## REPRESENTASI FUNGSIONAL-2 DI 𝒍 𝒑

## Yosafat Eka Prasetya Pangalela
Institut Teknologi Bandung matrix_yepp@yahoo.co.id

## Hendra Gunawan
Institut Teknologi Bandung
ABSTRACT. In this paper, the concept of 2-functionals will be introduced. The concept of bounded  linear  2-functionals  will  be  studied  as  an  extension.  We  also  discuss  the  2-dual space  of 𝑙 𝑝 ,  which  is  the  space  of  bounded  linear  2-functionals  of 𝑙 𝑝 completed  by  some norm.
Keywords : 2-functionals, 2-dual space, 𝑙 𝑝 spaces.
ABSTRAK. Di  dalam  makalah  ini,  konsep  mengenai  fungsional-2  akan  diperkenalkan. Lebih jauh, konsep fungsional-2 linear terbatas akan dipelajari sebagai perluasan. Kita juga akan  mendiskusikan  ruang  dual-2  dari 𝑙 𝑝 ,  yakni  ruang  semua  fungsional-2  linear  terbatas pada 𝑙 𝑝 yang dilengkapi dengan norm tertentu.
Kata Kunci : Fungsional-2, ruang dual-2, ruang 𝑙 𝑝 .

## 1. PENDAHULUAN
Di  ruang  norm,  kita  telah  mengenal  konsep  mengenai  fungsional  yang selanjutnya  dikembangkan  menjadi  fungsional  linear  terbatas  dan  ruang  dual. Berdasarkan  hal  tersebut,  kita  akan  mendefinisikan  fungsional-2  yang  akan dikembangkan  juga  menjadi  fungsional-2  linear  terbatas  dan  ruang  dual-2.  Konsep mengenai  fungsional-2  linear  terbatas  sendiri  sebenarnya  telah  dibahas  oleh  White (1969),  Gozali  dkk  (2010)  dan  Gürdal  dkk  (preprint),  tetapi  definisi  fungsional-2 linear  terbatas  yang  mereka  gunakan  mengharuskan  domain  ruang  norm-2.  Di  sini, kita  akan  mengembangkan  definisi  fungsional-2  linear  terbatas  yang  telah  ada  dan dilanjutkan dengan mendefinisikan ruang dual-2.
Pertama-tama, akan diberikan definisi mengenai norm-2 terlebih dahulu:. Definisi 1.1. Misal 𝑋 adalah  ruang  vektor  real  berdimensi 𝑑 ≥ 2 .  Fungsi  bernilai real ‖ ∙,∙ ‖ pada 𝑋 2 yang memenuhi keempat sifat berikut:
1) ‖𝑥 1 , 𝑥 2 ‖ ≥ 0 untuk setiap 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑋 ;
‖𝑥 1 , 𝑥 2 ‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 1 , 𝑥 2 bebas linear;
2) ‖𝑥 1 , 𝑥 2 ‖ = ‖𝑥 2 , 𝑥 1 ‖ untuk setiap 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑋 ;
3) ‖α𝑥 1 , 𝑥 2 ‖ = |α|‖𝑥 1 , 𝑥 2 ‖ untuk setiap α ∈ ℝ dan 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑋 ;
4) ‖𝑥 + 𝑥′, 𝑥 2 ‖ ≤ ‖𝑥, 𝑥 2 ‖ + ‖𝑥′, 𝑥 2 ‖ untuk setiap 𝑥, 𝑥′, 𝑥 2 ∈ 𝑋 , disebut norm-2 pada 𝑋 , dan pasangan (𝑋,‖ ∙,∙ ‖) disebut ruang norm-2 .
Sebagai contoh, 𝑋 = ℝ 2 dengan norm-2 berikut:
‖𝑥 1 , 𝑥 2 ‖ ∶= |det ( 𝑥 11 𝑥 12 𝑥 21 𝑥 22 )|
dimana 𝑥 𝑖 = (𝑥 𝑖1 , 𝑥 𝑖2 ) , i ∈ {1,2} , merupakan ruang norm-2.
Konsep  norm-2  sendiri  dikembangkan  oleh  Gӓhler  (1964)  sebagai  perluasan dari konsep norm  yang telah ada. Berbagai sifat  mengenai norm-2 telah diteliti oleh White (1969) dan Gürdal dkk (preprint).
Selanjutnya,  kita  definisikan  fungsional-2  yang  kemudian  akan  diperluas menjadi fungsional-2 linear maupun fungsional-2 linear terbatas.
Definisi 1.2. Misal 𝑋 adalah  ruang  vektor  real.  Fungsi 𝑓 dari 𝑋 × 𝑋 ke ℝ disebut fungsional-2. Selanjutnya, fungsional-2 𝑓 yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1) 𝑓(𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥 1 , 𝑦 1 ) + 𝑓(𝑥 1 , 𝑦 2 ) + 𝑓(𝑥 2 , 𝑦 1 ) + 𝑓(𝑥 2 , 𝑦 2 ) untuk semua 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑦 1 , 𝑦 2 ∈ 𝑋 ;
2) 𝑓(α𝑥, β𝑦) = αβ𝑓(𝑥, 𝑦) , untuk semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan α, β ∈ ℝ ,
disebut fungsional-2 linear .
Definisi 1.3. Misal 𝑓 adalah fungsional-2 pada ruang norm (𝑋,‖ ∙ ‖) (ruang norm-2 (𝑋,‖ ∙,∙ ‖) ). Jika terdapat konstanta K > 0 sedemikian sehingga |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ K‖𝑥‖‖𝑦‖ (|𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ K‖𝑥, 𝑦‖)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , maka 𝑓 dikatakan terbatas di (𝑋,‖ ∙ ‖) (terbatas di (𝑋,‖ ∙,∙ ‖) ).
24                                                                  Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan
Sebagai  contoh,  bila 𝑋 = ℝ 2 maka  fungsi 𝑓 pada 𝑋 × 𝑋 yang  didefinisikan dengan
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = (𝑥 11 + 𝑥 12 ) (𝑥 21 + 𝑥 22 )
dimana 𝑥 𝑖 = (𝑥 𝑖1 , 𝑥 𝑖2 ) , i ∈ {1,2} ,  merupakan  fungsional-2  linear  pada ℝ 2 .  Lebih jauh,  bila  kita  melengkapi ℝ 2 dengan  norm ‖∙‖ yang  didefinisikan  dengan ‖𝑦‖ ≔ √y 1 2 + y 2 2
dimana 𝑦 = (𝑦 1 , 𝑦 2 ) , maka kita dapat membuktikan bahwa |𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 )| ≤ 2‖𝑥 1 ‖‖𝑥 2 ‖
untuk  setiap 𝑥 1 , 𝑥 2 anggota ℝ 2 dengan  menggunakan  pertidaksamaan  Cauchy- Schwarz.  Akibatnya, 𝑓 adalah  fungsional-2  linear  terbatas  di (ℝ 2 ,‖ ∙ ‖) .  Tetapi 𝑓 bukan  fungsional-2  linear  terbatas  di (ℝ 2 ,‖ ∙,∙ ‖) dimana ‖ ∙,∙ ‖ adalah  norm-2  pada ℝ 2 yang diberikan sebagai contoh di atas.
Kita dapat melihat bahwa fungsional-2 linear terbatas di 𝑋 yang didefinisikan oleh  White  (1969),  Gozali  dkk  (2010)  dan  Gürdal  dkk  (preprint)  sebenarnya  adalah fungsional-2  linear  terbatas  di  ruang  norm-2 (𝑋,‖ ∙,∙ ‖) .  Di  sini,  kita  tidak  akan membahas  lebih  lanjut  mengenai  fungsional-2  linear  terbatas  di  ruang  norm-2 (𝑋,‖ ∙,∙ ‖) , tetapi kita akan membahas mengenai fungsional-2 linear terbatas di ruang norm (𝑋,‖ ∙ ‖) . Diilhami oleh ruang dual di ruang  norm,  himpunan  dari  fungsional- 2  linear  terbatas  pada  ruang  norm (𝑋,‖ ∙ ‖) akan membentuk ruang vektor, yang selanjutnya disebut  ruang dual-2 dari (𝑋,‖ ∙ ‖) .  Ruang ini  akan menjadi  ruang norm dengan norm ‖∙‖ yang didefinisikan sebagai berikut:
‖𝑓‖ ∶= sup 𝑥,𝑦∈𝑋 ‖𝑥‖,‖𝑦‖≠0
|𝑓(𝑥, 𝑦)| ‖𝑥‖‖𝑦‖ .
Kita telah mengetahui bahwa ruang dual dari 𝑙 1 adalah 𝑙 ∞ dan ruang dual 𝑙 𝑝 adalah 𝑙 𝑞 , dimana 1 < 𝑝 < ∞ dan 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 (Kreszig (1978)).  Berdasarkan itu, kita akan membahas mengenai ruang dual-2 dari (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) .
Representasi Fungsional-2 di 𝒍 𝒑 25
2. RUANG DUAL-2 DARI (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) .
Untuk mengidentifikasi ruang dual-2 tersebut, kami akan memberikan definisi sebuah ruang barisan ganda terlebih dahulu.
Definisi 2.1. Misal 1 ≤ 𝑝 < ∞ dan 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 .  Barisan  ganda  real 𝑥 = (𝑥 𝑘𝑗 )
dikatakan berada di 𝑌 ℕ×ℕ 𝑝 jika
sup ‖𝑎‖ 𝑞 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑝 ∞
𝑗=1 ] 1 𝑝 < ∞
dimana ‖ ∙ ‖ q adalah norm di 𝑙 𝑞 berdasarkan Kreszig (1978). Selanjutnya,
‖𝑥‖ 𝑌 ℕ×ℕ 𝑝 ∶= sup ‖𝑎‖ 𝑞 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑝 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑝 .
Untuk 𝑝 = ∞ , barisan ganda real 𝑥 = (𝑥 𝑘𝑗 ) dikatakan berada di 𝑌 ℕ×ℕ ∞ jika
sup ‖𝑎‖ 1 =1 sup 𝑗∈ℕ |∑ 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | < ∞. Selanjutnya,
‖𝑥‖ 𝑌 ℕ×ℕ ∞ ∶= sup ‖𝑎‖ 1 =1 sup 𝑗∈ℕ |∑ 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 |.
Sekarang   kita   akan  masuk   ke   inti   pembahasan,  yaitu  hubungan  antara ruang dual-2 dari (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) dengan ruang 𝑌 ℕ×ℕ 𝑝 .
Teorema  2.2. Bila 1 < 𝑝 < ∞ dan 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 ,  maka  ruang  dual-2  dari (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ 𝑝 ) adalah 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 .
Bukti. Ambil 𝜃 = (𝜃 𝑘𝑗 ) ∈ 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 . Ambil 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑙 𝑝 dimana ‖𝑎‖ 𝑝 = 1 , selanjutnya tulis 𝑎 = ∑ 𝑎 𝑖 𝑒 𝑖 ∞ 𝑖=1 dan 𝑏 = ∑ 𝑏 𝑖 𝑒 𝑖 ∞ 𝑖=1 , kita definisikan
26                                                                 Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan
𝑓(𝑎, 𝑏) = ∑ ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑗 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑗=1 ∞ 𝑘=1 .
Jelas  bahwa 𝑓 adalah  fungsional-2  linear  pada (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) jadi cukup ditunjukkan keterbatasan dari 𝑓 . Perhatikan bahwa
|𝑓(𝑎, 𝑏)| = |∑ ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑗 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑗=1 ∞ 𝑘=1 | = |∑ [𝑏 𝑗 ∑ 𝑎 𝑘 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 ] ∞ 𝑗=1 |
≤ [∑|𝑏 𝑗 | 𝑝 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑝 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 = ‖𝑏‖ 𝑝 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞
𝑗=1 ] 1 𝑞 .
Akibatnya,
|𝑓(𝑎, 𝑏)| ‖𝑎‖ 𝑝 ‖𝑏‖ 𝑝 ≤ [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 ≤ sup ‖𝑎‖ 𝑝 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 .
Jadi 𝑓 adalah fungsional-2 linear terbatas pada (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) dengan
‖𝑓‖ ≤ sup ‖𝑎‖ 𝑝 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝜃 𝑘𝑗 ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 . (1)
Misal 𝑔 adalah fungsional-2 linear terbatas pada (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) , akan dibuktikan (𝑔(𝑒 𝑘 , 𝑒 𝑗 )) ∈ 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 .  Definisikan  fungsional 𝑔 𝑎 pada (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) dimana ‖𝑎‖ 𝑝 = 1 dengan
𝑔 𝑎 (𝑏) ∶= 𝑔(𝑎, 𝑏) untuk setiap 𝑏 ∈ 𝑙 𝑝 .
Representasi Fungsional-2 di 𝒍 𝒑 27
Jelas  bahwa 𝑔 𝑎 adalah  fungsional  linear pada (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) , dan keterbatasan dari 𝑔 𝑎 didapat berdasarkan
|𝑔 𝑎 (𝑏)| ‖𝑏‖ 𝑝 = |𝑔(𝑎, 𝑏)| ‖𝑎‖ 𝑝 ‖𝑏‖ 𝑝 ≤ ‖𝑔‖.
Karena 𝑔 𝑎 adalah fungsional linear terbatas (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) maka
[∑|𝑔(𝑎, 𝑒 𝑗 )| 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 = ‖𝑔 𝑎 ‖ ≤ ‖𝑔‖.
Jadi
sup ‖𝑎‖ 𝑝 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝑔(𝑒 𝑘 , 𝑒 𝑗 ) ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 ≤ ‖𝑔‖. (2)
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa  norm  pada 𝑓 adalah  norm  pada  ruang 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 .  Perhatikan  bahwa 𝑓 juga  memenuhi  persamaan  (2),  jadi  kita  memiliki
sup ‖𝑎‖ 𝑝 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝑓(𝑒 𝑘 , 𝑒 𝑗 ) ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 ≤ ‖𝑓‖.
Dari ini dan persamaan (1), maka
‖𝑓‖ = sup ‖𝑎‖ 𝑝 =1 [∑ |∑ 𝑎 𝑘 𝑓(𝑒 𝑘 , 𝑒 𝑗 ) ∞ 𝑘=1 | 𝑞 ∞ 𝑗=1 ] 1 𝑞 .
Jadi  pemetaan  linear  bijektif  dari  ruang  dual-2  dari (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) ke 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 yang didefinisikan dengan 𝑓 ↦ (𝑓(𝑒 𝑘 , 𝑒 𝑗 )) adalah sebuah isomorfisma.
□

## 3. KESIMPULAN
Kita  telah  melihat bahwa  bila 1 < 𝑝 < ∞ maka ruang dual-2 dari (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) adalah 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 dengan 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 .  Kita  juga  dapat  memeriksa  ruang  dual-2  dari (𝑙 1 ,‖ ∙
28                                                                 Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan
‖ 1 ) adalah 𝑌 ℕ×ℕ ∞ .  Jika  kita  berbicara  ruang  dual  dari 𝑙 𝑝 ,  maka  kita  memiliki  ruang dual dari 𝑙 1 adalah 𝑙 ∞ dan ruang dual 𝑙 𝑝 adalah 𝑙 𝑞 dimana 1 < 𝑝 < ∞ dan 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 .
Dari  sini  kita  dapat  melihat  semacam  keterkaitan  antara  ruang  dual  dari 𝑙 𝑝 dengan ruang dual-2 dari (𝑙 𝑝 ,‖ ∙ ‖ p ) . Lebih jauh, apabila kita memandang anggota dari 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 sebagai  sebuah  matriks  maka  kita  dapat  melihat  bahwa  barisan  yang  dibentuk  oleh elemen-elemen 𝑌 ℕ×ℕ 𝑞 dengan  cara  menetapkan  sebuah  baris  dan  menggerakkan kolomnya adalah anggota dari 𝑙 𝑞 .

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terima  kasih  kepada  semua  pihak  yang  telah  memberikan  kontribusi  pada penelitian dan penulisan naskah artikel.

## DAFTAR PUSTAKA
Gӓhler,  S.  (1964)  Lineare  2-normierte  Roume, Mathematische  Nachrichten 28 (1964), 1-43.
Gozali,  S.  M;  Gunawan,  H;  dan    Neswan,  O.  (2010)  On  n-norms  and  bounded n- linear functionals in a Hilbert space, Annals of Functional Analysis 1 , 72-79. Gürdal, M; Sahiner, A; dan Açik. n-Banach Spaces and Bounded Linear n-Functional (preprint).
Kresyzig, E. (1978) Introductory Functional Analysis with Applications , John Wiley & Sons, Inc.
White, A. G. (1969) 2-Banach Spaces, Mathematische Nachrichten 42 (1969), 43-60.
Representasi Fungsional-2 di 𝒍 𝒑 29