## MULTI OBJECTIVE FUZZY LINEAR PROGRAMMING

## M. Meftah Erryshady, Oni Soesanto, M. Ahsar Karim
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani. Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan Email: muse_me23@rocketmail.com

## ABSTRACT
ABSTRACT. Linear programming is a general model that can be used in problem solving the allocation problem of limited resources optimally. The mathematics model of linear programming consists of two  function:  objective function and constraint function. Based on the number of objective functions, linear programming is divided into two types:  Single Objective Linear Programming and Multi-Objective Linear Programming. Multi Objective Linear Programming which  values  are defined in  the scope of fuzzy  is called  Multi Objective Fuzzy Linear Programming. To find the optimal solution of the problem,  firstly it is  divided into a linear program with single objective and solved using the simplex method. This research was carried out by using a literature study. The results of this study indicate that the optimal solution of Multi Objective Fuzzy Linear Programming will be decision variable ( ) x , that are: 1 2 , ,..., n x x x which its values if they are substituted into the constraint function, the results will be consistent with the limits of specified| resources, as well as if they are substituted into the objective function, then it will be obtained the optimal solution of all expected purposes.
Keywords: Linear programming, multi objective linear programming, multi objective fuzzy linear programming.

## 1. PENDAHULUAN
Program linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah mengalokasikan sumber-sumber yang terbatas secara optimal.  Program linier menggunakan model matematis. Sebutan linier berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi- fungsi linier. Dalam program linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan ( objective function ) dan fungsi kendala ( constraint function )[2]. Dalam kehidupan nyata terdapat permasalahan pengambilan keputusan dengan menerapkan program linier  yang mempertimbangkan Multi Objective . Permasalahan yang Multi Objective harus dikombinasikan dalam beberapa cara untuk menjadikannya satu tujuan tunggal, sehingga dapat diselesaikan oleh metode penyelesaian program matematika tujuan tunggal.  Metode Multi Objective Fuzzy Linear Programming bertujuan untuk mencapai beberapa obyektif dengan data-data fuzzy secara bersamaan[3].  Pada umumnya dalam Multi Objective Linear Programming , koefisien (dari fungsi tujuan dan kendala) serta nilai sisi kanan dari kendala diasumsikan sebagai nilai tegas ( crisp ). Pada banyak situasi, asumsi tersebut tidaklah benar-benar valid. Hal ini mungkin dikarenakan koefisien serta nilai tersebut tidak didefinisikan dengan baik diakibatkan kurangnya informasi data atau situasi sumber data yang tidak menentu. Untuk itulah dikenal pendefinisian nilai-nilai dalam ruang lingkup fuzzy .

## 2. METODE PENELITIAN
Adapun prosedur-prosedur yang digunakan dalam penelitian kali ini adalah menentukan  solusi dari Multi Objectives Fuzzy Linear Programming  Problem , dengan menyelesaikan MOFLPP sebagai Linear Programming bertujuan tunggal dengan hanya menggunakan satu fungsi tujuan dan abaikan yang lainnya, mencari solusi optimal dari model Linear Programming ,  dengan menggunakan metode simpleks, menentukan batas atas dan batas bawah untuk tujuan ke- k dari nilai yang diperoleh, menyusun model fuzzy awal dan mengubah model fuzzy menjadi model crisp (program linier konvensional).

## 3. TINJAUAN PUSTAKA 3.1  Teori Himpunan Fuzzy
Himpunan A dikatakan crisp (tegas)  jika sebarang anggota-anggota yang ada pada himpunan A tersebut dikenakan suatu fungsi, maka akan bernilai 1 yakni jika a A ∈ maka fungsi f(a) = 1,  namun jika a A ∉ , maka nilai fungsi yang dikenakan pada a yaitu f ( a ) =  0. Nilai fungsi yang dikenakan pada sebarang anggota himpunan A dikatakan  sebagai nilai keanggotaan. Jika  pada himpunan crisp , hanya mempunyai 2 nilai keanggotaan yaitu 0 dan 1, maka pada himpunan fuzzy , nilai keanggotaan dari anggota-anggotanya tidak hanya 0 dan 1 saja  tapi berada pada interval tertutup [0,1]. Dengan kata lain himpunan A dikatakan fuzzy apabila fungsi : [0,1] A → [5].

## Definisi 3.1 [9]
Jika X merupakan himpunan semesta, maka himpunan fuzzy Ã  subset  dari X didefinisikan dengan fungsi keanggotaan:
[ ] : 0,1 Ã X µ →
dimana untuk setiap x X ∈ dan [ ] ( )  0,1 Ã x µ ∈ menyatakan derajat keanggotaan dari x pada Ã.

## 3.2  Triangular Fuzzy Number (TFN) Definisi 3.2 [1]
Triangular Fuzzy Number kiri yaitu
1 2 2 ( , , ) Ã a a a = dengan ketentuan 2 1 a a >
dapat diinterpretasikan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
1 2 x a ≥ [ ] A x µ = 1 2 1 ( ) ( ) x a a a − − 1 2 a x a < < ... (2)
0 1 x a ≤

## Definisi 3.3 [1]
Triangular Fuzzy Number kanan yaitu
2 2 3 ( , , ) Ã a a a = dengan ketentuan 3 2 a a > dapat diinterpretasikan dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
1 2 x a ≤ [ ] A x µ = 3 3 2 ( ) ( ) a x a a − − 2 3 a x a < < ... (3) 0 3 x a ≥

## 3.3  Fuzzy Linear Programming
Konsep dasar dari linear programing problem dapat  dituliskan sebagai berikut: Maksimalkan z = cx Fungsi kendala Ax ≤ b x 0 ≥ dengan:
c 1 2 , n c c c       =        x 1 2 , n x x x       =        A 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a a a a    
  =              b 1 2 . m b b b       =        ... ( 4)
Dalam model ini diasumsikan bahwa semua  elemen matriks A , b , dan c adalah bilangan riil ( crisp ).
Pada Fuzzy Linear Programming , akan dicari suatu nilai z yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan  himpunan fuzzy . Oleh karena itu, dimungkinkan beberapa koefisien dari masalah dalam fungsi tujuan ( c ), koefisien sisi kiri fungsi kendala ( A ) atau koefisien sisi kanan fungsi kendala ( b ) berupa bilangan fuzzy . Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimalkan z cx = 
Fungsi kendala
Ax b ≤   x 0 ≥ dimana:
1 2 , n c c c c       =            x 1 2 , n x x x       =        11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a    
  =                        1 2 . m b b b b       =              ... (5)

## 3.4  Multi Objective Linear Programming
Permasalahan yang mengharuskan untuk mengoptimalkan beberapa fungsi tujuan linier secara bersamaan berdasarkan sejumlah kendala linier yang diberikan disebut Multi Objective Linear Programming Problem dan dapat digeneralisasikan sebagai berikut:
Maksimalkan: 1 1 1 1 11 1 12 2 1 2 2 2 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n r r r r m m mn n z x c x c x c x z x c x c x c x
z x c x c x c x  = + + +  = + + +     = + + +     
... (6)
Fungsi kendala A x ≤ b dengan 0 x ≥ dimana:
z 1 2 , r z z z       =        c k 1 1 1 11 12 1 2 2 2 21 22 2 1 2 , n n r r r m m mn c c c c c c c c c    
  =               x 1 2 n x x x       =        A 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a a a a    
  =  
           b 1 2 . m b b b       =       
dengan z adalah vektor kolom berdimensi m , c k adalah matriks berukuran m n × , x adalah vektor kolom berdimensi n , A adalah matriks berukuran m n × , dan b adalah vektor kolom berdimensi m .

## 3.5  Multi Objective Fuzzy Linear Programming
Berbeda dengan konsep dasar linear programing problem , untuk membantu pembuat keputusan agar benar-benar mampu mengoptimalkan fungsi tujuan dan memenuhi kendala yaitu dengan mempertimbangkan ketidaktepatan atau ketidakjelasan dari pembuat keputusan. Dengan kata lain, merubah linear programing problem ke dalam bentuk fuzzy berikut: c k x  z l ; Ax  b dimana x 0 ≥
Simbol  “  “  menunjukkan versi fuzzy dari  “ ≤ “  dan memiliki interpretasi linguistik ”pada dasarnya lebih kecil dari atau sama dengan”. Simbol “  “ menunjukkan versi fuzzy dari  “ ≥ “  dan memiliki interpretasi linguistik ”pada dasarnya lebih besar dari atau sama dengan”.
Fungsi objektif dan fungsi kendala akan simetris apabila diubah ke dalam bentuk sebagai berikut:
- c k x  - z l ;  Ax  b dimana x 0 ≥
dengan 1 1 1 11 12 1 2 2 2 21 22 2 1 2 , n n k r r r m m mn c c c c c c c c c c   − − −   − − −  
− =    
− − −           dan 1, 2,.., k r = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a    
  =      
      , 1 2 n x x x x       =        , 1 2 l l l k l r z z z z   −   −   − =     −     
dimana l k z − adalah batas bawah dari fungsi tujuan z .
1 2 , m b b b b       =        0 1 0 0 2 0 i m b b b b       =          misal: 1 1 1 11 12 1 2 2 2 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 n n r r r m m mn n n m m mn c c c c c c
c c c B
a a a a a a a a a               = − − − − − − − − − −                             1 2 1 2 ' l l l r m z z z b b b b   −   −  
 
  −     = − − −    
     
      ...(7) sehingga: , ' l k c z B b A b −   −   = =         , dengan B dan ' b adalah matriks sekat.
Untuk 1 1 1 11 12 1 2 2 2 21 22 2 1 1 2 2 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n r r r m m mn n n n m m mn c c c c c c
x c c c x Bx a a a x a a a a a a  
                  = − − − − − − − − − −                                    1 1 1 11 1 12 2 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n r r r m m mn n n n n n m m mn n c x c x c x c x c x c x c x c x c x a x a x a x a x a x a x a x a x a x   − − − −   − − − −    
  − − − −  
  = − − − − − − − − − − − − − −   + + +    
+ + +     
 + + +             , ...(8)
dengan kata lain Bx adalah matrik sekat, yaitu: k c x Bx Ax   =    
sehingga dari (7) dan (8) dapat dinyatakan sebagai berikut:
' 0 Bx b x ≥  . (9)
Untuk memperbaiki ketimpangan pertidaksamaan fuzzy ( ) ' i i Bx b  , untuk
1, 2, , i m =  ,  dari  pengambilan keputusan ( Decision Maker )  pertidaksamaan
fuzzy ' Bx b  , dapat menggunakan fungsi keanggotaan linear berikut:
1 ;  ( ) ' i i Bx b ≤ (( ) ) i i Bx µ = 0 ( ) ' 1 i i i Bx b b − − ; 0 ' ( ) ' i i i i b Bx b b < < + 0 ; 0 ( ) ' i i i Bx b b ≥ + (( ) ) i i Bx µ
dapat digambarkan sebagai derajat dimana  ( ) i Bx memenuhi pertidaksamaan fuzzy ( ) ' i i Bx b  (dimana  ( ) i Bx menunjukkan baris ke- i dari Bx dan  ' i b menunjukkan baris ke- i dari ' b , dengan i = 1,2,.., m ) (Supriyanto, 2011). di  mana untuk setiap 0 i b adalah  konstanta  untuk mengekspresikan toleransi yang dapat diterima dari ketimpangan pertidaksamaan ke- i . Diasumsikan bahwa fungsi keanggotaan ke- i harus 1 jika  ( ) ' i i Bx b  , 0 jika 0 ( ) ' i i i Bx b b +  , dan antara 0 dan
1 jika 0 ' ( ) ' i i i i b Bx b b < ≤ + .
Mengacu pada aturan fuzzy decision (Supriyanto, 2011),  fungsi keanggotaan himpunan fuzzy untuk (9) adalah
{ } 0, , min (( ) ) i i i m Bx µ =  yaitu nilai terkecil (minimal) dari nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi keanggotaan  ( ) i Bx . Menemukan keputusan maksimum adalah untuk memilih * x
sedemikian sehingga.
{ } 0, , 0 ( *) max min (( ) ) D i i i m x x Bx µ µ = ≥ =  0 0, , 0 ( ) ' ( *) max min 1 i i D i m x i Bx b x b µ = ≥   − = −      0 0 0 0, , 0 ( ) ' ( *) max min i i i D i m x i i b Bx b x b b µ = ≥   − = −      0 0 0, , 0 ( ) ' ( *) max min i i i D i m x i b Bx b x b µ = ≥   − + =     
Dengan memperkenalkan variabel tambahan λ , dengan min{ (( ) )} i i Bx λ µ = ,
dimana λ sesuai dasarnya dengan derajat keanggotaan x dalam keputusan himpunan fuzzy [10]  . λ merupakan variabel ukuran ( measuring variable ) yang sesuai dengan fungsi keanggotaan dari keputusan fuzzy ( fuzzy decision ) , yang mencerminkan tingkat aspirasi/pemenuhan tujuan untuk sebuah sistem [3], permasalahan ini dapat diubah ke dalam bentuk pemrograman linier konvensional berikut:
maksimalkan
z λ =
Fungsi kendala 0
0 ( ) ' i i i i b Bx b b λ − + ≤ 0 0 ( ) ' i i i i b b Bx b λ ≤ − + 0 0 ( ) ' i i i i b Bx b b λ + ≤ +
0 x ≥
Multi Objective Fuzzy Linear Programming Problem (MOFLPP) secara garis besar menurut Jana & Roy (2004) dapat dibagi menjadi 2 macam, yaitu MOFLPP dengan nilai kanan pada fungsi kendala merupakan bilangan fuzzy dan MOFLPP dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy dan fungsi kendala fuzzy . Dalam tugas akhir ini hanya akan dibahas Multi Objective Fuzzy Linear Programming Problem dengan nilai kanan pada fungsi kendala merupakan bilangan fuzzy .

## 3.6  Multi Objective Linear Programming Problem (MOLPP) dengan Kendala
fuzzy
Multi Objective Linear Programming Problem dengan kendala campuran secara umum dapat ditulis sebagai berikut:
Maksimalkan
1 , n k k j j j z c x = = ∑ ... (10) Fungsi kendala 1 , 1, 2,..., n ij j i j a x b i m = ≥ = ∑ 1 2 , ,..., 0 n x x x ≥
Ketika  nilai kanan dari fungsi kendala  adalah Triangular Fuzzy Number (TFN) maka (10) menjadi:
Maksimalkan
1 n k k j j j z c x = = ∑ ... (11) Fungsi kendala 1 , 1, 2,..., n ij j i j a x b i m = = ∑   1 2 , ,..., 0 n x x x ≥
Akan berlaku beberapa asumsi sebagai berikut:
TFN kanan 0 ( , , ) i i i i i b b b b b = +  dengan toleransi 0 i b dimana 0 ( 0) i b > untuk 1 ; 1, 2,..., n ij j i j a x b i m
= = ∑  
Sehingga (10) yang telah dilengkapi dengan toleransi dapat dituliskan sebagai berikut:
Maksimalkan
1 , n k k j j j z c x = = ∑ 1, 2, , k r =  ... (12)
Fungsi kendala 0 1 , 1, 2,..., n ij j i i j a x b b i m
= + = ∑  1 2 , , , 0 n x x x ≥ 
(Jana & Roy, 2004)

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Permasalahan pengambilan keputusan yang berbentuk program linier bertujuan ganda atau Multi Objective Linear Programming secara umum dapat diformulasikan seperti pada persamaan (10) yaitu sebagai berikut:
Maksimalkan 1 , n k k j j j z c x = = ∑ 1, 2, , k r =  Fungsi kendala 1 n ij j i j a x b = ≤ ∑ 1 2 , , , 0, 1, 2,..., n x x x i m ≥ = 
dengan koefisien a , b , dan c merupakan bilangan crisp atau tegas. Dengan kata lain data-data yang akan dimasukkan dalam persamaan haruslah angka yang valid sehingga tidak menimbulkan kesalahan dalam perhitungan dan menghasilkan solusi dari pengambilan keputusan yang optimal.
Mengganti bilangan crisp atau tegas menjadi bilangan fuzzy (dalam hal ini adalah Triangular Fuzzy Number ) merupakan sebuah solusi mengatasi ketidakakuratan data tersebut. Merubah bilangan crisp atau tegas menjadi bilangan fuzzy dalam hal ini adalah menambahkan toleransi pada bilangan tersebut sehingga menjadi nilai keanggotaan segitiga fuzzy (Triangular Fuzzy Number) . Permasalahan Multi Objective Linear Programming dengan koefisien fuzzy disebut juga Multi Objective Fuzzy Linear Programming Problem (MOFLPP). Multi Objective Fuzzy Linear Programming Problem (MOFLPP) dengan nilai kanan pada fungsi kendala merupakan bilangan fuzzy dapat dicari solusi optimalnya dengan terlebih dahulu menyelesaikannya sebagai Linear Programming konvensional bertujuan tunggal.

## 4.1 Multi Objective Fuzzy Linear Programming Problem Dengan Nilai Kanan Pada Fungsi Kendala Merupakan Bilangan Fuzzy
Rincian langkah-langkah  untuk mencari solusi dari MOFLPP adalah sebagai berikut:
Algoritma Langkah 1 .  menyelesaikan MOFLPP  sebagai Linear Programming bertujuan tunggal dengan hanya menggunakan satu fungsi tujuan dan abaikan yang lainnya. Maksimalkan:
1 1 1 1 11 1 12 2 1 n n z c x c x c x = + + +  Maksimalkan: 2 2
2 2 21 1 22 2 2 n n z c x c x c x = + + +  Fungsi Kendala: 11 1 12 2 1 1 n n a x a x a x b + + +    21 1 22 2 2 2 n n a x a x a x b + + +        1 1 2 2 m m mn n m a x a x a x b + + +   
1 2 , , , 0 n x x x ≥ 
dengan 0 1 1 1 1 1 ( , , ) b b b b b = +  0 ( , , ) m m m m m b b b b b = +  0 2 2 2 2 2 ( , , ) b b b b b = + 
Untuk bisa dicari solusinya terlebih dahulu MOFLPP akan diuraikan menjadi Linear Programming bertujuan tunggal, yaitu sebagai berikut:
Maksimalkan: 1 1
1 1 11 1 12 2 1 n n z c x c x c x = + + +  Fungsi Kendala: 11 1 12 2 1 1 n n a x a x a x b + + + ≤  21 1 22 2 2 2
n n a x a x a x b + + + ≤      1 1 2 2 m m mn n m a x a x a x b + + + ≤  1 2 , , , 0 n x x x ≥  Maksimalkan: 1 1 1 1 11 1 12 2 1 n n z c x c x c x = + + +  Fungsi Kendala:
0 11 1 12 2 1 1 1 n n a x a x a x b b + + + ≤ +  0 21 1 22 2 2 2 2 n n
a x a x a x b b + + + ≤ +      0 1 1 2 2 m m mn n m m a x a x a x b b + + + ≤ +  1 2 , , , 0 n x x x ≥  Maksimalkan: 2 2
2 2 21 1 22 2 2 n n z c x c x c x = + + +  Fungsi Kendala: 11 1 12 2 1 1 n n a x a x a x b + + + ≤  21 1 22 2 2 2 n n a x a x a x b + + + ≤      1 1 2 2 m m mn n m a x a x a x b + + + ≤  1 2 , , , 0 n x x x ≥  Maksimalkan: 2 2
2 2 21 1 22 2 2 n n z c x c x
c x = + + +  Fungsi Kendala: 0 11 1 12 2 1 1 1 n n a x a x a x b b + + + ≤ +  0 21 1 22 2 2 2 2 n n
a x a x a x b b + + + ≤ +      0 1 1 2 2 m m mn n m m a x a x a x b b + + + ≤ +  1 2 , , , 0 n x x x ≥ 
Langkah 2 .  mencari solusi optimal dari model Linear Programming menggunakan metode simpleks.
Langkah 3 . menentukan batas atas dan batas bawah untuk tujuan ke- k dari nilai yang diperoleh pada langkah 2.
l k z = min . . . 1 2 { ( , , , )} k s k s k s k n z x x x  dengan 1, 2 s = u k z = maks . . . 1 2 { ( , , , )} k s k s k s k n z x x x  dengan 1, 2 s =
Langkah 4 . menyusun model fuzzy awal.
1 1 1 11 1 12 2 1 1 l n n c x c x c x z − − − − −   2 2 2 21 1 22 2 2 2 l n n c x c x
c x z − − − − −      
1 1 2 2 k k k l m m mn n k c x c x c x z − − − − −   11 1 12 2 1 1 n n a x a x a x b + + +   21 1 22 2 2 2 n n a x a x a x b + + +       1 1 2 2 m m mn n m a x a x a x b + + +   1 2 , , , 0 n x x x ≥ 
Langkah  5 .  mengubah model fuzzy menjadi model crisp (program linier konvensional). Maksimalkan
z λ =
Fungsi kendala 1 1
1 11 1 12 2 1 1 1 1 ( ) u l u n n c x c x c x z z z λ + + + + − ≤  2 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 ( ) u l u n n c x c x c x z z z λ + + + + − ≤      1 1 2 2 ( ) k k k u l u m m mn n k k k c x c x c x z z z λ + + + + − ≤  0 0 11 1 12 2 1 1 1 1 n n a x a x a x b b b λ + + + + ≥ +  0 0 21 1 22 2 2 2 2 2 n n a x a x a x b b b λ + + + + ≤ +      0 0 1 1 2 2 m m mn n m m m a x a x a x b b b λ + + + + ≤ +  1 2 0 1, , , , 0. n x x x λ ≤ ≤ ≥  4.2 Contoh Permasalahan Minimalkan 1 1 2 3 4 3500 40000 5800 4000 z x x x x = + + + Minimalkan 2 1 2 3 4 24.46 7.95 1.8 30.4 z x x x x = + + + Kendala 1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 (20, 60, 60), x x x x + + +  1 2 3 4
12.15 0.42 15.38 9.44 (4,18,18), x x x x + + +  1 2 4 28.62 13.12 23.77 (20,30,30), x x x + +  1 2 3 4 , , , 0; x x x x ≥
Langkah 1 . mencari solusi dari permasalahan di atas. Pertama-tama permasalahan dipecah menjadi 4 sub permasalahan, yaitu sebagai berikut:
Minimalkan 11 1 2 3 4 3500 40000 5800 4000 z x x x x = + + + Kendala 1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 60, x x x x + + + ≥ 1 2 3 4 12.15 0.42 15.38 9.44 18, x x x x + + + ≥ 1 2 4
28.62 13.12 23.77 30, x x x + + ≥ 1 2 3 4 , , , 0; x x x x ≥
Minimalkan 12 1 2 3 4 3500 40000 5800 4000 z x x x x = + + +
Kendala 1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 20, x x x x + + + ≥ 1 2 3 4 12.15 0.42 15.38 9.44 4, x x x x + + + ≥ 1 2 4 28.62 13.12 23.77 20, x x x + + ≥ 1 2 3 4 , , , 0; x x x x ≥ Minimalkan 21 1 2 3 4 24.46 7.95 1.8 30.4 z x x x x = + + + Kendala 1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 60, x x x x + + + ≥ 1 2 3 4 12.15 0.42 15.38 9.44 18, x x x x + + + ≥ 1 2 4 28.62 13.12 23.77 30, x x x + + ≥ 1 2 3 4 , , , 0; x x x x ≥
Minimalkan 22 1 2 3 4 24.46 7.95 1.8 30.4 z x x x x = + + + Kendala 1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 20, x x x x + + + ≥ 1 2 3 4 12.15 0.42 15.38 9.44 4, x x x x + + + ≥ 1 2 4 28.62 13.12 23.77 20, x x x + + ≥ 1 2 3 4 , , , 0; x x x x ≥
Langkah 2 . mencari solusi optimal dari sub permasalahan.  Dari perhitungan dengan menggunakan simpleks diperoleh hasil perhitungan sub permasalahan, yaitu sebagai berikut: sub permasalahan (12)
1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1 2 3 4 1.1 ( , , , ) (0; 0; 0;3.5108), ( ) 14043.3, x x x x x z x = = = sub permasalahan (13) 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1 2 3 4 1.2 ( , , , ) (0; 0; 0;1.1703), ( ) 4681.1, x x x x x z x = = = sub permasalahan (14) 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 1 2 3 4 2.1 ( , , , ) (0; 2.2866;1.1079; 0), ( ) 20.17, x x x x x z x = = = sub permasalahan (15) 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 1 2 3 4 2.2 ( , , , ) (0;1.5244; 0.2184; 0), ( ) 12.51, x x x x x z x = = =
Langkah 3 . Mencari nilai batas atas  ( ) u k z dan batas bawah  ( ) l k z dari fungsi objektif ke-4 sub permasalahan pada langkah 2.
{ } 1.1 1.2 2.1 2.2 1 1 1 1 1
min ( ), ( ), ( ), ( ) l z z x z x z x z x =
min{14043.3; 4681.1;97889.82; 62242.72} 4681.1 = = { } 1.1 1.2 2.1 2.2
1 1 1 1 1
max ( ), ( ), ( ), ( ) u z z x z x z x z x =
max{14043.3; 4681.1;97889.82; 62242.72} 97889.82 = = { } 1.1 1.2 2.1 2.2
2 2 2 2 2
min ( ), ( ), ( ), ( ) l z z x z x z x z x =
min{106.7283;35.57712; 20.17269;12.51} 12.51
= = { } 1.1 1.2 2.1 2.2
2 2 2 2 2 max ( ), ( ), ( ), ( ) u z z x z x z x z x = max{106.7283;35.57712; 20.17269;12.51} 106.7283 = =
Langkah 4 . menyusun model fuzzy awal:
1 2 3 4 3500 40000 5800 4000 97889.82 x x x x + + +  1 2 3 4 24.46 7.95 1.8 30.4 106.7283 x x x x + + +  1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 20, x x x x + + +  1 2 3 4 12.15 0.42 15.38 9.44 4, x x x x + + +  1 2 4 28.62 13.12 23.77 20, x x x + +  1 2 3 4 , , , 0; x x x x ≥
Langkah 5 .  mengubah model fuzzy menjadi model crisp (program linier konvensional) yang dirumuskan sebagai berikut:
Maksimalkan z λ = Fungsi Kendala 1 2 3 4 3500 40000 5800 4000 93208.72 97889.82 x x x x λ + + + + ≤ 1 2 3 4
24.46 7.95 1.8 30.4 94.2183 106.7283 x x x x λ + + + + ≤ 1 2 3 4 11.35 71.45 22.65 17.09 40 60, x x x x λ + + + + ≥ 1 2 3 4 12.15 0.42 15.38 9.44 14 18, x x x x λ + + + + ≥ 1 2 4
28.62 13.12 23.77 10 30, x x x λ + + + ≥ 1 2 3 4 , , , 0 x x x x ≥
Model Linear Programming di atas dapat dicari solusi optimalnya dengan menggunakan metode simpleks.

## 5. KESIMPULAN
Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa untuk mencari solusi  dari Multi Objective Fuzzy Linear Programming Problem (MOLPP) dengan kendala fuzzy terlebih dahulu akan diselesaikan sebagai Linear Programming bertujuan tunggal. Dari solusi-solusi fungsi tujuan yang diperoleh kemudian dapat ditentukan nilai batas atas dan batas bawah. Nilai batas atas dan batas bawah ini sebagai acuan untuk menyusun model fuzzy awal. Model fuzzy selanjutnya akan dirubah menjadi model crisp (program linier konvensional) dan dengan metode simplek dapat dicari solusi optimalnya. Dari contoh permasalahan dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan Multi Objective Fuzzy Linear Programming dapat dicari solusi optimal dari beberapa fungsi tujuan sekaligus. Solusi optimal dalam hal ini adalah diperolehnya nilai-nilai variabel keputusan yaitu 1 2 3 , , ,..., n x x x x yang jika disubstitusikan ke dalam fungsi kendala hasilnya sesuai dengan batasan jumlah sumber daya yang ditetapkan, sekaligus apabila di substitusikan ke dalam fungsi tujuan hasilnya akan diperoleh solusi paling optimal untuk tujuan-tujuan yang diharapkan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Eghbali, et. al., 2012. Optimizing human diet problem based on price and taste using multi-objective fuzzy linear programming approach. International Journal of Optimization and Control: Theories & Applications.
[2]. Jana. B. dan Roy, Tapan Kumar. 2004. Multi-Objective Fuzzy Linear Programming and Its Application in Transportation Model .  Deemed University. India.
[3]. Kahraman, Cengiz. 2008. Fuzzy Multi-Criteria Decision Making Theory and Applications . Turki. Springer.
[4]. Kusumadewi. S. dan Purnomo, Hari. 2004. Aplikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung Keputusan . Yogyakarta: Graha Ilmu.
[5]. Sahuri, A.  2007. Menyelesaikan Model Masalah Diet Dengan  Metode Grafik Dan Metode Simpleks . Universitas Islam Negeri Malang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Malang.
[6]. Sipayung, E. T., 2011. Aplikasi  Multi Objective Fuzzy Linear Programming  Dalam Masalah Perencanaan Persediaan Produksi . Universitas Sumatera Utara Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Medan.
[7]. Supriyanto. 2011. Fuzzy Multi-Objective Linear Programming and Simulation  Approach to the Development of Valid and Realistic Master Production Schedule . Universität Duisburg-Essen.
[8]. Winston, L. W. 1994. Operation Research: Applications and Algorithms . Indiana University. Duxbury Press.
[9]. Zadeh, L.A. 1978. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy sets and systems , 1, 3-28.