Image ( Pre-image ) Homomorfisme Interior Subgrup

## Fuzzy

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat, Jl. A. Yani Km 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan 70714, Indonesia.
Korespondensi; Email: saman@ulm.ac.id

## Abstrak
Dalam  makalah  ini,  akan  diperkenalkan  notasi  image  (pre-image)  di  bawah  homomorfisma  grup,  dan  akan dibuktikan image (pre-image) interior subgrup fuzzy (interior subgrup) di bawah homomorfisma grup selalu interior subgrup fuzzy (interior subgrup).
Kata Kunci Image; pre-image; interior subgrup; interior subgrup fuzzy; homomorfisma grup

## Abstract
In this paper, we will introduce the image (pre-image) under the group homomorphism, and we will prove the image  (pre-image)  of  the  interior  of  the  fuzzy  subgroup  (the  interior  of  the  subgroup)  under  the  group homomorphism is always the interior of the fuzzy subgroup (the interior of the subgroup).
Keywords Image; pre-image; interior subgroup; fuzzy interior subgroup; group homomorphism

## Pendahuluan
Setelah himpunan fuzzy dipublikasikan Zadeh (Zadeh, 2015), beberapa peneliti mengeksplorasi gagasan himpunan fuzzy,  diantaranya  Rosenfeld  (Rosenfeld,  1971)  menerapkannya  pada  teori  dasar  grupoid dan  grup  sehingga  muncul  definisi  grupoid fuzzy  dan  subgrup  fuzzy,  Kuroki  (Kuroki,  1982) menerapkannya pada struktur semigrup dan mendefinisikan semigrup fuzzy dan interior ideal fuzzy pada  semigrup,  Jeyaraman  (Jeyaraman,  2010)  menerapkannya  pada  homomorfisma  dan  anti homomorfisma grup, dan Abdurrahman[5] mendefinisikan interior subgrup fuzzy yang diinduksi dari definisi yang dibangun Kuroki (Kuroki, 1982).
Pada makalah ini, akan diperkenalkan definisi image dan pre-image dari interior subgrup fuzzy di bawah suatu homomorfisma grup, dan akan menyelidiki sifat dari image dan pre-image dari interior subgrup fuzzy (interior subgrup) jika dikenakan suatu homomorfisma grup.

## Landasan Teori
Suatu  Himpunan 𝐺 tidak  kosong  (Hotta,  2018)  disebut  sebagai  grup,  jika  pada 𝐺 diberikan  suatu operasi  biner,  dan  elemen-elemen  pada 𝐺 terhadap  operasi  biner  tersebut  dipenuhi  sifat  asosiatif, memuat elemen identitas, dan setiap elemen mempunyai invers. Lebih lanjut (Lal, 2017) subset tidak kosong 𝑆 dalam 𝐺 disebut subgrup jika untuk setiap 𝑎, 𝑏  𝑆 dipenuhi 𝑎𝑏 −1  𝑆 .
Definisi 2.1. (Mordeson, 2011; Ajmal & Jahan, 2012; Talebi, 2018) Subset fuzzy dari himpunan tidak kosong 𝑋 didefinisikan sebagai suatu fungsi dari 𝑋 ke interval tutup [0, 1] . Selanjutnya keluarga subset fuzzy dari 𝑋 dinotasikan dengan 𝔽(𝑋) .
Definisi  2.2.  (Das,  1981) Misalkan  adalah  subset  fuzzy  dari 𝑋 . Untuk 𝑡  [0, 1] ,  himpunan  𝑡  {𝑥  𝑋 |  (𝑥) ≥ 𝑡} disebut level subset dari subset fuzzy  .
Definisi 2.3. (Rosenfeld, 1971; Ajmal & Jahan, 2012; Bejines et al, 2018) Subset fuzzy  dari suatu grup 𝐺 merupakan subgrup fuzzy dari 𝐺 jika untuk setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 berlaku  (𝑥𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛 {  (𝑥),  (𝑦)} , dan  (𝑥 −1 ) ≥  (𝑥) .
Definisi 2.4. (Jeyaraman, 2010; Kim & Kim, 1996) Misalkan  𝔽(𝑋) dan  𝔽(𝑌) dengan 𝑓 adalah fungsi dari 𝑋 ke 𝑌 . Didefinisikan subset fuzzy 𝑓 𝛿  (𝑌) dan 𝑓  −1  (𝑋) berturut-turut sebagai berikut:
𝑓 𝛿 (𝑦) = { 𝑠𝑢𝑝 {  (𝑥)|𝑥  𝑋, 𝑓(𝑥) = 𝑦}, 𝑓 −1 (𝑦) ≠ 
0,                                                   𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
untuk setiap 𝑦  𝑌 , dan 𝑓  −1 (𝑥)   [𝑓(𝑥)] untuk setiap 𝑥  𝑋 . Selanjutnya 𝑓 𝛿 disebut image dari  di bawah 𝑓 , dan 𝑓  −1 disebut preimage dari  di bawah 𝑓 .
Definisi 2.5. (Abdurrahman, 2018) Subgrup 𝐻 dari grup 𝐺 disebut interior dari 𝐺 jika untuk setiap 𝑥, 𝑦  𝐺 dan ℎ  𝐻 maka 𝑥ℎ𝑦  𝐻 .
Definisi  2.6.  (Abdurrahman,  2018) Misalkan 𝐺 grup  dan  𝔽(𝐺) .  Subset  fuzzy  adalah  interior subgrup fuzzy dari 𝐺 jika  adalah subgrup fuzzy dari 𝐺 dan  (𝑥𝑑𝑦) ≥  (𝑑) untuk setiap 𝑥, 𝑑, 𝑦  𝐺 .

## Hasil Analisis Data dan Pembahasan
Teorema 3.1. Preimage homomorfisma grup dari suatu interior subgrup fuzzy adalah interior subgrup fuzzy.
Bukti:  Misalkan 𝑓 ∶  𝐾  ⟶  𝐻 adalah  suatu  homomorfisma  grup,  dengan 𝜎 adalah  interior  subgrup fuzzy di grup 𝐻 , dan 𝑓 𝜎 −1 adalah preimage dari  di bawah 𝑓 . Akan dibuktikan 𝑓 𝜎 −1 adalah interior subgrup fuzzy di grup 𝐾 . Diambil sebarang 𝑝, 𝑞, 𝑘  𝐾 maka 𝑓 𝜎 −1 (𝑝𝑞 −1 ) = 𝜎{𝑓(𝑝𝑞 −1 ) } = 𝜎{𝑓(𝑝)𝑓(𝑞 −1 )} = 𝜎{𝑓(𝑝)[𝑓(𝑞)] −1 }  min {𝜎[𝑓(𝑝)], 𝜎[𝑓(𝑞)]}
= min{ 𝑓 𝜎 −1 (𝑝) , 𝑓 𝜎 −1 (𝑞) }, dan 𝑓 𝜎 −1 (𝑝𝑘𝑞) = 𝜎[𝑓(𝑝𝑘𝑞)] = 𝜎[𝑓(𝑝)𝑓(𝑘)𝑓(𝑞)]  𝜎[𝑓(𝑘)] = 𝑓 𝜎 −1 (𝑘) .
Jadi, 𝑓 𝜎 −1 adalah  interior subgrup  fuzzy  di grup 𝐾 ,  dengan  kata  lain Preimage  homomorfisma grup dari suatu interior subgrup fuzzy adalah interior subgrup fuzzy. ■
Berikut ini diberikan definisi subset fuzzy yang mempunyai sifat sup, yang akan mendukung pada pembuktian teorema berikutnya.
Definisi 3.2. (Kumar, 1991) Subset fuzzy  pada suatu grup 𝐺 dikatakan mempunyai sifat sup, jika untuk setiap subset 𝐻 dari 𝐺 , terdapat ℎ 0  𝐻 sedemikian hingga 𝛿(ℎ 0 ) = sup ℎ  𝐻 𝛿(𝑛)
Teorema  3.3. Image homomorfisma grup dari suatu interior subgrup fuzzy dengan sifat sup  adalah interior subgrup fuzzy.
Bukti: Misalkan 𝐾 dan 𝐻 adalah grup, dan 𝑓: 𝐾 ⟶ 𝐻 adalah suatu homomorfisma grup, dengan  adalah interior subgrup fuzzy di 𝐾 dengan sifat sup, dan 𝑓 𝛿 adalah image dari  di bawah 𝑓 . Akan dibuktikan 𝑓 𝛿 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐻 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐  𝑓(𝐾) , maka ada 𝑎 0 , 𝑏 0 , 𝑐 0  𝐾 sedemikian hingga 𝑎 0 = 𝑓 −1 (𝑎), 𝑏 0 = 𝑓 −1 (𝑏), dan 𝑐 0 = 𝑓 −1 (𝑐) dengan
𝛿(𝑎 0 ) = sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑎) 𝛿(𝑑) , 𝛿(𝑏 0 ) = sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑏 0 ) 𝛿(𝑑) , dan 𝛿(𝑐 0 ) = sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑐) 𝛿(𝑑)
Menurut yang diketahui 𝑓 𝛿 adalah image dari  di bawah f, maka 𝑓 𝛿 (𝑎𝑐 −1 ) = sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑎𝑐 −1 ) 𝛿(𝑑) ≥ 𝛿(𝑎 0 𝑐 0 −1 ) ≥ min {𝛿(𝑎 0 ), 𝛿(𝑐 0 )}
= min { sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑎) 𝛿(𝑑) , sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑐) 𝛿(𝑑)} = min{𝑓 𝛿 (𝑎), 𝑓 𝛿 (𝑐)}, dan 𝑓 𝛿 (𝑎𝑏𝑐) = sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑎𝑏𝑐) 𝛿(𝑑)
≥ 𝛿(𝑎 0 𝑏 0 𝑐 0 ) ≥ δ(b 0 )
= sup 𝑑∈𝑓 −1 (𝑏 0 ) 𝛿(𝑑) = 𝑓 𝛿 (𝑏).
Jadi, 𝑓 𝛿 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐻 . ■
Akibat 3.4. Image epimorfisma grup dari suatu interior subgrup fuzzy dengan sifat sup adalah interior subgrup fuzzy.
Lemma 3.5. Jika 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻 adalah suatu epimorfisma grup, dan 𝛿 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 , maka image homomorfisma 𝛿 ⋆ = {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝛿(𝑥) = 𝛿(𝑒 𝐺 )} adalah interior subgrup di 𝐻 . Bukti: Mengingat δ adalah interior subgrup fuzzy di 𝐺 , maka menurut Abdurrahman (Abdurrahman, 2018, Lemma 3.9), 𝛿 ⋆ adalah interior subgrup di 𝐺 . Akan ditujukkan 𝑓(𝛿 ⋆ ) adalah interior subgrup di 𝐻 .
Diambil sebarang 𝑚, 𝑟  𝑓(𝛿 ⋆ ) maka terdapat 𝑎, 𝑐  𝛿 ⋆ sedemikian hingga 𝑓(𝑎) = 𝑚 dan 𝑓(𝑐) = 𝑟 . Karena 𝛿 ⋆ adalah  subgrup  di 𝐺 ,  dan 𝑓 suatu  homomorfisma,  maka 𝑎𝑐 −1  𝛿 ⋆ yang  mengakibatkan 𝑓(𝑎𝑐 −1 )  𝑓(𝛿 ⋆ ) ,  yaitu 𝑓(𝑎𝑐 −1 ) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑐 −1 ) = 𝑓(𝑎)[𝑓(𝑐)] −1 = 𝑚𝑟 −1 , dengan  kata  lain 𝑓(𝛿 ⋆ ) adalah  subgrup  di 𝐻 .  Selanjutnya,  diambil  sebarang 𝑥, 𝑠  𝐻 dan 𝑑  𝑓(𝛿 ⋆ ) .  Mengingat 𝑓 suatu epimorfisma dan 𝛿 ⋆ adalah interior subgrup di 𝐺 , maka ada 𝑝, 𝑟  𝐺 dan 𝑞  𝛿 ⋆ , yaitu 𝑥 = 𝑓(𝑝), 𝑑 = 𝑓(𝑞), 𝑠 = 𝑓(𝑟) , dan 𝑝𝑞𝑟  𝛿 ⋆ yang mengakibatkan 𝑓(𝑝𝑞𝑟) = 𝑓(𝑝)𝑓(𝑞)𝑓(𝑟) = xds  𝑓(𝛿 ⋆ ) . Berdasarkan analisa di atas diperoleh lain 𝑓(𝛿 ⋆ ) adalah subgrup di 𝐻 , dan 𝑥𝑑𝑠  𝑓(𝛿 ⋆ ) untuk setiap 𝑥, 𝑠  𝐻 dan 𝑑  𝑓(𝛿 ⋆ ), maka menurut Definisi 2.5, 𝑓(𝛿 ⋆ ) interior subgrup di 𝐻 . ■
Lemma 3.6. Jika 𝑓: 𝐺 ⟶ 𝐻 adalah suatu homomorfisma grup, dan 𝜎 adalah interior subgrup fuzzy di 𝐻 , maka pre-image homomorfisma 𝜎 ⋆ = {ℎ ∈ 𝐻 | 𝜎(ℎ) = 𝜎(𝑒 𝐻 )} adalah interior subgrup di 𝐺 . Bukti: Pembuktian 𝜎 ⋆ adalah interior subgrup di 𝐻 , sejalan dengan bukti Teorema 3.5. Akan ditujukkan 𝑓 −1 (𝜎 ⋆ ) adalah interior subgrup di 𝐺 . Diambil sebarang 𝑎 dan 𝑧 di 𝑓 −1 (𝜎 ⋆ ), maka ada 𝑏, 𝑤  𝜎 ⋆ sedemikian hingga 𝑓(𝑎) = 𝑏 dan 𝑓(𝑧) = 𝑤 .  Mengingat 𝜎 ⋆ merupakan  subgrup  di 𝐻 ,  dan 𝑓 suatu  homomorfisma,  maka 𝑏𝑤 −1  𝜎 ⋆ yang mengakibatkan 𝑏𝑤 −1 = 𝑓(𝑎)[𝑓(𝑧)] −1 = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑧 −1 ) = 𝑓(𝑎𝑧 −1 ) ⟺ 𝑎𝑧 −1  𝑓 −1 (𝑏𝑤 −1 ) . Dengan kata lain 𝑓 −1 (𝜎 ⋆ ) adalah subgrup di 𝐺 . Selanjutnya,  diambil  sebarang 𝑏, 𝑛  𝐺 dan  z  𝑓 −1 (𝜎 ⋆ ),  maka 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑛)  H  dan 𝑓(𝑧)  𝜎 ⋆ . Mengingat 𝜎 ⋆ adalah interior subgrup di H , dan f suatu homomorfisma, maka 𝑓(𝑏𝑧𝑛) = 𝑓(𝑏)𝑓(𝑧)𝑓(𝑛)  𝜎 ⋆ ⟺ 𝑏𝑧𝑛  𝑓 −1 (𝜎 ⋆ ) ,
yang mengakibatkan 𝑓 −1 (𝜎 ⋆ ) adalah interior subgrup di 𝐺 . ■

## Kesimpulan
Hasil penting yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah, image dan pre-image homomorfisma grup dari interior subgrup fuzzy (interior grup) adalah interior subgrup fuzzy (interior grup).

## Referensi
[1] L. A. Zadeh, 2015,“Fuzzy logic - A personal perspective, Fuzzy Sets Syst., vol. 281, pp. 4–20.
[2] A. Rosenfeld, 1971. Fuzzy groups, J. Math. Anal. Appl., vol. 35, no. 3, pp. 512–517.
[3] N. Kuroki, 1982,“Fuzzy Semiprime Ideals in Semigroup,” Fuzzy Sets Syst., vol. 8, no. 1, pp. 71–79.
[4] K. Jeyaraman, 2010. The Homomorphism and Anti-Homomorphism of Level Subgroups of Fuzzy Subgroups,” Int. Math. Forum, vol. 5, no. 46, pp. 2293–2298.
[5] S. Abdurrahman, 2018,“Interior Subgrup Fuzzy, J. Fourier, vol. 7, no. 1, pp. 13–21.
[6] S. Hotta, 2018,“Introductory Group Theory, in Mathematical Physical Chemistry: Practical and Intuitive Methodology, Singapore: Springer Singapore, pp. 445–456.
[7] R. Lal, 2017.“Group Theory,”in Algebra 1: Groups, Rings, Fields and Arithmetic, Singapore: Springer Singapore, pp. 93–143.
[8] J. N. Mordeson, 2011.“Zadeh’s influence on mathematics, Sci. Iran., vol. 18, no. 3 D, pp. 596–601.
[9] N. Ajmal and I. Jahan, 2012,“A study of normal fuzzy subgroups and characteristic fuzzy subgroups of a fuzzy group, Fuzzy Inf. Eng., vol. 4, no. 2, pp. 123–143.
[10] A. A. Talebi, 2018,“Cayley fuzzy graphs on the fuzzy groups,” Comput. Appl. Math., pp. 1–22.
[11] P. S. Das, 1981. Fuzzy groups and level subgroups, J. Math. Anal. Appl., vol. 84, no. 1, pp. 264–269.
[12] C. Bejines, M. Jes´us Chasco, J. Elorza, and S. Montes, 2018, On the Preservation of an Equivalence Relation Between Fuzzy Subgroups,”vol. 641, pp. 159–167.
[13] S. D. Kim and H. S. Kim, 1996. On Fuzzy Ideals of Near-Ring, Bull Korean Math. Soc, vol. 33, no. 4, pp. 593–601.
[14] R. Kumar, 1991, Homomorphisms and fuzzy (fuzzy normal) subgroups,” Fuzzy Sets Syst., vol. 44, no. 1, pp. 165–168.