P-ISSN: 2614-3038 Volume 07, Nomor 03, Agustus-November 2023, pp. 3216-3228

## Analisis Kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa Pada Mata Kuliah Analisis Real
Hanifah 1 , Hari Sumardi 2 , Lilia Gina Febrila 3 
1, 2, 3 Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Bengkulu, Jl. W.R. Supratman Kandang Limun, Bengkulu, Indonesia hanifah@unib.ac.id

## Abstract
Problem  solving  ability  is  an  important  ability  that  students  must  have.  This  research  aimed  to  determine students' matehematical  problem  solving abilities in solving problems in real analysis courses. The research method  used  was  ex  post  facto  with  the  research  subjects  being  6  students  in  the  second  semester  of  the Mathematics  Education  Masters  Study  Program  FKIP  UNIB  FY  2022/2023.  The  research  instruments  used were problem-solving ability test sheets and scoring guidelines using Polya stages. Data analysis was carried out by calculating the mathematics problem solving ability (KPM) value and analyzing student answers. The research results show that students' mathematical problem solving abilities in the real analysis course are in the  good  category  with  an  average  score  of  82.6.  The  average  value  for  each  stage  of  problem  solving according to Polya is P1=86.67, P2=84.33, P3=83.67, and P4=73.67. This means that in general students can understand the problem very well, and can plan a solution, carry out the problem solving plan and recheck the answers that have been obtained in the good category.
Keywords: Analysis Real, Polya Stage Problem Solving

## Abstrak
Kemampuan  pemecahan  masalah  merupakan  kemampuan  penting  yang  harus  dimiliki  oleh  mahasiswa. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  kemampuan  pemecahan  masalah  matematika  mahasiswa  dalam menyelesaikan  soal  pada  mata  kuliah  analisis  real.  Metode  penelitian  yang  digunakan  yaitu ex  post  facto dengan  subjek  penelitian  mahasiswa  semester  2  Program  Studi  S2  Pendidikan  Matematika  FKIP  UNIB  TA 2022/2023  yang  berjumlah  6  orang.  Instrumen  penelitian  yang  digunakan  berupa  lembar  tes  kemampuan pemecahan  masalah  dan  pedoman  penskoran  dengan  tahapan  Polya.  Analisis  data  dilakukan  dengan menghitung nilai kemampuan pemecahan masalah (KPM) matematika dan menganalisis jawaban mahasiswa. Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  kemampuan  pemecahan  masalah  matematika  mahasiswa  pada  mata kuliah analisis real berada pada kategori baik dengan nilai rata-rata 82,6. Nilai rata-rata untuk setiap tahapan pemecahan  masalah  menurut  Polya  yaitu  P1=86,67,  P2=84,33,  P3=83,67,  dan  P4=73,67.  Artinya  secara umum  mahasiswa  dapat  memahami  masalah  dengan  sangat  baik,  serta  dapat  merencanakan  penyelesaian, melaksanakan  rencana  pemecahan  masalah  dan  memeriksa  kembali  jawaban  yang  telah  di  dapat  dengan kategori baik.
Kata kunci: Analisis Real, Pemecahan Masalah Tahapan Polya
Copyright (c) 2023 Hanifah, Hari Sumardi, Lilia Gina Febrila  Corresponding author: Lilia Gina Febrila Email Address: liliabengkulu@gmail.com (Jl. W.R. Supratman Kandang Limun, Bengkulu, Indonesia) Received 06 Oktober 2023, Accepted 23 July 2023, Published 18 November 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i3.2913

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  salah  satu  ilmu  universal  berperan  penting  dalam  berbagai  disiplin ilmu  serta  ikut  mendasari  perkembangan  teknologi  modern  (Wahyuningsih,  2019).  Matematika dipelajari  tidaknya  pada  tingkat  sekolah  melainkan  hingga  tingkat  perguruan  tinggi.  Pada  tingkat perguruan  tinggi  konsep  matematika  akan  dipelajari  melalui  berbagai  mata  kuliah,  salah  satunya Analisis Real.
Analisis  Real  merupakan  matakuliah  wajib  yang  ditawarkan  oleh  program  studi  S2 pendidikan matematika FKIP UNIB dengan bobot 3 SKS. Materi yang diberikan pada mata kuliah
ini  terdiri  dari  Aljabar  Himpunan,  Fungsi,  Induksi  Matematika,  Bilangan  Real,  Barisan  Bilangan Real,  Limit  Fungsi,  dan  Fungsi-Fungsi  Kontinu  (Bartlle,2000).  Analisis  Real  merupakan  cabang matematika  yang  abstrak  dimana  didalamnya  terdapat  berbagai  konsep  aljabar  serta bilangan(Novitasari & Pujiastuti, 2020).
Sebagian besar dari mahasiswa menganggap bahwa Analisis Real merupakan matakuliah yang sulit (Qomariyah & Rosyidah, 2022). Pada saat mempelajari Analisis Real mahasiswa dituntut untuk menguasai materi pendukung seperti Kalkulus, Himpunan dan Logika Matematika. Kompetensi yang harus  dicapai  mahasiswa  setelah  mempelajari  mata  kuliah  ini  diantaranya  yaitu,  mampu menganalisis persoalan serta menggunakan logika matematika dalam memecahkan persoalan dengan menggunakan definisi/akibat/teorema/lemma yang telah ada. Hal itu menunjukkan bahwa salah satu kemampuan yang dibutuhkan oleh mahasiswa yaitu kemampuan pemecahan masalah.
Kemampuan  pemecahan  masalah  merupakan  kemampuan  seseorang  dalam  menggunakan logika  kompleks  dengan  cara  mengumpulkan  fakta,  menganalisis  informasi  yang  dikumpulkan, membangun berbagai cara mencari bagian yang hilang serta memilih cara yang paling efektif untuk menyelesaikan suatu permasalahan (Attri, 2018). NCTM (2000) mengemukakan bahwa kemampuan pemecahan  masalah  dalam  pelajaran  matematika  merupakan  fokus  yang  menjadi  tujuan  belajar sekaligus sarana penting untuk mempelajari matematika. Kemampuan pemecahan masalah tergolong dalam kemampuan berpikir tingkat tinggi yang diperlukan oleh mahasiswa agar dapat menyelesaikan berbagai  permasalahan  dengan  menggunakan  penalaran  dan  mengilustrasikan  ide  ke  dalam  model matematika  yang  akan  dikaitkan  dengan  konsep  matematika  lainnya  maupun  disiplin  ilmu  lainnya (Anugraheni, 2019; Hendikawati dkk, 2019). Terdapat empat tahapan dalam melakukan pemecahan masalah  menurut  Polya  (2004),  yaitu  memahami  masalah,  menyusun  rencana  pemecahan  masalah, melaksanakan rencana pemecahan masalah, dan memeriksa kembali hasil yang diperoleh.
Berdasarkan  hasil  tes  tertulis  mahasiswa  S2  Pendidikan  Matematika  tahun  ajaran  2021/2022 pada  mata  kuliah  analisis  real,  hanya  25%  mahasiswa  yang  dapat  menjawab  pertanyaan  dengan lengkap  dan  benar.  Terdapat  beberapa  kesalahan  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa  saat  melakukan pemecahan  masalah  yang  diberikan  oleh  dosen  seperti  kesulitan  dalam  memahami  masalah  hingga kesalahan dalam penggunaan konsep, definisi, teorema, maupun lemma.
Hasil penelitian Setiawan et al., (2021) menunjukkan bahwa kemampuan pemecahan masalah mahasiswa  pada  mata  kuliah  teori  bilangan  berada  dalam  kategori  “cukup”  dengan  indikator memahami  masalah  dan  merencanakan  masalah  pada  kategori  “baik”,  indikator  menyelesaikan masalah pada kategori “cukup, dan pemeriksaan kembali pada kategori “kurang”. Selain itu Perbowo &  Pradipta  (2017)  menyatakan  bahwa  pada  matakuliah  83%  mahasiswa  sama  sekali  tidak  mampu menuliskan pembuktian teorema dan hanya 6% mahasiswa yang dapat membuktikan secara lengkap dan benar. Selain itu untuk bentuk pembuktian yang sulit, yaitu pembuktian bentuk kontrapositif dan kontradiktif,  sama  sekali  tidak  ada  yang  dapat  membuktikannya  dengan  bentuk  kontrapositif sedangkan untuk bentuk kontradiksi hanya 6% mahasiswa yang mampu membuktikannya.
Berdasarkan  uraian  diatas  maka  dipandang  perlu  untuk  dilakukan  penelitian  tentang kemampuan  pemecahan  masalah  matematika  mahasiswa  pada  matakuliah  analisi  real.  Tujuan penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui  hasil  analisis  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa menurut Polya pada matakuliah Analisis Real.

## METODE
Penelitian ini merupakan penelitian ex post facto . Penelitian ex post facto merupakan kegiatan penelitian  dengan  tujuan  untuk  meneliti  peristiwa  yang  telah  terjadi  yang  kemudian  dirunut  ke belakang  untuk  dapat  mengetahui  berbagai  faktor  yang  dapat  menimbulkan  kejadian  tersebut (Sugiyono, 2011). Adapun penelitian ini dilakukan di Universitas Bengkulu dengan subjek penelitian yaitu mahasiswa semester 2  Program  Studi  S2  Pendidikan  Matematika  FKIP  UNIB  TA  2022/2023 yang sedang mengikuti perkuliahan Analisis Real yang berjumlah 6 orang mahasiswa.
Teknik pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini terdiri dari dua, yaitu teknik tes dan  non  tes.  Teknik non-test berupa  wawancara,  serta  teknik  tes  berupa  tes  uraian  mengenai kemampuan  pemecahan  masalah  matematika.  Instrumen  yang  digunakan  untuk  mengumpulkan informasi  terdiri  dari  lembar  tes  kemampuan  pemecahan  masalah  matematika  mahasiswa  dan pedoman  penskoran  kemampuan  pemecahan  masalah  matematika  menggunakan  tahapan  Polya. Instrumen  lembar  tes  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  yang  digunakan  telah  dilakukan uji coba sebelumnya dan telah memenuhi kriteria valid, reliabel, serta memiliki tigkat kesukaran dan daya beda yang berada pada kategori baik sehingga dapat digunakan. Berikut indikator penyelesaian tahapan Polya disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Indikator Penyelesaian Soal Tahapan Polya
No Soal Tahapan Polya Tahapan Pemecahan Masalah 1. 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 ,    𝑥 < −3 𝑥, −3 ≤ 𝑥 < 1 1,    1 ≤ 𝑥 < 3
−𝑥 2 + 5, 𝑥 ≥ 3
A. Lukislah gambar f(x)
B. Periksalah dengan cara menghitung limit terlebih dahulu apakah a. X kontinu di x =
-3
b. X kontinu di x = 0
c. X kontinu di x =
Memahami Masalah P1: a) mampu membaca fungsi bersyarat. b) mampu melukis grafik fungsi f(x) Merencanakan Maslaah P2: mampu menuliskan limit kiri dan limit kanan fungsi di suatu titik yang akan di uji nilai limit dan nilai fungsi di titik tersebut Melaksanakan rencana P3: a) mampu menghigtung limit kiri dan limit kanan di suatu titik pada f(x). b) mampu menghitung nilai fungsi pada titik tersebut. c) mampu menguji kesamaan nilai limit fungsi dan nilai fungsi di suatu titik
Memeriksa Kembali P4. Mampu memeriksa kembali apakah suatu limit kontinu atau tidak kontinu di suatu titik yang diminta
Gina Febrila
2 Tunjukkan menggunakan definisi limit barisan 𝑙𝑖𝑚 ( 15𝑛 3𝑛+5 ) = 5 , 𝑛 ∈ ℕ Catatan a. Buatlah  grafik  dari
barisan  tersebut  terlebih dahulu. b. Selidikilah apakah barisan tersebut monoton c. Selidikilah apakah barisan tersebut konvergen Memahami Masalah P1: a) mampu menentukan anggota barisannya Merencanakan Maslaah P2: a) mampu melukis grafik dari barisannya Melaksanakan rencana P3: a) mampu menentukan apakah barisan tersebut monoton b) mampu menentuka apakah barisan tersebut konvergen Memeriksa Kembali P4. mampu memeriksa kembali apakah barisan tersebut monoton dan konvergen ke suatu titik 3 Buktikanlah apakah barisan 𝑙𝑖𝑚 ( 15𝑛 3𝑛+5 ) = 5 ,
𝑛 ∈ ℕ , barisan Cauchy Memahami Masalah P1: a) mampu menentukan anggota barisannya. Merencanakan Maslaah P2: a) mampu melukis grafik dari barisannya Melaksanakan rencana P3: a) mampu menentukan apakah baraisan tersebut Barisan Cauchy Memeriksa Kembali P4. mampu memeriksa kembali apakah barisan tersebut monoton dan konvergen ke suatu titik 4 Berikanlah contoh barisan  yang  divergen dengan  disertai  alasan mengapa fungsi  tersebut dikatakaan divergen Memahami Masalah P1: a) mampu memberikan contoh barisan b) mampu menentukan anggota barisan Merencanakan Maslaah P2: a) mampu melukis grafik dari barisannya Melaksanakan rencana P3: a) mampu menentukan apakah barisan tersebut Barisan Divergen? Memeriksa Kembali P4. mampu memeriksa kembali apakah barisan tersebut Divergen? 5 Berikanlah contoh selain yang  ada  pada  LAM barisan  yang  konvergen dan  merupakan  barisan Cauchy Memahami Masalah P1: a) mampu memberikan contoh barisan Merencanakan Maslaah P2: a) mampu melukis grafik dari barisannya Melaksanakan rencana P3: a) mampu menentukan apakah barisan tersebut konvergen ? b) mampu menentukan apakah barisan tersebut Barisan Cauchy? Memeriksa Kembali P4. mampu memeriksa kembali apakah barisan tersebut monoton dan konvergen ke suatu titik
Adapun  teknik  analisis  data  dilakukan  dengan  menghitung  nilai  kemampuan  pemecahan masalah (KPM) matematika dan menganalisis jawaban mahasiswa. Nilai KPM mahasiswa pada tiap soal dapat diperoleh dengan rumus:
Nilai soal 𝑖 = 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑥 × 100 (1)
Berdasarkan hasil perhitungan, nilai yang KPM mahasiswa yang diperoleh dikualifikasikan dengan mengacu pada Tabel 2.
Tabel 2. Kualifikasi Kemampuan Pemecahan Masalah
Nilai (N) Kualifikasi 85 < 𝑁 ≤ 100 Sangat Baik 70 < 𝑁 ≤ 85 Baik 55 < 𝑁 ≤ 70 Cukup 40 < 𝑁 ≤ 55 Kurang 0 < 𝑁 ≤ 40 Sangat Kurang
Sumber : Modifikasi Dhema & Jufriansah (2021)

## HASIL DAN DISKUSI
Proses  pembelajaran  Analisis  Real  dilakukan  dengan  menggunakan  Lembar  Aktivitas Mahasiswa  (LAM)  berbasis  model  APOS  berbantuan  Geogebra.  Model  pembelajaran  yang diterapkan  yaitu  Model  APOS  dengan  tahapan  pembelajaran  yang terdiri  dari  orientasi,  praktikum, diskusi  kelompok  kecil,  diskusi  kelas,  latihan  dan  evaluasi.  Penggunaan  LAM  dan  pemanfaatan aplikasi  Geogebra  ini  ditujukan  untuk  meningkatkan  pemahaman  dan  kemampuan  pemecahan masalah mahasiswa pada mata kuliah Analisis Real.
Setelah  dilakukan  pembelajaran  mahasiswa  diberikan  tes  kemampuan  pemecahan  masalah yang  terdiri  dari  lima  soal.  Hasil  jawaban  mahasiswa  diskor  dan  diperoleh  nilai  tes  kemampuan pemecahan masalah mahasiswa yang disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai Tes Kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa
Subjek Nilai (N) Kualifikasi AJI 98 Sangat Baik AM 79 Baik A 72 Baik DA 100 Sangat Baik YY 46,5 Kurang N 100 Sangat Baik
Berdasarkan  Tabel  2  diatas,  terlihat  bahwa  tiga  orang  mahasiswa  memiliki  kemampuan pemecahan masalah yang berada pada kategori sangat baik, dua orang dengan kategori baik, dan satu orang dengan kategori kurang. Nilai tertinggi yang diperoleh yaitu 100 dan nilai terendah 46,5. Rata- rata  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  semester  2  Program  Studi  S2  Pendidikan Matematika  FKIP  UNIB  TA  2022/2023  sebesar  82,6  yang  menunjukkan  bahwa  rata-rata kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  berada  pada  kategori  baik.  Ditinjau  dari  indikator pemecahan masalah dengan langkah Polya, diperoleh nilai rata-rata tiap soal yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Nilai Rata-rata Setiap Soal Berdasarkan Indikator Kemampuan Pemecahan Masalah Menurut Polya
Berdasarkan  Gambar  1  terlihat  bahwa  nilai  rata-rata  kemampuan  pemecahan  masalah mahasiswa  yang  paling  rendah  berada  pada  soal  nomor  4,  yaitu  sebesar  75,42.  Soal  ini  berkaitan dengan barisan divergen. Sedangkan nilai rata-rata KPM mahasiswa yang paling tinggi berada pada soal nomor 2, yaitu sebesar 87,92. Soal ini berkaitan dengan barisan konvergen. Nilai rata-rata untuk setiap indikator tahapan KPM berada pada kategori sangat baik untuk P1 dan kategori baik untuk P2 hingga P4, yaitu P1=86,67, P2=84,33, P3=83,67, dan P4=73,67.
Soal  yang  pertama  berkaitan  dengan  limit  dan  kekontinuan.  Mahasiswa  diminta  untuk melukiskan limit fungsi dan menentukan kekontinuan limit disuatu titik. Dua dari enam mahasiswa dapat  menjawab  soal  ini  dengan  lengkap  dan  benar,  sedangkan  empat  mahasiswa  lainnya  kurang tepat dalam menjawabnya. Nilai rata-rata KPM mahasiswa untuk soal nomor 1 sebesar 79,58 yang menunjukkan  bahwa  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  untuk  soal  nomor  1  berada  pada kategori  baik.  Begitu  juga  untuk  nilai  rata-rata  masing-masing  indikator  pemecahan  masalah  yang berada  pada  kategori  baik,  yaitu  P1=73,33,  P2=81,67,  P3=81,67,  dan  P4=81,67.  Hal  ini  sejalan dengan  hasil  penelitian  Hanifah  (2021)  yang  mengemukakan  bahwa  kemampuan  pemecahan masalah mahasiswa yang berkaitan dengan melukis grafik fungsi limit dan kekontinuan limit sebesar 76,28 yang berada pada kategori baik.
Kesalahan  yang  dilakukan  oleh  mahasiwa  dalam  menjawab  soal  nomor  1  dikarenakan mahasiswa  kurang  teliti  dalam  operasi  perhitungan  sehingga  salah  dalam  membuat  grafik  dan  ada pula  mahasiswa  yang  kurang  memahami  konsep  dan  langkah  pembuktian  sehingga  tidak  dapat membuktikan  kekontinuan  limit  di  suatu  titik.  Hasil  penelitian  Suli  et  al.  (2019)  juga mengungkapkan  beberapa  kesalahan  yang  dilakukan  mahasiswa  dalam  menyelesaikan  soal  limit fungsi,  seperti  tidak  tepat  dalam  mengungkapkan  kembali  sebuah  konsep,  dan  tidak  tepat  dalam menggunakan,  memanfaatkan  serta  memilih  prosedur  atau  operasi  yang  tepat.  Salah  satu  faktor
penyebabnya  yaitu  ketidaktahuan  mahasiswa  dalam  menggambar  grafik  sesuai  dengan  fungsi, ketidakpahaman mengenai simbol pada definisi, terburu-buru dalam menjawab soal, serta mahasiswa tidak  memahami  langkah  dalam  membuktikan  limit.  Contoh  kesalahan  mahasiswa  dalam menggambarkan  grafik fungsi  terlihat pada  Gambar  2  dibawah  ini, dimana mahasiswa  salah  dalam menggambarkan  grafik fungsi  untuk 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 5, 𝑥 ≥ 3 dan  kurang tepat  dalam  membuktikan kekontinuan limit disuatu titik.
Gambar 2. Contoh Jawaban Mahasiswa yang Salah untuk Soal Nomor 1
Soal nomor 2 hingga 5 merupakan soal yang berkaitan dengan barisan bilangan riil. Pada soal nomor 2 mahasiwa diminta untuk membuat grafik barisan dan menentukan apakah barisan tersebut monoton  dan  konvergen  menggunakan  definisi  limit.  Nilai  rata-rata  kemampuan  pemecahan mahasiswa yang diperoleh sebesar 87,91 yang artinya berada pada kategori sangat baik. Nilai rata- rata  per  indikator  kemampuan  pemecahan  masalah  seperti  tampak  pada  Gambar  1  yaitu  P1=91,67, P2=90,  P3=88,33,  dan  P4=81,67.  Lima  dari  enam  mahasiswa  dapat  menyelesaikan  permasalahan dengan  baik  dan  benar.  Hal  ini  sejalan  dengan  hasil  penelitian  Khasanah  et  al.  (2019)  yang mengemukakan  bahwa  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  semester  VI  program  studi pendidikan matematika di STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung tahun akademik 2018-2019 dalam  menyelesaikan  soal  kekonvergenan  barisan  dan  deret  bilangan  real  memiliki  kemampuan memahami masalah yang sangat baik, dapat memilih strategi untuk menyelesaikan masalah dengan baik,  memiliki  kemampuan  penyelesaian  masalah  yang  cukup,  dan  memiliki  kemampuan  dalam memeriksa kembali ketepatan strategi dan penyelesaian masalah yang masih sangat kurang.
Kemampuan pemecahan masalah untuk soal nomor 3 berada pada kategori baik dengan nilai rata-rata 84,58. Nilai rata-rata untuk masing-masing indikator pemecahan masalah mahasiswa pada soal ini, yaitu P1=90, P2=88,33, P3=86,67, dan P4=73,33. Soal ini berkaitan dengan barisan Cauchy. Empat  orang  mahasiswa  dapat  membuktikan  barisan  dengan  tepat,  namun  dua  mahasiswa  lainnya masih  melakukan  kesalahan  dalam  proses  pembuktian.  Adapun  contoh  jawaban  mahasiswa  yang kurang tepat disajikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Contoh Jawaban Mahasiswa yang Kurang Tepat untuk Soal Nomor 3
Pada gambar diatas terlihat bahwa mahasiswa kurang teliti, mereka tidak memeriksa kembali jawaban  dengan  tidak  membuktikan apakah  barisan tersebut monoton  dan  konvergen  ke  suatu  titik serta  tidak  menyimpulkan  apa  hasil  pembuktian  yang  telah  dilakukan.  Hal  ini  dikarenakan mahasiswa yang kurang memahami konsep barisan Cauchy dan prosedur pembuktiannya.
Selanjutnya  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  untuk  soal  nomor  4  memiliki  nilai rata-rata 75,42 yang berada pada kategori baik. Nilai rata-rata indikator pun berada pada kateori baik untuk P1 hingga P3, yaitu P1=86,67, P2=78,22, P3=78,33 dan kategori kurang untuk P4=58,33. Pada soal ini beberapa mahasiswa mampu memberikan contoh barisan divergen dan membuktikannya, ada pula  mahasiswa  yang  memeberikan  contoh  tetapi  tidak  membuktikannya,  dan  ada  pula  yang  tidak mampu memeberikan contoh maupun buktinya.
Soal  nomor  5  berkaitan  dengan  barisan  konvergen  yang  juga  merupakan  barisan  Cauchy. Kemampuan pemecahan masalah mahasiswa dalam menyelesaikan soal ini berada pada kategori baik dengan  nilai  rata-rata  sebesar  82,92.  Nilai  rata-rata  kemampuan  mahasiswa  per  indikatornya  juga berada  pada  kategori  baik  dengan  P1=91,67,  P2=83,33,  P3=83,33,  dan  P4=  73,33.  Dua  dari  enam mahasiswa  masih  masih  kurang tepat  dalam  menjawab.  Contoh jawaban  mahasiswa  nomor  5  yang kurang tepat disajikan pada Gambar 4.
Gambar 4. Contoh Jawaban Mahasiswa yang Kurang Tepat untuk Soal Nomor 5
Pada  Gambar  4  diatas  terlihat  bahwa  mahasiswa  membuktikannya  dengan  menggunakan angka dan tidak membuktikan bahwa barisan itu konvergen ke 0. Mahasiswa tampak masih kesulitan dalam  membuktikannya.  Hal  ini  disebabkan  oleh  mahasiswa  yang  kurang  memahami  barisan konvergen.
Setelah  dilakukan  penilaian  terhadap  kemampuan  pemecahan masalah  mahasiswa,  dilakukan wawancara terhadap tiga orang mahasiswa dengan kemampuan pemecahan masalah pada kualifiksi sangat baik, yaitu N, kualifikasi baik, yaitu AM, dan kualifikasi kurang yaitu YY. Adapun kutipan hasil wawancara yaitu sebagai berikut:

## 1. Kutipan Wawancara dengan N
P :   Bagaimana  menurutmu  apakah  soal  tes  kemampuan  pemecahan  masalah  tergolong  sukar, sedang, atau mudah ?
N :   Menurut saya soal yang diberikan ada yang mudah dan ada juga yang cukup sukar bu.
P :   Apakah kamu bisa menjawab semua soalnya ?
N :   Iya saya bisa menjawab semua soalnya bu.
P :   Iya sesuai dengan yang sudah dikoreksi kamu dapat menjawab semua soalnya dengan benar. Ada kesulitan atau tidak dalam menjawabnya?
N : Tidak  bu,  hanya  saja  sempat  keliru  sewatu  membuktikan  soal  nomor  3  karena  kurang  teliti jadi tidak terbukti, lalu dicek kembali karena masih ada waktu dan sudah diperbaiki bu.
P :   Oh  iya  terlihat  ada  bekas  tipe-x  ya.  Menurutmu  apa  yang  membuat  kamu  dapat  menjawab semua soal tersebut?
N :   Mungkin karena saya paham dengan materi dan konsep yang diberikan. Cara belajar dengan menggunakan  LAM  juga  membuat  saya  lebih  bersemangat  dan  berusaha  untuk  dapat memahami materi sekaligus bertukar pikiran dengan teman lainnya bu. Jadi kami diskusi juga dan  itu  membuat  saya  lebih  ingat.  Penggunaan  geogebra  juga  sangat  membantu  dalam memahami pembuatan grafiknya bu.

## 2. Kutipan Wawancara dengan AM
P :   Bagaimana  menurutmu  apakah  soal  tes  kemampuan  pemecahan  masalah  tergolong  sukar, sedang, atau mudah ?
AM :  Ada yang cuku mudah ada juga yang cukup sukar bu.
P : Soal mana yang menurutmu cukup mudah dan yang mana yang cukup sukar ?
AM :  Soal yang cukup mudah itu soal nomor 1 dan 2, untuk yang nomor 3-5 itu cukup sukar bu P :   Apa kesulitan yang dialami saat menjawab soal-soal tersebut ? Terutama untuk soal nomor 3-
5
AM :  Saya  belum  terlalu  paham  konsepnya  dan  prosedur  dalam  pembuktian  sehingga  agak kesulitan dalam memberikan contoh dan membuktikannya bu. Ada yang bisa AM jawab tapi belum  selesai  dan  kurang  yakin  bu.  Nah  yang  nomor  5  itu  AM  jawabnya  pakai  angka  bu pembuktiannya karena kurang paham pembuktiannya secara umum yang ga pakai angka gitu bu.
P : Untuk materi limit dan kekontinuan serta penggambaran grafiknya bisa ?
AM :  Bisa bu, saya cukup paham untuk materi itu.
P : Menurut  AM  apa  faktor  yang  mempengaruhi  kemampuan  AM  dalam  menjawab  soal
pemecahan masalah ini ?
AM :  Menurut AM faktornya dari pemahaman dan pembelajaran bu, AM bisa dan lumayan cukup paham  karena  penerapan  LAM  waktu  pembelajaran  bu  dan  penggunaan  geogebra  waktu penggambaran grafiknya itu buat jadi lebih paham. Sewaktu pembelajaran itu juga jadi bisa diskusi sama teman dan saling memberi tahu jadi kalau ada yang bingung bisa diskusi.

## 3. Kutipan Wawancara dengan YY
P :   Bagaimana  menurutmu  apakah  soal  tes  kemampuan  pemecahan  masalah  kemarin  tergolong sukar, sedang, atau mudah ?
YY :  Cukup sukar bu
P : Nomor berapa yang sukar atau semuanya ?
YY :  Semuanya bu hehe
P : Kesulitan apa yang YY alami ?
YY :  Saya kurang memahami materinya bu, apalagi untuk memecahkan persoalan yang berkaitan dengan pembuktian gitu bu.
P : Apakah YY memahami maksud dari soal yang diberikan ?
YY : Paham bu, hanya saja sewaktu mau menjawabnya yang belum bisa bu, ada yang tidak tau cara menyelesaikannya
P : Jadi  merencanakan  dan  melaksanakan  perencanaan  pemecahan  masalahnya  ya  yang  masih kurang.
YY :   Iya bu
P : Jawaban dari YY sudah ada yang mendekati benar tetapi belum tepat. Menurut YY apa faktor yang mempengaruhi kemampuan YY dalam menjawab soal pemecahan masalah ini ?
YY :  Sepertinya faktor pemahaman, pembelajaran, sama kurang juga dilatih soal-soal yang seperti ini  bu  dan  tidak  terbiasa  dalam  mengerjakannya.  Susah  membagi  waktu  di  sela  kesibukan juga bu jadi kurang waktunya untuk belajar.
Berdasarkan  hasil  tes  dan  wawancara  mahasiswa,  secara  keseluruhan  rata-rata  kemampuan pemecahan  masalah  mahasiswa  berada  pada  kategori  baik.  Namun  masih  adanya  kesalahan  yang dilakukan  mahasiswa  dalam  menjawab  soal  kemampuan  pemecahan  masalah  pada  mata  kuliah analisis  real  terutama  yang  berkaitan  dengan  pembuktian.  Mahasiswa  kurang  teliti  dalam memecahkan masalah, serta kurang memahami materi dan prosedur dalam penyelesaian masalah.
Hal  ini  didukung  oleh  Ekayanti  &  Nasyiithoh  (2018)  yang  mengemukakan  bahwa  terdapat beberapa  jenis  kesalahan  yang  cenderung  dilakukan  siswa  dalam  menyelesaikan  kasus  matematika berupa pembuktian matematika, seperti kesalahan keterampilan proses, kesalahan transformasi, dan kesalahan pengkodean. Kesalahan keterampilan proses dapat dilihat dari langkah-langkah yang tidak disertai justifikasi dalam pembuktian, atau bahkan langkah-langkah yang tidak ditulis dengan benar. Kesalahan  pengkodean  tersebut  terlihat  dari  langkah-langkah  pembuktian  yang  belum  disusun dengan  alur  yang  benar,  dan  masih  kurangnya  pembuktian  matematis  yang  menjadi  pembenaran
dalam  menarik  kesimpulan.  Kesalahan  ini  dapat  disebabkan  mahasiswa  yang  kurang  teliti  dan terburu-buru  dalam  menyelesaikan  soal,  jarang  menyelesaikan  soal-soal  yang  memiliki  kesulitan tingkat  tinggi,  mahasiswa  lemah  dalam  kemampuan  pembuktian  matematis,  serta  tidak  terbiasa dalam menjawab soal dengan pola yang terstruktur (Hodiyanto, 2017).
Nilai  rata-rata  kemampuan  pemecahan  masalah  mahasiswa  yang  berada  pada  kategori  baik dapat  dipengaruhi  oleh  beberapa  faktor.  Berdasarkan  hasil  wawancara,  salah  satu  faktornya  yaitu penggunaan  LAM  model  APOS  berbantuan  Geogebra  pada  saat  pembalajaran.  Penggunaan  LAM pada  saat  pembelajaran  menuntun  mahasiswa  untuk  dapat  menemukan  dan  memahami  konsep sehingga  mahasiswa  terlibat  aktif  selama  proses  pembelajaran  serta  dapat  memecahkan permasalahan pada mata kuliag analisis real. Pemahaman konsep berpengaruh terhadap kemampuan pemecahan  masalah,  semakin  tinggi  kemampuan  pemahaman  konsep  maka  semakin  tinggi  pula kemampuan pemecahan masalah matematikanya (Zulkarnain & Budiman, 2019).
Sukmawati & Yenni (2020) juga mengemukakan bahwa lembar kerja siswa dapat mendorong siswa untuk dapat berlatih belajar secara mandiri, memudahkan siswa dalam memahami materi yang diberikan,  serta  meningkatkan  peran  aktif  siswa  selama  proses  pembelajaran.  Melalui  penggunaan LAM  mahasiswa  dapat  memahami  materi  pembelajaran  dan  meningkatkan  hasil  belajar  karena menemukan secara langsung ciri-ciri setiap bentuk fungsi rasional dan cara penyelesaiannya melalui petunjuk dan pemecahan masalah pada LAM yang diberikan (Febrila et al., 2023). Lembar aktivitas siswa ini jika di kerucutkan dengan pengalaman Edgar Gale meliputi berdiskusi, dan melakukan hal nyata,  sehingga  pembelajaran  yang  dapat  diingat  siswa  berkisar  50%  –  90%  (Hanifah  &  Febrila, 2022).
Selain  itu  penggunaan  aplikasi  Geogebra  pada  fase  praktikum  membuat  mahasiswa  lebih memahami  cara  pelukisan  grafik  fungsi.  Gambar  grafik  yang  ditampilkan  lebih  teliti  dan  nyata sehingga dapat membantu mahasiswa dalam menemukan konsep limit fungsi dan kekontinuan serta barisan  bilangan  cauchy,  konvergen,  dan  divergen.  Dengan  menggunakan  Geogebra  siswa  dapat mencoba-cobakan dan mencocokkan sehingga dapat membuat kesimpulan dari apa yang dibuat serta dapat meningkatkan motivasi belajar siswa (Bernard & Sunaryo, 2020). Penggunaan Geogebra dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah mahasiswa (Septian, 2017) .

## KESIMPULAN
Hasil penelitian menunjukkan bahwa kemampuan pemecahan masalah matematika mahasiswa semester  2  Program  Studi  S2  Pendidikan  Matematika  FKIP  UNIB  TA  2022/2023  dalam menyelesaikan  soal  pada  mata  kuliah  analisis  real  berada  pada  kategori  baik.  Secara  umum mahasiswa  dapat  memahami  masalah  dengan  sangat  baik,  serta  dapat  merencanakan  penyelesaian, melaksanakan  rencana  pemecahan  masalah  dan  memeriksa  kembali  jawaban  yang  telah  di  dapat dengan  baik.  Adapun  kesalahan  yang  sering  dilakukan  mahasiwa  yaitu  kurang  telitinya  mahasiswa dalam menjawab soal, kesalahan dalam merencanakan dan melaksanakan pemecahan masalah akibat
kurangnya pemahaman mahasiswa terhadap materi dan prosedur dalam menggunakan definisi serta teorema yang berkaitan dengan limit, kekontinuan, dan barisan bilangan riil.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih kepada mahasiswa semester 2 Program Studi S2 Pendidikan Matematika FKIP UNIB  TA  2022/2023  dan  semua  pihak  yang  telah  membantu  pelaksanaan  penelitian  ini  dari  awal hingga terselesaikannya artikel ini.

## REFERENSI
Anugraheni, I. (2019). Pengaruh Pembelajaran Problem Solving Model Polya Terhadap Kemampuan Memecahkan Masalah Matematika Mahasiswa. Jurnal Pendidikan (Teori Dan Praktik) , 4 (1), 1. https://doi.org/10.26740/jp.v4n1.p1-6
Attri,  R.  (2018).  Accelerating  complex  problem-solving  skills:  problem-centered  training  design methods. In Speed To Profciency Research: S2PRo . Singapore: Speed To Profiency Research.
Bartle, R. G dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis. 3th. USA: John Wiley and Sons.
Bernard,  M.,  &  Sunaryo,  A.  (2020).  Analisis  Motivasi  Belajar  Siswa  MTs  dalam  Pembelajaran Matematika  Materi  Segitiga  dengan  Berbantuan  Media  Javascript  Geogebra. Jurnal
Cendekia : Jurnal Pendidikan Matematika , 4 (1), 134–143. https://doi.org/10.31004/cendekia.v4i1.173
Dhema, M., & Jufriansah, A. (2021). Aktivitas dan Pemecahan Masalah Matematika Menggunakan Model  Problem  Based  Learning di  SMK. JPMI  (Jurnal  Pembelajaran Matematika  Inovatif) , 4 (1), 39–44. https://doi.org/https://doi.org/10.22460/jpmi.v1i1.p%25p
Ekayanti, A., & Nasyiithoh, H. K. (2018). Profile of Students’ Errors in Mathematical Proof Process Viewed  from  Adversity  Quotient  (AQ). Tadris:  Jurnal  Keguruan  Dan  Ilmu  Tarbiyah , 3 (2), 155. https://doi.org/10.24042/tadris.v3i2.3109
Febrila,  L.  G.,  Hanifah,  H.,  Sumardi,  H.,  &  Utari,  T.  (2023).  Improve  Student  Learning  Outcomes Using  Student  Worksheets  Based  on  the  Apos  Model  Assisted  By  Geogebra. AKSIOMA: Jurnal Program Studi Pendidikan Matematika , 12 (1), 1322. https://doi.org/10.24127/ajpm.v12i1.6876
Hanifah.  (2021).  Analisis Kemampuan  Pemecahan Masalah Mahasiswa  dalam  Menyelesaikan  Soal Limit dan Kekontinuan. Jurnal Pendidikan Matematika Raflesia , 6 (3), 69–81.
Hanifah,  &  Febrila,  L.  G.  (2022).  Student  Response  to  Geometry  Student’s  Worksheet  on  APOS Model Assisted Geogebra. Atlantis Press , 3 , 70–79. https://doi.org/10.2991/978-2-494069-19- 0
Hendikawati,  P.,  Zahid,  M.  Z.,  &  Arifudin,  R.  (2019).  Keefektifitas  Media  Pembelajaran  Berbasis Android terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah dan Kemandirian Belajar. Prisma , 2 , 917–
927. https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/article/view/29308/12927
Hodiyanto,  H.  (2017).  Analisis  Kesalahan  Mahasiswa  Semester  V  dalam  Mengerjakan  Soal Pengantar  Analisis  Real. Edu  Sains:  Jurnal  Pendidikan  Sains  &  Matematika , 5 (1),  33. https://doi.org/10.23971/eds.v5i1.641
Khasanah,  B.  A.,  Amorie,  J.,  &  Sholikhah,  N.  (2019). Analisis  Kemampuan  Pemecahan  Masalah Pada Materi Kekonvergenan Barisan Dan Deret . 5 (2), 46–52.
National Council of Teacher Mathematics. (2000). Principle and Standarsd for School Mathematics . NCTM. https://doi.org/10.5951/at.29.5.0059
Novitasari,  D.,  &  Pujiastuti,  H.  (2020).  Analisis  Pemahaman  Konsep  Mahasiswa  Pada  Materi Analisis  Real  Berdasarkan  Taksonomi  Bloom  Ditinjau  Dari  Ranah  Kognitif. Maju:  Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika , 7 (2), 153–163.
https://ejournal.stkipbbm.ac.id/index.php/mtk/article/view/515%0Ahttps://ejournal.stkipbbm.a c.id/index.php/mtk/article/viewFile/515/456
Polya,  G.  (2004).  How  to  Solve  it.  In Stochastic  Optimization  in  Continuous  Time .  United  States:
Pricenton University Press.
Qomariyah, S., & Rosyidah, U. (2022). Kesulitan Belajar Mahasiswa Pendidikan Matematika Pada Mata Kuliah Analisis Real. Jurnal Educatio FKIP UNMA , 1 (2), 396–400. https://doi.org/10.31949/educatio.v8i2.1865
Septian,  A.  (2017).  Penerapan  Geogebra  Untuk  Meningkatkan  Kemampuan  Pemecahan  Masalah Matematis  Mahasiswa  Program  Studi  Pendidikan  Matematika  Universitas  Suryakancana.
Jurnal PRISMA Universitas Suryakancana , VI (2), 180–191.
Setiawan,  E.,  Muhammad,  G.  M.,  &  Soeleman,  M.  (2021).  Analisis  Kemampuan  Pemecahan Masalah  Mahasiswa  pada  Mata  Kuliah  Teori  Bilangan. Mosharafa:  Jurnal  Pendidikan Matematika , 10 (1), 61–72. https://doi.org/10.31980/mosharafa.v10i1.735
Sukmawati,  R.,  &  Yenni.  (2020).  Penggunaan  Lembar  Aktivitas  Siswa  Pada  pembelajaran Matematika  SMP  Dalam  Meningkatkan  Kemandirian  Belajar  Siswa. SIGMA , 5 (2),  57–64. http://ejournal.unira.ac.id/index.php/jurnal_sigma/article/view/752
Suli,  M.,  Tahmir,  S.,  &  Side,  S.  (2019).  Deskripsi  Kesalahan  Dalam  Membuktikan  Limit  Fungsi Mahasiswa  Pendidikan  Matematika  Universitas  Negeri  Makassar.  In Repository  Universitas Negeri Makassar (pp. 1–23). http://eprints.unm.ac.id/12995/
Wahyuningsih,  E.  (2019).  Pembelajaran  Matematika  dengan  Pendekatan  Problem-Based  Learning.
Jurnal Pengembangan Pembelajaran Matematika (JPPM) , 1 (2), 69–87.
Zulkarnain,  I.,  &  Budiman,  H.  (2019).  Pengaruh  Pemahaman  Konsep  Terhadap  Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika. Research and Development Journal of Education , 6 (1), 18. https://doi.org/10.30998/rdje.v6i1.4093