Vol. 12, No. 2,  160-163,  Januari  2016
Bilangan Bulat Gauss
Nur Erawati 

## Abstrak
Daerah  Euclid  yang  sangat  dikenal  adalah Z ,  himpunan  semua  bilangan  bulat.  Tulisan  ini mengkaji  mengenai  adanya  daerah  Euclid  yang  merupakan  bagian  dari  himpunan  bilangan kompleks.
Kata Kunci : Fungsi Euclid, daerah integral, bilangan kompleks.

## 1.   Pendahuluan
Bagi  yang  telah  mempelajari  daerah  Euclid,  tentunya  sudah  tidak  asing  lagi  dengan himpunan    bilangan  bulat Z dan  polinomial F [ X ],  dengan F suatu  lapangan.  Tulisan  ini memperkenalkan daerah Euclid yang merupkakan bagian dari himpunan kompleks. Tentu dalam suatu  daerah  Euclid  ada  fungsi  Euclid  yang  berlaku  dan  di  dalam  himpunan  tersebut  tidak memuat pembagi nol.

## 2. Pembahasan
Berikut diberikan definisi bilangan bulat Gauss dan fungsi Euclid di dalamnya.
Definisi.
Bilangan  bulat  Gauss  merupakan  bilangan  kompleks  a+bi  dengan Z b a  , untuk  setiap bilangan bulat gauss α =a+bi, normnya N(α) didefinisikan sebagai  a 2 + b 2 .
Misalkan Z [ i ] himpunan semua bilangan bulat Gauss. Lemma berikut menunjukkan bahwa fungsi norm N merupakan fungsi Euclid pada Z [ i ].
Perhatikan bahwa bilangan bulat Gauss memuat semua bilangan bulat yaitu Z .
Lemma 1.
Sifat-sifat fungsi Norm N, untuk setiap ] [ , i Z    ,
1. N ( α ) 0,
2. N ( α ) = 0 jika dan hanya jika α = 0,
3. N ( αβ ) = N ( α ) N ( β ) .

## Bukti:
Sifat 1 dan 2  jelas dipenuhi. Selanjutnya, akan dibuktikan sifat 3. Misalkan
( ) ,
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin
dan
( ) . Sedangkan (  )     (( )( )) . Sehingga ( )  ( )     ( )( ) = (( )   ( ) ) = ( ) ( ) .
=
.
Karena di dalam bilangan bulat berlaku sifat komutatif perkalian maka
.
Akibatnya
(  )
.
Jadi jelas terbukti bahwa ( )  ( )    (  ) . 
Lemma  2. Z [ i ] merupakan suatu daerah integral.
Bukti: Dapat ditunjukan bahwa Z [ i ] suatu gelanggang komutatif dengan unsur identitas perkalian ( unity ). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa Z[ i ] tidak memuat pembagi nol.
Misalkan ] [ , i Z    . Jika αβ = 0 maka N ( α ) N ( β ) = N ( αβ ) = N (0) = 0.
Dengan demikian αβ = 0 melibatkan N ( α ) = 0 atau N ( β ) = 0. Jadi Z [ i ] tidak memuat pembagi nol atau Z [ i ] suatu daerah integral. Tentunya,  karena Z [ i ]  sub  gelanggang  dari C lapangan  bilangan  kompleks,  jelas Z [ i ]  tidak memuat pembagi nol. 
Teorema. Fungsi N ( α ) untuk setiap α tak nol di Z [ i ] merupakan funsi Euclid pada Z [ i ]. Dengan demikian Z [ i ] suatu daerah Euclid.
Bukti:
Perhatikan  bahwa   untuk , N ( ) = + sehingga N ( ) 1, maka untuk
di Z [ ] N( ) N( ) N( ) = N( )
Selanjutnya akan dibuktikan algoritma pembagian.
Misalkan [ ] dengan dan dengan . Akan ditentukan sedemikian sehingga , dimana atau ( )     ( ) + . Ambil dimana , Sehingga
( )   ( )( ) ( + )   ( ) . Selanjutnya akan ditentukan bilangan bulat dan sehingga, ( )   ( ) ( ) ,
yaitu sedemikian sehingga
( ) ( )

## Perhatikan bahwa
( )
merupakan kuadrat dari jarak d dalam bidang Euclid dari titik ( ) ke garis l yang memiliki persamaan . Demikian pula ( )
merupakan kuadrat dari jarak d’ dari ( ) ke garis l’ dengan persamaan
.
Perhatikan  bahwa l tegak  lurus  dengan l’ sebagaimana  yang  diperlihatkan  pada  Gambar  1. Misalkan P titik potong kedua garis ini.
Gambar 1. Perpotongan Garis l dan l’ .
Dari Gambar 1  dapat dilihat bahwa d 2 +( d’ ) 2 merupakan kuadrat jarak dari ( q 1 , q 2 ) ke P . Dengan demikian harus ditunjukkan ada titik ( q 1 , q 2 ) dengan koordinat bilangan bulat dan memiliki jarak dari P yang kuadratnya kurang dari 1.

## Nur Erawati
Gambar 2. Bujur sangkar.
Perhatikan bujur sangkar dalam Gambar 2, dimana bujur sangkar ini memiliki satu sisi satuan dan titik-titik  sudut  yang  merupakan  koordinat  bilangan  bulat.  Karena  P  termasuk  atau  pada  batas bujur  sangkar  ini,  maka  dapat  dipilih  ( q 1 , q 2 )  koordinat  bilangan  bulat  terdekat  dari P ,  dimana jarak  titik  ini  dari P paling  besar  setengah  diagonal  bujur  sangkar  yaitu  paling  besar √ ,  yaitu kurang dari 1. Perlu diketahui bahwa
1. Unit di Z [ i ] adalah bilangan bulat kompleks α dengan N ( λ ) = 1. Jika λ = α 1 + α 2 i maka N ( λ ) = α 1 2 + α 2 2 = 1. Kemungkinan yang ada yaitu α 1 = ±1  dengan α 2 = 0,  atau α 1 = 0 dengan α 2 = ± 1. Sehingga unit-unit di Z [ i ] adalah ±1 dan ± i .
2. Jika  5  merupakan  unsur  yang  tidak  dapat  dibagi Z [ i ],  maka  5  masih  dapat  difaktorkan yaitu  5 = (1 + 2 i ) (1 – 2 i ),  dan keduanya (1 + 2 i ) maupun (1 – 2 i ) bukan unit.

## 3.   Kesimpulan
Subset  dari  himpunan  bilangan  kompleks,  yaitu  bilangan  bulat  Gauss  memiliki  norm yang  memenuhi  syarat  sebagai  fungsi  Euclid.  Lebih  jauh, Z [ i ]  tidak  memuat  pembagi  nol sehingga dapat disebut suatu daerah integral. Jadi Z [ i ] merupakan bagian dari lapangan kompleks yang memenuhi kriteria sebagai suatu daerah Euclid.

## Daftar Pustaka
[1] Fraleigh,  J.B.,  1994. A  First  Course  is  Abstract  Algebra, 5 th Edition .  Addison-Wesley Publishing Company, United States of America.
[2] Herstein, I.N., 1975. Topics in Algebra, 2 nd Edition . John Wiley & Sons lnc., New York .