## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi

## Penerapan Model Harga Opsi Black Scholes dalam Penentuan Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link
Seftiani 1 , Neva Satyahadewi 2* , Nur’ainul Miftahul Huda 3
1,2,3 Program Studi Matematika, Universitas Tanjungpura, Pontianak, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: neva.satya@math.untan.ac.id

## Abstrak
Asuransi  jiwa unit  link adalah  salah  satu  produk  asuransi  yang  banyak  diminati.  Produk  ini menghubungkan  antara  unsur  perlindungan  dengan  aset  investasi  yang  berada  dalam  suatu produk.  Dalam  hal  penentuan  harga  opsi,  model Black  Scholes adalah  salah  satu  metode  yang bisa digunakan. Keunggulan dari model ini ialah model penilaian call option serta ramai diminati dikalangan  asosiasi  keuangan  sebab  taraf  opsi  yang  didapatkan  dari  kalkulasi  model  ini  adalah nilai yang akurat. Tujuan penelitian ini untuk menetapkan nilai premi pada asuransi jiwa dwiguna unit  link dengan  menerapkan  model  harga  opsi Black  Scholes .  Penelitian  ini  dimulai  dengan memilih  saham  yang  digunakan  dan  melengkapi  informasi  yang  diperlukan  dalam  penelitian diantaranya  umur  tertanggung,  gender,  jangka  waktu  asuransi,  serta  peluang  hidup  didasarkan pada TMI tahun 2011. Berdasarkan data saham yang digunakan maka nilai return dan volatilitas saham dapat dihitung. Selanjutnya, Penerapan model harga opsi Black Scholes pada data nasabah dengan  jenis  kelamin  (gender)  laki-laki,  usia  25  tahun,  suku  bunga  yang  dipilih  5,75  %,  dan jangka  waktu  asuransi  selama  5  tahun  dipreoleh  nilai  premi  asuransi unit  link sebesar Rp.123.058.412. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model harga opsi Black Scholes ditentukan oleh harga saham, suku bunga, jangka waktu asuransi dan volatilitas. Ketika semakin lama jangka waktu  asuransi  yang  diambil  menyebabkan  nilai  premi  semakin  tinggi  dan  untuk  usia  berbeda, dengan  seiring  bertambahnya  usia,  nilai  premi  yang  dibayarkan  juga  akan  mengalami peningkatan.
Kata Kunci: Investasi; Unit Link ; Call Option; Black Scholes

## Abstract
Unit-linked life insurance is one of  the most  popular insurance products. This product  connects the element of protection with investment assets in a product. Regarding option pricing, the Black Scholes  model  is  one  method  that  can  be  used.  The  advantage  of  this  model  is  that  it  is  a  call option valuation model and is in great demand among financial associations because the option rate  obtained  from  the  calculation  of  this  model  is  an  accurate  value.  This  research  aims  to determine  the  premium  value  of  unit-linked  endowment  life  insurance  by  applying  the  Black Scholes option pricing model. This research begins by selecting the stocks used and completing the  information  needed,  including  the  insured's  age,  gender,  insurance  period,  and  life expectancy based on TMI in 2011. The return value and stock volatility can be calculated based on  the  stock  data  used.  Furthermore,  applying  the  Black  Scholes  option  pricing  model  on customer  data  with  male  gender,  age  25  years,  a  selected  interest  rate  of  5.75%,  and  an insurance period of 5 years obtained a unit link insurance premium value of Rp123,058,412. The results showed that the Black Scholes option price model  is determined by stock prices, interest rates,  insurance  periods,  and  volatility.  When  the  longer  period  of  insurance  taken  causes  the premium  value  to  be  higher,  and for  different  ages,  with  increasing  age,  the  value  of  premiums paid will also increase.
Keywords: Investments; Unit Link; Call Option; Black Scholes

## 1. Pendahuluan
Asuransi merupakan lembaga yang memegang peran penting bagi kehiduan manusia karena di setiap saat terdapat risiko yang tidak dapat dihindari, termasuk kematian. Untuk mengantisipasi risiko  tersebut  diperlukan  jaminan  untuk  biaya  kehidupan  selanjutnya  [1].  Pengalihkan  risiko tersebut,  nasabah  diharuskan  membayar  suatu  kewajiban  (premi)  kepada  penanggung.  Premi  itu sendiri  adalah  nominal  uang  yang  harus  disetor  oleh  setiap  tertanggung  terhadap  penanggung dalam  jumlah  yang  sudah  disepakati  [2].  Asuransi  terdiri  atas  jenis  yaitu  asuransi  jiwa  dan asuransi  umum.  Penelitian  ini  berfokus  pada  asuransi  jiwa  yang  tujuan  utamanya  adalah memberikan pertanggungan kepada pemegang polis dan keluarganya.
Asuransi  jiwa  ialah  suatu  produk  yang  menyampaikan    suatu  proteksi  terhadap  risiko, berkaitan  dan    meninggalnya  seorang  yang  dipertanggungkan  saat  mengikuti  asuransi  [3].  Salah satu  dari  banyak  jenis  asuransi  jiwa  ialah  asuransi  jiwa  dwiguna,  yang  menjanjikan  uang pertanggungan kepada peserta asuransi jika yang bersangkutan meninggal atau hidup selama waktu perjanjian.  Asuransi  jiwa  dwiguna  menggabungkan  dua  dari  asuransi  tradisional  antaranya  ialah asuransi  jiwa  murni  dan  asuransi  jiwa  berjangka  [4].  Biasanya  perusahaan  asuransi  jiwa  hanya menyampaikan perlindungan kepada pemegang polis. Akibatnya, adanya inovasi dari jenis asuransi jiwa yaitu asuransi unit link , yang mana asuransi ini menggabungkan preteksi jiwa dan investasi [5], namun  aset  perusahaan  asuransi  dan  pemegang  polis  tidak  menjadi  satu  dengan  kontrak  asuransi jiwa unit link .
Salah  satu  metode  pengindeks  untuk  mendapatkan  nilai  dari  premi  serta  nilai  manfaat asuransi  jiwa unit  link adalah  model  harga  opsi Black  Scholes .  Prosedur  yang  digunakan  untuk menghitung garansi minimum asuransi jiwa unit link serupa dengan  perincian opsi finansial.  Opsi merupakan persetujuan yang dibuat antara pihak penjual dengan pihak pembeli, yang mana penjual menanggung  hak  pemegang  opsi  dalam  memperjual-belikan  saham  pada  kurun  waktu  dan  nilai yang disepakati [6]. Pada penetapan harga opsi, model Black Scholes adalah salah satu metode yang dapat  digunakan . Kelebihan  model  ini  ialah  model  penilaian call  option yang  disambut  baik  di masyarakat keuangan karena harga opsi yang didapatkan dari kalkulasi model ini merupakan nilai yang “ fair ” atau tepat [7].
Pada  penelitian  ini  dilakukan  berdasarkan  beberapa  penelitian  terkait  sebelumnya  yang dilakukan  oleh  [8]  dengan  melaksanakan  pengujian  tentang  perhitungan  premi  tunggal  bersih asuransi jiwa berjangka dengan aspek penebusan. Hasil yang didapat pada penelitian tersebut hanya mengupas  terkait  nilai  premi  yang  berlaku  pada  proteksi  saja.  Penelitian  [9]  membahas  tentang analisis premi tunggal pada asuransi jiwa dwiguna 𝑘 -tahun unit link menggunakan metode Point to Point dengan  hasil  penelitian  meenyatakan  bahawa  analisis  premi  dilakukan  dengan  berdasarkan nilai  garansi minimum  dan  nilai cap.  Selain  itu,  pada  penelitian  lain,  penerapan model  harga  opsi untuk  penetapan  premi  asuransi  jiwa unit  link [1] yang  mana  membahas  bagaimana  menentukan nilai premi asuransi jiwa yang dikaitkan dengan nilai investasi, tetapi hanya berlaku untuk asuransi jiwa  berjangka  saja.  Penelitian  tersebut  menggunakan  Model Black  Scholes dalam  penelitiannya, dan  pada  penelitian  [10]  menyatakan  hasil  dari  perhitungan  dengan  model Black  Scholes lebih tinggi dari hasil premi menggunakan metode Annual Ratchet .
Dari hasil-hasil penelitian sebelumnya, penelitian ini bertujuan membahas perihal penerapan model  harga  opsi Black  Scholes pada  penentuan  premi  asuransi  jiwa  dwiguna unit  link .  Asuransi jiwa  dwiguna unit  link ialah  gabungan  dari  beberapa  asuransi  yaitu  asuransi  jiwa  dwiguna  serta asuransi unit link . Hal yang paling mendasar dalam menetapkan nilai premi asuransi jiwa unit link ialah  mengetahui  usia  tertanggung 𝑥 tahun  dan  lamanya  waktu  pembayaran.  Penelitian  ini dilakukan  dengan  menggunakan  data  simulasi,  dimana  data    yang  digunakan  adalah  data  seorang nasabah  laki-laki  yang  berusia  25  tahun  yang  membeli  produk  asuransi  selama  5  tahun pertanggungan, serta dipengaruhi oleh harga saham, suku bunga dan volatilitas. Selanjutnya pelajari Tabel  Mortalita  untuk  mengetahui  peluang  hidup  dan  peluang  kematian  seseorang,  serta  nilai
garansi  minimum  yang  dimaksudkan  untuk  membantu  perusahaan  asuransi  ikut  serta  dalam pembagian risiko ketika berinvestasi pada produk asuransi tersebut.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  memanfaatkan  tipe  penelitian  kuantitatif.  Data  yang diaplikasikan yaitu data sekunder dan data simulasi. Data sekunder dari penelitian ini berupa data penutupan saham Bank Rakyat Indonesia di tahun 2022 [11], data suku bunga Bank Indonesia (BI) [12],  dan  data  peluang  hudup  mengacu  pada  Tabel  Mortalita  Indonesia  (TMI)  tahun  2011  untuk laki-laki. Data  simulasi  yang  digunakan  adalah  data  nasabah  yang  berusia  25  tahun  yang menandatangani surat pembelian asuransi jiwa dwiguna unit link selam  5 tahun. Model perhitungan harga  opsi menggunakan  Model Black  Scholes ,  yang  didefinisikan  untuk  mencari nilai  premi  dari asuransi jiwa dwiguna unit link. Tahapan perhitungan dari penelitian ini sebagai berikut:

## 2.1 Return Saham
Return saham  ialah  nilai  laba  suatu  investasi  atau  pendapatan  saham  yang  dilakukan  [13]. Continous compounding return adalah logaritma natural yang digunakan untuk menetapkan return investasi  saham  pada  tahun  sebelumnya.  Log return untuk  saham  dari  waktu 𝑡 –  1  sampai  t dinyatakan sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = ln 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 (1)
Selanjutnya, persamaan berikut digunakan untuk mencari nilai rata-rata return saham:
𝑅 𝑡 ̅̅̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑡 𝑛 𝑡=1 (2)
Nilai rata-rata return (𝑅 𝑡 ̅̅̅) digunakan saat mencari nilai variansi dan volatilitas harga saham.

## 2.2 Volatilitas Return Saham
Volatilitas return saham  adalah  standar  deviasi  ( 𝜎 )  dari return log  tahunan  yang  digunakan untuk  menghitung  taraf  risiko  saham  [14].  Metode  yang  digunakan  dalam  menentukan  volatilitas return saham  iyalah  menggunakan  data  historis.  Volatilitas  historis  dihitung  berdasarkan  harga saham  sebelumnya,  dengan  asumsi  performa  harga  saham  dapat  menggambarkan  respon  saham dimasa mendatang [15]. Volatilitas return saham didefinisikan sebagai berikut:
𝜎 = 1 √𝜏 √𝑣𝑎𝑟 (3)
dengan 𝜏 = 1 𝑇 dan T jumlah hari aktif perdagangan dalam kurun waktu 1 tahun (252 hari) [14].

## 2.3 Uji Normalitas Return Data
Uji  Normalitas  data  dipergunakan  dalam  menetapkan  suatu  data  berdistribusi  normal  atau sebaliknya.  Pengujian  ini  dilakukan  dengan  bantuan software SPSS.  Tujuan  pengujian  Normalitas pada return saham untuk memprediksi ketidakstabilan harga yang dapat mengakibatkan penurunan harga  saham  secara  drastis,  yang  akan  merugikan  investor  [9].  Adapun  jenis  uji  yang  dilakukan adalah  uji Kolmogorov-Smirnov menggunakan  kajian  keputusan  bahwa  data  berdistribusi  normal jika nilai Sig > 𝛼 (𝛼 = 0,05) , dan data yang tidak berdistribusi Normal jika nilai Sig < 𝛼 .

## 2.4 Asuransi Jiwa Dwiguna
Asuransi  jiwa  dwiguna  menjamin  perlindungan  ketika  nasabah  masih  hidup  sampai  waktu perjanjian berakhir, ketika nasabah meninggal dunia sebelum waktu perjanjian, adapun yang dipilih akan  menerima  uang  yang  tertera  pada  kontrak  perjanjian  [16].  Asuransi  jiwa  dwiguna  ialah kombinasi antara asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa dwiguna murni [4].
Fungsi benefit (manfaat) adalah hasil pembayaran benefit , dimana indeks 𝑡 + 1 mewakili sisa umur nasabah.
𝑏 𝑡+1 = { 1, 𝑡 = 0,1,2, … , 𝑇 − 1 0, 𝑡 = 𝑇 (4)
Fungsi diskonto merupakan faktor diskonto bunga yang ditentukan dalam periode pelunasan hingga penerbitan polis.
𝑣 𝑡+1 = { 𝑣 𝑡+1 , 𝑡 = 0,1,2, … , 𝑇 − 1 𝑣 𝑇 , 𝑡 = 𝑇 (5)
Nilai saat ini dari polis pembayaran asuransi pada saat penerbitan dinyatakan sebagai berikut:
𝑧 𝑡+1 = 𝑏 𝑡+1 𝑣 𝑡+1 (6)
Dari pembayaran manfaat asuransi jiwa dwiguna maka didapat nilai premi dengan persamaan sebagai berikut:
𝐴 𝑥:𝑇̅| = 𝐴 𝑥:𝑇| 1 + 𝐴 𝑥:𝑇̅| 1 𝐴 𝑥:𝑇̅| = ∑ 𝑣 𝑡+1 𝑡 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥+𝑡 + 𝑣 𝑇 𝑇 𝑝 𝑥 𝑇−1 𝑡=0 (7)
Keterangan Notasi:
𝐴 𝑥:𝑇̅| : nilai sekarang aktuaria seseorang berusia 𝑥 tahun dengan jangka waktu asuransi 𝑇 tahun 𝑡 𝑝 𝑥 :  peluang seseorang berusia 𝑥 tahun tetap hidup sampai dengan usia 𝑡 tahun 𝑞 𝑥+𝑡 :  peluang seseorang berusia 𝑥 + 𝑡 tahun akan meninggal 1 tahun kedepan

## 2.5 Asuransi Jiwa Unit Link
Asuransi jiwa unit link ialah kombinasi dari manfaat asuransi serta investasi. Produk asuransi unit  link ini  bersifat unbundled .  Cakupan  proteksi,  dana  dan  komponen  investasi  asuransi  jiwa ditentukan  secara  terpisah,  memberikan  polis  lebih  jelas  daripada  produk  asuransi  jiwa  biasa. Secara umum, produk unit link terbagian berdasarkan portofolionya [17]: 1. Dana ekuitas
2. Dana pendapatan tetap
3. Dana manajemen
4. Dana kas

## 2.6 Model Black Scholes
Model Black Scholes ialah model yang hanya diterapkan dalam menghitung harga opsi tipe Eropa yang terjadi pada waktu jatuh tempo saja. Harga call option 𝐶 (𝑆, 𝑡) pada harga kesepakatan 𝐾 dan tanggal jatuh tempo 𝑇 . Adapun persamaan Black Scholes untuk menghitung call option dapat dituliskan sebagai berikut :
𝐶(𝑆, 𝑇) = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝑆 − 𝐾, 0) (8)
Jika  terdapat  variabel  acak 𝑉 berdistribusi  lognormal  dan  standar  deviasi  dari 𝑙𝑛 𝑉 ialah 𝑤 , sehingga maksimum perkiraan beda dari 𝑉 dan 𝐾 yaitu:
𝐸[𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑉 − 𝐾0,0)] = 𝐸(𝑉)𝑁(𝑑 1 ) − 𝐾𝑁(𝑑 2 ) (9)
Keterangan Notasi:
𝑁 : fungsi kumulatif distribusi normal
Misalkan  suatu call  option tanpa  laba  yang  kadaluarsa  pada  waktu 𝑇 dengan strike price 𝐾 , harga saham 𝑆 0 , risk rate 𝑟 , dan volatilitas 𝜎 . untuk harga call 𝐶 sebagai berikut:
𝐶 = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐸[𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑆 𝑇 − 𝐾, 0)] (10)
Asuransi  jiwa unit  link saat  menentukan  garansi  minimum,  menjanjikan  manfaat  terhadap tetanggung dengan sejumlah garansi yang telah disetujui [18]. Asumsikan untuk nilai garansi pada waktu 𝑇 yang disimbolkan dengan 𝐺 𝑇 didefinisikan sebagai berikut:
𝐺 𝑇 = 𝑆 0 𝑒 𝑟𝑇 (11)
dengan 𝑟 = ln(1 + 𝑖)
Persamaan (11) dilihat seperti payoff opsi jual tipe Eropa untuk 𝐺 𝑇 selaku harga kesepakatan. Akibatnya dengan menggunakan valuasi risk-neutral diperoleh harga opsi yang mana nilai manfaat pada saat waktu 0 [19].
𝑈(𝑇) = 𝐸[𝑣 𝑇 max[𝑆 𝑇 , 𝐺 𝑇 ]] (12)
Substitusikan Persamaan (9) ke Persamaan (12) untuk opsi call Eropa, maka:
𝑈(𝑇) = 𝐸[𝑣 𝑇 max[𝑆 𝑇 , 𝐺 𝑇 ]] = {𝑒 −𝑟𝑇 𝐺 𝑇 + 𝑒 −𝑟𝑇 [max[𝑆 𝑇 , 𝐺 𝑇 ]]} = 𝑆 0 + 𝑆 0 𝑁(𝑑 1 ) − 𝐺 𝑇 𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑 2 ) (13)
dengan : 𝑑 1 = ln( 𝑆(0) 𝐺𝑇 )+(𝑟+ (𝜎2) 2 )𝑇 (𝜎)(√𝑇) dan 𝑑 2 = 𝑑 1 − (𝜎)(√𝑇)
Berdasarkan  Persamaan  (7)  didapat  nilai  premi  asuransi  jiwa  dwiguna unit  link berdasarkan garansi minimum yang memberikan manfaat di akhir tahun kematian yaitu:
𝐴 𝑥:𝑇̅| = ∑ 𝑝 𝑡−1 𝑥 𝑞 𝑥+𝑡−1 𝑈(𝑇) 𝑇 𝑡=1 (14)

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Return Saham
Bagian return saham akan dicari nilai return dari data harga penutupan  saham Bank Rakyat Indonesia dalam jangka 1 tahun, dengan banyaknya data adalah 245 hari kerja. Tabel 1 merupakan hasil perhitungan dari return harga saham pada tahun 2022 yang dihutung menggunakan Software Microsoft Excel .
Tabel 1. Nilai Return Saham Date Close 𝑅 𝑡 03/01/2022 4.180 0,0000 04/01/2022 4.160 -0,0048 05/01/2022 4.210 0,0120 ⋮ ⋮ ⋮ 30/12/2022 4.940 0,0144
Berdasarkan hasil perhitungan  yang diperoleh nilai return menunjukkan nilai positif, negatif dan nol. Kemudian dicari rata-rata dari return saham dengan Persamaan (2) yaitu:
𝑅 𝑡 ̅̅̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑅 𝑡 ̅̅̅ = 1 245 (0,1992)
𝑅 𝑡 ̅̅̅ = 0,0008
Nilai rata-rata return saham ialah 0,0008

## 3.2 Volatilitas Harga Saham
Perhitungan  volatiltas  pada  harga  saham  dilaksanakan  untuk  memperkirakan  tingkat  risiko dari  suatu  saham  [20].  Sebelum  mencari  nilai  dari  volatilitas  harga  saham,  terlebih  dahulu  dicari nilai variansi dengan memasukkan nilai rata-rata ke Persamaan sebagai berikut:
𝑣𝑎𝑟 = 1 𝑛 − 1 ∑ (𝑅 𝑡 − 𝑅 𝑡 ̅̅̅) 2 𝑛 𝑡=1

## 𝑣𝑎𝑟 = 1 244 (0,0644)
𝑣𝑎𝑟 = 0,0003
Maka,  nilai  variansi  adalah  0,0003.  Selanjutnya  menentukan  nilai  volatilitas  harga  saham dengan Persamaan (3) yaitu:
𝜎 = 1 √𝜏 √𝑣𝑎𝑟 𝜎 = 1 √ 1 252 √0,0003

## 𝜎 = 0,2750
Berdasarkan  data  saham  Bank  Rakyat  Indonesia  pada  tahun  2022,  diperoleh  nilai  volatilitas dari return data saham tahunan adalah 0,2750.

## 3.3 Uji Normalitas Return Data
Pada  bagian  ini,  uji Kolmogorov-Smirnov (K-S)  digunakan  untuk  pengujian  Normalitas terhadap data return menggunakan softwarw SPPS.
Tabel 2. Uji Normalitas Return Saham Jenis Uji Nilai Statistik Uji sig Kolmogorov-Smirnov 0,056 0,063
Berasarkan  hasil  pengujian  pada  Tabel  2  dengan  diketahui  nilai sig 0,063  >  nilai 𝛼 = 0,05 sehingga  H 0 diterima,  maka  kesimpulan  dari  uji  yang  dilakukan  adalah  nilai return berdistribusi normal.

## 3.4 Premi Asuransi Jiwa Dwiguna
Tabel 3 . Uji Normalitas Return Saham
x t p x q x t-1 P x q x+t-1 v t+1 A|x:T| 25 0  0,99915 0,00085 1,00000  0,00085  0,94563 0,0008 26 1  0,99917 0,00083 0,99915  0,00083  0,89421  0,00074 27 2  0,99921 0,00079 0,99832  0,00079  0,84559  0,00067 28 3  0,99925 0,00075 0,99753  0,00075  0,79961  0,00060 29 4  0,99926 0,00074 0,99678  0,00074  0,75613  0,00056 30 5  0,99924 0,00076 0,99605 - 0,71502  0,71219
Berdasarkan hasil pada Tabel 3 maka  diperoleh nilai dari perhitungan yang didasarkan pada Tabel  Mortalita  Indonesia  tahun  2011  dengan  usia  tertanggung  25  tahun  dan  jangka  waktu pertanggungan  selama  5  tahun.  Selanjutnya  nilai  premi  asuransi  jiwa  dwiguna  diperoleh  dengan mengaplikasikan Persamaan 7 yaitu:
𝐴 𝑥:𝑇̅| = ∑ 𝑣 𝑡+1 𝑡 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥+𝑡 + 𝑣 𝑇 𝑇 𝑝 𝑥
𝑇−1 𝑡=0 = 0,0034 + 0,7122

## = 0,7156
Jadi  nilai  premi  asuransi  jiwa  dwiguna  0,7156,  dengan 𝑥 sebagai  usia  tertanggung  saat membeli kontrak asuransi dan 𝑡 sebagai jangka waktu pertanggungan.
3.5 Nilai Premi Asuransi Jiwa Dwiguan Unit Link yang Menerapkan Model Opsi Black Scholes
Sebelum menghitung premi dari asuransi jiwa dwiguna unit link menggunakan model Black Scholes , berdasarkan penelitian sebelumnya [10] besar garansi minimum ditetapkan terlebih dahulu dengan Persamaan (11), maka didapatkan nilai dari garansi minimumnya pada Tabel 4.
Tabel 4. Garansi Minimum
T G T 1 4420,3500 2 4674,5201 3 4943,3050 4 5227,5451 5 5528,1289
Berdasarkan  Tabel  4  diperoleh  nilai  garansi  minimumnya,  yang  mana  setiap  pertambahan jangka  waktu  asuransi  nilainya  semakin  meningat,  selanjutnya  menerapkan  Persamaan  (13)  maka dapat  dihitung    manfaat  dari  asuransi  jiwa  dwiguna unit  link, dengan 𝑑 menyatakan  nilai  fungsi distribusi normal.
Tabel 5. Manfaat Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link Menggunakan Model Black Scholes
𝑑 1 𝑑 2 𝑈(𝑇) 0,0005 -0,2745 4632,9027 0,0008 -0,3881 4812,6453 0,0009 -0,4754 4945,4207 0,0011 -0,5489 5053,2074 0,0012 -0,6137 5144,6582
Selanjutnya, berdasarkan Tabel Mortalita Indonesia 2011, dapat ditentukan nilai t-1 p x q x+t-1 dari Tabel 3. Maka didapat nilai premi asuransi jiwa dwiguna unit link .
Tabel 6. Nilai Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link Menggunakan Model Black Scholes
𝑈(𝑇) t-1 p x q x+t-1 t-1 p x q x+t-1 𝑈(𝑇) 4632,9027 0,00085 3,9380 4812,6453 0,00083 3,9945 4945,4207 0,00079 3,9069 5053,2074 0,00075 3,7899 5144,6582 0,00074
Berdasarkan  hasil  dari  Tabel  6  didapat  besar  premi  asuransi  jiwa  dwiguna unit  link menggunakan Persamaan (14) :
𝐴 𝑥:𝑇̅| = ∑ 𝑝 𝑥 𝑡−1 𝑞 𝑥+𝑡−1 𝑈(𝑇) 𝑇 𝑡=1 = 15,6293 + 5.128,1952 𝐴 25:5 ̅| = 5.143,7223
Sehingga  besar  dari  nilai  premi  asuransi  jiwa  dwiguna unit  link yang  harus  dibayar tertanggung dengan harga Rp. 4.180 per lembar yaitu:
𝑃  = 𝐴 𝑥:𝑇̅| . 𝑢

## = (5.143,7223)(23.924)

## = 123.058.412
Maka  diperoleh  nilai  premi  asuransi  jiwa  dwiguna unit  link menggunakan  model Black Scholes sebesar Rp. 123.058.412 untuk tertanggung laki-laki dengan usia 25 tahun dan lama waktu asuransi 5 tahun.

## 3.6 Analisis  Premi  Asuransi  Jiwa  Dwiguna  Unit  Link  Menggunakan  Jangka  Waktu  Asuransi Bervariasi
Pada  studi  kasus  ini  data  simulasi  usia  peserta  asuransi  yang  digunakan  adalah  25  tahun dengan  jenis  kelamin  laki-laki,  hanya  saja  jangka  waktu  asuransi  yang  digunakan  berbeda (bervariasi).
Tabel 7. Nilai Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link untuk Jangka Waktu Asuransi Bervariasi dengan usia tetap Jangka Waktu Asuransi (𝑡) 𝐴 𝑥:𝑇̅| Nilai Premi 5 tahun 5143,7223 Rp.123.058.412 10 tahun 5464,6230 Rp.130.735.641 15 tahun 5667,3376 Rp.135.585.385 20 tahun 5807,8823 Rp.138.947.777 25 tahun 5909,1902 Rp.141.371.465
Terlihat  pada  Tabel  7  jika  jangka  waktu  asuransi  bertambah,  maka  nilai  premi  akan meningkat (mahal). Terjadinya hal ini dipengaruhi oleh  laba yang diproleh dari investasi bertambah besar bertepatan dengan bertambahnya waktu asuransi.

## 3.7 Analisis Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link dengan Usia Bervariasi
Pada studi kasus ini data simulasi jangka waktu asuransi yang digunakan yaitu 5 tahun, hanya saja usia yang digunakan berbeda (bervariasi).
Tabel 8. Nilai Premi Asuransi Jiwa Dwiguna Unit Link untuk Usia Bervariasi dengan Jangka
Waktu tetap Usia 𝐴 𝑥:𝑇̅| Nilai Premi 25 tahun 5143,7223 Rp.123.058.412 30 tahun 5445,2183 Rp.130.271.402 35 tahun 5626,1514 Rp.134.600.047 40 tahun 5735,9665 Rp.137.227.264 45 tahun 5781,2209 Rp.138.309.929
Terlihat pada Tabel 8 seiring dengan bertambahnya usia, nilai premi yang wajib dibayar akan bertambah  tinggi  (mahal).  Hal  ini  dipegaruhi  oleh  peluang  kematian  seseorang  (Tabel  Mortalita) yang bertambah besar dengan pertambahan usia tertanggung.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  penelitian  yang  dilakukan,  disimpulkan  bahwa model  harga  opsi Black  Scholes dipengaruhi  oleh  harga  saham,  suku  bunga,  jangka  waktu  asuransi  dan  volatilitas.  Didapat  nilai premi asuransi jiwa unit link pada usia tertanggung 25 tahun sebesar Rp 123.058.412 dalam jangka waktu  5  tahun,  dengan  harga  saham  penutupan  Bank  Rakyat  Indonesia  Tahun  2022  yang menerapkan  model  harga  opsi Black  Scholes .  Semakin  lama  jangka  waktu  asuransi  yang  diambil
mengakibatkan  nilai  premi  meningkat  (mahal),  dikarenakan  nilai  garansi  minimum  yang  didapat semakin besar seiring dengan bertambahnya waktu asuransi, dan untuk usia berbeda menunjukkan bahwa seiring dengan bertambahnya usia tertanggung, maka jumlah premi yang didibayarkan juga akan  bertambah  tinggi  (mahal).  Terjadinya  hal  tersebut  diakibatkan  oleh  risiko  atau  peluang  dari kematian seseorang semakin besar seiring dengan pertambahan usia tertanggung.

## Referensi
[1]   F. U. Annisa, Riaman and B. Subartini, "Penerapan Model Harga Opsi Black Scholes dalam Penerapan Premi Asuransi Jiwa Berjangka Unit Link ," Jurnal Matematika Integratif, vol. 14, no. 2, pp. 91-97, 2018, doi: 10.24198/jmi.v14.n2.18057.91-97.
[2]   N.  Iriana,  I.  Purnamasari  and  Y.  N.  Nasution,  "Penentuan  Cadangan  Premi  Asuransi  Jiwa Seumur  Hidup  Menggunakan  Metode Zillmer ," Jurnal  Matematika,  Statistika  &  Komputasi, vol. 16, pp. 219-225, 2020, doi: 10.20956/jmsk.v%vi%i.8312.
[3]   N. D. khairunnisa, O. Rohaeni and Y. Permanasari, "Model Perhitungan Premi Asuransi Jiwa Berjangka Secara Diskrit dan Kontinu," Posiding Matematika, vol. 2, no. 1, pp. 37-42, 2016, doi: 10.29313/.v0i0.3230.
[4]   R.  Nursariyani,  S.  W.  Rizki  and  H.  Perdana,  "Perhitungan  Cadangan  Premi  Asuransi  Jiwa Dwiguna  dengan  Merode Fackler Berdasarkan  Asumsi  Constant  Force," Jurnal  Bimaster, vol. 10, no. 3, pp. 341-350, 2021, doi: 10.26418/bbimst.v10i3.48339.
[5]   E. Hayati, "Penentuan Tingkat Partisipasi Pada Asuransi Jiwa Endowment Unit Link Dengan Metode Point  to  Poin t," Jurnal  Ilmu  Sosial  dan  Humaniora, vol.  3,  no.  2,  pp.  2032-3791, 2015.
[6]   Widyawati, N. Satyahadewi and E. Sulistianingsih, "Penggunaan Model Black Scholes Untuk Penentuan  Harga  Opsi  Jual  Tipe  Eropa," Bimaster, vol.  02,  no.  1,  pp.  13-20,  2013,  doi: 10.26418/bbimst.v2i1.1535.
[7]   E. Tandelilin, Pasar Modal Manajemen Protofolio dan Investasi, Depok: Kanisius, 2017.
[8]   E.  S.  Kresnawati,  "Premi  Tunggal  Bersih  Asuransi  Jiwa  Berjangka  Dengan  Faktor Penebusan,"  in Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika  FMIPA  UNY , Yogyakarta, 2013.
[9]   F. Maghfiroh and N. Satyahadewi, "Analisi Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Dwiguna K - Tahun Unit Link Menggunakan Merode Point To Point Dengan Garansi Minimum dan Nilai CAP," Bimaster, vol. 10, no. 1, pp. 33-42, 2021, doi: 10.26418/bbimst.v10i1.44664.
[10]   S.  R.  Amalia  and  M.  Subhan,  "Penentuan  Premi  Tunggal  Asuransi  Jiwa Unit  Link dengan Garansi Minimum Menggunakan Metode Annual Ratchet dan Model Black Scholes ," Journal Of Mathematics, vol. 6, pp. 59-65, 2021, doi: 10.24036/unpjomath.v6i3.11953.
[11]   BBRI.JK,  "Data  Harga  Saham  Bank  Rakyat  Indonesia,"  2022.  [Online].  Available: http://yahoo.finance.com.
[12]   B.Indonesia, "BI Rate," 2023. [Online]. Available: http://www.bi.go.id/web/id/.
[13]   M.  F.  Legiman  and  V.  Untu,  "Faktor-Faktor  Yang  Mempengaruhi  Return  Saham  pada Perusahaan Agroindustry yang Terdaftar di Bursa Efek Indonesia Periode 2009-2012," Jurnal EMBA, vol. 3, pp. 382-392, 2015, doi: 10.35794/emba.3.3.2015.9411.
[14]   J. C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2009.
[15]   R. K. Jain, Putting Volatility To Work, Active Trader, 2001.
[16]   H. Darmawi, Manajemen Asuransi, Jakarta: Bumi Aksara, 2004.
[17]   K.  Sendra,  Konsep  dan  Penerapan  Asuransi  Jiwa Unit-Link Proteksi  sekaligus  Investasi, Jakarta: Penerbit PPM dengan PT Asuransi Jiwasraya, 2004.
[18]   A. R. Bacinello and S. A. Persson, "Design and princing of equity-Linked life insurance under stochastic  interest  rates," Journal  of  Risk  Finance, vol.  3,  no.  2,  pp.  6-21,  2022,  doi: 10.1108/eb043484.
[19]   M. J. Brennan and E. S. Schwartz, "The Pricing of Equity-linked Life Insurance Policies With an Asset Value Guarantee," Journal of Finansial Economics, vol. 3, no. 3, pp. 195-213, 1976, doi: 10.1016/0304-405X(76)90003-9.
[20]   K.  Hussainey,  "Dividend  Policy  and  Share  Price  Volatility:  UK  evidence," The  Journal  of Risk Finance, vol. 12, no. 1, pp. 57-68, 2011, doi: 10.1108/15265941111100076.