## KAJIAN VARIANCE MEAN RATIO PADA SIMULASI SEBARAN DATA BINOMIAL NEGATIF *
Choirun Nisa 1 , Muhammad Nur Aidi 2‡ , and I Made Sumertajaya 3
1 Department of Statistics, IPB University, Indonesia, choirun_nisa@apps.ipb.ac.id
1 Department of Statistics, IPB University, Indonesia, nuraidi18081960@gmail.com
1 Department of Statistics, IPB University, Indonesia, imsjaya.stk@gmail.com
‡ corresponding author
Indonesian Journal of Statistics and Its Applications (eISSN:2599-0802) Vol 4 No 4 (2020), 615 - 626
Copyright  ©  2020  Choirun  Nisa,  Muhammad  Nur  Aidi,  and  I  Made  Sumertajaya.    This  is  an  open- access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
The negative binomial distribution is one of the data collection counts that focuses on  success  and  failure  events.  This  study  conducted  a  study  of  the  distribution  of negative binomial data to determine the characterization of the distribution based on the value of Variance Mean Ratio (VMR). Simulation data are generated based on negative binomial distribution with a combination of p and n parameters. The results of the VMR study on negative binomial distribution simulation data show that the VMR value will be smaller when the p-value is large and the VMR value is more stable as the sample size increases.  Simulation  data  of  negative  binomial  distribution  when  p≥0.5  begins  to change data distribution to the distribution of Poisson and binomial. The calculation VMR value can be used as a reference for detecting patterns of data count distribution.
Keywords : negative binomial distribution, over dispersion, variance mean ratio.

## 1.  Pendahuluan
Terdapat hal dasar yang perlu diketahui sebelum melakukan analisis statistika, yakni terkait sebaran suatu data. Hal ini penting dipahami untuk menentukan langkah yang tepat  dalam menangani  dan menganalisis  suatu  data yang  ada. Berdasarkan  ruang sampelnya, sebaran  peluang  suatu  data  dibagi menjadi  dua,  yaitu  sebaran  data kontinu  dan data  diskrit  (Ahdika,  2015). Data  diskrit  atau  data  cacah  hanya  dapat
* Received Jul 2020; Accepted Des 2020; Published online on Des 2020
berupa  nilai-nilai  tertentu  (bilangan  bulat).  Sebaran  data  cacah  atau  diskret  yang memusatkan pada kejadian sukses dan gagal yakni meliputi sebaran bernouli, sebaran binomial,  sebaran  geometrik,  sebaran  poisson,  dan  sebaran  binomial  negatif.  Pola dasar sebaran suatu data dibagi menjadi tiga kelompok yaitu sebaran acak ( random ), sebaran  yang  mengelompok  ( aggregated )  dan  sebaran  seragam  ( uniform )  (Krebs, 2013) .
Setiap  data  pengamatan  perlu  diketahui  pola  sebaran  supaya  analisis  yang digunakan hasilnya valid.  Mengetahui pola  sebaran data terdapat beberapa  metode yang  dapat  digunakan.  VMR  ( Variance  Mean  Ratio )  merupakan  metode  paling sederhana  untuk  menentukan  pola  sebaran  suatu  data.  Nilai  VMR  diperoleh  dari perhitungan  rasio  antara  nilai  varians  contoh  dengan  nilai  rata-rata  contoh  yang disebut juga sebagai indeks dispersi (I). Suatu data mengkuti sebaran Poisson atau acak, jika varians contoh sebanding dengan rata-rata contoh atau nilai I berada pada kisaran  angka  1;  ketika  rasio  kurang  dari  1  atau  mendekati  0  menunjukkan  data mengikuti  sebaran  seragam;  dan  saat  rasio  lebih  dari  1  menunjukkan  pola  sebaran datanya mengelompok atau binomial negatif (Krebs, 2013).
Jika nilai VMR atau indeks dispersi suatu data pengamatan lebih besar dari satu, maka  model  yang  digunakan  dikatakan  mengalami  overdispersi  (Hilbe,  2014). Overdispersi  merupakan  kondisi  yang  nilai  varians  lebih  besar  dari  nilai  tengahnya atau 𝑉𝑎𝑟(𝑋) > 𝐸(𝑋) .  Dalam  praktek  di  lapangan,  data  cacah  sering  mengalami overdispersi.  Data  yang  mengalami  overdispersi  menyebabkan  galat  baku  menjadi terlalu rendah ( underestimate ), sehingga pengambilan keputusan menjadi tidak tepat Salah satu altenatif pemodelan yang dapat mengakomodasi kondisi overdispersi yakni regresi  binomial  negatif  dengan  data  yang  menyebar  binomial  negatif  (Molla  & Muniswamy, 2012)
Sebaran binomial negatif berlawanan dengan sebaran binomial. Sebaran peluang binomial  menghitung  banyaknya  keberhasilan  dalam  banyaknya  percobaan  yang tetap sedangkan sebaran peluang binomial negatif menghitung banyaknya percobaan yang  diperlukan  untuk  melihat  banyaknya  keberhasilan  yang  tetap  (Baron,  2014). Sebaran binomial negatif merupakan sebaran yang dapat mengakomodasi hubungan antara sebaran lainnya (Inuwa, 2013). Setiap sebaran data memiliki karakteristiknya masing-masing. Penelitian ini dikembangkan evaluasi kecocokan pola sebaran melalui simulasi  data  sebaran  binomial  negatif  berdasarkan  nilai  VMR. Studi  simulasi  ini dilakukan  untuk  mengetahui  karakteristik  sebaran  binomial  negatif  setiap  kondisi bangkitan data simulasi.

## 2.  Metodologi

## 2.1  Bahan dan Data
Data  simulasi  dibangkitkan  berdasarkan  sebaran  binomial  negatif  dengan  berbagai parameter data yaitu p (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9) dan ukuran contoh n (10, 50,  100).  Kajian  simulasi data meliputi  288  kondisi  dengan  berbagai  kombinasi parameter p dan n yang telah ditetapkan. Karateristik sebaran binomial negatif dilihat berdasarkan pola sebaran data secara deskriptif, nilai VMR dan pengujian kecocokan sebaran melalui uji khi kuadrat.

## 2.2  Metode Penelitian
Kombinasi dari parameter data simulasi masing-masing diulang sebanyak seratus kali. Data simulasi dibangkitkan berdasarkan sebaran binomial negatif melalui tahap-tahap berikut:
1.  Membangkitkan  data  yang  menyebar  binomial  negatif  dengan  kombinasi parameter p dan n yang  sudah  ditetapkan  dengan  perulangan  sebanyak seratus kali.
2.  Melakukan  eksplorasi  terhadap  data  yang  telah  dibangkitkan  menggunakan histogram dan grafik untuk mengetahui karakteristik dari sebaran data melalui perubahan nilai p dan n .
3.  Menghitung  rata-rata  nilai  VMR  pada  setiap  kombinasi  parameter  data bangkitan.
4.  Mengeksplorasi  dan  menganalisis  rata-rata  nilai  VMR  data  bangkitan berdasarkan perubahan nilai p dan n .
5.  Melakukan pengujian kecocokan sebaran data bangkitan dengan uji khi kuadrat serta analisis nilai VMR untuk mengetahui perubahan sebaran data cacah yang dibangkitkan.
6.  Kesimpulan  terkait  karakteristik  sebaran  data  yang  telah  dibangkitkan berdasarkan hasil uji kecocokan sebaran dan rata-rata nilai VMR.

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Perbandingan Matematis Nilai VMR
Jika X menyatakan  berapa  kali  terjadi  keberhasilan  dalam 𝑛 ulangan  bebas,  yang masing-masing berpeluang 𝑝 untuk sukses dan 1 − 𝑝 untuk gagal, maka X dinamakan peubah  acak  binomial  dengan  parameter (𝑛, 𝑝). Fungsi  massa  peluang  bagi  suatu peubah  acak  binomial  dituliskan  pada  persamaan  (1)  dengan 𝑥 = 1,2, … , 𝑛 dan 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 (Casella & Berger, 2001) . Nilai tengah dan nilai ragam sebaran binomial yakni 𝜇 = E(X) = 𝑛𝑝 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) , diperoleh nilai VMR pada persamaan (2).
P(X = 𝑥) = ( 𝑛 𝑥 ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑥 (1)
𝑉𝑀𝑅 = Var (X) E(X) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 𝑛𝑝 = (1 − 𝑝) = 𝑞 < 1                            (2)
Banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu disebut  percobaan  Poisson  (Walpole,  2007).  Fungsi  peluang  sebaran  poisson ditunjukkan  pada  persamaan  (3)  dengan 𝑥 = 0,1,2, ⋯ .  Nilai  tengah  dan  nilai  ragam sebaran Poisson yakni 𝜇 = E(𝑋) = 𝜆 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆 ,  sehingga diperoleh nilai VMR pada persamaan (4).
P(X = 𝑥) = e −𝜆 𝜆 𝑥! 𝑥 (3)
𝑉𝑀𝑅 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) E(X) = 𝜆 𝜆 = 1                                                                         (4)
Jika  peubah  acak X menyatakan  banyaknya  percobaan  yang  diperlukan  hingga terjadi 𝑟 keberhasilan,  maka  sebaran  probabilitas  peubah  acak X disebut  sebaran binomial negatif dan fungsi peluangnya ditunjukkan pada persamaan (5) dengan 𝑥 = 𝑟, (𝑟 + 1), ⋯ .
P(X = 𝑥) = ( 𝑥 − 1 𝑟 − 1 ) 𝑝 𝑟 (1 − 𝑝) 𝑥−𝑟 (5)
Sebaran  binomial  negatif  merupakan  sebaran  yang  memiliki  banyak  cara pendekatannya. Penurunan klasik dari sebaran binomial negatif yakni 𝑦 menyatakan banyaknya kegagalan sebelum terjadi r sukses. Sehingga fungsi massa peluang dapat dituliskan  pada  persamaan  (6)  dengan 𝑦 = 0, 1,2, … dan  nilai  tengah  dan  ragamnya masing-masing  yakni 𝐸(𝑌) = 𝑟(1−𝑝) 𝑝 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑟(1−𝑝) 𝑝 2 (Hilbe,  2011).  Sehingga diperoleh perhitungan nilai VMR pada persamaan (7).
P(Y = 𝑦) = ( 𝑦 + 𝑟 − 1 𝑟 − 1 ) 𝑝 𝑟 (1 − 𝑝) 𝑦 (6)
𝑉𝑀𝑅 = 𝑉𝑎𝑟(𝑌) 𝐸(𝑌) = 𝑟(1 − 𝑝) 𝑝 2 𝑥 𝑝 𝑟(1 − 𝑝) = 1 𝑝 > 1                      (7)
Hasil  perbandingan  perhitungan  matematis  nilai  VMR  pada  ketiga  sebaran ditunjukkan pada Tabel 1 dengan interval 0 sampai lebih besar dari 1.
Tabel 1: Perbandingan Matematis Nilai VMR. Binomial Poisson Binomial Negatif 𝑉𝑀𝑅 = (1 − 𝑝) = 𝑞 < 1 𝑉𝑀𝑅 = 𝜆 𝜆 = 1 𝑉𝑀𝑅 = 1 𝑝 > 1
Sebaran binomial negatif mengalami overdispersi dengan ditandai nilai VMR lebih besar  dari  1.  Kondisi  ini  menunjukkan  pada  sebaran  binomial  negatif  cenderung mempunyai  variansi  yang  lebih  besar  daripada  sebaran  data  cacah  lainnya. Perhitungan  matematis  VMR  pada  sebaran  binomial  negatif  menunjukkan  VMR berbanding  terbalik  dengan 𝑝 yang  berarti  bahwa  ketika  nilai 𝑝 semakin  kecil  maka nilai VMR semakin besar.

## 3.2  Eksplorasi Data Simulasi
Data  yang  telah  dibangkitkan  dengan  berbagai  kombinasi  parameter p dan n dieksplorasi  menggunakan  histogram  untuk  mengetahui  kondisi  data  cacah  dari sebaran binomial negatif. Nilai p yang ditampilkan adalah 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, dan 0.9 untuk masing-masing ukuran contohnya 10, 50 dan 100.
(a) 𝑝 = 0.1
(b) 𝑝 = 0.3 (c) 𝑝 = 0.5 (d) 𝑝 = 0.7 (e) 𝑝 = 0.9
Gambar 1: Histogram data pada 𝑛 = 10 dengan (𝑎) 𝑝 = 0.1, (𝑏) 𝑝 =
0.3, (𝑐) 𝑝 = 0.5, (𝑑) 𝑝 = 0.7, dan (𝑒) 𝑝 = 0.9
(a) 𝑝 = 0.1 (b) 𝑝 = 0.3 (c) 𝑝 = 0.5 (d) 𝑝 = 0.7 (e) 𝑝 = 0.9
Gambar 2: Histogram data pada 𝑛 = 50 dengan (𝑎) 𝑝 = 0.1, (𝑏) 𝑝 = 0.3, (𝑐) 𝑝 = 0.5, (𝑑) 𝑝 = 0.7, dan (𝑒) 𝑝 = 0.9
(a) 𝑝 = 0.1 (b) 𝑝 = 0.3 (c) 𝑝 = 0.5 (d) 𝑝 = 0.7 (e) 𝑝 = 0.9
Gambar 3: Histogram data pada 𝑛 = 100 dengan (𝑎) 𝑝 = 0.1, (𝑏) 𝑝 = 0.3, (𝑐) 𝑝 = 0.5, (𝑑) 𝑝 = 0.7, dan (𝑒) 𝑝 = 0.9
Eksplorasi pada data simulasi ditunjukkan dengan histogram Gambar 1, 2 dan 3 untuk  mengetahui  kondisi  data  yang  dibangkitkan  sebaran  binomial  negatif  pada setiap  ukuran  contoh  10,  50  dan  100  dengan p (0.1,  0.3,  0.5,  0.7  dan  0.9).  Ketiga gambar  menunjukkan  kondisi  yang  sama  yakni  ketika  data  dengan 𝑝 = 0.1 dan 0.3 memiliki  interval  data  ( range )  sangat  besar  yakni  antara  20-100.  Hal  ini mengindikasikan bahwa variasi dari data cukup besar. Penurunan nilai 𝑝 pada saat 𝑝 = 0.5, 0.7 dan 0.9 mengalami  perubahan  interval  data  yakni  antara  3-10  yang mengindikasikan bahwa variasi dari data kecil.
Hasil perhitungan matematis VMR pada Tabel 1 menunjukkan bahwa perubahan nilai VMR dipengaruhi pula variansi pada data. VMR pada sebaran binomial negatif mempunyai nilai variansi yang lebih besar. Maka, pada data dengan 𝑝 = 0.1 dan 0.3 memiliki  variansi  yang  sangat  besar  dibandingkan  yang  lainnya.  Kondisi  pada  data dengan 𝑝 = 0.1 dan 0.3 diduga merupakan sebaran binomial negatif yang memiliki nilai variansi lebih besar daripada rata-ratanya.

## 3.3  Pengujian Kecocokan Sebaran
Eksplorasi pada data simulasi dengan menggunakan histogram ketika 𝑝 = 0.1 dan 0.3 menunjukkan  adanya  dugaan  sebaran  binomial  negatif,  sehingga  diperlukan pengujian terhadap data tersebut. Pengujian berupa uji khi-kuadrat untuk mengetahui kecocokan data terhadap peluang sebaran tertentu. Pengujian dilakukan terhadap tiga jenis  sebaran  data  cacah  yakni  binomial  negatif,  poisson  dan  binomial  dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻 0 : data mengikuti sebaran tertentu
𝐻 1 : data memiliki sebaran lainnya Hasil  uji  khi-kuadrat  dengan  dengan  taraf  nyata  5% pada  data  bangkitan  pada setiap kondisi ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2: 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 hasil uji kecocokan sebaran 𝑛 𝑝 Uji Binomial Negatif Uji Poisson Uji Binomial 10 0.1 0.5175 ∗ 0.0000 0.0000 0.3 0.1363 ∗ 0.0017 0.0000 0.5 0.3917 ∗ 0.6932 ∗ 0.5244 ∗ 0.7 0.0249 0.0808 0.1591 ∗ 0.9 0.0024 0.0101 0.0262 50 0.1 0.7580 ∗ 0.0000 0.0000 0.3 0.0950 ∗ 0.0000 0.0000 0.5 0.9450 ∗ 0.9840 ∗ 0.1004 ∗ 0.7 0.0230 0.0492 0.3165 ∗ 0.9 0.0000 0.0000 0.0005 100 0.1 0.3141 ∗ 0.0000 0.0000 0.3 0.2766 ∗ 0.0000 0.0000 0.5 0.1034 ∗ 0.1484 ∗ 0.0213 0.7 0.0070 0.0170 0.1156 ∗ 0.9 0.0000 0.0000 0.0000
Keterangan: *signifikan pada taraf nyata 5% (data mengikuti sebaran yang diuji)
Hasil  uji  kecocokan  data  menunjukkan  terdapat  perubahan  sebaran  pada  data yang telah dibangkitkan. Hasil uji kecocokan data menunjukkan perubahan parameter 𝑝 mempengaruhi  pola  sebaran  data.  Pada  parameter 𝑝 = 0.1 dan 0.3 menunjukkan hasil  bahwa  data  menyebar  binomial  negatif.  Ketika parameter 𝑝 = 0.5 menyatakan bahwa  pada  ketiga  uji  menerima 𝐻 0 .  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  data  dapat dikatakan  menyebar  binomial,  poisson  dan  binomial  negatif.  Meskipun  demikian, berdasarkan nilai 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 saat parameter 𝑝 = 0.5 maka kecenderungan data lebih kuat menyebar  poisson.  Hal  ini  menunjukkan  sebaran  binomial  negatif  dapat  mengalami pergeseran pola sebaran pada kondisi tertentu.
Selanjutnya saat 𝑝 = 0.7 menunjukkan hasil bahwa data menyebar binomial. Saat parameter 𝑝 = 0.9 menyatakan  bahwa  pada  ketiga  uji  menolak 𝐻 0 yang mengindikasikan  bahwa  data  tidak  menyebar  binomial,  poisson  maupun  binomial negatif. Hal ini terjadi sebab ketika parameter 𝑝 = 0.9 menunjukkan sebuah keadaan menuju kepastian karena nilai 𝑝 mendekati 1. Sehingga, kondisi tersebut tidak dapat didefinisikan menuju sebaran tertentu. Ringkasan hasil pengujian pada Tabel 2 sesuai dengan  pendugaan  sebaran  berdasarkan  pada  eksplorasi  data  dengan  histogram sebelumnya.

## 3.4  Karakteristik Data Berdasarkan Nilai VMR
Hasil  pengujian  khi-kuadrat  dan  eksplorasi  histogram  data  simulasi  menunjukkan adanya  pengaruh  parameter  nilai p terhadap  pola  sebaran  data  cacah  yang dibangkitkan. Selain pengujian pada data akan dilihat pula nilai VMR atau rasio ragam dan nilai tengahnya. VMR yang bernilai lebih besar dari satu maka dikatakan bahwa data mengikuti pola sebaran binomial negatif ( overdispersi ), sedangkan VMR dengan nilai  lebih  kecil  dari  satu mengindikasikan pola  sebarannya binomial  ( underdispersi ) dan ketika VMR nilainya sama dengan satu menunjukkan bahwa data memiliki pola
sebaran  Poisson  ( equidispersi ).  Berdasarkan  data  cacah  yang  telah  dibangkitkan maka dihitung rata-rata nilai VMR untuk setiap kondisi ditunjukkan pada Tabel 3.
Tabel 3: Rata-rata nilai VMR berdasarkan kombinasi parameter p dan n 𝑛 𝑝 = 0.1 𝑝 = 0.3 𝑝 = 0.5 𝑝 = 0.7 𝑝 = 0.9 10 4.490346  2.061138  1.039546  0.354075  0.087448 8.689436  2.217704  0.874193  0.444827 0.10261 8.606622  2.253127  0.959645  0.475213  0.117065 8.053897  2.351807  1.011816  0.431552 0.11987 8.877976  2.325667  0.879573  0.412596  0.106321 8.97792  2.408126  0.995282  0.441023  0.103907 8.354744  2.104199  0.881446  0.434319  0.117699 9.493678 2.25199  0.985194  0.402851  0.111171 9.798019  2.295839  0.945764  0.418084  0.107502 8.920175  2.404042  0.955523  0.425002  0.115372 50 8.686491 2.43858  1.026388  0.398082  0.111404 8.722363  2.318736  0.989723  0.427644  0.109966 8.758978 2.29368  0.999009  0.428204 0.10876 8.483538  2.305857  1.023098  0.443377  0.112616 9.121957 2.33629  0.971786  0.431342  0.110053 8.849345  2.326725  0.974937  0.431342 0.10932 8.705424  2.352953  0.968479  0.419085  0.108586 9.222909  2.379881 1.01317  0.434227  0.112361 9.301736  2.375819  1.008841  0.426894  0.110959 8.715854  2.367847  0.978098  0.435601  0.110933 8.995548  2.315431  1.004043  0.420426  0.112323 100 8.792833  2.248518  0.970835  0.397453  0.110758 9.190425  2.362961  1.006354  0.421214  0.108621 9.009174  2.344101  1.008058  0.425447  0.111271 9.050414  2.198693  1.002234  0.426471  0.111442 8.881311  2.318688  1.006894  0.427447  0.111243 9.142593  2.398925  0.979298  0.430443  0.112989 9.017383  2.351341 1.01512 0.43273  0.111415 9.143093  2.369958  1.000353  0.428041  0.110811 8.978931  2.323795  0.993518  0.439459  0.109019 8.944628  2.286712  1.012037  0.422731  0.107211 9.154844  2.326578  0.997293 0.43488  0.111356
Tabel 3 menunjukkan adanya perubahan nilai rata-rata VMR pada setiap ukuran contoh dan parameter nilai p yang terbagi menjadi 3 keadaan berdasarkan teori nilai VMR. Kondisi pertama yakni ketika nilai 𝑝 = 0.1 dan 0.3 menunjukkan rata-rata VMR
lebih  dari  satu.  Kondisi  kedua  saat 𝑝 = 0.5 menghasilkan  rata-rata  VMR  mendekati satu. Kondisi ketiga yakni ketika nilai 𝑝 = 0.7 dan 0.9 rata-rata VMR kurang dari satu (menuju 0).
Gambar 4: Histogram frekuensi rata-rata VMR dengan 𝑝 = 0.1, 0.3,0.5, 0.7, dan 0.9
Perbandingan  rata-rata  nilai  VMR  setiap  parameter p dapat  dilihat  secara  jelas pada Gambar 4. Rata-rata nilai VMR lebih besar dari 1 ketika parameter 𝑝 = 0.1 dan 0.3 , sedangkan saat nilai 𝑝 = 0.5 menunjukkan rata-rata nilai VMR mendekati 1 serta saat 𝑝 = 0.7 dan 0.9 rata-rata nilai VMR mendekati 0. Hal ini menunjukkan bahwa data simulasi yang dibangkitkan sudah mengikuti sebaran binomial negatif, namun saat 𝑝 ≥ 0.5 mulai terjadi perubahan sebaran data menuju sebaran Poisson dan binomial.
Gambar 5: Grafik rata-rata nilai VMR pada setiap ukuran sampel 𝑛 = 10, 50,100
Gambar  5  memperlihatkan  pada  setiap  ukuran  contoh  menunjukkan  perubahan rata-rata  nilai VMR  yang  semakin  menurun seiring  dengan  semakin  naiknya  nilai p .
Hal  ini  sesuai  dengan  rumus  matematis  pada  sebaran  binomial  negatif  ( 𝑉𝑀𝑅 = 1 𝑝 ) yang menunjukkan bahwa nilai VMR berbanding terbalik dengan nilai p .
Gambar 6: Grafik rata-rata VMR saat 𝑝 = 0.1 untuk 𝑛 = 10, 50,100
Gambar 7: Grafik rata-rata VMR saat 𝑝 = 0.5 untuk 𝑛 = 10, 50,100
Ketiga  plot  pada  Gambar  6,  7  dan  8  memperlihatkan  pola  yang  sama  yakni perubahan  rata-rata  nilai  VMR  semakin  stabil  seiring  dengan ukuran  contoh n yang besar. Nilai VMR fluktuatif naik turun ketika ukuran contoh 10, sedangkan pada saat ukuran contoh 100, menunjukkan nilai VMR cenderung stabil. Hal ini mengindikasikan bahwa nilai VMR cenderung stabil seiring dengan besarnya ukuran contohnya.
Hasil eksplorasi data simulasi dan pengujian terhadap sebaran data menunjukkan kesimpulan  yang  sama  pada  teori  perhitungan  nilai  VMR.  Perhitungan  nilai  VMR menyatakan  bahwa  sebaran  binomial  negatif  nilai  VMR  lebih  besar  dari  1  dan
berbanding  terbalik  dengan  parameter p .  Hal  ini  telah  dibuktikan  dari  simulasi  data yang dibangkitkan mengikuti sebaran binomial negatif.
Gambar 8: Grafik rata-rata VMR saat 𝑝 = 0.9 untuk 𝑛 = 10, 50,100

## 4.  Simpulan
Kajian simulasi data sebaran binomial negatif dengan berbagai kondisi menunjukkan pola  perubahan  sebaran.  Ketika  nilai 𝑝 ≥ 0.5 mulai  terjadi  perubahan  sebaran  data menuju  sebaran  Poisson  dan  binomial.  Rata-rata  nilai  VMR  lebih  besar  dari  1  saat parameter 𝑝 = 0.1 dan 0.3 ,  sedangkan  ketika  nilai 𝑝 = 0.5 rata-rata  nilai  VMR mendekati  1  serta  saat 𝑝 = 0.7 dan 0.9 rata-rata  nilai  VMR  mendekati  0.  Sebaran binomial negatif mempunyai nilai VMR lebih besar dari 1 ketika parameter 𝑝 = 0.1 dan 0.3 dan  berbanding  terbalik  dengan  parameter p .  Hal  ini  sesuai  dengan  rumus matematis pada sebaran binomial negatif ( 𝑉𝑀𝑅 = 1/𝑝 ) yang menunjukkan bahwa nilai VMR akan semakin kecil ketika nilai p besar. Perubahan rata-rata nilai VMR semakin stabil seiring dengan semakin besarnya ukuran contoh. Perhitungan nilai VMR dapat dijadikan sebagai acuan untuk pendeteksian pola sebaran data cacah.

## Daftar Pustaka
Ahdika, A. (2015). Distribution of The Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to The Literate Population Data. JURNAL EKSAKTA , 15 (1 –2): 61–74. https://doi.org/10.20885/eksakta.vol14.iss1-2.art7
Baron,  M.  (2014). Probability  and  Statistics  for  Computer  Scientists (2nd  ed.).  Boca Raton: CRC Press.
Casella,  G.,  & Berger, R. (2001). Statistical Inference (2nd ed.). Pacific Grove ,  CA: Duxbury Press.
Hilbe,  J.  M.  (2011). Negatif  Binomial  Regression (2nd  ed.).  New  York:  Cambridge University Press.
Hilbe, J. M. (2014). Modeling count data . New York, NY: Cambridge University Press.
Inuwa,  P.  D.  (2013).  A  Critical  Review  of  Some  Properties  and  Applications  of  the Negative  Binomial  Distribution  (NBD)  and  Its  Relation  to  Other  Probability Distributions. International Refereed Journal of Engineering and Science , 2 (6): 33 – 43.
Krebs,  C.  J.  (2013). Ecological  Methodology (2nd  ed.).  New  York:  Harper  Collins Publisher.
Molla, D. T., & Muniswamy, B. (2012). Power of Tests for Overdispersion Parameter in Negative Binomial Regression Model. IOSR Journal of Mathematics , 1 (4): 29 –36.
Walpole, R. E. (2007). Probability & statistics for engineers & scientists (8th ed). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall.