dalam matematika meliputi lima kemampuan; kemampuan  memecahkan  masalah,  kemampuan penalaran, kemampuan membuat koneksi, kemampuan  berkomunikasi  dan  kemampuan representasi (The National Council of Teachers of Mathematics,  2000).  Representasi  merupakan salah satu kemampuan yang penting untuk dikuasai oleh  siswa,  karena  kemampuan  representasi
matematis  adalah  alat  untuk  berfikir  bagi  siswa untuk memahami masalah.
Semua  penalaran  matematis  membutuhkan penggunaan  representasi  (Velez  &  Ponte,  2014). Istilah representation merujuk  pada  proses  dan produk—dengan  kata  lain,  tindakan  menangkap konsep atau hubungan matematis dalam beberapa bentuk  atau  kepada  bentuk  itu  sendiri  (The National  Council  of  Teachers  of  Mathematics, 2000). Lebih lagi, ‘representasi’ juga merujuk pada proses dan produk yang dapat diamati baik secara eksternal  maupun  internal  (di  dalam  pikiran seseorang  yang  sedang  melakukan  perhitungan matematis).  Terkait  representasi  sebagai  produk, representasi  adalah  suatu  tanda  atau  konfigurasi tanda,  karakter,  atau  objek,  yang  dapat  mewakili suatu  hal  (untuk  menyimbolkan,  mengkodekan, menggambarkan, atau merepresentasikan) (Godino & Font, 2010). Objek yang direpresentasikan dapat bervariasi  bergantung  pada  konteks  penggunaan representasi  tersebut:  grafik  pada  koordinat Kartesius  misalnya,  dapat  merepresentasikan fungsi  atau  himpunan  selesaian  dari  suatu persamaan  aljabar.  Representasi  adalah  bentuk interpretasi  pemikiran  siswa  terhadap  suatu masalah, yang digunakan sebagai alat bantu untuk menemukan solusi dari masalah tersebut (Sabirin, 2014). Representasi juga adalah model atau bentuk pengganti  dari  suatu  situasi  masalah  yang digunakan  untuk  menemukan  solusi.  Sedangkan terkait  representasi  sebagai  proses,  kemampuan representasi  matematis  adalah  ketrampilan  proses siswa  dalam  mengkontruksi  konsep  dengan  fakta yang  didapatkan  sebelumnya  untuk  memahami masalah  matematika,  kemudian  disajikan  dalam berbagai  bentuk  seperti  verbal,  grafik  dan  simbol matematika (Syafrudin & Muksar, 2016). Representasi matematis juga merupakan instrumen bagi  siswa  untuk  menangkap  pengetahuan  dan kemampuan matematis (Zhe, 2012). Dari pembahasan  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa representasi  merujuk  pada  produk  dan  proses— representasi  matematis  sebagai  produk  adalah objek  yang  mewakili  suatu  hal,  sedangkan representasi  matematis  sebagai  proses  adalah ketrampilan  siswa  untuk  menangkap  konsep  atau hubungan matematis dalam beberapa bentuk yang menggambarkan  interpretasi  pemikiran  siswa terhadap  suatu  masalah  yang  digunakan  untuk menemukan solusi suatu masalah.
Beragam  representasi  dalam  pembelajaran penting  supaya  siswa  dapat  mengekspresikan idenya  melalui  banyak  cara  (Uwingabire  & Takuya,  2014).  ‘Kecakapan’  matematis  dapat didefinisikan sebagai penggunaan beragam representasi  yang  melibatkan  model  mental  yang
berbeda  serta  mendemonstrasikan  koneksi  yang bermakna, atau menerjemahkan antar representasi (Lesh et al., 2003). Kurangnya kemampuan dalam merefleksikan  dan  membuat  koneksi  antara representasi  yang  berbeda  akan  menyebabkan kesulitan dalam pemahaman siswa (Duval, 2006). Menurut  Akita  dan  Saito  (Akita  &  Saito,  2014), representasi dibagi menjadi dua, yaitu representasi analog  dan  digital,  sedangkan  The  National Council of Mathematics (NCTM)  menggolongkan menjadi representasi internal dan eksternal (Albert A.  Cuoco,  2001).  Representasi  internal  adalah gambar  yang  kita  buat  dalam  pikiran  kita  untuk objek  dan  proses  matematis—yang  mana  lebih sulit  untuk  dideskripsikan.  Representasi  eksternal adalah  representasi  yang  dapat  dengan  mudah dikomunikasikan dengan orang lain; berupa tanda pada  kertas,  sketsa  geometri,  dan  persamaan. Beberapa  sistem  representasi  eksternal  bersifat notasional  dan  formal.  Yang  termasuk  dalam representasi eksternal antara lain sistem numerasi, cara  menulis  dan  memanipulasi  ekspresi  aljabar, kesepakatan  notasi  fungsi,  derivatif,  dan  integral pada kalkulus. Sistem representasi eksternal yang lain didesain untuk menunjukkan hubungan secara visual atau spasial, misalnya garis bilangan, grafik pada beragam sistem koordinat, diagram geometrik,  serta  ilustrasi  pecahan  yang  dibuat dengan  komputer.  Kata  dan  kalimat,  baik  tertulis maupun  lisan,  juga  merupakan  representasi eksternal, karena dapat menotasikan dan mendeskripsikan objek material, ciri-ciri fisik, atau tindakan  dan  relasi  (Albert  A.  Cuoco,  2001). Beberapa  sistem  representasi  eksternal  umumnya notasional  dan  formal,  misalnya  ekspresi  aljabar, dan  bahasa  pemrograman.  Sistem  representasi eksternal  lainnya  menunjukkan  hubungan  secara visual atau grafis, misalnya garis bilangan, grafik berdasar  koordinat  polar  atau  Kartesius,  dan diagram  geometris;  kata-kata  dan  ekspresi  dalam bahasa  sehari-hari  juga  merupakan  representasi. Bentuk-bentuk  representasi  ini  bisa  menotasikan dan  mendeskripsikan  objek  material,  sifat  fisik, tindakan  dan  hubungan,  atau  objek-objek  yang jauh lebih abstrak (Goldin, 1998). Interaksi antara representasi  internal  dan  eksternal  bersifat fundamental  dalam  belajar  dan  pembelajaran efektif.  Apapun  makna  dan  interpretasi  yang dikembangkan guru kepada representasi eksternal, perkembangan representasi internal siswalah yang harus menjadi fokus utama.
Representasi  juga  dibagi  menjadi  dua  jenis yaitu  representasi  yang  ‘dibuat’  dan  ‘diberikan’ (Albert  A.  Cuoco,  2001).  Kedua  representasi  ini dibedakan  berdasarkan  apakah  representasi  yang digunakan  siswa  merupakan  representasi  yang dibuat sendiri oleh siswa ataukah representasi yang
diberikan  oleh  guru.  Siswa  harus  paham  bahwa representasi tertulis dari ide-ide matematika adalah bagian  esensial  dalam  mempelajari  matematika. Sangatlah  penting  untuk  mendorong  siswa merepresentasikan ide-ide dengan cara yang masuk akal  bagi  mereka,  meskipun  representasi  awal mereka  bisa  jadi  bukan  representasi  yang  umum dipakai.  Penting  pula  bagi  siswa  untuk  belajar bentuk-bentuk  representasi  yang  umum  dipakai untuk  memfasilitasi  proses  mereka  belajar matematika  dan juga mengkomunikasikan ide-ide matematisnya  dengan  orang  lain.  Penting  bagi siswa  untuk  mendapat  kesempatan  untuk  tidak hanya  mempelajari  bentuk  representasi  yang konvensional, namun juga membangun, menyaring, dan menggunakan representasi mereka sendiri  sebagai  alat  untuk  mendukung  proses mereka  mempelajari  matematika  (The  National Council of Teachers of Mathematics, 2000).
Representasi  adalah  bagian  penting  dalam mempelajari matematika. Kemampuan representasi  matematis  merupakan  salah  satu tujuan  umum  dari  pembelajaran  matematika  di sekolah. Kemampuan ini sangat penting bagi siswa dan erat kaitannya dengan kemampuan komunikasi dan pemecahan masalah. Untuk dapat mengkomunikasikan  sesuatu,  seseorang  perlu representasi baik berupa gambar, grafik, diagram, maupun  bentuk  representasi  lainnya.  Dengan representasi, masalah yang semula terlihat sulit dan rumit  dapat  dilihat  dengan  lebih  mudah  dan sederhana, sehingga masalah yang disajikan dapat dipecahkan  dengan  lebih  mudah  (Sabirin,  2014). Ketika  guru  menggunakan  beragam  representasi untuk membuat pembelajaran lebih bermakna bagi siswa,  ini  akan  memotivasi  siswa  untuk  melihat relevansi mempelajari matematika dan menerapkan  apa  yang  mereka  pelajari  dalam kehidupan  mereka.  Representasi  juga  dapat membantu  siswa  menata  pemikiran  mereka. Penggunaan  representasi  oleh  siswa  dapat membantu  ide-ide  matematika  menjadi  lebih konkret  dan  dapat  direfleksikan.  Misalnya  pada kelas-kelas  yang  lebih  rendah,  siswa  dapat menggunakan  representasi  untuk  menuliskan usaha  mereka  dalam  memahami  matematika.  Di kelas menengah, siswa menggunakan lebih banyak representasi  untuk  memecahkan  masalah  atau untuk  menggambarkan,  mengklarifikasi,  atau memperluas  suatu  ide  matematika.  Representasi membantu  menggambarkan,  menjelaskan,  atau memperluas ide matematika dengan berfokus pada fitur-fitur  pentingnya.  Representasi  juga  dapat diartikan sebagai cara seseorang untuk mengungkapkan atau menyampaikan suatu gagasan, pendapat, atau ide yang sudah terpikirkan di dalam otak (The National Council of Teachers
of  Mathematics,  2000).  Oleh  karena  itu, kemampuan representasi menjadi salah satu tujuan pembelajaran  matematika  di  sekolah.  Pentingnya representasi ini juga tercermin dalam tiga standar representasi  yang  disusun  NCTM  yaitu  (1) menciptakan dan menggunakan representasi untuk menyusun,  merekam,  dan  mengkomunikasikan ide-ide matematis; (2) memilih, mengaplikasikan, dan menerjemahkan antar representasi matematika untuk memecahkan masalah; serta (3) menggunakan representasi untuk memodelkan dan menafsirkan fenomena fisik, sosial, dan matematis (The National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Pentingnya representasi juga tampak  dalam  penelitian-penelitian  terdahulu: hasil  representasi  anak  dalam  menyelesaikan masalah  akan  menggambarkan  pemikiran  dan tingkat pemahaman konsep mereka (Ni’mah et al., 2011), memiliki representasi mental yang matang mengenai  vektor  dan  himpunan  secara  geometris adalah  penting  supaya  siswa  dapat  sukses mempelajari aljabar linier (Kawazoe et al., 2014), siswa yang dapat memahami banyak bentuk proses konversi  representasi  matematika  akan  dapat memahami  konsep  matematika  yang  dilibatkan (Chen  et  al.,  2015),  serta  merepresentasikan informasi  secara  visual  akan  berkontribusi  pada pengembangan pemahaman dan perspektif intuisional siswa (Güler & Çiltaş, 2011).
Menurut pengamatan peneliti, tidak banyak siswa  yang  memanfaatkan  beragam  bentuk representasi  dalam  pemecahan  masalah.  Hal  ini mendorong peneliti untuk mengeksplorasi mengenai bagaimana siswa yang berbeda menggunakan bentuk-bentuk representasi matematis  dalam  pemecahan  masalah.  Dalam penelitian  ini  akan  dideskripsikan  mengenai kecenderungan dan bagaimana 2 subjek siswa yang berasal dari Key Stage yang berbeda menggunakan beragam  bentuk  representasi  berdasarkan  bentuk representasi  yang  dipaparkan  Albert  A.  Cuoco  & Frances  Corcio  (2001)  dalam  memecahkan  soal cerita  yang  telah  dirancang  khusus  untuk  dapat diselesaikan dengan beragam bentuk representasi.

## 2. Metode Penelitian
Dalam  artikel  ini,  digunakan  pendekatan penelitian  kualitatif  yang  bertujuan  menjelaskan bagaimana  kecenderungan  dan  bagaimana  siswa menggunakan  representasi  matematis  dalam menyelesaikan  masalah  berupa  soal  cerita  yang telah didesain sedemikian hingga dapat diselesaikan dengan berbagai bentuk representasi. Data  yang  diperoleh  adalah  jawaban  dari  subjek penelitian atas soal yang diberikan yang diperkaya
dengan wawancara tidak terstruktur yang berfokus pada menggali pemikiran subjek dalam menyelesaikan masalah yang diberikan.
Subjek penelitian ini adalah satu orang siswa SMP  kelas  VIII  yang  mewakili Key  Stage 3 menurut tingkatan kelas di US dan satu orang siswa SMA kelas X yang mewakili Key Stage 4. Kedua subjek ini dipilih selain untuk mewakili Key Stage menurut  tingkatan  kelas  di  US,  juga  karena menurut  pengamat,  kedua  subjek  memiliki kemampuan  matematis  yang  baik,  sehingga diharapkan akan mampu menunjukkan kemampuan  representasi  matematis  yang  baik juga.
Instrumen pengumpulan data yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  dua  soal cerita  yang  diambil  dari  Diezmann  &  English (2001).  Kedua  soal  cerita  ini  didesain  untuk mendorong siswa menyelesaikan dengan berbagai bentuk  representasi,  sesuai  dengan  kemampuan mereka.  Soal  pertama  merupakan  soal  terkait kemampuan siswa menyelesaikan operasi bilangan bulat,  sedangkan  soal  kedua  lebih  cenderung kepada perbandingan. Berikut soal yang diberikan ke siswa.
a. Seekor koala yang mengantuk ingin memanjat ke  puncak  pohon  yang  tingginya  10  meter. Setiap hari koala itu memanjat 5 meter, namun setiap  malam,  saat  ia  tidur,  koala  itu tergelincir  turun  sejauh  4  meter.  Dengan demikian  dibutuhkan  berapa  harikah  bagi koala tersebut untuk mencapai puncak pohon ?
b. Kepala seekor anjing panjangnya separuh dari panjang  badannya.  Ekor  anjing  tersebut panjangnya sama dengan panjang kepala dan
badan  jika  digabungkan.  Panjang  anjing tersebut  termasuk  ekornya  adalah  48  cm. Berapa panjang masing-masing bagian tubuh anjing itu ?
Setelah  dilakukan  tes,  maka  data  jawaban siswa kemudian dianalisis dengan cara dikumpulkan,  diberi  kode  berupa  warna  berbeda untuk bentuk representasi eksternal yang berbeda, kemudian disajikan dalam bentuk deskripsi untuk kemudian ditarik kesimpulan mengenai kecenderungan dan bagaimana siswa menggunakan  representasi  matematis  dalam menyelesaikan masalah dalam bentuk soal cerita.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Dari data yang diperoleh, subjek menggunakan  representasi  baik  internal  maupun eksternal  dalam  penyelesaian  soal  cerita  yang diberikan. Terdapat 3 bentuk representasi eskternal yang  digunakan  oleh  siswa:  representasi  gambar (kode  warna  biru),  representasi  kata-kata  tertulis (kode  warna  kuning),  dan  representasi  eskpresi aljabar  (kode  warna  merah).  Dalam  pengerjaan soal  cerita  yang  diberikan,  kedua  siswa  memiliki gaya yang berbeda. Subjek siswa kelas 8 memiliki kecenderungan  untuk  menuliskan  apa  yang  ada dipikirannya,  sedangkan  subjek  siswa  kelas  10 memiliki  kecenderungan  untuk  menyelesaikan secara mental (menggunakan representasi internal) terlebih  dahulu,  baru  kemudian  menuangkan  apa yang ada dipikirannya di atas kertas. Siswa kelas 8 menyelesaikan kedua soal dalam waktu sekitar 10 menit, sedangkan siswa kelas 10
menyelesaikannya dalam waktu sekitar 20 menit.
Gambar 1 . Hasil pekerjaan soal 1 siswa kelas 8
Pada subjek siswa kelas 8 terlihat bahwa ia telah  berusaha  menggunakan  representasi  gambar (gambar  pohon  untuk  soal  pertama  dan  gambar anjing  untuk  soal  kedua)  dan  kata-kata  tertulis dalam  pekerjaannya  yang  digunakan  untuk menyusun, merekam, dan mengkomunikasikan ide serta  untuk  memodelkan  ide-ide  matematis  yang
diperolehnya  dari  soal  yang  diberikan  (Goldin, 1998;  Syafrudin  &  Muksar,  2016;  The  National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Meski demikian,  siswa  ini  belum  memunculkan  tafsiran yang  jelas  akan  representasi  gambarnya,  serta terdapat  ketidaktepatan  dalam  mengaplikasikan dan menerjemahkan representasi yang dibuat.
Pada Gambar 1 terlihat bahwa siswa kelas 8 berusaha menyelesaikan soal pertama menggunakan  representasi  gambar  dan  kata-kata tertulis untuk merangkum informasi yang diperoleh. Namun siswa ini cenderung menggunakan  pola  ‘dalam  satu  hari  satu  malam koala  hanya  dapat  memanjat  satu  meter  saja’,
dengan demikian menghasilkan jawaban 10 meter, yang merupakan jawaban yang tidak tepat. Dalam soal  ini,  siswa  telah  menggunakan  representasi untuk  membantunya  menangkap  informasi  dari soal,  namun  tidak  menggunakannya  untuk memecahkan masalah matematis.
Gambar 2 . Hasil pekerjaan soal 2 siswa kelas 8
Pada  Gambar  2  terlihat  bahwa  pada  soal kedua,  siswa  kelas  8  ini  juga  menggunakan representasi gambar dan kata-kata untuk menuliskan  informasi  yang  diperoleh  (Goldin, 1998;  Syafrudin  &  Muksar,  2016;  The  National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Meski demikian, untuk representasi gambar, siswa hanya menggambarkan  sketsa  anjing,  namun  tidak banyak  menggunakannya  untuk  memecahkan masalah.  Siswa  ini  lebih  banyak  mengandalkan representasi  kata-kata  untuk  memecahkan  soal kedua. Terlihat pada pekerjaan siswa di atas bahwa siswa  sempat  menjawab  panjang  kepala  24  cm, panjang  badan  24  cm,  yang  akan  menghasilkan panjang  ekor  48  cm.  Siswa  kemudian  mengecek kembali  pekerjaannya  dan  menyimpulkan  bahwa jawaban  tersebut  salah  karena  tidak  mungkin
panjang  ekor  48  cm  karena  seharusnya  panjang seluruh badan anjing yang dimaksud adalah 48 cm. Siswa  kemudian  menggambar  lagi  sketsa  anjing yang  dimaksud,  kemudian  menghitung  ulang pekerjaannya  dan  mendapatkan  panjang  kepala  8 cm, panjang badan 16 cm, dan panjang ekor 24 cm, yang  setelah  diperiksa,  merupakan  jawaban  yang tepat.
Hal  yang  dapat  disimpulkan  dari  hasil pekerjaan siswa kelas 8 ini adalah bahwa ia telah menggunakan  representasi  gambar  dan  kata-kata tertulis dalam pekerjaannya untuk menuliskan dan memodelkan informasi yang diperolehnya dari soal yang  diberikan.  Namun  demikian,  belum  terlihat penggunaan  representasi  tertulis  tersebut  untuk memecahkan masalah secara optimal.
Pada subjek siswa kelas 10, terlihat bahwa ia  telah  berusaha  menggunakan  representasi gambar  (gambar  pohon  untuk  soal  pertama)  dan kata-kata  tertulis  dalam  pekerjaannya  untuk menyusun, merekam, dan mengkomunikasikan ide serta  untuk  memodelkan  ide-ide  matematis  yang diperolehnya  dari  soal  yang  diberikan  (Goldin, 1998;  Syafrudin  &  Muksar,  2016;  The  National Council  of  Teachers  of  Mathematics,  2000). Namun  demikian,  menurut  pengamatan  peneliti dan hasil wawancara tidak terstruktur,  subjek lebih cenderung  banyak  menggunakan  representasi internal yang tidak dapat didokumentasikan.
Dalam  Gambar  3,  terlihat  bahwa  pada pengerjaan soal  pertama siswa kelas 10 menggunakan representasi gambar untuk menuliskan  ide  yang  diperolehnya  dari  masalah yang  diberikan  (Goldin,  1998;  Syafrudin  & Muksar,  2016).  Ia  menggambarkan  sketsa  koala yang  memanjat  garis  yang  merepresentasikan pohon. Meski demikian, siswa ini berkontemplasi lama sebelum ia akhirnya menuliskan jawabannya. Ia bahkan sudah memperkirakan bahwa dibutuhkan 5 atau 6 hari saja agar koala itu dapat memanjat  setinggi  10  meter  sebelum  menuliskan
apapun di atas kertas. Di sini terlihat bahwa siswa kelas  10  yang  diamati  memiliki  kecenderungan untuk  membayangkan  situasi  yang  diberikan  di dalam  pikirannya,  atau  dalam  kata  lain,  ia menggunakan representasi internal.
Untuk  soal  kedua,  terlihat  pada  Gambar  4 bahwa siswa kelas 10 tidak menggambarkan sketsa apapun dan langsung menggunakan variabel untuk menggantikan  nilai-nilai  yang  tidak  diketahui seperti  panjang  kepala,  badan,  dan  ekor  anjing (meskipun  dalam  penulisan  pemisalannya  juga kurang  tepat)  dan  representasi  ekspresi  aljabar untuk penyelesaian masalah. Sekali lagi, berdasarkan  hasil  pengamatan  dan  wawancara tidak terstruktur dengan penulis, terungkap bahwa siswa  ini lebih  banyak  menggunakan  representasi internal.  Dalam  proses  pengerjaan  tertulisnya, siswa  ini  merasa  “ hanya  membutuhkan  variabel untuk  menggantikan  nilai-nilai  yang  tidak diketahui, karena sebelumnya telah membayangkan kondisi yang dimaksud ”, dalam hal ini siswa memvisualisasikan seekor anjing beserta ukuran-ukurannya, serta menggunakan baik representasi  internal  maupun  eksternal  tersebut untuk memecahkan masalah.
Gambar 4 . Hasil Pekerjaan Soal 1 Siswa Kelas 10
Hal  yang  dapat  disimpulkan  mengenai pengerjaan siswa kelas 10 ini adalah bahwa siswa ini cenderung menggunakan representasi internal. Terdapat banyak jeda ketika siswa ini mengerjakan kedua  soal  yang  diberikan  di  mana  ia  terlihat berpikir dan membayangkan situasi yang dimaksud soal, namun tidak menuliskan maupun menggambarkannya di atas kertas. Ia membutuhkan lebih banyak waktu untuk membayangkan  situasi  dari  soal  yang  diberikan dari pada dibanding waktu yang dibutuhkan untuk menuliskan  prosesnya  memecahkan  masalah. Siswa  kelas  10  ini  juga  memiliki  kecenderungan untuk  menggunakan  representasi  tertulis  yang konvensional berupa ekspresi aljabar,
meninggalkan representasi gambar di dalam proses berpikirnya secara internal.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  kedua  subjek  yang  diteliti, dapat  diperoleh  beberapa  poin  kesimpulan.  Bagi siswa  kelas  8,  representasi  digunakan  untuk merekam/  menuliskan  ide yang  diperolehnya  dari masalah  yang  diberikan,  namun  siswa  ini  belum mengoptimalkan penggunaan representasi sebagai alat bantu menemukan solusi. Siswa di tingkat ini juga  lebih  cenderung  menggunakan  representasi gambar dan menggambarkan apa saja yang ada di dalam  pikirannya  di  atas  kertas.  Berbeda  dengan siswa kelas 10, yang lebih memilih
mengoptimalkan  representasi  internal  untuk merekam  ide-ide  yang  diperoleh  dari  masalah, kemudian  menuliskan  prosesnya  memecahkan masalah secara sistematis, menggunakan representasi  tertulis  konvensinal  berupa  variabel- variabel. Untuk beberapa soal bahkan siswa kelas 10 bisa menebak jawaban dari suatu masalah hanya berbekalkan  representasi  internal  tanpa  perlu melibatkan representasi eksternal apapun.

## Daftar Pustaka
Akita,  M.,  &  Saito,  N.  (2014).  A  Study  on  Role  of Relational  Representation  on  Creativity  in Mathematics Education. In S. Oesterle, C. Nicol, P.  Liljedahl,  &  D.  Allan  (Eds.),  Proceedings  of the Joint Meeting of PME 38 and PME-NA 36.
PME. https://eds-a-ebscohost- com.proxy.lib.uiowa.edu/ehost/detail/detail?vid =12&sid=1f3c5639-f2b2-43ae-ace4- 2e5916321020%40sessionmgr4007&bdata=#A N=118476592&db=eue%0Ahttps://dspace.uevo ra.pt/rdpc/bitstream/10174/13639/1/PMENA  36 PME 38 2014 Proceedings Vol 6.
Albert A. Cuoco. (2001). Preface. In A. A. Cuoco & F. Corcio  (Eds.),  The  Roles  of  Representation  in School Mathematics 2001 Yearbook (p. x). The National Council of Mathematics.
Chen, M. J., Lee, C. Y., & Hsu, W. C. (2015). Influence of mathematical representation and mathematics self-efficacy on the learning effectiveness of fifth graders  in  pattern  reasoning.  International
Journal  of  Learning,  Teaching  and  Educational Research, 13(1), 1–16. https://www.ijlter.org/index.php/ijlter/article/vie
w/277/184
Diezmann, C. M., & English, L. D. (2001). Promoting the Use of Diagrams as Tools for Thinking. In A. A.  Cuoco  &  F.  Corcio  (Eds.),  The  Roles  of Representation  in  School  Mathematics  2001 Yearbook (pp. 78, 84). The National Council of Mathematics.
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension  in  a  learning  of  mathematics. Educational  Studies  in  Mathematics,  61(1–2), 103–131. https://doi.org/10.1007/s10649-006- 0400-z
Godino,  J.,  &  Font,  V.  (2010).  The  Theory  of Representations  as  Viewed  from  the  Onto- semiotic  Approach  to  Mathematics  Education. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 9(1), 189–210.
Goldin, G. (1998). Representations and the Psychology of  Mathematics  Education:  Part  II.  Journal  of Mathematical Behaviour, 17(2), 209–219.
Güler, G., & Çiltaş, A. (2011). The visual representation usage  levels  of  mathematics  teachers  and
students in solving verbal problems. International  Journal  of  Humanities  and  Social Science, 1(11), 145–154. http://www.ijhssnet.com/journal/index/349:vol- 1-no-11-si--august-
2011abstract17&catid=16:journal-abstract
Kawazoe,  M.,  Okamoto,  M.,  &  Takahashi,  T.  (2014). Students’  Mental Representations of Geometric Vectors and Sets Related to Linear Algebra.pdf. Proceeding  of  the  38th  Conference  of  the International  Group  for  the  Psychology  of Mathematics Education and the 36th Conference of  the  Noerth  American  Chapter  of  the Psychology of Mathematics Education (Vol. 6). Lesh, R., Doerr, H. M., Carmona, G., & Hjalmarson, M.
(2003).  Beyond  Constructivism.  Mathematical Thinking  and  Learning,  5(2–3),  211–233. https://doi.org/10.1080/10986065.2003.9680000 Ni’mah, K., Purwanto, Irawan, E. B., & Hidayanto, E.
(2011).  Kesalahan  Siswa  dalam  Membuat Generalisasi Pola melalui Representasi. Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  Dan Pembelajarannya, 479–484.
Sabirin,  M.  (2014).  Representasi  Dalam  Pembelajaran Matematika.  Jurnal  Pendidikan  Matematika, 1(2), 33–44.
Syafrudin,  T.,  &  Muksar,  M.  (2016).  Kemampuan Representasi  Matematis  Siswa  pada  Materi Perbandingan.  Prosiding  Seminar  Nasional Matematika Dan Pembelajarannya, 938–946.
The  National  Council  of  Teachers  of  Mathematics.
(2000).  Principle  and  Standards  for  School
Mathematics. Key Curriculum Press. http://www.ghbook.ir/index.php?name=هعومجم ت لااق م  مودین  مه  د نایشی  رس ارس ی  ه ناس ر ول تیزینو و
ر لاوک س یمس &option=com_dbook&task=readon line&book_id=13629&page=108&chkhashk=03
C706812F&Itemid=218&lang=fa&tmpl=compo nent
Uwingabire,  I.,  &  Takuya,  B.  (2014).  Multiple Representations  Used  by  Rwandan  Primary Teachers in Mathematics Lessons. Proceeding of the  38th  Conference  of  the  International  Group for  the  Psychology  of  Mathematics  Education and the 36th Conference of the Noerth American Chapter  of  the  Psychology  of  Mathematics Education (Vol. 6), 254.
Velez,  I.,  &  Ponte,  J.  P.  (2014).  Promoting  the understanding  of  representations  by  third  grade students.  Proceeding  of  the  38th  Conference  of the  International  Group  for  the  Psychology  of Mathematics Education and the 36th Conference of  the  North  American  Chapter  of  the Psychology of Mathematics Education (Vol 6).
Zhe,  L.  (2012).  Survey  of  Primary  Students’ Mathematical  Representation  Status  and  Study on  the  Teaching  Model  of  Mathematical Representation. Journal of Mathematics
Education, 5(1), 63–76.