Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 400- 411 DOI: 10.20956/j.v19i2.24386
Global Stability of Covid-19 Disease Free Based on Sivrs

## Model

## Kestabilan Global Bebas Penyakit Covid-19 Berdasarkan Model Sivrs
Ratna Widayati*
* Alumni Magister Matematika Universitas Gadjah Mada
E-mail: ratnawidayati1708@gmail.com
Received: 23 November 2022; Accepted: 22 December 2022; Published: 5 January 2023

## Abstract
This study discusses the spread of the Covid-19 disease by including new variant variables. The model used by SIVRS assumes there are deaths caused by Covid-19 and the new variant Covid- 19.  In  addition,  individuals  who  have  been  infected  with  the  new  variant  of  Covid-19  can recover. Based on the model, disease-free equilibrium points and endemic equilibrium points are obtained. The analysis  was carried out around the disease-free equilibrium point and the result was  that  the  global  asymptotically  stable  disease-free  equilibrium  point  with  the  condition
0 1 R  . Furthermore, a simulation was carried out with the Maple 18.
Keywords: Covid-19, SIVRS, Liapunov.

## Abstrak
Penelitian ini membahas mengenai penyebaran penyakit Covid-19 dengan menyertakan variabel varian  baru.  Model  yang  digunakan  SIVRS  dengan  asumsi  terdapat  kematian  yang  disebabkan oleh  Covid-19  dan  Covid-19  varian  baru.  Selain  itu,  individu  yang  telah  terinfeksi  Covid-19 varian  baru  dapat  sembuh.  Berdasarkan  model,  diperoleh  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan titik ekuilibrium endemik. Analisa dilakukan disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit diperoleh hasil  bahwa  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  stabil  asimtotik  global  dengan  syarat 0 1 R  . Selanjutnya dilakukan simulasi dengan program Maple 18.
Kata kunci: Covid-19, SIVRS, Liapunov .

## 1. PENDAHULUAN
Sindrom  Pernapasan  Akut  Parah  yang  dikenal  dengan  penyakit  SARS  merupakan  penyakit yang  menyerang  sistem  pernafasan  dan  berasal  dari  virus  SARS-CoV.  Pada  akhir  Februari  2003, virus ini pertama diidentifikasi di China [8]. Menurut WHO, virus SARS ini  mempunyai ciri khas

## Ratna Widayati
penularan  melalui  udara  dan  dapat  menyebar  melalui  air  liur  dengan  cara  yang  mirip  influenza. Selain  itu,  SARS  juga  dapat  menyebar  melalui  permukaan  yang  disentuh  oleh  penderita  virus tersebut.
Pada  perkembangannya,  virus  SARS-CoV  mengalami  mutasi  genetik  dan  mengakibatkan munculnya strain baru yaitu SARS-CoV-2. Virus SARS-CoV-2 memunculkan penyakit baru yang diberi nama Covid-19. Kasus pertama Covid-19 muncul pada Desember 2019 di kota Wuhan Cina. Virus  ini  merupakan  salah  satu  virus  yang  sangat  berbahaya  karena  penularan  dan  perubahan genetik  yang  cepat  mengakibatkan  wabah  pandemi  yang  diumumkan  oleh  WHO  pada  tanggal  11 Maret  2020.  Menurut  Cooper  I.,  dkk  [3]  karena  tidak  tersedia  obat  atau  vaksin,  penyakit  ini berkembang  pesat  di  negara-negara  di  dunia.  Strategi  yang  digunakan  adalah  menjaga  jarak, memakai masker dan karantina mandiri. Akan tetapi pandemi tidak terelakkan.  Gejala yang timbul jika seseorang mengalami  penyakit ini adalah batuk kering, flu, demam. Penularan  mirip dengan strain virus sebelumnya yaitu melalui droplet, pilek dan air liur. Dalam kurun waktu 2020 sampai dengan 2022, virus Covid-19 mengalami banyak mutasi genetik yang mengakibatkan adanya virus Covid-19 varian baru contohnya varian Delta dan varian Omicron. Fisman D. N. & Tuite A. R [5] dalam  penelitiannya  menjelaskan  bahwa  virus  varian  baru  lebih  menular  dan  berbahaya dibandingkan  varian  strain  yang  konvensional.  Selain  itu,  vaksin  SARS-CoV-2  mengalami penurunan efek pada varian Omicron [4].
Oleh  karena  itu,  perlu  dilakukan  analisa  mengenai  munculnya  strain  virus  baru  pada  virus Covid-19  dengan  menambah  kelas  populasi  pada  model.  Salah  satu  model  penyebaran  penyakit Covid-19  di  Indonesia  diusulkan  oleh  Annas  S,  dkk[1]  yang  membahas  mengenai  analisa  model SEIR  penyebaran  Covid-19  dengan  menyertakan  parameter  vaksinasi  pada  populasi  individu rentan.  Pada  simulasi  penelitian  tersebut  menghasilkan  kesimpulan  bahwa  vaksinasi  dapat mempercepat  penyembuhan  COVID-19  dan    isolasi  mandiri  dapat  memperlambat  penyebaran COVID-19  di  Indonesia.  Selain  itu,  Yang  C.  &  Wang  J.  [11]  dalam  penelitainnya  menghasilkan model SEIRV dengan V merupakan variabel yang menyatakan konsentrasi virus corona di reservoir lingkungan  di  Wuhan  China.  Otunuga  O.  M.  [7]  membahas  mengenai  model  stokastik  SIS  pada penyakit  Covid-19  dengan  distribusi  peluang  jumlah  kasus  COVID-19  di  Amerika  Serikat  untuk periode 22 Januari 2020 sampai dengan 23 Maret 2021. Berdasarka penelitian-penelitian tersebut, belum terdapat penelitian yang membahas mengenai variabel kelas populasi varian baru dari Covid- 19. Terdapat  penelitain  dari  Xu  D.,  dkk  [10]  yang  membahas  mengenai  analisis kestabilan  global dengan variasi virus akan tetapi belum menyertakan penyakit secara pasti. Model yang digunakan adalah SIVRS akan tetapi diasumsikan tidak ada kematian karena penyakit.
Oleh  karena  itu  dalam  penelitian  ini  membahas  mengenai  model  SIVRS  pada  penyebaran penyakit  Covid-19  dengan  model  SIVRS  yang  mendefinisikan  populasi  individu  dengan  penyakit Covid-19  varian  baru  dengan  variabel  V  dan  mengasumsikan  terdapat  kematian  karena  penyakit Covid-19  dan  kematian  karena  Covid-19  varian  baru.  Selain  itu,  individu  yang  telah  terinfeksi varian Covid-19 yang baru dapat sembuh.

## 2. Formulasi Model
Model SIVRS membagi populasi dengan 4 kelas seperti pada tabel berikut ini:
Tabel 2.1. Kelas populasi pada model SIVRS ( ) S t Populasi individu rentan Covid-19 pada saat t ( ) I t
Populasi individu terinveksi Covid-19 pada saat t   V t Populasi individu terinveksi Covid-9 varian baru pada saat t   R t Populasi individu sembuh dari Covid-19

## Ratna Widayati
Selanjutnya didefinisikan parameter-parameter yang mempengaruhi perubahan pada populasi.
Tabel 2.2. Parameter dalam model SIVRS
 Laju kelahiran

Laju kematian alami  Laju  kontak  antara  individu  terinfeksi  Covid-19  dengan individu rentan  Laju  kontak  antara  individu  terinfeksi  Covid-19  dengan individu terinfeksi Covid-19 varian baru  Laju kematian karena Covid-19  Laju kesembuhan individu yang terinfeksi Covid-19  Laju kematian karena Covid-19 varian baru  Laju  kesembuhan  individu  yang  terinfeksi  Covid-19  varian baru  Laju  individu  yang  telah  sembuh  menjadi  individu  yang rentan
Nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  2.2  seluruhnya  bernilai  positif.  Asumsi-asumsi  yang  digunakan pada model SIVRS ini adalah sebagai berikut:
a. Bayi yang lahir masuk ke kelas S sebagai individu yang rentan Covid-19
b. Penularan Covid-19 hanya bisa terjadi antara individu rentan dan individu yang terinfeksi Covid-19
c. Penularan Covid-19 varian baru hanya bisa terjadi antara individu yang terinfeksi Covid-19 dan individu yang terinfeksi Covid-19 varian baru
d. Setelah  individu  sembuh  dari  infeksi  Covid-19  maupun  Covid-19  varian  baru,  individu akan memperoleh kekebalan sementara dan kemudian kembali rentan.
Dari asumsi-asumsi tersebut, diperoleh diagram transfer sebagai berikut:
Gambar 2.1. Diagram transfer model SIVRS
Selanjutnya,  berdasarkan  Diagram  transfer  pada  Gambar  2.1,  diperoleh  model  matematika  untuk penyebaran Covid-19 sebagai berikut:
Ratna Widayati
dS R S IS dt dI IS I IV I I dt dV IV V V V dt dR V R I R dt                                  
dengan  total  populasi 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑉 + 𝑅 dengan , , , 0 S I V R  dan 𝛿, 𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝜇, 𝜌, 𝜅, 𝜆, 𝜙 > 0 sehingga diperoleh himpunan invarian positif
  4 , , , : 0
S I V R S I V R     
            .

## 3.  Titik Ekuilibrium
Berdasarkan Sistem (1) diperoleh titik ekuilibrium yang dijelaskan pada Lemma berikut ini. Lemma 3.1 (i).  Jika 0 I  maka  Sistem  (1)  mempunyai  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit
  0 0 0 0 0 , , , , 0, 0, 0 . E
S I V R          
(ii).  Jika 0 I  maka  Sistem  (1)  mempunyai  titik  ekuilibrium  endemik
  1 1 1 1 1 , , , E S I V R 
dengan
        1 1 1 1 1 0 , S I V R I              
      
                    dan   2 2 2 2 2 , , , E S I V R  dengan             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . I I I I I
S I I I I I I S V
I S R        
     
           
                           Bukti
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)

## Ratna Widayati
(i).  Sistem  (1)  mencapai  titik  ekuilibrium  jika
0 dS dI dV dR dt dt dt dt     .  Oleh  karena  itu Sistem (1) dapat dinyatakan sebagai:
0 0 0 0. R S IS IS I IV I I IV V V V V R I R                                  
Jika I = 0 , Persamaan (2c) dapat dinyatakan dengan
  0, V       
karena   0       artinya 0 V  . Selanjutnya Persamaan (2d) dapat dinyatakan dengan
  0, R     
karena   0     artinya 0 R  . Lebih lanjut, Persamaan (2a) dapat dinyatakan dengan
0 , S S        sehingga diperoleh   0 0 0 0 0 , , , , 0, 0, 0 E S I V R           .
(ii).Jika 0 I  Persamaan (2c) dapat dinyatakan sebagai
  0, V I        
sehingga diperoleh 0 V  atau I        .
(a). Jika 0 I  dan 0 V  Persamaan (2b) dapat dinyatakan sebagai   0 0. IS I IV I I
I S                  
Karena 0 I  berakibat 0 S         , sehingga diperoleh
. S        Selanjutnya Persamaan (2d) dapat dinyatakan sebagai 0 . R I R R I            
Lebih  lanjut,  jika 0 V  , S    
   dan R I      disubstitusi  ke  Persamaan  (2a),
diperoleh     
   I                             .  Jadi,  diperoleh  titik  ekuilibrium endemik yang pertama yaitu   1 1 1 1 1 , , , E S I V R  dengan (2a) (2b)
(2d) (2c)
Ratna Widayati
        1 1 1 1 1 0 . S I V R I    
         
      
                   
(b). Jika I   
    . Persamaan (2a) dapat dinyatakan sebagai
 
R I S         dan Persamaan (2d) dapat dinyatakan sebagai   . R I V
         Selanjutnya eliminasi Persamaan (3) dan Persamaan (4) diperoleh      , I S V I     
           
kemudian eliminasi Persamaan (2b) dan Persamaan (4) diperoleh
     . I I I I I I S
I I I                        Persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai      , I I S V        
        dan Persamaan (3)menjadi   . I S R       
Jadi, diperoleh titik ekilibrium yang kedua yaiu
  2 2 2 2 2 , , , E S I V R  dengan             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . I I I I
I
S I I I I I I S V I S R        
     
           
                          

## 4.  Eksistensi Titik Ekuilibrium Endemik
Pada  bagian  akan  dijelaskan  mengenai  eksistensi  titik  ekuilibrium  endemik  pertama. Didefinisikan bilangan reproduksi dasar ( basic reproduction number ) sebagai berikut:
(3)
(4)
(5)
Ratna Widayati
  0 . R        
Lemma 4.1 Jika 0 1 R  maka 1 E  eksis.
Bukti. Diketahui   1 1 1 1 1 , , , E S I V R  dengan         1 1 1 1 1 0 . S I V R I    
         
      
                   
Akan dibuktikan 1 0 I  .
(i). Akan dibuktikan      0                  .
           
1                                         
       0 1 , R        
  
karena 0 1 R  maka      0                  . (ii). Akan dibuktikan    0             .                             2                2 .            
Persamaan (6) jelas bernilai negatif untuk setiap 𝛿, 𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝜇, 𝜌, 𝜅, 𝜆, 𝜙 > 0 . Jadi, 1 0 I  . Karena 1 1 1 1 0, 0, 0, 0 I S V R     maka 1 E eksis.

## 5. KESTABILAN TITIK EKUILIBRIUM BEBAS PENYAKIT
Pada paper ini akan dibahas mengenai kestabilan global titik ekuilibrium bebas penyakit.
Lemma 5.1. Jika 0 1 R  maka 0 E  stabil asimtotik lokal.
Bukti. Matriks Jacobian disekitar titik ekuilibrium 0 E adalah : 0 0 0 0
0 .
0 0 0 0 E J        
    
                               
Persamaan karakteristik dari Persamaan (7) yaitu
0 0 E J hI   dengan h nilai eigen adalah
(6)
(7)
Ratna Widayati
                          0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0. h h h h h h h h h h h h h h h h
   
                                                 
                                                                                            Berdasarkan (8) diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
    1 2 3 , , ,
h h h               
dan
  4 h             0 1 .
R       
Karena  diketahui 0 1 R  maka 4 h bernilai  negatif.  Oleh  karena  itu,  terbukti 0 E stabil  asimtotik lokal.
Lebih  lanjut,  untuk  meninjau  kestabilan  global  akan  digunakan  fungsi  Liapunov  melalui Lemma berikut ini.
Lemma 5.2 Jika 0 1 R  maka 0 E  stabil asimtotik global.
Bukti. Didefinisikan fungsi L dengan
4 : , L     4 , , , : 0 T S I V R
S I V R                dan   , , , . T L S I V R I

## 
Akan  ditunjukkan  bahwa  fungsu L pada  Persamaan  (9)  merupakan  fungsi  Liapunov.  Menurut Luenberger  D.  G  [6]  dalam  definisinya  menyatakan  bahwa  syarat  fungsi L dapat  disebut  fungsi Liapunov jika memenuhi:
(8)
(9)

## Ratna Widayati
(i). Fungsi L kontinu dan mempunyai turunan parsial yang kontinu pada 4 .  (ii). Titik  ekuilibrium 0 E merupakan  satu-satunya  titik  minimum  di L pada 4 .  Hal  tersebut dapat diartikan bahwa fungsi L definit positif. Fungsi L definit positif karena , , , 0.
S I V R  (iii). Fungsi L memenuhi   , , , 0 T L S I V R  untuk setiap   4 , , , . T S I V R   Akan ditunjukkan L memenuhi   , , , 0 T L S I V R  untuk setiap   4
, , , . T S I V R  
Jika kedua ruas dari Persamaan (9) diturunkan terhadap t diperoleh
0 1 0 0
L dS L dI L dV L dR
L S dt I dt V dt R dt dI dt IS I IV I I                                 karena 0,   0 I  dan 0 V  maka Persamaan (10) menjadi
  . L IS I IV I I IS I I I
S I                           Karena  domain  fungsi  yaitu   4
, , , : 0 T S I V R S I V R   
              ,  maka
Pertidaksamaan (11) dapat dinyatakan sebagai
           0 0 1 . 0 L I I R I R I      
    
     
  
                                    
untuk  setiap   4 , , , S I V R   dan   , , , S I V R bukan  titik  ekuilibrium  yaitu
  , , , , 0, 0, 0 S I V R          .
Berdasarkan  (i)-(iii),  terbukti L merupakan  fungsi  Liapunov.  Selanjutnya  untuk  meninjau kestabilan global, Brock W. A & Malliaris A. G [2] dalam teoremanya menyebutkan bahwa syarat titik ekuilibrium 0 E asimtotik global adalah:
a. Jika   , , , S I V R   , maka   , , , L S I V R   .
b. Nilai   0 0. L E  Akan ditunjukkan   0 0. L E 
 
, , , L S I V R IS I IV I I           dan 0 , 0, 0, 0 E   
      diperoleh nilai nilai
  0 0.
L E IS I IV I I            (10) (11)
Ratna Widayati
Jadi, titik ekuilibrium 0 E stabil asimtotik global.

## 6. SIMULASI NUMERIK
Sistem  persamaan  diferensial  (1)  dapat  diselesaikan  secara  numerik  dengan  menggunakan MAPLE  18.  Berikut  ini  diberikan  nilai-nilai  parameter  yaitu
0,5; 0,3; 0, 02       ; 0,5; 0, 01     [10].  Untuk  nilai 0, 02; 0, 2     dan 0, 09   diperoleh  dari  asumsi dikarenakan  pada  penelitian  Xu  D.,  dkk  [10]  tidak  menggunakan  parameter-parameter  tersebut. Selanjutnya nilai awal yang digunakan adalah  
      0 0, 2 0 0, 7 0 0, 7 0 0 S I V R    
dengan mempertimbangkan maksimal total populasi sebesar 1, 666667. 
 
Gambar berikut ini merepesentasikan simulasi untuk nilai 0 1 R  dengan nilai 0, 08   [10]. Nilai 0 R yang diperoleh adalah 0 = 0,1498127340. R
Gambar 6.1. Simulasi Sistem (1) dengan 0, 08   untuk 0 1 R 
Berdasarkan  Gambar  6.1  dapat  dilihat  bahwa  perilaku  Sistem  (1)  menuju  ekuilibrium 0 E yaitu   1, 6667; 0; 0; 0 sesaat setelah 10 t  . Artinya pada saat 0 1 R  penyakit Covid-19 semakin lama akan  menghilang  dari  populasi.  Akan  tetapi  jika 0, 7   [9]  dan  nilai 0 1,310861424 R  diperoleh gambar sebagai berikut:

## Ratna Widayati
Gambar 6.2. Simulasi Sistem (1) dengan 0, 7   untuk 0 1 R  Berdasarkan  Gambar  6.2,  populasi  kelas I naik  karena  adanya  kontak  dengan  populasi  kelas . S Akan tetapi populasi kelas I turun sejalan dengan populasi kelas V karena adanya kontak antara individu yang terinfeksi Covid-19 dengan individu yang terinfeksi Covid-19 varian baru. Populasi kelas I turun  dikarenakan  pula  individu  yang  telah  terinfeksi  Covid-19  telah  sembuh  kemudian masuk kelas R . Kemudian individu yang terinfeksi Covid-19 varian baru semakin lama menurun seiring  meningkatnya  individu  yang  sembuh  dari  Covid-19  varian  baru  yaitu  masuk  kelas R . Populasi kelas S tetap ada karena individu yang telah sembuh kemudian masuk kembali ke kelas S . Selain itu, kelas I masih ada artinya individu yang terinfeksi Covid-19 masih ada di populasi ketika 0 1 R  .  Artinya Covid-19 akan terus menjadi wabah jika tingkat infeksi masih lebih dari 1.

## 7. KESIMPULAN
Diberikan  model  matematika  penyebaran  penyakit  Covid-19  dengan  menyertakan  populasi individu  yang  terinfeksi  varian  baru  Covid-19  seperti  pada  Sistem  (1).  Analisa  kestabilan  global dilakukan pada titik ekuilibrium bebas penyakit dengan menggunakan fungsi Liapunov. Diperoleh hasil  bahwa  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  stabil  asimtotik  global  jika  dipenuhi  syarat 0 1 R  . Simulasi  numerik  dilakukan  dengan  membandingkan  solusi  Sistem  (1)  jika  diketahui 0 1 R  dan 0 1 R  . Diperoleh keimpulan bahwa untuk 0 1 R  solusi Sistem (1) mendekati ekuilibrium bebas penyakit. Artinya suatu saat penyebaran penyakit Covid-19 akan hilang jika dipenuhi syarat tingkat infeksi  yang  kurang  dari  1.  Akan  tetapi,  jika  tingkat  infeksi  lebih  dari  1,  penyebaran  penyakit Covid-19 masih tetap akan ada dalam populasi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Annas  S.,  Pratama  I.  M.,  Rifandi  M.,  Sanusi  W.,  Side  S..  2020.  Stability  analysis  and numerical  simulation  of  SEIR  model  for  pandemic  COVID-19  spread  in  Indonesia, Chaos, Solitons and Fractals, Vol 139, 1-7.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Ratna Widayati
[2]  Brock W. A & Malliaris A. G, 1989. Differential Equations, Stability and Chaos in Dynamic Economics, Elsevier, Amsterdam.
[3]  Cooper I., Mondal A. & Antonopoulos C. G., 2020.  A SIR model assumption for the spread of COVID-19 in different communities, Chaos, Solitons and Fractals, Vol 139, 1-30 .
[4]  Collie S., Champion J., Moultrie H., dkk., 2022. Effectiveness of BNT162b2 vaccine against omicron variant in South Africa. N Engl J Med , Vol 386:494–6.
[5]  Fisman D. N. & Tuite A. R., 2021. Evaluation of the relative virulence of novel SARS-Cov-2 variants: a retrospective cohort study in Ontario, Canada, CMAJ (Can Med Assoc J), Vol 193. E1619-e25
[6]  Luenberger  D.  G.,  1979. Introduction  to  Dynamics  Systems, John  Wiley  &  Sons,  Inc.,  New York.
[7]  Otunuga  O.  M.,  2021.  Time-dependent  probability  distribution  for  number  of  infection  in  a stochastic SIS model: case study COVID-19, Chaos, Solitons and Fractals, Vol 147.
[8]  WHO,  2022. Severe  Acute  Respiratory  Syndrome  (SARS) .  World  Health  Organization. https://www.who.int/health-topics/severe-acute-respiratory-syndrome#tab=tab_1 .[6 Desember 2022]
[9]  Xu D., Xu X. & Su Z., 2015. Novel SIVR Epidemic Spreading Model with Virus Variation in Complex Networks, 27 th Chinese Control and Decision Conference (CCDC) , 5164-5169.
[10]  Xu  D.,  Xu  X.,  Xie  Y.  &  Yang  C.,  2016.  Optimal  control  of  an  SIVRS  epidemic  spreading model  with  virus  variation  based  on  complex  networks, Commun  Nonlinear  Sci  Numer Simulat, Vol 48, 200-210.
[11]  Yang  C.  &  Wang  J.,  2020.  A  mathematical  model  for  the  novel  coronavirus  epidemic  in Wuhan, China. Math Biosci Eng , 17(3):2708–24.