Vol. 9, No.2,  69-85,  Januari  2013

## Pemodelan Autoregressive (AR) pada Data Hilang dan Aplikasinya pada Data Kurs Mata Uang Rupiah
Fitriani, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF 1

## Abstrak
Dalam  analisis  deret  waktu  terdapat  model  stasioner  dan  model  non  stasioner. Salah satu model deret waktu yang stasioner adalah model Autoregressive . Model Autoregressive adalah  suatu  model  yang  mengasumsikan  bahwa  data  pada periode  sekarang  dipengaruhi  oleh  data  pada  periode  sebelumnya.  Dalam memodelkan  suatu  data  deret  waktu  seringkali  dijumpai  adanya  ketidak lengkapan  data  yang  disebut  data  hilang.  Data  hilang  disebabkan  oleh  beberapa faktor,  antara lain  karena informasi  untuk  sesuatu  tentang  objek  tidak  diberikan, sulit dicari, atau memang informasi tersebut tidak ada. Untuk itu perlu dilakukan penelitian  lebih  lanjut  pada  pendekatan  model Autoregressive jika  terdapat  data hilang. Dalam menaksir parameter data hilang digunakan metode Ordinary Least Square (OLS).  Parameter  model Autoregressive dengan  data  hilang  yang signifikan  akan  digunakan  dalam  membangun  model.  Setelah  mendapatkan model,  langkah  selanjutnya  adalah  menguji  kelayakan  model  yaitu  uji  asumsi White Noise dan uji kenormalan. Data yang digunakan sebagai aplikasi tulisan ini yakni data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat mulai tanggal 1 April sampai dengan 30 April 2009 .
Kata Kunci: Deret  waktu,  stasioner,  non  stasioner,  Autoregressive,  data hilang,  Ordinary Least Square (OLS ).

## 1. Pendahuluan
Dalam  analisis  deret  waktu  terdapat  beberapa  model.  Pertama,  model  deret  waktu berskala stasioner yang terdiri dari model Autoregressive (AR), Moving Average (MA), atau kombinasi  keduanya Autoregressive  Moving  Average (ARMA).  Kedua,  model  deret  waktu berskala  non  stasioner  yang  terdiri  dari  model Autoregressive  Integrated  Moving  Average (ARIMA)  yang  merupakan  pengembangan  dari  ARMA  yang  dikembangkan  oleh  Box  dan Jenkins pada tahun 1970 [6]. Model Autoregressive (AR) merupakan salah satu model yang mengasumsikan  bahwa  data  pada  periode  sekarang  dipengaruhi  oleh  data  pada  periode sebelumnya.
Dalam suatu pengamatan yang melibatkan variabel waktu, sering ditemukan adanya ketidak lengkapan data yang biasa disebut data hilang atau missing data . Hal ini disebabkan oleh  beberapa  hal  di  antaranya  adalah  tidak  adanya  respon,  kelalaian  saat  melakukan perekaman  data,  cuaca,  atau  bahkan  oleh  hal  lain  yang  tidak  diketahui  sebabnya.  Jika  data hilang dibiarkan  begitu  saja  maka  inferensi  statistik  dengan  menggunakan  metode  standar untuk data lengkap tidak dapat dilakukan, terlebih lagi apabila jumlahnya banyak [4].
Adapun tujuan penulisan ini adalah menentukan taksiran nilai-nilai pada hilang untuk model Autoregressive (AR) dan menetukan langkah identifikasi  model dari data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang mengandung data hilang.
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: fitrianifj_267@yahoo.com

## 2. Menaksir Parameter Autoregressive dengan Menggunakan Metode Ordinary Least Square
Metode Ordinary Least  Square (OLS)  atau  metode  kuadrat  terkecil  adalah  suatu metode penaksir parameter regresi dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat (selisih antara nilai aktual dan ramalan). Jumlah kuadrat error pada regresi dalam model AR( p ) yang dinyatakan dalam fungsi
dan didefinisikan sebagai:
(1)
setelah disederhanakan menghasilkan :
(2)
Karena untuk   yang besar berlaku
(3)
maka penaksir untuk parameter   pada persamaan (8) dinyatakan sebagai berikut:
(4) Penaksiran parameter , diperoleh dari penurunan
Diketahui bahwa
, maka
Atau
di mana

## Fitriani, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF
Dengan demikian, maka diperoleh penaksir parameter untuk yaitu:
(6) Dengan  menggunakan  persamaan  (6),  untuk
diperoleh  penaksir  parameter  model
AR(1) adalah . Untuk diperoleh penaksir parameter model AR(2) yaitu: dan , (7)
Dengan cara yang sama diperoleh penaksir parameter AR orde menggunakan persamaaan (6).

## 3. Menaksir Nilai-nilai pada Data Hilang dengan  Menggunakan Metode Ordinary Least Square
Menerapkan prinsip Ordinary Least Square (OLS) untuk deret waktu dengan nilai- nilai  yang  hilang  adalah  dasar  pendekatan  yang  dapat  dimasukkan  ke  dalam  pemodelan ARIMA.  Sebagaimana  diuraikan  oleh  Ferreiro  [3]    dan  Chi  Fung  [2],  metode  ini dimaksudkan  untuk  menemukan  nilai-nilai  yang  hilang  untuk  deret  waktu  yang  stasioner. Dengan  melakukan differencing terlebih  dahulu  pada  data  yang  tidak  stasioner,  maka  data tersebut dapat diterapkan pada deret waktu untuk memperoleh model ARIMA.
maka
(8)
sehingga dapat dituliskan menjadi
(9)
maka
, (10)
di mana:
,
.
Untuk persamaan (10) dapat disusun kembali menjadi
, (11) dimisalkan sehingga . (12) Diketahui maka, persamaan (12), dapat dituliskan menjadi (13)
Untuk menghitung jumlah kuadrat error dengan menggunakan metode OLS maka:
Kemudian akan diminimalkan SS dengan adanya data hilang. Dimisalkan hilang maka,
(14)
karena  jumlahnya  konvergen,  maka  memungkinkan  L→∞.  Misalkan maka
diperoleh:
, maka Diketahui bahwa dan inversnya adalah
.
Sehingga persamaan (14) menjadi (15)
ekivalen dengan persamaan di bawah ini:
(16)
maka persamaan (16) dapat dituliskan menjadi
(17)
Untuk menaksir nilai-nilai pada data hilang, maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien autokorelasi  pada  lag k, yang  diperoleh  dari  data.  Setelah  didapatkan  maka  penentuan  nilai

## Fitriani, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF
data yang hilang akan ditaksir dengan menggunakan koefisien korelasi pada lag k = 1 dan lag k = 2.
Bentuk umum model AR (1) adalah:
Untuk penaksir parameter model AR(1) yaitu
, diperoleh dengan menggunakan persamaan (2),
,
Selanjutnya untuk menaksir nilai-nilai data hilang pada model AR(1) melalui metode OLS, maka gunakan persamaan (17) yaitu
Kemudian akan didapatkan persamaan sebagai berikut:
(18)
di  mana adalah  penaksir parameter  untuk  data  hilang.  Untuk  menghitung  nilai-nilai  data hilang maka akan digunakan persamaan (18).
Setelah didapatkan taksiran nilai data hilangnya maka akan diidentifikasi lagi apakah datanya stasioner atau tidak. Kestasioneran data dapat diketahui dengan melakukan plot data dan juga melihat nilai autokorelasi data tersebut. Plot data dapat memberikan informasi secara visual  mengenai  kondisi  data  sedangkan  nilai  autokorelasi  dapat  memberikan  informasi apakah data-data tersebut masih berautokorelasi secara signifikan atau tidak.
Suatu  model Autoregressive yang  baik  yang  dapat  menggambarkan  suatu  kejadian adalah  model  yang  salah  satunya  menunjukkan  bahwa  penaksiran  parameternya  signifikan berbeda  dengan  nol.  Uji  signifikansi  parameter Autoregressive pada  data  hilang  dilakukan untuk  mengetahui  apakah  semua  parameter  signifikan  atau  tidak.  Cara  pengujiannya  bisa dengan  menggunakan  uji t atau  bisa  juga  menggunakan  nilai p-value. Pada  tulisan  ini digunakan  nilai p-value dari  taksiran  parameter Autoregressive pada  data  hilang  untuk menguji tingkat signifikansi dari parameternya. Hipotesis ujinya yaitu:
Hipotesis  nolnya  adalah  parameter Autoregressive sama  dengan  nol  atau  tidak  cukup signifikan dalam  model, sedangkan hipotesis tandingannya adalah parameter Autoregressive tidak  sama  dengan  nol  atau  cukup  signifikan  dalam  model.  Agar  parameter Autoregressive cukup signifikan maka diharapkan akan ditolak hipotesis nol.  Kriteria  keputusan: terima jika
dan  tolak jika .
Setelah mendapatkan parameter model Autoregressive yang signifikan, maka langkah selanjutnya  adalah  menggunakan  nilai  parameter  tersebut  untuk  membangun  model Autoregressive pada data hilang . Uji kelayakan model Autoregressive terdiri atas dua bagian yaitu uji White Noise sisaan dan kenormalan sisaan. Uji White Noise sisaan dapat dituliskan sebagai berikut:
1. Hipotesis
minimal ada satu
2. Statistik Uji : Ljung-Box statistics (Modified Box-Pierce) Kriteria  keputusan:  terima jika dan  tolak jika .
Untuk model AR(1), nilai Ljung-Box Statistics (Modified Box-Pierce) diperoleh dari software Minitab.

## 4. Data dan Analisisnya
Data  yang  digunakan  adalah  data  harian  yang  bersumber  dari  aktivitas  perbankan dimulai dari hari Senin sampai dengan Jumat. Data untuk hari Sabtu, Minggu dan hari libur diasumsikan  sama  dengan  data  pada  hari  sebelumnya.  Akan  tetapi,  dalam  tulisan  ini,  data pada  hari  Sabtu,  Minggu,  dan  hari  libur  tidak  diasumsikan  sama  dengan  data  pada  hari sebelumnya melainkan merupakan data hilang dimana nilainya tidak diberikan sehingga akan dilakukan  penaksiran  untuk  memperoleh  nilai-nilai  pada  hari  tersebut.  Pada  kasus  ini, digunakan data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang dimulai dari tanggal 1 April sampai 30 April  2009. Data tersebut yang diperoleh dari situs website BI ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 1. Data  Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Serikat.
Waktu Nilai Tukar Rupiah Waktu Nilai Tukar Rupiah Waktu Nilai Tukar Rupiah 01-Apr-09 11678 11-Apr-09 21-Apr-09 10904 02-Apr-09 11619 12-Apr-09 22-Apr-09 10892 03-Apr-09 11454 13-Apr-09 11181 23-Apr-09 10985 04-Apr-09 14-Apr-09 11036 24-Apr-09 10872 05-Apr-09 15-Apr-09 10934 25-Apr-09 06-Apr-09 11402 16-Apr-09 10748 26-Apr-09 07-Apr-09 11402 17-Apr-09 10754 27-Apr-09 10884 08-Apr-09 11437 18-Apr-09 28-Apr-09 10894 09-Apr-09 19-Apr-09 29-Apr-09 10913 10-Apr-09 20-Apr-09 10804 30-Apr-09 10767
Sumber : http://www.ortax.org/ortax/?mod=kursbi
Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan orde Autoregressive (AR) yang sesuai. Hal ini dapat dilakukan dengan cara melihat plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autoregressive  Function (PACF)  dari  data  tersebut.  Plot  ACF  dan  PACF  akan  terpotong setelah proses pada orde ke- p atau lag - p . Proses ini disebut dengan identifikasi model tentatif. Hasil dari plot ACF ditunjukkan pada Gambar 1a, yang memperlihatkan bahwa pada selang ,  plot  ACF  turun  secara  eksponensial  sedangkan  pada  selang
, plot ACF turun secara sinusoidal. Dan Gambar 1b, tampak bahwa plot PACF terpotong setelah lag ke-1. Hal ini menunjukkan bahwa plot ACF dan plot PACF  mengikuti karakteristik  dari  model  AR(1),  dengan  demikian  data  tersebut  diperkirakan  merupakan model AR(1).
18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag A u to c o rr e la ti o n Autocorrelation Function for nilai tukar Rp trhdp dollar AS (with 5% significance limits for the autocorrelations) 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag P a rt ia l A u to c o rr e la ti o n Partial Autocorrelation Function for nilai tukar Rp trhdp dollar AS (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) Gambar 1a
Gambar 1b
Untuk  memperoleh  model  yang  baik,  maka  akan  dilakukan  identifikasi  pada  pola datanya,  apakah  sudah  memenuhi  syarat  stasioner  atau  tidak.  Kestasioneran  data  dapat diketahui  dengan  melakukan  plot  data  dan  juga  mengecek  nilai  autokorelasi  data  tersebut. Plot  data  dapat  memberikan  informasi  secara  visual  mengenai  kondisi  data  sedangkan  nilai autokorelasi  dapat  memberikan  informasi  apakah  data-data  tersebut  masih  berautokorelasi secara signifikan atau tidak.
Scatter plot data  dengan  menggunakan  Minitab  dapat  dilihat  pada  Gambar  2a.  Dari scatter plot -nya    tampak  bahwa  data  tersebut  membentuk  pola tren turun.  Pada  Gambar  2b plot nilai autokorelasi data yang diolah hasilnya menggambarkan bahwa nilai autokorelasinya turun secara lambat.
Dengan menggunakan metode koreologram akan dihitung batas signifikansi dari nilai autokorelasi  yang  dibolehkan.  Dengan  mengambil
maka  tingkat  kepercayaannya
sebesar  95%.  Dengan  demikian
.  Karena  datanya
sebanyak  20  maka  diperoleh  kesalahan  standar  sebesar
,  sehingga  batas signifikansi koefisien autokorelasi berada di antara rentang:
Day N il a i T u k a r R p t r h d p D o ll a r U S A 01 28 25 22 19 16 13 11800 11600 11400 11200 11000 10800 Scatterplot Lag A u t o c o r r e la t io n 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Autocorrelation Function
Gambar 2a                                          Gambar 2b

## Fitriani, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF
Berdasarkan  rentang  seperti  ini  dapat  dilihat  pada  Tabel  2  bahwa  masih  banyak  nilai autokorelasi  dari  data  yang  berada  di  luar  batas  signifikansinya.  Dengan  demikian,  dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner.
Tabel 2. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA.
Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF 1 0,807813 6 -0,030706 11 -0,261687 16 -0,214425 2 0,623004 7 -0,139288 12 -0,248866 17 -0,179241 3 0,463295 8 -0,210761 13 -0,256523 18 -0,151302 4 0,309765 9 -0,259120 14 -0,263207 19 -0,105642 5 0,132210 10 -0,259446 15 -0,255874
Karena  data  belum  stasioner,  maka  dilakukan  transformasi  data  dalam  hal  ini  melakukan differencing orde pertama.
Tabel 3. Hasil Differencing Orde Pertama. T T T T 1 - 6 35 11 6 16 -113 2 -59 7 -256  12 50 17 12 3 -165 8 -145  13 100 18 10 4 -52 9 -102  14 -12 19 19 5 0 10  -186  15 93 20 -146
Data  hasil differencing orde  pertama  ini  diharapkan  stasioner  sehingga  dapat  digunakan untuk  pemodelan  data.  Untuk  itu,  dengan  cara  yang  sama  akan  dicek  kembali kestasionerannya.  Hasil  plot  data differencing orde  pertama  ditunjukkan    pada  Gambar  3a, tampak secara visual bahwa data sudah tidak menunjukkan pola tren namun dicoba menguji kestasioneran melalui plot autokorelasi. Plot autokorelasinya ditunjukkan pada  Gambar 3b, yang hasilnya menunjukkan bahwa sudah tidak ada data pada time lag yang keluar dari batas signifikan.
Day d if fe r e n c in g 28 25 22 19 16 13 100 0 -100 -200 -300 Scatterplot Lag A u t o c o r r e la t io n 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Autocorrelation Function for differencing Gambar 3a
Gambar 3b
Berdasarkan  batas  signifikansi  koefisien  autokorelasi  yang  berada  di  antara  rentang , dapat dilihat pada Tabel 4 di bawah menunjukkan bahwa sudah tidak ada  nilai  autokorelasi  yang  berada  di  luar  batas  signifikansi.  Oleh  karena  itu,  dapat disimpulkan bahwa data hasil differencing orde pertama sudah stasioner.
Tabel 4. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA.
Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF 1 0,177143 6 0,005895 11 -0,099780 16 -0,045254 2 0,096925 7 0,015489 12 -0,074850 17 0,060142 3 -0,081528 8 -0,198022 13 0,193494 18 0,006070 4 0,022943 9 -0,051496 14 -0,064167 5 -0,251390 10 -0,142057 15 -0,069556
Dengan demikian data hasil pembedaan pertama ini stasioner sehingga dapat digunakan untuk pemodelan data. Selanjutnya akan ditaksir nilai-nilai pada data hilang, maka akan ditentukan terlebih  dahulu  koefisien  autokorelasi  pada  lag k, yang  diperoleh  dari  data,  hasilnya  adalah sebagai berikut.
Untuk k = 1 , maka
.
Untuk  menaksir  nilai-nilai  data  hilang  pada  model  AR(1)  melalui  metode  OLS,  maka gunakan persamaan :
maka,
(19) di mana adalah penaksir parameter untuk data hilang. Untuk menghitung nilai-nilai
data hilang pada saat maka akan digunakan persamaan (19).
Setelah  didapatkan  nilai-nilai  pada  data  hilang  tersebut,  maka  di  bawah  ini  adalah tabel hasil taksiran nilai-nilai pada waktu ke- t .
Tabel 5. Taksiran Nilai Data Hilang pada Waktu ke- t. Waktu Nilai Tukar Rupiah Waktu Nilai Tukar Rupiah Waktu Nilai Tukar Rupiah 01-Apr-09 11678 11-Apr-09 10786,32 21-Apr-09 10904 02-Apr-09 11619 12-Apr-09 10742,29 22-Apr-09 10892 03-Apr-09 11454 13-Apr-09 11181 23-Apr-09 10985 04-Apr-09 11176,87 14-Apr-09 11036 24-Apr-09 10872 05-Apr-09 11041,34 15-Apr-09 10934 25-Apr-09 10638,95 06-Apr-09 11402 16-Apr-09 10748 26-Apr-09 10524,99 07-Apr-09 11402 17-Apr-09 10754 27-Apr-09 10884 08-Apr-09 11437 18-Apr-09 10542,13 28-Apr-09 10894 09-Apr-09 11060,48 19-Apr-09 10438,52 29-Apr-09 10913 10-Apr-09 10876,36 20-Apr-09 10804 30-Apr-09 10767
Setelah didapatkan taksiran nilai data hilangnya maka akan diidentifikasi lagi apakah datanya stasioner  atau  tidak. Scatter  plot data  dengan  menggunakan  program  Minitab  tampak  pada Gambar  4a.  Hasil scatter  plot -nya  menunjukkan  bahwa  data  tersebut  membentuk  pola tren turun.  Pada  Gambar  4b  plot  nilai  autokorelasinya  menggambarkan  bahwa  nilai autokorelasinya turun secara lambat.
Dengan menggunakan metode koreologram akan dihitung batas signifikansi dari nilai autokorelasi  yang  dibolehkan.  Dengan  mengambil
maka  tingkat  kepercayaannya
sebesar  95%,  dan  dengan  demikian .  Karena
datanya sebanyak  30  maka  diperoleh  kesalahan  standar sebesar
,  sehingga  batas
signifikansi koefisien autokorelasi berada di antara rentang:
Day N il a i T u k a r R p t r h p D o ll a r U S A 01 26 21 16 11 06 11750 11500 11250 11000 10750 10500 Scatterplot of X vs t Lag A u t o c o r r e la t io n 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Autocorrelation Function for X
Gambar 4a                                   Gambar 4b
Berdasarkan  rentang  di  atas,  dapat  dilihat  pada  Tabel  6  menunjukkan  bahwa  masih  banyak nilai autokorelasi dari data yang berada di luar batas signifikansinya. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner.
Tabel 6. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA.
Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF 1 0,713556 6 0,350602 11 -0,132287 16 -0,268603 21 -0,112398 2 0,421009 7 0,337382 12 -0,113953 17 -0,339493 22 -0,165647 3 0,233491 8 0,105076 13 -0,152072 18 -0,299897 23 -0,222813 4 0,242929 9 -0,043838 14 -0,116205 19 -0,190630 24 -0,234467 5 0,333399 10 -0,108915 15 -0,195812 20 -0,138171 25 -0,152548
Karena  data  belum  stasioner,  maka  dilakukan  transformasi  data  dalam  hal  ini  melakukan differencing orde pertama.
Tabel 7. Hasil Differencing Orde Pertama.
T T T T T T 1 - 6 360,66 11 -90,04 16 -186 21 100 26 -113,96 2 -59 7 0 12 -44,03 17 6 22 -12 27 359,01 3 -165 8 35 13 438,71 18 -211,87 23 93 28 10 4 -277,13 9 -376,52 14 -145 19 -103,61 24 -113 29 19 5 -135,53 10 -184,12 15 -102 20 365,48 25 -233,05 30 -146
Hasil plot data differencing tampak  pada Gambar 5a, yang secara visual menunjukkan bahwa data  sudah  berfluktuasi  disekitar  rata-ratanya  dan  data  sudah  tidak  membentuk  pola tren

## Fitriani, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF
namun, dicoba untuk menguji kestasioneran melalui plot autokorelasi. Pada Gambar 5b, hasil plot  autokorelasinya  menunjukkan  bahwa  hanya  ada  satu  data  yang  keluar  dari  batas signifikan.
Day d if fe re n c in g 01 28 25 22 19 16 13 10 07 500 400 300 200 100 0 -100 -200 -300 -400 Scatterplot of differencing vs t Lag A u to c o rr e la ti o n 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Autocorrelation Function for differencing
Gambar 5a Gambar 5b Berdasarkan  rentang dapat  dilihat  pada  Tabel  8  yang  tampak
bahwa  hanya  pada lag 7  yang  berada  di  luar  batas  signifikansinya.  Dengan  demikian,  data hasil  pembedaan  pertama  ini  sudah  stasioner  sehingga  dapat  digunakan  untuk  pemodelan data.
Tabel 8. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA.
Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF 1 0,010859 6 0,097043 11 -0,25556 16 0,045626 21 0,08631 2 -0,18324 7 0,431857 12 -0,06953 17 -0,17623 22 0,145524 3 -0,20082 8 0,198822 13 -0,12916 18 -0,1536 23 -0,06956 4 -0,29414 9 -0,13517 14 0,210161 19 -0,05389 24 -0,0483 5 -0,07602 10 -0,05737 15 0,234552 20 -0,03676 25 -0,0581
Selanjutnya  akan  dicoba  untuk  melakukan differencing orde  kedua  dan differencing orde ketiga untuk mengetahui dan mencari data stasioner secara visual maupun melalui plot ACF. Berikut ini hasil pengolahan data untuk differencing orde kedua.
Tabel 9. Hasil Differencing Orde Kedua T T T T T T 1 - 6 225,13 11  -274,16  16 -288 21 465,48 26 -347,01 2 - 7 360,66 12  -134,68  17 -180 22 88 27 245,05 3 -224,0 8 35,00 13 394,68 18  -205,87  23 81 28 369,01 4 -442,13 9 -341,52 14 293,71 19  -315,48  24 -20 29 29 5 -412,66  10 -560,64 15 -247 20 261,87 25 -346,05 30 -127
30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 500 250 0 -250 -500 Index d if fe r e n c in g 2 Time Series Plot of differencing 2 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag A u t o c o r r e la t io n Autocorrelation Function for differencing 2 (with 5% significance limits for the autocorrelations)
Gambar 6a Gambar 6b Tabel 10. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA. Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF 1 0,434002 6 0,331882 11 -0,241983 16 -0,008041 21 0,213093 2 -0,325570 7 0,569804 12 -0,255922 17 -0,204154 22 0,086347 3 -0,516018 8 0,200206 13 0,014162 18 -0,274548 23 -0,095719 4 -0,372413 9 -0,144591 14 0,343350 19 -0,177266 24 -0,113035 5 -0,097352 10 -0,184710 15 0,274332 20 0,068055 25 -0,034034
Hasil plot data differencing tampak  pada Gambar 6a, yang secara visual menunjukkan bahwa data  sudah  tidak  membentuk tren, namun  selanjutnya  dicoba  untuk  menguji  kestasioneran melalui  plot  ACF.  Pada  Gambar  6b,  hasilnya  menunjukkan  bahwa  plot  autokorelasinya terdapat dua data yang keluar dari batas signifikan.
Berdasarkan rentang
dapat dilihat pada Tabel 10 yang tampak
bahwa pada lag 1 dan lag 3 berada di luar batas signifikansinya. Kemudian akan dilakukan lagi differencing yakni differencing orde ketiga. Berikut ini hasil pengolahan datanya.
Tabel 11. Hasil Differencing Orde Ketiga T T T T T T 1 - 6 -52,00 11 -650,68 16 -433,00 21 361,87 26 -460,01 2 - 7 225,13 12 -318,19 17 -282,00 22 453,48 27 12,00 3 - 8 395,66 13 304,64 18 -391,87 23 181,00 28 255,05 4 -501,13 9 -341,52 14 249,68 19 -309,48 24 -32,00 29 388,01 5 -577,66 10 -525,64 15 191,71 20 50,00 25 -253,05 30 -117,00
30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 500 250 0 -250 -500 -750 Index d if fe r e n c in g 3 Time Series Plot of differencing 3 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 Lag A u t o c o r r e la t io n Autocorrelation Function for differencing 3 (with 5% significance limits for the autocorrelations)
Gambar 7a Gambar 7b Tabel 12. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF 1 0,50420 6 0,372640 11 -0,360627 16 0,029903 21 0,191820 2 -0,160869 7 0,574681 12 -0,208158 17 -0,246636 22 0,079753 3 -0,642220 8 0,284400 13 0,018901 18 -0,326196 23 -0,065161 4 -0,510029 9 -0,043713 14 0,327755 19 -0,155746 24 -0,120116 5 -0,023450 10 -0,289227 15 0,276790 20 0,043712 25 -0,057312
Hasil plot data differencing tampak  pada Gambar 7a, yang secara visual menunjukkan bahwa data  sudah  tidak  membentuk tren namun,  selanjutnya  dicoba  untuk  menguji  kestasioneran melalui  plot  ACF.  Pada  Gambar  7b,  hasilnya  menunjukkan  bahwa  plot  autokorelasinya terdapat dua data yang keluar dari batas signifikan. Berdasarkan rentang dapat dilihat pada Tabel 12 yang tampak bahwa pada lag 1 dan lag 3 berada di luar batas signifikansinya.
Dengan  demikian,  apabila  suatu  data  yang  tidak  stasioner  kemudian  dilakukan differencing orde  pertama  dan  menghasilkan  data  yang  stasioner  maka  tak  perlu  dilakukan lagi differencing orde kedua maupun differencing orde selanjutnya karena akan menghasilkan data  yang  kurang  baik.  Oleh  karena  itu,  data  yang  digunakan  untuk  pemodelan  adalah  data hasil differencing orde pertama.
Suatu  model Autoregressive yang  baik  yang  dapat  menggambarkan  suatu  kejadian adalah  model  yang  salah  satunya  menunjukkan  bahwa  penaksiran  parameternya  signifikan berbeda  dengan  nol.  Uji  signifikansi  parameter Autoregressive pada  data  hilang  dilakukan untuk  mengetahui  apakah  semua  parameter  signifikan  atau  tidak.  Cara  pengujiannya  bisa dengan  menggunakan  uji t atau  bisa  juga  menggunakan  nilai p-value. Pada  tugas  akhir  ini digunakan  nilai p-value dari  taksiran  parameter Autoregressive pada  data  hilang  untuk menguji tingkat signifikansi dari parameternya. Hipotesis ujinya yaitu:
Hipotesis  nolnya  adalah  parameter Autoregressive sama  dengan  nol  atau  tidak  cukup signifikan dalam  model, sedangkan hipotesis tandingannya adalah parameter Autoregressive tidak  sama  dengan  nol  atau  cukup  signifikan  dalam  model.  Agar  parameter Autoregressive cukup signifikan maka diharapkan akan ditolak hipotesis nol.  Kriteria keputusan: terima jika
dan tolak jika . Dengan  menggunakan  software  Minitab  maka  diperoleh  bahwa  taksiran  parameter
AR(1) pada data hilang dari yaitu dan taksiran parameter konstanta adalah .
Tabel 13. Hasil Taksiran Parameter. Final Estimates of Parameters
Type         Coef  SE Coef      T
P AR   1     0,8719   0,1065   8,19 0,000
Constant  1416,11    35,32  40,09
0,000 Mean      11054,8    275,7 Number of observations:  30
Untuk parameter AR(1) yaitu , nilai t = 8,19 dengan nilai p-value = 0,000, dan parameter konstanta yaitu , nilai t = 40,09 dengan nilai p-value = 0,000. Karena nilai p-value lebih kecil  dari maka,  dapat  disimpulkan  bahwa  hipotesis  nol  ditolak  pada  taraf
signifikansi
. Maka parameter untuk model AR(1) sudah signifikan.
Setelah mendapatkan parameter model Autoregressive yang signifikan, maka langkah selanjutnya  adalah  menggunakan  nilai  parameter  tersebut  untuk  membangun  model Autoregressive pada  data  hilang . Model  yang  akan  digunakan  dalam  melakukan  pemodelan data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat adalah:
.
Uji kelayakan model Autoregressive terdiri atas dua bagian yaitu uji White Noise sisaan dan kenormalan sisaan. Uji White Noise sisaan dapat dituliskan sebagai berikut:
minimal ada satu
Statistik Uji : Ljung-Box statistics (Modified Box-Pierce)

## Fitriani, Erna Tri Herdiani, M. Saleh AF
Kriteria  keputusan:  terima jika dan  tolak jika .
Untuk model AR(1) diperoleh hasil Ljung-Box statistics (Modified Box-Pierce) dari software Minitab.
Tabel 14. Hasil Ljung-Box statistics (Modified Box-Pierce) Chi-Square Statistic.
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square Statistic
Lag            12     24 Chi-Square   24,0   46,1 DF             10     22 P-Value     0,008  0,002
Berdasarkan  hasil  pengolahan  dengan  menggunakan  program  minitab  di  atas  untuk  model AR(1) maka, dapat dibuat ringkasan hasil Uji Ljung-Box pada Tabel 15.
Tabel 15. Hasil Uji Ljung-Box untuk Model AR(1). Lag (K) Df (K-m) Statistik Ljung-Box ( p-value 12 24 12-2= 10 24-2=22
24 46,1
0,008 0,002
Dari Tabel 13 menunjukkan bahwa pada pada lag 12 nilai p-value = 0,008 dan pada lag 24 nilai p-value =  0,002.  Artinya  hanya  pada  lag  24  yaitu  nilai p-value lebih  kecil  dari .  Hal  ini  berarti  bahwa ditolak  yang  artinya  sisanya  sudah  memenuhi  syarat White Noise .
Uji sisa kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov seperti tampak pada Gambar 8 yang diketahui bahwa nilai p-value , hal ini menyimpulkan bahwa data sudah memenuhi asumsi kenormalan.
500 250 0 -250 -500 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 sisaan Pe rc en t Mean -31,41 StDev 190,7 N 29 KS 0,157 P-Value 0,068 Probability Plot of sisaan Normal Gambar 8
Karena  asumsi White Noise dan kenormalan sudah terpenuhi maka model ini dianggap layak untuk digunakan dalam pemodelan data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat.

## 5. Kesimpulan
Nilai-nilai  data  hilang  pada  data  nilai  tukar  kurs  mata  uang  rupiah  terhadap  dollar Amerika  Serikat  berdasarkan    model  AR(1)  melalui  metode  OLS,  adalah  menggunakan model
Karena    asumsi White  Noise dan  kenormalan  sudah  terpenuhi  melalui  model  AR  (1),  maka model ini dianggap layak untuk digunakan dalam pemodelan data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat.

## Daftar Pustaka
[1] Aswi dan Sukarna, 2006. Analisis Deret Waktu. Andira Publisher, Makassar.
[2] Chi Fung D.S., 2006 .  Methods for the Estimation of Missing Values in Time Series. Perth, Western Australia.
[3] Ferreiro O., 1987. Methodologies for the Estimation of Missing Observation in Time Series . Chile.
[4] Little  R.J.A. dan  Rubin D.B., 1987. Statistical Analysis with Missing Data . John Wiley & Sons., New York.
[5] Mulyana, 2004. Analisis Data Deret Waktu . Universitas Padjadjaran, Bandung.
[6] Wei  W.W.S.,  1990. Time  Series  Analysis,  Univariate  and  Multivariate  Methods. Addison-Wesley Company Inc., New York.