## Comparing of Car-Bym, Generalized Poisson, and Negative
Binomial on Tuberculosis Data in Banyumas Districs *
Pembandingan Model Car-Bym, Generalized Poisson, dan Binomial Negatif pada Data Tuberkolosis di Kabupaten Banyumas
Jajang 1 , Budi Pratikno 2 , and Mashuri 3
1,2,3 Universitas Jenderal Soedirman, Indonesia ‡corresponding author: rzjajang@yahoo.com
Copyright © 2021 Jajang, Budi Pratikno, and Mashuri.  This is an open-access article distributed under the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use,  distribution,  and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
In 2019 the number of people with TB (Tuberculosis) in Banyumas, Central Java, is high  (1,910  people  have  been  detected  with  TB).    The  number  of  people  infected Tuberculosis  (TB)  in  Banyumas  is  the  count  data  and  it  is  also  the  area  data.    In modeling, the parameter estimation and characteristic of the data need to be considered. Here,  we  studied  comparing  Generalized  Poisson  (GP),  negative  binomial  (NB),  and Poisson and CAR.BYM model for TB cases in Banyumas.  Here, we use two methods for parameter estimation, maximum likelihood estimation (MLE) and Bayes.  The MLE is used for GP and NB models, whereas Bayes is used for Poisson and CAR-BYM.  The results  showed  that  Poisson  model  detected  overdispersion  where  deviance  value  is 67.38 for 22 degrees of freedom.  Therefore, ratio of deviance to degrees of freedom is 3.06 (>1).  This indicates that there was overdispersion.  The folowing GP, NB, Poisson- Bayes and CAR-BYM are used to modeling TB data in Banyumas and we compare their RMSE.    With  refer  to  RMES  criteria,  we  found  that  CAR-BYM  is  the  best  model  for modeling TB in Banyumas because its RMSE is smallest.
Keywords : CAR-BYM, generalized poisson, negative binomial, TB.
* Received: Des 2020; Reviewed: Mar 2021; Published: Mar 2021

## 1.  Pendahuluan
Kasus  Tubercolosis  (TB)  merupakan  masalah  diberbagai  wilayah.    Di  Kabupaten Banyumas  Jawa  Tengah  pada  tahun  2019  kasus  TB  masih  tergolong  tinggi  yaitu sekitar  banyak  1.910  kasus.    Penyakit  TB  disebabkan  oleh  kuman/bakteri Mycobacterium  tuberculosis.  Kuman  ini  menyebar  melalui  udara  ketika  penderita batuk,  bicara,  tertawa  dan  atau  bersin.    Persebaran  secara  global  sebuah  penyakit infeksi  yang  tidak  terpola  dapat  mengancam  kesejahteraan  manusia,  keluarga  dan bahkan kesehatan margastwa lainnya.   Pengenalan pola persebaran penyakit menjadi penting untuk manajemen, pengendalian penyakit, dan pengambilan kebijakan yang diperlukan  (Iddrisu & Amoako, 2016).
Jumlah kasus yang kena penyakit termasuk kedalam tipe data cacah ( count data ) yang  diasumsikan  mengikuti  distribusi  Poisson.    Model  regresi  yang  relevan  adalah model  Poisson  yang  menggunakan link  function  log. Pada  model  regresi  Poisson mengasumsikan  bahwa  mean  dan  variansinya  sama  atau  disebut  sebagai  asumsi equidispersion .    Penyimpangan  dari equidispersion baik  itu overdispersion atau underdispersion dapat  disebabkan  oleh  berbagai  hal,  salah  satu  penyebab overdispersi  adalah  adanya  kluster-kluster  (McCullagh  &  Nelder,  1989).    Kondisi overdispersion tidak  jarang  muncul  pada  data  lapangan  dan  oleh  karena  itu penggunaan model regresi Poisson tidak relevan lagi.  Beberapa model alternatif untuk pemecahan terhadap permasalahan ini antara lain adalah model generalized Poisson (GP) dan binomial negatif ( negative binomial , NB), dan Model Poisson  Log Normal. Model  Poisson-Log  Normal  diturunkan  dari  campuran  distribusi  Poisson  dengan  log normal.  Model  ini  mengasumsikan  bahwa  parameter  pada  distribusi  Poisson mempunyai  tingkat  heteroskedastisitas  yang  signifikan.    Dalam  kasus  terjadinya overdispersi, kodisi heteroskedastisitas merupkan hal yang mungkin.  Oleh karenanya maka perlu model yang dapat mengakomodasi adanya kasus ini. Banyak model yang dapat  digunakan  untuk  mengatasi  terjadinya  masalah  heteroskedastisitas,  satu diantaranya adalah model Conditional Autoregressive (CAR) .
Model CAR sering digunakan untuk menggambarkan variasi spasial kuantitas yang menarik dalam bentuk ringkasan atau agregat atas sub wilaya atau area.  Model CAR telah  banyak  digunakan  dalam  berbagai  bidang  seperti  bidang,  seperti  demografi, ekonomi,  epidemiologi  dan  geografi    (De  Oliveira,  2012).  Model  CAR  juga  sering digunakan  untuk  menganalisa  data  spasial  yang irregular (Kyung  &  Ghosh,  2014) . Salah satu tipe model CAR dalam memodelkan data cacah adalah model log normal Poisson (Besag & Kooperberg, 1995) .  Dalam model CAR Besag-York -Mollie (CAR- BYM) mencakup  komponen Intrinsic CAR  untuk  pemulusan  spasial  dan  komponen pengaruh  acak  untuk  efek  heterogenitas  non  spasial. Model  CAR-BYM  mempunyai kelebihan  karena  dapat  menangkap  efek  spasial  dan  non  spasial.  Namun  demikian tentu masalah estimasi parameter menjadi hal yang perlu diperhatikan dalam model ini.    Efek  distribusi conditional akan  berdampak  pada  perlunya  pemilihan  metode estimasi yang sesuai.  Beberapa metode estimasi Bayes dan model CAR-BYM telah dikaji diantaranya adalah  oleh (Aswi et al., 2020; Obaromi, 2019).
Metode estimasi bayes eksak untuk mengestimasi parameter melibatkan distribusi prior  pada  parameter-parameter  model.    Dari  distribusi  prior  ini  selanjutnya  dicari distribusi  posterior  menggunakan  konsep  peluang  bersyarat.    Untuk  menentukan distribusi  posterior  dari  parameternya  tentu  akan  menjadi  kesulitan  tersendiri  ketika
melibatkan banyak parameter.  Oleh karena itu metode bayes melalui Markov Chain Monte  Carlo (MCMC)  merupakan  pilihan  yang  realistis.    Metode  estimasi  bayes dengan  ( Bayesian  estimation )  MCMC  merupakan  metode  yang  handal  dalam menangani masalah model CAR.  Metode MCMC telah banyak dikaji oleh para peneliti di bidang medis, antara lain (Han & Lee, 2013; Hendricks & Neumann, 2020; MacNab et al., 2004; Srinivasan & Venkatesan, 2014; Stern & Cressie, 2000). Berkaitan dengan beberapa  hal  sebagaimana  telah  dipaparkan  di  atas  maka  kajian  terkait  dengan masalah model CAR seperti manfaat  yang sangat luas dalam berbagai  bidang, dan metode estimasi parameter, maka perlu kajian dan uji performa dari model.  Untuk itu penelitian  ini  bertujuan  untuk  membandingkan  beberapa  model  data  cacah  yang mengalami  overdispersi  dengan  menggunakan  model generalized Poisson  (GP), negative binomial (NB), dan CAR-BYM.

## 2.  Metodologi

## 2.1 Bahan dan Data
Data yang digunakan adalah data sekunder diperoleh dari Dinas Kesehatan (Dinkes) Kabupaten Banyumas dan  data Badan Pusat Statistik (BPS) Kabupaten Banyumas. Data yang digunakan dalam penelitian adalah data TB di Kabupaten Banyumas tahun 2019.    Variabel-variabel  penelitian  yang  digunakan  adalah  banyaknya  orang  yang kena  TB.    Sedangkan  beberapa  variabel  yang  dianggap  mempengaruhi  jumlah  TB adalah  banyaknya  rumah  sehat,  banyaknya  yang  kena  HIV,  banyaknya  yang  kena diabetes, total jumlah penduduk dan persentase laki-laki.

## 2.2 Metode Penelitian
Sebelum ke Langkah-langkah teknis, awal metode penelitian yang digunakan adalah dengan  mengulas  data  area  dan  matriks  pembobot  spasial.    Bahasan  kedua  hal  ini untuk  menghubungkan  antara  data  kasus  TB  dengan  model  yang  akan  digunakan. Berikutnya  adalah  masuk  ke  langkah-langkah  teknis.    Tahapan  penelitian  yang dilakaukan terdiri  dari  lima. Pertama  membentuk fungsi likelihood  dari fungsi massa peluang  Poisson,  NB  dan  GP.  Kedua,  menurunkan  fungsi  likelihood  untuk mendapatkan estimator. Ketiga, memodelkan data TB menggunakan software R 4.0.0. Keempat  mengevaluasi  model  dengan  cara  membandingkan  tingkat  akurasinya menggunakan kriteria RMSE dan plot grafik.

## 2.2.1 Data area dan matriks pembobot spasial
Tipe data area mempunyai karakteristik dimana D yang bersifat tetap dipartisi ke dalam jumlah berhingga unit area yang saling terpisah (Banerjee et al., 2014; Cressie, 1993; Gaetan  &  Guyon,  2010).    Pemodelan  pada  data  spasial  melibatkan  matriks,  yang disebut  matriks  pembobot  spasial.    Matriks  pembobot  spasial  ( W= { w ij } ,  i,j=1,2,…,n, ) adalah sebuah matriks  tak  negatif  berukuran nxn .  Matriks  pembobot  spasial  yang sering  digunakan  bernilai  0  dan  1  yang  menggambarkan  keeratan  antar  wilayah. Misalkan W= { w ij } , i,j=1,2,…,n, w ij adalah elemen i dan j , dimana w ij =1 jika antar spasial saling  berdekatan  atau  mempunyai  batas  bersama,  dan  selainnya  bernilai  nol,  dan untuk w ii =0.

## 2.2.2 Model Poisson, GP dan NB
Model  Poisson  adalalh  model  yang  digunakan  untuk  data  respon  cacah  yang berdistribusi Poisson.  Misalkan ) ( ~ i i Poi Y  , maka fungsi massa peluang (pmf) dari Y i adalah sebagai berikut
,.... , , , ! ) ( 2 1 0 =  =  − i i y i i y y e y p i i , i i i i Y Var Y E  =  = ) ( , ) ( ,     (1)
Distribution Poisson termasuk keluarga eksponensial dan dapat dinyatakan sebagai
  i i i y i i e y y p   − = ) ln( ! 1 ) ( ,  sehingga link  function model  adalah  log, i e i i i     =  = ) ln( .
Jika terdapat k (X j , j=1,2,…,k) variabel prediktor, maka fungsi g , ( ) ( ) ln i i i g X     = = 
untuk  estimasi  Parameter  Model  Poisson  dengan  MLE,  tahap  awal  yang  dilakukan adalah membentuk fungsi likelihood. Dalam model Poisson untuk memaksimumkan fungsi  likelihood  bedasarkan  parameter-parameternya  raltif  sulit.    Oleh  karenanya fungsi likelihood ditransformasi ke log likelihood .  Transformasi logaritma ini tidak akan mengubah kerelevanan memaksimumkan antara fungsi likelihood dan log likelihood karena  fungsi  logaritma  bersifat  monoton  naik.    Fungsi  likelihood  merupakan  fungsi Bersama atau fungsi gabungan dari fungsi massa peluang   i i i y i i e y y p   − = ) ln( ! 1 ) ( dengan
i e i i i     =  = ) ln( .  Dari  sini  dapat  dibentuk  log  likelihoodnya.    Untuk memaksimumkan fungsi loglikelihood, dapat dilakukan dengan mencari titik stasioner, yaitu nilai nilai-nilai parameter sedemikian sehingga nilai fungsi likelihood maksimum. Turunan-turunan fungsinya adalah
( ) 1 0 ( ; ) exp n i i i y y X =     = −          , dan ( ) 1 ( ; ) exp ; 1, 2,..., n i i i i j y y X x j k =     = − =           (2)
Model  regresi  NB  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  data  Poisson  yang mengalami overdispersion ataupun underdispersion .    Fungsi massa peluang binomial negative adalah
1 1 ( ) 1 1 ( , , ) exp ln ln ln 1 1 ! ( )  
 +     = + +        + +          m m y m f y m y m m m y     (3)
Selanjutnya,  dengan  membuat  fungsi  likelihood  dan  log  likelihood.    Fungsi loglikelihood distribusi binomial negative adalah
( ) 1 1 1 ( ) 1 1
ln , ln exp ln ln ln 1 1 ! ( ) n i i m i i i i i m y m L m y m m m y =    +     = + +       + +       
 
     (4)
maka  akan  diperoleh  turunan  pertama  fungsi  log  likelihood  model  binomial  negatif terhadap   Turunan-turunan tersebut adalah
( ) ( ) ( ) 1 0 exp ,
; 1 exp n i i i i y x m
m x =  −  =   +       dan ( ) ( ) ( ) ( ) 1 exp , ; 1, 2,...,
1 exp n ij i i i j i x y x m j k m x =  −  = =    +       (5)
Selanjutnya turunan pertama terhadap parameter disperse, m :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 exp , 1
1 1 ln 1 exp 1 exp n i i i i i i m y x m m x y m m m m
m x =     −           = +  + + + −               +               .                  (6)
Disamping  model  binomial  negative,  model  lain  yang  dapat  digunakan  untuk mengatasi  masalah  penyimpangan  terhadap  equidispersi  adalah  model  Regresi Generalized Poisson  (GP).    Model  GP  dapat  digunakan  baik  dalam  keadaan underdispersion , equidispersion , ataupun overdispersion .  Fungsi  massa peluang GP adalah
( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , exp 1 ! 1 i i y y i i i i i i i my my f y m m y m − + − +     =      + +     
    (7)
Sama  halnya  dengan  pada  distribusi  binomial  negative,  untuk  mengestimasi parameter  model  pada  model  GP  adalah  membentuk  likelihood  dan  loglikelihood. fungsi log likelihood model GP.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , ln 1 ln 1 ln 1 ;
1 1 n i i i i i i i i i i my m y y my y m m = − +    
= + − + − −  +     + +           (8)
Turunan pertama terhadap 0 dan j   :
( ) ( ) ( ) 2 1 0 exp( ) ; 1 , exp( ) n i i i i y x m m x =  −  =   +       dan ( ) ( ) ( ) 2 1 exp( ) ; 1, 2,..., 1 exp( , ) n i i ji i j i y x x j k m x m     =  −  = =    +  
(9)
Turunan pertama terhadap m :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 exp exp exp 1 1 1 exp 1 xp , e n i i i i i i i i i i i y x x y x y y m my m x m x m       =        −    −   = − + −    +  +     +     
 .                     (10)
Estimasi  parameter  untuk  regresi  Poisson,  binomial  negatif,  dan generalized Poisson  menggunakan  iterasi  Newton-Raphson.  Estimasi  parameter  dengan  iterasi Newton-Raphson menggunakan nilai turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi log-likelihood sebagai dasar estimasi parameter, yaitu:
( ) ( ) 1 2 ; 0,1, 2,..., . j j j j j k     +  = − =  (11)
dengan 1 dan j j   + adalah  parameter  untuk   0 1 2 , , ,..., k      = pada  iterasi  ke j+1 dan j untuk iterasi Newton-Raphson.

## 2.2.3 Model Poisson Spasial Estimasi Bayesian
Metode  Estimasi  Bayesian  ditentukan  oleh  distribusi  posterior.  Misalkan 𝑦 𝑖 ,  untuk i=1,2,…,n adalah sampel acak yang dari probability density function 𝑃(𝑦|𝜃) , dengan 𝜃 adalah  vector  parameter 𝜃 = (𝜃 𝑖 , … , 𝜃 𝑝 ) maka  fungsi  densitas  bersama  adalah Ambil untuk satu parameter 𝜃 , dengan distribusi priornya 𝑝(𝜃) , maka distribusi posteriornya
𝑃(𝜃|𝑦)   = 𝑃(𝑦,𝜃) 𝑝(𝑦) = 𝑃(𝑦|𝜃)𝑃(𝜃) 𝑝(𝑦) (12)
Estimator dengan metode Bayes adalah θ̂ = E(θ|y) (Ibrahim et al., 2001).

## 2.2.4  Model Conditional Autoregressive (CAR)
Model  CAR  didasari  oleh  model  Poisson  lognormal.  Model  Poisson-Lognormal diturunkan  dari  campuran  distribusi  Poisson  dengan  lognormal.  Model  ini mengasumsikan  bahwa  parameter  Poisson  mempunyai  tingkat  heteroskedastisitas signifikan,  sehingga  dimodelkan  kembali.    Misalkan Y i variable  acak  yang  mengikuti distribusi  Poisson, 𝒀 𝒊 ~𝑷𝑶𝑰(𝝁 𝒊 ), 𝝁 𝒊 = 𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 dan 𝜽 𝒊 = 𝒆𝒙𝒑(𝜼 𝒊 ). , 𝜼 𝒊 = 𝑿 ′ 𝜷 + 𝝂 𝒊 , 𝝂 𝒊 mempunyai struktur CAR. Model log normal  didefinisikan sebagai
𝑙𝑜𝑔(𝜇 𝑖 ) = 𝑙𝑜𝑔(𝐸 𝑖 ) +   𝑥 𝑖 ′ 𝛽 + 𝜈 𝑖 (13)
dengan μ i adalah mean Y i , log(E i ) adalah offset , 𝐱′ 𝐢 ’ adalah vektor variabel prediktor, β vektor  parameter, ν i error  yang  mengikuti  CAR.  Fungsi  likelihood  dari 𝜃 𝑖 adalah 𝒍(𝜷, 𝝂) = ∏ 𝒆 −𝑬𝒊𝜽𝒊 (𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 ) 𝒚𝒊 𝒚 𝒊 ! 𝒏 𝒊=𝟏 = 𝑷(𝒚, 𝑬, 𝜽|𝜷, 𝝂) .    Ambil  distribusi  prior  untuk 𝛽 dan  v,
𝜈𝑝(𝛽) = ( 1 2𝜋 ) 𝑃 2 ( 1 𝜏 𝛽 ) 𝑃 𝑒𝑥𝑝 (− 1 2 ∑ 𝛽 ℎ 2 𝜏 𝛽 2 𝑃 ℎ=0 ) dan  prior  untuk  CAR  efek  acak  adalah
[𝝂 𝒊 |𝝂 𝒊≠𝒋 , 𝝉 𝝂 𝟐 )~𝑪𝑨𝑹(𝟎, 𝝉 𝝂 𝟐 )~𝑵 (∑ 𝑤 𝑖𝑗 .𝑣 𝑗 𝑤 𝑖𝑗 , 𝑛 𝑖≠𝑗 𝝉 𝝂 𝟐 𝑤 𝑖𝑗 ) .  Dengan menggunakan  (12) diperoleh
𝒑(𝜷, 𝝂, 𝝉 𝜷 𝟐 , 𝝉 𝝂 𝟐 |𝒚, 𝑬, 𝜽) = ∏ 𝒆 −𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 (𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 ) 𝒚 𝒊 𝒚 𝒊 ! 𝒏 𝒊=𝟏 𝑥 ( 𝟏 √𝟐𝝅 ) 𝑷 𝟐 ( 𝟏 𝝉 𝜷 ) 𝑷 𝒆𝒙𝒑 (− 𝟏 𝟐 ∑ 𝜷 𝒉 𝟐 𝝉 𝜷 𝟐 𝑷 𝒉=𝟎 ) 𝑥 ( 𝟏 𝟐𝝅 ) 𝒏 𝟐 𝒆𝒙𝒑 (− 𝟏 𝟐 ∑ ( 𝝂𝒊−∑ 𝑤𝑖𝑗.𝑣𝑗 𝑤𝑖𝑗 𝑛 𝑖≠𝑗 𝝉𝜷 ) 𝟐 𝒏 𝒊=𝟎 )

## 2.2.5 Model Conditional Autoregressive –BYM (CAR-BYM)
Model  Conditional  Autoregressive –BYM  (CAR-BYM)  mencakup  komponen  ICAR untuk penghalusan spasial dan komponen efek acak biasa untuk heterogenitas non- spasial.  Model BYM dispesifikasi sebagai berikut:
𝜂 𝑖 = 𝜇 + 𝑥 ′ 𝑖 𝛽 + 𝜙 𝑖 + 𝜃 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , (14)
dengan
= vector koefisien regresi bersifat tetap
 i = komponen ICAR
 = rata-rata risk level
 i = efek acak komponen non-spatial heterogenitas
Model BYM (14) mengakomodasi komponen spasial (  ) dan komponen non spasial (  )  untuk  efek  pengaruh  overdispersi  yang  tidak  bisa  dipecahkan  dengan  regresi
Poisson. Estimasi parameter dengan metode Bayes merupakan pilihan dalam hal ini karena  selain  relatif  lebih  longgar  dalam  asumsi,  metode  ini  bisa  digunakan  untuk masalah distribusi bersyarat seperti yang ada dalam model CAR.

## 2.2.6  Markov Chain Monte Carlo
Metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) menggunakan penarikan sampel Gibbs ( Gibb sampler ) untuk mengestimasi parameter.  Metode Gibb sampler adalah: Untuk t=1,2,…,T
• Tahap 1. Ambil 𝜃 𝟏 𝒕 dari p( 𝜃 𝟏 |𝜃 𝟐 𝒕−𝟏 , 𝜃 𝟑 𝒕−𝟏 , … , 𝜃 𝒌 𝒕−𝟏 , 𝑦)
• ...
• Tahap k. Ambil 𝜃 𝒌 𝒕 dari p( 𝜃 𝒌 |𝜃 𝟏 𝒕−𝟏 , 𝜃 𝟐 𝒕−𝟏 , … , 𝜃 𝒌−𝟏 𝒕−𝟏 , 𝑦)
Misalkan kondisi stabil ketika terjadi setelah iterasi  t o , maka estimasi parameter 𝜃 𝒊
𝜃̂ 𝒊 = 𝑬 ̂(𝜃 𝒊 |𝒚) = 𝟏 𝑻 − 𝒕 𝟎 ∑ 𝜃 𝒊 𝒕 𝑻 𝒕=𝒕 𝟎 +𝟏
Karena solusi eksak Bayes relatif lebih sulit karena pencarian integral dari fungsi distribusi  posteriornya  tidak  sederhana,  maka  untuk  selanjutnya  metode  estimasi parameter Bayes menggunakan Markov Chain Monte Carlo (MCMC).

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Tahapan eksplorasi merupakan tahap awal yang perlu dilakukan sebelum melakukan analisis lebih lanjut.  Pada tahap ini akan dilakukan dengan scatterplot antara variabel respon dengan variabel prediktor.  Hasil scatterplot antara variabel respon (jumlah TB) dan beberapa variabel prediktornya daisajikan pada Gambar 1.
Gambar 1: Scatterplot antar variabel penelitian
Berdasarkan scatterplot, variabel  prediktor  jumlah  orang  diabetes  berkorelasi dengan  total  penduduk,  sehingga  diambil  salah  satu  variabel,  jumlah  diabetes. Sementara  setiap  variabel  prediktor  mempunyai  pola  hubungan  dengan  variabel respon (Gambar 1).

## 3.1 Estimasi proporsi Bayes Empiris
Analisis  deskripsi  pemetaan  proporsi  dalam  hal  ini  adalah  dengan  menggunakan metode Emphirical Bayes dengan bantuan software R software 4.0.0.  Jumlah populasi yang  terkadang  cukup  jauh  membutuhkan  metode  metode  Bayes  empiris, menggunakan Poisson.
Gambar 2: Eksplorasi Empirical Bayes estimation di Kabupaten Banyumas
Jumlah kasus per seribu pendudukan terlihat bahwa dominasi berada di angka 4- 5 kasus per 10000 penduduk.  Sedangkan jumlah kasus yang berada di atas 7 kasus per 10000 orang penduduk (Kecamatan Patikraja) hanya ada satu kecamatan.

## 3.2 Implementasi Model
Tahapan  awal  adalah  pengujian  overdispersi  model  Poisson,  dari  sini  diperoleh diperoleh deviance 67.37833  dan  df  22,  sehingga  dev/df=  3.062652  (>1)  terjadi overdispersi.    Selanjutnya  digunakan  model  GP  dn  NB  untuk  menyelidiki  dampak overdispersi terhadap hasil akurasi model.   Selain itu dibandingkan pula dengan model Poisson  metode  Bayes  dan  model  CAR-BYM.    Hasil  pembandingannya  RMSE  dari keempat model dapat dilihat pada Gambar 3.  Gambar 3 merupakan diagram batang yang  merepresentasikan  hubungan  antara  RMSE  dengan  model  yang  digunakan. Sumbu Y mewakili nilai RMSE dan sumbu X mewakili model yang digunakan.
Gambar 3: RMSE model NB, GP, Poisson-Bayes dan CAR-BYM
Mangacu  pada  hasil  perbandingan  RMSE  di  atas,  maka  dapat  diperoleh kesimpulan bahwa model CAR-BYM dapat memberikan hasil yang paling baik, yaitu
0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 GP NB Poisson (Bayes) CAR-BYM 9,503 9,690 9,507 3,748 RM SE MODEL DAN METODE ESTIMASI
dengan menghasilkan nilai RMSE yang paling minimum diantara RMSE dari model- model yang dicobakan (Gambar 3).
Gambar 4: Grafik hubungan antara nilai RMSE dan nomor kecamatan untuk membandingkan nilai aktual dan dan nilai prediksi model NB, GP, Poisson-Bayes dan CAR-BYM
Selanjutnya pada model negative binomial (NB), model generalized Poisson (GP), dan model Poisson metode estimasi Bayes dapat dilihat bahwa  model GP sedikit lebih baik.  Gambar 4 merupakan perbandingan keakurasian hasil dari setiap model ketika masing-masing hasil prediksi dengan nilai aktualnya.  Berdasarkan plot pada Gambar 4,  dapat  dilihat  bahwa  pola  untuk  nilai  prediksi  pada  setiap  model  hampir  mirip  dan cenderung  mengikuti  pola  data  aktual.      Namun  demikian  apabila  dikaji  lebih  detai terkait  dengan  pola  tersebut,  maka  dapat  dilihat  bahwa  untuk  pola  yang  berwarna hitam  (CAR-BYM)  dan  warna  biru  (aktual)  mempunyai  kedekatan  yang  lebih dibandingkan dengan yang lainnya.  Hal ini juga menguatkan dan sesuai dengan hasil RMSE sebagaimana disajikan pada Gambar 3.

## 4.  Simpulan dan Saran
Metode bayes empiris dapat digunakan untuk mengestimasi proporsi persebaran TB di Kabupaten Banyumas.  Sebagian besar wilayah kecamatan adalah dengan kasus 4-5 kasus per 1000 penduduk. Sementara untuk kasus TB yang berada di atas 7 per 10000 penduduk hanya satu kecamatan.
Pemodelan  jumlah  kasus  tuberculosis  (TB)  di  Kabupaten  Banyumas  mengalami overdispersi, sehingga model Poisson tidak relevan untuk digunakan.  Model-model alternatif dalam penaganan masalah overdispersi yaitu NB, GP metode estimasi MLE dan  model  Poisson  dan  CAR-BYM  metode  estimasi  Bayes.    Model  terbaik  adalah model  CAR-BYM dimana nilai RMSE yang paling kecil  dibandingkan  dengan model yang  dibandingkan.      Keakuratan  model  dengan  nilai  RMSE  terkecil  juga  didukung dengan plot kesesuaian data aktual dan hasil prediksi paling mirip.
Penelitian  berikutnya  perlu  dikembangkan  matriks  pembobot  spasial  yang diharapkan  dapat  meningkatkan  akurasi  ketepatan  model.    Beberapa  konstruksi matriks  pembobot  spasial  yang  melibatkan  ukuran  autokorelasi  spasial  yang
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 R M SE Nomor Kecamatan Aktual GP NB Poisson (Bayes) CAR-BYM
mengakomodasi  variabel  yang  diperhatikan  dan  kedekatan  secara  geografis  perlu dipertimbangkan.
Ucapan  Terima  Kasih. Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas Jenderal Soedirman melalui Hibah Peningkatan Kompetensi ini

## Daftar Pustaka
Aswi, A., Cramb, S., Duncan, E., & Mengersen, K. (2020). Evaluating the impact of a small  number  of  areas  on  spatial  estimation. International  Journal  of  Health Geographics , 19 (1): 1 –14.
Banerjee, S., Carlin, B. P., & Gelfand, A. E. (2014). Hierarchical modeling and analysis for spatial data . CRC press.
Besag,  J.,  &  Kooperberg,  C.  (1995).  On  conditional  and  intrinsic  autoregressions.
Biometrika , 82 (4): 733 –746.
Cressie, N. A. (1993). Statistics for spatial data. John Willy and Sons. Inc., New York .
De Oliveira, V. (2012). Bayesian analysis of conditional autoregressive models. Annals of the Institute of Statistical Mathematics , 64 (1): 107 –133.
Gaetan, C., & Guyon, X. (2010). Spatial statistics and modeling (Vol. 90). Springer.
Han, X., & Lee, L. (2013). Bayesian estimation and model selection for spatial Durbin error  model  with  finite  distributed  lags. Regional  Science  and  Urban  Economics , 43 (5): 816 –837.
Hendricks, J., & Neumann, C. (2020). A Bayesian approach for the analysis of error rate studies in forensic science. Forensic Science International , 306 : 110047.
Ibrahim, J., Chen, M., & Sinha, D. (2001). Bayesian Survival Analysis Springer Series in Statistics. New York, NY: Springer. Doi , 10 : 978 –1.
Iddrisu, A.-K., & Amoako, Y. A. (2016). Spatial Modeling and Mapping of Tuberculosis Using  Bayesian  Hierarchical  Approaches. Open  Journal  of  Statistics , 6 (3):  482 – 513.
Kyung,  M.,  &  Ghosh,  S.  (2014).  Maximum  likelihood  estimation  for  generalized conditionally autoregressive models of spatial data. Journal of the Korean Statistical Society , 43 : 339 –353.
MacNab, Y. C., Farrell, P. J., Gustafson, P., & Wen, S. (2004). Estimation in Bayesian disease mapping. Biometrics , 60 (4): 865 –873.
McCullagh,  P.,  &  Nelder,  J.  A.  (1989). Generalized  Linear  Models (Vol.  37).  CRC Press.
Obaromi, D. (2019). Spatial Modelling of Some Conditional Autoregressive Priors in A Disease Mapping Model: the Bayesian Approach. Biomedical Journal of Scientific & Technical Research , 14 (3).
Srinivasan, R., & Venkatesan, P. (2014). Bayesian random effects model for disease mapping of relative risks. Ann Biol Res , 5 (1): 23 –31.
Stern,  H.  S.,  &  Cressie,  N.  (2000).  Posterior  predictive  model  checks  for  disease mapping models. Statistics in Medicine , 19 (17 ‐ 18): 2377 –2397.