RUANG BERNORMA PADA HIMPUNAN SEMUA FUNGSI TERDEKATI
Abdul Aziz 1) , Y.D Sumanto 2) , Solikhin 3) , Robertus Heri SU 4)
Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl.Prof. Soedarto, SH, Tembalang Semarang
Abstract. In  this  paper,  we  discuss  that  in  the  approachable  functions  set  can  be  defined  a complete  norm.  Furthermore,  we  obtained  that  all  of  approachable  functions  set  is  a  Banach Space.
Keywords: Approachable function, complete norm space, Banach space.
Abstrak .  Pada  artikel  ini,  dikaji  bahwa  pada  himpunan  semua  fungsi  terdekati  dapat didefinisikan  norma  yang  lengkap.  Selanjutnya  diperoleh  bahwa  himpunan  semua  fungsi terdekati merupakan ruang Banach.
Kata kunci : Fungsi terdekati, ruang bernorma lengkap, ruang Banach

## I. PENDAHULUAN
Pada  artikel  ini  dibahas  mengenai  himpunan  semua  fungsi  terdekati  merupakan  ruang Banach.  Dalam [1] telah didefinisikan mengenai partisi bertanda −  fine pada   a,b , dimana  adalah  suatu  fungsi  positif.  Partisi  bertanda −  fine  merupakan  bagian  penting  dalam mengkostruksikan  fungsi  sederhana  –  .  Pada  [3]  telah  didefinisikan  mengenai  fungsi sederhana –  . Jika  adalah suatu fungsi positif pada   
a,b dan
  ( )   1 1 2 3  − = = i i i
P x , x ,t i , , ,..,n partisi
bertanda
−  fine pada   a,b dan
1 2  n c ,c ,....,c , ( )   ( )   ( ) 1 1 1 1     − − − = = +  n i n x ,x x ,x i i n n i x c x c x disebut    fungsi  sederhana  – 
[3].  Selanjutnya  fungsi   f : a,b → dikatakan  terdekati  pada   a,b jika  untuk  setiap 0   , terdapat fungsi positif   pada   a,b
sedemikian sehingga jika
  ( )   1 1 2 3  − = = i i i
P x , x ,t i , , ,..,n adalah  partisi  bertanda δ –  fine  maka  terdapat  fungsi sederhana –  P   pada   a,b sehingga    −

( x ) f ( x ) . Himpunan semua fungsi terdekati  pada   a,b ditulis  dengan    a,b .  Dari  [2]  diperoleh  bahwa    a,b merupakan ruang linier. Pada [3] telah didefinisikan fungsi bervariasi terbatas. Lebih lanjut dalam [4] telah ditunjukkan bahwa suatu fungsi terdekati merupakan fungsi bervariasi terbatas.
76
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.37
Dalam  [5]  telah  didefinisikan  mengenai  ruang  bernorma  maupun  ruang  Banach.  Pada artikel ini, pada    a,b didefinisikan suatu norma yang lengkap. Lebih lanjut, diperoleh bahwa    a,b merupakan ruang Banach.

## II. RUANG BERNORMA DARI FUNGSI - FUNGSI TERDEKATI
Berikut  diberikan  teorema  yang  menjelaskan  bahwa  himpunan  semua  fungsi  terdekati  pada   a,b merupakan ruang bernorma.
Teorema  2.1. Diberikan    a,b himpunan  semua  fungsi  terdekati  pada   a,b .  Jika  pada    a,b didefinisikan fungsi    →
. : a,b dengan
( )   ( )   ( ) ( ) ( )   1 1 1 1 0 1        
  − − − =      = +
−   = 
  
−      n i n x ,x x ,x i i n n i i i n x c x c x fungsi sederhana f inf sup sup c
sehingga x f x untuk setiap x a,b
maka  .  merupakan norma pada   a,b .
Bukti.
1. Jelas bahwa untuk setiap

##  
  f a,b maka
0  f .
2. Jelas bahwa 0 = f jika dan hanya jika 0 = f .
3. Misalkan
    f a,b maka untuk sebarang 0   terdapat fungsi positif   pada   a,b sedemikian  sehingga  jika   
 1 1 2 3  − = = i i i P x , x ,t i , , ,..,n adalah  partisi  bertanda δ –
fine  maka  ada  fungsi  sederhana
( )   ( )   ( ) 1 1 1 1     − − − = = +  n i n x ,x x ,x i i n n i x c x c x pada   a,b
sehingga 
  − 
( x ) f ( x ) ,  dengan  kata  lain
 −  i c f ( x ) untuk  semua   1 , , 1, 2,..., −  = i i x x x i n .
4. Misalkan
    f , g a,b maka  untuk  sebarang 0   terdapat  fungsi  positif   pada   a,b sedemikian  sehingga  jika
    1 1 2 3  − = = i i i
P x , x ,t i , , ,..,n adalah  partisi
bertanda δ –  fine  maka  ada  fungsi  sederhana  – δ ( )   ( )   ( ) 1 1 1 1     − − − = = +  n i n x ,x x ,x i i n n i x c x c x dan ( )   ( )   ( ) 1 1 1 1     − − − = = +  n i n x ,x x ,x i i n n i x d x d x sehingga    −  ( x ) f ( x ) ,dan    −  ( x ) f ( x ) untuk  semua  
,  x a b .  Ini  berakibat    untuk  setiap 1, 2,..., = i n
berlaku
77
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.37
( )   ( )   ( ) ( ) ( )  
( )   ( )   ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i n i n x ,x x ,x i i n n i i i n n i n x ,x x ,x i i n n i i i n c d c d
x c x c x fungsi sederhana sup sup c sehingga x f x untuk setiap x a,b x d x d x fungsi sederhana
sup sup d sehingga
               
 − − − =   − − − =   +  +  
= +
−   =    
−   
 = + −
+   ( ) ( )   x f x untuk setiap x a,b    
 
    −   

Sehingga untuk setiap fungsi positif   berlaku
( )   ( )   ( ) ( ) ( )   ( )   ( )   ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1          
 
     − − − =   − − − =   +  +  
= +
−   =    
−    
= + − +   i i i i n i n x ,x x ,x i i n n i i i n n i n x ,x x ,x i i n n i i i n c d c d
x c x c x fungsi sederhana sup sup c sehingga x f x untuk setiap x a,b x d x d x fungsi sederhana sup sup d sehingga ( ) ( )      
 
    −    
x f x untuk setiap x a,b
Ini berakibat
( )   ( )   ( )
( ) ( )  
( )   ( )   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1          
 
      − − − =   − − − =     = +
−
  + 
  
−    
= +
−  −    n i n x ,x x ,x i i n n i i i i n n i n x ,x x ,x i i n n i i i n x c x c x fungsi sederhana sup sup c d sehingga x f x untuk setiap x a,b
x c x c x fungsi sederhana sup sup c sehingga x f x un
  ( )   ( )   ( ) ( ) ( )   1 1 1 1 1          − − − =      
  
  


 = + − 

+    
−      n i n x ,x x ,x i i n n i i i n tuk setiap x a,b x d x d x fungsi sederhana
sup sup d sehingga x f x untuk setiap x a,b
Dengan kata lain,
( )   ( )   ( ) ( ) ( )   1 1 1 1 1 n i n x ,x x ,x i i n n i i i n x c x c
x fungsi sederhana f g sup sup c
sehingga x f x untuk setiap x a,b          − − − =     = +
−   +     
−      ( )   ( )   ( ) ( ) ( )   1 1 1 1 1 n i n x ,x x ,x i i n n i i i n x d x d x fungsi sederhana sup sup d sehingga x f x untuk setiap x a,b          − − − =     =
+ −   +
   
−   


78
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.37
Selanjutnya untuk setiap 0   ada 0   sehingga
( )   ( )   ( ) ( ) ( )  
( )   ( )   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            
      − − − =   − − − =     = +
−   +      −    
= + − + −    n i n x ,x x ,x i i n n i i i n n i n x ,x x ,x i i n n i i i n x c x c x fungsi sederhana f g sup sup c
sehingga x f x untuk setiap x a,b x d x d x fungsi sederhana sup sup d sehingga x f x u  
2 2       
          
 + + +   
   

= + +
ntuk setiap x a,b f g f g
Dari sini telah diperoleh bahwa +  + f g f g . Jadi    a,b merupakan ruang bernorma.
Selanjutnya ditunjukkan bahwa ruang bernorma    a,b adalah lengkap.
Teorema 2.2. Ruang bernorma    a,b adalah lengkap .
Bukti.
Diambil  sebarang  barisan  Cauchy ( ) n f pada    a,b .  Untuk  sebarang  bilangan 0   ada bilangan asli  N sehingga jika
  m,n N maka berlaku
 −  n m f f . Dengan kata lain,
( )   ( ) ( )   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1 1 1 1 0 1 

   
          − − = =      = =
− −   −   

 −  −       n n n in m im x ,x x ,x i i i i i i in im i n n n m m x c x dan x c x fungsi fungsi sederhana inf sup sup c c
sehingga x f x dan x f x untuk setiap x a,b
Ini berarti ada
0   sehingga
( )   ( ) ( )   ( )
( ) ( ) ( ) ( )   1 1 1 1 1   
            − − = =     = = − −   −  


 −  −  
    n n n in m im x ,x x ,x i i i i i i in im i n n n m m x c x dan x c x fungsi fungsi sederhana sup sup c c
sehingga x f x dan x f x untuk setiap x a,b
Selanjutnya untuk sebarang   dan 1   i n memenuhi
 −  in im c c atau untuk setiap   diperoleh ( ) ( )      −  n m x x untuk setiap    x a,b . Selanjutnya diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    
   
   −  − + − + −  + + n m n n n m m m f x f x f x x x x
x f x 79
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.37
Karena  dan  berlaku sebarang maka ( ) ( ) n f x merupakan barisan Cauchy bilangan riil yang berarti ( ) ( ) n f x konvergen  ke  suatau  bilangan ( ) f x ,  untuk  setiap    x a,b .  Selanjutnya untuk  sebarang 0   ada  bilangan  asli  N dan  fungsi  positif   sehingga  jika   n N
memenuhi ( ) ( ) 2  −  n f x f x untuk  setiap    x a,b dan  jika   fungsi  sederhana  – 
memenuhi ( ) ( ) 2    −  n f x x . Selanjutnya diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        −
 − + −  n n f x x f x f x f x
x .

## III. PENUTUP
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa himpunan semua fungsi terdekati merupakan ruang Banach.

## REFERENSI
[1]  Lee  Peng  Yee,  (1989).  Lanzhou  Lecture  on  Henstock  Integration.  World  Scientific, Singapore.
[2]    A.  Aziz,  S.  Hariyanto,  Y.D.Sumanto,  Solikhin.  (2018).  Fungsi  Terdekati  dan  Sifat  – Sifatnya. Journal of Fundamental Mathematics and Applications , vol. 1, no. 2, pp.122 – 127.
[3]  Gordon,  Russel.  A,  (1994).  The  Integrand  of  Lebesgue  Denjoy,  Perron,  and  Henstock. American Mathematical Society, USA.
[4]    A.  Aziz,  Y.D.Sumanto,  Solikhin,  Robertus  Heri  SU.  (2019).  Beberapa  Karakteristik  Baru pada  Fungsi  Terdekati. Journal  of  Fundamental  Mathematics  and  Applications ,  vol.2, no. 1, pp.22 – 25.
[5] Kreyszigm Erwin, (1978). Introductory Functional  Analysis with  Application, John  Willey & Sons, Canada.
80
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.37