Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 81-95 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.12948
Bilangan Kromatik Lokasi Pada Graf Amalgamasi Kipas Berekor
Des Welyyanti 1 *, Nada Andriani 2 , Lyra Yulianti 3
1 Jurusan Matematika, Universitas Andalas, Padang, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.
e-mail: wely@sci.unand.ac.id, nadaandriani05@gmail.com, lyra@sci.unand.ac.id
Diajukan: 17 Mei 2022, Diperbaiki: 29 Desember 2022, Diterima: 9 Maret 2023

## Abstrak
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graf terhubung dan 𝑐 suatu 𝑘 -pewarnaan dari 𝐺 . Misalkan 𝛱 =   {𝑆 1 , 𝑆 2 , . . . , 𝑆 𝑘 } merupakan partisi terurut dari 𝑉 (𝐺) ke dalam kelas warna yang dihasilkan. Berdasarkan pewarnaan titik, maka representasi titik 𝑣 terhadap 𝛱 disebut kode warna dari 𝑣 , dinotasikan dengan 𝑐 𝛱 (𝑣) . Kode warna 𝑐 𝛱 (𝑣) dari suatu titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) didefinisikan sebagai k-pasang terurut, yaitu, 𝑐 𝛱 (𝑣)   =   (𝑑(𝑣, 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑆 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑘 )) , dengan 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑖 ) =  𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝑆 𝑖 } untuk 1  ≤  𝑖  ≤ 𝑘 . Jika setiap titik yang berbeda di 𝐺 memiliki kode warna yang berbeda terhadap 𝛱 , maka 𝑐 disebut pewarnaan lokasi. Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi dari graf 𝐺 disebut bilangan kromatik lokasi, dinotasikan dengan 𝜒 𝐿 (𝐺) . Pada  artikel  ini  akan  dibahas  mengenai  bilangan  kromatik  lokasi  pada  graf  amalgamasi  kipas  berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑗 𝑃 𝑚 𝑗 , 𝑏} 2 ) dengan 2  ≤ 𝑛 𝑗 < 23 dengan 𝑛 𝑗 menyatakan banyaknya titik pada subgraf graf kipas ke- 𝑗 dan 𝑚 𝑗 menyatakan banyaknya titik pada subgraf dari graf lintasan ke- 𝑗 serta 𝑏 menyatakan titik hasil identifikasi dari titik-titik terminal, dengan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 . Kata Kunci : Bilangan Kromatik Lokasi, Amalgamasi, Graf Kipas Berekor, Graf Amalgamasi Kipas Berekor, Kode Warna.

## Abstract
Let 𝐺  =   (𝑉, 𝐸) be  a  connected  graph  and  let 𝑐 be  a  proper  coloring  of 𝐺 .  Let 𝛱 = {𝑆 1 , 𝑆 2 , . . . , 𝑆 𝑘 } be an ordered partition of 𝑉(𝐺) into the resulting color classes. For a vertex 𝑣 of 𝐺 , the color code 𝑐 𝛱 (𝑣) of 𝑣 is the ordered 𝑘 -tuple: 𝑐 𝛱 (𝑣)   =   (𝑑(𝑣, 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑆 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑘 )) , where 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑖 ) =  𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝑆 𝑖 } for 1  ≤  𝑖  ≤ 𝑘 . If distinct vertices have distinct color codes, then 𝑐 is called a locating coloring. The locating-chromatic number 𝜒𝐿(𝐺) is the minimum number of colors in a locating coloring of 𝐺 . In this paper, we study the locating-chromatic number of the amalgamation of fan-tailed graphs (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) with 2  ≤ 𝑛𝑖  <  23 where 𝑛 𝑖 represents the number of vertex in the 𝑖 -th fan graph subgraph and 𝑚 𝑖 represents the number of vertex in the 𝑖 -th path graph subgraph and 𝑏 represents the identification result of terminal points, where 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 Keywords: Locating-Chromatic Number, Amalgamation, Fan-Tailed Graphs, The Amalgamation of Fan- Tailed Graphs, Color Code.

## 1 Pendahuluan
Bilangan kromatik lokasi untuk pertama kalinya  dikenalkan oleh Chartrand dkk.[1], yaitu perpaduan konsep pewarnaan titik dan dimensi partisi pada suatu graf. Pewarnaan titik pada suatu
graf  ialah  pemberian  warna  kesemua  titik  pada  graf  dengan  syarat  setiap  titik-titik  yang bertetangga  harus  memiliki  warna  yang  berbeda.  Banyaknya  warna  minimum  yang  digunakan untuk pewarnaan titik pada graf 𝐺 disebut bilangan kromatik, yang dinotasikan 𝜒 (𝐺). Himpunan titik 𝑉(𝐺) dipartisi  menjadi  subhimpunan,  yaitu 𝑆 1 , 𝑆 2 , . . . , 𝑆 𝑘 .  Notasikan 𝛱 sebagai  suatu himpunan terurut dari 𝑘 -partisi, tulis 𝛱 =   {𝑆 1 , 𝑆 2 , . . . , 𝑆 𝑘 } .  Misalkan terdapat sebuah titik 𝑣 di 𝐺 , maka  representasi 𝑣 terhadap 𝛱 didefinisikan  sebagai 𝑟(𝑣|𝛱)   =   (𝑑(𝑣, 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑆 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑘 )) .    Jika  setiap  titik  pada 𝐺 mempunyai  representasi  yang  berbeda  terhadap 𝛱 ,  maka 𝛱 disebut  partisi  penyelesaian.  Kardinalitas  dari 𝑘 -partisi  penyelesaian  terhadap 𝑉(𝐺) disebut dimensi partisi. Kelas warna pada suatu graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝑆 𝑖 merupakan himpunan titik- titik  yang  berwarna 𝑖 dengan 1  ≤  𝑖  ≤  𝑘 .  Misalkan 𝛱 =   {𝑆 1 , 𝑆 2 , . . . , 𝑆 𝑘 } merupakan  partisi terurut dari 𝑉(𝐺) . Berdasarkan pewarnaan titik, maka representasi titik 𝑣 terhadap 𝛱 disebut kode warna dari 𝑣 , dinotasikan dengan 𝑐 𝛱 (𝑣) . Kode warna 𝑐 𝛱 (𝑣) dari suatu titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) didefinisikan sebagai 𝑘 -pasang  terurut,  yaitu (𝑑(𝑣, 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑆 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑘 )) dengan 𝑑(𝑣, 𝑆 𝑖 ) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝑆 𝑖 } untuk 1  ≤  𝑖  ≤  𝑘 , dimana 𝑑(𝑣, 𝑥) adalah jarak antara titik 𝑣 dan 𝑥 . Jika setiap  titik  yang  berbeda  di 𝐺 memiliki  kode  warna  yang  berbeda  terhadap 𝛱 ,  maka 𝑐 disebut pewarnaan lokasi. Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi dari graf 𝐺 disebut bilangan kromatik lokasi, dinotasikan dengan 𝜒 𝐿 (𝐺) .
Chartrand dkk[1] menentukan bilangan kromatik lokasi dari beberapa graf sederhana, seperti graf  lintasan 𝑃 𝑛 ,  graf  lingkaran  dan  graf  multipartit  lengkap.  Selanjutnya,  Asmiati  dkk.[2] menentukan bilangan kromatik lokasi dari amalgamasi graf bintang. Behtoei dkk.[3] membahas tentang bilangan kromatik lokasi dari graf kipas. Pada tahun 2014, Welyyanti dkk.[4] memperluas pengertian  bilangan  kromatik  lokasi  suatu  graf  yang  dapat  diaplikasikan  pada  semua  jenis  graf termasuk graf tak terhubung. Selanjutnya, Zikra[5] membahas tentang bilangan kromatik lokasi dari gabungan graf kipas. Pada penelitian ini akan ditentukan bilangan kromatik lokasi pada graf amalgamasi dua buah graf kipas berekor yang homogen.

## 2 Landasan Teori
Definisi graf siklus, graf lintasan dan graf kipas berikut dikutip dari Bondy dan Murty[6]. Graf  siklus (𝐶 𝑛 ) adalah  graf terhubung  dengan 𝑛 ≥ 3 titik, dimana setiap titiknya berderajat dua. Graf lintasan (𝑃 𝑛 ) adalah  graf terhubung  yang memuat dua titik berderajat satu  dan 𝑛 − 2 yang berderajat dua, untuk 𝑛 ≥ 2 . Graf Kipas (𝐹 𝑛 ) dengan 𝑛 ≥ 2 adalah graf yang diperoleh dari operasi tambah  graf  lintasan (𝑃 𝑛 ) , 𝑛 ≥ 2 dengan  titik 𝑣 0 atau 𝐹 𝑛 = 𝑃 𝑛 + 𝑣 0 .  Dalam  [1],  Ansori mendefinisikan  graf  kipas  berekor (𝐹 𝑛 𝑃 𝑚 ) sebagaigraf  kipas (𝐹 𝑛 ) yang  titik 𝑣 0 diberi  titik-titik
tambahan  sehingga  titik 𝑣 0 tersebut  menjadi  graf  lintasan (𝑃 𝑚 ), 𝑚 ≥ 2. Selanjutnya,  Ansori[7] mendefinisikangraf amalgamasi kipas berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 𝑡 ) sebagai graf yang diperoleh dari hasil amalgamasi 𝑡 -buah graf kipas berekor  yang tidak harus homogen (graf-graf kipas berekor yang  diamalgamasikan  tidak  harus  memiliki  banyak  titik  yang  sama).  Graf  amalgamasi  kipas berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) adalah graf amalgamasi 2 buah graf kipas berekor dengan 𝑚 𝑖 ≥ 2 , 𝑛 𝑖 ≥ 2 , 𝑡 = 2 dan 𝑖 = 1,2 ,  yaitu  melekatkan  dua  titik  berderajat  satu  pada  masing-masing  graf  kipas berekor. Himpunan titik dan himpunan sisi graf amalgamasi kipas berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) dengan 𝑚 𝑖 ≥ 2 , 𝑛 𝑖 ≥ 2 , 𝑡 = 2 dan 𝑖 = 1,2 adalah:
𝑉(𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = {𝑏, 𝑦 𝑖,𝑗 , 𝑣 𝑖,𝑘 |𝑖 = 1,2, 𝑗  = 2,3, … , 𝑚 𝑖 , 𝑘  =  1,2, … , 𝑛 𝑖 }
𝐸(𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = {𝑏𝑦 𝑖,2 , 𝑦 𝑖,𝑙 𝑦 𝑖,𝑙+1 , 𝑦 𝑖,𝑚𝑖 𝑣 𝑖,𝑗 , 𝑣 𝑖,𝑘 𝑣 𝑖,𝑘+1 |𝑖 = 1,2, 𝑙 = 2,3, … , 𝑚 𝑖 − 1, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑖 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 𝑖 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 𝑖 − 1} .
Ilustrasi graf amalgamasi kipas berekor dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 .[1] Graf amalgamasi 2 buah Graf Kipas Berekor Graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 Berikut teorema dan akibat yang berkaitan dengan bilangan kromatik lokasi suatu graf yang diambil  dari[1].  Definisikan 𝑁(𝑣) sebagai  himpunan  yang  berisi  semua  titik  yang  menjadi tetangga dari 𝑣 .
Teorema 1. [1] Misal 𝑐 adalah pewarnaan lokasi pada graf terhubung 𝐺 . Jika 𝑢 dan 𝑣 adalah dua titik yang berbeda di 𝐺 sedemikian sehingga 𝑑(𝑢, 𝑤)   =  𝑑(𝑣, 𝑤) untuk setiap 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) − {𝑢, 𝑣} , maka 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣) . Secara khusus jika 𝑢 dan 𝑣 titik titik yang tidak bertetangga di 𝐺 sedemikian sehingga 𝑁(𝑢)   =  𝑁(𝑣) , maka 𝑐(𝑢) ≠ 𝑐(𝑣) .
Akibat  2. [1] Misalkan 𝐺 adalah  graf  terhubung  dengan  satu  titik  yang  bertetangga  dengan 𝑘 daun, maka 𝜒 𝐿 (𝐺) = 𝑘  +  1 .
Berikut  ini  adalah  teorema  yang  berkaitan  dengan  bilangan  kromatik  lokasi  graf  kipas 𝐹 𝑛 yang diambil dari [5]. Teorema 3 digunakan untuk membuktikan bilangan kromatik lokasi pada graf kipas berekor.
Teorema 3. [5] Misalkan terdapat graf kipas 𝐹 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 2 , maka
𝜒 𝐿 (𝐹 𝑛 ) = { 3, 4, 5, 𝑞, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 3 ≤ 𝑛 ≤ 7 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 8 ≤ 𝑛 ≤ 23 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 (𝑞 − 2) ∑ (𝑖 − 2) ≤ 𝑛 ≤ ((𝑞 − 1) ∑ (𝑖 − 2) 𝑞 𝑖=3 ) − 1, 𝑞 ≥ 6. 𝑞−1 𝑖=3

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada Teorema 4 akan dibahas tentang bilangan kromatik lokasi untuk graf amalgamasi kipas berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) dengan 𝑚 𝑖 ≥  2 dan 2 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 .
Teorema 4. Misalkan terdapat graf amalgamasi kipas berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 𝟐 ) untuk 𝑚 𝑖 ≥  2 dan 2 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 , maka
𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = { 4,
5, 6, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 16 ≤ 𝑛 𝑖 < 23.
Bukti. Misalkan terdapat graf amalgamasi kipas berekor 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 𝟐 dengan 𝑚 𝑖 ≥  2 dan 2 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 .  Graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 merupakan  graf  yang  diperoleh  dari  hasil  amalgamasi 2 - buah graf kipas berekor yang homogen yang dihubungkan oleh suatu titik 𝑏, dimana titik 𝑏 adalah titik hasil identifikasi dari graf 𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 untuk 𝑖 = 1,2 .
Definisikan suatu pewarnaan 𝑐 ∶  𝑉  (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2, … , 𝑞} . Pemberian warna untuk setiap titik pada graf lintasan (𝑃 𝑚 𝑖 ) memenuhi ketentuan sebagai berikut.
1. Hanya dua warna sebarang yang bisa diambil dari pewarnaan graf 𝐹 𝑚 𝑖 .
2. Dua warna tersebut bisa digunakan berulang pada setiap titik di graf 𝑃 𝑚 𝑖 .
Jika pewarnaan titik-titik pada graf 𝑃 𝑚 𝑖 sesuai  dengan ketentuan di  atas, maka kode warna dari titik-titik pada graf 𝑃 𝑚 𝑖 akan dibedakan oleh kelas warna selain kelas warna pada graf 𝑃 𝑚 𝑖 . Untuk pewarnaan  titik 𝑏, ambil  satu  warna  sebarang  dari  warna  yang  diberikan  pada  titik-titik  di  graf 𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 .  Tanpa  mengurangi  perumuman,  misalkan 𝑐(𝑏)   =  3 .  Akibatnya,  titik-titik  pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 akan memiliki kode warna yang berbeda, yang dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3 . Perhatikan beberapa kasus berikut.
Kasus 1 . 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4 dan 𝑚 𝑖 ≥  2.
Definisikan  pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4} dan 𝛱 = {𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 }, dimana 𝛱 adalah suatu  himpunan  partisi titik-titik  pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dengan 𝑆 𝑖 menyatakan kelas

## Des Welyyanti, Nada Andriani, Lyra Yulianti
warna ke- 𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 4 . Selanjutnya ditentukan 𝑛 yang memenuhi pewarnaan 4 -lokasi dari graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .  Warna  yang  dapat  dikombinasikan  pada  titik-titik  pada  graf
𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ada  empat  warna.  Empat  warna  yang  dikombinasikan  pada  graf
𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 hanya dipenuhi oleh 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4 dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Kombinasi warna Pewarnaan 4 -lokasi graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 𝑛 𝑖 Pewarnaan 4 -lokasi graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 [𝑐 𝑦 1,𝑚1 , 𝑐 𝑣 1,1 , 𝑐 𝑣 1,2 , … , 𝑐 𝑣 1,𝑛 ; 𝑐 𝑦 2,𝑚2 , 𝑐 𝑣 2,1 , 𝑐 𝑣 2,2 , … , 𝑐 𝑣 2,𝑛 ] 2 [1,2,3; 1,4,2]
3 [1,2,3,4; 2,3,4,1] 4 [1,2,3,4,3; 2,3,4,1,4] Selanjutnya  ditentukan 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 4 untuk 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4 dan 𝑚 𝑖 ≥ 2 yang dijelaskan dalam beberapa subkasus berikut.
Subkasus 1.1 Untuk 𝑛 𝑖 =  2 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 2 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 1, 𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 3,
𝑐(𝑣 2,1 ) = 4.
Pada Gambar 2 diberikan suatu pewarnaan 4 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 2 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 2 . Pewarnaan 4 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 2 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 2 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap 𝛱 disajikan sebagai berikut.
𝑐 𝛱 (𝑣 1,1 ) = (𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 4 )) = (1,0,1,2𝑚 𝑖 ), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,2 ) = (𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 4 )) = (1,1,0,2𝑚 𝑖 ), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,1 ) = (𝑑(𝑣 2,1 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 2,1 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 2,1 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 2,1 , 𝑆 4 )) = (1,0,2𝑚 𝑖 , 1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,2 ) = (𝑑(𝑣 2,2 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 2,2 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 2,2 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 2,2 , 𝑆 4 )) = (1,1,2𝑚 𝑖 , 0).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 2 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode warna yang berbeda. Untuk pewarnaan pada titik-titik  graf 𝑃 𝑚 𝑖 menggunakan ketentuan yang telah dipaparkan sebelumnya sehingga kode warna utuk setiap titik pada graf 𝑃 𝑚 𝑖 pasti berbeda. Kode warna untuk setiap titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 2 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4 , maka diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 4 untuk 𝑛 𝑖 = 2 .
Subkasus 1.2 Untuk 𝑛 𝑖 =  3 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 3 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = (𝑣 2,3 ) = 1, 𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑦 1,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 3,
𝑐(𝑣 1,3 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 4.
Pada Gambar 3 diberikan suatu pewarnaan 4 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 3 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 3. Pewarnaan 4 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 3 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 3 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap Π disajikan sebagai berikut.
𝑐 Π (𝑣 1,1 ) = (𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 4 )) = (1,0,1,2), 𝑐 Π (𝑣 1,2 ) = (𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 4 )) = (1,1,0,1),
𝑐 Π (𝑣 1,3 ) = (1,2,1,0), 𝑐 Π (𝑣 2,1 ) = (2,1,0,1), 𝑐 Π (𝑣 2,2 ) = (1,1,1,0), 𝑐 Π (𝑣 2,3 ) = (0,1,2,1).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 3 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode warna yang berbeda. Kode warna untuk setiap titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 3 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4 , maka diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 4 untuk 𝑛 𝑖 = 3 . Subkasus 1.3 Untuk 𝑛 𝑖 =  4 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = 𝑐(𝑣 2,3 ) = 1, 𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑦 1,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 𝑐(𝑣 1,4 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 3,
𝑐(𝑣 1,3 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 𝑐(𝑣 2,4 ) = 4.
Pada Gambar 4 diberikan suatu pewarnaan 4 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 4. Pewarnaan 4 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap 𝛱 disajikan sebagai berikut.
𝑐 𝛱 (𝑣 1,1 ) = (𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 4 )) = (1,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,2 ) = (𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,2 , 𝑆 4 )) = (1,1,0,1),
𝑐 𝛱 (𝑣 1,3 ) = (1,2,1,0), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,4 ) = (1,2,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,1 ) = (2,1,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,2 ) = (1,1,1,0),
𝑐 𝛱 (𝑣 2,3 ) = (0,1,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,4 ) = (1,1,2,0).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode  warna  yang  berbeda,  maka  terbukti  bahwa 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 4 .  Untuk  pewarnaan pada titik-titik graf 𝑃 𝑚 𝑖 menggunakan ketentuan yang telah dipaparkan sebelumnya sehingga kode warna  utuk  setiap  titik  pada  graf 𝑃 𝑚 𝑖 pasti  berbeda.  Kode  warna  untuk  setiap  titik  pada  graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4 .
Selanjutnya  akan  ditentukan  batas  bawah 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 4 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≥ 4 untuk 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4 , pewarnaan  graf  kipas  pertama 𝐹 𝑛 1 mengikuti  pola  pewarnaan  pada  graf  kipas  pada  Teorema  3. Untuk pewarnaan graf kipas kedua 𝐹 𝑛 2 merupakan modifikasi dari pewarnaan titik-titik pada graf kipas pertama 𝐹 𝑛 1 yaitu dengan menambahkan warna di graf kipas pertama 𝐹 𝑛 1 dengan 1 sehingga memenuhi pewarnaan lokasi. Andaikan 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 mempunyai 3-pewarnaan lokasi maka 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 mempunyai  paling  sedikit  dua  titik  dominan  dengan  warna  yang  sama.
Akibatnya, 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≥ 4 dipenuhi oleh 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4 . Jadi, 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 4 untuk 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4 .
Kasus 2. Untuk 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan  pewarnaan 𝑐 ∶  𝑉  (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4,5} dan 𝛱 =   {𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 } dimana 𝛱 adalah  suatu  himpunan  partisi  titik-titik  pada  graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dengan 𝑆 𝑖 menyatakan kelas warna ke −𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 5 . Selanjutnya akan ditentukan 𝑛 yang memenuhi pewarnaan 5 -lokasi dari graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 . Warna yang dapat dikombinasikan pada titik-titik pada  graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ada  lima  warna.  Lima  warna  yang  akan  dikombinasikan  pada  graf
𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 hanya dipenuhi oleh 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Kombinasi warna Pewarnaan 5 -lokasi graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
𝑛 𝑖 Pewarnaan 5 -lokasi graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 [𝑐 𝑦 1,𝑚1 , 𝑐 𝑣 1,1 , 𝑐 𝑣 1,2 , … , 𝑐 𝑣 1,𝑛 ; 𝑐 𝑦 2,𝑚2 , 𝑐 𝑣 2,1 , 𝑐 𝑣 2,2 , … , 𝑐 𝑣 2,𝑛 ]
5 [1,2,3,4,5, 2; 2,3,4,5,3,1]
6 [1,2,3,4,5,2,3; 2,3,4,5,3,1,5]
7 [1,2,3,4,5,4,5,2; 2,1,3,5, 4,3,5,1]
8 [1,2,3,4,5,4,5,2,3; 2,1,3,5,4,3,5,1,5]
9 [1,2,3,4,5,4,5,2,3,5; 2,1,4,3,5,3,5,1,4,5]
10 [1,2,3,4,5,4,5,2,3,5,2; 2,1,4,3,5,3,5,4,1,3,1] 11 [1,2,3,4,5,4,5,2,3,5, 2,4; 2,1,4,3,5,3,5,4,1,3,1,5] 12 [1,2,3,4,5,4,5,2,3,5,2,4,2; 2,1,4,3,5,3,5,4,5,4,1,5,1] 13 [1,2,3,4,5,3,2,4,5,2,5,3,4,2; 5,1,2,3,2,3,4,2,4,2,1,3,1,4] 14 [1,2,3,4,5,3,2,4,5,2,5,3,4,2,4; 5,1,2,3,2,3,4,2,4,2,1,3,1,4,1] 15 [1,2,3,4,5,3,2,4,5,2,5,3,4,3,4,2; 5,1,3,1,2,3,2,3,4,3,4,2,4,2,1,4]
Selanjutnya  akan  ditentukan 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 5 untuk 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 dan 𝑚 𝑖 ≥ 2 yang akan dijelaskan dalam beberapa subkasus berikut.
Subkasus 2.1 Untuk 𝑛 𝑖 =  5 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 5 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4,5} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = 𝑐(𝑣 2,5 ) = 1,
𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑣 1,5 ) = 𝑐(𝑦 1,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 𝑐(𝑣 2,4 ) = 3,
𝑐(𝑣 1,3 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 4,
𝑐(𝑣 1,4 ) = 𝑐(𝑣 2,3 ) = 5.
Pada Gambar 5 diberikan suatu pewarnaan 5 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 5 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 5. Pewarnaan 5 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 5 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 5 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap 𝛱 disajikan sebagai berikut.
𝑐 𝛱 (𝑣 1,1 ) = (𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 1 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 2 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 3 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 4 ), 𝑑(𝑣 1,1 , 𝑆 5 )) = (1,0,1,2,2),
𝑐 𝛱 (𝑣 1,2 ) = (1,1,0,1,2),  𝑐 𝛱 (𝑣 1,3 ) = (1,2,1,0,1),  𝑐 𝛱 (𝑣 1,4 ) = (1,1,2,1,0), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,5 ) = (1,0,2,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,1 ) = (2,1,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,2 ) = (2,1,1,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,3 ) = (2,1,1,1,0),  𝑐 𝛱 (𝑣 2,4 ) = (1,1,0,2,1) 𝑐 𝛱 (𝑣 2,5 ) = (0,1,1,2,2).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 5 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode warna  yang berbeda. Kode warna untuk setiap titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 5 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4,5 , maka diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 5 untuk 𝑛 𝑖 = 5 . Subkasus 2.2 Untuk 6 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 14 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Pembuktian 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 5 untuk 6 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 14 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 mengacu  pada pembuktian yang dipaparkan pada Subkasus 2.1 dan Tabel 2. Oleh karena itu, pewarnaan 5 -lokasi dipenuhi oleh 6 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 14 . Akibatnya, diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 5 untuk 6 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 14 .
Subkasus 2.3 Untuk 𝑛 𝑖 =  15 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 15 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4,5} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 𝑐(𝑣 2,3 ) = 𝑐(𝑣 2,14 ) = 1,
𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑣 1,6 ) = 𝑐(𝑣 1,9 ) = 𝑐(𝑣 1,15 ) = 𝑐(𝑦 1,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑣 2,4 ) = 𝑐(𝑣 2,6 ) = 𝑐(𝑣 2,11 ) = 𝑐(𝑣 2,13 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 𝑐(𝑣 1,5 ) = 𝑐(𝑣 1,11 ) = 𝑐(𝑣 1,13 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 𝑐(𝑣 2,5 ) = 𝑐(𝑣 2,7 ) = 𝑐(𝑣 2,9 ) = 3,
𝑐(𝑣 1,3 ) = 𝑐(𝑣 1,7 ) = 𝑐(𝑣 1,12 ) = 𝑐(𝑣 1,14 ) = 𝑐(𝑣 2,8 ) = 𝑐(𝑣 2,10 ) = 𝑐(𝑣 2,12 ) = 𝑐(𝑣 2,15 ) = 4, 𝑐(𝑣 1,4 ) = 𝑐(𝑣 1,8 ) = 𝑐(𝑣 1,10 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 5.
Pada Gambar 6 diberikan suatu pewarnaan 5 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 15 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 6. Pewarnaan 5 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 15 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 15 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap 𝛱 disajikan sebagai berikut.
𝑐 𝛱 (𝑣 1,1 ) = (1,0,1,2,2),  𝑐 𝛱 (𝑣 1,2 ) = (1,1,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,3 ) = (1,2,1,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,4 ) = (1,2,1,1,0), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,5 ) = (1,1,0,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,6 ) = (1,0,1,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,7 ) = (1,1,2,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,8 ) = (1,1,2,1,0), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,9 ) = (1,0,2,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,10 ) = (1,1,1,2,0), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,11 ) = (1,2,0,1,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,12 ) = (1,2,1,0,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,13 ) = (1,2,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,14 ) = (1,1,1,0,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,15 ) = (1,0,2,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,1 ) = (0,2,1,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,2 ) = (1,2,0,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,3 ) = (0,1,1,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,4 ) = (1,0,1,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,5 ) = (2,1,0,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,6 ) = (2,0,1,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,7 ) = (2,1,0,1,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,8 ) = (2,2,1,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,9 ) = (2,2,0,1,1, ),
𝑐 𝛱 (𝑣 2,10 ) = (2,1,1,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,11 ) = (2,0,2,1,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,12 ) = (2,1,2,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,13 ) = (1,0,2,1,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,14 ) = (0,1,2,1,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,15 ) = (1,2,2,0,1).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 15 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode warna yang berbeda. Kode warna untuk setiap titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 15 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh  kelas  warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4,5 ,  maka  diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 5 untuk 𝑛 𝑖 = 15 .Selanjutnya pembuktian batas bawah 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≥ 5 untuk 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 mengacu pada  pembuktian  batas  bawah yang  dipaparkan  pada  Subkasus  1.3.  Andaikan 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 untuk 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 mempunyai 4-pewarnaan lokasi maka terdapat paling sedikit dua  titik  dengan  kode  warna  yang  sama.  Akibatnya, 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≥ 5 dipenuhi  oleh
5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 . Jadi, 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 5 untuk 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15 .
Kasus 3 . Untuk 6 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan
𝑐 ∶  𝑉  (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4,5,6} dan 𝛱 =
{𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 } dimana 𝛱 adalah  suatu  himpunan  partisi  titik-titik  pada  graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dengan 𝑆 𝑖 menyatakan  kelas  warna  ke- 𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 6 .  Selanjutnya  akan ditentukan 𝑛 yang memenuhi pewarnaan 5 -lokasi dari graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 . Warna yang dapat dikombinasikan  pada  titik-titik  pada  graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ada  enam  warna.  Enam  warna  yang akan dikombinasikanpada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dipenuhi oleh 16 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Kombinasi warna Pewarnaan 6 -lokasi graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 𝑛 𝑖 Pewarnaan 6 -lokasi graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 [𝑐 𝑦 1,𝑚1 , 𝑐 𝑣 1,1 , 𝑐 𝑣 1,2 , … , 𝑐 𝑣 1,𝑛 ; 𝑐 𝑦 2,𝑚2 , 𝑐 𝑣 2,1 , 𝑐 𝑣 2,2 , … , 𝑐 𝑣 2,𝑛 ] 16 [1,2,3,4,5,6,2,3,2,4,2,4,3,5,2,5, 4; 2,3,4,5,6,3,4,6,5,3,6,4, 5,3,1,4,5] 17 [1,2,3,4,5,6,2,3,2,4,2,4,3,5,2, 5,4, 5; 2,3,4,5,6,3,4,6,5,3,6,4, 5,3,1,5,6,5] 18 [1,2,3,4,5,6,2,3,2,4,2,4,3,5,2,5,4,5,3; 2,3,4,5,6,3,4,6,5,3,6,4,5,4,1,4,6,1,5] 19 [1,2,3,4,5,6,4,5,2,3,6,2,3,5,4,5,4,2,6,2; 2,1,3,1,6,5,4,3,4,6,5,6,5,1,4,3,5,4,6,4]
20 [1,2,3,4,5,6,4,5,2,3,6,2,3,5,4,5,4,2,6,2,5; 2,1,3,1,6,5,4,3,4,6,5,6,5,1,4,3,5,4,6,4,1] 21 [1,2,3,4,5,6,4,5,2,3,6,2,3,5,4,5,4,2,6,2,5,2; 2,1,3,1,6,5,4,3,4,6,5,6,5,1,4,3,5,4,6,4,6,3] 22 [1,2,3,4,5,6,4,5,2,3,6,2,3,5,4,5,4,2,6,2,5,2,4; 2,1,3,1,6,5,4,3,4,6,5,6,5,1,4,3,5,4,6,4,6,3,5]
Karena pada penelitian ini dibatasi untuk 2 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 maka tidak menutup kemungkinan bahwa 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 6 masih bisa digunakan untuk 𝑛 𝑖 ≥ 23 .
Selanjutnya dibuktikan bahwa 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 6 untuk 6 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 dan 𝑚 𝑖 ≥ 2 yang akan dijelaskan dalam beberapa subkasus berikut.
Subkasus 3.1 Untuk 𝑛 𝑖 =  16 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 16 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4,5,6} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = 𝑐(𝑣 2,14 ) = 1,
𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑣 1,6 ) = 𝑐(𝑣 1,8 ) = 𝑐(𝑣 1,10 ) = 𝑐(𝑣 1,14 ) = 𝑐(𝑦 1,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 𝑐(𝑣 1,7 ) = 𝑐(𝑣 1,12 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 𝑐(𝑣 2,5 ) = 𝑐(𝑣 2,5 ) = 𝑐(𝑣 2,9 ) = 𝑐(𝑣 2,13 ) = 3, 𝑐(𝑣 1,3 ) = 𝑐(𝑣 1,9 ) = 𝑐(𝑣 1,11 ) = 𝑐(𝑣 1,16 ) = 𝑐(𝑣 2,8 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 𝑐(𝑣 2,6 ) = 𝑐(𝑣 2,11 ) = 𝑐(𝑣 2,15 ) = 4, 𝑐(𝑣 1,4 ) = 𝑐(𝑣 1,13 ) = 𝑐(𝑣 1,15 ) = 𝑐(𝑣 2,3 ) = 𝑐(𝑣 2,8 ) = 𝑐(𝑣 2,12 ) = 𝑐(𝑣 2,16 ) = 5,
𝑐(𝑣 1,5 ) = 𝑐(𝑣 2,4 ) = 𝑐(𝑣 2,7 ) = 𝑐(𝑣 2,10 ) = 6.
Pada Gambar 7 diberikan suatu pewarnaan 6 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 16 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 7. Pewarnaan 6 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 16 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 16 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap 𝛱 disajikan sebagai berikut. 𝑐 𝛱 (𝑣 1,1 ) = (1,0,1,2,2,2),         𝑐 𝛱 (𝑣 1,2 ) = (1,1,0,1,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,3 ) = (1,2,1,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,4 ) = (1,2,2,1,0,1),         𝑐 𝛱 (𝑣 1,5 ) = (1,1,2,2,1,0),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,6 ) = (1,0,1,2,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,7 ) = (1,1,0,2,2,2),         𝑐 𝛱 (𝑣 1,8 ) = (1,0,1,1,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,9 ) = (1,1,2,0,2,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,10 ) = (1,0,2,1,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,11 ) = (1,1,1,0,2,2),     𝑐 𝛱 (𝑣 1,12 ) = (1,2,0,1,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,13 ) = (1,1,1,2,0,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,14 ) = (1,0,2,2,1,2),     𝑐 𝛱 (𝑣 1,15 ) = (1,1,2,1,0,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,16 ) = (1,2,2,0,1,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 2,1 ) = (2,1,0,1,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 2,2 ) = (2,1,1,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,3 ) = (2,1,2,1,0,1),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,4 ) = (2,1,1,2,1,0),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,5 ) = (2,1,0,1,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,6 ) = (2,1,1,0,2,1),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,7 ) = (2,1,2,1,1,0),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,8 ) = (2,1,1,2,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,9 ) = (2,1,0,2,1,1),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,10 ) = (2,1,1,1,2,0),      𝑐 𝛱 (𝑣 2,11 ) = (2,1,2,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,12 ) = (2,1,1,1,0,2),      𝑐 𝛱 (𝑣 2,13 ) = (1,1,0,2,1,2),      𝑐 𝛱 (𝑣 2,14 ) = (0,1,1,1,2,2),
𝑐 𝛱 (𝑣 2,15 ) = (1,1,2,0,1,2),     𝑐 𝛱 (𝑣 2,16 ) = (2,1,2,1,0,2).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 16 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode warna yang berbeda. Kode warna untuk setiap titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 16 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4,5,6 , maka diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 6 untuk 𝑛 𝑖 = 16 .
Subkasus 3.2 Untuk 17 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 21 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Pembuktian 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 6 untuk 17 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 21 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 mengacu  pada pembuktian yang dipaparkan pada Subkasus 3.1 dan Tabel 3. Oleh karena itu, pewarnaan 6 -lokasi
dipenuhi oleh 17 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 21 . Akibatnya, diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 6 untuk 17 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 21 .
Subkasus 3.3 Untuk 𝑛 𝑖 =  22 dan 𝑚 𝑖 ≥  2 .
Definisikan pewarnaan 𝑐: 𝑉 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 22 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) → {1,2,3,4,5,6} , sedemikian sehingga.
𝑐(𝑦 1,𝑚 1 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −1 ) = 𝑐(𝑣 2,1 ) = 𝑐(𝑣 2,3 ) = 𝑐(𝑣 2,13 ) = 1, 𝑐(𝑣 1,1 ) = 𝑐(𝑣 1,8 ) = 𝑐(𝑣 1,11 ) = 𝑐(𝑣 1,17 ) = 𝑐(𝑣 1,19 ) = 𝑐(𝑣 1,21 ) = 𝑐(𝑦 1,2 ) = 𝑐(𝑦 1,𝑚 1 −1 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 −2 ) = 𝑐(𝑦 2,𝑚 2 ) = 2,
𝑐(𝑏) = 𝑐(𝑣 1,2 ) = 𝑐(𝑣 1,9 ) = 𝑐(𝑣 1,12 ) = 𝑐(𝑣 2,2 ) = 𝑐(𝑣 2,7 ) = 𝑐(𝑣 2,15 ) = 𝑐(𝑣 2,21 ) = 3,
𝑐(𝑣 1,3 ) = 𝑐(𝑣 1,6 ) = 𝑐(𝑣 1,14 ) = 𝑐(𝑣 1,16 ) = 𝑐(𝑣 1,22 ) = 𝑐(𝑣 2,6 ) = 𝑐(𝑣 2,8 ) = 𝑐(𝑣 2,14 ) = 𝑐(𝑣 2,17 ) = 𝑐(𝑣 2,19 ) = 4,
𝑐(𝑣 1,4 ) = 𝑐(𝑣 1,7 ) = 𝑐(𝑣 1,13 ) = 𝑐(𝑣 1,15 ) = 𝑐(𝑣 1,20 ) = 𝑐(𝑣 2,5 ) = 𝑐(𝑣 2,10 ) = 𝑐(𝑣 2,12 ) = 𝑐(𝑣 2,16 ) = 𝑐(𝑣 2,22 ) = 5,
𝑐(𝑣 1,5 ) = 𝑐(𝑣 1,10 ) = 𝑐(𝑣 1,18 ) = 𝑐(𝑣 2,4 ) = 𝑐(𝑣 2,9 ) = 𝑐(𝑣 2,11 ) = 𝑐(𝑣 2,18 ) = 𝑐(𝑣 2,20 ) = 6.
Pada Gambar 8 diberikan suatu pewarnaan 6 -lokasi terhadap graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 22 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 .
Gambar 8. Pewarnaan 6 -lokasi untuk 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 22 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2
Kode warna dari titik-titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 22 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 terhadap 𝛱 disajikan sebagai berikut.
𝑐 𝛱 (𝑣 1,1 ) = (1,0,1,2,2,2),         𝑐 𝛱 (𝑣 1,2 ) = (1,1,0,1,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,3 ) = (1,2,1,0,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,4 ) = (1,2,2,1,0,1),         𝑐 𝛱 (𝑣 1,5 ) = (1,2,2,1,1,0),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,6 ) = (1,2,2,0,1,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,7 ) = (1,1,2,1,0,2),         𝑐 𝛱 (𝑣 1,8 ) = (1,0,1,2,1,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,9 ) = (1,1,0,2,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,10 ) = (1,1,1,2,2,0),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,11 ) = (1,0,1,2,2,1),      𝑐 𝛱 (𝑣 1,12 ) = (1,1,0,2,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,13 ) = (1,2,1,1,0,1),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,14 ) = (1,2,2,0,1,2),      𝑐 𝛱 (𝑣 1,15 ) = (1,2,2,1,0,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,16 ) = (1,1,2,0,1,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,17 ) = (1,0,2,1,2,1),      𝑐 𝛱 (𝑣 1,18 ) = (1,1,2,2,2,0),
𝑐 𝛱 (𝑣 1,19 ) = (1,0,2,2,1,1),       𝑐 𝛱 (𝑣 1,20 ) = (1,1,2,2,0,2),      𝑐 𝛱 (𝑣 1,21 ) = (1,0,2,1,1,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 1,22 ) = (1,1,2,0,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 2,1 ) = (0,1,1,2,2,2),      𝑐 𝛱 (𝑣 2,2 ) = (1,1,0,2,2,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,3 ) = (0,1,1,2,2,1),         𝑐 𝛱 (𝑣 2,4 ) = (1,1,2,2,1,0),       𝑐 𝛱 (𝑣 2,5 ) = (2,1,2,1,0,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,6 ) = (2,1,1,0,1,2),         𝑐 𝛱 (𝑣 2,7 ) = (2,1,0,1,2,2),       𝑐 𝛱 (𝑣 2,8 ) = (2,1,1,0,2,1), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,9 ) = (2,1,2,1,1,0),         𝑐 𝛱 (𝑣 2,10 ) = (2,1,2,2,0,1),       𝑐 𝛱 (𝑣 2,11 ) = (2,1,2,2,1,0), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,12 ) = (1,1,2,2,0,1),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,13 ) = (0,1,2,1,1,2),     𝑐 𝛱 (𝑣 2,14 ) = (1,1,1,0,2,2), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,15 ) = (2,1,0,1,1,2),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,16 ) = (2,1,1,1,0,2),     𝑐 𝛱 (𝑣 2,17 ) = (2,1,2,0,1,1, ), 𝑐 𝛱 (𝑣 2,18 ) = (2,1,2,1,2,0),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,19 ) = (2,1,2,0,2,1),     𝑐 𝛱 (𝑣 2,20 ) = (2,1,1,1,2,0),
𝑐 𝛱 (𝑣 2,21 ) = (2,1,0,2,1,1),        𝑐 𝛱 (𝑣 2,22 ) = (2,1,1,2,0,2).
Dari penyajian kode warna di atas, dapat dilihat bahwa titik-titik graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 22 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 memiliki kode warna yang berbeda. Kode warna untuk setiap titik pada graf 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 22 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 dibedakan oleh kelas warna 𝑆 𝑖 dengan 𝑖 = 3,4,5,6 , maka diperoleh 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≤ 6 untuk 𝑛 𝑖 = 22 . Selanjutnya pembuktian batas bawah untuk 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≥ 6 untuk 16 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 mengacu pada pembuktian batas bawah yang dipaparkan pada Subkasus 1.3.
Andaikan 𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 untuk 16 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 23 mempunyai  5-pewarnaan lokasi maka terdapat paling  sedikit  dua  titik  dengan  kode  warna  yang  sama.  Akibatnya, 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) ≥ 6 dipenuhi oleh 16 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 . Jadi, 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 6 untuk 16 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 .

## 4 Simpulan
Pada penelitian inidiperoleh bilangan kromatik lokasi pada graf amalgamasi kipas berekor (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) dengan 𝑚 𝑖 ≥ 2 dan 2 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 yaitu,
𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = { 4, 5, 6, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 5 ≤ 𝑛 𝑖 ≤ 15, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 16 ≤ 𝑛 𝑖 < 23.
Karena pada penelitian ini dibatasi untuk 2 ≤ 𝑛 𝑖 < 23 maka tidak menutup kemungkinan bahwa 𝜒 𝐿 (𝐴𝑚𝑎𝑙{𝐹 𝑛 𝑖 𝑃 𝑚 𝑖 , 𝑏} 2 ) = 6 masih bisa digunakan untuk 𝑛 𝑖 ≥ 23 . Hal ini dapat dijadikan masalah untuk penelitian selanjutnya

## 5 UcapanTerima Kasih
Penelitian ini didanai oleh Penelitian Dasar FMIPA Universitas Andalas Tahun 2022.
95

## 6 Daftar Pustaka
[1] G. Chartrand, M.A Henning, P.J. Slater, and P. Zhang, “The Locating Chromatic Number of a Graph,” Bull. Inst. Combin. Appl , vol. 40, no. 6, pp. 89–101, 2002.
[2] Asmiati, H. Assiyatun, and E. T. Baskoro, “Locating-chromatic number of amalgamation of stars,” ITB Journal of Science , vol. 43 A, no. 1, 2011, doi: 10.5614/itbj.sci.2011.43.1.1.
[3] A. Behtoei and M. Anbarloei, “The locating chromatic number of the Join of Graphs,” Bulletin of the Iranian Mathematical Society , vol. 40, no. 6, 2014.
[4] D. Welyyanti, E. T. Baskoro, R. Simanjuntak, and S. Uttunggadewa, “THE LOCATING- CHROMATIC NUMBER OF DISCONNECTED GRAPHS,” 2014. [Online]. Available: http://pphmj.com/journals/fjms.htm
[5] F. Zikra, “Bilangan Kromatik Lokasi Gabungan Graf Kipas,” Universitas Andalas, Padang, 2022.
[6] J. A. Bondy and U.S.R Murty, Graph Theory with Aplications . New York: Elsevier Science Publishing, 1976.
[7]. M. Ansori, “Bilangan Rainbow Connection pada Graf Amalgamasi Graf Kipas Berekor,” Universitas Andalas, Padang, 2021.