Jurnal Diferensial, Volume 03, Nomor 01, April 2021 E-ISSN: 2775-9644

## ANALISIS KEPOSITIFAN, TERBATAS DAN STABIL GLOBAL MODEL MATEMATIKA INTERAKSI ANTAR MAHASISWA DI PERGURUAN TINGGI
Ariyanto 1* , Noldi K. Kasse 1
1. Program Studi Matematika, FST, Universitas Nusa Cendana
* Penulis Korespondensi: aryanto@staf.undana.ac.id

## ABSTRAK
Interaksi mahasiswa di perguruan tinggi merupakan suatu dinamika kehidupan sosial dalam suatu selang waktu tertentu. Interaksi antar mahasiswa tersebut bisa berdampak positif  maupun  negatif.  Salah  satu  contoh  dampak  positif    adalah  mahasiswa  yang memiliki  prestasi  standar  ketika  berinteraksi  dengan  mahasiswa  memiliki  prestasi bagus maka ia mengalami kenaikan IPK yang signifikan. Fenome dari interaksi antar mahasiswa  telah  berhasil  dikonstruksi  suatu  model  matematika  dalam  tulisan  ini. Selanjutnya,  model  matematika  tersebut  telah  dibuktikan  secara  analisis  tentang kepositifan, terbatas dan stabil global.
Kata kunci: Mahasiswa, Model Matematika, stabil global.

## 1. PENDAHULUAN
Selama  menempuh  kuliah  di  perguruan  tinggi  mahasiswa  sebagai  makhluk sosial  pasti  melakukan  interaksi  dengan  sesama  mahasiswa,  sebab  fitrahnya  sebagai manusia maka mahasiswa membutuhkan peran dan bantuan orang lain. Lebih khusus, mahasiswa  berinteraksi  dengan  teman  sekelas,  teman  seangkatan,  dan  teman  satu program studi. Dalam interaksi tersebut tentu saja ada pengaruh positif maupun negatif. Pengaruh  positif  dari  interaksi  tersebut  adalah  mahasiswa  yang  memiliki  prestasi standar (IPK rendah)  ketika  berinteraksi  dengan  mahasiswa  memiliki    prestasi  bagus (IPK  tinggi)  maka  mahasiswa  memiliki  prestasi  standar  secara  signifikan  akan mengalami kenaikan IPK. Hal ini disebakan mahasiswa yang memiliki prestasi bagus (IPK tinggi) dapat “menularkan” pengetahuannya kepada mahasiswa memiliki prestasi standar melalui proses belajar bersama di lingkungan kost maupun lingkungan kampus. Ini sejalan dengan penelitian telah dilakukan Putriaji Hendikawati [1] bahwa salah satu yang mempengaruhi IPK mahasiswa adalah pergaulan dan kemampuan sosialisasi diri. Dinamika interaksi mahasiswa prestasi standar dengan mahasiswa prestasi bagus akan dikonstruksi dalam suatu model matematika berdasarkan referensi awal dari model SIR
pada  penyebaran  penyakit  menular.  Tulisan  ini  bertujuan  mengkonstruksi  model matematika  teoritis  mengenai  dinamika  interaksi  mahasiswa  di  perguruan  tinggi, membuktikan model secara analisis tentang positif invariant, terbatas dan stabil global dari  titik  kesetimbangan  bebas  interaksi  mahasiswa  maupun  titik  kesetimbangan endemik  interaksi  mahasiswa.  Analisis  kepositifan  dapat  ditemukan  pada  beberapa artikel  [2].  Bukti  stabil  global  yang  menjadi  rujukan  dalam  tulisan  ini  adalah  prinsip invariant LaSalle yang terdapat di kertas kerja Jafaruddin dkk [3] dan Yuni Yulida dkk [4]

## 2. METODE

## 2.1 Formulasi Matematika
Pada tulisan ini, populasi ( 𝑁 ) dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok mahasiswa prestasi  standar ( 𝑆 ) ,  kelompok  mahasiswa  prestasi  bagus ( 𝐼 1 ) dan  kelompok mahasiswa  prestasi  super  bagus ( 𝐼 2 ) .  Skenario  dan  asumsi  model  sebagai  berikut  : Kelompok 𝑆 adalah  mahasiswa  memiliki  prestasi  standar  akan  rentan  terpengaruh menjadi mahasiswa prestasi bagus ( 𝐼 1 ) atau menjadi  mahasiswa prestasi super bagus ( 𝐼 2 ) ketika  antar  mahasiswa  tersebut  melakukan    interaksi.  Begitu  juga  dengan mahasiswa  prestasi  bagus  ( 1 I )  akan  rentan  terpengaruh  menjadi  mahasiswa  prestasi super bagus ( 2 I ). Pada model ini dibatasi bahwa kelompok mahasiswa prestasi bagus dan  kelompok  mahasiswa  prestasi  super  bagus  tidak  akan  menjadi  kelompok mahasiswa  prestasi  standar  ketika  terjadi  interaksi  antar  mereka.  Rombongan mahasiswa baru ( 𝐴 ) akan langsung berkontribusi menambah kelompok 𝑆 . Jumlah total populasi ( 𝑁 ) diasumsikan konstan. Laju trasnmisi dari kelompok 𝑆 ke kelompok 𝐼 1 lebih besar dari  laju trasnmisi dari kelompok 𝑆 ke kelompok 𝐼 2 .
Skema dari model disajikan sebagai berikut :
Berdasarkan skema gambar 1 di atas maka diperoleh model sebagai berikut : 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝛼 𝑆 𝐼 1 𝑁 − 𝜌 𝑆 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝑆 𝑆 𝐼 1 𝐼 2 𝛼 𝛽 𝜌 𝐴 𝜇 𝑆 𝜇𝐼 1 𝜇𝐼 2
Gambar 2.1.
𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑆 𝐼 1 𝑁 − 𝛽 𝐼 1 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝐼 1 (1)
𝑑𝐼 2
𝑑𝑡 = 𝜌 𝑆 𝐼 2 𝑁 + 𝛽 𝐼 1 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝐼 2 dimana : 𝛼  ∶ laju transmisi dari 𝑆 ke 𝐼 1 𝛽  ∶ laju transmisi dari 𝐼 1 ke 𝐼 2 𝜌  ∶ laju transmisi dari 𝑆 ke 𝐼 2
Titik kesetimbangan bebas interaksi antar mahasiswa dari persamaan (1) ada tiga yaitu 𝐸 0 = (𝑁 , 0, 0) , 𝐸 1 = ( 𝑢𝑁 𝜌 , 0, 𝑁 (𝜌−𝜇) 𝜌 ) , dan 𝐸 2 = ( 𝜇𝑁 𝛼 , 𝑁 (𝛼−𝜇) 𝛼 , 0 )
(2)
Sedangkan  titik  kesetimbangan  endemik  interaksi  antar  mahasiswa  berdasarkan persamaan (1) adalah sebagai berikut:
𝐸 3 = (𝑆 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝐼 2 ∗ )
di mana 𝑆 ∗ = 𝛽 𝑁 𝛼+𝛽−𝜌 , 𝐼 1 ∗ = 𝑁 (𝛼𝜇−𝜌𝛽+𝜇𝛽−𝜇𝜌)
(𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 , 𝐼 2 ∗ = 𝑁 (𝛼𝛽−𝛼𝜇−𝛽𝜇+𝜌𝜇)
(𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽
(3)

## 2.1 Formula Bilangan Reproduksi Dasar Model
Akan dicari nilai bilangan reproduksi dasar ( ℛ 0 ) dengan menggunakan next generation matrix sebagai berikut:
Selanjutnya next generation matrix di titik 𝐸 0 dari model (1) adalah
NGM = [ 𝛼 𝜇 0 0 𝜌 𝜇 ] (4)
NGM pada persamaan (4) memiliki dua nilai eigen, yaitu 𝛼 𝜇 dan 𝜌 𝜇 sehingga bilangan reproduksi dasar adalah ℛ 0 = maks { 𝛼 𝜇 , 𝜌 𝜇 } (5)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Analisis Matematika Model
Lemma  3.1.1  Pada  kondisi  awal  non-negatif  sistem  persamaan  (1)  dapat  disajikan sebagai berikut: 𝑆(0) ≥ 0 , 𝐼 1 (0) ≥ 0 ,  dan 𝐼 2 (0) ≥ 0 , maka penyelesaian dari 𝑆(𝑡) , 𝐼 1 (𝑡) , dan 𝐼 2 (𝑡) dari model (1) selalu non-negatif untuk setiap waktu 𝑡 > 0 .
Bukti:
Berdasarkan persamaan (1) maka diperoleh
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝛼 𝑆 𝐼 1 𝑁 − 𝜌 𝑆 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝑆 ⟺ 𝑑𝑆 𝑑𝑡 𝑒 𝑃 + (𝛼 𝐼 1 𝑁 + 𝜌 𝐼 2 𝑁 + 𝜇) 𝑆 𝑒 𝑃 = 𝐴 𝑒 𝑝
Di mana 𝑃 = ∫ 𝛼 𝐼 1 (𝜏) 𝑁 𝑑𝜏 + 𝜌 𝐼 2 (𝜏) 𝑁 𝑑𝜏 + 𝜇𝑡 𝑡 0 .
Akibatya 𝑆(𝑡)   = 𝑆(0) + ∫ 𝐴 𝑒 [∫ 𝛼 𝐼1(𝜏) 𝑁 𝑑𝜏+𝜌 𝐼2(𝜏)
𝑁 𝑑𝜏+𝜇𝑡 𝑡 0
] 𝑑𝜏 𝑡 0 .
Jadi, terbukti bahwa 𝑆(𝑡) ≥ 0 , untuk setiap waktu 𝑡 > 0 . Bukti 𝐼 1 (𝑡) ≥ 0 sebagai berikut:
Dari  persamaan  (1)  diperoleh  bahwa 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑆 𝐼 1 𝑁 − 𝛽 𝐼 1 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝐼 1 dan 𝐼 1 (𝑡) = 𝐼 1 (0) +
𝑒 ∫  (𝛼 𝑆(𝜏) 𝑁 −𝛽 𝐼2(𝜏) 𝑁 −𝜇) 𝑑𝜏 𝑡 0
. Jadi, terbukti bahwa 𝐼 1 (𝑡) ≥ 0 , untuk setiap waktu 𝑡 > 0 . Bukti 𝐼 2 (𝑡) ≥ 0 sejalan dengan bukti 𝑆(𝑡) ≥ 0 dan 𝐼 1 (𝑡) ≥ 0 . ∎
Lemma 3.1.2 The feasible region Ω yang didefinisikan sebagai berikut:
Ω = {(𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) ∈ ℝ + 3 ∶ 𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ≥ 0, 𝑆 + 𝐼 1 + 𝐼 2 ≤ 𝐴 𝜇 } adalah  positif  invariant  terhadap persamaan (1).
Bukti:
𝑁 = 𝑆 + 𝐼 1 + 𝐼 2 , di mana 𝑁 = jumlah total populasi = konstan. Jadi, diperoleh 𝑑𝑁 𝑑𝑡 + 𝜇𝑁 = 𝐴 ⟺ 𝑁(𝑡) = 𝐴 𝜇 + 𝑁(0) 𝑒 −𝜇𝑡 − 𝐴 𝜇 𝑒 −𝜇𝑡 , untuk 𝑡 → ∞ berakibat 𝑁 → 𝐴 𝜇 , jumlah total populasi dalam jangka waktu panjang akan terbatas oleh 𝐴 𝜇 . ∎

## 3.2 Analisis kestabilan Global
Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa titik kesetimbangan bebas interaksi mahasiswa 𝐸 0 = ( 𝑁, 0, 0 ) dan    titik  kesetimbangan  endemik  interaksi  antar  mahasiswa 𝐸 3 = ( 𝑆 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝐼 2 ∗ ) masing-masing  merupakan titik stabil asimtok global di Ω .
Teorema 3.2.1: Kestabilan Global  titik kesetimbangan
(i) Jika ℛ 0 ≤ 1 maka 𝐸 0 = ( 𝑁, 0, 0 ) stabil asimtotik global (ii) Jika ℛ 0 > 1 maka 𝐸 3 = ( 𝑆 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝐼 2 ∗ ) stabil asimtotik global Bukti :
(i)  Dibentuk fungsi Lyapunov 𝑈 ∶   {   (𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) ∈ Ω ∶   𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 > 0} → ℝ dengan rumus sebagai berikut :
𝑈(𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) = [𝑆 − 𝑁 − 𝑁 ln ( 𝑆 𝑁 )] + 𝐼 1 + 𝐼 2 maka diperoleh 𝑈(𝐸 0 ) = 0 , dan 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = ( 𝑑𝑆 𝑑𝑡 − 𝑁 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑡 ) + 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 2 𝑑𝑡
(6)
Substitusi persamaan (1)  dan (5) ke persamaan (6)  maka diperoleh, 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝜇 𝑆 − 𝑁 𝑆 𝐴 + 𝛼 𝐼 1 + 𝜌 𝐼 2 + 𝜇𝑁  − 𝜇 𝐼 1 − 𝜇 𝐼 2
(7) atau ekuivalen dengan 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = −𝜇 𝑆 − ( 𝑁 𝑆 − 1 ) 𝐴 + ( ℛ 0 − 1) 𝜇 𝐼 1 + ( ℛ 0 − 1) 𝜇 𝐼 2
(8)
Subtitusi titik 𝐸 0 ke persamaan (8)  maka diperoleh 𝑑𝑈 𝑑𝑡 < 0 bila ℛ 0 ≤ 1 .
Dari persamaan (7) ,  yaitu 𝑑𝑈 𝑑𝑡 = 0 jika hanya jika 𝑆 = 𝑁 , 𝐼 1 = 0 , dan 𝐼 2 = 0 .
Oleh karena itu , himpunan kompak invariant terbesar dalam {  (𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) ∈ Ω  ∶ dU dt = 0 } adalah  singleton { 𝐸 0 } sehingga  berdasarkan  prinsip  invariant  LaSalle    titik kesetimbangan  bebas  interaksi  mahasiswa 𝐸 0 = ( 𝑁, 0, 0 ) merupakan  titik  stabil asimtok global di Ω .
(ii)    Didefinisikan  fungsi    Lyapunov 𝐿 ∶   { (𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) ∈ Ω ∶ 𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 > 0 } → ℝ dengan rumus:
𝐿(𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) = [𝑆 − 𝑆 ∗ − 𝑆 ∗ ln ( 𝑆 𝑆 ∗ )] + 𝜇 𝛼 [𝐼 1 − 𝐼 1 ∗ − 𝐼 1 ∗ ln ( 𝐼 1 𝐼 1 ∗ )] + 𝜇 𝛽 [𝐼 2 − 𝐼 2 ∗ − 𝐼 2 ∗ ln ( 𝐼 2 𝐼 2 ∗ )] maka diperoleh,
𝑑𝐿 𝑑𝑡 = [ 𝑑𝑆 𝑑𝑡 − 𝑆 ∗ 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑡 ] + 𝜇 𝛼 [ 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 − 𝐼 1 ∗ 𝐼 1 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 ] + 𝜇 𝛽 [ 𝑑𝐼 2 𝑑𝑡 − 𝐼 2 ∗ 𝐼 2 𝑑𝐼 2 𝑑𝑡 ] (9)
Matriks Hesssian 𝐻(𝐸 3 ) sebagai berikut :
𝐻(𝐸 3 ) = ( 𝑆 ∗ 𝑆 2 0 0 0 𝜇 𝛼 𝐼 1 ∗ 𝐼 1 2 0 0 0 𝜇 𝛽 𝐼 2 ∗ 𝐼 2 2 )
, dan  matriks Hesssian 𝐻(𝐸 3 ) adalah definit positif karena
𝜕 2 𝐿 𝜕𝑆 2 = 𝑆 ∗ 𝑆 2 > 0 , ( 𝜕 2 𝐿 𝜕𝑆 2 ) ( 𝜕 2 𝐿 𝜕𝐼 1 2 ) − ( 𝜕 2 𝐿 𝜕𝑆 𝜕𝐼 1 ) 2 = 𝑆 ∗ 𝑆 2 𝜇 𝛼 𝐼 1 ∗ 𝐼 1 2 > 0 ,  dan ,  det (𝐻(𝐸 3 )) = 𝑆 ∗ 𝑆 2 𝜇 𝛼 𝐼 1 ∗ 𝐼 1 2 𝜇 𝛽 𝐼 2 ∗ 𝐼 2 2 > 0 . sebab 𝑆 ∗ = 𝛽 𝑁 𝛼+𝛽−𝜌 > 0 , 𝐼 1 ∗ = 𝑁 (𝛼𝜇−𝜌𝛽+𝜇𝛽−𝜇𝜌) (𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 > 0 , dan 𝐼 2 ∗ = 𝑁 (𝛼𝛽−𝛼𝜇−𝛽𝜇+𝜌𝜇) (𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 > 0 .
Oleh karena itu 𝐿 merupakan fungsi konveks tegas, dan berdasarkan persamaan (9), yaitu 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 0 jika dan hanya jika 𝑆 = 𝑆 ∗ , 𝐼 1 = 𝐼 1 ∗ ,  dan 𝐼 2 = 𝐼 2 ∗ .
Jadi, titik 𝐸 3 merupakan titik minimum global pada Ω .
Selanjutnya, substitusi persamaan (1)  dan  (5)  ke persamaan (9)  maka diperoleh, 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = (1 − 𝑆 ∗ 𝑆 ) ⏟ <0 [(𝜇 ℛ 0 𝑆 − 𝛽 𝐼 2 ) 𝐼 1 𝑁 − 𝜇 𝐼 1 ] ⏟ >0 + (1 − 𝐼 1 ∗ 𝐼 1 ) ⏟ <0 [𝜇 𝑆 𝐼 1 𝑁 + (𝛽 𝐼 2 𝑁 − 𝜇) 𝐼 1 ℛ 0 ] ⏟ >0 + (1 − 𝐼 2 ∗ 𝐼 2 ) ⏟ <0 [𝜇 𝑆 𝐼 2 𝑁 + ( 𝛽 𝐼 1 𝑁 − 𝜇) 𝐼 2 ℛ 0 ] ⏟ >0 < 0 berlaku  bila ℛ 0 > 1 .
di mana:
1 − 𝑆 ∗ 𝑆 = 1 − 𝛽 𝑁 𝛼+𝛽−𝜌 𝑆 = 1 − 𝛽 𝛼+𝛽−𝜌 𝑁 𝑆 < 0 , sebab 𝑁 > 𝑆 maka 𝑁 𝑆 > 1 1 − 𝐼 1 ∗ 𝐼 1 = 1 − 𝑁 (𝛼𝜇−𝜌𝛽+𝜇𝛽−𝜇𝜌) (𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 𝐼 1 = 1 − (𝛼𝜇−𝜌𝛽+𝜇𝛽−𝜇𝜌) (𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 𝑁 𝐼 1 < 0 , sebab 𝑁 > 𝐼 1 maka 𝑁 𝐼 1 > 1 1 − 𝐼 2 ∗ 𝐼 2 = 1 − 𝑁 (𝛼𝛽−𝛼𝜇−𝛽𝜇+𝜌𝜇) (𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 𝐼 2 = 1 − (𝛼𝛽−𝛼𝜇−𝛽𝜇+𝜌𝜇) (𝛼+𝛽−𝜌) 𝛽 𝑁 𝐼 2 < 0 , sebab 𝑁 > 𝐼 2 maka 𝑁 𝐼 2 > 1
Oleh karena itu  himpunan kompak invariant terbesar dalam {  (𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 ) ∈ Ω  ∶ dL dt = 0 } adalah  singleton { 𝐸 3 } sehingga  berdasarkan  prinsip  invariant  LaSalle  titik
kesetimbangan endemik interaksi antar mahasiswa 𝐸 3 = ( 𝑆 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝐼 2 ∗ ) merupakan titik stabil asimtok global di Ω . ∎

## 4. SIMPULAN
Berdasarkan  uraian  sebelum  maka  disimpulkan  bahwa  model  matematika  interaksi antar mahasisiwa berhasil dikonstruksi adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝛼 𝑆 𝐼 1 𝑁 − 𝜌 𝑆 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝑆 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑆 𝐼 1 𝑁 − 𝛽 𝐼 1 𝐼 2
𝑁 − 𝜇 𝐼 1 𝑑𝐼 2 𝑑𝑡 = 𝜌 𝑆 𝐼 2 𝑁 + 𝛽 𝐼 1 𝐼 2 𝑁 − 𝜇 𝐼 2
Model  tersebut  telah  dibuktikan  secara  analisis    positif  invariantnya  ,  solusi  selalu terbatas,  dan  titik  kesetimbangan  bebas  interaksi  mahasiswa  maupun  titik kesetimbangan  endemik  interaksi  mahasiswa  masing-masing  adalah  stabil  asimtok global.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  P.  Hendikawati,  “Putri  Hendikawati,  ‘Analisis  Faktor  yang  mempegaruhi  Indeks Prestasi mahasiswa’, Jurnal Matematika Kreatif-Inovatif, Vol.2 , no.1, tahun 2011.,” Jurnal Matematika Kreatif-Inovatif, vol. 2, no. 1, pp. 27–35, 2011.
[2]  M. Z. Ndii, F. R. Berkanis, D. Tambaru, M. Lobo, Ariyanto, and B. S. Djahi, “Optimal control  strategy  for  the  effects  of  hard  water  consumption  on  kidney-related diseases,” BMC Research Notes, vol. 13, no. 1, p. 201, Apr. 2020, doi: 10.1186/s13104- 020-05043-z.
[3]  J.  Jafaruddin,  S.  W.  Indratno,  N.  Nuraini,  A.  K.  Supriatna,  and  E.  Soewono, “Kestabilan Model SIR-SI host-vector transmisi demam dengue,” 2013, pp. 126–131.
[4]  Y.  Yulida,  F.  Faisal,  and  M.  K.  Ahsar, “Yuni  Yulida,  Faisal, Muhammad Ahsar,K, ‘Analisis Kestabilan Global Model Epidemik SIRS menggunakan fungsi Lyapunov’, Jurnal Matematika Murni dan Terapan, Vol.5, No.2, tahun 2011.,” Jurnal Matematika Murni dan Terapan, vol. 5, no. 2, pp. 19–30, 2011.