Vol. 10, No. 2,  92-101,  Januari  2014

## Identifikasi Faktor Signifikan pada Rancangan Faktorial Fraksional dan
Fachrun Arifianto S., M. Saleh AF., Anisa

## Abstrak
Rancangan  faktorial  dengan  jumlah  faktor  yang  besar  cukup  sulit  diterapkan  pada bidang  industri,  dikarenakan  besarnya  jumlah  kombinasi  perlakuan.  Untuk  mengatasi  hal  tersebut digunakan  rancangan  faktorial  fraksional,  dimana  pada  rancangan  ini  mengurangi  jumlah  kombinasi perlakuan.  Pada  penelitian  ini,  digunakan  rancangan  faktorial  fraksional  dua-level  untuk  tiap  faktornya mempunyai  taraf  masing-masing  dua.  Selain  itu,  untuk  menentukan  faktor  yang  signifikan  diantara beberapa  faktor  pada  rancangan  faktorial  fraksional  akan  semakin  sulit  jika  data  yang  diamati  tanpa pengulangan. Hal tersebut disebabkan oleh tidak adanya rata-rata kuadrat error yang dapat diperoleh pada sebagian  besar  rancangan  faktorial  fraksional  tanpa  pengulangan.  Untuk  mengatasi  hal  tersebut,  dalam penelitian  ini  metode  lenth  yang  memberikan  suatu  analisis  formal  tentang  bagaimana  menentukan  suatu faktor signiﬁkan atau tidak dalam rancangan faktorial fraksional tanpa pengulangan.
Kata kunci :  faktorial fraksional, faktorial fraksional dua-level, data tanpa pengulangan, metode Lenth

## 1. Pendahuluan
Pengertian  rancangan  percobaan  (eksperimen)  adalah  suatu  tes  atau  serangkaian  tes dengan maksud mengamati dan mengidentifikasi perubahan-perubahan pada output respon yang disebabkan  oleh  perubahan-perubahan  yang  dilakukan  pada  variabel  input  dari  suatu  proses (Montgomery, 2005).
Eksperimen  yang  didasarkan  pada  rancangan  faktorial,  dimaksudkan  untuk  menentukan faktor  mana  diantara  sejumlah  faktor  yang  secara  potensial  memberikan  efek  pada  respon. Namun,  pada  rancangan  faktorial  dengan  jumlah  faktor  yang  besar  dan  diikuti  oleh  jumlah kombinasi  perlakuan  yang  besar,  eksperimen  menjadi  tidak  eﬁsien  untuk  dilakukan.  Sebagai contoh  apabila  digunakan  rangcangan  faktorial  2 k (dengan  k  adalah  jumlah  faktor  dan  2  adalah taraf/level),  maka  akan  dibutuhkan  sebanyak  2 k unit  eksperimen  untuk  satu  ulangan.  Hal  ini membutuhkan,  waktu,  tenaga,  dan  dana  yang  cukup  banyak.  Untuk  menurunkan  jumlah kombinasi perlakuan, digunakan rancangan faktorial fraksional.
Kelemahan  eksperimen  tanpa  pengulangan  adalah  tidak  terdapat  derajat  bebas  untuk mengestimasi σ 2 , tidak ada error dalam setiap perlakuan, yang berakibat pada sulitnya melakukan interpretasi  terhadap  efek  yang  dimungkinkan  berpengaruh  dan  semua  yang  berkaitan  dengan rata-rata  kuadrat  untuk  uji  signiﬁkan  statistik.  Dalam  menaksir  efek  faktor  yang  signiﬁkan  dari rancangan  faktorial  fraksional  tanpa  pengulangan  digunakan  Metode  Lenth.  Lenth  (1989) menggunakan  nilai margin  of  error atau  batas  kesalahan, simultan  margin  error dan pseudo sparsity of error untuk menentukan faktor yang signiﬁkan. 1
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## Fachrun Arifianto S., M. Saleh AF., Anisa
Adapun  tujuan  penulisan  ini  adalah  untuk  mengidentifikasi  Faktor  Signifikan  pada Rancangan Faktorial Fraksional . Penelitian dibatasi pada masalah pada rancangan faktorial fraksional dan .    Penggunaan k faktor  sama  dengan    empat  dan  lima  dengan  masing- masing fraksi ⁄ (one-half fraction) dan fraksi ⁄ (one-fourth fraction). Data yang digunakan adalah data tanpa pengulangan, dan metode yang digunakan ialah metode Lenth.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Rancangan Faktorial
Rancangan faktorial adalah rancangan yang menggunakan lebih dari satu faktor, dimana setiap  taraf  dari  faktor  dikombinasikan  dengan  taraf-taraf  faktor  lain  (Halim,  1992).  Pengaruh (efek)  suatu  faktor  pada  rancangan  faktorial  didefinisikan  sebagai  perubahan  nilai  respon  yang disebabkan  oleh  perubahan  taraf  faktor.Adapun  jenis–jenis  dari  efek  faktorial,  yaitu  Pengaruh (efek)  sederhana  (Simple  effects),  Pengaruh  utama  ( Main  effects ),  dan  Pengaruh  interaksi ( Interaction effects ).

## 2.2 Rancangan Faktorial 2 k
Seringkali  dalam  suatu  rancangan  faktorial,  ditemui  kondisi  di  mana  percobaan melibatkan k faktor  dan  setiap  faktor  terdiri  atas  2  level.  Rancangan  dengan  kondisi  demikian disebut  dengan  rancangan  faktorial  2 k .  Misalnya  sebuah  rancangan  percobaan  yang  terdiri  atas faktor  A  dan  B  dimana  masing-masing  faktor  tersebut  terdiri  atas  dua  buah  taraf  akan  ditulis sebagai  rancangan  faktorial  2 2 .  contohnya  pada  rancangan  faktorial yang  paling  sederhana yaitu rancangan faktorial yang menghasilkan 4 kombinasi perlakuan yang dapat dilambangkan dengan (1), ( a ), ( b), (ab ). Jumlah dari perkalian tanda dalam kolom suatu efek  dengan  kombinasi  perlakuan  yang  bersesuaian  akan  menghasilkan  suatu  kombinasi  linear yang disebut kontras. Kontras dari suatu efek dapat juga diperoleh dengan cara sebagai berikut :
(     )(     )   (     )                                                  ( ) Tanda plus dan minus ( ) dalam kurung akan dipilih minus jika faktor yang bersangkutan termasuk  dalam  kontras  efek  yang  akan  dihitung  dan  sebaliknya,  akan  dipilih plus jika  faktor yang bersangkutan tidak termasuk dalam kontras efek yang akan dihitung. Sementara angka “1” pada  hasil  akhir  penyelesaian  persamaan  (1)  di  atas  menunjukkan  kombinasi  perlakuan  (1). Selanjutnya, untuk menghitung estimasi efek sebagai berikut :
̂
(2)
(Montgomery, 2005).

## 2.3 Rancangan Faktorial Fraksional (FF)
Rancangan  faktorial  fraksional  dilakukan  jika  peneliti  dapat  mengasumsikan  bahwa interaksi orde tinggi (interaksi yang memuat lebih dari dua faktor) tertentu diabaikan, kemudian informasi  efek  utama  dan  interaksi  orde  rendah  (interaksi  yang  memuat  dua  atau  tiga  faktor) dapat diperoleh dengan mengerjakan hanya sebagian dari rancangan faktorial lengkap, akibatnya akan  ada  faktor-faktor  yang  mempunyai  sifat  yang  sama  dengan  faktor  lainnya  (Montgomery, 2005).
Dalam rancangan faktorial fraksional, karena hanya sebagian perlakuan yang dicoba, tidak seluruh  kombinasi,  maka  ada  sesuatu  yang  harus  dibayar  atau  dikorbankan,  sesuatu  tersebut adalah pembauran ( confounding ) antar pengaruh.

## 2.4 Rancangan Faktorial Fraksional Dua-Level
Rancangan faktorial fraksional dengan dua taraf atau level dinotasikan dengan , yang artinya rancangan ini mencobakan hanya (dimana k adalah banyaknya factor dan p adalah banyaknya  fraksi)  kombinasi  perlakuan  dari  seluruh kombinasi  perlakuan  lengkap  ( full- factorial  design ).  Fraksi  percobaan  dapat  diartikan  sebagai  seberapa  besar  proporsi  total  atau jumlah perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan faktorial fraksional. Struktur rancangan faktorial fraksional ditentukan oleh banyaknya faktor yang dicobakan dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur rancangan faktorial fraksional yang berbeda.
2.4.1 Fraksi ⁄ ( One – Half Fraction )  dari  Rancangan
Jika  dalam  suatu  percobaan  tidak  semua  kombinasi  perlakuan  dapat  dilakukan  maka digunakan replikasi fraksional yang hanya  melakukan sebagian atau setengah saja dari replikasi penuh.  Fraksi  yang  dilakukan  hanya ⁄ bagian  saja  dari  seluruh  kombinasi  perlakuan.  Jadi secara  umum  rancangan  faktorial  fraksional  ini  dapat  ditulis
.  Pada  rancangan  FF diperlukan generator sebanyak satu.
2.4.2 Fraksi (One-Quarter Fraction) dalam Rancangan faktorial 2 k Untuk dilakukan  eksperimen  faktorial  fraksional  seperempat  dari  rancangan
faktorial 2 k atau biasanya ditulis dengan rancangan faktorial fraksional 2 k-2 . Untuk  rancangan  faktorial  fraksional  2 k-2 diperlukan  2  pembangkit  (generator).  Jika  P  dan  Q adalah  pembangkit  yang  dipilih  maka  I  =  P  dan  I  =  Q  disebut  pembangkit  relasi  ( generating relation ). Relasi penentu selengkapnya dapat dituliskan sebagai berikut : I = P = Q = PQ. Alias dari  berbagai  efek  faktor  diperoleh  dari  perkalian  efek  faktor  tersebut  dengan  P,  Q,  dan  PQ menggunakan relasi modulus 2. Jadi setiap pengaruh memiliki 3 alias.

## 2.4.3 Jenis Khusus Rancangan Fraksional Faktorial 2 k
Menurut  Montgomery  (2001),  suatu  rancangan  dikatakan  beresolusi  R,  jika  tidak  ada pengaruh p -faktor  yang beralias dengan pengaruh – pengaruh yang mengandung lebih kecil dari faktor. Terdapat rancangan beresolusi III, IV dan V.

## 2.5 Penggunaan Metode Lenth pada Rancangan FF
Diberikan model rancangan faktorial fraksional untuk k variabel input
masing-masing faktor terdiri dari dua level dan pada tiap-tiap kombinasi perlakuan hanya dilakukan  satu  kali  pengamatan.  Hipotesis  yang  berkaitan  dengan  suatu  faktor  signifikan  atau tidak dalam memberikan pengaruh terhadap variabel respon, dirumuskan sebagai berikut :
Untuk  menguji  hipotesis  tersebut,  sebelum  mengkonstruksi  statistik  uji  terlebih  dahulu ditentukan  penaksir.  Dalam  metode  Lenth,  dikemukakan  dua  bentuk  penaksir  untuk mengidentifikasi  kontras  yang  signifikan,  yaitu  penaksir  awal  dan  penaksir  akhir.  Untuk  hal tersebut digunakan definisi yang dikemukakan oleh Halaand dan O’Connell (1995) yaitu :
( ) ( ) ( )
dimana
( ) ( )
dan   adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar.
a. Estimasi Awal,
Dengan  menggunakan  definsi  tersebut,  dapat  diperoleh  penaksir  awal, ,  dari  metode Lenth sebagai berikut :
( )               {| ̂ |}                                 ( ) b.
Estimasi Akhir,
Untuk  mendapatkan  estimasi  akhir  dari  metode  Lenth,  langkah  selanjutnya  adalah menentukan nilai ̂
̂ | ̂ | (| ̂ |       ) Pengujian hipotesis di bawah Ho : ̂
( ) ( )
dengan  persamaan  (3)  sebagai  estimasi  varian  Metode  Lenth,  sedemikian  hingga  statistik  uji sebagaimana diberikan pada persamaan (5) menjadi :
̂ | ̂ | ̂ c.
Batas Kesalahan (Margin Error (ME))
Untuk  menentukan  batas  kesalahan  dari  metode  Lenth,  yaitu  ME,  terlebih  dahulu ditentukan  nilai  kritis  berdasar  pemilihan dan  jumlah .  Untuk ,  didapatkan  batas kesalahan ( margin of error ) ditulis ̂ ( ) d. Batas Kesalahan Simultan, (Simultan Margin Error (SME))
SME dari metode Lenth dinyatakan sebagai berikut :
̂ ( )
Batas kesalahan simultan (SME) merupakan statistik yang digunakan untuk menentukan apakah suatu  faktor  signifikan  atau  tidak,  yaitu  estimasi  efek  faktor  yang  lebih  besar  dari  SME dinyatakan sebagai faktor yang signifikan. (Adnan Sauddin, 2006).

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1   Rancangan Faktorial Fraksional dan dengan Masing-Masing  Fraksi dan
Pada  bagian  ini  akan  dijelaskan  langkah-langkah  dalam  membuat  rancangan  faktorial fraksional dan dengan masing-masing  fraksi dan .

## 3.2.1. Rancangan Faktorial dan
Seperti yang dibahas pada bab 2 sebelumnya (bagian 2.2), sebelum membuat rancangan faktorial  terlebih  dahulu  ditentukan  pengaruh  utama  tiap-tiap  faktor  dan  pengaruh  interaksi faktor-faktor.

## 3.2.2. Rancangan FF dengan Fraksi
Untuk rancangan dengan fraksi
, dapat dituliskan dalam bentuk . Maka jumlah kombinasi  yang  terbentuk  adalah  8  kombinasi.  Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah membentuk generator yang terbaik untuk rancangan ini.

## Fachrun Arifianto S., M. Saleh AF., Anisa
Menurut  Winarni,  2006  Sebelum  kita  membentuk  generator,  ada  beberapa  hal yang  perlu kita perhatikan dalam membentuk generator yaitu :
 Generator  yang  dibentuk  tidak  hanya  dengan  satu  huruf  sehingga  akan  membentuk defining  relation yang  terdiri  dari  dua  huruf.  Hal  ini  dilakukan  agar  faktor  utama  tidak saling terpaut.
 Generator  kedua  yang  dibentuk  (untuk  fraksi  yang  lebih  kecil  dari )  tidak  melibatkan faktor  pada  generator  pertama  karena  akan  menghasilkan  struktur  yang  sama  dengan struktur yang lain.
Ada  4  generator  yang  terpilih  selanjutnya  kita  akan  mencari  defining  relation  dan  alias tiap  generator  untuk  mendapatkan  rancangan  yang  terbaik.  Untuk  generator    D  =  AB,  yang dimana  untuk  mendapatkan  nilai  faktor  D  dengan  mengalikan  faktor  A  dan  faktor  B,  maka defining relation :
Untuk mendapatkan alias, kita kalikan faktor (faktor-faktor beserta interaksinya) dengan defining  relation .  Yang  selatnjutnya  diselesaikan  dengan  aljabar  modulo  2.  Sehingga  faktor- faktor yang beralias sebagai berikut :
Generator
ini kita sebut dengan rancangan I, selanjutnya dengan cara yang sama kita akan melakukan hal yang sama untuk generator yang lainnya. Selanjutnya kita akan memilih rancangan  yang  terbaik  untuk  rancangan  FF .  Pemilihan  struktur  rancangan  berdasarkan kriteria  rancangan  terbaik  memiliki  dua  kriteria  yang  harus  dipenuhi,  yaitu  :  1.  Resolusi maksimum,  2. Minimum  aberration (Montgomery,  2005).  Resolusi  maksimum  diberikan  agar pengaruh faktor yang penting dapat diduga. Hal ini berkaitan dengan clear effet , yaitu pengaruh faktor  penting  yang  tidak  terpaut  dengan  pengaruh  faktor  penting  lainnya.  Rancangan  dengan resolusi  tinggi  adalah  rancangan  terbaik  karena semakin  tinggi  resolusi  sebuah rancangan  maka akan  semakin  banyak clear  effect .  Secara  umum,  resolusi  dari  sebuah  rancangan  sama  dengan jumlah huruf terkecil pada defining relation . Pada rancangan yang memenuhi kriteria minimum aberation , defining  relation terpendek  merupakan  penentu  tingkat  resolusi.  Meminimumkan defining  relation terpendek  berarti  meminimumkan  banyaknya  pengaruh  interaksi  tingkat rendah yang saling terpaut.
Dari  kriteria  pemilihan  rancangan  terbaik  didapatkan  resolusi  maksimum  dengan generator .  Selanjutnya  ditentukan  nilai  taksiran  pengaruh  utama  dan  interaksi  dua factor. Maka sesuai pada persamaan 1 dan 2, nilai taksiran pengaruh utama sebagai berikut :
( ( )                                     ) (8) ( ( )                                     ) (9) ( ( )                                     ) (10) ( ( )                                     ) (11) Demikian pula halnya untuk pengaruh interaksi dua faktor yaitu : (( )                                     ) (12) (( )                                     ) (13) (( )                                     ) (14)
Untuk nilai taksiran yang lainnya, baik interaksi dua faktor maupun interaski tiga faktor, nilainya taksirannya  sama  dengan  taksiran  pengaruh  utama  dan  interaksi  dua  faktor  diatas  karena  telah beralias atau dibaurkan dengan pengaruh utama dan interaksi dua faktor.

## 3.2.3. Rancangan FF dengan Fraksi

## Fachrun Arifianto S., M. Saleh AF., Anisa
Untuk rancangan dengan fraksi , dapat dituliskan dalam bentuk . Maka jumlah kombinasi yang terbentuk adalah 4 kombinasi. Cara pengerjaan fraksi hampir sama dengan pengerjaan  fraksi .  Bedanya,  untuk  rancangan  faktorial  fraksional  2 k-2 diperlukan  2 pembangkit.  Jika  P  dan  Q  adalah  pembangkit  yang  dipilih  maka  I  =  P  dan  I  =  Q  disebut pembangkit  relasi  ( generating  relation ).  Relasi  penentu  selengkapnya  dapat  dituliskan  sebagai berikut  :  I  =  P  =  Q  =  PQ.  Alias  dari  berbagai  efek  faktor  diperoleh  dari  perkalian  efek  faktor tersebut dengan P, Q, dan PQ menggunakan relasi modulus 2. Jadi setiap pengaruh memiliki 3 alias. Untuk bentuk , mempunyai generator C dan D.
Dengan mengikuti syarat pemilihan generator, maka yang tersisa untuk generator dan .  Dengan  demikian  faktor  C  dan  D  menyebabkan  pengaruh  utama  tertentu terpaut dengan  pengaruh  utama  lain  padahal  faktor  utama  tersebut  yang  ingin  diduga.  Pendugaan terhadap  kedua  pengaruh  faktor  utama  tersebut  tidak  dapat  dilakukan  karena  kedua  pengaruh utama saling terpaut. Sehingga untuk pengerjaan FF tidak dapat dilakukan.

## 3.2.4. Rancangan FF dengan Fraksi
Untuk rancangan dengan fraksi , dapat dituliskan dalam bentuk
.  Maka jumlah kombinasi  yang  terbentuk  adalah  16  kombinasi.  Sama  halnya  dengan dengan  fraksi , terlebih  dahulu  dicari  generator,  defining  relation,  dan  alias  yang  sesuai  dengan  rancangan. Selanjutnya  dipilih  rancangan  terbaik  dengan  melihat  resolusi  maksimum  dari  tiap  rancangan. Maka  terpilihlah  generator  dengan
dengan defining  relation
,  karena mempunyai Rancangan resolusi V yang merupakan resolusi maksimum dari rancangan FF
. Pada  rancangan  ini  faktor  utama  dan  pengaruh  interaksi  dua  faktor  adalah clear  effect ,  yang artinya pengaruh faktor utama dan pengaruh interaksi dua faktor dapat diduga.
Maka sesuai pada persamaan 1 dan 2, nilai taksiran pengaruh utama sebagai berikut :
( ) (15) ( ) (16) ( ) (17) ( ) (18) ( ) (19)
Demikian pula halnya untuk pengaruh interaksi dua faktor yaitu :
( ) (20)
( ) (21)
( ) (22) ( ) (23) ( ) (24)
(
) (25)
( ) (26)
( ) (27)
( ) (28)
(
) (29)
Untuk  nilai  taksiran  yang  lainnya  telah  beralias  atau  dibaurkan  dengan  pengaruh  utama dan interaksi dua faktor.

## 3.2.5. Rancangan FF dengan Fraksi
Rancangan faktorial fraksional dengan fraksi , biasa disebut rancangan  FF
. Pada  rancangan  ini  memakai  dua  generator  yaitu  D  dan  E.  Faktor  D  memiliki  4  kemungkinan generator  dan  faktor  E    juga    memiliki  4  kemungkinan  generator  yang  bisa  dibentuk,  dengan demikian  maka  ada kemungkinan  struktur  rancangan  yang  bisa  dibentuk.  Seleksi pertama  dengan  melihat  resolusi  maksimum.  Dari  16  rancangan  hanya  12  rancangan  yang mempunya  resolusi  III.  Ini  dilihat  dari  pengaruh  faktor  utama  masing-masing  rancangan  yang beralias  atau  dibaurkan  dengan  interaksi  dua  faktor.  Karena  pada  seleksi  pertama  tidak didapatkan  rancangan  terbaik  maka  dilanjutkan  pada  tahap  seleksi  kedua.  Dan  tahap  seleksi kedua  untuk  memilih  rancangan  terbaik  dapat  dilihat  pada Minimum  aberration. Rancangan minimum-aberration (MA) adalah rancangan yang meminimalkan banyaknya kata dalam defining relation yang panjangnya minimum.  Rancangan minimum aberration meminimalkan banyaknya interaksi tingkat rendah (dua faktor) yang saling berbaur atau beralias. Untuk banyaknya interaksi tingkat rendah (dua faktor) yang saling berbaur atau beralias pada ke-12 rancangan adalah sama yaitu  3.  Maka Minimum  aberration 12  rancangan  sama,  sehingga  12  rancangan  ini  dikatakan rancangan  yang  terbaik.  Selanjutnya  untuk  pemilihan  rancangan  berdasarkan  faktor-faktor  yang ingin  diidentufikasi,  contohnya  pada  tugas  akhir  ini  ingin  diidentifikasi  faktor  siginifikan  pada faktor  utama  A,  B,  C,  D,  dan  E    serta  interaksi  BC  dan  BE  maka  kita  menggunakan  generator
dan .
Maka sesuai persamaan 1 dan 2, nilai taksiran pengaruh utama sebagai berikut :
(                                          ) (                                          ) (                                          ) (                                         ) (                                         ) Demikian pula halnya untuk pengaruh interaksi dua faktor yaitu : (                                         ) (                                          )

## 3.2. Penggunaan Metode Lenth pada Rancangan FF dan
Metode lenth merupakan metode yang digunakan untuk  menganalisa data faktorial tanpa pengulangan. Metode ini memiliki kemampuan yang baik dalam mendeteksi efek yang signifikan dalam  data  faktorial  tanpa  pengulangan.  Pada  tugas  akhir  ini  metode  lenth  digunakan  dalam sebuah contoh kasus faktorial fraksional dan .

## 3.2.1. Metode Lenth pada kasus Rancangan FF
Pada kasus rancangan FF , data yang digunakan adalah, panjang tanaman kacambah kacang  ijo  (cm)  yang  merupakan  variabel  respon  dan  adapun faktor-faktor  yang  mempengaruhi yaitu  media  tumbuh  ( A ),  cahaya  ( B ),  Frekuensi  Penyiraman (C), kadar  Air  ( D ).  Pada  kasus  ini ingin  diketahui  faktor-faktor  mana  saja  yang  signifikan  mempengaruhi  panjang  tanaman kecambah. Untuk FF fraksi yang akan digunakan adalah fraksi dengan generator dan jumlah run 8 dengan model sebagai berikut :
Pengujian  dengan  menggunakan  metode  klasik  tidak  memungkinakan  untuk mendapatkan  faktor-faktor  yang  signifikan  mempengaruhi  variabel  respon,  hal  ini  dikarenakan tidak  adanya  nilai  dari  jumlah  kuadrat  error.  Tanda  (**)  yang  muncul  pada  tabel  anova disebabkan  oleh  tidak  adanya  pengulangan  untuk  tiap  kombinasi  perlakuan  dan  derajat  bebas error adalah  0.  Untuk  itu  pengujian  selanjutnya  menggunakan  metode  lenth.  Dengan  hipotesa sebagai berikut :
dimana Untuk mendapatkan nilai estimasi awal , terlebih dahulu dicari nilai taksiran pengaruh faktor utama dan interaksi yang diberikan pada persamaan 9 sampai 15. Adapun nilai taksirannya setelah dimutlakkan dan diurutkan dari yang terbesar ke yang terkecil:
Median dari nilai yang telah diurutkan adalah . Maka didapatkan nilai estimasi awal sesuai pada persamaan 4 yaitu :
{| ̂ |}
Untuk  menghilangkan  nilai  pengaruh-pengaruh  yang  lebih  besar  daripada ,  maka ditingkatkan 2,5 kali dari semula untuk mendapatkan nilai median | ̂ | .
Maka didapatkan nilai estimasi akhir ̂
sesuai persamaan 5 yaitu
̂ | ̂ | | ̂ | (             )
Dengan nilai (lihat tabel distribusi-t), sehingga nilai margin error (ME)
sesuai persamaan 2.7 yaitu :
̂ dan nilai simultan margin error (SME) sesuai persamaan 8 yaitu :
̂
Untuk  menyatakan  faktor  yang  signifikan  dari  metode  lenth  adalah  nilai  taksiran pengaruh  utama  dan  interaksi  yang  lebih  besar  dari
,  faktor  tersebut  adalah  cahaya ( ) . Sehingga ditolak dan diterima.

## 3.2.2. Metode Lenth pada kasus Rancangan FF
Pada kasus rancangan FF , data yang digunakan adalah, panjang tanaman kacambah (cm) yang merupakan variabel respon dan adapun faktor-faktor yang mempengaruhi sama dengan pada kasus rancanagan FF yaitu Media Tumbuh ( A ), Cahaya ( B ), Frekuensi Penyiraman (C), kadar Air ( D ) dan ditambahkan satu faktor yaitu Kelembapan ( E) . Untuk FF fraksi yang akan digunakan  adalah  fraksi .  Pada  fraksi digunakan  generator
dan  jumlah  run  16 dengan model sebagai berikut :

## Fachrun Arifianto S., M. Saleh AF., Anisa
Pengujian  dengan  menggunakan  metode  klasik  (Anova)  tidak  memungkinakan  untuk mendapatkan  faktor-faktor  yang  signifikan  mempengaruhi  variabel  respon,  hal  ini  dikarenakan tidak adanya nilai dari jumlah kuadrat error. Kasus ini sama dengan rancangan FF 2 4 , dikarenakan data  yang  digunakan  tanpa  pengulangan  sehingga  derajat  bebas error adalah  0.  Pengujian selanjutnya menggunakan metode lenth, dengan hipotesa sebagai berikut :
dimana
Untuk mendapatkan nilai estimasi awal , terlebih dahulu dicari nilai taksiran pengaruh faktor  utama  dan  interaksi  yang  diberikan  pada  persamaan  21  sampai  29.  Adapun  nilai taksirannya setelah dimutlakkan dan diurutkan dari yang terbesar ke yang terkecil :
Median  dari  nilai  yang  telah  diurutkan  adalah
.  Maka  didapatkan  nilai-nilai  dari  metode lenth sebagai berikut :
{| ̂ |}
̂ | ̂ | | ̂ | (             )
Dengan  nilai
(lihat  tabel  distribusi-t),  sehingga  nilai  margin  error  (ME)  sesuai persamaan 2.7 yaitu :
̂
dan nilai simultan margin error (SME) sesuai persamaan 8 yaitu :
̂
Untuk menyatakan faktor yang signifikan dari metode lenth adalah nilai taksiran pengaruh utama dan interaksi yang lebih besar dari , faktor tersebut adalah cahaya ( ) dan interaksi antara cahaya dan kelembapan (  ) . Sehingga ditolak dan diterima.

## 5. Kesimpulan dan Saran

## 5.1. Kesimpulan
Dari hasil pembahasan, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Rancangan  Faktorial  Fraksional  (FF)  digunakan  untuk  mengurangi  jumlah  kombinasi  pada rancangan  faktorial  dan  bertujuan  untuk  memberikan  informasi  penting  tentang  pengaruh utama  dan  pengaruh  interaksi  dua  faktor  yang    berpengaruh  pada  variabel  respon  dimana melibatkan banyak k faktor. Hal ini memberikan efisiensi biaya dan waktu.
2. Pemilihan rancangan terbaik berdasarkan resolusi maksimum dan minimum abberation .
3. Metode Lenth baik digunakan untuk mengidentifikasi faktor yang signifikan pada data tanpa pengulangan. Adapun faktor signifikan yang diperoleh sebagai berikut:
 Untuk rancanagan FF , faktor signifikan yaitu Cahaya (B)
 Untuk  rancanagan  FF
,  faktor  signifikan  yaitu  Cahaya (B) dan  interaksi  antara Cahaya ( B ) dan Kelembapan ( E ).
Dari  hasil  tersebut  dapat  dilihat  bahwa  faktor  Cahaya  ( B )  mempunyai  pengaruh  yang signifikan terhadap pertumbuhan panjang tanaman kecambah kacang ijo (cm).
5.2. Saran

## Fachrun Arifianto S., M. Saleh AF., Anisa
Dalam  rancangan  faktorial  fraksional  yang  telah  dibahas,  ada  baiknya  menggunakan faktor yang lebih besar untuk mengidentifikasi faktor yang signifikan pada rancanagan tersebut. Dan  menggunakan  metode  lenth  untuk  menguji  faktor  signifikan  pada  faktorial  lengkap  ( full factorial ).

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Halim,  Citra.1992.  “Replikasi  Fraksional  dalam  Eksperimen  2 k ”.  Jurusan [1]Ma tematika, UNHAS
[2] Halaand,  D.P  dan  O’Connell,  M.A.”Inference  for  Effect-Saturated  Fractional Factorials ”.Statistics Sinica 3 , pp 209-217
[2] Lenth, R.V.1989.”Quick and Easy Analysis of Unreplicated Factorial ”.   Technometrics 31, pp 469-473.
[4] Mattjik,  Ahmad  A.  dan  Sumertajaya,  Made.  “Perancangan  percobaan  jilid  1 ”. Intstitut Pertanian Bogor (IPB), Bogor.
[5] Montgomery, D.C.2005. “ Design and Analysis of Experiment 5 th Edition”.John Wiley & Sons Inc., New York
[6] Nurhayati,  Nunung.  2008. “Biologi  Bilingual  untuk  SMA/MA Kelas XII  Semester 1  dan 2 ” . Yrama Widya, Bandung.
[7] Sartono, Bagus.2008. “ Rancangan Faktorial Pecahan ”. JurusanStatistika, IPB.
[8] Sauddin,  A.  2006.”  Identifikasi  Faktor  Signifikan  Rancangan  Faktorial  Fraksional  Tanpa Pengulangan dengan Metode Bissell, Lenth, dan Fang”. Jurusan Statistika, ITS.
[9] Winarni, Sri. 2006. “Kajian pada Rancangan Frfactional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot ”. Jurusan Statistika, IPB.