## HIMPUNAN BILANGAN KOMPLEKS YANG MEMBENTUK GRUP

## WAHIDA A.
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
Wahyuni Abidin
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Wahdaniah
Info:
Jurnal MSA Vol. 2 No. 2 Edisi: Juli – Des 2014
Artikel No.: 3
Halaman: 14 - 27 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM

## ABSTRAK
Bilangan  riil  banyak  digunakan  dalam  menyelesaikan  pembuktian  sifat- sifat  grup.  Kemudian  sifat-sifat  grup  tersebut  akan  dikaji  dengan menggunakan  himpunan  bilangan  kompleks.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah  untuk  mengetahui  himpunan  bilangan  kompleks  yang  dapat membentuk grup atau bukan grup. Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian murni (kajian teori). Hasil penelitian yang diperoleh  adalah  himpunan  bilangan  kompleks  yang  dapat  membentuk grup dapat dilihat pada bentuk atau operasi tertentu yaitu penjumlahan dan perkalian  bilangan  kompleks  dapat  membentuk  grup  misalnya  pada ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan  operasi (ℂ, +) dan (ℂ,×), ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan  operasi  penjumlahan  dan perkalian  konjugat, ℂ = {|𝑧| |𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi perkalian modulo, ℂ = { 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦  ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan    operasi (ℂ, +) dan (ℂ,×) , ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦√2 ; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi penjumlahan, ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; |𝑥 + 𝑖𝑦| = 1; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi perkalian..
Kata Kunci: Bilangan kompleks, grup dan sifat-sifat grup

## 1. PENDAHULUAN

## Latar Belakang
Matematika  merupakan  salah  satu  cabang  ilmu pengetahuan yang banyak sekali manfaatnya dan merupakan  salah  satu  ilmu    bantu  yang  sangat penting dan berguna dalam kehidupan sehari-hari maupun  dalam  menunjang  perkembangan  ilmu pengetahuan dan teknologi. Matematika merupakan
sarana berfikir
untuk menumbuhkembangkan pola pikir logis, sistematis,  obyektif,  kritis,  dan  rasional.  Oleh sebab  itu,  matematika  harus  mampu  menjadi salah satu sarana untuk meningkatkan daya nalar dan  dapat  meningkatkan  kemampuan  dalam mengaplikasikan ilmu untuk menghadapi tantangan  hidup  dalam  memecahkan  masalah. Matematika juga digunakan untuk memecahkan masalah pada teori matematika itu sendiri. Salah satunya  adalah  dalam  ilmu  aljabar  yang khususnya  mengenai  sifat-sifat  grup  yang himpunannya pada bilangan kompleks.
Himpunan  adalah  kumpulan  objek  yang  dapat didefenisikan  secara  jelas.  Dalam  Q.S.  Al- Hujurat/49:13 yang berbunyi:
                                                                                                                                                             
Terjemahnya: “Hai manusia, Sesungguhnya Kami menciptakan  kamu  dari  seorang  laki-laki  dan seorang  perempuan  dan  menjadikan  kamu berbangsa  -  bangsa  dan  bersuku-suku  supaya kamu  saling  kenal-mengenal.  Sesungguhnya orang  yang  paling  mulia  diantara  kamu  disisi Allah  ialah  orang  yang  paling  taqwa  diantara kamu.  Sesungguhnya  Allah  Maha  mengetahui lagi Maha Mengenal”.
Kata syu’ub adalah bentuk jamak dari kata Sya’b. Kata  ini  digunakan  untuk  menunjuk  kumpulan dari  sekian Qabilah yang  biasa  diterjemahkan suku yang merujuk kepada satu kakek. Qabilah pun  terdiri  dari  sekian  banyak  kelompok keluarga  yang  dinamai imarah ,  dan  yang  ini terdiri  lagi  dari  sekian  banyak  kelompok  yang dinamai bathn . Bathn ada  sekian fakhdz hingga
akhirnya sampai pada himpunan keluarga kecil. Berdasarkan ayat di atas dapat dikatakan bahwa bukan  dalam  matematika  saja  himpunan  dapat dijelaskan  tetapi  himpunan  telah  lebih  dahulu dijelaskan  dalam  Al-quran  berdasarkan  ayat tersebut  di  atas  karena  himpunan  didefinisikan sebagai  kumpulan  dari  seorang  laki-laki  dan seorang  perempuan  dan  menjadikan  berbangsa- bangsa dan bersuku-suku supaya saling mengenal.
Ilmu aljabar abstrak merupakan bagian dari ilmu matematika  yang  berkembang  dengan  pesat karena berhubungan dengan himpunan, dan sifat struktur-struktur  di  dalamnya.  Salah  satu  yang dibahas  dalam  ilmu  aljabar  abstrak  adalah struktur  aljabar  dan  sifat-sifatnya.  Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang  dilengkapi  dengan  aksioma  dan  suatu operasi  biner.  Teori  grup  dan  ring  merupakan konsep yang memegang peranan  penting dalam struktur  aljabar.  Grup  hanyalah  sebuah  objek formal di matematika. Secara teoretis, perannya mencakup:  studi  tentang  simetri,  pondasi kriptograf,  aljabar  modern,  dan  banyak  lagi. Sebagai objek tersendiri, grup cukup menantang untuk  diklasifikasi.  Faktanya,  beberapa  bagian terdalam    matematika  terkait  secara  langsung maupun  tidak  langsung  dengan  salah  satu pengklasifikasian grup.
Ide  dasar  munculnya  teori  grup  adalah penyelidikan permutasi dari himpunan berhingga di dalam teori persamaan. Selanjutnya ditemukan bahwa  konsep  dari  suatu  grup  adalah  universal dan  konsep  grup  tersebut  muncul  di  berbagai cabang ilmu matematika dan ilmu pengetahuan.
Secara  umum,  penyelesaian    soal-soal  yang berhubungan  dengan  sifat-sifat  grup  hanya mengutamakan bilangan riil, baik itu dari buku- buku, jurnal maupun kajian-kajian terkait dengan sifat-sifat  grup.  Selanjutnya,  penulis  ingin mengkaji  himpunan  bilangan  kompleks  dengan menggunakan  sifat-sifat  grup,  sebab  berbagai kajian terkait sifat-sifat grup yang telah diperoleh belum  ada  yang  membahas  tentang  sifat-sifat grup  dalam  kaitannya  pada  himpunan  bilangan kompleks.
Berdasarkan  latar belakang diatas, maka penulis tertarik  mengangkat  sebuah  judul  “Mengkaji
Himpunan  Bilangan  Kompleks  yang  dapat Membentuk Grup”.

## Rumusan Masalah
Berdasarkan  latar  belakang  di  atas,  dapat dikemukakan rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana bentuk himpunan bilangan kompleks  yang  dapat  membentuk  grup  atau bukan grup?

## Tujuan Penelitian
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk mengetahui  himpunan  bilangan  kompleks  yang membentuk grup atau bukan grup.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Bilangan Kompleks
Dengan  memiliki  sistem  bilangan  real  saja kebutuhan  orang  akan  bilangan  belum  dapat tercukupi  karena  untuk  setiap 𝑥 ∈ ℝ selalu berlaku 𝑥 2 ≥ 0 ,  maka  kalau  hanya  bekerja  di dalam ℝ ,  persamaan  kuadrat 𝑥 2 + 1 = 0 tidak memiliki  solusi  dalam  system  bilangan  riil. Dalam hal ini solusinya adalah 𝑥 = ±√−1 . Jelas √−1 bukan  bilangan  riil  karena  tidak  ada bilangan riil  yang kuadratnya sama dengan −1 . Jadi di samping bilangan riil kita telah memiliki jenis  bilangan  lain,  yaitu  bilangan  imajiner. Bilangan  imajiner  adalah  bilangan  yang  dapat ditulis sebagai 𝑏𝑖 dengan 0 ≠ 𝑏 ∈ ℝ . Misalkan, saat  memerlukan  solusi  dari  persamaan 𝑥 2 = −25 ,  tidak  ada  bilangan  riil  yang  memenuhi persamaan  tersebut  karena  solusi  persamaan tersebut adalah 𝑥 = √−25 = √25√−1 = 5√−1 = 5𝑖 . Oleh karena itu perlu didefinisikan bilangan kompleks.
Gabungan  bilangan  riil  dan  bilangan  imajiner membentuk bilangan kompleks dengan notasi ℂ . Himpunan bilangan kompleks ditulis
ℂ = {𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} ,
Dengan 𝑎 adalah  bagian  riil  dan 𝑏 bagian imajiner.  Bilangan  kompleks  ditulis  sebagai pasangan  terurut  dua  bilangan  riil,  yang dinyatakan  dengan (𝑎, 𝑏) atau 𝑎 + 𝑏𝑖 ,  dimana 𝑎 = 𝑅𝑒 ℂ (bilangan riil dari bilangan kompleks), 𝑏 = 𝐼𝑚 ℂ (bagian  imajiner  dari  bilangan kompleks). Jika bilangan riil  dapat  ditempatkan
pada  garis  lurus,  maka  bilangan  kompleks ditempatkan pada bidang ℝ 2 atau dalam hal  ini disebut bidang kompleks (lihat grafik).
𝐼𝑚 𝑐  𝑧(𝑥, 𝑦)

## 𝑅𝑒 ℂ

## Gambar 2.1. Grafik Bilangan Kompleks
Berdasarkan  bagan  di  atas  dapat  dilihat  bahwa himpunan    bilangan  yang  terbesar  dalam matematika adalah bilangan kompleks.
Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan  dengan ∁ atau ℂ .  Bilangan  real ℝ dapat  dinyatakan sebagai  bagian dari himpunan ℂ dengan  menyatakan  setiap  bilangan  real sebagai bilangan kompleks.
Definisi 2.1 Diberikan bilangan kompleks 𝑧 𝑛 = (𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) 𝑛 = 1,2, … operasi pada bilangan kompleks didefinisikan dengan 1. 𝑧 1 = 𝑧 2 jika dan hanya jika 𝑥 1 = 𝑥 2 dan 𝑦 1 = 𝑦 2 2. 𝑧 1 + 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑥 2 , 𝑦 1 + 𝑦 2 ) 3. 𝑧 1 − 𝑧 2 = 𝑧 1 + (−𝑧 2 ) = (𝑥 1 − 𝑥 2 , 𝑦 1 − 𝑦 2 ) 4. 𝑘𝑧 1 = (𝑘𝑥 1 , 𝑘𝑦 1 ) 𝑘 konstanta riil 5. 𝑧 1 𝑧 2 = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 , 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) Himpunan semua pasangan terurut (𝑥, 𝑦) dengan  operasi  tertentu  yang  sesuai  padanya didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. Sistem  bilangan  kompleks  tersebut  dinotasikan (ℂ, +) .
Teorema  2.2. Sistem  bilangan  kompleks (ℂ, +) merupakan suatu lapangan (field).
Definisi 2.3 . Diberikan  bilangan  kompleks 𝒛 𝒏 = 𝒙 𝒏 + 𝒊𝒚 𝒏 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐 . Operasi pada himpunan  bilangan  kompleks  didefinisikan dengan
1. 𝑧 1 + 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑥 2 ) + 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 ) 2. 𝑧 1 − 𝑧 2 = (𝑥 1 − 𝑥 2 ) + 𝑖(𝑦 1 − 𝑦 2 ) 3. 𝑘𝑧 1 = 𝑘𝑥 1 + 𝑘𝑦 1 , 𝑘 ∈ ℝ
4. 𝑧 1 𝑧 2 = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) 5. 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑧 1 𝑧 2 −1 , 𝑧 2 ≠ 0 = 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑖 𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 1 𝑦 2 𝑥 2 2 − 𝑦 2 2
Selain  operasi  penjumlahan  dan  perkalian  pada sistem  bilangan  kompleks,  masih  terdapat operasi  lain  yang  dinamakan  operasi  konjuget. Operasi  konjuget  didefinisikan  seperti  dibawah ini.
Definisi 2.4. Diberikan bilangan kompleks 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚: 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ .  Bilangan  kompleks  sekawan (konjuget)  dari  z  didefinisikan  dengan 𝒛̅ = 𝒙 − 𝒊𝒚 .  Operasi  konjuget  (bilangan  kompleks sekawan)  pada  sistem  bilangan  kompleks disajikan pada teorema berikut .
Teorema  2.5. Diberikan 𝒛 𝟏 , 𝒛 𝟐 ∈ ℂ .  Operasi konjuget pada sistem bilangan kompleks adalah
a. 𝑧 1 + 𝑧 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧 1 ̅ + 𝑧 2 ̅ . b. 𝑧 1 − 𝑧 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧 1 ̅ − 𝑧 2 ̅ . c. 𝑧 1 𝑧 2 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑧 1 ̅ 𝑧 2 ̅ . d. 𝑧 1 𝑧 2 ⁄ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧 1 ̅ 𝑧 2 ̅ ⁄ , 𝑧 2 ≠ 0 . e. 𝑧̿ = 𝑧 . f. 𝑧𝑧̅ = [𝑅𝑒(𝑧)] 2 + [𝐼𝑚(𝑧)] 2 . g. 𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑅𝑒(𝑧) .
h. 𝑧 − 𝑧̅ = 2𝑖 𝐼𝑚(𝑧) .

## Operasi Biner pada Himpunan
Misalkan G himpunan tidak kosong, fungsi dari 𝐺 × 𝐺 ke G mengaitkan  setiap  pasangan berurutan (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐺 × 𝐺 dengan suatu pasangan di 𝐺 (yaitu 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺), maka ∗ dikatakan operasi biner  (komposisi  biner)  pada 𝐺. Dengan demikian,  operasi ∗ pada  himpunan  tidak kosong G adalah  operasi  biner  jika  dan  hanya jika 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑏 ∈ 𝐺 → 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 Jadi operasi  biner  merupakan  operasi  tertutup  yang didefenisikan pada himpunan tidak kosong.

## Contoh 2.1
Operasi penjumlahan (+) merupakan komposisi biner  pada  himpunan  bilangan  asli 𝑁 ,  karena ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁, 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑁
Defenisi  2.7  (hukum  operasi). Suatu  operasi biner ∗ dan 𝒐 pada  himpunan  tidak  kosong 𝑮 dikatakan:
1. Assosiatif, jika
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗
𝑐), ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
2. Komutatif, jika 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 3. Mempunyai unsur identitas, jika ada 𝑒 ∈ 𝐺 , sehingga 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 4. Setiap anggota mempunyai invers di 𝐺 , jika ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 ada 𝑎 −1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑒 5. Operasi ∗ pada 𝐺 dikatakan  memenuhi hukum  pencoretan  kiri,  jika 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑐 mengakibatkan 𝑏 = 𝑐 untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
6. Operasi ∗ pada 𝐺 dikatakan  memenuhi hukum pencoretan kanan, jika 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑐 ∗ 𝑎, mengakibatkan 𝑏 = 𝑐, untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
7. Anggota 𝑒 ∈ 𝐺 dikatakan identitas kiri di 𝐺 , jika 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝐺
8. Jika 𝑒 identitas kanan di 𝐺 , maka elemen 𝑏 ∈ 𝐺 ,  dikatakan  invers  kanan  dari 𝑎 ∈ 𝐺, jika 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑒
9. Operasi 𝒐 dikatakan distributif kiri terhadap ∗ jika 𝑎 𝒐(𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 𝒐 𝑏) ∗ (𝑎 𝒐 𝑐), ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺
10. Operasi 𝒐 dikatakan  distributif  kanan terhadap ∗ jika (𝑎 ∗ 𝑏)𝒐 𝑐 =
(𝑎 𝒐 𝑐), ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺.
Definisi  2.8. Suatu  himpunan  tidak  kosong 𝑮 dengan  satu  atau  lebih  operasi  biner  pada 𝑮 dikatakan  struktur  aljabar,  atau  sistem  aljabar dan ditulis (𝑮,∗).
Grup
Definisi  2.9. Suatu  sistem  aljabar (𝑮,∗) dari himpunan tidak kosong 𝑮 dengan operasi biner ∗ , dikatakan grup jika memenuhi sifat berikut:
1. Tertutup ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
2. Sifat  assosiatif ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 .
3. Ada unsur identitas di G. Ada 𝑒 ∈ 𝐺 sehingga ∀𝑎 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗  𝑎 = 𝑎 . 4. Ada unsur invers setiap anggota di G. ∀𝑎 ∈ 𝐺 , ada 𝑎 −1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑒 .
Dari defenisi di atas dapat dikatakan bahwa suatu himpunan tidak kosong 𝐺 dengan operasi biner ∗ “ditulis (𝐺,∗) ”  merupakan  grup  jika  memenuhi sifat  tertutup,  assosiatif,  mempunyai  unsur identitas    di 𝐺 dan  setiap  anggota  di 𝐺 mempunyai  invers  di 𝐺 .  Selanjutnya  jika (𝐺,∗)
merupakan  grup  dan  memenuhi  sifat  komutatif yaitu 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ,  maka 𝐺 disebut grup  komutatif,  dan  jika  tidak  memenuhi  sifat komutatif maka 𝐺 disebut grup tidak komutatif.
Definisi  2.10. Misalkan 𝑮 himpunan  tidak kosong  dengan  operasi  biner ∗ didefenisikan pada 𝑮 , maka:
1. (𝐺,∗) disebut grupoid
2. Suatu  grupoid (𝐺,∗) yang  memenuhi  sifat assosiatif disebut semi grup.
3. Suatu  semigrup (𝐺,∗) yang  mempunyai unsur identitas disebut monoid.
Defenisi  di  atas  dapat  digunakan  untuk mendefenisikan  grup,  yaitu  jika (𝐺,∗) suatu monoid dan setiap anggota 𝐺 mempunyai invers di 𝐺 maka (𝐺,∗) merupakan grup.
Definisi 2.12. Misalkan (𝑮,∗) adalah grup 1. Jika banyaknya anggota 𝐺 terhingga (finite), maka (𝐺,∗) disebut grup terhingga.
2. Jika  banyaknya  anggota 𝐺 takterhingga (infinite), maka (𝐺,∗) disebut grup takterhingga.

## Sifat-sifat Grup
Dalam  mempelajari  sifat-sifat  grup,  kita nyatakan grup (𝐺,∗) hanya dengan simbol 𝐺 . Jadi jika (𝐺,∗) dinyatakan  sebagai  grup  cukup  kita tulis 𝐺 adalah grup. Juga untuk sebarang anggota 𝑎, 𝑏 di 𝐺, perkalian anggota 𝑎 dengan anggota 𝑏 cukup  ditulis 𝑎𝑏, demikian  juga  penjumlahan 𝑎 dengan 𝑏 cukup  ditulis a+b. Dengan menggunakan  notasi  di  atas,  akan  dibuktikan beberapa sifat grup.
Teorema  2.13  (ketunggalan  unsur  identitas). Unsur identitas suatu grup adalah tunggal .
Bukti:
Misalkan 𝐺 adalah grup. Juga misalkan 𝑒 dan 𝑒’ adalah  unsur  identitas  di 𝐺, akan ditunjukkan  bahwa 𝑒 = 𝑒’. Karena 𝑒 unsur  identitas  di 𝐺 dan 𝑒’  ∈ 𝐺 , maka 𝑒𝑒’ = 𝑒’𝑒 = 𝑒’. Juga 𝑒’ unsur  identitas di 𝐺 dan 𝑒 ∈ 𝐺 , maka 𝑒’𝑒 = 𝑒𝑒’ = 𝑒. Jadi 𝑒 = 𝑒’𝑒 = 𝑒𝑒’ = 𝑒’. Dengan demikian terbukti bahwa unsur identitas suatu grup adalah tunggal.
Teorema  2.14  (ketunggalan  unsur  invers). Setiap  anggota  suatu  grup  mempunyai  invers tunggal.
Teorema 2.15. Invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu sendiri.
Definisi  2.16. Suatu  grupoid 𝑮 dan 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑮 dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika 𝒂𝒙 = 𝒂𝒚 mengakibatkan 𝒙 = 𝒚 ,  dan  dikatakan memenuhi  pencoretan  kanan  jika 𝒙𝒂 = 𝒚𝒂 mengakibatkan 𝒙 = 𝒚 .  Selanjutnya  jika 𝑮 memenuhi  hukum  pencoretan  kiri  dan  hukum pencoretan kanan, maka 𝑮 dikatakan memenuhi hukum pencoretan.
Teorema  2.17. Setiap  grup  memenuhi  hukum pencoretan.
Teorema 2.18. Jika 𝑮 adalah grup dan 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮, maka berlaku (𝒂𝒃) −𝟏 = 𝒃 −𝟏 𝒂 −𝟏 .
Teorema 2.19. Jika 𝒂, 𝒃 sebarang anggota dari grup 𝑮 , maka persamaan 𝒂𝒙 = 𝒃 dan 𝒚𝒂  =  𝒃 masing-masing mempunyai penyelesaian secara tunggal (penyelesaian tunggal) di 𝑮.
Teorema  2.20. Setiap  himpunan 𝑮 dengan operasi biner perkalian merupakan grup jika dan hanya jika,
1. Operasi perkalian bersifat assosiatif
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, persamaan 𝑎𝑥 = 𝑏 dan 𝑦𝑎 = 𝑏 mempunyai penyelesaian tunggal di 𝐺 .
Akibat 2.21. Suatu  semigrup 𝑮, membentuk grup  jika ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮 persamaan 𝒂𝒙 = 𝒃 dan 𝒚𝒂 = 𝒃 masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal di 𝑮 .
Teorema  2.22. Suatu  semigrup  terhingga, membentuk grup jika memenuhi hukum pencoretan.
Teorema  2.23  (Pendefenisian  lain  dari  grup). Suatu semi grup 𝑮 , disebut grup jika
1. Ada 𝑒 ∈ 𝐺 sehingga 𝑒𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺.
2. ∀𝑎 ∈ 𝐺 ada 𝑎 −1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎 −1 𝑎 = 𝑒 ( 𝑒 dan 𝑎 -1 berturut-turut  disebut  identitas  kiri dan invers kiri dari 𝑎 di 𝐺 ).
Akibat 2.24. Suatu semi grup 𝑮, disebut grup jika memenuhi
1. Ada 𝑒 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎𝑒 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺
2. ∀𝑎 ∈ 𝐺 , ada 𝑎 −1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑎𝑎 −1 = 𝑒.
Definisi 2.25. Suatu grupoid 𝑮 dinamakan quasi grup  jika ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮 persamaan 𝒂𝒙 = 𝒃 dan 𝒚𝒂 = 𝒃 mempunyai penyelesaian tunggal di 𝑮 .
Akibat  2.26.  Suatu  Quasi  grup  yang  assosiatif adalah grup.
Teorema 2.27 . Identitas kiri dri suatu grup juga merupakan identitas kanan.
Teorema  2.28. Invers  kiri  dari  suatu  grup  juga merupakan invers kanan.

## Akibat 2.29
1. Identitas  kanan  suatu  grup  juga  merupakan identitas kiri.
2. Invers  kanan  suatu  anggota  grup  juga merupakan invers kiri dari anggota tersebut.

## 3. PEMBAHASAN

## Hasil
Bentuk-bentuk  himpunan  bilangan  kompleks yang  dapat  membentuk  grup  dan  yang  tidak dapat  membentuk  grup  berdasarkan  sifat-sifat grup.
1. Terhadap operasi penjumlahan (ℂ, +) . a. Misalkan ℂ adalah  himpunan  bilangan kompleks  yang  didefinisikan  dengan ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} , (ℂ, +) membentuk  grup  apabila  membentuk  sifat- sifat berikut:
Penyelesaian
1) Sifat Tertutup
Ambil  sebarang 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈  ℂ ,  maka 𝑧 1 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2
Sehingga
𝑧 1 + 𝑧 2 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 + 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 = (𝑥 1 + 𝑥 2 ) + 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 )
Karena 𝑥 1 + 𝑥 2 ∈ ℝ,  𝑦 1 + 𝑦 2 ∈ ℝ Sehingga 𝑧 1 + 𝑧 2 ∈ ℂ Jadi (ℂ, +) tertutup terhadap operasi penjumlahan
2)   Asosiatif
𝑧 1 + (𝑧 2 + 𝑧 3 ) = (𝑧 1 + 𝑧 2 ) + 𝑧 3
Misalkan 𝑧 1 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 , 𝑧 3 = 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3
Sehingga
Ruas  kiri 𝑧 1 + (𝑧 2 + 𝑧 3 ) = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ) + ((𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) + (𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 )) = (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) + 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 ) Ruas  kanan (𝑧 1 + 𝑧 2 ) + 𝑧 3 = ((𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ) + (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )) + (𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) = (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) + 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 )
Karena 𝑧 1 + (𝑧 2 + 𝑧 3 ) = (𝑧 1 + 𝑧 2 ) + 𝑧 3 jadi (ℂ, +) terpenuhi  asosiatif  terhadap  operasi penjumlahan
3) Adanya unsur identitas
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 =  𝑥 + 𝑖𝑦 , maka
Terdapat 𝑒 = (0 + 0𝑖) sehingga
𝑧 + (0 + 0𝑖) = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (0 + 0𝑖) = (𝑥 + 𝑖𝑦)
(0 + 0𝑖) + 𝑧 = (0 + 0𝑖) + (𝑥 + 𝑖𝑦) = = (𝑥 + 𝑖𝑦)
4)   Setiap anggota mempunyai invers
∀𝑧 ∈ ℂ terdapat 𝑧 −1 ∈ ℂ sehingga berlaku
𝑧 + 𝑧 −1 = 𝑧 −1 + 𝑧 = 0 + 0𝑖
Ambil sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Ada 𝑧 −1 = (−𝑥 − 𝑖𝑦) ∈ ℂ
𝑧 −1 + 𝑧 =  𝑧 + 𝑧 −1 = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (−𝑥 − 𝑖𝑦) = (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦)𝑖
= 0 + 0𝑖
𝑧 + 𝑧 −1 = 𝑧 −1 + 𝑧
= −(𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦)𝑖 = 0 + 0𝑖
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} merupakan  grup  karena dapat  dibuktikan  bahwa  memenuhi  keempat sifat.
b. Misalkan
ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} .  Apakah (ℂ, +) membentuk grup? (ℂ, +) apabila  memenuhi  sifat-sifat berikut:
1) Sifat Tertutup
Ambil  sebarang 𝑧 1 ̅ , 𝑧 2 ̅ ∈ ℂ maka 𝑧 1 ̅ = 𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 ̅ = 𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 Sehingga 𝑧 1 ̅ + 𝑧 2 ̅ = (𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) + (𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 ) = (𝑥 1 + 𝑥 2 ) − 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 ) Karena 𝑥 1 + 𝑥 2 ∈ ℝ , 𝑦 1 + 𝑦 2 ∈ ℝ ,  Sehingga 𝑧̅ + 𝑧̅ ∈ ℂ
Jadi (ℂ, +)
tertutup terhadap operasi penjumlahan
2) Sifat Asosiatif
(𝑧 1 ̅ + 𝑧 2 ̅ ) + 𝑧 3 ̅ = 𝑧 1 ̅ (𝑧 2 ̅ + 𝑧 3 ̅ )
Misalkan 𝑧 1 ̅ = 𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 ̅ = 𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 , 𝑧 3 ̅ = 𝑥 3 − 𝑖𝑦 3
Sehingga
Ruas kiri (𝑧 1 ̅ + 𝑧 2 ̅ ) + 𝑧 3 ̅ = ((𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) + (𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 )) + (𝑥 3 − 𝑖𝑦 3 ) = (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) − 𝑖(𝑦 1 − 𝑦 2 − 𝑦 3 )
Ruas kanan 𝑧 1 ̅ (𝑧 2 ̅ + 𝑧 3 ̅ ) = (𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) + ((𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 ) + (𝑥 3 − 𝑖𝑦 3 )) = (𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) − 𝑖(𝑦 1 − 𝑦 2 − 𝑦 3 ) Karena (𝑧 1 ̅ + 𝑧 2 ̅ ) + 𝑧 3 ̅ = 𝑧 1 ̅ (𝑧 2 ̅ + 𝑧 3 ̅ ) tertpenuhi asosiatif terhadap operasi penjumlahan
3) Ada unsur identitas
Ambil sebarang 𝑧 ∈  ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka terdapat 𝑒 = (0 + 0𝑖)
Sehingga 𝑧̅ + (0 + 0𝑖) = (𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) + (0 + 0𝑖) = = 𝑥 1 − 𝑖𝑦 1
(0 + 0𝑖) + 𝑧̅ = (0 + 0𝑖) + (𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) = 𝑥 1 − 𝑖𝑦 1
4) Setiap anggota mempunyai invers ∀𝑧̅ ∈ ℂ terdapat 𝑧̅ −1 ∈ ℂ sehingga berlaku 𝑧̅ + 𝑧̅ −1 = 𝑧̅ −1 + 𝑧̅ = 0 + 0𝑖
Ambil  sebarang 𝑧 ∈  ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada 𝑧̅ −1 = −𝑥 − 𝑖𝑦 ∈ ℂ 𝑧̅ −1 + 𝑧̅ = −(𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦)𝑖 = 0 + 0𝑖 𝑧̅ + 𝑧̅ −1 = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (−𝑥 − 𝑖𝑦) = (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦)𝑖 = 0 + 0𝑖 Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} merupakan grup karena dapat dibuktikan bahwa memenuhi keempat sifat.
c. Didefinisikan ℂ = { 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈
ℝ, 𝑖 2 = −1} . Apakah (ℂ, +) membentuk grup? (ℂ, +) membentuk  grup  apabila memenuhi sifat-sifat berikut:
1)  Sifat Tertutup
Ambil  sebarang 1 𝑧 1 , 1 𝑧 2 ∈  ℂ maka 1 𝑧 1 = 1 𝑥 1 +𝑖𝑦 1 , 1 𝑧 2 = 1 𝑥 2 +𝑖𝑦 2 Sehingga 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 = 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 + 1 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 ) 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) Karena 𝑥 1 + 𝑥 2 ∈ ℝ , 𝑦 1 + 𝑦 2 ∈ ℝ , Sehingga 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 ∈ ℂ Jadi (ℂ, +) tertutup  terhadap  operasi penjumlahan
2) Sifat Asosiatif
1 𝑧 1 + ( 1 𝑧 2 + 1 𝑧 3 ) = ( 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 ) + 1 𝑧 3 Misalkan 1 𝑧 1 = 1 𝑥 1 +𝑖𝑦 1 , 1 𝑧 2 = 1 𝑥 2 +𝑖𝑦 2 , 1 𝑧 3 = 1 𝑥 3 +𝑖𝑦 3
Ruas Kiri
1 𝑧 1 + ( 1 𝑧 2 + 1 𝑧 3 ) = 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 + ( 1 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 + 1 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) = 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 + ( (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) + (𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )(𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) ) = (𝑥 2 𝑥 3 − 𝑦 2 𝑦 3 + 𝑥 2 𝑥 1 + 𝑥 1 𝑥 3 − 𝑦 2 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 3 ) + 𝑖(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 3 𝑦 1 + 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 𝑦 3 ) (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 3 𝑦 1 − 𝑥 3 𝑦 2 𝑦 1 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 ) + 𝑖(𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 + 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 − 𝑦 2 𝑦 3 𝑦 1 )
( 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 ) + 1 𝑧 3 = ( 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 + 1 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) + 1 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 = ( (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) + (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ) (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) ) + 1 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 = (𝑥 3 𝑥 2 + 𝑥 3 𝑥 1 + 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑦 2 − 𝑦 3 𝑦 1 ) + 𝑖(𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 3 𝑦 1 + 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 ) Karena 1 𝑧 1 + ( 1 𝑧 2 + 1 𝑧 3 ) = ( 1 𝑧 1 + 1 𝑧 2 ) + 1 𝑧 3 jadi  terpenuhi  asosiatif  terhadap operasi penjumlahan
3) Adanya unsur identitas
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 , maka terdapat 𝑒 = (0 + 0𝑖) sehingga
𝑧 + (0 + 0𝑖) = 𝑥 + 𝑖𝑦 + (0 + 0𝑖) = 𝑥 + 𝑖𝑦
(0 + 0𝑖) + 𝑧 = (0 + 0𝑖) +  𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦
4)  Setiap anggota mempunyai invers
∀𝑧 ∈ ℂ terdapat 𝑧 −1 ∈ ℂ sehingga berlaku 𝑧 + 𝑧 −1 = 𝑧 −1 + 𝑧 = 0 + 0𝑖
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada 𝑧 −1 = −𝑥 − 𝑖𝑦 ∈ ℂ 𝑧 −1 + 𝑧 = −(𝑥 + 𝑖𝑦) + (𝑥 + 𝑖𝑦) = (−𝑥 − 𝑖𝑦) + (𝑥 + 𝑖𝑦)
= (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦)𝑖 = 0 + 0𝑖 𝑧 + 𝑧 −1 = (𝑥 + 𝑖𝑦) + (−𝑥 − 𝑖𝑦)
= (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦)𝑖
= 0 + 0𝑖
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = { 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} .
merupakan grup karena dapat dibuktikan bahwa memenuhi
keempat sifat
d. Misalkan ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦√2 ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄, 𝑖 2 = −1} Apakah (ℂ, +) membentuk grup? (ℂ, +) membentuk grup komutatif apabila memenuhi sifat-sifat berikut:
1)   Sifat Tertutup
Misal 𝑥 = 𝑝 𝑞 ∈ 𝑄 𝑦 = 𝑎 𝑏 ∈ 𝑄 𝑥 + 𝑖𝑦√2 = 𝑝 𝑞 + 𝑎 𝑏 𝑖√2 = 𝑝𝑏+𝑞𝑎𝑖√2 𝑞𝑏 Jadi 𝑥 + 𝑖𝑦√2 ∈ ℂ tertutup  terhadap grup operasi penjumlahan 2)   Sifat Asosiatif ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄 berlaku (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) Sehingga
(𝑥 + 𝑖𝑦√2) + 𝑧 = 𝑥
+ (𝑖𝑦√2
+ 𝑧), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑄
3)   Adanya unsur identitas Ada 𝑒 = 0 + 0𝑖 = 0 ∈ ℂ sehingga
∀𝑥 = 𝑝 𝑞 ∈ 𝑄 berlaku (0 + 𝑥) = 0 + 𝑥 = 𝑥
4)   Setiap anggota mempunyai invers
∀𝑥 = 𝑝 𝑞 ∈ 𝑄 ada 𝑥 −1 = (−𝑥) =
−𝑝 𝑞 ∈ 𝑄 berlaku 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) +
𝑥 = 𝑒
Jadi
ℂ = {𝑥 + 𝑖𝑦√2 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄} membentuk grup.
ℂ grup komutatif karena 𝑥 + 𝑖𝑦√2 = 𝑖𝑦√2 + 𝑥
= 𝑝 𝑞 + 𝑎 𝑏 𝑖√2 = 𝑎 𝑏 𝑖√2 + 𝑝 𝑞 = 𝑝𝑏 + 𝑞𝑎𝑖√2 𝑞𝑏 = 𝑞𝑎𝑖√2 + 𝑝𝑏 𝑞𝑏
e. Misalkan ℂ adalah  himpunan  bilangan kompleks yang didefinisikan dengan ℂ = {|𝑧| |𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} . Apakah (ℂ, +) membentuk grup? (ℂ, +)
membentuk grup apabila memenuhi sifat- sifat berikut:
1) Sifat tertutup Ambil sebarang 𝑧 1, 𝑧 2 ∈ ℂ maka 𝑧 1 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2
Sehingga |𝑧 1 | + |𝑧 2 | = |(𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ) + (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )| = |(𝑥 1 + 𝑥 2 ) + 𝑖(𝑦 1 + 𝑦 2 )| Karena 𝑥 1 + 𝑥 2 ∈ ℝ , 𝑦 1 + 𝑦 2 ∈ ℝ , Sehingga |𝑧 1 | + |𝑧 2 | ∈ ℂ
Jadi (ℂ, +) tertutup  terhadap  operasi penjumlahan
2) Asosiatif
(|𝑧 1 | + |𝑧 2 |) + |𝑧 3 | = |𝑧 1 | + (|𝑧 2 | + |𝑧 3 |) Misalkan |𝑧 1 | = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | , |𝑧 2 | = |𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 | , |𝑧 3 | = |𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 | Sehingga Ruas kiri (|𝑧 1 | + |𝑧 2 |) + |𝑧 3 | = (|𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | + |𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 |) + |𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 | = |𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 | + 𝑖|𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 | Ruas kanan |𝑧 1 | + (|𝑧 2 | + |𝑧 3 |) = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | + (|𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 | + |𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 |) = |𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 | + 𝑖|𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 | Karena (|𝑧 1 | + |𝑧 2 |) + |𝑧 3 | = |𝑧 1 | + (|𝑧 2 | + |𝑧 3 |) jadi (ℂ, +) terpenuhi asosiatif terhadap operasi penjumlahan 3) Adanya unsur identitas
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka terdapat 𝑒 = (0 + 0𝑖)
Sehingga
(0 + 0𝑖) + |𝑧| = (0 + 0𝑖) + |𝑥 + 𝑖𝑦| = |𝑥 + 𝑖𝑦|
|𝑧| + (0 + 0𝑖) = |𝑥 + 𝑖𝑦| + (0 + 0𝑖) = |𝑥 + 𝑖𝑦|
4) Setiap anggota mempunyai invers
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Ada 𝑧 −1 = −𝑥 − 𝑖𝑦 ∈ ℂ |𝑧 −1 | + |𝑧| = −|𝑥 + 𝑖𝑦| + |𝑥 + 𝑖𝑦| = |−𝑥 − 𝑖𝑦| + |𝑥 + 𝑖𝑦| = |𝑥 − 𝑥| + 𝑖|𝑦 − 𝑦|
= 0 + 0𝑖 |𝑧| + |𝑧 −1 | = |𝑥 + 𝑖𝑦| + |−𝑥 − 𝑖𝑦| = |𝑥 − 𝑥| + 𝑖|𝑦 − 𝑦| = 0 + 0𝑖
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {|𝑧| |𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 =
−1} merupakan  grup  karena  dapat dibuktikan bahwa memenuhi keempat sifat. 2. Terhadap operasi perkalian (ℂ,×) .
a. Misalkan ℂ adalah  himpunan  bilangan kompleks  yang  didefinisikan  dengan ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} . Apakah (ℂ,×) membentuk  grup? (ℂ,×) membentuk grup apabila memenuhi sifat- sifat berikut:
1) Tertutup
Ambil sebarang 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ maka 𝑧 1 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 Sehingga 𝑧 1 × 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) Karena 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ∈ ℝ,  𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ∈ ℝ , Sehingga 𝑧 1 × 𝑧 2 ∈ ℂ Jadi (ℂ,×) tertutup  terhadap  operasi perkalian
2) Sifat Asosiatif 𝑧 1 (𝑧 2 𝑧 3 ) = (𝑧 1 𝑧 2 )𝑧 3 Misalkan, 𝑧 1 = 𝑥 1
+ 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 , 𝑧 3 = 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3
Sehingga
Ruas kiri
𝑧 1 (𝑧 2 𝑧 3 ) = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )((𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )(𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ))
= 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 + 𝑥 1 𝑥 2 𝑖𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑖𝑦 2 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑖𝑦 1 −     𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 − 𝑖𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 +    𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 )
Ruas kanan
(𝑧 1 𝑧 2 )𝑧 3 = ((𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ))(𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) = (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 + 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3
Karena 𝑧 1 (𝑧 2 𝑧 3 ) = (𝑧 1 𝑧 2 )𝑧 3 jadi (ℂ,×) terpenuhi  asosiatif  terhadap operasi penjumlahan
3) Adanya unsur identitas
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka terdapat 𝑧 × (1 + 0𝑖) =   (𝑥 + 𝑖𝑦) × (1 + 0𝑖)
= (𝑥 + 𝑖𝑦)
(1 + 0𝑖) × 𝑧 = (1 + 0𝑖) × (𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥 + 𝑖𝑦)
4) Setiap anggota mempunyai invers
∀𝑧 ∈ ℂ terdapat 𝑧 −1 ∈ ℂ sehingga berlaku
𝑧 × 𝑧 −1 = 𝑧 −1 × 𝑧 = 1
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada 𝑧 −1 = 1 𝑥+𝑖𝑦 ∈ ℂ 𝑧 −1 × 𝑧 = 1 𝑥+𝑖𝑦 (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥+𝑖𝑦 𝑥+𝑖𝑦 = 1 𝑧 × 𝑧 −1 = (𝑥 + 𝑖𝑦) 1 𝑥+𝑖𝑦 = 𝑥+𝑖𝑦 𝑥+𝑖𝑦 = 1
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} merupakan grup karena dapat dibuktikan bahwa memenuhi keempat sifat
b.    Misalkan ℂ adalah  himpunan  bilangan kompleks  yang  didefinisikan  dengan ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} .
Apakah (ℂ,×) membentuk  grup? (ℂ,×) membentuk grup apabila memenuhi sifat- sifat berikut:
1)  Sifat Tertutup Ambil  sebarang 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ maka 𝑧 1 ̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦 , 𝑧̅ 2 = 𝑥 − 𝑖𝑦 Sehingga 𝑧̅ 1 × 𝑧̅ 2 = (𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) × (𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 ) = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) − 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 )
Karena 𝑥 1 𝑥 2
− 𝑦 1 𝑦 2 ∈ ℝ , 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ∈ ℝ , Sehingga 𝑧̅ 1 × 𝑧̅ 2 ∈ ℂ Jadi (ℂ, +) tertutup  terhadap  operasi perkalian
2)   Sifat Asosiatif (𝑧 1 ̅ × 𝑧 2 ̅ )𝑧 3 ̅ = 𝑧 1 ̅ (𝑧 2 ̅ × 𝑧 3 ̅ )
Misalkan 𝑧 1 ̅ = 𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 ̅ = 𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 , 𝑧 3 ̅ = 𝑥 3 − 𝑖𝑦 3 , Sehingga
Ruas kiri
(𝑧 1 ̅ × 𝑧 2 ̅ )𝑧 3 ̅ = ((𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 ) + (𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 ))(𝑥 3 − 𝑖𝑦 3 ) = (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 )
Ruas kanan
𝑧 1 ̅ (𝑧 2 ̅ × 𝑧 3 ̅ ) = (𝑥 1 − 𝑖𝑦 1 )((𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 )(𝑥 3 − 𝑖𝑦 3 )) = (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 )𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 1 𝑥 3 𝑖𝑦 2 − 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3
Karena (𝑧 1 ̅ × 𝑧 2 ̅ )𝑧 3 ̅ = 𝑧 1 ̅ (𝑧 2 ̅ × 𝑧 3 ̅ ) jadi  terpenuhi  asosiatif  terhadap operasi perkalian
3) Adanya unsur identitas
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧̅ = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka terdapat 𝑒 = 1 + 0𝑖
Sehingga 𝑧̅ × (1 + 0𝑖) = (𝑥 − 𝑖𝑦) ×
(1 + 0𝑖) = 𝑥 − 𝑖𝑦
(1 + 0𝑖) × 𝑧̅ = (1 + 0𝑖) × (𝑥 − 𝑖𝑦)
= 𝑥 − 𝑖𝑦
4) Setiap anggota mempunyai invers
∀𝑧̅ ∈ ℂ terdapat 𝑧̅ −1 ∈ ℂ sehingga berlaku 𝑧̅ × 𝑧̅ −1 = 𝑧̅ −1 × 𝑧̅ = 1
Ambil  sebarang 𝑧 ∈  ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada 𝑧̅ −1 = 1 𝑥−𝑖𝑦 ∈  ℂ 𝑧̅ −1 × 𝑧̅ = ( 1 𝑥−𝑖𝑦 ) 𝑥 − 𝑖𝑦 = 𝑥−𝑖𝑦 𝑥−𝑖𝑦 = 1 𝑧̅ × 𝑧̅ −1 =  𝑥 − 𝑖𝑦 ( 1 𝑥−𝑖𝑦 ) = 𝑥−𝑖𝑦 𝑥−𝑖𝑦 = 1
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1}
merupakan grup karena dapat dibuktikan bahwa memenuhi keempat sifat.
c. Misalkan ℂ adalah  himpunan  bilangan kompleks yang didefinisikan dengan ℂ = {|𝑧| |𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} . Apakah (ℂ ×) membentuk  grup? (ℂ ×) membentuk grup apabila memenuhi sifat- sifat berikut:
1) Tertutup
Ambil sebarang 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ maka |𝑧 1 | = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 , |𝑧 2 | = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 Sehingga |𝑧 1 | × |𝑧 2 | = |𝑧 1 × 𝑧 2 | = |(𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )| = |(𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 )| Karena 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ∈ ℝ , 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ∈ ℝ ,  Sehingga |𝑧 1 | × |𝑧 2 | ∈ ℂ Jadi (ℂ,×) tertutup  terhadap  operasi perkalian
2) Sifat Asosiatif
|𝑧 1 | × |𝑧 2 | = |𝑧 1 × 𝑧 2 | (|𝑧 1 | × |𝑧 2 |) × |𝑧 3 | = |𝑧 1 | × (|𝑧 2 | × |𝑧 3 |) Misalkan, |𝑧 1 | = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | , |𝑧 2 | = |𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 | , |𝑧 3 | = |𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 | Sehingga
Ruas kiri
Jurnal MSA, Vol.2 No. 2, Juli-Desember 2014
(|𝑧 1 | × |𝑧 2 |) × |𝑧 3 | = (|𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | × |𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 |)|𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 | = |(𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 )|
Ruas kanan
|𝑧 1 |(|𝑧 2 | × |𝑧 3 |) = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ||(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 )(𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 )| = |(𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 )|
Karena (|𝑧 1 | × |𝑧 2 |) × |𝑧 3 | = |𝑧 1 | × (|𝑧 2 | × |𝑧 3 |) jadi (ℂ,×) terpenuhi asosiatif terhadap operasi perkalian
3) Adanya unsur identitas
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka terdapat 𝑒 = 1 + 0𝑖 Sehingga |𝑧 1 | × (1 + 0𝑖) = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | × (1 + 0𝑖)   = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 |
(1 + 0𝑖) × |𝑧 1 | = (1 + 0𝑖) × |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 | = |𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 |
4)   Setiap anggota mempunyai invers
∀|𝑧| ∈ ℂ terdapat
|𝑧| −1 ∈ ℂ sehingga berlaku
|𝑧| × |𝑧| −1 = |𝑧| −1 × |𝑧| = 1 Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada |𝑧| −1 = 1 |𝑥+𝑖𝑦| ∈ ℂ |𝑧| −1 × |𝑧| = ( 1 |𝑥 + 𝑖𝑦| ) |𝑥 + 𝑖𝑦|
= |𝑥 + 𝑖𝑦| |𝑥 + 𝑖𝑦| = 1 |𝑧| × |𝑧| −1 = |𝑥 + 𝑖𝑦| ( 1 |𝑥 + 𝑖𝑦| ) = |𝑥 + 𝑖𝑦| |𝑥 + 𝑖𝑦| = 1
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {|𝑧|⃒𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1}
merupakan grup karena dapat
dibuktikan  bahwa  memenuhi  keempat sifat. d. Didefinisikan
ℂ = { 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} .  Apakah (ℂ,×) membentuk  grup? (ℂ,×) membentuk grup  apabila  memenuhi  sifat-sifat berikut:
1) Tertutup
Misalkan ambil  sebarang 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ , maka 1 𝑧 1 = 1 𝑥 1 +𝑖𝑦 1 , 1 𝑧 2 = 1 𝑥 2 +𝑖𝑦 2 Sehingga 1 𝑧 1 × 1 𝑧 2 = 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 × 1 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 = 1 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) Karena 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ∈ ℝ , 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ∈ ℝ Sehingga 1 𝑧 1 × 1 𝑧 2 ∈ ℂ Jadi (ℂ,×) tertutup terhadap operasi perkalian
2) Sifat Asosiatif 1 𝑧 1 ( 1 𝑧 2 × 1 𝑧 3 ) = ( 1 𝑧 1 × 1 𝑧 2 ) 1 𝑧 3 Misalkan, 1 𝑧 1 = 1 𝑥 1 +𝑖𝑦 1 , 1 𝑧 2 = 1 𝑥 2 +𝑖𝑦 2 , 1 𝑧 3 = 1 𝑥 3 +𝑖𝑦 3
Sehingga

## Ruas kiri
1 𝑧 1 ( 1 𝑧 2 × 1 𝑧 3 ) = 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ( 1 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 × 1 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) = 1 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 2 𝑦 1 + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 )
Ruas kanan
( 1 𝑧 1 × 1 𝑧 2 ) 1 𝑧 3 = ( 1 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 × 1 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) 1 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3
= 1 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 + 𝑖(𝑥 3 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 + 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 ) Karena 1 𝑧 1 ( 1 𝑧 2 × 1 𝑧 3 ) = ( 1 𝑧 1 × 1 𝑧 2 ) 1 𝑧 3 jadi (ℂ,×) terpenuhi asosiatif terhadap operasi perkalian
3) Adanya unsur identitas Ambil sebarang 𝑧 ∈ ℂ dengan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka terdapat 𝑒 = 1 + 0𝑖 Sehingga (1 + 0𝑖) × 𝑧 = 𝑧 × (1 + 0𝑖) = 𝑧 (𝑥 + 𝑖𝑦) × 𝑒 = (𝑥 + 𝑖𝑦) × (1 + 0𝑖)
= 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑒 × (𝑥 + 𝑖𝑦) = (1 + 0𝑖) × (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦
4) Setiap anggota mempunyai invers
∀𝑧 ∈ ℂ terdapat 𝑧 −1 ∈ ℂ sehingga
Ambil  sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada 𝑧 −1 = 1 𝑥+𝑖𝑦 𝑧 −1 × 𝑧 = ( 1 𝑥 + 𝑖𝑦 ) × (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 = 1 𝑧 × 𝑧 −1 = (𝑥 + 𝑖𝑦) × ( 1 𝑥 + 𝑖𝑦 ) = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 = 1
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = { 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1}
merupakan grup karena dapat dibuktikan  bahwa  memenuhi  keempat sifat
e.    Misalkan ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦: |𝑥 + 𝑖𝑦| =
1, 𝑖 2 = −1, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} Buktikan,
ℂ
dengan  operasi  perkalian  membentuk grup. Apakah ℂ komutatif?
1)  Sifat Tertutup
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ berlaku = 𝑧 1 × 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) = (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ) Karena 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ∈ ℝ , 𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 ∈ ℝ , Sehingga 𝑧 1 × 𝑧 2 ∈ ℂ
Jadi (ℂ, +) tetutup  terhadap  operasi perkalian
2)  Sifat Asosiatif ∀𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 ∈ ℂ berlaku 𝑧 1 (𝑧 2 ∙ 𝑧 3 ) = 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 )𝑧 3 Misalkan 𝑧 1 = 𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 , 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 , 𝑧 3 = 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3
Sehingga
Ruas kiri
𝑧 1 (𝑧 2 × 𝑧 3 ) = 𝑥 1 +𝑖𝑦 1 (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 × 𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) = (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 −  𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 +  𝑥 1 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 − 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3
Ruas kanan (𝑧 1 × 𝑧 2 )𝑧 3 = ((𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ))(𝑥 3 + 𝑖𝑦 3 ) = (𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 1 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 3 −     𝑥 1 𝑦 2 𝑦 3 + 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 1 + 𝑦 1 𝑦 2 𝑦 3 ) Karena 𝑧 1 (𝑧 2 × 𝑧 3 ) = 𝑧 1 × 𝑧 2 )𝑧 3 jadi (ℂ,×) terpenuhi asosiatif terhadap operasi perkalian
3)   Adanya unsur identitas
Ambil    sebarang 𝑧 ∈ ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 maka  terdapat 𝑒 = 1 + 0𝑖 Sehingga 𝑧 × (1 + 0𝑖) = (𝑥 + 𝑖𝑦) × (1 + 0𝑖) = 𝑥 + 𝑖𝑦 (1 + 0𝑖) × 𝑧 = (1 + 0𝑖) × (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦
4)  Setiap anggota mempunyai invers Ambil  sebarang 𝑧 ∈  ℂ dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ada 𝑧 −1 = 1 𝑥+𝑖𝑦
Sehingga
𝑧 × 𝑧 −1 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ( 1 𝑥 + 𝑖𝑦 ) = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 = 1 𝑧 −1 × 𝑧 = ( 1 𝑥 + 𝑖𝑦 )  𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 = 1
Himpunan  bilangan  kompleks ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦: |𝑥 + 𝑖𝑦| = 1, 𝑖 2 = −1, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} merupakan  grup  karena
dapat  dibuktikan  bahwa  memenuhi keempat sifat
3. Himpunan  bilangan  kompleks  yang  tidak dapat membentuk grup
a. ℂ = himpunan  bilangan  kompleks didefinisikan {𝑥 ∗ 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ; 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0  ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}
1)      Sifat  Tertutup  karena 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ      ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
2)   Sifat Asosiatif karena 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑖𝑦 + 𝑥  ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
3)      Tidak  memiliki  identitas  karena ℂ memiliki  identitas ⟺ ∃𝑒 ∈ ℂ ∋ ∀𝑥 ∈ ℂ berlaku 𝑥 + 𝑒 = 𝑥 berarti 𝑒 harus 0 dan 0 bukan  elemen ℂ sehingga

## ℂ tidak memiliki identitas

## B. Pembahasan
Bilangan  kompleks  adalah  gabungan  dari bilangan  riil  dan  bilangan  imajiner  yang disimbolkan dengan ℂ dan dapat  ditulis  dengan bentuk ℂ = {𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} .
Grup  adalah  suatu  sistem  aljabar (𝐺,∗) dari himpunan tidak kosong 𝐺 dengan operasi biner ∗ . Suatu himpunan  dikatakan grup  apabila memenuhi  beberapa  sifat  yaitu  tertutup ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺 , sifat assosiatif ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 ,  ada  unsur identitas  di 𝐺 . Ada 𝑒 ∈ 𝐺 sehingga ∀𝑥 ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ,  ada  unsur  invers setiap  anggota  di 𝐺 . ∀𝑥 ∈ 𝐺 ,  ada 𝑥 −1 ∈ 𝐺 sehingga 𝑥 ∗ 𝑥 −1 = 𝑥 −1 ∗ 𝑥 = 𝑒 .
Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh untuk mengetahui himpunan bilangan kompleks  yang  dapat  membentuk  grup  dapat dilihat bahwa bentuk-bentuk himpunan bilangan kompleks  pada  operasi  tertentu  yaitu  operasi penjumlahan  dan  perkalian,  bilangan  kompleks dapat membentuk grup. Hal ini dapat ditunjukkan  dari  beberapa  contoh  yang  telah dibuktikan,  misalnya, ℂ adalah  himpunan bilangan  kompleks  yang  didefinisikan ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} , dengan operasi  penjumlahan  dan  perkalian, ℂ adalah himpunan bilangan kompleks yang didefinisikan dengan ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dapat membentuk grup dengan operasi penjumlahan  dan  perkalian  konjugat, ℂ adalah
himpunan bilangan kompleks yang didefinisikan dengan ℂ = {|𝑧|⃒𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan  operasi  perkalian  modulo, ℂ =
{ 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi  penjumlahan  dan  perkalian, ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦√2 ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄}
dengan
operasi penjumlahan, ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; |𝑥 + 𝑖𝑦| = 1; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1, } dengan operasi perkalian. Sedangkan  dalam  operasi  tertentu  himpunan bilangan kompleks tidak dapat membentuk grup karena tidak berlaku sifat identitas misalnya pada contoh ℂ = himpunan  bilangan  kompleks didefinisikan {𝑥 ∗ 𝑖𝑦 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ; 𝑥, 𝑦 ≠ 0  ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℂ} .
4. Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diperoleh kesimpulan bahwa bentuk-bentuk  himpunan  bilangan  kompleks yang  dapat  membentuk  grup  adalah ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi (ℂ, +) atau (ℂ,×),
ℂ = {𝑧̅|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi  penjumlahan  dan  perkalian  konjugat, ℂ = {|𝑧| |𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦;  𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1}
dengan  operasi  perkalian  modulo, ℂ = { 1 𝑧 | 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan    operasi (ℂ, +) atau (ℂ,×) , ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦√2 ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄} dengan operasi penjumlahan, ℂ = {𝑧|𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦; |𝑥 + 𝑖𝑦| = 1; 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1} dengan operasi perkalian.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Anton,  Howard. Dasar-Dasar  Aljabar  Linear . Batam:Interaksara, 2000 Departemen Agama Al-Quran dan terjemahannya . Bandung:PT.Syaamil Cipta Media:2005 Departemen Agama , Al-quran dan Terjemahannya . Jakarta: CV. Darus Sunnah 2002 Durbin,johnR, Introduction To Modern
Algebra.http://roymahmud.wordpress.com /2009/06/29/aplikasi-group-dalam-bidang
kristalografi/diakses pada tanggal1
desember 2013
Hendrijanto, Diktat  kuliah  struktur  aljabar  1 (teori grup) . Madiun: institut keguruan dan ilmu pendidikan, 2011 Ilham , Arifin. Bilangan  Kompleks. Jakarta
Selatan:Universita Indraprasta PGRI, 2001
Masyhuri, dkk, Metodologi Penelitian Pendekatan Praktis dan Aplikatif.
Bandung:PT Refika Aditama. 2008
Noeyanti, Logika  Matematika ,  Yogyakarta, http://www.docdatabase.net/details-teori- himpunan-logika-matematika-
1073843.html
Prasetyono,  Sunar,  Dwi,  dkk. Panduan  Efektif Belajar Cepat Matematika Yogyakarta:Power Books (Ihdina). 2009
Rahman , Abdul. Fungsi  dengan  Peubah Kompleks. Makassar:Universitas  Negeri Makassar, 2002 Shihab,  M.  Quraish, Tafsir  Al-Mishbah . Jakarta:Lentera Hati. 2007
SJ, Susilo,  Frans. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya . Yogyakarta:Graha Ilmu.
2006
Tahmir,  Suradi. Teori  Grup .  Makassar:Andira Publisher. 2004
Tiro, M. Arif ,dkk. Teori Bilangan . Makassar:Andira Publisher. 2008
Tiro,  M.  Arif,  dkk. Teori  Peluang .  Makassar:
Andira Publiser. 2008
Tiro,  M.  Arif. Dasar-Dasar  Statistik. Makassar:Andira Publisher, 2008.