## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646

## Modifikasi Sistem Kripto Elgamal Hasil Konstruksi Marc Joye
Menggunakan General Linear Group
1 Maxrizal, 2 Maya Saftari, 3 Eza Budi Perkasa, 4 Devi Irawan
1 Sistem Informasi, STMIK Atma Luhur
2,3 Teknik Informatika, STMIK Atma Luhur
4 Mahasiswa S2 Ilmu Komputer, Universitas Budi Luhur maxrizal@atmaluhur.ac.id
Abstrak
Pada  era  revolusi  teknologi  4.0,  transformasi  big  data  yang  dikumpulkan  melalui internet  pada  segala  bidang  kehidupan  (The  Internet  of  Things)  merupakan  suatu keharusan. Akan tetapi internet bukanlah media komunikasi yang cukup aman karena rawan terhadap penyadapan informasi oleh pihak-pihak yang tidak berhak mengakses informasi tersebut.
Kriptografi  merupakan  salah  satu  bidang  keilmuan  untuk  menjaga  keamanan informasi.  Salah  satu  sistem  kripto  yang masih  digunakan  sampai  saat  ini adalah sistem kripto ElGamal yang diperkenalkan oleh Taher ElGamal . Pada sistem kripto ElGamal klasik dan sistem kripto modifikasi ElGamal yang dikontruksikan oleh Marc Joye, masing-masing sistem kripto ini menggunakan konsep bilangan bulat (integer). Fakta ini memotivasi suatu ide untuk menggantikan konsep bilangan bulat (integer) menjadi  suatu  matriks  yang  berukuran n n  yang  dinamakan  dengana  General Linear Group . Keunggulan dari sistem kripto yang diusulkan adalah terdapat ruang plaintext yang lebih besar dari sistem sebelumnya, sehingga ciphertext menjadi lebih acak dan keamanan pengiriman data menjadi lebih aman.
Penelitian  ini  merupakan  jenis  penelitian  studi  literatur.  Sedangkan  tujuan  dari penelitian  ini  adalah  untuk  memodifikasi  sistem  kripto  ElGamal  hasil  konstruksi Marc  Joye  menggunakan  konsep  General  Linear  Group  sehingga  dihasilkan  suatu modifikasi sistem kripto ElGamal usulan yang lebih aman dari sistem kripto ElGamal hasil konstruksi Marc Joye. Untuk itu, pada makalah ini diusulkan suatu modifikasi yang menggabungkan keunggulan dari sistem kripto ElGamal yang dikontruksikan oleh Marc Joye dan prinsip general linear grup. Hasil menunjukkan bahwa modifikasi sistem  kripto  ElGamal  yang  dihasilkan  harus  menggunakan  general  linear  khusus yaitu matriks-matriks sirkulan yang invertible atas modulo p.
Kata  kunci: modifikasi  ElGamal,  General  Linear  Group,  ElGamal  menggunakan General Linear Group.

## Abstract
In  the  era  of  technological  revolution  4.0,  the  transformation  of  big  data  collected through the internet in all areas of life (The Internet of Things) is a must. However, the internet is not a communication medium that is quite safe because it is prone to tapping information by parties who are not entitled to access the information.
Cryptography is one of the scientific fields to maintain information security. One of the cryptosystems  that  are  still  used  today  is  the  ElGamal  cryptosystem  introduced  by Taher  ElGamal.  In  the  classic  ElGamal  cryptosystem  and  ElGamal's  modified cryptosystem constructed by Marc Joye, each of these cryptosystems uses the concept of integers. This fact motivates an idea to replace the concept of integers into an n n  -sized matrix  named  General  Linear  Group.  The  advantage  of  the  cryptosystem  that  is

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
proposed is that there is a plaintext space that is larger than the previous system, so the ciphertext becomes more random and the security of data transmission becomes safer.
This research is a type of literature study. While the purpose of this study is to modify the  ElGamal  cryptosystem  from  Marc  Joye's  construction  using  the  General  Linear Group  concept  so  that  a  modified  ElGamal  cryptosystem  is  produced  which is  safer than the ElGamal cryptosystem produced by Marc Joye. For this reason, we propose a modification that combines the advantages of the ElGamal cryptosystem constructed by  Marc  Joye  and  the  general  linear  group  principle.  The  results  show  that  the modification of the resulting ElGamal cryptosystem must use a special general linear, namely circulatory matrices that are invertible to modulo p.
Keywords: ElGamal modification, General Linear Group, ElGamal uses the General Linear Group.

## A. Pendahuluan
Pada  era  revolusi  teknologi  4.0,  transformasi big  data yang  dikumpulkan melalui  internet  pada  segala  bidang  kehidupan (The  Internet  of  Things) merupakan  suatu  keharusan.  Teknologi  internet  sangat  membantu  manusia untuk menjalani kehidupan sehingga menjadi lebih mudah dan lebih bermakna. Akan  tetapi  internet  bukanlah  media  komunikasi  yang  cukup  aman  karena siapapun  dapat  mengakses  dengan  mudah  sehingga  sangat  rawan  terhadap penyadapan informasi oleh pihak-pihak yang tidak berhak mengakses informasi tersebut.
Kriptografi  merupakan  salah  satu  bidang  keilmuan  untuk  menjaga keamanan  informasi.  Bidang  keilmuan  ini  dibangun  pada  prinsip  penyandian pesan  agar  tidak  terbaca  dengan  mudah  oleh  pihak-pihak  yang  tidak  berhak mengakses informasi tersebut. Salah satu sistem kripto yang masih digunakan sampai  saaat  ini  adalah  sistem  kripto ElGamal diperkenalkan  oleh  Taher ElGamal pada tahun 1984 (ElGamal, 1985; Joye, 2016; Rao, 2017).  Sistem kripto ElGamal merupakan  sistem  kripto  asimetri  yaitu  pihak  penerima  dan  pihak pengirim informasi memiliki kunci yang berbeda, sehingga meminimalkan proses penyadapan  akibat  pertukaran  kunci  yang  sama  seperti  pada  sistem  kripto simetri.
Pada faktanya, sistem kripto ElGamal telah mengalami banyak modifikasi. Sistem kripto ini telah digunakan pada kemanan pengirirman data dengan tipe hybrid  antar  organisasi  (Murakami  &  Kasahara,  2015).  Sistem  kripto  ini  juga telah  dimodifikasi  pada  proses  enkripsinya  agar  diperoleh  sistem  kripto modifikasi ElGamal yang lebih aman (Fang, Liu, & Wu, 2016; Sharma, Sharma, &  Dhakar,  2011;  Yang,  Chang,  Li,  &  Hwang,  2003).  Pada  tahap  selanjutnya, sistem  ini  juga  telah  dikombinasikan  dengan  konsep  kurva  eliptik  (Boruah  & Saikia, 2015; Fu & Chen, 2010) dan telah diterapkan pada struktur bilangan atas lapangan (field) dan  grup  tertentu  (Fun  &  Samsudin,  2018;  Mandangan,  Yin, Hung,  &  Hussin,  2014).  Selain  itu,  tipe  modifikasi  dan  ragam  sistem  kripto

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
ElGamal banyak dikembangkan dalam beberapa tahun terakhir (Bharathi, 2018; Mahalanobis, 2012; Rao, 2017).
Berdasarkan fakta di atas, sistem kripto ElGamal klasik dan modifikasinya menggunakan konsep bilangan bulat (integer) , bilangan prima dan sifat istimewa dari  modulo  untuk  menyandikan  dan  mengacak  informasi.  Sedangkan  pada sistem kripto ElGamal yang dikontruksikan oleh Marc Joye, dimodifikasi dengan menambahkan proses verifikasi antara pihak pengirim dan pihak penerima pesan (Joye,  2016).  Hasil  menunjukkan  bahwa  sistem  kripto ElGamal yang dikontruksikan  oleh  Marc  Joye,  lebih  aman  dari  pada  sistem  kripto ElGamal klasikal dan modifikasinya.
Perhatikan bahwa sistem kripto ElGamal klasik atau sistem kripto ElGamal yang  dikontruksikan  oleh  Marc  Joye,  menggunakan  prinsip  bilangan  bulat (integer) . Fakta ini menimbulkan suatu ide untuk menggantikan konsep bilangan bulat  menjadi  suatu  matriks  yang  berukuran n n  .  Berdasarkan  (Hartanto, Junia, & Palupi, 2016), matriks-matriks yang digunakan adalah General Linear Group yang  digunakan  untuk  memodifikasi  sistem  kripto RSA klasik (RSA*) . Hasil menunjukkan bahwa sistem kripto RSA* mempunyai keamanan yang lebih baik  daripada  sistem  kripto RSA klasik,  karena  kemungkinan  ruang plaintext pada  sistem  kripto RSA* lebih  banyak  dari  pada  sistem  kripto RSA klasik (Hartanto  et  al.,  2016).  Hasil  ini  menunjukkan  bahwa  penggunaan  konsep General Linear Group jauh lebih aman (signifikan) dari pada penggunaan konsep bilangan bulat (integer).
Untuk  itu,  pada  makalah  ini  diusulkan  suatu  modifikasi  sistem  kripto ElGamal yang  menggabungkan  keunggulan  dari  sistem  kripto ElGamal yang dikontruksikan  oleh  Marc  Joye  dan  prinsip general  linear  grup pada  matriks. Konsep  dan  penggunaan general  linear  grup akan  dipelajari  lebih  mendalam dalam referensi aljabar linear dan terapan (Anton & Rorres, 2013; Hartanto et al., 2016; Lang, 1993).

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  jenis  penelitian  studi  literatur.  Berbagai  sumber yang terdiri atas jurnal dan buku dikaji mendalam untuk mendapatkan ide dan referensi terbaik. Pustaka utama yang digunakan adalah jurnal Secure ElGamal - type Cryptosystems Without Message Encoding karya Marc Joye dan prosiding Konstruksi  Sistem  Kripto  Menggunakan General  Linear  Group karya  Ari  Dwi Hartanto dan Diah Junia Eksi Palupi. Selanjutnya, salah satu bentuk kontruksi yang  dikembangkan  oleh  Marc  Joye  akan  dimodifikasi  dengan  konsep  General Linear Grup dari pustaka kedua.
Adapun langkah yang dilakukan untuk mendukung penelitian ini adalah:
1. Mempelajari dan menganalisa jurnal Secure ElGamal -type Cryptosystems Without Message Encoding karya Marc Joye.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
2. Mempelajari  prosiding  Konstruksi  Sistem  Kripto  Menggunakan General Linear Group karya Ari Dwi Hartanto dan Diah Junia Eksi Palupi.
3. Menerapkan konsep general linear grup pada jurnal karya Marc Joye.
4. Menganalisa  sifat-sifat  khusus  agar  sistem  kripto  yang  diusulkan  bisa diterapkan sebagai suatu sistem yang lebih aman dari karya Marc Joye.

## C. Hasil Dan Pembahasan

## 1. Sistem Kripto ElGamal Hasil Kontruksi Marc Joye
Sistem  kripto ElGamal hasil  kontruksi  Marc  Joye  merupakan  bentuk modifikasi dari sistem kripto ElGamal klasik. Sistem ini dimodifikasi dengan menambahkan proses verifikasi antara pihak pengirim dan pihak penerima informasi (pesan). Berikut ini algoritma pembangkit pasangan kunci:
1. Memilih generator h dan h yang merupakan bilangan bulat (integer) , kunci privat   , , z   dan bilangan prima p .
2. Membentuk mod z y h p = dan mod x h h p   = . Perhatikan  bahwa terdapat kunci publik   , , , , h h p y x dan kunci privat   , , z   .
Selanjutnya, penerima pesan akan mengirim kunci publik   , , , , h h p y x ke pengirim  pesan  dan  menyimpan  kunci  privat   , , z   .  Perlu  diingat  bahwa informasi  yang  dikirimkan  berupa plaintext   1, 2, , m p = K .  Setelah  kunci publik diterima oleh pengirim pesan maka dilakukan proses enkripsi, yaitu:
1. Memilih sebarang bilangan bulat (integer) r dan merahasiakannya.
2. Menghitung 1 mod r c h p = , 1 mod r c h p = dan 2 mod r c m y p
= . 3. Membangkitkan kode verifikasi mod r v x p = .
Pengirim pesan mengirimkan   1 1 2 , , , c c c v . Selanjutnya, penerima pesan dengan  bantuan  kunci  privat  melakukan  verifikasi 1 1 mod v c c p   = .  Jika v yang  dikirimkan  dan v yang  dihitung  sama  maka  dilanjutkan  dengan menghitung 2 1 mod z m c c p = (Joye, 2016).

## 2. General Linear Group
General  Linear  Group
( ) , q GL n F adalah  himpunan  semua  matriks  yang berukuran n n  atas lapangan berhingga (finite field) q F dengan determinan matriks  tak  nol.  Secara  matematis,  dinotasikan
( )   , det 0 q ij GL n F a = 
(Hartanto  et  al.,  2016) . Perhatikan  bahwa q F adalah  suatu  lapangan berhingga (finite field) yang memiliki q elemen. Pada penelitian ini, dipilih q p F = ¢ sehingga diperoleh ( ) , p GL n ¢ . Selanjutnya, banyaknya elemen (order

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
element) dari ( ) , p GL n ¢ adalah ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 , 1 n n n n n n k q k
GL n F q q q q q q q − − − = = − − − = −  K . Misalkan  dibentuk
( ) 2 2, GL ¢ maka banyak anggota himpunan matriks adalah ( )( ) 2 2 2 1 2 2 6 − − =
yaitu ( ) 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2, , , , , , 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 GL               =                            
¢ .  Perhatikan bahwa determinan dari matriks-matriks diatas tidak nol.

## 3. Matriks Sirkulan
Diberikan suatu matriks sirkulan A yaitu
0 1 2 1 1 0 3 2 2 3 0 1 1 2 1 0 n n n n n n a a a a
a a a a A a a a a a a a a − − − − − −     
   =         K K M M O M M K

## K
Pada dasarnya, matriks sirkulan dibangun atas sebanyak n elemen pada suatu  matriks  sirkulan  yang  berukuran n n  .  Matriks  sirkulan  bersifat komutatif.  Contoh  matriks  sirkulan  yang  paling  sederhana  adalah  matriks identitas (Fan & Liu, 2018; Fuyong, 2011; KAYA, 2013)

## 4. Modifikasi Sistem Kripto ElGamal Yang Diusulkan
Pada kajian ini, kita akan menggunakan konsep matriks (general linear group) untuk menduplikasi modifikasi sistem kripto ElGamal hasil kontruksi Marc  Joye.  Misalkan  diberikan  sebarang  matriks H dan H serta  dipilih sebarang  bilangan  bulat  positif , , z   .  Kita  bentuk mod z Y H p = dan
mod X H H p   = , dengan p suatu bilangan prima. Jelas Y dan X juga berupa matriks yang berukuran sama dengan matriks H dan H . Selanjutnya, dipilih sebarang  bilangan  bulat r dan  dibentuk 1 mod r C H p = , 1 mod r C H p = ,
2 mod r C MY p = .  Kita  juga  harus  memodifikasi mod r V X p = .  Perhatikan
bahwa berlaku
( ) ( ) ( ) mod mod mod r r r faktor V X p H H p H H H H p       = = = K 1 4 4 4 2 4 4 43
Jika dipilih matriks H dan H yaitu matriks-matriks yang komutatif maka diperoleh persamaan ,

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 mod mod mod mod r faktor r faktor r r r r V H H H H p H H p H H p C C p
          = = = = K K 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3
Pada bagian akhir, dibentuk
( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 2 1 1 1 mod mod mod mod mod z z z r rz rz rz C p C C p C C C p
MY H p
M H H p M − − − − = = = = =
Pada  kajian  ini,  kita  diharuskan  menggunakan  matriks H yang mempunyai invers (invertible) pada modulo p serta memiliki sifat komutatif. Dengan  demikian,  dipilih  matriks H dan H yang  merupakan  matriks sirkulan.  Jelas  bahwa  syarat  utama  modifikasi  sistem  kripto ElGamal ini bekerja  dengan  baik,  jika  matriks H dan H merupakan  matriks  sirkulan yang  memiliki  invers  atas  modulo p .  Jadi,  diperlukan  bentuk  khusus  dari konsep general  linear  group yaitu  matriks  sirkulan  yang  berlaku  konsep general  linear  group .  Berikut  ini,  algoritma  untuk  modifikasi  sistem  kripto yang diusulkan:

## Algoritma pembentuk pasangan kunci
1. Memilih generator matriks H dan H yang merupakan matriks sirkulan yang memiliki invers atas modulo p , kunci privat   , , z   dan bilangan prima p .
2. Membentuk mod z Y H p = dan mod X H H p   = . Perhatikan  bahwa terdapat kunci publik   , , , , H H p Y X dan kunci privat   , , z   .

## Enkripsi
1. Memilih sebarang r suatu bilangan bulat (integer) dan merahasiakannya.
2. Menghitung 1 mod r C H p = , 1 mod r C H p = dan 2 mod r c M Y p
= . 3. Membangkitkan kode verifikasi mod r V X p = .

## Deskripsi
1. Memverifikasi 1 1 mod V C C p   = .
2. Jika V yang  dikirimkan  dan V yang  dihitung  sama  maka  dilanjutkan dengan menghitung
2 1 mod z M C C p − = .

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646

## 5. Keunggulan Modifikasi Sistem Kripto ElGamal Yang Diusulkan
Pada  sistem  kripto ElGamal hasil  kontruksi  Marc  Joye, plaintext m berbentuk  integer.  Jika  diberikan  pesan   1 2 , , , n M m m m = K maka  proses enkripsi dan deskripsi ada sebanyak n proses. Pada modifikasi sistem kripto ElGamal yang diusulkan, pesan   1 2 , , , n M m m m = K diblok berdasarkan ukuran matriks  yang  dikehendaki.  Jika  dibentuk kedalam  matriks  berukuran k k  dan k m  maka  diperoleh
1 1 k l kk m m M m m     =       K M O M
K .  Misalkan  ada plaintext
12 3 4 6 7 1 11 M = − − − − − − dan  dipilih 2 2 M  diperoleh 1 12 3 4 6 M   =     dan
2 7 1 11 8 M   =     . Perhatikan bahwa entri 8 pada matriks 2 M merupakan elemen dummy ,  yang  digunakan  untuk  melengkapi  entri  elemen  pada  matriks. Elemen  dummy boleh  dipilih sebarang.  Dengan  demikian,  pembuatan  blok- blok plaintext akan membuat ciphertext semakin acak. Jadi, modifikasi sistem kripto ElGamal yang diusulkan akan lebih aman terhadap serangan (attack).

## 6. Contoh Kasus
Misalkan Bob akan berkirim pesan kepada Alice. Sebagai penerima pesan, Alice bertugas untuk membangkitkan pasangan kunci yang digunakan untuk enkripsi dan deskripsi.

## Algoritma pembangkit pasangan kunci
Alice membangkitkan pasangan kunci dengan memilih matriks-matriks sirkulan 1 7 7 1 H   =     dan 11 13 13 11 H   =     serta memilih bilangan bulat 2357 p = ,
123 z = , 512  = , 709  = . Alice menghitung nilai
554 2212 mod
2212 554 z Y H p   = =    
dan 86 1431 mod
1431 86 X H H p     = =     . Dengan demikian, diperoleh kunci publik
1 7 11 13 554 2212 86 1431 , , 2357, , 7 1 13 11 2212 554 1431 86
H H p Y X

         = = = = =                     dan kunci privat   123, 512, 709 z   = = = . Selanjutnya, Alice mengirim kunci publik ke Bob.

## Enkripsi
Bob  menerima  kunci  publik  dari  Alice.  Bob  memilih 451 r = dan merahasiakannya. Selanjutnya,
Bob menghitung nilai

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
1 1163 616 mod 616 1163 r C H p   = =     , 1 1926 2054 mod 2054 1926 r C H p   = =     .  Misalkan  Bob akan mengirim pesan dengan kode ASCII “123435783341204343”. Perhatikan bahwa  matriks H dan H berukuran 2 2  sehingga  dibentuk plaintext
1 123 435
783 341 M   =     dan 2 204 343 111 111 M   =     . Pada matriks 2 M terdapat enti elemen dummy  1.    Selanjutnya  Bob  menghitung ( ) 2 mod r i i C M Y p = ,  dengan 1,2 i = sehingga  diperoleh ( ) 2 1 1066 1255 2179 1322 C   =     dan ( ) 2 2 747 2259
373 373 C
  =     .  Bob  juga menghitung  kode  verifikasi 1815 2209 mod 2209 1815 r V X p   = =     .  Selanjutnya,  Bob mengirim
( )
( ) 1 1 2 1 2 2 1163 616 1926 2054
1066 1255 , , , 616 1163 2054 1926 2179 1322
747 2259 1815 2209 , 373 373 2209 1815 C C C C V  
      = = =                         = =            
kepada Alice.

## Deskripsi
Alice  memverifikasi  kode 1 1 1815 2209 mod
2209 1815 V C C p     = =     .  Perhatikan bahwa nilai matiriks V yang dikirimkan  Bob sama dengan matriks V yang dihitung  Alice.  Dengan  demikian,  Alice  melanjutkan  menghitung
( ) 2 1 mod z i i M C C p − = untuk 1,2 i = .  Alice  memperoleh 1 123 435
783 341 M  
=     dan
2 204 343 111 111 M   =     .  Jadi,  Alice  mendapatkan  pesan  yang  sama  dari  Bob  yaitu “123435783341204343” dengan tambahan pesan dummy “111111”.

## D. Simpulan
Modifikasi  sistem  kripto ElGamal yang  diusulkan  merupakan  proses duplikasi  sistem  kripto  yang  dikerjakan  oleh  Marc  Joye.  Pada  sistem  ini, generator dibangkitkan dengan matriks sirkulan yang memiliki invers (invertible matrix) atas modulo p yang merupakan bentuk khusus dari konsep general linear group .  Keuntungan  modifikasi  sistem  kripto ElGamal yang  diusulkan  adalah ciphertext yang dihasilkan menjadi lebih acak karena operasi perpangkatan pada matriks. Jadi, tingkat kemanan yang dihasilkan menjadi lebih baik dari sistem kripto ElGamal hasil kontruksi Marc Joye.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646

## E. Daftar Pustaka
Anton, H., & Rorres, C. (2013). Elementary Linear Algebra: Applications Version, 11th Edition . Wiley eGrade.
Bharathi,  C.  R.  (2018).  Improved  ELGAMAL  Encryption  for  Elliptic  Curve Cryptography. International  Journal  of  Pure  and  Applied  Mathematics , 118 (17), 341 – 353.
Boruah,  D.,  &  Saikia,  M.  (2015).  Implementation  of  ElGamal  Elliptic  Curve Cryptography over prime field using C. In 2014 International Conference on Information  Communication  and  Embedded  Systems,  ICICES  2014 . https://doi.org/10.1109/ICICES.2014.7033751
ElGamal,  T.  (1985).  A  Public  Key  Cryptosystem  and  A  Signature  Based  on Descrete Logarithms. IEEE Transaction on Information Theory , 31 (4), 469 – 472.
Fan,  Y.,  &  Liu,  H.  (2018).  Double  circulant  matrices. Linear  and  Multilinear Algebra , 66 (10), 2119 – 2137. https://doi.org/10.1080/03081087.2017.1387513 Fang, J., Liu, C., & Wu, J. (2016). Weakness of an ELGamal-like cryptosystem for enciphering large messages. In Lecture Notes in Electrical Engineering (Vol. 375, pp. 1225 – 1231). https://doi.org/10.1007/978-981-10-0539-8_126 Fu, M., & Chen, W. (2010). Elliptic curve cryptosystem ElGamal encryption and transmission scheme. In ICCASM 2010 - 2010 International Conference on Computer  Application  and  System  Modeling,  Proceedings (Vol.  6). https://doi.org/10.1109/ICCASM.2010.5620105
Fun,  T.  S.,  &  Samsudin,  A.  (2018).  An  Efficient  ElGamal  Encryption  Scheme Based  on  Polynomial  Modular  Arithmetic  in  F2n.  In Lecture  Notes  in Electrical  Engineering (Vol.  488,  pp.  99 – 107).  https://doi.org/10.1007/978- 981-10-8276-4_10
Fuyong,  L.  (2011).  The  inverse  of  circulant  matrix. Applied  Mathematics  and Computation , 217 (21), 8495 – 8503. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.03.052 Hartanto,  A.  D.,  Junia,  D.,  &  Palupi,  E.  (2016).  Konstruksi  Sistem  Kripto Menggunakan General Linear Group. Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD 2016 , 203 – 214. Joye, M. (2016). Secure ElGamal-Type cryptosystems without message encoding. Lecture  Notes  in  Computer  Science  (Including  Subseries  Lecture  Notes  in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) , 9100 , 470 – 478. https://doi.org/10.1007/978-3-662-49301-4_29
Kaya,  E.  (2013).  On  Circulant  Matrices. Communications,  Faculty  Of  Science, University of Ankara Series A1Mathematics and Statistics , (January 2004), 015 – 024. https://doi.org/10.1501/commua1_0000000593 Lang, S. (1993). Linear Algebra . New York: Springer.
Mahalanobis, A. (2012). A Simple Generalization of the ElGamal Cryptosystem to Non-Abelian  Groups  II. Communications  in  Algebra , 40 (9),  3583 – 3596. https://doi.org/10.1080/00927872.2011.602998
Mandangan,  A.,  Yin,  L.  S.,  Hung,  C.  E.,  &  Hussin,  C.  H.  C.  (2014).  ElGamal

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 10, No. 1, Juli 2019 e-ISSN 2579-7646
cryptosystem  with  embedded  compression-crypto  technique.  In AIP Conference Proceedings (Vol. 1635, pp. 455 – 460). https://doi.org/10.1063/1.4903621
Murakami,  Y.,  &  Kasahara,  M.  (2015).  Hybrid  inter-organization  cryptosystem using  ElGamal  cryptosystem.  In 2015  IEEE  International  Conference  on Consumer  Electronics  -  Taiwan,  ICCE-TW  2015 (pp.  378 – 379). https://doi.org/10.1109/ICCE-TW.2015.7216953
Rao, F.-Y. (2017). On the Security of a Variant of ElGamal Encryption Scheme.
IEEE  Transactions  on  Dependable  and  Secure  Computing , 14 (8),  1 – 1. https://doi.org/10.1109/TDSC.2017.2707085
Sharma, P., Sharma, S., & Dhakar, R. S. (2011). Modified Elgamal Cryptosystem Algorithm (MECA). In 2011 2nd International Conference on Computer and Communication
Technology,
ICCCT-2011
(pp. 439 – 443). https://doi.org/10.1109/ICCCT.2011.6075141
Yang, C.-C., Chang, T.-Y., Li, J.-W., & Hwang, M.-S. (2003). Simple Generalized Group-Oriented Cryptosystems Using ElGamal Cryptosystem. Informatica , 14 (1), 111 – 120.