## Tingkat Efisiensi Metode Regresi Robust dalam Menaksir Koefisien Garis Regresi Jika Ragam Galat Tidak Homogen
Harmi Sugiarti dan Andi Megawarni e-mail: harmi@mail.ut.ac.id dan mega@mail.ut.ac.id

## Abstract
This paper aims to compare the relative efficiency of weighted least square (WLS), ordinary least square (OLS) and robust regression method in regression coefficient estimation when the error term is not homogen.
The assumption of homegeneous error variance underlying the ordinary least square (OLS) is very important to get the best linear unbiased estimation of the regression coefficients. The investigation compares the methods in calculating efficiency of booth simulation and experimental data.
In conclusion, the WLS method is relatively more efficient than OLS and Robust Regression methods.
Key words: Efisiensi Relatif, OLS, WLS, Regresi Robust, Homogenitas,

## PENDAHULUAN
Asumsi  ragam  galat  homogen  (   2 2 i     )  diperlukan  oleh  metode  kuadrat  terkecil (ordinary  least  square,  OLS)  untuk  mendapatkan  penaksir  parameter  yang  bersifat  tak  bias  linear terbaik (best linear unbiased estimator,
BLUE) dari model regresi 0 1 1 2 2 ... , 1, 2,..., i i i p pi i
Y X X X i n             0 1 1 2 2 ... , 1, 2,..., i i i p pi i
Y X X X i n            
. i Y adalah  nilai  peubah  respons  pada pengamatan  ke-i, i X adalah  nilai  peubah  bebas  pada  pengamatan  ke-i  dan 0 1
, ,..., p    adalah koefisien regresi yang tidak diketahui nilainya dan akan dicari nilai taksirannya.
Dalam  hal  asumsi  ragam  galat  homogen  tidak  dipenuhi,  salah  satu  metode  alternatif  yang dapat digunakan adalah metode kuadrat terkecil tertimbang (weighted least square, WLS). Metode ini  menghasilkan  lebar  selang  kepercayaan  untuk  koefisien  garis  regresi  lebih  sempit  dibanding metode OLS (Sugiarti & Megawarni, 2001).
Penanganan  kasus  ketidakhomogenan  ragam  galat  kadangkala  diikuti  munculnya penyimpangan asumsi lainnya, diantaranya adalah munculnya pengamatan pencilan (outlier) dalam data. Adanya pengamatan pencilan dalam data dapat mengakibatkan penaksir koefisien garis regresi yang  diperoleh  tidak  baik.  Namun  demikian  tindakan  membuang  (menolak)  begitu  saja  suatu pengamatan  pencilan  bukanlah  tindakan  yang  bijaksana,  karena  adakalanya  pengamatan  pencilan memberikan informasi yang cukup berarti.
Disamping alasan faktor kesulitan menentukan pembobot 2 1 i w  
karena besarnya 2  tidak diketahui,  penggunaan  metode  WLS  masih  belum  dapat  mereduksi  munculnya  pengamatan pencilan. Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan dari metode yang ada, baik metode OLS maupun metode  WLS,  perlu  dicoba  metode  lain  yang  bersifat  tidak  sensitif  terhadap  pelanggaran  asumsi- asumsi,  yaitu  metode  regresi  robust  (robust  regression).  Metode  regresi  robust  ini  menghasilkan lebar  selang  kepercayaan  untuk  koefisien  garis  regresi  lebih  sempit  dibanding  metode  OLS  tetapi
lebih  lebar  dibanding  metode  WLS  (Sugiarti  &  Megawarni,  2003).  Untuk  memberi  rekomendasi metode mana yang tepat untuk digunakan menaksir koefisien garis regresi,  perlu mengkaji tingkat efisiensi dari metode tersebut.
Efisiensi  relatif  dari  dua  penaksir  adalah  rasio  dari  ukuran  sampel  yang  diperlukan  untuk mendapatkan  keakuratan  yang  sama.  Efisiensi  tergantung  pada  distribusi  data  sesungguhnya,
sehingga  dalam  praktek  efisiensi  yang  sesungguhnya  tidak  diketahui.  Jika ˆ  dan * ˆ  adalah penaksir  untuk  parameter  ,  maka  efisiensi  relatif ˆ  terhadap
* ˆ  adalah       * * ˆ ˆ ˆ , ˆ mse eff mse 
    , dengan         2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ var mse E E                dan   * ˆ mse         2 2 * * * ˆ ˆ ˆ var E E              . Jika ˆ  dan * ˆ  adalah penaksir tak bias untuk parameter  , maka  efisiensi  relatif ˆ  terhadap * ˆ  menjadi       * * ˆ var ˆ ˆ / 100% ˆ var eff x      Penaksir * ˆ  dikatakan lebih efisien dibanding ˆ  jika     * ˆ ˆ var var    (Fleming, 2003).
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  membandingkan  tingkat  efisiensi  antara  metode  OLS,  metode WLS,  dan  metode  regresi  robust  dalam  menaksir  koefisien  garis  regresi,  jika  ragam  galat  tidak homogen.

## METODOLOGI
Data  yang  dipergunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  simulasi,  yaitu  data  yang dibangkitkan  dengan  bantuan  program  paket  MINITAB  versi  11.12  dan  data  eksperimen,  yaitu berupa  data  rata-rata  panjang  daun  (cm)  tanaman  temulawak  (Curcuma    xanthorrhiza  roxb.)  pada umur 17 minggu yang diberi pupuk kandang pada berbagai taraf yaitu: tanpa pupuk, 0.5 kg/lubang, 1 kg/lubang dan ditanam pada variasi jarak tanam 60 x 40 cm dan 60 x 60 cm (Priono, 1988).
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari galat ( )  yang memenuhi kriteria nilai rataan  nol  dan  ragam  tidak  homogen.  Galat  tersebut  dapat  diperoleh  dengan  cara  membangkitkan data.  Pembangkitan  galat  dikelompokkan  ke  dalam  tiga  kelompok  dengan  setiap  kelompok mempunyai rataan nol dan ragam berbeda-beda.
Langkah ke dua adalah menentukan nilai-nilai peubah bebas 1 X dan 2 X , karena 1 X dan 2 X adalah konstanta yang diketahui. Nilai-nilai dari koefisien regresi yaitu  diasumsikan dengan nilai tertentu.  Dari  nilai-nilai  yang  telah  diketahui,  dapat  dicari  nilai  peubah  respons  sebagai Y X     .
Langkah  ke  tiga  adalah  menguji  apakah  dari  pasangan  data 1 X , 2 X dan Y diperoleh  ragam galat  yang  tidak  homogen.  Apabila  hasil  uji  menyatakan  ragam  galat  tidak  homogen,  maka pasangan  data 1 X , 2 X dan Y dengan  rataan  galat  nol  dan  ragam  galat  tidak  homogen  telah diperoleh.
Langkah ke empat, setelah pasangan data 1 X , 2 X dan Y yang mempunyai rataan galat nol dan ragam  galat tidak homogen telah diperoleh, selanjutnya dilakukan penaksiran koefisien regresi  dan variansi koefisien regresi  dengan metode OLS, metode WLS, dan metode regresi robust.
Langkah  ke  lima,  menghitung  dan  membandingkan  tingkat  efisiensi  metode  WLS  terhadap metode  OLS,  menghitung  dan  membandingkan  tingkat  efisiensi  metode  regresi  robust  terhadap metode  OLS,  serta  menghitung  dan  membandingkan  tingkat  efisiensi  metode  regresi  robust terhadap metode WLS.
Langkah ke enam adalah mengulang langkah ke empat dan ke lima untuk data eksperimen.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Hasil Simulasi
Dengan  menggunakan  pasangan  data 1 X , 2 X dan Y pada  Lampiran,  metode  OLS,  metode WLS, dan metode regresi robust memberikan nilai taksiran variansi untuk masing-masing koefisien regresinya seperti tampak pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Penaksir Variansi Koefisien Regresi Data Simulasi
Koefisien Regresi OLS WLS Robust 0 ˆ  2.424249 0.5909 2.97566 1 ˆ  0.000568 0.00013 0.000496 2 ˆ  0.00042 0.000101 0.000301
Nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap
metode OLS untuk masing-masing koefisien adalah   * 0 0 ˆ ˆ / 410.26% eff    ,
  * 1 1 ˆ ˆ / 436.96% eff    , dan   * 2 2 ˆ ˆ / = 415.67% eff   .
Nilai  efisiensi  relatif  penaksir  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan  metode  regresi  robust terhadap  metode  OLS  untuk  masing-masing  koefisien  regresi  adalah
  ** 0 0 ˆ ˆ / 81.47% eff    ,
  ** 1 1 ˆ ˆ /
114.60% eff    , dan   ** 2 2 ˆ ˆ / = 139.31% eff   .
Nilai efisiensi relatif penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode  regresi  robust  untuk  masing-masing  koefisien  regresi  adalah
  ** * 0 0 ˆ ˆ / 503.58% eff    ,
  ** * 1 1 ˆ ˆ / 381.28% eff    , dan   ** * 2 2 ˆ ˆ / 298.38% eff    . Secara ringkas nilai efisiensi tersebut dapat dilihat pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Nilai Efisiensi Relatif untuk Data Simulasi
Koefisien Regresi   * ˆ ˆ / eff     ** ˆ ˆ / eff     ** * ˆ ˆ / eff  
0 ˆ  410.264050 81.469301 503.581158 1 ˆ  436.956679 114.603469 381.277008 2 ˆ  415.672978 139.310700 298.378357

## Hasil Eksperimen
Dengan  menggunakan  data  eksperimen  tentang  rata-rata  panjang  daun  tanaman  temulawak berumur  17  minggu  ( Y )  yang  diberi  pupuk  kandang  pada  tiga  taraf  ( 1 X )  dan  ditanam  pada  dua variasi jarak tanam ( 2 X ),  metode OLS, metode WLS, dan metode regresi robust  memberikan nilai taksiran variansi masing-masing koefisien regresinya seperti pada Tabel 3 dan Tabel 4 berikut.
Tabel 3. Penaksir Variansi Koefisien Regresi Data Eksperimen dengan Pembobot Konsentrasi Pupuk
Koefisien Regresi OLS WLS Robust 0 ˆ  742.5625 18.41268 166.37388 1 ˆ  162.0529 10.80437 45.36965 2 ˆ  0.270088 0.006757 0.06027
Tabel 4. Penaksir Variansi Koefisien Regresi Data Eksperimen dengan Pembobot Jarak Tanam
Koefisien Regresi OLS WLS Robust 0 ˆ  742.5625 439.3216 166.37388 1 ˆ  162.0529 6.630625 45.36965 2 ˆ  0.270088 0.270192 0.06027
Jika  digunakan  pembobot  konsentrasi  pupuk,  nilai  efisiensi  relatif  penaksir  koefisien  regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien adalah   * 0 0 ˆ ˆ / 4032.89% eff    ,   * 1 1 ˆ ˆ / 1499.88% eff    , dan   * 2 2 ˆ ˆ / 3997.25% eff    .
Jika  digunakan  pembobot  jarak  tanam,  nilai  efisiensi  relatif  penaksir  koefisien  regresi  yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode OLS untuk masing-masing koefisien regresi adalah   * 0 0 ˆ ˆ / 169.02% eff    ,   * 1 1 ˆ ˆ / 2444.01% eff    , dan   * 2 2 ˆ ˆ / 99.96% eff    .
Nilai  efisiensi  relatif  penaksir  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan  metode  regresi  robust terhadap  metode  OLS  untuk  masing-masing  koefisien  regresi  adalah
  ** 0 0 ˆ ˆ / 446.32% eff    ,
  ** 1 1 ˆ ˆ / 357.18% eff    , dan   ** 2 2 ˆ ˆ / 448.13% eff   
.
Jika  digunakan  pembobot  konsentrasi  pupuk,  nilai  efisiensi  relatif  untuk  masing-masing penaksir  koefisien  regresi  yang  diperoleh  dengan  metode  WLS  terhadap  metode  regresi  robust adalah   ** * 0 0 ˆ ˆ / 903.58% eff    ,   ** * 1 1 ˆ ˆ / 419.92% eff    , dan   ** * 2 2 ˆ ˆ / 891.99% eff    .
Jika digunakan jarak tanam sebagai pembobot, nilai efisiensi relative penaksir koefisien regresi yang diperoleh dengan metode WLS terhadap metode regresi robust untuk masing-masing koefisien regresi  adalah   ** * 0 0 ˆ ˆ / 37.87% eff    ,  
** * 1 1 ˆ ˆ / 684.24% eff    ,  dan   ** * 2 2
ˆ ˆ / 22.31% eff    . Secara ringkas nilai efisiensi tersebut dapat dilihat pada Tabel 5 dan Tabel 6 berikut.
Tabel 5. Nilai Efisiensi Relatif untuk Data Eksperimen dengan Pembobot Konsentrasi Pupuk
Koefisien Regresi   * ˆ ˆ / eff     **
ˆ ˆ / eff     ** * ˆ ˆ / eff   0 ˆ  4032.886357 446.3215568 903.5831445 1 ˆ  1499.883057 357.1834563 419.9195204 2 ˆ  3997.254486 448.1283718 891.9887107
Tabel 6. Nilai Efisiensi Relatif untuk Data Eksperimen dengan Pembobot Jarak Tanam
Koefisien Regresi   * ˆ ˆ / eff     **
ˆ ˆ / eff     ** * ˆ ˆ / eff   0 ˆ  169.0248101 446.3215568 37.87063553 1 ˆ  2444.00641 357.1834563 684.2440115 2 ˆ  99.96152736 448.1283718 22.30644915

## KESIMPULAN
Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa baik metode WLS maupun metode regresi robust sangat efisien dibanding metode OLS dalam menaksir koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen.
Sedangkan  jika  dibandingkan  tingkat  efisien  antara  metode  WLS  dengan  metode  regresi robust, dapat disimpulkan bahwa metode WLS lebih efisien dibanding metode regresi robust dalam menaksir koefisien garis regresi jika ragam galat tidak homogen.

## DAFTAR PUSTAKA
Draper, N.R. & Smith, H. 1981. Applied regression analysis . 2 nd ed. New York: Wiley.
Fleming,  Ron.  2003. Basic  statistical  concepts .  Diperoleh  dari  http://www.uky.edu/  Ag/Ag Econ. 17 Oktober 2003
Montgomery, D.C. & Peck, E.A. 1992. Introduction to linear regression analysis . 2 nd ed. New York: Wiley.
Myers,  R.H.  1990.  Classical  and  modern  regression  with  applications.  2 nd ed.  Boston:  PWS- Kent.
Neter, J & Wasserman, W. 1990. Applied linear statistical models . 3 rd ed. Homewood, Illinois: Irwin.
Priono,  M.  1988.  Pengaruh  pemberian  pupuk  kandang  &  jarak  tanam  terhadap  pertumbuhan tanaman  temulawak  (curcuma  xanthorriza  roxb.).  Skripsi  yang  tidak  dipublikasikan.  Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto.
Staudte, R.G. & Sheather, S.J. 1990. Robust estimation and testing . New York: Wiley.
Sugiarti, H. & Megawarni, A. 2003. Penggunaan metode regresi Robust untuk mencari slang kepercayaan  koefisien  garis  regresi  jika  ragam  galat  tidak  homogen.  Jakarta:  Lembaga  Penelitian Universitas Terbuka.
Sugiarti,  H.  &  Megawarni,  A.  2001.  Selang  kepercayaan  untuk  koefisien  garis  regresi  jika ragam galat tidak homogen dengan metode OLS dan WLS. Jakarta: Lembaga Penelitian Universitas Terbuka.

## LAMPIRAN

## Data Simulasi
Pengamatan Y
1 X 2 X  1. 100.972 48 53 -0.02759 2. 121.659 95 26 0.65870 3. 41.731 42 1 -1.26902 4. 109.832 62 46 1.83219 5. 55.494 34 22 -0.50565 6. 26.970 17 11 -1.03007 7. 111.646 23 90 -1.35382 8. 112.610 62 50 0.60968 9. 107.549 83 24 0.54867 10. 170.493 79 91 0.49285 11. 103.917 42 62 -0.08276 12. 32.976 18 13 1.97609 13. 121.193 89 36 -3.80707 14. 53.497 8 40 5.49658 15. 88.483 76 14 -1.51694 16. 34.910 2 36 -3.09022 17. 55.939 37 23 -4.06147 18. 95.829 5 89 1.82904 19. 50.646 21 28 1.64600 20. 138.479 48 89 1.47855 21. 170.862 83 88 -0.13793 22. 54.293 40 11 3.29348 23. 77.655 60 24 -6.34511 24. 67.161 30 28 9.16097 25. 134.472 37 100 -2.52823 26. 134.850 66 74 -5.15037 27. 144.231 69 82 -6.76911 28. 81.048 67 11 3.04840 29. 83.743 55 26 2.74334 30. 100.464 37 61 2.46426