## Ketunggalan Titik Tetap Pada Pemetaan Kontraksi 𝜽 − 𝝓 Di Ruang Metrik Parsial

## Malahayati
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: malahayati_01@yahoo.co.id

## Abstrak
Paper ini mempelajari kontraksi 𝜃 − 𝜙 dan kontraksi tipe Kannan 𝜃 − 𝜙 serta beberapa teorema ketunggalan titik tetap  pada ruang metrik parsial. Selanjutnya membandingkan Teorema serupa yang telah dikemukakan oleh peneliti sebelumnya dan membahas contoh sebagai ilustrasi dari teorema yang dibahas.
Kata Kunci titik tetap; kontraksi 𝜃 − 𝜙 ; kontraksi tipe Kannan 𝜃 − 𝜙 ; ruang metrik parsial

## Abstract
In this paper, we study the notions of θ − ϕ contraction and θ − ϕ Kannan Type contraction, and some fixed point theorem  on  partial  metric  spaces. The  results  presented  in  the  paper  study  and consederation  some  previously results, we also give an example to illustrate our results.
Keywords fixed point; 𝜃 − 𝜙 contraction; 𝜃 − 𝜙 Kannan Type contraction’; partial metric spaces

## Pendahuluan
Setelah  Matthews  [3]  memperkenalkan  ruang  metrik  parsial  sebagai  suatu  perumuman  dari  ruang metrik, banyak peneliti yang mengembangkan konsep ruang metrik parsial dan sifat-sifat topologinya. Konsep ruang metrik parsial mempunyai keunikan dibandingkan ruang metrik yang telah dikenal, hal ini karena pada konsep ruang metrik parsial jarak dari suatu titik ke dirinya sendiri tidak harus nol. Hal inilah yang mendorong para peneliti membawa konsep tersebut dan menerapkannya pada teori titik tetap.
Paper ini akan mempelajari beberapa teorema titik tetap pada pemetaan kontraksi 𝜃 − 𝜙 di ruang metrik parsial yang telah dikenalkan oleh Tao dkk[5], selanjutnya membandingkan teorema tersebut dengan  beberapa  teorema  yang  telah  di  kenalkan  sebelumnya  oleh  Ishak  dkk[2].  Teorema-teorema tersebut merupakan pengembangan dari teorema titik tetap yang telah dibahas oleh Matthews [4].
Definisi 1.1[5]: (Ruang metrik parsial). Diberikan himpunan tak kosong 𝑋 . Fungsi 𝑝: 𝑋 × 𝑋 → 𝑅 + yang memnuhi kondisi berikut ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 (P1). 𝑥 = 𝑦  ⟺ 0 ≤ 𝑝(𝑥, 𝑥) = 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑦, 𝑦) (P2). 𝑝(𝑥, 𝑥) ≤ 𝑝(𝑥, 𝑦) (P3). 𝑝(𝑥, 𝑥) ≤ 𝑝(𝑦, 𝑥) (P4). 𝑝(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑝(𝑥, 𝑦) + 𝑝(𝑦, 𝑧) − 𝑝(𝑦, 𝑦) disebut metrik parsial pada 𝑋 , selanjutnya pasangan (𝑋, 𝑝) disebut ruang metrik parsial.
Apabila diberikan metrik parsial 𝑝 pada sembarang himpunan tak kosong 𝑋 , dan fungsi 𝑑 𝑝 : 𝑋 × 𝑋 → [0, ∞) yang didefinisikan dengan 𝑑 𝑝 (𝑥, 𝑦) = 2𝑝(𝑥, 𝑦) − 𝑝(𝑥, 𝑦) + 𝑝(𝑦, 𝑦) . Maka 𝑑 𝑝 merupakan metrik pada 𝑋 .
Hal yang serupa dikemukakan oleh Ishak dkk[2], akan tetapi dengan notasi berbeda. Apabila (𝑋, 𝑝) adalah ruang metrik parsial, maka fungsi 𝑝 𝑠 : 𝑋 × 𝑋 → 𝑹 + yang didefinisikan dengan 𝑝 𝑠 (𝑥, 𝑦) = 2𝑝(𝑥, 𝑦) − 𝑝(𝑥, 𝑥) − 𝑝(𝑦, 𝑦) Adalah metrik pada 𝑋 . Bola  terbuka- 𝑝 yang  berpusat  di 𝑥 dengan  jari-jari 𝜀 > 0 pada  ruang  metrik  parsial (𝑋, 𝑝) didefinisikan  dengan 𝐵 𝑝 (𝑥, 𝜀) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑝(𝑥, 𝑦) < 𝜀} .  Selanjutnya  keluarga  semua  bola  terbuka- 𝑝 didefinisikan dengan {𝐵 𝑝 (𝑥, 𝜀): 𝑥 ∈ 𝑋, 𝜀 > 0} .
Setiap  ruang  metrik  parsial (𝑋, 𝑝) menghasilkan  suatu 𝑇 0 topologi 𝜏 𝑝 pada 𝑋 dengan  basisnya adalah keluarga semua bola terbuka- 𝑝 .
Definisi 1.2[5]: Diberikan ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) 1. Barisan {𝑥 𝑛 } di 𝑋 dikatakan konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 apabila 𝑝(𝑥, 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 )
2. Barisan {𝑥 𝑛 } di 𝑋 disebut barisan Cauchy apabila 𝑙𝑖𝑚 𝑛,𝑚→∞ 𝑝(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) ada (finite).
3. Ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy {𝑥 𝑛 } di 𝑋 konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 terhdapa topologi 𝜏 𝑝 , sehingga berlaku 𝑝(𝑥, 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 )
4. Pemetaan 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dikatakan  kontinu  di 𝑥 0 ∈ 𝑋 apabila ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 sehingga  berlaku 𝑓 (𝐵 𝑝 (𝑥 0 , 𝛿)) ⊂ 𝐵 𝑝 (𝑓(𝑥 0 ), 𝜀)
Berikut  diberikan  beberapa  lemma  yang  menyatakan  hubungan  antara  ruang  metrik  parsial  dan ruang  metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) ,  terkait  Barisan  Cauchy  dan  lengkap.  Lemma-lemma  yang  diberikan  akan digunakan dalam memebuktikan teorema-teorema pada pembahasan selanjutnya.
Lemma 1.3[5]: Diberikan ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) 1. Barisan {𝑥 𝑛 } merupakan barisan Cauchy di ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) jika dan hanya jika {𝑥 𝑛 } barisan Cauchy di ruang metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) .
2. Ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) lengkap jika dan hanya jika ruang metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) lengkap. Lebih lanjut berlaku 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑑 𝑝 (𝑥, 𝑥 𝑛 ) = 0 ⟺  𝑝(𝑥, 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛,𝑚→∞ 𝑝(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 )
Lemma 1.4[5]: Jika barisan {𝑥 𝑛 } konvergen ke 𝑧 di ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) sedemekian hingga 𝑝(𝑥, 𝑥) = 0 maka 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑦) = 𝑝(𝑧, 𝑦) , ∀𝑦 ∈ 𝑋.
Hal yang serupa dikemukakan oleh Ishak dkk[2], akan tetapi dengan notasi berbeda.
Lemma 1.5[2]: Diberikan ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) 1. Barisan {𝑥 𝑛 } merupakan barisan Cauchy di ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) jika dan hanya jika {𝑥 𝑛 } barisan Cauchy di ruang metrik (𝑋, 𝑝 𝑠 ) .
2. Ruang metrik parsial (𝑋, 𝑝) lengkap jika dan hanya jika ruang metrik (𝑋, 𝑝 𝑠 ) lengkap. Lebih lanjut berlaku 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝 𝑠 (𝑥, 𝑥 𝑛 ) = 0 ⟺  𝑝(𝑥, 𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑛,𝑚→∞ 𝑝(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 )
Berikut diberikan definisi kontraksi- 𝜃 , yang memotivasi definisi kontraksi 𝜃 − 𝜙 .
Definisi  1.6[5]: diberikan  ruang  metrik (𝑋, 𝑑) .  Pemeteean 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dikatakan  kontraksi- 𝜃 apabila terdapat  fungsi 𝜃 ∈ 𝛩 dan 𝑘 ∈ (0,1) sedemikian  hingga ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku 𝑑(𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 ) ≠ 0 ⟹ 𝜃 (𝑑(𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 )) ≤ [𝜃(𝑑(𝑥, 𝑦))] 𝑘 dengan fungsi 𝜃: (0, ∞) → (1, ∞) memenuhi kondisi:
(𝛩1) . Fungsi 𝜃 tidak turun
(𝛩2) . Untuk setiap barisan {𝑡 𝑛 } ⊂ (0, ∞) , 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝜃(𝑡 𝑛 ) = 1 jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑡 𝑛 = 0
(𝛩3) . Fungsi 𝜃 kontinu pada (0, ∞)
(𝛩4) . Terdapat 𝑟 ∈ (0,1) dan 𝑙 ∈ (0, ∞] sehingga 𝑙𝑖𝑚 𝑡→0 + 𝜃(𝑡)−1 𝑡 𝑟 = 𝑙 .
Kondisi (𝛩4) terlalu  kuat,  sehingga  banyak  fungsi  yang  memenuhi  kondisi (𝛩1) , (𝛩2) , (𝛩3) , tetapi  tidak  memenuhi  kondisi (𝛩4) .  Oleh  karena  itu,  berikut  didefinisikan  fungsi  yang  hanya memenuhi kondisi (𝛩1) , (𝛩2) , (𝛩3) selanjutnya akan dipelajari lebih dalam sifat-sifat apa saja yang masih berlaku apabila kondisi (𝛩4) tidak disertakan.
Definisi 1.7[5]: Himpunan yang dinotasikan dengan 𝛷 adalah himpunan yang memuat fungsi-fungsi 𝜙: [1, ∞) → [1, ∞) dan memenuhi kondisi:
(𝜙1) . Fungsi 𝜙 tidak turun
(𝜙2) . Untuk setiap 𝑡 > 1 , 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝜙 𝑛 = 1
(𝜙3) . Fungsi 𝜙 kontinu pada [1, ∞)
Lemma 1.8[5]: Jika 𝜙 ∈ 𝛷 , maka 𝜙(1) = 1 dan 𝜙(𝑡) < 𝑡 , untuk setiap 𝑡 > 1.

## Pembahasan
Berikut diberikan definisi kontraksi 𝜃 − 𝜙 dan kontraksi tipe Kannan di ruang metrik parsial lengkap. Definisi tersebut akan digunakan dalam membuktikan teorema-teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik parsial lengkap.
Definisi 2.1[5]: Diberikan ruang metrik parsial lengkap (𝑋, 𝑝) dan pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋.
1. Pemetaan 𝑇 dikatakan kontraksi 𝜃 − 𝜙 apabila terdapat fungsi 𝜃 ∈ Θ dan 𝜙 ∈ Φ sehingga ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku
𝜃 (𝑝(𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 )) ≤  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦))) (1)
2. Pemetaan 𝑇 dikatakan  kontraksi  tipe  Kannan 𝜃 − 𝜙 apabila  terdapat  fungsi 𝜃 ∈ Θ dan 𝜙 ∈ Φ sehingga ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan 𝑇 𝑥 ≠ 𝑇 𝑦 berlaku
𝜃 (𝑝(𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 )) ≤  𝜙 [𝜃 ( 𝑝(𝑥,𝑇 𝑥 )+𝑝(𝑦,𝑇 𝑦 ) 2 )] (2)
Teorema 2.2[5]: Diberikan ruang metrik parsial lengkap (𝑋, 𝑝) . Jika pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 kontraksi 𝜃 − 𝜙 maka 𝑇 mempunyai titik tetap tunggal 𝑥 ∗ ∈ 𝑋 sedemikian hingga barisan {𝑇 𝑛 (𝑥)} konvergen ke 𝑥 ∗ ∈ 𝑋 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
Bukti: Diberikan 𝑥 0 ∈ 𝑋 (Fix/tetap). Didefinisikan barisan {𝑥 𝑛 } , dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 , untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, ⋯ . Substitusikan 𝑥 = 𝑥 𝑛−1 , 𝑦 = 𝑥 𝑛 ke pertidaksamaan (1), sehingga diperoleh
𝜃 (𝑝(𝑇 𝑥 𝑛−1 , 𝑇 𝑥 𝑛 )) = 𝜃(𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )) ≤  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ))) (3)
Apabila proses substitusi tersebut diteruskan, maka akan diperoleh pertidaksamaan berikut:
𝜃(𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )) ≤  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ))) ≤ 𝜙 2 (𝜃(𝑝(𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 ))) ≤ ⋯ ≤ 𝜙 𝑛 (𝜃(𝑝(𝑥 0 , 𝑥 1 )))
Berdasarkan definisi dari 𝜃 dan aksioma (𝜙2) diperoleh lim 𝑛→∞ 𝜙 𝑛 (𝜃(𝑝(𝑥 0 , 𝑥 1 ))) = 1 dan berdasarkan aksioma (𝛩2) diperoleh
lim 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 0 (4)
dengan cara yang sama, apabila disubsitusikan 𝑥 = 𝑥 𝑚 dan 𝑦 = 𝑥 𝑚 , diperoleh
lim 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑚 ) = 0. (5)
Selanjutnya,  akan  dibuktikan  bahwa  barisan {𝑥 𝑛 } merupakan  barisan  Cauchy  di  ruang  metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) .  Andaikan  barisan {𝑥 𝑛 } bukan  barisan  Cauchy  di  ruang  metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) ,  berarti  terdapat beberapa  bilangan 𝜀 > 0 dan  subbarisan-subbarisan {𝑥 𝑛 𝑘 } , {𝑥 𝑚 𝑘 } di {𝑥 𝑛 } dengan 𝑛 𝑘 ≥ 𝑚 𝑘 ≥ 𝑘 sehingga
𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) ≥ 𝜀. (6)
berdasarkan (6), apabila dipilih bilangan yang lebih kecil dari 𝑛 𝑘 , missal 𝑛 𝑘−1 , berarti diperoleh
𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘−1 ) < 𝜀.
𝜀 ≤ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) ≤ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘−1 ) + 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) < 𝜀 + 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘 )
berdasarkan definisi metrik 𝑑 𝑝 , diperoleh
𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) = 2𝑝(𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) − 𝑝(𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘−1 ) − 𝑝(𝑥 𝑛 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘 )
apabila 𝑘 → ∞ dan berdasarkan persamaan (4) dan (5) maka diperoleh
lim 𝑘→∞ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) = 2 lim 𝑘→∞ 𝑝(𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) =  𝜀 (7)
perhatikan pula bahwa
𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘 , 𝑥 𝑚 𝑘 ) ≤ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘−1 ) + 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑚 𝑘−1 ) + 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘−1 , 𝑥 𝑚 𝑘 ) dilain pihak
𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑚 𝑘−1 ) ≤ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘 ) + 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘 , 𝑥 𝑚 𝑘 ) + 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑚 𝑘−1 ) apabila 𝑘 → ∞ dan berdasarkan (4), (5), dan (7) diperoleh
lim 𝑘→∞ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑚 𝑘−1 ) = 2 lim 𝑘→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 𝑘−1 , 𝑥 𝑚 𝑘−1 ) = 𝜀
Substitusi 𝑦 = 𝑥 𝑛 𝑘−1 ,   𝑥 = 𝑥 𝑚 𝑘−1 ke pertidaksamaan (1), selanjutnya menggunakan (6) dan (8) diperoleh
𝜃 ( 𝜀 2 ) ≤ lim 𝑘→∞ 𝜃 (𝑝(𝑥 𝑚 𝑘 , 𝑥 𝑛 𝑘 )) ≤ lim 𝑘→∞ 𝜙 (𝜃 (𝑝(𝑥 𝑚 𝑘−1 , 𝑥 𝑛 𝑘−1 )))
Selanjutnya berdasarkan Lemma 1.8, diperoleh 𝜃 ( 𝜀 2 ) ≤ 𝜙 (𝜃 ( 𝜀 2 )) < 𝜃 ( 𝜀 2 )
Hal ini kontradiksi. Oleh karena itu, pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi yang benar adalah barisan {𝑥 𝑛 } merupakan barisan Cauchy di ruang metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) . Selanjutnya, karena (𝑋, 𝑑 𝑝 ) adalah ruang metrik lengkap, dan {𝑥 𝑛 } merupakan barisan Cauchy di ruang  metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) maka  barisan {𝑥 𝑛 } konvergen.  Oleh  karena  itu,  terdapat 𝑥 ∗ ∈ 𝑋 sedemikian hingga lim 𝑛→∞ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 , 𝑥 ∗ ) = 0 . Hal ini sama saja mengatakan
𝑝(𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = lim 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 ∗ ) = lim 𝑛,𝑚→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 1 2 lim 𝑛,𝑚→∞ 𝑑 𝑝 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0
Selanjutnya, berdasarkan aksioma (P2), akan ditunjukkan bahwa 𝑥 ∗ adalah titik tetap pada 𝑇 , yaitu harus ditunjukkan 𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = 𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0.
Berawal  dari  atas  telah  didapatkan  bahwa 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = 0, dengan  menggunakan  pernyataan  (1) diperoleh 𝜃(𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ )) ≤ 𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ))) .  Berdasarkan  definisi 𝜃 dan  Lemma  1.8,  diperoleh 𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0
Juga dengan menggunakan pernyataan (1) apabila disubstitusikan 𝑥 = 𝑥 𝑛−1 dan 𝑦 = 𝑥 ∗ diperoleh 𝜃(𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ∗ )) ≤ 𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 ∗ )))
Apabila 𝑛 → ∞ dan berdasarkan Lemma 1.4, serta sifat kekontinuan fungsi 𝜃 dan 𝜙 maka diperoleh 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0 .  Jadi,  benar  bahwa 𝑥 ∗ adalah  titik  tetap  pada 𝑇 .  Selanjutnya  akan  dibuktikan ketunggalannya.
Andaikan  ada 𝑦 ∗ titik  tetap  lainnya  pada 𝑇 ,  sehingga 𝑇𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ ≠ 𝑇𝑦 ∗ = 𝑦 ∗ ,  dengan  demikian didapatkan
𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )) = 𝜃(𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑦 ∗ )) ≤ 𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ))) < 𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ))
Hal ini kontradiksi. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah titik tetap pada 𝑇 tunggal. ∎ Teorema  2.2  diatas  sejalan  dengan  yang  dikemukakan  oleh  Ishak  dkk[2],  perbedaannya  adalah bahwa pada Ishak dkk[2] tidak mendefinisikan pemetaan kontraksi 𝜃 − 𝜙 . Akan tetapi syarat perlunya diberikan dengan suatu hubungan pertidaksamaan pada metriknya. Untuk lebih jelas, dibahas dalam teorema berikut ini.
Teorema 2.3[2]: Diberikan ruang metrik parsial lengkap (𝑋, 𝑝) dan fungsi kontinu 𝜙: [0, ∞) → [0, ∞) yang tidak turun dengan 𝜙(𝑡) < 𝑡, ∀𝑡 > 0 . Jika pemetaan 𝐹: 𝑋 → 𝑋 memenuhi kondisi
𝑝(𝐹𝑥, 𝐹𝑦) ≤ 𝜙 [max {𝑝(𝑥, 𝑦), 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥), 𝑝(𝑦, 𝐹𝑦), 1
2 (𝑝(𝑥, 𝐹𝑦) + 𝑝(𝑦, 𝐹𝑥))}] (8)
untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , maka 𝐹 mempunya titik tetap tunggal.
Bukti: Berdasarkan definisi fungsi 𝜙 , jelas bahwa lim 𝑛→∞ 𝜙 𝑛 (𝑡) = 0 , ∀𝑡 > 0 .
Diberikan 𝑥 0 ∈ 𝑋 (Fix/tetap).  Didefinisikan  barisan {𝑥 𝑛 } ,  dengan 𝑥 𝑛 = 𝐹𝑥 𝑛−1 ,  untuk  setiap 𝑛 = 1,2,3, ⋯ . Apabila 𝑥 𝑛 0 = 𝑥 𝑛 0 +1 , untuk beberapa 𝑛 0 = 0,1,2, ⋯ maka jelas 𝑥 𝑛 0 adalah titik tetap untuk 𝐹 . Apabila 𝑥 𝑛 ≠ 𝑥 𝑛+1 untuk setiap 𝑛, dan berlaku pertidasamaan berikut,
𝑝(𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥 𝑛−1 ) + 𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝐹𝑥 𝑛 ) = 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤  𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) karena fungsi 𝜙 tidak turun, berdasarkan ketaksamaan (8) maka diperoleh 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ) = 𝑝(𝐹𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥 𝑛−1 )
≤ 𝜙 [max {𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥 𝑛 ), 𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝐹𝑥 𝑛−1 ), 1 2 (𝑝(𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥 𝑛−1 ) + 𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝐹𝑥 𝑛 ))}]
≤ 𝜙 [max {𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ), 1 2 (𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ))}]
= 𝜙[max{𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )}] (9)
Selanjutnya, perhatikan bahwa, andaikan max{𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )} =  𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) , maka dari (9) diperoleh 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ) ≤  𝜙(𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )) < 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ).
Hal ini kontradiksi, karena 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) > 0 . Sehingga pengandaian salah dan harus diingkar, yang benar adalah max{𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 )} = 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) untuk semua 𝑛 . Oleh karena itu, pernyatan (9) adalah 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝜙(𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 )) . Apabila proses ini diteruskan, maka diperoleh
𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝜙 𝑛 (𝑝(𝑥 1 , 𝑥 0 )) (10)
Sebaliknya, karena max{𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ), 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+1 )} ≤ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) , maka berdasarkan (10) diperoleh
max{𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ), 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+1 )} ≤ 𝜙 𝑛 (𝑝(𝑥 1 , 𝑥 0 )) (11)
Selanjutnya, perhatikan dahulu bahwa:
𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 2𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) − 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) − 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 2𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑝(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+1 ) ≤ 4𝜙 𝑛 (𝑝(𝑥 1 , 𝑥 0 ))
Hal ini menunjukkan bahwa lim 𝑠→∞ 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 0.
Selanjutnya, 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛+𝑘 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛+𝑘 , 𝑥 𝑛+𝑘−1 ) + ⋯ + 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 4𝜙 𝑛+𝑘−1 𝑝 𝑠 (𝑥 1 , 𝑥 0 ) + ⋯ + 4𝜙 𝑛 𝑝 𝑠 (𝑥 1 , 𝑥 0 )
Apabila 𝑛 → ∞ hal  ini  menunjukkan  bahwa  barisan {𝑥 𝑛 } merupakan  barisan  Cauchy  di  ruang metrik (𝑋, 𝑝 𝑠 ) .  Karena (𝑋, 𝑝) lengkap,  maka  berdasarkan  Lemma  1.5 ruang  metrik (𝑋, 𝑝 𝑠 ) juga lengkap, akibatnya barisan {𝑥 𝑛 } konvergen dalam (𝑋, 𝑝 𝑠 ) misalkan ke 𝑥 , sehingga lim 𝑛→∞ 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛 , 𝑥) = 0. Selain  itu,  diperoleh  pula 𝑝(𝑥, 𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥) = lim 𝑛,𝑚→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) .  Karena {𝑥 𝑛 } merupakan barisan Cauchy di ruang metrik (𝑋, 𝑝 𝑠 ) ini berarti lim 𝑛,𝑚→∞ 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0 selanjutnya berdasarkan (11) lim 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) = 0 . Berdasarkan definisi 𝑝 𝑠 , diperoleh lim 𝑛,𝑚→∞ 𝑝 𝑠 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0 . Sehingga
𝑝(𝑥, 𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥) = lim 𝑛,𝑚→∞ 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0.
Selanjutnya ditunjukkan bahwa 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥) = 0 . Andaikan sebaliknya, yaitu 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥) ≠ 0 . Berdasarkan (8), diperoleh
𝑝(𝑥, 𝐹𝑥) ≤ 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥 𝑛 ) + 𝑝(𝐹𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥) − 𝑝(𝐹𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥 𝑛 ) ≤  𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑝(𝐹𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥)
≤  𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜙 (𝑚𝑎𝑥 {𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 ), 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ), 1 2 (𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛+1 ), +𝑝(𝑥 𝑛 , 𝐹𝑥))}) ≤  𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜙 (𝑚𝑎𝑥 {𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 ), 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ), 1 2 (𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛+1 ), +𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥) + 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥) − 𝑝(𝑥, 𝑥))})
= 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜙 (𝑚𝑎𝑥 {𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛 ), 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥), 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ), 1 2 (𝑝(𝑥, 𝑥 𝑛+1 ), +𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥) + 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥))})
dengan  menggunakan  sifat  kekontinuan  fungsi 𝜙 dan  apabila 𝑛 → ∞ ,  diperoleh 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥) ≤ 𝜙(𝑝(𝑥, 𝐹𝑥)) .
Hal  ini  kontradiksi.  Oleh  karena  itu  pengandaian  salah  dan  harus  diingkar,  jadi 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥) = 0. Akibatnya 𝐹𝑥 = 𝑥. Dengan  kata  lain, 𝑥 adalah  titik  tetap 𝐹 .  Akan  ditunjukkan  bahwa  titik  tetap tersebut tunggal. Andaikan ada titik tetap lain pada 𝐹 , namakan 𝑧 , dengan 𝑧 ≠ 𝑥 . Berdasarkan (8) karena 𝑝(𝑥, 𝑥) = 0 maka diperoleh
𝑝(𝑥, 𝑧) = 𝑝(𝐹𝑥, 𝐹𝑧)
≤  𝜙 (𝑚𝑎𝑥 {𝑝(𝑥, 𝑧), 𝑝(𝑥, 𝐹𝑥), 𝑝(𝑧, 𝐹𝑧), 1 2 (𝑝(𝑥, 𝐹𝑧), +𝑝(𝑧, 𝐹𝑥))})
=  𝜙 (𝑚𝑎𝑥 {𝑝(𝑥, 𝑧), 𝑝(𝑥, 𝑥), 𝑝(𝑧, 𝑧), 1 2 (𝑝(𝑥, 𝑧), +𝑝(𝑧, 𝑥))})
=  𝜙(𝑚𝑎𝑥{𝑝(𝑥, 𝑧), 𝑝(𝑧, 𝑧)})
=  𝜙𝑝(𝑥, 𝑧)
Hal ini kontradiksi. Sehingga pengandaian salah, yang benar adalah titik tetap nya tunggal, yaitu 𝑥 = 𝑧 . ∎
Berikut  diberikan  teorema  ketunggalan  titik  tetap  pada  pemetaan  kontraksi  tipe  Kannan 𝜃 − 𝜙 . Proses  pembuktian  sejalan  dengan  teorema  ketunggalan  titik  tetap  pada  pemetaan  kontraksi 𝜃 − 𝜙 diatas.
Teorema 2.4[5]: Diberikan ruang metrik parsial lengkap (𝑋, 𝑝) . Jika pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 kontraksi tipe Kannan 𝜃 − 𝜙 maka 𝑇 mempunyai  titik  tetap  tunggal 𝑥 ∗ ∈ 𝑋 sedemikian  hingga  barisan {𝑇 𝑛 (𝑥)} konvergen ke 𝑥 ∗ ∈ 𝑋 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
Bukti: Diberikan 𝑥 0 ∈ 𝑋 (Fix/tetap). Didefinisikan barisan {𝑥 𝑛 } , dengan 𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 , untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, ⋯ .
Proses pembuktian 𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) → 0 ketika 𝑛 → ∞ sama seperti pembuktian pada Teorema 2.3 diatas. Begitu  pula  pembuktian  barisan {𝑥 𝑛 } merupakan  barisan  Cauchy  di  ruang  metrik (𝑋, 𝑑 𝑝 ) analog seperti  Teorema  2.3.  Karena (𝑋, 𝑑 𝑝 ) adalah  ruang  metrik  lengkap,  maka  barisan {𝑥 𝑛 } konvergen, misalkan  ke 𝑥 ∗ ∈ 𝑋 .  Oleh  karena  itu  berlaku lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑥 ∗ dan 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = 0 .  Selanjutnya  untuk menunjukkan  bahwa 𝑥 ∗ adalah  titik  tetap,  dapat  dibuktikan  bahwa 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = 𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑥 ∗ ) = 𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0. Substitusikan 𝑥 = 𝑥 𝑛−1 , 𝑦 = 𝑥 ∗ ke pertidaksamaan (2), sehingga diperoleh
𝜃 (𝑝(𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 )) ≤  𝜙 [𝜃 ( 𝑝(𝑥, 𝑇 𝑥 ) + 𝑝(𝑦, 𝑇 𝑦 ) 2 )] 𝜃(𝑝(𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 ∗ )) ≤  𝜙 [𝜃 ( 𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛−1 ) + 𝑝(𝑥
∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) 2 )] 𝜃(𝑝(𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ∗ )) ≤  𝜙 [𝜃 ( 𝑝(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) 2 )]
Apabila 𝑛 → ∞ dan  berdasarkan  Lemma  1.4  serta  sifat  kekontinuan  fungsi 𝜃 dan 𝜙 diperoleh 𝑝(𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0 .  Selanjutnya  karena 𝜃(𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ )) ≤  𝜙 [𝜃 ( 𝑝(𝑥 ∗ ,𝑇𝑥 ∗ )+𝑝(𝑥 ∗ ,𝑇𝑥 ∗ ) 2 )] .  Maka  didapat 𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑥 ∗ ) = 0 Jadi, benar bahwa 𝑥 ∗ adalah titik tetap pada 𝑇 . Selanjutnya akan dibuktikan ketunggalannya. Andaikan  ada 𝑦 ∗ titik  tetap  lainnya  pada 𝑇 ,  sehingga 𝑇𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ ≠ 𝑇𝑦 ∗ = 𝑦 ∗ ,  dengan  demikian didapatkan 𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )) = (𝑝(𝑇𝑥 ∗ , 𝑇𝑦 ∗ )) ≤ 𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ))) < 𝜃(𝑝(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ )) .  Hal  ini  kontradiksi. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah titik tetap pada 𝑇 tunggal. ∎
Berikut diberikan contoh agar dapat memberikan ilustrasi dari teorema-teorema yg telah dibahas diatas.
Contoh  2.5:  Diberikan  himpunan 𝑋 = [0, ∞) dan  didefinisikan 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑎𝑥{𝑥, 𝑦} .  Jelas  bahwa (𝑋, 𝑝) merupakan ruang metrik parsial lengkap. Didefinisikan  fungsi 𝜃: (0, ∞) → (1, ∞) dengan 𝜃(𝑡) = 5 𝑡 .  Didefinisikan  pula  fungsi 𝜙: (1, ∞) → (1, ∞) dengan
𝜙(𝑡) = { 1 ,   0 ≤ 𝑡 < 2 𝑡 − 1, 𝑡 ≥ 2
Berdasarkan definisi fungsi 𝜙 dan 𝜃 diatas, jelas bahwa 𝜃 ∈ Θ dan 𝜙 ∈ Φ . Selanjutnya didefinisikan pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dengan
𝑇𝑥 = { 0, 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑥 2 𝑥 + 1 ,         𝑥 ≥ 1
Jelas pemetaan 𝑇 memenuhi semua asumsi pada Teorema 2.2. perhatikan tiga kasus berikut ini: Kasus 1: Jika 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1) dan 𝑥 ≥ 𝑦 (atau 𝑦 ≥ 𝑥 ), diperoleh:
𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = 0 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥
𝜃(𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦)) = 5 0 = 1 ≤ 1 =  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦)))  (5 𝑥 ≤ 2) 𝜃(𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦)) = 5 0 = 1 ≤ 5 𝑥 − 1 =  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦)))  (5 𝑥 > 2)
Kasus 2: Jika 𝑦 ∈ [0,1) dan 𝑥 ≥ 1 (atau 𝑥 ∈ [0,1) dan 𝑦 ≥ 1 ), diperoleh:
𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = 𝑥 2 𝑥 + 1 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥
𝜃(𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦)) = 5 𝑥 2 𝑥+1 ≤ 5 𝑥 2 𝑥+1 . 5 1 2 − 1 ≤ 5 𝑥 2 𝑥+1 5 𝑥 𝑥+1 =  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦)))
Kasus 3: Jika 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 1 atau (𝑦 ≥ 𝑥 ≥ 1) , diperoleh:
𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = 𝑥 2 𝑥 + 1 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝜃(𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦)) = 5 𝑥 2 𝑥+1 ≤ 5 𝑥 2 𝑥+1 . 5 1 2 − 1 ≤ 5 𝑥 2 𝑥+1 5 𝑥 𝑥+1 =  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦)))
Oleh karena itu berdasarkan kasus 1 sampai kasus 3 diatas, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 diperoleh
𝜃(𝑝(𝑇𝑥, 𝑇𝑦)) ≤  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦)))
Fungsi 𝑇 pada contohnya ini mempunyai titik tetap tunggal, yaitu 𝑥 = 0 adalah titik tetapnya. Pada contoh ini, kondisi seperti Teorema 2.2 tidak dipenuhi apabila metrik parsial 𝑝 menjadi metrik biasa ( usual) 𝑑 . Berikut contoh penyangkalananya.
Misalkan 𝑥 = 2, dan 𝑦 = 2.5 maka diperoleh 𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = 19 42 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0.5
𝜃(𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦)) = 5 19 42 ≥   5 0.5 − 1 =  𝜙 (𝜃(𝑝(𝑥, 𝑦)))
Hal ini tidak memenuhi kondisi diatas.

## Kesimpulan
Teorema ketunggalan titik tetap yang dikemukakan oleh Tao dkk sejalan dengan yang dikemukakan oleh Ishak dkk, perbedaannya adalah bahwa pada Ishak dkk tidak mendefinisikan pemetaan kontraksi 𝜃 − 𝜙 . Akan tetapi syarat perlunya diberikan dengan suatu hubungan pertidaksamaan pada metriknya. Selain itu, Proses pembuktian teorema ketunggalan titik tetap pada pemetaan kontraksi tipe Kannan 𝜃 − 𝜙 sejalan dengan teorema ketunggalan titik tetap pada pemetaan kontraksi 𝜃 − 𝜙 .

## Referensi
[1] Dingwei  Zheng,  Zhangyong  Cai,  Pei  Wang.  2017.  New  _xed  point  theorems  for 𝜃 − 𝜙 contraction  in  complete metrik spaces, Journal of Nonlinear Sciences and Applications, 10 (2017), 2662-2670.
[2] Ishak  A,  Ferhan  S,  Hakan  S,  2010,  Generalized  contractions  on  partial  metrik  spaces,  Elsevier:  Topology  and  its Applications, 2010, 2778-2785.
[3] S.  G.  Matthews,  1992.  Partial  Metrik  Topology,  Research  Report  212,  Dept.  of  Computer  Science,  University  of Warwick.
[4] S.  G.  Matthews.  1994.  Partial  metrik  topology,  General  Topology  and  its  Applications,  Annals  of  the  New  York Academy of Sciences, 728 (1994), 183-197.
[5] Tao Hu, Dingwei Z, Jingren Z. 2018. Some new Fixed Point Theorems on partial metrik spaces. IJMA, Vol 12, 2018 no 7.