Limits:  Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN:  2579-8936 P-ISSN:  1829-605X Vol.  16,  No. 2, Desember 2019,  87-93 DOI:  http://dx.doi.org/10.12962/ limits.v16i2. 5594

## Dimensi Metrik Hasil Operasi Tertentu pada Graf Petersen Diperumum
1 Asmiati, 2 Ahmad Ari Aldino, 1 Notiragayu, 1 La Zakaria, 1 Muslim Anshori
1 Jurusan Matematika, FMIPA,  Universitas  Lampung
2 Jurusan Teknik Elektro,  Fakultas Sains dan Teknologi,  Universitas Nahdlatul Ulama Lampung e-mail: asmiati.1976@fmipa.unila.ac.id

## Abstrak
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) graf terhubung dan 𝑢 , 𝑣  ∈ 𝑉(𝐺) , jarak titik 𝑢 dan 𝑣 yang  dinotasikan  dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah panjang lintasan  terpendek dari kedua titik  tersebut. Misalkan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 ,. . . , 𝑤 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺), representasi titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊 adalah urutan 𝑘 −vektor, 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) .  Himpunan 𝑊 disebut  himpunan  pembeda,    jika 𝑟(𝑢│𝑊) ≠ 𝑟(𝑣│𝑊) untuk  setiap  dua  titik berbeda 𝑢 , 𝑣  ∈ 𝑉(𝐺) . Kardinalitas  minimum  dari  himpunan  pembeda 𝑊 disebut dimensi  metrik  dari 𝐺, dinotasikan  dengan 𝛽(𝐺) . Pada penelitian  ini  dibahas  tentang  dimensi  metrik  dari hasil  operasi  tertentu pada graf Petersen diperumum.
Kata Kunci: Himpunan pembeda, dimensi  metrik, graf Petersen diperumum.
Abstract
Let 𝐺 = (𝑉, 𝐸) be a connected graph and 𝑢 , 𝑣  ∈ 𝑉(𝐺) , the distance of 𝑢 and 𝑣, denoted by 𝑑(𝑢, 𝑣) is  the  length  of  the  shortest  path  of  these  two  vertices.  Define 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 ,𝑤 3 , . . . , 𝑤 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺) , representation of 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) with  respect to 𝑊 is  the 𝑘 −vector, 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) . The subset 𝑊 is a resolving set, if, 𝑟(𝑢│𝑊) ≠ 𝑟(𝑣│𝑊) for every two distinct  vertices 𝑢 , 𝑣  ∈ 𝑉(𝐺) .  The minimum cardinality of resolving set 𝑊 is called the metric dimension of 𝐺 , denoted by 𝛽(𝐺) . In this paper, we discuss about metric dimension of certain operating result of generalized Petersen graphs. Keywords: Resolving set, metric dimension, generalized Petersen graph.

## 1 Pendahuluan
Suatu  graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) terdiri  atas himpunan  tak kosong 𝑉(𝐺) yang  disebut  himpunan  titik dan himpunan  sisi 𝐸(𝐺) (mungkin  kosong).  Sisi  suatu  graf  dapat dinyatakan  sebagai  pasangan  tak terurut  dari  dua titik  di 𝑉(𝐺) .
Salah  satu  konsep  kajian  penting  dalam  teori  graf  adalah  dimensi  metrik.  Konsep  tentang dimensi  metrik  dari suatu graf  diperkenalkan  secara terpisah  oleh  Slater  [1] pada tahun  1975. Slater mengaitkan  permasalahan  dimensi  metrik  untuk  menentukan  banyaknya  alat  pendeteksi  sonar dalam  suatu  jaringan.  Alat-alat  tersebut  digunakan  sebagai  acuan  sehingga  lokasi  dari setiap  posisi dalam  jaringan  dapat  diketahui.  Lokasi  ini  direpresentasikan  sebagai  vektor  jarak  dari  posisi  itu terhadap  semua  alat  pendeteksi  tersebut.
Berikut  ini  diberikan  definisi  dimensi  metrik  graf  yang  diambil  dari  Chartrand  dkk.[2]. Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah  suatu  graf  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐺) yang  berhingga,  dan himpunan  sisi 𝐸(𝐺) . Jarak dari  dua titik  berbeda v,w  𝑉(𝐺) , dinotasikan  dengan d ( v , w ), adalah panjang  lintasan  terpendek  dari v ke w di G . Misalkan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 , . . . ,𝑤 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺) adalah subhimpunan  titik  terurut  dari 𝑉(𝐺) . Untuk  setiap  titik v  𝑉(𝐺) , representasi  titik v terhadap 𝑊 didefinisikan  sebagai k -pasang terurut 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣,𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) .  Himpuna n 𝑊 dikatakan  sebagai  himpunan  pembeda  dari G jika  setiap  dua  titik  berbeda x,y  𝑉(𝐺) berlaku 𝑟(𝑥│𝑊) ≠ 𝑟(𝑦│𝑊) . Basis  dari G adalah  himpunan  pembeda dari G dengan   kardinalitas  terkecil. Adapun  kardinalitas  dari  basis 𝑊 didefinisikan  sebagai  dimensi  metrik,  dan  dinotasikan  dengan 𝛽(𝐺) .
Secara  umum,  penentuan  dimensi  metrik  dari  suatu  graf  merupakan  permasalahan  yang sukar.  Hingga  saat ini,  belum  ada algoritma  yang  efektif  yang  dapat digunakan  untuk  menentuka n basis  metrik  untuk  sebarang  graf.   Hal  tersebut  disebabkan  oleh  beragamnya  bentuk  dan struktur dari  graf.  Walaupun  demikian,  beberapa kriteria,  batasan,  dan  dimensi  metrik  dari  beberapa kelas tertentu,  sudah  dapat  ditunjukkan.  Chartrand  dkk.[2]  telah  menunjukkan  bahwa  graf G yang berdimensi  1 hanyalah  graf  lintasan.  Lebih  jauh  lagi,  mereka  berhasil  mengkarakterisasi  semua graf G dengan 𝑛 titik  yang  mempunyai 𝛽(𝐺) = 𝑛 − 1 ,  dan 𝛽(𝐺) = 𝑛 − 2 .  Peneliti  lainnya , Hernando  dkk. [3]   telah  berhasil  menentukan  semua  kelas  graf  berorde 𝑛 dan berdiameter 𝑑 , serta memiliki  dimensi  metrik (𝑛 − 𝑑) .
Para  peneliti juga banyak  yang menyederhanakan permasalahan ini dengan menerapkannya  pada  kelas-kelas  graf  tertentu  yang  relatif  sederhana.  Chartrand  dkk.  [2]  telah menentukan  dimensi  metrik  dari graf  lingkaran,  lintasan,  dan graf  lengkap.  Adapun  Bača dkk. [4] telah  mengkaji  dimensi  metrik  dari  beberapa kelas  graf  reguler.  Dimensi  metrik  dari keluarga  graf lainnya,  yaitu  graf  pohon,  telah  dipelajari  oleh  Slater  [1]. Pada tahun  2013, Suhadi  dkk.  [5] telah mengkaji  dimensi  metrik  dari  graf  multipartit  lengkap,
Berikut  ini  diberikan  definisi  graf  Petersen  dan graf  Petersen  diperumum  yang  pertama  kali diperkenalkan  oleh  Watkins  pada tahun  1969 [6]. Graf  Petersen  adalah  graf   dengan  5 titik  dan 10 sisi,  setiap titiknya  berderajat  3 dan setiap  titik  pada siklus  luar   menempel  dengan  sebuah  sisi  pada siklus  dalam,  siklus  dalam  dan  luar  masing- masing  terdiri  dari  5 titik.  Graf  Petersen  diperumum 𝑃 𝑛,𝑘 , 𝑛 ≥ 3 dan 1 ≤ 𝑘 ≤ ⌈(𝑛 − 1)/2⌉ , terdiri  dari 𝑛 − siklus  luar 𝑢 1 ,𝑢 2 ,. . . , 𝑢 𝑛 , himpunan 𝑛 jari- jari 𝑢 𝑖 𝑣 𝑖 ,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, dan 𝑛 sisi 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖+𝑘 ,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, dengan  indeks 𝑖 diambil  dari  modulo 𝑛 . Graf Petersen 𝑃 𝑛,1 berbentuk  prisma  yang  didefinisikan  sebagai  perkalian  Cartesian  dari graf  siklus 𝐶 𝑛 dan lintasan 𝑃 2
Gambar  1. Graf  Petersen
Gambar  2. Contoh  graf  Petersen  diperumum 𝑃 7,2
Dimensi  metrik   dari graf  Petersen diperumum  telah  ditentukan  oleh  Ahmad  dkk.[7]. Kasus khusus  penentuan  dimensi  metrik  untuk  graf  Petersen  diperumum  diperoleh  oleh  Imran  dkk.[8], selanjutnya  Mulyono  dan  Wulandari  [9] memperoleh  hasil  bahwa  dimensi   metrik  graf  Petersen diperumum 𝑃 𝑛,1 adalah  2 untuk 𝑛 ganjil  dan 3 untuk 𝑛 genap .
Berikut  ini  diberikan  definisi  operasi  tertentu  dari  graf  Petersen  diperumum,  dinotasika n dengan 𝑠𝑃 𝑛,𝑘 . Diberikan 𝑠 ≥ 1 graf  Petersen  diperumum 𝑃 𝑛,𝑘 . Titik-titik  pada siklus  luar 𝑢 𝑖 ,𝑖 ∈ [1,𝑛] dari 𝑃 𝑛,𝑘 yang  ke 𝑡, 𝑡 ∈ [1,𝑠],𝑠 ≥ 1 dinotasikan  dengan 𝑢 𝑖 𝑡 , sedangkan  titik-titik  pada siklus dalam 𝑣 𝑖 , 𝑖 ∈ [1,𝑠] dari 𝑃 𝑛,𝑘 yang  ke- 𝑡, 𝑡 ∈ [1, 𝑠], 𝑠 ≥ 1 dinotasikan  dengan 𝑣 𝑖 𝑡 .  Operasi  tertentu graf  Petersen  diperumum 𝑠𝑃 𝑛,𝑘 diperoleh  dari 𝑠 ≥ 1 graf 𝑃 𝑛,𝑘 , dengan  setiap  titik  pada siklus  luar 𝑢 𝑖 𝑡 ,𝑖 ∈ [1,𝑛],𝑡 ∈ [1,𝑠] dihubungkan  oleh  sebuah  sisi, 𝑢 𝑖 𝑡 𝑢 𝑖 𝑡+1 , 𝑡 ∈ [1,𝑠 − 1], 𝑠 ≥ 2 .  Jadi  pada 𝑠𝑃 𝑛,𝑘 ,  nilai 𝑠 ≥ 1 menyatakan  banyaknya layer yang  terbentuk.  Pada  penelitian  ini   ditentuka n bentuk  umum  dimensi  metrik  dari  hasil  operasi  tertentu  graf   Petersen  diperumum 𝑠𝑃 𝑛,1 .
Gambar  3. Hasil  operasi  graf  Petersen  diperumum 2𝑃 4,1

## 2 Metode Penelitian
Langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  menentukan  dimensi  metrik  dari  graf    Petersen diperumum 𝑠𝑃 𝑛,1 adalah  menentukan  himpunan  pembeda  dari 𝑉(s𝑃 𝑛,1 ) untuk 𝑛 ≥ 3 , sedemikia n sehingga memenuhi persyaratan. Misalkan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 , . .. , 𝑤 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺) adalah subhimpunan  titik  terurut  dari 𝑉(𝐺) .  Selanjutnya  ditentukan  representasi  semua  titik  di 𝑉(s𝑃 𝑛,1 ) terhadap 𝑊. Jika  setiap  dua  titik  berbeda x,y  𝑉(s𝑃 𝑛,1 ) berlaku 𝑟(𝑥|𝑊) ≠ 𝑟(𝑦|𝑊), maka 𝑊 disebut  himpunan  pembeda.  Himpunan  pembeda  dengan  kardinalitas  terkecil  disebut  basis  dan kardinalitas  basis  itu  yang  dimaksud  dengan  dimensi  metrik  dari s𝑃 𝑛,1 .

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada bagian  ini  akan didiskusikan  dimensi  metrik  dari  hasil  operasi  tertentu  graf  Petersen diperumum,  yang  dinotasikan  dengan 𝑠𝑃 𝑛,1 untuk 𝑠  ≥ 1, 𝑛 ≥ 3 .
Teorema : Dimensi  metrik  dari  hasil  operasi  tertentu  dari graf  Petersen  diperumum 𝑠𝑃 𝑛,1 adalah 𝑠 + 1 untuk 𝑛 ≥ 3 ganjil  dan 𝑠 + 2 untuk 𝑛 ≥ 4 genap.
Bukti :
Kasus 1. 𝒏 ≥ 𝟑 ganjil.
Pada hasil  operasi  tertentu  dari  graf  Petersen  diperumum 𝑠𝑃 𝑛,1 untuk 𝑛 ≥ 3 ganjil,  berdasarkan hasil  observasi  diperoleh  himpunan  pembeda 𝑊 = {𝑢 1 1 , 𝑢 𝑗 1 , … , 𝑢 𝑗 𝑠 } dengan 𝑗 = 𝑛+1 2 , dan  𝑘 = {2, … , 𝑠} merupakan  nilai 𝑠 dari  masing-masing  titik  dalam  himpunan  pembeda.  Jika  terdapat penambahan  pada layer 𝑠 maka  penambahan  representasi  di layer  sebelumnya  adalah 𝑢 𝑗 𝑘−1 + 1 dan
tidak  mengikuti  kode  yang  terdapat  pada  Tabel  1.  Representasi  titik-titik  graf 𝑠𝑃 𝑛,1 dengan himpunan  pembeda 𝑊 dapat dilihat  pada Tabel  1 berikut  ini,
Tabel  1. Representasi  titik-titik  graf 𝑠𝑃 𝑛,1 untuk 𝑛 ganjil  dengan  himpunan  pembeda 𝑊 .
Titik di graf Basis yang diambil 𝒖 𝟏 𝟏 𝒖 𝒋 𝟏 𝒖 𝒋 𝟐 𝒖 𝒋 𝟑 𝒖 𝒋 𝟒 … 𝒖 𝒋 𝒔 𝒖 𝟏 𝒔 𝑠 − 1 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) … 𝑗 − 1 𝒖 𝟐 𝒔 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) 𝑗 + (𝑠 − 6) … 𝑗 − 2 𝒖 𝟑 𝒔 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) 𝑗 + (𝑠 − 6) 𝑗 + (𝑠 − 7) … 𝑗 − 3 . . . 𝒖 𝒋 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 − 1 𝑠 − 2 𝑠 − 3 𝑠 − 4 … 0 𝒖 𝒋+𝟏 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 𝑠 − 1 𝑠 − 2 𝑠 − 3 … 1 . . . 𝒖 𝒏 𝒔 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) … 𝑗 − 1 𝒗 𝟏 𝒔 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 1) 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) … 𝑗 𝒗 𝟐 𝒔 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) … 𝑗 − 1 𝒗 𝟑 𝒔 𝑠 + 2 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) 𝑗 + (𝑠 − 6) … 𝑗 − 2 . . . 𝒗 𝒋 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 1) 𝑠 𝑠 − 1 𝑠 − 2 𝑠 − 3 … 1 𝒗 𝒋+𝟏 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 1) 𝑠 + 1 𝑠 𝑠 − 1 𝑠 − 2 …
2 . . . 𝒗 𝒏 𝒔 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 1) 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) … 𝑗
Berdasarkan   Tabel  1 dapat dilihat  bahwa  representasi  semua  titik  di 𝑉(𝑠𝑃 𝑛,1 ) berbeda. Akibatnya 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda  terkecil  dengan |𝑊| = 𝑠 + 1 . Jadi diperoleh, 𝛽(𝑠𝑃 𝑛,1 ) = 𝑠 + 1 , untuk 𝑛 ≥ 3 ganjil.

## Kasus 2. 𝒏 ≥ 𝟒 Genap.
Pada hasil  operasi  graf  Petersen diperumum 𝑠𝑃 𝑛,1 untuk 𝑛 ≥ 4 genap,  berdasarkan  hasil  observasi diperoleh  himpunan  pembeda 𝑊 = {𝑢 1 1 ,𝑢 𝑗 1 , 𝑢 𝑛 1 ,… , 𝑢 𝑛 𝑠 }, dengan 𝑗 = 𝑛+2 2 , dan 𝑘 = {2, … , 𝑠} merupakan  nilai 𝑠 dari  masing- masing  titik  dalam  himpunan  pembeda.  Hal  yang  sama  pada pembuktian  sebelumnya,  jika  terdapat  penambahan  pada layer 𝑠 maka  penambahan  representasi di layer sebelumnya  adalah 𝑢 𝑗 𝑘−1 + 1 dan  tidak  mengikuti  kode  yang  terdapat  di  Tabel  2. Representasi  titik-titik  di 𝑉(𝑠𝑃 𝑛,1 ) dengan  himpunan  pembeda 𝑊 dapat  dilihat  pada  Tabel  2 berikut  ini.
Tabel  2. Representasi  titik-titik 𝑉(𝑠𝑃 𝑛,1 ) untuk 𝑛 ≥ 4 genap  dengan  himpunan  pembeda 𝑊.
Titik di graf Basis yang diambil 𝒖 𝟏 𝟏 𝒖 𝒋 𝟏 𝒖 𝒏 𝟏 𝒖 𝒏 𝟐 𝒖 𝒏 𝟑 … 𝒖 𝒏 𝒔 𝒖 𝟏 𝒔 𝑠 − 1 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 𝑠 − 1 𝑠 − 2 … 1 𝒖 𝟐 𝒔 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑠 + 1 𝑠 𝑠 − 1 … 2 𝒖 𝟑 𝒔 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑠 … 3 .
.
. 𝒖 𝒋 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 − 1 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) … 𝑗 − 2 𝒖 𝒋+𝟏 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) 𝑗 + (𝑠 − 6) … 𝑗 − 3
. . .
𝒖 𝒏 𝒔 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑠 − 1 𝑠 − 2 𝑠 − 3 … 0 𝒗 𝟏 𝒔 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 1) 𝑠 + 1 𝑠 𝑠 − 1 … 2 𝒗 𝟐 𝒔 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑠 … 3 𝒗 𝟑 𝒔 𝑠 + 2 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑠 + 3 𝑠 + 2 𝑠 + 1 … 4 .
. . 𝒗 𝒋 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 1) 𝑠 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) … 𝑗 − 1 𝒗 𝒋+𝟏 𝒔 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 3) 𝑗 + (𝑠 − 4) 𝑗 + (𝑠 − 5) … 𝑗 − 2
. . . 𝒗 𝒏 𝒔 𝑠 + 1 𝑗 + (𝑠 − 2) 𝑠 𝑠 − 1 𝑠 − 2 … 1
Dari  hasil  tersebut  diperoleh  bahwa  representasi  titik-titik  di 𝑠𝑃 𝑛,1 terhadap 𝑊 berbeda.  Ini menunjukkan  bahwa 𝑊 merupakan  himpunan  pembeda  terkecil   dengan  kardinalitasnya  adalah 𝑠 + 2 . Jadi  diperoleh 𝛽(𝑠𝑃 𝑛,1 ) = 𝑠 + 2. ∎
Berikut  ini  akan diberikan  contoh  dimensi  metrik  graf  Petersen diperumum 2𝑃 4,1 . Pada graf 2𝑃 4,1 , diperoleh 𝑠 = 2 dan 𝑗 = 3 sehingga 𝑊 = {𝑢 1 1 , 𝑢 3 1 ,𝑢 4 1 , 𝑢 4 2 } maka  representasi  titiknya  adalah 𝑟(𝑢 1 1 |𝑊) = (0,2,1,2),𝑟(𝑢 2 1 |𝑊) = (1,1,2,3), 𝑟(𝑢 3 1 |𝑊) = (2,0,1,2), 𝑟(𝑢 4 1 |𝑊) = (1,1,0,1), 𝑟(𝑣 1 1 |𝑊) = (1,3,2,3),𝑟(𝑣 2 1 |𝑊) = (2,2,3,4),𝑟(𝑣 3 1 |𝑊) = (3,1,2,3),𝑟(𝑣 4 1 |𝑊) = (2,2,1,2), 𝑟(𝑢 1 2 |𝑊) = (1,3,2,1),𝑟(𝑢 2 2 |𝑊) = (2,2,3,2), 𝑟(𝑢 3 2 |𝑊) = (3,1,2,1), 𝑟(𝑢 4 2 |𝑊) = (2,2,1,0), 𝑟(𝑣 1 2 |𝑊) = (2,4,3,2),𝑟(𝑣 2 2 |𝑊) = (3,3,4,3), 𝑟(𝑣 3 2 |𝑊) = (4,2,3,2),𝑟(𝑣 4 2 |𝑊) = (3,3,2,1).
Representasi  semua  titik  di 𝑉(2𝑃 4,1 ) terhadap 𝑊 adalah  berbeda, maka 𝑊 adalah  partisi  pembeda dengan  kardinalitas  terkecil.  Akibatnya, β (2𝑃 4,1 ) = 4 . Sebagai  contoh  dapat dilihat  pada Gambar 3, partisi  pembeda  minimalnya  adalah 𝑊 = {𝑢 1 1 ,𝑢 3 1 , 𝑢 4 1 ,𝑢 4 2 } .

## 4 Simpulan
Dimensi  metrik  hasil  operasi  tertentu  dari  graf  Petersen  diperumum 𝑠𝑃 𝑛,1 adalah 𝑠 + 1 untuk 𝑛 ≥ 3 ganjil  dan 𝑠 + 2 untuk 𝑛 ≥ 4 genap.

## 5 Daftar Pustaka
[1] P.J. Slater.,  “Leaves  of Trees,”  in Proc. 6 th Southeastern Conf. on Combinatorics, Graph Theory, and Computing , Congressus Numerantium, v ol. 14, pp 549-559, 1975.
[2] G. Chartrand,  L. Eroh,   M. A. Johnson,  and  O.R. Oellermann,  “Resolvability  in  graphs and the  metric  dimension  of  a graph,” Discrete Applied Mathematics vol.  105, pp. 99– 113, 2000.
[3]     C. Hernando,  M. Mora, I.M. Pelayo,  C. Seara, and  D.R. Wood,  “Extremal  graph theory  for  metric  dimension  and diameter,” Electronic  Journal of Combinatorics , vol.  17(30), pp.1-28, 2010.
[4]     M. Bača, E.T. Baskoro,  A.N.M. Salman,  S.W. Saputro,  and D. Suprijanto,  “The metric  dimension  of regular  bipartite  graph”, Bulletin Mathématique de la Société des Sciences Mathématiques de Roumanie , vol.  54 (102), pp. 15-28, 2011.
[5]      S.W. Saputro, E.T.  Baskoro, A.N.M. Salman,  and  D. Suprijanto,  “The  metric dimension  of a complete n -partite  graph  and its  Cartesian  product  with  a path,” Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing , vol.  71, pp. 283-293, 2009.
[6] M. E. Watkins,  “A  Theorem  on Tait  Colorings  with  an Application  to the  Generalized Petersen  Graphs,” J. Comb. Theory , vol.  164, pp. 152–164, 1969.
[7] S. Ahmad,  M. A. Chaudhry,  I. Javaid,  and M.  Salman,  “On The  Metric  Dimension  of Generalized  Petersen  Graph”, Quastiones Mahematicae , vol.36,  pp.421-435, 2013.
[8] M. Imran,  A. Q.  Baig,  M. K. Shafiq,  M.K, and I. Tomecu,,  “On  Metric  Dimension  of Generalized  Petersen  Graph”, Ars Combinatoria , vol.117,  pp. 113-130, 2014.
[9] Mulyono  and  Wulandari,  “The  Metric  Dimension  of  Friendship  Graph F n , Lollipop Graph L m,n and Petersen  Graph P n,m , ” Bulletin of Mathematics. vol.  08,  pp.117-124, 2016.