J .   M a t h .   a n d   I t s   A p p l . I S S N :   1 8 2 9 - 6 0 5 X V o l .   1 3 ,   N o .   1 ,   M e i   2 0 1 6 , 4 9 - 5 8

## TRANSFORMASI MP-WAVELET TIPE B DAN APLIKASINYA PADA PEMAMPATAN CITRA
Kistosil Fahim 1 , Mahmud Yunus 2 , Suharmadi 3
1 Jurusan Matematika, FMIPA, ITS, Surabaya, kfahim@matematika.its.ac.id
2 Jurusan Matematika, FMIPA, ITS, Surabaya, yunusm@matematika.its.ac.id
3 Jurusan Matematika, FMIPA, ITS, Surabaya, susan@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Sekarang ini banyak  dikembangkan metode penyelesaian  masalah secara komputasi.  Pada  penelitian  ini  dikonstruksi  suatu  transformasi  wavelet menggunakan  operator  dalam  aljabar  max-plus  yang  disebut  sebagai  MP- Wavelet.  Hasil  konstruksi  ini  secara  komputasi  membutuhkan  waktu  yang lebih  cepat  daripada  transformasi  wavelet  pada  umumnya.  Pada  konstruksi ini dihasilkan satu tipe MP-Wavelet yang disebut dengan MP-Wavelet tipe B. MP-Wavelet  tipa  ini  merupakan  pengembangan  dari  penelitian  Fahim  yang dipublikasikan  pada  “Seminar  Nasional  Pendidikan  Sains  Tahun  2014”  dan “Konferensi  Nasional  Matemtika  17”.  Tipe B  ini  digunakan  untuk pemampatan citra. Untuk melihat hasil rekonstruksi pada proses pemampatan citra  “Lena”.  Dari  simulasi  pemampatan  ini  didapatkan  bahwa  MP -Wavelet tipe  B  ini  menghasilkan  rekonstruksi  citra  yang  lebih  baik  daripada  tipe  I yang dikonstruksi oleh Nobuhara (2010); dan tipe I serta tipe A Fahim (2014). Katakunci: Aljabar Max-plus, Transformasi Wavelet

## 1 Pendahuluan
Saat  ini  telah  banyak  dikembangkan  metode  untuk  menyelesaikan  masalah  secara komputasi.  Namun  kebanyakan  metode  menggunakan  operasi  perkalian  yang membutuhkan  biaya  komputasi  yang  cukup  besar.  Untuk  itu  dalam  hal  ini  akan dikembangkan  suatu  metode  penyelesaian  masalah  dengan  hanya  menggunakan  operasi maksimum  dan  penjumlahan  yaitu  transformasi  wavelet  menggunakan  aljabar  max-plus (MP-Wavelet).
Dilihat  dari  sifat  kelinierannya  transformasi  wavelet  mempunyai  sifat  linier  tetapi operator  penjumlahan  (addition/maksimum)  dalam  aljabar  maxplus  merupakan  operator nonlinier.  Sehingga  dalam  penelitian  ini  transformasi  yang  terbentuk  merupakan
transformasi  yang  nonlinier  (metode  nonlinier).  Dari  berbagai  literatur  mengenai  metode nonlinier  yang  telah  dikembangkan  berdasarkan  struktur  yang  berbeda[5,6],  tidak  satupun yang memenuhi semua kasus yang disebutkan di atas.
Wavelet  morfologi  yang  merupakan  salah  satu    jenis  transformasi  wavelet  yang nonlinier  akhir-akhir  ini  dikemukakan  oleh  Heijmans[2,3].  Namun  wavelet  morfologi didefinisikan  berdasarkan  aljabar  ordinal  pada  bilangan  real ℝ ,  bersama  dengan  empat operasi aritmatika yang dilengkapi dengan maksimum dan minimum yang tentunya sangat menyulitkan. Selain wavelet morfologi ada juga wavelet yang nonlinier yaitu MP-Wavelet. MP-Wavelet  ini  telah  dibahas  oleh  Nobuhara  dalam  papernya[7] yang  isinya  merupakan generalisasi ke arah baru dari Haar morfologi wavelet yang diusulkan oleh Heijmans, yakni menghilangkan  operasi  perkalian  dan  perhitungan  floating  point  dalam  pendekatannya. Tetapi  Nobuhara  tidak  menjelaskan  secara  eksplisit  transformasi  MP-Wavelet  yang  dia dapatkan. Kemudian pada tahun 2013 Kistosil Fahim [4] mengkonstruksi MP-Wavelet tipe I dan pada  tahun  2014 Kistosil  Fahim [8] mengkonstruksi  MP-Wavelet  tipe A. Dalam penelitian  ini  melanjutkan  penelitian  Kistosil  Fahim  pada  tahun  2013 dan  2014 tersebut yaitu  mengkonstruksi  transformasi  MP-Wavelet  menggunakan  operator  pada  aljabar  max- plus.

## 2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada  aljabar  max-plus  hanya  digunakan  dua  operator  yaitu  operator  maksimum (oplus)  dan  plus  (otimes).  Dalam  bukunya[9]  mendefinisikan  struktur  aljabar (ℝ ,⊕,⊗) dengan ℝ = ℝ ∪ { } dan = ∞ . Dan definisi operasi dari operator-operatornya diuraikan sebagai  berikut,  untuk  semua , anggota ℝ maka ⊗ = max{ , } dan
⊗ = +
. Dengan  definisi  diatas  didapatkan  bahwa (ℝ ,⊕,⊗) merupakan semi-ring  dengan elemen  netral dan  elemen  satuan [9].  Dalam  penelitian  ini  cukup  digunakan ℤ = ℤ ∪
{ } tidak perlu ℝ , sehingga dalam komputasi jauh lebih efisien. Dapat dilihat sifat aljabar dari (Z ,⊕,⊗) sama dengan di (R ,⊕,⊗) , yakni (Z ,⊕,⊗) masih merupakan semi-ring. Dengan demikian penyempitan himpunan domain ini tidak begitu berpengaruh pada proses analisisnya.
Wavelet  pada  matematika  adalah  sebuah  fungsi  untuk  mendapatkan  basis  yang disesuaikan  dengan  syarat-syarat  tertentu  sehingga  berguna  dalam  aplikasi  tertentu. Transformasi  wavelet  dapat  juga  dikatakan  transformasi  perbaikan  dari  transformasi Fourier.  Dalam  bukunya  Yunus  [11]  menjelaskan  bahwa  transformasi  wavelet  dibagi menjadi  transformasi  wavelet  kontinu  dan  transformasi  wavelet  diskrit.  Kemudian  dalam bukunya  Xiang  [10]  menjelaskan  bahwa  transformasi  wavelet  diskrit  yang  dilakukan berulang-ulang  dapat  mendekomposisikan  sinyal  menjadi  sebuah  sinyal  hampiran beresolusi rendah dan barisan sinyal detil yang beresolusi lebih tinggi. Lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1: Bagan dekomposisi sinyal dengan transformasi wavelet (a) operator analisis (b) operator sinpenelitian Misalkan diberikan sinyal input x , yang berupa gambar, suara maupun pola. Sinyal ini didekomposisikan menggunakan transformasi wavelet sehingga didapat sinyal hampiran dinotasikan  sebagai x dan  sinyal  detail  dinotasikan  sebagai y .  Selanjutnya,  sinyal tersebut  juga  didekomposisikan  kedalam dan .  Transformasi  ini  dilakukan  terus
menerus  sampai  dekomposisi  ke- ,  yang  hasilnya  didapat dan .  Secara  umum  proses
ini dapat ditulis dalam bentuk
→ { , } → { , , } → ⋯ → { , , , ⋯ , }
Heijmans  dalam  penelitiannya  [2,3]  menjelaskan  bahwa  wavelet  morfologi  adalah bentuk  transformasi  wavelet  menggunakan  operator  aljabar  max  atau  min[10].  Dalam penelitiannya  ini  dia  menjelaskan  dua  skema  dalam  dekomposisi  wavelet  yaitu coupled wavelet decomposition (skema yang digunakan pada penelitian ini) dan uncoupled wavelet decomposition.  Dalam  skema coupled  wavelet  decomposition,  dia  menjelaskan  bahwa terdapat  dua  analisis operator,  satu  untuk  signal ( ↑ ) dan  satu  untuk  detail ( ↑ ) dan  satu operator sinpenelitian ( Ψ ↓ ) . Dengan pemetaan operatornya adalah sebagai berikut ↑ : → ↑ : → Ψ ↓ : × →
Dengan = 0,1,2, ⋯ dan , menyatakan ruang sinyal. Selain itu operator tersebut harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut Ψ ↓ ↑ , ↑ = , untuk ∈ (1) ↑ Ψ ↓ , = , untuk ∈ (2) ↑ Ψ ↓ , = , untuk ∈ (3)
Dari  dasar  matematika  morfologi  yang  dikemukakan  oleh  Heijmans[2]  diatas, Nobuhara[7] mengkonstruksi transformasi MP-Wavelet. Namun dalam papernya dia hanya menuliskan transformasinya saja, tanpa menjelaskan secara terperinci penurunan formulasi transformasi MP-Wavelet yang dia dapat. Karena itu dalam penelitian Dinarina[1] berusaha menjelaskan transformasi ini secara analitik, namun dia mengalami kendala dengan adanya floating point. Dengan adanya permasalahan ini dalam penelitian ini akan diuraikan secara analitik mengenai  MP-Wavelet  dan  akan  dianalisis  sifat-sifat  yang  ada  pada  transformasi MP-Wavelet dalam pengolahan citra digital.
Pada penelitian Nobuhara[7] dikonstruksi dua tipe MP-Wavelet yang disebut dengan MP-Wavelet  tipe  I  dan  tipe  II.  Pada  papernya  Nobuhara  mengimplementasikan  MP- Wavelet yang telah dikonstruksi pada proses pemampatan citra. Namun sebelum masuk ke
proses  tersebut  Nobuhara  terlebih  dahulu  memperlihatkan  hasil  dekomposisi  citra  dengan menggunakan sampling  window 2 × 2 .  Dari  hasil  simulasi  pada  pemampatan  citra, Nobuhara menyimpulkan bahwa MP-Wavelet tipe II menghasilkan rekonstruksi citra lebih baik daripada rekonstruksi citra dengan menggunakan MP-Wavelet tipe I. Namun wavelet Haar masih menghasilkankan rekonstruksi lebih baik daripada kedua tipe tersebut.
Pada  penelitian  ini  juga  dilakukan  simulasi  pemampatan  citra  dengan  menggunakan MP-Wavelet  hasil  konstruksi  dari  penelitian  ini.  Pada  tahap  simulasi  dari  penelitian  ini digunakan  komputer  dengan  spesifikasi  RAM  2GB,  OS  64  byte,  processor  Intel  Celeron dan dengan CPU 1000M. Kemudian pada pemampatan citra ini terdapat proses penerapan zero thresholding.

## 3 Hasil Dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  akan  dilakukan  konstruksi  MP-Wavelet  dan  selanjutnya  dilakukan analisis  sifat-sifat  MP-Wavelet dari  hasil  konstruksi  dengan  melakukan  serangkaian simulasi pada pemampatan. Berikut pembahasan mengenai konstruksi MP-Wavelet.

## 3.1 Konstruksi Transformasi Wavelet
Pada  bagian  ini  dilakukan  konstruksi  MP-Wavelet.  Ide  dasar  konstruksi  ini  adalah  dua persamaan yang berlaku dalam operasi aljabar max-plus, yaitu
( ⊕ ) ⊘ [( ⊘ ) ⊕ 0] = (4) ⊕ ⊘ ( ⊘ ) ⊕ = (5) MP-Wavelet tipe B dengan kanal Pada  bagian  ini  dikonstruksi  transformasi ↑ , ↑ , ↑ , ↑ , Ψ ↓ dan Ψ ↓ dengan pemetaannya  adalah ↑ : → , ↑ : × → , ↑
: → , ↑ : × → , Ψ ↓ : × → × , Ψ ↓ : × → .  Dengan
merupakan  ruang  sinyal ℤ ke ℤ dan merupakan  ruang  sinyal ℤ ke ℤ dan  juga merupakan bilangan bulat tak negatif.  Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.
Pada  Gambar  2  terlihat  bahwa  input  dari ↑ merupakan  sinyal dan  outputnya  adalah
.  Dan  pada  (Gambar  2)  terlihat  bahwa  input ↑ merupakan  sinyal dan  outputnya adalah , , , , ⋯ , , . Berdasarkan hal tersebut disusun operator analisis sebagai berikut:
↑ [ ] = [ + ] = [ ]
(6) ↑ [ ] = [ ] = , [ ],
, [ ], ⋯ , ,
[ ]
= , ↑ [ ], , ↑ [ ], ⋯ , , ↑ [ ] , (7)
dengan
, ↑ [ ] = [ + ] ⊘ [ ] = , [ ].
Gambar 2. Bagan dekomposisi sinyal dengan transformasi MP-Wavelet Tipe B dengan kanal (a) operator analisis (b) operator sintesis
Pada  (Gambar  2)  terlihat  bahwa  input  dari ↑ merupakan  sinyal dan , , , , ⋯ , ,
dan outputnya adalah
yaitu merupakan sinyal hampiran. Dan pada  Gambar  2  terlihat  bahwa  input  dari ↑ merupakan  sinyal dan , , , , ⋯ , ,
dan  outputnya  adalah , , , , ⋯ , , yang  merupakan
sinyal detil. Berdasarkan hal tersebut disusun operator analisis sebagai berikut:
↑ , [ ] = [ ] = [ ] (8)
↑ , [ ] = [ ]
= , [ ],
, [ ], ⋯ , , [ ]
= , ↑ , [ ], , ↑ , [ ], ⋯ , , ↑ , [ ] (9)
dengan , ↑ , [ ] = , [ ] = , [ ] , ↑ , [ ] = , [ ] ⊘ , [ ] = , [ ], = 2, 3, ⋯ , − 1
Pada (Gambar 2) terlihat bahwa input dari Ψ ↓ terdiri dari dua bagian yaitu sinyal hampiran
dan detil , , , , ⋯ , , dan outputnya adalah dan , , , , ⋯ ,
, .  Berdasarkan  hal  tersebut  disusun  operator  sintesis  sebagai berikut:
Ψ ↑ , [ ] = ( [ ], [ ])
=
, [ ], , [ ], ⋯ , , [ ] = , (Ψ , ↓ , [ ], Ψ , ↓ , [ ], ⋯ , Ψ , ↓ , [ ]
(10)
dengan
Ψ , ↓ , [ ] = , [ ] ⊘ ( , [ ] ⊕ 0) Ψ , ↓ , [ ] = Ψ , ↓ , [ ] ⊗ , [ ], = 2, 3, ⋯ , − 1
Pada (Gambar 2) terlihat bahwa input dari Ψ ↓ terdiri dari dua bagian yaitu sinyal hampiran
dan  detil , , , , ⋯ ,
, dan  outputnya  adalah .  Berdasarkan  hal  tersebut disusun operator sintesis sebagai berikut:
Ψ ↓ , [ ] = [ ] ⊘ ( , [ ] ⊕ 0) (11) Ψ ↓ , [ + ] = Ψ ↓ , [ ] ⊗ , [ ], = 2, 3, ⋯ , − 1 (12) Dengan , , ∈ , , , ∈ dan , , ∈
.  Berdasarkan konstruksi  transformasi  diatas  (Persamaan  9,  10,  11,  12,  13,  14),  berikut  disusun  suatu proposisi mengenai transformasi wavelet.
Proposisi  1. Operator  analisis  dan  sintesis  yang  didefinisikan sebagai ↑ = ↑ ∘ ↑ , ↑ = ↑ ∘ ↑ dan Ψ ↓ = Ψ ↓ ∘ Ψ ↓ dengan ↑ = ( ↑ , ↑ ) dan  operator ↑ , ↑ , ↑ , ↑ , Ψ ↓ dan Ψ ↓ pada Persamaan  (6),  (7),  (8).  (9),  (10),  (11)  dan  (12)  merupakan transformasi wavelet yaitu memenuhi Persamaan (1), (2) dan (3).

## 3.2 Simulasi Pemampatan Citra Menggunakan MP-Wavelet
Pada  bagian  ini  dibagi  menjadi  tiga  subbagian  yaitu  yang  pertama  simulasi dekomposisi  dari  citra  kemudian  yang  kedua  kegunaan  MP-Wavelet  pada  pemampatan citra. Selanjutnya  yang terakhir adalah analisis running time pada setiap tipe MP-Wavelet. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada uraian berikut.

## 3.2.1 Penggunaan MP-Wavelet Pada Pemampatan Citra
Pada  bagian  ini  dilakukan  simulasi  pada  pemampatan  citra.  Simulasi  ini menggunakan  citra gray  scale yaitu  citra  “lena”.    Pada  tahap  simulasi  ini  citra  tersebut dirubah  nilai  bppnya  yaitu  mulai  dari  1  sampai  dengan  8  dengan  penambahan  bppnya sebesar 7 × 10 sehingga  tiap  jenis  citra  dirubah  menjadi  sebanyak  1000  citra  yang berbeda  dalam  hal  nilai  bppnya.  Kemudian  hasil  simulasi  dari  citra  dihitung  PSNR  untuk setiap nilai bpp, sehingga didapatkan nilai PSNR untuk setiap nilai bpp. Hasil perhitungan ini  yang  akan  diplotkan  untuk  melihat  sifat  dari  tiap  tipe  MP-Wavelet  pada  pemampatan citra.
Berdasarkan  hasil  simulasi  paga  Gambar 3 dapat  disimpulkan  bahwa  untuk  MP- Wavelet tipe B hasil terbaik terjadi ketika sampling window 2 × 2 dan bpp lebih besar dari 5. Sehingga dari hasil ini dapat direkomendasikan bahwa untuk MP-Wavelet tipe B ini bisa digunakan untuk pemampatan citra dengan hanya menggunakan bpp=5.
Kemudian  dilakukan  simulasi  dengan  membandingkan  hasil  rekonstruksi  dari  MP- Wavelet  tipe B,  MP-Wavelet  tipe  I dan  tipe  A yang  dikonstruksi  oleh  Fahim, dan MP- Wavelet tipe I yang dikonstruksi oleh Nobuhara. Untuk perbandingan hasilnya dapat dilihat pada Gambar 4.
Berdasarkan  Gambar 4 terlihat  bahwa  MP-Wavelet  tipe B yang  telah  dikonstruksi pada  penelitian  ini  menghasilkan  rekonstruksi  citra  lebih  baik  daripada  rekonstruksi menggunakan MP-Wavelet tipe I oleh Nobuhara dan Fahim. Untuk hasil rekonstruksi citra dapat  dilihat  pada  Gambar 5,  yaitu  secara  visual  hasil  rekonstruksi  tersebut  tidak  ada perbedaan dengan citra awal.
Gambar 3. Grafik  bpp-PSNR dari citra “lena” sebagai  perbandingan  hasil  pemampatan antar MP-Wavelet tipe B berdasarkan ukuran sampling window.
Gambar 4. Grafik  bpp-PSNR  citra “lena” sebagai  perbandingan  hasil  pemampatan  antar MP-Wavelet tipe B dan MP Wavelet tipe I dan tipe A dari Fahim dan Nobuhara, 2010.
Gambar 5. Rekonstruksi citra menggunakan sampling window 2 × 2 bpp=8 dengan (a) Citra  Awal  “lena”    berukuran 512 × 512 pixel  (b)  Citra  hasil  rekonstruksi  “lena”, PSNR=29.057 dengan rasio kompresi 32,6%

## 4 Kesimpulan Dan Saran
Pada  penelitian  ini  berhasil  dikonstruksi  MP-Wavelet  tipe B.  Kemudian  dari  hasil simulasi didapatkan bahwa MP-Wavelet tipe B yang telah dikonstruksi pada penelitian ini menghasilkan  rekonstruksi  citra  lebih  baik  daripada  rekonstruksi  menggunakan  MP- Wavelet  tipe  I  oleh  Nobuhara  dan  Fahim. Pada  penelitian  ini  untuk  menganalisis  sifat transformasi  MP-Wavelet dilakukan  secara  simulasi.  Untuk  itu  diharapkan  penelitian selanjutnya agar hasilnya lebih akurat, yaitu analisis sifatnya dilakukan secara analitik.
(b) (a)

## 5 Daftar Pustaka
[1] Dinarina, H., Komputasi dekomposisi wavelet Haar berbasis aljabar max-plus, thesis, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2011.
[2] Heijmans,  H.J.M.  dan  Goutsias,  J,  Nonlinear  multiresolution  signal  decomposition schemes - Part II: Morphological wavelets, IEEE Transaction on Image Processing 9 (11)1897-1913, 2000.
[3] Heijmans, H.J.M.,Morphological Image Operators, Academic Press, 1994.
[4] Kistosil,  F.  dan  Mahmud,  Y., Konstruksi  Transformasi  Wavelet  Menggunakan Operator  Dalam Aljabar  Maxplus, Prosiding  Seminar  Nasional  Pendidikan  Sains Tahun 2014 “Inovasi Pendidikan Sains dalam Menyongsong Pelaksanaan Kurikulum 2013” , Surabaya, 2014.
[5] Loia, V.  dan  Sessa,  S.,  Fuzzy  relation  equations  for  coding/decoding  processes  of images and videos, Information Sciences 171 145-172, 2005.
[6] Nobuhara, H. dan Pedrycz, W., Fast solving method of fuzzy relational equation and its  application  to  lossy  image  compression/reconstruction,  IEEE  Transactions  on Fuzzy Systems 8 (3) 325-334, 2000.
[7] Nobuhara,H.,  Trieu,  D.B.K.,  Maruyama,  T.  dan  Bede,  B.,  Max-Plus  algebra-based wavelet  transform  and  their  FPGA  implementation  for  image  coding,  Sciencedirect Information sciences 180 3232-3247, 2010.
[8] Kistosil,  F.  dan  Mahmud,  Y., Konstruksi  Transformasi  MP-Wavelet  Tipe  A, Prosiding Seminar Nasional “Konferensi Nasional Matematika 17” , Surabaya, 2014.
[9] Subiono, Aljabar  Max-plus  dan  Terapannya, Buku  Ajar  Mata Kuliah Pilihan Pasca Sarjana Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,Surabaya, 2012.
[10] Xiang,J.Z.  dan  Ramadge,P.J.,Morphological  Wavelets  and  The  Complexity  of Dyadic  Trees,  Dept  of  Electrical  Engineering,  Pricenton  University,  Priceton  NJ, 2010.
[11] Yunus, M., Buku Ajar Mata Kuliah Analisis Wavelet, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2010.