Fungsional Aditif Ortogonal pada W 0 (E) di dalam R n

## Riyadi
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sebelas Maret

## Abstract
This paper discusses about a representation theorem of an orthogonally additive functional on  W 0 (E)  M (E),  that  is  a  collection  of  all  McShane  integrable  functions  on  a  cell  E=   b a , in Euclidean space R n , which satisfies some certain properties. This result is a generalization of Chew result.
Key words : orthogonally additive functional, McShane integrable, Euclidean space R n .

## PENDAHULUAN
Penelitian yang membahas tentang fungsional linear dan fungsional aditif ortogonal telah banyak dilakukan oleh para peneliti terdahulu, diantaranya telah dilakukan oleh Hildebrandt (1966), Chew (1985), Paredes (1993) dan Aye dan Lee (2002a, 2002b, 2003). Chew (1985) dan Lee (1989) membahas tentang representasi fungsional linear dan fungsional aditif orthogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang terintegral Henstock, yang didefinisikan pada interval [a,b]  R . garis lurus. Sedangkan Paredes (1993) berhasil menggeneralisasikan hasil-hasil yang diperoleh Chew dengan cara mengembangkan ruang fungsi baru yang merupakan abstraksi dari ruang fungsi yang telah didefinisikan Chew, namun ruang fungsi tersebut juga masih didefinisikan pada interval [a,b]  R .
Hildebrandt (1966) membahas tentang representasi fungsional linear kontinu pada ruang
BV[a,b], ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b].  Sedangkan, Aye dan
Lee (2002a, 2002b, dan 2003) membahas tentang fungsional aditif ortogonal yang bekerja pada ruang fungsi yang bervariasi terbatas yang didefinisikan pada [a,b].
Makalah ini merupakan generalisasi dari hasil Chew (1985), khususnya generalisasi tentang representasi fungsional aditif ortogonal pada ruang fungsi W 0 dengan :
W o =     
         x f x m f x untuk 0 1 : , 1 1
yang semula didefinisikan pada ruang fungsi yang terintegral Lebesgue yang didefinisikan pada interval [a,b]  R digeneralisasikan untuk ruang fungsi yang terintegral McShane yang
didefinisikan pada sel   b a , di dalam ruang Euclide R n .

## TEORI-TEORI DASAR
Fungsional T pada ruang fungsi X dikatakan aditif ortogonal jika T ( f + g ) = T ( f ) + T ( g )
asalkan f , g  X, f dan g mempunyai support yang saling asing. Support fungsi f  X, ditulis supp( f ) didefinisikan supp( f )=  x  dom( f ) : f ( x )  0  .
Berdasarkan pengertian ini diperoleh bahwa dua fungsi f dan g dikatakan mempunyai support yang saling asing jika f ( x ) g ( x )=0 untuk setiap x .
Dalam makalah ini, R menyatakan koleksi semua bilangan real, P (E) menyatakan koleksi semua partisi Lebesgue pada E dan M (E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral
McShane pada sel E=   b a , . Telah diketahui bahwa M (E) merupakan ruang linear dan ruang integral mutlak.
Teorema 2.1.
Diketahui E=   b a , sel dan M (E) menyatakan koleksi semua fungsi yang terintegral McShane
pada sel E. Jika f  M (E) maka terdapat barisan fungsi sederhana   n s pada E sehingga
    x f x
s n  hampir di mana-mana pada E untuk n  dan f s n  untuk semua n.
Teorema 2.2.
Diketahui E=   b a , sel  dan n f , f : E  R untuk setiap n. Jika :
(i) f f n  hampir di mana-mana untuk n   dan n f  M (E) untuk setiap n.
(ii) M f n  hampir di mana-mana pada E untuk setiap n dan suatu bilangan M  0.
maka  f  M (E) dan      E E n n f f lim .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Karakteristik Ruang Fungsi W o (E)
Di  dalam  makalah  ini, R n menunjukkan  ruang  Euclide  dimensi n , R menunjukan  sistem bilangan  real  dan R menunjukan  sistem  bilangan  real  yang  diperluas.  Diketahui   n b b b b , , , 2 1    R n , b dikatakan menuju tak hingga, ditulis b   , jika min   i b .
Definisi 3.2.
Diketahui E =   b 1 ,  R n dengan b > 1 dan f :   b 1 ,  R fungsi terukur dan terintegral McShane pada   b 1 , . Didefinisikan ruang W 0 (E) sebagai berikut :
W 0 (E) =                 b b f b 1 M f 1 0 ] , 1 [ 1 lim : ,  .
Teorema 3.3.
W 0 (E) merupakan ruang Banach terhadap norma
           b 1 1 b f b 1 1 sup f : ] , [  .
Bukti : Dalam hal in hanya akan ditunjukkan bahwa W 0 (E) lengkap. Ambil sebarang barisan Cauchy   n f  W 0 (E), yaitu untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N 1 sehingga jika n,m
 N 1 berlaku n m f f  < 2  .
Ambil  sembarang x  E,  selanjutnya  dibentuk  partisi  McShane P =      , I sehingga x merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi f m , f n  M (E) dan M (E) merupakan ruang linear maka f m - f n  M (E),  dan  karena M (E)  ruang  integral  mutlak  maka  | f m - f n |  M (E).  Oleh  karena  itu
untuk setiap bilangan  > 0 terdapat fungsi positip  pada E sehingga untuk setiap partisi McShane P =      , I pada E berlaku :
   
           E n m m m I f f P d x f x f     <   2 E                      E n m m m I f f P E 1 d x f x f E 1       < 2 
   E 1        I f f P n m      <         d x f x f E 1 E n m   + 2  < 2  + 2  = 
Akibatnya  berlaku   E 1        n m f f    I  <  untuk  setiap   I ,   P (E),  khususnya  untuk
  I x ,  P (E) berlaku:     E I
      x f x f n m  <  atau     x f x f n m  <     I E    untuk setiap  > 0.
Hal ini berarti barisan     x f n merupakan barisan Cauchy di dalam R , oleh karena itu terdapat fungsi f yang terintegral McShane pada   b 1 , dengan b > 1 sehingga f f n  hampir di mana- mana pada   b 1 , , yaitu untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N 2 sehingga jika n > N 2 berlaku :    f f n , hal ini berakibat :
  b 1 n f f <  b 1  =    b 1 ,  ,  untuk setiap b > 1

           b 1 n 1 b f f b 1 1 sup : ] , [  < 
 f f n  < 
Dengan kata lain, barisan   n f konvergen norma ke fungsi f . Lebih lanjut diperoleh :
   b b f b lim 1 ] , 1 [ 1       b n b f f b lim 1 ] , 1 [ 1  +    b n b f b lim 1 ] , 1 [ 1  <  untuk setiap bilangan  >
0.  Jadi    b b f b lim 1 ] , 1 [ 1  =  0,  hal  ini  berarti  f  W o .  Jadi  W o lengkap,  oleh  karena  itu  W o merupakan ruang Banach. 
Teorema 3.4.
Diketahui  E  =   b 1 ,  R n sel  dengan b > 1 .  Norma  ||  .  ||  pada  ruang  W o (E)  seperti dimaksud  pada  Teorema  3.3.memenuhi  sifat  :  Jika  barisan   n f  W o (E)  konvergen  norma  ke suatu  fungsi  f  W o (E)  maka  terdapat  barisan  bagian     i n f    n f dan  h  W o (E)  sehingga
  f f i n  hampir di mana-mana pada   b 1 , dan    i n f h untuk setiap   i n .
Bukti :  Ambil sembarang barisan   n f  W o (E)  sehingga   n f konvergen  norma  ke  suatu fungsi   f  W o (E), yaitu untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli 1 N sehingga jika n  1 N berlaku : f f n  <  …..………..…... (*)
Ambil  sembarang x  E,  selanjutnya  dibentuk  partisi  McShane P =      , I sehingga x merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi f n , f  M (E) dan M (E) merupakan ruang linear maka f n - f  M (E), dan karena M (E) ruang integral mutlak maka | f n - f |  M (E). Oleh karena itu untuk setiap  bilangan  >  0  terdapat  fungsi  positip  pada  E  sehingga  untuk  setiap  partisi  McShane P =      , I pada E berlaku:
               E n n I f f P d x f x f     <   2 E 
                    E n n I f f P E 1 d x f x f E 1       < 2 

  E 1
       I f f P n      <         d x f x f E 1 E n   + 2  < 2  + 2  = 
Akibatnya  berlaku   E 1        f f n    I  <  untuk  setiap   I ,   P (E),  khususnya  untuk
  I x , berlaku :     E I       x f x f n  <  atau
    x f x f n  <     I E    untuk setiap  > 0. Hal ini berarti  barisan   n f konvergen  titik  demi  titik  ke  fungsi  f    hampir  di  mana-mana  pada  E ..……………………..……………. (**)
Berdasarkan  (*),untuk  setiap  bilangan  asli i terdapat  bilangan  asli   i N sehingga  jika  n(i)    i N berlaku :
  f f i n  < i 2  untuk setiap i
Akibatnya diperoleh :
         1 i 1 i n i n f f        1 i i n f f +        1 i 1 i n f f
<     1 i i 2 +        1 i 1 i 2 < 
Hal ini berarti untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N 2 sehingga jika i  N 2 berlaku
         2 N i 1 i n i n f f <  .
Selanjutnya  dibentuk  barisan-barisan   m g dan   m h dengan
           m 1 i 1 i n i n m f f g dan
         m 1 i 1 i n i n m f f h .  Jelas  bahwa m g , m h  W o (E)  untuk  setiap  m.  Selanjutnya  ambil
sembarang m, n dan tanpa mengurangi arti dapat dianggap      m > n, diperoleh :
n m g g  =                      m 1 i n 1 i 1 i n i n 1 i n i n f f f f =            m 1 n i 1 i n i n f f
          m 1 n i 1 i n i n f f
Khususnya, jika m > n  N 2 berlaku :
n m g g            m 1 n i 1 i n i n f f   
       2 N i 1 i n i n f f <  .
Hal ini berarti bahwa barisan   m g merupakan barisan Cauchy di dalam W o (E) yang lengkap. Jadi
           1 i 1 i n i n f f konvergen.  Dengan  cara  yang  sama  dapat  ditunjukkan  bahwa
         1 i 1 n n i n f f juga konvergen. Oleh karena itu untuk setiap m dan setiap i  m berlaku :
          m i j j n j n f f 1          m i j j n j n f f 1           i j 1 j n j n f f           1 j 1 j n j n f f <  .
Ambil N o = maks {N 1 , N 2 } maka  berdasarkan (**) untuk setiap bilangan  > 0 dan m  N o berlaku :
                  m i j j n 1 j n j n f f f f =           f f f f f f i n m n 1 i n 1 i n i n         
=   f f m n   1 <  .
Hal  ini  berarti  bahwa  untuk  setiap i barisan                 m i j 1 j n j n f f konvergen  titik  demi  titik  ke
fungsi     f f i n  hampir di mana-mana pada   b 1 , . Akibatnya :
  f f i n     f f i n  =             m 1 j 1 j n j n m f f lim
   m lim         m 1 j 1 j n j n f f =          i j 1 j n j n f f untuk  setiap i ,  sehingga   i n f           i j 1 j n j n f f +  | f |  untuk  setiap i .
Ambil h =
         i j 1 j n j n f f + | f | maka h  W o (E). Jadi terdapat barisan bagian     i n f    n f
dan h  W o (E) sehingga   f f i n  hampir di mana-mana pada   b 1 , dan    i n f h untuk setiap   i n . 
Representasi Fungsional Aditif Ortogonal pada W 0 di dalam R n
Lemma 4.1.
Diketahui E =   b 1 ,  R n sel dengan b > 1 . Jika F fungsional aditif ortogonal dan kontinu terbatas  pada  ruang  W 0 (E),  maka  terdapat  fungsi   t x k , : R R E   sehingga   t x k , terintegral  McShane  terhadap x pada  E  untuk  setiap  t  R dengan   0 x k , = 0 untuk  hampir semua x  E dan berlaku :
  s F =     x d x s x k E  , untuk setiap fungsi sederhana s pada E.
Bukti : Karena F kontinu terbatas, untuk setiap bilangan  >0 dan t terdapat bilangan   t ,  
> 0 sehingga jika   E  <   t ,   maka   E t F  <  . Dengan kata lain F sebagai fungsi himpunan
kontinu mutlak terhadap  …………………… (1)
Selanjutnya, jika
    1 i i E E dengan o j o i E E  =  untuk j i  , maka berlaku :
  E t F  =             n i i E n t F 1 lim  =       n i E n i t F 1 lim  =      1 i E i t F  .  Hal  ini  berarti  F  merupakan  fungsi
himpunan yang aditif dan terhitung ….………….……....…. (2)
Dari (1) dan (2), maka menurut Teorema Radon-Nikodym terdapat fungsi   x k t * pada E sehingga     x d x k t F E t E   *  untuk  setiap  E.  Selanjutnya,  didefinisikan  fungsi   t x k , =   x k t * untuk setiap x  E dan t  R . Jika t = 0 maka       F t F E  = 0, oleh karena itu   
E 0 x k * = 0 untuk setiap  E.  Jadi   0 x k , =  untuk  hampir  semua x  E .  Selanjutnya,  ambil  sembarang  himpunan sederhana  s  pada  E  dengan   x s =     n 1 i E i x t i  dengan  E i himpunan  terukur  yang  sepasang-
sepasang saling asing dan  n 1 i i E E   , maka diperoleh :
  s F =         n 1 i E i i t F  =   x d t x k n 1 i E i i    , =     x d x s x k n 1 i E i    , =     x d x s x k E  , . 
Lemma 4.2.
Diketahui  E  =   b 1 ,  R n sel  dengan b > 1 ,  F  fungsional  aditif  ortognoal  dan  kontinu terbatas pada ruang W o (E), dan   t x k , : R R E   fungsi yang diperoleh pada Lemma 4.1. Jika untuk setiap bilangan  > 0 dan setiap interval tertutup terbatas P = [-d,d] dengan d > 0 dibentuk bilangan-bilangan :
  E P W ; ;  =    
           E t t dan P t t d t x k t x k   2 1 2 1 2 1 , : , , sup dan
  P W ;  =  
          n i n i j i i i j i untuk E E E E P W 1 1 , : ; ; sup   
maka   0 ; lim 0    P W   untuk setiap interval P.
Bukti :  Jika  0  <  1   2 dan  t 1 ,  t 2  P  dengan 1 2 1    t t maka 2 2 1    t t .  Hal  ini berakibat jika 0<  1   2 maka   P W ; 1     P W ; 2  . Jadi net     0 : ;    P W turun monoton dan terbatas ke bawah dan salah satu batas bawahnya adalah 0. Oleh karena   P W ; lim 0     ada.
Andaikan     
   P W ; lim 0 untuk  suatu  bilangan  >0.  Berdasarkan  definisinya,  terdapat himpunan saling asing
n E E E , , , 2 1  dengan
E E n i i    1 dan bilangan-bilangan
n i t t i i , , 2 , 1 , , 2 1   sehingga    i i t t 2 1 , i t 1  d, i t 2  d  dan         n i E i i i t x k t x k 1 2 1 , , >  . Selanjutnya untuk setiap n i , , 2 , 1   didefinisikan himpunan-himpunan :
      0 , , : 2 1      i i i i t x k t x k E x
E dan     i i i E E E
dan juga didefinisikan fungsi-fungsi :
        n i E i E i i i t t f 1 2 1   dan         n i E i E i i i t t g 1 1 2   Jelas bahwa   E W g f 0 ,  dan berlaku :
f =           b b f b 1 1 : ] , 1 [ 1 sup  =                     E n i E i E i b b E t t E i i 1 , , 1 : 1 sup 1 2 1                        E n i E i E i b b E t t E i i 1 , , 1 : 1 sup 1 2 1                                1 , , 1 : 1 1 sup 1 1 b b E d E d E i i i i E n i E E n i E     =                 n i i b b E E d E 1 1 , , 1 : 1 sup   = d
Dengan cara yang sama diperoleh : d g  . Lebih lanjut diperoleh :
g f  =        n i E i E i i i t t 1 2 1   -        n i E i E i i i t t 1 1 2   =              n i E i i E i i i i t t t t 1 1 2 2 1  
Analog  dengan  cara  di  atas  juga  diperoleh  :
  g f d.  Karena  F  kontinu  dan  terbatas  maka
    g F f F  <  . Dari pihak lain diperoleh :
    g F f F  =                              E E n i E i E i n i E i E i i i i i t t x k t t x k 1 1 2 1 2 1 , ,     =                     n i E n i E n i E E i E i E i i i i i i i t x k t x k t x k 1 1 1 2 2 1 , , ,    -       n i E E i i i t x k 1 1 ,  =                          n i E E i E i n i E E i E i i i i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 2 1 1 1 , , , ,    
=                        n i E E i E i n i E E i E i i i i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 1 1 2 1 , , , ,     =                    n i E i i n i E i i i i t x k t x k t x k t x k 1 2 1 1 2 1 , , , , =         n i E i i i t x k t x k 1 2 1 , , > 
Kontradiksi, jadi pengandaian salah, oleh karena itu yang benar adalah
  0 ; lim 0    P W   . 
Lemma 4.3.
Diketahui E =   b 1 ,  R n sel dengan b > 1 . Jika F fungsional aditif ortogoal dan kontinu terbatas pada ruang W o (E), maka fungsi   t x k , : R R E   fungsi yang diperoleh pada Lemma 1 kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas P  R dan untuk setiap x  E.
Bukti : Ambil sembarang x  E dan sembarang interval tertutup terbatas P  R . Menurut Lemma 4.2. diperoleh   P W ; lim 0    
= 0, yaitu :
0  =   0 lim
 sup  
           n i n i j i i i j i E E E E P W 1 1 , , : ; ; 
  
   0 lim     
           E t t dan P t t d t x k t x k   2 1 2 1 2 1 , : , , sup    0 lim                 E t t dan P t t d t x k t x k   2 1 2 1 2 1 , : , ,
Hal ini berarti, jika t 1 , t 2  P dengan    2 1 t t berlaku :   0 lim        E d t x k t x k  2 1 , , = 0, yaitu
untuk  setiap  bilangan  >0  terdapat  bilangan  >0  sehinga  jika  t 1 ,  t 2  P  dengan    2 1 t t berlaku :
      E d t x k t x k  2 1 , , <   2 E 
Ambil  sembarang x  E,  selanjutnya  dibentuk  partisi  McShane P =      , I sehingga x merupakan salah satu titik terkaitnya. Fungsi   1 , t k  ,   2 , t k   M (E)  dan M (E) merupakan ruang linear  maka   1 , t k  -   2 , t k   M (E),  dan  karena M (E)  ruang  integral  mutlak  maka  |   1 , t k  -
  2 , t k  |  M (E).  Oleh  karena  itu  untuk  setiap  bilangan  >  0  terdapat  fungsi  positip  pada  E sehinga untuk setiap partisi McShane P =      , I  -fine pada E berlaku:                E I t k t k P d t x k t x k     2 1 2 1 , , , , <  
2 E  
                   E I t k t k P E d t x k t x k E       2 1 2 1 , , 1 , , 1 < 2    
        I t k t k P E     2 1 , , 1 <         d t x k t x k E E   2 1 , , 1 + 2 
Didefinisikan bilangan  1 = inf     E x x  :  , jelas bahwa  1 > 0 dan selanjutnya dipilih bilangan  o = min {  ,  1 }, maka diperoleh :
          I t k t k P E     2 1 , , 1 < 2  + 2  = 
Akibatnya  berlaku   E 1 
      I t k t k    2 1 , ,  <  untuk  setiap   I ,   P (E),  khususnya  untuk
  I x ,  P (E) berlaku:
    E I       2 1 , , t x k t x k  <  atau     2 1 , , t x k t x k  <     I E    untuk setiap 
> 0.
Jadi,  untuk  setiap  bilangan  >0  terdapat  bilangan  o >0  sehinga  jika  t 1 ,  t 2  P  dengan
0 2 1    t t berlaku     2 1 , , t x k t x k  <     I E    .  Dengan  kata  lain  fungsi    , x k kontinu
seragam pada setiap interval tertutup terbatas P  R dan untuk setiap x  E. 
Teorema 4.4.
Diketahui E =   b 1 ,  R n dengan b > 1. Fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang W o (E) jika dan hanya jika terdapat fungsi Caratheodory   t x k , : R R E   dengan
  0 x k , = 0 untuk hampir semua x  E sehingga   t x k , terintegral McShane terhadap x pada E untuk setiap t  R dan berlaku :   f F =     x d x f x k E  , untuk setiap fungsi f  W o (E).
Bukti : Syarat cukup. Jika f  W o (E), maka terdapat barisan fungsi sederhana   n s pada E, sehingga     x f x s n  hampir dimana-mana pada E untuk   n dan     x f x s n  untuk semua  n.  Menurut  Lemma  4.3.,  fungsi    , x k kontinu  seragam  pada  setiap  interval  tertutup terbatas P  R dan untuk setiap x  E, akibatnya:         x f x k x s x k n , ,  hampir di mana-mana pada E dan terdapat bilangan M  0 sehinga     M x s x k n  , hampir di mana-mana pada E. Oleh
karena  itu  menurut  Teorema  Kekonvergenan  Terdominasi     x s x k n n , lim   terintegral  McShane dan berlaku :
  n lim     x d x s x k E n  , =     x d x f x k E  ,    n n s F   lim =     x d x f x k
E  ,
   f F
=     x d x f x k E  ,
Syarat perlu. Ambil sembarang f, g W o (E) sehingga f  g, yaitu     x g x f =  0 hampir di mana-mana pada E. Selanjutnya, dibentuk himpunan-himpunan :
    0 :    x g E x A ,     0 :    x f E x B dan       0 0 :     x g dan x f E x C ,
diperoleh :
  g f F  =      x d x g f x k E   , =       x d x g x f x k E   , =     x d x f x k E  , +     x d x g x k E  , =   f F +   g F
Jadi F aditif orthogonal pada W o (E).
Selanjutnya, ambil sembarang f  W o (E) dan sembarang barisan   n f  W o (E) sehinga   n f konvergen  terbatas  ke  fungsi  f  hampir  dimana-mana  pada  E,  yaitu  terdapat  bilangan  M  0 sehingga   x f n  M  untuk  setip  n  dan
    x f x f n  hampir  di  mana-mana  pada  E.  Karena fungsi    , x k kontinu seragam pada setiap interval tertutup terbatas P  R dan untuk setiap x  E, maka  terdapat  bilangan  N  0  sehingga
    N x f x k n  , untuk  semua  n  dan
        x f x k x f x k n , ,  hampir  di  mana-mana  pada  E.  Oleh  karena  itu,  menurut  Teorema Kekonvergenan Terdominasi berlaku :
  n lim
    x d x f x k E n  , =     x d x f x k E  ,    n lim   n f F =   f F .  Dengan  kata  lain  F  kontinu
terbatas paada W o (E). 

## PENUTUP
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa syarat perlu dan cukup agar fungsional F aditif ortogonal dan kontinu terbatas pada ruang W o (E) adalah adanya fungsi
Caratheodory   t x k , : R R E   yang mempunyai sifat   0 x k , = 0 untuk hampir semua x  E dan   t x k , terintegral McShane terhadap x pada E untuk setiap t  R .

## DAFTAR PUSTAKA
Aye,  K.K.  dan  Lee,  P.Y.,  2002a, Orthogonally  additive  Functional  on  BV ,  Singapura:  Nanyang
Technological University.
Chew, T.S., 1985, Orthogonally additive Functional , Singapura: Universitas Nasional Singapura.
Darmawijaya, S, 2003, On Bounded Interval Functions , Yogyakarta : SEAM GMU.
Hildebrandt, T.H., 1966, Linear Continuous Functionals on The Space (BV) with Weak Topologies,
Proc. Amer. Math. Soc 17, 658-664.
Indrati, C.R., 2002, Integral Henstock-Kurzweil di dalam Ruang Euclide Berdimensi n , Yogyakarta:
Universitas Gadjah Mada.
Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures on Henstock Integration , Singapura: Wold Scientific.
Paredes, L.I., 1993, Orthogonally additive Functionals and Superposition Operators on w o (  ), Ph.D.
Thesis, University of The Philippines.
Pfeffer, W.F., 1993, The Riemann Approach to Integration , New York: Cambridge University Press.