## PENAKSIRAN PARAMETER MODEL AUTOREGRESSIVE ORDE (1) DENGAN MENGGUNAKAN METODE LIKELIHOOD MAKSIMUM

## ESTIMATION OF PARAMETERS MODEL AUTOREGRESSIVE ORDE(1) BY USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD
Miftahul Jannah 1§ , Indah Nurina Fitri H 2
1 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang, Indonesia [Miftahuljannah@uinib.ac.id] 2 Institute Teknologi Bandung, Indonesia [Indahnurina@gmail.com]
§ Corresponding Author
Received 2019; Accepted 2019; Published 2019

## Abstrak
Model Autoregressive (AR)  merupakan  suatu  model  yang  digunakan  untuk  melakukan  prediksi  atau meramal  suatu  kejadian  dimasa  yang  akan  datang  dengan  menggunakan  data-data  pada  waktu sebelumnya. Untuk memprediksi kejadian dimasa mendatang dilakukan penaksiran parameter dari model Autoregressive (AR). Pada penelitian ini akan dibahas penaksiran parameter Autoregressive (AR) untuk orde p=1 yang disingkat dengan model AR(1). Metode yang digunakan untuk menaksir parameter model AR(1) adalah dengan menggunakan  metode  Likelihood Maksimum (LM). L angkah  pertama yang  harus dilakukan  adalah  dengan  menentukan  fungsi  likelihood  dari  model  AR(1).  Untuk  menentukan  fungsi likelihood dari model AR(1) terlebih dahulu ditentukan fungsi peluang dari model AR(1). Fungsi peluang model  AR(1) bisa ditentukan dari definisi model AR(1) tersebut, yaitu dimana
dan saling bebas maka diperoleh | ( ) , sehingga diperoleh fungsi peluang dari model  AR(1).  Selanjutnya  dilakukan  simulasi  data  dengan  memilih  nilai  parameter
dan
Simulasi data dilakukan untuk membandingkan nilai taksiran parameter dan dari model AR(1). Dengan menggunakan software matematika MATLAB, diperoleh nilai penaksiran dari parameter- parameter model AR(1) secara analitik dan numerik hampir sama. Hal ini tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.
Kata Kunci : Model Autoregressive Orde 1, Metode Likelihood Maksimum

## Abstract
Autoregressive (AR) is a model used to predict the future time by using the data in the past. To predict the future  time  parameter  estimation  is  performed  from  Autoregressive  (AR)  model.  In  this  research  will discussed estimation Autoregressive (AR) for orde p = 1 which in brief with AR(1). The method used to estimate parameter model of AR(1) is using likelihood maximum method. The first step is determining the function  of  likelihood  from  AR(1)  model.  Before  determine  the  likelihood  fuction,  we  determine  the probability function of  AR(1) model. The probability function of  AR(1) model can be obtained from the definition of  AR(1) model. That is
where and independent, then obtained | ( ) ,  so that the opportunity function of the model AR(1)  is obtained. Futhermore,
after the parameter estimator obtained from model AR will be simulated using the mathematical software is  MATLAB.  From  the  simulation  results,  the  values  obtained  for  the  estimation  of  the  parameters  of model AR(1) analytically and numerically show almost the same value. This does not  show a significant difference.
Keywords : Model Autoregressive AR(1) , Likelihood Maximum Method

## 1. Pendahuluan
Analasis  deret  waktu  ( time  series) adalah salah  satu  cabang  dari  ilmu  statistika  yang digunakan  untuk  melihat  perilaku  data-data  yang mempertimbangkan  pengaruh  waktu.  Data-data dikumpulkan  secara  periodik  berdasarkan  waktu, bisa dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal, dan tahun.    Unsur  penting  dari  analisis Time  Series adalah diperolehnya model yang mampu merepresentasikan  data  yang  telah  diberikan. Model time  series ini  tidak  hanya  digunakan untuk  data  yang  mempunyai  satu  variabel ( univariate ) tetapi juga bisa digunakan untuk data yang mempunyai banyak variabel ( multivariate ).
Model  umum  pada  time  series  dinamakan model Autoregressive Integrateg Moving
Avarage (ARIMA ) yang  telah  dipelajari  secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976).  Pada  model  ARIMA  terdiri  dari  dua aspek  yaitu  aspek Autoregressive dan  M oving Average .  Secara  umum  model  ARIMA  ditulis dengan notasi ARIMA( p,d,q ), dimana p menyatakan  orde  proses Autoregressive (AR), q menyatakan  orde  proses Moving  Average (MA), dan yang terakhir q menyatakan orde transformasi pembedaan ( differencing ).
Pada model ARIMA, jika nilai d = 0 maka model menjadi ARIMA( p ,0, q ), selanjutnya dinamakan  dengan  model  ARMA( p,q ).  model ARMA( p,q ) ini adalah model ARIMA untuk data
deret  waktu  yang  stasioner  yaitu  data  tidak mengalami  transformasi  perbedaan.  Jika d  =  0 dan q  =  0 ,  maka  model  ini  dinamakan ARIMA( p ,0,0).  Atau  disebut  model  ARMA( p ,0) lebih  umum  dinamakan  dengan  model  AR( p ). Model  AR( p )  dikesebut  juga  dengan  model Autoregressive orde p . Selanjutnya, jika nilai p = 0 dan d = 0 maka model ARIMA menjadi model ARMA(0, q )  yang  dikenal  dengan  model Moving Average orde q yang  dinotasikan  dengan  MA( q ) [6].
Pemodelan  dengan  menggunakan  model time  series memegang  peranan  penting  dalam kehidupan  sehari-hari.  Salah  satu  manfaat  dari pemodelan  dengan  menggunakan  model time series adalah  diperolehnya  prediksi  nilai  dimasa yang  akan  datang  dari  data-data  yang  telah diberikan.
Prediksi ini sangat penting dalam kehidupan untuk mendapatkan suatu perencanaan yang  lebih  baik  agar  dapat  mengetahui  langkah yang  harus  diambil  untuk  memperkecil  resiko yang tidak diinginkan.
Pada artikel ini dibahas bagaimana menentukan  penaksir    parameter  dari    model AR  untuk  orde  satu  atau  AR(1).  Ada  beberapa metode  yang  bisa  digunakan  untuk  menentukan penaksir parameter dari model AR(1), diantaranya  adalah  dengan  metode  moment,
metode Ordinary Least Square Estimation (OLS), metode information criteria dan metode likelihood maksimum estimator.
Beberapa  penelitian  terdahulu  mengenai estimasi model Autoregressive dilakukan oleh [8] tentang Estimasi Parameter Model Autoregressive (AR)  dengan  Menggunakan  Metode  Fungsi Marginal  Likelihood.  Begitu  juga  penelitian lainnya  pernah  dilakukan  oleh  [7]  mengenai Pengestimasian  Parameter  Model Autoregressive (AR) pada Analysis Deret Waktu Univariat.
Dalam  artikel  ini,  metode  yang  digunakan untuk  menaksir  parameter  model  AR(1)  adalah dengan menggunakan metode likelihood maksimum.  L angkah pertama  yang  harus dilakukan  adalah  menentukan  fungsi  likelihood dari  model  AR(1).  Untuk  menentukan  fungsi likelihood  dari  model  AR(1)  terlebih  dahulu ditentukan  fungsi  peluang  dari  model  AR(1). Fungsi  peluang  model  AR(1)  ditentukan  dari definisi model AR(1) yaitu,
dimana dan diasumsikan saling bebas maka diperoleh | ( ) , sehingga fungsi  peluang  dari  model  AR(1)  dapat  ditulis sebagai berikut;
| ( | ) √ { ( ( ) ) } .
Selanjutnya, dengan memaksimumkan fungsi  likelihood  tersebut,  akan diperoleh penaksir dari parameter- parameter  untuk model AR(1).

## 2. Landasan Teori

## 2.1. Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive merupakan  suatu model yang digunakan untuk melakukan prediksi atau meramal suatu kejadian dengan menggunkan nilai-nilai  pada  waktu  sebelumnya  [1].    Model AR  merupakan  salah  satu  regresi  linier  yang memenuhi  asumsi  homoskedalisitas,  dimana homoskedalisitas  berarti  variansi  dari  error bersifat  konstan  atau  identik  [4].  Model Autoregrresive  merupakan  model  yang  tidak dapat  diobservasi  karena  nilai  standar  deviasinya konstan  terhadap  waktu.  Model Autoregressive (AR)  dengan  orde p secara  umum  didefinisikan sebagai berikut
diasumsikan dan saling bebas.

## 2.2.  Metode  Likelihood  Maksimum

## (LM)
Untuk  mengetahui  besar  nilai    parameter dari  model  AR(1),  dapat  dilakukan  penaksiran parameter dengan menggunakan Metode Likelihood Maksimum (LM). Metode Likelihood Maksimum  adalah  metode  yang  paling  banyak digunakan  untuk  mengestimasi  parameter  dalam model  statistik.  Untuk  menaksir  parameter  dari model  AR(1)  dilakukan  dengan  cara  mencari parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood dari model AR(1)  tersebut.
Misalkan terdapat sampel acak
yang  berdistribusi  identik  dan saling bebas dengan fungsi peluang (    ) , maka fungsi  likelihood  dengan  parameter  θ  dapat
ditulis sebagai berikut:
( )    ( | ) ( | ) Untuk mempermudah perhitungan, fungsi likelihood  dapat  ditransformasi  menjadi  fungsi log-likelihood yang dideﬁnisikan:
( )      ( ( | ))
( )   ∑       ( |  )

## 2.3.  Syarat  Cukup  Nilai  Ekstrem
( Maksimum dan Minimum )
Titik  stasioner  belum  tentu  merupakan titik ekstrim. Sebagai contoh, fungsi (    ) mempunyai  titik  stasioner  (0,  0),  tetapi  titik  ini bukan  merupakan  titik  ekstrim  (global  maupun lokal).  Oleh  karena  itu  untuk  memastikan  nilai- nilai  ekstrim  (optimum)  dari  sebuah  fungsi  yang mengandung  lebih  dari  satu  variabel  bebas  dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya.
Untuk  memastikan  penaksir  parameter tersebut  merupakan  nilai  yang  memaksimalkan fungsi  log-likelihood  dari  model  AR(1),  maka dibutuhkan  syarat  cukup  nilai  ekstrim,  yaitu dilakukan  uji  turunan  kedua  dari  fungsi  log- likelihood sebagai berikut :
Misalkan (    ) adalah  fungsi  dua  variable dengan  titik  kritis (    ) .  Fungsi (    ) kontinu pada  interval  tertutup  dan  mempunyai  turunan parsial pada inerval terbuka, kemudian didefinisikan
(    ) (    ) (    )     [ (    )]
asumsikan (    ) adalah titik kritis untuk (    )
maka :
1. Jika dan (    ) ,  maka (    ) adalah nilai minimum. 2. Jika dan (    ) ,  maka
(    ) adalah nilai maksimum
3. Jika
,  maka (    ) adalah  titik pelana. 4. Jika
,  maka  pengujian  tidak memberi kesimpulan.

## 3. Hasil Dan Pembahasan

## 3.1. Model Autoregressive Orde 1
Adapun  bentuk  umum  model  AR  dengan orde p yang  dinotasikan  dengan  AR( p )  dapat dituliskan sebagai berikut ini;

## Dengan
= parameter pada waktu ke-t
model AR,
nilai error saat ke-t
( )

## orde model AR
Ada  beberapa  asumsi  untuk  proses  AR( p ) sebagai berikut;
1. Model AR merupakan proses stasioner,
2. Autokovariansi untuk
3. Autokovariansi
Pada  artikel  ini  akan  dibahas  model  AR  untuk orde p = 1 , maka modelnya dapat ditulis menjadi

## Dengan  asumsi:
( )
4. * + adalah  barisan  peubah  acak  yang  saling
bebas dan berdistribusi identik dan saling bebas 3.2.1. Sifat distribusi model

## Autoregressive orde 1
Model AR(1) didefinisikan sebagai berikut;
. Karena berdistribusi  normal  dengan  mean  0
dan  variansi sigma2,  maka berdistribusi normal dengan parameter mean dan variansi yang belum  diketahui.  Untuk  kita  harus  menghitung mean dan variansi dari . Telah diketahui bahwa et  saling  bebas  dengan .  Berikut  ini  mean dan  variansi  dari  model  Autoregresi  untuk tidak bersyarat dan bersyarat.
Ekspektasi  (mean)    tidak  bersyarat  model
Autoregerssive untuk nilai ,
( )      ( ) ( )      ( )    ( )    ( )
Karena  nilai dan  model  AR(1)  adalah proses  yang  stasioner  maka  diperoleh  nilai  mean dari AR(1), yaitu : ( )
Ekspektasi (mean)   tidak bersyarat model
Autoregersi untuk nilai , ( )      ( ) ( )      ( )    ( )    ( ) ( ) ( ) Karena  nilai
dan  berdasarkan  sifat kestasioneran dari model  AR(1), maka diperoleh nilai mean/ekspektasi dari AR(1), yaitu :
( ) Selanjutnya akan ditentukan mean/ekspektasi bersyarat dari model Autoregerssive untuk , ( | )      ( ) ( | ) ( | )    ( | ) ( | ) Selanjutnya akan ditentukan mean/ekspektasi bersyarat dari model
Autoregerssive untuk
( | )       ( ) ( | ) ( | ) ( | ) .
Sifat  distribusi  model  Autoregressive berikutnya  adalah  variansi.  Varinasi  tidak bersyarat  dari  model  Autoregerssive    untuk  nilai
, ( )        ( )      ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Varinasi  tidak  bersyarat  dari  model
Autoregersi untuk nilai , ( )        ( ) ( )            ( )      ( ) ( )
( )
Varinasi  bersyarat  dari  model  AR(1) untuk nilai
( | )
( | ) ( | ) ( | ) ( | )
( | )
Variansi  bersyarat  dari  model  AR(1)  untuk  nilai
( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) Karena ( ) , maka ( ) Untuk distribusi bersyarat | ( ) ,
dengan demikian fungsi peluang dari model  AR (1) adalah
( ) √ { ( ) } ,
dimana
√
Fungsi peluang untuk distribusi bersyarat | adalah sebagai berikut:
| ( | ) √ { ( ( ) ) }

## 3.3. Fungsi  Pembangkit  Momen  dari Model Autoregresi Orde Pertama
Karena  model  Autoregresi  orde  pertama berdistibusi  normal,  maka  fungsi  pembangkit
momen  dari dan | adalah  sebagai berikut ini
( )       { ( ) }
Untuk | , diperoleh
| ( )       { }
Fungsi  pembangkit  ini  digunakan  untuk menentukan    momen  pertama  (mean),  momen kedua,  momen  pusat  pertama  dan  momen  pusat kedua.  Penentuan  pusat  data  dan  sebaran  data dapat  direpresentasikan  oleh  mean  dan  variansi. Begitu  juga  untuk  menetukan  kemiringan ( Skewness ) dan  kurtosis kita dapat menggunakan momen ketiga dan momen keempat.
3.4. Penaksiran paramenter model AR (1)
Metode  yang  digunakan  untuk  menaksir
parameter model AR(1) adalah dengan menggunakan  metode  likelihood  maksimum Untuk  menentukan  fungsi  likelihood  dari  model AR(1)  terlebih  dahulu  ditentukan  fungsi  peluang dari model AR(1). Fungsi peluang model  AR(1) bisa  ditentukan  dari  definisi  model  AR(1),  yaitu sebagai berikut;
dimana dan saling  bebas  maka  diperoleh | ( ) ,  sehingga  diperoleh fungsi peluang  dari model AR(1) sebagai berikut ini:
| ( | ) √ { ( ( ) ) } Untuk menaksir parameter dengan menggunakan  metode  likelihood  maksimum, didefinisikan fungsi likelihoodnya, yaitu:
( |( | )) ∏ √ { ( ( ) ) } ( √ ) ∏     { ( ( ) ) }
Titik  maksimum  merupakan  salah  satu titik stasioner, yaitu titik dimana turunan pertama dari  fungsi  likelihood  bernilai  0.  Karena  fungsi log merupakan fungsi  yang monoton naik murni, maka  nilai  parameter  yang  memaksimumkan fungsi  likelihood  sama  dengan  nilai  parameter yang  memaksimumkan  fungsi  log-likelihood, dimana fungsi log-likelihood didefinisikan sebagai berikut :
( ( |( | ))) (( √ ) ∏     { ( ) } ) ∑ {   (  )      ( ) ( ( ) )}
Selanjutnya dengan memaksimumkan
fungsi log-likelihood terhadap ialah :
( ( |( | ))) ( ∑ {   (  )      ( )   ( ) } )
(     ) ∑ ( ) Sehingga diperoleh penaksir parameter , yaitu :
̂ ∑ ( ̂ )
Selanjutnya  akan  ditentukan  turunan parsial  pertama  dari  fungsi  log-likelihood terhadap parameter , yaitu :
( ( |( | )))
( ∑ {   (  )      ( )   ( ) } )
∑ ( )
Sehingga diperoleh penaksir untuk parameter , yaitu :
̂ ∑ ∑
Berikut ini perhitungan turunan parsial kedua dari fungsi log-likelihood terhadap .
( ( |( | ))) ( (     ) ∑ ( ) )
(     ) ∑ ( )
Turunan  parsial  kedua    dari  fungsi  log- likelihood terhadap parameter ialah :
( ( |( | ))) (∑ )
∑   ( )
Turunan  kedua  dari  fungsi  log-likelihood terhadap parameter dan ialah :
( ( |( | ))) ( ∑ {   (  ) ( )   ( ) })
(∑ ) ∑( )
Apabila  turunan  parsial  kedua  dari  fungsi  log- likelihood  terhadap dievaluasi  pada  titik
( ̂ ̂) , maka diperoleh :
( |( ̂ ̂)) (     ) ∑ ( ̂ ) (     ) ∑ ( ̂ ) (∑ ( ̂ ) ) ( |( ̂ ̂)) (     ) ∑ ( ̂ )
Dapat  dilihat  bahwa  turunan  kedua  dari fungsi  log-likelihood  terhadap dievaluasi  pada titik ( ̂ ̂) selalu bernilai negative.
Nilai  D,yaitu  nilai  diskriminan  dari  fungsi  log- likelihood model AR(1) ialah;
(     ) ∑ ( ̂ ) (∑   ( ) )   (( ) ∑( ̂ ) )
Dapat dilihat bahwa ketika D dievaluasi pada titik ( ̂ ̂) ,    nilai  dari D cukup  sulit  ditentukan positif atau negatifnya. Dengan demikian, uji titik maksimum  dilakukan  dengan  membandingkan nilai parameter yang diperoleh berdasaskan grafik fungsi  log-likelihhood  dengan  nilai  taksiran parameter MLE secara anlaitik.

## 3.5. Simulasi data model AR(1)
Akan  disimulasikan  data  berdasarkan model  AR(1)  dengan  parameter dan
.  Kemudian,  dari  hasil  simulasi  akan dibandingkan  nilai  taksiran  parameter  dari
menggunakan  konsep  maksimum  likelihood maksimum  yang  didapatkan  secara  numerik  dan secara  analitik  dengan  jumlah  sampel  100  dan 500.
Berikut simulasi estimasi nilai parameter model AR(1) dengan menggunakan MATLAB.
1 clc
2 clear  all
3 4 %%==PROGRAM   PENAKSIR  PARAMETER   MODEL AR(1)   DENGAN   MLE==%%
5 6 alpha       =   input( 'alpha                        =  ' );
7 variansi  =   input( 'variansi              =     ' );
8 n                  =   input( 'banyaknya   data  =     ' ); 9 10 format  long
11 model arima( 'Constant' ,0, 'AR' ,{alpha} 'Variance ' ,variansi);
12 X    =   simulate(model,n);
13 14 i=1;
15 for alpha   =   -1:0.001:1
16 a(i,1)  =   alpha;
17 var       =   0;
18 for t   =   2:n
19 var  =   var  +   (X(t) -  alpha*  X(t1))ˆ2; 20 end
21 variansi(i,1)  =   var/(n-1);
22 l =   0;
23 for t  =   2:n
24 l =   l +   log(2*pi)  + log(variansi(i,1))  + ... (variansi(i,1)*(X(t)  -  alpha*X(t-1))ˆ2); 25 end
26 likelihood(i,1)  =   l*(-0.5);
27 i =   i+1;
28 end 29 30 %Perhitungan   taksiran   parameter secara  numerik
31 [likemaks,lokasi]  = findpeaks(likelihood);
32 alphatopi  =   a(lokasi)
33 vartopi     =   variansi(lokasi)
34 35 %Perhitungan   taksiran   parameter secara  analitik 36 [alphatopimle1,alphatopimle2,vartopimle] =deal(0);
37 for t=2:n
1)*X(t);
39 end
40 for t=2:n 41 alphatopimle2=alphatopimle2+  X(t- 1)ˆ2;
42 end 43 alphatopimle=alphatopimle1/alphatopimle2 44 for t=2:n 45 vartopimle=vartopimle+(X(t)- alphatopimle*X(t-1))ˆ2;
46 end 47 vartopimle=vartopimle/(n-1)
48 49 plot(a,likelihood)
50 xlabel( '\alpha' )
51 ylabel( 'Log(L(\alpha,\sigma ˆ 2 | ( x  t | x {t-1})))' )
52 title( 'Grafik   Fungsi  Loglikelihood' )
Untuk  lebih  jelasnya  hasil  simulasi  dapat dilihat pada table berikut ini:
Tabel  1.  Perbandingan  nilai  taksiran  parameter secara numerik dan analitik
Jumlah Sample ̂ ̂ Numerik Analitik Numerik Analitik 100 0.424 0.4236 0.0762 0.0762 500 0.483 0.4834 0.0982 0.0982
Dari  table  diatas,  dapat  dilihat  bahwa  nilai taksiran secara numerik dan analitik hampir sama. Perbedaan  diakibatkan  karena  adanya  penentuan lebar selang antar titik yang akan dievaluasi pada metode  numerik.  Dapat  dikatakan  bahwa  nilai ̂ dan ̂ yang diperoleh dengan menggunakan turunan  pertama  dari  fungsi  log-likelihood merupakan titik maksimum.
Untuk  lebih  jelasnya,  berikut  ini  disajikan grafik  dari  fungsi  log-likelihood  untuk  model AR(1).
 Untuk n=100
Gambar  1.  Plot  fungsi  Log-likelihood  Model AR(1) untuk n=100.
Dari  gambar  1  diatas  terlihat  bahwa  nilai parameter yang  memaksimumkan  fungsi likelihood adalah 0.423.
 Untuk n=500
Gambar  2.  Plot  fungsi  Log-likelihood  Model AR(1) untuk n=500.
Dari  gambar  2  diatas  terlihat  bahwa  nilai parameter yang  memaksimumkan  fungsi likelihood adalah 0.483.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Dari hasil penyelesainya dapat disimpulkan bahwa, estimasi parameter model AR(1)  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan metode  maksimum  likelihood  Estimator  (MLE).
Dari  hasil  simulasi  secara  analitik  untuk  jumlah sampel  100  diperoleh ̂ dan ̂
,    secara numerik  diperoleh ̂ dan .  Selanjutnya  untuk  jumlah
sampel  500  dari  hasil  simulasi  secara  analitik diperoleh ̂ dan ̂ ,  secara numerik  diperoleh ̂ dan . Secara  analitik  dan  numerik  nilai  penaksiran parameter untuk hampir sama, tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Pada  artikel  ini  penulis  ucapkan  terima kasih  kepada  pembimbing,  teman  –  teman alumni  s2  matematika  dan  aktuaria  serta pihak-pihak yang telah terlibat dalam membantu penulisan ini.

## Daftar Pustaka
[1]  Ekananda, Mahyus. 2014. Analisis Data Time Seies . 1 st ed. Jakarta: Mitra Wacana Media.
[2]  Walpole,R dan Myers, RH. 2012. Probability and Statistics for Engineers and Scientists . Macmillan Publishing Co.,Inc.
[3]  Brockwel, P. J. dan A.Davis. 2001. Introduction to Time Series and Forecasting . USA: Springer.
[4]  Cryer, J. D. 1992. Time Serier Analysis, Boston: PWS Publisher.
[5]  Miller, I. Miller, M. 2004. Mathematical Statistics with Applications. 7 th ed. Prentice Hall.
[6]  Suyitno. 2011. Pengestimasian Parameter Model Autoreggressive pada Analysis Deret WaktuUnivariat. ISSN 1412-498X : 117-132
[7]  Sari, Nelfa. Pendugaan Parameter Model Autiregressive pada Deret Waktu . ISSN 2303-291X : 28-37. Vol.3, No. 4.
[8]  Sari, I, dan Novkaniza, F. Estimasi
Parameter Autoregressive dengan Fungsi
Marginal Likelihood. Universitas Indonesia.
[9]  Engle, Robert, F. 1982. Autoregressive
Conditional Heteroscedasticity with Estimates of The Variance of United Kingdom Inflation. Economterica: Vol.50, No. 4.
[10] Frances, P. D. 1999. Forcasting with
Periodic Autoregressive Time Series.
Netherlands: Eramus Univercity Rotterdam.