pISSN: 2723-3472 eISSN: 2746 -1033
Volume 3, Issue 1, March 2022, pages 7-10

## REKONSTRUKSI TADULAKO
Civil Engineering Journal on Research and Development https://new.jurnal.untad.ac.id/index.php/renstra

## Analisis Perpindahan Besar Akibat Gaya Non-Konservatif
A. Dolu a *, A. Nasution b , A. Rivani a dan G.M. Oka a
a Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Tadulako, Palu, Indonesia, 94112
b Jurusan Teknik Sipil dan Perencanaan, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia, 40132
* Corresponding author ’s e -mail: anwardolu1972@gmail.com
Received: 22 December 2021 ; revised: 6 February 2022 ; accepted: 10 February 2022 Abstract: Structural applications based on large displacement analysis are widespread in various fields, such as the application of aircraft structures, membranes, cables, pipelines and risers. In this study, the author reviews the structural responses based on large displacement theory and non-conservative load models, assuming linear sections and materials. The parameters reviewed are the variation of the load factor  and  the  variation  of  the  slope  angle  of  the  load  P  at  the  end  of  the  span.  Solving  non-linear  differential  equations  with  non- conservative force, using numerical integration method. The simulation results with the variation of the load factor with the angle of inclination, vertical and horizontal displacements are obtained, where the final orientation of the acting force corresponds to the deformation of the structure, and the maximum deformation occurs at a load angle of 90 o , the deformation decreases for the angle orientation is getting smaller.
Keywords: large displacement, non linear, conservative, non – conservativef, numeric integration, deformation
Abstrak: Terapan struktur berdasarkan analisis perpindahan besar meluas di berbagai bidang, seperti aplikasi struktur pesawat, membran, kabel, sistem perpipaan ( pipelines ) dan riser . Dalam kajian ini, Penulis meninjau tanggap struktur ( structural responses ) berdasarkan teori perpindahan  besar  dan  model beban  Non – Konservatif,  dengan  asumsi  penampang  dan  bahan  linier.  Simulasi  parameter  yang ditinjau adalah variasi faktor beban dan variasi sudut kemiringan beban P diujung bentang.  Penyelesaian persamaan diferensial non-linier dengan gaya  non-konservatif,  menggunakan  metode  integrasi  numerik.  Hasil  simulasi  dengan  dengan  variasi  faktor  beban  dengan  sudut kemiringan, yang diperoleh perpindahan vertikal dan horizontal, dimana orientasi akhir dari gaya yang bekerja sesuai dengan deformasi struktur tersebut, dan deformasi maksimum terjadi pada sudut beban 90 o , deformasi semakin berkurang untuk orientasi sudut semakin mengecil.
Kata kunci : perpindahan besar, non linier, konservatif, non – konservatif, integrasi numerik, deformasi

## 1. Pendahuluan
Secara  umum  gaya-gaya  yang  diterapkan  ke  struktur diklasifikasikan  menjadi  dua  bagian  yaitu  1).  Gaya konservatif  ( conservative  load )  dan  2).  Gaya  non- konservatif  ( nonconservative  load ).  Gaya  konservatif  jika kerja  yang  dilakukan  oleh  gaya  hanya  bergantung  posisi awal  dan  akhir,  tidak  tergantung  pada  jalur  lintasannya seperti gaya elastik, gaya gravitasi, gaya elektrostatik, gaya apung.  Sedangkan  gaya  non-konservatif  jika  kerja  yang dilakukan oleh gaya tergantung pada jalur lintasannya, atau orientasi  gaya  yang  bekerja  bergantung  pada  deformasi struktur [1 – 4].  Sumber  gaya  non-konservatif  dapat  terjadi akibat gaya aerodinamik, gaya hidrodinamik, gaya propulsi roket,  gaya  gesek  dan  gaya  eletromagnetik  [3].  Beberapa penyelesaian  kasus  gaya  non-konservatif,  antara  lain penyelesaian perpindahan besar pada tumpuan jepit bebas akibat  beban  titik  P  (non-konservatif)  menggunakan integral  elliptic [2] .  Kasus  lendutan  besar  pada  tumpuan jepit – bebas akibat beban titik ditinjau yang bekerja pada dua titik yang berbeda dan kemiringan beban juga berbeda. Masalah  tersebut  diselesaikan  dengan  metode  iterasi [5] . Lendutan besar akibat beban titik P pada tumpuan jepit – bebas  dengan  model  lurus  dan  model  kurva  setengah lingkaran,  dengan  Penyelesaian  persamaan  diferensial nonlinier  menggunakan  metode  Runge-Kutta [6] .  Kasus lendutan  besar  pada  tumpuan  jepit – bebas,  yang  ditinjau
untuk  beban  titik  P  dengan  variasi  sudut  (α) ,  untuk penyelesaian persamaan diferensial yang digunakan adalah metode  homotopi  perturbasi  ( homotopy  perturbation method ) dengan kombinasi pendekatan Laplace-Pade [7] .
2. Persamaan Diferensial Non Linier
Perumusan persamaan diferensial berdasarkan Hubungan  Momen – Kelengkungan  ( moment – curvature relation ) non linier dapat dituliskan dalam bentuk [ 8-10 ].
( ) ( )    =     d M s E I s ds (1)
Untuk notasi:
( ) M s = Momen lentur sepanjang busur s
s = Panjang busur
E = Modulus Elastisitas Bahan ( ) I s = Momen inersia penampang
 = Putaran sudut
Momen lentur M ( s ) pada titik C ( Gambar. 1 ) diberikan: ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) sin ( ) cos ( )
= + =  −  +  −  y x M s P x s P y s
P x s P y s (2)
Gambar 1 . Geometri perpindahan nonlinier, akibat beban Titik (P) Tipe Non-konservatif
Untuk notasi:
P =   Beban titik
 =   Sudut beban titik P
Diketahui dx/ds , dy/ds dari Gambar 1 diperoleh
cos =  dx ds (3a) sin =  dy ds (3a)
Turunan  pertama  momen  lentur  ( Ms )  terhadap  panjang busur ( s ) dari Persamaan (1) dan Persamaan (2 – 3a,3b)
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 sin cos cos sin
sin =  −   +  −  
=  +  −  dM s
P P ds P (4)
Dari Persamaan (1), dan menurunkannya terhadap Panjang busur kecil ds
( ) 2 2 ( )  = d dM s EI ds ds (5)
Sesuai  Persamaan (4) dan  Persamaan  (5), maka diperoleh bentuk persamaan diferensial non-linier berikut [11 – 15] :
( ) 2 0 2 sin 0  +  +  −  = d EI P ds
(6)
Dari Persamaan (6), untuk notasi non – dimensional
2 ;  =  = s PL L EI (7)
Untuk notasi:
L =   Panjang bentang
EI =   Kekakuan penampang (asumsi konstan)
 =   Faktor beban Sesuai Persamaan (7), maka Persamaan (6) menjadi
( ) 2 0 2 sin ( ) 0  +    +  −  =  d d (8)
Kondisi batas Persamaan 8 tersebut
( ) ( ) 1, 1 0 ; 0, ' 0 0  =  =  =  = (9)
Sesuai [7], variabel ( )   dari Persamaan (8) ditransformasi menjadi persamaan berikut
0 ( ) ( )   =   +  −  (10)
Dari Persamaan (10), maka Persamaan (8) menjadi masalah kondisi nilai awal ( Initial Value Problem, IVP )
( ) 2 2 sin 0  +   =  d d (11)
Kondisi batas ( ) ( ) 0, 0 ; 0, ' 0 0  =  =   =  = (11)
Dengan penyelesaian Persamaan (11 – 12), maka diperoleh ( ) ( ) (1)   =   −  (13)
Sesuai  Persamaan  (8),  ditransformasi  menjadi  dua persamaan diferensial nonlinier orde pertama
( ) ( )   =    d d (14)
( ) ( ) 0 sin ( )   = −   +  −   d d (15)
Kondisi batas
( ) ( ) 0 0, 0 ; 0, 0 0  =  =   =  = (16)
Untuk  koordinat  perpindahan  dalam  bentuk  non dimensional
 = x L (17a)
 = y L (17b)
Sesuai persamaan (3) dan Persamaan (17) maka diperoleh ( ) cos ;   = −   d d (18) ( ) sin   =   d d (19)
Kondisi batas
( ) ( ) 1, 1 0 ; 1, 1 0  =  =  =  = (20)
Dengan  menyelesaikan  Persamaan  (11 – 20),  dengan
variasi faktor beban ( 2  = PL EI ) dan kemiringan beban P (  ),  maka  diperoleh  tanggap  ( responses )  beban – perpindahan sesuai Tabel 1 , hubungan Beban Perpindahan (P –  )  sesuai Gambar  2,  Gambar  3 dan  trajektori perpindahan sesuai Gambar 4

## 3. Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan  hasil  analisis,  dengan  nilai-nilai  numerik faktor beban ( 0,01...50,0  = ) dan variasi kemiringan sudut
( o o o o 30 ,45 ,60 ,90  = ),  maka  diperoleh  perpindahan
x, u y, v EI, A B A L P  x d y  o L -  x s   P C x y
REKONSTRUKSI TADULAKO: Civil Engineering Journal on Research and Development , Vol. 3(1), March 2022
horizontal  (  x )  dan  perpindahan  vertikal  ( d y ).  Pada Gambar  2 ,  tinjauan  khusus  deformasi  untuk  kemiringan sudut beban titik P ( o 90  = ), dengan variasi faktor beban ( 0,01...50,0  = )  sesuai Tabel  1 .  Secara  geometri, hubungan beban dan perpindahan sesuai Gambar 2 , terlihat bahwa orientasi gaya yang bekerja tersebut bergantung pada deformasi struktur yang terjadi.
Gambar 2 . Konfigurasi Perpindahan Horisontal (  x ) dan Vertikal ( d y ), Sudut Beban P (  =90 0 )
Tabel 1 . Lendutan dan Putaran Sudut akibat Beban Titik P Non-konservatif dengan Variasi Faktor B eban (α)
2  = PL EI ( ) 1 −  x L d y L ( )  rad 0,01 0,99999 -0,00333 0,00500 0,03 0,99994 -0,01000 0,01500 0,05 0,99983 -0,01667 0,02500 0,07 0,99967 -0,02333 0,03500 0,10 0,99933 -0,03332 0,05000 0,30 0,99402 -0,09965 0,14989 0,50 0,98348 -0,16504 0,24948 0,70 0,96790 -0,22891 0,34858 1,00 0,93565 -0,32064 0,49588 2,00 0,76736 -0,57384 0,96824 3,00 0,55166 -0,72669 1,39866 4,00 0,34275 -0,78617 1,77644 5,00 0,17228 -0,78069 2,09816 6,00 0,04950 -0,74027 2,36555 7,00 -0,02959 -0,68695 2,58315 8,00 -0,07386 -0,63359 2,75655 9,00 -0,09227 -0,58629 2,89138 10,00 -0,09212 -0,54698 2,99272 20,00 0,27571 -0,33016 2,85058 30,00 0,47614 0,20169 1,69086 40,00 0,14061 0,51045 0,58902 50,00 -0,02024 0,48034 0,05958
Pada Gambar  3 ,  untuk  konfigurasi  perpindahan horizontal  (  x )  dan  perpindahan  vertikal  ( d y )  dengan
variasi  faktor beban ( 2  = PL EI ) dan variasi  kemiringan sudut  beban  P  ( o o o o 30 ,45 ,60 ,90  = ),  dimana  hubungan antara beban dan perpindahan terlihat bahwa orientasi gaya P (sudut beban  )  yang bekerja bergantung pada deformasi struktur yang terjadi atau bersifat non-konservatif.
Gambar 3 . Konfigurasi perpindahan horisontal (∆x) dan vertikal ( 𝛅 y), dengan variasi sudut beban (  )
Gaya non-konservatif dengan variasi faktor beban (  ) dan sudut beban titik P (  ), seperti pada Gambar 4 , terlihat bahwa trajektori perpindahan maksimum terjadi pada sudut beban  titik  P  ( o 90  = ),  dan  perpindahan  maksimum semakin  berkurang  dengan  orientasi  sudut  beban  titik  P semakin mengecil ( o o o 60 ,45 ,30  = ).
Gambar 4. Trajektori perpindahan (  x L , d y L ), variasi faktor beban dan sudut beban ( ,   ) non-konservatif
P
 = 90 o  = 60 o  = 45 o  = 30 o Kondisi Awal
P 
REKONSTRUKSI TADULAKO : Civil Engineering Journal on Research and Development, Vol. 3(1), March 2022

## 4. Kesimpulan
Tipe gaya non-konservatif yang diterapkan pada struktur, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tergantung pada jalur lintasannya (trajektori perpindahannya). Dari hasil analisis menunjukan bahwa orientasi gaya yang bekerja bergantung pada deformasi struktur yang terjadi, diperoleh pula bahwa deformasi maksimum terjadi pada kondisi dengan orientasi sudut  beban  P  sebesar o 90  = ,  dan  deformasi  berkurang untuk orientasi sudut beban titik P semakin mengecil yaitu sudut o o o 60 ,45 ,30  = .

## Daftar Pustaka
[1] V.V.  Bolotin, Nonconservative  Problems  of  the Theory  of  Elastic  Stability ,  New  York:  Pergamon Press Inc., 1963.
[2] P.  Villagio, Mathematical  Models  for  Elastic Structures ,  Cambridge:  Cambridge  University  Press, 1997.
[3] C.A.  Felippa, Nonlinear  Finite  Element  Methods , Colorado:  Department  of  Aerospace  Engineering Sciences and Center for Space Structures and Controls University of Colorado Boulder, 2004.
[4] J.F. Doyle, Guided Explorations of the Mechanics of Solids  and  Structures , Cambridge:  Cambridge University Press, 2009.
[5] B.S. Shvartsman , “ Large Deflections of a  Cantilever Beam  Subjected  to  a  Follower  Force ” , Journal  of Sound and Vibration , vol. 304, no. 3-5, p. 969, 2007.
[6] A.K.  Nallathambi,  C.L.  Rao,  and  S.M.  Srinivasan, “ Large  Deflection  of  Constant  Curvature  Cantilever Beam Under Follower Load ”, International Journal of Mechanical Sciences, vol. 52, no. 3, p. 440, 2010.
[7] H.  Vázquez-Leal,  Y.  Khan,  A.L.  Herrera-May,  U. Filobello-Nino,  A.  Sarmiento-Reyes,  J.M.  Jiménez- Fernández,  D.  Pereyra-Díaz,  A.  Perez-Sesma,  R. Castaneda-Sheissa,  A.  Díaz-Sanchez,  and  J.  Huerta- Chua, “ Approximations  for  Large  Deflection  of  a Cantilever Beam under a Terminal Follower Force and Nonlinear  Pendulum ”, Mathematical  Problems  in Engineering , vol. 2013, p. 1, 2013.
[8] S. Timoshenko, History of Strength of Materials with a Brief Account of the History of Theory of Elasticity and  Theory  of  Structures ,  New  York:  Dover Publications Inc.,  1983.
[9] M. Sathyamoorthy, Nonlinear Analysis of Structures, Florida: CRC Press LLC.,1998.
[10] D.G. Fertis, Nonlinear Structural Engineering , Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006.
[11] A. Hasegawa,  T. Matsuno,  and F. Nishino , “ Elastic Instability  and  Nonlinear  Analysis  of  Thin-Walled Cross-Section Members Subject to Non-conservative Forces ”, J-STAGE , vol. 1988, no. 392, 1988.
[12] A.M. Gasparini, A.V.Saetta, and R.V. Vitaliani , “ On the  Stability  and  Instability  Regions  of  Non- Conservative  Continuous  System  Under  Partially Follower  Forces ”, Computer  Methods  in  Applied Mechanics and Engineering , vol. 124, no. 1-2, p. 63, 1995.
[13] T.N. Todorov, B. Cunningham, D. Dundas, and A.P. Horsfield ,  “ Non-Conservative  Forces  in  Bulk Systems ”, Materials Science and Technology , vol. no. 12, p. 1442, 1997.
[14] Q.L. Li, S. R. Li, and C. S. Xiang, "Nonlinear Analysis of a Cantilever Elastic Beam under Non-conservative Distributed  Load," Proc.  Fourth  International Conference on Information and Computing , vol. 2011, p. 181, 2011.
[15] R.S. Barsoum, “ Finite Element Method Applied to the Problem of Stability of A Non-Conservative System ”, International  Journal  for  Numerical  Methods  in Engineering , vol. 3, no. 1, p.  63, 1971.