Abstrak— Sistem pendulum kereta merupakan salah satu sistem nonlinea r dan tidak stabil. Permasalahan kontrol yang terdapat pada  sistem  pendulum  kereta  adalah  stabilisasi, tracking dan swing-up .  Pada  makalah  ini  akan  membahas  mengenai stabilisasi  sistem  pendulum  kereta  dengan  menggunakan metode Linear Quadratic Gaussian . Permasalahan dalam desain sistem kontrol pada sistem pendulum kereta ini yaitu bagaimana cara  untuk  mengatasi noise dan disturbance yang  terjadi  pada plant sistem  pendulum  kereta  dengan  menstabilkan  posisi pendulum  agar  tetap  pada  posisi equilibrium nya  dan  posisi kereta mampu mengikuti sinyal referensi yang diberikan. Model nonlinear dari sistem pendulum kereta dilinearisasikan sehingga akan dihasilkan model linear dari sistem. Dari pemodelan linear tersebut dirancang sebuah kontroler state feedback menggunakan metode optimal Linear Quadratic Gaussian . Gain state feedback dan gain integral diperoleh dengan menggunakan metode Linear Quadratic Regulator . Hasil simulasi menunjukkan  bahwa  posisi  kereta  dapat  mengikuti  sinyal referensi  dengan  tetap  mempertahankan  sudut  pendulum  di sekitar 0 radian. Sedangkan untuk pemberian nilai varian noise yang  masih  dapat  diterima  oleh  sistem  sebesar  0,0005  dengan nilai Mean  Square  Error (MSE)  sebesar  0,0245  untuk  posisi kereta dan 0,0156 untuk posisi pendulum.
Kata  Kunci— Sistem  Pendulum  Kereta, Linear  Quadratic Gaussian (LQG), Linear  Quadratic  Regulator (LQR),  Sistem Servo Tipe 1, Kalman Filter.

## I. PENDAHULUAN
EIRING  dengan  perkembangan  teknologi  dan  semakin banyaknya sistem yang nonlinear maka dibutuhkan kontrol yang tepat agar suatu sistem dapat memberikan respon yang baik. Sistem pendulum  kereta  merupakan  salah  satu  sistem nonlinear dan  tidak stabil.
Permasalahan kontrol yang terdapat pada sistem pendulum kereta adalah  stabilisasi, tracking dan swing-up .  Stabilisasi  merupakan upaya untuk membuat batang pendulum tetap menjaga kestabilannya pada posisi terbalik yaitu pada sudut nol radian. Tracking merupakan upaya  yang  dilakukan  untuk  mengontrol  posisi  kereta  mengikuti sinyal  referensi  yang  diberikan.  Sedangkan swing-up merupakan upaya  yang  dilakukan  untuk  mengayunkan  batang  pendulum  dari posisi awal ke posisi terbalik.
Pada  makalah  ini  permasalahan  yang  akan  diselesaikan  yakni mengatur posisi kereta sesuai dengan sinyal referensi step sekaligus menggerakkan  batang  pendulum  dari  posisi  awal  ke  posisi equilibrium dan  menstabilkannnya.  Beberapa  metode  telah dikembangkan  untuk  mendapatkan  solusi  dari  masalah tracking, diantaranya  dengan  menggunakan  metode  Fuzzy- Optimal [1]  dan Fuzzy model Following [2]. Penyelesaian permasalahan dari sistem pendulum  kereta  menggunakan  metode  LQG  ( Linear  Quadratic Gaussian )  diharapkan  dapat  menghasilkan  respon  yang  baik  dan dapat mengatasi noise dan disturbance yang terdapat pada plant . Dan juga pada [3] dikembangkan kontrol tracking dengan menggunakan desain  Sistem  Servo  Tipe  1  dengan plant tanpa  integrator  yang diharapkan  agar plant dapat  mengikuti  sinyal  referensi  yang diberikan.  Sistem  pendulum  kereta  yang nonlinear perlu
direpresentasikan  terlebih  dahulu  kedalam  model  linear  agar  lebih mudah dalam pengendaliannya.

## II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Sistem Pendulum Kereta [4]
Sistem  pendulum  kereta  merupakan  salah  satu benchmark yang merupakan plant khusus  yang  dapat  digunakan  untuk  mempelajari metode-metode  yang dapat digunakan untuk plant nonlinear . Oleh sebab  itu  untuk  dapat  mengontrol  sistem  yang  bersifat nonlinear tersebut diperlukan teknik kontrol tertentu yang dapat menstabilkan dan  membuat  batang  pendulum  tetap  pada  posisi equilibrium nya yaitu pada sudut nol radian.
Sistem pendulum kereta merupakan sistem fisik yang terdiri dari sepasang  batang  pendulum  yang  bersumbu  pada  kedua  sisi  kereta. Kereta  bebas  bergerak  pada  arah  horizontal  sedangkan  batang pendulum  hanya  dapat  bergerak  pada  arah  vertikal.  Sebuah  gaya kontrol 𝑢 ,  sejajar  dengan  lintasan  yang  diterapkan  pada  kereta. Massa kereta dilambangkan dengan 𝑚 𝑐 dan massa pendulum dengan 𝑚 𝑝 .  Sedangkan 𝑙 adalah  jarak  antara  sumbu  rotasi  dengan  pusat massa  sistem. 𝐽 adalah  momeninersia  dari  sistem  pendulum  kereta yang  berhubungan  dengan  pusat  massa.  Gambar  1  menunjukkan skematis dari sistem pendulum kereta.
Gambar 1. Skematis Sistem Pendulum Kereta [4]
Pada Gambar 2 menunjukkan gaya-gaya yang bekerja pada sistem pendulum  kereta.  Melihat free  body diagram pada  Gambar  2  akan dapat diketahui gaya-gaya yang bekerja pada bidang horizontal dan vertikal. Gaya-gaya yang bekerja pada bidang horizontal adalah gaya kontrol 𝑢 dan  gaya  gesek 𝑇 𝑐 .    Massa  keseluruhan  sistem (𝑚) merupakan  penjumlahan  massa  kereta (𝑚 𝑐 )  dan  massa  pendulum (𝑚 𝑝 ). Sedangkan gaya-gaya yang bekerja pada bidang vertikal yaitu gaya normal 𝑉 dan gaya berat sistem (𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 )𝑔 .

## Stabilisasi Sistem Pendulum Kereta Menggunakan Kontroler Linear Quadratic Gaussian
S Sumbu rotasi Pusat massa sistem 𝑙 𝑥 1 Titik tengah rel 𝑥 2 𝑚 𝑝 𝑚 𝑐 𝑢 Motor DC 𝑥 1 𝑇 𝑐 𝑢 𝑉 𝑙 𝑥 2 𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 𝑔

## Devina Rahmawati, Trihastuti Agustinah
Departemen Teknik Elektro - Fakultas Teknologi Elektro Institut Teknologi Sepuluh Nopember E-mail: devinarahmawati39@gmail.com, trihastuti@elect-eng.its.ac.id
Sistem  pendulum  kereta  memiliki  empat state yaitu 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , dimana 𝑥 1 : posisi kereta diukur dari titik tengah rel 𝑥 2 : sudut batang pendulum terhadap sumbu vertikal, diukur berlawanann dengan arah jarum jam ( 𝑥 2 =0 menyatakan batang pendulum pada posisi terbalik)
𝑥 3 : kecepatam kereta 𝑥 4 : kecepatan sudut batang pendulum 𝑇 𝑐 menyatakan gaya gesekan gerak kereta pendulum. 𝐷 𝑝 adalah momen gesek ( moment of friction ) pada pergerakan sudut pendulum, proporsional  untuk  kecepatan  sudutnya  adalah Dp  =  fp  x4 .  Gaya reaksi pada kereta 𝑉 berarah vertikal. Koordinat arah horizontal pada pusat  massa  sama  dengan (𝑥 1 − 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 ) dan  arah  vertikalnya  (l cos 𝑥 2 ). Sesuai dengan hukum kedua Newton, persamaan gerak dapat ditulis menjadi:
𝑢 − 𝑇 𝑐 =  𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 (𝑥 1 − 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 ) ′′ (1)
𝑉 −  𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 𝑔 =  𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 (l cos𝑥 2 ) ′′ (2)
(𝑢 − 𝑇 𝑐 )𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 + 𝑉𝑙 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝐷 𝑝 = 𝐽𝑥 2 ′′
(3)
Persamaan  (1)  dan  (2)  menyatakan  gerak  translasi  dari  pusat massa  sistem,  sedangkan  Persamaan  (3)  menyatakan  gerak  rotasi sistem  terhadap  pusat  massa  sistem.  Model  matematika  dalam bentuk persamaan state dituliskan sebagai berikut: 𝑥 1 ′ = 𝑥 3 (4) 𝑥 2 ′ = 𝑥 4 (5)
𝑥 3 ′ = 𝑎(𝑢 − 𝑇 𝑐 − 𝜇𝑥 4 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 ) (𝐽 +  𝜇𝑙𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 ) + 𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 (𝜇g𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝑓 𝑝 𝑥 4 ) (𝐽 +  𝜇𝑙𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 ) (6) 𝑥 4 ′ = (𝑢 − 𝑇 𝑐 − 𝜇𝑥 4 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 )𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 + 𝜇g𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝑓 𝑝 𝑥 4 𝐽 +  𝜇𝑙𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2
(7)
dengan
𝑎 = 𝑙 2 + 𝐽 𝑚 𝑐 +𝑚 𝑝 (8)
𝜇 = (𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 )𝑙
(9)
Model  tersebut  dilinearisasi  dengan  menggunakan  metode Jacobian sehingga didapatkan model state space .

## B. Linear Quadratic Gaussian (LQG)
Linear Quadratic Gaussian (LQG) merupakan salah satu metode kontrol  optimal.  Pada  dasarnya  kontrol  optimal  merupakan  salah satu  metode  kontrol  yang  modern.  Kontrol  optimal  memberikan solusi untuk menentukan nilai sinyal kontrol 𝑢 yang optimal dengan nilai  dari  indeks  performansi  yang  minimum.  Indeks  performansi adalah  kuantitatif  performansi  dari  suatu  sistem,  penekanan diberikan pada spesifikasi sistem yang diprioritaskan, misalnya error dan  sinyal  kontrol. Linear  Quadratic  Gaussian (LQG)  sendiri merupakan perkembangan dari konsep Linear Quadratic Regulator (LQR) yakni dengan menambahkan estimator ( Kalman Filter ) yang berfungsi  untuk  menyaring noise .  Pengaruh noise pada  kontroler menyebabkan  tidak  optimalnya  sinyal  kontrol  pada  aktuator, sehingga  untuk  mengoptimalkan input pada  proses (𝑢) diperlukan penguat kontroler regulator (𝐾) dan penguat estimator Kalman filter ( 𝐿 ). Linear  Quadratic  Regulator (LQR)  merupakan  metode  kontrol optimal yang bertujuan untuk membuat semua state sistem dari nilai sembarang menjadi sama dengan 0. Untuk mendapatkan respon yang optimal maka perlu dicari nilai gain 𝐾 . Berikut merupakan diagram blok dari LQR yang ditunjukkan pada Gambar 3.
Apabila dietahui persamaan plant seperti pada Gambar 3 untuk mendesain LQR dengan 𝑢(𝑡) = −𝐾(𝑡)𝑥(𝑡) (10) dimana 𝐾 merupakan matriks gain state feedback dan 𝑢(𝑡) tidak memiliki batasan ( unconstrained ). Maka akan didapatkan persaan sebagai berikut:[5]
ẋ = 𝐴𝑥 − 𝐵𝐾𝑥 = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥
(11)
dengan indeks performansi yang digunakan [5]
𝐽(𝑡 0 ) = 1 2 ∫ ( 𝑇 𝑡 0 𝑥 𝑇 𝑄(𝑡)𝑥 + 𝑢 𝑇 𝑅(𝑡)𝑢)𝑑𝑡 (12) variabel 𝑥 adalah vektor state orde ke n, 𝑢 adalah vektor kontrol orde n, 𝐴 adalah matriks state 𝑛 × 𝑛 , 𝐵 adalah matriks state 𝑟 × 𝑟 . Nilai matriks pembobot 𝑄 dan 𝑅 ditentukan melalui trial and error dengan syarat bahwa kedua matriks tersebut harus diagonal. Matriks 𝑄 merupakan  matriks  positif semidefinit dan  matriks 𝑅 merupakan matriks positif definit. Selain itu pedoman untuk pemilihan matriks pembobot 𝑄 dan 𝑅 adalah sebagi berikut:
1. Semakin besar nilai 𝑄 , maka akan semakin besar harga elemen penguatan 𝐾 sehingga  mempercepat  sistem  untuk  mencapai keadaan stabil.
2. Semakin  besar  harga 𝑅 ,  maka  akan  memperkecil  harga penguatan 𝐾 dan memperlambat keadaan tunak.
Kalman filter merupakan  estimator  yang  dapat  melakukan estimasi state dari output yang  terdapat  pada plant yang  memiliki noise . Dengan kata lain bahwa Kalman filter dapat menghilangkan noise .  Berikut  merupakan  diagram  blok  dari Kalman  filter dengan disturbance pada plant dan noise pada pengukuran.
Gambar 4. Diagram Blok Kalman Filter [6]
Plant linear  yang  digunakan  seperti  pada  Gambar  4  dengan kontrol state feedback sebagai berikut:
𝑢 = −𝐾𝑥
(13)
maka  diperoleh  bentuk  persamaan  sistem closed  loop sebagai berikut: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝐺𝑤 (14) 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝑣 (15) dengan 𝐴 , 𝐵 dan 𝐺 merupakan  matriks  dengan  dimensi  yang sesuai.  Sedangkan  sinyal 𝑤(𝑡) merupakan disturbance yang  tidak diketahui sebagai gangguan pada plant dan sinyal 𝑣 merupakan noise pada pengukuran. Keduanya merupakan proses acak gaussian white noise . Sehingga untuk kondisi awal yang diasumsikan 𝑥(0) memiliki nilai mean 𝑥̅ 0 dan kovarian 𝑃 0 , dapat dituliskan 𝑥̃(0) ≈ (𝑥̃ 0 , 𝑃 0 ) (16)
Dapat  diasumsikan  bahwa disturbance pada plant dan noise di pengukuran sebagai berikut: 𝑤(𝑡)~(0, Q)      ; 𝑄 ≥ 0 (17) 𝑣(𝑡)~(0, 𝑅)       ; 𝑅 > 0 (18) C. Desain Sistem Servo Tipe 1 [7]
Sistem  kontrol tracking berbasis  servo  tipe  1  dirancang  untuk mengontrol posisi kereta dari sistem pendulum kereta sehingga dapat mengikuti  sinyal  referensi  yang  diberikan  sekaligus  menjaga keseimbangan  batang  pendulum  dari  sistem  agar  tetap  pada  posisi terbalik  yaitu  pada  posisi equilibrium nya.  Pencarian  matriks  gain kontrol 𝐾 dan  gain  integrator 𝐾 𝑖 dapat  dilakukan  dengan menggunakan  teknik pole  placement maupun  LQR.  Sistem pendulum  kereta  merupakan  sistem  tanpa  integral.  Prinsip  dari
sistem servo tipe 1 adalah adanya integral seperti yang diperlihatkan diagram  blok  pada  Gambar  5. Pada  diagram  blok  Gambar  5  dapat diketahui bahwa suatu sistem mempunyai bentuk persamaan sebagai berikut:
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (19) 𝑦 = 𝐶𝑥 (20) Persamaan  sinyal input kontrol  dan error masing-masing dinyatakan dalam persamaan berikut ini. 𝑢 = −𝐾𝑥 + 𝑘 𝑖 𝜉 (21) 𝜉 ̇ = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝐶𝑥 (22) dengan: 𝑥 = State vektor pada plant 𝑢 = Sinyal kontrol
𝑦 = Sinyal output 𝜉 = Output integrator 𝑟 = Sinyal referensi (fungsi step )
Dari  persamaan  sistem  yang  telah  diketahui  kemudian digabungkan  dengan  Persamaan  (22) maka  diperoleh  sistem augmented sebagai berikut:
[ x  (𝑡)   (𝑡) ] = ⌈ 𝐴 0 −𝐶 0 ⌉ [ 𝑥(𝑡)  (𝑡)] + [ 𝐵 0 ] 𝑢(𝑡) + [ 0 1 ] 𝑟(𝑡) (23)
Gambar 5. Struktur Sistem Servo Tipe 1 dengan plant tanpa  Integrator [7]

## II. PERANCANGAN SISTEM
Perancangan sistem sebuah kontroler state feedback menggunakan  metode  optimal Linear  Quadratic  Gaussian (LQG) dapat dilihat pada Gambar 6.

## Gambar 6. Diagram Blok Kontrol LQG Sistem Servo
Pada  perancangan  simulasi plant sistem  pendulum  kereta  akan dijelaskan mengenai pemodelan sistem pendulum kereta menggunakan Simulink MATLAB.  Selanjutnya  akan  dilakukan linearisasi model matematika sistem pendulum kereta di  titik kerja yang diambil yaitu sudut 0 atau 0 radian. Persamaan (4), Persamaan (5), Persamaan (6) dan Persamaan (7) dapat dilinearisasikan dengan mendefinisaikan terlebih dahulu nilai 𝑓(𝑥) dan ℎ(𝑥, 𝑢) . Selanjutnya dilakukan penurunan persamaan sehingga dihasilkan elemen-elemen dari  matriks 𝐴 dan 𝐵 .  Dari  hasil  penurunan  tersebut  nilai 𝑥 1 tidak berpengaruh, oleh karena itu dilakukan linearisasi titik kerja pada 𝑥 2 yaitu 0 derajat atau 0 radian. Sedangkan untuk sinyal kontrol 𝑢 = 0 . Sehingga  persamaan state space dari  linearisasi  yang  dihasilkan sebagi berikut:
𝑥 = [0 0 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0 diperoleh
𝐴 = [
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0,2525 0 −0,0001 0 15,0319 0 −0,0079 ] ; 𝐵 = [ 0 0 0,8272 1,2377 ] (24)
Setelah memperoleh hasil linearisasi di sekitar titik 0 yang berupa state  space ,  selanjutnya  dapat  ditentukan nilai  gain  Kalman 𝐾 dan gain integrator 𝐾 𝑖 . Menentukan gain Kalman 𝐾 dan gain integrator 𝐾 𝑖 dibutuhkan penetuan lima nilai pada diagonal matriks pembobot 𝑄 dikarenakan  terdapat  lima  state  pada  sistem.  Pada  makalah  ini penentuan nilai matriks pembobot 𝑄 dan 𝑅 ditentukan dengan cara trial  and  error dengan  melihat  hasil  respon  yang  terbaik. Menggunakan syntax lqr pada MATLAB maka akan diperoleh nilai gain Kalman 𝐾 dan gain integrator 𝐾 𝑖 sebagai berikut:
𝐾 = [−41,7795  119,5742  − 27,8509  30,8106] (25) 𝐾 𝑖 = [22,3607] (26)
Menentukan  gain  filter  dengan  menggunakan  metode pole placement dapat dilakukan dengan melihat peletakan pole dominan. Sedangkan untuk pole state yang lainnya tidak boleh lebih kecil dari pole dominan.  Penentuan pole dominan  dapat  dicari  dengan menggunakan  pendekatan  respon  orde  2  dengan  menentukan  nilai rasio  peredaman  ( 𝜁 )  dan  frekuensi  alami  tak  teredam  ( 𝜔 𝑛 ). Sedangkan untuk penentuan pole pada observer minimal harus lebih cepat  untuk  respon  waktu  yang  dihasilkannya.  Dengan menggunakan program MATLAB dengan syntax place , maka akan diperoleh nilai gain filter 𝐿 yaitu:
𝐿 = [ 7,2001 −0,0148 −0,0039 7,9920 12,9504 0,1976 −0,0149 30,9283 ] (27)
Selain  itu  nilai  gain  filter  juga  dapat  ditentukan  dengan menggunakan  metode Kalman Filter .  Sistem  ini  memiliki  nilai covariance noise yaitu 𝑄 𝑛 dan 𝑅 𝑛 ,  dimana  nilai-nilai  tersebut ditentukan  dengan trial  and  error .  Penentuan  matriks 𝑄 𝑛 dan 𝑅 𝑛 memiliki syarat yaitu matriks tersebut merupakan matriks simetris, dengan  melihat  hasil  respon  yang  terbaik.  Dengan  menggunakan program  MATLAB  dengan syntax Kalman ,  maka  akan  diperoleh nilai gain filter 𝐿 yaitu:
𝐿 = [ 1,5332 10,2198 −7,4878 22,6475 2,9915 80,7253 −47,5420 175,3561 ] (28) IV. HASIL SIMULASI SISTEM DAN ANALISA
Simulasi yang pertama dilakukan yaitu simulasi tanpa pemberian noise dan disturbance . Simulasi dilakukan dengan beberapa metode yaitu pole placement dan Kalman filter . Pada Gambar 7 merupakan hasil simulasi dengan metode pole placement dimana respon posisi kereta yang dihasilkan memiliki ov ershoot sebesar -0,31 meter untuk posisi  kereta  yang  belum  terestimasi  dan  -0,41  meter  untuk  posisi kereta  yang  telah  terestimasi.  Waktu  yang  dibutuhkan  oleh  posisi kereta  untuk  dapat  mengikuti  sinyal  referensi  setelah  6,5  detik. Sedangkan respon posisi pendulum sebelum tersetimasi mengalami overshoot sebesar -0,32 rad dan posisi pendulum setelah terestimasi memiliki overshoot sebesar  -0,36  radian.  Waktu  yang  diperlukan posisi pendulum mencapai sudut 0 radian yaitu setelah 4 detik. Hasil sinyal  kontrol  memiliki overshoot sebesar  -19  Newton.  Hasil simulasi dengan metode Kalman filter dapat dilihat pada Gambar 8 respon posisi kereta yang dihasilkan memiliki overshoot sebesar -0,2 meter  untuk  posisi  kereta  yang  belum  terestimasi  dan overshoot sebesar  -0,39  meter  untuk  posisi  kereta  yang  telah  terestimasi. Sedangkan  waktu  yang  dibutuhkan  oleh  posisi  kereta  untuk  dapat mengikuti  sinyal  referensi  setelah  4,5  detik.  Hasil  respon  posisi pendulum  sebelum  tersetimasi  mengalami overshoot sebesar  -0,38 rad  dan  posisi  pendulum  setelah  terestimasi  memiliki overshoot sebesar -0,4 radian. Waktu yang diperlukan posisi pendulum untuk mencapai  sudut  0  radian  yaitu  setelah  3,5  detik.  Sinyal  kontrol memiliki overshoot sebesar -38 Newton.
Selanjutnya  simulasi  yang  akan  dilakukan  yaitu  dengan pemberian  varian noise dan  varian disturbance .  Simulasi  dengan
noise dilakukan  dengan  dua  metode  yaitu pole  placement dan Kalman  filter .  Simulasi  dilakukan  dengan  penggunaan  varian disturbance yaitu 10%, 30% dan 50% dari nilai inisial kondisi sudut pendulum yaitu 0,03, 0,09 dan 0,15. Hasil respon dari posisi kereta, posisi  pendulum  dan  sinyal  kontrol  yang  dihasilkan  untuk  kedua metode  tersebut  tetap  dapat  mengikuti  respon  yang  diinginkan seperti terlihat pada Gambar 9 dan Gambar 10.
Setelah  itu  dilakukan  simulasi disturbance dengan  pemberian varian noise yaitu  0,0002  dan  0,0005.  Hasil  respon  dari  kedua metode dapat dilihat pada Gambar 11 dan Gambar 12.
Pada  Gambar  11  dan  Gambar  12  respon  posisi  kereta  yang dihasilkan masih dapat teratasi oleh sistem. Sedangkan untuk posisi pendulum yang dihasilkan max overshoot respon tidak melebihi dari inisial kondisi awal yang diberikan. Nilai Mean Square Error (MSE) untuk kedua metode simulasi tersebut dapat dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2.
( a) Posisi Kereta (b) Posisi Pendulum (c) Sinyal Kontrol
Gambar  7.  Simulasi  Tanpa Noise dan Disturbance Menggunakan  Metode Pole placement
(a) Posisi Kereta
(b) Posisi Pendulum
(c) Sinyal Kontrol
Gambar  8.  Simulasi  Tanpa Noise dan Disturbance Menggunakan  Metode Kalman Filter
(a) Posisi Kereta (b) Posisi Pendulum

## (c) Sinyal Kontrol
Gambar 9. Simulasi dengan Varian Disturbance menggunakan Metode Pole placement
(a) Posisi Kereta (b) Posisi Pendulum (c) Sinyal Kontrol
Gambar  10.  Simulasi  dengan  Varian Disturbance menggunakan    Metode
Kalman Filter
(a) Posisi Kereta
(b) Posisi Pendulum
(c) Sinyal Kontrol
Gambar  11.  Simulasi Disturbance dengan  Varian Noise Menggunakan Metode Pole placement.
(a) Posisi Kereta (b) Posisi Pendulum (c) Sinyal Kontrol
Gambar  12.  Simulasi Disturbance dengan  Varian Noise Menggunakan Metode Kalman Filter
Tabel 1. Nilai MSE Respon Posisi Kereta dan Posisi Pendulum dengan Varian Noise
Metode Pole placement Varian Noise Posisi Kereta Posisi Pendulum 0,0002 0,0217 0,0071 0,0005 0,0217 0,0079 Tabel 2.
Nilai MSE Respon Posisi Kereta dan Posisi Pendulum dengan Varian Noise Metode Kalman Filter Varian Noise Posisi Kereta Posisi Pendulum 0,0002 0,0180 0,0127 0,0005 0,0245 0,0156
Dari  Tabel  1  dan  Tabel  2  menunjukkan  bahwa  sistem  dapat mengatasi noise hingga varian 0,0005 dengan baik. Beberapa varian noise diberikan  untuk  menunjukkan  bahwa  semakin  besar  varian noise maka akan menghasilkan nilai MSE yang semakin besar.

## V. KESIMPULAN
Kesimpulan yang dapat diambil diantaranya yaitu:
1. Pada pengujian simulasi tanpa noise dan disturbance dengan menggunakan  gain  filter 𝐿 dengan  metode pole  placement dan  kalman  filter  menunjukkan  bahwa  posisi  kereta  dapat mengikuti  sinyal  referensi  dan  posisi  pendulum  dapat menuju 0 radian.
2.  Respon  posisi  pendulum  dari  penggunaan  metode  kalman filter  tanpa noise dan  disturbance  lebih  baik  dibandingkan dengan  metode pole  placement .  Hal  tersebut  terlihat  pada waktu  yang  dibutuhkan  posisi  pendulum  untuk  mencapai sudut 0 radian yaitu setelah 3,5 detik dibandingkan dengan metode pole placement membutuhkan waktu setelah 4 detik.
3.  Respon  posisi  kereta  dari  penggunaan  metode  kalman  filter tanpa noise dan disturbance lebih baik dibandingkan dengan metode pole  placement . Posisi  kereta  membutuhkan  waktu setelah 4,5 detik untuk mengikuti sinyal referensinya dengan menggunakan  metode  kalman  filter  sedangkan  dengan metode pole  placement waktu  yang  dibutuhkan  setelah 6,5 detik.
4.  Kontroler  LQG  dapat  diterapkan  dan  dapat  bekerja  dengan baik pada sistem pendulum kereta meskipun dengan adanya disturbance pada plant dan noise pada pengukuran.
5.  Nilai  varian noise yang  masih  dapat  diterima  oleh  sistem sebesar  0,0005  dengan  nilai Mean  Square  Error (MSE) sebesar 0,0245 untuk posisi kereta dan 0,0156 untuk posisi pendulum.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]
A.  R.  Putri,  “Kontrol  Tracking  Fuzzy-Optimal  Untuk  Sistem Pemdulum Kereta,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2013.
[2] J.  H.  Putra,  “Kontrol  Tracking  Fuzzy  Menggunakan  Model Following  Untuk  Sistem  Pendulum  Kereta,”  Institut  Teknologi Sepuuh Nopember, 2015.
[3] H.  Indrawati,  “Kontrol  Fuzzy  Takagi-Sugeno  Berbasis  Sistem Servo Tipe 1 Untuk Sistem Pendulum Kereta,” ITS, 2013.
[4] Digital Pendulum: Control in a MATLAB Environment (MATLAB 6.5 Version) . Instruments Ltd, 2004.
[5] D.  S.  Naidu, in  Optimal  Control  System .  Pocatello  Idaho  USA: CRC Press LLC, 1940.
[6] F.  L.  L.  and  V.  L.  Syrmos, in  Optimal  Control  Second  Edition . United States of America: A Wiley-Interscience Publication, 1995.
[7] K.  Ogata, Modern  Control  Engineering  Third  Edition .  Prentice- Hall International, Inc, 1997.