## Solusi Reisner-Nordstr¨om dalam Teori Gravitasi f ( R )
Abu Fadlol, ∗ Agus Purwanto, dan Bintoro A. Subagyo †
Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 60111
Intisari
Dalam artikel ini diperoleh solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi f ( R ) . Menghitung tensor Ricci dan tensor energi momentum yang bersesuaian, didapatkan solusi untuk benda bermuatan dan bermassa masif. Solusi yang didapatkan merupakan perumuman dari solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi Einstein. Didapatkan empat buah nilai singularitas untuk solusi ini.

## Abstract
In this article we present solutions of Reisner-Nordstr¨om in f ( R ) theory of gravity. We calculated corresponding Ricci and enegy-momentum tensor as well as their general solutions for charged and massive matter field. The solution is a more common form of the Reisner-Nordstr¨om solution in Einstein theory of gravity. We obtained four singularities for this solution.
K ATA KUNCI : Reisner-Nordstr¨om solution, f ( R ) theory of gravity, Einstein theory of gravity, singularity

## I. PENDAHULUAN
Pada beberapa dekade terkhir untuk menjelaskan penga- matan astrofisika yang berhubungan dengan kurva rotasi dari galaksi spiral kita memunculkan konsep tentang dark matter . Tak lama kemudian kembali kita dipaksa menerima konsep dark energy untuk menjelaskan akselerasi dari ekspansi alam semesta yang didukung oleh pengamatan pergeseran merah dari supernova [1].
Adanya indikasi materi gelap pertama kali diamati oleh Frits Zwicky [2] dengan mengamati gerak galaksi-galaksi anggota gugus galaksi Coma berdasarkan kecepatan gerak. Kemudian Vera Rubin [3], meneliti kecerahan bintang dan gas yang bergerak pada beberapa galaksi di sekitar galaksi Bima Sakti menggunakan spektrograf. Pengamatan yang terke- nal adalah bullet cluster , tabrakan antar dua kluster galaksi. Tabrakan kedua kluster galaksi tersebut mengakibatkan pusat massa tiap kluster, yang seharusnya di pusat massa baryon, ternyata tidak berada di pusat baryon. Sehingga seolah ada massa ’tambahan’ yang tidak terlihat tapi bisa dideteksi melalui perlensaan gravitasi. Adanya massa tambahan ini- lah terindikasi adanya materi gelap. Keberadaan materi gelap ini bersifat stabil, tidak berinteraksi elektromagnetik dan bisa dideteksi keberadaannya melalui interaksi gravitasi. Fenome- na bullet cluster menunjukkan sifat interaksi antar materi gelap sendiri ternyata cukup lemah [4].
Saat ini, keberadaan materi tampak pada alam semesta diperkirakan sekitar 4% dari keseluruhan massa dan energi. Sekitar 23% disebut materi gelap (patikel-partikel yang berin- teraksi hanya melalui interaksi lemah dan gravitasi), dan 73% adalah energi gelap. Kandidat energi gelap terbaik memi-
∗ E- MAIL : fadlol13@mhs.physics.its.id † E- MAIL : b \ anang@physics.its.ac.id
liki konstanta kosmologi positif sangat kecil yang diidenti- fikasi pada energi vakum dalam model standar [5]. Di sisi lain, kajian mengenai modifikasi persamaan medan Einstein dilakukan dengan mengesampingkan asumsi indikasi keber- adaan materi gelap dan energi gelap [1]. Hal ini mendorong telaah lebih jauh mengenai modifikasi gravitasi Einstein yang mengakomodasi ketidakhadiran materi gelap dan energi gelap [1].
Salah satu modifikasi yang paling sederhana pada teori gravitasi Einstein adalah dengan menambah suku invariant dengan orde yang lebih tinggi dalam aksi Einstein-Hilbert standar, yang disebut sebagai teori gravitasi berorde tinggi. Penambahan suku ini dimotivasi oleh permasalahan dalam kosmologi dan astrofisika[6]. Sebagai contoh, kasus yang mempertimbangkan pengaruh orde tinggi dari kurvatur adalah apa yang disebut dengan teori gravitasi f ( r ) (lihat [7],[6],[8] untuk review). Pada teori gravitasi f ( r ) , aksi merupakan sem- barang fungsi dari kurvatur skalar R . Ketika f ( R ) = R , teori kembali menjadi gravitasi Einstein semula.
Teori gravitasi f ( R ) membentuk suatu persamaan medan yang merupakan modifikasi dari teori gravitasi Einstein. Dalam penelitian ini akan dicari solusi persamaan medan gravitasi f ( R ) untuk benda bermuatan dan bermassa masif.

## II. TEORI GRAVITASI f ( R )
Teori gravitasi f ( R ) merupakan salah satu jenis modi- fikasi teori gravitasi Einstein, dengan R merupakan skalar kelengkungan Ricci. Teori gravitasi f ( R ) diusulkan per- tama kali oleh Hans Adolp Buchdahl pada tahun 1970 [9]. Teori gravitasi f ( R ) ditinjau dengan pendekatan metrik, un- tuk keperluan kajian solusi yang mungkin dari teori gravitasi f ( R ) , kita mulai dari aksi
I = I g + I m , (1)
c Jurusan Fisika FMIPA ITS
dengan I m merupakan aksi massa dan I g adalah aksi gravitasi:
I g = 1 16 πG Z d 4 x √ − g ( R + f ( R )) . (2)
Memvariasi aksi Pers.(1) tersebut terhadap g µν , akan kita dapatkan persamaan medan dalam bentuk metrik:
R µν (1 + F ( R )) − 1 2 g µν ( R + f ( R )) + ( ∇ µ ∇ ν − g µν ) F ( R ) = 8 πGT µν , (3)
dengan
= ∇ α ∇ α ( ∇ adalah turunan kovarian) dan F ( R ) = df ( R ) /dR . Perhitungan trace dari Pers. (3) menghasilkan :
R (1 + F ( R )) − 2( R + f ( R )) − 3 F ( R ) + 8 πG = 0 . (4)
Tidak seperti dalam teori gravitasi Einstein, solusi vakum ( T = 0 ) tidak selalu mengimplikasikan nilai nol pada skalar kurvaturnya R = 0 . Dari Pers.(3), dapat diperoleh kondisi dengan konstanta vakum untuk skalar kurvatur R = R 0 : R µν (1 + F ( R )) − 1 2 g µν ( R 0 + f ( R 0 )) = 0 , (5)
sehingga tensor Riccinya dapat dituliskan:
R µν = R 0 + f ( R 0 ) 2(1 + F ( R 0 )) g µν , (6)
dengan 1 + F ( R 0 ) 6 = 0 . Jika kita ambil trace dari Pers.(5),
R 0 (1 + F ( R )) − 2( R 0 + f ( R 0 )) = 0 , (7)
kita akan peroleh konstanta kurvatur solusi vakum
R 0 = 2 f ( R 0 ) F ( R 0 ) − 1 . (8)

## III. SOLUSI REISNER-NORDSTR ¨ OM DALAM TEORI GRAVITASI f ( R )
Solusi Reisner-Nordstr¨om adalah solusi persamaan medan untuk suatu benda bermuatan dan bermassa masif. Jika massa benda m bermuatan total q , maka nilai tensor energi momen- tum dalam persamaan medan adalah tensor energi momentum untuk medan elektro magnetik yang disebabkan oleh muatan total q .
Tensor energi momentum dalam kasus ini adalah:
T µν = − F γ ν F µγ + 1 4 g µν F γλ F γλ , (9)
dengan F µν merupakan tensor kuat medan
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (10)
Untuk mendapatkan solusi Reisner-Nordstr¨om, kita mulai dari elemen garis untuk kasus simetri bola
ds 2 = − e 2 ν ( r ) dt 2 + e 2 λ ( r ) dr 2 + r 2 d Ω 2 , (11)
dengan d Ω 2 = dθ 2 +sin 2 θdφ 2 . Elemen garis Pers.(11), mem- berikan bentuk tensor metrik kovarian g µν berikut
g µν =     − e 2 ν 0 0 0 0 e 2 λ 0 0 0 0 r 2 0 0 0 0 r 2 sin 2 θ     , (12)
dengan bentuk kontravarian dari tensor metrik diatas yaitu
g µν =     − e − 2 ν 0 0 0 0 e − 2 λ 0 0 0 0 r − 2 0 0 0 0 r − 2 sin − 2 θ     . (13)
Nilai dari simbol Christoffel jenis ke-2 dari tensor metrik di atas adalah
Γ ρ µν = g ρσ Γ σ,µν = 1 2 g ρσ ( ∂ ν g µσ + ∂ µ g νσ − ∂ σ g µν ) (14)
yang berjumlah sebanyak 64 komponen. Komponen- komponen yang tidak bernilai 0 adalah:
Γ 0 01 = Γ 0 10 = ν 0 Γ 1 00 = ν 0 e (2 ν − 2 λ ) Γ 1 11 = λ 0
Γ 1 22 = − re − 2 λ Γ 1 33 = − r sin 2 θ e − 2 λ Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r
Γ 2 33 = − sin θ cos θ Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r Γ 3 23 = Γ 3 32 = cot θ
Tensor Ricci-nya:
R µν = ∂ ν Γ σ µσ − ∂ σ Γ σ µν + Γ ρ µ ν Γ σ ρν − Γ ρ µν Γ σ ρσ . (15)
Komponen-komponen simbol
Cristoffel memberikan komponen-komponen tensor Ricci yang tidak nol sebagai berikut
R 00 = − ν 00 + ν 0 λ 0 − ν 0 2 − 2 ν 0 r e 2 ν − 2 λ R 11 = ν 00 + ν 0 2 − λ 0 ν 0 − 2 λ 0 r R 22 = (1 − λ 0 r + ν 0 r ) e − 2 λ − 1 R 33 = sin 2 θR 22 (16)
Solusi yang akan dicari adalah solusi dengan konstanta kur- vatur pada keadaan vakum R 0 untuk sebuah objek bermassa masif. Pada kasus ini, Pers.(3) menjadi
R µν (1 + f ( R 0 )) − 1 2 g µν ( R 0 + F ( R 0 )) = 8 πGT µν (17)
R0 =- 0.6 R0 =- 0.5 R0 =- 0.4 R0 =- 0.3 R0 =- 0.2 R0 =- 0.1 1 2 3 4 r - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Delta R0 < 0
Gambar 1: R 0 < 0 pada solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi f ( R )
atau
R µν = 1 2 ( R 0 + f ( R 0 )) (1 + F ( R 0 )) g µν + 8 πGT µν (1 + F ( R 0 )) = R 0 4 g µν + 8 πGT µν (1 + F ( R 0 )) . (18)
Nilai dari komponen tensor energi momentum yang tidak nol
T 00 = − 1 2 k 2 e − 2 λ T 11 = 1 2 k 2 e − 2 ν
T 22 = − 1 2 r 2 k 2 e − 2 λ − 2 ν T 33 = − 1 2 r 2 k 2 e − 2 λ − 2 ν sin 2 θ, (19)
dengan k = q/ 4 π 0 r 2 .
Menggunakan Pers.(18) dan Pers.(16) akan diperoleh λ = − ν , sehingga bagian R 22 memberikan
(1 + 2 ν 0 r ) e 2 ν − 1 = R 0 4 r 2 − 8 πG 2(1 + F ( R 0 )) r 2 k 2 ,
evaluasi lebih lanjut menghasilkan
e 2 ν = 1 + R 0 12 r 2 − 2 m r + Q 2 r 2 (1 + F ( R 0 )) , (20)
dengan Q 2 = Gq 2 / 4 π 2 0 yang menyatakan parameter muatan listrik dan m menyatakan parameter massa.
Subtitusikan Pers.(20) dalam Pers. (11) akan memberi ele- men garis
ds 2 = − ∆ r 2 dt 2 + r 2 ∆ dr 2 + r 2 d Ω 2 , (21)
dengan
∆ = r 2 + R 0 12 r 4 + Q 2 1 + F ( R 0 ) − 2 mr, (22)
Elemen garis pada Pers.(21) dapat disebut sebagai solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi f ( R ) . Tidak seperti dalam kasus teori gravitasi Einstein, kontribusi muatan par- tikel dalam metrik memiliki tambahan faktor koreksi (1 + F ( R )) − 1 . Sebagai penyederhanaan, Q 2 (1 + F ( R 0 )) − 1 kita tuliskan sebagai ˜ Q 2 .
Metrik Pers.(21) akan menjadi takhingga nilainya atau si- ngularitas jika dipenuhi
∆ = r 2 + R 0 12 r 4 − 2 mr + ˜ Q 2 = 0 . (23)

## IV. PEMBAHASAN
Bentuk Pers.(23) akan memberikan empat nilai untuk r yaitu r − , r dalam , r luar dan r k . r − merupakan solusi r yang selalu negatif sehingga kita abaikan. Dua titik perpotongan menyatakan r dalam r dalam , r luar adalah solusi yang seban- ding dengan solusi r untuk di dalam dan luar benda sedangkan r k adalah solusi baru yang belum kita ketahui dampaknya. Analisis hubungan antara r dan ∆ dilakukan dengan meng- analisis grafik yang diperoleh dari hubungan keduanya.
Untuk kasus R 0 < 0 (Gambar 1) dapat dilihat ada bebe- rapa nilai R 0 yang menghasilkan tiga buah perpotongan pada sumbu r , yaitu r − , r dalam , r luar dan r k . Dari Gambar 1 terli- hat bahwa
r dalam < r luar < r k . (24)
r dalam dan r luar merupakan cakrawala peristiwa seperti hal- nya di teori relativitas Einstein untuk kasus benda statik bermuatan (Untuk solusi dalam relativitas Einstein lihat [10]).
R0 = 0.1 R0 = 1 R0 = 8 R0 = 100 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r - 1 1 2 3 4 Delta R0 > 0
Gambar 2: R 0 > 0 pada solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi f ( R )
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r - 1 1 2 3 Delta R0 = 0
Gambar 3: R 0 = 0 pada solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi f ( R )
Singularitas r k merupakan sumbangsih dari suku R 0 , singu- laritas ini berkaitan dengan singularitas kosmik. Untuk ni- lai R 0 > 0 , Gambar 2 menunjukkan adanya dua perpotong- an grafik pada sumbu r . Hal ini menunjukkan nilai r k pada R 0 > 0 akan menghilang.
Jika R 0 = 0 atau limit teori gravitasi Einstein, maka
∆ = r 2 + R 0 12 r 4 − 2 mr + ˜ Q 2 ,
akan menjadi
∆ = r 2 − 2 mr + Q 2
yang hanya mempunyai dua singularitas yaitu di r dalam dan r luar seperti ditunjukkan Gambar 3, untuk nilai R 0 = 0 atau kasus limit teori gravitasi Einstein akan diperoleh per- potongan pada dua titik di sumbu r . Hal ini sesuai dugaan
bahwa untuk R 0 = 0 , maka kasus dalam teori gravitasi f ( R ) akan kembali solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori relatifitas umum [10],[11].

## V. SIMPULAN
Solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi f ( R ) di- tunjukkan oleh Pers.(21). Solusi ini akan mencapai singu- laritas jika Pers.(23) dipenuhi. Singularitas yang diperoleh untuk kasus R 0 6 = 0 adalah r − , r dalam , r luar dan r k . Pada kasus R 0 < 0 , diperoleh tiga buah solusi yaitu r dalam , r luar dan r k . Sedangkan untuk R 0 > 0 diperoleh dua singula- ritas yaitu di r dalam dan r luar . Pada saat limit R 0 menuju 0 , singularitas solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravi- tasi f ( R ) akan menjadi singularitas solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi Einstein. Hal ini memberikan simpulan
bahwa solusi Pers.(21) merupakan bentuk yang lebih umum dari solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi Einstein. Singularitas r dalam dan r luar sama halnya dengan dua si- ngularitas dari solusi Reisner-Nordstr¨om dalam teori gravitasi
Einstein. Singularitas r k yang nilainya r dalam < r luar < r k memberi tafsiran bahwa ada tambahan singularitas untuk so- lusi Reisner-Nordstr¨om yang ukurannya lebih besar dari sin- gularitas yang dihasilkan dalam teori relativitas Einstein.
[1] T.P. Sotiriou, and V. Faraoni, Rev. Mod. Phys. 82 , 451-497 (2010). doi:10.1103/RevModPhys.82.451 [arXiv:0805.1726 [gr-qc]].
[2] W. Baade, F. Zwicky, On Super Novae , Proc Natl Acad Sci USA, 20 (20), 259-263 (1934).
[3] V.C. Rubin, and W.K. Ford, Jr., Astrophys. J. 159 , 379-404 (1970). doi:10.1086/150317
[4] D. Clowe, et al. , ApJ, 648 , L109-L113 (2006),.
[5] L. Fatibene, and S. Garruto, Extended Gravity , arXiv:1403.7036v1 [gr-qc] 27 Mar 2014.
[6] C.A. Spoera, Note on f ( R ) Theories of Gravity , arXive:1403.3852v2[gr-qc] 2014.
[7] A. De Felice, and S. Tsujikawa, Living Rev. Rel. 13 , 3 (2010). doi:10.12942/lrr-2010-3 [arXiv:1002.4928 [gr-qc]].
[8] S. Capozziello, and V. Faraoni, Beyond Einstein Gravity; A Survei of Gravitational Theories for Cosmology And Astro- physics (Springer,Napoli, 2011).
[9] H.A. Buchdahl, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 150 , 1-8 (1970).
[10] S.M. Carroll, Spacetime and geometry: An introduction to gen- eral relativity (San Francisco, USA: Addison-Wesley, 2004).
[11] L. Ryder, Introduction to general relativity (Cambridge, UK: Cambridge Univ. Pr., 2009).