## AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE

## SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO

## Saropah
Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com

## ABSTRAK
Salah  satu  kegunaan  yang  terpenting  dari  teori  ring  dan  lapangan  adalah  perluasan  dari  suatu lapangan yang lebih luas sehingga suatu polinomial dapat diketahui mempunyai akar. Dalam penelitian ini peneliti  mengambil  modulo  prima  sebagai  koefisien  yang  mengikuti  peubahnya  yang  akan  dicari  akar- akar  penyelesaiannya  sehingga  dapat  diketahui  perluasan  normalnya.  Suatu  lapangan yang  dikenakan suatu  polinomial  membentuk  himpunan  polinomial
,  di  mana ini  merupakan  lapangan  yang koefisien  suku-sukunya  merupakan  bilangan  modulo  prima.  Dari  himpunan  polinomial  tersebut  ada polinomial yang tidak tereduksi, maka perlu adanya perluasan lapangan untuk mengetahui akar-akar penyelesaiannya.  Misal  perluasan  lapangan  dari adalah  lapangan .  Lapangan  K  disebut  perluasan lapangan  atas  lapangan ,  jika  lapangan merupakan    sublapangan  dari  lapangan dan adalah polinomial tidak tereduksi dalam maka dapat difaktorkan sebagai hasil kali dari faktor linier dalam lapangan pemisahnya. Jika polinomial
mempunyai akar yang berlainan dalam lapangan pemisahnya maka  polinomial  tersebut  disebut  polinomial separable .  Pada  penelitian  ini  polinomial  yang separable adalah polinomial yang berpangkat ganjil di mana koefisien suku-suku dari polinomial ini terdapat dalam perluasan  lapangannya.  Polinomial  ganjil  ini  dinamakan  polinomial separable karena  mempunyai  akar yang  berlainan  dalam  faktor-faktornya  dan  salah  satu  faktornya  terdapat  dalam  polinomial  dalam lapangannya.  Lapangan  pemisah  yang  memuat  semua  himpunan  polinomial separable ini  dinamakan perluasan normal.
Kata kunci : perluasan lapangan, lapangan pemisah, perluasan normal

## ABSTRACT
One of the most important  uses of the  ring and field theory is an  extension  of a broader field so that  a  polynomial  can  be  found  to  have  roots.  In  this  study  researchers  took  modulo  a  prima  as  follows indeterminate coeffcients to search for his roots extension the solutions of that it can seen normal. A field is  subject  to  a  polynomial  form  a  set  of  polynomials
,  where is  a  coefficient  field  its  terms modulo a prime number. Of the set of polynomial exists a polynomial is irreducible, it is necessary to extension the field to know the roots of the solution. Suppose to extension of the field is a field . Field is  called  extension  the  field  over  a  field ,  if  the  field is  subfield  of  the  field and is  irreducible polynomial  in then can  be  factored  as  a  product  of  linear  factors  in  the  splitting  field.  If  the polynomial has different roots in the splitting field  the polynomial is called polynomial separable. In this  study  polynomial  separable  is  contained  of  odd  degree  in  which  the  coefficients  of  the  tribes polynomial is contained in the extension field. Polynomial is called a polynomial separable odd because it has  different  roots  in  the  factors  and  there  is  one  factor  in  a  polynomial  in  the  field.  Splitting  field  that contains all the set of polynomials separable is called normal extension.
Key words: extension field, splitting field, normal extension

## PENDAHULUAN
Matematika
merupakan ilmu pengetahuan  dasar  yang  dibutuhkan  semua manusia dalam kehidupan sehari-hari baik secara langsung  maupun  tidak  langsung.  Matematika merupakan  ilmu  yang  tidak  terlepas  dari  alam dan  agama,  semua  itu  kebenarannya  bisa  kita lihat dalam Al-Qur’an (Rahman, 2007: 1).
Salah  satu  sifat  matematika  yaitu matematika  bersifat  abstrak,  yang  berarti  bahwa objek-objek matematika diperoleh melalui
abstraksi  dari  fakta-fakta  atau  fenomena  dunia nyata. Karena objek matematika merupakan hasil abstraksi  dunia  nyata,  maka  matematika  dapat ditelusuri kembali berdasarkan proses abstraksinya. Hal inilah yang mendasari bagaimana cara mempelajari matematika (Abdussakir, 2007: 15).
Ilmu  aljabar  abstrak  merupakan  bagian dari  ilmu  matematika.  Salah  satu  bahasan  dalam aljabar  abstrak  adalah  ring.  Ring  adalah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner
yaitu  +  sebagai  operasi  pertama  dan  *  sebagai operasi  kedua,  yang  kedua-duanya  didefinisikan pada yang  memenuhi  aksioma-aksioma  yang telah  ditentukan.  Sedangkan  ring  komutatif dengan  elemen  satuan  dan  semua  unsur  di mempunyai  invers  terhadap  operasi  kedua kecuali  elemen  nol  (identitas  pada  operasi pertama)  disebut  lapangan    (Raisinghania  dan Aggarwal, 1980: 313-314).
Salah satu kegunaan yang terpenting dari teori  ring  dan  lapangan  adalah  perluasan  dari suatu  lapangan  yang  lebih  besar  atau  lebih  luas sehingga  suatu  polinomial  (suku  banyak)  dapat diketahui mempunyai akar.
Misalkan suatu lapangan yang dikenakan  polinomial  ring  yang  kemudian membentuk himpunan-himpunan polinomial yang  koefisien  suku-sukunya  merupakan  elemen dari  field .  Polinomial-polinomial  ini  kemudian dicari  akar-akar  penyelesaiannya,  dan  ternyata dalam mencari akar-akarnya terdapat polinomial-polinomial  yang  tidak  dapat  dicari akar-akarnya,  dengan  kata  lain  polinomial tersebut  tidak  dapat  difaktorkan  ( irreducible ).
Maka  dibentuklah  perluasan  lapangan untuk memperoleh akar-akar penyelesaian dari polinomial-polinomial  tak  tereduksi  tersebut. Akar-akar dari polinomial-polinomial tak tereduksi  ini  harus  berada  dalam  perluasan lapangannya.
Berdasarkan  jurnal  yang  di  tulis  oleh Sulastri  Daruni,  Bayu  Surarso,  dan  Bambang Irawanto (2004), jika dalam lapangan terdapat polinomial  tak  tereduksi  maka dapat dibentuk  sebagai  hasil  kali  faktor  linier  dalam di mana adalah himpunan polinomial- polinomial  dengan  koefisien-koefisien  di  dalam
.  Sehingga  dapat  dikatakan  perluasan  lapangan atas lapangan adalah lapangan pemisah atas lapangan terhadap polinomial . Selanjutnya  polinomial dapat  disajikan sebagai … dengan 0  , , , … dan , , … kemudian jika akar-akar dari polinomial tersebut  dalam  lapangan pemisahnya  mempunyai  faktor  yang  akar- akarnya berlainan maka polinomial tidak tereduksi dalam  lapangan adalah separable dalam .  Selanjutnya  untuk  lapangan pemisah  yang  memuat  semua  akar-akar  yang berlainan  dari  lapangan  tidak  tereduksi di mana  salah  satu  akar  dari  akar-akar  berlainan tersebut  merupakan  faktor  dari  polinomial  pada sublapangannya  maka  lapangan  pemisah  ini disebut perluasan normal.
Pada  polinomial  ring,  jika  tidak  ada penjelasan  mengenai  koefisien-koefisie  yang menyertai peubahnya  masing-masing,  maka dianggap  sebagai  bilangan  real.  Tetapi  apabila
ada penjelasan lebih lanjut, maka koefisien sesuai dengan  ring  yang  ditunjuk.  Dari  penjelasan  di atas  maka  penulis  ingin  mengembangkan  akar- akar  polinomial  yang  koefisien-koefisiennya merupakan elemen dari lapangan yaitu pada ring modulo.  Oleh  karena  itu,  penulis  tertarik  untuk mengkaji  tentang  akar-akar  polinomial separable pada  ring  modulo  dengan  judul  “Akar-akar Polinomial
Separable sebagai Pembentuk
Perluasan Normal pada Ring Modulo. ”

## KAJIAN TEORI

## 1. Lapangan
Lapangan  adalah  ring  komutatif  dengan elemen satuan dan semua unsur di mempunyai invers terhadap operasi kedua kecuali elemen nol (identitas  pada  operasi  pertama)  (Raisinghania dan  Aggarwal,  1980:  314).  Dengan  kata  lain, untuk setiap elemen bukan nol ada sedemikian  hingga · 1 (Wahyudin,  1989: 155).
2. Polinomial
Polinomial berderajat , didefinisikan sebagai suatu fungsi berbentuk: 0
Dengan adalah  konstanta  riil, 0,1, 2 , … , dan 0
di mana:
: merupakan peubah.
0 , , , … , : merupakan nilai koefisien persamaan . : merupakan orde atau derajat persamaan.
3. Polinomial atas Lapangan
Misalkan
adalah lapangan. Jika
! , ! , … , , 0 ,  maka  sebarang  bentuk dari
! !
! ! 0
disebut  polinomial  atas dengan  peubah koefisien ! , ! , … , , 0 .  Semua  himpunan polinomial  dengan  koefisien  di dinotasikan dengan
.  Jika adalah  bilangan  bulat  non negatif  paling  besar  sedemikian  hingga 0 , maka dapat dikatakan bahwa polinomial
0 mempunyai  derajat , ditulis  dengan "# ,  dan disebut koefisien  pertama  dari .  Jika  koefisien pertama  adalah  1,  maka dikatakan polinomial monik (Beachy dan Blair, 1990: 165).

## 4. Perluasan Lapangan
Suatu  sublapangan  (lapangan  bagian) dari  lapangan adalah  suatu  subring  (ring bagian) dan  juga  merupakan  lapangan.  Dalam hal  ini,  lapangan disebut  perluasan  dari lapangan . Misalnya, $ adalah sublapangan dari % , oleh karena itu % adalah suatu perluasan dari lapangan $ (Wahyudin, 1989: 234).
Sebuah  lapangan adalah  perluasan lapangan dari , jika adalah sublapangan dari berdasarkan  pengertian  ini  dibuktikan  teorema Kronecker sebagai berikut (Fraleigh, 1994: 394):
Teorema: Teorema Kronecker (Fraleigh, 1994: 394-395)
Misalkan  F  adalah  lapangan  dan polinomial  tidak  konstan  di  dalam
.  Maka terdapat  perluasan  lapangan  K  dari  F  dan sedemikian sehingga 0 . Bukti: Misalkan dapat  difaktorkan secara tunggal sebagai … ,  dengan
1,2, … adalah  polinomial  prima  yang  tak tereduksi  dengan /( ) adalah  suatu lapangan  di  mana ( ) himpunan  polinomial tidak tereduksi dalam lapangan .
Didefinisikan suatu pemetaan ψ : → /( ) dengan
ψ a  a  () ψ adalah pemetaan satu-satu, sebab +, , jika
ψ (a) = ψ (b)
maka
()  ,  () a    b 0 atau a    b ⇔ ,  ( )
Jadi , suatu  kelipatan yang  berderajat 0 1 . ψ homomorfisma  ring.  Sehingga ψ (F)  =  {a  + () |  a ∈ F  } ⊆ /( ) merupakan sublapangan  dari /( ) .    Jadi  F ≅ {a  + () | a ∈ F}.
Misal
/( ) maka merupakan  perluasan  lapangan  dari .  Akan dibuktikan  f( α )  =  0,  ambil α∈ E  dengan α =  x  + () .  Jika 0 di  mana maka 0 x   () x   () 0 dalam /( ) . 0 karena … … , maka 0 . 2

## 5. Lapangan Pemisah
Perluasan  lapangan atas  lapangan
dikatakan  sebagai  lapangan  pemisah  dari polinomial jika  faktor  dari
merupakan  faktor  linier  di dan
bukan faktor  linier  atas  setiap proper sublapangan terhadap di (Dummit dan Foote, 1999: 516).
6. Perluasan Normal Jika adalah  perluasan  aljabar di mana  ini  merupakan  lapangan  pemisah  atas untuk  koleksi  polinomial maka
disebut  perluasan  normal (Dummit,  1999: 517).

## PEMBAHASAN
Adapun  untuk  memperoleh  perluasan normal  pada  ring  modulo  dilakukan  langkah- langkah sebagai berikut:
1. Lapangan dikenakan suatu polinomial
2. Dari  himpunan  polinomial  yang  terbentuk, terbagi menjadi:
a. Polinomial konstan
b. Polinomial tidak konstan yaitu:
1) Polinomial tereduksi
2) Polinomial tidak tereduksi
3. Membentuk  perluasan  lapangan  untuk memperoleh akar-akar dari polinomial tidak tereduksi.
4. Perluasan lapangan yang memuat
polinomial tidak tereduksi di mana polinomial  tidak  tereduksi  tersebut  salah satu  faktornya  terdapat  dalam  sublapangan, maka  perluasan  lapangan  ini  dinamakan lapangan pemisah.
5. Jika  dalam lapangan  pemisah  polinomialnya mempunyai akar-akar yang  berlainan,  maka polinomial ini dinamakan polinomial separable dalam lapangan.
6. Lapangan  pemisah  yang  memuat  semua akar-akar  berlainan  dinamakan  perluasan normal.
Pada  penelitian  ini  penulis  memberi contoh dari 3 , 3 4 dan 3 5 . Untuk 3 tidak  dapat  dicari  perluasan  normalnya  karena tidak  ada  polinomial  yang  tidak  tereduksi  yang menjadi  syarat  dalam  pembentukan  lapangan pemisah  yaitu  polinomial  tidak  tereduksi  dalam lapangan  pemisah  harus  bisa  difaktorkan  dan faktorisasi tersebut harus berada dalam polinomial lapangannya.
Pada 3 4 dan 3 5 telah  diketahui bahwa masing-masing terdapat lapangan pemisah.  Pada 3 4 polinomial  tidak  tereduksi yang  merupakan  polinomial  yang  mempunyai akar-akar  berlainan  dalam  lapangan  pemisahnya yaitu 6 dan  untuk 3 5 polinomial- polinomial  tidak  tereduksi  yang  merupakan polinomial  yang  tidak  mempunyai  akar-akar berlainan  dalam  lapangan  pemisahnya  yaitu
, 47 ,  dan 64 .  Polinomial-polinomial tidak  tereduksi  inilah  yang  termasuk  dalam perluasan normal di mana polinomial-polinomial tidak tereduksi ini berderajat lebih dari satu yaitu 8 1 . Berdasarkan contoh penentuan perluasan  normal  dari 3 , 3 4 ,  dan 3 5 dapat diperoleh  bentuk  umum  perluasan  normal sebagai  berikut.  Misalkan  suatu  ring 3 , ,9 adalah lapangan dengan prima yang memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini:
a. 3 , gup abelian i. Operasi tertutup di 3
Jika , ,  3 dengan definisi penjumlahan modulo maka, 3 , ,  3 :   ,  3 +, ,  3
ii. Bersifat asosiatif.
Untuk semua , ,,   3 , berlaku ,      ,
iii. Mempunyai identitas pada operasi
Bilangan  bulat 0  3 adalah  elemen identitas  di 3 untuk  penjumlahan modulo ,  untuk  setiap  bilangan  bulat
3 , berlaku 0      0 iv. Mempunyai invers Untuk semua elemen 3 kecuali 0 di
3 maka
3 , 0 : 0 ;  ;
: 0 ;    ;
:     0
dan
Juga, 0 Jadi masing-masing bilangan bulat bukan nol mempunyai invers di .
v. Bersifat komutatif Untuk semua , , , berlaku
Jadi operasi penjumlahan modulo adalah komutatif di .
b. Operasi 9 tertutup di 3 Misalkan , berlaku 1 < < 1 dan 1 < < 1 dengan  definisi  dari  perkalian modulo maka 9 di  mana < 1 hasilnya dapat dibagi oleh maka 1 < < 1 dan  hal  ini  menunjukkan  bahwa  operasi 9 tertutup di .
c. Bersifat asosiatif Untuk semua , ,
, berlaku
9 9
9 9
d. Mempunyai elemen identitas Bilangan  bulat 1 adalah  elemen  identitas untuk  perkalian  biangan  modulo ,  jika menjadi  elemen  yang  berubah-ubah  di maka 1 9 sama  dengan 9 1 berlaku 1 9 9 1 , +
e. Mempunyai elemen invers Misalkan
, mengingat himpunan
= > 1 9 , 2 9 , 3 9 , … , 1 9 ? maka adalah  tertutup  pada  operasi  perkalian modulo ,  mengikuti  bahwa  anggota  dari = adalah  anggota  dari .  Semua  unsur  di =
berbeda, jika dan adalah dua bilangan bulat yang  berbeda  di sedemikian  hingga 8 , maka 1 < < 1 , 1 < < 1 dan 8 . Misal 9 9 : · · dapat dibagi : · dapat dibagi
Tetapi ini tidak mungkin, ketika 1 < ; 1 dan 1 < < 1 di  mana
prima,  jadi · tidak  pernah  bisa  dibagi dengan . Maka dari itu 9
9 . Dengan  demikian  himpunan = terdiri  dari 1 elemen  yang  berbeda  di 3 dan  oleh sebab  itu  bertepatan  dengan 3 .  Jadi  satu elemen di 3 = harus 1.
Misalkan
= 9   1, + = 3
berakibat = 9    9 = 1 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa  setiap  elemen di 3 mempunyai invers = di 3 . f.
Operasi 9 bersifat komutatif Jika
, ,  3 maka berlaku 9 ,  , 9 , +, ,  3 (Raishinghania dan Aggarwal, 1980: 49-53).
Setelah 3 terbukti merupakan lapangan maka  dibuktikan  bahwa 3 adalah  ideal.  Sesuai dengan teorema 1 berikut:
Teorema  1. (Raishinghania dan Aggarwal, 1980: 366)
Jika 3 adalah  ring  komutatif  dan 3 ,  maka 3 9   >@ 9 : @  3 ? adalah ideal di 3 .

## Bukti
Misalkan 3 , ,9 adalah  ring  komutatif  dan 3 .  Maka  akan  ditunjukkan  bahwa 3 9 adalah ideal dari 3 .
a) 3 9 adalah subring Misalkan @ 9 dan @ 9 adalah  dua elemen di 3 9 maka @ 9 @ 9   @ @ 9   3 9 . karena  @ 3 , @ 3 : @ @ 3
.
Dan untuk
@ 9  9 @ 9    9
@ 9 di mana @ 9   3 sebagai @ 3 , 3 : @ 9   3 9 @ 9   3
9 Jadi   3 , @
3 :  9 @ 3 Dapat  diketahui  bahwa 3 9 adalah subring dari 3 .
b) Misalkan @ adalah  sebarang  elemen  di 3 dan @ 9 adalah  elemen  di 3 9 ,  maka @ 9 @ 9   @ 9 @ 9   3 9
ideal  kanan  dan @ 9  9 @  @ 9 @ 9 3 9 ideal kiri.
Terbukti bahwa 3 9 ideal di 3
Teorema  2. (Raishinghania dan Aggarwal, 1980: 366-367)
Suatu  ring  komutatif  dengan  elemen  satuan disebut lapangan jika lapangan tidak mempunyai proper ideal.

## Bukti:
Misalkan 3 ring  komutatif  dengan elemen  satuan  yang  tidak  mempunyai proper ideal yaitu idealnya hanya identitas >0? dan pada dirinya  sendiri.  Kemudian  menunjukkan  bahwa 3 adalah  lapangan  dengan  memperlihatkan
bahwa  setiap  elemen  bukan  nol  di 3 mempunyai invers pada operasi perkalian di 3 . Misalkan elemen bukan nol di 3 , I  >@ 9 : @  3 ? di mana I  3 9 Maka I adalah ideal di 3 ..................... [Teorema 1] Sekarang 1  3 : 1 9     I di  mana adalah  suatu  elemen  bukan  nol  di 3 .    Oleh karena itu I adalah ideal bukan nol dalam 3 . Ketika 3 tidak  mempunyai proper ideal  dan I adalah  ideal  bukan  nol  dalam 3 .  Sehingga  satu- satunya yang mungkin adalah I  3 . Sekarang, ketika 1  3 dan I  3 , maka harus ada  beberapa  elemen ,  3 sedemikian  hingga , 9   1 dengan  cara  yang  sama 9 ,  1 . Karenanya ,  3 yaitu  setiap  elemen  di 3 mempunyai  invers  pada  operasi  perkalian atau  operasi  kedua  di 3 .  Maka 3 adalah lapangan. 2 Pada  teorema  1  dan  2  telah  terbukti 3 merupakan  lapangan  dan  ideal  maka
3
dikenakan  pada  suatu  polinomial
, misalkan J J ,
J , , , … , 3 di  mana  koefisien  suku- sukunya merupakan anggota bilangan dalam 3 . Akar-akar  dari  polinomial dalam  lapangan 3 ini  ternyata  terdapat  polinomial  yang  tidak tereduksi  maka  dari  itu  dibentuklah  perluasan lapangan yang akar-akarnya terdapat di dalamnya.  Hal  ini  akan  ditunjukkan  sebagai berikut.  Misalkan  polinomial
6 6 K K 7 7
J J
tidak tereduksi  dalam 3 ,  polinomial tidak tereduksi  dalam 3 karena  polinomial  ini  tidak mempunyai  suatu  elemen  dalam 3 yang menyebabkan 0 .  Diberikan  polinomial 6 6 K K 7 7 J J
dan  di  cari  akar-akarnya  dengan metode horner sebagai berikut:
@
… 7 K 6 L @ L J @ L 7 @ L K @ L 6 @ L L L 7 L K L 6 L Keterangan: L L L @ L 6 L @ 6 M L 7
L J @  L 7 L K L 7 @ K
L 6
L K @ 6 L
L 6 @
Untuk @  3 maka  polinomial tidak tereduksi karena hasil dari  pembagiannya  bukan nol  sehingga  sebarang @  3 tidak  memenuhi
0 .  Oleh  sebab  itu  dibentuklah  perluasan lapangan  atas 3 yaitu  lapangan  yang  memuat akar-akar  dari  polinomial
.  Setelah terbentuk  perluasan  lapangan  maka  dibentuk lapangan pemisah dengan cara mencari faktorisasi  dari  polinomial .  Misal  diambil
polinomial genap 6 6 K K 7 7 6 K 6 7 K
Polinomial dapat dibentuk sebagai hasil kali dari  salah  satu  faktor  dalam  lapangan 3 maka dari  itu  polinomial termasuk  polinomial separable .  Tetapi  salah  faktornya  tersebut  tidak linier  yaitu
,  maka  polinomial tidak termasuk  dalam  perluasan  normal.  Selanjutnya misal  ambil  lagi  polinomial N di  mana polinomial  ini  merupakan  polinomial  ganjil dalam  perluasan  lapangannya  maka N 4 4 5 5 O O 4 5 6 O K
Karena  salah  satu  faktor  dari N adalah  linier dan faktor berlainan dengan faktor lainnya maka polinomial N merupakan polinomial separable dalam  lapangan  pemisahnya  yang  termasuk dalam perluasan normal.

## PENUTUP
Hasil  penelitian  yang  dilakukan  penulis dengan  mengenakan  suatu  polinomial  pada lapangan 3 di  mana 3 adalah  lapangan  yang koefisien  suku-sukunya  berada  dalam  modulo prima dengan peubah , bahwa 3 9 ideal dari 3 di  mana 3 9 adalah  sublapangan  dari 3 . Hal  ini  menunjukkan  bahwa 3 menjadi  suatu perluasan  dari 3 9 .  Terbentuknya  perluasan lapangan  dikarenakan  terdapat  polinomial tidak  tereduksi  dalam  lapangannya  sehingga dapat  diketahui  akar-akar  penyelesaiaan  pada perluasan  lapangan.  Pada  penelitian  ini,  semua polinomial  tidak  tereduksi  dalam  lapangannya termasuk  polinomial separable dalam  lapangan pemisahnya.  Namun,  ada  polinomial separable yang tidak termuat dalam perluasan normal yaitu polinomial separable yang  berderajat  genap.  Hal ini  dikarenakan  adanya  faktorisasi    nonlinier dalam  polinomial  tersebut.  Sementara  untuk polinomial separable yang  berderajat  ganjil 2P  1 di mana P adalah bilangan bulat positif, maka  polinomial separable dalam  lapangan pemisahnya  ini  termasuk  dalam  perluasan normal.  Hal  ini  ditunjukkan  dengan  adanya polinomial separable ini  yang  salah  satu  faktor liniernya termuat dalam polinomial di lapangannya.  Maka  semua  polinomial separable yang  berderajad  ganjil  ini  termasuk  dalam perluasan normal.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Abdussakir.  2007. Ketika  Kyai  Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang Press
[2] Beachy,  J.  A.  &  Blair,  W.  D.  1990. Abstract Algebra  with  A  Concrete  Introduction . Prentice Hall, Englewood, New Jesey 07632
[3] Dummit,  S.  D.  &  Foote,  R.  M.  1999. Abstract Algebra,  Second  Edition .  New  York:  John Wiley & Sons, Inc.
[4] Fraleigh, J. B. 1994. A First Course in Abstract Algebra,  Fifth  Edition. New  York:  Addition and Wisley Publishing Company, USA.
[5] Herstein. 1975. Topics in Algebra 2nd edition . New York: John Wiley & Sons
[6] Irawanto, B., dkk. 2004. Akar-akar
Polinomial  Separabel  sebagai  Pembentuk Perluasan Normal . Yogyakarta: FMIPA UGM
[7] Munir,  R.  2008. Metode  Numerik .  Bandung: INFORMATIKA
[8] Rahman,  H.  2007. Indahnya  Matematika dalam Al-Qur’an . Malang: UIN Malang Press
[9] Raisinghania,  M.  D  &  Aggarwal  R.  S.  1980. Modern  Algebra .  New  Delhi:  S.  Chand  & Company LTD.
[10] Wahyudin.  1989. Aljabar  Modern .  Bandung: TARSITO