Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35

## ANALISIS MODEL PREDATOR-PREY TERHADAP EFEK PERPINDAHAN PREDASI PADA SPESIES PREY YANG BERJUMLAH BESAR DENGAN ADANYA PERTAHANAN KELOMPOK

## Mursyidah Pratiwi, Yuni Yulida*, Faisal
Program Studi  Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat *Email: y_yulida@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Model interaksi predasi merupakan model predator prey , dengan spesies predator berinteraksi dengan spesies prey dalam peristiwa makan memakan, dengan kondisi satu spesies populasi predator memangsa satu spesies populasi prey di dua habitat yang berbeda. Dua habitat yang berbeda di sini artinya populasi prey memiliki 2 tempat hidup (habitat), misalnya lokasi 1 dan lokasi 2. Prey mampu bermigrasi diantara dua habitat yang berbeda tersebut, karena suatu kondisi seperti perubahan musim sehingga predator diperbolehkan untuk memilih memangsa prey di habitat yang satu ataupun yang lain, tetapi spesies prey di masing-masing habitat memiliki kemampuan pertahanan kelompok. Pertahanan kelompok prey akan lebih efektif jika jumlah populasinya besar, sehingga predator akan tertarik terhadap habitat dimana spesies prey berjumlah sedikit. Berdasarkan keadaan tersebut,  artikel ini akan menjelaskan kembali dalam bentuk model matematika, menentukan  kestabilan titik ekuilibrium pada model dan  menganalisa terjadinya Bifurkasi Hopf. Hasil yang diperoleh pada model efek perpindahan predasi memiliki 2 titik ekuilibrium salah satu diantaranya mengalami Bifurkasi Hopf.
Kata kunci: Predator-prey , titik ekuilibrium, kestabilan ,bifurkasi hopf

## 1. PENDAHULUAN
Menurut B. S Bhatt,    1999, dalam lingkungan predator-prey , predator lebih memilih mencari makan sendiri pada suatu habitat dalam waktu tertentu dan dapat pula mengubah pilihannya untuk mencari makan ke  habitat yang lain. Fenomena perubahan ini disebut dengan perpindahan yang melibatkan interaksi antara satu spesies predator dengan satu spesies prey di dua habitat yang berbeda ,  dengan tingkat konversi dari prey ke predator sebagai parameter bifurkasi. Ketika spesies prey dengan jumlah relatif kecil dibandingkan dengan jumlah spesies predator maka pertahanan kelompok prey terhadap gangguan predator juga semakin kecil, begitu pula sebaliknya. Pertahanan kelompok ini merupakan istilah yang digunakan untuk menggambarkan fenomena dimana predasi menurun atau bahkan dicegah sama sekali dengan kemampuan populasi spesies prey untuk lebih membela diri ketika jumlah mereka lebih besar dibandingkan jumlah spesies predator.
Artikel ini mengkaji kembali Model yang telah  dipaparkan  oleh  Bhatt, B. (1999).  Dari Model efek perpindahan predasi akan dijelaskan pembentukan Model, selanjutnya dianalisa kestabilan di sekitar titik ekuilibrium dan menganalisa apakah terjadi Bifurkasi pada model tersebut.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35
1) Menjelaskan pembentukan Model,
2) Menentukan titik ekuilibrium,
3) Melinierisasi Model di sekitar titik ekulibrium,
4) Menentukan matrik Jacobian dan nilai eigen untuk menentukan kestabilan dan
5) Menganalisa Bifurkasi pada Model
3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Model Efek Perpindahan predasi
Model efek perpindahan predasi dengan adanya pertahanan kelompok dari prey ( 𝑥 1 ) pada habitat 1 dan prey ( 𝑥 2 ) pada habitat 2, mengadaptasi fungsi mekanisme efek perpindahan predasi pada tulisan Mumay Tansky (1978), yaitu Untuk interaksi predator terhadap prey ( 𝑥 1 ) maupun terhadap prey ( 𝑥 2 ) , fungsi efek perpindahan predasinya adalah:
𝑓 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 1 1+� 𝑥1 𝑥2 � 𝒏 = 𝑥 1 𝑛 𝑥 1 𝑛 +𝑥 2 𝑛 dan 𝑔 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 1 1+� 𝑥2 𝑥1 � 𝒏 = 𝑥 1 𝑛 𝑥 1 𝑛 +𝑥 2 𝑛 …(1) dalam kasus ini digunakan n=1 ,  artinya  efek dari pertahanan prey masih sederhana sehingga untuk n=1 diperoleh model sebagai berikut: 𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝛼 1 𝑥 1 − 𝜀 1 𝑥 1 + 𝜀 2 𝜌 21 𝑥 2 − 𝛽 1 𝑥 2 2 𝑦 𝑥 1 +𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 𝛼 2 𝑥 2 − 𝜀 2 𝑥 2 + 𝜀 1 𝜌 12 𝑥 1 − 𝛽 2 𝑥 1 2 𝑦 𝑥 1 +𝑥 2 …(2) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = �−𝜇 + 𝛿 1 𝛽 1 𝑥 2 2 𝑥 1 +𝑥 2 + 𝛿 2 𝛽 2 𝑥 1 2 𝑥 1 +𝑥 2 � 𝑦
dengan  ( 𝑥 1 ) dan ( 𝑥 2 )  merupakan populasi prey di habitat 1  dan di habitat 2, sedangkan y merupakan populasi predator yang diperbolehkan untuk memilih memangsa  ( 𝑥 1 ) ataupun  ( 𝑥 2 ). Pada populasi prey tersedia makanan berlimpah, sehingga tidak terjadi kompetisi antar prey tetapi populasi prey di dua habitat diperbolehkan untuk saling berpindah, dan populasi prey memiliki pertahanan kelompok yang kuat ketika jumlah populasinya lebih banyak. 𝛼 𝑖 = Laju pertumbuhan prey di habitat 𝑖 tanpa adanya predator , dimana
𝑖 = 1,2 . 𝜀 𝑖 = Pertahanan kelompok ketika perpindahan prey di habitat 𝑖 , dimana 𝑖 = 1,2 .
𝜌 𝑖𝑗 = Peluang suksesnya perpindahan prey dari habitat 𝑖 ke 𝑗 atau sebaliknya. 𝛽 𝑖 = Interaksi antar predator prey di habitat 𝑖 , dimana 𝑖 = 1,2 . 𝛿 𝑖 = Laju konversi predator ketika memangsa prey di habitat i, dimana 𝑖 = 1,2 .
𝜇 = Tingkat kematian predator .
Semua parameter yang digunakan dalam memodelkan sistem efek perpindahan predasi bernilai positif.

## 3.2 Titik Ekuilibrium Model Efek Perpindahan Predasi
Berdasarkan  Perko, L. 1991,  titik ekuilibrium pada model dapat ditentukan jika  memenuhi kondisi 𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 0, dan 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 . Sehingga pada  model efek perpindahan predasi dapat diperoleh dua titik ekuilibrium yaitu:
i. 𝐸 1 = (0,0,0) , dengan artian sistem tidak memuat predator maupun prey (populasi punah).
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35
ii. 𝐸 2 = � 𝜇𝑥̅ ( 𝑥̅+1 ) ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , 𝜇 ( 𝑥̅+1 ) ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , � ( 𝛼 1 −𝜀 1 ) 𝑥̅+𝜀 2 𝜌 21 � ( 𝑥̅+1 ) 𝛽 1 � untuk  mewakili populasi predator memangsa prey di habitat 1 dan 𝐸 2 = � 𝜇𝑥̅ ( 𝑥̅+1 ) ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , 𝜇 ( 𝑥̅+1 ) ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , � ( 𝛼 2 −𝜀 2 ) +𝜀 1 𝜌 12 𝑥̅� ( 𝑥̅+1 ) 𝑥̅ 2 𝛽 2 � untuk mewakili populasi
predator memangsa prey di habitat 2. Karena dalam sistem hanya terdapat satu populasi predator maka nilai 𝑦� di dua kondisi tersebut harus disamakan, sehingga titik ekuilibrium 𝐸 2 menjadi:
𝐸 2 = � 𝜇𝑥̅ ( 𝑥̅+1 ) ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , 𝜇 ( 𝑥̅+1 ) ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , � � ( 𝛼 1 −𝜀 1 ) 𝑥̅+𝜀 2 𝜌 21 � ( 𝑥̅+1 ) 𝛽 1 = � ( 𝛼 2 −𝜀 2 ) +𝜀 1 𝜌 12 𝑥̅� ( 𝑥̅+1 ) 𝑥̅ 2 𝛽 2 �� .
3.3 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Pada Model Efek Perpindahan Predasi
i. Menentukan jenis kestabilan di titik 𝐸 1 = (0,0,0) ,  yaitu dengan cara perturbasi dengan memisalkan 𝑥 1 = 𝑥� 1 + 𝑢 , 𝑥 2 = 𝑥� 2 + 𝑣 , dan 𝑦 = 𝑦� + 𝑤 , dan disubsitusi ke sistem persamaan (3.2) dengan 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 merupakan parameter yang sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut:
𝐽 ( 𝐸 1 ) = � ( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) 𝜀 2 𝜌 21 0 𝜀 1 𝜌 12 ( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) 0 0 0
−𝜇 � …(3)
Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian adalah:
(( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) − 𝜆 )(( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) − 𝜆 )( −𝜇 − 𝜆 ) − ( 𝜀 2 𝜌 21 )( 𝜀 1 𝜌 12 )( −𝜇 − 𝜆 ) = 0 …(4) model efek perpindahan predasi di titik ekuilibrium 𝐸 1 stabil  asimtotik  jika memenuhi kondisi 𝛼 1 < 𝜀 1 , 𝛼 2 < 𝜀 2 , dan ( 𝛼 1 − 𝜀 1 )( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) > ( 𝜀 2 𝜌 21 )( 𝜀 1 𝜌 12 ) . ii. Menentukan kestabilan di titik ekuilibrium 𝐸 2 dengan menggunakan linierisasi sistem diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut:
𝐽 ( 𝐸 2 ) = � 𝐴 ∗ − 𝑥 1 𝑥 2 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ − 𝑥 2 𝑥 1 𝐸 ∗ 𝐸 ∗ 𝐹 ∗ 𝐺 ∗ 𝐻 ∗ 0 � …(5)
Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian (5) adalah:
( 𝐴 ∗ − 𝜆 )( 𝐸 ∗ − 𝜆 )( −𝜆 ) − 𝑥 1 𝑥 2 𝐴 ∗ 𝐹 ∗ 𝐺 ∗ − 𝑥 2 𝑥 1 𝐸 ∗ 𝐶 ∗ 𝐻 ∗ + 𝑥 1 𝑥 2 𝐴 ∗ 𝑥 2 𝑥 1 𝐸 ∗ 𝜆 − (( 𝐴 ∗ − 𝜆 ) 𝐹 ∗ 𝐻 ∗ − ( 𝐸 ∗ − 𝜆 ) 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ = 0 …(6) dengan
𝐴 ∗ = 1 ( 𝑥̅+1 ) (2( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) 𝑥̅ + ( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) + 𝜀 2 𝜌 21 ) , 𝐶 ∗ = − 𝛽 1 𝜇 ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) 𝐸 ∗ = ( 𝛼 2 −𝜀 2 ) 𝑥̅+2 ( 𝛼 2 −𝜀 2 ) +𝜀 1 𝜌 12 𝑥̅ ( 𝑥̅+1 ) , 𝐹 ∗ = − 𝛽 2 𝜇𝑥̅ 2 ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) 𝐺 ∗ = 1 ( 𝑥̅+1 ) � ( 𝛿 2 + 2𝛿 2 𝑥̅ ) � ( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) + 𝜀 1 𝜌 12 𝑥̅� − 𝛿 1 � ( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) 𝑥̅ + 𝜀 2 𝜌 21 �� , 𝐻 ∗ = 1 ( 𝑥̅+1 ) � 2 𝛿 1 � ( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) 𝑥̅ + 𝜀 2 𝜌 21 � ( 𝜇𝑥̅ + 𝜇 ) − 𝛿 2 𝜇� ( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) + 𝜀 1 𝜌 12 𝑥̅��
Persamaan (6) dapat disederhanakan dengan: 𝑎 0 𝜆 3 + 𝑎 1 𝜆 2 + 𝑎 2 𝜆 + 𝑎 3 = 0 …(7) dengan 𝑎 0 = 1 , 𝑎 1 = − ( 𝐴 ∗ + 𝐸 ∗ ) , 𝑎 2 = − ( 𝐹 ∗ 𝐻 ∗ + 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ ) ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35
𝑎 3 = � 𝑥 1 𝑥 2 𝐴 ∗ 𝐹 ∗ 𝐺 ∗ + 𝑥 2 𝑥 1 𝐸 ∗ 𝐶 ∗ 𝐻
∗ + 𝐴 ∗ 𝐹 ∗ 𝐻
∗ + 𝐸 ∗ 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ �
Jika memenuhi kondisi 𝛼 1 < 𝜀 1 , 𝛼 2 < 𝜀 2 ,  dan ( 𝛼 1 − 𝜀 1 )( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) > ( 𝜀 2 𝜌 21 )( 𝜀 1 𝜌 12 ) maka 𝐴 ∗ < 0, 𝐶 ∗ > 0, 𝐸 ∗ < 0, 𝐹 ∗ > 0, 𝐺 ∗ > 0, 𝐻 ∗ > 0 sehingga 𝑎 1 , 𝑎 2 , dan 𝑎 3 bernilai positif, 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 . Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz (Gantmacher, 1959) kestabilan pada titik ekuilibrium ini stabil asimtotik.

## 3.4 Analisa Bifurkasi
Kuznetsov, Y.A. 1998 memaparkan berbagai analisa Bifurkasi, salah satunya bifurkasi Hopf. Analisis Bifurkasi Hopf pada Sistem persamaan (2) dengan mengambil 𝛿 1 , 2 sebagai parameter Bifurkasi. Titik ekuilibrium 𝐸 2 merupakan  titik ekuilibrium nonhiperbolik  jika 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑎 3 , sehingga persamaan karakteristik (7) memiliki sepasang akar imajiner murni jika dan hanya jika  untuk nilai 𝛿 1 , 2 = 𝛿 1 , 2 �����
dengan kata lain terdapat 𝛿 1 , 2 ����� sedemikian sehingga mengakibatkan 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑎 3 . Oleh karena itu hanya ada satu nilai 𝛿 1 , 2 yang mengalami Bifurkasi Hopf.
Jadi persamaan karakteristik (3.7) untuk 𝛿 1 , 2 = 𝛿 1 , 2 ����� : 𝑎 0 𝜆 3 + 𝑎 1 𝜆 2 + 𝑎 2 𝜆 + 𝑎 3 = 0
Dengan 𝑎 0 = 1 dan 𝑎 1 𝑎 2 = 𝑎 3 , sehingga diperoleh: 𝜆 3 + 𝑎 1 𝜆 2 + 𝑎 2 𝜆 + 𝑎 1 𝑎 2 = 0 ⇔ ( 𝜆 2 + 𝑎 2 )( 𝜆 + 𝑎 1 ) = 0 …(8) Akar-akar karakteristinya: 𝜆 1 = 𝑖√𝑎 2 , 𝜆 2 = −𝑖√𝑎 2 , dan 𝜆 3 = −𝑎 1 …(9) bentuk akar-akar karakteristik secara umum: 𝜆 1 �𝛿 1 , 2 � = 𝑢�𝛿 1 , 2 � + 𝑖𝑣 ( 𝛿 1 , 2 ) , 𝜆 2 �𝛿 1 , 2 � = 𝑢�𝛿 1 , 2 � − 𝑖𝑣 ( 𝛿 1 , 2 ) ,dan 𝜆 3 �𝛿 1 , 2 � = −𝑎 1 ( 𝛿 1 , 2 ) …(10) Bifurkasi Hopf terjadi jika syarat tranversal terpenuhi yaitu:
𝑅𝑒 � 𝑑𝜆 1 𝑑 𝛿1 , 2 � 𝛿 1 , 2 =𝛿 1 , 2 ������ ≠ 0 …(11)
dan analisa terjadinya Bifurkasi Hopf pada model efek perpidahan predasi ini, dengan menyelidiki sepasang akar-akar karakteristik yang bernilai imajiner, sebagai berikut a) Untuk 𝜆 1 �𝛿 1 , 2 � = 𝑢�𝛿 1 , 2 � + 𝑖𝑣 ( 𝛿 1 , 2 ) ,
Nilai 𝜆 1 �𝛿 1 , 2 � disubstitusi  ke persamaan (8) dan menentukan laju  perubahan terhadap 𝛿 1 , 2 serta mensubsitusi 𝑢 ( 𝛿 1 , 2 ) = 0 untuk mendapatkan titik Bifurkasi sehingga diperoleh:
𝑅�𝛿 1 , 2 �𝑢 ′ �𝛿 1 , 2 � − 𝑆�𝛿 1 , 2 �𝑣 ′ �𝛿 1 , 2 � + 𝑇�𝛿 1 , 2 � = 0 𝑆�𝛿 1 , 2 �𝑢 ′ �𝛿 1 , 2 � + 𝑅�𝛿 1 , 2 �𝑣 ′ �𝛿 1 , 2 � + 𝑈�𝛿 1 , 2 � =  0 …(12) dengan,
𝑅 = − 3 𝑣̅ 2 + 𝑎 2 � 𝛿 1,2 � , 𝑆 = 2 𝑎 1 � 𝛿 1,2 �𝑣̅ , 𝑇 = −𝑎 1 ′ 𝑣̅ 2 + 𝑎 3 ′ ,dan 𝑈 = 𝑎 2 ′ 𝑣̅ …(13)
Diferensial total 𝑓 ( 𝜆�𝛿 1 , 2 � , 𝛿 1 , 2 ) diperoleh dengan mengeliminasi sistem persamaan (12) sehingga diperoleh:
𝑢 ′ �𝛿 1 , 2 � = 𝑅𝑒 � 𝑑𝜆 1 𝑑 𝛿1 , 2 � 𝛿 1 , 2 =𝛿 1 , 2 ����� = − ( 𝑆𝑈+𝑅𝑇 ) ( 𝑅 2 +𝑆 2 ) …(14)
Jika 𝑆𝑈 + 𝑅𝑇 ≠ 0 pada kondisi 𝛿 1 , 2 = 𝛿 1 , 2
�����
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35
Dari persamaan (13) diperoleh:
𝑆𝑈 + 𝑅𝑇 = (2 𝑎 1 �𝛿 1 , 2 �𝑎 2 ′ − 3 𝑎 3 ′ ) 𝑣̅ 2 + 𝑎 2 �𝛿 1 , 2 �𝑎 3 ′ …(15)
dengan 𝑎 1 ′ = 𝑑𝑎 1 𝑑𝛿 1 , 2 = 0 , 𝑎 2 ′ = 𝑑𝑎 2 𝑑𝛿 1 , 2 dan 𝑎 3
′ = 𝑑𝑎 3 𝑑𝛿 1 , 2 selanjutnya subsitusi nilai 𝑎 1 dan 𝑎 2 ke persamaan (15) diperoleh:
𝑆𝑈 + 𝑅𝑇 = ( 𝐴 ∗ + 𝐸 ∗ ) � 𝑑 𝑑𝛿 1,2 ( 𝐹 ∗ 𝐻 ∗ ) + 𝑑 𝑑𝛿 1,2 ( 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ ) � ( 𝑣̅ 2 + 𝐹 ∗ 𝐻 ∗ + 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ ) …(16)
b) Untuk 𝜆 2 �𝛿 1 , 2 � = 𝑢�𝛿 1 , 2 � − 𝑖𝑣 ( 𝛿 1 , 2 ) , Persamaan 𝜆 2 �𝛿 1 , 2 � disubstitusi  ke persamaan (8) dengan 𝑢 ( 𝛿 1 , 2 ) = 0 dan menentukan laju perubahan terhadap 𝛿 1 , 2 sehingga diperoleh: 𝑅�𝛿 1 , 2 �𝑢 ′ �𝛿 1 , 2 � + 𝑆�𝛿 1 , 2 �𝑣 ′ �𝛿 1 , 2 � + 𝑇�𝛿 1 , 2 � = 0 −𝑆�𝛿 1 , 2 �𝑢 ′ �𝛿 1 , 2 � − 𝑅�𝛿 1 , 2 �𝑣 ′ �𝛿 1 , 2 � − 𝑈�𝛿 1 , 2 � = 0 …(17) dengan,
𝑅 = 3 𝑣̅ 2 + 𝑎 2 � 𝛿 1,2 � , 𝑆 = 2 𝑎 1 � 𝛿 1,2 �𝑣̅ , 𝑇 = 𝑎 1 ′ 𝑣̅ 2 + 𝑎 3 ′ , dan 𝑈 = 𝑎 2 ′ 𝑣̅ …(18) Diferensial total 𝑓 ( 𝜆�𝛿 1 , 2 � , 𝛿 1 , 2 ) diperoleh dengan mengeliminasi sistem persamaan (17) sehingga diperoleh:
𝑢 ′ �𝛿 1 , 2 � = 𝑅𝑒 � 𝑑𝜆 1 𝑑 𝛿 1,2 � 𝛿 1,2 = 𝛿 1,2 ������ = − ( 𝑆𝑈+𝑅𝑇 ) ( 𝑅 2 +𝑆 2 ) …(19)
Jika 𝑆𝑈 + 𝑅𝑇 ≠ 0 pada kondisi 𝛿 1 , 2 = 𝛿 1 , 2
�����
Dari persamaan (18) diperoleh:
𝑆𝑈 + 𝑅𝑇 = (2 𝑎 1 �𝛿 1 , 2 �𝑎 2 ′ + 3 𝑎 3 ′ ) 𝑣̅ 2 + 𝑎 2 �𝛿 1 , 2
�𝑎 3 ′ …(20)
dengan 𝑎 1 ′ = 𝑑𝑎 1 𝑑𝛿 1 , 2 = 0 , 𝑎 2 ′ = 𝑑𝑎 2 𝑑𝛿 1 , 2 dan 𝑎 3 ′ = 𝑑𝑎 3 𝑑𝛿 1 , 2 selanjutnya subsitusi nilai 𝑎 1 dan 𝑎 2 ke persamaan (20) diperoleh:
𝑆𝑈 + 𝑅𝑇 = ( 𝐴 ∗ + 𝐸 ∗ ) � 𝑑 𝑑𝛿 1,2 ( 𝐹 ∗ 𝐻 ∗ ) + 𝑑 𝑑𝛿 1,2 ( 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ ) � ( − 5 𝑣̅ 2 + 𝐹 ∗ 𝐻 ∗ + 𝐶 ∗ 𝐺 ∗ )
Persamaan (14) yang merupakan syarat  transversal terjadinya Bifurkasi Hopf akan terbukti jika memenuhi kondisi sebagai berikut:
i. ( 𝐴 ∗ + 𝐸 ∗ ) ≠ 0 ii. �𝛽 2 𝑥̅ 2 𝑑𝐻 ∗ 𝑑𝛿 1 + 𝛽 1 𝑑 𝑑𝛿 1 𝐺 ∗ � ≠ 0 maka,
𝑥̅ 2 ≠ 𝛽 1 𝑑 𝑑𝛿1 𝐺 ∗ 𝛽 2 𝑑 𝑑𝛿1 𝐻 ∗ , iii. � 𝛽 1 𝜇 ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) 2 � ≠ 0 dengan 𝑥̅ 2 ≠ 𝛽 1 𝛿 1 𝛽 2 𝛿 2 iv. �𝑣̅ 2 + 𝛽2𝜇𝑥̅2 ( 𝛿1𝛽1+𝛿2𝛽2𝑥̅2 ) 𝐻 ∗ + 𝛽1𝜇 ( 𝛿1𝛽1+𝛿2𝛽2𝑥̅2 ) 𝐺 ∗ � ≠ 0
Persamaan (19) yang merupakan syarat transversal terjadinya Bifurkasi Hopf akan terbukti jika memenuhi kondisi sebagai berikut:
i. ( 𝐴 ∗ + 𝐸 ∗ ) ≠ 0 ii. �𝛽 2 𝑥̅ 2 𝑑𝐻 ∗ 𝑑𝛿 1 + 𝛽 1 𝑑 𝑑𝛿 1 𝐺 ∗ � ≠ 0 maka,
𝑥̅ 2 ≠ 𝛽 1 𝑑 𝑑𝛿1 𝐺 ∗ 𝛽 2 𝑑 𝑑𝛿1 𝐻 ∗ ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35
iii. � 𝛽 1 𝜇 ( 𝛿 1 𝛽 1 +𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) 2 � ≠ 0 dengan
𝑥̅ 2 ≠ 𝛽 1 𝛿 1 𝛽 2 𝛿 2 iv. �− 5 𝑣̅ 2 + 𝛽2𝜇𝑥̅2 ( 𝛿1𝛽1+𝛿2𝛽2𝑥̅2 ) 𝐻 ∗ + 𝛽1𝜇 ( 𝛿1𝛽1+𝛿2𝛽2𝑥̅2 ) 𝐺 ∗ � ≠ 0
Jadi titik ekuilibrium 𝐸 2 mengalami Bifurkasi Hopf.

## 4 KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Model efek perpindahan predasi dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝛼 1 𝑥 1 − 𝜀 1 𝑥 1 + 𝜀 2 𝜌 21 𝑥 2 − 𝛽 1 𝑥 2 2 𝑦 𝑥 1 +𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 𝛼 2 𝑥 2 − 𝜀 2 𝑥 2 + 𝜀 1 𝜌 12 𝑥 1 − 𝛽 2 𝑥 1 2 𝑦 𝑥 1 +𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = �−𝜇 + 𝛿 1 𝛽 1 𝑥 2 2 𝑥 1 +𝑥 2 + 𝛿 2 𝛽 2 𝑥 1 2 𝑥 1 +𝑥 2 � 𝑦 2. Titik ekuilibrium Model efek perpindahan predasi yaitu: 𝐸 1 = (0,0,0) dan
𝐸 2 = � 𝜇𝑥̅ ( 𝑥̅ + 1) ( 𝛿 1 𝛽 1 + 𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , 𝜇 ( 𝑥̅ + 1) ( 𝛿 1 𝛽 1 + 𝛿 2 𝛽 2 𝑥̅ 2 ) , � � ( 𝛼 1 − 𝜀 1 ) 𝑥̅ + 𝜀 2 𝜌 21 � ( 𝑥̅ + 1) 𝛽 1 = � ( 𝛼 2 − 𝜀 2 ) + 𝜀 1 𝜌 12 𝑥̅� ( 𝑥̅ + 1) 𝑥̅ 2 𝛽 2 ��
3. Analisa kestabilan lokal di titik ekuilibrium 𝐸 1 bersifat stabil asimtotik, sedangkan 𝐸 2 akan stabil
4. Analisa Bifurkasi Hopf dengan 𝛿 1 , 2 sebagai parameter Bifurkasi Hopf terjadi di titik ekuilibrium 𝐸 2 dengan terpenuhinya syarat transversal yaitu:
i. Untuk 𝜆 1 �𝛿 1 , 2 � = 𝑢�𝛿 1 , 2 � + 𝑖𝑣 ( 𝛿 1 , 2 ) : 𝑅𝑒 � 𝑑𝜆 1 𝑑 𝛿1 , 2 � 𝛿 1 , 2 =𝛿 1 , 2 ������ ≠ − ( 2𝑎 1 𝑎 2 ′ −3𝑎 3 ′ ) 𝑣� 1 2 +𝑎 2 𝑎 3 ′ ( 4𝑎 12 −6𝑎 2 ) 𝑣� 1 2 +𝑎 22 +9𝑣� 1 4
ii. Untuk 𝜆 1 �𝛿 1 , 2 � = 𝑢�𝛿 1 , 2 � − 𝑖𝑣 ( 𝛿 1 , 2 ) : 𝑅𝑒 � 𝑑𝜆 1 𝑑 𝛿1 , 2 � 𝛿 1 , 2 =𝛿 1 , 2 ������ ≠ − ( 2𝑎 1 𝑎 2 ′ +3𝑎 3 ′ ) 𝑣� 2 2 +𝑎 2 𝑎 3 ′ ( 6𝑎 2 −4𝑎 12 ) 𝑣� 2 2 +𝑎 22 +9𝑣� 2 4
5. Peneliti selanjutnya diharapkan dapat membuat simulasi model untuk kestabilan kedua titik ekuilibrium dan terjadinya Bifurkasi Hopf .

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Bhatt, B, S. Q, J, A, Khan. and R, P, Jaju. 1999. Switching effect of predation on large size prey species exhibiting group defense Journal of Differential Equations and Control Processer . Neva.
Gantmacher, F. R. 1959. The Theory Of Matrices. Chelsea Publishing Company. New York.
Khan,Q, J, A. Bhatt, B, S. and R, P, Jaju. 1998. Switching Model with Two Habitats and a Predator Involving Group Defence. Journal of Nonlinear Mathematical Physics . 5 : 212-223.
Kuznetsov, Y.A. 1998. Element of Applied Bifurcation Theory . Second Edition.Springer – Verlag. New York. USA.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 29-35
Perko, L. 1991. Differential Equations and Dynamical Systems. Texts in Applied Mathematics Vol 7. Springer – Verlag. New York. USA.
Rakhmawaty, Y.,Yulida,Y.,Faisal. 2017. Model Mangsa Pemangsa dengan Mangsa yang Terinfeksi . Prosiding Seminar Nasional Matematika Dan Terapannya I. Hal 42-48. Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat.
Tansky, Mumay. 1978. Switching Effect In Prey-Predator System . Kyoto Jepang.