Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 341-354 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.17054

## Penentuan Harga Opsi Bermuda Menggunakan Simulasi Monte Carlo Reduksi Antithetic Variates
Donny Citra Lesmana 1 *, Reinhart Hasudungan Sinaga 2 , Cahya Rila Hadiva 3 , Muthia Rasya Salsabilla 4 , Hindana Dzulfa Pratiwi 5 , Aufa Shahnazdiza Salsabila 6 , Ravasya Nugraha 7 1,2,3,4,5,6,7 Departemen Matematika, IPB University, Bogor Indonesia e-mail:donnylesmana@apps.ipb.ac.id
Diajukan: 7 Juni 2023, Diperbaiki: 5 Nopember 2023, Diterima: 9 Nopember 2023

## Abstrak
Opsi merupakan produk derivatif yang popular di kalangan investor pada industri keuangan. Hal ini terjadi  karena  perdagangan  opsi  menawarkan  potensi  profit  yang  tinggi  disertai  fleksibilitasnya  dalam pengelolaan  risiko  keuangan.  Salah  satu  jenis  opsi  yang  menarik  perhatian  adalah  opsi  Bermuda.  Opsi Bermuda adalah opsi yang memberikan keleluasaan bagi pemegang opsi untuk menggunakan haknya pada waktu  tertentu  selama  opsi  belum  kadaluarsa.  Penentuan  harga  opsi  Bermuda  menjadi  suatu  tantangan terutama karena melibatkan struktur payoff yang kompleks. Oleh karena itu, penelitian ini ditujukan untuk membandingkan  dua  metode  simulasi  yang  umum  digunakan,  yakni  simulasi  Monte  Carlo  standar  dan simulasi Monte Carlo dengan teknik reduksi variansi antithetic variates , sehingga didapatkan metode yang lebih  efektif  dalam  menilai  harga  opsi  Bermuda.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  metode  simulasi Monte Carlo dengan antithetic variates memberikan hasil  yang  lebih  akurat dan  tingkat eror yang lebih rendah  dibandingkan  dengan  metode  Monte  Carlo  standar.  Dengan  demikian,  metode  ini  terbukti  lebih efektif dalam menilai harga opsi Bermuda.
Kata Kunci : opsi Bermuda, simulasi Monte Carlo, reduksi variansi, antithetic variates

## Abstract
Options  are  derivative  products  that  are  popular  among  investors  in  the  financial  industry.  This happens because options trading offers high profit potential along with flexibility in managing financial risk. One type of option that attracts attention is the Bermudan option. Bermudan options are options that give the option holder the freedom to exercise their rights at a certain time as long as the option has not expired. Pricing Bermudan options is a challenge primarily because they involve complex payoff structures. Therefore, this research is aimed at comparing two commonly used simulation methods, namely standard Monte Carlo simulation and Monte Carlo simulation with antithetic variate techniques, so as to obtain a more effective method in determining Bermudan option prices. The research results show that the Monte Carlo simulation method with antithetic variates provides more accurate results and a lower error  rate compared  to  the  standard  Monte  Carlo  method.  Thus,  this  method  has  proven  to  be  more  effective  in determining Bermuda option prices.
Keywords: Bermudan option price, Monte Carlo simulation, variance reduction, antithetic variates

## 1 Pendahuluan
Berinvestasi  adalah  salah  satu  pilihan  yang  dapat  dilakukan  untuk  mengembangkan kekayaan seseorang. Dalam berinvestasi, terdapat risiko yang harus dihadapi oleh para investor.
Seiring  berkembangnya  ilmu  dan  teknologi,  beberapa  produk  keuangan  dirancang  untuk mengelola  risiko  dan  meminimalisasi  kerugian.  Produk  derivatif  adalah  salah  satu  produk keuangan yang menjadi alternatif untuk mengatasi risiko dalam dunia keuangan. Oleh karena itu, produk derivatif semakin marak digunakan di kalangan investor.
Penggunaan produk derivatif semakin berkembang dengan berbagai alasan, seperti tingginya tingkat volatilitas pasar, sebagai komplementer pengoptimal portofolio aset keuangan, dan adopsi teknologi  yang  semakin  cepat.  Berdasarkan  penelitian  yang  dilakukan  oleh  [1],  penggunaan produk  derivatif  dapat  memberikan  berbagai  manfaat  bagi  investor,  seperti  meningkatkan likuiditas,  mengurangi  risiko,  dan  meningkatkan  pengembalian  ( return )  investasi.  Namun, penggunaan produk derivatif juga memiliki risiko, seperti risiko keuangan, risiko kredit, dan risiko operasional. Produk derivatif dapat dibedakan berdasarkan proses transaksinya. Beberapa produk derivatif yang banyak diperjualbelikan antara lain: opsi, kontrak berjangka, dan swap.
Opsi merupakan produk derivatif yang paling populer dan sering digunakan para investor ketika  berinvestasi  saham,  sebab  opsi  mampu  mengelola  risiko  sekaligus  memiliki  potensi keuntungan  yang  tinggi.  Opsi  adalah  sekuritas  derivatif  yang  memberikan  hak  kepada pemegangnya  untuk  membeli  atau  menjual  aset  dasar  pada  harga  tertentu  (yang  disebut  harga strike ) dan dalam periode tertentu [2]. Selain itu, opsi memiliki sifat yang fleksibel bila dilihat dari jenisnya yang terdapat di pasaran. Salah satunya adalah opsi Bermuda yang termasuk dalam opsi eksotik.
Opsi  Bermuda  adalah  jenis  opsi  yang  memberikan  hak  untuk  membeli  atau  menjual  aset dasar  pada  tanggal-tanggal  tertentu  di  masa  depan  dengan  variasi  pada  tanggal-tanggal pelaksanaan  yang  diizinkan.  Opsi  Bermuda  merupakan  jenis  opsi  eksotik  yang  lebih  kompleks daripada  opsi  Eropa  karena  memiliki  beberapa  waktu  eksekusi  dan  jumlah  variabel  yang  lebih banyak [3]. Dalam menentukan harga opsi Bermuda, diperlukan teknik numerik yang efektif dan akurat. Simulasi Monte Carlo menjadi teknik yang populer digunakan dalam penentuan harga opsi, terutama  opsi  eksotik,  seperti  opsi  Bermuda.  Namun,  metode  simulasi  Monte  Carlo  memiliki kekurangan, yakni dibutuhkan jumlah simulasi yang banyak untuk mendapatkan hasil yang akurat. Dalam penggunaan metode simulasi Monte Carlo, ketika banyaknya periode waktu harga saham meningkat,  standar  eror  juga  cenderung  tetap.  Oleh  karena  itu,  dalam  penelitian  ini  digunakan teknik  reduksi  variansi  untuk  meningkatkan  konvergensi  dari  skema  yang  digunakan  dalam simulasi Monte Carlo [4][5].
Dalam  penelitian  yang  dilakukan  oleh  [4]  mengenai  penentuan  harga  opsi  Asia menggunakan  simulasi  Monte  Carlo dengan  teknik  reduksi  variansi,  seperti  reduksi  variansi antithetic  variates ,  didapatkan  hasil  bahwa  teknik  tersebut  efektif  mempercepat  tingkat
343 Donny Citra Lesmana, Reinhart Hasudungan Sinaga, Cahya Rila Hadiva, Muthia Rasya Salsabilla, Hindana Dzulfa Pratiwi, Aufa Shahnazdiza Salsabila, Ravasya Nugraha
kekonvergenan.  Pada  penelitian  ini  dilakukan  penghitungan  harga  opsi  Bermuda  menggunakan simulasi Monte Carlo standar dan simulasi Monte Carlo reduksi variansi antithetic variates yang umumnya diterapkan pada opsi Eropa.
Selain itu, akan ditunjukkan pula kinerja simulasi Monte Carlo standar dan simulasi Monte Carlo  dengan  teknik  reduksi  variansi antithetic  variates dalam  penentuan  harga  opsi  Bermuda. Penelitian  ini  akan  memberikan  gambaran  efektivitas  dan  eror  dari  masing-masing  metode. Selanjutnya juga akan diperiksa kekonsistenan masing-masing metode dalam mengestimasi harga opsi sesuai dengan teori harga opsi. Penelitian ini dilakukan menggunakan data penutupan harga saham Marvel Technology Inc. (MRVL), dan hasil dari kedua metode tersebut akan dibandingkan untuk  mendapatkan  pemahaman  yang  lebih  mendalam  tentang  pendekatan  yang  paling  sesuai dalam menentukan harga opsi Bermuda.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan data harian harga saham MRVL selama periode waktu 1 Januari 2022  hingga  1  Januari  2023.  Data  harga  saham  ini  diperoleh  melalui  situs Yahoo  Finance (finance.yahoo.com)  yang  menyediakan  data  pasar  keuangan  yang  luas  dan  terkini.  Dalam penelitian ini, data harian saham Marvel Technology Inc. digunakan sebagai dasar untuk analisis dan evaluasi terkait harga saham tersebut.
Tingkat  bunga  bebas  risiko  yang  digunakan  mengacu  pada  tingkat  bunga  bebas  risiko Amerika Serikat yang dapat diakses dari situs fred.stlouisfed.org . Pada penelitian ini, nilai tingkat bunga bebas risiko yang digunakan merupakan rata-rata tingkat bunga bebas risiko pada periode 1 Januari–25 Mei 2023, yaitu sebesar 3.59% per tahun.

## 2.1 Uji Normalitas
Pada uji normalitas, akan dilakukan pengecekan mengenai sebaran data apakah mengikuti distribusi  normal  atau  tidak.  Data  berdistribusi  normal  diperlukan  sebagai  syarat  pemenuhan asumsi  model  dalam  penelitian  ini  yang  menggunakan  model  Black-Scholes,  yaitu  log- return saham menyebar normal [3]. Return saham dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut:
𝑅(𝑡) = ln ( S 𝑡 𝑆 𝑡−1 ) = ln(𝑆 𝑡 ) − ln(𝑆 𝑡−1 ) . (1)
Dalam konteks penentuan harga opsi dengan menggunakan model Black-Scholes , 𝑆 𝑡 adalah harga  saham  pada  waktu- 𝑡 dan 𝑆 𝑡−1 adalah  harga  saham  pada  waktu  ke - (𝑡 − 1), sedangkan volatilitas  saham  (dalam  artian  pergerakan  harga  saham  yang  besar  atau  kecil  dalam  periode tertentu)  biasanya  dianggap  konstan.  Dalam  persamaan  Black-Scholes,  volatilitas  diasumsikan tetap sepanjang masa hidup opsi [3].

## 2.2  Volatilitas Return Saham
Volatilitas  saham  merupakan  gambaran  fluktuasi  harga  saham  dari  waktu  ke  waktu. Misalkan  nilai  volatilitas  tahunan  dari return saham  dinotasikan  dengan 𝜎 .  Volatilitas  dihitung menggunakan Persamaan (2), dengan standar deviasi return saham data harian dinotasikan dengan 𝑠 , sehingga diperoleh Persamaan (3). Return saham pada waktu ke- 𝑖 dinotasikan dengan 𝑢 𝑖 , dan 𝑢̅ adalah rata-rata return saham dalam periode yang telah ditentukan. Jika menggunakan data harian, nilai Δ𝑡 dihitung  menggunakan  data  banyaknya  hari  perdagangan,  sehingga Δ𝑡 = 1 252 [3]. Volatilitas tahunan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
𝜎 = 𝑠 √Δ𝑡 (2)
dengan 𝑠 merupakan standar deviasi return dan dihitung dengan formula:
𝑠 = √ 1 𝑘−1 ∑ (𝑢 𝑖 − 𝑢̅) 2 𝑘 𝑖=1 (3)
dengan 𝑢 𝑖 adalah nilai return pada hari ke- 𝑖 dan 𝑢̅ adalah nilai rata-rata return .

## 2.3  Penentuan Harga Opsi Bermuda
Opsi  Bermuda  merupakan  tipe  opsi  nonstandar  dari  tipe  opsi  Amerika.  Opsi  ini  dapat digunakan hanya pada waktu tertentu [6]. Waktu untuk melakukan eksekusi opsi telah ditentukan sebelumnya sehingga pemegang opsi tidak dapat mengeksekusi secara bebas sebelum masa opsi berakhir [7].
Opsi Bermuda terdiri atas dua jenis, yaitu opsi call dan opsi put , dengan fungsi payoff yang berbeda untuk masing-masing jenis opsi.
1. Payoff opsi call Bermuda
𝐶 𝑡 𝑘 = max[𝑆 𝑡 𝑘 − 𝐾, 0] ; 𝑡 𝑘 ≤ 𝑇 (4)
dengan 𝐶 𝑡 𝑘 sebagai fungsi payoff opsi call yang dieksekusi pada waktu 𝑡 𝑘 dengan 𝑡 𝑘 ≤ 𝑇 .
2. Payoff opsi put Bermuda
𝑃 𝑡 𝑘 = max[𝐾 − 𝑆 𝑡 𝑘 , 0] ; 𝑡 𝑘 ≤ 𝑇 (5)
dengan 𝑃 𝑡 𝑘 sebagai fungsi payoff opsi put yang dieksekusi pada waktu 𝑡 𝑘 dengan 𝑡 𝑘 ≤ 𝑇 . Fungsi payoff juga  dapat  diartikan  sebagai  nilai  opsi  pada  titik  simpul  dalam  metode binomial 𝑛 -langkah [8]. Harga opsi Bermuda berada di antara harga opsi Eropa dan opsi Amerika karena  pemegang  opsi  dapat  mengeksekusi  haknya  pada  waktu-waktu  yang  telah  ditentukan sebelumnya, dimana waktu eksekusi ini lebih banyak dibandingkan dengan waktu eksekusi pada opsi  Eropa  namun  tetap  tidak  sebanyak  waktu  mengeksekusi  pada  opsi  Amerika  [9].  Pada
345 Donny Citra Lesmana, Reinhart Hasudungan Sinaga, Cahya Rila Hadiva, Muthia Rasya Salsabilla, Hindana Dzulfa Pratiwi, Aufa Shahnazdiza Salsabila, Ravasya Nugraha
penelitian  ini,  periode  untuk  eksekusi  opsi  Bermuda  dilakukan  secara  bulanan  dengan 𝑡 𝑘 = 1 12 , 2 12 , . . . , 11 12 .

## 2.4  Simulasi Monte Carlo Antithetic Variates
Algoritma  dasar  dalam  menentukan  harga  opsi  Bermuda  menggunakan  teknik antithetic variates dapat dilakukan sebagai berikut:
1. Tentukan nilai parameter model, yaitu harga saham awal (𝑆 0 ) , strike price (𝐾) , banyaknya simulasi yang dilakukan (𝑀) , tingkat bunga bebas risiko (𝑟) , waktu hingga jatuh tempo opsi (𝑇) , volatilitas harga saham (𝜎) dan waktu untuk early exercise (𝑡 𝑘 ) dengan 𝑡 𝑘 ≤ 𝑇 . 2. Bangkitkan sebanyak 𝑀 variabel acak 𝜀 𝑖 yang menyebar normal baku dan tetapkan variabel acak 𝜏 𝑖 = −𝜀 𝑖 .
3. Simulasikan  harga  saham  pada  waktu 𝑡 untuk  simulasi  ke- 𝑖 menggunakan  persamaan berikut: 𝑆 𝑡 𝑖+ = 𝑆 𝑡−1 𝑖+ exp [(𝑟 − 𝜎 2 2 ) Δ𝑡 + 𝜀 𝑖 𝜎√Δ𝑡] (6a)
𝑆 𝑡 𝑖− = 𝑆 𝑡−1 𝑖− exp [(𝑟 − 𝜎 2 2 ) Δ𝑡 + 𝜏 𝑖 𝜎√Δ𝑡] (6b)
4. Hitung nilai sekarang dari payoff opsi call dengan mengalikannya dengan faktor diskonto sebagai berikut:
𝐶 𝑖 + = 𝑒 −𝑟𝑡 ∗ max[𝑆 𝑡 ∗ 𝑖+ − 𝐾, 0] (7a)
𝐶 𝑖 − = 𝑒 −𝑟𝑡 ~ max[𝑆 𝑡 ~ 𝑖− − 𝐾, 0] (7b)
𝐶 𝑖 = 𝐶 𝑖 + +𝐶 𝑖 − 2 (7c)
dengan 𝑡 ∗ = arg 𝑡 𝑘 (max{𝑆 𝑡 𝑘 𝑖+ }) dan 𝑡 ~ = arg 𝑡 𝑘 (max{𝑆 𝑡 𝑘 𝑖− }) .
5. Hitung nilai sekarang dari payoff opsi put , menggunakan rumus sebagai berikut:
𝑃 𝑖 + = 𝑒 −𝑟𝑡 ∗ max[𝐾 − 𝑆 𝑡 ∗ 𝑖+ , 0] (8a)
𝑃 𝑖 − = 𝑒 −𝑟𝑡 ~ max[𝐾 − 𝑆 𝑡 ~ 𝑖− , 0] (8b)
𝑃 𝑖 = 𝑃 𝑖 + +𝑃 𝑖 − 2
dengan 𝑡 ∗ = arg 𝑡 𝑘 (min{𝑆 𝑡 𝑘 𝑖+ }) dan 𝑡 ~ = arg 𝑡 𝑘 (min{𝑆 𝑡 𝑘 𝑖− }) . (8c)
6. Hitung harga opsi call ( 𝐶 ) dan opsi put ( 𝑃 ) dengan menghitung rata-rata 𝐶 𝑖 dan 𝑃 𝑖 untuk setiap iterasi- 𝑖 ( 𝑖 = 1, 2, …, 𝑀 ) menggunakan persamaan berikut:
𝐶 = 1 𝑀 ∑ 𝐶 𝑖 𝑀 𝑖=1 (9)
𝑃 = 1 𝑀 ∑ 𝑃 𝑖 𝑀 𝑖=1 (10)
Penentuan Harga Opsi Bermuda Menggunakan Simulasi Monte Carlo Reduksi Antithetic Variates

## 2.5 Mean Absolute Error (MAE)
Mean absolute error dihitung dengan menggunakan persamaan berikut :
MAE = 1 𝑛 ∑ |𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 | 𝑛 𝑖=1 (11)
dengan 𝑛 adalah jumlah data, 𝑦 𝑖 adalah nilai aktual, dan 𝑦̂ 𝑖 sebagai nilai prediksi.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1    Uji Normalitas
Dalam uji normalitas menggunakan uji Shapiro-Wilk, diperoleh p-value sebesar 0.57130 yang lebih besar dari taraf signifikansi 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa data log-return saham MRVL  mengikuti  distribusi  normal.  Untuk  memberikan  gambaran  lebih  lanjut,  berikut  adalah histogram dari log-return harga penutupan saham MRVL.
Gambar 1. Histogram log-return harga penutupan saham MRVL
Histogram  pada  Gambar  1  mendukung  kesimpulan  bahwa  sebaran log-return harga penutupan saham MRVL mengikuti sebaran normal. Hal ini dapat dilihat dari karakteristik grafik yang menyerupai kurva normal dengan puncak tertinggi terletak di tengah dan ekor yang simetris di  kedua  sisi.  Distribusi  normal  menunjukkan  bahwa  fluktuasi  harga  saham  MRVL  cenderung tersebar secara merata dan tidak menunjukkan adanya skewness atau kurtosis yang signifikan. 3.2    Volatilitas Return Saham
Volatilitas  dari return saham  MRVL  dihitung  dengan  menggunakan  Persamaan  (2).  Dari return saham  diperoleh  nilai  standar  deviasi  sebesar 0.03978 dan  Panjang  sub-interval  waktu dalam  satu  tahun ( Δ𝑡 )  adalah  1/252 hari,  maka diperoleh  nilai volatilitas tahunan return saham sebesar 0.63 atau 63%. Nilai volatilitas yang relatif tinggi menunjukkan bahwa saham memiliki fluktuasi harga yang cukup besar. Dalam hal ini, return harga penutupan saham MRVL cenderung bergerak dengan variasi yang signifikan dalam jangka waktu yang diberikan.
347 Donny Citra Lesmana, Reinhart Hasudungan Sinaga, Cahya Rila Hadiva, Muthia Rasya Salsabilla, Hindana Dzulfa Pratiwi, Aufa Shahnazdiza Salsabila, Ravasya Nugraha
3.3   Penghitungan Harga Opsi Bermuda dan Mean Absolute Error Simulasi Monte Carlo Standar dan Antithetic Variates
Pada  dasarnya,  simulasi  Monte  Carlo  digunakan  sebagai  pendekatan  numerik  untuk memperkirakan  nilai  harapan  dari  suatu  variabel  acak.  Dalam  penelitian  ini,  metode  tersebut digunakan untuk menduga harga opsi call dan opsi put Bermuda dengan iterasi sebanyak 25600 kali. Harga opsi yang dihitung menggunakan 25600 simulasi digunakan sebagai solusi eksak. Hal ini dilakukan untuk mengevaluasi sejauh mana hasil simulasi pada iterasi lainnya mendekati harga opsi Bermuda sebenarnya. Hasil dari simulasi tersebut menampilkan harga opsi call dan opsi put seperti yang tertera pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1. Harga Opsi Call Bermuda beserta Absolute Error Simulasi Monte Carlo Standar dan
Antithetic Variates Jumlah Iterasi Harga Opsi Call (USD) Absolute Error Monte Carlo Standar Monte Carlo Antithetic Variate Monte Carlo Standar Monte Carlo Antithetic Variate 800 7.78146 7.82888 0.30476 0.36333 1600 8.03490 7.79753 0.55820 0.33198 3200 7.77130 7.36727 0.29460 0.09828 6400 7.49965 7.38924 0.02295 0.07631 12800 7.50036 7.45475 0.02366 0.01080
Berdasarkan harga opsi pada Tabel 1, opsi call Bermuda yang diperoleh melalui simulasi Monte Carlo standar memiliki hampiran terbaik pada harga $7.47670, sedangkan dengan simulasi Monte Carlo antithetic variates diperoleh hampiran terbaik pada harga $7.46555. Selain itu, dari Tabel 1 diperoleh nilai mean absolute error (MAE) pada simulasi Monte Carlo standar untuk opsi call sebesar 0.24084, sedangkan pada  simulasi  Monte Carlo antithetic variates diperoleh  MAE sebesar  0.17614.  Hasil  ini  menunjukkan  bahwa  penggunaan  simulasi  Monte  Carlo antithetic variates lebih  optimal  dalam  penghitungan  opsi call Bermuda.  Selanjutnya,  disajikan  hasil penghitungan harga opsi put Bermuda pada Tabel 2
Tabel 2. Harga Opsi Put Bermuda beserta Absolute Error Simulasi Monte Carlo Standar dan
Antithetic Variates Jumlah Iterasi Harga Opsi Put (USD) Absolute Error Monte Carlo Standar Monte Carlo Antithetic Variate Monte Carlo Standar Monte Carlo Antithetic Variate 800 5.15282 4.93441 0.02789 0.21533 1600 4.94367 4.87569 0.38366 0.15661 3200 4.72433 4.75457 0.17452 0.03549 6400 4.76138 4.72545 0.04483 0.00637 12800 4.79705 4.72418 0.00777 0.00510

## Penentuan Harga Opsi Bermuda Menggunakan Simulasi Monte Carlo Reduksi Antithetic Variates
Berdasarkan harga opsi yang terdapat pada Tabel 2, opsi put Bermuda dalam simulasi Monte Carlo standar memiliki hampiran terbaik pada harga $4.76916, sementara dalam simulasi Monte Carlo antithetic variates diperoleh hampiran terbaik pada harga $4.71908. Selain itu, dari Tabel 2, diperoleh penghitungan MAE untuk harga opsi put dengan simulasi Monte Carlo standar sebesar 0.12773,  sedangkan  dengan  simulasi  Monte  Carlo antithetic  variates diperoleh  MAE  sebesar 0.08378. Serupa dengan penghitungan harga opsi call, hasil ini menunjukkan bahwa penggunaan simulasi Monte Carlo antithetic variates lebih optimal dalam penghitungan opsi put Bermuda.
Berdasarkan Tabel 1 dan Tabel 2, hasil menunjukkan bahwa semakin banyak iterasi yang digunakan,  maka  solusi  hampiran  cenderung  semakin  mendekati  solusi  eksak.  Selain  itu,  hasil penghitungan harga opsi call dan opsi put Bermuda menggunakan simulasi Monte Carlo standar dan antithetic variates sesuai dengan teori penentuan harga opsi, yaitu harga opsi Bermuda lebih tinggi  daripada  harga  opsi  Eropa  dan  lebih  rendah  daripada  harga  opsi  Amerika.  Selanjutnya, disajikan grafik perbandingan mean absolute error (MAE) pada Gambar 2.
Gambar 2. Perbandingan MAE simulasi Monte Carlo Standar dan Antithetic Variates Dari Gambar 2, terlihat bahwa simulasi  Monte Carlo dengan teknik antithetic variates memiliki  MAE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  Monte  Carlo standar.  Hal  ini menunjukkan bahwa metode antithetic variates lebih baik dalam menghasilkan estimasi yang lebih  baik  dan  stabil  dengan  mengurangi  variasi  hasil  simulasi.  Dengan  demikian,  simulasi Monte Carlo dengan antithetic variates dianggap lebih baik dan disukai dalam analisis harga opsi karena dapat meningkatkan presisi dan mengurangi kesalahan prediksi.
3.4   Analisis Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi Menggunakan Simulasi Monte Carlo Antithetic Variates
Nilai  opsi  dipengaruhi  oleh  beberapa  faktor,  antara  lain  harga underlying  asset ,  waktu jatuh tempo, strike price , volatilitas, dan tingkat bunga bebas risiko. Pada penelitian ini akan
349 Donny Citra Lesmana, Reinhart Hasudungan Sinaga, Cahya Rila Hadiva, Muthia Rasya Salsabilla, Hindana Dzulfa Pratiwi, Aufa Shahnazdiza Salsabila, Ravasya Nugraha dilihat  pengaruh faktor-faktor tersebut  terhadap pergerakan harga opsi call dan opsi put tipe Bermuda.
Tabel 3. Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Bermuda
𝑇 (tahun) Opsi Call (USD) Opsi Put (USD) 1 7.82888 4.93441 2 11.62468 7.13530 3 14.64278 9.83143 4 17.04667 10.63081 5 19.24218 11.22635 6 20.64924 11.64736 7 22.32665 11.93866
Tabel 3 menunjukkan bahwa semakin lama waktu jatuh tempo (𝑇) , maka harga opsi call dan  opsi put Bermuda  cenderung  semakin  meningkat.  Periode  jatuh  tempo  yang  lebih  lama memberikan  waktu  yang  lebih  lama  pula  untuk  pergerakan  harga  saham  sehingga meningkatkan nilai opsi call dan opsi put. Hubungan tersebut digambarkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Grafik Pengaruh Waktu Jatuh Tempo terhadap Harga Opsi Bermuda Tabel 4. Pengaruh Strike Price terhadap Harga Opsi Bermuda
Strike Price Opsi Call (USD) Opsi Put (USD) 33 11.47541 6.16982 34 11.03011 6.68916 35 10.60217 7.22586 36 10.19136 7.77969 37 9.79729 8.35026 38 9.41934 8.93695 39 9.05685 9.53910 40 8.70979 10.15668 41 8.37692 10.78845 42 8.05692 11.43309 43 7.75022 12.09104 44 7.45610 12.76156 45 7.17439 13.44448
350

## Penentuan Harga Opsi Bermuda Menggunakan Simulasi Monte Carlo Reduksi Antithetic Variates
Tabel 4 menunjukkan bahwa harga opsi call dan put secara umum berubah seiring dengan perubahan strike  price .  Pada  simulasi  Monte  Carlo antithetic  variates ,  terlihat  tren  umum bahwa  harga  opsi call menurun  seiring  dengan  kenaikan  harga  kesepakatan  ( strike  price ), sementara harga opsi put meningkat seiring dengan kenaikan harga kesepakatan ( strike price ). Perubahan  ini  mencerminkan  hubungan  yang  diharapkan  antara  harga  kesepakatan  ( strike price )  dan  harga  opsi  dalam  model  opsi  Bermuda.  Hubungan  tersebut  digambarkan  pada Gambar 4.
Gambar 4. Grafik Pengaruh Strike Price terhadap Harga Opsi Bermuda Tabel 5. Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Bermuda
Volatilitas Opsi Call (USD) Opsi Put (USD) 25% 1.84562 0.70726 30% 2.54621 1.14082 35% 3.26972 1.62508 40% 4.00686 2.14339 45% 4.75202 2.68358 50% 5.50159 3.23968 55% 6.25300 3.80616
Tabel 5 menunjukkan bahwa pada simulasi Monte Carlo antithetic variates , harga opsi call dan opsi put cenderung naik seiring dengan kenaikan volatilitas. Hal ini sesuai dengan teori dimana volatilitas merupakan ukuran risiko dari investasi pada saham [3]. Volatilitas meningkat mengartikan  risiko  meningkat  sehingga  harga  opsi  akan  ikut  meingkat.  Perubahan  ini mencerminkan hubungan yang diharapkan antara volatilitas dan harga opsi dalam model opsi Bermuda. Hubungan tersebut juga ditampilkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Pengaruh Volatilitas terhadap Harga Opsi Bermuda Tabel 6. Pengaruh Tingkat Bunga Bebas Risiko terhadap Harga Opsi Bermuda
𝒓 𝒇 Opsi Call (USD) Opsi Put (USD) 5% 7.63442 4.53542 10% 8.28853 3.91444 15% 8.96543 3.36482 20% 9.66523 2.88089 25% 10.38515 2.45727 30% 11.12186 2.08654 35% 11.87168 1.76459
Tabel 6 menampilkan pengaruh tingkat bunga bebas risiko (𝑟 𝑓 ) terhadap harga opsi call dan opsi put jenis Bermuda menggunakan simulasi Monte Carlo antithetic variates . Pada Tabel 6, terlihat bahwa harga opsi call secara umum meningkat seiring dengan peningkatan tingkat bunga bebas risiko. Namun, harga opsi put cenderung menurun seiring dengan kenaikan tingkat bunga bebas risiko. Hal ini menunjukkan bahwa adanya hubungan negatif antara tingkat bunga bebas risiko dan harga opsi put dalam model opsi Bermuda. Ketika tingkat bunga bebas risiko meningkat,  nilai  waktu  opsi put cenderung  berkurang  sedangkan  harga  opsi put menurun. Hubungan tersebut juga disajikan pada Gambar 6.
G ambar 6. Grafik Pengaruh Tingkat Bunga Bebas Risiko terhadap Harga  Opsi Dari  hasil  yang  telah  diperoleh,  Nampak  bahwa  pengaruh  beberapa  parameter  yang  diamati terhadap harga opsi sejalan dengan teori mengenai harga opsi [10], [11].

## 3.5    Tingkat Kekonvergenan
Tingkat  kekonvergenan  dapat  mengukur  performa  suatu  metode  numerik  dalam memberikan  hasil  yang  mendekati  solusi  eksak.  Nilai  tingkat  kekonvergenan  yang  lebih  tinggi menunjukkan tingkat akurasi yang lebih baik dan konvergensi yang lebih cepat terhadap solusi eksaknya.
Tabel 7. Rasio Eror Simulasi Monte Carlo Antithetic Variates M
Error Opsi Call Error Opsi Put Rasio Error Opsi Call Rasio Error Opsi Put 800 0.36333 0.21533 1600 0.33198 0.15661 1.09443 1.37494 3200 0.09828 0.03549 3.37790 4.41279 6400 0.07631 0.00637 1.28790 5.57143 12800 0.01080 0.00510 7.06574 1.24902
Pada  Tabel  7  diperoleh  tingkat  kekonvergenan  opsi call Bermuda  sebesar  3.20649, sedangkan untuk opsi put Bermuda sebesar 3.15205. Hal ini menunjukkan bahwa jika simulasi diperbesar dua kali lipat, maka simulasi Monte Carlo antithetic variates untuk opsi call Bermuda akan mencapai nilai eksak sebesar 3.2 kali lebih cepat, sementara opsi put Bermuda akan mencapai nilai eksak 3.1 kali lebih cepat.

## 4 Simpulan
Dari penelitian ini dapat disimpulkan bahwa metode simulasi Monte Carlo dengan reduksi variansi antithetic  variates adalah  pendekatan  yang  efektif  dalam  mengestimasi  harga  opsi Bermuda  dengan  konvergensi  yang  lebih  cepat.  Hal  ini  dibuktikan  dengan  ukuran  tingkat kekonvergenan sebesar 3.20649 untuk opsi call Bermuda dan 3.15205 untuk opsi put Bermuda.
353 Donny Citra Lesmana, Reinhart Hasudungan Sinaga, Cahya Rila Hadiva, Muthia Rasya Salsabilla, Hindana Dzulfa Pratiwi, Aufa Shahnazdiza Salsabila, Ravasya Nugraha
Selain itu, metode ini mampu secara akurat menggambarkan karakteristik dan pola harga opsi, dan menjadikannya alat yang dapat diandalkan dalam menentukan harga opsi Bermuda. Penelitian ini juga menekankan pengaruh positif yang signifikan dari volatilitas dan waktu jatuh tempo dalam penilaian  harga  opsi  Bermuda,  yang  sejalan  dengan  teori  harga  opsi.  Oleh  karena  itu,  metode Monte  Carlo  dengan  reduksi  variansi antithetic  variates telah  terbukti  kehandalannya  untuk menilai harga opsi Bermuda.

## 5 Daftar Pustaka
[1] D. Vo, S. Huynh, A. Vo, and D. Ha, “The Importance of the Financial Derivatives Markets to  Economic  Development  in  the  World’s  Four  Major  Economies,” Journal  of  Risk  and Financial Management , vol. 12, no. 1, p. 35, Feb. 2019, doi: 10.3390/jrfm12010035.
[2] K.  Kazmi,  “A  second  order  numerical  method  for  the  time-fractional  Black–Scholes European option pricing model,” J Comput Appl Math , vol. 418, p. 114647, Jan. 2023, doi: 10.1016/j.cam.2022.114647.
[3] J. C. Hull, Options, Future, and Other Derivatives , 11th ed. New Jersey: Pearson Education International, 2021.
[4] T.  N.  Habaib,  S.  Mariani,  and  R.  Arifudin,  “Penentuan  Harga  Opsi  Asia  Menggunakan Metode  Simulasi  Monte  Carlo  dengan  Teknik  Reduksi  Variansi,” UNNES  Journal  of Mathematics , vol. 7, no. 1, pp. 28–37, 2018.
[5] W. Ayudiah, D. C. Lesmana, and E. H. Nugrahani, “Penentuan Harga Opsi Sebagai Alat Lindung  Nilai  Petani  Gabah  Menggunakan  Metode  Monte  Carlo  Dan  Teknik  Control Variate,” Journal of Mathematics and Its Applications , vol. 16, no. 1, pp. 39–54, 2017.
[6] M.  A.  Darmawan,  Irwan,  and  S.  D.  Anugrawati,  “Penentuan  Nilai  Opsi  Bermuda Menggunakan Metode Trinomial,” Jurnal Siger Matematika , vol. 3, no. 1, pp. 1–6, 2022.
[7] Z. Pan, Y. Gao, and L. Yuan, “Bermudan options pricing formulas in uncertain financial markets,” Chaos  Solitons  Fractals ,  vol.  152,  p.  111327,  Nov.  2021,  doi: 10.1016/j.chaos.2021.111327.
[8] A. Bendob and N. Bentouir, “Options Pricing by Monte Carlo Simulation, Binomial Tree and BMS Model: a comparative study of Nifty50 options index,” Journal of Banking and Financial  Economics ,  vol.  1/2019,  no.  11,  pp.  79–95,  Apr.  2019,  doi:  10.7172/2353- 6845.jbfe.2019.1.4.
[9] K. in ’t Hout, “Financial Option Valuation,” in Numerical Partial Differential Equations in Finance Explained , London: Palgrave Macmillan UK, 2017, pp. 1–8. doi: 10.1057/978-1- 137-43569-9_1.
[10]  D.  C.  Lesmana  and  S.  Wang,  “A  numerical  scheme  for  pricing  American  options  with transaction  costs  under  a  jump  diffusion  process,” Journal  of  Industrial  &  Management Optimization , vol. 13, no. 4, pp. 1793–1813, 2017, doi: 10.3934/jimo.2017019.
[11]  D. C. Lesmana and S. Wang, “Penalty approach to a nonlinear obstacle problem governing American put option valuation under transaction costs,” Appl Math Comput , vol. 251, pp. 318–330, Jan. 2015, doi: 10.1016/j.amc.2014.11.060.