Dekomposisi

## Ajaib pada Graf Persahabatan dengan Orde Ganjil
A Magic

## Decomposition on Friendship Graph with Odd Order
Indah Chairun Nisa 1 , Sigit Pancahayani 2*) , Annisa Rahmita Soemarsono 1 1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Institut Teknologi Kalimantan
2 Program Studi Statistika, Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Institut Teknologi Kalimantan
* E-mail: spancahayani@lecturer.itk.ac.id

## ABSTRACT
Let = ( , ) is graph with a non-empty set containing vertices and a set of edges . Also note that if = { ⊆ = 1,2,3, . . . , } is a collection of subgraphs from with ≅ , ≠ . If
∩ = ∅ and ⋃ = , then graph admits a decomposition . Furthermore, in this paper we define a new concept of labeling, that is tiered labeling which labels or to a label set containing arithmetic sequences with the smallest element and difference . If ( ) and ( ) are respectively  vertices  and  edges  labeling  at
and  the  total  weight  of  each  subgraph
, = 1,2,3, … , has  the  same  value,  namely ∑ ( ) ∈ ( ) + ∑ ( ) ∈ ( ) = , then  the  graph contains a magic decomposition with as the magic constant. This research shows that using total tiered  labeling,  the  friendship  graph with
= 2 + 1 for ∈ admits  a  magic decomposition with a magic constant = 29 + 6 + 15
.
Keywords: cyclic, friendship graph, arithmetic labeling, magic decomposition.
PENDAHULUAN Berbagai  permasalahan  di  dunia  nyata  dapat diselesaikan menggunakan perhitungan matematis. Salah satu cabang ilmu yang dapat digunakan yaitu  teori  graf.  Contoh permasalahan  yang  dapat  diselesaikan  dengan graf  yaitu  susunan  pegawai  dalam  suatu perusahaan.  Misalkan  dalam  suatu  perusahaan terdapat  sejumlah  divisi  yang  di  dalamnya mencakup  berbagai  pegawai.  Jika  setiap pekerjaan  diberi  bobot  kerja  dan  perusahaan mengharapkan  bobot  kerja  setiap  divisi seimbang,  maka  hal  ini  dapat  diselesaikan menggunakan  dekomposisi  ajaib  graf  dengan memodelkan susunan pegawai beserta bobotnya ke  dalam  suatu  graf. Pada  permasalahan  ini, divisi  berperan  sebagai  subgraf  yang  di dalamnya  terdapat  pegawai  dengan  masing- masing  bobot  kerja  yang  berbeda.  Pada permasalahan tersebut juga diberikan label pada setiap titik dan sisinya. Misalkan =( , ) adalah  suatu  graf berhingga  dengan (atau ( ) )  sebagai himpunan  titik  yang  tak  kosong  dan (atau ( ) ) adalah himpunan sisi yang dibentuk dari sepasangan  titik  berbeda  di (Chartrand  & Zhang, 2005). Selanjutnya, dikatakan subgraf dari graf jika setiap titik dalam merupakan titik dari dan setiap sisi di merupakan sisi dari (Wilson,  1990). yang  merupakan subgraf dari dapat dinotasikan sebagai ⊆ . Subgraf dikatakan  subgraf  pembentang  dari graf jika ( ) = ( ) (Gross & Yellen, 2006) . Selanjutnya, misalkan dan merupakan himpunan tak kosong, dan adalah fungsi yang memetakan  setiap  elemen  di ke  tepat  satu elemen di . Notasi fungsi ini dituliskan sebagai : → yang merupakan relasi dari ke . Hasil peta  dari ∈
oleh ke ∈ dinotasikan ( )= (Bartle & Donald, 2011). Lebih jauh, dikatakan  sebagai  fungsi  pada  (surjektif)  jika dan  hanya  jika  setiap ∈ terdapat ∈
sehingga ( )  = .  Pada  fungsi  pada,  elemen himpunan merupakan bayangan dari satu atau lebih  himpunan .  Kemudian,  suatu  fungsi dikatakan satu-satu (injektif) jika dan hanya jika ( 1) = ( 2) mengakibatkan 1= 2 untuk setiap 1,
2 ∈ . Dengan kata lain, pada fungsi satu-satu, setiap  elemen  di  himpunan tidak  memiliki bayangan  yang  sama  di .  Selebihnya,  jika suatu fungsi bersifat satu-satu dan pada, maka disebut sebagai fungsi bijektif (Rosen, 2012). Pada  teori  graf,  terdapat  pelabelan  yang merupakan  proses  pemberian  label  atau  nilai pada  sisi  dan/atau  titik.  Dengan  kata  lain, pelabelan adalah suatu fungsi yang memetakan himpunan titik dan/atau sisi ke suatu himpunan nilai, biasanya berupa himpunan bilangan asli. Pelabelan  yang  memetakan  titik  dinamakan pelabelan  titik  ( vertex  labeling ),  sedangkan pelabelan  yang  memetakan  sisi  maka  disebut pelabelan  sisi  ( edge  labeling ).  Jika  pelabelan memetakan keduanya, yaitu titik dan sisi maka
pelabelan  tersebut  merupakan  pelabelan  total ( total labeling ) (Baca & Miller, 2008).
Kajian  pelabelan  pada  graf  telah  banyak berkembang menjadi berbagai jenis di antaranya adalah pelabelan total titik ajaib, sebut , yaitu jika  pelabelan  tersebut  merupakan  pemetaan bijektif : ( ) ∪ ( ) → {1,2,3, … , | ( )| + | ( )|} sedemikian  hingga  untuk  setiap  titik ∈ ( ) berlaku ( ) + ∑ ( ) = dengan merupakan titik tetangga dari titik dan adalah  konstanta  ajaib.  Di  sisi  lain dikatakan pelabelan  total titik anti-ajaib, sebut ,  pada  graf jika  pemetaan  bijektif : ( ) ∪ ( ) → {1,2,3, … , | ( )| + | ( )|}
menghasilkan barisan bobot titik
= ( ) + ∑ ( ) yang  semuanya  berbeda. Kedua  pelabelan dan disebut  pelabelan titik  ajaib  super  dan  pelabelan  titik  anti  ajaib super  di jika  seluruh  titik  menerima  label terkecil, yaitu {1,2,3, … , | ( |} (Baca & Miller,
2008). Pelabelan juga berlaku pada subgraf-subgraf dari  suatu  graf  yang  dinamakan  dekomposisi graf.  Dekomposisi  graf  merupakan  salah  satu topik  perluasan  dari  tema  pelabelan. Dekomposisi  dari  suatu  graf merupakan himpunan ℋ = { , = 1,2,3, … , } yang merupakan koleksi subgraf dari dengan ≅ , ∀ ≠ , ∩ = ∅ dan ⋃ = . Dalam  hal  ini,  maka  graf memuat  suatu dekomposisi (Rahmawati, 2014). Selanjutnya, jika terdapat ( ) dan ( ) yang merupakan  dua  buah  pelabelan  titik  dan  sisi pada dan  total  bobot  dari  masing-masing subgraf bernilai sama, yaitu ∑ ( ) ∈ ( ) + ∑ ( )
∈ ( ) = ,  maka  graf memuat dekomposisi ajaib dengan sebagai konstanta ajaib (Chartrand & Lesniak, 1996). Beberapa  penelitian  sebelumnya  telah banyak mengangkat topik penelitian mengenai dekomposisi graf. Contoh penelitian sebelumnya,  yaitu pelabelan  total  titik  ajaib pada  Graf  Peterson  yang  diperumum (Simangunsong,  2015),  dekomposisi H super (anti) ajaib dari graf Antiprisma (Hendy, 2016), dekomposisi super ajaib berbentuk lintasan dari amalgamasi graf siklus oleh Pancahayani (2017) dan  graf  hasil  kali  leksikografik  (Hendy et  al , 2018). Selain itu, telah dikaji pula dekomposisi ( , ) ntiajaib  berbentuk pada  Graf Generalized  Peterson ( , 3) (Masyitoh,
2019) dan. dekomposisi H anti  ajaib  dari  grid toroidal and triangulasinya (Hendy et al , 2020). Selanjutnya,  graf  dibagi  menjadi  beberapa jenis  (kategori)  sesuai  dengan  jenis
pengelompokannya.  Pengelompokan  graf terbagi berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau gelang,  berdasarkan  jumlah  titik,  atau berdasarkan  orientasi  arah  sisi  (Munir,  2014). Salah  satu  jenis  graf,  yaitu  graf  persahabatan. Graf  persahabatan ( ) merupakan  graf  tak berarah dengan titik sebanyak 2 + 1 dan sisi sebanyak 3 .  Graf  persahabatan dapat dibentuk  dengan  menggabungkan buah  graf siklik ( ) pada  sebuah  titik  tetap  (Darmaji,
2011).  Saat  ini,  graf  persahabatan  merupakan graf  yang  masih  jarang  dikaji  sehingga  pada penelitian  ini  dikaji  bagaimana  membangun dekomposisi ajaib pada graf persahabatan.

## METODE
Dalam  menentukan dekomposisi ajaib pada graf persahabatan digunakan  pola  pelabelan  sisi  dan titik, serta pemberian bobot pada setiap titik dan sisi . Penentuan dekomposisi tersebut dijabarkan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Menentukan  graf  serta  subgraf  yang  akan digunakan dalam penelitian.
2. Menentukan label titik dan sisi, serta kardinalitas dari titik dan sisi pada graf persahabatan dengan ganjil atau = 2 + 1 untuk ∈ ℕ .
3. Menentukan  bobot  dari  masing-masing  titik dan  sisi serta  konstanta  ajaib  pada  graf persahabatan .
4. Menentukan  pola  penempatan  label  pada  setiap titik dan sisi pada graf persahabatan .
5. Menentukan  fungsi  pelabelan  titik  dan  sisi berdasarkan hasil pada poin (4).
6. Membentuk  teorema  dan  menyusun  bukti berdasarkan hasil dari poin (5).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  hasil dekomposisi ajaib dari graf persahabatan yang terdekomposisi  menjadi  graf  siklik
. Dekomposisi graf memerlukan pelabelan untuk menentukan  apakah  dekomposisi  tersebut bersifat  ajaib  atau  anti  ajaib.  Penelitian ini menggunakan pelabelan total yang dimulai dari melabeli titik terlebih dahulu kemudian sisinya. Pelabelan total adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan  semua  unsur  pada  graf  baik  titik maupun sisinya ke suatu himpunan yang berisi bilangan bulat positif dari 1 sampai | | + | | . Selanjutnya,  graf  persahabatan yang dibangun  dari buah  graf  siklik  berorder  3, sebut , dengan = 1,2,3, … , , memiliki satu titik  terminal  yang  berfungsi  sebagai  titik bersama  dari  seluruh  graf .  Titik  tersebut dinotasikan sebagai . Untuk membangun sebuah dekomposisi pada dengan = 2 +
1 ,  maka  dibutuhkan  format  atau  susunan  titik dan sisi sebagai berikut 1. Himpunan titik untuk setiap , dengan =
+ 1 adalah sebagai berikut: , = { , , } untuk ∈ [0, − 1] . 2. Himpunan  sisi  untuk  setiap dibagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut  Pada  saat ganjil  dengan = 2 + 1 didapatkan: , = { , , } , untuk ∈ [0, ] .  Pada  saat genap  dengan
= 2 + 2 didapatkan: , = { , , , } , untuk ∈ [0, − 1] . Misalkan  diberikan  himpunan  bilangan bulat  berhingga dengan = {1,2,3, … , } dimana ∈ ℕ . Kemudian,  dapat  dituliskan bahwa
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
adalah  sumset  dari ,  dimana ∑ = ∑ ∈ , yaitu jumlah dari seluruh anggota (Inayah et al ,
2012). Pada penelitian  ini,  diperkenalkan  suatu bentuk  pelabelan  baru,  yaitu  pelabelan bertingkat  yang  melabeli  titik  atau  sisi menggunakan  himpunan  label  berupa  barisan aritmatika.    Pelabelan  ini berbeda  dengan definisi  pelabelan  aritmatika  yang  pernah  ada (Solairaju & Shoba, 2017).
Definisi 1. Misalkan adalah fungsi pelabelan pada graf . disebut  sebagai  pelabelan  bertingkat  jika  ia memetakan  himpunan  titik  atau  himpunan  sisi di ke suatu himpunan aritmatika { + , = 0,1,2, … } dengan  suku pertama dan beda .
Untuk pelabelan bertingkat titik, maka 0 ≤ ≤
| ( )| − 1 ,  sedangkan  untuk  pelabelan bertingkat  sisi,  maka 0 ≤ ≤ | ( )| − 1 . Selanjutnya,  untuk  pelabelan  bertingkat  total,
maka 0 ≤ ≤ | ( )| + | ( )| − 1 . Kemudian, perhatikan bahwa setiap subgraf dari graf persahabatan memuat indeks titik dan  sisi  sesuai  dengan  format  yang  berikan.
Untuk  mengetahui  apakah  graf  persahabatan tersebut  dapat  terdekomposisi,  maka  perlu diketahui  total  dari  indeks  titik  dan  sisi  yang termuat  di  dalam  subgraf .  Lemma  1  akan menjelaskan  mengenai  total  indeks  sisi  setiap subgraf pada graf persahabatan .
Lemma  1 Misalkan himpunan = {1,2,3, … ,3(2 + 1)| ∈ ℕ } merupakan himpunan indeks  sisi pada  graf  persahabatan . Himpunan dapat  dibagi  menjadi 2 + 1 subhimpunan yang saling lepas dengan jumlah indeks  sisi  dari  masing-masing  subhimpunan bernilai sama, yaitu 9 + 6 . Dalam hal ini, 2 + 1 = adalah order ganjil dari .
Bukti. Misalkan
= {1,2,3, … ,3(2 + 1)| ∈
ℕ } adalah himpunan indeks sisi pada . Untuk membagi himpunan ke dalam subhimpunan, dimana = 2 + 1 , digunakan acuan subhimpunan sebagai berikut: = {2 + 1, 3 + 2 − , 6 + 3 − }
untuk ∈ [0, ],
= {2 + 2, 4 + 2 − , 5 + 2 − } untuk ∈ [0, − 1]. Berdasarkan  himpunan  sisi dan dapat  dilihat  bahwa  tidak  ada  indeks sisi yang sama, sehingga didapatkan ∩ = ∅ . Hal  ini  berarti,  himpunan  sisi dan saling lepas. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa 1. ∑ = 2 + 1 + 3 + 2 − + 6 + 3 − = 9 + 6 , 2. ∑
= 2 + 2 + 4 + 2 − + 5 + 2 − = 9 + 6 . Dengan demikian, Lemma 1 terbukti. ■ Berdasakan Lemma 1 diketahui bahwa total indeks sisi pada masing-masing subgraf dari graf persahabatan , yaitu 9 + 6 . Selanjutnya, dicari total indeks titik pada graf persahabatan seperti pada Lemma 2. Total indeks titik dari graf  persahabatan bertujuan  untuk  melihat apakah  pola  pelabelan  titik  yang  diberikan sesuai dengan total indeks yang diketahui.
Lemma  2. Misalkan himpunan merupakan himpunan indeks titik {1,2,3, … ,4 + 3| ∈ ℕ } pada graf persahabatan . Himpunan dapat dibagi  menjadi
2 + 1 subhimpunan  yang masing-masing  memuat  indeks titik  terminal, yaitu 4 + 3 dan jumlah  indeks  titik  dari masing-masing  subhimpunan  bernilai  sama, yaitu 8 + 6 .
Bukti. Misalkan = {1,2,3, … ,3(2 + 1)| ∈ ℕ } . Misalkan  pula dengan = 1,2,3, … , adalah  subhimpunan  dari dengan  susunan sebagai berikut:
= { + 1, 4 + 2 − , 4 + 3} untuk
∈ [0, − 1] ,
dan diperoleh ∑ = + 1 + 4 + 2 − + 4 + 3 = 8 + 6. Dengan demikian, Lemma 2 terbukti. ■ Berdasakan Lemma 2 diketahui bahwa total indeks sisi dari masing-masing subgraf pada graf  persahabatan ,  yaitu 8 + 6 .  Setelah didapatkan  total  indeks  pada  titik  dan  sisi, selanjutnya  ditentukan  total  konstanta  ajaib yang  dituangkan  dalam  Teorema  1.  Penetuan teorema ini bertujuan  untuk mengetahui bobot konstanta  ajaib yang  dibangun  oleh dekomposisi pada graf persahabatan yang berorder ganjil. Teorema 1. Diberikan suatu graf Persahabatan dengan order  ganjil = 2 + 1 ≥ 3 dan pelabelan  bertingkat  total. memuat dekomposisi ajaib dengan konstanta  ajaib = 29 + 6 + 15 .
Bukti. Pertama,  perlu  dilakukan  konstruksi fungsi pelabelan bertingkat titik dan sisi sebagai berikut: ( ) = + ( − 1) untuk ∈ [1, 2 + 1], (1)
( ) = 4 + + ( + 2) (2) untuk ∈ [1, 3 ] , dengan = 2 + 1 ,
Kemudian, dengan menggunakan himpunan titik  dan  sisi  sesuai  dengan  Lemma  1  dan Lemma 2 maka, diperoleh total label titik dan sisi sebagai berikut:
∑ ( ) ∈ ,
+ ∑ ( )
∈ , = ( + ( + 1 − 1) + + (4 + 2 − − 1) + + (4 + 3 − 1)) + (4 + + (2 + 1 + 2) + (4 + + (3 + 2 − + 2) + (4 + + (6 + 3 − + 2)) = 8 + 3 + 3 + 21 + 12 + 3 = 29 + 6 + 15 , dan, ∑ ( ) ∈ ,
+ ∑ ( )
∈ , = ( + ( + 1 − 1) + + (4 + 2 − − 1) + + (4 + 3 − 1)) + (4 + + (2 + 2 + 2) + (4 + + (4 + 2 − + 2) + (4 + + (5 + 2 − + 2)) = 8 + 3 + 3 + 21 + 12 + 3 = 29 + 6 + 15 . Oleh  karena  itu,  graf  Persahabatan dengan order  ganjil ≥ 3, ∈ ℕ memuat dekomposisi ajaib dengan konstanta ajaib sebesar 29 + 6 + 15 . ■
Berdasarkan  Teorema  1,  didapatkan beberapa  akibat  yang  bertujuan  untuk memudahkan  penentuan  nilai  konstanta  ajaib,
beda dari perluasan nilai dan serta order ( ) dari  graf  persahabatan  yang  memuat dekomposisi ajaib.
Akibat  1. Misalkan  graf persahabatan dengan = 2 + 1 ≥ 3; ∈ ℕ dan berdasarkan pelabelan bertingkat total memuat dekomposisi ajaib dengan konstanta ajaib sebagaimana  disebutkan  di  Teorema  1.  Jika terdapat  konstanta  pengali ∈ ℕ sedemikian hingga himpunan label berupa { ( + ), 0 ≤ ≤ | ( )| + | ( )| − 1} ,  maka memuat dekomposisi ajaib  dengan ′ sebagai konstanta ajaib yang baru sebesar ′ = . Bukti. Ambil  sembarang  nilai ∈ ℕ . Berdasarkan fungsi pelabelan titik dan sisi pada Persamaan (1) dan (2) ,  didapatkan  fungsi pelabelan  baru  untuk  titik  dan  sisi  yang  telah dikalikan dengan sebagai berikut: ( ) = ( ) = ( + ( − 1) ),  untuk ∈ [1, 2 + 1] (3) ( ) = ( ) = (4 + + ( + 2) ), untuk ∈ [1, 3 ] (4) Mengacu pada pembentukan himpunan titik dan  sisi  pada  Persamaan (3) dan (4),  maka diperoleh total label titik dan sisi dari masing- masing , sebagai berikut: Untuk ganjil, ′ = ∑ ( ) ∈ , + ∑ ( ) ∈ , = (( + ( + 1 − 1) + + (4 + 2 − − 1) + + (4 + 3 − 1))) + ((4 + + (2 + 1 + 2) + (4 + + (3 + 2 − + 2) + (4 + + (6 + 3 − + 2))) = (8 + 3 + 3 ) + (21 + 12 + 3 )
= (29 + 6 + 15 ) = , dan untuk genap, ′ = ∑ ( ) ∈ , + ∑ ( ) ∈ , = (( + ( + 1 − 1) + + (4 + 2 − − 1) + + (4 + 3 − 1))) + ((4 + + (2 + 2 + 2) + (4 + + (4 + 2 − + 2) + (4 + + (5 + 2 − + 2))) = (8 + 3 + 3 ) + (21 + 12 + 3 ) = (29 + 6 + 15 ) = . Oleh karena itu, terbukti bahwa ′ = . ■
Selanjutnya, diperoleh  pula  Akibat  2 mengenai  selisih konstanta  ajaib  suatu  graf persahabatan  ketika order diperluas menjadi apabila  memuat  pelabelan  bertingkat  total dengan dan yang sama untuk dan .
Akibat 2. Misalkan graf persahabatan ( = 2 + 1 ≥ 3;
∈ ℕ ) dan ( = 2 + 1 ≥
3;
∈ ℕ ) dan  keduanya  memuat  pelabelan bertingkat total dengan dan yang sama.
dan masing-masing memuat dekomposisi ajaib dengan dan sebagai masing-masing konstanta  ajaib  dari dan sebagaimana disebutkan  pada  Teorema  1,  dan | − | =
29 | − | . Bukti. Berdasarkan Teorema 1, konstanta ajaib dari adalah sebesar = 29 + 6 + 15 . Ketika order dari graf persahabatan diperluas menjadi ,  maka | − | = |(29 + 6 + 15 ) − (29 + 6 + 15 )| = 29 | − | . ■ Sebagai contoh diberikan suatu dekomposisi ajaib pada graf persahabatan yang memuat pelabelan bertingkat total dengan = 1 dan = 2 yang  dapat  dilihat  pada
Gambar 1 dan Gambar 2.
Gambar 1. Pelabelan bertingkat total pada graf persahabatan dengan = 1 dan
= 2
Dari  Gambar  1,  terlihat  bahwa memiliki
15 titik dan 21 sisi, sehingga jika = 1 dan =
2 , maka fungsi pelabelan bertingkat total yang digunakan adalah : ( ) ∪ ( ) → {1,3,5, … ,71}. Selanjutnya dekomposisi dari dalam bentuk ditunjukkan  oleh  Gambar  2  dan  diperoleh total bobot dari seluruh titik dan sisi di setiap bernilai sama, yaitu 210. Gambar  2.  Dekomposisi ajaib  dari  graf persahabatan dengan  pelabelan bertingkat total ( = 1, = 2) dan konstanta ajaib = 210 . KESIMPULAN Hasil dari penelitian dapat disimpulkan bahwa graf persahabatan dengan = 2 + 1; ∈ ℕ dengan pelabelan bertingkat total diperoleh sifat sebagai  berikut, memuat  dekomposisi ajaib  dengan  konstanta  ajaib  sebesar = 29 + 6 + 15 . Jika  terdapat  konstanta pengali ∈ ℕ pada pelabelan bertingkat total sedemikian hingga himpunan label berupa { ( + ), 0 ≤ ≤ | ( )| + | ( )| − 1} , maka memuat dekomposisi ajaib  dengan ′ = ;  dan  Selisih  konstanta ajaib dari dan pada dekomposisi ajaib dengan  pelabelan bertingkat total  yang  sama adalah | − | = 29 | − | .

## DAFTAR PUSTAKA
Baca  M  &  M.  Miller.  2008. Super  Edge- Antimagic Graph, A Wealth of Problems and Some Solution . Boca Raton-Florida: Brown
Walker Press.
Bartle  Robert  &  Sherbert  Donald.  2011. Introduction  to  Real  Analysis  4th  Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc. Chartrand,  Gery  &  L.  Lesniak.  1996. Graphs and  Digraphs  Third  Edition. Boca  Raton- Florida: Chapman Hall/CRC.
Chartrand, Gery & P. Zhang. 2005. Introduction to Graph Theory . Singapore: McGraw-Hill. Darmaji. 2011. Dimensi Partisi Graf Multipartit dan Graf Hasil Korona Dua Graf Terhubung. [Tesis]  Sekolah Pascasarjana  Institut Teknologi Bandung (ITB). Hendy.  2016.  The H- super  (anti)  magic Decomposition  of  Antiprism  graphs, AIP
Conference Proceedings 1707. 020007. Hendy, Kiki A. Sugeng, A.N.M. Salman, Nisa Ayunda.  2018.  Another H -super Magic Decompositions  of The Lexicographic
Product  of Graphs. Indonesian  Journal  of
Combinatorics . 2 (2): 72-78. Hendy, A. N. Mudholifah, K. A. Sugeng, Martin Bača & Andrea Semaničová- Feňovčíková.  2020.  On H -antimagic Decomposition  of Toroidal Grids  and
Triangulations. AKCE International Journal of  Graphs  and  Combinatorics . 17 (3):  761-
770.
Inayah N, A Llado & J Moragas. 2012. Magic and  Anti-Magic  H- Decompositions, Discrete Mathematic . 312 (1367-1371). Masyitoh Soffi N. 2019.
Dekomposisi ( , ) − − Antiajain  Pada  Graf  Generelized
Peterson ( , 3) . [Skripsi]  UIN  Syarif Hidayatullah Jakarta, Jakarta.
Munir  R.  2014.
Matematika  Diskrit  Edisi Ketiga . Bandung: Informatika Bandung. Pancahayani  Sigit.  2017.  Dekomposisi  Super Ajaib Berbentuk Lintasan dari Amalgamasi Graf  Siklus. Jurnal  Matematika  dan Pendidikan Matematika . 2 (2): 128-133. Rahmawati  Nur  &  Budi  Rahajeng.  2014. Dekomposisi  Graf  Sikel,  Graf  Roda,  Graf Gir  dan  Graf  Persahabatan. MathHunesa,
3 (3): 64-71. Rosen KH. 2012.
Discrete Mathematics and Its
Application . New York: McGraw-Hill.
Simangunsong JW & Mulyono. 2015. Pelabelan Total  Titik  Ajaib  pada  Graf  Petersen  yang Diperumum. Karismatika. 3 (11-24). Solairaju, A dan Shoba, B. 2017.
Super Magic and Arithmetic Labelings of the Graphs × and × .
Global  Journal  of  Pure and Applied Mathematics . 13 (5): 1365-1374 Wilson  Robin  J  &  Walkins  John  J.  1990. Graphs an Introductory Approach: A First Course in Discrete  Matematic . New York: John Wiley & Sons, Inc.