JURNAL GAUSSIAN, Volume 11, Nomor 1, Tahun 2022, Halaman 31 - 44 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PEMODELAN INDEKS HARGA PROPERTI RESIDENSIAL DI INDONESIA MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED SPACE TIME AUTOREGRESSIVE
Syazwina Aufa 1 , Rukun Santoso 2* , Suparti 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *email: rukunsantoso25@gmail.com

## ABSTRACT
Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR) is a model used for space time data analysis. Space time data is data related to events at previous times and  different locations. GSTAR is an expansion of the Space Time Autoregressive (STAR) method. The STAR method is only suitable for homogeneous locations while GSTAR can be used for heterogeneous locations. This research uses Residensial Property Price Index (IHPR) data. IHPR data is in the form of a multivariate time series consisting of 18 cities/regions with a certain time span. In this study, the analysis of IHPR data is carried out by looking at the relationship between the previous time and other cities/regions. Therefore, the method that  can be used  is GSTAR  method. Analysis  of IHPR data in each city/region can help increase the supply of housing, thereby reducing the number of backlogs. The backlog  of  houses  in  Indonesia  is  still  relatively  high.  Backlog  is  an  indicator  that  is  often  used  by  the government to measure the number of housing needs in Indonesia. Based on the fulfillment of the assumptions and the smallest MSE value, the best model obtained is GSTAR(4;1,1,1,1) using cross-correlation normalized weight. The largest IHPR data on forcasting results is in the cities of Makassar, Manado, and Surabaya while the smallest IHPR data is in the city of Balikpapan. The GSTAR method produces forcasted data that is close to the actual data so it is good to use.
Keywords : GSTAR, OLS, IHPR

## 1. PENDAHULUAN
Backlog rumah adalah salah satu indikator yang sering digunakan oleh pemerintah untuk  mengukur  jumlah  kebutuhan  rumah  di  Indonesia.  Istilah backlog sering  diartikan sebagai  perbandingan  antara  jumlah  rumah  yang  terbangun  dengan  jumlah  rumah  yang dibutuhkan.  Berdasarkan  data  jumlah  penduduk  tahun  2010, backlog kepemilikan  rumah sebesar  13,5  juta  unit.  Selanjutnya  berdasarkan  buku  proyeksi  penduduk  Indonesia  tahun 2010-2035, backlog kepemilikan rumah pada tahun 2015 sebesar 11,4 juta unit (Buhaerah, 2019). Bardasarkan data Survey Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) tahun 2020, Direktur Jenderal Perumahan Kementerian PUPR Iwan Suprijanto mengatakan bahwa angka backlog kepemilikan rumah masih sangat tinggi mencapai 12,75 juta unit belum termasuk dengan adanya  pertumbuhan  keluarga  baru  sebesar  700.000  sampai  800.000  per  tahun  (Laksono, 2022).
Kebutuhan  akan  perumahan  akan  terus  menaik  seiring  dengan  pertambahan penduduk dan meningkatnya jumlah usia produktif. Permintaan masyarakat terhadap sektor properti  diperkirakan  akan  terus  berkembang  setiap  tahunnya.  Ketika  tingkat permintaan/ demand meningkat, maka harga perumahan juga akan meningkat.  Kondisi ini memungkinkan pengembang perumahan memiliki target pasar di seluruh Indonesia, tidak hanya di daerah tertentu saja.
Minimnya  bahasan  terkait  harga  properti  residensial  di  Indonesia  menjadi  latar belakang  penulis  untuk  melakukan  penelitian.  Hal  ini  perlu  dilakukan  untuk  melihat peningkatan atau perlambatan pada penjualan rumah yang terjadi seiring peningkatan dan penurunan  harga  rumah.  Bahasan  mengenai  harga  properti  residensial  juga  berguna  agar pemerintah  maupun  pengembang  di  bidang  properti  bisa  meningkatkan supply rumah sehingga menurunkan jumlah backlog . Pembangunan infrastruktur yang belum merata juga menjadi  masalah  penting  di  Indonesia.  Oleh  karena  itu,  peneliti  ingin  menganalisis keterkaitan  IHPR  di  satu  kota/wilayah  dengan  kota/wilayah  lain  di  tengah  pembangunan infrastruktur yang belum merata tersebut.
Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) merupakan salah satu indikator ekonomi yang  memberikan  informasi  mengenai  perkembangan  harga  properti  residensial  di Indonesia. Data IHPR berbentuk multivariate time series terdiri dari 18 kota/wilayah dengan rentang waktu tertentu. Pada penelitian ini, analisis pergerakan data IHPR dilakukan dengan melihat keterkaitan dengan waktu sebelumnya dan kota/wilayah lainnya. Oleh karena itu, metode yang dapat digunakan untuk memodelkan dan meramalkan data IHPR yang memiliki keterkaitan dengan waktu dan kota/wilayah lainnya adalah metode Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Multivariate Time Series
Multivariate time series memodelkan variabel-variabel yang berkorelasi dan tercatat dari waktu ke waktu (Halim dan Chandra, 2011). Berikut merupakan persamaan multivariate time series:
𝒁(𝑡) = [𝑍 1 (𝑡), 𝑍 2 (𝑡), … , 𝑍 𝑁 (𝑡)]′ (1)
𝒁(𝑡) merupakan matriks time series dengan variabel sebanyak i=1,2…, N. t adalah periode time series berjalan dari t=1,2,…,n, dan diasumsikan E( Z (t)) adalah vektor nol.
2.2 Stasioneritas Model Multivariate Time Series
a. Matrix Autocorrelation Function (MACF)
Matrix  Autocorrelation  Function (MACF)  digunakan  untuk  melihat  data multivariate  time  series sudah  stasioner  dalam  mean  atau  belum.  Ketika  MACF menunjukkan penurunan lag yang melambat, maka data diindikasikan belum stasioner dan perlu  dilakukan differencing .  Stasioneritas  data  dalam  varian  tidak  perlu  dilakukan berdasarkan tulisan Shofiyah (2009).
Diberikan vektor time series dengan observasi sebanyak n yaitu 𝑍 𝑖 (1), 𝑍 𝑖 (2), … , 𝑍 𝑖 (𝑛) maka  matriks  korelasi  sampelnya  dihitung  sebagai  berikut  (Wei, 2006):
𝝆 ̂(𝒌) = [𝜌̂ 𝑖𝑗 (𝑘)] (2)
dengan 𝜌̂ 𝑖𝑗 (𝑘) adalah korelasi silang sampel untuk komponen lokasi ke-i dan ke-j pada lag ke-k.
𝜌̂ 𝑖𝑗 (𝑘) = ∑ [(𝑍 𝑖 (𝑡)−𝑍̅ 𝑖 )(𝑍 𝑗 (𝑡+𝑘)−𝑍̅ 𝑗 )] 𝑛−𝑘 𝑡=1 [∑ (𝑍 𝑖 (𝑡)−𝑍̅ 𝑖 ) 2 ∑ (𝑍 𝑗 (𝑡)−𝑍̅ 𝑗 ) 2 ] 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝑡=1 1 2 (3)
𝑍̅ 𝑖 dan 𝑍̅ 𝑗 merupakan mean sampel dari komponen lokasi yang bersesuaian.

## b. Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF)
Matrix Partial Autocorrelation Function (MPACF) digunakan untuk mengidentifikasi orde model dugaan sementara. MPACF dicirikan dengan melihat cut-off pada lag waktu dan lag spasial tertentu. MPACF pada lag ke-k dinotasikan dengan 𝒫(𝑘). Rumus 𝒫(𝑘) adalah sebagai berikut (Wei,2006):
𝒫(𝑘) = { 𝚪 ′ (1)[𝚪(0)] −1 𝑘 = 1 {𝚪 ′ (𝑘) − 𝒄 ′ (𝑘)[𝑨(𝑘)] −1 𝒃(𝑘)}{𝚪(0) − 𝒃 ′ (𝑘)[𝑨(𝑘)] −1 𝒃(𝑘)}          𝑘 > 1
(4)
Untuk k ≥ 2, maka nilai A (k), b (k), dan c (k) adalah sebagai berikut:
𝑨 ( 𝒌 ) = [ 𝚪 ( 0 ) 𝚪 ′ (1) ⋯ 𝚪 ′ (𝑘 − 2) 𝚪(1) ⋮ 𝚪(𝑘 − 2) 𝚪(0) ⋮ 𝚪(𝑘 − 3) ⋯ ⋱ ⋯ 𝚪 ′ (𝑘 − 3) ⋮ 𝚪(0) ] 𝒃(𝒌) = [ 𝚪 ′ (𝑘 − 1) 𝚪 ′ (𝑘 − 2) ⋮ 𝚪 ′ (1) ] 𝒄 ( 𝒌 ) = [ 𝚪(1) 𝚪(2) ⋮ 𝚪(𝑘 − 1) ] (5)
dengan 𝚪(𝒌) adalah matriks kovarian lag-k.

## 2.3 Uji Keheterogenan Lokasi dengan Indeks Gini
Indeks  Gini  diperkenalkan  oleh  seorang  statistikawan  Italia,  Corrado  Gini  (1884- 1965)  untuk  mengkaji  keheterogenan  lokasi.  Indeks  Gini  adalah  suatu  koefisien  yang menunjukkan  ketidakmerataan  suatu  distribusi.  Indeks  Gini  digunakan  dengan membandingkan suatu perubahan antar periode dan antar lokasi. Hipotesis:
H o : Lokasi Homogen (kemerataan sempurna) H 1 : Lokasi Heterogen (kemerataan tidak sempurna) Statistik Uji:
𝐺 = 1 + 1 𝑇 − 2 𝑇 2 𝑍̅ 𝑖 𝑥  ∑ 𝑍 𝑖 (𝑡) 𝑛 𝑡=1 (6)
𝑍 𝑖 adalah nilai pengamatan pada lokasi ke-i, 𝑍̅ 𝑖 (𝑡) adalah rata-rata nilai pengamatan, dan T adalah jumlah keseluruhan pengamatan. Ho ditolak jika indeks Gini mempunyai nilai 1.

## 2.4 Pembobot Spasial
Pembobot spasial memberikan informasi intensitas efek spasial dari suatu unit lokasi di dalam sistem geografi.

## a. Pembobot Invers Jarak
Pembobot invers jarak  adalah  pembobot  yang  berdasarkan  jarak  sebenarnya  yaitu menggunakan  nilai latitude dan longitude lokasi.  Perhitungan  bobot  diperoleh  dari  hasil invers jarak yang sebenarnya kemudian dinormalisasi. Pembobot invers jarak dirumuskan sebagai berikut (Faizah dan Setiawan, 2013):
𝑤 𝑖𝑗 = 1 𝑑𝑖𝑗 ∑ 1 𝑑𝑖𝑗 𝑁 𝑗=1 , 𝑗 ≠ 𝑖 (7)
dengan 𝑑 𝑖𝑗 = √(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) 2 + (𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑗 ) 2 adalah jarak lokasi ke-i dengan lokasi ke-j.

## b. Pembobot Normalisasi Korelasi Silang
Pembobot normalisasi korelasi silang menggunakan normalisasi hasil korelasi antar lokasi  pada  lag  yang  bersesuaian.  Taksiran  dari  korelasi  silang  pada  data  sampel  adalah (Suhartono dan Atok, 2006):
𝑟 𝑖𝑗 (𝑘) = ∑ [(𝑍 𝑖 (𝑡)−𝑍̅ 𝑖 )(𝑍 𝑗 (𝑡−𝑘)−𝑍̅ 𝑗 )] 𝑛 𝑡=𝑘+1 [∑ (𝑍 𝑖 (𝑡)−𝑍̅ 𝑖 ) 2 ∑ (𝑍 𝑗 (𝑡)−𝑍̅ 𝑗 ) 2 ] 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝑡=1 1 2 (8)
Penentuan  bobot  dilakukan  dengan  menormalisasi  hasil  korelasi  silang  pada  lag waktu  yang  bersesuaian.  Proses  ini  umumnya  menghasilkan  bobot  spasial  untuk  model GSTAR(1;1). Perhitungan bobot normalisasi korelasi silang adalah sebagai berikut:
𝑤 𝑖𝑗 = 𝑟 𝑖𝑗 (1) ∑ |𝑟 𝑖𝑘 (1) 𝑘≠𝑖 | , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 (9)
dan memenuhi ∑ |𝑤 𝑖𝑗 𝑗≠𝑖 | = 1.
2.5  Model Generalized Space-Time Autoregressive (GSTAR)
Generalized Space Time Autoregressive (GSTAR) diperkenalkan oleh Ruchjana et al. (2002). GSTAR merupakan suatu model yang dapat digunakan untuk analisis data space- time .  Data space  time adalah  data  yang  berhubungan  dengan  kejadian  pada  waktu sebelumnya dan lokasi yang berbeda. Sebuah deret 𝒁(𝑡) = [𝑍 1 (𝑡), 𝑍 2 (𝑡), … , 𝑍 𝑁 (𝑡)]′ adalah vektor time series pada waktu ke t dengan pengamatan sebanyak i=1,2, … ,N dan 𝐸(𝒁(𝑡)) adalah vektor nol. Model GSTAR (𝑝; 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑝 ) dengan p adalah orde autoregressive dan ( 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑝 ) adalah orde spasial sebagai berikut :
𝒁(𝑡) =   ∑ ∑ 𝚽 𝑘𝑙 𝑾𝒁(𝑡 − 𝑘) + 𝐞(t) 𝜆 𝑘 𝑙=0 𝑝 𝑘=1 (10)
𝒁(𝑡) :Vektor acak berukuran Nx1 pada periode t=1,2,…,n ( 𝒁(𝒕) = [𝑍 1 (𝑡), 𝑍 2 (𝑡), … , 𝑍 𝑁 (𝑡)]′ ) 𝚽 𝑘𝑙 : Matriks diagonal yang mengandung elemen diagonal orde autoregressive dan space- time pada setiap lokasi (𝚽 𝑘𝑙 = diag ( Φ 𝑘𝑙 1 , . . . , Φ 𝑘𝑙 𝑁 )) W : Matriks bobot berukuran NxN dengan nilai pembobot yang dipilih memenuhi syarat w ii =0   dan ∑ 𝑤 𝑖𝑗 = 1 𝑁 𝑗=1 e (t)  : Vektor galat berukuran Nx1 yang diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol dan varian konstan ( e (𝑡) = [𝑒 1 (𝑡), 𝑒 2 (𝑡), … , 𝑒 𝑁 (𝑡)]′ ) Model  parameter  ( Φ 𝑘𝑙 1 , . . . , Φ 𝑘𝑙 𝑁 )    untuk  orde autoregressive k=1,2,..,dst  dan l=1,2,…., dst dapat diestimasi menggunakan estimasi Ordinary Least Square (OLS). Untuk penelitian ini  digunakan model GSTAR  dengan pembatasan orde autoregressive k=5 dan orde spasial l=1 karena mempertimbangkan banyaknya parameter yang diestimasi. Estimasi OLS untuk matriks parameter 𝚽 adalah:
𝚽 = (𝑿 ′ 𝑿) −1 𝑿 ′ 𝒁 (11)

## 2.6 Uji Asumsi Model
Asumsi-asumsi dalam model GSTAR adalah white noise multivariate residual dan normal multivariate residual (Pfeifer dan Deutsch, 1980)..
a. Asumsi White Noise  Multivariate Residual
Asumsi white  noise  multivariate pada residual  adalah  asumsi  dasar  bahwa  antar residual tidak memiliki korelasi dengan mean sama dengan nol dan varian konstan. Asumsi residual white noise multivariate dilakukan dengan menggunakan portmanteau multivariate test yang merupakan bentuk umum dari Ljung-Box statistic pada kasus multivariate sebagai berikut (Tsay, 2005): Hipotesis: 𝐻 0 ∶ 𝝆 1 = 𝝆 2 = ⋯ =   𝝆 𝑙 = 𝟎 (residual telah white noise ) 𝐻 1 :  minimal ada satu 𝝆 𝑖 ≠ 𝟎, dimana i=1,2,…,l (residual tidak white noise ) dengan 𝝆 adalah matriks korelasi dari vektor error. Statistik uji:
𝑄 𝑁 (𝑙) = 𝑇 2 ∑ 1 𝑇−𝑙 𝑙 𝑙=1 𝑡𝑟(𝚪̂ 𝑙 ′ 𝚪̂ 0 −1 𝚪̂ 𝑙 𝚪̂ 0 −1 ) (12)
l          : banyak lag T         : Jumlah keseluruhan pengamatan
tr( A )    : trace dari matriks A dengan 𝑨 = (𝚪 ̂ 𝑙 ′ 𝚪 ̂ 0 −1 𝚪 ̂ 𝑙 𝚪 ̂ 0 −1 )
Kriteria pengujian:
𝐻 0 ditolak jika Q ≥   𝜒 𝛼,𝑁 2 𝑙 2 atau p - value < α sehingga residual white noise .
b. Asumsi Normal Multivariate Residual
Pengujian  kenormalan  residual  dapat  dilakukan  menggunakan  uji  Kolmogorov Smirnov.  Residual  model  GSTAR  mengikuti  distribusi  normal  N-variat  jika  jarak 𝑑 𝑖 2 mengikuti distribusi chi square dengan derajat bebas N (Bohling, 2006). Hipotesis yang diuji:
𝐻 0 : 𝑑 𝑖 2 ~𝜒 𝑁 2 (jarak  mahalanobis  mengikuti  distribusi chi  square dengan  derajat  bebas N, residual berdistribusi normal multivariate)
𝐻 1 : 𝑑 𝑖 2 tidak mengikuti 𝜒 𝑁 2 (jarak mahalanobis tidak mengikuti distribusi chi square dengan derajat bebas N, residual tidak berdistribusi normal multivariate ) Statistika uji :
D= Sup|S( 𝑑 𝑖 2 ) − 𝐹 0 ( 𝑑 𝑖 2 )| (13)
S( 𝑑 𝑖 2 )  : proporsi jarak mahalanobis yang  ≤ 𝑑 𝑖 2
Sup : Nilai supremum untuk semua 𝑑 𝑖 2 dari selisih mutlak S( 𝑑 𝑖 2 ) dan 𝐹 0 ( 𝑑 𝑖 2 ) 𝐹 0 ( 𝑑 𝑖 2 ) : fungsi peluang kumulatif dari distribusi hipotesis ( chi square ) Kriteria  pengujian  yaitu 𝐻 0 ditolak jika 𝐷 ≥ 𝐷 (1−𝛼),𝑛 atau p-value < α  dengan 𝐷 (1−𝛼) adalah nilai table Kolmogorov-Smirnov dengan kuantil (1 − 𝛼) .

## 2.7 Uji Signifikansi Model
Pengujian signifikansi dilakukan setelah diperoleh nilai estimasi dari tiap parameter untuk mengetahui  model  yang  diperoleh  layak  atau  tidak  digunakan.  Pengujian  sebagai  berikut (Zahro, 2017):
Hipotesis: 𝐻 0 ∶ semua nilai Φ 𝑘𝑙 𝑖 = 0 (estimasi parameter tidak signifikan)
𝐻 𝑖 ∶ ada nilai Φ 𝑘𝑙 𝑖 ≠ 0 (estimasi parameter signifikan) untuk semua lag waktu k dan lag spasial l dengan k= 1,2,…,5 , l = 0,1, dan i= 1,2,…,N

## 2.8 Mean Squared Error (MSE)
Mean  Squared  Error (MSE)  adalah  metode  yang  digunakan  untuk  mengevaluasi metode peramalan. MSE digunakan untuk mengukur rata-rata kuadrat kesalahan yaitu rata- rata selisih kuadrat antara nilai taksiran dan nilai sebenarnya. Semakin kecil nilai MSE, maka semakin baik model yang dipilih (Wei, 2006).
Rumus untuk mengetahui besarnya MSE per kota/wilayah adalah :
𝑀𝑆𝐸 = 1 𝑁𝑛 ∑ ∑ (𝑍 𝑖 (𝑡) − 𝑍̂ 𝑖 (𝑡)) 2 𝑛 𝑡=1 𝑁 𝑖=1 (14)
dengan Nn sama dengan T adalah banyaknya keseluruhan observasi

## 2.9 Indeks Harga Properti Residensial (IHPR)
Indeks  Harga  Properti  Residensial  (IHPR)  adalah  salah  satu  indikator  yang memberikan informasi mengenai perkembangan properti residensial. Data IHPR diperoleh dari  Survey  Harga  Properti  Residensial  (SHPR)  pasar  primer  yang  dilakukan  oleh  Bank Indonesia  secara  triwulan.  Survey  dilakukan  terhadap  sekitar  600  pengembang/ developer yang  mempunyai  skala  kegiatan  cukup  besar  serta  aktif  berproduksi  membangun  rumah secara kontinyu di 18 kota dan wilayah.
Hasil  SHPR  diolah  dan  disajikan  dalam  bentuk  IHPR  perkota/wilayah  dengan menggunakan  metode chain  index yang  menggunakan  tahun  dasar  2002=100  (Bank Indonesia, 2020). IHPR perkota/wilayah dihitung dengan rumus (Bank Indonesia, 2020):
𝐼𝐻𝑃𝑅 𝑡 = 𝐼𝐻𝑃𝑅 𝑡−1 + (𝐼𝐻𝑃𝑅 𝑡−1 x Δ𝑃 𝑡 100 ) (15)
IHPR t adalah data IHPR pada periode t, IHPR t-1 adalah data IHPR pada periode t-1, dan Δ𝑃 𝑡 adalah selisih rata-rata harga t dengan rata-rata harga t-1.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Jenis dan Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder. Data yang digunakan yaitu data Indeks Harga Properti Residensial yang berasal dari website resmi www.bi.go.id pada  tahun  2012  kuartal  pertama  tahun  2022  triwulan pertama.  Data  dibagi  menjadi  data training dan testing .  Data training yaitu  Data  IHPR  tahun  2012  triwulan  pertama  hingga tahun 2021 triwulan ketiga dan data testing yaitu data IHPR tahun 2021 triwulan keempat hingga  tahun  2022  triwulan  pertama.  Data testing dijadikan  sebagai  data  perbandingan dengan data hasil peramalan.  Variabel yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
Z 1 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Bandung Z 2 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Bandar Lampung Z 3 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Banjarmasin Z 4 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Denpasar Z 5 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Palembang Z 6 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Semarang Z 7 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Yogyakarta Z 8 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Padang Z 9 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Medan Z 10 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Makassar Z 11 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Manado Z 12 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Surabaya Z 13 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Pontianak Z 14 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Batam Z 15 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Balikpapan Z 16 : Indeks Harga Properti Residensial (IHPR) di Jabodebek-Banten

## 3.2 Prosedur Analisis Data
Prosedur analisis data adalah sebagai berikut:
1. Menentukan banyaknya data dan lokasi yang digunakan
2. Melakukan analisis deskriptif pada data
3. Melakukan analisis korelasi antar lokasi
4. Menghitung nilai indeks Gini untuk melihat keheterogenan lokasi
5. Menentukan bobot lokasi yang digunakan pada model GSTAR
6. Mengecek stasioneritas data dalam mean menggunakan MACF
7. Mengidentifikasi orde model GSTAR menggunakan MACF dan MPACF
8. Melakukan estimasi parameter model GSTAR
9. Mengitung nilai MSE pada masing-masing model GSTAR
10. Melakukan pengecekan asumsi white noise dan normal multivariate 11. Melakukan uji kesesuaian model GSTAR 12. Mencari model terbaik berdasarkan pemenuhan  asumsi, nilai MSE terkecil, dan  bobot yang digunakan
13. Melakukan peramalan untuk beberapa periode ke depan

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Deskripsi Data IHPR
Deskripsi data IHPR ditampilkan pada Tabel 1 berikut ini.

## Tabel 1. Statistika Deskriptif Data IHPR
Kota/Wilayah N Minimum Maksimum Mean Standar Deviasi Surabaya 39 189,840 355,840 295,760 52,650 Makassar 39 186,730 341,900 291,490 50,050 Manado 39 176,320 342,960 280,520 51,363 Bandung 39 181,670 285,120 242,930 34,343 Palembang 39 181,280 262,420 237,270 25,087 Medan 39 171,830 277,060 230,290 29,810 Jabodebek Banten 39 160,040 229,800 206,580 20,163 Banjarmasin 39 166,050 230,350 206,350 21,742 Yogyakarta 39 178,450 216,300 198,650 9,756 Bandar lampung 39 164,890 209,960 194,030 12,886 Semarang 39 154,470 206,790 187,800 17,990
Padang 39 156,380 198,230 184,410 10,983 Denpasar 39 141,890 188,910 178,990 12,611 Pontianak 39 148,090 179,430 166,720 7,363 Batam 39 100,000 143,060 126,270 14,791 Balikpapan 39 100,000 119,440 114,420 6,222
Berdasarkan  Tabel  1  diketahui  bahwa  setiap  lokasi  memiliki  39  data.  Surabaya  dan Makassar memiliki nilai mean terbesar yaitu  295,670 dan 291,490. Balikpapan memiliki nilai mean terkecil  yaitu  114,420.    Data  memiliki  standar  deviasi  6,222  -52,650  secara keseluruhan. Visualisasi data ditampilkan pada Gambar 1 sebagai berikut.
Berdasarkan Gambar 1 terlihat bahwa data untuk setiap lokasi memiliki kecenderungan naik  berdasarkan  satuan  waktu.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  data  belum  stasioner sehingga  perlu  dilakukan  penanganan.  Grafik  tersebut  menunjukkan  kecenderungan  naik antar lokasi yang relatif sama sehingga memiliki hubungan korelasi antar lokasi.

## 4.2 Uji Keheterogenan Lokasi dengan Indeks Gini
Indeks Gini digunakan dengan membandingkan suatu perubahan antar periode dan antar lokasi.  Diperoleh  nilai  indeks  Gini  di  16  kota/wilayah  yaitu  sebesar  1,001402.  Dengan kriteria pengujian Ho ditolak jiks indeks Gini sama dengan 1, maka Ho ditolak sehingga 16 kota/wilayah heterogen.

## 4.3 Penentuan Matriks Bobot Lokasi
a. Bobot Invers Jarak
Perhitungan  bobot invers jarak  dilakukan  dengan  menghitung  jarak  sebenarnya menggunakan  nilai latitude dan longitude lokasi.  Hasil  perhitungan  bobot  invers  jarak diperoleh dari hasil invers jarak yang sebenarnya ( 1 𝑑 ) kemudian dinormalisasi yaitu pada Tabel 2.
Gambar 1. Visualisasi Data IHPR
Tabel 2. Bobot Invers Jarak

## b. Bobot Normalisasi Korelasi Silang
Perhitungan  bobot  normalisasi  korelasi  silang  menggunakan  normalisasi  hasil korelasi silang antar lokasi pada lag yang bersesuaian. Tabel 3 merupakan hasil perhitungan bobot normalisasi korelasi silang.
Tabel 3. Bobot Normalisasi Korelasi Silang

## 4.4 Identifikasi Model GSTAR
Identifikasi  model  GSTAR  dilakukan  dengan  melihat  plot  MACF  dan  MPACF. Gambar 2 menunjukkan plot data asli, data setelah differencing pertama, dan data setelah differencing kedua.
Gambar 2. Plot Data Asli (a), Data Hasil Differencing Pertama (b), dan Data Hasil Differencing Kedua (c) (a)
(b)
(c)
Gambar  3  menunjukkan  grafik  MACF  pada  bobot  invers  jarak,  Gambar  4 menunjukkan  grafik  MACF  pada  bobot  normalisasi  korelasi  silang,  dan  Gambar  5 menunjukkan grafik MPACF pada data hasil differencing kedua di masing-masing bobot.
Gambar 3. Grafik MACF Bobot Invers Jarak (a) Data Asli, (b) Data Hasil Differencing Pertama, (c) Data Hasil Differencing Kedua
Gambar 4. Grafik MACF Bobot Normalisasi Korelasi Silang (a) Data Asli, (b) Data Hasil Differencing Pertama, (c) Data Hasil Differencing Kedua
Gambar 5. Grafik MPACF setelah Differencing Kedua (a) Bobot Invers Jarak (b) Bobot Normalisasi Korelasi Silang
Pada  Gambar  3(a)  dan  4(a),  grafik  MACF  menurun  secara  eksponensial.  Hal  ini menunjukkan data belum stasioner dan perlu dilakukan differencing. Data setelah dilakukan differencing pertama  masih  menurun  secara  eksponensial  dan  data  setelah differencing kedua mengalami penurunan lag yang signifikan. Seluruh data IHPR dari 16 kota/wilayah sudah stasioner dalam mean setelah dilakukan differencing kedua.
Gambar  5  menunjukkan  MPACF  setelah differencing kedua  di  masing-masing bobot. Pada bobot invers jarak, MPACF cut-off di lag 1,2,3,4, dst pada spasial lag nol dan cut-off di  lag  1,2,3,4,  dst  pada  spasial  lag  satu.  Pada  bobot  normalisasi  korelasi  silang, MPACF cut-off di lag 1,2,3,4, dst pada spasial lag nol dan cut-off di lag 1,2,3,4, dst pada
(a)
(b) (c) (a) (b) (a) (b) (c)
spasial lag satu. Cut-off yang beragam ini dapat dijadikan sebagai pembentuk orde model GSTAR. Karena banyaknya pilihan orde, maka ditentukan batas maksimal orde yaitu lima. Hal ini dikarenakan banyaknya parameter yang diestimasi bisa mencapai 160 dengan orde time  lima  dan  spasial  satu.  Setelah  ditentukan  batas  maksimum  orde,  maka  dilakukan estimasi parameter model GSTAR pada lag 1,2,3, dan 4 (lag lima tidak cut-off di MPACF Bobot  Invers  Jarak).  Selanjutnya  dilakukan  estimasi  parameter  model  GSTAR(1;1), GSTAR(2;1,1),  GSTAR(3;1,1,1)  dan  GSTAR(4;1,1,1,1).  Pemilihan  model  terbaik didasarkan pada nilai MSE terkecil, pemenuhan asumsi model, dan bobot yang digunakan.

## 4.5 Estimasi Parameter Model
Estimasi  parameter  model  GSTAR  menggunakan Ordinary  Least  Square (OLS). Estimasi parameter dilakukan dengan membandingkan dua jenis bobot  yaitu bobot invers jarak dan bobot normalisasi korelasi silang.  Berikut ditampilkan nilai MSE hasil estimasi parameter pada masing-masing model:
Tabel 4. Nilai MSE pada Model GSTAR Model Matriks Invers Jarak Matriks Normalisasi Korelasi silang GSTAR (1;1) 8,261 8,181 GSTAR (2;1,1) 7,204 7,167 GSTAR (3;1,1,1) 6,369 6,209 GSTAR (4;1,1,1,1) 5,806 5,689

## 4.6 Asumsi Model GSTAR
Hasil perhitungan white noise menggunakan portmanteau multivariate test untuk model GSTAR(1;1) ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil Portmanteau Multivariate Test Model GSTAR(1;1) Bobot Invers Jarak Bobot Normalisasi Korelasi Silang Lag Statistic (Q) P-value Statistic (Q) P-value 1 12,500 0,003 11,438 0,003 2 78,233 0,001 82,468 0,001 3 112,230 0,001 116,402 0,001 4 131,318 0,001 135,671 0,001 5 144,776 0,001 148,503 0,001 6 158,449 0,001 163,276 0,001 7 168,660 0,001 174,109 0,001
Berdasarkan Tabel 5, dapat dilihat bahwa nilai p-value pada setiap lag memiliki nilai kurang  dari 𝛼 = 5% ,  sehingga 𝐻 0 ditolak  dan  residual  di  kedua  bobot  pada  model GSTAR(1;1) tidak memenuhi asumsi white noise.
Asumsi  residual  normal  multivariat  menggunakan  uji multivariate Kolmogorov Smirnov. Hasil pengujian menunjukkan bahwa 𝐻 0 diterima karena nilai p-value lebih besar dari 𝛼 = 5% , sehingga jarak mahalanobis (𝑑 𝑖 2 ) mengikuti distribusi chi square pada derajat bebas  N=16  dan  residual  data  IHPR  pada  model  GSTAR(1;1)  berdistribusi  normal multivariate.
Tabel 6. Hasil Multivariate Kolmogorov Smirnov Model GSTAR(1;1) Bobot Invers Jarak Bobot Normalisasi Korelasi Silang P-value 0,885 0,885
Dengan  perhitungan  yang  sama  diperoleh,  untuk  model  GSTAR(2;1,1)  tidak memenuhi  asumsi white  noise dan  memenuhi  asumsi  normal multivariate. Model
GSTAR(3;1,1,1) memenuhi asumsi white noise dan memenuhi asumsi normal multivariate dan model GSTAR(4;1,1,1,1) memenuhi asumsi white noise dan memenuhi asumsi normal multivariate.

## 4.7 Uji Signifikansi Model
Pengujian signifikansi dilakukan setelah diperoleh nilai estimasi dari tiap parameter. 𝐻 0 ditolak  jika  terdapat Φ 𝑘𝑙 𝑖 ≠ 0 yaitu  nilai  estimasi  parameter  berbeda  dengan  nilai  nol sehingga estimasi parameter secara keseluruhan signifikan. Karena nilai estimasi parameter yang  didapat  dari  model  GSTAR(1;1),  GSTAR(2;1,1),  GSTAR(3;1,1,1),  dan GSTAR(4;1,1,1,1) secara keseluruhan ada yang berbeda dengan 0, maka secara keseluruhan parameternya signifikan.

## 4.8 Pemilihan Model Terbaik
Berdasarkan hasil estimasi parameter yang diperoleh dari keempat model GSTAR menggunakan bobot invers jarak dan normalisasi korelasi silang, maka dipilih model terbaik berdasarkan indikator pada Tabel 7.
Tabel 7. Pemilihan Model Terbaik
Bobot Model Asumsi White Noise Asumsi Normal Multivariate MSE Invers Jarak GSTAR(1;1) Tidak terpenuhi Terpenuhi 8,261 GSTAR(2;1,1) Tidak terpenuhi Terpenuhi 7,204 GSTAR(3;1,1,1) Terpenuhi Terpenuhi 6,369 GSTAR(4;1,1,1,1) Terpenuhi Terpenuhi 5,806 Normalisasi Korelasi Silang GSTAR(1;1) Tidak terpenuhi Terpenuhi 8,181 GSTAR(2;1,1) Tidak terpenuhi Terpenuhi 7,167 GSTAR(3;1,1,1) Terpenuhi Terpenuhi 6,209 GSTAR(4;1,1,1,1) Terpenuhi Terpenuhi 5,689
Berdasarkan  pemenuhan  asumsi  model  dan  nilai  MSE  gabungan  terkecil,  Model terbaik untuk data IHPR adalah model GSTAR(4;1,1,1,1) menggunakan bobot normalisasi korelasi silang.

## 4.9 Model Data IHPR menggunakan GSTAR(4;1,1,1,1)
Model  GSTAR(4;1,1,1,1)  menggunakan  bobot  normalisasi  korelasi  silang merupakan  model  terbaik  untuk  data  IHPR  di  16  kota/wilayah  di  Indonesia.  Dengan menggunakan  nilai  estimasi  parameter,  maka  diperoleh  pemodelan  menggunakan  bobot normalisasi korelasi silang sebagai berikut:
= +

## 4.10 Peramalan Menggunakan Model GSTAR terbaik
Model    terbaik  yaitu  model  GSTAR(4;1,1,1,1)  menggunakan  bobot  normalisasi korelasi silang. Model digunakan untuk meramalkan data IHPR pada tahun 2021 triwulan keempat  dan  tahun  2022  triwulan  pertama.  Peramalan  yang  dilakukan  di  masing-masing lokasi ditampilkan pada Tabel 8.
Tabel 8. Hasil Peramalan dan Perbandingan dengan Data Aktual
Kota/ Wilayah Kuartil IV Tahun 2021 Kuartil I Tahun 2022 Aktual Peramalan Aktual* Peramalan Bandung 287,720 287,073 287,720 288,453 Bandar Lampung 206,650 206,780 206,650 206,398 Banjarmasin 230,234 231,401 231,172 232,117 Denpasar 189,510 189,766 189,789 190,062 Palembang 263,436 265,381 263,436 266,470 Semarang 207,300 207,302 207,334 207,686 Yogyakarta 217,577 218,797 219,563 221,052 Padang 198,585 198,263 198,810 198,254 Medan 278,852 279,003 279,193 280,277 Makassar 343,810 346,592 343,882 349,323 Manado 352,631 353,938 355,072 363,246 Surabaya 353,680 351,492 358,913 349,032 Pontianak 180,502 182,169 180,180 184,696 Batam 139,679 141,983 138,105 143,335 Balikpapan 119,788 120,529 119,899 121,115 Jabodebek-Banten 231,472 230,368 231,472 230,929 MSE 1,960 16,136
+ + + + +
Berdasarkan  Tabel  8,  pada  triwulan  keempat  tahun  2021  selisih  data  aktual  dan peramalan terbesar  berada  di  kota  Makassar,  Surabaya,  dan  Batam.  Nilai  MSE  pada  data IHPR kuartil I tahun 2022 memiliki MSE yang lebih besar dari data IHPR kuartil IV tahun 2021  dikarenakan  data  tersebut  masih  data  perkiraan  dari  Bank  Indonesia.  .  Data  IHPR terbesar pada hasil peramalan terdapat di kota Makassar, Manado dan Surabaya sementara data IHPR terkecil terdapat di kota Balikpapan.  Secara keseluruhan, data hasil peramalan dan  data  aktual  memiliki  nilai  MSE  yang  kecil.  Karena  data  aktual  dan  data  peramalan memiliki  nilai  MSE  yang  kecil,  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa metode  GSTAR  adalah metode yang efektif dalam meramalkan data IHPR di 16 kota/wilayah di Indonesia.

## 5. KESIMPULAN
Pemodelan  terbaik  untuk  data  Indeks  Harga  Properti  Residensial  (IHPR)  yaitu menggunakan  model  GSTAR(4;1,1,1,1)  bobot  normalisasi  korelasi  silang.  MSE  yang diperoleh  sebesar  5,689.  Asumsi  model  GSTAR  terpenuhi  yaitu  residual white  noise multivariate dan  residual  normal multivariate. Karena  data  aktual  dan  data  peramalan memiliki  nilai  MSE  yang  kecil,  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa metode  GSTAR  adalah metode yang efektif dalam meramalkan data IHPR di 16 kota/wilayah di Indonesia.

## DAFTAR PUSTAKA
Bekti, R.D. dan Pratiwi, N. 2016. Metode Spatio-Temporal Untuk Peramalan. Institut Sains & Teknologi Akprind Yogyakarta . Yogyakarta : 42/SPP/LPPM/PL/IV/2016. Bohling, G. 2006. Classical Normal-Based Discriminant Analysis, Scientist , (March), pp. 1– 24.
Buhaerah,  P.  2019 . Pengaruh  Kredit  Pemilikan  Rumah  terhadap  Keterjangkauan  Harga Properti Residensial, Kajian Ekonomi Keuangan , 3(3), pp. 182–197. Departemen Statistik. 2021. Survey Harga Properti Residensial di Pasar Primer-  Triwulan III 2021 . https://www.bi.go.id/id/publikasi/laporan/Pages/SHPR-Triwulan-III- 2021.aspx. Diakses pada 1 September 2021.
Faizah, L.A. dan Setiawan. 2013. Pemodelan Inflasi di Kota Semarang, Yogyakarta    dan Surakarta dengan Pendekatan GSTAR. Jurnal Sains dan Seni Pomits. Vol.2. No.2. Halim, S. dan Chandra, A. (2011).  Pemodelan Time Series Multivariat secara Automatis, Jurnal Teknik Industri , 13(1). doi: 10.9744/jti.13.1.19-26. Laksono,  M.Y.  2022. Backlog  Rumah  Membengkak  Jadi  12,75  Juta,  Apa  Langkah Pemerintah? . Kompas.com. https://www.kompas.com/properti/read/2022/02/06/151343121/backlog-rumah- membengkak-jadi-1275-juta-apa-langkah-pemerintah?page=all.  Diakses:  20  Maret 2022.
Pfeifer, P. E. dan Deutsch, S. J. 1980. A Three Stage Iterative Procedure for Space- Time Modeling , Technometrics 22, 35-47.
Ruchjana, B. N., Borovkova, S. A., dan Lopuhaa, H. P. 2012. Least Squares Estimation of Generalized  Space  Time  AutoRegressive  (GSTAR)  Model  and  its  Properties , AIP Conference Proceedings , 1450(October 2014), pp. 61–64. doi: 10.1063/1.4724118. Shofiyah, M.A. 2009. Peramalan Data Produksi Gas di Joint Operating Body Pertamina Petrochina East Java (JOB P-PEJ) dengan Model GSTAR dan ARIMA . Suhartono dan Atok, R.M. 2006. Pemilihan Bobot Lokasi yang Optimal pada model GSTAR. Presented  at  National  Mathematics  Conference  XIII.  Semarang:  Universitas Negeri Semarang.
Suhartono  dan  Subanar.  2007.  Some  Comments  on  the  Theorem  Providing  Stasionerity
Condition  for  GSTAR  Models  in  The  Paper  by  Borovkova  et  al. Journal  of  The Indonesian Mathematical Siciety (MIHMI) , No.13, Vo.1: 44-52. Talungke,  Y.,  Nainggolan,  N.,  dan  Hatidja,  D.  2015. Model  Generalized  Space  Time Autoregressive  (GSTAR)  dengan  Analisis  Data  Menggunakan  Software  R , d’CARTESIAN, 4(2), p. 122. doi: 10.35799/dc.4.2.2015.8649.
Tsay, R.S. 2005. Analysis of Financial Time series . John Wiley & Sons. New Jersey. Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis : Univariate and Multivariate  Methods , (January 1989). doi: 10.2307/2289741.
Wutsqa,  D.  U.,  Suhartono,  dan  Sutijo,  B.  2010. Generalized  Space-Time  Autoregressive Modeling, Procee-dings of the 6th IMT-GT Conference on Mathematics, Statistics and its Application (ICMSA 2010, University Tunku Abdul Rahman, Malaysia.
Zahro,  J.  2017.  Price  Estimation  of  Red  Chili  Pepper  by  Using  Generalized  Space  ime Autoregressive (G-STAR)’, (July).
https://www.researchgate.net/publication/318110071.