Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 65-74 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.9627

## Masalah Invers Pada Homogenisasi Periodik Persamaan Hamilton-Jacobi
Made Benny Prasetya Wiranata Departemen Matematika FMIPA UGM, Jl. Bulaksumur, Yogyakarta 55281 e-mail: made.benny.prasetya.w@ugm.ac.id
Diajukan: 6 Juli 2021, Diperbaiki: 18 Februari 2022, Diterima: 30 Maret 2022

## Abstrak
Persamaan Hamilton-Jacobi muncul dan berkembang dari masalah kontrol optimal pada bidang ekonomi. Eksistensi dan ketunggalan solusi lemah untuk masalah nilai awal persamaan Hamilton-Jacobi telah lama diselidiki dan dibuktikan keberadaannya. Selanjutnya, penelitian terkait persamaan Hamilton- Jacobi berkembang untuk menyelidiki solusi masalah asimptot persamaan Hamilton-Jacobi yang sekarang dikenal dengan homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi. Pada paper ini dibahas masalah invers pada homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi dimensi satu.  Masalah invers ini menyelidiki keterkaitan antara Hamiltonian dan effective Hamiltonian yang bersesuaian secara terbalik. Pertama-tama, diberikan Hamiltonian 𝐻𝐻 𝑖𝑖 ( 𝑝𝑝 , 𝑥𝑥 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ), 𝑖𝑖 = 1,2 . Masing-masing Hamiltonian 𝐻𝐻 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) diketahui berkorespondensi dengan effective Hamiltonian 𝐻𝐻 𝚤𝚤 ��� melalui masalah sel  ( cell problems ).  Selanjutnya diselidiki keterkaitan antara kedua potensial 𝑉𝑉 𝑖𝑖 jika diketahui kedua effective Hamiltonian yang bersesuaian ekuivalen. Lebih lanjut, diperoleh bahwa jika effective Hamiltonian 𝐻𝐻 1 ���� ≡ 𝐻𝐻 2 ���� maka 𝑉𝑉 1 bernilai konstan jika 𝑉𝑉 2 merupakan fungsi konstan, lebih khususnya 𝑉𝑉 1 ≡ 𝑉𝑉 2 . Selain itu, jika 𝑉𝑉 1 ≤ 𝑉𝑉 2 dan ( 𝐻𝐻 −1 ) ′ merupakan fungsi tak negatif maka 𝑉𝑉 1 ≡ 𝑉𝑉 2 .  Kedua hasil tersebut menggambarkan kaitan antara distribusi kedua potensial dengan effective Hamiltoniannya.
Kata Kunci : effective Hamiltonian , persamaan Hamilton-Jacobi , masalah invers

## Abstract
Hamilton-Jacobi equations are  derived  from optimal control problems arising in economics. Existence and uniqueness of weak solutions to initial value problems for Hamilton-Jacobi equations have long been investigated and  proved.  Further research has been conducted to search for solution of asymptotic problems for Hamilton-Jacobi equations that are well-known as periodic homogenization of Hamilton-Jacobi equations. The existence of effective Hamiltonian correspond to the Hamiltonian through cell problems was proved in non-linear way. In this paper, we investigate inverse problems for periodic homogenization of Hamilton-Jacobi equations in one dimension. The inverse problem investigates relations between the Hamiltonian and its corresponding effective Hamiltonian in reverse way. First, we are given Hamiltonians 𝐻𝐻 𝑖𝑖 ( 𝑝𝑝 , 𝑥𝑥 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ), 𝑖𝑖 = 1,2. Each Hamiltonian 𝐻𝐻 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) is corresponding to effective Hamiltonian 𝐻𝐻 𝚤𝚤 ��� . After that, we investigate relations between both potentials 𝑉𝑉 𝑖𝑖 when the corresponding effective Hamiltonians are equivalent. Furthermore, we discover that if the effective Hamiltonian 𝐻𝐻 1 ���� ≡ 𝐻𝐻 2 ���� then 𝑉𝑉 1 is constant provided 𝑉𝑉 2 is constant function, more specifically 𝑉𝑉 1 ≡ 𝑉𝑉 2 . Moreover, if 𝑉𝑉 1 ≤ 𝑉𝑉 2 and ( 𝐻𝐻 −1 ) ′ is a nonnegative function then 𝑉𝑉 1 ≡ 𝑉𝑉 2 . The result shows that the distribution of both potentials is related to the corresponding effective Hamiltonians. Keywords : effective Hamiltonian, Hamilton-Jacobi equations, inverse problems

## Masalah Invers Pada Homogenisasi Periodik Persamaan Hamilton-Jacobi

## 1 Pendahuluan
Persamaan Hamilton-Jacobi merupakan persamaan diferensial parsial orde satu tak linear. Pada bukunya, Evans [4] menjelaskan hubungan antara persamaan Hamilton-Jacobi dan masalah kontrol optimal serta peranan solusi persamaan Hamilton-Jacobi untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal.  Penelitian pada persamaan Hamilton-Jacobi beberapa dekade terakhir menekankan pada well-posedness dari persamaan ini. Di antaranya, eksistensi solusi, ketunggalan solusi serta laju konvergensinya. Pertanyaan-pertanyaan ini telah banyak terjawab untuk Hamiltonian yang bersifat konveks, namun secara umum belum terpecahkan sepenuhnya sehingga masih banyak masalah terbuka yang perlu diselidiki. Di luar well-posedness , terdapat beberapa masalah yang diselidiki di antaranya sifat-sifat solusi, masalah asimptot, masalah blow-up pada batas, dan masalah regularitas. Lions dkk [1] pada manuskrip yang tidak terpublikasi menyelidiki masalah asimptot  persamaan Hamilton-Jacobi yang sekarang dikenal dengan homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi . Persamaan Hamilton-Jacobi umumnya terkait dengan Hamiltonian 𝐻𝐻 . Pada homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi , solusi 𝑢𝑢 𝑒𝑒 dari masalah syarat awal yang berkorespondensi dengan Hamiltonian 𝐻𝐻 𝑒𝑒 , konvergen ke 𝑢𝑢 yang merupakan solusi masalah syarat awal yang berkorespondensi dengan effective Hamiltonian 𝐻𝐻� . Hubungan antara effective Hamiltonian 𝐻𝐻� dan Hamiltonian 𝐻𝐻 terjalin secara non-linear .
Beberapa tahun terakhir, masalah homogenisasi periodik Hamilton-Jacobi telah dipelajari pada [2]  dan  [3] untuk dimensi satu. Selain itu,  karakteristik effective Hamiltonian serta laju konvergensinya dipelajari pada [6] dan [9]. Selanjutnya, pada [5], [7], dan [8], dipelajari masalah homogenisasi ini serta diselidiki  masalah invers untuk effective Hamiltonian 𝐻𝐻 dalam bentuk separabel. Dengan memandang dua Hamiltonian 𝐻𝐻 𝑖𝑖 ( 𝑝𝑝 , 𝑥𝑥 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ) , dimana 𝑉𝑉 𝑖𝑖 merupakan potensial untuk 𝑖𝑖 = 1,2 , Tran dkk. [5] menyelidiki hubungan 𝑉𝑉 1 dan 𝑉𝑉 2 ketika kedua effective Hamiltonian yang berkorespondensi ekuivalen yaitu 𝐻𝐻 1 ���� ≡ 𝐻𝐻 2 ���� . Pada dimensi satu, diperoleh hasil optimal bahwa kedua potensial memiliki distribusi yang sama jika dan hanya jika 𝐻𝐻 1 ���� ≡ 𝐻𝐻 2 ���� . Pada multi dimensi, hasil yang  diperoleh sangat bergantung pada sifat Hamiltonian 𝐻𝐻 . Khususnya, untuk 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) = 1 2 | 𝑝𝑝 | 2 , diperoleh kedua potensial memiliki nilai norm 𝐿𝐿 2 yang sama. Di lain hal, untuk 𝑉𝑉 𝑖𝑖 yang merupakan fungsi trigonometri dengan beberapa mode , berlaku hubungan yang lebih kuat yaitu
𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑉𝑉 2 � 𝑥𝑥 𝑐𝑐 + 𝑥𝑥 0 � .
Pada hasil penelitian sebelumnya, telah dibahas masalah invers pada homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi untuk kasus Hamiltonian berbentuk separabel.  Penyelidikan

## 67

## Made Benny Prasetya Wiranata
keterkaitan antara Hamiltonian dengan effective Hamiltonian yang bersesuaian perlu dilakukan untuk kasus lainnya. Sejauh pengamatan penulis, masalah invers untuk Hamiltonian berbentuk 𝐻𝐻 1 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 )
belum dikerjakan. Untuk itu, penulis akan membahas masalah invers untuk kasus ini pada dimensi satu.

## 2 Metode Penelitian
Pada penelitian ini digunakan metode penelitian kualitatif yang terdiri dari studi literatur, pengamatan masalah, pengembangan masalah, hipotesa, serta pembuktian hipotesa. Metode yang digunakan untuk pembuktian hipotesa dirangkum dari berbagai sumber literatur. Selanjutnya, hasil yang diperoleh diintepretasikan untuk menjawab masalah awal.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Berikut diberikan deskripsi permasalahan serta beberapa hasil penelitian yang diperoleh peneliti lain yang diperlukan dalam pembahasan hasil pada paper ini. Pertama-tama diberikan definisi solusi viscosity dari masalah Hamilton-Jacobi . Diberikan masalah nilai awal
( 𝐻𝐻 ) � 𝑢𝑢 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) + 𝐻𝐻�𝑥𝑥 , 𝑢𝑢 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) � = 0            pada ℝ × (0, ∞ ) 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 0) = 𝑢𝑢 0 ( 𝑥𝑥 )                                     pada ℝ dengan Hamiltonian 𝐻𝐻 ∶ ℝ × ℝ → ℝ kontinu dan kondisi awal 𝑢𝑢 0 : ℝ → ℝ diberikan.
Definisi 1 [4] Suatu fungsi semikontinu atas 𝑢𝑢 ∶ ℝ × [0, ∞ ) → ℝ dikatakan subsolusi viscosity dari masalah nilai awal (H) jika
• 𝑢𝑢 ( ∙ ,0) ≤ 𝑢𝑢 0 pada ℝ ,
• untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝐶𝐶 1 �ℝ × (0, ∞ ) � , jika 𝑢𝑢 − 𝜑𝜑 mempunyai maksimum lokal di ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) ∈ ℝ × (0, ∞ ) maka
𝜑𝜑 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) + 𝐻𝐻�𝑥𝑥 0 , 𝜑𝜑 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) � ≤ 0.
Suatu fungsi semikontinu bawah 𝑢𝑢 ∶ ℝ × [0, ∞ ) → ℝ dikatakan supersolusi viscosity dari masalah nilai awal (H) jika
• 𝑢𝑢 ( ∙ ,0) ≥ 𝑢𝑢 0 pada ℝ ,
• untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝐶𝐶 1 �ℝ × (0, ∞ ) � , jika 𝑢𝑢 − 𝜑𝜑 mempunyai minimum lokal di ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) ∈ ℝ × (0, ∞ ) maka
𝜑𝜑 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) + 𝐻𝐻�𝑥𝑥 0 , 𝜑𝜑 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) � ≥ 0.

## Masalah Invers Pada Homogenisasi Periodik Persamaan Hamilton-Jacobi
Suatu fungsi kontinu 𝑢𝑢 ∶ ℝ × [0, ∞ ) → ℝ dikatakan solusi viscosity dari masalah nilai awal (H) jika 𝑢𝑢 merupakan subsolusi viscosity dan supersolusi viscosity dari (H).
Selanjutnya, kita beralih ke masalah homogenisasi periodik persamaan Hamilton-Jacobi . Diberikan fungsi 𝐻𝐻 ∶ 𝕋𝕋 × ℝ → ℝ bersifat koersif yaitu
𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) → + ∞ ketika | 𝑝𝑝 | → + ∞ , seragam untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝕋𝕋 . Di sini didefinisikan effective Hamiltonian 𝐻𝐻� melalui masalah sel ( cell problems ). Dipilih 𝑝𝑝 ∈ ℝ , dicari konstan 𝜆𝜆 𝑝𝑝 ∈ ℝ sehingga terdapat solusi viscosity 𝑣𝑣 𝑝𝑝 ∈ 𝐶𝐶 ( 𝕋𝕋 ) dari
( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) 𝑝𝑝 𝐻𝐻�𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 + 𝑣𝑣 𝑝𝑝 ′ � = 𝜆𝜆 𝑝𝑝 pada 𝕋𝕋 .
Misalkan bahwa terdapat dengan tunggal 𝜆𝜆 𝑝𝑝 untuk setiap 𝑝𝑝 , maka dapat didefinisikan 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 ) ≔ 𝜆𝜆 𝑝𝑝 . Secara umum, kita tidak memiliki ketunggalan solusi viscosity dari ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) 𝑝𝑝 bahkan dengan penambahan konstan. Pada teorema berikut diberikan eksistensi dan ketunggalan 𝜆𝜆 𝑝𝑝 . Teorema 2 [1] Asumsikan 𝐻𝐻 ∈ 𝐶𝐶 ( 𝕋𝕋 × ℝ ) bersifat koersif. Maka untuk setiap 𝑝𝑝 ∈ ℝ , terdapat dengan tunggal 𝜆𝜆 𝑝𝑝 ∈ ℝ sehingga ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) 𝑝𝑝 mempunyai solusi viscosity 𝑣𝑣 𝑝𝑝 pada 𝕋𝕋 .
Dengan teorema di atas, maka eksistensi effective Hamiltonian dijamin. Pada penelitian ini, kita asumsikan Hamiltonian berbentuk multiplikasi yaitu 𝐻𝐻 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ), 𝑖𝑖 = 1,2 dengan 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ∈ 𝐶𝐶 ( 𝕋𝕋 ) . Jika kedua effective Hamiltonian sama yaitu 𝐻𝐻 1 ���� ≡ 𝐻𝐻 2 ���� diperoleh beberapa hasil terkait hubungan potensial 𝑉𝑉 1 dan 𝑉𝑉 2 . Hasil pertama yang diperoleh adalah ketika salah satu dari 𝑉𝑉 𝑖𝑖 merupakan fungsi konstan maka yang lainnya juga konstan bahkan keduanya sama. Namun sebelum lanjut pada hasil tersebut, diberikan lemma berikut.
Lemma  3 Diberikan 𝑝𝑝 0 ∈ ℝ . Misalkan 0 < 𝑉𝑉 1 ≤ 1 dan 𝑢𝑢 : ℝ × [0, ∞ ) → ℝ adalah solusi viscosity dari
( Δ ) 𝐻𝐻𝑉𝑉 1 � 𝑢𝑢 𝑡𝑡 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) + 𝐻𝐻�𝑢𝑢 𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) �𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) = 0            pada ℝ × (0, ∞ ) 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 0) = 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 pada ℝ
Misalkan lebih lanjut bahwa min 𝐻𝐻 > 0 dan 𝐻𝐻 terdiferensial pada 𝑝𝑝 0 serta terdapat titik ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) ∈ ℝ × (0, ∞ ) sedemikian sehingga
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) = 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 0 − 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 (1)
maka
𝑉𝑉 1 �𝑥𝑥 0 − ( 𝑡𝑡 0 − 𝑠𝑠 ) 𝐻𝐻 ′ ( 𝑝𝑝 0 ) � = 1
untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ [0, 𝑡𝑡 0 ] .
Bukti. Pertama dipilih Hamiltonian konveks dan superlinier 𝐻𝐻� ∶ ℝ → ℝ sedemikian sehingga 𝐻𝐻� ≥ 𝐻𝐻 , 𝐻𝐻� terdiferensial pada 𝑝𝑝 0 ,
𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) dan 𝐻𝐻� ′ ( 𝑝𝑝 0 ) = 𝐻𝐻′ ( 𝑝𝑝 0 ) .

## Made Benny Prasetya Wiranata
Di sini superlinier berarti fungsi 𝐻𝐻� memenuhi 𝐻𝐻� | 𝑝𝑝 | → ∞ saat | 𝑝𝑝 | → ∞ . Misalkan 𝑢𝑢� adalah solusi viscosity tunggal untuk ( Δ ) 𝐻𝐻�𝑉𝑉 1 . Karena 𝐻𝐻� ≥ 𝐻𝐻 , maka diperoleh bahwa 𝑢𝑢� adalah subsolusi viscosity untuk ( Δ ) 𝐻𝐻𝑉𝑉 1 . Akibatnya, berdasarkan prinsip perbandingan [6] ( comparison principle ), diperoleh bahwa 𝑢𝑢 ≥ 𝑢𝑢� . Lebih lanjut, dapat dikonfirmasi bahwa 𝑣𝑣 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) = 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 adalah solusi klasik untuk ( Δ ) 𝐻𝐻� . Sekali lagi dengan prinsip perbandingan, diperoleh 𝑢𝑢� ≥ 𝑣𝑣 karena 𝐻𝐻�𝑉𝑉 1 ≤ 𝐻𝐻� . Dengan demikian, didapat
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ≥ 𝑢𝑢� ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ≥ 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 .
Selanjutnya, berdasarkan (1) diperoleh bahwa 𝑢𝑢� ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) = 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 . Lebih lanjut, berdasarkan formula kontrol optimal [4],
𝑢𝑢� ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) = min 𝜇𝜇 ( 𝑡𝑡 0 ) =𝑥𝑥 0 , 𝜇𝜇∈𝐴𝐴𝐴𝐴 ([ 0 , 𝑡𝑡 0 ]) �𝑝𝑝 0 𝜇𝜇 (0) + � 𝑉𝑉 1 ( 𝜇𝜇 ( 𝑠𝑠 )) 𝐿𝐿� � 𝜇𝜇′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜇𝜇 ( 𝑠𝑠 )) � 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑡𝑡 0 0 � (2)
dimana 𝐴𝐴𝐶𝐶 ([0, 𝑡𝑡 0 ]) menyatakan himpunan semua fungsi kontinu mutlak pada [0, 𝑡𝑡 0 ] dan 𝐿𝐿� adalah dual konveks atau Lagrangian yang bersesuaian dengan 𝐻𝐻� . Misalkan 𝜉𝜉 ∈ 𝐴𝐴𝐶𝐶 ([0, 𝑡𝑡 0 ]) dengan 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑥𝑥 0 adalah kurva minimal pada (2) sehingga
𝑢𝑢� ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ) = 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 (0) + � 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) 𝐿𝐿� � 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) � 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 .
Karena berlaku juga
𝐿𝐿� � 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) � + 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) ≥ 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ))
hampir dimana-mana pada [0, 𝑡𝑡 0 ], diperoleh
𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 (0) + � 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) 𝐿𝐿� � 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) � 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 ≥ 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 (0) + � 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � �𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 ′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � − 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) � 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 (0) + � 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 − � 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) �𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 (0) + ( 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 0 ) − 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 (0)) − � 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) �𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 0 ) − � 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) � (1 − 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � ) 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 0 ) − 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 + 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) � (1 − 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � ) 𝑡𝑡 0 0 𝑑𝑑𝑠𝑠 ≥ 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉 ( 𝑡𝑡 0 ) − 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑡𝑡 0 = 𝑢𝑢� ( 𝑥𝑥 0 , 𝑡𝑡 0 ).

## 70
Sebagai akibatnya,
𝐿𝐿� � 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) � + 𝐻𝐻� ( 𝑝𝑝 0 ) = 𝑝𝑝 0 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ))
hampir dimana-mana pada [0, 𝑡𝑡 0 ] dan 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � = 1 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ [0, 𝑡𝑡 0 ] . Dengan demikian, karena 𝜉𝜉′ ( 𝑠𝑠 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 )) = 𝐻𝐻� ′ ( 𝑝𝑝 0 ) = 𝐻𝐻′ ( 𝑝𝑝 0 ) maka 𝜉𝜉 ′ ( 𝑠𝑠 ) = 𝐻𝐻 ′ ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � = 𝐻𝐻′ ( 𝑝𝑝 0 ) hampir dimana- mana pada [0, 𝑡𝑡 0 ] . Jadi, dapat disimpulkan bahwa
𝑉𝑉 1 �𝜉𝜉 ( 𝑠𝑠 ) � = 𝑉𝑉 1 �𝑥𝑥 0 − ( 𝑡𝑡 0 − 𝑠𝑠 ) 𝐻𝐻 ′ ( 𝑝𝑝 0 ) � = 1 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ [0, 𝑡𝑡 0 ] .
∎
Teorema  4 Asumsikan 𝑉𝑉 2 ≡ 1 . Misalkan terdapat 𝑝𝑝 0 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝐻𝐻 ∈ 𝐶𝐶 ( ℝ ) , min 𝐻𝐻 > 0 , terdiferensial pada 𝑝𝑝 0 dan 𝐻𝐻′ ( 𝑝𝑝 0 ) adalah bilangan irasional maka
𝐻𝐻 1 ���� ( 𝑝𝑝 0 ) = 𝐻𝐻 2 ���� ( 𝑝𝑝 0 ) dan min ℝ 𝐻𝐻 1 ���� = min ℝ 𝐻𝐻 2 ���� ⟹ 𝑉𝑉 1 ≡ 1 .
Lebih khususnya,
𝐻𝐻 1 ���� ≡ 𝐻𝐻 2 ���� ⇒ 𝑉𝑉 1 ≡ 1 .
Sebelum diberikan bukti teorema di atas, dapat dilakukan generalisasi untuk sebarang fungsi konstan positif. Misalkan 𝐻𝐻 2 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑐𝑐 untuk suatu 𝑐𝑐 > 0 maka 𝐻𝐻 2 ���� ( 𝑝𝑝 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑐𝑐 . Jika 𝐻𝐻 1 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) dan kondisi pada Teorema 4[2] dipenuhi maka jika 𝐻𝐻 2 ���� ( 𝑝𝑝 ) = 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑐𝑐 dan 𝐻𝐻 1 ( 𝑥𝑥 , 𝑝𝑝 ) = ( 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) 𝑐𝑐 ) 𝑉𝑉 1 / 𝑐𝑐 diperoleh 𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) 𝑐𝑐 = 1 atau 𝑉𝑉 1 ≡ 𝑐𝑐 .
Bukti. Berdasarkan hipotesa awal, diperoleh 𝐻𝐻 2 ���� = 𝐻𝐻 . Lebih lanjut, diklaim bahwa
min ℝ 𝐻𝐻 1 ���� = � min ℝ 𝐻𝐻� � max ℝ 𝑉𝑉 1 � (3)
Perhatikan bahwa untuk setiap 𝑝𝑝 ∈ ℝ ,
𝐻𝐻 1 ���� ( 𝑝𝑝 ) ≤ 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 ) max ℝ 𝑉𝑉 1
yang berakibat
min ℝ 𝐻𝐻 1 ���� ≤ � min ℝ 𝐻𝐻� � max ℝ 𝑉𝑉 1 � .
Di sisi lain, misalkan 𝑣𝑣 𝑝𝑝 adalah solusi viscosity dari ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 ) 𝑝𝑝 dan 𝑦𝑦 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑉𝑉 1 ( 𝑦𝑦 ) = max ℝ 𝑉𝑉 1 .  Maka
� min ℝ 𝐻𝐻� � max ℝ 𝑉𝑉 1 � ≤ 𝐻𝐻�𝑝𝑝 + 𝑣𝑣 ′ ( 𝑦𝑦 ) �𝑉𝑉 1 ( 𝑦𝑦 ) = 𝐻𝐻 1 ���� ( 𝑝𝑝 )
dalam arti viscosity untuk setiap 𝑝𝑝 ∈ ℝ . Akibatnya,
� min ℝ 𝐻𝐻� � max ℝ 𝑉𝑉 1 � ≤ min ℝ 𝐻𝐻 1 ���� .
Selanjutnya, berdasarkan (3) dan karena
min ℝ 𝐻𝐻 1 ���� = min ℝ 𝐻𝐻 2 ���� = min ℝ 𝐻𝐻 > 0
maka
max ℝ 𝑉𝑉 1 = 1.
Perhatikan bahwa 0 < 𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 1 untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ ℝ . Tanpa mengurangi keumuman, dapat diasumsikan bahwa 𝑉𝑉 1 ≠ 1 sehingga untuk suatu bilangan 𝑟𝑟 > 0 ,
0 < 𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) < 1, ∀𝑥𝑥 ∈ ( −𝑟𝑟 , 𝑟𝑟 ).                                               (4) Perhatikan bahwa 𝑄𝑄 = 𝐻𝐻′ ( 𝑝𝑝 0 ) adalah bilangan rasional. Kita klaim bahwa terdapat 𝑇𝑇 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ [0,1] , terdapat 𝑡𝑡 𝑥𝑥 ∈ [0, 𝑇𝑇 ], 𝑧𝑧 𝑥𝑥 ∈ ℤ sedemikian sehingga
| 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑄𝑄 − 𝑧𝑧 𝑥𝑥 | ≤ 𝑟𝑟 2.                                                          (5)
Untuk membuktikan klaim ini, dimisalkan
�𝐵𝐵 �𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑟𝑟 4 �� 𝑖𝑖∈ { 1 , 2 ,…, 𝑁𝑁 } , 𝑁𝑁 ∈ ℕ
adalah liput berhingga dari [0,1] dimana 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∈ [0,1] untuk setiap 𝑖𝑖 . Selanjutnya, untuk setiap 𝑖𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑁𝑁 } , karena 𝑄𝑄 adalah bilangan irasional, terdapat 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ≥ 0 dan 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ∈ ℤ sehingga 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑄𝑄 + 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ∈ 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑟𝑟 4 ) . Akibatnya, untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑟𝑟 4 ) diperoleh
| 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑄𝑄 + 𝑧𝑧 𝑖𝑖 | < 𝑟𝑟
2.
Jadi, klaim benar dengan mengambil
𝑇𝑇 = max �𝑡𝑡 𝑖𝑖 | 𝑖𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑁𝑁 } � .
Misalkan 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) adalah solusi viscosity untuk ( Δ ) 𝐻𝐻𝑉𝑉 1 , maka peta 𝑥𝑥 ↦ 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) − 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 adalah 𝕋𝕋 - periodik untuk setiap 𝑡𝑡 ≥ 0 . Berdasarkan Lemma 3[1], diperoleh
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇 ) ≥ 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ .
Asumsikan bahwa terdapat 𝑥𝑥 0 ∈ ℝ sedemikian sehingga
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 0 , 𝑇𝑇 ) = 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 0 − 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 .
Akibatnya, berdasarkan Lemma 3[1] diperoleh
𝑉𝑉 1 �𝑥𝑥 0 − ( 𝑇𝑇 − 𝑠𝑠 ) 𝐻𝐻 ′ ( 𝑝𝑝 0 ) � = 1 ∀𝑠𝑠 ∈ [0, 𝑇𝑇 ].
Dengan sifat periodik, dapat diasumsikan 𝑥𝑥 0 ∈ [0,1] . Jadi, pertidaksamaan (5) berakibat terdapat 𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 ∈ [0, 𝑇𝑇 ] dan 𝑧𝑧 𝑥𝑥 0 ∈ ℤ sedemikian sehingga �𝑥𝑥 0 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 𝑄𝑄 − 𝑧𝑧 𝑥𝑥 0 � ≤ 𝑟𝑟 /2 . Akibatnya,
1 = 𝑉𝑉 1 �𝑥𝑥 0 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 𝐻𝐻 ′ ( 𝑝𝑝 0 ) � = 𝑉𝑉 1 �𝑥𝑥 0 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 𝑄𝑄 − 𝑧𝑧 𝑥𝑥 0 � < 1.
Hal ini menyebabkan kontradiksi. Dengan demikian,
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇 ) > 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ .
Berdasarkan sifat periodik dan kontinu dari 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇 ) − 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 , diperoleh
𝛿𝛿 ≔ min ℝ { 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇 ) − 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 + 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 } > 0.                                        (6)
Dinotasikan
𝑢𝑢 1 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ≔ 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 ) + ℎ ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 − 𝛿𝛿 , ∀ ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ∈ ℝ × [0, ∞ ).
Berdasarkan pertidaksamaan (6), 𝑢𝑢 1 ( 𝑥𝑥 , 0) ≥ 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 0), ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ .  Akibatnya, berdasarkan prinsip perbandingan diperoleh 𝑢𝑢 1 ≥ 𝑢𝑢 dan juga
min ℝ { 𝑢𝑢 1 ( 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇 ) − 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 + 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 } ≥ 𝛿𝛿 .
Selanjutnya, untuk 𝑚𝑚 ≥ 2 , didefinisikan
𝑢𝑢 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ≔ 𝑢𝑢 𝑚𝑚−1 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 + 𝑇𝑇 ) + 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 − 𝛿𝛿 , ∀ ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) ∈ ℝ × [0, ∞ ).
Dengan menggunakan argumen yang serupa dan induksi, dapat diperoleh bahwa 𝑢𝑢 𝑚𝑚 ≥ 𝑢𝑢 dan min ℝ { 𝑢𝑢 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 , 𝑇𝑇 ) − 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 + 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑇𝑇 } ≥ 𝛿𝛿 , ∀𝑚𝑚 ∈ ℕ .
Dengan demikian, untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ ℝ dan 𝑛𝑛 ∈ ℕ ,
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑚𝑚𝑇𝑇 ) ≥ 𝑝𝑝 0 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) 𝑚𝑚𝑇𝑇 + 𝑚𝑚𝛿𝛿
sehingga
𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) = 𝐻𝐻 1 ���� ( 𝑝𝑝 0 ) = lim 𝑚𝑚→∞ − 𝑢𝑢 (0, 𝑚𝑚𝑇𝑇 ) 𝑚𝑚𝑇𝑇 ≤ 𝐻𝐻 ( 𝑝𝑝 0 ) − 𝛿𝛿 𝑇𝑇
yang berakibat kontradiksi. Jadi, 𝑉𝑉 1 ≡ 1.
∎
Teorema 5 Diberikan 𝑉𝑉 1 , 𝑉𝑉 2 ∈ 𝐶𝐶 ( 𝕋𝕋 ) dengan 𝑉𝑉 1 ≤ 𝑉𝑉 2 serta 𝐻𝐻 naik monoton kuat dan mulus. Jika 𝐻𝐻 1 ���� = 𝐻𝐻 2 ���� serta ( 𝐻𝐻 −1 ) ′ > 0 pada (0, ∞ ) maka 𝑉𝑉 1 ≡ 𝑉𝑉 2 .
Bukti. Perhatikan bahwa min ℝ 𝐻𝐻 𝚤𝚤 ��� = min ℝ 𝐻𝐻 max ℝ 𝑉𝑉 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,2 sehingga max ℝ 𝑉𝑉 1 = max ℝ 𝑉𝑉 2 . Terdapat 𝛿𝛿 sehingga untuk 𝑖𝑖 = 1,2 dan 𝑐𝑐 ≥ 𝐻𝐻 ( 𝛿𝛿 )
max{ 𝑝𝑝 ∈ ℝ ∶ 𝐻𝐻 𝚤𝚤 ��� ( 𝑝𝑝 ) = 𝑐𝑐 } = � 𝜓𝜓 � 𝑐𝑐 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ) � 1 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 .
Akibatnya,
� 𝜓𝜓 � 𝜆𝜆 𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ) � 1 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝜓𝜓 � 𝜆𝜆 𝑉𝑉 2 ( 𝑥𝑥 ) � 1 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∀𝜆𝜆 ≥ 𝐻𝐻 ( 𝛿𝛿 )
sehingga
� 𝜓𝜓 ( 𝜆𝜆𝑉𝑉 1 � ( 𝑥𝑥 )) 1 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝜓𝜓 ( 𝜆𝜆𝑉𝑉 2 � ( 𝑥𝑥 )) 1 0 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∀𝜆𝜆 ≥ 𝐻𝐻 ( 𝛿𝛿 )
dengan 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ) , 𝑖𝑖 = 1,2. Selanjutnya, diperoleh
� 𝜓𝜓 ( 𝜆𝜆𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝐹𝐹 1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑎𝑎 1 � 𝜓𝜓 ( 𝜆𝜆𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝐹𝐹 2 ( 𝑡𝑡 ) 𝑎𝑎 1 ∀𝜆𝜆 ≥ 𝐻𝐻 ( 𝛿𝛿 )
dengan 𝐹𝐹 𝑖𝑖 ( 𝑡𝑡 ) ≔ |{ 𝑥𝑥 ∈ [0,1] ∶ 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝑡𝑡 }| adalah distribusi fungsi 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � , 𝑖𝑖 = 1,2 dan 𝑎𝑎 ≥ max{max 𝑉𝑉 1 � , max 𝑉𝑉 2 � }. Dinotasikan 𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) ≔ 𝐹𝐹 2 ( 𝑡𝑡 ) − 𝐹𝐹 1 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ∈ [0, 𝑎𝑎 ] . Jadi, 𝐺𝐺 ∈ 𝐵𝐵𝑉𝑉 [0, 𝑎𝑎 ] dan 𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) ≥ 0, 𝑡𝑡 ∈ [0, 𝑎𝑎 ] . 𝐵𝐵𝑉𝑉 [0, 𝑎𝑎 ] menyatakan himpunan semua fungsi bervariasi terbatas pada [0, 𝑎𝑎 ] . Untuk 𝜆𝜆 ≥ 𝐻𝐻 ( 𝛿𝛿 ) diperoleh
𝐺𝐺 ( 𝑎𝑎 ) = 𝐺𝐺 (0) = 0
dan
� 𝜓𝜓 ( 𝜆𝜆𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) = 0. 𝑎𝑎 0 Dengan memanfaatkan integral parsial diperoleh
� 𝜓𝜓 ′ ( 𝜆𝜆𝑡𝑡 ) 𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0. 𝑎𝑎 1 / 2
Dipilih 𝑚𝑚 ∈ ℕ ∩ [ 𝐻𝐻 ( 𝛿𝛿 ) + 1, ∞ ) dan 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ∈ 𝐼𝐼 𝑚𝑚 = � 𝑚𝑚 2 , 𝑚𝑚 + 𝑎𝑎� sehingga
| 𝜓𝜓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 )| = max 𝑥𝑥∈𝐼𝐼 𝑚𝑚 | 𝜓𝜓 ′ ( 𝑥𝑥 )|.
Selanjutnya, karena
lim 𝑚𝑚→∞ max 𝑥𝑥∈𝐼𝐼 𝑚𝑚 | 𝜓𝜓 ′ ( 𝑥𝑥 ) − 𝜓𝜓′ ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 )|
| 𝜓𝜓′ ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 )| ≤ lim 𝑚𝑚→∞ max 𝑥𝑥∈𝐼𝐼 𝑚𝑚 �𝑎𝑎 − 1 2 � 𝑚𝑚 | 𝜓𝜓 ′′ ( 𝑥𝑥 )| | 𝜓𝜓′ ( 𝑥𝑥 )| = 0
berakibat,
� 𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) 𝑎𝑎 1 / 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 = lim 𝑚𝑚→∞ � 𝜓𝜓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) − 𝜓𝜓 ′ ( 𝑚𝑚𝑡𝑡 ) 𝜓𝜓 ′ ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) 𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0. 𝑎𝑎 1 / 2 Karena 𝐺𝐺 ( 𝑡𝑡 ) ≥ 0, 𝑡𝑡 ∈ � 1 2 , 𝑎𝑎� maka 𝐺𝐺 ≡ 0 hampir dimana-mana pada � 1 2 , 𝑎𝑎� . Dengan demikian, 𝐹𝐹 1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝐹𝐹 2 ( 𝑡𝑡 ) hampir dimana-mana pada [1, 𝑎𝑎 ] . Karena 𝐹𝐹 1 dan 𝐹𝐹 2 kontinu kanan, diperoleh 𝐹𝐹 1 ≡ 𝐹𝐹 2 yang berakibat 𝑉𝑉 1 = 𝑉𝑉 2 .
∎

## 4  Simpulan
Penelitian ini mempelajari hubungan atau kaitan dua fungsi potensial ketika kedua effective Hamiltonian ekuivalen. Hasil pertama mengatakan bahwa kedua potensial akan bernilai konstan jika salah satu potensial bernilai konstan. Lebih khususnya, keduanya merupakan fungsi yang sama. Berdasarkan hasil kedua, jika selisih keduanya tak negatif maka keduanya haruslah sama. Dari fakta diatas dapat disimpulkan bahwa keterkaitan  kedua potensial dalam hal distribusi dipengaruhi oleh effective Hamiltonian yang bersesuaian sama. Kedepannya akan diselidiki lebih lanjut sifat apa saja yang tetap dipertahankan kedua potensial ketika effective Hamiltonian yang bersesuaian ekuivalen.

## 74

## 5  Daftar Pustaka
[1] P. L. Lions, G. C. Papanicolaou, and S. R. S. Varadhan, “Homogenization of Hamilton- Jacobi equations,” Unpublished preprint, 1987.
[2]  M. Concordel, “Periodic Homogenization of Hamilton-Jacobi equations I: additive eigenvalues and variational formula,” Indiana Univ. Math. J. , vol. 45,  pp. 1095-1117, 1996.
[3]  M.  Concordel,  “Periodic Homogenization of Hamilton-Jacobi equations II: eikonal equations,” Proc. Roy. Soc. Edinburgh , vol. 127,  pp. 665-689, 1997.
[4]  L. C. Evans, Partial Differential Equations Second Edition , American Mathematical Society, 2010.
[5]  S. Luo, H. V. Tran, and Y. Yu, “Some inverse problems in periodic homogenization of Hamilton-Jacobi equations,” Arc. Ration. Mech. Anal. , vol. 221, no. 3,  pp. 1585-1617, 2016.
[6]  N. Le, H. Mitake, and H. V. Tran, Dynamical and Geometric Aspects of Hamilton-Jacobi and Linearized Monge-Ampère Equations, Lectures Notes in Mathematics, 2016.
[7]  W. Jing, H.V. Tran, and Y.Yu, “Inverse problems, non-roundness and flat pieces of the effective burning velocity from an inviscid quadratic Hamilton-Jacobi model,” Nonlinearity , vol. 30,  pp. 1853-1875, 2017.
[8]  H. V. Tran and Y.Yu, “A rigidity result for effective Hamiltonians with 3-mode perodic potentials,” Advanced in Math. , vol. 334,  pp. 300-321, 2018.
[9]  H. Mitake, H. V. Tran, and Y. Yu, “Rate of convergence in periodic homogenization of Hamilton-Jacobi equations: the convex setting,” Arch. Ration. Mech. Anal. , vol. 233, no. 2, pp. 901-934, 2019.