J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l . I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X Vol .   9 ,   No.   1 ,   Mei   2 0 1 2 ,  3 1 - 3 9

## PENENTUAN KUANTITAS OPTIMAL DAN REORDER POINT PADA PERSEDIAAN SUKU CADANG DENGAN DISTRIBUSI GAMMA

## Valeriana Lukitosari
Institut Teknologi Sepuluh Nopember valeriana@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Adanya  pola demand dan lead  time yang  bervariasi  mengakibatkan pentingnya  pengelolaan  suku  cadang  secara  tepat.    Penentuan  kuantitas  dan reorder point yang tepat sangat berpengaruh terhadap besarnya biaya persediaan suku cadang.
Model  biaya  persediaan  dikembangkan  dengan  mempertimbangkan ketidakpastian  demand.  Pada  penelitian  ini,  demand  dipengaruhi  adanya kerusakan  pada  peralatan.  Model  awal  biaya  persediaan  didekati  dengan distribusi  gamma.  Hasil  pengembangan  model  dengan  distribusi  gamma menunjukkan  bahwa  reorder  point  persediaan  suku  cadang  dipengaruhi  nilai safety  stock persediaan.  Nilai safety  stock bergantung  pada  ekspektasi permintaan selama lead time, sebesar parameter 𝛽 dan 𝛼 .
Penelitian  ini  juga  menunjukkan  bahwa  model  persediaan  berdistribusi gamma  dapat  digunakan  untuk  mencari  kuantitas  optimal  melalui  biaya ekspektasi kekurangan persediaan. Kata kunci: Kuantitas Optimal, Reorder Point, Distribusi Gamma

## 1. Pendahuluan
Demand suku cadang berbeda dengan demand  material pada umumnya, biasanya  dipengaruhi  adanya  kerusakan  peralatan. Waktu  yang  dibutuhkan untuk  pengadaan  suku  cadang  mulai  dari  pemesanan  hingga  kedatangan disebut lead  time. Waktu  yang  dibutuhkan  dalam  penyediaan  suku  cadang bisa  sangat  cepat  atau  sebaliknya  mengalami  kelambatan. Persediaan  suku cadang  menjadi  masalah  yang  kompleks,  terutama  karena  adanya  pola permintaan  yang intermittent atau lumpy [1],  [8].  Pada  permintaan intermittent adalah permintaan bersifat acak dengan beberapa periode tanpa permintaan.  Sedangkan  permintaan lumpy dalam  beberapa  periode  tidak terdapat permintaan dan  bersifat acak dalam jangka waktu yang panjang.
Persediaan suku cadang memiliki ciri yang unik dibandingkan persediaan barang  pada  umumnya.  Keunikan  dari  pola  permintaan  suku  cadang  yaitu waktu permintaan yang tidak beraturan membuat menetapkan pengadaan sulit dilakukan.  Sehingga  terbuka  beberapa  peluang  untuk  meneliti  model persediaan  suku  cadang  antara  lain  dengan  melihat  demand,  lead  time, distribusi kerusakan, dan pemberian garansi peralatan.
Banyak metode yang telah dikembangkan dalam meramalkan persediaan suku  cadang  hingga  saat  ini,  antara  lain: moving  average , exponential smoothing ,  dan  analisa  regresi  [4],[6],[7].  Sedangkan  beberapa  penelitian [5],[8],  yang  membahas  mengenai  model  persediaan  suku  cadang menitikberatkan permintaan barang selama lead time menggunakan distribusi normal.
Berbeda dengan penelitian-penelitian yang sudah dilakukan, maka pada penelitian ini menitikberatkan pada peluang stockout persediaan suku cadang dan  distribusi  kerusakan  menggunakan  distribusi  gamma.  Sifat  unik  dari kerusakan  suku  cadang  membutuhkan  penanganan  secara  khusus.  Model persediaan  yang  sesuai  dengan  karakteristik  kerusakan  akan  memberikan kemudahan pihak manajemen dalam mengambil keputusan yang tepat [3].

## 2. Model Persediaan Suku Cadang
Pada model persediaan suku cadang pada penelitian ini
mempertimbangkan  terjadinya stockout .  Ketika  terjadi stockout ,  biaya meningkat  karena  ada  tambahan  stock  cadangan  pada  penyimpanan.  Pada model ini, juga ada tambahan biaya mengenai biaya stockout dari persediaan suku cadang. Total biaya persediaan tahunan untuk model ini adalah sebagai berikut [9]:
𝑇𝐶 = 𝐻𝑐 + 𝑃𝑐 + 𝑅𝑐 + 𝑆𝑐
(1)
dimana:
𝐻𝑐 : Total biaya penyimpanan suku cadang
𝑃𝑐 : Total biaya pembelian suku cadang 𝑅𝑐 : Total biaya pemesanan suku cadang 𝑆𝑐 : Total biaya stockout persediaan suku cadang Pada  model  persediaan  suku  cadang  tanpa  mempertimbangkan backorder ,  rata-rata  persediaan  ditulis  dengan 𝑄 2 .  Sedangkan  pada  model persediaan suku cadang dengan mempertimbangkan backorder memerlukan safety stock sehingga rata-rata persediaan menjadi 𝑄 2 + 𝑆 .
Untuk menghitung safety stock sebagai berikut:
𝑆 = ∫ (𝑅 − 𝑀)𝑓(𝑀)𝑑𝑀
∞ 0
(2)
dengan:
𝑆 : Safety stock (stok pengaman) 𝑅 : Reorder Point (titik pemesanan kembali)
𝑀 : Permintaan selama lead time 𝑀 ̅ : Rata – rata permintaan selama lead time
Pada [9] dan [10] didefinisikan rata – rata dari fungsi kepadatan peluang 𝑓(𝑀) yang kontinu adalah:
𝐸(𝑀) = ∫ 𝑀 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ −∞ ( 3 ) Dengan fungsi kepadatan peluang 𝑓(𝑀) sebagai berikut:
∫ 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ −∞ = 1 ( 4 )
Karena  M  menyatakan  variabel  acak  besarnya  permintaan  suku  cadang selama lead  time yang  mendefinisikan 𝑀 ≥ 0, maka  rata  –  rata  dari  fungsi kepadatan peluang dan fungsi kepadatan peluang dapat ditulis menjadi:
𝐸(𝑀) = ∫ 𝑀 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀
∞ 0 ∫ 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ 0 = 1 Sehingga diperoleh safety stock dari permintaan yaitu:
𝑆 = ∫ (𝑅 − 𝑀)𝑓((𝑀)𝑑𝑀 ∞ 0
= ∫ 𝑅 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ 0 − ∫ 𝑀 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ 0
= 𝑅 ∫ 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ 0 − ∫ 𝑀 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ 0 = 𝑅 − 𝐸(𝑀) ( 5 )

## 3. Pengembangan Model dengan Distribusi Gamma
Demand  yang  terjadi  pada  persediaan  suku  cadang  pada  umumnya disebabkan  adanya  kerusakan  suku  cadang  peralatan.  Salah  satu  distribusi kerusakan yang dapat digunakan adalah distribusi gamma. Distribusi gamma merupakan distribusi kontinu yang dapat menggambarkan umur hidup suku cadang, lead  time dan  waktu  servis.  Fungsi  gamma  didefinisikan  sebagai berikut [2]:
Γ(𝛼) = ∫ 𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡                   𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝛼 > 0. ∞ 0 (6)
Peubah acak kontinu T , mempunyai distribusi gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 . Jika fungsi padat peluangnya berbentuk [2]:
𝑓(𝑡) = { 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑡 𝛼−1 𝑒 − 𝑡 𝛽 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡  ≥ 0
0                                        𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 dengan 𝛽 > 0 dan 𝛼 > 0 Untuk menghitung 𝐸(𝑀) menggunakan distribusi gamma diuraikan sebagai berikut:
𝐸(𝑀) = ∫ 𝑀 𝑓(𝑀) 𝑑𝑀 ∞ 0 = ∫ 𝑀 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑀 𝛼−1 exp (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 0 = 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) ∫ 𝑀 (1+𝛼)−1 exp (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 0
= 𝛽 1+𝛼 Γ(1 + 𝛼) 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) ∫ 1 𝛽 1+𝛼 Γ(1 + 𝛼) 𝑀 (1+𝛼)−1 ∞ 0 exp (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 = 𝛽1+𝛼Γ(1+𝛼) 𝛽𝛼Γ(𝛼) = 𝛽 𝛼Γ(𝛼) Γ(𝛼) = 𝛽𝛼 ( 7 )
Biaya penyimpanan dapat ditulis dengan:
𝐻𝑐 = ℎ ( 𝑄 2 + 𝑆) = ℎ ( 𝑄 2 + 𝑅 − 𝐸(𝑀)) = ℎ ( 𝑄 2 + 𝑅 − 𝛽𝛼) ( 8 )

## 3.1 Biaya Kekurangan Persediaan Suku Cadang
Biaya kekurangan selama lead time lebih besar dari reorder point untuk menutupi  kekurangan  sebelumnya.  Sehingga  dapat  ditulis  sebagai  berikut:

## 𝐸(𝑀) = { 0               𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑀 ≤ 𝑅 𝑀 − 𝑅    𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑀 > 𝑅
Distribusi kebutuhan suku cadang selama lead time adalah distribusi gamma, maka didapatkan ekspektasi kekurangan persediaan adalah:
𝐸(𝑀 > 𝑅) = ∫ (𝑀 > 𝑅)𝑓(𝑀)𝑑𝑀 𝑅
0
+ ∫ (𝑀 > 𝑅)𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 = 0 + ∫ (𝑀 − 𝑅)𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 = ∫ (𝑀 − 𝑅)𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅
(9)
Karena 𝑀~𝐺𝐴𝑀(𝛽, 𝛼) maka p.d.f
𝑓(𝑀) = 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑀 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 )
Ekspektasi  kekurangan  persediaan  berdistribusi  gamma  menyebabkan persamaan (9) menjadi:
𝐸(𝑀 > 𝑅) = ∫ (𝑀 − 𝑅)
1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑀 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 𝑅 = ∫ 𝑀 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑀 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 𝑅 − ∫ 𝑅 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) 𝑀 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 𝑅 = 1 𝛽𝛼Γ(𝛼) ∫ 𝑀 (1+𝛼)−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 𝑅 − 𝑅 𝛽𝛼Γ(𝛼) ∫ 𝑀 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 𝑅 (10)
Penyelesaian dari persamaan (10) dengan 𝑥 = 𝑀 𝛽 adalah: = 1 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) ∫ 𝑀 (1+𝛼)−1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑀 𝛽 ) 𝑑𝑀 ∞ 𝑅 − 𝑅 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) ∫ (𝛽𝑥) 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (−𝑥) 𝛽 𝑑𝑥 ∞ 𝑅 = 𝛽𝛼 𝛽𝛼Γ(𝛼) ∫ 𝑥 (1+𝛼)−1 𝑒𝑥𝑝 −𝑥 𝑑𝑥 ∞ 𝑅/𝛽 − 𝑅 𝛽𝛼 𝛽𝛼Γ(𝛼) ∫ 𝑥 𝛼−1 𝑒𝑥𝑝 (−𝑥) 𝑑𝑥 ∞ 𝑅 = 𝛽 𝛼 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) − 𝑅 𝛽 𝛼 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) = 𝛽 𝛼 Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) − 𝑅 𝛽 𝛼 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) 𝛽 𝛼 Γ(𝛼) = Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) − 𝑅 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) = Γ(1+𝛼, 𝑅 𝛽 )−𝑅 Γ(𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼)
(11)
Besarnya biaya stockout persediaan suku cadang  dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝑆𝑐 = 𝑏 𝐷 𝑄 𝐸(𝑀 > 𝑅) = 𝑏 𝐷 𝑄 ( Γ(1+𝛼, 𝑅 𝛽 )−𝑅 Γ(𝛼, 𝑅 𝛽 )
Γ(𝛼) ) (12)
Sehingga  didapatkan  total  biaya  persediaan  suku  cadang  dengan mempertimbangkan terjadinya stockout dengan distribusi gamma adalah:
𝑇𝐶 = 𝐻𝑐 + 𝑃𝑐 + 𝑅𝑐 + 𝑆𝑐
Biaya kekurangan persediaan suku cadang dapat diperoleh dengan persamaan:
𝑇𝐶 = ℎ ( 𝑄 2 + 𝑅 − 𝛽𝛼) + 𝑝𝐷 + 𝐴 𝐷 𝑄 + 𝑏 𝐷 𝑄 ( Γ(1+𝛼, 𝑅 𝛽 )−𝑅 Γ(𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ) (13)

## 3.2 Kuantitas Pemesanan Optimal
Kuantitas  pemesanan  suku  cadang  yang  optimal  diperoleh  dengan menurunkan persamaan total biaya persediaan terhadap kuantitas. 𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅)
𝜕𝑄 = 0
𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅) 𝜕𝑄 = 𝜕 𝜕𝑄 ( ℎ ( 𝑄 2 + 𝑅 − 𝛽𝛼) + 𝑝𝐷 + 𝐴 𝐷 𝑄 𝑏 𝐷 𝑄 ( Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) − 𝑅 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ) ) 𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅) 𝜕𝑄 = ℎ 2 + 𝐴𝐷 (− 1 𝑄 2 ) + 𝑏𝐷 (− 1 𝑄 2 ) ( Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) − 𝑅 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ) 𝜕𝑇𝐶(𝑄,𝑅) 𝜕𝑄 = ℎ 2 + (− 1 𝑄2 ) (𝐴𝐷 + 𝑏𝐷 ( Γ(1+𝛼, 𝑅 𝛽 )−𝑅 Γ(𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) )) 0 = ℎ 2 + (− 1 𝑄2 ) (𝐴𝐷 + 𝑏𝐷 ( Γ(1+𝛼, 𝑅 𝛽 )−𝑅 Γ(𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ))
ℎ 2 = 1 𝑄 2 ( 𝐴𝐷 + 𝑏𝐷 ( Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) − 𝑅 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ) )
Sehingga diperoleh nilai optimal 𝑄 :
𝑄 2 = 2 ( 𝐴𝐷 + 𝑏𝐷 ( Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) − 𝑅 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ) ) ℎ |𝑄 ∗ | = √ 2 ( 𝐴𝐷 + 𝑏𝐷 ( Γ (1 + 𝛼, 𝑅 𝛽 ) − 𝑅 Γ (𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ) ) ℎ
= √ 2𝐷(𝐴 + 𝑏𝐸(𝑀 > 𝑅))
ℎ
Karena 𝑄 ∗ > 0 maka:
𝑄 ∗ = √ 2𝐷(𝐴+𝑏 ( Γ(1+𝛼, 𝑅 𝛽 )−𝑅 Γ(𝛼, 𝑅 𝛽 ) Γ(𝛼) ))
ℎ (14)

## 3.3 Reorder Point
Reorder  point dari  suku  cadang  diperoleh  dari  persamaan  (13)  dengan menurunkan  persamaan  total  biaya  persediaan  suku  cadang  dengan mempertimbangkan terjadinya stockout terhadap variabel 𝑅 . 𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅)
𝜕𝑅 = 0 𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅)
𝜕𝑅 = 𝜕 𝜕𝑅 (ℎ ( 𝑄 2 + 𝑅 − 𝛽𝛼) + 𝑝𝐷 + 𝐴 𝐷 𝑄 + 𝑏 𝐷 𝑄 𝐸(𝑀 > 𝑅)) 𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅) 𝜕𝑅 = ℎ + 𝑏 𝐷 𝑄 ( 𝜕 𝜕𝑅 𝐸(𝑀 > 𝑅))
dengan:
𝜕 𝜕𝑅 𝐸(𝑀 > 𝑅) = 𝜕 𝜕𝑅 (∫ (𝑀 − 𝑅)𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 ) = 𝜕 𝜕𝑅 (∫ 𝑀𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 − ∫ 𝑅𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 )
= 𝜕 𝜕𝑅 (∫ 𝑀𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 ) − 𝜕 𝜕𝑅 (∫ 𝑅𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞ 𝑅 ) = − ∫ 𝑓(𝑀)𝑑𝑀 ∞
𝑅 = −𝑃(𝑀 > 𝑅)
Sehingga,
𝜕𝑇𝐶(𝑄, 𝑅)
𝜕𝑅 = ℎ − 𝑏 𝐷 𝑄 𝑃(𝑀 > 𝑅) 0 = ℎ − 𝑏 𝐷 𝑄 𝑃(𝑀 > 𝑅)
𝑏 𝐷 𝑄 𝑃(𝑀 > 𝑅) = ℎ 𝑃(𝑀 > 𝑅) = ℎ𝑄 𝑏𝐷 Dimana 𝑃(𝑀 > 𝑅) merupakan  probabilitas  dari  kekurangan  persediaan  yang optimal.  Nilai  probabilitas  kekurangan  persediaan  ini  digunakan  untuk mencari  nilai safety  factor ( 𝑍) pada  tabel  Z.  Sehingga  didapatkan  nilai reorder point yang optimal yaitu: 𝑅 = 𝐸(𝑀) + 𝑍𝑆 𝑑𝑙 .
(15)

## 4. Kesimpulan
Pengelolaan  persediaan  suku  cadang  harus  dilakukan  secara  tepat terutama  karena  adanya  ketidakpastian  demand.  Demand  yang  dipengaruhi adanya  kerusakan  pada  peralatan  didekati  dengan  distribusi  gamma.  Nilai reorder  point  dipengaruhi  nilai safety stock  persediaan.  Nilai safety  stock bergantung  pada  ekspektasi  permintaan  selama  lead  time,  sebesar parameter 𝛽 dan 𝛼 .
Penelitian  ini  juga  menunjukkan  bahwa  model  persediaan  berdistribusi gamma  dapat  digunakan  untuk  mencari  besarnya  total  biaya stockout yaitu besarnya biaya ekspektasi kekurangan persediaan.

## 5. Daftar Pustaka
[1] Bacchetti, A. dan Saccani, N. “Spare parts classification and demand forecasting  for  stock  control:  Investigating  the  gap  between  research and practice”. Omega, Vol. 40, Iss. 6, hal 722-737, 2011.
[2] Bain,  L.  J.,  dan  Engelhardt,  M. Introduction  To  Probability  And Mathematical Statistics. United States of America: Duxbury Thomson Learning, 1992.
[3] Driessen,  M.A.,  Arts,  J.J.,  van  Houtum,  G.J.,  Rustenburg,  W.D.,  dan Huisman,    B.  “Maintenance  spare  parts  planning  and  control:  A framework for control and agenda for future research”. Beta Working Paper series, 2010.
[4] Ghobbar, A.A. dan Friend, C.H. “Evaluation of forecasting methods for intermittent parts demand in the field of aviation: a predictive model”. Computers & Operations Research, Vol. 30, hal. 2097–2114, 2003.
[5] Jin,  T.  dan  Liao,  H.  “Spare  parts  inventory  control  considering stochastic  growth  of  an  installed  base”.  Computers  &  Industrial Engineering, 56, hal. 452–460, 2009.
[6] Kaldchschmidt,  M.,  Zotteri,  G.,  dan  Verganti,  R.  “Inventory management in a multi-echelon spare parts supply chain”. International Journal of Production Economics, 81, hal. 397-413, 2003.
[7] Kennedy, W.J., Patterson, J.D., dan Fredendall, L.D. “An overview of recent  literature  on  spare  parts  inventories”.  International  Journal  of Production Economics, 76, hal. 201-215, 2002.
[8] Strijbosch, L. W. G., Heuts, dan Van Der Scoot. “Improved spare parts inventory  management:  A  case  study”.  Center  Discussion  Paper, Vol.135, 1998.
[9] Tersine, Richard J. Principles of Inventory and Materials Management. Fourth Edition . Prentice-Hall, New Jersey, 1994.
[10] Zhou, Y., & Zhao, X. “A two-demand-class inventory system with lost- sales  and  backorders”. Operations  Research  Letters,Vol.  38,  Issue  4, hal. 261–266, 2010.