J. of Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 1, No. 1 (2004), 37–40

## Pemodelan Kualitas Air Tanah

## Suharmadi
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

## Abstrak
Pemodelan Kualitas Air Tanah bertujuan untuk mengidentifikasi hal-hal penting seperti, sumber kontaminasi, pengembangan spatial kontaminasi tersebut, dampaknya kontaminasi dimasa depan serta strategi penganggulangan kontaminasi. Model yang dapat merepresen- tasikan karakteristik transportasi kontaminan dan interaksi kimiawi kontaminan akan dkem- bangkan. Pengembangan model dilakukan secara bertahap, yaitu, pengembangan model konseptual, mengekspresikan model konseptual kebentuk ekspresi matematika, menentukan solusi analitik atau atau numerik dari model serta melakukan verifikasi model dengan data.
Kata kunci : model air tanah, reduksi kontaminasi, strategi reduksi

## 1 Pendahuluan
Kontaminasi pada air tanah baik pada masa lalu maupun dewasa ini, merupakan masalah utama. Penerapan praktek pertanian inten- sif telah menyebabkan naiknya level ‘nitrat’, ‘pestisida’ dan ‘herbisida’ pada air tanah. Meningkatnya buangan air dari industri ( in- dustrial waste ) dan buangan sampah rumah tangga, sampah rumah sakit, sampah dari pasar, hotel dan restauran juga memberi kon- tribusi pada peningkatan kontaminasi air tanah (A.James, 1978). Tujuan dari penelitian ini adalah mereduksi kontaminasi pada air tanah terutama yang berada disekitar tempat pem- buangan akhir sampah (TPA).
Tidak seperti pada air permukaan ( surface water ), air tanah bergeraknya lamban. Di- amnya air tanah pada suatu kantong-kantong air dapat berlangsung tahunan, akibatnya kon- taminasi pada ’aquifer system’ dapat berlang- sung dan tidak terdeteksi pada periode yang lama sekali dan menyebabkan penurunan kual- itas air tanah secara ekstensif( A. James 1993) Yang perlu di identifikasi pada air tanah yang terkontaminasi adalah hal-hal sebagai berikut:
a. Sumber kontaminasi
b. Pengembangan secara spatial kontaminasi tersebut
c. Dampak pada masa depan pada air tanah
d. Strategi penanggulangan kontaminasi dan biaya yang diperlukan.
Model yang dapat menguraikan karakter- istik transportasi kontaminasi air tanah dan interaksi kimiawi dari kontaminan dapat di- gunakan untuk menyelesaikan keempat ma- salah tersebut diatas terdapat empat taha- pan untuk mengembangkan model seperti itu, yaitu: Pengembangan model konseptual, Mengekspresikan model konseptual kedalam bentuk model matematika, solusi analitik atau numerik dari model matematika dan Vali- dasi dari model dengan menggunakan data (Thoman, R.V., 1994). Pengembangan aspek matematika dan numerik model kualitas air tanah adalah fokus tahap utama dari peneli- tian ini. Meskipun demikian, pentingnya tahap konseptual model sampai dengan pengemban- gan final dari model kualitas tidak dapat di-

## Suharmadi
abaikan. Konseptual model memuat asumsi- asumsi penyederhanaan yang digunakan untuk mendefinisikan model matematika. Jadi kon- septual model merupakan penghubung utama antara model matematika dan ‘sistem aquifer’. Hampir semua sumber air tanah tidak dapat dilihat secara langsung. Struktur dari for- masi aquifer, sifat-sifat hidrolika dan distribusi pola aliran air tanah seringkali baru diinferensi dari data distribusi “sparsely.” Hanya dengan pengembangan model konseptual yang benar dapat diperoleh model kualitas air tanah yang memuaskan.

## 2 Persamaan Gerakan Air Tanah
Flux air tanah pada aquifer secara umum diberikan oleh Darcy’s Law sebagai berikut:
q i = − k ij µ µ ∂P ∂x j − ρg i ¶ (1)
dimana: q i adalah komponen ke- i dari ‘spesific discharge’, q ; k ij adalah komponen ke- ij ten- sor intrinsil permeability; µ adalah viscositas fluida; P adalah tekanan fluida; ρ adalah den- sitas fluida; g i adalah komponen ke- i dari per- cepatan gravitasi.
Pada kasus dimana densitas air tanah di- anggap konstant, Darcy’s Law direduksi men- jadi:
q i = − K ij ∂φ ∂X i (2)
dimana K ij = K ij ρq/µ adalah komponen ke- ij dari tensor ‘hydraulic conductivity’ dan φ = P/ρq + z adalah hydraulic head.
Hydraulic conductivity pada suatu titik di- dalam aquifer diperoleh sebagai rata-rata REV ( representative elementary volume ) yang di- pusatkan pada titik tersebut. Ukuran REV dipilih sedemikian hingga perubahan kecil yang terjadi tidak mengakibatkan perubahan signif- icant pada magnitude dari sifat-sifat Aquifer (Hipel W.Keith, 1994)

## }
heterogeniton skala kecil
ukuran rata-rata volume, V magnitude sifat rata-rata arus V domain R E V
heterogenitas skala-besar
Gambar 1: Rata-rata perubahan gerak
Rata-rata perubahan gerak masa air tanah terhadap perubahan tekanan diberikan dengan koefisien storage, S p ,
S p = ∂M ∂P (3)
dimana M adalah massa air tanah per unit vol- ume batuan ( rock ). Bila densitas air tanah di- anggap konstan, formula diberikan oleh specific storativity,
S s = 1 ρ ∂M ∂φ (4)
yang merupakan perubahan volume air tanah per unit volume dari bantuan, per unit penam- bahan pada hydraulic head. Keseimbangan massa air tanah pada titik P , dalam aquifer didefinisikan dengan menggunakan pendekatan volume control.
∂z ∂x ∂y J x J z J y | x,y + ∂ y/ 2 ,z - 6 ©© © * X Y Z
Gambar 2: Kontrol Volume Vektor J dengan komponen J x , J r , dan J z menunjukkan flux massa (yaitu massa air tanah yang melintasi unit area aquiter pada satu unit waktu), bila ∂M adalah penambahan M pada waktu ∂t , maka penambahan “net” pada massa air pada volume control pal waktu ∂t adalah ∂M , ∂x∂y∂z , dengan mempertimbangkan flux massa yang melintasi enam permukaan volume control, diperoleh
∂M ∂x∂y∂z = ( J x ¯ ¯ ¯ x − ∂x 2 ,y,z − J x ¯ ¯ ¯ x + ∂x 2 ,y,z ∂x + J y ¯ ¯ ¯ x,y − ∂y 2 ,z − J y ¯ ¯ ¯ x,y + ∂y 2 ,z ∂y + J z ¯ ¯ ¯ x,y,z − ∂z 2 − J z ¯ ¯ ¯ x,y,z + ∂z 2 ∂z ) (5)
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
dimana J x | x,y,z adalah flux massa yang dihi- tung pada titik ( x, y, z ). Bila persamaan (5) dibagi dengan ∂t , ∂x , ∂y dan ∂z serta di- ambil limitnya untuk ∂t , ∂x , ∂y dan ∂z dan mendekati nol, diperoleh
∂M ∂t = ½ ∂J x ∂x + ∂J y ∂y + ∂J z ∂z ¾ (6)
yang dapat ditulis dalam bentuk :
∂M ∂t = ∂J i ∂X i (7)
Persamaan (7) menyatakan bahwa rata-rata perubahan massa per unit volume aquifer sama dengan minus divergen flux massa. Hasil ini akan digunakan untuk mengembangkan model matematik transport kontaminasi. Persamaan keseimbangan massa air dapat diperoleh dari tekanan air ρ atau dari potensial hydraulic φ . Dari (3) dapat dilihat bahwa:
∂M ∂t = S P ∂P ∂t (8)
Karena flux massa J = ρq , Persamaan (1), (7) dan (8) dapat dikombinasi dan menghasilkan
S P ∂P ∂X i ½ ρ K ij µ µ ∂P ∂X j − ρq i ¶¾ (9)
Dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan keseimbangan massa yang diekspre- sikan dengan potensial hydraulic, φ
S P ∂φ ∂t = ∂ ∂X i µ K ij ∂φ ∂X j ¶ (10)
P dan φ adalah state variabel dari persa- maan karena merupakan karakter distribusi baik untuk aliran ( flow ) dan komponen storage dari equifer. Dengan catatan bahwa koefisien- koefisien persamaan ditentukan secara apriori.

## 3 Pendekatan Hidraulic Pe- modelan Aquiter
Pengembangan persamaan dua dimensi aliran air tambak pada titik P ( x, y ) dapat dilakukan melalui dua jalur. Jalur pertama adalah dengan mengintegral persamaan 3-dimensi alir- an air tanah (10) atau arah vertikal. Jalan ke- dua adalah melalui pendekatan volume control (Hipel W. Keith, 1994).
q x | x − ∂x/ 2 ,y q x | x + ∂x/ 2 ,y permukaan tanah sumur recharge/unit area sumur volume control (x,y) aquifer aquaifard Y X
Gambar 3: Skema Cross Section aquifer Dengan asumsi bahwa density konstan, maka net volumetine in flow (air yang masuk persatuan volume) ke volume control yang ber- pusat di P dari Gambar 3, diberikan oleh persa- maan:
∂v ∂x ∂y = (11)
dimana V adalah volume air tanah yang dis- impan per unit area aquifer; Q x dan Q r adalah komponen vertikal integrasi flux horizontal; q v adalah flux yang melintasi dasar quifer; W adalah net recharge aquifer per unit area; P K adalah abstraction rate dari sumur pada lokasi ( X K , Y K ); A K adalah area cross sectional dari sumur; I K ( x, y ) adalah fungsi indikator (=1 bila ( x, y ) pada sumur ( X K , Y K ), = 0 untuk lainnya).
Bila persamaan dibagi dengan δt , δx dan δy kemudian diambil limitnya untuk δt , δx dan δy mendekati nol diperoleh:
∂V ∂t = − ∂Q i ∂X i + q V + W − N sumur X k =1 P K A K I K ( x, y ) (12)
Flux kolumetric Q dapat diganti dengan ekuiv- alen Parcian
Q i = − T ij ∂h ∂x j (13)
dimana T ij adalah komponen ke- ij dari tensor transmissivity dan h adalah elevasi air diatas datum.
Bila hydraulic conductivity dianggap uni- form atas kedalaman, maka T ij dapat didefin- isikan sebagai berikut:
T ij = K ij ( h − b ) (14)
dimana K ij adalah komponen horizontal ke- ij dari tensor hydraulic conductivity dan ( h − b )
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
adalah ‘saturated thickness aquifer’. Rata- rata perubahan penyimpangan (storage) pada aquifer diberikan oleh
∂V ∂t = S ∂h ∂t (15)
dimana S = S ε ( h − b ) + S V adalah koefisien penyimpanan; S ε adalah storatinity spesifik aquifer; S V adalah spesifik field aquifer. Dengan mengkombinasi persamaan (12), (13), (14) dan (15) diperoleh formula yang dike- nal dengan persamaan “Boussinesq”
∂ ∂X i µ K ij ( h − b ) ∂h ∂X j ¶ + q V + W − N sumur X k =1 P K A K ( x 1 , x 2 ) = S ∂h ∂t (16)

## 4 Pernyataan Matematika
Masalah Aliran Air Tanah Kondisi awal
Pada t = 0, distribusi awal atas domain aquifer adalah
h ( x, y, 0) = H 0 ( x, y ) (17)
dimana H 0 ( x, y ) adalah initial head distribu- tion.

## Kondisi Batas Lateral
Boundary Condition paling sederhana yang dapat digunakan adalah: (i) fix head atau (ii) fixed flux.
Fixed head dinotasikan pada garis batas , B , dengan
h ( x, y, t ) = H B ( x, y ) , pada B
dimana H B adalah fixed head distribution pada boundary. Fixed flux didefinisikan sebagai nor- mal garis boundary, dan dinotasikan sebagai
Q n = Q B ( x, y ) , pada B
dimana Q n adalah flux normal pada boundary per unit lebar equifer.
Setelah persamaan keseimbangan umum, syarat batas, dan nilai awal didefinisikan, maka yang diperlukan selanjutnya adalah distribusi dari setiap parameter model (yaitu, koefisien storage, hydraulic conductivity dan batas- batas aquifer) pada domain aquifer pada peri- ode waktu tertentu. Bila semua informasi telah lengkap, maka mathematica modelnya sudah terdefinisi dengan lengkap.

## Daftar Pustaka
[1] A. James, An Introduction to Water Qual- ity Modelling , Department of Civil Engi- neering University of Newcastle upon Tyne, UK, 1993.
[2] A. James, Mathematical Models in Water Pollution Control , University of Newcastle upon Tyne, UK, 1978.
[3] Thomann, R.V., Systems Analysis and Wa- ter Quality Management , Mc Brain-Hill Book Company, 1974.
[4] Hipel W. Keith, Stochastic and Statistical Methods in Hydrology , Kluwer Academic Publishers, 1994.