http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika

## TIME SERIES ANALYSIS USING COPULA GAUSS AND AR(1)-N.GARCH(1,1)
Rezzy Eko Caraka 1 ,Hasbi Yasin 2 ,Wawan Sugiarto 1 ,Sugiarto 3 ,Kadi Mey Ismail 1
1 Awardee of LPDP Scholarship, Ministry of Finance, Indonesia
2 Department of Statistics, Diponegoro University, Indonesia
3 Senior High School 1 Moro, Riau Islands Province, Indonesia
e-mail : rezzyekocaraka@gmail.com
DOI: 10.14710/medstat.9.1.1-13

## Abstract
In this case, the Gaussian Copula is used to connect the data that correlates with the time and  with  other  data  sets.  Most  often,  practitioners  rely  only  on  the  linear  correlation  to describe  the  degree  of  dependence  between  two  or  more  variables;  an  approach  that  can lead  to  quite  misleading  conclusions  as  this  measure  is  only  capable  of  capturing  linear relationships. Correlation doesn’t mean causation, prediction using Copula is built on three things that the marginal distribution  function, the kernel function, and the function of the Copula. Gaussian Copula involves the covariance matrix are approximated by using kernel functions. Kernel acts as the correlation between the approach of the data values  that have the same characteristics. In this case, the characteristics used is the time. The advantage of the kernel function is able to calculate the correlation between random variables that have a realization using data characteristics. The advantage of using the kernel based Copula able to  capture  the  dependencies  between  data  and  process  data  that  have  the  same characteristics with time. Another benefit is that it allows a sequence of random variables have a joint distribution function so that the conditional probability of the prediction can be calculated.
Keywords : Binding, Copula, GARCH, Gauss, Time Series

## 1. PENDAHULUAN
Karakteristik  umum  harga  saham  adalah  memiliki  tingkat  ketidakpastian. Ketidakpastian ini dalam hal pergerakan harga saham dalam jangka pendek, ataupun dalam jangka  panjang.  Karakteristik  ini  tidak  disukai  oleh  para investor karena  menimbulkan risiko pada investasi mereka. Ketidakpastian ini juga tidak dapat dihindari dalam investasi. Untuk  menghadapi  ketidakpastian  pergerakan  harga,  yang  dapat  dilakukan  oleh investor adalah  mengurangi  ketidakpastian  tersebut.  Salah  satu  alat  ( tools ) untuk  mengurangi ketidakpastian adalah dengan melakukan prediksi ( forecasting ) harga saham.
Proses  prediksi  harga  saham  terbagi  menjadi  dua  kelompok.  Kelompok  pertama adalah  pihak  yang  mempercayai  bahwa  terdapat  suatu  cara  untuk  memprediksi  harga saham. Kelompok kedua adalah pihak yang berkeyakinan bahwa pasar adalah efisien, dan apabila  ada  informasi  baru  yang  diperoleh,  pasar  akan  menyerapnya  dan  mengkoreksi dirinya  sendiri.  Kelompok  kedua  ini  percaya  bahwa  harga  saham  tidak  dapat  diprediksi. Hal inilah yang disebut teori Efficient Market Hypothesis (EMH) seperti  yang disebutkan oleh Gryc (2006). Kelompok ini beranggapan bahwa pasar saham mengikuti pola random
walk , yang berarti bahwa prediksi terbaik yang dapat diperoleh tentang harga masa depan suatu saham adalah berdasarkan harga saham saat ini.
Penelitian mengenai  fluktuasi saham yang dilakukan oleh  Caraka dan Yasin (2015) menyimpulkan capital  gain dapat  dipakai  sebagai  salah  satu  acuan  dalam  melakukan investasi  saham  dengan  melihat  besarnya  kerugian  maupun  keuntungan  yang  mungkin akan dialami oleh seorang investor terutama jika ingin melakukan investasi  dalam jangka waktu  yang  pendek.  Harga  saham  mengalami  fluktuasi  baik  berupa  kenaikan  maupun penurunan  sehingga  dengan  harga  saham  yang  berfluktuasi  memberikan  peluang  kepada para  investor  untuk  mengalami  keuntungan  maupun  kerugian . Salah  satu  metode  dalam memprediksi harga saham adalah metode time series forecasting . Pada metode ini dicoba dibuat  model  prediksi  linear  untuk  melihat  pola  dari  data  historis  harga  saham  untuk menilai  harganya  di  masa  depan.  Nilai  harga  saham  di  masa  depan  dianggap  sebagai kombinasi  linear  dari  data  historisnya.  Model  linear  ini  terbagi  menjadi  dua  kategori model,  yakni  model univariate  regression dan  model multivariate  regression. Beberapa yang  digunakan  pada  metode time  series  forecasting diantaranya  AR  (p),  GARCH  (p,q), dan Copula .  Ada  banyak  model Copula yang  bisa  digunakan  diantaranya Copula Gaussian , Copula - t , Copula Clayton, Copula Frank , dan Copula Gumbel . Copula merupakan  salah  satu  metode  statistika  yang  dapat  menggambarkan hubungan  antar  variabel  yang  tidak  terlalu  ketat  terhadap  asumsi  distribusi,  serta  dapat menunjukkan  hubungan  dependensi  pada  titik-titik  ekstrim  dengan  jelas.  Metode  ini mempunyai kemampuan untuk mendeskripsikan struktur dependensi antar variabel dengan marginal yang berbeda dan memodelkan dependensi tail -nya. Copula adalah suatu fungsi dari  dua  hubungan  distribusi  yang  masing-masing  mempunyai  fungsi  marginal  distribusi (Nelsen,  1998).  Beberapa  penelitian  mengenai Copula telah  dilakukan,  antara  lain penelitian  oleh  Murteira  dan  Lourenço  (2007)  mengenai  penggunaan Copula pada  kasus kesehatan.  Zhu,  Ghosh,  dan  Goodwin  (2008)  menerapkan Copula untuk  memodelkan asuransi.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Konsep Korelasi
Analisis korelasi adalah metode statistik yang digunakan untuk mengukur besarnya hubungan  linier  antara  dua  variabel  dengan  satu  nilai  yang  dinamakan  koefisien  korelasi (Walpole, 2007). Nilai korelasi berkisar pada interval 1
1     . Jika korelasi positif, maka hubungan antara dua variabel adalah searah. Jika korelasi bernilai negatif, maka hubungan antara  dua  variabel  adalah  berlawanan.  Taksiran ρ yang  dekat  ke  satu,  berarti  adanya korelasi yang kuat/tinggi atau ikatan linier, sedangkan nilai dekat dengan nol menunjukkan korelasi  yang  lemah  atau  tidak  ada  korelasi.  Berdasarkan  skala  pengamatan  pada  data pengamatan, korelasi dibedakan sebagai berikut:
1. Korelasi Pearson untuk mengetahui hubungan antara dua variabel yang mempunyai skala interval atau rasio (untuk statistik parametrik).
2. Korelasi  Tau-Kendall  dan  korelasi  Rank  Spearman  untuk  mengetahui  hubungan antara dua variabel yang memiliki skala ordinal (untuk statistik nonparametrik).

## 2.2 Copula
Copula adalah  suatu  fungsi  distribusi  bersama  dari  beberapa  fungsi  distribusi marjinal. Copula digunakan  untuk  menganalisis  kebergantungan  variable-variabel  acak dalam struktur yang digambarkan oleh fungsi gabungan tersebut  (Nelsen, 1998).

## 2.2.1 Copula Gauss
Berikut  adalah Copula Gauss  untuk  dua  variabel,  yang  dapat  dengan  mudah diperluas ke multivariabel (Schölzel & Friederichs, 2008).
Misalkan
 Bivariat Normal dan   dengan Pdf Gaussian Copula dinyatakan dalam persamaan (1) dengan u   , , an
adalah  distribusi  kumulatif  dan  didefinisikan sebagai normal standar. Maka Gaussian Copula dapat didefinisikan sebagai:
, , , , ,
, ,
Misal , s ehingga dapat dinyatakan sebagai:
, , , , , Jika : , , , , ,
misalkan
Sehingga Copula Gauss dapat dinyatakan sebagai  berikut.
dengan adalah fungsi distribusi kumulatif bersama normal multivariat dengan matriks kovariansi ,
invers cdf univariat normal baku, dan
. Selain itu Probability density function (pdf) dari adalah
dinyatakan dalam persamaan (3) yaitu:
dengan
Selanjutnya didapat:

## 2.2.2 Copula Gauss untuk Binding
Copula binding  dilakukan  untuk  menggabungkan  dua  atau  lebih Copula .  Khusus untuk Copula Gauss Bivariat, pdf dari Copula bisa ditulis dalam persamaan (4)
dengan cdf ( Cumulative distribution function ) dapat dinyatakan sebagai berikut

## 2.2.3 Prediksi Menggunakan Copula Gauss
Dalam  melakukan  prediksi  menggunakan copula  gauss dimiliki  formula  fungsi distribusi bersyarat dari error model AR-N.GARCH untuk
Misalkan , maka persamaan (5) dapat didefinisikan menjadi:
Karena pdf berdistribusi  normal baku, maka persamaan (5) dipastikan bernilai positif. Kemudian,  diperoleh  formula  fungsi  distribusi  bersyarat  dari  error  model  AR-N.GARCH untuk
bernilai positif.
Hubungan  antara
pdf  distribusi  normal  baku  dengan  pdf Copula dapat  dinyatakan sebagai berikut:
Misalkan diketahui peubah acak
ingin mengetahui prediksi nilai maka fungsi distribusi bersama bersyarat dari Y yaitu:
Dengan bentuk g k pada persamaan (7) seperti berikut :
dengan
Sehingga fungsi distribusi bersyarat dari Y menjadi:
Dengan mengubah funsi distribusi menjadi distribusi normal baku dan menggunakan Copula Gaussian maka persamaan menjadi:
Fungsi kepadatan peluang bersama dari Y dapat dinyatakan:
dengan
, j = 1, 2, , n .
Fungsi kepadatan peluang bersama dari Y (jika Y saling bebas):

## 2.3 Uji Kecocokan Data menggunakan PIT dan Uji KS
Menurut Probability  Integral  Transformation (PIT),  jika  X  suatu  peubah  acak kontinu dengan  fungsi  distribusi kumulatif maka Artinya adalah  jika  transformasi  memang  sesuai  dengan  distribusi  asli  dari  data,  kumpulan  nilai- nilai  fungsi  distribusi  kumulatif  yang  bersangkutan  akan  mendekati  distribusi Uniform(0,1). Untuk menguji apakah histogram dari nilai-nilai fungsi distribusi kumulatif berdistribusi Uniform(0,1) atau tidak, dapat digunakan uji KS.

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
S&P  100 adalah pasar  saham Amerika  Serikat  yang  dikelola  oleh Standard  & Poor. S&P 100 bagian dari S&P 500 yang termasuk 100 saham AS terkemuka. Konstituen dari  S  &  P  100  yang  dipilih  untuk  keseimbangan  sektor  dan  mewakili  sekitar  57%  dari kapitalisasi pasar S&P 500 dan hampir 45% dari kapitalisasi pasar dari pasar ekuitas AS. Sedangkan S&P 600 adalah istilah lain untuk indeks S&P small-cap 600 dan merupakan indeks saham yang berpengaruh pada perekonomian Amerika. Indeks saham ini diisi oleh saham-saham dari sekitar 600 perusahaan yang memiliki modal besar di Amerika Serikat. Indeks  saham  ini  dikelola  oleh  dan  di manage oleh  Standard  and  Poor’s,  sebuah  divisi keuangan  dari  McGraw-Hill  yang  merupakan  perusahaan  peringkat  atas  saham  dan obligasi. Dalam artikel ini, harga saham S&P 100 dan S&P 600 dimodelkan menjadi data time series, yang akan juga melibatkan Copula Gauss Multivariat.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1  Fungsi Distribusi Marginal dari Error Model AR(1)-N.GARCH(1,1) Berikut adalah plot error dan
yang diperoleh dari model AR(1)-N.GARCH(1,1)
(a) (b) Gambar 1 . Plot Data (a). AR(1)-N.GARCH(1,1), (b). AR(1)-N.GARCH(1,1)
Selanjutnya dilakukan fitting distribusi pada untuk mengetahui fungsi marginalnya yang diperoleh dari model AR-N.GARCH.
(a) (b)
Gambar 2. Plot Data (a).Fitting Distribusi Marginal Error SP100,
(b). Fitting Distribusi Marginal Error SP600
Dapat  dilihat  bahwa  secara  grafis  distribusi t diduga  cukup  sesuai  dengan dengan parameter sebagai berikut:

## Tabel 1. Estimasi Parameter

## Saham
Sp100 0,327187055631610    1,088556910692113  3,801952514914956 Sp600 0,385579999524267  1,079919890458092  2,871901167775360
Selanjutnya  akan  diuji  hipotesis  bahwa berdistribusi t dengan  menggunakan  metode KS untuk data berukuran besar. Statistik uji yang digunakan:

## dengan
Dalam  hal  ini,  digunakan  1000  nilai  KS  untuk  membangun  selang  kepercayaan,  yang masing-masingnya dihitung dengan membangkitkan 1000 data dari distribusi taksiran yang telah  diperoleh  sebelumnya.    Dengan  menggunakan  uji  1  arah,  diperoleh  selang kepercayaan dan statistik uji.
Tabel 2. Selang Kepercayaan dan Statistik Uji Data Data Selang kepercayaan (1,001 x 10 -4 ; 1,1935 x 10 -4 ) (1,360 x 10 -4 ; 1,433 x 10 -4 ) Statistik uji 1,166 x 10 -4 4,5032 x 10 -4
Nilai  ini  berada  pada  daerah  selang  kepercayaan.  Karena  itu,  hipotesis  bahwa  distribusi dari berasal dari distribusi t dengan parameter yang bersangkutan tidak ditolak.

## 4.2 Penentuan Parameter Copula Gaussian
Diperoleh h yang memaksimumkan fungsi likelihood sebagai berikut. Dalam hal ini, digunakan partisi sebesar 0,001 untuk setiap iterasi pencarian nilai
Tabel 3. Parameter Copula Gauss Saham h S&P 100 0,440 S&P 600 0,425
(a)
(b) Gambar 3. Plot Data (a). AR(1)-N.GARCH(1,1), (b). AR(1)-N.GARCH(1,1)
Misalkan
adalah nilai error untuk S&P 100  dan adalah nilai error untuk S&P 600 yang diperoleh dari model GARCH. Dari fitting distribusi yang telah dilakukan  menggunakan  metode  grafis  maupun  metode  K-S  diperoleh  masing-masing F dan G adalah  distribusi  student’s t .  Selanjutnya  akan  ditentukan  distribusi  bersyarat  nilai error dari model sebagai berikut.
untuk mendapatkan , digunakan h taksiran yang memaksimumkan likelihood yang telah diperoleh  sebelumnya.    Dengan  formula  yang  sama  juga  didapatkan
.
Misalkan
dan
dan yang berupa distribusi normal dengan mean dan variansi yang diperbarui untuk setiap hari ke- ,
. Berikut adalah scatter plot untuk dan
Gambar 4. Scatter Plot dan
Menurut Probability  Integral  Transformation (PIT),  jika  transformasi  memang  sesuai dengan  distribusi  asli  dari  data,  kumpulan  nilai-nilai  fungsi  distribusi  kumulatif  yang bersangkutan akan mendekati distribusi Uniform(0,1).
4.3 Copula Gauss untuk Binding Dengan menggunakan data dan , diperoleh Koefisien Korelasi Kendall’s Tau
. Ini berarti bahwa data-data dan memiliki korelasi yang cukup  kuat.  Diperoleh  pula  koefisien  korelasi  Pearson
ini berarti nilai korelasi yang sangat kuat.
Gambar 5. Kontur CDF Gaussian Copula
Copula Gauss cukup dapat mewakili nilai-nilai data. Akan tetapi, bagian ekor di nilai yang mendekati  (0,0)  dan  (1,1)  tidak  dapat  terwakili  oleh Copula Gauss.    Lalu,  dihitung  pula nilai . Dengan uji yang sama dengan sebelumnya, akan diuji bahwa nilai-nilai dari berdistribusi u . Diperoleh selang kepercayaan 95%: dengan nilai statistik uji
.  Nilai  statistik  uji  berada  di  dalam  selang  kepercayaan.  Jadi hipotesis  sebelumnya  tidak  ditolak.  Artinya  adalah  bahwa  berdasarkan  PIT,  data  dari dan sesuai dengan Copula ini.

## 4.4 Prediksi Harga Saham
Dengan  membangkitkan  sejumlah
nilai dan yang berdistribusi Copula Gauss dengan seperti yang telah diperoleh, lalu menginverskannya, kemudian  menghitung  nilai  peluang  bersama  menggunakan Copula Gauss binding dan multivariat, diperoleh scatter berikut:
Gambar 5. Scatter Plot Prediksi
Melihat adanya pencilan, untuk menentukan prediksi, tidak diambil pasangan nilai dan yang memaksimumkan nilai
.  Dengan batas atas dan batas bawah harga saham sebagai berikut:
Tabel 4 . Batas Bawah dan Batas Atas serta Realisasi Harga Saham Hari ke Harga saham SP100 Harga saham SP600 Batas bawah prediksi Batas atas prediksi Realisasi Batas bawah prediksi Batas atas prediksi Realisasi 1 2 3 4 5 6 7 818,2400 815,3143 814,1520 816,9508 817,8686 817,9478 819,6914 818,2400 823,1736 826,1092 825,0372 826,3063 827,4406 828,3053 818,2400 819,1815 820,1842 821,0508 821,9435 822,7367 823,6717 118,9000 118,3883 118,2700 118,6826 118,8427 118,6375 119,2001 118,9000 119,8828 120,3095 120,2398 120,5136 121,0621 120,9984 18,9000 19,1056 19,2714 19,4556 19,6509 19,8699 20,0663

## 5. KESIMPULAN
Prediksi  menggunakan Copula ini  dibangun  atas  tiga  hal  penting  yaitu  fungsi distribusi  marjinal,  fungsi  kernel,  dan  fungsi Copula .  Dalam  hal  ini,  digunakan Copula Gaussian  untuk  menghubungkan  data  yang  berkorelasi  dengan  waktu  dan  dengan himpunan data lainnya (dalam hal ini data return harga saham SP100 dan SP600).

## Acknowledgment
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Dr.Utriweni  Mukhaiyar,M.Si,  Ayu Shabrina,  Sumayyah  Roihanah  Thoyyibah  berkat  masukan  dan  kontribusi.  Penelitian  ini didukung  penuh  oleh  Lembaga  Pengelola  Dana  Pendidikan  (LPDP)  Kementerian Keuangan Republik Indonesia.

## DAFTAR PUSTAKA
Annisa,K.N. dan  Sutikno. 2015.  Analisis Hubungan Curah Hujan dan Indikator El-Nino Southern  Oscillation  di  Sentra  Produksi  Padi  Jawa  Timur  dengan  Pendekatan Copula. Jurnal Sains dan Seni ITS , Vol. 4, No.1, pp 2337-3520.
Arshad,  M.,  Rasool,  M.  T.  dan  Ahmad,  M.  2003.  Anderson  Darling  and  Modified Anderson  Darling  Tests  for  Generalized  Pareto  Distribution. Pakistan  Journal  of Applied Sciences , 3(2), pp 85-88. Berg,  D.  dan  Bakken,  H.  2006. Copula Goodness-of-fit  Tests:  A  comparative Study. The Norwegian Computing.
Caraka, R.E.,  Yasin,  H.  dan  Prahutama,  A.  2015.  Pemodelan  General  Regression  Neural Network  (GRNN)  Pada  Data Return Indeks  Harga  Saham  Euro  50. Journal Gaussian , Universitas Diponegoro, Vol. 4, No. 2, pp 181-192.
Caraka,  R.E.  dan  Yasin,  H.  2014.  Pemodelan  General  Regression  Neural  Network (GRNN)  Dengan  Peubah  Input  data  Return  Untuk  Peramalan  Indeks  Hang  Seng. Prosiding Seminar Nasional Ilmu Komputer (SNIK), Universitas Negeri  Semarang, ISBN: 978-602-71550-0-8, pp 283-288
Embrechts,  P.,  Lindskog,  F.  dan  McNeil,  A.  2001. Modelling  Dependence with  Copulas and  Application  to  Risk  Management. Switzerland.  Departement  of  Mathematics, ETHZ CH-8092 Zürich.
Genest,  C.  dan  Nešlehová,  J.  2010. Copulas : Introduction  to  the  Theory  and Implementation  in  R  with  Applications  in  Finance and Insurance. Universite  Laval and McGill University.
Genest,  C.  dan  Riverst,  L.  P.  1993.  Statistical  Inference  Procedures  for  Bivariate Archimedean  Copulas. Journal  of  the  American  Statistics  Association ,  pp  1034- 1043.
Mikosch,  T.  2008. Copulas : Tales  and  Facts. Denmark:  Laboratory  of  Actuarial Mathematics , University of Copenhagen, Universitetsparken 5, DK-2100. Mukhaiyar,  U.  2012. Pengenalan  Analisis  Deret  Waktu  (Time  Series  Analysis) .  Catatan kuliah. ITB
Murteira,  J.  M.  dan  Lourenço,  Ó.  D.  2007. Health  Care  Utilization  and  Self-Assessed Health: Specification of Bivariate Models Using Copulas . Health, Econometrics and Data Group.
Nelsen, R. B. 1998. An Introduction to Copulas Second Edition. USA. Springer. Schölzel,  C.,  dan  Friederichs,  P.  2008.  Multivariate  Non-Normally  Distributed  Random Variables  In  Climate  Research  –  Introduction  to  The  Copula  Approach. Nonlin. Processes Geophys , 15, pp 761–772. Shabrina, A. 2014. Analisis Model Proses Kopula Berdasarkan Kernel dan  Aplikasinya . Bandung. ITB.
Walpole,  R.  E.  2007. Probability  dan  Statistics  for  Engineers  dan  Scientists  Eighth Edition. London. Pearson Education LTD. Zhu, Y., Ghosh, S. K.  dan Goodwin, B. K. 2008. Modeling Dependence in the Design of Whole Insurance Contract -A Copula-Based Model Approach .