## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS
Perbandingan Value at Risk dan Expected Shortfall pada Portofolio Optimal menggunakan Metode Downside Deviation
Indah Nugrahaeni, Hendra Perdana, dan Neva Satyahadewi
Volume 6, Issue 2, Pages 176–181, August 2024
Diterima 29 Januari 2024, Direvisi 10 Juli 2024, Disetujui 15 Juli 2024, Diterbitkan 1 Agustus 2024 To Cite this Article : I. Nugrahaeni, H. Perdana, dan N. Satyahadewi,“Perbandingan Value at Risk dan Expected Shortfall pada Portofolio Optimal menggunakan Metode Downside Deviation ”, Jambura J. Math , vol. 6, no. 2, pp. 176–181, 2024, ht- tps://doi.org/10.37905/jjom.v6i2.24326
© 2024 by author(s)

## JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index Ǽ Journal Abbreviation : Jambura J. Math. Х Frequency : Biannual (February and August) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/jjom ʢ Online ISSN : 2656-1344 ǽ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/oai  Google Scholar ID : iWLjgaUAAAAJ Ͳ Email : info.jjom@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan Teknologi

## Perbandingan
Value at Risk dan Expected Shortfall pada

## Portofolio Optimal menggunakan Metode Downside Deviation
Indah Nugrahaeni 1 , Hendra Perdana 1 dan Neva Satyahadewi 1 , ∗ 
1 Jurusan Matematika, Universitas Tanjungpura, Pontianak, Indonesia
ABSTRAK. Pembentukan portofolio merupakan satu di antara strategi yang dapat dilakukan investor untuk men- dapatkan hasil yang terbaik. Pembentukan portofolio dapat menggunakan metode Downside Deviation. Portofolio optimal dengan metode ini menggunakan deviasi downside dan menetapkan return yang di bawah benchmark seba- gai ukuran risiko. Setiap portofolio optimal tentunya tidak dapat terlepas dari risiko. Untuk mengukur risiko dapat menggunakan nilai Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall. Penelitian ini bertujuan untuk membentuk portofolio yang optimal dengan menggunakan metode Downside Deviation dan dilanjutkan dengan membandingkan kemung- kinan kerugian yang terjadi dari portofolio yang terbentuk menggunakan nilai VaR dan Expected Shortfall. Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data harga penutupan harian saham Indeks LQ-45 sektor perbankan pa- da periode bulan Februari-Juni 2023. Dari data saham tersebut dilakukan seleksi data dengan memilih saham yang memiliki expected return positif dan berdistribusi normal. Kemudian, dilanjutkan tahapan pembentukan portofolio optimal menggunakan metode Downside Deviation serta membandingkan kemungkinan risiko yang terbentuk dengan nilai VaR dan Expected Shortfall. Hasil dari penelitian ini menunjukkan portofolio optimal dengan metode Downside Deviation terdiri dari empat saham, yaitu dengan kode saham BRIS.JK, BBRI.JK, BBNI.JK, dan BBCA.JK. Penelitian ini menggunakan contoh kasus dengan menginvestasikan modal sebesar Rp100.000.000 dengan periode waktu satu hari dan tiga tingkat kepercayaan, yaitu 90%, 95%, dan 99%. Berdasarkan perbandingan nilai risiko dari portofolio yang terbentuk menggunakan VaR dan Expected Shortfall, ditunjukkan bahwa kemungkinan risiko dengan metode Expected Shortfall lebih besar daripada nilai VaR. Oleh karena itu, Expected Shortfall lebih baik dalam mengestima- sikan risiko secara maksimal.
ABSTRACT. Portfolio formation is one of the strategies that investors can do to get the best results Portfolio formation can use the Downside Deviation method. The optimal portfolio with this method uses downside deviation and sets the return below the benchmark as a measure of risk. Every optimal portfolio certainly cannot be separated from risk. To measure risk, you can use the Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall values. This study aims to form an optimal portfolio using the Downside Deviation method and continued by comparing the possible losses that occur from the formed portfolio using the VaR and Expected Shortfall values. The data used in this study is the daily closing price data of LQ-45 Index stocks in the banking sector in the period February-June 2023. From the stock data, data selection is carried out by selecting stocks that have a positive expected return and are normally distributed. Then, the optimal portfolio formation stage is continued using the Downside Deviation method and comparing the possible risks formed with the VaR and Expected Shortfall values. The results of this study show that the optimal portfolio with the Downside Deviation method consists of four stocks, namely with the stock codes BRIS.JK, BBRI.JK, BBNI.JK, and BBCA.JK. This study uses a case example by investing capital of Rp100,000,000 with a one-day time period and three levels of confidence, namely 90%, 95%, and 99%. Based on the comparison of the risk value of the portfolio formed using VaR and Expected Shortfall, it is shown that the possible risk with the Expected Shortfall method is greater than the VaR value. Therefore, Expected Shortfall is better in estimating the maximum risk.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of JJoM: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Investasi adalah suatu kegiatan penanaman sejumlah uang yang dilakukan saat ini dengan harapan untuk mendapatkan ke- untungan di masa yang akan datang [1] . Investasi sebagai ben- tuk pengelolaan kesejahteraan kehidupan yang dilakukan oleh investor. Terdapat beberapa jenis instrument yang digunakan
∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Diterima 29 Januari 2024
Direvisi 10 Juli 2024
Disetujui 15 Juli 2024 Diterbitkan 1 Agustus 2024

## KATA KUNCI
Portofolio Downside Deviation Value at Risk Expected Shortfall

## KEYWORDS
Portfolio Downside Deviation
Value at Risk Expected Shortfall
dalam melakukan investasi, di antaranya saham, emas, obligasi, dan properti. Di Indonesia, jenis instrumen investasi yang paling diminati ialah investasi saham [2] . Dalam menjalankan kegiatan investasi, investor perlu memahami hubungan antara return yang diharapkan dan risiko yang mungkin terjadi [3] . Apabila investor dapat mengelola investasi dengan tepat, maka investor memili- ki peluang lebih untuk memperoleh keuntungan atas investasi
Email : neva.satya@math.untan.ac.id (N. Satyahadewi) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index / E-ISSN : 2656-1344 © 2024 by the Author(s).
yang dilakukan. Oleh karena itu, investor perlu memahami de- ngan baik mengenai strategi dalam melakukan investasi, satu di antaranya yaitu dapat dengan membentuk portofolio optimal.
Portofolio optimal adalah gabungan beberapa aset yang bertujuan untuk memaksimumkan keuntungan dan memini- mumkan risiko seperti yang diharapkan oleh investor [4] . Pem- bentukan portofolio optimal umumnya menggunakan metode mean-variance [5] . Namun, pada metode ini memiliki kritikan karena menurut beberapa ahli terdapat ketidaksesuaian dengan praktik. Pada metode mean-variance memiliki asumsi bahwa ni- lai return harus berdistribusi normal dan investor memiliki fungsi utilitas kuadratik. Ketika kedua asumsi tersebut tidak terpenuhi, maka hasil yang diperoleh tidak akan konsisten dalam memaksi- malkan utlitas yang diharapkan. Seiring dengan perkembangan ilmu, maka dibentuklah pengembangan metode tersebut, yaitu metode Downside Deviation.
Metode Downside Deviation mengasumsikan standar deviasi dari return yang berada di bawah target ( Benchmark ) yang telah ditetapkan sebagai nilai risiko sehingga lebih sesuai dengan pre- sepsi investor [6] . Metode ini mengukur risiko dengan cara yang lebih sesuai dengan perespsi investor karena menggunakan se- baran return di bawah benchmark sebagai risiko. Metode ini cen- derung memperhatikan potensi kerugian daripada potensi keun- tungan. Selain itu, metode ini juga tidak terbatas pada asumsi homoskedastisitas [7] .
Beberapa peneliti sebelumnya telah melakukan penelitian yang terkait dengan metode Downside Deviation dalam memben- tuk portofolio optimal. Atmaja [8] , menyusun portofolio opti- mal dari 27 saham Indeks LQ45 dengan menggunakan metode Downside Deviation dan Mean Absolut Deviation . Hasil penelitian- nya menunjukkan bahwa model Downside Deviation memberikan expected return yang lebih besar dan kinerja yang lebih baik dari metode Mean Absolut Deviation . Kemudian, penelitian yang per- nah dilakukan oleh Ramadhan [9] membandingkan metode da- lam pembentukan portofolio optimal, yaitu menggunakan meto- de Mean-Variance , Downside Deviation dan Mean Absolute Deviation . Berdasarkan penelitian tersebut memberikan hasil bahwa meto- de Downside Deviation memberikan risiko yang paling kecil dari metode lainnya.
Meskipun beberapa peneliti sebelumnya menghasilkan me- tode Downside Deviation memberikan risiko yang cenderung lebih kecil, tentunya portofolio tetap tidak dapat dipisahkan dengan unsur ketidakpastian atau risiko. Setiap investor harusnya dapat memperkirakan risiko investasi serta keuntungan yang akan dipe- roleh sebagai pertimbangan dalam setiap tahap untuk keputusan investasinya. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dilakukan analisis lanjut mengenai kemungkinan risiko terburuk yang ak- an terjadi apabila investor berinvestasi menggunakan portofolio yang telah terbentuk dari metode Downside Deviation .
Analisis kemungkinan risiko portofolio pada penelitian ini menggunakan perhitungan VaR dan Expected Shortfall . VaR me- rupakan pengukuran nilai risiko secara kuantitatif yang memper- hitungkan kemungkinan kerugian maksimal yang bisa saja terja- di dikemudian hari dengan jangka waktu tertentu. Dengan kata lain, VaR memberikan jawaban seberapa besar (bisa dalam per- sen atau sejumlah uang) investor dapat mendapatkan keuntung- an atau kerugian dengan tingkat kepercayaan tertentu [10] . Ter- dapat 3 metode utama dalam menghitung VaR, yaitu Simulasi
Historis, Varian-Kovarian serta Simulasi Monte Carlo. Penelitian ini akan menggunakan Simulasi Historis, yang mana mengesam- pingkan asumsi bahwa harus linier antara return portofolio dan return aset tunggalnya [10] . Selanjutnya, Expected Shortfall me- rupakan perhitungan risiko lainnya selain VaR yang memiliki si- fat subadditivity [11] . Pada penelitian sebelumnya, Dewi dkk [12] menggunakan metode Expected Shortfall untuk menghitung risi- ko dari portofolio optimal yang terbentuk menggunakan metode Single Index dan menghasilkan nilai Expected Shortfall lebih besar daripada nilai VaR.
Pada penelitian ini, dilakukan perbandingan nilai kemung- kinan risiko dari portofolio yang terbentuk menggunakan perhi- tungan VaR dan Expected Shortfall dengan tiga tingkat kepercaya- an sehingga akan menghasilkan estimasi nilai risiko secara mak- simal. Selain itu, disajikan contoh kasus dalam menginvestasik- an modal dan akan dianalisis kemungkinan risikonya. Penelitian ini diharapkan dapat memberikan gambaran kepada investor atas kemungkinan paling buruk atas investasi yang akan dilakukan. Penelitian ini juga diharapkan dapat berguna untuk para investor dalam mengambil keputusan investasi saham.

## 2. Metode
Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari website finance.yahoo.com yang mana saham tersebut ter- masuk pada Bursa Efek Indonesia sektor Perbankan. Data pene- litian ini merupakan harga penutupan saham pada saham yang termasuk LQ-45 pada 1 Februari hingga 28 Juni 2023. Selanjut- nya, dilakukan seleksi data dengan melakukan perhitungan un- tuk mencari nilai expected return dari setiap saham. Adapun sa- ham yang digunakan dalam pembentukan portofolio optimal ini ialah saham yang expected return -nya bernilai positif dan saham yang berdistribusi normal. Pada penelitian ini menggunakan sof- tware Microsoft Excel dalam perhitungannya. Adapun tahapan pembentukan portofolio optimal menggunakan metode Downsi- de Deviation sebagai berikut.
1. Return Saham
Return saham [6] dapat dihitung dengan Persamaan (1) .
R i ; t = ln S t S t − 1 , (1)
dengan S t merupakan harga saham ke- t dan S t − 1 merupak- an harga saham pada waktu t − 1 . 2. Expected Return Expected return merupakan keuntungan yang diharapkan oleh investor di masa mendatang atas investasi yang dila- kukan [13] . Expected return dinyatakan pada Persamaan (2) .
E ( R i ) = P T t = 1 R i ; t T − 1 , i = 1 , 2 ,. . .,n (2)
dengan
E ( R i ) : expected return dari saham i R i ; t : return dari saham i pada periode waktu ke- t T : jumlah periode waktu saham.
3. Nilai Downside Deviation
Pengukuran risiko di bawah target dengan metode Downside Deviation [6] menggunakan Persamaan (3) .
DD i = sP T t = 1 ( min ( R i ; t − b, 0)) 2 T − 1 , i = 1 , 2 ,. . .,n. (3)
Simbol i menggambarkan kode saham, sedangkan simbol b merupakan nilai target ( benchmark ) yang dapat ditentukan oleh investor. Benchmark risiko dapat berupa variabel acak, seperti laju inflasi dan rata-rata harian suku bank. Jika in- vestor mengasumsikan bahwa risiko adalah suatu kejadian ketika kehilangan modal, maka nilai b yang merupakan ben- chmark risiko sama dengan nol.
4. Kovarians Perhitungan kovarians pada metode Downside Deviation [6] menggunakan Persamaan (4) .
σ in = T X t =1 min [ R i ; t − b, 0] min [ R n ; t − b, 0] T − 1 ,
t = 1 , 2 , . . . , T. (4)
Selanjutnya, hasil perhitungan Persamaan (3) dan Persama- an (4) dapat dapat dinyatakan dalam Persamaan (5) .
X =      σ 11 σ 21 .. . σ n 1 σ 12 σ 22 .. . σ n 2 · · · · · · . .. · · · σ 1 n σ 2 n .. . σ nn      . (5)

## 5. Bobot Saham
Pembobotan pada portofolio dengan pendekatan Heuristik [6] menggunakan Persamaan (6) .
w = P − 1 d 1 n ( 1 n ) T P − 1 d 1 n (6)
dengan w
: matriks bobot saham P − 1 : invers matriks varians-kovarians
1 n : matriks kolom element 1 dengan dimensi n × 1 .
6. Expected Return Portofolio Perhitungan expected return dapat dihitung mengunakan ru- mus pada Persamaan (7) .
E ( R P ) = n X i =1 w i E ( R i ) (7)
dengan E ( R P ) : expected return dari portofolio w i : bobot portofolio dari saham i E ( R i ) : expected return dari saham i .
7. Risiko Portofolio
Perhitungan risiko portofolio dapat menggunakan varians [6] . Adapun rumus dari varians portofolio dapat dihitung mengunakan rumus pada Persamaan (8) .
σ 2 P = w 1 w 2 · · · w n M      w 1 w 2 .. . w n      . (8)
dengan
M =      σ 11 σ 21 .. . σ n 1 σ 12 σ 22 .. . σ n 2 · · ·
· · · . .. · · · σ 1 n σ 2 n .. . σ nn      , σ 2 P : varians portofolio
σ 12 : kovarians antara saham ke- 1 dan ke- 2 w 1 : bobot yang diinvestasikan untuk aset ke- 1 w n : bobot yang diinvestasikan untuk aset ke- n .
Berdasarkan portofolio yang terbentuk akan dilakukan ana- lisis pada kemungkinan risiko yang terjadi dengan menggunakan perhitungan VaR dengan Simulasi Historis dan perhitungan Expe- cted Shortfall . Dengan analisis kemungkinan risiko tersebut akan memberikan gambaran kepada investor kemungkinan kerugian secara maksimal selama periode waktu dan tingkat kepercayaan tertentu. Berikut merupakan penjelasaan perhitungan VaR dan Expected Shortfall.

## 1. Perhitungkan risiko VaR
VaR merupakan estimasi kerugian pada tingkat kepercayaan tertentu yang mungkin terjadi dengan periode waktu ter- tentu dan pada kondisi pasar yang normal. VaR dapat dicari dengan tiga metode, yaitu metode Varians-Kovarians, Monte Carlo, dan Simulasi Historis [14] . Perhitungan VaR menggu- nakan metode Simulasi Historis dapat menggunakan Persa- maan (9) .
V aR = V 0 P α √ t, (9)
dengan V 0 : modal awal investasi P α : nilai persentil ke- α t : periode waktu ke − t . 2. Expected Shortfall (ES) Expected Shortfall merupakan pengukuran risiko lainnya. Expected Shortfall sebagai ukuran risiko bersifat koheren dan juga memiliki sifat yang convex dan sub -additive . Expected Shortfall dapat dikatakan koheren jika memenuhi aksioma sebagai berikut [12] :
(a) Invarian terhadap translasi, yaitu penurunan atau pe- nambahan kerugian sebesar α akan menurunkan atau meningkatkan risiko sebesar α pada setiap variabel random. Pada setiap variabel random risiko X dan se- mua bilangan real α akan berlaku:
ES ( X + α ) = ES ( X ) + α.
(b) Subadditivity , yaitu risiko tidak bisa diperkecil dengan cara memisahkan kerugian yang ada atau bisa dikatak- an diversifikasi kerugian akan mengurangi risiko. Pada setiap variabel risiko X 1 dan X 2 akan berlaku:
ES ( X 1 + X 2 ) ≤ ES ( X 1 ) + ES ( X 2 ) .
(c) Positif homogen, yaitu perkalian kerugian dengan kon- stanta α menghasilkan ukuran risiko menjadi α kali da- ri ukuran risiko sebelumnya. Pada setiap variabel ran- dom risiko X dan konstanta yang bukan negatif λ akan berlaku:
ES ( λX ) = λES ( X ) .
Gambar 1. Return saham
(d) Kemonotonan, yaitu apabila terdapat dua variabel ran- dom risiko dan satu di antara variabel random risiko ada yang lebih kecil dari variabel risiko lainya, maka ukuran risikonya juga akan lebih kecil. Pada setiap va- riabel random risiko X 1 dan X 2 , jika dengan X 1 ≤ X 2 akan berlaku:
ES ( X 1 ) ≤ ES ( X 2 ) .
Expected Shortfall dikatakan convex memenuhi aksioma su- badditivity serta positif homogen [15] . Kelebihan lain dari Expected Shortfall ialah mampu menghitung risiko pada da- ta yang berdistribusi normal maupun tidak normal. Oleh karena itu, Expected Shortfall juga dapat menggambarkan ri- siko dari diversifikasi dalam meminimumkan risiko. Expe- cted Shortfall di tingkat kepercayaan (1 − α ) dengan periode waktu t dengan besar modal awal investasi V 0 dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut.
ES (1 − α ) = V 0 r + σ d ϕ ( v 1 − α ) α ! √ T , (10)
dengan ϕ merupakan fungsi densitas normal standar, r di- definisikan sebagai rata-rata return portofolio dan σ adalah
standar deviasi portofolio.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini dibahas pembentukan portofolio optimal menggunakan metode Downside Deviation . Setelah diperoleh por- tofolio optimal, dilakukan analisis lanjutan mengenai kemungkin- an risiko yang akan terjadi menggunakan nilai VaR dan Expected Shortfall . Berdasarkan kedua perhitungan kemungkinan risiko, dilakukan perbandingan perhitungan mana yang lebih baik da- lam mengestimasikan risiko secara maksimal.

## 3.1. Pembentukan Portofolio Optimal dengan Metode Downside Deviation
Pada penelitian ini sebanyak tujuh saham dengan banyak data adalah 93 data. Kemudian, dari data tersebut akan dica- ri nilai expected return dari masing-masing saham. Nilai expected return adalah keuntungan yang diinginkan oleh investor atas in- vestasi yang dilakukan dan nilainya bisa berupa positif maupun negatif. Dilakukan perhitungan return terlebih dahulu menggu- nakan Persamaan (1) , kemudian dapat dilanjutkan perhitungan nilai expected return menggunakan Persamaan (2) . Hasil expected return secara keseluruhan dapat dilihat pada Tabel 1 .
Tabel 1. Nilai expected return saham No Nama Perusahaan Kode Saham E ( R i ) 1. PT. Bank Jago Tbk ARTO.JK -0,000034 2. PT. Bank Central Asia Tbk BBCA.JK 0,000801 3. PT. Bank Negara Indonesia (Per- sero) Tbk BBNI.JK 0,000030 4. PT. Bank Rakyat Indonesia (Per- sero) Tbk BBRI.JK 0,001606 5. PT. Bank Tabungan Negara (Per- sero) Tbk BBTN.JK -0,000364 6. PT. Bank Mandiri (Persero) Tbk BMRI.JK 0,000757 7. PT. Bank BRI Syariah Tbk BRIS.JK 0,002482
Berdasarkan Tabel 1 , dapat dilihat bahwa ada saham yang memiliki nilai expected return positif dan negatif. Saham yang de- ngan expected return bernilai positif artinya harga saham menun- jukkan kenaikan nilai return , sedangkan ARTO.JK dan BBTN.JK me- nunjukan nilai expected return negatif yang artinya saham menga- lami tren penurunan.
Pada penelitian ini, digunakan saham yang memiliki nilai expected return positif dan data return berdistribusi normal. Berda- sarkan uji normalitas data menggunakan uji Kolmogrov-Smirnov, terdapat satu saham yang tidak berdistribusi normal, yaitu sa- ham dengan kode BMRI.JK. Pergerakan return saham yang memi- liki expected return positif dan berdistribusi normal dapat dilihat pada Gambar 1 . Gambar 1 merupakan saham yang memiliki expected return bernilai positif dan berdistribusi normal. Terlihat dari grafik yang terbentuk, data bergerak secara fluktuatif karena harga saham dapat berubah setiap harinya.
Tahapan selanjutnya adalah menghitung nilai Downside De- viation dari saham untuk mengukur nilai risiko berdasarkan re- turn di bawah benchmark . Benchmark yang digunakan sebesar nol karena penelitian ini akan berfokus pada investasi dari portofo- lio yang terbentuk apabila mengalami kerugian secara maksimal. Perhitungan nilai Downside Deviation menggunakan Persamaan (3) dan nilai kovarians dihitung dengan menggunakan Persamaan (4) . Kedua perhitungan tersebut digunakan untuk penyusunan bobot portofolio optimal dan hasilnya disajikan menggunakan matriks varians-kovarians menggunakan Persamaan (5) , yaitu
X =     0 , 01829 0 , 00004 0 , 00004 0 , 00851 0 , 00006 0 , 00003 0 , 00003 0 , 00002 0 , 00006 0 , 00003 0 , 00003 0 , 00002 0 , 00922 0 , 00003 0 , 00003 0 , 00666
   
Hasil nilai varians yang cenderung rendah mengartikan ke- mungkinan tingkat pengembalian akan tidak terlalu berisiko atau memberikan keuntungan dengan tingkat pengembalian rata-rata. Kemudian, untuk nilai kovarians yang positif mengartikan pe- ngembalian dari kedua saham cenderung naik ataupun turun di waktu bersamaan sehingga dapat mengukur pergerakan dua sa- ham.
Berdasarkan matriks varians-kovarian yang telah ada, ma- ka perhitungan bobot portofolio optimal dengan menggunakan Persamaan (6) dapat diperoleh dan disajikan pada Tabel 2 .
Berdasarkan Tabel 2 , diperoleh komposisi bobot terbesar dari saham BBCA.JK, yaitu sebesar 34,948% dan yang terkecil dari saham BRIS.JK. Dari portofolio optimal yang terbentuk, diperoleh
Tabel 2. Bobot saham optimal
Saham Bobot BRIS.JK 12,612% BBRI.JK 27,316% BBNI.JK 25,135% BBCA.JK 34,948%
perhitungan nilai return portofolio dengan menggunakan Persa- maan (7) , yaitu sebesar 0,104 yang artinya ketika investor mela- kukan investasi dengan portofolio tersebut akan memungkinkan keuntungan yang akan diperoleh sebesar 10,4% dari modal awal. Selanjutnya, untuk risiko portofolio dapat dihitung menggunak- an Persamaan (8) dan menghasilkan nilai 7 , 5868 × 10 − 5 , sehing- ga nilai standar deviasi portofolio σ p = 0 , 00871 yang artinya kemungkinan kerugian yang terjadi sebesar 0,871% dari modal awal.

## 3.2. Perbandingan Nilai Value at Risk dan Expected Shortfall
Berdasarkan portofolio yang telah terbentuk selanjutnya di- lakukan analisis terhadap kemungkinan risiko yang akan terjadi ketika menggunakan portofolio tersebtu. Analisis menggunakan nilai VaR dengan Simulasi Historis dengan persamaan (9) dan nilai Expected Shortfall dengan menggunakan persamaan (10) . Hasil ke- mungkinan kerugian yang akan terjadi ketika menginvestasikan modal awal sebesar Rp100.000.000 menggunakan tingkat keper- cayaan bervariasi dan periode satu hari dapat dilihat pada Tabel 3 .
Tabel 3. Perbandingan nilai VaR dan Expected Shortfall
α VaR ES 1% Rp1.959.544 Rp2.428.404 5% Rp1.070.650 Rp1.898.822 10% Rp889.200 Rp1.631.418
Berdasarkan Tabel 3 , dapat dilihat bahwa semakin kecil ni- lai α yang digunakan, hasil estimasi kerugian akan semakin besar sehingga mengurangi peluang kesalahan dari hasil estimasi ke- rugian portofolio. Begitu pula sebaliknya, dengan nilai α yang besar akan menghasilkan nilai estimasi kerugian yang kecil se- hingga memperbesar peluang dari kesalahan estimasi kerugian portofolio. Kemudian, apabila ditinjau berdasarkan nilai estima- si kerugiannya, untuk tingkat signifikansi 99% menghasilkan nilai Expected Shortfall lebih besar Rp 468.860,- daripada VaR. Selisih nilai VaR dan Expected Shortfall pada tingkat signifikansi 95%, ya- itu nilai Expected Shortfall lebih besar Rp 828.172,- daripada VaR. Sementara, pada tingkat signifikansi 90% nilai Expected Shortfall lebih besar Rp 742.218,-. Hal ini menunjukan nilai Expected Shor- tfall dapat memberikan gambaran risiko pada pasar kepada in- vestor lebih jelas dan maksimal daripada nilai VaR. Analisis ini dapat membantuk investor dalam membuat strategi dalam kepu- tusan investasi karena telah memberikan gambaran secara mak- simal atas kemungkinan kerugian yang akan terjadi.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan di bagian sebelumnya diperoleh portofolio optimal dengan menggunakan metode Do- wnside Deviation menghasilkan kombinasi bobot yang dengan rin- cian saham dengan kode BRIS.JK sebesar 12,612%, BBRI.JK se-
besar 27,316%, BBNI.JK sebesar 25,135%, dan BBCA.JK sebesar 34,938%. Adapun nilai expected return portofolio sebesar 0,104 dan dengan kepercayaan 99% diperoleh nilai Expected Shortfall de- ngan nilai estimasi sebesar 0,0243 lebih akurat daripada VaR yang sebesar 0,0196. Hal ini mengartikan apabila investor melakukan investasi sebesar Rp100.000.000 dengan rentang waktu satu ha- ri ke depan dan menggunakan tingkat kepercayaan 99% kerugian yang mungkin terjadi tidak akan melebihi Rp2.428.404. Oleh ka- rena itu, dapat disimpulkan bahwa Expected Shortfall lebih mak- simal dalam pengukuran kemungkinan risiko yang terjadi dalam berinvestasi.
Kontribusi Penulis. Indah Nugrahaeni: Konseptualisasi, metodologi, perangkat lunak, validasi, analisis formal, investigasi, sumber daya, ku- rasi data, penulisan — persiapan draf awal. Hendra Perdana: Penulisan — tinjauan dan penyuntingan, visualisasi, supervisi. Neva Satyahadewi: Penulisan — tinjauan dan penyuntingan, administrasi proyek, peroleh- an dana. Semua penulis telah membaca dan menyetujui versi manuskrip yang diterbitkan.
Ucapan Terima Kasih. Para penulis menyampaikan terima kasih kepada editor dan reviewer atas pembacaan yang cermat, kritik yang mendalam, dan rekomendasi yang praktis untuk meningkatkan kualitas tulisan ini.
Pembiayaan. Penelitian ini tidak menerima pembiayaan eksternal.
Konflik Kepentingan. Para penulis menyatakan tidak ada konflik kepen- tingan yang terkait dengan artikel ini.

## Referensi
[1] E. Tandelilin, “Dasar-dasar manajemen investasi,” Manajemen Investasi , vol. 34, pp. 117-121, 2010.
[2] F. S. Mar’ati, “Mengenal Pasar Modal (Instrumen Pokok dan Proses Go Public ),” Among Makarti , vol. 3, no. 1, pp. 79–88, 2010. doi: 10.52353/ama.v3i1.19 .
[3] S. Hasbiah, Anwar, and B. Bado, “Model Markowitz dalam Keputusan Inves-
tasi Saham pada Index LQ45 di Bursa Efek Indonesia,” Jekpend , vol. 5, no. 1, pp. 69–77, 2022. doi: 10.26858/jekpend .
[4] I. W. E. Sultra, M. R. Katili, and M. R. F. Payu, “Metode Simulasi Historis untuk Perhitungan Nilai Value At Risk pada Portofolio dengan Model Markowitz,” Euler : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi , vol. 9, no. 2, pp. 94–102, Dec. 2021. doi: 10.34312/euler.v9i2.11518 .
[5] E. P. Setiawan and D. Rosadi, “Model Pengoptimuman Portofolio Mean- Variance dan Perkembangan Praktisnya,” Jurnal Optimasi Sistem Industri , vol. 18, no. 1, pp. 25–36, May 2019. doi: 10.25077/josi.v18.n1.p25-36.2019 .
[6] I. B. A. Darmayuda, K. Dharmawan, and K. Sari, “Estimasi Expected Shortfall dalam Optimalisasi Portofolio dengan Metode Downside Deviation pada Sa- ham IDXHEALTH,” E-Jurnal Matematika , vol. 12, no. 2, pp. 114–120, 2023. doi: 10.24843/MTK.2023.v12.i02.p408 .
[7] Y. Konan, D. Kusnandar, and N. Imro’ah, “Penerapan Metode Exponentially Weighted Moving Average dan Metode Semi Varians dalam Perhitungan Risiko Portofolio Saham,” Bimaster: Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapan- nya , vol. 11, no. 2, pp. 309–318, 2022. doi: 10.26418/bbimst.v11i02.53482 .
[8] H. J. Atmaja, “Analisis Pemilihan Portofolio Optimal pada 27 Saham LQ45 BEI,” Universitas Terbuka, 2011.
[9] R. D. Ramadhan, S. R. Handayani, and M. G. W. Endang, “Analisis pemilihan Portofolio Optimal dengan Model dan Pengembangan dari Portofolio Mar- kowitz (Studi pada Indeks BISNIS-27 di Bursa Efek Indonesia periode 2011- 2013),” Jurnal Administrasi Bisnis , vol. 14, no. 1, pp. 1–10, 2014.
[10] S. A. Heryanti, “Perhitungan Value at Risk pada Portofolio Optimal : Studi Perbandingan Saham Syariah dan Saham Konvensional,” IKONOMIKA , vol. 2, no. 1, pp. 75–84, May 2017. doi: 10.24042/febi.v2i1.943 .
[11] R. Rahmawati, A. Rusgiyono, A. Hoyyi, and D. A. I. Maruddani, “ Expected Shortfall u ntuk Mengukur Risiko Kerugian Petani Jagung,” Media Statistika , vol. 12, no. 1, pp. 117–128, Jul. 2019. doi: 10.14710/medstat.12.1.117-128 .
[12] E. K. Dewi, D. Ispriyanti, and A. Rusgiyono, ”Expected Shortfall pada Por- tofolio Optimal dengan Metode Single Index Model (Studi Kasus pada Sa- ham IDX30),” Jurnal Gaussian , vol. 10, no. 2, pp. 269-278, May. 2021. doi: 10.14710/j.gauss.10.2.269-278 .
[13] R. T. M. C. Simorangkir, “Pengaruh Kinerja Keuangan terhadap Return Saham Perusahaan Pertambangan,” Jurnal Bisnis dan Akuntansimn , vol. 21, no. 2, pp. 155–164, Dec. 2019. doi: 10.34208/jba.v21i2.616 .
[14] A. Solihatun, L. Gubu, E. Cahyono, and L. O. Saidi, “Perhitungan Value at Risk (VaR) pada Portofolio Saham IDX Sektor Keuangan (IDXFINANCE) menggu- nakan Metode Simulasi Historis ( Historical Simulation Method ),” JMKS (Jurnal Matematika dan Statistika) , vol. 3, no. 1, pp. 245–254, 2023.
[15] Y. Saepudin, H. Yasin, and R. Santoso, “Analisis Risiko Investasi Saham Tung- gal Syariah dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES),” Jurnal Ga- ussian , vol. 6, no. 2, pp. 271–280, 2017. doi: 10.14710/j.gauss.6.2.271-280 .