Accredited by Ministry of Education, Culture,                                       DOI: https://doi.org/10.35799/jis.v23i1.46228 Research and Technology No: 105/E/KPT/2022     Available online at https://ejournal.unsrat.ac.id/v3/index.php/jis

## Modifikasi Cadangan Premi Asuransi Jiwa Seumur Hidup Unit Link Menggunakan Metode Fackler dan Point to Point
Sheren Rachmad 1) , Tohap Manurung 2*) , Chriestie Montolalu 3)
1,2,3) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sam Ratulangi University Manado, Indonesia
*Corresponding author : tohapm@unsrat.ac.id

## ABSTRAK
Tujuan dari penelitian ini yaitu menghitung cadangan premi asuransi jiwa seumur hidup unit link menggunakan  metode Fackler serta  metode Point  to  Point .  Asuransi  jiwa unit  link merupakan  asuransi  jiwa  dengan  unsur  proteksi  dan  investasi.  Untuk  menghindari  risiko likuiditas,  penanggung  atau  perusahaan  asuransi  perlu  menyediakan  cadangan  premi. Penanggung  membatasi  nilai  manfaat  yang  dapat  diterima  tertanggung  dengan  garansi minimum dan cap sehingga dapat mengatasi risiko kerugian yang disebabkan oleh fluktuasi harga saham. Untuk menghitung cadangan premi asuransi jiwa seumur hidup unit link akan digunakan metode Fackler . Dalam metode Fackler, perhitungan cadangan digunakan untuk menentukan nilai tunai anuitas dengan menggunakan tingkat suku bunga tetap lalu setelah itu dilanjutkan dengan menghitung premi bersih tahunan. Dalam perhitungan premi bersih tahunan tersebut diperlukan premi tunggal bersih yang akan dihitung menggunakan metode Point to Point dengan hasil yang diperoleh 𝐴 𝑥 = 1,607743838 untuk 1 unit saham yang dibeli oleh seorang laki-laki berusia 40 tahun. Diperoleh juga nilai cadangan premi tunggal bersih untuk seorang laki-laki berusia 40 tahun untuk tahun ke-0 sampai tahun ke-71 dimana nilai cadangan  premi  akan  semakin  besar  jika  waktu  hidup  seseorang tersebut  bertambah atau  dipengaruhi oleh masa kontrak polis seseorang.
Kata kunci: C adangan premi; metode Fackler : unit link

## Unit Linked Life Insurance Premium Reserve Modification Using Fackler and Point to Point Methods

## ABSTRACT
The  present  study  aims  to  investigate  the  use  of  the  Fackler  method  in  determining  the reserve  of  unit-linked  whole  life  insurance  premiums.  Unit-linked  whole  life  insurance combines both protection and investment features, and to mitigate liquidity risks, it is crucial for the insurer to establish reserves. The insurer limits the value of the benefits obtainable through a minimum guarantee and stamp value to counteract losses that may arise due to fluctuations in share prices.The Fackler method is employed to calculate the reserve of unit- linked  whole life  insurance  premiums  by  determining  the  cash  value  of  annuities using  a fixed interest rate in conjunction with the Indonesia Mortality Table 2019. Subsequently, an annual net premium is calculated. The calculation of the annual net premium necessitates the  determination  of  a  single  net  premium,  which  is  computed  using  the  Point  to  Point method with the result is 𝐴 𝑥 = 1,607743838 . The outcome of this calculation yields the reserve  value  for  a  40-year-old  individual.  It  is  noteworthy  that  the  reserve  value  will increase with the lifespan of the individual or the duration of the policy contract.
Keywords : Fackler method; premium reserves; unit-linked
(Article History:  Received 28-01-2023; Accepted 29-04-2023; Published 30-04-2023)

## PENDAHULUAN
Saat  ini  sedang  tren  di  kalangan  masyarakat  dimana  mereka  lebih  memilih  untuk menginvestasikan  uangnya  dibandingkan  mengikuti  asuransi  jiwa.  Hal  tersebut melatarbelakangi asuransi jiwa produk unit link dikembangkan. Produk ini sangat diminati di  kalangan  masyarakat  Indonesia  (Sartika,  2013).  Asuransi  jiwa  yang  menggabungkan perlindungan finansial (proteksi) dengan hasil investasi biasa disebut dengan asuransi jiwa produk unit link (Saptarini et al ., 2020). Asuransi jiwa memberikan perlindungan melalui polis individu, di mana nilai polis dapat berfluktuasi sesuai dengan nilai aset investasi. Hal ini  memungkinkan  pemegang  polis  untuk  mendapatkan  dua  keuntungan  sekaligus  yaitu perlindungan finansial dan hasil investasi. Dalam produk asuransi jiwa unit link ini, pihak tertanggung  diberikan  kebebasan  untuk  memilih  instrumen  investasi  sesuai  dengan preferensi  mereka  sehingga  pemegang  polis  juga  bertanggung  jawab  atas  risiko  investasi yang mungkin terjadi (Magfidar, 2017). Faktor yang memengaruhi harga premi dari produk asuransi jiwa unit link adalah tingkat angka kematian (tabel mortalita) dan biaya (Widana & Jayanegara, 2019). Asuransi jiwa unit link merupakan produk asuransi jiwa modern yang memungkinkan  pemegang  polis  untuk  melakukan  investasi,  termasuk  melalui  pembelian saham.  Dalam  asuransi  ini,  manfaat  yang  diperoleh  akan  disalurkan  pada  saat  kontrak berakhir  (Dewi et  al., 2018).  Metode  pengindeksan  dapat  digunakan  untuk  menghitung manfaat yang diperoleh tertanggung dalam asuransi jiwa unit link (Saputra, 2018). Dalam menghitung manfaat yang diperoleh tertanggung dalam asuransi jiwa unit link , terdapat tiga metode pengindeksan yang digunakan yaitu point to point, annual ratchet, dan high water mark (Hardy, 2003).
Dalam penelitian ini, metode point to point akan digunakan untuk menghitung premi tunggal bersih. Metode ini adalah metode paling sederhana yang lebih mudah dipahami dan dihitung karena tidak memperhitungkan fluktuasi harga saham yang terjadi di antara awal dan  akhir  periode  kontrak  (Maghfiroh  &  Satyahadewi,  2021).  Metode  point  to  point memberikan perlindungan kepada pemegang polis jika seandainya terjadi penurunan harga saham  di  tengah  jalan.  Jika  manfaat  dalam  asuransi  jiwa unit  link dibatasi  oleh  garansi minimum  dan  nilai cap ,  ahli  waris  atau  tertanggung  nantinya  akan  menerima  manfaat maksimal sebesar nilai cap yang telah ditetapkan atau setidaknya mereka akan menerima manfaat minimum yang telah disepakati pada saat kontrak asuransi. Dengan adanya batasan tersebut, baik penanggung ataupun tertanggung akan terlindungi dari risiko akibat fluktuasi harga saham yang dapat mempengaruhi nilai investasi selama periode kontrak asuransi.
Kewajiban  penanggung  atau  perusahaan  asuransi  dalam  membayar  klaim  kepada tertanggung membutuhkan adanya dana cadangan yang memadai sehingga perusahaan tidak akan  mengalami  kerugian.  Kerugian  yang  dialami  oleh  perusahaan  asuransi  jiwa  dapat terjadi jika mereka tidak tepat dalam mengatur cadangan premi yang mengakibatkan mereka tidak  mampu  membayar  mandaat  kepada  tertanggung  saat  klaim  diajukan  (Aryanti  & Ahmad,  2020).    Salah  satu  tujuan  dari  penyediaan  cadangan  premi  dalam  perusahaan asuransi jiwa yaitu menghindari risiko likuiditas atau ketidaksanggupan perusahaan dalam membayar uang pertanggungan kepada pihak tertanggung pada saat klaim diajukan. Jumlah uang yang dikumpulkan oleh perusahaan asuransi sebagai persiapan untuk membayar klaim yang diperoleh dari selisih antara nilai santunan yang diberikan dan nilai tunai yang telah
dibayarkan selama periode pertanggungan disebut dengan cadangan premi. Metode Fackler adalah  metode  perhitungan  cadangan  premi  yang  merupakan  turunan  dari  rumus  umum cadangan  retrospektif  (Faturachman et  al .,  2022).  Perhitungan  cadangan  retrospektif dilakukan  berdasarkan  jumlah  total  pendapatan  pada  masa  lalu  sampai  saat  perhitungan cadangan dilakukan, lalu kemudian mengurangi jumlah pengeluaran yang telah terjadi pada waktu yang lalu untuk tiap pemegang polis (Mashitah et al. , 2013). Perhitungan cadangan premi  bersih  yang  tidak  termasuk  dalam  biaya  operasi  lainnya  dapat  digunakan menggunakan  metode  Fackler.  Premi  bersih  tahunan  diperlukan  dalam  metode  ini,  yaitu premi  yang  dibayarkan  pada  awal  setiap  tahun  yang  dimana  besarnya  bibsa  tetap  atau berubah setiap tahunnya. Untuk menentukan premi bersih tahunan, langkah awalnya adalah dengan melakukan perhitungan premi tunggal bersih dan anuitas awal. Pembayaran dalam nilai tertentu yang dilakukan secara teratur dan terus menerus selama jangka waktu tertentu disebut  dengan  anuitas.  Anuitas  dengan  pembayaran  yang  terkait  dengan  kehidupan  atau kematian  seseorang  dikenal  sebagai  anuitas  hidup  ( life  annuity ).  Jika  pembayaran anuitas terus berlanjut selama seseorang masih hidup, maka disebut dengan anuitas seumur hidup.
Pada penelitian terdahulu yang dilakukan oleh (Juliantari et al ., 2017) metode point to point digunakan untuk menentukan premi tunggal dalam asuransi jiwa seumur hidup unit link .  Penelitian  lainnya  juga  telah  dilakukan  oleh  (Faturachman et  al .,  2022)  dalam penentuan cadangan premi asuransi jiwa dengan menggunakan metode Fackler. Sebelumnya belum ada penelitian mengenai penentuan cadangan premi asuransi jiwa seumur hidup unit link hanya ada penelitian terhadap penentuan cadangan premi asuransi jiwa tradisional. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan menggunakan metode point to point untuk menentukan premi  tunggal  bersih  yang  digunakan  untuk  menghitung  premi  tahunan  bersih  pada perhitungan  cadangan  premi  asuransi  jiwa  seumur  hidup unit  link menggunakan  metode Fackler .
Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mengestimasi cadangan premi asuransi jiwa seumur hidup unit link dengan menggunakan metode Fackler dimana premi tahunannya dipengaruhi oleh investasi sehingga dalam penelitian ini perhitungan akan dimulai dengan metode Point to Point yang digunakan untuk menghitung premi tunggal bersih.

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilaksanakan dari bulan Agustus 2022 sampai dengan Desember 2022. Data yang digunakan yaitu data simulasi dan data harga penutupan saham pada PT. Bank Central  Asia  Tbk  (BBCA.JK)  dalam  rentang  waktu  4  Januari  2021  sampai  30  Desember 2021. Metode yang digunakan adalah  metode Fackler dan metode Point to Point .

## Anuitas dan Premi
Anuitas yaitu pembayaran dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap selang waktu tertentu  dan  secara  berkelanjutan.  Anuitas  yang  pembayarannya  dilakukan  selama  pihak tertanggung masih hidup disebut dengan anuitas seumur hidup. Pembayaran akan dihentikan jika  orang  yang  bersangkutan  telah  meninggal  (Sembiring,  2016). Anuitas  awal  seumur hidup seseorang berusia x dinotasikan dengan 𝑎̈ 𝑥 dinyatakan pada persamaan
𝑎̈ 𝑥 = ∑ ∞ 𝑘=0 𝑣 𝑘 𝑘𝑝 𝑥
dengan :
𝑣 = bunga majemuk; 𝑘𝑝 𝑥 = peluang seseorang yang berusia 𝑥 tahun akan bertahan hidup mencapai usia 𝑥  +  𝑘 tahun
Suatu  biaya  yang  dibayar  oleh  pihak  tertanggung  (pemegang  polis)  kepada  pihak penanggung  (perusahaan  asuransi)  untuk  risiko  yang  ditanggung  disebut  dengan  premi (Zahra, 2014). Ada beberapa macam premi asuransi jiwa, diantaranya adalah premi tunggal, premi tahunan, dan premi pecahan (Andiraja & Wahyuni, 2015). Premi tunggal bersih ialah premi  yang  dibayar  pada  saat  kontrak  disetujui  dan  hanya  memperhatikan  tingkat  suku bunga  dan  tingkat  mortalitas  (Iriana  &  Nasution,  2019).  Premi  tunggal  bersih  atau  biasa disebut dengan actuarial present value untuk asuransi jiwa seumur hidup dapat diperoleh menggunakan persamaan berikut :
𝐴 𝑥 = ∑ ∞ 𝑘=0 𝑣 𝑘+1 𝑘𝑝 𝑥 𝑞 𝑥+𝑘
dengan: 𝐴 𝑥 = Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup; 𝑣 = faktor diskonto atau nilai tunai pembayaran; 𝑘𝑝 𝑥 = peluang seseorang yang berusia x tahun akan bertahan hidup mencapai usia x + t tahun; 𝑞 𝑥+𝑘 = peluang seseorang yang berusia x tahun akan meninggal mencapai usia x + t tahun

## Metode Fackler
Metode Fackler adalah turunan dari jenis perhitungan cadangan premi menggunakan metode retrospektif (Januarti et al ., 2019). Metode ini biasa digunakan untuk menghitung cadangan  premi  bersih  yang  belum  dijumlahkan  dengan  biaya  operasional  lainnya. Penentuan nilai cadangan dipengaruhi oleh beberapa faktor, yaitu usia peserta asuransi, besar santunan, tingkat suku  bunga dan jangka waktu pembayaran premi (Subhan et al ., 2019). Bentuk umum dari cadangan retrospektif metode Fackler untuk santunan Rp. 1 adalah 𝑡𝑣 = 𝑃𝑡𝑢 𝑥 − 𝑡𝑘 𝑥
Dengan: 𝑡𝑣 = cadangan premi di akhir tahun ke- t 𝑃 = premi bersih tahunan 𝑡𝑢 𝑥 = dana tonti ( forborne annuity ) atau dana premi beserta bunganya dimulai dari x tahun hingga t tahun sebelumnya sejak polis dikeluarkan
𝑡𝑘 𝑥 = dana akumulasi asuransi atau besar biaya asuransi beserta bunganya dimulai dari x tahun sampai dengan t tahun
𝑡 = periode
Nilai dari 𝑡𝑢 𝑥 dapat diperoleh menggunakan persamaan
𝑡𝑢 𝑥 = 𝑁 𝑥 − 𝑁 𝑥+𝑡 𝐷 𝑥+𝑡
dan nilai dari notasi 𝑡𝑘 𝑥 dapat dihitung menggunakan persamaan
𝑡𝑘 𝑥 = 𝑀 𝑥 − 𝑀 𝑥+𝑡 𝐷 𝑥+𝑡

## Metode Point to Point
Menggunakan  metode  ini  hasil  investasi  dihitung  berdasarkan  selisih  antara  harga saham pada saat jatuh tempo dan harga saham pada saat kontrak polis sehingga metode ini mengabaikan fluktuasi harga saham antara awal dan akhir periode kontrak polis. Hal ini akan melindungi tertanggung jika terjadi penurunan harga saham di tengah jalan.
Menurut (Magfidar, 2017), tingkat partisipasi menentukan berapa persen dari hasil investasi  yang  akan  diperoleh  tertanggung.  Hasil  investasi  yang  diperoleh  pada  waktu  t dengan metode Point to Point dapat didefinisikan sebagai berikut :
𝐻 𝑡 = 𝑆 𝑡 − 𝑆 0
𝑆 0 dimana: 𝐻 𝑡 = hasil investasi yang diperoleh pada waktu t ; 𝑆 𝑡 = harga saham pada periode t; 𝑆 0 = harga saham awal.
Pengaruh inflasi dapat mengakibatkan kerugian pada tertanggung, yang akan terjadi saat harga saham turun sehingga perusahaan asuransi memberikan garansi minimum pada pihak  tertanggung.  Garansi  minimum  adalah  nilai  minimum  dari  manfaat  yang  diberikan oleh pihak asuransi kepada pemegang polis pada saat harga saham turun. Menurut Gaillardetz & Lakhmiri, (2011) , fungsi garansi minimum ( 𝐺 𝑡 ) dapat dinyatakan sebagai berikut
𝐺 𝑡 = 𝛽(1 + 𝑔) 𝑡
dimana 𝛽 adalah persentase pengembalian premi dan g adalah tingkat suku bunga garansi.
Untuk mengatasi kerugian pada tertanggung karena inflasi, maka pihak perusahaan asuransi memberikan batasan nilai maksimum ( cap ) dari manfaat yang diterima pemegang polis, fungsi cap maksimum ( 𝐶 𝑡 ) dapat dinyatakan sebagai berikut
𝐶 𝑡 = (1 + 𝑐) 𝑡
dimana c adalah tingkat suku bunga cap .
Nilai  investasi  dari  struktur  manfaat 𝑏 𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 {[1 + 𝛼𝐻 𝑡 , (1 + 𝑐) 𝑡 ] , 𝛽(1 + 𝑔) 𝑡 } yang akan diperoleh pada waktu t adalah sebagai berikut 𝛱( 𝑡 ) = 𝛼 ( 𝛷 ( 𝛿 ) − 𝛷 ( 𝜅 )) + 𝑒 −𝑟𝑡 [𝛽 ( 1 + 𝑔 ) 𝑡 −{𝛽(1 + 𝑔) 𝑡 − (1 − 𝛼)}𝛷(𝜉)
+{(1 + 𝑐) 𝑡 − (1 − 𝛼)}𝛷(𝑣)
dengan  Φ  merupakan  fungsi  distribusi  kumulatif  normal  standar  dan  α  adalah  tingkat partisipasi. Rumus premi tunggal bersih asuransi jiwa seumur hidup unit link dengan garansi minimum dan nilai cap menggunakan metode point to point sebagai berikut:
𝐴 𝑥 = ∑ ∞ 𝑘=1 𝑈(𝑘)𝛱(𝑘)
Nilai 𝐴 𝑥 merupakan premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup unit link untuk 1 unit saham  dimana  1  unit  saham  tersebut  merupakan  1  lembar  saham  yang  berharga  Rp.  1. Dengan 𝛷 merupakan fungsi distribusi kumulatif normal standar,
𝑈(𝑘) = (𝑘 − 1𝑝 𝑥 )(𝑞 𝑥+𝑘−1 ) 𝛿 = 𝜎√𝑘 + (𝑟 − 1 2 𝜎 2 ) 𝑘 −𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝛽 (1 + 𝑔) 𝑘 − (1 − 𝛼) 𝛼 𝜎 √𝑘 𝜉 = 𝛿 − 𝜎√𝑘
𝜅 = 𝜎√𝑘 + (𝑟 − 1 2 𝜎 2 ) 𝑘 −𝑙𝑛 𝑙𝑛 (1 + 𝑐) 𝑘 − (1 − 𝛼) 𝛼 𝜎 √𝑘 𝜈 = 𝜅 − 𝜎√𝑘
dengan 𝑘 = 1,2, … .

## Analisis Data
Pengolahan  data  dilakukan  dengan  menggunakan software Microsoft  Excel. Langkah-langkah untuk analisis data adalah sebagai berikut :
1. Menentukan profil calon pemegang polis atau tertanggung yaitu variabel-variabel seperti usia nasabah, jenis kelamin, tingkat suku bunga, banyaknya pembayaran premi dalam satu periode, dan nilai pertanggungan.
2. Mengambil data harga saham harian dari data penutupan harga saham PT. Bank Central Asia Tbk (BBCA.JK) tahun 2021.
3. Menghitung  nilai return harga  saham  harian,  nilai  estimasi mean  return harga  saham harian, dan nilai estimasi volatilitas tahunan.
4. Menghitung  premi  tunggal  bersih  asuransi  jiwa  seumur  hidup unit  link menggunakan metode Point to Point .
5. Menghitung anuitas awal asuransi jiwa seumur hidup unit link.
6. Menghitung premi bersih tahunan asuransi jiwa seumur hidup unit link .
7. Menghitung cadangan premi menggunakan metode Fackler untuk produk asuransi jiwa seumur hidup unit link .

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Data Penelitian
Data pada penelitian ini menggunakan data asumsi profil calon pemegang polis atau tertanggung yang mencakup informasi seperti terlihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Profil Pemegang Polis
Usia (x) 40 tahun Jenis Kelamin Laki-laki Tingkat suku bunga bebas risiko ( 𝑟 ) 3,5% Tingkat partisipasi ( 𝛼 ) 70% Persentasi pengembalian premi ( 𝛽 ) 90% Tingkat suku bunga garansi ( g ) 5% Tingkat suku bunga cap ( c ) 10% Harga saham awal ( 𝑆 0 ) Rp.6.835 Jumlah lembar saham (u) 1000 lembar
Tingkat suku bunga yang digunakan dalam perhitungan mengacu pada tingkat suku bunga  resmi  Bank  Indonesia  sebesar  3,5%.  Tabel  2  menampilkan  tabel  harga  penutupan saham PT. Bank Central Asia Tbk (BBCA.JK)  yang mencakup rentang tanggal 4 Januari 2021 hingga 31 Desember 2021.
Tabel 2. Harga Penutupan Saham PT. Bank Central Asia Tbk t Tanggal Harga Penutupan (Rp.) 0 4 Januari 2021 6835 1 5 Januari 2021 7090 2 6 Januari 2021 6945 ⋮ ⋮ ⋮ 245 29 Desember 2021 7300 246 30 Desember 2021 7300
Semua nilai  yang terdapat pada profil pemegang polis  diasumsikan kecuali tingkat suku bunga bebas risiko serta harga awal saham.

## Menghitung nilai return saham, nilai mean return, dan nilai volatilitas saham
Berdasarkan data harga penutupan saham PT. Bank Central Asia Tbk (BBCA.JK) periode 4 Januari 2021 sampai dengan 31 Desember 2021 dapat dihitung nilai return harga saham harian dengan menggunakan persamaan
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 )
Berikut merupakan hasil menghitung nilai return harga saham secara singkat dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Perhitungan nilai return saham t Tanggal Harga Penutupan (Rp.) Return ( 𝑅 𝑡 ) 0 4 Januari 2021 6835 1 5 Januari 2021 7090 0,03663 2 6 Januari 2021 6945 -0,02066 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 245 29 Desember 2021 7300 -0,0068 246 30 Desember 2021 7300 0
Untuk menghitung nilai mean return dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan
R ̅ = ∑ 𝑛 𝑡=1 𝑅 𝑡 𝑛 sehingga diperoleh 𝑅̅ = 0,00027 . Selanjutnya untuk menghitung nilai volatilitas saham dapat digunakan persamaan berikut
𝜎 = 1 √𝜏 √ 1 𝑛 − 1 ∑ 𝑛 𝑡=1 (𝑅 𝑡 − 𝑅) 2
dengan 𝜎 merupakan volatilitas harga saham, 𝑅̅ merupakan nilai mean return saham harian, 𝑅 𝑡 adalah  nilai return saham,  jumlah  hari  perdagangan  selama  tahun  2021  dinotasikan dengan n dan 𝑇 sebagai  jumlah  hari  perdagangan  dalam  1  tahun  (252  hari).  Sehingga diperoleh 𝜎 = 0,230530589 .

## Menghitung premi tunggal bersih
Langkah pertama dalam menghitung premi bersih tunggal adalah dengan menghitung garansi minimum dan cap dengan persentase pengembalian premi ( 𝛽 ) sebesar 90%, tingkat
suku bunga garansi ( g) sebesar 5%, dan tingkat suku bunga cap ( c ) sebesar 70%. Mengacu pada Tabel Mortalita Indonesia Laki-laki tahun 2019, batas usia  yang tercatat adalah 111 tahun,  sedangkan  dalam  penelitian  ini  calon  pemegang  polis  atau  tertanggung  berusia  40 tahun  maka  nilai k berkisar  antara  0  hingga  71.  Berikut  adalah  hasil  perhitungan  garansi minimum dan cap secara singkat (Tabel 4)
Tabel 4. Perhitungan garansi minimum dan nilai cap k 𝐺 𝑘 𝐶 𝑘 0 0,9 1,00 1 0,945 1,10 ⋮ ⋮ ⋮ 71 28,7529721 868,7216525
Berikutnya  akan  dihitung  nilai  fungsi  distribusi  kumulatif  normal  standar  jika tingkat partisipasi ( 𝛼 ) sebesar 70%, suku bunga bebas risiko sebesar 3,5%, dan volatilitas saham  sebesar 0,230530589 .  Berikut adalah  perhitungan  untuk  mencari  nilai 𝛿, 𝜉, 𝜅, 𝜈 serta nilai 𝛷(𝛿) , 𝛷 ( 𝜉 ) , 𝛷 ( 𝜅 ) , 𝑑𝑎𝑛 𝛷 ( 𝜈 ) secara singkat dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5. Perhitungan nilai 𝛿, 𝜉, 𝜅, 𝜈 serta nilai 𝛷(𝛿) , 𝛷 ( 𝜉 ) , 𝛷 ( 𝜅 ) , 𝑑𝑎𝑛 𝛷 ( 𝜈 ) k 𝛿 𝜉 𝜅 𝜈 𝛷(𝛿) 𝛷(𝜉) 𝛷(𝜅) 𝛷(𝜈) 1 0,62 0,39 2,00 1,76 0,73237 0,65173 0,97725 0,95994 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 71 -111,61 -113,55 -1,23 -3,18 0 0 0,10935 0,00074
Selanjutnya akan dihitung nilai investasi menggunakan persamaan berikut ini
𝛱( 𝑘 ) = 𝛼 ( 𝛷 ( 𝛿 ) − 𝛷 ( 𝜅 )) + 𝑒 −𝑟𝑘 [𝛽 ( 1 + 𝑔 ) 𝑘 −{𝛽(1 + 𝑔) 𝑘 − (1 − 𝛼)}𝛷(𝜉) +{(1 + 𝑐) 𝑘 − (1 − 𝛼)}𝛷(𝑣)]
Berikut adalah perhitungan untuk mencari nilai 𝛱( 𝑘 ) secara singkat dapat dilihat pada Tabel 6. Selanjutnya akan dihitung nilai 𝑈(𝑘) = ( 𝑘−1 𝑝 𝑥 )(𝑞 𝑥+𝑘−1 ) jika usia tertanggung ( x ) yaitu 40 tahun dan nilai k dai 1 sampai  dengan 71. Berikut hasil yang diperoleh secara singkat pada Tabel 7.
Tabel 6. Perhitungan nilai 𝛱( 𝑘 )
k Π( 𝑘 ) 1 1,076712 2 1,104543 ⋮ ⋮ 71 2,37286 Tabel 7. Perhitungan nilai 𝑈(𝑘) k 𝑈(𝑘) 1 0,00173 2 0,001927 ⋮ ⋮
Perhitungan premi tunggal bersih untuk asuransi jiwa seumur hidup unit link dapat digunakan metode Point to Point yang diperoleh dengan persamaan berikut
𝐴 𝑥 = ∑ ∞ 𝑘=1 𝑈(𝑘)𝛱(𝑘)
sehingga diperoleh
𝐴 𝑥 = ∑ ∞
𝑘=1 𝑈(𝑘)𝛱(𝑘)
= (0,00173)(1,076712) + = (0,001927)(1,104543) + ⋯ +
= (0,000027582)(2,37286) = 1,607743838

## Menghitung nilai manfaat
Nilai manfaat yang diperoleh tertanggung  akan tergantung pada harga saham pada saat klaim diajukan. Perhitungan manfaat yang diperoleh tertanggung pada saat melakukan klaim digunakan persamaan berikut
𝑏 𝑡 = 𝑚𝑎𝑥 {[1 + 𝛼𝐻 𝑡 , (1 + 𝑐) 𝑡 ] , 𝛽(1 + 𝑔) 𝑡 } × 𝑆 0 × 𝑢 Jika  diasumsikan  tertanggung  melakukan  klaim  pada  batas  usia  terakhir  di  Tabel Mortalita atau pada tahun ke-71 dan dengan harga saham pada saat itu diasumsikan sebesar Rp. 30.000 maka manfaat yang akan diperoleh adalah sebagai berikut
𝑏 71 = {[1 + (0,7) ( 30.000 − 6835 6835 ) , (1 + 0,1) 71 ] ,0,9(1 + 0,05) 71 } × 6.835 × 1000 𝑏 71 = 𝑅𝑝. 196.526.564,5
Sehingga  manfaat  atau  uang  pertanggungan  yang  diperoleh  oleh  tertanggung  jika melakukan klaim pada tahun terakhir kontrak polis adalah Rp.196.526.564,5.

## Menghitung anuitas awal seumur hidup
Untuk menghitung anuitas awal seumur hidup seseorang berusia x akan digunakan persamaan berikut
𝑎̈ 𝑥 = ∑ 𝑣 𝑘 𝑘 𝑝 𝑥 ∞
𝑘=0 dimana 𝑣 merupakan faktor diskonto yang dapat diperoleh menggunakan persamaan
𝑣 = 1 1 + 𝑖
dengan 𝑖 meruapakan tingkat bunga sebesar 3,5% sehingga diperoleh 𝑣 = 0,966183575 . Perhitungan  anuitas  awal  seumur  hidup menggunakan  bantuan  Tabel  Mortalita  Indonesia Laki-laki tahun 2019 sehingga diperoleh hasil secara singkat pada Tabel 8.
Tabel 8. Perhitungan Anuitas Awal
k 𝑣 𝑘 𝑘 𝑝 𝑥 𝑣 𝑘 𝑘 𝑝 𝑥
0 1 1 1 1 0,96618 0,99827 0,96451 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 71 0,08694 0,000018975 0,000002
Sehingga diperoleh anuitas awal seumur hidup untuk laki-laki berusia 40 tahun yaitu sebesar 𝑎̈ 40 = 21,4912

## Menghitung premi bersih tahunan
Premi yang dibayar oleh tertanggung pada awal setiap tahun disebut dengan premi tahunan (Kamal et al ., 2014). Premi tahunan dihitung dengan menggunakan perbandingan antara premi tunggal bersih dan nilai tunai anuitas awal. Perhitungan premi bersih tahunan untuk asuransi jiwa seumur hidup dengan santunan sebesar Rp. 1 dapat didefiniskan dalam persamaan berikut ini
𝑃 𝑥 = 𝐴 𝑥 𝑎̈ 𝑥 Sebelumnya telah digunakan metode point to point untuk memperoleh premi bersih tunggal dari asuransi jiwa seumur hidup unit link untuk seorang laki-laki berusia 40 tahun yaitu 1,607743838 dan  telah  diperoleh  juga  anuitas  awal  seumur  hidup  untuk  laki-laki berusia 40 tahun yaitu sebesar 21,4912. Sehingga diperoleh premi tahunan untuk asuransi jiwa seumur hidup unit link seseorang laki-laki berusia 40 tahun dengan santunan sebesar Rp. 1 yaitu
𝑃 40 = 1,607743838 21,4912 = 0,074809535

## Menghitung cadangan premi menggunakan metode Fackler
Sebelum menghitung cadangan premi untuk pemegang polis berusia 40 tahun maka akan  dihitung 𝑡 𝑢 40 dan 𝑡 𝑘 40 dengan  bantuan  tabel  komutasi  yang  diperoleh  dengan bantuan Tabel Mortalita Indonesia Laki-laki tahun 2019 menggunakan persamaan berikut
𝐷 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑙 𝑥 𝑁 𝑥 = 𝐷 𝑥 + 𝐷 𝑥+1 + 𝐷 𝑥+2 + ⋯ + 𝐷 𝜔−1 𝐶 𝑥 = 𝑣 𝑥+1 𝑑 𝑥 𝑀 𝑥 = 𝐶 𝑥 + 𝐶 𝑥+1 + 𝐶 𝑥+2 + ⋯ + 𝐶 𝜔−1 hasil dari tabel komutasi secara singkat yaitu :
Tabel 9. Tabel Komutasi untuk 𝑖 = 3,5%
x 𝐷 𝑥 𝑁 𝑥 𝐶 𝑥 𝑀 𝑥 40 24582,89  528314,9  41,09025  6717,131 41 23710,5 503732 44,21378  6676,041 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 111 0,04056 0,04056 0 0
Sehingga  apabila  pemegang  polis  atau  tertanggung  nantinya  akan mendapat  klaim sebesar Rp. 196.526.564,5 , maka dapat diperoleh nilai-nilai cadangan premi di akhir tahun ke- t dengan t dimulai dari 𝑡 = 0 tahun sampai dengan 𝑡 = 71 tahun untuk pemegang polis berusia 40 tahun ( 𝑥 = 40 ), yang bisa dilihat pada Tabel 10.
Tabel 10. Nilai Cadangan Premi Tahunan Akhir Tahun t Pada Asuransi Jiwa Seumur Hidup Unit link
t 𝑡 𝑢 40 𝑡 𝑘 40 𝑡 𝑣 0 0 0 0 1 1.036793653 0.001733 14.902.423,25 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 70 5129761.529 65220.55 62.600.496.487.156,50 71 13027048.31 165629.3  158.973.909.752.356,00

## KESIMPULAN
Nilai  premi  tunggal  bersih  dari  polis  asuransi  jiwa  seumur  hidup  produk unit  link dengan garansi minimum dan nilai cap seseorang laki-laki berusia 40 tahun menggunakan metode point  to  point untuk  1  unit  saham  PT.  Bank  Central  Asia  Tbk.  adalah 𝐴 40 = 1,607743838 .  Selain  itu,  diperoleh  nilai  cadangan  premi  pada akhir  tahun  ke- t dimana t dimulai pada 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 71 . Nilai cadangan premi pada akhir tahun ke-0 ( 𝑡 = 0 ) nilai adalah Rp. 0 lalu cadangan premi pada akhir tahun ke-1 ( 𝑡 = 1 ) bernilai Rp. 14.902.423,25 dan  seterusnya  sampai  tahun  ke-71  ( 𝑡 = 71 )  bernilai  Rp. 158.973.909.752.356.  Nilai cadangan premi akan terus meningkat setiap tahunnya dan semakin besar jika waktu hidup seseorang  tersebut  bertambah  atau  seiring  bertambahnya  usia  seseorang.  Nilai  cadangan premi asuransi jiwa seumur hidup unit link dipengaruhi oleh harga saham dan masa kontrak polis  seseorang  (periode  polis)  serta  berapa  banyak  jumlah  unit  saham  yang  dibeli  oleh pemegang polis untuk diinvestasikan.

## DAFTAR PUSTAKA
Andiraja,  N.,  &  Wahyuni,  D.  (2015).  Premi  Tahunan  Asuransi  Jiwa  Berjangka  Dengan Asumsi Seragam Untuk Status Gabungan. Jurnal Sains Matematika Dan Statistika , 1 (2), 83–88.
Aryanti,  N.,  &  Ahmad,  D.  (2020).  Penentuan  Cadangan  PreminTahunan  Retrospektif Asuransi  Jiwa  Dwiguna  Kasus  Joint  Life  dengan  Menggunakan  Metode  Fackler. Jurnal of Mathematics UNP , 5(1), 53–58.
Dewi,  N.  K.  A.  S.,  Widana,  I.  N.,  &  Harini,  L.  P.  I.  (2018).  Perhitungan  Nilai  Garansi Minimum Manfaat Kematian Pada Asuransi Unit-Link. E-Jurnal Matematika , 7 (3), 232–238.
Faturachman,  Suyitno,  &  Rizki,  A.  (2022).  Penentuan  Cadangan  Premi  Asuransi  Jiwa Dengan Metode Fackler. Eksponensial , 13(1) , 19–28.
Gaillardetz,  P.,  &  Lakhmiri,  J.  Y.  (2011).  A  New  Premium  Principle  for  Equity-Indexed Annuities. The Journal of Risk and Insurance , 78 (1), 245–265.
Hardy,  M.  (2003).  Investment  Guarantees  Modeling  and  Risk  Management  for  Equity- Linked Life Insurance. John Wiley & Sons, Inc, New Jersey.
Iriana,  N.,  &  Nasution,  Y.  N.  (2019).  Penentuan  Cadangan  Premi  Asuransi  Jiwa  Seumur Hidup Menggunakan Metode Zillmer. Jurnal Matematika, Statistika Dan Komputasi , 16 (2), 219–225.
Januarti, A., Lestari, R., & Baqi, A. I. (2019). Penghitungan Cadangan Premi Tahunan Pada Asuransi  Jiwa  Seumur  Hidup  Dengan  Menggunakan  Metode  Fackler. Jurnal Matematika, Statistika Dan Komputasi , 16 (2), 219–225.
Juliantari, J., Sumarjaya, I.W., & Widana, I.N. (2017). Premi Tunggal Asuransi Jiwa Seumur Hidup  Unit  Link  Dengan  Garansi  Minimum  Dan  Nilai  Cap  Menggunakan  Metode
Point To Point. E-Jurnal Matematika , 6 (1), 22. https://doi.org/ 10.24843/mtk.2017.v06.i01.p144.
Kamal, I., Devianto, D., & Yanuar, F. (2014). Penentuan Premi Tahunan Pada Asuransi Joint Life Dengan Menggunakan Anuitas Reversionary. Jurnal Matematika UNAND , 3 (4), 112. https://doi.org/10.25077/jmu.3.4.112-120.2014
Magfidar.  (2017).  Penentuan  Premi  Asuransi  Jiwa  Berjangka  n-Tahun  Unit  link Menggunakan  Metode  Point  to  Point  [Skripsi].  Fakultas  Sains  dan  Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Alauddin, Makassar.
Maghfiroh,  F.,  &  Satyahadewi,  N.  (2021).  Analisis  Premi  Tunggal  Bersih  Asuransi  Jiwa Dwiguna K-Tahun Unit Link Menggunakan Metode Point To Point Dengan Garansi Minimum Dan Nilai Cap. Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya , 10 (1), 33–42. Mashitah, I., Satyahadewi, N., & Novitasari Mara, M. (2013). Penentuan Cadangan Premi Menggunakan  Metode  Fackler  Pada  Asuransi  Jiwa  Dwi  Guna. Buletin  Ilmiah  Mat. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) , 2 (2), 115–120.
Saptarini, D.O., Subartiny, B., & Riaman, R. (2020). Penerapan Metode Point to point untuk Menentukan  Premi  Tunggal  Bersih  Asuransi  Jiwa  Seumur  Hidup  Unit  Link  (Studi Kasus PT Bank Negara Indonesia (Persero)Tbk). Jurnal Matematika Integratif , 16 (1), 5. https://doi.org/10.24198/jmi.v16.n1.26596.5-12.
Saputra, Y. (2018). Penentuan Proporsi Keuntungan untuk Kontrak Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link dengan Menggunakan Metode Annual Ratchet. STATISTIKA: Journal of Theoretical  Statistics  and  Its  Applications , 18 (1),  31–37. https://doi.org/ 10.29313/jstat.v18i1.3874.
Sartika, M. (2013). Konsep dan Implementasi Pengelolaan Dana Premi Unit Link Syari’ah. Asuransi Dan Manajemen Resiko , 1(2) , 22–38.
Sembiring, R. K. (2016). Buku Materi Pokok Asuransi I Modul 1-9. Universitas Terbuka, Tangerang Selatan.
Subhan,  M.,  Arnellis,  &  Zulfadri.  (2019).  Modifikasi  Cadangan  Premi  Prospektif  pada Asuransi  Jiwa  Seumur  Hidup  Joint  Life  Menggunakan  Metode  New  Jersey. UNP Journal of Mathematics , 2 (4), 67–72.
Widana, I. N., & Jayanegara, K. (2019). Analisis Produk Asuransi Unit Link Di Indonesia. E-Jurnal Matematika , 8 (1), 42. https://doi.org/10.24843/mtk.2019.v08.i01.p233. Zahra,  N.  (2014).  Perhitungan  Modifikasi  Cadangan  Premi  Pada  Asuransi  Jiwa  Seumur Hidup  Menggunakan  Metode  Fackler  [Skripsi].  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Brawijiaya, Malang.