## GENERALISASI TEOREMA APROKSIMASI WEIERSTRASS

## Arta Ekayanti
Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Ponorogo
arta_ekayanti@ymail.com

## Abstrak
Teorema  Aproksimasi  Weierstrass  menyatakan  bahwa  untuk  setiap  fungsi  kontinu  dapat diaproksimasi  dengan  menggunakan  polinomial.  Secara  matematis  untuk  setiap  fungsi kontinu,  terdapat  polinomial  yang  konvergen  seragam  ke  fungsi  kontinu  tersebut.  Fungsi kontinu  pada  teorema  ini  dapat  digeneralisasi  menjadi  keluarga  fungsi  kontinu.  Proses generalisasi  dilakukan  dengan  memanfaatkan  sifat  bahwa  keluarga  fungsi  kontinu merupakan  aljabar,  serta  memanfaatkan  teori  klosur  seragam,  memisah  titik  dan  tidak  nol pada  himpunan.  Bentuk  generalisasinya  adalah  untuk  setiap  aljabar  fungsi  kontinu  bernilai real  yang  didefinisikan  pada  himpunan  kompak ,  dimana  aljabar  tersebut  memisah  titik pada dan  tidak  nol  di  setiap  titik  pada ,  maka  klosur  seragam  dari  aljabar  tersebut adalah aljabar itu sendiri Sedangkan untuk fungsi yang bernilai kompleks diperlukan syarat tambahan dimana aljabar tersebut harus tertutup terhadap konjugat.
Kata Kunci: Aljabar, Aproksimasi Weierstrass, Kompleks.

## PENDAHULUAN
Hudojo  dalam  Widiyasari  (2015,  71) menyatakan  bahwa  matematika  adalah bidang ilmu dengan karakter yang khas jika dibandingkan  dengan  bidang  ilmu  lain. Matematika  memiliki  ciri  khas  dimana pembahasannya  terkait  dengan  konsep- konsep  yang  abstrak.  Disamping  itu, membahas matematika akan selalu melibatkan lambang, simbol yang kemudian  dapat  dinyatakan  dalam  suatu fungsi.  Adapun  bentuk-bentuk  fungsi  itu bermacam-macam.  Naimah  dkk  (2015) menyatakan bahwa pada umumnya penerapan  dari  matematika  menggunakan
fungsi  yang  jauh  lebih  rumit  dari  fungsi standar.  Dimana  fungsi-fungsi  tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi standar,  atau  bahkan  hanya  dinyatakan dalam  bentuk  implisit  saja.  Dalam  kasus lain mungkin hanya dapat diketahui melalui ilustrasi  grafisnya  saja.  Menghadapi  kasus yang  demikian,  tentunya  diperlukan  suatu pendekatan atau aproksimasi untuk mengolah lebih lanjut fungsi-fungsi tersebut.
Salah  satu  bentuk  aproksimasi  yang ada adalah Aproksimasi Weierstrass. Dimana aproksimasi ini menyatakan bahwa setiap  fungsi  yang  kontinu  pada  interval
Volume 4  No.2  Bulan Desember  Tahun 2018
tertutup dapat diaproksimasi dengan menggunakan  polinomial.  Beberapa  tulisan telah membahas mengenai pembuktian dari Teorema
Aproksimasi Weierstrass,
diantaranya  dengan  pendekatan  konstruktif yaitu melalui polinomial Bernstein sebagaimana  yang  telah  dipaparkan  Estep (2002). Disamping itu, juga telah diberikan pembuktian Teorema
Aprosimasi Weierstrass  oleh  Naimah,  dkk  (2015) dengan  memanfaatkan  Aproksimasi  Fejer. Akan  tetapi  perlu  diketahui  lebih  dalam, bahwa  Teorema  Aproksimasi  Weierstras dapat  diperumum.  Hal  ini  sebagaimana yang  telah  dinyatakan  oleh  Stone  (1948) dan  Rudin  (1976). Adapun  pembuktian untuk  kasus  generalisasi  Teorema  Stone Weierstrass  masih  sangat  terbatas,  hal tersebut mendorong peneliti untuk membahas  secara  mendalam  mengenai perumuman  atau  generalisasi  dari  Teorema Aproksimasi Weierstrass terutama pembuktiannya.

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan dalam  penulisan  ini  adalah  kajian  pustaka atau  riset  kepustakaan  ( library  research ).
Peneliti  mengkaji  beberapa  literatur  seperti buku Principles  of  Mathematics  Analysis karangan  Walter  Rudin  serta  beberapa jurnal  yang  terkait  seperti Weierstrass’ Proof  of  The  Weierstrass  Approximation Theorem yang ditulis oleh Anton R. Schep.
Selanjutnya dengan menggunakan beberapa referensi  tersebut,  penulis  membahas  lebih detail  mengenai  pembuktian  dari  Teorema Aproksimasi Weierstrass.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Matematikawan
Jerman Karl
Weierstrass,  menyebutkan  bahwa  fungsi kontinu  pada  interval  tertutup  dapat diaproksimasi  menggunakan  polinomial.
Hal  tersebut  dipaparkan  sebagaimana  pada teorema berikut:
Teorema  1. Jika ,    - kontinu maka  terdapat  barisan  polinomial ( ) yang  konvergen  seragam  ke pada ,    - . Lebih lanjut, jika bernilai real, maka ( ) merupakan  barisan  polinomial  bernilai real.
Bukti:
Akan dibuktikan untuk kasus ,    -   ,   - dan ( )    ( ) Selanjutnya  untuk setiap ,   - didefinisikan  fungsi sebagai berikut:
( )    ( )    ( )    , ( )    ( )- Dengan demikian diperoleh ( )    ( ) Selanjutnya diperhatikan
( )    ( )    ( )    , ( )    ( )- Oleh karena itu, berbentuk polinomial.  Dengan  demikian,  jika merupakan  limit  seragam  dari  suatu polinomial  maka  begitu  juga  dengan . Selanjutnya,  untuk ,   - didefinisikan ( ) Jadi, kontinu  seragam  pada
seluruh garis. Untuk setiap didefinisikan ( ) dengan dipilih sehingga ∫ ( ) untuk setiap Diperhatikan bahwa
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) √ ∫ ( ) √ √ Agar ∫ ( ) maka haruslah
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (2), pp: 105-112.
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
dengan ∫ ( ) Dengan
demikian  diperoleh
∫ ( ) √ .  Selanjutnya,  untuk  sebarang
berlaku ( )   √ (     ) untuk | | sehingga
seragam
untuk | | Dibentuk ( )
∫  (     ) ( ) untuk Persamaan  tersebut ekuivalen  dengan ( )   ∫ (     ) ( ) ∫  ( ) (     ) untuk
Dengan demikian ( ) merupakan barisan polinomial dalam yang akan bernilai real jika real. Diambil sebarang, karena kontinu  maka  terdapat sehingga |     | mengakibatkan
| ( )    ( )|
Didefinisikan *| ( )|      ,   -+ dengan  demikian  untuk  setiap ,   - berlaku
| ( )    ( )|   |∫  (     ) ( ) ( )|

## Sehingga diperoleh
| ( )    ( )|     √ ( )
Diperhatikan bahwa √ ( )
untuk maka  diperoleh | ( ) ( )| Dengan  demikian  untuk yang cukup  besar ( )    ( ) seragam  pada [0,1]. Selanjutnya diperhatikan untuk kasus ,    - .  Telah  diketahui  bahwa ,    - kontinu.  Didefinisikan ,   -   ,    - dengan
( )        (     )
untuk setiap ,    - Dengan demikian, merupakan  fungsi  kontinu  dengan ( ) dan ( ) karena kontinu  maka fungsi  komposisi ,   - kontinu. Dengan demikian, berdasarkan kasus
,    -   ,   - di  atas  terdapat  polinomial
( ) sehingga untuk setiap terdapat sehingga  untuk  setiap dengan berlaku
|     ( ) ( )| untuk setiap ,   - Diperhatikan bahwa merupakan  pemetaan  injektif,  maka mempunyai  fungsi  invers  kontinu,  yaitu
,    -   ,   - dengan
( )
untuk  setiap ,    - Dengan  demikian untuk setiap ,    - berlaku
| ( ) ( ( ))|
Oleh karena itu, diperoleh
| ( ) ( )|
untuk  setiap ,    - dengan . / adalah  polinomial dalam .  Artinya ( . /) konvergen  seragam  ke pada
,    -
Diperhatikan  bahwa  fungsi  pada Teorema  1 tersebut  merupakan  fungsi kontinu  pada  interval  tertutup ,    - Khusus  untuk  interval  tertutup ,     - diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat  1. Untuk  setiap  interval ,     - terdapat  barisan  polinomial  real ( ) sehingga ( ) dan ( )   | |
seragam pada ,     - Bukti:
Berdasarkan  Teorema  1,  terdapat  barisan polinomial  real ( ) yang  konvergen seragam  ke | | pada ,      - khususnya
Volume 4  No.2  Bulan Desember  Tahun 2018
( ) untuk Selanjutnya
didefinisikan
( ) ( ) ( ) untuk
Dengan  demikian  untuk
( ( )) konvergen  ke | | dan
( )
Pada paparan di atas, telah ditunjukkan keterkaitan antara fungsi kontinu dengan polinomial. Sebelum memperdalam  kajian  pada  generalisasi Teorema  Stone  Weierstras,  akan  dibahas terlebih  dahulu  mengenai  beberapa  sifat pada keluarga fungsi.

## Sifat Keluarga Fungsi
Sebelum  membahas  lebih  lanjut mengenai generasasi Teorema Stone Weierstrass,  akan  dipaparkan  beberapa karakteristik keluarga fungsi terlebih dahulu.
Definisi  1. Keluarga  fungsi dikatakan aljabar  jika  untuk  setiap dan sebarang skalar memenuhi sifat: 1. 2. 3. .
Contoh 1. Keluarga fungsi kontinu bernilai kompleks ( )   * |                + merupakan aljabar.
Bukti:
Diperhatikan  untuk  sebarang  keluarga fungsi  kontinu,  misal dan merupakan fungsi  kontinu.  Akibatnya juga merupakan fungsi kontinu. Lebih lanjut, juga  merupakan  fungsi  kontinu  dan  untuk sebarang skalar fungsi juga merupakan fungsi  kontinu.  Dengan  demikian  dapat disimpulkan bahwa keluarga fungsi kontinu merupakan aljabar.
Untuk  selanjutnya,  diberikan yang merupakan  keluarga  fungsi  pada yang bernilai kompleks.  Terdapat beberapa sifat yang terkait dengan .
Definisi  2. Keluarga  fungsi dikatakan tertutup  seragam  apabila  untuk  setiap barisan ( ) berlaku jika untuk setiap ( ) konvergen seragam ke maka Diperhatikan bahwa untuk
tertutup,  berlaku  klosurnya  sama  dengan dirinya  sendiri  yaitu ̅ .  Selanjutnya akan  dibahas  mengenai  klosur yaitu ̅
dengan tertutup  seragam.  Diperhatikan bahwa  berlaku ̅ Diambil  sebarang ̅ maka  terdapat ( ) dengan untuk Ketika ( ) konvergen  seragam  ke maka  karena
( ) dengan tertutup  seragam, akibatnya Dengan kata lain, berlaku ̅
Definisi  3. Diketahui merupakan keluarga  fungsi  pada yang  bernilai kompleks. Klosur  seragam dinotasikan
dengan didefinisikan sebagai berikut:
*         ( )
)+
Teorema  2. Jika aljabar  dari  fungsi terbatas  dan klosur  seragam  dari maka merupakan  aljabar  tertutup seragam. Bukti: Diambil  sebarang
maka  terdapat barisan ( )  ( ) dengan , dengan seragam pada dan seragam pada . Dengan demikian diperoleh lebih  lanjut dan seragam  pada untuk  sebarang  skalar Karena maka dan merupakan  anggota
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (2), pp: 105-112.
Jadi,  dapat  disimpulkan  bahwa merupaka  aljabar  yang  tertutup  seragam.
Selanjutnya,  berikut  ini  diberikan sifat  lain  dari  himpunan  diantaranya memisah titik dan tidak nol di setiap titik.
Definisi  4. Diketahui keluarga  fungsi pada .  Himpunan dikatakan  memisah titik  pada ,  jika  untuk  setiap
dengan
terdapat  fungsi sehingga ( )    ( )
Definisi  5. Diketahui keluarga  fungsi pada .  Himpunan dikatakan  tidak  nol di  setiap jika  untuk  setiap terdapat fungsi sehingga ( )
Berikut  ini  diberikan  konsep  lebih  lanjut untuk aljabar fungsi.
Teorema  3. Diketahui aljabar  fungsi pada memisah  titik  pada dan tidak  nol  di  setiap Jika dengan dan skalar,  maka memuat fungsi sehingga ( ) ( )
Bukti:
Diperhatikan  bahwa memisah  titik  pada
dan tidak nol di setiap maka memuat  fungsi dan sehingga
( )    ( )   ( ) dan ( )
Didefinisikan ( ) dan ( ) Diperolah
dengan ( )    ( ) , ( ) dan ( ) Dengan demikian dapat didefinisikan fungsi dengan
( ) ( )
sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

## Generalisasi Teorema Stone Weierstrass
Berdasarkan  Contoh  1.  diketahui bahwa  keluarga  fungsi  kontinu ( ) * |                + merupakan  aljabar. Dengan demikian, beberapa teorema terkait aljabar seperti yang telah dibahas sebelumnya, dapat diterapkan pada keluarga fungsi kontinu. Sebagaimana yang telah  dilakukan  oleh  Marshal  H.  Stone dalam  mencoba  memperumum  Teorema Aproksimasi  Weierstrass  yaitu  dengan memanfaatkan definisi-definisi serta teorema-teorema di atas.
Teorema  4. Diketahui * | + aljabar,  dengan kompak.  Jika memisah  titik  pada dan tidak  nol  di  setiap maka dengan klosur seragam dari Bukti: Pembuktian teorema ini dibagi atas 4 tahap.
Tahap 1. Jika maka | | .
Bukti:
Didefinisikan | ( )| untuk  setiap Diberikan sebarang. Berdasarkan Akibat 1 terdapat sehingga |∑ | || untuk Diperhatikan  bahwa merupakan  aljabar,  maka  fungsi ∑ dengan untuk  setiap merupakan anggota Selanjutnya diperoleh |∑
| ( )||   | ( )   | ( )||
Volume 4  No.2  Bulan Desember  Tahun 2018
untuk  setiap
Karena
tertutup
seragam,  maka | ( )| untuk  setiap
Artinya | |
Tahap 2. Jika maka *    +       *    + . Bukti: Dipeerhatikan bahwa
*    + |     |
*    + |     |
Berdasarkan  hasil  dari  tahap  1,  diperoleh |     | . Dengan demikian dapat
disimpulkan bahwa
*    +       *    +
Berdasarkan  hasil  dari  tahap  2,  dapat digeneralisasi sehingga
diperoleh
* +
dan
* +
Tahap  3. Jika kontinu, dan sebarang,  maka  terdapat  fungsi sehingga ( )    ( ) dan ( )    ( ) untuk setiap

## Bukti:
Diperhatikan  bahwa dan memenuhi  hipotesis  Teorema  3  maka juga  memenuhi  hipotesis  Teorema  3.
dengan  demikian  untuk  setiap terdapat sehingga ( )    ( ) dan ( )    ( ) Dengan  demikian  dari
tersebut,  maka  terdapat  himpunan terbuka dengan sehingga
| ( )    ( )| untuk  setiap Selanjutnya  diperoleh ( )    ( ) untuk  setiap .  Karena kompak, maka terdapat sehingga
⋃ Dibentuk { } Karena untuk  setiap maka Dengan  demikian  untuk sebarang berlaku ( ) ( )    ( ) Akibatnya, ( )    ( ) untuk  setiap Tahap  4. Jika  diberikan sebarang dan kontinu,  maka  terdapat fungsi sehingga | ( )    ( )| untuk setiap Bukti: Diperhatikan  fungsi untuk  setiap sebagaimana  yang  dibentuk  pada tahap 3. Dengan memanfaatkan kekontinuan  dari ,  maka  terdapat himpunan  terbuka dengan sehingga ( )    ( ) untuk  setiap
Karena kompak,  maka  terdapat
sehingga ⋃ Misalkan * + Karena untuk  setiap maka Dengan  demikian  berlaku ( )    ( ) untuk  setiap Oleh
karena  itu  untuk  setiap berlaku
( )    ( )
Karena tertutup  seragam,  maka merupakan  anggota  dari .  Dengan demikian disimpulkan
Diperhatikan  bahwa  Teorema  4  tidak berlaku  untuk  aljabar  kompleks.  Agar berlaku  untuk  aljabar  kompleks,  perlu diberikan  kondisi  tambahan  untuk yaitu
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (2), pp: 105-112.
tertutup  terhadap  konjugat.  Aljabar dikatakan tertutup terhadap konjugat jika untuk  setiap
,  konjugatnya ̅
dengan definisi ̅( )    ( ) ̅̅̅̅̅̅
Teorema 5. Jika kompak dan aljabar
dari  fungsi  kontinu
yang  tertutup terhadap  konjugat,  memisah  titik  pada dan  tidak  nol  di  setiap
maka
klosur  seragam  dari terdiri  atas  semua fungsi  kompleks  yang  kontinu  pada , dengan  kata  lain dense  pada ( )
* |                +
Bukti:
Didefinisikan * |        + Diambil sebarang , maka dengan Dengan demikian
diperoleh ̅ ,  dengan ̅ konjugat
.  Karena tertutup  terhadap  konjugat maka . Diambil sebarang dengan .  Karena memisah  titik pada maka ada sehingga ( ) dan ( ) .  Dengan  demikian ( )    ( )
Hal
ini menunjukkan bahwa memisah titik pada .  Jika maka ( ) untuk  suatu dan  ada sehingga Jika dengan maka berlaku ( ) maka tidak  nolm  di setiap Dengan demikian berdasarkan Teorema  4  setiap  fungsi  real  yang  kontinu pada merupakan  anggota  dari  klosur
seragam ,  sehingga  juga  merupakan anggota  dari Jika fungsi  kompleks yang  kontinu  pada yaitu maka sehingga SIMPULAN Dari paparan di atas, dapat disimpulkan bahwa ketentuan pada Teorema  Stone  Weierstrass  yaitu    fungsi kontinu  dapat  diperumum.  Tidak  hanya berlaku  untuk  suatu  fungsi  kontinu  akan tetapi  berlaku  untuk  generalisasinya  yaitu keluarga fungsi kontinu.
Proses generalisasi dilakukan dengan memanfaatkan  sifat  bahwa  keluarga  fungsi kontinu merupakan aljabar, serta memanfaatkan teori klosur seragam, memisah titik dan tidak nol pada himpunan. Bentuk  generalisasinya  adalah  untuk  setiap aljabar  fungsi  kontinu  bernilai  real  yang didefinisikan  pada  himpunan  kompak  K, dimana  aljabar  tersebut  memisah  titik  pada K dan tidak nol di setiap titik pada K, maka klosur  seragam  dari  aljabar  tersebut  adalah aljabar  itu  sendiri.  Sedangkan  untuk  fungsi yang  bernilai  kompleks  diperlukan  syarat tambahan  dimana  aljabar  tersebut  harus tertutup terhadap konjugat.

## DAFTAR PUSTAKA
Estep, D. 2002. Practical Analysis in One Variable. Springer
Naimah,  Aris  dkk.  2015.  “Penerapan  Aprosimasi  Fejer  dalam  Membuktikan  Teorema Weierstrass”. Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi, Vol. 11 (2), pp:139-148.
Rudin,  W.  1976. Principles  of  Mathematics  Analysis .  United  States  of  America:  McGraw- Hill, Inc.
Stone,  M.H.  1948.  The  Generalized  Weierstrass  Approximation  Theorem. Mathematics Magazine. Vol. 21(4), pp:167-184 .
Volume 4  No.2  Bulan Desember  Tahun 2018