Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains
http://jfkip.umuslim.ac.id/index.php/asimetris/issue/view/66

## ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI MIXTURE PARETO-NORMAL DAN PENENTUAN FUNGSI RELIABILITASNYA

## Vivi Asbar
Dosen Program Studi Teknik Komputer, Universitas Sains Cut Nyak Dhien, Langsa, Indonesia Alamat email: vibir_asbar@yahoo.com
ABSTRAK. Analisa  data  uji  hidup  adalah  salah  satu  analisa  statistik  yang  membahas  tentang  daya  tahan  hidup  suatu  bahan atau  individu  pada  keadaan  operasional  tertentu.  Ada  beberapa  distribusi  yang  terdapat  dalam  analisa  data  uji  hidup. Diantaranya  adalah  distribusi  Pareto  dan  distribusi  Normal.  Dalam  penelitian  ini  gabungan  dari  distribusi  Pareto  dan  distribusi Normal akan menghasilkan distribusi Mixture Pareto-Normal (MPN). Peluang sukses pada distribusi Pareto dan peluang gagal pada distribusi Normal dimana fungsi distribusi MPN akan bernilai nol, positif atau negatif dengan parameter-parameter peluang sukses dan peluang gagal yang berbeda. Untuk mengestimasi parameter dari distribusi MPN menggunakan metode Maximum Likelihood  Estimate (MLE)  dengan  Algoritma  EM  (Ekspektasi  Maksimasi)  dan  menentukan  fungsi  Reliabilitasnya.  Estimator parameter yang masih implisit dapat diselesaikan dengan metode Newton-Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yaitu kemiringan),  taksirannya  menggunakan  deret  Taylor.  Prosedur  E  menentukan  fkp  (fungsi  kepadatan  peluang)  distribusi  MPN, melog-kan, menentukan ekspektasi bersyarat dan mensubstitusikan distribusi Normal dan distribusi Pareto pada persamaan fkp distribusi MPN yang sudah dilog-kan. Prosedur M mendapatkan estimator dari parameter-parameter distribusi MPN yang sudah didifferensialkan  yaitu σ µ α ˆ , ˆ , ˆ , ˆ p diperoleh  hasil  yang  eksplisit.  Sedangkan  estimator β ˆ diperoleh  masih  dalam  bentuk fungsi implisit (masih mengandung parameter β itu sendiri pada distribusi Pareto). Penentuan fungsi Reliabilitas dari distribusi MPN  dengan  mensubstitusikan  distribusi  MPN  dengan  peluang  sukses  yang  bernilai  positif  pada  fungsi  Reliabilitas Mixture karena peluang sukses yang bernilai positif akan dapat menentukan fungsi Reliabilitas dari distribusi MPN. Sehingga daya tahan hidup dengan menggunakan distribusi MPN dapat dilakukan.
Kata Kunci: : Distribusi Mixture Pareto-Normal, Algoritma EM, Reliabilitas, Metode Newton Raphson

## I. PEDAHULUAN
Analisa data uji hidup adalah salah satu analisa  statistik  yang  membahas  tentang  daya tahan  hidup  suatu  bahan  atau  individu  pada keadaan  operasional  tertentu.  Penerapan  dari analisa  ini  biasanya  banyak  dilakukan  dibagian kedokteran  yaitu  berkaitan  dengan  pemodelan ketahanan  hiduppenderita  penyakit  tertentu (kutipan jurnal Savitri, 2005 dari buku Lee, 1992), dan  di  bagian  produksi  berkaitan  dengan pemodelan  tentang  ketahanan  hidup  benda- benda  produksi  (kutipan  jurnal  Savitri,  2005  dari buku  Barlow  dan  Proschan,  1996).  Menurut (Wolstenholme,  1999  kutipan  jurnal  Savitri, 2005),  ketahanan  hidup  benda-benda  produksi ini  biasanya  disebut  keandalan  atau  Reliabilitas ( Reliability ).  Reliabilitas  merupakan  suatu  hal pokok  dalam  pengukuran  suatu  alat, baik dalam sistem produksi maupun dalam sistem
pelayanan. Reliabilitas dapat dipandang sebagai indikator  kualitas  suatu  produk  (bagus  tidaknya suatu  barang).  Reliabilitas  mesin  produksi  yang tinggi  maka  kelancaran  produksinya  akan  dapat dijamin  tinggi,  sebaliknya  Reliabilitas  mesin produksi  yang  rendah  maka  kelancaran produksinya  juga  buruk.  Untuk  mengetahui Reliabilitas  suatu  produk  hasil  industri  atau ketahanan  individu  penderita  penyakit  tertentu maka  diperlukan  suatu  uji  hidup  (kutipan  jurnal Savitri, 2005 dari buku Prihartanti, 2002). Adapun tujuan  dari  penulisan  ini  adalah  untuk mengestimasi  parameter  dari  distribusi  MPN menggunakan  metode  MLE  dengan  Algoritma EM  dan  menentukan  fungsi  Reliabilitas  dari distribusi MPN.

## II. METODE PENELITIAN
1. Sifat Penulisan
Adapun  sifat  penulisan  ini  adalah  berbentuk studi literatur. Ruang lingkup penulisan ini hanya terbatas  pada  penentuan  fungsi  Reliabilitas  dari gabungan distribusi Pareto dan distribusi Normal (distribusi MPN).
2. Prosedur Analisis
A. Mengestimasi parameter-parameter distribusi  MPN  dengan  metode Maximum
Likelihood  Estimate (MLE)  yaitu  dengan Algoritma EM:
• Tahap E
1. Menentukan  fkp  (fungsi  kepadatan peluang) distribusi Pareto
2. Menentukan fkp distribusi Normal
3. Menentukan fkp dari distribusi MPN
4. Menentukan  fungsi Likelihood dari distribusi MPN
5. Me-log-kan fungsi Likelihood tersebut 6. Menghitung  ekspektasi  bersyarat  dari data lengkap log- Likelihood
• Tahap M
1. Mendifferensialkan  hasil  ekspektasi tersebut terhadap parameter-parameter
distribusi MPN 2. Hasil dari differensial tersebut dinormalisasikan (persamaan normal)
3. Mendapatkan estimator dari parameter- parameter distribusi MPN

## B. Menentukan  fungsi  Reliabilitas  MPN dengan prosedur sebagai berikut:
• Menentukan fkp distribusi MPN
• Mengintegralkan  fkp  MPN  dengan batas t sampai dengan ∞

## Teknik Pendugaan Parameter
Menurut Freund dan Walpole (1962, hal: 223,  edisi  ke-empat),  teknik  pendugaan parameter  dari  suatu  distribusi  peluang  yang sering digunakan adalah:
1. Moment Generating Function ( MGF )
Fungsi Pembangkit Momen adalah:
( ) ( )
      = = ∫ ∑ ∞ ∞ − kontinu x bila dx x f diskrit x bila x f e e E t M x tx tx ) ( ) ( 2. Maximum Likelihood Estimate (MLE)
Metode  ini  untuk  menentukan  MLE
(Maximum  Likelihood  Estimate).  Dari  suatu populasi ) , ... , , ; ( 2 1 k x f θ θ θ akan  ditentukan estimator k θ θ θ ˆ , ... , ˆ , ˆ 2 1 berdasarkan sampel acak
. , ... , , 2 1 n X X X Misalkan ( ) n X X X X ..., , , 2 1 = dan ( ) k θ θ θ θ ..., , , 2 1 = ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ θ ; ..., , , ..., , , ; ..., , , ; 2 1 2 1 2 1 n k n x x x f x x x f x f = = ( ) ∏ = = n i i x f 1 ; θ (1) ( ) ( ) x f L θ θ = yang  merupakan  fungsi dari  parameter θ berdasarkan  sampel  acak
n X X X , ... , , 2 1 disebut  fungsi  Likelihood  dan nilai-nilai θ yang  memaksimumkan ( ) θ L disebut  (MLE)  dari = θ θ ˆ ; MLE ( ) θ (Amry  &
Ani, 2004).
3. Algoritma EM ( Ekspektasi Maksimasi )
Pada  MLE  umumnya  diperlukan  suatu metode  numerik,  diantaranya  menggunakan Algoritma  Newton-Raphson  dan  Algoritma Gauss-Newton.  Pada  Algoritma  EM  secara analisa statistik terdapat beberapa permasalahan diantaranya:
• Beberapa bagian data yang hilang, untuk penganalisaan  menyangkut  datanya tidak  lengkap  akan  menjadi  rumit  bila modelnya berbentuk nonlinier.
• Apabila dapat mengisi data yang hilang, maka  penganalisaannya  termasuk  data yang lengkap.
4. Metode Newton-Raphson
Salah  satu  permasalahan  yang  sering timbul  dalam  menentukan  akar-akar  dari  suatu persamaan adalah jika persamaan tersebut tidak
linier.  Untuk  permasalahan  ini,  metode  Newton- Raphson  dapat  digunakan  untuk  mendapatkan akar-akar dari persamaan tersebut.
5. Fungsi Distribusi Peluang
1. Distribusi Normal
Distribusi  Normal    adalah  salah  satu distribusi  teoritis  dari  peubah  acak  kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss , sesuai  nama  pengembangnya,  yaitu  Karl  Gauss pada  abad  ke-18,  seorang  ahli  matematika  dan astronomi (Supranto, 1995).
Distribusi  Normal  untuk  peubah  acak T memiliki bentuk fungsi sebagai
berikut:
( ) 2 2 1 2 1 , :       − − = σ µ π σ σ µ t e t f (2)
Untuk 0 , > ∞ < < ∞ − σ t ,  dengan t = peubah waktu, = π konstanta, = σ simpangan  baku,
= µ rata-rata t , e = konstanta.
Untuk  melihat  plot  distribusi  Normal, penulis  mencoba  membangkitkan  data  dengan nilai 6 , 2000 = = σ µ .
• dengan menggunakan program Minitab

## 2. Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial memiliki bentuk
fungsi sebagai berikut:
( ) 0 , 0 , 1 : / > ∞ < ≤ = − λ λ λ λ x e x f x (3)
Dimana, = x peubah acak, = λ rata-rata populasi , x = e konstanta.
Sebaran  ini  banyak  digunakan  untuk memodelkan  waktu  hingga  munculnya  suatu kejadian  tertentu  (terjadinya  kegagalan  suatu mesin  dan  sebagainya).  Distribusi  peluang Eksponensial  dapat  juga  digunakan  untuk melakukan  perkiraan  atau  prediksi,  dengan
hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi (Ariani, 2004).
Salah  satu  distribusi  lain  yang  termasuk keluarga Eksponensial adalah distribusi Pareto.

## 3. Distribusi Pareto
Distribusi Pareto adalah distribusi ketahanan hidup yang berkaitan dengan peubah waktu  (Savitri,  2005).  Fungsi  distribusi  Pareto untuk peubah acak T yaitu:
( ) ( ) ( ) p t p t f − +       + = + 1 1 α α β αβ (4)
Untuk , ∞ < < ∞ − t dimana α adalah parameter  bentuk  (shape)  dengan α >  0, β adalah parameter skala (scale) dengan β > 0, p menyatakan  peluang  sukses  dari  suatu  kejadian dan q menyatakan  peluang  gagal  dari  suatu kejadian,  dimana p + q =  1  untuk 1 0 , 1 0 ≤ ≤ ≤ ≤ q p .

## III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Estimasi Parameter Distribusi Mixture Pareto- Normal  dengan  Metode  MLE  dan  Penentuan Fungsi Reliabilitas
1. Distribusi Mixture Pareto-Normal (MPN)
Distribusi  MPN  adalah  suatu  peluang sukses  dikalikan  distribusi  Pareto  ditambah dengan  suatu  peluang  gagal  dikalikan  dengan distribusi  Normal.  Gabungan  dari  distribusi Pareto  dan  distribusi  Normal  maka  akan menghasilkan distribusi MPN.
( ) ∑ ∫ − + = dt t f p t f p t F ) ( ) 1 ( ) (
(Anonim2, 2007).
Distribusi  MPN  disusun  oleh  parameter-
parameter ( ) σ µ β α , , , , p dengan menggunakan  peubah  acak T .  Distribusi  MPN untuk  peubah  acak T memiliki  fkp  yaitu:
( ) ( ) ( )         − +       + =       − − + 2 2 1 1 2 1 1 ; σ µ α α π σ β αβ ψ t mix e p t p t f (5)
0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 X D e n s it y 2010 0,05 2000 Distribution Plot Normal; Mean=2000; StDev=6
Dengan;
( ) ( ) ( ) , ) ( , t f t f N p = ψ dimana;
( ) ( ) p t p t f p − +       + = + 1 ) ( 1 α α β αβ adalah  fungsi
distribusi Pareto dan ( )         =       − − 2 2 1 2 1 σ µ π σ t n e t f adalah fungsi
distribusi Normal.
Tabel  1 .  Nilai  Distribusi Mixture Pareto-Normal dengan Parameter Peluang Sukses dan
Peluang Gagal yang Berbeda No. Distribu si Mixture
Pareto-
Normal ( ) t f mix ψ ; Varia bel wakt u ( t ) Parameter Sukses ( p ) Gagal ( q )
α β µ 0 , 2 2 ≠ σ σ I 0 0 0 0 > > < < y y y y 0 = t 0 = α 0 = β 0 0 0 0 < > < > µ µ µ µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ II 0 0 0 0 > > < < y y y y 0 0 0 0 < > < > t t t t 0 = µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ III 0 0 0 0 > > < < y y y y 0 = t ganjil = < α α 0 0 < β 0 0 0 0 < > < > µ µ µ µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ IV 0 0 0 0 < > > < y y y y 0 0 0 0 < > < > t t t t 0 = µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > >
σ σ σ σ
V 0 0 0 0 > > < < y y y y 0 = t genap = < α α 0 0 < β 0 0 0 0 < > < > µ µ µ µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ VI 0 0 0 0 < > > < y y y y 0 0 0 0 < > < > t t t t 0 = µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ VII 0 0 0 0 > > > > y y y y 0 = t 0 > α 0 > β 0 0 0 0 < > < > µ µ µ µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ VIII 0 0 0 0 > > > > y y y y 0 0 0 0 < > < > t t t t 0 = µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ Tabel 2 . Urutan Peluang Sukses ( p ) yang paling Besar dengan Peluang Gagal ( q )
No. Peluang Sukses ( p ) Peluang Gagal ( q ) 1 0 > α 0 > β 0 0 0 0 0 = < > < > µ µ µ µ µ 0 0 0 0 2 2 2 2 < < > > σ σ σ σ 2 0 = α 0 = β
3 ganjil = < α α 0 0 < β 4 genap = < α α 0 0 < β
Dari  tabel  diatas  peluang  sukses  dapat diurutkan  dari  yang  paling  besar  sampai  yang paling  kecil  (dilihat  dari  fungsi  MPN  ( y )  yang bernilai  positif  sampai  negatif).  Itu  dapat  dilihat dari  tabel  1  dengan  fungsi  distribusi  MPN  pada kondisi  nomor  VII  dan  VIII  yang  semuanya bernilai  positif.  Sedangkan  peluang  gagal  hanya dapat  ditentukan  dari  peluang  suksesnya
sehingga  besarnya  nilai  dari  parameter  peluang gagalnya dapat ditentukan tetapi tidak mempunyai  peluang  gagal  paling  besar  (kondisi pada nomor I sampai dengan VIII sama).
2. Estimasi  Paramater  Distribusi Mixture

## Pareto-Normal
Dalam mengestimasi parameter- parameter  pada  distribusi  MPN  digunakan metode  MLE  dengan  menggunakan  Algoritma EM. Dimana Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E dan tahap M.

## 2.1 Prosedur Analisis Algoritma EM
Prosedur EM terdiri dari 2 tahap yaitu tahap E dan tahap M.
Prosedur E
a. Fkp Distribusi Pareto untuk peubah acak T yaitu: (lihat persamaan 4)
b. Fkp Distribusi Normal untuk peubah acak T yaitu: (lihat persamaan 2)
c. Fkp Distribusi MPN untuk peubah acak T yaitu:
Fkp distribusi MPN untuk peubah acak T diperoleh  dengan  cara  membuat  fungsi distribusi  gabungan  persamaan  (2)  dan (4), yaitu: (lihat persamaan 5).
d. Menentukan  fungsi  Likelihood  dari distribusi MPN.
Untuk  penerapan  dari  Algoritma  EM,
data  observasi ( ) n obs t t t ..., , 1 = dianggap sebagai  data  tidak  lengkap.  Data  lengkap  disini adalah data yang memuat data tidak lengkap dan data  yang  tidak  teramati,  sedangkan  data  tidak lengkap  adalah  data  sampel  yang  diacak  dari data populasi. Oleh karena itu, metode MLE tidak dapat langsung digunakan sehingga diperkenalkan  variabel ij Z , ij Z merupakan variabel yang tak teramati, dengan:
   ∉ ∈ i j i i ij G t G t Z , 0 , 1 (6)
Dimana:
= i t data yang teramati pada ruang sampel i G
= i t data yang tidak teramati pada ruang sampel
i G
= i G subpopulasi ke-i (ruang sampel observasi ke-i)
Jadi,  data  lengkap
( ) n c c x x x x ..., , , 1 = dimana ( ) ( ) n n n z t x z t x , ..., , , 1 1 1 = = memuat data  observasi ( ) n obs t t t ..., , 1 = dan  data  yang
tidak teramati ( ) n j g i z ij ..., , 1 , ..., , 1 = = Fkp dari data lengkap ( ) c x adalah: ( ) ( ) { } ∏ = = g i z i j i c ij t pf x f 1 ; θ (7)
Dari  fkp  data  lengkap ( ) c x persamaan  (7)  diatas  dapat  ditentukan  fungsi Likelihood data lengkap ( ) c x yaitu: ( ) ( ) { } ( ) { } ∏∏ ∏ = = = = = g i n j z i j i g i z i j i c ij ij t pf t pf x f 1 1 1 ; ; θ θ
Sehingga  fungsi  Likelihood  data  lengkap  dapat dituliskan:
( ) ( ) { } ∏∏ = = = g i n j z i j i c c ij t pf x L 1 1 ; ; θ ψ (8)
e. Me-log-kan  fungsi  Likelihood  data lengkap
Dari  persamaan  (8)  dapat ditentukan  fungsi  log-Likelihood  data lengkapnya  yaitu  dengan  me-log-kan persamaan (8)
( ) ( ) { }       = ∏∏ = = g i n j z i j i c ij t pf L 1 1 ; log log θ ψ
Sehingga  fungsi  log-Likelihood  data lengkap dapat dituliskan:
( ) ( ) { } ∑∑ = = = g i n j i j i ij c t pf z L 1 1 ; log log θ ψ (9)
f. Menentukan  ekspektasi  bersyarat  dari log-Likelihood data lengkap
Pada  tahap E  yaitu  menentukan nilai ekspektasi  bersyarat  dari  log-Likelihood data lengkap. Berdasarkan persamaan (9) maka dapat ditentukan nilai ekspektasinya sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) { }       = ∑∑ = = g i n j i j i ij c t pf z E L E 1 1 ; log log θ ψ
(10)
Fungsi  log-Likelihood  diatas  merupakan fungsi bersama dari g sub populasi dimana sebagian sub populasi berdistribusi Pareto dan  sebagian  lagi  berdistribusi  Normal. Untuk  2  (dua)  sub  populasi,  dimana  satu
sub populasi berdistribusi Normal ( ) 2 , σ µ
dan  satu  sub  populasi  lagi  berdistribusi Pareto ( ) β α , , p maka  Ekspektasi  dari fungsi  log-Likelihood    kedua  sub  populasi tersebut diperoleh:
( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) { } ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = =       = 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ; log ; log ; log ; log i n j i j i ij i n j i j i ij i n j i j i ij c c t pf z E t pf z E t pf z E x L E θ θ θ ψ
(Menurut  Bohning  dan  Nityasuddhi,  2003 dari kutipan jurnal Savitri, 2005) dapat dituliskan:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ∑∑ = = = = 2 1 1 ; log log , i n j i j i ij c k t pf z E L E Q θ ψ ψ ψ Karena ( ) ij k ij Z E Z = ) ( (Bohning  dan
Nityasuddhi,  2003  dari  kutipan  jurnal  Savitri, 2005) maka:
( ) ( ) ( ) ( ) { } ∑ ∑ = = = 2 1 1 ; log , i n j i j i k ij k t pf z Q θ ψ ψ (11)
Dengan  mensubstitusikan  fkp  dari distribusi  Pareto  dan  distribusi  Normal  pada persamaan (11) diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ∑ ∑ = = + = n j n j j k j j k j k t qf z t pf z Q 1 1 2 2 2 1 1 1 ; log ; log , θ θ ψ ψ
(12) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ∑ ∑ = = + = n j n j j k j j k j k t qf z t pf z Q 1 1 2 2 2 1 1 , ; log , ; log , σ µ β α ψ ψ ( ) ( ) ∑ ∑ = =       − − +                 +               + = n j n j t k j k j k e q z t p z Q 1 1 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 2 2 1 log log , σ µ α α π σ β αβ ψ ψ

## M = Pareto              N = Normal
Dimisalkan persamaan:
( ) ( ) ∑ = +                 + n j k j t p z 1 1 1 log α α β αβ adalah M untuk
diselesaikan:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = + + + − + + =                 + = n j j k j n j k j t p z t p z M 1 1 1 1 1 log 1 log log log log β α β α β αβ α α
Dimisalkan persamaan:
( ) ( )               − − = ∑ 2 2 1 1 2 2 1 log σ µ π σ t n j k j e q z adalah N
untuk diselesaikan:
( ) ( )         =       − − = ∑ 2 2 1 1 2 2 1 log σ µ π σ t n j k j e q z N
Dimana 1 = + q p , sehingga 1 0 , 1 0 1 ≤ ≤ ≤ ≤ − = q p p q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 log 2 1 ) 1 log( 2 1 2 log 2 1 log ) 1 log( log 2 1 2 log ) 1 log( 2 1 1 log 2       − − − − =       − − − − − =       − − − − =         − = ∑ ∑ ∑ ∑ = = =       − − = σ µ πσ σ µ π σ σ µ π σ π σ σ µ t p z t p z e t p z e p z N n j k j n j k j n j k j t n j k j
Kemudian  hasil  dari  M  (Pareto)  dan  N  (Normal) dijumlahkan  seperti  pada  persamaan  (12) diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 2 log 2 1 ) 1 log( log 1 log log log
      − − − − + + + − + + = + ∑ ∑ = = σ µ πσ β α β α t p z t p z N M n j k j n j j k j ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ∑ ∑ = =               − − − − + + + + + + = n j k j n j j k j k t p z t p z Q 1 2 2 2 1 1 2 1 2 log 2 1 ) 1 log( log 1 log log log ,
σ µ πσ β α β α α ψ ψ (13)

## Prosedur M
Selanjutnya  pada  tahap  M  ini  adalah
memaksimalkan )), ( (log ψ c L E dengan menggunakan MLE.
a. Mendifferensialkan hasil ekspektasi dari data lengkap  log-Likelihood  terhadap  parameter-
parameter distribusi MPN. Fungsi ( ) ( ) k Q ψ ψ , pada  persamaan  (13) didifferensialkan terhadap parameter β α , , p pada  distribusi  Pareto  dan parameter σ µ , pada distribusi Normal.
Didifferensialkan  terhadap  parameter  distribusi Pareto:
Parameter p :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )       − ∂ ∂ +       + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ ∑ = = p p z p p z Q p n j k j n j k j k 1 log 0 log , 1 1 1 1 ψ ψ
Parameter α :
( ) ( ) ( ) ( ) 0 log log 1 0 , 1 1 +     + − + + = ∂ ∂ ∑ = t z Q p n j k j k β β α ψ ψ
Parameter β :
( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 , 1 1 +       + + − = ∂ ∂ ∑ = t z Q p n j k j k β α β α ψ ψ
Didifferensialkan  terhadap  parameter distribusi Normal:
Parameter µ :
( ) ( ) ( )               − − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = 2 1 2 2 1 , σ µ µ ψ ψ t z Q p n j k j k Parameter σ :
( ) ( ) ( ) ( )               − ∂ ∂ − ∂ ∂ − + = ∂ ∂ ∑ = 2 2 1 2 2 1 2 log 2 1 0 0 , σ µ πσ σ ψ ψ t z Q p n j k j k
b. Lalu hasil dari differensial tersebut dinormalisasi  untuk  mendapatkan  estimator dari  parameter-parameter σ µ β α , , , , p pada distribusi MPN.
• Estimator dari parameter-parameter distribusi Pareto ( ) β α , , p :
Hasil  dari  differensial  terhadap  parameter p dinormalisasikan diperoleh:
( ) ( ) n z p n j k j k ∑ = + = 1 1 1 ˆ (14)
Hasil  dari  differensial  terhadap  parameter α dinormalisasikan diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = + + = +         + = n j k j k k j n j k j k t z z 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ log ˆ β β α (15)
Hasil  dari  differensial  terhadap  parameter β tidak  dapat  diselesaikan  secara  analitis  yaitu tidak dapat diselesaikan dengan cara penghitungan  sehingga  masih  dalam  bentuk fungsi  implisit  yaitu  persamaan  ini  tidak  bebas, masih  mengandung  parameter β itu  sendiri dalam distribusi Pareto. Disarankan para peneliti lain yang ingin melanjutkan penyelesaiannya.
• Estimator dari parameter-parameter distribusi Normal ( ) σ µ ,
Hasil  dari  differensial  terhadap  parameter µ dinormalisasikan diperoleh:
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = + = n j k j n j j k j k z t z 1 2 1 2 1 ˆ µ (16)
Hasil  dari  differensial  terhadap  parameter σ dinormalisasikan diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = = + − = n j k j n j k j k j k z t z 1 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ µ σ (17)
c. Pada  langkah  b  estimator  dari  parameter-
parameter σ µ β α , , , , p sudah  diperoleh hasil  yang  eksplisit,  sedangkan  estimator dari  parameter β yang  diperoleh  masih dalam  bentuk  fungsi  implisit.  Diperlukan metode
Newton-Raphson
untuk mendapatkan  nilai  estimasi  parameter β .
Disarankan  untuk  peneliti  lain  yang  ingin melanjutkan penyelesaiannya.
d. Mendapatkan  estimator  dari  parameter- parameter distribusi MPN σ µ α , , , p . Maka diperoleh masing-masing estimator yaitu:
Estimator parameter p :
( ) ( ) n z p n j k j k ∑ = + = 1 1 1 ˆ
Estimator parameter α : ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = + + = +
        + = n j k j k k j n j k j k t z z 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ log ˆ β β α Estimator parameter µ :
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = + = n j k j j n j k j k
z t z
1 2 1 2 1 ˆ µ
Estimator parameter σ :
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = + = + − = n j j k j n j k j k z t z 1 2 2 1 1 2 1 ˆ ˆ µ σ
3. Penentuan  Fungsi  Reliabilitas  Distribusi
Mixture Pareto-Normal
Dalam  menentukan  fungsi  Reliabilitas dari distribusi MPN, langkah awal yang dilakukan adalah  menentukan  fkp  distribusi  MPN.  Menurut Wolstenholme  (1999),  fungsi  Reliabilitas Mixture adalah:
( ) ( ) ∫ ∞ = t mix mix dx x f t R ψ ; (18)
a. Menentukan  fkp  distribusi  MPN  (lihat persamaan 5).
b. Mengintegralkan fkp MPN dengan batas t sampai dengan . ∞ Mensubstitusikan  persamaan  (5)  pada persamaan (18):
Sehingga  fungsi  Reliabilitas  distribusi  MPN adalah:
( ) ∫ ∞       − − +       + = t t mix e q t p t R 2 2 1 2 1 σ µ α π σ β β (19)
Yang dinyatakan dalam peluang sukses dikalikan dengan  fungsi  Reliabilitas  Pareto  ditambah peluang gagal dikalikan dengan integral distribusi Normal dalam selang ( ) ∞ , t .
Setelah  estimator-estimator  diperoleh dari parameter-parameter distribusi MPN, selanjutnya dapat ditentukan fungsi Reliabilitasnya dengan mendapatkan nilai estimator  dari  distribusi  MPN.  Dengan  fungsi Reliabilitas  distribusi  MPN  yang  diperoleh  dapat dikatakan  bahwa  indikator  kualitas  suatu  produk dapat  menjamin  bagus  atau  tidaknya  suatu barang  produksi  selama  waktu  tertentu  dapat diketahui melalui ). ( t R mix

## IV. SIMPULAN
1. Fungsi distribusi MPN dengan peubah waktu t yang berbeda akan menghasilkan nilai yang bervariasi dari parameter-parameter peluang sukses dan peluang gagal yang berbeda.
2. Peluang gagal pada distribusi Normal hanya dapat  ditentukan  dari  peluang  suksesnya pada  distribusi  Pareto  sehingga  besarnya nilai  dari  parameter peluang  gagalnya  dapat ditentukan  tetapi  tidak  mempunyai  peluang gagal paling besar.
3. Estimator-estimator  dari  fungsi  distribusi
MPN untuk metode MLE dengan menggunakan Algoritma EM adalah: p ˆ , ˆ , ˆ , ˆ σ µ α
4. Estimator β ˆ tidak dapat diselesaikan secara analitis sehingga masih dalam bentuk fungsi implisit  (masih  mengandung  parameter β itu sendiri dalam distribusi Pareto).
5. Fungsi  Reliabilitas  distribusi  MPN  adalah peluang  sukses  dikalikan  dengan  fungsi Reliabilitas  Pareto  ditambah  peluang  gagal dikalikan  dengan  integral  distribusi  Normal dalam selang ( ) ∞ , t .

## Saran
1. Bagi  pembaca  yang  berminat  dengan mengestimasi parameter distribusi MPN untuk mendapatkan  penyelesaian  nilai  estimasi parameter β dapat  digunakan  metode
Newton - Raphson . Disarankan untuk peneliti lain yang ingin melanjutkan penyelesaian nya.
2. Dalam  menganalisa  data  uji  hidup  dengan menggunakan distribusi MPN dapat dilanjutkan dengan studi kasus.
3. Selanjutnya dapat mencari informasi mengenai  distribusi  MPN  terutama  pada
peluang sukses dan peluang gagalnya secara stokastik.
4. Mencari  standar  error  dari  EM  Algoritma model mixed Pareto-Normal  dan  estimasi modelnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Amry.,  dkk.  2004.  Jurnal  Statistik  (Pendekatan Kuantitatif  dalam  Manajemen  Kualitas), Yogyakarta Anonim1. 1999. RACH Capacity Analysis-Packet 1,  TSG-RAN  Working  Group  1  meeting #6  Espoo,  Finland.,  InterDigital  Comm. Corp Anonim2. 2007. Mixed Distribution, diakses dari http://www.math.uny.ac.id /sahid/ prob/ dist.html .  [13 Juli 2019].
Freund, J. E & Walpole, R.E. 1962. Mathematical
Statistics,  Fifth  Edition,  Prentice  Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey.
Khairiani.  2002.  Pengembangan  Model  Regresi
Masa  Hidup  dengan  Menggunakan Model Regresi Weibull, Skripsi, Universitas Syiah Kuala:  Banda Aceh. Miftahuddin. 2007. Pengantar Model Linier, Buku Ajar, FMIPA Unsyiah.
Mood, M. A. 1974. Introduction to The Theory of Statistics,  Third  Edition .  McGraw-Hill,
Inc., USA
Supranto. 1995. Teori dan Aplikasi, Edisi Kelima,
Jilid Dua, Erlangga, Jakarta..
Savitri Rahmi Dian., dkk. 2005. Jurnal Statistika,
Ikatan Perstatistikan Indonesia, Jakarta.