Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 135-143 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.7583
Dualisasi Radikal Prima Gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -Modul Dian Ariesta Yuwaningsih 1 *, Aan Hendroanto 2
1,2 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Ahmad Dahlan
Bantul, Daerah Istimewa Yogyakarta, Indonesia
e-mail: 1* dian.ariesta@pmat.uad.ac.id
Diajukan: 21 Agustus 2020, Diperbaiki: 31 Desember 2021, Diterima: 8 September 2022

## Abstrak
Pada teori modul, definisi submodul prima telah mengalami dualisasi menjadi submodul kedua. Begitu halnya dengan definisi radikal prima, juga telah mengalami dualisasi menjadi radikal kedua. Struktur  modul  sendiri  telah mengalami perumuman  menjadi struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, dengan 𝑅𝑅 dan 𝑆𝑆 masing-masing merupakan ring sebarang.  Salah satu definisi keprimaan di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul adalah ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan. Irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan di 𝑀𝑀 membentuk radikal prima gabungan. Di sisi lain, suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan telah mengalami dualisasi menjadi ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan. Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) --submodul kedua gabungan jika untuk setiap elemen 𝑎𝑎 di 𝑅𝑅 , homoteti ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑁𝑁 𝛼𝛼 → 𝑁𝑁 merupakan epimorfisma atau homomorfisma nol. Pada penelitian ini, didefinisikan dualiasasi dari radikal prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, yang selanjutnya disebut radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.  Lebih lanjut, didefinisikan himpunan sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan disajikan beberapa sifat-sifatnya. Pada bagian akhir artikel ini ditunjukkan bahwa terdapat hubungan antara himpunan sistem- m * dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Kata Kunci : ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, radikal kedua, submodul kedua gabungan, radikal prima

## Abstract
In module theory, the definition of prime submodule has been dualized to be second submodules. Likewise with the definition of prime radical, it has also been dualized to become a second radical. The module structure itself has undergone a generalization into an ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module structure, where 𝑅𝑅 and 𝑆𝑆 are arbitrary rings.  One of the definitions of primeness in the ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module is jointly priume ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodules. The intersection of all jointly prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule of 𝑀𝑀 form the jointly prime radical. On the other hand, a jointly prime ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule has dualized to be a jointly second ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule. A non-zero ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule 𝑁𝑁 of 𝑀𝑀 is called jointly second ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodule if for each element 𝑎𝑎 of 𝑅𝑅 , the ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module homoteti 𝑁𝑁 𝛼𝛼 → 𝑁𝑁 is an epimorphism or zero homomorphism. In this research, we define the dualization of jointly prime radical of ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module, that is called jointly second radical of ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - module. Furthermore, we define  the set of m*-systems in ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modules and present some of their properties. At the end of this article, we show that there is a relationship between the set of m*-systems and the jointly second radical of ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modules.
Keywords : ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -module, second radical, jointly second submodule, prime radical

## 1 Pendahuluan
Ring yang digunakan dalam keseluruhan tulisan ini adalah ring komutatif, kecuali dinyatakan selain itu. Pada teori modul, suatu submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑅𝑅 -modul 𝑀𝑀 disebut submodul

## 136
prima jika untuk setiap elemen 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dan elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dengan 𝑟𝑟𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 atau 𝑟𝑟𝑀𝑀 ⊆ 𝑃𝑃 . Konsep terkait submodul (modul) prima beserta sifat-sifatnya pada sebarang ring pertama kali diperkenalkan oleh [1]. Seiring berjalannya waktu, para peneliti telah mendualisasi definisi submodul prima menjadi submodul kedua. Dualisasi ini diperkenalkan oleh [2] dengan menggunakan dualisasi pada pemetaan homoteti yang terkait dengan modul tersebut.  Suatu submodul tak nol 𝑁𝑁 di dalam 𝑅𝑅 -modul 𝑀𝑀 disebut submodul kedua jika untuk setiap elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 , homoteti 𝑁𝑁 𝛼𝛼 → 𝑁𝑁 merupakan epimorfisma atau homomorfisma nol. Selanjutnya  beberapa peneliti telah mengembangkan konsep terkait submodul kedua, diantaranya dalam [3], [4], [5], dan [6].
Di sisi lain, telah diketahui bahwa irisan dari submodul  prima belum tentu membentuk submodul prima. Oleh karena itu, pada teori modul muncul definisi radikal prima. Konsep radikal prima suatu modul diperkenalkan oleh [7]. Apabila 𝑅𝑅 -modul 𝑀𝑀 memiliki submodul prima maka radikal prima dari 𝑀𝑀 adalah irisan semua submodul prima di 𝑀𝑀 dan radikal prima dari 𝑀𝑀 sama dengan 𝑀𝑀 sendiri apabila 𝑀𝑀 tidak memiliki submodul prima. Lebih lanjut, dalam [7] disajikan definisi himpunan sistem- m sebagai komplemen dari submodul prima serta disajikan pula hubungan antara radikal prima dan himpunan sistem- m .  Lebih lanjut, beberapa peneliti telah mendualiasasi radikal prima pada 𝑅𝑅 -modul menjadi radikal kedua pada 𝑅𝑅 -modul. Menurut [8], radikal kedua pada 𝑅𝑅 -modul 𝑀𝑀 adalah hasil jumlahan semua submodul kedua di 𝑀𝑀 . Apabila 𝑀𝑀 tidak memiliki submodul kedua, maka radikal kedua dari 𝑀𝑀 didefinisikan nol.
Seiring perkembangan ilmu pengetahuan, struktur 𝑅𝑅 -modul  sendiri  telah  mengalami perumuman menjadi ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Konsep terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul ini diperkenalkan oleh [9]. Di dalam [9] didefinikan keprimaan di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul yaitu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan. Diberikan sebarang ring 𝑅𝑅 dan 𝑆𝑆 serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan jika untuk setiap ideal kiri 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 , ideal kanan 𝐽𝐽 di 𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝐽𝐽 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝐼𝐼𝑀𝑀𝐽𝐽 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 . Ketika ring 𝑅𝑅 dan 𝑆𝑆 merupakan ring komutatif, maka suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan jika untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 , ideal 𝐽𝐽 di 𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝐽𝐽 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝐼𝐼𝑀𝑀𝐽𝐽 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 .
Di samping itu, definisi radikal prima pada 𝑅𝑅 -modul telah diperumum di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - modul. Pada [10] telah didefinisikan radikal prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, himpunan sistem- m pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul beserta sifat-sifatnya. Menurut [10], jika 𝑀𝑀 memiliki ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan, maka didefinisikan radikal prima gabungan dari 𝑀𝑀 adalah irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -

## 137
submodul prima gabungan di 𝑀𝑀 . Namun, jika 𝑀𝑀 tidak memiliki ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan, maka didefinisikan radikal prima gabungan dari 𝑀𝑀 adalah 𝑀𝑀 itu sendiri.
Dengan merujuk definisi homomorfisma ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul pada [11], penulis telah mendualisasi definisi submodul prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul menjadi submodul kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul. Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan jika untuk setiap elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 , homoteti ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑁𝑁 𝛼𝛼 → 𝑁𝑁 merupakan epimorfisma atau homomorfisma nol. Sifat-sifat terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan juga telah diteliti dalam [12] dengan memperumum sifat-sifat submodul kedua pada 𝑅𝑅 -modul. Penelitian terkait dualisasi dari radikal prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul belum pernah dilakukan. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dikonstruksi pendefinisian radikal kedua gabungan sebagai dualisasi dari radikal prima kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.  Selanjutnya, dikonstruksi pendefinisian himpunan sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul sebagai komplemen dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan serta akan disajikan sifat-sifat sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul serta hubungannya dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yang melakukan tinjauan literatur komprehensif tentang pendefinisian bentuk dual dari radikal prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan sifat-sifatnya. Tahapan pertama yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mengkonstruksi pendefinisian radikal kedua gabungan sebagai dualisasi dari radikal prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - modul. Proses pendefinisian radikal kedua gabungan ini berdasarkan pada proses pendefinisian radikal kedua pada suatu modul. Konsep lebih lanjut terkait radikal kedua pada suatu modul telah disajikan pada [8].
Pada teori modul, telah dikenal konsep sistem- m sebagai komplemen dari submodul prima. Konsep terkait sistem- m pada suatu modul dijelaskan secara mendetail pada [7]. Selanjutnya, [8] telah mendualisasi konsep sistem- m pada modul menjadi sistem- m *. Sistem- m * suatu modul ini merupakan komplemen dari submodul kedua. Tahapan selanjutnya dalam penelitian ini adalah mengkonstruksikan pendefinisian sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul sebagai bentuk dual dari sistem- m yang  telah  didefinisikan pada [10].  Selanjutnya, tahapan terakhir dari penelitian in adalah menyelidiki sifat-sifat sistem- m * pada suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, serta menentukan hubungan antara sistem- m * dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.

## 138

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini akan disajikan hasil dari penelitian ini, meliputi pengkonstruksian radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, pengkonstruksian sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, serta sifat- sifat sistem- m * dan hubungan antara sistem- m * dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - modul.

## 3.1. Radikal Kedua Gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -Modul
Sebelum mendefinisikan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, berikut disajikan definisi dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan menurut [12].
Definisi 1. Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul tak nol 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan jika untuk setiap elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 , homoteti ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑁𝑁 𝛼𝛼 → 𝑁𝑁 merupakan epimorfisma atau homomorfisma nol.
Berdasarkan definisi di atas, suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul kedua gabungan apabila 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan atas dirinya sendiri. Merujuk pada [12], apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝑁𝑁 ≠ 0 , maka 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan jika dan hanya jika untuk setiap ideal 𝐴𝐴 di 𝑅𝑅 memenuhi 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑆𝑆 = 0 atau 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑆𝑆 = 𝑁𝑁 . Sifat ini nantinya akan digunakan dalam mengidentifikasi suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan atau bukan, dengan syarat cukup ring 𝑆𝑆 memenuhi sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 .
Telah diketahui dalam [8] bahwa radikal kedua pada 𝑅𝑅 -modul 𝑀𝑀 merupakan jumlahan semua submodul kedua di 𝑀𝑀 atau nol. Dengan merujuk pada definisi ini, berikut disajikan definisi radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Definisi  2. Radikal kedua gabungan dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 adalah  jumlahan  semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul kedua gabungan di 𝑀𝑀 , dinotasikan dengan 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑀𝑀 ) . Jika 𝑀𝑀 tidak memiliki ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul kedua gabungan maka radikal kedua gabungan dari 𝑀𝑀 adalah 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑀𝑀 ) ≔ 0 .
Berikut disajikan beberapa contoh radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Contoh 3. Diberikan ℤ 12 sebagai ( ℤ , ℤ ) -modul. Diketahui bahwa semua ( ℤ , ℤ ) -submodul di ℤ 12 adalah {0 � } , {0 � , 6 � } , {0 � , 4 � , 8 � } , {0 � , 3 � , 6 � , 9 � } , {0 � , 2 � , 4 � , 6 � , 8 � , 10 ���� } , dan ℤ 12 . Dapat ditunjukkan bahwa ( ℤ , ℤ ) -submodul kedua gabungan di ℤ 12 hanyalah {0 � , 6 � } dan {0 � , 4 � , 8 � } . Dengan demikian, radikal kedua gabungan dari ℤ 12 adalah 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( ℤ , ℤ ) ( ℤ 12 ) = {0 � , 6 � } + {0 � , 4 � , 8 � } = {0 � , 2 � , 4 � , 6 � , 8 � , 10 ���� } .
Contoh 4. Diberikan ℤ 6 sebagai ( ℤ 6 , ℤ ) -modul. Diketahui bahwa semua ( ℤ 6 , ℤ ) -submodul di ℤ 6 adalah {0 � } , {0 � , 3 � } , {0 � , 2 � , 4 � } , dan ℤ 6 . Dapat ditunjukkan bahwa ( ℤ 6 , ℤ ) -submodul kedua gabungan

## 139
di ℤ 6 hanyalah {0 � , 3 � } dan {0 � , 2 � , 4 � } . Dengan demikian, radikal kedua gabungan dari ℤ 6 adalah 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( ℤ 6 , ℤ ) ( ℤ 6 ) = {0 � , 3 � } + {0 � , 2 � , 4 � } = ℤ 6 .
3.2. Himpunan Sistem- m* pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -Modul
Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 .  M enurut  [10],  himpunan tak kosong 𝑋𝑋 ⊆ 𝑀𝑀 ∖ {0} disebut sistem- m apabila untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 , ideal 𝐽𝐽 di 𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 di 𝑀𝑀 dengan ( 𝐾𝐾 + 𝐿𝐿 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ dan ( 𝐾𝐾 + 𝐼𝐼𝑀𝑀𝐽𝐽 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ maka berakibat ( 𝐾𝐾 + 𝐼𝐼𝐿𝐿𝐽𝐽 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ .  Dengan merujuk pada [8] , b erikut disajikan definisi dari himpunan sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul sebagai bentuk dual dari himpunan sistem- m dalam [10].
Definisi  5. Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 . Himpunan tak kosong 𝑋𝑋 ⊆ 𝑀𝑀 ∖ {0} disebut sistem-m* apabila untuk setiap ideal 𝐴𝐴 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 , 𝐿𝐿 di 𝑀𝑀 dengan (0: 𝐾𝐾∩𝐿𝐿 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 dan 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 maka berakibat ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 .
Pada [10]  telah ditunjukkan  bahwa himpunan sistem- m pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul merupakan komplemen dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan. Pada proposisi berikut ini disajikan bahwa himpunan sistem- m * pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul ternyata juga merupakan komplemen dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan.
Proposisi  6. Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑄𝑄 di 𝑀𝑀 . 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan jika dan hanya jika 𝑀𝑀 ∖ 𝑄𝑄 merupakan sistem-m* . Bukti. ( ⇒ ). Diketahui 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑀𝑀 dan 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 ∖ 𝑄𝑄 . Jelas 𝑄𝑄 ≠ 0 sehingga 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 ∖ {0} . Ambil sebarang ideal 𝐴𝐴 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 , 𝐿𝐿 di 𝑀𝑀 dengan (0: 𝐾𝐾∩𝐿𝐿 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 dan 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 . Andaikan ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑄𝑄 ⊆ 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 . Karena 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan maka 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 0 atau 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 𝑄𝑄 . Jika 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 0 maka 𝑄𝑄 ⊆ (0: 𝐾𝐾∩𝐿𝐿 𝐴𝐴 ) sehingga diperoleh (0: 𝐾𝐾∩𝐿𝐿 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 . Kontradiksi. Jika 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 𝑄𝑄 maka diperoleh 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 ⊆ 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 sehingga 𝑄𝑄 ⊆ 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 . Dengan demikian diperoleh 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 . Kontradiksi. Jadi, pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi,
( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑋𝑋 merupakan sistem- m * di 𝑀𝑀 . ( ⇐ ). Diketahui 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 ∖ 𝑄𝑄 merupakan sistem- m * di 𝑀𝑀 . Karena 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 ∖ {0} maka jelas bahwa 𝑄𝑄 ≠ 0 . Diambil sebarang ideal 𝐴𝐴 di 𝑅𝑅 sedemikian sehingga 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 ≠ 0 dan 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 ≠ 𝑄𝑄 . Ambil 𝐾𝐾 = 𝑄𝑄 dan 𝐿𝐿 = 𝑄𝑄 pada definisi sistem- m *, maka diperoleh (0: 𝐾𝐾∩𝐿𝐿 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑋𝑋 = � 0: 𝑄𝑄 𝐴𝐴� ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 dan 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 = 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 . Diperoleh ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ∪ 𝑋𝑋 = 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 . Kontradiksi dengan 𝑋𝑋 sistem- m *. Jadi, haruslah 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 0 atau 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 𝑄𝑄 . Dengan demikian, merujuk pada [12] terbukti bahwa 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑀𝑀 . ∎
Berikut disajikan beberapa contoh dari sistem- m * pada suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Contoh  7. Diberikan ℤ 6 sebagai ( ℤ 6 , ℤ ) -modul  dan ( ℤ 6 , ℤ ) -submodul kedua gabungan 𝐻𝐻 = {0 � , 2 � , 4 � } di ℤ 6 .  Merujuk pada Proposisi  6, diperoleh bahwa himpunan ℤ 6 ∖ 𝐻𝐻 = � 1 � , 3 � , 5 � � merupakan sistem- m * di ( ℤ 6 , ℤ ) -modul ℤ 6 .
Contoh  8. Diberikan ℤ 12 sebagai ( ℤ , ℤ ) -modul dan ( ℤ , ℤ ) -submodul kedua gabungan 𝑃𝑃 = {0 � , 4 � , 8 � } di ℤ 12 . Merujuk pada Proposisi 6,  diperoleh bahwa himpunan ℤ 12 ∖ 𝑃𝑃 = � 1 � , 2 � , 3 � , 5 � , 6 � , 7 � , 9 � , 10 ���� , 11 ���� � merupakan sistem- m * di ( ℤ , ℤ ) -modul ℤ 12 .
Selanjutnya, berikut disajikan beberapa sifat terkait sistem- m * pada suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Proposisi 9. Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 . Jika 𝑋𝑋 ⊂ 𝑀𝑀 ∖ {0} merupakan himpunan sistem-m* dan 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 minimal dengan sifat 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 , maka 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑀𝑀 .
Bukti. Diambil sebarang ideal 𝐴𝐴 di 𝑅𝑅 sedemikian sehingga 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 ≠ 0 dan 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 ≠ 𝑄𝑄 . Berdasarkan minimalitas 𝑄𝑄 diperoleh �𝑄𝑄 ∩ (0: 𝑀𝑀 𝐴𝐴 ) � ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 dan 𝐴𝐴 ( 𝑄𝑄 ∩ 𝑀𝑀 ) 𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 . Karena 𝑋𝑋 merupakan sistem- m * maka diperoleh ( 𝑄𝑄 ∩ 𝑀𝑀 ) ∪ 𝑋𝑋 = 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 . Kontradiksi dengan 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 . Dengan demikian, pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi diperoleh 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 0 atau 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑆𝑆 = 𝑄𝑄 . Jadi, terbukti bahwa 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑀𝑀 . ∎
Dengan menggunakan definisi radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, berikut disajikan akibat dari Proposisi 9.
Akibat 10. Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 . Jika diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 maka
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) = 0
atau
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) = ∑ {( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑄𝑄 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑁𝑁 ∣ ( ∃𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑆𝑆𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 ∗ 𝑋𝑋 ) 𝑄𝑄 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 } . Bukti. Jika 𝑁𝑁 tidak memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan maka 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) = 0 .  Jika 𝑁𝑁 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan. Andaikan
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) ≠ ∑ {( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑄𝑄 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑁𝑁 ∣ ( ∃𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑆𝑆𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 ∗ 𝑋𝑋 ) 𝑄𝑄 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 } . Berarti 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) bukan merupakan jumlahan dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑁𝑁 . Kontradiksi, sehingga pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi, terbukti bahwa 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) = ∑ {( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑄𝑄 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑁𝑁 ∣ ( ∃𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑆𝑆𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 ∗ 𝑋𝑋 ) 𝑄𝑄 𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑑𝑑 𝑄𝑄 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 } . ∎ Menurut [10], untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , jika tedapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan di 𝑁𝑁 maka didefinisikan himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ≔ { 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 ∣ ( ∀𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑆𝑆𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 𝑋𝑋 ) 𝑎𝑎 ∈ 𝑋𝑋 ⇒ 𝑋𝑋 ∩ 𝑁𝑁 ≠ ∅ } . Namun, jika tidak terdapat tedapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan di 𝑁𝑁 maka
didefinisikan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ≔ 𝑀𝑀 . Selanjutnya, berikut diberikan definisi  himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 sebagai bentuk dual dari himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) .
Definisi 11. Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 . Untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , jika terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑁𝑁 , maka didefinisikan
√𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ≔ { 𝑥𝑥 ∈ 𝑁𝑁 ∣ (
∃𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑠𝑠𝑆𝑆𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 ∗ 𝑋𝑋 ) 𝑥𝑥 ∉ 𝑋𝑋 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑁𝑁 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 } .
Jika tidak terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑁𝑁 , maka didefinisikan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ≔ 0 .
Selanjutnya, berikut diberikan suatu torema tentang hubungan antara sistem- m * dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.
Teorema  12. Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . Jika terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑁𝑁 , maka √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) .
Bukti. Misalkan diketahui √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ≠ 0 . Ambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 , maka terdapat sistem- m * 𝑋𝑋 sedemikian sehingga 𝑥𝑥 ∉ 𝑋𝑋 dan 𝑁𝑁 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 . Dibentuk himpunan 𝜓𝜓 = { 𝑄𝑄 ⊆ 𝑁𝑁 ∣ 𝑄𝑄 ∪ 𝑁𝑁 = 𝑀𝑀 } . Jelas bahwa 𝜓𝜓 ≠ ∅ karena 𝑁𝑁 ∈ 𝜓𝜓 . 𝜓𝜓 merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi urutan parsial berbentuk relasi inklusi. Dengan menggunakan Lemma Zorn, akan dibuktikan 𝜓𝜓 memiliki elemen minimal. Hal ini ekuivalen dengan menunjukkan bahwa setiap rantai tak kosong di 𝜓𝜓 memiliki batas bawah di 𝜓𝜓 . Diambil sebarang rantai tak kosong ℵ di 𝜓𝜓 dengan ℵ = { 𝑄𝑄 𝑖𝑖 } 𝑖𝑖∈Λ . Selanjutnya, dibentuk himpunan 𝐶𝐶 = ⋂ 𝑄𝑄 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈Λ , maka jelas bahwa 𝐶𝐶 ⊆ 𝑁𝑁 sehingga 𝐶𝐶 ∈ 𝜓𝜓 dan 𝐶𝐶 merupakan batas bawah untuk ℵ . Jadi, terbukti bahwa setiap rantai tak kosong di 𝜓𝜓 memiliki batas bawah di 𝜓𝜓 . Oleh karena itu, berdasarkan Lemma Zorn terdapat elemen minimal 𝑄𝑄 terhadap relasi inklusi. Berdasarkan Proposisi 9. maka diperoleh 𝑄𝑄 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑁𝑁 dan diperoleh 𝑥𝑥 ∈ 𝑄𝑄 . Jadi, terbukti bahwa √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) .  Selanjutnya, diambil ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan 𝑄𝑄 di 𝑁𝑁 . Berdasarkan Proposisi 6. maka 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 ∖ 𝑄𝑄 merupakan sistem- m *, 𝑁𝑁 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 , dan 𝑥𝑥 ∉ 𝑋𝑋 untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑄𝑄 . Jadi, diperoleh 𝑥𝑥 ∈ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 sehingga terbukti bahwa 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) ⊆ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 . Jadi terbukti bahwa √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑁𝑁 ) . ∎

## 4  Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan di atas diperoleh bahwa radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul didefinisikan sebagai nol atau jumlahan semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑀𝑀 , dinotasikan dengan 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) ( 𝑀𝑀 ) .  Selain itu, didefinisikan sistem- m *  sebagai  himpunan tak kosong 𝑋𝑋 ⊆ 𝑀𝑀 ∖ {0} yang memenuhi untuk setiap ideal 𝐴𝐴 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 di 𝑀𝑀 dengan (0: 𝐾𝐾∩𝐿𝐿 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 dan 𝐴𝐴 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) 𝑆𝑆 ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 berakibat ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ∪ 𝑋𝑋 ≠ 𝑀𝑀 .  Telah

## 142
ditunjukkan bahwa sistem- m * merupakan komplemen dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan. Lebih lanjut, jika diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 maka didefinisikan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ≔ 0 atau √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 merupakan himpunan 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 dimana terdapat sistem- m * 𝑋𝑋 sedemikian sehingga 𝑥𝑥 ∉ 𝑋𝑋 dan 𝑁𝑁 ∪ 𝑋𝑋 = 𝑀𝑀 . Terakhir, diperoleh hubungan antara sistem- m * dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul yang menyatakan bahwa jika terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul kedua gabungan di 𝑁𝑁 , maka himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 sama dengan radikal kedua gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penelitian ini merupakan salah satu luaran dari hibah Penelitian Dasar Universitas Ahmad Dahlan. Penulis mengucapkan terima kasih kepada para reviewer atas saran dan komentar demi perbaikan artikel ini.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  J. Dauns, “Prime Modules,” J. fur die reine und Angew. Math. , vol. 298, pp. 156–181, 1978.
[2] S. Yasssemi, “Archivum Mathematicum Terms of use :,” Arch. Math. , vol. 43, no. 4, pp. 273–278, 2007, doi: 10.5817/AM2013-2-105.
[3]  S. Çeken, M. Alkan, and P. F. Smith, “Second Modules Over Noncommutative Rings,” Commun. Algebr. , vol. 41, no. 1, pp. 83–98, 2013, doi: 10.1080/00927872.2011.623026.
[4]  I. E. Wijayanti and D. A. Yuwaningsih, “On Weakly Second Submodules over Noncommutative Rings ∗ ,” Southeast Asian Bull. Math. , vol. 42, pp. 781–790, 2018.
[5]  I. E. Wijayanti, D. A. Yuwaningsih, and Salmah, “S (0) -Weakly second submodules,” Asian-European J. Math. , vol. 12, no. 5, pp. 1–7, 2019, doi: 10.1142/S1793557119500724.
[6]  I. M. Ali and R. I. Khalaf, “Dual Notions of Prime Modules,” IBN AL- HAITHAM J. PURE APPL. SCI. , vol. 23, no. 3, 2010.
[7]  M. Behboodi, “On the prime radical and Baer’s lower nilradical of modules,” Acta Math. Hungarica , vol. 122, no. 3, pp. 293–306, 2009, doi: 10.1007/s10474-008-8028-3.
[8]  S. Çeken, M. Alkan, and P. F. Smith, “The dual notion of the prime radical of a module,” J. Algebr. , vol. 392, no. February, pp. 265–275, 2013, doi: 10.1016/j.jalgebra.2013.06.015.
[9]  T. Khumprapussorn, S. Pianskool, and M. Hall, “( R , S ) -Modules and their Fully and Jointly Prime Submodules,” vol. 7, no. 33, pp. 1631–1643, 2012.
[10]  D. A. Yuwaningsih and I. E. Wijayanti, “on Jointly Prime Radicals of (R,S)-Modules,” J. Indones. Math. Soc. , vol. 21, no. 1, pp. 25–34, 2015, doi: 10.22342/jims.21.1.199.25-34.

## 143
[11]  D. A. Yuwaningsih, I. E. Wijayanti, and P. W. Prasetyo, “On (R, S)-Module Homomorphisms,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1188, no. 1, 2019, doi: 10.1088/1742- 6596/1188/1/012114.
[12]  D. A. Yuwaningsih and I. E. Wijayanti, “On Jointly Second (R, S)-Submodules,” Southeast Asian Bull. Math. , vol. 45, no. 4, pp. 561–570, 2021.