Vol. 2, No.2, 90-96, Januari  2006
Penaksir Tak Bias Variansi Minimum Seragam
Georgina M. Tinungki †

## Abstrak
Apabila  terdapat  lebih  dari  satu  penaksir  tak  bias,  maka  ada  tak  berhingga  banyaknya penaksir  tak  bias,  akan  tetapi  mungkin  pula  tidak  ada  satu  pun  penaksir  tak  bias.  Sehingga dapat muncul dua pertanyaan, yaitu bagaimana cara memilih salah satu penaksir tak bias untuk dipakai,  jika  terdapat  beberapa  atau  banyak  penaksir  tak  bias,  dan  penaksir  bias  bagaimana yang  harus  digunakan  jika  tidak  terdapat  penaksir  tak  bias.  Beberapa  sifat  dari  penaksir kemungkinan maksimum dapat menjawab pertanyaan yang muncul, dengan melihat sifat ketak biasan,  keselarasan  dan  bentuknya  yang  lain.  Penaksir  tak  bias  optimum  dengan  penaksir  tak bias  varian  minimum  seragam  mempunyai  varian  yang  minimum  di  antara  semua kemungkinan  penaksir  yang  tak  bias.  Penaksir  tak  bias  varian  minimum  seragam  yang  ada biasanya  mencapai batas bawah variansi Rao-Cramer,  meskipun penaksir tak bias bervariansi minimum ini bisa  saja tidak dapat ditentukan. Suatu  metode mencari penaksir tak bias  varian minimum seragam adalah dengan mencari suatu fungsi tak bias dari suatu statistik cukup yang lengkap.  Bentuk  lainnya  adalah  dengan  mencari  fungsi  tak  bias  jika  diketahui  adanya  suatu statistik cukup yang lengkap.
Keywords : Penaksirtakbias, variansi minimum seragam, statistikcukup .

## 1.  Pendahuluan
Gagasan  dasar  dari  penaksir  statistik,  khususnya  penaksir  titik  yaitu  dengan  mengamati peubah  acak n X X X ,...., , 2 1 ,  dalam  hal  ini  tidak  perlu  bebas  maupun  berdistribusi  identik, dimana  fungsi  distribusi n X X X ,...., , 2 1 bergantung  pada  parameter  yang  tidak  diketahui, seperti  misalnya  rataan  suatu  distribusi  normal  yang  mungkin  tidak  diketahui,  namun  diketahui termasuk  dalam  suatu  himpunan  tertentu  .    Masalah  dalam  menaksir  merupakan permasalah  penaksir  titik.        Dalam  menaksir  digunakan  suatu  fungsi  yang  sesuai  dengan pengamatan
n X X X ,...., , 2 1 yang disebut sebagai „statistik‟ atau suatu „penaksir‟.
Jika  terdapat  lebih  dari  satu  penaksir  tak  bias,  maka  ada  tak  berhingga  banyaknya penaksir  tak bias, akan tetapi mungkin pula tidak ada satu pun penaksir tak bias.  Dalam hal ini akan  muncul  dua  pertanyaan.    Pertama,  jika  terdapat  banyak  penaksir  tak  bias,  bagaimana  cara memilih  salah  satu  untuk  dipakai.  Kedua,  jika  tidak  terdapat  penaksir  tak  bias,  penaksir  bias macam apa yang sebaiknya dipergunakan? Beberapa sifat dari penaksir kemungkinan maksimum yang  dapat  menjawab  pertanyaan-pertanyaan  yang  muncul,  dengan  melihat  sifat  ketak  biasan, keselarasan dan bentuknya yang lain.
Dalam banyak permasalahan terapan, yang diinginkan bukanlah menaksir parameter  itu  sendiri,  tetapi  suatu  fungsi  dari  parameter  tersebut.  Sebagai  ilustrasi,  jika  ingin membandingkan  distribusi  pendapatan  dua  kota,  jika  Δ  adalah  prosentase  dalam  distribusi pendapatan yang tumpang tindih, maka untuk menaksir Δ tidak saja harus menaksir μ, υ, dan σ,
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika  FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Georgina M. Tinungki
tetapi  juga  suatu  fungsi  dari  ketiga  parameter  tersebut.  Penggunaan  prinsip  ketakragaman  dari penaksir kemungkinana maksimum akan memecahkan masalah ini.
Penaksir  tak  bias  optimum  dengan  penaksir  tak  bias  varian  minimum  seragam mempunyai  varian  yang  minimum  diantara  semua  kemungkinan  penaksir  yang  tak  bias. Walaupun penaksir tak bias varian minimum seragam tidak selalu ada, tetapi sering pula ada dan mencapai batas bawah variansi Cramer-Rao dari suatu penaksir tak bias.  Suatu metode mencari penaksir  tak  bias  varian  minimum  seragam,  dengan  mencari  suatu  fungsi  tak  bias  dari  suatu statistik  cukup  yang  lengkap.  Bentuk  lainnya  adalah  mencari  fungsi  tak  bias  jika  diketahui statistik cukup lengkap.

## 2. Landasan Teori

## 2.1. Penaksir Tak Bias
Jika  terdapatpeubahacak
n X X X ,...., , 2 1 (tidakperlubebasmaupun  berdistribusi  identik), fungsidistribusidari n X X X ,...., , 2 1 bergantungpada  parameter  yang  tidakdiketahui  (misalnya rataan  suatu  distribusi  normal  mungkin  tidak  diketahui),  tetapi  diketahui  termasuk  dalam suatuhimpunantertentu  . Persoalanmenaksir  merupakanpermasalahanpenaksir titik.Jika dipunyai  ruang  sampel  dasar  Ω,  percobaan  pada  dasarnya  memilih  suatu w €  Ω,  yang pengamatannya , ) ( ,..., ) ( 1 1 n n x w X x w X   danfungsidistribusidari n X X X ,...., , 2 1 , misalnya
. ) ,...., ( ,..., 1 1  n x x y y F
n Jikainginmenaksir  ,
tentunyadalampenaksiran  menggunakansuatufungsi  yang  sesuaidaripengamatan n X X X ,...., , 2 1 .  Fungsi  seperti  ini  disebut suatu  penaksir.
Definisi 1 .  Setiap  fungsi  peubah  acak  yang  diamati ), ,.., ( 1 n n X X t disebut  penaksir  dari  dimana n X X X ,...., , 2 1 p.a  maka  fungsi  itu  juga  suatu  p.a.  Suatu  nilai  tertentu  dari  penaksir
) ,.., 1 ( n X X n t disebut taksiran dari  .  Jika diinginkan penaksir  yang pada rata-ratanya tepat sama dengan  , dan jika demikian penaksir  disebut “ tak bias ”.
Definisi 2 . Dikatakan ) ,...., ( 1
n n X X t suatu penaksir tak biasdari  jika , ) ,....., ( 1    n n X X t E
untuk  semua    .  Subscript  pada  tanda  harapan  menyatakan  fungsi    distribusi ) ,..., ( 1 ,......., 1  n x x y y F n yang akan digunakan dalam menghitung nilainya.
Sifat  lain  yang  dimiliki  suatu  penaksir  ialah  kekonvergenan  dalam  peluang  ke  (yakni, peluangnya „mengumpul‟ dekat ke  ), jika banyaknya pengamatan n  ∞.  Jika n X X X ,...., , 2 1 adalah  sampel  random  dari  populasi  berdistribusi  Normal  dengan  mean  dan  variansi  2 ,  maka penduga titik untuk  adalah
= g(X) =
Untuk n cukup besar, maka       adalah dekat dgn  dalam arti bahwa :
Ө    n i i n X n X 1 1  ˆ 1 2 1 ] [ / / 2 / 2        
 
     n n t n dt e X P n X
Georgina M. Tinungki
untuk   n , sehingga                   , berapapun harga  dan  2 .
2.2. Metode Kemungkinan Maksimum ( Maksimum Likelihood Estimator )
Metode  untuk  menghitung  estimasi  titik  yang  paling  populer  adalah  metode Kemungkinan    Maksimum  ( a  maximum  likelihood  estimator )  yang  memilih  P P  , yang merupakan  pilihan  “terbaik”  untuk  data  observasi  yang  sebenarnya.  Anggapan  bahwa  variabel random X 1 , X 2 ,......, X n mempunyai distribusi bersama P dengan parameter  . Metode  estimasi  kemungkinan  maksimum  berusaha  menentukan  Modus(harga  yang memaksimumkan  fkp  dari  distribusi).  Namun  kanyataannyamodus  merupakan  estimasi  yang lebih jelek dari mean atau median, yang menjelaskan mengapa sifat-sifat sampel kecil metode ini umumnya jelek.  Tetapi untuk sampel yang besar, modus cenderung mendekati mean dan median, sehingga metode ini mempunyai sifat-sifat sampel besar yang “baik”.

## Formulasi Prinsip Metode Maksimum Likelihood
Pandang sampel random X 1 , X 2 , …., Xn dari distribusi yang mempunyai    pdf f ( x;Ө ) , .Fkp (pdf) bersama dari X 1 , X 2 , …., Xn adalah f ( x 1 ; Ө ), f ( x 2 ; Ө ) ….. f ( x n ; Ө ) . Pdf  bersama  dapat  dipandang  sebagai  suatufungsidari  , yang  dikatakansebagai fungsi likelihood L dari sampel random, dan ditulis sebagai :
Dari pendugaan tersebut diperoleh fungsi yang tidak berarti ( nontrivial function ) , katakan u(x 1 , x 2 ,  ….., x n ),  sedemikianhinggabila  digantioleh u(x 1 , x 2 ,  ….., x n ),  fungsi  likelihood    L  adalah maksimum .  Atau, dapat dikatakan
L[u(x 1 , x 2 , ….., x n ); x 1 , x 2 , ….., x n )]  < L ( Ө; x 1 , x 2 , .., x n ) 
Maka statistik u ( X 1 , X 2 , ….., X n ), disebut sebagai Penduga Maksimum Likelihood dari  , dan dan dinyatakan dengan simbol                                   .
Sebagai contoh, jika X 1 , X 2 , ….., X n menyatakan sampel random dari distribusi dengan fkp
f ( x ) =Ө x (1 -Ө ) 1 -x, , x= 0,1 = 0          , lainnya, dimana 0  Ө  1.
Maka fkp bersama  dari distribusi di atas
Ө x 1 (1 - Ө ) 1 -x 1 Ө x 2 (1 - Ө ) 1 -x 2 … Ө xn (1 - Ө ) 1 -xn = Ө ∑xi Ө xi (1 - Ө ) n-∑xi
dimana x i sama-sama  0  atau  1, i =  1,2,…., n .  Sehingga  fungsi L ( Ө ),yang  disebut  sebagai fungsi likelihood , dituliskan menjadi
L ( Ө ) = Ө ∑xi Ө x i (1 - Ө ) n-∑x i ,    0  Ө  1
  ) ( X E  ), ; ( )...... ; ( ) ; ( ) ,...., , ; ( 2 1 2 1     n n x f x f x f x x x L           ) ,...., , ( ˆ 2 1 n X X X u  

## Georgina M. Tinungki
Peluang  maksimum L ( Ө )dari  sampel x 1 ,  x 2 ,  …,x n adalah  .  Jelas,  nilaimaksimumdari  merupakanestimasi  yang  baikdari  sebabpeluangnyalebihbesar  dari  pada  sampel  yang  utama. Bagaimanapun  karena  fungsi  likelihood L ( Ө )  beserta  logaritmanya ln  L ( Ө )adalah maksimumuntuknilai  yang  sama,  maka  salah  satu  dari L ( Ө )    atau ln  L ( Ө )    dapat  digunakan. Dalam hal ini,
Jadi
Terlihatbahwa  tidaksamadengan 0 atau 1. Ini ekivalen untuk persamaan
Sehingga diperolehpersamaanuntuk  adalah ,  dimana  maksimum                          itu  ada, sehingga L (  )dan ln L (  )dapatdiperiksa. , dalam kasus               semua x 1 , x 2 , … , x n bersama-sama adalah  0  dan  1.                                adalahnilaimaksimum L (  )dari  ,  atau  secara  statistik  dikatakan adalah Estimasi Maximum Likelihood dari  .

## 2.3. Kecukupan Statistik
Apabila diamati suatu peubah acak X yang distribusinya bergantung pada suatu parameter θ yang  tidak  diketahui  (misalnya X  = ( X 1 , … , X n ),  dengan X 1 , … , X n peubah  acak  bebas  dan berdistribusi  identik,  masing-masing  mempunyai  fungsi  kepadatan f ( x/θ ),  sedangkan θ tidak diketahui,    ),  maka X dapat  disederhanakan  melalui  suatu  fungsi  tanpa  kehilangan  suatu informasi tentang θ . Sebagai ilustrasi, jika t ( X ) =  t ( X 1 , …, Xn ) = ( X 1 , …, X n ) /n ),rataan sampel, mungkin  dari  berbagai  hal  mengandung  semua  informasi  tentang θ yang  relevan,  dalah  hal tersebut t ( X ) disebut suatu statistik cukup.
Definisi 3 .  Statistik t ( X 1 ,  …, Xn )adalah  statistik  cukup  untuk θ jika ) ,...., 1 [( n X X P  ) ( ] ) ,...., 1 ( c l c n X X t    
 , n     .  Jika  bagian  kiri  persamaan  diatas  suatu  fungsi  dari  dan c , misalnya ) ( c l  , tapi bukan fungsi dari θ (disini θ dan c mungkin vektor).

## 2.4. Kelengkapan Statistik
Definisi 4 .  Apabila  suatu  statistik  cukup T pada  suatu  masalah  memiliki  keluarga  fungsi kepadatan peluang g ( x/θ ) yang lengkap, maka T disebut statistik cukup lengkap.
) 1 ln( ln ) ( ln 1 1                      n i n i x n x L 0 1 ) ( ln            i i x n x d L d            n n i i x n x 1 1 ) 1 (    n i n x 1 /
   n i i X n 1 1 ˆ   n i n x 1 /  n i n x 1 /  n i n x 1 /

## Georgina M. Tinungki
Sebagaiilustrasi,  misalkan n X X ,...., 1 peubahacakbebas,  masing-masing  seragam  pada  [0, θ ) dengan θ >0 .  Y n = maks ( n X X ,...., 1 ) suatustatistikcukup untuk θ dan mempunyai fkp
) ( ) ( ] , 0 [ 1 x I nx x f n n Y n    
Dalam  menyelidiki  kelengkapan  keluarga  ini,  misalkan u ( . )  sembarangfungsi,  maka 0 ) (  n Y u E  ,  yang berarti
     0 0 1 ) ( dx n n nx x u
Jika kedua ruas dikalikan dengan θ/n yang > 0, maka berlaku
    0 1 0 ) ( n x x u
Sehingga u(θ) =  0,   ,  ataudengan  kata  lain u ( x ) = 0, 0   x .    Sehingga Y n merupakan statistik cukup lengkap untuk θ .

## 2.5. Penaksir Tak Bias Bervariansi Minimum Seragam
Penaksir  tak  bias  bervariansi  minimum  merupakan  penaksir  yang  mempunyai  variansi yang  minimum  di  antara semua  kemungkinan  penaksir tak  bias,  walaupun penaksir  tidak  selalu ada.  Namun demikian, suatu penaksir tak bias bisa mencapai batas bawah ketaksamaan Cramer– Rao.  Batas  bawah  ini  diperoleh  dengan  mencari  suatu  fungsi  tak  bias  dari  suatu  statistik  cukup yang lengkap.
Definisi 5 . Jika dimisalkan i i t E     untuk i = 1,2,…, r , dan di antara semua penaksir tak bias θ i , t i mempunyai varian terkecil untuk setiap kemungkinan nilai θ , maka t i disebut penaksir takbias dengan variansi minimum seragam (PTVMS) dari θ .
Perhatikan Teorema Rao-Blackwell berikut, yang akan memberikan teknik mencari penaksir tak bias Y , dimana diketahui suatu penaksir takbias φ ( X )yang baru dari θ sedemikian rupa sehingga φ ( X ) mempunyai variansi yang lebih kecil dari variansi Y secara menyeluruh (seragam).
Teorema 1: Teorema Rao-Blackwell. Apabila X dan Y peubah acak yang memenuhi E ( Y ) =μ dan Var ( Y ) =  σ 2 Y <  +  .    Andaikan ) ( ) ( x X Y E x    ,  maka    ) ( X E dan Y X Var 2 ) (    . Kesamaan iniberlakujika 1 )] ( [   X Y P 
.
Bukti: Misalkan f ( x,y )menyatakan  fungsi  kepadatan  gabungan  dari    ( X,Y ),    dimana f 1 ( x )  fungsi  padat dari X , f 2 (y )  fungsi  padat  dari Y ,  dan h ( y/x )  fungsi  padat  bersyarat  dari Y jika  diketahui X  =  x .
Pertama akandiperlihatkanbahwa . ) (    X E Mengingat
Georgina M. Tinungki
            ) ( ) ( 1 ) , ( ) / ( ) / ( x x f dy y x yf dy x y yh x X Y E 
maka
     ) ( 1 ) ( ) , ( x f x dy y x yf 
sehingga
                    dx dy y x yf dx x f x X E ) , ( ) ( ) ( ) ( 1   =                      dy y yf dy dx y x f y ) ( ) , ( 2
Selanjutnya  akandiperlihatkanbahwa
; ) ( 2 Y X Var    kesamaanberlakujika . 1 )] ( [   X Y P  Makadiperoleh
2 2 2 )] ) ( ( )) ( [ ) (            X X Y E Y E Y = ) ) ( ))( ( ( 2 ) ) ( ( )) ( ( 2 2             X X Y E X E X Y E =
. 0 ) ( )) ( ( 2    X Var X Y E
  Sehingga
, )) ( ) ( 2 2 2 Y Y X EY X Var         Kesamaanberlakujika 0 )) ( ( 2   X Y E  , danterakhirbenarjika 1 ) ( [   X Y P  . 
Sebagai  ilustrasi  perhatikan  contoh  berikutini,  andaikan n X X ,...., 1 peubahacakbebas,  masing- masing    ), , ( 2 N dan σ 2 keduanya  tidak  diketahui.    PTVMS  dapat  dicari  dengan  terlebih dahulumenunjukkanbahwa n X X ,...., 1 peubahacakbebas, dimana
) ,...., ( ),..., ,...., ( ( 1 1 1 n r n X X X
X   yang  merupakanstatistik  cukup  minimum  untuk θ , ) ,...., ( 1 r     ,  makadiperolehstatistikcukup  minimum  lengkap  ) ,...., 1 ( n X X T   ) 2 , ( i X i X
untuk ) , ( 2   .  Juga   n X X i n / dan     ) 1 /( ) ( 2 n X X s n i n adalahfungsi  takbias  dari statistik cukuplengkap :
2 2 ) ( ) (     n n s E X E
Georgina M. Tinungki
sehingga
n X suatu PTVMS untuk μ
2 n s suatu PTVMS untuk 2  .

## Daftar Pustaka
[1].   Dudewicz  E.J.,  and  Mishra,  S.N.,  1988,  ” Modern  Mathematical  Statistics ”,John Wiley & Sons Inc., New York.
[2].  Hogg, R.V., and Craig, E., 1995, “ Introduction  to  Mathematical Statistics ,
5 th Edition “,Prentice-Hall, New York.