Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI

## Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit dan Hematokrit Pasien DBD
Bunga Aprilia 1* , Anna Islamiyati 2 , Anisa 3 , Nirwan Ilyas 4 1,2,3,4 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia * Corresponding author, email: bungaprilia021@gmail.com

## Abstract
Nonparametric  quantile  regression  is  used to  estimate the regression function  when  assumptions  about the  shape  of  the  regression  curve  are  unknown.  It  is  only  assumed  to  be  subtle  by  involving  quantile values.  One  estimator  in  nonparametric  regression  is  spline.  The  segmented  properties  of  the  spline provide more flexibility than ordinary polynomials. Therefore, the nature of the spline makes it possible to adapt more effectively to the local characteristics of a function or data. This study proposes to get the results  of  the  estimation  platelet  count  model  to  the  hematocrit  value  of  DHF.  The  optimal  model obtained from the estimation of quadratic spline quantile regression is at quantile 0.5 with one knot and the GCV value is 41.5. The results of the estimation show that there is a decrease in platelet counts as the percentage of hematocrit increase .
Keywords : Hematocrit, Quantile, Quadratic, Spline, Platelet.

## Abstrak
Regresi  kuantil  nonparametrik  digunakan  untuk  memperkirakan  fungsi  regresi  ketika  asumsi  tentang bentuk kurva regresi tidak diketahui dan hanya diasumsikan smooth dengan melibatkan nilai-nilai kuantil. Salah  satu  penaksir  dalam  regresi  nonparametrik  adalah  spline.  Sifat  tersegmentasi  dari  spline memberikan  lebih  banyak  fleksibilitas  daripada  polinomial  biasa.  Oleh  karena  itu,  sifat  spline memungkinkan  untuk  beradaptasi  secara  lebih  efektif  dengan  karakteristik  fungsi  atau  data  lokal. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memperoleh  estimasi  model  jumlah  trombosit  terhadap  nilai  hematokrit pasien  DBD.  Diperoleh  model  kuantil  spline  kuadratik  yang  optimal  dengan  nilai  GCV  minimum  41,5 pada  kuantil  0,5  menggunakan  satu  titik  knot.  Hasil  estimasi  menunjukkan  bahwa  terjadi  penurunan jumlah trombosit seiring dengan bertambahnya persentase hematokrit.
Kata Kunci : Hematokrit, Kuantil, Kuadratik, Spline, Trombosit.

## 1. Pendahuluan
Regresi  merupakan  analisis  statistika  yang  digunakan  untuk  menyelidiki  pola hubungan dan pengaruh beberapa variabel prediktor terhadap variabel respon [1]. Suatu model regresi dikatakan baik apabila memenuhi beberapa asumsi klasik, seperti asumsi normalitas dan homokedastisitas [2]. Namun asumsi ini seringkali tidak terpenuhi ketika data  mengandung  pencilan  ( outlier ).  Jika  data  mengandung  pencilan,  maka  data  tidak lagi  berbentuk  simetris  sehingga  nilai  mean  menjadi  sangat  peka  dengan  adanya  data outlier dan kurang tepat digunakan [3]. Penanganan outlier dapat dilakukan diantaranya melalui  regresi  robust  [4]  dan  regresi  kuantil  [5].  Regresi  kuantil  memungkinkan

## Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit...
menduga  fungsi kuantil dari sebaran  bersyarat respon pada berbagai  nilai kuantil  yang diinginkan.  Setiap  kuantil  mencirikan  titik  tertentu  (pusat  atau  ekor)  dari  sebaran bersyarat [6].
Pada  kondisi  tertentu,  terdapat  beberapa  pola  data  yang  tidak  dapat  dimodelkan dengan  regresi  kuantil  parametrik  karena  akan  menghasilkan error dan  variansi  yang besar  sehingga  disarankan  untuk  menggunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik. Regresi  nonparametrik  kuantil  digunakan  untuk  mengestimasi  fungsi  regresi  ketika asumsi  tentang  bentuk  kurva  regresi  tidak  diketahui  dan  hanya  diasumsikan smooth dengan  melibatkan  nilai-nilai  kuantil  [7].  Untuk  regresi  nonparametrik,  terdapat beberapa  estimator  diantaranya  spline truncated [8,9,10],  spline smoothing [11]  dan spline penalized [12,  13,  14].  Spline  terdiri  atas  beberapa  potongan  polinomial  yang memiliki  sifat  tersegmen  dan  kontinu  serta  berorde  tertentu  yang  saling  bersambung pada titik-titik knot. Titik knot  merupakan titik perpaduan bersama  yang terjadi karena terdapat  perubahan  perilaku  pola  pada  interval  yang  berlainan  [15,  16].  Pendekatan spline  dalam  mengatasi  pola  data  yang  menunjukkan  naik/turun  yang  tajam  dapat dilakukan dengan bantuan titik-titik knot, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus atau smooth [17].
Penelitian  mengenai  regresi  kuantil  nonparametrik  telah  banyak  dilakukan, diantaranya,  Balami  dan  Matdoan  (2019)  mengestimasi  parameter  regresi  kuantil menggunakan fungsi spline truncated [18]. Chen, Chen dan Zhang (2019) mengestimasi kuantil small  area melalui  regresi  spline  [19].  Jatmiko  (2018)  menggunakan  analisis regresi  kuantil B-Splines [20].  Islamiyati,  Raupong  dan  Anisa  (2019)  menggunakan penalized spline untuk mengidentifikasi pola perubahan gula darah pasien diabetes [21]. Oleh  sebab  itu,  penelitian  ini  menggunakan  regresi  kuantil  dengan  estimator  spline kuadratik  untuk  memodelkan  jumlah  trombosit  pasien  Demam  Berdarah Dengue (DBD).  Serangan  virus  terjadi  pada  sel  trombosit  sehingga  indikator  utama  seseorang terkena  DBD  dalam  pengujian  medis  adalah  pengukuran  sel  trombosit  [22].  Namun selain  jumlah  trombosit,  diperlukan  pemeriksaan  medis  lain  diantaranya  pemeriksaan kandungan hematokrit karena keduanya merupakan sel darah.

## 2. Material dan Metode
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  dari  pasien penderita  Demam  Berdarah  Dangue  (DBD)  pada  tahun  2013  –  2017  di  Rumah  Sakit Pendidikan  Universitas  Hasanuddin.  Data terdiri  angka  trombosit  pasien  DBD  sebagai respon ( 𝑦 ) serta nilai  hematokrit sebagai prediktor ( 𝑥 ) yang diambil sejak hari pertama pasien  dirawat  di  rumah  sakit.  Model  yang  digunakan  adalah  model  regresi  kuantil dengan estimator spline kuadratik sebagai berikut:
𝑦(𝜃) = ∑ 𝛽 𝑗 (𝜃)𝑥 𝑗 + ∑ 𝛽 2+𝑘 (𝜃)(𝑥 − 𝐾 𝑘 ) + 2 𝑟 𝑘=1
2 𝑗=0 (1)

## Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit...
Bunga Aprilia, Anna Islamiyati, Anisa, Nirwan Ilyas
Tahap  pertama  memperoleh  model  regresi  kuantil  spline  linier  adalah  membuat scatter plot untuk melihat pola perubahan trombosit pasien berdasarkan hematokritnya. Selanjutnya pada tahap kedua  menentukan titik knot optimal  melalui  nilai GCV spline kuadratik  satu  sampai  tiga  titik  knot.  Memodelkan  regresi  kuantil  spline  kuadratik 𝜃 =  0.25,  0.5,  dan  0.75  berdasarkan  titik  knot  optimal.  Pada  tahap  ketiga  dilakukan seleksi model untuk mendapatkan model kuantil spline kuadratik 𝜃 = 0.25, 0.5, dan 0.75 dengan titik knot optimal melalui nilai GCV minimum. Tahap keempat membandingkan nilai  GCV  model  regresi  kuantil  spline  kuadratik  untuk  mendapatkan  model  regresi kuantil  spline  optimal.  Tahap  terakhir  adalah  menginterpretasikan  pola  hubungan jumlah trombosit dengan hematokrit pada pasien DBD berdasarkan model optimal.

## 3. Hasil dan Diskusi
Sebelum  dianalisis  menggunakan  analisis  regresi  kuantil  spline  terlebih  dahulu akan  dilakukan  identifikasi  pola  hubungan  antara  variabel  prediktor  dengan  variable jumlah trombosit pasien DBD dengan faktor yang mempengaruhi yaitu nilai hematokrit. Identifikasi dilakukan menggunkan scatter plot dan ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Plot Pengaruh Nilai Hematokrit (x) terhadap Jumlah trombosit (y)
Gambar  1  menunjukkan  bahwa  pola  hubungan  trombosit  dengan  hematokrit cenderung  bervariasi.  Banyak  pasien  DBD  memiliki  nilai  hematokrit  normal  dengan jumlah  trombosit  yang  abnormal.  Ada  juga  pasien  yang  didiagnosis  DBD  memiliki trombosit  normal  dengan  jumlah  hematokrit  di  bawah  normal  yaitu  <38%.  Sehingga hubungan  kedua  variabel  tersebut  cenderung  tidak  memiliki  pola  melalui  sebaran  data yang tidak beraturan, sehingga model estimasi regresi parametrik tidak dapat digunakan. Oleh  karena  itu,  antara  jumlah  trombosit  pasien  DBD  dengan  nilai  hematokrit diselesaikan dengan menggunakan pendekatan regresi nonparametrik melalui estimator spline  kuadratik.  Bentuk  regresi  yang  digunakan  adalah  regresi  kuantil.  Ini  terkait dengan distribusi data yang heterogen.

## Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit...
Bunga Aprilia, Anna Islamiyati, Anisa, Nirwan Ilyas
Pemodelan diawali dengan pemilihan titik knot optimal satu sampai tiga titik knot melalui  nilai  GCV  spline  kuadratik.  Pemilihan  titik  knot  dilakukan  melalui trial  and error dengan  mengambil  titik  yang  berada  pada  interval  nilai  variabel  respon  hingga didapatkan nilai GCV paling minimum. Hasil olahan ditunjukan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai GCV spline kuadratik satu sampai tiga titik knot
No. Titik knot GCV Titik knot (K) GCV Titik knot GCV K1 K1 K2 K1 K2 K3 1 39.1 6264.6 43.4 46.9 6277.9 30.7 39.8 46.9 6318.1 2 40.8 6237.02 30.7 38 6258.8 30.5 44.2 47.1 6303.3 3 45.4 6192.4 31.8 42.6 6250.9 32.5 44.6 47.1 6301.6 4 44.8 6187.4 33.5 44.2 6247.1 40.4 45.2 47.1 6321.2 5 44.2 6188.5 30.7 45.2 6241.4 43.1 45.2 47.1 6306.9 6 44.6 6187.02* 30.3 44.7 6235.1 32.5 44.8 47.1 6298.6 7 44.7 6187.1 30.3 44.2 6233.5 30.7 44.8 47.1 6291.6 8 43.7 6192.9 30.7 44.2 6233.6 30.7 44.8 46.9 6292.9 9 45.2 6190.2 30.3 45.2 6241.3 30.3 44.8 47.1 6291.5 10 47.1 6207.6 30.7 44.6 6234.5 31.8 44.8 46.9 6296.7
Sumber: Data diolah 2020
Berdasarkan  Tabel  1  nilai  GCV  minimum  terbaik  yang  diperoleh  dengan  spline kuadratik  adalah  sebesar  6187.02  bersesuaian  dengan  titik  knot  optimal  K1  =  44.6. Selanjutnya  dilakukan  estimasi  model  regresi  kuantil  spline  kuadratik  menggunakan titik knot optimal K1 = 44.6 pada kuantil 0.25, 0.5, 0.75
𝑦̂(0,25) = 872 − 39.9𝑥 + 0.5𝑥 2 − 2.8(𝑥 − 44.6) + 2 𝑦̂(0,5) = 1060.1 − 45.2𝑥 + 0.5𝑥 2 − 2.6(𝑥 − 44.6) + 2 𝑦̂(0,75) = 1741 − 78.4𝑥 + 0.9𝑥 2 − 3.8(𝑥 − 44.6) + 2
Model  regresi  untuk  setiap  kuantil  yang  diperoleh  berbeda,  tetapi  kecenderungan perubahan trombosit tampak tidak berbeda secara signifikan. Selanjutnya kurva estimasi model kuantil spline kuadratik dengan satu titik knot yang menunjukkan pola perubahan di setiap kuantil disajikan pada Gambar 2. Pola perubahan yang terlihat cenderung sama pada  jumlah  trombosit  pasien  DBD  ketika  nilai  hematokrit  pasien  dibawah  44.6%  dan ketika nilai hematokrit meningkat di atas 44.6%. Pola perubahan trombosit berdasarkan jumlah  hematokrit  menunjukkan  bahwa  terjadi  penurunan  jumlah  trombosit  secara kuadratik seiring dengan meningkatnya nilai hematokrit hingga melewati batas normal, yaitu  >45%.  Hasil  yang  diperoleh  telah  sesuai  dengan  penelitian  lain  bahwa  semakin tinggi  persentase  hematokrit  jumlah  trombosit  akan  semakin  menurun.  Hal  ini  dapat terjadi karena kebocoran plasma di pembuluh darah kapiler  menyebabkan peningkatan nilai  hematokrit  dan  trombosit  yang  berperan  dalam  pembekuan  darah  berusaha

## Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit...
Bunga Aprilia, Anna Islamiyati, Anisa, Nirwan Ilyas
menutupi kebocoran tersebut, sehingga kadar trombosit pun menjadi rendah [23]. Hasil ini  diharapkan  dapat  menjadi  informasi  bagi  tim  medis  untuk  menyiapkan  langkah- langkah awal perawatan sebelum nilai hematokrit pasien meningkat di atas 45%.
Gambar 2.  Estimasi  kurva  kuantil  Spline  kuadratik  Satu Knot  antara  Jumlah  Trombosit  Pasien  DBD dengan Nilai Hematokrit
Selanjutnya,  nilai-nilai  GCV  dari  masing-masing  model  regresi  untuk  tiga  kuantil dibandingkan  untuk  menunjukkan  model  yang  paling  mampu  menjelaskan  kondisi distribusi data dengan baik. Model terbaik adalah model yang menghasilkan nilai GCV minimum. Hasil olahan ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 1. Nilai GCV untuk setiap model regresi kuantil spline kuadratik Kuantil 0.25 0,5 0,75 GCV 56.2 41,5 51,9
Sumber: Data diolah 2020
Berdasarkan  Tabel  2,  dapat  dilihat  bahwa  model  kuantil  spline  kuadratik  yang memiliki  nilai  GCV  terkecil  adalah  41,5  pada  kuantil  0,5.  Ini  berarti  bahwa  median pembagian  model  lebih  mampu  menjelaskan  keragaman  data.  Selain  itu,  apabila dibandingkan nilai GCV yang dihasilkan oleh model kuantil spline kuadratik jauh lebih kecil  dari  nilai  GCV  spline  kuadratik.  Artinya  model  regresi  kuantil  spline  kuadratik jauh  lebih  baik  digunakan  untuk  melihat  pengaruh  hematokrit  terhadap  perubahan jumlah  trombosit  pasien  DBD.  Berikut  estimasi  model  terbaik  yaitu  model  spline kuadratik dengan satu titik knot (K = 44,6) pada kuantil 0,5 sebagai berikut:
𝑦̂(0,5) = 1060.1 − 45.2𝑥 + 0.5𝑥 2 − 2.6(𝑥 − 44.6) + 2
= { 1060.1 − 45.2𝑥 + 0.5𝑥 2 ,       𝑥 < 44.6
−4165.4 + 189.1𝑥 − 2.1𝑥 2 ,        𝑥 ≥ 44.6 (2)
Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit... Bunga Aprilia, Anna Islamiyati, Anisa, Nirwan Ilyas

## 4. Kesimpulan
Pola perubahan trombosit pada makalah ini diinterpretasikan melalui model regresi kuantil  spline  orde  dua.  Hal  tersebut  berdasarkan  kriteria  GCV  minimum  yang dihasilkan  dibandingkan  dengan  model  spline  biasa.  Terdapat  kecenderungan  nilai trombosit pasien semakin menurun ketika persentase nilai hematokrit pasien meningkat. Semakin tinggi nilai hematokrit terlihat trombosit semakin turun secara kuadratik. Titik knot  optimal  pada  titik  44,6  yang  menunjukkan  bahwa  setelah  nilai  hematokrit mencapai 44,6 % ada perubahan pola trombosit yang terjadi pada pasien DBD.
Makalah  ini  masih  mempertimbangkan  satu  faktor  yaitu  hematokrit  dalam mengevaluasi  perubahan  trombosit  pada  pasien  DBD.  Oleh  sebab  itu,  kajian  ini  dapat dikembangkan  ke  penggunaan  prediktor  yang  lebih  banyak  dengan  menggumanak estimator  spline  yang  lainnya,  seperti  spline  smoothing,  spline  penalized,  atau  pun bentuk spline lainnya.

## Daftar Pustaka
[1] Islamiyati,  A.,  Fatmawati  &  Chamidah,  N.  Estimation  of  Covariance  Matrix  on Bi-Response  Longitudinal  Data  Analysis  with  Penalized  Spline  Regression. Journal of Physics: Conference Series , 979 (1) 012093, 2018.
[2]   Yanuar,  F.  Penerapan  Metode  Regresi  Kuantil  pada  Kasus  Pelanggaran  Asumsi Kenormalan Sisaan. Skripsi. Universitas Andalas. 2016.
[3] Balami,  A.M.  Estimasi  Parameter  Regresi  Kuantil  Pada  Kasus  Demam  Berdarah Dengue di Kota Surabaya. Departemen Statistika FMIPA ITS, 2017.
[4]     Nurdin,  N.,  Raupong  &  Islamiyati,  A.  Penggunaan  Regresi  Robust  pada  Data yang  Mengandung  Pencilan  dengan  Metode  Momen. Jurnal  Matematika, Statistika & Komputasi , 10 (2) : 114-123, 2014.
[5]     Aprilia,  B.,  Islamiyati,    A.  &  Anisa.  Platelet  Modeling  Based  On  Hematocrit  in DHF Patients with Spline Quantile Regression. International Journal of Academic and Applied Research , 3 (12) : 51-54, 2019.
[6]    Furno, M. Prediction on Quantile Regression. Open Journal of Statistics , 4 : 504- 517, 2014.
[7] Putri,  W.N.A.,  Islamiyati,  A.  &  Anisa.  Penggunaan  Regresi  Multivariat  pada Perubahan  Trombosit  Pasien  Demam  Berdarah  Dengue. ESTIMASI:  Journal  of Statistics and Its Application , 1 (1) : 1-9, 2020.
[8]    Islamiyati,  A.  Taksiran  Kurva  Regresi  Spline  pada  Data  Longitudinal  dengan Kuadrat  Terkecil. Jurnal  Matematika,  Statistika  &  Komputasi ,  11(1)  :  97-102, 2014.
[9]    Ramdhani,  Z.A.,  Islamiyati,  A.  &  Raupong.  Hubungan  Faktor  Kolesterol Terhadap  Gula  Darah  Diabetes  dengan  Spline  Kubik  Terbobot. ESTIMASI: Journal of Statistics and Its Application , 1 (1) : 32-39, 2020.
[10]   Arifin, S., Islamiyati, A. & Raupong. Kemampuan Estimator Spline Linear dalam Analisis  Komponen Utama. ESTIMASI: Journal of  Statistics and Its Application , 1 (1) : 40-47, 2020.
Estimasi Model Regresi Kuantil Spline Kuadratik pada Data Trombosit... Bunga Aprilia, Anna Islamiyati, Anisa, Nirwan Ilyas
[11]   Lestari,  B.,  Fatmawati  &  Budiantara,  I.N.  Smoothing  Spline  Estimator  in Multiresponse Nonparametric Regression for Predicting Blood Pressure and Heart Rate. International Journal of Academic and Applied Research, 3 (9) : 1-8, 2019.
[12]   Islamiyati, A., Fatmawati & Chamidah, N. Fungsi Goodness of Fit dalam Kriteria Penalized  Spline  pada  Estimasi  Regresi  Nonparametrik  Birespon  untuk  Data Longitudinal. Proseding Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya . UNAIR Surabaya, 2017.
[13]  Islamiyati, A., Fatmawati & Chamidah, N. Penalized Spline Estimator With Multi Smoothing  Parameters  in  Biresponse  Multipredictor  Regression  Model  for Longitudinal  Data. Songklanakarin  Journal  of  Science  and  Technology ,  42  (4)  : 897-909, 2020.
[14]  Islamiyati,  A., Sunusi, N., Kalondeng, A., Wati, F.  &  Chamidah, N.  Use of  Two Smoothing  Parameters  in  Penalized  Spline  Estimator  for  Bi-Variate  Predictor Non-Parametric Regression Model. Journal of Sciences, Islamic Republic of Iran , 31 (2) : 175-183, 2020.
[15]   Ahmad, R.R., Ghazali, N., Rambeli, A.S., Din, U. K. S. & Hassan, N. Application of Cubic Spline in the Implementation of Braces for the Case of a Child. Journal of Mathematics and Statistics , 8 (1) : 144-149, 2012.
[16]  Islamiyati,  A.,  Fatmawati  &  Chamidah,  N.  Changes  in  Blood  Glucose  2  Hours After  Meals  in  Type  2  Diabetes  Patients  Based  On  Length  of  Treatment  at Hasanuddin  University Hospital, Indonesia. Rawal  Medical Journal ,  45 (1)  : 31- 34, 2020.
[17]  Islamiyati, A. Spline Polynomial Truncated dalam Regresi Nonparametrik. Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi , 14 (1) : 54-60, 2017.
[18]  Balami,  A.  M.  &  Matdoan,  M.Y.  Estimasi  Parameter  Regresi  Kuantil  dengan Fungsi Spline Truncated pada Kasus Demam Berdarah Dengue di Kota Surabaya. JURNAL MSA , 7 (1), 2019.
[19]  Chen,  Z.,  Chen,  J.  &  Zhang,  Q.  Small  Area  Quantile  Estimation  Via  Spline Regression  and  Empirical  Likelihood. Statistics Canada,  Catalogue No.  12-001- X, 2019.
[20]  Jatmiko, Y.A. Analisis Regresi Kuantil B-Splines Monoton Naik pada Hubungan Rata-Rata Lama Sekolah dan Pengeluaran Rumah Tangga  Per Kapita di Provinsi Yogyakarta. JURNAL MATEMATIKA “MANTIK”, 4 (2), 2018.
[21]  Islamiyati,  A.,  Raupong  &  Anisa.  Use  of  Penalized  Spline  Linear  to  Identify Change  in  Pattern  of  Blood  Sugar  Based  On  the  Weight  of  Diabetes  Patients. International Journal of Academic and Applied Research , 3(12) : 75-78, 2019.
[22]  Islamiyati,  A.  Regresi  Spline  Polynomial  Truncated  Biprediktor  Untuk Identifikasi  Perubahan  Jumlah  Trombosit  Pasien  Demam  Berdarah  Dengue. Al khwarizmi, 7 (2) : 97-110, 2019.
[23]  Syumarta,  Y.,  Akmal,    M.  &  Hanif,  E.  R.  Hubungan  Jumlah  Trombosit, Hematokrit  dan  Hemoglobin  dengan  Derajat  Klinik  Demam  Berdarah  Dengue pada Pasien Dewasa di RSUP . M.Djamil Padang . 38, 492–498, 2013.