## Journal of Authentic Research on Mathematics Education (JARME)

## STUDI LITERATUR REVIU: DINAMIKA PENALARAN DAN ARGUMENTASI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Sukirwan 1 , Dedi Muhtadi 2*
1 Universitas Sultan Ageng Tirtayasa, Jln. Raya Palka Km 3, Sindangsari 42163, Banten, Indonesia 2 Universitas Siliwangi, Jln. Siliwangi No. 24, Tasikmalaya 46115, Jawa Barat, Indonesia
* Corresponding Author: dedimuhtadi@unsil.ac.id

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  melakukan  studi  literatur  berkenaan  dengan  dinamika  penalaran dan argumentasi serta bagaimana penalaran dan argumentasi direkonstruksi dalam pembelajaran matematika. Beberapa  penelitian menunjukkan bahwa  problematika penalaran  berkaitan dengan kritik terhadap kekakuan dalam membangun argumentasi formal.  Hal tersebut telah memberikan tantangan  bagi  para  praktisi  pembelajaran  matematika  untuk  mengkaji  tentang  bagaimana penalaran  dan  argumentasi  dibangun  dalam  suatu  aktivitas  pembuktian  matematis  dan menempatkan  matematika  sebagai  aktivitas  manusia.  Penelitian  ini  menggunakan  metode  SLR ( Systematic  Literature  Review ).  Pengumpulan  data  dilakukan  dengan  mendokumentasikan  dan mereviu berbagai artikel  yang  berkaitan dengan  penalaran dan argumentasi  serta  penalaran dan bukti  matematis  pada  rentang  waktu  antara  2012-2022  termasuk  artikel-artikel  babon  yang ditemukan  pada  kurun  waktu  sebelumnya.  Sintesis  artikel  dilakukan  pada  10  artikel  jurnal internasional  yang  diperoleh  dari  database Google  Schoolar menggunakan  aplikasi  Publish  or Perish 8. Hasil penelitian menunjukkan bahwa: (1) studi penalaran dan argumentasi berfokus pada bagaimana  seseorang  bernalar  yang  sebenarnya,  dan  (2)  studi  penalaran  dan  argumentasi mencakup  studi  tentang:  kemampuan  argumentasi,  kualitas  penalaran,  struktur  argumentasi, taksonomi  skema  pembuktian,  tipe  argumentasi,  dan  justifikasi  argumentasi  yang  tetap  relevan hingga saat ini.
Kata kunci : pembelajaran matematika, pembuktian matematis, penalaran dan argumentasi

## Abstract
This study aims to conduct a literature study regarding the dynamics of reasoning and argumentation and how  reasoning  and  argumentation  are  reconstructed  in  teaching  and  learning  mathematics. Several studies  have  shown  that  the  reasoning  problem  is  related  to  criticism  of  rigidity  in  constructing formal  arguments.  This  has  provided  a  challenge  for  practitioners  of  learning  mathematics  to examine  how  reasoning  and  argumentation  are  built  in  a  mathematical  proof  activity  and  place mathematics as a human activity. This study uses the SLR (Systematic Literature Review) method. Data collection was carried out by documenting and reviewing various articles related to reasoning and argumentation as well as mathematical reasoning and proof in  2012-2022, including baboon articles found in the previous period. Article synthesis was carried out on ten international journal articles obtained from the Mendeley, ScienceDirect, and Google Scholar databases using the Publish or  Perish  eight  application. The  results  showed  that:  (1)  the  study  of  reasoning  and  argumentation focused on how a person reasoned, and (2) the study of reasoning and argumentation included the study of  argumentation  ability,  reasoning  quality,  argumentation  structure,  the  taxonomy  of  proof  schemes, types of arguments, and justification of valid arguments remain relevant today.
Keywords: teaching  and  learning  of  mathematics,  mathematical  proofing,  reasoning  and argumentation
235

## 1. Pendahuluan
Penalaran  merupakan  kemampuan  matematis  fundamental  yang inhern dalam pembelajaran matematika. Hal ini tidak terlepas dari fungsi dan peran penalaran yang berkaitan erat dengan berbagai kemampuan matematis lainnya, seperti: komunikasi, pemecahan masalah, berpikir kritis, dan sebagainya [1 - 4]. Penalaran juga terkait erat dengan argumentasi [5, 6] dan bukti matematis [7]. Istilah penalaran dan argumentasi maupun penalaran dan bukti merupakan dua istilah yang saling melengkapi dan tidak bisa  dipisahkan  satu  sama  lain.  Sedangkan  argumentasi  dan  bukti  merupakan  satu rangkaian  proses  matematis  yang  bersifat  hierarkis,  terutama  bila  bukti  dipandang sebagai sebagai argumentasi yang sifatnya formal [8].
Studi  tentang  penalaran  pada  dasarnya  bukan  merupakan  hal  baru  dan  telah menjadi  tema  yang  berulang  dalam  penelitian  pendidikan  matematika  [9].  Studi  ini umumnya  didasari  oleh  keinginan  untuk  mengetahui  bagaimana  seseorang  bernalar dengan  sebenarnya  [10]. The National  Council  of  Teachers  Mathematics [11] menyatakan bahwa matematika merupakan penalaran artinya seseorang yang bekerja dengan  matematika  tidak  akan  terpisahkan  dari  aktivitas  penalaran.  Pernyataan  ini mempertegas  tentang  eksistensi  penalaran  sebagai  fondasi  dalam  membangun pengetahuan matematis. Di samping itu, permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan matematika tentu saja akan berkaitan dengan penalaran.
Pada  berbagai  studi  dilaporkan  bahwa  permasalahan  yang  berkaitan  dengan penalaran menunjukan situasi yang kompleks.  Rosnawati  [12] menyatakan rata-rata presentase peserta didik di Indonesia pada kemampuan ini paling rendah dan hanya mencapai  17%.  Studi  sebelumnya  melaporkan  bahwa  rata-rata  pencapaian kemampuan penalaran matematis adalah sebesar 28,15% [13]. Hasil studi ini bahkan merinci  rendahnya  tingkat  pencapaian  kemampuan  penalaran  matematis  berkaitan dengan kemampuan: menganalisa, mengintegrasi, memberi alasan, dan memecahkan soal-soal non-rutin yang rata-rata hanya mencapai 13,33% untuk kategori tinggi, dan 14,82%  untuk  kategori  sedang  dan  rendah.  Studi  ini  kemudian  memperjelas  bahwa permasalahan  yang  berkaitan  dengan  penalaran  tidak  hanya  terfokus  pada kemampuan  dalam  memecahkan  masalah  matematis  tetapi  bagaimana  menyajikan penalaran  dalam  konteks  yang  lebih  luas,  yaitu;  membuat  pernyataan,  memberikan penjelasan, dan menunjukan alasan [14]. Seperti yang diungkapkan oleh Krummheuer [15]  bahwa  ketika  siswa  berhadapan  dengan  penalaran,  hal  terpenting  adalah bagaimana siswa dapat mengkomunikasikan, menjustifikasi, dan membuktikan ide-ide matematis  dalam  rangka  meyakinkan  ide-ide  tersebut  kepada  orang  lain.  Hal  ini selanjutnya  mengantarkan  kepada  pentingnya  studi  penalaran  dalam  konteks  yang lebih luas yang tidak hanya berorientasi pada produk tetapi pada proses bernalar.
Studi terkait dengan penalaran pada dasarnya telah di mulai sejak lama. Studi ini bermula  dari  munculnya  kritik  terhadap  logika  formal  yang  terfokus  pada  kerangka penalaran  deduktif.  Seorang  cendekiawan  Inggris,  Toulmin  [16]  memformulasikan tentang  penggunaan  argumentasi  yang  menjembatani  kesenjangan  antara  logika dengan  praktik  nyata.  Sejak  saat  itu  muncul  beragam  studi  tentang  penalaran  yang dikaitkan  dengan  argumentasi  dan  bukti  matematis  [16,  17]  maupun  proses  atau
236
kualitas  penalaran  [19].  Dalam  dokumen  PISA  [5]  disebutkan  bahwa  penalaran  dan argumentasi  merupakan  salah  satu  kemampuan  matematis  fundamental  yang diperlukan dalam membangun literasi matematis. Sedangkan dalam dokumen NCTM [11], disebutkan bahwa penalaran dan bukti merupakan standar proses pembelajaran matematika.
Dalam  dokumen  nasional  [20]  juga  disebutkan  bahwa  salah  satu  tujuan pembelajaran  matematika  adalah  menggunakan  penalaran,  menyusun  bukti,  dan menjelaskan  gagasan  serta  pernyataan  matematika.  Tujuan  dari  penalaran  tersebut telah  berimplikasi  pada  beragam  studi  berkaitan  penalaran,  seperti:  keterampilan berpikir tingkat tinggi [21], proses deduktif-induktif [22], penalaran dan argumentasi, maupun penalaran dan bukti [18]. Hal tersebut menunjukkan betapa pentingnya studi yang berkaitan dengan penalaran.
Menurut  Lithner  [19],  studi  mengenai  penalaran  menempatkan  studi  yang sangat  kompleks  karena  berkenaan  dengan  proses  berpikir  ( thinking  process )  dan produk  dari  proses  berpikir  ( thinking  product ).  Penelusuran  terhadap  produk  dari proses  berpikir  tentu  saja  tidak  akan  cukup  menggambarkan  tentang  bagaimana seseorang  melakukan  aktivitas  penalaran  yang  sebenarnya,  tetapi  perlu  ditelusuri bagaimana proses berpikir seseorang untuk menghasilkan produk penalaran tersebut. Penelusuran terhadap bagaimana proses berpikir tersebut berkenaan studi terhadap penalaran dan argumentasi.
Sampai  saat  ini,  telah  banyak  studi  yang  berkaitan  dengan  penalaran  dan argumentasi  yang  terdokumentasi  pada online  database ,  seperti  Google  Schoolar. Meskipun  begitu,  beragam  hasil  studi  tersebut  masih  berserakan  dan  cenderung membingungkan  bagi  para  peneliti  yang  akan  mengkaji  tentang  penalaran  dan argumentasi.  Oleh  karena  itu,  penelusuran  terhadap literature  review penting  untuk dilakukan sehingga dapat diperoleh informasi yang komprehensif tentang state of the art penelitian yang berkaitan dengan penalaran dan argumentasi, agenda penelitian, serta arah penelitian berikutnya.

## 2. Metode
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah Systematic  Literature  Review (SLR), yaitu  dengan  melakukan  identifikasi,  meninjau/mengkaji,  mengevaluasi,  dan menafsirkan  semua  hasil  penelitian  yang  tersedia  [23,  24].  Secara  umum  SLR  dalam penelitian  ini  meliputi  empat  tahapan,  yaitu:  menentukan  tujuan  SLR,  inisiasi  dan memilih  pustaka,  analisis  dan coding ,  dan  presentasi  hasil  [25].  Tujuan  dari  SLR  ini adalah mengetahui dinamika penalaran dan argumentasi yang memberikan iluminasi tentang  cara  bernalar  yang  sebenarnya  serta  mengidentifikasi  arah  penelitian  yang berkaitan  dengan  penalaran,  argumentasi,  dan  pembuktian  matematis.  Berdasarkan pada  tujuan  tersebut,  peneliti  menentukan  kriteria  dan pilot  searching untuk mengumpulkan  artikel  jurnal  yang  terdokumentasi  pada  database Google  Scholar menggunakan aplikasi Publish or Perish 8 dengan limit pencarian hingga 500 artikel dan berulang. Kriteria pencarian yang ditetapkan dalam penelitian ini, meliputi: kata
237 kunci  pencarian,  rentang  waktu  penerbitan  artikel, backward  and  forward  citation , termasuk perbaikan hasil pencarian sampai didapatkan kriteria yang dibutuhkan. Kata kunci yang digunakan dalam pencarian artikel adalah penalaran matematis, argumentasi  matematis,  dan  bukti  matematis  ataupun  perpaduan  antara  penalaran dan argumentasi matematis, atau penalaran dan bukti matematis. Selain itu digunakan juga kata kunci yang terkait erat dengan kata atau istilah yang sepadan atau kata yang menyertai  kata  utamanya  termasuk  istilah  dalam  bahasa  inggris,  yaitu:  kualitas penalaran  matematis,  argumen  matematis,  pembuktian  matematis, mathematical reasoning , mathematical  argumentation , mathematical  argument ,  dan  seterusnya. Perluasan  kata  kunci  ini  dilakukan  dalam  rangka  melengkapi  artikel  yang dikumpulkan  serta  memperbaiki  hasil  pencarian.  Artikel  yang  dikumpulkan  dalam penelitian ini adalah artikel yang diterbitkan dalam rentang waktu antara 2012 hingga 2022.  Artikel-artikel  tertentu,  terutama  artikel-artikel  babon  di  luar  rentang  waktu yang  ditetapkan  ditelusuri  secara  khusus  berdasarkan  informasi  penelusuran  yang diperoleh dari pencarian artikel sebelumnya.
Pada  tahapan  berikutnya,  peneliti  melakukan  analisis  dan coding dengan mentabulasi  data  artikel, screening data  dan coding ,  mengolah  data  sesuai  dengan rumusan  dan  tujuan  penelitian,  serta  menyusun  data  yang  diperoleh  sehingga bermakna.  Tabulasi  data  dilakukan  dengan  menyusun  metadata  artikel  pada  tabel yang  memuat  nama  peneliti,  judul  artikel,  nama  jurnal,  tahun  terbit,  jenis/metode penelitian,  serta  hasil  penelitian. Screening data  berikutnya  dilakukan  mencermati kembali  artikel  sesuai  dengan  rumusan  dan  tujuan  penelitian,  memisahkan  antara artikel  yang  terkait  langsung  dan  tidak  langsung  dengan  penelitian,  mengeliminasi artikel-artikel yang tidak mendukung atau kurang relevan terhadap penelitian, serta memilih artikel-artikel yang mewakili atau paling kuat relevansinya dengan rumusan dan  tujuan  penelitian.  Sedangkan coding digunakan  untuk  mempermudah pengidentifikasian terhadap kategori-kategori yang muncul dari hasil data extraction . Kategori-kategori  dari  hasil data  extraction ini  selanjutnya  di  analisis  berdasarkan pada rumusan dan tujuan penelitian sehingga  memberikan makna tentang  substansi penelitian.
Tahapan  terakhir  dari  SLR  ini  adalah  presentasi  hasil.  Pada  tahap  ini,  peneliti menyajikan  hasil  penelitian  dengan  menetapkan  temuan-temuan  sesuai  dengan rumusan  masalah  yang  diajukan  serta  membandingkan  temuan-temuan  tersebut hingga diperoleh simpulan. Hasil penelitian disajikan dalam 2 bentuk: (1) penjelasan deskriptif, dan (2) pengetahuan komprehensif [25]. Penjelasan deskriptif merupakan rangkuman  dari  artikel-artikel  yang  telah  melalui  proses screening data  serta data extraction yang disajikan dalam bentuk tabel, memuat: nama peneliti, tema penelitian, karakteristik studi, dan lain-lain. Sedangkan pengetahuan komprehensif adalah ulasan tentang  temuan  penelitian  yang  mendukung  terhadap  rumusan  masalah  yang diajukan,  hubungan  sebab-akibat,  maupun  model/tipe  penelitian  yang  melengkapi penelitian sebelumnya.
238

## 3. Hasil dan Diskusi
Pada  pencarian  awal  artikel  terkait  dengan  penalaran  dan  argumentasi  dengan  kata kunci  yang  ditentukan  sebelumnya  diperoleh  data  sebanyak  3.460  metadata.  Dari sejumlah  metadata  tersebut,  terdapat  beberapa  artikel  yang  sumbernya  tidak  ada, artikel  yang double  input dalam  database,  serta  artikel-artikel  yang  tidak  relevan dengan tujuan yang ditargetkan. Untuk itu, dilakukan proses screening data sehingga dihasilkan  data  yang  lebih  akurat.  Tahapan  hasil screening data  selengkapnya  dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil Screening Metadata Penalaran dan Agumentasi Matematis
No Screening Data Jumlah 1 Data Awal 3.460 2 Sumber Data 2.696 3 Open Access (Ketersediaan Akses Jurnal) 2.106 4 Double Metadata 1.786 5 Relevansi 438
Berdasarkan informasi yang tersaji pada Tabel 1, terdapat 438 buah artikel yang relevan dengan topik penalaran dan argumentasi; terdiri dari: 11 buah artikel dengan tema penalaran dan argumentasi maupun penalaran dan bukti, 56 buah artikel dengan tema argumentasi, 22 buah artikel dengan tema bukti, serta 349 buah artikel dengan tema  penalaran.  Penalaran  merupakan  tema  paling  kompleks  jika  dibandingkan dengan argumentasi dan bukti. Meskipun demikian, secara umum terdapat 2 bahasan utama  terkait  dengan  tema  penalaran,  yaitu:  penalaran  yang  berorientasi  pada produk,  yang  secara  spesifik  membahas  tentang  kemampuan  penalaran  ( reasoning ability ) sebanyak 150 artikel, dan penalaran yang yang berorientasi pada proses, yang secara  spesifik  membahas  tentang  kualitas  penalaran  ( reasoning  quality )  sebanyak 199 artikel.
Kualitas  penalaran  berkaitan  erat  dengan  argumentasi  dan  bukti.  Seperti  yang diungkapkan  oleh  Bludjan  [10],  argumen  dan  komunikasi  secara  matematis merupakan  inti  dari  kualitas  penalaran.  Sedangkan,  Douek  [26]  menyatakan  bahwa argumentasi merupakan upaya seseorang untuk meyakinkan orang lain, dan Zarefsky [27]  menyatakan  bahwa  argumentasi  merupakan  studi  efektif  penalaran.  Ketiga pendapat  tersebut  menunjukkan  bahwa  argumentasi  atau  bukti  merupakan  istilah yang hampir sepadan dengan penalaran, meskipun tidak identik. Karena argumentasi terkait erat dengan penalaran, maka bahasan mengenai argumentasi juga merupakan bahasan tentang penalaran dan argumentasi. Demikian pula, bahasan mengenai bukti juga merupakan bahasan tentang penalaran dan bukti. Dengan demikian, untuk tema artikel  mengenai  argumentasi,  bukti,  maupun  penalaran  dan  argumentasi  ataupun penalaran  dan  bukti  dapat  dipadukan  menjadi  satu  tema,  yaitu:  penalaran  dan argumentasi dengan total artikel sebanyak 89 buah artikel.
Pada tahapan data extraction , terdapat beragam subtema dan bahasan mengenai penalaran  dan  argumentasi,  di  antaranya:  struktur  argumentasi,  taksonomi  skema pembuktian,  tipe  argumentasi,  justifikasi  argumentasi,  serta  tema-tema  umum lainnya,  utamanya  tentang  pembuktian  formal.  Subtema-subtema  tersebut  menarik untuk  dikaji  karena  semuanya  bermuara  pada  bagaimana  bukti  disajikan  dalam pembelajaran  secara  informal  dan  formal.  Untuk  itu,  dipilih  10  artikel  yang  paling mewakili  setiap  subtema  penelitian,    memuat  struktur  penyajian  yang  koheren, pengumpulan  dan  analisis  data  yang  efektif  dan  efisien,  pembahasan  yang  lengkap,
239 serta paling menggambarkan tentang subtema penelitian. Delapan artikel merupakan artikel yang diperoleh dari hasil data extraction , sedang 2 artikel sisanya merupakan artikel  babon  yang  secara  konseptual  menjadi piloting munculnya  beragam  subtema dan  bahasan  tentang  penalaran  dan  argumentasi.  Kesepuluh  artikel  tersebut selengkapnya disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Subtema Penalaran dan Argumentasi dalam Pembelajaran Matematika Penulis P1 P2 P3 P4 P5 P6 Krummheuer [15]*  Lithner [19]*  Yusdiana & Hidayat [28]  Krummheuer [29]  Jonsson, et al. [30]  Akkurt & Durmus [31]  Komatsu & Jones [32]  Liu, Tague, & Somayajulu [33]  Sevgi & Orman [34]  Guner & Topan [35]  Keterangan: * = Babon P1 = Kemampuan Penalaran P4 = Taksonomi Skema Pembuktian P2 = Kualitas Penalaran P5 = Tipe Argumentasi P3 = Struktur Argumentasi P6 = Justifikasi Argumentasi

## 3.1. Temuan Penelitian

## Kemampuan penalaran
Bahasan tentang kemampuan penalaran ( reasoning ability ) termasuk tema yang paling banyak  ditemukan  dalam  pencarian.  Yusdiana  &  Hidayat  [28]  meneliti  tentang kemampuan  penalaran  matematis  berdasarkan  pada  kemampuan  siswa  dalam menyelesaikan soal-soal penalaran matematis. Soal-soal tersebut disusun berdasarkan pada indikator kemampuan penalaran matematis yang ditetapkan. Sebanyak 20 orang siswa  diminta  untuk  menyelesaikan  soal-soal  tersebut.  Penilaian  dilakukan  dengan menggunakan  rubrik  holistik,  lalu  disusun  kategorisasi  berdasarkan  pada  presentasi kemampuan  siswa  dalam  menyelesaikan  soal  pada  setiap  indikator.  Untuk mengkonfirmasi jawaban  siswa,  peneliti  juga  melakukan  wawancara terhadap  siswa terutama  untuk  mendeteksi  kesalahan  yang  dilakukan  oleh  siswa,  ketidaktuntasan dalam menyelesaikan soal, ataupun temuan lain yang berbeda.
Penelitian  yang  sama  juga  dilakukan  oleh  Saputri,  Susanti,  &  Aisyah  [36]. Meskipun  ketiga  peneliti  menggunakan treatment untuk  mendukung  terhadap pencapaian kemampuan penalaran matematis siswa, peneliti menetapkan pencapaian tersebut  berdasarkan  pada  kemampuan  siswa  dalam  menyelesaikan  soal-soal penalaran  matematis.  Soal-soal  kemampuan  penalaran  matematis  juga  disusun berdasarkan  pada  indikator  yang  ditetapkan.  Untuk  melihat  tingkat  kemampuan penalaran matematis siswa, peneliti melakukan wawancara terhadap siswa sehingga diperoleh informasi yang komprehensif tentang cara-cara siswa dalam menyelesaikan soal kemampuan penalaran matematis.
240

## Kualitas Penalaran
Istilah kualitas penalaran pada dasarnya merujuk kepada penalaran yang baik ( good reasoning ),  yang  tidak  hanya  terbatas  pada  penalaran  verbal  [37]  tetapi  bagaimana suatu  pernyataan  memuat  alasan  yang  memadai  dan  mendapat  pengakuan  sebagai aktivitas  penalaran.  Istilah  ini  juga  membedakan  dengan  aktivitas  matematis  yang hanya  sampai  pada  jawaban  yang  benar  atas  suatu  pertanyaan  yang  mengandung penalaran.  Jadi,  kualitas  penalaran  berupaya  untuk  melihat  secara  obyektif  tentang bagaimana suatu penalaran dikonstruksi. Dalam artikel Jonsson , et al. [30] disebutkan dua  jenis  penalaran,  yaitu:  penalaran  algoritmik  dan  penalaran  kreatif.    Penalaran algoritmik  adalah  penalaran  yang  dibangun  berdasarkan  aktivitas  mengingat  suatu algoritma  atau  tindakan  dalam  mengikuti  seperangkat  aturan  tertentu.  Sedangkan, penalaran kreatif adalah penalaran yang didasarkan pada daya cipta, yakni kemampuan menghasilkan suatu karya yang bermakna dan orisinal. Artikel yang ditulis oleh Jonsson, et  al. [30]  bersumber  dari  artikel  Lithner  [19]  yang  menyebut  2  jenis  penalaran,  yaitu: penalaran imitatif dan penalaran kreatif.  Kedua jenis penalaran tersebut dibedakan dari proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah.  Penalaran imitatif berkaitan dengan penalaran yang dihafal ( route learning ), menyalin atau mengikuti contoh atau model yang tanpa orisinalitas atau berdasarkan pada pengalaman sebelumnya.  Penalaran algoritmik termasuk ke dalam penalaran imitatif karena dibangun dengan menuliskan setiap langkah atau  algoritma  yang  telah  dihafal  sebelumnya.  Selain  itu,  ada  juga  penalaran  hafalan ( memorized reasoning ) yaitu penalaran yang didasarkan pada strategi mengingat jawaban dengan  hafalan  atau  memori,  sedangkan  implementasi  strategi  dibuat  hanya  dengan menuliskan  jawaban.  Penalaran  kreatif  adalah  penalaran  yang  didasarkan  pada kemampuan  menghasilkan  karya  orisinal  dan  bermakna.  Istilah  orisinal  membatasi perbedaan antara kedua tipe penalaran di mana strategi yang dibangun dalam penalaran kreatif tidak merujuk kepada berpikir superior tetapi bisa sederhana dan original untuk individu yang membuat penyelesaian masalah. Terdapat 4 karakteristik penalaran kreatif, yaitu: (1)  kebaruan  ( novelty ),  yaitu  penalaran  yang  dibuat  atau  diciptakan  kembali, solusi  yang  dibuat  adalah  baru  baginya, (2)  fleksibilitas ( fexibility ),  yaitu  lancar atau mampu membuat beragam cara atau pendekatan yang berbeda dari masalah tertentu, (3)  masuk  akal  ( plausibility ),  yaitu  terdapat  argumentasi  yang  mendukung  pilihan dan/atau strategi, serta mampu menjelaskan mengapa simpulan itu benar atau masuk akal, (4) landasan matematis yang kuat ( mathematical foundation ), yaitu argumentasi dibangun  berdasarkan  karakteristik  instrinsik  matematis  yang  merujuk  pada  sifat matematika  yang  relevan  dengan  penyelesaian  tugas  dan  dapat  diterima  oleh kalangan matematikawan.
Istilah  argumentasi  yang  muncul  dalam  kerangka  Lithner  [38]  merupakan bagian  dari  penalaran  yang  bertujuan  untuk  mengkonfirmasi jawaban  dalam  rangka meyakinkan diri sendiri atau orang lain bahwa penalaran tersebut sudah tepat. Karena argumentasi  berkaitan  dengan  proses  berpikir  dalam  penalaran,  maka  argumentasi juga dapat dikategorikan sebagai kualitas penalaran.

## Struktur Argumentasi
Struktur  argumentasi  termasuk  bahasan  yang  fenomenal  karena  muncul  dari  kritik terhadap  logika  formal  yang  sangat  kaku.  Toulmin  [16]  memandang  adanya kesenjangan  antara  logika  formal  dengan  praktik  nyata.  Menurut  Toulmin  [9], validitas  logis  adalah  bukan  yang  utama,  tetapi  berorientasi  pada  isi  semantik  dan struktur  yang  cocok.  Argumentasi  Toulmin  dipandang  sebagai  argumentasi  yang berorientasi pada logika informal, meskipun masih memuat analasis formal. Toulmin mengusulkan  suatu  model  argumentasi  yang  dikenal  dengan  struktur  argumentasi
241 model  Toulmin  atau Toulmin  Argumentation  Pattern (TAP).  Skema  dari  model argumentasi Toulmin ini digambarkan sebagai berikut.
Gambar 1. Model Argumentasi Toulmin
Menurut Toulmin [39],  argumentasi merupakan claim (C) yang berasal dari data (D)  berdasarkan warrant (W). Warrant (W)  harus  didukung  oleh Backing (B)  yang menjadi  dasar  di  mana  suatu  inferensi  dibangun. Rebuttal (R)  secara  potensial membantah claim (C) untuk kondisi di mana hal tersebut tidak terpenuhi, dan modal qualifier (Q)  menunjukkan  kekuatan  simpulan  yang  bisa  ditarik,  bahwa  pernyataan tersebut telah sah karena metode telah dinyatakan secara eksplisit dalam backing (B) untuk warrant (W).
Struktur  argumentasi  Toulmin  banyak  diadopsi  oleh  para  peneliti  untuk mengkaji  bagaimana  suatu  argumentasi  dikonstruksi.  Meskipun  begitu,  tidak  semua pernyataan  tersebut  dapat  diungkapkan  secara  jelas  [40].  Dalam  perkembangannya, para  peneliti  melakukan  modifikasi  terhadap  skema  Toulmin.  Krummheuer  [15] menghilangkan 2 pernyataan dari skema asli, yaitu: rebbutal (R) dan modal qualifier (Q).  Menurut  Krummheuer  [29]  peneliti  cenderung  mengabaikan  kedua  pernyataan tersebut pada saat menganalisis argumentasi matematis siswa, yang mungkin muncul dari definisi argumentasi matematis itu sendiri.

## Taksonomi Skema Pembuktian
Meskipun argumentasi Toulmin dipandang  cukup fenomenal dalam mengungkapkan argumentasi,  namun  demikian  beberapa  peneliti  tetap  mengajukan  kritik  terhadap eksistensi  pernyataan  yang  lepas  dari  kontrol  skema  argumentasi.  Dalam  artikel Akkurt & Durmus [31] diungkapkan tentang penelusuran terhadap skema pembuktian dengan  tetap  berpatokan  kepada  skema  pembuktian  Harel  &  Showder  [41],  yang terdiri  dari:  skema  pembuktian  empiris  dan  analitis.  Skema  pembuktian  empiris adalah skema pembuktian induktif atau perseptual di mana siswa bergantung kepada bayangan  mental  atau  contoh-contoh  untuk  memverifikasi  dan  memvalidasi argumentasi.  Sedangkan  skema  pembuktian  analitis  merupakan  skema  pembuktian aksiomatis atau transformasional yang melibatkan definisi, postulat, dan konjektur. Sementara  itu,  Guner  &  Topan  [35]  mengklasifikasikan  5  taksonomi  skema pembuktian,  terdiri  dari:  (1)  kosong  ( empty ),  pertanyaan  yang  tidak  ingin  dijawab oleh individu, tidak termasuk ekspresi atau solusi matematika, (2) bahasa matematis ( mathematical  language ),  mencakup  representasi  simbolis  dari  ekspresi  matematika tanpa  adanya  pembenaran  apapun,  tidak  termasuk  soolusi  atau  hubungan  antara
D Q C R W B
242
konsep  matematika,  (3)  bukti  tidak  valid  ( invalid  proof ),  menunjukkan  pendekatan matematis  yang  tidak  tepat  serta  menggunakan  representasi  matematis  yang  tidak valid,  termasuk  presentasi  solusi  yang  salah  atau  tak  relevan,  (4)  bukti  yang  tak lengkap  ( incomplete  proof ),  menunjukkan  bahwa  individu  mengetahui  subyek  tetapi buktinya tak lengkap karena keterbatasan pengetahuan dan tidak mampu mengaitkan konsep matematika yang diperlukan, termasuk solusi yang sebagian benar tetapi tidak mampu menyajikan seluruh jawaban, (5) bukti yang valid ( valid proof ), menunjukkan bahwa  individu  mampu  menggunakan  prinsip,  sifat,  dan  asumsi  yang  sesuai, memahami  hubungan  logis  di  antaranya,  dan  mampu  mentransfer  ke  kasus  yang berbeda. Taksonomi model Guner & Topan [35] pada prinsipnya sama dengan model Harel & Showder [41], Stylianides [18], dan Balacheff [42].

## Tipe Argumentasi
Tipe argumentasi berkaitan dengan cara siswa dalam menyajikan representasi matematis. Dalam artikel Liu, Tague, & Somayajulu [33] diuraikan 4 tipe argumentasi, yaitu : induktif, aljabar,  visual  dan  perseptual.  Argumentasi  induktif  adalah  argumentasi  yang dikonstruksi  dengan  menawarkan  contoh-contoh  yang  mendukung  validitas konjektuf;  argumentasi  aljabar  merupakan  argumentasi  yang  dinyatakan  dalam representasi simbolik yang kemudian direpresentasikan kembali; argumentasi visual adalah argumentasi yang disajikan dalam representasi gambar atau grafik; sedangkan argumentasi  perseptual  adalah  argumentasi  yang  disajikan  dalam  kerangka  konteks yang dikenal dan didukung oleh suatu konjektur.
Pada praktiknya, argumentasi yang dihasilkan mungkin terlihat identik. Seperti yang dicontohkan oleh Liu [43] ketika siswa mengklaim bahwa diagonal suatu persegi panjang  memiliki  ukuran  lebih  panjang  dari  sisi-sisi  persegi  panjang.  Pada argumentasi  aljabar,  siswa  menyatakan  bahwa  karena  besar  K  =  90°,  maka berdasarkan  teorema  Pythagoras,  LN 2 =  KL 2 +  KN 2 .  Jadi  LN 2 >  KL 2 dan  LN 2 >  KN 2 . Dengan demikian, LN > KL dan LN > KN. Pada argumentasi visual, siswa menyatakan bahwa BD = BQ = BP. BC < BP dan BA < BQ, sehingga BA < BD dan BC < BD.
Gambar 2. Visualisasi untuk Argumentasi Aljabar dan Visual
Ilustrasi  yang  diperlihatkan  pada  Gambar  2  menunjukkan  bahwa  argumentasi aljabar hampir identik dengan argumentasi visual. Meskipun begitu orientasi jawaban yang dikonstruksi oleh siswa nampak berbeda. Visualisasi gambar pada argumentasi aljabar  membantu  siswa  untuk  merumuskan  persamaan  aljabar,  sedangkan  pada argumentasi  visual,  gambar menjadi  satu-satunya  cara  untuk menyatakan  hubungan antara  diagonal  dengan  sisi  persegi  panjang.  Dalam  konsteks  yang  berbeda, argumentasi  aljabar  tidak  memerlukan  visualisasi  gambar,  sedangkan  argumentasi visual sangat tergantung pada gambar.
M L K N

## Justifikasi Argumentasi
Justifikasi argumentasi berkaitan dengan penilaian yang diberikan seseorang terhadap argumentasi  yang  dikonstruksinya.  Dalam  artikel  Sevgi  &  Orman  [34]  diungkapkan bahwa  struktur  mental  siswa  dalam  mengembangkan  keterampilan  pembuktian  tidak percaya bahwa semua informasi adalah mutlak benar. Hal ini menunjukkan bahwa siswa umumnya merasa tidak yakin dengan argumentasi yang dikonstruksinya dan cenderung berubah.  Hasil  yang  sama  pernah  disampaikan  oleh  Liu  [43],  bahwa  justifikasi  siswa terhadap  argumentasi  sangat  bervariasi  dengan  keyakinan  yang  berbeda-beda,  di  mana setiap individu memiliki standar tersendiri.
Pada  penelitian  sebelumnya,  Bergqvist  [44]  pernah  mengungkapkan  tentang bagaimana  siswa  memverifikasi  suatu  konjektur.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa umumnya  siswa  cenderung  memilih  penalaran  abstrak  ( abstract  reasoning )  dalam menyelesaikan masalah matematis, meskipun kurang latihan. Hasil ini nampak konsisten dengan  penelitian-penelitian  sebelumnya.  Kendatipun  begitu,  inkonsistensi  siswa terhadap  justifikasi  argumentasi  dapat  menjembatani  rekonstruksi  argumentasi  ke  arah yang lebih formal di mana proses pembuktian mencapai titik yang paling krusial [8].

## 3.2. Diskusi
Hasil  penelitian  telah  memperlihatkan  bahwa  munculnya  beragam  tema  kajian mengenai  penalaran  dan  argumentasi  adalah  upaya  peneliti  untuk  mempelajari bagaimana  seseorang  bernalar  dengan  sebenarnya.  Secara  umum  penalaran  dan argumentasi  berfokus  pada  penalaran  itu  sendiri,  yakni  pandangan  terhadap penalaran  sebagai  proses  berpikir  dan  hasil  dari  proses  berpikir  [19].  Kedua pandangan ini memiliki kedudukan yang sangat penting dalam penelusuran terhadap penalaran.  Hasil  dari  proses  berpikir  tidak  akan  cukup  menunjukkan  tentang bagaimana seseorang bernalar, tetapi perlu diketahui lebih lanjut tentang bagaimana seseorang menghasilkan proses berpikir tersebut. Sejak muncul kritik terhadap logika formal,  penelusuran  terhadap  proses  berpikir  menjadi  terbuka  dan  mengantarkan kepada  studi  yang  berkaitan  dengan  argumentasi  dan  bukti  informal.  Pandangan utama  dalam  studi  ini  adalah  bahwa  setiap  upaya  yang  diproduksi  untuk  suatu konstruksi  bukti  menjadi  bagian  yang  tidak  terpisahkan  dari  tahapan  dalam pembuktian [45]. Hal ini juga relevan dengan ungkapan matematika sebagai aktivitas manusia  ( human  activity )  yang  menyiratkan  bahwa  kepentingan  matematika  bukan untuk  matematika  itu  sendiri,  tetapi  bagaimana  matematika  dapat  dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari.
Pada  mulanya,  studi  tentang  struktur  argumentasi  dipandang  sebagai  studi paling  fenomenal,  yang  mampu  mengungkapkan  kompleksitas  dari  penalaran  dan argumentasi yang dikonstruksi seseorang. Seiring dengan perkembangannya, muncul beragam  kritik  terhadap  struktur  argumentasi,  khususnya  pada  skema  argumentasi Toulmin,  terutama  dikaitkan  dengan  pengajaran  terhadap  pembuktian  matematis pada  jenjang  pendidikan  dasar  dan  menengah.  Beragama  studi  kemudian  muncul, dimulai  dari  rekonstruksi  terhadap  argumentasi  Toulmin,  memformat  ulang  tentang proses pembuktian pada taksonomi skema bukti, mengkaji tentang tipe argumentasi, serta  bagaimana  seseorang  memberikan  justifikasi  terhadap  argumentasi  yang dikonstruksinya.  Perubahan  studi  ini  tentu  saja  tidak  perlu  dipandang  sebagai pencarian terhadap format dan rekonstruksi yang paling baik, karena pada dasarnya semua  format  dan  rekonstruksi  masih  berlaku  dan  tetap  dipakai  oleh  para  peneliti selanjutnya  [31,  34].  Meskipun  terkesan  statis,  tetapi  hal  yang  tidak  kalah  penting adalah bahwa semua format yang ada tetap mendukung terhadap pencapaian kualitas penalaran dan bagaimana penalaran itu dapat dipelajari.
244

## 4. Simpulan
Berdasarkan  temuan  penelitian  dan  diskusi  terhadap  hasil  penelitian  dapat diungkapkan  simpulan; (1)  studi terhadap  penalaran  dan  argumentasi  adalah  upaya yang dilakukan untuk mempelajari bagaimana seseorang bernalar dengan sebenarnya yang berfokus pada proses berpikir ( thinking process ) dan produk dari proses berpikir ( thinking  product ),  (2)  studi  terhadap  penalaran  dan  argumentasi  mencakup  studi yang  berkenaan  dengan:  kemampuan  argumentasi,  kualitas  penalaran,  struktur argumentasi,  taksonomi  skema  pembuktian,  tipe  argumentasi,  dan  justifikasi argumentasi yang tetap relevan hingga saat ini.

## Referensi
[1]  Thomas  T,  Davis  T,  &  Kazlauskas  A  2004  Critical  thinking  and  reasoning  for information  systems  students Issues  in  Informing  Science  and  Information Technology 4 115 – 131  https://doi.org/10.28945/724 [2]  OECD  2022 PISA  2021  mathematics  framework (Paris:  OECD  Publishing) http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/pisa-2021-mathematics-framework -draft.pdf
[3]  Yaman N A P & Jailani 2018 Learning to think mathematically through reasoning and  problem  solving  in  secondary  school  mathematics:  A  literature  review Proceedings  of  the  5th  International  Conference on  Research,  Implementation and Education of Mathematics and Sciences 77 – 82
[4]  Primadani  A  I,  Mardiyana,  &  Triyanto  2020  Mathematical  reasoning  and communication  in  TGT  learning  model  with  PQ4R  strategy Journal  Physic of Conference Series 1613(1) 1 – 7  doi: 10.1088/1742-6596/1613/1/012022 [5]  OECD 2016 PISA 2015 Draft mathematics framework in PISA 2015 Assessment and Analytical  Framework:  Science,  Reading,  Mathematic  and  Financial  Literacy (Paris: OECD Publishing) 1 – 52  doi: 10.1787/9789264255425-5-en
[6]  Sukirwan, D. Muhtadi, H. Saleh, and Warsito 2020 Profile of students’ justifications of  mathematical  argumentation Infinity  Journal 9(2) 197-212  doi:
10.22460/infinity.v9i2 [7]  NCTM  2020 Standards  for  the  preparation  of  secondary  mathematics  teachers (Reston, VA)
[8]  Pedemonte  B  2008  Argumentation  and  algebraic  proof ZDM  -  International Journal  Mathematics  Education 40(3) 385 – 400  doi:  10.1007/s11858-008- 0085-0 [9]  Inglis  M,  Mejia-Ramos  J  P,  &  Simpson  A  2007  Modelling  mathematical argumentation: The importance of qualification Education Study Mathematics 66(1) 3 – 21 doi: 10.1007/s10649-006-9059-8 [10]  Sukirwan,  Darhim,  &  Herman  T  2018 Analysis  of  students’  mathematical reasoning Journal Physic of Conference Series 948(1) 1 – 7 doi: 10.1088/1742-
6596/948/1/012036
[11]  NCTM  2000 Principles  and  standards  for  school  mathematics (Reston,  VA:  The National Council of Teachers of Mathematics)
[12]  Sumartini  T  S  2015  Peningkatan  kemampuan  penalaran  matematis  siswa melalui  pembelajaran  berbasis  masalah Mosharafa  Jurnal  Pendidikan
Matematika 4(1) 1 – 10
[13]  Rizta A, Zulkardi, & Hartono Y 2013 Pengembangan soal penalaran model TIMSS matematika  SMP Jurnal  Penelitian  dan  Evaluasi  Pendidikan 17(2) 230 – 240
245
doi: 10.21831/pep.v17i2.1697
[14]  Sukirwan,  Darhim,  Herman  T,  &  Prahmana  R  C  L  2018 The  students’ mathematical argumentation in geometry Journal Physic of Conference Series 943(1) 1 – 6 doi: 10.1088/1742-6596/943/1/012026 [15]  Krummheuer  G  2000  Studies  of  argumentation  in  primary  mathematics education ZDM - Mathematics Education 5 155 – 161 doi: 10.1007/BF02655655 [16]  Toulmin S E 2003 The uses of argument: Updated edition (Cambridge: Cambridge University Press)
[17]  Hanna  G  2000  Proof,  explanation  and  exploration:  An  overview Education Studies Mathematics 44(1) 5 – 23 doi: 10.1023/A:1012737223465
[18]  Stylianides  A  J  2007  Proof  and  proving  in  school  mathematics Journal  For Research in Mathematics Education 38(3) 289 – 321 doi: 10.2307/30034869 [19]  Lithner  J  2000  Mathematical  reasoning  in  task  solving Educational  Studies  in Mathematics 41(2) 165 – 190 doi: 10.1023/A:1003956417456 [20]  Kemdikbud  2006  Standar  isi  untuk  satuan  pendidikan  dasar  dan  menengah Permendikbud Nomor 22 Tahun 2006
[21]  Hasyim M & Andreina F K 2019 Analisis high order thinking skill (Hots) siswa dalam  menyelesaikan  soal  open  ended  matematika FIBONACCI  Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika 5(1) 55 – 64 doi: 10.24853/fbc.5.1.55-64 [22]  Rochmad  2010  Proses  berpikir  induktif  dan  deduktif  dalam  mempelajari matematika Kreano,  Jurnal  Matematika  Kreatif-Inovatif 1(2) 107 – 117  doi:
10.15294/kreano.v1i2.1494
[23]  Kusuma  A  P,  Waluya  S  B,  Hidayah  I,  &  Rochmad  R  2021  Systematic  literature review : Proses berpikir aljabar pada pembelajaran matematika in Prosiding Seminar  Nasional  Pascasarjana  Universitas  Negeri  Semarang  bertema “Problematik  Pendidikan  Abad  21:  R espons  Inovatif  Jenjang  PAUD  hingga Perguruan Tinggi 4(1) 113 – 119 https://proceeding.unnes.ac.id/ex.php/snpasca/article/view/832/732
[24]  Putra A & Roza M 2020 Systematic literatur review: Adversity quotient dan self- efficacy dalam pembelajaran matematika At-Tarbawi Jurnal Pendidikan, Sosial dan Kebudayaan 7(2) 184 – 201 doi: 10.32505/tarbawi.v12i2.2065
[25]  Priharsari D  2022  Systematic  literature  review di  bidang  sistem informasi  dan ilmu komputer Jurnal Teknologi Informasi dan Ilmu Komputer 9(2) 263 – 268 doi: 10.25126/jtiik.202293884
[26]  Douek N 1999 Argumentation and conceptualization in context: A case study on sun  shadows  in  primary  schools Educational  Studies  in  Mathematics 39(1) 89 – 110 doi: 10.1023/A:1003800814251 [27]  Zarefsky D 2005 Argumentation : The study of effective reasoning (Virginia: The Great Courses Corporate Headquarters)
[28]  Yusdiana B I & Hidayat W 2018 Analisis kemampuan penalaran matematis siswa SMA pada materi limit fungsi JPMI (Jurnal Pembelajaran Matematika Inovasi 1(3) 409 – 414 doi: 10.22460/jpmi.v1i3.p409-414
[29]  Krummheuer  G  2015  Methods  for  reconstructing  processes  of  argumentation and participation in primary mathematics classroom interaction Approaches to  Qualitative  Research  in  Mathematics  Education 51 – 74  doi:  10.1007/978- 94-017-9181-6_3
[30]  Jonsson  B,  Norqvist  M,  Liljekvist  Y,  &  Lithner  J  2014  Learning  mathematics
246
through  algorithmic  and  creative  reasoning The  Journal  of  Mathematical Behavior 36 20 – 32 doi: 10.1016/j.jmathb.2014.08.003 [31]  Akkurt  Y  Y  & Durmuş S  2022  Tracing  proof  schemes:  Some  patterns  and  new perspectives Journal of Research and Advances in Mathematics Education 7(1)
1 – 16 doi: 10.23917/jramathedu.v7i1.15740
[32]  Komatsu K & Jones K 2022 Generating mathematical knowledge in the classroom through  proof,  refutation,  and  abductive  reasoning Education  Studies Mathematics 109(3) 567 – 591 doi: 10.1007/s10649-021-10086-5 [33]  Liu  Y  2013 Aspects  of  mathematical  arguments  that  influence  eighth  grade students’ judgment of their validity (The Ohio State University) [34]  Sevgi  S  &  Orman  F  2020 Eighth  grade  students’  views  about  giving  proof  and their proof abilities in the geometry and measurement International Journal Mathematics  Education  Science  Technology 53(2) 467 – 490  doi: 10.1080/0020739X.2020.1782493 [35]  Guner P & Topan B 2016 Prospective elementary mathematics teachers’ abilities of  using  geometric  proofs  in  teaching  of  triangle EFMED-Electronic  Journal Science and Mathematics Education 10(2) 210 – 210 doi: 10.17522/balikesirnef.277730 [36]  Saputri  I,  Susanti  E,  &  Aisyah  N  2017  Kemampuan  penalaran  matematis  siswa menggunakan pendekatan metaphorical thinking pada materi perbandingan kelas  VIII  di  SMPN  1  Indralaya  Utara Jurnal  Elemen 3(1) 15 – 24  doi: 10.29408/jel.v3i1.302
[37]  Hitchcock D 2005 Good reasoning on the Toulmin model Argumentation 19(3) 373 – 391 doi: 10.1007/s10503-005-4422-y
[38]  Lithner  J  2008  A  research  framework  for  creative  and  imitative  reasoning
Educational  Studies  in  Mathematics 67(3) 255 – 276  doi:  10.1007/s10649- 007-9104-2 [39]  Aberdein  A  2005  The  uses  of  argument  in  mathematics Argumentation 19(3)
287 – 301 doi: 10.1007/s10503-005-4417-8
[40]  Lee T-N 2015 Developing a theoretical framework to assess Taiwanese primary students’  geometric  argumentation in  Proceedings  of  the  38th  Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia 365 – 372 https://merga.net.au/Public/Public/Publications/Conference_ Proceedings. aspx [41]  Harel  G  &  Sowder  L  1998 Students’  proof  schemes:  Results  from  exploratory studies in Issues in Mathematics Education: Research in Collegiate Mathematics Education (7th  ed.,  A.  H.  Schoenfeld,  J.  Kaput,  and  E.  Dubinsky,  Eds.
Washington,  D.C.:  American  Mathematical  Society)  234 – 283  doi:
10.1090/cbmath/007/07
[42]  Balacheff  N  1988 Aspects  of  proof  in  pupils’  practice  of  scholl  mathematics in
Mathematics,  Teachers  and  Children (D.  Pimm,  Ed.  London:  Hodder  & Stoughton) 216 – 235 [43]  Liu  Y  2013 Aspects  of  mathematical  arguments  that  influence  eighth  grade students’ judgment of their validity (The Ohio State University) [44]  Bergqvist  T  2005 How  students  verify  conjectures:  Teachers’  expectations Journal Mathematics Teaching Education 8(1) 171 – 191 doi: 10.1007/s10857- 005-4797-6
[45]  Muhtadi  D,  Sukirwan,  Hermanto  R,  Warsito,  and  SunendarA  2020  How  do students  promote  mathematical  argumentation  through  guide-redirecting
247 warrant  construction? Journal  Physic  of  Conference  Series 1613(1) 1 – 8  doi:
10.1088/1742-6596/1613/1/012031