Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (2), 381 – 392, September 2022 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2022 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/7102

## SOLUSI NUMERIK MASALAH BIO-DEGRADASI PENCEMAR AIR TANAH MENGGUNAKAN METHOD-OF-LINES
Mochamad Tito Julianto 1 , Sri Nurdiati 2 , Muhammad Adam Tripranoto 3 , Mohamad Khoirun Najib 4 1,2,3,4 IPB University, Jl. Raya Dramaga, Babakan, Bogor, Indonesia Email: 1 mtjulianto@apps.ipb.ac.id , 2 nurdiati@apps.ipb.ac.id , 3 muhammad_adam@apps.ipb.ac.id , 4 mkhoirun_najib@apps.ipb.ac.id

## ABSTRACT
The  biodegradation  process  of  groundwater  pollutants  can  be  modelled  as  a  non-linear  advection-dispersion-reaction Partial  Differential  Equations  (PDE).  To  solve  these  equations,  it  requires  the  efficient  numerical  methods  to  obtain approximate solutions. The method-of-lines which is employed to get the approximate solutions produces a system of ordinary differential equation (ODE) as a result of the space discretization which is generally stiff and very large. In this case, this research uses the fifth-order Runge-Kutta method, which is known as a stable method so that it is expected to handle such a stiff ODE system. To improve its efficiency, the ODE system is converted into the vectorized system. In the first case example, it is simulated that the pollutant is concentrated in one location, while nutrient and microbe are distributed  evenly  throughout  the  area.  For  the  second  case  example,  pollutant  and  nutrient  are  evenly  distributed throughout the area, while microbe is concentrated at eight locations within the simulation area. Numerical results for both cases using non vectorized and vectorized implementation show that their result have similar numerical accuracy outputs,  but  the  vectorized  implementation  requires  much  less  computing  time.  This  study  also  compares  our implementation of the 5th order Runge-Kutta and the Tsit5 method, the 5th order Runge-Kutta implementation provided by the package of DifferentialEquation.jl in Julia. The numerical simulation result shows that both have similar numerical solution accuracy. However, the Tsit5 method is less efficient than the implemented 5th order Runge-Kutta since it takes far more computing time.
Keywords: Advection-Dispersion-Reaction, Biodegradation, Julia, Method-of-Lines, Runge-Kutta

## ABSTRAK
Masalah biodegradasi pencemar air tanah dapat dimodelkan berupa persamaan diferensial parsial (PDP) adveksi-dispersi-reaksi non-linear.  Kompleksnya  persamaan  ini  menuntut  digunakannya  metode  numerik  yang  efisien  untuk  memperoleh  hampiran solusi. Method-of-Lines yang digunakan untuk memberikan hampiran solusi tersebut, menghasilkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (PDB) hasil diskritisasi ruang yang umumnya bersifat kaku dan berukuran sangat besar. Solusi numerik dari model dihitung menggunakan metode Runge-Kutta orde 5 yang dikenal stabil sehingga diharapkan mampu menangani sistem PDB yang kaku. Untuk meningkatkan efisiensi, sistem PDB yang diperoleh diformulasikan ulang ke dalam notasi matriks. Pada contoh kasus pertama, disimulasikan pencemar terkonsentrasi di satu lokasi dengan nutrien dan mikroba tersebar merata di seluruh  area.  Pada  contoh  kasus  kedua,  pencemar  dan  nutrien  tersebar  merata  di  seluruh  area,  sedangkan  mikroba terkonsentrasi di delapan lokasi pada area simulasi tersebut. Hasil simulasi numerik untuk kedua kasus menunjukkan bahwa implementasi notasi matriks memberikan solusi numerik yang sama akurat dan jauh lebih efisien dibanding formulasi non-matriks. Penelitian  ini  juga  membandingkan  kinerja  antara  metode  Runge-Kutta  orde  5  diimplementasi  dan  metode  Tsit5  disediakan package DiferensialEquation.jl pada perangkat lunak Julia. Hasil simulasi numerik menunjukkan keduanya memberikan solusi numerik  yang  sama  akurat  pada  kedua  contoh  kasus.  Namun  demikian,  metode  Tsit5  kurang  efisien  dibandingkan  metode Runge-Kutta orde 5 dalam segi waktu komputasi.
Kata kunci: Adveksi-dispersi-reaksi, biodegradasi, julia, method-of-lines, runge-kutta
Dikirim: 27 Januari 2022; Diterima: 11 Juli 2022; Dipublikasikan: 30 September 2022 Cara sitasi: Julianto, M.T., Nurdiati, S., Tripranoto, M. A., & Najib, M. K. (2020). Solusi numerik masalah bio-degradasi pencemar air tanah menggunakan method-of-lines . Teorema : Teori dan Riset Matematika, 7 (2), 381 – 392. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v7i2.7102

## PENDAHULUAN
Pencemaran air tanah memiliki dampak yang sangat buruk, seperti berkurangnya persediaan air bersih, tingginya populasi bakteri yang berbahaya, dan turunnya tingkat kesehatan makhluk hidup. Teknik biodegradasi  telah  mendapat  perhatian  yang  cukup  besar  dalam  konteks  pembersihan  lokasi  yang tercemar,  karena  biayanya  yang  relatif  rendah  (Bamforth  &  Singleton,  2005).  Teknik  biodegradasi dilakukan untuk menghilangkan pencemar yang tersebar di area tercemar menggunakan makhluk biologis sejenis mikroba (Julianto, 2000).
Pemodelan  matematika  sangat  berguna  untuk  memahami  mekanisme  biodegradasi, menganalisis sensitivitas berbagai parameter yang mempengaruhi model dan efisien dalam menyelidiki berbagai strategi masalah biodegradasi pencemar air tanah (Dawson & Wheeler, 1992). Menurut Julianto (2000),  secara  lebih  sederhana  masalah  biodegradasi  pencemar  air  tanah  dapat  dimodelkan  menjadi persamaan diferensial parsial (PDP) adveksi-dispersi-reaksi non-linear tanpa suku injeksi. Model tersebut merupakan persamaan kompleks, sehingga solusi tidak dapat ditentukan secara analitik. Oleh karena itu dibutuhkan suatu komputasi numerik untuk memberi hampiran solusi model biodegradasi pencemar air tanah.
Salah satu cara untuk menyelesaikan PDP yang memiliki kebergantungan terhadap waktu adalah menggunakan method-of-lines yang mendiskritisasi dimensi ruang dan membiarkan dimensi waktu tetap kontinu. Pendekatan ini menghasilkan sistem persamaan diferensial biasa (PDB), yang kemudian dapat diselesaikan dengan metode numerik, seperti Runge-Kutta orde 4 (Heath, 1997).
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penelitian  ini  menggunakan method-of-lines (MOL)  untuk memperoleh  sistem  persamaan  diferensial  biasa  (PDB)  dan  metode  Runge-Kutta  orde  5  (RK5)  untuk menyelesaikan beberapa kasus simulasi numerik masalah biodegradasi pencemar air tanah. Tujuan yang ingin  dicapai  pada  penelitian  ini  adalah  untuk  menerapkan  MOL  dan  metode  RK5  pada  masalah persamaan  diferensial  parsial  biodegradasi  pencemar  air  tanah  menggunakan  perangkat  lunak  Julia, kemudian mengubah bentuk sistem PDB ke dalam bentuk matriks dan membandingkan kinerja antara sistem  PDB  dalam  bentuk  matriks  dan  sistem  PDB  dalam  bentuk  non-matriks,  serta  membandingkan kinerja  antara  metode  RK5 dan  metode  Tsitouras  5/4  Runge-Kutta  (Tsit5)  yang disediakan package DifferentialEquations.jl pada perangkat lunak Julia.

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini diawali dengan studi literatur yang berkaitan dengan Method-of-Lines (MOL) untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial (PDP) 2-dimensi yang memodelkan masalah bio-degradasi pencemar  air  tanah.  MOL  diawali  dengan  proses  diskretisasi  PDP  menjadi  sebuah  sistem  persamaan diferensial  biasa  (sistem  PDB).  Selanjutnya,  solusi  PDP  diperoleh  melalui  penyelesaian  sistem  PDB tersebut menggunakan salah satu metode numerik.
Dalam penelitian ini digunakan metode beda pusat untuk melakukan diskretisasi PDP menjadi sistem PDB (Gupta, 2019; Noviyani et al ., 2019). Sistem PDB hasil diskretisasi kemudian diselesaikan menggunakan metode Runge-Kutta orde 5 (RK5) dan Tsitouras 5/4 Runge-Kutta (Tsit5) menggunakan perangkat lunak Julia. Pada penelitian ini, diselesaikan beberapa kasus biodegradasi pencemar air tanah untuk nilai awal yang berbeda.
Julianto (2000) mengatakan bahwa sistem PDB hasil diskritisasi diimplementasi ke dalam bentuk tiga sistem persamaan secara langsung. Penelitian ini mencoba memodifikasi implementasi sistem PDB hasil diskretisasi tersebut menjadi bentuk matriks dan membandingkan kinerjanya terhadap bentuk non- matriks. Selain itu, solusi sistem PDB yang diselesaikan metode Runge-Kutta orde 5 dibandingkan dengan metode Tsitouras 5/4 Runge-Kutta (Tsit5) yang disediakan package DifferentialEquations.jl v6.15.0 pada perangkat  lunak  Julia.  DifferentialEquations.jl  adalah  paket  penyelesaian  persamaan  diferensial  yang dikembangkan oleh Scientific Machine Learning Software (SciML) yang ditulis dalam Julia dan tersedia untuk perangkat lunak Julia, Python, dan R ( Rackauckas & Nie, 2017; Rackauckas, 2020).
Method-of-Lines (MOL) Method-of-Lines (MOL) adalah salah satu metode semi-diskrit yang menghampiri solusi dari suatu PDP  yang  memiliki  ketergantungan  waktu  secara  numerik  dengan  melakukan  diskritisasi  ruang  dan menyisakan variabel waktu tetap kontinu (Heath, 2002). MOL dianggap sebagai Finite Difference Method (FDM) khusus karena lebih efektif sehubungan dengan akurasi dan waktu komputasi daripada FDM biasa. Ide dasar dari MOL adalah mengubah turunan ruang pada PDP dengan pendekatan aljabar yaitu diskritisasi  dimensi  ruang.  Setelah  langkah  tersebut  dilakukan,  turunan  ruang  tidak  dinyatakan  secara eksplisit dan hanya akan ada satu variabel bebas yang tersisa. Dari diskritisasi dimensi ruang diperoleh sistem PDB yang mendekati persamaan diferensial parsial semula. Setelah itu, bisa diterapkan salah satu metode  penyelesaian  PDB  masalah  nilai  awal  untuk  menghitung  solusi  numerik  terhadap  sistem  PDB tersebut (Hamdi et al ., 2007).
Menurut  Heath  (2002),  sistem  PDB  hasil  MOL  tersebut  umumnya  bersifat  sangat  kaku  ( stiff ). Metode  numerik  yang  tidak  stabil  menyebabkan  solusi  sistem  PDB  berubah-ubah  dengan  cepat mengharuskan ukuran langkah yang digunakan sangat kecil untuk menjaga stabilitas, sehingga metode numerik  yang  dipilih  harus  stabil.  Pada  penelitian  ini,  bentuk  sistem  PDB  yang  telah  ditentukan  akan dihitung menggunakan metode Runge-Kutta orde 5.

## Metode Runge-Kutta Orde 5 (RK5)
Menurut Munir (2003), metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode Runge-Kutta mengevaluasi fungsi ) ( , ( ) f t y t pada titik terpilih untuk setiap selang langkah. Tingkat ketelitian dari metode ini dipengaruhi oleh ordenya, semakin besar ordenya maka semakin teliti hasil yang diperoleh (Fardinah, 2017). Salah satu metode Runge-Kutta yang  sering digunakan  untuk  menyelesaikan  suatu  persamaan  diferensial adalah  metode  Runge-Kutta orde 5.
Bentuk dari metode Runge-Kutta orde 5 adalah:
( ) 1 1 3 4 5 6 7 32 12 32 7 90 r r h y y k k k k k + = + + + + + (1)
dengan ( ) 1 , r r k f t y = , 2 1 1 1 , 4 4 r r k f t h y k h   = + + 
   3 1 2 1 1 1 , 4 8 8 r r k f t h y k h k h   = + + +    
4 2 3 1 1 , 2 2 r r k f t h y k h k h   = + − +     5 1 4 3 3 9 , 4 16 16 r r k f t
h y k h k h   = + + +   
 6 1 2 3
4 5 3 2 12 12 8 , 7 7 7 7 7 r r k f t h y k h k h k h k h k h   = + − + + − +     serta 1 r r h t t + = − , 0,1, 2,..., r n = , ( ) 0 0 y y t = dan ( ) n n y y t  (Fardinah, 2017).

## Model Biodegradasi Pencemar Air Tanah
Misalkan S menyatakan  konsentrasi  pencemar, O menyatakan  konsentrasi  nutrien,  dan M menyatakan  konsentrasi  mikroba. Persamaan  adveksi-dispersi-reaksi non-linear  masalah bio-degradasi pencemar air tanah dengan menghilangkan suku injeksi, dengan asumsi bahwa mikroba bersifat immobile (Julianto  2000).  Dalam  area  pengamatan,  mikroba  tidak  dipengaruhi  oleh  proses  adveksi  dan  proses
dispesi,  melainkan  hanya  proses  reaksi  yang  dinyatakan  dalam  persamaan  kinetik  monod,  sehingga model biodegradasi pencemar air tanah adalah berupa PDP seperti berikut:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 , , , , , , S R D u S u S R S O M t O D u O u O S O M t M S O M t   −    +  =  
   −    +  =     = 

(2)
dengan u adalah kecepatan Darcy, dan ( ) D u adalah tensor dispersi hidrodinamik yang pada ruang 2- dimensi berupa
( ) 2 2 2 2 | | | | x x y x x y l t m x y y x y y u u u u u u D u D I u u u u u u u u       −     = + +     −     (3)
dengan m D adalah difusitas molekuler, l  dan t  masing-masing adalah dispersitas longitudinal dan transversal, x u dan y u masing-masing adalah kecepatan Darcy dalam arah sumbu x dan arah sumbu y . Sementara itu, 1 2 , ,   dan 3  adalah faktor kinetik monod yang didefinisikan oleh:
1 2 3 ( , , )
( , , )
( , , ) S O S O C S O S O
S O M M k K S K O S O S O M M k f K S K O S O S O M M k Y k Y OC b M K S K O
    
= −        + +          = −         + +          =     +   −      + +    
(4)
Parameter Simulasi Biodegradasi
Pada  Persamaan  (2)  digunakan  beberapa  parameter  simulasi  yang  bersumber  dari  Julianto (2000), Dawson & Wheeler (1991) serta Borden & Bedient (1986). Parameter fisik yang digunakan adalah porositas 0.25  = , faktor retardasi terhadap absorbsi 1 2 R = , dispersitas longitudinal 10 l  = kaki, dispersitas  transversal 1 t  = kaki,  dan  kecepatan  Darcy 20 u = kaki 2 /hari.  Sementara,  parameter biodegradasi  yang  digunakan  adalah  kecepatan  utilitas  pencemar  maksimum  tiap  unit  massa  mikroba
0.17 k = perhari,  kecepatan  peluruhan  orde  pertama  dari  karbon  organik  alami
6 2.7 10 c k − =  ,
konsentrasi  karbon  organik  alami 750 OC = ,  perbandingan  nutrien  terhadap  pencemar  yang dikonsumsi 3 f = ,  koefisien yield mikrobial 0.13 Y = ,  konstanta  saturasi  setengah  pencemar 0.13 S K = mg/l, konstanta saturasi setengah nutrien 0.1 O K = mg/l, dan kecepatan peluruhan mikroba 0.01 b = perhari.

## Tahapan Penelitian
Penelitian dilakukan melalui tahapan sebagai berikut:
1. Penulisan  ulang  model  biodegradasi  pencemar  air  tanah  berupa  PDP  pada  Persamaan  (2) menjadi bentuk yang siap untuk dilakukan diskritisasi ruang.
2. Pendefinisian  kasus-kasus  model  biodegradasi  pencemar  air  tanah.  Pada  tahap  ini  digunakan dua kasus simulasi, yaitu kasus pencemar terpusat di satu lokasi dan kasus pencemar tersebar merata.
3. Diskritisasi ruang terhadap PDP menggunakan hampiran beda pusat pada kisi seragam ( , ) i j x y ,
1, 2,..., x i N = , 1, 2,..., y y N = dengan 1 ( 1) i x x i x = + −  dan 1 ( 1) j y y j y
= + −  .  Dalam penelitian ini digunakan x y  =  demi kemudahan implementasi. Dari tahap ini, hasil diskritisasi PDP  yang  diperoleh  berupa  sistem  PDB  dengan  masalah  nilai  awal  berukuran  besar,  yaitu sebesar 3 x y N N   persamaan.
4. Pendefinisian  sistem  PDB  diimplementasi  ke  dalam  dua  bentuk,  yaitu  bentuk  non-matriks  dan matriks.  Pada  bentuk  non-matriks,  sistem  PDB  diimplementasi  ke  dalam  bentuk  tiga  sistem persamaan langsung. Pada bentuk matriks, sistem PDB yang dituliskan ke dalam bentuk matriks.
5. Pencarian  solusi  numerik  sistem  PDB  menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde  5.  Dalam penelitian ini dibandingkan penggunaan metode Runge-Kutta orde 5 (RK5) pada Persamaan 1 dan metode Tsitouras 5/4 Runge-Kutta (Tsit5) yang disediakan oleh paket DifferentialEquations.jl pada perangkat lunak Julia 1.5.3.
6. Validasi hasil simulasi yang diperoleh dari tahap sebelumnya (solusi numerik sistem PDB) untuk kedua kasus simulasi.
7. Pembandingan kinerja implementasi sistem PDB dalam bentuk non-matriks dan matriks. Selain itu pada tahap ini, dibandingkan pula kinerja metode RK5 dan Tsit5 dalam menyelesaikan sistem PDB.  Terdapat  dua  aspek  yang  dilihat  dalam  proses  pembandingan,  yaitu  aspek  akurasi  dan aspek efisiensi ( run time ).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Proses  komputasi  pada  penelitian  ini  dilakukan  menggunakan  komputer  dengan  prosesor Intel Core i7-10710U dan kapasitas RAM 64 GB. Sistem operasi yang digunakan adalah Microsoft Windows 10 Professional 64-bit dengan perangkat lunak Julia 1.5.3. Spesifikasi perangkat ini jauh lebih  maju  dibanding  apa  yang  digunakan  dalam  Julianto  (2000),  sehingga  memungkinkan digunakannya  notasi  matriks  dalam  implementasi  sistem  PDB  hasil  diskretisasi  ruang,  serta penggunaan  perangkat  lunak  yang  lebih  modern.  Dalam  pembahasan  berikut,  ditunjukkan bagaimana  penggunaan  notasi  matriks  untuk  meningkatkan  kinerja  penyelesaian  numerik,  serta perbandingan  metode  penyelesaian  sistem  PDB  yang  muncul  dalam  penyelesaian  model biodegradasi pencemar air tanah
Penerapan Method-of-Lines pada Model Biodegradasi Untuk  memudahkan  diskritisasi  ruang,  Persamaan  (2)  masing-masing  dituliskan  ulang  ke dalam bentuk persamaan diferensial parsial (PDP) standar (Constanda, 2018) sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 , , , , , , x y x y S S
S S S S R a b c u u R S O M t x y x y x y O O O O O O a b c u u S O M t x y x y x y M S O M t        = + + − − +                 = + + − − +         
 =   (5)
dengan ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 / | |, / | | 2 / | | m l x t y m l y t x x y l t a D u u u
b D u u u
c u u u
      = + + = + +
= −
Misalkan  peubah , , ( , ), ( , ), i j i j i j i j S S x y O O x y = = dan , ( , ) i j i j M M x y = masing-
masing menyatakan konsentrasi pencemar, nutrien dan mikroba pada titik ( , ) i j x y di suatu ruang 2-dimensi. Hampiran beda pusat dari suku-suku turunan pencemar (S) pada Persamaan (5) adalah sebagai berikut.
2 1, , 1, 2 2 2 2 , 1 , , 1 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 4
i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j S x x y S x y S x x y S S S S x x x S x y y S x y S x y y S S S S y y y S x x y y S x x y y S x x y y S x x y y S
x y − + − + −  − + +  − +   =    −  − + +  − +   =    −  −  − −  +  − +  −  + +  + 
 
 
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1,
, 1 , 1
4 ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) ( , ) 2 2 i j i j i j i j
i j i j i j i j i j i j i j i j x y S S S S x y S x x y S x x y S S S x x x S x y y S x y y S S S y y y
− − − + + − + + + − + −   − − + =   +  − −  −
  =    +  − −  −   =
  
Hal  yang  sama  dilakukan  juga  pada  suku-suku  turunan  nutrien  (O).  Substitusi  hampiran suku-suku  turunan  tersebut  terhadap  Persamaan  (5)  menghasilkan  sistem  persamaan  diferensial biasa (sistem PDB) hasil diskretisasi ruang yaitu:
, , , ,
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 , 1 2 1 1, ,
1, 2 2 2 2 2 ( , , , )
1 2 ( )
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j S i j i j i j y i j i j i j i j i j x x i j i j i j y dS f t S O M dt u c b
S S S S S R x y y y
u u a a b a S S S x x x x y x u b y y − − + − − + + + − − + =    =   − − + + +                     + +  − +  + −                     
 + −   , 1 1 , , , ( , , ) i j i j i j i j S S O M +    +           (6)
, , , , 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 , 1 2
1, ,
1, 2 2 2 2 2 ( , , , )
1 2 ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
i j O i j i j i j y i j i j i j i j i j x x i j i j i j y dO f t S O M dt
u
c
b O O O O O x y y y u u a a b a O O O x x x x y x
u b y y
− − + − − + + + − − + =    =   − − + + +                     + +  − +  + −                       + −  
  , 1 2 , , ,
,
, , , 3 , , , ( , , )
( , , , ) ( , , )
i j i j i j i j i j M i j i j i j i j i j i j O S O M
dM f t S O M S O M dt +    +        
= = 
dengan [0, ] [0, 20], 0,1,..., , [0, ] [0,8], i x x j y x L i N y L  = =  = dan 0,1,..., y j N = . Setelah
itu, peubah-peubah hasil diskritisasi ruang
, , , ( , , )
i j i j i j S O M disusun dalam urutan sebagai berikut:
1,1 1,1 1,1 ,1 ,1 ,1 , , , , , ,..., , , ,..., , , x x x x y x y x y
N N N
N N N N N N U S O M S O M S O M  

## = 

Dengan notasi vektor di atas, Persamaan (6) dapat dituliskan secara ringkas sebagai sistem PDB berikut:
( , ) dU f t U dt = (7)
Pada  penelitian  ini  digunakan
201 x N = dan 81 y N = ,  sehingga  sistem  PDB  yang  diperoleh berukuran 3 201 81 48 843   = . Ukuran langkah yang digunakan adalah 0.1 x  = dan 0.1 y  = .
Sistem  PDB  (7)  kemudian  diselesaikan  menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde  5  untuk [0, 200], 20001, t t N  = dan 0.01 t  = . Misalkan vektor solusi r U dengan 0,1, 2,..., 1 t r N = − adalah  nilai  vektor U pada  iterasi  ke- r .  Bentuk  umum  metode  Runge-Kutta  orde  5  (RK5)  pada Persamaan (1) dapat dituliskan menjadi seperti berikut.
( ) 1 1 3 4 5 6 7 32 12 32 7 90 r r t U U k k k k k +  = + + + + + (8)
dengan ( ) 1 , r r k f t U = , 2 1 1 1 , 4 4 r r k f t t U k t   = +  +      3 1 2 1 1 1 ,
4 8 8 r r k f t t U k t k t   = +  +  +   
 
4 2 3 1 1 , 2 2 r r
k f t t U k t k t
  = +  −  +     
5 1 4 3 3 9 ,
4 16 16 r r k f t t U k t k t   = +  +  +   
  6 1 2 3 4 5 3 2 12 12 8 , 7 7 7 7 7 r r k f t h U k t k t k t k t k t  
= + −  +  +  −  +     
Serta 0 U adalah nilai awal sistem persamaan diferensial biasa.

## Simulasi Numerik
Pada kasus pencemar terpusat di satu lokasi, diasumsikan bahwa pencemar terkonsentrasi di  suatu  lokasi  dengan  kadar  tinggi  dan  kadar  sangat  rendah  di  lokasi  lain.  Nutrien  dan  mikroba dalam kasus ini diasumsikan menyebar merata di seluruh area simulasi. Secara lengkap, nilai awal dan nilai batas yang digunakan pada kasus ini adalah sebagai berikut.
1. Nilai awal S berupa suatu fungsi bell-shaped untuk menjaga sifat kekontinuan fungsi agar dapat terturunkan.
( ) 2 2 ( , , 0) 0.01 6 exp 0.75 ( 6) ( 4) S x y x y   = + −  − + −   (9)
2. Nilai awal O dan M berupa fungsi konstan ( , , 0) 3 O x y = dan ( , , 0) 0.025 M x y = .
3. Nilai batas yang digunakan adalah sebagai berikut.
(0, , ) (0, , ) (0, , ) 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 ( , 0, ) ( , 0, ) ( , 0, ) 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 20, 0 8, 0 200
x x x
x x x x x x y y y y y y y y y S y t O y t M y t S L y t O L y t M L y t S x t O x t M x t S x L t O x L t M x L t
x y t = = = = = = = = = = = =
      (10)
Solusi numerik sistem PDB pada Persamaan (6) untuk kasus 1 ditunjukkan pada Gambar 1. Pada pencemar dan nutrien terjadi proses adveksi-dispersi-reaksi, sedangkan pada mikroba hanya terjadi proses reaksi yang dipengaruhi oleh  pencemar dan nutrien. Proses adveksi mempengaruhi aliran air tanah yang bergerak secara horizontal. Sebaliknya, proses dispersi mempengaruhi tingkat peluruhan  konsentrasi  pencemar  dan  nutrien  tinggi.  Hal  ini  dapat  dilihat  saat  t  =  10  konsentrasi pencemar mendekati nilai nol. Sementara itu, proses reaksi mempengaruhi konsentrasi mikroba dari terjadinya proses adveksi dan dispersi yang relatif cepat.
Gambar 1 . Simulasi numerik kasus pencemar terpusat di satu lokasi pada saat t = 0,5,10, dan 200
Pada  kasus  pencemar  tersebar  merata,  diasumsikan  bahwa  pada  awalnya  mikroba terkonsentrasi di 8 lokasi pada area simulasi, dengan fungsi konsentrasi pada masing-masing lokasi berupa fungsi bell-shaped berikut.
( ) 6
2 2 ( , , 0) 10 0.025 exp 0.75 ( ) ( ) m m M x y x x y y −   = + − − + −   (11)
dengan   3,8,13,18
m x = dan   2, 6 m y = adalah koordinat puncak dari fungsi bell-shaped .  Nilai awal M dibuat berupa suatu fungsi bell-shaped untuk menjaga sifat kekontinuan fungsi agar dapat terturunkan di seluruh area simulasi.
Pencemar  dan  nutrien  dalam  kasus  ini  diasumsikan  menyebar  secara  merata  di  seluruh area simulasi. Nilai awal S dan O berupa fungsi konstan ( , , 0) 6 S x y = dan ( , , 0) 12
O x y = . Nilai batas yang digunakan adalah nilai batas pada Persamaan (10).
Solusi numerik sistem PDB pada Persamaan (6) untuk kasus 1 ditunjukkan pada Gambar 2. Pada pencemar dan nutrien terjadi proses adveksi-dispersi-reaksi, sedangkan pada mikroba hanya terjadi proses reaksi yang dipengaruhi oleh pencemar dan nutrien. Proses adveksi mempengaruhi aliran air tanah yang bergerak secara horizontal. Sebaliknya, proses dispersi mempengaruhi tingkat peluruhan konsentrasi pencemar dan nutrien rendah. Hal ini dapat dilihat dari t = 0 hingga t = 100 konsentrasi  pencemar  dan  nutrien  baru  mengalami  penurunan.  Sementara  itu,  proses  reaksi mempengaruhi konsentrasi mikroba dari terjadinya proses adveksi dan dispersi yang relatif cepat.
Gambar 2 . Simulasi numerik kasus pencemar tersebar merata pada saat t = 0,5,10, dan 200

## Perbandingan Akurasi dan Efisiensi
Pada bagian ini dibandingkan akurasi dan efisiensi antara sistem PDB dalam bentuk matriks dan sistem PDB dalam bentuk non-matriks. Pada Julianto (2000), solusi sistem PDB dalam bentuk non-matriks  pada  kasus  pencemar  terpusat  di  satu  lokasi  dengan t =  200  membutuhkan  waktu komputasi  sangat  lama.  Dalam  penelitian  ini,  modifikasi  sistem  PDB  ke  dalam  bentuk  matriks diharapkan  menghasilkan  solusi  yang  lebih  efisien  dan  memiliki  akurasi  yang  sama  dibandingkan dengan bentuk non-matriks. Pada penelitian ini, digunakan plot norm vektor selisih untuk memeriksa kesamaan solusi numerik kedua sistem PDB yang digunakan.
Berdasarkan  Tabel 1,  terlihat  bahwa nilai norm vektor  selisih  kedua  solusi  numerik  selalu kurang  dari  10 -13 dan  10 -12 masing-masing  untuk  kasus  terpusat  dan  tersebar.  Dengan  demikian, dapat  disimpulkan  bahwa  solusi  yang  dihasilkan  menggunakan  implementasi  matriks  mampu memberikan  solusi  numerik  yang  sama  akurat  dengan  implementasi  non-matriks.  Sementara  itu, dari segi waktu komputasi, implementasi matriks jauh lebih efisien dibandingkan implementasi non- matriks.
Selain membandingkan akurasi dan efisiensi implementasi dalam bentuk matriks dan non- matriks,  bagian  ini  juga  membandingkan  akurasi  dan  efisiensi  metode  penyelesaian  sistem  PDB yang digunakan, yaitu RK5 dan Tsit5. Berdasarkan Tabel 1, terlihat bahwa nilai norm vektor selisih kedua  solusi  numerik  selalu  kurang  dari  10 -12 dan 10 -11 masing-masing  untuk  kasus  terpusat  dan tersebar. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa solusi numerik yang dihasilkan oleh metode RK5  dan  Tsit5  hampir  mirip  satu  sama  lain.  Akan  tetapi  dari  segi  waktu  komputasi,  metode  RK5 dapat menyelesaikan masalah sistem PDB jauh lebih cepat dibandingkan dengan metode Tsit5 yang disediakan oleh paket DifferentialEquations.jl pada Julia.
Tabel  1. Perbandingan  waktu  komputasi  dan  kedekatan  solusi  numerik dengan implementasi matriks dan non-matriks serta metode RK5 dan Tsit5 dalam menyelesaikan masalah sistem PDB
Kasus pencemar Run time (detik) Kedekatan solusi (maks) Run time (detik) Kedekatan solusi (maks) Matriks  Non-matriks RK5 Tsit5 Terpusat 456 5146 13 10 − 464 5752 12 10 − Tersebar 443 4954 12 10 − 454 5689 11 10 −

## KESIMPULAN
Masalah  biodegradasi  pencemar  air  tanah  dapat  dimodelkan  berupa  persamaan  diferensial parsial  (PDP) adveksi-dispersi-reaksi  non-linear.  Model  tersebut diselesaikan  menggunakan Method-of- Lines (MOL)  dan  metode  Runge-Kutta  orde  5  untuk  memperoleh  hampiran  solusi.  Penggunaan  MOL menghasilkan suatu sistem persamaan diferensial biasa (PDB) hasil diskritisasi ruang yang bersifat kaku dan berukuran besar, yaitu sistem PDB berukuran 48,843 persamaan. Hasil simulasi numerik untuk kedua kasus menunjukkan bahwa sistem PDB hasil diskritisasi mampu memperlihatkan proses adveksi-dispersi- reaksi. Selanjutnya, hasil simulasi numerik untuk kedua kasus menunjukkan bahwa implementasi notasi matriks  memberikan  solusi  numerik  yang  sama  akurat  dan  jauh  lebih  efisien  dibanding  formulasi  non- matriks.  Dalam  penelitian  ini,  penulis  juga  mengimplementasikan  sendiri  metode  Runge-Kutta  orde  5 (metode  RK5)  lalu  membandingkannya  dengan  metode  Tsit5,  yaitu  implementasi  Runge-Kutta  orde  5 yang  disediakan  package  DiferensialEquation.jl  pada  perangkat  lunak  Julia.  Hasil  simulasi  numerik menunjukkan keduanya memberikan solusi numerik yang sama akurat pada kedua contoh kasus. Namun demikian, metode Tsit5 kurang efisien dibandingkan metode RK5.

## REKOMENDASI
Dalam  karya  ilmiah  ini  telah  dibahas  penyelesaian  persamaan  diferensial  parsial  dua dimensi. Method-of-Lines dapat  dikembangkan  untuk  penyelesaian  persamaan  diferensial  parsial lain.  Dapat  dilakukan  penelitian  lebih  lanjut  dalam  menggunakan  metode  penyelesaian  sistem persamaan  diferensial  biasa  dengan  orde  yang  lebih  tinggi  dari  metode  Runge-Kutta  orde  5. Penyelesaian model biodegradasi pencemar air tanah dapat dibahas lebih lanjut dengan asumsi nilai batas yang berbeda-beda pada setiap sisi area simulasi.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada “Sejawat  dan  Institusi” atas  segala  dukungan dan fasilitas yang telah diberikan untuk menyelesaikan penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Bamforth, S. M., & Singleton, I. (2005). Bioremediation of polycyclic aromatic hydrocarbons: Current knowledge and future directions. Journal of Chemical Technology and Biotechnology , 80 (7), 723 – 736. https://doi.org/10.1002/jctb.1276
Borden, Robert C. Bedient, P. B. (1986). Transport of dissolved hydrocarbons influenced by oxygen-
limited biodegradation. Water Resource Research , 22 (13), 1973 – 1982.
Constanda,  C.  (2018). Solution  techniques  for  elementary  partial  differential  equations (2nd  ed.). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/9781315381442
Dawson,  C.  N.,  &  Wheeler,  M.  F.  (1992).  Time-splitting  methods  for  advection-diffusion-reaction equations  arising  in  contaminant  transport. Proceedings  of  the  Second  International Conference on Industrial and Applied Mathematics , 71 – 82.
Fardinah,  F.  (2017).  Solusi  persamaan  diferensial  biasa  dengan  metode  runge-kutta  orde  lima.
Jurnal MSA (Matematika dan Statistika Serta Aplikasinya) , 5 (1), 30. https://doi.org/10.24252/jmsa.v5n1p30
Gupta,  R.  (2019).  Partial  differential  equations:  Finite  difference  methods. Numerical  Methods: Fundamentals and Applications (pp. 679 – 778). Cambridge University Press.
Hamdi,  S.,  Schiesser,  W.,  &  Griffiths,  G.  (2007).  Method  of  lines. Scholarpedia , 2 (7),  2859. https://doi.org/10.4249/scholarpedia.2859
Heath, M. T. (1997). Scientific computing an introductory survey. Philosophical transactions. Series A, Mathematical, physical, and engineering sciences , 363 (1833).
Julianto,  M.  T.  (2000). Perbaikan  kinerja  VODPK  untuk  menyelesaikan  sistem  PDB  biodegradasi pencemar air tanah [Tesis]. Universitas Indonesia.
Munir, R. (2003). Metode numerik . Bandung: Informatika.
Noviyani, D., Yundari, & Yudhi. (2019). Solusi persamaan difusi pada larutan gula dengan metode beda  hingga. Bimaster : Buletin  Ilmiah  Matematika,  Statistika,  dan  Terapannya , 8 (3). https://doi.org/10.26418/bbimst.v8i3.34026
Rackauckas,  C.  (2020). DifferentialEquations.jl:  Scientific  machine  learning  (SciML)  enabled simulation and estimation . SciML: Scientific Machine Learning Software. https://diffeq.sciml.ai/v6.15/
Rackauckas, C., & Nie, Q. (2017). DifferentialEquations.jl – A performant and feature-rich ecosystem for  solving  differential  equations  in  Julia. Journal  of  Open  Research  Software , 5 . https://doi.org/10.5334/jors.151