STRUKTUR AFFINE ALJABAR LIE REAL DARI GRUP LIE SIMILITUDE BERDIMENSI 4
Edi Kurniadi 1 , Nurul Gusriani 2 , Betty Subartini 3 1,2,3 Departemen Matematika FMIPA Unpad, Jl. Raya Bandung Sumedang KM.21, Bandung, Indonesia Email: edi.kurniadi@unpad.ac.id

## ABSTRACT
In the present paper, we study some properties of a real Lie algebra of the similitude Lie group of dimension 4 which affine structures are contained.  The purpose of this research is to prove that the real Lie algebra of the similitude Lie group of dimension 4 has affine structures. To obtain this, we compute the formula of affine structures with respect to its basis which is induced from symplectic structure. Moreover, the method used in this research is literature reviews to some related paper. As the main result, we obtain the  explicit formulas of affine structures for its Lie algebra.
Keywords: Affine structures, lie algebras, similitude lie group.

## ABSTRAK
Dalam artikel ini, dibahas tentang sifat-sifat aljabar Lie real dari grup Lie similitude berdimensi 4 termasuk struktur affine yang termuat  di  dalamnya.  Tujuannya  adalah  untuk  membuktikan  bahwa  aljabar  Lie  real  dari  grup  Lie  similitude  berdimensi  4 mempunyai  struktur  affine.  Untuk  mendapatkan  hasil  tersebut,  rumus  affine  dihitung  terhadap  basisnya  yang  diinduksi  dari struktur  simplektiknya.  Lebih  jauh,  metode  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi  literatur  terhadap  beberapa  artikel  yang relevan. Sebagai hasil utamanya, diperoleh rumus eksplisit struktur affine pada aljabar Lie dari grup Lie similitude berdimensi 4.
Kata kunci: Aljabar lie, grup lie similitude, struktur affine
Dikirim: 28 Juni 2020; Diterima: 25 Agustus 2020; Dipublikasikan: 30 September 2020 Cara  sitasi :  Kurniadi,  E.,  Gusriani,  N  &  Subartini,  B.  (2020).  Struktur  affine  aljabar  lie  real  dari  grup  lie  similitude berdimensi 4. Teorema : Teori dan Riset Matematika, 5 (2), 163–168.
PENDAHULUAN
Dalam  penelitian  sebelumnya,  pengklasifikasian  kelas  isomorfisma  aljabar  Lie  Frobenius  telah diperoleh untuk yang berdimensi (Csikós & Verhóczki, 2007). Salah satu kelas isomorfisma tersebut adalah  aljabar  Lie  Frobenius  berdimensi  4
dengan atas  suatu  lapangan dengan karakteristik  sama  dengan  nol.  Misalkan  basis
basis  untuk dengan bracket tak nolnya diberikan sebagai berikut:
[ ] [ ] (1) [ ] [ ] Untuk  kasus  lapangan adalah  lapangan  real dan  untuk ,  maka  aljabar  Lie  Frobenius berdimensi 4 dengan bracket tak nolnya diberikan oleh persamaan (1) adalah aljabar Lie  real dari grup  Lie  similitude  berdimensi  4  (Kurniadi,  2019a).  Dengan  kata  lain
dengan adalah notasi untuk aljabar Lie dari grup Lie similitude berdimensi 4 dan adalah grup Lie dari matriks ortogonal
dengan determinannya sama dengan 1.
Di  sisi  lain,  gagasan  tentang  struktur  affine  pada  suatu  aljabar  Lie  telah  muncul  dalam berbagai  area  yang  berbeda  baik  dalam  konteks  matematika  atau  fisika  (Burde,  2015).  Misalkan dan elemen-elemen suatu aljabar Lie. Asosiator dari ketiga elemen tersebut didefinisikan oleh:
(2)
Struktur affine pada suatu Lie algebra terjadi jika dipenuhi:
[ ] (3)
Tentu saja tidak semua aljabar Lie atau grup Lie mempunyai struktur affine. Sebagai contoh  grup Lie  nilpoten  filiform  berdimensi dengan tidak  mempunyai  struktur  affine  (Burde, 2015).  Di  sisi  lain,  aljabar  Lie  Heisenberg  berdimensi  3  mempunyai  struktur  affine  yang  diperoleh melalui konstruksi pemetaan affinenya (Kurniadi, 2019b).
Dalam  penelitian  ini  diperoleh conjecture bahwa    aljabar  Lie  real dari  grup  Lie similitude  berdimensi  4  yang  bracket  tak  nolnya  diberikan  oleh  persamaan  (6)  senantiasa mempunyai    struktur  affine.  Adapun  bentuk  eksplisit  dari  struktur  affine  pada  aljabar  Lie disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Struktur affine pada Untuk Untuk Untuk Untuk
Berbeda  dengan  hasil  sebelumnya,  dalam  artikel  ini  dibahas  tentang  struktur  affine  pada aljabar Lie dari grup Lie similitude berdimensi 4 yang bersifat tidak nilpoten dan non unimodular. Hal ini tentu saja berbeda dengan sifat aljabar Lie Heisenberg atau filiform yang bersifat nilpoten dan unimodular. Tujuan penelitian  yang diingin dicapai adalah sebagai berikut:
1. Membuktikan conjecture bahwa    aljabar  Lie  dari  grup  Lie  similitude  berdimensi  4  senantiasa mempunyai struktur affine.
2. Menentukan  rumus  ekplisit  struktur  affine  pada pada  aljabar  Lie sebagaimana  disajikan dalam Tabel 1.
Selanjutnya  perlu  dibahas  terlebih  dahulu  notasi-notasi  dasar  yang  diperlukan  dalam penelitian ini melalui kajian pustaka tentang aljabar Lie real berdimensi 4 dan struktur affine  yang dapat dijelaskan sebagai berikut:
Teorema  1 (Hilgert  &  Neeb,  2012) .  Ruang  vektor  real dikatakan  aljabar  Lie  jika  bentuk  bilinear [    ] bersifat  anti-komutatif  dan  memenuhi  identitas  Jacoby,  yaitu  untuk setiap berlaku :
1. [    ]    [    ]
2. [   [    ]]   [[    ]   ]   [[    ]   ]
Misalkan ajabar Lie real dan menotasikan dual dari ruang vektor yang didefinisikan sebagai berikut:
(4)
dengan  fungsional  linearnya  pada diberikan  oleh 〈    〉 .  Pada  penelitian  ini,  salah satu kelas aljabar Lie yang dibahas adalah aljabar Lie real Frobenius berdimensi 4 yang isomorfik dengan aljabar Lie dari grup Lie similitude berdimensi 4. Secara formal, perhatikan definisi berikut ini:
Definisi 2 (Ooms, 1980). Aljabar Lie dikatakan Frobenius jika terdapat fungsional linear di dual ruang vektor sedemikian sehingga stabilizer
〈   [    ]〉 .                (5) Titik yang  memenuhi  persamaan  (5)  dinamakan  dengan  fungsional  Frobenius  (Gerstenhaber  & Giaquinto, 2009). Contoh aljabar Lie Frobenius tersebut dapat  dilihat  dalam teorema di  bawah ini yang sekaligus objek dalam penelitian ini.
Teorema 3 (Csikós  &  Verhóczki,  2007). Aljabar  Lie  real  Frobenius dengan dan  basis mempunyai bracket  tak nol sebagai berikut:
[ ] [ ] (6) [ ] [ ] Misalkan aljabar  Lie  dengan  basis
.  Notasikan ([ ]) matriks yang entri-entrinya merupakan bracket dari dan 〈   [ ]〉 adalah matriks yang entri- entrinya ditentukan oleh  fungsional linear pada [ ] .
Teorema  4 (Ooms,  1980).  Misalkan aljabar  Lie  dengan  basis .  Jika  terdapat  fungsional linear sedemikian sehingga determinan matriks 〈   [ ]〉 tidak sama dengan nol maka adalah aljabar Lie Frobenius.
Dalam Subbab Hasil dan Pembahasan akan dibuktikan bahwa aljabar Lie dalam Teorema 3 di atas adalah aljabar Lie Frobenius. Selanjutnya diperkenalkan notasi struktur affine pada suatu aljabar Lie sebagai berikut:
Teorema 5 (Burde, 2015). Misalkan suatu aljabar Lie. Stuktur affine pada adalah produk bilinear real
. (7) yang memenuhi persamaan (3).
Khususnya untuk aljabar Lie Frobenius, eksistensi dari fungsional Frobenius dapat digunakan  untuk  mencari  produk  bilinear  real  yang  memenuhi  persamaan  (3).  Di  sisi  lain,  pada aljabar Lie Frobenius determinan matriks 〈   [ ]〉 sama dengan determinan  bentuk bilinear ganti tanda
〈   [ ]〉 . (8) terhadap  basis
.
Selanjutnya, telah dibuktikan  bahwa sembarang struktur simplektik linear form pada suatu Lie algebra dapat  menginduksi  persamaan  (3)  (Diatta et.al., 2020).  Dengan  kata  lain,  untuk  setiap didapat:
[ ] (9)
dengan didefinisikan mengikuti persamaan (8).

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka  khususnya  tentang klasifikasi aljabar Lie Frobenius berdimensi 4 atas lapangan dengan karakteristik nol (Csikós & Verhóczki, 2007), kemudian tentang aljabar simetrik kiri (Diatta & Manga, 2014), dan terakhir tentang struktur affine pada aljabar  Lie    (Diatta et  al., 2020).    Langkah  pertama,  diberikan  aljabar  Lie  real  dari  grup  Lie  similitude berdimensi 4 kemudian dibuktikan eksistensi struktur affine pada aljabar Lie tersebut dan secara eksplisit diberikan rumus struktur affine-nya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pertama-tama  aljabar  Lie  Frobenius
dengan
dalam  Teorema  3  dinotasikan
oleh . Aljabar Lie dari grup Lie similitude isomorfik dengan aljabar Lie Frobenius real yang bracket -nya  diberikan  oleh  persamaan  (6).  Dengan  kata  lain,
dengan adalah aljabar Lie dari . Teorema  6 (Csikós  dan  Verhóczki,  2007). Aljabar  Lie adalah  aljabar  Lie  Frobenius  dengan
fungsional Frobeniusnya adalah . Bukti. Pilih fungsional Frobenius
. Proses detail pemilihan fungsional Frobenius telah dikaji dalam penelitian sebelumnya (Kurniadi & Ishi, 2019). Selanjutnya perhatikan bahwa
(    (〈 [ ]〉))   | | . (10)
Oleh karena itu, adalah aljabar Lie Frobenius.
Selanjutnya diperoleh hasil utama dalam artikel ini sebagai berikut: Proposisi 7. Aljabar Lie real dengan basis dan bracket tak nolnya diberikan oleh persamaan (6) mempunyai struktur affine.
Bukti. Pertama-tama dikonstruksi bentuk bilinear ganti tanda dari sebagai berikut:
〈   [ ]〉 , (11) terhadap    basis .  Karena adalah  aljabar  Lie  Frobenius  maka  terdapat  fungsional Frobenius sedemikian sehingga adalah bentuk simplektik. Selanjutnya untuk
, adalah produk bilinear di
. Untuk elemen-
elemen dan di maka terdapat skalar dan dengan sedemikian sehingga,
∑ ∑ ∑ (12) Dengan menggunakan persamaan (9) dan persamaan (11), diperoleh bahwa: [ ] (13) di mana untuk dan nol untuk yang lainnya.  Lebih jauh, karena persamaan (13) non-degenerate maka diperoleh penyelesaian untuk dengan yang dinyatakan dalam perkalian dan dengan .  Menulis  ulang  persamaan  (12)  dalam  bentuk  produk bilinear diperoleh:
∑ (∑ )   ∑ (14) Untuk mengkonstruksi produk di dengan
, ditetapkan nilai-nilai dan yang bersesuaian sedemikian persamaan  (14) memenuhi  persamaan (3). Dengan kata lain, mempunyai struktur affine.
Akibat  8. Struktur  affine  pada  aljabar  Lie dengan  basis dan  bracket  tak nolnya diberikan oleh persamaan (6) dapat dituliskan secara eksplisit sebagai berikut :
Bukti. Menggunakan  persamaan  (11)—(14)  dan bracket pada  persamaan  (6)  diperoleh penyelesaian untuk dengan yang dapat dinyatakan dalam perkalian antara skalar dan dengan . Dalam hal ini: 1. , 2. , 3. ,
4.
.
Sehingga persamaan (14) menjadi:
(∑ ) (∑ )     ∑
(15)
Dengan menetapkan  nilai-nilai dan yang  bersesuaian maka diperoleh  rumus eksplisit affine seperti dalam tabel di atas.

## KESIMPULAN
Dari hasil dan pembahasan, telah dibuktikan dalam Proposisi 7 bahwa aljabar Lie real dari grup Lie similitude berdimensi 4 mempunyai struktur affine. Selanjutnya dalam Akibat 8 telah diperoleh pula rumus eksplisit untuk struktur affine aljabar Lie real dari grup Lie similitude berdimensi 4  seperti dalam Tabel 1.

## REKOMENDASI
Masalah  yang  masing  terbuka  di  sini  adalah  bagaimana  dengan  struktur  affine  aljabar  Lie Frobenius berdimensi 4 lainnya dan bagaimana pula bentuk eksplisit rumus affinenya.
UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis  mengucapkan    terimakasih  kepada  Universitas  Padjadjaran  yang  telah  mendanai penelitian  ini  melalui  Riset  Percepatan  Lektor  Kepala  (RPLK)  tahun  2020  dengan  nomor  kontrak 1427/UN6.3.1/LT/2020.

## DAFTAR PUSTAKA
Burde, D. (2015).  Left-symmetric algebras, or pre-lie algebras in geometry and physics. ArXiv:Math- Ph/0509016v2 .
Csikós,  B.,  &  Verhóczki,  L.  (2007).  Classification  of  frobenius  lie  algebras  of  dimension  ≤  6. Publicationes Mathematicae , 70 (3–4), 427–51.
Diatta, A., &  Manga, B. (2014). On properties of principal elements of frobenius lie algebras. J. Lie Theory , 24 (3), 849–64.
Diatta, A., Manga, B., & Mbaye, A. (2020). On systems of commuting matrices, frobenius lie algebras and gerstenhaber’s theorem. ArXiv:2002.08737.
Gerstenhaber, M., & Giaquinto, A. (2009). The principal element of a frobenius lie algebra. Letters in Mathematical Physics , 88 (1–3), 333–41.
Hilgert, J., & Neeb, K-H. (2012). Structure and geometry of lie groups . Monographs in Mathematics, New York: Springer.
Kurniadi, E. (2019a). Harmonic analysis for  finite dimensional real frobenius lie algebras .  Disertasi Doktor. Respository Nagoya University, Nagoya, Jepang.
Kurniadi,  E.  (2019b).  Struktur  affine  pada  aljabar  lie  heisenberg  berdimensi  3. Prosiding  Seminar Nasional Statistika, November 2019, Departemen Statistika FMIPA Unpad, 8 (1) .
Kurniadi,  E.,  &  Ishi,  H.  (2019).  Harmonic  analysis  for  4-dimensional  real  frobenius  lie  algebras. Springer  Proceeding  in  Mathematics  &  Statistics .  Springer  Proceeding  in  Mathematics  & Statistics.
Ooms, A. I. (1980). On frobenius lie algebras . Journal of Algebra , 8 (1), 13–52.