## Pemodelan  Kasus  Covid-19  Di  Indonesia  Menggunakan  Analisis  Spasial  Dengan Pendekatan Bayesian

## Aswi Aswi*
Program Studi Statistika, FMIPA Universitas Negeri Makassar *Korespondensi: aswi@unm.ac.id

## Sukarna
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Makassar

## Nurhilaliyah
Jurusan Fisika, FMIPA Universitas Negeri Makassar
ABSTRAK ,  Kasus  terkonfirmasi  positif  Covid-19 dilaporkan pertama kali di Indonesia pada tanggal 2 Maret 2020.  Hingga  30  September  2022,  Indonesia  memiliki 6.465.207 kasus. Berbagai penelitian mengenai pemodelan kasus  Covid-19  telah  dilakukan.  Akan  tetapi,  penelitian menggunakan  model  Bayesian  spasial Conditional Autoregressive (CAR) Leroux (BSCL) untuk kasus Covid- 19  di  34  provinsi  di  Indonesia  belum  sepenuhnya dilakukan.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mendapatkan model  BSCL  terbaik  dalam  mengestimasi  risiko  relatif (RR)  kasus  Covid-19  di  34  provinsi  di  Indonesia  dan menghasilkan peta tematik RR. Data agregat kasus positif Covid-19  (2  Maret  2020-30  September  2022)  digunakan dalam  penelitian  ini.  Selain  itu,  data  jumlah  penduduk  di 34  provinsi  di  Indonesia  tahun  2021  juga  digunakan. Kriteria  dalam  memilih  model  terbaik  adalah  dengan melihat  nilai  residual  dari  Modifikasi  Moran’s  I  (MMI) yang  lebih  dekat  ke  nol,  nilai Watanabe  Akaike Information  Criteria yang  terkecil  serta  nilai Deviance Information Criteria (DIC) terkecil. Hasil pengolahan data Covid-19  menunjukkan  bahwa  model  BSCL  dengan hyperprior IG  (0,1;0,1).  merupakan  model  terbaik  dalam mengestimasi  RR  kasus  Covid-19  di  Indonesia.  Sekitar 29,41% (10 provinsi) di Indonesia yang memiliki nilai RR kategori  tinggi  terjangkit  Covid-19.  Provinsi  dengan  RR tertinggi dan terendah masing-masing adalah Provinsi DKI Jakarta  (RR=5,68)  dan  Provinsi  Nusa  Tenggara  Barat (RR=0,28).

## Kata  Kunci:  Covid-19,  Metode  Bayesian,  Conditional
Autoregressive (CAR) Leroux, Risiko Relatif, Spasial

## 1. PENDAHULUAN
Penyebaran  wabah  virus  corona  2019 (Covid-19) hampir meliputi seluruh dunia. Kasus terkonfirmasi positif Covid-19 dilaporkan pertama kali di Indonesia pada tanggal 2 Maret 2020.  Hingga  30  September  2022,  Indonesia memiliki 6.465.207 kasus terkonfirmasi positive Covid-19 ( http://infeksiemerging.kemkes.go.id/) . Beberapa penelitian sebelumnya telah
memodelkan kasus Covid-19 dengan mengimplementasikan model spasial Conditional  Autoregressive (CAR)  dengan pendekatan Bayesian. Penelitian dengan menggunakan  model  spasial  CAR  Besag,  York & Mollie (BYM) di 30 provinsi di daratan Cina [1] menyimpulkan bahwa perkembangan ekonomi dan tingkat migrasi penduduk berkorelasi  positif  dengan  risiko  Covid-19. Penelitian  lainnya  yang  menggunakan  model Bayesian  spasial  CAR  BYM  menyimpulkan bahwa faktor sosial ekonomi seperti pendapatan rumah  tangga,  ras  dan  kepadatan  penduduk signifikan  mempengaruhi  jumlah  kasus  Covid- 19  di  kota  New  York  [2].  Beberapa  model Bayesian  spasial  CAR  lainnya  telah  digunakan dalam  memodelkan  kasus  Covid-19.  Misalnya, model Bayesian CAR localised [3, 4], dan model Bayesian spasial CAR Leroux (BSCL).
Model BSCL telah digunakan pada beberapa penelitian. Penelitian yang fokus pada pemodelan  kasus  stunting  di  provinsi  Sulawesi Selatan [5, 6]. Penelitian pemetaan kasus Demam Berdarah  Dengue  (DBD)  di  Indonesia  [7]. Beberapa  penelitian  telah  menggunakan  model BSCL pada kasus Covid-19. Misalnya, pemodelan Covid-19 dengan mempertimbangkan indeks
kemiskinan multidimensi  terhadap  ketidaksetaraan  risiko kematian  akibat  Covid-19  di  Kolombia  [8], hubungan antara kepadatan penduduk dan jarak ke kota terhadap peningkatan kasus Covid-19 di Provinsi  Sulawesi  Selatan  [9],  maupun  di  Kota Makassar [10].
Berdasarkan  studi  literatur,  penelitian  yang mengimplementasikan model BSCL untuk kasus terkonfirmasi  positif  Covid-19  di  setiap  34 provinsi di Indonesia belum dilakukan.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mendapatkan model BSCL terbaik dalam mengestimasi risiko relatif  (RR)  kasus  Covid-19  di  34  provinsi  di Indonesia  dan  menghasilkan  peta  tematik  RR. Melalui peta tematik RR, provinsi yang memiliki RR tinggi maupun rendah dapat divisualisasikan. Melalui  hasil  penelitian  ini,  diharapkan  dapat dijadikan  rujukan  bagi  pengambil  kebijakan dalam  hal  penanggulangan  penyebaran  kasus Covid-19 dan pemulihan ekonomi di Indonesia.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Data Spasial
Data  spasial  terkait  dengan  lokasi  yang dapat disajikan dalam posisi geografis atau peta. Data  spasial  dapat  berbentuk  data  kontinu maupun  diskrit,  sedangkan  lokasi  spasial  dapat beraturan  maupun  tak  beraturan.  Jenis  data spasial terdiri dari pola titik, data geostatistik dan data  area  [11,  12].  Data  area  merupakan  data agregat  dari  sub  wilayah  yang  merupakan kumpulan  data  atribut  diskrit.  Data  area umumnya digunakan pada penelitian epidemiologi  karena  terkait  dengan  kerahasiaan data pasien.

## Autokorelasi Spasial
Beberapa  indikator  yang  dapat  digunakan untuk  mengukur  derajat  ketergantungan  spasial adalah  Moran’s I [13], Modified  Moran’s  I (MMI) [14, 15], dan Lagrange Multiplier (LM). Moran's I maupun  MMI  dapat  digunakan  pada data  mentah  untuk  mendeteksi  autokorelasi spasial. Selain itu, Moran's I dan MMI dapat juga digunakan pada residual dari model spasial untuk memeriksa kesesuaian model. Jika nilai residual dari  Moran's I atau  MMI  mendekati  nol,  maka dapat disimpulkan bahwa model telah memperhitungkan struktur spasial dengan tepat.
Statistik Moran’s  I dihitung  sebagai berikut:
𝐼 = 𝑛 ∑ ∑ 𝜔 𝑖𝑘 (𝑌 𝑖 − 𝑌̅)(𝑌 𝑘 − 𝑌̅) 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑖=1 ∑ ∑ 𝜔 𝑖𝑘 (𝑌 𝑖 − 𝑌̅) 2 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑖=1 n adalah  jumlah  lokasi, 𝑌 𝑖 dan 𝑌 𝑘 adalah  nilai yang diamati pada masing masing lokasi tertentu i dan lokasi lain k ; 𝑌̅ adalah rata-rata semua nilai Y pada n lokasi, 𝜔 𝑖𝑘 adalah  matriks
konektivitas/ketetanggaan spasial. Dalam tulisan ini  digunakan  matriks  konektivitas  biner  yang didefiniskan sebagai berikut:
𝑤 𝑖𝑗 = { 1 jika area 𝑖 dan 𝑘 bertetangga 0 lainnya (2.1) 𝑤 𝑖𝑗 = 𝑤 𝑗𝑖 dan 𝑤 𝑖𝑖 = 0
Moran's  I cenderung underestimate jika digunakan  pada  jumlah  area  yang  sedikit, sehingga  dilakukan  pengembangan  modifikasi Moran's  I (MMI)  yang  dapat  mendeteksi ketergantungan  spasial  baik  untuk  area  yang jumlahnya sedikit maupun area yang jumlahnya relative banyak.  Statistik  MMI dihitung sebagai berikut:
𝐼 Mod = ∑ (𝑌 𝑖 −𝑌̅)(∑ 𝒘 𝒊𝒌 𝑌 𝑘 −𝑌̅) 𝒏 𝒋=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 [∑ (𝑌 𝑖 −𝑌̅) 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ] 𝟏/𝟐 [∑ (∑ 𝒘 𝒊𝒌 𝒀 𝒌 −𝒀 ̅ 𝒏 𝒋=𝟏 ) 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ] 𝟏/𝟐 (2.2)
Penjelasan  yang  lebih  detail  tentang  perbedaan Moran’s I dan MMI dapat dilihat pada beberapa tulisan [14, 15]. R code untuk penggunaan MMI juga telah diuraikan [15].

## Analisis Bayesian
Salah  satu  perbedaan  pendekatan  klasik dengan pendekatan  Bayesian  adalah  pada  pendekatan Bayesian, semua parameter yang tidak diketahui dianggap  sebagai  peubah  acak.  Dalam  analisis Bayesian, distribusi posterior sebanding dengan perkalian dari distribusi prior dan likelihood [16] yang dapat dituliskan sebagai berikut [17, 18]:
𝑓(𝜽|𝑦, 𝑎) = 𝑓( 𝑦 | 𝜽 )𝑓(𝜽|𝑎) 𝑓(𝑦|𝑎) ∝ 𝑓(𝑦|𝜽)𝑓(𝜽|𝑎) (2.3)
𝑓(𝜽|𝑎) adalah  distribusi p rior  dari  parameter model 𝜽 dengan hyper-parameters 𝑎 .
𝑓(𝑦|𝜽) didefinisikan  sebagai  perkalian  dari fungsi  kepadatan  peluang  yang  dievaluasi  pada setiap  nilai  observasi  yang  dituliskan  sebagai berikut:
𝑓(𝑦|𝜽) = ∏ 𝑓(𝑦 𝑖 |𝜽) 𝑛 𝑖=1 (2.4)
𝑓(𝑦|𝑎) adalah  distribusi  marginal  dari  y,  yang didefinisikan sebagai berikut:
𝑓(𝑦|𝑎) = ∫ 𝑓(𝑦|𝜽)𝑓(𝜽|𝑎) 𝑑𝜽 .          (2.5)

## 3. METODOLOGI

## Area Studi
Negara  Indonesia  berdasarkan  letak geografisnya memiliki batas Utara yaitu Negara Malaysia,  Vietnam,  Filipina,  Singapura,  Palau, Thailand,  dan  Laut  Cina  Selatan.  Negara Australia,  Timor  Leste,  dan  Samudera  Hindia merupakan  batas  selatan,  sedangkan  Samudera Hindia  merupakan  batas  barat.  Selanjutnya, Samudera  Pasifik  dan  Negara  Papua  Nugini merupakan batas Timur [19].
Indonesia memiliki 34 provinsi yang terdiri dari lima  pulau  besar  (Pulau  Sumatera,  Pulau  Jawa, Pulau  Kalimantan,  Pulau  Sulawesi,  dan  Pulau Papua) serta memiliki empat kepulauan (Kepulauan  Riau,  Kepulauan  Bangka  Belitung, Kepulauan  Nusa  Tenggara,  dan  Kepulauan Maluku) [19].

## Data
Data  yang  digunakan  merupakan  data sekunder yaitu data agregat kasus Covid-19 dari 19 Maret 2020 sampai 30 September 2022 yang diperoleh dari situs resmi Kementerian Kesehatan Republik Indonesia ( http://infeksiemerging.kemkes.go.id/ ).
Data  jumlah  penduduk  tahun  2021  di  setiap  34 provinsi  di  Indonesia  juga  digunakan  yang tersedia  pada  publikasi  Badan  Pusat  Statistik Indonesia [19].

## Formulasi Model
Pada penelitian ini, model BSCL dengan beberapa hyperprior yang  berbeda  digunakan untuk  memodelkan  RR  kasus  Covid-19  di Indonesia.  Model  BSCL  merupakan  model spasial  CAR  yang  hanya  melibatkan  unsur spasial terstruktur dalam model yang disimbolkan  dengan 𝑢 i .  Data  agregat  kasus Covid-19 ( 𝑦 𝑖 ) pada setiap provinsi i = 1, 2, 3, ..., 34 dimodelkan dengan menggunakan distribusi Poisson sebagai distribusi yang umum digunakan  pada  pemetaaan  penyakit    ( disease mapping )  dengan  rata-rata  sama  dengan perkalian  antara  ekspektasi  banyaknya  kasus Covid-19  ( 𝐸 𝑖 ) dengan  risiko  relatif  ( 𝜃 𝑖 ) yang dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑦 𝑖 ~Poisson(𝐸 𝑖 𝜃 𝑖 ) , 𝑖  =  1, 2, 3, … , 34 provinsi
𝑙𝑜𝑔(𝜃 𝑖 ) = α + 𝑢 𝑖
dimana:
(𝑢 𝑖 |𝑢 𝑘 , 𝑖 ≠ 𝑘, 𝜏 𝑢 2 )~𝑁 ( 𝜌 ∑ 𝑢 𝑘 𝜔 𝑖𝑘 𝑘 𝜌 ∑ 𝜔 𝑖𝑘 𝑘 + 1 − 𝜌 , 𝜏 𝑢 2 𝜌 ∑ 𝜔 𝑖𝑘 𝑘 + 1 − 𝜌 ) [20]. 𝜔 𝑖𝑘 adalah matriks pembobot spasial biner yang menggunakan orde pertama dan Queen Contiguity . Autokorelasi spasial ( 𝜌 ) pada model BSCL adalah lebih fleksibel yaitu antara nol dan satu.
Ada empat hyperprior yang digunakan untuk 𝜏 𝑢 2 yaitu Inverse-Gamma (IG) (1; 0,1), (1; 0,01), IG (0,1;  0,1),  IG  (0.5;  0,0005),  dan  IG  (0.5;  0,05). Data  dianalisis  dengan  software  R  versi  4.2.0 [21]  dan  paket CARBayes versi  5.3  [22]. Distribusi  posterior  diperoleh  melalui algoritma Markov  Chain  Monte  Carlo (MCMC)  yang didasarkan pada 100.000 iterasi dengan 120.000 MCMC sampel setelah burn-in 20.000 sampel.

## 4. PEMBAHASAN

## Analisis Deskriptif
Pada  tahun  2021,  total  penduduk  di  Indonesia sebanyak  272.682.500  penduduk  dengan  rata- rata  sebanyak  8.020.074  di  setiap  provinsi dengan  median  4.239.050  dan  standar  deviasi 11.377.494.  Selanjutnya  sebanyak  6.465.207 total  kasus  terkonfirmasi  positif  Covid-19  di Indonesia  (2  Maret  2020  -  September  2022) dengan  rata-rata  190.153,  median  68.546  dan standar  deviasi  322.453.  Peta  tematik  kasus Covid-19 di Indonesia dapat dilihat pada Gambar 1.

## Nilai Moran’s I dan Modifikasi Moran’s I
Nilai  statistik Moran’s  I dari  data  adalah  0,67, dengan  nilai  ekspektasi  adalah  -0,03  dan  nilai variansi adalah  0,02.  Nilai p-value adalah  9,9e- 08  yang  lebih  kecil  dari  α  =  0,05.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  terdapat  ketergantungan spasial  yang  positif  pada  kasus  covid-19  di Indonesia.  Sedangkan  nilai  MMI  adalah  0,73 yang  lebih  tinggi  dibandingkan  dengan  nilai statistik Moran’s I.
Gambar 1. Peta tematik kasus Covid-19 di setiap Provinsi di Indonesia

## Pemilihan Model Terbaik
Pemilihan  model  terbaik  didasarkan  pada  nilai DIC  terkecil,  WAIC  terkecil,  dan  nilai  residual MMI yang lebih dekat ke nol. Nilai MMI untuk residual,  WAIC,  dan  DIC  diberikan  pada  Tabel 1.

## Tabel 1. Nilai DIC, WAIC dan MMI untuk
Residual Hyperpriors Model   DIC WAIC MMI IG(1;0,01) M1 621,3 7824,9 0,77 IG(1;0,1) M2 645,9 4379,4 0,65 IG(0,1;0,1) M3 535,5 558,6 -0,47 IG(0,5;0,05)  M4 745,8  14331,6 0,73 IG (0,5;0,0005) M5 538,2  574,8 0,33
Berdasarkan  Tabel  1,  terlihat  bahwa  nilai  DIC bervariasi  pada  setiap  model.  Demikian  pula untuk  nilai  WAIC  dan  MMI  untuk  residual. Model  M3  memiliki  nilai  DIC  (535,55)  dan WAIC  (558,57)  yang  lebih  kecil  dari  model lainnya. Sedangkan nilai MMI untuk residualmodel  M5  adalah  0,33  yang  paling mendekati nol yang tidak jauh berbeda dari nilai residual MMI (-0,47) model M3. Oleh karena itu, berdasarkan  kriteria  pemilihan  model  yang digunakan, model terbaik dalam menaksir risiko relatif  kasus  Covid-19  di  Indonesia  pada penelitian  ini  adalah  model  BSCL  dengan hyperprior IG (0,1;0,1).

## Mengecek Kekonvergenan Parameter Model
Hasil  pengecekan  kekonvergenan  dari  masing- masing  parameter  model  menggunakan  model BSCL  dengan hyperprior IG  (0,1;0,1)  dapat dilihat pada Gambar 2 sampai Gambar 5.
Gambar 2. Trace Plot tau2 samples untuk model BSCL dengan hyperprior IG (0,1;0,1)
Gambar  3. Trace  Plot rho  samples untuk  model  BSCL  dengan hyperprior IG (0,1;0,1)
Berdasarkan  dari  Gambar  2  hingga  Gambar  5 dapat dilihat bahwa parameter dari model BSCL dengan hyperprior IG (0,1;0,1) sudah mencapai kekonvergenan .
Gambar 4. Trace Plot beta samples untuk model BSCL dengan hyperprior IG (0,1;0,1)
Gambar 5. Trace Plot phi samples untuk model BSCL dengan hyperprior IG (0,1;0,1)

## Estimasi Risiko Relatif
Model  M3  merupakan  model  yang terpilih dalam pemodelan kasus Covid-19 untuk data  yang  digunakan.  Banyaknya  kasus  Covid- 19,  populasi,  serta  nilai  RR  berdasarkan  Model M3 diberikan pada Tabel 2.
Berdasarkan  Tabel  2,  provinsi  yang memiliki  nilai  RR  tertinggi  (5,68)  yaitu  DKI Jakarta. Terdapat 10 provinsi yang memiliki nilai RR lebih besar dari 1 yaitu  DKI Jakarta (5,68).
Provinsi  Kalimantan  Utara  (2,69),  Daerah Istimewa Yogyakarta (2,55), Provinsi Kalimantan  Timur  (2,32),  Provinsi  Bangka Belitung  (1,89),  Provinsi  Bali  (1,60),  Provinsi Kepulauan  Riau  (1,42),  Provinsi  Papua  Barat (1,18), Provinsi Banten (1,18), dan Provinsi Jawa Barat  (1,02).  Sebaliknya,  provinsi  dengan  nilai RR  terendah  adalah  Provinsi  Nusa  Tenggara Barat (0,28). Peta tematik RR kasus Covid-19 di 34  provinsi  di  Indonesia  berdasarkan  model terbaik  (Model  M3)  divisualisasikan  pada Gambar 6.
Berdasarkan  Gambar  6,  provinsi  yang memiliki nilai RR tertinggi adalah Provinsi DKI Jakarta  dengan  ID=7  (warna  merah  gelap).  RR tertinggi  kedua  adalah  Provinsi  Kalimantan Utara (ID=16) sedangkan Provinsi DIY (ID=34) memilih  RR  tertinggi  ketiga.  Sebaliknya, wilayah  yang  memiliki  RR  terendah  yaitu Provinsi  Nusa  Tenggara  Barat  (ID=21).  RR terendah  kedua  dan  ketiga  adalah  Provinsi Lampung (ID=18) dan Provinsi Aceh (ID=1).
Gambar 6. Peta tematik RR Covid-19 berdasarkan model M3
Tabel 2. Banyaknya kasus Covid-19, Populasi, serta nilai RR berdasarkan Model M3 ID  Provinsi Kasus Populasi RR 1 Aceh 44221 5333700 0,350 2 Bali 165943 4362700 1,604 3 Bangka Belitung 66015 1473200 1,890 4 Banten 336752 12061500  1,178 5 Bengkulu 29236 2032900 0,607 6 Gorontalo 13972 1181000 0,499 7 DKI Jakarta 1428272  10609700  5,678 8 Jambi 38518 3585100 0,453 9 Jawa Barat 1177992  48782400  1,018 10  Jawa Tengah 630898 36742500  0,724 11  Jawa Timur 676768 40878800  0,698 12  Kalimantan Barat 64652 5470800 0,498 13  Kalimantan Selatan 72439 4122600 0,741 14  Kalimantan Tengah 58262 2702200 0,909 15  Kalimantan Timur 209377 3808200 2,319 16  Kalimantan Utara 45452 713600 2,686 17  Kepulauan Riau 71077 2118200 1,415 18  Lampung 73073 9081800 0,339 19  Maluku 18791 1862600 0,426 20  Maluku Utara 14500 1299200 0,471 21  Nusa Tenggara Barat 36417 5390000 0,285 22  Nusa Tenggara Timur  91172 5387700 0,714 23  Papua 50067 4355500 0,485 24  Papua Barat 32361 1156800 1,180 25  Riau 152985 6493600 0,994 26  Sulawesi Barat 15641 1436800 0,459 27  Sulawesi Selatan 144081 9139500 0,665 28  Sulawesi Tengah 61307 3021900 0,856 29  Sulawesi Tenggara 25712 2659200 0,408 30  Sulawesi Utara 53313 2638600 0,852 31  Sumatera Barat 99398 5580200 0,751 32  Sumatera Selatan 82433 8550900 0,407 33  Sumatera Utara 159368 14936200  0,450 34  DI Yogyakarta 224742 3712900 2,553

## 5. KESIMPULAN
Model  BSCL  dengan hyperprior IG  (0,1;0,1) (M3)  merupakan  model  yang  terpilih  yang digunakan untuk mengestimasi RR kasus Covid- 19  di  Indonesia.  Terdapat  10  provinsi  (sekitar 29,41%) yang memiliki nilai RR kategori tinggi terjangkit  Covid-19.  Provinsi  dengan  RR tertinggi  dan  terendah  masing-masing  adalah Provinsi  DKI  Jakarta  (RR=5,68)  dan  Provinsi
Nusa  Tenggara  Barat  (RR=0,28).  Melalui  hasil penelitian  ini,  diharapkan  dapat  menjadi  bahan masukan  bagi  pengambil  kebijakan  dalam menanggulangi Covid-19. Penelitian selanjutnya dapat  menggunakan  model  BSCL  dengan melibatkan kovariat dalam model.

## Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada saudara  Nurwan,  mahasiswa  alumni  program Studi (Prodi) Statistika, Fakultas Matematika dan
Ilmu  Pengetahuan  Alam  (FMIPA)  Universitas Negeri  Makassar  (UNM)  atas  kesediaannya dalam membantu pengolahan data ini.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Peng,  D. et  al. ,  "COVID-19  distributes socially  in  China:  A  Bayesian  spatial analysis," PloS  one, vol.  17,  no.  4,  pp. e0267001-e0267001, 2022.
[2] Whittle,  R.S.  and  Diaz-Artiles,  A.,  "An ecological  study  of  socioeconomic predictors  in  detection  of  COVID-19 cases across neighborhoods in New York City," BMC medicine, vol. 18, no. 1, pp. 271-271, 2020.
[3] Aswi, A., Mauliyana, A., Tiro, M.A., and Bustan,  M.N.,  "Relative  Risk  Of Coronavirus Disease (Covid-19) In South Sulawesi  Province,  Indonesia:  Bayesian Spatial Modeling," Media Statistika, vol. 14, no. 2, pp. 158-169, 2022.
[4] Aswi, A., Muhammad Arif, T., Sudarmin, S., Sukarna, S., and Susanna, C.,  "The  Interplay  Between  Clusters, Covariates,  and  Spatial  Priors  in  Spatial Modelling of Covid-19 in South Sulawesi Province,  Indonesia," Media  Statistika, vol. 15, no. 1, pp. 48-59, 2022.
[5] Aswi, A., Sukarna, S., and Nurhilaliyah, "Pemetaan Risiko Relatif Kasus Stunting di Provinsi Sulawesi Selatan," Sainsmat: Jurnal  Ilmiah  Ilmu  Pengetahuan  Alam, vol. 11, no. 1, pp. 11-20, 2022.
[6] Aswi, A.S., Sukarna, "Pemodelan Spasial Bayesian dalam Menentukan Faktor yang Mempengaruhi  Kejadian  Stunting  di Provinsi  Sulawesi  Selatan," Journal  of Mathematics, Computations, and Statistics, vol. 5, no. 1, pp. 1-11, 2022. [7] Aswi,  A.  and  Sukarna,  S.,  "Pemodelan Bayesian Spasial Conditional Autoregressive  (CAR)  Pada  Kasus Demam Berdarah Dengue di Indonesia,"
Jurnal  Matematika  dan  Statistika  serta Aplikasinya, vol.  10,  no.  1,  pp.  32-39, 2022.
[8] Polo,  G.,  Soler-Tovar,  D.,  Villamil Jimenez,  L.C.,  Benavides-Ortiz,  E.,  and Mera  Acosta,  C.,  "Bayesian  spatial modeling of COVID-19 case-fatality rate
inequalities," Spatial and spatio- temporal epidemiology, vol. 41, 2022.
[9] Aswi,  A.  and  Sukarna,  S.,  "Factors Affecting  the  Covid-19  Risk  in  South Sulawesi Province, Indonesia: A
Bayesian  Spatial  Model," Inferensi, vol. 5, no. 1, pp. 51-58, 2022.
[10] Tiro,  M.A.,  Aswi,  A.,  and  Rais,  Z., "Association  of  Population  Density  and Distance  to  the  City  with  the  Risks  of COVID-19: A Bayesian Spatial Analysis," Journal of physics.
Conference  series, vol.  2123,  no.  1,  p. 12001, 2021.
[11] Cressie, N. and Wikle, C.K., Statistics for spatio-temporal  data .  John  Wiley  & Sons, 2015.
[12] Cressie,  N.A.C., Statistics  for  spatial data Rev.  ed.  ed.  New  York:  Wiley, 1993.
[13] Moran,  P.A.P.,  "Notes  on  continuous stochastic  phenomena," Biometrika, vol. 37, no. 1-2, p. 17, 1950.
[14] Carrijo,  T.B.  and  Da  Silva,  A.R., "Modified Moran's I for Small Samples," Geographical Analysis, vol. 49, no. 4, pp. 451-467, 2017.
[15] Aswi,  A.,  Cramb,  S.,  Duncan,  E.,  and Mengersen, K., "Detecting Spatial Autocorrelation  for  a  Small  Number  of Areas:  a  practical  example," Journal  of physics. Conference series, vol. 1899, no. 1, p. 12098, 2021.
[16] Austin,  P.C.,  Brunner,  L.J.,  SM,  H.M., and Janet, E., "Bayeswatch: an overview of  Bayesian  statistics," Journal  of Evaluation  in  Clinical  Practice, vol.  8, no. 2, pp. 277-286, 2002.
[17] Ntzoufras,  I., Bayesian  modeling  using WinBUGS . John Wiley & Sons, 2011.
[18] Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S., and Rubin, D.B., Bayesian Data Analysis , 3rd ed.  Chapman  &  Hall/CRC  Boca  Raton, FL, USA, 2014, p. 607.
[19] Winardi,  W. et  al. , Statistik  Indonesia 2021 .  Jakarta:  Badan  Pusat  Statistik Indonesia, 2021, p. 758.
[20] Leroux,  B.G.,  Lei,  X.,  and  Breslow,  N., "Estimation  of  Disease  Rates  in  Small Areas:  A  new  Mixed  Model  for  Spatial
Dependence," Statistical  Models  in
Epidemiology,  the  Environment,  and Clinical  Trials, vol.  116,  pp.  179-191, 2000.
[21] R  Core  Team,  "R:  A  language  and environment  for  statistical  computing," ed.  Vienna,  Austria:  R  Foundation  for Statistical Computing, 2019.
[22] Lee, D., "CARBayes: An R Package for Spatial  Areal  Unit  Modelling  with Conditional Autoregressive Priors,"
Journal  of  statistical  software, vol.  55,
no. 1, pp. 1-24, 2013.