JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 2, Tahun 2023, Halaman 296 - 303 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PERAMALAN PADA RUNTUN WAKTU DENGAN POLA TREND MENGGUNAKAN SSA-LRF
Diah Safitri 1,2 , Gunardi 1 , Nanang Susyanto 1 , Winita Sulandari 3
1 Departemen Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Indonesia
2 Departemen Statistika, Universitas Diponegoro, Semarang, Indonesia
3 Program Studi Statistika, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, Indonesia *e-mail : diahsafitri@mail.ugm.ac.id
DOI: 10.14710/j.gauss.12.2.296-303
Article Info: Received: 2023-05-02 Accepted: 2023-07-19 Available Online: 2023-07-28

## Keywords:
SSA; SSA-LRF; Trend;Time Series
Abstract: Singular  Spectrum  Analysis-Linear  Recurrent  Formulae (SSA-LRF) is a forecasting method that starts by decomposing time series  data  into  several  independent  and  interpretable  components. SSA-LRF does not have any assumptions that must be fulfilled thus it is more flexible to use. In this research, an empirical study of time series  forecasting  that  has  a  trend  data  pattern  will  be  carried  out using  SSA-LRF  without  difference  transformation  and  with difference  transformation.  A  difference  transformation  is  performed because  the  data  has  a  trend  pattern.  Although  there  are  no assumptions  that  must  be  met  in  forecasting  using  SSA-LRF,  it  is expected  that  difference  transformation  will  produce  better forecasting accuracy than without difference transformation process. There are three data used in this research. The first is data from Wei's book  (2006),  this  data  is  called  series  W8  and  is  a  simulation  data. The  second  data  is  the  number  of  railway  passengers  in  the  Java region. The third data is Mauna Loa atmospheric CO2 concentration data obtained from R software. Forecasting using SSA-LRF without difference  transformation  and  with  difference  transformation  on  all three  data  resulted  in  accurate  forecasting  values,  and  difference transformation improved the accuracy values.

## 1. PENDAHULUAN
Pola  dalam  runtun  waktu  seringkali  dapat  didekomposisi  menjadi  sub  pola,  dimana dekomposisi  tersebut  dapat  membantu  meningkatkan  akurasi  peramalan.  Hassani  (2007) mengemukakan  bahwa  SSA  merupakan  metode  dalam  analisis  runtun  waktu  yang mempunyai  tujuan  membuat  dekomposisi  dari  runtun  yang  asli  menjadi  komponen  yang independen dan dapat diinterpretasi seperti komponen tren, osilasi, dan noise . Golyandina dkk.  (2001)  mengembangkan Singular  Spectrum  Analysis-Linear  Recurrent  Formulae (SSA-LRF).  SSA-LRF  merupakan  metode  peramalan  yang  diawali  dengan  membuat dekomposisi  dari  runtun  waktu  menjadi  beberapa  komponen  yang  independen  dan  dapat diinterpretasi. SSA-LRF lebih fleksibel karena tidak terdapat asumsi yang harus dipenuhi.
Beberapa peneliti telah menulis paper yang berkaitan dengan SSA dan runtun waktu, diantaranya  adalah  Hassani  dkk.(2009)  melakukan  peramalan  produksi  bulanan  industri Eropa  khususnya  Jerman,  Prancis,  dan  UK,  menggunakan  SSA-LRF,  Holt-Winters  dan model ARIMA. Hasil peramalan menggunakan tiga metode tersebut tersebut dibandingkan menggunakan  nilai  akurasi Root  Mean  Square  Error (RMSE)  dan  diperoleh  hasil  bahwa ketiga  metode  tersebut  mempunyai  performa  yang  sama  untuk  peramalan  jangka  pendek dan  SSA-LRF  memiliki  akurasi  yang  lebih  baik  dibandingkan  dengan  Holt-Winters  dan ARIMA  untuk  peramalan  jangka  panjang,  Hassani  dkk.(2010)  menggunakan  SSA  untuk meramalkan nilai tukar, Mahmoudvand dkk. (2019) membandingkan SSA dan multivariate SSA (MSSA) dalam meramalkan nilai tukar harian.
SSA  menguraikan  (dekomposisi)  runtun  waktu  ke  beberapa  komponen  yang  dapat diinterpretasi  berdasarkan Singular  Value  Decomposition (SVD)  dari  matriks  yang dibangun  oleh  runtun  waktu.  Asumsi  yang  harus  dipenuhi  pada  model  parametrik  tidak diasumsikan  pada  metode  SSA,  hal  ini  membuat  SSA  adalah  suatu  metode  yang  bebas model  dan  memungkinkan  mempunyai  jangkuan  luas  dalam  penerapannya.  Tujuan  dari penelitian  ini  adalah  studi  empiris  untuk  menunjukkan  bahwa  peramalan  runtun  waktu berpola  trend  menggunakan  SSA-LRF  menghasilkan  nilai  akurasi  peramalan  yang  sangat baik  dan  dengan  digunakan  tranformasi  diferens  dapat  meningkatkan  akurasi  peramalan. Pada penelitian ini menggunakan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) sebagai nilai akurasi peramalan. Terdapat tiga data yang digunakan dalam  penelitian ini, yang pertama adalah  data  dari  buku  Wei  (2006)  yang  berjudul “Time  Series  Analysis  Univariate  and Multivariate  Methods” ,  data  yang  kedua  adalah  jumlah  penumpang  kereta  api  wilayah Jawa (Jabodetabek dan Non Jabodetabek) yang diperoleh dari https://www.bps.go.id , data ketiga adalah data konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa yang diperoleh dari software R.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Sebagai  metode  non  parametrik  dan  bebas  model,  SSA  dapat  diterapkan  untuk sebarang  runtun.  Keberhasilan  dalam  SSA  bergantung  pada  pemisahan  yang  tepat  dari komponen-komponen  runtun  waktu. Algoritma  SSA  terdapat  empat  tahap  yaitu embedding , Singular  Value  Decomposition (SVD),  pengelompokan  dan  rekonstruksi. Algoritma  dijelaskan  di  dalam  Elsner  dan  Tsonis  (1996),  Golyandina  dkk.  (2001), Golyandina dan Zhigljavsky (2013), dan Golyandina dkk. (2018).
Misalkan runtun waktu bernilai real 𝕏 𝑁 = (𝑥 1 , … , 𝑥 𝑁 ) dengan panjang N dan misal L window  length dengan  1< L < N-1 . K  =  N – L +  1  merupakan  banyaknya  kolom  dari matriks X . Pada tahap embedding , runtun waktu dipetakan ke suatu matriks trajektori X.
X =        
        + + + + N L L L K K K x x x x x x x x x x x x x x x x          2 1 2 5 4 3 1 4 3 2 3 2 1
Tahap  kedua  adalah Singular  Value  Decomposition (SVD).  Hasil  dari  tahap  ini adalah SVD dari matriks trajektori X, yaitu:
X = X 1 + X 2 + … + X d (2) T d d d T T V U V U V U    + + + = ... 2 2 2 1 1 1
dengan S = XX T dan 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑑 nilai eigen positif  dari S serta 𝑈 1 , … , 𝑈 𝑑 sistem orthonormal  dari  vektor eigen matriks S yang  sesuai  dengan  nilai eigen . ( , , ) i i i U V 
disebut eigentriple ke- i .
Tahap  ketiga  adalah  pengelompokan,  dimana  pada  tahap  ini  mempartisi  himpunan indeks  { i  =  1,2,…,d }  menjadi  m  himpunan  yang  saling  asing  sehingga  Persamaan  (2) menjadi
𝐗 = 𝐗 𝐼1 + ⋯ + 𝐗 𝐼𝑚 (3)
Tahap  terakhir  adalah  rekonstruksi.  Pada  tahap  ini,  dilakukan  transformasi  setiap matriks j I X pada  Persamaan  (3)  menjadi  runtun  waktu  berukuran N .  Misalkan Y suatu matriks L x K dengan elemen y ij , K j L, i     1 1 . L* = min(L,K) , K* = max(L,K) dan N  =  L+K-1 .  Misal ij ij y y = * jika L  <  K and ji ij y y = * dalam  keadaan  selain  itu.  Matrix Y ditransfer ke runtun y 1 , … , y N menggunakan formula
1 1 1 1 1 1 1 1 untuk 1 1 untuk 1 untuk 1 * * * k * * m,k m m L * * * k m,k m * m N K * * m,k m m k K y k L k y y L k K L
y K k N N k − + = − + = − + − + = − +       =         − +    
(4)
Linear  Recurrent  Formulae (LRF)  terdapat  pada  Golyandina  dkk.  (2001), Golyandina dan Zhigljavsky (2013), dan Golyandina dan Korobeynikov (2014).  Misalkan I merupakan eigentriple yang  dipilih, L i P R  ,  dan i I  𝑃 𝑖 merupakan  koordinat L -1 pertama 𝑃 𝑖 , 𝜋 𝑖 merupakan koordinat terakhir 𝑃 𝑖 , 𝑣 2 = ∑ 𝜋 𝑖 2 𝑖∈𝐼
𝑅 = (𝑎 𝐿−1 , … , 𝑎 1 ) 𝑇 = 1 1−𝑣 2 ∑ 𝜋 𝑖 𝑖∈𝐼 𝑃 𝑖 .      Runtun  waktu ( ) 1 , , N M N M y y + + =  Y yang merupakan hasil peramalan menggunakan SSA-LRF didefinisikan oleh
1 1 untuk i=1,..., untuk 1,..., i L i j i j j x N y a y i N N M − − =   =  = + +   
Pada penelitian ini menggunakan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) sebagai nilai  akurasi  peramalan  .  Jika Y t merupakan  data  aktual  untuk  periode t dan F t adalah ramalan untuk periode yang sama, maka 𝑒 𝑡 = 𝑌 𝑡 − 𝐹 𝑡 dan (100) t t t t Y F PE Y   − =     , sehingga diperoleh
 = = n t t PE n MAPE 1 1

## 3. METODE PENELITIAN
Pada  penelitian  ini  digunakan  tiga  data,  yang  pertama  adalah  data  dari  buku  Wei (2006) yang berjudul “Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods” . Data dari  buku  Wei  (2006)  ini  dinamakan  runtun  W8,  mempunyai  150  pengamatan  dan merupakan data simulasi, kemudian data yang kedua adalah jumlah penumpang kereta api wilayah  Jawa  (Jabodetabek  dan  Non  Jabodetabek)  yang  merupakan  data  bulanan  dengan 72 pengamatan dari bulan Januari 2014 sampai dengan Desember 2019 yang diperoleh dari https://www.bps.go.id ., data ketiga adalah data konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa yang diperoleh  dari software R  yang  merupakan  data  bulanan  dengan  468  pengamatan  dari tahun 1959 sampai dengan 1997.
Metode analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah Langkah 1 : Menentukan data yang digunakan dalam penelitian ini. Langkah 2 : Peramalan menggunakan metode SSA-LRF tanpa transformasi data. Langkah 3:  Menghitung MAPE pada hasil peramalan tanpa transformasi data. Langkah 4:  Peramalan menggunakan metode SSA-LRF dengan transformasi diferens. Langkah 5: Menghitung MAPE pada hasil peramalan dengan transformasi diferens. Langkah 6: Melakukan analisa

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Simulasi diperlukan untuk menyelidiki apakah SSA-LRF tanpa transformasi diferens dan  dengan  transformasi  diferens  menghasilkan  peramalan  dengan  nilai  akurasi  yang bagus,  dan  apakah  tranformasi  diferens  dapat  meningkatkan  akurasi  peramalan  pada  data runtun waktu  dengan pola trend. Penelitian ini menggunakan  runtun W8  dari Wei  (2006) yang  merupakan  data  simulasi  dengan  150  pengamatan,  dengan  138  pengamatan  sebagai data training dan 12 pengamatan sebagai data testing. Plot runtun waktu dari data  simulasi dapat dilihat pada Gambar 1, yang mana merupakan data runtun waktu dengan pola trend.
Gambar 1. Plot runtun waktu pada data W8 (data simulasi).
Pada  data  simulasi  tersebut,  dilakukan  peramalan  menggunakan  SSA-LRF  tanpa transformasi  diferens  dan dengan  transformasi diferens, dan keduanya menghasilkan nilai MAPE  sebagai  nilai  akurasi  peramalan  yang  sangat  baik  yaitu  nilai  MAPE  tanpa transformasi  diferens  sebesar  2,67%  dan  dengan  transformasi  diferens  sebesar  0,54%. Dengan  menurunnya  nilai  MAPE  dapat  diartikan  bahwa  tranformasi  diferens  pada  data simulasi ini dapat meningkatkan akurasi peramalan. Grafik peramalan 12 langkah ke depan dapat  dilihat  pada  Gambar  2,  dimana  peramalan  menggunakan  SSA-LRF  dengan transformasi diferens dekat dengan data aktual.
Selanjutnya, pada penelitian ini, peramalan menggunakan SSA-LRF diterapkan pada data  dalam  kehidupan  nyata  (bukan  data  simulasi),  yaitu  jumlah  penumpang  kereta  api wilayah  Jawa  (Jabodetabek  dan  Non  Jabodetabek)  dan  data  konsentrasi  CO2  atmosfer Mauna Loa.
Gambar 2 . Grafik peramalan 12 langkah ke depan dari data simulasi.

## 4.1. Penerapan pada data jumlah penumpang kereta api wilayah Jawa (Jabodetabek dan Non Jabodetabek)
Data jumlah penumpang kereta api wilayah Jawa (Jabodetabek dan Non Jabodetabek) merupakan  data  bulanan  dengan  72  pengamatan  dari  bulan  Januari  2014  sampai  dengan Desember  2019  diperoleh  dari https://www.bps.go.id .  Dari  72  pengamatan  tersebut,  60 pengamatan  menjadi  data  training  dan  12  pengamatan  menjadi  data  testing.  Plot  runtun waktu  dapat  dilihat pada Gambar 3, dimana dapat  dilihat bahwa data tersebut  merupakan data runtun waktu dengan pola trend.
Peramalan  pada  data  jumlah  penumpang  kereta  api  wilayah  Jawa  (Jabodetabek  dan Non  Jabodetabek)  menggunakan  SSA-LRF  tanpa  transformasi  diferens  dan  dengan transformasi  diferens  berturut-turut  menghasilkan  nilai  MAPE  sebesar  8,43%  dan  5,33%, dapat  diartikan  keduanya  mempunyai  nilai  akurasi  peramalan  yang  sangat  baik  dan tranformasi  diferens  pada  data  jumlah  penumpang  kereta  api  wilayah  Jawa  ini  dapat meningkatkan akurasi peramalan. Peramalan menggunakan SSA-LRF dengan transformasi diferens  lebih  dekat  dengan  data  aktual,  hal  ini  dapat  dilihat  pada  grafik  peramalan  12 langkah ke depan (Gambar 4).
Gambar 3 . Plot runtun waktu data jumlah penumpang kereta api wilayah Jawa
Gambar 4 . Grafik peramalan 12 langkah ke depan dari data jumlah penumpang kereta api wilayah Jawa

## 4.2. Penerapan pada data konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa
Data konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa diperoleh dari software R dan merupakan data  bulanan  dengan  468  pengamatan  dari  tahun  1959  sampai  dengan  1997,  yang  mana dari  plot  runtun  waktu  (Gambar  5)  dapat  dilihat  bahwa  data  tersebut  merupakan  runtun waktu berpola trend. Dari 468 pengamatan, 456 pengamatan sebagai data training dan 12 pengamatan sebagai data testing.
Pada data konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa, dilakukan peramalan menggunakan SSA-LRF  tanpa  transformasi  diferens  dan  dengan  transformasi  diferens,  dan  keduanya menghasilkan  nilai  MAPE  sebagai  nilai  akurasi  peramalan  yang  sangat  baik  yaitu  nilai MAPE  tanpa  transformasi  diferens  sebesar  0,27%  dan  dengan  transformasi  diferens sebesar  0,15%.  Dengan  menurunnya  nilai  MAPE  dapat  diartikan  bahwa  tranformasi diferens  pada  data  konsentrasi  CO2  atmosfer  Mauna  Loa  ini  meningkatkan  akurasi peramalan.  Grafik  peramalan  12  langkah  ke  depan  dapat  dilihat  pada  Gambar  6,  terlihat bahwa peramalan menggunakan SSA-LRF dengan transformasi diferens dekat dengan data aktual.
Gambar 5 . Plot runtun waktu konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa
Gambar 6. Grafik peramalan 12 langkah ke depan dari data konsentrasi CO2 atmosfer Mauna Loa

## 5. KESIMPULAN
SSA-LRF  tidak  mempunyai  asumsi  yang  harus  dipenuhi  sehingga  lebih  fleksibel dalam  penggunaannya.  Asumsi  yang  harus  dipenuhi  pada  model  parametrik  tidak diasumsikan pada metode SSA-LRF, sehingga SSA-LRF adalah suatu metode yang bebas model dan memungkinkan mempunyai jangkuan luas dalam penerapannya.
Peramalan  menggunakan  SSA-LRF  tanpa  transformasi  diferens  dan  dengan transformasi diferens pada studi empiris ini menghasilkan peramalan dengan nilai akurasi peramalan  yang  sangat  baik  dan  transformasi  diferens  meningkatkan  nilai  akurasi peramalan.

## DAFTAR PUSTAKA
Elsner,  J.  B.  dan  A.  A.  Tsonis.  1996. Singular  Spectrum  Analysis  A  New  Tool  in  Time Series Analysis . Springer Science & Business Media.
Golyandina,  N.  dan  A.  Korobeynikov.  2014    Basic  singular  spectrum  analysis  and forecasting with R. Computational Statistics & Data Analysis. 71:934-954. Golyandina,  N.  dan  A.  Zhigljavsky.  2013. Singular  Spectrum  Analysis  for  Time  Series. Springer.
Golyandina,  N.,  V.  Nekrutkin,  dan  A.  A.  Zhigljavsky.  2001. Analysis  of  Time  Series Structure : SSA and Related Techniques , Chapman & Hall/CRC. Hassani,  H.  2007.  Singular  spectrum  analysis:  methodology  and  comparison. Journal  of Data Science, 5:239-257.
Hassani, H.,  A. S. Soofi, dan A. A. Zhigljavsky. 2010. Predicting daily exchange rate with singular  spectrum  analysis. Nonlinear  Analysis:Real  World  Applications, 11:  2023- 2034.
Hassani,  H.,  S.  Heravi,  dan  A.  Zhigljavsky.  2009.  Forecasting  European  industrial production  with  singular  spectrum  analysis. International  Journal  of  Forecasting, 25:103-118.
Mahmoudvand,  R.,    P.  C.  Rodrigues,  dan  M.  Yarmohammadi.  2019.  Forecasting  daily exchange  rates:  A  comparison  between  SSA  and  MSSA. Statistical  Journal, 17 (4):599-616.
Makridakis, S. G., S. C. Wheelwright, dan R. J. Hyndman. 2008. Forecasting Methods and Applications. Wiley. Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods, second edition, Pearson Education Inc.