Vol. 12, No. 1,  1-8,  Juli  2015
Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil
Amir Kamal Amir 1

## Abstrak
Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu endomorfisma dari R , dan adalah  suatu -derivatif.  Gelanggang  polinom  miring  dengan  gelanggang  tumpuan R dalam peubah tak diketahui x, disimbol dengan ,       - , adalahgelanggang yang terdiri dari polinom seperti ( ) yang  memenuhi  aturan  perkalian: ( )      ( ) Dalam paper  ini,  gelanggang  tumpuan  yang  digunakan  adalah  gelanggang  bilangan  kompleks, endomorfisma  yang  digunakan  adalah  sekawan  kompleks,  dan diambil  sama  dengan  nol. Paper  ini  akan  membuktikan    homomorfisma  dari  gelanggang  polinom  seperti  ini  ke gelanggang  quaternion  riil.  Lebih  jauh,  akan  ditunjukkan  bahwa  gelanggang  quaternion  riil isomorfik dengan suatu gelanggang faktor dari gelanggang polinom miring tersebut.
Kata Kunci : Isomorfisma, kompleks, quaternion, riil.

## Abstract
Let R be any ring  with identity 1 , be an endomorphism of R and be a left -derivation. The  skew  polynomial    ring  over R in  an  indeterminate x ,  denoted  by ,       - ,  is  the  set  of polynomials ( ) where with    multiplication  rule ( )      ( ) for all In this paper, the ring R is complex number, is complex  conjugate,  and is  zero -derivatif.  It    will  be  proven  a  hohomorphism  from  this skew  polynomial  ring  to  the  quaternion  rill  ring.  Moreover,  it  will  be  shown  that  the quaternion rill ring isomorphic with some factor ring of the skew polynomial ring.
Keywords : Isomorphism, complex, quaternion, real.

## 1. Pendahuluan
Gelanggang  polinom  miring  adalah  gelanggang  yang  terdiri  dari  polinom-polinom dengan  aturan  perkalian  yang  tidak  bersifat  komutatif.  Sifat  perkalian  yang  tidak  komutatif, membuat struktur gelanggang ini jauh berbeda dengan struktur gelanggang polinom biasa. Hal ini menarik  minat  para  peneliti  untuk  meneliti  struktur  gelanggang  polinom  miring.  Penelitian  ini akan  meneliti  struktur  gelanggang  polinom  miring  dengan  gelanggang  tumpuan  adalah gelanggang bilangan kompleks dengan endomorfisma sekawan kompleks.
Pada  sisi lain,  gelanggang  bilangan  kompleks  dapat  dikembangkan  menjadi  gelanggang quaternion  riil.  Gelanggang  quaternion  juga  dikenal  sebagai  gelanggang  tidak  komutatif. Penelitian  ini  akan  membuktikan  homomorfisam  dari  gelanggang  polinom  miring  kompleks  ke gelanggang  quaternion  riil.    Untuk  arah  sebaliknya,  akan  membuktikan  bahwa    gelanggang
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddinr, email : amirkamalamir@yahoo.com

## Amir Kamal Amir
quaternion  riil  isomorfik  dengan  suatu  gelanggang  faktor  dari  gelanggang  polinom  miring kompleks. Ide ini diperoleh setelah membaca buku Cohn [1].

## 2. Beberapa Pengertian dan Notasi

## 2.1. Gelanggang Polinom Miring
Secara  lengkap  pengertian  gelanggang  polinom  miring  disajikan  berikut  ([3],  [4]). Misalkan R suatu gelanggang,  suatu endomorfisma di R , dan  suatu  -derivatif, yaitu:
1.  suatu endomorfisma grup di R .
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b a b       untuk setiap , . a b R 
Gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   dalam  variabel  tak  diketahui x berisi  semua  polinom dengan  koefisien  di R yang  memenuhi  aturan  perkalian  sebagai  berikut:  untuk  setiap a R  berlaku ( ) ( ). xa a x a    
Memperhatikan  definisi  dari  gelanggang  polinom  miring  dapat  disimpulkan  bahwa gelanggang polinom miring mengandung tiga unsur, yaitu gelanggang biasa, disimbol dengan R (biasa  juga  disebut  gelanggang  tumpuan  dari  gelanggang  polinom  miring  tersebut),  suatu endomorfisma  di R ,  dan  suatu  -derivatif.  Ketiga  unsur  tersebut  bersama-sama  memenuhi syarat-syarat gelanggang polinom miring.

## Contoh 1.
Misalkan √ Endomorfisma  pada R didefinisikan sebagai ( 5) 5, a b a b       untuk setiap √ Selanjutnya pemetaan  didefinisikan sebagai ( 5) , a b b     untuk  setiap √ .  Pemetaan  yang  didefinisikan  seperti ini  memenuhi  syarat  -derivatif.  Dengan  demikian, ,       - merupakan  suatu  gelanggang polinom miring. Gelanggang ini tidak bersifat komutatif. Perhatikan proses perkalian antara
( ) (4 2 5) f x x    dengan ( ) (3 5 5) g x x    berikut ini. 2 2 ( ) ( ) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (3 5 5) (4 2 5)(3 5 5) (4 2 5)5 ( 38 26 5)
(20 10 5) f x g x x x x x x x x x x x                                                   
Amir Kamal Amir 2 2 ( ) ( ) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (4 2 5) (3 5 5)(4 2 5) (3 5 5)( 2) ( 38 26 5) ( 6 10 5) g x f x x x
x x x x
x x x x                                                      Perkalian di atas menunjukkan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x 
Dengan adanya  dan  dalam operasi perkalian, seperti yang diperlihatkan pada contoh, maka sifat perkalian menjadi tidak komutatif. Hal ini mengakibatkan struktur dari gelanggang polinom miring [ ; , ] R x   akan  berbeda  dengan  struktur  dari  gelanggang  tumpuannya  dan  struktur gelanggan polinom biasa , - .

## 2.2. Gelanggang  Quaternion Riil
Quaternion  dapat  didefinisikan  melalui  beberapa cara yang  saling  ekuivalen.  Pengertian quaternion  yang  diuraikan  berikut  ini  dapat  dibaca  pada  [5].  Quaternion  diperkenalkan  oleh Hamilton  ketika  beliau  mengembangkan  bilangan  kompleks
menjadi dengan dan dan Sebagai penghargaan kepada
beliau,  maka  quaternion  biasanya  disimbol  dengan H .  Dengan  demikian  quaternion  secara lengkap ditulis:
*                  | +
Karena  koefisien-koefisien  yang  digunakan  adalah  bilangan  rill,  maka  quaternion  ini  biasa juga disebut quaternion riil.
Bentuk  penulisan  anggota  quaternion H dapat  dikaitkan  dengan  bentuk  penulisan  anggota . Misalkan
, h dapat  ditulis ,    - dengan (       ) Menggunakan bentuk penulisan yang terakhir, operasi-operasi pada quaternion H dapat dikaitkan dengan  operasi  perkalian  silang  dan  perkalian  titik  dalam Untuk  lebih  jelasnya,  berikut diberikan beberapa hasil operasi dalam quaternion.
Misalkan ,    - , - dengan Operasi penjumlahan: ,    -       , -   , - . Operasi perkalian: ,    -, -   , -
dengan  “ . ”  dan  “x”  masing-masing  adalah  perkalian  titik  dan  perkalian  silang  pada Memperhatikan  operasi  penjumlahan  dan  perkalian  pada  quaternion,  dapat  dengan  mudah ditunjukkan bahwa quaternion H merupakan gelanggang.  Lebih jauh lagi, dapat juga dinjukkan bahwa H adalah gelanggang tidak komutatif karena .

## Amir Kamal Amir

## 3. Homomorfisma dan Isomorfisma Gelanggang.
Misalkan adalah pemetaan dari himpunan bilangan kompleks ke yang memetakan bilangan kompleks ke sekawannya. Lebih jelasnya, dengan (      ) untuk setiap
Dengan  mudah  dapat  dikalkulasi,  pendefinisian seperti  di  atas  memenuhi syarat:
,(      )   (      )-    (      )    (      ) , dan ,(      )(      )-    (      ) (      )
Oleh  karena  itu, adalah  endomorfisma  pada Dengan  demikian, ,    - merupakan gelanggang  polinom  miring.  Perlu  ditambahkan  bahwa dalam  gelanggang  polinom  miring  ini adalah nol.
Untuk memperjelas pembahasan, selanjutnya diberikan contoh perkalian polinom dalam ,    - .  Misalkan ( )   (        ) dan ( )   (        ) ,  diperoleh
( ) ( ) [ (        ) -,(        ) -   (        ) ,(        )-
= (        )(       ) (       )
Selanjutnya akan dubuktikan homomorfisma dari gelanggang polinom miring ,    - ke gelanggang quaternion rill H .
Teorema 1 . Misalkan ,    - dengan aturan pengawanan sebagai berikut:
Misalkan ( )   ( ) ( ) ( ) , maka , ( )- ( ) ( ) ( )
Pemetaan adalah homomorfisma.
Bukti. Untuk membuktikan bahwa adalah homomorfisma, akan ditunjukkan
(i). , ( )      ( )-    , ( )-    , ( )- ,  untuk setiap ( )   ( )    ,    -
(ii). , ( ) ( )-    , ( )- , ( )- untuk setiap ( )   ( )    ,    - .
(aturan ini dapat dilihat di [2] dan [6]).
Untuk  bagian  pertama,  kesamaan  langsung  bisa  terlihat  dari  definisi  pengawanan Untuk bagian kedua diberikan illustrasi berikut:
Misalkan ( )   (        ) dan ( )   (        ) ,  maka  diperoleh , ( )-   (        ) dan , ( )-   (        ) Sehingga , ( )- , ( )-   ,(        ) ][ (        )-
Karena dalam  quaternion , maka diperoleh
, ( )- , ( )-   ,(        ) ][ (        )-   (        )(       ) ,(       )   (       ) - .
Pada sisi lain, ( ) ( ) [ (        ) -,(        )-   (      ) (        ) (      )(      )      ,(       )   (       ) -
Sehingga, dari persamaan terakhir diperoleh
, ( ) ( )-   ,(       )   (       ) - (2).
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh , ( ) ( )-    , ( )- , ( )- Selanjutnya, memperhatikan perkalian ( ) ( ) terlihat bahwa perkalian tersebut hanya melibatkan  perkalian  antara  suku-suku  yang  berbentuk ( ) dan ( ) Oleh  karena  itu,  karena , ( ) ( )-    , ( )- , ( )- maka dapat disimpulkan bahwa
, ( ) ( )-    , ( )- , ( )- .
Anggota-anggota  quaternion berbentuk sedangkan  anggota-anggota
gelanggang  polinom  miring ,    - berbentuk ( ) ( ) ( )
Dari kedua bentuk ini (yang jauh berbeda) terlihat bahwa tidak ada isomorfisma dari ke ,    - atau  dengan  kata  lain, tidak  isomorfik  dengan ,    - Penelitian  ini,  mencoba  membuang sebagian  anggota ,    - agar  anggota-anggota  yang  tersisa  bisa  isomorfik  dengan .  Proses pembuangan  ini  lebih  dikenal  dengan  proses  pemfaktoran  atau  membuat  gelanggang  faktor. Pembuatan  gelanggang  faktor  didahului  oleh  pemilihan  ideal  yang  akan  digunakan  dalam pemfaktoran.
Salah    satu      ideal    dalam      gelanggang    polinom    miring ,    - adalah ,
yaitu  ideal  yang  dibangun  oleh  polinomial
.  Ideal  ini  dipakai  membentuk  gelanggang
faktor ,    -
yaitu  gelanggang  yang  memuat  koset-koset  yang  berbentuk ( ) dengan ( )    ,    - Menggunakan homomorfisma sebagai ide, akan dibentuk isomorfisma  dari  gelanggang  quaternion H ke  gelanggang  faktor  gelanggang  polinom  miring ,    -
Teorema 2 . Misalkan adalah  pemetaan  dari    gelanggang  quaternion H ke  gelanggang  faktor  gelanggang polinom miring ,    - didefinisikan seperti:
(                  )   ,(      )   (      ) -
untuk setiap maka adalah isomorfisma.
Bukti.
Untuk membuktikan bahwa adalah isomorfisma, akan ditunjukkan:
(i). (     )    ( )        ( ) , untuk setiap .
(ii). (  )    ( )  ( ) , untuk setiap .
(iii). adalah fungsi satu-satu (iv). adalah fungsi pada
(aturan ini dapat dilihat di [2] dan [6]).
(i). Misalkan dan ,    maka
menggunakan  kalkulasi  sederhana  pada  definisi dapat  dibuktikan  bahwa (
)    ( )      ( )
(ii). Misalkan dan .  Berdasarkan operasi perkalian quaternion H , diperoleh ( ) ( ) ( ) ( )

## Amir Kamal Amir
Dari sini diperoleh, (menggunakan definisi ) (  )     *( ) ( ) ( ) ( )  + (3) Pada sisi lain, ( )   , ( ) -
dan
( )   , ( ) -
Dari  sini  diperoleh,  menggunakan  definisi  perkalian  dalam  gelanggang  faktor ,    - , ( ) ( )   ,( )   ( ) -,( ) ( ) - Dengan operasi perkalian biasa diperoleh ( ) ( )   *( )( )   ( )( ) ( ) ( )   ( ) ( ) + .
Dengan operasi perkalian dalam gelanggang polinom miring ,    - diperoleh ( ) ( )   *( )( )   ( )( ) ( )( )    ( )( ) + . Dengan operasi perkalian biasa diperoleh ( ) ( )   *( )   ( ) ( )    ( )     ( ) ( ) + (4) Karena dalam gelanggang faktor ,    - berlaku kesamaan ( ) ( ) dan ( ) ( )
maka persamaan (4) menjadi,
( ) ( )   *( ) ( ) ( ) ( ) (5)
Dengan demikian, dari persamaan (3) dan (5) dibuktikan
(  )    ( ) ( )

## Amir Kamal Amir
(iii). Untuk membuktikan bahwa adalah fungsi satu-satu maka akan ditunjukkan Jika ( )    ( ) maka Memperhatikan bentuk dari ( ) dan ( ) pada langkah pembuktian di atas dapat dengan mudah terlihat bahwa, jika ( )    ( ) maka
(iv).    Untuk membuktikan bahwa adalah fungsi pada maka akan ditunjukkan,
Jika ( ) ̅̅̅̅̅̅     ,    - , maka terdapat sedemikian sehingga
( )    ( )
̅̅̅̅̅̅ Misalkan ( ) ̅̅̅̅̅̅   *( ) ( ) ( )+ Karena dalam gelanggang faktor ,    - berlaku kesamaan (      ) (       ) Maka (      ) (        ) untuk suatu apabila n adalah bilangan genap, dan (      ) (        ) untuk suatu apabila n adalah bilangan ganjil. Oleh karena itu, bentuk ( ) ̅̅̅̅̅̅ bisa disederhanakan menjadi
( ) ̅̅̅̅̅̅   *( )   ( ) + Dengan demikian, jika dipilih maka diperoleh
( )    ( )
̅̅̅̅̅̅ .

## 4. Kesimpulan
Gelanggang  polinom  miring ,    - dan    gelanggang  quaternion  riil keduanya merupakan gelanggang tidak komutatif. Namun demikian, bentuk anggota dan operasi perkalian mereka  sangat  berbeda.  Hal  ini  menyebabkan  isomorfisma  dari ke ,    - sulit  ditemukan. Salah satu ide adalah membuang sebagian anggota ,    - agar   isomorfisma  dari ke ,    - bisa dikonstruksi. Proses membuang ini dikenal dengan pembentukan gelanggang faktor. Dengan mengamati  homomorfisma dari ,    - ke yang  disajikan  pada  Teorema  1,  dapat dikontruksi  isomorfisma dari ke ,    - seperti  yang  dipaparkan  pada Teorema  2.  Dengan  demikian  diperoleh  bahwa,  gelanggang  quaternion  riil isomorfik  dengan gelanggang  faktor  gelanggang  polinom  miring ,    - ,  atau  dalam  bentuk  simbol ,    -

## Daftar Pustaka
[1]    Cohn P. N., 2008. Skew Fields, Theory of General Division Rings. Cambridge University Press, London.
[2]     Fraleigh  J.B.,  1994. A  First  Course  in  Abstract  Algebra. Addison-Wesley  Publishing Company, New York.
[3]     Goodearl  K.R.  and  Warfiled  J.R.,  1989. An  Introduction  to  Noncommutative  Noetherian Rings. Cambridge University Press, London.
[4]    McConnel J.C., and Robson, J.C., 1987. Noncommutative Noetherian Rings . John Wiley & Sons, Chichester.
[5]    Shoemake K.,2007. Quaternions. Lecture Note , Department of Computer and Information Science University of Pennsylvania, Philadelphia.
[6]    Spindler  K.,  1994. Abstract  Algebra  with  Applications,  Volume  II. Marcel  Dekker  Inc., New York.