Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 423- 432 DOI: 10.20956/j.v19i2.24291
On Jointly 𝜷 -Prime (𝑹, 𝑺) -Submodules
Seputar (𝑹, 𝑺) -Submodul Prima- 𝜷 Gabungan
Dian Ariesta Yuwaningsih 1  , Fayi Salsabila Sumaryati 2*
* Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Ahmad Dahlan, Indonesia
E-mail: dian.ariesta@pmat.uad.ac.id 1 , fayi1800006130@webmail.uad.ac.id 2
Received: 24 November 2022; Accepted: 22 December 2022; Published: 5 January 2023

## Abstract
Given 𝑅 and 𝑆 be  commutative  ring  with  unity.  The (𝑅, 𝑆) -bimodule  structure  has  been generalized  into  the (𝑅, 𝑆) -module  structure.  Likewise,  primeness  in  a  module  has  also  been generalized to the (𝑅, 𝑆) -module structure. However, the existing prime definition only focuses on  scalar  multiplication  operations  in  modules.  The 𝛽 -prime  submodule  is  one  of  the generalizations  of  the  prime  submodule,  which  involves  additive  operations  and  scalar multiplication  in  the  module.  This  article  presents  a  generalization  of  the 𝛽 -prime  submodules into  the (𝑅, 𝑆) -module  structure,  hereinafter  referred  to  as  the  jointly 𝛽 -prime (𝑅, 𝑆) - submodules. Furthermore, at the end of this article some properties of the jointly 𝛽 -prime (𝑅, 𝑆) - submodule are presented.
Keywords: prime, 𝛽 -prime, (𝑅, 𝑆) -module, 𝛽 -prime (𝑅, 𝑆) -submodule

## Abstrak
Diberikan 𝑅 dan 𝑆 merupakan  ring  komutatif  dengan  elemen  satuan.  Struktur (𝑅, 𝑆) -bimodul terlah  diperumum  menjadi  struktur (𝑅, 𝑆) -modul.  Begitu  halnya  dengan  keprimaan  di  dalam suatu  modul  juga  telah  mengalami  perumuman  ke  struktur (𝑅, 𝑆) -modul.  Namun,  definisi keprimaan yang ada selama ini hanya berfokus pada operasi pergandaan skalar di dalam modul. Submodul  prima- 𝛽 merupakan  salah  satu  perumuman  dari  submodul  prima  yang  melibatkan operasi aditif dan pergandaan skalar di dalam modul. Pada artikel ini disajikan generalisasi dari submodul  prima- 𝛽 ke  dalam  struktur (𝑅, 𝑆) -modul,  yang  selanjutnya  disebut (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.  Selanjutnya,  pada  akhir  artikel  ini  disajikan  beberapa  sifat  dari (𝑅, 𝑆) - submodul prima- 𝛽 gabungan.
Kata kunci: prima, prima- 𝛽 , (𝑅, 𝑆) -modul, (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License
Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati

## 1. PENDAHULUAN
Penelitian terkait keprimaan pada suatu modul pertama kali diperkenalkan oleh [2]. Hasil dari penelitian  [2]  selanjutnya  menjadi  dasar  dalam  penelitian-penelitian  lanjutan  tentang  keprimaan pada  suatu  modul  hingga  saat  ini.  Beberapa  hasil  pengembangan  dari  definisi  submodul  prima diantaranya  adalah  submodul  semiprima  [3],  submodul  endoprima  [4],  submodul  kedua  [10], submodul  koprima  [9],  dan  submodul  prima  lemah  [1].  Namun,  beberapa  perumuman  dari submodul  prima  tersebut  hanya  berfokus  pada pergandaan skalar  di  dalam  modul.  Padahal  modul juga  memiliki  operasi  penjumlahan  yang  dibawa  dari  struktur  grupnya.  Submodul  prima- 𝛼 merupakan  salah  satu  generalisasi  dari  submodul  prima  yang  melibatkan  semua  operasi  dari struktur modulnya, tidak hanya operasi pergandaan skalarnya saja. Konsep terkait submodul prima- 𝛼 ini  diperkenalkan  oleh  [5].  Apabila  diberikan  submodul 𝐻 di  dalam  suatu  modul 𝑀 ,  maka didefinisikan  himpunan 𝛼(𝐻) = {ℎ ∈ 𝑀 ∣ ℎ + ℎ ∈ 𝐻} .  Selanjutnya,  suatu  submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 disebut submodul prima- 𝛼 jika untuk setiap elemen 𝑟 ∈ 𝑅 dan elemen 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑟(𝑚 + 𝑚) ∈ 𝑃 maka berakibat 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 ∈ 𝛼(𝑃) .
Dalam  penelitian  lanjutannya,  [6]  mendefinisikan  konsep  submodul  prima- 𝛽 .  Apabila diberikan submodul 𝐻 di dalam suatu modul 𝑀 , didefinisikan himpunan 𝛽(𝐻) = {ℎ + ℎ ∣ ℎ ∈ 𝐻} . Suatu  submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 disebut  submodul  prima- 𝛽 jika  untuk  setiap  elemen 𝑟 ∈ 𝑅 dan elemen 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑟𝑚 ∈ 𝑃 maka berakibat 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝛽(𝑃) . Lebih lanjut, dalam Khumprapussorn [8] dikatakan bahwa setiap submodul prima merupakan submodul prima- 𝛽 , sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  submodul  prima- 𝛽 ini  merupakan  salah  satu  perumuman  dari submodul  prima.  Lebih  lanjut,  dapat  ditunjukkan  pula  bahwa  submodul  prima- 𝛽 ini  merupakan salah satu bentuk perumuman dari submodul prima- 𝛼 . Oleh karena itu, terdapat perumuman lainnya dari submodul prima yang tidak hanya melibatkan operasi pergandaan skalar pada modulnya tetapi juga melibatkan semua operasi dalam struktur modulnya.
Di  sisi  lain,  suatu  modul  telah  mengalami  proses  perumuman  menjadi  suatu  bimodul.  Dan bimodul  sendiri  telah  diperumum  menjadi  struktur (𝑅, 𝑆) -modul.  Konsep  terkait (𝑅, 𝑆) -modul  ini pertama  kali  diperkenalkan  oleh  [7].  Dalam  papernya,  [7]  juga  telah  mengenalkan  pendefinisian beberapa  keprimaan  di  dalam (𝑅, 𝑆) -modul,  yaitu (𝑅, 𝑆) -submodul  prima  penuh  dan (𝑅, 𝑆) - submodul  prima  gabungan.  Beberapa  sifat  terkait (𝑅, 𝑆) -submodul  prima  penuh  dan (𝑅, 𝑆) - submodul prima gabungan juga telah disajikan dalam paper [7]. Dalam papernya yang lain, [8] juga mendefinisikan keprimaan lain di dalam (𝑅, 𝑆) -modul, yang disebut (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝑅 kiri. Selain itu, [11] juga telah mendefinisikan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛼 gabungan sebagai perumuman dari submodul prima- 𝛼 dalam paper [5].
Penelitian terkait submodul prima- 𝛽 yang disajikan dalam paper [6] merupakan suatu hal yang baru.  Konsep  terkait  submodul  prima- 𝛽 ini  belum  digeneralisasi  ke  dalam  struktur (𝑅, 𝑆) -modul. Selama  ini  peneliti  berusaha  mengembangkan  konsep  keprimaan  di  dalam  struktur (𝑅, 𝑆) -modul dengan  cara  mengamati  perkembangan  di  seputar  topik  ini.  Oleh  karena  itu,  pada  artikel  ini dikembangkan konsep terkait submodul prima- 𝛽 pada suatu modul ke dalam struktur (𝑅, 𝑆) -modul. Pada  artikel  ini  disajikan  pendefinisian (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan,  sebagai  generalisasi dari (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛼 .  Selanjutnya,  disajikan  sifat-sifat  dari (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  dengan  mengembangkan  sifat-sifat  submodul  prima- 𝛽 dalam  [6]  dan  mengembangkan sifat-sifat submodul prima lainnya dalam [2] dengan tetap memperhatikan konsep struktur (𝑅, 𝑆) - modul dalam [7].  Lebih lanjut, dalam keseluruhan tulisan ini, 𝑅 dan 𝑆 masing-masing  merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, kecuali dinyatakan selain itu.S

## 2. (𝑹, 𝑺) -SUBMODUL PRIMA- 𝜷 GABUNGAN

## Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
Sebelum  mendefinisikan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan,  berikut  diberikan  suatu  sifat dalam [7] yang akan digunakan dalam penelitian ini.
Proposisi 2.1. Diberikan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 , himpunan tak kosong 𝑋 ⊆ 𝑅 , dan himpunan tak kosong 𝑌 ⊆ 𝑆 . Jika 𝑀 memenuhi sifat 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 , maka:
a) Jika (𝑅𝑋)𝑀𝑆 ⊆ 𝑁 maka 𝑋𝑀𝑆 ⊆ 𝑁 .

## 𝑋𝑀𝑆 ⊆ (𝑋𝑅)𝑀𝑆
b) Jika 𝑅𝑀(𝑌𝑆) ⊆ 𝑁 maka 𝑅𝑀𝑌 ⊆ 𝑁 .

## 𝑅𝑀𝑌 ⊆ 𝑅𝑀(𝑆𝑌)
c) 𝑊 ⊆ 𝑅𝑊𝑆 untuk setiap himpunan tak kosong 𝑊 di 𝑀 .
Lebih lanjut, jika 𝑊 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul di 𝑀 maka 𝑊 = 𝑅𝑊𝑆 .
Sebelumnya,  berikut  disajikan  definisi (𝑅, 𝑆) -submodul  prima  gabungan  pada  [7]  dalam beberapa versi.
Definisi  2.2. Diberikan 𝑅 dan 𝑆 masing-masing  merupakan  ring  komutatif  dan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .  Submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 disebut (𝑅, 𝑆) - submodul  prima  gabungan  jika  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑅 , 𝑚 ∈ 𝑀 ,  dan 𝑏 ∈ 𝑆 dengan 𝑎𝑚𝑏 ∈ 𝑃 maka berakibat 𝑎𝑀𝑏 ⊆ 𝑃 atau 𝑚 ∈ 𝑃 .
Definisi  2.3. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 . Submodul sejati 𝑃 di 𝑀 disebut (𝑅, 𝑆) -submodul prima gabungan jika untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑎𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 maka berakibat 𝑎𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 [ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀)] atau 𝑚 ∈ 𝑃 .
Selanjutnya, berikut disajikan definisi dari (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.
Definisi  2.4. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .  Suatu (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 disebut (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  jika untuk setiap 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑟𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 maka berakibat 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .
Berikut  disajikan  suatu  sifat  yang  menyatakan  bahwa (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan merupakan perumuman dari (𝑅, 𝑆) -submodul prima.
Proposisi  2.5. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .  Setiap (𝑅, 𝑆) -submodul  prima  gabungan  di 𝑀 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.
Bukti. Misal, diambil sebarang (𝑅, 𝑆) -submodul prima gabungan 𝑃 di 𝑀 . Akan ditunjukkan bahwa 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 .  Diambil  sebarang 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑟𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena  diketahui 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima  gabungan  maka 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 ∈ 𝑃 . Karena 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul maka 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 . Di sisi lain, karena 𝑆 2 = 𝑆 maka (𝑃: 𝑅 𝑀) merupakan ideal di 𝑅 , sehingga 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . □
Contoh  2.6. Diberikan  ring 𝑅 = {( 𝑎 𝑏 0 0 )| 𝑎, 𝑏 ∈ 2ℤ} dan  ring 𝑆 = {( 𝑎 0 𝑏 0 )| 𝑎, 𝑏 ∈ 2ℤ} .
Berdasarkan  [7]  diketahui  bahwa 𝑀 = {( 𝑎 0 𝑏 𝑐 )| 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 2ℤ} merupakan (𝑅, 𝑆) -modul.  Dapat ditunjukkan  bahwa (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑋 di 𝑀 dengan 𝑋 = {( 𝑥 0 0 𝑦 )| 𝑥, 𝑦 ∈ 2ℤ} merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul  prima  gabungan  di 𝑀 .  Jadi,  terbukti  bahwa 𝑋 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛼 gabungan di 𝑀 .
Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati

## 3. BEBERAPA SIFAT (𝑹, 𝑺) -SUBMODUL PRIMA- 𝜷 GABUNGAN
Pada  bagian  ini  disajikan  beberapa  sifat  dari (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan.  Berikut disajikan  beberapa  syarat  perlu  dan  syarat  cukup  suatu (𝑅, 𝑆) -submodul  agar  membentuk (𝑅, 𝑆) - submodul prima- 𝛽 gabungan.
Proposisi 3.1. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan sifat sifat 𝑆 2 = 𝑆 , untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 ,  serta (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 .  Pernyataan-pernyataan  di  bawah  ini  adalah ekuivalen.
(a). 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 .
(b). Untuk  setiap  ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 maka  berakibat 𝛽(𝐼) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝛽(𝑁) ⊆ 𝑃 .
(c). Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝑎𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 maka berakibat 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝛽(𝑁) ⊆ 𝑃 .
(d). Untuk  setiap  ideal 𝐼 di 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝐼𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 maka  berakibat 𝛽(𝐼) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .
(e). Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑎𝑅𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 maka berakibat 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .
(f). Untuk setiap 𝑚 ∈ 𝑀 jika 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 maka (𝑃: 𝑅 𝑚) ⊆ 𝛼((𝑃: 𝑅 𝑀)) .
Bukti. (𝑎) ⇒ (𝑏). Diketahui 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 .  Diambil sebarang  ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 tetapi 𝛽(𝑁) ⊈ 𝑃 . Akan dibuktikan  bahwa 𝛽(𝐼) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Diambil  sebarang  elemen 𝑟 + 𝑟 ∈ 𝛽(𝐼) dan 𝑛 + 𝑛 ∈ 𝛽(𝑁) dengan 𝑛 + 𝑛 ∉ 𝑃 . Diperoleh 𝑛 ∈ 𝑁 dan 𝑟 ∈ 𝐼 .  Karena diketahui 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 maka  diperoleh 𝑟𝑛𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 dan 𝑛 + 𝑛 ∉ 𝑃 maka diperoleh 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Karena  pengambilan  elemen 𝑟 + 𝑟 ∈ 𝛽(𝐼) sebarang,  maka  terbukti bahwa 𝛽(𝐼) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .
(𝑏) ⇒ (𝑐). Diambil sebarang elemen 𝑎 ∈ 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝑎𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 . Karena 𝑆 2 = 𝑆 maka  diperoleh 𝑅𝑎𝑁𝑆 = 𝑅𝑎𝑁𝑆𝑆 = 𝑅(𝑎𝑁𝑆)𝑆 ⊆ 𝑅𝑃𝑆 = 𝑃 .  Karena 𝑅 merupakan  ring komutatif,  maka  jelas  bahwa 𝑅𝑎 merupakan  ideal  di 𝑅 .  Berdasarkan (𝑏) diperoleh 𝛽(𝑅𝑎) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝛽(𝑁) ⊆ 𝑃 . Diperhatikan bahwa karena 𝛽(𝑅𝑎) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) maka diperoleh 𝑅𝑎 + 𝑅𝑎 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) sehingga 𝑅𝑎𝑀𝑆 + 𝑅𝑎𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 atau  dituliskan 𝑅𝑎(𝑀 + 𝑀)𝑆 ⊆ 𝑃 .  Selanjutnya,  karena untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 maka  diperoleh 𝑎(𝑀 + 𝑀)𝑆 ⊆ 𝑃 atau  dituliskan 𝑎𝑀𝑆 + 𝑎𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 .  Dari  sini  diperoleh 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝛽(𝑁) ⊆ 𝑃 .
(𝑐) ⇒ (𝑑). Diambil sebarang ideal 𝐼 di 𝑅 dan elemen 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝐼𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 tetapi 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 . Akan  dibuktikan  bahwa 𝛽(𝐼) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Diambil  sebarang  elemen 𝑎 + 𝑎 ∈ 𝛽(𝐼) ,  berarti 𝑎 ∈ 𝐼 . Selanjutnya,  karena 𝑅 komutatif  dan 𝑆 2 = 𝑆 maka  diperoleh 𝑅𝐼𝑚𝑆𝑆 = 𝐼𝑅𝑚𝑆𝑆 = 𝐼(𝑅𝑚𝑆)𝑆 ⊆ 𝑅𝑀𝑆 = 𝑃 .  Karena 𝑎 ∈ 𝐼 maka  diperoleh 𝑎(𝑅𝑚𝑆)𝑆 ⊆ 𝑃 .  Berdasarkan (𝑐) maka  diperoleh 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝛽(𝑅𝑚𝑆) ⊆ 𝑃 . Karena 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑅𝑚𝑆 dan 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 , maka berakibat 𝛽(𝑅𝑚𝑆) ⊈ 𝑃 . Karena 𝑆 2 = 𝑆 maka (𝑃: 𝑅 𝑀) merupakan ideal di 𝑅 sehingga diperoleh 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) . Karena pengambilan elemen 𝑎 + 𝑎 ∈ 𝛽(𝐼) sebarang, maka terbukti bahwa 𝛽(𝐼) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .
(𝑑) ⇒ (𝑒). Diambil  sebarang  elemen 𝑎 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑎𝑅𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 .  Oleh  karena 𝑅 merupakan  ring  komutatif,  maka 𝑎𝑅 jelas  merupakan  ideal  di 𝑅 .  Akibatnya,  dari (𝑑) diperoleh 𝛽(𝑎𝑅) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .  Selanjutnya,  dari 𝛽(𝑎𝑅) ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) maka  diperoleh 𝑎𝑅 +
Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
𝑎𝑅 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau  dapat  dituliskan 𝑎𝑅𝑀𝑆 + 𝑎𝑅𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena 𝑅 komutatif,  maka  dapat dituliskan 𝑅𝑎𝑀𝑆 + 𝑅𝑎𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 .  Oleh  karena  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 ,  maka  dari persamaan 𝑅𝑎𝑀𝑆 + 𝑅𝑎𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 diperoleh 𝑎𝑀𝑆 + 𝑎𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 . Dari sini diperoleh 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) . Jadi, terbukti bahwa 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .
(𝑒) ⇒ (𝑓). Diambil  sebarang 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 .  Diambil  sebarang 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑚) maka diperoleh 𝑎𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena 𝑆 2 = 𝑆 dan 𝑅 merupakan  ring  komutatif  maka  diperoleh 𝑅𝑎𝑚𝑆𝑆 = 𝑎𝑅𝑚𝑆 ⊆ 𝑅𝑃𝑆 = 𝑃 .  Berdasarkan (𝑒) dan  karena 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 ,  maka  diperoleh 𝑎 + 𝑎 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) . Dari sini diperoleh 𝑎 ∈ 𝛼 ( (𝑃: 𝑅 𝑀) ). Dengan demikian, terbukti bahwa (𝑃: 𝑅 𝑚) ⊆ 𝛼((𝑃: 𝑅 𝑀)) .
(𝑓) ⇒ (𝑎). Diambil  sebarang  elemen 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑟𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 tetapi 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 . Andaikan 𝑟 + 𝑟 ∉ (𝑃: 𝑅 𝑀) ,  maka 𝑟 ∉ 𝛼((𝑃: 𝑅 𝑀)) .  Oleh  karena  berdasarkan (𝑓) diketahui (𝑃: 𝑅 𝑚) ⊆ 𝛼((𝑃: 𝑅 𝑀)) ,  maka 𝑟 ∉ (𝑃: 𝑅 𝑚) .  Akibatnya,  diperoleh 𝑟𝑚𝑆 ⊈ 𝑃 .  Kontradiksi  dengan yang  diketahui.  Jadi,  diperoleh 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . □
Proposisi 3.2. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan sifat sifat 𝑆 2 = 𝑆 , untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 ,  serta (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 . 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan jika dan hanya jika untuk setiap ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 maka berakibat 𝑁 + 𝑁 ⊆ 𝑃 atau 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .
Bukti . (⇒). Diambil  sebarang  ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 tetapi 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝑃 .  Dari  sini  berarti 𝑁 ⊈ 𝑃 .  Selanjutnya,  diambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝐼 dan 𝑛 ∈ 𝑁 ∖ 𝑃 maka diperoleh 𝑥𝑛𝑆 ⊆ 𝑃 tetapi 𝑛 + 𝑛 ∉ 𝑃 .  Karena  diketahui 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 ,  maka  diperoleh 𝑥 + 𝑥 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Dengan  kata  lain,  terbukti  bahwa 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .
(⇐). Diambil sebarang 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 dengan 𝑟𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 tetapi 𝑚 + 𝑚 ∉ 𝑃 . Diperhatikan bahwa karena 𝑅 komutatif dan 𝑆 2 = 𝑆 maka diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑚𝑆𝑆𝑆 = 𝑅𝑟𝑅𝑚𝑆𝑆 2 = 𝑅𝑟(𝑅𝑚𝑆)𝑆 ⊆ 𝑅𝑃𝑆 = 𝑃 . Dari  sini,  maka  diperoleh 𝑅𝑟 + 𝑅𝑟 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑅𝑚𝑆 + 𝑅𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 .  Dari 𝑅𝑟 + 𝑅𝑟 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) diperoleh 𝑅𝑟𝑀𝑆 + 𝑅𝑟𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena 𝑆 2 = 𝑆 ,  maka  diperoleh 𝑅𝑟𝑀𝑆𝑆 + 𝑅𝑟𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 , maka diperoleh 𝑟𝑀𝑆 + 𝑟𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 , sehingga diperoleh 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Selanjutnya,  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 ,  maka  dari 𝑅𝑚𝑆 + 𝑅𝑚𝑆 ⊆ 𝑃 diperoleh 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .  Dengan  demikian,  diperoleh 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝑃 .  Jadi, terbukti bahwa 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛼 gabungan di 𝑀 . □
Berikut diberikan suatu lemma yang akan digunakan dalam pembuktian sifat selanjutnya dari (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.
Lemma 3.3. Diberikan 𝜓: 𝑀 1 → 𝑀 2 merupakan homomorfisma (𝑅, 𝑆) -modul dengan sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 1 (𝑀 2 ) memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 , 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  di 𝑀 1 ,  dan 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul di 𝑀 2 .
(a). Jika 𝜓 merupakan  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul  dan 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀 1 ) ,  maka 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝜓(𝑃): 𝑅 𝑀 2 ) .
(b). Jika 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝐾: 𝑅 𝑀 2 ) maka 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝜓 −1 (𝐾): 𝑅 𝑀 1 ) .
Bukti.
(a). Diketahui  bahwa 𝜓 merupakan  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul  dan 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀 1 ) ,  maka (𝑟 + 𝑟)𝑀 1 𝑆 ⊆ 𝑃 .  Diambil  sebarang 𝑚 2 ∈ 𝑀 2 .  Karena 𝜓 merupakan  epimorfisma,  maka terapat 𝑚 1 ∈ 𝑀 1 sedemikian  sehingga  memenuhi 𝜓(𝑚 1 ) = 𝑚 2 .  Akibatnya,  diperoleh (𝑟 + 𝑟)𝑚 1 𝑆 ⊆ 𝑃 .  Dari  sini  diperoleh (𝑟 + 𝑟)𝑚 2 𝑆 = (𝑟 + 𝑟)𝜓(𝑚 1 )𝑆 = 𝜓((𝑟 + 𝑟)𝑚 1 𝑆) ⊆

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
𝜓(𝑃) .  Karena  pengambilan  elemen 𝑚 2 ∈ 𝑀 2 sebarang,  maka  diperoleh (𝑟 + 𝑟)𝑀 2 𝑆 ⊆ 𝜓(𝑃) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝜓(𝑃): 𝑅 𝑀 2 ) .
(b). Diketahui  bahwa 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝐾: 𝑅 𝑀 2 ) ,  maka (𝑟 + 𝑟)𝑀 2 𝑆 ⊆ 𝐾 .  Diambil  sebarang 𝑚 1 ∈ 𝑀 1 . Karena  diketahui 𝜓 merupakan  homomorfisma,  maka  diperoleh 𝜓((𝑟 + 𝑟)𝑚 1 𝑆) = (𝑟 + 𝑟)𝜓(𝑚 1 )𝑆 ⊆ 𝐾 .  Dari  sini  diperoleh (𝑟 + 𝑟)𝑚 1 𝑆 ⊆ 𝜓 −1 (𝐾) .  Karena  pangambilan elemen 𝑚 1 ∈ 𝑀 1 sebarang,  maka  diperoleh (𝑟 + 𝑟)𝑀 1 𝑆 ⊆ 𝜓 −1 (𝐾) .  Dengan  demikian, terbukti bahwa 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝜓 −1 (𝐾): 𝑅 𝑀 1 ) . □
Pada  proposisi  berikut  ini  disajikan  bahwa  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul  mengawetkan (𝑅, 𝑆) - submodul prima- 𝛽 gabungan.
Proposisi 3.4. Diberikan 𝜓: 𝑀 1 → 𝑀 2 merupakan homomorfisma (𝑅, 𝑆) -modul dengan sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 1 (𝑀 2 ) memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .
(a). Jika 𝜓 merupakan epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul dan 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 1 yang  memuat 𝐾𝑒𝑟(𝜓) ,  maka 𝜓(𝑃) juga  merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 2 .
(b). Jika 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 2 ,  maka 𝜓 −1 (𝐾) merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 1 .
Bukti.
(a). Diketahui  bahwa 𝜓 merupakan  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul  dan 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 1 yang  memuat 𝐾𝑒𝑟(𝜓) .  Akan  dibuktikan  bahwa 𝜓(𝑃) juga merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 2 . Diambil sebarang elemen 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 2 sedemikian  sehingga  memenuhi 𝑟𝑚𝑆 ⊆ 𝜓(𝑃) .  Oleh  karena 𝜓 merupakan epimorfisma  maka  terdapat 𝑛 ∈ 𝑀 1 , 𝑝 ∈ 𝑃 ,  dan 𝑠 ∈ 𝑆 sehingga  memenuhi 𝑟𝑚𝑠 = 𝜓(𝑝) dan 𝜓(𝑛) = 𝑚 . Akibatnya, diperoleh:
𝜓(𝑝) = 𝑟𝑚𝑠
= 𝑟𝜓(𝑛)𝑠
= 𝜓(𝑟𝑛𝑠)
Dari  sini  diperoleh 𝜓(𝑝 − 𝑟𝑛𝑠) = 0 ,  sehingga  diperoleh 𝑝 − 𝑟𝑛𝑠 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜓) .  Oleh  karena 𝐾𝑒𝑟(𝜓) ⊆ 𝑃 ,  maka 𝑟𝑛𝑠 ∈ 𝑃 sehingga 𝑟𝑛𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan  maka  diperoleh 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑃: 𝑅 𝑀 1 ) atau 𝑛 + 𝑛 ∈ 𝑃 .    Karena 𝜓 epimorfisma, maka berdasarkan Lemma 3.3 a) diperoleh bahwa 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝜓(𝑃): 𝑅 𝑀 2 ) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝜓(𝑃) .  Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 𝜓(𝑃) merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 2 .
(b). Diketahui 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 2 .  Akan  dibuktikan bahwa 𝜓 −1 (𝐾) merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 1 .  Diambil  sebarang 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 1 sedemikian  sehingga  memenuhi 𝑟𝑚𝑆 ⊆ 𝜓 −1 (𝐾) .  Dari  sini  berarti diperoleh 𝜓(𝑟𝑚𝑆) ⊆ 𝐾 ,  sehingga 𝑟𝜓(𝑚)𝑆 ⊆ 𝐾 .  Oleh  karena 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 2 ,  maka  diperoleh 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝐾: 𝑅 𝑀 2 ) atau 𝜓(𝑚) + 𝜓(𝑚) ∈ 𝐾 .  Oleh  karena 𝜓 merupakan  epimorfisma,  maka  berdasarkan  Lemma  3.3  b) diperoleh  bahwa 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝜓 −1 (𝐾): 𝑅 𝑀 1 ) atau 𝑚 + 𝑚 ∈ 𝜓 −1 (𝐾) .  Dengan  demikian, terbukti bahwa 𝜓 −1 (𝐾) merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 1 . □
Sebelum  ke  pembahasan  selanjutnya,  diperhatikan  kembali  bahwa  menurut  [12],  suatu homomorfisma (𝑅, 𝑆) -modul 𝜓: 𝑀 → 𝑀 𝐾 ⁄ dengan  definisi 𝜓(𝑚) = 𝑚 + 𝐾 ,  untuk  setiap 𝑚 ∈ 𝑀
Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
merupakan  suatu  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul  dengan 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = 𝐾 .  Selanjutnya, 𝜓 disebut  dengan homomorfisma natural (𝑅, 𝑆) -modul. Lebih jelasnya, diperhatikan proposisi berikut ini.
Proposisi  3.5. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝐾 di 𝑀 .  Suatu  pengaitan 𝜓: 𝑀 → 𝑀 𝐾 ⁄ dengan  definisi 𝜓(𝑚) = 𝑚 + 𝐾 ,  untuk  setiap 𝑚 ∈ 𝑀 merupakan  suatu  epimorfisma (𝑅, 𝑆) - modul dengan 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = 𝐾 .
Berikut disajikan suatu sifat yang merupakan akibat dari Proposisi 3.4.
Akibat  3.6. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  sifat 𝑆 2 = 𝑆 ,  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 , serta (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 .
(a). Jika 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 dan 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul  di 𝑀 yang  termuat  di 𝑃 ,  maka 𝑃 𝐾 ⁄ merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 𝐾 ⁄ .
(b). Jika 𝐾′ merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 𝑁 ⁄ ,  maka 𝐾 ′ = 𝐾 𝑁 ⁄ untuk suatu (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan 𝐾 di 𝑀 .
Bukti.
(a). Diketahui 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 dan 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul di 𝑀 yang termuat di 𝑃 . Dibentuk homomorfisma natural (𝑅, 𝑆) -modul 𝜓: 𝑀 → 𝑀 𝐾 ⁄ dengan  definisi 𝜓(𝑚) = 𝑚 + 𝐾 ,  untuk  setiap 𝑚 ∈ 𝑀 .  Berdasarkan  Proposisi  3.5, diketahui  bahwa 𝜓 merupakan  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul  dengan 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = 𝐾 . Berdasarkan  Proposisi  3.4*  a),  maka  diperoleh  bahwa 𝜓(𝑃) = 𝑃 𝐾 ⁄ merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 𝐾 ⁄ .
(c). Diketahui 𝐾′ merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 𝑁 ⁄ .  Dibentuk homomorfisma natural (𝑅, 𝑆) -modul 𝜓: 𝑀 → 𝑀 𝑁 ⁄ dengan definisi 𝜓(𝑚) = 𝑚 + 𝑁 , untuk setiap 𝑚 ∈ 𝑀 . Berdasarkan Proposisi 3.4* b), maka diperoleh bahwa 𝜓 −1 (𝐾 ′ ) merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . Selanjutnya, berdasarkan Proposisi 3.5 diketahui bahwa 𝜓 merupakan  epimorfisma (𝑅, 𝑆) -modul.  Akibatnya, 𝜓 −1 (𝐾 ′ ) = 𝐾 dan  untuk (𝑅, 𝑆) -submodul 𝐾′ di 𝑀 𝑁 ⁄ terdapat (𝑅, 𝑆) -submodul 𝐾 di 𝑀 sedemikian  sehingga memenuhi 𝐾 ′ = 𝐾 𝑁 ⁄ .  Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 𝐾 ′ = 𝐾 𝑁 ⁄ untuk  suatu (𝑅, 𝑆) - submodul prima- 𝛽 gabungan 𝐾 di 𝑀 . □
Seperti  halnya  pada  modul,  pada  struktur (𝑅, 𝑆) -modul  dapat  didefinisikan (𝑅, 𝑆) -submodul maksimal sebagai berikut.
Definisi  3.7. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 .  Suatu (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑁 di 𝑀 disebut (𝑅, 𝑆) - submodul maksimal di 𝑀 apabila tidak terdapat (𝑅, 𝑆) -submodul sejati lain di 𝑀 yang memuat 𝑁 .
Berikut  ditunjukkan  bahwa  setiap (𝑅, 𝑆) -submodul  maksimal  merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.
Proposisi  3.8. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .  Setiap (𝑅, 𝑆) -submodul  maksimal  di 𝑀 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 .
Bukti. Diambil 𝐾 yaitu (𝑅, 𝑆) -submodul maksimal di 𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) - submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝐾 tetapi 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝐾 . Karena 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝐾 , maka diperoleh 𝑁 ⊈ 𝐾 . Karena 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  maksimal  di 𝑀 maka 𝑀 = 𝐾 + 𝑁 .  Dari  sini  diperoleh
Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
(𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 = (𝐼 + 𝐼)(𝐾 + 𝑁)𝑆 = (𝐼 + 𝐼)𝐾𝑆 + (𝐼 + 𝐼)𝑁𝑆 ⊆ 𝐾 .  Dengan  demikian,  diperoleh 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝐾: 𝑅 𝑀) . Jadi, terbukti bahwa 𝐾 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . □
Berikut  disajikan  suatu  sifat  yang  merupakan  hubungan  antara (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan dengan himpuunan annihilator (𝑅, 𝑆) -modul faktornya.
Proposisi 3.9 Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan sifat sifat 𝑆 2 = 𝑆 , untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 ,  dan (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑃 di 𝑀 .  Jika 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 maka (𝑃: 𝑅 𝑀) merupakan ideal prima di 𝑅 .
Bukti. Diketahui 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼 dan 𝐽 di 𝑅 dengan 𝐼𝐽 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) tetapi 𝐼 ⊈ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Dari 𝐼𝐽 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) diperoleh 𝐼𝐽𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 . Karena 𝑆 2 = 𝑆 ,  maka  diperoleh 𝐼(𝐽𝑀𝑆)𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 maka  diperoleh 𝐽𝑀𝑆 + 𝐽𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 .  Jadi  diperoleh 𝐽𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 ,  sehingga  terbukti 𝐽 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) . Dengan demikian, terbukti bahwa (𝑃: 𝑅 𝑀) merupakan ideal prima di 𝑅 . □
Seperti  halnya  pada  modul,  pada  struktur (𝑅, 𝑆) -modul  dapat  didefinisikan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan minimal sebagai berikut.
Definisi  3.10. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .  Suatu (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑋 di 𝑀 disebut (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  minimal  apabila 𝑋 minimal  di  dalam  himpunan  semua (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 , yaitu tidak terdapat (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan lain di 𝑀 yang termuat di dalam 𝑋 .
Berikut  ditunjukkan  bahwa  setiap (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  minimal  merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.
Proposisi  3.11. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 . Jika 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 , maka 𝑃 memuat (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan minimal di 𝑀 .
Bukti. Misalkan dibentuk himpunan ℑ yaitu himpunan semua (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 yang  termuat  di  dalam 𝑃 .  Jelas  bahwa ℑ ≠ ∅ karena 𝑃 ∈ ℑ .  Dengan  menggunakan  Lemma Zorn  alan  dibuktikan  bahwa ℑ memiliki  elemen  minimal.  Ekuivalen  dengan  menunjukkan  bahwa setiap rantai tak kosong di ℑ memiliki batas bawah di ℑ . Diambil sebarang rantai tak kosong ℋ ⊆ ℑ .  Dibentuk  himpunan 𝑄 = ⋂ 𝐾 𝐾∈ℋ ,  maka  jelas  bahwa 𝑄 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  di 𝑀 dan 𝑄 ⊆ 𝑃 .  Akan  dibuktikan  bahwa 𝑄 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 .  Diambil ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑄 tetapi 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝑄 .  Akan  dibuktikan bahwa 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑄: 𝑅 𝑀) .  Karena 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝑄 ,  maka 𝑁 ⊈ 𝑄 .  Diambil  sebarang 𝑛 ∈ 𝑁 ∖ 𝑄 ,  maka terdapat 𝐾 ′ ∈ ℋ sedemikian  sehingga 𝑛 ∉ 𝐾′ .  Karena 𝐾′ merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 , maka dari 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑄 ⊆ 𝐾′ bearkibat (𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 ⊆ 𝐾′ , atau ditulis 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝐾 ′ : 𝑅 𝑀) . Selanjutnya diambil 𝐿 ∈ ℋ . Karena ℋ merupakan rantai di ℑ , maka berlaku 𝐾 ′ ⊆ 𝐿 atau 𝐿 ⊆ 𝐾′ . Jika 𝐾 ′ ⊆ 𝐿 ,  maka (𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 ⊆ 𝐾 ′ ⊆ 𝐿 .  Jika 𝐿 ⊆ 𝐾′ maka 𝑛 ∉ 𝐿 .  Karena 𝐿 merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 ,  maka  dari 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑄 ⊆ 𝐿 berakibat (𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 ⊆ 𝐿 atau  ditulis 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝐿: 𝑅 𝑀) .  Jadi,  diperoleh (𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 ⊆ 𝐿 untuk  setiap 𝐿 ∈ ℋ .  Akibatnya,  diperoleh (𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 ⊆ 𝑄 atau dengan kata lain 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑄: 𝑅 𝑀) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑄 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 .  Karena 𝑄 ⊆ 𝑃 ,  maka 𝑄 ∈ ℑ dan 𝑄 merupakan  batas bawah untuk ℋ . Jadi terbukti bahwa setiap rantai tak kosong di ℑ memiliki batas bawah di ℑ . Oleh karena  itu,  berdasarkan  Lemma  Zorn  maka  terdapat (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan 𝑃 ∗ ∈ ℑ yang minimal diantara semua (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di ℑ . Dengan demikian, terbukti bahwa (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan 𝑃 memuat (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan minimal 𝑃 ∗ di 𝑀 . □

## Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
Berikut  disajikan  syarat  perlu  dan  syarat  cukup (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati  membentuk (𝑅, 𝑆) - submodul prima- 𝛽 gabungan.
Proposisi  3.12. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan  sifat  sifat 𝑆 2 = 𝑆 dan  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 .  Suatu (𝑅, 𝑆) -submodul  sejati 𝑋 di 𝑀 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 jika dan hanya jika untuk setiap (𝑅, 𝑆) -submodul tak nol 𝐾/𝑋 di 𝑀/𝑋 memenuhi sifat (𝑋: 𝑅 𝐾) = (𝑋: 𝑅 𝑀) .
Bukti. (⇒). Diambil sebarang (𝑅, 𝑆) -submodul tak nol 𝐾/𝑋 di 𝑀/𝑋 , maka jelas bahwa (𝑋: 𝑅 𝑀) ⊆ (𝑋: 𝑅 𝐾) . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑟 ∈ (𝑋: 𝑅 𝐾) , maka diperoleh 𝑟𝐾𝑆 ⊆ 𝑋 . Karena 𝑆 2 = 𝑆 dan 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑀 ,  maka  diperoleh (𝑟𝑅)𝐾𝑆 = 𝑟(𝑅𝐾𝑆)𝑆 = 𝑟𝐾𝑆 ⊆ 𝑋 .  Karena 𝑋 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 maka diperoleh 𝐾 + 𝐾 ⊆ 𝑋 atau 𝑟𝑅 + 𝑟𝑅 ⊆ (𝑋: 𝑅 𝑀) . Karena 𝐾/𝑋 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul tak nol, maka 𝐾 ≠ 𝑋 , sehingga hanya diperoleh 𝑟𝑅 + 𝑟𝑅 ⊆ (𝑋: 𝑅 𝑀) . Akibatnya, diperoleh 𝑟𝑅𝑀𝑆 + 𝑟𝑅𝑀𝑆 ⊆ 𝑋 . Karena sifat 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 ,  maka  diperoleh 𝑟𝑀𝑆 + 𝑟𝑀𝑆 ⊆ 𝑋 .  Dengan  demikian,  diperoleh  bahwa 𝑟 + 𝑟 ∈ (𝑋: 𝑅 𝑀) sehingga 𝑟 ∈ (𝑋: 𝑅 𝑀) .  Jadi  diperoh (𝑋: 𝑅 𝐾) ⊆ (𝑋: 𝑅 𝑀) sehingga  terbukti  bahwa (𝑋: 𝑅 𝐾) = (𝑋: 𝑅 𝑀) .
(⇐). Diambil sebarang ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑋 tetapi 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝑋 .  Karena 𝑁 + 𝑁 ⊈ 𝑋 maka  diperoleh 𝑁 ⊈ 𝑋 ,  sehingga (𝑁 + 𝑋)/𝑋 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul tak  nol  di 𝑀/𝑋 .  Menurut  hipotesis,  maka  diperoleh (𝑋: 𝑅 𝑁 + 𝑋) = (𝑋: 𝑅 𝑀) .  Selanjutnya,  dari 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑋 diperoleh 𝐼 ⊆ (𝑋: 𝑅 𝑁 + 𝑋) . Karena (𝑋: 𝑅 𝑁 + 𝑋) = (𝑋: 𝑅 𝑀) maka diperoleh 𝐼 ⊆ (𝑋: 𝑅 𝑀) sehingga diperoleh 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑋: 𝑅 𝑀) . Jadi terbukti bahwa 𝑋 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . □
Sifat  terakhir  dari (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  adalah  tentang  syarat  perlu  dan  syarta cukup agar suatu (𝑅, 𝑆) -submodul faktor membentuk (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan.
Proposisi 3.13. Diberikan (𝑅, 𝑆) -modul 𝑀 dengan sifat sifat 𝑆 2 = 𝑆 , untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑀 memenuhi 𝑎 ∈ 𝑅𝑎𝑆 ,  serta (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑃 dan 𝐴 di 𝑀 dengan 𝐴 ⊂ 𝑃 . 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 jika dan hanya jika 𝑃/𝐴 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀/𝐴 .
Bukti. (⇒). Diambil sebarang ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁/𝐴 di 𝑀/𝐴 dengan 𝐼(𝑁/𝐴)𝑆 ⊆ 𝑃/𝐴 .  Dari  sini  diperoleh (𝐼𝑁𝑆)/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 ,  sehingga 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 .  Karena  diketahui 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀 maka  diperoleh 𝑁 + 𝑁 ⊆ 𝑃 atau 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) .  Dari sini diperoleh 𝑁 ⊆ 𝑃 atau 𝐼 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) sehingga diperoleh 𝑁/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 atau (𝐼𝑀𝑆 + 𝐴)/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 . Karena (𝐼𝑀𝑆 + 𝐴)/𝐴 = 𝐼(𝑀/𝐴)𝑆 ⊆ 𝑃/𝐴 ,  maka  diperoleh (𝐼 + 𝐼)(𝑀/𝐴)𝑆 ⊆ 𝑃/𝐴 atau  dengan kata lain 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃/𝐴: 𝑅 𝑀/𝐴) . Karena 𝑁/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 maka diperoleh 𝑁/𝐴 + 𝑁/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 . Dengan demikian  diperoleh 𝑁/𝐴 + 𝑁/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 atau 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃/𝐴: 𝑅 𝑀/𝐴) .  Jadi,  terbukti  bahwa 𝑃/𝐴 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀/𝐴 .
(⇐). Diambil  sebarag  ideal 𝐼 di 𝑅 dan (𝑅, 𝑆) -submodul 𝑁 di 𝑀 dengan 𝐼𝑁𝑆 ⊆ 𝑃 .  Dari  sini diperoleh (𝐼𝑁𝑆 + 𝐴) ⊆ 𝑃/𝐴 ,  sehingga 𝐼((𝑁 + 𝐴)/𝐴)𝑆 ⊆ 𝑃/𝐴 .  Karena 𝑃/𝐴 merupakan (𝑅, 𝑆) - submodul  prima- 𝛽 gabungan  di 𝑀/𝐴 maka  diperoleh (𝑁 + 𝐴)/𝐴 + (𝑁 + 𝐴)/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 atau 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃/𝐴: 𝑅 𝑀/𝐴) .  Dengan  kata  lain,  diperoleh 𝑁/𝐴 + 𝑁/𝐴 ⊆ 𝑃/𝐴 atau (𝐼 + 𝐼)(𝑀/𝐴)𝑆 ⊆ 𝑃/𝐴 . Hal ini ekuivalen dengan 𝑁 + 𝑁 ⊆ 𝑃 atau (𝐼 + 𝐼)𝑀𝑆 ⊆ 𝑃 , sehingga diperoleh 𝑁 + 𝑁 ⊆ 𝑃 atau 𝐼 + 𝐼 ⊆ (𝑃: 𝑅 𝑀) . Jadi, terbukti bahwa 𝑃 merupakan (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan di 𝑀 . □

## 4. KESIMPULAN

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Dian Ariesta Yuwaningsih, Fayi Salsabila Sumaryati
Pada artikel ini, definisi submodul prima- 𝛽 telah dibawa ke dalam struktur (𝑅, 𝑆) -modul, yang selanjutnya  disebut  dengan (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan.  Di  samping  itu,  disajikan  pula beberapa  sifat  dari (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  yang  merupakan  generalisasi  dari  sifat keprimaan  di  dalam  struktur  modul  dengan  menambahkan  beberapa  syarat  tertentu.  Lebih  lanjut, hasil  dari  penelitian terkait (𝑅, 𝑆) -submodul  prima- 𝛽 gabungan  dapat  digunakan  sebagai  referensi dalam penelitian terkait (𝑅, 𝑆) -submodul prima- 𝛽 gabungan lemah dan perumumannya yang lain.

## REFERENCES
[1]. Behboodi, M. and Koohy, H., 2004, Weakly Prime Modules, Vietnam Journal of Mathematics , Vol. 32, No. 2, Hal. 185-195.
[2]. Dauns, J., 1978, Prime Modules, Journal fur die reine and angewandte Mathematik, No. 298, Hal. 156-181.
[3]. Ferrero,  M.  dan  Rodrigues,  V.,  2006,  On  Prime  and  Semiprime  Modules  and  Comodules, Journal of Algebra and Its Applications , Vol. 5, No. 5, Hal. 681-694.
[4]. Haghany, A. dan Vedadi, R., 2005, Endoprime Modules, Acta Math. Hungar. , Vol 106, No. 1- 2, Hal. 89-99.
[5]. Khumprapussorn, T., 2018, On 𝛼 -Prime and Weakly 𝛼 -Prime Submodules, European Journal of Pure and Applied Mathematics , Vol. 11, No. 3, Hal. 730-739.
[6]. Khumprapussorn, T., 2019, On 𝛽 -Prime Submodules, Journal of the Indonesian Mathematical Society , Vol. 25, No. 02, Hal. 128-138.
[7]. Khumprapussorn, T.,  Pianskool,  S.,  dan  Hall, M.,  2012, (𝑅, 𝑆) -Modules  and Their  Fully  and Jointly  Prime  Submodules, International  Mathematical  Forum ,  Vol.  7,  No.  33,  Hal.  1631- 1643.
[8]. Khumprapussorn, T., 2013, Left 𝑅 -Prime (𝑅, 𝑆) -Modules, International Mathematical Forum , Vol. 8, No. 13, Hal. 619-626.
[9]. Wijayanti,  I.E.,  2006, Coprime  Modules  and  Comodules ,  Dissertation,  University  of Dusseldorf, Germany.
[10]. Yassemi, S., 2001, The Dual Notion of Prime Submodules, Archivum Mathematicum , Vol. 37, No. 4, Hal. 273-278.
[11]. Yuwaningsih,  D.A.,  Rusmining,  dan  Puguh,  W.P.,  2021,  Beberapa  Sifat (𝑅, 𝑆) -Submodul Prima- 𝛼 Gabungan, Journal  of  Fundamental  Mathematics  and  Applications (JFMA),  Vol.  4, No. 2, Hal. 167-179.
[12]. Yuwaningsih,  D.A.,  Wijayanti,  I.E.,  dan  Prasetyo,  P.W.,  2019,  On  ( R,S )-Module Homomorphisms, J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1188, no. 1.