## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Submit: 1 September 2022, Disetujui: 13 Oktober 2022, Online: 20 Oktober 2022 Copyright ©2022 by K. S. N. Atiqoh, M. Hafiz Diterbitkan oleh: Jurusan Matematika Universitas Negeri Gorontalo | Under the licence CC BY-NC 4.0

## Koneksi Analisis Riil dan Matematika Sekolah: Identifikasi pada Mahasiswa Calon Guru Matematika
Khamida Siti Nur Atiqoh 1 *, M. Hafiz 2
1,2 Prodi Pendidikan Matematika, UIN Syarif Hidayatullah Jakarta, Jl. Ir. H. Juanda No.95, Banten, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: khamida.siti@uinjkt.ac.id

## Abstrak
Terdapat  gap  yang  cukup  berarti  antara  matematika  sekolah  menengah  dengan  mata  kuliah matematika di universitas. Penelitian ini bertujuan untuk mengidentifikasi bagaimana pemahaman mahasiswa pendidikan matematika tentang koneksi antara topik pada Analisis Riil dengan konten matematika  sekolah. Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode deskriptif  kualitatif  dengan  subjek  penelitian  mahasiswa  calon  guru  matematika  yang  sedang mengikuti mata kuliah Analisis Riil. Analisis data dilakukan dalam 3 tahap yaitu: kondensasi data (reduksi data), penyajian data, dan penarikan kesimpulan. Koneksi antar konsep antara topik-topik Analisis  Riil  dan  matematika  pada  sekolah  menengah  dikategorisasi  berdasarkan  kategorisasi koneksi matematika oleh Suominen. Temuan penelitian mengungkapkan bahwa mahasiswa calon guru  matematika  mempunyai  keterbatasan  dalam  mengidentifikasi  koneksi  antara  Analisis  Riil dengan topik matematika sekolah. Koneksi yang diidentifikasi mahasiswa terbatas hanya pada ide- ide umum. Perlu disiapkan sebuah metode pembelajaran terstruktur pada mata kuliah Analisis Riil yang dapat memfasilitasi kesenjangan antara matematika universitas dan matematika sekolah.
Kata Kunci: Koneksi; Analisis Riil; Matematika Sekolah

## Abstract
There  is  a  significant  gap  between  secondary  school  mathematics  and  university  mathematics courses. This study aims to identify how mathematics education students understand the connection between topics in Real Analysis and school mathematics content. The research method used in this study is a qualitative descriptive  method with the research subjects being  students who  are pre- service mathematics teachers who are taking the Real Analysis course. Data analysis was carried out  in  3  stages,  namely:  data  condensation  (data  reduction),  data  presentation,  and  drawing conclusions.  Concept-by-concept  connections  between  Real  Analysis  topics  and  mathematics  in secondary  schools  are  categorized  based  on  Suominen's  categorization  of  mathematical connections. The research findings reveal that pre-service teachers have limitations in identifying the  connections  between  Real  Analysis  and  school  mathematics  topics.  The  connections  that students identified were limited to general ideas. It is necessary to prepare a structured learning method in the Real Analysis course that can facilitate the gap between university mathematics and school mathematics.
Keywords: Connections; Real Analysis; School Mathematics

## 1. Pendahuluan
Analisis Riil merupakan salah satu mata kuliah wajib bagi mahasiswa calon guru matematika di  Perguruan  Tinggi  Lembaga  Pendidikan  Tenaga  Kependidikan  (LPTK).  Berdasarkan  Rencana Pembelajaran  Semester  (RPS)  program  studi  Pendidikan  Matematika  UIN  Syarif  Hidayatullah Jakarta, tujuan mata kuliah Analisis Riil adalah agar mahasiswa mampu bernalar secara analisis dan menguasai logika berfikir matematis serta mampu membuktikan teorema-teorema secara analitis dan matematis.  Analisis  Riil  adalah  salah  satu  mata  kuliah  matematika  lingkat  lanjut  ( advanced mathematics courses ). Materi utama yang dibahas pada mata kuliah ini adalah Sistem Bilangan Riil, Teori Himpunan, Fungsi, Barisan, Limit dan Ruang Metrik. Mata kuliah matematika lingkat lanjut
perlu dipelajari oleh mahasiswa calon guru karena memberikan kesempatan bagi calon guru untuk mempelajari keterampilan pembuktian, pemikiran logis, dan justifikasi matematika sekolah [1]. Akan tetapi penguasaan mahasiswa pada keterampilan-keterampilan tersebut masih tergolong lemah [2].
Penelitian Silius, dkk [3] menyatakan bahwa terdapat gap yang cukup berarti antara matematika sekolah menengah  ( secondary school  mathematics ) dengan mata kuliah matematika di universitas ( university  mathematics ).  Hal  ini  tidak  seharusnya  terjadi  karena  salah  satu  sasaran  pendidikan sekolah  menengah  atas  adalah  membekali  siswa  untuk  studi  universitas,  kemudian  matematika  di universitas dirancang dengan asumsi sebagai lanjutan topik matematika sekolah menengah atas. Akan tetapi  tingkat  keabstrakan  matematika  pada  transisi  sekolah-universitas  sangat  mempengaruhi  dan seakan-akan membuat mahasiswa ‘kaget’ [4] [5].
Gap tersebut tentu mempengaruhi persepsi pada guru matematika sekolah menengah. Banyak guru sekolah menengah telah melaporkan bahwa mata kuliah matematika tingkat lanjut (khususnya Analisis  Riil)  yang  telah  diambil  di  universitas  tidak  relevan  dengan  pembelajaran  yang  mereka lakukan di sekolah [6][7]. Terdapat 5 kemampuan matematika yaitu: 1) pemecahan masalah ( problem solving ), 2) penalaran dan bukti ( reasoning and proof ), 3) komunikasi ( communication ), 5) koneksi ( connection ), dan 6) representasi ( representation ) [8].  Salah satu dari  kelima kemampuan tersebut adalah kemampuan koneksi matematis. Jika guru dapat menemukan dan memahami koneksi antara topik  pada  Analisis  Riil dengan  konten  matematika  sekolah,  maka  tidak  akan  ada  persepsi bahwa mata kuliah matematika tingkat lanjut tidak relevan dengan pembelajaran matematika sekolah.
Salah  satu  cara  untuk  menjembatani  gap  tersebut  adalah  dengan  menyusun  dan mengembangkan  pembelajaran  yang  membuat  mahasiswa  calon  guru  dapat  menemukan  dan menggambarkan koneksi antara topik pada Analisis Riil dengan konten matematika sekolah, sehingga mereka dapat menerapkannya kelak ketika menjadi guru matematika. Koneksi antara pembelajaran konten matematika mayor dan basic dengan teori-teori harus lebih ditekankan pada saat perkuliahan [3].  Selanjutnya,  perkuliahan  diharapkan  dapat  membuat  mahasiswa  menguasai  5 mathematical proficiency sebagai  berikut:  1) conceptual  understanding (pemahaman  konsep,  operasi,  dan  relasi matematika), 2) procedural fluency (keterampilan dalam melaksanakan prosedur matematis secara fleksibel,  akurat,  efisien  dan  tepat),  3) strategic  competence (kemampuan  merumuskan, merepresentasikan, dan memecahkan masalah matematika), 4) adaptive reasoning (kapasitas untuk pemikiran logis, refleksi, penjelasan, dan justifikasi) and 5) productive disposition (kecenderungan kebiasaan  untuk  melihat  matematika  sebagai  hal  yang  masuk  akal,  berguna,  dan  berharga,  serta keyakinan pada ketekunan dan efikasi diri) [9].
Berdasarkan uraian di atas, perlu dilakukan penelitian untuk menyusun dan mengembangkan kurikulum pembelajaran yang membuat mahasiswa calon guru dapat menemukan dan menerapkan koneksi antara topik pada Analisis Riil dengan konten matematika sekolah. Sebagai langkah awal, perlu  dilakukan  identifikasi  terhadap  mahasiswa  pendidikan  matematika yang  sedang  mengambil mata kuliah ini tentang bagaimana pemahaman mereka tentang koneksi antara topik pada Analisis Riil dengan konten matematika sekolah.

## 2. Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode  deskriptif  kualitatif dengan subjek penelitian 30 mahasiswa calon guru matematika yang sedang mengikuti mata kuliah Analisis  Riil  [10].  Pada  tahap  pertama  dilakukan  analisis  pendahuluan  yang  dilaksanakan  untuk memetakan topik-topik pada mata kuliah Analisis Riil dan juga memetakan materi-materi matematika tingkat SMP dan SMA. Pemetaan ini penting dilakukan untuk memudahkan kategorisasi yang akan dilakukan.
Pada  tahap  kedua,  dilakukan  prosedur  penelitian  yang  melibatkan  mahasiswa  Pendidikan Matematika  sebagai  subjek  penelitian.  Mahasiswa  calon  guru  matematika  diberi  tugas  untuk
mengidentifkasi  koneksi  antara  mata  kuliah  Analisis  Riil  dengan  topik  matematika  pada  sekolah menengah (SMP dan SMA). Prosedur penelitian yang dilakukan adalah:
1) pada  pertemuan  awal,  subjek  penelitian  dibagi  menjadi  beberapa  kelompok  secara  acak  (1 kelompok terdiri dari 5 mahasiswa),
2) setiap kelompok mengidentifikasi dan membuat daftar konten utama pada mata kuliah Analisis Riil yang terdiri dari 14 pertemuan,
3) setiap kelompok juga mengidentifikasi topik matematika pada sekolah menengah berdasarkan silabus,
4) sebagai  langkah  terakhir,  mereka  menggambarkan  koneksi  antar  konsep  antara  topik-topik Analisis Riil dan matematika pada sekolah menengah.
Adapun diagram alur penelitian yang dilakukan disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram alur penelitian
Analisis data dilakukan dalam 3 tahap yaitu: kondensasi data (reduksi data), penyajian data, dan penarikan  kesimpulan  [11].  Pada  tahap  kondensasi  data  (reduksi  data),  hasil  pekerjaan  subjek penelitian diklasifikasikan pada masing-masing kelompok kemudian direduksi pada topik-topik yang berhubungan. Pada tahap penyajian data, data yang telah direduksi disajikan dalam tabel kemudian dianalisa secara deskriptif.  Selanjutnya, koneksi antar konsep antara topik-topik Analisis Riil dan matematika  pada  sekolah  menengah  dikategorisasi  berdasarkan categorization  of  mathematical connections [12] seperti ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Kategorisasi Koneksi Matematika Kategori Deskripsi Alternative representation (Representasi alternative) Satu  konsep  direpresentasikan  dengan  cara yang berbeda seperti simbolik (aljabar), grafik (geometri),  gambar  (diagram),  manipulatif (objek  fisik),  deskripsi  verbal  (lisan),  atau deskripsi tertulis. Comparison through common features (Perbandingan melalui fitur-fitur yang sama) Dua konsep yang memiliki beberapa fitur yang sama, yang memungkinkan sebuah
perbandingan  menjadi  konsep  yang  serupa,
persis sama, atau tidak sama.
Kategori Deskripsi Equivalent representation (Representasi yang ekuivalen) Satu  konsep  direpresentasikan  dengan  cara yang  berbeda  tetapi  dalam  bentuk  yang  sama (yaitu,  satu  konsep  dapat  direpresentasikan dengan cara yang berbeda secara simbolis). Generalization (Generalisasi) Satu konsep adalah contoh khusus dari konsep yang lain. Hierarchical relationship (Hubungan hierarkis) Satu konsep adalah sebuah komponen dari atau termasuk  dalam  konsep  lain.  Karena  satu konsep  termasuk  atau  termuat  dalam  konsep lainnya,  maka  terdapat  hubungan  hierarkis  di antara dua konsep. Logical implication (Implikasi logis) Satu  konsep  secara  logis  bergantung  pada konsep  lain.  Seringkali  terdapat  hubungan jika-maka antara dua konsep. Procedural (Prosedural) Satu konsep dapat digunakan untuk menemukan  konsep  lain.  Konsep  yang pertama  bisa  sebagai  prosedur  atau  metode penghubung yang digunakan saat bekerja dengan konsep lain. Real-world application (Aplikasi pada dunia nyata) Satu konsep adalah contoh dari konsep lain di dunia  nyata  (yaitu,  sebuah  konsep  mengacu pada  konsep  lain  di  luar  konteks  matematika yang dimaksud).

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Analisis Pendahuluan
Tahap  pertama  yang  dilakukan  pada  penelitian  ini  adalah  analisis  pendahuluan.  Analisis pendahuluan ini dilaksanakan untuk memetakan topik-topik pada mata kuliah Analisis Riil dan juga memetakan materi-materi matematika tingkat SMP dan SMA. Pemetaan ini penting dilakukan untuk memudahkan  kategorisasi  yang  akan  dilakukan.  Proses  pemetaan  topik-topik  pada  mata  kuliah Analisis Riil dan materi-materi matematika tingkat SMP dan SMA dilakukan melalui kegiatan focuss group discussion (FGD). Hasil pemetaan yang diperoleh disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Materi-Materi Mata Kuliah Analisis Riil No. Materi Sub Materi 1 Pendahuluan (Himpunan, Fungsi, Induksi Matematika)  Sistem Operasi pada Himpunan
 Definisi Peta dan Prapeta
 Macam-Macam Fungsi
 Fungsi Komposisi
 Fungsi Invers
 Definisi Induksi Matematika  Menyelesaikan masalah menggunakan Prinsip Induksi
Matematika
2 Sistem bilangan riil  Konsep Sistem Bilangan Riil
 Aksioma-Aksioma pada Bilangan Riil
 Teorema Terkait Sistem Bilangan Riil
No. Materi Sub Materi 3 Sifat aljabar dan sifat urutan pada bilangan riil  Teorema Bilangan Rasional
 Sifat Urutan pada Bilangan Riil
 Interval dan Pertidaksamaan
4 Nilai mutlak dan garis bilangan riil  Definisi Nilai Mutlak
 Teorema tentang Sifat-Sifat Nilai Mutlak
 Teorema tentang Ketaksamaan Segitiga 5 Sifat kelengkapan bilangan riil  Konsep Garis Bilangan Riil
 Definisi Batas Atas dan Batas Bawah 6 Aplikasi Supremum dan Infimum  Teorema tentang Nilai Supremum dan Nilai Infimum  Menyelesaikan masalah tentang Nilai Supremum dan Nilai Infimum 7 Barisan dan limitnya  Definisi Barisan Bilangan Riil
 Contoh Barisan Bilangan Riil  Limit Barisan Bilangan Riil  Ketunggalan Limit Barisan Bilangan Riil  Teorema tentang Barisan Bilangan Riil  Barisan Bilangan Konvergen  Ekor Barisan 8 Limit  Definisi Limit  Definisi Limit sepihak
 Teorema tentang Limit
 Menyelesaikan masalah tentang Limit
Pada Tabel 2 disajikan data mengenai topik-topik pada mata kuliah Analisis Riil yang diajarkan selama  14  pertemuan. Terlihat  bahwa  topik-topik  pada mata  kuliah  Analisis  Riil  ini  merupakan konsep-konsep  fundamental  pada  ruang  lingkup  matematika  dan  pengajaran  matematika.  Hal  ini sejalan  dengan  penelitian  terdahulu  yang  mengungkapkan  bahwa  pada  mata  kuliah  Analisis  Riil, mahasiswa calon guru memperoleh pengetahuan yang berguna untuk merespon situasi pedagogis dan mengaplikasikannya [13].
Selanjutnya adalah pemetaan materi-materi matematika tingkat SMA dan SMP. Hasil pemetaan materi-materi  tingkat  SMA  adalah:  Nilai  Mutlak,  Pertidaksamaan  Rasional  dan  Irrasional,  Sistem Persamaan,  Sistem  Pertidaksamaan,  Fungsi,  Trigonometri,  Fungsi  Trigonometri,  Vektor,  Matriks, Induksi Matematika, Program Linear, Transformasi Geometri, Lingkaran, Barisan dan Deret, Limit, Turunan,  Integral,  Suku  Banyak,  Dimensi  Tiga,  Statistika,  dan  Peluang.  Hasil  pemetaan  materi- materi tingkat SMP adalah: Bilangan Bulat dan Pecahan, Himpunan, Bentuk Aljabar, Persamaan dan Pertidaksamaan  Linear  Satu  Variabel,  Perbandingan,  Aritmmatika  Sosial,  Garis  dan  Sudut, Segiempat  dan  Segitiga,  Penyajian  Data,  Pola  Bilangan,  Bidang  Kartesius,  Relasi  dan  Fungsi, Persamaan Garis  Lurus,  Sistem Persamaan  Linear Dua Variabel, Teorema Pythagoras, Lingkaran, Bangun  Ruang  Sisi  Datar,  Statistika,  Peluang,  Bilangan Berpangkat  dan  Bentuk  Akar,  Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat, Transformasi, Kekongruenan dan Kesebangunan, dan Bangun Ruang Sisi Lengkung.  Hasil  pemetaan  materi-materi  inilah yang  selanjutnya  akan  digunakan  oleh  mahasiswa untuk diidentifikasi koneksinya.

## 3.2 Hasil Identifikasi Mahasiswa
Pada bagian ini pertama-tama disajikan dalam tabel hasil identifikasi koneksi antar konsep oleh mahasiswa  berikut  dengan  interpretasinya.  Hasil  tersebut  dikompilasi  dalam  sebuah  tabel,  dan dipaparkan beberapa temuan yang diperoleh. Selanjutnya, dilakukan pembahasan terhadap temuan tersebut  dan  implikasinya.  Tabel  3  -  Tabel  8  menunjukkan  hasil  pekerjaan  mahasiswa  di  setiap kelompok dalam melakukan identifikasi.
Tabel 3. Hasil Pekerjaan Mahasiswa pada Kelompok 1
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 1.  Sifat Urutan pada Bilangan Riil Pertidaksamaan Linear Satu Variabel SMP/7 2.  Sifat Urutan pada Bilangan Riil Pertidaksamaan Linear Dua Variabel SMP/8 3.  Interval Dan Pertidaksamaan Mencari Himpunan Penyelesaian bentuk pertidaksamaan SMA/10 4.  Definisi Nilai Mutlak Definisi nilai mutlak SMA/10 5.  Teorema  Tentang  Sifat- Sifat Nilai Mutlak Persamaan  dan  pertidaksamaan nilai mutlak SMA/10 6.  Teorema  Tentang  Nilai Supremum Dan Nilai Infimum Statistik SMA/12 7.  Menyelesaikan  Masalah Tentang  Nilai  Supremum Dan Nilai Infimum Turunan Fungsi SMA/12 8.  Konsep  Garis  Bilangan Riil Mencari Himpunan Penyelesaian bentuk pertidaksamaan SMA/10
Tabel  3  menunjukkan  bahwa  kelompok  1  dapat  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  dari topik-topik  Analisis  Riil  yang  terkoneksi  dengan  konsep  nilai  mutlak,  statistika,  konsep pertidaksamaan  linear  satu  variabel,  konsep  pertidaksamaan  linear  dua  variabel,  dan  menentukan himpunan penyelesaian bentuk pertidaksamaan. Salah satu koneksi pada Tabel 3 yang secara spesifik dapat langsung dilihat adalah konsep garis bilangan Riil yang merupakan konsep fundamental dalam menentukan himpunan penyelesaian bentuk pertidaksamaan. Sedangkan koneksi antara konsep nilai supremum  dan  nilai  infimum  dengan  turunan  fungsi  tidak  termasuk  pada  kategorisasi  koneksi matematika karena konsep-konsep ini tidak saling terkait secara langsung dengan materi matematika sekolah  yang  dipilih.  Koneksi  yang  diidentifikasi  oleh  kelompok  1  masih  sangat  terbatas  dalam mendaftar konsep-konsep pada materi matematika sekolah yang sesuai.
Tabel 4. Hasil Pekerjaan Mahasiswa pada Kelompok 2 No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 1. Sistem Bilangan Riil (Aksioma AMD)  Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan SMP (VII/1) 2. Sistem Bilangan Riil (Nilai Mutlak: Definisi)  Kardinalitas Himpunan SMP (VII/1)  Nilai Mutlak (Definisi) SMA (X/1) 3. Sistem Bilangan Riil (Sifat-sifat Harga Mutlak)  Nilai Mutlak (Sifat-sifat) SMA (X/1)  Panjang Vektor SMA (X/2)  Panjang Jari-jari Lingkaran SMA (XI/1) 4. Sistem Bilangan Riil (Ketaksamaan Segitiga)  Pertidaksamaan Nilai Mutlak SMA (X/1) 5. Sifat Kelengkapan Bilangan Riil (Garis Bilngan Riil: Jarak Antara Dua Titik)  Nilai Mutlak SMA (X/1)  Dimensi Tiga (Jarak Titik ke Titik) SMA (XII/1) 6. Sifat Kelengkapan Bilangan Riil (Batas Atas dan Batas Bawah)  Integral Tentu  Limit Fungsi Aljabar SMA (XI/2)  Limit Fungsi Trigonometri  Limit Fungsi di Ketakhinggaan Fungsi SMA (XII/1)
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas Aljabar dan Fungsi Trigonometri 7.  Fungsi Bernilai Riil (Induksi Matematika)
 Fungsi Bernilai Riil
(Menyelesaikan masalah menggunakan Prinsip Induksi Matematika)  Membuktikan pernyataan matematis SMA (XI/1)
Tabel  4  menunjukkan  bahwa  kelompok  2  dapat  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  dari topik-topik Analisis Riil yang terkoneksi dengan konsep sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, himpunan, nilai mutlak, pertidaksamaan, dimensi tiga, vektor, lingkaran, integral tentu, limit fungsi (aljabar dan trigonometri), dan induksi matematika. Koneksi antar konsep yang diidentifikasi oleh kelompok 2 sebagian besar sudah sesuai dengan kategorisasi koneksi matematika dan kelompok 2 sudah dapat menyebutkan secara lengkap materi-materi matematika sekolah yang sesuai. Kelompok 2  sudah  dapat mengidentifikasi  beberapa  konsep  pada  mata  kuliah  Analisis  Riil  yang  mempunyai hubungan hierarkis atau procedural dengan materi-materi matematika sekolah. Akan tetapi terdapat 1  koneksi  yang  tidak  sesuai  yaitu  konsep  nilai  mutlak  yang  tidak  terkait  secara  langsung  dengan materi kardinalitas himpunan.
Tabel 5. Hasil Pekerjaan Mahasiswa pada Kelompok 3 No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 1.  Konsep Garis Bilangan Riil  Membandingkan bilangan bulat dan pecahan  Mengurutkan Bilangan Bulat dan Pecahan SMP Kelas 7 2.  Aksioma-Aksioma  pada Bilangan Riil  Operasi dan Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan  Operasi Hitung Bentuk Aljabar SMP Kelas 7 3.  Sifat Urutan pada Bilangan Riil  Mengurutkan Bilangan Bulat dan Pecahan  Operasi dan Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat dan Pecahan SMP Kelas 7 4.  Sistem Operasi pada Himpunan  Menyatakan Himpunan  Himpunan Bagian, Kosong, Semesta  Komplemen Himpunan  Operasi Pada Himpunan SMP Kelas 7 5.  Interval dan Pertidaksamaan  Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel SMP Kelas 7 6.  Definisi Nilai Mutlak  Panjang Vektor SMA Kelas 10 7.  Menyelesaikan masalah menggunakan Prinsip Induksi Matematika  Membuktikan pernyataan matematis SMA Kelas 11
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 8.  Contoh Barisan Bilangan Riil  Barisan dan Deret Aritmatika  Barisan dan Deret Geometri  Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga SMA Kelas 11
Tabel  5  menunjukkan  bahwa  kelompok  3  dapat  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  dari topik-topik Analisis Riil yang terkoneksi dengan konsep konsep sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat dan pecahan, sifat urutan bilangan bulat dan pecahan, himpunan, vektor, induksi matematika, dan  barisan  dan  deret.  Koneksi  antar  konsep  yang  diidentifikasi  oleh  kelompok  3  sebagian  besar sudah sesuai dengan kategorisasi koneksi matematika, namun beberapa materi matematika sekolah yang  disebutkan  masih terbatas  pada  materi  besar  yang  kurang  spesifik.  Kelompok  2  sudah  dapat mengidentifikasi  beberapa  konsep  pada  mata  kuliah  Analisis  Riil  yang  mempunyai  hubungan hierarkis atau procedural dengan materi-materi matematika sekolah. Salah satu koneksi pada Tabel 5 yang secara spesifik dapat langsung dilihat adalah sifat terurut pada bilangan Riil yang merupakan generalisasi dari sifat terurut pada bilangan bulat dan pecahan.
Tabel 6. Hasil Pekerjaan Mahasiswa pada Kelompok 4 No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 1. Menyelesaikan  masalah menggunakan Prinsip Induksi Matematika Bentuk Aljabar SMP (7) 2. Teorema tentang Ketaksamaan Segitiga (Nilai Mutlak) Persaman  dan  pertidaksamaan segitiga SMA (10) 3. Konsep Garis Bilangan Riil Membandingkan  bilangan  bulat dan pecahanan SMP (7) 4. Menyelesaikan masalah tentang Nilai Supremum dan Nilai Infimum Model matematika program linear,  nilai  optimum  fungsi objektif SMA (11) 5. Interval dan Pertidaksamaan Selang kemotonan fungsi SMA (11)
Tabel  6  menunjukkan  bahwa  kelompok  4  dapat  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  dari topik-topik  Analisis  Riil  yang  terkoneksi  dengan  konsep  konsep  sifat  urutan  bilangan  bulat  dan pecahan,  persamaan  dan  pertidaksamaan,  model  matematika,  program  linear,  dan  fungsi.  Koneksi antar  konsep  yang  diidentifikasi  oleh  kelompok  4  masih  sangat  terbatas  pada  materi  besar  yang kurang spesifik. Kelompok 4 hanya dapat mengkoneksikan ide-ide umum pada konsep matematika sekolah tanpa menyebutkan sub materi tertentu yang lebih spesifik. Terlebih lagi, terdapat 1 koneksi yang  tidak  sesuai  dengan  kategorisasi  koneksi  matematika  yaitu  prinsip  induksi  matematika  yang tidak terhubung secara langsung dengan materi bentuk aljabar di tingkat SMP.
Tabel 7. Hasil Pekerjaan Mahasiswa pada Kelompok 5
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 1.  Definisi peta dan prapeta  Bentuk Penyajian Relasi  Bentuk Penyajian Fungsi  Notasi, Domain, Range, dan Grafik Suatu Fungsi SMP (VIII/1) SMP (VIII/1) SMA (X/1) 2.  Teorema ketaksamaan segitiga  Nilai mutlak dan operasinya  pertidaksamaan dua atau tiga variabel. SMA (X/1) SMA (X/1)
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 3.  Konsep  garis  bilangan real.  Garis bilangan  Operasi bilangan Bulat  Nilai mutlak SMP (VII/1) SMP (VII/1) SMA (X/1) 4.  Definisi  atas  dan  Definisi bawah  Himpunan  Garis bilangan  Konsep limit SMP (VII/1) SMP (VII/1) SMA (XI/2) 5.  Teorema tentang Nilai Supremum dan Nilai Infimum  Himpunan  Pertidaksamaan rasional satu variabel.  Konsep limit SMP (VII/1) SMA (X/1) SMA (XI/2) 6.  Menyelesaikan masalah tentang nilai supremum dan nilai infimum  Konsep Himpunan  Persamaan dan pertidaksamaan  Limit fungsi SMP (VII/1) SMP (VII/1) SMA (XI/2) 7.  Ketunggalan limit barisan bilangan riil  Konsep Persamaan dan pertidaksamaan Nilai mutlak SMA (X/1)
Tabel  7  menunjukkan  bahwa  kelompok  5  dapat  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  dari topik-topik  Analisis  Riil  yang  terkoneksi  dengan  konsep  konsep  relasi  dan  fungsi,  nilai  mutlak, himpunan, garis bilangan, limit fungsi, operasi bilangan bulat, dan persamaan dan pertidaksamaan. Koneksi  antar  konsep  yang  diidentifikasi  oleh  kelompok  5  sebagian  besar  sudah  sesuai  dengan kategorisasi  koneksi  matematika,  dan  sudah  disebutkan  secara  lengkap  materi-materi  matematika sekolah yang sesuai walaupun belum spesifik. Kelompok 5 sudah dapat mengidentifikasi beberapa konsep  pada  mata  kuliah  Analisis  Riil  yang  mempunyai  hubungan  hierarkis,  procedural  dan generalisasi  dengan  materi-materi  matematika  sekolah.  Akan  tetapi  terdapat  1  koneksi  yang  tidak sesuai dengan kategorisasi koneksi matematika yaitu prinsip ketunggalan limit barisan bilangan riil yang tidak terhubung secara langsung dengan konsep Persamaan dan pertidaksamaan Nilai mutlak.
Tabel 8. Hasil Pekerjaan Mahasiswa pada Kelompok 6
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas 1.  Definisi Peta dan Prapeta
 Macam-Macam Fungsi
1. Relasi dan Fungsi  Memahami Bentuk Penyajian Relasi/Cara Menyatakan Relasi  Fungsi atau Pemetaan  Ciri-Ciri Relasi dan Fungsi  Rumus Fungsi  Grafik Fungsi SMP/VIII 2. Fungsi  Relasi dan fungsi  Fungsi linear  Persamaan dan Fungsi kuadrat  Fungsi rasional  Fungsi Eksponensial  Fungsi Logaritma SMA/X 2.  Konsep Garis Bilangan Riil
 Definisi Batas Atas dan
Batas Bawah 3. Program Linier
 Persamaan Garis Lurus.  Menentukan Daerah Penyelesaian
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel SMA/XI
No Materi Analisis Riil Materi Matematika Sekolah Tingkat Kelas  Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel  Model Matematika Program Linear  Nilai Optimum Fungsi Objektif 4. Bidang Kartesius  Bidang Kartesius  Menentukan Koordinat Suatu Titik Pada Koordinat Kartesius  Menentukan Posisi Titik Terhadap Titik Lain Pada Koordinat Kartesius SMP/VII 3.  Teorema tentang Nilai Supremum dan Nilai Infimum  Menyelesaikan masalah tentang Nilai Supremum dan Nilai Infimum 5. Statistik  Beberapa istilah dan pengertian dalam statistika 6. Turunan Fungsi
 Nilai Maksimum dan Minimum SMA/XII
Tabel  8  menunjukkan  bahwa  kelompok  6  dapat  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  dari topik-topik Analisis Riil yang terkoneksi dengan konsep konsep relasi dan fungsi, program linear, bidang  kartesius,  statistika,  dan  turunan  fungsi.  Koneksi  antar  konsep  yang  diidentifikasi  oleh kelompok  6  sebagian  besar  sudah  sesuai  dengan  kategorisasi  koneksi  matematika,  dan  sudah disebutkan secara lengkap materi-materi matematika sekolah yang sesuai walaupun belum spesifik. Kelompok  6  sudah  dapat  mengidentifikasi  beberapa  konsep  pada  mata  kuliah  Analisis  Riil  yang mempunyai  hubungan  hierarkis,  procedural  dan  generalisasi  dengan  materi-materi  matematika sekolah.

## 3.3 Pembahasan
Mengacu  pada  Tabel  3  –  Tabel  8  dan  interpretasinya,  temuan  penelitian  ini  dapat diklasifikasikan menjadi tiga ide umum, yaitu (1) setiap kelompok menggunakan cara yang berbeda untuk  mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  ke  dalam  tabel;  (2)  hampir  semua  kelompok  dapat mengidentifikasi  koneksi  antar  konsep  secara  umum  dari  topik-topik  Analisis  Riil  dengan  materi matematika  sekolah;  dan  (3)  terdapat  batasan  ketepatan  hasil  indentifikasi    koneksi  antar  konsep karena  ada  beberapa  konsep  yang  tidak  sesuai  dengan  kategorisasi  koneksi  antar  konsep  menurut Suominen, sebagaimana disajikan pada Tabel 1. Kesamaan hasil pekerjaan keenam kelompok adalah kemampuan  identifikasi  mahasiswa  masih terbatas  pada  membandingkan  topik-topik  Analisis  Riil dengan materi matematika sekolah berdasarkan ide-ide umum tiap materi yang berkaitan ( common features ).
Keenam kelompok belum dapat menemukan dan memasangkan dengan tepat dan detail koneksi antar  konsep  pada  kedua  level.  Mereka  hanya  menyajikan  konsep-konsep  tanpa  penjelasan  yang detail dan spesifik kemudian mengkoneksikan ke materi-materi matematika sekolah. Konsep yang secara  eksplisit muncul pada pekerjaan setiap kelompok adalah konsep operasi bilangan bulat dan pecahan yang berhubungan secara langsung antara topik Analisis Riil dan matematika sekolah. Hal ini mengungkapkan bahwa konsep-konsep ini mudah diidentifikasi oleh masing-masing kelompok. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa setiap kelompok mempresentasikan konsep yang serupa dengan kelompok lain.
Setiap kelompok memiliki batasan ( limit ) untuk mengungkapkan sebanyak mungkin koneksi antarkonsep. Mereka hanya menyajikan konsep umum dari topik-topik Analisis Riil sehingga jumlah koneksi yang ditemukan masih terbatas. Selain itu, mahasiswa masih membuat koneksi yang tidak sesuai  dengan  kategorisasi  koneksi  antar  konsep.  Pada  Tabel  3  –  Tabel  8    dapat  dilihat  bahwa
beberapa  kelompok  memiliki  beberapa  konsep  dari  topik-topik  Analisis  Riil  yang  tidak  secara spesifik berhubungan dengan konsep-konsep pada matematika sekolah. Berdasarkan temuan ini dapat dikatakan  bahwa  masih  terdapat gap antara  mata  kuliah  Analisis  Riil  yang  diajarkan  dalam matematika  universitas  dengan  konsep  matematika  sekolah.  Oleh  karena  itu,  mahasiswa  masih mengalami  kesulitan  dalam  memetakan  dan  menghubungkan  koneksi  antar  konsep  di  antara keduanya.
Koneksi antar konsep yang dibuat berdasarkan analisis silabus dari mata kuliah Analisis Riil dan  matematika  sekolah  yang  sesuai  dengan  kategorisasi  koneksi  matematika  yang  dibuat  oleh Ashley Luan Suominen [12] disajikan pada Tabel 9.
Tabel 9. Koneksi Antar Konsep antara Analisis Riil dan Matematika Sekolah
Konsep pada Analisis Riil Konsep pada Matematika Sekolah Introduction (Set, Function, Mathematical Induction) Relasi Fungsi Himpunan Induksi matematika Real Number System Sistem bilangan dan operasi hitung Penyelesaian pertidaksamaan Bidang kartesius Algebraic and order properties of real number Membandingkan bilangan Mengurutkan bilangan Operasi hitung bentuk aljabar Bidang kartesius Persamaan linear Absolute value and the real line Nilai Mutlak Penyelesaian pertidaksamaan Panjang vektor Grafik Fungsi Dimensi tiga The Completeness Property of real number Integral Penyelesaian pertidaksamaan Aplications of supremum and infimum Limit fungsi Ukuran pemusatan data Ukuran penyebaran data Integral Sequences and their limit Barisan dan deret Barisan Konvergen Barisan Divergen Limit fungsi aljabar Limit theorems Definisi limit Limit Aljabar Menyelesaikan masalah tentang limit
Koneksi  antar  konsep  antara  Analisis  Riil  dan  matematika  sekolah  yang  diperoleh  pada penelitian ini tidak secara utuh memenuhi kategorisasi koneksi matematika oleh Suominen . Terdapat beberapa  penyebab  yang  membuat  hal  ini  terjadi.  Pertama,  mahasiswa  Pendidikan  matematika semester  6  masih  kurang  berpengalaman  dalam  mengajar,  karena  mereka  belum  mendapat  mata
kuliah praktek mengajar. Kedua, terdapat gap antara mata kuliah Analisis Riil yang diajarkan dalam matematika  universitas  dengan  konsep  matematika  sekolah.  Konsep-konsep  yang  diajarkan  pada matematika  sekolah  tidak  dapat  secara  langsung  dibawa  ke  matematika  universitas.  Begitu  pula sebaliknya,  konsep-konsep  pada  matematika  universitas  tidak  dapat  dimplementasikan  secara eksplisit untuk pengajaran matematika sekolah.  Hal ini  sesuai dengan temuan penelitian terdahulu oleh  Silius,  dkk  [3].  Ketiga,  metode  pengajaran  Analisis  Riil  penuh  dengan  pembuktian  teorema- teorema yang mendorong mahasiswa untuk berpikir secara sistematis. Keempat, mata kuliah Analisis Riil termasuk mata kuliah yang sulit bagi sebagian besar mahasiswa pendidikan matematika. Oleh karena itu, penting bagi dosen yang mengajar matematika tingkat lanjut ( advanced mathematics ) pada program  studi  pendidikan  matematika  untuk  mempertimbangkan  koneksi  antar  konsep  antara Analisis  Riil  dan  matematika  sekolah  untuk  menjembatani gap tersebut.  Value  dari  matematika tingkat  lanjut  untuk  mahasiswa  calon  guru  matematika  terletak  pada  potensi  mereka  untuk menawarkan koneksi di seluruh domain matematika, pengalaman matematika untuk pengembangan kemampuan pemecahan masalah, dan peningkatan kesadaran epistemologis subjek [14] [15].

## 4. Kesimpulan
Temuan penelitian mengungkapkan bagaimana mahasiswa calon guru matematika ( pre-service teachers ) mempunyai keterbatasan dalam mengidentifikasi koneksi antara Analisis Riil dengan topik matematika  sekolah.  Koneksi  yang  diidentifikasi  mahasiswa  terbatas  hanya  pada  ide-ide  umum. Dalam  keterbatasan  tersebut,  mahasiswa  masih  membuat  koneksi  yang  tidak  sesuai  dengan kategorisasi koneksi antar konsep. Beberapa kelompok menghubungkan beberapa konsep dari topik- topik Analisis Riil yang tidak secara spesifik berhubungan dengan konsep-konsep pada matematika sekolah.
Penelitian lanjutan dapat dilakukan kepada guru-guru matematika ( in-service teachers ) untuk melihat  bagaimana  para  guru  matematika  melakukan  identifikasi  ini.  Selanjutnya,  perlu  disiapkan sebuah  metode  pembelajaran  terstruktur  pada  mata  kuliah  Analisis  Riil  yang  dapat  memfasilitasi kesenjangan  antara  matematika  universitas  dan  matematika  sekolah.  Mahasiswa  dapat  belajar konsep-konsep pada Analisis Riil yang merupakan turunan dari konsep-konsep matematika sekolah, kemudian  ketika  mereka  menjadi  guru  matematika  mereka  dapat  menghubungkan  konsep-konsep fundamental pada Analisis Riil yang dapat menjadi dasar dari konsep-konsep matematika sekolah.

## Referensi
[1]   R.  Even,  "The  relevance  of  advanced  mathematics  studies  to  expertise  in  secondary  school mathematics teaching: Practitioner’s views," ZDM—The International Journal of Mathematics Education, 43(6–7), pp. 941–950, https://doi.org/10.1007/s11858-011-0346-1, 2011.
[2]   A. Mutaqin, S. Syamsuri and A. Hendrayana, "Analisis kesulitan mahasiswa dalam pembuktian matematis  pada  mata  kuliah  analisis  real," TIRTAMATH:  Jurnal  Penelitian  dan  Pengajaran Matematika, vol. 4, no. 1, pp. 1-11, http://dx.doi.org/10.48181/tirtamath.v4i1.15907, 2022.
[3]   K. Silius, S. Pohjolainen, J. Kangas, T. Miilumäki and J. Joutsenlahti, "What can be done to bridge the competency gap between upper-secondary school and university mathematics?," in IEEE Global Engineering Education Conference (EDUCON) , Amman, Jordan, 2011.
[4]   H.  S.  Luk,  "The  gap  between  secondary  school  and  university  mathematics," International Journal  of  Mathematical  Education  in  Science  and  Technology,  36:2-3, pp.  161-174,  DOI: 10.1080/00207390412331316988, 2005.
[5]   M.  Wahyuni,  "Analisis  problematika  perkuliahan  analisis  real," Jurnal  Cendekia:  Jurnal Pendidikan Matematika, vol. 1, no. 1, pp. 135-149, 2017.
[6]   N. Wasserman, K. Weber, M. Villanueva and J. P. M. Ramos, "Mathematics teachers’ views about  the  limited  utility  of  real  analysis:  A  transport  model  hypothesis," The  Journal  of Mathematical Behavior 50(5), pp. 74-89, DOI: 10.1016/j.jmathb.2018.01.004, 2018.
[7]   S.  L.  Pagiling  and  A.  R.  Taufik,  "Unveiling  belief  and  pedagogical  content  knowledge  of prospective secondary mathematics teachers," Jurnal Elemen, vol. 8, no. 2, pp. 411-426, 2022.
[8]   NCTM, Principles and Standards for School Mathematics, Virginia: NCTM, 2000.
[9]   J.  Kilpatrick,  J.  Swafford  and  B. Findell,  Adding  it  up,  Washington  DC:  National  Academy Press, 2001.
[10] J.  W.  Creswell,  Research  design:  Qualitative,  quantitative,  and  mixed  methods  approaches, London: Sage Publications, 2014.
[11] M.  B.  Miles,  A.  M.  Huberman  and  J.  Saldana,  Qualitative  data  analysis:  A  methods sourcebook., London: Sage Publications, 2013.
[12] A.  L.  Suominen,  "Abstract  algebra  and  secondary  school  mathematics:  Identifying  and classifying mathematical connections (Doctoral dissertation)," University of Georgia, Georgia, 2015.
[13] T.  Fukawa-Connelly,  J.  Mejia  Ramos,  N.  Wasserman  and  K.  Weber,  "An  Evaluation  of ULTRA; an Experimental Real Analysis Course Built on a Transformative Theoretical Model.," International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, pp. 6, 159-185. https://doi.org/10.1007/s40753-019-00102-8, 2020.
[14] E. Murray, E. Baldinger, N. Wasserman, S. Broderick and D. White, "Connecting Advanced and Secondary Mathematics," IUMPST: The Journal. Vol 1 (Content Knowledge), vol. 1, pp. 1-10, 2017.
[15] X. Yan, O. Marmur and R. Zazkis , "Advanced Mathematics for Secondary School Teachers: Mathematicians’ Perspective," International Journal of Science and Mathematics Education, vol. 20, pp. 553-573, 2022.