Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 2, Desember 2020, 173-180 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i2.6642
Simulasi Jumlah Klaim Agregasi Berdistribusi Poisson Dengan Besar Klaim Berdistribusi Gamma dan Rayleigh
Rudi Ruswandi 1 , Aang Nuryaman 1 * , Subian Saidi 1
1 Universitas Lampung; Jl. Soemantri Brojonegoro Bandar Lampung 1 Jurusan Matematika FMIPA Unila Lampung Indonesia *e-mail korespondensi: aang.nuryaman@fmipa.unila.ac.id
Diajukan: 23 Februari 2020,  Diperbaiki: 27 Mei 2020, Diterima:16 Desember 2020

## Abstrak
Klaim  adalah  pengalihan  risiko  dari  tertanggung  kepada  penanggung.  Bila  klaim  terjadi  secara individual  maka  dinamakan  klaim  individu.  Adapun  koleksi  beberapa  klaim  individu  disebut  klaim agregasi dalam satu periode asuransi kendaraan. Klaim agregasi terdiri dari pola jumlah (banyaknya) dan besar  (nilai  nominal)  klaim  individu.  Dengan  demikian  model  klaim  agregasi  dibentuk  dari  setiap distribusi jumlah  klaim dan besar klaim. Distribusi klaim didasarkan pada fungsi kepadatan peluang dan fungsi  kepadatan  kumulatif.  Metode  konvolusi  dapat  digunakan  untuk  mendapatkan  model  klaim agregasi,  yaitu  dengan  menggabungkan  distribusi  jumlah  klaim  dan  besar  klaim  diamana  nilai  yang harapan  yang  diperoleh  sebagai  prediktor  nilai  premi  murni.  Dalam  makalah  ini,  pemodelan  klaim agregasi  dilakukan  dengan  asumsi  jumlah  klaim  dan  besar  klaim  secara  berurutan  berdistribusi  Poisson dan  berdistribusi  Gamma.  Sebagai  perbandingan,  dibandingkan  dengan  besar  klaim  yang  berdistribusi Rayleigh.  Dengan  menggunakan  indikator  VaR  (value  at  risk)  dan  MSE  (Mean  Square  Error),  hasil analisis menunjukkan bahwa distribusi Rayleigh lebih baik digunakan untuk distribusi data yang memiliki nilai ekstrim.
Kata Kunci : Distribusi Gamma, Distribusi Rayleigh, Klaim Agregasi, Premi Murni, Risiko Maksimum

## Abstract
A  claim  is  a  transfer  of  risk  from  the  insured  to  the  guarantor.  If  claims  occur  individually  it’s called  individual  claims.  As  for  collections  of  individual  claims  called  aggregation  claims  in  a  single period  of  vehicle  insurance.  The  aggregation  claims  consist  of  a  pattern  of  the  number  and  amount (nominal value) of individual claims. Thus the aggregation claims model is formed from each distribution of  the  number  and  amount  of  claims.  The  distribution  of  claims  is  based  on  the  probability  density function  and  the  cumulative  density  function.  Convolution  method  can  be  used  to  obtain  a  claim aggregation model, which is by combining the distribution of the number of claims and the distribution of the amount of claims so that the expected value can be obtained as predictor of the pure premium value. In this paper, aggregation claim modeling  be carried out with the number of claims distributed Poisson and  the  amount  of  claims  distributed  Gamma.  As  comparison,  we  compare  it  with  claim  amount distributed Rayleigh. By using VaR (value at risk) and MSE (Mean Square Error) indicators, the results of  the  analysis  show  that  the  Rayleigh  distribution  is  better  used  for  distributing  data  that  has  extreme values.
Keywords : Claims of Aggregation, Gamma Distribution, Rayleigh, Maximum Risk, Pure Premium
174

## 1 Pendahuluan
Asuransi  adalah suatu  pengalihan risiko  dari  peserta asuransi  kepada perusahaan asuransi sebagai  penanggung  di  bawah  suatu  suatu  kesepakatan.  Dalam  kesepakatan  atau  perjanjian  ini peserta  asuransi  sebagai  tertanggung  diwajibkan  membayar  sejumlah  uang  (premi)  sebagai pengganti  risiko  kerugian.  Kemampuan  mengantisipasi  risiko  pada  periode  pertanggungan berikut  karakternya  merupakan  suatu  keharusan  bagi  perusahaan  asuransi.  Tujuannya  adalah untuk  memperkirakan  kemungkian  kerugian  dimasa  depan.  Risiko  merupakan  ketidakpastian suatu  kejadian  yang  dapat  mengakibatkan  kerugian  secara  ekonomi  dan  dapat  diistilahkan dengan  klaim.  Pada  asuransi  kendaraan  bermotor,  perusahaan  asuransi  akan  memberikan manfaat  (uang  pertanggungan)  kepada  nasabah  asuransi  ketika  terjadi  klaim,  sebagai konsekuensi  manakala  kendaraan  bermotor  yang  diasuransikan  mengalami  kecelakaan.  Klaim tersebut  dinamakan  klaim  individu    ketika  kejadian  risiko  secara  individual.  Adapun  gabungan beberapa klaim individu dinamakan klaim agregasi [1].
Klaim  agregasi  dan  distribusi  peluang  klaim  dapat  dibentuk  dari  pola  jumlah  dan  besar klaim. Distibusi peluang diskrit banyak digunakan untuk memodelkan jumlah klaim, salah satu contohnya  adalah  distribusi  Poisson.  Sebaliknya,  distribusi  peluang  kontinu  banyak  digunakan untuk  untuk  memodelkan  besar  klaim.  Distribusi  Gamma  dan  Rayleigh  merupakan  salah  satu contohnya  [1].  Adapun  dalam  memodelkan  klaim  agregasi  dapat  menggunakan  metode konvolusi.  Dalam  metode  ini,  distribusi  jumlah  klaim  dikombinasikan  dengan  distribusi  besar klaim untuk mendapatkan nilai harapan sebagai prediksi nilai premi murni.
Beberapa  peneliti  sebelumnya  telah  mengkaji  beberapa  aspek  yang  terkait  dengan permasalahan asuransi tersebut khususnya penentuan  premi. Misalnya Kartikasari  [2]  mengkaji bagaimana  menentukan  premi  menggunakan  model  jumlah  acak  dengan  mengkombinasikan distribusi  frekuensi  klaim  dan  distribusi  severitas  klaim.  Kemudian  Pramesti  [3]  membahas penentuan  klaim  agregasi  untuk  banyaknya  klaim  berditribusi  Poisson  dan  besar  klaim berdistribusi Rayleigh secara analitik. Selanjutnya di dalam [4], Waha dkk mengkaji penentuan premi  murni  dari  data  klaim  asuransi  mobil  dimana  banyaknya  klaim  berdistribusi  binomial negatif dan data besarnya klaim berdistribusi log-logistik.
Pada  artikel  ini  dikaji  perbandingan  besar  klaim  agregasi  berdistribusi  Gamma  dan Rayleigh dengan jumlah klaim yang berdistribusi Poisson. Sebagai ilustrasi disimulasikan harga preminya berdasarkan rata-rata dan ragamnya.

## 2 Metode Penelitian
Pada subbab ini akan dipaparkan beberapa notasi, definisi dan konsep terkait  istilah yang digunakan pada artikel ini. Penjelasan lebih jauh dapat dilihat pada [1].

## 2.1 Prinsip Premi Murni
Salah  satu  kewajiban  peserta  asuransi  adalah  membayarkan  sejumlah  dana  kepada perusahaan asuransi  yang disebut  dengan premi asuransi. Secara  prinsip,  premi  asuransi  adalah nilai  manfaat  ( benefit )  yang  ingin  diperoleh  peserta  asuransi  pada  jangka  waktu  yang  telah disepakati  sebelumnya.  Premi  murni  dalam  asuransi  umum  merupakan  premi  yang  dibayarkan sebelum penambahan faktor loading yang dihitung berdasarkan nilai ekspektasi risiko [5]. 2.2  Konvolusi
Terkait model risiko individu, perusahaan asuransi membuat model klaim sebagai jumlah klaim  dari  sejumlah  individu  penanggung  dimana  klaim  individu  diasumsikan  saling  bebas. Misalkan  diketahui  peubah  acak 𝑋 dan 𝑌 .  Misalkan  pula 𝑆 = 𝑋 + 𝑌 .  Ketika 𝑋 , 𝑌 diskrit  dan non-negatif, fungsi distribusi kumulatifnya, disingkat fdk, diberikan oleh
𝐹 𝑠 (𝑆)   = 𝑃𝑟(𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑠) = ∑ 𝑃𝑟(𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑠|𝑌 = 𝑦)
𝑌≤𝑆
(1)
Karena 𝑋 dan 𝑌 saling  bebas,  maka 𝐹 𝑠 (𝑆)   = ∑ 𝑃 𝑥 (𝑠 − 𝑦)𝑝 𝑦 (𝑦) 𝑌≤𝑆 .  Dengan  demikian fungsi kepekatan peluang, disingkat fkp yang berkaitan dengan fungsi distribusi adalah
𝑓 𝑠 (𝑆)   = 𝑑 𝑑𝑠 ∑ 𝑃 𝑥 (𝑠 − 𝑦)𝑓 𝑦 (𝑦) = ∑ 𝑑 𝑑𝑠 𝑃 𝑥 (𝑠 − 𝑦)𝑓 𝑦 (𝑦) = ∑ 𝑝 𝑥 (𝑠 − 𝑦)𝑝 𝑦 (𝑦) 𝑌≤𝑆 (2)
Persamaan (2) di atas disebut konvolusi dua peubah acak diskrit.
Kemudian jika 𝑋 , 𝑌 adalah peubah acak kontinu serta non-negatif maka fdk dan fkp dari 𝑆 , analog dengan peubah acak diskrit, diberikan oleh
𝐹 𝑠 (𝑆)   = ∫ 𝑃𝑟(𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑆|𝑌 = 𝑦) 𝑆 0 =   ∫ 𝐹 𝑥 (𝑠 −  𝑦)𝑓 𝑦 (𝑦) 𝑑𝑦 𝑆 0 (3)
𝑓 𝑠 (𝑆) =   ∫ 𝑓 𝑥 (𝑠 − 𝑦)𝑓 𝑦 (𝑦)
𝑆 0 𝑑𝑦 (4)

## 2.3 Klaim Agregasi
Pada  model  risiko  individu  atau klaim individu  jika unit  individu 𝑘𝑒 − 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑁 dipandang sebagai unit besar klaim individu 𝑘𝑒 − 𝑖 dan dinotasikan dengan 𝑋 𝑖 maka 𝑋 =   {𝑋 𝑖 } 𝑖=1,2,…,𝑁
dimana peubah acak 𝑋 𝑖 berdistribusi kontinu, identik, dan saling bebas.
Selanjutnya  model  klaim  agregasi  dikontruksi  berdasarkan  asumsi  klaim  agregasi mengikuti suatu distribusi campuran dengan klaim agregasi berupa jumlah dari 𝑁 klaim individu yaitu:
𝑆 =   𝑋 1 +   𝑋 2 + ⋯ +   𝑋 𝑁 =   ∑ 𝑋 𝑖 𝑁
𝑖=1
Dengan  peubah  acak 𝑁 dan 𝑋 1 , 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑁 berturut-turut  merupakan  frekuensi  klaim  dan besar klaim individu yang berdistribusi diskrit, identik dan saling bebas.
Fungsi distribusi kumulatif dari klaim agregasi:
𝐹 𝑠 (𝑥) = 𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑃({𝑆 = 𝑥}   ∩   {𝑁 = 𝑛 𝑖 }) 𝑥 𝑖=1
Berdasarkan hukum peluang total, maka
𝐹 𝑠 (𝑥) = ∑ 𝑃({𝑆 = 𝑥}|𝑁 = 𝑛 𝑖 ) 𝑝(𝑁 = 𝑛 𝑖 )
𝑥 𝑖=1
Karena 𝑋 1 , 𝑋 2 , … ,  𝑋 𝑁 saling bebas maka berlaku
𝑃({𝑆 = 𝑥}|𝑁 =   𝑛 𝑖 ) = 𝑃(𝑆 = 𝑥)
dengan demikian untuk suatu n klaim berlaku
𝐹 𝑠 (𝑥) = ∑ 𝑃(𝑆 = 𝑥) 𝑝(𝑁 = 𝑛) 𝑥 𝑛=0
Dalam  istilah  konvolusi  berlaku 𝑃(𝑋 1 +   𝑋 2 + ⋯ +   𝑋 𝑁 = 𝑥) = 𝑃 ∗ 𝑃 ∗ …  𝑃(𝑥) = 𝑃 ∗𝑛 (𝑥) sehingga
𝐹 𝑠 (𝑥) = ∑ 𝑃 ∗𝑛 (𝑥) 𝑝(𝑁 = 𝑛) 𝑥 𝑛=0 (5)
dengan 𝑃 ∗0 (𝑥) = { 0     , 𝑥 ≠ 0 1     , 𝑥 = 0 .
Fungsi kepekatan peluang klaim agregasi diperoleh dengan cara yang sama yaitu
𝑓 𝑠 (𝑥) =  𝑃(∑ 𝑋 𝑖 𝑁 𝑖=1 )    = ∑ 𝑝({𝑆 = 𝑥} ∩   {𝑁 = 𝑛 𝑖 }) ∞ 𝑖=1 = ∑ 𝑝 ∗𝑛 (𝑥 ) 𝑝(𝑁 = 𝑛) ∞ 𝑛=0 (6) Oleh karena itu kita punya
𝐸(𝑆) = 𝐸 [𝐸 (𝑆 = 𝑥|𝑁 = 𝑛)] = 𝐸(𝑁) 𝐸(𝑋)
(7)
𝑉𝑎𝑟 (𝑆) = 𝐸 [𝐸 (𝑆 2 |𝑁 = 𝑛)] −   (𝐸(𝑆)) 2 = 𝐸(𝑁)𝑉𝑎𝑟(𝑋) + (𝐸(𝑋)) 2 𝑉𝑎𝑟(𝑁) (8)

## 2.4 Value at Risk  (VaR)
Value at Risk (VaR) dapat dijadikan standar ukuran risiko untuk  bahan evaluasi paparan risiko.  Misalkan 𝑋 menyatakan  peubah  acak  kerugian.  Maka  VaR  dari 𝑋 pada  level 100𝑝% n, notasi 𝑉𝑎𝑅 𝑝 (𝑋) atau 𝜋 𝑝 ,  adalah  persentil 100𝑝 dari  distribusi 𝑋 yang  diberikan  oleh  rumus sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑅 𝑝 (𝑋) = 𝑝 × 𝜎 × 𝐵
(9)
dengan 𝑝 = 1 − 𝛼 serta 𝛼, 𝜎 dan 𝐵 secara  berturut-turut  menyatakan  tingkat  kepercayaan, standard devisiasi dan benefit [6].

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada  simulasi  yang  dilakukan,  klaim  agregasi  diasumsikan  mengikuti  suatu  distribusi campuran  yaitu  jumlah  klaim  berdistribusi  Poisson  dan  distribusi  peluang  besar  klaim berdistribusi  Gamma  atau  Rayleigh.  Fungsi  kepekatan  peluang  (fkp)  dan  fungsi  distribusi kumulatif  untuk  klaim  agregasi  menggunakan  Persamaan  (5)  dan  (6).  Dengan  menggunakan asumsi  tersebut,  maka  diperoleh 𝐸(𝑁)   = ∑ 𝑛 .  𝑝(𝑛) ∞ 𝑛=0 = λ dan 𝑉𝑎𝑟 (𝑁) = 𝐸(𝑁 2 ) − (𝐸(𝑁)) 2 = λ . Dengan demikian untuk klaim agregasi, diperoleh
𝐸(𝑆) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑁) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 𝐸(𝑁)𝑉𝑎𝑟(𝑋) + (𝐸(𝑋)) 2 𝑉𝑎𝑟(𝑁)
Lebih  jauh  lagi,  diasumsikan  bahwa  semua  kendaraan  yang  diasuransikan  berjenis  sama. Pada  perjanjian  kontrak  telah  disepakati  oleh  perusahaan  asuransi  dan  pemegang  polis  bahwa harga  nilai  pertanggungan  adalah  sebesar  Rp22.0000.000,-.  Nilai  ini  ditetapkan  berdasarkan nilai-tengah  harga  terendah  dan  tertinggi  dari  kendaraan  bermotor  yang  diasuransikan . Untuk menentukan  besarnya  nilai  premi  murni,  dilakukan  dengan  simulasi  data  karena  data  real  dari perusahaan  asuransi  tidak  diperoleh.  Pada  penelitian  ini  data  dibangkitan  melalui  kemasan program R.
Hasil  simulasi  data  bangkitan  untuk  kasus  jumlah  klaim  berdistribusi  Poisson  dan  besar klaim berdistribusi Gamma dimana λ = 2, 𝛽 = 1, dan 𝛼 = 2.8 , disajikan dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Data Bangkitan Jumlah Klaim berdistribusi Poisson
dan Besar Klaim Berdistribusi Gamma Jumlah Klaim (N) Besar Klaim (X) Jumlah Pemegang Polis Rata rata besar klaim/pemegang polis 0 Rp0 12 Rp0 1 Rp58.090.362 21 Rp2.766.207 2 Rp34.118.568 35 Rp974.816 3 Rp31.446.074 18 Rp1.747.004 4 Rp119.885.678 10 Rp11.988.567 5 Rp76.210.486 4 Rp19.052.621 Total Rp319.751.168 100
Dengan  menggunakan  data  bangkitan  pada  Tabel  1,  maka  diperoleh  nilai  harapan  dari klaim agregasi secara analitik, hasil konvolusi dan simulasi seperti yang disajikan pada Tabel 2. Nilai harapan secara simulasi yang dimaksudkan adalah dengan menggunakan Toolbox yang ada di  aplikasi  R  [7].  Sedangkan  untuk  nilai  harapan  (premi  murni)  dan  nilai  resiko  yang  harus ditanggung  perusahaan  asuransi  disajikan  pada  Tabel  3.  Nilai  yang  diperoleh  untuk  jumlah pemegang polis sebanyak 100 orang.
178
Tabel 2. Nilai Harapan Klaim Agregasi Kasus Jumlah Klaim berdistribusi Poisson dan Besar Klaim Berdistribusi Gamma E(S) Var(S) Hasil Analitik Hasil Konvolusi Berdasarkan Simulasi 5.6 4.89037983 5.353567 13 Tabel 3. Nilai Premi Murni dan Nilai Resiko Kasus Jumlah Klaim berdistribusi Poisson dan Besar Klaim Berdistribusi Gamma Premi Murni Premi Murni per Pemegang Polis Nilai Resiko yang Ditanggung Perusahaan Rp117.778.480 Rp1.177.785 Rp280.687.790
Selanjutnya  untuk  simulasi  data  bangkitan  dalam  kasus  jumlah  klaim  dan  besar  klaim secara berturut-turut berdistribusi Poisson dan Rayleigh dengan λ = 2 = 𝛽, dan 𝛼 = 4 , disajikan dalam Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Data Bangkitan Jumlah Klaim berdistribusi Poisson dan Besar Klaim Berdistribusi Rayleigh Jumlah Klaim (N) Besar Klaim (X) Jumlah Pemegang Polis Rata rata besar klaim/pemegang polis 0 Rp 0 21 Rp 0 1 Rp 76.184.614 20 Rp 3.809.230,70 2 Rp 154.648.406 24 Rp 6.443.683,58 3 Rp 61.698.142 23 Rp 2.682.527,91 4 Rp 32.726.672 7 Rp 4.675.238,86 5 Rp 44.573.188 3 Rp 14.857.729,33 6 Rp 45.765.764 2 Rp 22.882.882.00 Total Rp319.751.168 100
Dari  data  bangkitan  di  atas  diperoleh  nilai  harapan  untuk  klaim  agregasi  berikut  nilai harapan  (premi  murni)  dan  nilai  resiko  yang  harus  ditanggung  perusahaan  asuransi  secara berurutan dapat dilihat pada Tabel 5 dan Tabel 6.
Tabel 5. Nilai Harapan Klaim Agregasi Kasus Jumlah Klaim berdistribusi Poisson dan Besar Klaim Berdistribusi Rayleigh E(S) Var(S) Hasil Analitik Hasil Konvolusi Berdasarkan Simulasi 𝟕, 𝟎𝟖𝟖𝟎𝟏𝟓 6,984917518 7.588374 16 Tabel 6. Nilai Premi Murni dan Nilai Resiko Kasus Jumlah Klaim berdistribusi Poisson dan Besar Klaim Berdistribusi Rayleigh Premi Murni Premi Murni per Pemegang Polis Nilai Resiko yang Ditanggung Perusahaan Rp  166.944.228 Rp1.669.442 Rp352.000.000
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh,  terlihat  bahwa  baik  besar  klaim  berdistribusi  Gamma maupun  Rayleigh  nilai  harapan  klaim  agregasi  yang  diperoleh  baik  secara  analitik  [2][3],
konvolusi maupun simulasi numerik berbeda semua. Walaupun demikian, secara statistik ketiga nilai  harapan  tersebut  tidak  berbeda  secara  signfikan.  Pengulangan  simulasi  sebanyak  30  kali, ketiga  nilai  harapan  tersebut  masih  berada  di  dalam  selang  antara  batas  bawah  dan  batas  atas nilai harapan klaim agregasi hasil pengulangan. Batas bawah dan batas atas nilai harapan klaim agregasi  untuk  pengulangan  30  kali  dengan  besar  klaim  berdistribusi  Gamma  secara  berturut- turut  adalah  4.741955  dan  7.743656  dengan  tingkat  kepercayaan  99%.  Sedangkan  untuk  besar klaim  berdistribusi  Rayleigh  dengan  tingkat  kepercayaan  yang  sama  batas  bawahnya  adalah 6.216790 dan batas atasnya adalah 8.776553.
Untuk  data  bangkitan  yang  didasarkan  pada  distribusi  Rayleigh,  terlihat  bahwa  pola datanya  lebih  melebar  jika  dipandang  dari  distribusi  Gamma.  Dengan  membandingkan  nilai mean square error (MSE) untuk kedua distribusi diperoleh seperti yang disajikan pada Tabel 7.
Tabel 7. Perbandingan MSE Distribusi MSE Gamma 2.603895 Rayleigh 0.3674659

## 4 Simpulan
Berdasarkan  paparan  yang  disampaikan  pada  bab-bab  sebelumnya  dapat  disimpulkan bahwa  distribusi  Rayleigh  lebih  baik  digunakan  untuk  pola  sebaran  data  yang  relatif  lebih menyebar dibandingkan dengan distribusi Gamma. Keberadaan data ekstrim menjadi salah satu kunci  ketika  menentukan  distribusi  besar  kalim  apa  yang  sesuai  dalam  menentukan  klaim agregasi.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ketua LPPM Universitas Lampung yang telah memberikan  dukungan  dana  pada  penelitian  ini  melalui  skema  Penelitian  Dasar  DIPA  BLU Unila dengan nomor kontrak 1971/UN26.21/PN/2019.

## 6 Daftar Pustaka
[1] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, and C. J. Nesbitt, Mathematics , 2nd ed, The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois. P., 1997.
[2] M.D. Kartikasari, " Premium Pricing of Liability Insurance Using Random Sum Model," Eksakta: Jurnal lImu-Ilmu IPA , 6(1), pp. 1-15, 2017
180

## Berdistribusi Gamma dan Rayleigh
[3] G. Pramesti, " Distribusi Rayleigh untuk Klaim Agregasi," Media Statistika , 4(2), pp. 105- 112, 2011.
[4] C.K. Waha, A.J. Rindegan and T. Manurung " Model Distribusi Data Klaim Asuransi Mobil untuk Menentukan Premi Murni," d'Cartesian: Jurnal Matematika dan Aplikasi , 8(2), pp. 108-113, 2019..
[5] R. V. Young., Encyclopedia of Actuarial Science . John Wiley & Sons, Ltd., 2004.
[6] P. Jorion, Value At Risk , Second Edition. McGraw-Hill. New York, 2001.
[7] A. R. Effendy, “Teori Risiko Aktuaria dengan Software R,” Universitas Gajah Mada Press, Yogyakarta, 2016.