INNOVATIVE: Journal Of Social Science Research Volume 4 Nomor 4 Tahun 2024 Page 13669-13681 E-ISSN 2807-4238 and P-ISSN 2807-4246
Website: https://j-innovative.org/index.php/Innovative

## Analisis Model Epidemik Stokastik SEIQR Dengan Rantai Markov Waktu Kontinu
Wiwik Tri Hardianti 1 ✉
Fakultas Teknik & Informatika Universitas Bina Sarana Informatika Email: wiwik.wkh@bsi.ac.id 1 ✉

## Abstrak
Model epidemik adalah model matematika yang digunakan untuk menentukan perilaku penyebaran penyakit  menular.  Terdapat  beberapa  model  epidemik,  salah  satunya  adalah  model  SEIQR (Susceptible, Exposed, Infected, Quarantined, Recovered). Penelitian ini membahas mengenai model SEIQR secara stokastik dengan pendekatan rantai Markov waktu kontinu (CTMC) untuk memperoleh peluang transisi, bilangan reproduksi dasar (ℛ 0 ) , nilai harapan banyaknya individu terinfeksi (𝑚), dan peluang wabah. Selanjutnya dilakukan simulasi model stokastik SEIQR untuk menentukan penyebaran penyakit  Covid-19.  Simulasi  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  peningkatan  laju  penularan penyakit Covid-19.  Nilai peluang wabah lebih besar dari 0, jika 𝑚 > 1. . Nilai ℛ 0 , 𝑚 , dan waktu bebas penyakit akan meningkat jika laju penularan penyakit meningkat.
Kata Kunci: bebas penyakit, model epidemik, pendekatan CTMC, SEIQR, wabah.

## Abstract
An  epidemic  model  is  a  mathematical  model  used  to  determine  the  behavior  of  the  spread  of infectious diseases. There are several epidemic models, one of which is the SEIQR model (Susceptible, Exposed, Infected, Quarantined, Recovered). This research discusses the stochastic SEIQR model with a  continuous  time  Markov  chain  (CTMC)  approach  to  obtain  transition  opportunities,  the  basic reproduction  number (ℛ 0 ) ,  the  expected  value  of  the  number  of  infected  individuals (𝑚) and  the outbreak  probability. Next, a SEIQR stochastic  model simulation was carried out to determine the spread of the Covid-19 disease. The simulation was carried out to determine the effect of increasing the rate of transmission of the Covid-19 disease. The outbreak probability value is greater than 0, if 𝑚 > 1 .  The ℛ 0 , 𝑚, ,  value  and  disease  extinction  will  increase  if  the  rate  of  disease  transmission increases.
Keyword: CTMC approach, disease extinction, epidemic model, SEIQR, outbreak.

## PENDAHULUAN
Ilmu matematika mempunyai peran di berbagai bidang, termasuk bidang kesehatan. Salah  satu  peran  dari  ilmu  matematika  dalam  bidang  kesehatan  yaitu  memodelkan perilaku penyebaran penyakit menular, dikenal dengan model epidemik. Model epidemik telah  dipelajari  secara  intensif  baik  melalui  pendekatan  deteministik  maupun  stokastik. Model  epidemik  sering  kali  dinyatakan  sebagai  persamaan  diferensial  yang menggambarkan laju pertumbuhan sistem penularan penyakit.
Bernoulli  1760  menunjukkan  bahwa  vaksinasi  cacar  dapat  meningkatkan  harapan hidup di Perancis (Iannelli & Pugliese, 2014). Hamer (1906) mempelajari tentang model epidemik non-linearitas menggunakan model dinamik dalam waktu diskrit, yaitu peluang individu  baru  terinfeksi  pada  fase  berikutnya  sebanding  dengan  jumlah  individu  yang rentan dan terinfeksi saat ini. Ross kemudian mengembangkan model pada tahun 1908 dengan  menggunakan  model  dinamik  waktu  kontinu  (Andessson  &  Britton,  2000). Selanjutnya pada tahun 1911 Ross memperkenalkan model epidemik mengenai “ Simple Epidemic Model ” (Iannelli & Pugliese, 2014). Pada tahun 1927, Kermack dan McKendrick pertama kali menyajikan model epidemik lengkap mengenai penyebaran penyakit menular secara deterministik, sedangkan Kendall memperkenalkan model epidemik stokastik pada tahun 1956 (Britton, 2010).
Model epidemik yang dibahas dalam penelitian ini adalah model epidemik SEIQR ( Susceptible, Exposed, Infected, Quarantined, Recovered). Pada model ini, populasi dibagi ke dalam beberapa subpopulasi, yaitu rentan ( Susceotible), terpapar (Exposed), terinfeksi ( Infected), terinfeksi yang dikarantina (Quarantined), dan sembuh (Recovered). Penelitian sebelumnya  model  SEIQR  dibahas  secara  deterministik  oleh  Youssef et  al.  pada  tahun 2022. Pada penelitian ini, Model SEIQR dikaji secara stokastik dengan pendekatan rantai markov waktu kontinu (CTMC), di mana akan ditentukan peluang transisi, peluang bebas penyakit,  dan  peluang  wabah.  Selanjutnya  dilakukan  simulasi  numerik  untuk  penyakit Covid-19.  Simulasi  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  peningkatan  laju  penularan penyakit Covid-19 terhadap peluang wabah serta waktu bebas penyakit.

## METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan memodifikasi model SEIQR oleh Youssef et al. (2022) menggunakan  model  stokastik  rantai  markov  waktu  kontinu  (CTMC).  Langkah-langkah yang dilakukan adalah
1. Mengadopsi model SEIQR.
2. Menentukan parameter yang akan digunakan dalam model.
3. Menentukan  peluang  transisi,  yaitu  mengubah  model  deterministik  menjadi  model stokastik.
4. Menentukan bilangan reproduksi dasar (ℛ 0 ) dengan the next generation matrix dan nilai  harapan  banyaknya  individu  terinfeksi (𝑚) untuk  menentukan  peluang  wabah melalui proses bercabang berganda.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Model Matematika
Model  matematika  SEIQR  menunjukkan  model  penyebaran  penyakit  dengan karantina.  Model  ini  terdiri  dari  5  subpopulasi,  yaitu  subpopulasi  rentan  ( Susceptible), terpapar (Exposed),  terinfeksi  (Infected),  dikarantina  (Quarantined),  dan  sembuh (Recovered).  Subpopulasi  yang  rentan  adalah  individu  yang  tidak  terkena  penyakit. Subpopulasi  yang  terpapar  adalah  individu  yang  telah  tertular  penyakit  namun  belum mampu  menularkannya.  Subpopulasi  yang  terinfeksi  adalah  individu  yang  tertular penyakit, juga dapat menularkan penyakit. Subpopulasi yang dikarantina adalah individu sakit  yang  melakukan  karantina.  Subpopulasi  yang  sembuh  adalah  individu  yang  telah sembuh dari penyakitnya. Asumsi dari model ini yaitu
1. Setiap  individu  yang  lahir  merupakan  individu  yang  rentan  terhadap  penyakit, sehingga kelahiran pada subpopulasi 𝑆 adalah kelahiran dengan laju 𝜆
2. Individu pada subpopulasi 𝑆 dapat tertular penyakit dari individu pada subpopulasi 𝐼 , sehingga subpopulasi 𝑆 dapat berpindah ke subpopulasi 𝐸 dengan laju 𝛼
3. Individu pada subpopulasi 𝐸 dapat berpindah ke subpopulasi 𝐼, ketika sudah mampu menularkan penykit dengan laju 𝑟
4. Individu pada subpopulai 𝐸 dan 𝐼 dapat berpindah ke subpopulasi 𝑄 jika melakukan karantina dengan laju berturut-turut 𝛽 1 dan 𝛽 2 5. Individu pada subpopulasi 𝐸, 𝐼, ,I, dan 𝑄 berpindah ke subpopulasi 𝑅 ketika sembuh dengan laju berturut-turut adalah 𝜎 3 , 𝜎 2 , dan 𝜎 1 6. Individu pada setiap populasi dapat mengalami kematian alami dengan laju 𝑑 1 dan individu pada subpopulasi 𝐼 dan 𝑄 dapat mengalami kematian akibat penyakit dengan laju 𝑑 2
Diagram kompartemen model SEIQR oleh Youssef et al. (2022) ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram kompartemen model Berdasarkan diagram di atas, diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜆𝑁 − 𝛼 𝑆𝐼 𝑁 − 𝑑 1 𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑆𝐼 𝑁 − 𝑟𝐸 − 𝛽 1 𝐸 − 𝜎 3 𝐸 − 𝑑 1 𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑟𝐸 − 𝛽 2 𝐼 − 𝜎 2 𝐼 − 𝑑 1 𝐼 − 𝑑 2 𝐼 ( 1 )
𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝐸 + 𝛽 2 𝐼 − 𝜎 1 𝑄 − 𝑑 1 𝑄 − 𝑑 2 𝑄 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜎 1 𝑄 + 𝜎 2 𝐼 + 𝜎 3 𝐸 − 𝑑 1 𝑅

## dengan
𝜆
= Laju kelahiran 𝛽 1 = Laju karantina subpopulasi 𝐸 𝛽 2
=
Laju karantina subpopulasi 𝐼 𝑑 1 = Laju kematian alami
𝛼
= Laju penularan penyakit
𝑑 2 = Laju kematian akibat penyakit
𝑟
= Laju perpindahan dari subpopulasi 𝐸 ke subpopulasi 𝐼
𝜎 1 =

## Laju penyembuhan subpopulasi 𝑄
𝑆 𝐸 𝐼 𝑄 𝑅 𝜆𝑁 𝛼 𝑆𝐼 𝑁 𝑑 1 𝑆 𝑟𝐸 𝛽 1 𝐸 𝑑 1 𝐸 (𝑑 1 + 𝑑 2 )𝐼 𝑑 1 𝑅 (𝑑 1 + 𝑑 2 )𝑄
𝜎 2 𝐼 𝜎 1 𝑄 𝜎 3 𝐸
𝜎 3 =
Laju penyembuhan subpopulasi 𝐸 𝑁
=

## Total populasi
Model Stokastik SEIQR dengan Rantai Markov Waktu Kontinu Model stokastik SEIQR dengan rantai markov waktu kontinu dianalisis menggunakan peluang transisi dan peluang wabah. Perubahan total populasi diasumsikan mendekati 0 . Akibatnya,  diasumsikan  nilai 𝑅(𝑡) = 𝑁(𝑡) − 𝑆(𝑡) − 𝐸(𝑡) − 𝐼(𝑡) − 𝑄(𝑡), sehingga  terdapat lima  variabel  yang  terdiri  dari  empat  peubah  acak,  yaitu 𝑆(𝑡) , 𝐸(𝑡) , 𝐼(𝑡) , 𝑄(𝑡) ,  dan  satu peubah yang nilainya dapat ditentukan secara pasti, yaitu R(t). N(t) adalah ukuran total populasi yang diasumsikan konstan sehingga 𝑁(𝑡)   =  𝑁 untuk setiap 𝑡  ≥  0.

## Peluang Transisi
Proses stokastik model ini memenuhi sifat Markov, yaitu proses pada waktu 𝑡 + Δ𝑡 hanya  bergantung  pada  proses  satu  langkah  waktu  sebelumnya,  yaitu  pada  waktu  t. Besarnya waktu Δ𝑡 diasumsikan sangat kecil. Akibatnya perubahan individu 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑄 paling banyak  satu  sepanjang  interval  waktu Δ𝑡. .  Misalkan  pasangan  terurut (𝑆(𝑡), 𝐸(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑄(𝑡)) = (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) dan  ( (𝑆(𝑡 + ∆𝑡), 𝐸(𝑡 + ∆𝑡), 𝐼(𝑡 + ∆𝑡), 𝑄(𝑡 + ∆𝑡)) = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), , di mana 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 0,1,2, … maka perpindahan dari state (𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧) ke state (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) adalah
𝑃 (𝑤,𝑥,𝑦,𝑧),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (𝑡, 𝑡 + ∆𝑡) = 𝑃{𝑆(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑤, 𝐸(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑥, 𝐼(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑦, 𝑄(𝑡 + ∆𝑡)
= 𝑧|(𝑆(𝑡) = 𝑎, 𝐸(𝑡) = 𝑏, 𝐼(𝑡) = 𝑐, 𝑄(𝑡)
= 𝑑)}                                                                                                                         (2)
Peluang transisi yang terjadi sebagai berikut:
1. Peluang bertambahnya individu 𝑆 pada selang waktu ∆𝑡 yaitu:
𝑃 (𝑎+1,𝑏,𝑐,𝑑),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = 𝜆𝑁∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                                      (3)
2. Peluang berkurangnya individu S pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎−1,𝑏+1,𝑐,𝑑),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = (𝛼 𝑆𝐼 𝑁 ) ∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                               (4)
3. Peluang berkurangnya individu S pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎−1,𝑏,𝑐,𝑑),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = 𝑑 1 𝑆∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                                           (5)
4. Peluang berkurangnya individu E yang mengakibatkan bertambahnya individu Q pada
selang waktu ∆𝑡 yaitu:
𝑃 (𝑎,𝑏−1,𝑐,𝑑+1),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = 𝛽 1 𝐸∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                (6)
5. Peluang berkurangnya individu E yang mengakibatkan bertambahnya individu I pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎,𝑏−1,𝑐+1,𝑑),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = 𝑟𝐸∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)            (7)
6. Peluang berkurangnya individu 𝐸 pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎,𝑏−1,𝑐,𝑑),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = (𝑑 1 + 𝜎 3 )𝐸∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                         (8)
7. Peluang berkurangnya individu 𝐼 pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎,𝑏,𝑐−1,𝑑),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝜎 2 )𝐼∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)               (9)
8. Peluang berkurangnya individu I yang mengakibatkan bertambahnya individu 𝑄 pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎,𝑏,𝑐−1,𝑑+1),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = 𝛽 2 𝐼∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                                     (10)
9. Peluang berkurangnya individu 𝑄 pada selang waktu ∆𝑡 , yaitu:
𝑃 (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑−1),(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑) (∆𝑡) = (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝜎 1 )𝑄∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡)                   (11)
10. Peluang transisi selain dari kejadian 1 sampai 9 sebesar (1 − 𝜔)∆𝑡 + 𝑜(∆𝑡), dengan 𝜔 = 𝜆𝑁 + 𝛼 𝑆𝐼 𝑁 + 𝑑 1 𝑆 + 𝛽 1 𝐸 + 𝑟𝐸 + (𝑑 1 + 𝜎 3 )𝐸 + (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝜎 2 )𝐼 + 𝛽 2 𝐼 + (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝜎 1 )                                                                  (12)
Nilai 𝜊(Δ𝑡) menyatakan nilai peluang yang sangat kecil, di mana lim ∆𝑡→0 𝜊(Δ𝑡) ∆𝑡 = 0 =0 (Allen, 2010).

## Peluang Wabah
Wabah akan terjadi ketika jumlah individu yang terinfeksi terus meningkat. Bilangan reproduksi  dasar (ℛ 0 ) dan  nilai  harapan  banyaknya  individu  terinfeksi (𝑚) digunakan sebagai  ambang  batas  dalam  menentukan  terjadinya  wabah.  Keduanya  menunjukkan jumlah  rata-rata  individu  yang  rentan  terinfeksi  karena  satu  individu  terinfeksi.  Secara deterministik, wabah terjadi ketika ℛ 0 > 1, sedangkan secara stokastik wabah terjadi ketika 𝑚 > 1.  ℛ 0 didapatkan dengan metode the next generation matrix. Penentuan ℛ 0 berdasar pada urutan subpopulasi 𝐸 dan 𝐼. . Berdasarkan persamaan (1) didapatkan.
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑆𝐼 𝑁 − 𝑟𝐸 − 𝛽 1 𝐸 − 𝜎 3 𝐸 − 𝑑 1 𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑟𝐸 − 𝛽 2 𝐼 − 𝜎 2 𝐼 − 𝑑 1 𝐼 − 𝑑 2 𝐼 (13)
Kemudian ditentukan matriks 𝓕 dan 𝓥 berdasarkan persamaan di atas
𝓕 = (𝛼 𝑆𝐼 𝑁 0 ) 𝓥 = ( 𝑟𝐸 + 𝛽 1 𝐸 + 𝜎 3 𝐸 + 𝑑 1 𝐸 −𝑟𝐸 + 𝛽 2 𝐼 + 𝜎 2 𝐼 + 𝑑 1 𝐼 + 𝑑 2 𝐼 )
sehingga matriks 𝐹 dan 𝑉 adalah
𝑭 = ( 𝜕ℱ 1 𝜕𝐸 𝜕ℱ 1 𝜕𝐼 𝜕ℱ 2 𝜕𝐸 𝜕ℱ 2 𝜕𝐼 ) , 𝑽 = ( 𝜕𝒱 1 𝜕𝐸 𝜕𝒱 1 𝜕𝐼 𝜕𝒱 2 𝜕𝐸 𝜕𝒱 2 𝜕𝐼 ) 𝑭 = (0 𝛼 𝑆 𝑁 0 0 ) , 𝑽 = ( 𝑟 + 𝛽 1 + 𝜎 3 + 𝑑 1 0 −𝑟 𝛽 2 + 𝜎 2 + 𝑑 1 + 𝑑 2 ).

## The next generation matrix 𝑹 adalah
𝑹 = 𝑭𝑽 −𝟏 = (0 𝛼 𝑆 𝑁 0 0 ) ( 𝑟 + 𝛽 1 + 𝜎 3 + 𝑑 1 0 −𝑟 𝛽 2 + 𝜎 2 + 𝑑 1 + 𝑑 2 ) −1 .
Setelah disubstitusikan dengan titik tetap bebas penyakit dan ditentukan nilai eigen dominan dari matriks 𝑹 didapatkan
ℛ 0 = 𝑟𝛼𝜆 𝑑 1 (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛽 2 + 𝜎 2 )(𝑟 + 𝑑 1 + 𝛽 1 + 𝜎 3 ) .                               (14)
Nilai harapan banyaknya individu terinfeksi (𝑚) diperoleh dengan proses bercabang berganda. Proses bercabang digunakan untuk menentukan peluang bebas penyakit dan peluang wabah dengan fungsi pembangkit peluang (pgf) (Allen & Lahodny, 2012). Pgf dari 𝐸 memberikan nilai awal 𝐸(0) = 1 , dan 𝐼(0) = 0 adalah
𝑓 1 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = (𝛽 1 + 𝑑 1 + 𝜎 3 ) + (𝑟𝑢 2 ) 𝛽 1 + 𝑑 1 + 𝜎 3 + 𝛼 + 𝑟 (15)
dan pgf untuk 𝐼 dengan memberikan nilai awal 𝐸(0) = 0 , dan 𝐼(0) = 1 adalah
𝑓 2 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = (𝜎 2 + 𝛽 2 + 𝑑 1 + 𝑑 2 ) + 𝛼𝑢 1 𝑢 2 𝜎 2 + 𝛽 2 + 𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛼 (16)
Selanjutnya  ditentukan  matriks 𝑴 = [ℎ 𝑗𝑖 ] yang  merupakan  suatu matriks  non negative, dengan elemen ℎ 𝑗𝑖 = 𝜕𝑓 𝑖 𝜕𝑢 𝑗 | 𝑢=1 < ∞ sehingga 𝑴 = ( 0 𝛼 𝜎 2 + 𝛽 2 + 𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛼 𝑟 𝛽 1 + 𝑑 1 + 𝜎 3 + 𝛼 + 𝑟 𝛼 𝜎 2 + 𝛽 2 + 𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛼 ).                              (17)
Kemudian  ditentukan  nilai  eigen  dominan  matriks 𝑴 yang  didefinisikan  sebagai 𝜌(𝑴) = 𝑚 untuk memperoleh peluang bebas suatu penyakit
𝑚 = 𝛼 + √𝛼√(4𝑟 + 𝛼)𝑑 1 + 4𝑟(𝑑 2 + 𝛽 2 + 𝜎 2 ) + 𝛼(5𝑟 + 𝛼 + 𝛽 1 + 𝜎 3 )
√𝑟 + 𝛼 + 𝑑 1 + 𝛽 1 + 𝜎 3 2(𝛼 + 𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛽 2 + 𝜎 2 ) (18)
Terdapat  titik  tetap  dengan  membuat 𝑓 𝑖 (𝑞 1 , 𝑞 2 ) = 𝑞 𝑖 , 𝑖 = 1,2 dan  menyelesaikan 𝑞 𝑖 sehingga diperoleh
𝑞 1 = 1 − 𝛼 𝛼 + 𝑑 1 + 𝛽 1 + 𝜎 3
Dan
𝑞 2 = (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛽 2 + 𝜎 2 )(𝛼 + 𝑑 1 + 𝛽 1 + 𝜎 3 ) 𝛼 2 + (𝑑 1 + 𝑑 2 + 𝛽 2 + 𝜎 2 )(𝛼 + 𝑑 1 + 𝛽 1 + 𝜎 3 )
Jika  diberikan  nilai  awal 𝐸(0) = 𝑒 dan 𝐼(0) = 𝑖, ,  maka  peluang  terjadinya  bebas penyakit adalah
𝑃(𝐼(𝑡) = 0) = { 1,             𝑚 ≤ 1 𝑞 1 𝑒 𝑞 2 𝑖 ,        𝑚 > 1

## dan peluang terjadinya wabah adalah
1 − 𝑃(𝐼(𝑡) = 0) = { 0,                     𝑚 ≤ 1 1 − 𝑞 1 𝑒 𝑞 2 𝑖 ,         𝑚 > 1.

## Simulasi Numerik
Simulasi  dilakukan dengan menerapkan model  dan memilih nilai  parameter  pada penyebaran  Covid-19  menggunakan software  Mathematica  dan  R-Studio.  Hal  yang ditentukan  dalam  simulasi  ini:  (1)  Analisis  penyebaran  Covid-19  berdasarkan  nilai parameter, (2) Pengaruh peningkatan laju transmisi (𝛼). Nilai parameter untuk penyebaran penyakit Covid-19 ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai parameter model SEIQR pada penyebaran penyakit Covid-19
Parameter Nilai Sumber 𝜆 3 × 10 −5 (Hardianti et al., 2022) 𝛽 1 0,02 (Khan & Atangana, 2020) 𝛽 2 0,005 (Van Den Driessche & Watmough, 2002) 𝑑 1 3 × 10 −5 Asumsi 𝛼 6,7 × 10 −5 (Youssef et al., 2022) 𝑑 2 3,5 × 10 −7 (Ud Din et al., 2020) 𝑟 0,02 Asumsi 𝜎 1 0,0015 Asumsi 𝜎 2 0,002 (Hethcote, 2000) 𝜎 3 0,004 Asumsi

## Analisis Penyebaran Covid-19
Total  populasi (𝑁) yang  disimulasikan  sebanyak 10.000 yang  terbagi  ke  dalam beberapa subpopulasi. Nilai awal dari subpopulasi 𝑆(0) = 9.700 , 𝐸(0) = 100 , 𝐼(0) = 50 , 𝑄(0) = 40 , 𝑅(0) = 110. Dinamika populasi pada sistem disajikan pada Gambar 2 di bawah ini.
0 50 100 150 200 250 300 9665 9670 9675 9680 9685 9690 9695 9700 9705 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 In d iv id u In d iv id u Waktu (Hari) S
R

## (a)

## Gambar 2. Dinamika populasi penyebaran Covid-19.
Gambar 2 menunjukkan banyaknya individu terinfeksi (𝐸, 𝐼, 𝑄) akan menuju bebas penyakit (0) dengan berjalannya waktu. Jumlah individu pada subpupulasi rentan (𝑆) akan cenderung  berfluktuasi  kemudian  cenderung  menurun,  individu  pada  subpopulasi sembuh (𝑅) akan terus meningkat. Dinamika individu pada subpopulasi terpapar (𝐸) akan menuju 0 sekitar 216 hari, sedangkan individu pada subpopulasi terinfeksi (𝐼) menuju 0 sekitar 445 hari. Jika kondisi tidak berubah, pada hari ke- 445 tidak ada individu terinfeksi. Hal ini sesuai dengan hasil ℛ 0 , yaitu sebesar 0,00432892 < 1 dan 𝑚 sebesar 0,0703235 < 1 sehingga tidak terdapat peluang wabah.

## Pengaruh Peningkatan Laju Penularan Penyakit (𝛼)
Simulasi ini dilakukkan untuk melihat terjadi atau tidaknya wabah jika laju penularan penyakit meningkat, yaitu besarnya laju penularan meningkat dari 6,7 × 10 −5 menjadi"
" 0,0067 , 0,0201 ,  dan 0,0335 .  Nilai  parameter  yang  lain  sama  seperti  yang ditunjukkan  pada  Tabel  1.  Dinamika  populasi  untuk  perubahan  nilai  parameter 𝛼 ditunjukkan pada Gambar 3.
0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 In d iv id u Waktu (Hari) E I Q
(a) (b)
(c)
Gambar 3. Dinamika subpopulasi terpapar dan terinfeksi (a) 𝛼 = 0,0067 (b) 𝛼 = 0,0201 (c) 𝛼 = 0,0335 .
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 150 300 450 600 750 900 1050 Ind iv idu Waktu (Hari) E I 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 In d iv id u Waktu (Hari) E I 0 50 100 150 200 250 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 In d iv id u Waktu (Hari) E I
Tabel 2. Perubahan nilai α terhadap ℛ 0 , 𝑚, dan peluang wabah
Nilai Parameter ℛ 0 𝑚 Peluang Wabah 0,0067 0,432892 0,745889 0 0,0201 1,29867 0.977289 0 0,0335 2,16446 1,03296 0,99
Tabel 2 menunjukkan bahwa peningkatan α menyebabkan nilai ℛ 0 dan 𝑚 semakin besar. Ketika nilai 𝛼 = 0,0201, nilai R_0>1, namun nilai 𝑚 < 1 sehingga belum terdapat kemungkinan terjadi wabah. Untuk nilai 𝛼 = 0,0335 , didapatkan nilai ℛ 0 > 1 dan 𝑚 > 1 sehingga terdapat kemungkinan terjadi wabah dengan peluang 0,99 .

## SIMPULAN
Pada penelitian ini diperoleh peluang transisi dari model epidemik SEIQR stokastik dengan  pendekatan  rantai  markov  waktu  kontinu.  Model  ini  dapat  digunakan  untuk mengetahui dinamika penyebaran Covid-19. Hasil analisis menunjukkan semakin besar laju penularan  penyakit  akibat  kontak  dengan  individu  dari  subpopulasi  terinfeksi,  maka semakin besar waktu bebas penyakit, bilangan reproduksi dasar (ℛ 0 ), dan nilai harapan banyaknya indvidu terinfeksi (𝑚) yang kemudian berpengaruh pada peluang wabah dalam jangka  panjang. Berdasarkan hasil penelitian  ini, diharapkan dapat melakukan tindakan untuk mencegah penyebaran penyakit Covid-19 seperti mengurangi kontak antar individu yang memungkinkan penyebaran penyakit Covid-19.

## DAFTAR PUSTAKA
Allen, L. J. S. (2010). An introduction to stochastic processes with applications to biology, second edition. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Second Edition, 1 – 461.
Allen, L. J. S., & Lahodny, G. E. (2012). Extinction thresholds in deterministic and stochastic epidemic  models.  Journal  of  Biological  Dynamics,  6(2),  590 – 611. https://doi.org/10.1080/17513758.2012.665502
Andessson,  H.,  &  Britton,  T.  (2000).  Stochastic  Epidemic  Models  and  Their  Statistical Analysis. Springer-Verlag.
Britton, T. (2010). Stochastic epidemic models: A survey. Mathematical Biosciences, 225(1),
24 – 35. https://doi.org/10.1016/j.mbs.2010.01.006
Hardianti, W. T., Sumarno, H., & Sianturi, P. (2022). Sensitivity Analysis of SEIRS Model with
Quarantine on the Spread of Covid-19. JTAM (Jurnal Teori Dan Aplikasi Matematika), 6(4), 1034. https://doi.org/10.31764/jtam.v6i4.9627 Hethcote, H. W. (2000). The Mathematics of Infectious. Society, 42(4), 599 – 653.
Iannelli,  M.,  &  Pugliese,  A.  (2014).  Mathematical  modeling  of  epidemics.  UNITEXT  -  La Matematica per Il 3 Piu 2, 79, 209 – 264. https://doi.org/10.1007/978-3-319-03026-5_8
Khan, M. A., & Atangana, A. (2020). Modeling the dynamics of novel coronavirus (2019- nCov) with fractional derivative. Alexandria Engineering Journal, 59(4), 2379 – 2389. https://doi.org/10.1016/j.aej.2020.02.033
Ud Din, R., Shah, K., Ahmad, I., & Abdeljawad, T. (2020). Study of transmission dynamics of novel COVID-19 by using mathematical model. Advances in Difference Equations, 2020(1). https://doi.org/10.1186/s13662-020-02783-x
Van Den Driessche, P., & Watmough, J. (2002). Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Mathematical Biosciences, 180(1 – 2), 29 – 48. https://doi.org/10.1016/S0025-5564(02)00108-6
Youssef, H. M., Alghamdi, N., Ezzat, M. A., El-Bary, A. A., & Shawky, A. M. (2022). A proposed modified SEIQR epidemic model to analyze the COVID-19 spreading in Saudi Arabia.
Alexandria Engineering Journal, 61(3), 2456 – 2470. https://doi.org/10.1016/j.aej.2021.06.095