Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 393-403 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.19079
Pemodelan Harga Saham Berdasarkan Generalized Linear Model untuk Kejadian Multivariat
Fevi Novkaniza 1 *, Jonathan Anthony 2 , Rahmat Al Kafi 3 1,3 Universitas Indonesia, Kampus FMIPA UI Depok 16424 1,3 Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia e-mail*: fevi.novkaniza@sci.ui.ac.id
Diajukan: 9 Oktober 2023, Diperbaiki: 12 Nopember 2023, Diterima: 13 Nopember 2023

## Abstrak
Kejadian  multivariat  adalah  kejadian-kejadian  yang  memiliki  tidak  hanya  satu  peristiwa  yang memengaruhi, tetapi bisa lebih banyak peristiwa yang memberi dampak pada peristiwa utamanya. Dampak yang  dihasilkan  dari  suatu  kejadian  dapat  berupa  apa  saja  dan  bisa  diprediksi.  Hal  ini  menyebabkan perlunya dibentuk sebuah model untuk memprediksi dampak dari sebuah kejadian sehingga dapat diambil keputusan  penting  berdasarkan  kejadian  tersebut.  Saham  merupakan  salah  satu  contoh  yang  dapat direpresentasikan sebagai kejadian multivariat, seperti harga saham saat penutupan atau closing price , harga maksimal penutupan saham pada periode tertentu, dan durasi waktu (bulanan). Harga penutupan saham dan harga maksimal penutupan saham pada periode tertentu merupakan variabel acak  kontinu yang  masing- masing diasumsikan berdistribusi eksponensial dan truncated logistic . Durasi waktu (bulanan) merupakan variabel acak diskrit yang diasumsikan berdistribusi geometrik. Untuk mengakomodir kejadian multivariat yang  melibatkan  ketiga  variabel  acak  tersebut  digunakan  distribusi  trivariat  yaitu,  distribusi  TETLG ( Trivariate  distribution  with  Exponential,  Truncated  Logistic,  and  Geometric  marginals ).  Selanjutnya, untuk mengetahui pola hubungan antara ketiga variabel acak sebagai vektor respon dengan tiga kovariat yaitu, tingkat pengangguran, tingkat inflasi, dan tingkat obligasi 10 tahun, dikonstruksi sebuah Generalized Linear  Model (GLM)  untuk  kejadian  multivariat.  Estimasi  parameter  model  GLM  kejadian  multivariat, dilakukan  menggunakan  metode Maximum  Likelihood. Sebagai  implementasi  pemodelan  harga  saham menggunakan  GLM  kejadian  multivariat,  diterapkan  pada  data  harga  penutupan  saham  dari  Yahoo! Finance untuk periode 2 Januari 1958 hingga 17 April 2020. Berdasarkan uji likelihood ratio , diperoleh hasil bahwa hanya tingkat inflasi dan tingkat pengangguran yang memiliki pengaruh signifikan terhadap pemodelan harga saham.
Kata Kunci : durasi, eksponensial, geometrik, harga, inflasi, rasio likelihood

## Abstract
Multivariate events are events that have not only one influencing event, but there can be more events that have an impact on the main event. The impact resulting from an event can be anything and can be predicted. This causes the need to establish a model  to predict the impact of an event so that important decisions  can  be  made  based  on  the  incident.  Stocks  are  one  example  that  can  be  represented  as multivariate events, such as the closing price of a stock, the maximum closing price for a given period, the duration of time (monthly). The closing price of shares and the maximum closing price of shares in a certain period are continuous random variables which are assumed to have exponential distribution and truncated logistic  respectively.  Time  duration  (months)  is  a  discrete  random  variable  which  is  assumed  to  have a geometric  distribution.  To  accommodate  multivariate  events  involving  the  three  random  variables,  a trivariate distribution is used, namely, the TETLG distribution (Trivariate distribution with Exponential, Truncated  Logistic,  and  Geometric  marginals).  Furthermore,  to  determine  the  pattern  of  relationship between  the  three  random  variables  as  response  vectors  with  three  covariates,  which  are,  the
unemployment rates, the inflation rates, and the 10-year bond rates, a Generalized Linear Model (GLM) for multivariate events is constructed. Estimation of GLM model parameters for multivariate events was carried out using the Maximum Likelihood method. As an implementation of stock price modeling using GLM  multivariate  events,  it  is  applied  to  closing  stock  price  data  from  Yahoo!  Finance  for  the  period January 2, 1958, to April 17, 2020. Based on the likelihood ratio test, it was found that only the inflation rate and unemployment rate had a significant influence on stock price modelling.
Keywords: duration, exponential, geometric, price, inflation, likelihood ratio

## 1 Pendahuluan
Di  dunia  ini  banyak  sekali  peristiwa-peristiwa  yang  dipengaruhi  oleh  peristiwa  lainnya. Tidak hanya satu peristiwa yang mempengaruhi, tetapi bisa lebih banyak peristiwa yang memberi dampak  pada  peristiwa  utamanya.  Rangkaian  kejadian-kejadian  tersebut  dapat  disebut  dengan kejadian  multivariat  [1] . Dalam  hal  ini,  hubungan  antar  variabel  acak  dapat  dianalisis  untuk memahami  bagaimana  satu  variabel  mempengaruhi  variabel  lainnya.  Studi  tentang  kejadian multivariat  sering  digunakan  dalam  bidang  seperti  ekonomi,  sosiologi,  biologi  dan  lain-lain. Contoh  kejadian  multivariat  adalah  peristiwa  gelombang  panas,  peristiwa  curah  hujan  tinggi, banjir, kekeringan, dan pertumbuhan atau penurunan di sektor keuangan seperti harga saham.
Saham  adalah  secarik  kertas  yang  menunjukkan  hak  pemodal  yaitu  pihak  yang  memiliki kertas tersebut untuk memperoleh bagian dari prospek atau kekayaan organisasi yang menerbitkan sekuritas  tersebut,  dan  berbagai  kondisi  yang  memungkinkan  pemodal  tersebut  menjalankan haknya.  Pemilik  saham  juga  memiliki  hak  untuk  mendapatkan  dividen  sesuai  dengan  jumlah saham yang dimilikinya. Membeli saham perusahaan di pasar modal merupakan investasi yang memiliki  risiko  lebih  tinggi  dibandingkan  instrumen  investasi  lain,  seperti  obligasi,  deposito, tabungan berjangka, atau emas. Meskipun demikian, investasi saham juga bisa memberikan imbal atau keuntungan yang tinggi, baik dari dividen maupun kenaikan harga saham.
Harga  penutupan  saham  ( closing  price )  adalah  harga  yang  terakhir  muncul  pada  sebuah saham  sebelum  bursa  tutup.  Bursa  adalah  pasar  dimana  perusahaan  yang  telah go-public atau sudah  menjual  sahamnya  kepada  masyarakat,  dapat menjual dan membeli kembal sahamnya  di bursa tersebut. Harga penutupan saham ini ditentukan di akhir perdagangan dalam satu hari (U.S. Securities  and  exchange  commission, 2022).  Harga  penutupan  saham  sangat  penting  karena menjadi acuan untuk harga pembukaan di keesokan harinya. Dalam saham, terdapat istilah yang disebut  tren  artinya  kecenderungan  arah  pergerakan  dari  harga  saham  yang  berlangsung  cukup lama  dan  dapat  diidentifikasi  sampai  berakhir.  Tren  sering  digunakan  sebagai  analisis  teknikal oleh  investor  untuk  mengetahui  apakah  pergerakan  saham  mengalami  kenaikan  ( bullish ), penurunan  ( bearish )  atau  mendatar  ( sideways ).  Selama  periode  pergerakan  harga  saham mengalami kenaikan, investor dapat menjual saham dan pada sisi lainnya investor dapat membeli

## Fevi Novkaniza, Jonathan Anthony, Rahmat Al Kafi
saham di harga yang lebih murah atau rendah saat pergerakan harga saham mengalami penurunan. Jika  pergerakan  harga  sahamnya  mendatar,  tidak  naik  ataupun  turun,  investor  bisa  menahan keputusan  membeli  atau  menjual  sampai  arah  pergerakannya  lebih  jelas.  Dengan  demikian, investor  dapat  memperkirakan  dan  mendapatkan  keuntungan  maksimal  dan  kerugian  sekecil mungkin.
Harga maksimal penutupan saham mengacu pada harga tertinggi yang dicapai suatu saham dalam  jangka  waktu  terentu  atau  dalam  suatu  periode  pengamatan.  Harga  saham  berfluktuasi seiring  dengan  permintaan  dan  penawaran  dalam  bursa  saham.  Beberapa  faktor  yang  dapat mempengaruhi pergerakan harga saham dan menentukan harga maksimal penutupan saham adalah jumlah  pembelian  dan  penjualan  suatu  saham,  kinerja  perusahaan,  dan  sentimen  investor. Sedangkan  durasi  waktu  kenaikan  atau  penurunan  suatu  saham  adalah  lamanya  waktu  yang dibutuhkan  untuk  harga  penutupan  saham  meningkat  atau  menurun  seiring  dengan  pergerakan pasar. Durasi dapat digunakan untuk mengukur persentasi perubahan harga saham sebagai respon terhadap perubahan 1% dalam satu periode waktu pengamatan.
Kejadian  yang  terkait  dalam  peristiwa  harga  saham,  yaitu  harga  penutupan  saham,  harga maksimal penutupan saham dan durasi waktu kenaikan atau penurunan harga saham merupakan kejadian multivariat. Untuk itu, dibutuhkan sebuah distribusi probabilitas multivariat yang dapat merepresentasikan kejadian multivariat tersebut untuk melihat keterkaitan antar kejadian. Menurut [2] harga penutupan saham dan harga maksimal penutupan saham dapat direpresentasikan sebagai variabel  acak  kontinu  yang  masing-masing  diasumsikan  mengikuti  distribusi  eksponensial  dan truncated  logistic .  Sedangkan  durasi  kenaikan  atau  penurunan  harga  saham  dapat direpresentasikan sebagai variabel acak diskrit yang diasumsikan mengikuti distribusi geometrik.
Distribusi probabilitas multivariat yang dapat digunakan untuk 3 variabel acak yang masing- masing  berdistribusi  eksponensial, truncated  logistic, dan  geometrik  adalah  distribusi  TETLG ( Trivariate  distribution  with  Exponential,  Truncated  Logistic,  and  Geometric  marginals )  yang diperkenalkan oleh [3] pada tahun 2011. Distribusi TETLG juga banyak diaplikasikan di berbagai bidang seperti hidrologi, iklim, cuaca, keuangan, asuransi dan lain-lain [4]. Untuk mengakomodir kejadian multivariat  yang melibatkan ketiga variabel acak dalam pemodelan  harga saham  yaitu harga  penutupan  saham (𝑋) ,  harga  maksimal  penutupan  saham (𝑌) dan  durasi kenaikan/penurunan harga penutupan saham (𝑁) , dikonstruksi sebuah Generalized Linear Model (GLM) dengan vektor respon (𝑋, 𝑌, 𝑁) yang berdistribusi TETLG.
GLM  merupakan  perluasan  dari  model  regresi  linear  dimana  distribusi  variabel  respon diasumsikan  sebagai  anggota  keluarga  distribusi  eksponensial  [5].  Berdasarkan  penelitian  [2], kovariat-kovariat  yang  bisa  digunakan  dalam  pemodelan  harga  saham  adalah  tingkat  inflasi,
tingkat  pengangguran  dan  tingkat  obligasi  10  tahun.  Namun  dalam  penelitian  tersebut,  hanya tingkat inflasi dan tingkat pengangguran yang memiliki pengaruh signifikan terhadap pemodelan harga  saham  berdasarkan  uji  rasio likelihood .  Artikel  ini  membahas  konstruksi  GLM  untuk kejadian multivariat harga saham dengan kovariat-kovariat yang digunakan adalah tingkat inflasi, tingkat pengangguran dan tingkat obligasi 10 tahun seperti yang diusulkan [2]. Metode estimasi parameter model GLM untuk kejadian multivariat adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE). Untuk  evaluasi  performa  model,  digunakan Akaike  Information  Criterion (AIC)  sehingga diperoleh model terbaik. Selain itu, untuk mengetahui kovariat-kovariat yang signifikan, dilakukan uji Likelihood  Ratio .  Sebagai  implementasi  GLM  untuk  kejadian  multivariat,  digunakan  data saham berupa S&P 500 Index untuk periode 2 Januari 1958 hingga 17 April 2020 yang diunduh dari Yahoo! Finance . S&P  500 adalah singkatan dari Standard and Poor’s 500 dan terdiri  dari saham 500 perusahaan dari berbagai sektor yang mayoritas berasal dari Amerika Serikat. S&P 500 terdiri  dari  perusahaan-perusahaan  mapan  dan  memiliki  kapitalisasi  yang  besar  yang  berarti perusahaan-perusahaan  tersebut  jauh  dari  kemungkinan  bangkrut.  Beberapa  contoh  perusahaan yang termasuk dalam S&P 500 adalah Facebook , Amazon , Tesla dan lain-lain.

## 2 Metode Penelitian

## 2.1 Distribusi Generalized Exponential
Misalkan 𝑋 adalah peubah acak yang mengikuti distribusi Generalized Exponential dengan parameter  lokasi 𝛼 ( 𝛼 > 0 )  dan  parameter  skala 𝜆 ( 𝜆 > 0 ).  Dalam  notasi  matematis,  distribusi Generalized Exponential dapat ditulis sebagai GE (𝛼, 𝜆) dengan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dan fungsi kepadatan peluang (PDF) dari 𝑋 masing-masing diberikan oleh Persamaan (1) dan (2) sebagai berikut:
𝐹(𝑥; 𝛼, 𝜆) = (1 − 𝑒 −𝜆𝑥 ) 𝛼 , 𝑥 > 0 (1)
𝑓(𝑥; 𝛼, 𝜆) = 𝛼𝜆(1 − 𝑒 −𝜆𝑥 ) 𝛼−1 , 𝑥 > 0 (2)

## 2.2 Distribusi TETLG
Distribusi TETLG adalah singkatan dari Trivariate distribution with Exponential, Truncated Logistic,  and  Geometric  marginals .  Distribusi  ini  diperkenalkan  oleh  [4]  pada  tahun  2011. Distribusi  TETLG  merupakan  distribusi  probabilitas  bersama  3  variabel  acak (𝑋, 𝑌, 𝑁) dimana masing-masing 𝑋 berdistribusi  Eksponensial, 𝑌 berdistribusi Truncated  Logistic, dan 𝑁 berdistribusi Geometrik. Distribusi TETLG memiliki 2 parameter yaitu p dan 𝜆 yang berasal dari
distribusi  penggabung-penggabungnya.  Parameter 𝜆 berasal  dari  distribusi  eksponensial, parameter p berasal dari distribusi geometrik, dan dapat ditulis sebagai TETLG (𝑝, 𝜆 ) dengan 𝜆 > 0 and p ∈ (0,1) .  PDF  dari  distribusi  TETLG  dapat  diturunkan  melalui  distribusi  marginalnya mulai dari distribusi eksponensial hingga distribusi geometrik. Untuk vektor acak yang dinotasikan sebagai:
(𝑋, 𝑌, 𝑁) = (∑ 𝐸 𝑖 𝑁 𝑖=1 , 𝑚𝑎𝑥 ⏟ 1≤𝑖≤𝑁 𝐸 𝑖 , 𝑁) (3)
dimana 𝑋 adalah penjumlahan dari harga penutupan saham, 𝑌 adalah nilai maksimal dari harga penutupan saham, dan 𝑁 adalah durasi dari kenaikan/penurunan harga penutupan saham. (𝑋, 𝑌, 𝑁) dinyatakan  memiliki  distribusi  TETLG  dan  PDF  bersama  dari (𝑋, 𝑌, 𝑁) dapat  didefinisikan sebagai: 𝑓 𝑋,𝑌,𝑁 (𝑥, 𝑦, 𝑛) =   𝑓 𝑋,𝑌|𝑁 (𝑥, 𝑦|𝑛)𝑓 𝑁 (𝑛) dimana 𝑓(𝑥, 𝑦|𝑛) adalah pdf bersyarat dari 𝑋 dan 𝑌 diberikan 𝑁 dan 𝑓 𝑁 (𝑛) adalah  pdf  marginal  dari 𝑁 .  Diketahui  bahwa  variabel  acak 𝑁 tidak bergantung  pada 𝐸 𝑖 sehingga  PDF  marginal  dari 𝑁 menjadi 𝑓 𝑁 (𝑛) =  𝑝(1 − 𝑝) 𝑛−1 .  PDF  dari distribusi TETLG dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑛; 𝑝, 𝜆) =   𝜆 𝑛 𝑒 −𝜆𝑥 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛−1 𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑛) (4)
dimana, untuk semua 𝑛 ∈ ℕ , dan
𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑛) = { ∑ 𝑛(𝑛−1) (𝑠−1)!(𝑛−𝑠)! (𝑥 − 𝑠𝑦) 𝑛−2 (−1) 𝑠+1 𝑘 𝑠=1 ,   𝑛 ≥ 2, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 𝑘, 𝑘 = 1, … , 𝑛 − 1 1,                                              𝑛 = 1, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 0 0,                                               lainnya (5)
dengan 𝑆 0 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 = 𝑦 > 0} dan
𝑆 𝑘 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ 2 ∶ 0  ≤ 1 𝑘+1 𝑥  ≤  𝑦 < 1 𝑘 𝑥} , 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛 − 1 (6)
dan fungsi H tidak bergantung pada parameter 𝜆 > 0 and p ∈ (0,1).

## 2.3 Kejadian Multivariat
Multivariate events adalah kejadian-kejadian yang memiliki tidak hanya satu peristiwa yang mempengaruhi,  tetapi  bisa  lebih  banyak  peristiwa  yang  memberi  dampak  pada  peristiwa utamanya. Kejadian multivariat dapat muncul dalam berbagai bidang, termasuk ilmu sosial, ilmu ekonomi, ilmu lingkungan, kesehatan, dan banyak lagi [1].
2.4 Estimasi Parameter GLM untuk Kejadian Multivariat
Misalkan  observasi  kejadian  multivariat (𝑋 𝑖 , 𝑌 𝑖 , 𝑁 𝑖 ), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 berasal  dari  distribusi TETLG dengan parameter 𝑝 dan 𝜆 yang dipengaruhi satu atau lebih kovariat. Misalkan parameter 𝑝 bergantung  pada vektor  dari m -kovariat 𝒛 𝒊 =   [1, 𝑧 𝒊,𝟏 , … , 𝑧 𝒊,𝒎 ] 𝐓 berukuran 1 × (𝑚 + 1) dan parameter 𝜆 bergantung pada vektor dari k -kovariat 𝐰 𝒊 =   [1, w 𝒊,𝟏 , … , w 𝒊,𝒌 ] 𝐓 berukuran 1 × (𝑘 +
398
1) . Untuk menghubungkan rata-rata dari variabel respon dengan kombinasi linear dari kovariat, digunakan fungsi logit sebagai fungsi penghubung sehingga parameter 𝑝 𝑖 dapat direpresentasikan sebagai berikut:
𝑝 𝑖 = 𝑒 𝜷𝑇𝒁𝑖 1+ 𝑒 𝜷𝑇𝒁𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (7)
dengan 𝜷 = [ 𝛽 0 ⋮ 𝛽 𝑚 ] adalah sebuah vektor koefisien yang tidak diketahui berukuran (𝑚 + 1) × 1 .
Sedangkan  untuk  distribusi  eksponensial,  fungsi  penghubung  yang  paling  sering  digunakan adalah  fungsi  eksponensial.  Fungsi  eksponensial  memetakan  kombinasi  linier  dari  variabel prediktor  dan  parameter  regresi  ke  mean  dari  distribusi  eksponensial.  Fungsi  penghubung parameter 𝜆 𝑖 dengan  kovariat 𝒘 𝑖 dapat  ditulis  sebagai 𝜆 𝑖 =   𝑒 𝜼 𝑇 𝐰 𝑖 dimana 𝜼 =   [ 𝜂 0 ⋮ 𝜂 𝑘 ] adalah sebuah vektor koefisien tidak diketahui bernilai riil berukuran (𝑘 + 1) × 1 . Untuk menjabarkan proses  estimasi  untuk  koefisien 𝜷 =   [𝛽 𝟎 , … , 𝛽 𝒎 ] 𝐓 dan 𝜼 =   [𝜂 𝟎 , … , 𝜂 𝒌 ] 𝐓 ,  digunakan  metode maximum  likelihood untuk  mengestimasi  komponen  dari  vektor 𝜷 dan 𝜼 yang  saling  bebas. Misalkan (𝑋 1 , 𝑌 1 , 𝑁 1 ), (𝑋 2 , 𝑌 2 , 𝑁 2 ), … , (𝑋 𝑛 , 𝑌 𝑛 , 𝑁 𝑛 ) adalah barisan peubah acak yang independen dan  berdistribusi  identik  yaitu  TETLG (𝑝 𝑖 , 𝜆 𝑖 ) dimana 𝑝 𝑖 dan 𝜆 𝑖 masing-masing  berhubungan dengan  kovariat  (17)  dan  (18).  Dari  Persamaan  (4),  fungsi log-likelihood dari  sampel  acak multivariat (𝑋 𝑖 , 𝑌 𝑖 , 𝑁 𝑖 ) berukuran 𝑛 dapat ditulis sebagai:
𝑙(𝜷, 𝜼) = ln ∏ 𝜆 𝑖 𝑛 𝑖 −   ∑ 𝜆 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 + ln ∏ 𝑝 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑛 𝑖 −1 + 𝑛 𝑖=1 ln ∏ 𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑛) 𝑛 𝑖=1 (8)
Setelah  ditemukan  persamaan log-likelihood ,  langkah  selanjutnya  adalah  menurunkan persamaan tersebut. Oleh karena itu, perlu dipisah menjadi 2 persamaan dalam 𝜼 dan 𝜷 s upaya dapat dilakukan penurunan secara parsial.
𝑙(𝜷, 𝜼) =  𝑔(𝜼) +  ℎ(𝜷), (𝜼, 𝜷) T ∈ ℝ 𝑘+1 ×   ℝ 𝑚+1 (9)
dimana
𝑔(𝜼) = 𝜼 T ∑ 𝑛 𝑖 𝐖 𝑖 𝑛 𝑖=1 −   ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑒 𝜂 𝑇 𝐰 𝒊 , 𝜼 ∈ ℝ 𝑘+1 (10)
dan
ℎ(𝜷) =   𝜷 T ∑ 𝐳 𝑖 𝑛 𝑖=1 −   ∑ 𝑛 𝑖 𝑛 𝑖=1 ln(1 +  𝑒 𝛽 𝑇 𝒛 𝑖 ) , 𝜷 ∈ ℝ 𝑚+1 (11)
Nilai 𝜷 dan 𝜼 yang memaksimumkan fungsi log-likelihood pada Persamaan (20) diperoleh sebagai berikut: 𝜕 𝜕𝜼 𝑙(𝜷, 𝜼)   = 𝜕 𝜕𝜼 𝑔(𝜼) = 0 dan ∑ 𝑛 𝑖 w 𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 =   ∑ 𝑥 𝑖 w 𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 𝑒 𝜼 𝑇 𝐰 𝑖 ,     𝑗 = 1 , … , 𝑘 + 1.
Dengan mengasumsikan 𝑛 > 𝑘 dan matriks kovariat 𝑾 = [𝑤 𝑖𝑗 ] berukuran 𝑛  × (𝑘 + 1) memiliki rank penuh, estimasi parameter 𝜼 merupakan solusi unik dari MLE.
𝜕 𝜕𝜷 𝑙(𝜷, 𝜼) = 𝜕 𝜕𝜷 ℎ(𝜷) = 0 dan ∑ z 𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 =   ∑ 𝑛 𝑖 z 𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 𝑒 𝜷𝑇𝐳𝑖 1+ 𝑒 𝜷𝑇𝐳𝑖 ,     𝑗 = 1 , … , 𝑚 + 1
Asumsi  yang  digunakan  untuk  estimasi  parameter 𝜷 menggunakan  MLE  adalah 𝑛 > 𝑚 dan matriks kovariat 𝒁 = [𝑧 𝑖𝑗 ] berukuran 𝑛  × (𝑚 + 1) yang memiliki rank penuh. Berdasarkan [2], terdapat asumsi dan syarat tambahan yang diperlukan supaya didapatkan solusi unik dari 𝜷 yaitu, 𝑛 𝑖 > 1 .

## 3 Hasil dan Pembahasan
Hasil Dalam penelitian ini, digunakan data saham S&P 500 index untuk periode 2 Januari 1948  hingga  17  April  2020.  Sementara  untuk  data  kovariat,  data  yang  digunakan  adalah  data Unemployment  Rates , Inflation  Rates dan 10  Year  Treasure  Bond  Rate dari  website Bureau  of Labor  Statistics  Beta  Labs  America .  Untuk  mengkonstruksi  GLM  untuk  kejadian  multivariat, variabel acak 𝑋 , 𝑌 , dan 𝑁 masing-masing merepresentasikan jumlah dari harga penutupan saham, nilai  maksimal  harga  penutupan  saham,  dan  durasi  berdasarkan  data  saham  S&P  500  index. Gambar 1 menunjukkan alur implementasi GLM kejadian multivariat pada harga saham mulai dari pengecekan asumsi distribusi setiap variabel acak 𝑋 , 𝑌 , dan 𝑁 hingga uji likelihood ratio .
Gambar 1. Alur Implementasi GLM Kejadian Multivariat
Gambar 2. Pembagian Data Saham S&P 500 Index dalam 4 Periode
Gambar  2  menunjukkan  pembagian  data  saham  S&P500  index  menjadi  4  periode. 𝑁 dibagi menjadi 4 periode pengamatan berdasarkan karakteristik runtun waktunya, dimana durasi waktu
Kuning: Periode 1 (𝑛 1 )
Biru: Periode 2 (𝑛 2 )
Merah: Periode 3 (𝑛 3 )
Hijau: Periode 4 (𝑛 4 )
(dalam satuan bulan) pengamatan harga penutupan saham pada periode ke- 𝑖 dinotasikan sebagai 𝑛 𝑖 . Dari 4 periode yang ada, karakteristik data pada periode pertama atau 𝑛 1 adalah sideways , pada periode kedua atau 𝑛 2 adalah naik lalu turun atau fluktuatif, pada periode ketiga atau 𝑛 3 adalah pergerakan turun dan naik berkali-kali atau sangat fluktuatif, dan periode keempat atau 𝑛 4 adalah hanya  pergerakan  naik  namun  kenaikannya  drastis.  Dengan  karakteristik-karakteristik  data tersebut,  data  pada  periode  pertama  merupakan  pengamatan  harga  penutupan  saham  pada  300 bulan  pertama  sehingga 𝑛 1 = 300 .  Data  pada  periode  kedua  merupakan  pengamatan  harga penutupan  saham  pada  225  bulan  berikutnya  sehingga 𝑛 2 = 225 .  Data  pada  periode  ketiga merupakan pengamatan harga penutupan saham pada 150 bulan berikutnya sehingga 𝑛 3 = 150 . Data pada periode keempat merupakan pengamatan harga penutupan saham pada 75 bulan terakhir sehingga 𝑛 4 = 75 .    Gambar  3  menunjukkan  hasil  perhitungan  estimasi  parameter  untuk  kasus pembagian periode 𝑁 = 4, 5, dan 6. Setelah diperoleh hasil estimasi parameter untuk setiap kasus, dilanjutkan dengan AIC untuk pemilihan model mana yang terbaik.
Gambar 3. Hasil estimasi parameter untuk pembagian periode 𝑁 = 4, 5, dan 6
Pemilihan model terbaik untuk GLM kejadian multivariat menggunakan AIC. Setelah diperoleh hasil  estimasi  parameter  GLM  dari  masing-masing  kasus 𝑁 = 4, 5, dan  6,  dipertimbangkan pembagian variabel 𝑁 mana yang terbaik. Perhitungan AIC memerlukan fungsi log-likelihood dari model dan hasil dari perhitungan AIC tersedia pada Gambar 3.
Gambar 4. Hasil perhitungan AIC
402
Perhitungan  statistik  uji Likelihood-Ratio dilakukan  untuk  mengetahui  apakah  kovariat  tingkat pengangguran dan tingkat inflasi memiliki pengaruh signifikan terhadap variabel respon. Setelah dilakukan perhitungan AIC dan uji likelihood ratio [6] menggunakan pembagian periode 𝑁 = 4 , diperoleh nilai rasio likelihood sebesar -1.26 dan jika dibandingkan dengan nilai tabel chi -square dengan 𝛼 = 0.05 dan  derajat  bebas  1  yaitu: 𝜒 1,0.05 2 = 3.84146 maka 𝐻 0 gagal  ditolak.  Dengan demikian,  terbukti  kovariat  tingkat  penggangguran  dan  tingkat  inflasi  memiliki  pengaruh signifikan  terhadap  harga  penutupan  saham,  nilai  maksimal  dari  harga  penutupan  saham,  dan durasi kenaikan atau penurunan harga saham.

## 4 Simpulan
GLM untuk kejadian multivariat merupakan sebuah model GLM dimana variabel respon berbentuk vektor yang merepresentasikan kejadian multivariat. Dalam pemodelan saham, harga penutupan  saham,  nilai  maksimal  dari  harga  penutupan  saham  dan  durasi  kenaikan/penurunan harga  penutupan  saham  dinyatakan  sebagai  vektor  respon  dari  GLM  kejadian multivariat  yang berdistribusi  TETLG.  Distribusi  TETLG  adalah  distribusi  probabilitas  bersama  dari  3  variabel acak yang masing-masing berdistribusi eksponensial, truncated logistic , dan geometrik. Estimasi parameter  GLM  kejadian  multivariat  menggunakan  metode MLE  dan  pemilihan  model  terbaik berdasarkan  nilai  AIC.  Implementasi  GLM  kejadian  multivariat  berdasarkan  data  saham  index S&P  500  dengan  menggunakan  tiga  kovariat  yaitu,  tingkat  pengangguran,  tingkat  inflasi  dan tingkat obligasi 10 tahun, diperoleh hasil model terbaik adalah model dengan pembagian durasi sebanyak  4  periode.  Selanjutnya  berdasarkan  uji  rasio likelihood ,  tingkat  pengangguran  dan tingkat inflasi merupakan kovariat yang signifikan dalam pemodelan harga saham.

## 5 Daftar Pustaka
[1] J. Zscheischler et al. , “A typology of compound weather and climate events,” Nat Rev Earth Environ , vol. 1, pp. 1–15, Oct. 2020, doi: 10.1038/s43017-020-0060-z.
[2] F.  Zuniga,  T.  J.  Kozubowski,  and  A.  K.  Panorska,  “A  Generalized  Linear  Model  for Multivariate  Events,” J.  Comput.  Appl.  Math. ,  vol.  398,  no.  C,  Dec.  2021,  doi: 10.1016/j.cam.2021.113655.
[3] F. Qeadan, T. Kozubowski, and A. Panorska, “The Joint Distribution of the Sum and the Maximum of IID Exponential Random Variables,” Communications in Statistics—Theory and Methods , vol. 41, pp. 544–569, Oct. 2012, doi: 10.1080/03610926.2010.529524.
Fevi Novkaniza, Jonathan Anthony, Rahmat Al Kafi
[4] T.  Kozubowski,  A.  Panorska,  and  F.  Qeadan,  “A  new  multivariate  model  involving geometric sums and maxima of exponentials,” Fuel  and  Energy  Abstracts ,  vol.  141,  pp. 2353–2367, Oct. 2011, doi: 10.1016/j.jspi.2011.01.026.
[5] P. M. J.A Nelder, Generalized Linear Models , 2nd ed. 1989. doi: https://doi.org/10.1201/9780203753736.
[6] Yiu-Kuen Tse, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods, and Evaluation (International Series on Actuarial Science) . 2009.