UNDERSTANDING ALGEBRA
(TELAAH KRITIS BUKU JENNIFER SUGGATE  DALAM MEMAHAMI ALJABAR UNTUK TINGKAT SEKOLAH DASAR)
Taqwa Nur Ibad
Institut Agama Islam Syarifuddin, Indonesia e-mail: ibadyangsukses@gmail.com

## Muhammad Ardy Zaini
Institut Agama Islam Negeri Jember, Indonesia e-mail: iniazardy@gmail.com

## Abstract:
Today, many students are not familiar with algebra. They consider algebra to be a scary lesson. Not even a few who really hate this lesson. Starting from there, algebra material always tries to be presented in a more pleasing form. Appearances that feel new are indeed worth showing to increase the love of algebra. The concept of algebra, consciously  or  unconsciously,  has  actually  been  taught  from  an  early  age  in kindergarten,  Play  Group.  For  example  when  studying  while  playing  /  singing accompanied by a knock on a table, chair or other object. By paying attention to the sequence of repeating beats, the teacher can simply explain the concept of algebra to the child according to his level of reasoning. One difficulty in solving problems is to  explain  the  answers  we  try  to  find from  the unknown.  In  algebra  if  they  are numbers, they are often explained by letters such as 'a' or 'x'. This usually leads to misunderstanding.  In  arithmetic,  letters  are  used  as  abbreviations  for measurements, for example if the length of the garden is known to be 12 m. which means 12 meters. sometimes 3a + 4b which means '3 apples and 4 bananas'. In the context of algebra, 3a + 4b means 3 times a plus 4 times b, that is, a and b do not represent apples and bananas, they stand alone for unknown numbers. If ‘a’ is 5 and ‘b’ is 2 then 3a + 4b will be 3x5 + 4x2 = 15 + 8 = 23 .
Keywords: Understanding, Algebra, Elementary School

## Pendahuluan
Dalam  kehidupan  sehari-hari,  kita  sering  menjumpai  berbagai problem  atau  permasalahan  yang  berkaitan  dengan  aljabar.  Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang sendiri. Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya,  aljabar  selalu  diterapkan  untuk  mencapai  suatu  keputusan  dan hasil  yang  baik.  Sehingga  tak  heran  bila  kita  akan  mendapatkan  materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas.
Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan.  Bahkan  tak  sedikit  pula  yang  benar-benar  membenci pelajaran ini. Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam  bentuk  yang  lebih  menyenangkan.  Penampilan-penampilan  yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar. Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang  didapat  dari  perahan  sapi  adalah  sebanyak  9  liter,  berapakah  sapi yang dimiliki peternakan itu?
Segelintir  pertanyaan  di  atas  hanyalah  secuil  dari  banyaknya permasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar.
Beragam  hal  dalam  berbagai  aspek  kehidupan  bisa  dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh  juga  bisa  diterapkan  dalam  pelajaran  Matematika  satu  per  satu. Konsep  aljabar,  disadari  atau  tanpa  disadari  sebenarnya  telah  diajarkan sejak usia dini di TK, Play Group atau PAUD. Misalnya saat belajar sambil bermain/bernyanyi dengan diiringi ketukan di meja, kursi atau benda lain. Dengan  memperhatikan  urutan  perulangan  ketukan  maka  guru  dapat
menjelaskan konsep aljabar secara sederhana pada anak sesuai tingkat daya nalarnya.  Sedang  konsep  aljabar  untuk  anak  seusia  SD  kelas  V  atau  VI dapat pula diberikan contoh ilustrasi di kelas Matematika sebagai berikut :
”Bayangkan sebuah angka antara 1 sampai dengan 10,” perintah ibu guru”Sudah!” j awab anak-anak setelah beberapa detik. Angka itu adalah sebagai kakak. Sekarang tentukan adiknya.””Apa itu adiknya?””Adiknya
ya yang lebih kecil dari yang tadi!”
”Maksud  loe…?””Ha..ha…ha…”  Tertawa  riang  mereka:  antara  ibu  guru dan  anak-anak.  Permainan  berhenti  sejenak.  Ibu  guru  memperkenalkan konsep adik dan kakak.”Jika kamu memilih angka 5 sebagai kakak maka adiknya adalah 4. Karena 5 – 1 = 4.Mengerti, Anak- anak?””Mengerti, Bu….! He…he…he…”  ”Kita  ulangi  permainannya. Bayangkan  sebuah  angka antara 1 sampai 10.””Sudah!” jawab anak -anak sambil berbisik-bisik antara mereka.”Angka itu adalah kakak. Sekarang bayangkan adiknya!” ”Sudah!” ”Kakaknya kalikan dengan kakaknya!” ”Sudah!” ”Adiknya kalikan dengan adiknya!” ”Sudah!” ”Kurangkan hasil kakak kali kakak dengan adik kali adik!”…. …. Agak lama anak -anak berpikir. Tampak mereka berbisik-bisik. Mungkin mereka agak ragu-ragu dengan jawaban mereka. Mereka sambil buat  coretan-coretan  di  tangan.  Maklum  di  antara  anak-anak  itu,  yang paling tua baru berusia 7 tahun.”Hmm…lima belas!” kata salah satu dari mereka.”Berarti…  kakaknya  adalah  8  dan  adiknya  adalah  7,”  tebak ibunya.”Kok tahu sih…?!” bisik anak -anak Dari sinilah anak akan paham konsep aljabar dengan sendirinya, tentunya dengan bimbingan ibu guru.

## Konsep Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al - jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan  sebagai  generalisasi  dan  perpanjangan  aritmatika.  Aljabar  juga merupakan  nama  sebuah  struktur  aljabar  abstrak,  yaitu  aljabar  dalam
sebuah  bidang.  Aljabar  adalah  cabang  matematika  yang  mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan  alat  bantu  memecahkan  masalah.  Contohnya,  x  mewakili  bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. 1
Pada saat bertanya terhadap siswa mengenai apa itu aljabar, mereka mengatakan’aritmatika  dengan  huruf. kebenarannya  bahwa  aturan  dari memanipulasi  di  aljabar  dan  aritmatika  pada  dasarnya  sama  dan  huruf- hurufnya  digunakan  sebagai  nomor  yang  baik,kata’aljabar’berasal  dari abad  ke  9  buku  dari  Al-Khwarizmi(seorang  matematikawan  arab)yang dipanggil  Hisab  al  jabar  w’al  m uqabala(penghitungan  hasil  dari penyimpanan  dan  reduksi).yaitu  penggabungan  dari  banyak  tradisi matematika termasuk Babylonia,India dan greek,dan termasuk solusi dari masalah peninggalan dan property  daerah(diantara yang lain).pengamat matematika  memecahkan  masalah  prektikumnya  dengan  mengakarkan aljabar. Faktanya  itu dapat  dipikirkan sebagai pendapat yang  tinngi dan efisiensi dari pemecahan masalah(dengan praktik dan teori). 2
Salah  satu  kesulitan  memecahkan  masalah  adalah  menjelaskan jawaban yang mencoba kita temukan dari yang tidak diketahui. Di aljabar jika  itu  adalah  nomor-nomor,itu  sering  di  dijelaskan  oleh  huruf  seperti ‘a’atau’x’.ini biasanya menimbulkan salah pengertian. Di aritmatika, huruf digunakan sebagai singkatan dari pengukuran, contohnya jika panjang dari kebun diketahui 12 m. yang  berarti 12 meter.kadang-kadang 3a +4b yang berarti ‘3 apel dan 4 pisang’. Dalam konteks aljabar, 3a+4b berarti 3 dikali a
1 http://matematikaoye.wordpress.com/sejarah-aljabar/. Diakses pada tanggal 10 September 2019
2 Jennifer suggate, Mathematical Knowledge for Primary Teachers , 4 edition. London And New York:Routledge. 2010, Hlm. 152-164
ditambah 4 dikali b, yaitu a dan b tidak mewakili apel dan pisang, mereka berdiri sendiri untuk nomor yang tidak diketahui. Jika ‘ a ’ adalah 5 dan ‘ b ’ adalah 2 maka 3a+4b akan menjadi 3x5 + 4x2 = 15+8=23
Di SD/ MI lebih baik untuk memperkenalkan tanda-tanda lain untuk diketahui  pada  tingkat  awal.  Dalam  beberapa  buku,  kotak  digunakan untuk mewakili nomor tak dikenal, misalnya 3 + =7, dan anak-anak diharapkan  untuk  menempatkan  nomor  yang  sesuai  di  dalam  kotak. penggunaan  kotak  untuk  mewakili  angka  yangtidak  diketahui  Dalam pernyataan 3 +      = 7 atau 3 + a = 7, kotak atau ‘ a ’ singkatan dari satu nomor, dalam hal ini 4. Namun, dalam pernyataan y = 3 + x , x dapat mengambil banyak nilai dan tergantung pada nilai yang dibutuhkan y dapat dihitung.
Dalam hal ini x dan y disebut variabel.
Banyak  anak  menganggap  tanda  =  sebagai  perintah  untuk 'menemukan  jawabannya',  yaitu  untuk  melakukan  sesuatu.  Perhatikan pernyataan aljabar (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 . Arti tanda ‘=’ harus dibaca di sini sebagai 'sama' atau 'setara dengan' atau 'sama dengan'.
Kesulitan  yang  lain  adalah  konvensi  yang xy berarti x  ×  y. anak mungkin tergoda untuk menafsirkan ini dalam notasi nilai tempat., jadi 2x =  2  ×  x dan 2xy  =  2  ×  x  ×  y .Untuk  menghindari  kebingungan,  mungkin langkah  terbaik  untuk  menyertakan  tanda-tanda  perkalian  dalam  setiap pekerjaan yang dilakukan di sekolah dasar. Dikatakan matematika adalah ilmu yang mempelajari pola. Aljabar adalah cara yang sangat ampuh untuk mengungkapkan pola singkat. Hal ini berkaitan dengan generalisasi dan ekuivalensi  Misalnya,  ketika  menemukankeliling  persegi  panjang  siswa dapat memulainya dengan menambahkan panjang semua sisi, misal 2 + 7 + 2 + 7 = 18 cm.
2 cm 2 cm
7 cm
Siswa kemudian dapat menemukan jarak yang lebih efisien dengan baik (a) menambahkan panjang dan lebarnya dan menggandakan jawaban atau  (b)  dua  kali  lipat  panjang  dan  luas  dan  kemudian  menambahkan. Untuk menunjukkan bahwa ini akan selalu bekerja, maka dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar dan kesetaraan yang ditunjukkan.
(a) Keliling = ( l +p ) x 2 = l x 2 + p x 2 = 2l + 2p (b) Keliling = l x 2 + p x 2 = 2l + 2p Juga Keliling = l + p + l + p = l + l + p + p = 2l + 2p
Pencarian untuk pola ini dan ekuivalensi cocok untuk siswa tingkat dasar.

## Lakukan dan Lepaskan
Pola  ini  dapat  dimulai  dalam  tahap  1  Misalnya,  anak-anak  dapat diminta  untuk  memprediksi  nomor  berikutnya  setelah  1,  3,  5,  7,  dan kemudian  menjelaskan bagaimana  mereka  “melakukan”  hal  yang  sama setiap kali, dalam hal ini 'tambahkan 2'. Lebih sulit lagi dengan mencoba pola lain, misalnya 11, 15, 19 ... Hal ini juga berguna untuk meminta anak- anak  agar  'mengulang'  pola  tersebut.  Sebagai  contoh,  setelah  melakukan aturan 'tambahkan 4' untuk contoh kedua, apa yang akan menjadi nomor sebelum 15? dan jumlah sebelum 11? Ini termasuk aturan ‘melepas 4’.
Tahap  2.  kegiatan  lain  mungkin  permainan  'Tebak  aturan  saya'. Dalam hal ini guru, atau satu kelompok siswa, memutuskan 'aturan' dan yang  lain  menemukannya  dengan  meminta  pengaruhnya  pada  nomor yang  berbeda.  Contoh,  aturannya  adalah  'kalikan  dengan  2  kemudian
tambahkan 4',maka jika angka 3 yang dipilih, jawaban setelah menerapkan aturan  tersebut  akan menjadi  3  ×  2  +  4  =  10  Hal  ini  lebih  mudah  untuk menemukan  relasi  jika  input  dan  hasilnya  dimasukkan  ke  dalam tabel,seperti salah satu di bawah ini.
Angka 3 1 0 20 12 0.5 -1 Hasil 10 6 4 44 28 5 2
Notasi aljabar dapat digunakan untuk memperjelas posisi. Pertama, simbol untuk berdiri dalam setiap nomor (input) harus disepakati terlebih dahulu,  misalnya  meng gunakan  ‘ p ’.  Kemudian  aturan  pertama  dapat ditulis sebagai berikut:
Pengkodean angka Dikali 2 Kemudian ditambah 4 P p x 2 = 2p 2p + 4 Dalam hal ini ‘ p ’ singkatan nomor apapun dan p x 2 = 2p .Dengan cara yang sama aturan kedua dapat ditulis:
Pengkodean angka Ditambah 2 Kemudian  dikali 4 P p +2 (p+2)x2=2(p+2)
P adalah kode angka dan (p + 2) harus dimasukkan ke dalam tanda kurung, sehingga hal itu dilakukan pertama. Sebagai perkalian komutatif,
(p+2)x2=2(p+2) .
Pertanyaannya  adalah  'apakah  dua  aturan  tersebut  sama?'Sekarang dapat  ditulis  sebagai berikut  'Apakah  2p+4  =  2(p+2)?  'Aturan  aritmatika dan aljabar sekarang dapat diterapkan pada pernyataan simbolis sebagai berikut
2(p+2)   = 2 x p + 2 x 2 (perkalian distributif atas tambahan)

## = 2p + 4
Ini berarti bahwa apa pun angka yang diletakkan pada huruf p, 2(p+2) akan  sama  hasilnya  dengan 2p+4 .    Jadi  dengan  aljabar,  ini  akan membuktikan  kesetaraan  dua  aturan.  Ini  akan  menjadi  tidak  cocok  dan tidak  perlu  untuk  melakukan  hal  ini  pada  tingkat  dasar,  tapi  bisa menunjukkan bahwa mereka memberikan hasil yang sama untuk mencoba semua angka-angka yang ada. Hal ini juga dapat menarik untuk membahas bagaimana  aturan  ini  bisa  'dikembalikan',  yaitu  bagaimana  untuk mendapatkan dari jawaban atas input. Dalam contoh di atas, bagaimana bisa 'kalikan dengan 2 dan tambahkan 4' dikembalikan? apa aturan akan mengambil  10-3,  6-1  dan  seterusnya?  Upaya  pertama  mungkin  'bagi dengan 2 dan dikurangi 4,' tapi ini tidak sesuai. Urutan operasi juga harus dibalik, sehingga.'dikembalikan' atau aturan terbalik adalah 'mengurangi 4 kemudian dibagi dengan 2'.
Permainan  lain  yang  menyediakan  praktek  yang  baik  dalam aritmatika  mental dan pengantar aljabar adalah 'Pikirkan  angka'.  Hal ini dapat  diperkenalkan  sebagai  'sihir'  trik  atau  teka-teki.  Misalnya,  dengan petunjuk:
Pikirkan angka, ditambah 1, dikali 2, dibagi 2, kemudian dikurangi angka yang kamu pikirkan pertama tadi dan hasilnya adalah 1.
Apakah  pernyataan  ini  selalu  benar?  Dan  jika  demikian,  mengapa? Bahkan dalam bentuk tertulis mungkin untuk melihat apa yang terjadi. Di antara  'kalikan  dengan  2,  kemudian  bagi  dengan  2'  saling  meniadakan (dibagi  adalah  kebalikan  dari  perkalian).  Jadi  petunjuk  dapat  digunakan pada pikirkan angka, ditambah 1, kemudian dikurangi dengan angka yang kamu  pikirkan  tadi  dan  hasilnya  harus  1.  Ini  juga  dapat  ditunjukkan dengan simbol aljabar. Pilih huruf (atau simbol) untuk memikirkan angka, katakanlah‘ n ’ , kemudian tuliskan apa yang terjadi.
Pikirkan angka  Ditambah 1  Dikali 2 Dibagi 2 Dikurangi angka yang kamu pikirkan N n + 1 2(n +1) 2(𝑛 + 1) 2 2(𝑛 + 1) 2 − 𝑛
Jika  angka  pertama  adalah n ,  setelah  melakukan  semua  instruksi hasilnya  akan 2(𝑛+1) 2 − 𝑛 .  Sekarang  kita  sederhanakan  ini  menggunakan aturan aljabar. Hal ini dapat digunakan dengan dua cara yang setara pada contoh dibawah ini.
2(𝑛 + 1) 2 − 𝑛 2(𝑛 + 1) 2 − 𝑛 Atas  dan  bawah  dibagi dari angka 2 Dikali kurung luar, tulis n seperti 2𝑛 2
= 2(𝑛 + 1) 2 − 𝑛 = 2𝑛 + 2 − 2𝑛 2
Ini sering disebut pembatalan.
= n + 1 – n = 1 = 2 2 = 1
Untuk melakukannya hal ini penting dalam menyadari konvensi yang diikuti secara tertulis dengan aljabar yakni memanipulasi aturan dasar. Ini cocok dilakukan bersama anak-anak, tetapi pembahasan alasan mengapa ia bekerja terbalik sifat perkalian dengan pembagian, dan sifat penjumlahan dengan pengurangan.
1. Tuliskan kemungkinan petunjuk aljabar untuk aturan ini:
a. tambahkan 4, kalikan 3
b. tambahkan 10, kurangi 5
c. kalikan 2, tambahkan 6, kalikan 5, kurangi 15
d. kalikan 4, tambahkan 8, bagikan 2, kurangi 1
2. Coba lacak apa yang terjadi pada ini. Apakah ini selalu bekerja?
a. kalikan 3, tambahkan 12, bagi 3, dikurangi angka pertama yang kamu pikirkan
b. kalikan  2,  tambahkan  4,  kalikan  3,  tambakan  12,  bagi  6, dikurangi  angka  pertama  yang  kamu  pikirkan,  bagi  4,
jawabannya adalah 1
c. kalikan 2, tambahkan 4, kalikan 5, bagi 10, dikurangi angka pertama yang kamu pikirkan, jawabannya adalah 2

## Urutan
Menyalin,  melanjutkan dan menciptakan pola sekarang  merupakan bagian dari kurikulum matematika dari awal tahap 1 dan dapat berbuah sepanjang sekolah dasar. Contoh-contoh sederhana yang diberikan di awal bagian  sebelumnya  (melakukan  dan  melepas).  Sebagai  contoh lain,pertimbangkan 2, 4, 6 ... Ada dua cara di mana aturan dapat diberikan, baik yang dapat dinyatakan dalam huruf atau simbol. Urutan di atas dapat ditulis dalam tabel sebagai berikut.
Angka 1 2 3 4 5 6 Nilai 2 4 6 8 10 12
Aturan untuk urutan di atas mungkin diberikan sebagai 'tambahkan 2'. Ini berarti bahwa untuk menemukan nilai istilah, 2 harus ditambahkan ke nilai periode sebelumnya.  Hal ini disebut rumus rekursif, untuk nilai suatu  istilah  yang  diberikan  dalam  hal  yang  sebelumnya.  Hal  ini  dapat ditulis sebagai 'nilai istilah' = 'nilai periode sebelumnya' + 2, atau nilai n adalah  nilai  (n – 1)  ditambah  2.  Hal  ini  akan  menemukan  nilai  yang berurutan  Banyak  kasus  yang  mungkin  dan  sangat  berguna  untuk
memberikan rumus umum yang menghubungkan angka yang langsung ke nilainya.  Dalam  kasus  di  atas,  jika  jumlah  ini  dikalikan  dengan  2 memberikan nilai, misalnya 1 × 2 = 2; 2 × 2 = 4 dan seterusnya. ini dapat ditulis sebagai berikut:
Nilai angka = angka x 2
= 2 x n
= 2 n
Nilai n adalah angka
Menggunakan rumus umum ini cukup sederhana dengan angka 100 = 2 × 100 = 200.
Contoh kongkritnya sebagai berikut:
Misalkan beberapa model yang terbuat dari batu bata (kata Multilink) seperti yang ditunjukkan:
Buat  model  selanjutnya.  Berapa  banyak  kotak  yang  digunakan  pada masing-masing  model?jika  kamu  membuat  model  keenam,  berapa  banyak kotak yang kamu butuhkan? Bagaimana model kesepuluh atau keseratus?

## Ada beberapa tahapan dalam jenis investigasi dan tidak semua anak akan mengelola untuk menyelesaikan semua.
a. Model  yang  diberikan  harus  dipelajari  dan  melihat  hubungan antara satu model dan selanjutnya. Dalam kasus di atas mungkin dinyatakan  sebagai  'Tambahkan  satu  kotak  masing-masing lengan. Biasanya ada lebih dari satu cara untuk melihat apa yang terjadi
b. Model berikutnya(kelima)
c. Jumlah  kotak  di  masing-masing  model  dihitung  dan  dicatat.
Tabel di bawah ini adalah cara yang rapi untuk melakukan hal ini: Angka 1 2 3 4 5 6 Nilai 1 4 7 10 d. Jumlah  kotak  dalam  model  keenam  dapat  ditemukan  baik dengan benar-benar membuat model atau dengan memperluas pola dalam jumlah di bawah garis atau keduanya
e. Tantangan untuk menemukan jumlah kotak dalam model ke 10 dimaksudkan untuk mendorong anak-anak agar berkonsentrasi pada apa yang terjadi antara satu modeldan berikutnya. misal 'Tambahkan  3'.  Anak-anak  mungkin  dapat  memperpanjang tabel  untuk  model  10  dan  menemukan  jumlah  kotak  dengan menambahkan 3 ke angka sebelumnya nomor di baris bawah. Angka 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nilai 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 f. Tantangan akhir untuk menemukan angka kotak pada model ke
100  bisa  ditemukan  dengan  memperluas  tabel  ke  100.  Relasi dapat digambarkan sebagai 'kalikan angka dengan 3 kemudian hasilnya  dikurangi  2'.  Sekali  lagi  ada  beberapa  cara  untuk melihat hubungan ini dan 'menebak' harus diuji terhadap semua hasil yang diperoleh sejauh ini.
Kemudian nomor dalam model 10 adalah 10 × 3 - 2 = 30-2 = 28 dan angka dalam model 100 adalah 100 × 3 - 2 = 300-2 = 298
Banyak  anak  akan  mencapai  tahap  terakhir,  namun  sebagian  besar akan mampu membuat tabel dan menemukan nilai di model keenam dan kesepuluh.
Karena  belajar  secara  berurutan  merupakan  bagian  penting  dari matematika,  beberapa  khusus  notasi  dan  konvensi  telah  dikembangkan. Notasi ini tidak cocok untuk di sekolah tetapi mungkin ditemui dalam teks- teks  matematika.  Sebuah  urutan  tertentu  dapat  mengindentifikasi  huruf, misalnya ’u’. Setiap  jangka  waktu  urutan  yang  teridentifikasi  oleh  huruf kecil nomor ditulis setelah ‘u’ dan dalam posisi subscript (tulisan dibawah garis). Jadi u 1 berarti ‘nilai pertama’, u 2 berarti ‘nilai kedua’. Menggunakan notasi ini kita dapat mengatakan, untuk 2 urutan di atas,
u 1 = 1 u 2 = 4 u 3 = 7 u 4 = 10
Rumus rekursif untuk jumlah kotak yang dibutuhkan dalam model n adalah, dalam kata-kata 'tambahkan 3 ke nomor di model sebelumnya ’ atau dalam simbol u n = u n-1 + 3 . Ini menyatakan bahwa jumlah kotakpada model n adalah sama dengan jumlah kotak sebelumnya (n -1) model tambahkan 3.Hal  ini  agak  seperti  permainan  'Tebak  aturan  saya'.  Dalam  hal  ini mungkin 'jumlah model dikali 3 kemudian dikurangi 2 '. Dalam simbol ini menjadi u n =  3n – 2 ,  yaitu  jumlah  kotak  pada  model n adalah  3  kali n dikurangi 2.
Untuk  memberi  contoh  yang  lain  dengan  tipe  investigasi, pertimbangkan untuk membuat gambar bingkai persegi dari kubus seperti Multilink.
Yang  pertama  beberapa  model  ditunjukkan  di  bawah  ini.  Jumlah kotak di masing-masingmodel adalah digambar dalam tabel.
Model nomor 1 2 3 4 Banyak kotak 8 12  16
Rumus  rekursif  untuk  jumlah  kotak  dalam  model  tertentu tampaknya ‘ditambah 4 pada model nomor sebelumnya’ atau u n = u n-1 + 4 . Ini  memungkinkan  untuk  membuat  rumus  umum  dalam  beberapa  cara, yang  bisa  dihubungkan  dengan  cara  melihat  model.  Mengambil  model kedua sebagai contoh:
A B C
Cara pertama (A) adalah 4 x 3, yang kedua (B) adalah 4 x 2 + 4, dan yang ketiga (C) adalah 2 x 4 + 2 x 2.Semua ini memberikan hasil yang benar dari 12 kotak. Cara-cara yang berbeda untuk melihat rumus umum yang tertera di bawah ini untuk model 2, 3, 4 dan n . Model nomor A B C 2 4 x 3 4 x 2 + 4 2 x 4 + 2 x 2 3 4 x 4 4 x 3 + 4 2 x 5 + 2 x 3 4 4 x 5 4 x 4 + 4 2 x 6 + 2 x 4 N 4 x (n + 1) 4 x n + 4 2 x (n+2) + 2 x n Aturan  aljabar  dapat  digunakan  untuk  menunjukkan  bahwa ketiga ekspresi umum setara. A 4 x (n+1) = 4n + 4 (perkalian distributif atas tambahan)
B 4 x n + 4 = 4n +4 C 2 x (n+2) + 2 x n =  2n  +  4  +  2n  (perkalian  distributif  atas tambahan)
= 2n + 2n + 4 (samping adalah komutatif)
= 4n + 4
Tentu  saja  ada  urutan  serupa  di  mana  diberikan  nomor  dapat dikurangkan  dari  setiap  istilah,  misalnya,  10,  6,  2,  -2  ...  Urutan  nomor tertentu ditambahkan atau dikurangi dari setiap istilah disebut aritmatika urutan  atau  progresi.  Tapi  kadang-kadang  satu  istilah  secara  berurutan ditemukan  dengan  mengalikan  periode  sebelumnya  dengan  angka  yang diberikan. Ini disebut progresi geometris. untuk Misalnya, melihat urutan berikut:
Model nomor
1 2
3 4 5 Nilai 1 2 4 8 16
Aturan rekursif tampaknya 'kalikan dengan 2'. Jika syarat hingga 10 dihitung, itu akan dihargai bahwa nilai istilah meningkat dengan cepat. Ini semacam  investigasi  tidak  perlu  mulai  dengan  model  fisik.  Ini  dapat diterapkan untuk urutan angka, seperti yang dijelaskan di awal bagian ini.
Satu yang sangat menarik
urutan  mulai  1,  1,  2,  3,  5,  8,  13.  Hal  ini  disebut  urutan  Fibonacci  setelah orang yang pertama-tama diteliti dan angka di dalamnya dapat ditemukan di  berbagai  fenomena  alam.  Rumus  rekursif  menyatakan  bahwa  jumlah dalam  istilah  sama  dengan  jumlah  dari  angka-angka  dalam  dua  istilah sebelumnya atau simbol u n = u n-1 + u n-2 .
Lihatlah model diagram berikut:
Gambar  model  selanjutnya!  Buat  tabel  yang  menunjukkan  jumlah kotak  di  masing-masing  model!  Berapa  banyak  kotak  akan  dibutuhkan untuk 5, 12 dan model 80?
Lihatlah urutan nomor berikut: 3.5, 5, 6.5, 8.
Apakah  nomor  berikutnya?  Dapatkah  Anda  temukan  formula rekursif  (berikan  dalam  bentuk  huruf  atau  simbol)?  Bagaimana  rumus umumnya?
Lihat urutan angka ini: 9, 6, 3
Apa ada urutan angka berikutnya? Bagaimana dengan urutan angka keenam? Dapatkah Anda membuatrumus? Cari urutan angka ke-20!
Periksa urutan angka berikut ini: 16, 8, 4, 2
Apa ada urutan angka berikutnya? Beri saran rumus rekursif untuk menemukan urutan berikutnya!
Beberapa pertanyaan dari tes nasional
Anak membuat pola berbentuk L dengan tongkat:
Nomor bentuk 1 2 3 Jumlah tongkat 7 11 15
Anak berkata ‘aku menemukan jumlah tongkat dengan bentuk yang pertama  dikalikan  dengan  4,  kemudian ditambah  3’.Kerjakan  berapa jumlah tongkat untuk nomor bentuk ke-10! Anak menggunakan 59 batang untuk membuat bentuk L lain. Berapa nomor bentuk dari jumlah tongkat tersebut?  Tulis  bentuk  rumus  lain  untuk  di  luar  jumlah  tongkat  untuk setiap  bentuk  L.  Gunakan S untuk  jumlah  tongkat  dan N untuk  nomor berbentuk.
Berikut adalah urutan menara dibangun dari kubus:
Nomor menara 1 2 3
4 1
2 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4
Ini adalah rencana dari setiap menara.
Angka-angka  menunjukkan  berapa  banyak  kubus  dalam  setiap kolom vertikal. Berapa banyak kubus yang diperlukan untuk membangun 5 menara? Apakah jumlah menara dalam urutan ini yang  menggunakan 165 kubus?
1. Abdi  memulai  urutan  angka.  Dia  mulai  dengan  10.000  dan mengurangi  7  masing-masing  waktu.  Urutan  lima  angka pertama adalah: 10,000 9,993 9,986 9,979 9,972
Abdi  berkata  ‘jika  saya  melanjutkan  urutan  angka  saya, angka  negative  pertama  akan  menjadi  - 3’  apakah  abdi  be nar? Jelaskan yang and ketahui!
2. Isilah tabel yang kosong untuk menyelesaikan pola:
n + 6 7n + 6 4n + 3 7n + 3 N 4n

## Persamaan
Ada  kesulitan  nyata  dalam  menghubungkan  struktur  masalah dengan  operasi  matematika.  Masalah  yang  sama  muncul  dalam  aljabar karena masalah harus dirumuskan dengan benar dalam hal aljabar sebelum alat-alat  canggih  dari  manipulasi  aljabar  dapat  digunakan.  Perhatikan contoh berikut.
Dalam sebuah kafe harga masing-masing secangkir teh 50 dan biskuit 25. Berapa banyak biaya 2 cangkir teh dan 2 biskuit? Berapa banyak biaya 5 cangkir teh dan biskuit 4? Jika 6 orang semua minum secangkir teh dan tagihan sampai 400, berapa banyak biskuit yang mereka makan?
Berapa biaya ‘a’ cangkir teh dan ‘b’ biskuit itu?
Kadang-kadang dapat dibantu melalui tabel:
Banyaknya cangkir teh Harga  secangkir the Banyaknya biskuit Harga biscuit Total harga 2 2 x 50 100 2 2 x 25 50 100+50 150 5 5 x 50 250 4 4 x 24 100 250+100  350 A a x 50 b b x 25 = 50a = 25b 50a+25b
Dari  tabel  tersebut  jelas  bahwa  harga  2  cangkir  teh  dan  biskuit  2 adalah 150 sedangkanharga 5 cangkir teh dan 4 biskuit adalah 350. Harga teh ditemukan dengan mengalikan  jumlah  cangkir dengan 50. Demikian pula biaya biskuit diberikan dengan mengalikan nomor dengan 25. Penting bahwa  operasi  matematika  diakui  sebagai  perkalian,.Intinya  dari  tabel menunjukkan hargasecangkir teh ‘a’ dan biskuit ‘b’. Ini adalah 50a + 25b. Akhir  bagian  dari  pertanyaan  baik  dapat  diselesaikandengan  aritmatika atau dengan aljabar.
Dengan aritmetik
Harga 6 cangkir teh 6 x 50 = 300
Jumlah yang dibelanjakan untuk biskuit adalah 400-300 = 100
Jumlah biscuit = 100/25 = 4
Sebelum  memecahkan  persamaan  aljabar,  kita  perlu  menetapkan aturan manipulasi. Jika persamaan dianggap sebagai keseimbangan, kedua sisi  diperlakukan  dengan  cara  yang  sama.  Ini  berarti  jumlah  yang  sama dapat ditambahkan atau dikurangkan dari kedua belah pihak, atau kedua belah pihak dapat dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama.
Dengan aljabar
Huruf b = banyaknya biscuit
50 x 6 + 25b = 400
300 + 25b = 400
25b + 300 = 400 (di samping adalah komutatif)
Kurangi 300 dari sisi kiri
25b = 400 – 300
= 100
Dibagi 25 dari sisi kiri
Dan b = 100 /25
= 4
Masalah tentang harga makanan di kafe mungkin terjadi pada tahun 5 dan 6Hal ini penting, namun, untuk membahas secara eksplisit struktur masalah dan kaitannya dengan operasi matematika.
Jika rumus umum diberikan, seperti, total harga = 50a + 25b, maka biaya sejumlah cangkir teh dan biscuit dapat dihitung.
Contoh: Jika a = 10 dan b = 5 (10 cangkir teh dan 5 biskuit)
Total harga
= 50 x 10 + 25 x 5
= 500 + 125
= 625
Beberapa  kasus,  terutama  dengan  menggunakan  kalkulator, menantang anak-anak untuk memecahkan persamaan dengan percobaan dan  perbaikan.  Misalnya,  menemukan  nomor  yang  ketika  dikalikan dengan  sendirinya  sama  dengan  sepuluh.  Ini  benar-benar  memecahkan persamaan x 2 = 10. Metode iteratif membuat perkiraan, perhitungan hasil, kemudian  meningkatkan  perkiraan,  digunakan  secara  luas  saat  ini, terutama dalam program komputer, di mana perhitungan sangat cepat dan akan  berlanjut  sampai  tingkat  akurasi  yang  diinginkan  tercapai.  Ketika bekerja  pada  jenis  ini  investigasi  anak  harus  dibantu  untuk  menetapkan
temuan  mereka  secara  teratur,  untuk  Misalnya,  dengan  menggunakan tabel.
Persamaan  untuk
x x 2
3 9 Terlalu kecil 4 16 Terlalu besar 3.5 12.25 Terlalu besar 3.2 10.24 Masih terlalu besar 3.15 9.9225 Sedikit terlalu kecil 3.16 9.9856 Bahkan lebih baik 3.17 10.0489 Hanya lebih 3.165 10.017225 3.164 10.010896 3.163 10.004569 Sangat dekat 3.1625 10.00140625 3.1624 10.00077376 3.1623 10.00014129 Memang sangat dekat 3.1622 9.99950884
Ini  semacam  memberikan  tantangan  terhadap  anak-anak  untuk praktek  yang  baik  dalam  menangani  angka-angka  dan  membantu mengembangkan pemahaman mereka tentang desimal. Misalnya, seperti 3 2 (9) lebih dekat ke 10 dibandingkan 4 2 (16), mungkin yang telah menebak baik untuk mencoba 3.2 bukannya 3.5 dan lagi sebagai 3.16 adalah lebih dekat dari 3.17, kemudian 3.162 mungkin telah menebak berikutnya.

## 1. Harga menu dalam café sebagai berikut
Temukan total biaya yang harus dibayar:
a. 2 cangkir teh dan 2 keju sandwich
b. 2  cangkir  teh,  1  cangkir  kopi,  2  ham sandwich dan
1 keju sandwich
c. ‘a’ cangkir teh dan ‘b’ cangkir kopi
d. ‘x’ ham sandwich dan ‘y’ keju sandwich
e. ‘a’ cangkir the, ‘b’ cangkir kopi, ‘x’ ham sandwich dan ‘y’ keju sandwich
2. Cari sisi persegi yang luasnya 20 cm 2 yaitu x 2 = 20.
Beberapa pertanyaan dari tes nasional
3. Dalam persamaan ini N singkatan untuk angka:
5N – 2 = 3N + 12
Berapa nilai N?
4. Temukan nilai ‘x’ pada persamaan:
6x – 27 = 0

## Kesimpulan
Penting memang dalam mengenalkan aljabar terhadap siswa melalui pendekatan  kongkrit  yang  memungkinkan  siswa  untuk  membangun konsep  tersebut  dengan  sendirinya,  sehingga  nantinya  guru  dengan mudah mengajak anak dalam kerangka abstrak. Umumnya yang terjadi di sekolah  ataupun  di  madrasah  dalam  pembelajaran  matematika,  apalagi aljabar guru langsung mengenalkan teori atau konsep aljabar dalam tataran abstrak tanpa mengawalinya dengan pembelajaran yang kongkrit, padahal
Secangkir teh 60 Secangkir kopi 70 Ham sandwich  120 Keju sandwich 100
banyak manfaatnya apabila guru membangun kepercayaan terhadap anak untuk  berfikir  abstrak  melalui  pendekatan  kongkrit  dalam  pembelajaran ini.  Pembelajaran  dapat  menyenangkan,  disebabkan  anak  memecahkan problem  dalam  kehidupan  sehari-hari.Dengan  demikian  dapat disimpulkan bahwa pembelajaran aljabar dalam buku Jennifer suggate ini mengenalkan  pendekatan  kongkrit  dalam  membangun  abstrak  pada tingkat Sekolah Dasar.

## Daftar Pustaka
Jennifer  suggate,  2010. Mathematical  Knowledge  for  Primary  Teachers ,  4 edition. London And New York:Routledge
David Eugene Smith dan Karpinski, 1911, The Hindu-Arabic Numerals, Boston and London: Ginn and Co.Publishers.