Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 14 No. 2, Desember 2022, hal. 215-226 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN STOKES PADA FLUIDA TERMAMPATKAN YANG DISERTAI TEGANGAN PERMUKAAN MENGGUNAKAN PARTIAL FOURIER TRANSFORM

## Wardany Kusumasari
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Jenderal Soedirman Wardanykusumasuwardi@gmail.com
Sri Maryani*
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Jenderal Soedirman srimary_math_97@yahoo.com

## Nunung Nurhayati
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Jenderal Soedirman nunung.nurhayati@unsoed.ac.id
ABSTRACT. Fluid  is  a  substance  that  flows  because  of  the  pressure.  Based  on  their ability  to resisting  pressure,  compressible  fluid is  one  of  the  fluid  which  volume  can  be compressed so they have a constant density. The basic equation of fluid is Navier Stokes equation system that have a non linear partial differential form. Nevertheless, to obtain the  solution  of  non  linear  partial  differential  problem  is  not  easy.  Therefore,  Navier Stokes  equation  system  are  linearized  into  Stokes  equation  system.  In  this  research,  we investigate  the  solution  of  the  Stokes  equation  system  by  partial  Fourier  transform  for compressible fluid with surface tension in half-space.
Keywords: Stokes equation system, partial Fourier transform, compressible fluid, surface tension, half-space.
ABSTRAK. Berdasarkan  kemampuan  menahan  tekanan,  fluida  yang  termampatkan merupakan  salah  satu  fluida  yang  volumenya  dapat  dimampatkan  sehingga  massa jenisnya  konstan.  Persamaan  dasar  fluida  adalah  sistem  persamaan  Navier  Stokes  yang memiliki  bentuk  persamaan  diferensial  parsial  tak  linier.  Untuk  mendapatkan  solusi masalah  yang  berbentuk  tak  linier  tidaklah  mudah.  Oleh  karena  itu,  sistem  persamaan Navier  Stokes  dilinierisasi  menjadi  sistem  persamaan  Stokes.  Pada  penelitian  ini  akan dicari  penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes  menggunakan partial  Fourier  transform pada fluida termampatkan yang disertai tegangan permukaan di half-space .
Kata  kunci: Sistem  persamaan  Stokes, partial  Fourier  transform ,  fluida  yang termampatkan, tegangan permukaan, half-spaces .

## 1. PENDAHULUAN
Mekanika fluida merupakan salah satu cabang ilmu fisika yang membahas sifat-sifat, hukum dan gaya yang berlaku pada fluida  dan merupakan fondasi bagi ilmu  terapan  dan  teknik.  Tanpa  disadari  setiap  hari  manusia  selalu  berhubungan dengan fluida seperti udara, air dan zat alir lainnya baik yang diam maupun yang bergerak.  Kemajuan  pengetahuan  mengenai  fluida  yang  dicapai  sampai  abad  ini meliputi  berbagai  jenis  studi  baik  secara  analitik,  numerik,  maupun  eksperimen tentang  aliran  dan  pengendalian  lapisan  batas,  struktur  turbulensi,  pemindahan panas  ke  dan  dari  fluida  yang  mengalir  serta  banyak  masalah  dalam penerapannya.  Untuk  menyelesaikan  permasalahan  fluida  diperlukan  analisis matematika.  Persamaan  dasar  fluida  secara  matematis  adalah  sistem  persamaan Navier  Stokes  yang  memiliki  bentuk  persamaan  diferensial  tak  linier.  Untuk mendapatkan  solusi  masalah  yang  berbentuk  tak  linier  tidaklah  mudah.  Oleh karena  itu,  sistem  persamaan  Navier  Stokes  dilinierisasi  menjadi  sistem persamaan Stokes. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan Stokes adalah transformasi Fourier.
Terkait  dengan  topik  tersebut,  Shibata  dan  Shimizu  (2012)  telah membahas penyelesaian umum menggunakan transformasi Fourier parsial ( partial Fourier transform ) dari sistem persamaan Stokes di half-space untuk fluida yang tak  termampatkan  ( incompressible )  dengan  menyertakan  tegangan  permukaan ( surface  tension ). Half-space yang  digunakan  dalam  penelitian  tersebut  yaitu ruang vektor berdimensi n dengan elemen ke- n dari vektornya adalah  nonnegatif. Sementara  itu,  penelitian  mengenai  penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes  untuk fluida  yang  termampatkan  ( compressible )  tanpa  tegangan  permukaan  pernah dibahas  oleh Shibata dan Götz  (2014). Pada penelitian ini, penulis tertarik  untuk mengkaji  penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes  menggunakan Partial  Fourier Transform pada  fluida  termampatkan  yang  disertai  tegangan  permukaan  di half- space.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 2.1 Sistem Persamaan Stokes yang disertai Tegangan Permukaan
Berdasarkan  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Shibata  dan  Shimizu  (2012) serta  Shibata  dan  Gӧtz  (2014)  pada  penelitian  ini  diperoleh  sistem  persamaan Stokes    untuk  fluida  yang  termampatkan  dengan  tegangan  permukaan  adalah sebagai berikut:
{ (    ) (    )    ( ) dengan
{    ( )      | } *    ( ) | +
dan
(    )       ( )   (            ) dengan adalah konstanta yang memenuhi dan , dan
( ) (     (  ) )
yang komponen ke-( i,j ) adalah ( ) dengan serta ∑ Misal Dari persamaan (1) baris pertama, dapat diperoleh (           ) (2)
Kemudian, melalui substitusi  persamaan (2) ke baris kedua sistem persamaan (1) dapat diperoleh
(          ) (3) dengan dan
(1)

## 218 W. Kusumasari, S. Maryani, N. Nurhayati
Selanjutnya,  melalui  substitusi  persamaan  (2)  dan (           ) ke  baris keempat sistem persamaan (1) dapat diperoleh
( )    (     )              ( ) (4) dengan dan Sehingga,  untuk persamaan (4) menjadi ( ) (5) sedangkan untuk persamaan (4) menjadi (     )         ( ) (6) dengan ( )
Berdasarkan persamaan (3), (5), dan (6) maka sistem persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai
{ (          ) ( )
(     )         ( )
(7)
Selanjutnya,  berdasarkan  Shibata  dan  Shimizu  (2012)  sistem  persamaan  (7) direduksi menjadi
{
(          )
̃
( ) ̃ (     )         ( ) ̃ (8)
2.2 Penyelesaian  Sistem  Persamaan  Stokes  yang  disertai  Tegangan Permukaan Menggunakan Partial Fourier Transform
Setelah  menyederhanakan  sistem  persamaan  Stokes  menjadi  sistem persamaan (8), langkah selanjutnya adalah mentransformasi sistem persamaan (8) menggunakan partial Fourier transform sehingga diperoleh
{ ( | | ) ̂ ̂ (          ) ( ̂ ̂ ) ( | | ) ̂ ̂ (          ) ( ̂ ̂ )
̂    ̂ ̂
( ̂ ̂ )     ̂ ̂ (     )( ̂ ̂ )   ( | | ) ̂     ̂ (9)
dengan
̂    ∑ ̂ (10)
Selanjutnya,  berdasarkan  Shibata  dan  Gӧtz  (2014)  akan  ditentukan  akar- akar  karakteristik  sistem  persamaan  (8).  Akar-akar  karakteristik  dapat  diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. menerapkan  operasi  divergensi  pada  sistem  persamaan  (8)  baris  pertama sehingga diperoleh
(    (          ) )
(11)
2. menyederhanakan  persamaan  pertama  dari  sistem  persamaan  (2.8)  sebagai berikut
(          ) (      )    (          ) (12) Selanjutnya, mengalikan kedua ruas persamaan (12) dengan (    (          ) ) , kemudian mensubstitusi persamaan (11) ke persamaan (12) diperoleh
( )(     (          ) )
(13)
3. mentransformasi  persamaan  (13)  menggunakan partial  Fourier  transform sehingga diperoleh
( )( ) ̂
dengan
√((          ) | | ) (14)
dan
√( | | ) (15)
Setelah  memperoleh  akar-akar  karakteristik,  dimisalkan  solusi ̂   ( ̂ ̂ ) adalah
̂ ( ) ( ) (16) Dari persamaan (16) diperoleh
̂ ( ) (17)
Turunan pertama dari persamaan (17) yaitu
̂ ( ) (18)
Turunan kedua dari persamaan (17) yaitu ̂ ( ) (19) Selanjutnya,
̂ ( ) (20)
Turunan pertama dari persamaan (20) yaitu
̂ ( ) (21)
Turunan kedua dari persamaan (20) yaitu ̂ ( ) (22)
Selanjutnya, dengan substitusi persamaan (16) ke persamaan (10) diperoleh ̂    ( ) (23)
Kemudian  dilakukan  substitusi  persamaan  (17)-(23)  untuk  persamaan pertama  sampai  kelima  sesuai  yang  diperlukan  pada  setiap  persamaan  tersebut, sehingga diperoleh:
{ ( ) (          ) ( )
( ) (          ) ( ) ̂ ̂ ((     ) )    ̂ (          )(     ) (          ) (     )
(24)
dengan ( |  | ) ̂( )
Untuk  mempermudah  mendapatkan  penyelesaian  sistem  persamaan  (24), akan dibentuk sistem persamaan linier dengan memisalkan dan sebagai dua  variabel.  Persamaan  ketiga  dari  sistem  persamaan  (24)  dapat  dituliskan kembali menjadi
( ( )   (          ) ) (          ) (25)
Selanjutnya, dilakukan eliminasi persamaan kedua dari sistem persamaan (24) dan persamaan (25), sehingga diperoleh
((       ) )( ) ((      )   ( (       ) )) . (26)
Selanjutnya,  mensubstitusikan  persamaan  (14)  dan  (15)  ke  persamaan  (26) sehingga diperoleh
| | ( ) (   | | ) (27)
Dengan cara yang sama akan diperoleh
( )
(     |  | ) Kemudian,  mengalikan ∑
ke  persamaan  kelima  dari  sistem  persamaan (24) diperoleh
(     )
| | ̂ (29)
Selanjutnya, dengan substitusi persamaan (27) ke persamaan (29) diperoleh
( | | ) (   | | ) | | (    | | ) (   | | ) ̂ (30)
Kemudian,  mensubstitusikan  persamaan  (28)  ke  persamaan  keenam  dari  sistem persamaan (24) diperoleh
(   (   ) (   )( | | )) (   | | ) ((      ) ( | | ))
(   | | ) .       (31)
Dengan  demikian,  persamaan  (30)  dan  (31)  dapat  dituliskan  ke  dalam  bentuk matriks,
( )   ( ̂ )
dengan
( ) ( ( | | ) | | (      | | ) (     )   (     )( | | ) (          ) ( | | ) )
(28 )
(32)
Berdasarkan Shibata dan Gӧtz (2014), Det maka persamaan (32) menjadi
( ) ( ̂ )
( ) ( ̂ ) ( ̂ ̂ ) ( ̂ ̂ )
dengan
Oleh  karena  itu,  dengan  mensubstitusikan  persamaan  (33)  ke  persamaan (27) diperoleh
|  | (   |  | ) (34)
dengan ( ) ̂ ( ) .  Dengan  cara  yang  sama, mensubstitusikan persamaan (33) ke persamaan (28), sehingga diperoleh
(   |  | ) (35)
Selanjutnya  mensubstitusikan  persamaan  (27)  dan  persamaan  (28)  ke  persamaan pertama dari sistem persamaan (24) sehingga diperoleh
(      ) (| | ) ( )(   | | ) (36)
Dengan  cara  yang  sama,  melalui  substitusi  persamaan  (2.27)  dan  (2.28)  ke persamaan ketiga dari sistem persamaan (24) diperoleh
(      ) (| | ) ( )(   | | ) (37)
Kemudian,  mensubstitusikan  baris  kedua  persamaan  (33)  dan  (36)  ke  persamaan kelima dari sistem persamaan (24) sehingga diperoleh
(33)
( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) ̂ ( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) (38)
Selanjutnya, melalui substitusi baris kedua persamaan (33) ke persamaan keempat dari (24) diperoleh
̂ ̂ ̂ . (39)
Dengan  demikian  diperoleh  penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes  pada  fluida termampatkan  yang  disertai  tegangan  permukaan  dalam  domain  Fourier di half- space sebagai berikut:
̂
( (      ) (| | )
( )(   | | )
( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) ̂ ( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) ) ( (      ) (| | ) ( )(   | | ) ) ̂ ( (   |  | )
̂ ) ( (   | | ) )
dan
̂ ̂ ̂
Selanjutnya,  penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes  pada  fluida  termampatkan yang disertai tegangan permukaan dapat dituliskan menjadi
( (      ) (| | )
( )(   | | )
( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) ̂ ( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) )
( (      ) (| | )
( )(   | | ) )
(( (   |  | ) ̂ ) ( (   | | ) ) )
dan
( ̂ ̂ )

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  pada  penelitian  ini,  diperoleh penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes  menggunakan partial  Fourier  transform pada  kasus  fluida  termampatkan  yang  disertai  tegangan  permukaan  sebagai berikut:
( (      ) (| | ) ( )(   | | )
( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) ̂ ( (      )(| | )( ) (   )(   | | ) ) )
( (      ) (| | ) ( )(   | | ) )
(( (   |  | ) ̂ ) ( (   | | ) ) )
dan
( ̂ ̂ )
Pada  penelitian  ini  telah  dikaji  penyelesaian  sistem  persamaan  Stokes menggunakan partial  Fourier  transform untuk  fluida  termampatkan . Pada penelitian selanjutnya disarankan untuk mengkaji penyelesaian sistem persamaan Stokes pada aliran fluida yang berbeda menggunakan partial Fourier transform.

## DAFTAR PUSTAKA
Chorin, A. dan Marsden, J. E., A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics ,
Springer, California, 1997.
Kobayashi, T. dan Shibata, Y., Decay Estimates of Solutions for the Equations of Motion  of  Compressible  Viscous  and  Heat-Conductive  Gases  in  an Exterior Domain in , Communications in Mathematical Physics, 200 (3) (1999), 621-659.
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics , 10 th Ed., John Wiley and Sons, Columbus, 2011.
McDonough,  J.  M., Lectures  in  Elementary  Fluid  Dynamics ,  Department  of Mechanical  Engineering  and  Mathematics,  University  of  Kentucky, Lexington, 2009.
Nakayama,  Y., Introduction  to  Fluid  Mechanics ,  Yokendo  CO,  LTD,  Tokyo, 1999.
Olver, P.J., Introduction to Partial Differential Equation , Springer, USA, 2014. Purcell,  E.  J.,  Varberg,  D.,  Rigdon,  S.  E., Kalkulus ,  Edisi  Kesembilan,  Jilid  2, Terjemahan oleh I Nyoman Susila, Erlangga, Jakarta, 2011.
Ridwan, Mekanika Fluida Dasar , Universitas Gunadarma, Jakarta, 1999.
Rohtak, Fluid Dynamics , Maharshi Dayanand University, New Delhi, 2004.
Ross, L., Differential Equations , 3 rd Ed., Rajiv Binding House, Delhi,2010.

## 226 W. Kusumasari, S. Maryani, N. Nurhayati
Shibata,  Y.  dan  Götz,  D., On  The  R-Boundedness  of  The  Solution  Operators  in The  Study  of  The  Compressible  Viscous  Fluid  with  Free  Boundary Conditions , Asymptotic Analysis, 90 (3-4) (2014), 207-236.
Shibata, Y. dan Shimizu, S., On The Maximal
Regularity  of  The Stokes
Problem with First Order Boundary Condition Model Problems , J. Math. Soc. Japan, 64 (2) (2012), 561-625.
Sirair,  R., Pengaruh  Massa  terhadap  Kecepatan  dan  Percepatan  Berdasarkan Hukum II Newton Menggunakan Linier Air Track , Jurnal  Ilmu Fisika dan Teknologi, 2 (2) (2018), 11-17.
Strichartz,  R.  S., A  Guide  to  Distribution  Theory  and  Fourier  Transform ,  CRC Press, USA, 1984.
Waluya,  B., Buku  Ajar  Persamaan  Diferensial ,  Universitas  Negeri  Semarang, Semarang, 2006.
Zill, D. G., A First Course in Differential Equations with Modeling Applications.
10 th Ed, Brooks/Cole, Cengage Learning, Canada, 2013.