SIMULASI ANTRIAN DENGAN MODEL M [X] /E M /C

## Roni Jhonson Simamora
Program Studi D3 Manajemen Informatika Universitas Methodist Indonesia
roni_mora@yahoo.com

## Abstract
Queue associated with all aspects of a  situation  where  customers  have to wait  for a given  service, such as the queue with the arrival of customers in groups providing mass broadly in the real world, for example, the elevator in  the  buildings,  visitors  to  the  amusement  park,  air  cargo  shipments,  and  bus  transporting.  As  a  result  of inaccuracy determine the number of servers in a queue can result in the number of customers who are not served. Queues models discussed in this study is the queue with the arrival of customers in groups. follows  a  Poisson  process.  The  number  of  subscribers  in  each  group  is  a  random  variable  (X)  and  the  time between the arrival of a customer using exponential distribution. The service time using Erlang distribution with parameter m (Em), the processing served by many server (C). This study uses simulation to analyze the average customer  wait time  in  the  queue,  the  average  waiting  time  of  customers  in  the  system,  the  average  number  of customers in the queue, the average number of customers in the system and the probability of a busy server. The purpose  of  this  research  is  to  create  a  queue  simulation  model  M  [X]  /  Em  /  C  so  it  can  find  the  queue characteristics derived from the settlement with the simulation.
Keywords : Queue Simulation, Multiple Servers, Batch Arrival, Distribution Erlang

## 1.Pendahuluan
Menunggu  dalam  suatu  antrian  adalah  hal yang  paling  sering  terjadi  dalam  kehidupan  sehari- hari. Antrian berhubungan dengan semua aspek dari situasi  dimana  pelanggan  harus  menanti  untuk diberikan layanan, seperti antrian dengan kedatangan  pelanggan  secara  berkelompok  yang dilayani  oleh  banyak server menyediakan  layanan massal  yang  luas dalam  dunia  nyata,  misalnya lift di  gedung-gedung,  pengun jung  di  taman  hiburan, pesawat    pengiriman kargo,    dan  bus pengangkutan. Akibat dari ketidak  tepatan menentukan  jumlah server pada  suatu  antrian dapat  mengakibatkan  banyaknya      pelanggan yang   tidak  terlayani . Antrian merupakan sebuah aktifitas dimana pelanggan menunggu untuk memperoleh  layanan.  Situasi  menunggu  juga merupakan  bagian dari keadaan  yang terjadi dalam rangkaian  kegiatan  operasional  yang  bersifat  acak dalam  suatu  fasilitas  pelayanan.  Kedatangan pelanggan  pada  fasilitas  pelayanan  dengan  waktu yang  acak,  tidak  dapat  segera  dilayani  sehingga pelanggan harus menunggu cukup lama.
Penyelesaian  masalah  pada  suatu  sistem antrian  dapat  diperoleh  dengan  simulasi  untuk menganalisa sistem antrian tersebut, sehingga dapat diketahui  bagaimana  karakteristik  antrian  jika sekelompok  pelanggan  yang  datang  bersamaan pada  satu  waktu  mengikuti  proses  Poisson,  waktu antar kedatangan pelanggan distribusi Eksponensial,  waktu  pelayanan  distribusi  Erlang, serta  pemrosesannya  dilayani  oleh  banyak server dengan  disiplin  antrian  FIFO  ( First  In  First  Out ). Pembahasan dalam tulisan ini mencakup bagaimana karakteristik  antrian  apabila  terjadi  kedatangan pelanggan  secara  berkelompok  ( Batch  Arrival )
mengikuti  proses  Poisson,  waktu  antar  kedatangan pelanggan distribusi Eksponensial, waktu pelayanan  distribusi  Erlang,  dan  pemrosesannya dilayani  oleh  banyak server ( Multiple  Server ) dengan disiplin antrian FIFO ( First In First Out ). Karakteristik  antrian  yaitu  rata-rata  waktu pelanggan  di  dalam  antrian,  rata-rata  waktu pelanggan  di  dalam  sistem,  rata-rata  jumlah pelanggan  di  dalam  antrian,  rata-rata  jumlah pelanggan  di  dalam  sistem  dan  probabilitas server sibuk ( utility server ). Tujuan dari tulisan ini  adalah membuat simulasi antrian dengan model M [X] /E m /C sehingga  dapat  mengetahui  karakteristik  antrian yang diperoleh dari penyelesaian dengan simulasi.

## 2. Antrian
Sistem  antrian  adalah  suatu  himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan  para  pelanggan  dan  pemrosesan masalahnya.  Unit  yang  memerlukan  pelayanan disebut  pelanggan  ( customer )  dan  yang  melayani disebut pelayan ( server ).
Tipe kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan  melalui  waktu  antar  kedatangan, yaitu  waktu  antar  kedatangan  dua  pelanggan  yang berurutan  pada  suatu  fasilitas  pelayanan.  Bila  tipe kedatangan  pelanggan  tiba  satu  per  satu,  maka kedatangan  pelanggan  mengikuti  suatu  proses dengan  distribusi  probabilitas  tertentu.  Distribusi probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi Poisson,  dimana  kedatangan  bersifat  bebas,  tidak berpengaruh oleh kedatangan sebelum atau sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya  acak.  Tipe  kedatangan  pelanggan  dapat berupa one-at-a-time yaitu  seorang  pelanggan
datang pada satu waktu, dan sekelompok pelanggan yang  datang  bersamaan  pada  satu  waktu (batch arrival ).
Pola  pelayanan  ditentukan  oleh  waktu  pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan server untuk melayani pelanggan.  waktu pelayanan dapat berupa konstan atau  variabel  acak  yang  distribusi  probabilitasnya dianggap  telah  diketahui.  Jika  waktu  pelayanan terdistribusi  secara  acak,  harus  dicari  distribusi probabilitas yang paling baik dalam mendeskripsikan tingkah laku layanan.
Banyakya  server  ( number  of  server channel )  merupakan  banyaknya  server  yang dipasang  secara  pararel  yang  dapat  melayani  para pelanggan secara serentak. Pada umumnya banyaknya  server  yang  dapat  melayani  para pelanggan  dalam  suatu  sistem  antrian  sebagai berikut :
1. Single server Hanya  ada  satu server yang  melayani pelanggan  yang  datang  ke  dalam  suatu  sistem antrian.  Apabila server sedang  sibuk,  maka pelanggan  yang  datang  harus  menunggu dengan  membentuk  satu  garis  tunggu  sampai tiba gilirannya.

## Gambar 1 Antrian Single Server
2. Multiple server Lebih dari satu server yang melayani pelanggan yang datang ke dalam suatu sistem antrian. Apabila server sedang sibuk, maka pelanggan yang datang menunggu dalam satu garis antrian untuk kemudian bergerak menuju server yang kosong untuk dilayani.

## Gambar 2 Antrian Multiple Server

## Disiplin antrian
Displin  antrian  adalah  aturan  bagaimana urutan pelayanan yang diberikan terhadap pelanggan  berikutnya  yang  ada  dalam  antrian ketika server menganggur.  Aturan  pelayanan menurut urutan kedatangan pelanggan dapat berupa :
a. FIFO  ( First  In  First  Out )  atau  FCFS  ( First Come First Served )
Pelanggan  yang  datang  pertama  akan  dilayani terlebih dahulu.
b. LIFO  ( Last  In  First  Out )  atau  LCFC  ( Last Come First Served )
Pelanggan  yang  datang  paling  akhir  akan dilayani terlebih dahulu.
c. SIRO ( Service In Random Order ) Pelayanan  yang  diberikan  terhadap  pelanggan secara acak.

## Kapasitas Antrian
Kapasitas  sistem  antrian  adalah  jumlah maksimum  pelanggan,  mencakup  yang  sedang dilayani dan yang berada dalam antrian, yang dapat ditampung  oleh  fasilitas  pelayanan  pada  saat  yang sama. Sebuah  sistem antrian  yang tidak  membatasi jumlah  pelanggan  di  dalam  fasilitas  pelayanannya dikatakan  memiliki  kapasitas  tak  terhingga, sedangkan  suatu  sistem  yang  membatasi  jumlah pelanggan yang ada didalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas.

## Sumber Pemanggilan
Sumber  pemanggilan  dapat  menghasilkan sejumlah  terbatas  pelanggan  atau  sejumlah  tak terbatas pelanggan. Dalam fasilitas pelayanan, yang berperan sebagai sumber pemanggilan dapat berupa mesin  maupun  manusia.  Bila  ada  sejumlah  mesin yang  rusak  maka  sumber  pemanggilan  akan berkurang dan tidak dapat melayani pelanggan. Perilaku Manusia
Model-model  antrian yang mewakili situasi  dimana  manusia  mengambil  peran  sebagai pelanggan  dan/atau  pelayan  harus  dirancang  untuk memperhitungkan  pengaruh  perilaku  manusia. Pelayan  dapat  mempercepat  laju  pelayanan  ketika jalur antrian memanjang. Pelanggan dapat berpindah  dari  satu  jalur  antrian  ke  jalur  antrian lainnya  dengan  harapan  dapat  mengurangi  waktu menunggu.  Beberapa  pelanggan  juga  menolak untuk  bergabung  dengan  satu  jalur  antrian,  karena memperkirakan  waktu  menunggu  yang  lama,  atau dapat  membatalkan  setelah  berada  dalam  antrian karena waktu menunggu.
2.1 Model Antrian Proses dasar model antrian adalah pelanggan  datang  pada  suatu  fasilitas  pelayanan untuk  dilayani.  Apabila server sedang  sibuk,  maka pelanggan yang datang menunggu dalam satu garis antrian  untuk  kemudian  bergerak  menuju server yang  kosong  untuk  dilayani  dengan  menggunakan aturan  tertentu  yang  disebut  disiplin  antrian. Kebanyakan  sistem  antrian  menggunakan  disiplin antrian dengan aturan First In First Out (FIFO).
Gambar 3 Model Umum Antrian
Untuk  sistem  pelayanan  diklasifikasikan berdasarkan  jumlah server dan  jumlah phase . Berdasarkan  konfigurasi  jumlah  server  dan  jumlah phasenya, antrian dikelompokkan menjadi 4 bentuk dasar,  yaitu single  channel  single  phase,  single channel multiphase, multichannel  single phase dan multichannel multiphase . Dari keempat konfigurasi dasar  ini  berkembang  menjadi  berbagai  macam bentuk  yang  lebih  kompleks  (Gross  dan  Harris, 1998).
Untuk  mendefinisikan  model  antrian  dan merincikan ciri dari suatu sistem antrian digunakan notasi kendall  v/w/x/y/z , yang artinya adalah : v. menunjukkan pola kedatangan
w. menunjukkan pola pelayanan
x. menyatakan jumlah pelayanan yang ada
y. menyatakan kapasitas sistem
z. menandakan disiplin antrian
Jika  y  dan  z  tidak  ditentukan  maka  y  tak terhingga  ( ∞ )  dan  z  adalah  FIFO.  Untuk  distribusi kedatangan  pelanggan  dan  distribusi  pelayanan pelanggan  yang  sering  digunakan  di  dalam  suatu sistem antrian, yaitu :
M : Distribusi eksponensial E k : Distribusi Erlang G : Distribusi umum D : Deterministik

## Distribusi Kedatangan dan Pelayanan
Untuk  proses  kedatangan  dan  pelayanan yang  acak,  maka  diperlukan  suatu  distribusi probabilitas.  Distribusi  probabilitas  kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson.
a. Distribusi Kedatangan
Suatu  proses  kedatangan  dalam  suatu sistem  antrian  artinya  menentukan  distribusi probabilitas  untuk  jumlah  kedatangan  untuk  suatu periode  waktu.  Kebanyakan  sistem  antrian,  suatu proses  kedatangan  terjadi  secara  acak  dan independent  terhadap  proses  kedatangan  lainnya, serta tidak dapat diprediksi kapan suatu kedatangan akan  terjadi.  Distribusi  Poisson  menyediakan deskripsi  yang  cukup  baik  untuk  kedatangan pelanggan  dan  waktu  antar  kedatangan  pelanggan menggunakan distribusi Eksponensial.

## b. Distribusi Waktu Pelayanan
Waktu  pelayanan  adalah  waktu  yang dihabiskan  seorang  pelanggan  pada  fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan antar seorang
pelanggan dengan pelanggan lainnya bisa menggunakan distribusi Erlang.
Distribusi  Erlang  merupakan  distribusi yang  sangat  penting  dalam  teori  antrian.  Jika terdapat  m  variabel  random  (U 1 ,  U 2 , …, U m )  yang berdistribusi  identik  eksponensial  dengan  mean  = 1/mμ, maka jumlah  U  = U 1 + U 2 + … + U m akan berdistribusi  Erlang  dengan  parameter  m  dan  μ. (Law dan Kelton, 1991).

## Tipe kedatangan berkelompok
Tipe kedatangan pada suatu sistem antrian dapat  berupa batch  arrival yaitu  kedatangan sekelompok  pelanggan  pada  satu  waktu  secara bersamaan.  Untuk  antrian  yang  memiliki  tipe kedatangan  berkelompok,  kedatangan  yang  terjadi mengikuti  proses  Poisson,  tetapi  setiap  kedatangan tidak  hanya  terdiri  dari  satu  pelanggan  tetapi sejumlah  pelanggan  yang  datang  bersamaan  dalam jumlah  yang acak. Setiap kelompok akan  memiliki probabilitas  yang  berbeda-beda  sesuai  dengan distribusinya (Gross dan Harris,  1998).
Gambar 4 Antrian Dengan Pola Kedatangan Berkelompok Model  antrian  yang  digunakan  adalah model antrian dimana kedatangan pelanggan  dalam suatu  sistem  antrian  terjadi  secara  berkelompok (dengan  jumlah  pelanggan  dalam  tiap  kelompok merupakan  suatu  variabel  acak,  X)  dan  mengikuti proses Poisson. Waktu pelayanan dilakukan dengan distribusi  erlang,  maka  model  menjadi  M [X] /E k /C, dan pemrosesannya dilayani banyak server (dinotasikan dengan C).
2.2 Simulasi Simulasi adalah
metode untuk mempelajari  sistem  yang  sebenarnya  dengan melakukan  eksperimen  terhadap  sebuah  model yang merepresentasikan sistem. Simulasi merupakan  salah  satu  pendekatan  yang  paling banyak  digunakan  dalam  penyelesaian  masalah antrian.  Model  simulasi  terdiri  dari  asumsi matematika dan hubungan logika yang menjelaskan bagaimana  menghitung  nilai-nilai  output  yang diberikan  oleh  nilai-nilai  input.  Setiap  model simulasi  memiliki  dua  input  yaitu  input  terkontrol ( controllable input ) dan input probabilistik ( probabilistic input ).
Input  pada  simulasi  antrian  menggunakan controllable  input dan probabilistic  input serta output  dari  simulasi  berupa  nilai  karakteristik antrian.
Simulasi  dijalankan  dengan  melakukan serangkaian pengujian yang menggunakan controllable input dan probabilistic input , sehingga hasil  simulasi  dapat  mengetahui  bagaimana input mempengaruhi  atau  mengubah  output  simulasi. Setelah  mereview  hasil  simulasi,  maka  dapat mengetahui karakteristik antrian.
Simulasi  Antrian
Simulasi antrian mereprsentasikan keadaan  sistem,  termasuk  jumlah  pelanggan  dalam antrian dan apakah fasilitas pelayanan sedang sibuk atau  menggangur,  akan  berubah  atau  berkembang dari waktu ke waktu.
Pada  simulasi  antrian multiple  server ,  waktu  antar kedatangan  adalah  independent  yang  artinya  suatu kedatangan tidak mempengaruhi kedatangan lainya. Pelanggan  yang  datang  dapat  segera  dilayani  jika server dalam  keadaan  menggangur.  Apabila  server sedang  sibuk,  maka  pelanggan  yang  datang menunggu dalam satu garis antrian untuk kemudian bergerak menuju server yang kosong untuk dilayani dengan  aturan first-in-first-out (FIFO).  Waktu layanan  untuk  pelanggan  merupakan  variabel  acak yang  terdistribusi  secara  identik  yang  independent terhadap waktu antar kedatangan.
Sebelum  simulasi  dijalankan  maka  tidak ada  pelanggan  di  dalam  sistem  dan server dalam keadaan  mengganggur.  Simulasi  dimulai  dan berakhir  selama  waktu  durasi  simulasi.  Untuk melihat performansi sistem, maka dihitung rata-rata waktu  tunggu  pelanggan  dalam  antrian,  rata-rata waktu  tunggu  pelanggan  dalam  sistem,  rata-rata jumlah  pelanggan  dalam  antrian,  rata-rata  jumlah pelanggan  dalam  sistem  dan  menghitung utilitas server selama simulasi berlangsung.
Bilangan Acak Untuk  menentukan input  probabilistic , dibangkitkan  bilangan  acak  yang  sesuai  dengan distribusi kejadian yang akan disimulasikan, yaitu: a. Bilangan acak distribusi Eksponensial
digunakan  untuk  waktu  antar  kedatangan pelanggan.
Cara  membangkitan  suatu  bilangan  acak  yang berdistribusi  Eksponensial  dapat  diperoleh dengan  metode inverse  transformation (Ross, 2007) , sebagai berikut:
1. Bangkitkan r dari U(0,1)
2. Hitung X = ) ( 1 r LN  
b. Bilangan  acak  distribusi  Erlang  digunakan untuk waktu pelayanan pelanggan.
Cara  membangkitan  suatu  bilangan  acak  yang berdistribusi  Erlang  dapat  diperoleh  dengan metode inverse  transformation ( Law  dan Kelton, 1991), sebagai berikut:
1. Bangkitkan m random variabel U 1 , U 2 , U 3 ... , U m dari  U(0,1)
2. Hitung X =    m i i U LN m 1 . 1 

## 3. Metodologi Penelitian
Model  antrian  yang  dibahas  dalam penelitian ini adalah model antrian M [X] /E m /C, yang artinya  sistem  antrian  dengan  pola  kedatangan berkelompok  mengikuti  proses  poisson  (dengan jumlah pelanggan dalam tiap kelompok merupakan suatu  variabel  acak),  waktu  antar  kedatangan pelanggan distribusi eksponensial, waktu pelayanan dilakukan dengan distribusi erlang dan pemrosesannya dilayani oleh banyak server dengan disiplin  antrian  FIFO.  Untuk  menyederhanakan model  antrian  tersebut,  maka  diperlukan  asumsi- asumsi sebagai berikut :
K : Maximum batch size  : Laju kedatangan  : Laju pelayanan C : Server E[X] : Mean batch size m : Parameter Erlang  : Probabilitas server sibuk L s : Rata-rata pelanggan di sistem L q
: Rata-rata pelanggan di antrian W s : Rata-rata waktu tunggu di sistem W q : Rata-rata waktu tunggu di antrian Penyelesaian  dengan  simulasi  digunakan  untuk menjabarkan  atau  memprediksi  bagaimana  sebuah sistem  akan  mengoperasikan  suatu  pilihan  yang ditentukan  untuk  controllable  input  dan  nilai  yang akan  dihasilkan  secara  random  untuk probabilistic input .  Tahapan-tahapan  proses  simulasi  secara umum diuraikan sebagai berikut:
1. Masukan parameter controllable input maximum batch  size (K)  dan  diproses  untuk membangkitkan bilangan acak jumlah pelanggan dalam kelompok sebanyak K. Maximum batch  size (K)  dan  probabilitas kelompok  ( Batch  Probability )  diperoleh  dari proses membangkitkan bilangan acak ( Random ) dari U(0,1), serta untuk menghitung peluang  kemunculan  setiap  kelompoknya berdasarkan  pada  probabilitas  masing-  masing kelompoknya.
Input K
Selesai Mulai Bangkitkan Bilangan Random BilRan(i) = RAND() Hitung Total Bilangan Random, TBilRan = TBilRan + BilRan(i) Hitung Bilangan Random Distribusi, BilRanDis(i) = BilRan(i) / TBilRan Hitung Kumulatif,
Kumulatif = Kumulatif + BilRanDis(i)
Hitung Rentang Awal, Awal = (Kumulatif(i-1) * 1000) + 1 Hitung Rentang Akhir, Akhir = Kumulatif(i) * 1000 i = 0 TBilRan = 0 i = i + 1 i <= k Tidak i <= k Ya i = 0 Kumulatif = 0 Tidak i = 1 Awal = 1 Ya i = i + 1 Ya Tidak Gambar 5. Flowchart Batch Size
2. Proses  tersebut  akan  diuji  kerandomannya ( Runs  Test  of  Randomness). Uji  kerandoman pada  prinsipnya  ingin  menguji  apakah  sebuah sample mewakili sebuah populasi telah diambil secara  acak  ( random )  dengan  kondisi  yang harus  dipenuhi  r lower ≤  r    ≤  r upper dengan  =
0.05 (5% level of significance )
Mulai Data(j + 1) = 1 Data(j + 1) = 0 Hitung N dengan menentukan ukuran dari data random i = i + 1 i = N J = 0 i = 0 R = 0 j = j + 1 i = 0 Data(i) = DataRandom(i) i <= N Ya j = N Data(j) < Data(j + 1) Ya Tidak Tidak j <= N Tidak Ya i = i + 1 Tidak Ya Data(i) <> Data(i + 1) R = R + 1 i <= N Ya Tidak Hitung : E_R = ((2 * N) - 1) / 3 Var_R = Sqr(((16 * N) - 29) / 90) Lower = E_R - (1.96 * Var_R) Upper = E_R + (1.96 * Var_R) R >= Lower And R <= Upper Decision = Accept Decision = Reject Ya Tidak Ya Tidak Selesai Ya Tidak Data Random Gambar 6. Flowchart Uji Random 3. Jika  kondisi  tersebut  sudah  dipenuhi  maka masukan parameter controllable input selanjutnya  yang  perlu  diinput  adalah  laju kedatangan  (  ),  laju  pelayanan  (  ),  jumlah server (C) dan durasi simulasi (jam).
4. Sebelum  simulasi  dijalankan  maka  terlebih dahulu  dilakukan  proses  uji input  parameter dengan  kondisi  yang  harus  dipenuhi  adalah  .E[X] <  .C. Untuk menghitung E[X] ( mean batch  size) digunakan  nilai  harapan  ( expected value ) dengan rumus E[X]   = ) ( . 1   i i i x p x
5. Jika input parameter sudah memenuhi kondisi tersebut, maka simulasi kedatangan pelanggan dijalankan  untuk  membangkitkan bilangan acak  jumlah  pelanggan  dan  waktu  antar kedatangan  pelanggan  dengan  menggunakan distribusi Eksponensial.
Gambar  8. Flowchart  Simulasi Kedatangan Pelanggan
6. Dari  proses  kedatangan  pelanggan  maka simulasi  yang  dilakukan  selanjutnya  adalah proses  pelayanan  pelanggan  dijalankan  untuk membangkitkan  waktu  pelayanan  pelanggan dengan menggunakan distribusi Erlang. Gambar  9.  Flowchart  Simulasi  Pelayanan Pelanggan
7. Hasil simulasi yang diperoleh adalah rata-rata waktu  tunggu  pelanggan  di  dalam  antrian, rata-rata  waktu  tunggu  pelanggan  di  dalam sistem,  rata-rata  jumlah  pelanggan  di  dalam antrian,  rata-rata  jumlah  pelanggan  di  dalam sistem, dan utilitas server .

## 4. Hasil Dan Pembahasan
Pengujian  dilakukan  dengan controllabel input yang  terdiri maximum  batch  size (K)  =  10, laju  kedatangan  (  )  =  2,  laju  pelayanan  (  )  =  4. Pengujian dilakukan dengan jumlah server (C) yang melayani pelanggan 3 server, 4 server dan 5 server serta simulasi dilakukan dengan durasi 1 jam.
Gambar 10. controllabel input
Simulasi dilakukan dengan input parameter yang sama, waktu pelayanan menggunakan  distribusi  Erlang  dengan  parameter m  =  2  (m-Erlang)  dan  µ  =4,  serta  jumlah  server yang  melayani  pelanggan  =  3  server,  maka  hasil simulasi diperoleh sebagai berikut: jumlah pelanggan  27,    probabilitas  server  sibuk  ( utility server )  0,8554,  rata-rata  waktu  tunggu  dalam sistem  (W s )  0,5621,  rata-rata  waktu  tunggu  dalam antrian  (W q )  0,2602,  rata-rata  jumlah  pelanggan dalam  sistem  (L s )  4,7788,  dan  rata-rata  jumlah pelanggan dalam antrian (L q ) 2,2122.
Gambar 11.  Simulasi Antrian Server 3
Simulasi dilakukan dengan input parameter yang sama, waktu pelayanan menggunakan  distribusi  Erlang  dengan  parameter m  =  2  (m-Erlang)  dan  µ  =4,  serta  jumlah  server yang  melayani  pelanggan  =  4  server,  maka  hasil simulasi diperoleh sebagai berikut: jumlah pelanggan  27,    probabilitas  server  sibuk  ( utility server )  0,5901,  rata-rata  waktu  tunggu  dalam sistem  (W s )  0,4474,  rata-rata  waktu  tunggu  dalam antrian  (W q )  0,1792,  rata-rata  jumlah  pelanggan dalam  sistem  (L s )  3,9375  dan  rata-rata  jumlah pelanggan dalam antrian (L q ) 1,5769.
Gambar 12.  Simulasi Antrian Server 4 Simulasi dilakukan dengan input parameter yang sama, waktu pelayanan menggunakan  distribusi  Erlang  dengan  parameter m  =  2  (m-erlang)  dan  µ  =4,  serta  jumlah  server yang  melayani  pelanggan  =  5  server,  maka  hasil simulasi diperoleh sebagai berikut: jumlah pelanggan  27,  probabilitas  server  sibuk  ( utility server )  0,3879,  rata-rata  waktu  tunggu  dalam sistem  (W s )  0,2557,  rata-rata  waktu  tunggu  dalam antrian  (W q )  0,0542,  rata-rata  jumlah  pelanggan dalam  sistem  (L s )  2,4617  dan  rata-rata  jumlah pelanggan dalam antrian (L q ) 0,5221.
Gambar 13.  Simulasi Antrian Server 5
Hasil simulasi dengan waktu pelayanan menggunakan  distribusi  Erlang,  menunjukkan bahwa  rata-rata  waktu  tunggu  pelanggan  di  dalam antrian, rata-rata waktu tunggu pelanggan di dalam sistem, rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian, rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem semakin kecil untuk jumlah server yang lebih banyak lagi.
Tabel 1. Hasil Simulasi m-Erlang = 2
Karakteristik Antrian Jumlah Server (C) 3 4 5 Ws 0,5621  0,4474  0,2556 Wq 0,2602  0,1791  0,0542 Ls 4,7788  3,9374  2,4616 Lq 2,2121  1,5769  0,5220 Utility 0,8553  0,5900  0,3879

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  simulasi didapatkan kesimpulan sebagai berikut :
1. Jumlah kelompok ( batch size ) dan probabilitas kelompok ( batch probability ) akan mempengaruhi  nilai  karakteristik  antrian  dan probabilitas kesibukan server .
2. Semakin  besar maksimum  batch  size ,  maka nilai  karakteristik  antrian  dan  probabilitas kesibukan server semakin besar.
3. Penambahan  rata-rata  laju  kedatangan  akan semakin memperbesar nilai karakteristik antrian dan probabilitas kesibukan server . 4. Penambahan  rata-rata  laju  pelayanan  akan semakin memperkecil nilai karakteristik
antrian dan probabilitas kesibukan server . 5. Semakin banyak server yang melayani pelanggan  maka  nilai  karakteristik  antrian  dan probabilitas kesibukan server semakin kecil. 6. Penambahan durasi simulasi akan mempengaruhi  nilai  karakteristik  antrian  dan probabilitas kesibukan server .
6. Referensi
[1] Gross,  D.  dan  Harris,  C.M.,    1998. Fundamentals  Of  Queueing  Theory,  Third Edition, John Wiley, Canada.
[2] Hoover,  S.V.  dan  Perry,  R.F.,  Simulation  A Problem-Solving Approach, Addison Wesley.
[3] Kakiay,  T.,  2004,  Dasar  Teori  Antrian  Untuk Kehidupan Nyata, Penerbit Andi, Yogyakarta.
[4] Law, A.M. dan Kelton, W.D., 1991.
Simulation  Modelling  and  Analysis,  Second Editon, McHraw-Hill, Inc, New York.
[5] Leong,  Thin-Yin,  2007,  Simpler  Spreadsheet Simulation of Multi-Server Queues, INFORMS Transactions on Education 7(2), pp. 172 – 177.
[6] Ross,  S.M.,  2007,  Introduction  to  Probability Models, Ninth Edition, Elsevier Inc, California.
[7] Sridadi,  B.,  2009,  Pemodelan  Dan  Simulasi Sistem, Penerbit Informatika Bandung.
[8] Sultan, A. M.,  Hassan, N. A. dan Elhamy,  N. M.,  2005,  Computational  analysis  of  a  multi- server  bulk  arrival  with  two  modes  server breakdown,    Mathematical  and  Computational Applications, Vol. 10, No. 2, pp. 249-259.
[9] Syahrini,  A.U.,  2009,  Antrian  Satu  Channel Dengan Tipe Kedatangan Berkelompok, Jurnal
Ilmiah Generic, Volume 4, Nomor 1, pp. 49-56