KEAKURATAN SOLUSI PADA PERSAMAAN DIFUSI MENGGUNAKAN SKEMA CRANK-NICOLSON
Afidah Karimatul Laili 1 , Ari Kusumastuti 2
1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
2 Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: aphid.laili@gmail.com , arikususmastuti@gmail.com

## ABSTRAK
Persamaan  difusi  adalah  persamaan  diferensial  parsial  linier  yang  merupakan  representasi berpindahnya  suatu  zat  dalam  pelarut  dari  bagian  berkonsentrasi  tinggi  ke  bagian  yang  berkonsentrasi rendah.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  distribusi  temperatur  persamaan  difusi  dengan menggunakan skema Crank-Nicolson . Pertama, mendiskritisasikan persamaan difusi menggunakan skema Crank-Nicolson .  Diskritisasi  akan  menghasilkan  matriks.  Selanjutnya  menentukan  kestabilan  dan konsistensi.  Kestabilan  dan  konsistensi  untuk  menunjukkan    bahwa  metode  yang  digunakan  tersebut memiliki solusi yang dapat mendekati solusi analitiknya sehingga diketahui bahwa solusi tersebut akurat. Matriks  hasil  diskritisasi  akan  disimulasikan  dalam  program.  Hasil  simulasi  menunjukkan  bahwa distribusi temperatur menurun terhadap waktu karena adanya perpindahan panas.
Kata kunci: solusi akurat, persamaan Difusi, perpindahan panas balik, Skema Crank-Nicolson .

## ABSTRACT
Diffusion  equation  is  a  linear  differential  equation  that  represents  the  transfer  of  substance  from the high concentration part to the lower concentration part. This research is determine the temperature distribution  of  diffusion  equation  using  Crank-Nicholson  scheme.  First,  Discretization  diffusion  equation using Crank-Nicholson scheme. Obtained from the discretization is matrix. Next, determining stability and consistency.  The  stability  and  consistency  to  indicate  that  the  method  used  have  a  solution  that  can  be approximating analytical solution so known regularization. Matrix discretization results will be simulated in the program. The simulation results show that the temperature distribution decreases with time to heat transfer.
Keywords : regularization, Diffusion equation, backward heat equation, Crank-Nicholson Scheme.

## PENDAHULUAN
Estimasi error adalah  suatu  proses  yang bertujuan  untuk  mencari  solusi  terbaik  dengan mempertimbangkan  besarnya  nilai error yang dihasilkan  dengan  metode  numerik.  Dalam prosesnya,  estimasi error didapatkan  dari ekspansi daret Taylor yang dipotong setelah suku turunan  yang  diinginkan.  Dengan  pemotongan order  yang  ke n ,  maka  hasil  perhitungan  akan mendekati  solusi.  Jadi  dalam  estimasi error akan dihasilkan suatu solusi yang akurat. Solusi akurat yaitu dekatnya suatu solusi pendekatan terhadap nilai sebenarnya.
Dalam prosesnya, dibutuhkan suatu metode  numerik  yang  akan  menghasilkan  solusi pendekatan  terbaik.  Solusi  pendekatan  salah satunya  adalah  skema Crank-Nicolson .  Skema
Crank-Nicolson adalah pengembangan dari metode  beda  hingga  skema  eksplisit  dengan metode beda hingga maju skema implisit. Namun bentuk  dari  skema Crank-Nicolson adalah  skema implisit.  Kelebihan  metode  ini  dibandingkan dengan  metode  beda  hingga  yang  lain  adalah stabil tanpa syarat.
Penelitian  terdahulu  oleh  (Durmin,  2013) telah  meneliti  tentang  perbandingan  solusi  dari skema  implisit  dan  skema Crank-Nicolson untuk model  perpindahan  panas.  Fokus  penelitian (Durmin,  2013)  adalah  membandingkan  solusi dari  skema  implisit  dan  skema Crank-Nicolson dengan cara simulasi.
Penelitian  terdahulu  oleh  (Le,  Q.H.,  & Nguyen,  2013)  meneliti  tentang  keakuratan solusi  pada  persamaan  perpindahan  panas  balik dengan  menggunakan  ketaksamaan.  Pada  hasil
diperoleh  dengan error yang  relatif  kecil  dan mendekati  solusi  sesungguhnya.  Dengan  telah diketahuinya  bahwa  telah  didapatkan error yang relatif  kecil,  penulis  ingin  mengetahui  estimasi error pada persamaan yang sama dengan metode yang berbeda pada penentuan solusi pendekatannya.
Pada penelitian ini diselesaikan persamaan difusi  menggunakan  skema Crank-Nicolson , dalam  penyelesaiaannya  dilakukan  diskritisasi menggunakan metode beda hingga skema Crank-
Nicolson, kemudian menentukan syarat kestabilan  dan  menentukan  syarat  konsistensi untuk  mengetahui  bahwa  hasil  diskritisasi tersebut  akurat.  Selanjutnya  melakukan  simulasi dari skema yang digunakan dan interpretasi hasil .

## KAJIAN PUSTAKA

## 1. Persamaan Difusi
Persamaan  difusi  yang  dipakai  adalah persamaan perpindahan panas balik
𝜕𝑢 𝜕𝑡 (𝑥, 𝑡) − 𝑎(𝑡) 𝜕 2 𝑢
𝜕𝑥 2 (𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡),
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0,
𝑢(𝑥, 1) = 𝑔(𝑥) = cos(1) sin(𝑥) exp(1 2 + 1) , (1)
dengan  domain 𝑡 ∈ [0,1] , 𝑥 ∈ [0, 𝜋] , 𝑎(𝑡) adalah fungsi 2𝑡 + 1 ,  dengan  solusi  eksak 𝑢(𝑥, 𝑡) = cos(𝑡) sin(𝑥) exp(𝑡2+𝑡) ,  serta 𝑓(𝑥, 𝑡) = − sin(𝑡) sin(𝑥) exp(𝑡2+𝑡) . 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah  fungsi  distribusi  temperatur  dan 𝑢(𝑥, 1) adalah distribusi temperatur awal, 𝑢 𝑡 adalah variabel panas  yang  bergantung  pada 𝑡 , 𝑢 𝑥𝑥 adalah  variabel panas  yang  bergantung  pada 𝑥 ,  dan 𝑎(𝑡) adalah konstanta  panas (Le,  Q.H.,  &  Nguyen,  2013) .

## 2. Skema Crank-Nicolson
Skema Crank-Nicolson merupakan  salah  satu skema  pengembangan  dari  skema  eksplisit  dan implisit, yaitu merupakan nilai rerata darai kedua metode  tersebut.  Pada  skema Crank-Nicolson diferensial  terhadap  waktu 𝑡 dituliskan  dalam bentuk beda maju, yaitu (Triatmodjo, 2002)
𝜕𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 = 𝑢𝑗 𝑛+1−𝑢 𝑗 𝑛 ∆𝑡 (2)
Sedangkan, diferensial terhadap ruang 𝑥 merupakan  rerata  dari  skema  eksplisit  dam implisit dengan menggunakan beda pusat
𝜕𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 ≈ 1 2 ( 𝑢𝑗+1 𝑛 −𝑢𝑗−1 𝑛 ∆𝑥 + 𝑢𝑗+1 𝑛+1−𝑢 𝑗−1 𝑛+1 ∆𝑥 ) (3)
Untuk  diferensial  orde  2  terhadap  waktu  dapat dituliskan sebagai berikut
𝜕 2 𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 2 = 1 2 ( 𝑢 𝑗−1 𝑛+1 −2𝑢 𝑗 𝑛+1 +𝑢 𝑗+1 𝑛+1
∆𝑥 2 ) + 1 2 ( 𝑢 𝑗−1 𝑛 −2𝑢 𝑗 𝑛 +𝑢 𝑗+1 𝑛 ∆𝑥 2 ), (4)

## 3. Keakuratan Solusi
Keakuratan solusi numerik diukur berdasarkan  kriteria  konvergensi,  konsistensi serta stabilitas. Konvergensi berhubungan dengan
besarnya penyimpangan solusi pendekatan  oleh  metode  beda  hingga  terhadap solusi eksak. “Aproksimasi solusi pasti konvergen ke  solusi  analitiknya,  jika  konsistensi  dari persamaan  beda  dan  stabilitas  dari  skema  yang diberikan  terpenuhi  (Zauderer,  2006)”.  Kriteria stabilitas  dan  konsitensi  merupakan  kondisi perlu dan cukup agar diperoleh solusi konvergen.
Analisis  kestabilan  dari  skema  yang digunakan  dapat  dicari  menggunakan  stabilitas Von  Neumann dengan  mensubstitusikan 𝑢 𝑗 𝑛 = 𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎𝑗 ke  dalam  persamaan  beda  yang digunakan,  sedangkan  untuk  analisis  konsistensi dapat dicari dengan menggunakan ekspansi deret Taylor.  Syarat  perlu  dan  cukup  stabilitas  V on Neumann yaitu |𝜌| ≤ 1 dan  kriteria  konsistensi akan  terpenuhi  jika ∆𝑥 → 0 dan ∆𝑡 → 0 .  Jika syarat kestabilan dan konsistensi terpenuhi maka solusi  numerik  tersebut  akan  mendekati  solusi analitik (Zauderer, 2006).

## PEMBAHASAN

## 1. Solusi Persamaan Difusi dengan Skema Crank-Nicolson
Persamaan difusi yang digunakan adalah persamaan  (1) yang  akan  dianalisis  dengan skema Crank-Nicolson (Durmin,  2013).  Mengacu pada  persamaan  (4),  maka  bentuk  diskrit  dari persamaan (1) adalah sebagai berikut:
𝑢 𝑗 𝑛+1 − 𝑢 𝑗 𝑛 ∆𝑡 − 1 2 (𝑎 𝑛 𝑢 𝑗−1 𝑛 − 2𝑢 𝑗 𝑛 + 𝑢 𝑗+1 𝑛 ∆𝑥 2 + 𝑎 𝑛 𝑢 𝑗−1 𝑛+1 − 2𝑢 𝑗 𝑛+1 + 𝑢 𝑗+1 𝑛+1 ∆𝑥 2 ) = 𝑓 𝑗 𝑛 (5)
Kemudian untuk semua variabel dengan superskrip 𝑛 dikelompokkan  ke  ruas  kanan, sehingga
− [ 𝑎 𝑛 2∆𝑥 2 ] 𝑢 𝑗−1 𝑛+1 + [ 1 ∆𝑡 + 𝑎 𝑛 ∆𝑥 2 ] 𝑢 𝑗 𝑛+1 − [ 𝑎 𝑛 2∆𝑥 2 ] 𝑢 𝑗+1 𝑛+1 =
[ 𝑎 𝑛 2∆𝑥 2 ] 𝑢 𝑗−1 𝑛 + [ 1 ∆𝑡 − 𝑎 𝑛 ∆𝑥 2 ] 𝑢 𝑗 𝑛 + [ 𝑎 𝑛 2∆𝑥 2 ] 𝑢 𝑗+1 𝑛 + 𝑓 𝑗 𝑛 (6)
diasumsikan sebagai:
𝐴 𝑗 = 𝐶 𝑗 = 𝐷 𝑗 = 𝐹 𝑗 = 𝑎𝑛 2∆𝑥2 ; 𝐵 𝑗 = 1 ∆𝑡 + 𝑎𝑛 ∆𝑥2 ,
𝐸 𝑗 = 1 ∆𝑡 − 𝑎𝑛 ∆𝑥2 , sehingga persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai:
− 𝐴 𝑗 𝑢 𝑗−1 𝑛+1 + 𝐵 𝑗 𝑢 𝑗 𝑛+1 − 𝐶 𝑗 𝑢 𝑗+1 𝑛+1 = 𝐷 𝑗 𝑢 𝑗−1 𝑛 + 𝐸 𝑗 𝑢 𝑗 𝑛 + 𝐹 𝑗 𝑢 𝑗+1 𝑛 + 𝑓 𝑗 𝑛 (7)
Kemudian  untuk 𝑛 = 1,2, … , 𝑀 − 1 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑀 .  Misalkan 𝑀 = 5 , 𝑀 adalah  banyaknya iterasi, maka pada persamaan (7) akan diperoleh suatu matriks,
[ 𝐵 1 𝐴 2 𝐶 1 𝐵 2 … … 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 … … 𝐵 𝑀−2 𝐶 𝑀−2 𝐴 𝑀−1 𝐵 𝑀−1 ] [ 𝑢 1 𝑛+1 𝑢 2 𝑛+1 ⋮ 𝑢 𝑀−2 𝑛+1 𝑢 𝑀−1 𝑛+1 ] = [ 𝐷 1 𝐷 2 ⋮ 𝐷 4 𝐷 5 ] (8)
maka  matriksnya 𝐴𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝐷 𝑗 ,  dimana 𝐴 dan 𝐵 adalah  matriks  tridiagonal  dengan  ukuran (𝑀 − 1) × (𝑀 − 1) dan  unsur 𝑢 𝑗 𝑛 dan 𝑓 𝑗 𝑛 diketahui  dan  selesaiannya  adalah 𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝐴 −1 (𝐷 𝑗 ) yang berukuran (𝑀 − 1) × 1 .

## 2. Keakuratan Solusi Hasil Skema Crank- Nicolson
Untuk  Menunjukan  bahwa  persamaan (5) bernilai benar dan memiliki solusi yang dapat mendekati  solusi  analitik,  maka  cukup  dengan menunjukan  bahwa  persamaan  beda  yang digunakan tersebut stabil dan konsisten. mengetahui  apakah  metode  yang  digunakan untuk  mendekati  persamaan  difusi  tersebut stabil  atau  tidak,  maka  uji  kestabilan  dapat dilakukan  menggunakan  analisa  stabilitas Van Neumann ,  dengan  cara  mensubstitusikan 𝑢 𝑗 𝑛 = 𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎𝑗 , ∀ 𝑖 = √−1 ke  dalam  persamaan  (5)  yang terlebih  dahulu  dikalikan  dengan ∆t ,  sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
𝑢 𝑗 𝑛+1 − 𝑢 𝑗 𝑛 = (𝑎 𝑛 ∆𝑡 𝑢 𝑗−1 𝑛 − 2𝑢 𝑗 𝑛 + 𝑢 𝑗+1 𝑛 2∆𝑥 2 +
𝑎 𝑛 ∆𝑡 𝑢 𝑗−1 𝑛+1 − 2𝑢 𝑗 𝑛+1 + 𝑢 𝑗+1 𝑛+1 2∆𝑥 2 ) + ∆𝑡𝑓 𝑗 𝑛 (9)
Kemudian  dapat  dicari  dengan  cara mensubstitusikan 𝑢 𝑗 𝑛 = 𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎𝑗 , ∀ 𝑖 = √−1 ke dalam  persamaan  tersebut  dan ∆𝑡𝑓 𝑗 𝑛 dianggap kecil , sehingga:
𝜌 𝑛+1 𝑒 𝑖𝑎𝑗 − 𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎𝑗 =
𝑎 𝑛 ∆𝑡 2 ∆ 𝑥 2 (𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎(𝑗−1) − 2𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎𝑗 +
𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎(𝑗+1) ) + 𝑎 𝑛 ∆𝑡 2∆𝑥 2 (𝜌 (𝑛+1) 𝑒 𝑖𝑎(𝑗−1) − 2𝜌 (𝑛+1) 𝑒 𝑖𝑎𝑗 +
𝜌 (𝑛+1) 𝑒 𝑖𝑎(𝑗+1) ) (10)
Untuk penyederhanaan,  persamaan (10) dibagi  dengan 𝜌 𝑛 𝑒 𝑖𝑎𝑗 ,  misalkan 𝑎 𝑛 diasumsikan sebagai 𝑘 sehingga diperoleh:
𝜌 = 1 + 𝑘∆𝑡 2∆𝑥2 (𝑒 −𝑖𝑎 − 2 + 𝑒 𝑖𝑎 ) [1 − 𝑘∆𝑡 2∆𝑥2 (𝑒 −𝑖𝑎 − 2 + 𝑒 𝑖𝑎 )] (11)
Karena 𝑒 ±𝑖𝑎 = cos 𝑎   ± 𝑖 sin 𝑎 ,  maka  persamaan (11) dapat ditulis:
𝝆 = 𝟏+ 𝒌∆𝒕 𝟐∆𝒙𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝒂−𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂−𝟐+𝐜𝐨𝐬 𝒂+𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂)
[𝟏− 𝒌∆𝒕 𝟐∆𝒙𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝒂−𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂−𝟐+𝐜𝐨𝐬 𝒂+𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂)] (12)
sehingga diperoleh:
𝝆 = 𝟏 + 𝒌∆𝒕 𝟐∆𝒙𝟐 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)
[𝟏 − 𝒌∆𝒕 𝟐∆𝒙𝟐 (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)]
(13)
Misalkan 𝒌∆𝒕 𝟐∆𝒙𝟐 = 𝑺
|𝝆| = √[ 𝟏 + 𝑺(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐) [𝟏 − 𝑺(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)] ] 𝟐 (13)
Persamaan stabil jika dan hanya jika |𝝆| < 𝟏 atau
𝟏 + 𝟒𝑺(𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝟏) 𝟏 − 𝟒𝑺(𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝟏) ≤ 𝟏 (14)
Karena −2 ≤ cos 𝑎 − 1 ≤ 0 , maka persamaan (14)
terpenuhi untuk setiap 𝑆 ∈ 𝑅 . Sehingga didapatkan  kestabilan  dari  persamaan  difusi menggunakan  skema Crank-Nicolson adalah stabil tanpa syarat.
Setelah diperoleh syarat kestabilan maka selanjutnya syarat konsistensi, untuk mengetahui skema  yang  digunakan  konsisten  atau  tidak, dapat  dilakukan  dengan  ekspansi  deret  Taylor yang  disubstitusikan  kedalam  persamaan  (5). Ekspansi  deret  Taylor  yang  digunakan  adalah sebagai berikut:
𝑢 𝑗 𝑛±1 = 𝑢 𝑗 𝑛 ± ∆𝑡𝑢 𝑡 | 𝑗 𝑛 + 1 2 ∆𝑥 2 𝑢 𝑡𝑡 | 𝑗 𝑛 ± 1 6 ∆𝑡 3 𝑡𝑡𝑡| 𝑗 𝑛 + ⋯ (15)
𝑢 𝑗±1 𝑛±1 = 𝑢 𝑗 𝑛 ± ∆𝑡𝑢 𝑡 | 𝑗 𝑛 ± ∆𝑥𝑢 𝑥 | 𝑗 𝑛 + 1 2 (∆𝑡 2 𝑢 𝑡𝑡 | 𝑗 𝑛 + 2∆𝑡∆𝑥𝑢 𝑡𝑥 | 𝑗 𝑛 + ∆𝑥 2 𝑢 𝑥𝑥 | 𝑗 𝑛 ) + 1 6 (∆𝑡 3 𝑢 𝑡𝑡 | 𝑗 𝑛 + 3∆𝑡 2 ∆𝑥𝑢 𝑡𝑡𝑥 | 𝑗 𝑛 + 3∆𝑡∆𝑥 2 𝑢 𝑡𝑥𝑥 | 𝑗 𝑛 + ∆𝑥 3 𝑢 𝑥𝑥𝑥 | 𝑗 𝑛 ) + ⋯ (16)
𝑢 𝑗±1 𝑛 = 𝑢 𝑗 𝑛 ± ∆𝑥𝑢 𝑥 | 𝑗 𝑛 + 1 2 ∆𝑥 2 𝑢 𝑥𝑥 | 𝑗 𝑛 ± 1 6 ∆𝑥 3 𝑢 𝑥𝑥𝑥 | 𝑗 𝑛 + ⋯ (17)
Selanjutnya  substitusikan  persamaan  (15),  (16) dan (17) kedalam persamaan (5), dengan sedikit manipulasi  aljabar  maka  diperoleh  persamaan berikut:
( 𝑢 𝑡 − 𝑎 𝑛 2 𝑢 𝑥𝑥 − 𝑎 𝑛 2 𝑢 𝑥𝑥 − 𝑓)| 𝑗 𝑛 +
( 1 2 𝑢 𝑡𝑡 − 𝑎 𝑛 ∆𝑥 − 8𝑎 𝑛 ∆𝑥 3 𝑢 𝑡𝑥𝑥𝑥 ) ∆𝑡 | 𝑗 𝑛 −
𝑎 𝑛 6 𝑢 𝑥𝑥𝑥 ∆𝑥| 𝑗 𝑛 + ( 1 6 𝑢 𝑡𝑡𝑡 − 12𝑎 𝑛 ∆𝑥 2 𝑢 𝑡𝑡𝑥𝑥 ) ∆𝑡 2 | 𝑗 𝑛 − 𝑎 𝑛 12 𝑢 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∆𝑥 2 | 𝑗 𝑛 + ⋯ = 0
(18)
Suku  pertama  pada  persamaan  (18) adalah  persamaan  difusi  yang  telah  diselesaikan. Suku  kedua  dan  seterusnya  adalah  suku tambahan  yang  didapatkan  dari  penyelesaian menggunakan  persamaan  beda  hingga  dan disebut truncation  error. Truncation  error atau galat pemangkasan yang didapatkan adalah
( 1 2 𝑢 𝑡𝑡 − 𝑎 𝑛 ∆𝑥 − 8𝑎 𝑛 ∆𝑥 3 𝑢 𝑡𝑥𝑥𝑥 ) ∆𝑡| 𝑗 𝑛 − 𝑎 𝑛 6 𝑢 𝑥𝑥𝑥 ∆𝑥| 𝑗 𝑛 + ( 1 6 𝑢 𝑡𝑡𝑡 − 12𝑎 𝑛 ∆𝑥 2 𝑢 𝑡𝑡𝑥𝑥 ) ∆𝑡 2 | 𝑗 𝑛 − 𝑎 𝑛 12 𝑢 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∆𝑥 2 | 𝑗 𝑛 + ⋯
(19)
Karena ∆𝑥 dan ∆𝑡 sangat  kecil  maka  jumlah  dari limit  tersebut  akan  semakin  kecil,  karena berapapun  nilai 𝑢 𝑡𝑡 , 𝑢 𝑡𝑥𝑥𝑥 dan 𝑢 𝑥𝑥𝑥 jika dikalikan dengan  nilai  dari ∆𝑡 dan ∆𝑥 akan  semakin  kecil. Error pemotongan  yang  dihasilkan  akan  menuju nol  untuk ∆𝑥 → 0 dan ∆t → 0 .  Jadi  skema Crank- Nicolson konsisten terhadap persamaan difusi.

## 3. Simulasi dan Interpretasi Hasil
Persamaan  yang  digunakan  dalam  simulasi adalah  persamaan  (7)  yang  merupakan  bentuk diskrit  dari  persamaan  difusi.  Dalam  simulasi digunakan ∆𝑥 = 0,0698 dan ∆𝑡 = 0,0222 , sehingga  simulasi  persamaan  difusi  dapat  dilihat pada gambar (1) berikut:
Gambar 1. Solusi Numerik Persamaan Difusi Menggunakan Skema Crank-Nicolson
Gambar 2. Solusi Analitik Persamaan Difusi
Pada  Gambar  1  solusi  numerik  di  atas perubahan  temperatur  berjalan  dari 𝑥 = 0 di 𝑡 berapapun  berada  pada  temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 kemudian  berjalan naik sampai pada temperatur tebesar  yaitu  pada 𝑥 = 1,827 dan 𝑡 = 0 dengan temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0,4855 kemudian  berjalan turun  sampai  pada 𝑥 = 𝜋 di 𝑡 = 0 dengan temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 .  Pada  Gambar  2  solusi analitik  di  atas  perubahan  temperatur  berjalan secara  sama  yaitu  dari 𝑥 = 0 di 𝑡 berapapun berada  pada  temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 kemudian berjalan  naik  sampai  pada  temperatur  tebesar yaitu  pada 𝑥 = 1,536 dan 𝑡 = 0 dengan temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0,977 kemudian  berjalan turun  sampai  pada 𝑥 = 𝜋 di 𝑡 = 0 dengan temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 .
Perubahan  temperatur  pada  solusi  numerik dan  solusi  analitik  bergerak  secara  sama. Perubahan  temperatur  terjadi  secara  signifikan yaitu  pada  ruang 𝑥 = 0 dengan  temperatur  yang awal  nya  kecil 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 kemudian  perlahan mengalami  kenaikan  sampai  pada  ruang  tengah 𝑥 .  Kemudian  temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) mengalami
penurunan  secara  terus  menerus  sampai  pada ruang 𝑥 maksimal.  Perubahan  temperatur tersebut berjalan secara sama di 𝑡 berapapaun

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan,  dapat diperoleh kesimpulan antara lain:
1. Hasil  diskritisasi  skema Crank-Nicolson pada persamaan  difusi  stabil  pada  saat ∆𝑡 dan ∆𝑥 berapapun,  karena  skema Crank-Nicolson . Hasil diskritisasi memenuhi syarat konsistensi  karena error pemotongannya menuju  nol  untuk ∆𝑥 → 0 dan ∆t → 0 .  Jadi, hasil diskritisasi mendekati solusi analitik.
2. Pada simulasi dan interpretasi yang dilakukan  pada  solusi  analitik  dan  solusi numerik menunjukkan bahwa solusi numerik merupakan  solusi  pendekatan  dari  solusi analitik. Perubahan temperatur terjadi secara sama pada solusi analitik dan solusi numerik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]. Durmin. (2013). Studi Perbandingan Perpindahan  Panas  Menggunakan  Metode Beda Hingga dan Cranh-Nicholson. Surabaya: tidak diterbitkan.
[2].   Le, T. P., Q.H., D. T., & Nguyen, T. (2013). A Backward  Parabolic  Equation  with  Time- Dependent  Coefficient:  Regulation  and Error  Estimates. Journal  of  Computational and Applied Mathematics, 237 , 432-441.
[3]. Triatmodjo,  B.  (2002). Metode  Numerik Dilengkapi  dengan  Program  Komputer. Yogyakarta: Beta offset.
[4]. Zauderer,  E.  (2006). Partial  Differential Equations of Applied Mathematics. Canada:
Wiley.