Vol.10, No.2, Agustus 2016 ISSN: 0852-730X

## Perbandingan Skema Numerik Metode

## Finite Difference dan Spectral
Lukman Hakim 1 , Azwar Riza Habibi 2
STMIK Asia Malang Email: 1 bledeklukman@gmail.com, 2 riza.bj@gmail.com
ABSTRAK. Persamaan  diferensial  merupakan  salah  satu  alat  yang  biasanya  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah yang  berkaitan  dengan  model  matematika.  Mengingat  dengan  persamaan  diferensial  akan  lebih  mudah  diperoleh  hasil dan interpretasi solusi yang mendekati tujuan dari suatu permasalahan. Disisi lain, persamaan diferensial tidak semuanya mudah untuk  diselesaikan secara  analitik,  sehingga perlu  adanya metode  yang  dapat digunakan  untuk  menyelesaikannya. Numerik  merupakan  metode  yang  bisa  digunakan  untuk  memecahkan  masalah  yang  rumit  dari  model  matematika. Adapun metode numerik yang akan dibahas dalam artikel ini yaitu metode finite difference dan spectral. Kedua metode ini  akan  dibandingkan  skema  numeriknya  untuk  menentukan  solusi  persamaan  diferensial  orde  dua,  dan  selanjutnya dianalisis tingkat eror dari masing-masing metode. Oleh karena itu, akan diperoleh keefektifan metode numerik yang bisa digunakan untuk menentukan  solusi model matematika yang telah ditentukan.
Kata Kunci: Persamaan Diferensial, Numerik, Finite Difference, Spectral

## 1. PENDAHULUAN
Model  matematika  merupakan  salah  satu  pendekatan  ilmiah  yang  bisa  digunakan  untuk  menyelesaikan permasalahan  yang  bersifat  sains,  teknik,  dan  sosial.  Dikarenakan  dalam  menyelesaikan  dengan  pendekatan model  matematika  selalu  berdasarkan  metode  dan  teorema-teorema  yang  telah  diuji  kebenarannya  secara ilmiah.  Dalam  ilmu  matematika  metode  yang  popular  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah  adalah metode  analitik  dan  metode  numerik.  Metode  analitik  merupakan  metode  yang  digunakan  dalam menyelesaikan  masalah  sehingga  diperoleh  solusi  sejati  ( exact  solution ),  sedangkan  metode  numerik merupakan  metode  pendekatan  yang  digunakan  untuk  mendapatkan  solusi  yang  mampu  menghampiri  solusi sejatinya (Munir, 2003).
Pada  metode  numerik  terkenal  istilah the  big  three  methods yaitu  metode finite  difference,  finite element, dan spectral. Logika yang digunakan pada metode finite  difference dan finite element yaitu metode ekspansi  deret  taylor,  sedangkan  metode spectral melalui  pendekatan  interpolasi  dan  transformasi.  Dengan pendekatan  teori  yang  berbeda  dari  masing-masing  metode,  maka  akan  didapatkan  pendekatan  solusi  untuk persamaan diferensial  dengan galat yang berbeda (Kersale, 2002).

## 2. SKEMA NUMERIK
2.1 Skema Numerik Metode Finite Difference
Metode finite  difference pada  dasarnya  menggunakan  ekspansi  deret  taylor  dalam  mengaproksimasi nilai turunan. Ekspansi deret taylor untuk di sekitar dapat ditulis sebagai berikut:
2.1
sehingga diperoleh
2.2
dengan demikian diperoleh turunan pertama di titik
, adalah
2.3
dan persamaan (2.3) disebut dengan metode beda maju dengan kesalahan pemotongan orde pertama. Dengan analog pada kasus metode beda maju, maka diperoleh ekspansi deret taylor untuk sebagai berikut:
2.4
dan persamaan (2.4) disebut dengan metode beda mundur. Selanjutnya dengan mengurangkan antara metode beda maju dengan beda mundur, akan diperoleh metode baru sebagai berikut:
2.5 dan persamaan (2.5) disebut dengan metode beda pusat (Causon dan Mingham, 2010).
Dalam  artikel  ini  skema  numerik finite  difference diaproksimasi  menggunakan  metode  pusat.  Misal diketahui persamaan diferensial  berikut
, 2.6 maka saat
persamaan (2.6) menjadi:
Selanjutnya, dengan aproksimasi beda pusat dari persamaan (2.6) diperoleh
2.7 Jika persamaan (2.7) dengan menjalankan indeks  , untuk maka dengan sehingga diperoleh untuk maka untuk maka untuk maka dengan sehingga diperoleh Misal , , dan , maka bisa tulis dalam bentuk matrik yaitu: 2.8
Matrik pada persamaan (2.8) disebut dengan matriks skema numerik metode finite difference .

## 2.2 Skema Numerik Metode Spektral
Ekspansi  spektral  fungsi  real  satu  variabel
dapat  direpresentasikan  oleh  proyeksi  orthogonal dengan fungsi basis
berikut (Boyd, 2000): 2.9 dimana dan selanjutnya persamaan (2.9) merupakan ekspansi spektral dari Fungsi basis
dalam artikel ini menggunakan  pendekatan polinomial Chebyshev
Koefisien  ekspansi didekati  dengan  metode quadrature ,  dimana  untuk  polinomial  Chebyshev dan titik quadrature Gauss-Lobatto   diberikan secara eksplisit berikut
Misal dan adalah matriks turunan  orde pertama dan kedua  untuk pendekatan ekspansi spectral  dan didefinisikan  sebagai berikut:
2.10 dimana dan .
Secara  singkat  dalam  artikel  ini  skema  numerik  metode spectral dijalankan  dengan  langkah-langkah berikut: 1. Membentuk matriks turunan Chebyshev
dimana dan adalah matriks turunan orde pertama dan kedua. 2. Menentukan titik quadrature
3. Membentuk matriks
4. Membentuk matriks
untuk
5. Menentukan elemen berdasarkan kondisi batas
6. Menentukan
7. Menentukan
(Kersale, 2003).

## 3. PEMBAHASAN
Pada artikel ini akan dipaparkan dalam menentukan skema numerik untuk metode finite difference dan spectral dalam  menentukan solusi  persamaan diferensial  orde biasa  orde dua.  Diberikan persamaan  diferesial biasa orde dua berikut:
dengan kondisi batas Dirichlet
dan memiliki solusi eksak ( analytical solutions ),

## 3.1 Metode Finite Difference
Dengan pendekatan metode beda pusat diperoleh skema numerik untuk turunan pertama dan kedua dari sebagai berikut:
Misal
maka diperoleh dengan
dengan
.
Berdasarkan  sistem  persamaan  di  atas,  maka  didapatkan  skema  numerik finite  difference dalam  bentuk matriks berikut:
Dengan  bantuan software Matlab,  diperoleh  grafik  solusi  yang  bisa  dilihat  pada  Gambar  1dan  grafik  eror yang ditunjukkan pada Gambar 2 sebagai berikut:
Gambar 1. Solusi PDB dengan Metode Finite Difference
Gambar 2. Eror Solusi dengan Metode Finite Difference

## 3.2 Metode Spectral
Langkah-langkah menentukan skema numerik  metode spectral dipaparkan sebagai berikut: 1. Membentuk matriks turunan Chebyshev
Pendekatan  solusi  dari  persamaan  differensial  yaitu
sebagai  ekspansi  spektral  dan  dalam  artikel  ini
menggunakan  basis lima  polinomial  Chebyshev  yaitu
dimana   adalah matriks dari operator differensial   pada basis
dengan dan adalah  matriks  turunan  orde  pertama  dan  kedua.  Menggunakan  kaidah  persamaan (2.10) diperoleh matriks turunan Chebyshev,
Selanjutnya substitusi matriks dan pada persamaan,

## 2. Menentukan titik quadrature
Kemudian ditentukan titik quadrature Chebyshev-Gauss-Lobatto, yaitu:
dan ekspansi koefisien dari pendekatan solusi harus memenuhi sistem linier berikut:
yang ekuivalen dengan
3. Membentuk matriks
Didefinisikan matriks
, yaitu:
, sehingga diperoleh
4. Membentuk matriks
untuk
5. Menentukan elemen berdasarkan kondisi batas yang diberikan, yaitu:
Jika baris pertama, diganti dengan kondisi batas , mengakibatkan
dan baris terakhir,
diganti dengan kondisi batas
, mengakibatkan
sehingga diperoleh
6. Menentukan
7. Menentukan
Pendekatan solusi persamaan diferensial biasa dihitung dengan aturan berikut:
Dengan bantuan software Matlab diperoleh nilai untuk
sebagai berikut:
dan  diperoleh
Sehingga  grafik  solusi  dan  eror  untuk  persamaan diferensial didapatkan seperti pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3. Solusi PDB dengan Metode Spectral
Gambar 4. Eror Solusi dengan Metode Spectral

## 4. KESIMPULAN
Metode spectral lebih efisien dibandingkan dengan metode finite difference . Dikarenakan  fungsi basis yang digunakan pada metode spectral berlaku untuk semua domain, sedangkan pada metode finite difference fungsi  basis  yang  digunakan  untuk  masing-masing  subdomain  berbeda-beda.  Disisi  lain  terlihat  bahwa perilaku  dari  solusi  numerik  untuk  metode spectral lebih  mendekati  solusi  analitik  dibandingkan  dengan metode finite difference.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Boyd. P. John. 2000. Chebyshev anf Fourier Spectral Methods. University of Michigan. New York.
[2]  Causon, D.M dan Mingham, C.G. 2010. Introductory Finite Difference Method for PDE’S.
[3]  Kersale,  E.  2002. Introduction  to  Spectral  Methods .  Dept.  of  Applied  Mathematics  of  University  of Leeds. France.
[4]  Munir, R. 2003. Metode Numerik: Revisi Kedua . Informatika Bandung. Bandung.