Vol. 18, No. 2,  169-173,  January, 2022 DOI: 10.20956/j.v18i2.16669

## Direct Sums of Prime Subsemimodules

## Jumlah Langsung Subsemimodul Prima
Andi Muhammad Anwar 1 * # , Hanni Garminia 2* , Irawati 3*

## Abstract
Let be  a commutative semiring.  A  semimodule over a  semiring is   a  fully  prime semimodule  if  each  proper  subsemimodule  of is  prime.  This  research  aims  to investigate the characterization of direct sums of prime subsemimodules.
Keywords: prime subsemimodules, fully prime semimodules, semirings.

## Abstrak
Misalkan adalah  semiring  komutatif.  Semimodul atas  semiring merupakan semimodul prima penuh apabila semua subsemimodul sejatinya merupakan subsemimodul prima.  Penelitian  ini  bertujuan  menyelidiki  karakterisasi  jumlah  langsung  dari subsemimodul prima.
Kata Kunci :  subsemimodul prima, semimodul, semiring.

## 1. Pendahuluan
Semiring  pertama  kali  diperkenalkan  secara  eksplisit  oleh  Vandiver  pada  tahun  1934  sebagai struktur  aljabar  yang  memiliki  dua  operasi  seperti  gelanggang  (ring)  namun  hukum  pembatalan pada  penjumlahan  tidak  berlaku  [6].  Semiring  digunakan  dalam  pendefinisian  semimodul  seperti pada  definisi  perkalian  scalar  modul  yang  melibatkan  gelanggang.  Semimodul  atas  semiring pertama  kali  diperkenalkan  secara  terstruktur  oleh  Takahashi  pada  tahun  1981  [4].    Selanjutnya, semimodul  banyak  dikerjakan  oleh  matematikawan  dengan  memperluas  sifat-sifat  yang  berlaku pada  struktur  modul.  Salah  satu  yang  dikembangkan  adalah  ideal  prima  pada  semiring  dan subsemimodul prima dari semimodul.
Konsep  subsemimodul  prima  di  semimodul  merupakan  pengembangan  dari  konsep  submodul prima di teori modul. Penelitian-penelitian yang telah dikerjakan sebelumnya terkait subsemimodul
* Kelompok Keahlian Aljabar, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung
# Departement of Mathematics,  Hasanuddin University, Makassar, Indonesia
Email address : 1 andimuhammadanwar08@gmail.com, 2 garminia@math.itb.ac.id , 3 irawati@math.itb.ac.id

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Muhammad Anwar, Hanni Garminia, Irawati
prima  dapat  dilihat  di    [5]  ,  [2],    [3],  dan  [1].  Hasil  utama  dalam  tulisan  ini  membahas  mengenai jumlah langsung dari subsemimodul prima.

## 2. Beberapa Definisi dan Notasi
Semiring  memiliki  definisi  yang  hampir  serupa  dengan  gelanggang  namun  diperlemah  karena ada  satu  hukum  yang  ditiadakan  yaitu  hukum  pembatalan  pada  operasi  penjumlahan.  Karena ditidakannya  hukum  pembatalan  ini  sehingga  semiring  menjadi  lebih  menarik  untuk  dikaji  lebih jauh terkait sifat-sifat dan karakterisasinya.
Semiring merupakan himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan “+” dan operasi perkalian “ “ dan memenuhi beberapa kondisi:
(1) memenuhi sifat asosiatif, komutatif,  dan memiliki unsur identitas , (2) memenuhi sifat asosiatif dan memiliki unsur identitas , (3) memenuhi sifat distributf kiri dan kanan yaitu dan untuk setiap , (4) untuk  setiap memenuhi , dan (5) .
Struktur  semiring merupakan  semiring  komutatif  apabila  memenuhi  sifat  komutatif  pada operasi perkalian yaitu untuk setiap memenuhi . Pada tulisan ini semiring yang dibicarakan  adalah  semiring  komutatif.  Misalkan subhimpunan  tak  kosong  dari ,  maka dikatakan ideal kiri dari apabila tertutup terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi jika dan maka (ideal kanan apabila
). Apabila memenuhi ideal kanan dan kiri maka cukup dikatakan sebagai ideal dari semiring .
Contoh 1:
1. Ada  beberapa  contoh  dari  semiring  yang  sangat  sederhana  namun  sering  digunakan  yaitu bilangan  bulat  positif    ( ,  bilangan  rasional  positif  ( ,  dan  bilangan  riil  positif    ( ). Semua gelanggang (ring) juga merupakan semiring, namun jelas tidak untuk sebaliknya.
2. Salah  satu  contoh  semiring  adalah  aljabar  Boolean.  Misalkan  aljabar  Boolean dengan  operasinya  didefinisikan dan dengan serta  identitas  penjumlahan  dan  perkaliannya  adalah dan .
Unsur  di yang  memilki  invers  pada  penjumlahan  hanyalah  unsur identitas  yaitu .  Aljabar Boolean merupakan semiring komutatif. Subimpunan
dari merupakan contoh ideal dari semiring .
Struktur  berikutnya  adalah  struktur  semimodul  dimana  struktur  ini  juga  merupakan  struktur modul yang diperlemah dikarenakan perkalian skalarnya menggunakan struktur semiring. Misalkan merupakan semiring komutatif. Semimodul kiri atas semiring ( -semimodul) adalah himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan yang memenuhi sifat asosiatif, komutatif, dan memiliki unsur identitas yaitu serta pekalian skalar dengan pemetaannya dan memenuhi: (1) , ,  dan untuk  setiap dan . (2) , untuk setiap ,  dan (3) , untuk setiap dan .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Andi Muhammad Anwar, Hanni Garminia, Irawati
Semimodul  kanan  atas  semiring memiliki  definisi  serupa  dengan  semimodul  kiri  namun  pada tulisan ini semimodul yang dikerjakan adalah semimodul kiri.
Misalkan merupakan  subhimpunan  tak  kosong  dari -semimodul  maka merupakan subsemimodul  apabila  memenuhi  definisi  semimodul.  Misalkan merupakan  subsemimodul  dari -semimodul ,  maka  jelas  himpunan
merupakan  ideal  dari . Subsemimodul  sejati dari merupakan  subsemimodul  prima  apabila  untuk  setiap dan yang memenuhi maka atau .
Contoh 2:
1. Semiring merupakan  semimodul  atas  dirinya  sendiri  dengan  operasi  perkalian  di didefinisikan sebagai perkalian skalarnya.
2. Misalkan  himpunan
dengan merupakan  semiring  yang  telah diberikan  pada  Contoh  1  dan  didefinisikan  operasinya  adalah
untuk  setiap .  Selanjutnya  didefinisikan  operasi  perkalan skalarnya adalah untuk setiap dan .  Himpunan dan operasinya merupakan semimodul atas semiring . Salah satu contoh subsemimodul dari adalah .  Subsemimodul bukanlah subsemimodul prima karena terdapat dan yang memenuhi namun dan .  Contoh  subsemimodul  prima  dari adalah .
Semimodul dapat dikategorikan berdasarkan pada subsemimodul primanya.  Semimodul atas semiring merupakan  semimodul  prima  apabila merupakan  subsemimodul  prima.
Semimodul atas  semiring merupakan  semimodul  prima  penuh  apabila  semua  subsemimodul sejatinya merupakan subsemimodul prima.
Contoh 3:
1. Jelas merupakan semimodul prima atas semiring .
2. Semimodul pada Contoh 2 bukanlah semimodul prima karena terdapat dan yang memenuhi tetapi . 3. Misalkan  himpunan dengan  aturan  operasi  yang  serupa  dengan  semiring
sehingga juga  merupakan semiring.  Semiring merupakan  semimodul  atas dirinya  sendiri dan juga merupakan semimodul prima penuh.

## 3. Jumlah Langsung Subsemimodul Prima
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  hasil  yang  diperoleh  mengenai  jumlah  langsung  dari subsemimodul prima. Namun, sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai definisi jumlah langsung.  Misalkan merupakan  keluarga  subsemimodul  pada  semimodul ,  maka semimodul merupakan  jumlah  langsung  apabila ∑ dan  untuk  setiap selalu  dapat  dituliskan  secara  tunggal  sebagai ∑ dimana
dan  terdapat berhingga tak nol .
Contoh 4:

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Muhammad Anwar, Hanni Garminia, Irawati
1. Himpunan {( )
} dengan operasi tambah pada matriks adalah
semimodul atas semiring . Semimodul merupakan jumlah langsung dari subsemimodul {( ) } dan {( ) } .
2. Misalkan merupakan semiring pada Contoh 1, sehingga juga merupakan semimodul atas dirinya sendiri. Himpunan dan
merupakan subsemimodul atas dan
.
Berdasarkan definisi jumlah langsung di atas, struktur semimodul yang merupakan hasil utama pada  tulisan  ini  adalah  semimodul  yang  merupakan  jumlah  langsung  dari  subsemimodul  prima. Namun,  sebelum  membahas  hasil  tersebut,  berikut  ditunjukkan  terlebih  dahulu  bahwa subsemimodul dari subsemimodul prima  merupakan subsemimodul prima.
Proposisi 3.1. Misalkan merupakan semiring, merupakan -semimodul, dan merupakan subsemimodul dari dan , jika merupakan subsemimodul prima dari maka merupakan subsemimodul prima dari .
Bukti: Misalkan dan merupakan subsemimodul prima dari dan . Ambil dan sehingga memenuhi . Selanjutnya karena maka . Karena merupakan  subsemimodul  prima  dari dan maka .
Jadi diperoleh merupakan semimodul prima dari .
Dengan  menggunakan  Proposisi  3.1,  berikut  ditunjukkan  bahwa  semimodul  yang  merupakan jumlah langsung dari dua subsemimodul prima dapat dibentuk menjadi semimodul prima penuh.
Akibat 3.2. Misalkan merupakan semimodul atas semiring dan dengan dan merupakan subsemimodul prima dari . Jika subsemimodul sejati dari memenuhi untuk maka subsemimodul merupakan subsemimodul prima dari
Bukti: Ambil  sebarang yang  merupakan  subsemimodul  dari untuk sehingga .  Ambil dan sedemikian  sehingga .  Karena sehingga terdapat  tepat  satu dan .  Jadi  diperoleh .  Karena dan subsemimodul  dari untuk ,  maka  dengan  sifat  ketunggalan  diperoleh dan .  Apabila atau ,  jelas  bahwa merupakan subsemimodul  prima  pada .  Jika dan merupakan  subsemimodul  sejati  maka  berdasarkan Proposisi  3.1, merupakan  subsemimodul  prima  pada untuk .  Jadi atau untuk . Akibatnya atau . Jadi
terbukti bahwa merupakan subsemimodul prima dari .

## 4. Kesimpulan
Semimodul atas  semiring merupakan  semimodul  prima  penuh  apabila  setiap subsemimodul  sejatinya  merupakan  subsemimodul  prima.  Semimodul  yang  merupakan  jumlah langsung  dari  dua  subsemimodul  prima  nya  yaitu
memiliki  subsemimodul  prima
yang berbentuk dengan dan masing-masing merupakan subsemimodul dari dan dan memenuhi
dan
.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Andi Muhammad Anwar, Hanni Garminia, Irawati

## Daftar Pustaka
[1]   Anwar, A. M., Garminia, H. & Irawati, 2018. On the prime subsemimodules of multiplication semimodules. Far East Journal of Mathematical Sciences, 106(1), 151–157.
[2]    Dubey,  M.  &  Sarohe,  P.,  2015.  Generalizations  of  prime  subsemimodules. Southeast  Asian Bulletin of Mathematics, 39, 469-476.
[3]    Han,  S.-C,  2017.  Maximal  and  prime  k-subsemimodules  in  semimodules  over  semirings. Journal of Algebra and Its Applications , 16, 1750130, 11pp.
[4]    M.  Takahashi,  1981.  On  the  bordism  categories  II:  Elementary  properties  of  semimodules. Math. Seminar Notes Kobe Univ, 9(2), 495-530
[5]   Shabir, M. & Iqbal, M.,2007. One-sided Prime Ideals in Semirings. Kyungpook Mathematical Journal , 47, 473–480.
[6]   Vandiver, H. S., 1934. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold. Bull. Amer. Math. Soc, 40, 914-920.