Vol. 7, No.2,  92-97,  Januari 2011
Parameterisasi Pengontrol yang Menstabilkan Melalui Pendekatan Faktorisasi
Nur Erawati 

## Abstrak
Suatu sistem linear yang matriks transfernya berupa matriks rasional proper, ada sistem linear yang lain yang merupakan pengontrol dari sistem linear awal. Melalui pendekatan faktorisasi, akan ditentukan parameterisasi semua pengontrol yang dapat menstabilkan.
Kata Kunci : Sistem linear, pengontrol, faktorisasi.

## 1. Pendahuluan
Bidang  teori  koding,  optimasi,  kontrol  dan  beberapa  bidang  ilmu  lain    merupakan  ilmu yang  sedang  berkembang  pesat  seiring  semakin  majunya  ilmu  pengetahuan  dan  bertambahnya kebutuhan pada alat-alat yang memudahkan kehidupan.
Perkembangan  bidang-bidang  ilmu  ini  demikian  pentingnya  karena  banyak permasalahan-permasalahan  pada  masa  mendatang  membutuhkan  penelitian  yang  lebih mendalam pada bidang-bidang tersebut.
Tahun-tahun  terakhir  ini,  ilmu  yang  mempelajari  masalah  perencanaan  sistem  kontrol feedback multivariabel menjadi ilmu yang dipelajari secara khusus dan mendalam.
Permasalahan  sederhana  pada  sistem  kontrol  misalnya  ada  sebuah  sistem,  biasanya disebut  plant,  yang  secara  umum  tidak  stabil.  Masalah  yang  muncul,  adakah  suatu  sistem pengontrol (kompensator) yang dapat menstabilkan sistem yang diberikan tadi (plant). Jika ada, ada berapa banyak pengontrol yang menstabilkan tersebut, sehingga dapat dipilih satu pengontrol yang “terbaik”.
Pada tulisan ini, masih merupakan pembahasan yang sederhana, sistem yang dibicarakan dibatasi pada sistem skalar, yaitu sistem dengan single-input-single-output , linear, time invariant . Khususnya  pula  bagi  sistem  loop  tertutup  dengan  satu  parameter.  Selanjutnya  untuk  lebih memudahkan, pembahasannya melalui pendekatan faktorisasi. Dalam artian bahwa suatu bentuk rasional diurai menjadi hasil bagi dua unsur bentuk rasional sejati yang stabil.

## 2. Pembahasan
Pada tulisan ini, sistem yang dibicarakan dibatasi pada sistem skalar yaitu sistem dengan single-input-single-output . Misalkan merupakan himpunan bentuk (fungsi) rasional dengan koefisien  bilangan  real.  Misalkan  plant
merupakan  fungsi  transfer  dari  sistem  skalar, linear, time-invariant . Misalkan pula suatu kompensator (pengontrol) terhubung dengan
plant dalam suatu konfigurasi feedback sebagaimana yang diberikan pada Gambar 1 berikut.
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10, Tamalanrea, Makassar.
Gambar 1. Sistem Feedback .
Persamaan yang menyatakan sistem loop- tertutup tersebut adalah
[ ]   [ ]   [ ] [ ] ,
yang mana dapat disederhanakan menjadi
[ ]   [ ] [ ] , dengan (Vardulakis, 1991; Vidyasagar, 1985). Misalkan [ ] (1) yang  menyatakan matriks transfer dari ke . Pasangan disebut stabil dan menstabilkan jika  dan  hanya  jika
(S  himpunan  bentuk  rasional  sejati  yang stabil). Dengan kestabilan loop-tertutup demikian, syarat perlu dan cukup untuk kondisi tersebut adalah melalui lemma berikut.
Lemma 1. (Vidyasagar, 1985) Misalkan dan misalkan , dimana dan saling prim, saling  prim.  Definisikan maka  pasangan stabil  jika dan hanya jika himpunan semua unit-unit di . Akibat 1. (Vidyasagar, 1985) Misalkan dan  misalkan dengan , saling  prim,  maka
menstabilkan jika dan hanya jika untuk suatu , yang memenuhi . (6)

## Nur Erawati
Hasil  yang  penting  yaitu  parameterisasi  semua  kompensator  yang  menstabilkan  suatu plant yang diberikan merupakan hasil yang sering digunakan.
Teorema 1. (Vidyasagar, 1985)
Misalkan dan dengan saling  prim.  Pilih sehingga . Maka himpunan semua kompensator yang menstabilkan p, ditulis diberikan oleh { | } . (7)
Untuk  menerapkan  Teorema  1,  dengan  kata  lain  untuk  menentukan  himpunan  semua kompensator yang menstabilkan plant yang diberikan, harus melakukan dua hal, yaitu
(i) Nyatakan sebagai hasil bagi ⁄ , dengan
saling prim,
(ii) Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan (7).
Langkah  (ii)  ini  menurut  akibat  1,  ekuivalen  dengan  menentukan  satu  kompensator  yang menstabilkan .  Untuk  sistem  skalar,  langkah  (i)  tentulah  mudah.  Rumus  pada  teorema  1 merupakan parameterisasi himpunan dari semua kompensator yang menstabilkan . Akibat 2. (Vidyasagar, 1985) Misalkan sebagaimana pada teorema 1, misalkan pula dengan maka [ ] . (8)
Penerapan teorema dan akibatnya diilustrasikan pada contoh berikut.
Contoh 1. Misalkan , maka ⁄ dimana , .
Misalkan bahwa diperoleh suatu kompensator yang menstabilkan untuk , namakan
.
Dapat ditentukan penyelesaian khusus sebagai berikut. Misalkan
, ,
maka
. (9)

## Nur Erawati
Semua  pembuat  nol  polinom  pembilang  dari
terletak  pada  bidang  sebelah  kiri  sehingga suatu unit di . Ini sesuai dengan yang diharapkan, karena menstabilkan kompensator. Sebagaimana pada akibat Lemma 1, definisikan
= , = , dimana ,  maka
memenuhi  persamaaan  (7).  Dengan menggunakan teorema atas, dapat diperoleh himpunan semua kompensator yang menstabilkan , dengan yang berbentuk
, (10)
dimana
.  Pernyataan  (10)  dapat  disederhanakan.  Bagi  kedua  pembilang  dan  penyebut dengan
,
, (11) dimana sebagaimana  didefinisikan  pada  (9).  Sekarang unit  di  S, dengan demikian bervarasi terhadap , demikian pula . Dengan kata lain, pemetaan merupakan pemetaan satu-satu dari ke dirinya sendiri. Karena itu dapat digantikan dengan parameter ,  yang  juga  merupakan  anggota .  Jadi  himpunan  kompensator  yang  menstabilkan diberikan oleh
{  |
} . (12)
dengan  satu  kompensator yang  berbentuk  seperti  pada  persamaan  (11)  diberikan  oleh persamaan (8). Untuk ilustarsi, pertimbangkan bentuk , ( ) { } , , (13)
dimana . Setelah disederhanakan, hasil akhirnya adalah [                ] , [                ] . (14) Dan  tentu  saja .  Dengan  demikian  sebagaimana bervariasi  atas , persamaan (12) membangun semua kompensator yang  menstabilkan , dan persamaan (13) dan (14) menyatakan matriks transfer loop-tertutup (stabil) yang bersesuaian.
Catatan. Misalkan f dan  nyatakan f dalam α / β dengan α , β [ ] tidak  memiliki  pembuat  nol bersama di C + (pembuat nol α biasanya disebut zero dan pembuat nol β disebut pole ). Misalkan n menyatakan derajat terbesar dari α dan β dan definisikan
maka a , b S saling prim dan f = a / b , bentuk tereduksi f yang dinyatakan dalam pecahan atas S. Titik s merupakan pembuat nol dari f jika dan hanya jika s merupakan pembuat nol dari a dan  titik s merupakan  pole  dari f jika  dan  hanya  jika s merupakan  pembuat  nol  dari b .  Jika demikian  adanya,  order s sebagai  pembuat  nol  dari f sama  dengan  multiplisitasnya  sebagai pembuat nol a dan order s sebagai pole dari f sama dengan multiplisitasnya sebagai pembuat nol dari b .
Contoh 2. Perhatikan kembali plant p yang tersebut pada Contoh 1. Misalkan { | } . Misalkan akan diparameterisasi semua kompensator c sedemikian sehingga  matriks  transfer  loop-tertutup
merupakan  bentuk  rasional  sejati  dan  memiliki pole di D . Langkah awal untuk menentukan
sedemikian sehingga dan saling prim. Ini dapat dilakukan dimana . Misalkan , diperoleh , . Untuk  memperoleh sedemikian  sehingga Diperkenalkan  transformasi bilinear ,       s , sehingga , . Sekarang  karena polinomial  saling  prim  di Z ,  ada  polynomial
di Z sedemikian sehingga . Dengan algoritma pembagian Euclid dan substitusi balik diperoleh , dan . Kompensator yang menstabilkan disini adalah .
Himpunan semua kompensator yang menstabilkan p , sedemikian sehingga
yaitu {  | } ,
dan yang  bersesuaian  diberikan  persamaan  (9).  Misalkan  syarat  ini  diperketat. Definisikan
{ | |    |   | |} .
Misalkan  akan  diparameterisasi  semua  kompensator c sedemikian  sehingga proper  dan memiliki pole dalam daerah . Untuk menentukan parameterisasi demikian, yang perlu pertama

## Nur Erawati
kali  dilakukan  adalah  mencari  pasangan
yang  saling  prim  dan  kemudian menentukan pasangan sedemikian sehingga . Ternyata di  atas  memenuhi  syarat  ini.  Dengan  demikian  parameterisasi  yang diinginkan adalah {  | } .

## 3. Kesimpulan
Dari Lemma, Teorema dan Akibat yang dibahas dapat disimpulkan bahwa 1. Pasangan
disebut  stabil  jika  dan  hanya  jika
matriks  transfernya
merupakan matriks rasional sejati yang stabil.
2. menstabilkan jika dan hanya jika
=1.
3. Semua pengontrol (kompensator) yang menstabilkan plant p diberikan oleh { | } .
.

## Daftar Pustaka
Vardulakis, A.I.G., 1991. Linear Multivariable Control, Algebra Analysis and Synthesis Methods. John Wiley and Sons Inc., New York.
Vidyasagar,  M.,  1985. Control  System  Synthesis,  A  Factorization  Approach. The  MIT  Press, Cambridge, MA.