## ASURANSI JOINT LIFE SEUMUR HIDUP
Bizaini, Dewi Sri Susanti, Yuni Yulida Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lambung Mangkurat Email: smagazbize@yahoo.com

## ABSTRAK
Salah satu jenis asuransi jiwa adalah  asuransi  jiwa  seumur hidup. Asuransi tersebut berlaku kondisi single life dan joint  life . Kondisi joint life berlaku ketika jumlah tertanggung  lebih dari satu orang. Pada asuransi joint life seumur hidup, jangka waktu perlindungan asuransi diberikan selama semua tertanggung masih hidup atau sampai sedikitnya satu tertanggung meninggal dengan jumlah tertanggung sebanyak m orang. Pada penelitian ini diperoleh  rumusan anuitas hidup berjangka dan asuransi jiwa seumur hidup pada kondisi joint life dalam bentuk simbol komutasi.
Kata kunci : Asuransi jiwa seumur hidup, Anuitas, Joint life .

## 1. PENDAHULUAN
Asuransi jiwa menurut Iskandar, dkk [2] adalah suatu pengalihan risiko atas kerugian keuangan oleh tertanggung kepada penanggung. Risiko yang dilimpahkan kepada penanggung adalah kerugian keuangan akibat hilangnya jiwa seseorang. Setiap orang yang mengasuransikan jiwanya pada suatu perusahaan asuransi berarti sepakat terhadap suatu kontrak tertulis antara dia dengan perusahaan dan kesepakatan ini disebut polis asuransi.Dalam asuransi jiwa umumnya berlaku kondisi single life dan jointlife . Pada asuransi single life , penanggung memberikan perlindungan untuk satu orang tertanggung, sedangkan pada asuransi joint life perlindungannya untuklebih dari satu orang tertanggung. Menurut Jordan [3] asuransi jointlife adalah  asuransi yang menanggung dua jiwa atau lebih dimana santunan dibayarkan jika salah seorang tertanggung meninggal dunia.Pada asuransi joint life seumur hidup, jangka waktu perlindungannya diberikan selama semua tertanggung masih hidup atau sampai sedikitnya satu tertanggung mencapai usia tertinggi.Tujuan dari penelitian ini adalah membentuk rumusan anuitas hidup berjangka dan asuransi jiwa seumur hidup pada kondisi joint life sertamenentukan rumusan  premi  tahunan  asuransi joint life seumur  hidup.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Definisi 2.1[5]
Peluang  suatu kejadian A adalah jumlah peluang semua titik sampel dalam A. Dengan demikian.
0 ≤ 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 ) ≤ 1 , 𝑃𝑃 ( ∅ ) = 0, 𝑃𝑃 ( 𝑆𝑆 )   =  1
Definisi 2.2[5]
Dua kejadian A dan B disebut kejadian saling bebas jika 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) = 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 ) 𝑃𝑃 ( 𝐵𝐵 )
Teorema 2.3[5]
Jika dalam suatu percobaan kejadian-kejadian 𝐴𝐴 1 , 𝐴𝐴 2 , … , 𝐴𝐴 𝑚𝑚 dapat terjadi, maka 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 1 ∩ 𝐴𝐴 2 ∩ 𝐴𝐴 3 ∩ … ∩ 𝐴𝐴 𝑚𝑚 ) = 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 1 ) 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 2 𝐴𝐴 1 ) ⁄ 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 3 𝐴𝐴 1 ⁄ ∩ 𝐴𝐴 2 ) … 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 𝑚𝑚 𝐴𝐴 1 ⁄ ∩ 𝐴𝐴 2 ∩ … ∩ 𝐴𝐴 𝑚𝑚−1 )
Jika kejadian-kejadian 𝐴𝐴 1 , 𝐴𝐴 2 , … , 𝐴𝐴 𝑚𝑚 bebas, maka 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 1 ∩ 𝐴𝐴 2 ∩ 𝐴𝐴 3 ∩ … ∩ 𝐴𝐴 𝑚𝑚 ) = 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 1 ) 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 2 ) 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 3 ) … 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 𝑚𝑚 )
Definisi 2.4[4]
Tabel mortalitas adalah tabel yang disusun berdasarkan data yang dikumpulkan dari sekelompok orang peserta asuransi dengan kondisi sama yang berisi riwayat kehidupan dari sekelompok orang tersebut.

## Definisi 2.5[1]
Anuitas hidup berjangka adalah anuitas hidup dimana pembayarannya dilakukan pada suatu jangka waktu tertentu.
𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | ��� = 𝑣𝑣 0 𝑝𝑝 𝑥𝑥 0 + 𝑣𝑣 𝑝𝑝 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛−1 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 … (1)
Jika besar pembayaran (premi) setiap tahun adalah P , maka dengan menggunakan simbol komutasi diperoleh
𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 : 𝑛𝑛 | ��� = 𝑃𝑃 𝑁𝑁 𝑥𝑥 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥+𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 … (2)

## Definisi 2.6 [2]
Asuransi jiwa adalah pengalihan risiko atas kerugian keuangan oleh tertanggung kepada penanggung, dimana risiko yang dilimpahkan kepada penanggung bukanlah risiko hilangnya jiwa seseorang melainkan kerugian keuangan akibat hilangnya jiwa seseorang.
Misalkan 𝐴𝐴 𝑥𝑥 menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi seumur hidup sebesar 1 satuan bagi seseorang yang berusia ( x ) meninggal maka kepada pewarisnya akan dibayar sebesar 1 satuan juga.
𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣 𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 2 𝑑𝑑 𝑥𝑥+1 𝑙𝑙 𝑥𝑥 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑤𝑤−𝑥𝑥+1 𝑑𝑑 𝑤𝑤 𝑙𝑙 𝑥𝑥 … (3)
Dengan menggunakan simbol komutasi diperoleh
𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝐷𝐷 𝑥𝑥 … (4)

## Definisi 2.7[4]
Premi tahunan adalah premi yang dibayarkan pada setiap awal permulaan tahun yang besarnya bisa sama maupun berubah-ubah setiap tahunnya.
Berdasarkan penjabaran teori dalam perhitungan premi. Maka dapat dirumuskan persamaan dasar sebagai berikut.
Nilai tunai premi yang akan datang = Nilai tunai santunan ( 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ) yang akan datang                                 … (5)

## Definisi 2.8 [1]
Joint life adalah suatu keadaan di mana peluang hidup matinya seseorang merupakan gabungan dari dua faktor atau lebih, misalnya suami dan isteri, orang tua dan anak.

## 3. METODOLOGI
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur.  Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mengumpulkan dan mempelajari bahan-bahan yang berkaitan dengan asuransi jiwa pada kondisi single life dan joint life , mempelajari fungsi peluang gabungan, menyusun tabel mortalitas gabungan dan tabel komutasi gabungan, membentuk rumusan anuitas hidup berjangka dan asuransi
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.10 No.2 (2016) Hal. 11-17
jiwa seumur hidup pada kondisi joint life, mengontruksi rumusan premi tahunan asuransi joint life seumur  hidup yang dibayarkan selama n tahun,menyelesaikan contoh soal asuransi joint life seumur hidup, serta membuat kesimpulan penelitian.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Rumusan Anuitas Hidup Berjangka dan Asuransi Jiwa Seumur Hidup Pada Kondisi Joint Life
Perhitungan anuitas hidup berjangka dan asuransi jiwa seumur hidup pada penelitian ini dibantu dengan tabel mortalitas gabungan dan tabel komutasi gabungan. Setelah itu akan dikontruksi rumusan anuitas hidup berjangka dan asuransi jiwa seumur hidup pada kondisi joint life yang secara analog hampir mirip dengan kondisi single life.
4.1.1 Tabel Mortalitas Pada Kondisi Joint Life
Tabel mortalitas gabungan untuk m orang  berisi peluang gabungan dan simbol-simbol komutasi gabungan dengan notasi  usia orang pertama ( 𝑥𝑥 1 ), jumlahorang  yang berusia 𝑥𝑥 1 tahun ( 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 ), usia orang kedua ( 𝑥𝑥 2 ), jumlah orang  yang berusia 𝑥𝑥 2 tahun ( 𝑙𝑙 𝑥𝑥 2 ), dan seterusnya hingga usia orang ke- m ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ),  jumlah orang yang berusia 𝑥𝑥 𝑚𝑚 tahun ( 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ).  Untuk mengontruksi peluang gabungan maka akan dibentuk fungsi hidup gabungan, peluang hidup gabungan, fungsi yang menyatakan gabungan jumlah orang meninggal pada usia tertentu dan peluang meninggal gabungan.
Fungsi hidup gabungan dari 𝑚𝑚 orang berusia 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 tahun yang hidup selama 𝑏𝑏 tahun kemudian adalah 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 = 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 . 𝑙𝑙 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 . .. 𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 … (6) Peluang hidup gabungan bagi  beberapa 𝑚𝑚 orang  yang berusia 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 tahun dalam jangka waktu n tahun kemudian yang berdasarkan teorema 2.3adalah
𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 ,…, 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ,…, 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑏𝑏 = 1,2,3, …                          … (7) Fungsi yang menyatakan gabungan jumlah  orang  yang meninggal  pada usia 𝑥𝑥 1 + 𝑏𝑏 , 𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 tahun adalah 𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 = 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 − 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛+1 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛+1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛+1 … (8) Peluang meninggal sedikitnya satu orang diantara 𝑚𝑚 orang berusia 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 masih hidup selama 𝑏𝑏 tahun kemudian dan akan meninggal satu tahun setelahnya adalah
𝑞𝑞 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑛𝑛 | 1 = 𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚

## … (9)
Adapun langkah-langkah dalam membuat tabel mortalitas gabungan sebagai berikut :
a. Menentukan banyak tertanggung dengan usia masing-masingnya, selisih usianya, dan jenis kelamin.
b. Mengambil data jumlah orang yang hidup ( 𝑙𝑙 𝑥𝑥 / 𝑙𝑙 𝑦𝑦 ) pada Tabel Mortalitas Indonesia tahun 1999.
c. Menghitung nilai peluang hidup masing-masing orang selama 1 tahun ( 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑚𝑚 1 ) dan peluang hidup gabungan selama 1 tahun ( 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 1 ) berdasarkan persamaan (7).
d. Menghitung nilai peluang meninggal sedikitnya 1 orang diantara m orang hingga 1 tahun kemudian ( 𝑞𝑞 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 1 ) berdasarkan persamaan (9).
e. Mengulangi langkah 3 dan langkah 4 dari tahun ke tahun sampai usia tertinggi yaitu 100 tahun.
Contoh tabel mortalitas gabungan untuk 2 orang laki-laki selisih 1 tahun
𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒍𝒍 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒍𝒍 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒑𝒑 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒑𝒑 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒑𝒑 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒒𝒒 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟐𝟐
𝟏𝟏 5 4 99374 99447 0.99932 0.99927 0.00142 0.99858 6 5 99306 99374 0.99934 0.99932 0.00135 0.99865 7 6 99240 99306 0.99939 0.99934 0.00128 0.99872 8 7 99179 99240 0.99942 0.99939 0.00120 0.99880 9 8 99121 99179 0.99944 0.99942 0.00115 0.99885 10  9 99065 99121 0.99943 0.99944 0.00113 0.99887 11  10  99009 99065 0.99941 0.99943 0.00115 0.99885 12  11  98951 99009 0.99934 0.99941 0.00124 0.99876 13  12  98886 98951 0.99924 0.99934 0.00141 0.99859 14  13  98811 98886 0.99912 0.99924 0.00164 0.99836 15  14  98724 98811 0.99899 0.99912 0.00189 0.99811

## 4.1.2 Tabel Komutasi Pada Kondisi Joint Life
Simbol-simbol komutasi pada asuransi joint life didefinisikan secara analog dengan simbol-simbol komutasi pada asuransi jiwa single life yang menurut Jordan [3] didefinisikan sebagai berikut:
𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = 𝑣𝑣 1 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 1 +𝑥𝑥 2 + ⋯+𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 … (10)
𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = � 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 +𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 +𝑘𝑘 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑘𝑘=0 = 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 + ⋯ + 𝐷𝐷 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 … 𝑤𝑤 𝑚𝑚 … (11)
𝑆𝑆 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = � 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 +𝑘𝑘 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑘𝑘=0 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 + ⋯ + 𝑁𝑁 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 … 𝑤𝑤 𝑚𝑚 … (12)
𝐶𝐶 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = 𝑣𝑣 1 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 1 +𝑥𝑥 2 + ⋯+𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) +1 𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 … (13)
𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = � 𝐶𝐶 𝑥𝑥 1 +𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 +𝑘𝑘 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑘𝑘=0 = 𝐶𝐶 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝐶𝐶 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 + ⋯ + 𝐶𝐶 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 … 𝑤𝑤 𝑚𝑚 … (14) 𝑅𝑅 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = � 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 +𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 +𝑘𝑘 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑘𝑘 𝑤𝑤 𝑘𝑘=0 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1
… 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 + ⋯ + 𝑀𝑀 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 … 𝑤𝑤 𝑚𝑚 … (15) Adapun langkah-langkah dalam membuat tabel komutasi gabungan sebagai berikut :
1. Menentukan banyak tertanggung dengan usia masing-masingnya, selisih usianya, dan jenis kelamin.
ISSN: 1978-4422
Vol.10 No.2 (2016) Hal. 11-17
2. Mengambil data jumlah orang yang hidup ( 𝑙𝑙 𝑥𝑥 / 𝑙𝑙 𝑦𝑦 ) pada Tabel Mortalitas Indonesia tahun 1999.
3. Menghitung fungsi hidup gabungan ( 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) pada usia yang bersesuaian dengan langkah 1 berdasarkan persamaan (6) dan fungsi yang menyatakan gabungan jumlah orang meninggal diantara m orang ( 𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) berdasarkan persamaan (8).
4. Menghitung 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 berdasarkan  persamaan  (10).
Menghitung 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 berdasarkan  persamaan  (11).
Menghitung 𝐶𝐶 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 berdasarkan  persamaan  (13). Menghitung 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 berdasarkan  persamaan  (14).
5. Mengulangi langkah 3, dan langkah 4 dari tahun ke tahun sampai usia tertinggi yaitu 100 tahun.
Contoh tabel komutasi gabungan untuk 2 orang laki-laki selisih 1 tahun bunga 2,5 %
𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝐶𝐶 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 5 4 8843151462 273428154190 12232370 2174172091 6 5 8615232470 264585002728 11333790 2161939721 7 6 8393771059 255969770258 10472768 2150605931 8 7 8178572168 247575999199 9567838 2140133163 9 8 7969526959 239397427031 8937042 2130565324 10 9 7766211211 231427900072 8561260 2121628282 11 10 7568230165 223661688861 8496794 2113067022 12 11 7375142392 216093458696 8938754 2104570229 13 12 7186322116 208718316304 9919520 2095631475 14 13 7001126447 201531994187 11189850 2085711955 15 14 6819177416 194530867740 12590542 2074522105

## 4.1.3  Rumusan Anuitas Hidup Berjangka Pada Kondisi Joint Life
Total nilai sekarang untuk pembayaran setiap awal tahun merupakan nilai sekarang dari anuitasnya dan berdasarkan persamaan (1) dirumuskan oleh 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑣𝑣 0 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 0 + 𝑣𝑣 1 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 1 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛−1 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑛𝑛−1 … (16)
Dengan menggunakan simbol komutasi pada kondisi joint life yang ada pada persamaaan (10) dan persamaan (11) diperoleh
𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 … (17)
Persamaan (17) adalah rumusan dari nilai sekarang anuitas hidup awal berjangka pada kondisi joint life yang preminya dibayarkan sebesar 1 satuan selama n tahun yang dimulai pada saat perjanjian asuransi..
Total nilai sekarang untuk pembayaran setiap akhir  tahun merupakan nilai sekarang dari anuitasnya dan berdasarkan persamaan (1) dirumuskan oleh 𝑎𝑎 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑣𝑣 1 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 1 + 𝑣𝑣 2 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 2 + ⋯ + 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑛𝑛 … (18)
𝑁𝑁𝑏𝑏𝑙𝑙𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑡𝑡𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑦𝑦𝑎𝑎𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑁𝑁𝑏𝑏𝑙𝑙𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑡𝑡𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏 ( 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ) 𝑦𝑦𝑎𝑎𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑦𝑦
Dengan menggunakan simbol komutasi pada kondisi joint life yang ada pada persamaaan (10) dan persamaan (11) diperoleh
𝑎𝑎 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 .., 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛+1 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛+1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛+1 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 … (19)
Persamaan (19) adalah rumusan dari nilai sekarang anuitas hidup akhir berjangka pada kondisi joint life yang preminya dibayarkan sebesar 1 satuan selama n tahun yang dimulai satu tahun setelah perjanjian asuransi.

## 4.1.4   Rumusan Asuransi Jiwa Seumur Hidup Pada Kondisi Joint Life
Jika 𝐴𝐴 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar 1 satuan pada pemegang polis yang berusia 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 tahun selama seumur hidup dan berdasarkan persamaan (3) adalah
𝐴𝐴 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = 𝑣𝑣 𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + 𝑣𝑣 2 𝑑𝑑 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 + ⋯ + 𝑣𝑣 1 𝑚𝑚 ( 𝑤𝑤 1 +𝑤𝑤 2 + ⋯+ 𝑤𝑤 𝑚𝑚 ) − 1 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 1 +𝑥𝑥 2 + ⋯+ 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) +1 𝑑𝑑 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 … 𝑤𝑤 𝑚𝑚 𝑙𝑙 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚
… (20)
Dengan menggunakan simbol komutasi pada kondisi joint life yang ada pada persamaaan (10) dan persamaan (14) diperoleh
𝐴𝐴 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 … (21)

## 4.2 Rumusan Premi Tahunan Asuransi Joint Life Seumur Hidup
Perhitungan premi tahunan pada asuransi joint life dapat diturunkan dari persamaan dasar perhitungan premi sesuai pada persamaan (5) yaitu
Sehingga dapat dibentuk premi tahunan dengan cara pembayaran anuitas berjangka yang dibayarkan setiap awal tahun dan perlindungan asuransi seumur hidup pada kondisi joint life 𝑃𝑃 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n . 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑆𝑆 . 𝐴𝐴 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 … (22)
Dengan  menggunakan simbol komutasi pada kondisi joint life yang ada pada persamaaan (17) dan persamaan (21) diperoleh
𝑃𝑃 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑆𝑆 . 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 … (23)

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dari penelitian ini maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :
1. Rumusan anuitas hidup berjangka dan asuransi jiwa seumur hidup pada kondisi joint life untuk 𝑚𝑚 orang tertanggung dengan jangka n tahun  dapat dibentuk dari kondisi single life yang dinyatakan dalam bentuk simbol komutasi .
a. Nilai sekarang anuitas hidup awal berjangka
=
𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑃𝑃 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n � 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 �
b. Nilai sekarang anuitas hidup akhir berjangka
𝑎𝑎 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑃𝑃 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n � 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +1 𝑥𝑥 2 +1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +1 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛+1 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛+1 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛+1 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 �
c. Nilai sekarang asuransi jiwa seumur hidup
𝐴𝐴 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = 𝑆𝑆 � 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝐷𝐷 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 �
2. Premi tahunan asuransi joint life seumur hidup dengan pembayaran premi dilakukan selama 𝑏𝑏 tahun dan perlindungan asuransi selama seumur hidup untuk 𝑚𝑚
orang tertanggung dapat diturunkan dari persamaan dasar perhitungan premi
Premi tahunan tersebut sebagai berikut
𝑃𝑃 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 : n = 𝑆𝑆 � 𝑀𝑀 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥 1 +𝑛𝑛 𝑥𝑥 2 +𝑛𝑛 … 𝑥𝑥 𝑚𝑚 +𝑛𝑛 �

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Futami, T. 1993. Matematika  Asuransi Jiwa . RekaprintUtama, Tokyo.
------------. 1994. Matematika Asuransi Jiwa . Jilid 1 dan Jilid 2. Rekaprint Utama, Tokyo.
[2]   Iskandar, K, dkk. 2011. Dasar-Dasar Asuransi: Jiwa, Kesehatan dan Annuitas . Edisi Perdana. AAMAI, Jakarta.
[3]  Jordan, C.W. 1991. Society of Actuaries’ Textbook on Life Contingencies . The Society of Actuaries. Massachusetts.
[4]  Robert, E.L. & E, A. Gaumnitz. 1951. Life Insurance Mathematics . John Wiley and Sons Inc, New York.
[5]  Walpole, R.E, dkk. 2007. Probability & Statistics for Engineers & Scientists Eighth Edition. Pearson Education International, Texas.
Nilai tunai premi yang akan datang
Nilai santunan (benefit) yang akan datang =