Abstrak—Data  outlier  sering  kali  mempengaruhi  model  data secara umum sehingga pengaruh dari data outlier tersebut harus dikurangi atau dihilangkan. Namun, di sisi lain outlier merupakan data  yang  sangat  informatif  apabila  penyebab  adanya  outlier tersebut diketahui sehingga beberapa penelitian merekomendasikan  untuk  tidak  menghilangkan  outlier  namun mengganti model awal dengan model baru yang disisipkan dengan model outlier. Kemunculan outlier dapat menyebabkan bias yang cukup  serius  dalam  estimasi  parameter.  Atas  dasar  penelitian- penelitian  yang  dilakukan  sebelumnya  maka  pada  penelitian  ini dilakukan  metode  baru  untuk  mendeteksi  outlier.  Tujuan  dari metode  ini  adalah  untuk  mendapatkan  panjang  data  optimum yang bisa digunakan untuk mendeteksi data outlier. Penelitian ini terfokus pada pendeteksian outlier pada data deret waktu dengan jumlah  data  yang  banyak.  Dari  hasil  simulasi  data  dan implementasi  yang  dilakukan  pada  data  riil  didapatkan  hasil bahwa  window  time  500  dan  1000  memberikan  nilai  akurasi deteksi outlier lebih baik dibandingkan dengan window time 100. Selain  itu,  metode  deteksi  menggunakan  window  time memberikan  hasil yang lebih baik dibandingkan  metode deteksi outlier biasa.

## Kata Kunci—Data Bebas Outlier, Outlier, Window Time

## I. PENDAHULUAN
ODEL time  series secara  umum  digunakan  untuk mempelajari kehomogenan pola memory pada data time series .  Keberadaan  data-data outliers maupun  perubahan struktural  data  menurunkan  efisiensi  dalam  estimasi  model autoregressive (AR). Outlier dan  perubahan  struktural  data merupakan  suatu  hal  yang  umum  ditemui  dalam  analisis  data time  series sehingga  dapat  menghasilkan  kesimpulan  yang salah.  Data outlier merupakan  data  observasi  yang  memiliki karakteristik  yang  berbeda  dengan  data  lainnya. Outlier dibedakan  menjadi  4  jenis  yaitu Additional  Outlier (AO), Innovation  Outlier (IO), Temporary  Change (TC)  dan Level Shift (LS).
Untuk mengidentifikasi model parameter yang paling baik, maka  data-data outlier harus  dideteksi  dengan  cara menghilangkan pengaruh outlier maupun menghilangkan data outlier tersebut.  Berbagai  macam  metode outlier telah dicobakan oleh beberapa peneliti.
Tsay  (1986)  melakukan  penelitian  mengenai  spesifikasi model  time  series  ketika  ditemukan  outlier  pada  data  deret waktu [1]. Data outlier merupakan suatu kejadian  yang wajar terjadi  dan  sering  kali  muncul  dalam  analisis  data,  termasuk data time  series .  Pengaruh  dari  adanya  data outlier bisa
menyebabkan  bias  atau  salah  prediksi  pada  model  data time series tersebut.  Kemudian  Tsay  (1988)  kembali  melakukan penelitian  tentang outliers , level  shift dan  perubahan  varians dalam  data  deret  waktu  [2].  Ketiga  jenis  kejadian  ini mempengaruhi  stabilitas  model time series . Namun terkadang keberadaannya sering diabaikan dan pengaruhnya diremehkan dampaknya.
Parameter dari model time series dan pengaruh outlier dapat pula  diestimasi  secara  bersama  [3]. Outlier merupakan  data yang  kemunculannya  tidak  bisa  diprediksi  karena  terdapat berbagai  macam  faktor  yang  dapat  menjadi  penyebab munculnya outlier tersebut. Outlier dapat  memberikan pengaruh  yang  cukup  signifikan  pada  hasil  identifikasi, estimasi  parameter  dan  hasil  peramalan.  Metode  yang digunakan  adalah  deteksi outlier secara  iteratif  untuk mendapatkan  estimasi  parameter  dari  model time  series dan pengaruh outlier secara  bersama.  Kemudian  dilakukan penelitian  tentang  pendeteksian  perubahan  sementara  pada model  data  ARMA  (1,1)  [4].  Pengaruh outlier diatasi  dengan menggunakan dua cara (a) mengganti data outlier dengan nilai data lain yang bukan outlier dan (b) menghapus data outlier . Pada  metode  deteksi outlier yang  dilakukan  oleh  peneliti- peneliti  sebelumnya, outlier yang  terkandung  di  dalam  suatu data  dapat  dideteksi  dengan  menggunakan  hasil  spesifikasi model  yang  masih  mengandung outlier sehingga  bisa  terjadi kesalahan  hasil  prediksi  keberadaan outlier serta  hasil forecasting -nya. Namun, pada penelitian yang akan dilakukan ini  spesifikasi  model  dibangun  dari  data  yang  bebas outlier sehingga  diharapkan  dapat  meningkatkan  keakuratan  hasil deteksi outlier .
Selain  melakukan  deteksi outlier dengan  menggunakan keseluruhan  data,  dapat  dilakukan  dengan  cara  pemodelan window time yaitu memodelkan dengan semua data in sampel kemudian model yang diperoleh akan digunakan pada masing- masing window time yang telah dibentuk [5]. Berpedoman pada cara  tersebut,  deteksi outlier dengan  pembagian window  time dapat  dilakukan  dengan  cara  yang  sama.  Misalnya,  data in sampel yang digunakan sebanyak 4800 data, kemudian model yang diperoleh dari data tersebut digunakan untuk memprediksi keberadaan outlier pada  100  data  terakhir.  Apabila  terdapat outlier , maka outlier tersebut dihilangkan, namun apabila tidak ada outlier maka 100 data terakhir yang bebas outlier tersebut dimodelkan untuk memprediksi keberadaan 200 data terakhir, dan seterusnya.
Kemunculan outlier dapat  menyebabkan  bias  yang  cukup serius  dalam  estimasi  parameter  model  AR.  Atas  dasar penelitian-penelitian  yang  dilakukan  sebelumnya  maka  pada

## Penentuan Panjang Optimal Data Deret Waktu Bebas Outlier dengan Menggunakan Metode Window Time
Rya Sofi Aulia dan Raden Mohamad Atok
Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : ryasofia@gmail.com, radenatok@gmail.com
M
penelitian ini dilakukan prosedur baru untuk mendeteksi outlier yang  ada  pada  data time  series sehingga  nantinya  akan diperoleh  panjang  data  optimum  yang  bisa  digunakan  untuk mendeteksi data outlier pada data deret  waktu dengan  jumlah data yang banyak.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Analisis Time Series
Dasar  pemikiran time  series adalah  pengamatan  sekarang ( Z t )  tergantung  pada  satu  atau  beberapa  pengamatan sebelumnya  ( Z t-k ).  Untuk  melihat  adanya  korelasi  antar pengamatan,  dapat  dilakukan  uji  korelasi  antar  pengamatan yang  sering  dikenal  dengan Autocorrelation  Function (ACF). Metode  yang  digunakan  untuk  data time  series antara  lain adalah  metode  ARIMA  Box-Jenkins  yang  digunakan  untuk mengolah time  series yang  univariat  [6].  Misal Z 1 ,Z 2 ,...,Z t merupakan proses stokastik untuk runtun waktu diskrit. Proses di  atas  disebut  stasioner  jika  mean  dan  variansinya  konstan untuk  setiap  titik t dan  kovarian  yang  konstan  untuk  setiap selang waktu ke- k [7].
B. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)  merupakan  model  ARMA  nonstasioner  yang  telah di-differencing  sehingga  menjadi  model  stasioner.  Model ARIMA yang stasioner dan invertible dapat dituliskan:
( ) ( ) t t B Z B a    (1)
dimana 2 2 ( ) (1 ... ) p p
B B B B          dan 2 2 ( ) (1 ... ) q q B B B B          B adalah  operator  backshift dan t a adalah residual white noise. Persamaan 1 dapat ditulis
sebagai: ( ) ( ) t t B Z a B   
Jika  asumsi  stasioneritas  dalam  varians  tidak  terpenuhi maka  dilakukan  transformasi Box-Cox dengan  rumus  seperti pada  persamaan  (2)  dengan 𝜆 merupakan  nilai  konstanta rounded value yang digunakan.
𝑇(𝑌 𝑡 ) = { 𝑌 𝑡 𝜆 − 1 𝜆 , 𝜆 ≠ 0 log(𝑌 𝑡 ) , 𝜆 = 0 ,
(2) Estimasi parameter ARIMA dilakukan dengan menggunakan  metode Maximum Likelihood Estimator (MLE) dengan  memaksimumkan  fungsi  kepadatan  peluang  pada rumus (3) dimana a = ( a 1 ,a 2 ,…,a T ) ' dan a t ~N(0,σ a 2 ) .
𝑃(𝒂|𝜙, 𝜇, 𝜃, 𝜎 𝑎 2 = (2𝜋𝜎 𝑎 2 ) − 𝑇 2 𝑒𝑥𝑝 (− 1 2𝜎 𝑎 2 ∑ 𝑎 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 ) (3)
Setelah  parameter  diestimasi,  maka  kemudian  dilakukan pengujian  signifikansi  parameter  menggunakan  statistik  uji pada rumus (4) untuk parameter AR. Nilai hipotesis nol, yaitu H 0 : 0 i   untuk  parameter  AR  dimana i =1,2,  ...  , p dan  H 0 :
0 j   untuk MA dengan j =1,2, ... , q akan ditolak apabila nilai statistik uji untuk AR yaitu . / 2,( ) p hitung i T n t t   
. ˆ ( ) i hitung i i t SE    (4)
Pengujian  asumsi white-noise dilakukan  menggunakan  uji Ljung-Box seperti  pada  rumus  (5)  dengan  hipotesis  nol,  yaitu H 0 : 1 2
0 k K          L
L dan H 1 : minimal ada satu nilai
0 k   dimana 1,2, ,  L k K . H 0 ditolak apabila  nilai  statistik uji  Q  bernilai  lebih  besar  dari χ 2 K-p-q,α dimana  nilai p adalah banyaknya parameer AR pada model dan q adalah banyaknya parameter MA pada model.
2 1 ˆ ( 2) K k k Q T T T k       (5)
Uji  normalitas  dilakukan  dengan  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov dengan  statistik  uji  seperti  pada  rumus (6) dimana:
H 0 : 0 ( ) ( ) t t F a F a  (Residual berdistribusi normal)
H 1 : 0 ( ) ( ) t t F a F a  (Residual tidak berdistribusi normal)
0 ( ) ( ) t t D Sup F a F a   (6)

## C. Evaluasi Model
Pada  penelitian  ini,  evaluasi  model  dan  pemilihan  model terbaik  akan  dilakukan  menggunakan  kriteria  nilai root  mean square error (RMSE). Semakin kecil nilai RMSE maka dapat dikatakan bahwa model semakin baik. Nilai RMSE out-sample didapatkan dari rumus (7) [8].
𝑅𝑀𝑆𝐸 𝑜𝑢𝑡 = √𝑀𝑆𝐸 𝑜𝑢𝑡 = √ 1 𝑁 ∑(𝑍 𝑡 − 𝑍̂ 𝑡 ) 2 𝑁 𝑡=1 (7)

## D. Jenis Outlier
Additive outlier adalah kejadian yang mempunyai efek pada data time  series hanya  pada  satu  periode  saja.  Bentuk  umum sebuah Additive Outliers (AO) dalam proses ARMA diuraikan sebagai berikut:
( ) ( ) = ( ) = ( ) t t t T t AO t T t AO t X t T Z X t T X I B a I B               (8)
adalah variabel indikator yang mewakili ada atau tidak adanya outlier pada waktu T.
Innovational  outliers adalah  kejadian  yang  efeknya mengikuti  proses  ARMA.  Bentuk  umum  sebuah innovational outliers didefinisikan sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T t t IO t t IO t B B Z X
I a I B
B    
      (9)
TC adalah kejadian dimana outlier menghasilkan efek awal sebesar  ω  pada  waktu  t,  kemudian  secara  perlahan  sesuai dengan besarnya δ. Model TC dituliskan sebagai berikut:
( ) ( ) 1 (1 )
( ) 1 = ( ) (1 ) T t t TC t T t TC t Z X I B B a I B B            (10)
Pada  saat  δ  =  0  maka  TC  akan  menjadi  kasus additive outlier , sedangkan pada saat δ = 1 maka TC akan menjadi kasus level shift .
Suatu  LS  adalah  kejadian  yang  mempengaruhi  deret  pada satu waktu tertentu yang memberikan suatu perubahan tiba-tiba dan permanen. Model outlier LS dinyatakan sebagai:
( ) ( ) ( ) 1 (1 ) ( ) 1
( ) (1 ) ( ) ( ) T t t LS t T LS t T LS t Z X I B B I B B B S B                (11)

## E. Metode Window Time
Istilah window time berkaitan erat dengan konsep drift [9]. Terdapat lima macam jenis pembagian jendela yang digunakan dalam pemodelan yaitu full memory dan no memory , fixed size dan adaptable size , serta batch selection . Metode window  time  full  memory mengasumsikan  bahwa mengabaikan window time sebelumnya tidak diperlukan dalam pemodelan.  Model  dihasilkan  dari  semua window  time pada interval  sebelumnya  dan  observasi  terbaru  ditambahkan  ke window  time yang  tergabung  dalam  interval.  Sementara  itu, tidak  ada window  time lama  yang  dihapus  dari  lebar  jendela. Acuan no  memory  window  time adalah  menggunakan  jendela dengan ukuran yang tetap dari satu kumpulan data. Metode ini mengasumsikan  bahwa  kumpulan  data  pembentuk  tidak berhubungan dengan konsep data saat ini, dan model baru harus dibangun  dari  kumpulan  data  terbaru  pada  setiap  titik  waktu yang  baru  pula  dengan  mengabaikan  semua  informasi  lama. Permasalahan utama fixed size window time adalah bagaimana memilih  ukuran  jendela  yang  sesuai.  Untuk adaptable  size window  time ,  ukuran  jendela  disesuaikan  oleh  beberapa mekanisme.  Adaptif window  time dapat  ditetapkan  dengan heuristik, yaitu melibatkan beberapa parameter [10].

## F. Uji ANOVA
Analisis of variance atau ANOVA merupakan salah satu uji parametrik  yang  berfungsi  untuk  membedakan  nilai  rata-rata lebih  dari  dua  kelompok  data  dengan  cara  membandingkan variansinya  [11].  Prinsip  uji  ANOVA  adalah  melakukan analisis  variabilitas  data  menjadi  dua  sumber  variasi  yaitu variasi di dalam kelompok ( within ) dan variasi antar kelompok ( between ).  Untuk  menganalisis  data  dengan  faktor  yang  lebih banyak  dapat  menggunakan Multi  Way ANOVA.  Untuk memudahkan  perhitungan ANOVA ,  maka  dapat  digunakan tabel ANOVA yang ditunjukkan oleh Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Pengujian Multi Way ANOVA Source of Variation SS MS F Faktor A 2 .. 1 ( ) a i i i n y y    ( 1) SSA a  MSA MSE
Faktor B 2 .. 1 ( ) b j j j n y y    ( 1) SSB b  MSB MSE
Faktor C
2 ..
1 ( ) a k k k n y y    ( 1) SSC c  MSC
MSE
Faktor D
2 .. 1 ( ) a l l l n y y    ( 1)
SSD d 
MSD MSE Error SST-SSA- SSB-SSC- SSD ( 1)( 1)( 1)( 1) SSE a b c d     Total 2 .. 1 1 1 1 ( ) a b c d ijkl i j k l y y      

## III. METODOLOGI PENELITIAN
Data  yang  digunakan  merupakan  simulasi  dari  data  deret waktu  dengan  model  ARIMA  (1,0,0)  dengan  ϕ=0.8,  -0.8,  0.5 dan  -0.5  Kemudian  pada  masing-masing  data  tersebut disisipkan outlier tunggal  di  dalamnya.  Panjang  data  yang disimulasikan  sebanyak  5000  data, critical  value yang digunakan sebesar 4,  =0.7 dan besarnya outlier ditentukan sebesar  4.  Langkah  penelitian  yang  digunakan  dalam  analisis adalah sebagai berikut.
1. Membangkitkan  data  simulasi  masing-masing  100  data dengan model ARIMA (1,0,0) dengan besar parameter yang ditentukan dan panjang data sebanyak 5000 dengan residual yang memenuhi IIDN(0,1).
2. Memvalidasi masing-masing model yang telah dibangkitkan apakah  sesuai dengan  model penelitian  yang diinginkan.
3. Menambahkan  efek  outlier  tunggal  pada  masing-masing model data. Empat jenis outlier yang disisipkan adalah AO, IO, TC dan LS. Masing-masing penyisipan outlier tersebut dikombinasi dengan lokasi outlier tersebut diletakkan yaitu di  awal  (T=1300),  tengah  (T=2500)  dan  akhir  data (T=3700). Sehingga terdapat 36 kombinasi yang dihasilkan dari 3 model, 4 jenis outlier dan 3 lokasi yang berbeda.
4. Menghapus  100  data  awal  sehingga  data  yang  akan digunakan dalam observasi sebanyak 4900 data.
5. Membagi  data  menjadi  4800  data in  sampel dan  100  data out sampel.
6. Mendeteksi outlier yang ada dalam data dengan kombinasi panjang  data  awal  yang  dideteksi  sebanyak  100,  500  dan 1000. Serta mengkombinasikan lokasi outlier yaitu di awal, tengah dan akhir data.
Metode  baru  yang  akan  dilakukan  untuk  menentukan panjang optimal data deret waktu bebas outlier dengan jumlah data awal yang digunakan sebanyak 100, 500 dan 1000 dengan panjang pergeseran sebesar 100 data.
a. Memodelkan data in sampel keseluruhan
b. Model yang didapatkan dari keseluruhan data in sampel tersebut  digunakan  untuk  mendeteksi outlier pada  100 observasi in sample terakhir.
c. Apabila outlier terdeteksi  maka outlier tersebut dikeluarkan dari series sampai tidak ada outlier lagi. d. Setelah  100  observasi  tersebut  bersih  dari outlier lalu dimodelkan .
e. Model  yang  didapatkan  dari  100  observasi  terakhir tersebut  digunakan  untuk  mendeteksi outlier pada  200 observasi in sample terakhir. f. Apabila outlier terdeteksi  maka outlier tersebut dikeluarkan  dari  series  sampai  tidak  ada outlier lagi. Proses  terus  berlanjut  sampai  data  observasi  habis  dan bersih dari outlier .
Dengan  langkah-langkah  yang  sama  dilakukan  untuk panjang data awal yang diobservasi sebesar 500 dan 1000 yang terletak di awal dan tengah series . 7. Menghitung  kesalahan  pendeteksian outlier pada masing-masing data.
8. Membandingkan  persentase  kesalahan  pendeteksian outlier pada masing-masing model.
9. Mendapatkan  panjang  optimal  data  yang  dibutuhkan untuk  memprediksi  suatu  data  deret  waktu  dengan model ARIMA (1,0,0) yang bebas outlier .

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Data Simulasi
Data  simulasi  dibangkitkan  dari  model  ARIMA  (1,0,0) dengan  4  nilai  parameter  yang  berbeda-beda  baik  parameter yang  bernilai  positif  maupun  negatif.  Banyaknya  deret  yang dibangkitnya adalah 5000 observasi dan banyaknya perulangan yang  dibangkitkan  dalam  setiap  model  adalah  100  kali. Kemudian,  data  simulasi  tersebut  disisipkan outlier dengan jenis Additional  Outlier (AO), Innovational  Outlier (IO), Temporary  Change (TC)  atau Level  Shift (LS)  di  lokasi  yang berbeda-beda . Critical value yang digunakan sebesar 4, begitu juga  dengan  besaran outlier ditentukan  sebesar  4.  Berikut merupakan  data  dengan  model  ARIMA  (1,0,0)  yang dibangkitkan dengan 4 variasi parameter.
Tabel 2. Empat Model yang Digunakan Dalam Simulasi
No. Model 1. 1 0, 8 t t t Z Z a     2. 1 0, 8 t t t Z Z a    3. 1 0, 5 t t t Z Z a     4. 1 0, 5 t t t Z Z a   
Setiap model ARIMA (1,0,0) dengan parameter yang sudah ditentukan tersebut dibangkitkan sebanyak 100 kali perulangan supaya  memberikan  hasil  yang  terbaik.  Pada  100  observasi pertama  di  setiap  data  bangkitan  dihapus  karena  pada  awal proses  bangkitan  belum  menghasilkan  model  ARIMA  (1,0,0) yang konvergen. Setiap data harus dilakukan  validasi terlebih dahulu  untuk  memastikan  bahwa  data  bangkitan  mengikuti model  yang  diinginkan.  Sehingga  pada  akhirnya  dipilih  100 data  untuk  masing-masing  model  yang  benar-benar  valid mengikuti  model  ARIMA  (1,0,0)  dengan  parameter  yang sesuai. Berikut merupakan time series plot dari data bangkitan setiap model.
(a) (b) (c) (d) Gambar  1. Time Series  Plot  Model  Simulasi  Perulangan  Pertama  (a)
1 0, 8 t t t Z Z a     (b) 1 0, 8 t t t Z Z a    (c) 1 0, 5 t t t Z Z a     (d) 1 0, 5 t t t Z Z a   
Setelah  diperoleh  100  data  dengan  model  yang  valid  dan sesuai dengan model bangkitan maka setiap data dibagi menjadi data in  sample dan out  sample . Dari 4900 observasi, data out sample yang digunakan sebanyak 100 data terakhir dan sisanya menjadi data in sample . Data in sample inilah yang kemudian akan disisipkan empat jenis outlier yang berbeda-beda.

## B. Penyisipan Outlier
Dengan  menggunakan  data  simulasi  yang  sama,  masing- masing  disisipkan outlier tunggal  dengan  jenis  yang  berbeda yaitu Additional  Outlier (AO), Innovational  Outlier (IO), Temporary  Change (TC)  atau Level  Shift (LS)  di  lokasi  yang berbeda yaitu depan (T=1200), tengah (T=2400) atau belakang (T=3600) dari keseluruhan data observasi.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) Gambar  2. Time Series  Plot  Model 1 0, 8 t t t Z Z a     Perulangan  Pertama Setelah  Penambahan  outlier  (a)  AO 1200 T  (b)  AO 2400 T  (c)  AO 3600 T  (d)  IO 1200 T  (e)  IO 2400 T  (f)  IO 3600 T  (g)  TC 1200 T  (h)  TC 2400 T  (i)  TC 3600 T  (j)  LS 1200 T  (k)  LS 2400 T  (l) LS 3600 T 
Masing-masing  jenis  outlier  memiliki  karakteristik  yang berbeda. Pada data simulasi ini, diberikan efek outlier tunggal yang lokasinya di depan yaitu pada 1200 T  , di tengah yaitu pada 2400 T  dan di belakang yaitu pada 3600 T  . Besarnya efek outlier yang diberikan adalah 4   dan 0.7   . Ilustrasi time series plot setelah penambahan efek outlier adalah seperti pada Gambar 2..
C. Prosedur Deteksi Outlier Dengan Metode Window Time
Dalam  penelitian  ini  terdapat  4  faktor  yang  diduga berpengaruh terhadap kesalahan deteksi outlier yang terdapat pada  data  simulasi.  Faktor  pertama  adalah  parameter  model AR(1)  yang dibangkitkan  yaitu 0.8,  -0.8,  0.5 dan  -0.5. Faktor kedua adalah jenis outlier yang terdapat pada data yaitu AO, IO dan TC. Faktor ketiga adalah panjang window time awal yang dideteksi keberadaan window nya yaitu 100, 500 dan 1000. Dan faktor  yang  terakhir  adalah  lokasi  keberadaan outlier yang disisipkan  yaitu  berada  di  depan  (T=1200),  tengah  (T=2400) dan belakang (T=3600). Untuk menguji apakah keempat faktor yang disebutkan diatas berpengaruh terhadap kesalahan deteksi outlier dilakukan pengujian Multi Way ANOVA terhadap hasil data kesalahan deteksi outlier .
Sebagai  contoh  pada  penyisipan  tipe outlier AO  yang diletakkan  pada  data  observasi  sebesar 4   pada  saat observasi  ke  1200  pada  model  ARIMA  (1,0,0)  dengan parameter 0.8   pada model bangkitan perulangan pertama. Didapatkan hasil bahwa terdapat kesalahan deteksi outlier pada saat data observasi ke 1201 dan 2117. Data tersebut seharusnya bukan  merupakan outlier ,  namun  karena  kesalahan  deteksi maka  data  pada  observasi  tersebut  dianggap  sebagai outlier . Sedangkan  data  observasi  ke-1200  dideteksi  secara  benar sebagai outlier .  Sehingga  terdapat  2  kesalahan  deteksi outlier dan  prosentase  kesalahan  deteksi outlier menjadi  sebesar 0,042%.  Selanjutnya  dilakukan  prosedur  yang  sama  untuk model perulangan berikutnya sampai pada data perulangan ke 100. Prosedur ini menghasilkan rata-rata prosentase kesalahan deteksi outlier sebesar  0.075%  pada  model  dengan  parameter 0.8   . Prosedur yang sama dilakukan pada parameter model yang berbeda dan lebar window awal yang berbeda pula.
LS  merupakan  kejadian  yang  mempengaruhi  deret  pada suatu  waktu  tertentu  dan  efek  dari outlier tersebut  membuat suatu  perubahan  yang  tiba-tiba  dan  permanen  sampai  akhir periode. Metode yang paling baik untuk mengatasi jenis outlier ini  adalah  dengan  menggunakan  analisis  intervensi step function karena dapat memodelkan pola data yang besarannya berubah secara permanen. Sedangkan dalam penelitian ini cara yang digunakan untuk mengatasi ketiga jenis outlier yang lain adalah  dengan  menghilangkan  data  yang  terdeteksi  sebagai outlier [3].  Sehingga  untuk  analisis  deteksi outlier pada prosedur window  time yang  ada  dalam  penelitian  ini  tidak membahas  hasil  data  simulasi  yang  disisipkan  dengan outlier jenis level shift.
Salah  satu  faktor  yang  menjadi  objek  penelitian  adalah pengaruh  panjang  awal  window  time  terhadap  kesalahan deteksi outlier . Tabel 3  merupakan rata-rata kesalahan deteksi outlier berdasarkan  panjang window  time awal  yang  diujikan yaitu 100, 500 dan 1000.
Tabel 3. Rata-Rata Kesalahan Deteksi Outlier Berdasarkan Lebar Window Time Awal No. Window Time Awal Rata-Rata (%) 1. 100 0,03957 2. 500 0,03445 3. 1000 0,03473
Prosentase  rata-rata  keslaahan  deteksi outlier yang  terjadi ketika  dicobakan  dengan  lebar window  time awal  100  adalah 0.03957%, selanjutnya menurun ketika dicobakan pada window time yang  lebih  lebar  yaitu  500  dengan  rata-rata  prosentase kesalahan deteksi sebesar 0.03445%. Ketika lebar window time sebesar 1000 menghasilkan prosentase sebesar 0.03473%.
Salah  satu  asumsi  yang  diperlukan  dalam  pengujian Multi Way ANOVA  adalah  varians  antar  kelompok  harus  bersifat homogen.  Untuk  menguji  kehomogenan  varians  antar kelompok  digunakan Levene’s  Test seperti  ditunjukkan  pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Levene’s Test Untuk Menguji Homogenitas F df1 df2 Sig. 13.622 107 10692 0.000
Tabel  4  diatas  menunjukkan  bahwa  nilai  signifikansi sebesar 0.000 yaitu kurang dari nilai 0.05   , sehingga dapat dikatakan  varians  antar  kelompok  secara  signifikan  bersifat homogen. Sehingga dapat dilakukan uji Multi Way ANOVA. Pengujian Multi Way ANOVA dilakukan untuk mengetahui faktor-faktor  apa  saja  yang  mempengaruhi  kesalahan  deteksi outlier yang dilakukan pada data simulasi. Dalam penelitian ini diduga terdapat 4 faktor yang mempengaruhi kesalahan deteksi outlier yaitu  besarmya  parameter  dalam  model,  jenis outlier yang  ada  dalam  deret,  lebar window  time awal  dan  lokasi keberadaan outlier .
Berdasarkan  nilai corrected  model dapat  disimpulkan bahwa semua variabel independen secara serentak berpengaruh terhadap  prosentase  kesalahan  deteksi outlier .  Hal  ini ditunjukkan  dengan  nilai  signifikansi  sebesar  0.000  yaitu kurang  dari  nilai 0.05   ,  sehingga  dapat  dikatakan  bahwa model tersebut valid.
Nilai  signifikansi  dari  empat  faktor  yang  diduga berpengaruh  terhadap  prosentase  kesalahan  deteksi outlier bernilai 0.000 yaitu kurang dari nilai 0.05   , berarti bahwa besarmya parameter dalam model, jenis outlier yang ada dalam deret,  lebar window  time awal  dan  lokasi  keberadaan  outlier berpengaruh  signifikan  terhadap  kesalahan  deteksi outlier . Parameter  dalam  model,  jenis outlier dan  lokasi  keberadaan outlier merupakan faktor-faktor yang tidak bisa diubah dalam suatu  data  riil  karena  menjadi  suatu  karakteristik  masing- masing  yang  menjadi ciri khas sebuah data. Dalam penelitian ini akan dibandingkan mengenai faktor lebar window time awal yang dapat diubah-ubah sesuai dengan penelitian.
Interaksi antar faktor yang berpengaruh signifikan terhadap kesalahan deteksi outlier adalah parameter * lebar window time awal  dengan  nilai  signifikansi  sebesar  0.018,  jenis outlier * lokasi outlier dengan nilai signifikansi sebesar 0.000, parameter * jenis outlier * lokasi outlier dengan nilai signifikansi sebesar 0.000 dan jenis outlier * lebar window time awal * lokasi outlier dengan  nilai  signifikansi  sebesar  0.034.  Sedangkan  interaksi lainnya  tidak  berpengaruh  signifikan  terhadap  kesalahan
deteksi  outlier.  Sebagai  contoh,  interaksi  yang  mengandung lokasi outlier dan  lebar window  time awal  cenderung  tidak signifikan  karena  pada  pengamatan  outlier  diletakkan  di  luar 1000  observasi  terakhir  sedangkan  lebar  window  time  paling maksimum adalah 1000 observasi terakhir. Secara ideal, hal ini membuktikan bahwa pada semua lebar window time awal tidak akan  dideteksi  outlier  sehingga  tidak  berpengaruh  signifikan terhadap kesalahan deteksi outlier.
Dengan  menggunakan  Uji Tukey dapat  diketahui  kategori manakah dari lebar window time awal yang memiliki perbedaan secara signifikan. Tabel 5  berikut menunjukkan  hasil dari Uji Tukey .
Tabel 5.
Hasil Uji Tukey Post Hoc
Lebar window time awal Lebar window time awal Selisih Rata-Rata Sig. 100 500 0,00512 0,000 1000 0,00483 0,000 500 100 -0,00512 0,000 1000 -0,00029 0,969 1000 100 -0,00483 0,000 500 0,00029 0,969
Dari Tabel 5 di atas dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan signifikan antara lebar window time awal 100 dengan 500 dan 100 dengan 1000 dengan nilai signifikansi sebesar 0.000 yaitu kurang dari nilai 0.05   . Sehingga selanjutnya perlu diteliti tentang  rata-rata  akurasi  masing-masing  lebar window  time awal.  Tabel  5  menjelaskan  bahwa  rata-rata  prosentase kesalahan deteksi outlier kelompok dengan lebar window time awal  500  sebesar  0.03445%  tidak  berbeda  secara  signifikan dengan rata-rata prosentase kesalahan deteksi outlier kelompok dengan  lebar window  time awal  1000  sebesar  0.03473%. Sedangkan  rata-rata  prosentase  kesalahan  deteksi outlier kelompok  dengan  lebar window  time awal  100  yaitu  sebesar 0.03957%  berbeda  secara  signifikan  dengan  rata-rata prosentase  kesalahan  deteksi outlier kelompok  dengan  lebar window time awal 500 dan 1000. Karena nilai prosentase lebar window time awal 100  lebih  besar dibandingkan  dengan  nilai prosentase lebar window time awal 500 dan 1000, maka lebar window  time awal  500  dan  1000  memberikan  akurasi  yang lebih baik.

## D. Membandingkan Akurasi Hasil Prediksi
Setelah  mendapatkan  hasil  bahwa  dengan  lebar window time awal 500 dan 1000 memberikan nilai rata-rata prosentase kesalahan deteksi outlier yang lebih baik dibandingkan dengan lebar window time awal  100.  Selanjutnya  akan  dibandingkan akurasi  hasil  prediksi  dari  data  out  sampel  sebanyak  100 observasi yang akan digunakan dnegan 3 cara yaitu: (1) prediksi tanpa melakukan deteksi outlier pada data, (2) prediksi dengan melakukan deteksi outlier di keseluruhan data, dan (3) prediksi dengan  melakukan  deteksi  outlier  dan  window  time. Perhitungan  akurasi  dari  nilai  prediksi  menggunakan  nilai RMSE. Nilai prediksi akan semakin akurat apabila nilai RMSE yang dihasilkan semakin kecil.
Hasil  perbandingan  ketiga  cara  memberikan  kesimpulan bahwa  cara  ketiga  yaitu  prediksi  dengan  melakukan  deteksi
outlier  dan  window  time  menghasilkan  RMSE  yang  paling kecil  pada  model  pertama,  ketiga  dan  kedua  yaitu
1 0, 8 t t t Z Z a     ,
1 0, 5 t t t Z Z a     dan 1 0, 5 t t t Z Z a    Sedangkan  pada  model  kedua  yaitu 1 0, 8 t t t Z Z a    dengan parameter  model  -0.8,  cara  ketiga  tidak  menghasilkan  nilai RMSE  yang  paling  kecil  dibandingkan  kedua  cara  yang lainnya.  Sehingga  dapat  disimpulkan  deteksi  outlier  dengan menggunakan  window  time  menghasilkan  akurasi  yang  baik jika  parameter  model
0.8   , 0.5   dan 0.5    .  Pada penelitian ini hanya dicobakan pada keempat nilai parameter itu saja,  namun  tidak  menutup  kemungkinan  untuk  memberikan hasil  pada  parameter-parameter  selain  yang  disebutkan  untuk diteliti pada penelitian selanjutnya.

## E. Studi Kasus (Tree Rings)
Data  riil  yang  akan  digunakan  adalah  data  lingkar  pohon yang ada di Chili. Data ini digunakan karena diduga memiliki model ARIMA yang sama dengan data simulasi yaitu ARIMA (1,0,0). Data tersedia dalam website resmi www.datamarket.com dalam  kategori tree  rings .  Data  yang dijadikan  observasi  untuk  pengujian  studi  kasus  adalah  tahun 1264  sampai  dengan  1975.  Sehingga  terdapat  712  observasi yang  diamati  dalam time  series .  Selanjutnya  712  observasi tersebut  dibagi  menjadi  700  observasi in  sample dan  12 observasi out  sample. Pembagian  ini  ditentukan  berdasarkan prosentase  pembagian  data in  sample dan out  sample yang dilakukan  pada  data  simulasi,  selain  itu  untuk  memudahkan pemotongan window time yang dilakukan pada data observasi dengan  pergeseran  sebesar  100  observasi.  Selanjutnya dilakukan  spesifikasi  model  dengan  tahap-tahap  identifikasi model,  estimasi  dan  signifikansi  parameter  dan  diagnostic checking.  Selanjutnya  dihitung  nilai  prediksi  dengan menggunakan 3 cara seperti pada data simulasi.
Ketiga  cara  yang  dibandingkan  pada  data tree  rings memberikan hasil bahwa cara pertama dan ketiga memiliki nilai RMSE yang sama sedangkan cara kedua memiliki nilai RMSE yang lebih kecil, nilai RMSE masing-masing cara ditunjukkan pada Tabel 6 berikut.
Tabel 6.
Perbandingan RMSE Ketiga Cara Cara RMSE 1 0.40891 2 0.40945 3 0.40891
Dengan menggunakan cara 1 dan 3 tidak terdeteksi outlier yang ada di dalam deret data, sedangkan jika menggunakan cara 2 terdeteksi outlier di dalam data sebanyak 15 outlier .

## V. KESIMPULAN
Rata-rata  prosentase  kesalahan  deteksi outlier kelompok dengan  lebar window  time awal  500  sebesar  0.03445%  tidak berbeda secara signifikan dengan rata-rata prosentase kesalahan deteksi outlier kelompok dengan lebar window time awal 1000 sebesar  0.03473%.  Sedangkan  rata-rata  prosentase  kesalahan deteksi outlier kelompok dengan  lebar window time awal 100 yaitu sebesar 0.03957% berbeda secara signifikan dengan rata-
rata  prosentase  kesalahan  deteksi outlier kelompok  dengan lebar window time awal 500 dan 1000. Karena nilai prosentase lebar window time awal 100 lebih besar dibandingkan dengan nilai  prosentase  lebar window time awal  500  dan  1000,  maka lebar window time awal 500 dan 1000 memberikan akurasi yang lebih baik.
Beberapa  hal  berikut  sebagai  saran  pada  penelitian selanjutnya  adalah  pada  penelitian  selanjutnya  disarankan untuk  meneliti  lebar  window  antara  500  dan  1000  karena, diduga  rentang  lebar  window  tersebut  menghasilkan  nilai prosentase  akurasi  yang  optimal  serta  perlu  dilakukan kombinasi  parameter  yang  lebih  beragam  lagi,  mengingat dalam  penelitian  ini  terdapat  satu  parameter  yang  tidak menghasilkan kesimpulan yang sama dengan ketiga parameter yang diujicobakan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Tsay, R. S., 1986. Time Series Model Specification in the Presence of Outlier s. Journal of the American Statistical Association, No. 393, Mar, Volume 81, pp. 132-140.
[2] Tsay, R. S., 1988. Outlier s, Level Shifts, and Variance Changes in Time Series. Journal of Forecasting, Volume 7, pp. 1-20.
[3] Chen, C. & Liu, L. M., 1993. Joint Estimation of Model Parameters and Outlier Effect in Time Series. Journal of the American.
[4] Atok, R. M. et al., 2015. Temporary Change Detection on ARMA(1,1) Data. International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, Volume 9, pp. 651-658.
[5] Hadi, A. F., 2016. Model Hibrida Kombinasi ARIMAX-NN dan
GARCH untuk Peramalan Inflow dan Outflow Uang Kartal, Surabaya: s.n.
[6] Box, G. J. G. a. R. G., 1994. Time Series Analysis Forecasting and
Control. 3rd edition penyunt. s.l.:Englewood Cliffs: Prentice Hall.
[7] Soejoeti, Z., 1987. Analisis Runtun Waktu, Materi Pokok UT.. Jakarta:
Karunika.
[8] Cryer, J., 1986. Time Series Analysis. Boston: Publishing Company.
[9] Sun, J., & Li, H. (2011). Dynamic financial distress prediction using instance selection for the disposal . Expert System with Application 38,
2566-2576.
[10] Widmer, G., & Kubat, M. (1996). Learning in the Presence of Concept Drift and Hidden Contexts. Machine Learning , 69-101.
[11] Ghozali, I. (2009). Aplikasi Analisis Multivariate dengan Program
SPSS . Semarang: UNDIP.