## Level Berpikir Probabilistik Mahasiswa Calon Guru Matematika dalam Menyelesaikan Masalah Distribusi Peluang Gabungan
Siti Faizah 1  , Nihayatus Sa’adah 2 , Moh. Zayyadi 3
1, 2 Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Pendidikan, Universitas Hasyim Asy’ari
3 Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Madura Jl. Irian Jaya No. 55 Tebuireng Jombang, Indonesia
faizah.siti91@gmail.com

## Abstract
Teacher candidate students need to have probabilistic thinking skill because they will teach their students about the probabilitic concepts. The probabilistic thinking skill can be observed through (categaorized to be) four level: subjective,  transitional,  quantitative  informal,  and  numerical. The  aim  of  this  study  is  exploring  the probabilistic thinking level of teacher candidate students in solving the  joint probability distribution problem. The  study  subjects  are  two  high  mathematical  capability,  one  medium  mathematical  capability,  and  one  low mathematical  capability  students  of  Mathematics  Education  Departement  that  taking  Mathematical  Statistic course. The collecting data is held by using test and interview to explore the probabilistic thinking level. The study result showed that the probabilistic thinking process of high mathematical capability is on level 4. It is showed from the capability to construct the member of the sample space by using the certain pattern and the conditions on the definition. The probabilistic thinking process of medium mathematical capability is on level 2. It is showed from the capability to construct the member of the sample space by using the pattern and notation and  the  incapability  to  determine  the  combined  probability  distribution.  However,  the  probabilistic  thinking process of low mathematical capability is on level 1. It is showed from the capability to construct the member of the sample space by listing without using the certain pattern or notation.
Keywords: Probabilistic thinking, mathematics teacher candidate, joint probability distribution

## Abstrak
Mahasiswa calon guru matematika perlu memiliki kemampuan berpikir probabilistik karena akan mengajarkan konsep-konsep  probabilistik  kepada  para  siswa.  Kemampuan  berpikir  probabilistik  mahasiswa  dapat  diamati melalui empat level, yakni: level 1 ( subjective ), level 2 ( transitional ), level 3 ( quantitative informal ), dan level  4  ( numerical ). Oleh  karena  itu  tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mengeksplorasi  level  berpikir probabilistik  mahasiswa  calon  guru  matematika  dalam  menyelesaikan  masalah  distribusi  peluang  gabungan. Subjek dalam penelitian ini adalah mahasiswa prodi pendidikan matematika yang sedang menempuh mata kuliah statistik matematika dengan kemampuan matematika tinggi, sedang, dan rendah. Teknik yang digunakan untuk mengumpulkan data penelitian adalah tes tertulis dan wawancara untuk mengetahui level berpikir probabilistik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa proses berpikir probabilistik mahasiswa dengan kemampuan matematika tinggi  masuk  pada  level  4,  hal  ini  terlihat  dari  kemampuan  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  anggota  ruang sampel dengan menggunakan pola tertentu serta menggunakan syarat-syarat yang terdapat pada definisi. Adapun mahasiswa dengan kemampuan matematika sedang masuk dalam level 2, terlihat dari kemampuan mahasiswa dalam  mengonstruksi  anggota  ruang  sampel  dengan  menggunakan  pola  dan  notasi  namun  tidak  dilanjutkan dengan  penentuan  distribusi  peluang  gabungannya.  Sedangkan  mahasiswa  dengan  kemampuan  matematika rendah masuk dalam level 1, hal ini terlihat dari kemampuan mahasiswa dalam mengonstruksi anggota ruang sampel tanpa menggunakan pola atau notasi tertentu. Pada level ini, subjek menentukan anggota ruang sampel dengan cara mendaftar.
Kata kunci: Berpikir Probabilistik, Calon Guru Matematika, Distribusi Peluang Gabungan,
Copyright (c) 2022 Siti Faizah, Nihayatus Sa’adah, Moh. Zayyadi  Corresponding author: Siti Faizah Email Address: faizah.siti91@gmail.com (Jl. Irian Jaya No. 55 Tebuireng Jombang, Indonesia) Received 17 July 2022, Accepted 19 September 2022, Published 19 April 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i2.1674

## PENDAHULUAN
Berpikir  dan  bernalar  merupakan  salah  satu  aspek  yang  terkait  dengan  kognitif  seseorang. Berpikir  dapat  diartikan  dengan  menganalisis  dan  mengolah  informasi  yang  terjadi  di  otak  ketika
seseorang menyelesaikan permasalahan (Shodiqin et al., 2021). Kemampuan berpikir seseorang dapat dipengaruhi  oleh  pengalaman  atau  kerangka  teori  yang  diterima  di  sekolah  maupun  di  tempat  lain (Madawistama et al., 2022). Istilah berpikir probabilistik digunakan untuk menggambarkan pemikiran mahasiswa dalam menanggapi berbagai kemungkinan masalah yang terkait dengan probabilistik (Groth et  al,  2019).  Berpikir  probabilistik  dikategorikan  sebagai  berpikir  tingkat  tinggi  yang  dapat  diamati melalui empat level (Taram, 2017). Pemikiran mahasiswa dalam menyelesaikan masalah probabilistik dikategorikan dalam level berpikir yang berbeda-beda. Ada yang mampu menginterpretasikan secara kualitatif maupun kuantitatif, serta mampu membandingkan peluang dua kejadian (Mahyudi, 2017).
Probabilistik  merupakan  cabang  ilmu  matematika  yang  mempelajari  tentang  kemungkinan terjadinya suatu percobaan. Probabilistik dapat diartikan sebagai kemungkinan, harapan, prediksi atau peluang suatu kejadian (Pfannkuch et al., 2016). Berpikir probabilistik dapat diartikan sebagai aktivitas mental  dalam  menyelesaikan  permasalahan  yang  memuat  unsur  ketidakpastian  (Sari,  2015).  Dalam masalah  probabilistik  memuat  suatu  ketidakmungkinan  yang  terjadi  secara  acak  berdasarkan  hasil percobaan.  Seorang  mahasiswa  dapat  melakukan  berpikir  probabilistik  yang  ditandai  dengan mengonstruksi  anggota  ruang  sampel  dengan  menggunakan  pola  atau  notasi  tertentu  (Hodiyanto  & Oktaviana, 2018).
Terdapat enam konstruksi utama dalam berpikir probabilistik, yakni: mengonstruk ruang sampel, peluang suatu kejadian, peluang perbandingan, peluang bersyarat, peluang satu kejadian dan peluang dua kejadian (Jones et al, 1999; Shodiqin et al, 2021). Dalam berpikir probabilistik terdapat empat level berpikir, yakni: level 1 ( subjective ), level 2 ( transitional ), level 3 ( quantitative informal ), dan level 4 ( numerical ) ( Hodiyanto & Oktaviana, 2018; Jones et al, 1999; Taram, 2016).  Pada level 1 pemikiran siswa terikat pada alasan subjektif, level 2 adalah masa transisi antara berpikir subjektif dengan berpikir kuantitatif yang dicirikan dengan pemikiran siswa yang selalu berubah-ubah ketika mengkuantitatifkan peluang,  level  3  ditunjukkan  dengan  adanya  strategi  generatif  yang  dilakukan  siswa  dalam mengonstruksi  ruang  sampel  dan  peluang,  level  4  siswa  mampu  mendeskripsikan  peluang  suatu kejadian  secara  numerik  maupun  simbolik  (Taram,  2016).  Kemampuan  berpikir  probabilistik  siswa maupun mahasiswa dapat ditingkatkan melalui empat fase, yakni: konsep klasik, frekuensi atau fase konsep empiris, fase konsep subjektivitas, dan fase konsep aksiomatik atau formal (Nacarato & Grando, 2014).
Mahasiswa  program  studi  pendidikan  matematika  merupakan  calon  guru  matematika  yang nantinya akan mengajarkan konsep-konsep probabilistik kepada para siswa. Oleh karena itu, penting bagi  mahasiswa  untuk  dapat  memahami  konsep-konsep  tersebut  agar  mampu  menggunakan penalarannya  dalam  menyelesaikan  masalah  matematika.  Salah  satu  mata  kuliah  di  program  studi pendidikan  matematika  yang  memuat  konsep-konsep  probabilistik  adalah  mata  kuliah  statistik matematika. Pada mata kuliah ini, konsep-konsep probabilistik diwujudkan dalam kemampuan bernalar untuk  menyelesaikan  setiap  permasalahan.  Akan  tetapi,  kenyataan  di  lapangan  menunjukkan  bahwa tidak semua mahasiswa dapat melakukan hal tersebut.  Pengalaman mahasiswa dalam menyelesaikan
masalah probabilistik menjadi faktor dominan yang dapat mendasari pola berpikirnya (Pfannkuch et al., 2016).
Hasil  penelitian  terdahulu  menunjukkan  bahwa  mahasiswa  mengalami  kesulitan  ketika menyelesaikan  masalah  probabilistik.  Kesulitan  ini  terletak  pada  kesalahan  dalam  bernalar  karena adanya  miskonsepsi  (Hirsch  &  O’Donnell,  2001).  Lebih lanjut,  Mahyudi (2017)  mengatakan  bahwa kesulitan yang paling sering dialami mahasiswa pendidikan matematika adalah ketika menyelesaikan masalah  peluang,  terutama  masalah  kombinasi  dan  permutasi.  Pada  dasarnya  kesulitan-kesulitan tersebut  dapat  diidentifikasi  melalui  level  berpikir  probabilistik.  Hasil  penelitian  Hodiyanto  & Oktaviana (2018) menunjukkan bahwa level berpikir probabilistik mahasiswa dapat dipengaruhi oleh gender.  Sedangkan  Taram (2017) menyebutkan bahwa level berpikir probabilistik juga dipengaruhi oleh gaya belajar seseorang, sehingga dari level tersebut dapat diketahui tingkat kesulitan yang dialami siswa ketika memahami atau menyelesaikan masalah probabilistik.
Berdasarkan  hasil  penelitian  terdahulu  dapat  diketahui  bahwa  salah  satu  permasalahan  yang dihadapi  mahasiswa  dalam  menyelesaikan  masalah  probabilistik  adalah  ketika  dihadapkan  pada masalah kombinasi untuk menentukan ruang sampel. Kemampuan mahasiswa dalam melakukan proses berpikir untuk menyelesaikan masalah kombinasi dapat diketahui dari level berpikir probabilistiknya. Oleh  karena  itu  penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengeksplorasi  level  berpikir  mahasiswa  calon  guru matematika dalam menyelesaikan masalah probabilistik terkait distribusi peluang gabungan. Eksplorasi terhadap  level  berpikir  probabilistik  mahasiswa  dianalisis  berdasarkan  empat  level,  yakni:  level  1 ( subjective ), level 2 ( transitional ), level 3 ( quantitative informal ), dan level 4 ( numerical ).

## METODE
Penelitian ini termasuk dalam penelitian kualitatif karena bertujuan untuk mengeksplorasi dan mendeskripsikan  level  berpikir  probabilistik  mahasiswa.  Penelitian  ini  dilakukan  kepada  tiga  belas mahasiswa program studi pendidikan matematika Universitas Hasyim Asy’ari yang sedang menempuh mata  kuliah  statistik matematika.  Subjek  dipilih  berdasarkan  tingkat  kemampuan matematika  tinggi, sedang, dan rendah serta kemampuan komunikasi verbal yang baik.
Data  pada  penelitian  ini  dikumpulkan  melalui  tes  masalah  probablistik  sub  pokok  bahasan distribusi peluang gabungan dengan variabel random diskrit. Pengumpulan data juga dilakukan melalui wawancara  yang  berfungsi  untuk  mengeksplorasi  lebih  dalam  mengenai  proses  berpikir  mahasiswa berdasarkan level berpikir probabilistiknya.
Analisis data pada penelitian ini menggunakan teknik analisis data penelitian kualitatif  yang meliputi:  reduksi  data,  pemaparan  data,  dan  penarikan  simpulan  (Creswell,  2014).  Reduksi  data dilakukan dengan cara memilih dan mengklasifikasikan data yang sesuai dengan tujuan penelitian. Data yang  tidak  sesuai  dengan tujuan  penelitian  dapat  dipertimbangkan  menjadi temuan.  Pemaparan  data adalah menyajikan  data  yang  telah  direduksi  secara deskriptif  berdasarkan hasil tes  dan  wawancara. Setelah itu dilakukan penarikan simpulan.
Analisis  data  juga  dilakukan  dengan  memperhatikan  empat  level  berpikir  probabilistik mahasiswa dalam menyelesaikan masalah distribusi peluang gabungan yang diadopsi dari  Hodiyanto & Oktaviana (2018). Keempat level tersebut disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Pedoman Level Berpikir Probabilistik Level Proses Bepikir Level 1 ( Subjective ) Ruang Sampel: Mengonstruksi titik sampel dengan tidak menggunakan pola Distribusi Gabungan: - Menentukan  distribusi  peluang gabungan tidak berdasarkan definisi - Tidak menentukan distribusi peluang gabungan Level 2 ( Transitional ) Ruang Sampel: - Membuat sketsa diagram pohon atau  secara  langsung  untuk menentukan ruang sampel - Menentukan anggota ruang sampel  dengan  menggunakan pola atau notasi Distribusi Gabungan: - Mensubstitusikan  semua  titik  ke dalam bentuk pola - Menggunakan  kombinasi  untuk menentukan ruang sampel berdasarkan pola yang terbentuk Level 3 ( Quantitative Informal ) Ruang Sampel: - Menuliskan  semua  titik  yang akan  menjadi  anggota  ruang sampel - Menuliskan  pola  atau  notasi untuk menentukan ruang sampel Distribusi Gabungan: - Menggunakan pola untuk menentukan distribusi peluang gabungan - Menggunakan kombinasi berdasarkan pola yang terbentuk Level 4 ( Numerical ) Ruang Sampel: - Menuliskan  pola  dalam  bentuk formula - Menggunakan  pola  atau  notasi untuk menentukan anggota ruang sampel Distribusi Gabungan: - Menggunakan  kombinasi  untuk menentukan ruang sampel berdasarkan formula - Membuat  tabel  distribusi  peluang gabungan berdasarkan hasil kombinasi - Menjumlahkan kolom - Menjumlahkan baris - Memperoleh  hasil  1  dari  masing-
masing penjumlahan

## HASIL DAN DISKUSI
Pengumpulan  data  pada  penelitian  ini  menggunakan  teknik  tes  dan  wawancara  kepada mahasiswa  yang  akan  bertindak  sebagai  subjek  penelitian.  Dari  hasil  tes  tertulis  diperoleh  lima mahasiswa dengan kemampuan matematika tinggi, empat mahasiswa dengan kemampuan matematika sedang,  dan  empat  mahasiswa  dengan  kemampuan  matematika  rendah.  Setiap  jenis  kemampuan mahasiswa tersebut memiliki jawaban yang sama sehingga perlu dipilih mahasiswa yang mempunyai kemampuan komunikasi verbal yang bagus untuk proses wawancara. Dari hasil pemilihan diperoleh dua  mahasiswa  dengan  kemampuan  matematika  tinggi,  satu  mahasiswa  dengan  kemampuan matematika sedang, dan satu mahasiswa dengan kemampuan matematika rendah. Keempat mahasiswa tersebut menjadi subjek penelitian.
Hasil  tes  menujukkan  bahwa  subjek  dengan  kemampuan  matematika  tinggi  lebih  dominan masuk ke level 3 dan 4. Sedangkan subjek dengan kemampuan matematika sedang masuk pada level 2, dan subjek dengan kemampuan matematika rendah masuk pada level 1. Subjek dengan kemampuan matematika tinggi menyelesaikan soal dengan cara menentukan ruang sampel terlebih dahulu kemudian menentukan distribusi peluang gabungan. Sedangkan subjek  dengan kemampuan matematika rendah dan  sedang  hanya  menentukan  ruang  sampel  tetapi  caranya  berbeda.  Adapun  paparan  dari  masing- masing level berpikir subjek adalah sebagai berikut:

## Subjek S1
Subjek S1 adalah mahasiswa dengan kemampuan matematika rendah. Subjek S1 masuk dalam level  1  karena  ia  menyelesaikan  tes  dengan  cara  mengonstruk  banyaknya  titik  sampel  dari  setiap pengambilan buah berdasarkan jenisnya.  Subjek S1 mengatakan bahwa cara mengambil empat buah secara acak dari delapan buah yang ada dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi berupa: 𝐶 4 8 = 70 .  Subjek  S1  mengonstruksi  anggota  kejadian  dari  pengambilan  buah  tanpa  menggunakan  pola tertentu karena ia menuliskan secara rinci jenis buah yang diambil. Adapun hasil konstruksi S1 adalah: 𝑓(0, 1) yang  menyatakan  0  pisang  dan  1  mangga, 𝑓(0, 2) menyatakan  0  pisang  dan  2  mangga,  dan seterusnya seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Hasil Pekerjaan Subjek S1
Subjek S1 menyebutkan bahwa tiga buah yang diambil secara acak berikutnya adalah pisang karena ia berasumsi bahwa jeruk tidak mungkin terambil sehingga kombinasi yang digunakan adalah 𝐶 0 3 . Subjek S1 menganggap bahwa buah yang mungkin terambil adalah mangga dan pisang sehingga menggunakan 𝐶 1 2 dan 𝐶 3 3 .  Dari  hasil  konstruksi  tersebut,  kemudian  subjek  S1  mengoperasikan  tiga bentuk kombinasi untuk menyatakan banyaknya cara dalam mengambil empat buah dari tiga jenis buah secara acak, yakni 𝐶 0 3 . 𝐶 1 2 . 𝐶 3 3 = 1.2.1 = 2 sehingga diperoleh 𝑓(0, 1) = 2 70 .
Berdasarkan  hasil  pekerjaan  subjek  S1  menunjukkan  bahwa  hasil  pekerjaannya  tidak  tepat karena  ia  menguraikan  secara  detail  anggota  ruang  sampel  berdasarkan  jenis  buah  atau  tanpa menggunakan pola tertentu. Subjek S1 juga tidak menentukan distribusi peluang gabungan dari 𝑥 dan 𝑦 karena  ia  menganggap  bahwa 𝑓(0, 1) = 2 70 sudah  merupakan  distribusi  peluang  gabungan  yang diperoleh dari hasil kombinasi 𝑓(𝑥, 𝑦) .

## Subjek S2
Subjek S2 merupakan mahasiswa dengan kemampuan matematika sedang yang masuk dalam level 2 karena ia mengatakan bahwa cara menentukan anggota ruang sampel dapat dilakukan melalui diagram pohon atau secara langsung. Dalam hal ini S2 menggunakan cara langsung yakni menuliskan pasangan berurutan (𝑥, 𝑦) yang mungkin terambil.
Berdasarkan hasil wawancara diketahui bahwa S2 hanya menguraikan nilai 𝑥 dan 𝑦 kemudian menentukan ruang sampel dengan menggunakan pola tertentu berupa 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 3 𝑥 ) ( 2 𝑦 ) ( 3 4 − 𝑥 − 𝑦 ) .
Pola tersebut dibentuk berdasarkan informasi yang terdapat pada soal yakni sebanyak 𝑥 jeruk diambil dari tiga  jeruk  yang ada,  dan 𝑦 mangga  diambil  dari  dua  mangga  yang  ada.  Ia  menyebutkan bahwa terdapat empat kemungkinan untuk bilangan 𝑥 yaitu 0, 1, 2, 3 serta empat kemungkinan untuk bilangan 𝑦 yaitu 0, 1, 2, dan 3 sehingga dapat ditulis 𝑥 = {0,1,2,3} dan 𝑦 = {0,1,2,3} . Dari jawaban S2 diketahui bahwa jawabannya tidak tepat karena banyaknya mangga ( 𝑦 ) adalah 2, seharusnya S2 menuliskan 𝑦 = {0,1,2} .  Selanjutnya,  ketika  subjek  S2  membuat  pasangan  berurutan (𝑥, 𝑦) ,  ia  mengatakan  bahwa pasangan buah yang tidak mungkin terjadi adalah (3,2), (2,3), dan (0,0) karena perintah di soal disuruh mengambil  empat  buah  secara  acak.  Dalam  hal  ini 𝑥 menyatakan  banyaknya  buah  jeruk  dan 𝑦 menyatakan banyaknya buah mangga. Misal (0,3) ini menyatakan sebanyak nol jeruk dan tiga mangga yang  terambil,  namun  hal  tersebut  bertentangan  dengan  perintah  di  soal  yang  menyatakan  bahwa terdapat empat buah yang terambil secara acak. Oleh karena itu, subjek S2 menambahkan satu pisang sehingga tepat empat buah yang diambil.
Berdasarkan  hasil  eksplorasi  kepada  subjek  S1  dan  S2  dapat  diketahui  bahwa  tidak  semua mahasiswa dapat melakukan berpikir probabilistik sampai pada level tertinggi atau level 4. Mahasiswa yang  masuk  dalam    level  1  dan  2  masih  kesulitan  jika  dihadapkan  pada  masalah  probabilistik  yang membutuhkan  penalaran.  Hal  tersebut  berdampak  pada  ketidakmampuan  mahasiswa  dalam menggunakan  pola  atau  notasi  tertentu  ketika  menyelesaikan  masalah  probabilistik  melalui  berpikir secara  logis  (Pfannkuch  et  al.,  2016).  Hal  ini  sejalan  dengan  hasil  penelitian  Mahyudi  (2017)  yang menyebutkan  bahwa  mahasiswa  kurang  mampu  bernalar  ketika dihadapkan pada  masalah  permutasi dan kombinasi.

## Gambar 2. Hasil Pekerjaan Subjek S2

## Subjek S3
Subjek  S3  merupakan  mahasiswa  dengan  kemampuan  matematika  tinggi.  Subjek  ini  masuk dalam level  4  karena ia mampu menuliskan  anggota ruang sampel  dengan menggunakan  pola,  serta mampu menentukan distribusi peluang gabungan. Subjek S3 menentukan anggota ruang sampel dengan menggunakan 𝑥 = {0,1,2,3} dan 𝑦 = {0,1,2} dimana 𝑥 menyatakan  kemungkinan  terambilnya  buah jeruk, dan 𝑦 kemungkinan terambilnya buah mangga. Setelah itu subjek S3 menuliskan pasangan titik sampel dalam bentuk: (𝑥, 𝑦) = (0, 0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1, 2), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0), (3,1),
(3,2) seperti pada Gambar 3.
Subjek S3 menggunakan pola berbentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 3 𝑥 )( 2 𝑦 )( 3 4−𝑥−𝑦 ) ( 8 4 ) kemudian mensubstitusikan masing-masing  anggota  ruang  sampel  ke  dalam  pola  tersebut  untuk  menentukan  distribusi  peluang gabungan.  Akan  tetapi  subjek  S3  tidak  menuliskan  secara  langsung  bentuk  formal  dari  pola  yang digunakan,  ia  secara  spontan  mensubstitusikan  masing-masing  pasangan  anggota  ruang  sampel  ke dalam pola tersebut karena ia sudah memahami cara penggunaannya .
Keseluruhan anggota ruang sampel tersebut diperoleh dari kemungkinan banyaknya buah jeruk ( 𝑥 )  dan buah mangga  ( 𝑦 )  yang  terambil.  Selanjutnya  subjek  S3 menentukan  peluang  setiap anggota ruang sampel menggunakan fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) , dengan pengecualian untuk pasangan (0,0) dan (3,2). Hal tersebut  dikarenakan  titik  (0,0)  menyatakan  banyaknya  buah  jeruk  dan  buah  mangga  yang  terambil adalah 0, sehingga buah yang mungkin terambil adalah empat pisang. Akan tetapi, hal ini bertentangan dengan informasi yang terdapat di soal yang menyebutkan bahwa hanya ada tiga buah pisang sehingga titik sampelnya memiliki peluang nol untuk terpilih. Kemudian peluang untuk titik sampel (3,2) juga sama  dengan  nol  karena  titik  tersebut  menyatakan  ada  tiga  jeruk  dan  dua  mangga,  sehingga  hal  ini bertentangan  dengan informasi  di  soal  yang  menyebutkan  bahwa  hanya  empat buah  saja  yang  perlu diambil. Penjelasan tersebut diperoleh dari proses wawancara yang dilakukan kepada subjek S3.
Selanjutnya,  subjek  S3  menyajikan  peluang  masing-masing  titik  sampel  dalam  bentuk  tabel seperti pada Gambar 3. Penyajian dalam bentuk tabel tersebut digunakan untuk mempermudah dalam menentukan distribusi peluang gabungan. Dalam menentukan distribusi peluang gabungan, subjek S3 berpedoman pada definisi yang menyebutkan bahwa: fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah distribusi peluang gabungan pada variabel random diskret X dan Y bila:
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 untuk semua (X, Y)
b. ∑ ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 𝑦 𝑥 c. 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)
(Walpole, 1995)
Pada  saat  wawancara,  subjek  S3  mengatakan  bahwa  syarat  pertama  pada  definisi  telah terpenuhi, hal ini dapat diketahui dari isian yang terdapat pada tabel (Gambar 3) di mana semua nilainya lebih  besar  atau  sama  dengan  nol.  Selanjutnya,  untuk  syarat  kedua  dan  ketiga,  subjek  S3  tidak menuliskan secara langsung di lembar jawabannya tetapi hal itu muncul saat digali lebih dalam melalui wawancara. Subjek S3 menyebutkan bahwa jumlah masing-masing baris dan kolom pada tabel adalah 1.

## Subjek S4
Subjek S4 merupakan mahasiswa dengan kemampuan matematika tinggi yang masuk dalam level 4. Subjek S4 menentukan anggota ruang sampel dengan cara menguraikan elemen 𝑥 dan 𝑦 secara rinci yang berupa kemungkinan 𝑥 = {0,1,2,3} dan 𝑦 = {0,1,2}. Elemen-elemen tersebut diperoleh dari informasi yang terdapat di soal yang menyatakan bahwa banyaknya jeruk ( 𝑥 ) adalah 3 dan banyaknya mangga ( 𝑦 ) adalah 2. Dari kedua elemen 𝑥 dan 𝑦 diperoleh ruang sampel berupa: {(0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)}. Subjek S4 mampu membentuk pola yang dituliskan secara formal  dari  peluang  terpilihnya  empat  buah  secara  acak  dari  buah-buahan  yang  ada,  pola  tersebut
berupa: 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( 3 𝑥 )( 2 𝑦 )( 3 4−𝑥−𝑦 ) ( 8 4 ) .  Selanjutnya,  subjek  S4  mensubstitusikan  setiap  pasangan  anggota ruang sampel ke dalam formula tersebut seperti yang terlihat pada Gambar 4.

## Gambar 4. Hasil Pekerjaan S4
Berdasarkan hasil perhitungan peluang masing-masing anggota ruang sampel, diketahui bahwa setiap nilai dari peluang lebih dari atau sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa syarat pertama yang terdapat pada definisi distribusi peluang gabungan telah terpenuhi. Subjek S4 menyajikan peluang masing-masing  anggota  ruang  sampel  dalam  bentuk  tabel  untuk  mempemudah  perhitungan  terkait syarat kedua dan ketiga pada definisi. Subjek S4 menjumlahkan isian setiap baris dan setiap kolom pada tabel kemudian diperoleh hasilnya sama dengan 1  (Gambar 5). Subjek S4 menyebutkan bahwa hasil pekerjaannya  telah memenuhi semua  syarat yang  terdapat  pada  definisi  distribusi  peluang gabungan dengan variabel random diskrit.

## Gambar 5. Penjumlahan isi tabel
Hasil  eksplorasi  kepada  subjek  S3  dan  S4  menunjukkan  bahwa  mahasiswa  mampu mengidentifikasi  konsep  yang  akan  digunakan  untuk  menyelesaikan  permasalahan.  Konsep  yang tersebut  berupa  definisi  distribusi  peluang  gabungan  yang  telah  dipelajari.  Hal  ini  sejalan  dengan pendapat  Dobrin  &  Shcherbatykh  (2021)  yang  menyatakan  bahwa  level  tertinggi  dalam  berpikir probabilistik adalah ketika mahasiswa mampu mengidentifikasi sifat-sifat dari suatu objek atau konsep
secara  abstrak  untuk  menyelesaikan  suatu  permasalahan.  Kemudian  dari  konsep-konsep  tersebut digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam bentuk pola atau notasi tertentu.
Berdasarkan hasil penelitian dapat diketahui bahwa tidak semua mahasiswa mampu berpikir probablistik sampai pada level tertinggi atau level empat. Ketidakmampuan ini tidak hanya dialami oleh mahasiswa calon guru matematika saja tetapi juga dialami siswa-siswi pada tingkat sekolah menengah (Taram,  2017).  Ketidakmampuan  mahasiswa  dalam  mencapai  level  tertinggi  berpikir  probabilistik dapat  dipengaruhi  oleh  penalaran  ketika  mahasiswa  memahami  suatu  permasalahan  (Batanero  & Borovcnik, 2016).
Mahasiswa dengan level berpikir probabilistik tertinggi dapat menggunakan logika atau intuisi mereka  secara  lebih  efektif  (Dobrin  &  Shcherbatykh,  2021).  Akibatnya,  mereka  dapat  membuat kesimpulan yang tepat dalam waktu singkat ketika menyelesaikan masalah rumit dalam probabilistik. Oleh sebab itu penting bagi seorang pendidik untuk dapat mengidentifikasi level berpikir probabilistik mahasiswanya agar dapat merancang pembelajaran yang bisa mendukung mahasiswa untuk menaikkan level  berpikir  probabilistiknya  karena mahasiswa  calon  guru matematika  akan mengajarkan  konsep- konsep probabilistik kepada para siswa.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan kepada mahasiswa calon guru matematika di atas, diperoleh kesimpulan bahwa level berpikir probabilistik mahasiswa dengan kemampuan matematika tinggi masuk dalam level 4. Mahasiswa tersebut dapat menyelesaikan soal tentang distribusi peluang gabungan secara numerik dengan menggunakan pola dan notasi tertentu untuk menentukan distribusi peluang gabungan. Mahasiswa  pada  level  ini  juga  mampu  menggunakan  konsep  secara  tepat  yang  diwujudkan  melalui perhitungan  dengan  kombinasi  dan  pemenuhan  syarat-syarat  yang  terdapat  pada  definisi  distribusi peluang  gabungan  dengan  variabel  random  diskrit.  Sedangkan  mahasiswa  dengan  kemampuan matematika sedang masuk dalam level 2 karena mahasiswa tersebut hanya menentukan anggota ruang sampel tanpa dilanjutkan ke penentuan distribusi peluang gabungan. Mahasiswa pada level ini mampu menentukan anggota ruang sampel dengan menggunakan kombinasi berdasarkan pola yang dituliskan secara formal. Akan tetapi ia tidak dapat menentukan distribusi peluang gabungan berdasarkan definisi. Selanjutnya,  mahasiswa  dengan  kemampuan  matematika  rendah  masuk  dalam  level  1  karena  ia menentukan  anggota  ruang  sampel  tanpa  menggunakan  pola  tertentu.  Mahasiswa  pada  level  ini menentukan anggota ruang sampel dengan menuliskan satu per satu jenis buah yang mungkin terambil dalam  suatu  percobaan.  Mahasiswa  pada  level  ini  juga  tidak  dapat  menentukan  distribusi  peluang gabungan berdasarkan definisi.
Berdasarkan  paparan  hasil  penelitian  di  atas,  perlu  dilakukan  penelitian  lanjutan  yang membahas  tentang  karakteristik  mahasiswa  calon  guru  matematika  yang  masuk  dalam  level  3 ( quantitative informal ), karena pada penelitian ini belum ditemukan mahasiswa yang masuk pada level
tersebut.  Hasil  penelitian  ini  juga  diharapkan  dapat  menjadi  rujukan  untuk  penelitian  lanjutan  yang mengaji tentang perlakuan yang perlu diberikan kepada masing-masing mahasiswa berdasarkan level berpikirnya.

## REFERENSI
Batanero,  C.,  &  Borovcnik,  M.  (2016).  Statistics  and  probability  in  high  school.  Sense  Publishers. https://doi.org/10.1007/978-94-6300-624-8
Creswell,  J.  W.  (2014). Research  design  qualitative,  quantitative,  and  mixed  method  approaches .
California, USA: SAGE Publications, Inc
Dobrin,  A.  V.,  &  Shcherbatykh,  S.  V.  (2021).  Distinctive  features  of  executive  functions  among students with differing levels of probabilistic thinking style. International Journal of Instruction , 14 (4), 223–240. https://doi.org/10.29333/iji.2021.14414a
Groth, R. E., Austin, J. W., Naumann, M., & Rickards, M. (2019). Toward a theoretical structure to characterize early probabilistic thinking. Mathematics Education Research Journal , 33, 241-261. https://doi.org/10.1007/s13394- 019-00287-w
Hirsch, L. S., & O’Donnell, A. M. (2001). Representativeness in Statistical Reasoning: Identifying and Assessing Misconceptions. Journal
of Statistics Education , 9 (2). https://doi.org/10.1080/10691898.2001.11910655
Hodiyanto,  H.-,  &  Oktaviana,  D.  (2018).  Proses  berpikir  probabilistik  mahasiswa  pendidikan matematika  ditinjau  dari  gender  di  IKIP  PGRI  Pontianak. JIPM  (Jurnal  Ilmiah  Pendidikan Matematika) , 6 (2), 109. https://doi.org/10.25273/jipm.v6i2.1963
Jones, G. A., Langrall, C. W., Thornton, C. A., & Mogill, A. T. (1999). Students’ probabilistic thinking in  instruction. Journal  for  Research  in  Mathematics  Education, 30(5),  487–519. https://doi.org/10.2307/749771
Madawistama, S. T., Heryani, Y., & Kurniawan, D. (2022). Three zone learning concepts to improve mathematical proof of probability theory. Jurnal Math Educator Nusantara: Wahana Publikasi
Karya Tulis Ilmiah Di Bidang Pendidikan
Matematika , 8 (1), 27–38. https://doi.org/10.29407/jmen.v8i1.17004
Mahyudi. (2017). Proses Berpikir Probabilistik Siswa SMA dalam Mengkontruksi Konsep Permutasi dan Kombinasi. Edumatica , 07 (01), 55–63.
Nacarato,  A.  M.,  &  Grando,  R.  C.  (2014).  The  role  of  language  in  building  probabilistic  thinking. Statistics Education Research Journal, 13(2), 93–103
Pfannkuch,  M.,  Budgett,  S.,  Fewster,  R.,  Fitch,  M.,  Pattenwise,  S.,  Wild,  C.,  &  Ziedins,  I.  (2016). Probability  modeling  and  thinking:  What  can  we  learn  from  practice? Statistics  Education Research Journal , 15 (2), 11–37. https://doi.org/10.52041/serj.v15i2.238
Sari, D. I. (2015). Profil Berpikir Probabilistik Siswa Sekolah Dasar (SD) Berkemampuan Matematika Tinggi Dalam Menyelesaikan Tugas Probabilitas. Seminar Nasional Matematika Dan Pendidikan
Matematika UNY , 2 , 1123–1130.
Shodiqin,  A.,  Sukestiyarno,  Y.L.,  Wardono.  &  Isnarto.  (2021).  Probabilistic  Thinking  Profile  of Mathematics  Teacher  Candidates  in  Problem  Solving  based  on  Self-Regulated  Learning. European Journal of Educational Research , 10(03), 1199-1213.
Taram, A. (2016). Proses Berpikir Probabilistik Mahasiswa S1 Pendidikan Biologi Jpmipa Fkip Uad Pada  Pokok  Bahasan  Teori  Probabilitas. AdMathEdu :  Jurnal  Ilmiah  Pendidikan  Matematika,
Ilmu Matematika Dan Matematika Terapan , 6 (1). https://doi.org/10.12928/admathedu.v6i1.4757 Taram, A. (2017). Probabilistic Thinking Ability of Students Viewed from Their Field Independent and Field Dependent Cognitive Style. The 3rd International Conference on Mathematics, Science and Education. Journal of Physics: Conference Series , 824 (012050). http://iopscience.iop.org/1742- 6596/824/1/012050
Walpole. R. E. 1995. Pengantar Statistika . Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.