## FARABI Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika

## Fungsi Pembangkit Momen dari Distribusi Probabilitas Diskrit
Joni Wilson Sitopu 1 , Siswadi 2
1 FKIP Universitas Simalungun
2 Fakultas Teknik, Universitas Singaperbangsa Karawang Email: jwsitopu@gmail.com

## ABSTRAK
Distribusi jumlah dari  dua atau lebih variabel acak. Sementara itu, studi tentang distribusi selisih antara dua variabel acak masih jarang dilakukan, terutama pada variabel acak diskrit. Dari sekian banyak literatur atau buku yang membahas tentang momen faktorial ke-k suatu pendistribusian, masih dalam lingkup yang sangat terbatas, kebanyakan hanya terbatas pada momen pertama dan kedua. Jadi pada artikel ini penulis mengkaji sampai dengan momen faktorial ke-k dari distribusi probabilitas diskrit. Artikel ini berfokus pada perumusan model  distribusi  probabilitas  dan  fungsi  pembangkit  momen  variabel  acak  diskrit,  yaitu  yang  mengaitkan suatu  bilangan  real  pada  setiap  unsur  dalam  ruang  sampel  S  yang  assosiatif  pada  percobaan  acak.    suatu percobaan  ( trial )  dilakukan  secara  berulang-ulang  sehingga  menghasilkan  sebanyak  n  percobaan,  misalnya munculnya  suatu  kejadian  ( event ) adalah  sukses  dan tidak munculnya  suatu  kejadian tersebut adalah  gagal, Metode  yang  digunakan  untuk  menentukan  distribusi  adalah  metode  yang  dapat  untuk  menyelesaikan masalah. Karakteristik distribusi diturunkan melalui sifat-sifat momen faktorial ke-k. Berdasarkan hasil dari pembahasan  diperoleh  model  distribusi  probabilitas  dan  fungsi  pembangkit  momen  variabel  acak  diskrit sebagai berikut:
1. Distribusi Binomial, M X (t) = (q + pe t ) n , 2. Distribusi Binomial Negatif. M X (t) = 𝑝𝑛 (1−𝑞𝑒𝑡)𝑛 , 3. Distribusi Geometrik, M X (t)   = 𝑝( 1 1−𝑞𝑒𝑡 ) ., 4. Distribusi Poisson, M X (t) = 𝑒 λ(𝑒𝑡−1) , 5. Distribusi Trinomial, 𝑀 𝑋 (𝑡 1 , 𝑡 2 ) = (𝑝 1 𝑒 𝑡1 + 𝑝 2 𝑒 𝑡2 + 𝑝 3 ) 𝑛 ,  dan  6.  Distribusi  Multinomial, 𝑀 𝑋 (𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑘−1 ) = ( 𝑝 1 𝑒 𝑡1 +  ...  + 𝑝 𝑘−1 𝑒 𝑡𝑘−1 + 𝑝 𝑘 ) 𝑛 .

## Kata Kunci : Distribusi Probabilitas Diskrit, Fungsi Pembangkit Momen

## ABSTRACT
Distribution  of  the  sum  of  two  or  more  random  variables.  Meanwhile,  studies  on  the  distribution  of  the difference  between  two  random  variables  are  still  rarely  carried  out,  especially  on  discrete  random variables. Of the many literatures or books that discuss the k-th factorial moment of a distribution, it is still in a very limited scope, mostly limited to the first and second moments. So in this article the author examines up to the k-th factorial moment of the discrete probability distribution. This article focuses on the formulation of  a  probability  distribution  model  and  a  discrete  random  variable  moment  generation  function,  which  is associated with a real number for each element in the associative sample space S in a random experiment. an experiment (trial) is carried out repeatedly so that as many as n trials, for example the emergence of an event (event) is a success and the absence of an event is a failure. The method used to determine the distribution is a method that can solve the problem. distribution characteristics are derived through the properties of the k- th factorial moment. Based on the discussion of the variables, the probability distribution model and discrete random moment generation function are obtained as follows:
1. Binomial Distribution , M X (t) = (q + pe t ) n , 2. Negative Binomial Distribution . M X (t) = 𝑝𝑛 (1−𝑞𝑒𝑡)𝑛 , 3. Geometric  distribution ,  M X (t)      = 𝑝( 1 1−𝑞𝑒𝑡 ) .,  4. Poisson  distribution ,  M X (t)  = 𝑒 λ(𝑒𝑡−1) ,  5. Distribution Trinomial , 𝑀 𝑋 (𝑡 1 , 𝑡 2 ) = (𝑝 1 𝑒 𝑡1 + 𝑝 2 𝑒 𝑡2 + 𝑝 3 ) 𝑛 , and  6.  Multinomial  distribution , 𝑀 𝑋 (𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑘−1 ) = ( 𝑝 1 𝑒 𝑡1 + ... + 𝑝 𝑘−1 𝑒 𝑡𝑘−1 + 𝑝 𝑘 ) 𝑛 .
Keywords: Discrete Probability Distribution, Moment Generating Function

## A. Pendahuluan
Distribusi  probabilitas  merupakan suatu model
probabilitas yang memungkinkan  untuk  mempelajari  hasil- hasil  percobaan  random  yang  rill  dan menduga hasil-hasil yang akan terjadi, jika, 1) peristiwa peristiwa rill tersebut merupakan peristiwa peristiwa dalam model dan 2) kondisi kondisi dari model distribusi dapat  dipenuhi  sebagai  kondisi  kondisi percobaan.  Distribusi  probabilitas  tersebut merupakan distribusi populasi karena
berhubungan dengan semua nilai nilai yang mungkin terjadi
dan
populasinya merupakan  variable  random.  Hal  demikian dapat  mencari  model  distribusi  yang  sesuai atau standard guna menggambarkan perilaku  dari  data  dan  melakukan  deduksi darinya.  Dari  model  beberapa  distribusi probabilitas  variable  random  diskrit  dan kontinu  yang  tertetu  dapat  ditentukan ekspektasi,  variansi  dan  fungsi  pembangkit momen  jika  ada,  jika  fungsi  pembangkit momen  dari  distribusi  probabilitas  tidak ada,  maka  fungsi  pembangkit  momen karakteristik selalu dapat ditentukan. (dalam Sitopu. Joni Wilson, dkk. (2022)) .
Fungsi pembangkit
momen ( Moment Generating Function ) adalah merupakan ekspektasi  yang  khusus.  Fungsi  Pembangkit momen  ini  layaknya  sebuah  jembatan  yang menghubungkan Matematika diskrit dan kontinu,  khususnya  pada  bagian  teori  variabel kompleks. Namun, pembahasan Fungsi Pembangkit  dalam  artikel  ini  hanyalah  sekedar memberikan  ide  utama,  karena  banyak  sekali hal-hal  yang  dapat  dibahas  menyangkut  Fungsi Pembangkit momen variable random diskrit ini. (dalam Sitopu. Joni Wilson, dkk. (2022)) .

## B. Metode Penelitian
Dalam  artikel  ini,  metode  yang digunakan
adalah metode
Fungsi Pembangkit  momen  yaitu  yaitu  metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan.  Untuk  menentukan  masalah pada Fungsi Pembangkit momen digunakan langkah seperti gambar 1 dibawah ini,
Gambar 1. Metode Penelitian
Langkah-langkahnya  adalah  sebagai berikut;
1. Mengkaji variable random diskrit
2. Mengkaji  distribusi  probabilitas  teoritis yang diskrit
3. Mengkaji  momen  distribusi  probabilitas diskrit
4. Mengkaji dan membuktikan fungsi pembangkit momen distribusi probabilitas diskrit.

## C. Hasil dan Pembahasan PEMBAHASAN
Berikut  ini  diberikan  beberapa  definisi  dan teorema  fungsi  distribusi  yang  dikutip  dari beberapa sumber yang berbeda sebagai berikut:

## 1. Variabel Random Diskrit
Kapur,  J.N  dan  Saxena,  H.C.  (1976) Mengemukakan,  misalkan 𝑋 bilangan  riel bersifat  assosiatif  dengan  hasil  dari  percobaan acak  E.  Misalkan  bilangan  real  asositif  dengan hasil  percobaan  acak 𝐸 .  jika 𝐸 adalah percobaan acak yang terdiri dari dua pelemparan  uang  logam,  maka 𝑋 ,  jumlah kepala,  akan  mengambil  nilai 0, 1 atau 2 . menyajikan  hasilnya  dan  nilai  dalam  bentuk tabel berikut;

## Tabel 1. Variabel Random
Hasil (ѡ) TT TH HT HH Nilai dari X (ѡ) 0 1 1 2
Kapur, J.N dan Saxena, H.C. (1976)
Dengan demikian jelas bahwa untuk hasil w  dari  E.  Ada  bilangan  riel  yang  sesuai  dari 𝑋(𝑤) .  Lebih  lanjut  karena  titik  sampel  sesuai dengan  hasil,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa 𝑋(𝑤) didefinisikan  untuk  setiap 𝑤𝜖𝑆 ,  maka ruang sampel dan variabel acak didefinisikan ke fungsi  riel  pada  S.  Secara  eksplisit,  kami mendefinisikan  variabel  acak  satu  dimensi sebagai  fungsi  bernilai  riel  yang  didefinisikan sebagai  ruang  sampel  S  yang  assosiatif  kami memberikan  percobaan  acak.  selanjutnya,  jika w  adalah  hasil  dan 𝑋(𝑤) adalah  fungsi  dan rentang  bernilai  nyata (− ∽, +∽) dengan domain  S,  maka  untuk  setiap  bilangan  riel, kejadiannya  adalah (𝑤: 𝑋(𝑤)   ≤  𝑎 ) .  kita katakan  bahwa 𝑃(𝑋  ≤  𝑎) adalah  probabilitas dari  himpunan  hasil  w  dimana 𝑋(𝑤)   ≤  𝑎 , yaitu;
𝑃(𝑋  ≤  𝑎)   =  𝑃(𝑤 ∶  𝑋(𝑤)   ≤  𝑎 ) .
Variabel  random  adalah  suatu  fungsi yang  menghubungkan  sebuah  bilangan  riil dengan  setiap  unsur  didalam  ruang  sampel  S. Untuk  menyatakan  variabel  random  digunakan sebuah  huruf  besar,  misalkan 𝑋 .  Sedangkan huruf  kecilnya,  misalkan  x, menunjukkan salah satu dari nilainya.
Definisi 1:
Misalkan X suatu variable random dan A suatu  set  dari  ruang  dimensi-1  yang  finite (terhingga)  atau  yang  countable  infinite  (tak berhingga),  didefinisikan  suatu  fungsi  di  A, sehingga:
1. 𝑓(𝑥)   ≥  0 ;  𝑥 𝜀 𝐴
2. ∑ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥
Variabel  random 𝑋 disebut  variable  random diskrit  dan  f(x)  yang  memenuhi  kedua  sifat tersebut  disebut  discrete  probability  density function  (fungsi  kepadatan  probabilitas  diskrit (fkp diskrit). (Sitopu, Joni Wilson. (1990))
Definisi 2. Misalkan 𝑋 suatu  variable  random  yang didefinisikan  dalam  ruang  sampel  S,  harga harga yang mungkin untuk 𝑋 adalah, 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 dengan probabilitas masing masing 𝑝 1 =  𝑃(𝑋 = 𝑥 1 ) , …, p k = P(X=x k ) = 1.
Maka  distribusi  probabilitas  X  diberikan  dalam table sebagai berikut:
Table 2 . Distribusi probabilitas X Probabilitas X p 1 p 2 … p i … p k Harga X x 1 x 2 … x i … x k Kapur, J.N dan Saxena, H.C. (1976)
Definisi 3. Jika  X 1 dan  X 2 dua  variable  random  diskrit yang  didefinisikan  pada  A  dan  didefinisikan fungsi  probabilitas  gabungan  (joint  probability function) f(x 1 , x 2 ) di A sehingga ; a. 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 )   ≥  0 ; (𝑥 1 , 𝑥 2 )𝜀 𝐴
b. ∑ ∑ 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 1 𝑥 2 𝑥 1 Maka 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) disebut  fkp  gabungan diskrit.

## 2. Distribusi Probabilitas Diskrit
Kapur,  J.N  dan  Saxena,  H.C.  (1976). Mengemukakan,  Peluang  atau  yang  sering disebut sebagai probabilitas dapat dipandang sebagai cara
untuk mengungkapkan  ukuran  ketidakpastian/ ketidakyakinan/ kemungkinan suatu peristiwa  terjadi  atau  tidak  terjadi.  Untuk menyatakan  suatu  ketidakpastian  atau kepastian diperlukan permodelan matematis yang  secara  teoritis  dinyatakan  dengan sebaran  atau  distribusi.  Nilai  probabilitas suatu  kejadian  dalam  suatu  percobaan tersebar  di  antara  0  dan  1  atau  antara  0% dan  100%.  Jika  probabilitas/peluang  suatu kejadian  A  terjadi  dilambangkan  dengan notasi  P(A)  maka,  probabilitas  [bukan  A] atau  komplemen  A,  atau  probabilitas  suatu kejadian  A  tidak  akan  terjadi,  adalah  1  - P(A).  Secara  sederhana  peluang  suatu kejadian terjadi atau tidak dapat direpresentasikan pada tabel 3 berikut.
Tabel 3. peluang suatu kejadian terjadi atau tidak. Tipe representasi Peristiwa terjadi Peristiwa tidak terjadi Persentase 100% 0% Bilangan bulat 1 0 Notasi peluang P[A] 1–P[A] Kapur, J.N dan Saxena, H.C. (1976) Pada  aplikasi  di  kehidupan  sehari- hari,  distribusi  peluang  sangat  berguna untuk menganalisis terjadinya suatu peristiwa  atau  kejadian,  jika  kejadian bersifat berhingga maka objek distribusinya
berbeda dengan kejadian yang tak berhingga.  Objek  dari  distribusi  peluang adalah  variabel  acak  dimana  objek  ini merupakan  suatu  fungsi  yang  mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang  sampel.  Jenis-jenis  distribusi  perlu dipahami  sebagai  dasar  penentuan  uji kebolehjadian.  Dan  dalam  hubungannya dengan pengujian objek percobaan, pemilihan  distribusi  akan  mempermudah penghitungan  peluang.  Ditinjau  dari  objek kajian  distribusi  peluang  akan  dikenal istilah variabel (peubah) acak yang diklasifikasikan  dalam  kelompok  besar yaitu  variabel  (peubah)  acak  diskrit  dan kontinyu,  dimana  masing-masing  variabel memiliki  beberapa  jenis  distribusi.  (Kapur, J.N dan Saxena, H.C. (1976)).
Pada  sebarang  jenis  percobaan  yang dilakukan  maka  setiap  proses  yang  melalui proses pengukuran akan mendapatkan suatu kemungkinan-kemungkinan.  Kemungkinan pada  percobaan  akan  menghasilkan  suatu hasil  numerik.  Bilangan  tersebut  dapat dipandang  sebagai  nilai  yang  diperoleh suatu variberl acak.
Sheldon Ross, (2010). Mengemukakan, Sebuah variabel acak yang dapat  mengambil  paling  banyak  jumlah nilai yang mungkin dapat dihitung dikatakan  diskrit.  Untuk  variabel  acak diskrit  X,  didefinisikan  fungsi  kepadatan probabilitas p(a) dari X dengan,

## 𝑝(𝑎)   =  𝑃{𝑋  =  𝑎}
Fungsi  kepadatan  probabilitas  p(a)  positif untuk  paling  banyak  sejumlah  nilai  a  yang dapat  dihitung.  Artinya,  jika  X  harus mengasumsikan salah  satu  nilai  x 1 , x 2 , ... , x i maka, 𝑝(𝑥 𝑖 )   ≥  0 ,   untuk i = 1, 2, ... n 𝑝(𝑥)   =  0 , untuk nilai lainnya dari x Karena 𝑋 ,  diambil  dari  salah  satu  nilai  x i , maka diperoleh,
∑ 𝑝(𝑥𝑖) = 1 ∽ 𝑖=1
Jika  suatu  ruang  sampel  mengandung  titik yang  berhingga  banyaknya  atau  sederetan
angka  yang  banyaknya  sebanyak  bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut  ruang sampel  diskrit  sedangkan  variabel  acak yang  didefinisikan  pada  ruang  sampel tersebut  adalah  variabel  acak  diskrit. Variabel  acak  diskrit  X  menentukan distribusi  peluang  apabila  untuk  nilai-nilai 𝑋 = 𝑥 1 , 𝑥 2 ,  …  , 𝑥 n terdapat  peluang  p  ( 𝑥 i ) sehingga:
∑ 𝑝(𝑥𝑖) = 1 𝑛 𝑖=1 ;  Sheldon Ross, (2010) p(x)  disebut  fungsi  peluang  untuk  variabel acak X pada harga X = x Suatu  nilai  yang  diharapkan  akan  menjadi kejadian  dapat  dipandang  sebagai  nilai harapan atau dinyatakan dengan (X) dibaca “ ekspektasi ”.  Dimana  nilai  harapan  suatu variabel  acak  dapat  diperoleh  dengan mengalikan tiap nilai variabel acak tersebut dengan  peluangnya  dan  menjumlahkan hasilnya, yaitu:
E( 𝑋 ) = ∑ 𝑥𝑖. 𝑝(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1
3. Momen Distribusi Probabilitas diskrit
Hogg,  Robert  V,  Allen  T.  (1978), mengemukan bahwa, suatu distribusi probabilitas  dipandang  sebagai  distribusi dari  berat  (weight)  sepanjang  sumbu  X. Mean dari distribusi adalah; μ  = 𝐸(𝑋) =   ∑ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥𝜖𝐴 : X diskrit
Yaitu perhitungan dari deviasi X dari perkalian dasar dengan mengkorespondensikan probabilitas  atau  weight.  Dalam  fisika  keadaan demikian  disebut  momen  pertama.  Selanjutnya dengan  cara  yang  sama  didefinisikan  momen ke-k,  dinotasikan μ’ k ,  ditulis:    μ’ k =  E(X k ), disebut ordinary moment . Momen dari distribusi μ’ 1 , μ’ 2 ,…, kadang- kadang  berpasangan  dengan  distribusi  dari sekumpulan  karakteristik  .  jika  distribusi digerakkan pada sumbu X, tetapi bayangannya  dikiri  tampa  berubah,  maka semua momen distribusi akan berubah. Untuk memperoleh karakteristik kiri dengan momen distribusi demikian didefinisikan momen sentral sebagai berikut ; μ k = E((X  – μ) k )  disebut  momen sentral ke-k untuk  distribusi  diskrit, ordinary  momen dapat  ditentukan  dengan  menggunakan
momen factorial yang didefinisikan sebagai berikut ; μ * k =  E(X(X  –  1)  …  (X  –  k  +  1))  disebut momen  factorial  ke-k.      Hogg,  Robert  V, Allen T. (1978)

## 4. Fungsi Pembangkit Momen
Hogg,  Robert  V,  Allen  T.  (1978), menyatakan,  Salah  satu  bentuk  ekspektasi matematika lain adalah “fungsi pembangkit momen  ( moment  generating  function )” yang  merupakan  ekspektasi  matematika khusus, yang disingkat dengan “fpm” yang didefinisikan sebagai berikut ;
Definisi 1.
Misalkan  X  adalah  variable  random  yang didefinisikan pada A. Fungsi M X (t) = E(e tX ) ada,  dimana                –h  <  t  <  h  dan  h  >  0, dinotasikan M(t) = M X (t). Jika  E(e tX ) tidak ada,  maka  E(e tX )  dapat  ditentukan,    E(e tX ) disebut  fungsi  pembangkit  karakteristik yang didefinisikan Φ X = E(e tX ),  i = bilangan imajiner.
Jadi, jika X adalah variable random diskrit, maka,
M X (t) = ∑ 𝐸(𝑒 𝑡𝑥 )𝑓(𝑥) 𝑥∈𝐴

## V.1. FPM Distribusi Binomial
Kapur,  J.N  dan  Saxena,  H.C.  (1976), mengemukakan,  andaikan  suatu  percobaan (trial)  dilakukan  secara  berulang-ulang sehingga menghasilkan sebanyak n
percobaan,  misalnya  munculnya  suatu kejadian  (event)  adalah  sukses  dan  tidak munculnya  suatu  kejadian  tersebut  adalah gagal, dan misalkan pula.
p = probabilitas sukses q = probabilitas gagal dan  tentu  saja  p  ≠  q  =  1.  Dengan pengamsumsian bahwa percobaan-
percobaan adalah saling bebas (independent)  dan  probabilitas  sukses  p adalah  sama  dalam  setiap  percobaan. Jumlah  sukses  dalam  n  percobaan  boleh jadi 0, 1, 2, … , x, …, n. dan misalkan yang akan  ditentukan  adalah  probabilitas  bahwa jumlah  sukses  (variate)  mengambil  harga tertentu,  sebut  x.  Maka  probabilitas percobaan sampel x sukses dan n – x gagal, yaitu barisan sukses dan gagal,
SSS…STTT…T x
n-x
dimana  S  adalah  menyatakan  satu  sukses dan T menyatakan satu gagal (tidak sukses) dapat diasumsikan dalam table berikut; Table .4 Probabilitas Percobaan Sampel x sukses dan n – x gagal Harga x 0 1 2 … n Probabilitas hasil (1-p) n p(1-p) n-1 P 2 (1-p) n-2 … p n Banyak Hasil ( 0 𝑛 ) ( 1 𝑛 ) ( 2 𝑛 ) … ( 𝑛 𝑛 ) = 1
Kapur, J.N dan Saxena, H.C. (1976) Jadi p x q n-x merupakan probabilitas untuk x sukses  dan  n-x  gagal  bila  terjadi  dalam setiap  urutan  sukses-gagal  diatas.  Tetapi diinginkan  dalam  setiap  x  percobaan  selalu sukses  dan  karena  x  percobaan  dapat
dipilih dari n dalam ( 𝑛 𝑥 ) cara   yang   saling
lepas (mutually exclusive), maka probabilitas 𝑃(𝑋 = 𝑥) dari  x  sukses  dalam suatu deretan n percobaan yang saling lepas diberikan dalam table berikut ;
Table 5. Probabilitas 𝑃(𝑋 = 𝑥) dari x sukses x 0 1 … n P(X=x) ( 𝑛 0 ) p 0 (1-p) n ( 𝑛 1 ) p 1 (1-p) n-1 ... ( 𝑛 𝑛 ) p n (1-p) 0 Kapur, J.N dan Saxena, H.C. (1976)
Jadi distribusi probabilitasnya diperoleh, f(x)  = P ( X = x )  = ( 𝑛 𝑥 ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑥 ,  x  = 0,1,...,n disebut distribusi probabilitas (fkp)
Binomial  dengan  n  trial.  Fkp  binomial dinotasikan  dengan  b(x;n,p)  atau  ditulis X ∽ b(n,p) dan memenuhi :
1) P(X=x) > 0
2) ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥)   = 𝑛 𝑥=0 ∑ ( 𝑛 𝑥 ) 𝑛 𝑥=0 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = (p + q) n = 1
FBM dari distribusi binomial
M X (t) = E(e tx ) = ∑ ( 𝑛 𝑥 ) 𝑛 𝑥=0 𝑒 𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = ∑ ( 𝑛 𝑥 ) ( 𝑛 𝑥=0 𝑒 𝑡 𝑝) 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥
M X (t) = (q + e t p) n

## V.2. FPM Distribusi Binomial Negatif
Sheldon  Ross,  (2010).  Mengemukakan, Pandang  suatu  deretan  yang  independent dari  percobaan  random  dengan  probabilitas p sukses. Misalkan X menyatakan banyaknya gagal dalam deretan yang terjadi sebelum  sukses  ke-n.  X  +  n  adalah banyaknya  trial  yang  diperlukan  untuk mendapatkan n sukses, n ≥1. Maka X + n -1 adalah  banyaknya  trial  yang  diperlukan untuk  mendapatkan  n-1  sukses.  Kenyataan ini dapat diasumsi dalam tabel berikut;
Tabel  6. Distribusi  Probilitas  Binomial Negatif
Banyaknya Trial 1  2  3 ... X+n-1 X +n P(X=x) ( 𝑥 + 𝑛 − 1 𝑛 − 1 ) p n-1 q x p
Sehingga perkalian dari dua probabilitas ini diperoleh :
P(X=x) = ( 𝑥 + 𝑛 − 1 𝑛 − 1 ) p n q x ; x = 0,1,2,...
P(X=x) disebut distribusi probilitas Binomial  Negatif.  Fkp  Binomial  Negatif dinotasikan dengan X ∽ NB(n,p) dan memenuhi :
1) P(X=x) ˃ 0
2) ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ∞ 𝑥=0 = ∑ ( 𝑋 + 𝑛 − 1 𝑛 − 1 ) ∞ 𝑥=0 p n q x = 𝑝 𝑛 (1−𝑞) 𝑛 = 1
Jadi fkp Binomial dapat diperoleh menjadi,
P ( X = x )  = ( −𝑛 𝑥 ) 𝑝 (𝑞) 𝑥 :  x = 0,1,... = ...
= (1 – qe t ) -n p n M X (t) = 𝑝 𝑛 (1−𝑞𝑒 𝑡 ) 𝑛
Jadi, bila X ∽ NB(n,p),  maka,
f(x)     = ( 𝑋 + 𝑛 − 1 𝑛 − 1 ) 𝑝 𝑥 (𝑝) 𝑛 𝑞 𝑥 ,  x = 0,1,...,n M X (t)   = 𝑝 𝑛
(1−𝑞𝑒 𝑡 ) 𝑛 E(X)   = 𝑛𝑞 𝑝 𝐸(𝑋 2 ) = 𝑛(𝑛 + 1) 𝑝 2 +  𝑛𝑝 , 𝜎 2 = 𝑛𝑞 𝑝 2 .

## V.3. FPM Distribusi Geometrik
Sheldon  Ross,  (2010).  Mengemukakan, Misalkan  percobaan  independen,  masing- masing  memiliki  probabilitas  p,  0  <  p  <  1, untuk  sukses,  dilakukan  sampai  sukses terjadi. Jika X diambil sama dengan jumlah percobaan yang diperlukan, maka P{X = n} = (1 − 𝑝) 𝑛−1 𝑝 ,  n = 1, 2, ... (1) Karena  Persamaan  (1),  maka  agar  X  sama dengan n, dilakukan percobaan pertama n-1 gagal dan percobaan ke-n sukses. Persamaan  (1)  maka,  karena  hasil  dari percobaan berturut-turut diasumsikan independen. Karena
∑ P{X  =  n} = 𝑝  ∑ (1 − 𝑝) 𝑛−1 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 = 𝑝 (1−(1−𝑝)) = 1       Sheldon Ross, (2010) maka,  dengan  probabilitas  1,  kesuksesan akhirnya  akan  terjadi.  Setiap  variabel  acak X  yang  fungsi  kepadatan  peluangnya diberikan  oleh  Persamaan  (1)  dikatakan sebagai  variabel  acak  geometrik  dengan parameter p.
Dari fkp binomial negatif,
P(X=x) = ( 𝑥 + 𝑛 − 1 𝑛 − 1 ) p n q x ; x = 0,1,2,..., dan n ˃0, khususnya untuk n = 1, maka P(X=x) = ( 𝑥 0 ) 𝑝𝑞 𝑥
P(X=x) = 𝑝𝑞 𝑥 ,     x = 0,1,2,..., persamaan ini disebut distribusi Geometrik dan dinotasikan dengan     X ∽ NB(1,p), memenuhi ;
1) P(X=x) ˃ 0
2) ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ∞ 𝑥=0 = ∑ 𝑝𝑞 𝑥 ∞ 𝑥=0
= p ∑ 𝑞 𝑥 ∞ 𝑥=0 = 𝑝 1 1−𝑞 = 1
FPM Distribusi Geometrik
M X (t) = E(e tx ) = ∑ 𝑒 𝑡𝑥 ∞ 𝑥=0 𝑝𝑞 𝑥 =  p ∑ (𝑞𝑒 𝑡 ) 𝑥 ∞ 𝑥=0 = p(1 + qe t + (qe t ) 2 + ...) : jumlah deret geometrik ∽ M X (t)   = 𝑝( 1 1−𝑞𝑒 𝑡 ) . Jadi, bila X ∽ NB(1,p), maka,
f(x) = pq x ;  x = 0,1,2,...
M X (t)   = 𝑝( 1 1−𝑞𝑒 𝑡 ) . E(X)   = 𝑞 𝑝 𝐸(𝑋 2 ) = 2𝑞 2 𝑝 2 + 𝑞 𝑝 𝜎 2 = 𝑞 𝑝 2

## V.4 FPM Distribusi Poisson
Sheldon  Ross,  (2010).  Mengemukakan, Distribusi binomial mengambil suatu bentuk yang sangat diinginkan dalam kasus pembatasan: bila p (atau q) sangat kecil dan mendekati  nol  dan  n  besar  serta  jumlah rata- rata sakses np (atau nq) = λ merupakan suatu  konstanta.  Kassus  ini  akan  diuraikan dibawah  ini  sebagai  berikut.  Dalam distribusi  Binomial,  probabilitas  dari  x sukses diberikan dengan
P ( X = x ) = ( 𝑛 𝑥 ) 𝑝 𝑥 (𝑞) 𝑛−𝑥 , x = 0,1,...
Jika  λ  =  np  dibuat  konstan,  n  besar  dan  p mendekati  nol,  maka  p  =  λ/n  untuk  n  = 1,2,...,  sehingga  varians  σ 2 akan  mendekati harga konstan σ 2 = λ.
Jadi P(X=x) ini dapat ditulis dengan,
P(X=x)  = 𝑛! (𝑛−𝜒)! 𝜒! ( λ 𝑛 ) 𝜒 (1 − λ 𝑛 ) 𝑛−𝜒 = λ 𝑥 𝑥! (1 − λ 𝑛 ) 𝑛 . (1− λ 𝑛 ) −𝑥 𝑛 𝑥 . 𝑛! (𝑛−𝑥)!
Dengan  mengambil  limit  untuk  n ⟶∽ , diperoleh :
lim 𝑛⟶∽ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = λ 𝑥 𝑥! e -x . lim 𝑛⟶∽ ( 1 𝑛 𝑥 . 𝑛! (𝑛−𝑥)! )
Selanjutnya,  formula  stirling  digunakan untuk harga n! yaitu,
n! ∽ √2𝜋 e -n n n+1/2
Dimana  e adalah  basis  kaperian  dengan  e =2,71828,,, sehingga
lim 𝑛⟶∽ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = λ 𝑥 𝑥! e -x . lim 𝑛⟶∽ ( 1 𝑛 𝑥 . 𝑛! (𝑛−𝑥)! ) lim 𝑛⟶∽ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! 𝑒 𝑥 lim 𝑛⟶∽ ( √2𝜋 𝑒 −𝑛 𝑛 𝑛+ 1 2 𝑛 𝑥 √2𝜋 𝑒 −𝑛+𝑥 (𝑛−𝑥) 𝑛−𝑥+ 1 2 ) = λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! 𝑒 𝑥 e x lim 𝑛⟶∽ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! ,  dimana x finite.
Perubahan  dari  0,1,2,...    sukses  dalam barisan berhingga adalah,
𝑒 −λ , λ𝑒 λ , 𝑒 2 𝑒 −λ 2! , ...
Dengan  kata  lain  variabel  perubahan,  jumlah sukses  mengambil  harga-harga  0,1,2,  ...,  x,  ... dengan probabilitas yang bersesuaian adalah
𝑒 −λ , λ𝑒 λ , 𝑒 2 𝑒 −λ 2! , ... , 𝑒 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! , ...
Distribusi  probabilitas  dari  jumlah  sukses dengan asumsi tersebut dapat ditulis menjadi :
P(X=x) = 𝑒 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! ;  x = 0,1,2, ...
Persamaan  ini  disebut  distribusi  poisson dinotasikan dengan X ∽ P(λ) dan memenuhi :
1) P(X=x) ˃ 0
2) ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥) ∞ 𝑥=0 = ∑ 𝑒 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! ∞ 𝑥=0 = 𝑒 −λ ∑ 𝑒 𝑥 𝑥!
∞ 𝑥=0
= 1 Sheldon Ross, (2010).
1) FPM distribusi poisson
M X (t) = E(e tx )
= ∑ 𝑒 𝑡𝑥 ∞ 𝑥=0 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ∑ 𝑒 𝑡𝑥 ∞ 𝑥=0 λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! = ∑ 𝑒 𝑡𝑥 ∞ 𝑥=0 (𝑒 𝑡 λ) 𝑥 𝑥! , ∑ λ 𝑥 𝑥! ∞ 𝑥=0 = 𝑒 λ = 𝑒 −λ 𝑒 λe 𝑡 M X (t)  = 𝑒 λ(𝑒 𝑡 −1)
Jadi, bila X ∽ P(λ), maka
f(x)   = λ 𝑥 𝑒 −λ 𝑥! X = 0,1,2,...
M(t)  = 𝑒 λ(𝑒 𝑡 −1)
E(X)  = λ σ 2 = λ

## V.5 FPM Distribusi Trinomial
Hogg,  Robert  V,  Allen  T.  (1978 ) , menyatakan, Distribusi probabilitas binomial  dapat  digeneralisasikan  pada distribusi  probabilitas  yang  lebih  dari  satu variabel  random.  Jika  n  adalah  bilangan integer positif dan a1,a2,a3, adalah
konstanta, maka
=
∑ ∑ 𝑛! 𝑥 1 ! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑎 1 𝑥 1 𝑎 2 𝑥 2 𝑎 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 = ∑ 𝑛! 𝑎 1 𝑥1 𝑥 1 !(𝑛−𝑥 1 )! ∑ (𝑛−𝑥 1 )! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑎 2 𝑥 2 𝑎 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 = ∑ 𝑛! 𝑎 1 𝑥1 𝑥 1 !(𝑛−𝑥 1 )! (𝑎 2 +   𝑎 3 ) 𝑛−𝑥 1 𝑛 𝑥 1 =0 = (𝑎 1 +   𝑎 2 +   𝑎 3 ) 𝑛 Hogg, Robert V, Allen T. (1978 ) Misalkan fungsi gabungan f(x 1 ,x 2 ) adalah f(x 1 ,x 2 ) =
𝑛! 𝑥 1 ! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑝 1 𝑥 1 𝑝 2 𝑥 2 𝑝 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2
dimana  x1  dan  x2  adalah  integer  non negatif  dan  x1  +  x2  ≤  n,  p1,  p2,  p3  adlah probabilitas-probabilitas  dengan  p1  +  p2  + p3  =  1.  Dan  andaikan  f(x 1 ,x 2 )  =  0,  untuk x1,x2 lainnya. f(x 1 ,x 2 )  adalah fkp gabungan dari  dua  variabel  random  x1,  dan  x2 disebut distribusi Trinomian dengan persamaan sbb;
f(x 1 ,x 2 ) = P(X 1 = x 1 , X 2 = x 2 )
= 𝑛! 𝑥 1 ! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑝 1 𝑥 1 𝑝 2 𝑥 2 𝑝 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2
Hogg, Robert V, Allen T. (1978 ) Dan memenuhi :
1) f(x 1 ,x 2 ) ˃ 0 2) ∑ ∑ P(X1 =  x1, X2 =  x2) = 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 ∑ ∑ 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 𝑛! 𝑥 1 ! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑝 1 𝑥 1 𝑝 2 𝑥 2 𝑝 3 𝑛−𝑥 1 – 𝑥 2 = ∑ 𝑛! 𝑝 1 𝑥1 𝑥 1 ! (𝑛−𝑥 1 )! ∑ 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 (𝑛−𝑥 1 )! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑝 2 𝑥 2 𝑝 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2 = ∑ 𝑛! 𝑝 1 𝑥1 𝑥 1 !(𝑛−𝑥 1 )! (𝑝 2 +   𝑝 3 ) 𝑛−𝑥 1 𝑛 𝑥 1 =0 = (𝑝 1 +   𝑝 2 +   𝑝 3 ) 𝑛
= 1                Hogg, Robert V, Allen T. (1978 )
FPM distribusi trinomial
𝑀(𝑡 1 , 𝑡 2 ) = 𝐸(𝑒 𝑡 1 𝑥 1 + 𝑡 2 𝑥 2 ) = ∑ ∑ 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 𝑒 𝑡1𝑥1+ 𝑡2𝑥2 𝑛! 𝑥 1 ! 𝑥 2 !(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑝 1 𝑥 1 𝑝 2 𝑥 2 𝑝 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2 = ∑ 𝑛! (𝑝 1 𝑒 𝑡1 ) 𝑥1 (𝑥 1 −1)! (𝑛−𝑥 1−1 )! (∑ 𝑛−𝑥 1 𝑥 2 =0 𝑛 𝑥 1 =0 (𝑛−𝑥 1 )!(𝑝 2 𝑒 𝑡2 ) 𝑥2 (𝑥 2−1 )!(𝑛−𝑥 1 −𝑥 2 )! 𝑝 3 𝑛−𝑥 1 − 𝑥 2 = ∑ 𝑛! (𝑝 1 𝑒 𝑡1 ) 𝑥1 (𝑥 1 −1)! (𝑛−𝑥 1−1 )! ( 𝑛 𝑥 1 =0 𝑝 2 𝑒 𝑡 2 + 𝑝 3 ) 𝑛−𝑥 1 𝑀(𝑡 1 , 𝑡 2 ) = (𝑝 1 𝑒 𝑡 1 + 𝑝 2 𝑒 𝑡 2 + 𝑝 3 ) 𝑛

## V.6 FPM Distribusi Multinomial
Spiegel, R Murray, (2013).
Mengemukakan.  Misalkan  Distribusi  pada peristiwa  A 1 ,  A 2 ,  .  .  .  ,  A k adalah    saling eksklusif, dan dapat terjadi dengan probabilitas masing-masing p 1 , p 2 , . . . , p k dimana  jika,  X 1 ,  X 2 ,  .  .  .  ,  X k adalah adalah  variabel  acak  dari  masing-masing percobaan  A 1 ,  A 2 ,  .  .  .  ,  A k pada  n percobaan, sehingga,
P(X 1 =  n 1 ,  X 2 =  n 2 ,  ...  ,  X k =  n k )  = 𝑛 𝑛1!𝑛2!… 𝑛𝑘! 𝑝 1 𝑛 𝑝 𝑘 𝑛1 𝑝 𝑘 𝑛2 ... 𝑝 𝑘 𝑛𝑘
Dimana  n 1 + n 2 + ... + n k = n , adalah fungsi probabilitas  gabungan  untuk  variabel  acak X 1 ,  X 2 ,  .  .  .  ,  X k .  Distribusi  ini,  yang merupakan  generalisasi  dari  distribusi binomial,  disebut  distribusi  multinomial karena  (2)  adalah  istilah  umum  dalam ekspansi multinomial dari (p 1 + p 2 + ... + p k = n) n
FPM distribusi multinomial
𝑀(𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑘−1 ) = 𝐸(𝑒 𝑡 1 𝑛 1 + 𝑡 2 𝑛 2 +⋯+𝑡 𝑘−1 𝑛 𝑘−1 ) = ∑ (𝑒 𝑡 1 𝑛 1 + 𝑡 2 𝑛 2 +⋯+𝑡 𝑘−1 𝑛 𝑘−1 𝑛 𝑗 𝑛! 𝑛 1 !…𝑛 𝑘 ! 𝑝 1 𝑛 1 … 𝑝 𝑘−1 𝑛 𝑘−1 𝑝 𝑘 𝑛 𝑘 = ∑ ( 𝑛! 𝑛 1 !…𝑛 𝑘 ! (𝑝 1 𝑒 𝑡 1 ) 𝑛 1 … (𝑝 𝑘−1 𝑒 𝑡 𝑘−1 ) 𝑛 𝑘−1 𝑛 𝑗 𝑝 𝑘 𝑛 𝑘 ) =( 𝑝 1 𝑒 𝑡 1 + ... + 𝑝 𝑘−1 𝑒 𝑡 𝑘−1 + 𝑝 𝑘 ) 𝑛
Spiegel, R Murray, (2013)
Jadi, bila X berdistribusi Multinomial dengan paramater r, P 1 ,P 2 , ... , P k ˃ 0 dan P 1 + P 2 + ... + P k = 1, maka
P(X 1 =n 1 , X 2 =n 2 , ... , X k = n k ) = 𝑛! 𝑛 1 !…𝑛 𝑘 ! 𝑝 1 𝑛 1 … 𝑝 𝑘 𝑛 𝑘 : ∑ 𝑛 𝑗 𝑘 𝑗=1 = n 𝑀(𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑘−1 ) = ( 𝑝 1 𝑒 𝑡 1 + ... + 𝑝 𝑘−1 𝑒 𝑡 𝑘−1 + 𝑝 𝑘 ) 𝑛 E(X k ) = n p k 𝐸(𝑋 𝑘 2 )   = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝 𝑘 𝑘 + 𝑛𝑝 𝑘 𝑘 E(𝑋 𝑗 𝑋 𝑘 ) = 𝑛(𝑛 − 1) 𝑝 𝑗 𝑝 𝑘 ;  j ≠ k 𝜎 𝑘 2 = 𝑛𝑝 𝑘 ( (1 − 𝑝 𝑘 )

## D. Kesimpulan dan Saran
Dari  hasil  pembahasan  diperoleh Fungsi  Pembangkit  Momen  dari  distribusi probabilitas diskrit sebagai berikut; No. Moment generating function Model 1 Distribusi Binomial M X (t) = (q + pe t ) n
2 Distribusi Binomial Negatif M X (t) = 𝑝𝑛 (1−𝑞𝑒𝑡)𝑛 3 Distribusi Geometrik M X (t)   = 𝑝( 1 1−𝑞𝑒𝑡 ) .
4 Distribusi Poisson M X (t) = 𝑒 λ(𝑒𝑡−1)
5 Distribusi Trinomial 𝑀 𝑋 (𝑡 1 , 𝑡 2 ) = (𝑝 1 𝑒 𝑡1 + 𝑝 2 𝑒 𝑡2 + 𝑝 3 ) 𝑛
6 Distribusi Multinomial 𝑀 𝑋 (𝑡 1 , 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑘−1 ) = ( 𝑝 1 𝑒 𝑡1 + ... + 𝑝 𝑘−1 𝑒 𝑡𝑘−1 + 𝑝 𝑘 ) 𝑛

## E. Daftar Pustaka
Hogg,  Robert  V,  Allen  T.  (1978)., Introduction to Mathematical
Statistics ,  Fourth  Edition,  Macmillan Publishing co., inc., New York.
Kapur,  J.N  dan  Saxena,  H.C.  (1976).,
Mathematical Statistics , eight Edition, S. Chand dan Campany LTD,
New Delhi.
Lederman W. (1981 )., Probability , Volume
II, Hand Book of Applicable Mathematics.,  A  Wiley-Interscience Publication  John  Wiley  &  son’s Chicester Net Work-Brisbane-
Toronto.
Nazariah, Noviyanti, Dita Kurniawati, Roni Priyanda,  Khairul  Alim,  Joni  Wilson Sitopu, Joko Sabtohadi, Nurul
Hidayah,  P.A.  (2022)  ‘Statistik Dasar’, in statistik dasar . 1st  edn. PT
Get Press.
Sheldon  Ross,  (2010).  A  FIRST  COURSE IN  PROBABILITY,  Eighth  Edition. University  of  Southern  California. Pearson  Education  Upper  Saddle River, New Jersey.
Sitopu.  Joni  Wilson,  (1990). Fungsi Pembangkit  momen  dari  beberapa distribusi
probabilitas . Prodi
Matematika FMIPA USU Medan.
Spiegel, Murray R, Ph.D. (2013)., Probability  and  Statistics.  Schaum’s outline series, Fourth Edition, McGraw-HILL Book Company
NetWork.