## Analisis dan Simulasi Numerik Model Penyakit Diabetes Melitus di Kabupaten
Pinrang Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 4

## St. Maryam
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, stmaryammy@gmail.com

## Try Azisah Nurman
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, try.azisah@uin-alauddin.ac.id

## Ilham Syata
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ilham.syata@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  membahas terkait analisis dan simulasi penyakit Diabetes Melitus di Kabupaten Pinrang dengan  menerapkan  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 menggunakan  metode Runge-Kutta  orde  4.  Jenis  penelitian  yang  digunakan adalah penelitian terapan yang bertujuan untuk menerapkan model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 dan mengetahui solusi numerik pada  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 dalam  memprediksi  kasus  penyakit diabetes  melitus  di  Kabupaten  Pinrang  dimasa  depan. Model  matematika  penyakit  Diabetes  Melitus  berbentuk sistem  persamaan  diferensial  nonlinear  yang  mencakup variabel 𝑆 ( Susceptible ), 𝐸 ( Exposed ), 𝐼 ( Infected )  dan 𝐼 𝑇 (Infected With Treatment) . Hasil penelitian yang diperoleh pada Tahun 2023 dengan ∆𝑡 = 0,01 Tahun menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  4  dengan  nilai  awal  yaitu 𝑆 ( 𝑡 0 ) = 372.432 , 𝐸 ( 𝑡 0 ) = 6.898 , 𝐼 ( 𝑡 0 ) = 1.248 , 𝐼 𝑇 ( 𝑡 0 ) = 2.584 adalah 𝑆 ( 𝑡 100 ) = 323.104 , 𝐸 ( 𝑡 100 ) = 3.220 , 𝐼 ( 𝑡 100 ) = 2.882 dan 𝐼 𝑇 ( 𝑡 100 ) = 2.991 .  Laju populasi  rentan  mengalami  penurunan  yang  disebabkan adanya  interaksi  individu  ekposes,  Populasi  individu eksposes  juga  mengalami  penurunan  sedangkan  untuk populasi terinfeksi tanpa perawatan dan terinfeksi dengan adanya  perawatan  mengalami  peningkatan  kemudian menurun.
Kata  Kunci: Diabetes  Melitus,  Model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 ,  Solusi Numerik

## 1. PENDAHULUAN
Pemodelan  matematika  merupakan  suatu proses  memformulasikan  permasalahan  yang nyata  sebagai  hasil  dari  suatu  pengamatan dengan  menggunakan  asumsi-asumsi  tertentu sebagai acuan dalam membuat model matematika sehingga akan diperoleh persamaan matematika dimana model real berubah menjadi model matematika kemudian diselesaikan secara matematik [1].
Banyak permasalahan yang ada dikalangan masyarakat  yang  dapat  diamati  dan  dianalisa menggunakan model matematika. Model matematika  yang  menggambarkan  masalah dunia  nyata  seringkali  diterapkan  dalam bentuk persamaan  diferensial.  Salah  satunya  adalah penyakit yang setiap tahunnya semakin
meningkat  dan  semakin  banyak  diderita  oleh masyarakat, yaitu penyakit Diebetes Melitus.
Menurut  [2],  IDF  memprediksi  jumlah penderita  diabetes  dibeberapa  dunia,  Indonesia menempati  urutan  ke-7  dari  10  negara  dengan jumlah  kasus  terbanyak,  yaitu  sebesar  10,7  juta populasi.  Indonesia  merupakan  satu-satunya Negara  di  Asia  Tenggara  yang  masuk  dalam daftar  tersebut,  sehingga  dapat  ditaksirkan besarnya partisipasi Indonesia terhadap prevalensi penyakit diabetes di Asia Tenggara.
Prevalensi diabetes pada penduduk Indonesia  berdasarkan  diagnosis  oleh  dokter pada  umur ≥ 15  tahun  adalah  2%.  Angka  ini menunjukkan  adanya  peningkatan  dari  hasil Riskesdas 2013 adalah 1,5%. Namun, prevalensi diabetes melitus menurut hasil tes glukosa darah meningkat dimana pada tahun 2013 sebesar 6,9% menjadi  8,5%  pada  tahun  2018.  Angka  ini menunjukkan hanya sekitar 25% penderita yang tahu bahwa mereka menderita diabetes [2].
Peningkatan jumlah kasus penyakit diabetes melitus di Indonesia terjadi di beberapa provinsi  termasuk  Provinsi  Sulawesi  Selatan. Prevalensi  diabetes  di  Sulawesi  Selatan  yang didiagnosis oleh dokter pada tahun 2018 adalah 1,7%  angka  ini  menunjukkan  peningkatan sebesar  0,1%  dibandingkan  pada  tahun  2013 yaitu 1,6% (Riskesdas 2018). Prevalensi diabetes tertinggi yang didiagnosis oleh dokter terdapat di Kabupaten  Pinrang  (2,8%),  Kota  Makassar (2,5%), Kabupaten Toraja Utara (2,3%) dan Kota Palopo  (2,1%).  Prevalensi  diabetes  yang didiagnosis oleh dokter atau berdasarkan gejala, tertinggi  berada  di  Kabupaten  Tana  Toraja (6,1%), Kota Makassar (5,3%), Kabupaten Luwu (5,2%)  dan  Kabupaten  Luwu  Utara  (4,0%). Kabupaten Pinrang merupakan salah satu daerah dengan  angka  prevalensi  tertinggi  diabetes

## Analisis dan Simulasi Numerik Model Penyakit Diabetes Melitus di Kabupaten
Pinrang Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde 4

## St. Maryam
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, stmaryammy@gmail.com

## Try Azisah Nurman
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, try.azisah@uin-alauddin.ac.id

## Ilham Syata
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ilham.syata@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  membahas terkait analisis dan simulasi penyakit Diabetes Melitus di Kabupaten Pinrang dengan  menerapkan  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 menggunakan  metode Runge-Kutta  orde  4.  Jenis  penelitian  yang  digunakan adalah penelitian terapan yang bertujuan untuk menerapkan model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 dan mengetahui solusi numerik pada  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 dalam  memprediksi  kasus  penyakit diabetes  melitus  di  Kabupaten  Pinrang  dimasa  depan. Model  matematika  penyakit  Diabetes  Melitus  berbentuk sistem  persamaan  diferensial  nonlinear  yang  mencakup variabel 𝑆 ( Susceptible ), 𝐸 ( Exposed ), 𝐼 ( Infected )  dan 𝐼 𝑇 (Infected With Treatment) . Hasil penelitian yang diperoleh pada Tahun 2023 dengan ∆𝑡 = 0,01 Tahun menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  4  dengan  nilai  awal  yaitu 𝑆(𝑡 0 ) = 372.432 , 𝐸(𝑡 0 ) = 6.898 , 𝐼(𝑡 0 ) = 1.248 , 𝐼 𝑇 (𝑡 0 ) = 2.584 adalah 𝑆(𝑡 100 ) = 323.104 , 𝐸(𝑡 100 ) = 3.220 , 𝐼(𝑡 100 ) = 2.882 dan 𝐼 𝑇 (𝑡 100 ) = 2.991 .  Laju populasi  rentan  mengalami  penurunan  yang  disebabkan adanya  interaksi  individu  ekposes,  Populasi  individu eksposes  juga  mengalami  penurunan  sedangkan  untuk populasi terinfeksi tanpa perawatan dan terinfeksi dengan adanya  perawatan  mengalami  peningkatan  kemudian menurun.
Kata  Kunci: Diabetes  Melitus,  Model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 ,  Solusi Numerik

## 1. PENDAHULUAN
Pemodelan  matematika  merupakan  suatu proses  memformulasikan  permasalahan  yang nyata  sebagai  hasil  dari  suatu  pengamatan dengan  menggunakan  asumsi-asumsi  tertentu sebagai acuan dalam membuat model matematika sehingga akan diperoleh persamaan matematika dimana model real berubah menjadi model matematika kemudian diselesaikan secara matematik [1].
Banyak permasalahan yang ada dikalangan masyarakat  yang  dapat  diamati  dan  dianalisa menggunakan model matematika. Model matematika  yang  menggambarkan  masalah dunia  nyata  seringkali  diterapkan  dalam bentuk persamaan  diferensial.  Salah  satunya  adalah penyakit yang setiap tahunnya semakin
meningkat  dan  semakin  banyak  diderita  oleh masyarakat, yaitu penyakit Diebetes Melitus.
Menurut  [2],  IDF  memprediksi  jumlah penderita  diabetes  dibeberapa  dunia,  Indonesia menempati  urutan  ke-7  dari  10  negara  dengan jumlah  kasus  terbanyak,  yaitu  sebesar  10,7  juta populasi.  Indonesia  merupakan  satu-satunya Negara  di  Asia  Tenggara  yang  masuk  dalam daftar  tersebut,  sehingga  dapat  ditaksirkan besarnya partisipasi Indonesia terhadap prevalensi penyakit diabetes di Asia Tenggara.
Prevalensi diabetes pada penduduk Indonesia  berdasarkan  diagnosis  oleh  dokter pada  umur ≥ 15  tahun  adalah  2%.  Angka  ini menunjukkan  adanya  peningkatan  dari  hasil Riskesdas 2013 adalah 1,5%. Namun, prevalensi diabetes melitus menurut hasil tes glukosa darah meningkat dimana pada tahun 2013 sebesar 6,9% menjadi  8,5%  pada  tahun  2018.  Angka  ini menunjukkan hanya sekitar 25% penderita yang tahu bahwa mereka menderita diabetes [2].
Peningkatan jumlah kasus penyakit diabetes melitus di Indonesia terjadi di beberapa provinsi  termasuk  Provinsi  Sulawesi  Selatan. Prevalensi  diabetes  di  Sulawesi  Selatan  yang didiagnosis oleh dokter pada tahun 2018 adalah 1,7%  angka  ini  menunjukkan  peningkatan sebesar  0,1%  dibandingkan  pada  tahun  2013 yaitu 1,6% (Riskesdas 2018). Prevalensi diabetes tertinggi yang didiagnosis oleh dokter terdapat di Kabupaten  Pinrang  (2,8%),  Kota  Makassar (2,5%), Kabupaten Toraja Utara (2,3%) dan Kota Palopo  (2,1%).  Prevalensi  diabetes  yang didiagnosis oleh dokter atau berdasarkan gejala, tertinggi  berada  di  Kabupaten  Tana  Toraja (6,1%), Kota Makassar (5,3%), Kabupaten Luwu (5,2%)  dan  Kabupaten  Luwu  Utara  (4,0%). Kabupaten Pinrang merupakan salah satu daerah dengan  angka  prevalensi  tertinggi  diabetes
melitus  yang  didiagnosis  oleh  dokter  sebesar 2,8%  diatas  angka  prevalensi  nasional  sebesar 2,1% [3].
Berdasarkan  kenyataan  tersebut,  perlu dilakukan tindakan untuk memprediksi peningkatan jumlah populasi penderita diabetes. Model matematika yang mengkaji perkembangan  penyakit  diabetes  melitus  telah banyak  diteliti  oleh  beberapa  ahli.  Beberapa peneliti  diantaranya  meneliti  tentang  model nonlinear  penyakit  diabetes  dengan  membagi populasi  menjadi  tanpa  dan  dengan  komplikasi hasil  simulasi  menggunakan  metode  Euler dimana  metode  Euler  tidak  dapat  memprediksi jumlah penderita diabetes dengan komplikasi [4]. Penelitian  ini  mengkaji  mengenai  model matematika  SEI  pada  penyebaran  penyakit diabetes  dengan  memperhatikan  faktor  genetik serta  dengan  menambahkan  parameter  insulin pada  kompartemen Infected(I) [5].  Penelitian lainnya  meneliti  tentang  penyakit  diabetes melitus dengan faktor Genetik dan Faktor Sosial dengan menggunakan model 𝑆 𝑝 𝐼 𝑝 𝑇𝐺𝑆𝐼 [6].
Model  matematika  penyakit  diabetes melitus  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah  model  yang  memprediksi  jumlah penderita  diabetes  melitus.  Kemudian  untuk menyelesaikan  model  penyakit  diabetes melitus menggunakan  metode  Runge-Kutta.  Runge- Kutta adalah metode numerik untuk memperoleh konvergensi tinggi tanpa memerlukan perhitungkan turunan yang lebih tinggi. Metode Runge-Kutta  yang  paling  mendekati  konvergen yaitu  yang  orde  4.  Metode  Runge-Kutta  orde  4 ialah  metode  langkah  tunggal  dengan  galat terkecil.  Sehingga  digunakan  metode  Runge- Kutta orde 4 dalam penelitian ini.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Penyakit Diabetes Melitus
Diabetes  salah  satu  penyakit  kronis  yang disebabkan  karena pankreas  tidak  dapat menghasilkan  insulin  yang  cukup  atau  terjadi ketika  tubuh  tidak  bisa  memanfaatkan  insulin yang  dihasilkan  secara  efektif,  dimana  insulin ialah hormon yang berfungsi untuk mengendalikan  Glukosa  di  dalam  tubuh. Diabetes merupakan masalah kesehatan masyarakat  yang  menjadi  tujuan  tindak  lanjut
para  pemimpin  dunia  dikarenakan  diabetes menjadi salah satu penyakit tidak menular yang prioritaskan  [7].  Diabetes  melitus  sering  juga disebut  penyakit silent  killer karena  banyak orang  tak  sadar  bahwa  dirinya  menderita penyakit  diabetes  dan  saat  diketahui  sudah mengalami  komplikasi  karena  diabetes  melitus dapat  menyerang  hampir  seluruh  sistem  tubuh manusia,  mulai  dari  jantung  sampai  kulit sehingga dapat menimbulkan komplikasi.
Diabetes melitus dapat terjadi karena gaya hidup masyarakat yang tidak sehat misalnya pola makanan  yang  tidak  seimbang,  obesitas, makan berlebihan,  kebiasaan  merokok  dan  kurang aktivitas  fisik  maka  dari  itu  penyebaran  dari penyakit diabetes melitus berasal dari dalam diri masing-masing  individu  yang  bergantung  pada gaya  hidup  yang  dijalankannya.  Penyakit diabetes melitus adalah salah satu penyakit yang tidak  dapat  di  sembuhkan  tetapi  hanya  dapat diatasi penyebarannya.

## Persamaan Diferensial
Persamaan  Diferensial  merupakan  suatu Persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari  fungsi  yang  tidak  diketahui  [8].  Pada persamaan  diferensial  (PD)  dibagi  menjadi  dua jenis  persamaan  yaitu  persamaan  diferensial biasa  (PDB)  dan  persamaan  diferensial  parsial (PDP).  PDB  merupakan  suatu  Persamaan diferensial jika fungsi yang tidak diketahui hanya bergantung  pada  satu  peubah  bebas/hanya melibatkan  satu  variabel  bebas  sedangkan  PDP merupakan  suatu  Persamaan  diferensial  yang melibatkan  dua  atau  lebih  variabel  bebas  dan memuat  turunan  parsial  dari  fungsi  yang  tak diketahui.

## Metode Numerik
Metode  numerik  adalah  metode  yang mendekati solusi analitik atau solusi sebenarnya maka  dari  itu  metode  numerik  disebut  sebagai solusi  pendekatan  atau  hampiran  karena terkadang metode analitik hanya bisa mengatasi masalah matematika yang mudah dan menghasilkan  solusi  sebenarnya  sedangkan metode  numerik  dapat  digunakan  untuk mengatasi  masalah  matematika  yang  sangat kompleks  dan  non-linier.  Dalam  penyelesaian
metode  numerik  mengandung  galat  karena terdapat  selisih  dan  jika  nilai  galat  yang didapatkan  semakin  mendekati  nol  maka semakin teliti solusi numerik yang diperoleh [9].

## Metode Runge-Kutta Orde 4
Metode Runge-Kutta orde empat memiliki bentuk persamaan sebagai berikut:[10]
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )∆𝑡 (2.1)
dengan:
𝑘 1 = 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑘 2 = 𝑓 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 + 1 2 𝑘 1 ) 𝑘 3 = 𝑓 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 + 1 2 ∆𝑡𝑘 2 ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 + 𝑘 3 )
keterangan: 𝑦 𝑖 : Nilai sebelumnya 𝑦 𝑖+1 : Nilai selanjutnya dengan ukuran langkah ∆𝑡 ∆𝑡 : Ukuran langkah
Metode Runge-Kutta orde empat memiliki tingkatan ketepatan pemecahan yang lebih besar dari  pada  metode  Runge-Kutta  orde  satu,  dua, dan  tiga.  Selain  itu,  metode  Runge-Kutta  orde empat  juga  gampang  di  selesaikan  dengan komputer,  stabil,  serta  galat  pemotongan  dan pembulatan kecil oleh sebab itu, metode Runge- Kutta orde 4 kerap digunakan untuk menuntaskan suatu persamaan diferensial.

## Analisis Konvergensi
Metode  numerik  yang  baik  diharuskan untuk  memenuhi  tiga  karakteristik  atau  sifat yaitu  konvergensi,  konsistensi,  dan  kestabilan. Metode  Runge-Kutta  Orde  4  menghasilkan penyelesaian  yang  lebih  akurat  yang  ditandai dengan  kekonvergenan  pada  metode  yang memenuhi syarat konsisten dan stabil.
Teorema  2.1: Umum  pada  tingkat  metode Runge-Kutta 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ∅(𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , ℎ) dengan ∅(𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , ℎ) = ∑ 𝑏 𝑖 𝑘 𝑖 𝑛 𝑖=1 adalah  konvergen  jika dan hanya jika stabil dan konsisten [11].
Stabilitas Metode Runge-Kutta orde 4 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ(𝑎 1 𝑘 1 + 𝑎 2 𝑘 2 + 𝑎 3 𝑘 3 + 𝑎 4 𝑘 4 ) 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑖 + ℎ 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) ⟹ ∅(𝑥, 𝑦, ℎ)
= 𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4
|∅(𝑥, 𝑦 1 , ℎ) − ∅(𝑥, 𝑦 2 , ℎ)| = |(𝑘 1 (1) + 2𝑘 2 (1) + 2𝑘 3 (1) + 𝑘 4 (1) ) − (𝑘 1 (2) + 2𝑘 2 (2) + 2𝑘 3 (2) + 𝑘 4 (2) )| = |(𝑘 1 (1) − 𝑘 1 (2) ) + 2 (𝑘 2 (1) − 𝑘 2 (2) ) + 2 (𝑘 3 (1) − 𝑘 3 (2) ) +
(𝑘 4 (1) − 𝑘 4 (2) )| ≤ |(𝑘 1 (1) − 𝑘 1 (2) ) + 2 (𝑘 2 (1) − 𝑘 2 (2) ) + 2 (𝑘 3 (1) − 𝑘 3 (2) ) + (𝑘 4 (1) − 𝑘 4 (2) )| dengan, |(𝑘 1 (1) − 𝑘 1 (2) )| = |𝑓(𝑥, 𝑦 1 ) − 𝑓(𝑥, 𝑦 2 | ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | |(𝑘 2 (1) − 𝑘 2 (2) )| = |𝑓 (𝑥 + 1 2 ℎ, 𝑦 1 + 1 2 ℎ𝑘 1 (1) ) − 𝑓(𝑥 + 1 2 ℎ, 𝑦 2 + 1 2 ℎ𝑘 1 (2) | ≤ 𝐿 |𝑦 1 + 1 2 ℎ𝑘 1 (1) − 𝑦 2 − 1 2 ℎ𝑘 1 (2) | = 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + 1 2 ℎ𝐿 |𝑘 1 (1) − 𝑘 1 (2) | ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + 1 2 ℎ𝐿 2 |𝑘 1 (1) − 𝑘 1 (2) | = (𝐿 + 3 4 ℎ𝐿 2 )|𝑦 1 − 𝑦 2 | |(𝑘 3 (1) − 𝑘 3 (2) )| = |𝑓 (𝑥 + 1 2 ℎ, 𝑦 1 + 1 2 ℎ𝑘 2 (1) ) − 𝑓 (𝑥 + 1 2 ℎ, 𝑦 2 + 1 2 ℎ𝑘 2 (2) )| ≤ 𝐿 |(𝑦 1 + 1 2 ℎ𝑘 2 (1) ) − (𝑦 2 + 1 2 ℎ𝑘 2 (2) )| = 𝐿 |𝑦 1 − 𝑦 2 + 1 2 ℎ(𝑘 2 (1) − 𝑘 2 (2) | ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + 1 2 ℎ𝐿 |𝑘 2 (1) − 𝑘 2 (2) | ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + 1 2 ℎ𝐿 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | = (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 + 1 4 ℎ 2 𝐿 3 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | |(𝑘 4 (1) − 𝑘 4 (2) )| = |𝑓 (𝑥 + ℎ, 𝑦 1 + ℎ𝑘 3 (1) ) − 𝑓 (𝑥 + ℎ, 𝑦 2 + ℎ𝑘 3 (2) )| ≤ 𝐿 |(𝑦 1 + ℎ𝑘 3 (1) − 𝑦 2 + ℎ𝑘 3 (2) )| = 𝐿 |𝑦 1 − 𝑦 2 + ℎ(𝑘 3 (1) − 𝑘 3 (2) | ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + ℎ𝐿 |𝑘 3 (1) − 𝑘 3 (2) | ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + ℎ𝐿 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 + 1 4 ℎ 2 𝐿 3 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | = (𝐿 + ℎ𝐿 2 + 1 2 ℎ 2 𝐿 3 + 1 4 ℎ 3 𝐿 4 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | ∴ |∅(𝑥, 𝑦 1 , ℎ) − ∅(𝑥, 𝑦 2 , ℎ)| ≤ 𝐿|𝑦 1 − 𝑦 2 | + 2 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | + 2 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 + 1 4 ℎ 2 𝐿 3 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | + (𝐿 + ℎ𝐿 2 + 1 2 ℎ 2 𝐿 3 + 1 4 ℎ 3 𝐿 4 ) |𝑦 1 − 𝑦 2 | = (𝐿 + 2 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 ) + 2 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 + 1 4 ℎ 2 𝐿 3 ) + (𝐿 + ℎ𝐿 2 +
1 2 ℎ 2 𝐿 3 + 1 4 ℎ 3 𝐿 4 )) |𝑦 1 − 𝑦 2 | sehingga, 𝐿 ∗ = (𝐿 + 2 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 ) + 2 (𝐿 + 1 2 ℎ𝐿 2 + 1 4 ℎ 2 𝐿 3 ) + (𝐿 +
ℎ𝐿 2 + 1 2 ℎ 2 𝐿 3 + 1 4 ℎ 3 𝐿 4 )) ⟹ |∅(𝑥, 𝑦 1 , ℎ) − ∅(𝑥, 𝑦 1 , ℎ)| ≤ 𝐿 ∗ |𝑦 1 − 𝑦 2 | Oleh karena itu metode ini stabil.
Konsistensi Metode Runge-Kutta orde 4
∅(𝑥, 𝑦, ℎ) = 1 6 [𝑓(𝑥, 𝑦) + 2𝑓 (𝑥 + 1 2 ℎ, 𝑦 + 1 2 ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)) + 2𝑓 (𝑥 +
1 2 ℎ, 𝑦 + 1 2 ℎ𝑓 (𝑥 + 1 2 ℎ, 𝑦 + 12ℎ𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑥 + ℎ, 𝑦 + ℎ𝑓𝑥 + 12ℎ, 𝑦 + 12ℎ𝑓𝑥 + 12ℎ, 𝑦 + 12ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)))]
lim ℎ→0 ∅(𝑥, 𝑦, ℎ) = 1 6 [𝑓(𝑥, 𝑦) + 2𝑓(𝑥, 𝑦) + 2𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓(𝑥, 𝑦)] = 𝑓(𝑥, 𝑦) .
Dengan  demikian  metode  ini  konsisten  dan menghasilkan penyelesaian yang konvergen

## Model Diabetes Melitus
Model matematika pada penyakit diabetes melitus ini adalah model yang mengilustrasikan penyebaran  penyakit  diabetes  melitus  dengan perawatan  [12].  Adapun  Asumsi-asumsi  yang digunakan dalam membangun model adalah:
1. Tidak ada individu yang sembuh
2. Pengaruh penyebaran penyakit bersifat tertutup artinya pertambahan dan pengurangan populasi hanya dipengaruhi oleh kelahiran dan kematian.
3. Laju kelahiran populasi masuk kelas 𝑺
(Susceptible)
4. Individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan hormon insulin, dan peningkatan glukosa darah masuk kelas E (Exposed).
5. Individu yang telah sakit dan tidak mendapatkan perawatan masuk kelas I (Infected)
6. Individu yang telah sakit dan mendapatkan perawatan masuk kelas 𝑰 𝑻 (Infected With Treatment)
7. Terjadi kematian akibat penyakit diabetes melitus baik yang mendapatkan perawatan maupun yang tidak mendapatkan perwatan. Berdasarkan Asumsi – asumsi yang telah dibuat dalam model penyakit diabetes melitus maka dapat dibentuk diagram alir sebagai berikut:
Berdasarkan  gambar  diagram  alir  di  atas, perumusan  model  matematika  untuk  penderita diabetes melitus adalah [8]:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝜇𝑆(𝑡) − 𝛽 𝑆(𝑡) 𝑁 𝐸(𝑡) (2.2)
𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆(𝑡) 𝑁 𝐸(𝑡)    − (𝜇 + 𝛼 + 𝜃)𝐸(𝑡) (2.3)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝛼𝐸(𝑡) − (𝜇 + 𝛿 1 )𝐼(𝑡) (2.4)
𝑑𝐼 𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜃𝐸(𝑡) − (𝜇 + 𝛿 2 )𝐼 𝑇 (𝑡) (2.5)
dengan Kondisi:
𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝐼 𝑇 (𝑡) keterangan:
𝑁(𝑡) :  Jumlah individu dalam populasi pada saat 𝑡
𝑆(𝑡) :  Jumlah individu yang rentan pada saat 𝑡
𝐸(𝑡) :  Jumlah individu yang laten pada saat 𝑡 𝐼(𝑡) :  Jumlah individu sakit pada saat 𝑡
𝐼 𝑇 (𝑡) :  Jumlah individu sakit dengan perawatan pada saat 𝑡 𝐴 :  Laju kelahiran Populasi 𝜇 :  Laju kematian alami 𝛽 :  Laju kontak Infektif individu yang rentan terhadap individu yang laten 𝛼 :  Laju perpindahan individu yang laten terhadap individu sakit tanpa perawatan 𝜃 :  Laju perpindahan individu yang laten terhadap individu sakit dengan adanya perawatan 𝛿 1 :  Laju kematian akibat penyakit tanpa perawatan 𝛿 2 :  Laju kematian akibat penyakit dengan adanya perawatan
Adapun  formulasi  dari  parameter  yang digunakan  dalam  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada  penyakit Diabetes melitus yang di konversi ke tahun dapat dilihat pada Tabel 2.1 berikut:
Tabel 2.1 Formulasi dari parameter model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada penyakit diabetes melitus
Parameter Formulasi 𝑨 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝝁 1 𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝 𝜷 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑛 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑘 𝜶 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝐷𝑀 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑛 𝜹 𝟏 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝐾𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝐷𝑀 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝐷𝑀 𝑡𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑡𝑎𝑛 𝜹 𝟐 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝐾𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝐷𝑀 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑡𝑎 𝐷𝑀 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑎𝑤𝑎𝑡𝑎𝑛
Sumber: Buku Bahan Ajaran SURVEILANS, Liena.
𝑆 𝐸 𝐼 𝐼 𝑇 𝐴 𝜇𝑆 𝜇𝐸 𝛽 𝑆 𝑁 𝐸
(𝜇 + 𝛿 1 )𝐼 (𝜇 + 𝛿 2 )𝐼 𝑇
Gambar 2.1 Diagram Alir Model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada Penyakit Diabetes Melitus

## 3. METODOLOGI
Penelitian dilaksanakan pada bulan Januari tahun  2023.  Jenis  Penelitian  terapan  dengan pendekatan  Kuantitatif  yang  bertujuan  untuk mengetahui penyebaran penyakit diabetes melitus  di  Kabupaten  Pinrang.  Jenis  data  yang diguanakan  adalah  data  sekunder,  dengan sumber  data  diperoleh  dari  Dinas  Kesehatan (Dinkes)  Kabupaten  Pinrang  serta  Badan  Pusat Statistika  (BPS)  Kabupaten  Pinrang.  Penelitian ini  menggunakan  model  matematika  dengan  4 kompartemen,  yaitu  populasi  yang  rentan (Susceptible), Populasi  yang  laten (Exposed), Populasi  yang  sakit  tanpa  perawatan (Infected), dan  populasi  yang  sakit  dengan  perawatan ( Infected with treatment) .

## Prosedur Analisis
Adapun  Langkah-langkah  analisis  yang diterapkan oleh peneliti adalah sebagai berikut:
1. Untuk memperoleh model penyakit diabetes melitus  di  Kabupaten  Pinrang,  dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Mengambil data sekunder yang berhubungan dengan data model penyakit diabetes melitus yang berasal dari Badan Pusat  Statistik  (BPS)  di  Kabupaten Pinrang dan Dinas Kesehatan (Dinkes) di Kabupaten Pinrang
b. Menentukan model pada penyakit diabetes melitus
c. Menentukan  nilai  awalan  dan  nilai parameter yang akan digunakan.
2. Untuk  mengetahui  solusi  numerik  model penyakit  diabetes  model  penyakit  diabetes melitus di Kabupaten Pinrang menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  4,  dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Melakukan diskritisasi
model
matematika  pada  penyakit  diabetes melitus  menggunakan  metode  Runge- Kutta Orde 4.
b. Mengulangi  iterasi  sampai  penyelesaian konvergen.
c. Interpretasi  hasil  solusi  numerik  pada model penyakit diabetes melitus menggunakan metode Runge-Kutta orde
4.
d. Menarik kesimpulan dari solusi numerik penyakit  diabetes  melitus  menggunakan metode Runge-Kutta orde 4.

## 4. PEMBAHASAN

## Profile Data
Berdasarkan  data  dari  Badan  Pusat Statistika  (BPS)  kabupaten  Pinrang  pada  tahun 2022  jumlah  populasi  penduduk  di  kabupaten pinrang  yang  tersebar  di  17  kecamatan  yaitu sebesar  383.162  jiwa  dengan  Angka  harapan hidup  70  tahun  serta  Angka  kelahiran  bayi sebesar  6.738  jumlah  lahir  hidup.  Adapun  data jumlah penderita Diabetes Melitus yang tercatat di  Dinas  Kesehatan  Kabupaten  Pinrang  3.832 jiwa dengan jumlah penderita yang mendapatkan perawatan 2.584 jiwa serta jumlah kematian 120 jiwa.  Populasi  individu  Susceptible  (rentan) terhadap  diabetes  melitus  dihitung  dengan mengurangkan  jumlah  populasi  penduduk dengan  jumlah  populasi 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 ,  populasi Infected, dan  populasi Infected  with  treatment , yaitu
𝑆 = 𝑁 − (𝐸 + 𝐼 + 𝐼 𝑇 ) = 383.162– (6.898 + 1.248 + 2.584) = 372.432 .
Model 𝑺𝑬𝑰𝑰 𝑻 pada Penyakit Diabetes Melitus Perumusan  model  matematika  untuk penderita diabetes melitus adalah:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝜇𝑆(𝑡) − 𝛽 𝑆(𝑡) 𝑁 𝐸(𝑡) (4.1)
𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆(𝑡) 𝑁 𝐸(𝑡)   − (𝜇 + 𝛼 + 𝜃)𝐸(𝑡) (4.2)
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛼𝐸(𝑡) − (𝜇 + 𝛿 1 )𝐼(𝑡) (4.3)
𝑑𝐼 𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜃 𝐸(𝑡) − (𝜇 + 𝛿 2 )𝐼 𝑇 (𝑡) (4.4)
dengan Kondisi:
𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝐼 𝑇 (𝑡)

## Nilai Awal dan Parameter
Berdasarkan  data  yang  telah  di  peroleh maka  didapatkan  nilai  awalan  untuk  setiap variabel  pada  Model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 adalah  sebagai berikut:
Tabel 4. 1 Nilai Awalan Variabel Nilai 𝑺(𝒕 𝟎 ) 372.432 𝑬(𝒕 𝟎 ) 6.898
Variabel Nilai 𝑰(𝒕 𝟎 ) 1.248 𝑰 𝑻 (𝒕 𝟎 ) 2.584
Mensubtitusikan  data-data  yang  telah diperoleh  ke  dalam  formulasi  pada  Tabel  2.1 sehingga di dapatkan nilai-nilai parameter  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada  penyakit  diabetes  melitus,  dapat dilihat pada Tabel sebagai berikut:
Tabel 4.2 Nilai Parameter Parameter Nilai 𝑵(𝒕) 383.162 𝑨 0,00147 𝝁 0,01429 𝜷 0,00154 𝜶 0,04629 𝜽 0,02 𝜹 𝟏 0,00801 𝜹 𝟐 0,00387
Solusi  Numerik  Model 𝑺𝑬𝑰𝑰 𝑻 Pada  Penyakit Diabetes Melitus
Mensubtitusikan nilai awal dan parameter yang diberikan pada Tabel 4.1 dan 4.2 ke dalam Persamaan  (4.1)  hingga  Persamaan  (4.4)  yang merupakan  solusi  numerik  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada penyakit Diabetes Melitus.
Pada  iterasi  pertama,  interval  waktu  atau jarak  langkah  yang  digunakan  yaitu ∆𝑡 = 0,01 . Kemudian diberikan 𝑆(𝑡 0 ) = 372.432 , 𝐸(𝑡 0 ) = 6.898 , 𝐼(𝑡 0 ) = 1.248 dan 𝐼 𝑇 (𝑡 0 ) = 2.584 sebagai  nilai  awal  sehingga  diperoleh  hasil penyelesaian  numerik  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada penyakit diabetes melitus menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 sebagaimana pada Persamaan berikut:
𝑆(𝑡 0+1 ) = 𝑆(𝑡 0 ) + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )∆𝑡 (4.6)
𝐸(𝑡 0+1 ) = 𝐸(𝑡 0 ) + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 )∆𝑡 (4.7)
𝐼(𝑡 0+1 ) = 𝐼(𝑡 0 ) + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 )∆𝑡 (4.8)
𝐼 𝑇 (𝑡 0+1 ) = 𝐼 𝑇 (𝑡 0 ) + 1 6 (𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 + 𝑛 4 )∆𝑡 (4.9)
Dimana  nilai  dari  setiap  fungsi  evaluasi  adalah sebagai berikut:
𝑘 1 = −5332,38 𝑘 3 = −5294,09 𝑙 1 = −545,515 𝑙 3 = −524,866 𝑚 1 = 291,478 𝑚 3 = 276,277 𝑛 1 = 91,035 𝑛 3 = 85,025
𝑘 2 = −5293,798 𝑘 4 = −5255,803 𝑙 2 = −524,016 𝑙 4 = −504,21
𝑚 2 = 275,602 𝑚 4 = 261,021
𝑛 2 = 84,753 𝑛 4 = 78,993
Kemudian  mensubtitusikan  nilai  dari fungsi evaluasi ke dalam Persamaan (4.6) sampai (4.9)  maka  akan  diperoleh  hasil  dari  solusi numerik  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada  penyakit  diabetes menggunakan metode runge-kutta orde 4 sebagai berikut:
𝑆(𝑡 0+1 ) = 𝑆(𝑡 0 ) + ( 1 6 ) (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )∆𝑡 𝑆(𝑡 1 ) = 372.432 + ( 1 6 ) (5332,38 +2(−5293,798) + 2(−5294,09) + (−5255,803))(0,01)
= 372.379,1
𝐸(𝑡 0+1 ) = 𝐸(𝑡 0 ) + ( 1 6 ) (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 )∆𝑡
𝐸(𝑡 1 ) = 6.898 + ( 1 6 ) (−545,515) + 2(−524,061)
+2(−524,866) + (−504,21)(0,01) = 6892,754 𝐼(𝑡 0+1 ) = 𝐼(𝑡 0 ) + ( 1 6 ) (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 )∆𝑡 𝐼(𝑡 1 ) = 1248 + ( 1 6 ) (291,478 + 2(275,602) +2(276,277) + 261,021)(0.01) = 1250,760 𝐼 𝑇 (𝑡 0+1 ) = 𝐼 𝑇 (𝑡 0 ) + ( 1 6 ) (𝑛 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 3 + 𝑛 4 )∆𝑡
𝐼 𝑇 (𝑡 1 ) = 2584 + ( 1 6 ) (91,035 + 2(84,753)
+ 2(85,025) + 78,993)(0.01)
= 2584,849 K emudian untuk iterasi selanjutnya dilakukan hal yang sama hingga iterasi ke-5000 atau  akan  memprediksi  laju  untuk  50  tahun kedepan pada setiap populasi dengan menggunakan program R-Studio.
Tabel 4.3. Hasil Solusi Numerik Penyakit Diabetes Melitus Menggunakan Metode Runge- Kutta Orde 4
𝒊 𝒕 𝒊 𝑺(𝒕 𝒊 ) 𝑬(𝒕 𝒊 ) 𝑰(𝒕 𝒊 ) 𝑰 𝑻 (𝒕 𝒊 )
0 0 372432 6898 1248 2584 1 0,01 372379 6892 1251 2585 2 0,02 372326 6887 1253 2586 3 0,03 372273 6877 1256 2587 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 4998  49,98  1832191 150,1 2150 1919 4999  49,99 183165 150,1 2150 1918 5000  50,00 183139 150,1 2150 1918
Plot  Grafik  untuk  hasil  iterasi  solusi numerik menggunakan metode runge-kutta orde 4  pada  penyakit  diabetes  melitus  untuk  setiap Susceptible , Eksposed , Infected ,  dan Infected With Treatmen menggunakan program R-Studio, akan ditunjukkan pada plot grafik berikut
Gambar 4.1 Penyebaran Jumlah Susceptible pada penyakit Diabetes Melitus
Hasil  untuk  iterasi  laju  kelas  populasi individu  manusia  yang  rentan (𝑆) akan
ditunjukkan  pada  plot  Grafik  seperti  pada Gambar 4.1.
Pada  Gambar  4.1  memperlihatkan  bahwa dengan jumlah nilai atau 𝑆(𝑡 0 ) Senilai 372.432 jiwa membuat grafik garis menurn dari waktu ke waktu hingga berada pada waktu ∆𝑡 = 50 tahun senilai  dengan  183.139  jiwa.  Menurunnya populasi Susceptible dapat  disebabkan  karena adanya populasi yang berpindah status menjadi Exposed yang  disebabkan  oleh  laju  kontak infektik  populasi  yang Susceptible menjadi Exposed.
Selanjutnya  untuk  hasil  iterasi  laju  kelas Populasi  individu  manusia  yang  laten (𝐸) ditunjukkan  pada  plot  Grafik  seperti  pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Penyebaran Jumlah Exposed pada Penyakit Diabetes Melitus
Pada  Gambar  4.2  memperlihatkan  bahwa dengan  jumlah  nilai  awalan  atau 𝐸(𝑡 0 ) senilai
6.898 dapat membuat grafik garis menurun dari waktu  ke  waktu  hingga  berada  pada  waktu ∆𝑡 = 50 tahun. Penurunan tersebut
menunjukkan  bahwa  dalam  beberapa  waktu kedepan  yang  terjadi  pada  Populasi Exposed akan  mengalami  penurunan  tetapi  jumlah populasi Exposed akan  ada  dalam  populasi karena  terjadi  kontak  infektif  antara  populasi Susceptible dan Exposed. Dan  dapat  dilihat Grafiknya  mengalami  penurunan  yang  sangat drastis  hal  ini  disebabkan  laju  kelahiran  yang masuk  sangat  rendah  serta  populasi Eksposed mengalami  perpindah  status  menjadi Infected ,
Infected  With  Treatment dan  adanya  kematian alami.
Selanjutnya  untuk  hasil  iterasi  laju  kelas Populasi  individu  yang  terinfeksi  tanpa  adanya perawatan (𝐼) ditunjukkan  pada  plot  grafik seperti pada gambar 4.3.
Gambar 4.2 Penyebaran Jumlah Infection pada Penyakit Diabetes Melitus
Pada  gambar  4.3  memperlihatkan  bahwa dengan  jumlah  nilai  awal  atau 𝐼 0 senilai  1.248 jiwa  dapat  membuat  gambar  grafik  populasi Infected mengalami  peningkatan  hingga  berada pada  waktu ∆𝑡 = 19 tahun  kedepan  dengan populasi  individu  senilai  3.191  jiwa  dan mencapai  titik  puncaknya,  namun  setelah melewati  titik  puncak,  terjadi  juga  penurunan secara  terus  menerus.  Penurunan  tersebut menunjukkan  bahwa  dalam  beberapa  waktu kedepan yang terjadi pada populasi Infected akan mengalami  penurunan,  hal  ini  terjadi  karena adanya  perpindahan  individu 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 ke individu Infected  With  Treatment. Adapun besarnya jumlah populasi individu I nfected pada waktu ∆𝑡 = 50 tahun kedepan adalah 2.150 jiwa.
Selanjutnya  untuk  hasil  iterasi  laju  kelas Populasi individu yang terinfeksi dengan adanya perawatan (𝐼 𝑇 ) ditunjukkan  pada  plot  grafik seperti pada gambar 4.4.
Gambar 4.4 Penyebaran Jumlah Infection with Treatment Penyakit Diabetes Melitus
Pada  gambar  4.4  memperlihatkan  bahwa dengan  jumlah  nilai  awal  atau 𝐼 0 senilai  2.584 jiwa  dapat  membuat  gambar  grafik  populasi Infected With Treatment mengalami peningkatan hingga  berada  pada  waktu ∆𝑡 = 11 tahun kedepan dengan populasi individu senilai  2.997 jiwa  dan  mencapai  titik  puncaknya,  namun setelah  melewati  titik  puncak,  terjadi  juga penurunan secara terus menerus. Adapun jumlah populasi Infected pada  waktu ∆𝑡 = 50 tahun kedepan adalah 1.918 jiwa.

## 5. KESIMPULAN
Adapun  Kesimpulan  pada  penelitian  ini adalah sebagai berikut:
1. Model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada penyakit diabetes melitus di kabupaten Pinrang, adalah sebagai berikut: 𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 0,00147 − 0,01429𝑆(𝑡) − 0,00154 ( 𝑆(𝑡)
383. 162 ) 𝐸(𝑡)
𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 = 0,00154 ( 𝑆(𝑡) 383. 162 ) 𝐸(𝑡)   − (0,01429 + 0,04629 + 0,02)𝐸(𝑡) 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 0,04629𝐸(𝑡) − (0,00154 + 0,00801)𝐼(𝑡) 𝑑𝐼 𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0,02𝐸(𝑡) − (0,00154 + 0,00387)𝐼 𝑇 (𝑡)
2. Adapun  solusi  numerik  model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 pada penyakit  diabetes  melitus  menggunakan metode  runge-kutta  orde-4  dengan  Ukuran langkah ∆𝑡 = 0,01 didapatkan  untuk  0,01 Tahun yaitu 𝑆(𝑡 1 ) = 372.379 ,
𝐸(𝑡 1 ) = 6.892, 𝐼(𝑡 1 ) = 1.251, dan 𝐼 𝑇 (𝑡 1 ) = 2.585 dan untuk prediksi 50 tahun ke  depan  menggunakan  aplikasi  R-studio dengan  membuat  program  metode  Runge- Kutta  orde  4  dimana  hasil  yang  diperoleh sama  dengan  aplikasi  Maple,  yaitu  populasi manusia yang rentan (𝑆) sebesar 183. 139 jiwa,  populasi  manusia  yang  laten (𝐸) sebesar  150  jiwa,  populasi  manusia  yang sakit  tanpa  adanya  perawatan (𝐼) sebesar 2.150 jiwa dan populasi manusia yang  sakit dengan adanya perawatan (𝐼 𝑇 ) sebesar 1.918 jiwa, disini dapat juga dilihat bahwa setelah disimulasikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 untuk 50 tahun kedepan, diketahui  bahwa  jumlah  populasi (𝑁) di Kabupaten Pinrang akan mengalami penurunan  dari 383.162 jiwa ke  187.357 jiwa.  hal  ini  disebabkan  karena  dalam penelitian ini menggunakan populasi tertutup dimana  ukuran  populasi  konstan  selama periode penelitian.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Kurniawati,  Irwan  dan  Abdul  Haris
Rosyidin. 2019. “Profil  Pemodelan Matematika Siswa SMP Dalam
Menyelesaikan  Masalah  Pada  Materi Fungsi Linear”. Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika: Universitas Negeri Surabaya. Vol 8 No. 2.
[2] Pusat  Data  dan  Informasi  Kemenkes  RI.
2022.  “ Tetap  Produktif  Cegah  dan  Atasi Diabetes
Melitus”.
Available: https://pusdatin.kemkes.go.id/d ownload.php?file=download/pusdatin/info datin/Infodatin-2020-Diabetes-Melitus.pdf
[3] [3]
Irwansyah.  2021.  “ Indentifikasi Keterkaitan  Lifestyle  Dengan  Risiko
Diabetes  Melitus ”.  JIKSH:  Jurnal  Ilmiah Kesehatan  Sandi  Husada.  Makassar:
Fakultas  Keperawatan  dan  Kebidananan
Universitas Megarezky Vol 10 No 1, h. 63
[4] [4]        Ekawati,  Aminah  dan  Lina  Aryati. 2011. “Model  NonLinear  Penyakit Diabetes” .  Jurnal  Matematika  Murni  dan Terapan: Universitas Gadjah Mada. Vol. 5 No. 1.
[5] [5] Abraham  dan  San,  R.  2015. “ Analisis Model Matematika Model Penyebaran  Penyakit  Diabetes  Dengan Faktor  Genetik” .  Jurnal SAINS ,  Vol  15. No. 1.
[6] [6]        Kaya,  Karlina  dkk.  2021. “Model Matematika  Pada  Penyakit  Diabetes Melitus  Dengan  Faktor  Genetik  dan Faktor  Sosial”. JOMTA Journal  of Mathematic:  Theory  and  Applcations Vol 3. No 1.
[7] [7]   Pusat Data dan Informasi  Kemenkes R I .  2019.  “ Hari  Diabetes  Sedunia  Tahun 2018” .Available: https://pusdatin.kemkes. go.id/download.php?file=download/pusda tin/infodatin/infodatin-Diabetes-2018.pdf . [8] [8] Murtafi’ah,  Wasilatul  dan  Davi Apriandi.  2018.“Persamaan  Diferensial Biasa dan Aplikasinya”. Madiun: UNIPMA PRESS, h. 4 [9] [9] Triatmodjo,  Bambang.  2002.”  Metode Numerik ” .  Yogyakarta:  Beta  Offset,  h.
1&2.
[10] [10] Munir,  R.  2010. “ Metode Numerik”. Bandung: Informatika ,h. 146.
[11] [11] Eziokwu,  C.  Emmanuel,  dkk.  2020. On Review of the Convergence Analyses of the  Runge-Kutta  Fixed  Point  Iterative Methods .  Asian  Journal  of  Pure  and Applied Mathemtics. Vol.2 No.1, h. 12.
[12] [12]  Lestri,  Enda  Hesti,  dkk.  2017. ”Analisis Kestabilan Model 𝑆𝐸𝐼𝐼 𝑇 (𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 − 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 − 𝐼𝐿𝐿 − 𝐼𝐿𝐿 𝑤𝑖𝑡ℎ 𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 ”. Jurnal Matematika: Universitas Negeri Yogyakarta Vol 6 No 4.