## PROFIL KEMAMPUAN PENALARAN DEDUKTIF MAHASISWA PADA MATERI RUANG VEKTOR

## Palupi Sri Wijayanti
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UPY
Jl. PGRI I Sonosewu No. 117, Yogyakarta, palupi@upy.ac.id

## ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui profil kemampuan penalaaran deduktif mahasiswa pada materi  ruang  vektor.  Kemampuan  penalaran  deduktif  mahasiswa  perlu  dikembangkan  untuk memberikan  pengalaman  dalam  membuktikan  suatu  teorema  yang  sering  ditemukan  dalam perkuliahan  matematika.  Penalaran  deduktif  adalah  proses  berfikir  yang  berawal  dari  pembuktian pernyataan-pernyataan khusus untuk diambil suatu kesimpulan secara general. Jenis penelitian ini adalah  deskriptif  kuantitatif  dan  kualititatif.  Penelitian  dilakukan  pada  semester  gasal  di  program studi pendidikan matematika Universitas PGRI Yogyakarta. Instrumen penelitian yang digunakan adalah soal tes penalaran deduktif. Pengolahan data dilakukan secara deskriptif dengan dua macam yaitu  kualitatif  dan  kuantitatif.  Pengolahan  data  kuantitatif  dilakukan  dengan  mencari  rata-rata, modus,  dan  persentase  kelulusan  kompetensi  mahasiswa.  pengolahan  data  kualitatif  dilakukan dengan  mengkonversi  data  kuantitatif  ke  indikator  penalaran  deduktif  sehingga  diperoleh kategosisasi  kemampuan  penalaran  deduktif  mahasiswa.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa profil  kemampuan  penalaran  deduktif  mahasiswa  pada  materi  ruang  vektor  adalah  21%  berada pada kategori rendah, 46% berkategori sedang, dan 33% berkategori tinggi.
Kata Kunci : profil kemampuan, penalaran deduktif, ruang vektor.

## ABSTRACT
The aim of this is to determine the profile of students’ deductive reasoning ability on vector space chapter. Students’ deductive  reasoning abilities must develop to enhance students’ experiences to prove a theorem that is often found in mathematics teaching and learning. Deductive reasoning is a process of reasoning that begins with the proof of specific statements to take a general conclusion. The type of this research is descriptive quantitative and qualitative. The research was conducted in the  first  of  the  year  grade  in  mathematics  education  study  program,  PGRI  University  of Yogyakarta. The instruments of this research use a deductive  reasoning test. Analysis of data use descriptive analysis in qualitative and quantitative. The quantitative data is used to find the mean, mode,  and  percentage  of  students'  competencies.  The  qualitative  data  is  used  to  show  the categorization  of  students  deductive  reasoning  ability.  The  results  of  this  study    is  the  profile  of students  deductive  reasoning  ability  on  vector  space  chapter  is  21%  is  in  low  category,  46%  is moderate category, and 33% high category.
Keywords: skills profile, deductive reasoning, vector space.

## PENDAHULUAN
Kegunaan
pembelajaran matematika yang diperoleh mahasiswa di kelas  dapat  dirasakan  secara  langsung berupa  pengembangan  proses  bernalar. Proses  bernalar  dapat  disamakan  dengan proses berfikir seseorang. Terdapat beberapa  macam  jenis  proses  bernalar yaitu:  berfikir  abstrak,  berfikir  induktif, berfikir  deduktif,  berfikir  analogi,  dan berfikir integratif (Sari, 2016). Perkuliahan matematika merupakan proses pembelajaran yang juga menggunakan  proses  penalaran.  Pada pembuktian suatu pernyataan yang belum diketahui nilai kebenarnnya dapat diselesaikan  dengan  salah  satu  metode penalaran yaitu penalaran  deduktif.
Penalaran deduktif cenderung mengandalkan logika dalam membuktikan kebenaran suatu
pernyataan  (Hernadi,  2008).  Menurut Soedjadi, dalam pembelajaran matematika  pola  pikir  deduktif  sangatlah penting  dan  merupakan  salah  satu  tujuan bersifat formal yang memberikan tekanan kepada penataan nalar (Sukayasa, 2009).
Penalaran deduktif
yang dilatihkan pada mahasiswa saat perkuliahan  akan  memberikan  dampak yang  baik  bagi  perkembangan  logika
mahasiswa. Langkah-langkah pembuktikan  yang  runtut  dan  sesuai teorema  atau  aksioma  mengajarkan kepada mahasiswa untuk dapat mematuhi aturan  dan  memutar  pikirian  untuk membuktikan  kebenaran  akisoma  dan teorema.  Pengalaman  untuk  mengubah- ubah  simbol  dan  mengolah  operasi  yang bersesuaian  dengan  teorema  dan  prinsip himpunan bilangan menambah kemampuan  dan  pengalaman  mahasiswa dalam  memanggil  memori,  mengaitkan prinsip,  serta  fakta  yang  ada  pada matematika yaitu ruang vektor.
Pembelajaran  matematika  pada mata  kuliah    aljabar  linear  dalam  materi ruang  vektor  mengajarkan  mahasiswa untuk  mengembangkan  proses  bernalar deduktif.  Proses  bernalar  deduktif  yang dikembangkan dilakukan dengan mengajak  mahasiswa  untuk  mencari kebenaran  suatu  pernyataan.  Pernyataan yang  diberikan  merupakan  permasalahan ruang  vektor  yang  harus  dibuktikan apakah  benar  pernyataan  tersebut  adalah ruang vektor atau bukan.
Pada  materi  ruang  vektor  umum terdapat  pernyataan  bahwa  semua  benda u , v , w pada V dan  oleh  semua  skalar k dan l ,  maka  akan  dikatakan V sebagai suatu  ruang  vektor  ( vector  space )  dari
semua  benda  pada V apabila  memenuhi
sepuluh aksioma (Anton, 1987). Permasalahan  yang  diperoleh  mahasiswa dilanjutkan  untuk  membuktikan  suatu ruang  vektor  yang  harus  menunjukkan terpenuhinya  aksioma-aksioma  sebagai syarat  ruang  vektor.  Metode  pembuktian ini  disebut  sebagai  metode  penalaran deduktif.  Jacobs  menyatakan  bahwa “ deductive  reasoning  is  a  method  of drawing  conclusions  from  facts  that  we accept  as  true  by  using  logic (penalaran deduktif  adalah  suatu  cara  penarikan kesimpulan  dari  pernyataan  atau  fakta- fakta  yang  dianggap  benar  dengan menggunakan logika) (Sukayasa, 2009).
Pembuktian sepuluh aksioma ruang vektor umum yang telah dilakukan mahasiswa terkadang tidak semua jawaban  ataupun  langkah  pembuktian yang benar sehingga menyebabkan penarikan kesimpulan tidak sesuai dengan  definisi  ruang  vektor.  Hal  ini sering  dialami  mahasiswa  dan  terkadang pula sudah benar mengoperasikan simbol-simbol pada operasi yang bersesuaian namun belum tepat menentukan  kesimpulan  apakah  aksioma terpenuhi atau tidak sehingga kesimpulan umum  yang  dibuat  juga  keliru.  Oleh karena  itu,  pembelajaran  matematika
yang  mengajarkan  dalam  melogika  di setiap  langkah  penyelesaian  pembuktian dapat  melatih  kemampuan  penalaran mahasiswa untuk menunjukkan terpenuhinya aksioma secara empiris dan logis dalam menarik kesimpulan general.
Menurut Sternberg, penalaran deduktif  merupakan  proses  penalaran yang  bertujuan  untuk  mencapai  tujuan tertentu  berkaitan  dengan  satu  atau  lebih pernyataan  umum  mengenai  apa  yang diketahui.  Sebanding  dengan  pernyataan Sumaryono  yang  mengemukakan  bahwa penalaran  deduktif  menunut  penarikan kesimpulan  yang  berasal  dari  hal-hal yang  bersifat  umum  kepada  hal-hal  yang bersifat khusus. Tim PPPG juga menyatakan  hal  yang  sejalan  bahwa penalaran  deduktif  adalah  penarikan kesimpulan  yang  prosesnya  melibatkan teori atau rumus matematika lainnya yang sebelumnya sudah dibuktikan kebenarannya (Nike K, 2015).
Dengan demikian penalaran deduktif adalah penalaran yang menunjukkan  langkah  logis  suatu  bukti untuk  pengambilan  kesimpulan  yang bersifat  umum.  Pengambilan  kesimpulan didasarkan  pada  bukti-bukti  beberapa empiris  secara  khusus  yang  kemudian digeneralkan. Indikator kemampuan
penalaran  deduktif  dalam  pembelajaran matematika yaitu: (1)  m elaksanakan perhitungan berdasarkan rumus/aturan matematika  yang  berlaku, (2)  menarik kesimpulan  berdasarkan  aturan  inferensi , (3)  membuktikan  secara  langsung,  (4) membuktikan  secara  tidak  langsung,  (5) membuktikan  dengan  induksi  matematik (Sumarno,  2016).  Pada  materi  ruang  vektor, indikator  kemampuan  penalaran  deduktif yang diigunakan adalah membuktikan secara langsung  karena  akan  mengajarkan  untuk membuktikan terpenuhinya sepuluh aksioma. Indikator  jawaban  yang  digunakan  untuk menentukan  perolehan  skor  antara  lain: penggunaan simbol matematika, operasi yang bersesuaian  dengan  aksioma,  kelengkapan sifat aksioma,  dan pernyataan kembali untuk menginterpretasikan ke masalah semula.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  termasuk  dalam jenis  penelitian  deskriptif  kuantitatif  dan kualitatif.  Waktu  dan  lokasi  pelaksanaan penelitian  adalah  pada  tahun  2017 semester gasal di program studi pendidikan matematika Universitas PGRI Yogyakarta.  Populasi  penelitian  adalah mahasiswa  angkatan  2016  dan  sampel penelitian  adalah  kelas  A1.  Instrumen penelitian yang digunakan adalah soal tes penalaran  deduktif.  Pengolahan  data dilakukan  secara  deskriptif  dengan  dua
macam  yaitu  kualitatif  dan  kuantitatif. Pengolahan  data  kuantitatif  dilakukan dengan  mencari  rata-rata,  modus,  dan persentase kelulusan kompetensi mahasiswa.  pengolahan  data  kualitatif dilakukan  dengan  mengkonversi  data kuantitatif ke indikator penalaran deduktif  sehingga  diperoleh  kategosisasi kemampuan penalaran deduktif mahasiswa.
Prosedur penelitian yang dilakukan  adalah  tahap  awal,  inti,  dan akhir.  Tahap  awal  memuat  langkah pengkondisian  kelas  sampel  dengan mengasumsikan  kompetensi  awal  ruang vektor  yang  dimiliki  mahasiswa  adalah homogen.  Pada  tahap  inti  dilakukan dengan  mempersiapkan  penyajian  materi dan  instrumen  pengambilan  data.  Tahap akhir  yaitu  pengolahan  data  kuantitatif dan  data  kualitatif.  Pengolahan  data kuantitatif didasarkan pada rubrik penskoran kemampuan penalaran deduktif sebagai berikut.
Tabel 1 . Rubrik Skor Penalaran Deduktif
Indikator jawaban skor (A) Tidak ada jawaban 0 (B) Menyatakan  data/pernyataan yang  akan  dibuktikan  dalam bentuk simbol matematika. 0 – 3 (C) Menyusun  model  matematika masalah  dan  pernyataan  yang akan  dibuktikan  berdasarkan kelengkapan sifat aksioma 0 – 3
(D) Mengidentifikasi aksioma yang  menjadi  syarat  ruang vektor umum. 0 – 3 (E) Melaksanakan  operasi-operasi matematika yang relevan disertai dengan penjelasan/alasan untuk memperoleh  pernyataan  bukti terpenuhi 0 – 3 (F) Menyatakan  kembali  bukti  ke dalam  bentuk  kalimat  biasa yang menunjukkan generalisasi 0 – 3 Total 15 Pengolahan data kualitatif
didasarkan pada kriteria kategori kemampuan  dalam  hasil  belajar  karena kemampuan  penalaran  deduktif  termasuk dari  bagian  dari  kemampuan  dalam  hasil belajar yang telah dimodifikasi.
Tabel 2 . Kategori perolehan skor Skor (s) Tingkat kemampuan s  ≥ 80 Tinggi 60 ≤ s < 80 Sedang s < 60 Rendah

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Setelah dilakukan analisis deskriptif  kualitatif  dan  kuantitatif  profil kemampuan  penalaran  deduktif  yang diperoleh  mahasiswa  kelas  A1  disajikan berdasarkan grafik berikut.
Gambar  1 .  Diagram  prosentase  profil kemampuan penalaran deduktif mahasiswa
Skor  minimum  sebagai  standar kelulusan  kompetensi  di  Program  Studi Pendidikan  Matematika  UPY  adalah  60. Batas minimum memperoleh skor tertinggi  adalah  80.  Berdasarkan  hasil penilaian  yang  diperoleh  mahasiswa menunjukkan  selisih  yang  tidak  terlalu besar  antara  prosentase  kategori  tinggi, sedang,  maupun  rendah  yaitu  sekitar  13- 18%.  Hal  ini  dapat  dianalisis  dan  ditarik suatu kesimpulan bahwa tingkat pemahaman  mahasiswa  yang  masih rendah bisa ditingkatkan dengan memberikan  waktu  tambahan  dan  tugas tambahan  sebagai  pengulangan  dalam memperdalam  materi  pembuktian  ruang vektor umum.
Profil kemampuan penalaran deduktif  mahasiswa  pada  materi  ruang vektor juga dilakukan berdasarkan
33% 46% 21% Tinggi Sedang Rendah
analisis  yang  dilihat  dari  setiap  indikator jawaban  pada  rubrik  skor.  Berikut  data perolehan skor penalaran deduktif dengan aspek  membuktikan  secara  langsung berdasarkan indikator jawaban mahasiswa dengan skor 0, 1, 2, dan 3..
Gambar  2. Diagram  perolehan  skor yang  disesuaikan  dengan indikator jawaban
Berdasarkan Gambar 2 menunjukan bahwa banyaknya
mahasiswa yang tidak menjawab (indikator A) pada soal pembuktian ruang vektor  umum  adalah  tidak  ada  seorang pun. Ini menunjukkan bahwa pemahaman  mahasiswa  tentang  ruang vektor  sudah  ada  dan  sudah  memahami konsep  dasar  ruang  vektor.  Pada  tipe indikator  jawaban  B  yang  menyatakan data/pernyataan  yang  akan  dibuktikan dalam bentuk simbol matematika, banyaknya mahasiswa yang telah menguasai  kompetensi  ini  ada  37 mahasiswa  yang  menunjukkan  hampir sebagian besar mahasiswa telah
menguasai  kompetensi  tersebut.  Hal  ini ditunjukkan  dari  jawaban  mahasiswa yang  telah  mampu  mengambil  suatu premis  yang  sesuai  dengan  pernyataan pada  soal  yang  diberikan.  Mahasiswa telah dapat  menunjukkan premis tersebut menggunakan  simbol  matematika  sesuai dengan  prinsip  matematika  yang  berlaku seperti  ruang  vektor  R n ,  M mxn ,  P(x), ataupun  yang  lain.  Sedangkan  perolehan skor 2 untuk indikator B hanya terdapat 2 mahasiswa  yang  memperoleh  skor  2 tersebut.
Hal  di  atas  menunjukkan  bahwa hanya ada sedikit mahasiswa yang belum sempurna menggunakan simbol matematika  berdasarkan  operasi  yang diminta  pada  persoalan  yang  sedang dihadapi.  Perolehan  skor  1  dan  0  tidak ada satupun mahasiswa yang memperolehnya sehingga ini dapat menjelaskan bahwa pemahaman mahasiswa  sebagian  besar  telah  baik hanya  masih  bingung  dalam  menentukan pilihan  simbol  yang  baik  digunakan. Kejadian yang hampir sama juga ditunjukkan  pada  indikator  jawaban  tipe D  yaitu  mengidentifikasi  aksioma  yang menjadi  syarat  ruang  vektor  umum. Seluruh  mahasiswa  telah  mengetahui terdapat  sepuluh  aksioma  yang  aharus
0 10 20 30 40 A B C D E F B an yakn ya m ah asi swa Tipe Indikator jawaban 0 1
2 3
dibuktikan  namun  terkadang  ada  satu atau  dua  langkah  yang  masih  terlupakan untuk dibuktikan.
Berdasarkan  Gambar  2,  indikator tipe  C  dan  E  menunjukkan  hasil  yang hampir  bersesuaian.  Pada  indikator  C yang  melihat  kemampuan  penalaran deduktif mahasiswa dari proses melaksanakan operasi-operasi matematika  yang  relevan  disertai  dengan penjelasan/alasan untuk memperoleh pernyataan  bukti  terpenuhi.  Dengan melihat Gambar 2, perolehan skor 3 pada indikator  ini  lebih  dari  30  mahasiswa yang  menunjukkan  bahwa  mahasiswa dapat  mengoperasikan  hal-hal  khusus berdasarkan teorema ataupun aturan yang telah berlaku.
Selain  itu,  kemampuan  penalaran deduktif  mahasiswa  yang  dilihat  dari kompetensi menyusun model matematika masalah  dan  pernyataan  yang  akan dibuktikan berdasarkan kelengkapan sifat aksioma  telah  dikuasai  sebagian  besar mahasiswa.  Terbukti  hanya  ada  sedikit atau  hanya  terdapat  kurang  dari  10 mahasiswa  yang  memperoleh  skor  2  dan ini juga dapat menunjukkan skor mahasiswa yang hampir sempurna.
Permasalahan yang menyebabkan kekurangsempurnaan  tersebut  terlihat
dari  kurang  lengkapnya  sifat  aksioma yang bijektif. Sedangkan mahasiswa yang memperoleh  skor  1  disebabkan  oleh terlambatnya  mengikuti  perkuliahan  atau sering tidak hadir sehingga saat latihan di kelas  tidak  mengikuti  bahkan  tugas pendukung  terkadang  tidak  memenuhi. Walaupun demikian, terlambatnya mengikuti  perkuliahan  masih  mendapat sedikit  pengalaman  yang  tidak  komplit sehingga  saat  membuktikan  tidak  genap sepuluh aksioma terlaksana.
Pada  indikator  jawaban  tipe  F yaitu menyatakan kembali bukti ke dalam bentuk  kalimat  biasa  yang  menunjukkan generalisasi  masih  banyak  yang  tidak melakukan.  Sehingga  penilaian  untuk kemampuan  penalaran  deduktif  yang dilihat  dari  penarikan  kesimpulan  untuk generalisasi  masih  cenderung  terlupakan setelah  aksioma-aksioma  ditunjukkan terpenuhi.  Menginterpretasikan  kembali hasil  analisis  khusus  untuk  dilakukan kesimpulan  umum  perlu  ditekankan kepada  mahasiswa  karena  bentuk  umum yang  akan  dibuktikan  harus  sesuai dengan permasalahan yang sedang dihadapi.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan pembahasan,  kesimpualan  yang  dapat diperoleh yaitu profil kemampuan penalaran  deduktif  mahasiswa  pada materi  ruang  vektor  adalah  21%  berada pada  kategori  rendah,  46%  berkategori sedang,  dan  33%  berkategori  tinggi. Rekomendasi yang dapat diberikan untuk pengembangan  kemampuan  penalaran deduktif  mahasiswa  adalah  pemberian waktu  tambahan  di  luar  jam  perkuliahan untuk  menambah  pengalaman  dalam menguraikan langkah-langkah
pembuktian secara deduktif.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton,  H.  (1987). Aljabar  Linear Elementer . Jakarta: Erlangga.
Sari,  D.P.  (2016).  Berpikir  Matematis
dengan Metode Induktif, Deduktif,  Analogi,  Integratif  dan
Abstrak. Jurnal  Matematika  dan Pendidikan  Matematika .  Vol.  5 (1), pp. 79-89.
Hernadi,  J.  (2008).  Metode  Pembuktian
Matematika. Jurnal  Pendidikan Matematika . Vol 2 (1), pp 1-13.
Nike K, M.T. (2015). Penalaran Deduktif
dan Induktif Siswa dalam
Pemecahan Masalah Trigonometri
ditinjau  dari  Tingkat  IQ. Jurnal Apotema . Vol 1 (2), pp 65-75.
Sukayasa. (2009). Penalaran dan Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran  Geometri. Seminar Nasional  Penelitian,  Pendidikan dan Penerapan MIPA . Yogyakarta: 16 Mei. Sumarno, U. (2016). Pedoman Pemberian Skor Pada Beragam Tes Kemampuan  Matematik.  Diakses dari utari-sumarmo.dosen. stkipsiliwangi.ac.id/files/2016/05/
Pedoman-Pemberian-Skor-Tes-
Kemampuan-Berpikir-Matematik- dan-MPP-2016- 1.pdf open_in_new
[20 November 2017]