## SIFAT ALJABAR  BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA KELAS 𝑫(𝑲)

## Malahayati
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Himpunan semua fungsi Baire kelas satu yang terbatas pada K ditulis 𝐵 1 (𝐾) , dengan K sembarang ruang metrik separabel. Salah satu kelas bagian terpenting dari 𝐵 1 (𝐾) adalah 𝐷(𝐾) , yang menotasikan kelas semua fungsi pada 𝐾 yang merupakan selisih fungsi-fungsi semikontinu terbatas pada K. Pada paper ini dibuktikan bahwa sifat aljabar Banach komutatif  dan elemen identitas berlaku di kelas 𝐷(𝐾) .
Kata kunci: Ruang metrik separabel, Aljabar Banach, Baire Kelas Satu, fungsi semikontinu, kelas 𝑫(𝑲) .

## ABSTRACT
The first Baire class of bounded functions on separable metric spaces K denoted by 𝐵 1 (𝐾) . One of the most  important  subclass  of 𝐵 1 (𝐾) is  D(K),  by  D(K)  is  denoted  the  class  of  all  functions  on  K  which  are differences of bounded semicontinuous functions. In this paper we proved that D(K) is abelian Banach algebra and identity element.
Keywords: Separable metric spaces, Banach Algebra, The first Baire class, Semicontinuous functions, The Class D(K)

## PENDAHULUAN
Himpunan  semua  fungsi  Baire  kelas  satu yang terbatas  pada K ditulis 𝐵 1 (𝐾) , dengan K sembarang  ruang  metrik  separabel. Salah  satu kelas bagian terpenting dari 𝐵 1 (𝐾) adalah 𝐷(𝐾) , yang menotasikan kelas semua fungsi pada 𝐾 yang merupakan  selisih  fungsi-fungsi  semikontinu terbatas  pada K. Kelas 𝐷(𝐾) pertama  kali dikenalkan  oleh  A.S  Kechris  dan  Louveau  pada tahun 1990. Banyak peneliti yang telah membahas tentang  kelas  fungsi 𝐷(𝐾) .  Sejalan  dengan kemajuan  sains  dan  teknologi,  kajian  tentang 𝐷(𝐾) juga  mengalami  perkembangan  sehingga muncul  beberapa  pengertian  tentang 𝐷(𝐾) dan norma  pada 𝐷(𝐾) ,  seperti  yang  ditulis  oleh Haydon,  Odell,  Rosenthal  (1991)  dan  Rosenthal (1994)  serta  Farmaki  (1996).  Kelas  fungsi 𝐷(𝐾) memiliki  peranan  penting  dalam  cabang matematika  diantaranya  analisis  fungsional, khususnya  dalam  pengaplikasian  teori  ruang Banach.  Oleh  karena  itu  penulis  tertarik  untuk membuktikan  sifat  aljabar  Banach  komutatif dengan elemen identitas pada kelas 𝐷(𝐾) .

## TEORI DASAR
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  beberapa pengertian  dasar  dan  sifat    yang  merupakan konsep  awal  untuk    dipahami  agar  mudah mengikuti  pembahasan  selanjutnya.  Pengertian- pengertian dan sifat-sifat yang disajikan diadopsi
dari  beberapa  literatur    yang  disebutkan  pada daftar pustaka.
Definisi  2.1  (Aljabar  Banach) Aljabar  adalah ruang  linear 𝐴 yang  di  dalamnya  didefinisikan operasi multiplikasi sehingga  untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 dan skalar 𝛼 , berlaku
1) 𝑥𝑦 ∈ 𝐴
2) 𝑥(𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧
3) 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
4) (𝑥 + 𝑦)𝑧 = 𝑥𝑧 +yz
5) 𝛼(𝑥𝑦) = (𝛼𝑥)𝑦 = 𝑥(𝛼𝑦).
Selanjutnya 𝐴 dikatakan komutatif ( abelian ) jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 berlaku 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 . Aljabar 𝐴 dikatakan  mempunyai  elemen  identitas  jika terdapat  dengan  tunggal  elemen 𝑒 ≠ 𝟎 sehingga 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒 = 𝑥 untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐴 .  Elemen 𝑒 ini disebut elemen identitas. Aljabar bernorma 𝐴 ialah suatu aljabar  yang dilengkapi dengan norma ‖. ‖ sehingga ‖𝑥𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖ untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 . Sedangkan aljabar bernorma yang lengkap disebut aljabar Banach.
Selanjutnya  diberikan  definisi  fungsi semikontinu,  yang  akan  digunakan  dalam mendefinisikan kelas fungsi 𝐷(𝐾) . Fungsi – fungsi yang  dibicarakan  bernilai  real  dan  didefinisikan pada 𝐸 ,  dengan E himpunan  bagian  dari  ruang metrik X . Sebelumnya disepakati terlebih dahulu bahwa  setiap  pengambilan  infimum  dan supremum dari suatu himpunan pada bagian ini,
himpunan yang  dimaksud  merupakan himpunan bagian  dari 𝑹 ̅ ,  dengan 𝑹 ̅ = 𝑹 ∪ {−∞, ∞} .  Dalam mendefinisikan  fungsi  semikontinu  diperlukan konsep limit atas dan limit bawah, oleh karena itu akan diberikan definisi limit atas dan limit bawah terlebih dahulu.
Definisi  2.2  (Limit  atas  dan  Limit  Bawah) Diberikan fungsi f yang di definisikan pada 𝐸 dan 𝑥 0 ∈ 𝐸 .
1) Limit  atas  (upper  limit)  fungsi    f    ketika  x mendekati 𝑥 0 ditulis  dengan lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) dan didefinisikan
lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = inf {𝑀 𝜀 (𝑓, 𝑥 0 ): 𝜀 > 0 }, dengan 𝑀 𝜀 (𝑓, 𝑥 0 ) = sup {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑁 𝜀 (𝑥 0 ) ∩
𝐸}.
2) Limit  bawah  (lower  limit)  fungsi    f    ketika  x mendekati 𝑥 0 ditulis  dengan lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) dan didefinisikan
lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = sup {𝑚 𝜀 (𝑓, 𝑥 0 ): 𝜀 > 0 } , dengan 𝑚 𝜀 (𝑓, 𝑥 0 ) = inf {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑁 𝜀 (𝑥 0 ) ∩ 𝐸}.
Pada Definisi 2 diatas, nilai limitnya selalu ada dan dapat bernilai berhingga, +∞ , atau −∞ .
Definisi  2.3  (Fungsi  Semikontinu) Diberikan fungsi  f  yang didefinisikan pada 𝐸 dan 𝑥 0 ∈ 𝐸.
1) Fungsi 𝑓 dikatakan semikontinu atas  ( upper semicontinuous )    di 𝑥 0 apabila 𝑓(𝑥 0 ) = lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) .  Selanjutnya,  fungsi 𝑓 dikatakan semikontinu atas  pada  E  apabila   fungsi  f semikontinu atas  disetiap 𝑥 0 ∈ 𝐸.
2) Fungsi 𝑓 dikatakan  semikontinu    bawah
( lower  semicontinuous )    di 𝑥 0 apabila 𝑓(𝑥 0 ) = lim 𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥). Selanjutnya,  fungsi 𝑓 dikatakan  semikontinu  bawah    pada    E apabila  fungsi  f  semikontinu bawah  disetiap 𝑥 0 ∈ 𝐸.
3) Fungsi  yang  semikontinu  atas  atau semikontinu  bawah    dinamakan  fungsi semikontinu.
Pada  pembuktian  sifat-sifat  kelas 𝐷(𝐾) , pemakaian  definisi  kelas 𝐷(𝐾) secara  langsung cukup  menyulitkan.  Oleh  karena  itu,  diperlukan suatu  hasil  yang  lebih  memudahkan  dalam pembahasan yang  dimaksud.  Fungsi–fungsi yang dibicarakan bernilai real dan didefinisikan pada 𝐾 , dengan K sebarang ruang metrik separabel. Selain itu, himpunan semua fungsi–fungsi kontinu pada K dinotasikan dengan 𝐶(𝐾) .
Lemma 2.4 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) jika dan hanya jika terdapat fungsi-fungsi semikontinu bawah terbatas u dan v  pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .
Bukti :  (Syarat  cukup). Diketahui    fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas u dan v pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . Menurut definisi 𝐷(𝐾) ,  jelas 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) .
(Syarat  perlu).  Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) ,  berarti terdapat fungsi–fungsi semikontinu terbatas u dan v pada K , sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .  Dalam hal ini ada beberapa kemungkinan, yaitu:
Kemungkinan pertama: Jika 𝑢 dan 𝑣 fungsi-fungsi semikontinu atas terbatas pada K , maka diperoleh 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = (−𝑣) − (−𝑢) . Karena 𝑢 dan 𝑣 fungsi- fungsi semikontinu atas, maka – 𝑢 dan – 𝑣 fungsi- fungsi  semikontinu  bawah.  Oleh  karena  itu, apabila 𝑢′ = −𝑣 dan 𝑣 ′ = −𝑢 maka diperoleh 𝑢′ , 𝑣′ fungsi-fungsi semikontinu bawah  terbatas pada K dan 𝑓 = 𝑢 ′ − 𝑣′ .
Kemungkinan  kedua:  Jika 𝑢 fungsi  semikontinu bawah terbatas pada K dan 𝑣 fungsi semikontinu atas terbatas pada K , maka 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = (𝑢 − 𝑣) − 0 .  Karena 𝑣 fungsi  semikontinu  atas,  maka – 𝑣 fungsi semikontinu bawah sehingga 𝑢 − 𝑣 fungsi semikontinu bawah. Oleh karena itu, apabila 𝑢 ′ = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑣 ′ = 0 maka    diperoleh 𝑢′ , 𝑣′ fungsi- fungsi  semikontinu  bawah  terbatas  pada K dan 𝑓 = 𝑢 ′ − 𝑣 ′ .
Kemungkinan  ketiga  :  Jika 𝑢 fungsi  semikontinu atas  terbatas  pada K dan 𝑣 fungsi  semikontinu bawah  terbatas  pada K ,    maka 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = 0 − (𝑣 − 𝑢) . Karena 𝑢 fungsi semikontinu atas, maka
– 𝑢 fungsi  semikontinu  bawah  sehingga 𝑣 − 𝑢 fungsi  semikontinu  bawah.  Oleh  karena  itu,  jika 𝑢 ′ = 0 , dan 𝑣 ′ = 𝑣 − 𝑢 maka  diperoleh 𝑢′ , 𝑣′ fungsi-fungsi semikontinu bawah terbatas pada K dan 𝑓 = 𝑢 ′ − 𝑣′ . ∎
Untuk selanjutnya, apabila 𝑓 sebarang fungsi yang didefinisikan pada K , notasi 𝑓 ≥ 0 dimaksudkan 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ 𝐾 .
Lemma  2.5 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) jika  dan hanya  jika terdapat  fungsi–fungsi  semikontinu  bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0  pada K,  sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .
Bukti :  (Syarat  cukup). Diketahui  fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .  Oleh  karena  itu,  menurut Lemma 4 di atas, jelas 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) . (Syarat  perlu). Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) ,  maka menurut  Lemma  4  terdapat  fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas 𝑔 dan ℎ pada K sehingga 𝑓 = 𝑔 − ℎ . Karena 𝑔 fungsi semikontinu bawah  terbatas  pada K ,  maka    terdapat  barisan {𝜑 𝑛 } di 𝐶(𝐾) sehingga 𝜑 0 ≤ 𝜑 1 ≤ 𝜑 2 ≤ 𝜑 3 ≤ ⋯ ≤ 𝜑 𝑛 ≤ 𝜑 𝑛+ 1 ≤ ⋯ dengan 𝜑 0 = 𝟎 dan {𝜑 𝑛 } konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑔 .  Oleh  karena  itu, diperoleh
𝑔(𝑥) = lim
𝑛→ ∞ 𝜑 𝑛 (𝑥) = lim 𝑛→ ∞ ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 ) 𝑛 𝑗= 1 (𝑥) = ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 )(𝑥)
∞ 𝑗= 1 , untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Selanjutnya,  karena ℎ juga fungsi semikontinu bawah terbatas pada K , maka terdapat  barisan {𝜓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga 𝜓 0 ≤ 𝜓 1 ≤ 𝜓 2 ≤ 𝜓 3 ≤ ⋯ dengan 𝜓 0 = 𝟎 dan {𝜓 𝑛 } konvergen  titik demi titik ke ℎ . Oleh karena itu, diperoleh ℎ(𝑥) = lim 𝑛→ ∞ 𝜓 𝑛 (𝑥) = lim 𝑛→ ∞ ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) 𝑛 𝑗= 1 = ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 , untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Akibatnya,  untuk    sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh 𝑓(𝑥)   = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) =   ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 − ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 .
Selanjutnya,  namakan 𝑢 = ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 ) ∞ 𝑗= 1 dan 𝑣 = ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 ) ∞ 𝑗= 1 .  Karena 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 ≥ 0 dan 𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 ≥ 0 untuk  setiap 𝑗 = 1 , 2 , ⋯ , maka diperoleh 𝑢, 𝑣 ≥ 0 .  Jadi  terdapat  fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .

## PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibuktikan  sifat aljabar Banach komutatif dengan elemen identitas pada kelas 𝐷(𝐾) . Berdasarkan Definisi 1.1 di atas, beberapa  langkah  harus  dibuktikan  terlebih dahulu.
Berikut ini akan ditunjukkan  bahwa 𝐷(𝐾) merupakan  ruang linear.
Lemma 3.1 Diberikan ruang metrik separabel 𝐾 , 𝐷(𝐾) merupakan  ruang linear .
Bukti : Diambil sembarang 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan skalar 𝛼 ,  maka  terdapat  fungsi-fungsi  semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑠, 𝑡 ≥ 0 pada K, dengan sifat 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑠 − 𝑡 , sehingga diperoleh
1) 𝑓 + 𝑔 = (𝑢 − 𝑣) + (𝑠 − 𝑡) = (𝑢 + 𝑠) − (𝑣 + 𝑡) .
Karena 𝑢, 𝑠, 𝑡 dan 𝑣 fungsi –fungsi semikontinu bawah,  maka 𝑢 + 𝑠 dan 𝑣 + 𝑡 juga  fungsi  – fungsi  semikontinu  bawah.  Oleh  karena  itu, apabila 𝑢 ′ = 𝑢 + 𝑠   dan  𝑣 ′ = 𝑣 + 𝑡 maka diperoleh  fungsi-fungsi  semikontinu  bawah terbatas 𝑢 ′ , 𝑣 ′ ≥ 0 pada K ,    sehingga 𝑓 + 𝑔 = 𝑢 ′ − 𝑣 ′ . Akibatnya 𝑓 + 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) .
2) 𝛼𝑓 = 𝛼(𝑢 − 𝑣) =  𝛼𝑢 − 𝛼𝑣 .  Apabila 𝛼 ≥ 0 , maka 𝛼𝑢, 𝛼𝑣 fungsi-fungsi semikontinu bawah. Oleh  karena  itu,  apabila 𝑢 ′ = 𝛼𝑢   dan   𝑣 ′ = 𝛼𝑣 , maka diperoleh fungsi-fungsi semikontinu bawah  terbatas 𝑢 ′ , 𝑣 ′ ≥ 0 pada K ,  sehingga 𝛼𝑓 = 𝑢 ′ − 𝑣 ′. Dilain pihak , apabila 𝛼 < 0 , maka – 𝛼𝑢 dan −𝛼𝑣 fungsi  –  fungsi  semikontinu bawah. Karena itu, apabila 𝑢 " = −𝛼𝑣 dan 𝑣 " = −𝛼𝑢 ,    maka    diperoleh  fungsi  –  fungsi
semikontinu bawah terbatas 𝑢 " , 𝑣 " ≥ 0 pada K , sehingga 𝛼𝑓 = 𝑢 " − 𝑣 ". Akibatnya, 𝛼𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) .
Jadi, terbukti 𝐷(𝐾) ruang linear. ∎
Berikut  diberikan  definisi  fungsi  yang sangat berperan dalam pembahasan pada bagian ini.
Definisi 3.2 Diberikan ruang metrik separabel K, didefinisikan fungsi ‖. ‖ 𝐷 : 𝐷(𝐾) → 𝑹, dengan ‖𝑓‖ 𝐷 = 𝑖𝑛𝑓{‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢, 𝑣 ≥ 0 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 − 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠   𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐾} , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾).
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa 𝐷(𝐾) merupakan  ruang  bernorma  terhadap  fungsi ‖. ‖ 𝐷 . Terlebih  dahulu  dibuktikan  beberapa lemma yang akan digunakan dalam pembuktian.
Lemma 3.3 Jika 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) maka ‖𝑓‖ ∞ ≤ ‖𝑓‖ 𝐷 .
Bukti : Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan fungsi- fungsi semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K, dengan sifat 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . Menurut definisi norma supremum, diperoleh ‖𝑓‖ ∞ = sup 𝑥∈𝐾 |𝑓(𝑥)| = sup 𝑥∈𝐾 |𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥)| ≤ sup 𝑥∈𝐾 |𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)| = ‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ .
Dengan kata lain, ‖𝑓‖ ∞ merupakan batas  bawah dari himpunan {‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi- fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} Oleh karena itu, diperoleh ‖𝑓‖ ∞ ≤ inf {‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbataspada 𝐾} . Jadi, terbukti bahwa ‖𝑓‖ ∞ ≤ ‖𝑓‖ 𝐷 .
Lemma  3.4 Jika 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝛼 ∈ 𝑹 maka berlaku {‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖ ∞ : 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} = {‖ℎ + 𝑔‖ ∞ ∶ 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔, dengan ℎ, 𝑔 ≥
0 fungsi − fungsi semikontinu
bawah terbatas pada 𝐾} .
Bukti : Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝛼 ∈ 𝑹. Untuk kemudahan dalam pembuktian, namakan 𝐴 = {‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖ ∞ : 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} , dan 𝐵 = {‖ℎ + 𝑔‖ ∞ ∶ 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔, dengan  ℎ, 𝑔 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} .
Akan dibuktikan 𝐴 = 𝐵 . Diambil sembarang 𝑎 ∈ 𝐴 , maka  terdapat  fungsi-fungsi  semikontinu  bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K, dan 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, sehingga  diperoleh 𝑎 = ‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖ ∞ . Dalam  hal ini  ada dua kemungkinan, yaitu 𝛼 ≥ 0 atau 𝛼 < 0 . Jika 𝛼 ≥ 0 maka 𝛼𝑢 , 𝛼𝑣 ≥ 0 .  Berarti terdapat  fungsi  –  fungsi  semikontinu    bawah terbatas ℎ = 𝛼𝑢 dan 𝑔 = 𝛼𝑣 pada K ,  sehingga 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 dan  diperoleh 𝑎 = ‖ℎ + 𝑔‖ ∞ , dengan kata lain 𝑎 ∈ 𝐵 . Jika 𝛼 < 0 maka dapat dipilih   fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas ℎ = −𝛼𝑣 dan 𝑔 = −𝛼𝑢 ,  sehingga 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 dan  diperoleh 𝑎 = ‖ℎ + 𝑔‖ ∞ ,  dengan  kata  lain 𝑎 ∈ 𝐵 .  Akibatnya, diperoleh 𝐴 ⊆ 𝐵 . Sebaliknya, diambil sembarang 𝑏 ∈ 𝐵 , maka terdapat  fungsi-fungsi  semikontinu    bawah terbatas ℎ, 𝑔 ≥ 0 pada K dengan 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 , sehingga  diperoleh 𝑏 = ‖ℎ + 𝑔‖ ∞ .  Apabila 𝛼 = 0 maka  jelas  terbukti 𝐵 ⊆ 𝐴 .  Selanjutnya,  apabila 𝛼 ≠ 0 maka dapat dipilih 𝑢 = ℎ 𝛼 dan 𝑣 = 𝑔 𝛼 . Dalam hal ini ada dua kemungkinan, yaitu 𝛼 > 0 atau 𝛼 < 0 . Jika 𝛼 > 0 maka  diperoleh  fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K dan 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, sehingga 𝑏 = ‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖ ∞ . Dengan kata lain, 𝑏 ∈ 𝐴 . Jika 𝛼 < 0 maka  diperoleh 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣 = (−𝛼𝑣) − (−𝛼𝑢) = 𝛼(−𝑣) − 𝛼(−𝑢) . Oleh karena itu, apabila 𝑢 ′ = (−𝑣) dan 𝑣 ′ = (−𝑢) , maka  diperoleh  fungsi  –  fungsi  semikontinu bawah  terbatas 𝑢′, 𝑣′ ≥ 0 pada K dan 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢′ − 𝛼𝑣′ , sehingga 𝑏 = ‖𝛼(𝑢′ + 𝑣′)‖ ∞ . Dengan kata lain,
𝑏 ∈ 𝐴 . Akibatnya  diperoleh 𝐵 ⊆ 𝐴 . Jadi, terbukti 𝐴 = 𝐵 . Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, dengan menggunakan Lemma 3.3 dan Lemma 3.4, dapat  dibuktikan  bahwa  fungsi ‖. ‖ 𝐷 adalah norma pada 𝐷(𝐾) .
Teorema  3.5 Fungsi ‖. ‖ 𝐷 adalah  norma  pada kelas 𝐷(𝐾) .
Bukti : ( 1 ). Akan  dibuktikan  bahwa ‖𝑓‖ 𝐷 ≥ 0 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) , dan ‖𝑓‖ 𝐷 = 0 jika dan hanya jika 𝑓 = 𝟎 . Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) . Karena
‖𝑓‖ 𝐷 = inf{‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} , maka  diperoleh ‖𝑓‖ 𝐷 ≥ 0 .  Selanjutnya,  jika ‖𝑓‖ 𝐷 = 0 maka  menurut  Lemma  3.3  diperoleh ‖𝑓‖ ∞ = 0 . Oleh karena itu, 𝑓(𝑥) = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 ,  dengan  kata  lain 𝑓 = 𝟎 .  Sebaliknya,  jika 𝑓 = 𝟎 maka  terdapat  fungsi-fungsi  semikontinu
bawah  terbatas 𝑢 = 𝟎 dan 𝑣 = 𝟎, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = 𝟎 , akibatnya  diperoleh ‖𝑓‖ 𝐷 = inf{‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi
semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} = 0
( 2 ). Akan  dibuktikan ‖𝛼𝑓‖ 𝐷 = |𝛼|. ‖𝑓‖ 𝐷 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan skalar 𝛼 .
Diambil  sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝛼 ∈ 𝑹. Berdasarkan Lemma 3.4,  diperoleh
|𝛼|. ‖𝑓‖ 𝐷 = |𝛼| inf{‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan
𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} = inf{|𝛼|‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾} = inf{‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖ ∞ ∶ 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾 } = inf {‖ℎ + 𝑔‖ ∞ ∶ 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 dengan ℎ, 𝑔 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu
bawah terbatas pada 𝐾} = ‖𝛼𝑓‖ 𝐷 .
( 3 ). Akan  dibuktikan ‖𝑓 + 𝑔‖ 𝐷 ≤   ‖𝑓‖ 𝐷 + ‖𝑔‖ 𝐷 , untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) .
Diambil 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝜀 > 0 sembarang, maka terdapat  fungsi  –  fungsi    semikontinu    bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑠, 𝑡 ≥ 0 dengan 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑠 − 𝑡 ,  sehingga berlaku ‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ < ‖𝑓‖ 𝐷 + 𝜀 2 dan ‖𝑠 + 𝑡‖ ∞ < ‖𝑔‖ 𝐷 + 𝜀 2 .
Oleh karena itu,  diperoleh
‖𝑓‖ 𝐷 + ‖𝑔‖ 𝐷 + 𝜀 > ‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ + ‖𝑠 + 𝑡‖ ∞ ≥ ‖(𝑢 + 𝑣) + (𝑠 + 𝑡)‖ ∞ = ‖(𝑢 + 𝑠) + (𝑣 + 𝑡)‖ ∞ ≥ ‖𝑓 + 𝑔‖ 𝐷 .
Karena  berlaku  untuk 𝜀 > 0 sembarang,  maka diperoleh
‖𝑓 + 𝑔‖ 𝐷 ≤   ‖𝑓‖ 𝐷 + ‖𝑔‖ 𝐷 .
Berdasarkan  (1),  (2),  dan  (3),  maka    terbukti bahwa fungsi ‖. ‖ 𝐷 adalah norma pada 𝐷(𝐾). ∎
Pengertian  norma  pada 𝐷(𝐾) dapat  juga disajikan  lain,  yang  tertuang  dalam  teorema berikut ini.
Teorema 3.6 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) jika dan hanya jika terdapat barisan {𝑓 𝑛 } di 𝐶(𝐾) dan 𝑠𝑢𝑝 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| < 𝑛
∞ sehingga ∑ 𝑓 𝑛 𝑛 = 𝑓 titik demi titik . Lebih lanjut, ‖𝑓‖ 𝐷 = 𝑖𝑛𝑓{‖∑ |𝑓 𝑛 | ∞ 𝑛= 0 ‖ ∞ ∶ {𝑓 𝑛 } 𝑛= 0 ∞ ⊂ 𝐶(𝐾) 𝑑𝑎𝑛
𝑠𝑢𝑝 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 0 < ∞ sehingga ∑ 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛= 0 = 𝑓  𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘} .
Bukti : (Syarat perlu). Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾), maka terdapat  fungsi-fungsi  semikontinu  bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 𝐾 ,  sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . Karena 𝑢 fungsi  semikontinu  bawah  terbatas, maka    terdapat  barisan {𝜑 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga 𝜑 0 ≤ 𝜑 1 ≤ 𝜑 2 ≤ 𝜑 3 ≤ ⋯ dengan 𝜑 0 = 𝟎 dan {𝜑 𝑛 } konvergen titik demi titik ke 𝑢 . Oleh karena itu,  diperoleh 𝑢(𝑥) = lim 𝑛→ ∞ 𝜑 𝑛 (𝑥) = lim 𝑛→ ∞ ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 ) 𝑛 𝑗= 1 (𝑥) = ∑ (𝜑 𝑗 − ∞ 𝑗= 1 𝜑 𝑗− 1 )(𝑥) , untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Selanjutnya,  karena 𝑣 juga fungsi  semikontinu  bawah  terbatas,  maka terdapat  barisan {𝜓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga 𝜓 0 ≤ 𝜓 1 ≤ 𝜓 2 ≤ ⋯ dengan 𝜓 0 = 𝟎 dan {𝜓 𝑛 } konvergen titik demi titik ke 𝑣 . Oleh karena itu, diperoleh 𝑣(𝑥) = lim 𝑛→ ∞ 𝜓 𝑛 (𝑥) = lim 𝑛→ ∞ ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) 𝑛 𝑗= 1 = ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Sehingga untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh 𝑓(𝑥)    = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) = ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 − ∑ (𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 = ∑ (𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 − 𝜓 𝑗 + 𝜓 𝑗− 1 )(𝑥) ∞ 𝑗= 1 .
Selanjutnya, namakan 𝑓 𝑗 = 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗− 1 − 𝜓 𝑗 + 𝜓 𝑗− 1 , untuk  setiap 𝑗 ∈ 𝑵 dengan 𝑓 0 = 𝟎 ,  sehingga diperoleh  barisan {𝑓 𝑛 } ⊆ C (𝐾) .  Oleh  karena  itu, 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓 𝑛 (𝑥) ∞ 𝑛= 1 ,  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾 .  Dilain pihak,  karena 𝑢 dan 𝑣 terbatas,  maka  terdapat 𝑀 1 , 𝑀 2 > 0 sehingga |𝑢(𝑥)| ≤ 𝑀 1 dan |𝑣(𝑥)| ≤ 𝑀 2 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Akibatnya,  untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 berlaku ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 1 = ∑ |(𝜑 𝑛 − 𝜑 𝑛− 1 − 𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛− 1 )(𝑥)| ∞ 𝑛= 1 ≤ 𝑀 1 +𝑀 2
Karena  berlaku  untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 ,  maka diperoleh sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 1 < ∞ . Dengan kata lain, ada  barisan {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) dan sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| < ∞ 𝑛
sehingga ∑ 𝑓 𝑛 𝑛 = 𝑓 titik demi titik. Oleh karena itu, diperoleh ‖𝑓‖ 𝐷 ≥ inf {‖∑ |𝑓 𝑛 | ∞ 𝑛= 0 ‖ ∞ ∶   {𝑓 𝑛 } 𝑛= 0 ∞ ⊂ 𝐶(𝐾) dan sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 0 < ∞
sehingga ∑ 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛= 0 = 𝑓 titik demi titik } .
(Syarat cukup). Diketahui barisan {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) dan sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 0 < ∞ sehingga ∑ 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛= 0 = 𝑓 titik demi titik . Untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 , berlaku
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓 𝑛 (𝑥) ∞ 𝑛= 1 = lim 𝑘→ ∞ ∑ 𝑓 𝑛 (𝑥) 𝑘 𝑛= 1 = lim 𝑘→ ∞ ∑ (𝑓 𝑛 + − 𝑓 𝑛 − )(𝑥) 𝑘 𝑛= 1 = lim 𝑘→ ∞ ∑ (𝑓 𝑛 + (𝑥) − 𝑓 𝑛 − (𝑥)) 𝑘 𝑛= 1
= lim 𝑘→ ∞ ∑ (𝑓 𝑛 + )(𝑥) − lim 𝑘→ ∞ ∑ (𝑓 𝑛 − )(𝑥) 𝑘 𝑛= 1 𝑘 𝑛= 1 = ∑ (𝑓 𝑛 + )(𝑥) − ∑ (𝑓 𝑛 − )(𝑥) ∞ 𝑛= 1 . ∞ 𝑛= 1
Selanjutnya,  namakan 𝑢 = ∑ (𝑓 𝑛 + ) ∞ 𝑛= 1 dan 𝑣 = ∑ (𝑓 𝑛 − )
∞ 𝑛= 1 .  Karena 𝑓 𝑛 + , 𝑓 𝑛 − ≥ 0 maka  diperoleh 𝑢, 𝑣 ≥ 0 .  Diperhatikan  bahwa ∑ (𝑓 𝑛 ) + (𝑥) 𝑘 𝑛= 1 ≤ ∑ (𝑓 𝑛 ) + (𝑥) 𝑘+ 1 𝑛= 1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 , dan lim 𝑘→ ∞ ∑ (𝑓 𝑛 ) + (𝑥) = 𝑘 𝑛= 1 ∑ (𝑓 𝑛 ) + (𝑥)
∞ 𝑛= 1 .  Akibatnya, u merupakan  fungsi  semikontinu  bawah  terbatas pada K .  Dengan  cara  yang  sama,  diperoleh v merupakan  fungsi  semikontinu  bawah  terbatas pada K .  Oleh  karena  itu,  terdapat  fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 𝐾, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . Dengan kata lain, 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) . Akibatnya, diperoleh
‖𝑓‖ 𝐷 ≤ inf {‖∑ |𝑓 𝑛 | ∞ 𝑛= 0 ‖ ∞ ∶   {𝑓 𝑛 } 𝑛= 0 ∞ ⊂ 𝐶(𝐾) dan , sup x∈K ∑ |𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 0 <  ∞ sehingga ∑ 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛= 0 = 𝑓 titik demi titik } .
Menggunakan  Teorema  3.6,  pengertian norma pada 𝐷(𝐾) dapat disajikan dalam bentuk lain,  yang tertuang dalam teorema berikut.
Teorema  3.7 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) jika  dan  hanya jika    terdapat    barisan {𝑓 𝑛 } di 𝐶(𝐾) dan C < ∞, sehingga {𝑓 𝑛 } konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 dengan 𝑓 0 = 𝟎 dan ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| ≤ C ∞ 𝑛=0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Lebih lanjut, ‖𝑓‖ 𝐷 = 𝑖𝑛𝑓{ C ∶   {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾), 𝑓 0 = 𝟎 𝑑𝑎𝑛 ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| ≤ 𝐶, ∀ 𝑥 ∈ ∞ 𝑛=0 𝐾, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 {𝑓 𝑛 } 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑒 𝑓} .
Bukti : (Syarat perlu) . Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) maka menurut  Teorema  3.6,  terdapat  barisan {𝑔 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) ,  sehingga ∑ 𝑔 𝑛 𝑛 = 𝑓 titik  demi  titik    dan sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑔 𝑛 (𝑥)| < ∞ 𝑛 .
Namakan C = sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑔 𝑛 (𝑥)| 𝑛 , dan untuk setiap 𝑛 ∈
𝑵 dibentuk 𝑓 𝑛 = ∑ 𝑔 𝑖 𝑛 𝑖= 1 dengan 𝑓 0 = 𝟎, maka diperoleh barisan {𝑓 𝑛 } di 𝐶(𝐾) dan {𝑓 𝑛 } konvergen titik  demi  titik  ke 𝑓 .  Untuk  sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛=0 = ∑ |∑ 𝑔 𝑖 𝑛+ 1 𝑖= 1 (𝑥) − ∑ 𝑔 𝑖 (𝑥) 𝑛 𝑖= 1 | ∞ 𝑛=0 = ∑ |𝑔 𝑛+1 (𝑥)| ∞ 𝑛=0
≤ C . Dengan  kata  lain,  terdapat  barisan {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) dan C < ∞, sehingga {𝑓 𝑛 } konvergen  titik  demi titik  ke 𝑓 dengan 𝑓 0 = 𝟎 dan ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − ∞ 𝑛=0 𝑓 𝑛 (𝑥)| ≤ C untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾 . Oleh  karena  itu, diperoleh ‖𝑓‖ 𝐷 ≥ inf { C ∶   {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾), 𝑓 0 = 𝟎 dan ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| ≤ 𝐶, ∞ 𝑛=0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 sehingga {𝑓 𝑛 } konvergen titik demi titik ke 𝑓} .
(Syarat  cukup ). Untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑵 ,  dibentuk 𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 dengan 𝑔 0 = 𝟎 .  Akibatnya,
diperoleh barisan {𝑔 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) , dan ∑ 𝑔 𝑛 ∞ 𝑛= 0 = 𝑓 titik demi titik. Selanjutnya, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 , diperoleh ∑ |𝑔 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 0 = ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛= 0 ≤ C < ∞. Karena  berlaku  untuk  sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 ,  maka diperoleh sup 𝑥∈𝐾 ∑ |𝑔 𝑛 (𝑥)| < ∞ 𝑛 .  Dengan  kata  lain, terbukti 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) . Oleh karena itu, diperoleh ‖𝑓‖ 𝐷 ≤ inf { C ∶   {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾), 𝑓 0 = 𝟎 dan ∑ |𝑓 𝑛+1 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| ≤ 𝐶, ∞ 𝑛=0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 sehingga {𝑓 𝑛 } konvergen titik demi titik ke 𝑓} Menggunakan Teorema 3.7, akan dibuktikan  bahwa 𝐷(𝐾) merupakan  ruang Banach.
Teorema 3.8 Diberikan ruang metrik separabel K, 𝐷(𝐾) merupakan ruang Banach.
Bukti  : Berdasarkan  Teorema  3.5, (𝐷(𝐾), ‖. ‖ 𝐷 ) merupakan  ruang  bernorma,  selanjutnya  akan dibuktikan 𝐷(𝐾) lengkap.  Diambil  sebarang barisan  Cauchy {𝑓 𝑛 } ⊆ 𝐷(𝐾). Oleh  karena  itu, dapat  diasumsikan ‖𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 ‖ 𝐷 < 1 2 𝑛 ,  untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑵. Karena 𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 ∈ 𝐷(𝐾) ,  maka untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑵 terdapat  barisan {𝜑 𝑚 𝑛 } 𝑚= 1 ∞ di 𝐶(𝐾) , sehingga {𝜑 𝑚 𝑛 } 𝑚= 1 ∞ konvergen titik demi titik ke 𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 dan memenuhi
∑ |𝜑 𝑚+ 1 𝑛 (𝑥) − 𝜑 𝑚 𝑛 (𝑥)| ≤ ∞ 𝑚=0 1 2 𝑛 , untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Karena {𝑓 𝑛 } barisan  Cauchy  di 𝐷(𝐾), maka diperoleh ‖𝑓 𝑚 − 𝑓 𝑛 ‖ ∞ → 0 , untuk 𝑛, 𝑚 → ∞ .  Oleh karena  itu,  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh {𝑓 𝑛 (𝑥)} barisan  Cauchy  di R. Karena R lengkap,  maka untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾, terdapat 𝑓(𝑥) ∈ 𝑹 sehingga {𝑓 𝑛 (𝑥)} konvergen  ke 𝑓(𝑥) .  Akibatnya  diperoleh ‖𝑓 𝑛 − 𝑓‖ ∞ → 0 . Diambil  sembarang 𝑛 0 ∈ 𝑵. Dibentuk 𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 ,  untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑵 dan 𝜓 𝑛 = (𝜑 𝑛 𝑛 0 + ⋯ + 𝜑 𝑛 𝑙 ) + (𝜑 𝑛+ 1 𝑙+ 1 − 𝜑 𝑛 𝑙+ 1 ) + ⋯ + (𝜑 𝑛+ 1 𝑛 − 𝜑 𝑛 𝑛 ) , untuk  setiap 𝑙, 𝑛 ∈ 𝑵 dengan 𝑛 0 ≤ 𝑙 < 𝑛. Oleh karena  itu  didapat  barisan {𝜓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) dan berlaku ∑ 𝑔 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 = lim 𝑘→ ∞ ∑ 𝑔 𝑛 𝑘 𝑛=𝑛 0 = lim 𝑘→ ∞ ∑ (𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 ) 𝑘 𝑛=𝑛 0 = lim 𝑘→ ∞ (𝑓 𝑘+ 1 − 𝑓 𝑛 0 ) = 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 .
Selanjutnya,  akan  dibuktikan 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 ∈ 𝐷(𝐾) . Untuk  setiap 𝑙, 𝑛 ∈ 𝑵 dengan 𝑛 0 ≤ 𝑙 < 𝑛 , diperoleh ‖𝜓 𝑛 − (𝜑 𝑛 𝑛 0 + ⋯ + 𝜑 𝑛 𝑙 )‖ ∞ = ‖(𝜑 𝑛+ 1 𝑙+ 1 − 𝜑 𝑛 𝑙+ 1 ) + ⋯ + (𝜑 𝑛+ 1 𝑛 − 𝜑 𝑛 𝑛 )‖ ∞ ≤ ∑ 1 2 𝑖 𝑛 𝑖=𝑙+1 ≤ 1 2 𝑙 .
Oleh karena itu, apabila 𝑛 → ∞ maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 dan 𝑙 ≥ 𝑛 0 , diperoleh lim 𝑛→ ∞ |𝜓 𝑛 (𝑥) − (𝜑 𝑛 𝑛 0 + ⋯ + 𝜑 𝑛 𝑙 )(𝑥)| ≤ 1 2 𝑙 . Akibatnya, diperoleh
𝑔 𝑛 0 (𝑥) + ⋯ + 𝑔 𝑙 (𝑥) − 1 2 𝑙 ≤ lim 𝑛→ ∞ 𝜓 𝑛 (𝑥) ≤ 𝑔 𝑛 0 (𝑥) + ⋯ + 𝑔 𝑙 (𝑥) + 1 2 𝑙 .
Selanjutnya,  apabila 𝑙 → ∞ ,  maka  diperoleh {𝜓 𝑛 } konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 .  Disisi  lain, diperoleh ∑ |𝜓 𝑛+ 1 (𝑥) − 𝜓 𝑛 (𝑥)|   ≤ ∞ 𝑛=0 ∑ |𝜑 𝑛+ 1 𝑛 0 (𝑥) − ∞ 𝑛=0 𝜑 𝑛 𝑛 0 (𝑥)| + ⋯ + ∑ |𝜑 𝑛+ 1 𝑙 (𝑥) − 𝜑 𝑛 𝑙 (𝑥)| ∞ 𝑛=0 + ∑ |𝜑 𝑛+ 1 𝑙+ 1 (𝑥) − ∞ 𝑛=0 𝜑 𝑛 𝑙+ 1 (𝑥)| + ⋯ +
∑ |𝜑 𝑛+ 1 𝑛 (𝑥) − 𝜑 𝑛 𝑛 (𝑥)| ∞ 𝑛=0 + ∑ |𝜑 𝑛+ 2 𝑙+ 1 (𝑥) − ∞ 𝑛=0 𝜑 𝑛+ 1 𝑙+ 1 (𝑥)| + ⋯ + ∑ |𝜑 𝑛+ 2 𝑛+ 1 (𝑥) − 𝜑 𝑛+ 1 𝑛+ 1 (𝑥)| ∞ 𝑛=0 ≤ ∑ 1 2 𝑖 𝑛+1 𝑖=𝑛0 ≤ 1 2 , untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Dengan  demikian  terdapat barisan {𝜓 𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) yang  konvergen  titik  demi titik  ke 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 , dan ∑ |𝜓 𝑛+ 1 (𝑥) − 𝜓 𝑛 (𝑥)| ≤ ∞ 𝑛=0
1 2 . Dengan  kata  lain  benar  bahwa 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 ∈ 𝐷(𝐾). Karena 𝐷(𝐾) ruang  linear,  maka  diperoleh 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾). Selanjutnya,  berdasarkan  asumsi  diawal pembuktian, maka diperoleh
‖𝑓 − 𝑓 𝑛 0 ‖ 𝐷 = ‖∑ 𝑔 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 ‖ 𝐷 = ‖∑ 𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 ‖ 𝐷 ≤ ∑ ‖𝑓 𝑛+ 1 − 𝑓 𝑛 ‖ 𝐷 ∞ 𝑛=𝑛 0 ≤ ∑ 1 2 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 ≤ 1 2 𝑛 0 − 1 , untuk setiap 𝑛 0 ∈ 𝑵. Karena  berlaku  untuk  sembarang 𝑛 0 ∈ 𝑵, maka diperoleh barisan {𝑓 𝑛 } konvergen ke 𝑓. Jadi, terbukti 𝐷(𝐾) ruang Banach .
Berdasarkan Teorema 3.8,
akan ditunjukkan  bahwa 𝐷(𝐾) merupakan  aljabar Banach  komutatif  dan  mempunyai  elemen identitas.
Teorema 3.9 Diberikan ruang metrik separabel K,
𝐷(𝐾) merupakan  aljabar  Banach  komutatif  dan mempunyai elemen identitas.
Bukti: Berdasarkan  Teorema  3.8, 𝐷(𝐾) merupakan  ruang  Banach,  selanjutnya  akan dibuktikan 𝐷(𝐾) aljabar  yang  komutatif  dan mempunyai elemen identitas.
1) Diambil  sembarang 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾) ,  maka terdapat fungsi – fungsi  semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧  ≥ 0 pada K, sehingg 𝑓 = 𝑢 − 𝑣,   𝑔 = 𝑤 − 𝑥, dan ℎ = 𝑦 − 𝑧 .  Oleh karena itu, diperoleh 𝑓(𝑔 + ℎ)    = (𝑢 − 𝑣) ((𝑤 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑧))
= (𝑢 − 𝑣) (𝑤 − 𝑥) + (𝑢 − 𝑣)(𝑦 − 𝑧)
=  𝑓𝑔 + 𝑓ℎ.
Dengan kata lain, 𝑓(𝑔 + ℎ) = 𝑓𝑔 + 𝑓ℎ, untuk setiap 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾).
2) Diambil  sembarang 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾) ,  maka terdapat fungsi – fungsi  semikontinu bawah
terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧  ≥ 0 pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, 𝑔 = 𝑤 − 𝑥, dan ℎ = 𝑦 − 𝑧 .  Oleh karena itu, diperoleh (𝑔 + ℎ) 𝑓  = ((𝑤 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑧))(𝑢 − 𝑣) = (𝑤 − 𝑥)(𝑢 − 𝑣) + (𝑦 − 𝑧)(𝑢 − 𝑣)
=  𝑔𝑓 + ℎ𝑓.
Dengan  kata  lain, (𝑔 + ℎ) 𝑓 =  𝑔𝑓 + ℎ𝑓, untuk setiap 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾).
3) Diambil  sembarang 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan  skalar
𝛼, maka terdapat fungsi–fungsi  semikontinu bawah  terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥 ≥ 0 pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dan 𝑔 = 𝑤 − 𝑥. Oleh karena itu, diperoleh
𝛼(𝑓𝑔) = 𝛼 ((𝑢 − 𝑣) (𝑤 − 𝑥)) = (𝛼(𝑢 − 𝑣))(𝑤 − 𝑥) = (𝛼𝑓)𝑔.
Dengan  kata  lain, 𝛼(𝑓𝑔) = (𝛼𝑓)𝑔, untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan  skalar 𝛼.
4) Diambil 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝜀 > 0 sembarang, maka    terdapat  fungsi-fungsi  semikontinu bawah  terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥 ≥ 0 pada K, dengan 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑤 − 𝑥, sehingga berlaku ‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ < ‖𝑓‖ 𝐷 + 𝜀 (‖𝑔‖𝐷+ 1 ) dan
‖𝑤 + 𝑥‖ ∞ < ‖𝑔‖ 𝐷 + 𝜀 (‖𝑓‖𝐷+ 1 ) .
Oleh karena itu, diperoleh ‖𝑓𝑔‖ 𝐷 ≤ ‖(𝑣𝑥 + 𝑢𝑤) + (𝑢𝑥 + 𝑣𝑤)‖ ∞ = ‖(𝑢 + 𝑣)(𝑤 + 𝑥)‖ ∞ ≤ ‖𝑢 + 𝑣‖ ∞ ‖𝑤 + 𝑥‖ ∞ <   ‖𝑓‖ 𝐷 ‖𝑔‖ 𝐷 + 2 𝜀 + 𝜀 2 .
Karena  berlaku  untuk 𝜀 > 0 sembarang maka diperoleh
‖𝑓𝑔‖ 𝐷 ≤ ‖𝑓‖ 𝐷 ‖𝑔‖ 𝐷 .
Dengan kata lain, ‖𝑓𝑔‖ 𝐷 ≤ ‖𝑓‖ 𝐷 ‖𝑔‖ 𝐷 , untuk  setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾).
5) Diambil  sembarang 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) ,  maka terdapat fungsi – fungsi semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥 ≥ 0 pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑤 − 𝑥. Oleh  karena  itu, diperoleh
𝑓𝑔 = (𝑢 − 𝑣)(𝑤 − 𝑥)
= (𝑤 − 𝑥)(𝑢 − 𝑣) = 𝑔𝑓.
Dengan  kata  lain, 𝑓𝑔 = 𝑔𝑓, untuk  setiap
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) .
Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 𝐷(𝐾) merupakan aljabar Banach komutatif.
Selanjutnya akan dibuktikan D(K) mempunyai elemen identitas.
Diambil  sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) ,    maka terdapat  fungsi–fungsi  semikontinu  bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . Untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 didefinisikan 𝑒(𝑥) = 1 .
Akibatnya,  diperoleh 𝑒 ∈ 𝐷(𝐾) .  Oleh  karena  itu, diperoleh
𝑒𝑓 = 𝑒 (𝑢 − 𝑣) = (𝑢 − 𝑣)𝑒 = 𝑢 − 𝑣 = 𝑓 . Dengan kata lain, e merupakan elemen identitas pada 𝐷(𝐾) .  Jadi,  terbukti  bahwa  sifat  aljabar Banach  komutatif  dan  mempunyai  elemen identitas berlaku pada kelas 𝐷(𝐾) .

## PENUTUP
Berdasarkan  hasil  pembahasan  dapat disimpulkan bahwa kelas 𝐷(𝐾) mempunyai sifat aljabar  Banach  komutataif  dan  mempunyai elemen identitas.
Sifat  aljabar  Banach  komutatif  dapat  pula diselidiki  pada  kelas  bagian 𝐵 1 (𝐾) lainnya, diantaranya kelas 𝐵 1 4 ⁄ (𝐾) .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Ash,  R.B.,  2007, Real  Variables  with  Basic Metric  Space  Topology ,  Department  of Mathematics  University  of  Illionis  at Urbana-Champaign.
[2] Dugundji,  J.,  1966, Topology ,  Allyn  and Bacon, Inc., Boston.
[3] Farmaki, V., 1996, On Baire- 1 4 ⁄ Functions,
Trans. Amer. Math. Soc , 348, 10.
[4] Gordon,  R.A.,  1994, The  Integral  of Lebesgue,  Denjoy,  Perron  and  Henstock, American Mathematical Society, USA.
[5] Haydon,  R.,  Odell,  E.  dan  Rosenthal,  H.P., 1991,  On  Certain  Classes  of    Baire-1 Functions  with  Applications  to  Banach Space Theory , Lecture Notes in Math ., 1470, Springer, New York.
[6] Kreyszig, E., 1978, Introductory Functional Analysis  with  Applications ,  John  Wiley  and Sons, Inc., Canada.
[7] McShane, E.J., 1944, Integration , Princeton University Press, Princeton.
[8] Rosenthal, H.P., 1994, A Characterization of Banach Spaces Containing C0, J. Amer. Math. Soc , 7, 3, 707-748.
[9] Rosenthal,  H.P.,  1994,  Differences  of Bounded  Semi-Continuous  Functions  I, http://www.arxiv.org/abs/math/9406217 , 20  Juni  1994,  diakses  pada  tanggal  27 Agustus 2009.
[10] Royden,  H.L.,  1989, Real  Analysis ,
Macmillan Publishing Company, New York.