JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 3,  Tahun 2018, Halaman 293-302 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## COPULA FRANK PADA VALUE at RISK (VaR) PEMBENTUKAN PORTOFOLIO BIVARIAT
(Studi Kasus : Saham-Saham Perusahaan yang Meraih Predikat The IDX Top Ten Blue Tahun 2017 dengan Periode Saham 20 Oktober 2014 – 28 Februari 2018)
Juria Ayu Handini 1 , Di Asih I Maruddani 2 , Diah Safitri 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : maruddani@gmail.com

## ABSTACT
The capital market has an important role in society to invest in financial instruments. Investors can invest in the form of a portfolio that is  by combining several shares to  reduce the risk that will occur. Value at  Risk (VaR)  is  a  method  for  estimating  the  worst  risk  of  an  investment.  GARCH  (Generalized  Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) is used to model high-volatile stock data that causes residual variance is not constant. Copula theory is a powerful tool for modeling joint distributions because it does not require normality assumptions that are difficult to fulfill in financial data. Copula Frank has a feature that can identify positive and  negative  dependencies.  This  study  aims  to  measure  the  value  of  VaR  using  the  Frank-GARCH  copula method using stock returns data of PT Bank Rakyat Indonesia, Tbk (BBRI), PT Telekomunikasi Indonesia, Tbk  (TLKM),  and  PT.  Unilever  Indonesia,  Tbk  (UNVR)  for  the  period  20  October  2014  -  28  February. Bivariate  portfolio  pairs  obtained  namely  TLKM  and  UNVR  shares  because  they  have  the  highest  Rho Spearman  residual  correlation  value  of  ρ  =  0.3204.  Based  on  the  generation  of  data  using  Monte  Carlo simulations, the results of the calculation of Value at Risk (VaR) of 1.40% at the 90% confidence level, 1.89% at the 95% confidence level, and 2.79% at the 99% confidence level.
Keywords : Value at Risk, Frank copula, GARCH, Monte Carlo

## 1. PENDAHULUAN
Pasar modal memiliki peran penting bagi perekonomian suatu negara karena pasar modal  mempunyai  dua  fungsi,  yaitu  sebagai  sarana  bagi  pendanaan  usaha  atau  sebagai sarana bagi perusahaan untuk mendapatkan dana dari masyarakat pemodal (investor), dan sebagai sarana bagi masyarakat untuk berinvestasi pada instrumen keuangan seperti saham, obligasi, reksa dana, dan instrumen derivative lainnya.
Saham  adalah  tanda  penyertaan  atau  pemilikan  seseorang  atau  badan  dalam  suatu perusahaan  atau  perseroan  terbatas  (Darmadji,  2001).  Portofolio  saham  merupakan gabungan  dua  atau  lebih  saham  yang  terpilih  sebagai  investasi  dari  investor  pada  kurun waktu tertentu dengan suatu ketentuan tertentu.
Investor dapat memperkirakan  keuntungan yang akan diperoleh dan besarnya biaya yang akan dikeluarkan pada masa yang akan datang untuk mengendalikan risiko. Semakin baik perkiraan tersebut, maka akan semakin kecil varian yang akan terjadi, sehingga tingkat risikonya semakin kecil. Metode analisis resiko yang dapat digunakan adalah Value at Risk . Menurut  Best  (1998) Value  at  Risk (VaR)  adalah  suatu metode  pengukuran  risiko  secara statistik  yang  memperkirakan  kerugian  maksimum  yang  mungkin  terjadi  atas  suatu portofolio pada tingkat kepercayaan ( level of confidence ) tertentu.
Beberapa  peneliti  yang  telah  melakukan  penelitian  mengenai  VaR  adalah  Sofiana (2011) yang mengukur VaR dengan simulasi monte carlo pada saham PT Telekomunikasi Indonesia Tbk dan PT Unilever Indonesia Tbk. Selain itu, Hermansah (2017) mengestimasi VaR dengan distribusi normal untuk memprediksi return investasi . Hasil kedua penelitian tersebut VaR cukup baik digunakan untuk data return yang berdistribusi normal. Namun, bila data return saham tidak memenuhi asumsi normalitas, hal ini dapat berakibat estimasi
VaR  tidak  lagi  valid.  Sehingga  diperkenalkan  suatu  alat  yaitu  Copula  untuk  mengatasi masalah tersebut (Renggani et al. , 2017).
Konsep copula pertama kali diperkenalkan oleh Sklar di tahun 1959. Menurut Palaro dan Hotta (2006) teori copula adalah alat yang ampuh untuk memodelkan distribusi bersama karena tidak memerlukan asumsi normalitas bersama dan memungkinkan pemecahan setiap distribusi  bersama n -dimensi  ke  dalam  distribusi  marjinal n dan  sebuah  fungsi  copula. Copula  menghasilkan  distribusi  bersama  multivariat  yang  menggabungkan  distribusi marjinal dan ketergantungan antar variabel.
Copula Archimedean memiliki  beberapa  anggota  keluarga,  yaitu  copula  Clayton, copula Gumbel, dan copula Frank. Copula Frank cukup terkenal untuk beberapa alasan, yaitu copula Frank dapat menyatakan hubungan dependensi dalam positif ataupun negatif, struktur dependensi copula Frank simetris, dan cakupan jarak dependensi yang diijinkan sangat luas (Arna et al. , 2017). Selain itu copula Frank adalah bagian dari copula Archimedean yang paling  sering  digunakan  dan  merupakan  copula Archimedean yang  paling  dikenal  dalam menyelesaikan kasus empiris (Cherubini et al . , 2004). Salah satu metode copula yang sering digunakan  peneliti  adalah  metode  Copula-GARCH (Generalized  Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Metode GARCH digunakan untuk memodelkan data yang memiliki  volatilitas  tinggi  dan  nantinya  akan  dilanjutkan  analisis  dengan  menggunakan copula.
Maka  dari  itu  pada  penelitian  ini  akan  dilakukan  analisis  dengan  menggunakan copula  Frank-GARCH  dengan  tujuan  membentuk  portofolio  antara  dua  diantara  ketiga saham  tersebut  yang  memiliki  korelasi  residual  GARCH  tertinggi  agar  investasi  yang dilakukan memberikan nilai return optimal dengan risiko minimal.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Return Saham
Menurut Maruddani (2009), return dari suatu aset adalah tingkat pengembalian atau hasil yang diperoleh akibat melakukan investasi. Tsay (2005) menyatakan nilai return dapat dihitung dengan rumus Continuously Compounded Return (Log Return ) sebagai berikut : 𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1
dengan  P t adalah  harga  saham  periode  sekarang  dan  P t-1 adalah  harga  saham  periode sebelumnya. Secara matematis, return portofolio dari n aset pada waktu ke- t dapat ditulis sebagai berikut :
𝑅 𝑝𝑡 =   ∑ 𝑤 𝑖 𝑛 𝑖=1 . 𝑅 𝑖,𝑡 (1)
dengan 𝑅 𝑝𝑡 adalah return portofolio pada waktu ke- 𝑡 , 𝑤 𝑖 adalah bobot setiap alokasi dana untuk aset tunggal ke- 𝑖 dan 𝑅 𝑖𝑡 adalah return aset ke- 𝑖 pada waktu ke- 𝑡 .

## 2.2. Analisis Runtun Waktu
a. Stasioneritas
Langkah awal yang dilakukan dalam analisis runtun waktu adalah dengan melakukan uji stasioneritas terhadap data runtun waktu. Jika suatu deret waktu Zt stasioner maka nilai tengah (mean) , varian dan kovarian deret tersebut tidak dipengaruhi oleh berubahnya waktu pengamatan, sehingga proses berada dalam keseimbangan statistik (Soejoeti, 1987).
Untuk menghilangkan ketidakstasioneran dalam varian dengan cara transformasi Box- Cox,  yaitu  transformasi  data  dan  akan  dihasilkan  nilai  λ  tertentu  sesuai  dengan  bentuk
transformasinya. Bentuk umum transformasi Box-Cox yaitu :
𝑦 = { 𝑥 𝜆 − 1 𝜆 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 ≠ 0

## ln(𝑥) , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜆 = 0
Secara uji formal uji stasioneritas dalam mean dapat diperiksa dengan mencari apakah data runtun waktu mengandung akar unit menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller .
b. Model Box-Jenkins
Model  Box-Jenkins  merupakan  pemodelan  data  runtun  waktu  yang  diperkenalkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1970. Berikut merupakan model runtun waktu :
- Model Autoregressive (AR)
𝑍 𝑡 =   𝜙 1 𝑍 𝑡−1 +  𝜙 2 𝑍 𝑡−2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑍 𝑡−𝑝 +  𝑎 𝑡
- Model Moving Average (MA)
𝑍 𝑡 =   𝑎 𝑡 + 𝜃 1 𝑎 𝑡−1 + ⋯ + 𝜃 𝑞 𝑎 𝑡−𝑞
- Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) 𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 =   𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡
Tahapan  pemodelan  ARIMA  adalah  mengidentifikasi  model,  mengestimasi  parameter, kemudian  melakukan  verifikasi  model  dengan  pengujian  independensi  residual  dan normalitas residual.
2.3. Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) Model ini digunakan untuk mengatasi orde  yang terlalu besar pada model ARCH.
Menurut Tsay (2005) bentuk umum model GARCH( 𝑝, 𝑞 ) : 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 𝑖 𝑝 𝑖=1 𝑎 𝑡−𝑖 2 + ∑ 𝛽 𝑗 𝑞 𝑗=1 𝜎 𝑡−𝑗 2
(27)
Koefisien-koefisien dari model GARCH ( 𝑝, 𝑞 ) bersifat : 1. 𝛼 0 > 0
2. 𝛼 𝑖 ≥ 0 untuk i = 1,2,..., 𝑝 3. 𝛽 𝑗 ≥ 0 untuk j = 1,2,…, 𝑞
4. ∑ ∑ (𝛼 𝑖 +  𝛽 𝑗 ) < 1 𝑞 𝑗=1 𝑝 𝑖=1
Kondisi 1, 2, dan 3 diperlukan agar 𝜎 𝑡 2 > 0. Kondisi 4 diperlukan agar model bersifat stasioner (Rosadi, 2012).

## 2.4. Uji ARCH-LM
Uji Lagrange Multiplier (LM) merupakan merupakan suatu uji terhadap kehadiran unsur heterokedasticity . Uji ini merupakan salah satu cara untuk mengetahui adanya efek ARCH/GARCH yang diperkenalkan oleh Engle (Tsay, 2005). Berikut merupakan langkah pengujian hipotesis untuk mengetahui ada atau tidaknya efek ARCH/GARCH : Hipotesis :
H 0 : 𝜏 1 = 𝜏 2 = ... = 𝜏 𝑚 = 0 (tidak ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke- m )
H 1 : minimal ada satu nilai 𝜏 𝑖 ≠ 0 , i = 1, 2, ..., m (ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke- m ) Statistik Uji : 𝐿𝑀 = 𝑁𝑅 2 ~𝜒 𝑚 2
𝑅 2 = 𝐽𝐾𝑅 𝐽𝐾𝑇 = ∑ (𝑎 𝑡 2 ̂ −𝑎 𝑡 2 ̅̅̅̅) 2 𝑚 𝑡=1 ∑ (𝑎 𝑡 2 −𝑎 𝑡 2 ̅̅̅̅) 2 𝑚 𝑡=1
Kriteria uji :
H 0 ditolak jika nilai LM > 𝜒 (α,𝑚) 2 atau p-value < α

## 2.5. Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan model terbaik dilakukan dengan menduga kualitas dari model dugaan, salah satu caranya adalah menggunakan nilai Akaike’s Information Criterion (AIC). Model yang  terbaik  adalah  model  yang  memiliki  nilai  AIC  yang  minimal.  Rumus  untuk memperoleh nilai AIC ditulis sebagai berikut (Wei, 2006):
𝐴𝐼𝐶(𝑘) = 𝑛 ln 𝜎̂ 𝑎 2 + 2𝑘

## 2.6. Copula
Copula Archimedean memiliki 3 kelompok penting  yang disebut dengan keluarga Gumbel, Frank dan Clayton. Keluarga copula Archimedean paling banyak digunakan dalam kasus bivariat.
Menurut  Nelsen  (2006)  Copula  Archimedean  yang  memiliki d dimensi,  dapat didefinisikan dengan :
𝐶(𝑢 1 , … , 𝑢 𝑑 ) = 𝜑 −1 (𝜑(𝑢 1 ) + ⋯ + 𝜑(𝑢 𝑑 )) (35)
Fungsi 𝜑 disebut  sebagai  generator  copula,  dengan  asumsi  bahwa  generator 𝜑 hanya memiliki satu parameter, yaitu 𝜗 .
Fleksibilitas copula Archimedean diberikan oleh fungsi 𝜑 , misal dari copula Clayton, Frank dan Gumbel (Cherubini et al . ,  2004) adalah sebagai berikut. 𝜑(𝑢) = 𝑢 −𝜗 − 1 , 𝜗 > 0 (Clayton)
(36)
𝜑(𝑢) = ln ( 𝑒 (−𝜗𝑢) −1 𝑒 −𝜗 −1 ) , 𝜗 > 0 (Frank) (37)
𝜑(𝑢) = (− ln(𝑢)) 𝜗 , 𝜗 > 1 (Gumbel) (38)
Untuk fungsi copula Archimedean pada kasus bivariat dapat ditulis sebagai berikut. 𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝜑 −1 (𝜑(𝑢 1 ) + 𝜑(𝑢 2 ))
a. Uji Struktur Dependensi
Uji  struktur  dependensi  dilakukan  untuk  mengetahui  adanya  dependensi  di  antara masing-masing variabel dalam sebuah pemodelan distribusi bersama. Misalkan terdapat d variabel X i ,...,X d dan  data  terdiri  dari x i =(x i1 ,...,x id ) untuk i=1,...,n dimana  jumlah  sampel adalah n dan y i berdistribusi i.i.d maka langkah pemodelan dependensi adalah membentuk model univariat untuk masing-masing variabel x i ,...x d selanjutnya membentuk model copula untuk dependensi dari d variabel.
Uji korelasi Rho Spearman dilakukan dengan hipotesis yang digunakan adalah: Hipotesis:
𝐻 0 ∶  𝜌 = 0 (tidak ada korelasi antara 𝑋 1 dan 𝑋 2 ) 𝐻 1 ∶  𝜌  ≠ 0 (ada korelasi antara 𝑋 1 dan 𝑋 2 ) Statistik Uji :
Koefisien korelasi Rho Spearman , yaitu:
𝜌 = 1 − 6Σ𝑑 2 𝑁(𝑁 2 −1) Kriteria Penolakan : Tolak 𝐻 0 jika p-value < 𝛼
b. Transformasi Uniform [0,1]
Menurut Cherubini et al. (2004) , transformasi merupakan langkah awal yang dilakukan untuk melakukan analisis terhadap copula. Variabel random terlebih dahulu ditransformasi
ke domain [0,1]. Transformasi data asli ke domain [0,1] dilakukan pembuatan scatterplot transformasi [0,1] dengan membuat rank plot untuk setiap variabel random sebagai berikut:
(( 𝑟𝑎𝑛𝑘 1 (𝑖) 𝑛+1 , 𝑟𝑎𝑛𝑘 2 (𝑖) 𝑛+1 )) , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 (45)
dengan 𝑟𝑎𝑛𝑘 1 (𝑖) = rank 𝑋 1 ke- 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑘 2 (𝑖) = rank 𝑋 2 ke- 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
c. Copula Frank
Diketahui fungsi generator copula Frank dan invers fungsi generator copula Frank 𝜑(𝑢) = − ln 𝑒 −𝜗𝑡 −1 𝑒 −𝜗 −1 , 𝜗𝜖ℝ\{0}
(47)
dengan  fungsi  generator  diatas,  akan  menghasilkan  masing-masing  fungsi  distribusi kumulatif  copula Frank sebagai berikut:
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = − 1 𝜗 ln (1 + (𝑒 −𝜗𝑢1 −1)(𝑒 −𝜗𝑢2 −1) 𝑒 −𝜗 −1 )
d. Estimasi Copula Frank
Menurut  Cherubini et  al. (2004)  satu  –  satunya  teori  yang  dapat  digunakan  untuk mendapatkan estimasi parameter copula yakni menggunakan metode Maximum Likelihoood Estimation (MLE).  Bentuk  fungsi  likelihood 𝐿 dalam  kasus  bivariat  dapat  ditulis  sebagai berikut
𝐿 = ∏ 𝑐 𝑢 1 ,𝑢 2 2 𝑖=1 {𝐹 1 (𝑥 1 ), 𝐹 2 (𝑥 2 )} 𝑓 1 (𝑥 1 )𝑓 2 (𝑥 2 ) (50)
Dapat diuraikan menjadi ln 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 ; 𝜗, 𝜌) = ln 𝑐(𝐹 1 (𝑥 1; 𝜗), 𝐹 2 (𝑥 2; 𝜗) , ; 𝜌) + 𝑙𝑛 𝑓 1 (𝑥 1; 𝜗) + 𝑓 2 (𝑥 2; 𝜗) (51) Dalam  penyelesaian  persamaan  (50)  dan  (51)  tidak  dapat  diperoleh  bentuk closed  form , namun  dapat  diselesaikan  dengan  cara  perhitungan  numerik  dengan  pendekatan Rho Spearman.

## 2.7. Value at Risk (VaR)
Menurut  Jorion  (2002), Value  at  Risk (VaR)    merupakan  alat  ukur  yang  dapat menghitung besarnya kerugian terburuk yang dapat terjadi dengan mengetahui posisi asset, tingkat  kepercayaan  akan  terjadinya  risiko,  dan  jangka  waktu  penempatan asset ( time horizon ).
Menurut  Maruddani  dan  Purbowati  (2009)  menghitung  nilai  VaR pada  tingkat kepercayaan (1 – α) dalam periode waktu t hari, yaitu : 𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑊 0 𝑅 ∗ √𝑡 (52)
dimana :
𝑊 0 = dana investasi awal aset atau portofolio 𝑅 ∗ = nilai kuantil ke-α dari distribusi return 𝑡 = periode waktu

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah 825 data sekunder harga penutupan ( closing price ) saham harian. Data saham yang digunakan meliputi 3 perusahaan yaitu PT. Bank Rakyat Indonesia,Tbk (BBRI), PT. Telekomunikasi Indonesia,Tbk (TLKM), dan PT. Unilever  Indonesia,Tbk  (UNVR)  pada  periode  20  Oktober  2014  –  28  Februari  2018. Masing-masing  data  harga  penutupan  saham  tersebut  dapat  diakses  pada  situs www.finance.yahoo.com .
Langkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan analisis data estimasi VaR dari portofolio ketiga saham menggunakan metode Monte Carlo dengan  copula Frank-GARCH adalah:
1. Menghitung nilai return saham dari ketiga harga saham.
2. Menganalisis secara deskriptif ketiga return saham.
3. Melakukan pengujian kestasioneran data dalam varian dengan menggunaan uji Box-Cox serta pengujian kestasioneritasan dalam mean dengan menggunakan plot time series dan uji Augmented Dickey-Fuller .
4. Setelah  dinyatakan  stasioner  maka  dilanjutkan  dengan  membuat  plot  ACF  dan  PACF untuk menentukan order untuk mendapatkan model sementara.
5. Melakukan estimasi dan pengujian signifikansi parameter.
6. Melakukan uji asumsi yang meliputi uji independensi residual, uji normalitas model, dan uji homoskedastisitas.
7. Memilih pemodelan ARIMA terbaik berdasarkan kriteria AIC.
8. Melakukan identifikasi model ARCH/GARCH kemudian dilakukan pengujian distribusi normal pada residual GARCH (1,1).
9. Menghitung  semua  korelasi  antar  variabel  kemudian  dipilih  korelasi  yang  tertinggi dengan korelasi Rho Spearman .
10. Membentuk dan mengombinasikan residual GARCH (1,1) ke copula Frank.
11. Melakukan estimasi VaR menggunakan pembangkitan data dari copula Frank dengan simulasi Monte Carlo
12. Membuat kesimpulan dari hasil analisis berdasarkan hasil VaR dari kombinasi saham didapatkan nilai VaR dengan selang kepercayaan (1-α) dengan taraf signifikansi α.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Deskripsi Data
Analisis deskriptif dilakukan untuk mengetahui karakteristik return aset saham yang meliputi PT. Bank Rakyat Indonesia,Tbk (BBRI), PT. Telekomunikasi Indonesia,Tbk (TLKM), dan PT.  Unilever Indonesia,Tbk (UNVR) pada periode 20 Oktober 2014 hingga 28 Februari 2018. Gambar 1 merupakan plot runtun waktu return ketiga saham tersebut.
-.08 -.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 .08 100 200 300 400 500 600 700 800 BBRI -.08 -.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 .08 .10 100 200 300 400 500 600 700 800 UNVR -.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 .08 100 200 300 400 500 600 700 800 TLKM (BBRI) (UNVR)                                  (TLKM) Gambar 1. Plot Runtun Waktu Return Saham
Analisis deskriptif untuk ketiga return saham disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Statistika Deskriptif dari Return Saham BBRI, UNVR, dan TLKM Variabel BBRI UNVR TLKM Mean 0,000690 0,000664 0,000414 Standar Deviasi 0,018118 0,015893 0,014925 Minimum -0,074464 -0,063776 -0,056457 Maksimum 0,075986 0,087256 0,072925 Skewness -0,048544 0,274754 0,173614 Kurtosis 5,466944 5,483289 5,676425

## 4.2 UJI STASIONERITAS DATA
Pengujian  stationeritas  data  merupakan  langkah  awal  yang  dilakukan  sebelum mengidentifikasi model runtun waktu. Adapun uji stasioneritas data ini dimulai dengan uji stasioneritas dalam varian terlebih dahulu dan kemudian dilanjutkan dengan uji stasioneritas dalam mean. Uji  stasioneritas  dalam  varian  dilakukan  dengan  menggunakan  transformasi Box-Cox.  Nilai rounded  value pada return saham  BBRI,  UNVR,  dan  TLKM  masing  – masing bernilai 1. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga return saham tersebut stasioner dalam  varian.  Uji  stasioner  dalam  mean  dilakukan  dengan  menggunakan  uji Augmented Dickey Fuller. Nilai statistic t yang dihasilkan dari return saham BBRI sebesar -14,62457 dengan p-value sebesar  0,0000, return saham  UNVR  sebesar  -18,97874  dengan p-value sebesar 0,0000, dan pada return saham TLKM sebesar  -17,90489 dengan p-value sebesar 0,0000.  Sehingga  dapat  disimpulkan  data  return  ketiga  saham  memenuhi  asumsi kestasioneran baik dalam varian maupun dalam mean.

## 4.3 Identifikasi Model
Penentuan orde AR dan orde MA menggunakan plot fungsi autoregresif (ACF) dan fungsi  autoregresif  parsial  (PACF).  Plot  ACF  terputus  pada  lag  ke- k apabila  nilai  fungsi autokorelasi (𝑟̂ 𝑘 ) melebihi garis batas signifikansi, sedangkan plot PACF terputus pada lag ke- k apabila nilai fungsi autokorelasi parsial (𝑟̂ 𝑘𝑘 ) . Model ARIMA terbaik dapat ditentukan dengan melihat nilai AIC terkecil model ARIMA, berikut merupakan model ARIMA terbaik yang dihasilkan :
BBRI  : ARIMA ([1],0,[2]) UNVR : ARIMA (0,0,[1,3]) TLKM : ARIMA (0,0,[1,2,4])

## 4.4 Uji ARCH-LM
Uji Lagrange Multiplier (LM) digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya efek ARCH/GARCH pada residual model ARIMA. Adapun hasil pengujian disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai Statistik Uji Lagrange Multiplier (LM) Saham Model P-value BBRI ARIMA ([1],0,[2]) 0,000 UNVR ARIMA (0,0,[1,3]) 0,000 TLKM ARIMA (0,0,[1,2,4]) 0,000
Dengan taraf signifikansi α=5%, menolak H0 sehingga disimpulkan bahwa residual model ARIMA pada return saham BBRI, UNVR, dan TLKM terdapat efek ARCH/GARCH dan kemudian dapat dibentuk model GARCH.

## 4.5 Pemodelan GARCH (1,1)
Model GARCH awal yang terbentuk pada saham BBRI adalah  ARIMA ([1],0,[2]) GARCH  (1,1),  saham  UNVR  adalah  ARIMA  (0,0,[1,3])  GARCH  (1,1)  dan  pada  saham TLKM  adalah  ARIMA  (0,0,[1,2,4])  GARCH  (1,1).  Setelah  dilakukan  perbaikan  model karena terdapat parameter yang tidak signifikan, maka model  GARCH yang optimal untuk saham  BBRI  adalah  ARIMA  (0,0,[2])  GARCH  (1,1),  saham  UNVR  adalah  ARIMA (0,0,[1,3]) GARCH (1,1) dan pada saham TLKM adalah ARIMA (0,0,[1,2,4])GARCH (1,1) dengan persamaan model mean dan varian yang dihasilkan sebagai berikut :
a. BBRI
𝑍 𝑡 = −0,08378 𝑎 𝑡−2 + 𝑎 𝑡
𝜎 𝑡 2 = 0,00001 + 0,097774 𝑎 2 𝑡−1 + 0,874638 𝜎 𝑡−1 2
b. UNVR
𝑍 𝑡 = −0,144974 𝑎 𝑡−1 − 0,101632 𝑎 𝑡−3 + 𝑎 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,000004 + 0,047253 𝑎 2 𝑡−1 + 0,936737 𝜎 𝑡−1 2
c. TLKM
𝑍 𝑡 = −0,085579 𝑎 𝑡−1 − 0,156018 𝑎 𝑡−2 − 0,075063 𝑎 𝑡−4 + 𝑎 𝑡
𝜎 𝑡 2 = 0,000057 + 0,186539𝑎 2 𝑡−1 + 0,553380 𝜎 𝑡−1 2
Setelah didapatkan model dari masing-masing saham, langkah selanjutnya yakni pengujian normalitas  pada  residual  yang  dihasilkan  dari  masing-masing  model  menggunakan  uji Jarque Bera dan didapatkan kesimpulan bahwa residual model ARIMA GARCH (1,1) pada semua saham tidak berdistribusi normal.

## 4.6 Copula
Residual    pada    model  ARIMA  GARCH  (1,1)  yang  tidak  berdistribusi  normal selanjutnya diatasi dengan menggunakan copula sebelum melakukan estimasi nilai Value at Risk (VaR).
a. Menentukan Struktur Dependensi Uji Stuktur dependensi dilakukan dengan menggunakan Uji Rho Spearman. Pasangan saham yang akan digunakan untuk memodelkan copula adalah residual pasangan saham yang memiliki koefisien korelasi tertinggi. Saham TLKM dan UNVR memiliki residual dengan koefisien korelasi tertinggi sebesar 0,3203765.
b. Transformasi Uniform [0,1]
Transformasi  merupakan  langkah  awal  yang  dilakukan  untuk  melakukan  analisis terhadap copula. Data residual yang telah diperoleh dibuat plot terlebih dahulu untuk melihat sebaran titik data seperti yang disajikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Scatter Plot Residual Model GARCH (1,1) UNVR dan TLKM Pada  Gambar  2  terlihat  bahwa  plot  tidak  menunjukan  copula  Frank  karena  adanya sebaran  titik  yang  terkonsentrasi  pada  interval  tertentu.  Kemudian  setelah  dilakukan transformasi uniform [0,1] dapat dilihat sebaran titik data pada Gambar 3.
Gambar 3. Scatter Plot Residual model GARCH (1,1) UNVR dan TLKM
pada Transformasi Uniform [0,1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 Scatter Plot Residual Garch Transformasi trans_unvr tr a n s_ tl km
Pada Gambar 3 terlihat bentuk scatter plot setelah di transformasi menunjukkan adanya sebaran titik yang tidak hanya terkonsentrasi pada bagian ujung bawah saja melainkan juga  terkonsentrasi  pada  bagian  ujung  atas.  Hal  ini  mengindikasikan  adanya tail dependence bagian atas dan bawah yakni copula Frank
c. Estimasi Parameter Copula Estimasi copula dihitung dengan menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan  menggunakan  nilai  korelasi  Rho  Spearman  dari  residual  model  ARIMA GARCH  (1,1)  saham  UNVR  dan  TLKM  yakni  sebesar 𝜌̂ = 0,3203765 .  Didapatkan estimasi  parameter  copula  Frank 𝜗̂ = 2,025 .  Sehingga  model  copula  Frank  untuk residual ARIMA GARCH (1,1) saham UNVR dan TLKM adalah
𝐶 1,183 𝐹𝑟 (𝑢 1 𝑢 2 ) =   − 1 2,025 ln (1 + (𝑒 −2,025𝑢 1 − 1)(𝑒 −2,025𝑢 2 − 1 𝑒 −2,025 − 1 )
Nilai 𝜗̂ > 0 menunjukan copula memiliki dependensi positif yang artinya jika residual model  GARCH  (1,1)  saham  UNVR  naik,  maka  residual  model  GARCH  (1,1)  saham TLKM akan naik.

## 4.7 Estimasi Value at Risk (VaR)
Value at Risk (VaR) dihitung dengan Simulasi Monte Carlo dengan membangkitkan 824 data bangkitan yg berasal dari model copula Frank yang telah dihasilkan dengan 1000 kali perulangan, 2000 kali perulangan dan 3000 kali perulangan serta tingkat kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Hasil estimasi nilai VaR ditampilkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai Prediksi VaR t = 1 Hari dengan Bobot 0,5 Jumlah perulangan Tingkat kepercayaan 99% 95% 90% 1000 -0,02793519 -0,01886483 -0,01400994 2000 -0,02780772 -0,01885294 -0,01403064 3000 -0,02790626 -0,018875 -0,01405387 Rata-rata -0,027883 -0,01886425 -0,01403

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang diikemukakan dalam Tugas Akhir ini, maka dapa diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Data return saham  PT.  Bank  Rakyat  Indonesia  (Persero),  Tbk  (BBRI),  PT. Unilever  Indonesia,  Tbk  (UNVR),  dan  PT.  Telekomunikasi  Indonesia,  Tbk (TLKM) periode 20 Oktober 2014 hingga 28 Februari 2018 stasioner dalam mean karena rata-rata pengamatan berada pada satu nilai konstan (nol) serta memiliki nilai p- value yang kurang dari 5% yaitu 0,000 pada uji Augmented Dickey-Fuller dan  stasioner  dalam  varian  karena  ketiga  nilai 𝜆 = 1 sehingga  tidak  perlu dilakukan transformasi pada transformasi Box-Cox.
2. Pemodelan ARIMA-GARCH pada data return saham BBRI, UNVR, dan TLKM didapatkan sebagai berikut.
a. BBRI :
𝑍 𝑡 = −0.08378 𝑎 𝑡−2 + 𝑎 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,00001 + 0.097774 𝑎 2 𝑡−1 + 0.874638 𝜎 𝑡−1 2
b. UNVR :
𝑍 𝑡 = −0,144974 𝑎 𝑡−1 − 0,101632 𝑎 𝑡−3 + 𝑎 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,000004 + 0,047253 𝑎 2 𝑡−1 + 0,936737 𝜎 𝑡−1 2
c. TLKM :
𝑍 𝑡 = −0.085579 𝑎 𝑡−1 − 0.156018 𝑎 𝑡−2 − 0.075063 𝑎 𝑡−4 + 𝑎 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,000057 + 0,186539𝑎 2 𝑡−1 + 0,553380 𝜎 𝑡−1 2
3. Kombinasi saham UNVR dan TLKM dipilih karena memiliki koefisien korelasi residual  tertinggi  berdasarkan  uji  korelasi Rho  Spearman yaitu 𝜌̂ = 0.3204 . Estimasi parameter copula Frank diperoleh berdasarkan metode MLE, diperoleh parameter 𝜗̂ = 2.025 . Sehingga didapatkan model copula Frank sebagai berikut :
𝐶 1,183 𝐹𝑟 (𝑢 1 𝑢 2 ) =   − 1 2,025 ln (1 + (𝑒 −2,025𝑢 1 − 1)(𝑒 −2,025𝑢 2 − 1 𝑒 −2,025 − 1 )
4. Besar  risiko  yang  diperoleh  dari  perhitungan Value  at  Risk (VaR)  dengan  metode copula  Frank-GARCH  menggunakan  simulasi  Monte  Carlo  pada  tingkat kepercayaan  99%  sebesar  -0,027883,  pada  tingkat  kepercayaan  95%  sebesar  - 0,01886425,  dan  pada  tingkat  kepercayaan  90%  sebesar  -0,01403.  Artinya  jika investor  menanamkan  modalnya  sebesar  Rp.  100.000.000,00  maka  pada  tingkat kepercayaan  99  %  kerugian  maksimalnya  dapat  mencapai  Rp.2.788.300,00,  pada tingkat kepercayaan 95 % kerugian maksimalnya dapat mencapai Rp.1.886.425,00, serta  pada  tingkat  kepercayaan  90  %  kerugian  maksimalnya  dapat  mencapai Rp.1.403.000,00 dalam prediksi waktu satu hari.

## DAFTAR PUSTAKA
Arna, N.U.S, Raupong dan  Anisa. 2017. Pemodelan Dependensi Distribusi Variabel Non Gaussian  Dengan  Copula  Frank  Menggunakan  Korelasi  Rho  Spearman. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Hasanuddin. Makassar.
Best,  P.W,  .1998). Implementing  Value  at  Risk .  West  Sussex:  John  Wiley  &  Sons Inc.
Cherubini, U., Luciano, E., dan Vecchiato, W. 2004. Copula Methods in Finance . Canada : Wiley.
Darmadji, T . dan Fakhruddin, H. 2001 . Pasar Modal di Indonesia Pendekatan Tanya Jawab . Jakarta : Salemba Empat. Hermansah. 2017. Estimasi Value at Risk Dengan Distribusi Normal Untuk Memprediksi Return Investasi . Jurnal Mercumatika, Vol.1, No. 2 : Hal. 92-96. Maruddani, D.I.A, dan Purbowati, A. 2009. Pengukuran Value at Risk pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo . Jurnal Media Statistika. Vol. 2(2): 93- 104. Undip: Semarang. Palaro,  H.  P.  dan  Hotta,  L.  K.  2006. Using  Conditional  Copula  to  Estimate Value at Risk. Journal of Data Science, No. 4 : hal. 93-115. Renggani, Pintari dan Subekti. 2017. Estimasi Value at Risk (VaR) Pada Portofolio Dengan Metode  Elliptical  Copula. Seminar  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika  UNY 2017. Universitas Negeri Yogyakarta. Yogyakarta.
Rosadi,  D.  2012. Ekonometrika  dan  Analisis  Runtun  Waktu  Terapan  dengan  Eviews . Yogyakarta : Andi Offset.
Soejoeti, Z. 1987. Analisis Runtun Waktu . Jakarta: Karunika. Sofiana, N. 2011. Pengukuran Value at Risk Pada Portofolio dengan Simualsi Monte Carlo . Skripsi .    Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam.  Universitas  Negeri Yogyakarta. Yogyakarta.
Tsay, R.S. 2005. Analysis of Financial Time Series . Canada: John Wiley and Sons, Inc. Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods .  Canada: Addison Wesley Publishing Company.