## PARAMETRISASI FUNGSIONAL KERAPATAN-TENAGA FAYANS DALAM RUANG KOORDINAT UNTUK PERHITUNGAN SWAKONSISTEN KEADAAN DASAR INTI  DENGAN INTI Zr 90 SEBAGAI ACUAN

## Raden Oktova
Program Magister Pendidikan Fisika, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta Kampus II, Jl.Pramuka 42, Yogyakarta 55161
E-mail: r.oktova@uad.ac.id

## INTISARI
Telah  dikembangkan  suatu  metode  perhitungan  keadaan  dasar  inti  bola  dalam  ruang  koordinat  secara swakonsisten dengan menggunakan fungsional kerapatan-tenaga Fayans. Parametrisasi fungsional dilakukan berdasarkan  data  eksperimental  jari-jari  muatan  inti  ajaib  rangkap  Zr 90 .  Himpunan  parameter  terbaik  yang diperoleh menunjukkan bahwa gaya permukaan dalam fungsional dapat diabaikan.
Kata kunci: keadaan dasar, perhitungan swakonsisten, fungsional kerapatan-tenaga Fayans

## I. PENDAHULUAN
Pengembangan metode perhitungan swakonsisten sangat penting dalam fisika inti, antara lain untuk menjamin bahwa metode yang dikembangkan dapat diberlakukan pada seluruh daerah inti, termasuk inti-inti yang  belum  dikenal  secara  eksperimental.  Berbeda  dengan  perhitungan  keadaan  dasar  dalam  ruang konfigurasi,  di  mana  keadaan-keadaan  kuasipartikel  diekspansikan  sebagai  kombinasi  linier  fungsi-fungsi ortogonal  osilator  harmonik  sehingga  keadaan  kuasipartikel  di  daerah  tenaga  asimtotik  (kontinuum)  tidak diperhitungkan  dengan  baik,  dalam  perhitungan  dalam  ruang  koordinat  semua  keadaan  kuasipartikel  dapat diperhitungkan  dengan  baik,  setidaknya  secara  prinsip.  Untuk  perhitungan  keadaan  dasar  secara swakonsisten, ketelitian hasil tidak terlepas dari fungsional kerapatan-tenaga yang digunakan. Dalam hal ini, fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  (Fayans  dkk.,  1994a,  1994b)  telah  terbukti  sangat  potensial  untuk perhitungan keadaan dasar inti karena sedikit lebih teliti daripada fungsional Skyrme yang selama ini banyak digunakan  (Fayans  dkk.,  2000)  namun  fungsional  Skyrme  mempunyai  parametrisasi  yang  sudah  sangat mapan  dan  sangat  luas  digunakan.  Untuk  itu,  dalam  penelitian  ini  telah  dikembangkan  suatu  metode perhitungan  keadaan dasar inti bola secara swakonsisten dengan  fungsional  kerapatan  tenaga Fayans dalam ruang koordinat.
Perhitungan keadaan eksitasi kolektif inti dalam ruang koordinat dimulai oleh Schlomo dan Bertsch (Schlomo dan Bertsch, 1975, lihat tinjauan oleh Bertsch, 1991), yaitu suatu perhitungan tidak swakonsisten dengan  menggunakan  potensial  partikel-tunggal  empiris  Saxon-Woods  dengan  hampiran  kuasipartikel  BCS sederhana  menggunakan  gaya  pasangan  konstan.  Salah  satu  perkembangan  terakhir  adalah  perhitungan keadaan  dasar  dengan  metode  HFB  dalam  ruang  koordinat  (sayangnya,  hanya  dalam  basis  kanonik,  yang berarti  unsur  matriks  nondiagonal  diabaikan  seperti  pada  metode  BCS),  misalnya  oleh  Bennaceur  dan Dobaczewski (2005).
Makalah ini menyajikan salah satu hasil penelitian awal dengan menggunakan data jari-jari muatan inti  Zr 90 sebagai  acuan  parametrisasi,  dan  masalah  yang  dikaji  adalah  berapakah  nilai-nilai  parameter fungsional kerapatan tenaga Fayans yang harus digunakan dalam perhitungan keadaan dasar inti bola secara swakonsisten  dalam  ruang  koordinat,  bagaimanakah  ketelitian  hasil  perhitungan  besaran-besaran  keadaan
dasar inti seperti jari-jari muatan yang dihasilkan jika dibandingkan dengan nilai eksperimental, serta apakah ketelitian  hasil  perhitungan  dalam  ruang  koordinat  lebih  baik  dari  ketelitian  hasil  perhitungan-perhitungan sebelumnya.  Untuk  menjawab  pertanyaan-pertanyaan  tsb.,  pada  penelitian  awal  inti  bola  Zr 90 digunakan sebagai acuan mengingat inti tsb. merupakan inti bola dengan jari-jari muatan yang diketahui dengan baik.

## II. DASAR TEORI

## Fungsional Kerapatan-tenaga
Fungsional kerapatan-tenaga Fayans dapat dinyatakan sebagai fungsi kerapatan partikel normal, ρ dan kerapatan partikel anomal, ) , ( + ν ν ,  sehingga tenaga total inti dapat dituliskan sebagai
[ ] ބ ރ pair so coul sur vol kin 3 , , ε ε ε ε ε ε ν ν ρ + + + + + = ∫ + 7 d E , (1)
dengan  suku-suku  dalam  integran  berturut-turut  adalah  kerapatan-tenaga  kinetik,  volume,  permukaan, Coulomb,  spin-orbit,  dan  pasangan.  Jumlah  semua  suku  kecuali kin ε disebut  kerapatan-tenaga  interaksi. Fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  mengandung  parameter-parameter  Fermi  seperti  kerapatan  partikel dalam zat inti simetrik
) ( Z N = pada keadaan setimbang, 0 2 ρ ,  momentum Fermi 0 F p dan tenaga Fermi 0 F ε , jumlah dan selisih antara kerapatan proton dan neutron,
0 p n 2 ρ ρ ρ ± = ± x , (2)
serta fungsi-fungsinya,
), ( ´ , 1 1 2 1 + + ± ± ± ± ± = + − = x f dx d f x h x h f (3)
dengan ± 1 h dan ± 2 h adalah parameter-parameter fungsional. Potensial partikel-tunggal  dan gaya dua-benda p-h  (partikel- hole )  dapat  diperoleh  dari  diferensial  tenaga  interaksi  terhadap  kerapatan  partikel  normal, ρ , sedangkan  gaya  dua-benda  partikel-partikel  (p-p) dapat  diperoleh  dari  diferensial  tenaga  pasangan  terhadap kerapatan anomal, ) , ( + ν ν . Gaya (dua-benda) pertukaran muatan antara proton dan neutron dapat dihitung dari  diferensial  jumlah  tenaga  permukaan  dan  tenaga  volume  terhadap p n ρ ρ ρ − = − (Fayans dkk. , 1994b).
Pada  perhitungan  keadaan  dasar,  proton  dan  neutron  dihitung  secara  terpisah.  Jika  diketahui  potensial partikel-tunggal, ) ( n/p 7 V (lambang  n  dan  p  berarti  neutron  atau  proton),  maka  dapat  diperoleh  himpunan keadaan  partikel-tunggal  (eigennilai  dan  eigenfungsi  tenaga,  yaitu ) ( dan r y n n l l ε dalam  wakilan  bola) dengan penyelesaian persamaan Schrödinger dalam jarak radial r ,
) ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 r y r y r V mr dr d m n n n l l l h l l h ε =    + + +    , (4)
dalam hampiran kisi diskret (Reinhard, 1991, lihat juga tinjauan mutakhir oleh Bennaceur dan Dobaczewski, 2005).  Kemudian  dari  himpunan  keadaan  partikel-tunggal  tsb.  dapat  dihitung  keadaan  dasar  swakonsisten melalui iterasi dengan menggunakan formalisme fungsional kerapatan-tenaga Fayans (pers. 1), kemudian dari
keadaan  dasar  swakonsisten  tersebut  dapat  diperoleh  keadaan  kuasipartikel  inti,  misalnya  dalam  hampiran paling sederhana dengan menyelesaikan persamaan gaya pasangan BCS (Ring dan Schuck, 2000 : 228-243).
Dalam model BCS, tenaga kuasipartikel k E diberikan oleh ungkapan
, ) ( 2 2 k F k k E ∆ + − = ε ε (5)
dengan k ∆ adalah parameter  celah pasangan yang memenuhi persamaan
, 0 2 , = ∆ + ∆ ∑ m m m pp m m k k k E F
(6)
dengan k ε pada  hakekatnya  adalah  tenaga  partikel-tunggal  seperti  pada  persamaan  (4),  hanya  saja  dalam penelitian  ini  dihitung  secara  swakonsisten,  dan  indeks k meliputi  semua  aras  partikel-tunggal  proton  dan neutron  (dihitung  sendiri-sendiri).  Dalam  perhitungan  swakonsisten  keadaan  dasar  sebelumnya,  untuk  gaya pasangan pp F pada saluran p-p partikel sejenis (proton-proton dan neutron-neutron), berbagai bentuk gaya telah  dicoba,  antara  lain  gaya  berjangkau  nol  (fungsi  delta)  dan  gaya  berjangkau  berhingga  jenis  Yukawa (Kroemer dkk., 1995, Kroemer, 1996) namun ternyata tidak terdapat pengaruh nyata bentuk gaya ini terhadap hasil  perhitungan,  sehingga  dalam  penelitian  ini  cukup  digunakan  bentuk  paling  sederhana,  yaitu  gaya konstan berjangkau nol,
) ( 2 1 0 p/n p - p r r C F r r − − = δ , (7)
dengan p/n p - p F adalah pp F pada persamaan (6), dengan superskrip p/n dituliskan untuk menekankan bahwa perhitungan    gaya  p-p  proton-proton  dilakukan  secara  terpisah  dari  perhitungan  gaya  p-p  neutron-neutron;
0 C adalah konstanta gaya bernilai positif.
Berikut  ini  dipaparkan  metode  perhitungan  keadaan  dasar  inti  bola  secara  swakonsisten  dengan fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans,  dengan  kata  lain  digunakan  model  Fayans-Hartree-Fock,    dengan mengambil  analogi  dengan  prosedur  berdasarkan  fungsional  kerapatan-tenaga  Skyrme  atau  model  Skyrme- Hartree-Fock (Reinhard, 1991). Perhitungan keadaan dasar secara swakonsisten didasarkan pada persamaan Hartree-Fock (HF),
, | ˆ | | ˆ | | ˆ | 1 a ∑ = = 〉 〈 + 〉 〈 ≡ 〉 〈 N j j j HF V T H αβ α β α β α β α δ ε ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (8)
dengan subskrip “a” menunjukkan fungsi gelombang bersifat antisimetrik. Persamaan ini dapat diungkapkan dalam wakilan koordinat sebagai
) ( ´) ( ´) , ( ´ ) ( ) ( 2 2 x x x x U dx x x U m EX H α α α α ϕ ε ϕ ϕ = +       + ∆ − ∫ h
, (9)
dengan Hamiltonian HF HF H ˆ dapat dipisahkan menjadi potensial lokal atau Hartree berbentuk
, ´) ( ´) , ( ˆ ´) ( * ´ ) ( ˆ 1 ∑∫ = = N j j j H x x x V x dx x U ϕ ϕ (10)
dan suatu potensial nonlokal atau pertukaran
. ´) ( ´) , ( ˆ
´) ( * ´) , ( ˆ 1 ∑ = = N j j j EX x x x V x x x U ϕ ϕ (11)
Dulu sebelum diperkenalkan gaya Skyrme, suku potensial pertukaran ini menyebabkan unsur matriks untuk suatu potensial teras keras ( hard core potential ) menjadi bernilai tak terhingga.
Gaya Fayans secara umum dapat dinyatakan dengan suatu fungsional kerapatan-tenaga berbentuk
, cm pasangan Coulomb Fayans E E E E E − + + = (12)
dengan Fayans E ,  yaitu  fungsional  kerapatan-tenaga  untuk  gaya  Fayans,  merupakan  suku  yang  dominan.
Tenaga  Coulomb  adalah , Coulomb E selanjutnya  tenaga  pasangan  secara  skematik  diberikan  oleh  suku
pasangan E , dan koreksi gerak pusat massa medan rata-rata, cm E harus dikurangkan dari tenaga keseluruhan.
Bentuk  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  memungkinkan  nilai  harap  tenaga  untuk  determinan- determinan Slater dapat dihitung dari besaran-besaran kerapatan dan arus berikut,
[ ] ), ( ) ( i ) ( ), ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( 2 i ) ( ), ( ) ( ) ( U U U - U U U U U U U U M U U U β β β β β β β β β β β β β β β β β β ϕ ϕ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ∑ ∑ ∑ ∑ ∈ + ∈ + + + ∈ ∈ + × ∇ ⋅ ∇ − = ∇ ∇ ⋅ ∇ = ∇ − ∇ = = q q q q q q q q w w w w σ (13) dengan β ϕ adalah  fungsi  gelombang  partikel-tunggal  keadaan β ,  dan  indeks  isospin q berjalan  meliputi keadaan-keadaan proton dan neutron. Peluang pengisian keadaan β adalah β w . Bila suatu kulit sepenuhnya terisi, maka 1 = β w , namun nilai-nilai pecahan dapat terjadi untuk inti-inti tanpa bilangan ajaib ( nonmagic nuclei ), dan pengisian ini dihitung dengan skema perhitungan gaya pasangan.
Untuk keadaan dasar inti, fungsi gelombang partikel-tunggal dapat dipisahkan,
), , ( ) ( ) ( φ θ ϕ β β β β β m j Y r r R l = 7
(14)
dengan ) , ( φ θ β β β m j Y l adalah fungsi-fungsi harmonik bola spinor. Fungsi gelombang radial ) ( r R β tidak bergantung  pada  bilangan  kuantum β m .  Dalam  wakilan  ini,  persamaan  HF  untuk ) ( r R β dapat diungkapkan sebagai
, β β β ε R R h q = (15)
dengan Hamiltonian medan rata-rata (HF)
, , ⋅ + + ∂ ∂ = l q ls r q r q U U h B (16.a)
dengan q B , q U dan q ls U , merupakan fungsi dari q ρ , kerapatan total neutron proton ρ ρ ρ + = , q J dan
kerapatan  arus  total neutron proton q J J J + = .  Perhatikan  bahwa  pers.  (15)    bersifat  nonlinier  dalam  fungsi
gelombang ) ( r R β melalui Hamiltonian medan rata-rata q h yang bergantung pada kerapatan.
Dalam  parametrisasi  asli  suku  spin-orbit  dalam  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans,  terdapat parameter kekuatan gaya spin-orbit (dilambangkan dengan pp κ dan pn κ ) dengan potensial spin-orbit yang
rumit.  Perumusan  yang  lebih  sederhana  diberikan  oleh  gaya  dua-benda  spin-orbit  dalam  fungsional kerapatan-tenaga Skyrme,
k r r k iW F r r r r r r ) ( ) ( ) 2 , 1 ( 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 0 − × + = δ σ σ (16.b) dapat dijabarkan oleh Bell dan Skyrme dari suku spin-orbit pers. (16.a) dalam batas jangkauan pendek (Ring dan Schuck, 2000: 175).
Dengan suatu koreksi diagonal, dapat dihitung koreksi massa efektif
    − = A m m eff 1 1 . (17)
Prosedur  ini  mungkin  baik  untuk  perhitungan  keadaan  dasar  namun  dapat  menghasilkan  parameter  massa yang  kurang  tepat  untuk  translasi,  rotasi,  vibrasi  dan  fisi.  Suatu  koreksi  pusat  massa  yang  lebih  konsisten adalah dengan tetap menggunakan massa nukleon bebas namun tenaga dari perhitungan HF dikurangi dengan tenaga titik nol translasi ( zero-point-motion energy , ZPE)
Am Z cm trans 2 2 〉 〈 = 5 , (18)
dengan cm 5 adalah operator momentum pusat massa. Pemilihan prosedur ini konsisten dengan koreksi ZPE dalam perhitungan-perhitungan kolektif inti (Giraud dan Grammaticos, 1975).
Jika  telah  diperoleh  penyelesaian  pers.  HF  (15),  dan  diperoleh  nilai β w ,  dapat  dihitung  tenaga sistem  dari  fungsional  kerapatan-tenaga Fayans E .  Namun  sebagian  besar  informasi  tenaga  dapat  diperoleh dari tenaga partikel-tunggal β ε .
Gaya Coulomb mempunyai jangkauan tak terhingga, sehingga akan sangat menghabiskan waktu jika suku  pertukaran  dihitung  secara  eksak;  bagian  ini  dihitung  dengan  hampiran  Slater,  dan  diperoleh  tenaga Coulomb,
, ) ' ( |' | 1 ) ( ´ 2 1 exch Coul, C C 3 3 2 Coul E d d e E + − = ∫ 7 7 7 7 7 7 ρ ρ
(19)
dengan
. 4 . 3 4 3 3 / 4 pr 0 2 3 / 1 exch Coul, ρ π π ∫ ∞       − = r dr E (20)
Sumbangannya pada potensial HF dapat dihitung dengan variasi
, exch
Coul, dir Coul, Coul U U
U + = (21) dengan . 3 , 4 3 / 1 pr 3 / 1 exch Coul, C 2 dir Coul,
ρ π ρ π
 
  
 − = = ∆ − U e U (22)
Perhitungan  dalam  penelitian  ini  menggunakan  gaya  pasangan  sederhana  (skematik)  dengan fungsional berbentuk
2 ) 1 (       − − = ∑ ∑ ∈ q q q pair w w G E β β β , (23)
dengan unsur matriks gaya pasangan q G adalah konstan untuk setiap inti.

## III. METODE PERHITUNGAN
Di  dalam  memperoleh  himpunan  basis  partikel-tunggal  swakonsisten,  diperhitungkan  seluruh  suku fungsional kerapatan-tenaga Fayans. Gaya pasangan dihampiri dengan gaya konstan (pers. 7) dan sumbangan tenaganya  dihitung  secara  iteratif  dengan  hampiran  BCS  (pers.  5  dan  6).  Untuk  membantu    perhitungan numerik, digunakan komputer pribadi Fujitsu-Siemens dengan bahasa pemrograman Fortran 77.
Himpunan  parameter  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  untuk  langkah  awal  parametrisasi  adalah himpunan parameter DF3 dalam perhitungan swakonsisten keadaan dasar dalam ruang konfigurasi (Kroemer dkk. , 1995, Oktova, 2006),
. fm 0,35 fm 1,147 , 0,0 , 4,0 31 , 0 , 0,0 , 11,1 , 3,0 0,0, , 5,42 0,724, 0,163, , 42 , 6 0 2 1 2 1 2 1 = = = − = = = − = = = = = = − = − − + + + − − − + + + , R r h a h h a h h a h h a s v s s s v v v v v v
Himpunan  parameter  tersebut  bersesuaian  dengan  sifat-sifat  zat  inti  sbb.:
0 K =  200  MeV  (modulus
kompresi), MeV 16,05 0 − = µ (potensial  kimia), 0 β =  28,7    MeV  (konstanta  tenaga  asimetri), 0 F ε = 36,59  MeV,  dan 0
2 ρ =0,1582  fm -3 ( 0 C =308,385086  fm 3 ).  Pemilihan  himpunan  parameter  awal  ini berdasarkan pengamatan dalam penelitian sebelumnya bahwa himpunan parameter tersebut sesuai digunakan pada inti berat, khususnya inti Pb 208 dan isotop-isotopnya (Kroemer dkk., 1995, Kroemer, 1996), serta dugaan bahwa  himpunan  parameter  yang  sesuai  pada  dalam  perhitungan  swakonsisten  keadaan  dasar  dalam  ruang koordinat seharusnya tidak akan jauh berbeda dengan yang digunakan dalam perhitungan serupa dalam ruang konfigurasi.  Untuk  suku  spin-orbit  digunakan  parameter W 0 (pers.  16.b)  dan  sebagai  nilai  awal  dapat digunakan nilai 69 , 123 0 = W MeV dari penelitian sebelumnya (Reinhard, 1991). Perhitungan pendahuluan dalam penelitian ini menunjukkan bahwa variasi parameter dapat difokuskan pada dua parameter saja, yaitu s h + 2 dan 0 W .
Proses iteratif untuk menyelesaikan persamaan HF radial (pers. 15) dan persamaan BCS (pers. 5 dan  6)  guna  mendapatkan  keadaan  dasar  inti  dimulai  dengan  potensial  osilator  harmonik  isotropik  sebagai tebakan awal. Pengurutan keadaan-keadaan partikel-tunggal mengikuti susunan kulit pada potensial osilator harmonik  isotropik  (Oktova,  2007).    Cacah  aras  partikel-tunggal  yang  digunakan, n max dihitung  sedemikian rupa sehingga seluruh cacah  nukleon (proton atau neutron) dapat tertampung dalam aras-aras tersebut. Dari eigennilai dan eigenfungsi Hamiltonian dengan potensial awal, diperoleh tebakan awal kerapatan normal dan kerapatan  tensor  ( + ν ν ρ , , ),  yang  selanjutnya  digunakan  untuk  menghitung  potensial  partikel-tunggal,
) ( n/p 7 V dengan  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  (pers.  1).    Pada  langkah  selanjutnya,  eigennilai  dan eigenfungsi  radial Hamiltonian partikel-tunggal  dengan  potensial  partikel-tunggal, ) ( n/p 7 V tsb.  dihitung dan  digunakan  untuk  menghasilkan  nilai  baru  ( + ν ν ρ , , ),  dst.  Jika  iterasi  konvergen,  langkah  iterasi dihentikan  ketika  terpenuhi  dua  syarat  sekaligus:  (a)  selisih  nilai  tenaga  total  partikel-tunggal
, cm pasangan Coulomb Fayans E E E E E − + + = pada dua langkah berurutan lebih kecil atau sama dengan nilai toleransi  tenaga  tertentu.,  dan  (b)  selisih  nilai  jari-jari  muatan  pada  dua  langkah  berurutan  lebih  kecil  atau sama dengan nilai toleransi jari-jari tertentu. Dalam penelitian ini digunakan nilai toleransi tenaga dan jari- jari  berturut-turut  sama  dengan  0,001  MeV  dan  0,001  fm.  Jika  konvergensi  telah  tercapai,  diperoleh himpunan  keadaan  partikel-tunggal  swakonsisten.  Untuk  menyelesaikan  persamaan  BCS  (pers.  5  dan  6), digunakan  pendekatan  parameter  celah  konstan  dalam  pers.  (23)  berbentuk A G q / 29 = ( q =  proton  atau neutron).
Gambar 1. Diagram alir untuk perhitungan numerik keadaan dasar secara swakonsisten.
Program  baru  yang  dibuat  untuk  perhitungan  swakonsisten  keadaan  dasar  partikel-tunggal  dalam ruang  koordinat  dengan  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans    sebagaimana  diuraikan  di  atas,  untuk selanjutnya  kita  sebut  saja  program  FAYHF.  Struktur  program  dan  prosedur  perhitungan  numerik  secara garis  besar,  termasuk  nilai-nilai  parameter  kisi,  prosedur  penyimpanan  nilai-nilai  fungsi  dan  diferensialnya terhadap  jarak  radial r ,  didasarkan  pada  program  HAMOMN  (Reinhard,  1991),  yaitu  program  perhitungan keadaan dasar inti secara swakonsisten dalam ruang koordinat dengan fungsional kerapatan-tenaga Skyrme. Nilai-nilai  kerapatan  ( + ν ν ρ , , ),  fungsi  gelombang  radial y ,  potensial  partikel-tunggal ) ( n/p 7 V dan  nilai- nilai  lain  yang  bergantung  pada  jarak  radial r (misalnya  diferensial  terhadap r )  disimpan  dalam  kisi  radial dengan  titik-titik  kisi  berjarak  sama. Prosedur  perhitungan  numerik  keadaan  dasar  secara  swakonsisten  ini digambarkan  pada  diagram  alir  Gambar  1.  Uraian  terinci  subrutin-subrutin  yang  disebutkan  dalam  diagram alir,  selain  subrutin  FAYPOT  yang  dikembangkan  oleh  penulis,  serta  nilai-nilai  parameter  kisi  ruang koordinat dsb. dapat dilihat pada Reinhard (1991), misalnya cacah titik kisi yang digunakan adalah NGRID = 46, dengan lebar langkah sama dengan 0,3, yang diharapkan dapat memberikan ketelitian tenaga dan jari-jari sebesar 0,1 %.
Hasil parametrisasi diujicoba dengan  menghitung jari-jari muatan inti-inti bola O 16 , Ca 40 , Ca 48 , dan Pb 208 . Data eksperimental jari-jari muatan Zr 90 dan inti-inti bola lain diambil dari Marcos dkk. (2004).

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  parametrisasi  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  berdasarkan  data  eksperimental  Zr 90 sebagai acuan,  jari-jari muatan eksperimental sebesar 5,50 fm dapat dimunculkan secara tepat oleh hasil perhitungan dengan menggunakan himpunan parameter yang kami namakan DFX1.Zr dan DFX2.Zr  seperti ditunjukkan pada Tabel I dan II. Adalah menarik bahwa pada himpunan parameter DFX.Zr diperoleh 0 2 = + s h , yang berarti variasi gaya permukaan diabaikan.
Tabel I. Himpunan parameter DFX.Zr fungsional kerapatan-tenaga Fayans yang diperoleh.
Sebagai perbandingan hasil perhitungan sejenis, ditunjukkan pula hasil perhitungan Tondeur (1983) dengan fungsional  kerapatan-tenaga  Skyrme  yang  mengacu  pada  nilai-nilai  eksperimental  tenaga  ikat  dan  jari-jari muatan delapan inti dengan bilangan ajaib-rangkap dan semi-ajaib. Hasil perhitungan jari-jari muatan untuk inti  Zr 90 dengan  kedua  himpunan  parameter  DFX1.Zr  dan  DFX2.Zr  sesuai  dengan  nilai  eksperimental, sedangkan  hasil  perhitungan  Tondeur  memberikan  selisih fm 01 , 0 exp ,
− = − r r c c .  Jelas  bahwa  secara Parameter Nilai 0 W
482,0
s h + 2 0
keseluruhan  ketelitian  hasil  perhitungan  penelitian  ini  masih  kalah  dengan  ketelitian  hasil  perhitungan Tondeur.
Tabel II. Hasil perhitungan jari-jari muatan dan selisihnya terhadap nilai eksperimental.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Parametrisasi  fungsional  kerapatan-tenaga  Fayans  dalam  ruang  koordinat  terbukti  dapat  dilakukan dengan memvariasi dua parameter, yaitu parameter gaya permukaan s h + 2 dan parameter gaya spin-orbit 0 W . Parametrisasi  dengan  mengacu  pada  jari-jari  eksperimental  Zr 90 menghasilkan  sebuah  himpunan  parameter, dengan  gaya  permukaan  diabaikan.  Dalam  hal  jari-jari  muatan,  ketelitian  perhitungan  dengan  himpunan parameter ini masih perlu ditingkatkan.
Untuk penelitian selanjutnya dengan himpunan parameter tsb. masih dapat digali sejumlah informasi menyangkut  hasil  perhitungan  jari-jari  muatan,  misalnya  selisih  hasil  perhitungan    jari-jari  neutron  dan proton, p n r r − , pengaruh folding distribusi proton dengan distribusi muatan intrinsik proton (faktor bentuk) terhadap distribusi muatan positif inti, serta aras tenaga partikel-tunggal untuk inti-inti bola lain. Dapat juga perhitungan  diperluas  dengan  memperhatikan  data  yang  tersedia  untuk  inti-inti  lain  seperti Sn 132 dan  Fe 56 .
Untuk meningkatkan ketelitian perhitungan, himpunan parameter DFX2.Zr dapat dikembangkan lebih lanjut dengan memvariasi parameter lain seperti parameter gaya  volume v h + .

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penelitian  ini  merupakan  publikasi  awal  proyek  Penelitian  Fundamental  yang  dibiayai  oleh  DP2M Ditjen  Dikti  Depdiknas  Nomor  Kontrak    135/SP2H/PP/DP2M/III/2007.  Hasil  parametrisasi  fungsional kerapatan-tenaga Fayans dengan mengacu pada inti Pb 208 dilaporkan dalam makalah lain.

## DAFTAR PUSTAKA
Bennaceur,  K.    dan  J.  Dobaczewski,  2005,  “Coordinate-space  solution  of  the  Skyrme-Hartree-Fock- Bogolyubov equations within spherical symmetry. The program HFBRAD (v1.0)”, Comput. Phys. Commun . 168 , 96-122.
Fayans,  S.  A.,  Trykov,  E.  L.,  Zawischa,  D.,  1994a,  “Influence  of  effective  spin-orbit  interaction  on  the collective states of nuclei”, Nucl. Phys. A568 , 523-543.
Fayans, S. A., Tolokonnikov, S. V., Trykov, E. L., Zawischa, D., 1994b, “Isotope shifts  within the energy- density functional approach with density-dependent pairing”, Phys. Lett. B338 , 1. Fayans,  S.  A.,  Tolokonnikov,  S.  V.,  Trykov,  E.  L.,  Zawischa,  D.,  2000,  “Nuclear  isotope  shifts  within  the local energy-density functional approach”, Nucl. Phys. A676 , 49.
Shlomo, S., Bertsch, G., 1975, Nucl. Phys. A243 , 507.
Inti Jari-jari muatan, (fm) r c (fm) exp , r r c c − DFX.Zr Tondeur Eksp. DFX.Zr Tondeur 8 O 16 3,041 2,75 2,73 0,311 0,02 20 Ca 40 3,470 3,49 3,49 -0,020 0,00 20 Ca 48 3,397 3,48 3,48 -0,083 0,00 40 Zr 90 4,270 4,27 4,27 0,000 0,00 82 Pb 208 5,662 5,49 5,50 0,162 -0,01
Bertsch,  G.,  1991,  “The  Random  Phase  Aproximation  for  collective  excitations”,  dalam  Langanke  K., Maruhn  J.A.,  Koonin  S.E.  (editors), Computational  Nuclear  Physics  1:  Nuclear  Structure ,  New York : Springer-Verlag.
Reinhard, P.-G., 1991,  “The Skyrme-Hartree-Fock model of the nuclear ground state”, dalam K. Langanke dkk . (editors), Computational Nuclear Physics 1: Nuclear Structure , New York: Springer Verlag. Ring, P., Schuck, P., 2000, “Nuclear Many-Body Problem'', Berlin: Springer.
Kroemer, E., Tolokonnikov, S. V., Fayans, S. A., Zawischa, D., 1995,  “Energy-density functional approach for non-spherical nuclei”, Phys. Lett. B363 , 12-16. Kroemer,  E.,  1996,  “Energiedichtefunktionalmethode  in  deformierten  Kernen'',  Disertasi,  Institut  für Theoretische Physik, Univ. Hannover, Germany.
Giraud, B., Grammaticos, B., 1975, Nucl. Phys . A255 , 141.
Oktova, R., 2001, ”Self-consistent beta decay calculation on heavy deformed nuclei”, Goettingen: Cuvillier Verlag.
Oktova,  R.,  2007,  “Perhitungan  aras-aras  tenaga  partikel-tunggal  inti  bola  dalam  ruang  koordinat,” Jurnal Forum Mipa 5 ,  1-7. Marcos, S.,     Savushkin, L.N.,     Fomenko, V. N.,     López-Quelle, M.,   Neimbro, R., 2004, “Description of   nuclear   systems within the relativistic Hartree-Fock method with zero-range self-interactions of the scalar field”, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 30 , 703-721.
Tondeur,  F.,  1983,  “A  Skyrme  functional  for  Hartree-Fock  calculations  of  nuclear  masses  and  density distributions“, Phys. Lett. 123B , 139.