Volume 19 Nomor 01, April 2019 : 15-23

## Optimasi Struktur Rangka Batang Menggunakan Metode Algoritma Genetika Dengan Kendala Tegangan Dan Probabilitas Kegagalan
Truss Structure Optimization Using Genetic Algorithms Method with Stress and Probabilities of Failure Constraints
Mahadi Kurniawan 1
1 Dosen Teknik Sipil, Universitas Islam Riau, Jl. Kaharuddin Nasution No. 113, Pekanbaru, Riau
* Corresponding author : mahadi.kurniawan@eng.uir.ac.id Tel.: +62-82320201313; fax.: - Received: Feb 11, 2019; Accepted: Apr 28, 2019. DOI: 10.25299/saintis.2019.vol19(1).3043

## Abstrak
Setiap struktur rekayasa harus memenuhi suatu kriteria tertentu agar dapat berfungsi  sebagaimana mestinya. Makalah ini menyajikan hasil  kajian  dari  struktur  rangka  batang  ( truss )  yang  harus  memenuhi  kriteria  optimal,  yaitu  berbiaya  terendah  namun  berfungsi maksimal. Rangka batang  yang  ditinjau  dalam  penelitian ini merupakan  struktur rangka  baja  statis  tak tentu  secara  internal  maupun eksternal  yang  mengalami  sistem  pembebanan  jamak  ( multi  load - systems ).  Biaya  atau  harga  struktur  direpresentasikan  oleh  volume bahan struktur sedang fungsi maksimal ditampilkan dalam tegangan yang tinggi dalam  batas-batas tegangan yang diijinkan. Kekuatan bahan baja ditinjau sebagai variabel acak yang mengikuti distribusi Log Normal . Selain tegangan, struktur juga harus memenuhi kriteria probabilitas  kegagalan P fi ≤    10 -3 .  Nilai  tersebut  harus  dipenuhi  secara  lokal  oleh  setiap  elemen  struktur  maupun  oleh  keseluruhan struktur secara global. Kompleksitas masalah optimasi sangat bergantung pada banyaknya variabel desain yang ditinjau. Oleh karena itu, selain  elemen  dengan  variabel  desain  tunggal,  juga  ditinjau  elemen  dengan  desain  variabel  ganda.  Penyelesaian  masalah  optimasi struktur pada umumnya diselesaikan secara iteratif dengan menerapkan pemrograman matematik ( mathematical programming ). Cara demikian adalah tidak mudah dan biasanya memberikan hasil yang tidak terpercaya ( unreliable ), bahkan sering kali tidak memberikan hasil sama sekali akibat terjebaknya proses iterasi yang diterapkan. Untuk mengatasi hal tersebut, disini diterapkan Algoritma Genetika yang  melakukan  iterasi  secara  stokastik.  Dalam  penelitian  ini  Algoritma  Genetika  selalu  konvergen  ke  struktur  optimum  yang  sama. Dengan demikian maka struktur optimum yang dihasilkan merupakan solusi yang terpercaya ( reliable ).
Kata Kunci  : optimasi struktur, Algoritma Genetika, variabel desain, distribusi Log Normal , probabilitas kegagalan.

## Abstract
Engineering structures need to satisfy certain criteria such that it may function properly. This paper presents the results of a study on trusses which  need  to  satisfy  optimal  conditions,  .i.e.  lowest  cost  possible  with  maximal  performance.  The  trusses  considered  were  statically indeterminate steel structures with multi-system of loading. The cost is here represented by the material volume of the structure and the maximal  performance  is  reflected  by  the  high    working  stresses    within  allowable  stress  limits.  The  material  strength  was  modeled  as  a random variable with a Log Normal distribution. Beside stresses, the structures are also required to meet a failure probability of  Pf = 10 -3 , which may occur locally within the elements as well as globally on the structure as a whole. The complexity of optimization problems depends in general on the number of the considered variables. The larger the number of variables considered, the more complicated becomes the solution process. Therefore, cases of single variable elements as well as multi variables ones were considered in this study. Optimization problems  are  usually  solved  applying  iterative  procedures,  frequently  resorting  to  mathematical  programming.  In  these  procedures  the process   usually converges to unreliable solutions; it even may completely bogged down with no solution at all. To circumvent this problem, iteration was carried out applying Genetic Algorithms where the process proceeds in a stochastic manner. Genetic Algorithms usually deliver reliable solutions.
Keyword: optimization of structures, Genetic Algorithm, design variables, Log Normal distribution, probability of failure.

## PENDAHULUAN
Solusi  Rekayasa  merupakan  solusi  optimum, yaitu  solusi  yang  ‘terbaik’  dari  semua  solusi  yang ada,  tanpa  melanggar  batasan  atau  kendala  yang berlaku.  Solusi  yang  terbaik  biasanya  direfleksikan oleh  biaya  atau  harga  struktur  yang  termurah. Dalam penelitian ini harga struktur direpresentasikan oleh volume bahan dari struktur, sedangkan  tegangan  ijin  elemen  serta  risiko kegagalan  (probabilitas  keruntuhan)  menjadi batasan atau kendala yang harus dipenuhi struktur.
Struktur  yang  demikian  biasanya  secara  singkat dikenal sebagai struktur optimum.
Struktur optimum biasanya dapat diperoleh secara  iteratif  dengan  menerapkan mathematical programming ,  terutama  pada  masalah  optimalisasi nonlinear .  Prosedur  iteratif  dalam  pemrograman matematik  sering  kali  konvergen  pada  solusi optimum  yang  keliru.  Hal  ini  disebabkan  oleh proses  iterasi  yang  terjebak  pada  suatu  titik tertentu, malah juga sering tidak memberikan solusi sama  sekali.  Oleh  karena  itu,  solusi  optimum  yang
diperlukan  dicari  melalui  cara  iterasi  dengan menerapkan Algoritma Genetika (GA).
AG  tidak  dibangun  atas  dasar  konsep matematika.  Algoritma  tersebut  mengalir  sesuai Teori Evolusi Darwin (Holland, 1992) yang berdasar pada  azas  ’ survival  of  the  fittest ’  dimana  individual yang  ’kuat’  akan  berkembang  biak  melalui perkawinan  silang  dengan  anggota  cakap  yang lainnya. Keturunan hasil perkawinan silang tersebut kemudian  akan  mendominasi  populasi  dari generasi-generasi  berikutnya.  Individual  yang lemah  akan  sirna  dan  tidak  lagi  mempengaruhi kondisi  populasi  asalnya.  Oleh  karena  itu  dalam Algoritma  Genetika  tidak  diperlukan  derivatif berbagai  fungsi  sebagaimana  dijumpai  dalam  cara pemrograman
matematika konvensional. Pendekatan AG adalah stokastik, yaitu membangkitkan  nilai  acak  ( random )  bagi  variabel yang mengendalikan nilai fungsi yang mendefinisikan  masalahnya.  Selain  itu  Algoritma Genetika  juga  mengakomodasi  proses  kawin  silang dan mutasi yang terjadi secara acak, masing-masing berdasarkan  probabilitas  yang  berlaku.  Kelebihan GA  adalah  biasa  berhasil  memberikan  solusi  yang andal  terutama  dalam  kasus  kompleks  (rumit)  dan sukar  diselesaikan  dengan  metode  konvensional lainnya [ 1 ]. Pengkajian  awal  dalam  penelitian  ini menunjukkan  bahwa  AG  adalah  sangat  serbaguna ( versatile )  dalam  penerapannya.  Hal  tersebut tampak dalam beberapa kasus berikut: Nurwadji,  F.X.N.,  (1996),  menerapkan  GA  dalam optimasi  bentuk  cangkang  optimum  [ 2 ].  Penulis yang sama (2006) juga melakukan pengkajian kasus deterministik  rangka  batang  optimum  [ 3 ]. Suharjanto  (2008)  melakukan  penelitian  optimasi balok berlubang ( castellated beams ) yang menghasilkan balok optimum dengan lubang eliptik yang berdiri [ 4 ].
Berdasarkan pada hasil pengkajian awal diatas, dimana  masalah  struktur  adalah  deterministik, maka  penelitian  ini  meninjau  kasus  optimasi struktur rangka batang sebagai masalah probabilistik.

## RUMUSAN MASALAH
Dalam  penelitian  ini  ditijau  suatu  struktur rangka  batang  baja  statis  tak  tentu  yang  ditumpu pada titik A, C, dan D, seperti tampak pada Gambar 1.  Struktur  tersebut  dibebani  dengan  gaya  P B =  15 KN di B dan P F = 15 KN di F. Sebagai variabel desain disini diambil x i = luas potongan elemen batang; i = nomor  elemen.  Masalah  optimasi  struktur  tersebut dapat  dipresentasikan  dalam  bentuk  matematika sebagai berikut:
( ) x X
F x
MIN
 ;                                                  (1) Yang memenuhi kendala, 0 ; 1,......., i i i n      ;                               (2)
3 10 ; 1,......., fi P i n
   ;                               (3)  
1 max | 1, 2,....., 1 (1 ) ; k fi f fi i P i n P P        (4)
dimana,
1 ( ) . ; n i i i F x x L    (5)
Keterangan : F(x) = fungsi tujuan;
x i = luas penampang batang i;
L i
=  panjang batang i; σ i =  tegangan yang bekerja dalam elemen i; 𝜎̅ 𝑖 =  tegangan ijin elemen i;
i
=  nomor elemen batang; n =  jumlah elemen; P fi =  probabilitas gagal elemen i;
P f =  probabilitas gagal struktur global.
Gambar 1. Struktur Rangka Batang ( Truss ) Dalam  penelitian  ini,  struktur  terbuat  dari  baja  BJ 37  dengan  nilai  tegangan  leleh σ y =  240  MPa, tegangan  ijin 𝜎̅ =  160  MPa,  dan  faktor  keamanan (SF) =1,5 ( SNI 03-1729-2002 ).

## METODOLOGI

## Algoritma Genetika
Garis  besar  AG  dapat  ditampilkan  sebagai bagan  alir  seperti  tampak  pada  Gambar  2.  Dalam gambar  tersebut  tampak berlakunya proses iterasi. Evolusi  struktur  terjadi  sebagai  akibat  dari berlakunya  iterasi  dalam  algoritma  tersebut. Perubahan  kualitas  solusi  optimum  yang  makin meningkat tercermin dari makin meningkatnya nilai rerata fitness dari  setiap  generasi  secara  berturut- turut. Generasi awal ( Generasi 0 ), yang berpopulasi 50  individu,  dibangkitkan  sepenuhnya  secara  acak, sedangkan  setiap  generasi  berikutnya  terdiri  dari 30  individu  yang  dibangkitkan  menggunakan  roda roulette  yang  mengacu  pada  struktur  fitness generasi  sebelumnya.  Individu  yang  memenuhi syarat probabilitas melakukan kawin silang dengan individu lainnya. Perkawinan tersebut menghasilkan  dua  keturunan.  Kemudian  individu keturunan  dengan  nilai fitness yang  terbaik  akan bertahan  hidup  menggantikan  individu  dari kelompok  orang  tua  yang  bernilai fitness buruk. Individu dengan karakteristik baru dapat diperoleh

## Optimasi Struktur Rangka Batang Menggunakan Metode Algoritma Genetika Dengan Kendala Tegangan Dan Probabilitas Kegagalan (Mahadi Kurniawan)
dari  mutasi  individu-individu  tertentu  sesaui probabilitas mutasi yang berlaku.
Gambar 2. Diagram Alir Metode Algoritma Genetika

## Populasi dan Individu
Dalam  alam,  individu  merupakan  suatu organisme  yang  memiliki  karakteristik  tertentu. Karakteristik  tersebut  dikandung  oleh  gen  dalam kromosom  organisme  tersebut.  Dalam  Algoritma Genetika  (AG),  individu  adalah  suatu  model  yang mewakili  suatu  masalah  tertentu.  Berbagai karakteristik dari masalah tersebut juga direpresentasikan  oleh  berbagai  gen  dalam  suatu kromosom, yang juga dikenal sebagai Genetic String . Individu  tersebut  juga  dapat  mewakili  model  dari hampir  semua  masalah  optimasi  yang  dihadapi manusia,  misalnya  masalah  manajemen,  kontrol, perjalanan  ( travelling  salesman ),  struktur,  energi dan  lain  sebagainya  [ 3 ].  Pada  penelitian  ini  akan ditinjau masalah optimasi struktur pada rangka baja ( Truss ) 2 dimensi dengan kondisi statis tertentu. Karakteristik  suatu  struktur  dapat  tampil sebagai  geometri  struktur  secara  global  ataupun bentuk elemen lokal, kekuatan ( strength ), kekakuan ( stiffness ),  stabilitas,  volume  atau  berbagai  sifat ( property ) dari struktur.
Misalkan luasan ( area ) pada Gambar 1 dari elemen  struktur  tersebut  menjadi  variabel  desain bebas A i , i =  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10    maka  masing- masing  parameter  merupakan  gen  dari  individu struktur.  Nilai A i bagi  setiap  individu  pada umumnya berbeda-beda.
Misalkan  tinjau  struktur  rangka  batang tersebut yang memiliki luas elemen sebagai berikut:
( A i ) = ( A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , A 7 , A 8 , A 9 , A 10 )
( A i ) = (2,1,4,9,7,5,6,10,8,3) Dimana  subskrip i merujuk  pada  nomor  elemen (batang) struktur.
Maka  individu  ke-1  memiliki  suatu kromosom  dengan  tujuh  gen.  Masing-masing  gen direpresentasikan  oleh  nilai-nilai  tersebut.  Maka kromosom  atau genetic  string struktur  tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Individu 1, memiliki kromosom :
2 1 4 9 7 5 6 10 8 3
Gen  dapat  direpresentasikan  dengan  bilangan decimal, biner, huruf  besar, huruf kecil, koma, tanda baca, atau berbagai simbol-simbol lainnya. Bilangan biner  sangat  populer  untuk  dipergunakan  sebagai representasi karakteristik suatu masalah.
Dalam  Algoritma  Genetika  (AG)  ditinjau suatu  populasi  yang  terdiri  dari  sejumlah  individu. Berapa  besar  populasi  yang  memadai  untuk keperluan  proses  Algoritma  Genetika  (AG)  sangat tergantung  pada  masalah  yang  ditinjau.  Pada masalah optimisasi struktur sering ditinjau populasi yang  terdiri  dari  30  individu.  Namun  berapa  besar populasi  yang  terbaik  biasanya  diperoleh  dari beberapa  percobaan.  Jadi  setiap  individu  mewakili sebuah  struktur  dengan  karakteristik  yang  khas individu tersebut. Karakteristik khas suatu individu dinyatakan dalam kromosom individu tersebut.

## Kualifikasi Individu
Setiap  individu  mewakili  satu  struktur dengan  variabel  desain  yang  dibangkitkan  secara acak.  Dengan  demikian  ada  kemungkinan  bahwa struktur tersebut  tidak layak ( not feasible ). Artinya struktur tersebut tidak memenuhi persyaratan yang diberikan sehingga kemungkinan besar akan runtuh atau gagal ( failed ). Individu yang mewakili struktur yang runtuh akan memiliki nilai fitness yang buruk (kecil).  Nilai  fitness  diberikan  oleh  persamaan sebagai berikut [3]:
; C Fit   (6)
Keterangan :
Fit =  fitness individu; C =  konstan  =  10 8 2 2 1 2 1 1
( ) ( ( )) ( ( )) ; j k i i i i F x r g x r h x 
       (7)
 =  fungsi penalti; g i =  fungsi kendala yang berlaku dalam elemen h i =  fungsi kendala yang berlaku pada struktur secara global; r 1 , r 2 =  konstanta signifikansi
Persamaan  (7),  yaitu  fungsi  penalti, dipergunakan secara penuh bagi struktur yang tidak layak.  Suku  dalam  tanda  kurung  ,  yaitu  suku terakhir,  dalam  persamaan  tersebut  merupakan penalti bagi struktur  yang melanggar kendala. Bagi struktur  yang  layak,  suku  yang  ada  didalam  tanda kurung diabaikan. Konstanta r 1 = 10 4 dan r 2 = 10 5 sengaja  diambil  bilangan  besar  agar  suku  penalti menjadi  signifikan  serta  mendominasi  nilai  fungsi  bila  terjadi  pelanggaran.  Nilai r 1 dan r 2 ditentukan  dengan  coba-coba.  Nilai  konstanta C juga  ditentukan  dengan  cara  coba-coba.  Nilai C digunakan  dengan  maksud  agar Fit tidak merupakan  angka  yang  terlalu  kecil  atau  besar, sehingga lebih mudah dalam penangannya.
Seleksi Alamiah ( Natural Selection )
Teori  Darwin  “ Survival  of  the  Fittest ” merupakan  dasar  dalam  seleksi  alamiah.  Individu- individu  dalam  suatu  populasi  saling  bersaing. Makin fit suatu  individu, maka akan semakin besar pula  peluangnya  untuk  tetap  hidup.  Individu  yang paling lemah kemungkinan besar akan musnah dari populasi,  karena  kalah  berkompetisi  dengan individu-individu lain yang lebih fit.
Roda  Rollet  ( Rollet  Wheel )  merupakan metode  yang  paling  sering  dipakai  pada  Algoritma Genetika (AG) untuk menentukan individu-individu yang tetap tinggal di populasi [ 4 ].
Cara  kerja  metode  tersebut  dalam penelitian ini adalah :
a.   Menghitung  nilai  fitness  dari  setiap  individu f_fitness(i).  Pada  metode  Algoritma  Genetika (AG)  fungsi fitness merupakan  gabungan  dari fungsi tujuan (pada penelitian ini fungsi tujuan adalah  volume  minimum  struktur)  dan constraint (pada  penelitian  ini  yang  menjadi kendala adalah risiko),
b.   Menghitung  nilai total  fitness (Tot_fitness(i)) dari semua individu,
c. Menghitung running  sum  of  fitness (run_f(i)) yang merupakan akumulasi dari nilai f_fitness yang berurutan,
d.   Membangkitkan  ( generate )  bilangan random antara  1  sampai  dengan total  fitness untuk masing-masing running sum of fitness tersebut, e.   Dari  bilangan random yang  dihasilkan, selanjutnya  ditentukan  individu  mana  yang terpilih dalam proses seleksi.
Peluang  suatu  individu  untuk  dipilih  pada putaran  roda  rollet  diwakili  oleh  luas  bagiannya  di roda  rollet.  Luas  ini  bergantung  pada  nilai  fitness dan  total  nilai  fitness  seluruh  populasi.  Tabel  1 memperlihatkan  contoh  empat  elemen  individu dalam  sebuah  populasi  dengan  kode  string,  nilai fitness  dan  luas  bagian  masing-masing  individu. Roda  rollet  dengan  luas  bagian  masing-masing individu sesuai Tabel 1 diperlihatkan pada Gambar 3.  Roda  rollet  diputar  sebanyak  jumlah  individu
dalam  populasi  untuk  memilih  individu  yang  tetap tinggal di populasi.
Tabel 1. Contoh Seleksi Alamiah Individu String Fitness Luas Bagian = Fitness / Total Fitness 1 0000110 10 0.1 2 0111100 40 0.4 3 1001001 20 0.2 4 1110011 30 0.3
Total Fitness  =  100
Gambar 3. Roda Roulette ( Roulette Wheel ) Pada Seleksi Alamiah
Pada  Gambar  3  tampak  Individu  2 mempunyai  luas  bagian  terbesar  karena  nilai fitnessnya  terbesar,  sehingga  mempunyai  peluang terbesar untuk dipilih. Meskipun demikian individu 2 masih mempunyai peluang, walaupun kecil, untuk tidak  terpilih,  dan  ini  merupakan  salah  satu kelemahan  memakai  roda  rollet  pada  seleksi alamiah.  Putaran  roda  rollet  kadang-kadang memilih  individu  tertentu  paling  sering,  ini mengganggu proses optimasi, karena menyebabkan ragam  karakter  individu  dalam  populasi  menjadi hampir  seragam  dan  mengakibatkan  konvergen prematur.  Hilangnya  individu-individu  yang  cukup fit karena tidak terpilih oleh putaran roda rollet juga merupakan  kelemahan  proses  seleksi  alamiah memakai putaran roda rollet.

## Kawin Silang
Setiap  individu  mewakili  suatu  struktur dengan  karakteristik  khas  yang  direpresentasikan oleh variable design yang dibangkitkan secara acak. Dalam  kasus  yang  ditinjau  di  sini,  karakteristik tersebut dinyatakan oleh 10 variabel desain x i yang dibangkitkan secara acak. Sebagai karakter individu, ke-10  variabel  desain  tersebut  diatur  dalam  satu baris.  Baris  tersebut  merupakan  satu  kromosom yang  terdiri  dari  10  gen.  Agar  individu  dapat melakukan kawin silang, maka  angka numerik gen, perlu  ditransformasikan  kedalam  bentuk  deret biner. Selain menyatakan nilai variabel desain, deret biner  tersebut  juga  harus  mengakomodasi kebutuhan akan presisi  dari variabel desain. Untuk itu  panjang  angka  biner  atau  jumlah  bit  yang

## Optimasi Struktur Rangka Batang Menggunakan Metode Algoritma Genetika Dengan Kendala Tegangan Dan Probabilitas Kegagalan (Mahadi Kurniawan)
ditinjau  ditentukan  dengan  rumus  (Gen,  Cheng, 1997) [ 5 ]:
  2 ) log ( .10 1 ; bit b b L U L     (8) Keterangan :
L bit
=  panjang deret biner;
U b =  batas atas domain variabel desain;
L b =  batas bawah domain variabel desain;
α
=  nilai presisi.
. ; kromosom bit elemen
L L N  (9)
Keterangan :
L kromosom =  panjang kromosom;
N kromosom =  jumlah elemen dalam struktur.
Dengan  batas  atas U b = 140  mm 2 ,  batas bawah L b =  105  mm 2 ,  dan α =  2,  Persamaan  (8) memberikan panjang gen L bit = 12. Dengan nilai-nilai tersebut  maka  pers  (9)  memberikan  panjang kromosom L kromosom =  120  bit.  Untuk  keperluan proses  penyilangan  ( crossover )  maka  angka numerik  gen  harus  ditransformasikan  kedalam bentuk biner dengan persamaan berikut (Gen,Cheng, 1997) [ 5 ]:
2 1 ( ). ; n x b b b substring desimal real L U L      (10)
Keterangan : substring-desimal =  nilai variable desain yang harus ditransformasikan ke dalam bentuk bit;
real x =  nilai variable desain yang dibangkitkan secara acak; n =  panjang deret biner = L bit .
Nilai substring-desimal selanjutnya  ditrans- formasikan  kedalam  bentuk  bilangan  biner.  Secara skematik,  maka  kromosom  dapat  dimodelkan seperti tampak pada Tabel 2.
Tabel 2. Kromosom Individu Terdiri Dari 10 Gen
Kromosom
Elemen 1 Elemen 2 Elemen 3  … Elemen 10 K1 K2 K3 … K10
Individu  yang memenuhi probabilitas  yang ditentukan selanjutnya melakukan kawin silang dan mengalami mutasi. Dalam penelitian ini probabilitas kawin  silang  adalah P co =  0,95,  sedangkan  proba- bilitas mutasi adalah P mu = 0,01.
Sebagai ilustrasi dari proses penyilangan ( crossover ) pada satu gen adalah sebagai berikut:
Individu 1 :  0  1  1 1  0  1  0  0  1  0  0  1 Individu 2 :  1  0  1 0  1  1  1  0  0  1  1  0 Titik Silang Anak 1 :  0  1  1 0  1  1  1  0  0  1  1  0 Anak 2 :  1  0  1 1  0  1  0  0  1  0  0  1
Individu 1 dan Individu 2 berperan sebagai orang  tua  yang  menurunkan  dua  keturunan,  yaitu Anak  1  dan  Anak  2.  Lokasi  titik  silang  ditentukan secara acak.
Ilustrasi proses mutasi adalah sebagai berikut :
Gen individu sebelum dan setelah mutasi :
0  1  0 0 1  1  0  1  0  0  1  0
0  1  0 1 1  1  0  1  0  0  1  0
Lokasi  bit  yang  mengalami  mutasi  juga ditentukan  secara  acak  sesuai  probabilitas  mutasi yang ditentukan.
Selain penyilangan dan mutasi, inversi juga merupakan  cara  untuk  menjaga  ragam  karakter dalam  populasi,  sehingga  mengurangi  terjadinya konvergen  prematur.  Inversi  pada  Algoritma Genetika  (AG)  terjadi  dengan  menukar  letak  dua karakter pada sebuah string individu. Individu mana dan  karakter  mana  yang  mengalami  inversi ditentukan secara random.
Adapun contoh proses mutasi dapat dilihat sebagai berikut :
Gen individu sebelum mutasi 0  1  0  0  1  1  0  1  0  0  1  0
Gen individu setelah mutasi 0  0  0  1  1  1  1  1  0  0  1  0
Probabilitas  Terjadi  Penyilangan  ( Crossover ), Mutasi Dan Inversi
Pada  Penyilangan  ( Crossover ),  dalam  satu generasi  individu  akan  melakukan  Penyilangan berdasarkan pada kriteria probabilitas kesempatan yang  sama.  Oleh  karena  itu  maka  ada  kesempatan bagi  tiap  individu  untuk  dibangkitkan  secara  acak. Bagi  individu  yang  tidak  memiliki  kesempatan untuk  melakukan  Penyilangan  maka  tidak  akan pernah  membangkitkan  keturunannya.  Kriteria probabilitas  penyilangan  yang  dipertimbangkan adalah :
𝑃 𝑐𝑜 = 0.95 = 95%
(11)
Demikian  juga  halnya  dengan  mutasi. Mutasi  dapat  berlaku  dalam  setiap  gen  pada  posisi digit  tertentu.  Oleh  karena  itu,  setiap  digit  harus diperiksa  probabilitas  kesempatan  mutasinya. Apabila  probabilitas  tersebut  lebih  kecil  dari kriteria  probabilitas  tidak  terjadinya  mutasi,  maka digit tersebut akan mengalami mutasi.
Kriteria  probabilitas  tidak  terjadinya mutasi adalah sebagai berikut :
𝑃 𝑚 = 0.01 = 1% (12)
Bila probabilitas tidak mutasi yang dimiliki suatu  digit  tertentu  lebih  kecil  dari  probabilitas kriteria,  maka  digit  tersebut  akan  mengalami mutasi.
Begitu  juga  halnya  dengan  inversi.  Inversi terjadi  dalam  suatu  gen.  Dalam  proses  inversi terjadi pertukaran tempat dari digit dalam satu gen. Oleh karena itu semua gen diperiksa. Seperti halnya mutasi,  probabilitas  untuk  tidak  terjadi  inversi harus memenuhi kriteria probabilitas tertentu. Bila probabilitas  yang  dimiliki  gen  tersebut  lebih  kecil dari  pada  kriteria  probabilitas  yang  menentukan, maka gen tersebut akan mengalami inversi.
Gen  mana  yang  akan  mengalami  inversi ditentukan secara acak. Karena dalam inversi terjadi pertukaran tempat digit, maka juga harus diketahui digit  mana  yang  akan  mengalami  pertukaran tersebut. Hal ini juga ditentukan secara acak. Kriteria  probabilitas  tidak  terjadinya inversi adalah sebagai berikut :
𝑃 𝑖𝑛 = 0.01 = 1% (13)

## Kriteria Konvergensi
Proses  iterasi  dihentikan  ketika  kondisi konvergen  telah  tercapai.  Parameter  yang menentukan konvergensi adalah nilai rerata fitness dan nilai rerata volume dari populasi.
1 0.001 ; n n Fit Fit    (14)
1 0.001 ; n n V V    (15)
Keterangan :
Fit n =  nilai rerata fitness dari iterasi n;
V n =  nilai rerata volume dari iterasi n.

## Analisis Tegangan
Secara umum tegangan dapat didefinisikan sebagai besarnya gaya (F) yang bekerja pada suatu elemen  per  satuan  luas  (A)  elemen  tersebut  yang dirumuskan sebagai berikut :
𝑓 𝑥 (𝑥) = 1 √2𝜋 𝜉𝑥 𝑒𝑥𝑝 [− 1 2 ( ln 𝑥−𝜆 𝜉 ) 2 ] (16)
Hubungan antara besar tegangan pembebanan  (σ)  dengan  tegangan  izin  bahan (𝜎̅) ,
dapat  dinyatakan  oleh  faktor  keamanan  (SF)  yang dirumuskan sebagai berikut [ 6 ]:
𝑆𝐹 = 𝜎 ̅ 𝜎 (17)
Faktor  keamanan  adalah  sebagai  faktor yang  harus  ditetapkan  oleh  perancang  untuk menghadapi  kemungkinan  dari  pembebanan maksimum  diluar  kondisi  normal  yang  akan diterima  elemen  pada  saat  berfungsi.  Sebagai  efek dari kerja gaya dalam struktur material, maka jenis tegangan  tergantung  dari  jenis  gaya  yang  bekerja, yaitu :
a. Tegangan Tarik ( Tensile Stress )
Tegangan  tarik  (σ ta )  terjadi  akibat  bekerjanya  gaya tarik (F ta ) pada satuan luas penampang (A) sehingga elemen mengalami perpanjangan. Secara matematika dirumuskan sebagai berikut :
𝜎 𝑡𝑎 = 𝐹 𝑡𝑎 𝐴
Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Gambar 4. Ilustrasi Tegangan Tarik
b. Tegangan Tekan ( Compressive Stress )
Tegangan  tarik  (σ te )  terjadi  akibat  bekerjanya  gaya tarik (F te ) pada satuan luas penampang (A) sehingga elemen mengalami perpanjangan. Secara matematika dirumuskan sebagai berikut :
𝜎 𝑡𝑒 = 𝐹𝑡𝑒 𝐴 (19)
Hal ini dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Gambar 5 . Ilustrasi Tegangan Tekan

## Model Distribusi Log Normal
Suatu  variabel  acak X dikatakan  memiliki distribusi Log  Normal apabila  fungsi  kerapatan probabilitasnya berbentuk persamaan berikut [7] :
𝜎 = 𝐹 𝐴 (20) Parameter ξ dan λ merupakan  parameter Log Normal yang didapat dari data lapangan. Parameter ξ menyatakan ukuran nilai penyebaran, sedangkan parameter λ menyatakan  ukuran  rata-rata.  Untuk mendapatkan  nilai  ukuran  penyebaran  ( ξ ) digunakan rumusan sebagai berikut :
F te F te (18)

## Optimasi Struktur Rangka Batang Menggunakan Metode Algoritma Genetika Dengan Kendala Tegangan Dan Probabilitas Kegagalan (Mahadi Kurniawan)
𝜉 2 = ln [(1 + ( 𝜎𝑥 𝜇𝑥 ) 2 ] (21)
Koefisien  variasi  dari  variabel  X  diperoleh  dari pembagian  antara  nilai  deviasi  dengan  nilai  rata- rata, sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut :
𝛺 𝑥 = 𝜎𝑥 𝜇𝑥 (22) Berdasarkan Persamaan (22), maka Persamaan (21) dapat ditulis menjadi persamaan berikut :
𝜉 2 = [ln(1 + 𝛺 𝑥 2 )] (23)
Sedangkan  untuk  mendapatkan  nilai  ukuran  rata- rata ( λ ) digunakan rumusan sebagai berikut :
𝜆 = 𝑙𝑛 𝜇 𝑥 − 1 2 𝜉 2 (24)
Perhitungan  Beban  (Load)  Dan  Tahanan (Resistance)
Pada  desain,  para Engineer cenderung untuk memperbesar beban ( load ) dan memperkecil tahanan ( resistance ), sehingga apabila tahanan lebih kecil  daripada  beban  yang  bekerja  akan menimbulkan  risiko.  Hal  ini  dapat  diilustrasikan pada gambar berikut ini:
Gambar 6. Penentuan Daerah Risiko Akibat Beban Dan Tahanan
Perhitungan  beban  ( load )  rata-rata  akibat  beban nominal yang bekerja dapat digunakan Kriteria X% Upper  Tail ,  yang  secara  matematis  dapat dirumuskan sebagai berikut :
ln 𝐿 𝑛 = 𝜆 𝐿 + [𝛷 −1 (𝑋%) .  𝜉 𝐿 ] (25)
Perhitungan  pembebanan  dengan  menggunakan Kriteria  X% Upper  Tail diilustrasikan  seperti  pada gambar  7.  Sedangkan  perhitungan  tahanan ( resistance )  rata-rata  akibat  beban  nominal  yang bekerja  dapat  digunakan  Kriteria  X% Lower  Tail , yang  secara  matematis  dapat  dirumuskan  sebagai berikut :
ln 𝑅 𝑛 = 𝜆 𝑅 + [𝛷 −1 (𝑋%) .  𝜉 𝑅 ] (26)
Gambar 7. Kriteria X% Upper Tail
Perhitungan tahanan ( resistance ) dengan menggunakan Kriteria X% Lower Tail diilustrasikan seperti pada gambar berikut ini :
Gambar 8. Kriteria X% Lower Tail
Nilai  perbandingan  antara  nilai  tahanan  (R n )  dan nilai  beban  (L n )  merupakan  nilai  angka  keamanan (FS) dan dirumuskan sebagai berikut :
𝑅 𝑛 𝐿 𝑛 = 𝐹𝑆 (27)
Analisis Keandalan ( Reliability )
Analisis keandalan dilakukan untuk mengetahui nilai probabilitas kegagalan ( probability of  failure )  atau  risiko  dari  suatu  struktur.  Prinsip utama  agar  suatu  struktur  tidak  mengalami kegagalan  adalah  tahanan  ( resistance )  dari  suatu struktur  harus  lebih  besar  daripada  beban  ( load ) yang  bekerja  pada  struktur  tersebut.  Untuk perhitungan resiko ini digunakan metode distribusi variabel  acak Log  Normal. Perhitungan  dilakukan pada masing-masing elemen rangka yang selanjutnya  akan  disatukan  menjadi  satu  kesatuan struktur rangka batang.
Untuk  perhitungan  tahanan  ( resistance ) rata-rata  pada  material  baja  akibat  beban  nominal yang  bekerja  digunakan  Kriteria  5% Lower  Tail , dengan nilai Koefisien Variansi  (Ω R ) = 0.15 dan nilai
Ukuran  Penyebaran  (  𝑓𝑦 )  =  0.15.  Sedangkan  untuk perhitungan  beban  ( load )  rata-rata  akibat  beban nominal  yang  bekerja  digunakan  Kriteria  40% Upper  Tail ,  dengan  nilai  Koefisien  Variansi    (Ω L )  =
0.30 dan nilai Ukuran Penyebaran (  𝐿 )
= 0.30.
Nilai  probabilitas  keandalan  struktur  ini tidak  bisa  dilakukan  secara  langsung.  Akan  tetapi dapat  dihitung  dengan  menggunakan  batas-batas probabilitas ( probability bounds ) seperti  yang telah dirumuskan pada Persamaan (4), yaitu:
𝑚𝑎𝑥 𝑖 𝑝 𝐹𝑖 ≤  𝑝 𝐹 ≤ 1 − ∏ (1 − 𝑝 𝐹𝑖 ) 𝑘 𝑖=1 (28) (13)
Keterangan : p FI =  probabilitas kegagalan elemen i;
p F =  probabilitas gagal struktur global.
Nilai  probabilitas  keandalan  struktur  ini harus  lebih  kecil  dari  nilai  probabilitas  keandalan struktur  yang  telah  disyaratkan,  dimana  pada penelitian  ini  nilai  probabilitas  kegagalan  elemen struktur tidak boleh melebihi 10 -3 ( P fi ≤  10 -3 ).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari  hasil  penelitian  terlihat  bahwa  proses iterasi  dapat  dihentikan  pada  itersi  ke-200.  Hal  ini dilakukan  karena  nilai  fitness  dan  volume,  serta nilai  probabilitas  kegagalan  ( probability  of  failure ) elemen maupun struktur global telah konvergen.
Tabel 3. Nilai Luas Elemen, Tegangan Elemen, P f Elemen, dan Volume Elemen Optimum
No.
Elemen Panjang Elemen Gaya-Gaya Dalam Elemen Luas Elemen Tegangan Elemen P f Elemen Volume (mm) (N) (mm 2 ) (N/mm 2 ) 1 4000 15488.85 132.90 119.23 0.00096801 531589.74 2 4000 6951.52 105.00 66.20 5.14E-07 420000.00 3 4000 1689.71 105.00 16.09 0 420000.00 4 5656.85 -1194.80 105.00 -11.38 0 593969.70 5 4000 6106.66 105.00 58.16 6.46E-08 420000.00 6 5656.85 -7441.32 105.00 -70.87 1.44E-06 593969.70 7 5656.85 12577.08 105.19 119.57 0.00099677 595033.38 8 4000 -7203.63 105.00 -68.61 8.84E-07 420000.00 9 5656.85 -2389.61 105.00 -22.76 2.22E-16 593969.70 10 4000 4416.96 105.01 42.06 1.88E-10 420034.19 P f Struktur 0.000997 ≤ Pf ≤ 0.001967 Fitness Rata-Rata Struktur 19.966 Volume Struktur Total 150256846.90
Tabel 3 menunjukkan karakteristik struktur optimum  yang  dihasilkan  serta  nilai  Probabilitas Kegagalan  0,000997  ≤ P F ≤  0,001967.  Gambar  9 menunjukkan  secara  skematik  luas  potongan masing-masing  elemen,  sedangkan  Gambar  10 menampilkan  kurva  progresi  pertumbuhan  nilai fitness  struktur.  Garis  yang  teratas  menunjukkan nilai  fitness  maximum,  yang  tengah  nilai  rerata fitness,  dan  yang  terbawah  menunjukkan  nilai fitness  minimum  dari  populasi.  Gambar  11 menampilakan  progresi  optimalisasi  volume material struktur.
Gambar 9. Luas Potongan Elemen
Gambar 10. Progresi Pertumbuhan Nilai Fitness Individu, Kurva Atas Menunjukkan Nilai Rerata Maximum, Kurva Bawah Nilai Rerata Minimum, Dan Kurva Tengah Menunjukkan Nilai Rerata Fitness.
Gambar 11. Progresi Nilai Volume Material Struktur

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis dan perhitungan, dapat  disimpulkan  bahwa  metode  Algoritma Genetika  dapat  digunakan  untuk  melakukan optimasi  pada  struktur  rangka  batang  dengan kendala  tegangan  dan  probabilitas  kegagalan  yang merupakan  analisis  nonlinier  ( nonlinier  analysis ), yang  mana  hal  ini  cukup  sulit  dilakukan  dengan menerapkan  metode  pemrograman  matematik ( mathematical  programming ).  Proses  iterasi  yang dilakukan pada metode Algoritma Genetika ini tidak dibangun  atas  dasar  konsep  matematika,  tetapi

## Optimasi Struktur Rangka Batang Menggunakan Metode Algoritma Genetika Dengan Kendala Tegangan Dan Probabilitas Kegagalan (Mahadi Kurniawan)
dilakukan secara stokastik yang selalu konvergen ke struktur  optimum  yang  sama,  sehingga  struktur optimum  yang  dihasilkan  merupakan  solusi  yang terpercaya ( reliable ).

## REFERENSI
[1]  M. S. Besari and W. F.X.N., "Genetic Algorithms In Plane Truss Shape Optimization," presented at  the  3rd  Regional  Conference  on  Computer Applications  In  Civil  Engineering,  Kuala Lumpur, 1994.
[2]  M.  S.  Besari  and  F.  X.  N.  Wibowo,  "Optimasi Rangka Batang," ITB, Ed. Bandung, 2006.
[3]  F.  X.  N.  Wibowo,  "Optimasi  Bentuk  Oval Cangkang  Simetri  Sumbu,"  Doctoral,  Civil Engineering Dept., Institut Teknologi Bandung, Bandung, 1996.
[4]  Suharjanto,  "Optimasi  Bentuk  Dan  Ukuran Lubang  Cellular  Pada  Badan  Balok  Sederhana Baja  Profil  I  Di  Daerah  Elastis,"  Doctoral,  Civil Engineering  Dept.,  Universitas  Diponegoro, Semarang, 2009.
[5]  M.  Gen  and  R.  Cheng, Genetic  Algorithms  and Engineering Design . Wiley, 1997.
[6]  (2002). Tata  Cara  Perencanaan  Struktur  Baja Untuk Gedung : SK SNI 03 - 1729 – 2002 .
This  is  an  open  access  article  which  means that  all  content  is  freely  available  without charge  to  the  user  or  his/her  institution.
Jurnal  Saintis  allows  the author(s)  to  hold  the copyright  without restriction.  The  copyright  in  the  text  of  individual  articles (including research articles, opinion articles, and abstracts) is the property of  their  respective authors  distributed  under  the  terms of the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License ( https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ ) which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any  medium.    Users  are  allowed  to  read,  download,  copy, distribute,  search,  or  link  to  full-text  articles  in  this  journal without asking by giving appropriate credit, provide a link to the license, and indicate if changes were made.

## This page is intentionally blank