JURNAL FOURIER | April 2022, Vol. 11, No. 1, 40-48

## Trace Matriks Toeplitz Heptadiagonal Simetris Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Fitri Aryani 1* , Eza Syafri Ramadhani 2 , Yuslenita Muda 3 , Corry Corazon Marzuki 4
1234 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jalan HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293.
Korespondensi; Fitri Aryani, Email: khodijah_fitri@uin-suska.ac.id

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan bentuk umum trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat dua sampai empat. Untuk mendapatkan bentuk umum  trace matriks tersebut dimulai dengan menentukan  bentuk umum perpangkatan matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat dua. Sedangkan perpangkatan  tiga dan empat cukup dengan menentukan entri-entri diagonal utama saja dari  perpangkatan matriks Toeplitz heptadiagonal simetris tersebut. Selanjutnya, diperoleh bentuk umum trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat dua sampai empat. Kedua bentuk umum tersebut dibuktikan dengan cara pembuktian langsung.
Kata Kunci : Matriks Toeplitz, Pembuktian Langsung, Trace Matriks

## Abstract
This paper aims to obtain the general form of the trace of integer positif two until four power of heptadiagonal symmetric Toeplitz matrix. To obtain the general form, first prove the integer positif two power of heptadiagonal symmetric Toeplitz matrix  and  prove  the  main  diagonal  entries  of  the  integer  positif  three  and  four  power  of  heptadiagonal  symmetric Toeplitz matrix. Furthemore, to obtain the general forms trace of integer positif two until four power of heptadiagonal symmetric Toeplitz matrix. The two general forms are proven by means of direct proof.
Keywords : Toeplitz Matrix, Direct Proof, Trace Matrix

## Pendahuluan
Dalam teori matriks terdapat beberapa jenis matriks yang salah satu diantaranya adalah matriks Toeplitz. Menurut  [1],  matriks  Toeplitz  adalah  matriks  berukuran 𝑛 × 𝑛 dinotasikan  dengan 𝑇 𝑛 = [𝑡 𝑘𝑗 ; 𝑘, 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1] dengan 𝑡 𝑘𝑗 = 𝑡 𝑘−𝑗 . Pada penelitian ini yang dibahas pada matriks adalah menghitung trace matriks berpangkat. Trace matriks adalah jumlah dari entri-entri pada diagonal utama dari matriks bujursangkar. Penghitungan trace pada matriks berpangkat perlu dilakukan perpangkatan matriks yang melibatkan proses perkalian matriks. Setelah didapatkan bentuk perpangkatan matriks, selanjutnya akan diperoleh trace dari matriks berpangkat tersebut.
Trace dari  suatu  matriks  berpangkat  dibahas  pada  beberapa  bidang  matematika,  seperti  analisis jaringan,  teori  bilangan,  sistem  dinamik  dan  persamaan  diferensial  [2].  Lebih  lanjut,  pembahasan mengenai  trace matriks  berpangkat  telah  di  bahas  oleh  [3]  pada  tahun  2015.  Penelitian  tersebut membahas mengenai bentuk umum trace matriks real 2 × 2 berpangkat bilangan bulat positif. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut:
𝑡𝑟 𝐴 𝑛 =
{ ∑ (−1) 𝑟 𝑟 ! 𝑛−2 𝑟=0 𝑛 [𝑛 − (𝑟 + 1)][𝑛 − (𝑟 + 2)] … [𝑢𝑝 𝑡𝑜 𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑠](det 𝐴) 𝑟 (𝑡𝑟𝐴) 𝑛−𝑟 ,   untuk n genap
∑ (−1) 𝑟 𝑟 ! 𝑛−2 𝑟=0 𝑛 [𝑛 − (𝑟 + 1)][𝑛 − (𝑟 + 2)] … [𝑢𝑝 𝑡𝑜 𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑠](det 𝐴) 𝑟 (𝑡𝑟𝐴) 𝑛−𝑟 ,   untuk n ganjil
Pembahasan  mengenai  trace matriks  berpangkat  juga  telah  dibahas  oleh  [4]  pada  tahun  2018. Penelitian tersebut membahas tentang trace matriks Toeplitz kompleks bentuk khusus berukuran 3 × 3 berpangkat bilangan bulat positif. Hasil yang diperoleh pada penelitian tersebut yaitu:
𝑡𝑟(𝐴) 𝑛 = { 0,                                   untuk n ganjil
(−2) 𝑛 2+1 . (𝑎 + 𝑏𝑖) 𝑛 ,   untuk n genap
Selanjutnya, di tahun 2019 [5] melakukan penelitian mengenai trace matriks berpangkat, dan matriks yang digunakan adalah matriks Toeplitz tridiagonal berukuran 3 × 3 . Bentuk matriksnya berbeda dengan bentuk  matriks  pada  [4],  dengan  perpangkatannya  berpangkat  bilangan  bulat  positif.  Berdasarkan penelitian tersebut diperoleh bentuk umum trace matriks Toeplitz tridiagonal 3 × 3 berpangkat bilangan bulat positif untuk 𝑛 genap dan 𝑛 ganjil, yaitu:
𝑡𝑟(𝐴) 𝑛 = { 3𝑎 𝑛 + 4 ∑ ( 𝑛 2𝑟) 2 𝑟−1 𝑎 𝑛−2 𝑏 𝑟 𝑐 𝑟 𝑛−1 2 𝑟=1 , untuk n ganjil
3𝑎 𝑛 + 4 ∑ ( 𝑛 2𝑟) 2 𝑟−1 𝑎 𝑛−2 𝑏 𝑟 𝑐 𝑟 𝑛−1 2 𝑟=1 , untuk n genap
Ditahun  yang  sama  (2019)  [6]  juga  membahas  mengenai  trace matriks  Toeplitz  berpangkat,  tetapi jenis  matriks  Toeplitznya  adalah  matriks  Toeplitz  simetris  bentuk  khusus  dengan  ukuran 3 × 3 ,  dan berpangkat  bilangan  bulat  positif.  Hasil  penelitian  tersebut  diperoleh  trace matriks  Toeplitz  simetris bentuk khusus ordo 3 × 3 berpangkat bilangan bulat positif. untuk 𝑛 genap dan 𝑛 ganjil, yaitu:
𝑡𝑟(𝐴) 𝑛 = { 0,                                   untuk n ganjil
(−2) 𝑛 2+1 . (𝑎) 𝑛 ,          untuk n genap
Penelitan  yang  sama  mengenai  trace  matriks  Toeplitz  berpangkat  juga  dilakukan  oleh  [7].  Namun jenis  matriksnya  berbeda  dengan  [4],[5],  dan  [6].  Matriks  yang  digunakan  adalah matriks  Toeplitz- Hessenberg yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan pangkat bilangan bulat positif empat. Dari matriks tersebut diperoleh bentuk umum dari trace matriks Toeplitz-Hessenberg berpangkat bilangan bulat positif empat yaitu:
𝑡𝑟(𝐻 𝑛 4 ) = 𝑛 ℎ 1 4 + (12𝑛 − 12) ℎ 0 ℎ 1 2 ℎ 2 + (6𝑛 − 10)ℎ 0 2 ℎ 2 2 + (12𝑛 − 24)ℎ 0 2 ℎ 1 ℎ 3 + (4𝑛 − 12)ℎ 0 3 ℎ 4 Selanjutnya, penelitian [8] pada tahun 2020 membahas mengenai trace matriks Toeplitz pentadiagonal simetris  berpangkat  dua.  Dari  matriks  tersebut  diperoleh  bentuk  umum  dari  trace matriks  Toeplitz pentadiagonal simetris kuadrat yaitu:
𝑡𝑟(𝑃 𝑚 ) 2 = 𝑚 𝑎 2 + 2(𝑚 − 1)𝑏 2 + 2(𝑚 − 2)𝑐 2
Berdasarkan  uraian  hasil  penelitian-penelitian  sebelumnya  mengenai  trace matriks  Toeplitz berpangkat, penulis tertarik untuk menyelesaikan bentuk umum dari trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat dua sampai empat. Pada penelitian ini matriksnya juga berbeda dari matriks-matriks yang dipakai oleh peneliti-peneliti sebelumnya. Bentuk umum matriks yang digunakan ada pada [9].

## Landasan Teori
Definisi  1 [1]. Matriks  Toeplitz  adalah  matriks  berukuran 𝒏 × 𝒏 dinotasikan  dengan 𝑻 𝒏 = [𝒕 𝒌𝒋 ; 𝒌, 𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏] dengan 𝒕 𝒌𝒋 = 𝒕 𝒌−𝒋 . Bentuk umum dari matriks Toeplitz sebagai berikut:
𝑇 𝑛 = [ 𝑡 0 𝑡 −1
𝑡 −2 … 𝑡 −(𝑛−1) 𝑡 1 𝑡 0 𝑡 −1 … 𝑡 −(𝑛−2) 𝑡 2 ⋮ 𝑡 (𝑛−1) 𝑡 1 ⋮ 𝑡 (𝑛−2) 𝑡 0 … 𝑡 −(𝑛−3)
⋮     ⋱      ⋮ 𝑡 (𝑛−3) … 𝑡 0 ]
Matriks  Toeplitz  terdiri  dari  beberapa  tipe  diantaranya  matriks  Toeplitz  tridiagonal,  matriks Toeplitz pentadiagonal, matriks Toeplitz heptadiagonal dan sebagainya. Pada penelitian ini penulis membahas  mengenai  matriks  Toeplitz  heptadiagonal  simetris.  Sebelum  membahas  matriks Toeplitz heptadiagonal simetris terlebih dahulu dijelaskan mengenai matriks heptadiagonal yang akan disajikan sebagai berikut:
Definisi 2 [10]. Sebuah matriks bujursangkar berodo 𝒏 × 𝒏 yang terdiri dari tujuh diagonal tak nol yaitu diagonal utama, tiga subdiagonal atas dan tiga subdiagonal bawah disebut dengan matriks heptadiagonal. Berikut diberikan bentuk umum matriks heptadiagonal, yaitu:
𝑀 𝑛 = [ 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑑 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0
𝛼 2 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑑 2 ⋯ 0 0 0 0 0 𝛽 3 𝛼 3 𝑎 3 𝑏 3 𝑐 3 ⋯ 0 0 0 0 0
𝛾 4 𝛽 4 𝛼 4 𝑎 4 𝑏 4 ⋯ 0 0 0 0 0
0 𝛾 5 𝛽 5 𝛼 5 𝑎 5 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑛−4 𝑏 𝑛−4 𝑐 𝑛−4 𝑑 𝑛−4 0 0 0 0 0 0 ⋯ 𝛼 𝑛−3 𝑎 𝑛−3 𝑏 𝑛−3 𝑐 𝑛−3 𝑑 𝑛−3 0 0 0 0 0 ⋯ 𝛽 𝑛−2 𝛼 𝑛−2 𝑎 𝑛−2 𝑏 𝑛−2 𝑐 𝑛−2 0 0 0 0 0 ⋯ 𝛾 𝑛−1 𝛽 𝑛−1 𝛼 𝑛−1 𝑎 𝑛−1 𝑏 𝑛−1 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝛾 𝑛 𝛽 𝑛 𝛼 𝑛 𝑎 𝑛 ]
Matriks  Toeplitz  heptadiagonal  merupakan  gabungan  dari  matriks  Toeplitz  dan  matriks heptadiagonal. Berikut diberikan definisi beserta contoh mengenai matriks Toepliz heptadiagonal.
Definisi  3 [11]. Matriks  Toeplitz  heptadiagonal  ordo 𝒏 × 𝒏 mempunyai  bentuk  umum  sebagai berikut:
𝐻 𝑛 = [
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 ⋯ 0 0 0 0 0 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⋯ 0 0 0 0 0 𝛽 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 ⋯ 0 0 0 0 0 𝛾 𝛽 𝛼 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝛾 𝛽 𝛼 𝑎 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 0 0 0 0 0 ⋯ 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 0 0 0 0 ⋯ 𝛽 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐
0 0 0 0 0 ⋯ 𝛾 𝛽 𝛼 𝑎 𝑏 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝛾 𝛽 𝛼 𝑎]
, 𝑛 ≥ 5
dengan ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝛼, 𝛽, 𝛾  ∈ 𝑅 .
Matriks Toeplitz heptadiagonal simetris merupakan gabungan dari matriks Toeplitz dengan matriks heptadiagonal simetris. Berikut diberikan definisi matriks Toeplitz heptadiagonal simetris.
Definisi 4 [9]. Sebuah matriks berukuran 𝒏 × 𝒏 disebut matriks Toeplitz heptadiagonal simetris jika mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
𝐻 𝑛 =
[
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 ⋯ 0 0 0 0 0 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 ⋯ 0 0 0 0 0 0 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0
0 0 0 0 0 ⋯ 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 0 0 0 0 0 ⋯ 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 0 0 0 0 0 ⋯ 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏 0 0 0 0 0 ⋯ 0 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎]
, 𝑛 ≥ 5
Sementara, terminologi mengenai dasar-dasar matrik yang berkaitan dengan penelitian ini diambil dari [12]-[14].

## Bahan dan Metode
Selanjutnya untuk mendapatkan bentuk umum trace matriks Toeplits heptadiagonal simetris berpangkat dua  sampai  empat  secara  garis  besar  ada  dua  perlakuan,  yang  pertama  menentukan  bentuk  umum perpangkatan matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat dua. Sedangkan untuk perpangkatan tiga  dan  empat  cukup  dengan  menentukan  entri-entri  diagonal  utama  dari  perkalian  matriks  Toeplitz heptadiagonal simetris tersebut. Perlakuan kedua barulah diperoleh trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetrisnya. Berikut diberikan langkah-langkah penelitian secara rinci.
1. Diberikan suatu matriks Toeplitz heptadiagonal simetris 𝐻 𝑛 .
2. Mendapatkan bentuk umum matriks 𝐻 𝑛 2 dengan cara 𝐻 𝑛 2 = 𝐻 𝑛 . 𝐻 𝑛 . 3. Mendapatkan diagonal utama matriks 𝐻 𝑛 3 , dengan cara mengalikan entri-entri diagonal utama 𝐻 𝑛 2 . 𝐻 𝑛 4. Mendapatkan diagonal utama matriks 𝐻 𝑛 4 , dengan cara mengalikan entri-entri diagonal utama 𝐻 𝑛 2 . 𝐻 𝑛 2 .
5. Membuktikan bentuk umum 𝑡𝑟(𝐻 𝑛 2 ) , 𝑡𝑟(𝐻 𝑛 3 ) dan 𝑡𝑟(𝐻 𝑛 4 ) dengan menggunakan pembuktian langsung.

## Hasil dan Pembahasan
Hasil penelitian ini diperoleh setelah mengikuti langkah-langkah yang telah dijelaskan pada metode penelitian di atas.
Teorema 5. Diberikan 𝐻 𝑛 suatu matriks Toeplitz Heptadiagonal simetris, maka diperoleh :
𝐻 𝑛 2 = [𝑟 𝑖𝑗 ] =
{ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 , 𝑖 = 𝑗 = 1, 𝑛 𝑎 2 + 2𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 , 𝑖 = 𝑗 = 2, 𝑛 − 1
𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 𝑑 2 , 𝑖 = 𝑗 = 3, 𝑛 − 2
𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 2𝑑 2 , 𝑖 = 𝑗 = 4, ⋯ , 𝑛 − 3 2𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 , 𝑗 = 𝑖 + 1, 𝑖 = 1, 𝑛 − 1 atau 𝑖 = 𝑗 + 1, 𝑗 = 1, 𝑛 − 1 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 , 𝑗 = 𝑖 + 1, 𝑖 = 2, 𝑛 − 2 atau 𝑖 = 𝑗 + 1, 𝑗 = 2, 𝑛 − 2 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑 , 𝑗 = 𝑖 + 1, 𝑖 = 3, ⋯ , 𝑛 − 3 atau 𝑖 = 𝑗 + 1, 𝑗 = 3, ⋯ , 𝑛 − 3 2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 𝑏𝑑 , 𝑗 = 𝑖 + 2, 𝑖 = 1, 𝑛 − 2 atau 𝑖 = 𝑗 + 2, 𝑗 = 1, 𝑛 − 2 2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑 , 𝑗 = 𝑖 + 2, 𝑖 = 2, ⋯ , 𝑛 − 3 atau 𝑖 = 𝑗 + 2, 𝑗 = 2, ⋯ , 𝑛 − 3 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐 , 𝑗 = 𝑖 + 3, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛 − 3 atau 𝑖 = 𝑗 + 3, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 − 3 2𝑏𝑑 + 𝑐 2 , 𝑗 = 𝑖 + 4, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛 − 4 atau 𝑖 = 𝑗 + 4, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 − 4 2𝑐𝑑 , 𝑗 = 𝑖 + 5, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛 − 5 atau 𝑖 = 𝑗 + 5, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 − 5 𝑑 2 , 𝑗 = 𝑖 + 6, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑛 − 6 atau 𝑖 = 𝑗 + 6, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 − 6 0 , untuk selainnya
Bukti. Membuktikan bentuk  umum perpangkatan matriks 𝐻 𝑛 2 dilakukan menggunakan pembuktian langsung dengan cara mencari entri-entri dari perkalian 𝐻 𝑛 2 = 𝐻 𝑛 . 𝐻 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝐻 𝑛 2 = [𝑟 𝑖𝑗 ] . Perkalian matriks 𝐻 𝑛 . 𝐻 𝑛 dapat dianalisa dalam bentuk tiga rumusan umum yang akan dijabarkan sebagai berikut :
1. Menentukan entri-entri diagonal utama matriks 𝐻 𝑛 2 = [𝑟 𝑖𝑗 ]
𝑟 1,1 = 𝑟 𝑛,𝑛 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 0 + 0 + 0 ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟
𝑛−4 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 𝑟 2,2 = 𝑟 𝑛−1,𝑛−1 = 𝑏 2 + 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 0 + 0 ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟ 𝑛−5 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 2 + 2𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 𝑟 3,3 = 𝑟 𝑛−2,𝑛−2 = 𝑐 2 + 𝑏 2 + 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 0 ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
⏟ 𝑛−6 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 𝑑 2
𝑟 4,4 = 𝑟 5,5 = 𝑟 6,6 = 𝑟 7,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛−6 = 𝑟 𝑛−5,𝑛−5 =  𝑟 𝑛−4,𝑛−4 =  𝑟 𝑛−3,𝑛−3
= 𝑑 2 + 𝑐 2 + 𝑏 2 + 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 0 ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟ 𝑛−7 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 2𝑑 2
2. Menentukan entri-entri subdiagonal atas matriks 𝐻 𝑛 2 = [𝑟 𝑖𝑗 ]
a. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 1 dengan 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 − 1
𝑟 1,2 = 𝑟 𝑛−1,𝑛 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑑𝑐 + 0 + 0 + 0 ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟
𝑛−4 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 2𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑
𝑟 2,3 = 𝑟 𝑛−2,𝑛−1 = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑑𝑐 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟ 𝑛−5 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 𝑟 3,4 = 𝑟 4,5 = 𝑟 5,6 = 𝑟 6,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛−5 = 𝑟 𝑛−5,𝑛−4 =  𝑟 𝑛−4,𝑛−3 =  𝑟 𝑛−3,𝑛−2 = 𝑐𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑑𝑐 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
⏟ 𝑛−6 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑
b. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 2 dengan 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 − 2
𝑟 1,3 = 𝑟 𝑛−2,𝑛−1 = 𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏 + 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
⏟ 𝑛−4 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 𝑑𝑏 𝑟 2,4 = 𝑟 3,5 = 𝑟 4,6 = 𝑟 5,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛−4 = 𝑟 𝑛−5,𝑛−3 =  𝑟 𝑛−4,𝑛−2 =  𝑟 𝑛−3,𝑛−1 = 𝑏𝑑 + 𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟ 𝑛−5 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑
c. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 3 dengan 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 − 3
𝑟 1,4 = 𝑟 2,5 = 𝑟 3,6 = 𝑟 4,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛−3 = 𝑟 𝑛−5,𝑛−2 =  𝑟 𝑛−4,𝑛−1 =  𝑟 𝑛−3,𝑛
= 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟ 𝑛−4 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐
d. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 4 dengan 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 − 4
𝑟 1,5 = 𝑟 2,6 = 𝑟 3,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛−2 = 𝑟 𝑛−5,𝑛−1 =  𝑟 𝑛−4,𝑛
= 𝑏𝑑 + 𝑐 2 + 𝑑𝑏 + 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟
𝑛−3 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 2𝑏𝑑 + 𝑐 2
e. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 5 dengan 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 − 5
𝑟 1,6 = 𝑟 2,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛−1 = 𝑟 𝑛−5,𝑛 = 𝑐𝑑 + 𝑑𝑐 + 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟
𝑛−2 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 2𝑐𝑑 f. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 6 dengan 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 − 6
𝑟 1,7 = ⋯   = 𝑟 𝑛−6,𝑛 = 𝑑 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟
𝑛−1 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑑 2
g. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 𝑛 − 1 dengan 𝑖 = 1,2,3,4,5,6,7
𝑟 1,𝑛−6 = 𝑟 2,𝑛−5 = 𝑟 3,𝑛−4 = 𝑟 4,𝑛−3 = 𝑟 5,𝑛−2 = 𝑟 6,𝑛−1 = 𝑎(0) + 𝑏(0) + 𝑐(0) + 𝑑(0) + 0(0) + 0(0) + 0(0) + ⋯ + 0(0) + 0(0) + 0(0) + 0(0) = 0 h. Untuk 𝑗 = 𝑖 + 𝑛 − 1 dengan 𝑖 = 1
𝑟 1,𝑛 = 𝑎(0) + 𝑏(0) + 𝑐(0) + 𝑑(0) + 0(0) + 0(0) + 0(0) + ⋯ + 0(0) + 0(0) + 0(0) + 0(0) = 0
Berdasarkan perkalian 𝐻 𝑛 . 𝐻 𝑛 pada entri-entri subdiagonal atas untuk 𝑗 = 𝑖 + 𝑛 − 7 sampai dengan 𝑗 = 𝑖 + 𝑛 − 1 seluruh entri-entrinya bernilai  nol. Sementara  entri-entri subdiagonal bawah matriks dilakukan dengan cara yang serupa.
Berdasarkan  perkalian 𝐻 𝑛 . 𝐻 𝑛 pada  entri-entri  subdiagoanal  bawah  untuk 𝑖 = 𝑗 + 𝑛 − 7 sampai dengan 𝑖 = 𝑗 + 𝑛 − 1 seluruh entri-entrinya bernilai nol.
Teorema 6. Diberikan matriks Toeplitz Heptadiagonal simetris, maka diperoleh entri-entri diagonal utama dari matriks Toeplitz Heptadiagonal simetris berpangkat tiga 𝐻 𝑛 3 yang dinotasikan dengan 𝑠 𝑖𝑗 untuk 𝑖 = 𝑗 sebagai berikut:
𝑠 𝑖𝑗 = { 𝑎 3 + 3𝑎𝑏 2 + 3𝑎𝑐 2 + 3𝑎𝑑 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 4𝑏𝑐𝑑 , untuk 𝑖 = 𝑗 = 1, 𝑛 𝑎 3 + 6𝑎𝑏 2 + 6𝑎𝑐 2 + 3𝑎𝑑 2 + 4𝑏 2 𝑐 + 6𝑏𝑐𝑑 , untuk 𝑖 = 𝑗 = 2, 𝑛 − 1 𝑎 3 + 6𝑎𝑏 2 + 6𝑎𝑐 2 + 3𝑎𝑑 2 + 6𝑏 2 𝑐 + 8𝑏𝑐𝑑 , untuk 𝑖 = 𝑗 = 3, 𝑛 − 2 𝑎 3 + 6𝑎𝑏 2 + 6𝑎𝑐 2 + 6𝑎𝑑 2 + 6𝑏 2 𝑐 + 12𝑏𝑐𝑑 , untuk 𝑖 = 𝑗 = 4, ⋯ , 𝑛 − 3
Bukti. Pembuktian  Teorema  di  atas  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  pembuktian  langsung dengan  cara  mencari  entri-entri  diagonal  utama  matriks 𝐻 𝑛 3 dengan  mengalikan 𝐻 𝑛. 2 𝐻 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝐻 𝑛 3 = [𝑠 𝑖𝑗 ] . Untuk 𝐻 𝑛. 2 𝐻 𝑛 maka 𝐻 𝑛 2 adalah matriks yang ada pada Teorema 5, dan 𝐻 𝑛 adalah matriks Toeplitz heptadiagonal simetris. Sehingga hasil perkalian entri-entri diagonal utama matriks 𝐻 𝑛. 2 𝐻 𝑛 adalah sebagai berikut :
𝑠 1,1 = 𝑠 𝑛,𝑛 = (𝑎 3 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎𝑐 2 + 𝑎𝑑 2 ) + (2𝑎𝑏 2 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑐 2 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑑 2 + 2𝑏𝑐𝑑)
+ 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟ 𝑛−4 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 3 + 3𝑎𝑏 2 + 3𝑎𝑐 2 + 3𝑎𝑑 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 4𝑏𝑐𝑑 𝑠 2,2 = 𝑠 𝑛−1,𝑛−1 = (2𝑎𝑏 2 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) + (𝑎 3 + 2𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑐 2 + 𝑎𝑑 2 ) + (2𝑎𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑐 2 + 𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑑 2 + 2𝑏𝑐𝑑) + 0 + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
⏟
𝑛−5 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 𝑎 3 + 6𝑎𝑏 2 + 3𝑎𝑐 2 + 3𝑎𝑑 2 + 4𝑏 2 𝑐 + 6𝑏𝑐𝑑 𝑠 3,3 = 𝑠 𝑛−2,𝑛−2 = (2𝑎𝑐 2 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) + (𝑎 3 + 2𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑐 2 + 𝑎𝑑 2 ) + (2𝑎𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑐 2 + 𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑑 2 + 2𝑏𝑐𝑑) + 0 + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 ⏟
𝑛−6 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 3 + 6𝑎𝑏 2 + 6𝑎𝑐 2 + 3𝑎𝑑 2 + 6𝑏 2 𝑐 + 8𝑏𝑐𝑑 𝑠 4,4 = 𝑠 5,5 = 𝑠 6,6 = 𝑠 7,7 = ⋯ = 𝑠 𝑛−6,𝑛−6 = 𝑠 𝑛−5,𝑛−5 = 𝑠 𝑛−4,𝑛−4 = 𝑠 𝑛−3,𝑛−3 = (2𝑎𝑑 2 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑐 2 + 𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑)
+ (𝑎 3 + 2𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑐 2 + 2𝑎𝑑 2 ) + (2𝑎𝑏 2 + 2𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑐 2 + 𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐𝑑) + (2𝑎𝑑 2 + 2𝑏𝑐𝑑) + ⋯ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0
⏟ 𝑛−7 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 3 + 6𝑎𝑏 2 + 6𝑎𝑐 2 + 6𝑎𝑑 2 + 6𝑏 2 𝑐 + 12𝑏𝑐𝑑.
Teorema  7. Diberikan  matriks  Toeplitz  Heptadiagonal  simetris.  Entri-entri  diagonal  utama  dari matriks 𝐻 𝑛 4 yang dinotasikan dengan 𝑡 𝑖𝑗 untuk 𝑖 = 𝑗 sebagai berikut:
𝑡 𝑖𝑗 =
{ 𝑎 4 + 6𝑎 2 (𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 2𝑏 4 + 2𝑏 3 𝑑 + 7𝑏 2 𝑐 2 + 7𝑏 2 𝑑 2 + 2𝑐 4 + 7𝑐 2 𝑑 2 + 2𝑑 4 + 8𝑎𝑏 2 𝑐 + 6𝑏𝑐 2 𝑑 + 16𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 1, 𝑛 𝑎 4 + 6𝑎 2 (2𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 5𝑏 4 + 𝑏 2 (4𝑏𝑑 + 13𝑐 2 + 12𝑑 2 ) + 2𝑐 4 + 8𝑐 2 𝑑 2 + 2𝑑 4 + 16𝑎𝑏 2 𝑐 + 10𝑏𝑐 2 𝑑 + 24𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 2, 𝑛 − 1 𝑎 4 + 6𝑎 2 (2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 6𝑏 4 + 𝑏 2 (4𝑏𝑑 + 20𝑐 2 + 13𝑑 2 ) + 5𝑐 4 + 13𝑐 2 𝑑 2 + 2𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 16𝑏𝑐 2 𝑑 + 32𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 3, 𝑛 − 2 𝑎 4 + 12𝑎 2 (𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 6𝑏 4 + 4𝑏 2 (2𝑏𝑑 + 6𝑐 2 + 5𝑑 2 ) + 5𝑐 4 + 20𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 20𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 4, 𝑛 − 3 𝑎 4 + 12𝑎 2 (𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 6𝑏 4 + 8𝑏 2 (𝑏𝑑 + 3𝑐 2 + 3𝑑 2 ) + 6𝑐 4 + 20𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 24𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 5, 𝑛 − 4 𝑎 4 + 12𝑎 2 (𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 6𝑏 4 + 8𝑏 2 (𝑏𝑑 + 3𝑐 2 + 3𝑑 2 ) + 6𝑐 4 + 20𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 24𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 6, 𝑛 − 5 𝑎 4 + 12𝑎 2 (𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) + 6𝑏 4 + 8𝑏 2 (𝑏𝑑 + 3𝑐 2 + 3𝑑 2 ) + 6𝑐 4 + 20𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 24𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 , 𝑖 = 𝑗 = 7, , 𝑛 − 6
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan pembuktian langsung dengan cara mencari entri- entri diagonal utama matriks 𝐻 𝑛 4 dengan cara mengalikan 𝐻 𝑛 2 . 𝐻 𝑛 2 yang dinotasikan dengan 𝐻 𝑛 4 = [𝑡 𝑖𝑗 ] . Hasil perkalian entri-entri diagonal utama matriks 𝐻 𝑛 2 . 𝐻 𝑛 2 adalah sebagai berikut:
𝑡 1,1 = 𝑡 𝑛,𝑛 = (𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2
+ (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑑𝑐) 2 + (𝑑 2 ) 2
+ (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0)
⏟
𝑛−7 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 4 + 6𝑎 2 𝑏 2 + 6𝑎 2 𝑐 2 + 6𝑎 2 𝑑 2 + 2𝑏 4 + 2𝑏 3 𝑑 + 7𝑏 2 𝑐 2 + 7𝑏 2 𝑑 2 + 2𝑐 4 + 7𝑐 2 𝑑 2 + 2𝑑 4 + 8𝑎𝑏 2 𝑐 + 6𝑏𝑐 2 𝑑 + 16𝑎𝑏𝑐𝑑
𝑡 2,2 = 𝑡 𝑛−1,𝑛−1 = (2𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) 2 + (𝑎 2 + 2𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (𝑑 2 ) 2
+ (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) ⏟ 𝑛−8 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 4 + 12𝑎 2 𝑏 2 + 6𝑎 2 𝑐 2 + 6𝑎 2 𝑑 2 + 5𝑏 4 + 4𝑏 3 𝑑 + 13𝑏 2 𝑐 2 + 12𝑏 2 𝑑 2 + 2𝑐 4 + 8𝑐 2 𝑑 2 + 2𝑑 4 + 16𝑎𝑏 2 𝑐 + 10𝑏𝑐 2 𝑑 + 24𝑎𝑏𝑐𝑑
𝑡 3,3 = 𝑡 𝑛−2,𝑛−2 = (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 𝑐𝑑) 2 + (𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (𝑑 2 ) 2 + (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0)
⏟
𝑛−9 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 𝑎 4 + 12𝑎 2 𝑏 2 + 12𝑎 2 𝑐 2 + 6𝑎 2 𝑑 2 + 6𝑏 4 + 6𝑏 3 𝑑 + 20𝑏 2 𝑐 2 + 13𝑏 2 𝑑 2 + 5𝑐 4 + 13𝑐 2 𝑑 2 + 2𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 16𝑏𝑐 2 𝑑 + 32𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑡 4,4 = 𝑡 𝑛−3,𝑛−3 = (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 2𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (𝑑 2 ) 2 + (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) ⏟
𝑛−10 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 𝑎 4 + 12𝑎 2 𝑏 2 + 12𝑎 2 𝑐 2 + 12𝑎 2 𝑑 2 + 6𝑏 4 + 8𝑏 3 𝑑 + 24𝑏 2 𝑐 2 + 20𝑏 2 𝑑 2 + 5𝑐 4 + 20𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 20𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑡 5,5 = 𝑡 𝑛−4,𝑛−4 = (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 2𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (𝑑 2 ) 2 + (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0)
⏟
𝑛−11 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 𝑎 4 + 12𝑎 2 𝑏 2 + 12𝑎 2 𝑐 2 + 12𝑎 2 𝑑 2 + 6𝑏 4 + 8𝑏 3 𝑑 + 24𝑏 2 𝑐 2 + 24𝑏 2 𝑑 2 + 6𝑐 4 + 20𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 24𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑡 6,6 = 𝑡 𝑛−5,𝑛−5 = (2𝑐𝑑) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 2𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (𝑑 2 ) 2 + (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0) + (0)(0) ⏟
𝑛−12 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
= 𝑎 4 + 12𝑎 2 𝑏 2 + 12𝑎 2 𝑐 2 + 12𝑎 2 𝑑 2 + 6𝑏 4 + 8𝑏 3 𝑑 + 24𝑏 2 𝑐 2 + 24𝑏 2 𝑑 2 + 6𝑐 4 + 24𝑐 2 𝑑 2 + 5𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 24𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑡 7,7 = ⋯ = 𝑡 𝑛−6,𝑛−6 = (𝑑 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (𝑎 2 + 2𝑏 2 + 2𝑐 2 + 2𝑑 2 ) 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑑) 2 + (2𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑑) 2 + (2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐) 2 + (2𝑏𝑑 + 𝑐 2 ) 2 + (2𝑐𝑑) 2 + (𝑑 2 ) 2 + (0)(0) + ⋯ + (0)(0) + (0)(0)
⏟ 𝑛−13 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 = 𝑎 4 + 12𝑎 2 𝑏 2 + 12𝑎 2 𝑐 2 + 12𝑎 2 𝑑 2 + 6𝑏 4 + 8𝑏 3 𝑑 + 24𝑏 2 𝑐 2 + 24𝑏 2 𝑑 2 + 6𝑐 4 + 24𝑐 2 𝑑 2 + 6𝑑 4 + 24𝑎𝑏 2 𝑐 + 24𝑏𝑐 2 𝑑 + 48𝑎𝑏𝑐𝑑.
Akibat 8. Diberikan 𝐻 𝑛 suatu matriks Toeplitz heptadiagonal simetris, maka diperoleh :
a. Trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat dua, yaitu :
𝑡𝑟(𝐻 𝑛 2 ) = 𝑛𝑎 2 + 2(𝑛 − 1)𝑏 2 + 2(𝑛 − 2)𝑐 2 + 2(𝑛 − 3)𝑑 2
b. Trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat tiga, yaitu :
𝑡𝑟(𝐻 𝑛 3 ) = 𝑛𝑎 3 + 6(𝑛 − 1)𝑎𝑏 2 + 6(𝑛 − 2)𝑎𝑐 2 + 6(𝑛 − 3)𝑎𝑑 2 + 6(𝑛 − 2)𝑏 2 𝑐 + 12(𝑛 − 3)𝑏𝑐𝑑 c. Trace matriks Toeplitz heptadiagonal simetris berpangkat empat, yaitu :
𝑡𝑟(𝐻 𝑛 4 ) = 𝑛𝑎 4 + 12(𝑛 − 1)𝑎 2 𝑏 2 + 12(𝑛 − 2)𝑎 2 𝑐 2 + 12(𝑛 − 3)𝑎 2 𝑑 2 + 2(3𝑛 − 5)𝑏 4 + 8(𝑛 − 3)𝑏 3 𝑑 + 8(3𝑛 − 8)𝑏 2 𝑐 2 + 8(3𝑛 − 11)𝑏 2 𝑑 2 + 2(3𝑛 − 10)𝑐 4
+ 8(3𝑛 − 13)𝑐 2 𝑑 2 + 6(𝑛 − 5)𝑑 4 + 24(𝑛 − 2)𝑎𝑏 2 𝑐 + 8(3𝑛 − 11)𝑏𝑐 2 𝑑 + 48(𝑛 − 3)𝑎𝑏𝑐𝑑
Bukti. Bukti cukup jelas dengan memerhatikan jumlahan diagonal utama pada Teorema 5, Teorema 6 dan Teorema 7.

## Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dipaparkan di atas, maka kesimpulan dari penelitina ini berupa  bentuk  umum  perpangkatan  matriks  toeplitz  heptadiagonal  simetris  berpangkat  dua  sampai berpangkat empat. Sebagai akibat dari teorema adanya bentuk umum tersebut dapat ditemukan trace dari matrik tersebut.

## Referensi
[1] R. M. Gray. 2006. Toeplitz and Circulant Matrices: A review. Foundations and Trends in Communications and Information Theory, Vol. 2, No. 3: halaman. 155–239.
[2] C. Brezinski, P. Fika, dan M. Mitrouli. 2012. Estimations of the Trace of Powers of Positive Self-adjoint Operators by Extrapolation of the Moments. Electronic Transactions on Numerical Analysis, Vol. 39:  halaman. 144–155.
[3] J. Pahade dan M. Jha. 2015. Trace of Positive Integer Power of Real 2 x 2 Matrices. Advances in Linear Algebra & Matrix Theory, Vol. 5, No. 4 : halaman. 150–155.
[4] F. Aryani, D. R. Sari, C. C. Marzuki, dan S. Gemawati. 2018. Trace Matriks Toeplitz Kompleks Khusus Ukuran 3 x 3 Berpangkat Bilangan Bulat Positif. Seminar Nasional Teknologi Informasi Komunikasi dan Industri. Pekanbaru :  halaman. 673–681
[5] F. Aryani dan N. Husna. 2019. Trace Matriks Toepitz Tridiagonal 3 x 3 Berpangkat Bilangan Bulat Positif. Jurnal Sains Matematika dan Statistika, Vol. 5, No. 1 :  halaman. 40–49.
[6] Rahmawati, N. A. Putri, F. Aryani, dan A. N. Rahma. 2019. Trace Matriks Toeplitz Simetris Bentuk Khusus Ordo 3×3 Berpangkat Bilangan Bulat Positif. Jurnal Sains Matematika dan Statistika, Vol. 5, No. 2 : halaman. 61–70.
[7] M. A. Hadi. 2020. Trace Matriks Toeplitz-Hessenberg Berpangkat Bilangan Bulat Positif Empat. Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
[8] A. Y. Putri. 2020. Trace Matriks Toeplitz Pentadiagonal Simetris Kuadrat. Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
[9] M. S. Solary. 2013. Finding Eigenvalues for Heptadiagonal Symmetric Toeplitz Matrices. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 402, No. 2:  hal. 719–730.
[10] J.  L.  da  Silva.  2017.  On  the  Characteristic  Polynomial,  Eigenvectors  and  Determinant  of  Heptadiagonal  Matrices,.  Linear  and Multilinear Algebra, Vol. 65, Issue 9: halaman 1852-1866.
[11] B. Talibi, A. A. Hadj, dan D. Sarsri. 2021. A Numerical Algorithm to Inversing a Toeplitz Heptadiagonal Matrix.  Palestine Journal of Mathematics, Vol. 10, No. 1 : haamanl. 242–250.
[12] H. Anton dan C. Rorres. 2005. Elementary Linear Algebra, Edisi ke sembilan. Jakarta. Erlangga.
[13] James e. Gentle. 2017.  Matrix Algebra, Edisi ke dua. Switzerland. Springer.
[14] S.  Banerjee  dan  A.  Roy.  2014.  Linear  Algebra  and  Matrix  Analysis  for  Statistics.  Edisi  Pertama.  New  York.  Chapman  and Hall/CRC.