Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 317-322 DOI: 10.20956/j.v19i2.22957

## Metric Dimension of Shackle Operation 𝐂 𝟑

## Cycle Graph
Dimensi Metrik dari Hasil Operasi Shackle Graf Siklus 𝑪 𝟑
St. Munieroh Fachrunnisa D 1* , Hasmawati 2* , Amir Kamal Amir 3*
* Program Studi Matematika, FMIPA-Universitas Hasanuddin E-mail : dsmf18h@student.unhas.ac.id 1 , hasmaba97@gmail.com 2 , amirkamalamir@yahoo.com 3
Received: 18  September 2022 ; Accepted: 9 November 2022 ; Published: 5 January 2023

## Abstract
Let 𝐺 be a connected graph and W be a ordered vertices subset on a connected graph 𝐺 . The set 𝑊 is called resolving set for 𝐺 if every vertex on graph 𝐺 has distinct representation of W . A resolving set containing a minimum number of vertices is called resolving set minimum or basis for G and the cardinality of resolving set is the metric dimension on graph 𝐺 ,  denoted by 𝑑𝑖𝑚(𝐺) .  In the thesis discusses about metric dimensions of  shackle  operation 𝐶 3 cycle  graph, 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2 for 𝑘 ≥ 2 . To proof this results, we was used mathematical induction method.
Keywords : Metric Dimension, Shackle Operation, Cycle Graph.

## Abstrak
Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung dan 𝑊 adalah sub himpunan titik terurut pada graf terhubung 𝐺 . Himpunan 𝑊 disebut  himpunan  pembeda  pada 𝐺 jika  untuk  setiap  titik  pada  graf 𝐺 memiliki  representasi  jarak  yang berbeda  tehadap 𝑊 .  Himpunan  pembeda  dengan  banyak  anggota  minimum  disebut  himpunan  pembeda minimum  atau  basis  dari 𝐺 dan  kardinalitas  himpunan  tersebut  adalah  dimensi  metrik  pada  graf 𝐺 , dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑚(𝐺) . Dalam makalah ini dibahas mengenai dimensi metrik hasil operasi shackle graf siklus 𝐶 3 , 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2 untuk 𝑘 ≥ 2 .  Metode  yang digunakan dalam membuktikan hasil tersebut adalah induksi matematika.
Kata Kunci : Dimensi Metrik, Operasi Shackle, Graf Siklus.

## 1. PENDAHULUAN
Graf  adalah  pasangan  himpunan  terurut (𝑉, 𝐸) ,  dan  ditulis  dengan  notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸) , dengan 𝑉 adalah  himpunan  tidak  kosong  yang  anggotanya  disebut  titik  dan 𝐸 adalah  himpunan pasangan-pasangan tidak terurut dari anggota 𝑉 yang disebut sisi. Dimensi metrik pada suatu graf

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## St. Munieroh Fachrunnisa D, Hasmawati, Amir Kamal Amir
yang  diperkenalkan  oleh  Harary  dan  Melter  pada  tahun  1976    adalah  salah  satu  topik  penelitian yang banyak diminati para penelitian teori graf.
Terdapat beberapa hasil tentang dimensi metrik suatu graf yang telah diperoleh diantaranya dalam [1] dituliskan bahwa 𝑑𝑖𝑚(𝐺) = 1 jika dan hanya jika 𝐺 adalah graf lintasan 𝑃 𝑛 . Sedangkan makalah  [2],  menyajikan  dimensi  metrik  graf  siklus.  Dimensi  metrik  graf  shackle 𝐶 4 disajikan dalam  makalah  [9],  sedangkan  makalah  [7],  membahas  dimensi  metrik  graf  shackle 𝐻 2 2 ,  dan makalah [10], membahas dimensi metrik graf shackle 𝑊 𝑚 dan graf shackle 𝑆 𝑚 . Beberapa metode yang  disajikan  pada  makalah  [1]  dan  [2]  akan  dikembangkan  untuk  digunakan  dalam  penentuan dimensi  metrik  graf  shackle  siklus 𝐶 3 .  Hasil  yang  diperoleh  dalam  penelitian  ini,  ditulis  dalam bentuk proposisi dan teorema, dan di akhir buktinya diberi tanda ∎ .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Graf 𝐺 adalah  pasangan  himpunan ((𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) ,  dengan 𝑉(𝐺) adalah  himpunan  diskrit berhingga dan tidak kosong, yang anggotanya disebut titik, dan 𝐸(𝐺) adalah himpunan pasangan- pasangan tak  terurut  dan  berbeda  dari  anggota-anggota 𝑉(𝐺) yang  disebut  sisi. Misalkan  sisi 𝑒 = 𝑢𝑣  ∈ 𝐸(𝐺) , maka dikatakan bahwa sisi 𝑒 terkait dengan titik 𝑢 dan titik 𝑣 , sedangkan titik 𝑢 dan titik 𝑣 disebut titik-titik yang bertetangga. Banyaknya anggota dari 𝑉(𝐺) disebut orde ( order ) dari graf 𝐺 dan  banyaknya  anggota  dari 𝐸(𝐺) disebut  ukuran  ( size ).  Sedangkan,  banyaknya  anggota pada  suatu  himpunan  disebut  kardinalitas  [4].  Dalam  [4]  disebutkan  bahwa  lintasan  pada  graf 𝐺 adalah barisan titik dan sisi 𝑣 1 , 𝑒 1 , 𝑣 2 , 𝑒 2 , 𝑣 3 … 𝑣 𝑛−1 , 𝑒 𝑛−1 , 𝑣 𝑛 dengan 𝑒 𝑖 = 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+1 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1 . Graf  yang  terdiri  dari  satu  lintasan  disebut  graf  lintasan  dan  dinotasikan 𝑃 𝑛 apabila  berorde 𝑛 . Misalkan 𝑃 𝑛 : 𝑣 1 , 𝑒 1 , 𝑣 2 , 𝑒 2 , … , 𝑣 𝑛−1 , 𝑒 𝑛−1 , 𝑣 𝑛 adalah  lintasan  berorde 𝑛 dengan  panjang 𝑛 − 1 . Siklus 𝐶 𝑛 dengan  panjang 𝑛 , 𝑛 ≥ 3 adalah  graf  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐶 𝑛 ) = 𝑉(𝑃 𝑛 ) dan himpunan  sisi 𝐸(𝐶 𝑛 ) = 𝐸(𝑃 𝑛 ) ∪ {𝑣 𝑛 𝑣 1 } .    Panjang  suatu  lintasan  adalah  banyaknya  sisi  yang  ada pada lintasan tersebut. Lintasan dari 𝑢 ke 𝑣 dinotasikan 𝑢 − 𝑣 . Himpunan tetangga suatu titik 𝑣 pada graf 𝐺 dinotasikan 𝑁 𝐺 (𝑣) = {𝑢|𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺)} . Graf 𝐺 terhubung jika setiap dua dari titiknya terhubung [5].
Misalkan 𝐺 adalah  graf  sederhana  dan 𝑢, 𝑣  ∈ 𝑉(𝐺) .  Jarak  titik 𝑢 dan 𝑣 ditulis 𝑑(𝑢, 𝑣) , yang memenuhi [4],
𝑑(𝑢, 𝑣) = { 0,   jika 𝑢 = 𝑣,
𝑘, jika panjang lintasan terpendek 𝑢 − 𝑣 adalah 𝑘,
∞, jika tidak ada lintasan dari 𝑢 ke 𝑣.
Misalkan {𝐺 𝑖 |𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑘}} untuk 𝑘 ∈ ℕ dan 𝑘 ≥ 2 ,  merupakan  kumpulan  graf berhingga  dengan  titik  tetap  masing-masing  adalah 𝑢 𝑖 dan 𝑣 𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 ,  dinotasikan 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐺 1 , 𝐺 2 , … , 𝐺 𝑘 : 𝑣 𝑗 = 𝑢 𝑗+1 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘) adalah graf dengan
himpunan titik
𝑉 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐺 1 , 𝐺 2 , … , 𝐺 𝑘 : 𝑣 𝑗 = 𝑢 𝑗+1 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘)) = 𝑉(𝐺 1 ) ∪ 𝑉(𝐺 2 \𝑣 2 1 ) ∪ 𝑉(𝐺 3 \𝑣 3 1 ) ∪ … ∪ 𝑉(𝐺 𝑘 \𝑣 𝑘 ) dan  himpunan  sisi 𝐸 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐺 1 , 𝐺 2 , … , 𝐺 𝑘 : 𝑣 𝑗 = 𝑢 𝑗+1 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑘)) = ⋃ 𝐸(𝐺 𝑖 ) 𝑘 𝑖=1 [4].  Graf  yang  akan  diteliti  dalam  penelitian  ini  adalah 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) dengan 𝑘 ≥ 2 .  Himpunan  titik 𝑉 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = {𝑣 1 1 , 𝑣 2 1 , 𝑣 3 1 } ∪ {𝑣 2 𝑖 , 𝑣 3 𝑖 ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} dan himpunan sisi 𝐸 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = {𝑣 1 𝑖 𝑣 2 𝑖 , 𝑣 1 𝑖 𝑣 3 𝑖 , 𝑣 2 𝑖 𝑣 3 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} dengan 𝑣 3 𝑖 = 𝑣 1 𝑖+1 , ∀𝑖 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
St. Munieroh Fachrunnisa D, Hasmawati, Amir Kamal Amir
Misalkan  terdapat  sebuah  graf  terhubung 𝐺 dengan 𝑉(𝐺) adalah  himpunan  titik-titiknya dan  himpunan  terurut 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } merupakan  himpunan  bagian  dari 𝑉(𝐺) .  Representasi titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊 di 𝐺 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) . Himpunan 𝑊 disebut himpunan pembeda pada 𝐺 jika untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢 ≠ 𝑣 mengakibatkan 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑆) [2].  Himpunan  pembeda  dengan  kardinalitas  minimum  disebut  himpunan  pembeda minimum atau basis dari graf 𝐺 [8]. Banyaknya anggota atau kardinalitas dari basisnya (himpunan pembeda minimum) disebut dimensi metrik, dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑚(𝐺) [11].
Dalam  penentuan  dimensi  metrik  untuk  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) diperlukan beberapa sifat seperti yang disajikan pada teorema berikut.
Teorema  2.1. Jika 𝐺 suatu  graf terhubung  dengan  orde 𝑛 ,  maka 𝑑𝑖𝑚(𝐺) = 1 jika  dan  hanya jika 𝐺 = 𝑃 𝑛 [1].
Teorema 2.2. Jika 𝐺 graf siklus dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 3 , maka 𝑑𝑖𝑚(𝐶 𝑛 ) = 2 [2].
Teorema  2.3. Jika 𝐺 adalah  graf  terhubung  sederhana  dengan  dimensi  metrik  2  dan  misalkan {𝑣 1 , 𝑣 2 } ⊆ 𝑉(𝐺) merupakan basis metrik di 𝐺 , maka derajat 𝑣 1 dan 𝑣 2 paling banyak adalah 3 dan terdapat lintasan terpendek antara 𝑣 1 dan 𝑣 2 [6].
Misalkan 𝐺 𝑖 adalah  graf  dengan 𝑉(𝐺 𝑖 ) = {𝑣 1 𝑖 , 𝑣 2 𝑖 , 𝑣 3 𝑖 } dan 𝐸(𝐺 𝑖 ) = {𝑣 1 1 𝑣 2 𝑖 , 𝑣 2 𝑖 𝑣 3 𝑖 , 𝑣 3 𝑖 𝑣 1 𝑖 } , maka graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) dapat dilihat pad Gambar 1.
Gambar 1. Graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ).

## 3. HASIL UTAMA
Hasil  utama  dalam  makalah  ini  adalah  perumuman  dimensi  metrik  yang  disajikan  pada Teorema  3.1.  Diberikan  pernyataan  yang  dapat  membantu  dalam  membuktikan  Teorema  3.1 disajikan dalam bentuk Proposisi 3.1.
Proposisi 3.1 Dimensi metrik graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) adalah 2.
Bukti:
Misalkan  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) memiliki  himpunan  titik 𝑉 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 )) = {𝑣 1 1 , 𝑣 2 1 , 𝑣 3 1 , 𝑣 2 2 , 𝑣 3 2 } dan himpunan sisi 𝐸 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 )) = {𝑣 1 1 𝑣 2 1 , 𝑣 1 1 𝑣 3 1 , 𝑣 2 1 𝑣 3 1 , 𝑣 3 1 𝑣 2 2 , 𝑣 3 1 𝑣 3 2 , 𝑣 2 2 𝑣 3 2 } . Pilih himpunan 𝑊 = {𝑣 1 1 , 𝑣 3 2 } , representasi setiap titik pada graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣 1 1 |𝑊) = (𝑑(𝑣 1 1 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑣 3 2 )) = (0,2),
𝑟(𝑣 2 1 |𝑊) = (𝑑(𝑣 2 1 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 2 1 , 𝑣 3 2 )) = (1,2), 𝑟(𝑣 3 1 |𝑊) = (𝑑(𝑣 3 1 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 3 1 , 𝑣 3 2 )) = (1,1),

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
St. Munieroh Fachrunnisa D, Hasmawati, Amir Kamal Amir
𝑟(𝑣 2 2 |𝑊) = (𝑑(𝑣 2 2 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 2 2 , 𝑣 3 2 )) = (2,1), 𝑟(𝑣 3 2 |𝑊) = (𝑑(𝑣 3 2 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 3 2 , 𝑣 3 2 )) = (2,0).
Hasil observasi menunjukkan semua titik 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) mempunyai representasi yang  berbeda,  sehingga 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda  dari 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) dengan kardinalitas |𝑊| = 2 . Jadi, 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 )) ≤ 2 .
... (3.1)
Untuk  batas  bawah  dari  dimensi  metrik 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) dapat  merujuk  pada Teorema  2.1  menyatakan  bahwa 𝑑𝑖𝑚(𝐺) = 1 jika  dan  hanya  jika 𝐺 = 𝑃 𝑛 .  Graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) ≠ 𝑃 𝑛 ,  maka  dapat  dipastikan  batas  bawah 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 )) ≥ 2. ... (3.2)
Berdasarkan  Persamaan  (3.1),  dan  (3.2)  diperoleh  batas  bawah  dan  batas  atas  yaitu 2 ≤ 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 )) ≤ 2 . Jadi dimensi metrik graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 ) 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 )) = 2. ∎
Dengan  cara  yang  serupa  dapat  ditunjukkan  bahwa 𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , 𝐶 3 3 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 )) dan 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , 𝐶 3 3 , 𝐶 3 4 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , 𝑣 3 3 = 𝑣 1 4 )) adalah 2. Graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , 𝐶 3 3 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 ) dan
𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , 𝐶 3 3 , 𝐶 3 4 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , 𝑣 3 3 = 𝑣 1 4 ) dapat dilihat pada Gambar 2.
(a) (b)
Gambar 2. (a) 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , 𝐶 3 3 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 ) dan (b) 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2
, 𝐶 3 3
, 𝐶 3 4 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 =
𝑣 1 3 , 𝑣 3 3 = 𝑣 1 4 )
Berdasarkan  hasil  pada  Proposisi  3.1,  dirumuskan  perumuman  dimensi  metrik  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) untuk 𝑘 ≥ 2 dalam  bentuk  teorema sebagai berikut.
Teorema  3.1 Untuk 𝑘 ≥ 2 ,  dimensi  metrik  dari  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) adalah 2 .
Bukti:
Pembuktian Teorema 3.1 menggunakan metode induksi matematika, yaitu:
i. Berdasarkan hasil dari Proposisi 3.1, diperoleh :
a. Untuk 𝑘 = 2 , 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2 , b. Untuk 𝑘 = 3 , 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2 , c. Untuk 𝑘 = 4 , 𝑑𝑖𝑚(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2 . ii. Asumsikan 𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘−1 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−2 = 𝑣 1 𝑘−1 )) adalah  2 untuk 𝑘 ≥ 2 ,  dengan  himpunan  pembeda  minimum  adalah 𝑊 = {𝑣 1 1 , 𝑣 3 𝑘−1 } .  Representasi setiap  titik  di 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘−1 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−2 = 𝑣 1 𝑘−1 ) terhadap 𝑊 adalah sebagai berikut.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
St. Munieroh Fachrunnisa D, Hasmawati, Amir Kamal Amir
𝑟(𝑣 1 1 |𝑊) = 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑣 3 𝑘−1 ) = (0, 𝑘 − 1) ;
𝑟(𝑣 2 𝑖 |𝑊) = 𝑑(𝑣 2 𝑖 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 2 𝑖 , 𝑣 3 𝑘−1 ) = (𝑖, (𝑘 − 1) − 𝑖 + 1) , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 − 1 ; 𝑟(𝑣 3 𝑖 |𝑊) = 𝑑(𝑣 3 𝑖 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 3 𝑖 , 𝑣 3 𝑘−1 ) = (𝑖, (𝑘 − 1) − 𝑖) , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 − 1 .
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) juga adalah 2.
Graf
𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) adalah graf yang dikonstruksi  dari 𝑉(𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘−1 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−2 = 𝑣 1 𝑘−1 )) ∪ 𝑉(𝐶 3 𝑘 ) dengan titik 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 .
Pilih himpunan 𝑊 1 = {𝑣 1 1 , 𝑣 3 𝑘 } . Jarak setiap titik terhadap 𝑊 1 sama dengan jarak setiap titik terhadap 𝑊 pada unsur pertama. Dan untuk unsur kedua jarak setiap titik terhadap 𝑊 1 bertambah 1, karena berdasarkan asumsi diketahui jarak setiap titik terhadap 𝑣 3 𝑘−1 , sehingga jarak setiap titik terhadap 𝑣 3 𝑘 adalah jarak ke setiap titik terhadap 𝑣 3 𝑘−1+1 .
Akibatnya,  representasi  setiap  titik  pada  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) terhadap 𝑊 1 adalah sebagai berikut. 𝑟(𝑣 1 1 |𝑊 1 ) = 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 1 1 , 𝑣 3 𝑘 ) = (0, 𝑘) , 𝑟(𝑣 2 𝑖 |𝑊 1 ) = 𝑑(𝑣 2 𝑖 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 2 𝑖 , 𝑣 3 𝑘 ) = (𝑖, 𝑘 − 𝑖 + 1) , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 ; 𝑟(𝑣 3 𝑖 |𝑊 1 ) = 𝑑(𝑣 3 𝑖 , 𝑣 1 1 ), 𝑑(𝑣 3 𝑖 , 𝑣 3 𝑘 ) = (𝑖, 𝑘 − 𝑖) , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 .
Terlihat  bahwa  representasi  setiap  titik  pada  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) terhadap 𝑊 1 = {𝑣 1 1 , 𝑣 3 𝑘 } berbeda  dan  | 𝑊 1 | = 2 .  Dengan  demikian 𝑊 1 merupakan  himpunan  pembeda  minimum  dari  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) ,  maka 𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) ≤ 2 .
... (3.3)
Berdasarkan Teorema 2.1 menyatakan bahwa 𝑑𝑖𝑚(𝐺) = 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝑃 𝑛 . Graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) ≠ 𝑃 𝑛 ,  maka  dapat  dipastikan batas  bawah  dari  dimensi  metrik  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) adalah 𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) ≥ 2.
... (3.4)
Berdasarkan Persamaan (3.3) dan (3.4) diperoleh batas bawah dan batas atas yaitu 2 ≤ 𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) ≤ 2 .  Jadi  dimensi  metrik
graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) adalah
𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2. ∎

## 4. KESIMPULAN
Dari  hasil  yang  diperoleh,  didapatkan  kesimpulan  bahwa  dimensi  metrik  pada  graf 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 ) dengan 𝑘 ≥ 2 , adalah
𝑑𝑖𝑚 (𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐶 3 1 , 𝐶 3 2 , … , 𝐶 3 𝑘 : 𝑣 3 1 = 𝑣 1 2 , 𝑣 3 2 = 𝑣 1 3 , … , 𝑣 3 𝑘−1 = 𝑣 1 𝑘 )) = 2 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
St. Munieroh Fachrunnisa D, Hasmawati, Amir Kamal Amir

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chartrand, G., Eroh, L., Johnson, M. A., & Oellermann, O. R., 2000. Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph. Discrete Applied Mathematics , Vol. 105, 99–113.
[2] Eka R, S. & Rahadjeng, B., 2014. Dimensi Metrik pada Graf Lintasan, Graf Komplit, Graf Sikel, Graf Bintang, dan Graf Bipartit Komplit. Jurnal : Universitas Negeri Surabaya , Vol. 1, No. 1, 1-6.
[3] Harary, F. & Melter, R., 1976. On the Metric Dimension of a Graph. Ars Combin. Vol. 2 : 191-195.
[4] Hasmawati, 2020. Pengantar dan Jenis-Jenis Graf . UPT Unhas Press, Makassar.
[5] Hasmawati, Hiding, N., Nurwahyu, B., Syukur Daming, A., & Kamal Amir, A., 2022. The partition dimension of the vertex amalgamation of some cycles. Heliyon, Vol. 8, 1-7.
[6] Liu, J., Faisal Nadeem, M., Muhammad Afzal Siddiqui, H., & Nazir, W., 2019. Computing Metric  Dimension  of  Certain  Families  of  Toeplitz  Graphs. IEEE  Access ,  Vol.  7,  126734 - 126741.
[7] Marsidi.,  Hesti  Agustin,  I.,  Dafik.,  Alfarisi,  R.,  &  Siswono,  H.,  2018.  On  the  Metric Dimension of Some Operation Graphs. Cauchy-Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi , Vol. 5, No. 3, 88-94.
[8] Rezaei,  A.,  Khashyarmanesha,  K.,  &  Afkhamib,  M.,  2022.  On  the  metric  dimension  of Cayley  graphs. AKCE International Journal  of  Graphs  and  Combinatorics ,  Vol.  19,  No.  2, 118-124.
[9] Saifuddin,  I.,  2015. Dimensi  Partisi  dari  Graf  Khusus  dan  Operasinya .  Skripsi.  FMIPA Universitas Jember, Jember.
[10]  Saifuddin, I., Umilasari, R., & Jalil, A., 2021. Metric dimension of vertex shackle operation result graph on wheel and star graphs. Journal of Physics: Conference Series, Vol. 2279, No. 1, 1-5.
[11]  Wahyudi,  S.,  Sumarno,  &  Suharmadi,  2011.  Dimensi  Metrik  Pengembangan  Graf  Kincir Pola 𝐾 1 +𝑚𝐾 3 . Journal mathematics and its applied , Vol. 8, No. 2, 17-22.