JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 11, No. 2 (2022), 2337-3520 (2301-928X Print)                            A1
Abstrak —Polutan Karbon Monoksida ( 𝑪𝑪𝑪𝑪 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑵𝑵𝑪𝑪 𝟐𝟐 ) yang dihasilkan dari limbah industri dan transportasi dapat menyebabkan pencemaran udara, termasuk di daerah Surabaya. Pencemaran udara menimbulkan berbagai macam penyakit dan mengganggu manusia, hewan hingga tumbuhan. Pada penelitian sebelumnya telah dilakukan estimasi konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝑪𝑪𝑪𝑪 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑵𝑵𝑪𝑪 𝟐𝟐 ) di Kota Surabaya.  Oleh karena itu, pada penelitian ini dibentuk model  kendali optimal penyebaran konsentrasi polutan Karbon Monoksida ( 𝑪𝑪𝑪𝑪 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑵𝑵𝑪𝑪 𝟐𝟐 ) dengan pemberian kendali berupa penghijauan untuk konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝑪𝑪𝑪𝑪 ) dan kendali berupa pengurangan penggunaan kendaraan pribadi untuk konsentrasi Nitrogen Dioksida ( 𝑵𝑵𝑪𝑪 𝟐𝟐 ) agar konsentrasinya dapat ditekan lebih rendah. Dalam  penelitian  ini, dijelaskan mengenai model penyebaran konsentrasi polutan dengan kendali, analisa sifat kestabilan dan keterkontrolan. Selanjutnya dilakukan penyelesaian masalah kendali optimal dengan metode Prinsip Minimum Pontryagin dan dilakukan simulasi numerik dengan metode Runge-Kutta orde 4 menggunakan bantuan software MATLAB. Hasil simulasi numerik dengan waktu akhir 45  hari menunjukkan bahwa konsentrasi polutan yang diberikan kendali mengalami penurunan sebesar 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 % untuk Karbon Monoksida ( 𝑪𝑪𝑪𝑪 ) dan 𝟓𝟓𝟓𝟓 . 𝟒𝟒𝟏𝟏𝟒𝟒 % untuk Nitrogen Dioksida ( 𝑵𝑵𝑪𝑪 𝟐𝟐 ).
Kata Kunci —Pencemaran Udara, Karbon Monoksida (CO), Nitrogen Dioksida  ( 𝑵𝑵𝑪𝑪 𝟐𝟐 ), Kendali Optimal, Prinsip Minimum Pontryagin.

## I. PENDAHULUAN
EGIATAN industri di berbagai bidang dan transportasi muncul sebagai dampak berkembangnya ilmu pengetahuan  dan teknologi  [1].  Kegiatan ini menghasilkan limbah  salah satunya berupa emisi gas yang dalam jumlah tertentu mengakibatkan pencemaran udara  dikarenakan adanya beban melebihi kapasitas yang harus diterima oleh lingkungan [2-3].
Pencemaran udara adalah keadaan dimana terdapat bahan polutan yang masuk kedalam atmosfer dalam jumlah tertentu sehingga memberikan efek pada manusia, binatang, vegetasi, dan material yang bersifat merusak dan merugikan [3]. Pemasangan peralatan jaringan pemantauan kualitas udara dengan tujuan untuk mengetahui dan mengukur kadar kualitas udara sudah dilakukan di Kota Surabaya. Dengan masalah ini, terdapat penelitian yang telah dilakukan untuk mengestimasi konsentrasi Karbon  Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) dengan berbagai metode salah satunya yaitu dengan metode Fraksional Kalman Filter yang telah dilakukan oleh Sandy Editya Prakosa.
Berdasarkan penelitian tersebut, maka pada penelitian ini akan dilakukan pemodelan kendali optimal pada konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) dengan kendali berupa penghijauan pada konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan kendali berupa pengurangan penggunaan kendaraan pribadi pada konsentrasi Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) menggunakan metode Prinsip Mininum Pontryagin . Untuk mensimulasikan model ini, dibutuhkan data obsevasi asli yang akan diambil dari data pengamatan harian konsentrasi polutan dari Dinas Lingkungan Hidup Kota Surabaya dengan pengambilan Kelurahan Kebonsari Kecamatan Jambangan sebagai sampel. Simulasi dilakukan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4.

## II. URAIAN MATERI
A. Model Penyebaran Konsentrasi Polutan Menurut Proses Difusi dan Adveksi
Polutan berupa Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) yang diamati dalam penelitian ini berbentuk gas. Sehingga perpindahannya di udara melalui proses difusi dan adveksi. Difusi merupakan suatu proses perpindahan zat ataupun partikel dari daerah yang berkonsentrasi tinggi ke daerah yang berkonsentrasi rendah. Hukum Fick merupakan salah satu hukum yang berlaku pada difusi yang menggambarkan fluks suatu zat dan konsentrasinya sebagai fungsi waktu dan posisi [4]. Pada Hukum Fick pertama, menyatakan bahwa fluks sebanding dengan gradien konsentrasi, sehingga persamaan difusi dapat dituliskan sebagai berikut [5]:
𝐽𝐽 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) = −𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) 𝜕𝜕𝑥𝑥 (1)
dengan
𝐽𝐽 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) : fluks perpindahan massa ke arah sumbu- 𝑥𝑥 pada  waktu 𝑡𝑡 ,
𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) : konsentrasi polutan pada posisi 𝑥𝑥 dengan waktu 𝑡𝑡 ,
𝐷𝐷 𝑥𝑥 : koefisien difusi pada arah- 𝑥𝑥 ,
𝜕𝜕𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) 𝜕𝜕𝑥𝑥
: gradien konsentrasi ke arah sumbu- 𝑥𝑥 pada waktu 𝑡𝑡 . Adveksi merupakan proses transfer zat maupun partikel dari perairan ke atmosfer melalui angin atau udara.
Desain Kendali Optimal Konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) Menggunakan Metode Prinsip Minimum Pontryagin
Fadia Nila Sihan Novita Lutfiani dan Didik Khusnul Arif Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : fadia.17061@mhs.its.ac.id
K
Persamaan adveksi dapat dituliskan sebagai berikut [5]:
𝐽𝐽 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑉𝑉 𝑥𝑥 (2) dengan
𝐽𝐽 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 : fluks perpindahan massa secara adveksi searah sumbu 𝑥𝑥 , 𝑉𝑉 𝑥𝑥 : kecepatan aliran polutan pada arah 𝑥𝑥 , 𝐶𝐶 : konsentrasi zat polutan. Pada atmosfer akan terjadi aliran fluida yang dapat digambarkan dalam bentuk kubus 3 dimensi dengan sumbu x,y, dan z. Fluks dari polutan akan bergerak masuk menembus permukaan bidang kubus dan keluar dari bidang. Kontrol volume aliran fluida atau aliran fluks dalam atmosfer dapat diilustrasikan sebagai Gambar 1  [5].  Berdasarkan hukum kekekalan massa, maka berlaku [6]:
Laju Perubahan fluks = ∑ 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨 𝒚𝒚𝑨𝑨𝑨𝑨𝒚𝒚 𝒎𝒎𝑨𝑨𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎 −
∑ 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨 𝒚𝒚𝑨𝑨𝑨𝑨𝒚𝒚 𝒎𝒎𝒌𝒌𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨𝑨𝑨
𝐽𝐽 𝒙𝒙 merupakan fluks pada arah- 𝑥𝑥 , dan 𝐽𝐽 𝒙𝒙 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 adalah besar fluks yang masuk pada arah sumbu- 𝑥𝑥 . Sedangkan untuk besarnya aliran fluks yang keluar pada arah sumbu- 𝑥𝑥 adalah � 𝐽𝐽 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 . Berdasarkan persamaan (1) dan (2), didapatkan total fluks per satuan volume pada arah sumbu 𝑥𝑥 per satuan waktu adalah sebagai berikut [5]:
𝐽𝐽 𝑥𝑥 = 𝐽𝐽 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) + 𝐽𝐽 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) = −𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝐶𝐶 = 𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝐶𝐶 − 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 (3)
Pada Tugas Akhir ini, daerah yang diamati berupa 2D (ketinggian untuk daerah yang diamati dianggap konstan), maka didapatkan laju perubahan fluks 2D dimana konsentrasi polutan berubah terhadap waktu, seperti berikut [5]:
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 = − � 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 � = − � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 ( 𝐽𝐽 𝑥𝑥 ) + 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐽𝐽 𝜕𝜕 �� (4)
𝐽𝐽 𝑥𝑥 adalah fluks pada arah- 𝑥𝑥 dan 𝐽𝐽 𝑑𝑑 adalah fluks pada arah- 𝑑𝑑 . Selanjutnya, persamaan (3) disubtitusikan ke dalam persamaan (4), didapatkan model penyebaran polutan (model Difusi Adveksi) [5]:
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 = − � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 � 𝐽𝐽 𝑥𝑥 � + 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 � 𝐽𝐽 𝑑𝑑 ��
= �𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷 𝜕𝜕 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 � − �𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑉𝑉 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � (5)
dengan 𝐶𝐶 : Konsentrasi polutan,
𝐷𝐷 𝑥𝑥 : Koefisien difusi pada arah- 𝑥𝑥 ,
𝐷𝐷 𝑑𝑑 : Koefisien difusi pada arah- 𝑑𝑑 ,
𝑉𝑉 𝑥𝑥 : Kecepatan aliran polutan pada arah- 𝑥𝑥 , 𝑉𝑉 𝑑𝑑 : Kecepatan aliran polutan pada arah- 𝑑𝑑 .

## B. Diskritisasi
Diskritisasi merupakan proses untuk merubah model dari bentuk kontinu menjadi bentuk diskrit.  Salah satu metode diskritisasi  adalah  metode beda hingga. Dalam model penyebaran konsentrasi polutan gas, pergerakan dari konsentrasi polutan akan didiskritisasi dengan pendekatan beda hingga maju ( forward difference ). 𝐶𝐶 merupakan variabel keadaan pada model pencemaran udara yang berbentuk sistem dinamik. Variabel 𝐶𝐶 dapat dituliskan dengan notasi indeks sebagai berikut [7]:
𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 , 𝑑𝑑 , 𝑡𝑡 )~ 𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘
𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 , 𝑑𝑑 , 𝑡𝑡 )~ 𝐶𝐶 ( 𝐷𝐷∆𝑥𝑥 , 𝑗𝑗∆𝑑𝑑 , 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 )~ 𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 dimana 𝑡𝑡 ≈ 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 dengan 𝑘𝑘 = 1, 2, 3, … . Diskritisasi di titik 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 :
𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 , 𝑑𝑑 , 𝑡𝑡 ) = 𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘+1 − 𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 ∆𝑡𝑡 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 ≈ 𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 +1 −𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 ∆𝑡𝑡 (6)
Dalam model penyebaran konsentrasi polutan gas yang berbentuk sistem dinamik, 𝐶𝐶 merupakan variabel keadaan. Pendekatan beda hingga pusat akan digunakan untuk diskritisasi pada posisi 𝑥𝑥 dan posisi 𝑑𝑑 [7]. Diskritisasi terhadap posisi x diperoleh
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 ≈ 𝐶𝐶 𝐷𝐷 +1, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 −𝐶𝐶 𝐷𝐷− 1, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 2 ∆𝑥𝑥 (7)
𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 ≈ 𝐶𝐶 𝐷𝐷 +1, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 − 2 𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 + 𝐶𝐶 𝐷𝐷− 1, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 ( ∆𝑥𝑥 ) 2 (8)
sedangkan diskritisasi terhadap posisi 𝑑𝑑 diperoleh
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 ≈ 𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 +1 𝑘𝑘 −𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗− 1 𝑘𝑘 2 ∆𝑑𝑑 (9) 𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 2 ≈ 𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 +1 𝑘𝑘 − 2 𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 + 𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗− 1 𝑘𝑘 ( ∆𝑑𝑑 ) 2 .                     (10)

## C. Kestabilan dan Keterkontrolan
Persamaan linier diskrit 𝑥𝑥 𝑘𝑘 +1 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝐵𝐵𝑢𝑢 𝑘𝑘 memiliki sifat- sifat diantaranya kestabilan dan keterkontrolan. Persamaan linier diskrit dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika | 𝜆𝜆 𝐷𝐷 ( 𝐴𝐴 )| < 1 untuk 𝐷𝐷 = 1, … , 𝑛𝑛 dengan 𝜆𝜆 𝐷𝐷 ( 𝐴𝐴 ) merupakan nilai eigen dari matriks 𝐴𝐴 . Sedangkan dikatakan stabil jika | 𝜆𝜆 𝐷𝐷 ( 𝐴𝐴 )| ≤ 1 untuk 𝐷𝐷 = 1, … , 𝑛𝑛 [8]. Persamaan linier diskrit 𝑥𝑥 𝑘𝑘 +1 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝐵𝐵𝑢𝑢 𝑘𝑘 , dikatakan terkontrol jika dan hanya jika 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑘𝑘 matriks 𝐶𝐶 sama dengan 𝑛𝑛 [9]. Matriks 𝐶𝐶 merupakan matriks keterkontrolan dengan [8]:
Gambar 1. Kontrol Volume Aliran Fluida.
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 11, No. 2 (2022), 2337-3520 (2301-928X Print)                            A3

## 𝐶𝐶 = [ 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴

## 2 𝐵𝐵 … 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝐵𝐵 ] (11)

## D. Kendali Optimal dengan Prinsip Minimum Pontryagin
Kendali yang digunakan dalam suatu sistem haruslah memenuhi beberapa hal dan pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim minimum maupun maksimum yang ingin dicapai oleh sistem yang sesuai dengan fungsi tujuan. Sehingga dapat dirumuskan beberapa hal yang diperlukan dalam melakukan suatu kendali optimal, sebagai berikut [10]: 1. Model matematika dari suatu sistem yang secara umum berbentuk variabel state .
2. Fungsi objektif dari suatu sistem.
3. Kendala dan kondisi batas yang harus dipenuhi oleh suatu sistem.
Fungsi objektif atau performance index dari suatu sistem dapat dirumuskan sebagai berikut [10]:
𝐽𝐽 ( 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 )) = 𝑆𝑆�𝑥𝑥�𝑡𝑡 𝑓𝑓 � , 𝑡𝑡 𝑓𝑓 � + ∫ 𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 0
(12)
dengan kendala
𝑥𝑥 ̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝐷𝐷 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) , 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) , 𝑡𝑡 ) (13) serta kondisi batas 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥�𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝑥𝑥 𝑓𝑓 , 𝑡𝑡 0 dan 𝑡𝑡 𝐷𝐷 masing-masing adalah waktu awal dan akhir.
Setelah memberikan kendali terhadap sistem,   dilakukan perhitungan kendali optimal dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin. Berikut merupakan langkah-langkah yang perlu dilakukan dalam prinsip ini [10]:
1. Membentuk fungsi Pontryagin (Hamiltonian)
𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) = 𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆 ′ ( 𝑡𝑡 ) 𝐷𝐷 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) (14)
2. Meminimumkan bentuk Hamiltonian terhadap vektor kendali 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) dengan cara sebagai berikut:
𝜕𝜕𝐻𝐻 𝜕𝜕𝑢𝑢 = 0 (15)
Sehingga diperoleh kondisi stasioner sebagai berikut:
𝑢𝑢 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = ℎ ( 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) (16)
3. Dengan menggunakan 𝑢𝑢 ∗ ( 𝑡𝑡 ) yang telah dihasilkan pada langkah 2, akan didapatkan fungsi Hamiltonian baru yang optimal dengan notasi 𝐻𝐻 ∗ ( 𝑡𝑡 ) , sebagai berikut:
𝐻𝐻 ∗ ( 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) ≤ 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) (17)
4. Mencari persamaan kedua state dan costate dengan cara sebagai berikut:
𝑥𝑥̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗ dan 𝜆𝜆̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 � ∗ (18)
dengan kondisi batas yang diberikan oleh keadaan awal ( 𝑥𝑥 0 ) dan keadaan akhir yaitu:
�𝐻𝐻 ∗ + 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 � 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝛿𝛿𝑡𝑡 𝑓𝑓 + �� 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 � ∗ − 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � 𝑡𝑡 𝑓𝑓 ′ 𝛿𝛿𝑥𝑥 𝑓𝑓 = 0 (19)
dengan 𝑆𝑆 adalah bentuk Meyer dari fungsi tujuan 𝐽𝐽 , 𝐻𝐻 adalah persamaan Hamiltonian, 𝛿𝛿 menunjukkan variasi dan tanda * menunjukkan keadaan saat variabel kendalinya stasioner.
5. Mensubstitusikan hasil yang telah diperoleh pada langkah ke-4 ke dalam persamaan 𝑢𝑢 ∗ ( 𝑡𝑡 ) pada langkah ke-2 untuk mendapatkan kendali optimalnya.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Pengembangan Model Konsentrasi Polutan Gas
Model penyebaran konsentrasi polutan gas pada persamaan (5) dikembangkan  dengan memberikan kendali berupa penghijauan untuk konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan kendali berupa pengurangan penggunaan kendaraan pribadi untuk konsentrasi Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) . Pada atmosfer terjadi aliran fluida seperti yang digambarkan pada Gambar 1. Fluks dari polutan akan bergerak menembus permukaan bidang dan keluar dari bidang. Pemberian kendali diasumsikan berpengaruh terhadap jumlah fluks polutan yang masuk. Model sistem penyebaran konsentrasi polutan gas dengan pemberian kendali digambarkan seperti Gambar 2.
Pada penyebaran konsentrasi polutan gas di udara berlaku hukum kekekalan massa sebagai berikut [6]:
𝑳𝑳𝑨𝑨𝑳𝑳𝒇𝒇 𝑷𝑷𝒌𝒌𝑨𝑨𝒇𝒇𝑷𝑷𝑨𝑨𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑳𝑳𝒇𝒇𝒎𝒎𝒎𝒎
= � 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨 𝒚𝒚𝑨𝑨𝑨𝑨𝒚𝒚 𝒎𝒎𝑨𝑨𝒎𝒎𝒇𝒇𝒎𝒎
− � 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨 𝒚𝒚𝑨𝑨𝑨𝑨𝒚𝒚 𝒎𝒎𝒌𝒌𝑨𝑨𝒇𝒇𝑨𝑨𝑨𝑨 Berdasarkan model sistem penyebaran konsentrasi polutan gas dengan kendali pada Gambar 2 diasumsikan bahwa fluks yang masuk adalah sebagai berikut :
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢𝑘𝑘𝐹𝐹 𝑚𝑚𝑎𝑎𝐹𝐹𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝐽𝐽 𝒙𝒙 + 𝐽𝐽 𝒚𝒚 + 𝛼𝛼𝑢𝑢 (20)
𝐽𝐽 𝒙𝒙 merupakan fluks yang masuk searah sumbu- 𝑥𝑥 dengan model pada persamaan (2.4), sedangkan 𝐽𝐽 𝒚𝒚 merupakan fluks yang masuk searah sumbu- 𝑑𝑑 . Dan 𝛼𝛼 merupakan bobot kendali dengan kendali yang dinotasikan dengan 𝑢𝑢 .  Fluks keluar dari model sistem penyebaran konsentrasi polutan gas adalah sebagai berikut:
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢𝑘𝑘𝐹𝐹 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐹𝐹𝑢𝑢𝑎𝑎𝑟𝑟 = �𝐽𝐽 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥� 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 + � 𝐽𝐽 𝑑𝑑 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑑𝑑 � 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 (21)
� 𝐽𝐽 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 merupakan aliran fluks yang keluar
Gambar 2. Model Sistem Penyebaran Konsentrasi Polutan Gas dengan Kendala ( 𝑢𝑢 ). ∆𝑥𝑥 ∆𝑑𝑑 ∆𝑑𝑑 kendali 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢𝑘𝑘𝐹𝐹 𝑚𝑚𝑎𝑎𝐹𝐹𝑢𝑢𝑘𝑘 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑢𝑢𝑘𝑘𝐹𝐹 𝑘𝑘𝑘𝑘𝐹𝐹𝑢𝑢𝑎𝑎𝑟𝑟
searah sumbu- 𝑥𝑥 dan � 𝐽𝐽 𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 merupakan aliran fluks yang keluar searah sumbu- 𝑑𝑑 . Sehingga menurut hukum kekekalan massa diperoleh model penyebaran konsentrasi polutan gas dengan kendali sebagai berikut:
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝛼𝛼𝑢𝑢 − � 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝐽𝐽 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑑𝑑 � = 𝛼𝛼𝑢𝑢 − � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 ( 𝐽𝐽 𝑥𝑥 ) + 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐽𝐽 𝜕𝜕 �� (22)
Selanjutnya persamaan (3) disubtitusikan ke dalam persamaan (22). Sehingga model penyebaran konsentrasi polutan dengan kendali diperoleh sebagai berikut:
𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑡𝑡 = � 𝛼𝛼𝑢𝑢 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷 𝑑𝑑 𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 2 � − � 𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑉𝑉 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 � (23)
dimana 𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 ) ≥ 0 , dengan 𝐶𝐶 : Konsentrasi polutan,
𝐷𝐷 𝑥𝑥 : Koefisien difusi pada arah- 𝑥𝑥 , 𝐷𝐷 𝑑𝑑 : Koefisien difusi pada arah- 𝑑𝑑 , 𝑉𝑉 𝑥𝑥 : Kecepatan aliran polutan pada arah- 𝑥𝑥 , 𝑉𝑉 𝑑𝑑 : Kecepatan aliran polutan pada arah- 𝑑𝑑 , 𝛼𝛼 : Bobot kendali,
𝑢𝑢 : Kendali.

## B. Diskritisasi
Model penyebaran konsentrasi polutan gas dengan kendali dari persamaan (23) sebagai berikut:
𝜕𝜕𝐶𝐶
𝜕𝜕𝑡𝑡 = � 𝛼𝛼𝑢𝑢 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷 𝑑𝑑 𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 2 � − � 𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑉𝑉 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 �
Dengan demikian bentuk persamaan (20) dapat disajikan kembali dalam bentuk diskrit sebagai berikut:
𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 +1 = 𝑎𝑎𝐶𝐶 𝐷𝐷 +1, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏𝐶𝐶 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 𝑘𝑘 + 𝑐𝑐𝐶𝐶 𝐷𝐷− 1, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗+1 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗−1 𝑘𝑘 + 𝛼𝛼𝑢𝑢 (24)
dimana
𝑎𝑎 = � 𝐷𝐷 𝑥𝑥 ( ∆𝑥𝑥 ) 2 − 𝑉𝑉 𝑥𝑥 2∆𝑥𝑥 � ∆𝑡𝑡 ,
𝑏𝑏 = � 1 ∆𝑡𝑡 − 2𝐷𝐷 𝑥𝑥 ( ∆𝑥𝑥 ) 2 − 2𝐷𝐷 𝑦𝑦 ( ∆𝜕𝜕 ) 2 � ∆𝑡𝑡 ,
𝑐𝑐 = � 𝐷𝐷 𝑥𝑥 ( ∆𝑥𝑥 ) 2 + 𝑉𝑉 𝑥𝑥 2∆𝑥𝑥 � ∆𝑡𝑡 ,
𝑎𝑎 = � 𝐷𝐷 𝑦𝑦 ( ∆𝜕𝜕 ) 2 − 𝑉𝑉 𝑦𝑦 2∆𝜕𝜕 � ∆𝑡𝑡 ,
𝑘𝑘 = � 𝐷𝐷 𝑦𝑦 ( ∆𝜕𝜕 ) 2 + 𝑉𝑉 𝑦𝑦 2∆𝜕𝜕 � ∆𝑡𝑡 .
Dengan syarat 𝐶𝐶 𝐷𝐷 ,0 𝑘𝑘 = 𝐶𝐶 0, 𝑗𝑗 𝑘𝑘 = 0 dimana 𝐷𝐷 , 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, … , 10 . Model akan didiskritkan sebesar 10 𝑥𝑥 10 , maka model dapat dituliskan kembali menjadi:
𝐶𝐶 1,1 = 𝑎𝑎𝐶𝐶 2,1 + 𝑏𝑏𝐶𝐶 1,1 + 𝑐𝑐𝐶𝐶 0,1 + 𝑎𝑎𝐶𝐶 1,2 + 𝑘𝑘𝐶𝐶 1,0 + 𝛼𝛼𝑢𝑢 1,1 𝐶𝐶 1,2 = 𝑎𝑎𝐶𝐶 2,2 + 𝑏𝑏𝐶𝐶 1,2 + 𝑐𝑐𝐶𝐶 0,2 + 𝑎𝑎𝐶𝐶 1,3 + 𝑘𝑘𝐶𝐶 1,1 + 𝛼𝛼𝑢𝑢 1,2 𝐶𝐶 1,3 = 𝑎𝑎𝐶𝐶 2,3 + 𝑏𝑏𝐶𝐶 1,3 + 𝑐𝑐𝐶𝐶 0,3 + 𝑎𝑎𝐶𝐶 1,4 + 𝑘𝑘𝐶𝐶 1,2 + 𝛼𝛼𝑢𝑢 1,3 ⋮ 𝐶𝐶 10,10 = 𝑎𝑎𝐶𝐶 11,10 + 𝑏𝑏𝐶𝐶 10,10 + 𝑐𝑐𝐶𝐶 9,10 + 𝑎𝑎𝐶𝐶 10,11 + 𝑘𝑘𝐶𝐶 10,9
+ 𝛼𝛼𝑢𝑢 10,10
Berdasarkan diskritisasi model tersebut didapatkan bentuk matriks state space -nya sebagai berikut:
𝑥𝑥 𝑘𝑘 +1 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝐵𝐵𝑢𝑢 𝑘𝑘 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐶𝐶 1 , 1 𝐶𝐶 1 , 2 𝐶𝐶 1 , 3 ⋮ 𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝐶𝐶 𝑖𝑖+1 , 𝑗𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ 𝐶𝐶 10 , 10 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑘𝑘+1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 0 ⋯ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑎𝑎 0 ⋯ 0 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑎𝑎 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋯ ⋱ 𝑘𝑘 𝑏𝑏 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 𝑎𝑎 0 ⋯ ⋯ 0 ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ ⋯ 𝑎𝑎 ⋮ 𝑐𝑐 ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 𝑐𝑐 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ⋯ ⋯ 𝑎𝑎 ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ ⋮ ⋯ 0 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑘𝑘 𝑏𝑏⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝐶𝐶 1 , 1 𝐶𝐶 1 , 2 𝐶𝐶 1 , 3 ⋮ 𝐶𝐶 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝐶𝐶 𝑖𝑖+1 , 𝑗𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ 𝐶𝐶 10 , 10 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑘𝑘 + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛼𝛼 0 0 ⋯ ⋯ 0 𝛼𝛼 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 𝛼𝛼 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 𝛼𝛼 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝛼𝛼 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 𝛼𝛼 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 𝛼𝛼⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑢𝑢 1 , 1 𝑢𝑢 1 , 2 𝑢𝑢 1 , 3 ⋮ 𝑢𝑢 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖+1 , 𝑗𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑢𝑢 10 , 10 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑘𝑘 (25)
Matriks 𝐴𝐴 dan matriks 𝐵𝐵 keduanya sama-sama memiliki ukuran 100 × 100 .

## C. Analisa dan Hasil Simulasi
Dalam proses analisa dan simulasi diperlukan asumsi nilai- nilai dari parameter yang berkaitan dengan analisa sifat dan penyelesaian permasalahan kendali optimal. Asumsi nilai- nilai parameter diberikan seperti pada Tabel 1.
Diperlukan nilai eigen dari matriks 𝐴𝐴 untuk mengetahui kestabilan model sistem tersebut. Dengan pemberian asumsi pada nilai parameter yang tertera pada Tabel 1, maka diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐴𝐴 . Berdasarkan nilai eigen yang telah diperoleh tersebut, dapat dinyatakan bahwa model sistem penyebaran konsentrasi polutan gas dengan kendali bersifat stabil asimtotik.
Keterkontrolan dari model penyebaran konsentrasi polutan gas dapat diketahui melalui rank matriks 𝐶𝐶 . Berdasarkan model penyebaran konsentrasi polutan gas dengan kendali dari persamaan  (25), diperoleh matriks 𝐶𝐶 dengan ukuran 100 × 10000 , dan memiliki 𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝑘𝑘 = 100 .  Sehingga
Tabel 1.
Asumsi Nilai Parameter
Parameter Nilai Parameter Nilai 𝐷𝐷 𝑥𝑥 0.25 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 0.02 𝐷𝐷 𝜕𝜕 0.25 𝑡𝑡 0 0 𝑉𝑉 𝑥𝑥 2 𝑡𝑡 𝑓𝑓 20 𝑉𝑉 𝜕𝜕 2 𝛼𝛼 0.05 𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 1.5 𝑎𝑎𝑥𝑥 0.5
𝜕𝜕 2 𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑑𝑑 2 1.5 𝑎𝑎𝑑𝑑 0.5 𝜕𝜕𝐶𝐶 𝜕𝜕𝑥𝑥 0.02 𝑎𝑎𝑡𝑡 0.1
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 11, No. 2 (2022), 2337-3520 (2301-928X Print)                            A5
berdasarkan teori keterkontrolan didapatkan bahwa model sistem tersebut terkontrol.
Prinsip minimum pontryagin merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan permasalahan kendali optimal. Fungsi tujuan yang diberikan untuk model konsentrasi polutan gas sebagai berikut:
𝐽𝐽 ( 𝑢𝑢 ) = 𝑚𝑚𝐷𝐷𝑛𝑛 ∫ �𝐶𝐶 − 1 2 𝛼𝛼𝑢𝑢 2 � 𝑎𝑎𝑢𝑢
𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 0 (26)
dengan kendala:
𝑡𝑡 0 < 𝑡𝑡 < 𝑡𝑡 𝐷𝐷 0 < 𝑢𝑢 < 1 (27)
𝐶𝐶 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝐶𝐶 0 > 0 Permasalahan kendali optimal yang terdapat pada penelitian ini memiliki jenis fixed-final time and free-final state system [10]. Berikut merupakan langkah-langkah dalam penyelesaian permasalahan kendali optimal pada persamaan (23) dengan metode prinsip minimum pontryagin [10]:
1. Membentuk fungsi Hamiltonian
𝐻𝐻 ( 𝐶𝐶 , 𝑢𝑢 , 𝜆𝜆 , 𝑡𝑡 ) = 𝑉𝑉 ( 𝐶𝐶 , 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆𝐷𝐷 ( 𝐶𝐶 , 𝑢𝑢 , 𝑡𝑡 )
𝐻𝐻 ( 𝐶𝐶 , 𝑢𝑢 , 𝜆𝜆 , 𝑡𝑡 ) = �𝐶𝐶 − 1 2 𝛼𝛼𝑢𝑢 2 � + 𝜆𝜆 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛼𝛼𝑢𝑢 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷 𝜕𝜕 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 − 𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝑉𝑉 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (28) 2. Menentukan kondisi stasioner dari persamaan Hamiltonian (26) untuk mendapatkan persamaan kendali optimal.
𝜕𝜕𝐻𝐻 𝜕𝜕𝑢𝑢 = 0
−𝛼𝛼𝑢𝑢 + 𝛼𝛼𝜆𝜆 = 0 𝑢𝑢 ∗ = 𝜆𝜆 (29)
3. Menentukan 𝐻𝐻 ∗ yang optimal Dengan mensubstitusikan persamaan kendali optimal yang telah diperoleh pada persamaan (langkah 2) ke dalam persamaan Hamiltonian pada langkah 1, maka diperoleh:
𝐻𝐻 ∗ ( 𝐶𝐶 , 𝑢𝑢 ∗ , 𝜆𝜆 , 𝑡𝑡 ) = 1 2 𝛼𝛼𝜆𝜆 2 + 𝐶𝐶 + 𝐷𝐷 𝑥𝑥 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷 𝜕𝜕 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 − 𝑉𝑉 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝑉𝑉 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 (30)
4. Menyelesaikan persamaan state dan costate untuk memperoleh model yang optimal.
a. Persamaan State
Persamaan state yang optimal didapatkan dengan cara menurunkan fungsi 𝐻𝐻 ∗ yang telah diperoleh pada langkah ke-3 terhadap 𝜆𝜆 , sebagai berikut:
𝐶𝐶̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗ 𝐶𝐶̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 𝛼𝛼𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) (31)
b. Persamaan Costate Persamaan costate yang optimal didapatkan dengan cara menurunkan negatif fungsi 𝐻𝐻 ∗ yang telah diperoleh pada langkah ke-3 terhadap 𝐶𝐶 , sehingaa dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜆𝜆̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗ 𝜆𝜆̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − 1 (32)
Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan metode forward backward sweep Runge-Kutta orde 4 dengan asumsi batas pada persamaan (27) dan asumsi nilai parameter pada tabel 1. Dalam melakukan simulasi numerik tersebut dijalankan dengan menggunakan bantuan software MATLAB. Misal diberikan persamaan differensial sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 ( 𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 ) (33)
dengan kondisi awal 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑥𝑥 0 , maka iterasi penyelesaian forward sweep Runge-Kutta orde 4 adalah sebagai berikut [10]:
𝑘𝑘 1 = ℎ𝐷𝐷 ( 𝑡𝑡 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) (34)
𝑘𝑘 2 = ℎ𝐷𝐷 �𝑡𝑡 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 1 2 � (35)
𝑘𝑘 3 = ℎ𝐷𝐷 �𝑡𝑡 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 2 2 � (36)
Gambar 3. Grafik Konsentrasi 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 .
Gambar 4. Grafik Konsentrasi 𝐶𝐶𝐶𝐶 .
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 11, No. 2 (2022), 2337-3520 (2301-928X Print)                            A6
𝑘𝑘 4 = ℎ𝐷𝐷 ( 𝑡𝑡 𝑛𝑛 + ℎ , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 3 ) (37)
ℎ = 𝑡𝑡 𝑓𝑓 −𝑡𝑡 0 𝑛𝑛 (38) dengan ℎ merupakan panjang interval, 𝑡𝑡 0 dan 𝑡𝑡 𝑓𝑓 adalah waktu awal dan akhir. Penyelesaian forward sweep Runge Kutta orde 4 adalah sebagai berikut [10]:
𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 1 6 ( 𝑘𝑘 1 + 2 𝑘𝑘 2 + 2 𝑘𝑘 3 + 𝑘𝑘 4 )       (39) dan iterasi penyelesaian backward sweep Runge-Kutta orde 4 adalah sebagai berikut [10]:
𝑘𝑘 1 = ℎ𝐷𝐷 ( 𝑡𝑡 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) (40)
𝑘𝑘 2 = ℎ𝐷𝐷 �𝑡𝑡 𝑛𝑛 − ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 1 2 � (41)
𝑘𝑘 3 = ℎ𝐷𝐷 �𝑡𝑡 𝑛𝑛 − ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 2 2 � (42)
𝑘𝑘 4 = ℎ𝐷𝐷 ( 𝑡𝑡 𝑛𝑛 − ℎ , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 3 ) (43)
ℎ = 𝑡𝑡 𝑓𝑓 −𝑡𝑡 0 𝑛𝑛 (44) dengan ℎ merupakan panjang interval, 𝑡𝑡 0 dan 𝑡𝑡 𝑓𝑓 adalah waktu awal dan akhir. Penyelesaian backward sweep Runge Kutta orde 4 adalah sebagai berikut [10]:
𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 1 6 ( 𝑘𝑘 1 + 2 𝑘𝑘 2 + 2 𝑘𝑘 3 + 𝑘𝑘 4 )       (45)
Proses simulasi dimulai dengan memberikan konsentrasi awal 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 atau 𝐶𝐶 (0) sebesar 79.3433 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 . Nilai ini bersumber dari konsentrasi harian tertinggi 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 sepanjang tahun 2019 di Surabaya. Dengan waktu akhir � 𝑡𝑡 𝐷𝐷 � yang diberikan untuk simulasi adalah 45 hari.
Langkah selanjutnya dilakukan simulasi dengan bantuan software MATLAB. Hasil yang dari simulasi numerik ini dapat dilihat pada Gambar 3.
Berdasarkan  Gambar  3.  terlihat bahwa model dengan pemberian kendali berupa pengurangan penggunaan kendaraan pribadi mengalami penurunan konsentrasi 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 . Sedangkan model tanpa kendali mengalami peningkatan konsentrasi 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 . Dalam simulasi model tanpa kendali diperoleh konsentrasi akhir 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 sebesar 340.418 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 dimana konsentrasi akhir mengalami peningkatan dari konsentrasi awal. Sedangkan dalam simulasi model dengan pemberian kendali diperoleh konsentrasi akhir 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 sebesar 0 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 .
Dengan melakukan langkah simulasi yang sama untuk konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ), diberikan konsentrasi awal untuk konsentrasi 𝐶𝐶𝐶𝐶 atau 𝐶𝐶 (0) sebesar 20.511 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 . Nilai ini bersumber dari konsentrasi harian tertinggi 𝐶𝐶𝐶𝐶 sepanjang tahun 2019 di Surabaya. Waktu akhir �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � yang
diberikan untuk simulasi adalah 45 hari. Diperoleh hasil dari simulasi numerik sebagai berikut:
Berdasarkan  Gambar 4.  terlihat bahwa model  dengan pemberian kendali berupa penghijauan dan bobot kendali sebesar 0.05 mengalami penuruan konsentrasi 𝐶𝐶𝐶𝐶 . Sedangkan model tanpa kendali mengalami peningkatan konsentrasi 𝐶𝐶𝐶𝐶 . Konsentrasi akhir dari 𝐶𝐶𝐶𝐶 dengan model tanpa kendali diperoleh sebesar 281.586 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 , dimana nilai ini naik dari konsentrasi awal 𝐶𝐶𝐶𝐶 sebesar 20.511 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 . Sedangkan model dengan pemberian kendali berupa penghijauan memiliki konsentrasi akhir 𝐶𝐶𝐶𝐶 sebesar 0 𝜇𝜇𝜇𝜇 / 𝑚𝑚 3 .

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisa dan pembahasan dalam penelitian  ini dapat ditarik kesimpulan yang pertama, dari hasil analisa sifat model penyebaran konsentrasi polutan dengan kendali, diperoleh sifat sistem yang stabil asimtotik dan terkontrol.  Kedua,  dalam upaya memperoleh model minimum optimal  konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) dan Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 ) dengan menerapkan teori kendali Prinsip Minimum Pontryagin diperoleh model kendali optimal yaitu
𝑢𝑢 ∗ = 𝜆𝜆
Berdasarkan hasil simulasi selama 45 hari, pemberian kendali berupa penghijauan menurunkan konsentrasi Karbon Monoksida ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 )  sebesar 100% . Sedangkan pemberian kendali berupa pengurangan penggunaan kendaraan pribadi menurunkan  konsentrasi Nitrogen Dioksida ( 𝑁𝑁𝐶𝐶 2 )  juga sebesar 100% .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] I. Machdar, Pengantar Pengendalian Pencemaran: Pencemaran Air, Pencemaran Udara, dan Kebisingan . Yogyakarta: Deepublish, 2018.
[2]  K. E. S. Manik, Pengelolaan Lingkungan Hidup . Jakarta: Kencana, 2016.
[3]  H. Mukono, Aspek Kesehatan Pencemaran Udara . Surabaya: Pusat Penerbitan dan Percetakan Unair (AUP), 2011.
[4]  A. J. Bard and F. Larry R, Electrochemical Methods: Fundamental and Applications , 2nd ed. United States of America: Library of Congress Cataloging in Publication Data, 2000.
[5]  S. E. Prakosa, “Estimasi Konsentrasi Karbon Monoksida (CO) dan Nitrogen Dioksida (NO2) Menggunakan Metode Fraksional Kalman,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2020.
[6]  N. de Nevers, Air Pollutin Control Engineering , 2nd ed. United States of America: Waveland Press, 1995.
[7]  C. G. Mingham and D. M. Causon, Introductory Finite Difference Methods for PDEs . Manchester Metropolitan University, 2011.
[8]  K. Ogata, Discrete-Time Control Systems , 2nd ed. University of Minnesota, 1995.
[9]  H. S. S. Wijayanti and W. Mardika, “Metode runge kutta dalam penyelesaian model radang akut,” Ekologia , vol. 11, 2011.
[10]  R. W. H. Sargent, Optimal Control Systems . United States of America: CRC Press, 2000.