Vol. 6, No.1, 29-43,  Juli  2009
Model B-Spline dalam Menaksir Kurva Regresi Nonparametrik
Raupong 

## Abstrak
Penaksir B-Spline adalah  salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk  menaksir  kurva  regresi nonparametrik.  Model B-Spline dengan  titik  knots  digunakan  untuk  menyelesaikan kelemahan model spline pada saat orde yang tinggi, titik knot yang banyak atau  knots yang terlalu  dekat  yang  akan  membentuk  matriks  dalam  perhitungan  yang  hampir  singular sehingga  persamaan  normal  sulit  diselesaikan.  Metode  yang  digunakan  dalam  menaksir parameter B-Spline adalah  Metode  Kuadrat  Terkecil  ( Ordinary  Least  Square) yang didefinisikan secara rekursif. Aplikasi B-Spline yang diberikan adalah ratio berat dan tinggi badan  bayi  setiap  bulan.  Hasil  yang  diperoleh  adalah B-Spline linier  dengan  menggunakan satu  titik  knot  merupakan  model  yang  terbaik  untuk  data  tersebut  dalam  menjelaskan pengaruh  umur  terhadap ratio berat dan tinggi badan bayi,  kriteria pemilihan  model terbaik yaitu R 2 (Koefisien Determinasi) dan MSE ( Means Square Error) .
Kata Kunci:
B-Spline, Spline, titik knot, metode kuadrat terkecil, rekursif,  R 2
(Kofisien Determinasi), Means Square Error.

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  merupakan  suatu  metode  dalam  analisis  statistik  yang  mengalami perkembangan  pesat dan  banyak  digunakan  dalam  berbagai   bidang  kehidupan. Analisis  regresi menggambarkan  sekumpulan  teknik  statistika  yang  menjadi  dasar  pengambilan  kesimpulan ( inferensia ) tentang hubungan fungsional antara variabel prediktor (bebas) dengan varibel respon (tidak  bebas).    Hal  ini  mengakibatkan  analisis  regresi  telah  menjadi  sesuatu  yang  pokok  dalam menyelesaikan berbagai permasalahan sehingga banyak penelitian dan tulisan mengenai analisis ini (Ishaq, 2007).
Hubungan  antara  variabel  tersebut    diasumsikan  mengikuti  model  regresi  tertentu. Persoalan  utama  dalam  analisis  regresi  adalah  bagaimana  mendapatkan  taksiran  bentuk  kurva regresi. Untuk hal itu dikenal beberapa pendekatan yaitu: regresi parametrik dan nonparametrik. Dalam  regresi  parametrik  bentuk  kurva  regresi  diasumsikan  diketahui  baik  itu  linier,  kuadratik, eksponensial maupun yang lainnya. Untuk dapat menggunakan pendekatan regresi parametrik ini, diperlukan  pengetahuan  awal  tentang  karakteristik  data  yang  diselidiki.  Berbeda  dengan  regresi nonparametrik  bentuk  kurva  regresi    diasumsikan  tidak  diketahui.    Kurva  regresi    hanya diasumsikan mulus (smooth) yaitu termuat di dalam suatu ruang fungsi tertentu.
Selama  ini  banyak  penelitian  yang  telah  menggunakan  pendekatan    regresi  parametrik dalam menaksir parameternya. Sebagian dapat memenuhi tujuan dari penelitian tersebut, namun banyak  penelitian  yang  tidak  mencapai  tujuan  yang  diinginkan  oleh  peneliti  itu  sendiri.  Hal  ini disebabkan karena tujuan penelitian yang tidak sesuai dengan model parametrik serta asumsi dari bentuk kurva parametrik yang tidak terpenuhi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut sebaiknya menggunakan  regresi  nonparametrik  .  Hal  ini  disebabkan  karena  regresi  nonparametrik  bersifat
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Raupong
lebih fleksibel terhadap kondisi data yang diperoleh di lapangan sehingga data dapat diharapkan mencari  sendiri  menaksir  kurvanya  tanpa  ada  pengaruh  faktor  subjektifitas  dari  perancang penelitian.
Regresi  nonparametrik  menyediakan  metode  pendekatan  untuk  menaksir  kurva  regresi salah  satunya  adalah spline . Spline merupakan  fungsi  yang  diperoleh  dengan  meminimumkan Penalized Least Square (PLS) yaitu kriteria taksiran yang menggabungkan goodness of fit dengan kemulusan ( smooth ) kurva.
Pendekatan spline optimal dapat  berdasarkan  parameter  pemulus atau  penggunaan  titik- titik  knots.  Namun  penaksir  spline  dengan  menggunakan  parameter  pemulus  optimal  yang dikembangkan  oleh  peneliti-peneliti  secara  visual  sulit  membedakan  perubahan  perilaku  dari suatu  pola  data  pada  interval-interval  yang  berlainan.  Ini  menunjukkan  bahwa  secara  visual perannya sulit dilihat dalam membedakan perubahan perilaku dari suatu pola data pada interval- interval yang berlainan. Sehingga ciri khas dari pendekatan spline yang berupa segmented tidak terlihat secara signifikan (Budiantara, 2004).
Spline mempunyai kelemahan pada saat orde spline yang tinggi, titik knots yang banyak dan knots yang terlalu dekat akan membentuk matriks dalam perhitungan yang hampir singular, sehingga persamaan normal sulit diselesaikan. basis yang dapat mengatasi kelemahan ini adalah basis B-Spline (Budiantara et al. , 2006).
Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas  mengenai  penentuan  penaksir B-Spline pada  model regresi nonparametrik dan membandingkan antara model B-Spline linier dengan model B-Spline kuadratik.

## 2. Modifikasi Penaksiran Robust
2.1 Regresi Nonparametrik dan Smoothing Spline
Secara umum persamaan regresi nonparametrik dapat dituliskan sebagai berikut:   i i i t g y    , n i ,...., 2 , 1  . (1)
Ada  beberapa  pendekatan  untuk  menaksir  fungsi ) ( i t g dalam  regresi  nonparametrik antara  lain  pendekatan kernel , Spline ,  dan K-Nearest  Neigbor (Hardle,  1990). Estimator  Deret Fourier (Eubank, 1988), dan Histogram . Pendekatan regresi nonparametrik yang cukup populer adalah Spline (Ishaq, 2007). Spline ditemukan  pertama kali oleh Whitaker pada tahun 1923. Pada mulanya Whitaker menggunakan fungsi polinomial untuk menghampiri fungsi-fungsi kontinu dan diferesiabel. Saat itu  fungsi  polinomial  sangat  terkenal  karena  mudah  dan  sederhana,  mempunyai  interpolasi tunggal  dan  selalu  dapat  diaplikasikan  untuk  fungsi  yang  diferensiabel  dengan  memanfaatkan deret Taylor atau Maclaurin.
Walaupun demikian, bukan berarti fungsi polinomial merupakan fungsi pendekatan yang tidak  mempunyai  kelemahan  sama  sekali.    Dalam  beberapa  hal  khusus,  perlu  dikaji  ulang penggunaan  polinomial  untuk  fungsi-fungsi  yang  bersifat  lokal, smooth ,  dan  fungsi  yang mempunyai  loncatan  naik/turun  yang  tajam.  Dalam  kondisi  seperti  ini,  polinomial  sulit diandalkan sebagai penaksir fungsi, karena polinomial mempunyai osilasi yang rendah dan sangat kaku dalam domain yang  ditentukan.  Akibatnya harus dicari suatu fungsi yang dapat mengatasi kelemahan polinomial tersebut. Fungsi yang dimaksud adalah Spline (Budiantara, 2004). Spline merupakan potongan-potongan polinomial yang memiliki sifat tersegmen kontinu. Sifat  inilah  yang  memberikan  fleksibilitas  yang  lebih  dari  pada  polinomial  biasa,  sehingga
memungkinkan  untuk  menyesuaikan  diri  secara  efektif  terhadap  karakteristik  lokal  dari  suatu fungsi. Pada pendekatan spline fungsi i y diasumsikan termuat dalam suatu ruang Sobolev
                1
0 2 2 ; dx x g g W m m . (2)
Pemilihan ruang fungsi sobolev dimotivasi oleh sifat smoothness (Eubank, 1988).
Fungsi Spline pada  mulanya  hanya  digunakan  untuk  hampiran  numerik      fungsi-fungsi smooth dan lokal. Fungsi Spline sama sekali belum diaplikasikan dalam analisis regresi, sebagai suatu  hasil  proses  optimasi  dalam  regresi  nonparametrik.  Setelah  dua  sampai  tiga  dasawarsa terakhir, Schoenberg memperkenalkan fungsi Spline dari hasil optimasi bersyarat dalam analisis regresi nonparametrik. Selanjutnya bermunculan pula tulisan-tulisan tentang Spline pada regresi nonparametrik dalam (Budiantara, 2004) seperti Reinch (1971), Wahba (1971;1973;1975;1990), Speckman  (1985;1988),  Budiantara et  al .  (1997),  Cox  (1983),  Cox  dan  O’Sullivan  (1996),
Koenker et al. (1994) dan puluhan tulisan lain yang serupa. Estimator spline diperoleh dengan meminimumkan PLS:
                  n i m i i dt t g t g y n 1 2 2 1
) (  ,                                     (3)
yaitu  kriteria  optimasi  yang  menggabungkan  antara  kecocokan  terhadap  data  ( goodness  of  fit ), kemulusan kurva ( penalty ), dan parameter pemulus  (Ishaq, 2007). Penaksir Spline yang  diperoleh  dari  optimasi PLS merupakan  penaksir  linear  dalam observasi (Budiantara, 2004)  yang dapat ditulis sebagai berikut:
      G x h   . (4)
Untuk suatu matriks    G yang berukuran n n  tergantung kepada parameter pemulus  . Jika parameter  pemulus  sangat  kecil  maka  penaksir  spline  sangat  kasar,  sedangkan  jika  parameter pemulus sangat besar maka penaksir spline sangat mulus (Hardle, 1990).
Jika ingin menaksir kurva regresi nonparametrik dengan pendekatan Spline , maka dapat dilakukan dengan salah satu dari dua cara berikut:
1. Mencari model Spline optimal dengan cara memilih parameter pemulus  optimal.
1. Mencari model Spline optimal dengan cara memilih titik knot optimal.
Titik  knots  merupakan  titik  perpaduan  bersama  yang  memperlihatkan  terjadinya  perubahan perilaku  dari  fungsi  spline  pada  interval-interval  yang  berbeda.  Peran  titik  knots  dan  parameter pemulus  dalam  model Spline adalah  serupa  tetapi  kemampuan  menaksir  spline  dengan memilih parameter penghalus optimal tidak terlihat secara eksplisit dan visual. Dalam persoalan praktis, bentuk visual sangat membantu dalam pemodelan awal maka pemilihan titik knots adalah optimal  dalam  regresi  nonparametrik Spline karena  cenderung  lebih  mudah  dan  lebih  disukai dibandingkan dengan pemilihan parameter penghalus optimal. Hal ini disebabkan karena:
1. Titik knots mudah divisualisasikan dan sifatnya mudah dipahami.
2. Dengan  titik  knot  memiliki  interprestasi  Matematika  dan  Statistika  yang  lebih  baik  dan sederhana  karena  optimasi  yang  digunakan  cukup  hanya  dengan  optimasi least  square biasa (Islamiyati, 2006).
Spline mempunyai kelemahan pada saat orde Spline yang tinggi, titik knot yang banyak atau  knot yang  terlalu  dekat  akan  membentuk  matriks  dalam  perhitungan  yang  hampir  singular,  sehingga

## Raupong
persamaan normal sulit diselesaikan. Basis yang dapat mengatasi kelemahan ini adalah basis B- Spline (Budiantara et al. , 2006).

## 2.2.  Model B- Spline
Model regresi   i i i t g y    , n i ,...., 2 , 1  , dengan i  merupakan residual    dan   i t g adalah kurva regresi. Jika kurva regresi g didekati dengan fungsi B-Spline maka g dapat ditulis menjadi
     K m j m m j j t B t g 1 , ) ( ) (  , (5)
dengan m m j B ,  merupakan basis B-Spline (Eubank, 1988). Cara membangun fungsi B-Spline orde m dengan    titik  knots b u u a K     ... 1 ,  yaitu  dengan  cara  terlebih  dahulu  mendefinisikan knot tambahan sebanyak 2m , yaitu
  m K m u u u u     ,..., , ,..., 0 1 1 ,
dimana
  1   m u = … = 0 u = a dan 1  K u = … = m K u  = b .
Fungsi B-Spline didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
  ) ( ) ( 1 . 1 1 1 , 1 , t B u u t u t B u u u t t B m i i m i m i m i i m i i m i              
,              (6)
dimana
(Eubank,1988), (7)
dengan m adalah  derajat B-Spline ,  untuk  m=2  memberikan  fungsi B-Spline linier,  m=3 memberikan fungsi B-Spline kuadratik dan m=4 memberikan fungsi B-Spline kubik (Budiantara et al. , 2006).
Untuk menaksir koefisien  pada persamaan (5), didefinisikan matriks:
      K m j n i i m j t B B ),..., 1 ( ,..., 1 ,       . (8)
Atau dapat ditulis sebagai berikut:
     
                
         
    n m K n m m n m m K m m m m t B t B t B t m B t B t B B , ,..., , , , , ,..., , , , ) 2 ( 1 1 1 1 ) 2 ( 1 1     . (9)
Jadi ) (  B menurut Budiantara et al. (2006) adalah sebuah matriks berukuran   K m n   .

## 2.3   Penaksir Parameter B-Spline Linier
Adapun persamaan umum regresi nonparametrik dengan menggunakan pendekatan kurva B-Spline:
          j j j j u t atau u t jika u t t B , 0 u jika , 1 ) ( 1 j 1 .
Raupong   i i i t g y    i K m j i m m j j t B         1 , ) ( , i = 1,2,..., n .
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  cara  memperoleh  penaksir  parameter B-Spline linier  dengan menggunakan  Metode  Kuadrat  Terkecil  ( Ordinarry Least  Square) secara  rekursif.  Fungsi  B- Spline linier ( m =2)  dengan titik knots adalah K dapat ditulis
i K j i m m j j i t B y         2 1 , ) ( , i = 1,2,..., n
i K n i i i B t B t B t B                 2 , 2 ) 2 ( 2 , 2 3 3 2 , 2 2 2 2 , 2 1 1 ... ) ( ) ( ) ( i K n i i i B t B t B t B             2 , 2 , 1 3 2 , 0 2 2 , 1 1 ... ) ( ) ( ) ( .
Untuk menaksir koefisien  pada fungsi B-Spline linier  dengan  titik knots K adalah:
      n j n i i m j t B B ,..., 1 ,..., 1 ,      ,       n j n i i j t B B ,..., 1 ,..., 1 2 ,      ,
atau
            i m K i m m i m m t B t B t B B , ) 2 ( 1 ,..., , , ,       , i = 1,2,...,n ,                 ) ( ... , , 2 , 2 2 2 , 2 3 2 ) 2 2 ( 2 1 2 i K i i i t B t B t B t B B            , i = 1,2,..., n ,           ) ( ... , , 2 , 2 , 1 2 0 2 1 i K i i i t B t B t B t B B    . Jadi         i n i K i i i i t B t B t B t B y                    ... ) ( ... , , 2 1 2 , 2 , 1 2 0 2 1 . Misalkan           ) ( ... , , 2 , 2 , 1 2 0 2 1 i K i i i t B t B t B t B B    ,    
         n     ... 2 1 ,              n i     ... 2 1 ,
maka
       B y i .
Taksiran parameter   T n     ,..., , 2 1  diperoleh dengan menggunakan          Metode Kuadrat Terkecil. Penaksir   diperoleh dengan menyelesaikan optimasi:
                  B y B y Min
Min
T T    .
Dalam lambang matriks
                           n n Min       ... ,..., , 2 1 2 1        
                     
                         
              
                              
                                      
      
      
 
                   n n n n n n n n n T n n n n n n n n n t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B y y y t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B y y y Min       ... ) ( ... , , ... ) ( ... , , ) ( ... , , ... ... ) ( ... , , ... ) ( ... , , ) ( ... , , ... 2 1 2 , 2 , 1 2 0 2 1 2 2 , 2 2 , 1 2 2 0 2 2 1 1 2 , 1 2 , 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 , 2 , 1 2 0 2 1 2 2 , 2 2 , 1 2 2 0 2 2 1 1 2 , 1 2 , 1 1 2 0 1 2 1 2 1 , dengan ) ,..., , ( 2 1 n y y y y  dan    B adalah matriks yang berukuran ) 2 ( K n   ,   T J              B B B y y y T T T    2 .
Jika 2 i J    =
        2 2 , 2 , 1 3 2 0 2 2 1 1 ) ( ... , ,      i n n i i i i t B t B t B t B y     , maka         0 ) ( ... , , 2 2 , 2 , 1 3 2 0 2 2 1 1 1           i n n i i i i t B t B t B t B y J              0 ) ( ... , , 2 2 , 2 , 1 3 2 0 2 2 1 1 2           i n n i i i i t B t B t B t B y J              0 ) ( ... , , 2 2 , 2 , 1 3 2 0 2 2 1 1 3           i n n i i i i t B t B t B t B y J     
           0 ) ( ... , , 2 2 , 2 , 1 3 2 0 2 2 1 1           i n n i i i i n t B t B t B t B y J      sehingga     ) ( ... , , 2 , 2 0 2 2 1 1 i n n i i i t B t B t B y              ) ( ... , ) ( 2 , 2 2 ) 2 ( 2 2 ), 1 ( 1 i K n i m i m i t B t B t B y                dengan
Raupong
     
     
 
           
                                             n K n n n K K t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B B 2 , 2 , 2 3 2 ) 2 2 ( 2 1 2 2 2 , 2 2 , 2 3 2 2 ) 2 2 ( 2 2 1 2 1 2 , 1 2 , 2 3 1 2 ) 2 2 ( 1 2 1 2 , , ... , , , ,  ,              
   
            
             n K n n n K K t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B t B B 2 , 2 , 1 2 0 2 1 2 2 , 2 2 , 1 2 2 0 2 2 1 1 2 , 1 2 , 1 1 2 0 1 2 1 ... , , ... ... , ,
... , ,  ,              n b    ... 2 1 ,
sehingga persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
        b B B Y B T T    )( (        ) ( ) ( 1 Y B B B b T T         b , vektor taksiran dari  .
Jadi diperoleh taksiran
 
  ) ( )) ( ( 1 Y B B B T T       
.
Hal ini berakibat untuk estimasi kurva regresi   i t g yang diberikan oleh
    ) ( ) ( B t g i    ) ( )) ( ) ( )( ( 1 Y B B B B T         Y H   ,
dengan
  ) ( )) ( ) ( )( ( 1      T T B B B B Y H   . Terlihat  bahwa ) ( i t g  merupakan  penaksir  linier  dalam  observasi T n y y y Y ) ,..., , ( 2 1  dan sangat bergantung pada titik knots K u u u ,..., , 2 1 .

## 3. Metodologi Penelitian
Data yang digunakan  data sekunder,  yang diambil dari data penelitian pada suatu kota untuk  menaksir  pola  hubungan  antara  umur  dan  ratio  berat  dan  tinggi  bayi  (Budiantara,  2004). Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Membuat basis dari  fungsi.
2. Mencari  penaksir B-Spline linier  dan B-Spline kuadratik    yaitu  koefisien  menggunakan software S-Plus 2000.
3. Menentukan  model  terbaik  dengan  menggunakan R 2 (koefisien  determinasi)  dan MSE ( Means Square Error) sebagai indikator pemilihan.
4. Membandingkan  antara  model B-Spline linier  dan B-Spline kuadratik  dengan  kriteria yang  mempunyai  MSE  ( Means  Square  Error) kecil  dan  koefisien  determinasi    (R 2)
terbesar,  yang  akan  digunakan  sebagai  model  pendekatan  untuk  menentukan  pola hubungan antara umur dengan ratio berat dan tinggi badan bayi.

## 4. Aplikasi
Aplikasi B-Spline linier dan B-Spline kuadratik  adalah menggunakan data umur dengan ratio  berat dan tinggi badan bayi yang diambil dari data penelitian Budiantara (2004). Salah satu indikator  yang  menentukan  seorang  bayi  itu  mengalami  pertumbuhan    adalah  ratio  antara  berat badan dan tinggi badan bayi. Hal ini dipakai karena diharapkan ada pola hubungan antara umur bayi ( x ) terhadap ratio berat badan dan  tinggi badan bayi ( y ).
Di  bawah  ini  akan  diberikan  ilustrasi  visual  pendekatan  regresi  parametrik    linier, kuadratik, B-spline linier  dan B-Spline kuadratik  menggunakan  titik  knot  untuk  menaksir  pola hubungan antara umur terhadap ratio berat dan tinggi badan bayi pada suatu kota. Dengan sampel sebanyak 72 bayi diambil secara acak setelah itu umur dan ratio berat dengan tinggi badan bayi dicatat.
Gambar 6. Plot hubungan antara umur bayi terhadap ratio berat dan tinggi badan bayi.

## 4.1. Regresi Parametrik
Pola hubungan antara umur bayi ( x ) terhadap ratio berat badan dan tinggi badan bayi ( y ) dengan  menggunakan  pendekatan  regresi  parametrik  linier  dan  kuadratik    dapat  dilihat  dalam Gambar 7 dan 8.
0 10 20 30 40 50 60 70 UMUR 0.4 0.6 0.8 1.0 RATIO

## Raupong
Gambar 7. Plot regresi parametrik linier.
Gambar 8. Plot regresi parametrik kuadratik.
Berdasarkan Gambar 7 dan Gambar 8, terlihat bahwa dengan bertambahnya umur bayi ( x ) dapat menyebabkan  kenaikan pada  ratio berat badan  dan tinggi badan bayi ( y ), sedangkan  pengaruh umur  bayi  ( x )  terhadap  ratio  berat  dan    tinggi  badan  bayi  ( y )    untuk  model  regresi  parametrik linier dan kuadratik, disajikan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1.   Pengaruh  umur  bayi  terhadap  ratio  berat  dan  tinggi  badan  bayi  dengan  menggunakan model regresi linier dan kuadratik.
Model Regresi Parameter Koefisien Regresi F -Hitung R 2 MSE Linier β 0 0,6656 324,44 0,823 0,002668 β 1 0,005276 Kuadratik β 0 0,6022 247,06 0,877 0,001869 β 1 0,01056
0 10 20 30 40 50 60 70 UMUR 0.4 0.6 0.8 1.0 R A T IO 0 10 20 30 40 50 60 70 UMUR 0.4 0.6 0.8 1.0 R A T IO
Raupong
umur ra tio 0 20 40 60 80 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 umur ra tio 0 20 40 60 80 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 β 2 - 0,000073
Tabel  1,  menunjukkan  bahwa  umur  bayi ( x )  berpengaruh   terhadap  ratio  berat dan  tinggi  badan bayi  ( y )  baik  pada  regresi  parametrik  linier  maupun  kuadratik.  Nilai R 2 (koefisien  determinasi) pada model regresi parametrik kuadratik adalah 0,877 sedangkan nilai R 2 (koefisien determinasi) regresi parametrik linier adalah 0,823. Nilai Mean Square Error (MSE) model regresi parametrik kuadratik lebih kecil yaitu 0,001869 jika dibandingkan dengan parametrik linier yaitu 0,002668. Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model  terbaik  pada  pendekatan  regresi  parametrik  adalah  model regresi kuadratik.
Namun  secara  visual  terlihat  ketidaksempurnaan  pada  model  parametrik  linier  dan kuadratik dalam menaksir pola data yang over estimate pada bayi umur 0 bulan (bayi baru lahir) sampai umur 9 bulan. Sedangkan pada umur bayi sekitar  10 bulan sampai 26 bulan kedua model regresi ini menaksir pola data dengan under estimate .
Oleh  karena  itu,  diperlukan  suatu  model  taksiran  lain  yang  lebih  mampu  menjelaskan hubungan antara umur bayi ( x ) terhadap ratio berat badan  dan tinggi badan bayi ( y ). Dalam hal ini  sebaiknya  menggunakan  pendekatan  regresi  nonparametrik  B-Spline  linier  dan  kuadratik dengan  menggunakan  titik  knots.  Ukuran  yang  digunakan  untuk  melihat  ketepatan  model  maka dipergunakan R 2 dan MSE.

## 4.2. Penaksir B-Spline Linier dan B-Spline Kuadratik
Plot  penaksir B-Spline linier  dengan  menggunakan  1  titik  knots  dapat  ditunjukkan  pada Gambar 9. Secara visual dapat dilihat bahwa kenaikan ratio berat badan dan tinggi badan badan bayi  yang  berumur  nol  bulan  (bayi  baru  lahir)  sampai    dengan  10,5  bulan  mengalami  kenaikan yang  sangat  signifikan  pada  bayi  yang    berumur  10,5  bulan  sampai  dengan  bayi  yang  berumur sekitar  71,5  bulan  kenaikan  ratio  berat  dan  tinggi  badan  bayi  mengalami  kenaikan  yang  tidak terlalu signifikan, sehingga pola hubungan antara umur dengan ratio berat dan tinggi badan bayi pada setiap interval bulan dapat teridentifikasi.
Gambar 9. Plot B-Spline linier dengan satu titik knot ( k= 10,5).

## Raupong
Taksiran model B-Spline linier dengan menggunakan satu titik knots yaitu pada titik 1 k =10,5  dapat  ditunjukkan  pada  Tabel  2.  Dari  tabel  tersebut  dapat  diketahui  bahwa  nilai R 2 (Koefisien Determinasi) dari model B-Spline linier dengan 1 titik knot  yaitu pada k=10,5 adalah 0,958117  lebih  besar  jika  dibandingkan  dengan  koefisien  determinasi  dari  regresi  parametrik linier  dan  kuadratik  yaitu  0,823  dan  0,877.  Hal  ini  mengindikasikan    besarnya  pengaruh  umur bayi  terhadap  ratio  berat  badan  dan  tinggi  badan  bayi.  Nilai  MSE  ( Mean  Square  Error )  dari model B-Spline Linier  dengan    1  titik  knot  lebih  rendah  yaitu  0,00064819  jika  dibandingkan dengan MSE dari model regresi parametrik linier dan kuadratik yaitu 0,002668 dan 0,001869.
Tabel 2.   Pengaruh  umur  bayi  terhadap  ratio  berat  dan  tinggi  badan  bayi  dengan  menggunakan model B-Spline Linier dengan 1 titik knot.
Model Regresi Parameter Koefisien Regresi F -Hitung R 2 MSE B-Spline Linier 1  0,4928998 518,5237 0, 117 0,00064819 2  0,7753550
3  1,0117403
Pada  Tabel  3  ditunjukkan  taksiran  model B-Spline linier  dengan  menggunakan  2  titik knot  yaitu pada k 1 =12,5 dan k 2 = 22,5. Nilai R 2 dari model tersebut adalah 0,9518657 lebih besar dari pada nilai R 2 pada model regresi parametrik linier, kuadratik dan B-Spline linier. Begitu pula dengan nilai  MSE ( Means Square Error) dari model B-Spline linier  dengan 2 titik knot pada yaitu  0,00062483  lebih  rendah  dibandingkan  dengan  nilai  MSE  dari  model  regresi  parametrik linier, kuadratik, dan B-Spline linier yaitu 0,002668, 0,001869  dan  0,00064819.
Tabel 3.   Pengaruh  umur  bayi  terhadap  ratio  berat  dan  tinggi  badan  bayi  dengan  menggunakan model B-Spline Kuadratik dengan 1 titik knot.
Model Regresi Parameter Koefisien Regresi F -Hitung R 2 MSE B-Spline kuadratik 1  0,5070078 448,2377 0,9518657 0,00074494 2  0,8042153
3  0,8163859
4 
1,0149879
Pendekatan B-Spline linier  dengan 2 titik knot pada pada k 1 =12,5 dan k 2 = 22,5 secara visual ditunjukkan pada Gambar 10. Bayi yang berumur 0 bulan (baru lahir) sampai dengan bayi yang  berumur  sekitar  12,5  bulan  mengalami  kenaikan  ratio  berat  badan  dan  tinggi  badan  yang sangat  signifikan,  sedangkan  bayi  yang  berumur  sekitar  12,5  bulan  sampai  dengan  bayi  yang berumur sekitar 22,5 bulan mengalami penurunan ratio berat dan tinggi badan. Untuk bayi yang berumur  23,5  sampai  dengan  75,5  bulan  ratio  berat  badan  dan  tinggi  badan  bayi  perlahan mengalami  peningkatan  sama  seperti  halnya  yang  terjadi  pada  bayi  umur  0  bulan  (baru  lahir) samapai dengan bayi yang berumur 12,5 bulan.
Raupong
umur ra ti o 0 20 40 60 80 0.4 0.6 0.8 1.0 umur ra ti o 0 20 40 60 80 0.4 0.6 0.8 1.0 Gambar 10. Plot B-Spline linier dengan 2 titik knot ( k 1 =12,5 dan k 2 = 22,5).
4.3. Model B-Spline Linier Dan B-Spline Kuadratik
Model B-Spline linier  dengan menggunakan 1 titik knot pada k =10,5, diberikan oleh ) ( ˆ x y = 0,4928998 ) ( 2 , 1 t B  +  0,7753550 ) ( 2 , 0 t B + 1,0117403 ) ( 2 , 1 t B , dengan
           5 . 71 5 . 10 , 0 10.5 t 0.5 , 10 5 . 10 ) ( 2 , 1 t t t B ,              5 . 71 5 . 10 , 61 5 . 71 10.5 t 0.5 ,
10 5 . 0 ) ( 2 , 0 t t t t B ,           5 . 71 5 . 10 , 61 5 . 10 10.5 t 0.5 , 0 ) ( 2 , 1 t t t B ,                5 . 71 5 . 22 , 49 5 . 22 5 . 22 5 . 12 , 0 12.5 t 0.5 , 0 ) ( 2 , 2 t t t t B ,
adalah basis dari model B-Spline linier  dengan 1 titik knot pada k = 10,5.
Model B-Spline linier dengan menggunakan 2 titik knot pada k 1 =12,5 dan k 2 = 22,5 diberikan oleh
) ( ˆ x y = - 0.44764169 ) ( 2 , 1 t B  + 0.93151595 ) ( 2 , 0 t B
Raupong
- 0.02933401 ) ( 2 , 1 t B + 1.01387715 ) ( 2 , 2 t B
dengan
                  5 . 71 5 . 22 , 0 5 . 22 5 . 12 , 0 , 12 5 . 12 ) ( 2 , 1 t t 12.5 t 0.5 t t B ,                  5 . 71 5 . 22 , 0 5 . 22 5 . 12 , 10 t - 22.5 12.5 t 0.5 , 12 5 . 0 ) ( 2 , 0 t t t t B                  5 . 71 5 . 22 , 49 5 . 71
5 . 22 5 . 12 , 10 12.5 - t 12.5 t 0.5 , 0 ) ( 2 , 1 t t t t B ,                5 . 71 5 . 22 , 49 5 . 22 5 . 22 5 . 12 , 0 12.5 t 0.5 , 0 ) ( 2 , 2 t t t t B
adalah basis dari model B-Spline linier dengan 2 titik knots pada k 1 = 12,5 dan k 2 = 22,5.
Tabel 4.  Nilai R 2 (Koefisien Determinasi) dan MSE ( Means Square Error) dari masing- masing model.
Model Regresi R 2 MSE Parametrik Linier
Parametrik Kuadratik B-Spline Linier dengan k= 10,5 B-Spline Linier dengan k 1 =12,5 dan k 2 = 22,5 0,823 0,877 0,958 0,951 0,002668 0,001869 0,00064819 0,00074494
Dari Tabel  4  di  atas  dapat  dikatakan  bahwa  model B-Spline linier  dengan k =  10,5  mempunyai nilai R 2 yaitu  0,958  dan  MSE  yang  terkecil  yaitu  0,00064819  merupakan  model  yang  terbaik dalam menaksir hubungan antara umur bayi terhadap ratio berat dan tinggi badan bayi.
Secara  visual  terlihat  bahwa  hubungan  antara  umur  bayi  dengan  ratio  berat  badan  dan tinggi  badan  bayi  mempunyai  pola  yang  berbeda  pada  setiap  interval  umur  yang  berbeda.  Pada

## Raupong
bayi yang berumur 0 bulan (baru lahir) memiliki kecenderungan kenaikan ratio berat dan tinggi badan  yang  cukup  besar  hal  ini  disebabkan  oleh  beberapa  faktor  diantaranya  yaitu  asupan  gizi yang  baik  melalui  makan  bayi  yang  teratur  tanpa  disertai  oleh  aktivitas  lain  misalnya  bermain. Sedangkan untuk bayi yang berumur 10,5 tahun mengalami kenaikan ratio berat dan tinggi badan yang  tidak  signifikan  hal  ini  disebabkan  oleh  munculnya  aktivitas  yang  dilakukan  oleh  bayi misalnya  bermain,  merangkak,  dan  latihan  berjalan  yang  intensitasnya  cukup  tinggi  yang menyebabkan pola makan yang tidak teratur sehingga pertumbuhan badan bayi sedikit. Bayi yang berumur  sekitar  15,5  bulan  sampai  dengan  75,5  bulan  kembali  mengalami    peningkatan  ratio berat badan dan tinggi badan bayi yang cukup signifikan.  Ini berati terdapat indikasi perubahan prilaku pola pertumbuhan bayi pada sub-sub interval umur bayi tertentu.

## 5. Kesimpulan dan Saran

## 5.1. Kesimpulan
Berdasarkan uraian  pada bagian sebelumnya maka dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Salah  satu  model    yang  digunakan  untuk  menaksir  kurva  regresi  nonparametrik  adalah B- Spline dengan  penaksiran parameternya  menggunakan  Metode  Kuadrat Terkecil  ( Ordinarry Least Square) .
2. Untuk membandingkan model B-Spline linier dan B-Spline kuadratik dengan menggunakan 1 titik  knot    didasarkan  pada  nilai R 2 terbesar  dan  nilai  MSE  terkecil.  Hasil  aplikasi  dengan menggunakan data umur dengan ratio berat badan dan tinggi badan bayi menunjukkan bahwa model B-Spline linier dengan 1 titik knot pada k =10,5 merupakan model yang terbaik untuk menjelaskan pengaruh umur tehadap ratio berat badan dan tinggi badan bayi.

## 5.2. Saran
Penulis  menyadari  bahwa  permasalahan  yang  dikaji  masih  sangat  terbatas,  sehingga disarankan  sebagai berikut:
1. Mengembangkan  bidang  kajian  seperti  model B-Spline polinomial  dengan  menggunakan lebih  dari  1  titik  knot  dan  melakukan  pemilihan  titik  knot  optimal  dengan  menggunakan metode GCV ( Generalized Cross Validation) atau metode lainnya.
2. Aplikasi kajian penaksir B-Spline pada bidang-bidang lainnya.

## Daftar Pustaka
[1] Budiantara,  I.N.,  2004,  Spline:  Historis,  Motivasi  dan  Perannya  dalam  Regresi Nonparametrik, Makalah  Pembicara  Utama  pada  Konferensi  nasional  Matematika  XII , Jurusan  Matematika,  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam  Universitas Udayana, Denpasar- Bali.
[2] Budiantara,  I.N.,  2005,  Model  Keluarga  Spline  Polinomial  Truncated  dalam  Regresi Semiparametrik, Jurnal ITS , Surabaya.
[3] Budiantara,  I.N. et.al .,  2006,  Pemodelan B-Spline dan  Mars  Pada  Nilai  Ujian  Masuk Terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi Visual                            UK. Petra Surabaya, Jurnal UKM Petra , Surabaya.
Raupong
[4] Giulio,  C.  and  Valori,  G., An  Inductive  proof  of  the  Derivative  B-Spline  Recursion Formula , Departement of Mathematics, University of Bologna P.zza di Porta S, Donato 5 4027 Bologna, Italy.
[5] Eubank, R.L., 1988, Spline Smoothing and Nonparametric Regression , Marcel Dekker Inc., New York.
[6] Hardle,  W.,  1990, Applied  Nonparametric  Regression ,  Cambridge  University  Press,  New York.
[7] Islamiyati, Anna, 2006, Spline Kubik dengan Knots Optimal , Jurnal Penelitian , Makassar.
[8] Ishaq, Sifriyani, 2007, Pendekatan Spline Untuk Fungsi Variansi, Jurnal ITS , Surabaya.