## JUMLAH ANTI IDEAL FUZZY DARI NEAR-RING

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru
E-mail: saman@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Dalam makalah ini diperkenalkan konsep penjumlahan anti ideal fuzzy dari near-ring dan membuktikan sifat-sifat  penjumlahannya.  Hasil dari penelitian ini adalah  penjumlahan anti ideal fuzzy dari near-ring, adalah anti ideal fuzzy dari near-ring.
Kata kunci: near-ring, ideal fuzzy, anti ideal fuzzy

## 1. PENDAHULUAN
Topik penelitian yang berkaitan dengan aljabar fuzzy telah banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya, diantaranya Abou-Zaid  [1]  memperkenalkan konsep subnear -ring fuzzy dan ideal fuzzy near-ring . Menurut Satyanarayana at al [6], near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa asioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring . Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus abelian , dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan. Ide penelitian Abou-Zaid [1], banyak melahirkan penelitian-penelitian baru,
diantaranya: Kim at al [4] memperkenalkan konsep anti ideal fuzzy near-ring , dan Abdurrahman at al [2, 3]  memperkenalkan konsep ideal fuzzy near-ring, dan konplemen dari ideal fuzzy near-ring .  Pada penelitian ini, akan disajikan hasil kajian teori mengenai  penjumlahan  antara  anti ideal fuzzy dari near-ring  R , dan akan kontruksi sifat penjumlahan antara anti ideal fuzzy near-ring.

## 2.  TINJAUAN PUSTAKA
Berikut ini, disajikan definisi dan sifat dari near-ring dan himpunan fuzzy yang digunakan pada pembahasan.
Definisi  2.1. [6] Himpunan R tidak kosong dengan dua operasi biner + dan . disebut near ring kiri, jika memenuhi:
(1).  ( R , +) adalah grup ( tidak harus grup abelian ),
(2).  ( R , .) adalah semigrup,
(3). berlaku sifat distributif kiri, yaitu untuk setiap x,y,z ∈ R berlaku:
x . (y + z) = x . y + x . z
Selanjutnya yang dimaksud near-ring adalah near-ring kiri , kecuali ada keterangan lebih lanjut, dan x ⋅ y dapat juga ditulis xy . Pada near-ring , grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal, subgrupnya harus merupakan subgrup normal.
Definisi  2.2.  [6]  Diberikan near-ring R . Subgrup  normal    dari R disebut ideal dari R, jika
(1). RI ⊆ I (2). ( r + i ) s – rs ∈ I untuk setiap r, s ∈ R dan i ∈ I .
Subgrup normal I dari R , memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari R, dan memenuhi kondisi (2) disebut ideal kanan dari R.
Definisi  2.3. [5]  Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan α disebut subset fuzzy dari X jika α .
Definisi 2.4. [4] Subset fuzzy α di near-ring R disebut anti subnear-ring fuzzy dari R jika untuk setiap x, y ∈ R berlaku : (1). α (x – y) ≤ mak{ α (x), α (y)}, dan (2). α (xy) ≤ mak{ α (x), α (y)}.
Selanjutnya, α disebut  anti  ideal fuzzy dari  R  jika α adalah  anti  subnear-ring fuzzy dari R dan untuk setiap x, y, z ∈ R berlaku : (3). α (x) = α (y + x – y),
(4). α (xy) ≤ α (y), dan (5). α [(x + z)y – xy] ≤ α (z).
Subset fuzzy α disebut anti ideal kiri fuzzy di R jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (4), dan α disebut anti ideal kanan fuzzy di R jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (5).
Definisi 2.5. [1] Diberikan  subset fuzzy α dan β di  near-ring R . Penjumlahan α dan β didefinisikan dengan,
( α β )
untuk setiap x ∈ R.

## 3.  METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur. Metodelogi yang digunakan adalah mengumpulkan bahan tulisan mengenai near-ring , ideal near- ring , near-ring fuzzy , ideal fuzzy near-ring dan anti ideal fuzzy near-ring.
Pada tahap awal dipelajari tentang  konsep  dasar  dari ideal fuzzy near-ring , dan anti ideal fuzzy near-ring. Konsep  dasar ini yang nantinya akan banyak membantu pada saat mengkonstruksi sifat penjumlahan dari anti ideal fuzzy near- ring .
Selanjutnya, dibuktikan beberapa lemma/teorema yang terkait dan ditentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat-sifat  penjumlahan  dari  anti
ideal fuzzy near-ring , dan sifat-sifat tersebut akan dibuktikan kebenarannya pada pembahasan.

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Lemma 4.1. Jika α dan β adalah anti subnear-ring fuzzy di near-ring R , maka ( α β ) ≤ ( α β ) , dan ( α β ) = ( α β ) untuk setiap ∈ R Bukti: Diambil sebarang x ∈ R, maka x = y + z untuk suatu y, z ∈ R . Mengingat α dan β adalah subnear-ring fuzzy dari R , maka menurut Abdurrahman ([3], Lemma 4.1): α ≤ α (y), β ≤ β (z), dan β
= β , sehingga:
( α β ) = sup[min{ α , β }] ≤ sup[min{ α (y), β (z)} = ( α β )(x), dan
( α β ) = sup[min{ α , β }] = sup[min{ α , β }] = ( α β ) . ■
Teorema  4.2.  Jika α dan β adalah  anti ideal fuzzy di near-ring R,  maka α β adalah anti ideal fuzzy di R
Bukti: Diambil sebarang x, z, w ∈ R dengan x = x 1 +  x 2 dan  z  =  z 1 +  z 2 untuk suatu x 1 , x 2 , z 1 , z 2 ∈ R , maka:
( α β )(x – y) = ( α β )(x 1 + x 2 – (z 1 + z 2 )) = ( α β )(x 1 – z 1 + z 1 + x 2 – z 1 – z 2 ) = sup[min{ α (x 1 – z 1 ), β (z 1 + x 2 – z 1 – z 2 )}] ≤ sup[min { mak{ α (x 1 ), α (z 1 )}, mak{ β (z 1 + x 2 – z 1 ), β (z 2 )} }] = sup[min { mak{ α (x 1 ), α (z 1 )}, mak{ β (x 2 ), β (z 2 )} }] = sup[min { mak{ α (x 1 ), β (x 2 )}, mak{ α (z 1 ), β (z 2 )} }] ≤ mak[sup { min{ α (x 1 ), β (x 2 )} } , sup { min{ α (z 1 ), β (z 2 )} }] = mak{( α β ) , ( α β ) }],
( α β )(z + x – z)  =  ( α β )(z + x 1 + x 2 – z) = ( α β )(z + x 1 – z + z + x 2 – z) =  sup[min{ α (z + x 1 – z), β (z + x 2 – z)}] =  sup[min { α (x 1 ), β (x 2 ) } ] = ( α β ) ,
( α β )(xz) = sup[min{ α , β (xz)}] ≤ sup[min ( mak{ α , α }, mak{ β (x), β (z)} )] = sup[min ( mak{ α , β (x)}, mak{ α , β (z)} )] ≤ mak[sup ( min{ α , β (x) ) , sup ( min{ α , β (z)} )] = mak{( α β ) , ( α β ) }, dan
( α β )[(x + w)z – xz]  = ( α β )[(x + w)z – xz + 0 R ] = sup[min{ α [(x + w)z – xz], β (0 R )}] ≤ sup[min{ α (w), β (0 R )] = ( α β ) .
Jadi, α β adalah anti ideal fuzzy di R. ■
Lemma  4.3.  Jika α dan β adalah  anti ideal fuzzy di near-ring  R , maka A = {x ∈ R|( α β ) (x) = ( α β )(0 R )} adalah ideal di R.
Bukti: Dari definisi A , maka 0 R ∈ A dan A ⊆ R sehingga A ≠ ∅ . Selanjutnya, diambil sebarang x, y ∈ A dan s, r ∈ R maka ( α β )(x) = ( α β )(y) = ( α β )(0 R ). Dari sini, maka:
( α β )(x – y) ≤ mak{( α β )(x), ( α β )(y)} = mak{( α β )(0 R ), ( α β )(0 R )} = ( α β )(0 R ) ⇔ x – y ∈ A ,
( α β )(s + x – s) = ( α β )(x) = ( α β )(0 R ) ⇔ s + x – s ∈ A , ( α β )(xy) ≤ ( α β ) (y) = ( α β )(0 R ) ⇔ xy ∈ A , dan
( α β )[(r + x)s – rs] ≤ ( α β ) = ( α β )(0 R ) ⇔ (r + x)s – rs ∈ A .
Berdasarkan analisa di atas, maka A adalah ideal di R . ■
Lemma 4.4.  Jika α dan β adalah  anti  ideal fuzzy di  near-ring  R , maka untuk setiap ∈ R:  ( α β ) = ( α β ) , dan ( α β ) = ( α β ) maka ( α β ) = ( α β )
Bukti: Karena α dan β adalah anti ideal fuzzy dari R , maka menurut Teorema 4.2, α β adalah anti ideal fuzzy dari R , sehingga untuk setiap ∈ R , maka
( α β ) = ( α β ) = ( α β ) = ( α β )
Misalkan α β adalah anti ideal fuzzy dari R dan ( α β ) = ( α β ) untuk setiap ∈ R , sehingga:
( α β ) = ( α β ) = ( α β ) = ( α β ) = ( α β ) ≤ mak{( α β ) , ( α β ) } = mak{( α β ) , ( α β ) } = ( α β ) . ( α β ) = ( α β ) = ( α β ) = ( α β ) = ( α β ) = ( α β ) ≤ mak{( α β ) , ( α β ) } = mak{( α β ) , ( α β ) } = mak{( α β ) , ( α β ) } = ( α β ) .
Bersasarkan analisa di atas maka ( α β ) = ( α β ) untuk setiap ∈ R . ■
Lemma 4.5. Diberikan near-ring R dan α * = α (x), untuk setiap α∈ ( R ) dan ∈ R . Jika α dan β adalah anti ideal fuzzy dari R , maka ( α β ) * adalah ideal fuzzy dari R dan ( α β ) ⊆ ( α β ) * .
Bukti: Misalkan α dan β adalah anti  ideal fuzzy dari R, maka menurut Teorema 4.2, α β anti ideal fuzzy dari R , sehingga untuk setiap
∈ R , berlaku
( α β ) * = ( α β ) ≤ mak{( α β ) , ( α β ) } = mak{ ( α β ) , ( α β ) } = mak{( α β ) * , ( α β ) * }. ( α β ) * = ( α β ) ≤ mak{( α β ) , ( α β ) } = mak{ ( α β ) , ( α β ) }
= mak{( α β ) * , ( α β ) * }. ( α β ) *
= ( α β ) = ( α β ) ( α β ) * = ( α β ) ≤ ( α β ) = ( α β ) * ( α β ) * = ( α β ) ≤ ( α β ) = ( α β ) * .
Jadi, ( α β )  adalah anti ideal fuzzy dari R .
Selanjutnya, ( α β ) * = ( α β ) = 1, maka
( α β ) ≤ ( α β ) ≤ 1 = ( α β ) *
untuk setiap ∈ R, sehingga
( α β ) ≤ ( α β ) * ⇔ ( α β ) ⊆ ( α β ) * .  ■
Teorema 4. 6. Diberikan A dan B adalah subset tidak kosong di near-ring R. Jika α dan β adalah subset fuzzy di R, yang didefinisikan dengan:
( α⊕β )( x ) :=
untuk setiap x ∈ R and s, t ∈ [0,1] dengan s < t , maka α⊕β adalah anti ideal fuzzy di R jika dan hanya jika A + B adalah ideal di R dan R α⊕β = A + B.
Bukti: ( ⇒ ) Misalkan α⊕β adalah anti ideal fuzzy dari R dan z, w ∈ A + B, maka
( α⊕β )( z – w ) ≤ mak{( α⊕β )( z ), ( α⊕β )( w )} = s,
sehingga ( α⊕β )( z – w ) = s, dengan kata lain z – w ∈ A + B . Diambil sebarang x ∈ R dan z ∈ A + B , maka
( α⊕β )( x + z – x ) = ( α⊕β )(z) = s ,
dan
( α⊕β )( xz ) ≤ ( α⊕β )( z ) = s ⇒ ( α⊕β )( xz ) = s .
Akibatnya, x + z – x , xz ∈ A + B . Jika x, y ∈ R dan z ∈ A + B, maka
( α⊕β )[( x + z ) y – xy ] ≤ ( α⊕β )( z ) = s ⇒ ( x + z ) y – xy ∈ A + B . Jadi terbukti bahwa A + B adalah ideal di R.
( ⇐ ) Menurut Abdurrahman ([3], Teorema 4.8): α⊕β adalah anti ideal fuzzy di R. Selanjutnya, karena A + B adalah ideal di R, maka 0 R ∈ A + B. Akibatnya:
R α⊕β = {x | ( α⊕β )( x ) = ( α⊕β )(0 R )} = {x | ( α⊕β )( x ) = s} = {x | x ∈ A + B } = A + B. ■

## 5.  KESIMPULAN
Hasil penting atau sifat yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah, penjumlahan dari anti ideal fuzzy dari suatu near-ring R, menghasilkan ideal fuzzy dari R lagi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]. Abou-Zaid. S. 1991. “On fuzzy subnear-rings and ideals ” , Fuzzy Sets and Systems , vol. 44, pp. 139-146.
[2]. Abdurrahman. S, Thresye, dan Hijriati. N. 2012. “Ideals fuzzy near-ring ” , Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon , Vol. 6, No. 2, hal 13 – 19.
[3]. Abdurrahman. S. 2013. “Konplemen Dari Ideal Fuzzy Near-Ring ” , Jurnal
Matematika Murni dan Terapan Epsilon , Vol. 7, No. 2, hal
[4]. Kim. K. H, Jun. Y. B, and Yon. Y. H. 2005. “On Anti Fuzzy Ideals In Near- Ring”. Iranian Journal of Fuzzy System . Vol. 2, No. 2, pp. 71 – 80.
[5]. Mordeson. J.N, Bhutani. K. R, and Rosenfeld. A. 2005. “Fuzzy group theory”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[6]. Satyanarayana. Bh, and Prasad. K. S. 2013. “ Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory ”, Taylor and Francis Group, LLC.