Vol. 17, No. 2,  252-266,  January, 2021 DOI: 10.20956/jmsk.v17i2.11747
___________________________________ 1 Program Studi Magister Statistika, FSAD-ITS Email : andy.pratama@bps.go.id
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License
Application of the Hybrid Method Nonlinear Regression with Modified Logistic Growth Model - Exponential Double Smoothing for Forecasting Covid-19 Cases in Indonesia and Armenia
Penerapan Metode Hybrid Nonlinear Regression With Modified Logistic Growth Model - Double Smoothing Exponensial untuk Peramalan Kasus Covid-19 di Indonesia dan Armenia
Andy Rezky Pratama Syam 1

## Abstract
Since  the  first  cases  of  Covid-19  (Corona  Virus  Disease-19)  infection  were  officially  recognized  and recorded in Indonesia on March 2, 2020 and March 1, 2020 in Armenia, the addition of new cases has not shown any indication of sloping. The relatively high number of new cases indicates that Indonesia has not yet passed the peak of the pandemic. As for Armenia, the addition of new cases indicates a new pandemic peak to be faced. In these conditions, an important question for decision makers (the Government) to find answers to is when and at what level of total cases will the COVID-19 pandemic end in Indonesia or the second wave in Armenia.  Based  on  this,  the  forecasting  method  of  Hybrid  Nonlinear  Regression  With  Modified  Logistic Growth Model - Double Smoothing Exponential and Classical methods is used to predict the Covid-19 cases that occur in Indonesia and Armenia. Based on the model formed, the peak of Covid-19 cases in Indonesia is predicted to occur on November 26, 2020, with the number of cases reaching 5968 cases. As for Armenia, the peak  of  Covid-19  cases  will  occur  on  November  15,  2020,  with  the  number  of  cases  reaching  3098  cases. Covid-19  in  both  countries  is  predicted  to  decline  and  be  constant  in  2021.  For  the  country,  Indonesia  is predicted to begin to stabilize and be controlled in July - August 2021. As for Armenia, Covid-19 is predicted to be under control and approaching 0 cases in February - March 2021.
Keywords: Covid-19, Hybrid, Logistic Growth

## Abstrak
Sejak pertama  kali  kasus infeksi Covid-19 (Corona Virus Disease-19) secara resmi diakui dan dicatat di Indonesia  pada  2  Maret  2020  dan  tanggal  1  maret  2020  di  Armenia,  pertambahan  kasus  baru  belum menunjukkan indikasi  melandai.  Pertambahan  kasus baru  yang relatif  masih tinggi  mengindikasikan bahwa Indonesia  belum  melewati  puncak  pandemi.  Sedangkan  untuk  Armenia,  penambahan  kasus  baru

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
mengindikasikan  akan  adanya  puncak  pandemi  baru  yang  akan  dihadapi.  Dalam  kondisi  seperti  ini, pertanyaan yang penting untuk dicari tahu jawabannya oleh pengambil keputusan (Pemerintah) adalah kapan dan pada tingkat total kasus berapa pandemic COVID-19 akan berakhir baik di Indonesia ataupun gelombang kedua  di  Armenia.  Berdasarkan  hal  tersebut,  digunakan  metode  peramalan Hybrid Nonlinear  Regression With  Modified  Logistic  Growth  Model - Double  Smoothing  Exponensial dan  metode  Klasik  untuk meramalkan  kasus  Covid-19  yang  terjadi  di  Indonesia  dan  Armenia.  Berdasarkan  model  yang  terbentuk, Puncak  kasus  Covid-19  di  Negara  Indonesia  di  prediksi  terjadi  pada  tanggal  26  November  2020  dengan jumlah kasus mencapai 5968 kasus. Sedangkan untuk Negara Armenia, puncak kasus Covid-19 akan terjadi pada  tanggal  15  November  2020  dengan  jumlah  kasus  mencapai  3098  kasus.  Covid-19  di  kedua  negara  di prediksikan baru akan turun dan konstan di tahun 2021. Untuk negara Indonesia diprediksi akan mulai stabil dan terkontrol pada bulan juli – agustus tahun 2021. Sedangkan untuk negara Armenia, Covid-19 di prediksi akan terkendali dan mendekati 0 kasus pada bulan februari – maret tahun 2021.
Kata Kunci : Covid-19, Hybrid, Logistic Growth

## I. PENDAHULUAN
Akhir  tahun  2019  menjadi  titik  awal  dunia  mengalami  pandemi  Covid-19 (Corona  Virus Disease-19) .  Ketika  itu,  virus  bernama  SARS-CoV-2  pertama  kali  dilaporkan  muncul  di  Wuhan, China.  Laju  penularan  yang  sangat  cepat  oleh  karena  mobilitas  masyarakat  dunia  yang  tinggi menyebabkan  kesiapan  negara-negara  di  dunia  dipandang  tidak  cukup  dalam  mengantisipasi penularan  yang  terjadi.  Sehingga  beberapa  bulan  kemudian,  virus  ini  melanda  dunia  termasuk Indonesia dan Armenia. Sejak pertama kali kasus infeksi Covid-19 secara resmi diakui dan dicatat di  Indonesia  pada  2  Maret  2020  dan  tanggal  1  maret  2020  di  Armenia,  pertambahan  kasus  baru belum menunjukkan indikasi melandai.
Berdasarkan data dari Website Worldometers.com per 31 Oktober 2020, total kasus positif Covid-19 di Indonesia mencapai 410.088 orang. Sedangkan kasus baru yang muncul dalam 14 hari terakhir  masih  sangat  tinggi  yaitu  berada  pada  sekitaran  2.000  sampai  3.000  orang  perharinya. Berdasarkan jumlah kematian yang disebabkan oleh Virus Covid-19 di Indonesia, sampai tanggal 31 Oktober 2020 tercatat sebanyak 13.869 orang.
Berbeda  dengan  Indonesia,  negara  Armenia  memiliki  karakteristik  kasus  Covid-19  yang menarik.  Berdasarkan  data  dari  Website Worldometers.com ,  Armenia  telah  melewati  puncak penularannya  dan  cenderung  melandai  pada  bulan  Juni  2020  yang  lalu.  Namun,  seiring  dengan kebijakan pelonggaran beberapa aturan terkait penanganan Covid-19 untuk kembali meningkatkan gairah  ekonomi  di  Armenia,  terbentuk  suatu  grafik  baru  yang  mengindikasikan  adanya  serangan kasus Covid-19 gelombang kedua. Kasus Covid-19 mulai menunjukkan grafik meningkat kembali dengan  jumlah  peningkatan  yang  telah  jauh  melewati  puncak  kasus  pada  gelombang  pertama. Berdasarkan  data  dari  Website Worldometers.com ,  total  kasus  Covid-19  di  Armenia  mencapai 89.813 orang, dengan rata-rata penambahan kasus baru dalam 14 terakhir mencapai sekitaran 2.000 orang per harinya. Berdasarkan jumlah kematian yang disebabkan oleh Virus Covid-19 di Armenia, sampai tanggal 31 Oktober 2020 tercatat sebanyak 1.341 orang.
Pertambahan kasus baru yang relatif masih tinggi mengindikasikan bahwa Indonesia belum melewati  puncak  pandemi.  Sedangkan  untuk  Armenia,  penambahan  kasus  baru  mengindikasikan akan adanya puncak pandemi baru yang akan dihadapi. Dalam kondisi seperti ini, pertanyaan yang penting  untuk  dicari  tahu  jawabannya  oleh  pengambil  keputusan  (Pemerintah)  adalah  kapan  dan pada  tingkat  total  kasus  berapa  pandemic  COVID-19  akan  berakhir  baik  di  Indonesia  ataupun gelombang kedua di Armenia.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Pada  awal  tahun  2020,  Indonesia  dan  Armenia  telah  menjalin  kerjasama  di  bidang Teknologi  dan  Informasi  (TI).  Kerjasama  ini  dimaksudkan  untuk  meningkatkan  perekonomian  di kedua  negara.  Namun,  Covid-19  telah  menyerang  berbagai  sektor  di  seluruh  negara,  termasuk sektor Ekonomi. Sehingga sangat penting untuk mengetahui kapan Pandemi Covid-19 ini berakhir. Masih  belum  ada  kepastian  kapan  pandemi  corona  akan  berakhir.  Kendati  begitu,  sudah  banyak penelitian  dilakukan  untuk  memprediksi  kapan  virus  ini  akan  selesai.  Kepastian  akan  akhir  dari pandemi  Covid-19  ini  sangat  penting  untuk  semua  negara  dalam  rangka  penyusunan  kebijakan kebijakan  baru  dan  cepat  untuk  memulihkan  keadaan  perekonomian  setiap  negara  yang  secara keseluruhan mengalami pertumbuhan ekonomi yang negatif.
Berdasarkan  latar  belakang  tersebut,  peneliti  tertarik  melakukan  analisis  terhadap  data kumulatif  dan  data  harian  dari  Covid-19  di  Indonesia  (Mewakili  negara  yang  belum  mencapai puncak pandemi) dan di Armenia (Mewakili negara yang menghadapi gelombang kedua pandemi). Tujuan analisis ini untuk memprediksi kapan akhir dari Pandemi Covid-19 dan menunjukkan kapan puncak kasus Covid-19 di kedua negara tersebut.
Untuk  menjawab  kedua  tujuan  tersebut,  peneliti  menggunakan  analisis  deret  waktu  yaitu dengan  menerapkan  metode Hybrid .  Metode Hybrid yang  digunakan  yaitu  penerapan  model Nonlinear Regression with Logistic Growth dan Double Exponential Smoothing . Dengan penerapan metode tersebut diharapkan didapatkan suatu model yang dapat menjawab kapan terjadinya puncak kasus  Covid-19  dan  kapan  pandemi  Covid-19  berakhir  di  Indonesia  dan  Armenia.  Jika menggunakan  metode  klasik  ( Naïve  Models )  ataupun  ARIMA,  tidak  dapat  menjawab  tujuan  dari penelitian ini. Selain itu, untuk melihat keterbandingan kebaikan model yang akan terbentuk, akan dilakukan  perbandingan  nilai MAPE metode  tersebut  dibandingkan  dengan  metode Time  Series Klasik yaitu Naïve Trend Linear dan Naïve Trend Exponential .

## II. METODOLOGI

## 2.1 Data Time Series
Data  Time  series  atau  Deret  waktu  adalah  himpunan  observasi  data  terurut  dalam  waktu [9].  Metode  time  series  adalah  metode  peramalan  dengan  menggunakan  analisa  pola  hubungan antara  variabel  yang  akan  dipekirakan  dengan  variabel  waktu.  Peramalan  suatu  data  time  series perlu  memperhatikan  tipe  atau  pola  data.  Secara  umum  terdapat  empat  macam  pola  data  time series,  yaitu  horizontal,  trend,  musiman,  dan  siklis  [9].  Pola  horizontal  merupakan  kejadian  yang tidak  terduga  dan  bersifat  acak,  tetapi  kemunculannya  dapat  memepengaruhi  fluktuasi  data  time series.  Pola  trend  merupakan  kecenderungan  arah  data  dalam  jangka  panjang,  dapat  berupa kenaikan  maupun  penurunan.  Pola  musiman  merupakan  fluktuasi  dari  data  yang  terjadi  secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, seperti triwulan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. Sedangkan pola siklis merupakan fluktuasi dari data untuk waktu yang lebih dari satu tahun.

## 2 .2 Nonlinear Regression with Modified Logistic Growth Model
Untuk  banyak  data  pertumbuhan,  rata  rata  pertumbuhan  tidak  terus  menurun,  melainkan naik  hingga  maksimum  sebelum  terus  menurun  hingga  0.  Hal  ini  ditunjukkan  dalam  kurva pertumbuhan dengan bentuk –S atau sigmoidal. Misalkan banyaknya populasi pada waktu t adalah N(t), maka laju perubahan populasi terhadap waktu t adalah . Selanjutnya jika laju perubahan populasi sebanding dengan banyaknya populasi yang ada, maka :

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
(2.1)
dengan  k  konstanta  dan  disebut  laju  reproduksi. Jika laju  reproduksi tidak  konstan,  maka  k  dapat dipandang  sebagai  suatu  fungsi  dari  variabel  N,  misalkan  f(N).  maka  model  persamaan  (1)  dapat diubah menjadi  :
(2.2)
Dari  model  persamaan  pertumbuhan  eksponensial  (1)  dapat  ditentukan  suatu  model  baru  yaitu persamaan pertumbuhan logistik (2).
Pertumbuhan  logistik  adalah  model  pertumbuhan  populasi  yang  terkait  dengan kepadatan yang  mencerminkan  pengaruh  dari  persaingan  intraspesifik.  Penghambatan  pertumbuhan  populasi dapat  dijelaskan  secara  matematika  dengan  menambahkan  variabel  yang  menjelaskan  pengaruh kepadatan ke dalam persamaan eksponensial.
Dari persamaan (2), asumsi sederhana yang dapat dibuat adalah berbentuk linier, yaitu .  Jika  menggunakan  kondisi dimana  r  adalah  laju pertumbuhan dan dan f(K) = 0( “K” adalah carrying capacity atau ambang batas populasi ), maka dapat  ditemukan dan .  Jadi  diperoleh  bentuk .  Oleh
karena itu, persamaan logistic dengan f(N(t)) linier adalah
(2.3) Dengan  pertumbuhan  populasi  maka  nilai akan  berkurang  secara  konstan  sampai  pada
ambang batas populasi K.
Persamaan  (3)  mempunyai  solusi  analitik bila  dilambangkan
dengan parameter theta ( maka
Dengan    adalah  fungsi  respon  nonlinear  dari  parameternya.  Neter  [5]  menyatakan  Error pada  regresi  nonlinear  diasumsikan  untuk  mempunyai  nilai  harapan  sebesar  nol,  ragam  yang konstan dan tidak dikorelasikan, sama seperti asumsi error pada model regresi linear

## 2.3 Double Exponensial Smoothing
Metode double  exponential  smoothing dibagi  menjadi double  exponential  smoothing satu parameter  dari Brown dan  dua  parameter  dari Holt .  Metode double  exponential  smoothing satu parameter  dari Brown dikembangkan  untuk  mengatasi  perbedaan  yang  muncul  antara  data  aktual dan nilai peramalan apabila ada trend pada pola datanya [9]. Adapun rumus yang digunakan dalam metode double  exponential  smoothing satu  parameter  dari Brown dapat  ditentukan  berdasarkan persamaan :
 Nilai Single Exponensial Smoothing
(2.4)
 Nilai Double Exponensial Smoothing

## Andy Rezky Pratama Syam

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
 Nilai konstanta
(2.6)
 Nilai Trend
(2.7)
 Nilai peramalan
(2.8)
Dimana
: Nilai single exponential smoothing periode ke t
: Parameter exponential smoothing
: Data aktual pada periode t
: Nilai single exponential smoothing periode ke t-1
: Nilai double exponential smoothing periode ke t
: Nilai double exponential smoothing periode ke t -1
: Nilai konstanta pada periode ke- t
: Nilai trend pada periode ke- t
m : Periode ke depan yang akan diramalkan
: Nilai peramalan untuk m periode ke depan
Metode double  eksponential  smoothing  linier dari  Holt  memuluskan  nilai  trend  dengan parameter  yang  berbeda  dari  parameter  yang  digunakan  pada  pemulusan  data  yang  asli.  Adapun rumus yang digunakan dalam metode double exponential smoothing dua parameter dari Holt dapat dilihat pada persamaan :
 Nilai Single Exponensial Smoothing
(2.9)
 Nilai pemulusan Trend
(2.10)
 Nilai Ramalan (2.11)
Dimana :
: Nilai single exponential smoothing periode ke t
: Nilai single exponential smoothing periode ke t
: Nilai parameter exponential smoothing
: Data aktual pada periode ke-t
: Pemulusan trend pada periode ke t
: Pemulusan trend pada periode ke t-1
: Nilai parameter pemulusan trend
m : Periode ke depan yang akan diramalkan
: Nilai peramalan untuk (t+m) periode ke depan
Proses inisialisasi untuk pemulusan eksponensial ganda dari Holt memerlukan dua taksiran, yaitu dan .  proses  inisialisasi,  diawali  dengan  memilih
sedangkan  untuk  taksiran
trend  didapat  dari  rumus
.  Adapun  konstanta  pemulusan  α  dan  γ  dalam  metode peramalan double  exponential  smoothing berperan  sebagai  faktor  pembobotan.  Nilai  α  dan  γ bernilai dekat dengan satu, ramalan terbaru akan menyertakan penyesuaian yang besar untuk setiap

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
kesalahan  yang  terjadi  pada  ramalan  sebelumnya.  Sebaliknya  jika  α  dan  γ  dekat  dengan  nol, ramalan terbaru akan sangat mirip dengan nilai yang lama.

## 2.4 Model Hybrid  Nonlinear  Regression  with  Modified  Logistic  Growth  Model  -  Double Exponensial Smoothing
Non  linier  regression  logistic merupakan  fungsi  pendekatan  model  non  linier  yang  dapat menangkap  bentuk  non  liniier  pada  data  runtun  waktu  sedangkan double  exponential  smoothing adalah  model  linier  yang  dapat  menangkap  karakteristik  linier  data  runtun  waktu  [7].  Model nonlinear  regression  logistic  (NLR) dan double  eksponensial  smoothing (DES) memiliki kemampuan  model  yang  bagus  dalam  lingkupnya  masing  masing  yaitu  non  linier  dan  linier. Namun  tidak  ada  satupun  yang  merupakan  model  yang  dapat  universal  digunakan  sesuai  kondisi data.  Dalam  dunia  nyata  pola  series  data  sering  ditemukan  mengandung  pola  linier  dan  non  liner sekaligus. Oleh karena itu, kombinasi model ini mampu menggabungkan keunggulan dari masing- masing  model nonlinear  regression  logistic  (NLR) dan double  eksponensial  smoothing  (DES) dalam menangkap karakteristikdata dengan pola nonlinear maupun nonlinier.
Menurut  Chen  [3]  Dalam  model hybrid ini,  data  deret  waktu  diasumsikan  terdiri  dari komponen nonlinear dan linear. Secara umum model data deret waktu yang merupakan kombinasi komponen non linier dan linear secara sistematis ditulis sebagai berikut
(2.12)
Dengan Y t merupakan data deret waktu pada waktu ke- t , N t merupakan komponen nonlinear  waktu ke- t dan L t merupakan komponen linear waktu ke- t . tahap pertama dalam membentuk model hybrid nonlinear  regression  logistic-double  eksponensial  smoothing adalah  membentuk  komponen nonlinear.  Komponen  nonlinear  dimodelkan  dengan  menggunakan  model regression  nonlinier logistic yang mana input data yang digunakan merupakan input data deret waktu ( sampel in ). Hasil prediction  dari  model regression  non  liniear  logistic selanjutnya  disebut  sebagai  komponen nonlinier.  Kemudian  residual  dari  model regression  logistic diasumsikan  tidak  memenuhi  asumsi white noise . Residual dari model komponen nonlinear menggunakan regression non linier logistic dituliskan sebagai
(2.13)
Dengan merupakan  residual  model regression  nonlinier  logistic waktu  ke- t dan merupakan komponen  linear  waktu  ke- t hasil  ramalan  dari  nilai  prediksi  model regression  nonlinier  logistic . Setelah  komponen  nonlinear  terbentuk,  langkah  selanjutnya  adalah  membentuk  komponen  linear. Komponen linear dimodelkan menggunakan model double exponetial smoothing dengan data yang digunakan  merupakan  residual  dari  model regression  nonlinier  logistic .  Selanjutnya  untuk mendapatkan  nilai  hybrid  menurut  Chen  [3]  menggabungkan  komponen  non  linier  dengan  linier yaitu  model hybrid nonlinear  regression  logistic  –  double  eksponensial  smoothing dapat dinyatakan sebagai
(2.14)
Dengan merupakan model peramalan hybrid nonlinier regression logistic – double eksponensial smoothing, merupakan  komponen  nonlinear  waktu  ke -t hasil  ramalan  dari  model regression logistic dan   komponen linear waktu ke -t hasil peramalan   pada persamaan.
Andy Rezky Pratama Syam

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## 2.5 Naïve Method
Metode peramalan naïve merupakan metode peramalan berdasarkan pengamatan pola data sebelumnya,  sehingga  metode  ini  mengasumsikan  bahwa  data  masa  lalu  sebagai  indikator peramalan  terbaik  di  masa  depan.  Jika  pola  data  musiman  maka  metode  naïve  musiman memodelkan data masa depan berdasarkan data musiman di masa lalu [10].
Dalam penelitian ini digunakan 2 jenis metode peramalan Naïve , yaitu :
 Naïve Trend Linear
Bentuk model Naïve apabila data mengandung trend linear adalah :
(2.15)
 Naïve Trend Exponensial
Bentuk model Naïve apabila data mengandung trend Exponensial adalah :
(2.16)

## 2.6 MAPE (Mean Absolute Percentage Error)
Dalam  penelitian  ini,  penentuan  model  terbaik  menggunakan  MAPE.  MAPE  merupakan gambaran  ukuran  ketepatan  estimasi  model  maupun  ramalan.  Nilai  MAPE  pada  data training digunakan  untuk  melihat  ketepatan  estimasi  model  sedangkan  nilai  MAPE  pada  data testing menggambarkan ketepatan ramalan model. MAPE dihitung dengan membagi persentase dari rata- rata  harga  mutlak  residual  pada  tiap  periode  dengan  nilai  aktual.  Menurut  Wei  [9],  MAPE dirumuskan sebagai :
dengan 𝑍 𝑡 adalah nilai observasi pada waktu ke -t , adalah nilai peramalan pada waku ke -t dan n adalah banyaknya observasi. Model yang baik memiliki nilai MAPE sesuai kriteria pada Tabel [6].
Tabel 2.1. Kriteria MAPE
Nilai MAPE (%) Kriteria < 10 Kemampuan peramalan sangat baik 10-20 Kemampuan peramalan baik 20-50 Kemampuan peramalan cukup >50 Kemampuan peramalan buruk

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Deskriptif
Data yang digunakan dalam penelitian ini diambil dari website https://ourworldindata.org/coronavirus-testing .  Data  yang  diambil  berupa  data  kumulatif  kasus Covid-19 dan data kasus baru Covid-19 di Indonesia. Data yang digunakan adalah data harian. Data dimulai pada tanggal pertama  kali munculnya kasus Covid-19 di Indonesia dan di Armenia. Data dibagi  menjadi  2  yaitu  data Training dan  data Testing .  Data Training akan  digunakan  untuk mendapatkan  model  yang  sesuai  dengan  karakteristik  data,  dan  data Training digunakan  untuk forecasting dan melihat akurasi nya . Rincian data yang digunakan sebagai berikut :
Tabel 3.1 Rincian Data Covid-19 yang digunakan dalam penelitian
Negara Total Data Data Training Data Testing Indonesia 237 216 21 Armenia 238 217 21
Berdasarkan total data, dapat dilihat plot kasus kumulatif dan kasus baru negara Indonesia dan Armenia per harinya. Adapun time series plot nya sebagai berikut :
Y e a r M o n th D a y 2 0 2 0 O c t S e p A u g Ju l Ju n M a y A p r 1 1 1 1 1 1 1 4 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 t o t a l_ c a s e s 0 4 / O c t/ 2 0 2 0 T i m e  S e r i e s  P l o t o f  to ta l _ c a s e s  I n d o n e s i a Y e a r M o n th D a y 2 0 2 0 O c t S e p A u g Ju l Ju n M a y A p r 1 1 1 1 1 1 1 8 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 t o t a l_ c a s e s 0 5 / O c t/ 2 0 2 0 T i m e  S e r i e s  P l o t o f  to ta l _ c a s e s  A r m e n i a
Gambar 3.1. Time Series Plot Kasus Kumulatif Covid-19 dan Kasus Baru Covid-19 di Indonesia dan Armenia
Y e a r M o n th D a y 2 0 2 0 O c t S e p A u g Ju l Ju n M a y A p r 1 1 1 1 1 1 1 2 5 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 n e w _ c a s e s 0 5 /O c t/2 0 2 0 T i m e  S e r i e s  P l o t o f  n e w _ c a s e s  A r m e n i a Y e a r M o n th D a y 2 0 2 0 O c t S e p A u g Ju l Ju n M a y A p r 1 1 1 1 1 1 1 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 n e w _ c a s e s 0 4 /O c t/2 0 2 0 T i m e  S e r i e s  P l o t o f  n e w _ c a s e s

## Andy Rezky Pratama Syam

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Berdasarkan Time Series plot-nya, kasus kumulatif Covid-19 yang terjadi di kedua negara masih cenderung meningkat dan kurva yang terlihat belum melandai. Namun jika dilihat dari plot kasus  baru  Covid-19  nya,  plot  negara  Indonesia  masih  terus  meningkat  dan  bertambah  setiap harinya,  sehingga  belum  terlihat  kasus  baru  mencapai  puncaknya.  Sedangkan  untuk  negara Armenia,  terlihat  bahwa  pada  bulan  Juni  2020  telah  mencapai  puncak  kasus  baru  Covid-19  dan cenderung menurun hingga bulan September. Gelombang kedua kasus baru Covid-19 di Armenia dimulai  pada  pertengahan  bulan  September  dan  masih  melonjak  tajam  sampai  saat  ini.  Kasus tertinggi  di  Indonesia  terjadi  pada  tanggal  9  Oktober  2020  dan  kasus  tertinggi  di  Armenia  pada tanggal 25 Oktober 2020.

## 3.2 Nonlinear Regression with Modified Logistic Growth Model
Berdasarkan  informasi  dari Time  Series  Plot kasus  kumulatif  dan  kasus  baru  Covid-19, akan dilakukan peramalan terhadap kedua negara terkait kapan berakhirnya pandemi covid-19 dan kapan  titik  puncak  penambahan  kasus  baru  coid-19.  Sebelumnya,  terlebih  dahulu  dilakukan pencarian  model Nonlinear  Regression yang  bersesuaian  dengan  kurva  yang  terbentuk  pada time series  plot .  Bentuk  regresi  yang  bersesuaian  untuk  negara  Indonesia  adalah  bentuk Nonlinear Regression  with  Logistic  Growth  Model sedangkan  untuk  negara  Armenia  tidak  dapat  hanya menerapkan Regression  with  Logistic  Growth  Model ,  tetapi  terlebih  dahulu  dilakukan  modifikasi terhadap Logistic  Growth  Model nya  karena  di  negara  Armenia  terdapat  dua  puncak,  sehingga model Regression with Logistic Growth Model saja tidak bisa merepresentatifkan dengan keadaan sebenarnya  di  negara  Armenia.  Pembentukan  model  menggunakan  data  Training  untuk  masing- masing negara. Berdasarkan hasil pembentukan model Nonlinear Regression nya, diperoleh model untuk masing masing negara sebagai berikut :
 Indonesia ( Logistic Growth Model )
In Total = Theta1 + (Theta2 - Theta1) / (1 + exp((t - Theta3) / Theta4)) In Total = 1200000 + (0 – 1200000) / (1 + exp((t - 269.631) / 48.7059))
 Armenia ( Modified Logistic Growth Model )
In Total  = Theta1 + (Theta2 - Theta1) / (1 + exp((t - Theta3) / Theta4)) +(Theta5 + (Theta6 - Theta5) / (1 + exp((t - 117 - Theta7) / Theta8))) In Total   = 4430.3 + (0 – 44330.4) / (1 + exp((t – 117) / 18.9654)) + (170000 + (0 – 170000) / (1 + exp((t – 142) / 14.43)))
Model  tersebut  dibangun  dengan  melihat time  series  plot kasus  kumulatif  Covid-19  dan kasus baru Covid-19 kedua negara. Dimana Theta 1 menunjukkan kasus kumulatif tertinggi, Theta 2 menunjukkan  titik  terendah  atau  titik  mulai  dari  kurva, Theta  3 menunjukkan  indeks  atau  hari ketika puncak kasus baru terjadi, dan Theta 4 . Begitu pula untuk kasus di Armenia yang memiliki 2 puncak  kasus,  sehingga  menggunakan Modified  Logistic  Growth sehingga theta yang  digunakan menjadi 2 kali. Berdasarkan model, dapat dilakukan fitting antara data Training dengan data yang diperoleh  dari  model  yang  telah  dibuat.  Sehingga  hasil time  series plotnya  dapat  dilihat  sebagai berikut :

## Andy Rezky Pratama Syam

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 t D a t a T r a in in g I N D O N E S I A In  T o ta l =  1 .2 e +0 0 6  + ( 0  -  1 .2 e +0 0 6 )  / ( 1  + e xp ( ( t -  2 6 9 .6 3 1 ) /  4 8 .7 0 5 9 ) ) Gambar 3.2 . Time Series Plot Data Training kasus kumulatif dan Data Prediksi dari Model
Berdasarkan time series plot gambar 3.2, terlihat bahwa data Training yang disandingkan dengan data yang dihasilkan oleh model yang dibentuk sangat fit . Sehingga model yang terbentuk terbukti  baik  secara  visual.  Agar  lebih  jelas,  dapat  dilihat  pada time  series  plot antara  data  kasus baru dengan data hasil Differences lag 1 yang dihasilkan model sebagai berikut :
5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 1 7 0 0 0 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 In d e x D a t a I n  N e w C 9 V a r ia b le I N D O N E S I A
Gambar 3.3. Time Series Plot Data Training kasus baru dan Data Prediksi dari Model
Gambar  3.3  menjelaskan Time  Series  Plot pada  model  Indonesia  dapat  mencakup  semua dengan  baik  data Training kasus  baru,  sehingga  secara  moderat  dapat  digunakan  untuk memprediksi kapan kasus covid-19 mencapai puncaknya dan kapan kasus covid-19 akan berakhir. Sedangkan untuk model negara Armenia, hasil modifikasi model logistic growth dapat menjelaskan data Training kasus baru dengan baik juga, sehingga dapat digunakan untuk menjawab tujuan dari penelitian.
Selanjutnya akan dilakukan penghitungan MAPE untuk data hasil ramalan di kedua negara menggunakan  data Testing .  Berdasarkan  model  yang  telah  dibuat,  akan  diperoleh  hasil  prediksi atau ramalan terhadap 1 hari kedepan, 3 hari kedepan, 7 hari kedepan, 14 hari kedepan dan 21 hari kedepan untuk masing-masing negara. Hasil nya sebagai berikut :
Tabel 3.2 Nilai MAPE metode Non liner Regression with Logistic Growth Negara training Forecast 1 3 7 14 21 Indonesia 27.64 1.50 1.75 2.07 2.73 3.56 Armenia 12.71 0.37 0.66 1.31 2.11 2.19
5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 t D a t a T r a in in g A R M E N IA In  T o ta l =  4 4 3 3 0 .4  + (0  -  4 4 3 3 0 .4 ) / (1  + e xp ((t -  1 1 7 ) / 1 8 .9 6 5 4 )) + (1 7 0 0 0 0  + ... 5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 1 3 5 0 0 3 0 0 0 2 5 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 In d e x D a t a I n  N e w C 18 V a r ia b le A R M E N I A

## Andy Rezky Pratama Syam

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Tabel  3.2  menunjukkan  nilai  MAPE  untuk  setiap  hasil  forecast  yang  dilakukan. Berdasarkan  tabel  tersebut,  dapat  dikatakan  bahwa  metode Nonliner  Regression  with  Logistic Model memiliki  kemampuan  peramalan  yang  sangat  baik  karena  nilai  MAPE  nya  dibawah  10 persen. Nilai MAPE juga menunjukkan bahwa semakin jauh peramalan yang dilakukan, maka nilai MAPE yang dihasilkan juga akan semakin membesar.
3.3 Metode Hybrid (Nonlinear Regression with Modified Logistic Growth Model + Double Smoothing Exponensial)
Tahapan  selanjutnya  yang  dilakukan  untuk  membuat  metode Hybrid yaitu  dengan memodelkan residual yang dihasilkan pada saat membuat model Nonlinear Regression . Pemodelan yang  digunakan  terhadap  residual Nonlinear  Regression adalah  metode Double  Smoothing Exponensial .  Metode Hybrid yang  digunakan  ini,  diharapkan  dapat  meningkatkan  akurasi peramalan terhadap data Covid-19 dan juga membuat data semakin konvergen. Berdasarkan hasil pemodelan  residual  dengan  metode Double  Smoothing  Exponensial ,  dilakukan  kembali  plotting data Training terhadap hasil pemodelannya. Time Series plot nya sebagai berikut:
5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 1 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 In d e x D a t a I n  T o ta l H I B R I D V a r ia b le I N D O N E S I A
Gambar 3.4. Time Series Plot Data total kasus kumulatif dan Data Prediksi dari Model Hybrid
Berdasarkan  plot  gambar  3.4,  terlihat  bahwa  setelah  dilakukan  penghitungan  dengan metode Hybrid ,  data  total  kasus  kumulatif  di  Indonesia  maupun  di  Armenia  secara  visual  sudah kovergen  dan  sesuai  dengan  data  prediksi  yang  dihasilkan  dari  model.  Namun,  untuk  lebih akuratnya  hasil  pengamatan,  dapat  pula  dilihat  secara  visual  dari  data  kasus  baru  untuk  kedua negara dibandingkan dengan data hasil Differencing pemodelan secara Hybrid . Adapun time series plot yang dihasilkan sebagai berikut :
Gambar 3.5. Time Series Plot Data Training kasus baru dan Data Prediksi dari Model Hybrid
5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 1 2 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 In d e x D a t a I n  T o ta l H I B R I D V a r ia b le A R M E N I A 5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 1 3 5 0 0 3 0 0 0 2 5 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 In d e x D a t a n e w _c a se s C 16 V a r ia b le A R M E N I A 5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 0 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 1 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 In d e x D a t a n e w _c a se s C 16 V a r ia b le I N D O N E S I A

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Gambar  3.5  dapat  digunakan  untuk  menentukan  puncak  kasus  covid-19  di  Indonesia  dan Armenia,  serta  dapat  meramalkan  kapan  covid-19  berakhir  di  kedua  negara  tersebut.  Selanjutnya akan  dilakukan  penghitungan  nilai  MAPE  untuk  setiap  negara.  Hasil  perhitungan  MAPE  nya sebagai berikut :
Tabel 3.3 Nilai MAPE metode Hybrid Negara Forecast 1 3 7 14 21 Indonesia 0.14 0.35 0.60 1.16 1.91 Armenia 0.02 0.33 1.02 1.87 1.99
Nilai  MAPE  yang  dihasilkan  metode Hybrid memiliki  kecendrungan  yang  sama dengan  nilai  MAPE  pada  metode Nonlinear  Regression yaitu  semakin  jauh  dilakukan peramalan, maka nilai MAPE yang dihasilkan juga semakin besar.

## 3.4 Naïve Method
Metode Naïve digunakan  dalam  penelitian  ini  sebagai  pembanding  kebaikan  model  dari model Nonlinear Regression dan Hybrid yang dibuat. Metode Naïve tidak dapat digunakan untuk melakukan prediksi atau peramalan terhadap isu mengenai kapan puncak kasus Covid-19 di kedua negara  tersebut  dan  kapan  pandemi  covid-19  berakhir.  Berdasarkan  hasil  perhitungan  MAPE terhadap kedua negara, didapatkan hasil sebagai berikut :
Tabel 3.4 Nilai MAPE metode Naïve Trend Linear Negara training Forecast 1 3 7 14 21 Indonesia 2.68 0.10 0.25 0.33 0.45 0.64 Armenia 1.70 0.02 0.23 0.32 1.09 3.92
Tabel 3.5 Nilai MAPE metode Naïve Trend Exponensial Negara training Forecast 1 3 7 14 21 Indonesia 3.78 0.12 0.32 0.57 1.24 2.25 Armenia 2.69 0.01 0.24 0.43 0.85 3.25
Tabel  3.4  dan  tabel  3.5  menunjukkan  nilai  MAPE  dari  metode Naïve  Trend  Linear dan Naïve Trend Exponensial . Nilai MAPE yang dihasilkan di kedua negara baik untuk data training , peramalan  untuk  1  hari  kedepan,  3  hari  kedepan,  7  hari  kedepan,  14  hari  kedepan  dan  21  hari kedepan  menunjukkan  nilai  dibawah  10  persen,  yang  artinya  kemampuan  metode Naïve  Trend Linear dan Naïve Trend Exponensial dalam melakukan peramalan sangat baik.

## Andy Rezky Pratama Syam

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## 3.5 Hasil Forecasting
Berdasarkan beberapa metode yang telah dibahas, akan dilakukan penggabungan data hasil forecast  dari  masing  masing  metode.  Berikut  merupakan Time  Series  Plot hasil forecast dari beberapa metode yang telah dibahas.
2 0 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 4 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 8 0 0 0 0 3 6 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 In d e x D a t a A k tu a l H y b r id L o g istic N a iv e  L in e a r N a iv e  E x p V a r ia b le I N D O N E S I A
Gambar 3.6 . Time Series Plot Data aktual, Hybrid, Logistic, Naïve Linear dan Naïve Exponensial
Gambar 3.6 menunjukkan perbandingan data hasil forecast dari setiap metode dengan data aktual. Di Indonesia, semua hasil forecast mengikuti kurva dari data aktual, sedangkan di Armenia, secara visual metode Hybrid dan Nonlinear Regression lebih mendekati pola dari data aktual.

## 3.6 Perbandingan Akurasi dan Peramalan
Untuk  mengetahui  metode  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk  melakukan  peramalan, maka  akan  dilakukan  perbandingan  nilai  MAPE  untuk  setiap  metode  di  kedua  negara.  Namun, untuk keperluan prediksi dan peramalan kapan puncak covid-19 di kedua negara dan kapan covid- 19  berakhir  di  kedua  negara,  hanya  bisa  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Nonlinear Regression with Logistic Growth Model dan metode Hybrid . Ringkasan perbandingan nilai MAPE dari ke 4 metode yang digunakan dapat dilihat pada tabel berikut :
Tabel 3.6 Nilai MAPE setiap metode di Indonesia Metode Hasil Forecast Indonesia 1 3 7 14 21 NLR Logistic Growth 1.50 1.75 2.07 2.73 3.56 Hybrid (NLR+DES) 0.14 0.35 0.60 1.16 1.91 Naïve Trend Linear 0.10 0.25 0.33 0.45 0.64 Naïve Trend Exponensial 0.12 0.32 0.57 1.24 2.25 Tabel 3.7 Nilai MAPE setiap metode di Armenia Metode Hasil Forecast Armenia 1 3 7 14 21 NLR Modified Logistic Growth 0.37 0.66 1.31 2.11 2.19 Hybrid (NLR+DES) 0.02 0.33 1.02 1.87 1.99 Naïve Trend Linear 0.02 0.23 0.32 1.09 3.92 Naïve Trend Exponensial 0.01 0.24 0.43 0.85 3.25
2 0 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 6 4 2 7 5 0 0 0 7 0 0 0 0 6 5 0 0 0 6 0 0 0 0 5 5 0 0 0 5 0 0 0 0 In d e x D a t a A k tu a l H y b r id L o g istic N a iv e  L in e a r N a iv e  E x p V a r ia b le A R M E N I A

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Berdasarkan  data  nilai MAPE  yang  disajikan  pada tabel  3.6  dan tabel  3.7, semua  metode yang digunakan dalam melakukan peramalan memiliki nilai MAPE di bawah 10 persen, sehingga dapat  dikatakan  semua  metode  yang  digunkan  memiliki  kemampuan  yang  sangat  baik  dalam melakukan  peramalan.  Selain  itu,  terlihat  bahwa  nilai  MAPE  metode Naïve (Baik Naïve  Trend Linear maupun Naïve  Trend  Exponensial )  sangat  cocok  untuk  peramalan  yang  dilakukan  dalam jangka  yang pendek. Namun, kelemahan dari metode naïve ini yaitu ketidakmampuan  metode ini untuk  melakukan  prediksi  kapan  puncak  kasus  Covid-19  dan  kapan  kasus  covid-19  berakhir. Sehingga,  untuk  keperluan  menjawab  tujuan  dari  penelitian,  dapat  digunakan  hasil  prediksi  atau peramalan dari  metode Hybrid  Nonlinear  Regression  With  Modified  Logistic  Growth dan Double Exponensial Smoothing .
Berdasarkan  hasil forecast menggunakan  metode Hybrid  Nonlinear  Regression  With Modified Logistic Growth dan Double Exponensial Smoothing , puncak kasus Covid-19 di Negara Indonesia di prediksi terjadi pada tanggal 26 November 2020 dengan jumlah kasus mencapai 5968 kasus.  Sedangkan  untuk  Negara  Armenia,  puncak  kasus  Covid-19  akan  terjadi  pada  tanggal  15 November  2020  dengan jumlah  kasus  mencapai  3098  kasus.  Kasus  di  negara  Armenia  diprediksi lebih dahulu mengalami penurunan kasus dibandingkan Indonesia.
Sedangkan untuk prediksi kapan covid-19 berakhir di kedua negara, dapat pula dilihat dari time seris plot yang dihasilkan metode Hybrid . Berdasarkan time series plotnya , covid-19 di kedua negara  di  prediksikan  baru  akan  turun  dan  konstan  di  tahun  2021.  Untuk  negara  Indonesia diprediksi akan mulai stabil dan terkontrol pada bulan juli – agustus tahun 2021. Sedangkan untuk negara Armenia, Covid-19 di prediksi akan terkendali dan mendekati 0 kasus pada bulan februari – maret  tahun  2021.  Pandemi  Covid-19  lebih  cepat  berakhir  di  negara  Armenia  di  bandingkan Indonesia, dimana Armenia telah pernah melakukan penanggulangan pada saat gelombang 1 covid- 19, sedangkan Indonesia masih belum mencapai puncak kasus covid-19 sampai saat ini. Inilah yang mengasumsikan  bahwa  prediksi  covid-19  di  Negara  Armenia  akan  lebih  cepat  berakhir  di bandingkan di Indonesia.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa poin, yaitu :
 Model  peramalan  terhadap  kasus  Covid-19  di  Indonesia  dan  Armenia  berbeda,  dimana untuk  kasus  covid-19  di  Indonesia  dapat  digunakan  metode Nonlinear  Regression  with Logistic  Growth  Model dan  untuk  negara  Armenia,  harus  menggunakan Nonlinear Regression with Modified Logistic Growth Model karena memiliki 2 puncak kasus.
 Metode Naïve sangat  baik  digunakan  untuk  melakukan  peramalan  dalam  jangka  yang pendek untuk kasus covid-19 di kedua negara karena dapat menghasilkan nilai MAPE yang sangat  presisi.  Namun  metode  ini  tidak  dapat  membantu  dalam  penentuan  titik  puncak kasus covid-19 dan kapan berakhirnya pandemi covid-19 ini.
 Metode Hybrid merupakan metode yang sangat baik untuk mengoptimalkan hasil ramalan. Penerapannya  pada  kasus  Covid-19  di  Indonesia  dan  di  Armenia  menunjukkan  bahwa metode Hybrid menghasilkan nilai MAPE yang lebih baik dibandingkan metode Nonlinear Regression  with  Logistic  Growth  Model saja  ataupun  metode Double  Smoothing Exponensial saja.
 Puncak kasus Covid-19 di Negara Indonesia di prediksi terjadi pada tanggal 26 November 2020  dengan  jumlah  kasus  mencapai  5968  kasus.  Sedangkan  untuk  Negara  Armenia, puncak kasus Covid-19 akan terjadi pada tanggal 15 November 2020 dengan jumlah kasus

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
mencapai  3098  kasus.  Kasus  di  negara  Armenia  diprediksi  lebih  dahulu  mengalami penurunan kasus dibandingkan Indonesia.
 Covid-19 di kedua negara di prediksikan baru akan turun dan konstan di tahun 2021. Untuk negara Indonesia diprediksi akan mulai stabil dan terkontrol pada bulan juli – agustus tahun 2021.  Sedangkan  untuk  negara  Armenia,  Covid-19  di  prediksi  akan  terkendali  dan mendekati 0 kasus pada bulan februari – maret tahun 2021.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Bates,  D.  M.  &  Watts,  D.G.  (2007). Nonlinear  Regression  Analysis  and  Its  Applications . New York: John Wiley & Sons
[2] Chen, K.Y. and Wang, C.H., 2007. A hybrid SARIMA and support vector machines in  forecasting  the  production  values  of  the  machinery  industry  in  Taiwan. Expert Systems with Applications , 32 (1), pp.254-264
[3] Faical  Ndairou  and  Ivan  Area  and  Juan  J.  Nieto  and  Del_m  F.M.  Torres, Mathematical Modeling  of  COVID-19  Transmission  Dynamics  with  a  Case  Study  of  Wuhan,  Chaos, Solitons & Fractals 109 (2020), 109846
[4] J. E. Hanke, D. W. Wichern, dan A. G, Reitsch, “ Peramalan Bisnis Edisi Ke-7 (terj.) ”, Alih Bahasa: Anantanur, D, Klaten: PT Intan Sejati,  2005
[5] Neter,  J.,  Kutner,  M.H.,  Nachtsheim,  C.J.  and  Wasserman,  W.  (1996)  Applied  Linear Statistical Models. 4th Edition, WCB McGraw-Hill, New York
[6] Purnama,  D.I  (2020), Model  Hybrid  Seasonal  Autoregressive  Integrated  Moving  Average (Sarima)-Support Vector Regression (Svr) Dan Penerapannya Pada Harga Gabah Nasional . Tesis  :  Universitas  Padjadjaran,  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  ALam  / Statistika Terapan
[7] S.Makridakis, S. C.Wheelwright dan V. E. McGee, “ Metode dan Aplikasi Peramalan Jilid 1 Edisi Revisi (terj.) ”, Alih Bahasa: Hari Suminto, Jakarta: Binapura Aksara. 1999
[8] Silvester, Arista. 2019. Model Regresi Non Linear dan Penerapannya . Skripsi : Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, Fakultas Sains dan Teknologi.
[9] Wei,  W.W.S.  2006. Time  Series  Analysis:  Univariate  and  Multivariate  Methods ,  Second Edition. New York : Pearson Education
[10]  Yudaruddin,  Rizky,  " Forecasting  untuk  Kegiatan  Ekonomi  dan  Bisnis "  RV  Pustaka Horizon. 2019