Copyright© 2024: Author(s) https://ojs3.unpatti.ac.id/index.php/variance/
Submitted: 2024-01-15              Accepted: 2024-03-09 This work is licensed with Lisensi Internasional 4.0 Atribusi Creative Commons-NonCommercial-ShareAlike 4.0.

## PENENTUAN PREMI MURNI DARI DATA KLAIM ASURANSI KENDARAAN RODA EMPAT DENGAN JENIS PERLINDUNGAN COMPREHENSIVE
Determination of Pure Premiums from Four-Wheel Vehicle Insurance Claim Data with Comprehensive Type of Protection
Tiara Yulita 1 *, Mitha Patricia 2 , Agus Sofian Eka Hidayat 3
1,2 Program Studi Sains Aktuaria, Jurusan Sains, Institut Teknologi Sumatera Jl. Terusan Ryacudu, Way Huwi, Kec. Jati Agung, Kabupaten Lampung Selatan, Lampung, 35365 , Indonesia 3 Actuarial Science Department, President University Jl. Ki Hajar Dewantara, Kota Jababeka, Cikarang Baru, Bekasi, 17550, Indonesia
E-mail Corresponding Author : tiara.yulita@at.itera.ac.id
Abstrak: Produk asuransi kendaraan bermotor sudah banyak digunakan oleh banyak orang karena semakin banyak yang membutuhkan untuk meminimalkan risiko yang didapat oleh pihak tertanggung. Sehingga pihak tertanggung  perlu  membayarkan  kewajiban  berupa  premi  serta  mengikuti  syarat  dan  ketentuan  yang  telah disepakati bersama sebelumnya,  untuk  mendapatkan haknya berupa pembayaran klaim ketika terjadi  suatu kejadian  yang  merugikan  tertanggung.  Besarnya  premi  dapat  dilihat  dari  berbagai  faktor  seperti  jenis perlindungannya yaitu Total Loss Only dan Comprehensive , usia kendaraan, riwayat klaim sebelumnya, dan faktor-faktor  lainnya.  Pada  penelitian  ini  perhitungan  yang  dilakukan  adalah  perhitungan  premi  yang menggunakan  data  riwayat  klaim  dari  asuransi  kendaraan  roda  empat  periode  2020-2022  dengan  jenis perlindungan comprehensive dengan  menggunakan  metode compound  model .  Dimana  data  banyak  klaim mengikuti model distribusi Negative Binomial , dan data besar klaim mengikuti model distribusi Lognormal . Selanjutnya  nilai  ekspektasi  dari  kedua  distribusi  ini  akan  dikalikan  untuk  menentukan  premi  murni  dari asuransi kendaraan roda empat.
Kata Kunci: Asuransi Kendaraan Roda Empat, Comprehensive, Data Klaim, Premi.
Abstract: Motor vehicle insurance products are widely used by many people because more and more people need them to minimize the risks faced by the insured party. The insured party needs to pay obligations in the form of premiums and follow the terms and conditions previously agreed upon, to obtain their rights in the form of claim payments when an event occurs that is detrimental to the insured. The amount of the premium can be seen from various factors such as the type of protection, namely Total Loss Only and Comprehensive, vehicle age, previous claim history, and other factors. In this study, the calculations carried out were premium calculations using historical claims data from four-wheeled vehicle insurance for the 2020-2022 period with comprehensive protection type with the compound model method. Where the data for many claims follows the Negative Binomial distribution model, and the data for large claims follows the Lognormal distribution model. Next, the expected values of these two distributions will be multiplied to determine the pure premium for four- wheeled vehicle insurance.
Keywords: Claims Data, Comprehensive, Four Wheel Vehicle Insurance, Premiums.

## 1. PENDAHULUAN
Seiring  pertumbuhan  dalam  industri  otomotif  yang  semakin  pesat,  perkembangan  jumlah  kendaraan bermotor yang ada di Indonesia juga semakin meningkat [1]. Hal ini dikarenakan kendaraan bermotor, baik berupa motor,  mobil,  bus,  dan  lain-lain,  merupakan  suatu  kebutuhan  untuk  menunjang  mobilitas  dari  suatu  tempat  ke tempat lainnya. Peningkatan jumlah kendaraan menyebabkan kondisi lalu lintas semakin padat, serta menimbulkan berbagai risiko seperti kecelakaan, kerusakan, kehilangan, dan risiko-risiko lainnya [2].
Berbagai  risiko  yang  muncul  tentu  saja  merugikan  bagi  pemilik  kendaraan.  Oleh  karena  itu,  untuk mengurangi atau membagi risiko yang mungkin terjadi kedepannya, pemilik kendaraan dapat mengasuransikan
kendaraan bermotor. Sehingga nantinya perusahaan asuransi dapat memberikan suatu manfaat atau benefit sesuai perjanjan apabila terjadi suatu kerugian, dengan syarat pemilik kendaraan, atau yang disebut sebagai tertanggung, harus membayar kewajibannya berupa premi [3].
Pada dasarnya, asuransi merupakan suatu bentuk perlindungan secara finansial yang bertujuan mendapatkan ganti rugi atau manfaat ketika terjadi hal-hal tidak terduga yang tidak diinginkan dan merugikan tertanggung [4]. Dimana  jenis-jenis  asuransi  terbagi  menjadi  dua  yaitu  asuransi  jiwa  dan  asuransi  umum,  baik  berupa  asuransi konvensional  maupun  syariah.  Asuransi  kendaraan  bermotor  digolongkan  sebagai  asuransi  umum  dikarenakan objek  pertanggungan  yang  dijamin  adalah  harta  benda,  dengan  dua  jenis  perlindungan,  yaitu Total  Loss  Only (TLO)  dan Comprehensive .  Pertanggungan  dengan  jenis  TLO  merupakan  suatu  jaminan  perlindungan  untuk kendaraan bermotor apabila kerusakan terhadap kendaraan bermotor di atas 75%. Sedangkan jenis Comprehensive atau All Risk merupakan suatu jaminan perlindungan untuk kendaraan bermotor dengan memberikan penggantian biaya atas risiko-risiko yang terjadi, baik itu risiko ringan, berat, ataupun kehilangan kendaraan. Oleh karena itu, perusahaan membayar semua biaya perbaikan kendaraan dari semua kerugian yang terjadi, asalkan yang bukan disengaja, maka premi yang akan dibayarkan akan lebih mahal dibandingkan premi asuransi dengan perlindungan TLO [5].
Ketika nantinya terjadi suatu kecelakaan atau kerugian, maka tertanggung akan mengajukan klaim kepada perusahaan  asuransi.  Klaim  merupakan  suatu  pengajuan  yang  dilakukan  oleh  tertanggung terhadap  perusahaan asuransi agar perusahaan asuransi dapat membayarkan hak tertanggung berupa manfaat atas kerugian yang terjadi sesuai kesepakatan, setelah menjalankan kewajibannya berupa pembayaran premi [6]. Oleh karena itu perusahaan asuransi yang merupakan pihak yang mengambil alih dan menerima risiko perlu mengantisipasi agar klaim-klaim yang  terjadi  tidak  menyebabkan  kerugian  bahkan  sampai  membuat  kebangkrutan,  dengan  menentukan  premi asuransi yang sesuai dan optimal [7].
Dalam  menentukan  premi  suatu  produk  dari  perusahaan  asuransi,  diperlukan  data-data  seperti  frekuensi klaim, banyak klaim, besar klaim, dan komponen-komponen lainnya. Kemudian data-data tersebut nantinya akan diidentifikasi untuk mencari tahu distribusi yang digunakan [8]. Pada penelitian terdahulu yang dilakukan oleh [9] terkait model distribusi untuk data klaim asuransi mobil dalam menentukan premi murni, didapatkan hasil bahwa data  banyaknya  klaim  berdistribusi  Binomial  Negatif  dengan  distribusi  besar  klaim  adalah  Log-logistik berdasarkan data klaim pada tahun 2018 di suatu perusahaan asuransi mobil cabang Manado. Dikarenakan tidak diketahuinya jenis perlindungan yang digunakan, maka pada penelitian ini akan digunakan data klaim perusahaan asuransi  kendaraan  roda  empat  pada  periode  2020  –  2022  dengan  jenis  perlindungan Comprehensive ,  dimana perusahaan  akan  membayar  semua  klaim  yang  diajukan  nasabah  tanpa  ada  syarat  lebih  lanjut.    Nantinya  akan diperoleh nilai ekspektasi dari setiap distribusi yang mewakili data banyak klaim dan besar klaim yang diperlukan untuk  mencari  premi  murni  asuransi  kendaraan  bermotor,  yaitu  jumlah  uang yang  seharusnya  dibayarkan  oleh pihak  asuransi  atas  kerugian  yang dilindungi  tanpa  memperhitungkan biaya  dan  beban operasional  perusahaan asuransi.

## 2. METODOLOGI

## 2.1. Model Distribusi Banyaknya Klaim
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang berupa data frekuensi klaim, banyak klaim, dan besaran klaim perusahaan asuransi kendaraan roda empat di Indonesia yang didapat dari tahun 2020- 2022. Adapun perlindungan yang diberikan adalah perlindungan Comprehensive .
Tabel 1. Data Frekuensi dan Banyak Klaim Frekuensi Klaim Banyak Klaim 0 676 1 87 2 12 3+ 0 Total 775
2.2. Model Distribusi Banyaknya Klaim

## 2.2.1. Distribusi Negative Binomial
Distribusi Negative Binomial merupakan salah satu distribusi diskrit. Pada distribusi ini, fungsi peluangnya adalah [9]
𝑝 0 = 1 (1 + 𝛽) 𝑟 𝑝 𝑘 = 𝑟 ∙ (𝑟 + 1) … (𝑟 + 𝑘 − 1) ∙ 𝛽 𝑘 𝑘! ∙ (1 + 𝛽) 𝑟+𝑘 ; 𝑘 = 1, 2, … (1)
Keterangan:
𝑝 𝑘 : fungsi peluang diskrit ( Probability Density Function ).
𝑟, 𝛽 : parameter untuk distribusi Negative Binomial.
𝑘 : banyaknya klaim.
Selanjutnya untuk persamaan nilai ekspektasi atau rata-ratanya dan variansnya adalah
𝐸(𝑋) = 𝑟𝛽 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =  𝑟𝛽(1 + 𝛽) (2)

## 2.3. Model Distribusi Besarnya Klaim

## 2.3.1. Distribusi Lognormal
Distribusi Lognormal juga merupakan salah satu distribusi yang cocok untuk data besar klaim. Dimana pada distribusi  ini  terdapat  dua  parameter  yaitu 𝜇 dan 𝜎 .  Adapun  fungsi  peluang  dari  distribusi Lognormal adalah sebagai berikut [9]
𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ∙ 𝜎 ∙ √2𝜋 𝑒 −(ln 𝑥−𝜇) 2 ) 2𝜎 2 (3)
Keterangan:
𝑒 : basis logaritma natural ( 𝑒 = 2,71828 )
𝑥 : besar klaim
𝜇, 𝜎 : parameter distribusi Lognormal
𝜋 : konstanta dalam matematika ( 𝜋 = 22 7 )
Selanjutnya untuk persamaan nilai ekspektasi atau rata-ratanya adalah:
𝐸(𝑋 𝑘 ) =   𝑒 𝑘∙𝜇+ 1 2𝑘 2 𝜎 2 𝐸(𝑋)    =   𝑒 𝜇+ 1 2 𝜎 2 (4)
Kemudian untuk mencari variansinya diperoleh dari:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =   𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋)) 2
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =    𝑒 2𝜇+ 1 2(2 2 )𝜎 2 − (𝑒 𝜇+ 1 2𝜎 2 ) 2 = 𝑒 2𝜇+2𝜎 2 − (𝑒 𝜇+ 1 2𝜎 2 ) 2 (5)

## 2.4. Estimasi Parameter

## 2.4.1. Metode Momen
Metode momen merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan estimasi parameter suatu  distribusi  dengan  mencocokkan  momen-momen  teoritis  dengan  momen-momen  sampel  dari  data  yang
dimaksud.  Adapun  estimasi  dengan  metode  momen  dari  suatu  parameter,  misalnya 𝜃 yang  merupakan  solusi penyelesaian dari persamaan p adalah sebagai berikut [9].
𝜇 ′ 𝑘 (𝜃) =   𝜇 ′ 𝑘 = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑘 𝑛 𝑖=1 (6)
Di mana nilai 𝜇 𝑘 dari suatu data akan dicocokan dengan nilai 𝐸(𝑋 𝑘 ) dari suatu distribusi yang digunakan, agar nantinya diperoleh nilai estimasi parameternya. Namun metode momen tidak selalu memberikan hasil yang baik untuk  estimasi  parameter.  Oleh  karena  itu  dapat  menggunakan  metode  estimasi  parameter  lainnya  seperti Maximum Likelihood Estimation .

## 2.4.2. Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Metode Maximum Likelihood Estimation atau biasa disingkat dengan MLE, merupakan suatu metode untuk menentukan nilai estimasi parameter dari suatu distribusi peluang. Di mana pada metode ini, fungsi likelihood , sebuah fungsi yang dapat menentukan probabilitas suatu nilai terjadi dengan berdasarkan data yang diamati, akan dimaksimumkan  untuk  dapat  menentukan  nilai  estimasi  parameternya.  Adapun  langkah-langkah  dalam menentukan nilai estimasi parameter adalah sebagai berikut [9]:
1. Membentuk fungsi Likelihood.
𝐿(𝜃) = ∏ Pr(𝑋 𝑖 ∈   𝐴 𝑖 | 𝜃) 𝑛 𝑖=1 𝐿(𝜃) = ∏ 𝑓𝑥 𝑖 (𝑋 𝑖 | 𝜃) 𝑛 𝑖=1
(7) 2. Membentuk transformasi terhadap fungsi Likelihood ke dalam bentuk ln.
ln(𝐿(𝜃)) = 𝑙(𝜃) = ln  (∏ 𝑓𝑥 𝑖 (𝑋 𝑖 | 𝜃) 𝑛 𝑖=𝑖 ) 𝑙(𝜃) =   ∑ ln 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑥 𝑖 (𝑋 𝑖 | 𝜃) (8)
3. Turunkan terhadap parameternya agar suatu fungsi dapat dimaksimumkan, maka nilai dari turunannya harus sama dengan nol.
𝑑 𝑑𝜃 𝑙(𝜃) = 0 𝑑 𝑑𝜃 (∑ ln 𝑛 𝑖=1 𝑓𝑥 𝑖 (𝑋 𝑖 | 𝜃)) = 0 (9)
Nantinya hasil dari penurunan ini akan didapatkan nilai estimasi parameter suatu distribusi yang digunakan.
2.5. Uji Kecocokan Model

## 2.5.1. Uji Chi-Square
Uji Chi-Square merupakan salah satu uji kecocokan model yang termasuk uji non parametrik, dimana uji ini  dapat  digunakan  untuk data  yang  berdistribusi  diskrit  seperti  distribusi Poisson dan Negative  Binomial [9]. Adapun langkah-langkah dalam uji Chi-Square antara lain:
1. Menentukan hipotesis yang digunakan
Adapun hipotesis pada uji ini adalah sebagai berikut:
𝐻 0 :  Data mengikuti suatu distribusi tertentu.
𝐻 1 :  Data mengikuti distribusi lainnya.
2. Menentukan  taraf  signifikansi  yang  digunakan,  serta  menentukan  derajat  kebebasan  suatu  data.  Taraf signifikansi merupakan suatu besarnya peluang terjadinya suatu kesalahan. Umumnya taraf signifikansi (α) adalah  sebesar1%,  5%, dan 10%. Hal  ini dikarenakan  semakin  kecilnya  taraf  signifikansi,  berarti  semakin baik  hasil  pengambilan  keputusan  dari  perumusan  hipotesisnya  [10].  Sementara  derajat  kebebasan  atau degree of freedom (df) merupakan jumlah total dari suatu observasi yang dikurangi dengan jumlah batasan independen  yang  dipakai  dalam  suatu  penelitian  atau  observasi.  Adapun  rumus  untuk  mencari  derajat kebebasan pada uji Chi-Square adalah:
𝑑𝑓 = 𝑘 − 1 − 𝑝 (10)
Di mana k merupakan jumlah kumpulan data dan p adalah banyaknya parameter.
3. Menentukan daerah kritis
Penentuan daerah kritis dilakukan untuk menentukan keputusan apakah 𝐻 0 akan diterima atau akan ditolak. Adapun daerah kritis untuk uji Chi-Square adalah:
Tolak 𝐻 0 ketika 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 ≥   𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 (11)
4. Statistik uji Untuk menentukan nilai 𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 harus dilihat dari tabel Chi-Square , dimana:
𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 =   𝑋 𝑑𝑓,α 2 (12)
Sementara untuk mencari 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 adalah:
𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 =   ∑ (𝐸 𝑗 – 𝑂 𝑗 ) 2 𝐸 𝑗 𝑘 𝑗=1 (13)

## 5. Menentukan keputusan
Dalam  menentukan  keputusan,  disesuaikan  dari  nilai 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 dan 𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 .  Di  mana  keputusan 𝐻 0 ditolak ketika 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 ≥   𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 , ataupun 𝐻 0 diterima jika 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 ≤   𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 .

## 6. Menarik kesimpulan
Pada  penarikan  kesimpulan,  akan  disimpulkan  bahwa  data  tersebut  pada  taraf  signifikasi  α  mengikuti distribusi  tertentu  ketika 𝐻 0 diterima.  Sementara  ketika 𝐻 0 ditolak  maka  data  pada  taraf  signifikansi  α mengikuti distribusi lainnya.

## 2.5.2. Uji Anderson-Darling
Uji Anderson-Darling merupakan suatu uji kecocokan model untuk distribusi kontinu. Pada pengujian ini, pendekatan yang dilakukan bervariasi mengikuti distribusi teoritis yang digunakan [11]. Sehingga uji Anderson- Darling menghasilkan  keputusan  yang  lebih  baik  dibanding  uji Kolmogrov-Smirnov .  Namun  data  klaim  yang digunakan pada pengujian ini merupakan data individu yang mempunyai beberapa informasi, sehingga untuk data yang dikelompokkan tidak dapat dilakukan [12]. Adapun langkah-langkah dalam uji Anderson-Darling adalah:
1. Perumusan hipotesis
Adapun hipotesis pada uji ini adalah sebagai berikut:
𝐻 0 :  Data mengikuti suatu distribusi tertentu.
𝐻 1 :  Data mengikuti distribusi lainnya.
2. Penentuan taraf signifikansi
Taraf signifikansi yang biasa digunakan adalah 1%, 5%, dan 10%.
3. Penentuan daerah kritis
Penentuan daerah kritis dilakukan untuk menentukan keputusan apakah 𝐻 0 akan diterima atau akan ditolak. Adapun daerah kritis untuk uji Anderson-Darling adalah tolak 𝐻 0 ketika nilai statistik uji lebih dari nilai kritis dan ketika nilai P-Value lebih dari α.
4. Statistik uji
Adapun statisik untuk Anderson-Darling adalah:
𝐴 2 =   −𝑛 − 1 𝑛 ∑[(2𝑖 − 1)[ ln (𝐹(𝑥 𝑖 ) + ln(1 − 𝐹(𝑥 𝑛−𝑖+1 ))]] 𝑛 𝑖=1 (14)
Dimana nilai kritis untuk uji Anderson-Darling mengacu pada tabel berikut: Tabel 2. Nilai Kritis Uji Anderson-Darling Α 0,01 0,025 0,05 0,10 0,15 Nilai kritis 3,853 3,070 2,492 1,933 1,610

## 5. Menentukan keputusan
Keputusan  ditentukan  berdasarkan  hasil  dari  statistik  uji,  di  mana  tolak 𝐻 0 ketika  nilai  statistik  uji  >  nilai kritis atau 𝐻 0 tidak ditolak ketika nilai statistik uji < nilai kritis.
6. Kesimpulan
Kesimpulan  dibuat  berdasarkan  hipotesis  yang  dirumuskan,  di  mana  ketika 𝐻 0 tidak  ditolak,  berarti  data mengikuti distribusi tertentu. Sebaliknya ketika 𝐻 0 ditolak, berarti data mengikuti distribusi lainnya.

## 2.6. Aggregate Loss
Aggregate loss merupakan suatu total kerugian yang terjadi pada pihak tertanggung atau pemegang polis, di  mana  total  kerugian  tersebut  merupakan  kewajiban  bagi  pihak  perusahaan  asuransi  untuk  menanggungnya dalam  suatu  periode  waktu  tertentu  [13].  Adapun aggregate  loss dimisalkan  dengan  suatu  variabel  acak 𝑆 , kemudian untuk banyak klaim dinyatakan dengan variabel acak 𝑁 , sementara untuk besar klaim dinyatakan dalam variabel acak 𝑋 [9]. Sehingga,
𝑆 = 𝑋 1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑁 , 𝑁 = 0, 1, 2, … (15)
Dimana ketika 𝑁 = 0 maka 𝑆 = 0. Adapun model ini merupakan collective  risk , yang memiliki asumsi sebagai berikut [6]:
1. Dengan 𝑁 = 𝑛 ,  variabel  acak 𝑋 1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 merupakan  suatu independent and  identically  distributed ( i.i.d ) atau berdistribusi identik dan saling bebas.
2. Dengan 𝑁 = 𝑛 , distribusi umum dari suatu variabel acak 𝑋 1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 tidak bergantung dengan n. 3. Distribusi pada variabel acak 𝑁 sama sekali tidak bergantung dengan nilai dari 𝑋 1 + 𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑛 .

## 2.7. Premi Murni
Premi murni merupakan suatu besaran biaya atau kerugian yang digunakan dalam mengukur risiko pada suatu  perusahaan  asuransi.  Premi  murni  merujuk  pada  besaran  biaya  atau  kerugian yang diharapkan  dari  suatu risiko  tertentu,  tanpa  mempertimbangkan  faktor-faktor  lain  seperti  keuntungan  perusahaan,  biaya  administrasi, atau  faktor  investasi  [14].  Diketahui  bahwa 𝑆 merupakan  variabel  acak  dari aggregate  loss ,  kemudian  untuk banyak klaim dinyatakan dengan variabel acak 𝑁 , sementara untuk besar klaim dinyatakan dalam variabel acak 𝑋 . Setiap asumsi yang ada harus terpenuhi untuk dapat dilanjutkan ke dalam Compound Model . Adapun Compound Model dapat  digunakan  dalam  menentukan  nilai  premi  murni  dari  asuransi  kendaraan  khususnya  roda  empat. Dimana persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut [15]:
𝐸(𝑆)   =  𝐸(𝑁) ∙ 𝐸(𝑋) (16)
𝑉𝑎𝑟(𝑆) =  𝐸(𝑁) ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) +  𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑁) (17)
Dimana 𝐸(𝑆) merupakan premi murni, sehingga perlu dibangun model distribusi untuk N dan X agar nantinya dapat diperoleh nilai 𝐸(𝑁) , 𝐸(𝑋) , 𝑉𝑎𝑟(𝑋) , dan 𝑉𝑎𝑟(𝑁) .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Model Distribusi Negative Binomial untuk Data Banyak Klaim
Distribusi yang digunakan untuk data banyak klaim adalah distribusi Negative Binomial dengan parameter 𝑟 dan 𝛽 . Di mana nilai estimasi parameter 𝑟 dan 𝛽 dapat dicari dengan menggunakan metode momen. Dari data diperoleh nilai 𝜇 = 0,143226 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 0,153878 .

## Sehingga
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =  𝑟𝛽(1 + 𝛽) = 0,1538785
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 0,143226(1 + 𝛽) = 0,1538785
𝛽̂ = 0,074375
Setelah mendapatkan nilai 𝛽̂ , selanjutnya dicari nilai 𝑟̂ dari nilai 𝐸(𝑋)
𝐸(𝑋) =  𝑟 ∙ 𝛽 = 0,143226
𝑟̂ = 1,92572.

## 3.2. Model Distribusi Lognormal untuk Data Besar Klaim
Distribusi yang akan digunakan pada data besar klaim adalah distribusi Lognormal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 .  Untuk  mencari  estimasi  parameter 𝜇 dan 𝜎 pada  distribusi Lognormal ,  digunakan  metode  MLE.  Berikut perhitungan yang dilakukan:
1. Membentuk fungsi likelihood
𝐿(𝜇 , 𝜎) = ∏ 1 𝑥 𝑖 ∙ 𝜎 ∙ √2𝜋 𝑒 −(ln 𝑥 𝑖 −𝜇) 2 ) 2𝜎 2 99 𝑖=1 𝐿(𝜇 , 𝜎) = (∏ 𝑥 𝑖 −1 ) (𝜎 −99 )(√2𝜋) −99 𝑒 −1 2𝜎 2 (∑ (ln 𝑥 𝑖 −𝜇) 2 ) 99 𝑖=1 99 𝑖=1 𝐿(𝜇 , 𝜎) = (∏ 𝑥 𝑖 −1 ) (𝜎 −99 )(2𝜋) − 99 2 𝑒 −1 2𝜎 2 (∑ (ln 𝑥 𝑖 −𝜇) 2 ) 99 𝑖=1 99 𝑖=1 2. Bentuk ln dari fungsi likelihood
ln(𝐿(𝜇 , 𝜎)) = ln  ((∏ 𝑥 𝑖 −1 ) (𝜎 −99 )(2𝜋) − 99 2 𝑒 −1 2𝜎 2 (∑ (ln 𝑥 𝑖 −𝜇) 2 ) 99 𝑖=1 99 𝑖=1 ) 𝑙(𝜇 , 𝜎) = − ∑ ln(𝑥 𝑖 ) 99 𝑖=1 − 99ln(𝜎) − 99 2 ln(2𝜋) − 1 2𝜎 2 ∑(ln 𝑥 𝑖 − 𝜇) 2 99
𝑖=1
3. Turunkan terhadap parameter 𝜇 yang disamakan dengan 0 untuk memaksimalkan nilainya
𝑑 𝑑𝜇 𝑙(𝜇 , 𝜎) = 0 − 0 − 0 − 1 2𝜎 2 ∑ (ln 𝑥 𝑖 − 𝜇) (2)(−1)
99
𝑖=1
0 = 1 𝜎 2 ∑(ln 𝑥 𝑖 − 𝜇) 99 𝑖=1 𝜇̂ = 19,77613
4. Setelah memperoleh nilai 𝜇̂ , selanjutnya dicari nilai 𝜎̂ dengan menurunkan fungsi 𝑙(𝜇 , 𝜎) terhadap parameter 𝜎 , yang disamakan dengan 0 untuk memaksimalkan nilainya
𝑑 𝑑𝜎 𝑙(𝜇 , 𝜎) = 0 − 99 𝜎 − 0 − ( 1 2 (− 2 𝜎 3 ) ∑(ln 𝑥 𝑖 − 𝜇) 2 99 𝑖=1 𝑑 𝑑𝜎 𝑙(𝜇 , 𝜎) =   − 99 𝜎 + 1 𝜎 3 (∑(ln 𝑥 𝑖 − 19,77613) 2 99 𝑖=1 ) 99 𝜎 = 1 𝜎 3 (146,1528373)
𝜎̂ = 1,22
Sehingga untuk distribusi Lognormal diperoleh nilai estimasi untuk 𝜇 dan 𝜎 adalah 𝜇̂ = 19,77613 dan 𝜎̂ = 1,22 . Dari nilai estimasi parameter tersebut dapat dicari nilai untuk 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) yaitu :
𝐸(𝑋) = 𝑒 𝜇+ 1 2𝜎 2 = 𝑒 19,77613+ 1 2(1,22 2 ) = 816.330.618
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑒 2𝜇+2𝜎 2 − (𝑒 𝜇+ 1 2𝜎 2 ) 2 = 𝑒 2(19,77613)+2(1,22 2 ) − (816,330,618) 2 = 2,95213408 ∙ 10 18 .

## 3.3. Uji Chi-Square Model Distribusi Negative Binomial
Dari  nilai  estimasi  parameter  distribusi Negative  Binomial ,  akan  dilakukan  uji  kecocokan  model menggunakan metode uji Chi-Square . Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan hipotesis yang digunakan
𝐻 0 = Data banyak klaim mengikuti distribusi Negative Binomial .
𝐻 1 = Data banyak klaim mengikuti distribusi lainnya.
2. Menentukan taraf signifikansi dan derajat kebebasannya Taraf signifikansi (α).  = 5%
Derajat kebebasan (df) = 4-1-2 = 1.
3. Menentukan daerah kritis
Tolak 𝐻 0 ketika 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2
≥   𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 .
4. Statistik uji:
𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 =   𝑋 𝑑𝑓,α 2 = 𝑋 1,0.05 2 = 3,8415
𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 =   ∑ (𝐸 𝑗 – 𝑂 𝑗 ) 2 𝐸 𝑗 𝑘 𝑗=1
Tabel 3. Perhitungan Uji Chi-Square Distribusi Negative Binomial
Banyak Klaim Jumlah Polis 𝑶 𝒋 𝑬 𝒋 (𝑶 𝒋 − 𝑬 𝒋 ) 𝟐 𝑬 𝒋 0 676 676 675,0005 0,00148 1 87 763 764,9852 0,005152 2 12 775 774,0978 0,001051 3+ 0 775 774,0978 0,001051 Total 0,008735
Berdasarkan  perhitungan  yang  telah  dilakukan,  diperoleh  hasil 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 = 0,008735  dengan 𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 = 𝑋 1,0.05 2 = 3,8415.
5. Sehingga didapatkan keputusan bahwa 𝐻 0 tidak ditolak karena
𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 (0,008735 ) ≤   𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 (3,8415)
6. Jadi, dapat disimpulkan bahwa data banyaknya klaim pada taraf signifikansi (α) sebesar 5% dengan derajat kebebasan (df) adalah 1 mengikuti distribusi Negative Binomial .

## 3.4. Uji Anderson-Darling Model Distribusi Lognormal
Pada  distribusi Lognormal ,  diperoleh  nilai  estimasi  parameternya  adalah 𝜇̂ = 19,77613 dan 𝜎̂ = 1,22 . Kemudian  akan  ditentukan  apakah  data  besar  klaim  berdistribusi Lognormal dengan  uji Anderson-Darling . Pengujian ini akan dibantu dengan software Minitab untuk mempermudah. Berikut langkah-langkah uji Anderson- Darling yang dilakukan:

## 1. Perumusan hipotesis
𝐻 0 = Data besar klaim mengikuti distribusi Lognormal .
𝐻 1 = Data besar klaim mengikuti distribusi lainnya.
2. Penentuan taraf signifikansi
Taraf signifikansi (α) yang digunakan adalah sebesar 5%.
3. Penentuan daerah kritis
Tolak 𝐻 0 ketika nilai statistik uji > nilai kritis dan P-Value < α
4. Statistik uji
Adapun nilai kritis pada α = 5% pada uji Anderson darling adalah sebesar 2,492. Kemudian hasil dari analisis uji Anderson-Darling menggunakan Minitab sebagai berikut :
Tabel 4. Hasil Uji Anderson Darling Distribusi Lognormal dengan Minitab
Distribution AD P Lognormal 0,488 0,219
Gambar 1. Probability Plot Data Besar Klaim Distribusi Lognormal
Berdasarkan uji Anderson-Darling dengan Minitab pada distribusi Lognormal , diperoleh nilai statistik uji = 0,488 dengan P-Value = 0,219.
5. Menentukan keputusan
Berdasarkan statistik uji, diperoleh keputusan bahwa 𝐻 0 tidak ditolak karena nilai statistik uji (0,488) < nilai kritis (2,492) dan nilai P-Value (0,219) > α (0,05).
6. Kesimpulan
Sehingga kesimpulan yang diperoleh dari data besar klaim pada taraf signifikansi 5% adalah data besar klaim berdistribusi secara Lognormal .

## 3.5. Perhitungan Premi Murni
Pada  perhitungan  premi  murni,  distribusi  yang  digunakan  untuk  data  banyak  klaim  distribusi Negative Binomial . Karena pada uji Chi-Square , distribusi Negative Binomial terbukti memenuhi syarat. Kemudian pada data  besar  klaim,  distribusi  yang  digunakan  adalah  distribusi Lognormal karena  pada  uji Anderson-Darling diperoleh hasil bahwa distribusi Lognormal memenuhi syarat. Oleh karena itu, dapat ditentukan nilai premi murni menggunakan distribusi Negative Binomial untuk data banyak klaim dengan distribusi Lognormal untuk data besar klaim. Adapun perhitungannya adalah sebagai berikut:

## 𝐸(𝑆) =  𝐸(𝑁) ∙ 𝐸(𝑋)
Di mana 𝐸(𝑆) merupakan premi murni asuransi mobil, 𝐸(𝑁) merupakan ekspektasi banyak klaim berdistribusi Negative Binomial , dan 𝐸(𝑋) adalah ekspektasi besar klaim berdistribusi Lognormal . Sehingga
𝐸(𝑆) = (0,008735) ∙ (816.330.618)
𝐸(𝑆) = 7.130.648
Selain mencari premi murni asuransi mobil, selanjutnya akan dicari juga variansinya. Di mana
𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 𝐸(𝑁) ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) +  𝐸(𝑋) 2 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑁)
𝑉𝑎𝑟(𝑆) = (0,008735) ∙ (2,95213408 ∙ 10 18 ) + (816.330.618) 2 ∙ (0,1538785 )
𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 2,57868911 ∙ 10 16
Jadi, diperoleh hasil bahwa nilai dari 𝐸(𝑆) = 7130648 dan nilai dari 𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 2,57868911 ∙ 10 16 .

## 3.6. Pembahasan
Pada penelitian yang dilakukan terhadap data klaim asuransi kendaraan roda empat dengan perlindungan Comprehensive pada periode 2020-2022, hal yang ingin dicapai adalah menentukan premi murni berdasarkan data klaim tersebut. Adapun distribusi yang digunakan pada penelitian ini adalah distribusi Negative Binomial untuk data  banyaknya klaim  dengan  parameter 𝑟 dan 𝛽 . Di  mana nilai  estimasi  parameter  yang  diperoleh  adalah 𝑟̂ = 1,92572 dan 𝛽̂ = 0,074375 . Selanjutnya dilakukan uji Chi-Square untuk menentukan apakah data tersebut cocok dengan  distribusi  yang  digunakan,  dimana  diperoleh  hasil 𝑋 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 2 (0,008735 ) ≤   𝑋 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 (3,8415) ,  sehingga dapat dikatakan bahwa data banyaknya klaim dengan nilai estimasi parameter yang didapatkan cocok berdistribusi Negative Binomial . Untuk data besaran klaim digunakan distribusi Lognormal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 . Di mana nilai  estimasi  parameter  yang  diperoleh  adalah 𝜇̂ = 19,77613 dan 𝜎̂ = 1,22 .  Selanjutnya  juga  dilakukan pengujian kecocokan model dengan uji Anderson-Darling terhadap data besaran klaim, dengan hasilnya diperoleh nilai statistik uji (0,488) < nilai kritis (2,492) dan nilai P-Value (0,219) > α (0,05). Sehingga dapat disimpulkan bahwa data besaran klaim berdistribusi Lognormal .
Setelah mendapatkan hasil bahwa distribusi yang digunakan cocok dengan data yang tersedia, maka langkah selanjutnya adalah menentukan premi murni dari data. Di mana premi murni dapat dihitung dengan mengalikan nilai ekspektasi dari distribusi Negative Binomial dan distribusi Lognormal . Adapun nilai ekspektasi dari distribusi Negative Binomial adalah 0,143226 , sementara untuk distribusi Lognormal diperoleh nilai ekspektasinya sebesar Rp. 816.330.618 . Sehingga diperoleh hasil nilai premi murni dari asuransi kendaraan bermotor berdasarkan data klaim yang tersedia adalah sebesar Rp. 7.130.648 . Kemudian dihitung juga nilai variansinya dan diperoleh nilai
sebesar 2,57868911 ∙ 10 16 . Dimana nilai variansi ini menunjukan seberapa besar data menyebar dari nilai rata- ratanya.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan  penelitian  yang  telah  dilakukan terhadap  data  klaim  asuransi  kendaraan  roda  empat  dengan perlindungan Comprehensive pada periode 2020-2022 terkait penentuan premi murni, diperoleh kesimpulan:
1. Data banyaknya klaim mengikuti distribusi Negative Binomial dengan parameter 𝑟 dan 𝛽 . Sementara untuk data besarnya klaim mengikuti distribusi Lognormal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 .
2. Adapun nilai estimasi parameter dari data  banyaknya klaim asuransi yang berdistribusi Negative Binomial adalah 𝑟̂ = 1,92572 dan 𝛽̂ = 0,074375 . Kemudian untuk nilai estimasi parameter dari data besarnya klaim asuransi yang berdistribusi Lognormal adalah 𝜇̂ = 19,77613 dan 𝜎̂ = 1,22 .
3. Dengan  diperolehnya  nilai  estimasi  parameter  untuk  setiap  distribusi  yang  digunakan,  maka  nilai  premi murninya Rp. 7.130.648 untuk asuransi kendaraan roda empat dengan jenis perlindungan Comprehesive .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] D. S. Kania and A. K. Mutaqin, "Perhitungan Premi Risiko Asuransi Kendaraan Bermotor Berdasarkan Data Frekuensi dan Besar Klaim," Jurnal Riset Statistika, vol. 2, no. 2, pp. 111-118, 2022.
[2]   I. P. Batubara and R. Syahriza, "Analisis Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor Pada PT Asuransi JASINDO Kantor Cabang Medan," Journal of Social Research, vol. 1, no. 9, pp. 1026-1031, 2022.
[3]   D. Yusuf and A. K. Mutaqin, "Pemodelan Distribusi Pareto untuk Data Besar Klaim Asuransi Kendaraan Bermotor di Indonesia," in Prosiding Statistika , Bandung, 2021.
[4]   B. F. Arianti, Literasi Keuangan (Teori dan Implementasinya), Jawa Tengah: Pena Persada, 2021.
[5]   D.  A.  Utami,  A.  K.  Mutaqin  and  L.  Wachidah,  "Penentuan  Distribusi  Kerugian  Agregat  Tertanggung Asuransi Kendaraan Bermotor di Indonesia Menggunakan Metode Rekursif Panjer," in Prosiding Statistika , Bandung, 2017.
[6]   H. Hodawya, "Lifepal," 3 September 2023. [Online]. Available: https://lifepal.co.id/media/apa-itu-asuransi/. [Accessed 27 September 2023].
[7]   A. Prabowo and S. I. R. Alfaridzi, "Penentuan Tarif Premi pada Asuransi Kendaraan dengan Besar Klaim Berdistribusi Eksponensial dan Gamma," Premium Insurance Business Journal, vol. 10, no. 1, pp. 29-41, 2023.
[8]   T. A. J. Putra, D. C. Lesmana and I. G. P. Purnaba, "Penghitungan Premi Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan  Generalized  Linear  Models  dengan  Distribusi  Tweedie," JAMBURA  JOURNAL  OF MATHEMATICS, vol. 3, no. 2, pp. 115-127, 2021.
[9]   S. A. Klugman, H. H. Panjer and G. E. Willmot, Loss Models From Data to Decisions Fifth Edition, New York: John Willey & Sons, 2019.
[10]  A. Ika, 23 September 2018. [Online]. Available: https://statistikpenelitian.com/taraf-signifikansi-%CE%B1- makna-penggunaan/. [Accessed 14 9 2023].
[11]  M. A. Stephens, The Anderson-Darling Statistic, California: Department of Statistics Stanford, 1979.
[12]  T. Yulita and A. R. Effendie, "ESTIMATION OF IBNR AND RBNS RESERVES USING RDC METHOD AND GAMMA GENERALIZED LINEAR MODEL," Media Statistika, vol. 15, no. 1, pp. 24-35, 2022.
[13]  T. Manurung, "Model Compounds Dalam Menghitung Aggregate Loss," Jurnal Ilmiah Sains, vol. 11, no. 1, pp. 87 - 89, 2011.
[14]  T.  Yulita,  C.  T.  Lubis  and  A.  S.  E.  Hidayat,  "PENENTUAN  PREMI  MURNI  DI  KABUPATEN KEPAHIANG  PROVINSI  BENGKULU  DENGAN  MEMPERHITUNGKAN  PELUANG  KEJADIAN GEMPA  BUMI  DAN  RASIO  KERUSAKAN  BANGUNAN," Variance:  Journal  of  Statistics  and  Its Applications, vol. 5, no. 2, pp. 147-158, 2023.
[15]  C.  K.  Waha,  A.  J.  Rindengan  and  T.  Manurung,  "Model  Distribusi  Data  Klaim  Asuransi  Mobil  untuk Menentukan Premi Murni," d'CartesiaN : Jurnal Matematika dan Aplikasi, vol. 8, no. 2, pp. 108-113, 2019.