Abstrak —Pasar  valuta  asing    merupakan  pasar  dengan  nilai transaksi  terbesar  dengan  nilai  mencapai  5.3  trilliun  US  Dollar pada  April  2013  menurut  survey  yang  dilakukan Bank  of International  Settlements (BIS).Namun,  pergerakan  kurs  valuta asing yang fluktuatif seringkali mengakibatkan trader mengalami banyak kerugian. Sehingga, dibutuhkan suatu metode peramalan untuk  memperkirakan  pergerakan  kurs  valuta  asing  di  masa yang  akan  datang.  Metode  ARIMA  merupakan  salah  satu metode  yang  dapat  digunakan  untuk  peramalan.Penelitian  ini menggunakan  metode  ARIMA  untuk  meramalkanpergerakan kurs  valuta  asing.  Setelah  memperoleh  model  yang  sesuai  dan meramalkan  untuk  17  minggu  ke  depan,  diterapkan  metode heuristik yaitu Algoritma Memetika yang merupakan kombinasi antara  Algoritma  Genetika  dan  Algoritma  Pencarian  Lokal Hill Climbing untuk  memperbaiki  hasil  peramalan  yang  ditunjukkan oleh  nilai error MAPE.  Hasil  akhir  menunjukkan  bahwa Algoritma  Memetika  terbukti  mampu  memperbaiki  hasil peramalan ARIMA, ditunjukkan dengan nilai MAPE yang lebih kecil.
Kata  Kunci —Kurs  Valuta  Asing,  ARIMA,  Algoritma Memetika
I. PENDAHULUAN asar valuta asing atau foreign exchange market merupakan tempat  bertemunya  para  pelaku  pasar  yang  melakukan aktivitas perdagangan berbagai  mata  uang asing. Berdasarkan survey  terakhir  yang  dilakukan  pada  bulan  April  2013  oleh Bank  of  Intenational  Settlements (BIS),  perdagangan  valuta asing  merupakan pasar dengan transaksi terbesar dengan nilai mencapai  4.0  trilliun  US Dollar per  hari  pada  tahun  2010 danmeningkat  hingga  5.3  trilliun  US Dollar pada  April  2013 [1].  Oleh  karena  itu,  hal  tersebut  sangat  mempengaruhi perekonomian  dunia,  terutama  pada  nilai  jual  kebutuhan pokok dalam suatu negara.
Pergerakan  nilai  kurs  valuta  asing  yang  terus  berfluktuasi digunakan sebagai alat untuk mencari keuntungan dengan cara melakukan  pembeliansaat  nilai  tukar  rendah  dan  penjualan kembali  saat  harga  jual  tinggi.  Terbukti,  hanya  8%  dari  data harian  tersebut  yang  digunakan  dalam  transaksi non profit ,sedangkan  92%  digunakan  untuk  mencari  keuntungan [1].
Terdapat  dua  jenis  analisis  utama  yang  dilakukan trader dalam perdagangan valuta asing untuk menentukan waktu jual dan  beli  yaitu  analisis  teknikal  dan  fundamental  [2].Analisis fundamental  adalah  suatu  metode  untuk  memprediksi  arah pergerakan  kurs  valuta  asing  berdasarkan  pengenalan  dan pengukuran  faktor-faktor  fundamental  yang  mempengaruhi kurs  valuta  asing,  seperti  ekonomi,  keuangan,  politik, dll.Sedangkan  analisis  teknikal  merupakan  suatu  metode
peramalan  arah  gerak  harga  dengan  menggunakan  informasi historical data yang biasanya dianalisa menggunakan grafik. Pada  penelitian  sebelumnya  [3],  model  peramalan  kurs valuta asing yang digunakan adalah model A utoregregressive , namun  model tersebut hanya  dapat diterapkan dengan asumsi data  stasioner.  Pada  kenyataannya,  data time  series lebih banyak  bersifat non  stasioner [4].  Sehingga  model ARIMA( Box-Jenkins )  adalah  model  yg  lebih  tepat  untuk meramalkan  pergerakan  kurs  valuta  asing  karena  terdapat proses differencing untuk menstasionerkan data.
Dalam penelitian ini, dilakukan peramalan pergerakan kurs mingguan USD/EUR, USD/SGD, USD/MYR, USD/THB dan USD/IDR  dengan  skema  pendekatan  ARIMA  ( Box-Jenkins ) untuk mendapatkan model ARIMA terbaik.Kemudiandibentuk Algoritma  Memetika  untuk  mengoptimalkan  parameter  AR dan  MA  pada  model  ARIMA  ( Box-Jenkins )  sehingga didapatkan  hasil  peramalan  dengan  nilai error MAPE  yang lebih kecil.

## II. URAIAN PENELITIAN

## A. Model ARIMA(Box-Jenkins)
Model  ARIMA  (Box-Jenkins)  adalah  model  ARMA  yang diterapkan  untuk  data  yang  bersifat  nonstasioner,  kemudian dilakukan differencing untuk  menjadikan  data time  series tersebut  stasioner. Differencing adalah  suatu  operasi  dimana sebuah  data time  series baru  dibangun  dengan  mengambil selisih  dari  nilai  yang  berurutan,  seperti ( )    (     ) sepanjang pola data time series yang nonstasioner.
Secara umum, struktur dari model ARIMA dapat dinyatakan oleh ARIMA( p ,d ,q ), dimana p menyatakan jumlah parameter autoregressive , q adalah  jumlah  dari  parameter moving average, dan d adalah  jumlah  dari  proses differencing yang dilakukan.Bentuk  umum  dari  model  yang  merepresentasikan perilaku nonstasioner seragam dari time series, yaitu [4] : ( )(     ) ( )
Namun  sebelum  merumuskan  model  ARIMA,  terlebih dahulu  data  harus  bersifat  stasioner  terhadap  rata-rata  dan varians. Kestasioneran terhadap varians dapat dilihat dari plot Box-Cox dengan rounded value yang harus bernilai 1, apabila data bersifat non stasioner maka dilakukan Transformasi Box- Cox hingga nilai [5], sedangkan kestasioneran terhadap mean dapat dilihat dari plot data time series. Jika data bersifat non stasioner maka dilakukan proses differencing
Setelah  data  bersifat  stasioner,  penentuan  model  ARIMA terbaik    meliputi  empat  tahapan  yaitu  identifikasi,

## Aplikasi Algoritma Memetika untuk Peramalan Pergerakan Kurs Valuta Asing dengan Menggunakan Model ARIMA ( Box-Jenkins )
Irvandi Syahputra, M. Isa Irawan, dan Nuri Wahyuningsih Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail : mii@its.ac.id
P
Operator
AM
penaksirandan  pengujian  parameter,pemeriksaan  diagnosis dan peramalan[6]:
1. Identifikasi Pada  tahap  ini,  dilakukan  plot time  series, ACF,  dan  PACF. Sehingga ditetapkan model yang telah diketahui orde AR, orde I, dan orde MA.
2. Penaksiran dan Pengujian Parameter
Pendugaan parameter dapat dilakukan dengan metode Least Squares .Setelah didapatkan  nilai estimasi dari  masing-masing parameter  selanjutnya  dilakukan  pengujian  signifikansi  untuk mengetahui apakah model layak atau tidak untuk digunakan.Untuk  pengujian  signifikansi  parameter  dengan  uji t- student . Hipotesis:
: estimasi parameter=0 (parameter model tidak   signifikan)
:  estimasi parameter ≠ 0 (parameter model signifikan)
Statistik Uji:
, st. deviasi parameter ≠ 0
Daerah  penolakan  :  tolak jika |
| dimana  df adalah jumlah data dikurangi parameter 3. Pemeriksaan  Diagnostik
a. Uji Asumsi Residual White Noise
White  noise artinya  tidak  ada  korelasi  pada  deret  residual. Pengujiannya  dapatdilakukan  dengan  hipotesis  sebagai berikut:
Hipotesis:
: (residual memenuhisyarat)
:  minimal  ada
untuk i= 1,2,  ..., k (residual  belum memenuhi syarat) Statistik Uji:
(     ) ∑ ̂ (     ) Kriteria Pengujian: dengan , jika (           ) , maka diterima artinya residual white noise . b.  Uji Asumsi Distribusi Normal
Pengujian  asumsi  distribusi  normal  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesis : : ( ) ( ) untuk  semua (residual  berdistribusi normal)
: ( ) ( ) untuk beberapa (residual tidak berdistribusi normal)
Statistik Uji :
| ( ) ( )| Kriteria Pengujian : dengan ,  jika atau ,  maka
diterima artinya residual model berdistribusi normal. c. Overfitting Salah satu prosedur pemeriksaan diagnostik yang dikemukakan  Box  Jenkins  adalah overfitting ,  yakni  dengan menambah  satu  atau  lebih  parameter  dalam  model  yang dihasilkan  pada  tahap  identifikasi.Model  yang  dihasilkan  dari hasil overfitting dijadikan  sebagai  model  alternatif  yang kemudian  dicari  model  yang  terbaik  diantara  model-model yang  signifikan.  Jika  terdapat  lebih  dari  1  model  yang memenuhi semua uji kelayakan, maka model dengan AIC dan SBC terkecil akan dipilih sebagai model ARIMA terbaik.
Pemilihan  model  terbaik  juga  dapat  dilihat  dengan menggunakan  perhitungan  nilai Mean  Absolute  Percentage Error (MAPE), yaitu  ukuran kesalahan  yang dihitung dengan mencari  nilai  tengah  dari  presentase  absolut  perbandingan kesalahan  atau error dengan  data  aktualnya.  Didefinisikan MAPE adalah sebagai berikut :
∑ | ̂ (   )|

## B.Penerapan Algoritma Memetika (AM)
Pada tahap ini, dilakukan penerapan model ARIMA ( p, d, q ) ke  dalam  sebuah  simulasi  dengan  cara  menggunakan  model ARIMA  ( p,  d,  q )  untuk  mengevaluasi  nilai fitness pada Algoritma  Memetika  .Adapun  langkah-langkah  penerapan Algorima Memetika dapat dilihat pada Gambar 1 [7].
.Gambar 1. Flowchart Algoritma Memetika

## III. HASIL/PEMBAHASAN

## A.  Analisis  Model  ARIMA  untuk  kurs  USD    terhadap  EURO (USD/EUR)
Data  yang  digunakan  adalah  data  mingguan midpoint kurs valuta  asing  USD/EUR  dalam  jangka  waktu  4  tahun  yaitu Januari 2011 sampai Desember 2014 sebagai data out sample , dan Januari 2015 sampai Mei 2015 untuk data in sample yang diperoleh dari website forex trader http://www.oanda.com . Berikut  ini  dijelaskan  langkah-langkah  merumuskan  model ARIMA untuk kurs USD/EUR :
1. Uji Stasioneritas Data Data time  series dikatakan  stasioner  apabila  tidak  terdapat perubahan  secara  signifikan,  baik  dalam mean maupun varians. Stasioneritas terhadap varians dapat diidentifikasi dari nilai rounded  value dari  hasil  plot  Box-Cox  yang  harus bernilai  1.  Dari  Gambar  2(a)  dapat  dilihat  bahwa  data
Pengkodean kromosom Bentuk Populasi Parameter ARIMA Evaluasi Nilai fitness Local Search Seleksi Cross over Mutasi No Parameter Optimal Nilai MAPE Local Search Yes
menunjukkan  kestasioneran terhadap varians  karena  memiliki rounded  value =1.  Sehingga  data  tersebut  tidak  perlu distasionerkan dengan menggunakan Transformasi Box-Cox.
Setelah  data  memenuhi  stasioneritas  terhadap  varians, selanjutnya diidentifikasi stasioneritas terhadap mean denganmengidentifikasi  plot time  series pada  Gambar  2(b) yangmenunjukkan  bahwa  pola  data  cenderung  fluktuatif  dan bergerak  mengikuti trend ,  artinya  data  kurs  USD/EUR  tidak stasioner  terhadap mean. Maka  dari  itu,  diperlukan  proses differencing untuk  menjadikan data tersebut bersifat stasioner yang ditunjukkan oleh Gambar 2(c).
Gambar  2.  (a)Plot  Box-Cox  Data  Kurs  USD/EUR, (b)Plot Time Series, dan (c)Plot Time Series Hasil Differencing Pertama Kurs USD/EUR
Pada Gambar 2(c), terlihat bahwa data mengalami fluktuasi disekitar mean , artinya data time series kurs USD/EURsetelah differencing pertama telah bersifat stasioner. Karena data telah stasioner  terhadap mean maupun  varians,  maka  data  kurs USD/EURtersebut telah bersifat stasioner. 2. Identifikasi Model
Setelah  data  stasioner,  langkah  selanjutnya  adalah mengidentifikasi orde AR(p)dan MA(q) berdasarkan hasil plot ACF  dan  PACF  dari  hasil differencing pertama  kurs USD/EUR.  Pemilihan  model  ARIMAyang  sesuai  dilakukan dengan melihat lag yang keluar dari batas signifikan.
Gambar 3. (a)Plot ACF dan (b)Plot PACF Kurs USD/EUR
Plot  ACF  dan  PACF  hasil differencing pertama  kurs USD/EUR  dapat  dilihat  pada  Gambar  3(a)  dan  Gambar 3(b).Dari  Gambar  3(a)  ditunjukkan  bahwa  terdapat  1  lag  plot
ACF  yang  keluar  dari  batas  signifikan,  yaitu  pada  lag  ke-1. Sedangkan  Gambar    3(b)  menunjukkan  bahwa  terdapat  5  lag plot  PACF  yang  keluar  dari  batas  signifikan,  yaitu  pada  lag ke- 1, 2, 8, 26, dan 27. Berdasarkan plot ACF dan PACF hasil differencing pertama  kurs  USD/EUR,  ditentukan  dugaan model sementara yaituARIMA(2,1,1).
3. Estimasi dan Pengujian Parameter Model
Estimasi  parameter  dan  uji  signifikansi  untuk  model sementara dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Estimasi Parameter Model ARIMA (2,1,1)
Parameter Koefisien SE t-stat. P- value AR(1)= -0.049516 0.229647 -0.215619 0.8295 AR(2)= -0.032931 0.114394 -0.287877 0.7737 MA(1)= 0.454431 0.224405 2.025046 0.0442 Uji signifikansi parameter menggunakan Uji-t : 1. Menguji parameter AR(1)= Hipotesis: : = 0 (parameter tidak signifikan)
: ≠ 0 (parameter signifikan)
Statistik uji:
( ) dengan karena | | maka diterima artinya parameter tidak signifikan. 2. Menguji parameter AR(2)= Hipotesa:
: = 0 (parameter tidak signifikan)
: ≠ 0 (parameter signifikan) Statistik uji:
( ) dengan karena | |
maka diterima artinya parameter tidak signifikan. 3. Menguji parameter MA(1)=
Hipotesa:
: = 0 (parameter tidak signifikan)
: ≠ 0 (parameter signifikan) Statistik uji: (  ) dengan karena | | maka
ditolak artinya parameter signifikan.
Berdasarkan  hasil  analisis  uji  signifikansi  terhadap parameter-parameter  AR(p)  dan  MA(q),  terlihat  bahwa parameter dan tidak signifikan dalam model, sedangkan parameter signifikan. 4. Uji Diagnostik
Selanjutnya,  model  ARIMA  terbaik  harus  memenuhi  dua asumsi  residual,  yaitu white  noise dan  berdistribusi  normal. Berikut  ini  dijelaskan  uji  asumsi  diagnostik  terhadap  model ARIMA(2,1,1).  Pengujian  asumsi white  noise dilakukan dengan menggunakan uji Ljung –Box.
1. White Noise Hipotesa :
(residual white noise )
(a) (b) (a) (b) (c)
Individu 1 Individu 2 Individu 3 Individu 4
minimal  ada  satu
,  dengan
(residual tidak white noise ) Statistik uji : Untuk k (lag maksimum) = 6, maka :
(     ) ∑ ̂ ̂ autokorelasi residual ke-k
daritabel distribusi Chi-Square , didapatkan:
(          )
Karena (          ) , maka hipotesa diterima, artinya
residual bersifat white noise . Dengan metode yang sama untuk lag 12, 18, dan 24.
Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan untuk pengujian asumsi residual berdistribusi normal.
Hipotesa :
( ) ( ) untuk semua (berdistribusi normal)
( ) ( ) untuk  beberapa (tidak  berdistribusi normal)
Statistik uji: | ( ) ( )| Karena maka  hipotesa ditolak,
sehingga hipotesa diterima bahwa residual model ARIMA (2,1,1)  berdistribusi  normal.  Dengan  kata  lain,  model ARIMA(2,1,1)  bukan  merupakan  model  yang  baik  karena tidak  memenuhi  uji  signifikansi  parameter  dan  uji  normalitas residual.
Maka  diperlukan  tahap overfitting untuk  mendapatkan model-model  lain  yang  sesuai  dengan  kriteria  pengujian ARIMA.Model  yang  dihasilkan  dari  hasil overfitting dibandingkan  dan  kemudian  dicari  model  terbaik  yang  sesuai dengan kriteria pengujian. Adapun model-model yang diujikan adalah sebagai berikut :
1. ARIMA(2,1,0)
2. ARIMA([1,2,8],1,0)
3. ARIMA(8,1,1)
4. ARIMA(26,1,1)
5. ARIMA([1,2,26],1,0)
Tabel  2.  Hasil  Uji  Signifikansi  dan  Uji  Diagnostik  kurs USD/EUR Model Uji Signifikansi Uji White Noise Uji Normalitas ARIMA(2,1,0) Signifikan w.n Normal ARIMA([1,2,8],1,0) Signifikan w.n Normal ARIMA(8,1,1) Signifikan w.n Normal ARIMA(26,1,1) Signifikan w.n Normal ARIMA([1,2,26],1,0) Signifikan w.n Normal
Dari  Tabel  2  didapatkan  5  model  yang  memenuhi  semua kriteria  uji.Tahap  selanjutnya  adalah  membandingkan  nilai AIC  dan  SBC.Perbandingan  nilai  AIC  dan  SBC  dapat  dilihat pada  Tabel  3.  Sedangkan,  dari  Tabel  3  didapatkan  model ARIMA([26],1,1)  merupakan  model  dengan  nilai  AIC  dan SBC  terkecil.  Dengan  kata  lain,  model  ARIMA([26],1,1) merupakan  model  ARIMA  terbaik  untuk  meramalkan pergerakan  kurs  USD/EUR.  Bentuk  umum  dari  model ARIMA([26],1,1), yaitu :
̂ ( ) Tabel 3.Perbandingan Nilai AIC dan SBC kurs USD/EUR Model AIC SBC ARIMA(2,1,0) -7.30512 -7.27281 ARIMA([1,2,8],1,0) -7.3595 -7.31002 ARIMA(8,1,1) -7.35841 -7.32543 ARIMA(26,1,1) -7.45262 -7.41741 ARIMA([1,2,26],1,0) -7.43503 -7.38222
dengan  cara  yang  sama,  didapatkan  model  terbaik  untuk USD/SGD,  USD/MYR,  USD/THB,  dan  USD/IDR  dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4. Model ARIMA( p, d, q ) Terbaik untuk Setiap Kurs
Kurs Model ARIMA USD/EUR ARIMA([26],1,1) USD/SGD ARIMA(2,1,0) USD/MYR ARIMA(0,0,1) USD/THB ARIMA([10,26],1,1) USD/IDR ARIMA(1,1,[31])

## B. Penerapan Algoritma Memetika untuk Kurs USD/EUR
Berikut  ini  djelaskan  langkah-langkah  contoh  penerapan Algoritma  Memetika  kurs  mingguan  USD/EUR  dengan jumlah individu sebanyak 4.

## Pengkodean Kromosom
Misalkan  bilangan  acak  yang  terpilih  untuk adalah dan adalah .  Maka  representasi  binernya
dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar  4.  Representasi  Biner  dengan  parameter dan

## Inisialisasi Populasi
Misalkan  individu  1  memiliki  nilai  parameter dan ,  individu  2  dengan  parameter dan , individu 3 dengan parameter dan ,  dan  individu  4  dengan parameter dan yang  kemudian
dikonversikan  kedalam  bilangan  biner.  Hasil  konversi  biner untuk setiap individu dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5. Contoh Inisialisasi Populasi Kurs Mingguan USD/EUR Sebanyak 4 Individu
Peramalan dilakukan dengan menggunakan model ARIMA([26],1,1), sehingga didapat model peramalan sebagai berikut:
0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0
Induk 1
Induk 2
Anak 1 Anak 2 Induk 1 Induk 2 Anak 1 Anak 2
̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) dengan: ̂
Nilai  peramalan  kurs  mingguan  USD/EUR  hari ke- t
Nilai  kurs  mingguan  USD/EUR  ke- t dari  data yang telah stasioner terhadap varians Parameter AR pada lag ke-26 Parameter MA pada lag ke-1 Nilai residual
Sehingga,  jika  data  kurs  mingguan  USD/EUR  di substitusikan ke persamaan diatas, maka didapatkan
̂ (      ) ((     )   (      )) (        ) ̂ (      ) ((      )   (     )) (        )
̂ (     ) ((      )   (      )) (        )
Fungsi  tujuan  dari  Algoritma  Memetika  ini  adalah  untuk meminimumkan error atau  nilai  MAPE  dari  hasil  ramalan data in  sample. Oleh  karena  itu,  fungsi  tujuan  tersebut  dapat dinyatakan ke dalam bentuk matematis seperti berikut :
( ) ∑ | ̂
|

## Pencarian Lokal Hill Climbing
Misalkan  pada  individu  1  diterapkan  Algoritma Hill Climbing ,  maka  akan  dihasilkan  individu  1’  hasil  penerapan Algoritma Hill  Climbing yang  memiliki  nilai fitness lebih tinggi.  Contoh  penerapan  Algoritma Hill  Climbing pada individu 1 dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil Penerapan Algoritma Hill Climbing Nilai Fitness Individu 1 -0.2879 0.5759 0.5827 Individu 1’ 0.86458 -0.4249 0.9133

## Evaluasi Fungsi Fitness
Setelah  populasi  awal  terbentuk,  selanjutnya  dilakukan proses  evaluasi  fungsi fitness untuk  semua  individu  dalam populasi.  Karena  fungsi  tujuan  dari  Algoritma  Memetika  ini adalah  meminimumkan  nilai  MAPE  fungsi fitness untuk peramalan kurs mingguan USD/EUR adalah sebagai berikut :
( ) ∑ | ̂ |
Sehingga  dari  persamaan  diatas  didapatkan  nilai-nilai peramalan  dari  data  ke-210  samapai  data  ke-226  untuk individu 1, yaitu:
̂ ̂ ̂

## ̂
Tabel 6. Nilai Fitness Individu Nilai Fitness 1 0.9133 2 0.5145 3 0.6189 4 0.7766
dengan cara yang sama didapatkan nilai fitness dari masing- masing individu yang dapat dilihat pada Tabel 6.
Seleksi Roulette Wheel
Berikut adalah contoh metode seleksi roulette wheel dengan menggunakan  populasi  dari  contoh  diatas.  Dari  Tabel  6  telah diperoleh  nilai fitness dari  masing-masing  individu.  Tahap selanjutnya  adalah  menghitung  jumlah  kumulatif    dari  nilai fitness dibagi dengan jumlah keseluruhan dari nilai fitness atau yang biasa disebut proporsi kumulatif yang dapat dilihat pada Tabel 7.
Tabel 7. Tabel Proporsi Kumulatif Individu Proporsi Kumulatif 1 0.1822 2 0.4014 3 0.6765 4 1
Selanjutnya  dipilih  bilangan  acak  [0,1]  untuk  memilih individu  yang  akan  dijadikan  sebagai  induk.  Jika  nilai  dari proporsi  kumulatif  dikurangi  dengan  nilai  bilangan  acak menghasilkan  bilangan  non  negatif,  maka  individu  pertama yang  memiliki  bilangan  non  negatif  tersebut  akan  dipilih sebagai induk.
One Point Crossover Operator one  point  crossover dilakukan  sebanyak  ½  kali jumlah  individu  dikarenakan  setiap  operasi one  point crossover akan menghasilkan dua individu baru sebagai anak. Contoh  dari one  point  crossover untuk  kasus  diatas  dapat dilihat  pada  Gambar  6.Misalkan  titik  persilangannya  terdapat pada lokus ke-21.
Gambar 6. Operator One Point Crossover pada Individu 1

## Mutasi
Proses mutasi untuk individu terpilih adalah mengubah nilai bilangan  biner  dengan  0  atau  1.  Jika,  lokus  terpilih  memiliki allele bernilai  1,  maka  setelah  proses  mutasi  nilai allele 1 diubah  menjadi 0 dan  sebaliknya. Pemilihan  gen dalam suatu individu  yang  akan  dilakukan  mutasi  dipilih  secara  acak. Biasanya nilai probabilitas mutasi berkisar antara 0,005 – 0,01 [8].
Contoh  mutasi  terhadap  anak1  dapat  dilihat  pada  Gambar 7.Misalkan  dalam  penentuan  lokus  acak,  lokus  ke-21  terpilih untuk terjadinya mutasi.
Gambar 7. Mutasi pada Anak 1 Selanjutnyaditerapkan  Algortima Hill  Climbing kembali untuk meningkatkan nilai fitness dari masing-masing individu. Proses  yang  sama  akan  dilakukan  terus  menerus  hingga
0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
jumlah  maksimum  generasi  tercapai.  Individu  dengan  nilai finess terbesar  akan  dipilih  sebagai  solusi  optimal  yang  akan dievaluasi  kembali  untuk  menghitung  nilai error MAPE. Selanjutnya, dilakukan perbandingan nilai error MAPE untuk parameter  dari  Model  ARIMA([26],1,1)  dengan  parameter hasil optimalisasi dengan Algoritma Memetika.
Cara yang sama dilakukan untuk Kurs yang lain, kemudian pengujian  dilakukan  sebanyak  masing-masing  5  kali  dengan jumlah  individu  50  dan  150,    jumlah  generasi  50  dan  250 dengan  probabiltas  mutasi  0.01.  Setelah  itu  didapatkan  rata- rata  nilai  MAPE  terkecil  terdapat  pada  percobaan  untuk  150 individu  dan  250  generasi  dengan  probabilitas  mutasi  0.01 yang dapat dilihat pada Gambar 8.
Gambar  7. Plot Perbandingan  Hasil  Algoritma  Memetika  dan ARIMA  untuk  150  Individu  dan  250  Generasi  (a)USD/EUR, (b)USD/SGD, (c)USD/MYR, (d)USD/THB, dan (e) USD/IDR

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  dari  seluruh  proses  pada  bab-bab  sebelumnya, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Model  ARIMA  terbaik  untuk  kurs  mingguan  USD/EUR adalah ARIMA([26],1,1), kurs mingguan USD/SGDadalah ARIMA(2,1,0), kurs mingguan USD/MYR adalah ARIMA(0,1,1), kurs mingguan USD/THB adalah
ARIMA([10,26],1,1), dan kurs mingguan USD/IDR adalah ARIMA(1,1,[31]).
2. Dari  setiap  percobaan  yang  dilakukan,  dapa  disimpulkan untuk  jumlah  individu  dan  generasi  yang  lebih  banyak menunjukkan  rata-rata  nilai  MAPE  yang  lebih  kecil., namun  membutuhkan  waktu  komputsi  yang  relatif  lebih lama  daripada  yang  lainnya.  Percobaan  dengan  150 individu  dan  50  generasi  memiliki  rata-rata  nilai  MAPE yang hampir sama, namun waktu komputasi nya jauh lebih cepat  dibandingkan  percobaan  150  individu  dengan  250 generasi.  Oleh  karena  itu,  percobaan  dengan  150  individu dan  50  generasi  sudah  cukup  untuk  meramalkan pergerakan kurs valuta asing.
3. Nilai parameter AR dan MA terbaik untuk kurs USD/EUR, yaitu dan ,  kurs  USD/SGD dengan dan ,  kurs  USD/MYR dengan ,  kurs  USD/THB  dengan , ,  dan ,  dan  kurs USD/IDR dengan dan . 4. penerapan  Algoritma  Memetika  dengan  menggunakan model  ARIMA  mampu  menurunkan  nilai error MAPE hingga  0.45%.  Sehingga  dapat  dijadikan  referensi  untuk melakukan  analisa  pergerakan  kurs  valuta  asing  di  masa yang akan datang.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]    Bank  for  International  Settlements.  2013. Triennial Central  Bank  Survey,  Foreign  Exchange  Turnover  in April 2013: Preliminary Global Results. http://www.bis.org/ . Diakses pada tanggal 08-02-
2015.
[2]  Charisma Berlianta, Heri. 2006. Mengenal Valuta Asing. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press.
[3]  Kautsar, Abrar TB.M. 2008. Prediksi Kurs Valuta Asing Menggunakan Algoritma Memetika .Depok : Departemen Matematika Universitas Indonesia.
[4]  Bisgard,  Soren  dan  Kulahci,  Murat.  2011. Time  Series Analysis  and  Forecasting  by  Example. Denmark  :  A John Wiley & Sons, Publication.
[5]  Yuni  Cahyani,  Ni  Wayan,  dkk.  2015. Perbandingan Transformasi  Box-Cox  dan  Regresi  Kuantil  Median dalam Mengatasi Heteroskedastisitas. E-Jurnal Matematika Vol. 4 (1), Januari 2015, pp. 8-13
[6]  Tauryawati,  Mey  Lista.  2014. Perbandingan  Metode Fuzzy Time Series Cheng dan Metode Box-Jenkins untuk Memprediksi  IHSG.. JURNAL  SAINS  DAN  SENI POMITS Vol. 3, No. 2, (2014) ISSN: 2337-3539
[7]  Palit,  Ajoy  K.  dan  Popovic,  Dobrivoje.  2005. Computational Intelligence in Time Series Forecasting : Theory and Engineering Applications. London: Springer.
[8]  Saputro,  Aris.  2010. Penentuan  Kombinasi  Optimum Jumlah, Berat dan Waktu Tambat Kapal di PT (Persero) Pelabuhan Indonesia III Gresik Menggunakan Algortima  Genetika. Surabaya  :  Jurusan  Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
(a) (c) (b) (d) (e)