## KEMAMPUAN PENALARAN MAHASISWA DALAM PEMBUKTIAN TEOREMA PADA MATA KULIAH ANALISIS REAL 1

## Ikhsan
Universitas Muhammadiyah Gresik ikhsanfalihi@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  meningkatkan  kemampuan  mahasiswa  Program StudiPendidikan Matematika dalam hal penalaran pada mata kuliah Analisis Real 1. Mata kuliah Analisis Real 1 menekankan pembuktian teorema-teorema dasar pada bilangan real. Subyek dalam penelitian ini adalah mahasiswa semester lima tahun akademik 2015/2016 Program  Studi  Pendidikan  Matematika.  Kemampuan  mahasiswa  Program  Studi Pendidikan  Matematika  dalam  hal  penalaran  pada  saat  awal  memasuki  semester  lima masih dikategorikan sama dengan kemampuan mahasiswa tahun-tahun sebelumnya pada awal-awal memasuki semester lima. Jenis penelitian ini adalah Penelitian Tindakan Kelas (PTK) melalui kegiatan Lesson Studi dengan empat siklus. Hasil penelitian menunjukkan bahwa  kemampuan  mahasiswa  Program  Studi  Pendidikan  Matematika  dalam  hal penalaran melalui pembuktian teoremapada mata kuliah Analisis Real 1dikategorikan baik secara  signifikan.  Artinya  ada  peningkatan  secara  signifikan  kemampuan  mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika dalam hal penalaran melalui pembuktian teorema pada mata kuliah Analisis Real 1.
Kata Kunci : Kemampuan penalaran, Teorema, Lesson Studi.

## Abstract
The study aimed to improve Math students' ability in reasoning Real Analysis 1 subject. The subject focuses on proving the basics theorems in real number. The subject of the study is the fifth semester students, year 2015/2016 of Math department. The fifth Students' ability in  analyzing  the  subject  was  not  improved.  Thus,  the  classroom  action  research  was conducted through a lesson study program consisting of four cycles. The result of the study showed that students' reasoning in the subject was significantly good. Means that there was a significant improvement for their ability through Real analysis 1 subject focusing on proving basic theorems.
Keywords : reasoning skill, theorem, lesson study

## PENDAHULUAN
Bahan  Pembelajaran Analisis  Real  1  di Program  Studi  Pendidikan  Matematika U n i v e r s i t a s   M u h a m m a d i y a h   G r e s i k menekankan  pada  pemahaman  konsep  dan pembuktian  teorema  yang  terkait  dengan
bilangan real, fungsi, limit, dan barisan. Untuk mengawali  perkuliahan  ini  mahasiswa diingatkan beberapa materi prasyarat pada bahan pembelajaran  Matematika  Dasar  dan  Teori Bilangan.  Selanjutnya,  mahasiswa  harus mengingat  kembali  tentang  himpunan  dan
logika. Di pertemuan awal mahasiswa diberikan bahan-bahan pembelajaran meliputi himpunan, konsep  bilangan  real,  definisi-definisi  yang berlaku  pada  bilangan  real,  dan  beberapa  sifat yang  berlaku  pada  bilangan  real.  Selanjutnya bahan  pembelajaran  secara  terpadu  digunakan u n t u k   m e m b u k t i k a n   t e o r e m a - t e o r e m a selanjutnya.
Adapun  teorema  dalam  matematika memiliki  padanan  kata  sebagai  berikut:  sifat, dalil,  kaidah,  atau  nisbah.  Teorema  diartikan sebagai  pernyataan  yang  memiliki  kebenaran dimana kebenarannya harus dibuktikan. Dalam pembelajaran  Analisis  Real  !  para  mahasiswa diberikan  berbagai  definisi  dan  teorema  yang mendasar  tentang  bilangan  real.  Di  sini mahasiswa  harus  membuktikan  kebenaran teorema-teorema tersebut. Untuk membuktikan teorema-teorema tersebut, para mahasiswa harus memiliki bekal yang berupa penguasaan tentang himpunan,  logika,  konsep,dan  definisi  yang terkait dengan hal tersebut.Selain bekal tersebut ada  hal  yang  tidak  kalah  pentingnya  yaitu penalaran.  Penalaran  mahasiswa  sangat berperan penting dalam membuktikan beberapa teorema pada materi Analisis Real 1.
Penalaran  merupakan  aktivitas  berpikir yang abstrak. Untuk mewujudkannya diperlukan simbol  atau  lambang.  Simbol  yang  digunakan dalam  penalaran  berbentuk  bahasa,  sehingga penalaran  tersebut  berupa  argumen.  Kita mengetahui  bahwa  matematika  memiliki ciriproses  bernalarnya  deduktif  formal  dan abstrak  (abstrak  dalam  arti  objek-objek telaahnya tidak kasat oleh panca indera, mereka hanya ada dalam pemikiran manusia). Selain itu
ciri  matematika  yang  lain  adalah  penggunaan simbol-simbol yang kosong dari arti, hubungan, pola, bentuk, dan struktur.
Penalaran  matematika  diperlukan  baik untuk  menentukan  apakah  sebuah  argumen matematika  benar  atau  salah  maupun  untuk membangun  suatu  argumenmatematika.  Oleh karena  itu,  penalaran  matematika  tidak  hanya penting untuk membuktikan kebenaran argumen tetapi juga untuk menyusun argumen baru.
Menurut  R.G.  Soekadijo  penalaran adalah  suatu  bentuk  pemikiran.Soekadijo menyatakan  rangkaian  penalaran,  proses berfikir  dimulai  dari  pengamatan  indera  atau observasi  empiris.  Proses  itu  di  dalam  pikiran menghasilkan  sejumlah  pengertian  dan proposisi  sekaligus.  Berdasarkan  pengamatan- pengamatan  indera  yang  sejenis,  pikiran menyusun  proposisi  yang  sejenis  pula.  Proses inilah  yang  disebut  dengan  penalaran  yaitu bahwa  berdasarkan  sejumlah  proposisi  yang diketahui  atau  dianggap  benar  kemudian digunakan  untuk  menyimpulkan  sebuah proposisi baru yang sebelumnya tidak diketahui.
Hardjosatoto  memberikan  definisi penalaran  sebagai  berikut  penalaran  adalah proses  dari  budi  manusia  yang  berusaha  tiba pada  suatu  keterangan  baru  dari  sesuatu  atau beberapa  keterangan  lain  yang  telah  diketahui dan  keterangan  yang  baru  itu  mestilah merupakan  urutan  kelanjutan  dari  sesuatu  atau beberapa keterangan yang semula itu.
Selanjutnya  Karin  Brodie  mengungkap penalaran  matematika  dengan  mengemasnya dalam  sebuah  istilah mathematical  reasoning . Karin Brodie menyatakan bahwa: Mathematical
reasoning is reasoning about and with the object of mathematics . Ungkapan Karin Brodie tentang penalaran  matematika  dapat  dimaknai  sebagai penalaran  objek  matematika.  California  High School  Exit  Examination  (CAHSEE)  (yang termuat di link link http://www.cde.ca.gov/ta/tg/ hs/documents/mathStudisec5.pdf) mengungkap tentang  penalaran  matematika  sebagai  berikut “ Mathematical Reasoning ” includes the logical thinking  skills  that  you  develop  while  learning mathematics  and  can  carry  over  into  other disciplines. The Mathematical Reasoning strand includes: recognizing and generalizing patterns, identifying and organizing relevant information, validating  conjectures  both  inductively  and deductively.
S u m a r m o   s e n d i r i   m e n g u n g k a p pengertian  penalaran  melalui  beberapa indikator.  Menurut  Sumarmo,  penalaran matematika  adalah  aktivitas  yang  tercakup  di dalam penalaran matematika yaitu: (1) Menarik kesimpulan logis, (2) Menggunakan penjelasan dengan  menggunakan  model,  fakta,  sifat-sifat dan hubungan, (3) Memperkirakan jawaban dan proses solusi, menggunakan pola dan hubungan, (4)  Untuk  menganalisis  situasi  matematik,  (5) Menarik analogi dan generalisasi, (6) Menyusun dan  menguji  aturan  inferensi,  (7)  Memeriksa validitas agumen, (8) Menyusun argumen yang valid, (9) Menyusun pembuktian langsung, (10) Menggunakan induksi matematika.
Menurut  Peraturan  Dirjen  Dikdasmen Depdiknas Nomor 506/C/Kep/PP/2004 tanggal 11  November  2004  tentang  rapor  diuraikan bahwa  indikator  siswa  yang  memiliki kemampuan  dalam  penalaran  matematika
adalah: (a) Mengajukan dugaan, (b) Melakukan m a n i p u l a s i   m a t e m a t i k a ,   ( c )   M e n a r i k kesimpulan,  menyusun  bukti,  memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi, (d) Menarik  kesimpulan  dari  pernyataan,  (e) Memeriksa  kesahihan  suatu  argumen,  (f) Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuatgeneralisasi.
Dari  beberapa  paparan  penalaran tersebut,  penulis  hanya  menentukan  beberapa indikator  untuk  mengungkap  penalaran matematika yang berkaitan dengan pembuktian teorema-teorema. Oleh karena itu, dalam tulisan ini kemampuan mahasiswa dalam hal penalaran di bidang matematika khususnya materi Analisis Real  1  dapat  diketahui  dengan  memperhatikan beberapa  indikator  antara  lain:  (1)  Mampu memahami  apa  yang  diketahui  dan  apa  yang akan  dibuktikan,  (2)  Menyusun  konjektur  dan strategi  pembuktian,  (3)  Memberikan  alasan yang logis dalam setiap langkah pembuktian, (4) Menggunakan  hubungan  atau  koneksi  antar teorema  maupun  definisi,  (5)  Menarik  analogi d a n   g e n e r a l i s a s i   u n t u k   m e r u m u s k a n kesimpulan. Selanjutnya, penalaran mahasiswa matematika yang berkaitan dengan pembuktian teorema yang dinyatakan dengan lima indikator tersebut  dikenal  dengan  istilah  kemampuan penalaran matematika.
Metode  proyek  dalam  pembuktian teorema  digunakan  mahasiswa  karena  banyak waktu  yang  dibutuhkan  oleh  mahasiswa  untuk mendiskusikan  beberapa  teorema  yang diberikan  oleh  dosen.  Beberapa  teorema dipecahkan oleh mahasiswa secara berkelompok di luar waktu pembelajaran di kelas.
Beberapa  kenyataan  yang  terjadi  pada mahasiswa  dapat  diungkap  sebagai  berikut:(1) Pembuktian  teorema  yang  diserahkan  kepada mahasiswa  untuk  dikerjakan  di  kelas  saat pembelajaran  membutuhkan  waktu  yang  lama bahkan  menghabiskan  waktu  pembelajaran  di kelas.  Ketika  pembuktian  teorema  tersebut dilakukan  secara  individu,  mahasiswa  sering mengalami  kesulitan  di  tengah-tengah  langkah pembuktian  teorema  dari  serangkaian  langkah pembuktian  teorema.  (2)  Pembuktian  teorema sering  kali  menjadi  hal  yang  sangat  detail  dan teliti  untuk  mengasah  kemampuan  mahasiswa dalam  penalaran.  Dalam  keadaan  yang demikian, masih tersimpan anggapan yang berat untuk  mengikuti  materi-materi  matematika khususnya dalam pembuktian teorema-teorema, padahal  sesungguhnya  pembuktian  teorema- teoremainilah  ruh  untuk  berkembangnya  ilmu matematika.  (3)  Ketika Open  Class dalam Lesson  Studi dilaksanakan  pada  saat-saat tertentu,  mahasiswa  merasa  terawasi  sangat intensif  oleh  banyak  dosen  dan  banyak  pihak sehingga  pembelajaran  menjadi  serius  dan terkonsentrasikan  ke  satu  tujuan.  Kondisi  ini berbeda dengan ketika mahasiswa belajar hanya terpantau  oleh  seorang  dosen,  sehingga mahasiswa  matematika  merasa  kurang  bisa leluasa ngobrol dengan  teman  sebelahnya.
Obrolan nya tidak  terkait  dengan  materi matematika.(4)  Kenyataan  lainnya,  mahasiswa sering  mengungkapkan  argumen  yang  kurang terstruktur.  Kurang  lancar  dalam  penyusunan konjektur-konjektur.  Urutan-urutan  dan keteraturan  pola  berargumen  masih  kurang diperhatikan oleh mahasiswa.
(5)  Pemaduan  beberapa  definisi  dan teorema masih kurang dikuasai oleh mahasiswa. Dari  aspek  matematika,  keadaan  ini  dapat diperbaiki  dengan  meningkatkan  penalaran matematikanya.  Peningkatan  kemampuan penalaran  matematikanya  dapat  dilakukan melalui latihan pembuktian teorema.
Berdasarkan pada uraian-uraian tersebut di  atas,  penulis  mengangkat  rumusan  masalah sebagai  berikut  apakah  kemampuan  penalaran mahasiswa  dalam  membuktikan  teorema  pada mata kuliah Analisis Real 1 dapat ditingkatkan melalui metode proyek?
Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk mendiskripsikanpeningkatan  kemampuan penalaran  mahasiswa  dalam  membuktikan teorema  pada  mata  kuliah  Analisis  Real  1 melalui metode proyek.

## METODE PENELITIAN
Lesson  Study yang  diterapkan  dalam pembelajaran  Analisis  Real  1  didesain  dalam tiga  fase  yaitu  fase  plan,  fase  do  ( action  and observation ),  dan  fase  see  ( reflection ).  Ketiga fase  tersebut  juga  tercantum  dalam  desain Classroom  Action  Research  by  Kemmis  dan Taggart. Oleh  karena  itu  jenis  penelitian  ini adalah Penelitian Tindakan Kelas (PTK) melalui kegiatan Lesson  Studi .  Penelitian  ini dilaksanakan selama empat siklus.
Gambar  Desain PTK Kemmis dan Taggart Plan Reflect Act & O b e serv
Reflect
Act & O b e serv Revised Plan
Subyek dalam penelitian ini adalah mahasiswa Program  Studi  Pendidikan  Matematika  FKIP Universitas  Muhammadiyah  Gresik  semester lima  kelas  pagi  yang  menempuh  mata  kuliah Analisis  Real  1  tahun  akademik  2015/2016 sebanyak  32  mahasiswa.  Bahan  pembelajaran yang ditekankan dalam penelitian ini adalah: (1) Sifat  Aljabar  Bilangan  Real,  (2)  Sifat  Urutan Bilangan  Real,  (3)  Nilai  Mutlak,  (4)  Sifat Kelengkapan Bilangan Real.
Data  hasil  penelitian  ini  berupa  data kuantitatif  yang  diperoleh  dari  hasil  observasi selama empat siklus pada setiap fase Do. Lembar observasi  disusun  berdasarkan  indikator kemampuan  penalaran  dalam  pembuktian teorema.  Untuk  memudahkan  observer melakukan  pengamatan  dan  penilaian  disusun rubrik pengamatan.
Data  hasil  observasi  penalaran  mahasiswa dalam  pembuktian  teorema  dianalisis menggunakan  nilai  rata-rata  hitung  sebagai berikut:
Standar  penilaian  menggunakan  standar Universitas Muhammadiyah Gresik adalah E (0 sampai 40), D (41 sampai 54), C (55 sampai 60), BC (61 sampai 65), B (66 sampai 70), AB (71 sampai  79)  dan  A  (80  sampai  100).  Kategori penilaian  sebagai  berikut:  nilai  A  dan  AB
kategori sangat baik, nilai B termasuk kategori baik, nilai BC dan C termasuk kategori cukup, dan nilai D dan E termasuk kategori kurang.
Selanjutnya konversi skor yang dibuat oleh p e n u l i s   a r t i k e l   k e   s k o r   U n i v e r s i t a s Muhammadiyan Gresik adalah 1: sangat kurang: dikonversi ke skor Universitas Muhammadiyah Gresik menjadi  E,2: kurang: dikonversi ke skor Universitas  Muhammadiyah  Gresik  menjadi D,3:  cukup:  dikonversi  ke  skor  Universitas Muhammadiyah Gresik menjadi BC atau C, 4: baik:  dikonversi  ke  skor  Universitas Muhammadiyah  Gresik  menjadi  B,5:  sangat baik:  dikonversi  ke  skor  Universitas Muhammadiyah Gresik menjadi AB atau A.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Observasi selama empat siklus dapat dirinci sebagai berikut:

## Siklus 1
Pada  fase Do  1 mahasiswa  dibagi  dalam beberapa  kelompok  secara  heterogen,  dengan anggota tiap kelompok 5 atau 6 mahasiswa. Dari hasil  observasi  selama  fase do  1 diperoleh  data sebagai berikut:
rata-rata skor indikator ke- i untuk semua siklus jumlah skor indikator ke-i untuk semua siklus
banyaknya siklus
=
rata-rata skor siklus ke- i
jumlah skor semua indikator pada siklus ke- i
banyaknya indikator =
dan

## Tabel Rata-rata Kemampuan Penalaran dalam
Pembuktian Teorema pada Siklus 1
Mampu memahami apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan Menyusun konjektur dan strategi pembuktian Memberikan alasan yang logis dalam setiap langkah pembuktian Menggunakan hubungan atau koneksi antar teorema maupun definisi Menarik analogi dan generalisasi untuk merumuskan kesimpulan 1 2 3 4 5 4 4 4 4,5 4,5 No. Indikator
Skor Rata-rata
Dari  data  tersebut  dapat  ditentukan  skor rata-rata  untuk  siklus  1  dengan  menggunakan rumus
Rata-rata skor siklus ke-1 adalah 4,2 Disimpulkan  bahwa  kemampuan  penalaran mahasiswa dalam matematika pada siklus 1 rata- ratanya  4,2,  dibulatkan  menjadi  4,  sehingga dikategorikan baik.
Siklus 2
Dari  data  tersebut  dapat  ditentukan  skor rata-rata  untuk  siklus  2  dengan  menggunakan rumus
Rata-rata skor siklus ke-2 adalah 4,25 Disimpulkan  bahwa  kemampuan  penalaran mahasiswa dalam matematika pada siklus 2 rata- ratanya  4,25,  dibulatkan  menjadi  4,  sehingga dikategorikan baik.

## Siklus 3
Dari data tersebut dapat ditentukan skor rata-rata untuk siklus 3 dengan menggunakan rumus
Rata-rata skor siklus ke-3 adalah 4,4 Disimpulkan  bahwa  kemampuan  penalaran mahasiswa dalam matematika pada siklus 3rata- ratanya  4,4,  dibulatkan  menjadi  4,  sehingga dikategorikan baik.

## Siklus 4
Dari data tersebut dapat ditentukan skor rata-rata untuk siklus 4 dengan menggunakan rumus
rata-rata skor siklus ke-1 jumlah skor semua indikator pada siklus ke-1 banyaknya indikator =

## Tabel Rata-rata Kemampuan Penalaran dalam Pembuktian Teorema pada Siklus 2
Mampu memahami apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan Menyusun konjektur dan strategi pembuktian Memberikan alasan yang logis dalam setiap
langkah pembuktian
Menggunakan hubungan atau koneksi antar teorema maupun definisi
Menarik analogi dan generalisasi untuk merumuskan kesimpulan 1 2 3 4 5 4,5 4,25 4,25 4 4,25 No. Indikator Skor Rata-rata rata-rata skor siklus ke-2
jumlah skor semua indikator pada siklus ke-2
banyaknya indikator
=

## Tabel Rata-rata Kemampuan Penalaran dalam Pembuktian Teorema pada Siklus 3
Mampu memahami apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan Menyusun konjektur dan strategi pembuktian Memberikan alasan yang logis dalam setiap langkah pembuktian Menggunakan hubungan atau koneksi antar teorema maupun definisi Menarik analogi dan generalisasi untuk merumuskan kesimpulan 1 2 3 4 5 5 4,75 4,25 4,25 3,75 No. Indikator Skor Rata-rata
rata-rata skor siklus ke-3
jumlah skor semua indikator pada siklus ke-3
banyaknya indikator
=

## Tabel Rata-rata Kemampuan Penalaran dalam Pembuktian Teorema pada Siklus 4
Mampu memahami apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan
Menyusun konjektur dan strategi pembuktian
Memberikan alasan yang logis dalam setiap langkah pembuktian
Menggunakan hubungan atau koneksi antar teorema maupun definisi
Menarik analogi dan generalisasi untuk merumuskan kesimpulan 1 2 3 4 5 4 4,17 3,83 3,5 4,17 No. Indikator Skor Rata-rata
rata-rata skor siklus ke-4
jumlah skor semua indikator pada siklus ke-4 banyaknya indikator
Rata-rata skor siklus ke-4 adalah 3,934 Disimpulkan  bahwa  kemampuan  penalaran mahasiswa dalam matematika pada siklus 4 rata- ratanya  3,934,  dibulatkan  menjadi  4,  sehingga dikategorikan baik.
Dari data empat siklus diatas kemampuan penalaran  mahasiswa  dalam  matematika  dari siklus 1 sampai siklus 4 dapat disajikan dalam diagram lingkaran sebagai berikut:
Sedangkan  untuk  kemampuan  penalaran mahasiswa dalam matematika tiap indikator dari siklus 1 sampai siklus 4 disajikan dalam diagram berikut berikut:
P e n u r u n a n   r a t a - r a t a   k e m a m p u a n mahasiswa  pada  siklus  4  disebabkan  oleh indikator  yang  keempat  yaitu  menggunakan hubungan  atau  koneksi  antar  teorema  maupun definisi.
Indikator  ini  menuntut  mahasiswa menghubungkan  definisi  dan  teorema  untuk m e l a n g k a h   p a d a   l a n g k a h   p e m b u k t i a n selanjutnya. Namun mahasiswa kelihatan sangat sulit  melalui  langkah  ini,  hal  ini  karena  materi
yang dihadapi makin rumit, yang mengharuskan mahasiswa mengingat semua definisi, aksioma, dan  teorema  tatap  muka    sebelumnya  untuk dijadikan pijakan dalam melangkah.
N a m u n   d e m i k i a n ,   k e m a m p u a n penalaran  mahasiswa  matematika  pada p e m b e l a j a r a n   A n a l i s i s   R e a l   1   m a s i h dikategorikan  baik  walaupun  siklus  4 mengalami  sedikit  penurunan.  Selama  empat siklus  setiap  indikator  rata-rata  skor  indikator masih bertahan di angka 4 lebih sedikit.

## SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
Berdasarkan  pembahasan  diatas  dapat disimpulkan  bahwa  kemampuan  mahasiswa dalam  hal  penalaran  matematika  pada  mata kuliah  Analisis  Real  1  dapat  ditingkatkan melalui  pembuktian  teorema.  Kemampuan tersebut  dapat  dilihat  pada  indikatornya  dari siklus  ke  siklus  berikutya.  Dari  keseluruhan siklus  yang  terobservasi  selama  fase Do , didapatkan  rata-ratanya  4,196,  sehingga dikategorikan baik.

## Saran
Kepada semua pembaca, diharapkan dapat menjadikan artikel ini sebagai awal untuk riset di situasi dan kondisi yang lain. Namun demikian, artikel  ini  disusun  menggunakan  data  yang terbatas  dalam  skala  mikro  yaitu  hanya menggunakan  data  yang  terambil  selama observasi,  belum  menggunakan  tes  dan wawancara secara personal.
Kemampuan  penalaran  mahasiswa  yang diobservasi  masih  sebatas  lima  indikator,  oleh karena itu, periset dapat mengembangkan lebih
Siklus 1 2 3 4 Rata-rata 4,2 4,25 4,4 3,934 Siklus 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 Indikator Siklus 1 Siklus 2 Siklus 3 Siklus 4 Rata-rata
Series 1 Series 2 Series 3 Series 4 Series 5
banyak  lagi  sesuai  kriteria  situasi  dan  kondisi yang ada.
Metode proyek yang digunakan lumayan memberikan  ruang  dan  waktu  bagi  mahasiswa untuk  mendiskusikan  materi  secara  leluasa  di luar jam perkuliahan.

## DAFTAR PUSTAKA
Bartle. G. Robert dan Sherbert, R.Donald. 1982.
Introduction  to  Real  Analysis ..  United States  of America.  John  Wiley  &  Sons Inc.
Brodie,  Karin.2010. Teaching  Mathematical Reasoning  in  Secondary  School
Classroom. New York: Springer.
Direktorat  Pembelajaran  dan  Kemahasiswaan,
2011, Pedoman  Penulisan  Makalah
Lesson  Studi  Untuk  Seminar  Exchange
Experience, Dirjen  Dikti,  Kementrian
Pendidikan Nasional, Jakarta.
Soekadijo, R.G.  1 9 8 5 . L o g i k a   D a s a r. Tradisional,  Simbolik,  dan  Induktif.
Jakarta:PT. Gramedia.
Sumarmo,  Utari.  2003. Daya  dan  Disposisi Matematik:  Apa,  Mengapa,  dan Bagaimana  dikembangkan  pada  Siswa Sekolah Dasar dan Menengah . Makalah disajikan pada seminar sehari di jurusan matematika ITB, Oktober 2003.
Hardjisatoto,  Suhartoyo  dan  Asdi,  Endang
Daruni. 1979. Pengantar Logika Modern
Jilid  I. Yogyakarta:  Fakultas  Filsafat
Universitas Gadjah Mada. http://www.cde.ca.gov/ta/tg/hs/docume nts/mathStudisec5.pdf diakses pada hari Selasa, 15 Desember 2015 pukul 05:15 WIB.