Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 15 No. 2, Desember 2023, hal. 83-100 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## MODEL FRAKSIONAL PREDATOR-PREY PADA KAWASAN KONSERVASI PERAIRAN
Rido Trimanto
Program Studi Matematika, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta, Indonesia rido1800015013@webmail.uad.ac.id
Yudi Ari Adi*
Program Studi Matematika, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta, Indonesia yudi.adi@math.uad.ac.id
ABSTRACT. This paper discusses predator-prey models in water conservation areas in fractional  order  using  Caputo  Fabrizio  derivatives.  The  purpose  of  this  research  is  to study  population  dynamics  in  conservation  areas.  Based  on  the  model,  we  obtain  three equilibrium  points.  From  the  analysis  of  the  model,  it  is  found  that  the  extinction equilibrium point of all subpopulations is unstable. Meanwhile, the equilibrium point for the  extinction  of  predator  populations  is  local  asymptotic  stability  under  certain conditions.  Furthermore,  in  a  certain  condition,  the  coexistence  of  predator  and  prey equilibrium  points  is  globally  asymptotically  stable.  Numerical  simulations  were performed  using  the  Adams  Bashfort  three-step  method  with  the  Caputo  Fabrizio derivative to support the theoretical results. Simulations show that the smaller the order, the faster the population converges to the equilibrium point
Keywords: Predator-prey  model,  conservation  area,  fractional  order,  equilibrium, stability.
ABSTRAK. Makalah  ini  membahas  model  pemangsa-mangsa  di  kawasan  konservasi perairan  dalam  orde  fraksional  menggunakan  turunan  Caputo  Fabrizio.  Tujuan  dari penelitian  ini  adalah  untuk  mempelajari  dinamika  populasi  di  kawasan  konservasi. Berdasarkan  model,  kami  memperoleh  tiga  titik  kesetimbangan.  Dari  model  tersebut diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan  kepunahan  semua  subpopulasi  tidak  stabil. Sementara  iti,  titik  keseimbangan  kepunahan  populasi  predator  adalah  stabil  asimtotik lokal  dengan  kondisi  tertentu.  Selanjutnya  untuk  titik  kesetimbangan  dengan  semua populasi  ada  stabil  secara  global  asimtotik  jika  memenuhi  kondisi  tertentu.  Simulasi numerik  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  Adams  Bashfort  tiga  langkah  dengan turunan  Caputo  Fabrizio  untuk  mendukung  hasil  teoritis.  Simulasi  menunjukkan  bahwa semakin kecil order semakin mempercepat populasi konvergen ke titik kesetimbangan.
Kata  Kunci: Model  pemangsa-mangsa,  kawasan  konservasi,  orde  fractional, kesetimbangan, kestabilan

## 1. PENDAHULUAN
Dinamika  populasi  pada  kawasan  konservasi  merupakan  masalah  yang menarik    untuk    dikaji.  Sebagamana  diketahui,  dalam    beberapa    tahun    terakhir banyak    spesies    hewan    terancam    punah  bahkan    sebagian    lainya    berada    di ambang  kepunahan.  Hal  ini  terjadi  karena berbagai  alasan  seperti  eksploitasi berlebihan,    pemangsaan    oleh    predator    yang  berlebihan,    kesalahan    dalam mengurus  sumber  daya  alam  dan  lain-lain.    Untuk menyelamatkan spesies ini diperlukan  adanya  kajian  tentang  kawasan  konservasi  laut  sebagai  alat  penting untuk mempertahankan ekosistem laut dan melestarikan kehidupan laut. Menurut UU No. 31 Tahun 2004, Konservasi sumber daya ikan adalah upaya perlindungan, pelestarian,  dan  pemanfaatan  sumber  daya  ikan,  termasuk  ekosistem,  jenis,  dan genetik untuk menjamin keberadaan, ketersediaan, dan kesinambungannya dengan tetap meningkatkan kualitas  nilai  dan keanekaragaman sumberdaya ikan.  Marine Protected  Area  (MPA)  atau  Kawasan  Konservasi  Perairan  (KKP)  memiliki manfaat  pada  ekonomi  dan  ekologi  secara  langsung.    Kawasan  yang  dilindungi mempunyai  efek  kestabilan  pada  dinamika  predator-prey.    Hal  ini  menunjukan bahwa  apabila  perikanan  dieksploitasi  terus  menerus  pada  zona  yang  tidak dilindungi,  populasi  perikanan  dapat  dijaga  tetap  seimbang  di  lingkungan  alami (Dubey,  Chandra,  &  Sinha,  2002).  Menurut  Claudet  dkk,  (2008),  kawasan konservasi  dapat  memberikan  pengaruh  yang  baik  terhadap  keadaan  ekosistem yang  ditunjukan  di  dalam  kawasan  MPA  Northwestern  Mediterranean  dengan keanekaragaman jenis ikan yang tinggi dan besarnya kelimpahan ikan, mulai dari jenis  ikan  besar  sampai  ikan-ikan  kecil  jika  dibandingkan  sebelum  kawasan tersebut ditetapkan sebagai MPA.
Berkembangnya  pengetahuan  tentang  dinamika  populasi  pada  kawasan konservasi  diharapkan  dapat  menjaga  terpeliharanya  keseimbangan  antara konservasi  dan  pemanfaatan  sumber  daya  laut.  Hingga  saat  ini  telah  banyak penelitian tentang model predator- prey pada zona konservasi, diantaranya adalah Sadhukhan  dkk  (2018),  Agnihotri  &  Nayyer  (2019),  dan  Mukherjee  &  Mondal (2020).
Sadhukhan  dkk  (2018),  mempelajari  dinamika  sistem  perikanan  dengan
Model Fraksional Predator-Prey
membagi  lingkungan  perairan  laut  dalam  dua  zona,  satu  zona  penangkapan  ikan bebas  dan  zona  konservasi.  Pada  zona  penangkapan  bebas,  pemanenan  dan pemangsaan  diperbolehkan  sedankan  pada  zona  konservasi  tidak  diperbolehkan penangkapan dan hanya digunakan untuk membudidayakan ikan-ikan kecil untuk memjaga  ekosistem  laut  stabil.  Selanjutnya  Agnihotri  &  Nayyer  (2019) membangun  model  predator-prey  pada  zona  konservasi  dimana  burung  sebagai predator  dengan  mempertimbangkan  fungsi  respon  Holling  tipe  II.    Pada penelitian  ini  diperoleh  kesimpulan  jika  sistem  dieksploitasi  terus-menerus  di zona  yang  tidak  dilindungi,  bahkan  spesies  prey  tidak  akan  punah  dari  suatu sistem  dan  spesies  prey  di  zona  yang  tidak  dilindungi  akan  selalu  tetap  pada tingkat keseimbangan yang sesuai karena migrasi antara dua zona dan pembatasan pemanenan  di  zona  konservasi.    Selanjutnya  Mukherjee  &  Mondal  (2020) melakukan  penelitian  model  predator-prey  dengan  menggunakan  turunan fraksional  tipe  Caputo.  Model  dengan  menggunakan  turunan  order  fraksional lebih  stabil  dan  lebih  realistik.  Mukherjee  &  Mondal  (2020)  telah  membahas model dengan predator hanya memangsa pada kawasan yang tidak dilindungi dan tidak ada pemanenan.
Tujuan penelitian ini mengkaji model predator-prey dengan orde fraksional dengan turunan fraksional tipe Caputo-Fabrizio. Kelebihan dari turunan fraksional Caputo-Fabrizio  adalah  terhindar  dari  singularitas  yang  terdapat  pada  turunan fraksional  Caputo  (Podlubny,  1998;  Kilbas  dkk.,  2006;  Petras,  2011).  Penelitian akan  membahas  kasus  yang  mempertimbangkan  pemanenan  prey  pada  kawasan tidak dilindungi.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  studi  literatur  dengan  mengkaji  pustaka-pustaka yang relevan. Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah, menentukan rumusan masalah,  mengkaji  sumber-sumber  data  yang  relevan,  membuat  model matematika  order  fraksional,  mencari  solusi  dan  titik  kesetimbangan, menganalisis  kestabilan  titik  kesetimbangan  yang  diperoleh,  dan  terakhir melaukan simulasi numerik.
Berikut ini diberikan konsep dasar yang digunakan dalam pembahasan.
Definisi  1 (Kilbas  dkk.,  2006)  Turunan  fraksional  Caputo  dengan  order didefinisikan sebagai
( ) (     ) ∫ ( ) ( ) (     ) (1) dengan , merupakan batas bawah dimana . Pada kondisi
diperoleh persamaan sebagai berikut
( ) (     ) ∫ ( ) (     )
(2)
dengan , merupakan batas bawah dimana .
Selanjutnya  diperkenalkan  turunan  fraksional  tipe  Caputo-Fabrizio  pada  definisi berikut.
Definisi 2 (Caputo & Fabrizio, 2015) Diberikan  sebuah  fungsi
, Definisi turunan fraksional tipe Caputo-Fabrizio dengan orde direpresentasikan dengan persamaan
( ) ( ) ∫   ( )     * (     )+ (3)
dimana ,  sebarang  orde (   ) dan ( ) merepresentasikan  bentuk normalisasi dengan ( )    ( ) .
Kelebihan  dari  turunan  fraksional  ini  adalah  terhindar  dari  singularitas  yang terdapat  pada  turunan  fraksional  Caputo  (Podlubny,  1998;  Kilbas  dkk,  2006; Petras, 2011).
Definisi  3 (Losada  &  Nieto,  2015)  Diberikan  sebuah  fungsi , definisi integral  fraksional tipe Caputo-Fabrizio dengan orde direpresentasikan dengan persamaan
Model Fraksional Predator-Prey
( ) (     )
(     ) ( ) ( ) (     ) ( ) ∫  ( ) (4)
Berdasarkan  definisi sebelumnya, integral fraksional tipe Caputo Fabrizio dari suatu fungsi dari orde adalah rata-rata antara fungsi dan integralnya orde satu, sehingga
(     ) (     ) ( ) (     ) ( ) (5)
sehingga diperoleh rumus eksplisit dari ( ) ,
( ) (6)
Lemma  1 .  (Vargas-De-León,  2015)  Misalkan ( ) merupakan  fungsi kontinu dan memiliki turunan kontinu. Maka untuk setiap
( ) *  ( ) ( ) +   ( ( ) ) ( ) (7)
dimana
dan (   ) .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Formulasi Model Matematika
Pemodelan  interaksi  predator-prey  disusun  dengan  memperhatikan  dua kawasan,  yaitu  di  dalam  kawasan  konservasi  dan  di  luar  kawasan  konservasi, dengan asumsi diperbolehkan penangkapan prey oleh manusia pada kawasan yang tidak  di  lindungi.  Dalam  habitat  ini  terdapat  populasi  predator  yang  dapat memangsa  dalam  kawasan  konservasi  dan  diluar  kawasan  konservasi. Diasumsikan pula populasi prey dapat bermigrasi dari kawasan konservasi ke luar kawasan  konservasi  dan  sebaliknya.  Berdasarkan  asumsi  tersebut  sehingga dibentuk  model  dalam  sistem  persamaan  diferensial  order  fraksional  sebagai berikut.
( )
( )
(8)
dengan dan berturut-turut  menyatakan  populasi  prey  di  kawasan  tidak dilindungi,  populasi  prey  di  kawasan  konservasi,  dan  populasi  predator. Selengkapnya diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Variabel dan parameter Variabel Keterangan ( ) Populasi prey pada kawasan tidak dilindungi pada waktu t
( ) Populasi prey pada kawasan konservasi pada waktu t
( ) Populasi predator pada waktu t
Koefisien  laju  pertumbuhan  populasi prey pada  kawasan tidak dilindungi
Koefisien  laju  pertumbuhan  populasi prey pada  kawasan konservasi
Carrying  capacity dari  spesies prey pada  kawasan  tidak dilindungi
Carrying  capacity dari  spesies prey pada  kawasan konservasi
Koefisien laju migrasi
Tingkat konsumsi maksimum predator
Tingkat konversi pemangsaan menjadi predator Tingkat kematian alami dari predator
Tingkat kejenuhan predator
Upaya yang diperlukan untuk memanen prey
Laju pemanenan prey
Model Fraksional Predator-Prey
Dari Sistem (8) diperoleh dua solusi ekuilibrium nontrivial, yaitu:
1. Titik kesetimbangan tanpa predator ( ) dengan
( )
dan merupakan solusi non negatif dari persamaan kubik
dengan
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) Titik kesetimbangan ( ) ada jika ( ) 2.  Titik kesetimbangan koeksistensi predator prey ( ) dengan
* ( ) ( )   ( ) + [ ( ) * ( ) +]
dan adalah solusi nonnegatif dari persamaan
dengan
(((     )
) (( ) )  )
( ( )
(( ) ( ) ( ))  )
( ((       ) ) (( ) ( ) ( ) ( ) )  ) ( ( (        ) ) (( ) ( ) ( ) ( )))
( ( ) (( ) ( ) ))
,
.
Kestabilan titik kesetimbangan diberikan dalam Teorema 1 dan Teorema 2.
Teorema 1 . Titik kesetimbangan ( ) stabil asimtotik lokal jika ( )   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Model Fraksional Predator-Prey
Bukti:
Persamaan karakteristik Matriks Jacobian dari Sistem (8) titik , yaitu | | | | mempunyai nilai eigen
Nilai eigen tersebut akan negatif apabila
(9) Nilai eigen yang lainya yaitu diperoleh dari persamaan (( )   ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari persamaan diatas diperoleh dua nilai eigen dengan bagian real negatif jika ( )   ( ) (10) ( ) ( ) ( ) ( )
(11)
Jika  kondisi  (9),  (10),  dan  (11)  terpenuhi,  maka  titik  kesetimbangan
( ) stabil asimtotik lokal,  sehingga dapat disumpulkan bahwa terjadinya kepunahan  pada predator .  Secara  biologis,  hal  ini  dapat  disebabkan  karena kematian alami predator yang tinggi dan interaksi dengan prey kecil.
Teorema 2. Titik kesetimbangan ( ) stabil asimtotik  lokal jika , dan , dimana dijelaskan pada pembuktian.
Bukti:
Persamaan karakteristik  dari Sistem (8) pada titik ( ) berbentuk
| | ( ) (     ) ( ) ( ) | |
yang dapat ditulis dalam bentuk
(12) dengan
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )
Dengan menggunakan kriteria  Routh  Hurwitz, semua akar persamaan (12) akan memiliki  bagian  real  negatif  jika , dan .  Jadi  titik kesetimbangan ( ) dari  Sistem  (8)  akan  stabil  asimtotik  lokal  apabila syarat , dan terpenuhi.
Selanjutnya dibentuk Fungsi Lyapunov
(       ) ( ) ( ) ( )
Model Fraksional Predator-Prey
dengan
( )   *
( )+ ( ) [ ( ) ]
dan
( ) * ( )+
Menggunakan Lemma 1, diperoleh
( )   ( ) * ( ) + ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
( ) [ ] ( ) ( ) * ( ) + ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
( ) [ ]
dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dengan demikian diperoleh kestabilan global untuk titik ekuilibrium koeksistensi predator prey yang dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema  3. Titik  kesetimbangan ( ) stabil  asimtotik  global  jika kondisi-kondisi berikut terpeuhi :
( ) d n ( ( ) ( ) ) (( ) [ ])
( ) [ ]
Kondisi  kestabilitan  asimtotik  global  titik  ekuilbrium menunukkan  bahwa bahwa eksploitasi tidak akan mengubah sistem. Dengan kata lain, apabila predator tidak  dimusnahkan  dalam  model  perikanan  dengan  eksploitasi  yang  berlebihan sistem akan dapat pulih.

## 3.2 Simulasi Numerik
Simulasi  numerik  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  Adams Bashforth  order  fraksional  tiga  langkah  (Owolabi  &  Atangana,  2019).    Untuk keperluan simulasi, pada kasus pertama digunakan nilai-nilai parameter
Dengan  menggunakan  nilai-nilai  tersebut,  kondisi  (9),  (10)  dan  (11)  pada Teorema 1 terpenuhi. Gambar 1 menunjukkan kestabilan pada titik kesetimbangan dari  Sistem  (8).  Berdasarkan  Gambar  1  dapat  disimpulkan  bahwa  populasi predator  mengalami  kepunahan.  Hal  ini  dapat  terjadi  karena  tingginya  tingkat kematian  predator  sedangkan  laju  pertumbuhannya  kecil.  Tingginya  tingkat kematian predator disebabkan oleh hal  yang tak terduga, seperti wabah penyakit, hilangnya  keanekaragaman  hayati,  dan  spesies  invasif.  Sedangkan  dengan  tidak adanya predator menyebabkan populasi prey meningkat pesat karena tidak adanya pengurangan  oleh  predator.  Spesies  prey  tidak  mengalami  kepunahan  baik  pada kawasan konservasi maupun kawasan non-konservasi, hal ini terjadi karena terjadi migrasi  antara  kedua  wilayah  dan  keanekaragaman  hayati  pada  kawasan konservasi dijaga keberadaanya.
Model Fraksional Predator-Prey
Gambar 2. Potret fase yang menunjukkan kestabilan titik kesetimbangan .
Dengan  menggunakan  nilai  parameter  yang  sama  dengan  Gambar  4 diperoleh hasil potret fase pada Gambar 2. Potret fase tersebut menunjukan bahwa dengan menggunakan nilai awal yang berbeda Sistem (8) akan selalu menuju titik kesetimbangan (                ) bersifat  stabil  asimtotik  lokal  dan memenuhi kondisi (9),(10), dan (11) sehingga Teorema 1 terpenuhi.
Gambar 3. Grafik dinamika populasi terhadap waktu pada .
Pada  Gambar  3    menunjukan  titik  kesetimbangan dan  titik  kestabilan dari Sistem (8) dengan menggunakan parameter
Berdasarkan  Gambar  3  dapat  disimpulkan  bahwa  setiap  spesies  tidak  ada yang  mengalami  kepunahan.  Hal  ini  dapat  terjadi  karena  adanya  keseimbangan ekologi  sehingga  semua  spesies  dapat  eksis.  Hal  ini  memungkinkan  untuk
melakukan eksploitasi mangsa yang berlebihan pada kawasan non-konservasi dan populasi  mangsa  akan  tetap  eksis.  Akan  tetapi  untuk  mendapatkan  keuntungan yang maksimal  dan ekologi  tetap lestari maka usaha pemanen harus berdasarkan prosedur  dan  aturan  yang  berlaku,  yaitu  dengan  mempertimbangkan  kelahiran populasi mangsa pemangsa dan waktu pelaksanaan panen.
Gambar 4. Potret fase sistem titik kesetimbangan .
Dengan  menggunakan  nilai  parameter  yang  sama  dengan  Gambar  3 diperoleh  potret  fase  pada  Gambar  4.  Gambar  4  menunjukan  bahwa  dengan mengambil  nilai  awal  yang  berbeda  akan  menuju  titik  kesetimbangan (
) dan  memenuhi  kondisi , dan dimana , , sehingga Teorema 4.3 terpenuhi. Jadi titik kesetimbangan stabil asimtotik lokal.
Gambar 5. Grafik populasi dengan nilai berbeda.
Model Fraksional Predator-Prey
Gambar  5  merupakan  hasil  simulasi  populasi  mangsa  pada  kawasan  tidak dilindungi  dengan  beberapa  nilai yaitu dan  dengan menggunakan  parameter . Pada  simulasi  ini  digunakan  nilai  awal yaitu dan Pada  Gambar  8  terlihat  bahwa  semakin kecil  nilai menyebabkan  grafik  bergerak  semakin  cepat  menuju  titik kesetimbangan  dan  diperoleh  titik  kesetimbangan  untuk  populasi  mangsa  pada kawasan tidak dilindungi yaitu .
Gambar 6. Potret fase pada titik kesetimbangan dengan order berbeda.
Gambar  6  merupakan  hasil  simulasi  dengan  beberapa  nilai yaitu dan dengan menggunakan parameter
Pada  simulasi  ini  digunakan  nilai  awal  yaitu dan . Sumber data diperoleh dari Mansal & Sene (2020). Pada hasil simulasi tersebut  terlihat  bahwa  semakin  kecil  nilai menyebabkan  grafik  bergerak semakin  cepat  menuju  titik  kesetimbangan.  Berdasarkan  pada  Gambar  6  dapat disimpulkan  bahwa  semakin  kecil  nilai menyebabkan  grafik  semakin  cepat menuju  titik  kesetimbangan.  Nilai mempengaruhi  kecepatan  konvergensi menuju  titik  kesetimbangan  akan  tetapi  tidak  mempengaruhi  kestabilan  titik kesetimbangan.

## 4. KESIMPULAN
Dalam  penelitian  ini  dibahas  model  fraksional  untuk  memahami  dinamika predator-prey  pada  kawasan  konservasi.  Berdasarkan  model  tersebut  diperoleh dua  titik  kesetimbangan  nontrivial  yaitu ( ) dan ( ) stabil asimtotik. Kestabilan lokal titik kesetimbangan bermakna bahwa dengan keadaan awal  yang  berbeda-beda  di  sekitar  kondisi  setimbang,  tidak  akan  mempengaruhi kondisi  akhir  yang  menuju  kondisi  tersebut.  Titik  kesetimbangan menunjukkantidak adanya predator dalam populasi, sedangkan kesetimbangan menunjukkan  predator  dan  prey  hidup  bersama  dalam  populasi.    Selanjutnya simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  order  fraksional  mempengaruhi  waktu konvergensi  menuju  titik  kesetimbangan  akan  tetapi  tidak  mempengaruhi kestabilan  titik  kesetimbangan.  Untuk  penelitian  selanjutnya  dapat  dilakukan analisis model menggunakan teori  kontrol optimal sehingga diperoleh  kebijakan penangkapan mangsa yang optimal.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmed,  E.,  El-Sayed,  A.  M.  A.,  dan  El-Saka,  H.  A.  A., Equilibrium  Points, Stability  and  Numerical  Solutions  of  Fractional-Order  Predator–Prey  and Rabies Models , Journal of Mathematical Analysis and Applications, 325 (1)
(2007), 542–553, https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.01.087. Caputo,  M.  dan  Fabrizio,  M., A  new  Definition  of  Fractional  Derivative  without Singular  Kernel ,  Progress  in  Fractional  Differentiation  and  Applications, 85 (2) (2015), 73–85.
Choi,  C.-H., Generalizations  of  the  Lotka-Volterra  Population  Ecology  Model: Theory,  Simulation,  and  Applications ,  Nonlinear  Dynamics,  Psychology,
and Life Sciences, 1 (4) (1997), 263–273, https://doi.org/10.1023/A:1021883828745.
Cl udet, J., Osenberg, C. W., Benedetti‐Cecchi, L., Domenici, P., G rcí ‐Ch rton, J.,  Pérez‐Ruz f ,  Á.,  B d l menti,  F.,  B yle‐Sempere,  J.,  Brito,  A.,  dan Bulleri,  F., Marine  Reserves:  Size  and  Age  Do  Matter ,  Ecology  Letters, 11 (5) (2008), 481–489.
Model Fraksional Predator-Prey
Das,  S.  dan  Gupta,  P.  K., A  Mathematical  Model  on  Fractional  Lotka–Volterra Equations ,  Journal  of  Theoretical  Biology, 277 (1)  (2011),  1–6, https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2011.01.034.
Dubey, B., Chandra, P., dan Sinha, P., A Resource Dependent Fishery Model with Optimal  Harvesting  Policy ,  Journal  of  Biological  Systems, 10 (01)  (2002), 1–13.
Kilbas,  A.  A.,  Srivastava,  H.  M.,  dan  Trujillo,  J.  J.,  Theory  and  Applications  of Fractional Differential Equations, Vol. 204, 2006.
Losada,  J.  dan  Nieto,  J.  J., Properties  of  A  New  Fractional  Derivative  without Singular  Kernel ,  Progress  in  Fractional  Differentiation  and  Applications, 92 (2) (2015), 87–92.
Mansal, F. dan Sene, N., Analysis of Fractional Fishery Model with Reserve Area in  The  Context  of  Time-Fractional  Order  Derivative ,  Chaos,  Solitons  and Fractals:  The  Interdisciplinary  Journal  of  Nonlinear  Science,  and Nonequilibrium  and  Complex  Phenomena, 140 (2020),  110200. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110200.
Mukherjee, D. dan Mondal, R., Dynamical Analysis of A Fractional Order Prey- Predator System with A Reserved Area ,  Journal  of Fractional  Calculus and Applications, 11 (1) (2020), 54–69.
Owolabi,  K.  M.,  dan  Atangana,  A., Numerical  methods  for  fractional differentiation, 2019.
Petras,  I.. Fractional-Order  Nonlinear  Systems:  Modeling,  Analysis  and Simulation , Springer Science & Business Media, 2011.
Podlubny,  I., Fractional  Differential  Equations:  An  Introduction  to  Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications , Elsevier,  1999.
Vargas-De-León,  C., Volterra-Type  Lyapunov  Functions  for  Fractional-Order Epidemic  Systems ,  Commun  Nonlinear  Sci  Numer  Simulat, 24 (2015),  75- 85, https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2014.12.013.