Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 12 No. 1, Juni 2020, hal. 35-46 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422
STRUKTUR OPERATOR
dan

## PADA RING FUZZY INTUITIONISTIK

## Dian Pratama
Universitas Nahdlatul Ulama Purwokerto
d.pratama@unupurwokerto.ac.id
ABSTRACT . Intuitionistic fuzzy sets is a sets that are characterized by membership and non-membership  function  which    sum  is  less  than  one.  If  applied  to  ring  theory,  it  will called  intuitionistic  fuzzy  rings.  The  fuzzy  set  operator  is  a  mapping  between  the membership  function  and  the  interval  [0,1].  In  this  study,  we  describe  properties  of operator and in  intuitionistic  fuzzy  rings.  The  properties  to  be  studied  is  the structure of
and if is an intuitive fuzzy ring.
Keywords : intuitionistic fuzzy ring, fuzzy operator, operator and
ABSTRAK. Himpunan  fuzzy  intuitionistik  merupakan  suatu  himpunan  yang  ditandai oleh  dengan  adanya  fungsi  keanggotaan  dan  non  keanggotaan  yang  jumlahnya  kurang dari  satu.  Apabila  diaplikasikan  pada  teori  ring,  maka  memunculkan  ring  fuzzy intuitionistik.  Operator  himpunan  fuzzy  merupakan  suatu  pengaitan  antara  fungsi keanggotaan  dengan  interval  [0,1]  Pada  penelitian  ini,  akan  dikaji  mengenai  sifat  dari operator dan pada  ring  fuzzy  intuitionistik.  Sifat  yang  akan  dikaji  adalah struktur dari dan apabila A suatu ring fuzzy intuitionistik.
Kata Kunci : ring fuzzy intuitionistik, operator fuzzy, operator dan

## 1. PENDAHULUAN
Teori  himpunan  fuzzy  (Zadeh,1965)  merupakan  himpunan  yang  ditandai dengan  adanya  fungsi  keanggotaan  pada  setiap  anggota.  Fungsi  keanggotaan tersebut adalah pengaitan suatu domain ke interval ,   - . Himpunan fuzzy dari bisa dikatakan suatu pasangan terurut dengan bilangan riil pada interval ,   - dan selanjutnya dinamakan subset fuzzy. Konsep fuzzy dikembangkan ke bidang aljabar oleh Rosenfeld (1971) yaitu grup fuzzy (subgrup fuzzy).
Himpunan  fuzzy  mengalami  perluasan  untuk  sifat  fungsi  keanggotaan. Didasari  dengan  adanya  fungsi  non-keanggotaan  (komplemen  dari  fungsi keanggotaan)  yang  sifat  dari  penjumlahan  dari  fungsi  keanggotan  dan  non keanggotaan  yang  kurang  dari  sama  dengan  1.  Hal  tersebut  dapat  diperluas
dengan  adanya fungsi  non-keanggotaan  yang apabila dijumlahkan  dengan fungsi keanggotaan  bernilai  kurang  dari  sama  dengan  1.  Himpunan  tersebut  dinamakan himpunan fuzzy intuitionistik (Atanassov,1986).
Beberapa  penelitian  mendasari  himpunan  fuzzy  intuitioinistik  ini  dan membawa  pada  struktur  aljabar  seperti  Sharma  (2011)  mengenalkan  grup  fuzzy intuitionistik  dan  ring  fuzzy  intuitionistik.  Pada  tahun  1993,  Souriar mendefinisikan operator pada himpunan fuzzy. Operator adalah suatu fungsi yang memasangkan fungsi keanggotaan ke [0,1]. Pada penelitian sebelumnya (Pratama, 2019)  operator  yang  digunakan  adalah  operator  translasi.  Mengingat  operator sebagai fungsi, maka memunculkan ide untuk bentuk opertor lain pada himpunan fuzzy . Pada penelitian ini didefinisikan bentuk operator lain dari suatu himpunan intuitionistik fuzzy yaitu dan . Selanjutnya opertor tersebut akan di aplikasikan pada ring fuzzy intuitionistik dan akan dikaji sifat-sifat nya.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  dilakukan  adalah  studi  literatur  dari  buku  dan  jurnal  ilmiah terutama  yang  berhubungan  dengan  ring  fuzzy  intuitionistik,  dan  operator dan . Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian yaitu :
1) Mendefinisikan ring fuzzy intuitionistik beserta sifat-sifat yang mendukung.
2) Mendefinisikan operator dan pada himpunan fuzzy intuitionistik.
3) Membuktikan struktur himpunan dari operator dan pada ring fuzzy intuitionistik.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Ring Fuzzy Intuitionistik.
Sebagai  awal  pembahasan,  akan  diberikan  terlebih  dahulu  mengenai himpunan fuzzy intuitionistik dan ring fuzzy intuitionistik sebagai berikut,
Definisi  3.1.1  (Atanassov,  1984) Diberikan ,  himpunan  A  disebut himpunan  fuzzy  intuitionistik  dari dan  ditulis *〈 ( ) ( )〉         + dengan  ketentuan ,   - dan ,   - masing-masing  sebagai
fungsi  keanggotaan  dan  fungsi  non-keanggotaan  dari yang  memenuhi
( ) ( ) dan dinotasikan ( ) .
Untuk  selanjutnya  himpunan  fuzzy  intuitionistik  disebut  sebagai  subset fuzzy intuitionistik dan ditulis SFI . Berikut diberikan beberapa sifat subset fuzzy intuitionistik, didefinisikan *〈 ( ) ( )〉         + dan *〈 ( ) ( )〉         + merupakan SFI dari . Untuk setiap berlaku :
1. jika dan hanya jika ( ) ( ) dan ( ) ( ) .
2. {〈 ( ) ( )〉         } dengan ( ) ( ) dan ( ) ( ) .
3. *〈   ( )  ( )〉          + dengan ( )( ) * ( ) ( )+ dan ( )( )      * ( ) ( )+ .
4. *〈   ( )  ( )〉        + dengan, ( )( )
* ( ) ( )+ dan ( )( )      * ( ) ( )+ .
Apabila himpunan mempunyai struktur ring, maka fungsi keanggotaan dan non- keanggotaan  tersebut  tidak  selalu  berlaku  untuk  sifat  ring  tersebut.  Perlu  adanya syarat-syarat  untuk  fungsi  keanggotaan  dan  non-keanggotaan  supaya  esensi  dari struktur ring tetap terbukti. Hal tersebut menimbulkan struktur baru yang disebut ring fuzzy intuitionistik.
Definisi  3.1.2  (Sharma,  2011) Diberikan  ring (      ) dan  SFI  A  dari . Himpunan ( ) disebut subring fuzzy intuitionistik dari jika dan hanya jika untuk setiap berlaku :
i) (     )      * ( ) ( )+ dan (     )      * ( ) ( )+ . ii) (  )      * ( ) ( )+ dan (  )      * ( ) ( )+ .
Untuk  selanjutnya,  ring (   ) cukup  ditulis dan  subring  fuzzy  intuitionistik cukup ditulis sebagai SRFI . Secara  umum,  ring  fuzzy  intuitionistik  merupakan bentuk  umum  dari  struktur  ring.  Selanjutnya  akan  diberikan  operator dan pada SFI dan SRFI .

## 3.2 Operator pada Ring Fuzzy Intuitionistik
Pada penelitian sebelumnya, diberikan definisi SRFI dan selanjutnya akan diberikan definisi beberapa operator pada SFI .
Definisi  3.2.1  (Souriar,  1993) Diberikan ,  dan ( ) SFI  dari . Ddefiniskan operator dan sebagai berikut : {〈 ( ) ( ) 〉         }
{〈 ( ) ( ) 〉         }
Untuk mempermudah penulisan, . ( ) ( )/ demikian pula untuk
yang lainnya . ( ) ( )/ . Pada sebarang SFI A dari X dan operator
dan maka , . ( ) ( )/ dengan  sifat ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga juga
merupakan SFI dari X. Demikian  pula  untuk . ( ) ( )/ yang merupakan SFI dari X. Akan tetapi, jika diberikan sebarang SRFI A maka struktur dari dan
akan diberikan pada teorema berikut,
Teorema  3.2.2  (Sharma, 2011) Jika SRFI dari ring maka merupakan SRFI dari ring untuk setiap ,   - .
Bukti:
Diberikan adalah SRFI dari  ring R dan ,   - .  Ambil  sebarang ,
sehingga ( )   . ( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+
{ ( ) ( ) } { ( ) ( )} (1) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )    + { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (2)
Di lain pihak, ( )   . ( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (3) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )    + { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (4)
Dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) terbukti bahwa merupakan SRFI dari . ∎
Pembuktian selanjutnya adalah untuk sebagai berikut,
Teorema 3.2.3  (Sharma, 2011) Jika SRFI dari ring maka merupakan SRFI dari ring untuk setiap ,   - .
Bukti:
Diberikan adalah SRFI dari  ring R dan ,   - .  Ambil  sebarang , sehingga ( )   . ( ) ( )/
( ) ( )
( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )    + { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (5) ( ) ( )
( ) * ( ) ( )+ { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (6)
Dilain pihak, ( )   . ( ) ( )/ ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+ * ( ) ( )    + { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (7) ( ) ( )
Ring Fuzzy Intuitionistik                                                                                                    41
( ) * ( ) ( )+ { ( ) ( ) } { ( ) ( )} (8)
Dari persamaan (5), (6), (7), dan (8) terbukti bahwa merupakan SRFI dari . ∎
Untuk  kasus  yang  berikutnya,  akan  dibuktikan  konvers  dari Teorema  3.3.2 dan 3.2.3 .
Teorema  3.2.4  (Sharma,  2011) Jika adalah  SRFI  dari  ring ,  maka merupakan SRFI dari ring .
Bukti:
Diberikan adalah SRFI dari  ring R sehingga diperoleh ( ) . ( ) ( )/ yang memenuhi : i. ( )      { ( ) ( )} ii. ( )      { ( ) ( )} iii. ( )      { ( ) ( )} iv. ( )      { ( ) ( )}
Akan diuraikan setiap point dari sifat di atas.
Sifat (i) yaitu ( )      { ( ) ( )} ( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) } * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+
( )      * ( ) ( )+
Kemudian untuk sifat (ii) yaitu ( )      { ( ) ( )}
( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) } * ( ) ( )    + * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+ ( )          * ( ) ( )+
( )      * ( ) ( )+
Selanjutnya sifat (iii) yaitu ( )      { ( ) ( )} ( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) } * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+ ( )      * ( ) ( )+
Terakhir sifat (iv) yaitu ( )      { ( ) ( )} ( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) }
Ring Fuzzy Intuitionistik                                                                                                    43
* ( ) ( )    + * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+ ( )          * ( ) ( )+
( )      * ( ) ( )+
Jadi  dari  penjabaran  mulai  dari  sifat  (i),  (ii),  (iii),  dan  (iv)  jelas  bahwa merupakan SRFI dari ring . ∎
Teorema  3.2.4  (Sharma,  2011) Jika adalah  SRFI  dari  ring ,  maka merupakan SRFI dari ring .
Bukti:
Diberikan adalah SRFI dari  ring R sehingga diperoleh ( )
. ( ) ( )/ yang memenuhi : i. ( )      { ( ) ( )} ii. ( )      { ( ) ( )} iii. ( )      { ( ) ( )} iv. ( )      { ( ) ( )}
Akan diuraikan setiap point dari sifat di atas.
Sifat (i) yaitu ( )      { ( ) ( )} ( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) } * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+
( )          * ( ) ( )+
( )      * ( ) ( )+
Kemudian untuk sifat (ii) yaitu ( )      { ( ) ( )}
( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) } * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+ ( )      * ( ) ( )+
Selanjutnya sifat (iii) yaitu ( )      { ( ) ( )}
( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) } * ( ) ( )+
Disisi lain ( ) ( ) sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+ ( )          * ( ) ( )+
( )      * ( ) ( )+
Terakhir sifat (iv) yaitu ( )      { ( ) ( )} ( )      { ( ) ( )} { ( ) ( ) }
* ( ) ( )+
Disisi lain
( ) ( )
sehingga diperoleh
( ) * ( ) ( )+ ( )      * ( ) ( )+
Jadi dari penjabaran mulai dari sifat (i), (ii), (iii), dan (iv) jelas bahwa merupakan SRFI dari ring . ∎

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari penjelasan yang telah diberikan, diperoleh kesimpulan bahwa bentuk operator dan dari  suatu SRFI merupakan SRFI juga.  Hal  tersebut bermakna jika diberikan sebarang SRFI A dari X maka dan merupakan SRFI dari X dan demikian pula sebaliknya. Sebagai  saran, dapat  digunakan jenis operator-operator  lainnya  yang  bisa  ditentukan  sendiri  atau  membuktikan  sifat- sifat yang lain pada ring fuzzy intuitionistik.

## DAFTAR PUSTAKA
Atanassov,  K.  T., Intuitionistic  fuzzy  sets ,  Fuzzy  Sets  and  Systems 20 (1986), 87-96.
Atanassov, K., On Intuitionistic Fuzzy Sets Theory , Springer, Berlin, 2012
Pratama, D., Struktur Image dan Pre-Image Homomorfisma pada Translasi Ring Fuzzy Intuitionistik , Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika, 11 (1) (2019), 59-68.
Rosenfeld, A., Fuzzy Groups , J. Math.Anal. Appl., 35 (1971), 512-517.
Sharma, P. K., Intuitionistic Fuzzy Groups ,  IFRSA  International  Journal  of Data Warehousing and Mining 1 (1) (2011).
Souriar,  S., A  Study  of  Translates  of  Fuzzy  Subgroups ,  Department  of Mathematics  and  Statistics  Cochin,  University  of  Science  and  Technology Cochin, Kerala., 1993.
Zadeh, L. A., Fuzzy Sets, Information and Control , 8 (1965), 338-353.