Abstrak —Magnetohidrodinamik  (MHD) merupakan aliran khusus yang akhir-akhir ini sering diteliti. Aliran Magnetohidrodinamik mempelajari tentang aliran fluida yang dipengaruhi oleh medan magnet dan dapat menghantarkan aliran listrik. Pada penelitian ini, akan dibahas terkait aliran konveksi campuran fluida viskoelastik melewati bola pejal teriris yang dipengaruhi medan magnet. Persamaan pembangun dibangun dari persamaan kontinuitas, momentum, dan energi. Aliran fluida viskoelastik  tersebut mengalir dari bawah dan melewati bola pejal teriris yang kemudian menimbulkan lapisan batas (boundary layer) . Persamaan lapisan batas tersebut kemudian ditransformasikan ke bentuk non-dimensional menggunakan variabel non-dimensional dan selanjutnya diubah ke persamaan similaritas menggunakan fungsi alir (Stream function) . Persamaan similaritas kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode Keller-Box . Hasil numerik yang diperoleh berupa profil temperatur dan kecepatan fluida dengan variasi parameter magnetik, parameter konveksi, parameter viskoelastik, Bilangan Prandtl, dan variasi sudut irisan bola. Hasil simulasi numerik menunjukkan semakin besar parameter konveksi, parameter magnetik dan besar sudut irisan bola maka semakin meningkat pula profil kecepatannya atau berbanding lurus, sedangkan untuk parameter viskoelastik dan Bilangan Prandtl berbanding terbalik dengan profil kecepatan . Untuk profil temperatur meningkat ketika parameter viskoelastik meningkat atau berbanding lurus, sedangkan parameter magnetik, parameter konveksi, Bilangan Prandtl, dan variasi sudut irisan berbanding terbalik.
Kata Kunci —Bola Teriris, Fluida Viskoelastik, Konveksi Campuran, Magnetohidrodinamik, Metode Keller-Box .

## I. PENDAHULUAN
LUIDA merupakan zat yang bila terkena tegangan geser akan berubah bentuk secara kontinu, meskipun tegangan geser tersebut bernilai kecil. Berdasarkan viskositasnya fluida dibagi menjadi dua yaitu fluida Newtonian dan fluida Non-Newtonian. Fluida yang memiliki viskositas bernilai konstan dan memiliki kurva tegangan yang linier apabila terdapat gaya yang bekerja dinamakan fluida Newtonian. Sedangkan fluida yang memiliki kurva tegangan yang non linear atau tidak memenuhi hukum linierisasi newton dan viskositas bernilai tidak konstan apabila terdapat gaya yang bekerja dinamakan fluida Non-Newtonian [1]. Dalam banyak sektor industri, pemanasan atau pendinginan fluida merupakan kebutuhan utama [2].
Magnetohidrodinamik  (MHD) merupakan aliran khusus yang akhir-akhir ini sering diteliti. Aliran Magnetohidrodinamik mempelajari tentang aliran fluida yang dipengaruhi oleh medan magnet dan dapat menghantarkan aliran listrik [3]. Pemanfaatan magnetohidrodinamik pada bidang teknologi cukup luas,
salah satu contohnya adalah pada PLTU. Dengan adanya penerapan MHD pada PLTU, diperoleh efisiensi mencapai 30% [4]. Pemanfaatan MHD juga dilakukan pada pengeboran minyak, simulasi yang akurat terkait aliran lumpur pada pengeboran minyak di persekitaran antara pipa bor dan dinding tanah sangat penting untuk evaluasi variasi tekanan dalam lumpur di dalam sumur bor, efisiensi transportasi dari s tek rock drill dan penurunan tekanan gesekan. Medan magnet juga dapat digunakan untuk pengendalian operasi aliran seperti dimana cairan yang keluar terionisasi dan mengandung listrik [5].
Fluida viskoelastik merupakan salah satu jenis dari fluida Non-Newtonian selain fluida pseudoplastic, fluida rheopectic, dan fluida thixotropic yang memiliki sifat viskos (kental) dan elastis. Penerapan dari fluida viskoelastik sangat penting terutama untuk pengeboran minyak, industri pertahanan, dan industri makanan. Fluida tipe ini telah menarik perhatian banyak peneliti karena aplikasi dari fluida ini sangat penting sehingga banyak penelitian yang dilakukan terkait dengan fluida viskoelastik [6]. Seperti Sulistyaningtyas yang telah meneliti pengaruh aliran fluida viskoelastik yang melewati pelat datar dan juga Sahaya yang telah melakukan penelitian terhadap aliran fluida magnetohidrodinamik viskoelastik tersuspensi yang melewati pelat datar  [6-7]. Pada penelitian sebelumnya, fluida viskoelastik sudah banyak diteliti dengan jenis konveksi yang berbeda dan diberbagai objek, seperti silinder eliptik, bola berpori, pelat datar, bola pejal, dan sebagainya.
Berdasarkan kegunaan MHD yang sangat menunjang dalam perkembangan teknologi, maka perlu dilakukan penelitian yang lebih mendalam terkait MHD terutama  fluida viskoelastik. Pada penelitian ini, akan dibahas terkait aliran konveksi campuran fluida viskoelastik melewati bola pejal teriris yang dipengaruhi medan magnet. Jenis fluida yang digunakan adalah fluida viskoleastik yang merupakan salah satu jenis dari fluida non-newtonian. Persamaan pembangun dibangun dari persamaan kontinuitas,  momentum, dan energi. Bola teriris yang digunakan dalam penelitian ini dalam keadaan diam dan permukaan halus (tidak berpori). Aliran fluida viskoelastik  tersebut mengalir dari bawah dan melewati bola pejal teriris yang kemudian menimbulkan lapisan batas  (boundary layer). Persamaan lapisan batas tersebut kemudian ditransformasikan ke bentuk non- dimensional menggunakan variabel non-dimensional dan selanjutnya diubah ke persamaan similaritas menggunakan fungsi alir (Stream function). Persamaan similaritas kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode Keller-Box  dan divisualisasikan menggunakan software MATLAB.  Hasil numerik yang diperoleh  berupa profil temperatur dan kecepatan fluida dengan variasi parameter

## Analisis Aliran Konveksi Campuran Fluida Viskoelastik Melewati Bola Teriris yang Dipengaruhi Medan Magnet
Tunjung Eviloka dan Basuki Widodo Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : b_widodo@matematika.its.ac.id
F
magnetik, parameter konveksi, parameter  viskoelastik, bilangan Prandtl, dan variasi sudut irisan bola.

## II. METODE PENELITIAN
Langkah-langkah dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

## A. Studi Literatur
Tahap pertama adalah melakukan studi literatur.  Pada tahap ini dikaji beberapa referensi dari penelitian sebelumnya yang dapat mendukung dan menunjang pengerjaan Tugas Akhir ini. Seperti dari buku ataupun jurnal ilmiah yang berkaitan dengan proses penelitian, contohnya mengenai magnetohidrodinamik, fluida viskoelastik, dan hal lain yang berhubungan dengan permasalahan tersebut.

## B. Pembentukan Persamaan Pembangun Dimensional
Pada tahap ini digunakan persamaan pembangun untuk membentuk persamaan pembangun dimensional dari aliran konveksi campuran fluida viskoelastik melewati bola teriris yang dipengaruhi medan magnet. Adapun persamaan pembangun yang digunakan yaitu persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan energi.

## C. Transformasi ke dalam Persamaan non-Dimensional
Persamaan pembangun ditransformasi dari bentuk dimensional menjadi bentuk non-Dimensional menggunakan variabel non-Dimensional dan parameter non-Dimensional. Tahap ini dilakukan untuk menjadikan persamaan pembangun tidak berpengaruh terhadap satuan.

## D. Pembentukan Persamaan Similaritas
Persamaan pembangun non-Dimensional diubah ke dalam persamaan similaritas dengan menggunakan fungsi alir (stream function). Tahap ini dilakukan untuk menjadikan persamaan dua dimensi menjadi persamaan satu  dimensi. Sehingga nantinya dapat diselesaikan menggunakan metode Keller-Box.

## E. Penyelesaian Numerik
Penyelesaian numerik dari aliran konveksi campuran fluida viskoelastik melewati bola teriris yang dipengaruhi medan magnet  diselesaikan  menggunakan skema metode beda hingga Keller-Box.
F. Simulasi Dibuat algoritma program dari metode beda hingga implisit dengan skema Keller-Box terhadap aliran konveksi campuran fluida viskoelastik melewati bola teriris yang dipengaruhi medan magnet. Program dibuat menggunakan MATLAB.

## G. Analisis Hasil dan Pembahasan
Dilakukan analisis hasil simulasi pengaruh parameter magnetik, parameter konveksi, parameter viskoelastik, bilangan Prandtl dan besar sudut irisan bola terhadap kurva kecepatan dan kurva temperatur.

## H. Penarikan Kesimpulan
Pada tahap ini akan ditarik kesimpulan dari hasil analisis yang telah dilakukan dari tahap sebelumnya.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Persamaan Pembangun Dimensional
Berikut merupakaan persamaan pembangun dari aliran konveksi campuran fluida viskoelastik melewati bola teriris yang dipengaruhi medan magnet dalam keadaan steady dan incompressible adalah sebagai berikut:
1) Persamaan Kontinuitas
𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟̅𝑢𝑢� ) 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟̅𝑣𝑣� ) 𝜕𝜕𝑦𝑦� = 0 (1)
2) Persamaan Momentum
Sumbu 𝑥𝑥 :
�𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = − 1 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝜇𝜇 0 𝜌𝜌 � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 + 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � − 𝑘𝑘 0 𝜌𝜌 �𝑢𝑢� � 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 3 + 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � + 𝑣𝑣̅ � 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 𝜕𝜕𝑦𝑦� + 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 3 � − 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� + 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 � − 2 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� − 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ � 3 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 − 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 �� − 1 𝜌𝜌 25 16 𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝑢𝑢� + 𝑔𝑔𝑔𝑔 ( 𝑇𝑇� − 𝑇𝑇 ∞ ) (2)
Sumbu 𝑦𝑦 :
�𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = − 1 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦� + 𝜇𝜇 0 𝜌𝜌 � 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 + 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � − 𝑘𝑘 0 𝜌𝜌 �𝑢𝑢� 𝜕𝜕 3 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 3 + 𝑢𝑢� 𝜕𝜕 3 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕 3 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 𝜕𝜕𝑦𝑦� + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕 3 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 3 + 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ � 3 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 − 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 � − 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ � 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� + 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � − 2 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� � − 1 𝜌𝜌 25 16 𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝑣𝑣̅ + 𝑔𝑔𝑔𝑔 ( 𝑇𝑇� − 𝑇𝑇 ∞ ) 𝑔𝑔 cos� 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 cos 𝜃𝜃𝑠𝑠 � (3) 3) Persamaan Energi
𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� = 𝛼𝛼 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 (4)
dengan kondisi batas :
𝑢𝑢� = 𝑣𝑣̅ = 0, 𝑇𝑇� = 𝑇𝑇 𝑤𝑤 untuk 𝑦𝑦� = 0 𝑢𝑢� = 𝑢𝑢� 𝑒𝑒 ( 𝑥𝑥 ), 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� = 0, 𝑇𝑇� = 𝑇𝑇 ∞ , untuk 𝑦𝑦� → ∞
dengan kecepatan aliran bebas 𝑢𝑢� 𝑒𝑒 = 3 2 sin � 𝑥𝑥̅ 𝑏𝑏� � , dan 𝛼𝛼 : Difusi termal 𝜇𝜇 0 : Viskositas dinamik 𝑘𝑘 0 : Koefisien memori pendek
𝜌𝜌 : Massa jenis fluida
𝑔𝑔 : Koefisien muai panas 𝑢𝑢 : Komponen kecepatan pada sumbu 𝑥𝑥 𝑣𝑣 : Komponen kecepatan pada sumbu 𝑦𝑦 B. Pendekatan Lapisan Batas
Persamaan momentum (2) dan (3) tidak mudah untuk diselesaikan sehingga membutuhkan penyederhanaan dengan teori lapisan batas. Selanjutnya, Persamaan (2) dan (3) diukur dalam bentuk 1 dan ∆ . Dengan 1 menunjukkan kecepatan dominan fluida bergerak dan ∆ menunjukkan perubahan suatu nilai kecepatan aliran yang sangat kecil [8].
𝑢𝑢� ~ 1, 𝑥𝑥̅ ~ 1, 𝑣𝑣̅ ~ ∆ , 𝐾𝐾 0 𝜌𝜌 ~ ∆ 2 , 𝜇𝜇 0 𝜌𝜌 ~ ∆ 2 , 𝑔𝑔 ~ 1
Berdasarkan bentuk notasi di atas, dilakukan proses penyederhanaan persamaan momentum untuk persamaan momentum pada sumbu 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 sehingga didapatkan : Sumbu 𝑥𝑥 :
�𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = − 1 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝜈𝜈 � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 � − 𝑘𝑘 0 𝜌𝜌 �𝑢𝑢 � 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � + 𝑣𝑣 � 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 3 � − 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 � + 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 � − 25 16 1 𝜌𝜌 𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝑢𝑢� + 𝑔𝑔𝑔𝑔 ( 𝑇𝑇� − 𝑇𝑇 ∞ ) tan � 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 𝑠𝑠 � (5)
Pada sumbu 𝑦𝑦 hasil yang diperoleh hanya memuat nilai ∆ sehingga menunjukkan bahwa persamaan momentum pada sumbu y mengalami perubahan nilai kecepatan sangat kecil. Sehingga, pada analisa berikutnya persamaan momentum pada sumbu y tidak digunakan.

## C. Persamaan Pembangun non-Dimensional
Pada penelitian ini digunakan variabel tak berdimensi sebagai berikut [9]:
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥̅ 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 1 2 𝑦𝑦� 𝑎𝑎 , 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟̅ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏� 𝑎𝑎 , 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢� 𝑈𝑈 ∞ ,
𝑣𝑣 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 1 2 𝑣𝑣̅ 𝑈𝑈 ∞ , 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝̅ 𝜌𝜌𝑈𝑈 ∞ 2 , 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇� − 𝑇𝑇 ∞ 𝑇𝑇 𝑤𝑤 − 𝑇𝑇 ∞ dengan Bilangan Reynolds 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑈𝑈 ∞ 𝑎𝑎 𝜈𝜈 dimana 𝜈𝜈 merupakan viskositas kinematik yang dituliskan dengan 𝜈𝜈 = 𝜇𝜇 𝜌𝜌 . Digunakan pula parameter-parameter sebagai berikut : 1. Parameter Magnetik ( 𝑀𝑀 ) :
𝑀𝑀 = 𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝑎𝑎 𝜌𝜌𝑈𝑈 ∞ 2. Bilangan Prandtl (Pr) : 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝜈𝜈 𝛼𝛼 3. Parameter Viskoelastik ( 𝐾𝐾 ) :
𝐾𝐾 = 𝑘𝑘 0 𝑈𝑈 ∞ 𝑎𝑎𝜌𝜌𝜈𝜈 4. Parameter Konveksi ( 𝜆𝜆 ) :
𝜆𝜆 = 𝐺𝐺𝑟𝑟 𝑅𝑅𝑅𝑅 2
5. Dengan Bilangan Grashof :
𝐺𝐺𝑟𝑟 = 𝑔𝑔𝑔𝑔 ( 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 ∞ ) 𝑎𝑎 3 𝜈𝜈 2
Maka diperoleh :
𝜆𝜆 = 𝑔𝑔𝑔𝑔 ( 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 ∞ ) 𝑎𝑎 3
𝑈𝑈 ∞ 2
Dengan mensubstitusikan variabel non-Dimensional dan Parameter non-Dimensional di atas, maka diperoleh persamaan pembangun non-Dimensional sebagai berikut :

## 1) Persamaan Kontinuitas
𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑢𝑢 )
𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑣𝑣 ) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 (6)
2) Persamaan Momentum
𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 − 𝐾𝐾 � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 �𝑢𝑢 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 � + 𝑣𝑣 𝜕𝜕 3 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 3 − 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦 � − 25 16 𝑀𝑀𝑢𝑢 + 𝜆𝜆𝑇𝑇 tan � 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 cos 𝜃𝜃 𝑠𝑠 � (7)
3) Persamaan Energi
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 1 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 (8)
𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 = 0, 𝑇𝑇 = 1 untuk 𝑦𝑦 = 0 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 𝑒𝑒 ( 𝑥𝑥 ), 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0, 𝑇𝑇 = 0 untuk 𝑦𝑦 → ∞

## D. Pembentukan Persamaan Similaritas
Untuk mengubah persamaan dua dimensi menjadi satu dimensi maka digunakan fungsi alir (stream function)  dan temperatur yang dinyatakan dengan [10]:
𝜓𝜓 = 𝑥𝑥𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝜂𝜂 ), 𝑇𝑇 = 𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥 , 𝜂𝜂 ) dan 𝜓𝜓 merupakan fungsi alir yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑢𝑢 = 1 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜓𝜓 𝜕𝜕𝜂𝜂 𝑣𝑣 = − 1 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑥𝑥
Dengan mensubstitusikan fungsi alir di atas kedalam persamaan (6)-(8) maka diperoleh persamaan similaritas sebagai berikut:
Persamaan Kontinuitas:
𝜕𝜕 2 𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜂𝜂 − 𝜕𝜕 2 𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝜂𝜂 = 0
Karena Persamaan kontinuitas bernilai 0, maka persamaan kontinuitas adalah trivial sehingga tidak digunakan dalam perhitungan selanjutnya. Persamaan Momentum:
0 = 𝑓𝑓 ′′′ + 2 𝑓𝑓𝑓𝑓 ′′ − ( 𝑓𝑓 ′ ) 2 + 9 4 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 𝑠𝑠 − 2 𝐾𝐾 ( 𝑓𝑓 ′ 𝑓𝑓 ′′′ − 𝑓𝑓𝑓𝑓 ′′′′ − ( 𝑓𝑓 ′′ ) 2 ) + 𝜆𝜆𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 𝑠𝑠 − 25 16 𝑀𝑀 �𝑓𝑓 ′ − 3 2 cos 𝜃𝜃 𝑠𝑠 � (9)
Persamaan Energi:
1 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝜃𝜃 ′′ + 2 𝑓𝑓𝜃𝜃 ′ = 0 (10)
Dengan kondisi batas : 𝑓𝑓 (0) = 𝑓𝑓 ′ (0) = 0, 𝜃𝜃 = 1 untuk 𝜂𝜂 = 0 𝑓𝑓 ′ ( ∞ ) = 1, 𝑓𝑓 ′′ ( ∞ ) = 0, 𝜃𝜃 ( ∞ ) = 0 untuk 𝜂𝜂 → ∞ Dengan tanda ′ merupakan turunan terhadap 𝜂𝜂
E. Penyelesaian Numerik
Pada  penelitian  ini,  model yang telah didapatkan diselesaikan menggunakan metode Keller-Box.
1) Transformasi Menjadi Orde Pertama
Dengan melakukan pemisalan fungsi sebagai berikut :
𝑓𝑓 ′ = 𝓊𝓊 𝓊𝓊 ′ = 𝓋𝓋 𝓋𝓋 ′ = 𝓌𝓌 𝓈𝓈 ′ = 𝓉𝓉 Sehingga persamaan (9)-(10) menjadi :
0 = 𝓌𝓌 + 2 𝑓𝑓𝓋𝓋 − 𝓊𝓊 2 + 9 4 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 𝑠𝑠 − 2 𝐾𝐾 ( 𝓊𝓊𝓌𝓌 − 𝑓𝑓𝓌𝓌 , − 𝓋𝓋 2 ) + 𝜆𝜆𝓈𝓈 cos 𝜃𝜃 𝑠𝑠 − 25 16 𝑀𝑀 �𝓊𝓊 − 3 2 cos 𝜃𝜃 𝑠𝑠 � (11) 0 = 1 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝓉𝓉 ′ + 2 𝑓𝑓𝓉𝓉 (12)
𝑓𝑓 (0) = 𝓊𝓊 (0) = 0, 𝓈𝓈 (0) = 0 pada saat 𝜂𝜂 = 0 𝓊𝓊 → 1, 𝓈𝓈 → 0 pada saat 𝜂𝜂 → ∞

## 2) Diskritisasi Model
Selanjutnya dilakukan diskritisasi pada model yang diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga  pusat.

## 3) Linierisasi Model
Setelah didapatkan hasil dari diskritisasi model, maka selanjutnya dilakukan linierisasi dengan bentuk iterasi ( 𝑖𝑖 ) metode Newton sebagai berikut:
𝑓𝑓 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖+1 ) = 𝑓𝑓 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) + 𝛿𝛿𝑓𝑓 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) 𝓊𝓊 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖+1 ) = 𝓊𝓊 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) + 𝛿𝛿𝓊𝓊 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) 𝓋𝓋 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖+1 ) = 𝓋𝓋 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) + 𝛿𝛿𝓋𝓋 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) 𝓌𝓌 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖+1 ) = 𝓌𝓌 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) + 𝛿𝛿𝓌𝓌 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) 𝓈𝓈 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖+1 ) = 𝓈𝓈 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) + 𝛿𝛿𝓈𝓈 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) 𝓉𝓉 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖+1 ) = 𝓉𝓉 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 ) + 𝛿𝛿𝓉𝓉 𝑗𝑗 ( 𝑖𝑖 )

## 4) Teknik Eliminasi Blok
Pada langkah terakhir, hasil dari linearisasi diselesaikan menggunakan teknik eliminasi matriks blok tridiagonal.

## F. Hasil Simulasi Numerik
Setelah penyelesaian numerik maka selanjutnya dilakukan simulasi menggunakan Matlab. Grafik yang dihasilkan dari proses simulasi menunjukkan pengaruh dari variasi nilai
parameter magnetik ( 𝑀𝑀 ) , parameter viskoelastik ( 𝐾𝐾 ) , parameter konveksi campuran ( 𝜆𝜆 ) , bilangan Prandtl ( 𝑃𝑃𝑟𝑟 ) , dan variasi sudut irisan bola ( 𝜃𝜃 𝑐𝑐 ) terhadap profil kecepatan ( 𝑓𝑓 ′ ) dan juga terhadap profil temperatur ( 𝜃𝜃 ) . Pada perhitungan numerik,  jumlah partisi 𝜂𝜂 ( 𝑛𝑛𝑝𝑝 ) adalah 500 dan nilai ∆𝜂𝜂 yang digunakan adalah 0.02 .
1) Pengaruh Parameter Magnetik ( 𝑀𝑀 ) Variasi parameter magnetik yang digunakan adalah 15, 25, 30, 35. Nilai parameter lain yang digunakan antara lain 𝐾𝐾 = 1, 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.7, 𝜆𝜆 = 1, 𝜃𝜃 𝑐𝑐 = 𝜋𝜋 6 = 30 0 . Gambar 1 dan  Gambar  2 menunjukkan semakin meningkat parameter magnetik maka profil kecepatan juga meningkat  atau berbanding lurus, sedangkan profil temperatur menurun atau berbanding terbalik. Hal ini disebabkan ketika medan magnet bertambah maka massa jenis fluida berkurang, sehingga hambatan dari gaya antar partikel juga berkurang, dan selanjutnya kecepatan akan semakin bertambah. Medan magnet bertambah dan massa jenis berkurang juga menyebabkan energi internal fluida semakin bertambah sehingga energi yang digunakan untuk bergerak akan berkurang. Selanjutnya temperatur akan menurun ketika parameter magnetik bertambah.
Gambar 1. Profil kecepatan dengan variasi parameter magnetik (m).
Gambar 2. Profil temperatur dengan variasi parameter magnetik (m).
Gambar 3. Profil kecepatan dengan variasi parameter viskoelastik (K).
Gambar 4. Profil temperatur dengan variasi parameter viskoelastik (k).
2) Pengaruh Parameter Viskoelastik ( 𝐾𝐾 )
Variasi parameter viskoelastik yang digunakan adalah 2, 5, 7, 9. Nilai parameter lain yang digunakan antara lain 𝑀𝑀 = 10, 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.7, 𝜆𝜆 = 1, 𝜃𝜃 𝑐𝑐 = 𝜋𝜋 6 = 30 0 . Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan bahwa semakin meningkat parameter viskoelastik maka profil kecepatan semakin menurun atau berbanding terbalik, sedangkan profil temperatur semakin meningkat. Hal ini diakibatkan pergerakan fluida menjadi lebih lambat ketika fluida tersebut memiliki elastisitas yang besar dan juga elastisitas yang tinggi pada fluida dapat meningkatkan profil temperatur.
3) Pengaruh Parameter Konveksi Campuran ( 𝜆𝜆 ) Variasi parameter konveksi campuran yang digunakan adalah 0.2, 0.4, 0.6, 0.9. Nilai parameter lain yang digunakan antara lain 𝑀𝑀 = 10, 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.7, 𝐾𝐾 = 1, 𝜃𝜃 𝑐𝑐 = 𝜋𝜋 6 = 30 0 . Gambar 5 dan Gambar  6 menunjukkan bahwa ketika parameter konveksi campuran meningkat maka profil kecepatan juga akan meningkat, sedangkan profil temperatur semakin menurun. Hal ini dikarenakan pengaruh gaya apung,dimana gaya apung fluida mempengaruhi momentum fluida sehingga kecepatan aliran fluida semakin besar. Dan juga diakibatkan 𝜆𝜆 = 𝐺𝐺𝑟𝑟 𝑅𝑅𝑒𝑒 2 dimana ( 𝜆𝜆 ~ 𝐺𝐺𝑟𝑟 ) . Kemudian dilihat dari persamaan
𝐺𝐺𝑟𝑟 sendiri maka diperoleh 𝜆𝜆 ~ 𝐺𝐺𝑟𝑟 ~( 𝑇𝑇 𝑤𝑤 − 𝑇𝑇 ∞ ) . Ketika 𝜆𝜆 semakin besar maka ( 𝑇𝑇 𝑤𝑤 − 𝑇𝑇 ∞ ) juga semakin besar dengan nilai 𝑇𝑇 𝑤𝑤 tetap sehingga terjadi penurunan temperatur.
4) Pengaruh Bilangan Prandtl ( 𝑃𝑃𝑟𝑟 )
Variasi parameter Bilangan Prandtl yang digunakan adalah 0.6, 1, 7, 10. Nilai parameter lain yang digunakan antara lain 𝑀𝑀 = 10, 𝜆𝜆 = 1, 𝐾𝐾 = 1, 𝜃𝜃 𝑐𝑐 = 𝜋𝜋 6 = 30 0 . Gambar 7 dan Gambar 8 menunjukkan bahwa semakin besar nilai Bilangan Prandtl maka profil kecepatan dan profil temperatur semakin menurun. Hal ini disebabkan oleh Bilangan Prandtl berbanding lurus dengan massa jenis  sehingga jika Bilangan Prandtl  meningkat maka massa jenis fluida juga meningkat. Hal inilah yang menyebabkan kecepatan menurun ketika Bilangan Prandtl bertambah. Dan juga  Bilangan Prandtl berbanding terbalik dengan difusivitas termal, yang berarti bahwa ketika Bilangan Prandtl bertambah maka difusivitas termal menurun. Difusivitas termal berhubungan dengan perbandingan penerusan panas dengan kapasitas energi molekul sehingga distribusi panas antar fluida berkurang atau dengan kata lain perpindahan panas ke permukaan  lebih cepat dari fluidanya  sehingga menyebabkan temperatur semakin menurun.
Gambar 5. Profil kecepatan dengan variasi parameter konveksi campuran ( 𝜆𝜆 ) .
Gambar 6. Profil temperatur dengan variasi parameter konveksi campuran ( 𝜆𝜆 ) .
Gambar 7. Profil kecepatan dengan variasi parameter bilangan prandtl ( 𝑃𝑃𝑟𝑟 ) .
Gambar 8. Profil temperatur dengan variasi parameter bilangan prandtl ( 𝑃𝑃𝑟𝑟 ) .
5) Pengaruh Parameter Variasi Sudut Irisan Bola ( 𝜃𝜃 𝑐𝑐 ) Variasi parameter sudut irisan bola yang digunakan adalah 𝜋𝜋 7 , 𝜋𝜋 6 , 𝜋𝜋 5 , 𝜋𝜋 4 . Nilai parameter lain yang digunakan antara lain 𝑀𝑀 = 10, 𝜆𝜆 = 1, 𝐾𝐾 = 1, 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.7 . Gambar 9 dan Gambar 10 menunjukkan bahwa semakin besar sudut irisan bola maka profil kecepatan semakin meningkat, sedangkan profil temperatur semakin menurun. Hal ini disebabkan letak titik stagnasi semakin keatas karena besar sudut irisan semakin besar sehingga menyebabkan profil kecepatan meningkat. Dan juga semakin besar sudut irisan bola maka permukaan depan bertambah luas yang menyebabkan distribusi panas ke bola lebih cepat bila dibandingkan dengan distribusi panas ke fluidanya sehingga megakibatkan temperatur menurun.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan dan juga analisis yang telah dilakukan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (1) Persamaan similaritas model matematika dari aliran konveksi
campuran fluida viskoelastik melewati bola teriris yang dipengaruhi medan magnet pada titik stagnasi 𝑥𝑥 = 0 , dimana simulasi menggunakan banyak partisi sumbu 𝜂𝜂 ( 𝑛𝑛𝑝𝑝 ) = 500 dan ℎ 𝑗𝑗 ( ∆𝜂𝜂 ) = 0.02 menghasilkan grafik dengan sumbu 𝜂𝜂 sepanjang 10.  Hal ini menunjukkan jika setiap 𝑛𝑛𝑝𝑝 = 50 menghasilkan sumbu 𝜂𝜂 sepanjang 1 . (2) Parameter konveksi campuran ( 𝜆𝜆 ) , parameter  magnetik ( 𝑀𝑀 ) , dan variasi sudut irisan bola ( 𝜃𝜃 𝑐𝑐 ) berbanding lurus dengan profil kecepatan, sedangkan bilangan prandtl ( 𝑃𝑃𝑟𝑟 ) dan parameter viskoelastik ( 𝐾𝐾 ) berbanding terbalik dengan profil kecepatan.  (3) Parameter magnetik ( 𝑀𝑀 ) , parameter konveksi campuran ( 𝜆𝜆 ) , bilangan  prandtl ( 𝑃𝑃𝑟𝑟 ) , dan variasi sudut irisan bola ( 𝜃𝜃 𝑐𝑐 ) berbanding terbalik dengan profil temperatur, sedangkan parameter viskoelastik ( 𝐾𝐾 ) berba3nding lurus dengan profil temperatur.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  B. Widodo, Pemodelan Matematika , 1st ed. Surabaya: ITS Press, 2012.
[2]  G. Lazarus, “Nanofluid heat transfer and applications,” J. Therm. Eng. ,
Gambar 9. Profil kecepatan dengan variasi sudut irisan bola ( 𝜃𝜃 𝑐𝑐 ) .
Gambar 10. Profil temperatur dengan variasi sudut irisan bola ( 𝜃𝜃 𝑐𝑐 ) .
vol. 1, no. 2, pp. 113–115, 2015.
[3]  B. Widodo, D. A. Khalimah, F. D. S. Zainal, and C. Imron, “Numerical solution of heat transfer unsteady boundary layer magnetohydrodynamics in micropolar fluid past a sphere,” Int. J. Far East J. Math. Sci. Publ. House-India , vol. 100, no. 2, pp. 291–299,
2015.
[4]  S. Irianto, “Kombinasi Operasi PLTU –  MHD  –  Fuel Cell dan Kemungkinan Penerapannya di Indonesia,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2013.
[5]  P. A. Davidso, An Introduction to Magnetohydrodynamics , 1st ed. New York: Cambridge University Press, 2010.
[6]  R. Sahaya, “Aliran Fluida Magnetohidrodinamik Viskoelastik Tersuspensi yang Melewati Pelat Datar,” Institut Teknologi Sepuluh
Nopember, Surabaya, 2016.
[7]  S. A. D., “Pengaruh Aliran Fluida Viskoelastik yang Melewati Silinder Eliptik,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2015.
[8]  A. R. . Kasim, “Convective Boundary Layer Flow of Viscoelastic Fluid,” Universiti Teknologi Malaysia, 2014.
[9]  P. P. Wanti, “Viscoelastic Fluid Past A Flat Plate with the Effect of Magnetohydrodynamic,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2015.
[10]  M. S. D. Utama, “Magnetohidrodinamik Tak Tunak pada Konveksi Campuran yang Mengalir Melalui Bola Teriris dalam Fluida Kental di Bawah Pengaruh Medan Magnet,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2017.