Prima: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 1, No. 1, Juli 2017, hal. 33-42 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216

## PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL DIFUSI NON HOMOGEN SATU DIMENSI

## Rukmono Budi Utomo
Universitas Muhammadiyah Tangerang, Jl. Perintis Kemerdekaan I/33, Cikokol, Kota Tangerang, Banten, (021) 553 9532
e-mail: rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id

## Abstrak
Dalam penelitian kali ini, akan diuraikan teori Persamaan Differensial Parsial (PDP) Difusi non homogen satu dimensi. Penelitian akan dilakukan dengan mengulas terlebih dahulu sedikit teori tentang PDP Difusi homogen satu dimensi beserta solusinya, kemudian menguraikan teori PDP Difusi non homogen beserta solusinya. PDP Difusi  non  homogen  satu  dmensi  dikembangkan  berdasarkan  teori  PDP  Difusi  homogen  satu  dimensi  yakni dengan  mencari  solusi  partikulirnya.  Dalam  pencarian  solusi  partikulir,  akan  dilibatkan  berbagai  aturan  yang terkait seperti aturan Leibniz dan fungsi Dirac Delta.
Kata Kunci: PDP, Difusi non hmomogen, Aturan Leibniz, Fungsi Dirac Delta

## Abstract
In  this  research,  we  will  explore  about  one  dimension  diffusion  non  homogeny  Partial  Differential  Equation (PDE) theory. Research did with review first the theory of one dimension diffusion homogeny with its solution. After  that  we  did  more  explore  to  develop  this  theory  become  the  theory  of  one  dimension  diffusion  non homogeny  PDE  with  adding  particular  solution.  Particular  solution  searched  using  Leibniz  and  Dirac  Delta Theory.
Keywords : PDE, non homogenny diffusion, Leibniz, Dirac Delta

## PENDAHULUAN
Persamaan Differensial Parsial (PDP) Difusi menjelaskan persebaran panas pada posisi x saat t atau   , U x t .  Berdasarkan  hal  tersebut,  misalkan  sebuah  pipa  lurus  berbentuk tabung berisikan cairan tak bergerak yang mengandung zat kimia atau polutan dan menyebar melewati  cairan  tersebut.  Dalam  hal  ini  ingin  diselidiki  konsentrasi  polutan  pada  posisi x saat t . Dalam hal lain yang serupa misalnya sebatang logam dipanasi pada salah satu bagian ujungnya,  akan  diselelidiki  persebaran  panas  tersebut  disepanjang  batang  logam  tersebut. Kedua contoh di atas merupakan gambaran atau ilustrasi dari PDP Difusi.
PDP  Difusi  berdasarkan  sifat  kehomogenannya  dibagi  atas  dua,  yakni  PDP  Difusi homogen  dan  PDP  Difusi  non  homogen.  Berdasarkan  syarat  batasnya,  PDP  Difusi  juga dibagi  atas  dua,  yakni  PDP  Difusi  dengan  syarat  batas  Dirichlect  yang  berkorespondensi dengan  perluasan  fungsi  ganjil  dan  PDP  Difusi  dengan  syarat  batas  Neumaan  yang berkorespondensi dengan peluasan fungsi genap.
PDP  Difusi  homogen  memberi  arti  bahwa  sistem  diasumsikan  homogen  atau  tanpa adanya gangguan dari luar  yang memperngaruhi sistem tersebut, sedangkan PDP Panas non
34
homogen  memberi  arti  bahwa  sistem  memperhatikan  adanya  gangguan  dari  luar  terhadap sistem  tersebut.  Gangguan  pada  sistem  untuk  PDP  Difusi  non  homegen  dapat  berupa penambahan  atau  pengurangan  suhu  atau  tempratur.  Gangguan  sistem  yang  berupa penambahan suhu disebut Source , seangkan gangguan yang berupa penambahan suhu disebut Sink .
PDP Difusi non homogen dikembangkan berdasarkan teori PDP difusi homogen, yakni dengan  mencari  solusi  partikulirnya.  Berdasarkan  hal  tersebut,  dalam  tulisan  ini,  untuk membahas  teori  PDP  Difusinon  homogeny  berserta  pencarian  solusinya,  akan  dijelaskan terlebih  dahulu  mengenai  PDP  Difusi  homogen.  Dengan  demikian  diharapkan  alur penjabaran teori PDP Difusi non homogeny beserta solusinya dapat terstruktur dan runtut.
PDP  Difusi  Homogen  pada  selang   ,   diawali  dengan  memperhatika  fenomena sebuah  cairan  tak  bergerak  yang  mengisi  sebuah  pipa  atau  tabung  lurus.  Berdasarkan  hal tersebut  akan diselidiki  konsentrasi  zat  kimia  yang menyebar melewati  cairan tersebut  pada posisi x saat t .  Konsentrasi  polutan  pada  posisi x saat t dinotasikan  dengan   , U x t yang merupakan solusi pari PDP Difusi. Untuk mencari solusi   , U x t tentu saja pertama kali harus dicari terlebih dahulu mengenai Persamaan Difusi yang dimaksud. Massa dari suatu polutan saat t didefinisikan dengan
    0 , x M t U t dx      1
Kemudian  apabila  persamaan   1 tersebut  diturunkan  terhadap  variabel  waktu  maka akan diperoleh bentuk sebagai berikut
    0 , x t dM t U t dx dt      2
Persamaan   2 merepresentasikan perubahan konsentrasi zat tiap satuan waktu. Hukum Fick menyatakan bahwa laju polutan  yang masuk ( fluks ) sebanding dengan negatif gradient konsentrasi. Dalam matematik, Hukum Fick ini dapat dituliskan sebagai
      , 0, x x dM t kU x t kU t dt     3
Dengan  memandang  bentuk  persamaan   2 dan   3 ,akan  diperoleh  persamaan  sebagai berikut
35
      0 , , 0, x t x x U t dx kU x t kU t         , 0, x x
k U x t U t         0 , x xx kU t dx      4
Persamaan   4 merupakan PDP Difusi homogen yang dapat dituliskan kembali sebagai
0 t xx t xx
U kU U kU       4
Lebih lanjut akan dicari solusi PDP Difusi pada Interval
  ,    tersebut. Bentuk
umum persamaan Difusi dalam interval
  ,    dinyatakan sebagai
    , , 0 , 0 t xx U kU x t U x x           5 Bentuk     , 0 U x x   pada  persamaan   5 merupakan  syarat  awal  untuk  PDP  Difusi pada interval yang merepresentasikan solusi   , U x t saat 0 t  bernilai   x  . Lebih lanjut, akan dicari solusi   , U x t pada persamaan   5 .
Sebelum  dilakukan  pencarian  solusi   , U x t pada  persamaan   5 ,dikenalkan  terlebih dahulu  5 sifat invariant  dengan   , U x t merupakan solusi  persamaan  yang ditunjukkan pada persamaan   5 , kelima sifat tersebut antara lain:
1. Apabila   , U x t merupakan  solusi  persamaan   5 ,  maka   , U x y t  juga  merupakan solusi bagi persamaan tersebut.
2. Turunan-turunan dari fungsi   , U x t seperti , x t U U dan tt U juga merupakan solusi.
3. Berdasarkan sifat invariant nomer 2, jika t U dan x U merupakan solusi persamaan   5 , maka juga berlaku sifat superposisi yakni t x U U  juga merupakan solusi PDP tersebut
4. Integral dari suatu bentuk solusi PDP Difusi juga merupakan solusi dan
5. Bentuk   , U a x at juga merupakan solusi yang disebut sifat dilatasi.
Dalam  sifat  invariant  di  atas,  apabila   , S x t adalah  solusi  PDP  Difusi,  maka berdasarkan  sifat  invariant  nomer  1,   , S x y t  juga  solusi  PDP  tersebut.  Lebih  lanjut dibentuk fungsi
36
  
   , , U x t S x y t y dy         6
Berdasarkan persamaan   6 , dapat ditemukan nilai t U dan xx U sebagai berikut :
  
   , , t U x t S x y t y dy t           7       2 2 , , xx U x t S x y t y dy x           8
Dilain pihak, misalkan diberikan suatu fungsi   , Q x t yang memenuhi persamaan difusi dengan syarat awal
  1, 0 , 0 0, 0 x Q x x         9
Misalkan dibentuk
    , Q x t G P  dengan 4 x P kt  . Berdasarkan hal tersebut ' '' 1 1
1 2 4 t xx Q kQ PG G t             10
Karena
0 t xx Q kQ   , maka persamaan   10 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
' '' '' ' 1 1 1 0 2 0 2 4 PG G G PG
t               11
dan merupakan Persamaan Differensial  Biasa homogen orde 2. Dari persamaan   11 , solusi umum   , Q x t adalah
  2 4 1 2 0 , x kt P Q x t C e dp C       12
Dengan  memandang  syarat  awal  pada  persamaan   9 ,  maka  akan  ditentukan  solusi khusus  dari  PDP  Difusi  pada  interval .  Berdasarkan  syarat  awal  yang  diberikan  dapat diperlihatkan bahwa
1. Jika 0 x  , maka nilai   , 1 Q x t  , dengan demikian diperoleh persamaan
2 1 2 1 2 0 1 1 2 P C e dp C C C            13
2. Jika 0 x  , maka nilai   , 0
Q x t  , dengan demikian diperoleh persamaan
37
2 1 2 1 2 0 0 0 2 P
C e dp C C C 
        
  14
Dari persamaan   13 dan   14 diperoleh nilai 1 1 C   dan 2 1 2 C  dan. Berdasarkan hal tersebut, solusi khusus PDP Panas pada interval adalah
  2 4 0 1 1 , 2 x kt P Q x t e dp        15 Lebih lanjut didefinisikan     , , Q x t S x t t    , maka berdasarkan hal tersebut diperoleh
  2 4 1 , , 0
4 x kt S x t e t kt       16
Dengan  melihat  persamaan   16 ,  maka  solusi  penyelesaian  PDP  Difusi  pada  interval berdasarkan persamaan   6 adalah
      2 4 1 , 4 x y kt U x t e y dy kt           17

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  dilakukan  dalam  peneltian  ini  adalah  studi  pustaka  atau  kajian  teoritis. Penjabaran teori PDP Difusi non homogen satu dimensi dilakukan dengan mengembangkan teori  dari  PDP  Difusi  homogen  satu  dimensi.  Teori  PDP  Difusi  non  homogen  satu  dimensi diadopsi dari tulisan Rukmono  Budi  Utomo  yang dimuat  pada Jurnal  Silogisme Universitas Muhammadiyah  Ponorogo  (UMPO)  terbitan  bulan  oktober  tahun  2016  volume  1  dengan judul Persamaan Differensial Parsial Difusi Homogen Pada Selang   ,   dengan Kondisi Batas  Dirichlet  dan  Neumann.  Jurnal  Silogisme  UMPO  ini  dapat  diunduh  pada  laman www.jurnal.umpo.ac.id/index.php/silogisme .  Lebih  lanjut  berdasarkan  jurnal  tersebut dikembangkan  teori  PDP  Difusi  non  homogen  meski  tanpa  kondisi  Dirichlet  ataupun Neumann.  Sumber  lain  yang  digunakan  dalam  penulisan  ini  juga  berupa  buku  antara  lain buku  PDP  dari  Departemen  FMIPA  ITB,  dan  buku Partial  Differential  Equation karya Strauss.
38

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan teori PDP Difusi homogen pada selang   ,   dalam tinjauan teoritis di atas, dapat dikembangkan PDP Difusi non homogeny dengan bentuk umum sebagai berikut
  , , , 0 t xx U kU f x t x t          18 dengan syarat awal     , 0 U x x

##  
Ide atau gagasan untuk  menentukan solusi  PDP Difusi non homogen ini diadopsi dari solusi Persamaan Differensial Biasa (PDB) non homogen,  yakni missal diberikan PDB orde satu non homegen sebagai berikut
      0 t y Ay h t y t       19
Solusi  PDB  orde  satu  pada  persamaan   19 diselesaikan  dengan  metode  faktor pengintegralan  yakni Atdt At e e   ,  maka  berdasarkan  hal  tersebut  diperoleh  solusi  sebagai berikut
    0 t At As At y t e e h s ds ce        20
Dengan  memandang  syarat  awal     , 0 U x x   ,  maka  solusi   20 dapat  dituliskan kembali sebagai berikut
      ( ) 0 t At A t s y t t e e h s ds          21
Dengan   At t e   merupakan  bagian  dari  solusi  homogen  dan
  ( ) 0 t A t s e h s ds   
merupakan bagian dari solusi partikulir. Lebih lanjut definisikan   At S t e   , berdasarkan hal tersebut solusi   y t pada persamaan   21 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
       
0 t At y t S t e S t s h s ds        22
Ingat solusi fundamental dari PDP Difusi homogen yakni
      , , U x t S x y t y dy       ,  maka  dugaan  awal  solusi  PDP  Difusi  non  homogen  sesuai
dengan persamaan   18 dengan kondisi awal     , 0 U x x   adalah sebagai berikut
39           0 , , , , t U x t S x y t y dy S x y t s f y s dyds                23 Misalkan    
    , S x y t y dy t x        , maka berdasarkan hal tersebut persamaan
  23 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
          0 , , t U x t t x t s f x s ds         24
Perhatikan  bahwa   , U x t pada  persamaan   24 ini  masih  merupakan  dugaan  atas solusi PDP Difusi non homogen. Berdasarkan hal tersebut untuk memastikan bahwa   , U x t pada persamaan   24 benar-benar solusi dari PDP Panas non homogeny tersebut, maka harus dibuktikan bahwa bagian partikulir dari persamaan   24 yakni       0 , , t P U x t t s f x s ds     memenuhi bentuk           , , , P P t xx U x t k U x t f x t     25
Untuk membuktikan hal ini diperlukan aturan Leibniz. Perhatikan bahwa
    0 , t P U t s f x s ds t t                  
         
0 , lim , 0 , 0 t s t d
t s f x s ds t s f x s t f x s t dt          
          0 , lim , t s t t s f x s ds t s f x s t             26
Dengan mengingat bahwa
   
    ,
, , t s f x s S x y t s f y s dy         , maka
persamaan   26 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
        0 , , lim , , t P s t U S x y t s f y s dyds
S x y t s f y s dy t t                           0
0 , , lim , ,
t
S x y t s f y s dyds S x y f y s dy t   
    
           27
40
Lebih lanjut karena     , S x y t y dy      merupakan solusi homogen dari PDP Difusi
non homogen, maka dari persamaan   27 dapat diperoleh
        2 2 , ,
S x y t y dy k S x y t y dy t x     
         
Atau dapat dituliskan kembali sebagai
    2 2 , ,
S x y t k S x y t t x          28
Susbtitusikan persamaan   28 kedalam persamaan   27 , sehingga diperoleh
        2 2 0 0 , , lim , , t P U k S x y t f y s dyds S x y f y s dy t x                  
  29
Dengan mengingat fungsi Dirac Delta yakni       x y f y dy f x       , maka persamaan
  29 dapat dituliskan kembli sebagai berikut
        2 2 0 2 2 , , , , t P P U k S x y t f y s dyds f x t t x
k U f x t x         
          , P xx k U f x t     30
Persamaan   30 dapat dituliskan kembali sebagai
      , P P t xx U k U f x t     31
Yang  membuktikan  kebenaran  dugaan  solusi  partikulir  PDP  Difusi  non  homogen  sesuai persamaan   25 . Berdasarkan hal tersebut solusi PDP Difusi non homogen sesui persamaan   18 adalah
          0 , , , ,
t U x t S x y t y dy
S x y t s f y s dyds                32
Atau  dengan  mengingat  bahwa   2 4 1 , 4 x kt S x t e kt  
 ,  maka  persamaan   32   di  atas  dapat dituliskan kembai sebagai
41               2 2 4 4 0 1 1 , , 4 4 x y x y t k t s kt U x t e y dy e f y s dyds kt k t s                     33

## SIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan yang dapat ditulis dari penelitian ini dijelaskan sebagai berikut:
1. PDP  Difusi  dapat  dikatakan  sebagai  suatu  persamaan  differensial  parsial  yang menjelaskan penyebaran konsentrasi zat polutan pada suatu cairan didalam pipa lurus.
Solusi   , U x t  menjelaskan banyaknya konsentrasi polutasn pada posisi x saat t .
2. Bentuk  umum  PDP  Difusi  homogen  pada  interval   ,    ditunjukkan  pada persamaan   5 dengan solusinya   , U x t  ditunjukkan pada persamaan   17 .
3. Bentuk umum PDP Difusi non homogen pada interval
  ,    ditunjukkan pada persamaan  
18 dengan solusinya   , U x t  ditunjukkan pada persamaan   33 .
Lebih  lanjut  saran  yang  diberikan  kepada  pembaca  yang  tertarik  meneliti  hal  serupa, dapat penulis sampaikan sebagai berikut:
1. Perlu  dikembangkan  bentuk  umum  PDP  Difusi  Non  homogen  pada  interval
  ,    dengan syarat batas Dirichlet yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi ganjil beserta solusi penyelesaiannya.
2. Perlu  dikembangkan  bentuk  umum  PDP  Difusi  Non  homogen  pada  interval
  ,    dengan syarat batas Neumann yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi genap beserta solusi penyelesaiannya.

## DAFTAR PUSTAKA
Departemen  Matematika  ITB.  (2012). Persamaan  Differensial  Parsial. Bandung: FMIPA ITB
Pinchover  &  Rubinsten.  (2005). An  Introduction  to  Partial  Differential  Equations .  London:
Cambridge University Press
Strauss,  A.,  Walter.  (2008). Partial  Differential  Equations:  an  Introduction. USA: John Wiley & Sons
Utomo, R. B. (2016). Persamaan Differensial Parsial Difusi Homogen Pada selang   ,  
Dengan  Kondisi  Batas  Dirichlet  dan  Neumann.  Jurnal  Silogisme  UMPO  1  Oktober
42
2016 Volume 1 nomor 1 ISSN: 2527-6182. http://
www.jurnal.umpo.ac.id/index.php/silogisme